Jean-François Mertens
જીન-ફ્રાન્કોઇસ મર્ટન્સ (11 માર્ચ 1946-17 જુલાઈ 2012) બેલ્જિયન રમત સિદ્ધાંતવાદી અને ગાણિતિક અર્થશાસ્ત્રી હતા. માર્કેટ ગેમ્સ, સહકારી રમતો, બિન-સહકારી રમતો, પુનરાવર્તિત રમતો, વ્યૂહાત્મક વર્તણૂકના જ્ઞાનાત્મક નમૂનાઓ અને નેશ સંતુલનના સુધારાઓના સંદર્ભમાં મર્ટન્સે આર્થિક સિદ્ધાંતમાં ફાળો આપ્યો હતો (ઉકેલ ખ્યાલ જુઓ). સહકારી રમત સિદ્ધાંતમાં તેમણે મૂળ અને શેપલી મૂલ્ય તરીકે ઓળખાતી ઉકેલ વિભાવનાઓમાં યોગદાન આપ્યું હતું. પુનરાવર્તિત રમતો અને સ્ટોકેસ્ટિક રમતો અંગે, મેર્ટન્સ 1982 અને 1986 સર્વેક્ષણ લેખો, અને સિલ્વેન સોરિન અને શ્મુએલ ઝમીર સાથે સહલેખિત તેમના 1994 ના સર્વેક્ષણ, આ વિષય પરના પરિણામોનો સંગ્રહ છે, જેમાં તેમના પોતાના યોગદાનનો સમાવેશ થાય છે. મર્ટન્સે સંભાવના સિદ્ધાંતમાં પણ યોગદાન આપ્યું હતું અને પ્રાથમિક ટોપોલોજી પર લેખો પ્રકાશિત કર્યા હતા. રોગચાળાના નમૂનાઓ મર્ટન્સ અને ઝમીરે અપૂર્ણ માહિતી સાથે રમતોનું નમૂના બનાવવાની જ્હોન હર્સાનીની દરખાસ્તને અમલમાં મૂકીને ધાર્યું હતું કે દરેક ખેલાડી ખાનગી રીતે જાણીતા પ્રકાર દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે જે તેની શક્ય વ્યૂહરચનાઓ અને ચૂકવણી તેમજ અન્ય ખેલાડીઓના પ્રકારો પર સંભાવના વિતરણનું વર્ણન કરે છે. તેઓએ પ્રકારોની સાર્વત્રિક જગ્યાનું નિર્માણ કર્યું જેમાં, ચોક્કસ સુસંગતતા શરતોને આધિન, દરેક પ્રકાર અન્યની સંભવિત માન્યતાઓ વિશેની તેમની સંભવિત માન્યતાઓના અનંત પદાનુક્રમને અનુરૂપ છે. તેઓએ એ પણ દર્શાવ્યું હતું કે કોઈપણ સબસ્પેસને મર્યાદિત સબસ્પેસ દ્વારા આપખુદ રીતે નજીકથી અંદાજિત કરી શકાય છે, જે એપ્લિકેશન્સમાં સામાન્ય યુક્તિ છે. અપૂર્ણ માહિતી સાથે પુનરાવર્તિત રમતો અપૂર્ણ માહિતી સાથે પુનરાવર્તિત રમતો, ઓમેન અને માસ્લર દ્વારા અગ્રણી હતી. મેદાન પર જીન-ફ્રાન્કોઇસ મર્ટન્સના બે યોગદાનમાં પુનરાવર્તિત બે વ્યક્તિ શૂન્ય-રકમની રમતોનું વિસ્તરણ છે, જેમાં બંને બાજુએ અપૂર્ણ માહિતી છે (1) ખેલાડીઓ માટે ઉપલબ્ધ માહિતીનો પ્રકાર અને (2) સિગ્નલિંગ માળખું. (1) માહિતીઃ મર્ટન્સે સિદ્ધાંતને સ્વતંત્ર કેસથી વિસ્તૃત કર્યો જ્યાં ખેલાડીઓની ખાનગી માહિતી સ્વતંત્ર રેન્ડમ વેરિયેબલ્સ દ્વારા પેદા થાય છે, આશ્રિત કેસ જ્યાં સહસંબંધની મંજૂરી છે. (2) સંકેત માળખુંઃ પ્રમાણભૂત સંકેત સિદ્ધાંત જેમાં દરેક તબક્કા પછી બંને ખેલાડીઓને અગાઉની ચાલ વિશે જાણ કરવામાં આવે છે, તેને સામાન્ય સંકેત માળખા સાથે વ્યવહાર કરવા માટે વિસ્તૃત કરવામાં આવ્યો હતો જ્યાં દરેક તબક્કા પછી