Partial-wave analysis
આંશિક-તરંગ વિશ્લેષણ, ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સના સંદર્ભમાં, દરેક તરંગને તેના ઘટક કોણીય-ગતિ ઘટકોમાં વિઘટિત કરીને અને સીમા પરિસ્થિતિઓનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલવા દ્વારા સ્કેટરિંગ સમસ્યાઓ હલ કરવાની તકનીકનો સંદર્ભ આપે છે. પ્રારંભિક સ્કેટરિંગ થિયરી નીચેનું વર્ણન પ્રાથમિક સ્કેટરિંગ થિયરી રજૂ કરવાની પ્રમાણભૂત રીતને અનુસરે છે. કણોની સ્થિર બીમ ગોળાકાર સપ્રમાણ ક્ષમતાને છૂટા પાડે છે, જે ટૂંકા અંતરની હોય છે, જેથી મોટા અંતર માટે, કણો મુક્ત કણોની જેમ વર્તે છે. સિદ્ધાંતમાં, કોઈપણ કણને તરંગ પેકેટ દ્વારા વર્ણવવો જોઈએ, પરંતુ તેના બદલે આપણે z અક્ષ સાથે મુસાફરી કરતા સમતલ તરંગના સ્કેટરિંગનું વર્ણન કરીએ છીએ, કારણ કે તરંગ પેકેટોને સમતલ તરંગોની દ્રષ્ટિએ વિસ્તૃત કરી શકાય છે, અને આ ગાણિતિક રીતે સરળ છે. કારણ કે કણોની સ્કેટરિંગ પોટેન્શિયલ સાથેની ક્રિયાપ્રતિક્રિયાના સમયની સરખામણીમાં બીમ લાંબા સમય સુધી ચાલુ રહે છે, તેથી સ્થિર સ્થિતિ ધારણ કરવામાં આવે છે. આનો અર્થ એ છે કે કણ બીમનું પ્રતિનિધિત્વ કરતા તરંગ કાર્ય માટે સ્થિર શ્રોડિંગર સમીકરણને હલ કરવું જોઈએઃ આપણે નીચે આપેલા અનસાટ્ઝ બનાવીએ છીએઃ આવતા સમતલ તરંગ ક્યાં છે, અને તે મૂળ તરંગ કાર્યને ખલેલ પહોંચાડતો વેરવિખેર ભાગ છે. તે રસ ધરાવતું એસિમ્પ્ટોટિક સ્વરૂપ છે, કારણ કે સ્કેટરિંગ સેન્ટરની નજીકના અવલોકનો (દા. ત. અણુ કેન્દ્રક) મોટે ભાગે શક્ય નથી, અને કણોની શોધ મૂળથી દૂર થાય છે. મોટા અંતર પર, કણોએ મુક્ત કણોની જેમ વર્તવું જોઈએ, અને તેથી તે મુક્ત શ્રોડિંગર સમીકરણનો ઉકેલ હોવો જોઈએ. આ સૂચવે છે કે તેનું સ્વરૂપ સમતલ તરંગ જેવું જ હોવું જોઈએ, જેમાં કોઈપણ ભૌતિક રીતે અર્થહીન ભાગોને બાકાત રાખવા જોઈએ. તેથી આપણે સમતલ-તરંગના વિસ્તરણની તપાસ કરીએ છીએઃ ગોળાકાર બેસલ કાર્ય એસિમ્પ્ટોટિક રીતે આ રીતે વર્તે છે આ બહાર જતા અને આવતા ગોળાકાર તરંગને અનુરૂપ છે. સ્કેટર્ડ વેવ ફંક્શન માટે, માત્ર આઉટગોઇંગ ભાગો અપેક્ષિત છે. તેથી આપણે મોટા અંતર પર અપેક્ષા રાખીએ છીએ અને વેરવિખેર તરંગના એસિમ્પ્ટોટિક સ્વરૂપને જ્યાં કહેવાતા સ્કેટરિંગ એમ્પ્લિટ્યુડ છે ત્યાં સેટ કરીએ છીએ, જે આ કિસ્સામાં માત્ર એલિવેશન કોણ અને ઊર્જા પર આધારિત છે. નિષ્કર્ષમાં, આ સમગ્ર તરંગ કાર્ય માટે નીચેની એસિમ્પ્ટોટિક અભિવ્યક્તિ આપે છેઃ આંશિક-તરંગ વિસ્તરણ ગોળાકાર સપ્રમાણ ક્ષમતાના કિસ્સામાં, સ્કેટરિંગ તરંગ કાર્યને ગોળાકાર હાર્મોનિક્સમાં વિસ્તૃત