Absorbing Markov chain
સંભાવનાના ગાણિતિક સિદ્ધાંતમાં, શોષી લેતી માર્કોવ સાંકળ એ માર્કોવ સાંકળ છે જેમાં દરેક સ્થિતિ શોષી લેતી સ્થિતિ સુધી પહોંચી શકે છે. શોષી લેતી સ્થિતિ એ એવી સ્થિતિ છે જે એકવાર દાખલ થઈ જાય પછી છોડી શકાતી નથી. સામાન્ય માર્કોવ સાંકળોની જેમ, અનંત સ્થિતિ જગ્યા સાથે સતત-સમય શોષી લેતી માર્કોવ સાંકળો હોઈ શકે છે. જોકે, આ લેખ ડિસ્ક્રીટ-ટાઇમ ડિસ્ક્રીટ-સ્ટેટ-સ્પેસ કેસ પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરે છે. ઔપચારિક વ્યાખ્યા માર્કોવ સાંકળ એ એક શોષી લેતી સાંકળ છે જો ત્યાં ઓછામાં ઓછી એક શોષી લેતી સ્થિતિ હોય અને મર્યાદિત સંખ્યામાં પગલાંઓમાં કોઈપણ સ્થિતિમાંથી ઓછામાં ઓછી એક શોષી લેતી સ્થિતિમાં જવું શક્ય હોય. શોષી લેતી માર્કોવ સાંકળમાં, જે સ્થિતિ શોષી લેતી નથી તેને ક્ષણિક કહેવામાં આવે છે. કેનોનિકલ સ્વરૂપ ચાલો સંક્રમણ મેટ્રિક્સ P સાથે શોષી લેતી માર્કોવ સાંકળમાં t ક્ષણિક સ્થિતિઓ અને r શોષી લેતી સ્થિતિઓ હોય. લાક્ષણિક સંક્રમણ મેટ્રિક્સથી વિપરીત, P ની પંક્તિઓ સ્રોતોનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે, જ્યારે સ્તંભો ગંતવ્યોનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. પછી જ્યાં Q એ t-by-t મેટ્રિક્સ છે, R એ બિન-શૂન્ય t-by-r મેટ્રિક્સ છે, 0 એ r-by-t શૂન્ય મેટ્રિક્સ છે, અને IR એ r-by-r ઓળખ મેટ્રિક્સ છે. આમ, Q એ અમુક ક્ષણિક સ્થિતિમાંથી બીજી ક્ષણિક સ્થિતિમાં સંક્રમણની સંભાવનાનું વર્ણન કરે છે જ્યારે R એ અમુક ક્ષણિક સ્થિતિમાંથી અમુક શોષક સ્થિતિમાં સંક્રમણની સંભાવનાનું વર્ણન કરે છે. બરાબર k પગલાંઓમાં i થી j માં સંક્રમણની સંભાવના એ Pk ની (i, j)-એન્ટ્રી છે, જેની વધુ ગણતરી નીચે કરવામાં આવી છે. માત્ર ક્ષણિક સ્થિતિઓને ધ્યાનમાં લેતી વખતે, Pk ની ઉપરની ડાબી બાજુએ જોવા મળતી સંભાવના, Qk ની (i, j)-એન્ટ્રી. મૂળભૂત મેટ્રિક્સ ક્ષણિક અવસ્થાની મુલાકાતોની અપેક્ષિત સંખ્યા શોષી લેતી માર્કોવ સાંકળ વિશેનો મૂળભૂત ગુણધર્મ એ ક્ષણિક અવસ્થાની મુલાકાતોની અપેક્ષિત સંખ્યા છે જે ક્ષણિક સ્થિતિ i (શોષાય તે પહેલાં) થી શરૂ થાય છે. આ કહેવાતા મૂળભૂત મેટ્રિક્સ N ની (i, j) એન્ટ્રી દ્વારા આપી શકાય છે, જે તમામ k (0 થી φ) માટે Qk નો સરવાળો કરીને મેળવી શકાય છે. તે સાબિત કરી શકાય છે કે જ્યાં તે ટી-બાય-ટી ઓળખ મેટ્રિક્સ છે. આ સૂત્રની ગણતરી સ્કેલરની ભૌમિતિક શ્રેણીની સમકક્ષ મેટ્રિક્સ છે. હાથમાં મેટ્રિક્સ એન સાથે, માર્કોવ સાંકળના અન્ય ગુણધર્મો પણ મેળવવાનું સરળ છે. અવશોષિત થતાં પહેલાં પગલાંની અપેક્ષિત સંખ્યા કોઈપણ શોષી લેતી સ્થિતિમાં શોષાય તે પહેલાં પગલાંની