McVittie metric
સાપેક્ષતાના સામાન્ય સિદ્ધાંતમાં, મેકવિટ્ટી મેટ્રિક એ આઈન્સ્ટાઈનના ક્ષેત્ર સમીકરણોનો ચોક્કસ ઉકેલ છે જે બ્લેક હોલ અથવા વિસ્તરી રહેલા બ્રહ્માંડના અવકાશમાં ડૂબી ગયેલા વિશાળ પદાર્થનું વર્ણન કરે છે. આ ઉકેલ સૌપ્રથમ 1930ના દાયકામાં જ્યોર્જ મેકવિટ્ટી દ્વારા સંપૂર્ણ રીતે પ્રાપ્ત કરવામાં આવ્યો હતો, જ્યારે બ્રહ્માંડના સમૂહ કણ પર તાજેતરમાં શોધાયેલ વિસ્તરણની અસરની તપાસ કરવામાં આવી હતી. બ્રહ્માંડશાસ્ત્રીય અચળ પદ સાથે સામાન્ય સાપેક્ષતાના ક્ષેત્ર સમીકરણોના ગોળાકાર સપ્રમાણ ઉકેલનો સૌથી સરળ કેસ, શ્વાર્ઝસ્ચિલ્ડ-ડી સિટર અવકાશ સમય, મેકવિટ્ટી મેટ્રિકના ચોક્કસ કેસ તરીકે ઊભો થાય છે, જેમાં હકારાત્મક 3-સ્પેસ સ્કેલર વળાંક અને અચળ હબલ પરિમાણ હોય છે. સમસ્થાનિક કોઓર્ડિનેટ્સમાં, મેકવિટ્ટી મેટ્રિક એ દ્વારા આપવામાં આવે છે કે જ્યાં યુક્લિડિયન ગોળા માટે સામાન્ય રેખા તત્વ છે, એમ ને વિશાળ પદાર્થના દળ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે, એફએલઆરડબલ્યુ મેટ્રિકમાં જોવા મળતું સામાન્ય સ્કેલ પરિબળ છે, જે અવકાશ-સમયના વિસ્તરણ માટે જવાબદાર છે; અને 3-જગ્યાના સ્કેલર વળાંક સાથે સંબંધિત વળાંક પરિમાણ છે જે એફએલઆરડબલ્યુ અવકાશ સમયની જેમ જ 3-જગ્યાના વળાંક સાથે સંબંધિત છે. સામાન્ય રીતે એવું માનવામાં આવે છે કે, અન્યથા બ્રહ્માંડ સંકોચનમાંથી પસાર થઈ રહ્યું છે. સમય-આધારિત દળ પરિમાણને વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે, જે મેટ્રિકને વધુ સંક્ષિપ્ત રીતે લખવા માટે, તે સમયે વિસ્તરી રહેલી, ગતિશીલ ત્રિજ્યાની અંદરની દળ ઘનતા માટે જવાબદાર છે. મેકવિટ્ટી મેટ્રિક્સ માટે સામાન્ય વિસ્તરી રહેલા એફએલઆરડબલ્યુ સોલ્યુશન્સના ગુણધર્મો સાથે અને સ્પેસટાઇમમાં ઓછામાં ઓછી બે સિંગ્યુલારીટીઝ ધરાવતી મિલકત છે. એક સમીકરણના સૌથી નાના હકારાત્મક મૂળ પર કોસ્મોલોજિકલ, નલ જેવી નગ્ન એકલતા છે. આ કિસ્સામાં બ્લેક હોલ ઇવેન્ટ-ક્ષિતિજ તરીકે અર્થઘટન કરવામાં આવે છે. આ કેસ માટે, એક ઘટના ક્ષિતિજ છે, પરંતુ કોઈ એકલતા નથી, જે અવકાશ સમયના એસિમ્પ્ટોટિક શ્વાર્ઝસ્ચિલ્ડ-ડી સિટર તબક્કાના અસ્તિત્વ દ્વારા બુઝાઈ જાય છે. બીજી એકત્વતા અવકાશ-સમયની તમામ ઘટનાઓના કારણભૂત ભૂતકાળમાં રહેલી છે, અને તે અવકાશ-સમયની એકત્વતા છે, જે તેના કારણભૂત ભૂતકાળની પ્રકૃતિને કારણે, સામાન્ય બિગ-બેંગ જેવી એકત્વતા તરીકે અર્થઘટન કરવામાં આવે છે. ઓછામાં ઓછા બે ઘટના ક્ષિતિજ પણ છેઃ એક સૌથી મોટા ઉકેલ પર, અને અવકાશ જેવા, મર્યાદિત ભૂતકાળના સમયે બિગ-બેંગ એકત્વનું રક્ષણ કરે છે; અને એક સમીકરણના