Denjoy–Wolff theorem
ગણિતમાં, ડેન્જોય-વોલ્ફ પ્રમેય એ જટિલ વિશ્લેષણ અને ગતિશીલ પ્રણાલીઓમાં એક પ્રમેય છે જે નિશ્ચિત બિંદુઓ અને જટિલ સંખ્યાઓમાં એકમ ડિસ્કના હોલોમોર્ફિક મેપિંગ્સના પુનરાવર્તનને સંબંધિત છે. આ પરિણામ 1926માં ફ્રેન્ચ ગણિતશાસ્ત્રી આર્નૌડ ડેન્જોય અને ડચ ગણિતશાસ્ત્રી જુલિયસ વોલ્ફ દ્વારા સ્વતંત્ર રીતે સાબિત કરવામાં આવ્યું હતું. વિધાન પ્રમેય. ધારો કે D એ C માં ખુલ્લી એકમ ડિસ્ક છે અને f એ હોલોમોર્ફિક ફંક્શન છે જે D ને D માં મેપિંગ કરે છે જે D નું ઓટોમોર્ફિઝમ નથી (એટલે કે. મોબિયસ પરિવર્તન). પછી D બંધ થવામાં એક અનોખો બિંદુ z હોય છે, જેથી Dના સઘન ઉપગણ પર fનું પુનરાવર્તન એકસમાન રીતે z તરફ વલણ ધરાવે છે. જો Z એ Dમાં હોય, તો તે fનું અનોખું નિશ્ચિત બિંદુ છે. જો Z એ Dમાં હોય, તો આ નકશામાં f અપરિવર્તનશીલ હાયપરબોલિક ડિસ્કને z પર કેન્દ્રિત કરે છે, અને જો Z એ Dની સીમા પર હોય, તો તે ડિસ્કને z પર એકમ વર્તુળમાં સ્પર્શક બનાવે છે. જ્યારે નિશ્ચિત બિંદુ z = 0 પર હોય, ત્યારે z પર કેન્દ્રિત હાયપરબોલિક ડિસ્ક માત્ર કેન્દ્ર 0 સાથે યુક્લિડિયન ડિસ્ક હોય છે. નહિંતર f ને મોબિયસ પરિવર્તન દ્વારા સંયોજિત કરી શકાય છે જેથી નિશ્ચિત બિંદુ શૂન્ય હોય. આ પ્રમેયનો પ્રાથમિક પુરાવો નીચે આપવામાં આવ્યો છે, જે શાપિરો (1993) અને બર્કેલ (1981) માંથી લેવામાં આવ્યો છે. બે અન્ય ટૂંકા પુરાવા કાર્લસન એન્ડ ગેમેલિન (1993) માં મળી શકે છે. પ્રમેયનો પુરાવો ડિસ્કમાં નિશ્ચિત બિંદુ જો f નો D માં નિશ્ચિત બિંદુ z હોય તો, મોબિયસ પરિવર્તન દ્વારા સંયોજિત થયા પછી, એવું માની શકાય છે કે z = 0 છે. ધારો કે M (r) એ |z | = r <1 પર f નું મહત્તમ માપાંક છે. શ્વાર્ઝ લેમ્મા દ્વારા |z | ≤ r માટે, જ્યાં તે પુનરાવર્તન દ્વારા અનુસરે છે કે |z | ≤ r માટે. આ બે અસમાનતાઓ આ કિસ્સામાં પરિણામ સૂચવે છે. કોઈ નિશ્ચિત બિંદુઓ નથી જ્યારે f નિશ્ચિત બિંદુઓ વિના D માં કાર્ય કરે છે, ત્યારે વોલ્ફે દર્શાવ્યું હતું કે સીમા પર એક બિંદુ z છે જેમ કે f ના પુનરાવર્તનો તે બિંદુ પર સીમા પર દરેક ડિસ્ક સ્પર્શકને અપરિવર્તનશીલ છોડી દે છે. 1 સુધી વધતો ક્રમ લો અને સેટ કરો Rouché 's theorem લાગુ કરીને અને, D માં બરાબર એક શૂન્ય હોય છે. જો જરૂરી હોય તો અનુગામી તરફ જતાં, એવું માની શકાય છે કે બિંદુ z એ D માં ન હોઈ શકે, કારણ કે, મર્યાદા સુધી પસાર થતાં, z એ એક નિશ્ચિત બિંદુ હોવું જોઈએ. નિશ્ચિત બિંદુઓના કિસ્સામાં પરિણામ સૂચવે છે કે નકશા તમામ યુક્લિડિયન ડિસ્કને અપરિવર્તનશીલ રાખે છે જેનું હાયપરબોલિક કેન્દ્ર અહીં સ્થિત છે. સ્પષ્ટ ગણતરીઓ દર્શાવે છે કે, જેમ જેમ k વધે છે, તેમ તેમ આવી ડિસ્ક પસંદ કરી શકાય છે જેથી તેઓ z પરની સીમા પર આપેલ કોઈપણ ડિસ્ક સ્પર્શક તરફ વલણ ધરાવે. સાતત્ય દ્વારા, f આવી દરેક ડિસ્કને અપરિવર્તનશીલ છોડી દે છે. કોમ્પેક્ટા પર અચળાંક z પર સમાનરૂપે એકરૂપ થાય છે તે જોવા માટે, તે બતાવવા માટે પૂરતું છે કે તે કોઈપણ અનુગામી માટે સાચું છે, જે સમાન અર્થમાં g માટે અભિસારી છે, કહો. આવી મર્યાદાઓ મોન્ટેલના પ્રમેય દ્વારા અસ્તિત્વમાં છે, અને જો g બિન-સ્થિર હોય, તો તે પણ ધારી શકાય છે કે તેની મર્યાદા છે, h કહો. પરંતુ પછી ડીમાં ડબલ્યુ માટે. કારણ કે એચ હોલોમોર્ફિક છે અને જી (ડી) ખુલ્લું છે, બધા ડબલ્યુ માટે. સેટિંગ, તે પણ ધારી શકાય છે કે એફ કહો. પરંતુ પછી એફ (એફ (ડબલ્યુ)) = ડબલ્યુ = એફ (એફ (ડબલ્યુ)), એ હકીકતનો વિરોધાભાસ કરે છે કે એફ એ ઓટોમોર્ફિઝમ નથી. તેથી દરેક અનુગામી D માં કોમ્પેક્ટા પર કેટલાક સમાન અચળાંક તરફ વલણ ધરાવે છે. Δ નું અપરિવર્તન સૂચવે છે કે આવા દરેક અચળાંક દરેક ડિસ્કના બંધ થવામાં આવેલું છે, અને તેથી તેમનું આંતરછેદ, એક બિંદુ z છે. મોન્ટેલના પ્રમેય અનુસાર, તે કોમ્પેક્ટાના અચળાંક z પર સમાનરૂપે એકરૂપ થાય છે. નોંધ સંદર્ભો ગતિશીલ પ્રણાલીઓમાં પ્રમેયો જટિલ વિશ્લેષણમાં પ્રમેયો