અપેક્ષિત સંખ્યા, જ્યારે ક્ષણિક સ્થિતિમાં શરૂ થાય છે ત્યારે ક્ષણિક સ્થિતિઓના સરવાળા દ્વારા ગણતરી કરી શકાય છે. મૂલ્ય વેક્ટરની ith એન્ટ્રી દ્વારા આપવામાં આવે છે જ્યાં 1 એ લંબાઈ-t કૉલમ વેક્ટર છે જેની એન્ટ્રીઓ તમામ 1 છે. ઇન્ડક્શન દ્વારા, ક્ષણિક સ્થિતિ i થી શરૂ કરતી વખતે આખરે શોષી લેવાની સ્થિતિ j માં શોષાઈ જવાની સંભાવના મેટ્રિક્સની (i, j)-એન્ટ્રી દ્વારા આપવામાં આવે છે. આ મેટ્રિક્સના સ્તંભોની સંખ્યા એ શોષી લેતી સ્થિતિઓની સંખ્યા બરાબર છે r. તે સંભાવનાઓનો અંદાજ પણ k ના મોટા પર્યાપ્ત મૂલ્ય માટે (i, j)-એન્ટ્રીમાંથી સીધો મેળવી શકાય છે, જ્યારે i એ ક્ષણિકનો અનુક્રમણિકા છે, અને j એ શોષી લેતી સ્થિતિનો અનુક્રમણિકા છે. આનું કારણ છે. ક્ષણિક મુલાકાતની સંભાવનાઓ ક્ષણિક સ્થિતિ i થી શરૂ કરતી વખતે ક્ષણિક સ્થિતિ j ની મુલાકાત લેવાની સંભાવના એ મેટ્રિક્સની (i, j)-એન્ટ્રી છે જ્યાં Ndg એ N જેવા જ કર્ણ સાથે કર્ણ મેટ્રિક્સ છે. ક્ષણિક મુલાકાતોની સંખ્યા પર ભિન્નતા ક્ષણિક સ્થિતિ i (શોષાય તે પહેલાં) થી શરૂ કરીને ક્ષણિક સ્થિતિ j ની મુલાકાતોની સંખ્યા પરનો તફાવત એ મેટ્રિક્સની (i, j)-એન્ટ્રી છે જ્યાં Nsq એ પોતાની સાથે N નું હડામર્ડ પ્રોડક્ટ છે (એટલે કે. N ની દરેક એન્ટ્રી ચોરસ છે). તબક્કાઓની સંખ્યા પર ભિન્નતા ક્ષણિક સ્થિતિ i માં શરૂ કરતી વખતે શોષાય તે પહેલાંના પગલાઓની સંખ્યા પરનો તફાવત એ વેક્ટરની ith એન્ટ્રી છે જ્યાં tsq એ પોતાની સાથે t નો હડામર્ડ ગુણાકાર છે (એટલે કે, Nsq ની જેમ, t ની દરેક એન્ટ્રી ચોરસ છે). ઉદાહરણો સ્ટ્રિંગ જનરેશન જ્યાં સુધી ક્રમ (હેડ, પૂંછડી, હેડ) દેખાય નહીં ત્યાં સુધી વાજબી સિક્કાને વારંવાર ફેરવવાની પ્રક્રિયાને ધ્યાનમાં લો. આ પ્રક્રિયા સંક્રમણ મેટ્રિક્સ સાથે શોષી લેતી માર્કોવ સાંકળ દ્વારા તૈયાર કરવામાં આવે છે પ્રથમ સ્થિતિ ખાલી સ્ટ્રિંગને રજૂ કરે છે, બીજી સ્થિતિ સ્ટ્રિંગ "H", ત્રીજી સ્થિતિ સ્ટ્રિંગ "HT" અને ચોથી સ્થિતિ સ્ટ્રિંગ "HTH" રજૂ કરે છે. વાસ્તવમાં, "HTH" શબ્દમાળા ઉત્પન્ન થયા પછી સિક્કા પલટી જવાનું બંધ થઈ જાય છે, તેમ છતાં, શોષી લેતી માર્કોવ સાંકળનો પરિપ્રેક્ષ્ય એ છે કે પ્રક્રિયા "HTH" શબ્દમાળાને રજૂ કરતી શોષી લેતી સ્થિતિમાં પરિવર્તિત થઈ ગઈ છે અને તેથી, તેને છોડી શકાતી નથી. આ શોષી લેતી માર્કોવ સાંકળ માટે, મૂળભૂત મેટ્રિક્સ છે દરેક ક્ષણિક સ્થિતિમાંથી શરૂ થતા પગલાંની અપેક્ષિત સંખ્યા છે તેથી, અનુક્રમ (હેડ, પૂંછડી, હેડ) નું નિરીક્ષણ કરતા પહેલા સિક્કા પલટી જવાની અપેક્ષિત સંખ્યા 10 છે, જે ખાલી સ્ટ્રિંગનું પ્રતિનિધિત્વ કરતી સ્થિતિ માટેની એન્ટ્રી છે. સંપૂર્ણ રીતે તક પર આધારિત