Phase space crystals
ફેઝ સ્પેસ ક્રિસ્ટલ એ ભૌતિક પ્રણાલીની સ્થિતિ છે જે વાસ્તવિક જગ્યાને બદલે ફેઝ સ્પેસમાં અલગ સમપ્રમાણતા દર્શાવે છે. એક-કણ પ્રણાલી માટે, ફેઝ સ્પેસ ક્રિસ્ટલ સ્થિતિ બંધ ક્વોન્ટમ પ્રણાલી માટે હેમિલ્ટોનિયનના આઇગેનસ્ટેટ અથવા ખુલ્લી ક્વોન્ટમ પ્રણાલી માટે લિઉવિલિયનના આઇગેનઓપરેટરનો સંદર્ભ આપે છે. મલ્ટી-બોડી સિસ્ટમ માટે, ફેઝ સ્પેસ ક્રિસ્ટલ એ ફેઝ સ્પેસમાં ઘન જેવી સ્ફટિકીય સ્થિતિ છે. ફેઝ સ્પેસ ક્રિસ્ટલ્સનું સામાન્ય માળખું ગતિશીલ પ્રણાલીઓના ફેઝ સ્પેસમાં સોલિડ સ્ટેટ ફિઝિક્સ અને કન્ડેન્સ્ડ મેટર ફિઝિક્સના અભ્યાસને વિસ્તારવાનું છે. જ્યારે વાસ્તવિક અવકાશમાં યુક્લિડિયન ભૂમિતિ હોય છે, ત્યારે ફેઝ સ્પેસ ક્લાસિકલ સિમ્પ્લેક્ટિક ભૂમિતિ અથવા ક્વોન્ટમ નોનકોમ્યુટેટિવ ભૂમિતિ સાથે જડિત હોય છે. તેમના પ્રખ્યાત પુસ્તક મેથેમેટિકલ ફાઉન્ડેશન્સ ઓફ ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સમાં, જ્હોન વોન ન્યુમેને અનુક્રમે સ્થિતિ અને વેગ દિશાઓ સાથે બે પરિવર્તનીય પ્રાથમિક વિસ્થાપન ઓપરેટરો દ્વારા તબક્કા અવકાશ જાળીનું નિર્માણ કર્યું હતું, જેને આજકાલ વોન ન્યુમેન જાળી પણ કહેવામાં આવે છે. જો તબક્કાની જગ્યાને આવર્તન-સમયના સમતલમાં બદલવામાં આવે, તો વોન ન્યુમેન જાળીને ગેબર જાળી કહેવામાં આવે છે અને સંકેત પ્રક્રિયા માટે તેનો વ્યાપકપણે ઉપયોગ થાય છે. પરિણામે, તબક્કાની જગ્યામાં બંધ માર્ગ સાથે આગળ વધતી સુસંગત સ્થિતિ વધારાના તબક્કાના પરિબળને પ્રાપ્ત કરે છે, જે ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં આગળ વધતા ચાર્જ કણની અહરોનોવ-બોહમ અસર જેવી જ છે. ફેઝ સ્પેસ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચે ઊંડો સંબંધ છે. હકીકતમાં, ગતિના કેનોનિકલ સમીકરણને લોરેન્ઝ-બળ સ્વરૂપમાં પણ ફરીથી લખી શકાય છે જે શાસ્ત્રીય તબક્કાની જગ્યાની સિમપ્લેક્ટિક ભૂમિતિને પ્રતિબિંબિત કરે છે. ગતિશીલ પ્રણાલીઓના તબક્કાની જગ્યામાં, સ્થિર બિંદુઓ તેમના પડોશી પ્રદેશો સાથે મળીને અસ્તવ્યસ્ત સમુદ્રમાં કહેવાતા પોઇનકેરે-બિર્ખોફ ટાપુઓ બનાવે છે જે તબક્કાની જગ્યામાં સાંકળ અથવા કેટલાક નિયમિત દ્વિ-પરિમાણીય જાળી માળખાઓ બનાવી શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, કિક હાર્મોનિક ઓસિલેટર (કે. એચ. ઓ.) નું અસરકારક હેમિલ્ટોનિયન કિકિંગ નંબરના ગુણોત્તરના આધારે તબક્કાની જગ્યામાં ચોરસ જાળી, ત્રિકોણ જાળી અને અર્ધ-સ્ફટિક રચનાઓ પણ ધરાવી શકે છે. હકીકતમાં, કે. એચ. ઓ. ફેઝ સ્પેસ ક્રિસ્ટલ્સ (પી. એસ. સી.) માટે યોગ્ય કિકિંગ ક્રમ પસંદ કરીને કોઈપણ મનસ્વી ફેઝ સ્પેસ લેટીસ એન્જિનિયર્ડ કરી શકાય છે ફેઝ સ્પેસ ક્રિસ્ટલનો ખ્યાલ ગુઓ એટ અલ દ્વારા પ્રસ્તાવિત કરવામાં આવ્યો હતો અને મૂળરૂપે સમયાંતરે સંચાલિત (ફ્લોક્વેટ) ડાયનેમિકલ સિસ્ટમના અસરકારક હેમિલ્ટોનિયનના આઈગનસ્ટેટનો સંદર્ભ આપે છે. ક્રિયાપ્રતિક્રિયા અસરનો સમાવેશ થાય છે કે કેમ તેના આધારે, તબક્કા અવકાશ સ્ફટિકોને એક-કણ પી. એસ. સી. અને બહુવિધ-શરીર પી. એસ. સી. માં વર્ગીકૃત કરી શકાય છે. એક-કણ તબક્કા અવકાશ સ્ફટિકો તબક્કા અવકાશમાં સમપ્રમાણતા પર આધાર રાખીને, તબક્કા અવકાશ સ્ફટિક એક-પરિમાણીય (1D) સ્થિતિ હોઈ શકે છે જેમાં તબક્કાની જગ્યામાં-ગણો પરિભ્રમણ સમપ્રમાણતા અથવા સમગ્ર તબક્કાની જગ્યામાં વિસ્તૃત દ્વિ-પરિમાણીય (2D) જાળીની સ્થિતિ હોઈ શકે છે. બંધ પ્રણાલી માટે તબક્કા અવકાશ સ્ફટિકની વિભાવનાને ખુલ્લી ક્વોન્ટમ પ્રણાલીઓમાં વિસ્તૃત કરવામાં આવી છે અને તેને વિસર્જિત તબક્કા અવકાશ સ્ફટિકો તરીકે નામ આપવામાં આવ્યું છે. Zn PSC તબક્કાની જગ્યા મૂળભૂત રીતે વાસ્તવિક જગ્યાથી અલગ છે કારણ કે તબક્કાની જગ્યાના બે કોઓર્ડિનેટ્સ મુસાફરી કરતા નથી, એટલે કે, પરિમાણહીન પ્લાન્ક અચળાંક ક્યાં છે. લેડર ઓપરેટરને તે રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. ભૌતિક પ્રણાલીના હેમિલ્ટોનિયનને લેડર ઓપરેટર્સના કાર્યમાં પણ લખી શકાય છે. ફેઝ સ્પેસમાં રોટેશનલ ઓપરેટરને વ્યાખ્યાયિત કરીને, જ્યાં હકારાત્મક પૂર્ણાંક સાથે, સિસ્ટમ-ફોલ્ડ રોટેશનલ સમપ્રમાણતા અથવા સમપ્રમાણતા ધરાવે છે જો હેમિલ્ટોનિયન રોટેશનલ ઓપરેટર સાથે વિનિમય કરે છે, એટલે કે, આ કિસ્સામાં, કોઈ વ્યક્તિ બ્લોચ થીયરમને-ફોલ્ડ સમપ્રમાણ હેમિલ્ટોનિયન પર લાગુ કરી શકે છે અને બેન્ડ સ્ટ્રક્ચરની ગણતરી કરી શકે છે. હેમિલ્ટોનિયનની સ્વતંત્ર પરિભ્રમણ સપ્રમાણ રચનાને ફેઝ સ્પેસ લેટીસ કહેવામાં આવે છે અને અનુરૂપ આઈગનસ્ટેટને ફેઝ સ્પેસ સ્ફટિકો કહેવામાં આવે છે. જાળી પી. એસ. સી. સ્વતંત્ર પરિભ્રમણ સમપ્રમાણતાને સમગ્ર તબક્કાની જગ્યામાં સ્વતંત્ર અનુવાદાત્મક સમપ્રમાણતા સુધી વિસ્તૃત કરી શકાય છે. આવા હેતુ માટે, ફેઝ સ્પેસમાં ડિસ્પ્લેસમેન્ટ ઓપરેટરને વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જેના દ્વારા ગુણધર્મ હોય