Kasch ring
રીંગ થિયરીમાં, અમૂર્ત બીજગણિતનું પેટાક્ષેત્ર, જમણી કાશ્ક રીંગ એ એક રીંગ R છે, જેના માટે દરેક સરળ જમણી આર મોડ્યુલ આરના જમણા આદર્શ માટે સમરૂપ છે. સમાનરૂપે ડાબી કાશ્ક રીંગની કલ્પનાને વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, અને બે ગુણધર્મો એકબીજાથી સ્વતંત્ર છે. કાસ્ચ રિંગ્સને ગણિતશાસ્ત્રી ફ્રેડરિક કાસ્ચના માનમાં નામ આપવામાં આવ્યું છે. કેશ્કને મૂળ રીતે આર્ટીનીયન રિંગ્સ કહેવામાં આવતી હતી, જેમના યોગ્ય આદર્શોમાં બિન-શૂન્ય વિનાશક એસ-રિંગ્સ હોય છે. નીચેની લાક્ષણિકતાઓ દર્શાવે છે કે કાસ રિંગ્સ એસ-રિંગ્સને સામાન્ય બનાવે છે. વ્યાખ્યા સમકક્ષ વ્યાખ્યાઓ માત્ર જમણા હાથના સંસ્કરણ માટે રજૂ કરવામાં આવશે, આ સમજણ સાથે કે ડાબા હાથના એનાલોગ પણ સાચા છે. કાશ્ક શરતોમાં વિનાશકની વિભાવનાનો ઉપયોગ કરીને કેટલાક સમકક્ષ નિવેદનો છે, અને આ લેખ વિનાશક લેખમાં દેખાતા સમાન સંકેતનો ઉપયોગ કરે છે. પરિચયમાં આપવામાં આવેલી વ્યાખ્યા ઉપરાંત, નીચેના ગુણધર્મો રિંગ આર માટે યોગ્ય કાસ્ચ હોવાની સમકક્ષ વ્યાખ્યાઓ છે. તેઓ આમાં દેખાય છેઃ દરેક સરળ જમણા R મોડ્યુલ M માટે, M થી R માં બિન-શૂન્ય મોડ્યુલ હોમોમોર્ફિઝમ છે. R ના મહત્તમ જમણા આદર્શો રિંગ તત્વોના જમણા વિનાશક છે, એટલે કે, દરેક એક એવા સ્વરૂપનું છે જ્યાં x એ R માં છે. R ના કોઈપણ મહત્તમ જમણા આદર્શ T માટે,. R ના કોઈપણ યોગ્ય આદર્શ T માટે,. R ના કોઈપણ મહત્તમ જમણા આદર્શ T માટે,. R સિવાય R પાસે કોઈ ગાઢ જમણા આદર્શો નથી. ઉદાહરણો નીચેની સામગ્રી,, જેવા સંદર્ભોમાં મળી શકે છે. ધારો કે R એ જેકોબસન રેડિકલ J સાથે અર્ધ-પ્રાથમિક રિંગ છે. જો R પરિવર્તનીય હોય, અથવા જો R/J એક સરળ વીંટી હોય, તો R જમણી બાજુ (અને ડાબી બાજુ) છે. ખાસ કરીને, પરિવર્તનીય આર્ટીનિયન વીંટીઓ જમણી અને ડાબી બાજુએ કેશ હોય છે. વિભાજન રિંગ k માટે, k માંથી એન્ટ્રીઓ સાથે ચાર-બાય-ચાર મેટ્રિક્સ રિંગની ચોક્કસ સબરીંગ R ને ધ્યાનમાં લો. સબરીંગ R માં નીચેના સ્વરૂપના મેટ્રિક્સનો સમાવેશ થાય છેઃ આ જમણી અને ડાબી આર્ટીનીયન રિંગ છે જે જમણી બાજુએ કેશ છે, પરંતુ ડાબી બાજુએ કેશ નથી. ધારો કે S એ બે બિનપરિવર્તનશીલ ચલ X અને Y પર શક્તિ શ્રેણીની વીંટી છે, જેમાં F ક્ષેત્રના ગુણાંક છે. ભાગાકાર વીંટી S/A એ એક સ્થાનિક વીંટી છે જે જમણી બાજુએ કેશ છે પરંતુ ડાબી બાજુએ કેશ નથી. ધારો કે R એ Ak લેબલ થયેલ અનંત સંખ્યાબંધ બિન-શૂન્ય રિંગ્સની રીંગ ડાયરેક્ટ પ્રોડક્ટ છે. એ. કે. નો સીધો સરવાળો આર. નો યોગ્ય આદર્શ બનાવે છે. તે સરળતાથી ચકાસવામાં આવે છે કે આ આદર્શના ડાબા અને જમણા વિનાશક શૂન્ય છે, અને તેથી આર જમણી કે ડાબી બાજુએ નથી. બે બાય બે ઉપલા (અથવા નીચલા) ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સ રિંગ જમણી કે ડાબી બાજુએ નથી. જમણા સોસલ શૂન્ય સાથેની વીંટી (એટલે કે) સાચું કાસ્ચ ન હોઈ શકે, કારણ કે રીંગમાં કોઈ ન્યૂનતમ જમણા આદર્શો નથી. તેથી, ઉદાહરણ તરીકે, જે ડોમેન્સ ડિવિઝન રિંગ્સ નથી તે જમણી કે ડાબી બાજુએ કેશ નથી. સંદર્ભો બીજગણિત માળખાં રીંગ થિયરી