Kaniadakis statistics
કનિયાડાકિસ સ્ટેટિસ્ટિક્સ (κ-સ્ટેટિસ્ટિક્સ તરીકે પણ ઓળખાય છે) એ બોલ્ટ્ઝમેન-ગિબ્સ સ્ટેટિસ્ટિકલ મિકેનિક્સનું સામાન્યીકરણ છે, જે ક્લાસિકલ બોલ્ટ્ઝમેન-ગિબ્સ-શૅનન એન્ટ્રોપી (સામાન્ય રીતે કનિયાડાકિસ એન્ટ્રોપી અથવા κ-એન્ટ્રોપી તરીકે ઓળખાય છે) ના સાપેક્ષવાદી સામાન્યીકરણ પર આધારિત છે. 2001 માં ગ્રીક ઇટાલિયન ભૌતિકશાસ્ત્રી જ્યોર્જિયો કનિડાકિસ દ્વારા રજૂ કરાયેલ, κ-આંકડાકીય મિકેનિક્સ સામાન્ય આંકડાકીય મિકેનિક્સની મુખ્ય લાક્ષણિકતાઓને જાળવી રાખે છે અને તાજેતરના વર્ષોમાં ઘણા સંશોધકોની રુચિને આકર્ષિત કરી છે. κ-વિતરણને હાલમાં પાવર-લૉ ટેલ્ડ આંકડાકીય વિતરણો સાથે સંકળાયેલી જટિલ ભૌતિક, કુદરતી અથવા કૃત્રિમ પ્રણાલીઓને સમજાવવા માટે સૌથી વ્યવહારુ ઉમેદવારોમાંનું એક માનવામાં આવે છે. બ્રહ્માંડશાસ્ત્ર, એસ્ટ્રોફિઝિક્સ, કન્ડેન્સ્ડ મેટર, ક્વોન્ટમ ફિઝિક્સ, સિસ્મોલોજી, જીનોમિક્સ, અર્થશાસ્ત્ર, રોગચાળાવિજ્ઞાન અને અન્ય ઘણા ક્ષેત્રોમાં વિવિધ પ્રણાલીઓના વર્ણનમાં કનિયાદાકીના આંકડાઓને સફળતાપૂર્વક અપનાવવામાં આવ્યા છે. ગાણિતિક ઔપચારિકતા κ-આંકડાશાસ્ત્રની ગાણિતિક ઔપચારિકતા κ-વિકૃત કાર્યો, ખાસ કરીને κ-ઘાતાંકીય કાર્યો દ્વારા પેદા થાય છે. κ-ઘાતાંકીય વિધેય કનિયાદાકિસ ઘાતાંકીય (અથવા κ-ઘાતાંકીય) વિધેય એ ઘાતાંકીય વિધેયનું એક-પરિમાણ સામાન્યીકરણ છે, જે આના દ્વારા આપવામાં આવે છેઃ સાથે. માટે κ-ઘાતાંકીય પણ આ સ્વરૂપમાં લખી શકાય છેઃ ટેલર વિસ્તરણની પ્રથમ પાંચ શરતો આના દ્વારા આપવામાં આવે છેઃ જ્યાં પ્રથમ ત્રણ લાક્ષણિક ઘાતાંકીય કાર્ય સમાન હોય છે. મૂળભૂત ગુણધર્મો κ-ઘાતાંકીય વિધેયમાં ઘાતાંકીય વિધેયના નીચેના ગુણધર્મો હોય છેઃ વાસ્તવિક સંખ્યા માટે, κ-ઘાતાંકીયમાં ગુણધર્મ હોય છેઃ κ-લઘુગણક કાર્ય કનિયાદાકિસ લઘુગણક (અથવા κ-લઘુગણક) એ સામાન્ય લઘુગણક કાર્યનું સાપેક્ષવાદી એક-પરિમાણ સામાન્યીકરણ છે, જેની સાથે, જે κ-ઘાતાંકનું વ્યસ્ત કાર્ય છેઃ માટે κ-લઘુગણક પણ આ સ્વરૂપમાં લખી શકાય છેઃ ટેલરના વિસ્તરણની પ્રથમ ત્રણ શરતો આના દ્વારા આપવામાં આવે છેઃ સાથે, અને ક્યાં અને સાથે નિયમને અનુસરીને. ટેલર વિસ્તરણની બે પ્રથમ શરતો સામાન્ય લઘુગણક કાર્ય જેવી જ છે. મૂળભૂત ગુણધર્મો κ-લઘુગણક કાર્ય લઘુગણક કાર્યના નીચેના ગુણધર્મો ધરાવે છેઃ વાસ્તવિક સંખ્યા માટે, κ-લઘુગણકનો ગુણધર્મ છેઃ κ-બીજગણિત κ-સરવાળો કોઈપણ માટે અને, કનિયાદાકિસ સરવાળો (અથવા κ-સરવાળો) નીચે આપેલા