Ramanujan's master theorem
ગણિતમાં, રામાનુજનની મુખ્ય પ્રમેય, જેનું નામ શ્રીનિવાસ રામાનુજનના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે, તે એક એવી તકનીક છે જે વિશ્લેષણાત્મક કાર્યના મેલિન પરિવર્તન માટે વિશ્લેષણાત્મક અભિવ્યક્તિ પ્રદાન કરે છે. પરિણામ નીચે મુજબ જણાવવામાં આવ્યું છેઃ જો કોમ્પ્લેક્સ-વેલ્યુડ ફંક્શનમાં ફોર્મનું વિસ્તરણ હોય તો તેનું મેલિન ટ્રાન્સફોર્મ ગામા ફંક્શન ક્યાં છે તેના દ્વારા આપવામાં આવે છે. તેનો ઉપયોગ રામાનુજન દ્વારા ચોક્કસ સંકલન અને અનંત શ્રેણીની ગણતરી કરવા માટે વ્યાપકપણે કરવામાં આવ્યો હતો. આ પ્રમેયની ઉચ્ચ-પરિમાણીય આવૃત્તિઓ ક્વોન્ટમ ભૌતિકશાસ્ત્રમાં પણ જોવા મળે છે (ફેનમેન આકૃતિઓ દ્વારા). ગ્લેઇશર દ્વારા પણ આવું જ પરિણામ મેળવવામાં આવ્યું હતું. વૈકલ્પિક ઔપચારિકતા રામાનુજનના મુખ્ય પ્રમેયની વૈકલ્પિક રચના નીચે મુજબ છેઃ જે ગામા કાર્ય માટે કાર્યાત્મક સમીકરણને બદલીને અને તેનો ઉપયોગ કર્યા પછી ઉપરોક્ત સ્વરૂપમાં રૂપાંતરિત થાય છે. ઉપરનું ઇન્ટિગ્રલ વૃદ્ધિની પરિસ્થિતિઓને આધિન કન્વર્જન્ટ છે. પુરાવા રામાનુજનના મુખ્ય પ્રમેયની "કુદરતી" ધારણાઓ (જોકે સૌથી નબળી જરૂરી શરતો નહીં) ને આધિન પુરાવા જી. એચ. હાર્ડી (પ્રકરણ XI) દ્વારા અવશેષ પ્રમેય અને જાણીતા મેલિન વ્યુત્ક્રમ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને પૂરા પાડવામાં આવ્યા હતા. બર્નૌલી બહુપદીઓનો ઉપયોગ બર્નૌલી બહુપદીઓનું ઉત્પન્ન કાર્ય આના દ્વારા આપવામાં આવે છેઃ આ બહુપદીઓ હર્વિટ્ઝ ઝેટા કાર્યના સંદર્ભમાં આપવામાં આવે છેઃ માટે દ્વારા. રામાનુજન માસ્ટર થીયરમ અને બર્નૌલી બહુપદીઓના જનરેટિંગ ફંક્શનનો ઉપયોગ કરીને એકમાં નીચેની અભિન્ન રજૂઆત છેઃ જે આ માટે માન્ય છે. ગામા કાર્ય માટે વીયરસ્ટ્રાસની ગામા કાર્યની વ્યાખ્યા અભિવ્યક્તિની સમકક્ષ છે જ્યાં રીમાન ઝેટા કાર્ય છે. પછી રામાનુજન માસ્ટર થીયરમને લાગુ કરવા માટે આપણી પાસેઃ માન્ય છે. રામાનુજનના મુખ્ય પ્રમેય અનુસાર, ગામા કાર્ય માટે કેટલીક ઓળખ અને ફરીથી ગોઠવણી સાથે, આપણે પ્રથમ પ્રકારના બેસલ કાર્ય માટે માન્ય અભિન્ન અંગનું મૂલ્યાંકન કરી શકીએ છીએ. સમાનરૂપે, જો ગોળાકાર બેસલ કાર્ય પસંદ કરવામાં આવે, તો સૂત્ર માટે માન્ય બને છે. ઉકેલ નોંધપાત્ર છે કારણ કે તે ગામા કાર્ય માટે મુખ્ય ઓળખમાં આંતરછેદ કરવામાં સક્ષમ છે. ખાસ કરીને, ની પસંદગી ગામા કાર્યનો વર્ગ આપે છે, ડુપ્લિકેશન સૂત્ર આપે છે, પ્રતિબિંબ સૂત્ર આપે છે, અને મૂલ્યાંકન માટે ફિક્સિંગ આપે છે અથવા પ્રતિબિંબ અને સ્કેલિંગ સુધી ગામા કાર્ય આપે છે. કૌંસ એકીકરણ પદ્ધતિ કૌંસ એકીકરણ પદ્ધતિ (કૌંસની પદ્ધતિ) રામાનુજનના મુખ્ય પ્રમેયને સંકલનની વ્યાપક શ્રેણી પર લાગુ કરે છે. કૌંસ એકીકરણ પદ્ધતિ શ્રેણી