કરી શકાય છે, જે અઝીમુથલ સમપ્રમાણતાને કારણે લિજેન્ડ્રે બહુપદીઓમાં ઘટાડો કરે છે (તેના પર કોઈ નિર્ભરતા નથી): પ્રમાણભૂત સ્કેટરિંગ સમસ્યામાં, આવતા બીમ તરંગ સંખ્યાના સમતલ તરંગનું સ્વરૂપ લે છે, જેને ગોળાકાર બેસલ કાર્યો અને લિજેન્ડ્રે બહુપદીઓના સંદર્ભમાં સમતલ-તરંગ વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરીને આંશિક તરંગોમાં વિઘટિત કરી શકાય છેઃ અહીં આપણે એક ગોળાકાર સંકલન પ્રણાલી ધારણ કરી છે જેમાં અક્ષને બીમ દિશા સાથે ગોઠવવામાં આવે છે. આ તરંગ કાર્યના ત્રિજ્યીય ભાગમાં માત્ર ગોળાકાર બેસલ કાર્યનો સમાવેશ થાય છે, જેને બે ગોળાકાર હેન્કેલ કાર્યોના સરવાળા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છેઃ આનું ભૌતિક મહત્વ છેઃ એસિમ્પ્ટોટિકલી (એટલે કે. મોટા માટે) તરીકે વર્તે છે અને આમ એક આઉટગોઇંગ વેવ છે, જ્યારે એસિમ્પ્ટોટિકલી તરીકે વર્તે છે અને આમ તે ઇનકમિંગ વેવ છે. આવતા તરંગને સ્કેટરિંગથી કોઈ અસર થતી નથી, જ્યારે બહાર જતા તરંગને આંશિક-તરંગ એસ-મેટ્રિક્સ તત્વ તરીકે ઓળખાતા પરિબળ દ્વારા સુધારવામાં આવે છેઃ જ્યાં વાસ્તવિક તરંગ કાર્યનો રેડિયલ ઘટક છે. સ્કેટરિંગ ફેઝ શિફ્ટને ફેઝના અડધા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છેઃ જો ફ્લક્સ ખોવાઈ ન જાય, તો, અને આમ ફેઝ શિફ્ટ વાસ્તવિક છે. આ સામાન્ય રીતે કેસ છે, જ્યાં સુધી સંભવિતમાં કાલ્પનિક શોષક ઘટક ન હોય, જેનો ઉપયોગ ઘણીવાર અન્ય પ્રતિક્રિયા ચેનલોને કારણે નુકસાનનું અનુકરણ કરવા માટે ઘટનાત્મક મોડેલોમાં થાય છે. તેથી, સંપૂર્ણ એસિમ્પ્ટોટિક તરંગ કાર્ય બાદ કરવાથી એસિમ્પ્ટોટિક આઉટગોઇંગ તરંગ કાર્ય પ્રાપ્ત થાય છેઃ ગોળાકાર હેન્કેલ કાર્યોના એસિમ્પ્ટોટિક વર્તનનો ઉપયોગ કરીને, એક પ્રાપ્ત થાય છે કારણ કે તેમાંથી સ્કેટરિંગ એમ્પ્લિટ્યુડ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે અને આમ વિભેદક ક્રોસ સેક્શન દ્વારા આપવામાં આવે છે. લાંબા અંતરની ક્રિયાપ્રતિક્રિયાઓ માટે (જેમ કે કુલમ્બ ક્રિયાપ્રતિક્રિયા), ઉપરનો સરવાળો એકરૂપ ન પણ થઈ શકે. આવી સમસ્યાઓ માટેનો સામાન્ય અભિગમ કુલમ્બ ક્રિયાપ્રતિક્રિયાને ટૂંકા અંતરની ક્રિયાપ્રતિક્રિયાથી અલગ રીતે ધ્યાનમાં લેવાનો છે, કારણ કે કુલમ્બ સમસ્યાને કુલમ્બ કાર્યોની દ્રષ્ટિએ બરાબર ઉકેલી શકાય છે, જે આ સમસ્યામાં હેન્કેલ કાર્યોની ભૂમિકા ભજવે છે. સંદર્ભો બાહ્ય કડીઓ ડમીઝ માટે આંશિક તરંગ વિશ્લેષણ સ્કેટરિંગ ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સ સ્કેટરિંગ થિયરીનું આંશિક તરંગ વિશ્લેષણ