દરેક ખેલાડીને એક ખાનગી સંકેત મળે છે જે ચાલ અને સ્થિતિ પર આધાર રાખે છે. તે સેટ-અપ્સમાં જીન-ફ્રાન્કોઇસ મર્ટન્સે રાજ્ય સ્વતંત્ર સંકેતો સાથે આશ્રિત કિસ્સામાં અનંત રમત માટે મિનિમેક્સ અને મહત્તમ મૂલ્યની લાક્ષણિકતાનું વિસ્તરણ પૂરું પાડ્યું હતું. વધુમાં શ્મુએલ ઝમીર સાથે, જીન-ફ્રાન્કોઇસ મર્ટન્સે મર્યાદિત મૂલ્યનું અસ્તિત્વ દર્શાવ્યું હતું. આવા મૂલ્યને ક્યાં તો સ્ટેજ રમતોના મૂલ્યોની મર્યાદા તરીકે વિચારી શકાય છે, જેમ કે અનંત સુધી જાય છે, અથવા-ડિસ્કાઉન્ટેડ રમતોના મૂલ્યોની મર્યાદા, કારણ કે એજન્ટો વધુ ધીરજ અને ધૈર્યવાન બને છે. મર્ટન્સ અને ઝમીરના અભિગમનો મુખ્ય આધાર ઓપરેટરનું નિર્માણ છે, જેને હવે તેમના સન્માનમાં ક્ષેત્રમાં એમઝેડ ઓપરેટર તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. સતત સમયમાં (અપૂર્ણ માહિતી સાથેની વિભેદક રમતો), એમઝેડ સંચાલક આવી રમતોના સિદ્ધાંતના મૂળમાં એક અનંત સંચાલક બની જાય છે. કાર્યાત્મક સમીકરણોની જોડીનો અનન્ય ઉકેલ, મર્ટન્સ અને ઝમીર દર્શાવે છે કે મર્યાદા મૂલ્ય મહત્તમ અથવા મિનિમેક્સ (સંપૂર્ણ માહિતીના કિસ્સામાં મૂલ્ય) થી વિપરીત એક દિવ્ય કાર્ય હોઈ શકે છે. મર્ટન્સે રમતના કિસ્સામાં એક બાજુ અપૂર્ણ માહિતી અને સામાન્ય સંકેત માળખા સાથે અભિસરણનો ચોક્કસ દર પણ શોધી કાઢ્યો હતો. એન-સ્ટેજ ગેમ (મર્યાદિત રીતે પુનરાવર્તિત) મૂલ્યની તેની મર્યાદા સાથે અભિસરણની ગતિનું વિગતવાર વિશ્લેષણ કેન્દ્રીય મર્યાદા પ્રમેય અને સામાન્ય નિયમ સાથે ગાઢ જોડાણ ધરાવે છે, તેમજ બાઉન્ડેડ માર્ટિંગેલ્સની મહત્તમ વિવિધતા પણ ધરાવે છે. રાજ્ય આધારિત સંકેતો સાથે અને પુનરાવર્તિત માળખા વિના રમતોના મુશ્કેલ કેસના અભ્યાસ પર હુમલો કરતા, મર્ટન્સ અને ઝમીરે સહાયક રમત પર આધારિત પરિચય પર નવા સાધનો રજૂ કર્યા, વ્યૂહરચનાઓના સમૂહને 'આંકડાકીય રીતે પૂરતો' કોર સુધી ઘટાડ્યો. ઝમીર (અને સોરિન સાથે પણ) સાથે સામૂહિક રીતે જીન-ફ્રાન્કોઇસ મર્ટન્સનું યોગદાન બે વ્યક્તિ શૂન્ય રકમ પુનરાવર્તિત રમતો માટે સામાન્ય સિદ્ધાંત માટેનો પાયો પૂરો પાડે છે જેમાં સ્ટોકેસ્ટિક અને અપૂર્ણ માહિતીના પાસાઓનો સમાવેશ થાય છે અને જ્યાં વ્યાપક સુસંગતતાના ખ્યાલો તૈનાત કરવામાં આવે છે, ઉદાહરણ તરીકે પ્રતિષ્ઠા, ચૂકવણી માટે તર્કસંગત સ્તરો પર મર્યાદા, પણ લેમ્માને વિભાજિત કરવા, સિગ્નલિંગ અને સુલભતા જેવા સાધનો પણ. જ્યારે ઘણી રીતે મર્ટન્સનું કામ અહીં શૂન્ય-રકમ બે વ્યક્તિની સ્થાપના સાથે રમત સિદ્ધાંતના વોન ન્યુમેન મૂળ મૂળમાં પાછું જાય છે, ત્યારે વ્યાપક ઉપયોગ સાથે જોમ અને નવીનતાઓ વ્યાપક રહી છે. 