Embedding problem
ગણિતની એક શાખા, ગેલોઇસ સિદ્ધાંતમાં, એમ્બેડિંગ સમસ્યા એ ઇન્વર્સ ગેલોઇસ સમસ્યાનું સામાન્યીકરણ છે. આશરે કહીએ તો, તે પૂછે છે કે શું આપેલ ગેલોઇસ એક્સ્ટેંશનને ગેલોઇસ એક્સ્ટેંશનમાં એવી રીતે એમ્બેડ કરી શકાય છે કે અનુરૂપ ગેલોઇસ જૂથો વચ્ચેનો પ્રતિબંધ નકશો આપવામાં આવે. વ્યાખ્યા ક્ષેત્ર K અને મર્યાદિત જૂથ H જોતાં, કોઈ વ્યક્તિ નીચેનો પ્રશ્ન (કહેવાતી ઇન્વર્સ ગેલોઇસ સમસ્યા) પૂછી શકે છે. એમ્બેડિંગ સમસ્યા એ આ સમસ્યાનું સામાન્યીકરણ છેઃ ધારો કે L/K એ ગેલોઇસ જૂથ G સાથે ગેલોઇસ વિસ્તરણ છે અને ધારો કે f: H → G એ એપિમોર્ફિઝમ છે. શું ગેલોઇસ જૂથ H સાથે એક ગેલોઇસ વિસ્તરણ F/K છે અને એક એમ્બેડિંગ α: L → F ફિક્સિંગ K છે જેના હેઠળ F/K ના ગેલોઇસ જૂથથી L/K ના ગેલોઇસ જૂથનો પ્રતિબંધ નકશો f સાથે મેળ ખાય છે? સમાન રીતે, અનંત જૂથ F માટે એમ્બેડિંગ સમસ્યામાં નીચેની માહિતીનો સમાવેશ થાય છેઃ બે અનંત જૂથો H અને G અને બે સતત એપિમોર્ફિઝમ્સ φ: F → G અને f: H → G. જો જૂથ H હોય તો એમ્બેડિંગ સમસ્યાને મર્યાદિત કહેવામાં આવે છે. આવી એમ્બેડિંગ સમસ્યાનો ઉકેલ (કેટલીકવાર નબળો ઉકેલ પણ કહેવાય છે) એ સતત હોમોમોર્ફિઝમ γ: F → H છે જેમ કે φ = f γ. જો ઉકેલ સર્જેક્ટિવ હોય, તો તેને યોગ્ય ઉકેલ કહેવામાં આવે છે. ગુણધર્મો મર્યાદિત એમ્બેડિંગ સમસ્યાઓ અનંત જૂથોની લાક્ષણિકતા ધરાવે છે. નીચેનો પ્રમેય આ સિદ્ધાંત માટે એક દૃષ્ટાંત આપે છે. પ્રમેય. ધારો કે F એ ગણતરીપૂર્વક (ટોપોલોજીકલ રીતે) પેદા થયેલ પ્રોફાઇનાઇટ જૂથ છે. પછી એફ પ્રોજેક્ટિવ છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો એફ માટે કોઈ મર્યાદિત એમ્બેડિંગ સમસ્યા હલ કરી શકાય. જો એફ માટે કોઈ મર્યાદિત એમ્બેડિંગ સમસ્યા યોગ્ય રીતે ઉકેલી શકાય તો જ એફ ગણતરીપાત્ર ક્રમથી મુક્ત છે. સંદર્ભો વાહિદ શિરબિશેહ, પી. વી. ડી. એમ. વેરલાગ ડૉ. મુલર, (2009) ના અબેલિયન કર્નલો સાથે ગેલોઇસ એમ્બેડિંગ પ્રોબ્લેમ્સ. જૂથ સિદ્ધાંત ગેલોઇસ સિદ્ધાંત