Zone diagram
ઝોન આકૃતિ એ ચોક્કસ ભૌમિતિક પદાર્થ છે જે વોરોનોઈ આકૃતિની કલ્પના પર ભિન્નતા છે. તે 2007 માં ટેટસુઓ અસાનો, જિરી માટોસેક અને તાકેશી ટોકુયામા દ્વારા રજૂ કરવામાં આવ્યું હતું. ઔપચારિક રીતે, તે ચોક્કસ કાર્યનું નિશ્ચિત બિંદુ છે. તેનું અસ્તિત્વ અથવા વિશિષ્ટતા અગાઉથી સ્પષ્ટ નથી અને માત્ર ચોક્કસ કિસ્સાઓમાં સ્થાપિત કરવામાં આવી છે. તેની ગણતરી પણ સ્પષ્ટ નથી. એક વિશિષ્ટ પરંતુ માહિતીપ્રદ કિસ્સો યુક્લિડિયન સમતલમાં વિવિધ બિંદુઓના જૂથનો વિચાર કરો. દરેક બિંદુને સ્થળ કહેવામાં આવે છે. જ્યારે આપણે આ સાઇટ્સ દ્વારા પ્રેરિત વોરોનોઈ આકૃતિ વિશે વાત કરીએ છીએ, ત્યારે આપણે પ્લેનમાં તમામ બિંદુઓના સમૂહને સાઇટ સાથે સાંકળીએ છીએ, જેનું આપેલ સાઇટથી અંતર અન્ય કોઈ સાઇટથી તેમના અંતર કરતા વધારે નથી. આ પ્રદેશોનો સંગ્રહ આ સ્થળો સાથે સંકળાયેલ વોરોનોઈ આકૃતિ છે, અને તે સમતલના પ્રદેશોમાં વિઘટનને પ્રેરિત કરે છેઃ વોરોનોઈ પ્રદેશો (વોરોનોઈ કોષો). ઝોન આકૃતિમાં સ્થળ સાથે સંકળાયેલ પ્રદેશને થોડો અલગ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છેઃ તેને તમામ બિંદુઓના સમૂહ સાથે સાંકળવાને બદલે, જેનું અંતર અન્ય સ્થળોથી તેમના અંતર કરતા વધારે નથી, અમે સમતલમાં તમામ બિંદુઓના સમૂહ સાથે સાંકળીએ છીએ, જેનું અંતર અન્ય કોઈ પણ પ્રદેશથી તેમના અંતર કરતા વધારે નથી. ઔપચારિક રીતે. અહીં બિંદુઓ વચ્ચેનું યુક્લિડિયન અંતર સૂચવે છે અને તે બિંદુ અને સમૂહ વચ્ચેનું અંતર છે. વધુમાં, કારણ કે આપણે વિમાનને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ. ટુપલ એ સાઇટ્સ સાથે સંકળાયેલ ઝોન આકૃતિ છે. આ વ્યાખ્યા સાથે સમસ્યા એ છે કે તે ગોળાકાર લાગે છેઃ તે જાણવા માટે આપણે દરેક અનુક્રમણિકા માટે જાણવું જોઈએ પરંતુ આવા દરેકને ની દ્રષ્ટિએ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. બીજા વિચાર પર, આપણે જોઈએ છીએ કે વાસ્તવમાં ટુપલ એ સમીકરણોની નીચેની પદ્ધતિનો ઉકેલ છેઃ જો આવો ઉકેલ અસ્તિત્વમાં હોય તો, સખત રીતે, ઝોન આકૃતિ એ આ પદ્ધતિનો કોઈપણ ઉકેલ છે. આ વ્યાખ્યાને ઉચ્ચ પરિમાણોમાં આવશ્યકપણે કોઈ ફેરફાર કર્યા વિના વિસ્તૃત કરી શકાય છે, એવી સાઇટ્સ કે જે આવશ્યકપણે બિંદુઓ નથી, અનંત ઘણી સાઇટ્સ વગેરે. અર્થઘટન કેટલીક પરિસ્થિતિઓમાં, જેમ કે ઉપર વર્ણવેલ, ઝોન આકૃતિને પરસ્પર પ્રતિકૂળ રજવાડાઓ વચ્ચેના ચોક્કસ સંતુલન તરીકે અર્થઘટન કરી શકાય છે. અલગ સેટિંગમાં તેને ચોક્કસ સંયુક્ત રમતમાં સ્થિર રૂપરેખાંકન તરીકે અર્થઘટન કરી શકાય છે. ઔપચારિક વ્યાખ્યા ચાલો મેટ્રિક જગ્યા હોઈએ અને ઓછામાં ઓછા 2 ઘટકો (સૂચકાંકો) નો સમૂહ હોઈએ, સંભવતઃ અનંત. સાઇટ્સ તરીકે ઓળખાતા નોન એમ્પ્ટી સબસેટ્સના ટુપલને જોતાં, આ ટુપલના સંદર્ભમાં ઝોન આકૃતિ એ એવા ઉપગણોનું ટુપલ છે કે