Evolutionary invasion analysis
ઉત્ક્રાંતિ આક્રમણ વિશ્લેષણ, જેને અનુકૂલનશીલ ગતિશીલતા તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે, તે ગાણિતિક મોડેલિંગ તકનીકોનો સમૂહ છે જે અલૈંગિક અને લૈંગિક રીતે પ્રજનન કરતી વસ્તીમાં લક્ષણોના લાંબા ગાળાના ઉત્ક્રાંતિનો અભ્યાસ કરવા માટે વિભેદક સમીકરણોનો ઉપયોગ કરે છે. તે પરિવર્તન અને વસ્તીની ગતિશીલતા વિશેની નીચેની ત્રણ ધારણાઓ પર આધારિત છેઃ પરિવર્તન વિરલ છે. જ્યારે નવો મ્યુટન્ટ ઉદ્ભવે છે ત્યારે વસ્તી સંતુલનમાં હોવાનું માની શકાય છે. મોટી, સ્થાપિત નિવાસી વસ્તીમાં ઉત્પરિવર્તી લક્ષણ ધરાવતી વ્યક્તિઓની સંખ્યા શરૂઆતમાં નગણ્ય છે. મ્યુટન્ટ ફીનોટાઇપ નિવાસી ફીનોટાઇપથી માત્ર સહેજ અલગ છે. ઉત્ક્રાંતિવાદી આક્રમણ વિશ્લેષણ મોડેલ પરિમાણો પરની પરિસ્થિતિઓને ઓળખવાનું શક્ય બનાવે છે જેના માટે ઉત્પરિવર્તી વસ્તી મૃત્યુ પામે છે, નિવાસી વસ્તીને બદલે છે, અને/અથવા નિવાસી વસ્તી સાથે સહઅસ્તિત્વ ધરાવે છે. બે ફેનોટાઇપ્સના લાંબા ગાળાના સહઅસ્તિત્વને ઉત્ક્રાંતિ શાખા તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. જ્યારે શાખાઓ થાય છે, ત્યારે મ્યુટન્ટ પોતાને પર્યાવરણમાં બીજા નિવાસી તરીકે સ્થાપિત કરે છે. ઉત્ક્રાંતિવાદી આક્રમણ વિશ્લેષણનું કેન્દ્ર મ્યુટન્ટની આક્રમણની યોગ્યતા છે. આ મ્યુટન્ટ પેટા વસ્તીના લાંબા ગાળાના ઘાતાંકીય વૃદ્ધિ દર માટે એક ગાણિતિક અભિવ્યક્તિ છે જ્યારે તે ઓછી સંખ્યામાં નિવાસી વસ્તીમાં દાખલ કરવામાં આવે છે. જો આક્રમણની તંદુરસ્તી હકારાત્મક હોય (સતત સમયમાં), તો મ્યુટન્ટ વસ્તી નિવાસી ફીનોટાઇપ દ્વારા નિર્ધારિત વાતાવરણમાં વધી શકે છે. જો આક્રમણની યોગ્યતા નકારાત્મક હોય, તો ઉત્પરિવર્તી વસ્તી ઝડપથી લુપ્ત થઈ જાય છે. પરિચય અને પૃષ્ઠભૂમિ કુદરતી પસંદગી દ્વારા ઉત્ક્રાંતિના મૂળભૂત સિદ્ધાંતની રૂપરેખા ચાર્લ્સ ડાર્વિને તેમના 1859 ના પુસ્તક, ઓન ધ ઓરિજિન ઓફ સ્પીશીઝમાં આપી હતી. તે સમયે વિવાદાસ્પદ હોવા છતાં, કેન્દ્રીય વિચારો આજની તારીખ સુધી મોટા ભાગે બદલાયા નથી, તેમ છતાં હવે વારસાના જૈવિક આધાર વિશે ઘણું બધું જાણીતું છે. ડાર્વિને તેમની દલીલો મૌખિક રીતે વ્યક્ત કરી હતી, પરંતુ ત્યારથી ઉત્ક્રાંતિના સિદ્ધાંતને ઔપચારિક બનાવવા માટે ઘણા પ્રયાસો કરવામાં આવ્યા છે. સૌથી વધુ જાણીતું વસ્તી આનુવંશિકતા છે જે પર્યાવરણીય વિગતોના ભોગે વારસાનું નમૂના બનાવે છે, માત્રાત્મક આનુવંશિકતા જે ઘણા સ્થળોએ જનીનો દ્વારા પ્રભાવિત માત્રાત્મક લક્ષણોનો સમાવેશ કરે છે, અને ઉત્ક્રાંતિવાદી રમત સિદ્ધાંત જે આનુવંશિક વિગતની અવગણના કરે છે પરંતુ ઉચ્ચ સ્તરના પર્યાવરણીય વાસ્તવવાદનો સમાવેશ કરે છે, ખાસ કરીને કે કોઈપણ વ્યૂહરચનાની સફળતા વસ્તીમાં વ્યૂહરચનાઓ કેટલી આવર્તન પર રમાય છે તેના પર આધાર રાખે છે, જે આવર્તન નિર્ભરતા તરીકે ઓળખાતી વિભાવના છે. અનુકૂલનશીલ ગતિશીલતા એ ફીનોટાઇપ વ્યક્ત કરતા લક્ષણોમાં નાના પરિવર્તનના લાંબા ગાળાના પરિણામોને સમજવા માટે 1990 ના દાયકા દરમિયાન વિકસાવવામાં આવેલી તકનીકોનો સમૂહ છે. તેઓ વસ્તીની ગતિશીલતાને ઉત્ક્રાંતિવાદી ગતિશીલતા સાથે જોડે છે અને રમત સિદ્ધાંતમાંથી આવર્તન-આધારિત પસંદગીના મૂળભૂત વિચારને સમાવિષ્ટ અને સામાન્ય બનાવે છે. મૂળભૂત વિચારો અનુકૂલનશીલ ગતિશીલતાના બે મૂળભૂત વિચારો એ છે કે જ્યારે નવા મ્યુટન્ટ દેખાય છે ત્યારે નિવાસી વસ્તી ગતિશીલ સંતુલનમાં હોય છે, અને જ્યારે નિવાસી ધરાવતા વાતાવરણમાં દુર્લભ હોય ત્યારે આવા મ્યુટન્ટનું અંતિમ ભાવિ તેમના પ્રારંભિક વૃદ્ધિ દર પરથી અનુમાન કરી શકાય છે. આ દરને જ્યારે મ્યુટન્ટ્સના પ્રારંભિક ઘાતાંકીય વૃદ્ધિ દર તરીકે માપવામાં આવે છે ત્યારે આક્રમણના ઘાતાંક તરીકે ઓળખવામાં આવે છે, અને મૂળભૂત પ્રજનન સંખ્યા તરીકે જ્યારે તે અપેક્ષિત કુલ સંતાનની સંખ્યાને માપે છે જે મ્યુટન્ટ વ્યક્તિ જીવનકાળમાં ઉત્પન્ન કરે છે. તેને કેટલીકવાર મ્યુટન્ટ્સની આક્રમણની યોગ્યતા કહેવામાં આવે છે. આ વિચારોનો ઉપયોગ કરવા માટે, ગાણિતિક નમૂનાએ ઉત્ક્રાંતિ પરિવર્તનમાંથી પસાર થતા લક્ષણોનો સ્પષ્ટપણે સમાવેશ કરવો આવશ્યક છે. આ મોડેલમાં પર્યાવરણને ધ્યાનમાં રાખીને પર્યાવરણ અને વસ્તીની ગતિશીલતા બંનેનું વર્ણન કરવું જોઈએ, ભલે પર્યાવરણના પરિવર્તનશીલ ભાગમાં માત્ર વર્તમાન વસ્તીની વસ્તીનો સમાવેશ થાય. પછી આક્રમણ સૂચક નક્કી કરી શકાય છે. આ મુશ્કેલ હોઈ શકે છે, પરંતુ એકવાર નિર્ધારિત થયા પછી, અનુકૂલનશીલ ગતિશીલતા તકનીકો મોડેલ માળખાથી સ્વતંત્ર રીતે લાગુ કરી શકાય છે. મોનોમોર્ફિક ઉત્ક્રાંતિ સમાન લક્ષણ ધરાવતી વ્યક્તિઓની બનેલી વસ્તીને મોનોમોર્ફિક કહેવામાં આવે છે. જો સ્પષ્ટ રીતે અન્યથા