Arithmetic zeta function
ગણિતમાં, અંકગણિત ઝીટા કાર્ય એ પૂર્ણાંકો પર મર્યાદિત પ્રકારની યોજના સાથે સંકળાયેલ ઝીટા કાર્ય છે. અંકગણિત ઝીટા કાર્ય રીમાન ઝીટા કાર્ય અને ડેડેકિંડ ઝીટા કાર્યને ઉચ્ચ પરિમાણોમાં સામાન્ય બનાવે છે. અંકગણિત ઝીટા કાર્ય એ સંખ્યા સિદ્ધાંતની સૌથી મૂળભૂત વસ્તુઓમાંની એક છે. વ્યાખ્યા અંકગણિત ઝીટા કાર્યને રીમાન ઝીટા કાર્યને અનુરૂપ યુલર ઉત્પાદન દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છેઃ જ્યાં ઉત્પાદન યોજનાના તમામ બંધ બિંદુઓ પર લેવામાં આવે છે. સમાનરૂપે, ઉત્પાદન એ તમામ બિંદુઓ પર હોય છે જેનું અવશેષ ક્ષેત્ર મર્યાદિત હોય છે. આ ક્ષેત્રની મુખ્યતા સૂચવવામાં આવે છે. ઉદાહરણો અને ગુણધર્મો મર્યાદિત ક્ષેત્ર પર વિવિધતાઓ જો તત્વો સાથે મર્યાદિત ક્ષેત્રનું વર્ણપટ હોય, તો પછી મર્યાદિત ક્ષેત્ર પર વિવિધ X માટે, તે ગ્રોથેન્ડીકના ટ્રેસ સૂત્ર દ્વારા ઓળખાય છે કે જ્યાં તર્કસંગત કાર્ય છે (એટલે કે, બહુપદીઓનો ભાગ). મર્યાદિત ક્ષેત્ર પર X અને Y ની બે જાતો આપવામાં આવે તો, તેનું ઝીટા કાર્ય તેના દ્વારા આપવામાં આવે છે જ્યાં પૂર્ણાંકોના વિટ વેક્ટરની રિંગમાં ગુણાકાર સૂચવે છે. પૂર્ણાંકોની વીંટી જો પૂર્ણાંકોની વીંટીનું વર્ણપટ હોય, તો તે રીમાન ઝીટા કાર્ય છે. વધુ સામાન્ય રીતે, જો બીજગણિત સંખ્યા ક્ષેત્રના પૂર્ણાંકોની વીંટીનું વર્ણપટ હોય, તો તે ડેડેકિંડ ઝેટા કાર્ય છે. જુદા જુદા સંઘોના ઝીટા કાર્યો યોજના પર સંલગ્ન અને પ્રોજેક્ટિવ જગ્યાઓનું ઝીટા કાર્ય એક યોજના દ્વારા આપવામાં આવે છે. પછીનું સમીકરણ તેનો ઉપયોગ કરીને પહેલામાંથી તારવી શકાય છે, કોઈપણ માટે જે બંધ અને ખુલ્લા ઉપગણનું અલગ જોડાણ છે અને, અનુક્રમે, વધુ સામાન્ય રીતે, અનંત અલગ અલગ સંઘ માટે સમાન સૂત્ર ધરાવે છે. ખાસ કરીને, આ દર્શાવે છે કે તેનું ઝીટા કાર્ય એ મૌલિક સંખ્યાના મોડ્યુલોના ઘટાડાના ગુણાકારનું ગુણાકાર છેઃ દરેક મુખ્ય સંખ્યા પરની આવી અભિવ્યક્તિને કેટલીકવાર યુલર ગુણાકાર કહેવામાં આવે છે અને દરેક પરિબળને યુલર પરિબળ કહેવામાં આવે છે. રસના ઘણા કિસ્સાઓમાં, સામાન્ય ફાઇબર સરળ હોય છે. પછી, માત્ર મર્યાદિત રીતે ઘણા એકવચન (ખરાબ ઘટાડો) છે. લગભગ તમામ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ માટે, એટલે કે જ્યારે સારો ઘટાડો થાય છે, ત્યારે યુલર પરિબળ ના હાસ્સ-વેઇલ ઝેટા કાર્યના અનુરૂપ પરિબળ સાથે સંમત થવા