Mimetic interpolation
ગણિતમાં, મિમેટિક ઇન્ટરપોલેશન એ વિભેદક સ્વરૂપોને ઇન્ટરપોલેટ કરવાની એક પદ્ધતિ છે. અન્ય પ્રક્ષેપણ પદ્ધતિઓથી વિપરીત, જે પડોશી બિંદુઓ પર તેના મૂલ્યોને ધ્યાનમાં રાખીને સ્થાન પર ક્ષેત્રનો અંદાજ કાઢે છે, અનુકરણાત્મક પ્રક્ષેપણ પડોશી ગ્રીડ તત્વો પર ક્ષેત્રના પ્રક્ષેપણને ધ્યાનમાં રાખીને ક્ષેત્રના-સ્વરૂપનો અંદાજ કાઢે છે. ગ્રીડ ઘટકો ગ્રીડ બિંદુઓ તેમજ કોષની ધાર અથવા ચહેરાઓ હોઈ શકે છે. મિમેટિક ઇન્ટરપોલેશન વેક્ટર અને સ્યુડો-વેક્ટર ક્ષેત્રોના સંદર્ભમાં ખાસ કરીને સુસંગત છે કારણ કે પદ્ધતિ અનુક્રમે લાઇન ઇન્ટિગ્રલ્સ અને ફ્લક્સનું સંરક્ષણ કરે છે. સંકલિત સ્વરૂપોનું ઇન્ટરપોલેશન ચાલો એક વિભેદક-સ્વરૂપ હોઈએ, પછી નકલનું ઇન્ટરપોલેશન એ રેખીય સંયોજન છે જ્યાં ઇન્ટરપોલેશન છે, અને ગુણાંક ગ્રીડ તત્વ પર ક્ષેત્રની શક્તિને રજૂ કરે છે. તેના આધારે, નોડ (), સેલ એજ (), સેલ ફેસ () અથવા સેલ વોલ્યુમ () હોઈ શકે છે. ઉપરોક્તમાં, ઇન્ટરપોલેટિંગ-સ્વરૂપો છે, જે તંબુના કાર્યો જેવી જ રીતે તેના પર કેન્દ્રિત છે અને તેનાથી દૂર થઈ જાય છે. પરિમાણોમાં સરળ જાળી માટેના વ્હિટની સ્વરૂપો તેના ઉદાહરણો છે. અન્ય અંતર્વેશન પદ્ધતિઓ પર અનુકરણીય અંતર્વેશનનો એક મહત્વપૂર્ણ ફાયદો એ છે કે ક્ષેત્રની શક્તિઓ સ્કેલર હોય છે અને આમ સિસ્ટમને સમન્વયિત કરે છે. ઇન્ટરપોલેટિંગ સ્વરૂપો ઘણા કિસ્સાઓમાં ઇન્ટરપોલેટિંગ સ્વરૂપો માટે અન્યની દખલ વિના ચોક્કસ ગ્રીડ ઘટકો પર ક્ષેત્રની તાકાત પસંદ કરવી ઇચ્છનીય છે. આ વ્યક્તિને ચોક્કસ ગ્રીડ ઘટકોને ક્ષેત્ર મૂલ્યો સોંપવાની મંજૂરી આપે છે, જે પછી વચ્ચે-વચ્ચે ગોઠવી શકાય છે. એક સામાન્ય કિસ્સો રેખીય અંતર્વેશન છે, જેના માટે અંતર્વેશન કાર્યો (-સ્વરૂપો) એક સિવાયના તમામ ગાંઠો પર શૂન્ય હોય છે, જ્યાં અંતર્વેશન કાર્ય એક હોય છે. સમાન રચના મિમેટિક ઇન્ટરપોલેશન પર લાગુ કરી શકાય છે એટલે કે, તમામ કોષ ઘટકો પર તેનું ઇન્ટિગ્રલ શૂન્ય છે, સિવાય કે જ્યાં ઇન્ટિગ્રલ એક પરત કરે છે. આ માટે ગ્રીડ બિંદુ ક્યાં છે તે બરાબર છે. ઇન્ટિગ્રલ માટે ધાર ઉપર છે અને તેથી ઇન્ટિગ્રલ ધાર પર શૂન્ય અપેક્ષા છે. અભિન્ન માટે ફેસિસ પર અને વધુ સેલ વોલ્યુમ માટે છે. સંરક્ષણ ગુણધર્મો મિમેટિક ઇન્ટરપોલેશન વિભેદક સ્વરૂપોના ગુણધર્મોને માન આપે છે. ખાસ કરીને, સ્ટોક્સનો પ્રમેય તેના અંતર્વેશનને દર્શાવવાથી સંતુષ્ટ છે. અહીં, બાહ્ય વ્યુત્પન્ન છે, તે પરિમાણીયતાનું કોઈપણ મેનીફોલ્ડ છે અને તેની સીમા છે. આ અનુકરણીય પ્રક્ષેપણ સંરક્ષણ ગુણધર્મોને પ્રદાન કરે છે, જે સામાન્ય રીતે અન્ય પ્રક્ષેપણ પદ્ધતિઓ દ્વારા વહેંચવામાં આવતા નથી. ઇન્ટરપોલેશન ઓપરેટર અને બાહ્ય વ્યુત્પન્ન વચ્ચેની કમ્યુટેટિવિટી નકલ કરવા માટે, ઇન્ટરપોલેશન એ સંતોષવું આવશ્યક છે કે જ્યાં-ફોર્મનું ઇન્ટરપોલેશન