જણાવ્યું ન હોય તો, લક્ષણને વાસ્તવિક સંખ્યા માનવામાં આવે છે, અને r અને m એ અનુક્રમે મોનોમોર્ફિક નિવાસી વસ્તી અને આક્રમણકારી મ્યુટન્ટનું લક્ષણ મૂલ્ય છે. આક્રમણ સૂચક અને પસંદગી ઢાળ આક્રમણ ઘટકને નિવાસી (આર) દ્વારા નિર્ધારિત પર્યાવરણમાં પ્રારંભિક દુર્લભ ઉત્પરિવર્તનના અપેક્ષિત વૃદ્ધિ દર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જેનો અર્થ થાય છે કે જ્યારે પણ આ વસ્તી વિષયક રચના અને સંસાધનોની ઉપલબ્ધતા જેવા સંતુલન વાતાવરણના અન્ય તમામ પાસાઓનું અનુમાન કરવા માટે પૂરતું હોય ત્યારે દરેક ફીનોટાઇપ (લક્ષણ મૂલ્ય) ની આવર્તન. દરેક આર માટે, આક્રમણ પ્રતિપાદકને શરૂઆતમાં દુર્લભ મ્યુટન્ટ દ્વારા અનુભવાતા માવજત લેન્ડસ્કેપ તરીકે વિચારી શકાય છે. દરેક સફળ આક્રમણ સાથે લેન્ડસ્કેપ બદલાય છે, જેમ કે ઉત્ક્રાંતિવાદી રમત સિદ્ધાંતમાં થાય છે, પરંતુ ઉત્ક્રાંતિના શાસ્ત્રીય દ્રષ્ટિકોણથી વિપરીત ઉચ્ચ તંદુરસ્તી તરફ ઓપ્ટિમાઇઝેશન પ્રક્રિયા તરીકે. આપણે હંમેશાં ધારીશું કે નિવાસી તેના વસ્તી વિષયક આકર્ષણમાં છે, અને પરિણામે બધા આર માટે, અન્યથા વસ્તી અનિશ્ચિત સમય સુધી વધશે. પસંદગી ઢાળને, પર આક્રમણ ઘાતાંકના ઢોળાવ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. જો પસંદગી ઢાળની નિશાની હકારાત્મક (નકારાત્મક) હોય તો સહેજ વધુ (નીચલા) લક્ષણ મૂલ્યો ધરાવતા મ્યુટન્ટ્સ સફળતાપૂર્વક આક્રમણ કરી શકે છે. આ રેખીય અંદાજથી અનુસરે છે જે જ્યારે પણ હોય ત્યારે હોય છે. જોડી મુજબ-આક્રમક પ્લોટ્સ આક્રમણનો ઘાતાંક એક દુર્લભ મ્યુટન્ટ દ્વારા અનુભવાયેલા તંદુરસ્તીના લેન્ડસ્કેપનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. મોટી (અનંત) વસ્તીમાં માત્ર એવા ગુણ મૂલ્યો ધરાવતા મ્યુટન્ટ્સ સફળતાપૂર્વક આક્રમણ કરી શકે છે જેમના માટે હકારાત્મક છે. આક્રમણનું સામાન્ય પરિણામ એ છે કે મ્યુટન્ટ નિવાસીને બદલે છે, અને દુર્લભ મ્યુટન્ટ ફેરફારો દ્વારા અનુભવાયેલા માવજત લેન્ડસ્કેપ. આક્રમણોની પરિણામી શ્રેણીનું પરિણામ નક્કી કરવા માટે જોડી મુજબ-આક્રમક પ્લોટ્સ (પી. આઈ. પી.) નો ઘણીવાર ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. આ દર્શાવે છે કે દરેક નિવાસી લક્ષણ માટે તમામ મ્યુટન્ટ લક્ષણ મૂલ્યો હકારાત્મક છે. નોંધ લો કે કર્ણ પર તે શૂન્ય