McCumber relation
મેકકમ્બર સંબંધ (અથવા મેકકમ્બર સિદ્ધાંત) એ સોલિડ-સ્ટેટ લેસરોના ભૌતિકશાસ્ત્રમાં પ્રકાશના શોષણ અને ઉત્સર્જનના અસરકારક આંતર-વિભાગો વચ્ચેનો સંબંધ છે. તેનું નામ ડીન મેકકમ્બરના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે, જેમણે 1964માં સંબંધનો પ્રસ્તાવ મૂક્યો હતો. વ્યાખ્યા ચાલો અસરકારક શોષણ ક્રોસ-સેક્શન આવર્તન પર અસરકારક ઉત્સર્જન ક્રોસ-સેક્શન હોઈ શકે, અને માધ્યમનું અસરકારક તાપમાન હોઈ શકે. મેકકમ્બર સંબંધ છે (1) જ્યાં વસ્તીનો થર્મલ સ્થિર-સ્થિતિ ગુણોત્તર છે; આવર્તનને "શૂન્ય-રેખા" આવર્તન કહેવામાં આવે છે; તે પ્લાન્ક અચળાંક છે અને તે બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે. નોંધ લો કે સમીકરણ (1) ની જમણી બાજુ તેના પર નિર્ભર નથી. તે લાક્ષણિક છે કે માધ્યમના લેસિંગ ગુણધર્મો ઉત્તેજિત લેસર સ્તર પર તાપમાન અને વસ્તી દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે, અને તેને પ્રાપ્ત કરવા માટે ઉપયોગમાં લેવાતી ઉત્તેજનાની પદ્ધતિ પ્રત્યે સંવેદનશીલ નથી. આ કિસ્સામાં, આવર્તન પર શોષણ ક્રોસ-સેક્શન અને ઉત્સર્જન ક્રોસ-સેક્શન લેસર ગેઇન સાથે એવી રીતે સંબંધિત હોઈ શકે છે કે, આ આવર્તન પર લાભ નીચે પ્રમાણે નક્કી કરી શકાયઃ (2) D.E.McCumber એ આ ગુણધર્મોને ધારણ કર્યા હતા અને જાણવા મળ્યું હતું કે ઉત્સર્જન અને શોષણ ક્રોસ-સેક્શન સ્વતંત્ર નથી; તેઓ સમીકરણ (1) સાથે સંબંધિત છે. આદર્શ પરમાણુ આદર્શ બે-સ્તરના અણુના કિસ્સામાં ઉત્સર્જન અને શોષણ માટેનું વિગતવાર સંતુલન જે બ્લેક-બોડી રેડિયેશન માટે પ્લાન્ક સૂત્રને સાચવે છે તે શોષણ અને ઉત્સર્જનના ક્રોસ-સેક્શનની સમાનતા તરફ દોરી જાય છે. સોલિડ-સ્ટેટ લેસરોમાં દરેક લેસર સ્તરનું વિભાજન વિસ્તરણ તરફ દોરી જાય છે જે કુદરતી સ્પેક્ટ્રલ લાઇનવિડ્થ કરતાં ઘણું વધારે છે. આદર્શ બે-સ્તરના અણુના કિસ્સામાં, રેખીય પહોળાઈ અને જીવનકાળનું ઉત્પાદન એકતાના ક્રમનું હોય છે, જે હેઇસેનબર્ગ અનિશ્ચિતતા સિદ્ધાંતનું પાલન કરે છે. સોલિડ-સ્ટેટ લેસર સામગ્રીમાં, રેખીય પહોળાઈ ઘણી મોટી માત્રામાં હોય છે, તેથી ઉત્સર્જન અને શોષણનો વર્ણપટ પેટા સ્તરો વચ્ચેના દરેક વ્યક્તિગત સંક્રમણની વર્ણપટ રેખાના આકારને બદલે પેટા સ્તરો વચ્ચે ઉત્તેજનાના વિતરણ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. આ વિતરણ દરેક લેસર સ્તરોની અંદર અસરકારક તાપમાન દ્વારા નક્કી થાય છે. મેકકમ્બર પૂર્વધારણા એ છે કે પેટા સ્તરો વચ્ચે ઉત્તેજનાનું વિતરણ થર્મલ છે. અસરકારક તાપમાન ઉત્સર્જન અને શોષણના વર્ણપટને નિર્ધારિત કરે છે (અસરકારક તાપમાનને વૈજ્ઞાનિકો દ્વારા તાપમાન કહેવામાં આવે છે, ભલે ઉત્તેજિત માધ્યમ સંપૂર્ણ રીતે ઉષ્મીય સ્થિતિથી ખૂબ દૂર હોય) મેકકમ્બર સંબંધની કપાત સક્રિય કેન્દ્રોના સમૂહને ધ્યાનમાં લો (fig.1.). દરેક સ્તરની અંદર પેટા સ્તરો વચ્ચે ઝડપી સંક્રમણ અને સ્તરો વચ્ચે ધીમું સંક્રમણ ધારો. મેકકમ્બર પૂર્વધારણા અનુસાર, ક્રોસ-સેક્શન અને વસ્તી પર આધારિત નથી. તેથી, આપણે ઉષ્મીય સ્થિતિ ધારીને સંબંધનો અંદાજ લગાવી શકીએ છીએ. ચાલો માધ્યમમાં પ્રકાશનો સમૂહ વેગ હોઈએ, ઉત્પાદન ઉત્તેજિત ઉત્સર્જનનો વર્ણપટ દર છે, અને તે શોષણનો છે; સ્વયંસ્ફુરિત ઉત્સર્જનનો વર્ણપટ દર છે. (નોંધ લો કે આ અંદાજમાં, સ્વયંસ્ફુરિત શોષણ જેવી કોઈ વસ્તુ નથી) ફોટોનનું સંતુલન આપે છેઃ (3) જેને આ રીતે ફરીથી લખી શકાય છે (4) ફોટોનની ઘનતાનું ઉષ્મીય વિતરણ બ્લેકબોડી કિરણોત્સર્ગથી અનુસરે છે (5) બંને (4) અને (5) બધી આવૃત્તિઓ માટે ધરાવે છે. આદર્શ બે-સ્તરના સક્રિય કેન્દ્રોના કિસ્સામાં, અને, જે સ્વયંસ્ફુરિત ઉત્સર્જનના વર્ણપટ દર અને ઉત્સર્જન ક્રોસ-સેક્શન વચ્ચેના સંબંધ તરફ દોરી જાય છે. (આપણે ઉત્સર્જનની સંભાવના શબ્દને જથ્થા માટે રાખીએ છીએ, જે ટૂંકા સમય અંતરાલ દરમિયાન નાના વર્ણપટ અંતરાલમાં ફોટોનના ઉત્સર્જનની સંભાવના છે, એમ ધારીને કે તે સમયે અણુ ઉત્તેજિત છે.) સંબંધ (D2) એ સ્વયંસ્ફુરિત અને ઉત્તેજિત ઉત્સર્જનનો મૂળભૂત ગુણધર્મ છે, અને કદાચ ઉત્તેજના અને ફોટોનની થર્મલ સ્થિતિમાં થર્મલ સંતુલનના સ્વયંસ્ફુરિત વિરામને પ્રતિબંધિત કરવાનો એકમાત્ર રસ્તો છે. દરેક સાઇટ નંબર માટે, દરેક પેટા-સ્તરની સંખ્યા માટે, આંશિક વર્ણપટ ઉત્સર્જનની સંભાવનાને આદર્શ બે-સ્તરના અણુઓની વિચારણાથી વ્યક્ત કરી શકાય છેઃ (6) સહકારી સુસંગત અસરોને અવગણીને, ઉત્સર્જન એડિટિવ છેઃ સાઇટ્સની કોઈપણ સાંદ્રતા માટે અને પેટા-સ્તરની કોઈપણ આંશિક વસ્તી માટે, વચ્ચે સમાન પ્રમાણસરતા અને અસરકારક ક્રોસ-સેક્શન માટે ધરાવે છેઃ (7) પછી, (D1) અને (D2) ની સરખામણી સંબંધ આપે છે (8) આ સંબંધ મેકકમ્બર સંબંધ (mc) ની સમકક્ષ છે, જો આપણે