Euclidean random matrix
ગણિતમાં, એન × એન યુક્લિડિયન રેન્ડમ મેટ્રિક્સને મનસ્વી નિર્ધારક કાર્ય એફ (આર, આર ′) ની મદદથી વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે અને ડી-પરિમાણીય યુક્લિડિયન અવકાશના પ્રદેશ વીમાં અવ્યવસ્થિત રીતે વિતરિત એન બિંદુઓ {આરઆઇ} ની. મેટ્રિક્સનું તત્વ એઇજ એ એફ (રી, આરજે) ની બરાબર છેઃ એઇજ = એફ (રી, આરજે). યુક્લિડિયન રેન્ડમ મેટ્રિસીસ સૌપ્રથમ 1999 માં રજૂ કરવામાં આવ્યા હતા. તેઓએ વિધેયો f ના એક વિશેષ કેસનો અભ્યાસ કર્યો જે માત્ર બિંદુઓની જોડી વચ્ચેના અંતર પર આધાર રાખે છેઃ f (r, r′) = f (r-r′) અને વિકર્ણ તત્વો AII, Aij = f (ri-rj)-u δijsskf (ri-rk) પર વધારાની શરત લાદવામાં આવી, જે ભૌતિક સંદર્ભ દ્વારા પ્રેરિત છે જેમાં તેઓ મેટ્રિક્સનો અભ્યાસ કરે છે. યુક્લિડિયન અંતર મેટ્રિક્સ એ યુક્લિડિયન રેન્ડમ મેટ્રિક્સનું એક વિશિષ્ટ ઉદાહરણ છે જેમાં f (ri-rj) = |ri-rj|2 અથવા f (ri-rj) = |ri-rj | છે. ઉદાહરણ તરીકે, ઘણા જૈવિક નેટવર્કમાં, બે ગાંઠો વચ્ચેની ક્રિયાપ્રતિક્રિયાની શક્તિ તે ગાંઠોની ભૌતિક નિકટતા પર આધારિત હોય છે. નોડ્સ વચ્ચેની અવકાશી ક્રિયાપ્રતિક્રિયાઓને યુક્લિડિયન રેન્ડમ મેટ્રિક્સ તરીકે મોડેલિંગ કરી શકાય છે, જો નોડ્સ અવકાશમાં અવ્યવસ્થિત રીતે મૂકવામાં આવે. ગુણધર્મો કારણ કે બિંદુઓ {ri} ની સ્થિતિ અવ્યવસ્થિત છે, મેટ્રિક્સ ઘટકો AIj પણ અવ્યવસ્થિત છે. તદુપરાંત, કારણ કે N × N તત્વો સંપૂર્ણપણે માત્ર N બિંદુઓ દ્વારા નક્કી થાય છે અને, સામાન્ય રીતે, કોઈને N માં રસ હોય છે, વિવિધ તત્વો વચ્ચે મજબૂત સહસંબંધ અસ્તિત્વમાં છે. હર્મિશિયન યુક્લિડિયન રેન્ડમ મેટ્રિસીસ હર્મિશિયન યુક્લિડિયન રેન્ડમ મેટ્રિસીસ વિવિધ ભૌતિક સંદર્ભોમાં દેખાય છે, જેમાં સુપરકુલ્ડ પ્રવાહી, અવ્યવસ્થિત પ્રણાલીઓમાં ફોનોન અને રેન્ડમ માધ્યમોમાં તરંગોનો સમાવેશ થાય છે. ઉદાહરણ 1: k0 = 2π/λ0 સાથે f (r, r′) = sin (k0|r-r′ |)/(k0|r-r′ |) વિધેય દ્વારા પેદા થયેલ મેટ્રિક્સનો વિચાર કરો. આ મેટ્રિક્સ હર્મિશિયન છે અને તેના આઈગનવેલ્યુ λ વાસ્તવિક છે. બાજુ L અને વોલ્યુમ V = L3 ના સમઘનમાં અવ્યવસ્થિત રીતે વહેંચાયેલા N બિંદુઓ માટે, જો બિંદુઓ ρ = N/V ની ઘનતા ρλ03 ≤ 1 અને 2.8N/(k0L) 2 <1 નું પાલન કરે તો, λ નું સંભાવના વિતરણ લગભગ માર્ચેન્કો-પાશ્ચર નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે. નોન-હર્મિશિયન યુક્લિડિયન રેન્ડમ મેટ્રિક્સ મોટા (એન. 1) નોન-હર્મિશિયન યુક્લિડિયન રેન્ડમ મેટ્રિક્સની આઈગનવેલ્યુ ઘનતા માટે એક સિદ્ધાંત વિકસાવવામાં આવ્યો છે અને રેન્ડમ લેસરની સમસ્યાનો અભ્યાસ કરવા માટે લાગુ કરવામાં આવ્યો છે. ઉદાહરણ 2: k0 = 2π/λ0 અને f (r = r′) = 0 સાથે f (r, r′) = exp (ik0|r-r′ |)/(k0|r-r′ |) વિધેય દ્વારા પેદા થયેલ મેટ્રિક્સને ધ્યાનમાં લો. આ મેટ્રિક્સ હર્મિશિયન નથી અને તેના આઈગનવેલ્યુ λ જટિલ છે. જો બિંદુ ρ = N/V ની ઘનતા ρλ03 ≤ 1 અને 9N/(8k0R) 2 <1 નું પાલન કરે તો λ ની સંભાવના વિતરણ વિશ્લેષણાત્મક રીતે શોધી શકાય છે (આકૃતિ જુઓ). સંદર્ભો રેન્ડમ મેટ્રિક્સ ગાણિતિક ભૌતિકશાસ્ત્ર