Conformal geometric algebra
અનૌપચારિક ભૌમિતિક બીજગણિત (સી. જી. એ.) એ ભૌમિતિક બીજગણિત છે જે નકશાની પરિણામી જગ્યા પર-પરિમાણીય આધાર જગ્યાના બિંદુઓથી માંડીને શૂન્ય વેક્ટર સુધી બાંધવામાં આવે છે. આ ભૌમિતિક બીજગણિતના આવૃત્તિઓનો ઉપયોગ કરીને પ્રતિબિંબે, પરિભ્રમણ અને અનુવાદો સહિત આધાર જગ્યા પરની કામગીરીને રજૂ કરવાની મંજૂરી આપે છે; અને એવું જોવા મળે છે કે બિંદુઓ, રેખાઓ, સમતલ, વર્તુળો અને ગોળાઓ ખાસ કરીને કુદરતી અને ગણતરીત્મક રીતે અનુકૂળ રજૂઆત મેળવે છે. મેપિંગની અસર તે સામાન્યીકૃત છે (એટલે કે. શૂન્ય વળાંક સહિત)-બેઝ સ્પેસ નકશામાં-બ્લેડ્સ પરના ગોળાઓ, અને જેથી બેઝ સ્પેસના અનુવાદ (અથવા કોઈપણ કન્ફોર્મલ મેપિંગ) ની અસર ઉચ્ચ-પરિમાણીય જગ્યામાં પરિભ્રમણને અનુરૂપ હોય. આ જગ્યાના બીજગણિતમાં, વેક્ટરના ભૌમિતિક ઉત્પાદન પર આધારિત, આવા પરિવર્તન બીજગણિતની લાક્ષણિકતા સેન્ડવિચ કામગીરીને અનુરૂપ છે, જે 3D માં અવકાશી પરિભ્રમણ માટે ચતુર્થાંશના ઉપયોગ જેવું જ છે, જે ખૂબ જ અસરકારક રીતે જોડાય છે. પરિવર્તનોનું પ્રતિનિધિત્વ કરતા પરિભ્રમણોનું પરિણામ એ છે કે ગોળાઓ, સમતલ, વર્તુળો અને અન્ય ભૌમિતિક પદાર્થોની રજૂઆતો અને તેમને જોડતા સમીકરણો, બધા સહપરિવર્તનમાં પરિવર્તિત થાય છે. ભૌમિતિક પદાર્થ (a-ગોળા) ને પદાર્થ પરના બિંદુઓનું પ્રતિનિધિત્વ કરતા રેખીય રીતે સ્વતંત્ર વેક્ટરના ફાચર ઉત્પાદન તરીકે સંશ્લેષણ કરી શકાય છે; તેનાથી વિપરીત, પદાર્થને તેની સપાટીમાં અલગ બિંદુઓનું પ્રતિનિધિત્વ કરતા વેક્ટરના પુનરાવર્તિત ફાચર ઉત્પાદન તરીકે વિઘટિત કરી શકાય છે. કેટલીક આંતરછેદ કામગીરીઓ પણ વ્યવસ્થિત બીજગણિત સ્વરૂપ પ્રાપ્ત કરે છેઃ ઉદાહરણ તરીકે, યુક્લિડિયન આધાર જગ્યા માટે, બે ગોળાઓનું પ્રતિનિધિત્વ કરતા ટેટ્રાવેક્ટર્સના બેવડા પર ફાચર ઉત્પાદન લાગુ કરવાથી તેમના આંતરછેદના વર્તુળની ત્રિભેક્ટર રજૂઆતની બેવડી પેદા થાય છે. કારણ કે આ બીજગણિત માળખું પોતાને અસરકારક ગણતરી માટે સીધું ઉધાર આપે છે, તે કોંક્રિટ, સરળ-થી-હેરફેર સેટિંગમાં પ્રોજેક્ટિવ ભૂમિતિ અને વ્યુત્ક્રમ ભૂમિતિના શાસ્ત્રીય પદ્ધતિઓના સંશોધનને સરળ બનાવે છે. તેનો ઉપયોગ સ્ક્રૂ થિયરીમાં ગણતરીઓને રજૂ કરવા અને સરળ બનાવવા માટે