Loewner differential equation
ગણિતમાં, લોવનર વિભેદક સમીકરણ અથવા લોવનર સમીકરણ એ 1923માં ચાર્લ્સ લોવનર દ્વારા જટિલ વિશ્લેષણ અને ભૌમિતિક કાર્ય સિદ્ધાંતમાં શોધાયેલ એક સામાન્ય વિભેદક સમીકરણ છે. મૂળ સ્લિટ મેપિંગ્સના અભ્યાસ માટે રજૂ કરવામાં આવી હતી (જટિલ સપાટી પર ખુલ્લી ડિસ્કના અનુરૂપ મેપિંગ્સ, જેમાં 0 થી દૂર કરેલ વળાંક જોડાય છે), લોવનરની પદ્ધતિ પાછળથી 1943 માં રશિયન ગણિતશાસ્ત્રી પાવેલ પારફેનેવિચ કુફારેવ (1909-1968) દ્વારા વિકસાવવામાં આવી હતી. જટિલ સમતલમાં ડોમેન્સનો કોઈપણ પરિવાર કે જે સમગ્ર સમતલમાં કારાથિઓડોરીના અર્થમાં સતત વિસ્તરે છે તે કન્ફોર્મલ મેપિંગ્સના એક પરિમાણ પરિવાર તરફ દોરી જાય છે, જેને લોવનર સાંકળ કહેવાય છે, તેમજ એકમ ડિસ્કના હોલોમોર્ફિક અવિભાજ્ય સ્વ-મેપિંગ્સના બે પરિમાણ પરિવાર તરફ દોરી જાય છે, જેને લોવનર સેમીગ્રુપ કહેવાય છે. આ અર્ધસમૂહ ડિસ્ક પર સમય આધારિત હોલોમોર્ફિક વેક્ટર ક્ષેત્રને અનુરૂપ છે, જે હકારાત્મક વાસ્તવિક ભાગ સાથે ડિસ્ક પર હોલોમોર્ફિક કાર્યોના એક પરિમાણ પરિવાર દ્વારા આપવામાં આવે છે. લોવનર અર્ધસમૂહ અવિભાજ્ય અર્ધસમૂહની કલ્પનાને સામાન્ય બનાવે છે. લોવનર વિભેદક સમીકરણે અસમાન કાર્યો માટે અસમાનતાઓ તરફ દોરી છે જેણે 1985માં લુઇસ ડી બ્રાન્જેસ દ્વારા બીબરબેક અનુમાનના ઉકેલમાં મહત્વપૂર્ણ ભૂમિકા ભજવી હતી. લોવનરે પોતે 1923માં ત્રીજા ગુણાંક માટેના અનુમાનને સાબિત કરવા માટે તેમની તકનીકોનો ઉપયોગ કર્યો હતો. 1990ના દાયકાના અંતમાં ઓડેડ સ્ક્રમ દ્વારા શોધાયેલ લોવનર વિભેદક સમીકરણનું સ્ટોકેસ્ટિક સામાન્યીકરણ, સ્ક્રમ-લોવનર સમીકરણ, સંભાવના સિદ્ધાંત અને અનુરૂપ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંતમાં વ્યાપકપણે વિકસાવવામાં આવ્યું છે. ગૌણ અવિભાજ્ય વિધેયો ચાલો એકમ ડિસ્ક પર હોલોમોર્ફિક અવિભાજ્ય વિધેયો, સાથે. જો અને માત્ર ત્યારે જ તેને ગૌણ કહેવામાં આવે છે જ્યારે તેના માટે તેનામાં એક સમાન મેપિંગ હોય. આવા નકશાના અસ્તિત્વ માટે એક જરૂરી અને પર્યાપ્ત શરત એ છે કે જરૂરિયાત તાત્કાલિક છે. તેનાથી વિપરીત વ્યાખ્યા દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવું આવશ્યક છે φ એ સાથેનું અવિભાજ્ય હોલોમોર્ફિક સ્વ-મેપિંગ છે. આ પ્રકારનો નકશો દરેક ડિસ્કને સંતુષ્ટ કરે છે અને પોતાની સાથે લે છે, તેથી તે તેને અનુસરે છે