Thomas–Yau conjecture
ગણિતમાં, અને ખાસ કરીને સિમપ્લેક્ટિક ભૂમિતિમાં, થોમસ-યુ અનુમાન સ્થિરતાની સ્થિતિના અસ્તિત્વ માટે પૂછે છે, જે બીજગણિત ભૂમિતિમાં દેખાય છે, જે લેગ્રેન્જિયન સબમેનિફોલ્ડ્સના હેમિલ્ટોનિયન આઇસોટોપી વર્ગની અંદર વિશેષ લેગ્રેન્જિયન સમીકરણના ઉકેલના અસ્તિત્વની બાંયધરી આપે છે. ખાસ કરીને અનુમાનમાં બે મુશ્કેલીઓ છેઃ પ્રથમ તે પૂછે છે કે યોગ્ય સ્થિરતાની સ્થિતિ શું હોઈ શકે, અને બીજું જો કોઈ આઇસોટોપી વર્ગની સ્થિરતા સાબિત કરી શકે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તેમાં કોઈ વિશેષ લેગ્રેન્જિયન પ્રતિનિધિ હોય. થોમસ-યુ અનુમાન 2001માં રિચાર્ડ થોમસ અને શિંગ-તુંગ યાઉ દ્વારા પ્રસ્તાવિત કરવામાં આવ્યું હતું, અને તે ભૌમિતિક આંશિક વિભેદક સમીકરણો અને સ્થિરતાની પરિસ્થિતિઓના ઉકેલોના અસ્તિત્વને લગતા બીજગણિત ભૂમિતિમાં સમાન પ્રમેયો દ્વારા પ્રેરિત હતું, ખાસ કરીને કોબયાશી-હિચિન પત્રવ્યવહાર જે સ્લોપ સ્ટેબલ વેક્ટર બંડલ્સને હર્મિશિયન યાંગ-મિલ્સ મેટ્રિક્સ સાથે સંબંધિત કરે છે. આ અનુમાન અરીસાની સમપ્રમાણતા સાથે ગાઢ રીતે સંબંધિત છે, જે સ્ટ્રિંગ થિયરી અને ગાણિતિક ભૌતિકશાસ્ત્રમાં એક અનુમાન છે જે તે અરીસાને સિંપ્લેક્ટિક મેનીફોલ્ડ (જે કાલાબી-યુ મેનીફોલ્ડ છે) માટે આગાહી કરે છે, ત્યાં અન્ય કાલાબી-યુ મેનીફોલ્ડ હોવું જોઈએ જેના માટે સિંપ્લેક્ટિક માળખું જટિલ માળખા સાથે અદલાબદલી કરવામાં આવે છે. ખાસ કરીને મિરર સિમેટ્રી આગાહી કરે છે કે ખાસ લેગ્રેન્જિયન્સ, જે બી. પી. એસ. ડી-બ્રેન્સનું પ્રકાર IIA સ્ટ્રિંગ થિયરી મોડેલ છે, તેને પ્રકાર IIB મોડેલમાં સમાન માળખાઓ સાથે અદલાબદલી કરવી જોઈએ, જે ક્યાં તો સ્થિર વેક્ટર બંડલ્સ અથવા વેક્ટર બંડલ્સ દ્વારા આપવામાં આવે છે જે હર્મિશિયન યાંગ-મિલ્સને સ્વીકારે છે અથવા સંભવતઃ હર્મિશિયન યાંગ-મિલ્સ મેટ્રિક્સને વિકૃત કરે છે. આનાથી પ્રેરિત થઈને, ડોમિનિક જોયસે 2014માં થોમસ-યૌ અનુમાનનું પુનરાવર્તન કર્યું હતું, જેમાં આગાહી કરવામાં આવી હતી કે સ્થિરતાની સ્થિતિને કાલાબી-યૌ મેનીફોલ્ડની ફુકાયા શ્રેણી પર વ્યાખ્યાયિત બ્રિજલેન્ડ સ્થિરતાની સ્થિતિના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને સમજી શકાય છે, જે કોન્ટ્સેવિચના હોમોલોજિકલ મિરર સિમેટ્રી અનુમાનમાં દેખાતી ત્રિકોણાકાર શ્રેણી છે. નિવેદન થોમસ-યુ અનુમાનનું નિવેદન સંપૂર્ણપણે ચોક્કસ નથી, કારણ કે ચોક્કસ સ્થિરતાની સ્થિતિ હજુ સુધી જાણીતી નથી. થોમસ અને