Conformal welding
ગણિતમાં, કન્ફોર્મલ વેલ્ડીંગ (સીવણ અથવા ગ્લુઇંગ) એ ભૌમિતિક કાર્ય સિદ્ધાંતમાં બે રીમાન સપાટીઓને એકસાથે જોડીને રીમાન સપાટી ઉત્પન્ન કરવાની પ્રક્રિયા છે, જેમાં દરેકને તેમના સીમા વર્તુળો સાથે ડિસ્ક દૂર કરવામાં આવે છે. આ સમસ્યાને એકમ ડિસ્કના અવિભાજ્ય હોલોમોર્ફિક નકશા f, g અને વિસ્તૃત જટિલ સમતલમાં તેના પૂરક શોધવા સુધી ઘટાડી શકાય છે, બંને તેમના ડોમેન્સને બંધ કરવા માટે સતત વિસ્તરણ સ્વીકારે છે, જેમ કે છબીઓ પૂરક જોર્ડન ડોમેન્સ છે અને જેમ કે એકમ વર્તુળ પર તેઓ આપેલ અર્ધસમમિત હોમોમોર્ફિઝમ દ્વારા અલગ પડે છે. વિવિધ તકનીકોનો ઉપયોગ કરીને કેટલાક પુરાવાઓ જાણીતા છે, જેમાં બેલ્ટ્રામી સમીકરણ, વર્તુળ પર હિલ્બર્ટ રૂપાંતરણ અને પ્રાથમિક અંદાજ તકનીકોનો સમાવેશ થાય છે. કન્ફોર્મલ વેલ્ડીંગની પ્રથમ બે પદ્ધતિઓનું વર્ણન કરો તેમજ સમતલમાં આકારોના વિશ્લેષણ માટે આંકડાકીય ગણતરીઓ અને ઉપયોગો પ્રદાન કરો. બેલટ્રામી સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને વેલ્ડીંગ આ પદ્ધતિ સૌપ્રથમ દ્વારા પ્રસ્તાવિત કરવામાં આવી હતી. જો f એ વર્તુળનું ડિફિયોમોર્ફિઝમ હોય, તો એલેક્ઝાન્ડર એક્સ્ટેંશન f ને એકમ ડિસ્ક D ના ડિફિયોમોર્ફિઝમ સુધી વિસ્તારવાની રીત આપે છેઃ જ્યાં si એ [0,1] માં મૂલ્યો સાથે એક સરળ કાર્ય છે, જે 0 ની નજીક 0 અને 1 ની નજીક 1 ની બરાબર છે, અને g (θ + 2π) = g (θ) + 2π સાથે. F એક્સ્ટેંશનને R> 1 સાથે કોઈપણ મોટી ડિસ્ક |z | <R સુધી ચાલુ રાખી શકાય છે. તદનુસાર એકમ ડિસ્કમાં હવે તેને |z | ≤1 માટે 0 ની બરાબર સુયોજિત કરીને સમગ્ર C પર બેલ્ટ્રામી ગુણાંક સુધી લંબાવો. ધારો કે G એ બેલ્ટ્રામી સમીકરણનો અનુરૂપ ઉકેલ છેઃ ધારો કે |z | ≤1 માટે F1 (z) = G°F−1 (z) અને |z | ≤1 માટે F2 (z) = G (z). આમ જોર્ડન વળાંકની અંદર અને બહાર F1 અને F2 એ |z | <1 અને |z |> 1 ના એકરૂપ હોલોમોર્ફિક નકશા છે. તેઓ સરહદ પર જોર્ડન વળાંક પર એકમ વર્તુળના સમરૂપતા ફાઈ સુધી સતત વિસ્તરે છે. બાંધકામ દ્વારા તેઓ કન્ફોર્મલ વેલ્ડીંગની સ્થિતિને સંતોષે છેઃ વર્તુળ પર હિલ્બર્ટ ટ્રાન્સફોર્મનો ઉપયોગ કરીને વેલ્ડીંગ કન્ફોર્મલ વેલ્ડીંગ સ્થાપિત કરવા માટે હિલ્બર્ટ ટ્રાન્સફોર્મનો ઉપયોગ સૌપ્રથમ જ્યોર્જિયન ગણિતશાસ્ત્રીઓ ડી. જી. દ્વારા સૂચવવામાં આવ્યો હતો. 