Pontryagin product
ગણિતમાં, દ્વારા રજૂ કરાયેલ પોન્ટ્રીગિન ઉત્પાદન એ ટોપોલોજિકલ જગ્યા પરના ઉત્પાદન દ્વારા પ્રેરિત ટોપોલોજિકલ જગ્યાના સમરૂપતા પરનું ઉત્પાદન છે. ખાસ કિસ્સાઓમાં અબેલિયન જૂથના સમરૂપતા પર પોન્ટ્રીઆગિન ઉત્પાદન, એચ-સ્પેસ પર પોન્ટ્રીઆગિન ઉત્પાદન અને લૂપ સ્પેસ પર પોન્ટ્રીઆગિન ઉત્પાદનનો સમાવેશ થાય છે. ક્રોસ પ્રોડક્ટ પોન્ટ્રીગિન પ્રોડક્ટને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે આપણે પહેલા એક નકશાની જરૂર છે જે m-th અને n-th હોમોલોજી જૂથનું સીધું ઉત્પાદન જગ્યાના (m + n)-th હોમોલોજી જૂથને મોકલે છે. તેથી આપણે એકવચન સાંકળોના સ્તરથી શરૂ કરીને ક્રોસ પ્રોડક્ટને વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ. બે ટોપોલોજિકલ જગ્યાઓ X અને Y અને બે એકવચન સરળતાઓને જોતાં અને આપણે ઉત્પાદન નકશાને વ્યાખ્યાયિત કરી શકીએ છીએ, એકમાત્ર મુશ્કેલી એ છે કે આ એકવચન (m + n)-સિમ્પ્લેક્સને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. આ કરવા માટે તેને (m + n)-સરળતામાં વિભાજિત કરી શકાય છે. પછી તે બતાવવું સરળ છે કે આ નકશો એ સાબિત કરીને સ્વરૂપની સમરૂપતા પર નકશાને પ્રેરિત કરે છે કે જો અને તે ચક્ર છે તો તે જ છે અને જો કાં તો અથવા તે સીમા છે તો તે જ ઉત્પાદન છે. વ્યાખ્યા ગુણાકાર સાથે એચ-સ્પેસ આપવામાં આવે તો આપણે હોમોલોજી પર પોન્ટ્રીગિન પ્રોડક્ટને નકશાની નીચેની રચના દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ જ્યાં પ્રથમ નકશો ઉપર વ્યાખ્યાયિત ક્રોસ પ્રોડક્ટ છે અને બીજો નકશો એચ-સ્પેસના ગુણાકાર દ્વારા આપવામાં આવે છે અને ત્યારબાદ હોમોલોજીના સ્તરે હોમોમોર્ફિઝમ મેળવવા માટે હોમોલોજી ફંકટરનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. પછી. સંદર્ભો સમરૂપતા સિદ્ધાંત જૂથ સિદ્ધાંત