Orthocentric tetrahedron
ભૂમિતિમાં, ઓર્થોસેંટ્રિક ટેટ્રાહેડ્રોન એ ટેટ્રાહેડ્રોન છે જ્યાં વિરુદ્ધ ધારની ત્રણેય જોડી લંબરૂપ હોય છે. તેને ઓર્થોગોનલ ટેટ્રાહેડ્રોન તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે કારણ કે ઓર્થોગોનલનો અર્થ લંબ થાય છે. તેનો સૌપ્રથમ 1782માં સિમોન લુઇલિયર દ્વારા અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો હતો અને 1890માં જી. ડી. લોંગચેમ્પ્સ દ્વારા તેને ઓર્થોસેન્ટ્રિક ટેટ્રાહેડ્રોન નામ આપવામાં આવ્યું હતું. ઓર્થોસેંટ્રિક ટેટ્રાહેડ્રોનમાં ચાર ઊંચાઈઓ સહવર્તી હોય છે. આ સામાન્ય બિંદુને ઓર્થોસેન્ટર કહેવામાં આવે છે, અને તેમાં એવો ગુણધર્મ છે કે તે કેન્દ્રકના સંદર્ભમાં પરિવેષ્ટિત ગોળાના કેન્દ્રનું સમપ્રમાણ બિંદુ છે. તેથી ઓર્થોસેન્ટર ટેટ્રાહેડ્રોનના મોંગે બિંદુ સાથે એકરુપ થાય છે. લાક્ષણિકતાઓ તમામ ટેટ્રાહેડ્રાને સમાંતર રેખાકૃતિમાં અંકિત કરી શકાય છે. ટેટ્રાહેડ્રોન ઓર્થોસેન્ટ્રિક હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તેની પરિવેષ્ટિત પેરેલલપાઇપ્ડ એક રોમ્બોહેડ્રોન હોય. ખરેખર, કોઈપણ ટેટ્રાહેડ્રોનમાં, વિરુદ્ધ ધારની જોડી લંબરૂપ હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો ઘેરાયેલા પેરેલલપાઇપના અનુરૂપ ચહેરાઓ રોમ્બી હોય. જો પેરેલલપાઇપ્ડની ચાર બાજુઓ લંબચોરસ હોય, તો બધી ધારની લંબાઈ સમાન હોય છે અને તમામ છ બાજુઓ લંબચોરસ હોય છે; તે અનુસરે છે કે જો ટેટ્રાહેડ્રોનમાં વિરુદ્ધ ધારની બે જોડી લંબરૂપ હોય, તો ત્રીજી જોડી પણ લંબચોરસ હોય છે, અને ટેટ્રાહેડ્રોન ઓર્થોસેન્ટ્રિક હોય છે. ટેટ્રાહેડ્રોન ઓર્થોસેન્ટ્રિક હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો વિરુદ્ધ ધારની ત્રણ જોડી માટે વિરુદ્ધ ધારના વર્ગોનો સરવાળો સમાન હોયઃ હકીકતમાં, ટેટ્રાહેડ્રોન ઓર્થોસેન્ટ્રિક હોવા માટે આ સ્થિતિને સંતોષવા માટે વિરુદ્ધ ધારની માત્ર બે જોડી માટે પૂરતું છે. ટેટ્રાહેડ્રોનને ઓર્થોસેન્ટ્રિક હોવા માટે બીજી જરૂરી અને પૂરતી શરત એ છે કે તેના ત્રણ દ્વિધામાં સમાન લંબાઈ હોય છે. વોલ્યુમ ધાર સંબંધિત લાક્ષણિકતા સૂચવે છે કે જો ઓર્થોસેન્ટ્રિક ટેટ્રાહેડ્રોનની છ ધારમાંથી માત્ર ચાર જ જાણીતી હોય, તો બાકીના બેની ગણતરી ત્યાં સુધી કરી શકાય છે જ્યાં સુધી તેઓ એકબીજાની વિરુદ્ધ ન હોય. તેથી ઓર્થોસેંટ્રિક ટેટ્રાહેડ્રોનનું કદ ચાર ધાર a, b, c, d ની દ્રષ્ટિએ વ્યક્ત કરી શકાય છે. સૂત્ર એ છે કે જ્યાં c અને d વિરુદ્ધ ધાર છે, અને. ડિસ્પેનોઇડ ત્રિકોણીય ટેટ્રાહેડ્રોન સંદર્ભો પોલિહેડ્રા પણ જુઓ