Hyperfinite equivalence relation
વર્ણનાત્મક સમૂહ સિદ્ધાંત અને ગણિતના સંબંધિત ક્ષેત્રોમાં, પ્રમાણભૂત બોરેલ અવકાશ X પર હાયપરફાઇનાઇટ સમકક્ષતા સંબંધ એ ગણતરીપાત્ર વર્ગો સાથે બોરેલ સમકક્ષતા સંબંધ E છે, જે ચોક્કસ અર્થમાં, મર્યાદિત વર્ગો ધરાવતા બોરેલ સમકક્ષતા સંબંધો દ્વારા અંદાજિત કરી શકાય છે. વ્યાખ્યાઓ વ્યાખ્યા 1. X ને પ્રમાણભૂત બોરેલ અવકાશ માની લો, એટલે કે; તે એક માપી શકાય તેવી જગ્યા છે જે પોલિશ અવકાશ X ને તેના બોરેલ ઉપગણના σ-બીજગણિતથી સજ્જ કરીને (અને ટોપોલોજીને ભૂલીને) ઊભી થાય છે. ધારો કે E એ X પર સમકક્ષ સંબંધ છે. આપણે કહીશું કે E એ બોરેલ છે જો E એ પોતાની સાથે X ના કાર્ટેશિયન ઉત્પાદનનો બોરેલ સબસેટ હોય, જ્યારે ઉત્પાદન σ-બીજગણિતથી સજ્જ હોય. આપણે કહીશું કે જો E પાસે મર્યાદિત (અનુક્રમે, ગણતરીપાત્ર) વર્ગો હોય તો E મર્યાદિત (અનુક્રમે, ગણતરીપાત્ર) છે. ઉપરોક્ત નામો ગેરમાર્ગે દોરનારા હોઈ શકે છે, કારણ કે જો X એ અગણિત પ્રમાણભૂત બોરેલ જગ્યા છે, તો જ્યારે X માંથી ક્રમબદ્ધ જોડીઓના સમૂહ તરીકે ગણવામાં આવે ત્યારે સમાનતા સંબંધ અગણિત હશે. વ્યાખ્યા 2. ધારો કે E એ પ્રમાણભૂત બોરેલ અવકાશ X પર ગણતરીપાત્ર બોરેલ સમકક્ષતા સંબંધ છે. આપણે કહીશું કે E હાયપરફાઇનાઇટ છે જો, જ્યાં X પર મર્યાદિત બોરેલ સમાનતા સંબંધોનો વધતો ક્રમ છે. સહજ ભાવે, આનો અર્થ એ છે કે X પર એક ક્રમ મર્યાદિત સમાનતા સંબંધો છે, દરેક તેના પુરોગામી કરતા વધુ સૂક્ષ્મ છે, જે મનસ્વી રીતે સારી રીતે E નો અંદાજ કાઢે છે. વર્ણનાત્મક સમૂહ સિદ્ધાંતમાં સંશોધનનું મુખ્ય ક્ષેત્ર બોરેલ સમાનતા સંબંધોનું વર્ગીકરણ છે, અને ખાસ કરીને જે ગણવા યોગ્ય છે. આમાંથી, મર્યાદિત સમાનતા સંબંધોને સૌથી સરળ માનવામાં આવે છે (દાખલા તરીકે, તેઓ બોરેલ ટ્રાન્સવર્સલ્સને સ્વીકારે છે). તેથી, તે પૂછવું સ્વાભાવિક છે કે શું અમુક સમાનતા સંબંધો, જે જરૂરી નથી કે મર્યાદિત હોય, તેને મર્યાદિત સમાનતા સંબંધો દ્વારા અંદાજિત કરી શકાય છે. આ એક એવી કલ્પના હોવાનું બહાર આવ્યું છે જે ગણિતમાં દેખાતા ઘણા કુદરતી સમાનતા સંબંધોને સમાવિષ્ટ કરવા માટે પૂરતી સમૃદ્ધ છે, તેમ છતાં ઊંડા પ્રમેયોને વિકસાવવા માટે પૂરતી પ્રતિબંધિત છે. એ નોંધવું પણ યોગ્ય છે કે કોઈપણ ગણતરીપાત્ર સમાનતા સંબંધ E ને મર્યાદિત સમાનતા સંબંધોના વધતા જોડાણ તરીકે લખી શકાય