CAT(k) space
ગણિતમાં, જગ્યા, જ્યાં વાસ્તવિક સંખ્યા છે, તે ચોક્કસ પ્રકારની મેટ્રિક જગ્યા છે. સહજ ભાવે, અવકાશમાં ત્રિકોણ સતત વળાંકની પ્રમાણભૂત જગ્યામાં અનુરૂપ "નમૂના ત્રિકોણ" કરતાં "પાતળા" હોય છે. અવકાશમાં, વળાંક ઉપરથી બંધાયેલો હોય છે. એક નોંધપાત્ર ખાસ કિસ્સો છે; ફ્રેન્ચ ગણિતશાસ્ત્રી જેક્સ હેડમર્ડના નામ પરથી સંપૂર્ણ જગ્યાઓને "હેડમર્ડ જગ્યાઓ" તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. મૂળરૂપે, એલેક્ઝાન્ડ્રોવ આ જગ્યાઓને "ડોમેન" કહેતા હતા. આ પરિભાષા 1987માં મિખાઇલ ગ્રોમોવ દ્વારા બનાવવામાં આવી હતી અને તે એલી કાર્ટન, એલેક્ઝાન્ડર ડેનિલોવિચ એલેક્ઝાન્ડ્રોવ અને વિક્ટર એન્ડ્રીવિચ ટોપોનોગોવ માટે ટૂંકું નામ છે (જોકે ટોપોનોગોવે ક્યારેય પ્રકાશનોમાં ઉપરની વળાંકની શોધ કરી નથી). વ્યાખ્યાઓ વાસ્તવિક સંખ્યા માટે, ચાલો સતત વળાંક સાથે અનન્ય સંપૂર્ણ સરળ રીતે જોડાયેલ સપાટી (વાસ્તવિક 2-પરિમાણીય રીમાનિયન મેનીફોલ્ડ) ને દર્શાવીએ. ના વ્યાસ દ્વારા દર્શાવો, જે છે અને છે. ચાલો એક ભૌગોલિક મેટ્રિક જગ્યા, એટલે કે. એક મેટ્રિક જગ્યા કે જેના માટે દરેક બે બિંદુઓને જીઓડેસિક સેગમેન્ટ દ્વારા જોડી શકાય છે, એક ચાપ લંબાઈ પરિમાણિત સતત વળાંક, જેની લંબાઈ ચોક્કસપણે છે. ભૂગણિતીય વિભાગો સાથે તેની બાજુઓ સાથે ત્રિકોણ બનો. જો મોડેલની જગ્યામાં સરખામણી ત્રિકોણ હોય, જેની બાજુઓ જેટલી જ લંબાઈ હોય, જેમ કે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર અનુરૂપ બિંદુઓ વચ્ચેના અંતર કરતા ઓછું અથવા બરાબર હોય તો તે અસમાનતાને સંતોષે છે. ભૂગણિતીય મેટ્રિક અવકાશને એક અવકાશ કહેવામાં આવે છે જો દરેક ભૂગણિતીય ત્રિકોણની પરિમિતિ તેનાથી ઓછી હોય તો તે અસમાનતાને સંતોષે છે. એક (બિન-જરૂરી-ભૌગોલિક) મેટ્રિક જગ્યાને વળાંક સાથેની જગ્યા કહેવામાં આવે છે જો દરેક બિંદુની ભૌગોલિક રીતે બહિર્મુખ પડોશી હોય. વળાંક ધરાવતી જગ્યામાં બિન-સકારાત્મક વળાંક હોવાનું કહી શકાય. ઉદાહરણો કોઈપણ જગ્યા પણ બધા માટે જગ્યા છે. હકીકતમાં, ઊલટું છેઃ જો બધા માટે જગ્યા હોય, તો તે એક જગ્યા છે. તેના સામાન્ય મેટ્રિક સાથે-પરિમાણીય યુક્લિડિયન જગ્યા એ એક જગ્યા છે. વધુ સામાન્ય રીતે, કોઈપણ વાસ્તવિક