Stretched grid method
સ્ટ્રેચ્ડ ગ્રીડ મેથડ (SGM) એ વિવિધ ગાણિતિક અને ઇજનેરી સમસ્યાઓના અંદાજિત ઉકેલો શોધવા માટેની આંકડાકીય તકનીક છે જે સ્થિતિસ્થાપક ગ્રીડ વર્તણૂક સાથે સંબંધિત હોઈ શકે છે. ખાસ કરીને, હવામાનશાસ્ત્રીઓ હવામાનની આગાહી માટે ખેંચાયેલી ગ્રીડ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરે છે અને ઇજનેરો તંબુઓ અને અન્ય તાણ માળખાઓની રચના કરવા માટે ખેંચાયેલી ગ્રીડ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરે છે. FEM અને BEM જાળીદાર શુદ્ધિકરણ તાજેતરના દાયકાઓમાં મર્યાદિત તત્વ અને સીમા તત્વ પદ્ધતિઓ (FEM અને BEM) ઔદ્યોગિક ઇજનેરી ડિઝાઇન અને વિશ્લેષણ માટે મુખ્ય આધાર બની ગઈ છે. FEM અથવા BEM નો ઉપયોગ કરીને વધુને વધુ મોટી અને વધુ જટિલ ડિઝાઇનનું અનુકરણ કરવામાં આવી રહ્યું છે. જો કે, FEM અને BEM ઇજનેરી વિશ્લેષણની કેટલીક સમસ્યાઓ હજુ પણ કટીંગ ધાર પર છે. પ્રથમ સમસ્યા ઇજનેરી વિશ્લેષણની વિશ્વસનીયતા છે જે પૂર્વ-પ્રક્રિયાના તબક્કે પેદા થતી પ્રારંભિક માહિતીની ગુણવત્તા પર ભારપૂર્વક આધાર રાખે છે. તે જાણીતું છે કે આ તબક્કે સ્વચાલિત તત્વ જાળી બનાવવાની તકનીકો જટિલ વાસ્તવિક દુનિયાના નમૂનાઓના વિશ્લેષણ માટે સામાન્ય રીતે ઉપયોગમાં લેવાતા સાધનો બની ગયા છે. એફઇએમ અને બીઇએમની લોકપ્રિયતામાં વધારો થવાથી ઓટોમેટિક મેશિંગ એલ્ગોરિધમ્સમાં સુધારો કરવા માટે પ્રોત્સાહન મળે છે. જો કે, આ તમામ અલ્ગોરિધમ્સ વિકૃત અને બિનઉપયોગી ગ્રીડ તત્વો પણ બનાવી શકે છે. કેટલીક તકનીકો અસ્તિત્વમાં છે જે હાલની જાળી લઈ શકે છે અને તેની ગુણવત્તામાં સુધારો કરી શકે છે. દાખલા તરીકે સ્મૂથિંગ (જેને મેશ રિફાઇનમેન્ટ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે) એ એક એવી પદ્ધતિ છે, જે નોડલ સ્થાનોને પુનઃસ્થાપિત કરે છે, જેથી તત્વની વિકૃતિને ઘટાડી શકાય. સ્ટ્રેચ્ડ ગ્રીડ પદ્ધતિ (એસ. જી. એમ.) એક પગલાના ઉકેલમાં સ્યુડો-રેગ્યુલર મેશ ખૂબ જ સરળતાથી અને ઝડપથી મેળવવાની મંજૂરી આપે છે (જુઓ). ધારો કે પ્લેન પોલિગોનલ સિંગલ-સુસંગત સમોચ્ચમાં જડિત એક મનસ્વી ત્રિકોણ ગ્રીડ છે અને ઓટોમેશિંગ પ્રક્રિયા દ્વારા ઉત્પન્ન થાય છે (અંજીર જુઓ. 1) તે આગળ ધારી શકાય છે કે ભૌતિક નોડલ સિસ્ટમ તરીકે ગણવામાં આવતી ગ્રીડ સંખ્યાબંધ વિકૃતિઓ દ્વારા વિકૃત છે. એવું માનવામાં આવે છે કે આ પ્રણાલીની કુલ સંભવિત ઊર્જા તેના ઘટકો તરીકે તમામ નેટવર્ક સેગમેન્ટ્સ સાથે અમુક-પરિમાણીય વેક્ટરની લંબાઈના પ્રમાણમાં