Thurstonian model
થર્સ્ટોનિયન મોડેલ એ અપ્રગટ, સંભવતઃ ક્રમબદ્ધ પ્રતિસાદની શ્રેણીઓ પર કેટલાક સતત સ્કેલના મેપિંગનું વર્ણન કરવા માટે સુપ્ત ચલો સાથેનું સ્ટોકેસ્ટિક ટ્રાન્ઝિટિવિટી મોડેલ છે. મોડેલમાં, પ્રતિભાવની આ દરેક શ્રેણીઓ સુપ્ત ચલને અનુરૂપ હોય છે, જેનું મૂલ્ય સામાન્ય વિતરણમાંથી લેવામાં આવે છે, અન્ય પ્રતિભાવ ચલથી સ્વતંત્ર રીતે અને સતત ભિન્નતા સાથે. જો કે, છેલ્લા બે દાયકાઓમાં થયેલા વિકાસ થર્સ્ટોનિયન નમૂનાઓ તરફ દોરી ગયા છે જે અસમાન ભિન્નતા અને બિન-શૂન્ય સહપ્રસરણ શરતોને મંજૂરી આપે છે. સંવેદનાત્મક ભેદભાવ કાર્યોના વિશ્લેષણમાં થર્સ્ટોનિયન મોડેલોનો ઉપયોગ સામાન્યીકૃત રેખીય મોડેલોના વિકલ્પ તરીકે કરવામાં આવે છે. તેમનો ઉપયોગ યુ. એસ. બંધારણમાં સુધારાના ક્રમ જેવા ક્રમબદ્ધ વિકલ્પોના ક્રમાંકન કાર્યોમાં લાંબા ગાળાની યાદશક્તિના નમૂના માટે પણ કરવામાં આવે છે. અન્ય મોડેલ રેન્કિંગ કાર્યો પર તેમનો મુખ્ય ફાયદો એ છે કે તેઓ વિકલ્પોની બિન-સ્વતંત્રતા માટે જવાબદાર છે. એનિસ પ્રેફરેન્શિયલ પસંદગી, રેટિંગ્સ, ટ્રાયડ્સ, ટેટ્રાડ્સ, ડ્યુઅલ પેઅર, સમાન-અલગ અને તફાવતની ડિગ્રી, રેન્ક, પ્રથમ-છેલ્લી પસંદગી અને લાગુ પડતા સ્કોરિંગ સહિત વિવિધ પ્રકારના વર્તણૂકીય કાર્યો માટે થર્સ્ટોનિયન મોડેલ્સના વ્યુત્પન્નનો વ્યાપક અહેવાલ પ્રદાન કરે છે. આ પુસ્તકના પ્રકરણ 7 માં, 1988 માં મેળવેલ એક બંધ સ્વરૂપ અભિવ્યક્તિ, યુક્લિડિયન-ગૌસીયન સમાનતા મોડેલ માટે આપવામાં આવી છે જે જાણીતી સમસ્યાનું સમાધાન પ્રદાન કરે છે કે ઘણા થર્સ્ટોનિયન મોડેલો ગણતરીત્મક રીતે જટિલ છે જેમાં ઘણીવાર બહુવિધ એકીકરણનો સમાવેશ થાય છે. પ્રકરણ 10 માં, ક્રમાંકન કાર્યો માટેનું એક સરળ સ્વરૂપ રજૂ કરવામાં આવ્યું છે જેમાં ફક્ત એકરૂપ સામાન્ય વિતરણ કાર્યોનું ઉત્પાદન સામેલ છે અને તેમાં ક્રમ-પ્રેરિત અવલંબન પરિમાણો શામેલ છે. એક પ્રમેય સાબિત થાય છે જે દર્શાવે છે કે અવલંબન પરિમાણોનું ચોક્કસ સ્વરૂપ એકમાત્ર રસ્તો પૂરો પાડે છે કે આ સરળીકરણ શક્ય છે. પ્રકરણ 6 કેન્દ્રીય એફ વિતરણ કાર્યોના ભારિત સરવાળાના સ્વરૂપમાં સામાન્ય મલ્ટિવેરિયેટ મોડેલ દ્વારા ભેદભાવ, ઓળખ અને પ્રેફરન્શિયલ પસંદગીને જોડે છે અને વસ્તુઓ માટે સામાન્ય ભિન્નતા-સહપ્રસરણ મેટ્રિક્સને મંજૂરી આપે છે. વ્યાખ્યા એન સ્વતંત્ર ન્યાયાધીશો દ્વારા ક્રમાંકિત કરવા માટે એમ વિકલ્પોના સમૂહને ધ્યાનમાં લો. આવા ક્રમને ક્રમબદ્ધ વેક્ટર rn = (rn1, rn2,., rnm) દ્વારા રજૂ કરી શકાય છે. રેન્કિંગ વાસ્તવિક મૂલ્યના સુપ્ત ચલ zij પરથી