Kinematics of the cuboctahedron
ક્યુબોક્ટાહેડ્રોનનું હાડપિંજર, તેની કિનારીઓને તેના શિરોબિંદુઓ પર લવચીક સાંધાઓ પર જોડાયેલા કઠોર બીમ તરીકે ધ્યાનમાં રાખીને પરંતુ તેના ચહેરાને છોડીને, માળખાકીય કઠોરતા ધરાવતું નથી અને પરિણામે તેના શિરોબિંદુઓને કિનારીઓ અને ચહેરાના વિકર્ણો પર ફોલ્ડિંગ (ડાયહેડ્રલ કોણ બદલીને) દ્વારા પુનઃસ્થાપિત કરી શકાય છે. ક્યુબોક્ટાહેડ્રોનની ગતિશાસ્ત્ર નોંધપાત્ર છે કારણ કે તેના શિરોબિંદુઓને આઇકોસાહેડ્રોનની પાયરિટોહેડ્રલ સમપ્રમાણતા અનુસાર નિયમિત આઇકોસાહેડ્રોન, જેસેનના આઇકોસાહેડ્રોન અને નિયમિત ઓક્ટાહેડ્રોનની શિરોબિંદુ સ્થિતિ પર પુનઃસ્થાપિત કરી શકાય છે. કઠોર અને ગતિશીલ ક્યુબોક્ટેહેડ્રા જ્યારે કઠોર સપાટ ચહેરાના માળખા તરીકે અર્થઘટન કરવામાં આવે છે, જે કિનારીઓ સાથે ટકી રહે છે, ત્યારે ક્યુબોક્ટેહેડ્રોન એક કઠોર માળખું છે, જેમ કે કોચીના પ્રમેય દ્વારા તમામ બહિર્મુખ પોલિહેડ્રા છે. જો કે, જ્યારે ચહેરાને દૂર કરવામાં આવે છે, ત્યારે શિરોબિંદુઓ પર લવચીક સાંધાઓ દ્વારા જોડાયેલી માત્ર કઠોર ધારને છોડીને, પરિણામ એક કઠોર પ્રણાલી નથી (પોલિહેડ્રાથી વિપરીત, જેના ચહેરાઓ બધા ત્રિકોણ હોય છે, જેના પર ખૂટે છે તેવા ચહેરા હોવા છતાં કોચીનો સિદ્ધાંત લાગુ પડે છે). અન્ય તમામ શિરોબિંદુઓ સાથે સખત ધાર દ્વારા જોડાયેલ કેન્દ્રીય શિરોબિંદુ ઉમેરવાથી, ક્યુબોક્ટાહેડ્રોન ચોરસ પિરામિડ અને ટેટ્રાહેડ્રામાં વિભાજિત થાય છે, જે કેન્દ્રીય શિરોબિંદુ પર મળે છે. ક્યુબોક્ટાહેડ્રોનથી વિપરીત, ધાર અને સાંધાઓની પરિણામી પ્રણાલી કઠોર હોય છે, અને અનંત ઓક્ટેટ ટ્રસ માળખાનો ભાગ બનાવે છે. ચક્રીય ક્યુબોક્ટેહેડ્રોન પરિવર્તન ક્યુબોક્ટેહેડ્રોનને ચાર પોલિહેડ્રા દ્વારા ચક્રીય રીતે રૂપાંતરિત કરી શકાય છે, જે ચક્રને અવિરત પુનરાવર્તન કરે છે. ટોપોલોજીકલ રીતે પરિવર્તન મોબિયસ લૂપને અનુસરે છેઃ તે ઓક્ટાહેડ્રોનનું ઓરિએન્ટેબલ ડબલ કવર છે. તેમના અવકાશી સંબંધોમાં ક્યુબોક્ટાહેડ્રોન, આઈકોસાહેડ્રોન, જેસેનનું