Petrov–Galerkin method
પેટ્રોવ-ગેલેરકિન પદ્ધતિ એ એક ગાણિતિક પદ્ધતિ છે જેનો ઉપયોગ આંશિક વિભેદક સમીકરણોના અંદાજિત ઉકેલો માટે થાય છે જેમાં વિષમ ક્રમ સાથેના શબ્દો હોય છે અને જ્યાં પરીક્ષણ કાર્ય અને ઉકેલ કાર્ય વિવિધ કાર્ય જગ્યાઓ સાથે સંબંધિત હોય છે. તેને બુબનોવ-ગેલેરકિન પદ્ધતિના વિસ્તરણ તરીકે જોઈ શકાય છે જ્યાં પરીક્ષણ કાર્યો અને ઉકેલ કાર્યોના પાયા સમાન હોય છે. વિભેદક સમીકરણની સંચાલક રચનામાં, પેટ્રોવ-ગેલેરકિન પદ્ધતિને એક પ્રક્ષેપણ લાગુ કરવા તરીકે જોઈ શકાય છે જે બુબનોવ-ગેલેરકિન પદ્ધતિથી વિપરીત ઓર્થોગોનલ હોવું જરૂરી નથી. અમૂર્ત સમસ્યા સાથે પરિચય પેટ્રોવ-ગેલર્કિનની પદ્ધતિ ગેલર્કિન પદ્ધતિનું કુદરતી વિસ્તરણ છે અને તે જ રીતે નીચે પ્રમાણે રજૂ કરી શકાય છે. નબળા ફોર્મ્યુલેશનમાં એક સમસ્યા ચાલો આપણે હિલ્બર્ટ સ્પેસની જોડી પર નબળા ફોર્મ્યુલેશન તરીકે રજૂ કરવામાં આવેલી અમૂર્ત સમસ્યાને ધ્યાનમાં લઈએ અને, એટલે કે, બધા માટે તે શોધો. અહીં, એક દ્વિરેખીય સ્વરૂપ છે અને તે પર બંધાયેલ રેખીય કાર્યાત્મક છે. પેટ્રોવ-ગેલેરકિન પરિમાણમાં ઘટાડો પરિમાણ n અને પરિમાણ m ની પેટા જગ્યાઓ પસંદ કરો અને અનુમાનિત સમસ્યાનું સમાધાન કરો. આપણે નોંધ્યું છે કે સમીકરણ બદલાયું નથી અને માત્ર જગ્યાઓ બદલાઈ છે. સમસ્યાને મર્યાદિત-પરિમાણીય વેક્ટર સબસ્પેસમાં ઘટાડવાથી આપણે આંકડાકીય રીતે આધાર વેક્ટરના મર્યાદિત રેખીય સંયોજન તરીકે ગણતરી કરી શકીએ છીએ. પેટ્રોવ-ગેલેરકિને સામાન્યીકૃત ઓર્થોગોનાલિટી પેટ્રોવ-ગેલેરકિને અભિગમનો મુખ્ય ગુણધર્મ એ છે કે ભૂલ અમુક અર્થમાં પસંદ કરેલી પેટા જગ્યાઓ માટે "ઓર્થોગોનલ" છે. ત્યારથી, આપણે મૂળ સમીકરણમાં પરીક્ષણ વેક્ટર તરીકે ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ. બંનેને બાદ કરતાં, આપણને ભૂલ માટેનો સંબંધ મળે છે, જે મૂળ સમસ્યાના ઉકેલ અને ગેલર્કિન સમીકરણના ઉકેલ વચ્ચેની ભૂલ છે, જે બધા માટે નીચે મુજબ છે. મેટ્રિક્સ સ્વરૂપ અંદાજનો ઉદ્દેશ સમીકરણોની રેખીય પ્રણાલી ઉત્પન્ન કરવાનો હોવાથી, આપણે તેનું મેટ્રિક્સ સ્વરૂપ બનાવીએ છીએ, જેનો ઉપયોગ ઉકેલની ગણતરી અલ્ગોરિધમિક રીતે કરી શકાય છે. ચાલો એક આધાર બનીએ અને તેના માટે એક આધાર બનીએ. પછી, ગેલર્કિન સમીકરણના પરીક્ષણ માટે બદલામાં આનો ઉપયોગ કરવો પૂરતો છે, એટલે કે. આ પહેલાનું સમીકરણ વાસ્તવમાં સમીકરણોની એક રેખીય પ્રણાલી છે, જ્યાં મેટ્રિક્સની સમપ્રમાણતા મેટ્રિક્સ એન્ટ્રીઓની વ્યાખ્યાને કારણે, મેટ્રિક્સ સમપ્રમાણ હોય છે જો, દ્વિરેખીય સ્વરૂપ સમપ્રમાણ હોય,, અને બધા માટે.