Financial correlation
નાણાકીય સહસંબંધો સમય જતાં બે અથવા વધુ નાણાકીય ચલોના ફેરફારો વચ્ચેના સંબંધને માપે છે. ઉદાહરણ તરીકે, ઇક્વિટી શેરો અને ફિક્સ્ડ ઇન્ટરેસ્ટ બોન્ડ્સની કિંમતો ઘણીવાર વિરુદ્ધ દિશામાં આગળ વધે છેઃ જ્યારે રોકાણકારો શેરો વેચે છે, ત્યારે તેઓ ઘણીવાર બોન્ડ્સ ખરીદવા માટે આવકનો ઉપયોગ કરે છે અને તેનાથી ઊલટું. આ કિસ્સામાં, શેર અને બોન્ડની કિંમતો નકારાત્મક રીતે સહસંબંધિત છે. નાણાકીય સહસંબંધો આધુનિક નાણામાં મુખ્ય ભૂમિકા ભજવે છે. કેપિટલ એસેટ પ્રાઇસિંગ મોડલ (સી. એ. પી. એમ.; નોબેલ પુરસ્કાર દ્વારા માન્યતા પ્રાપ્ત મોડેલ) હેઠળ, વૈવિધ્યકરણમાં વધારો વળતર/જોખમ ગુણોત્તરમાં વધારો કરે છે. જોખમના પગલાંઓમાં જોખમ પરનું મૂલ્ય, અપેક્ષિત ઘટાડો અને પોર્ટફોલિયો વળતરમાં તફાવતનો સમાવેશ થાય છે. નાણાકીય સહસંબંધ અને પીઅર્સન ઉત્પાદન-ક્ષણ સહસંબંધ ગુણાંક નાણાકીય સહસંબંધની માત્રાના ઘણા આંકડાકીય પગલાં છે. પીઅર્સન ઉત્પાદન-ક્ષણ સહસંબંધ ગુણાંક કેટલીકવાર નાણાકીય સહસંબંધો પર લાગુ થાય છે. જોકે, નાણામાં પીઅર્સન સહસંબંધ અભિગમની મર્યાદાઓ સ્પષ્ટ છે. પ્રથમ, પીઅર્સન સહસંબંધ ગુણાંક દ્વારા મૂલ્યાંકન કરાયેલ રેખીય નિર્ભરતા ઘણીવાર નાણામાં દેખાતી નથી. બીજું, જો ચલોનું સંયુક્ત વિતરણ લંબગોળ હોય તો રેખીય સહસંબંધનાં પગલાં માત્ર કુદરતી અવલંબનનાં પગલાં છે. જો કે, બહુવિધ સામાન્ય વિતરણ અને બહુવિધ વિદ્યાર્થી-ટી વિતરણ જેવા માત્ર થોડા નાણાકીય વિતરણો લંબગોળ વિતરણના વિશેષ કિસ્સાઓ છે, જેના માટે રેખીય સહસંબંધ માપને અર્થપૂર્ણ રીતે અર્થઘટન કરી શકાય છે. ત્રીજું, શૂન્ય પીઅર્સન ઉત્પાદન-ક્ષણ સહસંબંધ ગુણાંકનો અર્થ સ્વતંત્રતા નથી, કારણ કે માત્ર બે પ્રથમ ક્ષણોને ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, (y ષ્ણ 0) શૂન્યના પીઅર્સન સહસંબંધ ગુણાંક તરફ દોરી જશે, જે દલીલપૂર્વક ભ્રામક છે. પિયરસન અભિગમ નાણાકીય સહસંબંધોના નમૂના માટે અસંતોષકારક હોવાથી, માત્રાત્મક વિશ્લેષકોએ ચોક્કસ નાણાકીય સહસંબંધના પગલાં વિકસાવ્યા છે. ચોક્કસપણે સહસંબંધોનો અંદાજ કાઢવા માટે સ્ક્યુનેસ અને કુર્ટોસિસ જેવી લાક્ષણિકતાઓનો સમાવેશ કરવા માટે માર્જિનલની મોડેલિંગ પ્રક્રિયાની જરૂર પડે છે. આ વિશેષતાઓનો હિસાબ ન રાખવાથી સહસંબંધો અને સહસંબંધોમાં ગંભીર અંદાજની ભૂલ થઈ શકે છે જે નકારાત્મક પૂર્વગ્રહ ધરાવે છે (સાચા મૂલ્યોના 70 ટકા