Infinite compositions of analytic functions
ગણિતમાં, વિશ્લેષણાત્મક કાર્યો (ICAF) ની અનંત રચનાઓ વિશ્લેષણાત્મક સતત અપૂર્ણાંકો, શ્રેણીઓ, ઉત્પાદનો અને અન્ય અનંત વિસ્તરણની વૈકલ્પિક રચનાઓ પ્રદાન કરે છે, અને આવી રચનાઓમાંથી વિકસિત થતો સિદ્ધાંત આ વિસ્તરણના અભિસરણ/વિચલન પર પ્રકાશ પાડી શકે છે. કેટલાક કાર્યોને ખરેખર અનંત રચનાઓ તરીકે સીધા જ વિસ્તૃત કરી શકાય છે. વધુમાં, અનંત વિસ્તરણને સંડોવતા નિશ્ચિત બિંદુ સમીકરણોના ઉકેલોનું મૂલ્યાંકન કરવા માટે ICAF નો ઉપયોગ કરવો શક્ય છે. જટિલ ગતિશીલતા એક જ કાર્યને બદલે કાર્યોની પ્રણાલીઓના પુનરાવર્તન માટે અન્ય સ્થળ પ્રદાન કરે છે. એક જ વિધેયની અનંત રચનાઓ માટે Iterated વિધેય જુઓ. ફ્રેક્ટલ થિયરીમાં ઉપયોગી મર્યાદિત સંખ્યામાં વિધેયોની રચનાઓ માટે, ઇટરેટેડ ફંક્શન સિસ્ટમ જુઓ. જો કે આ લેખનું શીર્ષક વિશ્લેષણાત્મક કાર્યોને સ્પષ્ટ કરે છે, તેમ છતાં જટિલ ચલનાં વધુ સામાન્ય કાર્યો માટે પણ પરિણામો છે. સંકેત અનંત રચનાઓનું વર્ણન કરતા ઘણા સંકેતો છે, જેમાં નીચેનાનો સમાવેશ થાય છેઃ આગળની રચનાઓઃ પછાત રચનાઓઃ દરેક કિસ્સામાં અભિસરણને નીચેની મર્યાદાઓના અસ્તિત્વ તરીકે અર્થઘટન કરવામાં આવે છેઃ સુવિધા માટે, સેટ અને સેટ કરો. ઘણા પરિણામોને નીચેના પરિણામના વિસ્તરણ તરીકે ગણી શકાયઃ સંકોચક વિધેયોની અનંત રચનાઓ ચાલો {fn} એ સરળ રીતે જોડાયેલા ડોમેન S પર વિશ્લેષણાત્મક વિધેયોની શ્રેણી છે. ધારો કે ત્યાં એક કોમ્પેક્ટ સમૂહ અસ્તિત્વમાં છે જેમ કે દરેક n, fn (S) માટે. આ બે પ્રમેયો, ખાસ કરીને ફોરવર્ડ કમ્પોઝિશન પ્રમેય પર આધારિત તપાસોના પરિણામે વધારાના સિદ્ધાંતમાં નીચેના સંદર્ભમાં મેળવેલી મર્યાદાઓ માટે સ્થાન વિશ્લેષણનો સમાવેશ થાય છે. પછાત રચના પ્રમેયના અલગ અભિગમ માટે, નીચેનો સંદર્ભ જુઓ. પછાત રચનાઓના પ્રમેય અંગે, S = {z: |z | <1} માટે f2n (z) = 1/2 અને f2n −1 (z) = −1/2 નું ઉદાહરણ ફોરવર્ડ રચનાઓના પ્રમેય જેવા સંક્ષિપ્ત સબસેટમાં સંકોચનની જરૂરિયાતની અપૂરતા દર્શાવે છે. આવશ્યકપણે વિશ્લેષણાત્મક ન હોય તેવા કાર્યો માટે લિપશિટ્ઝ શરત પૂરતી છેઃ અન્ય કાર્યોની અનંત રચનાઓ બિન-સંકોચક જટિલ કાર્યો સમગ્ર કાર્યોને સંડોવતા પરિણામોમાં ઉદાહરણ તરીકે નીચેનાનો સમાવેશ થાય છે. પછી સેટ કરો પછી નીચેના પરિણામો ધરાવે છેઃ વધારાના પ્રાથમિક પરિણામોમાં નીચેનાનો સમાવેશ થાય છેઃ ઉદાહરણ GF1: ઉદાહરણ GF2: રેખીય અપૂર્ણાંક