આઈકોસાહેડ્રોન અને રશિયન ઢીંગલી જેવા ઓક્ટાહેડ્રોન માળા અને હેલિકલ સંકોચન દ્વારા સંબંધિત છે. સંકોચન ક્યુબોક્ટેહેડ્રોનના ચોરસ ચહેરાઓ સાથે શરૂ થાય છે, જે ત્રિકોણની જોડી બનાવવા માટે તેમના કર્ણ સાથે અંદરની તરફ વળાંક લે છે. ક્યુબોક્ટાહેડ્રોન સર્પાકારના 12 શિરોબિંદુઓ અંદરની તરફ (કેન્દ્ર તરફ) અને જ્યાં સુધી તેઓ નિયમિત આઇકોસાહેડ્રોન બનાવે છે તે બિંદુઓ સુધી પહોંચે ત્યાં સુધી એકબીજાની નજીક જાય છે; જ્યાં સુધી તેઓ જેસેનના આઇકોસાહેડ્રોનની રચના ન કરે ત્યાં સુધી તેઓ એકબીજાની થોડી નજીક જાય છે; અને જ્યાં સુધી તેઓ ઓક્ટાહેડ્રોનના 6 શિરોબિંદુઓ તરીકે જોડીમાં મેળ ખાતા નથી ત્યાં સુધી તેઓ એકબીજા તરફ સર્પાકાર ચાલુ રાખે છે. સામાન્ય ક્યુબોક્ટેહેડ્રોન પરિવર્તનને બે મર્યાદા-કિસ્સાઓ સાથે વિશેષ-કેસ પરિવર્તનના સાતત્ય સાથે પરિમાણિત કરી શકાય છેઃ એક જેમાં ક્યુબોક્ટેહેડ્રોનની ધાર કઠોર હોય છે, અને એક જેમાં તેઓ સ્થિતિસ્થાપક હોય છે. કઠોર-ધાર પરિવર્તન કઠોર-ધાર ક્યુબોક્ટેહેડ્રોન પરિવર્તન સમપ્રમાણતાથી ક્યુબોક્ટેહેડ્રોનને નિયમિત આઇકોસાહેડ્રોન, જેસેનના આઇકોસાહેડ્રોન અને નિયમિત ઓક્ટાહેડ્રોનમાં પરિવર્તિત કરે છે, એ અર્થમાં કે પોલિહેડ્રોનના શિરોબિંદુઓ તે પોલિહેડ્રાની શિરોબિંદુની સ્થિતિને ક્રમિક રીતે લે છે. ક્યુબોક્ટાહેડ્રોન વાસ્તવમાં તે અન્ય પોલિહેડ્રા બનતું નથી, અને તેઓ એક બીજામાં રૂપાંતરિત થઈ શકતા નથી (જો તેમની પાસે સખત ધાર હોય તો), કારણ કે ક્યુબોક્ટાહેડ્રોનથી વિપરીત તેઓ માત્ર ત્રિકોણાકાર ચહેરાઓના પરિણામે માળખાકીય કઠોરતા ધરાવે છે. સખત ધારવાળા ક્યુબોક્ટેહેડ્રોન ખરેખર (અને તેના દ્વારા) માં રૂપાંતરિત થઈ શકે છે તે એક નિયમિત આઇકોસાહેડ્રોન છે જેમાંથી 6 ધાર ખૂટે છે (એક સ્યુડોઆઇકોસાહેડ્રોન), જેસેનનું આઇકોસાહેડ્રોન જેમાં 6 રીફ્લેક્સ ધાર ખૂટે છે અથવા સ્થિતિસ્થાપક છે, અને ઓક્ટાહેડ્રોનનું ડબલ કવર જેમાં દરેક જોડી શિરોબિંદુઓને જોડતી બે સંયોગ કઠોર ધાર હોય છે (ક્યુબોક્ટેહેડ્રોન શિરોબિંદુઓની