Buffon's noodle
ભૌમિતિક સંભાવનામાં, બફનની નૂડલની સમસ્યા એ બફનની સોયની જાણીતી સમસ્યા પરની વિવિધતા છે, જેનું નામ 18મી સદીમાં રહેતા જ્યોર્જ-લુઇસ લેક્લર્ક, કોમ્ટે ડી બફન પરથી રાખવામાં આવ્યું છે. સમસ્યાનો આ અભિગમ 1860માં જોસેફ-એમિલ બાર્બિયર દ્વારા પ્રકાશિત કરવામાં આવ્યો હતો. બફનની સોય ધારો કે ત્યાં અનંત ઘણી સમાન અંતરે સમાંતર રેખાઓ અસ્તિત્વમાં છે, અને આપણે અવ્યવસ્થિત રીતે એક સોય ફેંકવાની હતી જેની લંબાઈ અડીને આવેલી રેખાઓ વચ્ચેના અંતર કરતા ઓછી અથવા સમાન હોય. ઉતરાણ વખતે સોય એક રેખા પર પડવાની સંભાવના કેટલી છે? આ સમસ્યાને ઉકેલવા માટે, સોયની લંબાઈ અને બે અડીને આવેલી રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર હોવું જોઈએ. પછી, સોય આડી સાથે જે તીવ્ર ખૂણો બનાવે છે તે હોવો જોઈએ, અને સોયના કેન્દ્રથી નજીકની રેખા સુધીનું અંતર હોવું જોઈએ. સોય નજીકની રેખા પર હોય છે જો અને માત્ર જો. આપણે આ સ્થિતિ સોય દ્વારા રચાયેલા જમણા ત્રિકોણ, સૌથી નજીકની રેખા અને જ્યારે સોય સૌથી નજીકની રેખામાં હોય ત્યારે લંબાઈની રેખા પરથી જોઈએ છીએ. હવે, આપણે ધારીએ છીએ કે જ્યારે તેઓ ઉતરાણ કરે છે, ક્યાં, ત્યારથી, અને તેના મૂલ્યો અવ્યવસ્થિત રીતે નક્કી થાય છે. માટે નમૂનાની જગ્યા આમ બાજુની લંબાઈનો લંબચોરસ છે અને. સોય સૌથી નજીકની રેખા પર હોય તેવી ઘટનાની સંભાવના એ નમૂનાની જગ્યાનો અપૂર્ણાંક છે જે તેની સાથે છેદે છે. ત્યારથી, આ આંતરછેદનું ક્ષેત્રફળ દ્વારા આપવામાં આવે છે હવે, નમૂનાની જગ્યાનું ક્ષેત્રફળ છે તેથી, ઘટનાની સંભાવના સોયને વાળવાની છે સૂત્ર ત્યારે પણ સમાન રહે છે જ્યારે સોય કોઈપણ રીતે વળેલી હોય (અવરોધને આધિન કે તે સમતલમાં હોવી જોઈએ), તેને "નૂડલ" બનાવે છે-એક કઠોર સમતલ વળાંક. આપણે એવી ધારણાને નકારી કાઢીએ છીએ કે નૂડલની લંબાઈ સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેના અંતર કરતાં વધુ નથી. ક્રોસિંગની સંખ્યાની સંભાવના વિતરણ નૂડલના આકાર પર આધાર રાખે છે, પરંતુ ક્રોસિંગની અપેક્ષિત સંખ્યા નથી; તે માત્ર નૂડલની લંબાઈ L અને સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેના અંતર D પર આધાર રાખે છે (અવલોકન કરો કે વક્ર નૂડલ એક જ રેખાને ઘણી વખત પાર કરી શકે છે). આ હકીકત નીચે પ્રમાણે સાબિત થઈ શકે છે (ક્લેન અને રોટા જુઓ). પ્રથમ ધારો કે નૂડલ પીસવાઇઝ રેખીય છે, એટલે કે. તેમાં n સીધા ટુકડાઓ હોય છે. ith ટુકડો સમાંતર રેખાઓમાંથી એકને કેટલી વાર પાર કરે છે તેની સંખ્યા xi હોવી જોઈએ. આ રેન્ડમ વેરિયેબલ્સ સ્વતંત્ર નથી, પરંતુ અપેક્ષાઓની રેખીયતાને કારણે અપેક્ષાઓ હજુ પણ એડિટિવ છેઃ પીસવાઇઝ રેખીય નૂડલ્સના ક્રમની મર્યાદા તરીકે વક્ર નૂડલના સંદર્ભમાં, અમે નિષ્કર્ષ કાઢીએ છીએ કે ટોસ દીઠ ક્રોસિંગની અપેક્ષિત સંખ્યા લંબાઈના પ્રમાણસર છે; તે લંબાઈ L ના અમુક સ્થિર ગણો છે. જો નૂડલ સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર D જેટલું વ્યાસનું વર્તુળ હોય, તો L = D અને ક્રોસિંગની સંખ્યા બરાબર 2 છે, જેમાં સંભાવના 1 છે. તેથી જ્યારે L = D હોય ત્યારે ક્રોસિંગની અપેક્ષિત સંખ્યા 2 હોય છે. તેથી, ક્રોસિંગની અપેક્ષિત સંખ્યા 2 એલ/(ડી) હોવી જોઈએ. બાર્બિયરનો પ્રમેય આ દલીલને સહેજ લંબાવતા, જો એક બહિર્મુખ કોમ્પેક્ટ સબસેટ હોય, તો પછી છેદતી રેખાઓની અપેક્ષિત સંખ્યા તેની પરિમિતિને છેદતી રેખાઓની અપેક્ષિત સંખ્યાના અડધા જેટલી હોય છે, જે છે. ખાસ કરીને, જો નૂડલ કોઈ સ્થિર પહોળાઈ D નો બંધ વળાંક હોય, તો ક્રોસિંગની સંખ્યા પણ બરાબર 2 છે. આનો અર્થ એ છે કે પરિમિતિની લંબાઈ વર્તુળ જેટલી જ છે, જે બાર્બિયરના પ્રમેયને સાબિત કરે છે. નોંધો સંદર્ભો બાહ્ય કડીઓ કટ-ધ-ગાંઠ વેબસાઇટ પર ઇન્ટરેક્ટિવ ગણિત પૃષ્ઠ ઇન્ટરેક્ટિવ વોલ્ફ્રેમ સી. ડી. એફ. પ્રદર્શન ઇન્ટિગ્રલ ભૂમિતિ