Bolza surface
ગણિતમાં, બોલ્ઝા સપાટી, વૈકલ્પિક રીતે, જટિલ બીજગણિત બોલ્ઝા વળાંક (દ્વારા રજૂ કરાયેલ), આ જાતિમાં કન્ફોર્મલ ઓટોમોર્ફિઝમ જૂથના ઉચ્ચતમ સંભવિત ક્રમ સાથે જીનસની સઘન રીમાન સપાટી છે, એટલે કે ક્રમ 48 (મર્યાદિત ક્ષેત્ર પર મેટ્રિસીસનું સામાન્ય રેખીય જૂથ). સંપૂર્ણ ઓટોમોર્ફિઝમ જૂથ (પ્રતિબિંબ સહિત) એ ક્રમ 96નું અર્ધ-પ્રત્યક્ષ ઉત્પાદન છે. બોલ્ઝા સપાટી માટેનું એફાઇન મોડેલ સમીકરણના સ્થાન તરીકે મેળવી શકાય છે. બોલ્ઝા સપાટી એ એફાઇન વળાંકની સરળ પૂર્ણતા છે. તમામ જીનસ હાયપરબોલિક સપાટીઓમાંથી, બોલ્ઝા સપાટી સિસ્ટોલની લંબાઈને મહત્તમ કરે છે. હાયપરએલિપ્ટિક રીમાન સપાટી તરીકે, તે રીમાન ગોળાના વિસ્તૃત બેવડા આવરણ તરીકે ઉદભવે છે, ગોળામાં અંકિત નિયમિત ઓક્ટાહેડ્રોનના છ શિરોબિંદુઓ પર વિસ્તૃત સ્થાન સાથે, જે ઉપરના સમીકરણ પરથી સહેલાઈથી જોઈ શકાય છે. બોલ્ઝા સપાટીએ ભૌતિકશાસ્ત્રીઓનું ધ્યાન આકર્ષિત કર્યું છે, કારણ કે તે ક્વોન્ટમ અંધાધૂંધી માટે પ્રમાણમાં સરળ મોડેલ પ્રદાન કરે છે; આ સંદર્ભમાં, તેને સામાન્ય રીતે હેડમર્ડ-ગુટ્ઝવિલર મોડેલ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. બોલ્ઝા સપાટી પરના કાર્યો પર કામ કરતા લાપ્લાસ-બેલ્ટ્રામી સંચાલકનો વર્ણપટ સિદ્ધાંત ગણિતશાસ્ત્રીઓ અને ભૌતિકશાસ્ત્રીઓ બંને માટે રસપ્રદ છે, કારણ કે સતત નકારાત્મક વળાંક ધરાવતી જીનસની તમામ સઘન, બંધ રીમાન સપાટીઓમાં લેપ્લેસીયનના પ્રથમ હકારાત્મક આઈગનવેલ્યુને મહત્તમ કરવા માટે સપાટીનું અનુમાન કરવામાં આવે છે. ત્રિકોણની સપાટી બોલ્ઝા સપાટી ત્રિકોણની સપાટી છે-જુઓ શ્વાર્ઝ ત્રિકોણ. વધુ સ્પષ્ટ રીતે કહીએ તો, બોલ્ઝા સપાટીને વ્યાખ્યાયિત કરતું ફ્યુશિયન જૂથ એ ખૂણાઓ સાથે હાયપરબોલિક ત્રિકોણની બાજુઓમાં પ્રતિબિંબ દ્વારા પેદા થયેલ જૂથનું પેટા જૂથ છે. ઓરિએન્ટેશન પ્રિઝર્વેશન આઇસોમેટ્રીઝનું જૂથ એ પ્રતિબિંબના જૂથના અનુક્રમણિકા-બે પેટાજૂઠનું પેટા જૂથ છે, જેમાં સમાન સંખ્યામાં પ્રતિબિંબની પેદાશોનો