Littlewood subordination theorem
ગણિતમાં, 1925માં જે. ઇ. લિટલવુડ દ્વારા સાબિત કરાયેલ લિટલવુડ ગૌણતા પ્રમેય, સંચાલક સિદ્ધાંત અને જટિલ વિશ્લેષણમાં એક પ્રમેય છે. તે જણાવે છે કે જટિલ સંખ્યાઓમાં એકમ ડિસ્કનું કોઈપણ હોલોમોર્ફિક અવિભાજ્ય સ્વ-મેપિંગ કે જે 0 ને નિશ્ચિત કરે છે તે ડિસ્ક પર હોલોમોર્ફિક કાર્યોની વિવિધ કાર્ય જગ્યાઓ પર સંકોચક રચના સંચાલકને પ્રેરિત કરે છે. આ જગ્યાઓમાં હાર્ડી જગ્યાઓ, બર્ગમેન જગ્યાઓ અને ડિરીક્લેટ જગ્યાઓનો સમાવેશ થાય છે. સબોર્ડિનેશન થીયરમ (subordination theorem) ધારો કે h એ એકમ ડિસ્ક D નું એક હોલોમોર્ફિક યુનિવેલેન્ટ મેપિંગ છે જેમ કે h (0) = 0. પછી કમ્પોઝિશન ઓપરેટર Ch એ ડી પર હોલોમોર્ફિક ફંક્શન્સ f પર વ્યાખ્યાયિત કરે છે જે હાર્ડી જગ્યાઓ, બર્ગમેન જગ્યાઓ પર 1 કરતા ઓછા ઓપરેટર ધોરણ સાથે રેખીય ઓપરેટરને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. (1 ≤ p <≤) અને ડિરીક્લેટ જગ્યા. આ જગ્યાઓ પરના ધોરણોને આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છેઃ લિટલવુડની અસમાનતાઓ ધારો કે f એ એકમ ડિસ્ક D પર હોલોમોર્ફિક કાર્ય છે અને ધારો કે h એ h (0) = 0 સાથે Dનું હોલોમોર્ફિક એકરૂપ મેપિંગ છે. પછી જો 0 <r <1 અને 1 ≤ p <φ આ અસમાનતા 0 <p <1 માટે પણ ધરાવે છે, જો કે આ કિસ્સામાં કોઈ ઓપરેટર અર્થઘટન નથી. પુરાવો કેસ p = 2 H2 માટે પરિણામ સાબિત કરવા માટે તે બતાવવા માટે પૂરતું છે કે f બહુપદી માટે ચાલો U એ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત એકપક્ષીય પાળી છે આ દ્વારા આપવામાં આવેલ સંલગ્ન U * છે કારણ કે f (0) = a0, આ આપે છે અને તેથી U * f એ f કરતા ઓછી ડિગ્રી ધરાવે છે, તેથી તે ઇન્ડક્શન દ્વારા અનુસરે છે અને તેથી A2 અને સામાન્ય હાર્ડી જગ્યાઓ માટે સાબિતીની સમાન પદ્ધતિ કામ કરે છે. પછી અસમાનતાઓ 0 <r <1 લઈને, લિટલવુડની અસમાનતાઓ હાર્ડી સ્પેસની અસમાનતાને કાર્યમાં લાગુ કરીને અનુસરે છે. બદલામાં અસમાનતાઓ તરત જ સામાન્ય બર્ગમેન જગ્યાઓ માટે ગૌણ પ્રમેય સૂચવે છે. નોંધો સંદર્ભ સંચાલક સિદ્ધાંત જટિલ વિશ્લેષણમાં પ્રમેયો