Holomorphic Embedding Load-flow method
હોલોમોર્ફિક એમ્બેડિંગ લોડ-ફ્લો પદ્ધતિ (HELM) એ વિદ્યુત શક્તિ પ્રણાલીઓના પાવર-ફ્લો સમીકરણો માટેની ઉકેલ પદ્ધતિ છે. તેની મુખ્ય લાક્ષણિકતાઓ એ છે કે તે સીધી છે (એટલે કે, બિન-પુનરાવર્તિત) અને તે ગાણિતિક રીતે બહુ-મૂલ્યવાન સમસ્યાની યોગ્ય કાર્યકારી શાખાની સુસંગત પસંદગીની બાંયધરી આપે છે, જ્યારે કોઈ ઉકેલ ન હોય ત્યારે વોલ્ટેજ પતનની સ્થિતિનો સંકેત પણ આપે છે. આ ગુણધર્મો માત્ર હાલની ઓફ-લાઇન અને રીઅલ-ટાઇમ એપ્લિકેશનોની વિશ્વસનીયતા માટે જ સુસંગત નથી, પરંતુ તે પણ કારણ કે તેઓ નવા પ્રકારના વિશ્લેષણાત્મક સાધનોને સક્ષમ કરે છે જે હાલની પુનરાવર્તિત લોડ-ફ્લો પદ્ધતિઓ (તેમની અભિસરણ સમસ્યાઓને કારણે) સાથે નિર્માણ કરવું અશક્ય હશે. આનું ઉદાહરણ વાસ્તવિક સમયમાં માન્ય કાર્ય યોજનાઓ પ્રદાન કરતા નિર્ણય-સહાયક સાધનો હશે. HELM લોડ-ફ્લો અલ્ગોરિધમની શોધ એન્ટોનિયો ટ્રાયસ દ્વારા કરવામાં આવી હતી અને તેને બે યુ. એસ. પેટન્ટ આપવામાં આવ્યા છે. 2012ની IEEE PES સામાન્ય સભામાં વિગતવાર વર્ણન રજૂ કરવામાં આવ્યું હતું અને ત્યારબાદ તેને પ્રકાશિત કરવામાં આવ્યું હતું. આ પદ્ધતિ અદ્યતન વિભાવનાઓ અને જટિલ વિશ્લેષણના પરિણામો પર આધારિત છે, જેમ કે હોલોમોર્ફિસિટી, બીજગણિત વળાંકનો સિદ્ધાંત અને વિશ્લેષણાત્મક સાતત્ય. જો કે, આંકડાકીય અમલીકરણ એકદમ સીધું છે કારણ કે તે પ્રમાણભૂત રેખીય બીજગણિત અને પેડે અંદાજનો ઉપયોગ કરે છે. વધુમાં, કારણ કે ગણતરીનો મર્યાદિત ભાગ એ પ્રવેશ મેટ્રિક્સનું ફેક્ટરાઇઝેશન છે અને આ માત્ર એક જ વાર કરવામાં આવે છે, તેનું પ્રદર્શન સ્થાપિત ઝડપી-વિચ્છેદિત લોડફ્લો સાથે સ્પર્ધાત્મક છે. આ પદ્ધતિ હાલમાં ઔદ્યોગિક-શક્તિ રીઅલ-ટાઇમ અને ઓફ-લાઇન પેકેજ્ડ ઇએમએસ કાર્યક્રમોમાં લાગુ કરવામાં આવી છે. પૃષ્ઠભૂમિ લોડ-ફ્લો ગણતરી એ પાવર સિસ્ટમના વિશ્લેષણમાં સૌથી મૂળભૂત ઘટકોમાંનું એક છે અને પાવર સિસ્ટમ સિમ્યુલેશન અને મેનેજમેન્ટમાં ઉપયોગમાં લેવાતા લગભગ તમામ અન્ય સાધનો માટે પાયાનો છે. લોડ-ફ્લો સમીકરણોને નીચેના સામાન્ય સ્વરૂપમાં લખી શકાય છેઃ જ્યાં આપેલ (જટિલ) પરિમાણો એ એડમિટન્સ મેટ્રિક્સ, બસ શન્ટ એડમિટન્સ અને સ્થિર-પાવર લોડ અને જનરેટરનું પ્રતિનિધિત્વ કરતા બસ પાવર ઇન્જેક્શન છે. બીજગણિત સમીકરણોની આ બિન-રેખીય પ્રણાલીને ઉકેલવા માટે, પરંપરાગત લોડ-ફ્લો અલ્ગોરિધમ્સ ત્રણ પુનરાવર્તિત તકનીકોના