1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯
ગણિતમાં, એક ભિન્ન શ્રેણી છે, જે પ્રથમ વખત યુલર દ્વારા ગણવામાં આવે છે, જે વૈકલ્પિક સંકેતો સાથે કુદરતી સંખ્યાઓના ભંગાણોનો સરવાળો કરે છે. અલગ હોવા છતાં, તેને બોરેલ સરવાળા દ્વારા આશરે 0.596347 નું મૂલ્ય સોંપી શકાય છે. યુલર અને બોરેલ સરવાળો આ શ્રેણીને સૌપ્રથમ યુલર દ્વારા ધ્યાનમાં લેવામાં આવી હતી, જેમણે શ્રેણીને મર્યાદિત મૂલ્ય આપવા માટે સારાંશ પદ્ધતિઓ લાગુ કરી હતી. શ્રેણી એ ફેક્ટોરિયલનો સરવાળો છે જે વૈકલ્પિક રીતે ઉમેરવામાં આવે છે અથવા બાદ કરવામાં આવે છે. આ ભિન્ન શ્રેણીને મૂલ્ય સોંપવાની એક રીત બોરેલ સરવાળાનો ઉપયોગ કરીને છે, જ્યાં કોઈ ઔપચારિક રીતે લખે છે જો સરવાળા અને સંકલનની અદલાબદલી કરવામાં આવે તો (કોઈ પણ બાજુ એકરૂપ થતી નથી તેની અવગણના કરીને), એક પ્રાપ્ત થાય છેઃ ચોરસ કૌંસમાં સરવાળો ક્યારે એકરૂપ થાય છે, અને તે મૂલ્યો માટે સમાન હોય છે. તમામ હકારાત્મક વાસ્તવિક માટે વિશ્લેષણાત્મક સાતત્ય સરવાળા માટે અભિસારી સંકલન તરફ દોરી જાય છેઃ જ્યાં E1 (z) એ ઘાતાંકીય સંકલન છે. વ્યાખ્યા પ્રમાણે આ શ્રેણીનો બોરેલ સરવાળો છે. વિભેદક સમીકરણો સાથે જોડાણ વિભેદક સમીકરણોની જોડીદાર પ્રણાલીને ધ્યાનમાં લો જ્યાં બિંદુઓ t ના સંદર્ભમાં વ્યુત્પન્ન સૂચવે છે. સ્થિર સંતુલન સાથેનો ઉકેલ t → φ પર y (t) = ધરાવે છે, અને તેને પ્રથમ સમીકરણમાં બદલીને ઔપચારિક શ્રેણી ઉકેલ મળે છે. અવલોકન x (1) ચોક્કસપણે યુલરની શ્રેણી છે. બીજી બાજુ, વિભેદક સમીકરણોની પ્રણાલીમાં ઉકેલ હોય છે ભાગો દ્વારા ક્રમિક રીતે સંકલન કરીને, ઔપચારિક શક્તિ શ્રેણીને x (t) માટે આ અભિવ્યક્તિના એસિમ્પ્ટોટિક અંદાજ તરીકે પુનઃપ્રાપ્ત કરવામાં આવે છે. યુલર દલીલ કરે છે (વધુ કે ઓછું) કે ઔપચારિક શ્રેણી અને અભિન્ન બંને વિભેદક સમીકરણોના સમાન ઉકેલનું વર્ણન કરે છે, તેથી તેઓ એકબીજાની બરાબર હોવા જોઈએ.