Grunsky's theorem
ગણિતમાં, જર્મન ગણિતશાસ્ત્રી હેલ્મુટ ગ્રુન્સ્કીના કારણે ગ્રુન્સ્કીનો પ્રમેય, જટિલ સંખ્યાઓમાં એકમ ડિસ્ક પર વ્યાખ્યાયિત હોલોમોર્ફિક અવિભાજ્ય વિધેયોને લગતા જટિલ વિશ્લેષણનું પરિણામ છે. પ્રમેય જણાવે છે કે એકમ ડિસ્ક પર વ્યાખ્યાયિત અવિભાજ્ય કાર્ય, બિંદુ 0 ને નિશ્ચિત કરીને, દરેક ડિસ્કને |z | <r ને r ≤ તનહ π/4 માટે તારા જેવા ડોમેન પર મેપ કરે છે. જે સૌથી મોટા r માટે આ સાચું છે તેને કાર્યની સ્ટારલિકનેસની ત્રિજ્યા કહેવામાં આવે છે. નિવેદન ધારો કે f એ એકમ ડિસ્ક D પર એક સમાન હોલોમોર્ફિક વિધેય છે જેમ કે f (0) = 0. પછી બધા r ≤ તનહ π/4 માટે, ડિસ્કની છબી |z | <r એ 0 ના સંદર્ભમાં તારા જેવી છે, એટલે કે. તે (0,1) માં વાસ્તવિક સંખ્યાઓ દ્વારા ગુણાકાર હેઠળ અપરિવર્તનશીલ છે. જો f (0) = 0 સાથે D પર f (z) અવિભાજ્ય હોય, તો લઘુગણકના વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને લઈને, આ બે અસમાનતાઓ સૂચવે છે અને નિશ્ચિત z માટે, આ બંને સમાનતાઓ યોગ્ય Koebe વિધેયો દ્વારા પ્રાપ્ત થાય છે જ્યાં |w | = 1. પુરાવો મૂળરૂપે લુડવિગ બીબરબેકની આત્યંતિક તકનીકોના આધારે આ અસમાનતાઓને સાબિત કરે છે. પછીના પુરાવાઓ, જેમાં દર્શાવેલ છે, તે લોવનર સમીકરણ પર આધારિત હતા. ત્યારબાદ ગોલુઝિનની અસમાનતાઓના આધારે વધુ પ્રાથમિક પુરાવા આપવામાં આવ્યા હતા, જે ગ્રુન્સ્કી મેટ્રિક્સ માટે ગ્રુન્સ્કીની અસમાનતાઓ (1939) નું સમકક્ષ સ્વરૂપ છે. વિસ્તરણ સાથે z> 1 માં અવિભાજ્ય કાર્ય માટે ગોલુઝિનની અસમાનતાઓ જણાવે છે કે જ્યાં ઝી |zi |> 1 અને λi સાથે અલગ બિંદુઓ છે તે મનસ્વી જટિલ સંખ્યાઓ છે. n = 2 લઈને. λ1 =-λ2 = λ સાથે, અસમાનતા સૂચવે છે કે જો g એક વિષમ વિધેય છે અને η =-ζ, તો આ ઉપજ આપે છે. નેવનલિન્નાના માપદંડ મુજબ, f એ |z | <r પર તારો જેવો છે જો અને માત્ર જો |z | <r માટે. સમાનરૂપે બીજી બાજુ ઉપરની ગ્રુન્સ્કીની અસમાનતા દ્વારા, આમ જો અસમાનતા z પર રહે છે. આ સ્થિતિ તેની સમકક્ષ છે અને તેથી f એ કોઈપણ ડિસ્ક |z | <r પર r ≤ તનહ π/4 સાથે તારા જેવું છે. સંદર્ભો (રશિયનમાં) (જર્મનમાં) (જર્મનમાં) જટિલ વિશ્લેષણમાં પ્રમેયો