NM-method
એનએમ-પદ્ધતિ અથવા નાસોદી-મેન્ડોન્કા પદ્ધતિ એ એવી પ્રક્રિયા છે જે આંકડાશાસ્ત્ર, અર્થશાસ્ત્ર, અર્થશાસ્ત્ર, સમાજશાસ્ત્ર અને વસ્તીવિષયકમાં પ્રતિકૂળ આકસ્મિકતા કોષ્ટકો બનાવવા માટે લાગુ કરી શકાય છે. આ પદ્ધતિ મેટ્રિક્સ () ને શોધે છે જે મેટ્રિક્સની "સૌથી નજીક" છે (જેને બીજ કોષ્ટક કહેવાય છે) જે સમાન ક્રમાંકિત હોવાના અર્થમાં છે પરંતુ લક્ષ્ય મેટ્રિક્સની પંક્તિ અને સ્તંભની કુલ સાથે. જ્યારે હરોળનો સરવાળો અને સ્તંભનો સરવાળો જાણીતો છે, ત્યારે મેટ્રિક્સ પોતે જાણી શકાતો નથી. મેટ્રિક્સ માટેનો ઉકેલ અનન્ય હોવાથી, NM-પદ્ધતિ એ એક કાર્ય છેઃ, જ્યાં કદનો પંક્તિ વેક્ટર છે, જ્યારે કદનો સ્તંભ વેક્ટર છે. એનએમ-પદ્ધતિ નાસોદી અને મેન્ડોન્કા (2021) દ્વારા વિકસાવવામાં આવી હતી (અને સૌપ્રથમ નાસોદી અને મેન્ડોન્કા (2019) દ્વારા સમસ્યાઓમાં મેટ્રિક્સ માટે ઉકેલ લાવવા માટે લાગુ કરવામાં આવી હતી, જ્યાં મેટ્રિક્સ એ મેટ્રિક્સની પંક્તિ કુલ અને સ્તંભ કુલ દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ વસ્તીનો નમૂનો નથી, પરંતુ અન્ય વસ્તીને રજૂ કરે છે. તેમની અરજીનો હેતુ શૈક્ષણિક હોમોફિલીની તાકાતમાં આંતર-પેઢી ફેરફારોને માપવાનો અને આમ 1980 અને 2010 ની વચ્ચે યુ. એસ. માં વિવિધ શૈક્ષણિક જૂથો વચ્ચે સામાજિક અસમાનતામાં ઐતિહાસિક પરિવર્તનને માપવાનો હતો. અસમાનતાનું વલણ યુ-આકારનું હોવાનું જણાયું હતું, જે યોગ્ય સામાજિક અને આર્થિક નીતિઓ સાથે અસમાનતાને ઘટાડી શકાય છે તે દ્રષ્ટિકોણને ટેકો આપે છે. મેટ્રિક્સ ક્રમાંકનની વ્યાખ્યા સમાન કદના બે મેટ્રિક્સ વચ્ચેની નિકટતાને ઘણી રીતે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. યુક્લિડિયન અંતર અને કુલબેક-લીબલર વિચલન એ બે જાણીતા ઉદાહરણો છે. એનએમ-પદ્ધતિ ક્રમિક લિયુ-લુ અનુક્રમણિકા પર આધારિત વ્યાખ્યા સાથે સુસંગત છે, જે ઇક્યુ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કોલમેન-અનુક્રમણિકાનું થોડું સુધારેલું સંસ્કરણ છે. (15) કોલમેન (1958) માં. આ વ્યાખ્યા અનુસાર, મેટ્રિક્સ મેટ્રિક્સની "સૌથી નજીક" છે, જો તેમના લિયુ-લુ મૂલ્યો સમાન હોય. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, જો તેમને ક્રમિક લિયુ-લુ અનુક્રમણિકા દ્વારા સમાન ક્રમ આપવામાં આવે. જો 2 × 2 મેટ્રિક્સ હોય, તો તેના સ્કેલર-વેલ્યુડ લિયુ-લુ ઇન્ડેક્સને આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જ્યાં;;;;. કોલમેન (1958) ને અનુસરીને, આ અનુક્રમણિકાનું અર્થઘટન "મહત્તમ ઓછા લઘુત્તમ પર અપેક્ષિત વાસ્તવિક