થોમસ-યૌના કાર્યમાં, સ્થિરતાની સ્થિતિ લાગ્રેન્જિયનના હેમિલ્ટોનિયન આઇસોટોપી વર્ગની અંદર લાગ્રેન્જિયન સરેરાશ વળાંક પ્રવાહની દ્રષ્ટિએ આપવામાં આવી હતી, પરંતુ જોયસનું અનુમાનનું પુનઃઅર્થઘટન આગાહી કરે છે કે આ સ્થિરતાની સ્થિતિને બ્રિજલેન્ડ સ્થિરતાની સ્થિતિના સંદર્ભમાં સ્પષ્ટ અથવા બીજગણિત સ્વરૂપ આપી શકાય છે. ખાસ લેગ્રેન્જિયન સબમેનિફોલ્ડ્સ જટિલ પરિમાણના કાલાબી-યૂ મેનીફોલ્ડને ધ્યાનમાં લો, જે ખાસ કરીને પરિમાણનું વાસ્તવિક સિમ્લેક્ટિક મેનીફોલ્ડ છે. પછી લેગ્રેન્જિયન સબમેનિફોલ્ડ એ એક વાસ્તવિક-પરિમાણીય સબમેનિફોલ્ડ છે જેમ કે જ્યારે સિમપ્લેક્ટિક સ્વરૂપ મર્યાદિત હોય ત્યારે તે સમાન રીતે શૂન્ય હોય છે. હોલોમોર્ફિક વોલ્યુમ સ્વરૂપ, જ્યારે લેગ્રેન્જિયન સબમેનિફોલ્ડ સુધી મર્યાદિત હોય, ત્યારે તે ટોચનું ડિગ્રી વિભેદક સ્વરૂપ બની જાય છે. જો લેગ્રેન્જિયન લક્ષી હોય, તો ત્યાં વોલ્યુમ સ્વરૂપ અસ્તિત્વમાં છે અને કોઈ આ વોલ્યુમ સ્વરૂપની તુલના હોલોમોર્ફિક વોલ્યુમ સ્વરૂપના પ્રતિબંધ સાથે કરી શકે છેઃ કેટલાક જટિલ-મૂલ્યવાન કાર્ય માટે. શરત કે જે કેલાબી-યુ મેનીફોલ્ડ છે તે સૂચવે છે કે ફંક્શનમાં ધોરણ 1 છે, તેથી આપણી પાસે ફંક્શનનો ફેઝ એંગલ ક્યાં છે. સિદ્ધાંતમાં આ ફેઝ ફંક્શન માત્ર સ્થાનિક રીતે સતત હોય છે, અને તેનું મૂલ્ય વધી શકે છે. ગ્રેડેડ લાગ્રેન્જિયન એ એક લગ્રેન્જિયન છે જે તબક્કાના ખૂણાને એકસાથે ઊંચકી લે છે, જે દરેક જગ્યાએ સંતુષ્ટ કરે છે. જો ફેઝ એંગલ ફંક્શન સતત ચાલુ હોય તો ઓરિએન્ટેડ, ગ્રેડેડ લેગ્રેન્જિયનને ખાસ લેગ્રેન્જિયન સબમેનિફોલ્ડ કહેવામાં આવે છે. આ કાર્યનું સરેરાશ મૂલ્ય, સૂચવવામાં આવે છે, તેની ગણતરી વોલ્યુમ સ્વરૂપનો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છે અને તે માત્ર હેમિલ્ટોનિયન આઇસોટોપી વર્ગ પર આધારિત છે. આ સરેરાશ મૂલ્યનો ઉપયોગ કરીને, જે સ્થિતિ સ્થિર છે તે નીચેના સ્વરૂપમાં લખી શકાય છે, જે સામાન્ય રીતે સાહિત્યમાં જોવા મળે છે. આ એક ખાસ લેગ્રેન્જિયન સબમેનિફોલ્ડની વ્યાખ્યા છેઃ હેમિલ્ટોનિયન આઇસોટોપી વર્ગો ખાસ લેગ્રેન્જિયન હોવાની સ્થિતિ તમામ લેગ્રેન્જિયન લોકો માટે સંતોષકારક નથી, પરંતુ સ્ટ્રિંગ થિયરીમાં લેગ્રેન્જિયન સબમેનિફોલ્ડ્સના ભૌમિતિક અને ખાસ કરીને ભૌતિક ગુણધર્મો માત્ર લેગ્રેન્જિયન સબમેનિફોલ્ડના હેમિલ્ટોનિયન આઇસોટોપી વર્ગ પર આધારિત હોવાની આગાહી કરવામાં આવે છે. આઇસોટોપી એ એમ્બિયન્ટ મેનીફોલ્ડની અંદર સબમેનિફોલ્ડનું પરિવર્તન છે