Oscillator representation
ગણિતમાં, ઓસિલેટર પ્રતિનિધિત્વ એ સિમપ્લેક્ટિક જૂથનું પ્રોજેક્ટિવ એકાત્મક પ્રતિનિધિત્વ છે, જેની પ્રથમ તપાસ ઇરવિંગ સેગલ, ડેવિડ શેલ અને આન્દ્રે વેઇલ દ્વારા કરવામાં આવી હતી. પ્રતિનિધિત્વનું કુદરતી વિસ્તરણ સંકોચન સંચાલકોના અર્ધસમૂહ તરફ દોરી જાય છે, જેને 1988માં રોજર હોવે દ્વારા ઓસિલેટર અર્ધસમૂહ તરીકે રજૂ કરવામાં આવ્યું હતું. અર્ધસમૂહનો અગાઉ અન્ય ગણિતશાસ્ત્રીઓ અને ભૌતિકશાસ્ત્રીઓ દ્વારા અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો હતો, ખાસ કરીને 1960ના દાયકામાં ફેલિક્સ બેરેઝિન દ્વારા. એક પરિમાણમાં સૌથી સરળ ઉદાહરણ એસયુ (1,1) દ્વારા આપવામાં આવ્યું છે. તે વિસ્તૃત જટિલ સમતલ પર મોબિયસ પરિવર્તન તરીકે કાર્ય કરે છે, જે એકમ વર્તુળને અપરિવર્તનશીલ રાખે છે. તે કિસ્સામાં ઓસિલેટર પ્રતિનિધિત્વ એ એસયુ (1,1) ના બેવડા આવરણનું એકાત્મક પ્રતિનિધિત્વ છે અને ઓસિલેટર અર્ધસમૂહ એસએલ (2, સી) માં અર્ધસમૂહના સંકોચન સંચાલકો દ્વારા પ્રતિનિધિત્વને અનુરૂપ છે જે મોબિયસ પરિવર્તનને અનુરૂપ છે જે એકમ ડિસ્કને પોતાની અંદર લઈ જાય છે. સંકોચન સંચાલકો, જે માત્ર એક નિશાની સુધી નિર્ધારિત થાય છે, તેમાં કર્નલો હોય છે જે ગૌસીયન કાર્યો છે. અનંત સ્તરે અર્ધસમૂહને એસયુ (1,1) ના લાઈ બીજગણિતમાં શંકુ દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે જેને પ્રકાશ શંકુથી ઓળખી શકાય છે. સમાન માળખું ઉચ્ચ પરિમાણોમાં સિમપ્લેક્ટિક જૂથને સામાન્ય બનાવે છે, જેમાં અનંત પરિમાણોમાં તેના એનાલોગનો સમાવેશ થાય છે. આ લેખ એસયુ (1,1) માટેના સિદ્ધાંતને વિગતવાર સમજાવે છે અને સિદ્ધાંતને કેવી રીતે વિસ્તૃત કરી શકાય તેનો સારાંશ આપે છે. વર્નર હેઇસેનબર્ગ અને ઇર્વિન શ્રોડિંગર દ્વારા ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સની ગાણિતિક રચના મૂળરૂપે હિલ્બર્ટ સ્પેસ પર અનબાઉન્ડ સેલ્ફ-એડજોઈન્ટ ઓપરેટરોની દ્રષ્ટિએ હતી. સ્થિતિ અને વેગને અનુરૂપ મૂળભૂત ઓપરેટરો હેઇસેનબર્ગ પરિવર્તન સંબંધોને સંતોષે છે. આ ઓપરેટરોમાં ચતુર્ભુજ બહુપદીઓ, જેમાં હાર્મોનિક ઓસિલેટરનો સમાવેશ થાય છે, તે પણ કોમ્યુટેટર લેવા હેઠળ બંધ કરવામાં આવે છે. ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સ માટે સખત પાયો પૂરો પાડવા માટે 1920 અને 1930 ના દાયકામાં મોટી માત્રામાં ઓપરેટર થિયરી વિકસાવવામાં આવી હતી. સિદ્ધાંતનો એક ભાગ સંચાલકોના એકાત્મક જૂથોની દ્રષ્ટિએ ઘડવામાં આવ્યો હતો, મોટે ભાગે હર્મન વેલ, માર્શલ સ્ટોન અને જ્હોન વોન ન્યુમેનના યોગદાન દ્વારા. બદલામાં ગાણિતિક ભૌતિકશાસ્ત્રમાં આ પરિણામોને ગાણિતિક વિશ્લેષણમાં સમાવિષ્ટ કરવામાં આવ્યા હતા, જેની શરૂઆત નોર્બર્ટ વીનરના 1933ના વ્યાખ્યાન નોંધોથી થઈ હતી, જેમણે ફ્યુરિયર પરિવર્તનના ગુણધર્મો મેળવવા માટે હાર્મોનિક ઓસિલેટર માટે ઉષ્મા કર્નલનો ઉપયોગ કર્યો હતો. સ્ટોન-વોન ન્યુમેન પ્રમેયમાં ઘડવામાં આવેલા હેઇસેનબર્ગ પરિવર્તન સંબંધોની વિશિષ્ટતાને પાછળથી જૂથ પ્રતિનિધિત્વ સિદ્ધાંતમાં અર્થઘટન કરવામાં આવ્યું હતું, ખાસ કરીને જ્યોર્જ મેકી દ્વારા શરૂ કરાયેલ પ્રેરિત પ્રતિનિધિત્વના સિદ્ધાંતમાં. ક્વાડ્રેટિક ઓપરેટરોને જૂથ એસયુ (1,1) અને તેના લાઈ બીજગણિતની પ્રોજેક્ટિવ એકાત્મક રજૂઆતના સંદર્ભમાં સમજવામાં આવ્યા હતા. ઇરવિંગ સેગલ અને ડેવિડ શેલએ આ રચનાને સિમપ્લેક્ટિક જૂથમાં મર્યાદિત અને અનંત પરિમાણોમાં સામાન્ય બનાવ્યું-ભૌતિકશાસ્ત્રમાં, આને ઘણીવાર બોસોનીક ક્વોન્ટાઇઝેશન તરીકે ઓળખવામાં આવે છેઃ તે અનંત-પરિમાણીય જગ્યાના સપ્રમાણ બીજગણિત તરીકે બનાવવામાં આવે છે. સેગલ અને શેલએ ફર્મિઓનિક ક્વોન્ટાઇઝેશનના કેસની પણ સારવાર કરી છે, જે અનંત-પરિમાણીય હિલ્બર્ટ જગ્યાના બાહ્ય બીજગણિત તરીકે બનાવવામાં આવે છે. 1 + 1 પરિમાણોમાં અનુરૂપ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંતના વિશેષ કિસ્સામાં, બે આવૃત્તિઓ કહેવાતા "બોસોન-ફર્મિઓન પત્રવ્યવહાર" દ્વારા સમકક્ષ બને છે. આ માત્ર વિશ્લેષણમાં જ લાગુ પડતું નથી જ્યાં બોસોનિક અને ફર્મિઓનિક હિલ્બર્ટ જગ્યાઓ વચ્ચે એકાત્મક સંચાલકો હોય છે, પરંતુ શિરોબિંદુ સંચાલક આલ્જેબ્રાના ગાણિતિક સિદ્ધાંતમાં પણ લાગુ પડે છે. વર્ટેક્સ ઓપરેટરો પોતે મૂળરૂપે 1960 ના દાયકાના અંતમાં સૈદ્ધાંતિક ભૌતિકશાસ્ત્રમાં, ખાસ કરીને સ્ટ્રિંગ થિયરીમાં ઉભરી આવ્યા હતા. આન્દ્રે વેઇલે પાછળથી આ રચનાને પી-એડિક લાઈ જૂથો સુધી વિસ્તૃત કરી હતી, જેમાં દર્શાવ્યું હતું કે વિચારોને સંખ્યા સિદ્ધાંતમાં કેવી રીતે લાગુ કરી શકાય છે, ખાસ કરીને થીટા કાર્યો અને દ્વિઘાત પારસ્પરિકતાનું જૂથ સૈદ્ધાંતિક સમજૂતી આપવા માટે. કેટલાક ભૌતિકશાસ્ત્રીઓ અને ગણિતશાસ્ત્રીઓએ અવલોકન કર્યું હતું કે હાર્મોનિક ઓસિલેટરને અનુરૂપ હીટ કર્નલ ઓપરેટરો એસયુ (1,1) ની જટિલતા સાથે સંકળાયેલા હતાઃ આ સંપૂર્ણ એસએલ (2, સી) ન હતું, પરંતુ તેના બદલે કુદરતી ભૌમિતિક સ્થિતિ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત એક જટિલ અર્ધસમૂહ હતું. આ અર્ધસમૂહના પ્રતિનિધિત્વ સિદ્ધાંત અને મર્યાદિત અને અનંત પરિમાણોમાં તેના સામાન્યીકરણનો ઉપયોગ ગણિત અને સૈદ્ધાંતિક ભૌતિકશાસ્ત્ર એમ બંનેમાં થાય છે. SL (2, C) માં અર્ધસમૂહો જૂથઃ એ Gc = SL (2, C) નું પેટા જૂથ છે, જે નિર્ધારક 1 સાથે જટિલ 2 × 2 મેટ્રિસીસનો સમૂહ છે. જો G1 = SL (2, R) હોય તો પછી આ અનુસરે છે કારણ કે અનુરૂપ મોબિયસ પરિવર્તન એ કેલે રૂપાંતર છે જે ઉપલા અડધા સમતલને એકમ ડિસ્ક પર અને વાસ્તવિક રેખાને એકમ વર્તુળ પર વહન કરે છે. જૂથ SL (2, R) એક અમૂર્ત જૂથ દ્વારા અને નીચલા ત્રિકોણાકાર મેટ્રિસીસના પેટાજૂથ તરીકે પેદા થાય છે ખરેખર, આ મેટ્રિસીસ દ્વારા પેદા થયેલા પેટાજૂથ હેઠળ વેક્ટરની ભ્રમણકક્ષા સરળતાથી સમગ્ર R2 તરીકે જોવામાં આવે છે અને G1 માં v નું સ્ટેબિલાઇઝર આ પેટાજૂથની અંદર આવેલું છે. એ જ રીતે એ જ સૂત્ર જી. સી. ના લાઈ બીજગણિતના બે ઓટોમોર્ફિઝમ σ ના સમયગાળાને વ્યાખ્યાયિત કરે છે, જે ટ્રેસ શૂન્ય સાથેના જટિલ મેટ્રિક્સ છે. આમ −1 ≤ m, n ≤ 1 માટે એક સીધો સરવાળો વિઘટન છે જ્યાં σ અને-1 ઇગેનસ્પેસની + 1 ઇગેનસ્પેસ છે. મેટ્રિસીસ X નું સ્વરૂપ નોંધ કરો કે શંકુ C બે શરતો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે. પ્રથમ વ્યાખ્યા મુજબ આ સ્થિતિ G દ્વારા જોડાણ હેઠળ સાચવવામાં આવે છે. G જોડાયેલ હોવાથી તે બે ઘટકોને x> 0 અને x <0 અપરિવર્તનશીલ સાથે છોડી દે છે. બીજી શરત એ છે કે જૂથ Gc વિસ્તૃત જટિલ સમતલ પર મોબિયસ પરિવર્તન દ્વારા કાર્ય કરે છે. પેટા જૂથ G એકમ ડિસ્ક D ના ઓટોમોર્ફિઝમ્સ તરીકે કાર્ય કરે છે. Gc ના અર્ધસમૂહ H ને ભૌમિતિક સ્થિતિ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છેઃ અર્ધસમૂહને શંકુ C ની દ્રષ્ટિએ સ્પષ્ટ રીતે વર્ણવી શકાય છેઃ હકીકતમાં મેટ્રિક્સ X ને G ના તત્વ દ્વારા મેટ્રિક્સ સાથે સંયોજિત કરી શકાય છે. તેનાથી વિપરીત જો g એ H માં આવેલું હોય તો તે બંધ એકમ ડિસ્કને તેના આંતરિક ભાગમાં નાની બંધ ડિસ્ક પર લઈ જાય છે. G ના તત્વ દ્વારા સંયોજિત થતાં, નાની ડિસ્કને કેન્દ્ર 0 તરીકે લઈ શકાય છે. પરંતુ પછી યોગ્ય y માટે, તત્વ D ને પોતાની સાથે વહન કરે છે તેથી તે G માં આવેલું છે. સમાન દલીલ દર્શાવે છે કે H, જે એક અર્ધસમૂહ પણ છે, તેનું સમાપન દ્વારા આપવામાં આવે છે. તેથી H એ પણ સમાવે છે જે ઇન્વર્સ મેટ્રિક્સ આપે છે જો મૂળ મેટ્રિક્સ એસયુ (1,1) માં હોય. સંયુગ્મતા પર વધુ પરિણામ એ નોંધવાથી આવે છે કે H ના દરેક તત્વએ D માં એક બિંદુ નક્કી કરવું આવશ્યક છે, જે G ના તત્વ સાથે સંયુગ્મન દ્વારા 0 ગણી શકાય. પછી H ના તત્વનું સ્વરૂપ હોય છે આવા નીચલા ત્રિકોણાકાર મેટ્રિસીસનો સમૂહ H ના પેટા જૂથ H0 બનાવે છે. કારણ કે H0 માં દરેક મેટ્રિક્સ H0 માં મેટ્રિક્સ M દ્વારા કર્ણ મેટ્રિક્સ સાથે સંયોજિત થાય છે. તેવી જ રીતે H માં દરેક એક-પરિમાણ અર્ધસમૂહ S (t) એ D માં સમાન બિંદુને નિશ્ચિત કરે છે તેથી G ના તત્વ દ્વારા H0 માં એક-પરિમાણ અર્ધસમૂહમાં સંયોજિત થાય છે. તે અનુસરે છે કે H0 માં એક મેટ્રિક્સ M છે જેમ કે S0 (t) કર્ણ સાથે. તેવી જ રીતે H0 માં એક મેટ્રિક્સ N છે, જેમ કે અર્ધસમૂહ H0 નિર્ધારક 1 સાથે જટિલ નીચલા ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સના પેટાજૂથ L ને ઉત્પન્ન કરે છે (ઉપરના સૂત્ર દ્વારા ષ્ણાંક 0 સાથે આપવામાં આવે છે). તેના લાઈ બીજગણિતમાં સ્વરૂપના મેટ્રિસીસનો સમાવેશ થાય છે ખાસ કરીને એક પરિમાણ સેમીગ્રુપ એક્સ્પ tZ બધા t> 0 માટે H0 માં આવેલું છે જો અને માત્ર જો અને આ H માટેના માપદંડમાંથી અથવા સીધા સૂત્રમાંથી અનુસરે છે ઘાતાંકીય નકશો આ કિસ્સામાં સર્જેક્ટિવ ન હોવાનું જાણીતું છે, તેમ છતાં તે સમગ્ર જૂથ L પર સર્જેક્ટિવ છે. આ અનુસરે છે કારણ કે વર્ગ કામગીરી H માં સર્જેક્ટિવ નથી. ખરેખર, કારણ કે તત્વનો વર્ગ 0 ને ત્યારે જ નિશ્ચિત કરે છે જ્યારે મૂળ તત્વ 0 ને નિશ્ચિત કરે છે, તે H0 માં આને સાબિત કરવા માટે પૂરતો છે. |α | <1 સાથે α લો અને જો a = α2 અને તેની સાથે મેટ્રિક્સનું H0 માં કોઈ વર્ગમૂળ નથી. બીજી બાજુ, બંધ અર્ધસમૂહ SL (2, C) માં મહત્તમ છેઃ કોઈપણ મોટા અર્ધસમૂહ સંપૂર્ણ SL (2, C) હોવો જોઈએ. સૈદ્ધાંતિક ભૌતિકશાસ્ત્ર દ્વારા પ્રેરિત ગણતરીઓનો ઉપયોગ કરીને, અસમાનતાના સમૂહ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત અર્ધસમૂહની રજૂઆત કરવામાં આવી. સંકોચન અર્ધસમૂહ તરીકે ઓળખ વિના, તેઓએ મહત્તમતા સ્થાપિત કરી. સંકોચન અર્ધસમૂહ તરીકે વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીને, તેમાં નવું અપૂર્ણાંક પરિવર્તન ઉમેરતી વખતે શું થાય છે તેની તપાસ કરવા માટે મહત્તમતા ઘટાડે છે. સાબિતીનો વિચાર બે ડિસ્કની સ્થિતિને ધ્યાનમાં લેવા પર આધાર રાખે છે. મુખ્ય કિસ્સાઓમાં, ક્યાં તો એક ડિસ્કમાં બીજી હોય છે અથવા તે અલગ હોય છે. સૌથી સરળ કિસ્સાઓમાં, તે સ્કેલિંગ ટ્રાન્સફોર્મેશનનો ઇન્વર્સ છે અથવા. બંને કિસ્સાઓમાં અને 1 નો ખુલ્લો પડોશ પેદા કરો અને તેથી સમગ્ર SL (2, C) એ પછીથી પ્રથમ દર્શાવીને મહત્તમતા સાબિત કરવા માટે બીજી વધુ સીધી રીત આપી કે S માં એક g છે જે D ને ડિસ્ક Dc પર મોકલે છે, |z |> 1. હકીકતમાં જો ત્યાં D માં એક નાની ડિસ્ક D1 છે જેમ કે xD1 Dc માં આવેલું છે. પછી H માં અમુક h માટે, D1 = hD. તેવી જ રીતે H માં અમુક y માટે yxD1 = Dc. તો g = yxh S માં આવેલું છે અને D ને Dc પર મોકલે છે. તે અનુસરે છે કે જી2 એકમ ડિસ્ક ડીને સુધારે છે તેથી તે એસયુ (1,1) માં આવેલું છે. તેથી g−1 એ S માં આવેલું છે. જો t એ H માં આવેલું હોય તો tgD એ gD ધરાવે છે. તેથી t − 1 એ S માં આવેલું છે અને તેથી S એ 1 નો ખુલ્લો પડોશી ધરાવે છે. તેથી S = SL (2, C). બરાબર એ જ દલીલ Rn પર મોબિયસ પરિવર્તન માટે કામ કરે છે અને બંધ એકમ ગોળા | |x | | ≤1 ને ખુલ્લા એકમ ક્ષેત્રમાં | |x | | | <1 લઈ જતા ખુલ્લા અર્ધસમૂહ માટે કામ કરે છે. બંધ એ તમામ મોબિયસ પરિવર્તનના જૂથમાં મહત્તમ યોગ્ય અર્ધસમૂહ છે. જ્યારે n = 1 હોય, ત્યારે બંધ વાસ્તવિક રેખાના મોબિયસ પરિવર્તનને અનુરૂપ હોય છે, જે બંધ અંતરાલ [-1,1] ને પોતાની અંદર લઈ જાય છે. સેમીગ્રુપ H અને તેના ક્લોઝરમાં G પાસેથી વારસામાં મળેલી રચનાનો વધુ એક ભાગ છે, એટલે કે G પરનું ઇન્વર્ઝન H અને તેના ક્લોઝરની એન્ટિઆટોમોર્ફિઝમ સુધી વિસ્તરે છે, જે એક્સ્ સી અને તેના ક્લોઝરમાં તત્વોને સુધારે છે. એન્ટિઆટોમોર્ફિઝમ માટે SL (2, C) ના એન્ટિઆટોમોર્ફિઝમ દ્વારા આપવામાં આવે છે અને તે વિસ્તરે છે. તેવી જ રીતે એન્ટિઆટોમોર્ફિઝમ G1 ને અપરિવર્તનશીલ છોડી દે છે અને ઘટકોને સી 1 અને તેના બંધમાં સ્થિર કરે છે, તેથી તે G1 માં અર્ધસમૂહ માટે સમાન ગુણધર્મો ધરાવે છે. હેઇસેનબર્ગ અને વેઇલના વિનિમય સંબંધો આર પર શ્વાર્ટઝ વિધેયોની જગ્યા હોઈ શકે છે. તે હિલ્બર્ટ અવકાશમાં આર પર વર્ગ-સંકલિત વિધેયોના એલ 2 (આર) માં ગાઢ છે. ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સની પરિભાષાને અનુસરીને, "વેગ" સંચાલક પી અને "સ્થિતિ" સંચાલક ક્યૂ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. ત્યાં સંચાલકો હેઇસેનબર્ગ વિનિમય સંબંધને સંતોષે છે. એલ 2 (આર) માંથી વારસામાં મળેલા આંતરિક ઉત્પાદન માટે પી અને ક્યૂ બંને સ્વ-સંલગ્ન છે. બે એક પરિમાણ એકાત્મક જૂથો U (s) અને V (t) પર વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે અને L2 (R) માટે વ્યાખ્યા દ્વારા, જેથી ઔપચારિક રીતે તે વ્યાખ્યાથી તાત્કાલિક છે કે એક પરિમાણ જૂથો U અને V વેલ પરિવર્તન સંબંધને સંતોષે છે. ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે તે તેના કુદરતી ટોપોલોજી માટે પોતે એક સતત નકશાને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. સમોચ્ચ એકીકરણ દર્શાવે છે કે કાર્ય તેનું પોતાનું ફોરિયર રૂપાંતર છે. બીજી બાજુ, ભાગો દ્વારા સંકલન અથવા સંકલન હેઠળ તફાવત, તે અનુસરે છે કે ઓપરેટર પર Q (અને P) બંને સાથે પરિવહન દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે. બીજી બાજુ, અને કારણ તેમાં આવેલું છે, તે તેને અનુસરે છે અને તેથી આ ફોરિયર વ્યુત્ક્રમ સૂત્ર સૂચવે છેઃ અને દર્શાવે છે કે ફોરિયર રૂપાંતર પોતે જ એક સમરૂપતા છે. ફ્યુબિનીના પ્રમેય અનુસાર જ્યારે વ્યુત્ક્રમ સૂત્ર સાથે જોડવામાં આવે છે ત્યારે આ સૂચવે છે કે ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ આંતરિક ઉત્પાદનને સાચવે છે તેથી તેની પોતાની આઇસોમેટ્રીને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. ઘનતા દ્વારા તે L2 (R) પર એકાત્મક સંચાલક સુધી વિસ્તરે છે, જેમ કે પ્લાનચેરેલના પ્રમેય દ્વારા ભાર મૂકવામાં આવ્યો છે. ધારો કે યુ (એસ) અને વી (ટી) હિલ્બર્ટ જગ્યા પરના એક પરિમાણ એકાત્મક જૂથો છે જે વેલ પરિવર્તન સંબંધોને સંતોષે છે. ખરેખર, જો એફ. ડી. એસ. અને જી. ડી. ટી. કોમ્પેક્ટ સપોર્ટ સાથે પ્રોબેબીલીટીના પગલાંને વ્યાખ્યાયિત કરે છે, તો પછી જો પગલાંના આધારો ઘટીને 0 થાય તો સ્મીયર ઓપરેટરો મજબૂત ઓપરેટર ટોપોલોજીમાં આઇડેન્ટિટી ઓપરેટરને સંતુષ્ટ કરે છે અને ભેગા થાય છે. યુ (એફ) વી (જી) નું સ્વરૂપ ટી (એફ) હોવાથી, બિન-અધોગતિ અનુસરે છે. L2 (R) પર શ્રોડિન્જર પ્રતિનિધિત્વ ક્યારે છે, ઓપરેટર T (F) દ્વારા આપવામાં આવે છે તે આ સૂત્ર પરથી અનુસરે છે કે U અને V સંયુક્ત રીતે શ્રોડિન્જર પ્રતિનિધિત્વ પર ઇરેડ્યુસિબલ રીતે કાર્ય કરે છે કારણ કે કર્નલો દ્વારા આપવામાં આવેલા ઓપરેટરો માટે આ સાચું છે જે શ્વાર્ટઝ કાર્યો છે. લીનિયર કેનોનિકલ ટ્રાન્સફોર્મેશન દ્વારા નક્કર વર્ણન આપવામાં આવે છે. તેનાથી વિપરીત, વેઇલ પરિવર્તન સંબંધોની રજૂઆત આપવામાં આવે તો, તે કર્નલ ઓપરેટરોના *-બીજગણિતની બિન-વિકૃત રજૂઆતને જન્મ આપે છે. પરંતુ આવી તમામ રજૂઆતો ઉપરની જેમ દરેક નકલ પરની ક્રિયા સાથે L2 (R) ની નકલોના ઓર્થોગોનલ સીધા સરવાળા પર હોય છે. આ પ્રાથમિક હકીકતનું સીધું સામાન્યીકરણ છે કે એન × એન મેટ્રિસીસની રજૂઆત સી. એન. પર પ્રમાણભૂત રજૂઆતના સીધા સરવાળા પર હોય છે. મેટ્રિક્સ એકમોનો ઉપયોગ કરીને પુરાવા અનંત પરિમાણોમાં સમાન રીતે સારી રીતે કામ કરે છે. એક પરિમાણ એકાત્મક જૂથો U અને V દરેક ઘટકને અપરિવર્તનશીલ રાખે છે, જે શ્રોડિંગર રજૂઆત પર પ્રમાણભૂત ક્રિયાને પ્રેરિત કરે છે. ખાસ કરીને આ સ્ટોન-વોન ન્યુમેન પ્રમેય સૂચવે છેઃ શ્રોડિંગર રજૂઆત એ હિલ્બર્ટ જગ્યા પર વેલ પરિવર્તન સંબંધોની અનન્ય ઇરેડ્યુસિબલ રજૂઆત છે. એસ. એલ. (2, આર) ની ઓસિલેટર રજૂઆત આપેલ યુ અને વી વેઇલ પરિવર્તન સંબંધોને સંતોષતા, વ્યાખ્યાયિત કરો પછી જેથી ડબલ્યુ દ્વારા આપવામાં આવેલ કોસાઇકલ સાથે આર 2 ની પ્રોજેક્ટિવ એકાત્મક રજૂઆતને વ્યાખ્યાયિત કરે છે જ્યાં અને બી એ આર 2 પર સિંપ્લેક્ટિક સ્વરૂપ છે સ્ટોન-વોન ન્યુમેન પ્રમેય દ્વારા આપવામાં આવેલ, આ કોસાઇકલને અનુરૂપ એક અનન્ય ઇરેડ્યુસિબલ રજૂઆત છે. તે અનુસરે છે કે જો g એ R2નું ઓટોમોર્ફિઝમ છે જે B સ્વરૂપને જાળવી રાખે છે, એટલે કે. SL (2, R) નું એક તત્વ, પછી L2 (R) પર એકાત્મક π (g) હોય છે જે સહપ્રસરણ સંબંધને સંતોષ આપે છે. આ માત્ર શ્રોડિંગર રજૂઆતની ઇરેડ્યુસિબિલિટીનો ઉપયોગ કરીને સીધી રીતે સ્થાપિત કરી શકાય છે. ઇરેડ્યુસિબિલિટી એ હકીકતનું સીધું પરિણામ હતું કે K a શ્વાર્ટઝ ફંક્શન સાથેના ઓપરેટરો શ્વાર્ટઝ ફંક્શન સાથે કર્નલો દ્વારા આપવામાં આવેલા ઓપરેટરોને બરાબર અનુરૂપ છે. આ હિલ્બર્ટ-શ્મિટ ઓપરેટરોની જગ્યામાં ગાઢ છે, જે, તેમાં મર્યાદિત ક્રમના ઓપરેટરો હોવાથી, અનિવાર્યપણે કાર્ય કરે છે. π નું અસ્તિત્વ માત્ર શ્રોડિંગર રજૂઆતની ઇરેડ્યુસિબિલિટીનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરી શકાય છે. ઓપરેટરો એક નિશાની સુધી અનન્ય હોય છે જેથી SL (2, R) ની પ્રોજેક્ટિવ રજૂઆત માટે 2-ચક્ર મૂલ્યો ±1 લે છે. હકીકતમાં જૂથ SL (2, R) સ્વરૂપના મેટ્રિસીસ દ્વારા ઉત્પન્ન થાય છે અને તે સીધી રીતે ચકાસી શકાય છે કે નીચેના ઓપરેટરો ઉપરના સહપ્રસરણ સંબંધોને સંતોષે છેઃ જનરેટર gi નીચેના બ્રુહટ સંબંધોને સંતોષે છે, જે જૂથ SL (2, R) ને વિશિષ્ટ રીતે સ્પષ્ટ કરે છેઃ તે સીધી ગણતરી દ્વારા ચકાસી શકાય છે કે આ સંબંધો અનુરૂપ ઓપરેટરો દ્વારા નિશાની સુધી સંતુષ્ટ છે, જે સ્થાપિત કરે છે કે કોસાઇકલ મૂલ્યો ±1 લે છે. એસએલ (2, આર) ના બેવડા આવરણ તરીકે મેટાપ્લેક્ટિક જૂથની સ્પષ્ટ રચનાનો ઉપયોગ કરીને વધુ વૈચારિક સમજૂતી છે. SL (2, R) ઉપલા અડધા સમતલ H પર મોબિયસ પરિવર્તન દ્વારા કાર્ય કરે છે. વધુમાં, જો પછી કાર્ય 1-ચક્ર સંબંધને સંતોષે છે દરેક g માટે, કાર્ય m (g, z) H પર લુપ્ત થતું નથી અને તેથી બે સંભવિત હોલોમોર્ફિક વર્ગમૂળ ધરાવે છે. મેટાપ્લેક્ટિક જૂથને જૂથ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે વ્યાખ્યા અનુસાર તે SL (2, R) નું બેવડું આવરણ છે અને જોડાયેલું છે. આમ મેટાપ્લેક્ટિક જૂથના તત્વ g માટે એક વિશિષ્ટ રીતે નિર્ધારિત કાર્ય m (g, z) 1/2 છે જે 1-ચક્ર સંબંધને સંતોષે છે. જો, તો તે L2 માં આવેલું છે અને તેને સુસંગત સ્થિતિ કહેવામાં આવે છે. આ વિધેયો SL (2, R) ની એક જ ભ્રમણકક્ષામાં આવેલા છે, જે SL (2, R) માં g માટે ઉત્પન્ન થાય છે, વધુ સ્પષ્ટ રીતે જો g એ Mp (2, R) માં આવેલું હોય તો ખરેખર, જો આ g અને h માટે હોય, તો તે તેમના ઉત્પાદન માટે પણ લાગુ પડે છે. બીજી બાજુએ, સૂત્ર સરળતાથી ચકાસવામાં આવે છે કે શું જી. ટી. નું સ્વરૂપ જી. આઈ. છે અને આ જનરેટર છે. આ મેટાપ્લેક્ટિક જૂથની સામાન્ય એકાત્મક રજૂઆતને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. તત્વ (1,-1) L2 (R) પર-1 દ્વારા ગુણાકાર તરીકે કાર્ય કરે છે, જેમાંથી તે અનુસરે છે કે SL (2, R) પર કોસાઇકલ માત્ર મૂલ્યો ±1 લે છે. માસ્લોવ અનુક્રમણિકામાં સમજાવ્યા મુજબ, ±1 મૂલ્યો લેતી મેટાપ્લેક્ટિક રજૂઆત સાથે સંકળાયેલ SL (2, R) પરનું 2-ચક્ર માસ્લોવ અનુક્રમણિકા દ્વારા નક્કી થાય છે. સમતલમાં ત્રણ બિન-શૂન્ય વેક્ટરને જોતાં, તેમના માસ્લોવ અનુક્રમણિકાને માસ્લોવ અનુક્રમણિકાના ગુણધર્મો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત R3 પરના દ્વિઘાત સ્વરૂપની સહી તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છેઃ તે વેક્ટર દ્વારા ફેલાયેલી એક-પરિમાણીય પેટા જગ્યાઓ પર આધાર રાખે છે તે SL (2, R) હેઠળ અપરિવર્તનશીલ છે તે તેની દલીલોમાં વૈકલ્પિક છે, એટલે કે. તેની નિશાની બદલાય છે જો બે દલીલો અદલાબદલી કરવામાં આવે તો તે અદૃશ્ય થઈ જાય છે જો બે પેટા જગ્યાઓ એક સાથે આવે તો તે-1,0 અને + 1 મૂલ્યો લે છેઃ જો u અને v B (u, v) = 1 અને w = au + bv ને સંતોષે છે, તો માસ્લોવ અનુક્રમણિકા શૂન્ય છે જો ab = 0 અને અન્યથા ઓછા બરાબર છે. 2-ચક્રના ફેરફારનો ઉપયોગ મેટાપ્લેક્ટિક કોસાઇકલ સાથે જોડાયેલા ±1 માં મૂલ્યો સાથે 2-ચક્રને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે થઈ શકે છે. હકીકતમાં સમતલમાં બિન-શૂન્ય વેક્ટર u, v આપવામાં આવે તો, f (u, v) ને B (u, v) ની નિશાનીના i ગણા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરો જો u અને v એ λ ની નિશાનીના પ્રમાણસર ન હોય જો u = λv હોય. જો પછી મેટાપ્લેક્ટિક રજૂઆતમાં પ્રતિનિધિઓ π (g) પસંદ કરી શકાય છે જેથી જ્યાં 2-ચક્ર ω ને હોલોમોર્ફિક ફોક સ્પેસ (સેગલ-બર્ગમેન સ્પેસ તરીકે પણ ઓળખાય છે) દ્વારા આપવામાં આવે છે, તેને મર્યાદિત સાથે C પર હોલોમોર્ફિક ફંક્શન્સ f (z) ની વેક્ટર સ્પેસ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. તેનું આંતરિક ઉત્પાદન ઓર્થોનોર્મલ આધાર સાથે હિલ્બર્ટ જગ્યા છે વધુમાં, હોલોમોર્ફિક કાર્યનું પાવર સિરીઝ વિસ્તરણ આ આધારના સંદર્ભમાં તેનું વિસ્તરણ આપે છે. આમ સી માં ઝેડ માટે જેથી ઝેડ પર મૂલ્યાંકન સતત રેખીય કાર્યાત્મક આપે છે હકીકતમાં જ્યાં આમ ખાસ કરીને પુનઃઉત્પાદન કર્નલ હિલ્બર્ટ જગ્યા છે. C માં f in અને z માટે વ્યાખ્યાયિત કરો પછી આ વેઇલ પરિવર્તન સંબંધોની એકાત્મક રજૂઆત આપે છે. હવે તે અનુસરે છે કે રજૂઆત ઈરીડ્યુસિબલ છે. ખરેખર, તમામ Ea માટે ઓર્થોગોનલ કોઈપણ કાર્ય અદૃશ્ય થઈ જવું જોઈએ, જેથી તેમનો રેખીય ગાળો ગાઢ હોય. જો P એ W (z) સાથે આવનજાવન કરતું ઓર્થોગોનલ પ્રક્ષેપણ હોય, તો f = PE0 ધારો. પછી આ સ્થિતિને સંતોષતું એકમાત્ર હોલોમોર્ફિક કાર્ય એ અચળ કાર્ય છે. તેથી λ = 0 અથવા 1 સાથે. E0 ચક્રીય હોવાથી, તે P = 0 અથવા I ને અનુસરે છે. સ્ટોન-વોન ન્યુમેન થીયરમ દ્વારા એલ 2 (આર) થી એક એકાત્મક ઓપરેટર છે, જે સ્કેલર દ્વારા ગુણાકાર સુધી અનન્ય છે, જે વેઇલ પરિવર્તન સંબંધોની બે રજૂઆતોને એકબીજા સાથે જોડે છે. શુરના લેમ્મા અને ગેલફૅન્ડ-નૈમાર્ક રચના દ્વારા, કોઈપણ વેક્ટરનો મેટ્રિક્સ ગુણાંક સ્કેલર ગુણાંક સુધી વેક્ટર નક્કી કરે છે. F = E0 અને f = H0 ના મેટ્રિક્સ ગુણાંક સમાન હોવાથી, તે અનુસરે છે કે એકાત્મક વિશિષ્ટ ગુણધર્મો દ્વારા નક્કી થાય છે અને તેથી L2 (R) માં f માટે જેથી જ્યાં ઓપરેટરને સેગલ-બર્ગમેન ટ્રાન્સફોર્મ અને B ને બર્ગમેન કર્નલ કહેવામાં આવે છે. તેની સંલગ્નતા સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છેઃ ફોક મોડેલ હોલોમોર્ફિક ફોક સ્પેસ પર એસયુ (1,1) ની ક્રિયાને અને દ્વારા વર્ણવવામાં આવી હતી. એસયુ (1,1) નું મેટાપ્લેક્ટિક ડબલ કવર સ્પષ્ટપણે જોડી (જી, γ) સાથે અને જો જી = જી 1 જી 2 તરીકે બનાવી શકાય છે, તો પછી |z | <1 માટે (1 + ઝેડ) 1/2 ની પાવર સિરીઝ વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરીને. મેટાપ્લેક્ટિક રજૂઆત એ આ જૂથની એકાત્મક રજૂઆત π (g, γ) છે જે સહપ્રસરણ સંબંધોને સંતોષ આપે છે જ્યાં કારણ કે તે પુનઃઉત્પાદન કરનારી કર્નલ હિલ્બર્ટ જગ્યા છે, તેથી તેના પરનો કોઈપણ બાઉન્ડેડ ઓપરેટર T તેની બે દલીલોની પાવર શ્રેણી દ્વારા આપવામાં આવેલા કર્નલને અનુરૂપ છે. હકીકતમાં જો અને F અંદર હોય, તો પછી સહપ્રસરણ સંબંધો અને કર્નલની વિશ્લેષણાત્મકતા સૂચવે છે કે S = π (g, γ) માટે, કેટલાક અચળ C માટે. સીધી ગણતરી દર્શાવે છે કે તે બેવડા આવરણની સામાન્ય રજૂઆત તરફ દોરી જાય છે. સુસંગત સ્થિતિઓને ફરીથી મેટાપ્લેક્ટિક જૂથ હેઠળ E0 ની ભ્રમણકક્ષા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. ડબલ્યુ કોમ્પ્લેક્સ માટે, સેટ કરો પછી જો અને માત્ર જો |w | <1. ખાસ કરીને F0 = 1 = E0. તદુપરાંત, જ્યાં એ જ રીતે વિધેયો zFw આવેલા છે અને મેટાપ્લેક્ટિક જૂથની ભ્રમણકક્ષા બનાવે છેઃ કારણ કે (Fw, E0) = 1, વિધેય E0 = 1 નો મેટ્રિક્સ ગુણાંક ડિસ્ક મોડેલ દ્વારા આપવામાં આવે છે L2 (R) પર SL (2, R) ની પ્રોજેક્ટિવ રજૂઆત અથવા x અથવા z ના સમ અને વિષમ વિધેયોને અનુરૂપ બે ઇરેડ્યુસિબલ રજૂઆતોના સીધા સરવાળા તરીકે વિભાજન પર. બે રજૂઆતો યુનિટ ડિસ્ક પર હોલોમોર્ફિક વિધેયોની હિલ્બર્ટ જગ્યાઓ પર અનુભવી શકાય છે; અથવા, કેલી ટ્રાન્સફોર્મનો ઉપયોગ કરીને, ઉપલા અડધા સમતલ પર. સમ વિધેયો હોલોમોર્ફિક વિધેયો F + ને