લેવામાં આવી હોવાનું માનવામાં આવે છે, જે જજ i દ્વારા વિકલ્પ j ના મૂલ્યાંકનનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. રેન્કિંગ્સ આરઆઇ એ ઝીમાંથી નિર્ધારિત રીતે મેળવવામાં આવે છે જેમ કે ઝી (આરઆઇ 1) <ઝી (આરઆઇ 2) <. <ઝી (રિમ). ઝી દરેક વિકલ્પ માટે અંતર્ગત ગ્રાઉન્ડ ટ્રુથ મૂલ્ય μ પરથી લેવામાં આવ્યું હોવાનું માનવામાં આવે છે. સૌથી સામાન્ય કિસ્સામાં, તેઓ બહુવિધ-સામાન્ય છેઃ એક સામાન્ય સરળીકરણ એ છે કે દરેક ન્યાયાધીશ માટે એક પ્રમાણભૂત વિચલન પરિમાણ સાથે આઇસોટ્રોપિક ગૌસીયન વિતરણ ધારણ કરવુંઃ અનુમાન મોડેલ પરિમાણોનો અંદાજ કાઢવા માટે ગિબ્સ-સેમ્પલર આધારિત અભિગમ યાઓ અને બોકેનહોલ્ટ (1999) ને કારણે છે. પગલું 1: β, β, અને ri આપેલ છે, નમૂના ઝી. તેમના ક્રમ ક્રમને જાળવી રાખવા માટે ઝીજને કાપેલા મલ્ટિવેરિયેટ સામાન્ય વિતરણમાંથી નમૂના લેવા આવશ્યક છે. હાજિવાસિલિઉના કાપેલા મલ્ટિવેરિયેટ નોર્મલ ગિબ્સ સેમ્પલરનો ઉપયોગ અસરકારક રીતે નમૂના લેવા માટે કરી શકાય છે. પગલું 2: આપેલ β નો નમૂનો સામાન્ય વિતરણમાંથી લેવામાં આવ્યો છેઃ જ્યાં β * અને β * એ માધ્યમ અને સહપ્રસરણ મેટ્રિસીસ માટેના વર્તમાન અંદાજો છે. પગલું 3: આપેલ β, zi, નમૂના  નિષ્પાદિત કરવામાં આવે છે.  નિષ્પાદિત કરવામાં આવે છે. εi = zi-β નમૂનાઓમાંથી માહિતીની સંભાવના સાથે વિશાર્ટ પહેલાનું સંયોજન કરીને વિશાર્ટ પશ્ચાદવર્તીમાંથી નમૂના લેવામાં આવે છે. ઇતિહાસ તુલનાત્મક ચુકાદાના કાયદાનું વર્ણન કરવા માટે લુઇસ લિયોન થર્સ્ટોન દ્વારા થર્સ્ટોનિયન નમૂનાઓ રજૂ કરવામાં આવ્યા હતા. 1999 પહેલા, થર્સ્ટોનિયન મોડેલોનો ઉપયોગ ભાગ્યે જ 4 થી વધુ વિકલ્પોને સમાવતા મોડેલિંગ કાર્યો માટે થતો હતો કારણ કે મોડેલના પરિમાણોનો અંદાજ કાઢવા માટે ઉચ્ચ-પરિમાણીય એકીકરણ જરૂરી હતું. 1999માં, યાઓ અને બોકેનહોલ્ટે મોડેલ પરિમાણોનો અંદાજ કાઢવા માટે ગિબ્સ-સેમ્પલર આધારિત અભિગમ રજૂ કર્યો હતો. જો કે, આ ટિપ્પણી માત્ર રેન્કિંગને લાગુ પડે છે અને એપ્લિકેશનોની વધુ વ્યાપક શ્રેણી સાથે થર્સ્ટોનિયન મોડેલો 1999 પહેલાં વિકસાવવામાં આવ્યા હતા. દાખલા તરીકે, 1993 અને 1994માં પ્રકાશિત થયેલા કાગળો પર આધારિત એનિસ (2016) ના પ્રકરણ 6માં સામાન્ય ભિન્નતા-સહપરિવર્તન માળખા સાથે પ્રેફરન્શિયલ પસંદગી માટે મલ્ટિવેરિયેટ થર્સ્ટોનિયન મોડેલની ચર્ચા કરવામાં આવી છે. અગાઉ પણ, એનિસ (2016) ના પ્રકરણ 7 માં ચર્ચા કરવામાં આવી હતી તેમ મનસ્વી સહપરિવર્તન મેટ્રિક્સ સાથે સમાનતાના થર્સ્ટોનિયન મલ્ટીવેરિયેટ મોડેલ માટેનું