વિસ્તરણનું અભિન્ન અંગ ઉત્પન્ન કરે છે, સરળ સંકેતો રજૂ કરે છે, રેખીય સમીકરણો ઉકેલે છે અને રામાનુજનના મુખ્ય પ્રમેયમાંથી ઉદ્ભવતા સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને એકીકરણ પૂર્ણ કરે છે. શ્રેણી વિસ્તરણનું અભિન્ન અંગ બનાવો આ પદ્ધતિ M ચલ અને S સરવાળા પરિમાણોને સમાવતી શ્રેણી વિસ્તરણના અભિન્ન અંગમાં અભિન્ન અંગને પરિવર્તિત કરે છે. મલ્ટિવેરિયેટ ઇંટીગ્રલ આ સ્વરૂપ ધારણ કરી શકે છે. વિશેષ સંકેતો લાગુ કરો કૌંસ (), સૂચક (), અને એકવિધ શક્તિ સંકેતો શ્રેણીના વિસ્તરણમાં શબ્દોને બદલે છે. આ સંકેતોના ઉપયોગથી બી કૌંસ ધરાવતી કૌંસ શ્રેણીમાં અભિન્ન અંગનું પરિવર્તન થાય છે. દરેક કૌંસ શ્રેણીમાં અનુક્રમણિકા = રકમની સંખ્યા-કૌંસની સંખ્યા તરીકે વ્યાખ્યાયિત અનુક્રમણિકા હોય છે. ઇન્ટિગ્રલની તમામ કૌંસ શ્રેણી રજૂઆતોમાં, ન્યૂનતમ અનુક્રમણિકા સાથેની રજૂઆતને પ્રાધાન્ય આપવામાં આવે છે. રેખીય સમીકરણોને ઉકેલો નીચે આપેલા રેખીય સમીકરણોના સમૂહને ઉકેલવા માટે ગુણાંકની શ્રેણીમાં મહત્તમ ક્રમ, રેખીય રીતે સ્વતંત્ર અગ્રણી સ્તંભો હોવા જોઈએ. જો અનુક્રમણિકા બિન-નકારાત્મક હોય, તો દરેક માટે આ સમીકરણ સમૂહને હલ કરો. શરતો રેખીય કાર્યો હોઈ શકે છે. જો અનુક્રમણિકા શૂન્ય હોય, તો સમીકરણ () દરેક માટે આ સમીકરણ સમૂહને ઉકેલવા માટે સરળ બનાવે છે જો અનુક્રમણિકા નકારાત્મક હોય, તો અભિન્ન નક્કી કરી શકાતું નથી. જો અનુક્રમણિકા બિન-નકારાત્મક હોય, તો સંકલન માટેનું સૂત્ર આ સ્વરૂપ છે. આ નિયમો લાગુ પડે છે. મુક્ત સરવાળા પરિમાણોની દરેક પસંદગી માટે શ્રેણી બનાવવામાં આવે છે. સામાન્ય પ્રદેશમાં શ્રેણીબદ્ધ કન્વર્જિંગ ઉમેરવામાં આવે છે. જો પસંદગી અલગ શ્રેણી અથવા શૂન્ય શ્રેણી (શૂન્ય મૂલ્યની શરતો સાથેની શ્રેણી) પેદા કરે છે, તો શ્રેણીને નકારી કાઢવામાં આવે છે. નકારાત્મક અનુક્રમણિકાની કૌંસ શ્રેણીને કોઈ મૂલ્ય આપવામાં આવતું નથી. જો બધી શ્રેણીઓ નકારી કાઢવામાં આવે, તો પદ્ધતિ લાગુ કરી શકાતી નથી. જો અનુક્રમણિકા શૂન્ય હોય, તો સૂત્ર આ સૂત્રને સરળ બનાવે છે અને કોઈ સરવાળો થતો નથી. ગાણિતિક આધાર આ ચલ પરિવર્તનને સામાન્ય અભિન્ન સ્વરૂપ () માં લાગુ કરો. . આ રૂપાંતરિત અભિન્ન () છે અને રામાનુજનના મુખ્ય પ્રમેય () ને લાગુ કરવાનું પરિણામ છે. કૌંસની સંખ્યા (B) એ સંકલનની સંખ્યા (M) () બરાબર છે. અલ્ગોરિધમનો સૂત્રો (,) પેદા કરવા ઉપરાંત, ચલ પરિવર્તન પણ અલ્ગોરિધમનો રેખીય સમીકરણો (,) પેદા કરે છે. ઉદાહરણ કૌંસ સંકલન પદ્ધતિ આ સંકલન પર લાગુ થાય છે. શ્રેણી વિસ્તરણ () નું સંકલન બનાવો. વિશેષ સંકેતો લાગુ કરો (,). રેખીય સમીકરણ () ઉકેલો. સૂત્ર () લાગુ કરો. સંદર્ભો બાહ્ય લિંક્સ શ્રીનિવાસ રામાનુજન સિદ્ધાંતો વિશ્લેષણાત્મક સંખ્યા સિદ્ધાંતમાં