Finite sphere packing
ગણિતમાં, મર્યાદિત ગોળા પેકિંગનો સિદ્ધાંત એ પ્રશ્ન સાથે સંબંધિત છે કે કેવી રીતે સમાન કદના ગોળાઓની મર્યાદિત સંખ્યાને સૌથી વધુ અસરકારક રીતે પેક કરી શકાય છે. ઘણા ક્ષેત્રોને મર્યાદિત રીતે પેક કરવાના પ્રશ્નની તાજેતરના દાયકાઓમાં જ વિગતવાર તપાસ કરવામાં આવી છે, જેમાં મોટાભાગની પાયાની કામગીરી લેઝલો ફેજેસ ટોથ દ્વારા કરવામાં આવી છે. અનંત ઘણા ક્ષેત્રો માટે સમાન સમસ્યા તપાસનો લાંબો ઇતિહાસ ધરાવે છે, જેમાંથી કેપ્લર અનુમાન સૌથી વધુ જાણીતું છે. સ્ફટિક માળખામાં અણુઓને સરળ રીતે નજીકથી ભરેલા ગોળા તરીકે જોઈ શકાય છે અને તેમની મોટી સંખ્યાને કારણે અનંત ગોળાકાર આવરણ તરીકે ગણવામાં આવે છે. ગોળા પેકિંગની સમસ્યાઓ આપેલ કન્ટેનરમાં પેકિંગ અને મફત પેકિંગ વચ્ચે અલગ પડે છે. આ લેખ મુખ્યત્વે મફત પેકેજિંગની ચર્ચા કરે છે. પેકિંગ અને બહિર્મુખ પત્થરો સામાન્ય રીતે, પેકિંગ એ અવકાશમાં અવકાશી રીતે જોડાયેલા, સંભવતઃ અલગ-કદના અથવા અલગ-આકારના પદાર્થોના સમૂહની કોઈપણ ગોઠવણીનો ઉલ્લેખ કરે છે, જેમ કે તેમાંથી કોઈ પણ ઓવરલેપ થતું નથી. મર્યાદિત ગોળા પેકિંગ સમસ્યાના કિસ્સામાં, આ પદાર્થો સમાન કદના ગોળાઓ સુધી મર્યાદિત છે. ગોળાઓનું આવું પેકિંગ એક ચોક્કસ કદ નક્કી કરે છે જે પેકિંગના બહિર્મુખ હલ તરીકે ઓળખાય છે, જેને સૌથી નાના બહિર્મુખ સમૂહ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જેમાં તમામ ગોળાઓનો સમાવેશ થાય છે. ગોળાને ગોઠવવાની ઘણી સંભવિત રીતો છે, જેને ત્રણ મૂળભૂત જૂથોમાં વર્ગીકૃત કરી શકાય છેઃ સોસેજ, પિઝા અને ક્લસ્ટર પેકિંગ. સોસેજ પેકિંગ એક એવી વ્યવસ્થા જેમાં તમામ ગોળાઓનું મધ્યબિંદુ એક જ સીધી રેખા પર હોય તેને સોસેજ પેકિંગ કહેવામાં આવે છે, કારણ કે બહિર્મુખ પત્થરો સોસેજ જેવો આકાર ધરાવે છે. વાસ્તવિક જીવનમાં એક અંદાજિત ઉદાહરણ ટ્યુબમાં ટેનિસ બોલનું પેકિંગ છે, જો કે ટ્યુબના છેડા વાસ્તવિક બહિર્મુખ હલ સાથે સુસંગત થવા માટે ગોળાકાર હોવા જોઈએ. પિઝા પેકિંગ જો તમામ મધ્યબિંદુઓ વિમાનમાં હોય, તો પેકિંગ એ પિઝા પેકિંગ છે. આ પ્રકારના પેકિંગના અંદાજિત વાસ્તવિક જીવનના ઉદાહરણોમાં બિલિયર્ડ દડાઓને ત્રિકોણમાં પેક કરવામાં આવે છે કારણ કે તે સેટ કરવામાં આવે છે. આ ત્રિ-પરિમાણીય યુક્લિડિયન અવકાશમાં પેક કરવા માટે લાગુ પડે છે. ક્લસ્ટર પેકિંગ જો ગોળાઓના મધ્યબિંદુઓ સમગ્ર 3D જગ્યામાં ગોઠવાયેલા હોય, તો પેકિંગને ક્લસ્ટર પેકિંગ કહેવામાં આવે છે. વાસ્તવિક જીવનના અંદાજોમાં બૉક્સમાં બહુવિધ સ્તરોમાં પેક કરવામાં આવતા ફળોનો સમાવેશ થાય છે. પેકિંગના પ્રકારો વચ્ચેના સંબંધો આપેલ વ્યાખ્યાઓ અનુસાર, કોઈપણ સોસેજ પેકિંગ તકનીકી રીતે પિઝા પેકિંગ પણ છે, અને કોઈપણ પિઝા પેકિંગ તકનીકી રીતે ક્લસ્ટર પેકિંગ પણ છે. પરિમાણોના વધુ સામાન્ય કિસ્સામાં, "સોસેજ" એક-પરિમાણીય ગોઠવણી, "ક્લસ્ટર્સ" થી-પરિમાણીય ગોઠવણી, અને પરિમાણોની વચ્ચેની સંખ્યા ધરાવતા લોકો માટે "પિઝા" નો સંદર્ભ આપે છે. એક કે બે ગોળા હંમેશા સોસેજ બનાવે છે. ત્રણ સાથે, પિઝા પેકિંગ (જે સોસેજ પણ નથી) શક્ય બને છે, અને ચાર કે તેથી વધુ સાથે, ક્લસ્ટરો (જે પિઝા પણ નથી) શક્ય બને છે. શ્રેષ્ઠ પેકિંગ ગોળાઓ વચ્ચેની ખાલી જગ્યા પેકિંગના પ્રકાર પર આધાર રાખીને બદલાય છે. ખાલી જગ્યાની માત્રા પેકિંગની ઘનતામાં માપવામાં આવે છે, જેને ગોળાના કદ અને કુલ બહિર્મુખ પતવારના કદના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. પેકિંગની ઘનતા જેટલી વધારે હોય છે, ત્યાં પેકિંગમાં ઓછી ખાલી જગ્યા હોય છે અને આમ હલનું કદ ઓછું હોય છે (સમાન સંખ્યા અને ગોળાના કદવાળા અન્ય પેકેજિંગની તુલનામાં). ગોળાઓને અસરકારક રીતે પેક કરવા માટે, તે પૂછવામાં આવી શકે છે કે કયા પેકિંગમાં સૌથી વધુ સંભવિત ઘનતા છે. તે જોવાનું સરળ છે કે આવા પેકિંગમાં એવી મિલકત હોવી જોઈએ કે ગોળાઓ એકબીજાની બાજુમાં આવેલા હોય, એટલે કે, દરેક ગોળાએ સપાટી પર બીજાને સ્પર્શ કરવો જોઈએ. વધુ ચોક્કસ શબ્દસમૂહ એ આલેખ રચવાનો છે જે દરેક ગોળા માટે શિરોબિંદુ સોંપે છે અને જ્યારે પણ અનુરૂપ ગોળાઓ તેમની સપાટીને સ્પર્શ કરે છે ત્યારે શિરોબિંદુઓને ધાર સાથે જોડે છે. પછી સૌથી વધુ ગીચતા ધરાવતું પેકિંગ એ ગુણધર્મને સંતોષવું આવશ્યક છે કે જે અનુરૂપ આલેખ સાથે જોડાયેલ છે. સોસેજ આપત્તિ ત્રણ કે ચાર ગોળાઓ સાથે, સોસેજ પેકિંગ શ્રેષ્ઠ છે. એવું માનવામાં આવે છે કે આ કોઈપણ માટે સાચું છે. અને માટે, એક ક્લસ્ટર પેકિંગ અસ્તિત્વમાં છે જે સોસેજ પેકિંગ કરતાં વધુ કાર્યક્ષમ છે, જેમ કે 1992 માં જોર્ગ વિલ્સ અને પિયર મારિયો ગાંદિની દ્વારા દર્શાવવામાં આવ્યું હતું. આ સૌથી કાર્યક્ષમ ક્લસ્ટર પેકિંગ્સ કેવા દેખાય છે તે અજ્ઞાત રહે છે. ઉદાહરણ તરીકે, આ કિસ્સામાં, તે જાણીતું