Tennis racket theorem
ટેનિસ રેકેટ પ્રમેય અથવા મધ્યવર્તી અક્ષ પ્રમેય એ શાસ્ત્રીય મિકેનિક્સનું પરિણામ છે જે જડતાના ત્રણ અલગ મુખ્ય ક્ષણો સાથે કઠોર પદાર્થની હિલચાલનું વર્ણન કરે છે. તેને સોવિયેત અવકાશયાત્રી વ્લાદિમીર ઝાનીબેકોવ પછી ઝાનીબેકોવ અસર પણ કહેવામાં આવે છે, જેમણે 1985 માં અવકાશમાં હતા ત્યારે પ્રમેયના તાર્કિક પરિણામોમાંથી એકની નોંધ લીધી હતી, જો કે આ અસર ઓછામાં ઓછા 150 વર્ષ પહેલાંથી જાણીતી હતી અને 1834 માં લુઇસ પોઇનસોટના પુસ્તકમાં તેનો સમાવેશ કરવામાં આવ્યો હતો. આ પ્રમેય નીચેની અસરનું વર્ણન કરે છેઃ પદાર્થનું તેના પ્રથમ અને ત્રીજા મુખ્ય અક્ષોની આસપાસ પરિભ્રમણ સ્થિર હોય છે, જ્યારે તેની બીજી મુખ્ય અક્ષ (અથવા મધ્યવર્તી અક્ષ) ની આસપાસ પરિભ્રમણ સ્થિર નથી. આને નીચેના પ્રયોગ દ્વારા દર્શાવી શકાય છેઃ ટેનિસ રેકેટને તેના હેન્ડલ પર પકડી રાખો, તેનો ચહેરો આડી હોય અને તેને હવામાં ફેંકવાનો પ્રયાસ કરો જેથી તે હેન્ડલને લંબરૂપ આડી અક્ષની આસપાસ સંપૂર્ણ પરિભ્રમણ કરશે (આકૃતિમાં η2, વિડિઓમાં η1), અને હેન્ડલને પકડવાનો પ્રયાસ કરો. લગભગ તમામ કિસ્સાઓમાં, તે પરિભ્રમણ દરમિયાન ચહેરો પણ અડધો પરિભ્રમણ પૂર્ણ કરશે, જેથી બીજો ચહેરો હવે ઉપર છે. તેનાથી વિપરીત, રેકેટ ફેંકવું સરળ છે જેથી તે અન્ય અક્ષની આસપાસ અર્ધ-પરિભ્રમણ સાથે હેન્ડલ અક્ષ (રેખાકૃતિમાં η1) ની આસપાસ ફરશે; તેને કોઈપણ અર્ધ-પરિભ્રમણ સાથે હેન્ડલ (રેખાકૃતિમાં η3) ને લંબરૂપ ઊભી અક્ષની આસપાસ ફેરવવું પણ શક્ય છે. આ પ્રયોગ કોઈપણ વસ્તુ સાથે કરી શકાય છે જેમાં જડતાની ત્રણ જુદી જુદી ક્ષણો હોય છે, ઉદાહરણ તરીકે પુસ્તક, રિમોટ કંટ્રોલ અથવા સ્માર્ટફોન સાથે. આ અસર ત્યારે થાય છે જ્યારે પરિભ્રમણની અક્ષ પદાર્થની બીજી મુખ્ય અક્ષથી સહેજ અલગ હોય છે; હવા પ્રતિકાર અથવા ગુરુત્વાકર્ષણ જરૂરી નથી. સિદ્ધાંત ટેનિસ રેકેટ પ્રમેયનું યુલરના સમીકરણોની મદદથી ગુણાત્મક રીતે વિશ્લેષણ કરી શકાય છે. ટોર્ક-મુક્ત પરિસ્થિતિઓમાં, તેઓ નીચેનું સ્વરૂપ લે છેઃ અહીં પદાર્થની જડતાની મુખ્ય ક્ષણો સૂચવે છે, અને આપણે ધારીએ છીએ. પદાર્થના ત્રણ મુખ્ય અક્ષોની આસપાસ કોણીય વેગ છે અને તેમના સમય વ્યુત્પન્ન દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. પ્રથમ અને ત્રીજા મુખ્ય અક્ષની આસપાસ સ્થિર પરિભ્રમણ જ્યારે પદાર્થ જડતાની ક્ષણ સાથે અક્ષની આસપાસ ફરે છે ત્યારે તે પરિસ્થિતિનો વિચાર કરો. સંતુલનની પ્રકૃતિ નક્કી કરવા માટે, અન્ય બે અક્ષો સાથે નાના પ્રારંભિક