છે. પી. આઈ. પી. માં દુર્લભ મ્યુટન્ટ દ્વારા અનુભવાતા તંદુરસ્તીના લેન્ડસ્કેપ્સ ઊભી રેખાઓને અનુરૂપ હોય છે જ્યાં નિવાસી લક્ષણ મૂલ્ય સ્થિર હોય છે. ઇવોલ્યુશનરીલી સિંગ્યુલર વ્યૂહરચનાઓ પસંદગી ઢાળ ઉત્ક્રાંતિ પરિવર્તનની દિશા નક્કી કરે છે. જો તે હકારાત્મક (નકારાત્મક) હોય તો સહેજ વધુ (નીચું) લક્ષણ-મૂલ્ય ધરાવતો મ્યુટન્ટ સામાન્ય રીતે આક્રમણ કરશે અને નિવાસીનું સ્થાન લેશે. પણ જો તે ગાયબ થઈ જશે તો શું થશે? દેખીતી રીતે ઉત્ક્રાંતિ આવા તબક્કે અટકી જવી જોઈએ. જ્યારે આ એક સંભવિત પરિણામ છે, ત્યારે સામાન્ય પરિસ્થિતિ વધુ જટિલ છે. લાક્ષણિકતાઓ અથવા વ્યૂહરચનાઓ કે જેના માટે, ઉત્ક્રાંતિવાદી એકલ વ્યૂહરચના તરીકે ઓળખાય છે. આવા બિંદુઓની નજીક દુર્લભ મ્યુટન્ટ દ્વારા અનુભવાયેલ તંદુરસ્તીનું લેન્ડસ્કેપ સ્થાનિક રીતે 'સપાટ' હોય છે. ત્રણ ગુણાત્મક રીતે અલગ અલગ રીતો છે જેમાં આ થઈ શકે છે. પ્રથમ, ક્યુબિક ફંક્શનના સેડલ પોઇન્ટ જેવું જ અધોગતિગ્રસ્ત કેસ જ્યાં મર્યાદિત ઉત્ક્રાંતિના પગલાં સ્થાનિક 'સપાટતા' થી આગળ વધશે. બીજું, તંદુરસ્તી મહત્તમ જે ઉત્ક્રાંતિવાદી સ્થિર વ્યૂહરચના (ઇ. એસ. એસ.) તરીકે ઓળખાય છે અને જે એકવાર સ્થાપિત થઈ જાય, નજીકના મ્યુટન્ટ્સ દ્વારા આક્રમણ કરી શકાતું નથી. ત્રીજું, તંદુરસ્તી લઘુત્તમ જ્યાં વિક્ષેપકારક પસંદગી થશે અને વસ્તી બે સ્વરૂપોમાં વિભાજિત થશે. આ પ્રક્રિયાને ઉત્ક્રાંતિ શાખા તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. જોડી મુજબના આક્રમણના કાવતરામાં એકવચન વ્યૂહરચનાઓ જોવા મળે છે જ્યાં સકારાત્મક આક્રમણની તંદુરસ્તીની પ્રદેશની સીમા કર્ણને છેદે છે. એકવાર પસંદગીના ઢાળની જાણ થઈ જાય પછી એકલ વ્યૂહરચનાઓ શોધી શકાય છે અને તેનું વર્ગીકરણ કરી શકાય છે. એકલ વ્યૂહરચનાઓ શોધવા માટે, તે બિંદુઓ શોધવા માટે પૂરતું છે કે જેના માટે પસંદગીનો ઢાળ અદૃશ્ય થઈ જાય છે, એટલે કે. આવું શોધવા માટે. મૂળભૂત કલનમાંથી બીજા વ્યુત્પન્ન પરીક્ષણનો ઉપયોગ કરીને આને વર્ગીકૃત કરી શકાય છે. જો મૂલ્યાંકન કરાયેલ બીજો વ્યુત્પન્ન નકારાત્મક (હકારાત્મક) હોય તો વ્યૂહરચના સ્થાનિક તંદુરસ્તી મહત્તમ (લઘુત્તમ) નું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. તેથી, આપણી પાસે ઉત્ક્રાંતિવાદી રીતે સ્થિર વ્યૂહરચના માટે જો આ વ્યૂહરચનાને ઉત્ક્રાંતિવાદી