રચના નિયમ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છેઃ, તે સ્વરૂપમાં પણ લખી શકાય છેઃ, જ્યાં સામાન્ય સરવાળો શાસ્ત્રીય મર્યાદામાં ચોક્કસ કેસ છેઃ સામાન્ય સરવાળાની જેમ κ-સરવાળો પણ નીચેના ગુણધર્મો ધરાવે છેઃ κ-તફાવત આના દ્વારા આપવામાં આવે છે. મૂળભૂત ગુણધર્મ નીચેની વધુ સામાન્ય અભિવ્યક્તિનો એક વિશેષ કેસ તરીકે ઊભો થાય છેઃ વધુમાં, κ-કાર્યો અને κ-સરવાળો નીચેના સંબંધો રજૂ કરે છેઃ κ-ઉત્પાદન કોઈપણ માટે અને, કનિયાદાકિસ ઉત્પાદન (અથવા κ-ઉત્પાદન) ને નીચેના રચના કાયદા દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છેઃ, જ્યાં સામાન્ય ઉત્પાદન એ શાસ્ત્રીય મર્યાદામાં ચોક્કસ કેસ છેઃ κ-ઉત્પાદન, સામાન્ય ઉત્પાદનની જેમ, નીચેના ગુણધર્મો ધરાવે છેઃ κ-વિભાજન આના દ્વારા આપવામાં આવે છે. κ-સમ અને κ-પ્રોડક્ટ વિતરણના કાયદાનું પાલન કરે છેઃ મૂળભૂત ગુણધર્મ નીચેની વધુ સામાન્ય અભિવ્યક્તિનો એક વિશેષ કિસ્સો તરીકે ઊભો થાય છેઃ વધુમાં, κ-કાર્યો અને κ-ઉત્પાદન નીચેના સંબંધો રજૂ કરે છેઃ κ-કેલ્ક્યુલસ κ-વિભેદક કનિયાડાકિસ વિભેદક (અથવા κ-વિભેદક) ની વ્યાખ્યા આ પ્રમાણે છેઃ તેથી, ફંક્શનનું κ-વ્યુત્પન્ન લીબનીઝ વ્યુત્પન્ન સાથે સંબંધિત છેઃ, લોરેન્ટ્ઝ પરિબળ ક્યાં છે. સામાન્ય વ્યુત્પન્ન એ શાસ્ત્રીય મર્યાદામાં κ-વ્યુત્પન્નનો ચોક્કસ કેસ છે. κ-ઇન્ટિગ્રલ કનિયાદાકિસ ઇન્ટિગ્રલ (અથવા κ-ઇન્ટિગ્રલ) એ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત κ-વ્યુત્પન્નનું વ્યસ્ત સંચાલક છે, જે શાસ્ત્રીય મર્યાદામાં સામાન્ય ઇન્ટિગ્રલને પુનઃપ્રાપ્ત કરે છે. κ-ત્રિકોણમિતિ κ-ચક્રીય ત્રિકોણમિતિ કનિયાડાકિસ ચક્રીય ત્રિકોણમિતિ (અથવા κ-ચક્રીય ત્રિકોણમિતિ) κ-ચક્રીય સાઇન (અથવા κ-સાઇન) અને κ-ચક્રીય કોસાઇન (અથવા κ-કોસિન) કાર્યો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થયેલ છેઃ, જ્યાં κ-સામાન્યીકૃત યુલર સૂત્ર છે. : κ-ચક્રીય ત્રિકોણમિતિ સામાન્ય ચક્રીય ત્રિકોણમિતિના મૂળભૂત અભિવ્યક્તિઓને જાળવી રાખે છે, જે κ → 0 મર્યાદામાં એક વિશેષ કેસ છે, જેમ કેઃ κ-ચક્રીય સ્પર્શક અને κ-ચક્રીય કોટાન્જેન્ટ વિધેયો આના દ્વારા આપવામાં આવે છેઃ κ-ચક્રીય ત્રિકોણમિતિ વિધેયો શાસ્ત્રીય મર્યાદામાં સામાન્ય ત્રિકોણમિતિ વિધેય બની જાય છે. κ-ઇન્વર્સ સાયક્લિક ફંક્શન કનિયાડાકિસ ઇન્વર્સ સાયક્લિક ફંક્શન્સ (અથવા κ-ઇન્વર્સ સાયક્લિક ફંક્શન્સ) κ-લઘુગણક સાથે સંકળાયેલા છેઃ,,,. κ-હાયપરબોલિક ત્રિકોણમિતિ કનિયાડાકિસ હાયપરબોલિક ત્રિકોણમિતિ (અથવા κ-હાયપરબોલિક ત્રિકોણમિતિ) κ-હાયપરબોલિક સાઇન અને κ-હાયપરબોલિક કોસાઇન પર આધારિત છેઃ, જ્યાં κ-યુલર સૂત્ર છે. κ-હાયપરબોલિક સ્પર્શક અને κ-હાયપરબોલિક કોટાન્જેન્ટ કાર્યો આના દ્વારા આપવામાં આવે છેઃ κ-હાયપરબોલિક ત્રિકોણમિતિ કાર્યો શાસ્ત્રીય મર્યાદામાં સામાન્ય હાયપરબોલિક ત્રિકોણમિતિ કાર્યો બની જાય છે. κ-યુલર સૂત્ર અને ગુણધર્મમાંથી κ-હાયપરબોલિક ત્રિકોણમિતીની મૂળભૂત અભિવ્યક્તિ નીચે મુજબ આપવામાં આવી છેઃ κ-ઇન્વર્સ હાયપરબોલિક ફંક્શન કનિયાડાકિસ ઇન્વર્સ હાયપરબોલિક ફંક્શન (અથવા κ-ઇન્વર્સ હાયપરબોલિક ફંક્શન) κ-લઘુગણક સાથે સંકળાયેલા છેઃ,,, જેમાં નીચેના સંબંધો માન્ય છેઃ,,. κ-ચક્રીય અને κ-હાયપરબોલિક ત્રિકોણમિતીય કાર્યો નીચેના સંબંધો દ્વારા જોડાયેલા છેઃ,,,,,,. કનિયાદાકિસ એન્ટ્રોપી કનિયાદાકિસ સ્ટેટિસ્ટિક્સ કનિયાદાકિસ κ-એન્ટ્રોપી પર આધારિત છે, જેને આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છેઃ જ્યાં રેન્ડમ વેરિયેબલ માટે સંભાવના વિતરણ કાર્ય વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, અને તે એન્ટ્રોપિક અનુક્રમણિકા છે. કનિડાકિસ κ-એન્ટ્રોપી થર્મોડાયનેમિકલી અને લેશે સ્થિર છે અને સાતત્ય, મહત્તમતા, સામાન્યીકૃત ઉમેરણ અને વિસ્તરણક્ષમતાના શેનોન-ખિંચિન સિદ્ધાંતોનું પાલન કરે છે. કનિયાદાકિસ વિતરણ (અથવા κ-વિતરણ) એ યોગ્ય અવરોધો હેઠળ કનિયાદાકિસ એન્ટ્રોપીના મહત્તમકરણમાંથી મેળવેલ સંભાવના વિતરણ છે. આ સંબંધમાં, પ્રાયોગિક પાવર-લૉ ટેલ્ડ આંકડાકીય વિતરણો સાથે સંકળાયેલ વિવિધ પ્રકારની ઘટનાઓનું વિશ્લેષણ કરવા માટે અનેક સંભાવના વિતરણો ઉભરી આવે છે. κ-ઘાતાંકીય વિતરણ κ-ગૌસીયન વિતરણ κ-ગામા વિતરણ κ-વેઇબુલ વિતરણ κ-લોજિસ્ટિક વિતરણ કનિયાદાકિસ ઇન્ટિગ્રલ ટ્રાન્સફોર્મ κ-લેપલેસ ટ્રાન્સફોર્મ કનિયાદાકિસ લાપ્લાસ ટ્રાન્સફોર્મ (અથવા κ-લેપલેસ ટ્રાન્સફોર્મ) એ સામાન્ય લાપ્લાસ ટ્રાન્સફોર્મનું κ-વિકૃત ઇન્ટિગ્રલ ટ્રાન્સફોર્મ છે. κ-લેપલેસ ટ્રાન્સફોર્મ વાસ્તવિક ચલના કાર્યને જટિલ આવર્તન ક્ષેત્રમાં નવા કાર્યમાં રૂપાંતરિત કરે છે, જે જટિલ ચલ દ્વારા રજૂ થાય છે. આ κ-ઇન્ટિગ્રલ ટ્રાન્સફોર્મને આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છેઃ ઇન્વર્સ κ-લેપલેસ ટ્રાન્સફોર્મ આના દ્વારા આપવામાં આવે છેઃ સામાન્ય લાપ્લાસ ટ્રાન્સફોર્મ અને તેનું ઇન્વર્સ ટ્રાન્સફોર્મ આ રીતે પુનઃપ્રાપ્ત