Exterior space
ગણિતમાં, ટોપોલોજિકલ જગ્યા X માં બાહ્યવિજ્ઞાનની કલ્પના કુટુંબના મૂળભૂત ગુણધર્મોને સામાન્ય બનાવે છે εXCC = {E′X: X\E એ X ની બંધ કોમ્પેક્ટ પેટા જગ્યાઓના પૂરકોનો બંધ કોમ્પેક્ટ સબસેટ છે, જેનો ઉપયોગ તેના એલેક્ઝાન્ડ્રોફ કોમ્પેક્ટિફિકેશનનું નિર્માણ કરવા માટે થાય છે. બાહ્યવિજ્ઞાન અંતિમ બિંદુની કલ્પનાને રજૂ કરવાની મંજૂરી આપે છે, અંતિમ બિંદુઓમાં અભિસરણની દ્રષ્ટિએ જાળીઓના વિચલનનો અભ્યાસ કરવા માટે અને તે બિન-સઘન ટોપોલોજિકલ જગ્યાઓના કેટલાક પરિવારોના અભ્યાસ અને વર્ગીકરણ માટે ઉપયોગી સાધન છે. તેનો ઉપયોગ અન્ય ટોપોલોજિકલ જગ્યાઓની મર્યાદા તરીકે ટોપોલોજિકલ જગ્યાને સંપર્ક કરવા માટે પણ થઈ શકે છેઃ જ્યારે હિલ્બર્ટ જગ્યામાં જડિત કોમ્પેક્ટ મેટ્રિક જગ્યાને તેના ખુલ્લા પડોશ દ્વારા સંપર્ક કરવામાં આવે ત્યારે બાહ્યવિજ્ઞાન ખૂબ જ ઉપયોગી છે. વ્યાખ્યા ચાલો (X, τ) એક ટોપોલોજિકલ જગ્યા છે. (X, τ) પર બાહ્યવિજ્ઞાન એ ખુલ્લા ઉપગણોનો બિન-ખાલી સંગ્રહ ε છે જે સંતોષકારક છેઃ જો E1, E2 ω ε, તો પછી E1 ω E2 ω ε; જો E ω ε, U ω τ અને E ω U, તો પછી U ω ε. બાહ્ય અવકાશ (X, τ, ε) માં બાહ્યવિજ્ઞાન ε સાથે ટોપોલોજિકલ અવકાશ (X, τ) નો સમાવેશ થાય છે. એક ખુલ્લું E જે ε માં છે તે બાહ્ય-ખુલ્લું સબસેટ કહેવાય છે. નકશો f: (X, τ, ε) → (X ', τ', ε ') ને બાહ્ય નકશો કહેવામાં આવે છે જો તે સતત હોય અને f − 1 (E) bul ε, બધા E bul ε' માટે. બાહ્ય જગ્યાઓ અને બાહ્ય નકશાની શ્રેણીને ઇ દ્વારા સૂચવવામાં આવશે. તે નોંધપાત્ર છે કે ઇ એક સંપૂર્ણ અને સહ-પૂર્ણ શ્રેણી છે. બાહ્ય અવકાશના કેટલાક ઉદાહરણો અવકાશ (X, τ) માટે કોઈ પણ વ્યક્તિ હંમેશા તુચ્છ બાહ્યવિજ્ઞાન εtr = {X} ને ધ્યાનમાં લઈ શકે છે, અને, બીજી તરફ, કુલ બાહ્યવિજ્ઞાન εtot = τ. નોંધ લો કે બાહ્યવિજ્ઞાન ε એ ટોપોલોજી છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો ખાલી સમૂહ ε નો સભ્ય હોય અને માત્ર જો ε = τ હોય. જગ્યા (X, τ) આપવામાં આવે તો, X ના બંધ કોમ્પેક્ટ સબસેટ્સના પૂરકની બાહ્યવિજ્ઞાન εXCC યોગ્ય નકશાના સિદ્ધાંત સાથે જોડાણની મંજૂરી આપે છે. જગ્યા (X, τ) અને ઉપગણ A′Xને જોતાં કુટુંબ ε (X, A) = {U′X: A′U, U′τ} એ X માં બાહ્યવિજ્ઞાન છે. આકાર સિદ્ધાંત અને ગતિશીલ પ્રણાલીઓ પર અનુક્રમે મહત્વપૂર્ણ ઉપયોગો ધરાવતા બે વિશિષ્ટ કિસ્સાઓ નીચે મુજબ છેઃ જો A એ હિલ્બર્ટ ક્યુબ X = Q નું બંધ સબસ્પેસ હોય તો