રીતે અસ્થિર ન માને અને જો તે પણ કન્વર્જન્સ સ્થિર હોય, તો ઉત્ક્રાંતિવાદી શાખાઓ આખરે થશે. એકલ વ્યૂહરચના માટે કન્વર્જન્સ સ્થિર મોનોમોર્ફિક વસ્તી સહેજ નીચા અથવા સહેજ ઊંચા લક્ષણ મૂલ્યો સાથે મ્યુટન્ટ્સ દ્વારા નજીકનાં લક્ષણ મૂલ્યો સાથે અભેદ્ય હોવું આવશ્યક છે. આવું થઈ શકે છે તે માટે પડોશમાં પસંદગીનો ઢાળ હકારાત્મક અને નકારાત્મક હોવો જોઈએ. ઉપર આપેલા અભિસરણ સ્થિરતા માટેના માપદંડને આક્રમણના ઘાતાંકના બીજા વ્યુત્પન્નોનો ઉપયોગ કરીને પણ વ્યક્ત કરી શકાય છે, અને વર્ગીકરણને અહીં ધ્યાનમાં લેવામાં આવેલા સરળ કિસ્સાઓ કરતાં વધુ વિસ્તારવા માટે શુદ્ધ કરી શકાય છે. બહુરૂપી ઉત્ક્રાંતિ સફળ આક્રમણનું સામાન્ય પરિણામ એ છે કે મ્યુટન્ટ નિવાસીનું સ્થાન લે છે. જો કે, અન્ય પરિણામો પણ શક્ય છે; ખાસ કરીને નિવાસી અને મ્યુટન્ટ બંને ચાલુ રહી શકે છે, અને પછી વસ્તી દ્વિરૂપ બની જાય છે. જો અને માત્ર ત્યારે જ વસ્તીમાં એક લક્ષણ જળવાઈ રહે છે જો તેનો અપેક્ષિત વૃદ્ધિ દર જ્યારે દુર્લભ હોય ત્યારે હકારાત્મક હોય, તો બે લક્ષણો વચ્ચે સહઅસ્તિત્વ માટેની સ્થિતિ અને છે અને ક્યાં અને તેને ઘણીવાર મોર્ફ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. આવી જોડી એક સંરક્ષિત દ્વિરૂપતા છે. તમામ સંરક્ષિત દ્વિરૂપતાના સમૂહને સહઅસ્તિત્વના ક્ષેત્ર તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. ચિત્રાત્મક રીતે, આ પ્રદેશમાં ઓવરલેપિંગ ભાગોનો સમાવેશ થાય છે જ્યારે જોડી મુજબની આક્રમકતા પ્લોટને બહુરૂપી વસ્તીમાં કર્ણ આક્રમણ ઘટક અને પસંદગીના ઢાળ પર પ્રતિબિંબિત કરવામાં આવે છે આક્રમણ ઘટકને સીધા દ્વિરૂપ વસ્તીમાં સામાન્યીકૃત કરવામાં આવે છે, કારણ કે પર્યાવરણમાં દુર્લભ મ્યુટન્ટનો અપેક્ષિત વૃદ્ધિ દર બે મોર્ફ્સ દ્વારા સેટ કરવામાં આવે છે અને. મ્યુટન્ટ માટે સ્થાનિક તંદુરસ્તી લેન્ડસ્કેપનો ઢાળ નજીક અથવા હવે પસંદગીના ઢાળ દ્વારા આપવામાં આવે છે અને વ્યવહારમાં, ડાયમોર્ફિક પસંદગી ઢાળ અને આક્રમણ ઘટકને વિશ્લેષણાત્મક રીતે નક્કી કરવું ઘણીવાર મુશ્કેલ હોય છે, અને વ્યક્તિએ ઘણીવાર આંકડાકીય ગણતરીઓનો આશરો લેવો પડે છે. ઉત્ક્રાંતિ દરમિયાન એકવચન બિંદુઓની નજીક સંરક્ષિત દ્વિરૂપતાનો ઉદભવ અસામાન્ય નથી, પરંતુ તેનું મહત્વ તેના પર નિર્ભર કરે છે કે પસંદગી સ્થિર છે કે