Weak Hopf algebra
ગણિતમાં, નબળા બાયાલ્જેબ્રા એ બાયાલ્જેબ્રાનું સામાન્યીકરણ છે જે બંને આલ્જેબ્રા અને કોલજેબ્રા છે પરંતુ જેના માટે બે માળખાઓ વચ્ચેની સુસંગતતા શરતો "નબળી" થઈ ગઈ છે. એ જ ભાવનામાં, નબળા હોપ્ફ આલ્જેબ્રા એ ચોક્કસ શરતોને સંતોષતા રેખીય નકશા એસ સાથે નબળા બાયાલ્જેબ્રા છે; તેઓ હોપ્ફ આલ્જેબ્રાના સામાન્યીકરણ છે. આ વસ્તુઓ બોહમ, નિલ અને સ્ઝ્લાચાની દ્વારા રજૂ કરવામાં આવી હતી. તેમના અભ્યાસ માટે પ્રથમ પ્રેરણા ક્વોન્ટમ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંત અને સંચાલક બીજગણિતમાંથી મળી હતી. નબળા હોપ્ફ બીજગણિતમાં ખૂબ જ રસપ્રદ પ્રતિનિધિત્વ સિદ્ધાંત છે; ખાસ કરીને અર્ધ-સરળ મર્યાદિત નબળા હોપ્ફ બીજગણિત પરના મોડ્યુલો એ ફ્યુઝન શ્રેણી છે (જે વધારાના ગુણધર્મો ધરાવતી એકવિધ શ્રેણી છે). એટિંગોફ, નિકશિચ અને ઓસ્ટ્રિક દ્વારા પણ દર્શાવવામાં આવ્યું હતું કે કોઈપણ ફ્યુઝન શ્રેણી નબળા હોપ્ફ બીજગણિત પર મોડ્યુલોની શ્રેણીની સમકક્ષ હોય છે. વ્યાખ્યા ક્ષેત્ર પરનું નબળું બાયાલજેબ્રા એ એક વેક્ટર સ્પેસ છે જે ગુણાકાર અને એકમ સાથે સહયોગી બીજગણિત બનાવે છે, ગુણાકાર અને ગણ સાથે સહસંયોજક કોલજેબ્રા બનાવે છે, જેના માટે નીચેની સુસંગતતા શરતો ધરાવે છેઃ ગુણાકારની ગુણાકારઃ, ગણની નબળી ગુણાકારઃ, એકમની નબળી ગુણાકારઃ, જ્યાં બે ટેન્સર પરિબળોને ફેરવે છે. વધુમાં તે વિપરીત ગુણાકાર છે અને વિપરીત ગુણાકાર છે. નોંધ લો કે આપણે વેક્ટર સ્પેસની મોનોઇડલ શ્રેણી માટે મેક લેનના સુસંગતતા પ્રમેયનો પણ પરોક્ષ રીતે ઉપયોગ કરીએ છીએ, તેમજ ઓળખીએ છીએ. આ વ્યાખ્યા બીજગણિતના બીજગણિત અને કોલ બીજગણિત માળખાઓ વચ્ચેની સુસંગતતાને નબળી પાડે છે. વધુ સ્પષ્ટ રીતે, એકમ અને કાઉન્ટી નબળા પડે છે. આ નબળા હોપ્ફ બીજગણિતના સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતોમાં સાચું છે. નબળા હોપ્ફ બીજગણિત એ રેખીય નકશા સાથેનું નબળું દ્વિ બીજગણિત છે, જેને એન્ટીપોડ કહેવાય છે, જે સંતોષ આપે છેઃ,,. ઉદાહરણો હોપ્ફ બીજગણિત. અલબત્ત કોઈપણ હોપ્ફ બીજગણિત એક નબળું હોપ્ફ બીજગણિત છે. જૂથ બીજગણિત. ધારો કે તે ગ્રૂપોઇડ છે અને ગ્રૂપોઇડ બીજગણિત છે, બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, મોર્ફિઝમ્સ દ્વારા પેદા થયેલ બીજગણિત છે. જો આપણે વ્યાખ્યાયિત કરીએ તો આ એક નબળું હોપ્ફ બીજગણિત બની જાય છે. નોંધ લો કે આ બીજું ઉદાહરણ નબળા હોપ્ફ બીજગણિત છે પરંતુ હોપ્ફ બીજગણિત નથી. પ્રતિનિધિત્વ સિદ્ધાંત H ને અર્ધ-સરળ મર્યાદિત નબળા હોપ્ફ બીજગણિત દો, પછી H પર મોડ્યુલો મર્યાદિત રીતે ઘણા સરળ પદાર્થો સાથે અર્ધ-સરળ કઠોર મોનોઈડલ શ્રેણી બનાવે છે. વધુમાં હોમોમોર્ફિઝમ્સ જગ્યાઓ મર્યાદિત-પરિમાણીય વેક્ટર જગ્યાઓ છે અને સરળ પદાર્થોની એન્ડોમોર્ફિઝમ્સ જગ્યા એક-પરિમાણીય છે. છેવટે, મોનોઇડલ એકમ એક સરળ પદાર્થ છે. આવી શ્રેણીને ફ્યુઝન શ્રેણી કહેવામાં આવે છે. તે દર્શાવી શકાય છે કે કેટલીક મોનોઇડલ શ્રેણી હોપ્ફ બીજગણિત પર મોડ્યુલ નથી. ફ્યુઝન શ્રેણીઓના કિસ્સામાં (જે વધારાની શરતો સાથે માત્ર મોનોઇડલ શ્રેણીઓ છે), એટિંગોફ, નિકશિચ અને ઓસ્ટ્રિક દ્વારા સાબિત કરવામાં આવ્યું હતું કે કોઈપણ ફ્યુઝન શ્રેણી નબળા હોપ્ફ બીજગણિત પર મોડ્યુલોની શ્રેણીની સમકક્ષ છે. નોંધો સંદર્ભો હોપ્ફ આલ્જેબ્રા