જેટલું). પોર્ટફોલિયો ઓપ્ટિમાઇઝેશનમાં વ્યવહારુ ઉપયોગમાં, ભિન્નતા-સહપરિવર્તન મેટ્રિક્સનો સચોટ અંદાજ સર્વોપરી છે. આમ, ગૌસીયન કોપ્યુલા સાથે મોન્ટે-કાર્લો સિમ્યુલેશન સાથે આગાહી અને સારી રીતે નિર્દિષ્ટ સીમાંત વિતરણ અસરકારક છે. નાણાકીય સહસંબંધના પગલાં સહસંબંધ બ્રાઉનિયન ગતિ સ્ટીવન હેસ્ટને સ્ટોકેસ્ટિક સ્ટોક વળતર અને સ્ટોકેસ્ટિક વોલેટિલિટીને નકારાત્મક રીતે સહસંબંધિત કરવા માટે સહસંબંધ અભિગમ લાગુ કર્યો. મૂળ હેસ્ટન મોડેલના મુખ્ય સમીકરણો બે સ્ટોકેસ્ટિક વિભેદક સમીકરણો છે, SDEs (1) અને (2) જ્યાં S એ અંતર્ગત સ્ટોક છે, તે અપેક્ષિત વૃદ્ધિ દર છે, અને તે સમય t પરની સ્ટોકેસ્ટિક વોલેટિલિટી છે. સમીકરણ (2) માં, g એ સરેરાશ રિવર્સન દર (ગુરુત્વાકર્ષણ) છે, જે તફાવતને તેના લાંબા ગાળાના સરેરાશ તરફ ખેંચે છે, અને તે વોલેટિલિટી σ (t) ની વોલેટિલિટી છે. ડીઝેડ (ટી) એ પ્રમાણભૂત બ્રાઉનિયન ગતિ છે, એટલે કે. , એટલે કે, ખાસ કરીને પ્રમાણિત સામાન્ય વિતરણ n ~ (0,1) માંથી રેન્ડમ રેખાંકન છે. સમીકરણ (1) માં, અંતર્ગત પ્રમાણભૂત ભૌમિતિક બ્રાઉનિયન ગતિને અનુસરે છે, જે બ્લેક-સ્કોલ્સ-મર્ટન મોડેલમાં પણ લાગુ પડે છે, જે જોકે સતત વોલેટિલિટી ધારે છે. સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાઓ (1) અને (2) વચ્ચેનો સહસંબંધ બે બ્રાઉનિયન ગતિનો સહસંબંધ કરીને રજૂ કરવામાં આવે છે. બ્રાઉનિયન ગતિ વચ્ચેનો તાત્કાલિક સહસંબંધ (3) છે. વ્યાખ્યા (3) ને સરળતાથી ઓળખ (4) સાથે મોડેલિંગ કરી શકાય છે જ્યાં અને સ્વતંત્ર છે, અને સ્વતંત્ર છે, t ષ્ણ '. કોઇનટેલેશન એસ. ડી. ઈ. ઉપરોક્ત એસ. ડી. ઈ. ને મીન રિવર્સન અને ડ્રિફ્ટની વિભાવના સાથે જોડે છે જે સામાન્ય રીતે એવા ખ્યાલો છે જેને પ્રેક્ટિશનરો દ્વારા ગેરસમજ થાય છે. દ્વિપદી સહસંબંધ ગુણાંક એ વધુ નાણાકીય સહસંબંધ માપ, લુકાસ (1995) નો દ્વિપદી સહસંબંધ અભિગમ છે. આપણે દ્વિપદી ઘટનાઓને વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ અને અસ્તિત્વનો મૂળભૂત સમય ક્યાં છે અને અસ્તિત્વનો મૂળભૂત સમય ક્યાં છે. તેથી જો એન્ટિટી પહેલાં અથવા સમયે ડિફોલ્ટ થાય, તો રેન્ડમ ઇન્ડિકેટર વેરિયેબલ 1 માં મૂલ્ય લેશે, અને અન્યથા 0. એ જ વાત લાગુ પડે છે. વધુમાં, અને એ અને અનુક્રમે મૂળભૂત સંભાવના છે, અને મૂળભૂતની સંયુક્ત સંભાવના છે. એક-પરીક્ષણ દ્વિપદી ઘટનાનું પ્રમાણભૂત વિચલન છે, જ્યાં