Balance of angular momentum
શાસ્ત્રીય મિકેનિક્સમાં કોણીય વેગનું સંતુલન અથવા યુલરનો બીજો નિયમ એ ભૌતિકશાસ્ત્રનો નિયમ છે, જે જણાવે છે કે પદાર્થના કોણીય વેગમાં ફેરફાર કરવા માટે તેના પર ટોર્ક લાગુ કરવો આવશ્યક છે. ઉપયોગનું ઉદાહરણ ચિત્રમાં રમતનું મેદાન મેરી-ગો-રાઉન્ડ છે. તેને પરિભ્રમણમાં મૂકવા માટે તેને દબાણ કરવું આવશ્યક છે. તકનીકી રીતે એક ટોર્ક બોલાવે છે જે મેરી-ગો-રાઉન્ડમાં કોણીય વેગ આપે છે. બેરિંગ અને ડ્રેગમાં ઘર્ષણ બળોનું ટોર્ક, જોકે, પ્રતિરોધક ટોર્ક બનાવે છે જે ધીમે ધીમે કોણીય વેગ ઘટાડશે અને છેવટે પરિભ્રમણ બંધ કરશે. ગાણિતિક રચના જણાવે છે કે એક બિંદુની આસપાસ કોણીય વેગના પરિવર્તનનો દર, તે બિંદુની આસપાસ તે પદાર્થ પર કામ કરતા બાહ્ય ટોર્કના સરવાળા જેટલો છેઃ બિંદુ એ જડતા પ્રણાલીમાં એક નિશ્ચિત બિંદુ અથવા પદાર્થના દળનું કેન્દ્ર છે. ખાસ કિસ્સામાં, જ્યારે બાહ્ય ટોર્ક અદૃશ્ય થઈ જાય છે, ત્યારે તે દર્શાવે છે કે કોણીય વેગ જાળવી રાખવામાં આવે છે. કોણીય વેગના પરિવર્તનનો સામનો કરતું ડી 'એલેમ્બર્ટ બળ જાઇરોસ્કોપિક અસર તરીકે દેખાય છે. કોણીય વેગના સંતુલનમાંથી અનુરૂપ શીયર સ્ટ્રેસની સમાનતા અથવા કોચી સ્ટ્રેસ ટેન્સરની સમપ્રમાણતાને અનુસરે છે. તે જ બોલ્ટ્ઝમેન સ્વયંસિદ્ધમાંથી અનુસરે છે, જે મુજબ સાતત્યમાં આંતરિક બળો ટોર્ક-મુક્ત હોય છે. આમ કોણીય વેગનું સંતુલન, કોચી સ્ટ્રેસ ટેન્સરની સમપ્રમાણતા અને સાતત્ય મિકેનિક્સમાં બોલ્ટ્ઝમેન સ્વયંસિદ્ધ સંબંધિત શબ્દો છે. ખાસ કરીને ટોચના સિદ્ધાંતમાં કોણીય ગતિનું સંતુલન નિર્ણાયક ભૂમિકા ભજવે છે. સાતત્ય મિકેનિક્સમાં તે સ્ટ્રેસ ટેન્સરના સ્ક્યુ-સિમેટ્રિક ભાગને બરાબર નક્કી કરવા માટે કામ કરે છે. કોણીય વેગનું સંતુલન, ન્યુટોનિયન નિયમો ઉપરાંત, એક મૂળભૂત અને સ્વતંત્ર સિદ્ધાંત છે અને તે સૌપ્રથમ 1775માં સ્વિસ ગણિતશાસ્ત્રી અને ભૌતિકશાસ્ત્રી લિયોનહાર્ડ યુલર દ્વારા રજૂ કરવામાં આવ્યો હતો. ઇતિહાસ સ્વિસ ગણિતશાસ્ત્રી જેકબ પ્રથમ બર્નૌલીએ 1703માં કોણીય વેગના સંતુલનને લાગુ કર્યું-તેને સ્પષ્ટ રીતે ઘડ્યાં વિના-લોલકના દોલનનું કેન્દ્ર શોધવા માટે, જે તેમણે 1686માં પ્રથમ, કંઈક અંશે ખોટી રીતે પહેલેથી જ કરી દીધું હતું. કોણીય વેગનું સંતુલન આમ ન્યૂટનના નિયમોથી આગળ હતું, જે સૌપ્રથમ 1687માં પ્રકાશિત થયા હતા. 1744માં, યુલર પ્રણાલીની ગતિના સમીકરણો દર્શાવવા માટે વેગ અને કોણીય વેગના સિદ્ધાંતોનો ઉપયોગ કરનાર પ્રથમ વ્યક્તિ હતા. 1750માં, તેમના ગ્રંથ "ડિસ્કવરી ઓફ અ ન્યૂ પ્રિન્સિપલ ઓફ મિકેનિક્સ" માં તેમણે યુલરના રિજિડ બોડી ડાયનેમિક્સના સમીકરણો પ્રકાશિત કર્યા, જે આજે એંગ્યુલર મોમેન્ટમના સંતુલનમાંથી મેળવવામાં આવ્યા છે, જે યુલર, જોકે, ન્યૂટનના બીજા નિયમમાંથી રિજિડ બોડી માટે અનુમાન કરી શકે છે. પ્લેન ઇલાસ્ટિક કન્ટિન્યુઆ પર અભ્યાસ કર્યા પછી, જે ટોર્કના સંતુલન માટે અનિવાર્ય છે, યુલરએ 1775માં પદાર્થોની હિલચાલની ગણતરી માટે કોણીય વેગના સંતુલનને સ્વતંત્ર સિદ્ધાંત સુધી વધાર્યું હતું. 1822માં, ફ્રેન્ચ ગણિતશાસ્ત્રી ઓગસ્ટિન-લુઇસ કોચીએ સ્ટ્રેસ ટેન્સરની રજૂઆત કરી હતી, જેની સમપ્રમાણતા અને રેખીય વેગના સંતુલનથી વિકૃત પદાર્થના સામાન્ય કિસ્સામાં કોણીય વેગના સંતુલનની પરિપૂર્ણતા સુનિશ્ચિત થઈ હતી. કોણીય વેગના સંતુલનનું અર્થઘટન સૌપ્રથમ 1851 માં એમ. પી. સેન્ટ-ગુઇલહેમ દ્વારા નોંધવામાં આવ્યું હતું. પરિભ્રમણની ગતિશાસ્ત્ર ગતિશાસ્ત્ર એવી સ્થિતિઓ સાથે વ્યવહાર કરે છે જે યાંત્રિક સંતુલનમાં નથી. ન્યૂટનના બીજા નિયમ અનુસાર, બાહ્ય બળ શરીરના વેગ (પ્રવેગ) માં ફેરફાર તરફ દોરી જાય છે. સમાન રીતે બાહ્ય ટોર્કનો અર્થ કોણીય વેગમાં ફેરફાર થાય છે જે કોણીય પ્રવેગમાં પરિણમે છે. પરિભ્રમણને લગતી જડતા માત્ર શરીરના દળ પર જ નહીં પરંતુ તેના અવકાશી વિતરણ પર પણ આધાર રાખે છે. કઠોર શરીર સાથે આ જડતાની ક્ષણ દ્વારા વ્યક્ત થાય છે. નિશ્ચિત અક્ષની આસપાસ પરિભ્રમણ સાથે, ટોર્ક કોણીય પ્રવેગના પ્રમાણમાં હોય છે અને જડતાની ક્ષણ પ્રમાણસરતા પરિબળ તરીકે હોય છે. અહીં એ નોંધવું જોઈએ કે જડતાની ક્ષણ માત્ર પરિભ્રમણની અક્ષની સ્થિતિ પર આધારિત નથી (સ્ટેઇનર પ્રમેય જુઓ) પણ તેની દિશા પર પણ આધારિત છે. જો ઉપરોક્ત નિયમ કોઈપણ પરિભ્રમણ અક્ષ માટે વધુ સામાન્ય રીતે ઘડવામાં આવે તો જડતા ટેન્સરનો ઉપયોગ કરવો આવશ્યક છે. દ્વિ-પરિમાણીય વિશેષ કેસ સાથે, ટોર્ક માત્ર પ્રવેગમાં પરિણમે છે અથવા પરિભ્રમણને ધીમું કરે છે. સામાન્ય ત્રિ-પરિમાણીય કેસ સાથે, જો કે, તે અક્ષ (પૂર્વગમન) ની દિશામાં પણ ફેરફાર કરી શકે છે. રચનાઓ કઠોર શરીરની ગતિશીલતામાં કોણીય વેગાનું સંતુલન યુલરના સમીકરણો તરફ દોરી જાય છે. સાતત્ય મિકેનિક્સમાં કોણીય ગતિનું સંતુલન કોચીના ગતિના બીજા નિયમ તરફ દોરી જાય છે, જે કોચી સ્ટ્રેસ ટેન્સરની સમપ્રમાણતા દર્શાવે છે. બોલ્ટ્ઝમેન સ્વયંસિદ્ધનું સમાન પરિણામ છે. 