Local flatness
ટોપોલોજીમાં, ગણિતની એક શાખા, સ્થાનિક સપાટતા એ એક સરળતા સ્થિતિ છે જે ટોપોલોજિકલ સબમેનિફોલ્ડ્સ પર લાદવામાં આવી શકે છે. ટોપોલોજિકલ મેનીફોલ્ડ્સની શ્રેણીમાં, સ્થાનિક રીતે સપાટ સબમેનીફોલ્ડ્સ સ્મૂથ મેનીફોલ્ડ્સની શ્રેણીમાં એમ્બેડેડ સબમેનીફોલ્ડ્સ જેવી જ ભૂમિકા ભજવે છે. સ્થાનિક સપાટતાના ઉલ્લંઘનો સામગ્રી પ્રક્રિયા અને યાંત્રિક ઇજનેરી માટેના ઉપયોગો સાથે રિજ નેટવર્ક અને ભાંગી પડેલી રચનાઓનું વર્ણન કરે છે. વ્યાખ્યા ધારો કે d પરિમાણીય મેનીફોલ્ડ N એ n પરિમાણીય મેનીફોલ્ડ M (જ્યાં d <n) માં જડિત છે. જો આપણે કહીએ કે N એ x પર સ્થાનિક રીતે સપાટ છે જો ત્યાં x નો પડોશ હોય કે જેથી ટોપોલોજીકલ જોડી જોડી માટે હોમોમોર્ફિક હોય, તો તેના પ્રમાણભૂત સમાવેશ સાથે, ત્યાં એક હોમોમોર્ફિઝમ અસ્તિત્વમાં છે જેમ કે ની છબી તેની સાથે મેળ ખાય છે. આકૃતિના સંદર્ભમાં, નીચેનો ચોરસ ફરતો હોવો જોઈએઃ જો N દરેક બિંદુ પર સ્થાનિક રીતે સપાટ હોય તો આપણે N ને M માં સ્થાનિક રીતે સપાટ કહીએ છીએ. તેવી જ રીતે, નકશાને સ્થાનિક રીતે સપાટ કહેવામાં આવે છે, ભલે તે એમ્બેડિંગ ન હોય, જો N માં દરેક x પાસે પડોશી U હોય જેની છબી M માં સ્થાનિક રીતે સપાટ હોય. સીમા સાથે મેનીફોલ્ડ્સમાં ઉપરોક્ત વ્યાખ્યા ધારે છે કે, જો M પાસે સીમા હોય, તો x એ M નો સીમા બિંદુ નથી. જો x એ M ની સીમા પરનો બિંદુ હોય તો વ્યાખ્યા નીચે મુજબ સુધારવામાં આવે છે. આપણે કહીએ છીએ કે N એ M ના સીમા બિંદુ x પર સ્થાનિક રીતે સપાટ છે જો ત્યાં x નો પડોશ હોય કે જેથી ટોપોલોજિકલ જોડી જોડી માટે હોમોમોર્ફિક હોય, જ્યાં પ્રમાણભૂત અર્ધ-જગ્યા છે અને તેની સીમાની પ્રમાણભૂત પેટા જગ્યા તરીકે શામેલ છે. પરિણામ એમ્બેડિંગની સ્થાનિક સપાટતા એ મજબૂત ગુણધર્મો સૂચવે છે જે તમામ એમ્બેડિંગ દ્વારા વહેંચવામાં આવતા નથી. બ્રાઉન (1962) એ સાબિત કર્યું કે જો d = n − 1 હોય, તો N કોલર્ડ છે; એટલે કે, તેની પાસે એક પડોશી છે જે N × [0,1] સાથે હોમોમોર્ફિક છે, જેમાં N પોતે N × 1/2 (જો N M ની અંદર હોય તો) અથવા N × 0 (જો N M ની સીમામાં હોય તો) ને અનુરૂપ છે. યુક્લિડિયન સ્પેસ નીટ સબમેનિફોલ્ડ રેફરન્સ બ્રાઉન, મોર્ટન (1962), ટોપોલોજિકલ મેનીફોલ્ડ્સના સ્થાનિક રીતે સપાટ ઈમ્બેડિંગ્સ પણ જુઓ. એનલ્સ ઓફ મેથેમેટિક્સ, સેકન્ડ સિરીઝ, વોલ્યુમ. 75 (1962), pp. 331-341. મઝુર, બેરી. ગોળાઓના એમ્બેડિંગ પર. બુલેટિન ઓફ ધ અમેરિકન મેથેમેટિકલ સોસાયટી, વોલ્યુમ. 65 (1959), નં. 2, pp. 59-65. http://projecteuclid.org/euclid.bams/1183523034. ટોપોલોજી ભૌમિતિક ટોપોલોજી