Mean line segment length
ભૂમિતિમાં, સરેરાશ રેખા ખંડની લંબાઈ એ આપેલ આકારમાં એકસરખી રીતે પસંદ કરેલા બે બિંદુઓને જોડતા રેખા ખંડની સરેરાશ લંબાઈ છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, તે બે યાદૃચ્છિક બિંદુઓ વચ્ચેનું અપેક્ષિત યુક્લિડિયન અંતર છે, જ્યાં આકારમાં દરેક બિંદુ સમાન રીતે પસંદ થવાની સંભાવના છે. ચોરસ અથવા ત્રિકોણ જેવા સરળ આકારો માટે પણ, તેમની સરેરાશ રેખા ખંડની લંબાઈના ચોક્કસ મૂલ્ય માટે ઉકેલવું મુશ્કેલ હોઈ શકે છે કારણ કે તેમની બંધ-સ્વરૂપની અભિવ્યક્તિઓ ખૂબ જટિલ બની શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, નીચેના પ્રશ્નને ધ્યાનમાં લોઃ બાજુની લંબાઈ 1 સાથે ચોરસની અંદર બે અવ્યવસ્થિત રીતે પસંદ કરેલા બિંદુઓ વચ્ચેનું સરેરાશ અંતર કેટલું છે? જ્યારે પ્રશ્ન સરળ લાગે છે, ત્યારે તેનો જવાબ એકદમ જટિલ છે; આનું ચોક્કસ મૂલ્ય છે. ઔપચારિક વ્યાખ્યા n-પરિમાણીય આકાર S માટે સરેરાશ રેખા ખંડની લંબાઈને ઔપચારિક રીતે બે યાદૃચ્છિક બિંદુઓ x અને y વચ્ચેના અપેક્ષિત યુક્લિડિયન અંતર | | | | તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે, જ્યાં λ એ n-પરિમાણીય લેબસ્ગ્યુ માપ છે. દ્વિ-પરિમાણીય કેસ માટે, આને બે બિંદુઓ (x1, y1) અને (x2, y2) અંદાજ પદ્ધતિઓ માટે અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે કારણ કે સરેરાશ રેખા ખંડની લંબાઈની ગણતરીમાં બહુ-પરિમાણીય સંકલનની ગણતરીનો સમાવેશ થાય છે, સંખ્યાત્મક એકીકરણ માટેની વિવિધ પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કોઈપણ આકાર માટે આ મૂલ્યને અંદાજિત કરવા માટે કરી શકાય છે. આવી જ એક પદ્ધતિ મોન્ટે કાર્લો પદ્ધતિ છે. આપેલ આકારની સરેરાશ રેખા ખંડની લંબાઈનો અંદાજ કાઢવા માટે, તેના આંતરિક ભાગમાં બે બિંદુઓ અવ્યવસ્થિત રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે અને અંતર માપવામાં આવે છે. આ પગલાંઓના અનેક પુનરાવર્તનો પછી, આ અંતરની સરેરાશ આખરે સાચા મૂલ્યમાં રૂપાંતરિત થશે. આ પદ્ધતિઓ માત્ર અંદાજ આપી શકે છે; તેનો ઉપયોગ તેનું ચોક્કસ મૂલ્ય નક્કી કરવા માટે કરી શકાતો નથી. સૂત્ર રેખા વિભાગ લંબાઈના રેખા વિભાગ માટે, બે બિંદુઓ વચ્ચેનું સરેરાશ અંતર છે. ત્રિકોણ બાજુની લંબાઈવાળા ત્રિકોણ માટે, અને, તેના આંતરિક ભાગમાં બે બિંદુઓ વચ્ચેનું સરેરાશ અંતર સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે જ્યાં અર્ધપરિમાપક છે, અને સૂચવે છે. બાજુની લંબાઈ a ધરાવતા સમબાહુ ત્રિકોણ માટે, આ ચોરસ અને લંબચોરસની બરાબર છે બાજુની લંબાઈ s ધરાવતા ચોરસની અંદરના બે બિંદુઓ વચ્ચેનું સરેરાશ અંતર વધુ સામાન્ય રીતે, બાજુની લંબાઈ l અને w ધરાવતા લંબચોરસની સરેરાશ રેખા ખંડની લંબાઈ એ છે કે જ્યાં લંબચોરસની કર્ણની લંબાઈ છે. જો તેના બદલે બે બિંદુઓને ચોરસની જુદી જુદી બાજુઓ પર પસંદ કરવામાં આવે, તો સરેરાશ અંતર ક્યુબ અને હાયપરક્યુબ્સ દ્વારા આપવામાં આવે છે એન-ડાયમેન્શનલ યુનિટ હાયપરક્યુબની અંદરના બિંદુઓ વચ્ચેનું સરેરાશ અંતર આ રીતે સૂચવવામાં આવે છે, અને આ રીતે આપવામાં આવે છે. ત્રિ-પરિમાણીય કેસ માટે, એકમ સમઘનની સરેરાશ રેખા ખંડની લંબાઈને રોબિન્સ અચળાંક તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે, જેનું નામ ડેવિડ પી. રોબિન્સના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે. આ અચળાંક બંધ સ્વરૂપ ધરાવે છે, તેનું આંકડાકીય મૂલ્ય આશરે એન્ડરસન એટ છે. અલ. (1976) દર્શાવે છે કે એકમના સમઘનની બે જુદી જુદી બાજુઓમાંથી પસંદ કરેલા બિંદુઓ પણ બંધ સ્વરૂપ સાથે પરિણામ આપે છે, જે વર્તુળ અને ગોળા દ્વારા આપવામાં આવે છે. r ત્રિજ્યાના વર્તુળના પરિઘ પરના બિંદુઓ વચ્ચેની સરેરાશ તાર લંબાઈ છે. ત્રિજ્યા 1 ની અડધી ડિસ્ક માટેઃ ત્રિજ્યા 1 ની ક્વાર્ટર ડિસ્ક માટેઃ દડા ત્રિ-પરિમાણીય દડા માટે, આ છે વધુ સામાન્ય રીતે, એન-બોલની સરેરાશ રેખા ખંડની લંબાઈ જ્યાં સમાનતા પર આધાર રાખે છે, સામાન્ય સીમાઓ બર્ગસ્ટેલર અને પિલીશમેમર (2008) દર્શાવે છે કે વ્યાસ 1 સાથે એન-પરિમાણીય યુક્લિડિયન જગ્યાના કોમ્પેક્ટ સબસેટ માટે, તેની સરેરાશ રેખા ખંડની લંબાઈ એલ સંતોષ આપે છે જ્યાં ગામા કાર્ય સૂચવે છે. n = 2 માટે, એક મજબૂત બાઉન્ડ અસ્તિત્વમાં છે. સંદર્ભો બાહ્ય કડીઓ ભૂમિતિ