Nonparametric skew
આંકડાશાસ્ત્ર અને સંભાવના સિદ્ધાંતમાં, નોનપેરામેટ્રિક સ્ક્યુ એ આંકડાકીય છે જેનો ઉપયોગ ક્યારેક-ક્યારેક વાસ્તવિક મૂલ્યો લેતા રેન્ડમ ચલ સાથે થાય છે. તે રેન્ડમ વેરિયેબલના વિતરણની વક્રતાનું માપ છે-એટલે કે, વિતરણની એક બાજુ અથવા સરેરાશની બીજી બાજુ "દુર્બળ" થવાની વૃત્તિ. તેની ગણતરી માટે અંતર્ગત વિતરણના સ્વરૂપના કોઈ જ્ઞાનની જરૂર નથી-તેથી તેનું નામ નોનપેરામેટ્રિક છે. તેમાં કેટલાક ઇચ્છનીય ગુણધર્મો છેઃ તે કોઈપણ સપ્રમાણ વિતરણ માટે શૂન્ય છે; તે સ્કેલ શિફ્ટથી પ્રભાવિત નથી; અને તે ડાબી કે જમણી બાજુની તિરાડ સમાન રીતે સારી રીતે દર્શાવે છે. કેટલાક આંકડાકીય નમૂનાઓમાં તે સામાન્યતાથી વસ્તીના પ્રસ્થાનને શોધવામાં તિર્યકતાના સામાન્ય પગલાં કરતાં ઓછા શક્તિશાળી હોવાનું દર્શાવવામાં આવ્યું છે. ગુણધર્મોની વ્યાખ્યા બિન-પેરામેટ્રિક વળાંકને એ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે કે જ્યાં વસ્તીના સરેરાશ (μ), મધ્યમ (ν) અને પ્રમાણભૂત વિચલન (σ) તેમના સામાન્ય અર્થ ધરાવે છે. ગુણધર્મો નોનપેરામેટ્રિક સ્ક્યુ એ પીઅર્સન 2 સ્ક્યુનેસ ગુણાંકનો એક તૃતીયાંશ ભાગ છે અને કોઈપણ વિતરણ માટે −1 અને + 1 ની વચ્ચે હોય છે. આ શ્રેણી એ હકીકત દ્વારા સૂચિત થાય છે કે સરેરાશ કોઈપણ મધ્યકના એક પ્રમાણભૂત વિચલનની અંદર રહે છે. ચલ (X) ના એફાઇન પરિવર્તન હેઠળ, S નું મૂલ્ય ચિન્હમાં સંભવિત ફેરફાર સિવાય બદલાતું નથી. ચિહ્નોમાં જ્યાં a ષ્ણાંક 0 અને b અચળાંકો છે અને S (X) એ ચલ X નો બિન-પેરામેટ્રિક વક્ર છે. આ આંકડાકીય (±1) ની સીમાઓને મજીન્દર દ્વારા તીક્ષ્ણ કરવામાં આવી હતી, જેમણે દર્શાવ્યું હતું કે તેનું નિરપેક્ષ મૂલ્ય તેની સાથે બંધાયેલું છે અને જ્યાં X એ મર્યાદિત ભિન્નતા સાથે રેન્ડમ ચલ છે, E () એ અપેક્ષા સંચાલક છે અને Pr () એ ઘટના થવાની સંભાવના છે. જ્યારે p = q = 0.5 હોય ત્યારે આ આંકડાનું નિરપેક્ષ મૂલ્ય 1 દ્વારા બંધાયેલું હોય છે. p = 0.1 અને p = 0.01 સાથે, આંકડાકીય નિરપેક્ષ મૂલ્ય અનુક્રમે 0.6 અને 0.199 દ્વારા બંધાયેલ છે. વિસ્તરણ તે પણ જાણીતું છે કે જ્યાં ν0 એ કોઈ મધ્યસ્થ અને E (.) છે. અપેક્ષા ઓપરેટર છે. એવું દર્શાવવામાં આવ્યું છે કે જ્યાં xq એ q મી માત્રા છે. ક્વોન્ટાઇલ્સ 0 અને 1 ની વચ્ચે આવેલા હોય છેઃ મીડીયન (0.5 ક્વોન્ટાઇલ) માં q = 0.5 હોય છે. આ અસમાનતાનો ઉપયોગ વક્રતાના