Projective range
ગણિતમાં, પ્રોજેક્ટિવ રેન્જ એ પ્રોજેક્ટિવ ભૂમિતિમાં બિંદુઓનો સમૂહ છે જે એકીકૃત રીતે ગણવામાં આવે છે. પ્રોજેક્ટિવ શ્રેણી પ્રોજેક્ટિવ રેખા અથવા શંકુ હોઈ શકે છે. પ્રોજેક્ટિવ રેન્જ એ આપેલ બિંદુ પર રેખાઓની પેન્સિલની બેવડી શ્રેણી છે. દાખલા તરીકે, સહસંબંધ પેન્સિલની રેખાઓ સાથે પ્રક્ષેપાત્મક શ્રેણીના બિંદુઓને અદલાબદલી કરે છે. પ્રોજેક્ટિવિટી એક શ્રેણીથી બીજી શ્રેણીમાં કાર્ય કરે છે, જો કે બે શ્રેણીઓ સમૂહો તરીકે એક સાથે આવી શકે છે. પ્રોજેક્ટિવ શ્રેણી પ્રોજેક્ટિવ હાર્મોનિક સંયોજનોના સંબંધની પ્રોજેક્ટિવ ઇનવેરિયન્સને વ્યક્ત કરે છે. ખરેખર, પ્રક્ષેપાત્મક રેખા પરના ત્રણ બિંદુઓ આ સંબંધ દ્વારા ચોથું નક્કી કરે છે. આ ચતુષ્કોણમાં પ્રક્ષેપકતાનો ઉપયોગ હાર્મોનિક સંબંધમાં સમાન રીતે ચાર બિંદુઓમાં પરિણમે છે. આવા ચાર બિંદુઓને હાર્મોનિક શ્રેણી કહેવામાં આવે છે. 1940માં જુલિયન કૂલીજે આ માળખાનું વર્ણન કર્યું અને તેના પ્રણેતાને ઓળખી કાઢ્યાઃ બે મૂળભૂત એક-પરિમાણીય સ્વરૂપો જેમ કે બિંદુ શ્રેણીઓ, રેખાઓની પેન્સિલો અથવા વિમાનોને પ્રોજેક્ટિવ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જ્યારે તેમના સભ્યો એક-થી-એક પત્રવ્યવહારમાં હોય છે, અને એકનો હાર્મોનિક સમૂહ. બીજાના હાર્મોનિક સમૂહને અનુરૂપ હોય છે. . જો બે એક-પરિમાણીય સ્વરૂપો અંદાજો અને આંતરછેદોની ટ્રેન દ્વારા જોડાયેલા હોય, તો હાર્મોનિક તત્વો હાર્મોનિક તત્વોને અનુરૂપ હશે, અને તેઓ વોન સ્ટાઉડના અર્થમાં પ્રોજેક્ટિવ છે. શંકુની શ્રેણીઓ જ્યારે પ્રક્ષેપણ શ્રેણી માટે શંકુની પસંદગી કરવામાં આવે છે, અને શંકુ પર ચોક્કસ બિંદુ E ને મૂળ તરીકે પસંદ કરવામાં આવે છે, ત્યારે બિંદુઓના ઉમેરાને નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છેઃ ધારો કે A અને B શ્રેણી (શંકુ) માં છે અને AB તેમને જોડતી રેખા છે. ધારો કે L એ E માંથી પસાર થતી રેખા છે અને AB ને સમાંતર છે. "બિંદુઓ A અને B નો સરવાળો", A + B, એ શ્રેણી સાથે L નું આંતરછેદ છે. વર્તુળ અને હાયપરબોલા એ શંકુના ઉદાહરણો છે અને બંને પરના ખૂણાઓનો સરવાળો "બિંદુઓના સરવાળા" ની પદ્ધતિ દ્વારા પેદા કરી શકાય છે, જો કે બિંદુઓ વર્તુળ પરના ખૂણાઓ અને હાયપરબોલા પરના હાયપરબોલિક ખૂણાઓ સાથે સંકળાયેલા હોય. સંદર્ભો એચ. એસ. એમ. કોક્સેટર (1955) ધ રિયલ પ્રોજેક્ટિવ પ્લેન, યુનિવર્સિટી ઓફ ટોરોન્ટો પ્રેસ, પૃષ્ઠ 20 રેખા માટે, પૃષ્ઠ 101 શંકુ માટે. પ્રોજેક્ટિવ ભૂમિતિ