Carathéodory kernel theorem
ગણિતમાં, કારાથિઓડોરી કર્નલ પ્રમેય એ 1912માં ગ્રીક ગણિતશાસ્ત્રી કોન્સ્ટેન્ટિન કારાથિઓડોરી દ્વારા સ્થાપિત જટિલ વિશ્લેષણ અને ભૌમિતિક કાર્ય સિદ્ધાંતનું પરિણામ છે. હોલોમોર્ફિક અવિભાજ્ય વિધેયોના ક્રમના સઘન સમૂહો પર એકસમાન અભિસરણ, જે જટિલ સમતલમાં એકમ ડિસ્ક પર વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે અને 0 નક્કી કરવામાં આવે છે, તે વિધેયોની છબીઓના મર્યાદિત વર્તનની દ્રષ્ટિએ સંપૂર્ણપણે ભૌમિતિક રીતે ઘડવામાં આવી શકે છે. કર્નલ પ્રમેય અવિભાજ્ય કાર્યોના સિદ્ધાંતમાં વ્યાપક ઉપયોગ ધરાવે છે અને ખાસ કરીને લોવનર વિભેદક સમીકરણ માટે ભૌમિતિક આધાર પૂરો પાડે છે. ખુલ્લા સમૂહોના ક્રમના કર્નલને C માં 0 ધરાવતા ખુલ્લા સમૂહોના ક્રમ તરીકે ગણવા દો. ચાલો Vn એ 0 ધરાવતા આંતરિક ભાગનો જોડાયેલ ઘટક છે. ક્રમના કર્નલને Vn ના જોડાણ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જો કે તે ખાલી ન હોય; અન્યથા તે તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. આમ કર્નલ કાં તો 0 અથવા એક બિંદુ સમૂહ ધરાવતો જોડાયેલ ખુલ્લો સમૂહ છે. જો દરેક અનુગામીમાં સમાન કર્નલ હોય તો ક્રમ કર્નલમાં એકરૂપ થાય છે. ઉદાહરણો જો યુ. એન. એ 0 ધરાવતા જોડાયેલા ખુલ્લા સમૂહોનો વધતો ક્રમ છે, તો પછી કર્નલ માત્ર જોડાણ છે. જો યુ. એન. એ 0 ધરાવતા જોડાયેલા ખુલ્લા સમૂહોનો ઘટતો ક્રમ છે, તો પછી, જો 0 એ યુ1 θ યુ2 θ નું આંતરિક બિંદુ છે, તો ક્રમ 0 ધરાવતા આંતરિક ઘટકમાં એકરૂપ થાય છે. નહિંતર, જો 0 એ આંતરિક બિંદુ ન હોય, તો ક્રમ તેમાં એકરૂપ થાય છે. કર્નલ પ્રમેય ધારો કે fn (z) એ એકમ ડિસ્ક D પર હોલોમોર્ફિક અવિભાજ્ય કાર્યોનો ક્રમ છે, જે સામાન્યીકૃત છે જેથી fn (0) = 0 અને f 'n (0)> 0. પછી fn એ D માં કોમ્પેક્ટ પર સમાનરૂપે ફંક્શન f માં એકરૂપ થાય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો Un = fn (D) તેના કર્નલમાં એકરૂપ થાય અને આ કર્નલ C ન હોય. જો કર્નલ હોય, તો f = 0. નહિંતર કર્નલ એ જોડાયેલ ઓપન સેટ U છે, f એ D પર અવિભાજ્ય છે અને f (D) = U. પુરાવા હર્વિટ્ઝના પ્રમેય અને મોન્ટેલના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને, તે તપાસવું સરળ છે કે જો fn કોમ્પેક્ટાથી f પર સમાન રીતે વલણ ધરાવે છે, તો પછી યુએનના દરેક અનુગામીમાં કર્નલ યુ = એફ (ડી) છે. તેનાથી વિપરીત જો યુએન સીની સમકક્ષ ન હોય તેવા કર્નલમાં રૂપાંતરિત થાય છે, તો કોબે ક્વાર્ટર થીયરમ યુએનમાં કેન્દ્ર 0 સાથે ત્રિજ્યા એફ 'એન (0)/4 ની ડિસ્ક હોય છે. ધારણા છે કે U ષ્ણ C સૂચવે છે કે આ ત્રિજ્યાઓ એકસરખી રીતે બંધાયેલ છે. કોબે વિકૃતિ પ્રમેય દ્વારા તેથી અનુક્રમ fn સમાનરૂપે કોમ્પેક્ટ સમૂહો પર બંધાયેલો છે. જો બે અનુગામીઓ હોલોમોર્ફિક મર્યાદા f અને g માં ભેગા થાય છે, તો f (0) = g (0) અને f '(0), g' (0) ≤ 0 સાથે. પ્રથમ ભાગ અને ધારણાઓ દ્વારા તે અનુસરે છે કે f (D) = g (D). રીમાન મેપિંગ પ્રમેયમાં વિશિષ્ટતા f = g ને દબાણ કરે છે, તેથી મૂળ ક્રમ f "n કોમ્પેક્ટ સમૂહો પર સમાનરૂપે અભિસારી છે. જટિલ વિશ્લેષણમાં સંદર્ભ પ્રમેય