Analytic function of a matrix
ગણિતમાં, દરેક વિશ્લેષણાત્મક કાર્યનો ઉપયોગ મેટ્રિક્સ કાર્યને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે થઈ શકે છે જે સમાન કદના ચોરસ મેટ્રિક્સમાં જટિલ એન્ટ્રીઓ સાથે ચોરસ મેટ્રિક્સને મેપ કરે છે. આનો ઉપયોગ મેટ્રિક્સના ઘાતાંકને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે થાય છે, જે રેખીય વિભેદક સમીકરણોની પ્રણાલીઓના બંધ સ્વરૂપના ઉકેલમાં સામેલ છે. સ્કેલર કાર્યને મેટ્રિક્સ કાર્યોમાં વિસ્તૃત કરવું વાસ્તવિક કાર્યને ચોરસ મેટ્રિક્સ કાર્યમાં ઉપાડવા માટેની ઘણી તકનીકો છે જેમ કે રસપ્રદ ગુણધર્મો જાળવવામાં આવે છે. નીચેની તમામ તકનીકો સમાન મેટ્રિક્સ કાર્ય આપે છે, પરંતુ જે ક્ષેત્રો પર કાર્ય વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે તે અલગ હોઈ શકે છે. પાવર સિરીઝ જો વિશ્લેષણાત્મક કાર્યમાં ટેલર વિસ્તરણ હોય તો મેટ્રિક્સ કાર્યને ચોરસ મેટ્રિક્સ દ્વારા બદલીને વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છેઃ પાવર મેટ્રિક્સ પાવર બની જાય છે, ઉમેરા મેટ્રિક્સ સરવાળો બની જાય છે અને ગુણાંક દ્વારા ગુણાકાર સ્કેલર ગુણાકાર બની જાય છે. જો શ્રેણી માટે કન્વર્જ થાય છે, તો અનુરૂપ મેટ્રિક્સ શ્રેણી મેટ્રિક્સ માટે કન્વર્જ થાય છે જેમ કે કેટલાક મેટ્રિક્સ ધોરણ માટે જે સંતોષ આપે છે. એક ચોરસ મેટ્રિક્સ વિકર્ણક્ષમ છે, જો ત્યાં એક ઇન્વર્ટિબલ મેટ્રિક્સ હોય જે વિકર્ણ મેટ્રિક્સ હોય, એટલે કે, આકાર ધરાવે છે કારણ કે તે સેટ કરવું સ્વાભાવિક છે તે ચકાસી શકાય છે કે મેટ્રિક્સ કોઈ ચોક્કસ પસંદગી પર આધારિત નથી. ઉદાહરણ તરીકે, ધારો કે કોઈ સૂત્રના ઉપયોગ માટે એકની શોધ કરી રહ્યું છે, તો પછી ફક્ત ઉપજ આપે છે તેવી જ રીતે, જોર્ડન વિઘટન તમામ જટિલ મેટ્રિસીસ, પછી ભલે તે કર્ણાકાર હોય કે ન હોય, તેમાં જોર્ડન સામાન્ય સ્વરૂપ હોય છે, જ્યાં મેટ્રિક્સ J માં જોર્ડન બ્લોકનો સમાવેશ થાય છે. આ બ્લોકને અલગથી ધ્યાનમાં લો અને પાવર સિરીઝને જોર્ડન બ્લોક પર લાગુ કરો આ વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ મેટ્રિક્સ ફંક્શનના ડોમેનને મેટ્રિક્સના સમૂહની બહાર વિસ્તારવા માટે થઈ શકે છે, જેમાં સ્પેક્ટ્રલ ત્રિજ્યા પાવર સિરીઝના કન્વર્જન્સની ત્રિજ્યા કરતા ઓછી હોય છે. નોંધ લો કે વિભાજિત તફાવતો સાથે પણ જોડાણ છે. સંબંધિત કલ્પના એ જોર્ડન-ચેવલી વિઘટન છે જે