Homoscedasticity and heteroscedasticity
આંકડામાં, રેન્ડમ વેરિયેબલ્સનો ક્રમ (અથવા વેક્ટર) હોમોસેડેસ્ટિક () છે જો તેના તમામ રેન્ડમ વેરિયેબલ્સ સમાન મર્યાદિત ભિન્નતા ધરાવે છે; આને ભિન્નતાની એકરૂપતા તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે. પૂરક કલ્પનાને વિજાતીયતા કહેવામાં આવે છે, જેને ભિન્નતાની વિજાતીયતા તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે. હોમોસ્કેડેસ્ટિસિટી અને હેટેરોસ્કેડેસ્ટિસિટી જોડણીનો પણ વારંવાર ઉપયોગ થાય છે. ચલ ધારવું હોમોસેડાસ્ટિક છે જ્યારે વાસ્તવમાં તે હેટેરોસેડાસ્ટિક () હોય ત્યારે તે નિષ્પક્ષ પરંતુ બિનકાર્યક્ષમ બિંદુ અંદાજો અને પ્રમાણભૂત ભૂલોના પક્ષપાતી અંદાજોમાં પરિણમે છે, અને પીઅર્સન ગુણાંક દ્વારા માપવામાં આવે તે પ્રમાણે યોગ્યતાની ભલાઈને વધુ પડતી આંકવામાં પરિણમી શકે છે. પ્રતિગમન વિશ્લેષણ અને ભિન્નતાના વિશ્લેષણમાં હેટેરોસેડેસ્ટિસિટીનું અસ્તિત્વ એ એક મોટી ચિંતા છે, કારણ કે તે મહત્વના આંકડાકીય પરીક્ષણોને અમાન્ય બનાવે છે જે ધારે છે કે મોડેલિંગ ભૂલો બધામાં સમાન ભિન્નતા છે. જ્યારે સામાન્ય લઘુત્તમ ચોરસ અંદાજકર્તા હજુ પણ હેટેરોસ્કેડાસ્ટિસિટીની હાજરીમાં નિષ્પક્ષ છે, તે બિનકાર્યક્ષમ છે અને હોમોસ્કેડાસ્ટિસિટીની ધારણા પર આધારિત અનુમાન ભ્રામક છે. તે કિસ્સામાં, ભૂતકાળમાં સામાન્યીકૃત લઘુત્તમ ચોરસ (જી. એલ. એસ.) નો વારંવાર ઉપયોગ થતો હતો. આજકાલ, ઇકોનોમેટ્રિક્સમાં પ્રમાણભૂત પ્રથા એ છે કે જી. એલ. એસ. નો ઉપયોગ કરવાને બદલે હેટેરોસ્કેડેસ્ટિસિટી-સુસંગત પ્રમાણભૂત ભૂલો શામેલ કરવી, કારણ કે જો વાસ્તવિક સ્કેડેસ્ટિક કાર્ય અજ્ઞાત હોય તો જી. એલ. એસ. નાના નમૂનાઓમાં મજબૂત પૂર્વગ્રહ પ્રદર્શિત કરી શકે છે. કારણ કે વિજાતીયતા ભૂલોની બીજી ક્ષણની અપેક્ષાઓ સાથે સંબંધિત છે, તેની હાજરીને બીજા ક્રમની ખોટી વ્યાખ્યા તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. અર્થશાસ્ત્રશાસ્ત્રી રોબર્ટ એન્ગલને હેટેરોસેડેસ્ટિસિટીની હાજરીમાં રીગ્રેસન વિશ્લેષણ પરના તેમના અભ્યાસ માટે અર્થશાસ્ત્ર માટે 2003 નો નોબેલ મેમોરિયલ પુરસ્કાર એનાયત કરવામાં આવ્યો હતો, જેના કારણે તેમણે ઓટોરેગ્રેસિવ કન્ડિશનલ હેટેરોસેડેસ્ટિસિટી (એઆરસીએચ) મોડેલિંગ તકનીકની રચના કરી હતી. વ્યાખ્યા રેખીય રીગ્રેસન સમીકરણને ધ્યાનમાં લો જ્યાં આશ્રિત રેન્ડમ ચલ નિર્ધારિત ચલ ગુણાંક વત્તા રેન્ડમ વિક્ષેપ શબ્દની બરાબર હોય છે જેનો અર્થ શૂન્ય હોય છે. વિક્ષેપો હોમોસેડેસ્ટિક હોય છે જો તફાવત અચળ હોય; અન્યથા, તેઓ હેટેરોસેડેસ્ટિક હોય છે. ખાસ કરીને, વિક્ષેપ વિજાતીય હોય છે જો તફાવત તેના મૂલ્ય પર અથવા તેના પર આધાર રાખે છે. એક રીતે તેઓ હેટેરોસેડેસ્ટિક હોઈ શકે છે જો (સ્કેડેસ્ટિક કાર્યનું ઉદાહરણ), તેથી ભિન્નતા ના મૂલ્યના પ્રમાણસર છે. વધુ સામાન્ય રીતે, જો વિક્ષેપના ભિન્નતા-સહપ્રસરણ મેટ્રિક્સમાં બિન-સતત કર્ણ હોય, તો વિક્ષેપ હેટેરોસેડેસ્ટિક હોય છે. જ્યારે સમગ્ર સમય દરમિયાન માત્ર ત્રણ અવલોકનો હોય ત્યારે નીચે આપેલા મેટ્રિસીસ સહપરિવર્તન છે. મેટ્રિક્સ A માં વિક્ષેપ હોમોસેડેસ્ટિક છે; આ એક સરળ કેસ છે જ્યાં OLS શ્રેષ્ઠ રેખીય નિષ્પક્ષ અંદાજકાર છે. મેટ્રિસીસ બી અને સીમાં વિક્ષેપો હેટેરોસેડેસ્ટિક છે. મેટ્રિક્સ B માં, તફાવત સમય બદલાતો રહે છે, જે સમયની સાથે સતત વધી રહ્યો છે; મેટ્રિક્સ C માં, તફાવત તેના મૂલ્ય પર આધાર રાખે છે. મેટ્રિક્સ ડીમાં વિક્ષેપ હોમોસેડાસ્ટિક છે કારણ કે વિકર્ણ ભિન્નતાઓ સ્થિર હોય છે, તેમ છતાં બંધ-વિકર્ણ સહવર્તીઓ બિન-શૂન્ય હોય છે અને સામાન્ય લઘુત્તમ ચોરસ અલગ કારણોસર બિનકાર્યક્ષમ હોય છેઃ ક્રમિક સહસંબંધ. ઉદાહરણો જ્યારે અવલોકનોના કદમાં મોટો તફાવત હોય ત્યારે ઘણીવાર હેટેરોસ્કેડાસ્ટિસિટી થાય છે. હેટેરોસ્કેડાસ્ટીસિટીનું ઉત્તમ ઉદાહરણ આવક વિરુદ્ધ ભોજન પરનો ખર્ચ છે. શ્રીમંત વ્યક્તિ ક્યારેક સસ્તું અને ક્યારેક મોંઘુ ભોજન ખાઈ શકે છે. ગરીબ વ્યક્તિ લગભગ હંમેશા સસ્તું ભોજન જ ખાય છે. તેથી, વધુ આવક ધરાવતા લોકો ખોરાક પરના ખર્ચમાં વધુ પરિવર્તનશીલતા દર્શાવે છે. રોકેટ પ્રક્ષેપણ સમયે, નિરીક્ષક પ્રતિ સેકન્ડ એક વાર રોકેટ દ્વારા પસાર કરવામાં આવેલા અંતરને માપે છે. પ્રથમ બે સેકન્ડમાં, માપ નજીકના સેન્ટીમીટર સુધી સચોટ હોઈ શકે છે. પાંચ મિનિટ પછી, વધેલા અંતર, વાતાવરણીય વિકૃતિ અને અન્ય વિવિધ પરિબળોને કારણે માપનની ચોકસાઈ માત્ર 100 મીટર સુધી સારી હોઈ શકે છે. તેથી અંતરનું માપ હેટેરોસ્કેડાસ્ટિસિટી