P એ પરિણામ X ની સંભાવના છે. તેથી, આપણે દ્વિપદી ઘટનાઓનો સંયુક્ત મૂળભૂત અવલંબન ગુણાંક અને (5) તરીકે મેળવીએ છીએ. રચના દ્વારા, સમીકરણ (5) માત્ર દ્વિપદી ઘટનાઓનું મોડેલ બનાવી શકે છે, ઉદાહરણ તરીકે મૂળભૂત અને કોઈ મૂળભૂત નથી. સમીકરણ (5) નો દ્વિપદી સહસંબંધ અભિગમ એ વિભાગ 1 માં ચર્ચા કરાયેલ પીઅર્સન સહસંબંધ અભિગમનો મર્યાદિત કેસ છે. પરિણામે, નાણાકીય મોડેલિંગ માટે પીઅર્સન સહસંબંધ અભિગમની નોંધપાત્ર ખામીઓ દ્વિપદી સહસંબંધ મોડેલને પણ લાગુ પડે છે. કોપ્યુલા સહસંબંધ એ કોપ્યુલા અભિગમ છે જે નાણામાં લાગુ કરાયેલ એકદમ તાજેતરનો, પ્રખ્યાત તેમજ કુખ્યાત સહસંબંધ અભિગમ છે. કોપુલાસ સ્ક્લર (1959) પર પાછા જાય છે. વાસિસેક (1987) અને લી (2000) દ્વારા કોપુલાસને નાણાંકીય ક્ષેત્રમાં રજૂ કરવામાં આવ્યા હતા. કોપુલાસ આંકડાકીય સમસ્યાઓને સરળ બનાવે છે. તેઓ બહુવિધ અવિભાજ્ય વિતરણોને એક બહુભિન્ન વિતરણમાં જોડવાની મંજૂરી આપે છે. ઔપચારિક રીતે, કોપ્યુલા ફંક્શન C અંતરાલ [0,1] પરના n-પરિમાણીય ફંક્શનને એકમ-પરિમાણીયમાં રૂપાંતરિત કરે છેઃ (6). વધુ સ્પષ્ટ રીતે, ચાલો અને સાથે એક સમાન રેન્ડમ વેક્ટર બનીએ. પછી એક કોપ્યુલા ફંક્શન અસ્તિત્વમાં છે જેમ કે (7) જ્યાં F એ સંયુક્ત સંચિત વિતરણ કાર્ય છે અને, i = 1,., ni એ અવિભાજ્ય સીમાંત વિતરણો છે. તે ઊલટું છે. જો સીમાંત વિતરણ સતત હોય, તો તે અનુસરે છે કે C અનન્ય છે. સમીકરણ (11) ના ગુણધર્મો અને પુરાવાઓ માટે, સ્ક્લર (1959) અને નેલસન (2006) જુઓ. અસંખ્ય પ્રકારના કોપ્યુલા કાર્યો અસ્તિત્વ ધરાવે છે. તેમને વ્યાપક રીતે એક-પરિમાણ કોપુલામાં ગૌસીયન કોપુલા તરીકે વર્ગીકૃત કરી શકાય છે, અને આર્કિમિડીયન કોપુલા, જેમાં ગુંબેલ, ક્લેટન અને ફ્રેન્ક કોપુલાનો સમાવેશ થાય છે. ઘણીવાર ટાંકવામાં આવતા બે-પરિમાણોના કોપુલામાં વિદ્યાર્થી-ટી, ફ્રેચેટ અને માર્શલ-ઓલકિનનો સમાવેશ થાય છે. આ કોપુલાસની ઝાંખી માટે, નેલસન (2006) જુઓ. ઉદાહરણ તરીકે કોલેટરલાઇઝ્ડ ડેટ ઓબ્લિગેશનમાં, સીડીઓ. આ સૌપ્રથમ 2006માં લી દ્વારા કરવામાં આવ્યું હતું. તેમણે એકસમાન માર્જિનને નિશ્ચિત સમય t પર અસ્તિત્વ i માટે સંચિત પૂર્વનિર્ધારિત સંભાવનાઓ Q તરીકે વ્યાખ્યાયિત કર્યુંઃ (8). તેથી, સમીકરણો (7) અને (8) માંથી આપણે ગૌસીયન ડિફોલ્ટ ટાઇમ કોપ્યુલા CGD, (9) મેળવીએ છીએ. સમીકરણ (9) માં શબ્દો સમય t માટે એસેટ i ની સંચિત ડિફોલ્ટ સંભાવનાઓ Q નો નકશો બનાવે છે, પ્રમાણભૂત સામાન્ય માટે ટકાવારીથી ટકાવારી. મેપ કરેલ પ્રમાણભૂત સામાન્ય સીમાંત વિતરણો પછી સહસંબંધ મેટ્રિક્સ આર સાથે મલ્ટીવેરિયેટ સામાન્ય વિતરણના સહસંબંધ માળખાને લાગુ કરીને એક જ એન-વેરિએટ વિતરણ સાથે જોડવામાં આવે છે. કોપ્યુલા અને 2007-08 નાણાકીય કટોકટી અસંખ્ય બિન-શૈક્ષણિક લેખો લખવામાં આવ્યા છે જે કોપ્યુલા અભિગમને દુષ્ટ ગણાવે છે અને તેને 2007/2008 વૈશ્વિક નાણાકીય કટોકટી માટે દોષી ઠેરવે છે, ઉદાહરણ તરીકે જુઓ સૅલ્મોન 2009, જોન્સ 2009 અને લોહર 2009. (અ) પૂંછડી પર નિર્ભરતા કટોકટીમાં, નાણાકીય સહસંબંધો સામાન્ય રીતે વધે છે, દાસ, ડફી, કપાડિયા અને સૈતા (2007) અને ડફી, એકનર, હોરેલ અને સૈતા (2009) ના અભ્યાસો અને તેમાંના સંદર્ભો જુઓ. તેથી સંયુક્ત વિતરણની નીચલી પૂંછડીમાં ઉચ્ચ સહ-હિલચાલ સાથે સહસંબંધ મોડેલ લાગુ કરવું ઇચ્છનીય રહેશે. તે ગાણિતિક રીતે દર્શાવી શકાય છે કે ગૌસીયન કોપ્યુલામાં પૂંછડીની સાપેક્ષ ઓછી અવલંબન છે, જે નીચેના સ્કેટર પ્લોટમાં જોવા મળે છે. આકૃતિ 1: વિવિધ કોપ્યુલા મોડેલોના છૂટાછવાયા પ્લોટ્સ આકૃતિ 1 બીમાં બતાવ્યા પ્રમાણે, વિદ્યાર્થી-ટી કોપ્યુલા પૂંછડી પર વધુ નિર્ભરતા દર્શાવે છે અને નાણાકીય સહસંબંધોના નમૂના માટે વધુ યોગ્ય હોઈ શકે છે. ઉપરાંત, આકૃતિ 1 (સી) માં જોવામાં આવ્યું છે તેમ, ગુંબેલ કોપુલા ખાસ કરીને નકારાત્મક સહ-હિલચાલ માટે ઉચ્ચ પૂંછડી નિર્ભરતા દર્શાવે છે. જ્યારે સંપત્તિની કિંમતોમાં ઘટાડો થાય છે ત્યારે સહસંબંધમાં વધારો થાય છે એમ ધારીને, નાણાકીય મોડેલિંગ માટે ગુંબેલ કોપુલા પણ સારો સહસંબંધ અભિગમ હોઈ શકે છે. (બ) કેલિબ્રેશન ગૌસીયન કોપ્યુલાની વધુ ટીકા એ છે કે તેને બજાર કિંમતો અનુસાર માપવામાં મુશ્કેલી પડે છે. વ્યવહારમાં, સામાન્ય રીતે એક જ સહસંબંધ પરિમાણ (સહસંબંધ મેટ્રિક્સ નહીં) નો ઉપયોગ કોલેટરલાઇઝ્ડ ડેટ ઓબ્લિગેશન, સી. ડી. ઓ. માં કોઈપણ બે સંસ્થાઓ વચ્ચેના ડિફોલ્ટ સહસંબંધને મોડેલ કરવા માટે થાય છે. વૈચારિક રીતે આ સહસંબંધ પરિમાણ સમગ્ર સીડીઓ પોર્ટફોલિયો માટે સમાન હોવું જોઈએ. જો કે, વેપારીઓ વિવિધ તબક્કાઓ માટે સહસંબંધ પરિમાણમાં અવ્યવસ્થિત રીતે ફેરફાર કરે છે, જેથી ઇચ્છિત તબક્કા ફેલાવો મેળવી શકાય. વેપારીઓ 'આત્યંતિક' હિતો માટે સહસંબંધને ઇક્વિટી હિતો અથવા વરિષ્ઠ હિતો તરીકે વધારે છે, જેને સહસંબંધ સ્મિત તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. આ બ્લેક-સ્કોલ્સ-મર્ટન મોડેલમાં વારંવાર ટાંકવામાં આવતા ગર્ભિત અસ્થિર સ્મિત જેવું જ છે. અહીં વેપારીઓ ગર્ભિત અસ્થિરતામાં વધારો કરે છે, ખાસ કરીને આઉટ ઓફ ધ મની પુટ માટે, પણ આઉટ ઓફ ધ મની કોલ માટે પણ વિકલ્પ કિંમતમાં વધારો કરે છે. મીન-વેરિયન્સ ઓપ્ટિમાઇઝેશન માળખામાં, વેરિયન્સ-કોવેરિયન્સ મેટ્રિક્સનો સચોટ અંદાજ સર્વોપરી છે. આમ, ગૌસીયન કોપ્યુલા સાથે મોન્ટે-કાર્લો સિમ્યુલેશન સાથે આગાહી અને સારી રીતે નિર્દિષ્ટ સીમાંત વિતરણ અસરકારક છે. ઓટો-રીગ્રેસન, અસમપ્રમાણતાવાળા વોલેટિલિટી, સ્ક્યુનેસ અને કુર્ટોસિસ જેવા સ્ટોક વળતરમાં પ્રયોગમૂલક લાક્ષણિકતાઓને મંજૂરી આપવા માટે મોડેલિંગ પ્રક્રિયાને મંજૂરી આપવી મહત્વપૂર્ણ છે. આ વિશેષતાઓનો હિસાબ ન રાખવાથી સહસંબંધ અને ભિન્નતાઓમાં ગંભીર અંદાજની ભૂલ તરફ દોરી જાય છે જે નકારાત્મક પૂર્વગ્રહ ધરાવે છે (સાચા મૂલ્યોના 70 ટકા જેટલું). (સી) જોખમ વ્યવસ્થાપન કોપુલા અભિગમની વધુ ટીકા એ છે કે કોપુલા મોડેલ સ્થિર છે અને પરિણામે માત્ર મર્યાદિત જોખમ વ્યવસ્થાપનને મંજૂરી આપે છે, જુઓ ફિંગર (2009) અથવા ડોનેલી એન્ડ એમ્બ્રેક્ટ્સ (2010). વાસિસેક (1987) અને લી (2000) ના મૂળ કોપુલાસ મોડેલો અને હલ એન્ડ વ્હાઇટ (2004) અથવા ગ્રેગરી એન્ડ લોરેન્ટ (2004) જેવા મોડેલના કેટલાક એક્સ્ટેન્શન્સમાં એક સમયગાળાનો ક્ષિતિજ છે, એટલે કે. સ્થિર હોય છે. ખાસ કરીને, નિર્ણાયક અંતર્ગત ચલ ડિફોલ્ટ તીવ્રતા અને ડિફોલ્ટ સહસંબંધ માટે કોઈ સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયા નથી. જો કે, આ પ્રારંભિક કોપ્યુલા ફોર્મ્યુલેશનમાં પણ, વિવિધ સમયની હદોને માટે ચલોનું બેક ટેસ્ટિંગ અને સ્ટ્રેસ ટેસ્ટિંગ મૂલ્યવાન સંવેદનશીલતા આપી શકે છે, જુઓ વેટન અને એડલ્સન (2004) અને મેઇસનર, હેક્ટર અને. રાસમુસેન (2008). વધુમાં, કોપ્યુલા ચલને હલ, પ્રિડેસ્કુ અને વ્હાઇટ (2005) ની જેમ સમયનું કાર્ય બનાવી શકાય છે. આ હજુ પણ પ્રવાહ અને ઘોંઘાટ સાથે સંપૂર્ણ ગતિશીલ સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયા બનાવતા નથી, જે લવચીક હેજિંગ અને જોખમ વ્યવસ્થાપનને મંજૂરી આપે છે. શ્રેષ્ઠ ઉકેલો ખરેખર ડાયનેમિક કોપ્યુલા માળખા છે, નીચે 'ડાયનેમિક કોપ્યુલા' વિભાગ જુઓ. અતાર્કિક આત્મસંતોષ વૈશ્વિક 2007-08 નાણાકીય કટોકટી પહેલાં, બજારના અસંખ્ય સહભાગીઓએ કોપુલા મોડેલ પર બિનમહત્વપૂર્ણ અને નિષ્કપટ રીતે વિશ્વાસ કર્યો હતો. જો કે, 2007-08 કટોકટી કોઈ ચોક્કસ સહસંબંધ મોડેલની બાબત ઓછી હતી, પરંતુ "અતાર્કિક આત્મસંતોષ" નો મુદ્દો હતો. 