Square root of a 2 by 2 matrix
2 × 2 મેટ્રિક્સ M નું વર્ગમૂળ એ અન્ય 2 × 2 મેટ્રિક્સ R છે જેમ કે M = R2, જ્યાં R2 એ પોતાની સાથે R ના મેટ્રિક્સ પ્રોડક્ટ માટે વપરાય છે. સામાન્ય રીતે, ત્યાં શૂન્ય, બે, ચાર અથવા તો ચોરસ-મૂળ મેટ્રિસીસનો અનંત પણ હોઈ શકે છે. ઘણા કિસ્સાઓમાં, આવા મેટ્રિક્સ આર સ્પષ્ટ સૂત્ર દ્વારા મેળવી શકાય છે. સર્વ-શૂન્ય મેટ્રિક્સ ન હોય તેવા વર્ગમૂળો જોડીમાં આવે છેઃ જો R એ M નું વર્ગમૂળ હોય, તો −R એ M નું વર્ગમૂળ પણ છે, કારણ કે (−R) (−R) = (−1) (−1) (RR) = R2 = M. પોઝિટિવ-ડેફિનિટ મેટ્રિક્સ ચોક્કસપણે એક પોઝિટિવ-ડેફિનિટ વર્ગમૂળ ધરાવે છે. એક સામાન્ય સૂત્ર નીચેનું એક સામાન્ય સૂત્ર છે જે લગભગ કોઈપણ 2 × 2 મેટ્રિક્સને લાગુ પડે છે. આપેલ મેટ્રિક્સ એ હોય જ્યાં A, B, C અને D વાસ્તવિક અથવા જટિલ સંખ્યાઓ હોઈ શકે. વધુમાં, ધારો કે τ = A + D એ M નું ટ્રેસ છે, અને δ = AD − BC તેનો નિર્ધારક છે. ચાલો s એવુ હોય કે s2 = δ, અને t એવુ હોય કે t2 = τ + 2s. એટલે કે, પછી, જો t ષ્ણ 0 હોય, તો M નું વર્ગમૂળ ખરેખર, R નો વર્ગ એ નોંધ છે કે R માં જટિલ એન્ટ્રીઓ હોઈ શકે છે, ભલે M એ વાસ્તવિક મેટ્રિક્સ હોય; આ કેસ હશે, ખાસ કરીને, જો નિર્ધારક δ નકારાત્મક હોય. આ સૂત્રનો સામાન્ય કિસ્સો એ છે કે જ્યારે δ બિન-શૂન્ય હોય અને τ2 § 4δ હોય, ત્યારે આ કિસ્સામાં s બિન-શૂન્ય હોય અને t એ s ની નિશાનીની દરેક પસંદગી માટે બિન-શૂન્ય હોય. પછી ઉપરનું સૂત્ર ચાર અલગ વર્ગમૂળ R પ્રદાન કરશે, જે s અને t માટે ચિહ્નોની દરેક પસંદગી માટે એક હશે. સૂત્રના ખાસ કિસ્સાઓ જો નિર્ધારક δ શૂન્ય હોય, પરંતુ ટ્રેસ τ બિન-શૂન્ય હોય, તો ઉપરનું સામાન્ય સૂત્ર માત્ર બે અલગ ઉકેલો આપશે, જે t ના બે સંકેતોને અનુરૂપ છે. એટલે કે, જ્યાં t એ ટ્રેસ τ નું કોઈપણ વર્ગમૂળ છે. સૂત્ર પણ માત્ર બે અલગ ઉકેલો આપે છે જો δ બિન-શૂન્ય હોય, અને τ2 = 4δ (ડુપ્લિકેટ આઈગનવેલ્યુઝનો કેસ), આ કિસ્સામાં s માટેની પસંદગીઓમાંથી એક છેદ t ને શૂન્ય બનાવશે. તે કિસ્સામાં, બે મૂળ એ છે કે જ્યાં s એ δ નું વર્ગમૂળ છે જે τ − 2s ને બિન-શૂન્ય બનાવે છે, અને t એ τ − 2s નું કોઈપણ વર્ગમૂળ છે. જો δ અને τ બંને શૂન્ય હોય તો ઉપરનું સૂત્ર સંપૂર્ણપણે નિષ્ફળ જાય છે; એટલે કે, જો D = −A, અને A2 = −BC, જેથી મેટ્રિક્સના ટ્રેસ અને નિર્ધારક બંને શૂન્ય હોય. આ કિસ્સામાં, જો M એ નલ મેટ્રિક્સ છે (A = B = C = D = 0 સાથે), તો નલ મેટ્રિક્સ પણ M નું વર્ગમૂળ છે, જેમ કે કોઈપણ મેટ્રિક્સ જ્યાં b અને c મનસ્વી વાસ્તવિક અથવા જટિલ મૂલ્યો છે. નહિંતર M નું કોઈ વર્ગમૂળ નથી. ખાસ મેટ્રિસીસ માટે સૂત્ર આઇડેમ્પોટેન્ટ મેટ્રિક્સ જો એમ એક આઇડેમ્પોટેન્ટ મેટ્રિક્સ છે, જેનો અર્થ છે કે એમએમ = એમ, તો જો તે આઇડેન્ટિટી મેટ્રિક્સ નથી, તો તેનો નિર્ધારક શૂન્ય છે, અને તેનું ટ્રેસ તેના ક્રમની બરાબર છે, જે (શૂન્ય મેટ્રિક્સને બાદ કરતાં) 1 છે. પછી ઉપરોક્ત સૂત્રમાં s = 0 અને τ = 1 છે, જે M અને-M ને M ના બે વર્ગમૂળ તરીકે આપે છે. ઘાતાંકીય મેટ્રિક્સ જો મેટ્રિક્સ M ને કોઈ મેટ્રિક્સ A ના ઘાતાંકના વાસ્તવિક ગુણાંક તરીકે વ્યક્ત કરી શકાય, તો તેના બે વર્ગમૂળ છે. આ કિસ્સામાં વર્ગમૂળ વાસ્તવિક છે. જો M વિકર્ણ હોય (એટલે કે, B = C = 0), તો કોઈ સરળ સૂત્રનો ઉપયોગ કરી શકે છે જ્યાં a = ± વ્યાસ A, અને d = ± વ્યાસ D. આ, વિવિધ નિશાની પસંદગીઓ માટે, ચાર, બે અથવા એક અલગ મેટ્રિસીસ આપે છે, જો તેમાંથી કોઈ નહીં, માત્ર એક, અથવા બંને એ અને ડી અનુક્રમે શૂન્ય હોય. આઇડેન્ટિટી મેટ્રિક્સ કારણ કે તેમાં ડુપ્લિકેટ આઇગન વેલ્યુ છે, 2 × 2 આઇડેન્ટિટી મેટ્રિક્સમાં અનંત રીતે ઘણા સપ્રમાણ તર્કસંગત વર્ગમૂળ હોય છે, જેના દ્વારા કોઈ પણ જટિલ સંખ્યાઓ ક્યાં છે જેમ કે એક બંધ-કર્ણ શૂન્ય સાથે મેટ્રિક્સ જો B શૂન્ય હોય, પરંતુ A અને D બંને શૂન્ય ન હોય, તો કોઈ ઉપયોગ કરી શકે છે આ સૂત્ર બે ઉકેલો પ્રદાન કરશે જો A = D અથવા A = 0 અથવા D = 0 અને અન્યથા ચાર. જ્યારે C શૂન્ય હોય ત્યારે સમાન સૂત્રનો ઉપયોગ કરી શકાય છે, પરંતુ A અને D બંને શૂન્ય નથી. સંદર્ભો મેટ્રિક્સ