પ્રદર્શિત કરી શકે છે. પરિણામ શાસ્ત્રીય રેખીય રીગ્રેસન મોડેલની એક ધારણા એ છે કે ત્યાં કોઈ હેટેરોસ્કેડાસ્ટિસિટી નથી. આ ધારણાને તોડવાનો અર્થ એ છે કે ગૌસ-માર્કોવ પ્રમેય લાગુ પડતો નથી, એટલે કે OLS અંદાજકર્તાઓ શ્રેષ્ઠ રેખીય નિષ્પક્ષ અંદાજકર્તાઓ (BLUE) નથી અને તેમની ભિન્નતા અન્ય તમામ નિષ્પક્ષ અંદાજકર્તાઓમાં સૌથી ઓછી નથી. હેટેરોસ્કેડાસ્ટિસિટી સામાન્ય લઘુત્તમ વર્ગ ગુણાંક અંદાજોને પક્ષપાતી બનાવતી નથી, જો કે તે ગુણાંકના તફાવત (અને, આમ, પ્રમાણભૂત ભૂલો) ના સામાન્ય લઘુત્તમ વર્ગ અંદાજોને પક્ષપાતી બનાવી શકે છે, સંભવતઃ વસ્તીના તફાવતની સાચી ઉપર અથવા નીચે. આમ, હેટેરોસેડેસ્ટિક ડેટાનો ઉપયોગ કરીને રીગ્રેસન વિશ્લેષણ હજી પણ આગાહી કરનાર ચલ અને પરિણામ વચ્ચેના સંબંધ માટે નિષ્પક્ષ અંદાજ પ્રદાન કરશે, પરંતુ પ્રમાણભૂત ભૂલો અને તેથી ડેટા વિશ્લેષણમાંથી મેળવેલા તારણો શંકાસ્પદ છે. પક્ષપાતી પ્રમાણભૂત ભૂલો પક્ષપાતી અનુમાન તરફ દોરી જાય છે, તેથી પૂર્વધારણા પરીક્ષણોના પરિણામો કદાચ ખોટા છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો OLS હેટેરોસેડેસ્ટિક ડેટા સેટ પર કરવામાં આવે છે, જે પક્ષપાતી પ્રમાણભૂત ભૂલનો અંદાજ આપે છે, તો સંશોધક આપેલ મહત્વના સ્તરે નલ પૂર્વધારણાને નકારી કાઢવામાં નિષ્ફળ થઈ શકે છે, જ્યારે તે નલ પૂર્વધારણા વાસ્તવમાં વાસ્તવિક વસ્તીની બિનપરંપરાગત હતી (પ્રકાર II ભૂલ બનાવે છે). અમુક ધારણાઓ હેઠળ, OLS અંદાજકાર જ્યારે યોગ્ય રીતે સામાન્ય અને કેન્દ્રિત હોય ત્યારે સામાન્ય એસિમ્પ્ટોટિક વિતરણ ધરાવે છે (જ્યારે માહિતી સામાન્ય વિતરણમાંથી ન આવે ત્યારે પણ). આ પરિણામનો ઉપયોગ પૂર્વધારણા પરીક્ષણ કરતી વખતે સામાન્ય વિતરણ અથવા ચી વર્ગ વિતરણ (પરીક્ષણ આંકડાશાસ્ત્રની ગણતરી કેવી રીતે કરવામાં આવે છે તેના આધારે) નો ઉપયોગ કરીને ન્યાયી ઠેરવવા માટે થાય છે. આ હેટેરોસ્કેડાસ્ટિસિટી હેઠળ પણ લાગુ પડે છે. વધુ સ્પષ્ટ રીતે કહીએ તો, હેટેરોસ્કેડાસ્ટિસિટીની હાજરીમાં OLS અંદાજકર્તા એસિમ્પ્ટોટિકલી સામાન્ય હોય છે, જ્યારે યોગ્ય રીતે સામાન્ય અને કેન્દ્રિત હોય છે, ત્યારે ભિન્નતા-સહપરિવર્તન મેટ્રિક્સ સાથે જે હોમોસ્કેડાસ્ટિસિટીના કેસથી અલગ હોય છે. 