Exponentially modified Gaussian distribution
સંભાવના સિદ્ધાંતમાં, ઘાતાંકીય રીતે સુધારેલ ગૌસીયન વિતરણ (ઇ. એમ. જી., જેને એક્સ ગૌસીયન વિતરણ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે) સ્વતંત્ર સામાન્ય અને ઘાતાંકીય રેન્ડમ ચલોનો સરવાળો વર્ણવે છે. એક એક્સગૌસીયન રેન્ડમ ચલ Z ને આ રીતે વ્યક્ત કરી શકાય છે, જ્યાં X અને Y સ્વતંત્ર છે, X એ સરેરાશ μ અને ભિન્નતા σ2 સાથે ગૌસીયન છે, અને Y એ દર λ નો ઘાતાંકીય છે. તે ઘાતાંકીય ઘટકમાંથી લાક્ષણિક હકારાત્મક વળાંક ધરાવે છે. તેને સ્થાનાંતરિત ઘાતાંકીયના ભારિત કાર્ય તરીકે પણ ગણી શકાય, જેમાં વજન એ સામાન્ય વિતરણનું કાર્ય છે. વ્યાખ્યા ઘાતાંકીય રીતે સુધારેલા સામાન્ય વિતરણનું સંભાવના ઘનતા કાર્ય (પી. ડી. એફ.) એ છે કે જ્યાં ઇ. આર. એફ. સી. એ પૂરક ભૂલ કાર્ય છે જેને આ ઘનતા કાર્ય તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. ગણતરી માટે વૈકલ્પિક સ્વરૂપો ક્રોમેટોગ્રાફીમાં ટોચના આકારના વર્ણન માટે ઇ. એમ. જી. વિતરણનું વૈકલ્પિક પરંતુ સમકક્ષ સ્વરૂપ વપરાય છે. આ નીચે મુજબ છે જ્યાં ગૌસીયનનું કંપનવિસ્તાર છે, જે ઘાતાંક છૂટછાટનો સમય છે, તે ઘાતાંકીય સંભાવના ઘનતા કાર્યનું ભિન્નતા છે. અંકગણિત ઓવરફ્લોને કારણે પરિમાણોના કેટલાક મૂલ્યો (ઉદાહરણ તરીકે,) માટે આ કાર્યની ગણતરી કરી શકાતી નથી. ફંક્શન લખવાનું વૈકલ્પિક, પરંતુ સમકક્ષ સ્વરૂપ ડેલી દ્વારા પ્રસ્તાવિત કરવામાં આવ્યું હતુંઃ જ્યાં સ્કેલ કરેલ પૂરક ભૂલ ફંક્શન છે આ સૂત્રના કિસ્સામાં અંકગણિત ઓવરફ્લો પણ શક્ય છે, ખૂબ જ નાના τ સિવાય ઓવરફ્લોનો પ્રદેશ પ્રથમ સૂત્રથી અલગ છે. નાના τ માટે બીજા સૂત્રના એસિમ્પ્ટોટિક સ્વરૂપનો ઉપયોગ કરવો વાજબી છેઃ સૂત્રના ઉપયોગ અંગેનો નિર્ણય પરિમાણના આધારે કરવામાં આવે છેઃ z <0 માટે ગણતરી પ્રથમ સૂત્ર અનુસાર થવી જોઈએ, 0 ≤ z ≤ 6.71·107 માટે (બેવડી-ચોકસાઇ ફ્લોટિંગ-પોઇન્ટ ફોર્મેટના કિસ્સામાં) બીજા સૂત્ર અનુસાર, અને z> 6.71·107 માટે ત્રીજા સૂત્ર અનુસાર. મોડ (ટોચની સ્થિતિ, સૌથી સંભવિત મૂલ્ય) ની ગણતરી સૂત્ર 2 ના વ્યુત્પન્નનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે; ગણતરી માટે સ્કેલ કરેલ પૂરક ભૂલ કાર્ય erfcxinv () નો વ્યસ્ત ઉપયોગ થાય છે. કલમ્બેટ એટ અલ દ્વારા અંદાજિત મૂલ્યો પણ પ્રસ્તાવિત કરવામાં આવ્યા છે. મોડ મૂળ ગૌસીયન કરતા વધુ મૂલ્ય પર હોવા છતાં, ટોચ હંમેશા મૂળ (બિનપરિવર્તિત) ગૌસીયન પર સ્થિત હોય છે. પરિમાણ અંદાજ ત્રણ પરિમાણો છેઃ સામાન્ય વિતરણનો સરેરાશ (μ), સામાન્ય વિતરણનું પ્રમાણભૂત વિચલન (σ) અને ઘાતાંકીય ક્ષય પરિમાણ (τ = 1/λ). આકાર K = τ/σ નો ઉપયોગ કેટલીકવાર વિતરણની લાક્ષણિકતા માટે પણ થાય છે. પરિમાણોના મૂલ્યોના આધારે, વિતરણ લગભગ સામાન્યથી લગભગ ઘાતાંકીય આકારમાં બદલાઈ શકે છે. વિતરણના પરિમાણોનો અંદાજ નમૂનાના ડેટામાંથી ક્ષણોની પદ્ધતિ સાથે નીચે પ્રમાણે કરી શકાય છેઃ જ્યાં m એ નમૂનાનો સરેરાશ છે, s એ નમૂનાનું પ્રમાણભૂત વિચલન છે, અને γ1 