De Donder–Weyl theory
ગાણિતિક ભૌતિકશાસ્ત્રમાં, ડી ડોન્ડર-વેલ સિદ્ધાંત એ સ્પેસટાઇમ પર ભિન્નતા અને શાસ્ત્રીય ક્ષેત્ર સિદ્ધાંતના કલનમાં હેમિલ્ટોનિયન ઔપચારિકતાનું સામાન્યીકરણ છે જે જગ્યા અને સમયના કોઓર્ડિનેટ્સને સમાન ધોરણે વર્તે છે. આ માળખામાં, મિકેનિક્સમાં હેમિલ્ટોનિયન ઔપચારિકતાને ક્ષેત્ર સિદ્ધાંતમાં એવી રીતે સામાન્યીકૃત કરવામાં આવે છે કે ક્ષેત્રને એવી પ્રણાલી તરીકે રજૂ કરવામાં આવે છે જે અવકાશ અને સમય બંનેમાં બદલાય છે. આ સામાન્યીકરણ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંતમાં કેનોનિકલ હેમિલ્ટોનિયન ઔપચારિકતાથી અલગ છે જે જગ્યા અને સમયના ચલને અલગ રીતે વર્તે છે અને શાસ્ત્રીય ક્ષેત્રોને સમય સાથે વિકસિત થતી અનંત-પરિમાણીય પ્રણાલીઓ તરીકે વર્ણવે છે. ડી ડોન્ડર-વેલ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંતની રચના ડી ડોન્ડર-વેલ સિદ્ધાંત લીજેન્ડર પરિવર્તન તરીકે ઓળખાતા ચલોના પરિવર્તન પર આધારિત છે. ચાલો xi અવકાશ સમય કોઓર્ડિનેટ્સ છે, i = 1 થી n માટે (n = 4 સાથે જગ્યા અને સમયના 3 + 1 પરિમાણોનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે), અને ya ક્ષેત્ર ચલો, a = 1 થી m માટે, અને L લાગ્રેન્જિયન ઘનતા બહુપદી સાથે પિયા તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે અને ડી ડોન્ડર-વેઇલ સમીકરણો તરીકે વ્યાખ્યાયિત ડી ડોન્ડર-વેઇલ હેમિલ્ટોનિયન ફંક્શન H છેઃ આ ડી ડોન્ડર-વેઇલ હેમિલ્ટોનિયન ક્ષેત્ર સમીકરણોનું સ્વરૂપ સહપરિવર્તનશીલ છે અને તે યુલર-લેગ્રેન્જ સમીકરણોની સમકક્ષ છે જ્યારે લીજેન્ડર ચલોનું પરિવર્તન પિયા અને H એકવચન નથી. આ સિદ્ધાંત કોવેરિયન્ટ હેમિલ્ટોનિયન ક્ષેત્ર સિદ્ધાંતની રચના છે જે કેનોનિકલ હેમિલ્ટોનિયન ઔપચારિકતાથી અલગ છે અને n = 1 માટે તે હેમિલ્ટોનિયન મિકેનિક્સમાં ઘટાડો કરે છે (વિવિધતાના કલનમાં ક્રિયા સિદ્ધાંત પણ જુઓ). હર્મન વેલએ 1935માં ડી ડોન્ડર-વેલ સિદ્ધાંત માટે હેમિલ્ટન-જેકોબી સિદ્ધાંત વિકસાવ્યો છે. એ જ રીતે ફેઝ સ્પેસની સિમપ્લેક્ટિક ભૂમિતિના ઉપયોગથી ઘડવામાં આવેલા મિકેનિક્સમાં હેમિલ્ટોનિયન ઔપચારિકતા પ્રમાણે ડી ડોન્ડર-વેલ સિદ્ધાંતને મલ્ટીસિમ્પ્લેક્ટિક ભૂમિતિ અથવા પોલીસિમ્પ્લેક્ટિક ભૂમિતિ અને જેટ બંડલ્સની ભૂમિતિના ઉપયોગથી ઘડી શકાય છે. ડી ડોન્ડર-વેલ સિદ્ધાંતમાં પોઈસન કૌંસોનું સામાન્યીકરણ અને ગેર્સ્ટેનહેબર બીજગણિતને સંતોષતા સામાન્યીકૃત પોઈસન કૌંસની દ્રષ્ટિએ ડી ડોન્ડર-વેલ સમીકરણોની રજૂઆત 1993માં કનાચિકોવ દ્વારા મળી આવી હતી. ઔપચારિકતા, જે હવે ડી ડોન્ડર-વેલ (ડીડબલ્યુ) સિદ્ધાંત તરીકે ઓળખાય છે, તે થિયોફાઇલ ડી ડોન્ડર અને હર્મન વેલ દ્વારા વિકસાવવામાં આવી હતી. હર્મન વેલે 1934માં કોન્સ્ટેન્ટિન કારાથિઓડોરીના કાર્યથી પ્રેરિત થઈને તેમની દરખાસ્ત રજૂ કરી હતી, જે બદલામાં વિટો વોલ્ટેરાના કાર્ય પર આધારિત હતી. બીજી તરફ ડી ડોન્ડરનું કાર્ય એલી કાર્ટનના અભિન્ન અપરિવર્તનના સિદ્ધાંતથી શરૂ થયું હતું. ડી ડોન્ડર-વેલ સિદ્ધાંત 1930ના દાયકાથી વિવિધતાના કલનશાસ્ત્રનો એક ભાગ રહ્યો છે અને શરૂઆતમાં તેને ભૌતિકશાસ્ત્રમાં બહુ ઓછા ઉપયોગો મળ્યા હતા. તાજેતરમાં તે ક્વોન્ટમ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંત અને ક્વોન્ટમ ગુરુત્વાકર્ષણના સંદર્ભમાં સૈદ્ધાંતિક ભૌતિકશાસ્ત્રમાં લાગુ કરવામાં આવ્યું હતું. 1970 માં, ભૌમિતિક ક્વોન્ટાઇઝેશન અને ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સના લેખક જેડરઝેજ સ્નિઆટીકીએ ડી ડોન્ડર અને વેઇલના કામ પર નિર્માણ કરીને જેટ બંડલ્સની અપરિવર્તનશીલ ભૌમિતિક રચના વિકસાવી. 1999માં ઇગોર કનાચિકોવે દર્શાવ્યું હતું કે ડી ડોન્ડર-વેલ કોવેરિયન્ટ હેમિલ્ટોનિયન ક્ષેત્ર સમીકરણોને ડફિન-કેમર-પેટિયાઉ મેટ્રિસીસની દ્રષ્ટિએ ઘડી શકાય છે. હેમિલ્ટોનિયન ક્ષેત્ર સિદ્ધાંત કોવેરિયન્ટ હેમિલ્ટોનિયન ક્ષેત્ર સિદ્ધાંત પણ જુઓ વધુ વાંચન ડી. એચ. ડેલ્ફેનિચ દ્વારા અનુવાદિત અને સંપાદિત જીયોડેસિક ફીલ્ડ્સ પર પસંદ કરેલા કાગળો. ભાગ 1, ભાગ 2 એચ. એ. કસ્તુરપ, ભૌતિકશાસ્ત્રમાં લાગ્રેન્જિયન ગતિશીલ પ્રણાલીઓના કેનોનિકલ સિદ્ધાંતો, ભૌતિકશાસ્ત્ર અહેવાલો, વોલ્યુમ 101, મુદ્દાઓ 1-2, પૃષ્ઠો 1-167 (1983). માર્ક જે. ગોટે, જેમ્સ ઇસેનબર્ગ, જેરોલ્ડ ઇ. માર્સડેન, રિચાર્ડ મોન્ટગોમેરીઃ "મોમેન્ટમ મેપ્સ એન્ડ ક્લાસિકલ રિલેટિવિસ્ટિક ફીલ્ડ્સ. ભાગ I: કોવેરિયન્ટ ફિલ્ડ થિયરી "કોર્નેલિયસ પૌફલર, હાર્ટમેન રોમરઃ ડી ડોન્ડર-વેલ સમીકરણો અને બહુઆયામી ભૂમિતિ, રીપોર્ટ્સ ઓન મેથેમેટિકલ ફિઝિક્સ, વોલ્યુમ. 49 (2002), નં. 2-3, પીપી. 325-334 ક્રિઝિસ્ટોફ મૌરિનઃ રીમાન વારસોઃ ગણિત અને ભૌતિકશાસ્ત્રમાં રીમાનિયન વિચારો, ભાગ II, પ્રકરણ 7.16 બહુવિધ સંકલન માટે વિવિધતાના કલન માટે ક્ષેત્ર સિદ્ધાંતો, ક્લુવર એકેડેમિક પબ્લિશર્સ, 1997, પૃષ્ઠ 482 એફ. એફ. સંદર્ભો વિવિધતાની ગણતરી ગાણિતિક ભૌતિકશાસ્ત્ર