છે કે શ્રેષ્ઠ પેકિંગ એ તોપના દડાઓના શાસ્ત્રીય પેકિંગની જેમ ટેટ્રાહેડ્રલ પેકિંગ નથી, પરંતુ તે સંભવતઃ અમુક પ્રકારના ઓક્ટાહેડ્રલ આકારનું છે. શ્રેષ્ઠ પેકિંગ આકારમાં અચાનક પરિવર્તનને કેટલાક ગણિતશાસ્ત્રીઓ મજાકમાં સોસેજ આપત્તિ (વિલ્સ, 1985) તરીકે ઓળખાવે છે. હોદ્દો આપત્તિ એ હકીકત પરથી આવે છે કે શ્રેષ્ઠ પેકિંગ આકાર અચાનક સુવ્યવસ્થિત સોસેજ પેકિંગમાંથી પ્રમાણમાં બિન-ક્રમાંકિત ક્લસ્ટર પેકિંગમાં બદલાય છે અને ઊલટું કારણ કે એક નંબરથી બીજા નંબર પર જાય છે, આવું શા માટે થાય છે તે સંતોષકારક સમજૂતી વિના. તેમ છતાં, ત્રણ પરિમાણોમાં સંક્રમણ પ્રમાણમાં શાંત છે; પરિમાણોમાં અચાનક સંક્રમણ લગભગ 377000 ક્ષેત્રોમાં થવાનું અનુમાન છે. પરિમાણો માટે, શ્રેષ્ઠ પેકિંગ હંમેશા સોસેજ અથવા ક્લસ્ટર હોય છે, અને ક્યારેય પિઝા નહીં. તે એક ખુલ્લી સમસ્યા છે કે શું આ તમામ પરિમાણો માટે સાચું છે. આ પરિણામ માત્ર ગોળાઓની જ ચિંતા કરે છે અને અન્ય બહિર્મુખ પદાર્થોની નહીં; હકીકતમાં ગ્રિટ્ઝમેન અને અર્હેલ્ગરે અવલોકન કર્યું હતું કે કોઈપણ પરિમાણ માટે બહિર્મુખ આકાર અસ્તિત્વમાં છે જેના માટે સૌથી નજીકનું પેકિંગ પિઝા છે. સોસેજ પેકિંગ બિન-શ્રેષ્ઠ હોવાનું ઉદાહરણ નીચેના વિભાગમાં દર્શાવવામાં આવ્યું છે કે 455 ગોળાઓ માટે સોસેજ પેકિંગ બિન-શ્રેષ્ઠ છે, અને તેના બદલે ત્યાં એક વિશેષ ક્લસ્ટર પેકિંગ અસ્તિત્વમાં છે જે નાના જથ્થામાં ધરાવે છે. ત્રિજ્યાના ગોળાઓ સાથે સોસેજ પેકિંગના બહિર્મુખ પતવારનું કદ પ્રાથમિક ભૂમિતિ સાથે ગણી શકાય. હલનો મધ્ય ભાગ લંબાઈ સાથેનો નળાકાર હોય છે જ્યારે અંતે કેપ ત્રિજ્યા સાથે અડધા ગોળાકાર હોય છે. તેથી કુલ વોલ્યુમ આના દ્વારા આપવામાં આવે છે. તેવી જ રીતે, ટેટ્રાહેડ્રલ પેકિંગના બહિર્મુખ હલનું કદ શોધવું શક્ય છે, જેમાં ગોળાઓ ગોઠવાયેલા હોય છે જેથી તેઓ ટેટ્રાહેડ્રલ આકાર બનાવે, જે માત્ર ચોક્કસ સંખ્યામાં ગોળાઓ માટે સંપૂર્ણપણે ભરેલા ટેટ્રાહેડ્રા તરફ દોરી જાય છે. જો ટેટ્રાહેડ્રોનની એક ધાર પર ગોળા હોય, તો ગોળાઓની કુલ સંખ્યા આના દ્વારા આપવામાં આવે છે. હવે બાજુની લંબાઈ સાથે ટેટ્રાહેડ્રલનું ઈનરૅડિયસ છે. આમાંથી આપણી પાસે છે. ટેટ્રાહેડ્રોનનું કદ પછી સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે ટેટ્રાહેડ્રોનની અંદર ગોઠવાયેલા ઘણા ગોળાઓના કિસ્સામાં, ધારની લંબાઈ દરેક