એક કાર્યક્ષમ માળખા તરીકે પણ કરવામાં આવે છે. સીજીએ ખાસ કરીને પાંચ-પરિમાણીય વેક્ટર જગ્યામાં રોજિંદા યુક્લિડિયન જગ્યાના પ્રોજેક્ટિવ મેપિંગના સંબંધમાં લાગુ કરવામાં આવ્યું છે, જેની રોબોટિક્સ અને કમ્પ્યુટર દ્રષ્ટિમાં એપ્લિકેશનો માટે તપાસ કરવામાં આવી છે. તે સામાન્ય રીતે કોઈપણ સ્યુડો-યુક્લિડિયન જગ્યા પર લાગુ કરી શકાય છે-ઉદાહરણ તરીકે, અવકાશમાં મિન્કોવ્સ્કી જગ્યા. સી. જી. એ. નોટેશન અને પરિભાષાનું નિર્માણ આ લેખમાં, બીજગણિત પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરવામાં આવ્યું છે કારણ કે તે આ ચોક્કસ બીજગણિત છે જે સમય જતાં સૌથી વધુ ધ્યાનનો વિષય રહ્યો છે; અન્ય કિસ્સાઓ ટૂંકમાં એક અલગ વિભાગમાં આવરી લેવામાં આવ્યા છે. મોડેલિંગ કરવામાં આવતી વસ્તુઓ ધરાવતી જગ્યાને અહીં બેઝ સ્પેસ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે, અને આ વસ્તુઓને પ્રતિનિધિત્વ અથવા કન્ફોર્મલ સ્પેસ તરીકે મોડેલ કરવા માટે ઉપયોગમાં લેવાતી બીજગણિત જગ્યા. સજાતીય સબસ્પેસ એ બીજગણિત જગ્યાના રેખીય સબસ્પેસનો સંદર્ભ આપે છે. પદાર્થો માટેની શરતોઃ બિંદુ, રેખા, વર્તુળ, ગોળા, અર્ધ-ગોળા વગેરે. તેનો ઉપયોગ આધાર અવકાશમાં ભૌમિતિક પદાર્થ અથવા તે પદાર્થનું પ્રતિનિધિત્વ કરતી પ્રતિનિધિત્વ જગ્યાના સજાતીય ઉપક્ષેત્રનો અર્થ કરવા માટે થાય છે, જ્યાં સુધી અન્યથા સૂચવવામાં ન આવે ત્યાં સુધી સામાન્ય રીતે તેનો હેતુ હોય છે. બીજગણિત રીતે, સજાતીય પેટા જગ્યાના કોઈપણ બિન-શૂન્ય નલ તત્વનો ઉપયોગ કરવામાં આવશે, જેમાં એક તત્વને કેટલાક માપદંડ દ્વારા સામાન્યીકૃત તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. બોલ્ડફેસ લોઅરકેસ લેટિન અક્ષરોનો ઉપયોગ મૂળથી બેઝ સ્પેસમાં એક બિંદુ સુધી સ્થિતિ વેક્ટરનું પ્રતિનિધિત્વ કરવા માટે થાય છે. પ્રતિકાત્મક પ્રતીકોનો ઉપયોગ પ્રતિનિધિત્વ જગ્યાના અન્ય ઘટકો માટે થાય છે. આધાર અને પ્રતિનિધિત્વ જગ્યાઓ આધાર જગ્યા પસંદ કરેલા મૂળમાંથી વિસ્થાપન માટે આધારને વિસ્તૃત કરીને અને આધાર જગ્યા સાથે અને એકબીજા સાથે બે આધાર વેક્ટર અને ઓર્થોગોનલ ઉમેરીને રજૂ કરવામાં આવે છે, અને, પ્રતિનિધિત્વ જગ્યા બનાવે છે. અને, ક્યાં, અને ની જગ્યાએ બે નલ વેક્ટર અને