McKay graph
ગણિતમાં, મર્યાદિત જૂથની મર્યાદિત-પરિમાણીય રજૂઆતનો મેકકે ગ્રાફ એ ભારિત કંપારી છે જે તેના પ્રતિનિધિત્વ સિદ્ધાંતની રચનાને એન્કોડિંગ કરે છે. દરેક નોડ ની ઈરીડ્યુસિબલ રજૂઆત રજૂ કરે છે. જો તેની ઈરીડ્યુસિબલ રજૂઆતો હોય, તો પછી એક તીર હોય છે અને માત્ર જો તે ટેન્સર પ્રોડક્ટનો ઘટક હોય તો પછી તીરનું વજન એ છે કે આ ઘટક કેટલી વાર દેખાય છે. જો ઈરીડ્યુસિબલ અક્ષરો હોય, તો પરિમાણની રજૂઆતના કાર્ટન મેટ્રિક્સને ક્રોનેકર ડેલ્ટા ક્યાં છે તેના દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. દ્વારા પરિણામ જણાવે છે કે જો સંયુગ્મ વર્ગનો પ્રતિનિધિ હોય, તો વેક્ટર એ આઈગનવેલ્યુઝના આઈગનવેક્ટર છે જ્યાં પ્રતિનિધિત્વનું પાત્ર છે. જ્હોન મેકકેના નામ પરથી નામ આપવામાં આવેલ મેકકે પત્રવ્યવહાર જણાવે છે કે મર્યાદિત પેટાજૂથોના મેકકે આલેખ અને વિસ્તૃત ડાયનકિન આકૃતિઓ વચ્ચે એક-થી-એક પત્રવ્યવહાર છે, જે સરળ લાઈ આલ્જેબ્રાના એડીઈ વર્ગીકરણમાં દેખાય છે. વ્યાખ્યા ચાલો એક મર્યાદિત જૂથ બનીએ, તેનું પ્રતિનિધિત્વ કરીએ અને તેનું પાત્ર બનીએ. તેની ઈરીડ્યુસિબલ રજૂઆતો થવા દો. જો પછી તેના સંબંધિત મેકકે ગ્રાફને નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત કરો તોઃ દરેક ઈરીડ્યુસિબલ રજૂઆત નોડને અનુરૂપ છે. જો, વજનથી લઈને વજન સુધી તીર હોય, તો તેને અથવા ક્યારેક લેબલ વગરના તીર તરીકે લખવામાં આવે છે. જો આપણે બે વિરુદ્ધ તીરને વજનની દિશાહીન ધાર તરીકે દર્શાવીએ. વધુમાં, જો આપણે વજનના લેબલને અવગણીએ. આપણે અક્ષરો પર આંતરિક ઉત્પાદનનો ઉપયોગ કરવાના મૂલ્યની ગણતરી કરી શકીએ છીએઃ અક્ષરોના મર્યાદિત પેટાજૂથના મેકકે ગ્રાફને તેની કેનોનિકલ રજૂઆતના મેકકે ગ્રાફ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. કેનોનિકલ રજૂઆતના મર્યાદિત પેટાજૂથો માટે સ્વ-દ્વૈત છે, તેથી બધા માટે. આમ, ના મર્યાદિત પેટાજૂથોના મેકકે ગ્રાફ દિશાહીન છે. હકીકતમાં, મેકકે પત્રવ્યવહાર દ્વારા, A-D-E પ્રકારનાં મર્યાદિત પેટાજૂથો અને વિસ્તૃત કોક્સેટર-ડાઇન્કિન આકૃતિઓ વચ્ચે એક-થી-એક પત્રવ્યવહાર છે. આપણે કાર્ટાન મેટ્રિક્સને નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએઃ ક્રોનેકર ડેલ્ટા ક્યાં છે. કેટલાક પરિણામો જો રજૂઆત વફાદાર હોય, તો પછી દરેક ઈરીડ્યુસિબલ રજૂઆત અમુક ટેન્સર પાવરમાં સમાયેલી હોય છે અને તેનો મેકકે ગ્રાફ જોડાયેલ હોય છે. ના મર્યાદિત પેટાજૂથના મેકકે ગ્રાફમાં કોઈ સ્વ-લૂપ્સ નથી, એટલે કે, બધા માટે. એક મર્યાદિત પેટાજૂથના મેકકે ગ્રાફના તીરોનું વજન એક છે. ઉદાહરણો ધારો કે, અને ત્યાં અનુક્રમે કેનોનિકલ ઈરીડ્યુસિબલ રજૂઆતો છે. જો, અને ની ઈરીડ્યુસિબલ રજૂઆતો છે, તો પછી તેની ઈરીડ્યુસિબલ રજૂઆતો છે, જ્યાં આ કિસ્સામાં, આપણી પાસે છે. આ કિસ્સામાં, ના મેકકે ગ્રાફમાં તીર પરનું વજન અને ના મેકકે ગ્રાફમાં બે અનુરૂપ તીરોના વજનનું ગુણાકાર છે. ફેલિક્સ ક્લેઇને સાબિત કર્યું કે તેના મર્યાદિત પેટાજૂથો દ્વિસંગી પોલિહેડ્રલ જૂથો છે; બધા મેકકે પત્રવ્યવહારના પેટાજૂથો સાથે જોડાયેલા છે જે જણાવે છે કે આ દ્વિસંગી પોલિહેડ્રલ જૂથોના મેકકે આલેખ અને વિસ્તૃત ડાયન્કિન આકૃતિઓ વચ્ચે એક-થી-એક પત્રવ્યવહાર છે. ઉદાહરણ તરીકે, દ્વિસંગી ચતુષ્ફલકીય જૂથ મેટ્રિસીસ દ્વારા પેદા થાય છેઃ જ્યાં એકતાનું આદિમ આઠમું મૂળ છે. હકીકતમાં, આપણી પાસે કોન્જ્યુગેસી વર્ગો છેઃ અક્ષર કોષ્ટક અહીં છે કેનોનિકલ રજૂઆત અહીં દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. આંતરિક ઉત્પાદનનો ઉપયોગ કરીને, આપણે શોધી કાઢીએ છીએ કે મેકકે ગ્રાફ એ વિસ્તૃત કોક્સેટર-ડાયનકિન આકૃતિનો પ્રકાર છે ADE વર્ગીકરણ દ્વિસંગી ટેટ્રાહેડ્રલ જૂથ સંદર્ભો પ્રતિનિધિત્વ સિદ્ધાંત પણ જુઓ.