Picard–Lefschetz theory
ગણિતમાં, પિકાર્ડ-લેફશેટ્ઝ સિદ્ધાંત મેનીફોલ્ડ પર હોલોમોર્ફિક ફંક્શનના નિર્ણાયક બિંદુઓને જોઈને જટિલ મેનીફોલ્ડની ટોપોલોજીનો અભ્યાસ કરે છે. તે એમિલ પિકાર્ડ દ્વારા તેમના પુસ્તકમાં જટિલ સપાટીઓ માટે રજૂ કરવામાં આવ્યું હતું, અને તેના દ્વારા ઉચ્ચ પરિમાણો સુધી વિસ્તૃત કરવામાં આવ્યું હતું. તે મોર્સ સિદ્ધાંતનું એક જટિલ એનાલોગ છે જે વાસ્તવિક કાર્યના નિર્ણાયક બિંદુઓને જોઈને વાસ્તવિક મેનીફોલ્ડની ટોપોલોજીનો અભ્યાસ કરે છે. પિકાર્ડ-લેફશેટ્ઝ સિદ્ધાંતને વધુ સામાન્ય ક્ષેત્રોમાં વિવિધતાઓ સુધી વિસ્તૃત કર્યો, અને ડેલીગ્નેએ વેઇલ અનુમાનના તેમના પુરાવાઓમાં આ સામાન્યીકરણનો ઉપયોગ કર્યો. પિકાર્ડ-લેફશેટ્ઝ સૂત્ર પિકાર્ડ-લેફશેટ્ઝ સૂત્ર નિર્ણાયક બિંદુ પર મોનોડ્રોમીનું વર્ણન કરે છે. ધારો કે f એ (k + 1)-પરિમાણીય પ્રોજેક્ટિવ કોમ્પ્લેક્સ મેનીફોલ્ડથી પ્રોજેક્ટિવ લાઇન P1 સુધીનો હોલોમોર્ફિક નકશો છે. એવું પણ ધારો કે તમામ નિર્ણાયક બિંદુઓ બિન-ક્ષીણ છે અને વિવિધ રેસામાં આવેલા છે, અને P1 માં x1,., xn છબીઓ ધરાવે છે. P1 માં કોઈપણ અન્ય બિંદુ x પસંદ કરો. મૂળભૂત જૂથ π1 (P1-{x1,., xn}, x) બિંદુ xi ની આસપાસ ફરતા લૂપ્સ દ્વારા ઉત્પન્ન થાય છે, અને દરેક બિંદુ xi પર x પર ફાઇબરના હોમોલોજી Hk (Yx) માં લુપ્ત થતું ચક્ર હોય છે. નોંધ લો કે આ મધ્યમ સમરૂપતા છે કારણ કે તંતુ જટિલ પરિમાણ k ધરાવે છે, તેથી વાસ્તવિક પરિમાણ 2k છે. Hk (Yx) પર π1 (P1-{x1,., xn}, x) ની મોનોડ્રોમી ક્રિયાને પિકાર્ડ-લેફશેટ્ઝ સૂત્ર દ્વારા નીચે મુજબ વર્ણવવામાં આવી છે. (અન્ય સમરૂપતા જૂથો પર મોનોડ્રોમીની ક્રિયા તુચ્છ છે.) જ્યાં δi એ xiનું લુપ્ત થતું ચક્ર છે તેના દ્વારા bul Hk (Yx) પરના મૂળભૂત જૂથના જનરેટર વાઈની મોનોડ્રોમી ક્રિયા આપવામાં આવે છે. આ સૂત્ર k = 2 (અદ્રશ્ય થઈ રહેલા ચક્ર δi ના સ્પષ્ટ ગુણાંક વિના) માટે સ્પષ્ટ રીતે દેખાય છે. તેમણે તમામ પરિમાણોમાં સ્પષ્ટ સૂત્ર આપ્યું. ઉદાહરણ જીનસના હાયપરલિપ્ટિક વળાંકના પ્રોજેક્ટિવ પરિવારનો વિચાર કરો જે ક્યાં પરિમાણ છે અને તેના દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે. પછી, આ કુટુંબમાં જ્યારે પણ ડબલ-પોઇન્ટ અધોગતિ થાય છે. વળાંક એ તોરીનો જોડાયેલ સરવાળો હોવાથી, સામાન્ય વળાંકનું આંતરછેદ સ્વરૂપ એ મેટ્રિક્સ છે જેના પર આપણે સરળતાથી અધોગતિ આસપાસ પિકાર્ડ-લેફશેટ્ઝ સૂત્રની ગણતરી કરી શકીએ છીએ. ધારો કે તે-th ટોરસમાંથી-ચક્ર છે. પછી, પિકાર્ડ-લેફશેટ્ઝ સૂત્ર વાંચે છે કે શું-th ટોરસમાં લુપ્ત થતું ચક્ર છે. નહિંતર તે ઓળખનો નકશો છે. આ પણ જુઓ લેફશેટ્ઝ પેન્સિલ સંદર્ભો બીજગણિત ભૂમિતિ