Quasiconvexity (calculus of variations)
વિવિધતાના કલનમાં, ગણિતના પેટાક્ષેત્ર, ક્વાસિકોવેક્સિટી એ બહિર્મુખતાની કલ્પનાનું સામાન્યીકરણ છે. તેનો ઉપયોગ કાર્યાત્મક અને મિનિમાઇઝર્સના અસ્તિત્વ સાથે સંબંધિત સંકલનને લાક્ષણિકતા આપવા માટે થાય છે. કેટલીક કુદરતી પરિસ્થિતિઓમાં, પર્યાપ્ત નિયમિત ક્ષેત્ર માટે, નબળા ટોપોલોજીમાં કાર્યાત્મક નીચા અર્ધ-સતત હોવા માટે ઇન્ટિગ્રાન્ડની ક્વાસીકોનવેક્સિટી એક જરૂરી અને પૂરતી સ્થિતિ છે. કોમ્પેક્ટનેસ દલીલો (બનાચ-અલાઓગ્લુ થીયરમ) દ્વારા નબળા અર્ધ-સતત વિધેયોના લઘુતમ અસ્તિત્વ પછી સીધી પદ્ધતિથી અનુસરવામાં આવી શકે છે. આ ખ્યાલ મોરે દ્વારા 1952માં રજૂ કરવામાં આવ્યો હતો. આ સામાન્યીકરણને સમાન નામના ક્વાસીકોનવેક્સ કાર્યની સમાન વિભાવના સાથે ભેળસેળ ન કરવી જોઈએ. વ્યાખ્યા સ્થાનિક રીતે બંધાયેલ બોરેલ-માપી શકાય તેવા કાર્યને ક્વાસીકોનવેક્સ કહેવામાં આવે છે જો બધા અને બધા માટે, એકમ બોલ ક્યાં છે અને આવશ્યકપણે બંધાયેલ વ્યુત્પન્ન અને અદ્રશ્ય થઈ રહેલા ટ્રેસ સાથે આવશ્યકપણે બંધાયેલ કાર્યોની સોબોલેવ જગ્યા છે. ક્વાસીકોનવેક્સ કાર્યોના ગુણધર્મો ડોમેનને અન્ય કોઈપણ બાઉન્ડેડ લિપ્સચિટ્ઝ ડોમેન દ્વારા બદલી શકાય છે. ક્વાસીકોનવેક્સ કાર્યો સ્થાનિક રીતે લિપ્સચિટ્ઝ-સતત હોય છે. વ્યાખ્યામાં અવકાશને સામયિક સોબોલેવ કાર્યો દ્વારા બદલી શકાય છે. બહિર્મુખતાની અન્ય કલ્પનાઓ સાથેના સંબંધો ક્વાસિકોન્વેક્સિટી એ મેટ્રિસીસ પર વ્યાખ્યાયિત કાર્યો માટે બહિર્મુખનું સામાન્યીકરણ છે, આ જોવા માટે ચાલો અને સાથે. રીઝ-માર્કોવ-કાકુતાની પ્રતિનિધિત્વ પ્રમેય જણાવે છે કે તેની બેવડી જગ્યાને તેના પર હસ્તાક્ષરિત, મર્યાદિત રેડોન માપનની જગ્યા સાથે ઓળખી શકાય છે. આપણે રેડોન માપને માટે વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ. તે ચકાસી શકાય છે કે જે સંભાવના માપ છે અને તેનું બેરિસેન્ટર આપવામાં આવે છે જો બહિર્મુખ કાર્ય હોય, તો જેન્સેન્સની અસમાનતા આપે છે આ ખાસ કરીને જો સામાન્યીકૃત સ્ટોક્સ પ્રમેય દ્વારા વ્યુત્પન્ન હોય તો તે ધરાવે છે. નિર્ધારક એ ક્વાસીકોનવેક્સ કાર્યનું ઉદાહરણ છે, જે બહિર્મુખ નથી. નિર્ધારક બહિર્મુખ નથી તે જોવા માટે, ધ્યાનમાં લો કે તે પછી ધરાવે છે પરંતુ આપણી પાસે છે. આ દર્શાવે છે કે નિર્ધારક એ રમત સિદ્ધાંતની જેમ ક્વાસીકોનવેક્સ કાર્ય નથી અને આમ બહિર્મુખતાની એક અલગ કલ્પના છે. કેલ્ક્યુલસ ઓફ વેરિએશન્સના વેક્ટરિયલ કિસ્સામાં બહિર્મુખતાની અન્ય ધારણાઓ છે. ફંક્શન માટે તે માને છે કે આ બધી કલ્પનાઓ સમકક્ષ છે જો અથવા. પહેલેથી જ 1952 માં, મોરેએ અનુમાન લગાવ્યું હતું કે રેન્ક-1-કન્વેક્સિટી એ ક્વાસીકોનવેક્સિટી સૂચવતું નથી. વેરિયેશન્સના કેલ્ક્યુલસમાં આ એક મોટી વણઉકેલાયેલી સમસ્યા હતી, જ્યાં સુધી સ્વેરેકે 1993 માં કેસ માટે એક પ્રતિકૂળ ઉદાહરણ આપ્યું ન હતું અને. કેસ અથવા હજુ પણ એક ખુલ્લી સમસ્યા છે, જે મોરેના અનુમાન તરીકે ઓળખાય છે. નબળા નીચલા અર્ધ-સાતત્ય સાથેનો સંબંધ સંકલનની ચોક્કસ વૃદ્ધિની સ્થિતિ હેઠળ, યોગ્ય સોબોલેવ અવકાશમાં સંકલન કાર્યની ક્રમિક નબળું નીચું અર્ધ-સાતત્ય (એસ. ડબલ્યુ. એલ. એસ. સી.) સંકલનની ક્વાસિકોનવેક્સિટીની સમકક્ષ હોય છે. એસરબી અને ફુસ્કોએ નીચેના પ્રમેયને સાબિત કર્યોઃ પ્રમેયઃ જો કેરાથિઓડોરી કાર્ય છે અને તે ધરાવે છે. પછી સોબોલેવ અવકાશમાં કાર્યાત્મક એસ. ડબલ્યુ. એલ. એસ. સી. છે, જો અને માત્ર જો ક્વાસીકોનવેક્સ હોય તો. અહીં એક સકારાત્મક અચળાંક અને સંકલિત કાર્ય છે. અન્ય લેખકો વિવિધ વૃદ્ધિની પરિસ્થિતિઓ અને વિવિધ પુરાવા શરતોનો ઉપયોગ કરે છે. તેનો પ્રથમ પુરાવો તેમના પેપરમાં મોરેને કારણે હતો, પરંતુ તેમને વધારાની ધારણાઓની જરૂર હતી. સંદર્ભો વિવિધતાની ગણતરી