1953માં લોયડ શેપલી દ્વારા સ્ટોકેસ્ટિક રમતોની શરૂઆત કરવામાં આવી હતી. પ્રથમ પેપરમાં ડિસ્કાઉન્ટેડ બે-વ્યક્તિ શૂન્ય-રકમ સ્ટોકેસ્ટિક રમતનો અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો હતો જેમાં મર્યાદિત રીતે ઘણી સ્થિતિઓ અને ક્રિયાઓ હતી અને તે મૂલ્ય અને સ્થિર શ્રેષ્ઠ વ્યૂહરચનાઓનું અસ્તિત્વ દર્શાવે છે. 1968માં બ્લેકવેલ અને ફર્ગ્યુસન અને 1974માં કોહલબર્ગ દ્વારા વિશેષ કેસોના ઉકેલો સાથે, બિનહિસાબી કેસનો અભ્યાસ આગામી ત્રણ દાયકામાં વિકસિત થયો. ખૂબ જ મજબૂત અર્થમાં બિનહિસાબી મૂલ્યનું અસ્તિત્વ, એક સમાન મૂલ્ય અને મર્યાદિત સરેરાશ મૂલ્ય બંને, 1981માં જીન-ફ્રાન્કોઇસ મર્ટેન્સ અને અબ્રાહમ નેયમેન દ્વારા સાબિત કરવામાં આવ્યું હતું. સામાન્ય સ્થિતિ અને ક્રિયા જગ્યાઓ સાથે બિન-શૂન્ય-સરવાળાના અભ્યાસે ખૂબ ધ્યાન આકર્ષિત કર્યું, અને મર્ટન્સ અને પાર્થસારથીએ આ શરત હેઠળ સામાન્ય અસ્તિત્વનું પરિણામ સાબિત કર્યું કે સ્થિતિ અને ક્રિયાઓના કાર્ય તરીકે સંક્રમણો, ક્રિયાઓમાં સતત ચાલુ રહે છે. માર્કેટ ગેમ્સઃ લિમિટ પ્રાઈસ મિકેનિઝમ મર્ટન્સ પાસે ઓર્ડર બુક (ટ્રેડિંગ) તરીકે રેખીય સ્પર્ધાત્મક અર્થતંત્રોનો ઉપયોગ કરવાનો વિચાર હતો જેથી ઓર્ડરને મર્યાદિત કરી શકાય અને મલ્ટિવેરિયેટ સેટ અપ માટે બેવડી હરાજીને સામાન્ય બનાવી શકાય. ખેલાડીઓની સ્વીકાર્ય સાપેક્ષ કિંમતો તેમની રેખીય પસંદગીઓ દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે, નાણાં માલમાંથી એક હોઈ શકે છે અને એજન્ટો માટે આ કિસ્સામાં નાણાં માટે હકારાત્મક સીમાંત ઉપયોગિતા હોવી બરાબર છે (બધા એજન્ટો ખરેખર માત્ર ઓર્ડર છે!). હકીકતમાં વ્યવહારમાં મોટાભાગના ક્રમમાં આ સ્થિતિ છે. એક કરતાં વધુ ઓર્ડર (અને અનુરૂપ ઓર્ડર-એજન્ટ) એક જ વાસ્તવિક એજન્ટ પાસેથી આવી શકે છે. સંતુલનમાં વેચાતી વસ્તુ ઉપયોગિતા કાર્ય દ્વારા સૂચિત વસ્તુ કરતાં ઓછી ન હોય તેવી ખરીદી કરેલી વસ્તુની સરખામણીમાં સંબંધિત કિંમતે હોવી જોઈએ. બજારમાં લાવવામાં આવતો માલ (ક્રમમાં જથ્થો) પ્રારંભિક દાન દ્વારા પહોંચાડવામાં આવે છે. મર્યાદા ક્રમ નીચે પ્રમાણે રજૂ કરવામાં આવે છેઃ ઓર્ડર-એજન્ટ બજારમાં એક વસ્તુ લાવે છે અને તે વસ્તુઓમાં બિન-શૂન્ય સીમાંત ઉપયોગિતાઓ ધરાવે છે અને બીજી વસ્તુ (નાણાં અથવા આંકડાકીય). એટ માર્કેટ સેલ ઓર્ડરમાં બજારમાં વેચાયેલી વસ્તુ માટે શૂન્ય ઉપયોગિતા હશે અને પૈસા અથવા આંકડાકીય માટે હકારાત્મક હશે. સહાયક રેખીય અર્થતંત્ર માટે મોટાભાગની સામાન્ય આંતરિક પરિસ્થિતિઓનું ઉલ્લંઘન કરવામાં આવ્યું હોવા છતાં, મર્ટન્સ સ્પર્ધાત્મક સંતુલનનો ઉપયોગ કરીને મેળ ખાતા એન્જિન બનાવવાના આદેશોને સાફ કરે છે. મર્ટન્સની પદ્ધતિ શેપલી-શુબિક ટ્રેડિંગ પોસ્ટનું સામાન્યીકરણ પ્રદાન કરે છે અને એક બજારમાં માત્ર એક નિષ્ણાતને બદલે બજારોમાં મર્યાદિત ઓર્ડર સાથે વાસ્તવિક જીવનના અમલીકરણની સંભાવના ધરાવે છે. બિન-પરમાણુ સહકારી રમતોના સિદ્ધાંતમાં કર્ણ સૂત્ર સુંદર રીતે દરેક અનંત ખેલાડીના શેપલી મૂલ્યને ખેલાડીઓની વસ્તીના સંપૂર્ણ નમૂનાના મૂલ્યમાં તેના સીમાંત યોગદાન તરીકે વર્ણવે છે જ્યારે તમામ સંભવિત નમૂનાના કદમાં સરેરાશ હોય છે. આવા સીમાંત યોગદાનને વ્યુત્પન્નના સ્વરૂપમાં સૌથી સરળતાથી વ્યક્ત કરવામાં આવ્યું છે-જે ઓમન અને શેપલી દ્વારા ઘડવામાં આવેલા કર્ણ સૂત્ર તરફ દોરી જાય છે. આ ઐતિહાસિક કારણ છે કે શા માટે બિન-પરમાણુ સહકારી રમતોના શેપલી મૂલ્યને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે કેટલીક ભિન્નતાની શરતો મૂળરૂપે જરૂરી છે. પરંતુ પહેલા "તમામ સંભવિત નમૂનાના કદ પર સરેરાશ" લેવાના ક્રમની આપ-લે કરીને અને આવા વ્યુત્પન્નને લઈને, જીન-ફ્રાન્કોઇસ મર્ટન્સ કર્ણ સૂત્રની લાગુ પડતી વધારવા માટે આવી સરેરાશ પ્રક્રિયાની સરળ અસરનો ઉપયોગ કરે છે. એકલા આ યુક્તિ બહુમતી રમતો માટે સારી રીતે કામ કરે છે (ગઠબંધનમાં વસ્તીની ટકાવારી પર લાગુ પગલા કાર્ય દ્વારા રજૂ થાય છે). વ્યુત્પન્ન લેતા પહેલા સરેરાશ લેવાના આ પરિવર્તન વિચારનો વધુ ઉપયોગ કરીને, જીન-ફ્રાન્કોઇસ મર્ટન્સ વ્યુત્પન્ન લેતા પહેલા અપરિવર્તનશીલ પરિવર્તનને જોઈને અને તેના પર સરેરાશ લઈને ખર્ચ કરે છે. આમ કરવાથી, મર્ટન્સ વિકર્ણ સૂત્રને રમતોની ઘણી મોટી જગ્યામાં વિતાવે છે, જે તે જ સમયે શેપલી મૂલ્યને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. રિફાઇનમેન્ટ્સ અને મર્ટન્સ-સ્ટેબલ ઇક્વિલિબ્રિયા સોલ્યુશન વિભાવનાઓ કે જે નેશ ઇક્વિલિબ્રિયમના રિફાઇનમેન્ટ્સ છે તે મુખ્યત્વે બેકવર્ડ ઇન્ડક્શન અને ફોરવર્ડ ઇન્ડક્શન માટેની દલીલો દ્વારા પ્રેરિત છે. બેકવર્ડ ઇન્ડક્શન એવું માને છે કે ખેલાડીની શ્રેષ્ઠ ક્રિયા હવે તેની અને અન્યની ભાવિ ક્રિયાઓની શ્રેષ્ઠતાની અપેક્ષા રાખે છે. સબગેમ સંપૂર્ણ સંતુલન તરીકે ઓળખાતી શુદ્ધિકરણ પછાત પ્રેરણાના નબળા સંસ્કરણનો અમલ કરે છે, અને વધુને વધુ મજબૂત આવૃત્તિઓ ક્રમિક સંતુલન, સંપૂર્ણ સંતુલન, અર્ધ-સંપૂર્ણ સંતુલન અને યોગ્ય સંતુલન છે, જ્યાં પછીના ત્રણ અવ્યવસ્થિત વ્યૂહરચનાઓની મર્યાદા તરીકે મેળવવામાં આવે છે. ફોરવર્ડ ઇન્ડક્શન એવું માને છે કે જ્યારે પણ તે તેના અવલોકનો સાથે સુસંગત