Berkovich space
ગણિતમાં, બર્કોવિચ જગ્યા, દ્વારા રજૂ કરાયેલ, બિન-આર્કિમિડીયન ક્ષેત્ર પર વિશ્લેષણાત્મક જગ્યાનું સંસ્કરણ છે (દા. ત. પી-એડિક ક્ષેત્ર), ટેટની કઠોર વિશ્લેષણાત્મક જગ્યાની કલ્પનાને શુદ્ધ કરે છે. પ્રેરણા જટિલ કિસ્સામાં, બીજગણિત ભૂમિતિ જટિલ એફાઇન જગ્યાને વ્યાખ્યાયિત કરીને શરૂ થાય છે દરેક માટે આપણે વિશ્લેષણાત્મક વિધેયોની રીંગને હોલોમોર્ફિક વિધેયોની રીંગ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ, એટલે કે. તેના પર કાર્યોને દરેક બિંદુના પડોશમાં અભિસારી શક્તિ શ્રેણી તરીકે લખી શકાય છે. એક જટિલ વિશ્લેષણાત્મક જગ્યા એ સ્થાનિક રીતે રિંગ્ડ-સ્પેસ છે જે સ્થાનિક મોડેલ સ્પેસ માટે સ્થાનિક રીતે આઇસોમોર્ફિક છે. જ્યારે સંપૂર્ણ બિન-આર્કિમિડીયન ક્ષેત્ર હોય, ત્યારે આપણી પાસે તે સંપૂર્ણપણે ડિસ્કનેક્ટ થયેલું હોય છે. આવા કિસ્સામાં, જો આપણે જટિલ કેસની જેમ જ વ્યાખ્યા સાથે ચાલુ રાખીશું, તો આપણને સારો વિશ્લેષણાત્મક સિદ્ધાંત નહીં મળે. બર્કોવિચે એક વ્યાખ્યા આપી જે આવા ક્ષેત્રો પર સરસ વિશ્લેષણાત્મક જગ્યાઓ આપે છે, અને તેના પર સામાન્ય વ્યાખ્યા પણ આપે છે. બિન-આર્કિમિડીયન ક્ષેત્રો પર વિશ્લેષણાત્મક કાર્યોને વ્યાખ્યાયિત કરવા ઉપરાંત, બર્કોવિચ જગ્યાઓ પણ એક સરસ અંતર્ગત ટોપોલોજિકલ જગ્યા ધરાવે છે. બર્કોવિચ વર્ણપટ એ વીંટી પરનો અર્ધવિરામ એ એક બિન-સ્થિર કાર્ય છે જે બધા માટે છે. તેને ગુણાકાર કહેવામાં આવે છે અને જો સૂચવે તો તેને ધોરણ કહેવામાં આવે છે. જો ધોરણ સાથે નોર્મ્ડ રીંગ હોય તો સૂચવેલ બર્કોવિચ સ્પેક્ટ્રમ એ ગુણાકાર અર્ધસૂત્રોનો સમૂહ છે, જે ધોરણ દ્વારા બંધાયેલ છે. બર્કોવિચ વર્ણપટ સૌથી નબળા ટોપોલોજીથી સજ્જ છે જેમ કે કોઈપણ માટે નકશો સતત હોય છે. નોર્મ્ડ રિંગનું બર્કોવિચ સ્પેક્ટ્રમ જો શૂન્ય ન હોય તો ખાલી નથી અને જો પૂર્ણ હોય તો કોમ્પેક્ટ છે. જો તે વર્ણપટનો એક બિંદુ હોય તો તેના મુખ્ય આદર્શ સાથે તત્વો રચાય છે. આ મુખ્ય આદર્શ દ્વારા ભાગાકારના અપૂર્ણાંકનું ક્ષેત્ર એક માનક ક્ષેત્ર છે, જેની પૂર્ણતા એ ગુણાકાર ધોરણ સાથેનું સંપૂર્ણ ક્ષેત્ર છે; આ ક્ષેત્ર દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે અને તત્વની છબી દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. ક્ષેત્રની છબી દ્વારા પેદા થાય છે. તેનાથી વિપરીત ગુણાકાર ધોરણ સાથે સંપૂર્ણ પ્રમાણભૂત ક્ષેત્રનો બંધાયેલો નકશો જે ની છબી દ્વારા પેદા થાય છે તે ના વર્ણપટમાં એક બિંદુ આપે છે. ની વર્ણપટ ત્રિજ્યા ઉદાહરણોની બરાબર છે મૂલ્યાંકનના સંદર્ભમાં પૂર્ણ ક્ષેત્રનું વર્ણપટ તેના મૂલ્યાંકનને અનુરૂપ એક બિંદુ છે. જો પરિવર્તનીય સી *-બીજગણિત હોય તો બર્કોવિચ વર્ણપટ ગેલફેંડ વર્ણપટ જેવો જ છે. ગેલફેંડ વર્ણપટનો એક બિંદુ અનિવાર્યપણે એક હોમોમોર્ફિઝમ છે, અને તેનું નિરપેક્ષ મૂલ્ય બર્કોવિચ વર્ણપટમાં અનુરૂપ અર્ધસૂત્ર છે. ઓસ્ટ્રોવસ્કીનો પ્રમેય દર્શાવે છે કે પૂર્ણાંકોના બર્કોવિચ વર્ણપટમાં (સામાન્ય ધોરણ સાથે) સામાન્ય મૂલ્યાંકનની શક્તિઓનો સમાવેશ થાય છે, એક અવિભાજ્ય માટે અથવા. જો અવિભાજ્ય હોય તો અને જો પછી જ્યારે આ બધા શૂન્ય સિવાયના તમામ ઘટકો પરના તુચ્છ મૂલ્યાંકન સાથે મેળ ખાય છે. દરેક (મુખ્ય અથવા અનંત) માટે આપણને એક શાખા મળે છે જે વાસ્તવિક અંતરાલ માટે હોમોમોર્ફિક હોય છે, શાખાઓ તુચ્છ મૂલ્યાંકનને અનુરૂપ બિંદુ પર મળે છે. તુચ્છ મૂલ્યાંકનોના ખુલ્લા પડોશ એવા છે કે તેમાં તમામ પરંતુ મર્યાદિત રીતે ઘણી શાખાઓ હોય છે, અને દરેક શાખા સાથે તેમનું આંતરછેદ ખુલ્લું હોય છે. જો મૂલ્યાંકન સાથેનું ક્ષેત્ર હોય, તો એન-ડાયમેન્શનલ બર્કોવિચ એફાઇન સ્પેસ ઓવર, સૂચવવામાં આવે છે, તે ધોરણને લંબાવવા પર ગુણાકાર અર્ધસૂત્રોનો સમૂહ છે. બર્કોવિચ એફાઇન જગ્યા સૌથી નબળી ટોપોલોજીથી સજ્જ છે જેમ કે કોઈપણ નકશા માટે તે સતત હોય છે. આ બર્કોવિચ વર્ણપટ નથી, પરંતુ તે શક્તિ શ્રેણીની વીંટીઓના બર્કોવિચ વર્ણપટનું વધતું જોડાણ છે જે અમુક દડામાં એકરૂપ થાય છે (તેથી તે સ્થાનિક રીતે સઘન છે). આપણે ખુલ્લા ઉપગણ પર વિશ્લેષણાત્મક કાર્યને નકશા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ, જે તર્કસંગત કાર્યોની સ્થાનિક મર્યાદા છે, એટલે કે, દરેક બિંદુ નીચેના ગુણધર્મો સાથે ખુલ્લો પડોશી ધરાવે છેઃ જટિલ કેસની જેમ જ વ્યાખ્યાઓ સાથે ચાલુ રાખીને, કોઈ પણ મૂલ્યાંકન સાથે કોઈપણ ક્ષેત્ર પર વિશ્લેષણાત્મક કાર્યોની રીંગ, સ્થાનિક મોડેલ જગ્યા અને વિશ્લેષણાત્મક જગ્યાઓને વ્યાખ્યાયિત કરી શકે છે (કોઈ પણ સામાન્ય રીંગ પર સમાન વસ્તુઓને પણ વ્યાખ્યાયિત કરી શકે છે). આ બિન-તુચ્છ મૂલ્યાંકન અને પૂર્ણાંકોની રીંગના સંદર્ભમાં પૂર્ણ ક્ષેત્રો માટે વાજબી ઓબ્જેક્ટો આપે છે જ્યાં આ પ્રેરણા વિભાગમાં વર્ણવ્યા મુજબ સમાન ઓબ્જેક્ટો આપશે. આ વિશ્લેષણાત્મક જગ્યાઓ બિન-આર્કિમિડીયન ક્ષેત્રો પરની તમામ વિશ્લેષણાત્મક જગ્યાઓ નથી. 1-પરિમાણીય બર્કોવિચ એફાઇન જગ્યાને બર્કોવિચ એફાઇન રેખા કહેવામાં આવે છે. જ્યારે બીજગણિત રીતે બંધ બિન-આર્કિમિડીયન ક્ષેત્ર, તેના મૂલ્યાંકનના સંદર્ભમાં પૂર્ણ થાય છે, ત્યારે કોઈ એફાઇન રેખાના તમામ બિંદુઓનું વર્ણન કરી શકે છે. ત્યાં એક કેનોનિકલ એમ્બેડિંગ છે. આ જગ્યા સ્થાનિક રીતે સઘન, હૌસડોર્ફ અને અનન્ય રીતે પાથ-કનેક્ટેડ ટોપોલોજિકલ જગ્યા છે જે ગાઢ સબસ્પેસ તરીકે ધરાવે છે. કોઈ પણ વ્યક્તિ બર્કોવિચ પ્રોજેક્ટિવ રેખાને યોગ્ય રીતે, અનંત પરના બિંદુને અડીને પણ વ્યાખ્યાયિત કરી શકે છે. પરિણામી જગ્યા એક સઘન, હૌસડોર્ફ અને અનન્ય રીતે પાથ-કનેક્ટેડ ટોપોલોજિકલ જગ્યા છે જે ગાઢ સબસ્પેસ તરીકે ધરાવે છે. સંદર્ભો બાહ્ય કડીઓ ઇન્સ્ટિટ્યૂટ દ મેથેમેટિક્સ દ જુસીઉ સમર સ્કૂલ "બર્કોવિચ સ્પેસ" 2010 બીજગણિત ભૂમિતિ