Peridynamics
પેરિડાયનેમિક્સ એ સાતત્ય મિકેનિક્સની બિન-સ્થાનિક રચના છે જે વિસંગતતાઓ, ખાસ કરીને અસ્થિભંગ સાથે વિકૃતિઓ તરફ લક્ષી છે. મૂળરૂપે, બોન્ડ-આધારિત પેરિડાયનેમિક રજૂ કરવામાં આવ્યું છે, જેમાં, ભૌતિક બિંદુ અને અન્ય તમામ જેની સાથે તે ક્રિયાપ્રતિક્રિયા કરી શકે છે તે વચ્ચેના આંતરિક ક્રિયાપ્રતિક્રિયા દળોને કેન્દ્રીય બળ ક્ષેત્ર તરીકે મોડેલિંગ કરવામાં આવે છે. આ પ્રકારના બળ ક્ષેત્રની કલ્પના શરીરના દરેક બિંદુને ચોક્કસ અંતરની અંદર દરેક અન્ય ક્રિયાપ્રતિક્રિયા બિંદુઓ સાથે જોડતા બંધની જાળી તરીકે કરી શકાય છે, જે ભૌતિક ગુણધર્મ પર આધાર રાખે છે, જેને પેરિડાયનેમિક ક્ષિતિજ કહેવાય છે. પાછળથી, સામગ્રી પોઈસનના ગુણોત્તર માટે બોન્ડ-આધારિત માળખાની મર્યાદાઓને દૂર કરવા માટે (સમતલ તાણ માટે અને દ્વિ-પરિમાણીય રૂપરેખાંકનોમાં સમતલ તાણ માટે; ત્રિ-પરિમાણીય માટે), સ્થિતિ-આધાર પેરિડાયનેમિક્સ તૈયાર કરવામાં આવ્યું છે. તેની લાક્ષણિકતા એ છે કે એક બિંદુ અને બીજા બિંદુ વચ્ચે આદાનપ્રદાન થતું બળ તેના ક્રિયાપ્રતિક્રિયા ક્ષેત્રના સંબંધમાં અન્ય તમામ બંધની વિકૃતિ સ્થિતિથી પ્રભાવિત હોય છે. પેરિડાયનેમિક્સનું લાક્ષણિક લક્ષણ, જે તેને શાસ્ત્રીય સ્થાનિક મિકેનિક્સથી અલગ બનાવે છે, તે ભૌતિક શરીરના કોઈપણ બે બિંદુઓ વચ્ચે મર્યાદિત-શ્રેણીના બંધનની હાજરી છેઃ તે એક લક્ષણ છે જે દ્રવ્યના અલગ મેસો-સ્કેલ સિદ્ધાંતો માટે આવા ફોર્મ્યુલેશનનો સંપર્ક કરે છે. વ્યુત્પત્તિ પેરિડાયનેમિક શબ્દ, એક વિશેષણ તરીકે, વર્ષ 2000 માં પ્રસ્તાવિત કરવામાં આવ્યો હતો અને તે ઉપસર્ગ પેરીમાંથી આવે છે, જેનો અર્થ થાય છે આસપાસ, નજીક અથવા આસપાસ; અને મૂળ ડાયના, જેનો અર્થ થાય છે બળ અથવા શક્તિ. પેરિડાયનેમિક્સ શબ્દ, એક સંજ્ઞા તરીકે, ઘન મિકેનિક્સના શબ્દસમૂહ પેરિડાયનેમિક મોડેલનું ટૂંકું સ્વરૂપ છે. હેતુ અસ્થિભંગ એ એક ગાણિતિક એકલતા છે જેના પર સાતત્ય મિકેનિક્સના શાસ્ત્રીય સમીકરણો સીધા લાગુ કરી શકાતા નથી. પેરિડાયનેમિક સિદ્ધાંતની દરખાસ્ત ગાણિતિક રીતે અસ્થિભંગની રચના અને સ્થિતિસ્થાપક સામગ્રીમાં ગતિશીલ નમૂનાઓના હેતુ સાથે કરવામાં આવી છે. તે અભિન્ન સમીકરણો પર આધારિત છે, જે શાસ્ત્રીય સાતત્ય