જે એમ્બેડિંગ દ્વારા હોમટોપી છે. સિંપ્લેક્ટિક મેનીફોલ્ડ પર, સિંપ્લેક્ટિક આઇસોટોપી માટે જરૂરી છે કે આ એમ્બેડિંગ્સ સિંપ્લેક્ટોમોર્ફિઝમ્સ દ્વારા હોય, અને હેમિલ્ટોનિયન આઇસોટોપી એક સિંપ્લેક્ટિક આઇસોટોપી છે જેના માટે સિંપ્લેક્ટોમોર્ફિઝમ્સ હેમિલ્ટોનિયન કાર્યો દ્વારા પેદા થાય છે. લેગ્રેન્જિયન સબમેનિફોલ્ડને જોતાં, લેગ્રેન્જિયન હોવાની સ્થિતિ હેમિલ્ટોનિયન (હકીકતમાં સિમ્પ્લેક્ટિક) આઇસોટોપી હેઠળ સચવાયેલી છે, અને તમામ લેગ્રેન્જિયન સબમેનિફોલ્ડ્સનો સંગ્રહ જે હેમિલ્ટોનિયન આઇસોટોપિક છે તે સૂચવવામાં આવે છે, જેને હેમિલ્ટોનિયન આઇસોટોપી વર્ગ કહેવામાં આવે છે. લેગ્રેન્જિયન સરેરાશ વળાંક પ્રવાહ અને સ્થિરતાની સ્થિતિ રીમાનિયન મેનીફોલ્ડ અને સબમેનીફોલ્ડને જોતાં, સરેરાશ વળાંક પ્રવાહ એ સૂચિત છબીઓ સાથે કેટલાક અંતરાલમાં વ્યાખ્યાયિત એમ્બેડિંગના એક-પરિમાણ પરિવાર માટે સંતુષ્ટ વિભેદક સમીકરણ છે, જ્યાં. એટલે કે, કુટુંબ સરેરાશ વળાંકના પ્રવાહને સંતોષે છે જો સબમેનિફોલ્ડની સરેરાશ વળાંક ક્યાં છે. આ પ્રવાહ રીમાનિયન મેનીફોલ્ડના સબમેનીફોલ્ડ્સ પર કાર્યશીલ વોલ્યુમનો ઢાળ પ્રવાહ છે, અને આપેલ સબમેનીફોલ્ડ્સથી શરૂ થતા ઉકેલોનું ટૂંકા સમયનું અસ્તિત્વ હંમેશા અસ્તિત્વ ધરાવે છે. કેલાબી-યુ મેનીફોલ્ડ પર, જો લેગ્રેન્જિયન હોય, તો કેલાબી-યુ મેટ્રિકના સંદર્ભમાં સરેરાશ વળાંકના પ્રવાહનો અભ્યાસ કરતી વખતે લેગ્રેન્જિયન હોવાની સ્થિતિ જાળવી રાખવામાં આવે છે. તેથી આને લગ્રેન્જિયન સરેરાશ વળાંક પ્રવાહ (એલ. એમ. સી. એફ.) કહેવામાં આવે છે. વધુમાં, ગ્રેડેડ લેગ્રેન્જિયન માટે, એલ. એમ. સી. એફ. હેમિલ્ટોનિયન આઇસોટોપી વર્ગને સાચવે છે, તેથી જ્યાં એલ. એમ. સી. એફ. વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે તે બધા માટે. થોમસે લેગ્રેન્જિયન જોડાયેલ રકમમાં વિભાજન કરતી વખતે ગ્રેડિંગની દ્રષ્ટિએ વ્યાખ્યાયિત અનુમાનિત સ્થિરતાની સ્થિતિ રજૂ કરી. એટલે કે શ્રેણીબદ્ધ લેગ્રેન્જિયનને સ્થિર કહેવામાં આવે છે જો જ્યારે પણ તેને શ્રેણીબદ્ધ લેગ્રેન્જિયન જોડાયેલા સરવાળા તરીકે લખવામાં આવે ત્યારે સરેરાશ તબક્કાઓ અસમાનતાને સંતોષે છે. જોયસની પછીની ભાષામાં બ્રિજલેન્ડ સ્થિરતા સ્થિતિની કલ્પનાનો ઉપયોગ કરીને, આને નીચે મુજબ સમજાવવામાં આવ્યું હતું. લગભગ-માપાંકિત લાગ્રેન્જિયન (જેનો અર્થ થાય છે કે ઉઠાવવામાં આવેલા તબક્કાને અંતરાલમાં અથવા આ અંતરાલના અમુક પૂર્ણાંક પાળીમાં લેવામાં આવે છે) જે લગભગ-માપાંકિત લાગ્રેન્જિયનના