હોય ત્યારે ખેલાડીની શ્રેષ્ઠ ક્રિયા હવે અન્યની ભૂતકાળની ક્રિયાઓની શ્રેષ્ઠતાને ધારે છે. ફોરવર્ડ ઇન્ડક્શન ક્રમિક સંતુલન દ્વારા સંતુષ્ટ થાય છે, જેના માટે માહિતી સમૂહમાં ખેલાડીની માન્યતા માત્ર અન્યની શ્રેષ્ઠ વ્યૂહરચનાઓને સંભાવના સોંપે છે જે તે માહિતી સુધી પહોંચવામાં સક્ષમ બનાવે છે. ખાસ કરીને સંપૂર્ણપણે મિશ્ર હોવાથી નાશ સંતુલન ક્રમિક હોય છે-આવા સંતુલન જ્યારે અસ્તિત્વમાં હોય ત્યારે આગળ અને પાછળ બંને ઇન્ડક્શનને સંતોષે છે. તેમના કાર્યમાં મર્ટન્સ પ્રથમ વખત નેશ ઇક્વિલિબ્રિયાને પસંદ કરવા માટે વ્યવસ્થા કરે છે જે આગળ અને પાછળની ઇન્ડક્શન બંનેને સંતોષ આપે છે. પદ્ધતિ એ છે કે આવી સુવિધાને અવ્યવસ્થિત રમતોમાંથી વારસામાં મળે છે જેને સંપૂર્ણપણે મિશ્ર વ્યૂહરચનાઓ રાખવાની ફરજ પાડવામાં આવે છે-અને ધ્યેય ફક્ત મર્ટન્સ-સ્થિર સંતુલન સાથે પ્રાપ્ત થાય છે, સરળ કોહલબર્ગ મર્ટન્સ સંતુલન સાથે નહીં. એલોન કોહલબર્ગ અને મર્ટન્સે ભારપૂર્વક જણાવ્યું હતું કે ઉકેલની વિભાવના સ્વીકાર્ય નિર્ણયના નિયમ સાથે સુસંગત હોવી જોઈએ. વધુમાં, તેણે અપરિવર્તન સિદ્ધાંતને સંતોષવો જોઈએ કે તે વ્યાપક સ્વરૂપની રમત તરીકે વ્યૂહાત્મક પરિસ્થિતિની ઘણી સમકક્ષ રજૂઆતોમાંથી કઈનો ઉપયોગ થાય છે તેના પર આધાર રાખવો જોઈએ નહીં. ખાસ કરીને, તે માત્ર શુદ્ધ વ્યૂહરચનાઓને દૂર કર્યા પછી મેળવેલા રમતના ઘટાડેલા સામાન્ય સ્વરૂપ પર આધાર રાખવો જોઈએ જે બિનજરૂરી છે કારણ કે તમામ ખેલાડીઓ માટે તેમની ચૂકવણી અન્ય શુદ્ધ વ્યૂહરચનાઓના મિશ્રણ દ્વારા કરી શકાય છે. મર્ટન્સે નાની દુનિયાના સિદ્ધાંતના મહત્વ પર પણ ભાર મૂક્યો હતો કે ઉકેલની વિભાવના માત્ર ખેલાડીઓની પસંદગીઓના સામાન્ય ગુણધર્મો પર આધારિત હોવી જોઈએ, અને તે રમતમાં બાહ્ય ખેલાડીઓનો સમાવેશ થાય છે કે કેમ તેના પર આધાર રાખવો જોઈએ નહીં, જેમની ક્રિયાઓ મૂળ ખેલાડીઓની શક્ય વ્યૂહરચનાઓ અને ચૂકવણી પર કોઈ અસર કરતી નથી. કોહલબર્ગ અને મર્ટન્સે મર્યાદિત સંખ્યામાં શુદ્ધ વ્યૂહરચનાઓ ધરાવતી રમતો માટે સ્થિરતા તરીકે ઓળખાતી સેટ-વેલ્યુડ સોલ્યુશન કન્સેપ્ટને કામચલાઉ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરી હતી, જે સ્વીકાર્યતા, ઇનવેરિયન્સ અને ફોરવર્ડ ઇન્ડક્શનને સંતોષે છે, પરંતુ એક પ્રતિકૂળ ઉદાહરણ દર્શાવે છે કે તેને બેકવર્ડ ઇન્ડક્શનને સંતોષવાની જરૂર નથી; એટલે કે. સમૂહમાં ક્રમિક સંતુલનનો સમાવેશ થતો નથી. ત્યારબાદ, મર્ટન્સે એક શુદ્ધિકરણને વ્યાખ્યાયિત કર્યું, જેને સ્થિરતા પણ કહેવામાં આવે છે અને હવે તેને ઘણીવાર મર્ટન્સ-સ્થિર સંતુલનનો સમૂહ કહેવામાં