Minimal ideal
રિંગ થિયરી તરીકે ઓળખાતી અમૂર્ત બીજગણિતની શાખામાં, રિંગ R નો ન્યૂનતમ જમણો આદર્શ એ બિન-શૂન્ય જમણો આદર્શ છે જેમાં અન્ય કોઈ બિન-શૂન્ય જમણો આદર્શ નથી. તેવી જ રીતે, લઘુત્તમ ડાબી બાજુનો આદર્શ એ R નો બિન-શૂન્ય ડાબી બાજુનો આદર્શ છે જેમાં R નો કોઈ અન્ય બિન-શૂન્ય ડાબી બાજુનો આદર્શ નથી, અને R નો લઘુત્તમ આદર્શ એ બિન-શૂન્ય આદર્શ છે જેમાં R નો કોઈ અન્ય બિન-શૂન્ય દ્વિ-બાજુવાળો આદર્શ નથી. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, ન્યુનતમ જમણા આદર્શો એ સમાવેશ દ્વારા ક્રમબદ્ધ R ના બિન-શૂન્ય જમણા આદર્શોના આંશિક રીતે ક્રમબદ્ધ સમૂહ (પોસેટ) ના ન્યુનતમ ઘટકો છે. વાચકને ચેતવણી આપવામાં આવે છે કે આ સંદર્ભની બહાર, આદર્શોની કેટલીક સ્થિતિઓ શૂન્ય આદર્શને સ્વીકારી શકે છે, અને તેથી શૂન્ય આદર્શ સંભવિત રીતે તે સ્થિતિમાં ન્યૂનતમ તત્વ હોઈ શકે છે. આ રિંગના મુખ્ય આદર્શોની સ્થિતિ માટેનો કેસ છે, જેમાં શૂન્ય આદર્શને ન્યૂનતમ મુખ્ય આદર્શ તરીકે સામેલ કરી શકાય છે. વ્યાખ્યા R વીંટીના ન્યૂનતમ જમણા આદર્શ N ની વ્યાખ્યા નીચેની શરતોની સમકક્ષ છેઃ N એ બિન-શૂન્ય છે અને જો K એ R નો જમણો આદર્શ છે, તો પછી ક્યાં તો અથવા. એન એ એક સરળ જમણું આર-મોડ્યુલ છે. લઘુતમ આદર્શો એ મહત્તમ આદર્શોની બેવડી કલ્પના છે. ગુણધર્મો ન્યૂનતમ આદર્શો પરની ઘણી પ્રમાણભૂત હકીકતો પ્રમાણભૂત ગ્રંથોમાં મળી શકે છે જેમ કે,, અને. એકતાની સાથે રિંગમાં, મહત્તમ જમણા આદર્શો હંમેશા અસ્તિત્વ ધરાવે છે. તેનાથી વિપરીત, એકતાની સાથે રિંગમાં ન્યૂનતમ જમણી, ડાબી અથવા દ્વિ-બાજુવાળા આદર્શો અસ્તિત્વમાં હોવાની જરૂર નથી. રીંગનું જમણું સોકર એ આર રિંગ્સના ન્યૂનતમ જમણા આદર્શોની દ્રષ્ટિએ વ્યાખ્યાયિત એક મહત્વપૂર્ણ માળખું છે, જેના માટે દરેક જમણા આદર્શમાં ન્યૂનતમ જમણા આદર્શ હોય છે, જે આવશ્યક જમણા સોકર સાથે બરાબર રિંગ્સ હોય છે. કોઈપણ જમણી આર્ટીનિયન વીંટી અથવા જમણી કાસ્ચ વીંટીમાં ન્યૂનતમ જમણી બાજુ આદર્શ હોય છે. જે ડોમેન્સ ડિવિઝન રિંગ્સ નથી, તેમાં કોઈ મિનિમલ રાઈટ આઇડિયલ્સ નથી. એકતાની સાથે રિંગ્સમાં, ન્યૂનતમ જમણા આદર્શો આવશ્યકપણે મુખ્ય જમણા આદર્શો હોય છે, કારણ કે ન્યૂનતમ જમણા આદર્શ N માં કોઈપણ બિન-શૂન્ય x માટે, સમૂહ xR એ N ની અંદર R નો બિન-શૂન્ય જમણા આદર્શ છે, અને તેથી. બ્રાઉઅરનો સિદ્ધાંતઃ R વીંટીમાં કોઈપણ ન્યૂનતમ જમણો આદર્શ N સંતોષ આપે છે અથવા R ના કેટલાક આદર્શ તત્વ e માટે. જો N1 અને N2 એ R ના નોન-આઇસોમોર્ફિક ન્યુનત્તમ જમણા આદર્શો હોય, તો ગુણાકાર {0} બરાબર થાય છે. જો N1 અને N2 રિંગ R ના વિશિષ્ટ ન્યૂનતમ આદર્શો હોય, તો ન્યૂનતમ જમણા આદર્શ સાથેની એક સરળ રિંગ અર્ધ-સરળ રિંગ છે. સેમીપ્રાઇમ રિંગમાં, જો અને માત્ર ત્યારે જ ન્યુનતમ જમણો આદર્શ અસ્તિત્વમાં હોય જો ત્યાં ન્યુનતમ ડાબો આદર્શ અસ્તિત્વમાં હોય. સામાન્યીકરણ જમણા મોડ્યુલ M ના બિન-શૂન્ય પેટા મોડ્યુલ N ને ન્યૂનતમ પેટા મોડ્યુલ કહેવામાં આવે છે જો તેમાં M ના અન્ય બિન-શૂન્ય પેટા મોડ્યુલ ન હોય. સમાનરૂપે, N એ M નું બિન-શૂન્ય પેટા મોડ્યુલ છે જે એક સરળ મોડ્યુલ છે. જો Nમાં કોઈ અન્ય બિન-શૂન્ય ઉપ-દ્વિગુણક ન હોય તો બિન-શૂન્ય ઉપ-દ્વિગુણક Nને Mનું ન્યૂનતમ ઉપ-દ્વિગુણક કહીને તેને દ્વિગુણક સુધી પણ વિસ્તૃત કરી શકાય છે. જો મોડ્યુલ M ને જમણા આર-મોડ્યુલ આર. આર. તરીકે લેવામાં આવે, તો ન્યૂનતમ પેટા મોડ્યુલો બરાબર આરના ન્યૂનતમ જમણા આદર્શો છે. તેવી જ રીતે, આરના ન્યૂનતમ ડાબા આદર્શો ચોક્કસપણે ડાબા મોડ્યુલ આરના ન્યૂનતમ ઉપ-આદર્શો છે. રિંગ્સની જેમ, કોઈ ગેરેંટી નથી કે મોડ્યુલમાં ન્યૂનતમ સબમોડ્યુલ્સ અસ્તિત્વ ધરાવે છે. લઘુતમ સબમોડ્યુલ્સનો ઉપયોગ મોડ્યુલના સોલને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે થઈ શકે છે. સંદર્ભો બાહ્ય કડીઓ http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Minimal_ideal અમૂર્ત બીજગણિત રીંગ થિયરી આદર્શો (રીંગ થિયરી)