2003 થી 2006 સુધીના અત્યંત સૌમ્ય સમયગાળામાં, યોગ્ય બચાવ, યોગ્ય જોખમ વ્યવસ્થાપન અને તણાવ પરીક્ષણના પરિણામોને મોટાભાગે અવગણવામાં આવ્યા હતા. તેનું મુખ્ય ઉદાહરણ એ. આઈ. જી. ની લંડન પેટાકંપની છે, જેણે કોઈ મોટી હેજિંગ કર્યા વિના લગભગ 500 અબજ ડોલરની રકમમાં ક્રેડિટ ડિફોલ્ટ સ્વેપ અને કોલેટરલાઇઝ્ડ ડેટની જવાબદારીઓ વેચી હતી. કટોકટી તરફ દોરી જતા અપૂરતા જોખમ વ્યવસ્થાપન પરના સમજદાર પેપર માટે, "કટોકટીનો વ્યક્તિગત દૃષ્ટિકોણ-જોખમ વ્યવસ્થાપકની કબૂલાત" (ધ ઇકોનોમિસ્ટ 2008) જુઓ. ખાસ કરીને, જો કોઈ ક્રેડિટ સહસંબંધ મોડેલને ઓછી ડિફોલ્ટ તીવ્રતા અને ઓછી ડિફોલ્ટ સહસંબંધ તરીકે સૌમ્ય ઇનપુટ ડેટા આપવામાં આવે છે, તો જોખમ આઉટપુટના આંકડા સૌમ્ય હશે, મોડેલિંગ પરિભાષામાં 'કચરામાં કચરો' હશે. ગતિશીલ કોપુલાસ કોપુલાસ મોડેલની મુખ્ય વૃદ્ધિ ગતિશીલ કોપુલાસ છે, જે આલ્બનીઝ એટ અલ દ્વારા રજૂ કરવામાં આવી છે. (2005) અને (2007). "ડાયનેમિક કન્ડીશનીંગ" અભિગમ મલ્ટી-ફેક્ટર સુપર-લેટીસની ઉત્ક્રાંતિનું મોડેલ બનાવે છે, જે દરેક સમયના પગલા પર દરેક એન્ટિટીની વળતર પ્રક્રિયાઓને સંબંધિત કરે છે. દ્વિપદી ગતિશીલ કોપુલાસ મોન્ટે કાર્લો સિમ્યુલેશનને ટાળવા માટે સંયુક્ત પદ્ધતિઓ લાગુ કરે છે. સમૃદ્ધ ગતિશીલ ગૌસીયન કોપુલાસ મોન્ટે કાર્લો સિમ્યુલેશન લાગુ કરે છે અને શક્તિશાળી કમ્પ્યુટર તકનીકની જરૂરિયાતની કિંમત પર આવે છે. શરતી રીતે સ્વતંત્ર ડિફોલ્ટ (સી. આઈ. ડી.) સહસંબંધ મોડેલિંગ પોર્ટફોલિયોમાં દરેક એન્ટિટી જોડી વચ્ચેના ડિફોલ્ટ સહસંબંધને સ્પષ્ટ કરવાનું ટાળવા માટે ઘણીવાર ફેક્ટરાઇઝેશન લાગુ કરવામાં આવે છે. આ શરતી રીતે સ્વતંત્ર ડિફોલ્ટ (સીઆઇડી) મોડેલિંગ તરફ દોરી જાય છે. સૌથી વધુ વ્યાપક રીતે લાગુ કરાયેલ સી. આઈ. ડી. મોડેલ વન-ફેક્ટર ગૌસીયન કોપુલા (ઓ. એફ. જી. સી.) મોડેલ છે. તે 2007/2008 વૈશ્વિક નાણાકીય કટોકટી પહેલાં સી. ડી. ઓ. ની કિંમત નક્કી કરવા માટેનું વાસ્તવિક બજાર મોડેલ હતું. ઓ. એફ. જી. સી. મોડેલ (10) નું મુખ્ય સમીકરણ ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાંથી રેન્ડમ રેખાંકનો છે. પરિણામે, સુપ્ત ચલ, જેને કેટલીકવાર i ની સંપત્તિ મૂલ્ય તરીકે