Partition algebra
પાર્ટીશન બીજગણિત એ એક સહયોગી બીજગણિત છે જે સેટ-પાર્ટીશન આકૃતિઓ અને આકૃતિ સંયોજન દ્વારા આપવામાં આવેલા ગુણાકારના આધાર સાથે છે. તેના પેટા બીજગણિતમાં બ્રાઉઅર બીજગણિત, ટેમ્પર્લી-લીબ બીજગણિત અથવા સપ્રમાણ જૂથના જૂથ બીજગણિત જેવા આકૃતિ બીજગણિતનો સમાવેશ થાય છે. પાર્ટીશન બીજગણિતની રજૂઆતો આકૃતિઓના સમૂહમાંથી અને સમપ્રમાણ જૂથની રજૂઆતોમાંથી બનાવવામાં આવે છે. વ્યાખ્યા આકૃતિઓ લેબલ થયેલ તત્વોના વિભાજનને આકૃતિ તરીકે રજૂ કરવામાં આવે છે, જેમાં સમાન ઉપગણમાં તત્વોને જોડતી રેખાઓ હોય છે. નીચેના ઉદાહરણમાં, સબસેટ રેખાઓને જન્મ આપે છે, અને સમાનરૂપે રેખાઓ દ્વારા રજૂ કરી શકાય છે (ઉદાહરણ તરીકે). અને માટે, પાર્ટીશન બીજગણિતને પાર્ટીશનોના બનેલા-આધાર દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, અને આકૃતિ સંયોજન દ્વારા ગુણાકાર આપવામાં આવે છે. કોન્કેટેનેટેડ આકૃતિ એક પરિબળ સાથે આવે છે, જ્યાં ઉપર અને નીચેના ઘટકોથી ડિસ્કનેક્ટ થયેલા જોડાયેલા ઘટકોની સંખ્યા છે. જનરેટર અને સંબંધો પાર્ટીશન બીજગણિત એ પ્રકારનાં ઘટકો દ્વારા ઉત્પન્ન થાય છે આ જનરેટર એવા સંબંધોનું પાલન કરે છે જેમાં પેટા બીજગણિત પેદા કરવા માટે ઉપયોગી અન્ય ઘટકોનો સમાવેશ થાય છે. તેની ગુણાકાર ઓળખ છે પાર્ટીશન બીજગણિત તેના માટે અર્ધ-સરળ છે. આ સમૂહમાં કોઈપણ બે માટે, આલ્જેબ્રા અને આઇસોમોર્ફિક છે. પાર્ટીશન બીજગણિત (બેલ નંબર) સાથે મર્યાદિત-પરિમાણીય છે. પેટા બીજગણિત વિભાજન બીજગણિતના આઠ પેટા બીજગણિત પેટા બીજગણિતને નીચેના ગુણધર્મો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છેઃ શું તેઓ સમતલીય છે એટલે કે. શું રેખાઓ આકૃતિઓમાં પાર કરી શકે છે. શું ઉપગણને કોઈપણ કદ, અથવા કદ, અથવા માત્ર કદની મંજૂરી છે. પછી ભલે આપણે ઉપર-ઉપર અને નીચે-નીચેની રેખાઓને મંજૂરી આપીએ, અથવા માત્ર ઉપર-નીચેની રેખાઓને. પછીના કિસ્સામાં, પરિમાણ ગેરહાજર છે, અથવા તેના દ્વારા દૂર કરી શકાય છે. આ ગુણધર્મોનું સંયોજન વિભાજન બીજગણિત ઉપરાંત 8 બિન-તુચ્છ ઉપ-બીજગણિતને જન્મ આપે છેઃ સમપ્રમાણ જૂથ બીજગણિત એ સમપ્રમાણ જૂથનું જૂથ વર્તુળ છે. મોત્ઝકિન બીજગણિતને કેટલીકવાર ભૌતિકશાસ્ત્રના સાહિત્યમાં મંદ ટેમ્પર્લી-લીબ બીજગણિત કહેવામાં આવે છે. ગુણધર્મો સૂચિબદ્ધ સબએલજેબ્રા માટે અર્ધ-સરળ છે. બિન-સમતલીય બીજગણિતમાં સમતલીય બીજગણિતનો સમાવેશઃ ઉપગણ કદ પરના અવરોધોમાંથી સમાવેશઃ ઉપર-ઉપર