માપને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે પણ કરવામાં આવ્યો છે. આ પછીની અસમાનતા વધુ તીવ્ર બની છે. મર્યાદિત સરેરાશ સાથે વિતરણ માટેનું બીજું વિસ્તરણ પ્રકાશિત કરવામાં આવ્યું છેઃ અસમાનતાની આ છેલ્લી જોડીની સીમાઓ ત્યારે પ્રાપ્ત થાય છે જ્યારે અને નિશ્ચિત સંખ્યાઓ માટે a <b. મર્યાદિત નમૂનાઓ નમૂનાના કદ n ≤ 2 સાથે xr સાથે મર્યાદિત નમૂના માટે છઠ્ઠો ક્રમ આંકડાકીય છે, m નમૂનાનો અર્થ અને s નમૂનાના પ્રમાણભૂત વિચલનને ડિગ્રી ઓફ ફ્રીડમ માટે સુધારવામાં આવે છે, r ને n/2 સાથે બદલવાથી નમૂનાના મધ્યક માટે યોગ્ય પરિણામ મળે છેઃ જ્યાં a એ નમૂનાનું મધ્યક છે. આંકડાકીય પરીક્ષણો હોટલલિંગ અને સોલોમન પરીક્ષણ આંકડાશાસ્ત્રના વિતરણને ધ્યાનમાં લે છે જ્યાં n એ નમૂનાનું કદ છે, m એ નમૂનાનો સરેરાશ છે, a એ નમૂનાનું મધ્યમ છે અને s એ નમૂનાનું પ્રમાણભૂત વિચલન છે. D ના આંકડાકીય પરીક્ષણોએ ધાર્યું છે કે પરીક્ષણ કરવામાં આવતી નલ પૂર્વધારણા એ છે કે વિતરણ સમપ્રમાણ છે. ગેસ્ટવિર્થે n−1/2D ના એસિમ્પ્ટોટિક તફાવતનો અંદાજ લગાવ્યો હતો. જો વિતરણ એકરૂપ હોય અને લગભગ 0 સમપ્રમાણ હોય, તો એસિમ્પ્ટોટિક ભિન્નતા 1/4 અને 1 ની વચ્ચે હોય છે. રૂઢિચુસ્ત અંદાજ (તફાવતને 1 ની બરાબર મૂકવો) ધારીએ તો તે નજીવા સ્તરથી નીચે મહત્વના સાચા સ્તર તરફ દોરી શકે છે. અંતર્ગત વિતરણ સપ્રમાણ છે એમ ધારીએ તો કેબિલિયો અને મસારોએ દર્શાવ્યું છે કે S નું વિતરણ એસિમ્પ્ટોટિકલી નોર્મલ છે. એસિમ્પ્ટોટિક ભિન્નતા અંતર્ગત વિતરણ પર આધાર રાખે છેઃ સામાન્ય વિતરણ માટે, S નું એસિમ્પ્ટોટિક ભિન્નતા 0.5708 છે. અંતર્ગત વિતરણ સમપ્રમાણ છે એમ ધારીને, મધ્યકની ઉપર અને નીચેનાં મૂલ્યોના વિતરણને ધ્યાનમાં લઈને ઝેંગ અને ગેસ્ટવિર્થે દલીલ કરી છે કે જ્યાં n એ નમૂનાનું કદ છે, તે t વિતરણ તરીકે વહેંચવામાં આવે છે. સંબંધિત આંકડાઓ એન્ટોનીએટા મીરાએ સરેરાશ અને મધ્ય વચ્ચેના તફાવતની વહેંચણીનો અભ્યાસ કર્યો. જ્યાં m એ નમૂનાનો સરેરાશ છે અને a એ મધ્ય છે. જો અંતર્ગત વિતરણ સપ્રમાણ હોય તો γ1 પોતે એસિમ્પ્ટોટિકલી નોર્મલ છે. આ આંકડા અગાઉ બોનફેરોની દ્વારા સૂચવવામાં આવ્યા હતા. સમપ્રમાણ અંતર્ગત વિતરણ ધારીએ તો, S ના ફેરફારનો અભ્યાસ મિયાઓ, જેલ અને ગેસ્ટવિર્થ દ્વારા કરવામાં આવ્યો હતો, જેમણે તેમના આંકડા બનાવવા માટે પ્રમાણભૂત વિચલનમાં ફેરફાર કર્યો હતો. જ્યાં xi એ નમૂનાના