Quasiregular map
વિશ્લેષણના ગાણિતિક ક્ષેત્રમાં, અર્ધરેખીય નકશા એ સમાન પરિમાણની યુક્લિડિયન જગ્યાઓ Rn વચ્ચે અથવા વધુ સામાન્ય રીતે, સમાન પરિમાણના રીમાનિયન મેનીફોલ્ડ્સ વચ્ચે સતત નકશાનો એક વર્ગ છે, જે એક જટિલ ચલના હોલોમોર્ફિક કાર્યો સાથે કેટલાક મૂળભૂત ગુણધર્મો વહેંચે છે. પ્રેરણા એક જટિલ ચલના હોલોમોર્ફિક (= વિશ્લેષણાત્મક) કાર્યોનો સિદ્ધાંત એ સમગ્ર ગણિતના સૌથી સુંદર અને સૌથી ઉપયોગી ભાગોમાંનો એક છે. આ સિદ્ધાંતની એક ખામી એ છે કે તે માત્ર દ્વિ-પરિમાણીય જગ્યાઓ (રીમાન સપાટીઓ) વચ્ચેના નકશા સાથે વ્યવહાર કરે છે. કેટલાક જટિલ ચલોના કાર્યોનો સિદ્ધાંત અલગ પાત્ર ધરાવે છે, મુખ્યત્વે કારણ કે કેટલાક ચલોના વિશ્લેષણાત્મક કાર્યો અનુરૂપ નથી. અનૌપચારિક નકશાને મનસ્વી પરિમાણની યુક્લિડિયન જગ્યાઓ વચ્ચે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે, પરંતુ જ્યારે પરિમાણ 2 કરતા વધારે હોય, ત્યારે નકશાનો આ વર્ગ ખૂબ જ નાનો હોય છેઃ તેમાં માત્ર મોબિયસ પરિવર્તનોનો સમાવેશ થાય છે. આ જોસેફ લિઉવિલનો એક પ્રમેય છે; જેમ કે યુરી રેશેત્ન્યાકે સાબિત કર્યું છે તેમ, સરળતાની ધારણાઓને હળવી કરવાથી મદદ મળતી નથી. આ અનુરૂપતાના ગુણધર્મના સામાન્યીકરણની શોધ સૂચવે છે જે ઉચ્ચ પરિમાણમાં નકશાનો સમૃદ્ધ અને રસપ્રદ વર્ગ આપશે. વ્યાખ્યા Rn થી Rn માં D પ્રદેશના વિભેદક નકશાને K-ચતુષ્કોણીય કહેવામાં આવે છે જો નીચેની અસમાનતા D માં તમામ બિંદુઓ પર હોયઃ અહીં K ≤1 એ અચળાંક છે, Jf એ જેકોબિયન નિર્ધારક છે, Df એ વ્યુત્પન્ન છે, જે જેકોબી મેટ્રિક્સ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત રેખીય નકશો છે, અને | | | | એ મેટ્રિક્સનું સામાન્ય (યુક્લિડિયન) ધોરણ છે. આવા નકશાના સિદ્ધાંતનો વિકાસ દર્શાવે છે કે શાસ્ત્રીય અર્થમાં પોતાને વિભેદક નકશાઓ સુધી મર્યાદિત રાખવું ગેરવાજબી છે, અને નકશાના "સાચા" વર્ગમાં સોબોલેવ અવકાશ W માં સતત નકશાઓનો સમાવેશ થાય છે, જેમના વિતરણના અર્થમાં આંશિક વ્યુત્પન્ન સ્થાનિક રીતે n-th શક્તિ ધરાવે છે, અને એવી રીતે કે ઉપરોક્ત અસમાનતા લગભગ દરેક જગ્યાએ સંતુષ્ટ થાય છે. આ કે-ચતુષ્કોણીય નકશાની ઔપચારિક વ્યાખ્યા છે. નકશાને ક્વાસીરેગ્યુલર કહેવામાં આવે છે જો તે કેટલાક કે સાથે કે-ક્વાસીરેગ્યુલર હોય. સતત નકશાને ક્વાસીરેગ્યુલર નકશાના વર્ગમાંથી બાકાત રાખવામાં આવે છે. ગુણધર્મો ક્વાસીરેગ્યુલર નકશા વિશેનો મૂળભૂત પ્રમેય રેશેત્ન્યાક દ્વારા સાબિત કરવામાં આવ્યો હતોઃ ક્વાસીરેગ્યુલર નકશા ખુલ્લા અને સ્વતંત્ર છે. આનો અર્થ એ છે કે ખુલ્લા સમૂહની છબીઓ ખુલ્લી હોય છે અને બિંદુઓની પૂર્વ છબીઓમાં અલગ બિંદુઓ હોય છે. પરિમાણ 2 માં, આ બે ગુણધર્મો બિન-સ્થિર વિશ્લેષણાત્મક કાર્યોના