1980 માં, વ્હાઈટએ OLS અંદાજકર્તાના એસિમ્પ્ટોટિક વિતરણના ભિન્નતા-સહપ્રસરણ મેટ્રિક્સ માટે સુસંગત અંદાજકર્તાની દરખાસ્ત કરી હતી. આ હેટેરોસ્કેડાસ્ટિસિટી હેઠળ OLS અંદાજકર્તાઓ અને વ્હાઇટના ભિન્નતા-સહપરિવર્તન અંદાજકર્તાનો ઉપયોગ કરીને પૂર્વધારણા પરીક્ષણના ઉપયોગને માન્ય કરે છે. એ. એન. ઓ. વી. એ. ની સમસ્યાઓમાં હેટરોસેડેસ્ટિસિટી પણ એક મુખ્ય વ્યવહારુ સમસ્યા છે. એફ પરીક્ષણનો ઉપયોગ હજુ પણ કેટલાક સંજોગોમાં થઈ શકે છે. જો કે, એવું કહેવામાં આવ્યું છે કે ઇકોનોમેટ્રિક્સના વિદ્યાર્થીઓએ હેટેરોસ્કેડાસ્ટિસિટી પર વધુ પડતી પ્રતિક્રિયા આપવી જોઈએ નહીં. એક લેખકે લખ્યું, "અસમાન ભૂલ તફાવત ત્યારે જ સુધારવા યોગ્ય છે જ્યારે સમસ્યા ગંભીર હોય". વધુમાં, સાવચેતીનો બીજો શબ્દ સ્વરૂપમાં હતો, "હેટેરોસેડેસ્ટિસિટી ક્યારેય અન્યથા સારા મોડેલને બહાર ફેંકવાનું કારણ રહ્યું નથી". હેટેરોસ્કેડાસ્ટિસિટી-સુસંગત પ્રમાણભૂત ભૂલોના આગમન સાથે, ભૂલની શરતી બીજી ક્ષણને સ્પષ્ટ કર્યા વિના અનુમાન માટે પરવાનગી આપે છે, શરતી હોમોસ્કેડાસ્ટિસિટીનું પરીક્ષણ ભૂતકાળની જેમ મહત્વપૂર્ણ નથી. કોઈપણ બિન-રેખીય મોડેલ માટે (દાખલા તરીકે લોજિટ અને પ્રોબિટ મોડેલ્સ), જોકે, હેટેરોસ્કેડાસ્ટિસિટી વધુ ગંભીર પરિણામો ધરાવે છેઃ પરિમાણોના મહત્તમ સંભાવના અંદાજો (એમ. એલ. ઇ.) સામાન્ય રીતે પક્ષપાતી તેમજ અસંગત હશે (જ્યાં સુધી શક્યતા કાર્યને હેટેરોસ્કેડાસ્ટિસિટીના ચોક્કસ સ્વરૂપને યોગ્ય રીતે ધ્યાનમાં લેવા માટે સુધારવામાં ન આવે અથવા વિતરણ રેખીય ઘાતાંકીય પરિવારનો સભ્ય હોય અને શરતી અપેક્ષા કાર્ય યોગ્ય રીતે નિર્દિષ્ટ કરવામાં ન આવે). તેમ છતાં, દ્વિસંગી પસંદગીના નમૂનાઓ (લોજિટ અથવા પ્રોબિટ) ના સંદર્ભમાં, હેટેરોસ્કેડાસ્ટિસિટી માત્ર ખોટી રીતે નિર્દિષ્ટ એમ. એલ. ઇ. (એટલે કે દ્વિસંગી પસંદગીના નમૂનાઓ) ના એસિમ્પ્ટોટિક સરેરાશ પર હકારાત્મક સ્કેલિંગ અસરમાં પરિણમશે. મોડેલ જે હેટેરોસ્કેડાસ્ટિસિટીની અવગણના કરે છે). પરિણામે, ખોટી રીતે નિર્ધારિત એમ. એલ. ઇ. પર આધારિત આગાહીઓ સાચી રહેશે. વધુમાં, ખોટી રીતે નિર્ધારિત પ્રોબિટ અને લોગિટ એમ. એલ. ઇ. એસિમ્પ્ટોટિક રીતે સામાન્ય રીતે વિતરિત કરવામાં આવશે જે સામાન્ય મહત્વ પરીક્ષણો (યોગ્ય ભિન્નતા-સહપ્રસરણ મેટ્રિક્સ સાથે) કરવાની મંજૂરી આપે છે. જો કે, ગ્રીન દ્વારા દર્શાવ્યા મુજબ, સામાન્ય પૂર્વધારણા પરીક્ષણના સંદર્ભમાં, "અન્યથા અસંગત અંદાજકાર માટે મજબૂત સહપ્રસરણ મેટ્રિક્સની ગણતરી કરવાથી તેને મુક્તિ મળતી નથી. પરિણામે, આ સેટિંગમાં મજબૂત કોવેરિયન્સ મેટ્રિક્સનો ગુણ અસ્પષ્ટ છે. "સુધારા હેટેરોસ્કેડાસ્ટિસિટી માટે ઘણા સામાન્ય સુધારા છે. તે છેઃ માહિતીનું સ્થિર પરિવર્તન, દા. ત. લઘુગણકીય માહિતી. બિન-લઘુગણક શ્રેણી કે જે ઝડપથી વધી રહી છે તે ઘણીવાર સમય જતાં શ્રેણીમાં વધારો થતાં તેમાં વધતી પરિવર્તનશીલતા હોવાનું જણાય છે. જોકે ટકાવારીની દ્રષ્ટિએ પરિવર્તનશીલતા સ્થિર હોઈ શકે છે. મોડેલ માટે અલગ સ્પષ્ટીકરણનો ઉપયોગ કરો (વિવિધ X ચલ, અથવા કદાચ X ચલનું બિન-રેખીય પરિવર્તન). ભારિત લઘુત્તમ ચોરસ અંદાજ પદ્ધતિ લાગુ કરો, જેમાં X અને Y ના રૂપાંતરિત અથવા ભારિત મૂલ્યો પર OLS લાગુ કરવામાં આવે છે. અવલોકનો પર વજન બદલાય છે, જે સામાન્ય રીતે બદલાતી ભૂલના તફાવત પર આધારિત હોય છે. એક ભિન્નતામાં વજન આશ્રિત ચલની તીવ્રતા સાથે સીધું સંબંધિત છે, અને આ લઘુત્તમ વર્ગ ટકાવારી પ્રતિગમનને અનુરૂપ છે. હેટરોસેડેસ્ટિસિટી-સુસંગત પ્રમાણભૂત ભૂલો (એચ. સી. એસ. ઈ.), જ્યારે હજુ પણ પક્ષપાતી છે, ત્યારે ઓ. એલ. એસ. અંદાજોમાં સુધારો થાય છે. એચ. સી. એસ. ઈ. એ હેટેરોસેડેસ્ટિસિટી સાથે રીગ્રેસન મોડેલોમાં પ્રમાણભૂત ભૂલોનો સુસંગત અંદાજ છે. આ પદ્ધતિ ગુણાંકના મૂલ્યોમાં ફેરફાર કર્યા વિના હેટેરોસ્કેડાસ્ટિસિટી માટે સુધારે છે. આ પદ્ધતિ નિયમિત OLS કરતા શ્રેષ્ઠ હોઈ શકે છે કારણ કે જો હેટેરોસેડેસ્ટિસિટી હાજર હોય તો તે તેના માટે સુધારે છે, જો કે, જો ડેટા હોમોસેડેસ્ટિક હોય, તો પ્રમાણભૂત ભૂલો OLS દ્વારા અંદાજિત પરંપરાગત પ્રમાણભૂત ભૂલોની સમકક્ષ હોય છે. હેટરોસેડેસ્ટિસિટી-સુસંગત પ્રમાણભૂત ભૂલોની ગણતરીની સફેદ પદ્ધતિના કેટલાક ફેરફારોને બહેતર મર્યાદિત નમૂનાના ગુણધર્મો સાથેના સુધારા તરીકે પ્રસ્તાવિત કરવામાં આવ્યા છે. વાઇલ્ડ બૂટસ્ટ્રેપિંગનો ઉપયોગ રીસામ્પલિંગ પદ્ધતિ તરીકે થઈ શકે છે જે ભૂલ શબ્દના શરતી ભિન્નતામાં તફાવતોને માન આપે છે. એક વિકલ્પ ભૂલોને બદલે અવલોકનોનું પુનઃસામ્પલિંગ છે. અવલોકનના સંલગ્ન મૂલ્યોને માન આપ્યા વિના રીસેમ્પલિંગ ભૂલોની નોંધ લેવાથી હોમોસ્કેડાસ્ટિસિટી લાગુ થાય છે અને આમ ખોટું અનુમાન મળે છે. MINQUE અથવા રૂઢિગત અંદાજકારોનો પણ ઉપયોગ કરો (દરેક અવલોકનો સાથે સ્વતંત્ર નમૂનાઓ માટે), જેમની કાર્યક્ષમતાની ખોટ નોંધપાત્ર નથી જ્યારે નમૂના દીઠ અવલોકનોની સંખ્યા મોટી હોય (), ખાસ કરીને સ્વતંત્ર નમૂનાઓની નાની સંખ્યા માટે. પરીક્ષણ અવશેષોનું બ્રેશ-પેગન પરીક્ષણનો ઉપયોગ કરીને હોમોસેડાસ્ટિસિટી માટે પરીક્ષણ કરી શકાય છે, જે સ્વતંત્ર ચલ પર ચોરસ અવશેષોનું સહાયક રીગ્રેસન કરે છે. આ સહાયક રીગ્રેસનમાંથી, ચોરસનો સમજાવેલો સરવાળો જાળવી રાખવામાં આવે છે, જેને બે દ્વારા વિભાજિત કરવામાં આવે છે, અને પછી સ્વતંત્ર ચલની સંખ્યાની સમાન સ્વતંત્રતાની ડિગ્રી સાથે ચી-સ્ક્વેર્ડ વિતરણ માટે પરીક્ષણ આંકડાકીય બની જાય છે. આ ચી-સ્ક્વેર્ડ પરીક્ષણની નલ પૂર્વધારણા હોમોસેડાસ્ટિસિટી છે, અને વૈકલ્પિક પૂર્વધારણા હેટેરોસેડાસ્ટિસિટી સૂચવે છે. બ્રુસ્ચ-પેગન પરીક્ષણ સામાન્યતા અથવા નાના નમૂનાના કદથી પ્રસ્થાન માટે સંવેદનશીલ હોવાથી, તેના બદલે કોએનકર-બેસેટ અથવા 'સામાન્યીકૃત બ્રુસ્ચ-પેગન' પરીક્ષણનો સામાન્ય રીતે ઉપયોગ થાય છે. સહાયક રીગ્રેસનમાંથી, તે આર-સ્ક્વેર્ડ મૂલ્યને જાળવી રાખે છે જે પછી નમૂનાના કદ દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે, અને પછી ચી-સ્ક્વેર્ડ વિતરણ માટે પરીક્ષણ આંકડા બની જાય છે (અને સમાન ડિગ્રી ઓફ ફ્રીડમનો ઉપયોગ કરે છે). કોએનકર-બેસેટ પરીક્ષણ માટે તે જરૂરી નથી, તેમ છતાં બ્રુસ્ચ-પેગન પરીક્ષણ માટે જરૂરી છે કે ચોરસના અવશેષોને પણ નમૂનાના કદ દ્વારા વિભાજિત ચોરસના શેષ સરવાળા દ્વારા વિભાજિત કરવામાં આવે. જૂથ મુજબની હેટેરોસેડેસ્ટિસિટી માટેનું પરીક્ષણ ગોલ્ડફેલ્ડ-ક્વાન્ડ્ટ પરીક્ષણ સાથે કરી શકાય છે. હેટેરોસ્કેડાસ્ટિસિટી-સુસંગત પ્રમાણભૂત ભૂલોના પ્રમાણભૂત ઉપયોગ અને પૂર્વ-પરીક્ષણની સમસ્યાને કારણે, અર્થશાસ્ત્રીઓ આજકાલ શરતી હેટેરોસ્કેડાસ્ટિસિટી માટે ભાગ્યે જ પરીક્ષણોનો ઉપયોગ કરે છે. પરીક્ષણોની સૂચિ જૂથો વચ્ચે હેટેરોસેડેસ્ટિસિટી માટેના પરીક્ષણોને ઔપચારિક રીતે રીગ્રેસન મોડેલોમાં પરીક્ષણના વિશેષ કેસ તરીકે ગણી શકાય, તેમ છતાં