Oriented coloring
આલેખ સિદ્ધાંતમાં, લક્ષી આલેખ રંગ એ આલેખ રંગનો એક વિશેષ પ્રકાર છે. એટલે કે, તે ઓરિએન્ટેડ ગ્રાફના શિરોબિંદુઓને રંગોની સોંપણી છે જે યોગ્ય છેઃ કોઈ પણ બે અડીને આવેલા શિરોબિંદુઓને સમાન રંગ મળતો નથી, અને તે સતત ઓરિએન્ટેડ હોય છેઃ જો શિરોબિંદુઓ અને સમાન રંગ હોય, અને શિરોબિંદુઓ અને સમાન રંગ હોય, તો પછી અને બંને ગ્રાફમાં ધાર ન હોઈ શકે. સમાનરૂપે, ગ્રાફ G નો લક્ષી ગ્રાફ રંગ એ લક્ષી ગ્રાફ H છે (જેના શિરોબિંદુઓ રંગોનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે અને જેની ચાપો રંગો વચ્ચે માન્ય દિશાઓનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે) જેમ કે G થી H સુધી હોમોમોર્ફિઝમ અસ્તિત્વમાં છે. ગ્રાફ G ની લક્ષી રંગીન સંખ્યા એ લક્ષી રંગમાં જરૂરી સૌથી ઓછા રંગો છે; તે સામાન્ય રીતે દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. આ જ વ્યાખ્યાને દિશાહીન આલેખ સુધી પણ વિસ્તૃત કરી શકાય છે, જેમાં દિશાહીન આલેખની દિશાસૂચક રંગીન સંખ્યાને તેની કોઈપણ દિશાસૂચકની સૌથી મોટી દિશાસૂચક રંગીન સંખ્યા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. ઉદાહરણો નિર્દેશિત 5-ચક્રની લક્ષી રંગીન સંખ્યા પાંચ છે. જો ચક્ર ચાર કે તેથી ઓછા રંગોથી રંગીન હોય, તો પછી બે અડીને આવેલા શિરોબિંદુઓ સમાન રંગ ધરાવે છે, અથવા બે શિરોબિંદુઓ બે પગથિયાંના અંતરે સમાન રંગ ધરાવે છે. પછીના કિસ્સામાં, આ બે શિરોબિંદુઓને તેમની વચ્ચેના શિરોબિંદુ સાથે જોડતી ધાર અસંગત રીતે લક્ષી છેઃ બંનેમાં રંગોની સમાન જોડી હોય છે પરંતુ વિરુદ્ધ દિશાઓ સાથે. આમ, ચાર કે તેથી ઓછા રંગો સાથે કોઈ રંગ શક્ય નથી. જો કે, દરેક શિરોબિંદુને તેનો પોતાનો અનન્ય રંગ આપવાથી માન્ય લક્ષી રંગ તરફ દોરી જાય છે. ગુણધર્મો એક લક્ષી રંગ માત્ર નિર્દેશિત આલેખ માટે અસ્તિત્વમાં હોઈ શકે છે જેમાં કોઈ લૂપ અથવા નિર્દેશિત 2-ચક્ર નથી. કારણ કે, લૂપના અંતિમ બિંદુઓ પર વિવિધ રંગો ન હોઈ શકે, અને 2-ચક્રમાં તેની બંને ધાર સમાન બે રંગો વચ્ચે સતત લક્ષી ન હોઈ શકે. જો આ શરતો સંતોષાય છે, તો ત્યાં હંમેશા એક લક્ષી રંગ અસ્તિત્વમાં હોય છે, ઉદાહરણ તરીકે રંગ જે દરેક શિરોબિંદુને અલગ રંગ સોંપે છે. જો લક્ષી રંગ પૂર્ણ હોય, તો એ અર્થમાં કે ઓછા રંગો સાથે રંગ બનાવવા માટે કોઈ બે રંગોને ભેળવી શકાતા નથી, તો તે ટુર્નામેન્ટમાં ગ્રાફ હોમોમોર્ફિઝમને અનન્ય રીતે અનુરૂપ છે. ટુર્નામેન્ટમાં રંગમાં દરેક રંગ માટે એક શિરોબિંદુ હોય છે. રંગોની દરેક જોડી માટે, રંગીન આલેખમાં તેના અંતિમ બિંદુઓ પર તે બે રંગો સાથે એક ધાર હોય છે, જે બે રંગોને અનુરૂપ શિરોબિંદુઓ વચ્ચેની ટુર્નામેન્ટમાં તેની દિશા ધાર તરફ આપે છે. અપૂર્ણ રંગોને હોમોમોર્ફિઝમ્સ દ્વારા ટુર્નામેન્ટમાં પણ રજૂ કરી શકાય છે પરંતુ આ કિસ્સામાં રંગ અને હોમોમોર્ફિઝમ્સ વચ્ચેનો પત્રવ્યવહાર એક-થી-એક નથી. બાઉન્ડેડ જીનસ, બાઉન્ડેડ ડિગ્રી અથવા બાઉન્ડેડ એસાયક્લિક ક્રોમેટિક નંબરના દિશાહીન આલેખમાં પણ બાઉન્ડેડ ઓરિએન્ટેડ ક્રોમેટિક નંબર હોય છે. આ પણ જુઓ કે સોપેનાએ ઓરિએન્ટેડ ગ્રાફ કલરિંગ વિશે એક સર્વે પેપર લખ્યું હતું. ઓરિએન્ટેડ કલરિંગ પેજ (સોપેના દ્વારા જાળવવામાં આવે છે) સંદર્ભ આલેખ રંગકામ