અર્થઘટન કરવામાં આવે છે, જુઓ ટર્ક, વેરી, બેનહામોઉ અને અલ્વારેઝ એટ અલ. (2005), પણ n ~ (0,1) છે. સામાન્ય પરિબળને આર્થિક વાતાવરણ તરીકે અર્થઘટન કરી શકાય છે, જે સંભવતઃ S & P 500 ના વળતર દ્વારા રજૂ થાય છે. તે વિશિષ્ટ ઘટક છે, જે અસ્તિત્વ i ની 'તાકાત' છે, જે સંભવતઃ અસ્તિત્વ i ના શેર ભાવ વળતર દ્વારા માપવામાં આવે છે. સમીકરણ (10) પરથી આપણે જોઈએ છીએ કે, ઘટકો i વચ્ચેનો સહસંબંધ પરોક્ષ રીતે સામાન્ય પરિબળ પર સુપ્ત ચલને કન્ડીશનીંગ કરીને તૈયાર કરવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, p = 1 માટે, તમામ ઘટકોના સુપ્ત ચલ, તેથી દરેક સિમ્યુલેશનમાં સમાન છે. પી = 0 માટે, તમામ ઘટકો માટે તમામ સુપ્ત ચલ, તેથી સ્વતંત્ર છે. મહત્ત્વની વાત એ છે કે, એકવાર આપણે M નું મૂલ્ય નક્કી કરી લઈએ, ત્યારે n ઘટકોના ડિફોલ્ટ (શરતી રીતે M પર) પરસ્પર સ્વતંત્ર હોય છે. 2010 સુધીમાં, ઓ. એફ. જી. સી. એ બાસેલ II માં ધિરાણ જોખમ વ્યવસ્થાપન માટેનો આધાર છે. આ મોડેલના ફાયદાઓ સરળતા અને અંતઃપ્રેરણા છે. મોડેલની મુખ્ય ખામીઓમાંની એક એ છે કે વેપારીઓ જ્યારે સી. ડી. ઓ. ની કિંમત નક્કી કરે છે ત્યારે ઇચ્છિત હપ્તો ફેલાવો હાંસલ કરવા માટે વિવિધ સી. ડી. ઓ. ટ્રાન્શ માટે સહસંબંધ પરિમાણમાં અવ્યવસ્થિત રીતે ફેરફાર કરે છે. જોકે વૈચારિક રીતે, સહસંબંધ પરિમાણ સમગ્ર પોર્ટફોલિયો માટે સમાન હોવું જોઈએ. કોન્ટેજન ડિફોલ્ટ મોડેલિંગને સી. આઈ. ડી. મોડેલિંગની વિવિધતા તરીકે જોઈ શકાય છે. જેમ કે વિભાગ 2.3 માં ચર્ચા કરવામાં આવી છે, સી. આઈ. ડી. માળખામાં, સહસંબંધ સામાન્ય બજાર પરિબળ એમ પર અનુકૂલન દ્વારા તૈયાર કરવામાં આવે છે, જે તમામ એકમોને સમાન પ્રમાણમાં અસર કરે છે. M માટે રેન્ડમ રેખાંકન જેટલું નીચું હોય છે, તેટલું જ તમામ ઘટકોની મૂળભૂત તીવ્રતા વધારે હોય છે (સિવાય કે ρ = 0). તેથી સી. આઈ. ડી. મોડેલિંગ મૂળભૂત ક્લસ્ટરિંગને સ્પષ્ટ કરી શકે છે. તેનાથી વિપરીત, ચેપ અભિગમ અન્ય અસ્તિત્વના ડિફોલ્ટના કાર્ય તરીકે અસ્તિત્વની ડિફોલ્ટ તીવ્રતાને મોડેલ કરે છે. તેથી ચેપી ડિફોલ્ટ મોડેલિંગમાં કાઉન્ટરપાર્ટી જોખમનો સમાવેશ થાય છે, એટલે કે. અન્ય એન્ટિટીની ડિફોલ્ટ તીવ્રતા પર ડિફોલ્ટિંગ એન્ટિટીની સીધી અસર. ખાસ કરીને, કોઈ ચોક્કસ સંસ્થાના ડિફોલ્ટ પછી, પોર્ટફોલિયોમાં તમામ અસ્કયામતોની ડિફોલ્ટ તીવ્રતા વધે છે. આ પૂર્વનિર્ધારિત ચેપ પછી સામાન્ય