મેટ્રિક્સને કર્ણાકાર અને નિલપોટેન્ટ ભાગના સરવાળા તરીકે વ્યક્ત કરે છે. હર્મિશિયન મેટ્રિક્સ એ હર્મિશિયન મેટ્રિક્સમાં તમામ વાસ્તવિક આઈગન વેલ્યુ હોય છે અને વર્ણપટ પ્રમેય અનુસાર હંમેશા એકાત્મક મેટ્રિક્સ પી દ્વારા વિકર્ણિત કરી શકાય છે. આ કિસ્સામાં, જોર્ડનની વ્યાખ્યા સ્વાભાવિક છે. વધુમાં, આ વ્યાખ્યા વ્યક્તિને વાસ્તવિક કાર્યો માટે પ્રમાણભૂત અસમાનતાને વિસ્તારવાની મંજૂરી આપે છેઃ જો ના તમામ આઈગનવેલ્યુ માટે, તો. (એક પરંપરા તરીકે, તે પોઝિટિવ-સેમિડિફાઇનાઇટ મેટ્રિક્સ છે.) પુરાવા વ્યાખ્યામાંથી સીધા જ અનુસરે છે. જટિલ વિશ્લેષણમાંથી કૌચી ઇન્ટિગ્રલ કૌચીના ઇન્ટિગ્રલ સૂત્રનો ઉપયોગ સ્કેલર કાર્યોને મેટ્રિક્સ કાર્યોમાં સામાન્ય બનાવવા માટે પણ થઈ શકે છે. કોચીનું અભિન્ન સૂત્ર જણાવે છે કે સમૂહ પર વ્યાખ્યાયિત કોઈપણ વિશ્લેષણાત્મક કાર્ય માટે, ડોમેનની અંદર બંધ સરળ વળાંક હોય છે. હવે, મેટ્રિક્સ દ્વારા બદલો અને અંદરના માર્ગને ધ્યાનમાં લો જે તેના તમામ આઈગનવેલ્યુઝને આવરી લે છે. આ હાંસલ કરવાની એક શક્યતા એ છે કે મનસ્વી મેટ્રિક્સ ધોરણ કરતાં મોટી ત્રિજ્યા સાથે મૂળની આસપાસ એક વર્તુળ હોવું જોઈએ. પછી, દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે આ ઇન્ટિગ્રલને ટ્રેપેઝિયમ નિયમનો ઉપયોગ કરીને સરળતાથી આંકડાકીય રીતે મૂલ્યાંકન કરી શકાય છે, જે આ કિસ્સામાં ઘાતાંકીય રીતે એકરૂપ થાય છે. તેનો અર્થ એ કે જ્યારે ગાંઠોની સંખ્યા બમણી થાય છે ત્યારે પરિણામની ચોકસાઇ બમણી થાય છે. નિયમિત કિસ્સાઓમાં, આને સિલ્વેસ્ટરના સૂત્ર દ્વારા અવગણવામાં આવે છે. આ વિચાર બનાચ જગ્યા પર બંધાયેલા રેખીય ઓપરેટરોને લાગુ પડે છે, જેને અનંત મેટ્રિસીસ તરીકે જોઈ શકાય છે, જે હોલોમોર્ફિક કાર્યાત્મક કલન તરફ દોરી જાય છે. મેટ્રિક્સ વિક્ષેપ ઉપરોક્ત ટેલર પાવર શ્રેણી સ્કેલરને મેટ્રિક્સ દ્વારા બદલવાની મંજૂરી આપે છે. લગભગ જ્યાં સુધી નહીં ત્યાં સુધી વિસ્તરણ કરતી વખતે આ સામાન્ય રીતે સાચું નથી. એક પ્રતિકૂળ ઉદાહરણ છે, જે મર્યાદિત લંબાઈની ટેલર શ્રેણી ધરાવે છે. આપણે આની ગણતરી બે રીતે કરીએ છીએ, ડિસ્ટ્રિબ્યુટિવ લૉઃ સ્કેલર ટેલર વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરીને અને સ્કેલરને અંતે મેટ્રિસીસ સાથે બદલીનેઃ સ્કેલર એક્સપ્રેશન કમ્યુટેટિવિટી ધારે છે જ્યારે મેટ્રિક્સ એક્સપ્રેશન નથી, અને આમ જ્યાં સુધી તેઓ સીધી રીતે સરખાવી શકાતા