આંતરિક ઉત્પાદન જગ્યા (આવશ્યકપણે પૂર્ણ નથી) એક જગ્યા છે; તેનાથી વિપરીત, જો વાસ્તવિક પ્રમાણભૂત વેક્ટર જગ્યા કેટલાક વાસ્તવિક માટે જગ્યા હોય, તો તે આંતરિક ઉત્પાદન જગ્યા છે. તેના સામાન્ય મેટ્રિક સાથે-પરિમાણીય હાયપરબોલિક જગ્યા એક જગ્યા છે, અને તેથી એક જગ્યા પણ છે. - પરિમાણીય એકમ ગોળા એ એક અવકાશ છે. વધુ સામાન્ય રીતે, પ્રમાણભૂત જગ્યા એ જગ્યા છે. તેથી, ઉદાહરણ તરીકે, પરિમાણને ધ્યાનમાં લીધા વિના, ત્રિજ્યાનો ગોળા (અને સતત વળાંક) એક જગ્યા છે. નોંધ લો કે ગોળાનો વ્યાસ (ગોળાની સપાટી પર માપવામાં આવે છે) (ગોળાના કેન્દ્રમાંથી પસાર થઈને માપવામાં આવે છે) નહીં. પંચર કરેલું સમતલ એક જગ્યા નથી કારણ કે તે ભૌગોલિક રીતે બહિર્મુખ નથી (ઉદાહરણ તરીકે, બિંદુઓ અને ચાપ લંબાઈ 2 સાથે ભૌગોલિક દ્વારા જોડી શકાતા નથી), પરંતુ દરેક બિંદુને ભૌગોલિક રીતે બહિર્મુખ પડોશી હોય છે, તેથી તે વળાંકની જગ્યા છે. પ્રેરિત લંબાઈ મેટ્રિકથી સજ્જ દ્વારા આપવામાં આવેલ બંધ સબસ્પેસ કોઈપણ માટે જગ્યા નથી. જગ્યાઓનું કોઈપણ ઉત્પાદન છે. (આ નકારાત્મક દલીલો માટે નથી.) હેડમર્ડ જગ્યાઓ એક ખાસ કેસ તરીકે, સંપૂર્ણ કે. એ. ટી. (0) જગ્યાને હેડમર્ડ જગ્યા તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે; આ હેડમર્ડ મેનીફોલ્ડ્સની પરિસ્થિતિ સાથે સામ્યતા દ્વારા છે. હેડમર્ડ જગ્યા સંકોચાય તેવી હોય છે (તેમાં એક જ બિંદુનો હોમોટૉપી પ્રકાર હોય છે) અને, હેડમર્ડ જગ્યાના કોઈપણ બે બિંદુઓ વચ્ચે, તેમને જોડતો એક અનોખો ભૌગોલિક વિભાગ હોય છે (હકીકતમાં, બંને ગુણધર્મો સામાન્ય, સંભવતઃ અપૂર્ણ, કે. એ. ટી. (0) જગ્યાઓ માટે પણ હોય છે). સૌથી અગત્યનું, હડામર્ડ જગ્યાઓમાં અંતર વિધેયો બહિર્મુખ છેઃ જો X માં બે ભૌમિતિક સમય I ના સમાન અંતરાલ પર વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે, તો તેના દ્વારા આપવામાં આવેલ વિધેય t માં બહિર્મુખ છે. પછી નીચેના ગુણધર્મો ધરાવે છેઃ કોઈપણ બે બિંદુઓ (જો સાથે) આપવામાં આવે તો, એક અનન્ય ભૌગોલિક વિભાગ છે જે જોડાય છે; વધુમાં, આ વિભાગ તેના અંતિમ બિંદુઓના કાર્ય તરીકે સતત બદલાય છે. મહત્તમ લંબાઈ સાથે દરેક સ્થાનિક ભૂગણિતીય એક ભૂગણિતીય છે. ત્રિજ્યામાં ઓછા-દડા (ભૌગોલિક રીતે) બહિર્મુખ હોય છે. ત્રિજ્યામાં ઓછા-દડા સંકોચાય તેવા હોય છે. અંદાજિત મધ્યબિંદુઓ નીચેના અર્થમાં મધ્યબિંદુઓની નજીક છેઃ દરેક અને દરેક માટે એવું અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે, જો તે ભૂગણિતીય વિભાગનો મધ્યબિંદુ હોય અને પછી. તે આ ગુણધર્મો પરથી અનુસરે છે કે, દરેક જગ્યાના સાર્વત્રિક આવરણ માટે સંકોચાય તેવું છે; ખાસ કરીને, આવી જગ્યાના ઉચ્ચ હોમોટૉપી જૂથો તુચ્છ છે. જેમ કે-ગોળાનું ઉદાહરણ બતાવે છે, સામાન્ય રીતે, જો કોઈ જગ્યા સંકોચાય તેવી કોઈ આશા નથી. બિન-હકારાત્મક વળાંકની સપાટીઓ એવા પ્રદેશમાં જ્યાં સપાટીની વળાંક સંતોષાય છે, ભૌગોલિક ત્રિકોણ કાર્ટાન, એલેક્ઝાન્ડ્રોવ અને ટોપોનોગોવ દ્વારા અભ્યાસ કરાયેલ તુલનાત્મક ભૂમિતિના સીએટી (0) અસમાનતાને સંતોષે છે, અને પછીથી બ્રુહટ અને ટિટ્સ દ્વારા અલગ દ્રષ્ટિકોણથી ગણવામાં આવે છે; ગ્રોમોવની દ્રષ્ટિને આભારી છે, અંતર્ગત મેટ્રિક જગ્યાના સંદર્ભમાં બિન-સકારાત્મક વળાંકની આ લાક્ષણિકતાએ આધુનિક ભૂમિતિ અને ખાસ કરીને ભૌમિતિક જૂથ સિદ્ધાંત પર ઊંડી અસર કરી છે. સરળ સપાટીઓ અને તેમના ભૂગણિત માટે જાણીતા ઘણા પરિણામો, જેમ કે બર્ખોફની તેની વળાંક-ટૂંકી પ્રક્રિયા દ્વારા ભૂગણિત બનાવવાની પદ્ધતિ અથવા વેન મેંગોલ્ટ અને હેડમાર્ડના પ્રમેય કે બિન-સકારાત્મક વળાંકની સરળ રીતે જોડાયેલ સપાટી સમતલ સાથે હોમોમોર્ફિક છે, આ વધુ સામાન્ય સેટિંગમાં સમાન રીતે માન્ય છે. એલેક્ઝાન્ડ્રોવની તુલનાત્મક અસમાનતા તુલનાત્મક અસમાનતાનું સૌથી સરળ સ્વરૂપ, જે સૌપ્રથમ 1940ની આસપાસ એલેક્ઝાન્ડ્રોવ દ્વારા સપાટીઓ માટે સાબિત થયું હતું, તે જણાવે છે કે અસમાનતા એ હકીકત પરથી અનુસરે છે કે જો આર્ક્લેન્થ દ્વારા ભૌમિતિક પરિમાણનું વર્ણન કરવામાં આવે અને તે એક નિશ્ચિત બિંદુ હોય, તો તે બહિર્મુખ કાર્ય છે, એટલે કે. ભૌગોલિક ધ્રુવીય કોઓર્ડિનેટ્સને મૂળ સાથે લેવાથી, બહિર્મુખતા સામાન્ય કોઓર્ડિનેટ્સમાં બદલવાની સમકક્ષ હોય છે, જ્યાં આ અસમાનતા એકમ વેક્ટરને અનુરૂપ હોય છે. આ અસમાનતાને અનુસરે છે, જે સ્ટર્મ-લિઉવિલે સિદ્ધાંતના અને બ્રોન્સ્કિયનના વ્યુત્પન્નની બિન-નકારાત્મકતાનું પરિણામ છે. આ પણ જુઓ કાર્ટન-હેડમર્ડ પ્રમેય સંદર્ભો મેટ્રિક ભૂમિતિ