છે, જ્યાં ફેઝ સ્પેસમાં ડિસ્પ્લેસમેન્ટ વેક્ટરને અનુરૂપ એક જટિલ સંખ્યા હોય છે. સિસ્ટમમાં અલગ ટ્રાન્સલેશનલ સમપ્રમાણતા હોય છે જો હેમિલ્ટોનિયન ટ્રાન્સલેશનલ ઓપરેટર સાથે પરિવર્તિત થાય છે, એટલે કે, જો ત્યાં બે પ્રાથમિક વિસ્થાપન અસ્તિત્વમાં હોય અને જે એક સાથે ઉપરોક્ત સ્થિતિને સંતોષે છે, તો હેમિલ્ટોનિયન ફેઝ સ્પેસ ફેઝ સ્પેસમાં 2D લેટીસ સમપ્રમાણતા ધરાવે છે. જો કે, બે ડિસ્પ્લેસમેન્ટ ઓપરેટરો સામાન્ય રીતે પરિવર્તનીય નથી. બિન-પરિવર્તનીય તબક્કાની જગ્યામાં, "બિંદુ" નો ખ્યાલ અર્થહીન છે. તેના બદલે, સુસંગત સ્થિતિને નીચાણ કરનાર ઓપરેટરની આઈગનસ્ટેટ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. વિસ્થાપન સંચાલક સુસંગત સ્થિતિને વધારાના તબક્કા સાથે વિસ્થાપિત કરે છે, એટલે કે. એક સુસંગત સ્થિતિ કે જે બંધ માર્ગ સાથે આગળ વધે છે, દા. ત., તબક્કાની જગ્યા દ્વારા આપવામાં આવેલી ત્રણ ધાર ધરાવતો ત્રિકોણ, ભૌમિતિક તબક્કાનું પરિબળ પ્રાપ્ત કરે છે જ્યાં બંધ વિસ્તાર હોય છે. આ ભૌમિતિક તબક્કો ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં આવેશિત કણોના અહરોનોવ-બોહમ તબક્કાને અનુરૂપ છે. જો ચુંબકીય એકમ કોષ અને જાળી એકમ કોષ સુસંગત હોય, એટલે કે, ત્યાં બે પૂર્ણાંકો અસ્તિત્વમાં છે અને એવું છે કે, કોઈ 2D બ્રિલોઇનમાં વ્યાખ્યાયિત બેન્ડ માળખાની ગણતરી કરી શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, ચોરસ તબક્કાની અવકાશ જાળી હેમિલ્ટોનિયનનું વર્ણપટ હોફસ્ટેડટરની બટરફ્લાય બેન્ડ માળખું દર્શાવે છે જે ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ચુસ્ત-બંધનકર્તા જાળીની સાઇટ્સ વચ્ચે ચાર્જ થયેલા કણોના કૂદવાનું વર્ણન કરે છે. આ કિસ્સામાં, આઈગનસ્ટેટને 2D જાળી તબક્કા અવકાશ સ્ફટિકો કહેવામાં આવે છે. ડિસિપેટિવ પી. એસ. સી. ક્લોઝ્ડ ક્વોન્ટમ સિસ્ટમ માટે ફેઝ સ્પેસ ક્રિસ્ટલ્સની વિભાવનાને ઓપન ક્વોન્ટમ સિસ્ટમ સુધી વિસ્તૃત કરવામાં આવી છે. સર્કિટ ક્યુઇડી પ્રણાલીઓમાં, જોસેફસન જંકશન અને-ફોટોન રેઝોનન્સ હેઠળ વોલ્ટેજ બાયસ સાથે જોડાયેલા માઇક્રોવેવ રેઝોનેટરને ઉપર વર્ણવેલ ફેઝ સ્પેસ સિમેટ્રી સાથે ફરતી તરંગ અંદાજ (આરડબલ્યુએ) હેમિલ્ટોનિયન દ્વારા વર્ણવી શકાય છે. જ્યારે સિંગલ-ફોટોન લોસ પ્રબળ હોય છે, ત્યારે રેઝોનેટરની વિસર્જિત ગતિશીલતાને નીચેના મુખ્ય સમીકરણ (લિન્ડબ્લાડ સમીકરણ) દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે જ્યાં લોસ રેટ છે અને સુપરઓપરેટરને લિઉવિલિયન કહેવામાં આવે છે. સિસ્ટમના લિઉવિલિયનના આઈગનસ્પેક્ટ્રમ અને અનુરૂપ આઈગન ઓપરેટર્સની ગણતરી કરી શકાય છે. નોંધ લો કે માત્ર હેમિલ્ટોનિયન જ નહીં પણ લિઉવિલિયન પણ-fold રોટેશનલ ઓપરેશન હેઠળ અપરિવર્તનશીલ છે, એટલે કે, અને સાથે. આ સમપ્રમાણતા તબક્કા અવકાશ સ્ફટિકોની વિભાવનાને ખુલ્લી ક્વોન્ટમ પ્રણાલી સુધી વિસ્તારવામાં નિર્ણાયક ભૂમિકા ભજવે છે. પરિણામે, લિઉવિલિયન આઈગન ઓપરેટર્સ પાસે ફેઝ સ્પેસમાં બ્લોચ મોડ માળખું હોય છે, જેને ડિસિપેટિવ ફેઝ સ્પેસ ક્રિસ્ટલ કહેવામાં આવે છે. બહુવિધ-શરીર તબક્કા અવકાશ સ્ફટિકો તબક્કા અવકાશ સ્ફટિકની વિભાવનાને ક્રિયાપ્રતિક્રિયા કરતા કણોની પ્રણાલીઓ સુધી વિસ્તૃત કરી શકાય છે જ્યાં તે તબક્કાની જગ્યામાં ઘન જેવી સ્ફટિકીય રચના ધરાવતી બહુવિધ-શરીર સ્થિતિનો સંદર્ભ આપે છે. આ કિસ્સામાં, કણોની ક્રિયાપ્રતિક્રિયા મહત્વપૂર્ણ ભૂમિકા ભજવે છે. વાસ્તવિક અવકાશમાં, વિક્ષેપકારક સામયિક ડ્રાઇવ (અવધિ સાથે) ને આધિન બહુવિધ-પદાર્થ હેમિલ્ટોનિયન દ્વારા આપવામાં આવે છે સામાન્ય રીતે, ક્રિયાપ્રતિક્રિયા સંભવિતતા એ વાસ્તવિક અવકાશમાં બે કણોના અંતરનું કાર્ય છે. ડ્રાઇવિંગ આવર્તન સાથે ફરતી ફ્રેમમાં રૂપાંતર કરીને અને ફરતી તરંગ અંદાજ (આરડબલ્યુએ) ને અનુકૂળ કરીને, કોઈ અસરકારક હેમિલ્ટોનિયન મેળવી શકે છે અહીં, સ્ટ્રોબોસ્કોપિક સ્થિતિ અને-th કણની ગતિ છે, એટલે કે, તેઓ ડ્રાઇવિંગ સમયગાળાના પૂર્ણાંક ગુણાંકના મૂલ્યો લે છે. ફેઝ સ્પેસમાં સ્ફટિક માળખું રાખવા માટે, ફેઝ સ્પેસમાં અસરકારક ક્રિયાપ્રતિક્રિયા ફેઝ સ્પેસમાં ડિસ્ક્રીટ રોટેશનલ અથવા ટ્રાન્સલેશનલ ઓપરેશન્સ હેઠળ અપરિવર્તનશીલ હોવી જરૂરી છે. તબક્કો અવકાશ ક્રિયાપ્રતિક્રિયાઓ શાસ્ત્રીય ગતિશાસ્ત્રમાં, અગ્રણી ક્રમમાં, તબક્કા અવકાશમાં અસરકારક ક્રિયાપ્રતિક્રિયા સંભવિતતા એ એક ડ્રાઇવિંગ સમયગાળામાં સમય-સરેરાશ વાસ્તવિક અવકાશ ક્રિયાપ્રતિક્રિયા છે. પૂર્ણાંકો અને અર્ધ-પૂર્ણાંકો સાથે મોડેલ પાવર-લો ક્રિયાપ્રતિક્રિયા સંભવિતતા માટે, ઉપરોક્ત સમય-સરેરાશ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવેલ સીધું સંકલન અલગ છે, એટલે કે, વિચલનને દૂર કરવા માટે પુનઃનિર્ધારણ પ્રક્રિયા રજૂ કરવામાં આવી હતી અને યોગ્ય તબક્કો અવકાશ ક્રિયાપ્રતિક્રિયા એ સમતલમાં તબક્કાના અંતરનું કાર્ય છે. કુલમ્બ પોટેન્શિયલ માટે, પરિણામ હજુ પણ કુલમ્બના કાયદાના સ્વરૂપને લઘુગણક પુનરાવર્તિત "ચાર્જ" સુધી રાખે છે, જ્યાં યુલરની સંખ્યા છે. કારણ કે, રીનોર્મલાઇઝ્ડ ફેઝ સ્પેસ ઇન્ટરેક્શન પોટેન્શિયલ એ છે જ્યાં અથડામણ પરિબળ છે. ના વિશેષ કેસ માટે, ફેઝ સ્પેસમાં કોઈ અસરકારક ક્રિયાપ્રતિક્રિયા નથી કારણ કે તે ફેઝ સ્પેસ અંતરના સંદર્ભમાં અચળ છે. સામાન્ય રીતે, ફેઝ સ્પેસની ક્રિયાપ્રતિક્રિયા ફેઝ સ્પેસ અંતર સાથે વધે છે. હાર્ડ-સ્ફીઅર ક્રિયાપ્રતિક્રિયા () માટે, તબક્કો અવકાશ ક્રિયાપ્રતિક્રિયા ક્વોન્ટમ ક્રોમોડાયનેમિક્સ (ક્યુસીડી) માં ક્વોર્ક વચ્ચેની બંધન ક્રિયાપ્રતિક્રિયા જેવી વર્તે છે. ઉપરોક્ત તબક્કાની અવકાશ ક્રિયાપ્રતિક્રિયા ખરેખર તબક્કાની જગ્યામાં અલગ પરિભ્રમણ અથવા અનુવાદાત્મક કામગીરી હેઠળ અપરિવર્તનશીલ છે. ડ્રાઇવિંગથી ફેઝ સ્પેસ લેટીસ પોટેન્શિયલ સાથે જોડાઈને, ત્યાં એક સ્થિર શાસન અસ્તિત્વમાં છે જ્યાં કણો સમયાંતરે ફેઝ સ્પેસમાં પોતાને ગોઠવે છે જે ઘણા-બોડી ફેઝ સ્પેસ સ્ફટિકોને જન્મ આપે છે. ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સમાં, બિંદુ કણને ક્વોન્ટમ વેવ પેકેટ દ્વારા બદલવામાં આવે છે અને વિચલનની સમસ્યા સ્વાભાવિક રીતે ટાળવામાં આવે છે. ફ્લોક્વેટ પ્રણાલી માટે સૌથી નીચા ક્રમના મેગ્નસ વિસ્તરણ માટે, બે કણોની ક્વોન્ટમ ફેઝ સ્પેસ ક્રિયાપ્રતિક્રિયા એ નીચે મુજબ સામયિક બે-બોડી ક્વોન્ટમ સ્થિતિ પર સમય-સરેરાશ વાસ્તવિક સ્પેસ ક્રિયાપ્રતિક્રિયા છે. સુસંગત અવસ્થાની રજૂઆતમાં, ક્વોન્ટમ તબક્કાની અવકાશ ક્રિયાપ્રતિક્રિયા લાંબા અંતરની મર્યાદામાં શાસ્ત્રીય તબક્કાની અવકાશ ક્રિયાપ્રતિક્રિયામાં પહોંચે છે. ઓસિલેટિંગ મિરર પર ઉછળતા પ્રતિકારક સંપર્ક ક્રિયાપ્રતિક્રિયા ધરાવતા બોસોનિક અલ્ટ્રાકોલ્ડ અણુઓ માટે, ફેઝ સ્પેસ લેટીસમાં મોટ ઇન્સ્યુલેટર જેવી સ્થિતિ બનાવવી શક્ય છે. આ કિસ્સામાં, દરેક સંભવિત સાઇટમાં કણોની સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત સંખ્યા હોય છે જેને 1D મલ્ટી-બોડી ફેઝ સ્પેસ ક્રિસ્ટલના ઉદાહરણ તરીકે જોઈ શકાય છે. જો બે અવિભાજ્ય કણોમાં સ્પિન હોય, તો કુલ તબક્કા અવકાશ ક્રિયાપ્રતિક્રિયાને સીધી ક્રિયાપ્રતિક્રિયા અને વિનિમય ક્રિયાપ્રતિક્રિયાના સરવાળામાં લખી શકાય છે. આનો અર્થ એ છે કે બે કણોની અથડામણ દરમિયાન વિનિમય અસર અસરકારક સ્પિન-સ્પિન ક્રિયાપ્રતિક્રિયાને પ્રેરિત કરી શકે છે તબક્કો અવકાશ સ્ફટિક કંપન ઘન સ્ફટિકોને