બાદબાકી" તરીકે કરવામાં આવે છે, જ્યાં બીજ મેટ્રિક્સની એન્ટ્રીનું વાસ્તવિક મૂલ્ય છે; વિરોધાભાસી ધારણાઓ હેઠળ તેનું અપેક્ષિત (પૂર્ણાંક) મૂલ્ય છે કે અનુરૂપ પંક્તિ કુલ અને સ્તંભ કુલ પૂર્વનિર્ધારિત છે, જ્યારે તેનું આંતરિક યાદૃચ્છિક છે. ઉપરાંત, જો પંક્તિ ચલ અને સ્તંભ ચલ વચ્ચેનું જોડાણ બિન-નકારાત્મક હોય તો તેનું લઘુતમ મૂલ્ય છે. છેવટે, આપેલ પંક્તિ કુલ અને સ્તંભ કુલ માટે () નું મહત્તમ મૂલ્ય છે. કદ n × m (,) ના મેટ્રિક્સ માટે, લિયુ-લુ ઇન્ડેક્સને નાસઝોડી અને મેન્ડોન્કા (2021) દ્વારા મેટ્રિક્સ-વેલ્યુડ ઇન્ડેક્સમાં સામાન્યીકૃત કરવામાં આવ્યો હતો. સામાન્યીકરણ માટેની એક પૂર્વશરત એ છે કે મેટ્રિક્સના પંક્તિ ચલ અને સ્તંભ ચલનો ક્રમ આપવો પડશે. સામાન્યીકૃત, મેટ્રિક્સ-મૂલ્યવાન લિયુ-લુ અનુક્રમણિકાને મેટ્રિક્સ સાથે સરખાવવી એ પંક્તિ અને સ્તંભ ચલની ક્રમબદ્ધ પ્રકૃતિને વિસ્ફોટિત કરીને તેમના ક્રમબદ્ધ પંક્તિ ચલ અને ક્રમબદ્ધ સ્તંભ ચલને દ્વિભાજન કરવા સમાન છે. તેના કરતાં, દ્વિભાજન સાથે મેળવેલા 2 × 2 મેટ્રિસીસના મૂળ, સ્કેલર-મૂલ્યવાળા લિયુ-લુ સૂચકાંકોને સરખાવવું. એટલે કે, કોઈપણ જોડી (અને) માટે પ્રતિબંધ લાદવામાં આવે છે, જ્યાં મેટ્રિક્સ તેના કદના હોવા સાથે અને તેના કદના હોવા સાથે છે. તેવી જ રીતે, તેના કદના હોવા અને તેના કદના હોવા સાથે ટ્રાન્સપોઝ દ્વારા આપવામાં આવેલ મેટ્રિક્સ છે. પંક્તિના સરવાળા અને સ્તંભના સરવાળા પરના અવરોધો મેટ્રિક્સે માત્ર તેના પંક્તિના સરવાળા અને સ્તંભના સરવાળા પરના અવરોધોની જોડીને પણ સંતોષવા જોઈએઃ અને. ઉકેલ એમ ધારીને કે (ક્યાં, અને) ની તમામ જોડીઓ માટે, ઉકેલ અનન્ય, નિર્ધારક અને બંધ-સ્વરૂપ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે. મેટ્રિસીસ અને કદ માટે, ઉકેલ છે. અન્ય 3 કોષો અનન્ય રીતે પંક્તિના સરવાળા અને સ્તંભના સરવાળા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. તેથી, 2×2 બીજ કોષ્ટકો માટે NM-પદ્ધતિ આ રીતે કામ કરે છે. કદ (,) માટે, અને મેટ્રિસીસ માટે, ઉકેલ 2 × 2 સ્વરૂપની સમસ્યાઓની સંખ્યાને હલ કરતા પહેલા તમામ સંભવિત અર્થપૂર્ણ રીતોમાં તેમના ક્રમબદ્ધ પંક્તિ ચલ અને ક્રમબદ્ધ સ્તંભ ચલને દ્વિભાજન કરીને મેળવવામાં આવે છે. દરેક સમસ્યાને જોડી (અને) સાથે, અને લક્ષ્ય પંક્તિના સરવાળા અને સ્તંભના સરવાળાઃ, અને, અનુક્રમે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. દરેક સમસ્યાને સૂત્ર દ્વારા અલગથી હલ કરવાની છે. ઉકેલોનો સમૂહ મેટ્રિક્સની એન્ટ્રીઓની સંખ્યા નક્કી કરે છે. તેના બાકીના