Preissmann's theorem
ગણિતના ક્ષેત્ર રીમેનીયન ભૂમિતિમાં, પ્રેઝમેનનો પ્રમેય એ એક નિવેદન છે જે નકારાત્મક વક્ર કોમ્પેક્ટ રીમેનીયન મેનીફોલ્ડની સંભવિત ટોપોલોજીને પ્રતિબંધિત કરે છે. તેનું નામ એલેક્ઝાન્ડર પ્રેઝમેનના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે, જેમણે 1943માં એક પુરાવો પ્રકાશિત કર્યો હતો. પ્રીસ્મેનનો પ્રમેય નકારાત્મક વિભાગીય વળાંકના રીમાનિયન મેટ્રિક સાથે બંધ મેનીફોલ્ડને ધ્યાનમાં લો. પ્રેઝમેનનો પ્રમેય જણાવે છે કે મૂળભૂત જૂથના દરેક બિન-તુચ્છ અબેલિયન પેટાજૂથ પૂર્ણાંકોના એડિટિવ ગ્રૂપ માટે આઇસોમોર્ફિક હોવું જોઈએ. આનું ઢીલું અર્થઘટન એમ કહીને કરી શકાય છે કે આવા મેનીફોલ્ડનું મૂળભૂત જૂથ અત્યંત નોનબેલિયન હોવું જોઈએ. વધુમાં, મૂળભૂત જૂથ પોતે અબેલિયન ન હોઈ શકે. ઉદાહરણ તરીકે, પ્રેઝમેનનો પ્રમેય સૂચવે છે કે-પરિમાણીય ટોરસ કડક રીતે નકારાત્મક વિભાગીય વળાંકના કોઈ રીમાનિયન મેટ્રિકને સ્વીકારતો નથી (સિવાય કે બે હોય). વધુ સામાન્ય રીતે, હકારાત્મક પરિમાણોના બે બંધ મેનીફોલ્ડ્સનો ગુણાકાર સખત નકારાત્મક વિભાગીય વળાંકના રીમાનિયન મેટ્રિકને સ્વીકારતો નથી. પ્રીસમેનના પ્રમેયનો પ્રમાણભૂત પુરાવો ભૂગણિતની લંબાઈ અને ખૂણાઓ પર નકારાત્મક વળાંક જે અવરોધો બનાવે છે તેની સાથે વ્યવહાર કરે છે. જો કે, તે આંશિક વિભેદક સમીકરણોની તકનીકો દ્વારા પણ સાબિત થઈ શકે છે, જે હાર્મોનિક નકશા પર જેમ્સ ઈલ્સ અને જોસેફ સેમ્પસનના પાયાના પ્રમેયનો સીધો પરિણામ છે. પ્રીસ્મેન પ્રમેયને ડેટલેફ ગ્રોમોલ અને જોસેફ વુલ્ફ દ્વારા અને સ્વતંત્ર રીતે બ્લેઇન લૉસન અને શિંગ-તુંગ યાઉ દ્વારા મેળવેલા વધુ શક્તિશાળી ફ્લેટ ટોરસ પ્રમેયના વિશેષ કેસ તરીકે જોવામાં આવી શકે છે. આ સ્થાપિત કરે છે કે, વિભાગીય વળાંકની બિન-હકારાત્મકતા હેઠળ, મૂળભૂત જૂથના અબેલિયન પેટાજૂથોને ભૌમિતિક રીતે વિશેષ સબમેનિફોલ્ડ્સ દ્વારા રજૂ કરવામાં આવે છેઃ સપાટ ટોરસના સંપૂર્ણપણે જીઓડેસિક આઇસોમેટ્રિક નિમજ્જન. એલેક્ઝાન્ડ્રોવ જગ્યાઓનો એક સારી રીતે વિકસિત સિદ્ધાંત છે જે વિભાગીય વળાંક પર ઉપલી સીમાના સિદ્ધાંતને મેટ્રિક જગ્યાઓના સંદર્ભમાં વિસ્તરે છે. સપાટ ટોરસ પ્રમેય, પ્રેઝમેન પ્રમેયના વિશેષ કેસ સાથે, આ વ્યાપક સંદર્ભમાં મૂકી શકાય છે. સંદર્ભ પુસ્તકો. રીમાનિયન ભૂમિતિમાં પ્રમેયો