આધારે વિકસાવવામાં આવ્યા હતાઃ ગૌસ-સીડેલ પદ્ધતિ, જેમાં નબળા અભિસરણ ગુણધર્મો છે પરંતુ યાદશક્તિની જરૂરિયાતો ખૂબ ઓછી છે અને અમલમાં મૂકવા માટે સરળ છે; સંપૂર્ણ ન્યૂટન-રેફસન પદ્ધતિ જેમાં ઝડપી (ચતુર્ભુજ) પુનરાવર્તિત અભિસરણ ગુણધર્મો છે, પરંતુ તે ગણતરીની રીતે ખર્ચાળ છે; અને ફાસ્ટ ડિકપલ્ડ લોડ-ફ્લો (એફ. ડી. એલ. એફ.) પદ્ધતિ, જે ન્યૂટન-રેફસન પર આધારિત છે, પરંતુ ડિકપલિંગ અંદાજ દ્વારા તેના ગણતરી ખર્ચને મોટા પ્રમાણમાં ઘટાડે છે જે મોટાભાગના ટ્રાન્સમિશન નેટવર્કમાં માન્ય છે. અન્ય ઘણા વૃદ્ધિશીલ સુધારાઓ અસ્તિત્વમાં છે; જો કે, તે બધામાં અંતર્ગત તકનીક હજુ પણ પુનરાવર્તિત ઉકેલનાર છે, ક્યાં તો ગૌસ-સીડેલ અથવા ન્યૂટન પ્રકારની. આ પ્રકારની તમામ પુનરાવર્તિત યોજનાઓ સાથે બે મૂળભૂત સમસ્યાઓ છે. એક તરફ, એવી કોઈ ગેરંટી નથી કે પુનરાવર્તન હંમેશા ઉકેલમાં એકરૂપ થશે; બીજી તરફ, સિસ્ટમમાં બહુવિધ ઉકેલો હોવાથી, કયા ઉકેલની પસંદગી કરવામાં આવશે તે નિયંત્રિત કરવું શક્ય નથી. જેમ જેમ પાવર સિસ્ટમ વોલ્ટેજ પતનના બિંદુની નજીક પહોંચે છે, નકલી ઉકેલો સાચા ઉકેલની નજીક આવે છે, અને ન્યુટન ફ્રેક્ટલ્સની ઘટનાને કારણે પુનરાવર્તિત યોજના સરળતાથી તેમાંથી એક તરફ આકર્ષિત થઈ શકે છેઃ જ્યારે ન્યુટન પદ્ધતિ જટિલ કાર્યો પર લાગુ કરવામાં આવે છે, ત્યારે વિવિધ ઉકેલો માટેના આકર્ષણના તટપ્રદેશો ફ્રેક્ટલ વર્તન દર્શાવે છે. પરિણામે, પુનરાવર્તન (બીજ) નું પસંદ કરેલું પ્રારંભિક બિંદુ સાચા ઉકેલની ગમે તેટલું નજીક હોય, ત્યાં હંમેશા કોઈ અલગ ઉકેલ તરફ ભટકી જવાની કેટલીક બિન-શૂન્ય તક હોય છે. પુનરાવર્તિત લોડફ્લોની આ મૂળભૂત સમસ્યાઓનું વ્યાપકપણે દસ્તાવેજીકરણ કરવામાં આવ્યું છે. જો કે હોમોટોપિક સાતત્ય તકનીકો અસ્તિત્વમાં છે જે સમસ્યાને અમુક અંશે દૂર કરે છે, આકર્ષણના તટપ્રદેશોની ફ્રેક્ટલ પ્રકૃતિ તમામ વિદ્યુત દૃશ્યો માટે 100% વિશ્વસનીય પદ્ધતિને બાકાત રાખે છે. એચ. ઇ. એલ. એમ. નો મુખ્ય વિભેદક ફાયદો એ છે કે તે સંપૂર્ણપણે નિર્ધારિત અને અસંદિગ્ધ છેઃ તે બાંહેધરી આપે છે કે જ્યારે ઉકેલ અસ્તિત્વમાં હોય ત્યારે તે હંમેશા સાચા કાર્યકારી ઉકેલને અનુરૂપ હોય છે; અને જ્યારે પરિસ્થિતિઓ એવી હોય કે કોઈ ઉકેલ ન હોય ત્યારે તે ઉકેલના અસ્તિત્વને સંકેત આપે છે (વોલ્ટેજ પતન). વધુમાં, ગણતરી ખર્ચની દ્રષ્ટિએ આ પદ્ધતિ એફ. ડી. એન. આર. પદ્ધતિ સાથે સ્પર્ધાત્મક છે. તે લોડ-ફ્લો સમસ્યાની નક્કર ગાણિતિક સારવાર લાવે છે જે પુનરાવર્તિત આંકડાકીય પદ્ધતિઓ સાથે અગાઉ ઉપલબ્ધ ન હોય તેવી નવી આંતરદૃષ્ટિ પ્રદાન કરે છે. પદ્ધતિશાસ્ત્ર અને ઉપયોગો HELM સખત ગાણિતિક સિદ્ધાંત પર આધારિત છે, અને વ્યવહારુ દ્રષ્ટિએ તેનો સારાંશ નીચે મુજબ આપી શકાય છેઃ એક જટિલ પરિમાણની દ્રષ્ટિએ સમીકરણો માટે ચોક્કસ (હોલોમોર્ફિક) એમ્બેડિંગને વ્યાખ્યાયિત કરો, જેમ કે સિસ્ટમ માટે સ્પષ્ટ સાચો ઉકેલ હોય, અને એક વ્યક્તિ માટે મૂળ સમસ્યાને પુનઃપ્રાપ્ત કરે છે. આ હોલોમોર્ફિક એમ્બેડિંગને જોતાં, હવે વિશ્લેષણાત્મક કાર્યો તરીકે વોલ્ટેજ માટે યુનિવોકલી પાવર સિરીઝની ગણતરી કરવી શક્ય છે. સાચો ભાર-પ્રવાહ ઉકેલ જાણીતા સાચા ઉકેલના વિશ્લેષણાત્મક સાતત્ય દ્વારા મેળવવામાં આવશે. બીજગણિત અંદાજનો ઉપયોગ કરીને વિશ્લેષણાત્મક સાતત્ય કરો, જે આ કિસ્સામાં જો ઉકેલ અસ્તિત્વમાં હોય તો તે ઉકેલ સાથે એકરૂપ થવાની બાંયધરી આપે છે, અથવા જો ઉકેલ અસ્તિત્વમાં ન હોય તો તે એકરૂપ થવાની બાંયધરી આપે છે (વોલ્ટેજ પતન). HELM તમામ પુનરાવર્તિત ભાર-પ્રવાહ પદ્ધતિઓની લાંબા સમયથી ચાલતી સમસ્યાનું સમાધાન પૂરું પાડે છે, એટલે કે સાચો ઉકેલ (અથવા કોઈપણ ઉકેલ) શોધવામાં પુનરાવર્તનોની અવિશ્વસનીયતા. આ HELM ને ખાસ કરીને વાસ્તવિક સમયની એપ્લિકેશનો માટે અનુકૂળ બનાવે છે, અને આકસ્મિક વિશ્લેષણ જેવા સંશોધનાત્મક અલ્ગોરિધમ્સ પર આધારિત કોઈપણ EMS સોફ્ટવેર માટે ફરજિયાત બનાવે છે, અને ચેતવણી અને કટોકટીની પરિસ્થિતિઓમાં ઓપરેશનલ મર્યાદાના ઉલ્લંઘનને હલ કરે છે અને કાર્ય યોજનાઓ દ્વારા માર્ગદર્શન પૂરું પાડે છે. હોલોમોર્ફિક એમ્બેડિંગ ચર્ચાના હેતુઓ માટે, આપણે નિયંત્રણોની સારવારને બાકાત રાખીશું, પરંતુ પદ્ધતિ તમામ પ્રકારના નિયંત્રણોને સમાવી શકે છે. આ નિયંત્રણો દ્વારા લાદવામાં આવેલા અવરોધ સમીકરણો માટે, યોગ્ય હોલોમોર્ફિક એમ્બેડિંગને પણ વ્યાખ્યાયિત કરવું આવશ્યક છે. આ પદ્ધતિ જટિલ પરિમાણ દ્વારા એમ્બેડિંગ તકનીકનો ઉપયોગ કરે છે. પદ્ધતિનો પ્રથમ મુખ્ય ઘટક એમ્બેડિંગને હોલોમોર્ફિક હોવાની જરૂરિયાતમાં રહેલો છે, એટલે કે, વોલ્ટેજ માટેના સમીકરણોની પ્રણાલીને કાર્યો માટે સમીકરણોની પ્રણાલીમાં એવી રીતે ફેરવવામાં આવે છે કે નવી પ્રણાલી હોલોમોર્ફિક કાર્યો તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરે છે (એટલે કે. નવા જટિલ ચલનું જટિલ વિશ્લેષણાત્મક). તેનો ઉદ્દેશ વિશ્લેષણાત્મક ચાલુ રાખવાની પ્રક્રિયાનો ઉપયોગ કરવામાં સક્ષમ બનવાનો છે જે એ. ટી. ની ગણતરીને મંજૂરી આપશે. સમીકરણો () ને જોતાં, એમ્બેડિંગને હોલોમોર્ફિક બનાવવા માટે જરૂરી શરત એ છે કે તેને એમ્બેડિંગ હેઠળ બદલવામાં આવે છે, નહીં. આનું કારણ એ છે કે જટિલ સંયોજન પોતે હોલોમોર્ફિક કાર્ય નથી. બીજી બાજુ, તે જોવાનું સરળ છે કે રિપ્લેસમેન્ટ સમીકરણોને હોલોમોર્ફિક ફંક્શનને વ્યાખ્યાયિત કરવાની મંજૂરી આપે છે. જો કે, આપેલ મનસ્વી એમ્બેડિંગ માટે, તે સાબિત થવાનું બાકી છે કે તે ખરેખર હોલોમોર્ફિક છે. આ તમામ વિચારણાઓને ધ્યાનમાં રાખીને, આ પ્રકારની એમ્બેડિંગની દરખાસ્ત કરવામાં આવી છેઃ આ પસંદગી સાથે, જમણી બાજુની શરતો શૂન્ય બની જાય છે, (જો કે છેદ શૂન્ય ન હોય તો), આ તે કેસને અનુરૂપ છે જ્યાં તમામ ઇન્જેક્શન શૂન્ય હોય અને આ કેસ એક જાણીતા અને સરળ ઓપરેશનલ સોલ્યુશન ધરાવે છેઃ તમામ વોલ્ટેજ સમાન હોય છે અને તમામ પ્રવાહની તીવ્રતા શૂન્ય હોય છે. તેથી, એમ્બેડિંગ માટેની આ પસંદગી s = 0 પર એક જાણીતા ઓપરેશનલ સોલ્યુશન પ્રદાન કરે છે. હવે બહુપદી પ્રણાલીઓમાં ચલ નાબૂદી માટે શાસ્ત્રીય તકનીકોનો ઉપયોગ કરીને (પરિણામ અને ગ્રોબનર આધારના સિદ્ધાંતના પરિણામો) તે સાબિત કરી શકાય છે કે સમીકરણો () હકીકતમાં હોલોમોર્ફિક કાર્યો તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરે છે. વધુ નોંધપાત્ર રીતે, તેઓ બીજગણિત વળાંક તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરે છે. તે આ ચોક્કસ હકીકત છે, જે સાચી બને છે કારણ કે એમ્બેડિંગ હોલોમોર્ફિક છે જે પરિણામની વિશિષ્ટતાની બાંયધરી આપે છે. અહીંનો ઉકેલ દરેક જગ્યાએ અનન્ય રીતે ઉકેલ નક્કી કરે છે (મર્યાદિત સંખ્યામાં શાખા કાપ સિવાય), આમ લોડ-ફ્લો સમસ્યાના બહુ-મૂલ્યથી છુટકારો મળે છે. વોલ્ટેજની પાવર શ્રેણીના વિસ્તરણ (ચાલુ) માટે ગુણાંક મેળવવાની તકનીક એકદમ સીધી છે, એકવાર કોઈને ખબર પડે કે સમીકરણો () નો ઉપયોગ તેમને ક્રમ પછી ક્રમ મેળવવા માટે કરી શકાય છે. અને માટે પાવર શ્રેણીના વિસ્તરણનો વિચાર કરો. સમીકરણો () માં બદલી કરીને અને દરેક ક્રમમાં શરતોને ઓળખીને, એક વ્યક્તિ પ્રાપ્ત કરે છેઃ પછી રેખીય પ્રણાલીઓ () ના ક્રમને એક પછી એક ક્રમમાં ઉકેલવાનું સરળ છે, જેની શરૂઆત અહીંથી થાય છે. નોંધ લો કે માટે અને માટે વિસ્તરણના ગુણાંક નીચેની ઓળખમાંથી મેળવેલા સરળ કન્વોલ્યુશન સૂત્રો દ્વારા સંબંધિત છેઃ જેથી () માં