Density (polytope)
ભૂમિતિમાં, તારા પોલિહેડ્રોનની ઘનતા એ બે પરિમાણોથી ઉચ્ચ પરિમાણો સુધી વળાંકની સંખ્યાના ખ્યાલનું સામાન્યીકરણ છે, જે પોલિહેડ્રોનની સમપ્રમાણતાના કેન્દ્રની આસપાસ પોલિહેડ્રોનના વળાંકની સંખ્યાને રજૂ કરે છે. તે કેન્દ્રથી અનંત સુધી કિરણોને પસાર કરીને, માત્ર પોલીટોપનાં પાસાંઓમાંથી પસાર કરીને અને કોઈ પણ નીચલા પરિમાણીય લક્ષણોમાંથી નહીં, અને તે કેટલા પાસાંઓમાંથી પસાર થાય છે તેની ગણતરી કરીને નક્કી કરી શકાય છે. પોલિહેડ્રા માટે કે જેના માટે આ ગણતરી કિરણોની પસંદગી પર આધારિત નથી, અને જેના માટે કેન્દ્રિય બિંદુ પોતે કોઈ પણ પાસા પર નથી, ઘનતા ક્રોસ કરેલા પાસાઓની આ ગણતરી દ્વારા આપવામાં આવે છે. સમાન ગણતરી કોઈપણ બહિર્મુખ પોલિહેડ્રોન માટે કરી શકાય છે, સમપ્રમાણતા વિનાના પણ, તેના કેન્દ્ર તરીકે પોલિહેડ્રોનના આંતરિક કોઈપણ બિંદુને પસંદ કરીને. આ પોલિહેડ્રા માટે, ઘનતા 1 હશે. વધુ સામાન્ય રીતે, કોઈપણ નોન-સેલ્ફ-ઇન્ટરસેક્ટિંગ (એકોપ્ટિક) પોલિહેડ્રોન માટે, સમાન ગણતરી દ્વારા ઘનતાની ગણતરી 1 તરીકે કરી શકાય છે જે આંતરિક બિંદુમાંથી એક કિરણ પસંદ કરે છે જે ફક્ત પોલિહેડ્રોનના પાસાઓમાંથી પસાર થાય છે, જ્યારે આ કિરણ આંતરિકમાંથી પસાર થાય છે ત્યારે એક ઉમેરે છે. જો કે, ક્રોસિંગ માટેના સંકેતોની આ સોંપણી સામાન્ય રીતે સ્ટાર પોલિહેડ્રા પર લાગુ પડતી નથી, કારણ કે તેમની પાસે સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત આંતરિક અને બાહ્ય નથી. ઓવરલેપિંગ ફેસિસ સાથેના ટેસેલેશન એ જ રીતે કોઈપણ બિંદુ પર ફેસિસના આવરણની સંખ્યા તરીકે ઘનતાને વ્યાખ્યાયિત કરી શકે છે. બહુકોણની ઘનતા એ છે કે બહુકોણીય સીમા તેના કેન્દ્રની આસપાસ કેટલી વાર પવન ફૂંકાય છે. બહિર્મુખ બહુકોણ માટે, અને વધુ સામાન્ય રીતે સરળ બહુકોણ (સ્વ-છેદતા નહીં) માટે, જોર્ડન વળાંક પ્રમેય દ્વારા ઘનતા 1 છે. બહુકોણની ઘનતાને તેની વળાંક સંખ્યા પણ કહી શકાય; 360° દ્વારા વિભાજિત તમામ શિરોબિંદુઓના વળાંક ખૂણાઓનો સરવાળો. આ સમતલમાં તમામ યુનિકર્સલ પાથ માટે પૂર્ણાંક હશે. સંયોજન બહુકોણની ઘનતા એ ઘટક બહુકોણની ઘનતાઓનો સરવાળો છે. નિયમિત તારાનું બહુકોણ નિયમિત તારાનું બહુકોણ {p/q} માટે ઘનતા q છે. તે કેન્દ્રથી અનંત સુધી કિરણોની ધાર પાર કરવાની લઘુતમ સંખ્યાની ગણતરી કરીને દૃષ્ટિની રીતે નક્કી કરી શકાય છે. ઉદાહરણો પોલિહેડ્રા એ પોલિહેડ્રોન અને તેના બેવડા સમાન ઘનતા ધરાવે છે. કુલ વળાંક એ પોલિહેડ્રોનને શિરોબિંદુઓ પર કેન્દ્રિત ગૌસીયન વળાંક ધરાવતી સપાટી ગણી શકાય અને કોણ ખામી દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. પોલિહેડ્રોનની ઘનતા કુલ વળાંક (તેના તમામ શિરોબિંદુઓ પર સરવાળો) ને 4π વડે ભાગ્યા બરાબર હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે, સમઘનમાં 8 શિરોબિંદુઓ હોય છે, દરેકમાં 3 ચોરસ હોય છે, જેનાથી π/2 નો ખૂણો ખામી રહે છે. 