Mertens-stable equilibrium
રમત સિદ્ધાંતમાં, મર્ટન્સ સ્થિરતા એ એક ઉકેલ ખ્યાલ છે જેનો ઉપયોગ બિન-સહકારી રમતના પરિણામની આગાહી કરવા માટે થાય છે. મર્યાદિત સંખ્યામાં ખેલાડીઓ અને વ્યૂહરચનાઓ ધરાવતી રમતો માટે એલોન કોહલબર્ગ અને જીન-ફ્રાન્કોઇસ મર્ટન્સ દ્વારા સ્થિરતાની કામચલાઉ વ્યાખ્યા પ્રસ્તાવિત કરવામાં આવી હતી. બાદમાં, મર્ટન્સે એક મજબૂત વ્યાખ્યા રજૂ કરી હતી જેને શ્રીહરી ગોવિંદન અને મર્ટન્સે વધુ વિસ્તૃત કરી હતી. આ ઉકેલ ખ્યાલને હવે મર્ટન્સ સ્થિરતા અથવા માત્ર સ્થિરતા કહેવામાં આવે છે. રમત સિદ્ધાંતમાં ઉપયોગમાં લેવાતા નેશ સંતુલનના અન્ય સુધારાઓની જેમ સ્થિરતા નેશ સંતુલનના સમૂહના ઉપગણને પસંદ કરે છે જે ઇચ્છનીય ગુણધર્મો ધરાવે છે. સ્થિરતા અન્ય સુધારાઓ કરતાં મજબૂત માપદંડનું આહ્વાન કરે છે, અને તે રીતે ખાતરી કરે છે કે વધુ ઇચ્છનીય ગુણધર્મો સંતુષ્ટ છે. રિફાઇનમેન્ટ રિફાઇનમેન્ટ્સના ઇચ્છનીય ગુણધર્મો ઘણીવાર સ્વીકાર્યતા, બેકવર્ડ ઇન્ડક્શન અને ફોરવર્ડ ઇન્ડક્શન માટેની દલીલો દ્વારા પ્રેરિત થાય છે. બે ખેલાડીઓની રમતમાં, ખેલાડી માટે સ્વીકાર્ય નિર્ણયનો નિયમ એ છે કે જે કોઈ પણ વ્યૂહરચનાનો ઉપયોગ કરતું નથી જે નબળી રીતે બીજા દ્વારા પ્રભુત્વ ધરાવે છે (વ્યૂહાત્મક પ્રભુત્વ જુઓ). બેકવર્ડ ઇન્ડક્શન એવું માને છે કે કોઈ પણ ઘટનામાં ખેલાડીની શ્રેષ્ઠ ક્રિયા એવી અપેક્ષા રાખે છે કે તેની અને અન્યની અનુગામી ક્રિયાઓ શ્રેષ્ઠ છે. સબગેમ સંપૂર્ણ સંતુલન તરીકે ઓળખાતી શુદ્ધિકરણ પછાત પ્રેરણાના નબળા સંસ્કરણનો અમલ કરે છે, અને વધુને વધુ મજબૂત આવૃત્તિઓ ક્રમિક સંતુલન, સંપૂર્ણ સંતુલન, અર્ધ-સંપૂર્ણ સંતુલન અને યોગ્ય સંતુલન છે. ફોરવર્ડ ઇન્ડક્શન એવું માને છે કે કોઈ પણ ઘટનામાં ખેલાડીની શ્રેષ્ઠ ક્રિયા અન્યની ભૂતકાળની ક્રિયાઓની શ્રેષ્ઠતાને ધારે છે જ્યારે તે તેના અવલોકનો સાથે સુસંગત હોય છે. ફોરવર્ડ ઇન્ડક્શન ક્રમિક સંતુલન દ્વારા સંતુષ્ટ થાય છે, જેના માટે માહિતી સમૂહમાં ખેલાડીની માન્યતા માત્ર અન્યની શ્રેષ્ઠ વ્યૂહરચનાઓને સંભાવના સોંપે છે જે તે માહિતી સુધી પહોંચવામાં સક્ષમ બનાવે છે. કોહલબર્ગ અને મર્ટન્સે વધુમાં ભાર મૂક્યો હતો કે ઉકેલની વિભાવનાએ અપરિવર્તન સિદ્ધાંતને સંતોષવો જોઈએ કે તે વ્યાપક સ્વરૂપની રમત તરીકે વ્યૂહાત્મક પરિસ્થિતિની ઘણી સમકક્ષ રજૂઆતોમાંથી કયા પર આધારિત છે તેના પર આધાર રાખતો નથી. આમ તે માત્ર શુદ્ધ વ્યૂહરચનાઓને દૂર કર્યા પછી મેળવેલા ઘટાડેલા સામાન્ય સ્વરૂપની રમત પર આધાર રાખવો જોઈએ જે બિનજરૂરી છે કારણ કે તમામ ખેલાડીઓ માટે તેમની ચૂકવણી