Unfriendly partition
અનંત આલેખના ગણિતમાં, બિન-મૈત્રીપૂર્ણ વિભાજન અથવા બહુમતી રંગ એ આલેખના શિરોબિંદુઓને અસંબદ્ધ ઉપગણમાં વિભાજન છે, જેથી દરેક શિરોબિંદુ તેના પોતાના સમૂહની જેમ અન્ય સમૂહોમાં ઓછામાં ઓછા ઘણા પડોશીઓ ધરાવે છે. તે મર્યાદિત આલેખ માટે મહત્તમ કટની વિભાવનાનું સામાન્યીકરણ છે, જે આપમેળે બિન-મૈત્રીપૂર્ણ પાર્ટીશન છે. (જો નહીં, તો તેના પોતાના સમૂહમાં વધુ પડોશીઓ ધરાવતા શિરોબિંદુને અન્ય સમૂહમાં ખસેડી શકાય છે, જેનાથી કટ ધારની સંખ્યામાં વધારો થાય છે.) બિન-મૈત્રીપૂર્ણ વિભાજન અનુમાન એ એક વણઉકેલાયેલી સમસ્યા છે જે પૂછે છે કે દરેક ગણતરીપાત્ર આલેખમાં બે ઉપગણમાં બિન-મૈત્રીપૂર્ણ વિભાજન છે કે કેમ. રોબર્ટ એચ. કોવાન અને વિલિયમ આર. ઇમરસને અપ્રકાશિત કાર્યમાં અનુમાન લગાવ્યું હતું કે દરેક અનંત આલેખ બે ઉપગણમાં બિન-મૈત્રીપૂર્ણ વિભાજન ધરાવે છે. જો કે, સહરોન શેલાહ અને એરિક ચાર્લ્સ મિલ્નરે આ અનુમાનને નકારી કાઢ્યું હતું, જે દર્શાવે છે કે અગણિત આલેખમાં બે-ઉપગણ બિન-મૈત્રીપૂર્ણ પાર્ટીશનો ન હોઈ શકે. તેમ છતાં, તેઓએ બતાવ્યું કે ત્રણ ઉપગણમાં બિન-મૈત્રીપૂર્ણ વિભાજન હંમેશા અસ્તિત્વમાં છે. ગણતરીપાત્ર આલેખમાં, બે-ઉપગણ બિન-મૈત્રીપૂર્ણ વિભાજનનું અસ્તિત્વ નીચેના વિશેષ કિસ્સાઓ માટે જાણીતું છેઃ એવા આલેખ કે જેમાં અનંત ડિગ્રી આલેખના મર્યાદિત સંખ્યાબંધ શિરોબિંદુઓ હોય છે, જેમાં તમામ શિરોબિંદુઓ અનંત ડિગ્રી ધરાવે છે, અનંત જૂથના પેટાવિભાગ વિના કોઈ અંતિમ આલેખ વિના આગળ-પાછળની પદ્ધતિ ગ્રાફનો ઉપયોગ કરીને દલીલ દ્વારા. મનસ્વી રીતે ગણતરીપાત્ર આલેખ માટેનો કેસ ખુલ્લો રહે છે. સંદર્ભ આલેખ સિદ્ધાંત પદાર્થો અનંત આલેખ આલેખ સિદ્ધાંતમાં વણઉકેલાયેલી સમસ્યાઓ