Aubry–André model
ઔબ્રી-આન્દ્રે મોડેલ એ કન્ડેન્સ્ડ દ્રવ્યમાં થર્મોડાયનેમિક ગુણધર્મોનો અભ્યાસ કરવા માટેનું આંકડાકીય રમકડાનું મોડેલ છે. આ મોડેલનો ઉપયોગ સામાન્ય રીતે એન્ડરસન સ્થાનિકીકરણ દ્વારા આગાહી કરાયેલી અવ્યવસ્થિત પ્રણાલીઓમાં ક્વાસિક્રિસ્ટલ્સ અને સંક્રમણ ધાતુ-અવાહકનો અભ્યાસ કરવા માટે કરવામાં આવે છે. તે સૌપ્રથમ 1980 માં સર્જ ઓબ્રી અને ગિલ્સ આન્દ્રે દ્વારા વિકસાવવામાં આવ્યું હતું. ચુસ્ત-બંધનકર્તા વર્ણન ઓબ્રી-આન્દ્રે મોડેલ એક-પરિમાણીય જાળી પર સામયિક ક્ષમતાને વ્યાખ્યાયિત કરે છે, જેમાં કોઈ ક્રિયાપ્રતિક્રિયા વિના નજીકના પડોશી સ્થળો વચ્ચે હોપિંગ થાય છે. ચુસ્ત બંધનમાં, ઔબ્રી-આન્દ્રે ક્ષમતાની સ્થળ પરની ઊર્જાઓ સમયાંતરે હોય છે જે જાળીની સમયાંતરે અસંગત હોય છે. સંભવિતને આ રીતે લખી શકાય છે, જ્યાં સરવાળો તમામ સ્થળો પર જાય છે, તે જાળીની જગ્યા પરની વાનિયર સ્થિતિ છે અને સ્થળ પરની ઊર્જા તેના દ્વારા આપવામાં આવે છે. જ્યાં વિકારની શક્તિ છે, તે એક તબક્કો છે અને સંભવિતતાની સામયિકતા છે. સંપૂર્ણ હેમિલ્ટોનિયનને આ રીતે લખી શકાય છે, જ્યાં હોપિંગ અચળાંક છે. આ હેમિલ્ટોનિયન સ્વ-દ્વૈત છે કારણ કે તે ફોરિયર પરિવર્તન પછી સમાન સ્વરૂપ જાળવી રાખે છે. સિસ્ટમના વિશેષ મૂલ્યો માટે સ્થાનિકીકરણ દર્શાવી શકાય છે. જ્યાં અને (સુવર્ણ ગુણોત્તર) માટે, ઓબ્રી અને આન્દ્રેએ દર્શાવ્યું હતું કે જો, તો પછી આઇગનમોડ્સ એન્ડરસન મોડેલની જેમ ઝડપથી સ્થાનિક છે. કારણ કે, આઈગનમોડ વિસ્તૃત સમતલ તરંગો છે. બે વર્તણૂકો વચ્ચેની આ મર્યાદાને સ્થાનિકીકરણ સંક્રમણ અથવા ઔબ્રી-આંદ્રે સંક્રમણ કહેવામાં આવે છે. મર્યાદિત સાંકળો માટે, સંભવિતતાની સમયાંતરે ગુણોત્તર તરીકે પણ પસંદ કરી શકાય છે, જેમાં અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ અને સાંકળમાં સાઇટ્સની સંખ્યા કરતાં મોટી હોય છે. ઔબ્રી-આન્દ્રે મોડેલમાં, કાર્ય તરીકે ઊર્જા વર્ણપટ લગભગ મેથ્યુ સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જે હાર્પર સમીકરણ () સાથે સંબંધિત છે, જે હોફસ્ટેડટર બટરફ્લાય તરીકે ઓળખાતા ફ્રેક્ટલ વર્ણપટ તરફ દોરી જાય છે, જે ચુંબકીય ક્ષેત્ર હેઠળ દ્વિ-પરિમાણીય જાળીમાં ઇલેક્ટ્રોનની ગતિનું વર્ણન કરે છે. 2009 માં અનુભૂતિ, વાય. લાહિની એટ અલ. ફોટોનિક જાળીમાં ઔબ્રી-આન્દ્રે મોડેલની પ્રથમ પ્રાયોગિક અનુભૂતિઓમાંથી એક રજૂ કરી. કન્ડેન્સ્ડ દ્રવ્ય ભૌતિકશાસ્ત્ર સંદર્ભો