બેઝિસ વેક્ટર તરીકે ઉપયોગ કરવો અનુકૂળ છે. તે ચકાસી શકાય છે, જ્યાં આધાર અવકાશમાં છે, કેઃ આ ગુણધર્મો દરેક અન્ય આધાર તત્વ માટે ઓર્થોગોનલ તત્વો સાથે આધાર માટે પ્રતિનિધિત્વ અવકાશમાં સામાન્ય વેક્ટરના આધાર વેક્ટર ગુણાંક માટે નીચેના સૂત્રો તરફ દોરી જાય છેઃ for નો ગુણાંક એ for નો ગુણાંક છે. આધાર જગ્યા અને પ્રતિનિધિત્વ જગ્યા વચ્ચેનું નકશાકરણ આધાર જગ્યામાં વેક્ટરનું નકશાકરણ (મૂળથી રજૂ થયેલ એફાઇન જગ્યામાં એક બિંદુ સુધી હોવું) સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છેઃ બિંદુઓ અને અન્ય પદાર્થો કે જે માત્ર બિન-શૂન્ય સ્કેલર પરિબળ દ્વારા અલગ પડે છે, આધાર જગ્યામાં એક જ પદાર્થનો નકશો બનાવે છે. જ્યારે સામાન્યીકરણ ઇચ્છનીય હોય ત્યારે, પ્રતિનિધિત્વ જગ્યાથી આધાર જગ્યા સુધી કોઈ બિંદુનો સરળ વિપરીત નકશો બનાવવા અથવા અંતર નક્કી કરવા માટે, શરતનો ઉપયોગ કરી શકાય છે. ફોરવર્ડ મેપિંગ આના સમકક્ષ છેઃ પહેલા અવકાશમાં એકમ 3-ગોળા પર અનુરૂપ રીતે પ્રક્ષેપિત કરવું (5-D માં આ પેટા જગ્યામાં છે); પછી તેને સંલગ્ન કરીને, પ્રોજેક્ટિવ જગ્યામાં ઊંચકવું, અને મૂળમાંથી એક જ કિરણ પરના તમામ બિંદુઓને ઓળખવા (5-D માં આ પેટા જગ્યામાં છે); પછી સામાન્યીકરણમાં ફેરફાર કરો, તેથી એકરૂપ પ્રક્ષેપણ માટેનું સમતલ મૂલ્ય ધરાવતા સંકલન દ્વારા આપવામાં આવે છે, એટલે કે. . ઇન્વર્સ મેપિંગ નલ શંકુ માટેનું ઇન્વર્સ મેપિંગ (Perwass eqn 4.37) દ્વારા આપવામાં આવે છે આ પહેલા પ્રકાશ-શંકુમાંથી પ્લેન પર એક સ્ટીરિયોગ્રાફિક પ્રક્ષેપણ આપે છે, અને પછી અને ભાગોને દૂર ફેંકી દે છે, જેથી એકંદર પરિણામ તમામ સમકક્ષ બિંદુઓને મેપ કરવાનું છે. મૂળ અને અનંત પર બિંદુ નકશામાં અંદરના બિંદુને મૂળ બિંદુના (પ્રતિનિધિત્વ) વેક્ટર તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. બિન-શૂન્ય ગુણાંક સાથે વેક્ટર, પરંતુ શૂન્ય ગુણાંક, (વ્યસ્ત નકશાને ધ્યાનમાં રાખીને) અનંત વેક્ટરની છબી હોવી જોઈએ. તેથી દિશા અનંત પર (અનુરૂપ) બિંદુને રજૂ કરે છે. આ સબસ્ક્રિપ્ટ્સને પ્રેરિત કરે છે અને નલ બેસિસ વેક્ટરને ઓળખવા માટે. મૂળની પસંદગી મનસ્વી છેઃ અન્ય કોઈપણ બિંદુ પસંદ કરી શકાય છે, કારણ કે પ્રતિનિધિત્વ એ એફાઇન