Quasicircle
ગણિતમાં, અર્ધવર્તુળ એ જટિલ સમતલમાં જોર્ડન વળાંક છે જે તેના પર સમતલના અર્ધ-ઔપચારિક નકશા હેઠળ વર્તુળની છબી છે. મૂળ રૂપે અને દ્વારા સ્વતંત્ર રીતે રજૂ કરવામાં આવ્યા હતા, જૂના સાહિત્યમાં (જર્મનમાં) તેમને ક્વાસિકોફોર્મલ કર્વ્સ તરીકે ઓળખવામાં આવતા હતા, એક પરિભાષા જે ચાપને પણ લાગુ પડે છે. જટિલ વિશ્લેષણ અને ભૌમિતિક કાર્ય સિદ્ધાંતમાં, વર્તુળના અર્ધસમમિતીય હોમોમોર્ફિઝમ્સ દ્વારા સાર્વત્રિક ટેચમુલર જગ્યાના વર્ણનમાં અર્ધવર્તુળો મૂળભૂત ભૂમિકા ભજવે છે. જટિલ ગતિશીલ પ્રણાલીઓમાં પણ ચતુષ્કોણ મહત્વની ભૂમિકા ભજવે છે. વ્યાખ્યાઓ એક અર્ધવર્તુળને વિસ્તૃત જટિલ સમતલના અર્ધ-ઔપચારિક નકશા હેઠળ વર્તુળની છબી તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. જો ક્વાસિકોફોર્મલ મેપિંગમાં વિસ્તરણ K હોય તો તેને K-ક્વાસિસર્કલ કહેવામાં આવે છે. ક્વાસિસર્કલની વ્યાખ્યા સમતલના હોમોમોર્ફિઝમ હેઠળ વર્તુળની છબી તરીકે જોર્ડન વળાંકની લાક્ષણિકતાને સામાન્ય બનાવે છે. ખાસ કરીને અર્ધવર્તુળ એ જોર્ડન વળાંક છે. અર્ધવર્તુળના આંતરિક ભાગને અર્ધવર્તુળ કહેવામાં આવે છે. તેમાં બતાવ્યા પ્રમાણે, જ્યાં જૂના શબ્દ "ક્વાસિકોફોર્મલ કર્વ" નો ઉપયોગ થાય છે, જો જોર્ડન કર્વ એ વળાંકની પડોશમાં ક્વાસિકોફોર્મલ નકશા હેઠળ વર્તુળની છબી છે, તો તે વિસ્તૃત સમતલના ક્વાસિકોફોર્મલ મેપિંગ હેઠળ વર્તુળની છબી પણ છે અને આમ એક ક્વાસિસર્કલ છે. આ જ વાત "ક્વાસિકોફોર્મલ આર્ક્સ" માટે પણ સાચી છે, જેને ખુલ્લા સમૂહમાં અથવા વિસ્તૃત સમતલમાં સમકક્ષ ગોળાકાર ચાપની ક્વાસિકોફોર્મલ છબીઓ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. ભૌમિતિક લાક્ષણિકતાઓએ જોર્ડન વણાંકો તરીકે અર્ધવર્તુળોનું ભૌમિતિક લાક્ષણિકતા આપી હતી, જેના માટે ચક્રીય ક્રમમાં લેવામાં આવેલા કોઈપણ ચાર બિંદુઓના આંતર-ગુણોત્તરનું નિરપેક્ષ મૂલ્ય, નીચે હકારાત્મક અચળાંક દ્વારા બંધાયેલું હોય છે. અહલ્ફોર્સે એ પણ સાબિત કર્યું કે અર્ધવર્તુળોને ત્રણ બિંદુઓ માટે વિપરીત ત્રિકોણ અસમાનતાના સંદર્ભમાં વર્ગીકૃત કરી શકાય છેઃ ત્યાં એક અચળાંક C હોવો જોઈએ કે જેથી જો બે