ઘટકો લક્ષ્ય પંક્તિના સરવાળા અને સ્તંભના સરવાળા દ્વારા અનન્ય રીતે નક્કી કરવામાં આવે છે. આગળ, ચાલો જોઈએ કે NM-પદ્ધતિ કેવી રીતે કાર્ય કરે છે જો મેટ્રિક્સ એવી હોય કે જેની બીજી પૂર્વશરત પૂરી ન થાય. જો તમામ જોડીઓ માટે, ઉકેલ પણ અનન્ય, નિર્ધારક અને બંધ-સ્વરૂપ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે. જો કે, મેટ્રિક્સ રેન્કિંગની અનુરૂપ વિભાવના ઉપર ચર્ચા કરાયેલ વિભાવનાથી થોડી અલગ છે. લિયુ અને લુ (2006) તેને આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરે છે, જ્યાં; સૌથી નાનો પૂર્ણાંક તેના કરતા મોટો અથવા તેની બરાબર છે. છેવટે, ન તો એનએમ-પદ્ધતિ, ન તો જો જોડી એવી હોય તો તેને વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જ્યારે બીજી જોડી માટે. એક આંકડાકીય ઉદાહરણ તેના પંક્તિ સરવાળા અને સ્તંભ સરવાળા અને લક્ષ્યો સાથે પૂરક નીચેનાનો વિચાર કરો, એટલે કે, અનેઃ એનએમ-પદ્ધતિના પ્રથમ પગલા તરીકે, (, અને) ની દરેક જોડી માટે, અને મેટ્રિસીસ દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે. તે તેમના લક્ષ્ય પંક્તિ સરવાળા અને સ્તંભ સરવાળા સાથે 2 × 2 કદના નીચેના 9 મેટ્રિસીસ આપે છેઃ આગળનું પગલું 9 મેટ્રિસીસમાંથી દરેકમાં મૂળ સ્કેલર-વેલ્યુડ લિયુ-લ્યુ ઇન્ડેક્સના સૂત્રને લાગુ કરીને સામાન્યીકૃત મેટ્રિક્સ-વેલ્યુડ લિયુ-લ્યુ ઇન્ડેક્સ (જ્યાં) ની ગણતરી કરવાનું છેઃ દેખીતી રીતે, મેટ્રિક્સ પોઝિટિવ છે. તેથી, એનએમ-પદ્ધતિ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. 2 × 2 ફોર્મની 9 સમસ્યાઓમાંથી દરેકને ઉકેલવાથી મેટ્રિક્સની 9 એન્ટ્રીઓ મળે છે. તેની અન્ય 7 એન્ટ્રીઓ લક્ષ્ય પંક્તિના સરવાળા અને સ્તંભના સરવાળા દ્વારા અનન્ય રીતે નક્કી કરવામાં આવે છે. આનો ઉકેલ છેઃ એબોટ એટ અલ પાસેથી લેવામાં આવેલું બીજું આંકડાકીય ઉદાહરણ. (2019) તેના પંક્તિ સરવાળો અને સ્તંભ સરવાળો અને લક્ષ્યો સાથે પૂરક નીચેનાનો વિચાર કરો, એટલે કે, અનેઃ એનએમ-પદ્ધતિના પ્રથમ પગલા તરીકે, (, અને) ની દરેક જોડી માટે, અને મેટ્રિસીસ દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે. તે તેમના લક્ષ્ય પંક્તિ સરવાળા અને સ્તંભ સરવાળા સાથે 2 × 2 કદના નીચેના 4 મેટ્રિસીસ આપે છેઃ આગળનું પગલું સામાન્યીકૃત મેટ્રિક્સ-મૂલ્યવાળા લિયુ-લુ અનુક્રમણિકાની ગણતરી કરવાનું છે, (જ્યાં) 4 મેટ્રિસીસમાંથી દરેકમાં મૂળ સ્કેલર-મૂલ્યવાળા લિયુ-લુ અનુક્રમણિકાના સૂત્રને લાગુ કરીનેઃ દેખીતી રીતે, મેટ્રિક્સ હકારાત્મક છે. તેથી, એનએમ-પદ્ધતિ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. 