1905 માં, ઑસ્ટ્રિયન ભૌતિકશાસ્ત્રી લુડવિગ બોલ્ટ્ઝમેને ધ્યાન દોર્યું હતું કે પદાર્થના અનંત નાના કદના તત્વોમાં ઘટાડા સાથે, આંતરિક પ્રતિક્રિયાઓએ યાંત્રિક સંતુલન માટે તમામ સ્થિર પરિસ્થિતિઓને પૂર્ણ કરવી પડે છે. કોચીનો તણાવ પ્રમેય બળની દ્રષ્ટિએ સંતુલનને સંભાળે છે. ટોર્કની દ્રષ્ટિએ સમાન નિવેદન માટે, જર્મન ગણિતશાસ્ત્રી જ્યોર્જ હેમેલે બોલ્ટ્ઝમેન એક્સિઓમ નામ આપ્યું હતું. આ સ્વયંસિદ્ધ કૌચી સ્ટ્રેસ ટેન્સરની સમપ્રમાણતાની સમકક્ષ છે. તાણના પરિણામી ઘટકો વોલ્યુમ તત્વ પર ટોર્કનો ઉપયોગ કરતા નથી, પરિણામી બળ વોલ્યુમ તત્વના કેન્દ્રમાંથી પસાર થવું જોઈએ. જડતા બળોની ક્રિયાની રેખા અને સામાન્ય તાણના પરિણામો σxx·dy અને σyy·dx વોલ્યુમ તત્વના કેન્દ્રમાંથી દોરી જાય છે. જેથી શીયર સ્ટ્રેસના પરિણામ τxy·dy અને τyx·dx વોલ્યુમ તત્વના કેન્દ્રમાંથી દોરી જાય. આ વાસ્તવમાં xy સમતલમાં અનુરૂપ શીયર સ્ટ્રેસની સમાનતાનું નિવેદન છે. સમપ્રમાણ તણાવ ટેન્સર સાથે ટોર્ક-મુક્ત શાસ્ત્રીય સાતત્ય ઉપરાંત, ટોર્ક-મુક્ત ન હોય તેવા કોસેરેટ કન્ટિન્યુઆ (ધ્રુવીય કન્ટિન્યુઆ) ને પણ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવ્યા છે. આવા સાતત્યનો એક ઉપયોગ શેલોની થિયરી છે. કોસેરેટ કન્ટિન્યુઆ માત્ર વેગ પ્રવાહનું પરિવહન કરવામાં જ સક્ષમ નથી પણ કોણીય વેગ પ્રવાહનું પરિવહન કરવામાં પણ સક્ષમ છે. તેથી, શરીરની અંદર વેગ અને કોણીય વેગના સ્ત્રોતો પણ હોઈ શકે છે. અહીં બોલ્ટ્ઝમેન સ્વયંસિદ્ધ લાગુ પડતું નથી અને સ્ટ્રેસ ટેન્સર સ્ક્યુ-સિમેટ્રિક હોઈ શકે છે. જો આ પ્રવાહોને સાતત્ય મિકેનિક્સમાં હંમેશની જેમ ગણવામાં આવે, તો ક્ષેત્ર સમીકરણો ઊભી થાય છે જેમાં સ્ટ્રેસ ટેન્સરના સ્ક્યુ-સિમેટ્રિક ભાગનું કોઈ ઊર્જાસભર મહત્વ નથી. કોણીય વેગનું સંતુલન ઊર્જાના સંતુલનથી સ્વતંત્ર બને છે અને તેનો ઉપયોગ સ્ટ્રેસ ટેન્સરના સ્ક્યુ-સિમેટ્રિક ભાગને નક્કી કરવા માટે થાય છે. અમેરિકન ગણિતશાસ્ત્રી ક્લિફોર્ડ ટ્રુસ્ડેલ આમાં "યુલરના બીજા કાયદાનો સાચો મૂળભૂત અર્થ" જોયો. ક્ષેત્ર નિયમ ક્ષેત્ર નિયમ એ કોણીય વેગ નિયમનો આ સ્વરૂપમાં ઉપસંહાર છેઃ પરિણામી ક્ષણ બમણા દળના ગુણાકાર અને ક્ષેત્રીય વેગના સમય વ્યુત્પન્નની બરાબર હોય છે. તે દળ m સાથે બિંદુ દળના કિરણોને સંદર્ભિત કરે છે. આ વેગ અને વેગ સાથે કોણીય વેગ ધરાવે છે. અનંત સમય dt માં પ્રક્ષેપવક્ર ત્રિકોણ પર પસાર થાય છે જેની સામગ્રી છે, છબી, ક્ષેત્રીય વેગ અને ક્રોસ પ્રોડક્ટ "x" જુઓ. આ રીતે તે બહાર આવે છેઃ યુલરના બીજા નિયમ સાથે આ બને છેઃ પ્લેનનો વિશેષ કેસ, ક્ષણ-મુક્ત કેન્દ્રીય બળની ગતિને કેપ્લરના બીજા નિયમ દ્વારા ગણવામાં આવે છે, જેને ક્ષેત્ર નિયમ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે. સંદર્ભો કોન્ટિનમ મિકેનિક્સ ભૌતિકશાસ્ત્રના સમીકરણો વૈજ્ઞાનિક નિરીક્ષણ