Chaotic scattering
અવ્યવસ્થિત સ્કેટરિંગ એ અરાજકતા સિદ્ધાંતની એક શાખા છે જે પ્રારંભિક પરિસ્થિતિઓ પ્રત્યે મજબૂત સંવેદનશીલતા દર્શાવતી સ્કેટરિંગ સિસ્ટમ્સ સાથે કામ કરે છે. શાસ્ત્રીય સ્કેટરિંગ પ્રણાલીમાં એક અથવા વધુ અસર પરિમાણો હશે, બી, જેમાં કણને સ્કેટરરમાં મોકલવામાં આવે છે. આ એક અથવા વધુ બહાર નીકળવાના પરિમાણોને જન્મ આપે છે, y, કારણ કે કણ અનંત તરફ બહાર નીકળે છે. જ્યારે કણ પ્રણાલીમાંથી પસાર થઈ રહ્યો હોય, ત્યારે વિલંબનો સમય પણ હોઈ શકે છે, T-કણને પ્રણાલીમાંથી બહાર નીકળવામાં લાગતો સમય-મુસાફરી કરેલા અંતર ઉપરાંત, s. અમુક પ્રણાલીઓમાં (દા. ત. "બિલિયર્ડ જેવી" પ્રણાલીઓ જેમાં કણ સખત, સ્થિર પદાર્થો સાથે નુકસાન વિનાની અથડામણમાંથી પસાર થાય છે) બંને સમકક્ષ હશે-નીચે જુઓ. અસ્તવ્યસ્ત સ્કેટરિંગ સિસ્ટમમાં, અસર પરિમાણમાં એક મિનિટનો ફેરફાર, બહાર નીકળવાના પરિમાણોમાં ખૂબ મોટા ફેરફારને જન્મ આપી શકે છે. ગેસ્પર્ડ-રાઇસ સિસ્ટમ એક ઉત્તમ ઉદાહરણ સિસ્ટમ "ગેસ્પર્ડ-રાઇસ" (જીઆર) સ્કેટરિંગ સિસ્ટમ છે-જે ફક્ત "થ્રી-ડિસ્ક" સિસ્ટમ તરીકે પણ ઓળખાય છે-જે સરળ અને સમજવા અને અનુકરણ કરવા માટે સરળ હોવા છતાં અસ્તવ્યસ્ત સ્કેટરિંગમાં ઘણા મહત્વપૂર્ણ ખ્યાલોને મૂર્તિમંત કરે છે. ખ્યાલ ખૂબ જ સરળ છેઃ આપણી પાસે કેટલીક ત્રિકોણાકાર રચનામાં ગોઠવાયેલી ત્રણ હાર્ડ ડિસ્ક છે, એક બિંદુ કણ અંદર મોકલવામાં આવે છે અને જ્યાં સુધી તે અનંત તરફ બહાર ન નીકળે ત્યાં સુધી સંપૂર્ણ, સ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાંથી પસાર થાય છે. આ ચર્ચામાં, આપણે ફક્ત સમાન કદની ડિસ્ક ધરાવતી GR પ્રણાલીઓને ધ્યાનમાં લઈશું, જે સમબાહુ ત્રિકોણના બિંદુઓની આસપાસ સમાન અંતરે હોય છે. આકૃતિ 1 આ પ્રણાલીને સમજાવે છે જ્યારે આકૃતિ 2 બે ઉદાહરણો દર્શાવે છે. પ્રથમ નોંધ લો કે આખરે બહાર નીકળતા પહેલા થોડા સમય માટે માર્ગ પ્રણાલીની આસપાસ ઉછાળે છે. એ પણ નોંધ કરો કે, જો આપણે અસર પરિમાણોને ડાબી બાજુએ બે સંપૂર્ણ આડી રેખાઓની શરૂઆત માનીએ (સિસ્ટમ સંપૂર્ણપણે ઉલટાવી શકાય તેવું છેઃ બહાર નીકળવાનો બિંદુ પણ પ્રવેશ બિંદુ હોઈ શકે છે), તો બંને માર્ગ શરૂઆતમાં એટલા નજીક છે કે લગભગ સમાન છે. તેઓ બહાર નીકળે ત્યાં સુધીમાં, તેઓ સંપૂર્ણપણે અલગ હોય છે, આમ પ્રારંભિક પરિસ્થિતિઓ પ્રત્યેની મજબૂત સંવેદનશીલતાને દર્શાવે છે. આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ સમગ્ર લેખમાં ઉદાહરણ તરીકે કરવામાં આવશે. ક્ષય દર જો આપણે એકસમાન રીતે