Weyl law
ગણિતમાં, ખાસ કરીને વર્ણપટ સિદ્ધાંતમાં, વેઇલનો નિયમ લાપ્લાસ-બેલ્ટ્રામી સંચાલકના આઈગન મૂલ્યોના એસિમ્પ્ટોટિક વર્તનનું વર્ણન કરે છે. આ વર્ણન 1911 માં હર્મન વેલ દ્વારા લાપ્લાસ-બેલ્ટ્રામી ઓપરેટર માટે આઈગન વેલ્યુ માટે શોધવામાં આવ્યું હતું જે બાઉન્ડેડ ડોમેનની સીમા પર અદ્રશ્ય થઈ ગયેલા કાર્યો પર કામ કરે છે. ખાસ કરીને, તેમણે સાબિત કર્યું કે ડિરીક્લેટ આઈગનવેલ્યુઝની સંખ્યા (તેમના ગુણાકારની ગણતરી) એકમ બોલનું કદ ક્યાં છે તે સંતોષે છે. 1912માં તેમણે પરિવર્તનશીલ પદ્ધતિઓના આધારે એક નવો પુરાવો આપ્યો. સામાન્યીકરણ વેઇલ કાયદો વધુ સામાન્ય ક્ષેત્રો અને સંચાલકો સુધી વિસ્તૃત કરવામાં આવ્યો છે. શ્રોડિંગર ઓપરેટર માટે તેને આવશ્યક સ્પેક્ટ્રમ અને/અથવા તેના તળિયે સુધી વિસ્તૃત કરવામાં આવ્યું હતું. જ્યાં સુધી નીચે આવશ્યક વર્ણપટ ન હોય ત્યાં સુધી અહીં નીચે આપેલા આઈગનવેલ્યુની સંખ્યા છે. સ્પેક્ટ્રલ એસિમ્પ્ટોટિક્સના વિકાસમાં, પરિવર્તનશીલ પદ્ધતિઓ અને માઇક્રોલોકલ વિશ્લેષણ દ્વારા નિર્ણાયક ભૂમિકા ભજવવામાં આવી હતી. પ્રતિ-ઉદાહરણો વિસ્તૃત વેલ કાયદો અમુક પરિસ્થિતિઓમાં નિષ્ફળ જાય છે. ખાસ કરીને, વિસ્તૃત વેઇલ કાયદો "દાવો કરે છે" કે જો જમણા હાથની અભિવ્યક્તિ બધા માટે મર્યાદિત હોય તો જ કોઈ આવશ્યક વર્ણપટ નથી. જો કોઈ CUSPs સાથે ડોમેન્સને ધ્યાનમાં લે (એટલે કે. "સંકોચન બહાર નીકળીને અનંત થાય છે") પછી (વિસ્તૃત) વેઇલ કાયદો દાવો કરે છે કે જો કદ મર્યાદિત હોય તો જ કોઈ આવશ્યક વર્ણપટ નથી. જો કે ડિરીક્લેટ લેપલેસિયન માટે કોઈ આવશ્યક વર્ણપટ નથી, ભલે કદ અનંત હોય, જ્યાં સુધી કસ્પ્સ અનંત સમયે સંકોચાય છે (તેથી કદની મર્યાદા જરૂરી નથી). બીજી બાજુ, ન્યુમેન લેપલેસિયન માટે એક આવશ્યક વર્ણપટ છે જ્યાં સુધી કેપ્સ નકારાત્મક ઘાતાંક કરતા વધુ ઝડપથી અનંત પર સંકોચાય નહીં (તેથી કદની મર્યાદા પૂરતી નથી). વેલ અનુમાન વેઇલે અનુમાન લગાવ્યું હતું કે જ્યાં બાકીની મુદત ડિરીક્લેટ સીમા શરતો માટે નકારાત્મક અને ન્યુમેન માટે સકારાત્મક છે. બાકીના અંદાજમાં ઘણા ગણિતશાસ્ત્રીઓએ સુધારો કર્યો હતો. 1922 માં, રિચાર્ડ કોરન્ટ એક બાઉન્ડ સાબિત થયો. 1952માં, બોરિસ લેવિટેને કોમ્પેક્ટ ક્લોઝ્ડ મેનીફોલ્ડ્સ માટે વધુ કડક બંધન સાબિત કર્યું. રોબર્ટ સીલીએ 1978માં અમુક યુક્લિડિયન ક્ષેત્રોનો સમાવેશ કરવા માટે આનો વિસ્તાર કર્યો હતો. 1975માં, હંસ ડુઇસ્ટરમેટ અને વિક્ટર ગિલેમિને સાબિત કર્યું કે જ્યારે સામયિક દ્વિવિધ લાક્ષણિકતાઓના સમૂહનું માપ 0 હોય છે. આખરે 1980માં વિક્ટર ઇવ્રી દ્વારા તેનું સામાન્યીકરણ કરવામાં આવ્યું હતું. આ સામાન્યીકરણ ધારે છે કે બિલિયર્ડના સામયિક માર્ગનો સમૂહ માપ 0 ધરાવે છે, જે ઇવ્રીએ અનુમાન લગાવ્યું છે કે સરળ સીમાઓ સાથે તમામ બંધાયેલા યુક્લિડિયન ક્ષેત્રો માટે પૂર્ણ થાય છે. ત્યારથી, ઓપરેટરોના વ્યાપક વર્ગો માટે સમાન પરિણામો મેળવવામાં આવ્યા છે. સંદર્ભો આંશિક વિભેદક સમીકરણો સ્પેક્ટ્રલ સિદ્ધાંત