Heat kernel signature
હીટ કર્નલ સિગ્નેચર (એચકેએસ) એ વિકૃત આકાર વિશ્લેષણમાં ઉપયોગ માટે એક લક્ષણ વર્ણનકાર છે અને તે વર્ણપટ આકાર વિશ્લેષણ પદ્ધતિઓના જૂથ સાથે સંબંધિત છે. આકારના દરેક બિંદુ માટે, HKS તેના લક્ષણ વેક્ટરને વ્યાખ્યાયિત કરે છે જે બિંદુના સ્થાનિક અને વૈશ્વિક ભૌમિતિક ગુણધર્મોનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. ઉપયોગોમાં વિભાજન, વર્ગીકરણ, માળખાની શોધ, આકાર મેળ અને આકાર પુનઃપ્રાપ્તિનો સમાવેશ થાય છે. એચકેએસની રજૂઆત 2009માં જિયાન સન, મેક્સ ઓવ્ઝાનિકોવ અને લિયોનિડાસ ગુઇબાસ દ્વારા કરવામાં આવી હતી. તે ઉષ્મા કર્નલ પર આધારિત છે, જે ઉષ્મા સમીકરણનો મૂળભૂત ઉકેલ છે. એચકેએસ એ તાજેતરમાં રજૂ કરાયેલા ઘણા આકાર વર્ણનકર્તાઓમાંથી એક છે જે આકાર સાથે સંકળાયેલા લાપ્લાસ-બેલ્ટ્રામી સંચાલક પર આધારિત છે. આકાર વિશ્લેષણ એ આકારોના સ્વચાલિત ડિજિટલ વિશ્લેષણનું ક્ષેત્ર છે, દા. ત., 3D પદાર્થો. ઘણા આકાર વિશ્લેષણ કાર્યો માટે (જેમ કે આકાર મેળ/પુનઃપ્રાપ્તિ), આકારના સંપૂર્ણ 3D મોડેલનો ઉપયોગ કરવાને બદલે ચોક્કસ મુખ્ય બિંદુઓ માટે લક્ષણ વેક્ટરનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. આવા લક્ષણ વર્ણનકારોની એક મહત્વપૂર્ણ જરૂરિયાત એ છે કે તેઓ ચોક્કસ પરિવર્તન હેઠળ અપરિવર્તનશીલ હોય. કઠોર પરિવર્તન માટે, સામાન્ય રીતે ઉપયોગમાં લેવાતા ફીચર ડિસ્ક્રિપ્ટર્સમાં આકાર સંદર્ભ, સ્પિન ઈમેજ, ઇન્ટિગ્રલ વોલ્યુમ ડિસ્ક્રિપ્ટર્સ અને મલ્ટીસ્કેલ સ્થાનિક સુવિધાઓનો સમાવેશ થાય છે. એચકેએસ આઇસોમેટ્રિક પરિવર્તનને મંજૂરી આપે છે જે કઠોર પરિવર્તનને સામાન્ય બનાવે છે. એચકેએસ સપાટી પર ગરમીના પ્રસરણની વિભાવના પર આધારિત છે. સપાટી પર પ્રારંભિક ઉષ્મા વિતરણને જોતાં, ઉષ્મા કર્નલ સમય પછી સ્થાનાંતરિત ઉષ્માના જથ્થાને સંબંધિત કરે છે. હીટ કર્નલ આઇસોમેટ્રિક પરિવર્તન હેઠળ અપરિવર્તનશીલ હોય છે અને આઇસોમેટ્રીમાં નાના વિક્ષેપ હેઠળ સ્થિર હોય છે. વધુમાં, હીટ કર્નલ આઇસોમેટ્રી સુધીના આકારોને સંપૂર્ણપણે લાક્ષણિકતા આપે છે અને વધતા સમય સાથે આકારના વધુને વધુ વૈશ્વિક ગુણધર્મોને રજૂ કરે છે. કારણ કે ટેમ્પોરલ ડોમેન પર બિંદુઓની જોડી માટે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, હીટ કર્નલ્સનો સીધા જ સુવિધાઓ તરીકે ઉપયોગ કરવાથી ઉચ્ચ જટિલતા તરફ દોરી જશે. તેના બદલે એચ. કે. એસ. માત્ર વિચારણા કરીને પોતાને માત્ર અસ્થાયી ક્ષેત્ર સુધી મર્યાદિત કરે છે. HKS ચોક્કસ પરિસ્થિતિઓમાં ઉષ્મા કર્નલોના મોટાભાગના ગુણધર્મોને વારસામાં મેળવે છે. તકનીકી