Koenigs function
ગણિતમાં, કોએનિગ્સ કાર્ય એ જટિલ વિશ્લેષણ અને ગતિશીલ પ્રણાલીઓમાં ઉદ્ભવતા કાર્ય છે. ફ્રેન્ચ ગણિતશાસ્ત્રી ગેબ્રિએલ કોએનિગ્સ દ્વારા 1884 માં રજૂ કરાયેલ, તે જટિલ સંખ્યાઓમાં એકમ ડિસ્કના એકરૂપ હોલોમોર્ફિક મેપિંગ અથવા મેપિંગના અર્ધસમૂહના વિસ્તરણ તરીકે કેનોનિકલ રજૂઆત આપે છે. કોએનિગ્સ કાર્યનું અસ્તિત્વ અને વિશિષ્ટતા ચાલો ડી જટિલ સંખ્યાઓમાં એકમ ડિસ્ક હોય. ચાલો એક હોલોમોર્ફિક ફંક્શન બનીએ જે D ને પોતાનામાં મેપિંગ કરે છે, બિંદુ 0 ને નિશ્ચિત કરે છે, જેમાં સમાન રીતે 0 નથી અને D નું ઓટોમોર્ફિઝમ નથી, એટલે કે. એસયુ (1,1) માં મેટ્રિક્સ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત મોબિયસ પરિવર્તન. ડેન્જોય-વોલ્ફ પ્રમેય મુજબ, દરેક ડિસ્ક |z | <r ને અપરિવર્તનશીલ રાખે છે અને તેના પુનરાવર્તનો કોમ્પેક્ટા પર સમાનરૂપે 0 પર એકરૂપ થાય છેઃ હકીકતમાં 0 <<1 માટે, |z | ≤ r માટે M (r) <1 સાથે. વધુમાં '(0) = સાથે 0 <| | <1. એ સાબિત કર્યું કે ડી પર વ્યાખ્યાયિત એક અનન્ય હોલોમોર્ફિક ફંક્શન છે, જેને કોએનિગ્સ ફંક્શન કહેવાય છે, જેમ કે (0) = 0,' (0) = 1 અને શ્રોડરનું સમીકરણ સંતુષ્ટ થાય છે, ફંક્શન એચ એ સામાન્યીકૃત પુનરાવર્તનોના કોમ્પેક્ટાની સમાન મર્યાદા છે,. વધુમાં, જો તે અવિભાજ્ય છે, તો તે પણ છે. પરિણામે, જ્યારે (અને તેથી) અવિભાજ્ય હોય, ત્યારે તેને ઓપન ડોમેન સાથે ઓળખી શકાય છે. આ અનુરૂપ ઓળખ હેઠળ, મેપિંગ દ્વારા ગુણાકાર બને છે, પર વિસ્તરણ. વિશિષ્ટતાનો પુરાવો. જો બીજો ઉકેલ હોય તો, વિશ્લેષણાત્મકતા દ્વારા, તે બતાવવા માટે પૂરતું છે કે k = h એ 0 ની નજીક છે. 0 ની નજીક દો. આમ H (0) = 0, H "'(0) = 1 અને, |z | સ્મોલ માટે, પાવર સિરીઝમાં બદલીને, તે 0 ની નજીક આવે છે. તેથી 0.Existence ની નજીક છે. જો તે પછી શ્વાર્ઝ લેમ્મા દ્વારા બીજી બાજુ, તેથી જી. એન. યુનિવેલેન્સથી વેઇઅરસ્ટ્રાસ એમ-ટેસ્ટ દ્વારા |z | ≤ r માટે સમાનરૂપે એકરૂપ થાય છે. હર્વિટ્ઝના પ્રમેય મુજબ, કારણ કે દરેક જી. એન. અવિભાજ્ય અને સામાન્યીકૃત છે, એટલે કે. ફિક્સેસ 0 અને ત્યાં વ્યુત્પન્ન 1 છે, તેમની મર્યાદા પણ અવિભાજ્ય છે. સેમિગ્રુપનું કોએનિગ્સનું કાર્ય ચાલો આપણે સ્વયંમાં હોલોમોર્ફિક અવિભાજ્ય મેપિંગનું સેમિગ્રુપ બનીએ, જેમ કે> 0 માટે ઓટોમોર્ફિઝમ નથી તે માટે વ્યાખ્યાયિત 0 એ સંયુક્ત રીતે સતત છે અને> 0 સાથે દરેકમાં સમાન કોએનિગ્સનું કાર્ય છે, cf. પુનરાવર્તિત કાર્ય. હકીકતમાં, જો h એ કોએનિગ્સનું વિધેય હોય, તો તે શ્રોએડરના સમીકરણને સંતોષે છે અને તેથી તે h નું પ્રમાણ છે. અવિભાજ્ય અર્ધસમૂહોનું માળખું ક્ષેત્ર પર, નકશા સતત અર્ધસમૂહ દ્વારા ગુણાકાર બની જાય છે. તો Re <0 સાથે વિશિષ્ટ રીતે નિર્ધારિત ઉકેલ ક્યાં છે. તે અનુસરે છે કે અર્ધસમૂહ 0 પર વિકલનક્ષમ છે. ચાલો એક હોલોમોર્ફિક વિધેય v (0) = 0 અને {{math|v '(0)}} = સાથે ચાલુ રહે. પછી તે અને વેક્ટર ક્ષેત્ર માટેનું પ્રવાહ સમીકરણ. 0 <λ <1 સાથેના કિસ્સામાં મર્યાદિત, h (D ") એ તારા જેવું હોવું જોઈએ જેથી સમાન પરિણામ પારસ્પરિક માટે હોય, જેથી તે શરતોને સંતોષે, તેનાથી વિપરીત, ઉપરોક્ત પગલાંને ઉલટાવીને, આ શરતોને સંતોષે તેવું કોઈપણ હોલોમોર્ફિક વેક્ટર ક્ષેત્ર અર્ધસમૂહ સાથે સંકળાયેલું છે, નોંધો સંદર્ભો ASIN: B0006BTAC2 જટિલ વિશ્લેષણ ગતિશીલ પ્રણાલીઓના પ્રકારો કાર્યો