જગ્યાનું છે. મૂળ માત્ર એક સંદર્ભ બિંદુને રજૂ કરે છે, અને બીજગણિત રીતે અન્ય કોઈપણ બિંદુની સમકક્ષ છે. કોઈપણ અનુવાદની જેમ, મૂળને બદલવું પ્રતિનિધિત્વ જગ્યામાં પરિભ્રમણને અનુરૂપ છે. ભૌમિતિક પદાર્થો અને સાથે મળીને, આ બીજગણિતના 32 બેસિસ બ્લેડ છે. ફ્લેટ પોઇન્ટ ઓરિજિનને બાહ્ય ઉત્પાદન તરીકે લખવામાં આવે છે કારણ કે ભૌમિતિક ઉત્પાદન મિશ્ર ગ્રેડનું હોય છે. સમીકરણોની જોડીના ઉકેલ તરીકે પ્રતિનિધિત્વ કરતી જગ્યાના કોઈપણ બિન-શૂન્ય બ્લેડને જોતાં, વેક્ટરનો સમૂહ કે જે સ્વરૂપના સજાતીય સમીકરણોની જોડીનો ઉકેલ છે તે નલ વેક્ટરની સજાતીય 1-d પેટા જગ્યાઓનું જોડાણ છે, અને આમ તે આધાર જગ્યામાં બિંદુઓના સમૂહની રજૂઆત છે. આ ભૌમિતિક પદાર્થોના ચોક્કસ વર્ગને રજૂ કરવાની ઉપયોગી રીત તરીકે બ્લેડની પસંદગી તરફ દોરી જાય છે. જ્યારે આધાર જગ્યા યુક્લિડિયન જગ્યા હોય ત્યારે બ્લેડ (જગ્યાના પરિમાણોની સંખ્યાથી સ્વતંત્ર) માટે ચોક્કસ કિસ્સાઓ છેઃ એક સ્કેલરઃ ખાલી સમૂહ એક વેક્ટરઃ એક બિંદુ એક બાયવેક્ટરઃ બિંદુઓની જોડી એક ટ્રાઇવેક્ટરઃ એક સામાન્યીકૃત વર્તુળ 4-વેક્ટરઃ એક સામાન્યીકૃત ગોળા વગેરે. આ દરેક ત્રણ કિસ્સાઓમાં વિભાજિત થઈ શકે છે કે શું હકારાત્મક, શૂન્ય અથવા નકારાત્મક છે, સૂચિબદ્ધ પદાર્થને અનુરૂપ (કેટલાક કિસ્સાઓમાં વિપરીત ક્રમમાં), એક જ બિંદુનો અધોગતિગ્રસ્ત કેસ, અથવા કોઈ બિંદુઓ નથી (જ્યાં શૂન્ય ન હોય તેવા ઉકેલો શૂન્ય વેક્ટરને બાકાત રાખે છે). સૂચિબદ્ધ ભૌમિતિક પદાર્થો (સામાન્યીકૃત-ગોળાઓ) સ્યુડો-યુક્લિડિયન હોવાના વધુ સામાન્ય કિસ્સામાં અર્ધ-ગોળા બની જાય છે. સપાટ પદાર્થોને ઉકેલોમાં સમાવિષ્ટ અનંત બિંદુ દ્વારા ઓળખી શકાય છે. આમ, જો, પદાર્થ એક રેખા, સમતલ, વગેરે હશે, તો બ્લેડ માટે અનુક્રમે ગ્રેડ 3,4, વગેરે હશે. પદાર્થના બિંદુઓમાંથી મેળવેલ બ્લેડ પદાર્થના આ વર્ગમાંથી એકનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે જે પદાર્થ પરના બિંદુઓનું પ્રતિનિધિત્વ કરતા રેખીય રીતે સ્વતંત્ર વેક્ટરના બાહ્ય ઉત્પાદન તરીકે મળી શકે છે. આધાર અવકાશમાં, આ રેખીય સ્વતંત્રતા અન્ય બિંદુઓ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત પદાર્થની બહાર આવેલા દરેક બિંદુ તરીકે પ્રગટ થાય છે. તેથી, ઉદાહરણ તરીકે, ત્રણ અલગ-અલગ બિંદુઓ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત સામાન્યીકૃત વર્તુળ પર આવેલા ચોથા બિંદુનો ઉપયોગ ગોળાને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે ચોથા બિંદુ તરીકે કરી શકાતો નથી. ઇ123 નકશામાં ઓડ્સ પોઇંટ્સ નલ શંકુ પર-નલ પેરાબોલા જો આપણે સેટ કરીએ. આપણે ઇ123 એસ. ટી. માં બિંદુઓના સ્થાનને ધ્યાનમાં લઈ શકીએ છીએ. અનુરૂપ અવકાશમાં, વિવિધ પ્રકારના ભૌમિતિક પદાર્થ A માટે. આપણે તે સરખામણીનું નિરીક્ષણ કરીને શરૂઆત કરીએ છીએઃ x. a = 0 => x perp a; x. (a/b) = 0 => x perp a અને x perp b/b = 0 => x a ની સમાંતર; x/b = 0 => x a અથવા b ની સમાંતર (અથવા અમુક રેખીય સંયોજન) આંતરિક ગુણાકાર અને બાહ્ય ગુણાકાર રજૂઆતો દ્વિગુણિત x/a = 0 <=> x દ્વારા સંબંધિત છે. A * = 0 (તપાસો-કામ કરે છે જો x એ 1-ડિમ હોય, તો A એ n-1 ડિમ હોય) g (x). A = 0 A બિંદુઃ R3માં xનું સ્થાન એ બિંદુ છે જો R4,1માં A એ નલ શંકુ પર વેક્ટર હોય. (એન. બી. કારણ કે તે એક સજાતીય પ્રક્ષેપાત્મક જગ્યા છે, મૂળ દ્વારા કિરણ પરની કોઈપણ લંબાઈના વેક્ટર સમકક્ષ છે, તેથી g (x). A = 0 એ g (x). g (a) = 0 ની સમકક્ષ છે. એક ગોળાઃ જો A = S હોય તો x નું સ્થાન એ એક ગોળા છે, જે શૂન્ય શંકુથી દૂર વેક્ટર છે. જો પછી S. X = 0 => આ નલ-કોનની બહાર વેક્ટર S માટે ગોળાને અનુરૂપ બિંદુઓ છે, તો કઈ દિશાઓ હાયપરબોલિકલી ઓર્થોગોનલ છે? (cf લોરેન્ટ્ઝ ટ્રાન્સફોર્મેશન પિક્સ) 2 + 1 D માં, જો S એ (1, a, b) છે, (સહ-ઓર્ડ e-, {e +, ei} નો ઉપયોગ કરીને), તો S માટે હાયપરબોલિકલી ઓર્થોગોનલ બિંદુઓ તે યુક્લિડિયનલી ઓર્થોગોનલ છે (-1, a, b)-એટલે કે, પ્લેન; અથવા n પરિમાણોમાં, મૂળમાંથી હાયપરપ્લેન. આ એક રેખામાં મૂળ (એન-2 સપાટીમાં અતિ સપાટી) દ્વારા નહીં, અને પછી શંકુને બે બિંદુઓમાં (આર. એસ. પી.) કાપી નાખશે. અમુક પ્રકારની એન-3 શંકુ સપાટી). તેથી તે કદાચ અમુક પ્રકારના શંકુ જેવો દેખાશે. આ તે સપાટી છે જે g ની નીચે ગોળાની છબી છે. એક સમતલઃ x નું સ્થાન એ સમતલ છે જો A = P હોય, તો શૂન્ય નો ઘટક ધરાવતો વેક્ટર. સજાતીય પ્રક્ષેપાત્મક અવકાશમાં આવા વેક્ટર P એ સમતલ નંબર = 1 પર