મિકેનિક્સથી વિપરીત છે, જે આંશિક વિભેદક સમીકરણો પર આધારિત છે. આંશિક વ્યુત્પન્ન તિરાડોની સપાટીઓ અને અન્ય ભૌમિતિક એકલતા પર અસ્તિત્વમાં ન હોવાથી, જ્યારે આવા લક્ષણો વિરૂપતામાં હાજર હોય ત્યારે સાતત્ય મિકેનિક્સના શાસ્ત્રીય સમીકરણો સીધા લાગુ કરી શકાતા નથી. પેરિડાયનેમિક થિયરીના ઇન્ટિગ્રલ સમીકરણો સિંગ્યુલારીટી પર પણ સાચા છે અને સીધા જ લાગુ કરી શકાય છે, કારણ કે તેમને આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝની જરૂર નથી. વિકૃતિ માળખાના ગાણિતિક મોડેલમાં તમામ બિંદુઓ પર સમાન સમીકરણોને સીધા લાગુ કરવાની ક્ષમતા xFEM જેવી અસ્થિભંગ મિકેનિક્સની વિશેષ તકનીકોની જરૂરિયાતને ટાળવા માટે પેરિડાયનેમિક અભિગમમાં મદદ કરે છે. ઉદાહરણ તરીકે, પેરિડાયનેમિક્સમાં, તણાવની તીવ્રતાના પરિબળ પર આધારિત અલગ ક્રેક વૃદ્ધિ કાયદાની જરૂર નથી. વ્યાખ્યા અને મૂળભૂત પરિભાષા પેરિડાયનેમિક સિદ્ધાંતના સંદર્ભમાં, ભૌતિક પદાર્થોને સતત બિંદુઓ જાળીદાર દ્વારા રચાયેલા ગણવામાં આવે છે, જે મહત્તમ અને સારી રીતે સ્થાપિત અંતરની અંદર લાંબા અંતરની પરસ્પર ક્રિયાપ્રતિક્રિયા દળોનું વિનિમય કરી શકે છેઃ પેરિડાયનેમિક ક્ષિતિજ ત્રિજ્યા. આ પરિપ્રેક્ષ્ય મેક્રોસ્કોપિક પદાર્થો કરતાં મોલેક્યુલર ડાયનામિક્સ તરફ વધુ પહોંચે છે, અને પરિણામે, તે સ્ટ્રેસ ટેન્સર (જે એક સ્થાનિક ખ્યાલ છે) ની વિભાવના પર આધારિત નથી અને જોડી મુજબ બળની કલ્પના તરફ વળે છે જે ભૌતિક બિંદુ તેના પેરિડાયનેમિક ક્ષિતિજમાં વિનિમય કરે છે. લેગ્રેન્જિયન દૃષ્ટિકોણ સાથે, નાના વિસ્થાપન માટે અનુકૂળ, પેરિડાયનેમિક ક્ષિતિજ સંદર્ભ રૂપરેખાંકનમાં નિશ્ચિત માનવામાં આવે છે અને પછી, શરીર સાથે વિકૃત થાય છે. દ્વારા રજૂ થયેલ ભૌતિક પદાર્થનો વિચાર કરો, જ્યાં 1,2 અથવા 3 હોઈ શકે છે. શરીરમાં હકારાત્મક ઘનતા હોય છે. પ્રારંભિક સમયે તેનું સંદર્ભ રૂપરેખાંકન આના દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. એ નોંધવું અગત્યનું છે કે સંદર્ભ રૂપરેખાંકન કાં તો તણાવ-મુક્ત રૂપરેખાંકન અથવા સંદર્ભ તરીકે પસંદ કરેલ શરીરની ચોક્કસ રૂપરેખાંકન હોઈ શકે છે. પેરિડાયનેમિક્સના સંદર્ભમાં, દરેક બિંદુ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત ચોક્કસ પડોશમાં તમામ બિંદુઓ સાથે ક્રિયાપ્રતિક્રિયા કરે છે, જ્યાં અને યોગ્ય અંતર કાર્યને રજૂ કરે છે. આ પડોશીને ઘણીવાર સાહિત્યમાં કહેવામાં આવે છે. તે સામાન્ય રીતે ક્ષિતિજ અથવા પરિવાર તરીકે ઓળખાય છે. ના ગતિશાસ્ત્રને સંદર્ભ સ્થિતિમાંથી તેના વિસ્થાપનની દ્રષ્ટિએ વર્ણવવામાં આવે છે, જેને આ રીતે દર્શાવવામાં આવે છે. પરિણામે, ચોક્કસ સમયની સ્થિતિ આના દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. વધુમાં, ક્રિયાપ્રતિક્રિયા કરતા બિંદુઓની દરેક જોડી માટે, પ્રારંભિક રૂપરેખાંકનને સંબંધિત બંધની લંબાઈમાં ફેરફાર સમય જતાં સંબંધિત તાણ દ્વારા ટ્રેક કરવામાં આવે છે, જેને આ રીતે વ્યક્ત કરી શકાય છેઃ જ્યાં યુક્લિડિયન ધોરણ સૂચવે છે અને. કોઈપણ અને વચ્ચેની ક્રિયાપ્રતિક્રિયાને બંધન તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. આ જોડી મુજબના બોન્ડ્સ સમય જતાં એકમ વોલ્યુમ સ્ક્વેર્ડ દીઠ બળના જવાબમાં અલગ અલગ લંબાઈ ધરાવે છે, જેને આ રીતે દર્શાવવામાં આવે છે. આ બળને સામાન્ય રીતે જોડી મુજબના બળ કાર્ય અથવા પેરિડાયનેમિક કર્નલ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે, અને તે તમામ રચનાત્મક (સામગ્રી-આધારિત) ગુણધર્મોને આવરી લે છે. તે વર્ણવે છે કે કેવી રીતે આંતરિક બળો વિકૃતિ પર આધાર રાખે છે. એ નોંધવું યોગ્ય છે કે સંકેતલિપીમાં સરળતા માટે અહીં પરની નિર્ભરતાને અવગણવામાં આવી છે. વધુમાં, બાહ્ય બળજબરી શબ્દ,, રજૂ કરવામાં આવે છે, જે ગતિના નીચેના સમીકરણમાં પરિણમે છે, જે પેરિડાયનેમિક્સના મૂળભૂત સમીકરણનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છેઃ જ્યાં અભિન્ન શબ્દ એ તમામ આંતરિક અને બાહ્ય પ્રતિ-એકમ-વોલ્યુમ બળોનો સરવાળો છેઃ વેક્ટર મૂલ્યવાન કાર્ય એ બળની ઘનતા છે જે તેના પર કામ કરે છે. આ બળની ઘનતા અને વચ્ચે સંબંધિત વિસ્થાપન અને સંબંધિત સ્થિતિ વેક્ટર પર આધારિત છે. નું પરિમાણ છે. બોન્ડ-આધારિત પેરિડાયનેમિક્સ પેરિડાયનેમિક્સની આ રચનામાં, કર્નલ આંતરિક દળો અને ભૌતિક અવરોધોની પ્રકૃતિ દ્વારા નક્કી થાય છે જે માત્ર બે ભૌતિક બિંદુઓ વચ્ચેની ક્રિયાપ્રતિક્રિયાને નિયંત્રિત કરે છે. ટૂંકાણ માટે, નીચેના જથ્થાને વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે અને જેથી કોઈ પણ અને પડોશના લોકો માટે, નીચેનો સંબંધ આ પ્રમાણે છેઃ આ અભિવ્યક્તિ ક્રિયા અને પ્રતિક્રિયાના સિદ્ધાંતને પ્રતિબિંબિત કરે છે, જે સામાન્ય રીતે ન્યૂટનના ત્રીજા નિયમ તરીકે ઓળખાય છે. તે પરસ્પર ક્રિયાપ્રતિક્રિયા કરતા કણોથી બનેલી પ્રણાલીમાં રેખીય વેગના સંરક્ષણની બાંયધરી આપે છે. કોણીય વેગ સંરક્ષણ કોઈપણ અને પડોશના લોકો માટે, નીચેની શરત ધરાવે છેઃ આ સ્થિતિ સંબંધિત વિકૃત રે-વેક્ટરને જોડતા અને તરીકે ધ્યાનમાં લેવાથી ઉદભવે છે. જો અને માત્ર ત્યારે જ શરત સંતોષાય છે જો જોડી મુજબ બળ ઘનતા વેક્ટરની દિશા સંબંધિત વિકૃત કિરણ-વેક્ટર જેવી જ હોય. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, બધા માટે અને, ક્યાં સ્કેલર-વેલ્યુડ ફંક્શન છે. હાયપરઇલાસ્ટિક મટિરિયલ એ માળખાકીય સંબંધ ધરાવતી સામગ્રી છે જેમ કેઃ અથવા, સમકક્ષ રીતે, સ્ટોક્સના પ્રમેય દ્વારા, અને આમ, ઉપરના સમીકરણમાં સ્કેલર વેલ્યુડ પોટેન્શિયલ ફંક્શન છે. કોણીય વેગ સંરક્ષણને સંતોષવાની જરૂરિયાતને કારણે, સ્કેલર વેલ્યુડ ફંક્શન પર નીચેની શરત અનુસરે છે જ્યાં સ્કેલર વેલ્યુડ ફંક્શન છે. સમીકરણની બંને બાજુઓને એકીકૃત કરીને, સ્કેલર મૂલ્યના કાર્ય માટે નીચેની શરત પ્રાપ્ત થાય છે. ની સ્થિતિસ્થાપક પ્રકૃતિ સ્પષ્ટ છેઃ ક્રિયાપ્રતિક્રિયા બળ માત્ર બિંદુઓ અને તેમની સંબંધિત સ્થિતિના મોડ્યુલસ વચ્ચેની પ્રારંભિક સંબંધિત સ્થિતિ પર આધાર રાખે છે, તે સમયે વિકૃત રૂપરેખાંકનમાં. આઇસોટ્રોપી પૂર્વધારણાને લાગુ કરતાં, વેક્ટર પરની નિર્ભરતાને તેના મોડ્યુલસ પરની નિર્ભરતા સાથે બદલી શકાય છે, આમ, બોન્ડ દળોને સ્પ્રિંગ નેટનું મોડેલિંગ તરીકે ગણી શકાય જે દરેક બિંદુને જોડી મુજબ જોડે છે. રેખીય સ્થિતિસ્થાપક પદાર્થ જો, પેરિડાયનેમિક કર્નલને આસપાસ રેખીય કરી શકાયઃ તો પછી, બીજા ક્રમના માઇક્રો-મોડ્યુલસ ટેન્સરને ઓળખ ટેન્સર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. રેખીય વેગ સંતુલન, સ્થિતિસ્થાપકતા અને આઇસોટ્રોપી સ્થિતિના ઉપયોગને અનુસરીને, માઇક્રો-મોડ્યુલસ ટેન્સરને આ સ્વરૂપમાં વ્યક્ત કરી શકાય છે તેથી રેખીય હાયપરઇલાસ્ટિક સામગ્રી માટે, તેનું