Synge's world function
સામાન્ય સાપેક્ષતામાં, સિંજનું વિશ્વ કાર્ય એ સરળ લોરેન્ટ્ઝિયન મેટ્રિક સાથે સરળ અવકાશ સમયમાં બિંદુઓની જોડીનું સ્થાનિક રીતે સરળ રીતે વ્યાખ્યાયિત કાર્ય છે. અવકાશકાળમાં બે બિંદુઓ હોવા જોઈએ, અને ધારો કે તે બહિર્મુખ સામાન્ય પડોશી (જેની સાથે સંકળાયેલ લેવિ-સિવિટા જોડાણનો ઉલ્લેખ કરવામાં આવે છે) સાથે સંબંધિત છે, જેથી એફાઇન પરિમાણ સુધી તેમાં સમાવિષ્ટ કરવા માટે એક અનન્ય ભૌગોલિક અસ્તિત્વ અસ્તિત્વ ધરાવે છે. ધારો કે અને. પછી સિન્જના વિશ્વ કાર્યને આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છેઃ જ્યાં એફિનેલી પેરામેટ્રીઝ્ડ જીઓડેસિક માટે સ્પર્શક વેક્ટર છે. એટલે કે, બે બિંદુઓને જોડતા, અનન્ય ભૌગોલિક વિભાગ સાથે ગણતરી કરવા માટે હસ્તાક્ષરિત ભૌગોલિક લંબાઈનો અડધો ચોરસ છે. સિંજનું વિશ્વ કાર્ય સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત છે, કારણ કે ઉપરનું સંકલન રિપેરામેટરાઈઝેશન હેઠળ અપરિવર્તનશીલ છે. ખાસ કરીને, મિન્કોવ્સ્કી અવકાશ સમય માટે, સિન્જનું વિશ્વ કાર્ય બે બિંદુઓ વચ્ચેના અવકાશ સમય અંતરાલના અડધા સુધી સરળ બને છેઃ તે વૈશ્વિક સ્તરે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે અને તે સ્વરૂપ લે છે દેખીતી રીતે સિન્જના કાર્યને રીમાનિયન મેનીફોલ્ડ્સમાં પણ વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે અને તે કિસ્સામાં તે બિન-નકારાત્મક સંકેત ધરાવે છે. સામાન્ય રીતે કહીએ તો, સિંજનું કાર્ય માત્ર સ્થાનિક રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે અને બહિર્મુખ સામાન્ય પડોશીઓ કરતાં મોટા ડોમેન્સના વિસ્તરણને વ્યાખ્યાયિત કરવાનો પ્રયાસ સામાન્ય રીતે બહુ-મૂલ્યવાન કાર્ય તરફ દોરી જાય છે કારણ કે અવકાશકાળમાં બિંદુઓની જોડીમાં જોડાતા ઘણા ભૌગોલિક વિભાગો હોઈ શકે છે. જો કે તેને કર્ણના પડોશમાં વ્યાખ્યાયિત કરવું શક્ય છે, જો કે આ વ્યાખ્યામાં કેટલીક મનસ્વી પસંદગીની જરૂર છે. સિંજનું વિશ્વ કાર્ય (વિકર્ણના પડોશમાં તેનું વિસ્તરણ પણ) ખાસ કરીને વક્ર અવકાશકાળમાં ક્વોન્ટમ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંતની સંખ્યાબંધ સૈદ્ધાંતિક રચનાઓમાં જોવા મળે છે. તે નિર્ણાયક પદાર્થ છે જેનો ઉપયોગ વૈશ્વિક હાયપરબોલિક મેનીફોલ્ડમાં લોરેન્ટ્ઝિયન ગ્રીન હાયપરબોલિક 2 જી ક્રમના આંશિક વિભેદક સમીકરણોના ગ્રીનના કાર્યોના પેરામેટ્રિક્સનું નિર્માણ કરવા માટે થાય છે, અને હડામર્ડ ગૌસીયન સ્થિતિઓની વ્યાખ્યામાં. સંદર્ભો સામાન્ય સાપેક્ષતા