Variable-mass system
મિકેનિક્સમાં, ચલ-દળ પ્રણાલી એ દ્રવ્યનો સંગ્રહ છે જેનું દળ સમય સાથે બદલાય છે. આવી પ્રણાલી પર સીધા ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમને લાગુ કરવાનો પ્રયાસ કરવો મૂંઝવણભર્યો હોઈ શકે છે. તેના બદલે, દ્રવ્યમાન m ની સમય અવલંબનની ગણતરી ન્યૂટનના બીજા નિયમને ફરીથી ગોઠવીને અને પ્રણાલીમાં પ્રવેશતા અથવા છોડતા દ્રવ્યમાન દ્વારા વહન કરવામાં આવતા વેગ માટે એક શબ્દ ઉમેરીને કરી શકાય છે. ચલ-દળ ગતિનું સામાન્ય સમીકરણ એ રીતે લખવામાં આવે છે કે જ્યાં ફેક્સ્ટ એ શરીર પરનું ચોખ્ખું બાહ્ય બળ છે, વ્રેલ એ શરીરના દળના કેન્દ્રના સંદર્ભમાં બહાર નીકળતા અથવા આવતા દળનો સાપેક્ષ વેગ છે, અને v એ પદાર્થનો વેગ છે. એસ્ટ્રોડાયનેમિક્સમાં, જે રોકેટના મિકેનિક્સ સાથે કામ કરે છે, વ્રેલ શબ્દને ઘણીવાર અસરકારક એક્ઝોસ્ટ વેગ કહેવામાં આવે છે અને વી સૂચવવામાં આવે છે. વ્યુત્પત્તિ ચલ-દળ પ્રણાલી ગતિ સમીકરણ માટે વિવિધ વ્યુત્પત્તિઓ છે, જે તેના પર આધાર રાખે છે કે દળ પદાર્થમાં પ્રવેશ કરે છે કે બહાર નીકળે છે (બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, ગતિશીલ પદાર્થનું દ્રવ્યમાન અનુક્રમે વધી રહ્યું છે કે ઘટી રહ્યું છે). ગણતરીઓને સરળ બનાવવા માટે, તમામ પદાર્થોને કણો ગણવામાં આવે છે. એવું પણ માનવામાં આવે છે કે સમૂહ સંચય/ઘટાડાની ઘટનાઓની બહાર શરીર પર બાહ્ય બળો લાગુ કરવામાં અસમર્થ છે. સમૂહ વૃદ્ધિ નીચેની વ્યુત્પત્તિ એ પદાર્થ માટે છે જે દ્રવ્યમાન (વૃદ્ધિ) પ્રાપ્ત કરી રહ્યું છે. સમય બદલાતા દળ m નો જથ્થો પ્રારંભિક સમય t પર વેગ v પર ફરે છે. તે જ ક્ષણે, દળ dm નો કણ જમીનના સંદર્ભમાં વેગ u સાથે ફરે છે. પ્રારંભિક વેગને આ રીતે લખી શકાય છે હવે t + dt સમયે, મુખ્ય પદાર્થ અને કણ બંનેને વેગ v + dv ના પદાર્થમાં જોડાવા દો. આમ પ્રણાલીની નવી ગતિને આ રીતે લખી શકાય છે કારણ કે dmdv એ બે નાના મૂલ્યોનું ગુણાકાર છે, તેને અવગણી શકાય છે, એટલે કે dt દરમિયાન પ્રણાલીની ગતિ બદલાય છે. સમય t પર, દળ m ને વેગ v પર મુસાફરી કરવા દો, એટલે કે પ્રણાલીનો પ્રારંભિક વેગ u ને જમીનના સંદર્ભમાં ઘટાડેલા દળ dm નો વેગ ધારી રહ્યા છીએ, એક સમયે t + dt પર પ્રણાલીનો વેગ બની જાય છે જ્યાં u એ જમીનના સંદર્ભમાં બહાર કાઢવામાં આવેલા દળનો વેગ છે, અને તે નકારાત્મક છે કારણ કે ઘટાડેલા દળ દળની વિરુદ્ધ દિશામાં આગળ વધે છે. આમ dt દરમિયાન દળ m ના સંદર્ભમાં ઘટાડેલા દળના સાપેક્ષ વેગ માટે તંત્રની ગતિ બદલાય છે તેથી, વેગમાં ફેરફારને આ રીતે લખી શકાય છે તેથી, ન્યૂટનના બીજા નિયમ દ્વારા, અંતિમ સમીકરણને સ્વરૂપો તરીકે ગોઠવી શકાય છે પ્રવેગકની વ્યાખ્યા અનુસાર, a = dv/dt, તેથી ચલ-દળ પ્રણાલી ગતિ સમીકરણને આ રીતે લખી શકાય છે. છેવટે નોંધ લો કે જો કોઈ એફનેટને ફેક્સ્ટ અને ફથ્રસ્ટનો સરવાળો બનવા દે તો સમીકરણ ન્યૂટનના બીજા કાયદાનું સામાન્ય સ્વરૂપ પાછું મેળવે છેઃ આદર્શ રોકેટ સમીકરણ આદર્શ રોકેટ સમીકરણ અથવા સિયોલકોવ્સ્કી રોકેટ સમીકરણનો ઉપયોગ વાહનોની ગતિનો અભ્યાસ કરવા માટે થઈ શકે છે જે રોકેટની જેમ વર્તે છે (જ્યાં પદાર્થ તેના દળના ભાગને, એક પ્રોપેલન્ટ, ઊંચી ઝડપ સાથે બહાર કાઢીને પોતાને વેગ આપે છે). તે ચલ-દળ પ્રણાલીઓ માટે ગતિના સામાન્ય સમીકરણમાંથી નીચે મુજબ મેળવી શકાય છેઃ જ્યારે કોઈ બાહ્ય બળો પદાર્થ પર કાર્ય કરતા નથી (ફેક્સ્ટ = 0) ત્યારે ચલ-દળ પ્રણાલી ગતિ સમીકરણ ઘટાડીને એમ થાય છે જો બહાર કાઢવામાં આવેલા પ્રોપેલન્ટ, વ્રેલનો વેગ, રોકેટના પ્રવેગક તરીકે વિરુદ્ધ દિશા ધરાવે છે, તો dv/dt, આ સમીકરણના સ્કેલર સમકક્ષને લખી શકાય છે જેમાંથી ચલને અલગ કરીને એકીકરણ આપવા માટે dt રદ કરી શકાય છે. સંદર્ભો શાસ્ત્રીય મિકેનિક્સ મિકેનિક્સ