શૂન્ય-રેખા આવર્તનને સમીકરણના ઉકેલ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરીએ (9) સબ્સ્ક્રિપ્ટ સૂચવે છે કે થર્મલ સ્થિતિમાં મૂલ્યાંકન કરવામાં આવેલી વસ્તીનો ગુણોત્તર. શૂન્ય-રેખા આવર્તનને (10) તરીકે વ્યક્ત કરી શકાય છે પછી (n1n2) મેકકમ્બર સંબંધ (mc) ની સમકક્ષ બને છે. મેકકમ્બર સંબંધ જાળવવા માટે સક્રિય માધ્યમના પેટા સ્તરોના કોઈ ચોક્કસ ગુણધર્મની જરૂર નથી. તે ઉત્તેજિત લેસર સ્તરો અને નીચલા લેસર સ્તરો વચ્ચે ઊર્જાના ઝડપી સ્થાનાંતરણ વિશેની ધારણાથી અનુસરે છે. મેકકમ્બર સંબંધ (એમ. સી.) એ ઉત્સર્જન ક્રોસ-સેક્શનની વિભાવના જેવી જ માન્યતાની શ્રેણી ધરાવે છે. મેકકમ્બર સંબંધની પુષ્ટિ વિવિધ માધ્યમો દ્વારા મેકકમ્બર સંબંધની પુષ્ટિ કરવામાં આવે છે. ખાસ કરીને, સંબંધ (1) આવર્તન, ઉત્સર્જન અને શોષણ ક્રોસ સેક્શનના બે કાર્યોને સિંગલ ફિટ સાથે અંદાજિત કરવાનું શક્ય બનાવે છે. મેકકમ્બર સંબંધ અને શાશ્વત ગતિનું ઉલ્લંઘન 2006માં Yb: Gd2SiO5 માટે મેકકમ્બર સંબંધનું મજબૂત ઉલ્લંઘન જોવા મળ્યું હતું અને 3 સ્વતંત્ર સામયિકોમાં અહેવાલ આપવામાં આવ્યો હતો. નોંધાયેલા ક્રોસ-સેક્શનની લાક્ષણિક વર્તણૂક જાડા વળાંક સાથે Fig.2 માં દર્શાવવામાં આવી છે. 975 nm તરંગલંબાઇ પર ઉત્સર્જન ક્રોસ-સેક્શન વ્યવહારીક રીતે શૂન્ય છે; આ ગુણધર્મ Yb: Gd2SiO5 ને કાર્યક્ષમ સોલિડ-સ્ટેટ લેસરો માટે ઉત્તમ સામગ્રી બનાવે છે. જો કે, નોંધાયેલ ગુણધર્મ (જાડા વળાંક) થર્મોડાયનેમિક્સના બીજા નિયમ સાથે સુસંગત નથી. આવી સામગ્રી સાથે, શાશ્વત ગતિ ઉપકરણ શક્ય બનશે. તે Yb: Gd2SiO5 સાથે પ્રતિબિંબિત દિવાલો સાથે બૉક્સને ભરવા માટે પૂરતું હશે અને તેને વર્ણપટ-પસંદગીયુક્ત વિંડો દ્વારા બ્લેક બોડી સાથે કિરણોત્સર્ગનું વિનિમય કરવાની મંજૂરી આપશે જે 975 nm ની નજીકમાં પારદર્શક અને અન્ય તરંગલંબાઇ પર પ્રતિબિંબીત છે. 975 એનએમ પર ઉત્સર્જનના અભાવને કારણે માધ્યમ ગરમ થવું જોઈએ, જે થર્મલ સંતુલનને તોડે છે. થર્મોડાયનેમિક્સના બીજા કાયદાના આધારે, 2007માં પ્રાયોગિક પરિણામોને નકારી કાઢવામાં આવ્યા હતા. મેકકમ્બર સિદ્ધાંત સાથે, અસરકારક ઉત્સર્જન ક્રોસ સેક્શન (કાળા પાતળા વળાંક) માટે સુધારણા સૂચવવામાં આવી હતી. પછી આ સુધારાની પ્રાયોગિક રીતે પુષ્ટિ કરવામાં આવી હતી. સંદર્ભો સ્પેક્ટ્રોસ્કોપી સોલિડ-સ્ટેટ લેસરો