માટે જાણીતું છે. તેથી, આ બંને કાર્યો નજીકથી સંબંધિત છે. મુખ્ય ધારણાઓ નિયમિત ઈરીડ્યુસિબલ ઇક્વિડાઇમેન્શનલ સ્કીમ (પૂર્ણાંકો પર મર્યાદિત પ્રકારની) ના ઝીટા ફંક્શનના વર્તનને લગતા સંખ્યાબંધ ધારણાઓ છે. આમાંના ઘણા (પરંતુ બધા નહીં) અનુમાનો યુલર-રીમેન-ડેડેકિંડ ઝેટા કાર્ય વિશે જાણીતા પ્રમેયોના એક-પરિમાણીય કેસને સામાન્ય બનાવે છે. યોજના સપાટ હોવી જરૂરી નથી, આ કિસ્સામાં તે અમુક પર મર્યાદિત પ્રકારની યોજના છે. આને નીચે લાક્ષણિકતા કેસ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. પછીના કિસ્સામાં, આમાંના ઘણા અનુમાનો (બિર્ચ અને સ્વિનરટન-ડાયર અનુમાનના સૌથી નોંધપાત્ર અપવાદ સાથે, એટલે કે. વિશેષ મૂલ્યોનો અભ્યાસ) જાણીતો છે. સપાટ અને પરિમાણ બે અને તેનાથી વધુની યોજનાઓ માટે બહુ ઓછું જાણીતું છે. મેરોમોર્ફિક સાતત્ય અને કાર્યાત્મક સમીકરણ હાસ અને વેઇલ અનુમાન કરે છે કે જે જટિલ સમતલમાં મેરોમોર્ફિક સાતત્ય ધરાવે છે અને સંપૂર્ણ પરિમાણ ક્યાં છે તેના સંદર્ભમાં કાર્યાત્મક સમીકરણને સંતોષે છે. આ સાબિત થાય છે અને કેટલાક ખૂબ જ ખાસ કિસ્સાઓમાં જ્યારે સપાટ યોજનાઓ માટે અને બધા માટે હકારાત્મક લાક્ષણિકતામાં હોય છે. તે વેઇલ અનુમાનોનું પરિણામ છે (વધુ ચોક્કસપણે, રીમાન પૂર્વધારણાનો તેનો ભાગ) કે ઝીટા કાર્ય સુધી મેરોમોર્ફિક સાતત્ય ધરાવે છે. સામાન્યીકૃત રીમાન પૂર્વધારણા સામાન્યીકૃત રીમાન પૂર્વધારણા અનુસાર નિર્ણાયક પટ્ટીની અંદર શૂન્ય ઊભી રેખાઓ પર આવેલા હોવાનું અનુમાન કરવામાં આવે છે અને નિર્ણાયક પટ્ટીની અંદરના ધ્રુવો ઊભી રેખાઓ પર આવેલા હોય છે. આ (એમિલ આર્ટિન, હેલ્મુટ હાસે, આન્દ્રે વેઇલ, એલેક્ઝાન્ડર ગ્રોથેન્ડીક, પિયર ડેલીગ્ને) બધા માટે હકારાત્મક લાક્ષણિકતામાં સાબિત થયું હતું. તે કોઈ પણ યોજના માટે સાબિત થતું નથી જે સપાટ હોય. રીમાન પૂર્વધારણા એ અનુમાન 2 નો આંશિક કેસ છે. ધ્રુવ ક્રમ વિશ્લેષણાત્મક સાતત્યને આધિન, શૂન્ય અથવા ધ્રુવનો ક્રમ અને નિર્ણાયક પટ્ટીની અંદરના પૂર્ણાંક બિંદુઓ પરના અવશેષો ના મહત્વપૂર્ણ અંકગણિત અચળાંક દ્વારા વ્યક્ત કરી શકાય તેવું અનુમાન કરવામાં આવે છે. ઉપરોક્ત પ્રાથમિક ગુણધર્મો અને નોઇથર નોર્મલાઇઝેશન પર આધારિત સેરને કારણે દલીલ દર્શાવે છે કે ના ઝીટા ફંક્શનમાં એક ધ્રુવ હોય છે, જેના ક્રમમાં મહત્તમ પરિમાણ સાથે ના ઈરીડ્યુસિબલ ઘટકોની સંખ્યા બરાબર હોય છે. બીજું, ટેટ અનુમાન કરે છે