Probability bounds analysis
સંભાવના સીમા વિશ્લેષણ (પી. બી. એ.) એ વિવિધ પ્રકારની અનિશ્ચિતતાઓને ધ્યાનમાં રાખીને ગુણાત્મક અને માત્રાત્મક ગણતરીઓ કરવા માટે અનિશ્ચિતતા પ્રસારની પદ્ધતિઓનો સંગ્રહ છે. તેનો ઉપયોગ ગાણિતિક અભિવ્યક્તિઓ દ્વારા રેન્ડમ વેરિયેબલ્સ અને અન્ય જથ્થાઓ વિશે આંશિક માહિતી રજૂ કરવા માટે થાય છે. દાખલા તરીકે, તે રકમ, ઉત્પાદન અથવા વધુ જટિલ કાર્યના વિતરણ પર ચોક્કસ મર્યાદાની ગણતરી કરે છે, જેમાં ઇનપુટ્સના વિતરણ પર માત્ર ચોક્કસ મર્યાદા આપવામાં આવે છે. આવી સીમાઓને સંભાવના બોક્સ કહેવામાં આવે છે, અને સંચિત સંભાવના વિતરણને અવરોધે છે (ઘનતા અથવા સામૂહિક કાર્યોને બદલે). આ બાઉન્ડિંગ અભિગમ વિશ્લેષકોને પરિમાણ મૂલ્યો, ચલ વચ્ચેની નિર્ભરતા અથવા વિતરણ આકાર વિશે વધુ પડતી ચોક્કસ ધારણાઓની જરૂર વગર ગણતરીઓ કરવાની મંજૂરી આપે છે. સંભાવના સીમા વિશ્લેષણ અનિવાર્યપણે પ્રમાણભૂત અંતરાલ વિશ્લેષણ અને શાસ્ત્રીય સંભાવના સિદ્ધાંતની પદ્ધતિઓનું સંયોજન છે. સંભાવના સીમા વિશ્લેષણ એ જ જવાબ આપે છે જે અંતરાલ વિશ્લેષણ ત્યારે આપે છે જ્યારે માત્ર શ્રેણીની માહિતી ઉપલબ્ધ હોય. તે મોન્ટે કાર્લો સિમ્યુલેશન જેવા જ જવાબો પણ આપે છે જ્યારે માહિતી ઇનપુટ વિતરણ અને તેમની નિર્ભરતાને ચોક્કસપણે સ્પષ્ટ કરવા માટે પૂરતી વિપુલ હોય છે. આમ, તે અંતરાલ વિશ્લેષણ અને સંભાવના સિદ્ધાંત બંનેનું સામાન્યીકરણ છે. સંભાવના સીમા વિશ્લેષણ ધરાવતી વિવિધ પદ્ધતિઓ જ્યારે ઇનપુટ મૂલ્યો, તેમની નિર્ભરતા અથવા તો ગાણિતિક અભિવ્યક્તિનું સ્વરૂપ વિશે અનિશ્ચિતતા હોય ત્યારે ગાણિતિક અભિવ્યક્તિઓનું મૂલ્યાંકન કરવા માટે અલ્ગોરિધમ્સ પ્રદાન કરે છે. ગણતરીઓ પરિણામો આપે છે જે આઉટપુટ ચલનાં તમામ સંભવિત વિતરણોને જોડવાની બાંયધરી આપે છે જો ઇનપુટ પી-બોક્સ પણ તેમના સંબંધિત વિતરણોને જોડવાની ખાતરી ધરાવતા હોય. કેટલાક કિસ્સાઓમાં, ગણતરી કરેલ પી-બોક્સ પણ એ અર્થમાં શ્રેષ્ઠ-શક્ય હશે કે કેટલાક સંભવિત વિતરણોને બાકાત રાખ્યા વિના સીમાઓ વધુ કડક ન હોઈ શકે. પી-બોક્સ સામાન્ય રીતે માત્ર સંભવિત વિતરણની સીમા હોય છે. સીમાઓ ઘણીવાર એવા વિતરણોને પણ આવરી લે છે જે પોતે શક્ય નથી. દાખલા તરીકે, સંભાવના વિતરણોનો સમૂહ કે જે બે (ચોક્કસ) વિતરણોમાંથી સ્વતંત્રતાની ધારણા વિના રેન્ડમ મૂલ્યો ઉમેરવાથી પરિણમી શકે છે તે સામાન્ય રીતે રકમ માટે ગણતરી કરાયેલા પી-બોક્સ દ્વારા બંધ કરાયેલા તમામ વિતરણોનો યોગ્ય સબસેટ છે. એટલે કે, આઉટપુટ પી-બોક્સની અંદર વિતરણો છે જે