વિતરિત અસર પરિમાણો સાથે મોટી સંખ્યામાં કણો રજૂ કરીએ, તો તેઓ જે દરે પ્રણાલીમાંથી બહાર નીકળે છે તે ક્ષય દર તરીકે ઓળખાય છે. આપણે ઘણા પરીક્ષણો પર પ્રણાલીનું અનુકરણ કરીને અને વિલંબ સમયનો હિસ્ટોગ્રામ બનાવીને ક્ષય દરની ગણતરી કરી શકીએ છીએ, ટી. જી. આર. પ્રણાલી માટે, તે જોવાનું સરળ છે કે વિલંબ સમય અને કણના માર્ગની લંબાઈ સમકક્ષ છે પરંતુ ગુણાકાર ગુણાંક માટે. ઈમ્પૅક્ટ પેરામીટર માટે એક લાક્ષણિક પસંદગી વાય-કોઓર્ડિનેટ છે, જ્યારે ટ્રેજેક્ટરી એંગલને શૂન્ય ડિગ્રી પર સ્થિર રાખવામાં આવે છે-આડી. દરમિયાન, આપણે કહીએ છીએ કે એકવાર તે સિસ્ટમના કેન્દ્રથી કેટલાક મનસ્વી, પરંતુ પૂરતા પ્રમાણમાં મોટા અંતરની સરહદ પાર કરે છે ત્યારે કણ "સિસ્ટમમાંથી બહાર નીકળી ગયો છે". આપણે અપેક્ષા રાખીએ છીએ કે પ્રણાલીમાં બાકી રહેલા કણોની સંખ્યા, N (T), આ રીતે બદલાય છેઃ આમ ક્ષય દર, આ રીતે આપવામાં આવે છેઃ જ્યાં n એ કણોની કુલ સંખ્યા છે. આકૃતિ 3 રેન્ડમ ઇમ્પેક્ટ પેરામીટર, b થી શરૂ થયેલા દસ લાખ (1e6) કણોના અનુકરણ માટે પાથ-લંબાઈ વિરુદ્ધ કણોની સંખ્યાનો આલેખ દર્શાવે છે. નકારાત્મક ઢોળાવની ફીટ કરેલી સીધી રેખા, ઢંકાયેલી હોય છે. પાથ-લંબાઈ, s, ક્ષય સમય, T ની સમકક્ષ છે, જો કે આપણે (અચળ) ઝડપને યોગ્ય રીતે માપીએ. નોંધ લો કે ઘાતાંકીય ક્ષય દર એ ખાસ કરીને હાયપરબોલિક અસ્તવ્યસ્ત સ્કેટરિંગનો ગુણધર્મ છે. બિન-હાયપરબોલિક સ્કેટર્સમાં અંકગણિત ક્ષય દર હોઈ શકે છે. એક પ્રાયોગિક પ્રણાલી અને સ્થિર મેનીફોલ્ડ આકૃતિ 4 બિંદુ કણને બદલે લેસરનો ઉપયોગ કરીને ગેસ્પર્ડ-રાઇસ પ્રણાલીની પ્રાયોગિક અનુભૂતિ દર્શાવે છે. જેમ કે જેણે ખરેખર આનો પ્રયાસ કર્યો છે તે જાણે છે, સિસ્ટમની ચકાસણી કરવાની આ ખૂબ અસરકારક પદ્ધતિ નથી-લેસર બીમ દરેક દિશામાં વિખેરાઈ જાય છે. સ્વીટ, ઓટ અને યોર્ક દ્વારા બતાવ્યા પ્રમાણે, વધુ અસરકારક પદ્ધતિ ડિસ્ક વચ્ચેના અંતરાલો દ્વારા રંગીન પ્રકાશને દિશામાન કરવાની છે (અથવા આ કિસ્સામાં, સિલિન્ડરની જોડીમાં કાગળના રંગીન પટ્ટાઓ ટેપ કરો) અને ખુલ્લા અંતરાલો દ્વારા પ્રતિબિંબને જુઓ. પરિણામ એ વૈકલ્પિક રંગની પટ્ટાઓનું એક જટિલ સ્વરૂપ છે, જે નીચે બતાવ્યા પ્રમાણે, તેની નીચેના સિમ્યુલેટેડ સંસ્કરણમાં વધુ સ્પષ્ટ રીતે જોવા મળે છે. આકૃતિ 5 અને 6 દરેક અસર પરિમાણ માટે આકર્ષણના તટપ્રદેશો દર્શાવે છે, b, એટલે કે, b ના આપેલ મૂલ્ય માટે, કણ કયા અંતરમાંથી બહાર નીકળે છે? તટપ્રદેશની સીમાઓ કેન્ટોર સમૂહ બનાવે છે અને સ્થિર મેનીફોલ્ડના