અનુરૂપ હોય છે, જેના માટે તે મર્યાદિત હોય છે અને વિષમ વિધેયો હોલોમોર્ફિક વિધેયો F-માટે મર્યાદિત હોય છે. આ અભિવ્યક્તિઓના ધ્રુવીકૃત સ્વરૂપો આંતરિક ઉત્પાદનોને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. મેટાપ્લેક્ટિક જૂથની ક્રિયા આ રજૂઆતોની ઇરેડ્યુસિબિલિટી દ્વારા આપવામાં આવે છે જે પ્રમાણભૂત રીતે સ્થાપિત થાય છે. દરેક રજૂઆત પરિભ્રમણ જૂથના એક પરિમાણીય ઇગેનસ્પેસના સીધા સરવાળા તરીકે વિભાજિત થાય છે, જેમાંથી દરેક સમગ્ર જૂથ માટે C ≤ વેક્ટર દ્વારા ઉત્પન્ન થાય છે. તે અનુસરે છે કે કોઈપણ બંધ અપરિવર્તનશીલ સબસ્પેસ તેમાં સમાવિષ્ટ ઇગેનસ્પેસના બીજગણિત સીધા સરવાળા દ્વારા પેદા થાય છે અને આ સરવાળો લાઈ બીજગણિતની અનંત ક્રિયા હેઠળ અપરિવર્તનશીલ છે. બીજી બાજુ, તે ક્રિયા ઈરીડ્યુસિબલ છે. સમ અને વિષમ કાર્યો સાથેનું સમરૂપતા ગેલફૅન્ડ-નૈમાર્ક રચનાનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરી શકાય છે કારણ કે અનુરૂપ રજૂઆતમાં 1 અને z સાથે સંકળાયેલા મેટ્રિક્સ ગુણાંક પ્રમાણસર હોય છે. નકશામાંથી શરૂ કરીને સમ અને વિષમ ભાગોથી લઈને એકમ ડિસ્ક પરના કાર્યો સુધીની બીજી પદ્ધતિ આપી. આ નકશા ઉપર આપેલા મેટાપ્લેક્ટિક જૂથની ક્રિયાઓને એકબીજા સાથે જોડે છે અને zn ને ડબલ્યુએનના ગુણાંક પર મોકલે છે. યુ ± એકાત્મક હોવું જોઈએ તે નિર્ધારિત કરવાથી ડિસ્ક પરના કાર્યો પરના આંતરિક ઉત્પાદનો નક્કી થાય છે, જે ઉપરના સ્વરૂપમાં વ્યક્ત કરી શકાય છે. જો કે આ રજૂઆતોમાં સંચાલક L0 હકારાત્મક વર્ણપટ ધરાવે છે-જે લક્ષણ એયુ (1,1) ની હોલોમોર્ફિક અલગ શ્રેણી રજૂઆતોને અલગ પાડે છે-રજૂઆતો મેટાપ્લેક્ટિક જૂથની અલગ શ્રેણીમાં નથી. ખરેખર, નોંધ્યું છે કે મેટ્રિક્સ ગુણાંક વર્ગ સંકલિત નથી, તેમ છતાં તેમની ત્રીજી શક્તિ છે. હાર્મોનિક ઓસિલેટર અને હર્માઇટ કાર્યો L2 (R) ની નીચેની પેટા જગ્યાને ધ્યાનમાં લોઃ X પર કામ કરતા ઓપરેટરોને એનિહિલેશન ઓપરેટર અને Y ને ક્રિએશન ઓપરેટર કહેવામાં આવે છે. આપણે દાવો કરીએ છીએ કે તેઓ હાર્મોનિક ઓસિલેટર, D ના આઈગનફંક્શન્સ છે. આ સાબિત કરવા માટે આપણે ઉપરના પરિવર્તન સંબંધોનો ઉપયોગ કરીએ છીએઃ આગળ આપણી પાસે છેઃ આ n = 0 માટે જાણીતું છે અને ઉપજ ઉપરના પરિવર્તન સંબંધ nth હર્માઇટ કાર્યને pn દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જેને nth હર્માઇટ બહુપદી કહેવામાં આવે છે. ચાલો આ રીતે ઓપરેટરો પી, ક્યૂ અથવા સમકક્ષ એ, એ * પ્રમાણભૂત દલીલ દ્વારા અનિવાર્યપણે કાર્ય કરે છે. ખરેખર, હોલોમોર્ફિક ફોક સ્પેસ સાથે એકાત્મક આઇસોમોર્ફિઝમ હેઠળ સી [ઝેડ] સાથે ઓળખી શકાય છે, ઝેડમાં બહુપદીઓની જગ્યા, સાથે જો એ અને એ * હેઠળ સબસ્પેસ અપરિવર્તનશીલમાં બિન-શૂન્ય બહુપદી પી (ઝેડ) હોય, તો પછી, એ * ની શક્તિ લાગુ કરીને, તેમાં બિન-શૂન્ય અચળાંક હોય છે; પછી એ ની શક્તિ લાગુ કરીને, તેમાં તમામ ઝેડ હોય છે. સમરૂપતા હેઠળ Fn એ zn ના ગુણાંક પર મોકલવામાં આવે છે અને સંચાલક D એ ચાલો દ્વારા આપવામાં આવે છે જેથી ભૌતિકશાસ્ત્ર A ની પરિભાષામાં, A * એ એક જ બોસોન આપે છે અને L0 એ ઊર્જા સંચાલક છે. તે 1/2,1,3/2,, દરેક ગુણાકાર એક સાથે વિકર્ણક્ષમ છે. આવી રજૂઆતને સકારાત્મક ઊર્જા રજૂઆત કહેવામાં આવે છે. વધુમાં, જેથી L0 સાથેનું લાઈ કૌંસ A, A * અને I દ્વારા ફેલાયેલા લાઈ બીજગણિતની વ્યુત્પત્તિને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. સ્ટોન-વોન ન્યુમેન પ્રમેયની અનંત આવૃત્તિ જણાવે છે કે C [z] પર ઉપરોક્ત રજૂઆત એ L0 = A * A + 1/2 સાથે આ લાઈ બીજગણિતની અનન્ય ઈરીડ્યુસિબલ પોઝિટિવ એનર્જી રજૂઆત છે. કારણ કે A ઊર્જા ઘટાડે છે અને A * ઊર્જા વધારે છે. તેથી કોઈપણ સૌથી નીચો ઊર્જા વેક્ટર v એ દ્વારા નાબૂદ થાય છે અને મોડ્યુલ એ * ની ઘાત દ્વારા સમાપ્ત થાય છે જે v પર લાગુ થાય છે. આમ તે C [z] નો બિન-શૂન્ય ભાગાકાર છે અને તેથી તેની સાથે ઇરેડ્યુસિબિલિટી દ્વારા ઓળખી શકાય છે. ધારો કે જેથી આ ઓપરેટરો સંતોષ પામેઃ અને A, A * અને I દ્વારા ફેલાયેલા લાઈ બીજગણિત પર વ્યુત્પત્તિ દ્વારા કાર્ય કરે. તેઓ એસયુ (1,1) ની મેટાપ્લેક્ટિક રજૂઆતને અનુરૂપ અનંત ઓપરેટરો છે. તે અનુસરે છે કે હર્માઇટ કાર્યો એ ગ્રામ-શ્મિટ ઓર્થોનોર્મલાઇઝેશન પ્રક્રિયાને xn exp-x2/2 ના આધાર પર લાગુ કરીને મેળવેલ ઓર્થોનોર્મલ આધાર છે. હર્માઇટ કાર્યોની સંપૂર્ણતા એ હકીકત પરથી અનુસરે છે કે બર્ગમેન રૂપાંતર એકાત્મક છે અને હોલોમોર્ફિક ફોક સ્પેસના ઓર્થોનોર્મલ બેસિસ એન (ઝેડ) ને એચએન (એક્સ) પર વહન કરે છે. હાર્મોનિક ઓસિલેટર માટે હીટ ઓપરેટર એ L2 (R) પર વિકર્ણ ઓપરેટર તરીકે વ્યાખ્યાયિત ઓપરેટર છે તે મેહલરના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવેલા હીટ કર્નલને અનુરૂપ છેઃ આ સૂત્રમાંથી અનુસરે છે આ સૂત્રને સાબિત કરવા માટે નોંધો કે જો s = σ2, તો ટેલરના સૂત્ર દ્વારા આમ Fσ, x હોલોમોર્ફિક ફોક સ્પેસમાં આવેલું છે અને આંતરિક ઉત્પાદન કે જેની સીધી ગણતરી કરી શકાય છે. મેહલરનું સૂત્ર સીધું સ્થાપિત કરે છે અને તે સાબિત કરવા માટે શાસ્ત્રીય દલીલનો ઉપયોગ કરે છે કે જે L2 (R) માં f તરફ વલણ ધરાવે છે કારણ કે t ઘટીને 0 થાય છે. આ હર્માઇટ કાર્યોની સંપૂર્ણતા દર્શાવે છે અને તેનો ઉપયોગ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મના ગુણધર્મો મેળવવા માટે પણ થઈ શકે છે. હર્માઇટ કાર્યોની સંપૂર્ણતા સાબિત કરવા માટે અન્ય પ્રાથમિક પદ્ધતિઓ છે, ઉદાહરણ તરીકે ફોરિયર શ્રેણીનો ઉપયોગ કરવો. સોબોલેવ જગ્યાઓ સોબોલેવ જગ્યાઓ એચએસ, જેને કેટલીકવાર હર્માઇટ-સોબોલેવ જગ્યાઓ કહેવામાં આવે છે, તેને ધોરણોના સંદર્ભમાં પૂર્ણ થવા માટે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જ્યાં હર્માઇટ કાર્યોમાં એફનું વિસ્તરણ છે. આમ સોબોલેવ જગ્યાઓ હિલ્બર્ટ જગ્યાઓ છે. વધુમાં, Hs અને H-s જોડી હેઠળ દ્વૈતતામાં છે, કેટલાક હકારાત્મક અચળાંક Cs માટે. ખરેખર, આવી અસમાનતાને હર્માઇટ વિધેયો Hn પર કામ કરતા સર્જન અને વિનાશ સંચાલકો માટે ચકાસી શકાય છે અને આ સામાન્ય અસમાનતાને સૂચવે છે. તે દ્વૈત દ્વારા મનસ્વી s માટે અનુસરે છે. પરિણામે, P અને Q માં દ્વિઘાત બહુપદી R માટે સોબોલેવ અસમાનતા કોઈપણ k ≤ 0 માટે s> 1/2: સાથે Hs માં f માટે ધરાવે છે. ખરેખર, સામાન્ય k માટેનું પરિણામ qkf પર લાગુ થયેલા k = 0 કેસમાંથી અનુસરે છે. k = 0 માટે ફોરિયર વ્યુત્ક્રમ સૂત્ર સૂચવે છે કે જો s <t, D નું કર્ણ સ્વરૂપ, દર્શાવે છે કે Hs માં Ht નો સમાવેશ સઘન છે (રેલ્લીચનો લેમ્મા). તે સોબોલેવની અસમાનતાને અનુસરે છે કે જગ્યાઓ Hs નું આંતરછેદ છે. કાર્યોમાં તેમના હર્માઇટ ગુણાંકના ઝડપી ક્ષય દ્વારા વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે. પ્રમાણભૂત દલીલો દર્શાવે છે કે દરેક સોબોલેવ જગ્યા ઓપરેટરો W (z) અને મેટાપ્લેક્ટિક જૂથ હેઠળ અપરિવર્તનશીલ છે. ખરેખર, જ્યારે g ઓળખની પૂરતી નજીક હોય ત્યારે તે ઇનવેરિયન્સ તપાસવા માટે પૂરતું છે. તે કિસ્સામાં D + A સાથે એક આઇસોમોર્ફિઝમ તે અનુસરે છે કે જો પછી જ્યાં ડેરિવેટિવ્ઝ હોય છે તે જ રીતે U (s) V (t) f ની કુલ ડિગ્રી k ના આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ s-k/2 ક્રમની સોબોલેવ જગ્યાઓમાં આવેલા છે. પરિણામે, f પર લાગુ કરાયેલ ક્રમ 2k ની P અને Q માં એકવિધતા Hs-k માં હોય છે અને તેને 0 પર મૂલ્યાંકન કરાયેલ U (s) V (t) f ની ડિગ્રી ≤ 2k ના આંશિક વ્યુત્પન્નના રેખીય સંયોજન તરીકે વ્યક્ત કરી શકાય છે. સરળ વેક્ટર વેઇલ પરિવર્તન સંબંધો માટે સરળ વેક્ટર એ L2 (R) માં એવા છે કે નકશો સરળ હોય. સમાન બાઉન્ડનેસ થીયરમ દ્વારા, આ દરેક મેટ્રિક્સ ગુણાંક (W (z) u, v) સરળ હોવાની જરૂરિયાતની સમકક્ષ છે. વેક્ટર સરળ હોય છે જો અને માત્ર તે તેમાં જ હોય. પર્યાપ્તતા સ્પષ્ટ છે. જરૂરિયાત માટે, સરળતા સૂચવે છે કે W (z) u ના આંશિક વ્યુત્પન્ન L2 (R) માં આવેલા છે અને તેથી તમામ હકારાત્મક k માટે Dku પણ છે. તે અનુસરે છે કે મેટાપ્લેક્ટિક જૂથ માટે સરળ વેક્ટર પણ સરળ હોય છે. વધુમાં, વેક્ટર જો અને માત્ર ત્યારે જ હોય છે જો તે એસયુ (1,1) ના પરિભ્રમણ પેટાજૂથ માટે સરળ વેક્ટર હોય. વિશ્લેષણાત્મક વેક્ટર જો Π (t) એક પરિમાણ એકાત્મક જૂથ હોય અને f માટે Π (f) ω વેક્ટર Π માટે સરળ વેક્ટરનો ગાઢ સમૂહ બનાવે છે. હકીકતમાં વેક્ટર v = Π (fε)  ઒ત્તવાથી ε ઘટીને 0 થાય છે અને તે t નું વિશ્લેષણાત્મક કાર્ય છે જે C પરના સમગ્ર કાર્ય સુધી વિસ્તરે છે. હાર્મોનિક ઓસિલેટર સાથે સંકળાયેલ વેવ ઓપરેટર દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે ઓપરેટર હર્માઇટ ફંક્શન્સ Hn સાથે આયગનફંક્શન્સ તરીકે કર્ણ છેઃ કારણ કે તે D સાથે મુસાફરી કરે છે, તે સોબોલેવ જગ્યાઓને સાચવે છે. ઉપર બાંધવામાં આવેલા વિશ્લેષણાત્મક વેક્ટરને હર્માઇટ અર્ધસમૂહની દ્રષ્ટિએ ફરીથી લખી શકાય છે. હકીકત એ છે કે v એ Π માટે સંપૂર્ણ વેક્ટર છે જે તમામ r> 0 માટે સારાંશની સ્થિતિને સમકક્ષ છે. આવા કોઈપણ વેક્ટર પણ U (s) V (t) માટે સંપૂર્ણ વેક્ટર છે, એટલે કે R2 પર વ્યાખ્યાયિત નકશો C2 પર વિશ્લેષણાત્મક નકશા સુધી વિસ્તરે છે. તેથી આ યુ (એસ) વી (ટી) માટે સમગ્ર વેક્ટરનો ગાઢ સમૂહ બનાવે છે; આને સીધા મેહલરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને પણ ચકાસી શકાય છે. યુ (એસ) વી (ટી) માટે સરળ અને સંપૂર્ણ વેક્ટરની જગ્યાઓ વ્યાખ્યા દ્વારા દરેક મેટાપ્લેક્ટિક જૂથ તેમજ હર્માઇટ અર્ધસમૂહની ક્રિયા હેઠળ અપરિવર્તનશીલ છે. ચાલો ઓપરેટર W (x, y) ને R2 થી C2 સુધી વિશ્લેષણાત્મક રીતે ચાલુ રાખીએ જેથી W સમગ્ર વેક્ટરની જગ્યા અપરિવર્તનશીલ રાખે અને સંતોષ આપે. ઔપચારિક રીતે ઓસિલેટર સેમીગ્રુપ ઓલ્શાન્સ્કી સેમીગ્રુપ એચનું કુદરતી ડબલ કવર છે, અને તેનું બંધ જે મેટાપ્લેક્ટિક જૂથને અનુરૂપ એસયુ (1,1) ના ડબલ કવરને વિસ્તરે છે. તે જોડી (g, γ) દ્વારા આપવામાં આવે છે જ્યાં g એ H અથવા તેના બંધનું તત્વ છે અને γ એ a નું વર્ગમૂળ છે. આવી પસંદગી |z | <1 માટે એક અનન્ય શાખા નક્કી કરે છે. SL (2, R) માં g માટે એકાત્મક ઓપરેટરો π (g) એ C2 માં u માટે સંતોષ આપે છે. જટિલકરણ SL (2, C) નું એક તત્વ g અમલમાં મૂકી શકાય તેવું કહેવાય છે જો ત્યાં એક બાઉન્ડેડ ઓપરેટર T હોય કે જેથી તે અને તેની સંલગ્ન W અપરિવર્તન માટે સમગ્ર વેક્ટરની જગ્યા છોડી દે, બંને ગાઢ છબીઓ ધરાવે છે અને C2 માં u માટે સહપ્રસરણ સંબંધોને સંતોષે છે. અમલીકરણ ઓપરેટર T અનન્ય રીતે બિન-શૂન્ય સ્કેલર દ્વારા ગુણાકાર સુધી નક્કી થાય છે. અમલીકરણપાત્ર ઘટકો એક અર્ધસમૂહ બનાવે છે, જેમાં SL (2, R) હોય છે. પ્રતિનિધિત્વમાં હકારાત્મક ઊર્જા હોવાથી, t> 0 માટે બાઉન્ડેડ કોમ્પેક્ટ સેલ્ફ-એડજોઈન્ટ ઓપરેટરો એક્સપો C1 માં જૂથ તત્વોને અમલમાં મૂકે છે. તે અનુસરે છે કે ઓલ્શાન્સ્કી અર્ધસમૂહના તમામ ઘટકો અને તેના બંધનો અમલ કરવામાં આવે છે. ઓલ્શંકી અર્ધસમૂહની મહત્તમતા સૂચવે છે કે SL (2, C) ના અન્ય કોઈ ઘટકોનો અમલ કરવામાં આવ્યો નથી. ખરેખર, અન્યથા SL (2, C) નું દરેક તત્વ બાઉન્ડેડ ઓપરેટર દ્વારા લાગુ કરવામાં આવશે, જે t> 0 માટે ઓપરેટરો S0 (t) ની બિન-પરિવર્તનીયતાને વિરોધાભાસી હશે. શ્રોડિંગર રજૂઆતમાં t> 0 માટે ઓપરેટરો S0 (t) મેહલરના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે. તેઓ સંકોચન સંચાલકો છે, હકારાત્મક અને દરેક સ્કેટેન વર્ગમાં. વધુમાં, તેઓ દરેક સોબોલેવ જગ્યાઓને અપરિવર્તનશીલ રાખે છે. વિશ્લેષણાત્મક સાતત્ય માટે પણ આ જ સૂત્ર સાચું છે. તે સીધા ફોક મોડેલમાં જોઈ શકાય છે કે અમલીકરણ ઓપરેટરોને પસંદ કરી શકાય છે જેથી તેઓ ઉપર બાંધવામાં આવેલા H ના ડબલ કવરની સામાન્ય રજૂઆતને વ્યાખ્યાયિત કરે. સંકોચન સંચાલકોના અનુરૂપ અર્ધસમૂહને ઓસિલેટર અર્ધસમૂહ કહેવામાં આવે છે. વિસ્તૃત ઓસિલેટર અર્ધસમૂહ ઓપરેટરો W (u) સાથે અર્ધ-પરોક્ષ ઉત્પાદન લઈને મેળવવામાં આવે છે. આ ઓપરેટરો દરેક સ્કેટેન વર્ગમાં આવેલા હોય છે અને W માટે સોબોલેવની જગ્યાઓ અને સમગ્ર વેક્ટરની જગ્યાઓને અપરિવર્તનશીલ રાખે છે. વિઘટન ઓપરેટર સ્તર પર બંધાયેલા ઓપરેટરોના ધ્રુવીય વિઘટનને અનુરૂપ હોય છે. વધુમાં, H માં કોઈપણ મેટ્રિક્સ H અથવા H − 1 માં તત્વો દ્વારા કર્ણ મેટ્રિક્સ સાથે સંયોજિત હોવાથી, ઓસિલેટર અર્ધસમૂહમાં દરેક ઓપરેટર ઓપરેટર S0 (t) સાથે અર્ધ-સમાન હોય છે. ખાસ કરીને તેમાં સમાન વર્ણપટ હોય છે જેમાં સરળ આઈગન વેલ્યુ હોય છે. ફોક મોડેલમાં, જો ઓલ્શંકી અર્ધસમૂહ H નું તત્વ g મેટ્રિક્સને અનુરૂપ હોય તો અનુરૂપ ઓપરેટર ક્યાં દ્વારા આપવામાં આવે છે અને γ એ a નું વર્ગમૂળ છે. અર્ધસમૂહ H માં g માટે ઓપરેટર્સ π (g, γ) બરાબર તે જ છે જે હિલ્બર્ટ-શ્મિટ ઓપરેટર્સ છે અને તે સ્વરૂપના કર્નલોને અનુરૂપ છે જેના માટે જટિલ સપ્રમાણ મેટ્રિક્સમાં ઓપરેટર ધોરણ એક કરતા સખત રીતે ઓછું હોય છે. વિસ્તૃત ઓસિલેટર અર્ધસમૂહમાં ઓપરેટરો સમાન સમીકરણો દ્વારા આપવામાં આવે છે જેમાં ઘાતાંકીયમાં દેખાતા z અને w માં વધારાની રેખીય શરતો હોય છે. મેટાપ્લેક્ટીક રજૂઆતના બે ઈરીડ્યુસિબલ ઘટકો માટેના ડિસ્ક મોડેલમાં, અનુરૂપ ઓપરેટરો દ્વારા આપવામાં આવે છે શ્રોડિંગર રજૂઆતમાં H માં g ને અનુરૂપ સંકોચન ઓપરેટરો માટે સ્પષ્ટ સૂત્ર આપવું પણ શક્ય છે, આ સૂત્ર દ્વારા જ ઓસિલેટર સેમીગ્રુપને L2 (R) પર ઓપરેટરોના સ્પષ્ટ પરિવાર તરીકે રજૂ કરવામાં આવ્યું હતું. હકીકતમાં સકારાત્મક ચોક્કસ વાસ્તવિક ભાગ સાથે સપ્રમાણ જટિલ 2x2 મેટ્રિસીસ ધરાવતા સીગલ ઉપલા અર્ધ સમતલને ધ્યાનમાં લોઃ અને L2 (R) માં f માટે અનુરૂપ ઓપરેટર સાથે કર્નલને વ્યાખ્યાયિત કરો. પછી સીધી ગણતરી જ્યાં આપે છે તે આપે છે વધુમાં, જ્યાં ઓસિલેટર સેમિગ્રુપ માટે મેહલરનું સૂત્ર B ષ્ણાંક 0 સાથે માત્ર મેટ્રિસીસ લઈને મેળવવામાં આવે છે. ઉપરોક્તમાંથી, આ સ્થિતિ રચના હેઠળ બંધ છે. નોર્મલાઇઝ્ડ ઓપરેટરને આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે કે વર્ગમૂળની પસંદગી ડબલ કવર નક્કી કરે છે. આ કિસ્સામાં SZ એ ઓલ્શાન્કી અર્ધસમૂહ H ના તત્વને અનુરૂપ છે. વધુમાં, SZ એ એક કડક સંકોચન છેઃ તે એ પણ અનુસરે છે કે વેઇલ કેલ્ક્યુલસ R2 = C પર ફંક્શન a (x, y) માટે, ચાલો તો જ્યાં સામાન્ય રીતે આવા બે ઓપરેટરોના ગુણાકારની વ્યાખ્યા સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે જ્યાં ટ્વિસ્ટેડ કન્વોલ્યુશન અથવા મોયલ પ્રોડક્ટ દ્વારા આપવામાં આવે છે. અનુરૂપ ઓપરેટરો T પાસે કર્નલો છે જે શ્વાર્ટઝ વિધેયો છે. તેઓ દરેક સોબોલેવની જગ્યાને શ્વાર્ટઝ કાર્યોમાં લઈ જાય છે. વધુમાં, આ ગુણધર્મ ધરાવતા L2 (R) પરના દરેક બાઉન્ડેડ ઓપરેટરનું આ સ્વરૂપ હોય છે. ઓપરેટરો માટે si (a) મોયલ પ્રોડક્ટ વેઇલ સિમ્બોલિક કલનમાં અનુવાદિત થાય છે. ખરેખર, જો a અને b ના ફોરિયર રૂપાંતરણો જ્યાં આ અનુસરે છે તેના કરતા સઘન આધાર ધરાવે છે કારણ કે આ કિસ્સામાં b એ પાલે-વીનર પ્રમેય દ્વારા C2 પરના સંપૂર્ણ કાર્ય સુધી વિસ્તરવું આવશ્યક છે. આ કલનને પ્રતીકોના વ્યાપક વર્ગ સુધી વિસ્તૃત કરી શકાય છે, પરંતુ સૌથી સરળ કાર્ય અથવા વિતરણોના વર્ગ દ્વારા કોન્વોલ્યુશનને અનુરૂપ છે જેમાં બધાનું સ્વરૂપ T + S છે જ્યાં T એ 0 પર કેન્દ્રિત એકવચન આધાર સાથે કોમ્પેક્ટનું વિતરણ છે અને જ્યાં S એ શ્વાર્ટઝ કાર્ય છે. આ વર્ગમાં ઓપરેટરો પી, ક્યૂ તેમજ ડી1/2 અને ડી − 1/2 છે જ્યાં ડી હાર્મોનિક ઓસિલેટર છે. mth ક્રમના પ્રતીકો Sm સરળ કાર્યો દ્વારા આપવામાં આવે છે જે તમામ α માટે સંતોષકારક હોય છે અને આવા a માટે તમામ ઓપરેટરો si (a) નો સમાવેશ થાય છે. જો a એ Sm માં હોય અને χ એ 0 ની નજીક 1 ની બરાબર કોમ્પેક્ટ સપોર્ટનું સરળ કાર્ય હોય, તો પછી ઉપરની જેમ T અને S સાથે. આ ઓપરેટરો શ્વાર્ટઝ કાર્યોને જાળવી રાખે છે અને સંતોષ આપે છે; ઓપરેટરો P અને Q એ ેડઆઈ1 માં અને D એ ેડઆઈ2 માં આવેલા છે. ગુણધર્મોઃ શૂન્ય ક્રમ પ્રતીક L2 (R) પર બંધાયેલા સંચાલકને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. જો R = R * સ્મૂથિંગ હોય, તો D + R પાસે (D + R) fn = λnfn સાથે આઈગનવેક્ટર્સ fn નો સંપૂર્ણ સમૂહ હોય છે અને λn એ ≈ તરફ વલણ ધરાવે છે કારણ કે n એ ≈ તરફ વલણ ધરાવે છે. D1/2 એ ેડઆઈ1 માં આવેલું છે અને તેથી D−1/2 એ ેડઆઈ − 1 માં આવેલું છે, કારણ કે D−1/2 = D1/2 · D−1 ેડઆઈ − 1 કોમ્પેક્ટ ઓપરેટર્સ ધરાવે છે, ેડઆઈ − s એ એસ> 1 માટે ટ્રેસ-ક્લાસ ઓપરેટર્સ ધરાવે છે અને ેડઆઈકે એચએમને એચએમ-કેમાં વહન કરે છે. ની બાઉન્ડનેસનો પુરાવો ખાસ કરીને સરળ છેઃ જો પછી જ્યાં કૌંસવાળા ઓપરેટરનું ધોરણ તેના કરતા ઓછું હોય. તેથી જો F ને |z | ≤ R માં ટેકો આપવામાં આવે, તો પછી R = I-DS એ χ−1 માં આવેલું છે, જેથી તે χ−2 માં આવેલું છે અને T = DA-I સ્મૂથિંગ છે. તેથી તે χ−2 માં આવેલું છે કારણ કે D−1T સ્મૂથિંગ છે. D1/2 માટેનો ગુણધર્મ એ જ રીતે વાસ્તવિક પ્રતીક સાથે ેડ1/2 માં બી બનાવીને સ્થાપિત કરવામાં આવે છે જેમ કે ડી-બી 4 એક સ્મૂથિંગ ઓપરેટર છે. હોલોમોર્ફિક ફંક્શનલ કેલ્ક્યુલસનો ઉપયોગ કરીને તે ચકાસી શકાય છે કે D1/2-B2 એ સ્મૂથિંગ ઓપરેટર છે. ઉપરોક્ત બાઉન્ડનેસ પરિણામનો ઉપયોગ સ્યુડોડિફરેન્શિયલ ઓપરેટરો માટે આલ્બર્ટો કાલ્ડેરોન અને રેમી વેલેનકોર્ટની વધુ સામાન્ય અસમાનતાને સ્થાપિત કરવા માટે કરવામાં આવ્યો હતો. એક વૈકલ્પિક પુરાવો જે ફોરિયર ઇન્ટિગ્રલ ઓપરેટરોને વધુ સામાન્ય રીતે લાગુ પડે છે તે દ્વારા આપવામાં આવ્યો હતો. તેમણે દર્શાવ્યું હતું કે આવા ઓપરેટરોને ઓસિલેટર અર્ધસમૂહ પર સંકલન તરીકે વ્યક્ત કરી શકાય છે અને પછી કોટલર-સ્ટીન લેમ્માનો ઉપયોગ કરીને અંદાજ લગાવી શકાય છે. મર્યાદિત અબેલિયન જૂથો માટે ઉપયોગો અને સામાન્યીકરણ સિદ્ધાંત નોંધે છે કે સ્ટોન-વોન ન્યુમેન પ્રમેયની ઔપચારિકતા અને સિંપ્લેક્ટિક જૂથની ઓસિલેટર રજૂઆત વાસ્તવિક સંખ્યાઓ R થી કોઈપણ સ્થાનિક રીતે સઘન અબેલિયન જૂથ સુધી વિસ્તરે છે. ખાસ કરીને સરળ ઉદાહરણ મર્યાદિત અબેલિયન જૂથો દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં પુરાવાઓ કાં તો પ્રાથમિક હોય છે અથવા આર માટેના પુરાવાઓનું સરળીકરણ હોય છે. ધારો કે એ એક મર્યાદિત અબેલિયન જૂથ છે, જે ઉમેરવામાં આવે છે, અને ધારો કે ક્યૂ એ ટીમાં મૂલ્યો સાથે એ પર બિન-અધોગામી દ્વિઘાત સ્વરૂપ છે. આમ એ પર સમપ્રમાણ દ્વિરેખીય સ્વરૂપ છે જે બિન-અધોગામી છે, તેથી એ અને તેના બેવડા જૂથ એ * = હોમ (એ, ટી) વચ્ચેની ઓળખને મંજૂરી આપે છે. ચાલો આંતરિક ઉત્પાદન સાથે A પર જટિલ-મૂલ્યવાન વિધેયોની જગ્યા હોઈએ. A માં x, y માટે V દ્વારા ઓપરેટરોને વ્યાખ્યાયિત કરો. પછી U (x) અને V (y) એ પરિવર્તન સંબંધોને સંતોષતા A પર V ની એકાત્મક રજૂઆત છે આ ક્રિયા ઈરીડ્યુસિબલ છે અને આ સંબંધોની આવી અનન્ય ઈરીડ્યુસિબલ રજૂઆત છે. ધારો કે G = A × A અને Z = (x, y) માટે G સમૂહમાં પછી જ્યાં G પર બિન-અપક્ષયી વૈકલ્પિક દ્વિસંગી સ્વરૂપ હોય. ઉપરોક્ત વિશિષ્ટતા પરિણામ સૂચવે છે કે જો W (z) એ G નું પ્રોજેક્ટિવ પ્રતિનિધિત્વ આપતું એકતાનું બીજું કુટુંબ છે, તો ત્યાં એક એકાત્મક U છે, જે એક તબક્કા સુધી અનન્ય છે, જેમ કે T માં કેટલાક λ (z) માટે. ખાસ કરીને જો g એ G નું ઓટોમોર્ફિઝમ છે જે B ને સાચવે છે, તો ત્યાં એક અનિવાર્યપણે અનન્ય એકાત્મક π (g) છે કે આવા તમામ ઓટોમોર્ફિઝમ્સના જૂથને B માટે સિમ્પ્લેક્ટિક જૂથ કહેવામાં આવે છે અને π એ V પર G નું પ્રોજેક્ટિવ પ્રતિનિધિત્વ આપે છે. જૂથ SL (2. Z) કુદરતી રીતે તે મેટ્રિસીસ દ્વારા ઉત્પન્ન થાય છે જો Z =-I, તો Z કેન્દ્રિય છે અને G ની આ ઓટોમોર્ફિઝમ્સ નીચેના ઓપરેટરો દ્વારા V પર લાગુ કરવામાં આવે છેઃ તે અનુસરે છે કે જ્યાં μ એ T માં આવેલું છે. સીધી ગણતરી દર્શાવે છે કે μ એ ગૌસ સરવાળા દ્વારા આપવામાં આવે છે થીટા કાર્યો માટેના પરિવર્તન નિયમો મેટાપ્લેક્ટિક જૂથને જૂથ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવ્યું હતું સુસંગત સ્થિતિ H ગુણ્યા L2 (R) સંતોષકારક હોલોમોર્ફિક નકશાને વ્યાખ્યાયિત કરે છે આ હકીકતમાં દરેક સોબોલેવ જગ્યા Hk માં હોલોમોર્ફિક નકશો છે અને તેથી પણ. બીજી બાજુ, (હકીકતમાં H-1 માં) SL (2, Z) હેઠળ અપરિવર્તનશીલ વિતરણોની મર્યાદિત-પરિમાણીય જગ્યા છે અને જ્યાં A = Z/NZ હોય ત્યાં N-પરિમાણીય ઓસિલેટર રજૂઆત માટે સમરૂપ છે. હકીકતમાં m> 0 દો અને N = 2m સુયોજિત કરો. ધારો કે M માં x અને y સાથે U (x), V (y) ઓપરેટરો બધા કમ્યુટ કરે છે અને M1 માં b સાથે વિતરણ દ્વારા રચાયેલા નિશ્ચિત વેક્ટરની મર્યાદિત-પરિમાણીય સબસ્પેસ ધરાવે છે, જ્યાં મ્બા ની વ્યાખ્યા કરતો સરવાળો રૂપાંતરિત થાય છે અને તે ફક્ત M1/M માં b ના વર્ગ પર આધાર રાખે છે. બીજી બાજુ, M1 માં x, y સાથે U (x) અને V (y) ઓપરેટરો M માટે તમામ અનુરૂપ ઓપરેટરો સાથે મુસાફરી કરે છે. તેથી જૂથ A = M1 એ V0 પર કાર્ય કરે છે. આ ક્રિયાને A સાથે સંકળાયેલ N-પરિમાણીય ઓસિલેટર રજૂઆત માટે V પરની ક્રિયા સાથે તરત જ ઓળખી શકાય છે, કારણ કે ઓપરેટરો π (R) અને π (S) એ M અને M1 ને અનુરૂપ ઓપરેટરો U અને V ના બે સમૂહોને સામાન્ય બનાવે છે, તેથી તે અનુસરે છે કે તેઓ V0 ને અપરિવર્તનશીલ રાખે છે અને V0 પર A ના ઓસિલેટર રજૂઆત સાથે સંકળાયેલા ઓપરેટરોના સતત ગુણાંક હોવા જોઈએ. હકીકતમાં, તેઓ મેળ ખાય છે. R માંથી આ વ્યાખ્યાઓથી તાત્કાલિક છે, જે દર્શાવે છે કે S માટે તે પોઈસન સરવાળા સૂત્ર અને U) x) અને V (y) ઓપરેટરો સાથેના પરિવર્તન ગુણધર્મોને અનુસરે છે. પોઈસન સરવાળો નીચે પ્રમાણે શાસ્ત્રીય રીતે સાબિત થાય છે. a> 0 અને f માટે ધારો કે F એ સમયગાળા a સાથે R પર એક સરળ વિધેય છેઃ ફોરિયર શ્રેણીનો સિદ્ધાંત દર્શાવે છે કે સરવાળા સાથે સંપૂર્ણપણે અભિસારી અને ફોરિયર ગુણાંક દ્વારા આપવામાં આવે છે. આ સૂત્ર દર્શાવે છે કે S નીચે પ્રમાણે કાર્ય કરે છે અને તેથી A પર ઓસિલેટર પ્રતિનિધિત્વ માટેના સૂત્ર સાથે બરાબર સંમત થાય છે. A ને Z/2mZ સાથે ઓળખીને, પૂર્ણાંક n મોડ્યુલો 2m ને સોંપવામાં આવે છે, થીટા વિધેયોને સીધા મેટ્રિક્સ ગુણાંક તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છેઃ H માં τ અને C સમૂહમાં z માટે જેથી |q | <1. થીટા વિધેયો જેકોબી-રીમેન થીટા વિધેયો માટે પ્રમાણભૂત શાસ્ત્રીય સૂત્રો સાથે સંમત થાય છેઃ વ્યાખ્યા દ્વારા તેઓ H × C પર હોલોમોર્ફિક વિધેયોને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. વિધેય fτ ના સહપ્રસરણ ગુણધર્મો અને વિતરણ χb તરત જ નીચેના પરિવર્તન નિયમો તરફ દોરી જાય છેઃ દ્વિઘાત પારસ્પરિકતાના કાયદાની વ્યુત્પત્તિ કારણ કે L2 (R) પરના ઓપરેટરો π (S), π (R) અને π (J) m ની કોઈપણ પસંદગી માટે V0 પર અનુરૂપ ઓપરેટરો સુધી મર્યાદિત હોય છે, કોસાઇકલ્સના સંકેતો m = 1 લઈને નક્કી કરી શકાય છે. આ કિસ્સામાં રજૂઆત 2-પરિમાણીય છે અને L2 (R) પરનો સંબંધ સીધા V0 પર ચકાસી શકાય છે. પરંતુ આ કિસ્સામાં બંને બાજુઓને ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ એક્સ્પ-x2/2 પર લાગુ કરીને પણ સંબંધને સીધો ચકાસી શકાય છે. પરિણામે, તે અનુસરે છે કે m ≤ 1 માટે ગૌસ સરવાળાનું મૂલ્યાંકન કરી શકાય છેઃ m વિષમ માટે, વ્યાખ્યાયિત કરો જો m વિષમ હોય, તો પછી, અગાઉના સરવાળાને બે ભાગોમાં વિભાજીત કરીને, તે અનુસરે છે કે G (1, m) m1/2 બરાબર છે જો m એ 1 મોડ 4 સાથે એકરૂપ છે અને અન્યથા i m1/2 બરાબર છે. જો p એ વિષમ અવિભાજ્ય છે અને c એ p દ્વારા વિભાજીત થતું નથી, તો આ સૂચવે છે કે જો c એ વર્ગ મોડ p હોય અને અન્યથા-1 હોય તો લીજેન્ડર પ્રતીક 1 ની બરાબર ક્યાં છે. વધુમાં, જો p અને q અલગ વિચિત્ર અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ હોય, તો G (1, p) માટેના સૂત્ર અને આ સંબંધમાંથી, દ્વિઘાત પારસ્પરિકતાનો નિયમ નીચે મુજબ છેઃ ઉચ્ચ પરિમાણોમાં સિદ્ધાંત ઓસિલેટર પ્રતિનિધિત્વના સિદ્ધાંતને સમૂહ SL (2, R) સાથે R થી Rn સુધી વિસ્તૃત કરી શકાય છે, જેને સિંપ્લેક્ટિક જૂથ Sp (2n, R) દ્વારા બદલી શકાય છે. એન-ડાયમેન્શનલ કેસ એ એન એક-ડાયમેન્શનલ કેસોનું ટેન્સર પ્રોડક્ટ છે, જે વિઘટનને પ્રતિબિંબિત કરે