વેક્ટરનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે જે મૂળથી અનંત દૂર હશે (એટલે કે શૂન્ય શંકુની બહાર અનંત દૂર), તેથી g (x). P = 0 એ અનંત ત્રિજ્યાના ગોળા પર x ને અનુરૂપ છે, એક સમતલ. ખાસ કરીનેઃ મૂળથી સામાન્ય ઓર્થોગોનલ અંતર α સાથે સમતલ પર x ને અનુરૂપ છે. સામાન્ય a-b વર્તુળો સાથે a અને b વચ્ચેના સમતલને અડધો રસ્તો અનુરૂપ છે, અનંત બિંદુ જોડી પરિવર્તન પર સ્પર્શક સમતલ રેખાઓ રેખાઓ તે ચકાસી શકાય છે કે Pg (x) P ની રચના નલ-કોન, g (x ') પર નવી દિશા આપે છે, જ્યાં x' એ R3 માં બિંદુઓ p ના સમતલમાં પ્રતિબિંબને અનુરૂપ છે જે g (p) ને સંતોષે છે. પી = 0. જી (x). A = 0 => P g (x). A P = 0 => P g (x) P. પી એ પી (અને તેવી જ રીતે ફાચર ઉત્પાદન માટે), તેથી ઉપરના વિભાગમાં કોઈપણ જથ્થા એ પર પી સેન્ડવિચ-ફેશન લાગુ કરવાની અસર એ જ રીતે બિંદુઓ x ના અનુરૂપ સ્થાનને પ્રતિબિંબિત કરે છે, તેથી અનુરૂપ વર્તુળો, ગોળાઓ, રેખાઓ અને વિમાનો ચોક્કસ પ્રકારના A ને અનુરૂપ બરાબર એ જ રીતે પ્રતિબિંબિત થાય છે જે રીતે P થી g (x) લાગુ કરવાથી બિંદુ x પ્રતિબિંબિત થાય છે. આ પ્રતિબિંબ કામગીરીનો ઉપયોગ સામાન્ય અનુવાદો અને પરિભ્રમણનું નિર્માણ કરવા માટે થઈ શકે છેઃ અનુવાદો બે સમાંતર સમતલમાં પ્રતિબિંબ અનુવાદ આપે છે, જો અને પછી પરિભ્રમણ x 'ને અનુરૂપ હોય જે મૂળ વિશે 2 θ ખૂણા દ્વારા ફેરવવામાં આવે છે જ્યાં θ એ a અને b વચ્ચેનો ખૂણો છે-- એ જ અસર જે આ રોટરને જો સીધા x પર લાગુ કરવામાં આવે તો થશે. સામાન્ય બિંદુ વિશે સામાન્ય પરિભ્રમણ પરિભ્રમણ પહેલા બિંદુને મૂળમાં અનુવાદિત કરીને, પછી મૂળની આસપાસ ફેરવીને, પછી બિંદુને તેની મૂળ સ્થિતિમાં પાછા અનુવાદિત કરીને પ્રાપ્ત કરી શકાય છે, એટલે કે. સંચાલક દ્વારા સેન્ડવીચિંગ જેથી સ્ક્રૂ અથવા મોટરની અસરને સ્ક્રૂ કરવામાં આવે, (સામાન્ય બિંદુ વિશે પરિભ્રમણ, ત્યારબાદ પરિભ્રમણની અક્ષની સમાંતર અનુવાદ) સંચાલક દ્વારા જી (એક્સ) ને સેન્ડવીચિંગ દ્વારા પ્રાપ્ત કરી શકાય છે. એમ ને પરિમાણિત પણ કરી શકાય છે (ચેસલ્સ થીયરમ) વ્યુત્ક્રમ એક વ્યુત્ક્રમ એ ગોળામાં પ્રતિબિંબ છે-વિવિધ કામગીરીઓ કે જે આવા વ્યુત્ક્રમનો ઉપયોગ કરીને પ્રાપ્ત કરી શકાય છે તેની