Quadrature of the Parabola
પેરાબોલા () નું ચતુર્ભુજ એ ભૂમિતિ પરનો એક ગ્રંથ છે, જે આર્કિમિડીઝ દ્વારા ઇ. સ. પૂર્વે ત્રીજી સદીમાં લખવામાં આવ્યો હતો અને તેના એલેક્ઝાન્ડ્રિયન પરિચિત ડોસિથિયસને સંબોધવામાં આવ્યો હતો. તેમાં પેરાબોલાસ સંબંધિત 24 દરખાસ્તો છે, જે બે પુરાવાઓમાં પરિણમે છે જે દર્શાવે છે કે પેરાબોલિક સેગમેન્ટ (પેરાબોલા અને રેખાથી ઘેરાયેલો પ્રદેશ) નો વિસ્તાર ચોક્કસ અંકિત ત્રિકોણનો છે. તે આર્કિમિડીઝની સૌથી જાણીતી કૃતિઓમાંની એક છે, ખાસ કરીને થાકની પદ્ધતિના કુશળ ઉપયોગ માટે અને ભૌમિતિક શ્રેણીના બીજા ભાગમાં. આર્કિમિડીઝ આ વિસ્તારને અનંત ત્રિકોણમાં વિભાજીત કરે છે, જેમના ક્ષેત્રો ભૌમિતિક પ્રગતિ બનાવે છે. તે પછી તે પરિણામી ભૌમિતિક શ્રેણીના સરવાળાની ગણતરી કરે છે, અને સાબિત કરે છે કે આ પેરાબોલિક સેગમેન્ટનું ક્ષેત્રફળ છે. આ પ્રાચીન ગ્રીક ગણિતમાં રિડક્ટિયો એડ અબ્સર્ડમ દલીલનો સૌથી વધુ વ્યવહારદક્ષ ઉપયોગ રજૂ કરે છે, અને 17મી સદીમાં ઇન્ટિગ્રલ કેલ્ક્યુલસના વિકાસ સુધી આર્કિમિડીઝનો ઉકેલ અજોડ રહ્યો, જે કેવેલેરીના ચતુર્ભુજ સૂત્ર દ્વારા સફળ થયો. મુખ્ય પ્રમેય પેરાબોલિક સેગમેન્ટ એ પેરાબોલા અને રેખાથી ઘેરાયેલો પ્રદેશ છે. પેરાબોલિક સેગમેન્ટનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે, આર્કિમિડીઝ ચોક્કસ અંકિત ત્રિકોણને ધ્યાનમાં લે છે. આ ત્રિકોણનો આધાર પેરાબોલા પર આપેલ તાર છે, અને ત્રીજું શિરોબિંદુ પેરાબોલા પરનું એવું બિંદુ છે કે તે બિંદુએ પેરાબોલા પરની સ્પર્શક તારની સમાંતર હોય છે. કાર્યની દરખાસ્ત 1 જણાવે છે કે ત્રીજા શિરોબિંદુથી અક્ષની સમાંતર દોરવામાં આવેલી રેખા તારને સમાન વિભાગોમાં વિભાજિત કરે છે. મુખ્ય પ્રમેય દાવો કરે છે કે પેરાબોલિક સેગમેન્ટનું ક્ષેત્રફળ અંકિત ત્રિકોણનું છે. પેરાબોલા જેવા કોનિક વિભાગોનું લખાણનું માળખું આર્કિમિડીઝના સમયમાં પહેલેથી જ જાણીતું હતું, જેનો શ્રેય એક સદી અગાઉ મેનેકમસને જાય છે. જો કે, વિભેદક અને અભિન્ન કલનનાં આગમન પહેલાં, શંકુ વિભાગનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું કોઈ સરળ માધ્યમ નહોતું. આર્કિમિડીઝ ખાસ કરીને પેરાબોલા અને તારથી ઘેરાયેલા વિસ્તાર પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરીને આ સમસ્યાનો પ્રથમ પ્રમાણિત ઉકેલ પૂરો પાડે છે. આર્કિમિડીઝ મુખ્ય પ્રમેયના બે પુરાવા આપે છેઃ એક અમૂર્ત મિકેનિક્સનો ઉપયોગ કરીને અને બીજો શુદ્ધ ભૂમિતિ દ્વારા. પ્રથમ સાબિતીમાં, આર્કિમિડીઝ ગુરુત્વાકર્ષણની ક્રિયા હેઠળ સંતુલનમાં લિવરને ધ્યાનમાં લે છે, જેમાં પેરાબોલા અને ત્રિકોણના ભારિત સેગમેન્ટ્સ ફુલક્રમથી ચોક્કસ અંતર પર લિવરના હાથ સાથે લટકાવવામાં આવે છે. જ્યારે ત્રિકોણના ગુરુત્વાકર્ષણનું કેન્દ્ર જાણીતું હોય, ત્યારે લિવરનું સંતુલન ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળની દ્રષ્ટિએ પેરાબોલાનું ક્ષેત્રફળ આપે છે, જેનો આધાર અને ઊંચાઈ સમાન હોય છે. આર્કિમિડીઝ અહીં ઓન ધ ઇક્વિલિબ્રિયમ ઓફ પ્લેન્સમાં જોવા મળતી પ્રક્રિયાથી અલગ પડે છે કારણ કે તેની પાસે સંતુલનથી નીચેના સ્તરે ગુરુત્વાકર્ષણના કેન્દ્રો છે. બીજો અને વધુ પ્રખ્યાત પુરાવો શુદ્ધ ભૂમિતિ, ખાસ કરીને ભૌમિતિક શ્રેણીના સરવાળાનો ઉપયોગ કરે છે. ચોવીસ દરખાસ્તોમાંથી, પ્રથમ ત્રણ દરખાસ્તો યુક્લિડના એલિમેન્ટ્સ ઓફ કોનિક્સ (શંકુ વિભાગો પર યુક્લિડ દ્વારા ખોવાયેલી કૃતિ) માંથી પુરાવા વિના ટાંકવામાં આવી છે. દરખાસ્તો 4 અને 5 પેરાબોલાના પ્રાથમિક ગુણધર્મો સ્થાપિત કરે છે. દરખાસ્તો 6-17 મુખ્ય પ્રમેયનો યાંત્રિક પુરાવો આપે છે; દરખાસ્તો 18-24 ભૌમિતિક પુરાવો રજૂ કરે છે. પેરાબોલિક સેગમેન્ટનું ભૌમિતિક સાબિતી વિચ્છેદન સાબિતીનો મુખ્ય વિચાર પેરાબોલિક સેગમેન્ટનું અનંત ત્રિકોણમાં વિચ્છેદન છે, જે જમણી બાજુની આકૃતિમાં બતાવ્યા પ્રમાણે છે. આ દરેક ત્રિકોણ તેના પોતાના પેરાબોલિક સેગમેન્ટમાં એ જ રીતે અંકિત છે જે રીતે વાદળી ત્રિકોણ મોટા સેગમેન્ટમાં અંકિત છે. અઢારથી એકવીસ સુધીના પ્રસ્તાવોમાં, આર્કિમિડીઝ સાબિત કરે છે કે દરેક લીલા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ એ વાદળી ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ છે, જેથી બંને લીલા ત્રિકોણ એકસાથે વાદળી ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો કરે. આધુનિક દ્રષ્ટિકોણથી, આનું કારણ એ છે કે લીલા ત્રિકોણમાં વાદળી ત્રિકોણની પહોળાઈ અને ઊંચાઈ હોય છેઃ સમાન દલીલને અનુસરીને, દરેક પીળા ત્રિકોણમાં લીલા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ અથવા વાદળી ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ હોય છે, જે વાદળી ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો કરે છે; દરેક લાલ ત્રિકોણમાં પીળા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ હોય છે, જે વાદળી ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો કરે છે; વગેરે. થાકની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને, તે અનુસરે છે કે પેરાબોલિક સેગમેન્ટનું કુલ ક્ષેત્રફળ આ રીતે આપવામાં આવે છે અહીં T મોટા વાદળી ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે, બીજો પદ બે લીલા ત્રિકોણના કુલ ક્ષેત્રફળનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે, ત્રીજો પદ ચાર પીળા ત્રિકોણના કુલ ક્ષેત્રફળનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે, અને તેથી આગળ. સાબિતી પૂર્ણ કરવા માટે, આર્કિમિડીઝ દર્શાવે છે કે ઉપરનું સૂત્ર ભૌમિતિક શ્રેણી છે-દરેક ક્રમિક પદ અગાઉના પદનો ચોથો ભાગ છે. આધુનિક ગણિતમાં, તે સૂત્ર ભૌમિતિક શ્રેણી માટેના સરવાળા સૂત્રનો એક વિશેષ કેસ છે. આર્કિમિડીઝ સંપૂર્ણ ભૌમિતિક પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સરવાળાનું મૂલ્યાંકન કરે છે, જે નજીકના ચિત્રમાં સચિત્ર છે. આ ચિત્ર એક એકમ ચોરસ દર્શાવે છે જે નાના ચોરસની અનંતતામાં વિચ્છેદિત કરવામાં આવ્યું છે. દરેક ક્રમિક જાંબલી ચોરસમાં અગાઉના ચોરસના ક્ષેત્રફળનો ચોથો ભાગ હોય છે, જેમાં કુલ જાંબલી વિસ્તારનો સરવાળો હોય છે. જો કે, જાંબલી ચોરસ પીળા ચોરસના સમૂહ સાથે એકરૂપ હોય છે, અને તેથી એકમ ચોરસના વિસ્તારને આવરી લે છે. તે અનુસરે છે કે ઉપરની શ્રેણીનો સરવાળો (કારણ કે ચતુર્ભુજ (ભૂમિતિ પણ જુઓ) કલનનો ઇતિહાસ નોંધો વધુ વાંચન. ડીજ્કસ્ટરહુઇસ, ઇ. જે. (1987) "આર્કિમિડીઝ", પ્રિન્સટન યુ. પ્રેસ કરો. . . . બાહ્ય કડીઓ સંપૂર્ણ લખાણ, ટી. એલ. દ્વારા અનુવાદિત હીથ. . ટિપ્પણી સાથે દરખાસ્તો 1-3 અને 20-24 નું લખાણ. http://planetmath.org/ArchimedesCalculus આર્કિમિડીઝની પ્રાચીન ગ્રીક ગાણિતિક કૃતિઓ આર્કિમિડીઝની કૃતિઓ ગણિતનો ઇતિહાસ