છે. આમ, પોટેન્શિયલ એનર્જી નીચેનું સ્વરૂપ લે છે જ્યાં-નેટવર્કમાં સેગમેન્ટ્સની કુલ સંખ્યા,-સેગમેન્ટ નંબરની લંબાઈ,-એક મનસ્વી અચળાંક. સેગમેન્ટ નંબરની લંબાઈ બે નોડલ કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા વ્યક્ત કરી શકાય છે કારણ કે એવું પણ માનવામાં આવે છે કે તમામ નોડ્સનો કોઓર્ડિનેટ વેક્ટર બિન-વિકૃત નેટવર્ક સાથે સંકળાયેલ છે અને કોઓર્ડિનેટ વેક્ટર વિકૃત નેટવર્ક સાથે સંકળાયેલ છે. વેક્ટર માટેની અભિવ્યક્તિને આ રીતે લખી શકાય છે વેક્ટર નિર્ધારણ વૃદ્ધિશીલ વેક્ટર દ્વારા વર્ગાત્મક સ્વરૂપના લઘુતમકરણ સાથે સંબંધિત છે, એટલે કે. જ્યાં-વિસ્તારની આંતરિક નોડની સંખ્યા છે,-સંકલનની સંખ્યા બધા પરિવર્તન પછી આપણે રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની નીચેની બે સ્વતંત્ર પ્રણાલીઓ લખી શકીએ છીએ જ્યાં-FEM એસેમ્બ્લેજના વૈશ્વિક જડતા મેટ્રિક્સની જેમ બેન્ડેડ સ્વરૂપમાં સપ્રમાણ મેટ્રિક્સ, અને-1,2 અક્ષો પર તમામ નોડના કોઓર્ડિનેટ્સના વૃદ્ધિશીલ વેક્ટર, અને-જમણા ભાગના વેક્ટર કે જે 1,2 અક્ષોમાં તમામ નોડના કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા જોડાયેલા હોય છે. બંને પ્રણાલીઓનો ઉકેલ, તમામ સીમા ગાંઠોને રૂઢિચુસ્ત રાખીને, સ્યુડો-રેગ્યુલર તત્વો સાથે બિન-વિકૃત જાળીદારને અનુરૂપ નવી આંતરિક ગાંઠોની સ્થિતિ મેળવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, આકૃતિ. 2 ત્રિકોણાકાર જાળી દ્વારા આવરી લેવામાં આવેલા લંબચોરસ વિસ્તારને રજૂ કરે છે. પ્રારંભિક ઓટો મેશમાં કેટલાક ડીજનરેટિવ ત્રિકોણ (ડાબી જાળી) હોય છે. એસ. જી. એમ. પ્રક્રિયા દ્વારા ઉત્પાદિત અંતિમ જાળીદાર (જમણી જાળીદાર) કોઈપણ વિકૃત ઘટકો વિના સ્યુડો-રેગ્યુલર છે. ઉપરોક્ત પ્રણાલીઓ રેખીય હોવાથી, પ્રક્રિયા ખૂબ જ ઝડપથી એક-પગલાના ઉકેલમાં પસાર થાય છે. વધુમાં, દરેક અંતિમ આંતરિક નોડની સ્થિતિ તેની આસપાસના ગાંઠોના સંકલિત અંકગણિત સરેરાશની જરૂરિયાતને પૂર્ણ કરે છે અને વિલંબ માપદંડને પણ પૂર્ણ કરે છે. તેથી, એસ. જી. એમ. માં લેપલેસિયન અને અન્ય પ્રકારના સ્મૂથિંગ અભિગમો માટે વિશિષ્ટ તમામ હકારાત્મક મૂલ્યો છે પરંતુ પૂર્ણાંક-મૂલ્યના અંતિમ મેટ્રિસીસની રજૂઆતને કારણે તે ખૂબ સરળ અને વિશ્વસનીય છે. છેવટે, ઉપર વર્ણવેલ SGM માત્ર 2D જાળીઓને જ નહીં પરંતુ કોઈપણ સમાન કોષો ધરાવતી 3D જાળી તેમજ મિશ્ર અથવા ક્ષણિક જાળીઓને પણ સંપૂર્ણપણે લાગુ પડે છે. ન્યુનત્તમ સપાટી સમસ્યાનું સમાધાન ગાણિતિક રીતે