Netto's theorem
ગાણિતિક વિશ્લેષણમાં, નેટોની પ્રમેય જણાવે છે કે સરળ મેનીફોલ્ડ્સના સતત દ્વિભાજન પરિમાણને જાળવી રાખે છે. એટલે કે, વિવિધ પરિમાણોના બે સરળ મેનીફોલ્ડ્સ વચ્ચે સતત દ્વિભાજન અસ્તિત્વમાં નથી. તેનું નામ યુજેન નેટ્ટોના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે. ઉચ્ચ-પરિમાણીય મેનીફોલ્ડથી એક-પરિમાણીય મેનીફોલ્ડ સુધીના નકશાનો કેસ 1878માં જેકબ લુરોથ દ્વારા મધ્યવર્તી મૂલ્ય પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરવામાં આવ્યો હતો, જે દર્શાવે છે કે ટોપોલોજિકલ વર્તુળ ધરાવતા કોઈ પણ મેનીફોલ્ડને વાસ્તવિક રેખા સાથે સતત અને પરોક્ષ રીતે મેપ કરી શકાતો નથી. 1878માં નેટ્ટો અને 1879માં જ્યોર્જ કેન્ટોર બંનેએ સામાન્ય પ્રમેયના ખામીયુક્ત પુરાવા આપ્યા હતા. પાછળથી ભૂલો ઓળખી કાઢવામાં આવી હતી અને તેને સુધારવામાં આવી હતી. આ પ્રમેયનો એક મહત્વપૂર્ણ વિશેષ કિસ્સો એક-પરિમાણીય જગ્યાઓ, જેમ કે વાસ્તવિક રેખા અથવા એકમ અંતરાલથી યુક્લિડિયન સમતલ અથવા એકમ વર્ગ જેવી દ્વિ-પરિમાણીય જગ્યાઓ સુધી સતત દ્વિભાજનના અસ્તિત્વની ચિંતા કરે છે. એક-પરિમાણીય જગ્યાઓથી બે-પરિમાણીય જગ્યાઓ સુધી કાર્યોના રસપ્રદ વર્ગો મેળવવા માટે પ્રમેયની શરતોને વિવિધ રીતે હળવા કરી શકાય છેઃ અવકાશ-ભરવાના વળાંકો એક-પરિમાણીય જગ્યાઓથી બે-પરિમાણીય જગ્યાઓ સુધી સર્જેક્ટિવ સતત કાર્યો છે. તેઓ સમતલના અથવા એકમ ચોરસના દરેક બિંદુને રેખા અથવા એકમ અંતરાલની છબી દ્વારા આવરી લે છે. ઉદાહરણોમાં પીનો વળાંક અને હિલ્બર્ટ વળાંકનો સમાવેશ થાય છે. આમાંથી કોઈ પણ ઉદાહરણમાં કોઈ સેલ્ફ-ક્રોસિંગ નથી, પરંતુ નેટોના પ્રમેય અનુસાર ચોરસના ઘણા બિંદુઓ છે જે આ વળાંક દ્વારા ઘણી વખત આવરી લેવામાં આવ્યા છે. ઓસ્ગુડ વળાંક એ એક-પરિમાણીય જગ્યાઓથી લઈને બિન-શૂન્ય વિસ્તાર ધરાવતા સમતલના ઉપગણ સુધીના સતત દ્વિભાજન છે. તેઓ સમતલમાં જોર્ડન વળાંક બનાવે છે. જો કે, નેટોના પ્રમેય મુજબ, તેઓ સમગ્ર સમતલ, એકમ વર્ગ અથવા અન્ય કોઈ દ્વિ-પરિમાણીય પ્રદેશને આવરી શકતા નથી. જો કોઈ સાતત્યની જરૂરિયાતને હળવી કરે છે, તો પછી બંધાયેલા પરિમાણના તમામ સરળ મેનીફોલ્ડ્સમાં સમાન કાર્ડિનાલિટી હોય છે, જે સાતત્યની કાર્ડિનાલિટી છે. તેથી, તેમાંના કોઈપણ બે વચ્ચે અસંગત દ્વિભાજન અસ્તિત્વ ધરાવે છે, જેમ કે જ્યોર્જ કેન્ટરે 1878 માં દર્શાવ્યું હતું. કેન્ટોરનું પરિણામ ઘણા ગણિતશાસ્ત્રીઓ માટે આશ્ચર્યજનક હતું અને અવકાશ-ભરવાના વળાંકો, ઓસ્ગુડ વળાંકો અને નેટોના પ્રમેય તરફ દોરી જતા સંશોધનની લાઇનને દૂર કરી હતી. ચોરસમાં બિંદુઓના કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સની દશાંશ રજૂઆતોના અંકોને એકબીજા સાથે જોડીને એકમ ચોરસથી એકમ અંતરાલ સુધી નજીકનું વિભાજન મેળવી શકાય છે. 1 = 0.999 ની બે દશાંશ રજૂઆતો દ્વારા ઉદાહરણરૂપ દશાંશની અસ્પષ્ટતા, આને બાયજેક્શનને બદલે ઈન્જેક્શન બનાવે છે, પરંતુ આ સમસ્યાને શ્રોડર-બર્નસ્ટીન પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને સુધારી શકાય છે. સંદર્ભો પરિમાણ સિદ્ધાંત ટોપોલોજીમાં પ્રમેયો