મૂલ્યો છે, | | એ નિરપેક્ષ મૂલ્ય છે અને સરવાળો તમામ n નમૂનાના મૂલ્યો પર લેવામાં આવે છે. પરીક્ષણ આંકડાકીય હતું સ્કેલ કરેલ આંકડાકીય T એ સમપ્રમાણ વિતરણ માટે શૂન્યના સરેરાશ સાથે એસિમ્પ્ટોટિકલી નોર્મલ છે. તેની એસિમ્પ્ટોટિક ભિન્નતા અંતર્ગત વિતરણ પર આધાર રાખે છેઃ મર્યાદિત મૂલ્યો છે, સામાન્ય વિતરણ માટે = 0.5708. અને, ત્રણ ડિગ્રી ઓફ ફ્રીડમ સાથે t વિતરણ માટે, = 0.9689. વ્યક્તિગત વિતરણ માટેના મૂલ્યો સમમિતીય વિતરણ સમમિતીય સંભાવના વિતરણ માટે બિન-પેરામેટ્રિક વક્રનું મૂલ્ય 0 છે. અસમપ્રમાણ વિતરણ તે જમણા તિર્યક વિતરણ માટે હકારાત્મક અને ડાબા તિર્યક વિતરણ માટે નકારાત્મક છે. નિરપેક્ષ મૂલ્યો ≤ 0.2 ચિહ્નિત વક્રતા સૂચવે છે. કેટલાક વિતરણો માટે S નક્કી કરવું મુશ્કેલ હોઈ શકે છે. આનું સામાન્ય કારણ એ છે કે મધ્યક માટેનું બંધ સ્વરૂપ જાણીતું નથીઃ આવા વિતરણોના ઉદાહરણોમાં ગામા વિતરણ, વ્યુત્ક્રમ-ચી-વર્ગ વિતરણ, વ્યુત્ક્રમ-ગામા વિતરણ અને સ્કેલ કરેલ વ્યુત્ક્રમ ચી-વર્ગ વિતરણનો સમાવેશ થાય છે. S માટે નીચેના મૂલ્યો જાણીતા છેઃ બીટા વિતરણઃ 1 <α <β જ્યાં α અને β એ વિતરણના પરિમાણો છે, પછી સારા અંદાજ માટે જો 1 <β <α તો સૂત્રમાં α અને β ની સ્થિતિ ઉલટાવી દેવામાં આવે છે. S હંમેશા <0 હોય છે. દ્વિપદી વિતરણઃ બદલાય છે. જો સરેરાશ પૂર્ણાંક હોય તો S = 0. જો સરેરાશ પૂર્ણાંક ન હોય તો S માં કાં તો નિશાની હોઈ શકે છે અથવા શૂન્ય હોઈ શકે છે. તે ± મિનિમ {મહત્તમ {p, 1 − p}, લોગ 2}/σ દ્વારા બંધાયેલ છે જ્યાં σ એ દ્વિપદી વિતરણનું પ્રમાણભૂત વિચલન છે. બર વિતરણઃ બિર્નબામ-સોન્ડર્સ વિતરણઃ જ્યાં α એ આકારનું પરિમાણ છે અને β એ સ્થાનનું પરિમાણ છે. કેન્ટોર વિતરણઃ ચી વર્ગ વિતરણઃ જોકે S ≤ 0 તેનું મૂલ્ય ડિગ્રી ઓફ ફ્રીડમ (k) ની સંખ્યા પર આધારિત છે. ડગમ વિતરણઃ ઘાતાંકીય વિતરણઃ બે પરિમાણો સાથે ઘાતાંકીય વિતરણઃ ઘાતાંકીય-લઘુગણક વિતરણ અહીં S હંમેશા> 0 હોય છે. ઘાતાંકીય રીતે સુધારેલ ગૌસીયન વિતરણઃ n અને n ડિગ્રીઝ ઓફ ફ્રીડમ (n> 4) સાથે F વિતરણઃ ફ્રેચેટ વિતરણઃ આ વિતરણની ભિન્નતા માત્ર α> 2 માટે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. ગામા વિતરણઃ મધ્યક માત્ર આ વિતરણ માટે અંદાજે નક્કી કરી શકાય છે. જો આકાર પરિમાણ α એ ≤1 હોય તો જ્યાં β> 0 એ દર પરિમાણ છે. અહીં S હંમેશા> 0 હોય છે. સામાન્યીકૃત સામાન્ય વિતરણ સંસ્કરણ 