Convex cap
બહિર્મુખ કેપ, જેને બહિર્મુખ તરતા પદાર્થ અથવા માત્ર તરતા પદાર્થ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે, તે ગણિતમાં સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત માળખું છે જેનો ઉપયોગ બહિર્મુખ આકારોના અંદાજ માટે બહિર્મુખ વિશ્લેષણમાં થાય છે. સામાન્ય રીતે તેને અર્ધ-જગ્યા સાથે બહિર્મુખ પોલીટોપનું આંતરછેદ તરીકે વિચારી શકાય છે. વ્યાખ્યા એ કેપને બહિર્મુખ સમૂહ સાથે અર્ધ-જગ્યાના આંતરછેદ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. નોંધ લો કે કેપ કોઈપણ પરિમાણીય જગ્યામાં વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. a આપેલ હોય તો, તેને મૂળ કરતાં પહોળાઈ ગણો વધારે હોય તેવી અર્ધ-જગ્યાને સમાંતર અનુરૂપ કેપ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. કેપની વ્યાખ્યાને બિંદુની કેપને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે પણ વિસ્તૃત કરી શકાય છે જ્યાં કેપને અર્ધ-જગ્યા ધરાવતા બહિર્મુખ સમૂહના આંતરછેદ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. એક બિંદુની લઘુતમ કેપ એ 'સાથે' ની કેપ છે. ફ્લોટિંગ બોડીઝ અને કેપ્સ આપણે નીચેની પ્રક્રિયાનો ઉપયોગ કરીને બહિર્મુખ આકારના ફ્લોટિંગ બોડીને વ્યાખ્યાયિત કરી શકીએ છીએ. નોંધ લો કે તરતું શરીર પણ બહિર્મુખ છે. 2-પરિમાણીય બહિર્મુખ કોમ્પેક્ટ આકારના કિસ્સામાં, કેટલીક જગ્યાએ નાની હોય છે. આ 2-પરિમાણીય આકારનું ફ્લોટિંગ બોડી મૂળ બોડીમાંથી વિસ્તારના તમામ 2-પરિમાણીય કેપ્સને દૂર કરીને આપવામાં આવે છે. પરિણામી આકાર આપણું બહિર્મુખ તરતું શરીર હશે. આપણે n પરિમાણીય બહિર્મુખ આકારથી શરૂ કરીને અને અનુરૂપ પરિમાણમાં કેપ્સને દૂર કરીને આ વ્યાખ્યાને n પરિમાણોમાં સામાન્ય બનાવીએ છીએ. જેમ જેમ, ફ્લોટિંગ બોડી વધુ નજીકથી અંદાજિત થાય છે તેમ, એફાઇન સપાટી વિસ્તાર સાથેનો સંબંધ. આ માહિતી આપણને એફાઇન સપાટી વિસ્તાર વિશે કહી શકે છે જે આ પરિસ્થિતિમાં સીમા કેવી રીતે વર્તે છે તે માપે છે. જો આપણે આકારના બહિર્મુખ તરતા પદાર્થને લઈએ, તો આપણે જોઈએ છીએ કે તરતા પદાર્થની સીમાથી બહિર્મુખ આકારની સીમા સુધીનું અંતર બહિર્મુખ આકારની વક્રતા સાથે સંબંધિત છે. ખાસ કરીને, ઉચ્ચ વળાંકવાળા બહિર્મુખ આકારો બે સીમાઓ વચ્ચે વધુ અંતર ધરાવે છે. મૂળ બોડી અને ફ્લોટિંગ બોડીના ક્ષેત્રોમાં તફાવત પર એક નજર નાખો. વળાંક અને અંતર વચ્ચેના સંબંધનો ઉપયોગ કરીને, આપણે અનુમાન કરી શકીએ છીએ કે તે પણ વળાંક પર આધારિત છે. આમ, તા. આ સૂત્રમાં, એટની વળાંક છે અને તે વળાંકની લંબાઈ છે. આપણે હૌસડોર્ફ માપનો ઉપયોગ કરીને n પરિમાણો માટે અંતર, ક્ષેત્રફળ અને કદને સામાન્ય બનાવી શકીએ છીએ. આ વ્યાખ્યા, પછી બધા માટે કામ કરે છે. તેમજ, ની શક્તિ જ્યાં પરિમાણોની સંખ્યા છે તેના વ્યસ્ત સાથે સંબંધિત છે. તેથી, n-પરિમાણીય બહિર્મુખ આકાર માટે એફાઇન સપાટી વિસ્તાર એ છે કે જ્યાં-પરિમાણીય હૌસડોર્ફ માપ છે. બહિર્મુખ પદાર્થનો ભીનો ભાગ બહિર્મુખ પદાર્થનો ભીનો ભાગ એ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે કે જ્યાં ભીના ભાગની મહત્તમ માત્રાનું વર્ણન કરતી કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા છે અને. આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે નોન-ડિજનરેટ રેખીય પરિવર્તનનો ઉપયોગ કરીને (જેનો મેટ્રિક્સ ઇન્વર્ટિબલ છે) તેના કોઈપણ ગુણધર્મોને જાળવી રાખે છે. તેથી, આપણે કહી શકીએ કે આ પ્રકારના પરિવર્તન હેઠળ તે સમાન છે. આ સંકેતનો ઉપયોગ કરીને,. નોંધ લો કે તે બિન-ડિજનરેટ રેખીય પરિવર્તન હેઠળ પણ સમાન છે. અંદાજ માટેની મર્યાદાઓ ધારો અને અવ્યવસ્થિત રીતે, સ્વતંત્ર રીતે અને તેમાંથી સમાન વિતરણ અનુસાર પસંદ કરો. પછી, એક રેન્ડમ પોલીટોપ છે. સાહજિક રીતે, તે સ્પષ્ટ છે કે જેમ જેમ નજીક આવે છે. આપણે અંદાજના વિવિધ માપમાં કેટલી સારી રીતે અંદાજ લગાવી શકીએ છીએ તે નિર્ધારિત કરી શકીએ છીએ, પરંતુ આપણે મુખ્યત્વે કદ પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરીએ છીએ. તેથી, આપણે વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ, જ્યારે અપેક્ષિત મૂલ્યનો સંદર્ભ આપે છે. આપણે તેના ભીના ભાગ તરીકે અને તેના તરતા ભાગ તરીકે ઉપયોગ કરીએ છીએ. નીચેનો પ્રમેય જણાવે છે કે સંચાલિત સામાન્ય સિદ્ધાંત ભીના ભાગના કદની તીવ્રતા સાથે સમાન ક્રમનો છે. માટે પ્રમેય અને,. આ પ્રમેયનો પુરાવો એમ-પ્રદેશો અને કેપ આવરણની તકનીક પર આધારિત છે. આપણે ન્યૂનતમ કેપનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ જે કેપ ધરાવતી અને સંતોષકારક હોય છે. જો કે ન્યૂનતમ મર્યાદા અનન્ય નથી, તેમ છતાં તે પ્રમેયના પુરાવા પર અસર કરતી નથી. લેમ્મા ઇફ અને, પછી દરેક ન્યૂનતમ કેપ માટે. કારણ કે, આ લેમ્મા એમ-પ્રદેશોની સમાનતા અને ન્યૂનતમ મર્યાદા સ્થાપિત કરે છેઃ સમાવિષ્ટોની ફૂલી ગયેલી નકલ અને સમાવિષ્ટોની ફૂલી ગયેલી નકલ. આમ, એમ-પ્રદેશો અને ન્યૂનતમ મર્યાદાઓને અંદાજમાં સ્થિર પરિબળ કરતાં વધુ ગુમાવ્યા વિના મુક્તપણે બદલી શકાય છે. કેપ કવરિંગને આવરી લેતી આર્થિક કેપને કેપ્સના સમૂહ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે જે કેટલીક સીમાને સંપૂર્ણપણે આવરી લે છે. દરેક કેપના કદને ઘટાડીને, આપણે કેપ્સના સમૂહના કદને ઘટાડી શકીએ છીએ અને એક નવો સમૂહ બનાવી શકીએ છીએ. ન્યૂનતમ વોલ્યુમ ધરાવતી કેપ્સના આ સમૂહને ઇકોનોમિક કેપ કવરિંગ કહેવામાં આવે છે અને તેને સ્પષ્ટ રીતે કેટલીક સીમાને આવરી લેતી કેપ્સના સમૂહ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે જ્યાં દરેકની કેટલીક ન્યૂનતમ પહોળાઈ હોય છે અને આ કવરિંગનું કુલ કદ ષ્ણ છે. સંદર્ભો મેટ્રિક ભૂમિતિ કન્વેક્સ વિશ્લેષણ કોમ્પ્યુટેશનલ ભૂમિતિ