Water retention on random surfaces
રેન્ડમ સપાટીઓ પર પાણીની જાળવણી એ ચોરસ જાળી જેવી નિયમિત શ્રેણી પર વિવિધ ઊંચાઈના કોષોની સપાટી પર તળાવમાં પાણી પકડવાનું અનુકરણ છે, જ્યાં સિસ્ટમમાં દરેક કોષ પર પાણીનો વરસાદ થાય છે. સિસ્ટમની સીમાઓ ખુલ્લી છે અને પાણીને બહાર નીકળવા દે છે. પાણી તળાવોમાં ફસાઈ જશે, અને આખરે તમામ તળાવો તેમની મહત્તમ ઊંચાઈ સુધી ભરાઈ જશે, જેમાં કોઈ પણ વધારાનું પાણી સ્પિલવે પર અને સિસ્ટમની સરહદોની બહાર વહેશે. સમસ્યા એ છે કે આપેલ સપાટી પર ફસાયેલા અથવા જાળવી રાખેલા પાણીની માત્રા શોધવી. રેન્ડમ સપાટીઓ માટે આનો વ્યાપક અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો છે. રેન્ડમ સપાટીઓ એક પ્રણાલી જેમાં રીટેન્શન પ્રશ્નનો અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો છે તે રેન્ડમ ઊંચાઈની સપાટી છે. અહીં કોઈ રેન્ડમ સપાટીને સાઇટ પરકોલેશનમાં મેપ કરી શકે છે, અને દરેક કોષને અંતર્ગત ગ્રાફ અથવા જાળી પર સાઇટ પર મેપ કરવામાં આવે છે જે સિસ્ટમને રજૂ કરે છે. પરકોલેશન સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને, આ પ્રણાલીના ઘણા ગુણધર્મો સમજાવી શકાય છે. તે આક્રમણ પરકોલેશન મોડેલનું એક ઉદાહરણ છે જેમાં કોઈપણ રેન્ડમ સાઇટથી સિસ્ટમમાં પ્રવાહી દાખલ કરવામાં આવે છે. જળવિજ્ઞાનમાં, એક પ્રવાહ અને કેચમેન્ટ્સની રચના સાથે સંબંધિત છે. વિવિધ ડ્રેનેજ બેસિન (ઉત્તર અમેરિકામાં વોટરશેડ) વચ્ચેની સરહદ આશરે 1.22 ફ્રેક્ટલ પરિમાણ સાથે ડ્રેનેજ વિભાજન બનાવે છે. રીટેન્શન સમસ્યાને પ્રમાણભૂત પરકોલેશનમાં મેપ કરી શકાય છે. પાંચ સમાન સંભવિત સ્તરોની પ્રણાલી માટે, ઉદાહરણ તરીકે, સંગ્રહિત પાણીનું પ્રમાણ R5 એ બે-સ્તરની પ્રણાલીઓ R2 (p) માં સંગ્રહિત પાણીનો સરવાળો છે, જેમાં સૌથી નીચી સ્થિતિમાં સ્તર p ના વિવિધ અપૂર્ણાંકો છેઃ R5 = R2 (1/5) + R2 (2/5) + R2 (3/5) + R2 (4/5) સામાન્ય બે-સ્તરની પ્રણાલીઓ 1,2 સાથે p = 0.2,0.4,0.6,0.8 જમણી બાજુએ દર્શાવવામાં આવી છે (વાદળીઃ ભીના, લીલોઃ સૂકા, પીળોઃ ભીના સ્થળોની સરહદે આવેલા સ્પિલવેઝ). પાંચ-સ્તરની પ્રણાલીની ચોખ્ખી જાળવણી એ આ બધાનો સરવાળો છે. ટોચનું સ્તર કોઈ પાણીને ફસાવતું નથી કારણ કે તે ચોરસ જાળી, 0.592746 માટે પરકોલેશન થ્રેશોલ્ડથી ઘણું ઉપર છે. બે-સ્તરની પ્રણાલી આર2 (પી) ની જાળવણી એ તળાવ સાથે જોડાયેલ પાણીની માત્રા છે જે પ્રણાલીની સીમાને સ્પર્શતી નથી. જ્યારે p એ નિર્ણાયક પરકોલેશન થ્રેશોલ્ડ p c થી ઉપર હોય, ત્યારે ત્યાં એક પરકોલેટિંગ ક્લસ્ટર અથવા તળાવ હશે જે સમગ્ર સિસ્ટમની મુલાકાત લે છે. એક બિંદુ પરકોલેટિંગ અથવા "અનંત" ક્લસ્ટર સાથે સંબંધિત હોવાની