બિન-સમતલ બંધ વળાંકમાં જડિત સપાટીને ન્યુનત્તમ કહેવામાં આવે છે જો આ વળાંકમાંથી પસાર થતી તમામ સપાટીઓમાં તેનું ક્ષેત્રફળ ન્યુનત્તમ હોય. સૌથી જાણીતો લઘુતમ સપાટીનો નમૂનો વાયર ફ્રેમથી બંધાયેલ સાબુની ફિલ્મ છે. સામાન્ય રીતે લઘુત્તમ સપાટી બનાવવા માટે, એક કાલ્પનિક બંધારણીય કાયદાનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, જે તાણમાં કોઈપણ ફેરફારોથી સ્વતંત્ર, સતત પ્રીસ્ટ્રેસ જાળવે છે. લઘુતમ સપાટીની સમસ્યાના ઉકેલ માટે વૈકલ્પિક અંદાજિત અભિગમ SGM પર આધારિત છે. આ રચના વ્યક્તિને બિન-સમતલ અને સમતલ બંધ રૂપરેખાંકનોમાં જડિત સપાટીને ઘટાડવાની મંજૂરી આપે છે. મનસ્વી ત્રિકોણ ગ્રીડ દ્વારા 3D નોન-પ્લેન સમોચ્ચમાં જડિત સપાટીના ભાગનો અંદાજ કાઢવાનો વિચાર છે. આવા ત્રિકોણ ગ્રીડને ઓછામાં ઓછા ક્ષેત્રફળ સાથે ગ્રીડમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે ઉપર વર્ણવેલ સમાન બે પ્રણાલીઓને ઉકેલવી જોઈએ. ત્રીજા નોડલ કોઓર્ડિનેટ્સનો વધારો નીચેની રીતે અક્ષ 3 પર સમાન સિસ્ટમ દ્વારા વધારાની રીતે નક્કી કરી શકાય છે ત્રણેય સિસ્ટમોને એક સાથે ઉકેલવાથી એક નવી ગ્રીડ મેળવી શકાય છે જે લઘુત્તમ કાર્યને કારણે નોન-પ્લેન ક્લોઝ્ડ કર્વમાં જડિત અંદાજિત ન્યૂનતમ સપાટી હશે. ઉદાહરણ તરીકે કેટેનોઇડની સપાટી જે ઉપર વર્ણવેલ અભિગમ દ્વારા ગણવામાં આવે છે તે આકૃતિ 3 માં રજૂ કરવામાં આવી છે. રિંગ્સની ત્રિજ્યા અને કેટેનોઇડની ઊંચાઈ 1 બરાબર છે. એસ. જી. એમ. દ્વારા નિર્ધારિત કેટેનોઇડલ સપાટીનું આંકડાકીય ક્ષેત્રફળ 2,9967189 (ચોક્કસ મૂલ્ય 2.992 છે) બરાબર છે. તાણયુક્ત કાપડની રચનાઓ શોધની રચના કરે છે માળખાકીય વિશ્લેષણ માટે, માળખાની ગોઠવણી સામાન્ય રીતે પ્રાથમિકતા તરીકે ઓળખાય છે. ટેન્શન ફેબ્રિક સ્ટ્રક્ચર્સ જેવી ટેન્સાઇલ સ્ટ્રક્ચર્સ માટે આ સ્થિતિ નથી. તાણ માળખામાં પટલમાં કોઈ લવચીક જડતા હોતી નથી, તેથી તેનું સ્વરૂપ અથવા રૂપરેખાંકન પ્રારંભિક પ્રીસ્ટ્રેસિંગ અને તે કયા ભારને આધિન છે તેના પર આધાર રાખે છે. આમ, ભાર વહન વર્તન અને પટલના આકારને અલગ કરી શકાતા નથી અને સામાન્ય રીતે માત્ર સરળ ભૌમિતિક નમૂનાઓ દ્વારા વર્ણવી શકાતા નથી. પટલનો આકાર, માળખા પરના ભાર અને આંતરિક તાણ સંતુલન સમીકરણોને સંતોષવા માટે બિન-રેખીય રીતે ક્રિયાપ્રતિક્રિયા કરે છે. તણાવ માળખાઓની પ્રારંભિક રચનામાં ફોર્મ ફાઇન્ડિંગ તરીકે ઓળખાતી પ્રારંભિક ગોઠવણીના નિર્ધારણનો સમાવેશ થાય છે. સંતુલનની પરિસ્થિતિઓને સંતોષવા ઉપરાંત, પ્રારંભિક