વાસ્તવિક અવકાશમાં અણુઓની સામયિક ગોઠવણી દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, સમય-સામયિક ડ્રાઇવને આધિન અણુઓ પણ સ્ફટિક બનાવી શકે છે. આ અણુઓ વચ્ચેની ક્રિયાપ્રતિક્રિયાઓ નક્કર સ્ફટિકોમાં ફોનોન જેવી સામૂહિક કંપન પદ્ધતિઓને જન્મ આપે છે. હનીકોમ્બ ફેઝ સ્પેસ ક્રિસ્ટલ ખાસ કરીને રસપ્રદ છે કારણ કે કંપનશીલ બેન્ડ માળખામાં બે પેટા-જાળી બેન્ડ હોય છે જેમાં બિન-તુચ્છ ટોપોલોજિકલ ભૌતિકશાસ્ત્ર હોઈ શકે છે. કોઈપણ બે અણુઓના સ્પંદનો આંતરિક રીતે જટિલ જોડાણો સાથે જોડીની ક્રિયાપ્રતિક્રિયા દ્વારા જોડાયેલા હોય છે. તેમના જટિલ તબક્કાઓ એક સરળ ભૌમિતિક અર્થઘટન ધરાવે છે અને તેને ગેજ પરિવર્તન દ્વારા દૂર કરી શકાતું નથી, જે તબક્કા અવકાશમાં બિન-તુચ્છ ચેરન સંખ્યાઓ અને કાયરલ ધાર સ્થિતિઓ સાથે કંપનશીલ બેન્ડ માળખા તરફ દોરી જાય છે. વાસ્તવિક અવકાશમાં તમામ ટોપોલોજિકલ પરિવહન દૃશ્યોથી વિપરીત, ફેઝ સ્પેસ ફોનોન માટે કાયરલ પરિવહન ભૌતિક સમય-વિપરીત સમપ્રમાણતાને તોડ્યા વિના ઊભી થઈ શકે છે. સમયના સ્ફટિકો સાથે સંબંધ સમયના સ્ફટિકો અને તબક્કાના અવકાશ સ્ફટિકો નજીકથી સંબંધિત છે પરંતુ વિવિધ વિભાવનાઓ છે. તેઓ બંને સબહાર્મોનિક સ્થિતિઓનો અભ્યાસ કરે છે જે સમયાંતરે સંચાલિત પ્રણાલીઓમાં ઉભરી આવે છે. સમયના સ્ફટિકો સ્વતંત્ર સમય અનુવાદાત્મક સમપ્રમાણતા (ડી. ટી. ટી. એસ.) ની સ્વયંસ્ફુરિત સમપ્રમાણતા તોડવાની પ્રક્રિયા અને ક્વોન્ટમ બહુવિધ-શરીર પ્રણાલીઓમાં સબહાર્મોનિક સ્થિતિઓની સુરક્ષા પદ્ધતિ પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરે છે. તેનાથી વિપરીત, ફેઝ સ્પેસ ક્રિસ્ટલનો અભ્યાસ ફેઝ સ્પેસમાં અલગ સમપ્રમાણતા પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરે છે. ફેઝ સ્પેસ સ્ફટિકનું નિર્માણ કરતી મૂળભૂત સ્થિતિઓ આવશ્યકપણે બહુવિધ-શરીરની સ્થિતિ નથી, અને એક-કણોના ફેઝ સ્પેસ સ્ફટિકો માટે ડીટીટીએસને તોડવાની જરૂર નથી. બહુવિધ શરીર પ્રણાલીઓ માટે, તબક્કા અવકાશ સ્ફટિકો સંભવિત સબહાર્મોનિક સ્થિતિઓની આંતરક્રિયાનો અભ્યાસ કરે છે જે તબક્કાની જગ્યામાં સમયાંતરે ગોઠવાય છે. બહુવિધ સમયના સ્ફટિકોની આંતરક્રિયાનો અભ્યાસ કરવાનો એક વલણ છે જે સમયના સ્ફટિકોમાં કન્ડેન્સ્ડ મેટર ફિઝિક્સ તરીકે રચાય છે સંદર્ભો ભૌતિકશાસ્ત્રમાં હેમિલ્ટોનિયન મિકેનિક્સમાં વિભાવનાઓ પરિમાણીય સિસ્ટમો ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સ