બે ઇનપુટ વિતરણો વચ્ચે કોઈ નિર્ભરતા હેઠળ ઊભી થઈ શક્યું નથી. જો કે, આઉટપુટ પી-બોક્સમાં હંમેશા શક્ય હોય તેવા તમામ વિતરણો હશે, જ્યાં સુધી ઇનપુટ પી-બોક્સ તેમના સંબંધિત અંતર્ગત વિતરણોને જોડવાની ખાતરી કરે. આ ગુણધર્મ ઘણીવાર જોખમ વિશ્લેષણ અને અનિશ્ચિતતા હેઠળ ગણતરીની જરૂર હોય તેવા અન્ય ક્ષેત્રોમાં ઉપયોગ માટે પૂરતો હોય છે. બાઉન્ડિંગ પ્રોબેબિલિટીનો ઇતિહાસ બાઉન્ડિંગ પ્રોબેબિલિટીનો વિચાર પ્રોબેબિલિટી થિયરીના સમગ્ર ઇતિહાસમાં ખૂબ જ લાંબી પરંપરા ધરાવે છે. ખરેખર, 1854માં જ્યોર્જ બૂલે તેમના ધ લોઝ ઓફ થોટમાં સંભાવના પર અંતરાલની મર્યાદાની કલ્પનાનો ઉપયોગ કર્યો હતો. 19મી સદીના ઉત્તરાર્ધમાં પણ, ચેબીશેવને આભારી અસમાનતા વિતરણ પરની મર્યાદાને વર્ણવે છે જ્યારે ચલની માત્ર સરેરાશ અને ભિન્નતા જાણીતી હોય છે, અને માર્કોવને આભારી સંબંધિત અસમાનતા હકારાત્મક ચલ પર મર્યાદા શોધે છે જ્યારે માત્ર સરેરાશ જાણીતી હોય છે. કિબર્ગે અંતરાલ સંભાવનાઓના ઇતિહાસની સમીક્ષા કરી અને 20મી સદી દરમિયાન નિર્ણાયક વિચારોના વિકાસને શોધી કાઢ્યો, જેમાં કીન્સ દ્વારા તરફેણ કરાયેલી અજોડ સંભાવનાઓની મહત્વપૂર્ણ કલ્પના સામેલ છે. ખાસ નોંધ એ છે કે 1930 ના દાયકામાં ફ્રેચેટની અવલંબન ધારણાઓ વિના કુલ સંભાવનાઓને સમાવતી ગણતરીઓ પરની સીમાઓની વ્યુત્પત્તિ છે. બાઉન્ડિંગ સંભાવનાઓ આજ સુધી ચાલુ છે (દા. ત., વોલીનો અચોક્કસ સંભાવનાનો સિદ્ધાંત.) સંભાવના સીમા વિશ્લેષણની પદ્ધતિઓ કે જેનો જોખમ આકારણીમાં નિયમિતપણે ઉપયોગ કરી શકાય છે તે 1980ના દાયકામાં વિકસાવવામાં આવી હતી. હેલપેરિનએ બૂલના વિચારોને વિસ્તૃત કરતી તાર્કિક ગણતરીઓને બંધાવવા માટેની ગણતરીની યોજનાનું વર્ણન કર્યું છે. યાગરે પ્રાથમિક પ્રક્રિયાઓનું વર્ણન કર્યું છે જેના દ્વારા સ્વતંત્રતાની ધારણા હેઠળ કોન્વોલ્યુશન પરની મર્યાદાની ગણતરી કરી શકાય છે. લગભગ તે જ સમયે, મકારોવ અને સ્વતંત્ર રીતે, રુશેન્ડોર્ફએ સમસ્યાનું સમાધાન કર્યું, જે મૂળરૂપે કોલ્મોગોરોવ દ્વારા રજૂ કરવામાં આવી હતી, જેમાં રેન્ડમ વેરિયેબલ્સના સરવાળા માટે સંભાવના વિતરણ માટે ઉપલા અને નીચલા સીમાઓ કેવી રીતે શોધવી, જેમના સીમાંત વિતરણો, પરંતુ તેમના સંયુક્ત વિતરણ નહીં, જાણીતા છે. ફ્રેન્ક એટ અલ. મકારોવના પરિણામને સામાન્ય બનાવ્યું અને તેને કોપુલાસની દ્રષ્ટિએ વ્યક્ત કર્યું. તે સમયથી, રકમ માટેના સૂત્રો અને અલ્ગોરિધમ્સનું સામાન્યીકરણ કરવામાં આવ્યું છે અને વિવિધ અવલંબન ધારણાઓ હેઠળ તફાવતો, ઉત્પાદનો, ક્વોટિએન્ટ્સ અને અન્ય દ્વિસંગી અને યુનરી કાર્યો સુધી વિસ્તૃત કરવામાં આવ્યા છે. અંકગણિત અભિવ્યક્તિઓ ઉમેરણો, બાદબાકીઓ, ગુણાકારો, વિભાગો, લઘુત્તમ, મહત્તમ, ઘાતાંક, લઘુગણક, વર્ગમૂળ, નિરપેક્ષ મૂલ્યો વગેરે જેવી કામગીરીઓ સાથે સંકળાયેલી અંકગણિત અભિવ્યક્તિઓનો ઉપયોગ સામાન્ય રીતે જોખમ વિશ્લેષણ અને અનિશ્ચિતતા મોડેલિંગમાં થાય છે. કન્વોલ્યુશન એ સંભાવના વિતરણ દ્વારા નિર્દિષ્ટ સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલોના સરવાળાની સંભાવના વિતરણ શોધવાની કામગીરી છે. આપણે આ શબ્દને અન્ય ગાણિતિક કાર્યો (ઉત્પાદનો, તફાવતો, ગુણોત્તર અને વધુ જટિલ કાર્યો) ના વિતરણો અને આંતરપરિવર્તનશીલ નિર્ભરતા વિશેની અન્ય ધારણાઓ શોધવા માટે વિસ્તૃત કરી શકીએ છીએ. ઇનપુટ્સ વચ્ચેના અવલંબન વિશે વિવિધ ધારણાઓ હેઠળ આ સામાન્યીકૃત કોન્વોલ્યુશનની ગણતરી કરવા માટે અનુકૂળ અલ્ગોરિધમ્સ છે. ગાણિતિક વિગતો ચાલો વાસ્તવિક સંખ્યાઓ પર વિતરણ વિધેયોની જગ્યાને સૂચવીએ એટલે કે, પી-બોક્સ એ એક ક્વિંટુપલ છે જ્યાં વાસ્તવિક અંતરાલો છે, અને આ ક્વિંટુપલ વિતરણ વિધેયોના સમૂહને સૂચવે છે જેમ કેઃ જો કોઈ વિધેય તેની ઉપરની તમામ શરતોને સંતોષે તો તે પી-બોક્સની અંદર હોવાનું કહેવાય છે. કેટલાક કિસ્સાઓમાં, પી-બોક્સની ધારની રચના કરતા બે વિતરણ કાર્યોમાં એન્કોડેડ છે તે સિવાય ક્ષણો અથવા વિતરણ પરિવાર વિશે કોઈ માહિતી હોઈ શકતી નથી. પછી પી-બોક્સનું પ્રતિનિધિત્વ કરતા ક્વિન્ટુપલને વધુ સઘન રીતે [બી1, બી2] તરીકે સૂચવી શકાય છે. આ સંકેત વાસ્તવિક રેખા પરના અંતરાલોને ધ્યાનમાં રાખે છે, સિવાય કે અંતિમ બિંદુઓ બિંદુઓને બદલે વિતરણ છે. નોટેશન એ હકીકત સૂચવે છે કે તે ડિસ્ટ્રિબ્યુશન ફંક્શન F દ્વારા સંચાલિત રેન્ડમ વેરિયેબલ છે, એટલે કે, ચાલો p-બોક્સ સાથે ઉપયોગ માટે ટિલ્ડ નોટેશનને સામાન્ય બનાવીએ. આપણે X ~ B લખીશું જેનો અર્થ એ છે કે X એ એક રેન્ડમ ચલ છે જેનું વિતરણ કાર્ય અજ્ઞાત છે સિવાય કે તે B ની અંદર છે. આમ, વિતરણ કાર્યનો સ્પષ્ટ ઉલ્લેખ કર્યા વિના X ~ F ωB ને X ~ B સાથે સંકુચિત કરી શકાય છે. જો X અને Y અનુક્રમે F અને G વિતરણો સાથે સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલ હોય, તો X + Y = Z ~ H દ્વારા આપવામાં આવેલ આ કામગીરીને F અને G પર કોન્વોલ્યુશન કહેવામાં આવે છે. ધારો કે જો X અને Y અચોક્કસ રીતે સ્વતંત્ર હોય, તો Z = X + Y નું વિતરણ p-બોક્સની અંદર છે, X અને Y વચ્ચેની નિર્ભરતા વિશે કોઈ ધારણા કર્યા વિના Z = X + Y રકમના