રૂપરેખાંકનમાં સ્થાપત્ય (સૌંદર્ય શાસ્ત્ર) અને માળખાકીય (શક્તિ અને સ્થિરતા) જરૂરિયાતો બંનેને સમાવવી આવશ્યક છે. વધુમાં, જગ્યા અને ક્લિઅરન્સની જરૂરિયાતો પૂરી થવી જોઈએ, કરચલીઓ ટાળવા માટે પટલના મુખ્ય તાણ તાણયુક્ત હોવા જોઈએ, અને ડબલ-વક્ર સપાટીની ત્રિજ્યા વિમાનની બહારના ભારનો પ્રતિકાર કરવા અને માળખાકીય સ્થિરતાની ખાતરી કરવા માટે પૂરતી નાની હોવી જોઈએ (કાર્ય). તાણ ફેબ્રિક માળખાઓની રચનામાં ઇજનેરોને મદદ કરવા માટે FEM પર આધારિત ફોર્મ શોધવાના અભિગમો પર ઘણી ભિન્નતાઓ વિકસાવવામાં આવી છે. તે બધા એક જ ધારણા પર આધારિત છે જેનો ઉપયોગ વિવિધ ભાર હેઠળ તણાવ માળખાના વર્તનનું વિશ્લેષણ કરવા માટે થાય છે. જો કે, કેટલાક સંશોધકો દ્વારા નોંધવામાં આવ્યું છે તેમ કેટલીકવાર તણાવ માળખાઓની રચનામાં કહેવાતી 'ન્યૂનતમ સપાટીઓ' નો ઉપયોગ કરવો વધુ સારું હોઈ શકે છે. એસ. જી. એમ. નો ભૌતિક અર્થ કઠોર (અથવા સ્થિતિસ્થાપક) 3ડી સમોચ્ચમાં જડિત મનસ્વી ગ્રીડ માળખાની ઊર્જાને ઓછામાં ઓછા ગ્રિડ ગાંઠોની મનસ્વી જોડીઓ વચ્ચેના લઘુતમ સરવાળા અંતરની સમકક્ષ રૂપાંતરિત કરવામાં આવે છે. તે ગ્રીડ સ્ટ્રક્ચર સમ એનર્જી મિનિમમ ફાઇન્ડિંગ શોધવા માટે અવેજીમાં મિનિમમ સરફેસ એનર્જી પ્રોબ્લેમ સોલ્યુશનને મંજૂરી આપે છે જે સામાન્ય FEM રચના કરતાં વધુ સાદા અંતિમ બીજગણિત સમીકરણ પ્રણાલી પ્રદાન કરે છે. એસ. જી. એમ. ની સામાન્યીકૃત રચના બાહ્ય બળો અને કઠોર અથવા સ્થિતિસ્થાપક અવરોધોનો સમૂહ ગ્રીડ સ્ટ્રક્ચર નોડ્સ પર લાગુ કરવાની સંભાવનાને ધારે છે જે વિવિધ બાહ્ય અસરોના મોડેલિંગને મંજૂરી આપે છે. આપણે આવી SGM રચના માટે નીચેની અભિવ્યક્તિ મેળવી શકીએ છીએ જ્યાં-ગ્રીડ સેગમેન્ટ્સની કુલ સંખ્યા,-નોડ્સની કુલ સંખ્યા,-સેગમેન્ટ નંબરની લંબાઈ,-સેગમેન્ટ નંબરની કઠોરતા,-અક્ષ પર નોડની સંકલન વૃદ્ધિ,-અક્ષ પર નોડમાં સ્થિતિસ્થાપક અવરોધની કઠોરતા,-અક્ષ પર નોડમાં બાહ્ય બળ. ફોલ્ડિંગ પ્રોબ્લેમ અને કટીંગ પેટર્ન જનરેશન એકવાર સંતોષકારક આકાર મળી ગયા પછી, કટીંગ પેટર્ન પેદા થઈ શકે છે. તણાવ માળખાં તેમના કદ, વળાંક અને સામગ્રીની જડતામાં અત્યંત વૈવિધ્યસભર છે. કટીંગ પેટર્ન અંદાજ આ દરેક પરિબળો સાથે મજબૂત રીતે સંબંધિત છે. સંભવિત અંદાજને ઓછો કરવા અને વિશ્વસનીય પ્લેન ક્લોથ ડેટા ઉત્પન્ન કરવા માટે કટીંગ પેટર્ન જનરેશન પદ્ધતિ માટે તે જરૂરી છે. તેનો ઉદ્દેશ આ માહિતી દ્વારા વર્ણવેલ આકારો વિકસાવવાનો છે, જે આદર્શ બમણી વક્ર પટ્ટીઓની શક્ય તેટલી નજીક છે. સામાન્ય