અને લોવનર સાંકળને અનુસરે છે. જો એકમ ડિસ્કને સૂચવે છે, તો આ પ્રમેય સૂચવે છે કે રીમાન મેપિંગ પ્રમેય દ્વારા આપવામાં આવેલા અનન્ય અવિભાજ્ય નકશા તેના સઘન ઉપગણ પર સમાનરૂપે સતત છે. વધુમાં, કાર્ય હકારાત્મક, સતત, સખત રીતે વધતું અને સતત છે. પુનરાવર્તન દ્વારા એવું માની શકાય છે કે તેથી અવિભાજ્ય મેપિંગ્સને લોવનર સાંકળ કહેવામાં આવે છે. કોબે વિકૃતિ પ્રમેય દર્શાવે છે કે સાંકળનું જ્ઞાન ખુલ્લા સમૂહોના ગુણધર્મોની સમકક્ષ છે. લોવનર સેમિગ્રુપ જો લોવનર સાંકળ હોય, તો તેના માટે ડિસ્ક ફિક્સિંગનું એક અનોખું અવિભાજ્ય સ્વ-મેપિંગ હોય છે, જેમ કે વિશિષ્ટતા દ્વારા મેપિંગ્સમાં નીચેના સેમિગ્રુપ ગુણધર્મો હોય છેઃ તેઓ લોવનર અર્ધસમૂહ બનાવે છે. સ્વ-નકશાઓ સતત લોવનર વિભેદક સમીકરણ પર આધાર રાખે છે અને તેને સંતોષે છે. લોવનર વિભેદક સમીકરણ લોવનર અર્ધસમૂહ માટે અથવા લોવનર સાંકળ માટે સમકક્ષ રીતે મેળવી શકાય છે. અર્ધસમૂહ માટે, પછી માટે સાથે દો. પછી પ્રારંભિક સ્થિતિ સાથે સામાન્ય વિભેદક સમીકરણને સંતોષે છે. લોવનર સાંકળ દ્વારા સંતુષ્ટ વિભેદક સમીકરણ મેળવવા માટે નોંધો કે જેથી તે પ્રારંભિક સ્થિતિ સાથે વિભેદક સમીકરણને સંતોષે છે સામાન્ય વિભેદક સમીકરણો માટે પિકાર્ડ-લિન્ડેલોફ પ્રમેય ખાતરી આપે છે કે આ સમીકરણો ઉકેલી શકાય છે અને ઉકેલો હોલોમોર્ફિક છે. લોવનર સાંકળને લોવનર અર્ધસમૂહમાંથી મર્યાદા સુધી પસાર કરીને પુનઃપ્રાપ્ત કરી શકાય છેઃ છેવટે કોઈ પણ એકરૂપ સ્વ-મેપિંગ, ફિક્સિંગને જોતાં, લોવનર અર્ધસમૂહનું નિર્માણ કરવું શક્ય છે જેમ કે સમાન કાર્ય આપવામાં આવે છે, જેમ કે બંધ એકમ ડિસ્ક હોય છે, ત્યાં એક લોવનર સાંકળ હોય છે જે આ પ્રકારના પરિણામો તાત્કાલિક હોય છે જો અથવા સતત સુધી વિસ્તરે છે. તેઓ સામાન્ય રીતે મેપિંગ્સને અંદાજો દ્વારા બદલીને અને પછી પ્રમાણભૂત કોમ્પેક્ટનેસ દલીલનો ઉપયોગ કરીને અનુસરે છે. સ્લિટ મેપિંગ્સ સકારાત્મક વાસ્તવિક ભાગ સાથે હોલોમોર્ફિક વિધેયો ચાલુ કરે છે અને સામાન્યીકૃત થાય છે જેથી તે હર્ગ્લોટ્ઝ પ્રતિનિધિત્વ પ્રમેય દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છેઃ વર્તુળ પર સંભાવના માપ ક્યાં છે. એક બિંદુ માપ લેવાથી કાર્યો સાથે એકલ આઉટ થાય છે, જે પ્રથમ દ્વારા ધ્યાનમાં લેવાતા હતા. યુનિટ ડિસ્ક પર અવિભાજ્ય કાર્યો માટેની અસમાનતાઓ સ્લિટ મેપિંગ્સના કોમ્પેક્ટ સબસેટ્સ પર સમાન કન્વર્જન્સ માટે ઘનતાનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરી શકાય છે. આ જટિલ સમતલ પર એકમ ડિસ્કના અનુરૂપ નકશા છે, જેમાં જોર્ડન ચાપ મર્યાદિત બિંદુને φ સાથે જોડે છે. ઘનતા કારાથિઓડોરી કર્નલ પ્રમેય લાગુ કરીને અનુસરે છે. હકીકતમાં કોઈપણ અવિભાજ્ય કાર્યને એવા કાર્યો દ્વારા અંદાજવામાં આવે છે જે એકમ વર્તુળને વિશ્લેષણાત્મક વળાંક પર લઈ જાય છે. તે વળાંક પરના બિંદુને જોર્ડન ચાપ દ્વારા અનંત સાથે જોડી શકાય છે. પસંદ કરેલા બિંદુની એક બાજુએ વિશ્લેષણાત્મક વળાંકના નાના ભાગને બાદ કરીને મેળવેલા પ્રદેશો ભેગા થાય છે જેથી આ પ્રદેશોના અનુરૂપ અવિભાજ્ય નકશા કોમ્પેક્ટ સમૂહો પર સમાનરૂપે ભેગા થાય છે. સ્લિટ ફંક્શન પર લોવનર વિભેદક સમીકરણ લાગુ કરવા માટે, મર્યાદિત બિંદુથી અવગણવામાં આવેલી જોર્ડન ચાપને તેના દ્વારા પરિમાણિત કરી શકાય છે જેથી ઓછા પર નકશાના અવિભાજ્ય નકશામાં સતત સ્વરૂપ હોય. ખાસ કરીને માટે, સતત સાથે દો. આ લોવનર સાંકળ અને લોવનર અર્ધસમૂહ આપે છે, જેમાં એકમ વર્તુળનો સતત નકશો છે. નક્કી કરવા માટે, નોંધ લો કે એકમ ડિસ્કને એકમ ડિસ્કમાં જોર્ડન ચાપ સાથે આંતરિક બિંદુથી દૂર કરેલી સીમા સુધી મેપ કરે છે. તે બિંદુ જ્યાં તે સીમાને સ્પર્શે છે તે સ્વતંત્ર છે અને એકમ વર્તુળથી સતત કાર્યને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. આ જટિલ સંયુગ્મ (અથવા વ્યસ્ત) છેઃ સમાનરૂપે, કારાથિઓડોરીના પ્રમેય દ્વારા બંધ એકમ ડિસ્કના સતત વિસ્તરણને સ્વીકારવામાં આવે છે અને, જેને કેટલીકવાર ડ્રાઇવિંગ ફંક્શન કહેવામાં આવે છે, તે દ્વારા નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે દરેક સતત કાર્ય સ્લિટ મેપિંગમાંથી આવતું નથી, પરંતુ કુફારેવે દર્શાવ્યું હતું કે જ્યારે સતત વ્યુત્પન્ન હોય ત્યારે આ સાચું હતું. બીબરબેક અનુમાન માટે અરજીએ અવિભાજ્ય કાર્યના ત્રીજા ગુણાંક માટે બીબરબેક અનુમાનને સાબિત કરવા માટે સ્લિટ મેપિંગ્સ માટે તેમના વિભેદક સમીકરણનો ઉપયોગ કર્યો હતો. આ કિસ્સામાં, જો જરૂરી હોય તો ફરતા, તે બિન-નકારાત્મક હોવાનું માની શકાય છે. પછી સતત. તેઓ સંતોષ આપે છે જો લોવનર વિભેદક સમીકરણ સૂચવે છે અને તેથી જે તરત જ બીબરબેકની અસમાનતાને સૂચવે છે તેવી જ રીતે તે બિન-નકારાત્મક છે અને, કોચી-શ્વાર્ઝ અસમાનતાનો ઉપયોગ કરે છે. નોંધો સંદર્ભો જટિલ વિશ્લેષણ