Hadamard product (matrices)
ગણિતમાં, હેડમર્ડ પ્રોડક્ટ (જેને તત્વ મુજબના ઉત્પાદન, પ્રવેશ મુજબના ઉત્પાદન અથવા શુર પ્રોડક્ટ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે) એ દ્વિસંગી કામગીરી છે જે સમાન પરિમાણોના બે મેટ્રિસીસમાં લે છે અને ગુણાકાર અનુરૂપ તત્વોનો મેટ્રિક્સ આપે છે. આ કામગીરીને "નિષ્કપટ મેટ્રિક્સ ગુણાકાર" તરીકે વિચારી શકાય છે અને તે મેટ્રિક્સ ઉત્પાદનથી અલગ છે. તેનું નામ ફ્રેન્ચ-યહુદી ગણિતશાસ્ત્રી જેક્સ હદામાર્ડ અથવા જર્મન-યહુદી ગણિતશાસ્ત્રી ઇસાઈ શુરના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે. હેડમર્ડ ઉત્પાદન સહયોગી અને વિતરણાત્મક છે. મેટ્રિક્સ પ્રોડક્ટથી વિપરીત, તે પરિવર્તનીય પણ છે. વ્યાખ્યા બે મેટ્રિસીસ માટે અને સમાન પરિમાણ માટે, હેડમર્ડ પ્રોડક્ટ (કેટલીકવાર) એ ઓપરેન્ડ્સ જેવા જ પરિમાણનો મેટ્રિક્સ છે, જેમાં ઘટકો દ્વારા આપવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, બે મનસ્વી 2 × 3 મેટ્રિસીસ માટે હેડમર્ડ પ્રોડક્ટ છેઃ ગુણધર્મો હેડમર્ડ પ્રોડક્ટ પરિવર્તનીય (પરિવર્તનીય રીંગ સાથે કામ કરતી વખતે), સંયોજનીય અને સરવાળા પર વિતરણાત્મક હોય છે. એટલે કે, જો A, B અને C એ સમાન કદના મેટ્રિસીસ છે, અને k એ સ્કેલર છેઃ બે મેટ્રિસીસના હડામર્ડ ગુણાકાર હેઠળ ઓળખ મેટ્રિક્સ એ એક મેટ્રિક્સ છે જ્યાં તમામ ઘટકો 1 ની બરાબર છે. આ નિયમિત મેટ્રિક્સ ગુણાકાર હેઠળના ઓળખ મેટ્રિક્સથી અલગ છે, જ્યાં માત્ર મુખ્ય કર્ણના ઘટકો 1 ની બરાબર હોય છે. વધુમાં, મેટ્રિક્સમાં હેડમાર્ડ ગુણાકાર હેઠળ ઇન્વર્સ હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો કોઈ પણ તત્વ શૂન્યની બરાબર ન હોય. વેક્ટર અને, અને અનુરૂપ કર્ણ મેટ્રિસીસ માટે અને આ વેક્ટરને તેમના મુખ્ય કર્ણ તરીકે રાખીને, નીચેની ઓળખ ધરાવે છેઃ જ્યાં સંયુગ્મ ટ્રાન્સપોઝને સૂચવે છે. ખાસ કરીને, એકના વેક્ટરનો ઉપયોગ કરીને, આ દર્શાવે છે કે હેડમાર્ડ પ્રોડક્ટમાં તમામ તત્વોનો સરવાળો એ ટ્રેસ છે કે જ્યાં સુપરસ્ક્રિપ્ટ T મેટ્રિક્સ ટ્રાન્સપોઝને સૂચવે છે, એટલે કે,. ચોરસ અને, માટે સંબંધિત પરિણામ એ છે કે તેમના હડામર્ડ ઉત્પાદનના પંક્તિ-સરવાળા આના વિકર્ણ ઘટકો છેઃ એ જ રીતે, વધુમાં, હડામર્ડ મેટ્રિક્સ-વેક્ટર ઉત્પાદનને આ રીતે વ્યક્ત કરી શકાય છેઃ મેટ્રિક્સના વિકર્ણોમાંથી રચાયેલ વેક્ટર ક્યાં છે. હેડમર્ડ પ્રોડક્ટ એ ક્રોનેકર પ્રોડક્ટનું મુખ્ય સબમેટ્રિક્સ છે. હેડમર્ડ પ્રોડક્ટ ક્રમની અસમાનતાને સંતોષે છે જો અને હકારાત્મક-નિશ્ચિત મેટ્રિસીસ હોય, તો હેડમર્ડ પ્રોડક્ટ સાથે સંકળાયેલી નીચેની અસમાનતા ધરાવે છેઃ જ્યાં તેનું