પરિવર્તન રેખીય અપૂર્ણાંક (મોબિયસ) પરિવર્તનની રચનાઓ માટેના પરિણામોમાં નીચેનાનો સમાવેશ થાય છે, ઉદાહરણ તરીકેઃ ઉદાહરણો અને ઉપયોગો સતત અપૂર્ણાંક અનંત સતત અપૂર્ણાંકનું મૂલ્ય ક્રમની મર્યાદા {Fn (0)} તરીકે વ્યક્ત કરી શકાય છે જ્યાં એક સરળ ઉદાહરણ તરીકે, એક જાણીતું પરિણામ (વર્પિટ્સ્કી સર્કલ *) પ્રમેય (A) ની એપ્લિકેશનમાંથી અનુસરે છેઃ સતત અપૂર્ણાંકને ધ્યાનમાં લો કે |ζ <1 અને |z | <R <1. પછી 0 <r <1 માટે, |z | <1 માટે વિશ્લેષણાત્મક. R = 1/2 સુયોજિત કરો. ઉદાહરણ તરીકે.] ઉદાહરણ. એક નિશ્ચિત-બિંદુ સતત અપૂર્ણાંક સ્વરૂપ (એક ચલ). પ્રત્યક્ષ કાર્યાત્મક વિસ્તરણ કાર્યનું સીધા રચનામાં રૂપાંતર દર્શાવતા ઉદાહરણો નીચે મુજબ છેઃ ઉદાહરણ 1. ધારો કે એક સંપૂર્ણ કાર્ય નીચેની શરતોને સંતોષે છેઃ પછી. ઉદાહરણ 2. ઉદાહરણ 3. ઉદાહરણ 4. નિશ્ચિત બિંદુઓની ગણતરી પ્રમેય (બી) ને અનંત વિસ્તરણ અથવા ચોક્કસ સંકલન દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કાર્યોના નિશ્ચિત બિંદુઓ નક્કી કરવા માટે લાગુ કરી શકાય છે. નીચેના ઉદાહરણો પ્રક્રિયાને સમજાવે છેઃ ઉદાહરણ FP1. |ζ | ≤1 માટે α = G (α) શોધવા માટે, પહેલા આપણે વ્યાખ્યાયિત કરીએઃ પછી ζ = 1 સાથે ગણતરી કરો, જે દસ પુનરાવર્તનો પછી દસ દશાંશ સ્થાનોને α = 0.087118118 આપે છે. ઉત્ક્રાંતિ કાર્યો I = [0,1] માટે સામાન્યીકૃત સમય અંતરાલને ધ્યાનમાં લો. ICAF ને અંતરાલ પર બિંદુ, z ની સતત ગતિને વર્ણવવા માટે બનાવી શકાય છે, પરંતુ એવી રીતે કે દરેક "ક્ષણ" પર ગતિ વર્ચ્યુઅલ રીતે શૂન્ય હોય (ઝેનોની તીર જુઓ): n સમાન પેટા અંતરાલમાં વિભાજિત અંતરાલ માટે, 1 ≤ k ≤ n વિશ્લેષણાત્મક અથવા ફક્ત સતત સેટ કરો-ડોમેન S માં, જેમ કે S માં બધા k અને બધા z માટે, અને. મુખ્ય ઉદાહરણ સૂચવે છે કે જો બંધ સ્વરૂપનો ઉકેલ z (t) હોય તો સંકલન સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત હોય છે. પછી અન્યથા, ઇન્ટિગ્રેલનું મૂલ્ય સરળતાથી ગણવામાં આવે છે તેમ છતાં ઇન્ટિગ્રેલને નબળી રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. આ કિસ્સામાં ઇન્ટિગ્રલને "વર્ચ્યુઅલ" ઇન્ટિગ્રલ કહી શકાય. ઉદાહરણ તરીકે.] ઉદાહરણ. ચાલોઃ આગળ, સેટ કરો અને Tn (z) = Tn, n (z). જ્યારે તે મર્યાદા અસ્તિત્વમાં હોય ત્યારે ચાલો. ક્રમ {Tn (z)} આકૃતિઓ γ = γ (cn, z) ને વ્યાખ્યાયિત કરે છે જે વેક્ટર ક્ષેત્ર f (z) ના પ્રવાહને અનુસરે