Jacobson–Morozov theorem
ગણિતમાં, જેકોબ્સન-મોરોઝોવ પ્રમેય એ દાવો છે કે અર્ધ-સરળ લાઈ બીજગણિતમાં નિલપોટેન્ટ તત્વોને એસએલ 2-ટ્રિપલ્સ સુધી વિસ્તૃત કરી શકાય છે. આ પ્રમેયનું નામ, પરથી રાખવામાં આવ્યું છે. નિવેદન જેકોબસન-મોરોઝોવનું નિવેદન નીચેની પ્રારંભિક ધારણાઓ પર આધાર રાખે છેઃ અર્ધ-સરળ લાઈ બીજગણિતમાં (આ લેખમાં, લાક્ષણિકતા શૂન્યના ક્ષેત્ર પર) સ્લ 2-ટ્રિપલ એ લાઈ આલ્જેબ્રાનું હોમોમોર્ફિઝમ છે. સમાનરૂપે, તે સંબંધોને સંતોષવામાં તત્વોની ત્રિપુટી છે એક તત્વને નિલપોટેન્ટ કહેવામાં આવે છે, જો એન્ડોમોર્ફિઝમ (સંલગ્ન રજૂઆત તરીકે ઓળખાય છે) એ નિલપોટેન્ટ એન્ડોમોર્ફિઝમ છે. તે એક પ્રાથમિક હકીકત છે કે કોઈપણ એસ. એલ. 2-ટ્રિપલ માટે, ઇ નિલપોટેન્ટ હોવું જોઈએ. જેકોબ્સન-મોરોઝોવ પ્રમેય જણાવે છે કે, તેનાથી વિપરીત, કોઈપણ નિલપોટેન્ટ બિન-શૂન્ય તત્વને એસએલ2-ટ્રિપલ સુધી વિસ્તૃત કરી શકાય છે. કારણ કે, આ રીતે મેળવેલા એસએલ2-ટ્રિપલ્સને સ્પષ્ટ કરવામાં આવે છે. આ પ્રમેય રેખીય બીજગણિત જૂથો માટે પણ કહી શકાય (ફરીથી લાક્ષણિકતા શૂન્યના ક્ષેત્ર k પર): કોઈપણ મોર્ફિઝમ (બીજગણિત જૂથોના) સંયોજન દ્વારા એડિટિવ જૂથમાંથી રિડક્ટિવ જૂથ H પરિબળોમાં કોઈપણ મોર્ફિઝમ. વધુમાં, આવા કોઈપણ બે ફેક્ટરાઇઝેશન H ના k-બિંદુ દ્વારા સંયોજિત થાય છે. સામાન્યીકરણ ઉપર સૂચવ્યા મુજબ પ્રમેયનું દૂરગામી સામાન્યીકરણ નીચે મુજબ કહી શકાયઃ તમામ રેખીય બીજગણિત જૂથોમાં પ્રો-રિડક્ટિવ જૂથોનો સમાવેશ, જ્યાં બંને વર્ગોમાં મોર્ફિઝમ્સને તત્વો દ્વારા સંયોજનમાં લેવામાં આવે છે, તે સ્વીકારે છે ડાબી બાજુની બાજુ, કહેવાતા પ્રો-રિડક્ટિવ એન્વલપ. આ ડાબી બાજુની સંલગ્નતા ઉમેરણ જૂથને મોકલે છે (જે અર્ધ-સરળ હોય છે, જે પ્રો-રિડક્ટિવની વિરુદ્ધ હોય છે), જેનાથી જેકોબસન-મોરોઝોવના ઉપરોક્ત સ્વરૂપને પુનઃપ્રાપ્ત થાય છે. આ સામાન્યીકૃત જેકોબ્સન-મોરોઝોવ પ્રમેય તનાકિયન વર્ગો સાથે સંબંધિત પદ્ધતિઓને અપીલ કરીને અને વધુ ભૌમિતિક પદ્ધતિઓ દ્વારા સાબિત થયો હતો. સંદર્ભો લાઈ આલ્જેબ્રા બીજગણિત જૂથો