Lorentz invariance in non-critical string theory
સામાન્ય રીતે નોન-ક્રિટિકલ સ્ટ્રિંગ થિયરીને પોલિયાકોવ દ્વારા પ્રસ્તાવિત અભિગમની ફ્રેમમાં ગણવામાં આવે છે. બીજો અભિગમ વિકસાવવામાં આવ્યો છે. તે કોઈપણ ક્વોન્ટમ સાપેક્ષવાદી સિદ્ધાંતમાં સ્પષ્ટ લોરેન્ટ્ઝ ઇનવેરિયન્સ જાળવવા માટેની સાર્વત્રિક પદ્ધતિનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. 4-પરિમાણીય મિન્કોવ્સ્કી સ્પેસ-ટાઇમમાં નામ્બુ-ગોટો સ્ટ્રિંગ થિયરીના ઉદાહરણ પર આ વિચારને નીચે પ્રમાણે દર્શાવી શકાય છેઃ ભૌમિતિક રીતે સ્ટ્રિંગની વિશ્વ શીટને ચોક્કસ પરિમાણને ઠીક કરવા અથવા તેના પર ગેજ કરવા માટે સમાંતર પ્લેનની સિસ્ટમ દ્વારા કાપવામાં આવે છે. પ્લેનને સામાન્ય વેક્ટર એન. એમ. યુ., ગેજ અક્ષ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. જો આ વેક્ટર પ્રકાશ શંકુ સાથે સંબંધિત હોય, તો પરિમાણ પ્રકાશ શંકુ ગેજને અનુરૂપ હોય છે, જો તે વિશ્વ શીટના સમયગાળા પી. એમ. સાથે નિર્દેશિત હોય, તો તે સમય-રોહરલિચના ગેજ જેવું હોય છે. પ્રમાણભૂત પ્રકાશ શંકુ માપની સમસ્યા એ છે કે વેક્ટર એન. એમ. યુ. અચળ છે, દા. ત. એન. એમ. યુ. = (1,1,0,0), અને મિન્કોવ્સ્કી અવકાશ-સમયમાં વિમાનોની પ્રણાલી "સ્થિર" છે. લોરેન્ટ્ઝ પરિવર્તન આ સ્થિર સમતલના સંદર્ભમાં વિશ્વની શીટના સ્થાનને બદલે છે, અને તે પછી વિશ્વની શીટના પુનઃપરિમાણ દ્વારા અનુસરવામાં આવે છે. ક્વોન્ટમ સ્તર પર રિપેરામેટ્રીઝેશન જૂથમાં વિસંગતતા હોય છે, જે લોરેન્ટ્ઝ જૂથમાં પણ દેખાય છે અને સિદ્ધાંતના લોરેન્ટ્ઝ ઇનવેરિયન્સનું ઉલ્લંઘન કરે છે. બીજી બાજુ, રોહરલિચનું ગેજ એન. એમ. યુ. ને વિશ્વ પત્રક સાથે જ સંબંધિત કરે છે. પરિણામે, લોરેન્ટ્ઝ જનરેટર એન. એમ. યુ. અને વર્લ્ડ શીટને એક સાથે, રિપેરામેટ્રીઝેશન વિના રૂપાંતરિત કરે છે. આ જ ગુણધર્મ ધરાવે છે જો કોઈ વ્યક્તિ પ્રકાશ જેવી અક્ષ એન. એમ. યુ. ને વિશ્વની શીટ સાથે સાંકળે છે, જેમાં સ્ટ્રિંગ થિયરીમાં ઉપલબ્ધ અન્ય ગતિશીલ વેક્ટર ઉપરાંત પી. એમ. યુ. નો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. આ રીતે વ્યક્તિ વિશ્વ પત્રકના લોરેન્ટ્ઝ-અપરિવર્તનીય પરિમાણોની રચના કરે છે, જ્યાં લોરેન્ટ્ઝ જૂથ તુચ્છ રીતે કાર્ય કરે છે અને તેમાં ક્વોન્ટમ વિસંગતતાઓ નથી. બીજગણિત રીતે આ શાસ્ત્રીય મિકેનિક્સમાં એઇ-> બાયમાં ચલોના નવા સમૂહમાં કેનોનિકલ પરિવર્તનને અનુરૂપ છે, જેમાં સ્પષ્ટપણે સમપ્રમાણતાના