રીતે બિન-ચેપી પૂર્વનિર્ધારિત તીવ્રતાના સ્તરે ઝડપથી ઝાંખા પડી જાય છે. ડેવિસ એન્ડ લો (2001) અને જેરો એન્ડ યુ (2001) ના કાગળો જુઓ, જેમણે ચેપી મૂળભૂત મોડેલિંગની પહેલ કરી હતી. ટોપ-ડાઉન સહસંબંધ અભિગમ ક્રેડિટ સહસંબંધ મોડેલિંગ માળખામાં, એકદમ નવો સહસંબંધ અભિગમ ટોપ-ડાઉન મોડેલિંગ છે. અહીં પોર્ટફોલિયો તીવ્રતા વિતરણની ઉત્ક્રાંતિ સીધી રીતે મેળવવામાં આવે છે, એટલે કે. વ્યક્તિગત એકમોની મૂળભૂત તીવ્રતાઓથી અમૂર્ત. ટોપ-ડાઉન મોડેલો સામાન્ય રીતે વ્યવહારમાં લાગુ કરવામાં આવે છે જોઃ વ્યક્તિગત એકમોની મૂળભૂત તીવ્રતા ઉપલબ્ધ ન હોય અથવા અવિશ્વસનીય હોય. વ્યક્તિગત એકમોની મૂળભૂત તીવ્રતાઓ બિનજરૂરી છે. સજાતીય ઘટકોની અનુક્રમણિકા જેવા સજાતીય પોર્ટફોલિયોના મૂલ્યાંકન કરતી વખતે આ સ્થિતિ હોઈ શકે છે. પોર્ટફોલિયોના સંપૂર્ણ કદ વ્યક્તિગત ડિફોલ્ટ તીવ્રતાના મોડેલિંગને સમસ્યારૂપ બનાવે છે. ટોપ-ડાઉન મોડેલો સામાન્ય રીતે વધુ અસ્પષ્ટ, કોમ્પ્યુટેશનલ રીતે કાર્યક્ષમ હોય છે અને ઘણીવાર બોટમ-અપ મોડેલો કરતાં બજાર કિંમતોમાં વધુ સારી રીતે માપાંકિત કરી શકાય છે. વ્યક્તિગત એકમોની મૂળભૂત તીવ્રતા જેવી દેખીતી રીતે મહત્વપૂર્ણ માહિતીની અવગણના કરવામાં આવે છે, તેમ છતાં ટોપ-ડાઉન મોડેલ સામાન્ય રીતે વોલેટિલિટી અથવા સહસંબંધ સ્મિત જેવા પોર્ટફોલિયોના ગુણધર્મોને વધુ સારી રીતે કેપ્ચર કરી શકે છે. વધુમાં, વ્યક્તિગત એકમોની મૂળભૂત માહિતીને ઘણીવાર અવ્યવસ્થિત પાતળા કરવાની તકનીકો દ્વારા અનુમાન કરી શકાય છે, વિગતો માટે Giesecke, ગોલ્ડબર્ગ અને ડિંગ (2007) જુઓ. ટોપ-ડાઉન માળખામાં, સ્કોનબુચર (2006) સંક્રમણ દરની સમય-એકરૂપ માર્કોવ-સાંકળ બનાવે છે. મૂળભૂત સહસંબંધ સંક્રમણ દરની અસ્થિરતામાં ફેરફારો દ્વારા રજૂ કરવામાં આવે છે. ચોક્કસ પરિમાણ નક્ષત્રો માટે, ઉચ્ચ અસ્થિરતાનો અર્થ થાય છે મૂળભૂત રીતે નીચલા તબક્કામાં ઝડપી સંક્રમણ, અને પરિણામે ઉચ્ચ મૂળભૂત સહસંબંધ સૂચવે છે, અને ઊલટું. તેવી જ રીતે, હર્ડ અને કુઝનેત્સોવ (2006એ) અને (2006બી) સમયની ગતિમાં અનિયમિત ફેરફાર દ્વારા સહસંબંધને પ્રેરિત કરે છે. સમયની ઝડપી ગતિનો અર્થ થાય છે નીચલી સ્થિતિમાં ઝડપી સંક્રમણ, સંભવતઃ મૂળભૂત, અને પરિણામે મૂળભૂત સહસંબંધ વધે છે, અને ઊલટું. નાણામાં સહસંબંધ અભિગમોના તુલનાત્મક વિશ્લેષણ માટે, આલ્બનીઝ, લી, લોબાચેવ્સ્કી અને મેઇસ્નર (2010) જુઓ. સંદર્ભો ગાણિતિક નાણા