પેરિડાયનેમિક કર્નલ નીચેની રચના ધરાવે છે પેરિડાયનેમિક કર્નલ માટે અભિવ્યક્તિઓ પેરિડાયનેમિક કર્નલ એક બહુમુખી કાર્ય છે જે પેરિડાયનેમિક સિદ્ધાંતના માળખામાં સામગ્રીના રચનાત્મક વર્તનને દર્શાવે છે. કર્નલની એક સામાન્ય રીતે ઉપયોગમાં લેવાતી રચનાનો ઉપયોગ પ્રોટોટાઇપ માઇક્રો-ઇલાસ્ટિક બરડ (પીએમબી) સામગ્રી તરીકે ઓળખાતી સામગ્રીના વર્ગનું વર્ણન કરવા માટે થાય છે. આઇસોટ્રોપિક પી. એમ. બી. પદાર્થોના કિસ્સામાં, જોડી મુજબના બળને સામગ્રી દ્વારા અનુભવાતા મર્યાદિત ખેંચાણના રેખીય પ્રમાણમાં માનવામાં આવે છે, જેને આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જેથી ક્યાં અને ક્યાં સ્કેલર કાર્યને માઇક્રો-મોડ્યુલસ અચળાંક તરીકે ઓળખવામાં આવે છે, અને કાર્ય સૂચવે છે કે, આપેલ સમયે, જોડી સાથે સંકળાયેલ બોન્ડ ખેંચાણ નિર્ણાયક મૂલ્યને વટાવી ગયું છે કે કેમ. જો નિર્ણાયક મૂલ્ય ઓળંગી જાય, તો બોન્ડ તૂટેલા ગણવામાં આવે છે, અને શૂન્યની જોડી મુજબ બળ બધા માટે સોંપવામાં આવે છે. પેરિડાયનેમિક્સ અને ક્લાસિકલ કન્ટિનમ થિયરી ફ્રેમવર્કનો ઉપયોગ કરીને અનુક્રમે આઇસોટ્રોપિક એક્સ્ટેંશન હેઠળ મેળવેલા તાણ ઊર્જા ઘનતા મૂલ્ય વચ્ચેની સરખામણી કર્યા પછી, માઇક્રો-મોડ્યુલસનું ભૌતિક સુસંગત મૂલ્ય શોધી શકાય છે જ્યાં મટિરિયલ બલ્ક મોડ્યુલસ છે. સમાન અભિગમને અનુસરીને માઇક્રો-મોડ્યુલસ અચળાંકને ત્યાં સુધી વિસ્તૃત કરી શકાય છે, જ્યાં હવે માઇક્રો-મોડ્યુલસ કાર્ય છે. આ કાર્ય પેરિડાયનેમિક ક્ષિતિજ પર જોડી મુજબના બળોની તીવ્રતા કેવી રીતે વહેંચાય છે તેનું વધુ વિગતવાર વર્ણન પ્રદાન કરે છે. સહજ ભાવે, બળોની તીવ્રતા અને તેની વચ્ચેનું અંતર વધવાની સાથે ઘટતી જાય છે, પરંતુ આ ઘટાડો જે ચોક્કસ રીતે થાય છે તે બદલાઇ શકે છે. માઇક્રો-મોડ્યુલસ કાર્ય એ રીતે વ્યક્ત કરવામાં આવે છે કે જ્યાં સ્થિરાંક શાસ્ત્રીય યાંત્રિક સિદ્ધાંતો સાથે પેરિડાયનેમિક તાણ ઘનતાની સરખામણી કરીને મેળવવામાં આવે છે; તે નીચેના ગુણધર્મો સાથે વ્યાખ્યાયિત કાર્ય છે (વેગ સંરક્ષણ અને આઇસોટ્રોપીના પ્રતિબંધોને ધ્યાનમાં રાખીને) જ્યાં ડીરાક ડેલ્ટા કાર્ય છે. સિલીંડ્રિકલ માઇક્રો-મોડ્યુલસ માઇક્રો-મોડ્યુલસ ફંક્શન માટે સૌથી સરળ અભિવ્યક્તિ છે, જ્યાંઃ ઉપગણનું સૂચક કાર્ય છે, જેને ત્રિકોણાકાર માઇક્રો-મોડ્યુલસ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે તે એક રેખીય કાર્ય દ્વારા વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે સામાન્ય માઇક્રો-મોડ્યુલસ જો કોઈ એ હકીકતને પ્રતિબિંબિત કરવા માંગે છે કે મોટાભાગની સામાન્ય સ્વતંત્ર ભૌતિક પ્રણાલીઓ મેક્સવેલ-બોલ્ટ્ઝમેન વિતરણ દ્વારા વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે, તો આ વર્તનને પેરિડાયનેમિક્સમાં શામેલ કરવા માટે, નીચેની અભિવ્યક્તિનો ઉપયોગ કરી શકાય છે ક્વાર્ટિક માઇક્રો-મોડ્યુલસ સાહિત્યમાં કાર્ય માટે નીચેની અભિવ્યક્તિ પણ શોધી શકાય છે એકંદરે, માઇક્રો-મોડ્યુલસ માટે અભિવ્યક્તિની વિશાળ શ્રેણી અસ્તિત્વમાં છે અને સામાન્ય રીતે, પેરિડાયનેમિક કર્નલ માટે, ચોક્કસ ભૌતિક ગુણધર્મના આધારે. આમ, ઉપરોક્ત યાદી સંપૂર્ણ નથી. જ્યારે બોન્ડનું વિસ્તરણ અમુક નિર્ધારિત મૂલ્ય કરતાં વધી જાય ત્યારે તેને તોડવાની મંજૂરી આપીને નુકસાનને જોડી મુજબના બળ કાર્યમાં સામેલ કરવામાં આવે છે. બોન્ડ તૂટી ગયા પછી, તે હવે કોઈ બળને ટકાવી રાખતું નથી, અને અંતિમ બિંદુઓ અસરકારક રીતે એકબીજાથી ડિસ્કનેક્ટ થઈ જાય છે. જ્યારે બોન્ડ તૂટી જાય છે, ત્યારે તે વહન કરતું બળ અન્ય બોન્ડ્સમાં ફરીથી વહેંચવામાં આવે છે જે હજુ સુધી તૂટ્યાં નથી. આ વધેલા ભારને કારણે આ અન્ય બંધ તૂટી જવાની શક્યતા વધુ રહે છે. બોન્ડના ભંગાણ અને ભારના પુનઃવિતરણની પ્રક્રિયા, જે વધુ ભંગાણ તરફ દોરી જાય છે, તે છે પેરિડાયનેમિક મોડેલમાં તિરાડો કેવી રીતે વધે છે. વિશ્લેષણાત્મક રીતે, બોન્ડ બ્રેકિંગને પેરિડાયનેમિક કર્નલની અભિવ્યક્તિની અંદર, કાર્ય દ્વારા સ્પષ્ટ કરવામાં આવે છે જો વિરુદ્ધ બોન્ડ સ્ટ્રેચિંગનો આલેખ રચવામાં આવે, તો અસ્થિભંગની રચનામાં બોન્ડ બ્રેકિંગ કાર્યની ક્રિયા સ્પષ્ટ છે. જો કે માત્ર અચાનક અસ્થિભંગને પેરિડાયનેમિક માળખામાં મોડેલિંગ કરી શકાય છે અને વધુ સામાન્ય અભિવ્યક્તિનો ઉપયોગ કરી શકાય છે. રાજ્ય-આધારિત પેરિડાયનેમિક્સ ઉપર વર્ણવેલ સિદ્ધાંત ધારે છે કે દરેક પેરિડાયનેમિક બોન્ડ અન્ય તમામથી સ્વતંત્ર રીતે પ્રતિક્રિયા આપે છે. આ મોટાભાગની સામગ્રી