વિતરણ પરની સીમાઓ શોધવી એ ખરેખર સ્વતંત્રતા ધારણ કરતી સમસ્યા કરતાં સરળ છે. માકારોવે દર્શાવ્યું હતું કે આ સીમાઓ ફ્રેચેટ-હોફડિંગ કોપુલા સીમાઓ દ્વારા ગર્ભિત છે. ગાણિતિક પ્રોગ્રામિંગની પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને પણ સમસ્યાનું સમાધાન કરી શકાય છે. મધ્યવર્તી ધારણા હેઠળ કે X અને Y હકારાત્મક અવલંબન ધરાવે છે તે જ રીતે ગણતરી કરવી સરળ છે, જેમ કે X અને Y વચ્ચે સંપૂર્ણ હકારાત્મક અથવા સંપૂર્ણ નકારાત્મક નિર્ભરતાની આત્યંતિક ધારણાઓ હેઠળની ગણતરી. બાદબાકી, ગુણાકાર, વિભાજન વગેરે જેવી અન્ય કામગીરીઓ માટે સામાન્યીકૃત ગણતરીઓ, પરિવર્તનોનો ઉપયોગ કરીને મેળવી શકાય છે. દાખલા તરીકે, p-બોક્સ બાદબાકી A − B ને A + (−B) તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે, જ્યાં p-બોક્સ B = [B1, B2] નો નકારાત્મક [B2 (−x), B1 (−x)] છે. તાર્કિક અભિવ્યક્તિઓ તાર્કિક અથવા બુલિયન અભિવ્યક્તિઓ જેમાં સંયોજન (અને કામગીરી), વિચ્છેદન (અથવા કામગીરી), વિશિષ્ટ વિચ્છેદન, સમાનતા, શરતી વગેરેનો સમાવેશ થાય છે. જોખમ આકારણીમાં સામાન્ય ફોલ્ટ ટ્રીઝ અને ઇવેન્ટ ટ્રીઝના વિશ્લેષણમાં ઉદભવે છે. જો ઘટનાઓની સંભાવનાઓ અંતરાલ દ્વારા વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે, જેમ કે અન્ય લોકો વચ્ચે બૂલ અને કીન્સ દ્વારા સૂચવવામાં આવ્યું છે, તો આ દ્વિસંગી કામગીરીઓનું મૂલ્યાંકન કરવું સરળ છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો ઘટના A ની સંભાવના અંતરાલ P (A) = a = [0.2,0.25] માં હોય અને ઘટના B ની સંભાવના P (B) = b = [0.1,3] માં હોય, તો સંયોજનની સંભાવના ચોક્કસપણે અંતરાલ P (A & B) = a × b = [0.2,0.25] × [0.1,0.3] = [0.2 × 0.1,0.25 × 0.3] = [0.02,0.075] માં હોય છે, જ્યાં સુધી A અને B ને સ્વતંત્ર ઘટનાઓ માની શકાય. જો તેઓ સ્વતંત્ર ન હોય, તો પણ આપણે શાસ્ત્રીય ફ્રેચેટ અસમાનતાનો ઉપયોગ કરીને જોડાણને બાંધી શકીએ છીએ. આ કિસ્સામાં, આપણે ઓછામાં ઓછું અનુમાન કરી શકીએ છીએ કે સંયુક્ત ઘટના A અને B ની સંભાવના ચોક્કસપણે P (A & B) = env (મહત્તમ (0, a + b−1), લઘુતમ (a, b)) = env (મહત્તમ (0, [0,0,0.25] + [0.1,0.3] −1), લઘુતમ ([0,0,0.25], [0.1,0.3]) = env ([મહત્તમ (0,0.2 + 0.1-1), મહત્તમ (0,0.25 + 0.3-1)], [લઘુતમ (0.2,0.1), લઘુતમ (0.25,0.3)] = env ([0,0], [0.1,0.25] ની અંદર છે. તેવી જ રીતે, વિચ્છેદનની સંભાવના ચોક્કસપણે અંતરાલ P (A v B) = a + b − a × b = 1 − (1 − a) × (1 − b) = 1 − (1 − [0.2,0.25]) × (1 − [0.1,0.3]) = 1 − [0.75,0.8] × [0.7,0.9] = 1 − [0.525,0.72] = [0.28,0.475] માં છે જો A અને B સ્વતંત્ર ઘટનાઓ હોય. જો તેઓ સ્વતંત્ર ન હોય તો, ફ્રેચેટ અસમાનતા વિચ્છેદન P (A v B) = env (મહત્તમ (a, b), લઘુતમ (1, a + b)) = env (મહત્તમ ([0.2,0.25], [0.1,0.3]), લઘુતમ (1, [0.2,0.25] + [0.1,0.3]) = env ([0.2,0.3], [0.3,055]) = [0.2,005] ને સીમિત કરે છે. એ અને બી વચ્ચેની નિર્ભરતા વિશેની અન્ય ધારણાઓ હેઠળ જોડાણ અથવા વિચ્છેદન પર અંતરાલની મર્યાદાની ગણતરી કરવી પણ શક્ય છે. દાખલા તરીકે, કોઈ એવું માની શકે છે કે તેઓ હકારાત્મક રીતે નિર્ભર છે, આ કિસ્સામાં પરિણામી અંતરાલ સ્વતંત્રતા ધારણ કરતા જવાબ જેટલો ચુસ્ત નથી પરંતુ ફ્રેચેટ અસમાનતા દ્વારા આપવામાં આવેલા જવાબ કરતાં સખત છે. તુલનાત્મક ગણતરીઓનો ઉપયોગ અન્ય તાર્કિક કાર્યો જેમ કે નકારાત્મકતા, વિશિષ્ટ વિચ્છેદન વગેરે માટે થાય છે. જ્યારે મૂલ્યાંકન કરવા માટેની બુલિયન અભિવ્યક્તિ જટિલ બની જાય છે, ત્યારે અભિવ્યક્તિ પર શ્રેષ્ઠ-શક્ય સીમાઓ મેળવવા માટે ગાણિતિક પ્રોગ્રામિંગની પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને તેનું મૂલ્યાંકન કરવું જરૂરી બની શકે છે. એક સમાન સમસ્યા સંભવિત તર્કના કિસ્સામાં રજૂ થાય છે (ઉદાહરણ તરીકે જુઓ ગેર્લા 1994). જો ઘટનાઓની સંભાવનાઓ અંતરાલને બદલે સંભાવના વિતરણ અથવા પી-બોક્સ દ્વારા વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે, તો પછી વિતરણ અથવા પી-બોક્સ પરિણામો મેળવવા માટે સમાન ગણતરીઓ કરી શકાય છે જે ટોચની ઘટનાની સંભાવનાને દર્શાવે છે. પરિમાણની સરખામણી પી-બોક્સ ડી દ્વારા રજૂ કરાયેલી અનિશ્ચિત સંખ્યા શૂન્ય કરતા ઓછી હોવાની સંભાવના એ અંતરાલ પીઆર (ડી <0) = [એફ (0), એફએન (0)] છે, જ્યાં એફએન (0) સંભાવના બોક્સ ડીની ડાબી બાઉન્ડ છે અને એફ (0) તેની જમણી બાઉન્ડ છે, બંનેનું મૂલ્યાંકન શૂન્ય પર થાય છે. સંભાવના બોક્સ દ્વારા રજૂ કરવામાં આવેલી બે અનિશ્ચિત સંખ્યાઓની સંખ્યાત્મક પરિમાણ માટે નીચેની સંકેતો સાથે સરખામણી કરી શકાય છેઃ A <B = Pr (A − B <0), A> B = Pr (B − A <0), A ≤ B = Pr (A − B ≤ 0), અને A ≤ B = Pr (B − A ≤ 0). આમ A એ B કરતા ઓછો હોવાની સંભાવના એ જ સંભાવના છે કે તેમનો તફાવત શૂન્ય કરતા ઓછો છે, અને આ સંભાવનાને A <B અભિવ્યક્તિનું મૂલ્ય કહી શકાય. અંકગણિત અને તાર્કિક કામગીરીઓની જેમ, આ તીવ્રતાની સરખામણીઓ સામાન્ય