2 × 2 ફોર્મની 4 સમસ્યાઓમાંથી દરેકને ઉકેલવાથી મેટ્રિક્સની 4 એન્ટ્રીઓ મળે છે. તેની અન્ય 5 એન્ટ્રીઓ લક્ષ્ય હરોળની કુલ સંખ્યા અને સ્તંભની કુલ સંખ્યા દ્વારા અનન્ય રીતે નક્કી કરવામાં આવે છે. આનો ઉકેલ છેઃ અમલીકરણ એનએમ-પદ્ધતિ એક્સેલ, વિઝ્યુઅલ બેઝિક, આર અને સ્ટેટામાં પણ લાગુ કરવામાં આવે છે. કાર્યક્રમો એન. એમ.-પદ્ધતિ વિવિધ ઘટનાઓનો અભ્યાસ કરવા માટે લાગુ કરી શકાય છે જેમાં વિવિધ પ્રકારના સમાગમ, સામાજિક ગતિશીલતાના પ્રકાર તરીકે આંતર પેઢી ગતિશીલતા, રહેણાંક વિભાજન, ભરતી અને પ્રતિભા વ્યવસ્થાપનનો સમાવેશ થાય છે. આ તમામ એપ્લિકેશનોમાં, મેટ્રિસીસ, અને એક-થી-એક મેળ ખાતી સંસ્થાઓના સંયુક્ત વિતરણનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે (દા. ત. પતિ અને પત્નીઓ, અથવા પ્રથમ જન્મેલા બાળકો અને માતાઓ, અથવા રહેઠાણો અને મુખ્ય ભાડૂતો, અથવા સી. ઈ. ઓ. અને કંપનીઓ, અથવા ચેસ પ્રશિક્ષકો અને તેમના સૌથી પ્રતિભાશાળી વિદ્યાર્થીઓ) ક્યાં તો દ્વિવિધ શ્રેણીબદ્ધ ચલ (દા. ત. શાકાહારી/માંસાહારી, ગ્રાન્ડમાસ્ટર/અથવા નહીં), અથવા ક્રમબદ્ધ બહુપદી વર્ગીકરણ ચલ (દા. ત. અંતિમ શૈક્ષણિક પ્રાપ્તિનું સ્તર, સ્કીઅર્સની ક્ષમતા સ્તર, આવક કૌંસ, ભાડા ફીની શ્રેણી, ક્રેડિટ રેટિંગ, એફઆઇડીઇ ટાઇટલ). એન. એમ.-પદ્ધતિમાં લાગુ પડવાની વિશાળ શ્રેણી હોવા છતાં, આગળ રજૂ થનારા તમામ ઉદાહરણો શિક્ષણ સ્તર સાથે વિવિધ પ્રકારના સમાગમ વિશે છે. આ એપ્લિકેશન્સમાં, બે પૂર્વશરત (તમામ શૈક્ષણિક જૂથોમાં ક્રમબદ્ધ લક્ષણ ચલ અને હકારાત્મક વર્ગીકરણ સંવનન) પૂરી કરવા માટે ચર્ચા કરવામાં આવતી નથી. ધારો કે મેટ્રિક્સ ઝિમ્બાબ્વેમાં પતિ અને પત્નીઓના સંયુક્ત શૈક્ષણિક વિતરણની લાક્ષણિકતા ધરાવે છે, જ્યારે મેટ્રિક્સ યમનમાં સમાન લાક્ષણિકતા ધરાવે છે. એનએમ-પદ્ધતિ સાથે બાંધવામાં આવનાર મેટ્રિક્સ આપણને જણાવે છે કે ઝિમ્બાબ્વેમાં યુગલોની સંયુક્ત શૈક્ષણિક વહેંચણી શું હશે, જો પતિ અને પત્નીઓનું શૈક્ષણિક વિતરણ યમનની જેમ જ હોત, જ્યારે સમલૈંગિકતા માટેની એકંદર ઇચ્છા (જેને અર્થશાસ્ત્રમાં એકંદર વૈવાહિક પસંદગીઓ અથવા સમાજશાસ્ત્રમાં વૈવાહિક મેળ ખાતા સામાજિક ધોરણો/સામાજિક અવરોધો તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે) અપરિવર્તિત હતી. બીજી એપ્લિકેશનમાં, મેટ્રિસીસ અને બે અલગ અલગ વર્ષોમાં એક જ દેશની લાક્ષણિકતા દર્શાવે છે. મેટ્રિક્સ એ 2040 માં અમેરિકન નવદંપતીઓનું સંયુક્ત શૈક્ષણિક વિતરણ છે, જ્યાં પતિ જનરેશન ઝેડના છે અને જ્યારે જોવામાં આવે ત્યારે યુવાન પુખ્ત