Microcontinuity
બિન-માનક વિશ્લેષણમાં, શાસ્ત્રીય ગણિતની અંદરની એક શાખા, એક બિંદુ a પર આંતરિક કાર્ય f ની સૂક્ષ્મ સાતત્યતા (અથવા S-સાતત્યતા) ને નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છેઃ a ની અનંત નજીક રહેલા તમામ x માટે, f (x) નું મૂલ્ય f (a) ની અનંત નજીક છે. અહીં x એ f ના ક્ષેત્રમાંથી પસાર થાય છે. સૂત્રોમાં, આને નીચે પ્રમાણે વ્યક્ત કરી શકાય છેઃ જો તો. f પર વ્યાખ્યાયિત થયેલ વિધેય માટે, વ્યાખ્યાને પ્રભામંડળની દ્રષ્ટિએ નીચે પ્રમાણે વ્યક્ત કરી શકાય છેઃ f એ જો અને માત્ર ત્યારે જ માઇક્રોકોન્ટિન્યુઅસ છે, જ્યાં હાયપરરીઅલ્સ માટે f નું કુદરતી વિસ્તરણ હજુ પણ f સૂચવવામાં આવે છે. વૈકલ્પિક રીતે, c પર માઇક્રોકોન્ટિન્યુઇટીનો ગુણધર્મ એ કહીને વ્યક્ત કરી શકાય છે કે રચના c ના પ્રભામંડળ પર અચળ છે, જ્યાં "st" એ પ્રમાણભૂત ભાગ કાર્ય છે. કાર્યની સાતત્યતાના આધુનિક ગુણધર્મની વ્યાખ્યા સૌપ્રથમ 1817માં બોલ્ઝાનો દ્વારા કરવામાં આવી હતી. જો કે, 1860 ના દાયકામાં હેઇનમાં તેની પુનઃ શોધ ન થઈ ત્યાં સુધી મોટા ગાણિતિક સમુદાય દ્વારા બોલ્ઝાનોના કાર્યની નોંધ લેવામાં આવી ન હતી. દરમિયાન, કોચીના પાઠ્યપુસ્તક કોર્સ ડી 'એનાલીસે ઉપરની જેમ અનંતતાનો ઉપયોગ કરીને 1821માં સાતત્યને વ્યાખ્યાયિત કર્યું હતું. સાતત્ય અને સમાન સાતત્ય માઇક્રોકોન્ટિન્યુટીનો ગુણધર્મ સામાન્ય રીતે વાસ્તવિક વિધેય f ના કુદરતી વિસ્તરણ f * પર લાગુ થાય છે. આમ, વાસ્તવિક અંતરાલ I પર વ્યાખ્યાયિત f સતત હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો f * એ I ના દરેક બિંદુ પર માઇક્રોકોન્ટિન્યુઅસ હોય. દરમિયાન, f એ I પર એકસમાન રીતે સતત હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો f * તેના ડોમેન I ના કુદરતી વિસ્તરણ I * ના દરેક બિંદુ (પ્રમાણભૂત અને બિન-પ્રમાણભૂત) પર માઇક્રોકોન્ટિન્યુઅસ હોય (ડેવિસ, 1977, પૃષ્ઠ 96 જુઓ). ઉદાહરણ 1 ખુલ્લા અંતરાલ (0,1) પર વાસ્તવિક કાર્ય સમાનરૂપે સતત નથી કારણ કે f નું કુદરતી વિસ્તરણ f * અનંત પર માઇક્રોકોન્ટિન્યુઅસ બનવામાં નિષ્ફળ જાય છે. ખરેખર, આવા a માટે, a અને 2a મૂલ્યો અનંત નજીક છે, પરંતુ f * ના મૂલ્યો, એટલે કે અને અનંત નજીક નથી. ઉદાહરણ 2 કાર્ય ચાલુ એકસમાન રીતે સતત નથી કારણ કે f * અનંત બિંદુ પર માઇક્રોકોન્ટિનેયુઅસ બનવામાં નિષ્ફળ જાય છે. એટલે કે, સેટિંગ અને K = H + e, એક સરળતાથી જુએ છે કે H અને K અનંત નજીક છે પરંતુ f * (H) અને f * (K) અનંત નજીક નથી. યુનિફોર્મ કન્વર્જન્સ યુનિફોર્મ કન્વર્જન્સ એ જ રીતે હાયપરરીયલ સેટિંગમાં સરળ વ્યાખ્યાને સ્વીકારે છે. આમ, જો f * ના ક્ષેત્રમાં તમામ x અને તમામ અનંત n માટે, અનંત નજીક હોય તો ક્રમ સમાનરૂપે f માં રૂપાંતરિત થાય છે. સ્ટાન્ડર્ડ પાર્ટ ફંક્શન બિબ્લિયોગ્રાફી માર્ટિન ડેવિસ (1977) એપ્લાઇડ નોનસ્ટાન્ડર્ડ એનાલિસિસ પણ જુઓ. શુદ્ધ અને લાગુ કરેલું ગણિત. વિલી-ઇન્ટરસાયન્સ [જ્હોન વિલી એન્ડ સન્સ], ન્યૂ યોર્ક-લંડન-સિડની. xii + 181 પીપી. ગોર્ડન, ઇ. આઇ.; કુસરેવ, એ. જી.; કુટાટેલાદ્ઝે, એસ. એસ.: અનંત વિશ્લેષણ. 2001ના રશિયન મૂળના સુધારેલા અને સુધારેલા અનુવાદ. કુટાટેલાદ્ઝે દ્વારા અનુવાદિત. ગણિત અને તેના ઉપયોગો, 544. ક્લુવર એકેડેમિક પબ્લિશર્સ, ડોર્ડ્રેક્ટ, 2002. સંદર્ભો બિન-માનક વિશ્લેષણ