Beth definability
ગાણિતિક તર્કશાસ્ત્રમાં, બેથ વ્યાખ્યાક્ષમતા એ એક એવું પરિણામ છે જે મિલકતની ગર્ભિત વ્યાખ્યાશીલતાને તેની સ્પષ્ટ વ્યાખ્યાક્ષમતા સાથે જોડે છે. ખાસ કરીને બેથ વ્યાખ્યા જણાવે છે કે વ્યાખ્યાની બે ઇન્દ્રિયો સમકક્ષ છે. પ્રથમ ક્રમના તર્કમાં બેથ વ્યાખ્યા ગુણધર્મ છે. નિવેદન પ્રથમ ક્રમના તર્કશાસ્ત્ર માટે, પ્રમેય જણાવે છે કે, L 'L ભાષામાં સિદ્ધાંત T અને L' માં સૂત્ર φ આપવામાં આવે તો, નીચેની બાબતો સમકક્ષ છેઃ T ના કોઈપણ બે નમૂનાઓ A અને B માટે જેમ કે A|L = B|L (જ્યાં A|L એ A થી L નો ઘટાડો છે), તે કિસ્સો છે કે A φ [a] જો અને માત્ર જો B φ [a] (A ના તમામ ટપલ્સ a માટે); φ એ L માં સૂત્ર si ની સમકક્ષ મોડ્યુલો T છે. ઓછી ઔપચારિક રીતેઃ એક ગુણધર્મ L ભાષામાં સિદ્ધાંતમાં સ્પષ્ટ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે (વિસ્તૃત ભાષા L 'ના સૂત્ર φ દ્વારા) સ્પષ્ટપણે વિપરીત પણ ધરાવે છે, જેથી આપણી પાસે ગર્ભિત અને સ્પષ્ટ વ્યાખ્યા વચ્ચે સમાનતા હોય. એટલે કે, "ગુણધર્મ" એ સિદ્ધાંતના સંદર્ભમાં સ્પષ્ટ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તે સ્પષ્ટ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય. જો શરત મર્યાદિત નમૂનાઓ સુધી મર્યાદિત હોય તો પ્રમેય માન્ય નથી. આપણી પાસે A′φ [a] હોઈ શકે છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો B′φ [a] તમામ જોડીઓ માટે A, B મર્યાદિત મોડેલો માટે φ મોડ્યુલો T ની સમકક્ષ કોઈ L-ફોર્મ્યુલા વિના. પરિણામ સૌપ્રથમ એવર્ટ વિલેમ બેથ દ્વારા સાબિત થયું હતું. સોર્સ વિલ્ફ્રિડ હોજેસ એ શોર્ટર મોડલ થિયરી પણ જુઓ. કેમ્બ્રિજ યુનિવર્સિટી પ્રેસ, 1997. ગાણિતિક તર્ક ગાણિતિક માળખાં ગણિતના પાયામાં આદર્શ સિદ્ધાંત પ્રમેયો