માટે વધુ પડતું સરળીકરણ છે અને તે સામગ્રીના પ્રકારો પર પ્રતિબંધ તરફ દોરી જાય છે જેનું નમૂના બનાવી શકાય છે. ખાસ કરીને, આ ધારણા સૂચવે છે કે કોઈપણ આઇસોટ્રોપિક રેખીય સ્થિતિસ્થાપક ઘન 1/4 ના પોઈસન ગુણોત્તર સુધી મર્યાદિત છે. સામાન્યતાના આ અભાવને દૂર કરવા માટે, પેરિડાયનેમિક સ્થિતિઓનો વિચાર રજૂ કરવામાં આવ્યો હતો. આ દરેક બોન્ડમાં બળની ઘનતાને તેના પોતાના સ્ટ્રેચ ઉપરાંત તેના અંતિમ બિંદુઓ સાથે જોડાયેલા તમામ બોન્ડ્સમાં સ્ટ્રેચ પર આધાર રાખવાની મંજૂરી આપે છે. ઉદાહરણ તરીકે, બોન્ડમાં બળ અંતિમ બિંદુઓ પર ચોખ્ખા કદના ફેરફારો પર આધારિત હોઈ શકે છે. આ વોલ્યુમ પરિવર્તનની અસર, બોન્ડ સ્ટ્રેચની અસરની સાપેક્ષમાં, પોઈસન ગુણોત્તર નક્કી કરે છે. પેરિડાયનેમિક સ્થિતિઓ સાથે, કોઈપણ સામગ્રી કે જેને સાતત્ય મિકેનિક્સના પ્રમાણભૂત સિદ્ધાંતની અંદર મોડેલિંગ કરી શકાય છે તેને પેરિડાયનેમિક સામગ્રી તરીકે મોડેલિંગ કરી શકાય છે, જ્યારે અસ્થિભંગ માટે પેરિડાયનેમિક સિદ્ધાંતના ફાયદાઓને જાળવી રાખવામાં આવે છે. ગાણિતિક રીતે બોન્ડ-આધારિત ફોર્મ્યુલેશનમાં ઉપયોગમાં લેવાતા આંતરિક અને બાહ્ય બળ શબ્દના સમીકરણને બળ વેક્ટર સ્થિતિ ક્ષેત્ર ક્યાં છે તેના દ્વારા બદલવામાં આવે છે. સામાન્ય એમ-ક્રમની સ્થિતિ એ ટેન્સર જેવી જ એક ગાણિતિક વસ્તુ છે, અપવાદ સાથે કે તે સામાન્ય રીતે બિન-રેખીય હોય છે; સામાન્ય રીતે બિન-સતત; મર્યાદિત પરિમાણીય નથી. વેક્ટર સ્થિતિઓ એ 2 ની બરાબર ક્રમની સ્થિતિઓ છે. કહેવાતા સરળ પદાર્થ માટે, રીમાન-સંકલિત કાર્ય ક્યાં છે તે રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, અને તેને વિરૂપતા વેક્ટર સ્થિતિ ક્ષેત્ર કહેવામાં આવે છે અને તેને નીચેના સંબંધ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે આમ વિરૂપતા હેઠળ બંધની છબી એવી હોય છે કે જેનો અર્થ છે કે બે અલગ-અલગ કણો ક્યારેય એક જ બિંદુ પર કબજો કરતા નથી કારણ કે વિરૂપતા પ્રગતિ કરે છે. તે સાબિત કરી શકાય છે કે રેખીય વેન્ટમનું સંતુલન ની વ્યાખ્યા પરથી અનુસરે છે, જ્યારે, જો રચનાત્મક સંબંધ એવો હોય કે બળ વેક્ટર સ્થિતિ ક્ષેત્ર કોણીય વેન્ટમના સંતુલનને સંતોષે. પ્રયોગો પેરિડાયનેમિક્સમાં વધતો રસ દ્રવ્યના પરમાણુ સિદ્ધાંતો અને શાસ્ત્રીય સ્થાનિક સાતત્ય મિકેનિક્સ વચ્ચેના અંતરને ભરવાની તેની ક્ષમતામાંથી આવે છે. તે સૂક્ષ્મ સ્તરની ઘટનાઓમાં અસરકારક રીતે લાગુ પડે છે, જેમ કે તિરાડની રચના અને પ્રસાર, તરંગ વિખેરણ, ઇન્ટ્રા-ગ્રેન્યુલર અસ્થિભંગ. આ ઘટનાઓને પેરિડાયનેમિક ક્ષિતિજ ત્રિજ્યાના યોગ્ય ગોઠવણ દ્વારા વર્ણવી શકાય છે, જે સામગ્રીની અંદરના બિંદુઓ વચ્ચે બિન-સ્થાનિક ક્રિયાપ્રતિક્રિયાઓની હદ સાથે સીધી રીતે જોડાયેલી છે. ઉપરોક્ત સંશોધન ક્ષેત્રો ઉપરાંત, વિરામ માટે પેરિડાયનેમિક્સના બિન-સ્થાનિક અભિગમને અન્ય વિવિધ ક્ષેત્રોમાં ઉપયોગો મળ્યા છે. ભૂ-મિકેનિક્સમાં, તેનો ઉપયોગ પાણીથી પ્રેરિત જમીનની તિરાડો, ભૂ-ભૌતિક નિષ્ફળતા, ખડકોના વિભાજન વગેરેનો અભ્યાસ કરવા માટે કરવામાં આવે છે. જીવવિજ્ઞાનમાં, પેરિડાયનેમિક્સનો ઉપયોગ જીવંત પેશીઓમાં લાંબા અંતરની ક્રિયાપ્રતિક્રિયાઓ, કોષીય ભંગાણ, જૈવ-પટલમાં તિરાડ અને વધુ માટે કરવામાં આવે છે. વધુમાં, પેરિડાયનેમિક્સને થર્મલ પ્રસરણ સિદ્ધાંત સુધી વિસ્તૃત કરવામાં આવ્યું છે, જે વિસંગતતા, ખામી, અસમરૂપતા અને તિરાડો ધરાવતી સામગ્રીમાં ઉષ્મા વહનના મોડેલિંગને સક્ષમ કરે છે. તે બહુ-તબક્કાના પ્રવાહીમાં એડવેક્શન-પ્રસરણની ઘટનાનો અભ્યાસ કરવા અને ક્ષણિક એડવેક્શન-પ્રસરણ સમસ્યાઓ માટે નમૂનાઓ બનાવવા માટે પણ લાગુ કરવામાં આવ્યું છે. તેની વૈવિધ્યતા સાથે, પેરિડાયનેમિક્સનો ઉપયોગ વિવિધ બહુ-ભૌતિક વિશ્લેષણમાં કરવામાં આવે છે, જેમાં સૂક્ષ્મ-માળખાકીય વિશ્લેષણ, સંયુક્ત સામગ્રીમાં થાક અને ગરમીનું વહન, ધાતુઓમાં ગેલ્વેનિક કાટ, ડાઇલેક્ટ્રિક સામગ્રીમાં વીજળી-પ્રેરિત તિરાડો અને વધુ શામેલ છે. કોન્ટિનમ મિકેનિક્સ ફ્રેક્ચર મિકેનિક્સ મૂવેબલ સેલ્યુલર ઓટોમેટન મોલેક્યુલર ડાયનામિક્સ નોન-લોકલ ઓપરેટર સિંગ્યુલારીટી સંદર્ભો વધુ વાંચન બાહ્ય કડીઓ મર્યાદિત તત્વનું અમલીકરણ અને નોનલોકલ મોડેલ્સના મર્યાદિત તફાવત અંદાજ પેરિડિગમ, પેરિડાયનેમિક્સ માટે એક ઓપન-સોર્સ કોમ્પ્યુટેશનલ પેરિડાયનેમિક્સ કોડ પેરિડેક્સ ઓપન-સોર્સ રીપોઝીટરી અને તેના દસ્તાવેજીકરણ સેન્ડિયા લેબોરેટરી-પેરિડાયનેમિક્સ પેરિડાયનેમિક્સ કોન્ટીનમ મિકેનિક્સ ફ્રેક્ચર મિકેનિક્સ પર વેબસાઇટ