કોણીય વેગ ધારો. પરિણામે, સમીકરણ (1) અનુસાર, તે ખૂબ જ નાનું છે. તેથી, સમયની નિર્ભરતાની અવગણના થઈ શકે છે. હવે, સમીકરણ (2) ને અલગ કરીને અને સમીકરણ (3) થી બદલીને, કારણ કે અને. નોંધ લો કે જેનો વિરોધ કરવામાં આવી રહ્યો છે અને તેથી આ અક્ષની આસપાસ પરિભ્રમણ પદાર્થ માટે સ્થિર છે. સમાન તર્ક આપે છે કે જડતાની ક્ષણ સાથે અક્ષની આસપાસ પરિભ્રમણ પણ સ્થિર છે. બીજા મુખ્ય અક્ષની આસપાસ અસ્થિર પરિભ્રમણ હવે જડતાની ક્ષણ સાથે અક્ષ પર સમાન વિશ્લેષણ લાગુ કરો આ સમય ખૂબ જ નાનો છે. તેથી, સમયની નિર્ભરતાની અવગણના થઈ શકે છે. હવે, સમીકરણ (1) ને અલગ કરીને અને સમીકરણ (3) થી બદલીને, નોંધ કરો કે જેનો વિરોધ નથી (અને તેથી તે વધશે) અને તેથી બીજા અક્ષની આસપાસ પરિભ્રમણ અસ્થિર છે. તેથી, અન્ય અક્ષો સાથે એક નાનો વિક્ષેપ પણ પદાર્થને 'પલટી' નું કારણ બને છે. મેટ્રિક્સ વિશ્લેષણ જો પદાર્થ મોટે ભાગે તેના ત્રીજા અક્ષ સાથે ફરતો હોય, તો આપણે ધારી શકીએ કે તે ખૂબ બદલાતો નથી, અને ગતિના સમીકરણોને મેટ્રિક્સ સમીકરણ તરીકે લખી શકીએ છીએઃ જેમાં શૂન્ય ટ્રેસ અને હકારાત્મક નિર્ધારક હોય છે, જેનો અર્થ થાય છે કે ની ગતિ એ મૂળની આસપાસ સ્થિર પરિભ્રમણ છે-એક તટસ્થ સંતુલન બિંદુ. તેવી જ રીતે, બિંદુ એક તટસ્થ સંતુલન બિંદુ છે, પરંતુ તે એક કાઠી બિંદુ છે. ભૌમિતિક વિશ્લેષણ ગતિ દરમિયાન, ઊર્જા અને કોણીય વેગ-વર્ગ બંને સંરક્ષિત હોય છે, આમ આપણી પાસે બે સંરક્ષિત જથ્થા હોય છેઃ અને તેથી કોઈપણ પ્રારંભિક સ્થિતિ માટે, બે લંબગોળ વચ્ચેના આંતરછેદ વળાંક પર ગતિમાર્ગ હોવો આવશ્યક છે. યુલરના સમીકરણોનું નિરીક્ષણ કરીને, આપણે જોઈએ છીએ કે તે સૂચવે છે કે તેના બે ઘટકો શૂન્ય છે-એટલે કે, પદાર્થ બરાબર એક મુખ્ય અક્ષની આસપાસ ફરતો હોય છે. અન્ય તમામ પરિસ્થિતિઓમાં, ગતિમાં રહેવું જોઈએ. યુલરના સમીકરણો અનુસાર, જો ઉકેલ હોય, તો કોઈપણ અચળાંક માટે પણ એવું જ છે. ખાસ કરીને, મુક્ત જગ્યામાં પદાર્થની ગતિ (સંકલન દ્વારા મેળવવામાં આવે છે) બરાબર એ જ હોય છે, જે માત્ર ગુણોત્તર દ્વારા ઝડપથી પૂર્ણ થાય છે. પરિણામે, આપણે ગતિના ભૂમિતિને નિશ્ચિત મૂલ્ય સાથે વિશ્લેષણ કરી શકીએ છીએ, અને સ્થિર વર્ગ કોણીય વેગના નિશ્ચિત લંબગોળ પર બદલાય છે. જેમ જેમ બદલાય છે તેમ તેમ તેનું મૂલ્ય પણ બદલાય છે-આમ આપણને સતત ઊર્જાનું વિવિધ લંબગોળ આપે છે. આ એનિમેશનમાં નિશ્ચિત નારંગી લંબગોળ અને વધતા વાદળી લંબગોળ તરીકે દર્શાવવામાં આવ્યું છે. કોંક્રિટનેસ માટે, ધ્યાનમાં લો, પછી કોણીય વેગ લંબગોળની મુખ્ય અક્ષો ગુણોત્તરમાં છે, અને ઊર્જા લંબગોળની મુખ્ય અક્ષો ગુણોત્તરમાં છે. આમ કોણીય વેગ લંબગોળ બંને સપાટ અને તીક્ષ્ણ હોય છે, જે એનિમેશનમાં દેખાય છે. સામાન્ય રીતે, કોણીય વેગ લંબગોળ હંમેશા ઊર્જા લંબગોળ કરતાં વધુ "અતિશયોક્તિભર્યું" હોય છે. હવે તેના આંતરછેદના વળાંકના નિશ્ચિત લંબગોળ પર લંબગોળ સાથે લખો, જેમ કે શૂન્યથી અનંત સુધી વધે છે. આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે વળાંક નીચે પ્રમાણે વિકસિત થાય છેઃ નાની ઊર્જા માટે, કોઈ આંતરછેદ નથી, કારણ કે આપણે કોણીય વેગ લંબગોળ પર રહેવા માટે ઓછામાં ઓછી ઊર્જાની જરૂર છે. ઊર્જા લંબગોળ પ્રથમ જ્યારે બિંદુઓ પર આવેગ લંબગોળને છેદે છે. આ ત્યારે થાય છે જ્યારે શરીર જડતાની સૌથી મોટી ક્ષણ સાથે તેની ધરીની આસપાસ ફરે છે. તેઓ બિંદુઓની આસપાસ બે ચક્ર પર છેદે છે. દરેક ચક્રમાં કોઈ બિંદુ ન હોવાથી, તેની ગતિ દરેક ચક્રની આસપાસ સામયિક ગતિ હોવી જોઈએ. તેઓ બે "કર્ણ" વળાંકો પર છેદે છે જે બિંદુઓ પર છેદે છે, જ્યારે. જો વિકર્ણ વળાંક પર ક્યાંય પણ શરૂ થાય, તો તે એક બિંદુ સુધી પહોંચશે, અંતર ઝડપથી ઘટશે, પરંતુ વાસ્તવમાં ક્યારેય બિંદુ સુધી પહોંચશે નહીં. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, આપણી પાસે બે કાઠી બિંદુઓ વચ્ચે 4 હેટેરોક્લિનિક ભ્રમણકક્ષાઓ છે. તેઓ બિંદુઓની આસપાસ બે ચક્ર પર છેદે છે. દરેક ચક્રમાં કોઈ બિંદુ ન હોવાથી, તેની ગતિ દરેક ચક્રની આસપાસ સામયિક ગતિ હોવી જોઈએ. ઊર્જા લંબગોળ છેલ્લે જ્યારે બિંદુઓ પર આવેગ લંબગોળને છેદે છે. આ ત્યારે થાય છે જ્યારે શરીર જડતાની સૌથી નાની ક્ષણ સાથે તેની ધરીની આસપાસ ફરે છે. ટેનિસ રેકેટની અસર ત્યારે થાય છે જ્યારે તે કાઠી બિંદુની ખૂબ નજીક હોય છે. શરીર સેડલ પોઇન્ટની નજીક રહે છે, પછી ઝડપથી અન્ય સેડલ પોઇન્ટ પર જાય છે, નજીક આવે છે, ફરીથી લાંબા સમય સુધી રહે છે, વગેરે. આ ગતિ અવધિ સાથે પુનરાવર્તિત થાય છે. ઉપરોક્ત વિશ્લેષણ એક નિરીક્ષકના પરિપ્રેક્ષ્યમાં કરવામાં આવે છે જે શરીર સાથે ફરતું હોય છે. મુક્ત અવકાશમાં શરીરની ગતિ પર નજર રાખનાર નિરીક્ષક તેના કોણીય વેગ વેક્ટરને સંરક્ષિત જોશે, જ્યારે તેના કોણીય વેગ વેક્ટર અને તેની જડતાની ક્ષણ બંને અવકાશમાં જટિલ ગતિમાંથી પસાર થઈ રહી છે. શરૂઆતમાં, નિરીક્ષક બંનેને મોટે ભાગે બીજા મુખ્ય અક્ષ સાથે સંરેખિત જોશે. થોડા સમય પછી, શરીર એક જટિલ ગતિ કરે છે અને સાથે સમાપ્ત થાય છે, અને ફરીથી બંને મોટે ભાગે બીજા મુખ્ય અક્ષ સાથે