જે નીચેના તમામ સમીકરણને સંતુષ્ટ કરે છેઃ ઝોન આકૃતિ એક નિશ્ચિત બિંદુ તરીકે સમીકરણોની પદ્ધતિ જે ઝોન આકૃતિને વ્યાખ્યાયિત કરે છે તેને ઉત્પાદન જગ્યા પર વ્યાખ્યાયિત કાર્યના નિશ્ચિત બિંદુ તરીકે રજૂ કરી શકાય છે. ખરેખર, દરેક અનુક્રમણિકા માટે બધા બિન-ખાલી ઉપગણોનો સમૂહ હોવો જોઈએ. જો અને માત્ર જો તે ડોમનું નિશ્ચિત બિંદુ હોય, એટલે કે, તો તે ઝોન આકૃતિ છે, ક્યાં અને પછી દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કાર્ય છે. ઝોન આકૃતિઓને નિશ્ચિત બિંદુઓ તરીકે જોવી ઉપયોગી છે કારણ કે કેટલીક સેટિંગ્સમાં નિશ્ચિત બિંદુ સિદ્ધાંતના જાણીતા સાધનો અથવા અભિગમોનો ઉપયોગ તેમની તપાસ કરવા અને સંબંધિત ગુણધર્મો (અસ્તિત્વ, વગેરે) મેળવવા માટે થઈ શકે છે. અસ્તિત્વ અને વિશિષ્ટતા અસાનો એટ અલના અગ્રણી કાર્યને અનુસરે છે. (મર્યાદિત રીતે ઘણા બિંદુ સ્થળોના સંદર્ભમાં યુક્લિડિયન સમતલમાં ઝોન આકૃતિનું અસ્તિત્વ અને વિશિષ્ટતા), ઘણા અસ્તિત્વ અથવા અસ્તિત્વ અને વિશિષ્ટતા પરિણામો પ્રકાશિત કરવામાં આવ્યા છે. 2012 સુધીમાં, સૌથી સામાન્ય પરિણામો જે પ્રકાશિત કરવામાં આવ્યા છે તે છેઃ 2 સાઇટ્સ (અસ્તિત્વ): કોઈપણ મેટ્રિક જગ્યામાં મનસ્વી સાઇટ્સની કોઈપણ જોડી માટે ઓછામાં ઓછો એક ઝોન આકૃતિ અસ્તિત્વમાં છે. હકીકતમાં, આ અસ્તિત્વનું પરિણામ કોઈપણ એમ-સ્પેસમાં હોય છે (મેટ્રિક સ્પેસનું સામાન્યીકરણ જેમાં, દાખલા તરીકે, અંતર કાર્ય નકારાત્મક હોઈ શકે છે અને ત્રિકોણની અસમાનતાને સંતોષી શકતું નથી). 2 થી વધુ સ્થળો (અસ્તિત્વ): એકસરખી બહિર્મુખ જગ્યાના સઘન અને બહિર્મુખ ઉપગણના આંતરિક ભાગમાં મર્યાદિત રીતે ઘણા સઘન અને અસંબદ્ધ સ્થળોની ઝોન આકૃતિ અસ્તિત્વમાં છે. આ પરિણામ વાસ્તવમાં વધુ સામાન્ય સેટિંગમાં છે. 2 થી વધુ સાઇટ્સ (અસ્તિત્વ અને વિશિષ્ટતા): કોઈપણ મર્યાદિત-પરિમાણીય યુક્લિડિયન જગ્યામાં બંધ અને હકારાત્મક રીતે અલગ થયેલા સાઇટ્સના કોઈપણ સંગ્રહ (સંભવતઃ અનંત) ના સંદર્ભમાં એક અનન્ય ઝોન આકૃતિ અસ્તિત્વમાં છે. હકારાત્મક રીતે અલગ થવાનો અર્થ એ છે કે કોઈપણ બે સ્થળો વચ્ચેના અંતર પર હકારાત્મક નીચલી સીમા અસ્તિત્વમાં છે. સમાન પરિણામ એવા કેસ માટે ઘડવામાં આવ્યું હતું જેમાં નોર્મ્ડ સ્પેસ મર્યાદિત-પરિમાણીય હોય છે અને બંને સમાન રીતે બહિર્મુખ અને સમાન રીતે સરળ હોય છે. બિન-વિશિષ્ટતાઃ સરળ ઉદાહરણો બે બિંદુ સાઇટ્સના કિસ્સામાં પણ જાણીતા છે. ગણતરી વધુ માહિતીની જરૂર છે. સંબંધિત પદાર્થો અને સંભવિત ઉપયોગો વોરોનોઈ આકૃતિઓ ઉપરાંત, ઝોન આકૃતિઓ અન્ય ભૌમિતિક પદાર્થો જેમ કે ડબલ ઝોન આકૃતિઓ, ત્રિક્ષેત્રો, કે-ક્ષેત્રો, મોલિફાઇડ ઝોન આકૃતિઓ સાથે નજીકથી સંબંધિત છે અને પરિણામે રોબોટ ગતિ અને વીએલએસઆઈ ડિઝાઇન સંબંધિત સમસ્યાઓને ઉકેલવા માટે તેનો ઉપયોગ કરી શકાય છે. સંદર્ભો આકૃતિઓ