બિંદુઓ z1 અને z2 વળાંક પર પસંદ કરવામાં આવે અને z3 પરિણામી ચાપોના ટૂંકા પર હોય, તો આ ગુણધર્મને બાઉન્ડેડ ટર્નિંગ અથવા ચાપ સ્થિતિ પણ કહેવામાં આવે છે. જોર્ડન વણાંકો માટે φ માંથી પસાર થતા વિસ્તૃત સમતલમાં, અર્ધવર્તુળ બનવા માટે સરળ જરૂરી અને પૂરતી શરત આપવામાં આવી હતી. ત્યાં એક અચળાંક C> 0 છે કે જો z1, z2 વળાંક પરના કોઈપણ બિંદુઓ હોય અને z3 તેમની વચ્ચેના ખંડ પર હોય, તો આ મેટ્રિક લાક્ષણિકતાઓ સૂચવે છે કે જ્યારે પણ તે અંતરાલની છબી તરીકે અથવા દ્વિ-લિપશિટ્ઝ નકશા f હેઠળ વર્તુળ તરીકે ઉદ્ભવે છે ત્યારે ચાપ અથવા બંધ વળાંક અર્ધ-ઔપચારિક હોય છે, એટલે કે. હકારાત્મક અચળાંકો Ci માટે સંતોષકારક. જો φ એ વર્તુળનું અર્ધસમમિતીય હોમોમોર્ફિઝમ હોય, તો ત્યાં [z | <1 અને g |z |> 1 ના અનુરૂપ નકશાઓ અલગ-અલગ પ્રદેશોમાં હોય છે, જેમ કે f અને g ની છબીઓનું પૂરક જોર્ડન વળાંક હોય છે. નકશા f અને g સતત વર્તુળ |z | = 1 સુધી વિસ્તરે છે અને સીવણ સમીકરણ ધરાવે છે. વર્તુળની છબી એક અર્ધવર્તુળ છે. તેનાથી વિપરીત, રીમાન મેપિંગ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને, અર્ધવર્તુળની બહારના ભાગને એકરૂપ કરતા અનુરૂપ નકશા f અને g ઉપરોક્ત સમીકરણ દ્વારા અર્ધસમમિતિય હોમોમોર્ફિઝમને જન્મ આપે છે. મોબિયસ પરિવર્તનના પેટાજૂથ દ્વારા અર્ધસમમિતીય હોમોમોર્ફિઝમ્સના જૂથની ભાગાકાર જગ્યા સાર્વત્રિક ટેકમુલર જગ્યાનું એક મોડેલ પ્રદાન કરે છે. ઉપરોક્ત પત્રવ્યવહાર દર્શાવે છે કે અર્ધવર્તુળોની જગ્યાને પણ એક નમૂના તરીકે લઈ શકાય છે. ક્વાસિકોફોર્મલ રિફ્લેક્શન જોર્ડન વળાંકમાં ક્વાસિકોફોર્મલ રિફ્લેક્શન એ સમયગાળો 2 નો ઓરિએન્ટેશન-રિવર્સિંગ ક્વાસિકોફોર્મલ નકશો છે જે વળાંક પરના વળાંક ફિક્સિંગ પોઇન્ટની અંદર અને બહાર સ્વિચ કરે છે. નકશો એકમ વર્તુળ માટે આવા પ્રતિબિંબ પ્રદાન કરે છે, તેથી કોઈપણ અર્ધવર્તુળ અર્ધ-ઔપચારિક પ્રતિબિંબ સ્વીકારે છે. તે સાબિત કરે છે કે આ ગુણધર્મ અર્ધવર્તુળોની લાક્ષણિકતા ધરાવે છે. અહલ્ફોર્સે નોંધ્યું હતું કે આ પરિણામ એકમ ડિસ્ક D પર સમાન રીતે બંધાયેલા હોલોમોર્ફિક અવિભાજ્ય વિધેયો f (z) પર લાગુ કરી શકાય છે. જેમ કે કારાથિઓડોરીએ તેના મુખ્ય છેડાના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કર્યું હતું કે, f એકમ વર્તુળ સુધી સતત વિસ્તરે છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તે સ્થાનિક રીતે જોડાયેલ હોય, એટલે કે. મનસ્વી રીતે નાના વ્યાસના મર્યાદિત રીતે ઘણા કોમ્પેક્ટ જોડાયેલા સમૂહો દ્વારા આવરણ સ્વીકારે છે. વર્તુળનું વિસ્તરણ 1-1 હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો કોઈ કટ પોઇન્ટ ન હોય, એટલે કે. બિંદુઓ કે જે જ્યારે ષ્ણુમાંથી દૂર કરવામાં આવે છે ત્યારે ડિસ્કનેક્ટ કરેલ સેટ મળે છે. કારાથિઓડોરીનો પ્રમેય દર્શાવે છે કે કટ પોઇન્ટ વિનાનો સ્થાનિક સમૂહ એ માત્ર એક જોર્ડન વળાંક છે અને ચોક્કસપણે આ કિસ્સામાં બંધ એકમ ડિસ્કમાં f નું હોમોમોર્ફિઝમ વિસ્તરણ છે. જો f વિસ્તૃત કોમ્પ્લેક્સ પ્લેનના ક્વાસિકોફોર્મલ મેપિંગ સુધી વિસ્તરે છે, તો ષ્ણુલ ω એ વ્યાખ્યા દ્વારા ક્વાસિસર્કલ છે. તેનાથી વિપરીત અવલોકન કરવામાં આવ્યું છે કે જો ષ્ણું એક અર્ધવર્તુળ હોય અને R1 એ ષ્ણું ષ્ણુંમાં અર્ધપરંપરાગત પ્રતિબિંબ સૂચવે તો |z |> 1 માટેની સોંપણી વિસ્તૃત જટિલ સમતલમાં f ના અર્ધપરંપરાગત વિસ્તરણને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. જટિલ ગતિશીલ પ્રણાલીઓ અર્ધવર્તુળો તર્કસંગત નકશા આર (ઝેડ) ના જુલિયા સમૂહો તરીકે ઉદભવવા માટે જાણીતા હતા. સાબિત કર્યું કે જો R ના ફાતોઉ સમૂહમાં બે ઘટકો હોય અને જુલિયા સમૂહ પર R ની ક્રિયા "હાયપરબોલિક" હોય, એટલે કે. ત્યાં સ્થિરાંકો c> 0 અને A> 1 છે જેમ કે જુલિયા સમૂહ પર, પછી જુલિયા સમૂહ એક અર્ધવર્તુળ છે. ઘણા ઉદાહરણો છેઃ ચતુર્ભુજ બહુપદીઓ R (z) = z2 + c એક આકર્ષક નિશ્ચિત બિંદુ સાથે ડૌડી સસલું (c =-0.122561 + 0.744862i, જ્યાં c3 + 2 c2 + c + 1 = 0) દ્વિઘાત બહુપદીઓ z2 + λz સાથે |λ | <1 કોચ સ્નોફ્લેક અર્ધ-ફ્યુશિયન જૂથો અર્ધ-ફ્યુશિયન જૂથો ફ્યુશિયન જૂથોની અર્ધ-ઔપચારિક વિકૃતિઓ તરીકે મેળવવામાં આવે છે. વ્યાખ્યા મુજબ તેમના મર્યાદા સમૂહો અર્ધવર્તુળ છે. ધારો કે γ એ પ્રથમ પ્રકારનું ફ્યુશિયન જૂથ છેઃ એકમ વર્તુળને