આવે છે, જેમાં ઘણા ઇચ્છનીય ગુણધર્મો છેઃ સ્વીકાર્યતા અને પરિપૂર્ણતાઃ સ્થિર સમૂહમાં તમામ સંતુલન સંપૂર્ણ છે, તેથી સ્વીકાર્ય છે. બેકવર્ડ ઇન્ડક્શન અને ફોરવર્ડ ઇન્ડક્શનઃ એક સ્થિર સમૂહમાં રમતના સામાન્ય સ્વરૂપનું યોગ્ય સંતુલન શામેલ હોય છે જે સમાન સામાન્ય સ્વરૂપ ધરાવતી સંપૂર્ણ યાદ સાથે દરેક વ્યાપક સ્વરૂપની રમતમાં અર્ધ-સંપૂર્ણ અને ક્રમિક સંતુલનને પ્રેરિત કરે છે. સ્થિર સમૂહનો સબસેટ નબળા પ્રભુત્વ ધરાવતી વ્યૂહરચનાઓ અને વ્યૂહરચનાઓના પુનરાવર્તિત નાબૂદીમાં ટકી રહે છે જે સમૂહમાં દરેક સંતુલન પર હલકી ગુણવત્તાવાળા જવાબો છે. ઇનવેરિયન્સ અને સ્મોલ વર્લ્ડ્સઃ રમતના સ્થિર સેટ એ કોઈપણ મોટી રમતના સ્થિર સેટના અંદાજો છે જેમાં તે મૂળ ખેલાડીઓની શક્ય વ્યૂહરચનાઓ અને ચૂકવણીને જાળવી રાખીને જડિત કરવામાં આવે છે. વિઘટન અને ખેલાડીનું વિભાજન. બે સ્વતંત્ર રમતોના ઉત્પાદનના સ્થિર સમૂહો તેમના સ્થિર સમૂહોના ઉત્પાદનો છે. ખેલાડીને એજન્ટોમાં વિભાજિત કરવાથી સ્થિર સમૂહોને અસર થતી નથી, જેમ કે રમતના વૃક્ષમાંથી પસાર થતા કોઈ પણ માર્ગમાં બે એજન્ટોની ક્રિયાઓનો સમાવેશ થતો નથી. સંપૂર્ણ રિકોલ અને સામાન્ય ચૂકવણી સાથે બે ખેલાડીઓની રમતો માટે, સ્થિરતા આમાંથી માત્ર ત્રણ ગુણધર્મોની સમકક્ષ છેઃ એક સ્થિર સમૂહ માત્ર બિન-નામાંકિત વ્યૂહરચનાઓનો ઉપયોગ કરે છે, અર્ધ-સંપૂર્ણ સંતુલનનો સમાવેશ કરે છે, અને મોટી રમતમાં એમ્બેડ કરવા માટે રોગપ્રતિકારક છે. એક સ્થિર સમૂહને ગાણિતિક રીતે સંપૂર્ણપણે મિશ્ર વ્યૂહરચનાઓ તરફ ખેલાડીઓની વ્યૂહરચનાઓને ખલેલ પહોંચાડીને મેળવેલી અવ્યવસ્થિત રમતોની જગ્યા પર નેશ સંતુલનના આલેખમાં બંધ જોડાયેલા પડોશમાંથી પ્રક્ષેપણ નકશાની (ટૂંકમાં) અનિવાર્યતા દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. આ વ્યાખ્યા એ ગુણધર્મ કરતાં વધુ સમાવે છે કે દરેક નજીકની રમતમાં નજીકનું સંતુલન હોય છે. અનિવાર્યતા માટે આગળ જરૂરી છે કે સરહદ પરના પ્રક્ષેપણ નકશામાં કોઈ વિકૃતિ ન હોય, જે સુનિશ્ચિત કરે છે કે નેશ સંતુલનને વ્યાખ્યાયિત કરતી નિશ્ચિત બિંદુ સમસ્યાના વિક્ષેપો નજીકના ઉકેલો ધરાવે છે. ઉપર સૂચિબદ્ધ તમામ ઇચ્છનીય ગુણધર્મો મેળવવા માટે આ દેખીતી રીતે જરૂરી છે. સામાજિક પસંદગી સિદ્ધાંત અને સંબંધિત ઉપયોગિતાવાદ એક સામાજિક કલ્યાણ કાર્ય (એસડબલ્યુએફ) વિકલ્પોના નિશ્ચિત સમૂહ પર વ્યક્તિગત પસંદગીઓની રૂપરેખાઓને સામાજિક પસંદગીઓ સાથે મેળવે છે. એક નિર્ણાયક પેપરમાં તીર (1950) એ પ્રખ્યાત "અશક્યતા પ્રમેય" દર્શાવ્યું હતું, એટલે કે. એવા કોઈ એસડબલ્યુએફ અસ્તિત્વમાં નથી કે જે સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતોની ખૂબ જ ન્યૂનતમ પ્રણાલીને સંતોષેઃ અનિયંત્રિત ક્ષેત્ર, અપ્રસ્તુત વિકલ્પોની સ્વતંત્રતા, પેરેટો માપદંડ અને બિન-સરમુખત્યારશાહી. એક વિશાળ સાહિત્ય સંભવિત પરિણામો મેળવવા માટે તીરના સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતોને હળવા કરવાની વિવિધ રીતોને દસ્તાવેજીકૃત કરે છે. રિલેટિવ યુટિલિટેરિયનિઝમ (આરયુ) (ઢિલ્લોન અને મર્ટન્સ, 1999) એ એક એસડબલ્યુએફ છે જેમાં 0 અને 1 વચ્ચે વ્યક્તિગત ઉપયોગિતાઓને સામાન્ય બનાવવાનો અને તેમને ઉમેરવાનો સમાવેશ થાય છે, અને તે એક "સંભાવના" પરિણામ છે જે સ્વયંસિદ્ધ પ્રણાલીમાંથી મેળવવામાં આવે છે જે તીરની મૂળ વસ્તુઓની ખૂબ નજીક છે પરંતુ લોટરીઓ પર પસંદગીઓની જગ્યા માટે તેમાં ફેરફાર કરવામાં આવ્યો છે. શાસ્ત્રીય ઉપયોગિતાવાદથી વિપરીત, આરયુ મુખ્ય ઉપયોગિતા અથવા આંતરવ્યક્તિત્વની તુલનાત્મકતાને ધારણ કરતું નથી. લોટરીઓ પર વ્યક્તિગત પસંદગીઓથી શરૂ કરીને, જે વોન-ન્યુમેન-મોર્ગનસ્ટર્ન સ્વયંસિદ્ધ (અથવા સમકક્ષ) ને સંતોષે છે તેવું માનવામાં આવે છે, સ્વયંસિદ્ધ પ્રણાલી અનન્ય રીતે આંતરવૈયક્તિક સરખામણીઓને સુધારે છે. આ પ્રમેયને "યોગ્ય" આંતરવૈયક્તિક સરખામણીઓ માટે સ્વયંસિદ્ધ પાયો પૂરો પાડવા તરીકે અર્થઘટન કરી શકાય છે, જે એક એવી સમસ્યા છે જેણે લાંબા સમયથી સામાજિક પસંદગીના સિદ્ધાંતને ઘડ્યો છે. સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતો છેઃ વ્યક્તિવાદઃ જો તમામ વ્યક્તિઓ તમામ વિકલ્પો વચ્ચે ઉદાસીન હોય તો સમાજ પણ છે, બિન-તુચ્છતાઃ એસડબલ્યુએફ તમામ વિકલ્પો વચ્ચે સતત સંપૂર્ણપણે ઉદાસીન નથી, કોઈ બીમારી નથીઃ તે સાચું નથી કે જ્યારે તમામ વ્યક્તિઓ પરંતુ એક સંપૂર્ણપણે ઉદાસીન હોય ત્યારે સમાજની પસંદગીઓ તેની વિરુદ્ધ હોય છે, અનામિકતાઃ તમામ વ્યક્તિઓનું ક્રમચય સામાજિક પસંદગીઓને અપરિવર્તિત રાખે છે. અપ્રાસંગિક વિકલ્પોની સ્વતંત્રતાઃ આ સ્વયંસિદ્ધ તીરની અપ્રાસંગિક વિકલ્પોની સ્વતંત્રતા (આઈ. આઈ. એ.) ને તે કિસ્સામાં પ્રતિબંધિત કરે છે જ્યાં ફેરફાર પહેલાં અને પછી બંને, "અપ્રાસંગિક" વિકલ્પો અન્ય વિકલ્પો પર લોટરી હોય છે. એકવિધતા નીચેની "સારી ઇચ્છા સ્વયંસિદ્ધ" કરતાં ઘણી નબળી છેઃ બે લોટરીઓ અને બે પસંદગી રૂપરેખાઓનો વિચાર કરો જે તમામ વ્યક્તિઓ માટે સુસંગત હોય સિવાય કે, પ્રથમ રૂપરેખા વચ્ચે અને તેના પર ઉદાસીન હોય પરંતુ બીજી રૂપરેખા માટે સખત રીતે પસંદ કરે છે, પછી સમાજ સખત રીતે બીજી રૂપરેખા માટે પણ પસંદ કરે છે. છેવટે સાતત્ય સ્વયંસિદ્ધ મૂળભૂત રીતે એક બંધ આલેખ ગુણધર્મ છે જે પસંદગી રૂપરેખાઓ માટે સૌથી મજબૂત શક્ય અભિસરણ લે છે. મુખ્ય પ્રમેય દર્શાવે છે કે આરયુ તમામ સ્વયંસિદ્ધોને સંતોષે છે અને જો વ્યક્તિઓની સંખ્યા ત્રણ કરતા મોટી હોય, તો ઉમેદવારોની સંખ્યા 5 કરતા મોટી હોય તો ઉપરોક્ત સ્વયંસિદ્ધોને સંતોષે છે તે કોઈપણ એસડબલ્યુએફ આરયુની સમકક્ષ હોય છે, જ્યારે પણ ઓછામાં ઓછા 2 વ્યક્તિઓ અસ્તિત્વ ધરાવે છે જેમની પાસે બરાબર સમાન અથવા બરાબર વિરુદ્ધ પસંદગીઓ નથી. નીતિ મૂલ્યાંકનમાં આંતર પેઢી ઇક્વિટી સંબંધિત ઉપયોગિતાવાદ ખર્ચ-લાભ વિશ્લેષણ માટે આંતર પેઢી વાજબી સામાજિક ડિસ્કાઉન્ટ દર તરીકે 2 ટકાના ઉપયોગને તર્કસંગત બનાવવા માટે કામ કરી શકે છે. મર્ટન્સ અને રુબિનચિક દર્શાવે છે કે (કામચલાઉ) નીતિઓની સમૃદ્ધ જગ્યા પર વ્યાખ્યાયિત શિફ્ટ-ઇનવેરિયન્ટ કલ્યાણ કાર્ય, જો તફાવતપાત્ર હોય, તો તે નિશ્ચિત ડિસ્કાઉન્ટ દર, એટલે કે પ્રેરિત સામાજિક ડિસ્કાઉન્ટ દર સાથે, નીતિની ડિસ્કાઉન્ટેડ રકમ (ફેરફાર) વ્યુત્પન્ન તરીકે ધરાવે છે. (શિફ્ટ-વ્યુત્ક્રમ માટે મૂળ પોલિસીના મૂલ્યમાં અનુરૂપ પરિવર્તન લાવવા માટે શિફ્ટ પોલિસી પર મૂલ્યાંકન કરેલ કાર્યની જરૂર પડે છે, જ્યારે ગુણાંક માત્ર સમય-પરિવર્તન પર આધાર રાખે છે.) બાહ્ય વૃદ્ધિ સાથે ઓવરલેપિંગ પેઢીઓના મોડેલમાં (સમય સંપૂર્ણ વાસ્તવિક રેખા હોવા સાથે), સંતુલિત વૃદ્ધિ સંતુલનની આસપાસ (નાના કામચલાઉ) નીતિઓ પર મૂલ્યાંકન કરવામાં આવે ત્યારે સંબંધિત ઉપયોગિતાવાદી કાર્ય શિફ્ટ-ઇનવેરિયન્ટ છે (મૂડી સ્ટોક ઝડપથી વધી રહ્યો છે). જ્યારે નીતિઓને વ્યક્તિઓના દાન (સ્થાનાંતરણ અથવા કરવેરા) માં ફેરફારો તરીકે રજૂ કરવામાં આવે છે, અને તમામ પેઢીઓની ઉપયોગિતાઓને સમાન રીતે ભારિત કરવામાં આવે છે, ત્યારે સંબંધિત ઉપયોગિતાવાદ દ્વારા પ્રેરિત સામાજિક ડિસ્કાઉન્ટ દર માથાદીઠ જીડીપી (યુ. એસ. માં 2 ટકા) નો વૃદ્ધિ દર છે. આ યુ. એસ. ઓફિસ ઓફ મેનેજમેન્ટ એન્ડ બજેટના પરિપત્ર એ-4માં વર્ણવેલ વર્તમાન પદ્ધતિઓ સાથે પણ સુસંગત છે, જેમાં જણાવવામાં આવ્યું છેઃ જો તમારા નિયમમાં મહત્વપૂર્ણ આંતર-પેઢી લાભો અથવા ખર્ચ હશે તો તમે 3 અને 7 ટકાના ડિસ્કાઉન્ટ દરનો ઉપયોગ કરીને ચોખ્ખા લાભોની ગણતરી કરવા ઉપરાંત નીચા પરંતુ સકારાત્મક ડિસ્કાઉન્ટ દરનો ઉપયોગ કરીને વધુ સંવેદનશીલતા વિશ્લેષણ પર વિચાર કરી શકો છો. સંદર્ભો બેલ્જિયન અર્થશાસ્ત્રીઓ રમત સિદ્ધાંતવાદીઓ બેલ્જિયન ગણિતશાસ્ત્રીઓ યુનિવર્સિટી કેથોલિક ડી લૂવેન ભૂતપૂર્વ વિદ્યાર્થીઓ યુનિવર્સિટી કેથોલિક ડી લૂવેન ફેલો ઓફ ધ ઇકોનોમેટ્રિક સોસાયટીના શૈક્ષણિક સ્ટાફ 1946 જન્મ 2012 મૃત્યુ