ઓપરેટર છે, એટલે કે. . બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, ઇન્ટરપોલેશન ઓપરેટરો અને બાહ્ય ડેરિવેટિવ્ઝ કમ્યુટ કરે છે. નોંધ લો કે દરેક પ્રકારના ફોર્મ () માટે વિવિધ અંતર્વેશન પદ્ધતિઓ જરૂરી છે. ઉપરનું સમીકરણ ઇન્ટરપોલેટેડ સ્વરૂપ માટે સ્ટોક્સના પ્રમેયને સંતોષવા માટે જરૂરી છે અન્ય કલન ગુણધર્મો ઇન્ટરપોલેશન અને વચ્ચેની કમ્યુટેટિવિટીમાંથી મેળવવામાં આવે છે. દાખલા તરીકે, છેલ્લું પગલું શૂન્ય આપે છે કારણ કે જ્યારે તે સીમા પર સંકલિત થાય છે. પ્રક્ષેપણ અંતર્વેષ્ટિતને ઘણીવાર લક્ષ્ય,-પરિમાણીય, લક્ષી મેનીફોલ્ડ્સ પર પ્રક્ષેપિત કરવામાં આવે છે, કારણ કે લક્ષ્ય એક બિંદુ છે, કારણ કે તે એક રેખા છે, વિસ્તાર માટે, વગેરે. એપ્લિકેશન્સ ઘણા ભૌતિક ક્ષેત્રોને-સ્વરૂપો તરીકે રજૂ કરી શકાય છે. આંકડાકીય મોડેલિંગમાં ક્ષેત્રોને અલગ પાડતી વખતે, દરેક પ્રકારનું-સ્વરૂપ ઘણીવાર આંકડાકીય સ્થિરતાની જરૂરિયાતો અનુસાર તેના પોતાના આશ્ચર્યચકિત કરે છે, દા. ત. ચેકરબોર્ડની અસ્થિરતાને અટકાવવાની જરૂરિયાત. આનાથી બાહ્ય મર્યાદિત તત્વ અને સ્વતંત્ર બાહ્ય કલન પદ્ધતિઓનો વિકાસ થયો, જે બંને ક્ષેત્રના પ્રકાર સાથે સુસંગત હોય તેવા ક્ષેત્રના પૃથક્કરણ પર આધાર રાખે છે. નીચેનું કોષ્ટક ભૌતિક ક્ષેત્રોના કેટલાક ઉદાહરણો, તેમના પ્રકાર, તેમના અનુરૂપ સ્વરૂપ અને અંતર્વેશન પદ્ધતિ, તેમજ એવા સોફ્ટવેરની યાદી આપે છે જેનો ઉપયોગ ક્ષેત્રને અંતર્વેશન, રીમેપ અથવા રીગ્રીડ કરવા માટે કરી શકાય છેઃ ઉદાહરણ તરીકે, ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં અનુક્રમિત તેમના નોડ સાથે બે પરિમાણોમાં ચતુર્ભુજ કોષોને ધ્યાનમાં લો. આગળ, ચાલો અને દરેક કોષ () ના પેરામેટ્રિક કોઓર્ડિનેટ્સ બનો. પછી એકમ વર્ગ () માં દ્વિરેખીય અંતર્વેશી સ્વરૂપો છે. અનુરૂપ ધાર ઇન્ટરપોલેટિંગ સ્વરૂપો એ છે કે આપણે ધારને ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં અને પૂર્વ અને ઉત્તર તરફ નિર્દેશ કરતી ધાર સાથે અનુક્રમિત હોવાનું માની લીધું હતું. સૌથી નીચા ક્રમમાં, ફાચર ઉત્પાદન ક્યાં છે તેના માટે માત્ર એક જ અંતર્વેશન સ્વરૂપ છે. આપણે ચકાસી શકીએ છીએ કે ઉપરોક્ત અંતર્વેશન સ્વરૂપો નકલની શરતોને સંતોષે છે અને. દાખલા તરીકે, એકમ ચોરસ જગ્યામાં ચતુર્ભુજના ખૂણાઓ પર મૂલ્યાંકન કરાયેલ ક્ષેત્ર મૂલ્યો ક્યાં, અને ક્યાં છે તે લો. તેવી જ રીતે, આપણી પાસે, ધાર પર પ્રક્ષેપિત 1-સ્વરૂપ છે. નોંધ લો કે જેને પુલબેક તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે. જો તે નકશો છે જે કિનારે પરિમાણ આપે છે,, તો પછી જ્યાં એકીકરણ અવકાશમાં કરવામાં આવે છે. દાખલા તરીકે ધારને ધ્યાનમાં લો, પછી શરૂઆત અને બિંદુઓ સાથે અને સૂચવો. સામાન્ય 1-ફોર્મ માટે, એક મળે છે. સંદર્ભો આંતર-ધ્રુવીકરણ વિભેદક સ્વરૂપો