Multiresolution Fourier transform
મલ્ટી-રિઝોલ્યુશન ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ એ એક અભિન્ન ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ છે જે સંપૂર્ણ સ્કેલેબલ મોડ્યુલેટેડ વિન્ડો સાથે ચોક્કસ વેવલેટ જેવા ટ્રાન્સફોર્મનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે, પરંતુ તમામ સંભવિત અનુવાદો નહીં. ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ અને વેવલેટ ટ્રાન્સફોર્મની સરખામણી જ્યારે ડિજિટલ સિગ્નલ પ્રોસેસિંગ અને સિગ્નલ વિશ્લેષણની વાત આવે છે ત્યારે ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ એ સૌથી સામાન્ય અભિગમોમાંનો એક છે. તે સાઇન અને કોસાઇન કાર્યો દ્વારા સિગ્નલનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે, આમ ટાઇમ-ડોમેનને ફ્રિક્વન્સી-ડોમેનમાં રૂપાંતરિત કરે છે. ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મનો ગેરલાભ એ છે કે સાઇન અને કોસાઇન કાર્ય બંનેને આખા સમયના સમતલમાં વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જેનો અર્થ છે કે ત્યાં કોઈ સમય રીઝોલ્યુશન નથી. ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મના અમુક પ્રકારો, જેમ કે શોર્ટ ટાઇમ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ (એસ. ટી. એફ. ટી.) નમૂના લેવા માટે વિંડોનો ઉપયોગ કરે છે, પરંતુ વિંડોની લંબાઈ નિશ્ચિત હોય છે, જેનો અર્થ થાય છે કે પરિણામો માત્ર ઓછી અથવા ઉચ્ચ આવર્તન ઘટકો માટે જ સંતોષકારક રહેશે. ઝડપી ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ (એફ. એફ. ટી.) નો ઉપયોગ ઘણીવાર તેની ગણતરીની ગતિને કારણે થાય છે, પરંતુ સ્થિર સંકેતો માટે વધુ સારા પરિણામો દર્શાવે છે. બીજી બાજુ, વેવલેટ ટ્રાન્સફોર્મ ઉપરોક્ત તમામ ખામીઓમાં સુધારો કરી શકે છે. તે સમય અને આવર્તન માહિતી બંનેને સાચવે છે અને તે ચલ લંબાઈની વિંડોનો ઉપયોગ કરે છે, જેનો અર્થ છે કે નીચા અને ઉચ્ચ આવર્તન ઘટકો બંને ફોરિયર પરિવર્તન કરતાં વધુ ચોકસાઈ સાથે મેળવવામાં આવશે. વેવલેટ ટ્રાન્સફોર્મ પણ ક્ષણિક સ્થિતિમાં વધુ સારા પરિણામો દર્શાવે છે. મલ્ટી-રિઝોલ્યુશન ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ વેવલેટ ટ્રાન્સફોર્મના ફાયદાકારક ગુણધર્મોનો લાભ લે છે અને તેનો ઉપયોગ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ માટે કરે છે. વ્યાખ્યા ચાલો એક એવું ફંક્શન બનીએ જેનું ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ હોય જેને આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે સમય રેખાને π/ω ના પૂર્ણાંક ગુણાંક પર કેન્દ્રો સાથે π/ω લંબાઈના અંતરાલો દ્વારા વિભાજિત કરી શકાય છે પછી, ફંક્શનના નવા ટ્રાન્સફોર્મ રજૂ કરી શકાય છે અને જ્યાં, જ્યારે n એ પૂર્ણાંક હોય. ફંકશન અને તેનો ઉપયોગ જટિલ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે થઈ શકે છે પછી, ફ્રિક્વન્સી-ટાઇમ પ્લેનમાં બિંદુઓના સમૂહને રજૂ કરેલા ટ્રાન્સફોર્મની ગણતરી માટે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જ્યાં, અને તે સામાન્ય રીતે અનંત છે, અથવા જો ફંક્શનમાં મર્યાદિત આધાર હોય તો મર્યાદિત સંખ્યા છે. વિધેયો સાથે વ્યાખ્યાયિત રજૂઆત અને તેને બી-વેવલેટ ટ્રાન્સફોર્મ કહેવામાં આવે છે, અને તેનો ઉપયોગ ઇન્ટિગ્રલ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે થાય છે. કોસાઇન અને સાઇન બી-વેવલેટ રૂપાંતર આ પ્રમાણે છેઃ બી-વેવલેટની ગણતરી આવર્તન-સમય બિંદુઓની સમગ્ર શ્રેણીમાં કરવાની જરૂર નથી, પરંતુ માત્ર સમૂહ બીના બિંદુઓમાં જ કરવાની જરૂર છે. ઇન્ટિગ્રલ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ પછી બી-વેવલેટ ટ્રાન્સફોર્મનો ઉપયોગ કરીને વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. હવે ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મને માત્ર અનુવાદ પરિમાણ દ્વારા નમૂના લેવામાં આવેલા બે અભિન્ન વેવલેટ ટ્રાન્સફોર્મ દ્વારા રજૂ કરી શકાય છેઃ એપ્લિકેશન્સ મલ્ટીરિસોલ્યુશન ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ છબી અને ઓડિયો સિગ્નલ વિશ્લેષણ, વળાંક અને ખૂણા નિષ્કર્ષણ અને ધાર શોધ જેવા ક્ષેત્રોમાં લાગુ કરવામાં આવે છે. ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ વેવલેટ ટ્રાન્સફોર્મ રેફરન્સ સિગ્નલ પ્રોસેસિંગ પણ જુઓ.