સૌથી નાના મૂળ પર, મર્યાદિત સમયે પણ. બીજી ઘટના ક્ષિતિજ કેસ માટે બ્લેક હોલ ક્ષિતિજ બની જાય છે. શ્વાર્ઝસ્ચિલ્ડ અને એફએલઆરડબલ્યુ મર્યાદાઓ અનુક્રમે અને ની ચોક્કસ મર્યાદામાં મેકવિટ્ટી મેટ્રિકમાંથી શ્વાર્ઝસ્ચિલ્ડ અને રોબર્ટસન-વૉકર મેટ્રિક્સ મેળવી શકાય છે. વિસ્તરી રહેલા બ્રહ્માંડમાં સામૂહિક કણોની વર્તણૂકનું વર્ણન કરવાના પ્રયાસમાં, મેકવિટીના મૂળ પેપરમાં આસપાસના બ્રહ્માંડના અવકાશ સમયના વિસ્તરણ માટે શ્વાર્સચાઇલ્ડ ત્રિજ્યામાં ઘટાડો સાથે બ્લેક હોલ અવકાશ સમય દર્શાવવામાં આવ્યો છે. જો કે, ન્યુટોનિયન વિક્ષેપ સાથે, એક નાના દળ પરિમાણની મર્યાદામાં, વિક્ષેપિત FLRW અવકાશ સમયનું પણ અર્થઘટન કરી શકાય છે. નીચે આપણે વર્ણવીએ છીએ કે મેકવિટ્ટી મેટ્રિકમાંથી શ્વાર્ઝસ્ચિલ્ડ અને એફએલઆરડબલ્યુ સ્પેસટાઇમ્સ વચ્ચેની આ સામ્યતાઓ કેવી રીતે મેળવવી. સ્ક્વાર્જસ્ચિલ્ડ સપાટ 3-જગ્યાના કિસ્સામાં, સ્કેલર વળાંક અચળાંક સાથે, મેટ્રિક (1) બને છે, જે કોસ્મિક સમયની દરેક ક્ષણ માટે, સ્ક્વાર્જસ્ચિલ્ડ ત્રિજ્યા સાથે આઇસોટ્રોપિક કોઓર્ડિનેટ્સમાં સ્ક્વાર્જસ્ચિલ્ડ બ્લેક હોલની બહારના પ્રદેશનું મેટ્રિક છે. આ સમાનતાને વધુ સ્પષ્ટ બનાવવા માટે, વ્યક્તિ શ્વાર્ઝસ્ચિલ્ડ કોઓર્ડિનેટ્સમાં મેટ્રિક મેળવવા માટે રેડિયલ વેરિયેબલ્સમાં ફેરફાર કરી શકે છેઃ મેટ્રિકના આ સ્વરૂપનું રસપ્રદ લક્ષણ એ છે કે વ્યક્તિ સ્પષ્ટપણે જોઈ શકે છે કે શ્વાર્ઝસ્ચિલ્ડ ત્રિજ્યા, જે નિર્ધારિત કરે છે કે વિશાળ પદાર્થના કેન્દ્રથી કયા અંતરે ઘટના ક્ષિતિજ રચાય છે, તે બ્રહ્માંડના વિસ્તરણ સાથે સંકોચાય છે. કોમોવિંગ નિરીક્ષક માટે, જે હબલ પ્રવાહની સાથે આવે છે, આ અસર દૃશ્યક્ષમ નથી, કારણ કે તેનું રેડિયલ કોઓર્ડિનેટ આના દ્વારા આપવામાં આવે છે, જેમ કે, કોમોવિંગ નિરીક્ષક માટે, સ્થિર હોય છે, અને ઇવેન્ટ હોરાઇઝન સ્થિર રહેશે. લુપ્ત થતા દળ પરિમાણના કિસ્સામાં, મેકવિટ્ટી મેટ્રિક ગોળાકાર કોઓર્ડિનેટ્સમાં બરાબર એફએલઆરડબલ્યુ મેટ્રિક બની જાય છે જે સ્કેલ ફેક્ટરના ઉત્ક્રાંતિ માટે ચોક્કસ ફ્રીડમેન સમીકરણો તરફ દોરી જાય છે. જો કોઈ દ્રવ્યમાન પરિમાણની મર્યાદા લે છે, તો મેટ્રિક (1) બની જાય છે જેને ન્યૂટોનિયન ગેજમાં પર્ટર્બેશન પોટેન્શિયલ સાથે પર્ટર્બર્ડ એફએલઆરડબલ્યુ સ્પેસટાઇમ સાથે મેપ કરી શકાય છે; એટલે કે, કેન્દ્રીય પદાર્થના નાના જથ્થાને એફએલઆરડબલ્યુ મેટ્રિકમાં પર્ટર્બેશન તરીકે સમજી શકાય છે. કોસ્મોલોજી સિંગ્યુલારીટી થીયરમ્સ સંદર્ભો સામાન્ય સાપેક્ષતામાં ચોક્કસ ઉકેલો સામાન્ય સાપેક્ષતામાં અવકાશ સમય ગાણિતિક પદ્ધતિઓ લોરેન્ટ્ઝિયન મેનીફોલ્ડ્સ પણ જુઓ.