P-adic gamma function
ગણિતમાં, p-adic ગામા વિધેય γp એ p-adic ચલનું કાર્ય છે જે ગામા વિધેયને અનુરૂપ છે. તે સૌપ્રથમ સ્પષ્ટ રીતે દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવ્યું હતું, જોકે ધ્યાન દોર્યું હતું કે ગર્ભિતપણે સમાન કાર્યનો ઉપયોગ કર્યો હતો. લોગના પી-એડિક એનાલોગ જી. પી. ને વ્યાખ્યાયિત કર્યું. અગાઉ ગામા કાર્યના અલગ પી-એડિક એનાલોગની વ્યાખ્યા આપી હતી, પરંતુ તેના કાર્યમાં સંતોષકારક ગુણધર્મો નથી અને તેનો વધુ ઉપયોગ થતો નથી. વ્યાખ્યા p-adic ગામા કાર્ય એ p-adic પૂર્ણાંક x (મૂલ્યો સાથે) નું અનન્ય સતત કાર્ય છે, જેમ કે હકારાત્મક પૂર્ણાંકો x માટે, જ્યાં ગુણાકાર પૂર્ણાંકો i સુધી મર્યાદિત હોય છે, જે p દ્વારા વિભાજ્ય નથી. કારણ કે હકારાત્મક પૂર્ણાંકો p-adic ટોપોલોજીના સંદર્ભમાં ગાઢ હોય છે, તેને અનન્ય રીતે સમગ્ર સુધી વિસ્તૃત કરી શકાય છે. અહીં p-adic પૂર્ણાંકોની વીંટી છે. તે વ્યાખ્યા પરથી અનુસરે છે કે ના મૂલ્યો ઇન્વર્ટિબલ છે; આનું કારણ એ છે કે આ મૂલ્યો પૂર્ણાંકોના ગુણાકાર છે જે p દ્વારા વિભાજીત થતા નથી, અને આ ગુણધર્મ સતત વિસ્તરણ પછી ધરાવે છે. આમ. અહીં ઇન્વર્ટિબલ p-adic પૂર્ણાંકોનો સમૂહ છે. પી-એડિક ગામા કાર્યના મૂળભૂત ગુણધર્મો શાસ્ત્રીય ગામા કાર્ય કોઈપણ માટે કાર્યાત્મક સમીકરણને સંતોષે છે. મોરિતા ગામા કાર્યના સંદર્ભમાં આનું એનાલોગ છેઃ યુલરનું પ્રતિબિંબ સૂત્ર p-adic કિસ્સામાં તેનું નીચેનું સરળ પ્રતિરૂપ ધરાવે છેઃ જ્યાં x ના p-adic વિસ્તરણમાં પ્રથમ અંક ક્યાં છે, સિવાય કે, તે કિસ્સામાં 0 ને બદલે. વિશેષ મૂલ્યો અને, સામાન્ય રીતે, મોરિતા ગામા કાર્ય એ લિજેન્ડ્રે પ્રતીક સાથે સંબંધિત છેઃ તે પણ જોઈ શકાય છે, એટલે કે. અન્ય રસપ્રદ વિશેષ મૂલ્યો ગ્રોસ-કોબ્લિટ્ઝ સૂત્રમાંથી આવે છે, જે સૌપ્રથમ કોહોમોલોજિકલ સાધનો દ્વારા સાબિત થયું હતું અને બાદમાં વધુ પ્રાથમિક પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને સાબિત થયું હતું. ઉદાહરણ તરીકે, જ્યાં પ્રથમ અંક 3 સાથે વર્ગમૂળ સૂચવે છે, અને પ્રથમ અંક 2 સાથે વર્ગમૂળ સૂચવે છે. (જો આપણે મૂળ વિશે વાત કરીએ તો આવા સ્પષ્ટીકરણો હંમેશા કરવા જોઈએ.) બીજું ઉદાહરણ એ છે કે જ્યાં 1 મોડ્યુલો 3. પી-એડિક રાબે સૂત્રનું વર્ગમૂળ છે શાસ્ત્રીય ગામા કાર્ય માટે રાબે-સૂત્ર કહે છે કે આ મોરિતા ગામા કાર્યના ઇવાસાવા લઘુગણક માટે એનાલોગ ધરાવે છેઃ છત કાર્યને પી-એડિક મર્યાદા તરીકે સમજવું જોઈએ જેમ કે તર્કસંગત પૂર્ણાંકો દ્વારા. મહલર વિસ્તરણ પી-એડિક કાર્યો માટે મહલર વિસ્તરણ એ જ રીતે મહત્વપૂર્ણ છે જે રીતે શાસ્ત્રીય વિશ્લેષણમાં ટેલર વિસ્તરણ છે. પી-એડિક ગામા કાર્યનું માહલર વિસ્તરણ નીચે મુજબ છેઃ જ્યાં ક્રમને નીચેની ઓળખ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છેઃ કુલ-કોબ્લિટ્ઝ સૂત્ર સંદર્ભો સંખ્યા સિદ્ધાંત પી-એડિક સંખ્યાઓ પણ જુઓ.