Square root of 5
5 નો વર્ગમૂળ એ હકારાત્મક વાસ્તવિક સંખ્યા છે, જે જ્યારે પોતે જ ગુણાકાર કરે છે, ત્યારે મુખ્ય સંખ્યા 5 આપે છે. તેને સમાન ગુણધર્મ ધરાવતી નકારાત્મક સંખ્યાથી અલગ પાડવા માટે તેને વધુ ચોક્કસપણે 5નું મુખ્ય વર્ગમૂળ કહેવામાં આવે છે. આ સંખ્યા સુવર્ણ ગુણોત્તર માટે અપૂર્ણાંક અભિવ્યક્તિમાં દેખાય છે. તેને સુરદ સ્વરૂપમાં આ રીતે દર્શાવી શકાય છેઃ તે એક અતાર્કિક બીજગણિત સંખ્યા છે. તેના દશાંશ વિસ્તરણના પ્રથમ સાઠ નોંધપાત્ર અંકો આ પ્રમાણે છેઃ જેને 2.236 થી 99.99% ચોકસાઈમાં ગોળાકાર કરી શકાય છે. પાંચના વર્ગમૂળ માટે અંદાજ (≈ 2.23611) નો ઉપયોગ કરી શકાય છે. માત્ર 72 નો છેદ હોવા છતાં, તે સાચા મૂલ્યથી (આશરે. ). જાન્યુઆરી 2022 સુધીમાં, દશાંશમાં તેનું સંખ્યાત્મક મૂલ્ય ઓછામાં ઓછું 2,250,000,000,000 અંકો સુધી ગણવામાં આવ્યું છે. તર્કસંગત અંદાજો 5 ના વર્ગમૂળને સતત અપૂર્ણાંક તરીકે વ્યક્ત કરી શકાય છે સતત અપૂર્ણાંકના ક્રમિક આંશિક મૂલ્યાંકન, જેને તેના કન્વર્જન્ટ કહેવામાં આવે છે, અભિગમઃ તેમના અંકો 2,9,38,161 છે, અને તેમના છેદ 1,4,17,72 છે. આમાંની દરેક શ્રેષ્ઠ તર્કસંગત અંદાજ છે; બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, તે નાના છેદવાળી કોઈપણ તર્કસંગત સંખ્યા કરતાં વધુ નજીક છે. જ્યારે બેબીલોનીયન પદ્ધતિથી શરૂ કરીને અને તેનો ઉપયોગ કરીને અંદાજવામાં આવે છે, ત્યારે th અંદાજ સતત અપૂર્ણાંકના th અભિસારીની બરાબર હોય છેઃ બેબીલોનીયન પદ્ધતિ બહુપદી પર લાગુ કરવામાં આવેલી રુટ શોધ માટે ન્યૂટનની પદ્ધતિની સમકક્ષ છે. ન્યુટનની પદ્ધતિ અપડેટ,, ક્યારે બરાબર છે. તેથી પદ્ધતિ ચતુર્ભુજ રીતે એકરૂપ થાય છે. સુવર્ણ ગુણોત્તર અને ફિબોનાકી સંખ્યાઓ સાથેનો સંબંધ સુવર્ણ ગુણોત્તર એ 1 અને 1 નો અંકગણિત સરેરાશ છે. સુવર્ણ ગુણોત્તર અને સુવર્ણ ગુણોત્તર () ના સંયુગ્મ વચ્ચેનો બીજગણિત સંબંધ નીચેના સૂત્રોમાં વ્યક્ત થાય છેઃ (લંબચોરસના વિઘટન તરીકે તેમના ભૌમિતિક અર્થઘટન માટે નીચેનો વિભાગ જુઓ.) પછી સ્વાભાવિક રીતે ફિબોનાકી સંખ્યાઓ માટે બંધ સ્વરૂપની અભિવ્યક્તિમાં આંકડાઓ, એક સૂત્ર જે સામાન્ય રીતે સુવર્ણ ગુણોત્તરની દ્રષ્ટિએ લખવામાં આવે છેઃ અને (અથવા અને નું ગુણાકાર), અને તેનો પારસ્પરિક, સતત અપૂર્ણાંકની એક રસપ્રદ પેટર્ન પ્રદાન કરે છે અને ફિબોનાકી સંખ્યાઓ અને લુકાસ સંખ્યાઓ વચ્ચેના ગુણોત્તર સાથે સંબંધિત છેઃ આ મૂલ્યોની કન્વર્જન્ટ્સની શ્રેણીમાં અનુક્રમે ફિબોનાકી સંખ્યાઓની શ્રેણી અને અંશો અને છેદ તરીકે લુકાસ સંખ્યાઓની શ્રેણી દર્શાવવામાં આવે છે, અને ઊલટુંઃ હકીકતમાં, લુકાસ સંખ્યા અને ફિબોનાકી સંખ્યાના ભાગની મર્યાદા સીધા આના વર્ગમૂળની બરાબર છેઃ ભૌમિતિક રીતે ભૂમિતિ, ડાયને અનુરૂપ છે. આવા લંબચોરસને ચોરસને અડધો કરીને અથવા બે સમાન ચોરસને બાજુમાં મૂકીને મેળવી શકાય છે. આનો ઉપયોગ ચોરસ ગ્રીડને પાંચ ગણા ચોરસ સાથે નમેલી ચોરસ ગ્રીડમાં વિભાજિત કરવા માટે થઈ શકે છે, જે પેટાવિભાગની સપાટી માટેનો આધાર બનાવે છે. અને વચ્ચેના બીજગણિત સંબંધ સાથે, આ એક ચોરસમાંથી સોનેરી લંબચોરસની ભૌમિતિક રચના માટે અને તેની બાજુએ નિયમિત પંચકોણની રચના માટે આધાર બનાવે છે (કારણ કે નિયમિત પંચકોણમાં બાજુ-થી-કર્ણ ગુણોત્તર છે). સમઘનની બે અડીને આવેલી બાજુઓ 1:2 લંબચોરસમાં પ્રગટ થતી હોવાથી, સમઘનની સપાટીને પાર કરતી વખતે સમઘનની ધારની લંબાઈ અને તેના એક શિરોબિંદુથી વિરુદ્ધના સૌથી ટૂંકા અંતર વચ્ચેનું ગુણોત્તર છે. તેનાથી વિપરીત, સમઘનની અંદરથી પસાર થતી વખતે સૌથી ટૂંકું અંતર સમઘન કર્ણની લંબાઈને અનુરૂપ હોય છે, જે ધારની ત્રણ ગણી વર્ગમૂળ છે. બાજુના પ્રમાણ 1: વાળા લંબચોરસને મૂળ-પાંચ લંબચોરસ કહેવામાં આવે છે અને તે મૂળ લંબચોરસની શ્રેણીનો ભાગ છે, જે ગતિશીલ લંબચોરસનો સબસેટ છે, જે ચોરસથી શરૂ થતા અગાઉના મૂળ લંબચોરસના કર્ણનો ઉપયોગ કરીને આધારિત અને ક્રમિક રીતે બાંધવામાં આવે છે. રુટ-5 લંબચોરસ ખાસ કરીને નોંધપાત્ર છે કારણ કે તેને ચોરસ અને બે સમાન સુવર્ણ લંબચોરસ (પરિમાણોના) અથવા વિવિધ કદના (પરિમાણો અને) બે સુવર્ણ લંબચોરસમાં વિભાજિત કરી શકાય છે. તેને બે સમાન સુવર્ણ લંબચોરસ (પરિમાણોના) ના જોડાણ તરીકે પણ વિઘટિત કરી શકાય છે, જેનું આંતરછેદ ચોરસ બનાવે છે. આ બધાને, અને ઉપર ઉલ્લેખિત વચ્ચેના બીજગણિત સંબંધોના ભૌમિતિક અર્થઘટન તરીકે જોઈ શકાય છે. મૂળ-5 લંબચોરસને 1:2 લંબચોરસ (મૂળ-4 લંબચોરસ) થી અથવા સીધા ચોરસથી ચિત્રમાં દર્શાવેલ સોનેરી લંબચોરસ જેવી રીતે બનાવી શકાય છે, પરંતુ લંબાઈની ચાપને બંને બાજુએ વિસ્તારી શકાય છે. ત્રિકોણમિતિ અને, 5 નું વર્ગમૂળ ચોક્કસ ત્રિકોણમિતિ સ્થિરાંકો માટેના સૂત્રોમાં વ્યાપકપણે દેખાય છે, જેમાં દરેક ખૂણાના સાઇન અને કોસાઇનનો સમાવેશ થાય છે, જેનું માપ ડિગ્રીમાં 3 વડે વિભાજીત થાય છે પરંતુ 15 વડે નહીં. તેમાંથી સૌથી સરળ છે જેમ કે ત્રિકોણમિતિ કોષ્ટકો બનાવવા માટે તેના મૂલ્યની ગણતરી મહત્વપૂર્ણ છે. ભૌમિતિક રીતે તે અર્ધ-ચોરસ લંબચોરસ અને પેન્ટાગોન સાથે જોડાયેલ હોવાથી, તેમાંથી મેળવેલા આંકડાઓના ભૌમિતિક ગુણધર્મો માટેના સૂત્રોમાં પણ તે વારંવાર દેખાય છે, જેમ કે ડોડેકાહેડ્રોનના કદ માટેના સૂત્રમાં. ડાયોફેન્ટાઇન અંદાજોમાં હર્વિટ્ઝનો પ્રમેય જણાવે છે કે દરેક અતાર્કિક સંખ્યાને અનંત સંખ્યાઓ દ્વારા સૌથી નીચી શરતોમાં એવી રીતે અંદાજિત કરી શકાય છે કે અને તે શ્રેષ્ઠ રીતે શક્ય છે, તે અર્થમાં કે તેના કરતા મોટા કોઈપણ અચળાંક માટે, કેટલીક અતાર્કિક સંખ્યાઓ છે જેના માટે માત્ર મર્યાદિત રીતે આવા ઘણા અંદાજો અસ્તિત્વ ધરાવે છે. આની સાથે નજીકથી સંબંધિત એ પ્રમેય છે કે સંખ્યાના કોઈપણ ત્રણ ક્રમિક કન્વર્જન્ટમાંથી, ત્રણ અસમાનતાઓમાંથી ઓછામાં ઓછી એક ધરાવે છેઃ અને છેદમાં સૌથી શ્રેષ્ઠ બંધાયેલ છે કારણ કે સુવર્ણ ગુણોત્તરના કન્વર્જન્ટ ડાબી બાજુના તફાવતને આપખુદ રીતે જમણી બાજુના મૂલ્યની નજીક બનાવે છે. ખાસ કરીને, ચાર કે તેથી વધુ સળંગ કન્વર્જન્ટ્સના ક્રમને ધ્યાનમાં લઈને કોઈ સખત બાઉન્ડ મેળવી શકતું નથી. બીજગણિત રિંગમાં સ્વરૂપની સંખ્યાઓ હોય છે, જ્યાં અને પૂર્ણાંકો હોય છે અને તે કાલ્પનિક સંખ્યા છે. આ રીંગ એ ઇન્ટિગ્રલ ડોમેનનું વારંવાર ટાંકવામાં આવતું ઉદાહરણ છે જે અનન્ય ફેક્ટરાઇઝેશન ડોમેન નથી. સંખ્યા 6 આ રિંગની અંદર બે અસમાન ગુણાંક ધરાવે છેઃ અન્ય કોઈ પણ વર્ગાત્મક ક્ષેત્રની જેમ આ ક્ષેત્ર પણ પરિમેય સંખ્યાઓનું અબેલિયન વિસ્તરણ છે. તેથી ક્રોનેકર-વેબર પ્રમેય બાંહેધરી આપે છે કે પાંચના વર્ગમૂળને એકતાના મૂળના તર્કસંગત રેખીય સંયોજન તરીકે લખી શકાય છેઃ રામાનુજનની ઓળખ શ્રીનિવાસ રામાનુજન દ્વારા શોધાયેલ વિવિધ ઓળખમાં પાંચનો વર્ગમૂળ દેખાય છે જેમાં સતત અપૂર્ણાંક સામેલ છે. ઉદાહરણ તરીકે, રોજર્સ-રામાનુજનનો આ કેસ સતત અપૂર્ણાંક છેઃ આ પણ જુઓ સુવર્ણ ગુણોત્તર વર્ગમૂળ વર્ગમૂળ 2 વર્ગમૂળ 3 વર્ગમૂળ 6 વર્ગમૂળ 7 સંદર્ભો ગાણિતિક અચળાંકો ચતુર્ભુજ અતાર્કિક સંખ્યાઓ