Least-squares function approximation
ગણિતમાં, લઘુતમ વર્ગ વિધેય અંદાજ અન્ય કાર્યોના ભારિત સરવાળા દ્વારા લઘુતમ વર્ગના સિદ્ધાંતને કાર્ય અંદાજ માટે લાગુ કરે છે. શ્રેષ્ઠ અંદાજને તે તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે જે મૂળ કાર્ય અને અંદાજ વચ્ચેના તફાવતને ઘટાડે છે; લઘુત્તમ-વર્ગ અભિગમ માટે અંદાજની ગુણવત્તા બંને વચ્ચેના વર્ગ તફાવતોની દ્રષ્ટિએ માપવામાં આવે છે. કાર્યાત્મક વિશ્લેષણ માહિતી સમૂહના અંદાજ માટેનું સામાન્યીકરણ એ અન્ય કાર્યોના સરવાળા દ્વારા કાર્યનું અંદાજ છે, સામાન્ય રીતે એક ઓર્થોગોનલ સમૂહઃ કાર્યોના સમૂહ સાથે {} રસના અંતરાલ પર એક ઓર્થોનોર્મલ સમૂહઃ ફેજરનો પ્રમેય પણ જુઓ. ગુણાંક {} એ તફાવત | | |2 ની તીવ્રતાને શક્ય તેટલી નાની બનાવવા માટે પસંદ કરવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, કાર્યની તીવ્રતા અથવા ધોરણને આના દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છેઃ જ્યાં '*' જટિલ કાર્યોના કિસ્સામાં જટિલ સંયુગ્મને સૂચવે છે. પાયથાગોરસના પ્રમેયનું આ રીતે વિસ્તરણ કાર્ય અવકાશ તરફ દોરી જાય છે અને લેબસ્ગ્યુ માપનની કલ્પના તરફ દોરી જાય છે, જે યુક્લિડિયન ભૂમિતિના મૂળ આધાર કરતાં વધુ સામાન્ય "અવકાશ" નો વિચાર છે. ઓર્થોનોર્માલિટી સંબંધોને સંતોષે છેઃ જ્યાં δij એ ક્રોનેકર ડેલ્ટા છે. આ સમીકરણોમાં કાર્યને બદલવાથી પછી n-પરિમાણીય પાયથાગોરિયન પ્રમેય તરફ દોરી જાય છેઃ | |f −fn | |2 ને શક્ય તેટલું નાનું બનાવતા ગુણાંકઃ n-પરિમાણીય પાયથાગોરિયન પ્રમેયને અનંત-પરિમાણીય વાસ્તવિક આંતરિક ઉત્પાદન જગ્યાઓનું સામાન્યીકરણ પારસેવલની ઓળખ અથવા પારસેવલનું સમીકરણ તરીકે ઓળખાય છે. કાર્યની આવી રજૂઆતના વિશિષ્ટ ઉદાહરણો ફોરિયર શ્રેણી અને સામાન્યીકૃત ફોરિયર શ્રેણી છે. રેખીય બીજગણિતનો ઉપયોગ કરીને વધુ ચર્ચા તે અનુસરે છે કે બે વિધેયો વચ્ચેના વિસ્તારને ઘટાડીને અન્ય વિધેયનો "શ્રેષ્ઠ" અંદાજ શોધી શકાય છે, એક સતત વિધેય અને એક વિધેય જ્યાં સબસ્પેસ છેઃ બધા સબસ્પેસની અંદર છે. નિરપેક્ષ મૂલ્યને સંડોવતા સંકલનોનું મૂલ્યાંકન કરવામાં વારંવાર મુશ્કેલી હોવાને કારણે, તેના બદલે આંતરિક ઉત્પાદન જગ્યાના સંદર્ભમાં લઘુત્તમ વર્ગ અંદાજ, કાર્ય મેળવવા માટે પર્યાપ્ત માપદંડ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. આ રીતે, અથવા, સમકક્ષ રીતે, વેક્ટર સ્વરૂપમાં લખી શકાય છેઃ બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, લઘુત્તમ વર્ગ અંદાજ એ આંતરિક ઉત્પાદનની દ્રષ્ટિએ સૌથી નજીકનું કાર્ય છે. વધુમાં, આને એક પ્રમેય સાથે લાગુ કરી શકાય છેઃ ચાલો સતત ચાલુ રહીએ, અને તેની મર્યાદિત-પરિમાણીય પેટા જગ્યા હોઈએ. સંદર્ભમાં લઘુત્તમ ચોરસ અંદાજિત કાર્ય ક્યાં માટે ઓર્થોનોર્મલ આધાર છે તેના દ્વારા આપવામાં આવે છે. સંદર્ભો લઘુતમ ચોરસ અંદાજ સિદ્ધાંત