Gromov product
ગણિતમાં, ગ્રોમોવ પ્રોડક્ટ એ મેટ્રિક સ્પેસના સિદ્ધાંતમાં એક ખ્યાલ છે જેનું નામ ગણિતશાસ્ત્રી મિખાઇલ ગ્રોમોવના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે. ગ્રોમોવ ઉત્પાદનનો ઉપયોગ ગ્રોમોવના અર્થમાં δ-હાયપરબોલિક મેટ્રિક જગ્યાઓને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે પણ થઈ શકે છે. વ્યાખ્યા ધારો કે (X, d) મેટ્રિક જગ્યા છે અને ધારો કે x, y, z ω X. પછી x પર y અને z નો ગ્રોમોવ ગુણાકાર, જે (y, z) x તરીકે સૂચવવામાં આવે છે, તેને પ્રેરણા દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે મેટ્રિક જગ્યા X માં ત્રણ બિંદુઓ x, y, z આપવામાં આવે છે, ત્રિકોણ અસમાનતા દ્વારા ત્યાં બિન-નકારાત્મક સંખ્યાઓ a, b, c અસ્તિત્વમાં છે. પછી ગ્રોમોવ ઉત્પાદનો છે. જો બિંદુઓ x, y, z એ ત્રપાઈના બાહ્ય ગાંઠો હોય તો આ ગ્રોમોવ ઉત્પાદનો ધારની લંબાઈ છે. હાયપરબોલિક, ગોળાકાર અથવા યુક્લિડિયન સમતલમાં, ગ્રોમોવ ઉત્પાદન (A, B) C એ C અને તે બિંદુ વચ્ચેનું અંતર p બરાબર છે જ્યાં ભૂગણિતીય ત્રિકોણ ABCનું આંતરિક વર્તુળ ધાર CB અથવા CA ને સ્પર્શે છે. ખરેખર આકૃતિમાંથી, જેથી. આમ કોઈપણ મેટ્રિક જગ્યા માટે, (એ, બી) સીનું ભૌમિતિક અર્થઘટન યુક્લિડિયન સમતલમાં સમમિતિક રીતે (એ, બી, સી) એમ્બેડ કરીને મેળવવામાં આવે છે. ગુણધર્મો ગ્રોમોવ ગુણાકાર સપ્રમાણ છેઃ (y, z) x = (z, y) x. ગ્રોમોવ ઉત્પાદન અંતિમ બિંદુઓ પર અધોગતિ પામે છેઃ (y, z) y = (y, z) z = 0. કોઈપણ બિંદુઓ p, q, x, y અને z માટે, અનંત પરના બિંદુઓ હાયપરબોલિક જગ્યા Hn ને ધ્યાનમાં લો. આધાર બિંદુ p ને નિશ્ચિત કરો અને અનંત પર બે અલગ બિંદુઓ બનવા દો. પછી મર્યાદા અસ્તિત્વમાં છે અને મર્યાદિત છે, અને તેથી તેને સામાન્યીકૃત ગ્રોમોવ ઉત્પાદન તરીકે ગણી શકાય. તે વાસ્તવમાં સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે જ્યાં જીઓડેસિક કિરણો અને વચ્ચેનો કોણ છે. δ-હાયપરબોલિક જગ્યાઓ અને ભૂગણિતનું વિચલન ગ્રોમોવ ઉત્પાદનનો ઉપયોગ δ-હાયપરબોલિક જગ્યાઓને ગ્રોમોવના અર્થમાં વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે થઈ શકે છે. : (X, d) ને δ-હાયપરબોલિક કહેવામાં આવે છે જો, X માં તમામ p, x, y અને z માટે, આ કિસ્સામાં. ગ્રોમોવ ઉત્પાદન એ માપે છે કે ભૂગણિત કેટલા સમય સુધી એકબીજાની નજીક રહે છે. એટલે કે, જો x, y અને z એ δ-હાયપરબોલિક મેટ્રિક જગ્યાના ત્રણ બિંદુઓ હોય તો ભૂગણિતના x થી y અને x થી z સુધીની લંબાઈ (y, z) x ના પ્રારંભિક વિભાગો 2δ થી વધુ અલગ નથી (બંધ સમૂહો વચ્ચેના હૌસડોર્ફ અંતરના અર્થમાં). નોંધો સંદર્ભો મેટ્રિક ભૂમિતિ હાયપરબોલિક મેટ્રિક જગ્યા