2 એસ હંમેશા <0 હોય છે. સામાન્યીકૃત પેરેટો વિતરણઃ S ત્યારે જ વ્યાખ્યાયિત થાય છે જ્યારે આકાર પરિમાણ (k) <1/2 હોય. આ વિતરણ માટે S <0 છે. ગુંબેલ વિતરણઃ જ્યાં γ એ યુલરનો અચળાંક છે. અર્ધ-સામાન્ય વિતરણઃ કુમારસ્વામી વિતરણ લોગ-લોજિસ્ટિક વિતરણ (ફિસ્ક વિતરણ): ચાલો β આકાર પરિમાણ છે. આ વિતરણનો તફાવત અને સરેરાશ ત્યારે જ વ્યાખ્યાયિત થાય છે જ્યારે β> 2 હોય. સંકેતને સરળ બનાવવા માટે ચાલો b = β/. b> 4.932 (આશરે) ના મૂલ્યો માટે પ્રમાણભૂત વિચલન અસ્તિત્વમાં નથી. જે મૂલ્યો માટે પ્રમાણભૂત વિચલન વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે, S એ> 0 છે. લોગ-સામાન્ય વિતરણઃ સરેરાશ (μ) અને ભિન્નતા (σ2) લોગ-વેઇબુલ વિતરણ સાથેઃ લોમેક્સ વિતરણઃ S માત્ર α> 2 મેક્સવેલ-બોલ્ટ્ઝમેન વિતરણ માટે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છેઃ નાકાગામી વિતરણ પેરેટો વિતરણઃ α> 2 માટે જ્યાં α એ વિતરણનું આકાર પરિમાણ છે, અને S હંમેશા> 0 હોય છે. પોઈસન વિતરણઃ જ્યાં λ એ વિતરણનું પરિમાણ છે. રેલેહ વિતરણઃ વેઇબુલ વિતરણઃ જ્યાં k એ વિતરણનું આકાર પરિમાણ છે. અહીં S હંમેશા> 0 હોય છે. 1895 માં પીયર્સનએ સૌપ્રથમ સરેરાશ અને સ્થિતિ વચ્ચેના તફાવતને પ્રમાણિત કરીને સ્ક્યુનેસને માપવાનું સૂચન કર્યું હતું, જ્યાં અનુક્રમે વિતરણનું સરેરાશ, સ્થિતિ અને પ્રમાણભૂત વિચલન એ μ, θ અને σ છે. નમૂનાની માહિતીમાંથી વસ્તી પદ્ધતિના અંદાજો મુશ્કેલ હોઈ શકે છે, પરંતુ ઘણા વિતરણો માટે સરેરાશ અને પદ્ધતિ વચ્ચેનો તફાવત સરેરાશ અને મધ્ય વચ્ચેના તફાવત કરતાં લગભગ ત્રણ ગણો છે, જેણે પિયરસનને બીજો વક્રતા ગુણાંક સૂચવ્યો હતોઃ જ્યાં ν એ વિતરણની મધ્ય છે. બાઉલીએ 1901માં આ સૂત્રમાંથી પરિબળ 3ને દૂર કર્યું હતું, જે બિન-પેરામેટ્રિક તિરાડ આંકડા તરફ દોરી ગયું હતું. પિયર્સન જ્યારે તેમના પ્રકાર III વિતરણની તપાસ કરી રહ્યા હતા ત્યારે મધ્યસ્થ, સરેરાશ અને સ્થિતિ વચ્ચેના સંબંધની સૌપ્રથમ નોંધ લેવામાં આવી હતી. સરેરાશ, મધ્ય અને સ્થિતિ વચ્ચેના સંબંધો મનસ્વી વિતરણ માટે સ્થિતિ, મધ્ય અને સ્થિતિ કોઈપણ ક્રમમાં દેખાઈ શકે છે. સરેરાશ, મધ્યમ, સ્થિતિ અને પ્રમાણભૂત વિચલન વચ્ચેના કેટલાક સંબંધોનું વિશ્લેષણ કરવામાં આવ્યું છે. અને આ સંબંધો નોનપેરામેટ્રિક સ્ક્યુની નિશાની અને તીવ્રતા પર કેટલાક પ્રતિબંધો મૂકે છે. આ સંબંધોને દર્શાવતું એક સરળ ઉદાહરણ n = 10 અને p = 0.09 સાથેનું દ્વિપદી વિતરણ છે. આ વિતરણ જ્યારે દોરવામાં આવે છે ત્યારે તેની જમણી પૂંછડી લાંબી હોય છે. સરેરાશ (0.9) મધ્યક (1) ની ડાબી બાજુએ છે પરંતુ ત્રીજી પ્રમાણિત ક્ષણ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વક્ર (0.906) હકારાત્મક છે. તેનાથી વિપરીત નોનપેરામેટ્રિક સ્ક્યુ-0.110 છે. પીઅર્સનનો નિયમ એ નિયમ કે કેટલાક વિતરણો માટે સરેરાશ અને સ્થિતિ વચ્ચેનો તફાવત સરેરાશ અને મધ્ય વચ્ચેના તફાવત કરતાં ત્રણ ગણો હોય છે, તે પીઅર્સનને કારણે છે, જેમણે તેના પ્રકાર 3 વિતરણોની તપાસ કરતી વખતે તેની શોધ કરી હતી. તે ઘણીવાર સહેજ અસમપ્રમાણતાવાળા વિતરણો પર લાગુ થાય છે જે સામાન્ય વિતરણને મળતા આવે છે પરંતુ તે હંમેશા સાચું નથી હોતું. 1895 માં પિયરસને નોંધ્યું હતું કે જે હવે ગામા વિતરણ તરીકે ઓળખાય છે તે માટે જ્યાં θ, ν અને μ એ વિતરણનો ક્રમ, મધ્ય અને સરેરાશ છે તે સંબંધ મોટા આકારના પરિમાણ સાથેના વિતરણ માટે લગભગ સાચો હતો. 1917માં ડૂડ્સને સાબિત કર્યું કે મધ્યમ સ્થિતિ અને મર્યાદિત ચોથી ક્ષણો સાથે મધ્યમ વક્ર વિતરણ માટેના સરેરાશ વચ્ચે આવેલું છે. આ સંબંધ તમામ પીઅર્સન વિતરણો માટે લાગુ પડે છે અને આ તમામ વિતરણોમાં હકારાત્મક બિન-પેરામેટ્રિક તિરાડ હોય છે. ડૂડ્સને એ પણ નોંધ્યું હતું કે વિતરણના આ પરિવાર માટે સારા અંદાજ માટે, જ્યાં θ, ν અને μ એ અનુક્રમે વિતરણની સ્થિતિ, મધ્ય અને સરેરાશ છે. ડૂડસનના અંદાજની વધુ તપાસ કરવામાં આવી હતી અને હેલ્ડેન દ્વારા પુષ્ટિ કરવામાં આવી હતી. હેલ્ડેને નોંધ્યું હતું કે ત્રીજા સંચયી સાથે સમાન અને સ્વતંત્ર પ્રકારો ધરાવતા નમૂનાઓમાં નમૂનાનો અર્થ એવો હતો કે મોટા નમૂનાના કદ માટે પીઅર્સનના સંબંધોનું પાલન કરે છે. હેલ્ડેને આ સંબંધને જાળવી રાખવા માટે એજવર્થ વિસ્તરણનું અસ્તિત્વ અને મધ્ય અને સ્થિતિ બંનેની વિશિષ્ટતા સહિત સંખ્યાબંધ શરતોની જરૂર હતી. આ પરિસ્થિતિઓમાં તેમણે જોયું કે સ્થિતિ અને મધ્યક અનુક્રમે ત્રીજી ક્ષણના 1/2 અને 1/6 માં રૂપાંતરિત થાય છે. હોલ દ્વારા લાક્ષણિક કાર્યોનો ઉપયોગ કરીને નબળી પરિસ્થિતિઓમાં આ પરિણામની પુષ્ટિ કરવામાં આવી હતી. કેન્ડેલ અને સ્ટુઅર્ટ દ્વારા લોગ-નોર્મલ વિતરણમાં ડૂડસનના સંબંધોનો અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો હતો, જેના માટે તેમને તેની નજીકનો ચોક્કસ સંબંધ મળ્યો હતો. હોલે એ પણ દર્શાવ્યું હતું કે નિયમિત રીતે બદલાતી પૂંછડીઓ અને ઘાતાંક α સાથેના વિતરણ માટે યુનિમોડલ વિતરણ ગૌસે 1823 માં દર્શાવ્યું હતું કે યુનિમોડલ વિતરણ માટે અને જ્યાં ω એ મોડથી મૂળ સરેરાશ ચોરસ વિચલન છે. એકસમાન વિતરણોના મોટા વર્ગ માટે કે જે હકારાત્મક રીતે મોડને તિરાડ કરે છે, મધ્ય અને સરેરાશ તે ક્રમમાં આવે છે. તેનાથી વિપરીત, એકસમાન વિતરણોના મોટા વર્ગ માટે કે જે નકારાત્મક રીતે વક્ર હોય છે, સરેરાશ મધ્યક કરતાં ઓછી હોય છે જે બદલામાં સ્થિતિ કરતાં ઓછી હોય છે. આ હકારાત્મક તિરાડવાળા એકરૂપ વિતરણો માટેના પ્રતીકોમાં અને આ નકારાત્મક તિરાડવાળા એકરૂપ વિતરણો માટે આ વર્ગમાં મહત્વપૂર્ણ એફ, બીટા અને ગામા વિતરણોનો સમાવેશ થાય છે. આ નિયમ યુનિમોડલ વેઇબુલ વિતરણ માટે લાગુ પડતો નથી. એકરૂપ વિતરણ માટે નીચેની સીમાઓ જાણીતી છે અને તીક્ષ્ણ છેઃ જ્યાં μ, ν અને θ અનુક્રમે સરેરાશ, મધ્ય અને સ્થિતિ છે. મધ્યમ બાઉન્ડ એકસમાન વિતરણના નોનપેરામેટ્રિક સ્ક્યુને લગભગ ± 0.775 સુધી મર્યાદિત કરે છે. નીચેની અસમાનતા, જ્યાં θ, ν અને μ એ અનુક્રમે વિતરણની સ્થિતિ, મધ્ય અને સરેરાશ છે, જો F એ વિતરણનું સંચિત વિતરણ કાર્ય છે. ત્યારથી આ શરતોને સામાન્ય બનાવવામાં આવી છે અને અલગ વિતરણ સુધી વિસ્તૃત કરવામાં આવી છે. કોઈપણ વિતરણ કે જેના માટે આ ધરાવે છે તે ક્યાં તો શૂન્ય અથવા હકારાત્મક નોનપેરામેટ્રિક સ્ક્યુ ધરાવે છે. 1964માં વેન ઝ્વેટે તિર્યકતાના પગલાંના ક્રમ માટે સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતોની શ્રેણીની દરખાસ્ત કરી હતી. બિન-પેરામેટ્રિક તિરાડ આ સિદ્ધાંતોને સંતોષતી નથી. બેનફોર્ડનો કાયદો બેનફોર્ડનો કાયદો એ સંખ્યાઓની સૂચિમાં અંકોના વિતરણને લગતા પ્રયોગમૂલક કાયદો છે. એવું સૂચવવામાં આવ્યું છે કે હકારાત્મક નોનપેરામેટ્રિક સ્ક્યુ સાથેના વિતરણમાંથી રેન્ડમ ભિન્નતા આ કાયદાનું પાલન કરશે. બાઉલીના ગુણાંક સાથે સંબંધ આ આંકડા બાઉલીના વક્રતાના ગુણાંક સાથે ખૂબ સમાન છે જ્યાં ક્વિ એ વિતરણનો ith ચતુર્થાંશ છે. હિંકલેએ આને સામાન્ય બનાવ્યું જ્યાં તે 0 અને 0.5 ની વચ્ચે આવેલું છે. બાઉલીનો ગુણાંક એ 0.25 ની બરાબરનો વિશેષ કેસ છે. ગ્રોએનવેલ્ડ અને મીડેને તેના પરની નિર્ભરતાને એકીકૃત કરીને દૂર કરી. છેદ એ પ્રસરણનું માપ છે. છેદને પ્રમાણભૂત વિચલન સાથે બદલીને આપણે નોનપેરામેટ્રિક સ્ક્યુ મેળવીએ છીએ. સંદર્ભો સારાંશ આંકડાશાસ્ત્ર