Method of mean weighted residuals
લાગુ ગણિતમાં, સરેરાશ ભારિત અવશેષો (એમડબલ્યુઆર) ની પદ્ધતિઓ વિભેદક સમીકરણોને ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ છે. આ વિભેદક સમીકરણોના ઉકેલોને પરીક્ષણ કાર્યોના મર્યાદિત સરવાળા દ્વારા સારી રીતે અંદાજિત માનવામાં આવે છે. આવા કિસ્સાઓમાં, ભારિત અવશેષોની પસંદ કરેલી પદ્ધતિનો ઉપયોગ દરેક અનુરૂપ પરીક્ષણ કાર્યનું ગુણાંક મૂલ્ય શોધવા માટે થાય છે. પરિણામી ગુણાંક પસંદ કરેલા ધોરણમાં પરીક્ષણ કાર્યોના રેખીય સંયોજન અને વાસ્તવિક ઉકેલ વચ્ચેની ભૂલને ઘટાડવા માટે બનાવવામાં આવે છે. મૂંઝવણ ટાળવા માટે આ પદ્ધતિ કેવી રીતે ચલાવવામાં આવે છે તે રજૂ કરતા પહેલા ઉપયોગમાં લેવાતા સંકેતોને સૉર્ટ કરવું ઘણીવાર ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે. એમડબલ્યુઆર પદ્ધતિ લાગુ કરવામાં આવી રહી છે તે વિભેદક સમીકરણના ઉકેલને દર્શાવવા માટે તેનો ઉપયોગ કરવામાં આવશે. ઉલ્લેખિત વિભેદક સમીકરણને ઉકેલવું એ "અવશેષ કાર્ય" તરીકે ઓળખાતા કેટલાક કાર્યને શૂન્ય પર સેટ કરીને પૂર્ણ કરવામાં આવશે. સરેરાશ ભારિત અવશેષોની દરેક પદ્ધતિમાં કેટલાક "પરીક્ષણ કાર્યો" નો સમાવેશ થાય છે જેને આના દ્વારા સૂચવવામાં આવશે. સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીઓ આના દ્વારા સૂચવવામાં આવશે. જો વિભેદક સમીકરણના ઉકેલનું ધારેલું સ્વરૂપ રેખીય (સ્વતંત્રતાની માત્રામાં) હોય તો તે સ્વરૂપમાં ઉપયોગમાં લેવાતા પાયાના કાર્યોને આના દ્વારા સૂચવવામાં આવશે. પદ્ધતિનું ગાણિતિક નિવેદન સરેરાશ ભારિત અવશેષોની પદ્ધતિ એ લાદીને ઉકેલે છે કે સ્વતંત્રતાની ડિગ્રી એવી છે કેઃ સંતુષ્ટ છે. જ્યાં આંતરિક ઉત્પાદન એ કેટલાક વેઇટિંગ ફંક્શનના સંદર્ભમાં પ્રમાણભૂત કાર્ય આંતરિક ઉત્પાદન છે જે સામાન્ય રીતે બેસિસ ફંક્શન સેટ દ્વારા અથવા જે વેઇટિંગ ફંક્શન સૌથી અનુકૂળ હોય તે મુજબ આપખુદ રીતે નક્કી કરવામાં આવે છે. દાખલા તરીકે, જ્યારે બેસિસ સેટ માત્ર પ્રથમ પ્રકારની ચેબીશેવ બહુપદીઓ હોય, ત્યારે વેઇટિંગ ફંક્શન સામાન્ય રીતે છે કારણ કે આંતરિક ઉત્પાદનો પછી ચેબીશેવ ટ્રાન્સફોર્મનો ઉપયોગ કરીને વધુ સરળતાથી ગણતરી કરી