વ્યુત્ક્રમ ભૂમિતિ પર ચર્ચા કરવામાં આવે છે. ખાસ કરીને, યુક્લિડિયન પરિવર્તન અનુવાદ અને પરિભ્રમણ સાથે વ્યુત્ક્રમનું સંયોજન કોઈપણ અનુરૂપ નકશાને વ્યક્ત કરવા માટે પૂરતું છે-એટલે કે. કોઈપણ નકશા જે સાર્વત્રિક રીતે ખૂણાઓને સાચવે છે. (લિઉવિલનો પ્રમેય). સમાન કેન્દ્ર સાથેના બે વ્યુત્ક્રમો પ્રસરણ ઉત્પન્ન કરે છે. સામાન્યીકરણ ઇતિહાસ પરિષદો અને સામયિકો ક્લિફોર્ડ અને ભૌમિતિક અલ્જેબ્રાની આસપાસ એક જીવંત અને આંતરશાખાકીય સમુદાય છે, જેમાં વિવિધ ઉપયોગો છે. આ વિષયની મુખ્ય પરિષદોમાં ક્લિફોર્ડ આલ્જેબ્રાસ અને તેમની એપ્લિકેશન્સ ઇન મેથેમેટિકલ ફિઝિક્સ (ICCA) અને એપ્લિકેશન્સ ઓફ જીઓમેટ્રિક આલ્જેબ્રા ઇન કમ્પ્યુટર સાયન્સ એન્ડ એન્જિનિયરિંગ (AGACSE) શ્રેણી પર આંતરરાષ્ટ્રીય પરિષદનો સમાવેશ થાય છે. મુખ્ય પ્રકાશન આઉટલેટ સ્પ્રિંગર જર્નલ એડવાન્સિસ ઇન એપ્લાઇડ ક્લિફોર્ડ આલ્જેબ્રાસ છે. નોંધો સંદર્ભ ગ્રંથસૂચિ પુસ્તકો હેસ્ટેન્સ એટ અલ (2000), જી. સોમર (આવૃત્તિ. ), ક્લિફોર્ડ બીજગણિત સાથે ભૌમિતિક ગણતરી. સ્પ્રિંગર વેરલેગ. (ગૂગલ બુક્સ) (http://geocalc.clas.asu.edu/html/UAFCG.html હેસ્ટેન્સ વેબસાઇટ) Ch. 1: શાસ્ત્રીય ભૂમિતિ માટે નવા બીજગણિત સાધનો Ch. 2: કોમ્પ્યુટેશનલ ભૂમિતિ માટે સામાન્યીકૃત સજાતીય કોઓર્ડિનેટ્સ Ch. 3: ભૌમિતિક બીજગણિત સાથે ગોળાકાર અનૌપચારિક ભૂમિતિ Ch. 4: એ યુનિવર્સલ મોડલ ફોર કોન્ફોર્મલ જીઓમેટ્રીઝ ઓફ યુક્લિડિયન, સ્ફેરિકલ એન્ડ ડબલ-હાયપરબોલિક સ્પેસિસ હેસ્ટેન્સ (2001), ઇ. બાયરો-કોરોચાનો એન્ડ જી. સોબ્ઝીક (આવૃત્તિઓ. ), વિજ્ઞાન અને ઇજનેરીમાં એપ્લિકેશન્સ સાથે ભૌમિતિક બીજગણિતમાં પ્રગતિ, સ્પ્રિંગર વેરલેગ. ગૂગલ બુક ઓલ્ડ વાઇન ઇન ન્યૂ બોટલ્સ (પીપી. 1-14) હેસ્ટેન્સ (2010), ઇ. બાયરો-કોરોચાનો અને જી. શ્યુઅરમેન (2010) માં, એન્જિનિયરિંગ અને કમ્પ્યુટર સાયન્સમાં ભૌમિતિક બીજગણિત કમ્પ્યુટિંગ. સ્પ્રિંગર વેરલેગ. (ગૂગલ બુક્સ). કોમ્પ્યુટેશનલ ભૂમિતિ અને સ્ક્રૂ થિયરી ડોરાન, સી. અને લેસેનબી, એ. ના કાયાકલ્પ માટેના નવા સાધનો. (2003), ભૌતિકશાસ્ત્રીઓ માટે ભૌમિતિક બીજગણિત, કેમ્બ્રિજ યુનિવર્સિટી પ્રેસ. § 10.2; પૃ. 