8 × π/2 = 4π. તેથી સમઘનની ઘનતા 1 છે. સરળ પોલિહેડ્રા સરળ ચહેરાઓ અને શિરોબિંદુ આકૃતિઓ સાથે પોલિહેડ્રોનની ઘનતા યુલર લાક્ષણિકતા, χ ની અડધી છે. જો તેની જાતિ g હોય, તો તેની ઘનતા 1-g છે. χ = V − E + F = 2D = 2 (1-g). નિયમિત સ્ટાર પોલિહેડ્રા આર્થર કેલેએ નિયમિત સ્ટાર પોલિહેડ્રા માટે કામ કરવા માટે યુલરના પોલિહેડ્રોન સૂત્ર (V − E + F = 2) માં ફેરફાર કરવા માટે ઘનતાનો ઉપયોગ કર્યો હતો, જ્યાં dv એ શિરોબિંદુ આકૃતિની ઘનતા છે, ચહેરાની df અને સંપૂર્ણ રીતે પોલિહેડ્રોનની D: ઉદાહરણ તરીકે, મહાન આઇકોસાહેડ્રોન, {3,5/2}, 20 ત્રિકોણાકાર ચહેરાઓ (df = 1), 30 ધાર અને 12 પેન્ટાગ્રામિક શિરોબિંદુ આકૃતિઓ (dv = 2) ધરાવે છે, જે 2·12−30 + 1·20 = 14 = 2D આપે છે. આ 7 ની ઘનતા સૂચવે છે. યુલરનું બિનપરિવર્તિત પોલિહેડ્રોન સૂત્ર નાના સ્ટેલેટેડ ડોડેકાહેડ્રોન {5/2,5} અને તેના બેવડા મહાન ડોડેકાહેડ્રોન {5,5/2} માટે નિષ્ફળ જાય છે, જેના માટે V − E + F = −6 છે. નિયમિત સ્ટાર પોલિહેડ્રા બે બેવડી જોડીમાં અસ્તિત્વ ધરાવે છે, જેમાં દરેક આકૃતિ તેની બેવડી જેટલી જ ઘનતા ધરાવે છેઃ એક જોડી (નાના સ્ટેલેટેડ ડોડેકાહેડ્રોન-ગ્રેટ ડોડેકાહેડ્રોન) ની ઘનતા 3 છે, જ્યારે અન્ય (ગ્રેટ સ્ટેલેટેડ ડોડેકાહેડ્રોન-ગ્રેટ આઇકોસાહેડ્રોન) ની ઘનતા 7 છે. જનરલ સ્ટાર પોલિહેડ્રા એડમન્ડ હેસે વિવિધ પ્રકારના ચહેરા સાથે સ્ટાર પોલિહેડ્રા માટેના સૂત્રને સામાન્ય બનાવ્યું, જેમાંથી કેટલાક અન્ય પર પાછળની તરફ ફોલ્ડ થઈ શકે છે. ઘનતા માટેનું પરિણામી મૂલ્ય સંકળાયેલ ગોળાકાર પોલિહેડ્રોન ગોળાને કેટલી વાર આવરી લે છે તેની સંખ્યાને અનુરૂપ છે. આનાથી કોક્સેટર એટ અલને મંજૂરી મળી. મોટાભાગના એકસમાન પોલિહેડ્રાની ઘનતા નક્કી કરવા માટે, જેમાં એક શિરોબિંદુ પ્રકાર અને ચહેરાના બહુવિધ પ્રકારો હોય છે. નોન-ઓરિએન્ટેબલ પોલિહેડ્રા હેમિપોલિહેડ્રા માટે, જેમના કેટલાક ચહેરા કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે, ઘનતા વ્યાખ્યાયિત કરી શકાતી નથી. નોન-ઓરિએન્ટેબલ પોલિહેડ્રા પણ સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત ઘનતા ધરાવતા નથી. નિયમિત 4-બહુપદી ત્યાં 10 નિયમિત 4-બહુપદી તારાઓ છે (જેને શ્લાફલી-હેસ 4-બહુપદી કહેવાય છે), જેની ઘનતા 4,6,20,66,76 અને 191 ની વચ્ચે હોય છે. તેઓ સ્વ-દ્વૈત ઘનતા-6 અને ઘનતા-66 આંકડાઓને બાદ કરતાં બેવડી જોડીમાં આવે છે. નોંધો સંદર્ભો કોક્સેટર, એચ. એસ. એમ.; નિયમિત પોલીટોપ્સ, (ત્રીજી આવૃત્તિ, 1973), ડોવર આવૃત્તિ, બાહ્ય કડીઓ પોલીટોપ્સ