Yamabe invariant
ગણિતમાં, વિભેદક ભૂમિતિના ક્ષેત્રમાં, યામાબે અપરિવર્તનશીલ, જેને સિગ્મા અચળાંક તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે, તે એક સરળ મેનીફોલ્ડ સાથે સંકળાયેલ વાસ્તવિક સંખ્યા અપરિવર્તનશીલ છે જે ડિફિયોમોર્ફિઝમ્સ હેઠળ સંરક્ષિત છે. તે સૌપ્રથમ ઓ. કોબાયાશી અને આર. શોએન દ્વારા સ્વતંત્ર રીતે લખવામાં આવ્યું હતું અને તેનું નામ એચ. યામાબે પરથી લેવામાં આવ્યું હતું. વિન્સેન્ટ મોનક્રીફ અને આર્થર ફિશર દ્વારા આઈન્સ્ટાઈનના સમીકરણો માટે હેમિલ્ટોનિયનનો અભ્યાસ કરવા માટે ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો. વ્યાખ્યા ચાલો પરિમાણનો કોમ્પેક્ટ સ્મૂથ મેનીફોલ્ડ (સીમા વિના) હોઈએ. સામાન્યીકૃત આઈન્સ્ટાઈન-હિલ્બર્ટ કાર્યાત્મક વાસ્તવિક સંખ્યા પર દરેક રીમાનિયન મેટ્રિકને નીચે મુજબ સોંપે છેઃ ક્યાં સ્કેલર વળાંક છે અને મેટ્રિક સાથે સંકળાયેલ વોલ્યુમ ઘનતા છે. છેદમાં ઘાતાંક પસંદ કરવામાં આવે છે જેથી કાર્યાત્મક સ્કેલ-ઇનવેરિયન્ટ હોયઃ દરેક હકારાત્મક વાસ્તવિક અચળાંક માટે, તે સંતોષ આપે છે. આપણે સરેરાશ સ્કેલર વળાંકને માપવા વિશે વિચારી શકીએ છીએ. યામાબે દ્વારા એવું અનુમાન કરવામાં આવ્યું હતું કે મેટ્રિક્સના દરેક અનુરૂપ વર્ગમાં સતત સ્કેલર વળાંકનું મેટ્રિક હોય છે (કહેવાતી યામાબે સમસ્યા); તે યામાબે, ટ્રુડિંગર, ઔબિન અને શોએન દ્વારા સાબિત કરવામાં આવ્યું હતું કે મેટ્રિક્સના દરેક અનુરૂપ વર્ગમાં ન્યૂનતમ મૂલ્ય પ્રાપ્ત થાય છે, અને ખાસ કરીને આ લઘુત્તમ સ્થિર સ્કેલર વળાંકના મેટ્રિક દ્વારા પ્રાપ્ત થાય છે. અમે વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ કે જ્યાં સરળ વાસ્તવિક-મૂલ્યના વિધેયો પર અનંત લેવામાં આવે છે. આ અનંત મર્યાદિત છે (નહીં): હોલ્ડરની અસમાનતા સૂચવે છે. આ સંખ્યાને કેટલીકવાર કન્ફોર્મલ યામાબે ઊર્જા કહેવામાં આવે છે (અને કન્ફોર્મલ વર્ગો પર સતત હોય છે). ઔબિનને કારણે તુલનાત્મક દલીલ દર્શાવે છે કે કોઈપણ મેટ્રિક માટે, ઉપરથી બંધાયેલ છે, જ્યાં-ગોળા પર પ્રમાણભૂત મેટ્રિક છે. તે અનુસરે છે કે જો આપણે વ્યાખ્યાયિત કરીએ કે જ્યાં તમામ મેટ્રિક્સ પર સર્વોચ્ચતા લેવામાં આવે છે, તો પછી (અને ખાસ કરીને મર્યાદિત છે). વાસ્તવિક સંખ્યાને યામાબે અપરિવર્તનશીલ કહેવામાં આવે છે. બે પરિમાણોમાં યામાબે અપરિવર્તનશીલ એવા કિસ્સામાં કે, (જેથી એમ એક બંધ સપાટી છે) આઈન્સ્ટાઈન-હિલ્બર્ટ કાર્યાત્મક g ની ગૌસ વક્રતા ક્યાં છે તેના દ્વારા આપવામાં આવે છે. જો કે, ગૌસ-બોનેટ પ્રમેય દ્વારા, ગૌસ વક્રતાનું અભિન્ન આ રીતે આપવામાં આવે છે, જ્યાં M ની યુલર લાક્ષણિકતા છે. ખાસ કરીને, આ સંખ્યા મેટ્રિકની પસંદગી પર આધારિત નથી. તેથી, સપાટીઓ માટે, આપણે તારણ કાઢીએ છીએ કે ઉદાહરણ તરીકે, 2-ગોળામાં યામાબે અચળાંક બરાબર છે, અને 2-કોરસમાં શૂન્યની બરાબર યામાબે અચળાંક છે. ઉદાહરણો 1990 ના દાયકાના અંતમાં, ક્લાઉડ લેબ્રુન અને તેમના સહયોગીઓ દ્વારા 4-મેનીફોલ્ડ્સના મોટા વર્ગો માટે યામાબે અપરિવર્તનની ગણતરી કરવામાં આવી હતી. ખાસ કરીને, એવું દર્શાવવામાં આવ્યું હતું કે મોટાભાગની સઘન જટિલ સપાટીઓ નકારાત્મક, બરાબર ગણતરી કરી શકાય તેવી યામાબે અપરિવર્તનશીલ હોય