અન્ય શુદ્ધ વ્યૂહરચનાઓના મિશ્રણ દ્વારા કરી શકાય છે. મર્ટન્સે નાની દુનિયાના સિદ્ધાંતના મહત્વ પર પણ ભાર મૂક્યો હતો કે ઉકેલની વિભાવના માત્ર ખેલાડીઓની પસંદગીઓના સામાન્ય ગુણધર્મો પર આધારિત હોવી જોઈએ, અને તે રમતમાં બાહ્ય ખેલાડીઓનો સમાવેશ થાય છે કે કેમ તેના પર આધાર રાખવો જોઈએ નહીં, જેમની ક્રિયાઓ મૂળ ખેલાડીઓની શક્ય વ્યૂહરચનાઓ અને ચૂકવણી પર કોઈ અસર કરતી નથી. કોહલબર્ગ અને મર્ટન્સે ઉદાહરણો દ્વારા દર્શાવ્યું હતું કે આ તમામ ગુણધર્મો ઉકેલ ખ્યાલમાંથી મેળવી શકાતા નથી જે એક જ નેશ સંતુલન પસંદ કરે છે. તેથી, તેઓએ પ્રસ્તાવ મૂક્યો કે ઉકેલની વિભાવનાએ નેશ ઇક્વિલિબ્રિયાના સમૂહના બંધ જોડાયેલા ઉપગણને પસંદ કરવા જોઈએ. આ સમૂહને જોડવાની જરૂરિયાત એ તુચ્છ શુદ્ધિકરણને બાકાત રાખે છે જે તમામ ઇક્વિલિબ્રિયાને પસંદ કરે છે. જો માત્ર એક જ (સંભવતઃ અસંબદ્ધ) ઉપગણ પસંદ કરવામાં આવે તો માત્ર તુચ્છ શુદ્ધિકરણ એચ. નોર્ડે, જે. પોટર્ઝ, એચ. રીજનીઅર્સ અને ડી. વર્મ્યુલેન (1996) દ્વારા લાગુ કરાયેલી શરતોને સંતોષે છેઃ "સંતુલન પસંદગી અને સુસંગતતા, રમતો અને આર્થિક વર્તણૂક, 12:219-225. સ્થિર ગુણધર્મો સ્વીકાર્યતા અને સંપૂર્ણતા સુયોજિત કરે છેઃ સ્થિર સમૂહમાં દરેક સંતુલન સંપૂર્ણ છે, અને તેથી સ્વીકાર્ય છે. બેકવર્ડ ઇન્ડક્શન અને ફોરવર્ડ ઇન્ડક્શનઃ એક સ્થિર સમૂહમાં રમતના સામાન્ય સ્વરૂપનું યોગ્ય સંતુલન શામેલ હોય છે જે અર્ધ-સંપૂર્ણને પ્રેરિત કરે છે અને તેથી દરેક વ્યાપક સ્વરૂપની રમતમાં ક્રમિક સંતુલન સાથે સંપૂર્ણ રિકોલ કે જે સમાન સામાન્ય સ્વરૂપ ધરાવે છે. સ્થિર સમૂહનો સબસેટ નબળા પ્રભુત્વ ધરાવતી વ્યૂહરચનાઓ અને વ્યૂહરચનાઓના પુનરાવર્તિત નાબૂદીમાં ટકી રહે છે જે સમૂહમાં દરેક સંતુલન પર હલકી ગુણવત્તાવાળા જવાબો છે. ઇનવેરિયન્સ અને સ્મોલ વર્લ્ડ્સઃ રમતના સ્થિર સેટ એ કોઈપણ મોટી રમતના સ્થિર સેટના અંદાજો છે જેમાં તે મૂળ ખેલાડીઓની શક્ય વ્યૂહરચનાઓ અને ચૂકવણીને જાળવી રાખીને જડિત કરવામાં આવે છે. વિઘટન અને ખેલાડીનું વિભાજન. બે સ્વતંત્ર રમતોના ઉત્પાદનના સ્થિર સમૂહો તેમના સ્થિર સમૂહોના ઉત્પાદનો છે. ખેલાડીને એજન્ટોમાં વિભાજિત કરવાથી સ્થિર સમૂહોને અસર થતી નથી, જેમ કે રમતના વૃક્ષમાંથી પસાર થતા કોઈ પણ માર્ગમાં બે એજન્ટોની ક્રિયાઓનો સમાવેશ થતો નથી. સંપૂર્ણ રિકોલ અને સામાન્ય ચૂકવણી સાથે બે ખેલાડીઓની રમતો માટે, સ્થિરતા આમાંથી માત્ર ત્રણ ગુણધર્મોની સમકક્ષ છેઃ એક સ્થિર સમૂહ માત્ર બિન-નામાંકિત વ્યૂહરચનાઓનો ઉપયોગ કરે છે, અર્ધ-સંપૂર્ણ સંતુલનનો સમાવેશ કરે છે, અને મોટી