રીતે, કટીંગ પેટર્ન જનરેશનમાં બે પગલાંનો સમાવેશ થાય છે. પ્રથમ, તાણ માળખાની વૈશ્વિક સપાટીને વ્યક્તિગત કપડામાં વહેંચવામાં આવે છે. બીજા પગલા પર અનુરૂપ કટીંગ પેટર્ન ફક્ત દરેક કપડાની પટ્ટી લઈને અને તેને સમતલીય વિસ્તાર પર ખોલીને શોધી શકાય છે. આદર્શ બમણું વક્ર પટલની સપાટીના કિસ્સામાં ઉપ-સપાટીને સરળતાથી ખોલી શકાતી નથી અને તે સપાટ હોવી જોઈએ. ઉદાહરણ તરીકે, SGM નો ઉપયોગ સપાટ સમસ્યાના ઉકેલ માટે કરવામાં આવ્યો છે. કટીંગ પેટર્ન જનરેશન સમસ્યાને વાસ્તવમાં બે સ્વતંત્ર ફોર્મ્યુલેશનમાં વિભાજિત કરવામાં આવી છે. આ એક વિકૃતિ-મુક્ત સમતલ સ્વરૂપની પેઢી છે જે દરેક કપડાની પટ્ટીને ખુલ્લી પાડે છે અને સપાટ ડબલ-વક્ર સપાટીઓ છે જેને સરળતાથી ખોલી શકાતી નથી. સમસ્યાનો કાળજીપૂર્વક અભ્યાસ કરવાથી કોઈ પણ વ્યક્તિ જોઇ શકે છે કે વિભેદક ભૂમિતિના સ્થાનથી બંને ફોર્મ્યુલેશન સમાન છે. આપણે તેને સમતલ વિસ્તાર પર સપાટીના સમમિતીય નકશા તરીકે ગણી શકીએ છીએ જે કોઈપણ વળાંક અને વિસ્તારના કોઈપણ ટુકડાઓ વચ્ચેના અપરિવર્તનશીલ ખૂણાઓને કારણે એક સાથે અનુરૂપ નકશા અને સમતુલ્ય નકશા હશે. સિંગલ-કર્વ્ડ સપાટીના કિસ્સામાં કે જેને ચોક્કસપણે ઇક્વી-એરિયલ મેપિંગ દ્વારા ખોલી શકાય છે, તે કોઈપણ વિકૃતિ વિના ફેબ્રિક માળખા માટે કટીંગ પેટર્ન મેળવવાની મંજૂરી આપે છે. બીજા પ્રકારની સપાટીઓને ફેબ્રિકના ગુણધર્મો દ્વારા મર્યાદિત રેખીય સપાટીના તત્વોની કેટલીક વિકૃતિઓ સાથે જ લગભગ સમાન-વિસ્તારની નકશા બનાવી શકાય છે. ચાલો ધારીએ કે બે સપાટીઓ પરિમાણિત છે જેથી તેમના પ્રથમ વર્ગાકાર સ્વરૂપો નીચે પ્રમાણે લખી શકાય. વિભેદક ભૂમિતિમાં ઘડવામાં આવેલી બે સપાટીઓ માટે અનુરૂપ મેપિંગની શરત માટે જરૂરી છે કે અનુરૂપ મેપિંગને કારણે સપાટીની વિકૃતિનો ગુણોત્તર ક્યાં છે. તે જાણીતું છે કે પ્રથમ વર્ગાત્મક સ્વરૂપ બે સપાટી બિંદુઓ અને વચ્ચેના અંતરને પ્રતિબિંબિત કરે છે. જ્યારે-ગુણોત્તર 1 ની નજીક હોય ત્યારે ઉપરોક્ત EQN કોઈપણ વળાંક અને વિસ્તારના કોઈપણ ટુકડાઓના અપરિવર્તન વચ્ચેના અપરિવર્તનશીલ ખૂણાઓને કારણે અનુક્રમે આઇસોમેટ્રિક મેપિંગ અને ઇક્વી-એરિયલ મેપિંગની સ્થિતિમાં પરિવર્તિત થાય છે. યાદ રાખો કે ફોર્મ શોધવાનો પ્રથમ તબક્કો સપાટીના ત્રિકોણાકાર જાળી પર આધારિત છે અને સમતલ વિસ્તાર પર લઘુત્તમ સપાટીના સમમિતીય અને સમ-ક્ષેત્રિય મેપિંગના વર્ણન માટે ભારિત અવશેષોની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને આપણે નીચેનું કાર્ય લખી શકીએ છીએ જે વક્ર ત્રિકોણના સેગમેન્ટ્સ સાથે સંકલનના સરવાળા દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જ્યાં-ગ્રીડ કોષોની કુલ સંખ્યા,-વજન ગુણોત્તર,-કુલ મેપિંગ અવશેષ,-તે અચળાંક જે અંતિમ પરિણામને પ્રભાવિત કરતું નથી અને તેનો ઉપયોગ સ્કેલ રેશિયો તરીકે થઈ શકે છે. વધુ વજનના ગુણોત્તરને ધ્યાનમાં લેતા આપણે ઇક્યુએનનું પરિવર્તન કરી શકીએ છીએ. અંદાજિત મર્યાદિત સરવાળામાં જે સરફેસ ગ્રીડના ગાંઠો વચ્ચેના રેખીય અંતરનું સંયોજન છે અને ઇક્વી-એરિયલ સરફેસ મેપિંગની મૂળભૂત શરતને ઓછામાં ઓછા બિન-રેખીય કાર્ય તરીકે લખો જ્યાં-રેખીય સેગમેન્ટ નંબરની પ્રારંભિક લંબાઈ,-સેગમેન્ટ નંબરની અંતિમ લંબાઈ,-વિકૃતિ ગુણોત્તર 1 ની નજીક છે અને દરેક સેગમેન્ટ માટે અલગ હોઈ શકે છે. સેગમેન્ટ નંબરની પ્રારંભિક અને અંતિમ લંબાઈને હંમેશની જેમ બે નોડલ કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા વ્યક્ત કરી શકાય છે જ્યાં-પ્રારંભિક સેગમેન્ટના નોડ્સના કોઓર્ડિનેટ્સ,-અંતિમ સેગમેન્ટના નોડ્સના કોઓર્ડિનેટ્સ. પ્રારંભિક ધારણા અનુસાર આપણે સમતલ સપાટીના નકશા માટે લખી શકીએ છીએ. પરિવર્તન પછી આપણે બિન-રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની નીચેની બે સ્વતંત્ર પ્રણાલીઓ લખી શકીએ છીએ જ્યાં પ્રણાલીના તમામ ભાગોને અગાઉની જેમ વ્યક્ત કરી શકાય છે અને 1,2 અક્ષો પર સ્યુડો-સ્ટ્રેસના વાહક છે જે નીચેનું સ્વરૂપ ધરાવે છે જ્યાં-નોડ નંબરની આસપાસના ગાંઠોની કુલ સંખ્યા,-વૈશ્વિક અક્ષોની સંખ્યા. ઉપરોક્ત અભિગમ એ એસ. જી. એમ. નું બીજું સ્વરૂપ છે અને બિન-રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની બે સ્વતંત્ર પ્રણાલીઓ મેળવવાની મંજૂરી આપે છે જેને કોઈપણ પ્રમાણભૂત પુનરાવર્તન પ્રક્રિયા દ્વારા ઉકેલી શકાય છે. સપાટીની ગૌસીયન વક્રતા જેટલી ઓછી હોય છે તેટલી જ પ્લેન મેપિંગની ચોકસાઈ વધારે હોય છે. એક નિયમ તરીકે, પ્લેન મેપિંગ અંતિમ સપાટીની અનુરૂપ અવકાશી રેખાઓ કરતાં ઓછા રેખીય પરિમાણો 1-2% સાથે પેટર્ન મેળવવાની મંજૂરી આપે છે. તેથી જ પેટર્ન બનાવતી વખતે યોગ્ય માર્જિન પ્રદાન કરવું જરૂરી છે. કટ આઉટનો લાક્ષણિક નમૂનો-જેને કટઆઉટ, ગોર (સેગમેન્ટ) અથવા પેચ પણ કહેવામાં આવે છે-ફિગ્સમાં રજૂ કરવામાં આવે છે. 9, 10, 11. મેશ પેઢીના પ્રકારો મેશ સંદર્ભો બાહ્ય કડીઓ ટેન્સાઇલ ફેબ્રિક સ્ટ્રક્ચર્સ માટે K3-ટેન્ટ સિસ્ટમ ફોર્મફાઇન્ડિંગ અને કટીંગ પેટર્નિંગ ક્યુબેન્ટન્ટ કોર્પ મેશ પેઢી આંકડાકીય વિભેદક સમીકરણો