તમામ જરૂરી જનરેટર હોય છે. પ્રમાણભૂત પ્રકાશ શંકુ ગેજ માટે લોરેન્ટ્ઝ જનરેટર એમ. એમ. યુ. એન. ઓસિલેટર વેરિયેબલ્સ એઆઇની દ્રષ્ટિએ ઘન છે, અને તેમનું ક્વોન્ટાઇઝેશન જાણીતી વિસંગતતા પ્રાપ્ત કરે છે. સમૂહ દ્વિ = (એમ. એમ. યુ. એન., xii) નો વિચાર કરો જેમાં લોરેન્ટ્ઝ જૂથ જનરેટર અને આંતરિક ચલ xii હોય છે, જે એમ. એમ. યુ. એન. ને સંપૂર્ણ તબક્કાની જગ્યામાં પૂરક બનાવે છે. આવા સમૂહની પસંદગીમાં, વ્યક્તિએ એ બાબતની કાળજી લેવાની જરૂર છે કે xii પાસે એમ. એમ. યુ. એન. સાથે અને તેમની વચ્ચે સરળ પોઈસન કૌંસ હશે. આવા ચલોનું સ્થાનિક અસ્તિત્વ ડાર્બોક્સના પ્રમેય દ્વારા પ્રદાન કરવામાં આવ્યું છે. ચલોના નવા સમૂહમાં ક્વોન્ટાઇઝેશન લોરેન્ટ્ઝ જૂથમાંથી વિસંગતતાને દૂર કરે છે. શાસ્ત્રીય સિદ્ધાંતો એકાત્મક સમકક્ષ ક્વોન્ટમ સિદ્ધાંતોને અનુરૂપ નથી, તેથી જ ક્વોન્ટમ વિસંગતતાઓ એક અભિગમમાં હાજર હોઈ શકે છે અને બીજામાં ગેરહાજર હોઈ શકે છે. જૂથ-સૈદ્ધાંતિક રીતે સ્ટ્રિંગ થિયરીમાં ગેજ સમપ્રમાણતા ડિફ S1 છે, જે વર્તુળના રિપેરામેટ્રિઝેશન્સ છે. સમપ્રમાણતા વીરાસોરો બીજગણિત Ln દ્વારા પેદા થાય છે. પ્રમાણભૂત પ્રકાશ શંકુ ગેજ માત્ર તુચ્છ તબક્કાના પરિભ્રમણ U (1) ~ S1 છોડીને મોટાભાગના ગેજ ડિગ્રી ઓફ ફ્રીડમને સુધારે છે. તેઓ સમયાંતરે સ્ટ્રિંગ ઉત્ક્રાંતિને અનુરૂપ છે, જે હેમિલ્ટોનિયન L0 દ્વારા પેદા થાય છે. ચાલો આ આકૃતિ પર એક વધારાનું સ્તર રજૂ કરીએઃ વિશ્વ શીટના ગેજ પરિવર્તનોનું જૂથ G = U (1) x SO (3), જેમાં નિશ્ચિત વિશ્વ શીટના સંદર્ભમાં લઘુ ઉત્ક્રાંતિ પરિબળ અને કેન્દ્ર-સમૂહ ફ્રેમમાં ગેજ અક્ષના પરિભ્રમણનો સમાવેશ થાય છે. પ્રમાણભૂત પ્રકાશ શંકુ ગેજ એસ. ઓ. (3) પરિબળમાં એક બિંદુની પસંદગીને અનુરૂપ છે, જે લોરેન્ટ્ઝ નોન-ઇનવેરિયન્ટ પરિમાણીકરણ તરફ દોરી જાય છે. તેથી, G ની ગેજ ભ્રમણકક્ષા પર એક અલગ પ્રતિનિધિ પસંદ કરવો આવશ્યક છે, આ સમય લોરેન્ટ્ઝ અપરિવર્તનશીલ રીતે વિશ્વ પત્રક સાથે સંબંધિત છે. મિકેનિક્સને આ પ્રતિનિધિમાં ઘટાડ્યા પછી વિસંગત ગેજ ડિગ્રી ઓફ ફ્રીડમને સિદ્ધાંતમાંથી દૂર કરવામાં આવે છે. નજીવી ગેજ સમપ્રમાણતા U (1) x U (1) રહે છે, જેમાં ઉત્ક્રાંતિ અને તે પરિભ્રમણોનો સમાવેશ થાય છે જે ગેજ અક્ષની દિશા જાળવી રાખે છે. આ કાર્યક્રમનો સફળ અમલ કરવામાં આવ્યો છે. આ ક્વોન્ટમ ઓપન નામ્બુ-ગોટો સ્ટ્રિંગ થિયરીની કેટલીક એકાત્મક બિન-સમકક્ષ આવૃત્તિઓ છે, જ્યાં ગેજ અક્ષ વિશ્વની