જોડી બનાવીને રચાય છે). સ્થિતિસ્થાપક-ધાર પરિવર્તન એક ટેન્સગ્રિટી પોલિહેડ્રોન છે જે નજીકથી સંબંધિત સ્થિતિસ્થાપક-ધાર ક્યુબોક્ટેહેડ્રોન પરિવર્તનને મૂર્તિમંત કરે છે અને લાગુ કરે છે. ટેન્સગ્રિટી આઇકોસાહેડ્રોન એક ગતિશીલ માળખાકીય કઠોરતા ધરાવે છે જેને અનંત ગતિશીલતા કહેવાય છે અને તે માત્ર ક્યુબોક્ટેહેડ્રોનથી ઓક્ટાહેડ્રોન સુધીના સ્પેક્ટ્રમ સાથે સપ્રમાણતાવાળા પોલિહેડ્રામાં વિકૃત થઈ શકે છે. તેને ટેન્સગ્રિટી આઇકોસાહેડ્રોન કહેવામાં આવે છે કારણ કે તેનું મધ્યમ સ્થિર સ્વરૂપ જેસેનનું આઇકોસાહેડ્રોન છે. આ પરિવર્તનને ઉપર ક્યુબોક્ટાહેડ્રોનના સંકોચન તરીકે વર્ણવવામાં આવ્યું હોવા છતાં, ટેન્સગ્રિટીનું સ્થિર સંતુલન બિંદુ જેસેનનું આઇકોસાહેડ્રોન છે; ટેન્સગ્રિટી આઇકોસાહેડ્રોન તે આકારથી વિકૃત થવાનો પ્રતિકાર કરે છે અને તેની કિનારીઓ સ્થિતિસ્થાપક હોય (તણાવ હેઠળ લંબાવવામાં સક્ષમ હોય) ત્યાં સુધી જ તેને વિસ્તારવા અથવા સંકોચન માટે દબાણ કરી શકાય છે. પોલિહેડ્રોનને તેના સ્થિર વિશ્રામી આકાર (બંને દિશામાં) થી દૂર કરવા માટે તેની 24 ટૂંકી ધારને સહેજ અને સમાન રીતે ખેંચવાનો સમાવેશ થાય છે. સમાંતર લાંબી ધારની કોઈપણ જોડી પર લાગુ કરાયેલ બળ, તેમને એકબીજાની નજીક અથવા વધુ દૂર ખસેડવા માટે, તમામ ટૂંકી ધારને એકસરખી રીતે ખેંચવા માટે આપમેળે સ્થાનાંતરિત થાય છે, પોલિહેડ્રોનને તેના મધ્યમ કદના જેસેનના આઇકોસાહેડ્રોનથી નાના ઓક્ટાહેડ્રોન તરફ સંકોચાય છે, અથવા તેને અનુક્રમે મોટા નિયમિત આઇકોસાહેડ્રોન અને હજુ પણ મોટા ક્યુબોક્ટેહેડ્રોન તરફ વિસ્તરે છે. બળ છોડવાથી પોલિહેડ્રોન તેના જેસેનના આઇકોસાહેડ્રોન વિશ્રામી આકારમાં પાછું આવે છે. સ્થિતિસ્થાપક-ધાર પરિવર્તનમાં ક્યુબોક્ટાહેડ્રોન ધાર કઠોર હોતી નથી (જોકે જેસેનની આઇકોસાહેડ્રોનની 6 લાંબી ધાર હોય છે). ક્યુબોક્ટાહેડ્રોન વાસ્તવમાં જે રૂપાંતરિત થાય છે તે ટૂંકા ત્રિજ્યા અને ટૂંકા ધારની લંબાઈનું નિયમિત આઇકોસાહેડ્રોન છે, જેસેનનું આઇકોસાહેડ્રોન હજી પણ ટૂંકા ત્રિજ્યા અને (લઘુત્તમ) ધારની લંબાઈનું છે, અને અંતે હજુ પણ ટૂંકા ત્રિજ્યાનું ઓક્ટાહેડ્રોન છે પરંતુ ક્યુબોક્ટાહેડ્રોનની જેમ જ (મહત્તમ) ધારની લંબાઈ (પરંતુ ધાર ટૂંકા થયા પછી અને ફરીથી લાંબી થયા પછી જ, અને સંયોગ જોડીમાં એકસાથે આવે છે). કઠોર-ધાર અને સ્થિતિસ્થાપક-ધાર પરિવર્તનની દ્વૈતતા કઠોર-ધાર અને સ્થિતિસ્થાપક-ધાર ક્યુબોક્ટેહેડ્રોન પરિવર્તન માત્ર પારસ્પરિક પરિમાણોમાં અલગ પડે છેઃ સ્થિતિસ્થાપક-ધાર પરિવર્તનમાં જેસેનની આઇકોસાહેડ્રોનની ટૂંકી ધાર ખેંચાય છે અને તેની લાંબી ધાર કઠોર હોય છે, અને કઠોર-ધાર પરિવર્તનમાં તેની લાંબી ધાર સંકુચિત થાય છે અને તેની ટૂંકી ધાર કઠોર હોય છે. મેટ્રિક્સ સિવાય ઉપરના વર્ણનોમાં બધું જ તમામ ક્યુબોક્ટેહેડ્રોન પરિવર્તનને લાગુ પડે છે. ખાસ કરીને, શિરોબિંદુઓ હંમેશા કેન્દ્ર તરફ હેલિસીસમાં આગળ વધે છે કારણ કે ક્યુબોક્ટેહેડ્રોન ઓક્ટાહેડ્રોનમાં પરિવર્તિત થાય છે, અને જેસેનનું આઇકોસાહેડ્રોન (90° ડાયહેડ્રલ ખૂણાઓ સાથે) હંમેશા મધ્યબિંદુ હોય છે, જે તે હદ સુધી સ્થિર હોય છે કે જ્યાં સુધી ખેંચાણ અથવા સંકોચનનો પ્રતિકાર હોય. સ્થિતિસ્થાપક-ધાર ક્યુબોક્ટેહેડ્રોન પરિવર્તન સામાન્ય રીતે ટેન્સગ્રિટી આઇકોસાહેડ્રોનના ગણિત તરીકે આપવામાં આવે છે કારણ કે તે મોટાભાગની વાસ્તવિક ટેન્સગ્રિટી આઇકોસાહેડ્રોન રચનાઓ કેવી રીતે વર્તે છે તેના મોડેલિંગની સૌથી નજીક આવે છે. જો કે, કોઈ ચોક્કસપણે ટેન્સગ્રિટી આઇકોસાહેડ્રોનનું નિર્માણ કરી શકે છે જેમાં ટૂંકી ધાર (કેબલ) સંપૂર્ણપણે અસ્થિર હતી, અને લાંબી ધાર (સ્ટ્રટ્સ) સંકોચનક્ષમ ઝરણા હતા. આવી ટેન્સગ્રિટી કઠોર-ધાર ક્યુબોક્ટેહેડ્રોન પરિવર્તન કરશે. છેવટે, બંને પરિવર્તન શુદ્ધ અમૂર્ત છે, ક્યુબોક્ટેહેડ્રોન પરિવર્તનના અનંત પરિવારના બે મર્યાદા કિસ્સાઓ જેમાં બે સ્થિતિસ્થાપકતા પરિમાણો છે અને તેમાંથી એક 0 હોવાની જરૂર નથી. ન તો લિમિટ કેસ મોટાભાગના વાસ્તવિક ટેન્સગ્રિટી સ્ટ્રક્ચર્સ પર સંપૂર્ણ રીતે લાગુ કરવા માટે યોગ્ય છે, જે