Witten conjecture
બીજગણિત ભૂમિતિમાં, વિટ્ટન અનુમાન એ વળાંકની મોડ્યુલી જગ્યા પર સ્થિર વર્ગોના આંતરછેદ સંખ્યાઓ વિશેનું અનુમાન છે, જે એડવર્ડ વિટ્ટન દ્વારા કાગળમાં રજૂ કરવામાં આવ્યું હતું અને તેમાં સામાન્યીકૃત કરવામાં આવ્યું હતું. વિટનના મૂળ અનુમાનને પેપરમાં મેક્સિમ કોન્ટ્સેવિચ દ્વારા સાબિત કરવામાં આવ્યું હતું. આ અનુમાન માટે વિટનની પ્રેરણા એ હતી કે 2-પરિમાણીય ક્વોન્ટમ ગુરુત્વાકર્ષણના બે અલગ-અલગ નમૂનાઓમાં સમાન પાર્ટીશન કાર્ય હોવું જોઈએ. આ મોડેલોમાંથી એક માટેના પાર્ટીશન ફંક્શનને બીજગણિત વળાંકના મોડ્યુલી સ્ટેક પર આંતરછેદ સંખ્યાઓની દ્રષ્ટિએ વર્ણવી શકાય છે, અને બીજા માટે પાર્ટીશન ફંક્શન એ KdV પદાનુક્રમના τ-ફંક્શનનું લઘુગણક છે. આ પાર્ટીશન કાર્યોને ઓળખવાથી વિટનનું અનુમાન મળે છે કે આંતરછેદ સંખ્યાઓમાંથી રચાયેલ ચોક્કસ જનરેટિંગ કાર્ય KdV પદાનુક્રમના વિભેદક સમીકરણોને સંતોષવા જોઈએ. નિવેદન ધારો કે Mg, n એ જીનસ g ની કોમ્પેક્ટ રીમાન સપાટીઓનો મોડ્યુલી સ્ટેક છે જેમાં n અલગ ચિહ્નિત બિંદુઓ x1,., xn, અને g, n એ તેનું ડિલિગ્ને-મમફોર્ડ કોમ્પેક્ટિફિકેશન છે. g, n પર n લાઇન બંડલ્સ Li હોય છે, જેનું ફાઇબર મોડુલી સ્ટેકના એક બિંદુ પર ચિહ્નિત બિંદુ xi પર રીમાન સપાટીની કોટાન્જેન્ટ જગ્યા દ્વારા આપવામાં આવે છે. આંતરછેદ અનુક્રમણિકા θτd1,., τdn′ એ g પર Πc1 (Li) di નો આંતરછેદ અનુક્રમણિકા છે, n જ્યાં σdi = dimg, n = 3g-3 + n, અને 0 જો આવું કોઈ g અસ્તિત્વમાં નથી, જ્યાં c1 એ રેખા બંડલનો પ્રથમ ચેર્નો વર્ગ છે. વિટનનું જનરેટિંગ ફંક્શન તમામ આંતરછેદ સૂચકાંકોને તેના ગુણાંક તરીકે એન્કોડ કરે છે. વિટનનું અનુમાન જણાવે છે કે પાર્ટીશન ફંક્શન Z = exp F એ KdV પદાનુક્રમ માટે τ-ફંક્શન છે, બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો તે વિરાસોરો બીજગણિતના આધારને અનુરૂપ આંશિક વિભેદક સમીકરણોની ચોક્કસ શ્રેણીને સંતોષે છે. પ્રૂફ કોન્ટ્સેવિચે રિબન આલેખની દ્રષ્ટિએ મોડ્યુલી જગ્યાઓના સંયુક્ત વર્ણનનો ઉપયોગ કર્યો હતો તે બતાવવા માટે કે અહીં જમણી બાજુનો સરવાળો સમૂહ Gg પર છે, જે રિબન આલેખ X નો n ચિહ્નિત બિંદુઓ સાથે જીનસ G ની કોમ્પેક્ટ રીમાન સપાટીઓ પર છે. ધારોનો સમૂહ e અને X ના બિંદુઓને X0 અને X1 દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. ફંક્શન λ ને ચિહ્નિત બિંદુઓથી વાસ્તવિક બિંદુઓ સુધી કાર્ય તરીકે માનવામાં આવે છે, અને ધારની દરેક બાજુને અનુરૂપ બે ચિહ્નિત બિંદુઓ પર λ ના સરવાળાની બરાબર ધારની λ સુયોજિત કરીને રિબન ગ્રાફની ધાર સુધી વિસ્તૃત કરવામાં આવે છે. ફેનમેન આકૃતિ તકનીકો દ્વારા, આ સૂચવે છે કે F (t0,.) એ એક એસિમ્પ્ટોટિક વિસ્તરણ છે કારણ કે λ અનંત તરફ દોરી જાય છે, જ્યાં λ અને χ એ N હર્મિશિયન મેટ્રિસીસ દ્વારા હકારાત્મક ચોક્કસ N છે, અને ti દ્વારા આપવામાં આવે છે અને હકારાત્મક ચોક્કસ હર્મિશિયન મેટ્રિસીસ પર સંભાવના માપ μ દ્વારા આપવામાં આવે છે જ્યાં cλ એ સામાન્ય સ્થિરાંક છે. આ માપમાં એવો ગુણધર્મ છે જે સૂચવે છે કે ફેનમેન આકૃતિઓની દ્રષ્ટિએ તેનું વિસ્તરણ રિબન આલેખની દ્રષ્ટિએ F માટે અભિવ્યક્તિ છે. આમાંથી તેમણે અનુમાન લગાવ્યું કે એક્સ. એફ. એ કે. ડી. વી. પદાનુક્રમ માટે τ-કાર્ય છે, આમ વિટ્ટનના અનુમાનને સાબિત કરે છે. સામાન્યીકરણ વિટ્ટન અનુમાન એ હેમિલ્ટોનિયન PDE ની સંકલિત પ્રણાલીઓ અને 2D ટોપોલોજિકલ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંતોના ચોક્કસ પરિવારોની ભૂમિતિ વચ્ચેના વધુ સામાન્ય સંબંધનો એક વિશેષ કેસ છે (કોન્ટ્સેવિચ અને મેનિન દ્વારા કહેવાતા કોહોમોલોજિકલ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંતોના સ્વરૂપમાં સ્વયંસિદ્ધ), જેનું બી. ડબરોવિન અને વાય. ઝાંગ, એ. ગિવેંટલ, સી. ટેલિમેન અને અન્ય લોકો દ્વારા વ્યવસ્થિત રીતે સંશોધન અને અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો હતો. વિરાસોરો અનુમાન એ વિટન અનુમાનનું સામાન્યીકરણ છે. સંદર્ભો મોડુલી સિદ્ધાંત બીજગણિત ભૂમિતિ સિદ્ધ થઈ ચૂકેલા અનુમાનો