સંભાવના પરકોલેશન થિયરીમાં P ≤ તરીકે લખવામાં આવે છે, અને તે R2 (p) દ્વારા R2 (p)/L2 = p − P ≤ સાથે સંબંધિત છે જ્યાં L એ ચોરસનું કદ છે. આમ, બહુસ્તરીય પ્રણાલીની જાળવણી પરકોલેશન સિદ્ધાંતમાં જાણીતા જથ્થા સાથે સંબંધિત હોઈ શકે છે. જાળવણીને માપવા માટે, કોઈ ફ્લડિંગ અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરી શકે છે જેમાં પાણીને સરહદોમાંથી દાખલ કરવામાં આવે છે અને જેમ જેમ સ્તર વધે છે તેમ તેમ સૌથી નીચા સ્પિલવે દ્વારા પૂર આવે છે. જાળવણી એ માત્ર પાણીના સ્તરમાં તફાવત છે કે જે સ્થળને તેની નીચેના ભૂપ્રદેશની ઊંચાઈ બાદ કરીને પૂર આવ્યું હતું. ઉપર વર્ણવેલ સ્વતંત્ર સ્તરોની પ્રણાલીઓ ઉપરાંત, કોઈ પણ ભૂપ્રદેશ ચલને 0 થી 1 સુધી સતત ચલ બનાવી શકે છે. તેવી જ રીતે, સપાટીની ઊંચાઈને અવકાશી ચલોનું સતત કાર્ય બનાવી શકાય છે. તમામ કિસ્સાઓમાં, યોગ્ય પરકોલેશન સિસ્ટમ માટે મેપિંગનો મૂળભૂત ખ્યાલ રહે છે. એક વિચિત્ર પરિણામ એ છે કે n અલગ સ્તરની ચોરસ પ્રણાલી n + 1 સ્તરની પ્રણાલી કરતાં વધુ પાણી જાળવી શકે છે, પૂરતા પ્રમાણમાં મોટા ક્રમ L> L * માટે. આ વર્તણૂકને પરકોલેશન થિયરી દ્વારા સમજી શકાય છે, જેનો ઉપયોગ L * ≈ (p − pc) − ν નો અંદાજ કાઢવા માટે પણ થઈ શકે છે જ્યાં ν = 4/3, p = i */n જ્યાં i * એ i નું સૌથી મોટું મૂલ્ય છે જેના માટે i/n <pc, અને pc = 0.592746 એ ચોરસ જાળી માટે સાઇટ પરકોલેશન થ્રેશોલ્ડ છે. આંકડાકીય સિમ્યુલેશન L * ના નીચેના મૂલ્યો આપે છે, જે બિન-પૂર્ણાંક મૂલ્યોમાં એક્સટ્રાપોલેટ થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, L ≤ 51 માટે R2 <R3, પરંતુ L ≤ 52 માટે R2> R3: જેમ જેમ n મોટો થતો જાય છે તેમ તેમ ક્રોસિંગ ઓછું અને ઓછું વારંવાર થતું જાય છે, અને L * નું મૂલ્ય જ્યાં ક્રોસિંગ થાય છે તે હવે n નું મોનોટોનિક કાર્ય નથી. જ્યારે સપાટી સંપૂર્ણપણે રેન્ડમ ન હોય પરંતુ હર્સ્ટ એક્સ્પોનન્ટ H સાથે સહસંબંધિત હોય ત્યારે રીટેન્શનની ચર્ચા શ્રેન્ક એટ અલમાં કરવામાં આવી છે. ડ્રેનેજ વિભાજન સંદર્ભો પણ જુઓ વધુ વાંચન બાહ્ય કડીઓ https://commons.wikimedia.org/wiki/Category: એસોસીએટિવ _ મેજિક _ સ્ક્વેર્સ _ ઓફ _ ઓર્ડર _ 4 હ્યુગો પફોર્ટનર. , જાદુઈ ચોરસ ચિત્રોની કડીઓ સાથે હ્યુગો ફોર્ટનર. અલ ઝિમ્મરમેનની પ્રોગ્રામિંગ સ્પર્ધાઓ માટેની ચર્ચા સાઇટ ફ્યુટીલિટી ક્લોસેટ પરની વસ્તુ-પોલિમિનો ગણના અને તળાવની પેટર્ન-મોડેલને 2D થી 3D નેચર 2018 વોટર રીટેન્શન હિસ્ટોગ્રામમાં કમ્પ્યુટિંગ સમસ્યા તરીકે અપગ્રેડ કરો http://oeis.org/A331507 તળાવોની મહત્તમ સંખ્યા રેન્ડમ મેટ્રિક્સ ક્રિટિકલ ફેનોમેના પર્કોલેશન થિયરી