શ્રેણીબદ્ધ જોડાયેલા સરવાળા તરીકે વિભાજિત થાય છે તે ફુકાયા શ્રેણીમાં એક વિશિષ્ટ ત્રિકોણને અનુરૂપ છે. જો આવા કોઈ વિશિષ્ટ ત્રિકોણ માટે, ઉપરોક્ત કોણની અસમાનતા હોય તો લાગ્રેન્જિયન સ્થિર છે. અનુમાનનું નિવેદન થોમસ દ્વારા મૂળ રૂપે પ્રસ્તાવિત અનુમાન નીચે મુજબ છેઃ અનુમાનઃ એક લક્ષી, શ્રેણીબદ્ધ, લગભગ માપાંકિત લાગ્રેન્જિયન તેના હેમિલ્ટોનિયન આઇસોટોપી વર્ગમાં એક વિશેષ લાગ્રેન્જિયન પ્રતિનિધિને સ્વીકારે છે જો અને જો તે ઉપરોક્ત sense.Following માં સ્થિર હોય તો જ, થોમસ-યૌના કાર્યમાં, લાગ્રેન્જિયન સરેરાશ વળાંક પ્રવાહની વર્તણૂક પણ predicted.Conjecture (થોમસ-યુ) હતીઃ જો એક લક્ષી, શ્રેણીબદ્ધ, લગભગ માપાંકિત લાગ્રેન્જિયન સ્થિર હોય, તો લાગ્રેન્જિયન સરેરાશ વળાંક પ્રવાહ બધા સમય માટે અસ્તિત્વમાં છે અને હેમિલ્ટોનિયન આઇસોટોપી વર્ગમાં એક વિશેષ લાગ્રેન્જિયન પ્રતિનિધિમાં એકરૂપ થાય છે. આ અનુમાન. ખાસ કરીને જોયસે મર્યાદિત-સમયની એકત્વ રચનાના પ્રકારોનું વર્ણન કર્યું છે જે લગ્રેન્જિયન સરેરાશ વળાંક પ્રવાહમાં થવાની ધારણા છે, અને એકવચન અથવા ડૂબી ગયેલા લગ્રેન્જિયન સબમેનિફોલ્ડ્સનો સમાવેશ કરવા માટે અભ્યાસ કરાયેલા લગ્રેન્જિયન્સના વર્ગને વિસ્તૃત કરવાની દરખાસ્ત કરી છે, જે કાલાબી-યૌની સંપૂર્ણ ફુકાયા શ્રેણીમાં દેખાવા જોઈએ. અનુમાન (થોમસ-યુ-જોયસ): એક લક્ષી, શ્રેણીબદ્ધ, લગભગ-માપાંકિત લાગ્રેન્જિયન વિભાજન વિશેષ લાગ્રેન્જિયન સબમેનિફોલ્ડ્સના શ્રેણીબદ્ધ લાગ્રેન્જિયન જોડાયેલા સરવાળા તરીકે વિભાજિત થાય છે, જે મર્યાદિત સમયના ક્રમમાં એકતાને દૂર કરવા માટે શસ્ત્રક્રિયાઓ સાથે લાગ્રેન્જિયન સરેરાશ વળાંક પ્રવાહના અભિસરણ દ્વારા આપવામાં આવેલા તબક્કાના ખૂણાઓ સાથે છે. આ શસ્ત્રક્રિયા બિંદુઓ પર, લાગ્રેન્જિયન તેના હેમિલ્ટોનિયન આઇસોટોપી વર્ગને બદલી શકે છે પરંતુ તેના વર્ગને ફુકાયા category.In માં સાચવી રાખે છે, જે જોયસના અનુમાનની રચનાની ભાષા છે, વિઘટન એ વેક્ટર બંડલના હાર્ડર-નરસિમ્હન ગાળણની એક સિમપ્લેક્ટિક એનાલોગ છે, અને બ્રિજલેન્ડ સ્થિરતાની સ્થિતિના સંદર્ભમાં ફુકાયા શ્રેણીમાં અનુમાનના જોયસના અર્થઘટનનો ઉપયોગ કરીને, કેન્દ્રીય ચાર્જ દ્વારા આપવામાં આવે છે, સ્થિરતાની સ્થિતિને વ્યાખ્યાયિત કરતી ટી-રચનાનું હૃદય તે લાગ્રેન્જિયન દ્વારા તબક્કા સાથે આપવામાં આવે તેવું અનુમાન કરવામાં આવે છે, અને થોમસ-યુ-જોયસ અનુમાન આગાહી કરે છે કે લાગ્રેન્જિયન સરેરાશ સંદર્ભો પ્રતિકાત્મક ભૂમિતિ અનુમાનો