Hurwitz surface
રીમાન સપાટી સિદ્ધાંત અને હાયપરબોલિક ભૂમિતિમાં, હર્વિટ્ઝ સપાટી, જેનું નામ એડોલ્ફ હર્વિટ્ઝ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે, તે ચોક્કસપણે 84 (જી-1) ઓટોમોર્ફિઝમ્સ સાથે કોમ્પેક્ટ રીમાન સપાટી છે, જ્યાં જી એ સપાટીની જાતિ છે. ઓટોમોર્ફિઝમ્સ પર હર્વિટ્ઝના પ્રમેયના આધારે આ સંખ્યા મહત્તમ છે. તેમને જટિલ બીજગણિત વળાંક (જટિલ પરિમાણ 1 = વાસ્તવિક પરિમાણ 2) તરીકે અર્થઘટન કરીને હર્વિટ્ઝ વળાંક તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે. હર્વિટ્ઝ સપાટીનું ફ્યુશિયન જૂથ એ (સામાન્ય) (2,3,7) ત્રિકોણ જૂથનું મર્યાદિત અનુક્રમણિકા વળાંક મુક્ત સામાન્ય પેટાજૂથ છે. મર્યાદિત ભાગાકાર જૂથ ચોક્કસપણે ઓટોમોર્ફિઝમ જૂથ છે. જટિલ બીજગણિત વળાંકના ઓટોમોર્ફિઝમ્સ એ અંતર્ગત વાસ્તવિક સપાટીના અભિગમ-જાળવણી ઓટોમોર્ફિઝમ્સ છે; જો કોઈ અભિગમ-ઉલટાવી રહેલા આઇસોમેટ્રીઝને મંજૂરી આપે છે, તો તે 168 (g−1) ક્રમના બમણા મોટા જૂથને ઉત્પન્ન કરે છે, જે કેટલીકવાર રસપ્રદ હોય છે. પરિભાષા પરની નોંધ-આ અને અન્ય સંદર્ભોમાં, "(2,3,7) ત્રિકોણ જૂથ" મોટે ભાગે સંપૂર્ણ ત્રિકોણ જૂથ Δ (2,3,7) (શ્વાર્ઝ ત્રિકોણ (2,3,7) સાથેનું કોક્સેટર જૂથ અથવા હાયપરબોલિક પ્રતિબિંબ જૂથ તરીકેની અનુભૂતિ) નો ઉલ્લેખ કરતું નથી, પરંતુ દિશા-જાળવણી નકશા (પરિભ્રમણ જૂથ) ના સામાન્ય ત્રિકોણ જૂથ (વોન ડાઇક જૂથ) D (2,3,7) નો સંદર્ભ આપે છે, જે અનુક્રમણિકા 2 છે. જટિલ ઓટોમોર્ફિઝમ્સનું જૂથ એ સામાન્ય (ઓરિએન્ટેશન-પ્રિઝર્વિંગ) ત્રિકોણ જૂથનો ભાગાકાર છે, જ્યારે (સંભવતઃ ઓરિએન્ટેશન-રિવર્સિંગ) આઇસોમેટ્રીઝનું જૂથ એ સંપૂર્ણ ત્રિકોણ જૂથનો ભાગાકાર છે. જાતિ દ્વારા વર્ગીકરણ દરેક જાતિ સાથે માત્ર મર્યાદિત રીતે ઘણી હર્વિટ્ઝ સપાટીઓ જોવા મળે છે. તેના મોટાભાગના મૂલ્યો શૂન્ય હોવા છતાં, તે જાતિ સાથે હર્વિટ્ઝ સપાટીઓની સંખ્યા સાથે જીનસનું મેપિંગ કાર્ય અમર્યાદિત છે. સરવાળો માટે એકરૂપ થાય છે, જે અંદાજિત અર્થમાં સૂચવે છે કે th હર્વિટ્ઝ સપાટીની જાતિ ઓછામાં ઓછી એક ઘન કાર્ય તરીકે વધે છે. ઓછામાં ઓછી જીનસની હર્વિટ્ઝ સપાટી જીનસ 3 ની ક્લેઈન ક્વાર્ટિક છે, જેમાં ઓટોમોર્ફિઝમ જૂથ પ્રોજેક્ટિવ સ્પેશિયલ રેખીય જૂથ પી. એસ. એલ. (2,7), ક્રમ 84 (3−1) = 168 = 23·3·7, જે એક સરળ જૂથ છે; (અથવા ક્રમ 336 જો કોઈ ઓરિએન્ટેશન-રિવર્સિંગ આઇસોમેટ્રીઝને મંજૂરી આપે તો). આગામી સંભવિત જાતિ 7 છે, જે મેકબીથ સપાટી દ્વારા કબજામાં છે, ઓટોમોર્ફિઝમ જૂથ પી. એસ. એલ. (2,8) સાથે, જે ક્રમ 84 (7−1) = 504 = 23·32·7 નું સરળ જૂથ છે; જો એકમાં ઓરિએન્ટેશન-રિવર્સિંગ આઇસોમેટ્રીઝનો સમાવેશ થાય છે, તો જૂથ ક્રમ 1,008 નો છે. એક રસપ્રદ ઘટના આગામી સંભવિત જાતિમાં જોવા મળે છે, એટલે કે 14. અહીં સમાન ઓટોમોર્ફિઝમ જૂથ (ક્રમ 84 (14−1) = 1092 = 22·3·7·13) સાથે ત્રણ અલગ રીમાન સપાટીઓ છે. આ ઘટના માટેનું સમજૂતી અંકગણિત છે. એટલે કે, યોગ્ય સંખ્યા ક્ષેત્રના પૂર્ણાંકોની વીંટીમાં, પરિમેય અભાજ્યાંક 13 ત્રણ વિશિષ્ટ અભાજ્ય આદર્શોના ગુણાકાર તરીકે વિભાજિત થાય છે. અવિભાજ્યની ત્રિપુટી દ્વારા વ્યાખ્યાયિત મુખ્ય એકરૂપ પેટા જૂથો પ્રથમ હર્વિટ્ઝ ત્રિપુટીને અનુરૂપ ફ્યુશિયન જૂથો ઉત્પન્ન કરે છે. હર્વિટ્ઝ સપાટીની જાતિ માટે માન્ય મૂલ્યોનો ક્રમ 3,7,14,17,118,129,146,385,411,474,687,769,1009,1025,1459,1537,2091 થી શરૂ થાય છે. હર્વિટ્ઝ ચતુર્થાંશ ક્રમ સંદર્ભો એલ્કીઝ, એન.: શિમુરા વળાંક ગણતરીઓ પણ જુઓ. એલ્ગોરિધમિક નંબર થિયરી (પોર્ટલેન્ડ, OR, 1998), 1-47, લેક્ચર નોટ્સ ઇન કમ્પ્યુટર સાયન્સ, 1423, સ્પ્રિંગર, બર્લિન, 1998. કાટ્ઝ, એમ.; શેપ્સ, એમ.; વિશ્ને, યુ. જુઓઃ સુસંગતતા પેટા જૂથો સાથે અંકગણિત રીમાન સપાટીઓના સિસ્ટોલની લઘુગણકીય વૃદ્ધિ. જે. વિભેદક જિયોમ. 76 (2007), નં. 3, 399-422. રીમાન સપાટીઓ પર સિસ્ટોલિક ભૂમિતિ ઉપલબ્ધ છે