બાહ્યવિજ્ઞાન εA = ε (Q, A) એ આકાર સિદ્ધાંતના અર્થમાં A નું રિઝોલ્યુશન છે. ધારો કે X એ સતત ગતિશીલ પ્રણાલી છે અને P એ સામયિક બિંદુઓનો સબસેટ છે; આપણે બાહ્યવિજ્ઞાન ε (X, P) ને ધ્યાનમાં લઈ શકીએ છીએ. વધુ સામાન્ય રીતે, જો A એક અપરિવર્તનશીલ ઉપગણ હોય તો બાહ્યવિજ્ઞાન ε (X, A) પ્રવાહના ગતિશીલ ગુણધર્મોનો અભ્યાસ કરવા માટે ઉપયોગી છે. યોગ્ય હોમોટૉપી સિદ્ધાંતઃ જો Y ના દરેક બંધ કોમ્પેક્ટ સબસેટ K માટે, f − 1 (K) એ X નો કોમ્પેક્ટ સબસેટ હોય તો ટોપોલોજિકલ સ્પેસ વચ્ચેનો સતત નકશો f: X → Y યોગ્ય કહેવાય છે. જગ્યાઓની શ્રેણી અને યોગ્ય નકશાને પી દ્વારા સૂચવવામાં આવશે. આ શ્રેણી અને અનુરૂપ યોગ્ય હોમોટૉપી શ્રેણી બિન-સઘન જગ્યાઓના અભ્યાસ માટે ખૂબ જ ઉપયોગી છે. તેમ છતાં, કોઈને સમસ્યા છે કે આ શ્રેણીમાં પૂરતી મર્યાદાઓ અને કોલિમિટ્સ નથી અને પછી આપણે લૂપ્સ, હોમોટૉપી મર્યાદાઓ અને કોલિમિટ્સ વગેરે જેવી સામાન્ય હોમોટૉપી રચનાઓ વિકસાવી શકતા નથી. આ સમસ્યાનો જવાબ બાહ્ય જગ્યાઓ E ની શ્રેણી છે જે ક્વિલન મોડેલ માળખાને સ્વીકારે છે અને જગ્યાઓ અને યોગ્ય નકશાની શ્રેણીને સંપૂર્ણ પેટા શ્રેણી તરીકે ધરાવે છે; એટલે કે, સંપૂર્ણ અને વફાદાર ફંકટર P → E છે જે બાહ્ય જગ્યા (X, τ, εXCC) માટે ટોપોલોજિકલ જગ્યા (X, τ) ધરાવે છે. યોગ્ય એલ. એસ. શ્રેણીઃ (સહ) મર્યાદાના અભાવને કારણે આ યોગ્ય અપરિવર્તનશીલની ગનીયા અને વ્હાઇટહેડ લાક્ષણિકતાઓ શોધવાની સમસ્યાનો યોગ્ય શ્રેણીમાં સામનો કરી શકાતો નથી. તેમ છતાં, બાહ્ય જગ્યાઓની શ્રેણીમાં આ અપરિવર્તનશીલનું વિસ્તરણ આવી સમસ્યાનું સમાધાન શોધવાની મંજૂરી આપે છે. આ આંકડાકીય યોગ્ય અપરિવર્તન મુક્ત 3-મેનિફોલ્ડ્સના અભ્યાસમાં લાગુ કરવામાં આવ્યું છે. આકાર સિદ્ધાંતઃ કોમ્પેક્ટ મેટ્રિક જગ્યાના ઘણા આકાર અપરિવર્તનશીલ (બોર્સુક જૂથો, ક્વિગલી અંદરની તરફ અને નજીકના જૂથો) હિલ્બર્ટ ક્યુબમાં જડિત કોમ્પેક્ટ મેટ્રિક જગ્યાના ખુલ્લા પડોશ દ્વારા નિર્ધારિત બાહ્ય જગ્યાના બાહ્ય હોમોટૉપી જૂથો તરીકે મેળવી શકાય છે. અલગ અને સતત ગતિશીલ પ્રણાલીઓ (અર્ધ-પ્રવાહ અને પ્રવાહ): એવી ઘણી રચનાઓ છે જે બાહ્ય જગ્યાને ગતિશીલ પ્રણાલી સાથે સાંકળે છે, ઉદાહરણ તરીકેઃ સતત (અલગ) પ્રવાહને જોતાં કોઈ વ્યક્તિ સામયિક બિંદુઓ, પોઈસન સામયિક બિંદુઓ, ઓમેગા મર્યાદાઓ વગેરેના ઉપગણના ખુલ્લા પડોશ દ્વારા પ્રેરિત બાહ્ય જગ્યાઓને ધ્યાનમાં લઈ શકે છે. આ સંકળાયેલ બાહ્ય જગ્યાઓની રચનાઓ અને ગુણધર્મોનો ઉપયોગ (અર્ધ-પ્રવાહ) પ્રવાહના ગતિશીલ ગુણધર્મોનો અભ્યાસ કરવા માટે થાય છે. સંદર્ભો એમ. કાર્ડેનસ, એફ. એફ. લાશેરસ અને એ. ક્વિન્ટેરો. યોગ્ય એલ. એસ. શ્રેણી માટે કોહોમોલોજી વર્ગો શોધી રહ્યા છીએ. અર્ધ-સ્થિર 3-મેનિફોલ્ડ્સનો કેસ, ગણિત. પ્રો. કેમ્બ. ફિલોસો. સો. (2011). એ. ડેલ રિયો, એલ. જે. હર્નાન્ડેઝ અને એમ. ટી. રિવાસ રોડ્રિગ્ઝ. જગ્યાઓ અને બાહ્ય જગ્યાઓના વૈશ્વિક ટાવરના એસ-પ્રકારો, એપલ. શ્રેણી. સ્ટ્રક્ટ., 17 નં. 3, 287-301, (2009). એલ. એસ્પેનોલ, જે. એમ. ગાર્સિયા-કેલ્સિન્સ, એમ. સી. મિન્ગુએઝ. યોગ્ય અને બાહ્ય ક્રમિકતા પર, એપલ. શ્રેણી. સ્ટ્રક્ટ., 18, નં. 6, 653-668, (2010). જે. આઈ. એક્સ્ટ્રીમિયાના, એલ. જે. હર્નાન્ડેઝ અને એમ. ટી. રિવાસ. અનંત પર પોસ્ટનિકોવ ફેક્ટરાઇઝેશન, ટોપોલ. એપલ., 153,370-393, (2005). જે. આઈ. એક્સ્ટ્રીમિયાના, એલ. જે. હર્નાન્ડેઝ અને એમ. ટી. રિવાસ. બાહ્ય જગ્યાઓનો ઉપયોગ કરીને ગતિશીલ પ્રણાલીઓનો અભિગમ. મિરિયન એન્ડ્રેસ ગોમેઝના સન્માનમાં વૈજ્ઞાનિક યોગદાન, 307′318, યુનિવર્સિટી. લા રિયોજા સર્વ. પ્રકાશક., લોગ્રોનો, 2010. જે. એમ. ગાર્સિયા-કેલ્સિન્સ, પી. આર. ગાર્સિયા-ડિયાઝ, એ. મુરિલો માસ. યોગ્ય લસ્ટર્નિક-સ્નીરલમેન શ્રેણી માટે વ્હાઇટહેડ-ગેનીયા અભિગમ. ગણિત. પ્રો. કેમ્બ. ફિલોસો. સો. 142 (2007), નં. 3, 439-457 જે. એમ. ગાર્સિયા-કેલ્સિન્સ, પી. આર. ગાર્સિયા-ડિયાઝ, એ. મુરિલો માસ, બાહ્ય હોમોટોપી સિદ્ધાંત દ્વારા યોગ્ય હોમોટોપીમાં ગેનીયા અનુમાન. ગણિત. પ્રો. કેમ્બ. ફિલોસો. સો. 149 (2010), નં. 1, 75-91. જે. એમ. ગાર્સિયા-કેલ્સિન્સ, એમ. ગાર્સિયા પિનિલોસ અને એલ. જે. હર્નાન્ડેઝ. યોગ્ય હોમોટૉપી અને આકાર સિદ્ધાંતો માટે બંધ મોડેલ શ્રેણી, બુલ. ઑસ્ટિન. ગણિત. સો. 57 નંબર 2,221-242, (1998). જે. એમ. ગાર્સિયા-કેલ્સિન્સ અને એલ. જે. હર્નાન્ડેઝ. ક્રમિક સમરૂપતા, ટોપોલ. એપલ. 114/2, 201-225, (2001). જે. એમ. ગાર્સિયા-કેલ્સિન્સ, એમ. ગાર્સિયા પિનિલોસ અને એલ. જે. હર્નાન્ડેઝ. બાહ્ય અને યોગ્ય હોમોટૉપી માટે બંધ સરળ મોડેલ માળખાં, એપલ. શ્રેણી. માળખું. 12, નંબર 3,225-243, (2004). એમ. ગાર્સિયા-પિનિલોસ, એલજે. હર્નાન્ડેઝ પેરિસિયો અને એમ. ટી. રિવાસ રોડ્રિગ્ઝ. ચોક્કસ ક્રમ અને બંધ મોડેલ શ્રેણીઓ, એપલ. શ્રેણી. સ્ટ્રક્ટ., 18, નં. 4, 343-375 (2010). ડીઓઆઈ 10.1007/s10485-008-9176-x (2009). ટોપોલોજી હોમોટોપી સિદ્ધાંત