છે. જો ત્યાં એક આકર્ષક નિશ્ચિત બિંદુ α અસ્તિત્વમાં હોય, જેનો અર્થ થાય છે |f (z) − α | ≤ ρ |z −α | 0 ≤ ρ <1 માટે, તો પછી Tn (z) → T (z) ષ્ણ α સાથે γ = γ (cn, z), પૂરી પાડવામાં આવેલ (ઉદાહરણ તરીકે). જો cn ષ્ણ c> 0 હોય, તો પછી Tn (z) → T (z), સમોચ્ચ પરનો એક બિંદુ γ = γ (c, z). તે સરળતાથી જોઈ શકાય છે કે આ મર્યાદાઓ ક્યારે અને ક્યારે અસ્તિત્વ ધરાવે છે. આ વિભાવનાઓ ઇમેજ પ્રોસેસિંગમાં સક્રિય સમોચ્ચ સિદ્ધાંત સાથે નજીવા પ્રમાણમાં સંબંધિત છે, અને યુલર પદ્ધતિનું સરળ સામાન્યીકરણ છે સ્વ-પ્રતિકૃતિ વિસ્તરણ શ્રેણી fn (z) = z + gn (z) દ્વારા પુનરાવર્તિત રીતે વ્યાખ્યાયિત શ્રેણીમાં એવો ગુણધર્મ છે કે nમો શબ્દ પ્રથમ n−1 શબ્દોના સરવાળા પર આધારિત છે. પ્રમેય (GF3) નો ઉપયોગ કરવા માટે નીચેના અર્થમાં સીમા દર્શાવવી જરૂરી છેઃ જો દરેક fn ને |z | <M માટે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે તો |Gn (z) | <M એ |fn (z) − z | = |gn (z) | ≤ Cβn પહેલાં અનુસરવું આવશ્યક છે જે પુનરાવર્તિત હેતુઓ માટે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. આનું કારણ એ છે કે સમગ્ર વિસ્તરણ દરમિયાન થાય છે. પ્રતિબંધ આ હેતુને પૂર્ણ કરે છે. પછી પ્રતિબંધિત ડોમેન પર સમાનરૂપે Gn (z) → G (z). ઉદાહરણ (S1). સમૂહ અને M = ρ2. પછી R = ρ2 − (π/6)> 0. પછી, જો S માં z સૂચવે છે કે |Gn (z) | <M અને પ્રમેય (GF3) લાગુ પડે છે, જેથી તે સંપૂર્ણપણે કન્વર્જ થાય, તો તે કન્વર્જન્ટ છે. ઉદાહરણ (S2): ઉત્પાદનો દ્વારા પુનરાવર્તિત રીતે વ્યાખ્યાયિત થયેલ ઉત્પાદન દેખાવ ધરાવે છે પ્રમેય GF3 ને લાગુ કરવા માટે તે જરૂરી છે કેઃ ફરી એકવાર, બાઉન્ડનેસ શરતને ટેકો આપવો આવશ્યક છે જો કોઈ વ્યક્તિ Cβn ને અગાઉથી જાણે છે, તો નીચે મુજબ પૂરતું હશેઃ તો પછી પ્રતિબંધિત ડોમેન પર Gn (z) → G (z) સમાનરૂપે. ઉદાહરણ (પી 1). ધારો કે કેટલીક પ્રારંભિક ગણતરીઓ પછી અવલોકન સાથે, કે |z | ≤ 1/4 સૂચવે છે |Gn (z) | <0.27. પછી અને સમાનરૂપે એકરૂપ થાય છે. ઉદાહરણ (પી 2). સતત અપૂર્ણાંકનું ઉદાહરણ (સી. એફ. 1): સ્વ-ઉત્પન્ન થતું સતત અપૂર્ણાંક. ઉદાહરણ (સી. એફ. 2): સ્વ-જનરેટિંગ રિવર્સ યુલર સતત અપૂર્ણાંક તરીકે શ્રેષ્ઠ રીતે વર્ણવવામાં આવે છે. સામાન્યીકૃત સતત અપૂર્ણાંક સંદર્ભો જટિલ વિશ્લેષણ વિશ્લેષણાત્મક કાર્યો નિશ્ચિત-બિંદુ પ્રમેયો એલ્ગોરિધમિક આર્ટ ઇમર્જન્સ પણ જુઓ.