કેટલાક પરીક્ષણોમાં આ કેસ માટે વિશિષ્ટ રચનાઓ હોય છે. રિગ્રેશન લેવેન ટેસ્ટ ગોલ્ડફેલ્ડ-ક્વાન્ડ્ટ ટેસ્ટ પાર્ક ટેસ્ટ ગ્લેઝર ટેસ્ટ બ્રાઉન-ફોર્સી ટેસ્ટ હેરિસન-મેકકેબ ટેસ્ટ બ્રુસ્ચ-પેગન ટેસ્ટ વ્હાઇટ ટેસ્ટ કૂક-વેઇસબર્ગ ટેસ્ટ ગ્રૂપ્ડ ડેટા માટે એફ-ટેસ્ટ ઓફ ઇક્વાલિટી ઓફ વેરિયન્સ કોચરાનનું સી ટેસ્ટ હાર્ટલીનું ટેસ્ટ બાર્ટલેટનું ટેસ્ટ જનરલાઈઝેશન હોમોસેડાસ્ટિક ડિસ્ટ્રિબ્યુશન બે અથવા વધુ સામાન્ય ડિસ્ટ્રિબ્યુશન, બંને હોમોસેડાસ્ટિક છે અને સીરીયલ સહસંબંધનો અભાવ છે જો તેઓ તેમના કોવેરિયન્સ મેટ્રિક્સમાં સમાન કર્ણ શેર કરે છે, અને તેમની બિન-કર્ણ એન્ટ્રીઓ શૂન્ય છે. હોમોસેડાસ્ટિક વિતરણો ખાસ કરીને આંકડાકીય પેટર્ન ઓળખ અને મશીન લર્નિંગ અલ્ગોરિધમ્સ મેળવવા માટે ઉપયોગી છે. હોમોસેડાસ્ટિસિટી ધારે છે તે અલ્ગોરિધમનું એક લોકપ્રિય ઉદાહરણ ફિશરનું રેખીય ડિસ્ક્રિમિનન્ટ વિશ્લેષણ છે. હોમોસેડાસ્ટિસિટીનો ખ્યાલ ગોળાઓ પરના વિતરણ પર લાગુ કરી શકાય છે. મલ્ટિવેરિયેટ ડેટા હોમસીડાસ્ટિસિટી અને હેટરોસીડાસ્ટિસિટીનો અભ્યાસ મલ્ટિવેરિયેટ કેસમાં સામાન્યીકૃત કરવામાં આવ્યો છે, જે સ્કેલર અવલોકનોના ભિન્નતાને બદલે વેક્ટર અવલોકનોના કોવેરિયન્સ સાથે વ્યવહાર કરે છે. આની એક આવૃત્તિ એ છે કે પ્રસરણના બહુવિધ માપ તરીકે સહપરિવર્તન મેટ્રિસીસનો ઉપયોગ કરવો. કેટલાક લેખકોએ આ સંદર્ભમાં રીગ્રેસન અને જૂથબદ્ધ-ડેટા બંને પરિસ્થિતિઓ માટે પરીક્ષણો પર વિચાર કર્યો છે. જૂથબદ્ધ ડેટા વચ્ચે હેટેરોસેડેસ્ટિસિટી માટે બાર્ટલેટની કસોટી, જેનો ઉપયોગ સામાન્ય રીતે યુનિવેરિયેટ કેસમાં થાય છે, તે પણ મલ્ટીવેરિયેટ કેસ માટે વિસ્તૃત કરવામાં આવી છે, પરંતુ ટ્રેક્ટેબલ સોલ્યુશન માત્ર 2 જૂથો માટે અસ્તિત્વમાં છે. બે કરતાં વધુ જૂથો માટે અંદાજો અસ્તિત્વ ધરાવે છે, અને તે બંનેને બોક્સની એમ ટેસ્ટ કહેવામાં આવે છે. આ પણ જુઓ વિજાતીયતા ગોળાકાર ભૂલ વિજાતીયતા-સુસંગત પ્રમાણભૂત ભૂલો સંદર્ભો વધુ વાંચન મોટાભાગના આંકડાશાસ્ત્રના પાઠ્યપુસ્તકોમાં હોમોસેડાસ્ટિસિટી અને વિજાતીયતા પર ઓછામાં ઓછી કેટલીક સામગ્રીનો સમાવેશ થશે. કેટલાક ઉદાહરણો છેઃ માર્ક થોમા દ્વારા બહારની કડીઓ આંકડાકીય વિચલન અને વિખેરણ રીગ્રેસન વિશ્લેષણ જાઃ એઆરસીએચ મોડલ #分散不均一性