અને નીચે-નીચેની રેખાઓને મંજૂરી આપવાથી સમાવેશઃ આપણી પાસે સમરૂપતા છેઃ વધુ ઉપ-બીજગણિત ઉપર વર્ણવેલ આઠ ઉપ-બીજગણિત ઉપરાંત, અન્ય ઉપ-બીજગણિતને વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવ્યા છેઃ સંપૂર્ણ રીતે ફેલાતા વિભાજન ઉપ-બીજગણિત આકૃતિઓ દ્વારા ઉત્પન્ન થાય છે, જેમના તમામ બ્લોક પ્રસારિત થાય છે, એટલે કે. પાર્ટીશનો કે જેમના બધા ઉપગણમાં ઉપર અને નીચેના ઘટકો હોય છે. આ આકૃતિઓ બેવડા સપ્રમાણ ઇન્વર્સ મોનોઇડમાંથી આવે છે, જે આના દ્વારા પેદા થાય છે. અર્ધ-વિભાજન બીજગણિત ઓછામાં ઓછા બે કદના ઉપગણ દ્વારા પેદા થાય છે. તેના જનરેટર છે અને તેનું પરિમાણ છે. એકસમાન બ્લોક ક્રમચય બીજગણિત તળિયાના ઘટકો જેટલા ટોચના ઘટકો સાથે ઉપગણ દ્વારા પેદા થાય છે. તે દ્વારા ઉત્પન્ન થાય છે. અર્ધ-પૂર્ણાંક અનુક્રમણિકા સાથેના બીજગણિતને તત્વોના પાર્ટીશનોમાંથી તે જરૂરી કરીને વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે અને તે સમાન સબસેટમાં હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે, તેના દ્વારા ઉત્પન્ન થાય છે, અને. સામયિક સબઅલ્જેબ્રા રેખાઓ દ્વારા પેદા થાય છે જે રેખા ઓળંગ્યા વિના વલયાકાર પર દોરી શકાય છે. આવા સબાલ્જેબ્રામાં અનુવાદ તત્વનો સમાવેશ થાય છે. અનુવાદ તત્વ અને તેની શક્તિઓ એ એકમાત્ર સંયોજનો છે જે સામયિક સબઅલ્જેબ્રા સાથે સંબંધિત છે. પ્રતિનિધિત્વ માળખું પૂર્ણાંક માટે, ઘટકો (નીચે) અને (ઉપર) ના પાર્ટીશનોનો સમૂહ હોવો જોઈએ, જેમ કે કોઈ બે ટોચના ઘટકો એક જ ઉપગણમાં ન હોય, અને કોઈ ટોચનું તત્વ એકલું ન હોય. આવા પાર્ટીશનોને આકૃતિઓ દ્વારા રજૂ કરવામાં આવે છે જેમાં કોઈ ટોચની રેખાઓ હોતી નથી, જેમાં દરેક ટોચના તત્વ માટે ઓછામાં ઓછી એક રેખા હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે, આ કિસ્સામાંઃ વિભાજન આકૃતિઓ તળિયેથી કાર્ય કરે છે, જ્યારે સમપ્રમાણ જૂથ ટોચ પરથી કાર્ય કરે છે. આ રજૂઆતનું પરિમાણ એ છે કે જ્યાં બીજા પ્રકારની સ્ટર્લિંગ સંખ્યા છે, તે દ્વિપદી ગુણાંક છે, અને હૂક લંબાઈ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે. ના આધારને સેટ-પાર્ટીશન ટેબ્લોની દ્રષ્ટિએ સંયુક્ત રીતે વર્ણવી શકાય છેઃ યુવાન ટેબ્લો કે જેમના બોક્સ સેટ પાર્ટીશનના બ્લોક્સથી ભરેલા હોય છે. એમ ધારીએ કે તે અર્ધ-સરળ છે, પ્રતિનિધિત્વ ઈરીડ્યુસિબલ છે, અને પાર્ટીશન બીજગણિતની ઈરીડ્યુસિબલ મર્યાદિત-પરિમાણીય રજૂઆતોનો સમૂહ છે સબઅલ્જેબ્રાનું પ્રતિનિધિત્વ બિન-પ્લેનર સબઅલ્જેબ્રાનું પ્રતિનિધિત્વ પાર્ટીશન બીજગણિતની રજૂઆત જેવી સમાન રચનાઓ ધરાવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, બ્રાઉઅર બીજગણિતના બ્રાઉઅર-સ્પેકટ મોડ્યુલો સ્પેકટ મોડ્યુલો અને પાર્ટીશનોના ચોક્કસ સમૂહોમાંથી બનાવવામાં આવે છે. પ્લેનર સબઅલ્જેબ્રાના કિસ્સામાં, પ્લેનેરિટી બિન-તુચ્છ ક્રમચયોને અટકાવે છે, અને સ્પેકટ મોડ્યુલો દેખાતા નથી. ઉદાહરણ તરીકે, ટેમ્પર્લી-લીબ બીજગણિતનું પ્રમાણભૂત મોડ્યુલ સાથે પૂર્ણાંક દ્વારા પરિમાણિત કરવામાં આવે છે, અને આધાર ફક્ત પાર્ટીશનોના સમૂહ દ્વારા આપવામાં આવે છે. નીચેનું કોષ્ટક પાર્ટીશન બીજગણિત અને આઠ સબઅલજેબ્રાની ઈરીડ્યુસિબલ રજૂઆતોની યાદી આપે છે. ની ઈરીડ્યુસિબલ રજૂઆતો પાર્ટીશનો દ્વારા અનુક્રમિત થાય છે જેમ કે અને તેમના પરિમાણો છે. ની ઈરીડ્યુસિબલ રજૂઆતો આવા પાર્ટીશનો દ્વારા અનુક્રમિત કરવામાં આવે છે. ની ઈરીડ્યુસિબલ રજૂઆતો પાર્ટીશનોના ક્રમ દ્વારા અનુક્રમિત કરવામાં આવે છે. શુર-વેલ દ્વૈત ધારો. આધાર સાથે-પરિમાણીય વેક્ટર જગ્યા માટે, વેક્ટર જગ્યા પર પાર્ટીશન બીજગણિતની કુદરતી ક્રિયા છે. આ ક્રિયાને પાર્ટીશનના મેટ્રિક્સ ઘટકો દ્વારા આધારમાં વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છેઃ આ મેટ્રિક્સ તત્વ એક છે જો આપેલ કોઈપણ પાર્ટીશન સબસેટને અનુરૂપ તમામ સૂચકાંકો એક થાય, અને અન્યથા શૂન્ય. ઉદાહરણ તરીકે, ટેમ્પર્લી-લીબ જનરેટરની ક્રિયા પાર્ટીશન બીજગણિત અને સપ્રમાણ જૂથ વચ્ચેની દ્વૈતતા છે. ચાલો આપણે સપ્રમાણ જૂથની કુદરતી ક્રમચય રજૂઆત તરીકે લઈએ. આ-પરિમાણીય રજૂઆત એ બે ઈરીડ્યુસિબલ રજૂઆતોનો સરવાળો છેઃ પ્રમાણભૂત અને તુચ્છ રજૂઆત. પછી પાર્ટીશન બીજગણિત એ ટેન્સર પ્રોડક્ટ સ્પેસ પરની ક્રિયાનું કેન્દ્રિયકરણ છે, વધુમાં, બાયમોડ્યુલ તરીકે, ટેન્સર પ્રોડક્ટ સ્પેસ ઇરેડ્યુસિબલ રજૂઆતોમાં વિઘટિત થાય છે જ્યાં પ્રથમ પંક્તિ ઉમેરીને બનાવવામાં આવેલ કદનો યંગ આકૃતિ છે, અને તે અનુરૂપ સ્પેક્ટ મોડ્યુલ છે. સપ્રમાણ જૂથ અને વિભાજન બીજગણિત વચ્ચેનું દ્વૈત સામાન્ય રેખીય જૂથ અને સપ્રમાણ જૂથ વચ્ચેના મૂળ શુર-વેલ દ્વૈતને સામાન્ય બનાવે છે. ત્યાં અન્ય સામાન્યીકરણ છે. સંબંધિત ટેન્સર ઉત્પાદન જગ્યાઓમાં, આપણે પ્રથમ જૂથ અથવા બીજગણિતની ઈરીડ્યુસિબલ-ડાયમેન્શનલ રજૂઆત માટે લખીએ છીએઃ સંદર્ભો વધુ વાંચન પ્રતિનિધિત્વ સિદ્ધાંત આકૃતિ બીજગણિત