કે ધ્રુવ ક્રમ ઉલટાવી શકાય તેવા નિયમિત કાર્યોના જૂથો અને પિકાર્ડ જૂથના ક્રમ દ્વારા વ્યક્ત કરી શકાય છે. બિર્ચ અને સ્વિનરટન-ડાયરનું અનુમાન આ અનુમાનનો આંશિક કેસ છે. હકીકતમાં, ટેટનું આ અનુમાન બિર્ચ અને સ્વિનરટન-ડાયરના સામાન્યીકરણની સમકક્ષ છે. વધુ સામાન્ય રીતે, સોલ અનુમાન કરે છે કે જમણી બાજુ બીજગણિત-સિદ્ધાંતના એડમ્સ ઇગેનસ્પેસને સૂચવે છે. આ ક્રમાંકો બાસ અનુમાન હેઠળ મર્યાદિત છે. આ ધારણાઓ ત્યારે ઓળખાય છે જ્યારે, એટલે કે, મર્યાદિત ક્ષેત્રો પર સંખ્યા રિંગ્સ અને વળાંકનો કેસ. માટે, બિર્ચ અને સ્વિનર્ટન-ડાયર અનુમાનના આંશિક કિસ્સાઓ સાબિત થયા છે, પરંતુ હકારાત્મક લાક્ષણિકતામાં પણ અનુમાન ખુલ્લું રહે છે. પદ્ધતિઓ અને સિદ્ધાંતો ક્રોનેકર પરિમાણની નિયમિત રીતે જોડાયેલી સમ-પરિમાણીય અંકગણિત યોજનાના અંકગણિત ઝીટા કાર્યને યોગ્ય રીતે વ્યાખ્યાયિત-પરિબળો અને સહાયક પરિબળના ગુણાકારમાં ગુણાકાર કરી શકાય છે. તેથી,-વિધેયો પરના પરિણામો અંકગણિત ઝીટા વિધેયો માટે અનુરૂપ પરિણામો સૂચવે છે. જો કે, લાક્ષણિકતા શૂન્ય અને પરિમાણો 2 અને તેનાથી વધુની અંકગણિત યોજનાઓના-પરિબળો વિશે હજુ પણ બહુ ઓછા સાબિત પરિણામો છે. ઇવાન ફેસેન્કોએ એક સિદ્ધાંતની શરૂઆત કરી જે તેમના-પરિબળો સાથે કામ કર્યા વિના સીધા અંકગણિત ઝીટા કાર્યોનો અભ્યાસ કરે છે. તે ટેટના થીસીસનું ઉચ્ચ-પરિમાણીય સામાન્યીકરણ છે, એટલે કે તે ઉચ્ચ એડેલે જૂથો, ઉચ્ચ ઝીટા અભિન્ન અને વસ્તુઓનો ઉપયોગ કરે છે જે ઉચ્ચ વર્ગ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંતમાંથી આવે છે. આ સિદ્ધાંતમાં, વૈશ્વિક ક્ષેત્રો પર લંબગોળ વળાંકના યોગ્ય નિયમિત નમૂનાઓનું મેરોમૉર્ફિક સાતત્ય અને કાર્યાત્મક સમીકરણ સીમા કાર્યના સરેરાશ-સમયાંતરે ગુણધર્મ સાથે સંબંધિત છે. એમ. સુઝુકી અને જી. રિકોટ્ટા સાથેના તેમના સંયુક્ત કાર્યમાં ઘાતાંકીય વૃદ્ધિ કરતાં વધુ નહીં તેવી વાસ્તવિક રેખા પર સરળ કાર્યોની જગ્યામાં અંકગણિત ઝીટા કાર્યો અને સરેરાશ-સામયિક કાર્યો વચ્ચે સંખ્યા સિદ્ધાંતમાં એક નવો પત્રવ્યવહાર પ્રસ્તાવિત કરવામાં આવ્યો છે. આ પત્રવ્યવહાર લેંગલેન્ડના પત્રવ્યવહાર સાથે સંબંધિત છે. ફેસેન્કોના સિદ્ધાંતના અન્ય બે ઉપયોગો વૈશ્વિક ક્ષેત્રો પર લંબગોળ વળાંકના યોગ્ય નમૂનાઓના ઝીટા કાર્યના ધ્રુવો અને કેન્દ્રિય બિંદુ પર વિશેષ મૂલ્ય માટે છે. સંદર્ભો સ્ત્રોત ઝીટા અને એલ-કાર્યો સંખ્યા સિદ્ધાંત