વિગતો કોમ્પેક્ટ રીમાનિયન મેનીફોલ્ડ (સંભવતઃ સીમા સાથે) પર ઉષ્મા પ્રસરણ સમીકરણ આના દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં લાપ્લાસ-બેલ્ટ્રામી ઓપરેટર છે અને તે સમયે બિંદુ પર ઉષ્માનું વિતરણ છે. આ સમીકરણનો ઉકેલ આ રીતે વ્યક્ત કરી શકાય છે, ઉષ્મા કર્નલનું આઈગન વિઘટન આ રીતે વ્યક્ત કરવામાં આવે છે, ક્યાં અને ક્યાં તેનું આઈગન વેલ્યુ અને આઈગન ફંક્શન છે. હીટ કર્નલ આઇસોમેટ્રી સુધીની સપાટીને સંપૂર્ણપણે લાક્ષણિકતા આપે છેઃ બે રીમાનિયન મેનીફોલ્ડ્સ વચ્ચેના કોઈપણ સર્જેક્ટિવ નકશા માટે અને, જો તે આઇસોમેટ્રી છે, અને ઊલટું. સંક્ષિપ્ત લક્ષણ વર્ણનકાર માટે, HKS ઉષ્મા કર્નલને માત્ર ટેમ્પોરલ ડોમેન સુધી મર્યાદિત કરે છે, HKS, ઉષ્મા કર્નલની જેમ, સપાટીઓને એવી શરત હેઠળ લાક્ષણિકતા આપે છે કે જેના માટે અને પુનરાવર્તિત ન હોય તેવા આઈગન મૂલ્યો હોય. કટઓફ ફ્રીક્વન્સીઝ નક્કી કરવા સાથે આ શરતોને લો-પાસ ફિલ્ટર્સની બેંક તરીકે અનુભવી શકાય છે. વ્યવહારુ વિચારણાઓ, સામાન્ય રીતે, બિન-પેરામેટ્રિક સતત કાર્ય હોવાથી, HKS વ્યવહારમાં સમયે નમૂના લીધેલા મૂલ્યોના અલગ ક્રમ તરીકે રજૂ થાય છે. મોટાભાગની એપ્લિકેશનોમાં, ઑબ્જેક્ટ માટે અંતર્ગત મેનીફોલ્ડ જાણીતું નથી. HKS ની ગણતરી કરી શકાય છે જો મેનીફોલ્ડની જાળીદાર રજૂઆત ઉપલબ્ધ હોય, તો ઉષ્મા સમીકરણના અલગ એનાલોગનો ઉપયોગ કરીને અને તેનો ઉપયોગ કરીને. અલગ કિસ્સામાં, લાપ્લાસ-બેલ્ટ્રામી ઓપરેટર એક વિરલ મેટ્રિક્સ છે અને તેને આ રીતે લખી શકાય છે, જ્યાં શિરોબિંદુને વહેંચતા જાળીમાં ત્રિકોણના વિસ્તારને અનુરૂપ એન્ટ્રીઓ સાથે હકારાત્મક કર્ણ મેટ્રિક્સ છે, અને તે સમપ્રમાણ અર્ધ-નિશ્ચિત વજન મેટ્રિક્સ છે. તેમાં વિઘટિત કરી શકાય છે, જ્યાં ચડતા ક્રમમાં ગોઠવાયેલા આઈગનવેલ્યુઝનો કર્ણ મેટ્રિક્સ છે, અને તે અનુરૂપ ઓર્થોનોર્મલ આઈગનવેક્ટર્સ સાથેનો મેટ્રિક્સ છે. વિવિક્ત ઉષ્મા કર્નલ એ દ્વારા આપવામાં આવેલ મેટ્રિક્સ છે, તત્વો શિરોબિંદુઓ વચ્ચે અને સમય પછી ઉષ્મા પ્રસરણને રજૂ કરે છે. એચકેએસ પછી આ મેટ્રિક્સની કર્ણ એન્ટ્રીઓ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જે અલગ સમય અંતરાલો પર નમૂના લેવામાં આવે છે. સતત કેસની જેમ, અલગ એચકેએસ અવાજ માટે મજબૂત છે. મર્યાદાઓ બિન-પુનરાવર્તિત આઈગન મૂલ્યો એચ. કે. એસ. નો ઉપયોગ કરીને સપાટીઓને આઇસોમેટ્રી સુધી લાક્ષણિકતા આપે છે તે મુખ્ય ગુણધર્મ ત્યારે જ ધરાવે છે જ્યારે સપાટીઓના આઈગન મૂલ્યો પુનરાવર્તિત ન હોય. કેટલીક સપાટીઓ છે (ખાસ કરીને સમપ્રમાણતા ધરાવતી) જ્યાં આ સ્થિતિનું