છે. આ કરી શકાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, દરેક વર્ગને કદ બે વર્ગોમાં વિભાજીત કરીને, પછી નવા સમકક્ષ સંબંધમાં બે વર્ગોને જોડીને જે સમાન ઇ-વર્ગની અંદર હોય છે અને કદ ચારના વર્ગો સાથે વિભાજન બનાવે છે, અને તેથી આગળ. મુખ્ય અવલોકન એ છે કે આ પ્રક્રિયાને સામાન્ય રીતે પસંદગીના સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતની જરૂર છે, અને તેથી તે સ્પષ્ટ નથી કે આ પ્રક્રિયા બોરેલ અંદાજો પેદા કરે છે. ખરેખર, એવા ગણતરીપાત્ર બોરેલ સમકક્ષતા સંબંધો છે જે અતિસંવેદનશીલ નથી, અને તેથી ખાસ કરીને ઉપર વર્ણવેલ પ્રક્રિયા મોટા સમકક્ષતા સંબંધને અંદાજિત બોરેલ સમકક્ષતા સંબંધો પેદા કરવામાં નિષ્ફળ જશે. ઉદાહરણો અને બિન-ઉદાહરણો કોઈપણ મર્યાદિત બોરેલ સમાનતા સંબંધ અતિસંવેદનશીલ છે. ખરેખર, તે પોતે જ એક મર્યાદિત અંદાજ છે. હાયપરફાઇનાઇટ સમકક્ષતા સંબંધનો ઉપ-સમકક્ષતા સંબંધ હાયપરફાઇનાઇટ છે. ધારો કે G એ પ્રમાણભૂત બોરેલ અવકાશ X પર બોરેલ-માપી શકાય તેવું કામ કરતું સ્થાનિક રીતે મર્યાદિત જૂથ છે. પછી મર્યાદિત પેટા જૂથોમાં ગાળણ કુદરતી રીતે X પર G ની ક્રિયાના ભ્રમણકક્ષાના સમકક્ષ સંબંધને મર્યાદિત બોરેલ સમકક્ષ સંબંધોમાં ગાળણને જન્મ આપે છે, જેનાથી તેની અતિશયતા સાબિત થાય છે. જો E એ ગણતરીપાત્ર સમાનતા સંબંધ છે અને તે અતિસંવેદનશીલ અને મર્યાદિત અનુક્રમણિકાનો છે (એટલે કે દરેક E-વર્ગમાં મર્યાદિત રીતે ઘણા E '-વર્ગો હોય છે), તો E અતિસંવેદનશીલ છે. કોઈપણ ગણતરીપાત્ર બોરેલ સમાનતા સંબંધ કે જે બોરેલ ટ્રાન્સવર્સલને સ્વીકારે છે તે હાયપરફાઇનાઇટ છે; આ ફેલ્ડમેન-મૂર પ્રમેયના સરળ ઉપયોગ દ્વારા બતાવી શકાય છે. પ્રમાણભૂત બોરેલ અવકાશ પર પૂર્ણાંકોની કોઈપણ બોરેલ ક્રિયા અતિસંવેદનશીલ ભ્રમણકક્ષા સમાનતા સંબંધ પેદા કરે છે (યાદ રાખો કે પ્રમાણભૂત બોરેલ અવકાશ X પર ગણતરીપાત્ર જૂથ G ની બોરેલ ક્રિયા બોરેલ-માપી શકાય તેવી ક્રિયા છે, જ્યાં G તેના તમામ ઉપગણના σ-બીજગણિતથી સજ્જ છે). વધુમાં, તે તારણ આપે છે કે કોઈપણ હાયપરફાઇનાઇટ સમકક્ષતા સંબંધ પૂર્ણાંકોની કેટલીક બોરેલ ક્રિયા દ્વારા પેદા થયેલ ભ્રમણકક્ષા સમકક્ષતા સંબંધની બરાબર છે, જે આને હાયપરફાઇનિટનેસની સમકક્ષ વ્યાખ્યા બનાવે છે જે ઘણીવાર વધુ સુલભ હોય છે. વધુ સામાન્ય રીતે, પ્રમાણભૂત બોરેલ અવકાશ પર ગણતરીપાત્ર અબેલિયન જૂથની