સમાવેશ થાય છે, જેમાં જનરેટર અને સંબંધોની દ્રષ્ટિએ અમૂર્ત રજૂઆત તેમજ હોય છે. બોલ્ઝા સપાટીને વ્યાખ્યાયિત કરતું ફ્યુશિયન જૂથ પણ (3,3,4) ત્રિકોણ જૂથનું પેટા જૂથ છે, જે ત્રિકોણ જૂથમાં અનુક્રમણિકા 2નું પેટા જૂથ છે. જૂથને ક્વાટર્નિયન બીજગણિતની દ્રષ્ટિએ અનુભૂતિ નથી, પરંતુ જૂથ કરે છે. પોઇનકેર ડિસ્ક પરની ક્રિયા હેઠળ, બોલ્ઝા સપાટીનું મૂળભૂત ક્ષેત્ર જ્યાં છે ત્યાં ખૂણા અને ખૂણાઓ સાથે નિયમિત અષ્ટકોણ છે. અષ્ટકોણની વિરુદ્ધ બાજુઓ ફ્યુશિયન જૂથની ક્રિયા હેઠળ ઓળખવામાં આવે છે. તેના જનરેટર મેટ્રિસીસ છે જ્યાં અને, તેમના વ્યુત્ક્રમો સાથે. જનરેટર સંબંધને સંતોષે છે આ જનરેટર લંબાઈના વર્ણપટ સાથે જોડાયેલા હોય છે, જે ભૌગોલિક લૂપ્સની તમામ સંભવિત લંબાઈ આપે છે. આવી સૌથી ટૂંકી લંબાઈને સપાટીનું સિસ્ટોલ કહેવામાં આવે છે. બોલ્ઝા સપાટીનું સિસ્ટોલ એ છે કે બોલ્ઝા સપાટી માટે લંબાઈ વર્ણપટનું તત્વ એ રીતે આપવામાં આવે છે કે જ્યાં તે હકારાત્મક પૂર્ણાંકોમાંથી પસાર થાય છે (પરંતુ 4,24,48,72,140 અને વિવિધ ઉચ્ચ મૂલ્યોને બાદ કરતાં) અને જ્યાં અનન્ય વિચિત્ર પૂર્ણાંક છે જે ઘટાડે છે. (2,3,8) ત્રિકોણની બાજુની લંબાઈની સ્પષ્ટ રીતે ગણતરી કરવા માટે સૂત્રો અસ્તિત્વ ધરાવે છે. સિસ્ટોલ (2,3,8) ત્રિકોણમાં મધ્યસ્થ લંબાઈની બાજુની લંબાઈના ચાર ગણા બરાબર છે, એટલે કે, ભૌગોલિક લંબાઈ સપાટીના ફેન્શેલ-નીલ્સન કોઓર્ડિનેટ્સમાં પણ દેખાય છે. જીનસ 2ની સપાટી માટે ફેન્શેલ-નીલ્સન કોઓર્ડિનેટ્સના સમૂહમાં ત્રણ જોડી હોય છે, દરેક જોડી લંબાઈ અને વળાંક ધરાવતી હોય છે. કદાચ બોલ્ઝા સપાટી માટે કોઓર્ડિનેટ્સનો સૌથી સરળ સમૂહ છે, ક્યાં. કોઓર્ડિનેટ્સનો એક "સપ્રમાણ" સમૂહ પણ છે, જેમાં ત્રણેય લંબાઈ સિસ્ટોલ હોય છે અને ત્રણેય વળાંક સપાટીની સમપ્રમાણતા દ્વારા આપવામાં આવે છે. બોલ્ઝા સપાટીનું મૂળભૂત ક્ષેત્ર પોઇનકેરે ડિસ્કમાં નિયમિત અષ્ટકોણ છે; (સંપૂર્ણ) સમપ્રમાણતા જૂથ પેદા કરતી ચાર સમપ્રમાણ ક્રિયાઓ છેઃ આર-અષ્ટકોણના કેન્દ્રની