Cardinal characteristic of the continuum
સમૂહ સિદ્ધાંતની ગાણિતિક શાખામાં, સાતત્યની મુખ્ય લાક્ષણિકતા એ અનંત મુખ્ય સંખ્યા છે જે સતત (કુદરતી સંખ્યાઓના સમૂહની મુખ્યતા) અને સાતત્યની મુખ્યતા, એટલે કે તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓના સમૂહની મુખ્યતા વચ્ચે હોઈ શકે છે. બાદમાં કાર્ડિનલ સૂચવવામાં આવે છે અથવા. આવી વિવિધ મુખ્ય લાક્ષણિકતાઓ કુદરતી રીતે ઉદ્ભવે છે, અને તેમની વચ્ચેના કયા સંબંધો સાબિત કરી શકાય તે નક્કી કરવા અને તેમની વિવિધ સુસંગત રૂપરેખાંકનો માટે સમૂહ સિદ્ધાંતના નમૂનાઓનું નિર્માણ કરવા માટે ઘણું કામ કરવામાં આવ્યું છે. બેકગ્રાઉન્ડ કેન્ટોરની કર્ણ દલીલ દર્શાવે છે કે તે તેના કરતા સખત રીતે મોટી છે, પરંતુ તે સ્પષ્ટ કરતું નથી કે તે (એટલે કે,) કરતા સૌથી ઓછી મુખ્ય છે કે નહીં. ખરેખર એવી ધારણા જે જાણીતી કોન્ટિનમ પૂર્વધારણા છે, જે કર્ટ ગોડેલ દ્વારા સેટ થિયરી માટે પ્રમાણભૂત ઝેડએફસી સ્વયંસિદ્ધ સાથે સુસંગત હોવાનું દર્શાવવામાં આવ્યું હતું અને પોલ કોહેન દ્વારા તેનાથી સ્વતંત્ર હોવાનું દર્શાવવામાં આવ્યું હતું. જો કોન્ટિનમ પૂર્વધારણા નિષ્ફળ જાય અને ઓછામાં ઓછું હોય, તો કાર્ડિનલ્સ વિશે અને વચ્ચે સખત રીતે કુદરતી પ્રશ્નો ઉભા થાય છે, ઉદાહરણ તરીકે લેબસ્ગ્યુ માપનક્ષમતા અંગે. કેટલીક મિલકત સાથે ઓછામાં ઓછા કાર્ડિનલને ધ્યાનમાં લઈને, વ્યક્તિને અગણિત કાર્ડિનલની વ્યાખ્યા મળી શકે છે જે સતત તેના કરતા ઓછી હોય છે. સામાન્ય રીતે માત્ર એવા કાર્ડિનલ્સ માટેની વ્યાખ્યાઓને જ ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે જે સાતત્યની મુખ્ય લાક્ષણિકતાઓ કરતાં સાબિત રીતે મોટી હોય છે, તેથી જો કોન્ટિનમ પૂર્વધારણા માને છે કે તે બધા સમાન છે. ઉદાહરણો સમૂહ સિદ્ધાંતમાં પ્રમાણભૂત છે તેમ, આપણે ઓછામાં ઓછા અનંત ક્રમિક દ્વારા સૂચવીએ છીએ, જે કાર્ડિનાલિટી ધરાવે છે; તેને તમામ કુદરતી સંખ્યાઓના સમૂહ સાથે ઓળખી શકાય છે. સંખ્યાબંધ મુખ્ય લાક્ષણિકતાઓ કુદરતી રીતે આદર્શો માટે મુખ્ય અપરિવર્તન તરીકે ઊભી થાય છે, જે વાસ્તવિક માળખા સાથે નજીકથી જોડાયેલા હોય છે, જેમ કે લેબસ્ગ્યુ નલ સમૂહોના આદર્શ અને અલ્પ સમૂહોના આદર્શ. બિન (એન) મુખ્ય લાક્ષણિકતા બિન () એ બિન-માપી શકાય તેવા સમૂહની ઓછામાં ઓછી મુખ્યતા છે; સમાનરૂપે, તે સમૂહની સૌથી ઓછી મુખ્યતા છે જે લેબસ્ગ્યુ નલ સમૂહ નથી. બાઉન્ડિંગ નંબર અને ડોમિનેટિંગ નંબર આપણે થી થી કાર્યોના સમૂહ દ્વારા સૂચવીએ છીએ. કોઈપણ બે કાર્યો માટે અને આપણે નિવેદન દ્વારા સૂચવીએ છીએ કે બધા માટે