Nevanlinna's criterion
ગણિતમાં, જટિલ વિશ્લેષણમાં નેવનલિન્નાનો માપદંડ, જે 1920 માં ફિનિશ ગણિતશાસ્ત્રી રોલ્ફ નેવનલિન્ના દ્વારા સાબિત થયો હતો, તે એકમ ડિસ્ક પર હોલોમોર્ફિક અવિભાજ્ય કાર્યોને દર્શાવે છે જે તારા જેવા છે. નેવનલિન્નાએ આ માપદંડનો ઉપયોગ તારા જેવા અવિભાજ્ય કાર્યો માટે બીબરબેકના અનુમાનને સાબિત કરવા માટે કર્યો હતો. માપદંડનું નિવેદન એચ (0) = 0 અને એચ (0) = 1 ને સંતોષતા એકમ ડિસ્ક પર અવિભાજ્ય વિધેય એચ એ સ્ટાર જેવું છે, એટલે કે. [0,1] માં વાસ્તવિક સંખ્યાઓ દ્વારા ગુણાકાર હેઠળ છબી અપરિવર્તનશીલ હોય છે, જો અને માત્ર ત્યારે જ જો |z | <1 માટે હકારાત્મક વાસ્તવિક ભાગ હોય અને 0 પર મૂલ્ય 1 લે. નોંધ લો કે, a·h (rz) પર પરિણામ લાગુ કરીને, માપદંડ કોઈપણ ડિસ્ક |z | <r પર ફક્ત f (0) = 0 અને f "(0) ષ્ણાંક 0 ની જરૂરિયાત સાથે લાગુ પડે છે. માપદંડનો પુરાવો ધારો કે h (z) એ |z | <1 પર h (0) = 0 અને h (0) = 1 સાથે તારા જેવું અવિભાજ્ય વિધેય છે. ટી <0 માટે, ડીના હોલોમોર્ફિક મેપિંગ્સના અર્ધસમૂહને 0 નક્કી કરીને વ્યાખ્યાયિત કરો. વધુમાં એચ એ અર્ધસમૂહ ફૂટ માટેનું કોએનિગ્સ કાર્ય છે. શ્વાર્ઝ લેમ્મા દ્વારા, |ft (z) | જેમ જેમ t વધે છે તેમ ઘટે છે. તેથી, તેથી અને તેથી, |w |2 દ્વારા ભાગ લેવાથી, પારસ્પરિક લેવાથી અને t ને 0 પર જવા દેવાથી બધા |z | <1 મળે છે. ડાબી બાજુ એક હાર્મોનિક કાર્ય હોવાથી, મહત્તમ સિદ્ધાંત સૂચવે છે કે અસમાનતા કડક છે. તેનાથી વિપરીત જો હકારાત્મક વાસ્તવિક ભાગ અને g (0) = 1 હોય, તો પછી h માત્ર 0 પર જ અદૃશ્ય થઈ શકે છે, જ્યાં તેમાં સરળ શૂન્ય હોવો જોઈએ. હવે આ રીતે જેમ જેમ z વર્તુળને અનુસરે છે, છબીની દલીલ સખત રીતે વધે છે. દલીલના સિદ્ધાંત મુજબ, 0 પર સરળ શૂન્ય હોવાથી, તે મૂળને માત્ર એક જ વાર વર્તુળ કરે છે. તે જે વળાંકને અનુસરે છે તેનાથી ઘેરાયેલા પ્રદેશનો આંતરિક ભાગ તેથી તારા જેવો છે. જો a આંતરિક ભાગમાં એક બિંદુ હોય તો n (a) ના h (z) = a ના ઉકેલોની સંખ્યા |z | <r સાથે આના દ્વારા આપવામાં આવે છે કારણ કે આ એક પૂર્ણાંક છે, જે સતત a અને N (0) = 1 પર આધાર રાખે છે, તે સમાન રીતે 1 છે. તેથી દરેક ડિસ્ક |z | <r માં અને તેથી દરેક જગ્યાએ h અવિભાજ્ય અને તારા જેવું છે. બીબરબેકના અનુમાનને લાગુ કરવા માટે કારાથિઓડોરીના લેમ્મા કોન્સ્ટેન્ટિન કારાથિઓડોરીએ 1907માં સાબિત કર્યું હતું કે જો એકમ ડિસ્ક D પર હકારાત્મક વાસ્તવિક ભાગ સાથે હોલોમોર્ફિક કાર્ય હોય, તો હકીકતમાં તે કોઈપણ r <1 માટે g ને gr (z) = g (rz) દ્વારા બદલીને પરિણામ બતાવવા માટે પૂરતું છે અને પછી r = 1 મર્યાદા સુધી પસાર થાય છે. તે કિસ્સામાં g એ સકારાત્મક વાસ્તવિક ભાગ સાથે બંધ ડિસ્ક પર સતત કાર્ય સુધી વિસ્તરે છે અને શ્વાર્ઝ સૂત્ર દ્વારા તે અનુસરતી ઓળખનો ઉપયોગ કરીને, તેથી સંભાવના માપને વ્યાખ્યાયિત કરે છે, અને તેથી તારા જેવા કાર્યો માટેનો પુરાવો ચાલો |z | <1 માં અવિભાજ્ય તારા જેવા કાર્ય હોઈએ. સાબિત કર્યું કે હકીકતમાં નેવનલિન્નાના માપદંડ દ્વારા |z | <1 માટે સકારાત્મક વાસ્તવિક ભાગ છે. તેથી કારાથિઓડોરીના લેમ્મા દ્વારા બીજી બાજુ પુનરાવર્તન સંબંધ આપે છે જ્યાં a "1 = 1 છે. આમ તે ઇન્ડક્શન દ્વારા અનુસરે છે જે નોંધે છે સંદર્ભો વિશ્લેષણાત્મક કાર્યો