Crisis (dynamical systems)
લાગુ ગણિત અને એસ્ટ્રોડાયનેમિક્સમાં, ગતિશીલ પ્રણાલીઓના સિદ્ધાંતમાં, કટોકટી એ એક વિચિત્ર આકર્ષણનો અચાનક દેખાવ અથવા અદ્રશ્યતા છે કારણ કે ગતિશીલ પ્રણાલીના પરિમાણો વૈવિધ્યસભર છે. આ વૈશ્વિક વિભાજન ત્યારે થાય છે જ્યારે અસ્તવ્યસ્ત આકર્ષણ અસ્થિર સામયિક ભ્રમણકક્ષા અથવા તેના સ્થિર મેનીફોલ્ડના સંપર્કમાં આવે છે. જેમ જેમ ભ્રમણકક્ષા અસ્થિર ભ્રમણકક્ષાની નજીક પહોંચે છે તેમ તેમ તે અગાઉના આકર્ષણથી દૂર જશે, જે ગુણાત્મક રીતે અલગ વર્તન તરફ દોરી જશે. કટોકટીઓ તૂટક તૂટક વર્તન પેદા કરી શકે છે. ગ્રેબોગી, ઓટ, રોમીરાસ અને યોર્કે ત્રણ પ્રકારની કટોકટીઓ વચ્ચે તફાવત દર્શાવ્યોઃ પ્રથમ પ્રકાર, સીમા અથવા બાહ્ય કટોકટી, પરિમાણો વૈવિધ્યસભર હોવાથી આકર્ષણ અચાનક નાશ પામે છે. દ્વિભાજન પછીની સ્થિતિમાં ગતિ ક્ષણિક રીતે અસ્તવ્યસ્ત હોય છે, એક નિશ્ચિત બિંદુ, સામયિક ભ્રમણકક્ષા, અર્ધ-સામયિક ભ્રમણકક્ષા, અન્ય વિચિત્ર આકર્ષણ, અથવા અનંત તરફ વળતા પહેલા ભૂતપૂર્વ આકર્ષણ સાથે અવ્યવસ્થિત રીતે આગળ વધે છે. બીજા પ્રકારની કટોકટીમાં, આંતરિક કટોકટી, અસ્તવ્યસ્ત આકર્ષણનું કદ અચાનક વધે છે. આકર્ષણ એક અસ્થિર નિશ્ચિત બિંદુ અથવા સામયિક ઉકેલનો સામનો કરે છે જે આકર્ષણના તટપ્રદેશની અંદર હોય છે. ત્રીજા પ્રકારમાં, એક આકર્ષક વિલિનીકરણ કટોકટી, બે અથવા વધુ અસ્તવ્યસ્ત આકર્ષણ એક જ આકર્ષણ બનાવવા માટે ભળી જાય છે કારણ કે નિર્ણાયક પરિમાણ મૂલ્ય પસાર થાય છે. નોંધ લો કે વિપરીત કેસ (અચાનક દેખાવ, સંકોચન અથવા આકર્ષણનું વિભાજન) પણ થઈ શકે છે. પછીની બે કટોકટીને કેટલીકવાર વિસ્ફોટક વિભાજન કહેવામાં આવે છે. જ્યારે કટોકટી "અચાનક" હોય છે કારણ કે એક પરિમાણ વૈવિધ્યસભર હોય છે, ત્યારે સમય જતાં સિસ્ટમની ગતિશીલતા ભ્રમણકક્ષાઓ જૂના આકર્ષણના પડોશમાંથી બહાર નીકળે તે પહેલાં લાંબા ક્ષણિક બતાવી શકે છે. સામાન્ય રીતે ક્ષણિકની લંબાઈ માટે એક સમય અચળાંક τ હોય છે જે નિર્ણાયક પરિમાણ મૂલ્ય pc નજીક પાવર લૉ (τ ≈ |p − pc|γ) તરીકે અલગ પડે છે. ઘાતાંક γ ને નિર્ણાયક કટોકટી ઘાતાંક કહેવામાં આવે છે. એવી પ્રણાલીઓ પણ અસ્તિત્વમાં છે જ્યાં વિચલન શક્તિના કાયદા કરતાં વધુ મજબૂત હોય છે, કહેવાતા અતિ-સ્થાયી અસ્તવ્યસ્ત સંક્રમણો. ઇન્ટરમિટેન્સી બાયફર્કેશન આકૃતિ તબક્કો પોટ્રેટ સંદર્ભો બાહ્ય કડીઓ સ્કોલરપીડિયાઃ કટોકટી ગતિશીલ પ્રણાલીઓ બિનરેખીય પ્રણાલીઓ બાયફર્કેશન સિદ્ધાંત પણ જુઓ.