Smooth completion
બીજગણિત ભૂમિતિમાં, સરળ એફાઇન બીજગણિત વળાંક X ની સરળ પૂર્ણતા (અથવા સરળ સંકોચન) એ સંપૂર્ણ સરળ બીજગણિત વળાંક છે જે X ને ખુલ્લા ઉપગણ તરીકે ધરાવે છે. સરળ પૂર્ણતા અસ્તિત્વ ધરાવે છે અને એક સંપૂર્ણ ક્ષેત્ર પર અનન્ય છે. ઉદાહરણો હાયપરેલિપ્ટિક વળાંકનું એફાઇન સ્વરૂપ જ્યાં અને () અલગ મૂળ ધરાવે છે અને ઓછામાં ઓછું 5 ડિગ્રી ધરાવે છે તે રીતે રજૂ કરી શકાય છે. ઉમેરાયેલા અનન્ય અનંત બિંદુ પર એફાઇન વળાંકનું ઝારિસ્કી બંધ એકવચન છે. તેમ છતાં, એફાઇન વળાંકને એક અનન્ય કોમ્પેક્ટ રીમાન સપાટીમાં જડિત કરી શકાય છે જેને તેની સ્મૂથ કમ્પ્લીશન કહેવાય છે. જો સમ ડિગ્રી હોય તો રીમાન સપાટીનું પ્રક્ષેપણ અનંત પર એકવચન બિંદુ પર 2-થી-1 છે, અને અન્યથા 1-થી-1 (પરંતુ વિસ્તૃત) છે. આ સરળ પૂર્ણતા નીચે પ્રમાણે પણ મેળવી શકાય છે. એક્સ-કોઓર્ડિનેટનો ઉપયોગ કરીને એફાઇન રેખા પર એફાઇન વળાંકને પ્રોજેક્ટ કરો. પ્રોજેક્ટિવ લાઇનમાં એફાઇન લાઇનને એમ્બેડ કરો, પછી એફાઇન કર્વના ફંક્શન ક્ષેત્રમાં પ્રોજેક્ટિવ લાઇનનું નોર્મલાઇઝેશન લો. એપ્લિકેશન્સ બીજગણિત રીતે બંધ ક્ષેત્ર પર એક સરળ જોડાયેલ વળાંકને હાયપરબોલિક કહેવામાં આવે છે જો g એ સરળ પૂર્ણતાની જાતિ છે અને r એ ઉમેરાયેલા બિંદુઓની સંખ્યા છે. લાક્ષણિકતા 0 ના બીજગણિત રીતે બંધ ક્ષેત્ર પર, X નું મૂળભૂત જૂથ જનરેટરથી મુક્ત છે જો r> 0 હોય. (ડિરીક્લેટના એકમ પ્રમેયનો એનાલોગ) ચાલો X એ મર્યાદિત ક્ષેત્ર પર એક સરળ જોડાયેલ વળાંક છે. પછી X પર નિયમિત વિધેયો O (X) ની રિંગના એકમો એ r-1 રેન્કનું મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન થયેલ અબેલિયન જૂથ છે. બાંધકામ ધારો કે આધાર ક્ષેત્ર સંપૂર્ણ છે. કોઈપણ એફાઇન કર્વ X એ ઇન્ટિગ્રલ પ્રોજેક્ટિવ (તેથી સંપૂર્ણ) કર્વના ખુલ્લા સબસેટ માટે આઇસોમોર્ફિક છે. પ્રોજેક્ટિવ કર્વનું નોર્મલાઇઝેશન (અથવા સિંગ્યુલારીટીઝને ઉડાડવું) લેવાથી X ની સરળ પૂર્ણતા મળે છે. તેમના બિંદુઓ કાર્ય ક્ષેત્રના સ્વતંત્ર મૂલ્યાંકનને અનુરૂપ છે જે આધાર ક્ષેત્ર પર તુચ્છ છે. બાંધકામ દ્વારા, સરળ સમાપ્તિ એ એક પ્રક્ષેપાત્મક વળાંક છે જેમાં આપેલ વળાંક દરેક જગ્યાએ ગાઢ ખુલ્લા ઉપગણ તરીકે હોય છે, અને ઉમેરાયેલા નવા બિંદુઓ સરળ હોય છે. આવી (પ્રોજેક્ટિવ) પૂર્ણતા હંમેશા અસ્તિત્વમાં હોય છે અને અનન્ય હોય છે. જો આધાર ક્ષેત્ર સંપૂર્ણ ન હોય, તો સરળ એફાઇન વળાંકની સરળ પૂર્ણતા હંમેશા અસ્તિત્વમાં હોતી નથી. પરંતુ ઉપરોક્ત પ્રક્રિયા હંમેશા નિયમિત સમાપ્તિ ઉત્પન્ન કરે છે જો આપણે નિયમિત એફાઇન વળાંકથી શરૂઆત કરીએ (સરળ જાતો નિયમિત હોય છે, અને સંપૂર્ણ ક્ષેત્રો પર વિપરીત સાચું હોય છે). નિયમિત પૂર્ણતા અનન્ય છે અને, યોગ્યતાના મૂલ્યાંકનકારી માપદંડ દ્વારા, એફાઇન વળાંકથી લઈને સંપૂર્ણ બીજગણિત વિવિધતા સુધીના કોઈપણ આકારવાદ નિયમિત સમાપ્તિ સુધી અનન્ય રીતે વિસ્તરે છે. સામાન્યીકરણ જો X એ અલગ બીજગણિત વિવિધતા હોય, તો નાગાતાનો એક પ્રમેય કહે છે કે X ને સંપૂર્ણ બીજગણિત વિવિધતાના ખુલ્લા સબસેટ તરીકે સમાવી શકાય છે. જો X વધુ સરળ હોય અને આધાર ક્ષેત્રની લાક્ષણિકતા 0 હોય, તો હિરોનાકાના પ્રમેય દ્વારા X ને સંપૂર્ણ સરળ બીજગણિત વિવિધતાના ખુલ્લા સબસેટ તરીકે પણ સમાવી શકાય છે, જેમાં સામાન્ય ક્રોસિંગ વિભાજકની સીમા હોય છે. જો X અર્ધ-પ્રોજેક્ટિવ હોય, તો સરળ પૂર્ણતાને પ્રોજેક્ટિવ તરીકે પસંદ કરી શકાય છે. જો કે, એક-પરિમાણીય કેસથી વિપરીત, સરળ પૂર્ણતાની કોઈ વિશિષ્ટતા નથી, ન તો તે કેનોનિકલ છે. હાયપરેલિપ્ટિક કર્વ બોલ્ઝા સપાટી સંદર્ભ ગ્રંથસૂચિ પણ જુઓ (પ્રકરણ 4 જુઓ). બીજગણિત ભૂમિતિ રીમાન સપાટી પર બીજગણિત વળાંક બાયરેશનલ ભૂમિતિ