Positive harmonic function
ગણિતમાં, જટિલ સંખ્યાઓમાં એકમ ડિસ્ક પર હકારાત્મક હાર્મોનિક કાર્યને વર્તુળ પર મર્યાદિત હકારાત્મક માપના પોઈસન અભિન્ન તરીકે વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે. આ પરિણામ, હર્ગ્લોટ્ઝ-રીઝ પ્રતિનિધિત્વ પ્રમેય, ગુસ્તાવ હર્ગ્લોટ્ઝ અને ફ્રિગીસ રીઝ દ્વારા 1911માં સ્વતંત્ર રીતે સાબિત કરવામાં આવ્યું હતું. તેનો ઉપયોગ સકારાત્મક વાસ્તવિક ભાગ સાથે એકમ ડિસ્ક પર કોઈપણ હોલોમોર્ફિક કાર્ય માટે સંબંધિત સૂત્ર અને લાક્ષણિકતા આપવા માટે થઈ શકે છે. આવા કાર્યોને 1907માં કોન્સ્ટેન્ટિન કારાથિઓડોરી દ્વારા તેમના ટેલર ગુણાંકની હકારાત્મક નિશ્ચિતતાની દ્રષ્ટિએ પહેલેથી જ દર્શાવવામાં આવ્યા હતા. હાર્મોનિક વિધેયો માટે હર્ગ્લોટ્ઝ-રીઝ પ્રતિનિધિત્વ પ્રમેય f (0) = 1 સાથે એકમ ડિસ્ક પર હકારાત્મક વિધેય f એ હાર્મોનિક છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો એકમ વર્તુળ પર એવી સંભાવના માપ હોય કે જે f (0) = 1 સાથે હકારાત્મક હાર્મોનિક વિધેયને સ્પષ્ટ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરે. તેનાથી વિપરીત જો f પોઝિટિવ અને હાર્મોનિક હોય અને rn વધીને 1 થાય, તો પછી સંભાવનાનું માપ ક્યાં છે તે વ્યાખ્યાયિત કરો. કોમ્પેક્ટનેસ દલીલ દ્વારા (અથવા આ કિસ્સામાં સ્ટીલ્ટજેસ ઇન્ટિગ્રલ્સ માટે હેલીના પસંદગી પ્રમેયની સમકક્ષ), આ સંભાવના પગલાંના અનુગામીમાં નબળી મર્યાદા હોય છે જે સંભાવનાનું માપ પણ છે. કારણ કે rn વધીને 1 થાય છે, જેથી fn (z) એ f (z) તરફ વલણ ધરાવે છે, હર્ગ્લોટ્ઝ સૂત્ર અનુસરે છે. હોલોમોર્ફિક વિધેયો માટે હર્ગ્લોટ્ઝ-રીઝ પ્રતિનિધિત્વ પ્રમેય f (0) = 1 સાથે એકમ ડિસ્ક પર હોલોમોર્ફિક વિધેય f નો હકારાત્મક વાસ્તવિક ભાગ હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ એકમ વર્તુળ પર એવી સંભાવના માપ હોય કે જે આ અગાઉના પ્રમેયથી અનુસરે છે કારણ કેઃ પોઈસન કર્નલ એ હોલોમોર્ફિક વિધેયના વાસ્તવિક ભાગની ઉપરના સંકલનનો વાસ્તવિક ભાગ છે જે હાર્મોનિક છે અને સ્કેલરના ઉમેરા સુધી હોલોમોર્ફિક વિધેય નક્કી કરે છે ઉપરનું સૂત્ર હોલોમોર્ફિક વિધેયને વ્યાખ્યાયિત કરે છે, જેનો વાસ્તવિક ભાગ અગાઉના પ્રમેય કારાથિઓડોરીના હોલોમોર્ફિક વિધેયો માટે હકારાત્મકતાના માપદંડ દ્વારા આપવામાં આવે છે. પછી f (z) નો ડિસ્ક પર હકારાત્મક વાસ્તવિક ભાગ હોય છે જો અને માત્ર જો કોઈ જટિલ સંખ્યાઓ λ0, λ1,., λN માટે, જ્યાં m> 0 માટે. હકીકતમાં n> 0 માટે હર્ગ્લોટ્ઝ રજૂઆતમાંથી તેથી તેનાથી વિપરીત, λn = zn સુયોજિત કરીને, બોચ્નરના પ્રમેય સંદર્ભો હાર્મોનિક વિશ્લેષણ જટિલ વિશ્લેષણ હાર્મોનિક કાર્યો પણ જુઓ.