વિક્ષેપકારક. પછીના કિસ્સામાં, બે મોર્ફની લાક્ષણિકતાઓ ઘણીવાર ઉત્ક્રાંતિ શાખા તરીકે ઓળખાતી પ્રક્રિયામાં અલગ થશે. ગેરિટ્ઝ 1998 એક આકર્ષક દલીલ રજૂ કરે છે કે વિક્ષેપકારક પસંદગી માત્ર તંદુરસ્તી મિનિમાની નજીક જ થાય છે. આને સંશોધનાત્મક રીતે સમજવા માટે, દ્વિરૂપ વસ્તી અને એકવચન બિંદુની નજીકનો વિચાર કરો. સાતત્ય દ્વારા અને, કારણ કે દ્વિરૂપ વસ્તી માટે તંદુરસ્તીનું લેન્ડસ્કેપ એકવચન વ્યૂહરચનાની નજીકના મોનોમોર્ફિક નિવાસી માટે તેનું વિક્ષેપ હોવું જોઈએ. લાક્ષણિકતા ઉત્ક્રાંતિના પ્લોટ્સ શાખાઓ પછીના ઉત્ક્રાંતિને લક્ષણ ઉત્ક્રાંતિના પ્લોટ્સનો ઉપયોગ કરીને સચિત્ર કરવામાં આવે છે. આ સહઅસ્તિત્વનું ક્ષેત્ર, ઉત્ક્રાંતિ પરિવર્તનની દિશા અને જ્યાં પસંદગીનો ઢાળ અદૃશ્ય થઈ જાય છે તે બિંદુઓ ફિટનેસ મેક્સિમા છે કે મિનિમા તે દર્શાવે છે. ઉત્ક્રાંતિ સહઅસ્તિત્વના પ્રદેશની બહાર દ્વિરૂપ વસ્તીને સારી રીતે દોરી શકે છે, જે કિસ્સામાં એક રૂપ લુપ્ત થઈ જાય છે અને વસ્તી ફરી એકવાર એકરૂપ બની જાય છે. અન્ય ઉપયોગ અનુકૂલનશીલ ગતિશીલતા અસરકારક રીતે રમત સિદ્ધાંત અને વસ્તી ગતિશીલતાને જોડે છે. જેમ કે, ઉત્ક્રાંતિ વસ્તીની ગતિશીલતાને કેવી રીતે અસર કરે છે તેની તપાસ કરવામાં તે ખૂબ જ ઉપયોગી થઈ શકે છે. આમાંથી બહાર આવવાનું એક રસપ્રદ તારણ એ છે કે વ્યક્તિગત-સ્તરનું અનુકૂલન કેટલીકવાર સમગ્ર વસ્તી/પ્રજાતિઓના લુપ્ત થવામાં પરિણમી શકે છે, જે ઘટના ઉત્ક્રાંતિ આત્મહત્યા તરીકે ઓળખાય છે. સંદર્ભો બાહ્ય કડીઓ ડીકમેન, ઓડો (2004). અનુકૂલનશીલ ગતિશીલતા માટે શિખાઉ માણસની માર્ગદર્શિકા. મેટ્ઝ, જે. એ. જે. ગેરિટ્ઝ, એસ. એ. એચ. ; મેઝેના, જી.; જેકોબ્સ, એફ. જે. એ. ; વેન હીરવાર્ડન, જે. એસ. (સપ્ટેમ્બર 1995). અનુકૂલનશીલ ગતિશીલતા-લગભગ વફાદાર પ્રજનનના પરિણામોનો ભૌમિતિક અભ્યાસ. બ્રાનસ્ટ્રોમ, ઓકે; જોહાનસન, જેકબ; વોન ફેસ્ટેનબર્ગ, નીલ્સ (24 જૂન 2013). અનુકૂલનશીલ ગતિશીલતા માટે હિચહાઇકરની માર્ગદર્શિકા. અનુકૂલનશીલ ગતિશીલતા કાગળો, અનુકૂલનશીલ ગતિશીલતા વિશેના શૈક્ષણિક કાગળોની સૂચિ. હોઅર્ટ, ક્રિસ્ટોફ (2004). સહકાર આપનારાઓ અને પક્ષપલટો કરનારાઓની ઉત્પત્તિ, રમતના સૈદ્ધાંતિક દ્રષ્ટિકોણથી અનુકૂલનશીલ ગતિશીલતાનો પરિચય આપતી ઇન્ટરેક્ટિવ ટ્યુટોરીયલ. ઉત્ક્રાંતિવાદી ગતિશીલતા વિભેદક સમીકરણો