Householder's method
ગણિતમાં, અને ખાસ કરીને આંકડાકીય વિશ્લેષણમાં, હાઉસહોલ્ડરની પદ્ધતિઓ એ મૂળ શોધવાના અલ્ગોરિધમ્સનો એક વર્ગ છે જેનો ઉપયોગ અમુક ક્રમ સુધી સતત વ્યુત્પન્ન સાથે એક વાસ્તવિક ચલનાં કાર્યો માટે થાય છે. આ દરેક પદ્ધતિઓ સંખ્યા દ્વારા વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે, જે પદ્ધતિનો ક્રમ તરીકે ઓળખાય છે. અલ્ગોરિધમ પુનરાવર્તિત છે અને તેના અભિસરણનો દર ધરાવે છે. આ પદ્ધતિઓનું નામ અમેરિકન ગણિતશાસ્ત્રી એલ્સ્ટન સ્કોટ હાઉસહોલ્ડરના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે. પદ્ધતિ હાઉસહોલ્ડરની પદ્ધતિ એ સમીકરણને ઉકેલવા માટેનું આંકડાકીય અલ્ગોરિધમ છે. આ કિસ્સામાં, કાર્ય એક વાસ્તવિક ચલનું કાર્ય હોવું જોઈએ. આ પદ્ધતિમાં પ્રારંભિક અનુમાનથી શરૂ થતા પુનરાવર્તનોનો ક્રમ હોય છે. જો વખત સતત વિકલનક્ષમ વિધેય હોય અને તે તેના વ્યુત્પન્નનું ન હોય તો શૂન્ય હોય, તો પછી, કેટલાક લોકો માટે, પુનરાવર્તનો સંતોષ આપે છેઃ, આનો અર્થ એ છે કે જો પ્રારંભિક અનુમાન પૂરતા પ્રમાણમાં નજીક હોય તો પુનરાવર્તનો શૂન્યમાં એકરૂપ થાય છે, અને અભિસરણનો ક્રમ અથવા વધુ સારો હોય છે. વધુમાં, જ્યારે તેની પૂરતી નજીક હોય, ત્યારે સામાન્ય રીતે કેટલાક માટે એવું બને છે. ખાસ કરીને, જો ઈવન હોય અને પછી કન્વર્જન્સ જમણી બાજુથી હશે; જો ઈવન હોય અને પછી કન્વર્જન્સ ડાબી બાજુથી હશે; જો ઓડ હોય અને પછી કન્વર્જન્સ તે બાજુથી હશે જ્યાંથી તે શરૂ થાય છે; અને જો ઓડ હોય અને પછી કન્વર્જન્સ ટુ વિલ વૈકલ્પિક બાજુઓ હશે. તેમના અભિસરણના ક્રમ હોવા છતાં, આ પદ્ધતિઓનો વ્યાપકપણે ઉપયોગ થતો નથી કારણ કે ચોકસાઇમાં લાભ મોટા માટે પ્રયાસમાં વધારો સાથે સુસંગત નથી. ઓસ્ટ્રોવસ્કી સૂચકાંક પુનરાવર્તન ગણતરીને બદલે કાર્ય મૂલ્યાંકનની સંખ્યામાં ભૂલ ઘટાડાને વ્યક્ત કરે છે. બહુપદીઓ માટે, હોર્નર પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને પ્રથમ વ્યુત્પન્નોનું મૂલ્યાંકન બહુપદી મૂલ્યાંકનનો પ્રયાસ ધરાવે છે. પુનરાવર્તનો પરના મૂલ્યાંકનો ભૂલનો ઘાતાંક આપે છે, તેથી એક કાર્યના મૂલ્યાંકન માટેનો ઘાતાંક, આંકડાકીય રીતે, માટે અને તે પછી ઘટતો હોય છે. આ માપદંડ મુજબ, કેસ (હેલીની પદ્ધતિ) નું શ્રેષ્ઠ મૂલ્ય છે. સામાન્ય કાર્યો માટે સ્વચાલિત ભિન્નતાના ટેલર અંકગણિતનો ઉપયોગ કરીને વ્યુત્પન્ન મૂલ્યાંકન માટે કાર્ય મૂલ્યાંકનની સમકક્ષ જરૂર પડે છે. આમ એક કાર્યનું મૂલ્યાંકન હેલીની પદ્ધતિ માટે ન્યુટનની પદ્ધતિના ઘાતાંક દ્વારા ભૂલને ઘટાડે છે અને ઉચ્ચ ક્રમની પદ્ધતિઓ માટે 1 અથવા રેખીય અભિસરણ તરફ પડે છે. પ્રેરણા પ્રથમ અભિગમ ધારો કે અને ના પડોશમાં વિશ્લેષણાત્મક છે. પછી ટેલર શ્રેણી હોય છે અને તેની અચળ મુદત શૂન્ય હોય છે. કારણ કે આ અચળ પદ શૂન્ય છે, કાર્યમાં ટેલર શ્રેણી હશે અને જ્યારે, તેની અચળ પદ શૂન્ય નહીં હોય. કારણ કે તે અચળ પદ શૂન્ય નથી, તે અનુસરે છે કે પારસ્પરિકમાં ટેલર શ્રેણી છે, જેને આપણે લખીશું અને તેની અચળ પદ શૂન્ય નહીં હોય. તે ટેલર શ્રેણીનો ઉપયોગ કરીને આપણે લખી શકીએ છીએ જ્યારે આપણે તેના-th વ્યુત્પન્નની ગણતરી કરીએ છીએ, ત્યારે આપણે નોંધ્યું છે કે અનુકૂળતા માટેનાં શબ્દો અદૃશ્ય થઈ જાય છેઃ મોટા O સંકેતનો ઉપયોગ કરીને. આમ આપણે મેળવીએ છીએ કે ગુણોત્તર જો તેનો શૂન્ય સૌથી નજીક હોય તો બીજો પરિબળ 1 પર જાય છે અને અનંત તરફ જાય છે. બીજો અભિગમ ધારો કે તે એક સરળ મૂળ છે. પછી નજીક, એક મેરોમોર્ફિક કાર્ય છે. ધારો કે આપણી પાસે ટેલર વિસ્તરણ છેઃ એક બિંદુની આસપાસ જે તેના અન્ય કોઈપણ શૂન્યની નજીક છે. કોનિગના પ્રમેય મુજબ, આપણી પાસે છેઃ આ સૂચવે છે કે હાઉસહોલ્ડરનું પુનરાવર્તન એક સારું અભિસારી પુનરાવર્તન હોઈ શકે છે. અભિસરણનો વાસ્તવિક પુરાવો પણ આ વિચારો પર આધારિત છે. લોઅર ઓર્ડર હાઉસહોલ્ડરની ઓર્ડર 1 ની પદ્ધતિઓ માત્ર ન્યૂટનની પદ્ધતિ છે, કારણ કેઃ હાઉસહોલ્ડરની ઓર્ડર 2 ની પદ્ધતિ માટે એકને હેલીની પદ્ધતિ મળે છે, કારણ કે ઓળખ અને પરિણામ. આ રેખા એ દર્શાવવા માટે ઉમેરવામાં આવી હતી કે ન્યુટનની સરળ પદ્ધતિમાં તફાવત ક્યાં છે. ત્રીજા ક્રમની પદ્ધતિ ત્રીજા ક્રમના વ્યુત્પન્નની ઓળખમાંથી મેળવવામાં આવે છે અને તેમાં સૂત્ર અને તેથી વધુ છે. ઉદાહરણ ન્યુટન દ્વારા ન્યુટન-રેફસન-સિમ્પસન પદ્ધતિ સાથે હલ કરવામાં આવેલી પ્રથમ સમસ્યા બહુપદી સમીકરણ હતી. તેમણે અવલોકન કર્યું કે ઉકેલ 2 ની નજીક હોવો જોઈએ. બદલીને સમીકરણમાં રૂપાંતર થાય