નથી. કેટલાક f (x) માટે આને સ્કેલર ટેલર શ્રેણી જેવી જ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને વ્યવહાર કરી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે,. જો અસ્તિત્વમાં હોય તો. પ્રથમ ટર્મનું વિસ્તરણ પછી ઉપર આપેલી પાવર સિરીઝને અનુસરે છે, પાવર સિરીઝના કન્વર્જન્સ માપદંડ પછી લાગુ થાય છે, જે યોગ્ય મેટ્રિક્સ ધોરણ હેઠળ પૂરતા પ્રમાણમાં નાના હોવા જરૂરી છે. વધુ સામાન્ય સમસ્યાઓ માટે, જેને એવી રીતે ફરીથી લખી શકાતી નથી કે બે મેટ્રિસીસ મુસાફરી કરે, લિબનીઝ નિયમના પુનરાવર્તિત ઉપયોગ દ્વારા ઉત્પાદિત મેટ્રિક્સ ઉત્પાદનોના ક્રમને ટ્રેક કરવો આવશ્યક છે. 2 × 2 મેટ્રિક્સનું આર્બિટ્રરી ફંક્શન 2 × 2 મેટ્રિક્સ Aનું આર્બિટ્રરી ફંક્શન f (A) તેનું સિલ્વેસ્ટર સૂત્ર ધરાવે છે જે તેના લાક્ષણિક સમીકરણના આઈગન મૂલ્યો ક્યાં છે તે સરળ બનાવે છે, અને ઉદાહરણો મેટ્રિક્સ બહુપદી મેટ્રિક્સ મૂળ મેટ્રિક્સ લઘુગણક મેટ્રિક્સ ઘાતાંકીય મેટ્રિક્સ સાઇન ફંક્શન દ્વારા આપવામાં આવે છે. ઓપરેટર મોનોટોન એ ફંક્શનને ઓપરેટર મોનોટોન કહેવામાં આવે છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો ના ડોમેનમાં સ્પેક્ટ્રા સાથેના તમામ સ્વ-સંલગ્ન મેટ્રિસીસ માટે. આ સ્કેલર કેસમાં મોનોટોન કાર્ય જેવું જ છે. ઓપરેટર અંતર્મુખ/બહિર્મુખ એ કાર્યને ઓપરેટર અંતર્મુખ કહેવામાં આવે છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો અને ના ક્ષેત્રમાં સ્પેક્ટ્રા સાથેના તમામ સ્વ-સંલગ્ન મેટ્રિસીસ માટે. આ વ્યાખ્યા અંતર્મુખ સ્કેલર કાર્યને અનુરૂપ છે. ઓપરેટર બહિર્મુખ કાર્યને ઉપરની વ્યાખ્યામાં બદલીને વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. ઉદાહરણો મેટ્રિક્સ લોગ ઓપરેટર મોનોટોન અને ઓપરેટર કોન્કેવ બંને છે. મેટ્રિક્સ સ્ક્વેર ઓપરેટર બહિર્મુખ છે. મેટ્રિક્સ એક્સ્પોનેન્શલ આમાંથી કંઈ નથી. લોવનરનો પ્રમેય જણાવે છે કે ખુલ્લા અંતરાલ પરનું કાર્ય ઓપરેટર મોનોટોન છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તે ઉપલા અને નીચલા જટિલ અર્ધ સમતલમાં વિશ્લેષણાત્મક વિસ્તરણ ધરાવે છે જેથી ઉપલા અર્ધ સમતલને પોતાની સાથે મેપ કરવામાં આવે. બીજગણિત રિકાતી સમીકરણ સિલ્વેસ્ટરનું સૂત્ર લોવનર ક્રમ મેટ્રિક્સ કલન ટ્રેસ અસમાનતાઓ મેટ્રિક્સના ત્રિકોણમિતિ કાર્યો નોંધો સંદર્ભો મેટ્રિક્સ સિદ્ધાંત ગાણિતિક ભૌતિકશાસ્ત્ર પણ જુઓ.