વર્ગનું ટોપોલોજિકલ લાક્ષણિકતા આપે છેઃ સમતલમાં સમતલ ક્ષેત્રનો દરેક સતત ખુલ્લો અને અલગ નકશો હોમોમોર્ફિઝમ સાથે પૂર્વ-રચાયેલ હોઈ શકે છે, જેથી પરિણામ એક વિશ્લેષણાત્મક કાર્ય હોય. આ સિમિઓન સ્ટોઇલોવની પ્રમેય છે. રેશેત્ન્યકનો પ્રમેય સૂચવે છે કે વિશ્લેષણાત્મક કાર્યો વિશેના તમામ શુદ્ધ ટોપોલોજીકલ પરિણામો (જેમ કે મહત્તમ મોડ્યુલસ સિદ્ધાંત, રૂચેનો પ્રમેય વગેરે) અર્ધરેખીય નકશા સુધી વિસ્તરે છે. ઇન્જેક્ટિવ ક્વાસીરેગ્યુલર નકશાને ક્વાસીકોનફોર્મલ કહેવામાં આવે છે. બિન-ઇન્જેક્ટિવ ક્વાસીરેગ્યુલર નકશાનું એક સરળ ઉદાહરણ સૂત્ર દ્વારા 3-જગ્યામાં નળાકાર કોઓર્ડિનેટ્સમાં આપવામાં આવ્યું છે આ નકશો 2-ક્વાસીરેગ્યુલર છે. તે ઝેડ-અક્ષ સિવાય દરેક જગ્યાએ સરળ હોય છે. એક નોંધપાત્ર હકીકત એ છે કે તમામ સરળ અર્ધરેખીય નકશા સ્થાનિક હોમોમોર્ફિઝમ્સ છે. આનાથી પણ વધુ નોંધપાત્ર બાબત એ છે કે દરેક ક્વાસીરેગ્યુલર સ્થાનિક હોમોમોર્ફિઝમ Rn → Rn, જ્યાં n ≤ 3, એક હોમોમોર્ફિઝમ છે (આ વ્લાદિમીર ઝોરીચનું પ્રમેય છે). આ સમજાવે છે કે શા માટે અર્ધરેખીય નકશાની વ્યાખ્યામાં નકશાને સરળ બનાવવા માટે પોતાને પ્રતિબંધિત કરવું વાજબી નથીઃ Rn ના તમામ સરળ અર્ધરેખીય નકશા પોતે અર્ધ-ઔપચારિક છે. રિકમેનનો પ્રમેય એક જટિલ ચલના હોલોમોર્ફિક કાર્યોના ભૌમિતિક ગુણધર્મો વિશેના ઘણા પ્રમેયોને અર્ધરેખીય નકશા સુધી વિસ્તૃત કરવામાં આવ્યા છે. આ વિસ્તરણ સામાન્ય રીતે અત્યંત બિન-તુચ્છ હોય છે. કદાચ આ પ્રકારનું સૌથી પ્રસિદ્ધ પરિણામ પિકાર્ડના પ્રમેયનું વિસ્તરણ છે, જે સેપ્પો રિકમેનને કારણે છેઃ એક K-ચતુષ્કોણીય નકશો Rn → Rn મહત્તમ મર્યાદિત સમૂહને અવગણી શકે છે. જ્યારે n = 2 હોય, ત્યારે આ અવગણવામાં આવેલા સમૂહમાં વધુમાં વધુ બે બિંદુઓ હોઈ શકે છે (આ પિકાર્ડના પ્રમેયનું સરળ વિસ્તરણ છે). પરંતુ જ્યારે n> 2 હોય, ત્યારે અવગણવામાં આવેલા સમૂહમાં બેથી વધુ બિંદુઓ હોઈ શકે છે, અને તેની મુખ્યતાનો અંદાજ n અને Kની દ્રષ્ટિએ ઉપરથી લગાવી શકાય છે. હકીકતમાં, ડેવિડ ડ્રાસિન અને પેક્કા પંકા દ્વારા બતાવ્યા પ્રમાણે, કોઈપણ મર્યાદિત સમૂહને અવગણવામાં આવી શકે છે. સંભવિત સિદ્ધાંત સાથે જોડાણ જો f એક વિશ્લેષણાત્મક કાર્ય હોય, તો લોગ સબહાર્મોનિક હોય છે, અને f ના શૂન્યથી દૂર હાર્મોનિક હોય છે. અર્ધરેખીય નકશા માટે અનુરૂપ હકીકત એ છે કે લોગ લંબગોળ પ્રકારના ચોક્કસ બિન-રેખીય આંશિક વિભેદક સમીકરણને સંતોષે છે. રેશેત્ન્યકની આ શોધે બિન-રેખીય સંભવિત સિદ્ધાંતના વિકાસને પ્રોત્સાહન આપ્યું, જે આ પ્રકારના સમીકરણોને સામાન્ય સંભવિત સિદ્ધાંતની જેમ હાર્મોનિક અને સબહાર્મોનિક કાર્યોને ધ્યાનમાં લે છે. યુરી રેશેત્ન્યક વ્લાદિમીર ઝોરીચ સંદર્ભો ગાણિતિક વિશ્લેષણ પણ જુઓ.