(2,3,7) triangle group
રીમાન સપાટીઓ અને હાયપરબોલિક ભૂમિતિના સિદ્ધાંતમાં, ત્રિકોણ જૂથ (2,3,7) ખાસ કરીને હર્વિટ્ઝ સપાટીઓ સાથે તેના જોડાણ માટે મહત્વપૂર્ણ છે, એટલે કે તેના ઓટોમોર્ફિઝમ જૂથના સૌથી મોટા સંભવિત ક્રમ, 84 (g−1) સાથે જીનસ G ની રીમાન સપાટીઓ. "(2,3,7) ત્રિકોણ જૂથ" શબ્દ મોટેભાગે સંપૂર્ણ ત્રિકોણ જૂથ Δ (2,3,7) (શ્વાર્ઝ ત્રિકોણ (2,3,7) સાથેનું કોક્સેટર જૂથ અથવા હાયપરબોલિક પ્રતિબિંબ જૂથ તરીકે અનુભૂતિ) નો સંદર્ભ આપતો નથી, પરંતુ દિશા-જાળવણી નકશા (પરિભ્રમણ જૂથ) ના સામાન્ય ત્રિકોણ જૂથ (વોન ડાઇક જૂથ) D (2,3,7) નો સંદર્ભ આપે છે, જે અનુક્રમણિકા 2 છે. (2,3,7) ત્રિકોણ જૂથના વળાંક-મુક્ત સામાન્ય પેટાજૂથો હર્વિટ્ઝ સપાટીઓ સાથે સંકળાયેલા ફ્યુશિયન જૂથો છે, જેમ કે ક્લેઈન ક્વાર્ટિક, મેકબીથ સપાટી અને ફર્સ્ટ હર્વિટ્ઝ ત્રિપાઇ. રચનાઓ હાયપરબોલિક રચના ત્રિકોણ જૂથની રચના કરવા માટે, π/2, π/3 અને π/7 ખૂણાઓ સાથે હાયપરબોલિક ત્રિકોણથી શરૂઆત કરો. આ ત્રિકોણ, સૌથી નાનો હાયપરબોલિક શ્વાર્ઝ ત્રિકોણ, તેની બાજુઓમાં પ્રતિબિંબ દ્વારા સમતલને ટાઇલ્સ કરે છે. પછી ત્રિકોણની બાજુઓમાં પ્રતિબિંબે દ્વારા પેદા થયેલ જૂથને ધ્યાનમાં લો, જે (ત્રિકોણ ટાઇલ્સથી) મૂળભૂત ડોમેન માટે આ ત્રિકોણ સાથે બિન-યુક્લિડિયન સ્ફટિકશાસ્ત્રીય જૂથ (હાયપરબોલિક આઇસોમેટ્રીઝનું એક અલગ પેટાજૂથ) છે; સંકળાયેલ ટાઇલિંગ એ ક્રમ-3 દ્વિભાજિત હેપ્ટાગોનલ ટાઇલિંગ છે. (2,3,7) ત્રિકોણ જૂથને અનુક્રમણિકા 2 પેટાજૂથો તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જેમાં દિશા-જાળવણી સમમિતિનો સમાવેશ થાય છે, જે ફ્યુશિયન જૂથ (દિશા-જાળવણી એનઇસી જૂથ) છે. જૂથ પ્રસ્તુતિ તેમાં જનરેટરની જોડી, g2, g3, મોડ્યુલોના સંદર્ભમાં નીચેના સંબંધોની રજૂઆત છેઃ ભૌમિતિક રીતે, આ શ્વાર્ઝ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ દ્વારા અને તેના વિશેના પરિભ્રમણને અનુરૂપ છે. ક્વાટર્નિયન બીજગણિત (2,3,7) ત્રિકોણ જૂથ ક્વાટર્નિયન બીજગણિતમાં યોગ્ય ક્રમમાં ધોરણ 1 ના ક્વાટર્નિયનોના જૂથના સંદર્ભમાં રજૂઆતને સ્વીકારે છે. વધુ સ્પષ્ટ રીતે, ત્રિકોણ જૂથ એ તેના કેન્દ્ર ±1 દ્વારા ચતુર્થાંશના જૂથનો ભાગાકાર છે. ધારો કે η = 2cos (2π/7). પછી ઓળખ પરથી આપણે જોઈએ છીએ કે Q (η) એ Q નું સંપૂર્ણ વાસ્તવિક ઘન વિસ્તરણ છે. (2,3,7) હાયપરબોલિક ત્રિકોણ જૂથ એ ચતુર્થાંશ બીજગણિતમાં પ્રમાણભૂત 1 તત્વોના જૂથનું પેટા જૂથ છે જે જનરેટર i, j અને સંબંધો i2 = j2 = η, ij = −i ની જોડી દ્વારા સહયોગી બીજગણિત તરીકે પેદા થાય છે. ક્વાટર્નિયન બીજગણિતમાં એક યોગ્ય હર્વિટ્ઝ ક્વાટર્નિયન ક્રમ પસંદ કરે છે. અહીં ક્રમ તત્વો દ્વારા પેદા થાય છે હકીકતમાં, ક્રમ એ આધાર પર મુક્ત Z [η]-મોડ્યુલ છે. અહીં જનરેટર કેન્દ્ર દ્વારા ભાગાકાર કર્યા પછી ત્રિકોણ જૂથમાં યોગ્ય સંબંધોમાં ઉતરતા સંબંધોને સંતોષે છે. SL (2, R) સાથે સંબંધ Q (η) થી R (પ્રમાણભૂત એમ્બેડિંગ દ્વારા) સુધી સ્કેલરનો વિસ્તાર કરીને, ક્વાટર્નિયન બીજગણિત અને વાસ્તવિક 2 બાય 2 મેટ્રિસીસના બીજગણિત M (2, R) વચ્ચે સમરૂપતા પ્રાપ્ત થાય છે. કોંક્રિટ આઇસોમોર્ફિઝમ પસંદ કરવાથી (2,3,7) ત્રિકોણ જૂથને SL (2, R) માં ચોક્કસ ફ્યુશિયન જૂથ તરીકે પ્રદર્શિત કરવાની મંજૂરી મળે છે, ખાસ કરીને મોડ્યુલર જૂથના ભાગાકાર તરીકે. જમણી બાજુએ દર્શાવ્યા મુજબ, સંકળાયેલ ટિલિંગ્સ દ્વારા આની કલ્પના કરી શકાય છેઃ પોઇનકેરે ડિસ્ક પરની (2,3,7) ટાઇલિંગ એ ઉપલા અર્ધ-સમતલ પર મોડ્યુલર ટાઇલિંગનો ભાગ છે. ઘણા હેતુઓ માટે, સ્પષ્ટ સમરૂપતા બિનજરૂરી છે. આમ, જૂથ તત્વોના નિશાન (અને તેથી ઉપલા અર્ધ-સ્તરમાં કામ કરતા હાયપરબોલિક તત્વોની અનુવાદ લંબાઈ, તેમજ ફ્યુશિયન પેટાજૂથોના સિસ્ટોલ્સ) ની ગણતરી ક્વાટર્નિયન બીજગણિતમાં ઘટાડેલા નિશાન અને સૂત્ર દ્વારા કરી શકાય છે.