બંધ સ્વરૂપ 1988 માં પ્રકાશિત થયું હતું. આ મોડેલમાં અસંખ્ય ઉપયોગો છે અને તે કોઈ ચોક્કસ સંખ્યાબંધ વસ્તુઓ અથવા વ્યક્તિઓ સુધી મર્યાદિત નથી. સંવેદનાત્મક ભેદભાવ માટે ઉપયોગ થર્સ્ટોનિયન મોડેલો શ્રવણ, સ્વાદ અને ઘ્રાણ ભેદભાવ સહિત સંવેદનાત્મક ભેદભાવ કાર્યોની શ્રેણી પર લાગુ કરવામાં આવ્યા છે, જે અમુક સંવેદનાત્મક સાતત્ય સાથે શ્રેણીબદ્ધ ઉત્તેજના વચ્ચેના સંવેદનાત્મક અંતરનો અંદાજ કાઢે છે. થર્સ્ટોનિયન અભિગમએ ફ્રિજર (1979) ના ગ્રિજમેનના વિરોધાભાસની સમજૂતીને પ્રેરિત કરી, જેને ભેદભાવપૂર્ણ બિન-વિવેચકોના વિરોધાભાસ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છેઃ લોકો ત્રણ વૈકલ્પિક બળજબરીથી પસંદગીના કાર્યમાં વધુ સારું પ્રદર્શન કરે છે જ્યારે અગાઉથી કહેવામાં આવે છે કે ઉત્તેજનાના કયા પરિમાણમાં ધ્યાન આપવું જોઈએ. (ઉદાહરણ તરીકે, લોકો જ્યારે અગાઉથી કહેશે કે તફાવત મીઠાસની માત્રામાં હશે ત્યારે ત્રણમાંથી કયું પીણું અન્ય બેથી અલગ છે તે ઓળખવામાં વધુ સારી છે.) આ પરિણામ વિવિધ જ્ઞાનાત્મક વ્યૂહરચનાઓ દ્વારા ગણવામાં આવે છેઃ જ્યારે સંબંધિત પરિમાણ અગાઉથી જાણીતું હોય, ત્યારે લોકો તે ચોક્કસ પરિમાણ સાથે મૂલ્યોનો અંદાજ લગાવી શકે છે. જ્યારે સંબંધિત પરિમાણ અગાઉથી જાણીતું ન હોય, ત્યારે તેઓએ સંવેદનાત્મક અંતરના વધુ સામાન્ય, બહુ-પરિમાણીય માપ પર આધાર રાખવો જોઈએ. ઉપરોક્ત ફકરામાં ગ્રીડમેનના વિરોધાભાસના થર્સ્ટોનિયન ઠરાવની સામાન્ય ગેરસમજ છે. જો કે તે સાચું છે કે ત્રણ વિકલ્પોમાંથી પસંદગી કરવા માટે વિવિધ નિર્ણય નિયમો (જ્ઞાનાત્મક વ્યૂહરચનાઓ) નો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, પરંતુ કોઈ લક્ષણને અગાઉથી જાણવાની માત્ર હકીકત વિરોધાભાસને સમજાવતી નથી, ન તો વિષયોને વધુ સામાન્ય, બહુ-પરિમાણીય માપ પર આધાર રાખવાની જરૂર છે. દાખલા તરીકે, ત્રિકોણાકાર પદ્ધતિમાં, વિષયને ત્રણ વસ્તુઓમાંથી સૌથી અલગ પસંદ કરવાની સૂચના આપવામાં આવે છે, જેમાંથી બે અનુમાનિત રીતે સમાન હોય છે. વસ્તુઓ એક પરિમાણીય સ્કેલ પર અલગ હોઈ શકે છે અને વિષયને અગાઉથી સ્કેલની પ્રકૃતિ વિશે જાગૃત કરી શકાય છે. ગ્રિજમેનનો વિરોધાભાસ હજુ પણ જોવા મળશે. આ 3-વૈકલ્પિક ફરજિયાત પસંદગી કાર્યના પરિણામોને મોડેલ કરવા માટે ધારવામાં આવેલા પરિમાણ-આધારિત નિર્ણય નિયમના વિરોધમાં અંતર-આધારિત નિર્ણય નિયમ સાથે જોડાયેલી નમૂનાની પ્રક્રિયાને કારણે થાય છે. થર્સ્ટોન સ્કેલ બ્રેડલી-ટેરી મોડલ સ્ટોકેસ્ટિક ટ્રાન્ઝિટિવિટી રેફરન્સ લેટન્ટ વેરિયેબલ મોડલ સાયકોમેટ્રિક્સ પણ જુઓ.