છે તે હકીકતનો ઉપયોગ કરીને અથવા એક-ડાયમેન્શનલ કેસમાંથી સીધા સામાન્યીકરણ દ્વારા પરિણામો સાબિત કરી શકાય છેઃ ચાલો આરએન પર શ્વાર્ટઝ વિધેયોની જગ્યા હોઈએ, જે એલ 2 (આરએન) ની ગાઢ પેટા જગ્યા છે. rn માં s, t માટે, U (s) અને V (t) ને વ્યાખ્યાયિત કરો અને L2 (R) દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરો. ફોરિયર રૂપાંતરને ફોરિયર વ્યુત્ક્રમ સૂત્ર દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જે દર્શાવે છે કે ફોરિયર પરિવર્તન એ પોતે એક આઇસોમોર્ફિઝમ છે જે L2 (Rn) ના એકાત્મક મેપિંગ સુધી વિસ્તરે છે (પ્લાનચેરેલના પ્રમેય). સ્ટોન-વોન ન્યુમેન થીયરમ ભારપૂર્વક જણાવે છે કે શ્રોડિંગર રજૂઆત ઈરીડ્યુસિબલ છે અને પરિવર્તન સંબંધોની અનન્ય ઈરીડ્યુસિબલ રજૂઆત છેઃ અન્ય કોઈપણ રજૂઆત એ આ રજૂઆતની નકલોનો સીધો સરવાળો છે. જો U અને V વેઇલ પરિવર્તન સંબંધોને સંતોષતા હોય, તો વ્યાખ્યાયિત કરો પછી જેથી W એ કોસાઇકલ સાથે R2n ની પ્રોજેક્ટિવ એકાત્મક રજૂઆતને વ્યાખ્યાયિત કરે છે જ્યાં દ્વારા આપવામાં આવેલ છે અને B એ R2n પર સિંપ્લેક્ટિક સ્વરૂપ છે. તે સ્ટોન-વોન ન્યુમેન પ્રમેય પરથી અનુસરે છે કે આવા દરેક g માટે L2 (R) પર એકાત્મક π (g) હોય છે જે સહપ્રસરણ સંબંધને સંતોષ આપે છે. પ્રતિનિધિઓને π (g) માટે પસંદ કરી શકાય છે, જે એક નિશાની સુધી અનન્ય છે, જે દર્શાવે છે કે Sp (2n, R) ની પ્રોજેક્ટિવ રજૂઆત માટે 2-ચક્ર ±1 મૂલ્યો લે છે. હકીકતમાં જૂથ Sp (n, R) ના ઘટકો 2n × 2n વાસ્તવિક મેટ્રિસીસ g દ્વારા સંતોષકારક રીતે આપવામાં આવે છે જ્યાં Sp (2n, R) સ્વરૂપના મેટ્રિસીસ દ્વારા ઉત્પન્ન થાય છે અને ઓપરેટરો ઉપરના સહપ્રસરણ સંબંધોને સંતોષતા હોય છે. આ મેટાપ્લેક્ટિક જૂથનું સામાન્ય એકાત્મક પ્રતિનિધિત્વ આપે છે, જે એસપી (2એન, આર) નું બેવડું આવરણ છે. ખરેખર, એસ. પી. (એન, આર) સામાન્યીકૃત સીગલ ઉપલા અડધા સમતલ એચ. એન. પર મોબિયસ પરિવર્તન દ્વારા કાર્ય કરે છે, જેમાં સખત કાલ્પનિક ભાગ સાથે સપ્રમાણ જટિલ એન × એન મેટ્રિસીસ ઝેડનો સમાવેશ થાય છે. જો g એ Mp (2n, R) માં હોય તો પછી મેટાપ્લેક્ટિક જૂથની સામાન્ય એકાત્મક રજૂઆતને વ્યાખ્યાયિત કરે છે, જેમાંથી તે અનુસરે છે કે Sp (2n, R) પરની કોસાઈકલ માત્ર મૂલ્યો ±1 લે છે. હોલોમોર્ફિક ફોક સ્પેસ એ Cn પર હોલોમોર્ફિક વિધેયો f (z) નું હિલ્બર્ટ સ્પેસ છે, જેમાં મર્યાદિત ધોરણ આંતરિક ઉત્પાદન અને α એ બહુપદી માટે ઓર્થોનોર્મલ આધાર છે. સીએનમાં એફ ઇન અને ઝેડ માટે, ઓપરેટરો વેઇલ પરિવર્તન સંબંધોની ઈરીડ્યુસિબલ એકાત્મક રજૂઆતને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. સ્ટોન-વોન ન્યુમેન પ્રમેય અનુસાર L2 (Rn) થી બે રજૂઆતોને એકબીજા સાથે જોડવા પર એકાત્મક સંચાલક છે. તે બર્ગમેન ટ્રાન્સફોર્મ દ્વારા આપવામાં આવે છે જ્યાં તેની સંલગ્નતા સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છેઃ સોબોલેવ જગ્યાઓ, સરળ અને વિશ્લેષણાત્મક વેક્ટરને હાર્મોનિક ઓસિલેટરની n નકલોના સરવાળાનો ઉપયોગ કરીને એક-પરિમાણીય કિસ્સામાં વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. સિંપ્લેક્ટિક જૂથના જટિલતા એસપી (2એન, સી) ને સમાન સંબંધ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, પરંતુ એ, બી, સી અને ડી મેટ્રિક્સને જટિલ બનાવવાની મંજૂરી આપે છે. જૂથ તત્વોના ઉપ-સમૂહ કે જે સીગલના ઉપલા અડધા સ્તરને પોતાની અંદર લઈ જાય છે તેમાં કુદરતી બેવડા આવરણ હોય છે. L2 (Rn) પર Mp (2n, R) ની રજૂઆત અને કર્નલો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત સંકોચન સંચાલકો દ્વારા આ અર્ધસમૂહની રજૂઆત સુધી કુદરતી રીતે વિસ્તરે છે, જે એક-પરિમાણીય કેસને સામાન્ય બનાવે છે (જ્યાં જરૂરી હોય ત્યાં નિર્ધારકો લે છે). સુસંગત સ્થિતિઓ પર એમ. પી. (2એન, આર) ની ક્રિયા આ મોટા અર્ધસમૂહના સંચાલકોને સમાન રીતે લાગુ પડે છે. 1-પરિમાણીય કિસ્સામાં, જ્યાં જૂથ એસ. એલ. (2, આર) પાસે કેલી ટ્રાન્સફોર્મ દ્વારા સમકક્ષ એસ. યુ. (1,1) હોય છે, જેમાં ઉપલા અડધા સમતલને એકમ ડિસ્ક દ્વારા બદલવામાં આવે છે, સિંપ્લેક્ટિક જૂથમાં એક જટિલ પ્રતિરૂપ હોય છે. ખરેખર, જો C એ એકાત્મક મેટ્રિક્સ હોય તો C Sp (2n) C−1 એ તમામ મેટ્રિક્સનો સમૂહ છે જેમ કે અથવા સમકક્ષ રીતે જ્યાં સીગલ સામાન્યીકૃત ડિસ્ક Dn ને જટિલ સપ્રમાણ n x n મેટ્રિક્સ W ના સમૂહ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જેમાં ઓપરેટર ધોરણ 1 કરતા ઓછું હોય છે. તે સીગલ સામાન્યીકૃત ઉપલા અડધા સમતલમાં બિંદુઓ Z ના કેલી રૂપાંતરણોનો ચોક્કસપણે સમાવેશ કરે છેઃ તત્વો g એ Dn પર કાર્ય કરે છે અને, એક પરિમાણીય કિસ્સામાં આ ક્રિયા સંક્રમક છે. 0 ના સ્ટેબિલાઇઝર પેટાજૂથમાં A એકાત્મક અને B = 0 સાથે મેટ્રિસીસનો સમાવેશ થાય છે. Dn માં W માટે હોલોમોર્ફિક ફોક સ્પેસમાં મેટાપ્લેક્ટિક સુસંગત સ્થિતિઓ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે આવી બે સ્થિતિઓનું આંતરિક ઉત્પાદન દ્વારા આપવામાં આવે છે વધુમાં, મેટાપ્લેક્ટિક રજૂઆત π સંતોષે છે આ સ્થિતિઓનો બંધ રેખીય ગાળો હોલોમોર્ફિક ફોક સ્પેસનો સમ ભાગ આપે છે. એસ. પી. (2 (એન + 1)) માં એસ. પી. (2એન) નું એમ્બેડિંગ અને સુસંગત ઓળખ સમગ્ર પર ક્રિયા તરફ દોરી જાય છે. તે સીધી રીતે ચકાસી શકાય છે કે તે ઓપરેટરો W (z) ની ક્રિયા સાથે સુસંગત છે. જટિલ અર્ધસમૂહ શીલોવની સિમપ્લેક્ટિક જૂથની સીમા તરીકે હોવાથી, આ પ્રતિનિધિત્વ અર્ધસમૂહમાં સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત સંકોચક વિસ્તરણ ધરાવે છે તે હકીકત મહત્તમ મોડ્યુલસ સિદ્ધાંત અને અર્ધસમૂહ સંચાલકો સંલગ્ન હેઠળ બંધ છે તે હકીકતને અનુસરે છે. ખરેખર, તે તપાસવા માટે પૂરતું છે, આવા બે ઓપરેટરો S, T અને વેક્ટર vi મેટાપ્લેક્ટિક સુસંગત સ્થિતિઓના પ્રમાણસર છે, જે અનુસરે છે કારણ કે સરવાળો હોલોમોર્ફિકલી રીતે S અને T પર આધાર રાખે છે, જે સીમા પર એકાત્મક છે. ટોઈપ્લિટ્ઝ ઓપરેટરો માટે અનુક્રમણિકા પ્રમેયો ચાલો S એ Cn માં એકમ ગોળાને સૂચવે અને હાર્ડી જગ્યા H2 (S) ને L2 (S) માં નિર્દેશાંક z1,., zn માં બહુપદીઓના પ્રતિબંધના બંધ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરે. ધારો કે P એ હાર્ડી સ્પેસ પરનું પ્રક્ષેપણ છે. તે જાણીતું છે કે જો m (f) એ S પર સતત વિધેય f દ્વારા ગુણાકાર સૂચવે છે, તો કોમ્યુટેટર [P, m (f)] કોમ્પેક્ટ છે. પરિણામે, હાર્ડી સ્પેસ દ્વારા ટોઈપ્લિટ્ઝ ઓપરેટરને વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે તો, તે અનુસરે છે કે T (fg)-T (f) T (g) સતત f અને g માટે કોમ્પેક્ટ છે. જો f અને g મેટ્રિક્સ-વેલ્યુડ ફંક્શન્સ હોય (જેથી અનુરૂપ ટોઈપ્લિટ્ઝ ઓપરેટરો H2 (S) પરના ઓપરેટરોના મેટ્રિક્સ હોય) તો તે જ લાગુ પડે છે. ખાસ કરીને જો f એ S પર ઇન્વર્ટિબલ મેટ્રિસીસમાં મૂલ્યો લેતું વિધેય હોય, તો તે કોમ્પેક્ટ હોય છે અને તેથી T (f) એ ફ્રેડહોલ્મ ઓપરેટર છે જેની અનુક્રમણિકા આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવી છે. તેમણે આ અનુક્રમણિકા પ્રમેય સ્થાપિત કરવા માટે વિશ્લેષણાત્મક માર્ગ આપ્યો, જેને પછીથી હોવે દ્વારા સરળ બનાવવામાં આવ્યો. તેમનો પુરાવો એ હકીકત પર આધાર રાખે છે કે જો f સરળ હોય તો અનુક્રમણિકા મેકકીન અને સિંગરના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છેઃ નોંધ્યું છે કે H2 (S) અને L2 (Rn) વચ્ચે એક કુદરતી એકાત્મક સમરૂપતા હતી જે ઓપરેટરો પર ટોઇપ્લિટ્ઝ ઓપરેટરોને વહન કરતી હતી. મેકકીન-સિંગર સૂત્રમાંના નિશાનની ગણતરી સીધા વેલ કલનનો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છે, જે અનુક્રમણિકા પ્રમેયના અન્ય પુરાવા તરફ દોરી જાય છે. અનુક્રમણિકા પ્રમેયોને સાબિત કરવાની આ પદ્ધતિને ચક્રીય કોહોમોલોજીના માળખામાં એલેન કોનેસે સામાન્ય બનાવી હતી. અનંત પરિમાણોમાં સિદ્ધાંત અનંત પરિમાણોમાં ઓસિલેટર પ્રતિનિધિત્વનો સિદ્ધાંત ઇરવિંગ સેગલ અને ડેવિડ શેલને કારણે છે. ગ્રીમ સેગલે તેનો ઉપયોગ લૂપ જૂથોની પ્રોજેક્ટિવ રજૂઆત અને વર્તુળના ડિફિયોમોર્ફિઝમ્સના જૂથની ગાણિતિક રીતે સખત રચના આપવા માટે કર્યો હતો. અનંત સ્તરે લાઈ આલ્જેબ્રાની રજૂઆતોની રચના, આ કિસ્સામાં એફાઇન કાક-મૂડી બીજગણિત અને વિરાસોરો બીજગણિત, ભૌતિકશાસ્ત્રીઓ માટે દ્વિ પ્રતિધ્વનિ સિદ્ધાંત અને પછીના સ્ટ્રિંગ સિદ્ધાંત દ્વારા પહેલેથી જ જાણીતી હતી. અહીં માત્ર સૌથી સરળ કેસ ધ્યાનમાં લેવામાં આવશે, જેમાં વર્તુળના સરળ નકશાના લૂપ જૂથ LU (1) ને U (1) = T માં સામેલ કરવામાં આવશે. નરેટિન અને સેગલ દ્વારા સ્વતંત્ર રીતે વિકસાવવામાં આવેલ ઓસિલેટર અર્ધસમૂહ, સંકોચન સંચાલકોને એકમ ડિસ્કના એકરૂપ હોલોમોર્ફિક નકશાના અર્ધસમૂહ માટે વ્યાખ્યાયિત કરવાની મંજૂરી આપે છે, જે વર્તુળના ડિફિયોમોર્ફિઝમ્સને અનુરૂપ એકાત્મક સંચાલકોને વિસ્તરે છે. જ્યારે ડિફિયોમોર્ફિઝમ જૂથના પેટાજૂથ એસયુ (1,1) પર લાગુ કરવામાં આવે છે, ત્યારે આ એલ 2 (આર) પર ઓસિલેટર પ્રતિનિધિત્વનું સામાન્યીકરણ અને ઓલ્શાન્સ્કી અર્ધસમૂહમાં તેનું વિસ્તરણ આપે છે. ફોક સ્પેસ પર પરિવર્તનની રજૂઆતને Cn (અથવા તેની બેવડી જગ્યા) ને મનસ્વી જટિલ હિલ્બર્ટ સ્પેસ H દ્વારા બદલીને અનંત પરિમાણોમાં સામાન્યીકૃત કરવામાં આવે છે. Sk (H) ને Sk ની નિશ્ચિત બિંદુ સબસ્પેસ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે અને સપ્રમાણ બીજગણિત એ બીજગણિતનો સીધો સરવાળો છે તે H′k માંથી વારસામાં મળેલો કુદરતી આંતરિક ગુણાકાર ધરાવે છેઃ ઘટકો Sk (H) ને પરસ્પર ઓર્થોગોનલ લેતા, સપ્રમાણ ફોક સ્પેસ S (H) ને આ સીધી રકમની હિલ્બર્ટ સ્પેસ પૂર્ણતા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. તે અનુસરે છે કે તેમનો રેખીય ગાળો S (H) માં ગાઢ હોય છે, કે n અલગ વેક્ટરને અનુરૂપ સુસંગત અવસ્થાઓ રેખીય રીતે સ્વતંત્ર હોય છે અને જ્યારે H મર્યાદિત-પરિમાણીય હોય છે, ત્યારે S (H) ને કુદરતી રીતે H * માટે હોલોમોર્ફિક ફોક સ્પેસ સાથે ઓળખી શકાય છે, કારણ કે પ્રમાણભૂત રીતે Sk (H) એ H * પર માત્ર ડિગ્રી k ની સજાતીય બહુપદીઓ છે અને આંતરિક ઉત્પાદનો મેળ ખાય છે. વધુમાં, S (H) માં કાર્યાત્મક ગુણધર્મો છે. સૌથી અગત્યનું એ છે કે સમાન પરિણામ મર્યાદિત ઓર્થોગોનલ સીધા સરવાળા માટે હોય છે અને અનંત ઓર્થોગોનલ સીધા સરવાળા સુધી વિસ્તરે છે, જેમાં S0 (Hi) માં સંદર્ભ એકમ વેક્ટર 1 સાથે વોન ન્યુમેનની અનંત ટેન્સર પ્રોડક્ટની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. હિલ્બર્ટ જગ્યાઓ વચ્ચેનું કોઈપણ સંકોચન પ્રચાલક અનુરૂપ સમપ્રમાણતાવાળી ફોક જગ્યાઓ વચ્ચે સંકોચન પ્રચાલકને કાર્યાત્મક રીતે પ્રેરિત કરે છે. એસ (એચ) પર એકાત્મક ઓપરેટર તેના સુસંગત સ્થિતિઓ પરના મૂલ્યો દ્વારા અનન્ય રીતે નક્કી થાય છે. તદુપરાંત, કોઈપણ સોંપણી માટે, જેમ કે S (H) પર એક અનન્ય એકાત્મક ઓપરેટર U હોય, જેમ કે મર્યાદિત-પરિમાણીય કિસ્સામાં, આ એકાત્મક ઓપરેટરો W (x) ને H માં x માટે વ્યાખ્યાયિત કરવાની મંજૂરી આપે છેઃ તે મર્યાદિત-પરિમાણીય કેસમાંથી તરત જ અનુસરે છે કે આ ઓપરેટરો એકાત્મક છે અને સંતોષ આપે છે. આ દરેક જગ્યાઓ પર W ની ઇરેડ્યુસિબિલિટી એ સમગ્ર S (H) પર W ની ઇરેડ્યુસિબિલિટી સૂચવે છે. W ને જટિલ તરંગ પ્રતિનિધિત્વ કહેવામાં આવે છે. સિમપ્લેક્ટિક જૂથને અનંત પરિમાણોમાં વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે એચઆરને સિમપ્લેક્ટિક સ્વરૂપ અને વાસ્તવિક આંતરિક ઉત્પાદન સાથે એચની અંતર્ગત વાસ્તવિક વેક્ટર જગ્યા બનવા દો. જટિલ માળખું પછી ઓર્થોગોનલ ઓપરેટર દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જેથી એચઆર પર એ બાઉન્ડેડ ઇન્વર્ટિબલ ઓપરેટર વાસ્તવિક રેખીય ઓપરેટર ટી સિમપ્લેક્ટિક જૂથમાં રહે જો તે અને તેનું વ્યસ્ત સંરક્ષણ બી. આ શરતોની સમકક્ષ છેઃ ઓપરેટર T ને S (H) પર અમલ કરી શકાય તેવું કહેવામાં આવે છે જો ત્યાં એક એકાત્મક π (T) હોય કે જેથી અમલ કરી શકાય તેવા ઓપરેટરો સિમપ્લેક્ટિક જૂથનું પેટા જૂથ બનાવે છે, પ્રતિબંધિત સિમપ્લેક્ટિક જૂથ. શુરના લેમ્મા દ્વારા, π (T) અનન્ય રીતે T માં સ્કેલર સુધી નિર્ધારિત થાય છે, તેથી π આ પેટાજૂઠનું પ્રોજેક્ટિવ એકાત્મક પ્રતિનિધિત્વ આપે છે. સેગલ-શેલ ક્વોન્ટાઇઝેશન માપદંડ જણાવે છે કે ટી અમલપાત્ર છે, એટલે કે. જો અને માત્ર ત્યારે જ જો કોમ્યુટેટર TJ-JT હિલ્બર્ટ-શ્મિટ ઓપરેટર હોય તો તે પ્રતિબંધિત સિંપ્લેક્ટિક જૂથમાં આવે છે. મર્યાદિત-પરિમાણીય કેસથી વિપરીત જ્યાં લિફ્ટિંગ π પસંદ કરી શકાય છે જેથી તે નિશાની સુધી ગુણાકારાત્મક હોય, અનંત-પરિમાણીય કેસમાં આ શક્ય નથી. (આ સીધી રીતે નીચે બાંધેલા વર્તુળના ડિફિયોમોર્ફિઝમ જૂથના પ્રોજેક્ટિવ પ્રતિનિધિત્વના ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને જોઈ શકાય છે.) પ્રતિબંધિત સિમપ્લેક્ટિક જૂથની પ્રોજેક્ટિવ રજૂઆત મર્યાદિત-પરિમાણીય કેસની જેમ સુસંગત સ્થિતિઓ પર સીધી રીતે બનાવી શકાય છે. હકીકતમાં, H નું વાસ્તવિક હિલ્બર્ટ સબસ્પેસ પસંદ કરવું, જેમાંથી H એક જટિલતા છે, H પર કોઈપણ ઓપરેટર T માટે T નું જટિલ સંયુગ્મ પણ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. પછી એસયુ (1,1) ના અનંત-પરિમાણીય એનાલોગમાં જીકેજી * = કે (અથવા સમાન રીતે મર્યાદિત-પરિમાણીય કિસ્સામાં સમાન સંબંધો) ને સંતોષતા ઇન્વર્ટિબલ બાઉન્ડેડ ઓપરેટર્સનો સમાવેશ થાય છે. જો અને માત્ર ત્યારે જ જો બી હિલ્બર્ટ-શ્મિટ ઓપરેટર હોય તો આ પ્રતિબંધિત સિંપ્લેક્ટિક જૂથ સાથે સંબંધિત છે. આ જૂથ સીગલ સામાન્યીકૃત એકમ ડિસ્કના અનંત-પરિમાણીય એનાલોગ D ≈ પર અસ્થાયી રીતે કાર્ય કરે છે જેમાં હિલ્બર્ટ-શ્મિટ ઓપરેટર્સ W નો સમાવેશ થાય છે જે સૂત્ર દ્વારા 1 કરતા ઓછા ઓપરેટર ધોરણ સાથે સમપ્રમાણ હોય છે. મેટાપ્લેક્ટિક સુસંગત સ્થિતિઓ fW ને પહેલાની જેમ વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે અને તેમનું આંતરિક ઉત્પાદન એ જ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે, ફ્રેડહોલ્મ નિર્ધારકનો ઉપયોગ કરીનેઃ એકમ વેક્ટરને વ્યાખ્યાયિત કરો અને સેટ કરો જ્યાં μ (ζ) = ζ/|ζ |. પહેલાની જેમ આ પ્રોજેક્ટિવ રજૂઆતને વ્યાખ્યાયિત કરે છે અને, જો g3 = g1g2 હોય, તો કોસાઈકલ દ્વારા આપવામાં આવે છે આ રજૂઆત મર્યાદિત-પરિમાણીય કેસની જેમ જ વિશ્લેષણાત્મક સાતત્ય દલીલ દ્વારા જટિલ અર્ધસમૂહ માટે સંકોચન સંચાલકોને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે વિશ્લેષણાત્મક સાતત્ય દ્વારા વિસ્તરે છે. તે પણ બતાવી શકાય છે કે તેઓ કડક સંકોચન છે. ઉદાહરણ તરીકે, HR એ વાસ્તવિક હિલ્બર્ટ જગ્યા છે, જેમાં સરેરાશ 0 સાથે વર્તુળ પર વાસ્તવિક મૂલ્યના વિધેયોનો સમાવેશ થાય છે અને જેના માટે આંતરિક ગુણાકાર n> 0 માટે sin (nθ) અને cos (nθ) વિધેય દ્વારા ઓર્થોગોનલ આધાર આપવામાં આવે છે. દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વર્તુળ પર હિલ્બર્ટ રૂપાંતર એચઆર પર જટિલ માળખાને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. J એ પણ લખી શકાય છે જ્યાં ચિહ્ન n = ±1 એ n ની નિશાની સૂચવે છે. અનુરૂપ સિમપ્લેક્ટિક સ્વરૂપ તેના પ્રમાણસર હોય છે. ખાસ કરીને જો φ એ વર્તુળની દિશા-સંરક્ષિત ડિફિયોમોર્ફિઝમ હોય અને પછી Tφ અમલમાં મૂકી શકાય તેવું હોય. એફ સ્મૂથ સાથેના ઓપરેટરો ડબલ્યુ (એફ) વર્તુળના ડિફિયોમોર્ફિઝમ જૂથ હેઠળ લૂપ જૂથ એલ. ટી. અપરિવર્તનના પેટાજૂથને અનુરૂપ છે. વેક્ટર ક્ષેત્રોને અનુરૂપ અનંત ઓપરેટરોની ગણતરી સ્પષ્ટપણે કરી શકાય છે. તેઓ વિરાસોરો સંબંધોને સંતુષ્ટ કરે છે ખાસ કરીને તેઓ જમણી બાજુએ બીજા પદને દૂર કરવા માટે સ્કેલર ઓપરેટરોને ઉમેરીને સમાયોજિત કરી શકે છે. આ દર્શાવે છે કે પ્રતિબંધિત સિંપ્લેક્ટિક જૂથ પરની કોસાઇકલ માત્ર ±1 મૂલ્યો લેવાની સમકક્ષ નથી. મેટાપ્લેક્ટિક ગ્રુપ ઇનવેરિયન્ટ કન્વેક્સ કોન નોટ્સ રેફરન્સ ઓપરેટર થિયરી હાર્મોનિક એનાલિસિસ રિપ્રેઝન્ટેશન થિયરી ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સ થીટા ફંક્શન્સ પણ જુઓ.