સૌથી મોટું આઈગન વેલ્યુ ક્યાં છે. જો અને કર્ણ મેટ્રિક્સ હોય, તો પછી બે વેક્ટરનો હેડમાર્ડ ગુણાકાર અને તે અન્ય વેક્ટરના અનુરૂપ કર્ણ મેટ્રિક્સ દ્વારા એક વેક્ટરના મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમાન છેઃ વેક્ટરથી કર્ણ મેટ્રિક્સ ઓપરેટરને હેડમાર્ડ પ્રોડક્ટનો ઉપયોગ કરીને વ્યક્ત કરી શકાય છેઃ જ્યાં તત્વો સાથે અચળ વેક્ટર છે અને તે ઓળખ મેટ્રિક્સ છે. મિશ્ર-ઉત્પાદન ગુણધર્મ જ્યાં ક્રોનેકર ઉત્પાદન છે, એમ ધારીને કે તે અને સાથે સમાન પરિમાણો ધરાવે છે. જ્યાં ચહેરો-વિભાજન ઉત્પાદન સૂચવે છે. સ્તંભ મુજબ ખત્રી-રાવ ઉત્પાદન ક્યાં છે? શુર પ્રોડક્ટ થીયરમ બે પોઝિટિવ-સેમાઇડફાઇનાઇટ મેટ્રિસીસનો હડામર્ડ પ્રોડક્ટ પોઝિટિવ-સેમાઇડફાઇનાઇટ છે. રશિયન ગણિતશાસ્ત્રી ઇસાઈ શુરના નામ પરથી આને શુર ઉત્પાદન પ્રમેય તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. બે પોઝિટિવ-સેમિડિફાઇનાઇટ મેટ્રિસીસ માટે અને, તે પણ જાણીતું છે કે તેમના હેડામર્ડ ઉત્પાદનનો નિર્ધારક તેમના સંબંધિત નિર્ધારકોના ઉત્પાદન કરતા મોટો અથવા સમાન હોય છેઃ એનાલોગસ ઓપરેશન્સ અન્ય હેડામર્ડ ઓપરેશન્સ પણ ગાણિતિક સાહિત્યમાં જોવા મળે છે, એટલે કે અને (જે અપૂર્ણાંક સૂચકાંકોને કારણે સમાન વસ્તુ છે), જેને મેટ્રિક્સ માટે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જેમ કેઃ માટે અને માટે વાંચે છેઃ A ને આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છેઃ પ્રોગ્રામિંગ ભાષાઓમાં મોટાભાગની વૈજ્ઞાનિક અથવા આંકડાકીય પ્રોગ્રામિંગ ભાષાઓમાં વિવિધ નામો હેઠળ હેડામર્ડ ઉત્પાદનનો સમાવેશ થાય છે. પ્રોગ્રામિંગ ભાષા જુલિયા સામાન્ય પ્રસારણ સંચાલકનો ઉપયોગ કરે છે. કોઈપણ કાર્યને તત્વની દ્રષ્ટિએ લાગુ કરવા માટે. આમ, હદામર્ડ ગુણાકારને પ્રસારણ ગુણાકાર કહેવામાં આવે છે અને a સાથે સૂચવવામાં આવે છે. * b, હડામર્ડ પાવર્સ a. b નો ઉપયોગ કરે છે, અને ઉપસર્ગ સંકેત f માં કોઈપણ કાર્યને f. (x) તરીકે લાગુ કરી શકાય છે. આ પદ્ધતિને કારણે, અનુક્રમે મેટ્રિક્સ ગુણાકાર અને મેટ્રિક્સ ઘાતાંકો માટે * અને ^ અનામત રાખવું શક્ય છે. પાયથોનમાં બિલ્ટ-ઇન એરે સપોર્ટ નથી, જે અસંગત/વિરોધાભાસી સંકેતો તરફ દોરી જાય છે. ન્યુમપી ન્યુમેરિકલ લાઈબ્રેરી એ * બી અથવા a.multiply (બી) ને હેડમર્ડ પ્રોડક્ટ તરીકે અર્થઘટન કરે છે, અને મેટ્રિક્સ પ્રોડક્ટ માટે a@b અથવા a.matmul (બી) નો ઉપયોગ કરે છે. SymPy સાંકેતિક પુસ્તકાલય સાથે, પદાર્થોનો a * b અથવા a@b તરીકે ગુણાકાર મેટ્રિક્સ ઉત્પાદન પેદા કરશે. હેડમર્ડ પ્રોડક્ટ a.multiply_elementwise (b) પદ્ધતિ કૉલ દ્વારા મેળવી