વયના હોય છે. મેટ્રિક્સ એ જ છે પરંતુ વર્ષ 2024માં જનરેશન વાય માટે અવલોકન કરવામાં આવ્યું હતું. મેટ્રિક્સનું નિર્માણ કરીને, કોઈ પણ વ્યક્તિ ભવિષ્યમાં અભ્યાસ કરી શકે છે કે હમણાં જ પરિણીત અમેરિકન યુવાન યુગલોમાં શૈક્ષણિક વિતરણ શું હશે જો તેઓ જનરેશન ઝેડમાં પુરુષો અને તેમના ભાગીદારોની જેમ લગ્નમાં ગોઠવાય છે, જ્યારે શિક્ષણનું સ્તર જનરેશન વાયમાં પુરુષો અને તેમના ભાગીદારોમાં સમાન હતું. ત્રીજી એપ્લિકેશનમાં, મેટ્રિસીસ અને બે અલગ અલગ વર્ષોમાં ફરીથી એક જ દેશની લાક્ષણિકતા દર્શાવે છે. આ એપ્લિકેશનમાં, મેટ્રિક્સ એ 2011 માં પોર્ટુગીઝ યુવાન યુગલો (જ્યાં પુરુષ ભાગીદારોની ઉંમર 30 થી 34 વર્ષની વચ્ચે છે) નું સંયુક્ત શૈક્ષણિક વિતરણ છે. અને તે જ છે પરંતુ તે વર્ષ 1981 માં ઉજવવામાં આવે છે. પોર્ટુગીઝ યુવાન યુગલોની શૈક્ષણિક વહેંચણી શું હોત તેનો અભ્યાસ કરવા માટે મેટ્રિક્સ બનાવવાનું લક્ષ્ય રાખી શકાય છે, જો તેઓ 2011 માં તેમના સાથીઓની જેમ લગ્નમાં ગોઠવાયેલા હોત, જ્યારે તેમની લિંગ-વિશિષ્ટ શૈક્ષણિક વહેંચણી 1981 ની જેમ જ હતી. પ્રથમ બે ઉપયોગોમાંથી દરેકમાં, મેટ્રિક્સ વિરોધાભાસી સંયુક્ત વિતરણનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. તેનો ઉપયોગ ચોક્કસ કેટેરિસ પેરિબસ અસરોને માપવા માટે થઈ શકે છે. વધુ ચોક્કસપણે, ઝિમ્બાબ્વે અને યમનમાં વૈવાહિક વર્ગીકરણની સીધી અવલોકન ન કરી શકાય તેવી ડિગ્રી વચ્ચેના તફાવતને મુખ્ય સ્કેલ પર માપવા માટે, અથવા જનરેશન ઝેડ અને જનરેશન વાયમાં વિરોધાભાસી વિઘટન સાથે. વિઘટન માટે, પ્રતિકૂળ તથ્યાત્મક કોષ્ટકનો ઉપયોગ દરેક પ્રેરક શક્તિઓના યોગદાનની ગણતરી કરવા માટે થાય છે (એટલે કે, વસ્તી સ્તર પર તકો નક્કી કરતા વિવિધ શિક્ષણ સ્તરો સાથે સંભવિત ભાગીદારોની અવલોકન માળખાકીય ઉપલબ્ધતા; અને અવલોકન ન કરી શકાય તેવા બિન-માળખાકીય ડ્રાઇવરો, ઉદાહરણ તરીકે, એકંદર મેળ ખાતી પસંદગીઓ, ઇચ્છાઓ, ધોરણો, અવરોધો) અને તેમની ક્રિયાપ્રતિક્રિયા (એટલે કે, માળખાકીય ઉપલબ્ધતામાં ફેરફારોને કારણે એકંદર પસંદગીઓ/ઇચ્છાઓ/ધોરણો/અવરોધોમાં ફેરફારોની અસર) અવલોકનક્ષમ મુખ્ય સ્કેલ્ડ આંકડાઓ (દા. ત. શૈક્ષણિક રીતે સમલિંગી યુગલો). ત્રીજી એપ્લિકેશનનો ઉપયોગ નાસોદી અને મેન્ડોન્કા (2021) દ્વારા નોન-સેન્સ કાઉન્ટરફેક્ચ્યુઅલના ઉદાહરણ તરીકે કરવામાં આવ્યો હતોઃ અભ્યાસ કરાયેલા ત્રણ દાયકામાં પોર્ટુગલમાં શિક્ષણનું સ્તર એટલું ભારે બદલાઈ ગયું છે કે આ કાઉન્ટરફેક્ચ્યુઅલ મેળવવું અશક્ય છે. એન. એમ.-પદ્ધતિની કેટલીક વિશેષતાઓ પ્રથમ, એન. એમ.