Flat cover
બીજગણિતમાં, રિંગ પર મોડ્યુલ M નું સપાટ આવરણ એ ફ્લેટ મોડ્યુલ F થી M સુધીનું સર્જેક્ટિવ હોમોમોર્ફિઝમ છે જે અમુક અર્થમાં ન્યૂનતમ છે. રિંગ પરના કોઈપણ મોડ્યુલમાં સપાટ આવરણ હોય છે જે (બિન-વિશિષ્ટ) આઇસોમોર્ફિઝમ સુધી અનન્ય હોય છે. ફ્લેટ કવર અમુક અર્થમાં ઇન્જેક્ટિવ હલથી બેવડા હોય છે, અને પ્રોજેક્ટિવ કવર અને ટોર્સિયન-ફ્રી કવર સાથે સંબંધિત હોય છે. વ્યાખ્યાઓ હોમોમોર્ફિઝમ F → M ને M નું સપાટ આવરણ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જો તે સર્જેક્ટિવ હોય, F સપાટ હોય, F દ્વારા ફ્લેટ મોડ્યુલથી M પરિબળો સુધી દરેક હોમોમોર્ફિઝમ, અને નકશા સાથે F થી F નો કોઈપણ નકશો M તરફ આવવું એ F નું ઓટોમોર્ફિઝમ છે. ઇતિહાસ જ્યારે મોડ્યુલો માટે પ્રોજેક્ટિવ કવર હંમેશા અસ્તિત્વમાં નથી, ત્યારે એવું અનુમાન કરવામાં આવ્યું હતું કે સામાન્ય રિંગ્સ માટે, દરેક મોડ્યુલમાં ફ્લેટ કવર હશે. આ સપાટ આવરણનું અનુમાન સ્પષ્ટપણે સૌપ્રથમ માં જણાવવામાં આવ્યું હતું. આ અનુમાન સાચું સાબિત થયું, હકારાત્મક રીતે ઉકેલાયું અને સાથે સાથે દ્વારા સાબિત થયું. આ પહેલા પી. એકલોફ, જે. ત્રિલિફાજ અને જે. ઝુએ મહત્વપૂર્ણ યોગદાન આપ્યું હતું. ન્યૂનતમ ફ્લેટ રિઝોલ્યુશન રિંગ પરના કોઈપણ મોડ્યુલ M નું રિઝોલ્યુશન ફ્લેટ મોડ્યુલ્સ દ્વારા હોય છે, જેમ કે દરેક Fn + 1 એ Fn → Fn−1 ના કર્નલનું ફ્લેટ કવર હોય છે. આવા રિઝોલ્યુશન આઇસોમોર્ફિઝમ સુધી અનન્ય છે, અને એ અર્થમાં ન્યૂનતમ ફ્લેટ રિઝોલ્યુશન છે કે તેના દ્વારા M પરિબળોનું કોઈપણ ફ્લેટ રિઝોલ્યુશન છે. મોડ્યુલોનું કોઈપણ હોમોમોર્ફિઝમ અનુરૂપ ફ્લેટ રિઝોલ્યુશન વચ્ચેના હોમોમોર્ફિઝમ સુધી વિસ્તરે છે, જો કે આ વિસ્તરણ સામાન્ય રીતે અનન્ય નથી. સંદર્ભ મોડ્યુલ સિદ્ધાંત