Murnaghan equation of state
સ્થિતિનું મુરનાઘન સમીકરણ એ પદાર્થના કદ અને તે જે દબાણને આધીન છે તેની વચ્ચેનો સંબંધ છે. આ ઘણા સ્થિતિ સમીકરણોમાંથી એક છે જેનો ઉપયોગ પૃથ્વી વિજ્ઞાન અને આઘાત ભૌતિકશાસ્ત્રમાં ઉચ્ચ દબાણની પરિસ્થિતિઓમાં દ્રવ્યના વર્તનનું નમૂના બનાવવા માટે કરવામાં આવે છે. તેનું નામ ફ્રાન્સિસ ડી. મુરનાઘનનું છે, જેમણે 1944માં પ્રાયોગિક રીતે સ્થાપિત હકીકતને પ્રતિબિંબિત કરવા માટે શક્ય તેટલી પહોળી દબાણ શ્રેણી હેઠળ ભૌતિક વર્તણૂકને પ્રતિબિંબિત કરવા માટે તેનો પ્રસ્તાવ મૂક્યો હતોઃ ઘન જેટલું વધુ સંકુચિત થાય છે, તેટલું વધુ સંકુચિત કરવું મુશ્કેલ છે. મુરનાઘન સમીકરણ ચોક્કસ ધારણાઓ હેઠળ સાતત્ય મિકેનિક્સના સમીકરણોમાંથી મેળવવામાં આવ્યું છે. તેમાં બે એડજસ્ટેબલ પરિમાણોનો સમાવેશ થાય છેઃ અસંપીડનક્ષમતા K0 નું માપાંક અને દબાણના સંદર્ભમાં તેનું પ્રથમ વ્યુત્પન્ન, K′0, બંને આજુબાજુના દબાણ પર માપવામાં આવે છે. સામાન્ય રીતે, આ ગુણાંક દબાણ પી ના કાર્ય તરીકે વોલ્યુમ વી ના પ્રાયોગિક રીતે મેળવેલા મૂલ્યો પર રીગ્રેસન દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. આ પ્રાયોગિક માહિતી એક્સ-રે વિવર્તન અથવા આઘાત પરીક્ષણો દ્વારા મેળવી શકાય છે. એબ-ઇનિશિયો અને મોલેક્યુલર ડાયનેમિક્સ ગણતરીઓમાંથી મેળવેલા કદના કાર્ય તરીકે ઊર્જાના મૂલ્યો પર પણ રીગ્રેસન કરી શકાય છે. સ્થિતિનું મુરનાઘન સમીકરણ સામાન્ય રીતે આ રીતે વ્યક્ત કરવામાં આવે છેઃ જો સંકોચન હેઠળ કદમાં ઘટાડો ઓછો હોય, એટલે કે, V/V0 માટે લગભગ 90 ટકાથી વધુ હોય, તો મુરનાઘન સમીકરણ સંતોષકારક ચોકસાઈ સાથે પ્રાયોગિક માહિતીનું નમૂના બનાવી શકે છે. વધુમાં, સ્થિતિના ઘણા સૂચિત સમીકરણોથી વિપરીત, તે દબાણ V (P) ના કાર્ય તરીકે કદની સ્પષ્ટ અભિવ્યક્તિ આપે છે. પરંતુ તેની માન્યતાની શ્રેણી મર્યાદિત છે અને ભૌતિક અર્થઘટન અપૂરતું છે. જો કે, સ્થિતિનું આ સમીકરણ ઘન વિસ્ફોટકોના નમૂનાઓમાં વ્યાપકપણે ઉપયોગમાં લેવાય છે. સ્થિતિના વધુ વિસ્તૃત સમીકરણોમાં, પૃથ્વીના ભૌતિકશાસ્ત્રમાં સૌથી વધુ ઉપયોગમાં લેવાતું સ્થિતિનું બિર્ચ-મુરનાઘન સમીકરણ છે. ધાતુઓ અને મિશ્ર ધાતુઓના આઘાત