નવા સ્તર માટે ગોળાની ત્રિજ્યાના બમણી વધે છે, જેનો અર્થ છે કે સ્તરો માટે બાજુની લંબાઈ બને છે. આ મૂલ્યને ટેટ્રાહેડ્રોન માટે વોલ્યુમ સૂત્રમાં બદલીને, આપણે જાણીએ છીએ કે બહિર્મુખ હલનું કદ ટેટ્રાહેડ્રોન કરતા ઓછું હોવું જોઈએ, જેથી. સ્તરોના ટેટ્રાહેડ્રોનમાં ગોળાઓની સંખ્યા લઈને અને સમાન સંખ્યામાં ગોળાઓ સાથે સોસેજ પેકિંગના બહિર્મુખ હલનું કદ મેળવવા માટે અગાઉના અભિવ્યક્તિમાં બદલીને, આપણી પાસે છે. માટે, જે ગોળાઓમાં અનુવાદિત થાય છે તેની સામેનો ગુણાંક ટેટ્રાહેડ્રલ પેકિંગ માટે લગભગ 2845 અને સોસેજ પેકિંગ માટે 2856 છે, જે સૂચવે છે કે આ સંખ્યાબંધ ગોળાઓ માટે ટેટ્રાહેડ્રોન વધુ નજીકથી ભરેલું છે. ટેટ્રાહેડ્રલ બહિર્મુખ પતવારના કદ માટે ચોક્કસ સૂત્ર મેળવવાનું કેટલાક વધુ પ્રયત્નો સાથે પણ શક્ય છે, જેમાં ટેટ્રાહેડ્રોનના ખૂણાઓ અને ધાર પર વધારાનું કદ ઘટાડવાનો સમાવેશ થાય છે. આ અને તેથી નાના મૂલ્યો માટે સોસેજ પેકિંગને બિન-શ્રેષ્ઠ સાબિત કરવાની મંજૂરી આપે છે. સોસેજ અનુમાન સોસેજ શબ્દ ગણિતશાસ્ત્રી લેઝલો ફેજેસ ટોથ પરથી આવ્યો છે, જેમણે 1975 માં સોસેજ અનુમાન મૂક્યું હતું, જે ગોળાઓ, બહિર્મુખ પત્થરો અને ઉચ્ચ પરિમાણોમાં વોલ્યુમની સમસ્યાના સામાન્યીકૃત સંસ્કરણ સાથે સંબંધિત છે. પરિમાણોમાં સામાન્યીકૃત ગોળા એ એક-પરિમાણીય પદાર્થ છે જેમાં દરેક સીમા બિંદુ મધ્યબિંદુથી સમાન રીતે દૂર હોય છે. ફેજેસ ટોથના સોસેજ અનુમાન પછી જણાવે છે કે ઉપરની બાજુથી ગોળાને સીધી રેખા સાથે ગોઠવવાનું હંમેશા શ્રેષ્ઠ છે. એટલે કે, એકવાર આપણે 4 પરિમાણોથી ઉપર જઈએ ત્યારે સોસેજ આપત્તિ હવે થતી નથી. એકંદર અનુમાન ખુલ્લું રહે છે. અત્યાર સુધીના શ્રેષ્ઠ પરિણામો ઉલરિચ બેટકે અને માર્ટિન હેન્કના છે, જેમણે 42 અને તેથી વધુ પરિમાણો માટેના અનુમાનને સાબિત કર્યું છે. પેરામેટ્રિક ઘનતા અને સંબંધિત પદ્ધતિઓ જ્યારે તે સાબિત થઈ શકે છે કે સોસેજ પેકિંગ 56 ગોળાઓ માટે શ્રેષ્ઠ નથી, અને ત્યાં કોઈ અન્ય પેકિંગ હોવું જોઈએ જે શ્રેષ્ઠ છે, તે જાણીતું નથી કે શ્રેષ્ઠ પેકિંગ કેવું દેખાય છે. શ્રેષ્ઠ પેકિંગ શોધવું મુશ્કેલ છે કારણ કે મનસ્વી આકારના ક્લસ્ટરના કદ માટે કોઈ "સરળ" સૂત્ર નથી. બ્રુન-મિન્કોવ્સ્કી અસમાનતા, મિશ્ર મિન્કોવ્સ્કી વોલ્યુમો અને સ્ટેઇનર સૂત્ર જેવી બહિર્મુખ ભૂમિતિ પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને વોલ્યુમના યોગ્ય અંદાજો દ્વારા ઓપ્ટિમાલિટી (અને બિન-ઓપ્ટિમાલિટી) દર્શાવવામાં આવે છે. મર્યાદિત અને અનંત (જાળી અને બિન-જાળી) ગોળા પેકેજિંગ બંનેના એકીકૃત સિદ્ધાંત તરફનું નિર્ણાયક પગલું 1992માં જોર્ગ વિલ્સ દ્વારા પેરામેટ્રિક ઘનતાની રજૂઆત હતી. પેરામેટ્રિક ઘનતા પેકિંગની કિનારીઓના પ્રભાવને ધ્યાનમાં લે છે. અગાઉ ઉપયોગમાં લેવાતી ઘનતાની વ્યાખ્યા ગોળાઓ (અથવા બહિર્મુખ પદાર્થો) ના બહિર્મુખ આવરણના જથ્થાને લગતી છેઃ ગોળાના મધ્યબિંદુઓની બહિર્મુખ આવરણ ક્યાં છે (ગોળાને બદલે, આપણે મનસ્વી બહિર્મુખ આવરણ પણ લઈ શકીએ છીએ). રેખીય વ્યવસ્થા (સોસેજ) માટે, બહિર્મુખ પત્થરો એ ગોળાઓના તમામ મધ્યબિંદુઓમાંથી પસાર થતો રેખાખંડ છે. સૂત્રમાં વત્તા ચિહ્ન સમૂહના મિન્કોવ્સ્કી ઉમેરાનો સંદર્ભ આપે છે, જેથી તે ગોળાઓના બહિર્મુખ પતવારના જથ્થાનો સંદર્ભ આપે છે. આ વ્યાખ્યા બે પરિમાણોમાં કામ કરે છે, જ્યાં લાસ્લો ફેજેસ-ટોથ, ક્લાઉડ રોજર્સ અને અન્ય લોકોએ તેનો ઉપયોગ મર્યાદિત અને અનંત પેકેજિંગનો એકીકૃત સિદ્ધાંત ઘડવા માટે કર્યો હતો. ત્રણ પરિમાણોમાં, વિલ્સ એક સરળ દલીલ આપે છે કે આ વ્યાખ્યાના આધારે આવો એકીકૃત સિદ્ધાંત શક્ય નથીઃ ત્રણ પરિમાણોમાં સિક્કાઓની સૌથી ગીચ મર્યાદિત ગોઠવણી સોસેજ છે. જો કે, શ્રેષ્ઠ અનંત વ્યવસ્થા એ ષટ્કોણ વ્યવસ્થા છે, તેથી અનંત મૂલ્ય મર્યાદિત મૂલ્યોની મર્યાદા તરીકે મેળવી શકાતું નથી. આ મુદ્દાને ઉકેલવા માટે, વિલ્સ હકારાત્મક પરિમાણ ઉમેરીને વ્યાખ્યામાં ફેરફાર રજૂ કરે છેઃ ધારની અસરને ધ્યાનમાં લેવાની મંજૂરી આપે છે (બહિર્મુખ હલને ચોક્કસ જાડાઈ આપે છે). આ પછી હર્મન મિન્કોવ્સ્કી દ્વારા મિશ્ર વોલ્યુમ અને સંખ્યાની ભૂમિતિના સિદ્ધાંતની પદ્ધતિઓ સાથે જોડવામાં આવે છે. દરેક પરિમાણ માટે પરિમાણ મૂલ્યો હોય છે અને જેમ કે સોસેજ માટે ડેન્સેનસ્ટ પેકિંગ (તમામ પૂર્ણાંકો માટે) હોય છે, જ્યારે માટે અને પૂરતા પ્રમાણમાં મોટું ક્લસ્ટર સૌથી ગાઢ હોય છે. આ પરિમાણો પરિમાણ-વિશિષ્ટ છે. બે પરિમાણોમાં, જેથી સોસેજમાંથી ક્લસ્ટર્સમાં સંક્રમણ થાય (સોસેજ આપત્તિ). ત્યાં એક અસમાનતા છેઃ જ્યાં પરિમાણોમાં એકમ દડાની માત્રા છે. કારણ કે, આપણી પાસે છે અને તે આગાહી કરવામાં આવે છે કે આ તમામ પરિમાણો માટે લાગુ પડે છે, આ કિસ્સામાં તેનું મૂલ્ય તેમાંથી શોધી શકાય છે. સંદર્ભો યુક્લિડિયન ઘન ભૂમિતિ