સંરેખિત થાય છે. પરિણામે, બે શક્યતાઓ છેઃ કાં તો કઠોર પદાર્થની બીજી મુખ્ય ધરી એક જ દિશામાં હોય છે, અથવા તે વિપરીત દિશામાં હોય છે. જો તે હજુ પણ એક જ દિશામાં હોય, તો પછી કઠોર બોડીની સંદર્ભ ફ્રેમમાં જોવામાં આવે તો તે પણ મોટે ભાગે એક જ દિશામાં હોય છે. જો કે, આપણે હમણાં જ તે જોયું છે અને તે વિરુદ્ધ સેડલ પોઇન્ટની નજીક છે. વિરોધાભાસ. ગુણાત્મક રીતે, તો પછી, ખાલી જગ્યામાં જોનાર નિરીક્ષક આ અવલોકન કરશેઃ પદાર્થ તેના બીજા મુખ્ય અક્ષની આસપાસ થોડા સમય માટે ફરે છે. શરીર ઝડપથી એક જટિલ ગતિમાંથી પસાર થાય છે, જ્યાં સુધી તેની બીજી મુખ્ય ધરીની દિશા ઊંધી ન થઈ જાય. શરીર થોડા સમય માટે ફરીથી તેની બીજી મુખ્ય ધરીની આસપાસ ફરે છે. પુનરાવર્તન કરો. માઇક્રોગ્રેવિટીમાં વિડિયો પ્રદર્શનમાં આ સરળતાથી જોઈ શકાય છે. અપવ્યય સાથે જ્યારે શરીર બરાબર કઠોર ન હોય, પરંતુ તે વળાંક અને વળાંક લઈ શકે છે અથવા તેમાં પ્રવાહી હોય છે જે આસપાસ સરકી જાય છે, ત્યારે તે તેની આંતરિક સ્વતંત્રતાના પ્રમાણ દ્વારા ઊર્જાનો નાશ કરી શકે છે. આ કિસ્સામાં, શરીર હજુ પણ સતત કોણીય વેગ ધરાવે છે, પરંતુ જ્યાં સુધી તે ન્યૂનતમ બિંદુ સુધી ન પહોંચે ત્યાં સુધી તેની ઊર્જા ઘટશે. ઉપર ભૌમિતિક રીતે વિશ્લેષણ કરવામાં આવ્યું છે તેમ, આ ત્યારે થાય છે જ્યારે શરીરનો કોણીય વેગ તેની જડતાની મહત્તમ ક્ષણની ધરી સાથે બરાબર સંરેખિત થાય છે. આવું એક્સપ્લોરર 1 સાથે થયું હતું, જે 1958માં યુનાઇટેડ સ્ટેટ્સ દ્વારા પ્રક્ષેપિત પ્રથમ ઉપગ્રહ હતો. અવકાશયાનના લંબાયેલા ભાગને તેની લાંબી (ઓછામાં ઓછી જડતા) ધરીની આસપાસ ફરવા માટે ડિઝાઇન કરવામાં આવ્યું હતું, પરંતુ તેણે આમ કરવાનો ઇનકાર કર્યો હતો અને તેના બદલે લવચીક માળખાકીય ઘટકોમાંથી ઉર્જાના વિસર્જનને કારણે પ્રક્રિયા કરવાનું શરૂ કર્યું હતું. સામાન્ય રીતે, મોટા અથવા નાના આકાશી પદાર્થો જડતાના મહત્તમ ક્ષણની તેની ધરીની આસપાસ સતત પરિભ્રમણમાં ભેગા થાય છે. જ્યારે પણ કોઈ આકાશી પદાર્થ જટિલ પરિભ્રમણ સ્થિતિમાં જોવા મળે છે, ત્યારે તે કાં તો તાજેતરની અસર અથવા ભરતીની ક્રિયાપ્રતિક્રિયાને કારણે હોય છે, અથવા તાજેતરમાં વિક્ષેપિત પૂર્વજનો ટુકડો હોય છે. મીર ઇન્ટરનેશનલ સ્પેસ સ્ટેશન લુઇસ પોઇનસો, થિયોરી નૌવેલ ડે લા રોટેશન ડેસ કોર્પ્સ, પેરિસ, બેચેલિયર, 1834,170 પી.: ઐતિહાસિક રીતે, આ અસરનું પ્રથમ ગાણિતિક વર્ણન પર બાહ્ય કડીઓ પણ જુઓ. - મેટ પાર્કર ક્લાસિકલ મિકેનિક્સ ફિઝિક્સ થીયરમ્સ જગલિંગ દ્વારા સાહજિક વિડિયો સમજૂતી