એ વક્રતા છે. પરિમાણો માટે આને ઉકેલવાથી મળે છેઃ ભલામણો રેટક્લિફે સૂચવ્યું છે કે પરિમાણના અંદાજોને વિશ્વસનીય ગણવા જોઈએ તે પહેલાં નમૂનામાં ઓછામાં ઓછા 100 ડેટા પોઇન્ટ હોવા જોઈએ. વિન્સેન્ટ એવરેજિંગનો ઉપયોગ નાના નમૂનાઓ સાથે થઈ શકે છે, કારણ કે આ પ્રક્રિયા માત્ર વિતરણના આકારને સામાન્ય રીતે વિકૃત કરે છે. આ બિંદુ અંદાજોનો ઉપયોગ પ્રારંભિક મૂલ્યો તરીકે થઈ શકે છે જેને વધુ શક્તિશાળી પદ્ધતિઓ સાથે શુદ્ધ કરી શકાય છે, જેમાં લઘુત્તમ-ચોરસ ઓપ્ટિમાઇઝેશનનો સમાવેશ થાય છે, જે મલ્ટીમોડલ એક્સપોનેન્શિયલી મોડિફાઇડ ગૌસીયન (એમઇએમજી) કેસ માટે કામ કરે છે. વિશ્લેષણાત્મક એમ. ઇ. એમ. જી. વ્યુત્પન્ન સાથે કોડ અમલીકરણ અને ધ્વનિ પ્રક્રિયા માટે વૈકલ્પિક દોલન શબ્દ ઓપન-સોર્સ પ્રોજેક્ટના ભાગ રૂપે બહાર પાડવામાં આવે છે. આ વિતરણ સાથે મહત્વ પરીક્ષણ માટે હાલમાં કોઈ પ્રકાશિત કોષ્ટકો ઉપલબ્ધ નથી. વિતરણને બે રેન્ડમ ચલોનો સરવાળો બનાવીને અનુકરણ કરી શકાય છે, એક સામાન્ય વિતરણમાંથી અને બીજું ઘાતાંકમાંથી દોરવામાં આવે છે. આ વિતરણના નોનપેરામેટ્રિક સ્ક્યુની કિંમત 0 અને 0.31 ની વચ્ચે હોય છે. જ્યારે સામાન્ય ઘટક પ્રભુત્વ ધરાવે છે ત્યારે નીચલી મર્યાદા અને જ્યારે ઘાતાંકીય ઘટક પ્રભુત્વ ધરાવે છે ત્યારે ઉપલી મર્યાદા સુધી પહોંચી શકાય છે. ઘટના વિતરણનો ઉપયોગ ક્રોમેટોગ્રાફિક શિખરોના આકાર માટે સૈદ્ધાંતિક નમૂના તરીકે થાય છે. તે વિભાજીત કોષોમાં ઇન્ટરમિટોટિક સમયના આંકડાકીય નમૂના તરીકે પ્રસ્તાવિત કરવામાં આવ્યું છે. તેનો ઉપયોગ ક્લસ્ટર આયન બીમના મોડેલિંગમાં પણ થાય છે. તેનો ઉપયોગ સામાન્ય રીતે મનોવિજ્ઞાન અને અન્ય મગજ વિજ્ઞાનમાં પ્રતિભાવ સમયના અભ્યાસમાં થાય છે. નાના પ્રકારમાં જ્યાં સામાન્ય ઘટકનો સરેરાશ શૂન્ય પર સેટ કરવામાં આવે છે, તેનો ઉપયોગ સ્ટોકેસ્ટિક ફ્રન્ટિયર એનાલિસિસમાં પણ થાય છે, જે બિનકાર્યક્ષમતાને મોડેલ કરતી રચાયેલ ભૂલ શબ્દ માટે વિતરણની વિશિષ્ટતાઓમાંની એક છે. સિગ્નલ પ્રોસેસિંગમાં, ઇ. એમ. જી. ને ડિજિટલ ધ્વનિ સંકેતોને રજૂ કરવા માટે વૈકલ્પિક ઓસિલેશન શબ્દ સાથે મલ્ટીમોડલ કેસ સુધી વિસ્તૃત કરવામાં આવ્યા છે. સંબંધિત વિતરણ વિતરણોનો આ પરિવાર સામાન્ય-ઘાતાંકીય-ગામા વિતરણનો એક વિશેષ અથવા મર્યાદિત કેસ છે. આને સ્ક્યુ ઉમેરવા માટે સામાન્ય વિતરણના ત્રણ-પરિમાણ સામાન્યીકરણ તરીકે પણ જોઈ શકાય છે; તેના જેવું બીજું વિતરણ સ્ક્યુ નોર્મલ વિતરણ છે, જેની પૂંછડીઓ પાતળી હોય છે. વિતરણ એ સંયોજન સંભાવના વિતરણ છે જેમાં સામાન્ય વિતરણનો સરેરાશ સ્થાનાંતરિત ઘાતાંકીય વિતરણ તરીકે અવ્યવસ્થિત રીતે બદલાય છે. વિકલ્પ કિંમતોના મોડેલિંગ માટે ગૌસીયન બાદબાકી ઘાતાંકીય વિતરણ સૂચવવામાં આવ્યું છે. જો આવા રેન્ડમ ચલ Y પાસે પરિમાણો μ, σ, λ હોય, તો તેનું નકારાત્મક-Y એ પરિમાણો-μ, σ, λ સાથે ઘાતાંકીય રીતે સુધારેલ ગૌસીયન વિતરણ ધરાવે છે, અને આમ Y પાસે સરેરાશ અને ભિન્નતા છે. સંદર્ભો સતત વિતરણ ચક્રવૃદ્ધિ સંભાવના વિતરણ સામાન્ય વિતરણ ઘાતાંકીય કુટુંબ વિતરણ