આસપાસ ક્રમ 8 નું પરિભ્રમણ; એસ-વાસ્તવિક રેખામાં પ્રતિબિંબ; ટી-16 (4,4,4) ત્રિકોણમાંથી એકની બાજુમાં પ્રતિબિંબ કે જે અષ્ટકોણને ટેસલેટ કરે છે; યુ-(4,4,4) ત્રિકોણના કેન્દ્રની આસપાસ ક્રમ 3 નું પરિભ્રમણ. આ અડીને આવેલી આકૃતિમાં બોલ્ડ રેખાઓ દ્વારા દર્શાવવામાં આવ્યા છે. તેઓ સંબંધોના નીચેના સમૂહને સંતુષ્ટ કરે છેઃ તુચ્છ (ઓળખ) ક્રિયા ક્યાં છે. જૂથના પ્રતિનિધિત્વ સિદ્ધાંત વિશેની માહિતી મેળવવા માટે GAP માં સંબંધોના આ સમૂહનો ઉપયોગ કરી શકાય છે. ખાસ કરીને, ત્યાં ચાર 1-પરિમાણીય, બે 2-પરિમાણીય, ચાર 3-પરિમાણીય અને ત્રણ 4-પરિમાણીય ઇરેડ્યુસિબલ રજૂઆતો છે, અને અપેક્ષા મુજબ. વર્ણપટ સિદ્ધાંત અહીં, વર્ણપટ સિદ્ધાંત લેપલેસિયનના વર્ણપટનો સંદર્ભ આપે છે. બોલ્ઝા સપાટીનું પ્રથમ આઇગેનસ્પેસ (એટલે કે, પ્રથમ હકારાત્મક આઇગેનવેલ્યુને અનુરૂપ આઇગેનસ્પેસ) ત્રિ-પરિમાણીય છે, અને બીજું, ચાર-પરિમાણીય છે. એવું માનવામાં આવે છે કે ટેચમુલર અવકાશમાં પ્રથમ આઈગેનસ્પેસમાં કાર્યોની નોડલ રેખાઓના વિક્ષેપની તપાસ કરવાથી પરિચયમાં અનુમાનિત પરિણામ મળશે. આ અનુમાન સપાટી અને જીનસ 2 ની અન્ય સપાટીઓના આઈગનવેલ્યુની વ્યાપક આંકડાકીય ગણતરીઓ પર આધારિત છે. ખાસ કરીને, બોલ્ઝા સપાટીનું વર્ણપટ ખૂબ જ ઉચ્ચ ચોકસાઈ માટે જાણીતું છે. નીચેનું કોષ્ટક બોલ્ઝા સપાટીના પ્રથમ દસ હકારાત્મક આઈગન મૂલ્યો આપે છે. બોલ્ઝા સપાટીના વર્ણપટ નિર્ધારક અને કાસિમિર ઊર્જા અનુક્રમે અને છે, જ્યાં તમામ દશાંશ સ્થાનો સાચા હોવાનું માનવામાં આવે છે. એવું અનુમાન કરવામાં આવે છે કે બોલ્ઝા સપાટી માટે જીનસ 2 માં વર્ણપટ નિર્ધારક મહત્તમ છે. મેકલેક્લેન અને રીડને અનુસરીને, ચતુર્થાંશ બીજગણિતને જનરેટર i, j દ્વારા સહયોગી બીજગણિત તરીકે ઉત્પન્ન થયેલ બીજગણિત અને ક્રમની યોગ્ય પસંદગી સાથેના સંબંધો તરીકે લઈ શકાય છે. હાયપરેલિપ્ટિક કર્વ ક્લેઈન ક્વાર્ટિક મેકબીથ સપાટી લાવો પ્રથમ હર્વિટ્ઝ ત્રિપાઇ સંદર્ભો ચોક્કસ રીમાન સપાટીઓ સિસ્ટોલિક ભૂમિતિ પણ જુઓ.