ભૌતિકશાસ્ત્રમાં, સ્થિતિનું બીજું વ્યાપકપણે વપરાતું સમીકરણ એ સ્થિતિનું મી-ગ્રુનેઇસેન સમીકરણ છે. પૃષ્ઠભૂમિ ગ્રહના આંતરિક સ્તરોના ઘટકોના યાંત્રિક ગુણધર્મોના જ્ઞાન દ્વારા પૃથ્વીની આંતરિક રચનાના અભ્યાસમાં આત્યંતિક પરિસ્થિતિઓનો સમાવેશ થાય છે; દબાણને સેંકડો ગીગાપાસ્કલ અને તાપમાનને હજારો ડિગ્રીમાં ગણી શકાય. આ પરિસ્થિતિઓમાં દ્રવ્યના ગુણધર્મોનો અભ્યાસ પ્રાયોગિક રીતે સ્થિર દબાણ માટે ડાયમંડ એનવિલ સેલ જેવા ઉપકરણો દ્વારા અથવા સામગ્રીને આંચકા તરંગોને આધિન કરીને કરી શકાય છે. તેણે સ્થિતિનું સમીકરણ નક્કી કરવા માટે સૈદ્ધાંતિક કાર્યને પણ જન્મ આપ્યો, એટલે કે વિવિધ પરિમાણો વચ્ચેના સંબંધો જે આ કિસ્સામાં દ્રવ્યની સ્થિતિને વ્યાખ્યાયિત કરે છેઃ કદ (અથવા ઘનતા), તાપમાન અને દબાણ. બે અભિગમો છેઃ આંતરપરમાણ્વિક સંભવિતતામાંથી મેળવેલ સ્થિતિ સમીકરણો, અથવા સંભવતઃ એબ ઇનિશિયો ગણતરીઓ; સ્થિતિ સમીકરણો મિકેનિક્સ અને થર્મોડાયનેમિક્સના સામાન્ય સંબંધોમાંથી મેળવેલ છે. મુરનાઘન સમીકરણ આ બીજી શ્રેણીમાં આવે છે. વિવિધ લેખકો દ્વારા ડઝનબંધ સમીકરણો પ્રસ્તાવિત કરવામાં આવ્યા છે. આ પ્રયોગમૂલક સંબંધો છે, ગુણવત્તા અને સુસંગતતા તેના ઉપયોગ પર આધાર રાખે છે અને વિવિધ માપદંડો દ્વારા નક્કી કરી શકાય છેઃ સ્વતંત્ર પરિમાણોની સંખ્યા કે જે સામેલ છે, ભૌતિક અર્થ કે જે આ પરિમાણોને સોંપી શકાય છે, પ્રાયોગિક માહિતીની ગુણવત્તા, અને સૈદ્ધાંતિક ધારણાઓની સુસંગતતા કે જે ઉચ્ચ સંકોચન પર ઘન પદાર્થોના વર્તનને વિસ્તૃત કરવાની તેમની ક્ષમતાને આધાર આપે છે. સ્થિતિના સમીકરણ માટેની અભિવ્યક્તિઓ સામાન્ય રીતે, સ્થિર તાપમાન પર, બલ્ક મોડ્યુલસને આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છેઃ P અને V ને જોડતી સ્થિતિનું સમીકરણ મેળવવાનો સૌથી સરળ રસ્તો એ છે કે K સ્થિર છે, એટલે કે, ઘનના દબાણ અને વિકૃતિથી સ્વતંત્ર છે, પછી આપણે ફક્ત હૂકનો નિયમ શોધીએ છીએ. આ કિસ્સામાં, દબાણ સાથે વોલ્યુમ ઝડપથી ઘટે છે. આ સંતોષકારક પરિણામ નથી કારણ કે તે પ્રાયોગિક રીતે સ્થાપિત થયેલ છે કે જેમ જેમ ઘનને સંકુચિત કરવામાં આવે છે, તેમ તેને સંકુચિત કરવું વધુ મુશ્કેલ બને છે. આગળ જવા માટે, આપણે