રમતો શોષી લેતી માર્કોવ સાંકળ દ્વારા તૈયાર કરી શકાય છે. આનું ઉત્તમ ઉદાહરણ પ્રાચીન ભારતીય બોર્ડ ગેમ સાપ અને સીડી છે. ડાબી બાજુનો આલેખ એકલ શોષી લેતી સ્થિતિમાં સંભાવના સમૂહને દર્શાવે છે જે અંતિમ વર્ગને રજૂ કરે છે કારણ કે સંક્રમણ મેટ્રિક્સને મોટી અને મોટી શક્તિઓ સુધી વધારવામાં આવે છે. રમતને પૂર્ણ કરવા માટે વળાંકની અપેક્ષિત સંખ્યા નક્કી કરવા માટે, ઉપર વર્ણવ્યા મુજબ વેક્ટર ટીની ગણતરી કરો અને ટીસ્ટાર્ટની તપાસ કરો, જે આશરે 39.2 છે. ચેપી રોગ પરીક્ષણ ચેપી રોગ પરીક્ષણ, ક્યાં તો રક્ત ઉત્પાદનો અથવા તબીબી દવાખાનાઓમાં, ઘણીવાર શોષી લેતી માર્કોવ સાંકળના ઉદાહરણ તરીકે શીખવવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, એચ. આય. વી અને હીપેટાઇટિસ બી માટે જાહેર યુ. એસ. સેન્ટર્સ ફોર ડિસીઝ કંટ્રોલ એન્ડ પ્રિવેન્શન (સીડીસી) મોડેલ, એ ગુણધર્મને સમજાવે છે કે માર્કોવ સાંકળોને શોષવાથી રોગની શોધ થઈ શકે છે, વિરુદ્ધ અન્ય માધ્યમો દ્વારા શોધની ખોટ. પ્રમાણભૂત સી. ડી. સી. મોડેલમાં, માર્કોવ સાંકળમાં પાંચ રાજ્યો છે, એક રાજ્ય જેમાં વ્યક્તિ ચેપગ્રસ્ત નથી, પછી ચેપગ્રસ્ત પરંતુ નિદાન ન કરી શકાય તેવા વાયરસ ધરાવતું રાજ્ય, શોધી શકાય તેવા વાયરસ ધરાવતું રાજ્ય, અને ક્લિનિકમાંથી બહાર નીકળવાની/ખોવાઈ જવાની સ્થિતિને શોષી લે છે, અથવા શોધી કાઢવામાં આવી છે (ધ્યેય). માર્કોવ રાજ્યો વચ્ચેના સંક્રમણના લાક્ષણિક દર એ છે કે વાયરસથી ચેપ લાગવાની સંભાવના p પ્રતિ એકમ સમય, વિંડો પિરિયડ દૂર કરવાના દર માટે ડબલ્યુ (વાયરસ શોધી શકાય ત્યાં સુધીનો સમય), સિસ્ટમમાંથી બહાર નીકળવા/ગુમાવવાના દર માટે ક્યૂ, અને નિદાન માટે ડી, એક લાક્ષણિક દર ધારીને કે જેના પર આરોગ્ય પ્રણાલી રક્ત ઉત્પાદન અથવા પ્રશ્નમાં દર્દીઓના પરીક્ષણોનું સંચાલન કરે છે. તે અનુસરે છે કે આપણે માર્કોવ મોડેલની સાથે "ચાલી" શકીએ છીએ, જે મોડેલની દરેક આગામી સ્થિતિમાં સંક્રમણની સંભાવનાઓને ગુણાકાર કરીને, અજાણ્યા તરીકે શરૂ થતી વ્યક્તિ માટે શોધની એકંદર સંભાવનાને ઓળખી શકે છેઃ ખોટા નકારાત્મક પરીક્ષણોની અનુગામી કુલ સંખ્યા-સીડીસીની પ્રાથમિક ચિંતા-પછી પરીક્ષણોનો દર હશે, જે ચેપગ્રસ્ત પરંતુ નિદાન ન થઈ શકે તેવી સ્થિતિમાં પહોંચવાની સંભાવના દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવશે, જે ચેપગ્રસ્ત નિદાન ન થઈ શકે તેવી સ્થિતિમાં રહેવાનો સમયગાળો હશે. ડિસ્ક્રીટ ફેઝ-ટાઇપ ડિસ્ટ્રિબ્યુશન એબ્સોર્બિંગ સેટ (રેન્ડમ ડાયનેમિકલ સિસ્ટમ્સ) સંદર્ભો બાહ્ય કડીઓ વોલ્ફ્રમ ડેમોન્સ્ટ્રેશન પ્રોજેક્ટઃ એબ્સોર્બિંગ માર્કોવ ચેઇન મોનોપોલી એ માર્કોવ ચેઇન માર્કોવ પ્રક્રિયા માર્કોવ મોડેલો તરીકે