-પદ્ધતિ જો તેની લાગુ થવાની મર્યાદા સુધી પહોંચે તો તે અર્થપૂર્ણ ઉકેલ આપી શકતી નથી. દાખલા તરીકે, ત્રીજી એપ્લિકેશનમાં, NM-પદ્ધતિ મેટ્રિક્સમાં નકારાત્મક એન્ટ્રી સાથે સંકેત આપે છે કે પ્રતિકૂળ અશક્ય છે (જુઓઃ AlternativeMethod_US_1980s_2010s_age3035_main.xls પત્રક PT _ A1981 _ P2011 _ સાર્થક નથી). આ સંદર્ભમાં, એનએમ-પદ્ધતિ રેખીય સંભાવના મોડેલ જેવી જ છે જે એકમ અંતરાલની બહાર અનુમાનિત સંભાવના સાથે સમાન સંકેત આપે છે. બીજું, NM-પદ્ધતિ પંક્તિ ચલ અને સ્તંભ ચલની પડોશી શ્રેણીઓને મર્જ કરવા સાથે પરિવર્તિત થાય છેઃ, કદની પંક્તિ મર્જ કરતી મેટ્રિક્સ ક્યાં છે; અને, કદની સ્તંભ મર્જ કરતી મેટ્રિક્સ ક્યાં છે. ત્રીજું, મેટ્રિક્સમાં શૂન્ય એન્ટ્રીઓ હોય તો પણ એનએમ-પદ્ધતિ કામ કરે છે. આઇ. પી. એફ. સાથે સરખામણી પુનરાવર્તિત પ્રમાણસર ફિટિંગ પ્રક્રિયા (આઇ. પી. એફ.) પણ એક કાર્ય છેઃ તે ફીટ કરેલ મેટ્રિક્સ () શોધવાની કામગીરી છે જે એનએમ-પદ્ધતિ સાથે બાંધવામાં આવેલા મેટ્રિક્સ દ્વારા પૂરી થતી શરતોના સમૂહને પૂર્ણ કરે છે. દા. ત., મેટ્રિક્સ મેટ્રિક્સની સૌથી નજીક છે પરંતુ લક્ષ્ય મેટ્રિક્સની પંક્તિ અને સ્તંભની કુલ સાથે. જોકે, આઇ. પી. એફ. અને એન. એમ.-પદ્ધતિ વચ્ચે તફાવત છે. આઇ. પી. એફ. ક્રોસ-એન્ટ્રોપી અથવા કુલબેક-લીબલર વિચલન દ્વારા સમાન કદના મેટ્રિસીસની નિકટતાને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. તદનુસાર, 2 × 2 મેટ્રિક્સ વચ્ચેના અંતરની આઇ. પી. એફ. સુસંગત વિભાવના અને શૂન્ય છે, જો તેમના આંતરઉત્પાદન ગુણોત્તર (જેને અવરોધો ગુણોત્તર તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે) સમાન હોયઃ યાદ કરવા માટે, મેટ્રિસીસની સમાન રેન્કિંગ માટે NM-પદ્ધતિની શરત અને છે. નીચેનું આંકડાકીય ઉદાહરણ દર્શાવે છે કે આઇ. પી. એફ. અને એન. એમ.-પદ્ધતિ સમાન નથીઃ તેની સાથે એન. એમ.-પદ્ધતિને ધ્યાનમાં લોઃ એન. એમ.-પદ્ધતિ નીચેના મેટ્રિક્સની ઉપજ આપે છેઃ જ્યારે આઇ. પી. એફ. સાથે મેળવેલ મેટ્રિક્સ માટેનો ઉકેલ છેઃ આઇ. પી. એફ. એ સંયુક્ત વસ્તી વિતરણના મહત્તમ સંભાવના અંદાજકારની સમકક્ષ છે, જ્યાં મેટ્રિક્સ (સંયુક્ત વસ્તી વિતરણ માટેનો અંદાજ) મેટ્રિક્સમાંથી ગણવામાં આવે છે, મેટ્રિક્સની હરોળના સરવાળા અને સ્તંભના સરવાળા દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ વસ્તીમાંથી લેવામાં આવેલા રેન્ડમ નમૂનામાં અવલોકન કરેલ સંયુક્ત વિતરણ. આઇ. પી. એફ. દ્વારા હલ કરવામાં આવેલી સમસ્યાથી વિપરીત, જે સમસ્યાને ઉકેલવા માટે એન. એમ.-પદ્ધતિ વિકસાવવામાં આવી હતી તેમાં આ વસ્તીમાંથી મેટ્રિક્સનું નમૂના લેવામાં આવતું નથી. હકીકતમાં, એન. એમ.