Niven's theorem
ગણિતમાં, ઇવાન નિવેનના નામ પરથી નામ આપવામાં આવેલ નિવેનનો પ્રમેય જણાવે છે કે 0° ≤ θ ≤ 90° અંતરાલમાં θ ના એકમાત્ર તર્કસંગત મૂલ્યો કે જેના માટે θ ડિગ્રીનું સાઇન પણ એક તર્કસંગત સંખ્યા છેઃ રેડિયનમાં, 0 ≤ x ≤/2 ની જરૂર પડશે, તે x/તર્કસંગત હશે, અને તે sinx તર્કસંગત હશે. પછી નિષ્કર્ષ એ છે કે માત્ર આવા મૂલ્યો sin 0 = 0, sin/6 = 1/2, અને sin/2 = 1 છે. અવિવેકી સંખ્યાઓ પરના નિવેનના પુસ્તકમાં આ પ્રમેય કોરોલરી 3.12 તરીકે દેખાય છે. આ પ્રમેય અન્ય ત્રિકોણમિતીય કાર્યો સુધી પણ વિસ્તરે છે. θ ના તર્કસંગત મૂલ્યો માટે, સાઇન અથવા કોસાઇનના એકમાત્ર તર્કસંગત મૂલ્યો 0, ±1/2 અને ±1 છે; સેકન્ટ અથવા કોસેકેન્ટના એકમાત્ર તર્કસંગત મૂલ્યો ±1 અને ±2 છે; અને સ્પર્શક અથવા કોટેનજેન્ટના એકમાત્ર તર્કસંગત મૂલ્યો 0 અને ±1 છે. તેમના પ્રમેયનો ઇતિહાસ નિવેનનો પુરાવો તેમના પુસ્તક ઇર્રેશનલ નંબર્સમાં જોવા મળે છે. અગાઉ, આ પ્રમેય ડી. એચ. લેહમર અને જે. એમ. એચ. ઓલ્મસ્ટેડ દ્વારા સાબિત કરવામાં આવ્યો હતો. તેમના 1933 ના પેપરમાં, લેહમરે વધુ સામાન્ય પરિણામ સાબિત કરીને કોસાઇન માટે પ્રમેય સાબિત કર્યો. એટલે કે, લેહમરે દર્શાવ્યું હતું કે પ્રમાણમાં મુખ્ય પૂર્ણાંકો માટે અને સાથે, સંખ્યા એ ડિગ્રીની બીજગણિત સંખ્યા છે, જ્યાં યુલરનું ટોશિયન્ટ કાર્ય સૂચવે છે. કારણ કે પરિમેય સંખ્યાઓની ડિગ્રી 1 હોય છે, આપણી પાસે હોવી જ જોઈએ અને તેથી માત્ર શક્યતાઓ 1,2,3,4 અથવા 6 છે. આગળ, તેમણે ત્રિકોણમિતીય ઓળખનો ઉપયોગ કરીને સાઇન માટે અનુરૂપ પરિણામ સાબિત કર્યું. 1956માં, નિવેને લેહમેરના પરિણામને અન્ય ત્રિકોણમિતીય કાર્યો સુધી વિસ્તાર્યું હતું. અન્ય ગણિતશાસ્ત્રીઓએ પછીના વર્ષોમાં નવા પુરાવા આપ્યા છે. આ પણ જુઓ પાયથાગોરિયન ત્રિપુટીઓ જમણા ત્રિકોણ બનાવે છે જ્યાં ત્રિકોણમિતિ કાર્યો હંમેશા તર્કસંગત મૂલ્યો લેશે, જો કે તીવ્ર ખૂણા તર્કસંગત ત્રિકોણમિતિ કાર્યો નથી ત્રિકોણમિતિ સંખ્યા સંદર્ભો વધુ વાંચન બાહ્ય કડીઓ તર્કસંગત સંખ્યાઓ બીજગણિતમાં ભૂમિતિ પ્રમેયમાં ત્રિકોણમિતિ પ્રમેય