થાય છે. ગુણધર્મો બે કાર્યો અને, અને તેમના સંબંધિત κ-લાપ્લાસનું પરિવર્તન થાય છે અને, નીચેનું કોષ્ટક κ-લાપ્લાસનું પરિવર્તન મુખ્ય ગુણધર્મો રજૂ કરે છેઃ પછીના કોષ્ટકમાં પ્રસ્તુત κ-લાપ્લાસનું પરિવર્તન શાસ્ત્રીય મર્યાદામાં અનુરૂપ સામાન્ય લાપ્લાસનું પરિવર્તન થાય છે. κ-ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ કનિયાદાકિસ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ (અથવા κ-ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ) એ સામાન્ય ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મનું κ-વિકૃત અભિન્ન પરિવર્તન છે, જે κ-બીજગણિત અને κ-કેલ્ક્યુલસ સાથે સુસંગત છે. κ-ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મને આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છેઃ જેને ક્યાં અને ક્યાં તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે. κ-ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ પરિમાણોને વિકૃત કરીને અને ડેમ્પિંગ પરિબળ ઉપરાંત એસિમ્પ્ટોટિકલી લોગ-પેરિયોડિક વર્તણૂક લાદે છે, એટલે કે. κ-ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મનો કર્નલ આ રીતે આપવામાં આવે છેઃ ઇન્વર્સ κ-ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મને આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છેઃ ચાલો, નીચેનું કોષ્ટક કેટલાક નોંધપાત્ર કાર્યોના κ-ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મને દર્શાવે છેઃ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મનું κ-વિકૃત સંસ્કરણ સામાન્ય ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મના મુખ્ય ગુણધર્મોને સાચવે છે, જેનો સારાંશ નીચેના કોષ્ટકમાં આપવામાં આવ્યો છે. પછીના કોષ્ટકમાં પ્રસ્તુત κ-ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મના ગુણધર્મો શાસ્ત્રીય મર્યાદામાં અનુરૂપ સામાન્ય ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મમાં ઘટાડો કરે છે. આ પણ જુઓ જ્યોર્જિયો કનિયાદાકિસ કનિયાદાકિસ વિતરણ કનિયાદાકિસ κ-અસાધારણ વિતરણ કનિયાદાકિસ κ-ગૌસીયન વિતરણ કનિયાદાકિસ κ-ગામા વિતરણ કનિયાદાકિસ κ-વેઇબુલ વિતરણ કનિયાદાકિસ κ-લોજિસ્ટિક વિતરણ કનિયાદાકિસ κ-એર્લાંગ વિતરણ સંદર્ભો બાહ્ય કડીઓ જ્યોર્જિયો કનિયાદાકિસ ગૂગલ સ્કોલર પૃષ્ઠ કનિયાદાકિસ સ્ટેટિસ્ટિક્સ arXiv.org આંકડાકીય મિકેનિક્સ પર