Aronszajn tree
સમૂહ સિદ્ધાંતમાં, એરોન્ઝાજન વૃક્ષ એ અગણિત ઊંચાઈ ધરાવતું વૃક્ષ છે જેની કોઈ અગણિત શાખાઓ નથી અને કોઈ અગણિત સ્તરો નથી. ઉદાહરણ તરીકે, દરેક સુસલીન વૃક્ષ એક એરોન્ઝાજન વૃક્ષ છે. વધુ સામાન્ય રીતે, કાર્ડિનલ κ માટે, κ-એરોનઝાજન વૃક્ષ એ ઊંચાઈનું વૃક્ષ છે જેમાં તમામ સ્તરોનું કદ κ કરતા ઓછું હોય છે અને તમામ શાખાઓની ઊંચાઈ κ કરતા ઓછી હોય છે (તેથી એરોનઝાજન વૃક્ષો-એરોનઝાજન વૃક્ષો જેવા જ હોય છે). તેનું નામ નચમેન એરોન્ઝાજનના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે, જેમણે 1934માં એરોન્ઝાજન વૃક્ષનું નિર્માણ કર્યું હતું. એક મુખ્ય κ જેના માટે કોઈ κ-એરોનઝાજન વૃક્ષો અસ્તિત્વમાં નથી તે વૃક્ષની મિલકત હોવાનું કહેવાય છે (કેટલીકવાર શરત કે κ નિયમિત અને અગણિત છે તે શામેલ છે). κ-એરોનઝાજન વૃક્ષોનું અસ્તિત્વ કોનિગનું લેમ્મા જણાવે છે કે-એરોનઝાજન વૃક્ષો અસ્તિત્વમાં નથી. એરોન્ઝાજન વૃક્ષો (-એરોન્ઝાજન વૃક્ષો) નું અસ્તિત્વ નચમેન એરોન્ઝાજન દ્વારા સાબિત થયું હતું, અને સૂચવે છે કે કોનિગના લેમ્માનું એનાલોગ અગણિત વૃક્ષો માટે નથી. ઝેડએફસીમાં-એરોનઝાજન વૃક્ષોનું અસ્તિત્વ અનિશ્ચિત છેઃ વધુ ચોક્કસપણે, સાતત્ય પૂર્વધારણા-એરોનઝાજન વૃક્ષનું અસ્તિત્વ સૂચવે છે, અને મિશેલ અને સિલ્વર દર્શાવે છે કે તે સુસંગત છે (નબળા કોમ્પેક્ટ કાર્ડિનલના અસ્તિત્વને સંબંધિત) કે કોઈ-એરોનઝાજન વૃક્ષો અસ્તિત્વમાં નથી. જેનસને સાબિત કર્યું કે V = L સૂચવે છે કે દરેક અનંત અનુગામી કાર્ડિનલ κ માટે κ-એરોનઝાજન વૃક્ષ (હકીકતમાં κ-સુસલીન વૃક્ષ) છે. (મોટા કાર્ડિનલ સ્વયંસિદ્ધિનો ઉપયોગ કરીને) દર્શાવે છે કે તે સુસંગત છે કે 1 સિવાયના કોઈપણ મર્યાદિત n માટે કોઈ-એરોનઝાજન વૃક્ષો અસ્તિત્વમાં નથી. જો κ નબળું કોમ્પેક્ટ હોય તો કોઈ κ-એરોનઝાજન વૃક્ષો અસ્તિત્વમાં નથી. તેનાથી વિપરીત, જો κ અપ્રાપ્ય હોય અને કોઈ κ-એરોનઝાજન વૃક્ષો અસ્તિત્વમાં ન હોય, તો κ નબળું કોમ્પેક્ટ છે. વિશેષ એરોન્ઝાજન વૃક્ષો એક એરોન્ઝાજન વૃક્ષને વિશેષ કહેવામાં આવે છે જો વૃક્ષથી તર્કસંગત સુધી કોઈ વિધેય f હોય જેથી જ્યારે પણ x <y હોય ત્યારે f (x) <f (y). માર્ટિનનો સ્વયંસિદ્ધ MA () સૂચવે છે કે તમામ એરોન્ઝાજન વૃક્ષો વિશેષ છે, જે કેટલીકવાર EATS દ્વારા સંક્ષિપ્ત કરવામાં આવે છે. મજબૂત યોગ્ય દબાણ સ્વયંસિદ્ધ એ મજબૂત નિવેદન સૂચવે છે કે કોઈપણ બે એરોન્ઝાજન વૃક્ષો માટે સ્તરોનો એક સમૂહ સમૂહ છે જેમ કે વૃક્ષોના આ સ્તરના સમૂહ પરના પ્રતિબંધો આઇસોમોર્ફિક છે, જે કહે છે કે અમુક અર્થમાં કોઈપણ બે એરોન્ઝાજન વૃક્ષો અનિવાર્યપણે આઇસોમોર્ફિક છે. બીજી બાજુ, તે સુસંગત છે કે બિન-વિશિષ્ટ એરોન્ઝાજન વૃક્ષો અસ્તિત્વ ધરાવે છે, અને આ સામાન્યીકૃત સાતત્ય પૂર્વધારણા વત્તા સુસલીનની પૂર્વધારણા સાથે પણ સુસંગત છે. વિશેષ એરોન્ઝાજન વૃક્ષનું નિર્માણ એક વિશેષ એરોન્ઝાજન વૃક્ષનું નિર્માણ નીચે મુજબ કરી શકાય છે. વૃક્ષના ઘટકો સર્વોચ્ચતા સાથે પરિમાણીય સંખ્યાઓના ચોક્કસ સુવ્યવસ્થિત સમૂહો છે જે પરિમાણીય અથવા − ≤ છે. જો x અને y આમાંથી બે સમૂહો હોય તો આપણે x ≤ y (વૃક્ષ ક્રમમાં) ને વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ જેનો અર્થ એ થાય કે x એ ક્રમબદ્ધ સમૂહ y નો પ્રારંભિક ભાગ છે. દરેક ગણતરીપાત્ર ક્રમિક α માટે આપણે α સ્તરના વૃક્ષના ઘટકો માટે Uα લખીએ છીએ, જેથી Uα ના ઘટકો ક્રમ પ્રકાર α સાથે તર્કસંગતના ચોક્કસ સમૂહો હોય. વિશેષ એરોન્ઝાજન વૃક્ષ T એ તમામ ગણતરીપાત્ર α માટે Uα સમૂહોનું જોડાણ છે. અમે ખાલી સમૂહથી U0 તરીકે શરૂ કરીને α પર ટ્રાન્સફાઇનાઇટ ઇન્ડક્શન દ્વારા ગણતરીપાત્ર સ્તરો Uα બનાવીએ છીએઃ જો α + 1 અનુગામી હોય તો Uα + 1 માં Uα માં x ક્રમના તમામ વિસ્તરણોનો સમાવેશ થાય છે જે સુપર x કરતા વધારે તર્કસંગત હોય છે. Uα + 1 ગણતરીપાત્ર છે કારણ કે તેમાં Uα માં દરેક ગણતરીપાત્ર સંખ્યાબંધ ઘટકોના સંખ્યાબંધ વિસ્તરણોનો સમાવેશ થાય છે. જો α એ મર્યાદા હોય તો Tα એ α કરતા ઓછા સ્તરના તમામ બિંદુઓનું વૃક્ષ હોવું જોઈએ. Tα માં દરેક x માટે અને સુપર x કરતા મોટી દરેક પરિમાણીય સંખ્યા q માટે, સર્વોચ્ચ q સાથે x ધરાવતી Tα ની સ્તર α શાખા પસંદ કરો. પછી Uα માં આ શાખાઓનો સમાવેશ થાય છે. Uα ગણતરીપાત્ર છે કારણ કે તેમાં Tα માં ગણાતા ઘણા ઘટકોમાંથી દરેક માટે ગણાતી ઘણી શાખાઓ હોય છે. વિધેય f (x) = સુપ્ર x એ તર્કસંગત અથવા − ini છે, અને તેનો ગુણધર્મ છે કે જો x <y હોય તો f (x) <f (y). T માં કોઈપણ શાખા ગણતરીપાત્ર છે કારણ કે f શાખાઓને ઇન્જેક્ટીવ રીતે − ν અને રેશનલ તરીકે નકશા કરે છે. T અગણિત છે કારણ કે તેમાં દરેક ગણતરીપાત્ર ક્રમિક α માટે બિન-ખાલી સ્તર Uα છે જે પ્રથમ અગણિત ક્રમિક બનાવે છે. આ સાબિત કરે છે કે ટી એક વિશેષ એરોન્ઝાજન વૃક્ષ છે. આ રચનાનો ઉપયોગ κ-એરોનઝાજન વૃક્ષો બનાવવા માટે થઈ શકે છે જ્યારે પણ κ નિયમિત મુખ્ય અને સામાન્યીકૃત સાતત્ય પૂર્વધારણાના અનુગામી હોય, તર્કસંગત સંખ્યાઓને વધુ સામાન્ય η સમૂહ દ્વારા બદલીને. આ પણ જુઓ કુરેપા વૃક્ષ એરોન્ઝાજન રેખા સંદર્ભો બાહ્ય કડીઓ પ્લેનેટમેથ વૃક્ષો (સમૂહ સિદ્ધાંત) સ્વતંત્રતા પરિણામો