Clifton–Pohl torus
ભૂમિતિમાં, ક્લિફ્ટન-પોલ ટોરસ એ કોમ્પેક્ટ લોરેન્ટ્ઝિયન મેનીફોલ્ડનું ઉદાહરણ છે જે ભૌગોલિક રીતે પૂર્ણ નથી. જ્યારે દરેક કોમ્પેક્ટ રીમાનિયન મેનીફોલ્ડ પણ ભૌગોલિક રીતે પૂર્ણ છે (હોપ્ફ-રિનોવ પ્રમેય દ્વારા), આ જગ્યા દર્શાવે છે કે સમાન સૂચિતાર્થ સ્યુડો-રીમાનિયન મેનીફોલ્ડ્સ માટે સામાન્ય નથી. તેનું નામ યેટન એચ. ક્લિફ્ટન અને વિલિયમ એફ. પોહલના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે, જેમણે 1962માં તેનું વર્ણન કર્યું હતું પરંતુ તેમનું પરિણામ પ્રકાશિત કર્યું ન હતું. વ્યાખ્યા મેટ્રિક સાથે મેનીફોલ્ડનો વિચાર કરો કોઈપણ હોમોથેટી એ એક આઇસોમેટ્રી છે, ખાસ કરીને નકશા સહિતઃ ચાલો દ્વારા પેદા થયેલ આઇસોમેટ્રી જૂથનું પેટાજૂથ બનીએ. પછી તેના પર યોગ્ય, અસંગત કાર્યવાહી થાય છે. તેથી ભાગાકાર જે ટોપોલોજીકલ રીતે ટોરસ છે, તે લોરેન્ટ્ઝ સપાટી છે જેને ક્લિફ્ટન-પોલ ટોરસ કહેવામાં આવે છે. કેટલીકવાર, વિસ્તરણ દ્વારા, સપાટીને ક્લિફ્ટન-પોલ ટોરસ કહેવામાં આવે છે જો તે તેનાથી અલગ ગુણોત્તરની કોઈપણ સમપ્રમાણતા દ્વારા ભાગનું મર્યાદિત આવરણ હોય. ભૂગણિતીય અપૂર્ણતા તે ચકાસી શકાય છે કે વળાંક એ M નો ભૂગણિતીય છે જે સંપૂર્ણ નથી (કારણ કે તે અહીં વ્યાખ્યાયિત નથી). પરિણામે, કોમ્પેક્ટ હોવા છતાં, (તેથી પણ) ભૌગોલિક રીતે અપૂર્ણ છે. તેવી જ રીતે, વળાંક એ એક શૂન્ય ભૌગોલિક છે જે અપૂર્ણ છે. હકીકતમાં, દરેક શૂન્ય ભૌમિતિક ચાલુ અથવા અપૂર્ણ છે. ક્લિફ્ટન-પોલ ટોરસની ભૌગોલિક અપૂર્ણતાને વિસ્ત્તૃત કરી શકાય તેવી હકીકતના સીધા પરિણામ તરીકે વધુ સારી રીતે જોવામાં આવે છે, એટલે કે. કે તેને મોટી લોરેન્ટ્ઝિયન સપાટીના સબસેટ તરીકે જોઈ શકાય છે. તે કોઓર્ડિનેટ્સના સરળ પરિવર્તનનું સીધું પરિણામ છે. મેટ્રિકને ધ્યાનમાં રાખીને (એટલે કે. કોઓર્ડિનેટ્સમાં વ્યક્ત થયેલ મેટ્રિક) વાંચે છે પરંતુ આ મેટ્રિક કુદરતી રીતે જ્યાં સુધી વિસ્તરે છે ત્યાં સુધી વિસ્તરે છે, જ્યાં વિસ્તૃત ક્લિફ્ટન-પોલ પ્લેન તરીકે ઓળખાતી સપાટી ભૌગોલિક રીતે પૂર્ણ છે. ક્લિફ્ટન-પોલ ટોરી એ હકીકત દ્વારા પણ નોંધપાત્ર છે કે તેઓ પ્રથમ જાણીતા બિન-સપાટ લોરેન્ટ્ઝિયન ટોરી હતા જેમાં કોઈ સંયુક્ત બિંદુઓ નહોતા. વિસ્તૃત ક્લિફ્ટન-પોલ સમતલમાં સંયુગ્મ બિંદુઓની ઘણી જોડી હોય છે, જેમાંથી કેટલાક એટલે કે તેની સીમામાં હોય છે. "અનંત સમયે" માં. એ પણ યાદ કરો કે, હોપ્ફ-રિનોવ પ્રમેય દ્વારા રીમાનિયન સેટિંગમાં આવી કોઈ ટોરી અસ્તિત્વમાં નથી. સંદર્ભો લોરેન્ટ્ઝિયન મેનીફોલ્ડ્સ મેટ્રિક ભૂમિતિ