સંકોચન સાથે ઘનના સ્થિતિસ્થાપક ગુણધર્મોની વિવિધતાઓને ધ્યાનમાં લેવી જોઈએ. મુરનાઘનની ધારણા એ છે કે બલ્ક મોડ્યુલસ એ દબાણનું રેખીય કાર્ય છેઃ મુરનાઘન સમીકરણ એ વિભેદક સમીકરણના એકીકરણનું પરિણામ છેઃ આપણે દબાણના આધારે કદને પણ વ્યક્ત કરી શકીએ છીએઃ જો કે આ સરળ રજૂઆતની પોઇરિયર દ્વારા કઠોરતાના અભાવ તરીકે ટીકા કરવામાં આવી છે. સમાન સંબંધ એ હકીકતથી અલગ રીતે દર્શાવી શકાય છે કે મોડ્યુલસના ઉત્પાદનની અસંપીડ઼નક્ષમતા અને થર્મલ વિસ્તરણ ગુણાંક આપેલ સામગ્રીના દબાણ પર આધારિત નથી. સ્થિતિનું આ સમીકરણ જૂના પોલીટ્રોપ સંબંધનો પણ એક સામાન્ય કિસ્સો છે, જે સતત શક્તિ સંબંધ પણ ધરાવે છે. કેટલાક સંજોગોમાં, ખાસ કરીને એબ ઇનિશિયો ગણતરીઓના સંબંધમાં, વોલ્યુમના કાર્ય તરીકે ઊર્જાની અભિવ્યક્તિને પ્રાધાન્ય આપવામાં આવશે, જે સંબંધ અનુસાર ઉપરોક્ત સમીકરણને એકીકૃત કરીને મેળવી શકાય છે. તેને 3 થી અલગ K′0 પર લખી શકાય છે, ફાયદા અને મર્યાદાઓ તેની સરળતા હોવા છતાં, મુરનાઘન સમીકરણ K0/2 ના ક્રમમાં, ખૂબ મોટા હોઈ શકે તેવા દબાણની શ્રેણી માટે પ્રાયોગિક ડેટાને પુનઃઉત્પાદિત કરવામાં સક્ષમ છે. તે પણ સંતોષકારક છે કારણ કે V/V0 ગુણોત્તર લગભગ 90 ટકાથી ઉપર રહે છે. આ શ્રેણીમાં, મૂર્નાઘન સમીકરણને સ્થિતિના અન્ય સમીકરણોની તુલનામાં ફાયદો છે જો કોઈ દબાણના કાર્ય તરીકે કદને વ્યક્ત કરવા માંગે છે. તેમ છતાં, અન્ય સમીકરણો વધુ સારા પરિણામો પ્રદાન કરી શકે છે અને કેટલાક સૈદ્ધાંતિક અને પ્રાયોગિક અભ્યાસો દર્શાવે છે કે મુરનાઘન સમીકરણ ઘણી સમસ્યાઓ માટે અસંતોષકારક છે. આમ, જે હદ સુધી ગુણોત્તર V/V0 ખૂબ ઓછો થઈ જાય છે, તે સિદ્ધાંત આગાહી કરે છે કે K′ 5/3 સુધી જાય છે, જે થોમસ-ફર્મી મર્યાદા છે. જો કે, મુરનાઘન સમીકરણમાં, K′ સ્થિર છે અને તેના પ્રારંભિક મૂલ્ય પર સેટ છે. ખાસ કરીને, K′0 = 5/3 મૂલ્ય કેટલીક પરિસ્થિતિઓમાં સિદ્ધાંત સાથે અસંગત બને છે. હકીકતમાં, જ્યારે એક્સ્ટ્રાપોલેટ કરવામાં આવે છે, ત્યારે મુરનાઘન સમીકરણ દ્વારા આગાહી કરાયેલ વર્તન ખૂબ જ ઝડપથી અસંભવિત બને છે. આ સૈદ્ધાંતિક દલીલને ધ્યાનમાં લીધા વિના, અનુભવ સ્પષ્ટપણે દર્શાવે છે કે K′ દબાણ સાથે ઘટે છે, અથવા બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો અસંકુચનતા મોડ્યુલસ K′′ નું બીજું વ્યુત્પન્ન સખત રીતે નકારાત્મક છે. સમાન સિદ્ધાંત પર આધારિત સેકન્ડ ઓર્ડર થિયરી (આગામી વિભાગ જુઓ) આ અવલોકન માટે જવાબદાર હોઈ શકે છે, પરંતુ આ અભિગમ હજુ પણ અસંતોષકારક છે. ખરેખર, તે મર્યાદામાં નકારાત્મક બલ્ક મોડ્યુલસ તરફ દોરી જાય છે જ્યાં દબાણ અનંત તરફ જાય છે. હકીકતમાં, બહુપદી વિસ્તરણ ગમે તે પસંદ કરવામાં આવે તે આ એક અનિવાર્ય વિરોધાભાસ છે કારણ કે ત્યાં હંમેશા એક પ્રબળ શબ્દ હશે જે અનંત તરફ વળશે. આ મહત્વપૂર્ણ મર્યાદાઓ મુર્નાઘન સમીકરણને ત્યજી દેવા તરફ દોરી ગઈ છે, જેને ડબલ્યુ. હોલ્ઝાપફેલ "કોઈપણ ભૌતિક સમર્થન વિના ઉપયોગી ગાણિતિક સ્વરૂપ" કહે છે. વ્યવહારમાં, સંકોચન માહિતીનું વિશ્લેષણ સ્થિતિના વધુ વ્યવહારદક્ષ સમીકરણોનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે. વિજ્ઞાન સમુદાયમાં સૌથી વધુ ઉપયોગમાં લેવાતું બિર્ચ-મુરનાઘન સમીકરણ છે, જે એકત્રિત કરવામાં આવેલી માહિતીની ગુણવત્તામાં બીજા કે ત્રીજા ક્રમમાં છે. છેવટે, આ પ્રકારના સ્થિતિના સમીકરણની એક ખૂબ જ સામાન્ય મર્યાદા એ છે કે ગલનના દબાણ અને તાપમાન દ્વારા પ્રેરિત તબક્કાના સંક્રમણોને ધ્યાનમાં લેવાની તેમની અસમર્થતા છે, પરંતુ બહુવિધ ઘન-ઘન સંક્રમણો પણ છે જે ઘનતા અને બલ્ક મોડ્યુલસમાં અચાનક ફેરફારનું કારણ બની શકે છે. ઉદાહરણો વ્યવહારમાં, મુરનાઘન સમીકરણનો ઉપયોગ ડેટા સમૂહ પર રીગ્રેસન કરવા માટે થાય છે, જ્યાં વ્યક્તિને ગુણાંક K0 અને K′0 ની કિંમતો મળે છે. આ ગુણાંક પ્રાપ્ત થાય છે, અને વાતાવરણની પરિસ્થિતિઓમાં કદના મૂલ્યને જાણીને, પછી આપણે સિદ્ધાંતમાં કોઈપણ દબાણ માટે કદ, ઘનતા અને બલ્ક મોડ્યુલસની ગણતરી કરી શકીએ છીએ. ડેટા સેટ મોટે ભાગે લાગુ કરેલા દબાણના વિવિધ મૂલ્યો માટે વોલ્યુમ માપનની શ્રેણી છે, જે મોટે ભાગે એક્સ-રે વિવર્તન દ્વારા મેળવવામાં આવે છે. એબ ઇનિશિયો પદ્ધતિઓ દ્વારા વોલ્યુમના વિવિધ મૂલ્યો માટે ઊર્જાની ગણતરી કરીને, અને પછી આ પરિણામોને પાછું ખેંચીને, સૈદ્ધાંતિક માહિતી પર કામ કરવું પણ શક્ય છે. આ સ્થિતિસ્થાપકતાના મોડ્યુલસનું સૈદ્ધાંતિક મૂલ્ય આપે છે