રમતમાં એમ્બેડ કરવા માટે રોગપ્રતિકારક છે. સ્થિર સમૂહની વ્યાખ્યા એક સ્થિર સમૂહને સંપૂર્ણપણે મિશ્ર વ્યૂહરચનાઓ તરફ ખેલાડીઓની વ્યૂહરચનાઓને ખલેલ પહોંચાડીને મેળવેલી અવ્યવસ્થિત રમતોની જગ્યા પર નેશ ઇક્વિલિબ્રિયાના ગ્રાફમાં બંધ જોડાયેલા પડોશમાંથી પ્રક્ષેપણ નકશાની અનિવાર્યતા દ્વારા ગાણિતિક રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. આ વ્યાખ્યામાં નજીકના સંતુલન ધરાવતી દરેક નજીકની રમત કરતાં વધુની જરૂર પડે છે. અનિવાર્યતા માટે આગળ જરૂરી છે કે સરહદ પરના પ્રક્ષેપણ નકશામાં કોઈ વિરૂપતા ન હોય, જે સુનિશ્ચિત કરે છે કે નેશ સંતુલનને વ્યાખ્યાયિત કરતી નિશ્ચિત બિંદુ સમસ્યાના વિક્ષેપો નજીકના ઉકેલો ધરાવે છે. ઉપર સૂચિબદ્ધ તમામ ઇચ્છનીય ગુણધર્મો મેળવવા માટે આ દેખીતી રીતે જરૂરી છે. મર્ટન્સે હોમોલોજી અથવા કોહોમોલોજી માટે ઉપયોગમાં લેવાતા ગુણાંક મોડ્યુલના આધારે ઘણી ઔપચારિક વ્યાખ્યાઓ પ્રદાન કરી હતી. ઔપચારિક વ્યાખ્યામાં કેટલાક સંકેતોની જરૂર પડે છે. આપેલ રમત માટે ચાલો ખેલાડીઓની મિશ્ર વ્યૂહરચનાઓની સરળતાનું ઉત્પાદન બનીએ. દરેક માટે, તેની ટોપોલોજિકલ સીમા હોવી જોઈએ. કારણ કે કોઈપણ શુદ્ધ વ્યૂહરચનાની લઘુતમ સંભાવના હોવી જોઈએ. કોઈપણ માટે વિક્ષેપિત રમતને તે રમત તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરો જ્યાં દરેક ખેલાડીની વ્યૂહરચના સેટ અંદરની જેમ જ હોય છે, પરંતુ જ્યાં વ્યૂહરચના પ્રોફાઇલમાંથી ચૂકવણી પ્રોફાઇલમાંથી ચૂકવણી છે. કહો કે તે એક અવ્યવસ્થિત સંતુલન છે જો એક સંતુલન છે. ચાલો અવ્યવસ્થિત સંતુલન પત્રવ્યવહારનો આલેખ હોઈએ, એટલે કે, આલેખ એ તે જોડીનો સમૂહ છે જે અવ્યવસ્થિત સંતુલન છે. માટે, તેનું અનુરૂપ સંતુલન છે. થી માં કુદરતી પ્રક્ષેપણ નકશા દ્વારા દર્શાવો. માટે, દો, અને દો માટે. છેવટે, પૂર્ણાંક ગુણાંક સાથે ચેચ કોહોમોલોજીનો સંદર્ભ આપે છે. નીચે મર્ટન્સની વ્યાખ્યાઓનું સૌથી વધુ સમાવિષ્ટ સંસ્કરણ છે, જેને *-સ્થિર સમૂહની *-stability.Definition કહેવાય છેઃ એક *-સ્થિર સમૂહ છે જો તેની સાથેના કેટલાક બંધ ઉપગણ માટે નીચેના બે ગુણધર્મો હોયઃ જોડાણઃ અંદરના દરેક પડોશ માટે, સમૂહમાં એક જોડાયેલ ઘટક હોય છે જેનું બંધ એ અંદરનો પડોશ હોય છે. કોહોમોલોજીકલ એસેન્શિયાલિટીઃ કેટલાક લોકો માટે બિન-શૂન્ય છે. જો કોહોમોલોજી અથવા હોમોલોજીમાં આવશ્યકતાને હોમોટૉપીમાં હળવા કરવામાં આવે, તો પછી નબળી વ્યાખ્યા પ્રાપ્ત થાય છે, જે મુખ્યત્વે વિઘટન ગુણધર્મના નબળા સ્વરૂપમાં અલગ પડે છે. સંદર્ભો રમત સિદ્ધાંત સંતુલન વિભાવનાઓ બિન-સહકારી રમતો