351 અને સેક ડોર્સ્ટ, એલ. એટ અલ (2007), કોમ્પ્યુટર સાયન્સ માટે ભૌમિતિક બીજગણિત, મોર્ગન-કૌફમેન. પ્રકરણ 13; પૃ. 355 અને સેક્ વિન્સ, જે. (2008), કોમ્પ્યુટર ગ્રાફિક્સ માટે ભૌમિતિક બીજગણિત, સ્પ્રિંગર વેરલેગ. પ્રકરણ 11; પૃ. 199 અને સેક પરવાસ, સી. (2009), એન્જિનિયરિંગમાં એપ્લિકેશન્સ સાથે ભૌમિતિક બીજગણિત, સ્પ્રિંગર વેરલેગ. § 4.3: પૃ. 145 અને સેક બાયરો-કોરોચાનો, ઇ. અને શ્યુઅરમેન જી. (2010, આવૃત્તિઓ. ), એન્જિનિયરિંગ અને કમ્પ્યુટર સાયન્સમાં ભૌમિતિક બીજગણિત કમ્પ્યુટિંગ. સ્પ્રિંગર વેરલેગ. પીપી. 3-90 બાયરો-કોરોચાનો (2010), જિયોમેટ્રિક કમ્પ્યુટિંગ ફોર વેવલેટ ટ્રાન્સફોર્મ્સ, રોબોટ વિઝન, લર્નિંગ, કંટ્રોલ એન્ડ એક્શન. સ્પ્રિંગર વેરલેગ. પ્રકરણ 6; પૃ. 149-183 ડોર્સ્ટ, એલ. અને લેસેનબી, જે. (2011, આવૃત્તિઓ. ), વ્યવહારમાં ભૌમિતિક બીજગણિત માટેની માર્ગદર્શિકા. સ્પ્રિંગર વેરલેગ, પૃષ્ઠ. 3-252. . ઓનલાઈન સંસાધનો વેરહામ, આર. (2006), કોમ્પ્યુટર ગ્રાફિક્સ યુઝિંગ કોન્ફોર્મલ જીઓમેટ્રિક આલ્જેબ્રા, પીએચડી થીસીસ, યુનિવર્સિટી ઓફ કેમ્બ્રિજ, પીપી. 14-26,31-67 બ્રોમ્બોર્સ્કી, એ. (2008), કોન્ફોર્મલ જીઓમેટ્રી વાયા જીઓમેટ્રિક આલ્જેબ્રા (ઓનલાઈન સ્લાઇડ્સ) ડેલ એક્વા, એ. એટ અલ (2008), 3ડી મોશન ફ્રોમ સ્ટ્રક્ચર્સ ઓફ પોઇન્ટ્સ, લાઇન્સ એન્ડ પ્લેન્સ, ઇમેજ એન્ડ વિઝન કમ્પ્યુટિંગ, 26 529-549 ડોર્સ્ટ, એલ. (2010), ટ્યુટોરિયલઃ સ્ટ્રક્ચર-પ્રિઝર્વેશન રિપ્રેઝન્ટેશન ઓફ યુક્લિડિયન મોશન્સ થ્રુ કોન્ફોર્મલ જીઓમેટ્રિક આલ્જેબ્રા, ઇ. બાયરો-કોરોચાનો, જી. શ્યુઅરમેન (આવૃત્તિઓ. ), ભૌમિતિક બીજગણિત કમ્પ્યુટિંગ, સ્પ્રિંગર વેરલેગ. કોલાપિન્ટો, પી. (2011), વર્સર સ્પેસિયલ કમ્પ્યુટિંગ વિથ કોન્ફોર્મલ જીઓમેટ્રિક આલ્જેબ્રા, એમ. એસ. સી. થીસીસ, યુનિવર્સિટી ઓફ કેલિફોર્નિયા સાન્ટા બાર્બરા મેકડોનાલ્ડ, એ. (2013), ભૌમિતિક બીજગણિત અને ભૌમિતિક ગણતરીનું સર્વેક્ષણ. (ઓનલાઈન નોંધો) § 4.2: પૃ. 26 અને સેક. આરએન + 1 પર મોટર બીજગણિત પર એડ્યુઆર્ડો બાયરો કોરોચાનો (2001), ધારણા ક્રિયા પ્રણાલીઓ માટે ભૌમિતિક ગણતરીઃ વિભાવનાઓ, અલ્ગોરિધમ્સ અને વૈજ્ઞાનિક કાર્યક્રમો. (ગૂગલ પુસ્તકો) ભૌમિતિક બીજગણિત અનૌપચારિક ભૂમિતિ વ્યુત્ક્રમાત્મક ભૂમિતિ કોમ્પ્યુટેશનલ ભૂમિતિ