જેની સરખામણી પ્રાયોગિક પરિણામો સાથે કરી શકાય છે. નીચેનું કોષ્ટક વિવિધ સામગ્રીઓના કેટલાક પરિણામોની યાદી આપે છે, જેનો એકમાત્ર હેતુ કેટલાક આંકડાકીય વિશ્લેષણને સમજાવવાનો છે, જે પ્રાપ્ત મોડેલોની ગુણવત્તા પ્રત્યે પૂર્વગ્રહ વિના, મુરનાઘન સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવ્યા છે. મુરનાઘન સમીકરણના ભૌતિક અર્થ પર અગાઉના વિભાગમાં કરવામાં આવેલી ટીકાઓને ધ્યાનમાં રાખીને, આ પરિણામોને સાવધાની સાથે ધ્યાનમાં લેવા જોઈએ. વિસ્તરણ અને સામાન્યીકરણ મોડેલોને સુધારવા અથવા ઉપર દર્શાવેલ ટીકાને ટાળવા માટે, મુરનાઘન સમીકરણના કેટલાક સામાન્યીકરણની દરખાસ્ત કરવામાં આવી છે. તેઓ સામાન્ય રીતે સરળ ધારણા છોડી દે છે અને અન્ય એડજસ્ટેબલ પરિમાણ ઉમેરવામાં આવે છે. આ શુદ્ધિકરણના ગુણોમાં સુધારો કરી શકે છે, પરંતુ જટિલ અભિવ્યક્તિઓ તરફ પણ દોરી જાય છે. આ વધારાના પરિમાણોના ભૌતિક અર્થનો પ્રશ્ન પણ ઉઠાવવામાં આવે છે. સંભવિત વ્યૂહરચના એ છે કે અગાઉના વિકાસમાં વધારાના શબ્દ P2 નો સમાવેશ કરવો, જેની જરૂર છે. આ વિભેદક સમીકરણને ઉકેલવાથી બીજા ક્રમના મુરનાઘનનું સમીકરણ મળે છેઃ જ્યાં. પ્રથમ ક્રમના સમીકરણમાં કુદરતી રીતે જોવા મળે છે. 2 કરતા વધુ ક્રમમાં વિકાસ સૈદ્ધાંતિક રીતે શક્ય છે, પરંતુ દરેક મુદત માટે એડજસ્ટેબલ પરિમાણ ઉમેરવાની કિંમત પર. અન્ય સામાન્યીકરણોનો ઉલ્લેખ કરી શકાય છેઃ કુમારી અને દાસે K = 0 શરતને છોડીને સામાન્યીકરણની દરખાસ્ત કરી છે પરંતુ K/K′ અહેવાલને દબાણથી સ્વતંત્ર માનીને; કુમારે વોલ્યુમના કાર્ય તરીકે એન્ડરસન પરિમાણની નિર્ભરતાને ધ્યાનમાં રાખીને સામાન્યીકરણની દરખાસ્ત કરી છે. તે પછીથી દર્શાવવામાં આવ્યું હતું કે આ સામાન્યીકૃત સમીકરણ નવું નહોતું, પરંતુ ટેટ સમીકરણ માટે ઘટાડી શકાય તેવું હતું. નોંધો અને સંદર્ભો ગ્રંથસૂચિ પણ જુઓ સ્થિતિ બિર્ચ-મુરનાઘનનું સમીકરણ સ્થિતિનું રોઝ-વિનેટ સમીકરણ પોલીટ્રોપ બાહ્ય કડીઓ ઇઓસફિટ, પ્રાયોગિક માહિતીના શુદ્ધિકરણ માટેનો એક કાર્યક્રમ અને મુરનાઘન સમીકરણ સહિત સ્થિતિના વિવિધ સમીકરણો માટે ગણતરી સંબંધો પી (વી). સાતત્ય મિકેનિક્સ ભૌતિકશાસ્ત્રના નામસ્ત્રોતીય સમીકરણો સ્થિતિનાં સમીકરણો