કોઈપણ બોરેલ ક્રિયા અતિસંવેદનશીલ ભ્રમણકક્ષા સમાનતા સંબંધને પ્રેરિત કરે છે. જો F એ પ્રમાણભૂત બોરેલ અવકાશ X પર ગણતરીપાત્ર બોરેલ સમકક્ષતા સંબંધ હોય, તો E એ પ્રમાણભૂત બોરેલ અવકાશ Y પર હાયપરફાઇનાઇટ સમકક્ષતા સંબંધ છે અને તે F થી E નો બોરેલ ઘટાડો છે, તો પછી F એ હાયપરફાઇનાઇટ છે (યાદ રાખો કે ઉપરની જેમ બોરેલ ઘટાડો જ્યારે પણ તે સંતોષાય છે). નોંધ લો કે જો આપણે F ગણતરીપાત્ર હોવાની ધારણાને દૂર કરીએ તો ઉપરોક્ત માન્ય નથી; દરેક બે બિંદુઓને ઓળખતી વાસ્તવિક રેખા પરનો સમાનતા સંબંધ બોરેલ છે અને તેને અન્ય કોઈપણ બોરેલ સમાનતા સંબંધમાં ઘટાડી શકાય છે, અને ખાસ કરીને કોઈપણ હાયપરફાઇનાઇટ બોરેલ સમાનતા સંબંધમાં, પરંતુ તેનો અગણિત વર્ગ છે, તેથી તે હાયપરફાઇનાઇટ ન હોઈ શકે. પ્રમાણભૂત બોરેલ અવકાશ પર બહુપદી વૃદ્ધિ સાથે મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન થયેલ જૂથની કોઈપણ બોરેલ ક્રિયા અતિસંવેદનશીલ ભ્રમણકક્ષા સમાનતા સંબંધને પ્રેરિત કરે છે. તેની ગ્રોમોવ સીમા પર મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન થયેલ હાયપરબોલિક જૂથની ક્રિયા હાયપરફાઇનાઇટ છે. કોઈપણ ગણતરીપાત્ર બોરેલ સમકક્ષતા સંબંધને અતિપરિમિત સમૂહ સુધી મર્યાદિત કરી શકાય છે, જેના પર તે અતિસંવેદનશીલ છે. સ્પષ્ટ રીતે, આનો અર્થ એ છે કે કોઈ વ્યક્તિ સમકક્ષતા વર્ગોનો સંગ્રહ દૂર કરી શકે છે જે અલ્પ છે, અને તે મેળવી શકે છે કે સમકક્ષતા સંબંધ બાકીની જગ્યા પર અતિસંવેદનશીલ છે. કોઈપણ જૂથ કે જે અનુકૂળ નથી તે પ્રમાણભૂત બોરેલ જગ્યા પર બોરેલ ક્રિયાને સ્વીકારે છે જે એક સમાનતા સંબંધને પ્રેરિત કરે છે જે અતિસંવેદનશીલ નથી. શિફ્ટ નકશા દ્વારા જગ્યા પરના બે જનરેટર પર મુક્ત જૂથની ક્રિયા અતિસંવેદનશીલ નથી. આ હકીકતને ઘણીવાર બનાચ-ટાર્સ્કી વિરોધાભાસનો સંયુક્ત પ્રકાર માનવામાં આવે છે. ઓપન પ્રોબ્લેમ્સ વેઇસનું અનુમાન ઉપરોક્ત ઉદાહરણો સૂચવે છે કે "શાંત" ગણી શકાય તેવા જૂથોની બોરેલ ક્રિયાઓ હાયપરફાઇનાઇટ સમાનતા સંબંધોને પ્રેરિત કરે છે. વેઇસે અનુમાન લગાવ્યું હતું કે પ્રમાણભૂત બોરેલ અવકાશ પર ગણતરીપાત્ર સુલભ જૂથની કોઈપણ બોરેલ ક્રિયા અતિસંવેદનશીલ ભ્રમણકક્ષા સમાનતા સંબંધને પ્રેરિત કરે છે. જ્યારે કે આ હજુ પણ એક ખુલ્લી સમસ્યા છે, કેટલાક આંશિક પરિણામો જાણીતા છે. સંઘની સમસ્યા આ વિસ્તારમાં અન્ય એક ખુલ્લી