-સમસ્યામાં, મેટ્રિક્સ અને બે જુદી જુદી વસ્તીની લાક્ષણિકતા (કાં તો ઝિમ્બાબ્વે અને યમન માટેની અરજીની જેમ એક સાથે અવલોકન કરવામાં આવે છે, અથવા પેઢી ઝેડ અને પેઢી વાયની વસ્તી માટે તેની અરજીની જેમ સમયના બે જુદા જુદા મુદ્દાઓમાં અવલોકન કરવામાં આવે છે). આ તફાવત પ્રયોગમૂલક ઉપયોગોમાં એન. એમ.-પદ્ધતિ અને આઇ. પી. એફ. વચ્ચેની પસંદગીને સરળ બનાવે છે. આઇ. પી. એફ. ના શોધકો, ડેમિંગ અને સ્ટીફન (1940) એ ક્લાસિક મહત્તમ સંભાવના અંદાજ સમસ્યા પર તેમની પદ્ધતિની અરજીને સચિત્ર કરી હતી, જ્યાં મેટ્રિક્સને વસ્તીમાંથી નમૂના લેવામાં આવ્યા હતા જે પંક્તિના સરવાળા અને મેટ્રિક્સના સ્તંભના સરવાળા દ્વારા વર્ગીકૃત કરવામાં આવ્યા હતા. તેઓ એ હકીકતથી વાકેફ હતા કે સામાન્ય રીતે, આઇ. પી. એફ. વિરોધાભાસી આગાહીઓ માટે યોગ્ય નથીઃ તેઓએ સ્પષ્ટપણે ચેતવણી આપી હતી કે તેમનું અલ્ગોરિધમ "આગાહી માટે પોતે ઉપયોગી નથી" (સ્ટીફન અને ડેમિંગ 1940 પૃષ્ઠ 444 જુઓ). વધુમાં, ડોમેન્સ અલગ છે જેના માટે આઇ. પી. એફ. અને એન. એમ.-પદ્ધતિ ઉકેલો આપે છે. પ્રથમ, એન. એમ.-પદ્ધતિથી વિપરીત, આઇ. પી. એફ. શૂન્ય પ્રવેશો સાથે તમામ બીજ કોષ્ટકો માટે ઉકેલ પ્રદાન કરતું નથી (સીસિસઝાર (1975) શૂન્ય પ્રવેશો સાથે સામાન્ય કોષ્ટકો સાથે આઇ. પી. એફ. લાગુ કરવા માટે જરૂરી અને પૂરતી શરતો મળી). બીજું, આઇ. પી. એફ. થી વિપરીત, એન. એમ.-પદ્ધતિ મેટ્રિસીસની જોડી માટે અને અશક્ય વિરોધાભાસીઓને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે અર્થપૂર્ણ ઉકેલ પ્રદાન કરતી નથી. ત્રીજું, એન. એમ.-પદ્ધતિ (અથવા બન્નેમાંથી) ની પૂર્વશરત આઇ. પી. એફ. ની લાગુ પડવા માટેની પૂર્વશરત નથી. છેવટે, એન. એમ. થી વિપરીત, આઇ. પી. એફ. પંક્તિ ચલ અને સ્તંભ ચલની પડોશી શ્રેણીઓને મર્જ કરવાની કામગીરી સાથે મુસાફરી કરતું નથી કારણ કે તે નાસોદી (2023) માં આંકડાકીય ઉદાહરણ સાથે સચિત્ર છે (પાનું 10 જુઓ). આ કારણોસર, આઇ. પી. એફ. સાથે મેળવેલ રૂપાંતરિત કોષ્ટક લક્ષણ વર્ગોની સંખ્યાની પસંદગી માટે સંવેદનશીલ હોઈ શકે છે. કેનેથ મેકડોનાલ્ડ (2023) નાસઝોડી (2023) ના નિષ્કર્ષ સાથે સહજ છે કે આઇ. પી. એફ. નમૂના સુધારણા કાર્યો માટે યોગ્ય છે, પરંતુ પ્રતિકૂળ હકીકતોની પેઢી માટે નહીં. એ જ રીતે નાસોદી માટે, મેકડોનાલ્ડ એ પણ પ્રશ્ન કરે છે કે શું આઇ. પી. એફ. ની પંક્તિ અને સ્તંભ પ્રમાણસર પરિવર્તન આકસ્મિક કોષ્ટકની અંદર જોડાણની રચનાને જાળવી રાખે છે જે આપણને સામાજિક ગતિશીલતાનો અભ્યાસ કરવાની મંજૂરી આપે છે. લઘુતમ યુક્લિડિયન અંતર અભિગમ સાથે સરખામણી લઘુતમ યુક્લિડિયન અંતર અભિગમ (એમ. ઇ. ડી. એ.) (એબોટ એટ અલ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત, ફર્નાન્ડિઝ અને રોજર્સન, 2001 પછી 2019) પણ એક કાર્ય છેઃ પ્રથમ, એમ. ઇ. ડી. એ. મેટ્રિક્સને સ્કેલર સોંપે છેઃ તે યુક્લેડિયન અંતરને ઘટાડીને બે આત્યંતિક કિસ્સાઓ (માર્જિનલની જોડી સાથે રેન્ડમ અને સંપૂર્ણ વર્ગીકરણ મેળ ખાતા) ના બહિર્મુખ સંયોજનના નિર્માણ માટે વપરાતું વજન છે. ઇ. જી. આ સ્કેલર એબોટ એટ અલ (2019) માંથી લેવામાં આવેલા આંકડાકીય ઉદાહરણમાં છે. બીજું, પ્રતિકૂળ સીમાંત વિતરણ () ની કોઈપણ જોડી માટે એમ. ઇ. ડી. એ. બે આત્યંતિક કિસ્સાઓમાં બહિર્મુખ સંયોજનનું નિર્માણ કરે છે (સીમાંત () ની જોડી સાથે અવ્યવસ્થિત અને સંપૂર્ણ વર્ગીકરણ મેળ ખાય છે). એન. એમ. અને એમ. ઇ. ડી. એ. વચ્ચેના તફાવતોઃ જ્યારે એન. એમ. સામાન્યીકૃત મેટ્રિક્સ-મૂલ્યના લિયુ-લુ અનુક્રમણિકાને સ્થિર રાખીને વર્ગીકરણને અપરિવર્તિત રાખે છે, ત્યારે એમ. ઇ. ડી. એ. સ્કેલરને સ્થિર રાખીને તે જ કરે છે. માટે, અને કદના મેટ્રિસીસ માટે બંને પદ્ધતિઓ સમાન રૂપાંતરિત કોષ્ટક ઉત્પન્ન કરે છે જો આકસ્મિક કોષ્ટકોને સ્કેલર-વેલ્યુડ લિયુ-લુ ઇન્ડેક્સની જેમ જ ક્રમ આપે છે. જો કે, 2 × 2 કરતા મોટા મેટ્રિસીસ માટે, સામાન્યીકૃત લિયુ-લુ અનુક્રમણિકા મેટ્રિક્સ-વેલ્યુડ છે, તેથી તે સ્કેલર-વેલ્યુડથી અલગ છે. તેથી, એન. એમ.-રૂપાંતરિત કોષ્ટક પણ એમ. ઇ. ડી. એ.-રૂપાંતરિત કોષ્ટકથી અલગ છે. દાખલા તરીકે, એબટ એટ અલ પાસેથી લેવામાં આવેલા આંકડાકીય ઉદાહરણમાં. (2019), એમ. ઇ. ડી. એ. દ્વારા બનાવવામાં આવેલ પ્રતિકૂળ કોષ્ટક એ મેટ્રિક્સ છેઃ મેટ્રિક્સ અને મેટ્રિક્સ વચ્ચેનો તફાવત નગણ્ય નથી. ઇ. જી. સમલિંગી યુગલોના હિસ્સાનો હિસ્સો અવલોકન કરેલ મેટ્રિક્સની સરખામણીમાં એમ. ઇ. ડી. એ.-નિર્મિત પ્રતિકૂળ મેટ્રિક્સમાં 2 ટકા પોઇન્ટ ઓછો છે, જ્યારે એન. એમ.-નિર્મિત પ્રતિકૂળ મેટ્રિક્સમાં તેની સરખામણીમાં 3.4 ટકા પોઇન્ટ ઓછો છે. કારણ કે એબોટનું ઉદાહરણ કાલ્પનિક નથી, પરંતુ તે અમેરિકન યુગલોના પ્રયોગમૂલક શૈક્ષણિક વિતરણ પર આધારિત છે, તેથી 2 ટકા પોઇન્ટ અને 3.4 ટકા પોઇન્ટ વચ્ચેના તફાવતને અર્થઘટન કરી શકાય છે કારણ કે એમ. ઇ. ડી. એ. એક પેઢીથી બીજી પેઢીમાં અસમાનતામાં થતા ફેરફારોને એન. એમ. ની સરખામણીમાં નોંધપાત્ર રીતે નાના હોવાનું પ્રમાણિત કરે છે. પુનરાવર્તિત પ્રમાણસર ફિટિંગ પ્રક્રિયા બાહ્ય કડીઓ સામાન્યીકૃત નાસોદી-મેન્ડોન્કા પદ્ધતિ (જી. એન. એમ.-પદ્ધતિ) સંદર્ભો આંકડાકીય અર્થશાસ્ત્ર પણ જુઓ.