Weak equivalence (homotopy theory)
ગણિતમાં, નબળી સમાનતા એ હોમોટૉપી સિદ્ધાંતની કલ્પના છે જે અમુક અર્થમાં સમાન "આકાર" ધરાવતી વસ્તુઓને ઓળખે છે. આ કલ્પનાને મોડલ શ્રેણીની સ્વયંસિદ્ધ વ્યાખ્યામાં ઔપચારિક બનાવવામાં આવી છે. એક મોડેલ શ્રેણી એ એક શ્રેણી છે જેમાં મોર્ફિઝમ્સના વર્ગો છે જેને નબળા સમાનતાઓ, તંતુઓ અને કોફિબ્રેશન કહેવાય છે, જે કેટલાક સ્વયંસિદ્ધોને સંતોષે છે. મોડેલ શ્રેણીની સંકળાયેલ હોમોટૉપી શ્રેણીમાં સમાન પદાર્થો હોય છે, પરંતુ નબળા સમકક્ષોને આઇસોમોર્ફિઝમ્સમાં બનાવવા માટે મોર્ફિઝમ્સ બદલવામાં આવે છે. તે એક ઉપયોગી અવલોકન છે કે સંકળાયેલ હોમોટૉપી શ્રેણી માત્ર નબળા સમાનતાઓ પર આધાર રાખે છે, તંતુઓ અને કોફિબ્રેશન પર નહીં. ટોપોલોજિકલ જગ્યાઓ મોડેલ શ્રેણીઓને ક્વિલેન દ્વારા હોમોટૉપી સિદ્ધાંતના સ્વયંસિદ્ધરણ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવી હતી જે ટોપોલોજિકલ જગ્યાઓને લાગુ પડે છે, પરંતુ બીજગણિત અને ભૂમિતિમાં અન્ય ઘણી શ્રેણીઓને પણ લાગુ પડે છે. જે ઉદાહરણથી આ વિષયની શરૂઆત થઈ છે તે ટોપોલોજીકલ જગ્યાઓની શ્રેણી છે જેમાં સેર તંતુઓને તંતુઓ તરીકે અને નબળા સમરૂપતાઓને નબળા સમાનતાઓ તરીકે વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે (આ મોડેલ માળખા માટેના કોફિબ્રેશનને સંબંધિત કોષ સંકુલ X વાય વાયના રીટ્રેક્ટ્સ તરીકે વર્ણવી શકાય છે). વ્યાખ્યા મુજબ, જગ્યાઓના સતત નકશા f: X → Y ને નબળા હોમોટોપી સમકક્ષતા કહેવામાં આવે છે જો પાથ ઘટકોના સમૂહ પર પ્રેરિત કાર્ય બાયજેક્ટિવ હોય, અને X માં દરેક બિંદુ x અને દરેક n ≤ 1 માટે, હોમોટોપી જૂથો પર પ્રેરિત હોમોમોર્ફિઝમ બાયજેક્ટિવ હોય છે. (X અને Y પાથ-કનેક્ટેડ માટે, પ્રથમ શરત સ્વચાલિત છે, અને તે X માં એક બિંદુ x માટે બીજી શરત જણાવવા માટે પૂરતી છે.) સરળ રીતે જોડાયેલ ટોપોલોજિકલ જગ્યાઓ X અને Y માટે, નકશો f: X → Y એ નબળા હોમોટોપી સમાનતા છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો એકવચન સમરૂપતા જૂથો પર પ્રેરિત હોમોમોર્ફિઝમ f *: Hn (X, Z) → Hn (Y, Z) બધા n માટે બાયજેક્ટિવ હોય. તેવી જ રીતે, ફક્ત જોડાયેલ જગ્યાઓ X અને Y માટે, નકશો f: X → Y એ નબળા હોમોટોપી સમાનતા છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો એકવચન સમરૂપતા પર પુલબેક હોમોમોર્ફિઝમ f *: Hn (Y, Z) → Hn (X, Z) બધા n માટે બાયજેક્ટિવ હોય. ઉદાહરણ તરીકેઃ ચાલો X એ કુદરતી સંખ્યાઓનો સમૂહ છે. હકારાત્મક પૂર્ણાંકો n માટે 0 થી 0 અને n થી 1/n નું મેપિંગ કરીને f: X → Y વ્યાખ્યાયિત કરો. પછી f સતત છે, અને હકીકતમાં નબળી સમસ્થાનિક સમાનતા છે, પરંતુ તે સમસ્થાનિક સમાનતા નથી. ટોપોલોજિકલ જગ્યાઓની હોમોટૉપી શ્રેણી (નબળા હોમોટૉપી સમકક્ષતાને ઊંધી કરીને મેળવવામાં આવે છે) ટોપોલોજિકલ જગ્યાઓની શ્રેણીને મોટા પ્રમાણમાં સરળ બનાવે છે. ખરેખર, આ હોમોટૉપી શ્રેણી સીડબ્લ્યુ સંકુલની શ્રેણીની સમકક્ષ છે, જેમાં મોર્ફિઝમ્સ સતત નકશાના હોમોટૉપી વર્ગો છે. ટોપોલોજિકલ જગ્યાઓની શ્રેણી પર અન્ય ઘણા મોડેલ માળખાઓ પર પણ વિચાર કરવામાં આવ્યો છે. ઉદાહરણ તરીકે, ટોપોલોજિકલ જગ્યાઓ પરના સ્ટ્રોમ મોડેલ માળખામાં, તંતુઓ હ્યુરેવિઝ તંતુઓ છે અને નબળી સમાનતાઓ હોમોટોપી સમાનતાઓ છે. સાંકળ સંકુલ કેટલીક અન્ય મહત્વપૂર્ણ મોડેલ શ્રેણીઓમાં સાંકળ સંકુલનો સમાવેશ થાય છે. ધારો કે A એ ગ્રોથેન્ડીક અબેલિયન શ્રેણી છે, ઉદાહરણ તરીકે રિંગ પર મોડ્યુલોની શ્રેણી અથવા ટોપોલોજિકલ જગ્યા પર અબેલિયન જૂથોના આવરણની શ્રેણી. શ્રેણી C (A) ને પદાર્થો સાથે વ્યાખ્યાયિત કરો જેમાં A માં પદાર્થોના કોમ્પ્લેક્સ X અને સાંકળ નકશામાં મોર્ફિઝમ્સ છે. (તે A ની વસ્તુઓના "કોચેન કોમ્પ્લેક્સ" ને ધ્યાનમાં લેવા સમાન છે, જ્યાં ક્રમાંકન ફક્ત xi = x−i વ્યાખ્યાયિત કરીને લખવામાં આવે છે.) શ્રેણી સી (એ) એક મોડેલ માળખું ધરાવે છે જેમાં કોફિબ્રેશન એ મોનોમોર્ફિઝમ્સ છે અને નબળા સમાનતા અર્ધ-આઇસોમોર્ફિઝમ્સ છે. વ્યાખ્યા મુજબ, સાંકળ નકશો f: X → Y એ અર્ધ-સમરૂપતા છે જો સમરૂપતા પર પ્રેરિત સમરૂપતા એ તમામ પૂર્ણાંકો n માટે સમરૂપતા છે. (અહીં Hn (X) એ A નો પદાર્થ છે જેને Xn → Xn−1 મોડ્યુલોના કર્નલ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. પરિણામી હોમોટૉપી શ્રેણીને વ્યુત્પન્ન શ્રેણી ડી (એ) કહેવામાં આવે છે. તુચ્છ તંતુઓ અને તુચ્છ કોફિબ્રેશન કોઈપણ મોડેલ શ્રેણીમાં, નબળા સમકક્ષતા ધરાવતા તંતુઓને તુચ્છ (અથવા એસાયક્લિક) તંતુઓ કહેવામાં આવે છે. એક કોફિબ્રેશન કે જે નબળી સમાનતા પણ છે તેને તુચ્છ (અથવા એસાયક્લિક) કોફિબ્રેશન કહેવામાં આવે છે. નોંધો સંદર્ભો હોમોટોપી સિદ્ધાંત હોમોલોજિકલ બીજગણિત સમાનતા (ગણિત)