રીતે A અને B વચ્ચેના સ્ટોકેસ્ટિક અવલંબન પર આધાર રાખે છે, અને એન્કોડિંગમાં બાદબાકી તે અવલંબનને પ્રતિબિંબિત કરવી જોઈએ. જો તેમની નિર્ભરતા અજ્ઞાત હોય, તો ફ્રેચેટ ઓપરેશનનો ઉપયોગ કરીને કોઈ ધારણા કર્યા વિના તફાવતની ગણતરી કરી શકાય છે. નમૂના આધારિત ગણતરી કેટલાક વિશ્લેષકો મોન્ટે કાર્લો સિમ્યુલેશન, લેટિન હાયપરક્યુબ પદ્ધતિઓ અથવા મહત્વ નમૂના સહિત સંભાવના મર્યાદાની ગણતરી કરવા માટે નમૂના આધારિત અભિગમોનો ઉપયોગ કરે છે. આ અભિગમો પરિણામમાં ગાણિતિક કઠોરતાની ખાતરી આપી શકતા નથી કારણ કે આવી સિમ્યુલેશન પદ્ધતિઓ અંદાજો છે, જો કે તેમની કામગીરી સામાન્ય રીતે સિમ્યુલેશનમાં પ્રતિકૃતિઓની સંખ્યામાં વધારો કરીને સુધારી શકાય છે. આમ, ગણિતીય પ્રોગ્રામિંગ પર આધારિત વિશ્લેષણાત્મક પ્રમેયો અથવા પદ્ધતિઓથી વિપરીત, નમૂના આધારિત ગણતરીઓ સામાન્ય રીતે ચકાસાયેલ ગણતરીઓ ઉત્પન્ન કરી શકતી નથી. જો કે, નમૂના આધારિત પદ્ધતિઓ વિવિધ સમસ્યાઓનું સમાધાન કરવામાં ખૂબ જ ઉપયોગી થઈ શકે છે, જે વિશ્લેષણાત્મક રીતે ઉકેલવા માટે ગણતરીત્મક રીતે મુશ્કેલ હોય છે અથવા તો સખત રીતે બંધાયેલી હોય છે. એક મહત્વપૂર્ણ ઉદાહરણ ઉચ્ચ-પરિમાણીય સમસ્યાઓ દ્વારા અંતરાલ અનિશ્ચિતતાના પ્રસારમાં પરિમાણીયતાના શાપને ટાળવા માટે કોચી-વિચલન નમૂનાનો ઉપયોગ છે. અન્ય અનિશ્ચિતતા પ્રસાર અભિગમો સાથેનો સંબંધ પી. બી. એ. પદ્ધતિઓના એવા વર્ગને અનુસરે છે જે અસ્પષ્ટ સંભાવનાઓનો ઉપયોગ કરે છે અને સાથે સાથે એલિએટોરિક અને એપિડેમિક અનિશ્ચિતતાનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. પી. બી. એ. એ અંતરાલ વિશ્લેષણ અને સંભવિત કન્વોલ્યુશન બંનેનું સામાન્યીકરણ છે જેમ કે સામાન્ય રીતે મોન્ટે કાર્લો સિમ્યુલેશન સાથે લાગુ કરવામાં આવે છે. પીબીએ મજબૂત બેયસ વિશ્લેષણ સાથે પણ નજીકથી સંબંધિત છે, જેને કેટલીકવાર બેયસીયન સંવેદનશીલતા વિશ્લેષણ કહેવામાં આવે છે. પી. બી. એ. એ સેકન્ડ ઓર્ડર મોન્ટે કાર્લો સિમ્યુલેશનનો વિકલ્પ છે. એપ્લિકેશન્સ પ્રોબેબિલિટી બોક્સ પણ જુઓ રોબસ્ટ બેયસ એનાલિસિસ ઇમ્પ્રિસાઈઝ પ્રોબેબિલિટી સેકન્ડ-ઓર્ડર મોન્ટે કાર્લો સિમ્યુલેશન મોન્ટે કાર્લો સિમ્યુલેશન ઇન્ટરવલ એનાલિસિસ પ્રોબેબિલિટી થિયરી રિસ્ક એનાલિસિસ સંદર્ભો વધુ સંદર્ભો બાહ્ય કડીઓ પર્યાવરણીય જોખમ મૂલ્યાંકનમાં પ્રોબેબિલિટી બાઉન્ડ્સ એનાલિસિસ અંતરાલ અને સંભાવના વિતરણ રોગચાળાની અનિશ્ચિતતા પ્રોજેક્ટ ધ સોસાયટી ફોર ઇમ્પ્રિસાઈઝ પ્રોબેબિલિટીઃ થિયરીઝ એન્ડ એપ્લિકેશન્સ મેથેમેટિકલ એનાલિસિસ