શીટના વિવિધ ભૌમિતિક લક્ષણો સાથે જોડાયેલ છે. તેમના સામાન્ય ગુણધર્મો સ્પષ્ટ લોરેન્ટ્ઝ-વિચલન છે જે d = 4 રીપેરામીટ્રીઝેશન ડિગ્રીઝ ઓફ ફ્રીડમ પર ગેજ રેગ જેવા સ્પિન-માસ સ્પેક્ટ્રમ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે આધુનિક સ્ટ્રિંગ થિયરીમાં સહ-અસ્તિત્વ ધરાવતી વિવિધ શાખાઓથી પરિચિત વાચકને આશ્ચર્ય થશે નહીં કે શા માટે એક જ ભૌતિક પ્રણાલી માટે ઘણા જુદા જુદા ક્વોન્ટમ સિદ્ધાંતો બનાવી શકાય છે. અહીં વર્ણવેલ અભિગમ એક અનન્ય અંતિમ પરિણામ ઉત્પન્ન કરવાનો ઇરાદો ધરાવતો નથી, તે ફક્ત તમારા પોતાના ક્વોન્ટમ સ્ટ્રિંગ સિદ્ધાંતના નિર્માણ માટે યોગ્ય સાધનોનો સમૂહ પ્રદાન કરે છે. કારણ કે પરિમાણના કોઈપણ મૂલ્યનો ઉપયોગ કરી શકાય છે, અને ખાસ કરીને d = 4, ઉપયોગો વધુ વાસ્તવિક હોઈ શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, આ અભિગમ હૅડ્રોનના ભૌતિકશાસ્ત્રમાં તેમના વર્ણપટ અને વિદ્યુતચુંબકીય ક્રિયાપ્રતિક્રિયાઓનું વર્ણન કરવા માટે લાગુ કરી શકાય છે. સંદર્ભો પણ જુઓ સ્ટ્રિંગ થિયરી પરના નીચેના પાઠ્યપુસ્તકો નિર્ણાયક પરિમાણની બહાર સ્ટ્રિંગના વિસંગતતા-મુક્ત પરિમાણની સંભાવનાનો ઉલ્લેખ કરે છેઃ એલ. બ્રિંક, એમ. હેનેક્સ, પ્રિન્સિપલ્સ ઓફ સ્ટ્રિંગ થિયરી, પ્લેનમ પ્રેસ, ન્યૂ યોર્ક એન્ડ લંડન, (1988), પૃષ્ઠ 157 વધુ, પૃષ્ઠો પર. 157-159, પરિમાણના મનસ્વી સમ મૂલ્ય પર વિરાસોરો બીજગણિતમાં કોઈ વિસંગતતા ધરાવતા બિન-ઓસિલેટર રજૂઆતોના વર્ગમાં બંધ સ્ટ્રિંગ સિદ્ધાંતના ક્વોન્ટમ ઉકેલો સ્પષ્ટપણે રજૂ કરવામાં આવે છે. બી. એમ. બારબાશોવ, વી. વી. નેસ્ટેરેન્કો, ઇન્ટ્રોડક્શન ટુ ધ રિલેટિવિસ્ટિક સ્ટ્રિંગ થિયરી, સિંગાપોર, વર્લ્ડ સાયન્ટિફિક, (1990), પૃષ્ઠ 64: આગળ, Sec.11 અને Sec.30 માં નોન-ક્રિટિકલ સ્ટ્રિંગ થિયરીના ક્વોન્ટાઇઝેશનનું વર્ણન રોહર્લિચ અને પોલિયાકોવ દ્વારા અભિગમોની ફ્રેમમાં કરવામાં આવ્યું છે. એમ. ગ્રીન, જે. શ્વાર્ઝ, ઇ. વિટ્ટન, સુપરસ્ટ્રિંગ થિયરી વોલ્યુમ. 1, કેમ્બ્રિજ યુનિવર્સિટી. પ્રેસ, (1987), પૃષ્ઠ 124: પાથ ઇન્ટિગ્રલમાં કન્ફોર્મલ ફેક્ટર φ ના યોગદાનને ધ્યાનમાં લેતા, તે નોંધવામાં આવે છેઃ નોંધઃ આ હૅડ્રોનના ભૌતિકશાસ્ત્રમાં બિન-નિર્ણાયક સ્ટ્રિંગ થિયરીના ઉપયોગને બાકાત રાખતું નથી, જ્યાં તમામ જોડીદાર અવસ્થાઓ વિશાળ હોય છે. અહીં માત્ર સિદ્ધાંતની સ્વ-સુસંગતતા, ખાસ કરીને તેના લોરેન્ટ્ઝ ઇનવેરિયન્સની જરૂર છે. શબ્દમાળા સિદ્ધાંત