Barratt–Priddy theorem
હોમોટૉપી થિયરીમાં, ગણિતની એક શાખા, બેરેટ-પ્રિડી થીયરમ (જેને બેરેટ-પ્રિડી-ક્વિલેન થીયરમ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે) સમપ્રમાણ જૂથોની સમરૂપતા અને ગોળાઓની મેપિંગ જગ્યાઓ વચ્ચેનું જોડાણ વ્યક્ત કરે છે. આ પ્રમેય (માઈકલ બેરેટ, સ્ટુઅર્ટ પ્રિડી અને ડેનિયલ ક્વિલેનના નામ પરથી નામ આપવામાં આવ્યું છે) ને ઘણીવાર ક્વિલનની વત્તા રચના દ્વારા ગોળાકાર વર્ણપટ અને સમપ્રમાણ જૂથોની વર્ગીકૃત જગ્યાઓ વચ્ચેના સંબંધ તરીકે પણ વર્ણવવામાં આવે છે. પ્રમેયનું નિવેદન મેપિંગ સ્પેસ એ સમાન અભિસરણની ટોપોલોજી (કોમ્પેક્ટ-ઓપન ટોપોલોજીનો એક વિશેષ કેસ) હેઠળ,-પરિમાણીય ગોળાથી પોતાના સુધીના તમામ સતત નકશાની ટોપોલોજિકલ જગ્યા છે. આ નકશાઓ આધારબિંદુને ઠીક કરવા, સંતોષકારક અને ડિગ્રી 0 રાખવા માટે જરૂરી છે; આ બાંયધરી આપે છે કે નકશાની જગ્યા જોડાયેલ છે. બેરેટ-પ્રિડી પ્રમેય આ નકશાની જગ્યાઓના સમરૂપતા અને સમપ્રમાણ જૂથોના સમરૂપતા વચ્ચેના સંબંધને વ્યક્ત કરે છે. તે ફ્રોઉડેન્થલ સસ્પેન્શન થીયરમ અને હ્યુરેવિઝ થીયરમ પરથી અનુસરે છે કે આ મેપિંગ સ્પેસની th હોમોલોજી પરિમાણથી સ્વતંત્ર છે, જ્યાં સુધી. તેવી જ રીતે, સાબિત કર્યું કે તત્વો પરના સપ્રમાણ જૂથની છઠ્ઠી જૂથ સમરૂપતા, જ્યાં સુધી હોય ત્યાં સુધી સ્વતંત્ર છે. આ એક સમાનતાવાદી સ્થિરતાનું ઉદાહરણ છે. બેરેટ-પ્રિડી પ્રમેય જણાવે છે કે આ "સ્થિર સમરૂપતા જૂથો" સમાન છેઃ કારણ કે, ત્યાં એક કુદરતી સમરૂપતા છે આ સમરૂપતા અભિન્ન ગુણાંક સાથે ધરાવે છે (હકીકતમાં કોઈપણ ગુણાંક સાથે, જે નીચેની સુધારણાઓમાં સ્પષ્ટ કરવામાં આવી છે). ઉદાહરણોઃ પ્રથમ સમરૂપતા આ સમરૂપતા પ્રથમ સમરૂપતા માટે સ્પષ્ટપણે જોઈ શકાય છે. જૂથની પ્રથમ સમરૂપતા એ તે જૂથનો સૌથી મોટો પરિવર્તનીય ભાગ છે. ક્રમચય જૂથો માટે, એકમાત્ર પરિવર્તનીય ભાગાકાર ક્રમચયની નિશાની દ્વારા આપવામાં આવે છે, જેમાં મૂલ્યોને} માં લેવામાં આવે છે. આ દર્શાવે છે કે, બધા માટે ક્રમ 2 નું ચક્રીય જૂથ. (માટે, તે તુચ્છ જૂથ છે, તેથી.) તે જગ્યાઓને આવરી લેવાના સિદ્ધાંતને અનુસરે છે કે વર્તુળની મેપિંગ જગ્યા સંકુચિત છે, તેથી. 