Freudenthal spectral theorem
ગણિતમાં, ફ્રોઈડેન્થલ સ્પેક્ટ્રલ થીયરમ એ 1936માં હંસ ફ્રોઈડેન્થલ દ્વારા સાબિત રીઝ અવકાશ સિદ્ધાંતનું પરિણામ છે. તે આશરે જણાવે છે કે રીઝ અવકાશમાં મુખ્ય પ્રક્ષેપણ ગુણધર્મ સાથે હકારાત્મક તત્વ દ્વારા પ્રભુત્વ ધરાવતા કોઈપણ તત્વને એક અર્થમાં સરળ કાર્યો દ્વારા સમાન રીતે અંદાજિત કરી શકાય છે. અસંખ્ય જાણીતા પરિણામો ફ્રોઈડેન્થલ સ્પેક્ટ્રલ થીયરમમાંથી મેળવી શકાય છે. જાણીતા રેડોન-નિકોડીમ પ્રમેય, પોઈસન સૂત્રની માન્યતા અને સામાન્ય સંચાલકોના સિદ્ધાંતમાંથી વર્ણપટ પ્રમેય બધાને ફ્રોઈડેન્થલ વર્ણપટ પ્રમેયના વિશેષ કિસ્સાઓ તરીકે અનુસરતા દર્શાવી શકાય છે. નિવેદન ધારો કે ઇ એ રીઝ અવકાશ E માં કોઈપણ હકારાત્મક તત્વ છે. E માં p ના હકારાત્મક તત્વને e નો ઘટક કહેવામાં આવે છે. જો ઇ ના જોડી મુજબના અસંબદ્ધ ઘટકો હોય, તો ઇ ના કોઈપણ વાસ્તવિક રેખીય સંયોજનને ઇ-સરળ કાર્ય કહેવામાં આવે છે. ફ્રોયુડેન્થલ સ્પેક્ટ્રલ થીયરમ જણાવે છેઃ ધારો કે E એ મુખ્ય પ્રક્ષેપણ ગુણધર્મ સાથેની કોઈપણ રીસ જગ્યા અને E માં કોઈપણ હકારાત્મક તત્વ છે. પછી e દ્વારા પેદા થયેલ મુખ્ય આદર્શમાં કોઈપણ તત્વ f માટે, ત્યાં સિક્વન્સ અને ઇ-સિમ્પલ ફંક્શન્સ અસ્તિત્વમાં છે, જેમ કે મોનોટોન વધી રહ્યો છે અને e-સમાનરૂપે f માં કન્વર્જ થાય છે, અને મોનોટોન ઘટી રહ્યો છે અને e-સમાનરૂપે f માં કન્વર્જ થાય છે. રેડોન-નિકોડીમ થીયરમ સાથે સંબંધ ચાલો એક માપ જગ્યા અને સહી કરેલ-એડિટિવ માપની વાસ્તવિક જગ્યા હોઈએ. તે દર્શાવી શકાય છે કે તે કુલ ભિન્નતાના ધોરણ સાથે ડેડેકાઇન્ડ સંપૂર્ણ બનાચ જાળી છે, અને તેથી તે મુખ્ય પ્રક્ષેપણ ગુણધર્મ ધરાવે છે. કોઈપણ હકારાત્મક માપ માટે,-સરળ વિધેયો (ઉપર વ્યાખ્યાયિત કર્યા મુજબ) બરાબર-માપી શકાય તેવા સરળ વિધેયો (સામાન્ય અર્થમાં) ને અનુરૂપ હોવાનું દર્શાવી શકાય છે. તદુપરાંત, ફ્રોઉડેન્થલ સ્પેક્ટ્રલ થીયરમ દ્વારા, લેબસ્ગ્યુના મોનોટોન કન્વર્જન્સ થીયરમ દ્વારા પેદા થયેલ બેન્ડમાં કોઈપણ માપને નીચેથી-માપી શકાય તેવા સરળ કાર્યો દ્વારા એકવિધ રીતે અંદાજિત કરી શકાય છે, જે ફંક્શનને અનુરૂપ હોવાનું દર્શાવી શકાય છે અને બેન્ડ અને બનાચ લેટીસ દ્વારા પેદા થયેલ બેન્ડ વચ્ચે આઇસોમેટ્રિક લેટીસ આઇસોમોર્ફિઝમ સ્થાપિત કરે છે. કાર્યાત્મક વિશ્લેષણમાં રેડોન-નિકોડીમ પ્રમેય સંદર્ભ પ્રમેય પણ જુઓ.