1958માં માંડઝાવિડ્ઝે અને બી. વી. ખ્વેદેલિડ્ઝે. તે જ સમયે એફ. ડી. દ્વારા વિગતવાર અહેવાલ આપવામાં આવ્યો હતો. ગખોવ અને તેમના ક્લાસિક મોનોગ્રાફ () માં રજૂ કર્યા. ધારો કે en (θ) = einθ એ L2 (T) નો પ્રમાણભૂત ઓર્થોનોર્મલ આધાર છે. ધારો કે H2 (T) હાર્ડી સ્પેસ છે, બંધ સબસ્પેસ એન દ્વારા n ≤ 0 સાથે ફેલાયેલ છે. ધારો કે P એ હાર્ડી જગ્યા પર ઓર્થોગોનલ પ્રક્ષેપણ છે અને T = 2P-I સુયોજિત કરો. ઓપરેટર H = iT એ વર્તુળ પર હિલ્બર્ટ ટ્રાન્સફોર્મ છે અને તેને એકવચન અભિન્ન ઓપરેટર તરીકે લખી શકાય છે. એકમ વર્તુળના ડિફિયોમોર્ફિઝમ f ને જોતાં, કાર્ય એ છે કે |z | <1 અને |z |> 1 માં વ્યાખ્યાયિત બે એકરૂપ હોલોમોર્ફિક વિધેયો નક્કી કરવા અને બંને એકમ વર્તુળ સુધી સરળતાથી વિસ્તરે છે, જોર્ડન ડોમેન અને તેના પૂરક પર મેપિંગ કરે છે, જેમ કે ચાલો F એ એકમ વર્તુળમાં f + નું પ્રતિબંધ છે. પછી અને તેથી જો V (f) ડિફિયોમોર્ફિઝમ f દ્વારા પ્રેરિત L2 પર બાઉન્ડેડ ઇન્વર્ટિબલ ઓપરેટરને સૂચવે છે, તો ઓપરેટર કોમ્પેક્ટ છે, ખરેખર તે સ્મૂથ કર્નલવાળા ઓપરેટર દ્વારા આપવામાં આવે છે કારણ કે P અને T એકવચન ઇન્ટિગ્રલ ઓપરેટરો દ્વારા આપવામાં આવે છે. ઓપરેટર I − Kf એ અનુક્રમણિકા શૂન્યનો ફ્રેડહોલ્મ ઓપરેટર છે. તેમાં શૂન્ય કર્નલ હોય છે અને તેથી તે ઉલટાવી શકાય તેવું છે. હકીકતમાં કર્નલમાં એક તત્વ D અને Dc પર હોલોમોર્ફિક વિધેયોની જોડી ધરાવે છે જે f દ્વારા સંબંધિત વર્તુળ પર સરળ સીમા મૂલ્યો ધરાવે છે. કારણ કે Dc પર હોલોમોર્ફિક વિધેય φ પર અદૃશ્ય થઈ જાય છે, આ જોડીની હકારાત્મક શક્તિઓ પણ ઉકેલો પ્રદાન કરે છે, જે રેખીય રીતે સ્વતંત્ર હોય છે, જે I − Kf એ ફ્રેડહોલ્મ ઓપરેટર છે તે હકીકતથી વિરોધાભાસી છે. તેથી ઉપરોક્ત સમીકરણનો એક અનોખો ઉકેલ F છે જે સરળ છે અને જેમાંથી ઉપરના પગલાંને ઉલટાવીને f ± નું પુનઃનિર્માણ કરી શકાય છે. ખરેખર, F ના વ્યુત્પન્નના લઘુગણક દ્વારા સંતુષ્ટ સમીકરણને જોતાં, તે અનુસરે છે કે F એકમ વર્તુળ પર ક્યાંય લુપ્ત થતું વ્યુત્પન્ન નથી. વધુમાં F એ વર્તુળ પર એક-થી-એક છે કારણ કે જો તે વિવિધ બિંદુઓ z1 અને z2 પર a મૂલ્ય ધારણ કરે તો R (z) = (F (z) − a)/(z-z1) (z − z2) નો લઘુગણક કોઈ બિન-શૂન્ય ઉકેલો ધરાવતા હોવાનું જાણીતાં અભિન્ન સમીકરણને સંતોષશે. એકમ વર્તુળ પરના આ ગુણધર્મોને જોતાં, f ± ના જરૂરી ગુણધર્મો પછી દલીલ સિદ્ધાંતને અનુસરે છે. નોંધ વિશ્લેષણમાં સંદર્ભ પ્રમેય જટિલ વિશ્લેષણ રીમાન સપાટીઓ