2-ગોળા માટે, પ્રથમ હોમોટૉપી જૂથ અને મેપિંગ જગ્યાનું પ્રથમ હોમોલોજી જૂથ બંને અનંત ચક્રીય છેઃ આ જૂથ માટે જનરેટર હોપ્ફ ફાઇબ્રેશનમાંથી બનાવી શકાય છે. છેવટે, એકવાર, બંને ક્રમ 2: ના ચક્રીય છે. પ્રમેયની સુધારણા અનંત સમપ્રમાણ જૂથ એ મર્યાદિત સમપ્રમાણ જૂથોનું જોડાણ છે, અને નાકાઓકાનું પ્રમેય સૂચવે છે કે જૂથ સમરૂપતા એ સ્થિર સમરૂપતા છેઃ માટે,. આ જૂથની વર્ગીકરણ જગ્યા સૂચવવામાં આવે છે, અને આ જગ્યાની તેની સમરૂપતા એ જૂથ સમરૂપતા છેઃ આપણે એ જ રીતે સસ્પેન્શન દ્વારા પ્રેરિત સમાવેશ હેઠળ મેપિંગ જગ્યાઓના જોડાણ દ્વારા સૂચવીએ છીએ. સમરૂપતા એ અગાઉની નકશાની જગ્યાઓની સ્થિર સમરૂપતા છેઃ કારણ કે, એક કુદરતી નકશો છે; આ નકશાને બનાવવાની એક રીત યોગ્ય ટોપોલોજીથી સંપન્ન મર્યાદિત ઉપગણની જગ્યા તરીકેના નમૂના દ્વારા છે. બેરેટ-પ્રિડી પ્રમેયની સમકક્ષ રચના એ છે કે તે સમરૂપતા સમકક્ષતા (અથવા ચક્રીય નકશો) છે, જેનો અર્થ થાય છે કે જે કોઈપણ સ્થાનિક ગુણાંક પ્રણાલી સાથે તમામ સમરૂપતા જૂથો પર સમરૂપતાને પ્રેરિત કરે છે. ક્વિલનની વત્તા રચના સાથેનો સંબંધ બેરેટ-પ્રિડી પ્રમેય સૂચવે છે કે ક્વિલનની વત્તા રચનાને લાગુ કરવાથી પરિણામી જગ્યા સાથે ઓળખી શકાય છે. (કારણ કે, એકવાર તે જાણ થઈ જાય કે તે સમરૂપતા સમકક્ષતા છે ત્યારે નકશો વત્તા રચનાના સાર્વત્રિક ગુણધર્મને સંતોષે છે.) મેપિંગ જગ્યાઓ વધુ સામાન્ય રીતે દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે, જ્યાં-ગોળાની-ગડી લૂપ જગ્યા છે, અને તે જ રીતે દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. તેથી બેરેટ-પ્રિડી પ્રમેયને અથવા ખાસ કરીને, હોમોટૉપી જૂથો એ ગોળાઓના સ્થિર હોમોટૉપી જૂથો છેઃ "કે-થિયરી ઓફ એફ 1" બેરેટ-પ્રિડી પ્રમેયને કેટલીકવાર બોલચાલની ભાષામાં એમ કહીને પુનરાવર્તિત કરવામાં આવે છે કે "એફ 1 ના કે-જૂથો ગોળાઓના સ્થિર હોમોટૉપી જૂથો છે". આ અર્થપૂર્ણ ગાણિતિક નિવેદન નથી, પરંતુ બીજગણિત કે-સિદ્ધાંત સાથે સામ્યતા વ્યક્ત કરતું રૂપક છે. "એક તત્વ સાથેનું ક્ષેત્ર" F1 એ ગાણિતિક પદાર્થ નથી; તે બીજગણિત અને સંયોજનશાસ્ત્ર વચ્ચેની સામ્યતાનો સંગ્રહ દર્શાવે છે. એક કેન્દ્રીય સામ્યતા એ વિચાર છે જે સપ્રમાણ જૂથ હોવો જોઈએ. રીંગ R ના ઉચ્ચ K-જૂથોને આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે આ સામ્યતા અનુસાર, R ના K-જૂથોને આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવા જોઈએ, જે બેરેટ-પ્રિડી પ્રમેય દ્વારા છેઃ હોમોટોપી સિદ્ધાંતમાં સંદર્ભ પ્રમેય