છે, અને નકારાત્મક સ્કેલર વળાંકની કોઈપણ કેલર-આઈન્સ્ટાઈન મેટ્રિક પરિમાણ 4 માં યામાબે અપરિવર્તનશીલને અનુભવે છે. એવું પણ દર્શાવવામાં આવ્યું હતું કે ફુબિની-અભ્યાસ મેટ્રિક દ્વારા યામાબે અપરિવર્તનની અનુભૂતિ થાય છે, અને તેથી તે 4-ગોળા કરતા ઓછું છે. આમાંની મોટાભાગની દલીલોમાં સેઇબર્ગ-વિટન સિદ્ધાંતનો સમાવેશ થાય છે, અને તેથી તે પરિમાણ 4 માટે વિશિષ્ટ છે. પીટિયનને કારણે એક મહત્વપૂર્ણ પરિણામ જણાવે છે કે જો તે ફક્ત જોડાયેલ હોય અને તેનું પરિમાણ હોય, તો. પેરેલમેનના પોઇનકેરે અનુમાનના ઉકેલના પ્રકાશમાં, તે અનુસરે છે કે સરળ રીતે જોડાયેલા-મેનીફોલ્ડમાં નકારાત્મક યામાબે અપરિવર્તનશીલ હોઈ શકે છે જો. બીજી બાજુ, જેમ કે પહેલેથી જ સૂચવવામાં આવ્યું છે, સરળ રીતે જોડાયેલા-મેનિફોલ્ડ્સ હકીકતમાં ઘણીવાર નકારાત્મક યામાબે અપરિવર્તનશીલ હોય છે. નીચે જાણીતા યામાબે અપરિવર્તનશીલ પરિમાણ ત્રણના કેટલાક સરળ મેનીફોલ્ડનું કોષ્ટક છે. પરિમાણ 3 માં, સંખ્યા બરાબર છે અને ઘણીવાર સૂચવવામાં આવે છે. એન્ડરસનને કારણે થયેલી દલીલ દ્વારા, રિક્કી પ્રવાહ પર પેરેલમેનના પરિણામો સૂચવે છે કે કોઈપણ હાયપરબોલિક 3-મેનીફોલ્ડ પર સ્થિર-વળાંક મેટ્રિક યામાબે અપરિવર્તનને અનુભવે છે. આ આપણને 3-મેનિફોલ્ડ્સના અનંત ઉદાહરણો પ્રદાન કરે છે, જેના માટે અપરિવર્તન નકારાત્મક અને બરાબર ગણતરીપાત્ર બંને છે. ટોપોલોજિકલ મહત્વ યામાબે અપરિવર્તનની નિશાની મહત્વપૂર્ણ ટોપોલોજિકલ માહિતી ધરાવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો અને માત્ર ત્યારે જ હકારાત્મક છે જો હકારાત્મક સ્કેલર વળાંકના મેટ્રિકને સ્વીકારે. આ હકીકતનું મહત્વ એ છે કે હકારાત્મક સ્કેલર વળાંકના મેટ્રિક્સ સાથે મેનીફોલ્ડ્સની ટોપોલોજી વિશે ઘણું જાણીતું છે. યામાબે પ્રવાહ યામાબે સમસ્યા ઓબાટાના પ્રમેય નોંધો સંદર્ભો એમ. ટી. પણ જુઓ. એન્ડરસન, "3-મેનિફોલ્ડ્સ અને 4-મેનિફોલ્ડ્સ પર કેનોનિકલ મેટ્રિક્સ", એશિયન જે. ગણિત. 10 127-163 (2006). કે. અકુતાગાવા, એમ. ઇશિદા અને સી. લેબ્રુન, "પેરેલમેનના અપરિવર્તનશીલ, રિક્કી પ્રવાહ અને સરળ મેનીફોલ્ડ્સના યામાબે અપરિવર્તનશીલ", આર્ક. ગણિત. 88, 71-76 (2007). એચ. બ્રે અને એ. નેવ્સ, "યામાબે સાથે મુખ્ય 3-મેનિફોલ્ડનું વર્ગીકરણ તેના કરતા વધારે અપરિવર્તનશીલ", એન. ગણિત. 159, 407-424 (2004). એમ. જે. ગુર્સ્કી અને સી. લેબ્રુન, "યામાબે અપરિવર્તનશીલ અને માળખાં", જીઓમ. કાર્ય કરે છે. ગુદા. 8965-977 (1998). ઓ. કોબયાશી, "એકમ કદ સાથે મેટ્રિકનું સ્કેલર વળાંક", ગણિત. એન. 279, 253-265,1987. સી. લેબ્રુન, "આઈન્સ્ટાઈન મેટ્રિક્સ વિના ફોર-મેનિફોલ્ડ્સ", ગણિત. રે. ચાલો. 3 133-147 (1996). સી. લેબ્રુન, "કોડાઇરા ડાયમેન્શન એન્ડ ધ યામાબે પ્રોબ્લેમ", કોમ. ગુદા. જિયોમ. 7 133-156 (1999). જે. પીટિયન, "સરળ રીતે જોડાયેલા મેનીફોલ્ડ્સનો યામાબે અપરિવર્તનશીલ", જે. રેઇન એન્જેવ. ગણિત. 523 225-231 (2000). આર. શોએન, "રીમાનિયન મેટ્રિક્સ અને સંબંધિત વિષયો માટે કુલ સ્કેલર વળાંક કાર્યાત્મક માટે ભિન્નતા સિદ્ધાંત", વિવિધતાઓના કલનમાં વિષયો, વ્યાખ્યાન. નોંધો ગણિત. 1365, સ્પ્રિંગર, બર્લિન, 120-154,1989. વિભેદક ભૂમિતિ વિભેદક ટોપોલોજી