સમસ્યા એ છે કે શું અતિસંવેદનશીલ સમતુલ્યતા સંબંધોનું ગણતરીપાત્ર વધતું જોડાણ અતિસંવેદનશીલ છે. આને ઘણીવાર સંઘની સમસ્યા તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. અમુક શરતો હેઠળ, તે જાણીતું છે કે હાયપરફાઇનાઇટ સમાનતા સંબંધોનું ગણતરીપાત્ર વધતું જોડાણ હાયપરફાઇનાઇટ છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો સમાનતા સંબંધોના જોડાણમાં "બોરેલ-બાઉન્ડનેસ" તરીકે ઓળખાતી મિલકત હોય (જેનો આશરે અર્થ એ છે કે જગ્યા પરના બિંદુઓને વિધેયોની કોઈપણ બોરેલ સોંપણીને આવા બોરેલ સોંપણી દ્વારા "આખરે બંધાયેલ" કરી શકાય છે જે સમાનતા વર્ગો પર સતત હોય છે), તો તે હાયપરફાઇનાઇટ છે. જો કે, તે અજ્ઞાત છે કે આવા દરેક સંઘ આ મિલકતને સંતોષે છે કે નહીં. માપન-સૈદ્ધાંતિક પરિણામો એવી ધારણા હેઠળ કે અંતર્ગત જગ્યા X બોરેલ સંભાવના માપ μ થી સજ્જ છે અને તે માપ શૂન્યના સમૂહને દૂર કરવા તૈયાર છે, સિદ્ધાંતને વધુ સારી રીતે સમજી શકાય છે. દાખલા તરીકે, જો સમકક્ષતા સંબંધ ગણતરીપાત્ર સુલભ જૂથની બોરેલ ક્રિયા દ્વારા પેદા થાય છે, તો પરિણામી ભ્રમણકક્ષા સમકક્ષતા સંબંધ "μ-અતિસંવેદનશીલ" છે, જેનો અર્થ છે કે તે સંપૂર્ણ માપની જગ્યાના સબસેટ પર અતિસંવેદનશીલ છે (તે નોંધવું યોગ્ય છે કે ક્રિયા માપ-જાળવણી અથવા અર્ધ-માપ જાળવણીની જરૂર નથી). પ્રમાણભૂત બિન-પરમાણુ બોરેલ સંભાવના જગ્યા (X,) પર દરેક ગણતરીપાત્ર બોરેલ સમાનતા સંબંધ E જે બોરેલ ટ્રાન્સવર્સલને સ્વીકારે છે તે સંપૂર્ણ માપના સબસેટ પર એક મર્યાદિત સમાનતા સંબંધ છે (આ અનિવાર્યપણે ફેલ્ડમેન-મૂર છે, વિટાલીની દલીલ સાથે વાસ્તવિક રેખાના તમામ સબસેટ્સના-બીજગણિત પર બિન-તુચ્છ અપરિવર્તનશીલ માપના અસ્તિત્વના તેમના શાસ્ત્રીય પુરાવા સાથે), ઉપરોક્ત આપણને બતાવે છે કે સમાનતા સંબંધો જે ટ્રાન્સવર્સલ્સને સ્વીકારે છે તેનાથી વિપરીત, જૂથ ક્રિયાઓના ઘણા ઉદાહરણો જે એર્ગોડિક સિદ્ધાંતમાં કુદરતી રીતે દેખાય છે તે હાયપરફાઇનાઇટ ઓર્બિટ સમાનતા સંબંધોને જન્મ આપે છે (ખાસ કરીને જ્યારે પણ અંતર્ગત જગ્યા પ્રમાણભૂત બોરેલ જગ્યા હોય ત્યારે) તેવી જ રીતે, આવી જગ્યા પર હાયપરફાઇનાઇટ સમાનતા સંબંધોનું ગણતરીપાત્ર વધતું જોડાણ પણ μ "-હાયપરફાઇનાઇટ છે. હાયપરફાઇનાઇટ પ્રકાર II પરિબળ બોરેલ સમાનતા સંબંધ નોંધો સંદર્ભો વર્ણનાત્મક સમૂહ સિદ્ધાંત સમાનતા (ગણિત) પણ જુઓ.