સાચવતા મોબિયસ જૂથનું એક અલગ પેટાજૂથ. એકમ ડિસ્ક ડી પર યોગ્ય રીતે અસંગત રીતે કામ કરવું અને મર્યાદા સાથે એકમ વર્તુળ સેટ કરો. ધારો કે μ (z) એ D પર એક માપી શકાય તેવું વિધેય છે જેની સાથે μ એ  સદંતર છે, એટલે કે. દરેક જી માટે. (આમ, રીમાન સપાટી પર "બેલ્ટ્રામી વિભેદક" એ ડી/એન્યુ છે.) ડીની બહાર μ (z) = 0 સુયોજિત કરીને C પરના વિધેયમાં μ ને વિસ્તૃત કરો. બેલ્ટ્રામી સમીકરણ મોબિયસ પરિવર્તન સાથે રચના સુધીના અનન્ય ઉકેલને સ્વીકારે છે. તે વિસ્તૃત જટિલ સમતલનું ક્વાસિકોફોર્મલ હોમોમોર્ફિઝમ છે. જો g એ જાતુનું તત્વ હોય, તો f (g (z)) બેલ્ટ્રામી સમીકરણનો બીજો ઉકેલ આપે છે, તેથી તે મોબિયસ પરિવર્તન છે. જૂથ α (γ) એ અર્ધ-ફ્યુશિયન જૂથ છે જેની મર્યાદા એકમ વર્તુળની છબી દ્વારા f હેઠળ આપવામાં આવેલ અર્ધવર્તુળ છે. હૌસડોર્ફ પરિમાણ તે જાણીતું છે કે એવા અર્ધવર્તુળો છે કે જેના માટે કોઈ ખંડની લંબાઈ મર્યાદિત નથી. અર્ધવર્તુળોના હૌસડોર્ફ પરિમાણની સૌપ્રથમ દ્વારા તપાસ કરવામાં આવી હતી, જેમણે સાબિત કર્યું હતું કે તે અંતરાલ [1,2] માં તમામ મૂલ્યો લઈ શકે છે. , "હોલોમોર્ફિક ગતિ" ની નવી તકનીકનો ઉપયોગ કરીને કોઈ પણ સમતલીય સમૂહના હૌસડોર્ફ પરિમાણમાં ફેરફારનો અંદાજ ફેલાવો K સાથે ફેલાવો સાથે કરી શકાયો હતો. અર્ધવર્તુળ C માટે, હૌસડોર્ફ પરિમાણ માટે એક નક્કર અંદાજ હતો જ્યાં બીજી તરફ, જુલિયા સમૂહ માટે હૌસડોર્ફ પરિમાણ Jc તર્કસંગત નકશાના પુનરાવર્તનોના રૂફસ બોવેન અને ડેવિડ રુએલના કાર્યના પરિણામે અંદાજવામાં આવ્યા હતા, જેમણે દર્શાવ્યું હતું કે આ અર્ધવર્તુળ હોવાથી વિસ્તરણને અનુરૂપ છે જ્યાં આ બતાવવા તરફ દોરી ગયું કે k સ્મોલ માટે સ્ટેફ સાથે કોચ સ્નોફ્લેક માટે ગણતરીઓ બાદ નીચલા બાઉન્ડમાં સુધારો થયો છે. અર્ધ-ફ્યુશિયન જૂથ માટે અને દર્શાવ્યું કે મર્યાદા સમૂહનું હૌસડોર્ફ પરિમાણ d હંમેશા 1 કરતા વધારે હોય છે. જ્યારે d <2 હોય, ત્યારે પ્રમાણ અનુરૂપ હાયપરબોલિક 3-મેનીફોલ્ડનું લેપલેસિયનનું સૌથી નીચું આઈગન વેલ્યુ હોય છે. નોંધો સંદર્ભો, વિભાગ 13.2, અર્ધવર્તુળોનું પરિમાણ ". + જટિલ વિશ્લેષણ ગતિશીલ પ્રણાલીઓ ફ્રેક્ટલ્સ