પરંતુ મર્યાદિત રીતે ઘણા. બાઉન્ડિંગ નંબર એ આ સંબંધમાં અનબાઉન્ડ સેટની સૌથી ઓછી કાર્ડિનાલિટી છે, એટલે કે, ડોમિનેટિંગ નંબર એ ફંક્શન્સના સેટની સૌથી ઓછી કાર્ડિનાલિટી છે કે જેથી આવા દરેક ફંક્શન પર તે સેટના સભ્ય (એટલે કે) દ્વારા પ્રભુત્વ હોય, એટલે કે, સ્પષ્ટપણે આવા કોઈપણ ડોમિનેટિંગ સેટ અનબાઉન્ડ છે, તેથી તે વધુમાં વધુ છે, અને વિકર્ણન દલીલ તે દર્શાવે છે. અલબત્ત જો આ સૂચવે છે કે, પરંતુ હેકલરે બતાવ્યું છે કે તેના કરતા સખત રીતે ઓછું હોવું પણ સુસંગત છે. વિભાજીત સંખ્યા અને લણણી સંખ્યા આપણે તેના તમામ અનંત ઉપગણોના સમૂહ દ્વારા સૂચવીએ છીએ. કોઈપણ માટે, આપણે કહીએ છીએ કે જો બંને અને અનંત હોય તો વિભાજન થાય છે. વિભાજન સંખ્યા એ એવા ઉપગણની સૌથી ઓછી મુખ્યતા છે કે બધા માટે, કેટલાક એવા છે જે વિભાજિત થાય છે. એટલે કે, લણણીની સંખ્યા એ એવા ઉપગણની સૌથી ઓછી મુખ્યતા છે કે જેનું કોઈ પણ તત્વ તેના દરેક તત્વને વિભાજિત કરતું નથી. એટલે કે, અલ્ટ્રાફિલ્ટર નંબર અલ્ટ્રાફિલ્ટર નંબરને બિન-મુખ્ય અલ્ટ્રાફિલ્ટરના ફિલ્ટર બેઝની સૌથી ઓછી મુખ્યતા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. કુનેને સમૂહ સિદ્ધાંતનું એક મોડેલ આપ્યું હતું જેમાં પરંતુ, અને સૅક્સ ફોર્સિંગ્સના ગણતરીપાત્ર સમર્થન પુનરાવર્તનનો ઉપયોગ કરીને, બૌમગાર્ટનર અને લેવરે એક મોડેલ બનાવ્યું હતું જેમાં અને. લગભગ અસંગતતા નંબર બે ઉપગણ અને જો મર્યાદિત હોય તો લગભગ અસંગત હોવાનું કહેવાય છે, અને જો તેના સભ્યો જોડીની દિશામાં લગભગ અસંગત હોય તો તેના ઉપગણોનું કુટુંબ લગભગ અસંગત હોવાનું કહેવાય છે. આ રીતે ઉપગણોનો મહત્તમ લગભગ અસંબદ્ધ (પાગલ) પરિવાર એ લગભગ અસંબદ્ધ પરિવાર છે જેમ કે 'નોટ ઇન' ના દરેક ઉપગણ માટે, એક સમૂહ એવો છે કે જે લગભગ અસંબદ્ધ નથી (એટલે કે, તેમનું આંતરછેદ અનંત છે). લગભગ અસંગતતા સંખ્યા એ અનંત મહત્તમ લગભગ અસંગત કુટુંબની સૌથી ઓછી મુખ્યતા છે. એક મૂળભૂત પરિણામ એરિક વાન ડૌવેન. ઇન્ટિજર્સ અને ટોપોલોજી. કે. કુનેન અને જે. ઈ. વૉન (ઈ. ડી. એસ.) હેન્ડબુક ઓફ સેટ-થિયોરેટિક ટોપોલોજી. નોર્થ-હોલેન્ડ, એમ્સ્ટર્ડમ, 1984. તે છે; શેલાહે દર્શાવ્યું કે કડક અસમાનતા સુસંગત છે. સિચોન્સ આકૃતિ મુખ્ય લાક્ષણિકતાઓની જાણીતી આકૃતિ સિચોન્સ આકૃતિ છે, જે 10 મુખ્ય લાક્ષણિકતાઓ વચ્ચેના ઝેડએફસીમાં સાબિત કરી શકાય તેવા તમામ જોડી મુજબના સંબંધો દર્શાવે છે. ટોમેક બાર્ટોઝિન્સ્કી અને હૈમ જુડાહના વધુ વાંચનના સંદર્ભો. વાસ્તવિક રેખાના માળખા પર સિદ્ધાંત સેટ કરો ". એ. કે. પીટર્સ, 1995. કાર્ડિનલ નંબરો