Functional-theoretic algebra
કોઈપણ વેક્ટર અવકાશને બે રેખીય વિધેયોની દ્રષ્ટિએ ઉત્પાદનોને વ્યાખ્યાયિત કરીને એકાત્મક સહયોગી બીજગણિતમાં બનાવી શકાય છે, જેને કાર્યાત્મક-સૈદ્ધાંતિક બીજગણિત કહેવાય છે. સામાન્ય રીતે, તે બિન-વિનિમયક્ષમ બીજગણિત છે. જ્યારે બે વિધેયો સમાન હોય ત્યારે તે પરિવર્તનીય બને છે. વ્યાખ્યા એ. એફ. એ ક્ષેત્ર એફ પર વેક્ટર જગ્યા છે, અને એ. એફ. માં કેટલાક ઇ માટે L1 (e) = L2 (e) = 1F ગુણધર્મ સાથે L1 અને L2 એ એ. એફ. પર બે રેખીય વિધેયો છે. આપણે એ. એફ. માં બે ઘટકો x, y ના ગુણાકારને વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ. તે ચકાસી શકાય છે કે ઉપરોક્ત ગુણાકાર સહયોગી છે અને e એ આ ગુણાકારની ઓળખ છે. તેથી, એએફ એકમ ઇ સાથે સહયોગી બીજગણિત બનાવે છે અને તેને કાર્યાત્મક સૈદ્ધાંતિક બીજગણિત (એફટીએ) કહેવામાં આવે છે. ધારો કે બે રેખીય વિધેયો L1 અને L2 સમાન છે, ધારો કે L. પછી એ. એફ. ઉદાહરણ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત ગુણાકાર સાથે પરિવર્તનીય બીજગણિત બની જાય છે. FX એ X થી F સુધીના વિધેયોનો સમૂહ છે. જો f, g એ FX માં, x એ X માં અને α એ F માં હોય, તો પછી વ્યાખ્યાયિત કરો અને વધુમાં અને સ્કેલર ગુણાકાર સાથે આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરો, FX એ F પર વેક્ટર જગ્યા છે. L1 અને L2 ને FX થી F સુધી L1 (f) = f (a) અને L2 (f) = f (b) દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરો. પછી L1 અને L2 એ FX પર બે રેખીય વિધેયો છે જેમ કે L1 (e) = L2 (e) = 1F. નોંધ લો કે કોમ્પ્લેક્સ પ્લેનમાં વળાંકનું FTA ચાલો C કોમ્પ્લેક્સ સંખ્યાઓના ક્ષેત્રને સૂચવે છે. વાસ્તવિક સંખ્યાઓના બંધ અંતરાલ [0,1] થી ક્ષેત્ર C સુધી સતત કાર્ય γ ને વળાંક કહેવામાં આવે છે. જટિલ સંખ્યાઓ γ (0) અને γ (1), અનુક્રમે, વળાંકના પ્રારંભિક અને અંતિમ બિંદુઓ છે. જો તેઓ મેળ ખાય છે, તો વળાંકને લૂપ કહેવામાં આવે છે. બધા વળાંકનો સમૂહ V [0,1] એ C પરની વેક્ટર જગ્યા છે. આપણે ઉપરની જેમ ગુણાકારને વ્યાખ્યાયિત કરીને વળાંકની આ વેક્ટર જગ્યાને બીજગણિતમાં બનાવી શકીએ છીએ. આપણી પાસે α માટે, C [0,1] માં β પસંદ કરી રહ્યા છીએ, પછી, V [0,1] એ બિન-વિનિમયક્ષમ બીજગણિત છે જેમાં e એ એકતા છે. અમે આને એક ઉદાહરણ સાથે સમજાવીએ છીએ. ચાલો આપણે (1) બિંદુઓ (1,0) અને (0,1) ને જોડતા રેખાખંડ અને (2) મૂળમાં કેન્દ્ર સાથે એકમ વર્તુળ લઈએ. V [0,1] માં વળાંક તરીકે, તેમના સમીકરણો આ રીતે મેળવી શકાય છે કારણ કે વર્તુળ g એક લૂપ છે. રેખા વિભાગ f અહીંથી શરૂ થાય છેઃ અને અહીં સમાપ્ત થાય છે હવે, આપણને બે f-ઉત્પાદનો મળે છે અને આકૃતિ જુઓ. અવલોકન કરો કે ગુણાકાર બિન-પરિવર્તનીય છે. ઉપરાંત બંને ઉત્પાદનોની શરૂઆત સી-એન-કર્વ રેફરન્સ સેબેસ્ટિયન વટ્ટામટ્ટમ અને આર. શિવરામકૃષ્ણન, એ નોટ ઓન કન્વોલ્યુશન આલ્જેબ્રાસ, ઇન રીસન્ટ ટ્રેન્ડ્સ ઇન મેથેમેટિકલ એનાલિસિસ, એલાઇડ પબ્લિશર્સ, 2003 થી થાય છે. સેબાસ્ટિયન વટ્ટામટ્ટમ અને આર. શિવરામકૃષ્ણન, એસોસિએટિવ આલ્જેબ્રાસ વાયા લીનિયર ફંક્શનલ્સ, પ્રોસિડિંગ્સ ઓફ ધ એનુઅલ કોન્ફરન્સ ઓફ કે. એમ. એ., જાન્યુઆરી 17-19,2000, પીપી. 81-89 સેબેસ્ટિયન વટ્ટામટ્ટમ, નોન-કોમ્ય્યુટેટિવ ફંક્શન આલ્જેબ્રાસ, ઇન બુલેટિન ઓફ કેરળ મેથેમેટિકલ એસોસિએશન, વોલ્યુમ. 4, નં. 2, ડિસેમ્બર 2007 સેબાસ્ટિયન વટ્ટામટ્ટમ, ટ્રાન્સફોર્મિંગ કર્વ્સ બાય એન-કર્વિંગ, ઇન બુલેટિન ઓફ કેરળ મેથેમેટિક્સ એસોસિએશન, વોલ્યુમ. 5, નં. 1, ડિસેમ્બર 2008 સેબાસ્ટિયન વટ્ટામટ્ટમ, બુક ઓફ બ્યુટીફુલ કર્વ્સ, જાન્યુઆરી 2015 બુક ઓફ બ્યુટીફુલ કર્વ્સ આર. શિવરામકૃષ્ણન, બીજગણિતમાં ચોક્કસ સંખ્યા સૈદ્ધાંતિક એપિસોડ્સ, ચેપમેન અને હોલ/CRC બીજગણિત બીજગણિતમાં ચોક્કસ સંખ્યા સૈદ્ધાંતિક એપિસોડ્સ