શકાય છે. કેટલાક પાયથોન પેકેજોમાં np.power (a, b), અથવા પાંડા પદ્ધતિ a.pow (b) જેવી પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને હડામાર્ડ પાવર માટે સપોર્ટનો સમાવેશ થાય છે. સી + + માં, આઈગન લાઈબ્રેરી વર્ગ (a.cwiseProduct (b)) માટે સીવાઇઝપ્રોડક્ટ સભ્ય કાર્ય પ્રદાન કરે છે, જ્યારે આર્મડિલો લાઈબ્રેરી કોમ્પેક્ટ સમીકરણો બનાવવા માટે ઓપરેટર% નો ઉપયોગ કરે છે (a% b; a * b એ મેટ્રિક્સ ઉત્પાદન છે). MATLAB, GAUSS અને HP પ્રાઇમમાં, ઓપરેશનને એરે ગુણાકાર તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. ફોરટ્રાન, આર, એપીએલ, જે અને વોલ્ફ્રમ લેંગ્વેજ (મેથેમેટિકા) માં, ગુણાકાર સંચાલક * અથવા × હડામર્ડ ઉત્પાદન લાગુ કરે છે, જ્યારે મેટ્રિક્સ ઉત્પાદન મેટમુલ,% *%, +. ×, +/નો ઉપયોગ કરીને લખવામાં આવે છે. * અને., અનુક્રમે. આર પેકેજ મેટ્રિક્સકેલ્ક આંકડાકીય મેટ્રિક્સ અથવા વેક્ટરના હેડમર્ડ પ્રોડક્ટ માટે ફંક્શન hadamard.prod () નો પરિચય આપે છે. એપ્લિકેશન્સ હેડમર્ડ પ્રોડક્ટ જે. પી. ઇ. જી. જેવા લોસી કમ્પ્રેશન અલ્ગોરિધમ્સમાં દેખાય છે. ડીકોડિંગ પગલામાં એન્ટ્રી-ફોર-એન્ટ્રી પ્રોડક્ટનો સમાવેશ થાય છે, બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો હેડમર્ડ પ્રોડક્ટ. ઇમેજ પ્રોસેસિંગમાં, હેડમર્ડ ઓપરેટરનો ઉપયોગ ઇમેજ ક્ષેત્રોને વધારવા, દબાવવા અથવા ઢાંકવા માટે થઈ શકે છે. એક મેટ્રિક્સ મૂળ છબીનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે, અન્ય વજન અથવા માસ્કિંગ મેટ્રિક્સ તરીકે કાર્ય કરે છે. તેનો ઉપયોગ મશીન લર્નિંગ સાહિત્યમાં થાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, પુનરાવર્તિત ન્યુરલ નેટવર્કની રચનાને જીઆરયુ અથવા એલએસટીએમ તરીકે વર્ણવવા માટે. તેનો ઉપયોગ રેન્ડમ વેક્ટર અને મેટ્રિસીસના આંકડાકીય ગુણધર્મોનો અભ્યાસ કરવા માટે પણ થાય છે. પેનિટ્રેટિંગ ફેસ પ્રોડક્ટ વી. સ્લ્યુસરની વ્યાખ્યા અનુસાર પી × જી મેટ્રિક્સ અને એન-ડાયમેન્શનલ મેટ્રિક્સ (એન> 1) નું પેનિટ્રેટિંગ ફેસ પ્રોડક્ટ પી × જી બ્લોક્સ () સાથે ફોર્મના કદનો મેટ્રિક્સ છેઃ ઉદાહરણ તરીકે જો મુખ્ય ગુણધર્મો જ્યાં મેટ્રિક્સના ફેસ-સ્પ્લિટિંગ પ્રોડક્ટને સૂચવે છે, તો વેક્ટર ક્યાં છે. એપ્લિકેશન્સ પેનિટ્રેટિંગ ફેસ પ્રોડક્ટનો ઉપયોગ ડિજિટલ એન્ટેના એરેના ટેન્સર-મેટ્રિક્સ થિયરીમાં થાય છે. આ ઓપરેશનનો ઉપયોગ કૃત્રિમ ન્યુરલ નેટવર્ક મોડેલોમાં પણ થઈ શકે છે, ખાસ કરીને કોન્વોલ્યુશનલ સ્તરો. ફ્રોબેનિયસ આંતરિક ઉત્પાદન પોઇન્ટવાઇઝ ઉત્પાદન ક્રોનેકર ઉત્પાદન ખત્રી-રાવ ઉત્પાદન સંદર્ભો મેટ્રિક્સ સિદ્ધાંત પણ જુઓ.