સામાન્ય રીતે કેબલ અને સ્ટ્રટ્સ બંનેમાં થોડી સ્થિતિસ્થાપકતા ધરાવે છે, જે તેમની વાસ્તવિક વર્તણૂક મેટ્રિક્સ આપે છે જે ગણતરી કરવા માટે બિન-તુચ્છ છે. ઇજનેરી વ્યવહારમાં, નોંધપાત્ર માત્રામાં ગતિને મંજૂરી આપવા માટે માત્ર થોડી માત્રામાં સ્થિતિસ્થાપકતા જરૂરી છે, તેથી મોટાભાગની ટેન્સગ્રિટી રચનાઓ લગભગ અસ્થિર સ્ટ્રટ્સ અને કેબલ્સનો ઉપયોગ કરીને "ડ્રમ-ટાઈટ" તરીકે બનાવવામાં આવે છે. ટેન્સગ્રિટી આઇકોસાહેડ્રોન ટ્રાન્સફોર્મેશન એ પારસ્પરિક નાના સ્થિતિસ્થાપકતા પરિમાણો સાથેનું કાઇનેમેટિક ક્યુબોક્ટેહેડ્રોન ટ્રાન્સફોર્મેશન છે. જિટરબગ પરિવર્તન આ પોલિહેડ્રા વચ્ચેના વળાંકવાળા, વિસ્તૃત-સંકોચક પરિવર્તનને બકમિન્સ્ટર ફુલર દ્વારા જિટરબગ પરિવર્તન નામ આપવામાં આવ્યું હતું. ફુલરે કોઈ ગણિત આપ્યું નહોતું; તેમના પહેલાંના ઘણા મહાન ભૂમિતિઓની જેમ (ઉદાહરણ તરીકે એલિસિયા બૂલ સ્ટોટ) તેમની પાસે આપવા માટે કોઈ ગણિત નહોતું. પરંતુ તેમણે સૌપ્રથમ ક્યુબોક્ટેહેડ્રોનની રેડિયલ સમબાહુ સમપ્રમાણતાના મહત્વ પર ભાર મૂક્યો હતો, જેને તેમણે ઓક્ટેટ ટ્રસ તરીકે માળખાકીય રીતે (અને પેટન્ટ કરેલ) લાગુ કર્યો હતો, અને એ સમજાવ્યું હતું કે તે માત્ર માળખાકીય અખંડિતતામાં જ નહીં પરંતુ પોલીટોપ્સ વચ્ચેના પરિમાણીય સંબંધોમાં પણ મૂળભૂત ભૂમિકા ભજવે છે. તેમણે ક્યુબોક્ટેહેડ્રોનના કાઇનેમેટિક પરિવર્તનની શોધ કરી, ટેન્સગ્રિટી આઇકોસાહેડ્રોન સાથેના તેના સંબંધને સમજ્યો, અને પ્રેક્ષકો સમક્ષ (કમ્પ્યુટર-રેન્ડર એનિમેશન પહેલાના દિવસોમાં) કઠોર ધારવાળા ક્યુબોક્ટેહેડ્રોન પરિવર્તનનું પ્રદર્શન પણ આપ્યું. "વેક્ટર સંતુલન" ની ટિપ્પણી સાથે તેમનું પ્રદર્શન, જેને તેઓ ક્યુબોક્ટેહેડ્રોન કહે છે, તે હજુ પણ આ લેખમાં એનિમેશન કરતાં વધુ પ્રકાશિત છે. નોંધો સંદર્ભ ગ્રંથસૂચિ; "ધ બોરોમિયન રિંગ્સઃ આઇએમયુ માટે એક નવો લોગો", ઇન્ટરનેશનલ મેથેમેટિકલ યુનિયન એક્સટર્નલ લિંક્સ આર્કિમિડીયન સોલિડ્સ ક્વાસીરેગ્યુલર પોલિહેડ્રા ટેન્સાઇલ આર્કિટેક્ચર પર વિડિયો જુઓ.