જમણી બાજુની ગણતરી હંમેશા અગાઉના ક્રમમાં સિસ્ટમના ઉકેલમાંથી કરી શકાય. માત્ર રેખીય પ્રણાલીઓને હલ કરીને પ્રક્રિયા કેવી રીતે કાર્ય કરે છે તેની પણ નોંધ લો, જેમાં મેટ્રિક્સ સ્થિર રહે છે. આ પ્રક્રિયા વિશે વધુ વિગતવાર ચર્ચા સંદર્ભમાં આપવામાં આવી છે. એકવાર પાવર સિરીઝની ગણતરી ઇચ્છિત ક્રમમાં કરવામાં આવે, ત્યારે તેમની ગણતરી કરવાની સમસ્યા વિશ્લેષણાત્મક સાતત્ય બની જાય છે. તે ભારપૂર્વક નોંધવું જોઈએ કે આમાં હોમોટોપિક ચાલુ રાખવાની તકનીકો સાથે કંઈપણ સામાન્ય નથી. હોમોટોપી શક્તિશાળી છે કારણ કે તે માત્ર સાતત્યની વિભાવનાનો ઉપયોગ કરે છે અને આમ તે સામાન્ય સરળ બિનરેખીય પ્રણાલીઓને લાગુ પડે છે, પરંતુ બીજી તરફ તે હંમેશા કાર્યોને અંદાજિત કરવા માટે વિશ્વસનીય પદ્ધતિ પ્રદાન કરતું નથી (કારણ કે તે ન્યૂટન-રેફસન જેવી પુનરાવર્તિત યોજનાઓ પર આધાર રાખે છે). તે સાબિત કરી શકાય છે કે બીજગણિત વળાંક એ સંપૂર્ણ વૈશ્વિક વિશ્લેષણાત્મક કાર્યો છે, એટલે કે, એક બિંદુ પર શક્તિ શ્રેણીના વિસ્તરણનું જ્ઞાન (કાર્યનું કહેવાતા સૂક્ષ્મજીવ) મર્યાદિત સંખ્યામાં શાખા કાપ સિવાય, જટિલ સમતલ પર દરેક જગ્યાએ કાર્યને અનન્ય રીતે નિર્ધારિત કરે છે. સ્ટહલનો એક્સ્ટ્રીમ ડોમેન થીયરમ આગળ ભારપૂર્વક જણાવે છે કે કાર્યના વિશ્લેષણાત્મક સાતત્ય માટે મહત્તમ ડોમેન અસ્તિત્વમાં છે, જે ન્યૂનતમ લઘુગણક ક્ષમતાના માપ સાથે શાખા કાપની પસંદગીને અનુરૂપ છે. બીજગણિત વળાંકના કિસ્સામાં કાપની સંખ્યા મર્યાદિત હોય છે, તેથી ન્યૂનતમ ક્ષમતા સાથે કાપનું સંયોજન શોધીને મહત્તમ સાતત્ય શોધવું શક્ય બનશે. વધુ સુધારાઓ માટે, પેડે એપ્રોક્સિમેન્ટ્સના કન્વર્જન્સ પર સ્ટહલનો પ્રમેય જણાવે છે કે વિકર્ણ અને અતિ-વિકર્ણ પેડે (અથવા સમકક્ષ રીતે, શક્તિ શ્રેણીના સતત અપૂર્ણાંક અંદાજ) મહત્તમ વિશ્લેષણાત્મક સાતત્યમાં એકરૂપ થાય છે. અંદાજે શૂન્ય અને ધ્રુવો નોંધપાત્ર રીતે ન્યૂનતમ ક્ષમતા ધરાવતા શાખા કટના સમૂહ પર એકઠા થાય છે. આ ગુણધર્મો લોડ-ફ્લો પદ્ધતિને વોલ્ટેજ પતનની સ્થિતિને સ્પષ્ટ રીતે શોધવાની ક્ષમતા પ્રદાન કરે છેઃ બીજગણિત અંદાજો ખાતરી આપે છે કે જો તે અસ્તિત્વમાં હોય તો કાં તો ઉકેલ સાથે એકરૂપ થાય છે, અથવા જો ઉકેલ અસ્તિત્વમાં ન હોય તો એકરૂપ થતું નથી. વિદ્યુત પ્રવાહ અભ્યાસ પણ જુઓ વિદ્યુત શક્તિ ઉત્પાદનમાં પાવર સિસ્ટમ સિમ્યુલેશન એકમ પ્રતિબદ્ધતા સમસ્યા નોંધો સંદર્ભો પાવર એન્જિનિયરિંગ