શકાય છે. વધુમાં, આ તમામ પદ્ધતિઓમાં સામાન્ય બાબત એ છે કે તેઓ મૂળભૂત વિધેયો (રેખીય સંયોજનના કિસ્સામાં) ને અમલમાં મૂકીને સીમા શરતોને લાગુ કરે છે (આ ત્યારે જ કામ કરે છે જ્યારે સીમા શરતો સજાતીય હોય, જો કે આ અભિવ્યક્તિને મૂળ વિભેદક સમીકરણમાં મૂકીને અને તેને બદલીને અને નવા ઉકેલ માટે સજાતીય સીમા શરતો લાદીને તેને લાગુ કરવી શક્ય છે, જે u (x) એટલે કે v (x) શોધવા માટે માંગવામાં આવે છે, જ્યાં L (x) એ એક કાર્ય છે જે u પર લાદવામાં આવેલી સીમા શરતોને સંતોષે છે જે જાણીતું છે. ), અથવા સ્પષ્ટ રીતે અવરોધિત સમસ્યાનું પ્રતિનિધિત્વ કરતી મેટ્રિક્સ પર n પંક્તિઓને દૂર કરીને સીમા લાદીને જ્યાં n એ વિભેદક સમીકરણના ક્રમનો સંદર્ભ આપે છે અને તેમને સીમા શરતોને રજૂ કરતી પંક્તિઓ સાથે બદલીને. પરીક્ષણ કાર્યોની પસંદગી અગાઉ જણાવ્યા મુજબ પરીક્ષણ કાર્યની પસંદગી, ઉપયોગમાં લેવાતી ચોક્કસ પદ્ધતિ પર આધારિત છે (સરેરાશ ભારિત શેષ પદ્ધતિઓના સામાન્ય શીર્ષક હેઠળ). અહીં સામાન્ય રીતે ઉપયોગમાં લેવાતી ચોક્કસ એમડબલ્યુઆર પદ્ધતિઓ અને તેમના અનુરૂપ પરીક્ષણ કાર્યોની યાદી તેમની લોકપ્રિયતા અનુસાર છેઃ ગેલર્કિન પદ્ધતિ, જે પાયાના કાર્યોનો ઉપયોગ પરીક્ષણ કાર્યો તરીકે કરે છે અથવા ઉકેલના બિનરેખીય ધારેલા સ્વરૂપના વધુ સામાન્ય કિસ્સામાં (જ્યાં બિનરેખીયતા ડિગ્રીઝ ઓફ ફ્રીડમમાં હોય છે) ગેલર્કિન પદ્ધતિ પરીક્ષણ કાર્યોનો ઉપયોગ કરે છેઃ સ્યુડોસ્પેક્ટ્રલ પદ્ધતિ જે અલગ x બિંદુઓના સમૂહ પર કેન્દ્રિત ડીરાક ડેલ્ટા કાર્યોનો ઉપયોગ કરે છે અને તે x બિંદુઓ પર માત્ર અવશેષ કાર્યને શૂન્ય પર સેટ કરવા સમાન છે. લઘુત્તમ-ચોરસ પદ્ધતિ પરીક્ષણ કાર્યોનો ઉપયોગ કરે છેઃ આ પદ્ધતિ ડિગ્રી ઓફ ફ્રીડમના સંદર્ભમાં અવશેષ કાર્ય (એટલે કે) ના L2-ધોરણના વર્ગને ઘટાડવાની અસર ધરાવે છે. ક્ષણોની પદ્ધતિ પરીક્ષણ કાર્યોના સરળ સમૂહનો ઉપયોગ કરે છે અને હિલ્બર્ટ મેટ્રિક્સને ઊંધી કરવા સાથે સંકળાયેલા કોમ્પ્યુટેશનલ મુદ્દાઓને કારણે જ્યારે ઉચ્ચ માત્રામાં ચોકસાઈની જરૂર હોય ત્યારે ભાગ્યે જ તેનો અમલ કરવામાં આવે છે. એપ્લાઇડ ગણિતનો પરિચય, વેલેસ્લી-કેમ્બ્રિજ પ્રેસ (1986). વિભેદક સમીકરણો