સભ્યોનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છેઃ એવા માર્ગો કે જે એકવાર શરૂ થયા પછી ક્યારેય પ્રણાલીમાંથી બહાર નીકળતા નથી. અપરિવર્તનશીલ સમૂહ અને પ્રતીકાત્મક ગતિશીલતા જ્યાં સુધી તે સપ્રમાણ હોય, ત્યાં સુધી આપણે સિસ્ટમને સરળતાથી પુનરાવર્તિત કાર્ય નકશા તરીકે વિચારી શકીએ છીએ, જે અસ્તવ્યસ્ત, ગતિશીલ સિસ્ટમને રજૂ કરવાની એક સામાન્ય પદ્ધતિ છે. આકૃતિ 7 ચલોનું એક સંભવિત પ્રતિનિધિત્વ દર્શાવે છે, જેમાં પ્રથમ ચલ, રીબાઉન્ડ પર ડિસ્કની આસપાસના કોણનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે અને બીજું, ડિસ્કની સાપેક્ષ અસર/રીબાઉન્ડ કોણનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. આ બે ચલોનો ઉપગણ, જેને અપરિવર્તનશીલ સમૂહ કહેવામાં આવે છે, તે પોતાની જાત પર નકશો બનાવશે. આ સમૂહ, જેમાંથી ચાર સભ્યો આકૃતિ 8 અને 9 માં દર્શાવવામાં આવ્યા છે, તે ફ્રેક્ટલ, સંપૂર્ણપણે બિન-આકર્ષક અને શૂન્ય માપનો હશે. આ વધુ સામાન્ય રીતે ચર્ચા કરાયેલી અસ્તવ્યસ્ત પ્રણાલીઓનું રસપ્રદ વ્યુત્ક્રમ છે જેમાં ફ્રેક્ટલ અપરિવર્તનશીલ સમૂહ આકર્ષિત કરે છે અને હકીકતમાં તેમાં આકર્ષણના તટપ્રદેશનો સમાવેશ થાય છે. નોંધ લો કે અપરિવર્તનશીલ સમૂહની સંપૂર્ણપણે બિન-આકર્ષક પ્રકૃતિ એ હાયપરબોલિક અસ્તવ્યસ્ત સ્કેટરરનો બીજો ગુણધર્મ છે. અપરિવર્તનશીલ સમૂહના દરેક સભ્યને પ્રતીકાત્મક ગતિશીલતાનો ઉપયોગ કરીને મોડલ કરી શકાય છેઃ માર્ગને દરેક ડિસ્કના આધારે લેબલ કરવામાં આવે છે જેમાંથી તે રીબાઉન્ડ થાય છે. આવા તમામ ક્રમોનો સમૂહ અગણિત સમૂહ બનાવે છે. આકૃતિ 8 અને 9માં દર્શાવેલ ચાર સભ્યો માટે, પ્રતીકાત્મક ગતિશીલતા નીચે મુજબ હશેઃ. 1212121212.. 23232323................................... જ્યારે તમે ધ્યાનમાં લો કે અપરિવર્તનશીલ સમૂહના સભ્યએ આકર્ષણના બે તટપ્રદેશો વચ્ચેની સીમાઓમાં "બંધબેસતા" હોવા જોઈએ, ત્યારે તે સ્પષ્ટ છે કે, જો વિક્ષેપિત થાય, તો માર્ગ અનુક્રમ સાથે ગમે ત્યાં બહાર નીકળી શકે છે. આમ તે પણ સ્પષ્ટ હોવું જોઈએ કે કોઈપણ આપેલ સીમા વચ્ચે ત્રણેય "રંગો" ના વૈકલ્પિક તટપ્રદેશોની અનંત સંખ્યા અસ્તિત્વમાં હશે. તેમના અસ્થિર સ્વભાવને કારણે, અપરિવર્તનશીલ સમૂહ અથવા સ્થિર મેનીફોલ્ડના સભ્યો સુધી સીધું પહોંચવું મુશ્કેલ છે. અનિશ્ચિતતા ઘાતાંક આદર્શ રીતે આ પ્રકારની પ્રણાલીના ફ્રેક્ટલ પરિમાણને માપવા માટે તૈયાર કરવામાં આવે છે. ફરી એકવાર સિંગલ ઈમ્પેક્ટ પેરામીટર, b નો ઉપયોગ કરીને, આપણે રેન્ડમ ઈમ્પૅક્ટ પેરામીટર્સ સાથે બહુવિધ પરીક્ષણો કરીએ છીએ, તેમને એક મિનિટની રકમથી વિચલિત કરીએ છીએ, અને ગણતરી કરીએ છીએ કે ડિસ્કમાંથી રીબાઉન્ડની સંખ્યા કેટલી વાર બદલાય છે, એટલે કે અનિશ્ચિતતા અપૂર્ણાંક. નોંધ લો કે સિસ્ટમ દ્વિ-પરિમાણીય હોવા છતાં, સ્થિર મેનીફોલ્ડના ફ્રેક્ટલ પરિમાણને માપવા માટે એક જ અસર પરિમાણ પૂરતું છે. આ આકૃતિ 10 માં દર્શાવવામાં આવ્યું છે, જે બેવડા પ્રભાવ પરિમાણના કાર્ય તરીકે રચાયેલ આકર્ષણના તટપ્રદેશને દર્શાવે છે, અને. સ્થિર મેનીફોલ્ડ, જે તટપ્રદેશો વચ્ચેની સીમાઓમાં જોઈ શકાય છે, તે માત્ર એક પરિમાણ સાથે ફ્રેક્ટલ છે. આકૃતિ 11 સિમ્યુલેટેડ ગેસ્પર્ડ-રાઇસ સિસ્ટમ માટે અનિશ્ચિતતાના કાર્ય તરીકે અનિશ્ચિતતાના અપૂર્ણાંક, f ને દર્શાવે છે. ફીટ કરેલ વળાંકનો ઢોળાવ અનિશ્ચિતતા ઘાતાંક પરત કરે છે, આમ સ્થિર મેનીફોલ્ડનું બોક્સ-ગણતરી પરિમાણ છે. અપરિવર્તનશીલ સમૂહ એ સ્થિર અને અસ્થિર મેનીફોલ્ડનું આંતરછેદ છે. સિસ્ટમ આગળ અથવા પાછળની બાજુએ સમાન હોવાથી, અસ્થિર મેનીફોલ્ડ એ ફક્ત સ્થિર મેનીફોલ્ડની મિરર ઇમેજ છે અને તેમના ફ્રેક્ટલ પરિમાણો સમાન હશે. આ આધાર પર આપણે અપરિવર્તનશીલ સમૂહના ફ્રેક્ટલ પરિમાણની ગણતરી કરી શકીએ છીએઃ જ્યાં D _ s અને D _ u અનુક્રમે સ્થિર અને અસ્થિર મેનીફોલ્ડ્સના ફ્રેક્ટલ પરિમાણો છે અને N = 2 એ પ્રણાલીની પરિમાણતા છે. અપરિવર્તનશીલ સમૂહનું ફ્રેક્ટલ પરિમાણ D = 1.24 છે. ફ્રેક્ટલ પરિમાણ, ક્ષય દર અને લિયાપુનોવ ઘટકો વચ્ચેનો સંબંધ અગાઉની ચર્ચાથી, તે સ્પષ્ટ હોવું જોઈએ કે ક્ષય દર, ફ્રેક્ટલ પરિમાણ અને લિયાપુનોવ ઘટકો બધા સંબંધિત છે. દાખલા તરીકે, મોટો લિયાપુનોવ ઘાતાંક આપણને જણાવે છે કે જો અવ્યવસ્થિત સમૂહમાં વિક્ષેપિત થાય તો તેની ગતિ કેટલી ઝડપથી અલગ થશે. તેવી જ રીતે, ફ્રેક્ટલ પરિમાણ આપણને અપરિવર્તનશીલ સમૂહમાં ભ્રમણકક્ષાઓની ઘનતા વિશે માહિતી આપશે. આમ આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે બંને દ્વિ-પરિમાણીય સ્કેટરિંગ સિસ્ટમ માટે નીચેના અનુમાનમાં દર્શાવ્યા મુજબ ક્ષય દરને અસર કરશેઃ જ્યાં D1 એ માહિતીનું પરિમાણ છે અને h1 અને h2 અનુક્રમે નાના અને મોટા લિયાપુનોવ ઘટકો છે. એક આકર્ષક માટે, અને તે કેપલાન-યોર્ક અનુમાનમાં ઘટાડો કરે છે. લેક્સ ઓફ વાડા અનિશ્ચિતતા સૂચક સંદર્ભો બાહ્ય કડીઓ ગેસ્પર્ડ-રાઇસ પ્રણાલીનું અનુકરણ કરવા માટેનું સોફ્ટવેર ગેસ્પર્ડ-રાઇસ પ્રણાલી અને તેની પ્રતીકાત્મક ગતિશીલતાનું અનુકરણ, કેઓસ વીઃ ડુહેમની બુલ કેઓસ થિયરી સ્કેટરિંગમાંથી