છે. પારસ્પરિક કાર્યની ટેલર શ્રેણી એ સાથે શરૂ થાય છે હાઉસહોલ્ડરની વિવિધ ઓર્ડરની પદ્ધતિઓ લાગુ કરવાનું પરિણામ પણ પછીની પાવર શ્રેણીના પડોશી ગુણાંકને વિભાજીત કરીને મેળવવામાં આવે છે. પ્રથમ ઓર્ડર માટે માત્ર એક પુનરાવર્તન પગલું પછી નીચેના મૂલ્યો મળે છેઃ ઉદાહરણ તરીકે, ત્રીજા ક્રમના કિસ્સામાં, જેમ કે કોઈ જોઈ શકે છે, દરેક ક્રમ માટે સાચા દશાંશ સ્થાનો કરતાં થોડો વધારે છે. સાચા ઉકેલના પ્રથમ સો અંકો છે. ચાલો કેટલાક સૌથી નીચા ક્રમ માટેના મૂલ્યોની ગણતરી કરીએ, અને નીચેના સંબંધોનો ઉપયોગ કરીને, પ્રથમ ક્રમ; બીજો ક્રમ; ત્રીજો ક્રમ; વ્યુત્પત્તિ ગૃહ ધારકની પદ્ધતિઓનું ચોક્કસ વ્યુત્પત્તિ કાર્યના ક્રમના પેડે અંદાજથી શરૂ થાય છે, જ્યાં રેખીય અંશ સાથેનો અંદાજ પસંદ કરવામાં આવે છે. એકવાર આ હાંસલ થઈ ગયા પછી, આગામી અંદાજ માટે અપડેટ અંશના અનન્ય શૂન્યની ગણતરીમાંથી પરિણમે છે. પેડે અંદાજનું સ્વરૂપ છે તર્કસંગત કાર્ય શૂન્ય હોય છે. જેમ ડિગ્રીની ટેલર બહુપદીમાં ગુણાંક હોય છે જે કાર્ય પર આધાર રાખે છે, તેમ પેડે અંદાજમાં પણ ગુણાંક અને તેના વ્યુત્પન્ન પર આધાર રાખે છે. વધુ સ્પષ્ટ રીતે કહીએ તો, કોઈપણ પેડે અંદાજમાં, અંશ અને છેદ બહુપદીઓની ડિગ્રી અંદાજના ક્રમમાં ઉમેરવી પડે છે. તેથી તેને પકડી રાખવો પડે છે. યુક્લિડના અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરીને ટેલર બહુપદીથી શરૂ કરીને પેડે અંદાજ નક્કી કરી શકાય છે. જો કે, ટેલર બહુપદીથી શરૂ કરીને ટૂંકા હોય છે અને સીધા આપેલ સૂત્ર તરફ દોરી જાય છે. ઇચ્છિત તર્કસંગત વિધેયના વ્યસ્તની બરાબર હોવું જરૂરી હોવાથી, આપણે ઘાતમાં સમીકરણ સાથે ગુણાકાર કર્યા પછી મેળવીએ છીએ. હવે, અંશના શૂન્ય માટેના છેલ્લા સમીકરણને હલ કરવાથી પરિણામ મળે છે. આ પુનરાવર્તન સૂત્ર સૂચવે છે. ન્યુટનની પદ્ધતિ સાથે સંબંધ વાસ્તવિક મૂલ્યના વિધેય પર લાગુ કરાયેલી ગૃહસ્થની પદ્ધતિ એ કાર્ય પર લાગુ કરાયેલી ન્યુટનની પદ્ધતિ જેવી જ છેઃ ખાસ કરીને, ન્યુટનની પદ્ધતિને બિનપરિવર્તિત આપે છે અને હેલીની પદ્ધતિ આપે છે. સંદર્ભો બાહ્ય લિંક્સ નોંધઃ આ લિંકના પોસ્ટસ્ક્રિપ્ટ સંસ્કરણનો ઉપયોગ કરો; વેબસાઇટ સંસ્કરણ યોગ્ય રીતે સંકલિત નથી. રુટ-શોધ અલ્ગોરિધમ્સ