ઉલ્લંઘન થાય છે. ગોળા એ આવી સપાટીનું સરળ ઉદાહરણ છે. સમય પરિમાણ પસંદગી HKS માં સમય પરિમાણ વૈશ્વિક માહિતીના પ્રમાણ સાથે નજીકથી સંબંધિત છે. જો કે, ટાઇમ ડિસ્ક્રીટાઈઝેશન પસંદ કરવાની કોઈ સીધી રીત નથી. હાલની પદ્ધતિ સમયના નમૂનાઓને લઘુગણકીય રીતે પસંદ કરે છે જે સમયની જટિલતાની કોઈ બાંયધરી વિના સંશોધનાત્મક છે સ્વતંત્ર ઉષ્મા કર્નલને કદના મેટ્રિક્સના ઇગેનડેકમ્પોઝિશનની જરૂર છે, જ્યાં મેશ રજૂઆતમાં શિરોબિંદુઓની સંખ્યા છે. ઇગેનડેકમ્પોઝિશનની ગણતરી કરવી એ એક ખર્ચાળ કામગીરી છે, ખાસ કરીને જ્યારે તેમાં વધારો થાય છે. જો કે, નોંધ લો કે આઈગન વેલ્યુ પર વિપરીત ઘાતાંકીય અવલંબનને કારણે, સામાન્ય રીતે માત્ર નાના (100 કરતા ઓછા) આઈગનવેક્ટર્સ એચકેએસનો સારો અંદાજ મેળવવા માટે પૂરતા છે. બિન-સમમિતિય પરિવર્તન એચ. કે. એસ. માટેની કામગીરીની બાંયધરી માત્ર સાચા સમમિતિય પરિવર્તન માટે જ હોય છે. જો કે, વાસ્તવિક આકારો માટેની વિકૃતિઓ ઘણીવાર સમમિતીય હોતી નથી. આવા પરિવર્તનનું એક સરળ ઉદાહરણ વ્યક્તિ દ્વારા મુઠ્ઠી બંધ કરવાનું છે, જ્યાં બે આંગળીઓ વચ્ચેનું ભૌગોલિક અંતર બદલાય છે. અન્ય પદ્ધતિઓ સાથેનો સંબંધ વક્રતા રીમાનિયન મેનીફોલ્ડ પર એક બિંદુ પર (સતત) HKS એ સ્કેલર વક્રતા સાથે સંબંધિત છે, તેથી, HKS ને સ્કેલની વક્રતા તરીકે અર્થઘટન કરી શકાય છે. વેવ કર્નલ સિગ્નેચર (ડબલ્યુ. કે. એસ.) ડબલ્યુ. કે. એસ. એ એચ. કે. એસ. સમાન વિચારને અનુસરે છે, જે ઉષ્મા સમીકરણને શ્રોડિંગર તરંગ સમીકરણ સાથે બદલે છે, જ્યાં જટિલ તરંગ કાર્ય છે. એક બિંદુ પર કણને માપવાની સરેરાશ સંભાવના આના દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં પ્રારંભિક ઊર્જા વિતરણ છે. આ ઊર્જા વિતરણોના કુટુંબને નિશ્ચિત કરીને, ડબલ્યુ. કે. એસ. ને એક અલગ ક્રમ તરીકે મેળવી શકાય છે. એચ. કે. એસ. થી વિપરીત, ડબલ્યુ. કે. એસ. ને બેન્ડ-પાસ ફિલ્ટર્સના સમૂહ તરીકે અનુભવી શકાય છે જે વધુ સારી સુવિધા સ્થાનિકીકરણ તરફ દોરી જાય છે. જો કે, WKS મોટા પાયે સુવિધાઓનું સારી રીતે પ્રતિનિધિત્વ કરતું નથી (કારણ કે તે ફિલ્ટર કરવામાં આવે છે) જે આકાર મેળ ખાતી એપ્લિકેશનોમાં નબળું પ્રદર્શન આપે છે. ગ્લોબલ પોઇન્ટ સિગ્નેચર (જી. પી. એસ.) એચ. કે. એસ. ની જેમ, જી. પી. એસ. લાપ્લાસ-બેલ્ટ્રામી ઓપરેટર પર આધારિત છે. એક બિંદુ પર GPS એ લાપ્લાસ-બેલ્ટ્રામી ઓપરેટરની ગણતરી કરેલ સ્કેલ્ડ આઈગનફંક્શન્સનો વેક્ટર છે. જી. પી. એસ. એ એક વૈશ્વિક લક્ષણ છે જ્યારે એચ. કે. એસ. નું માપ ગરમીના પ્રસાર માટે સમયના પરિમાણમાં ફેરફાર કરીને બદલી શકાય છે. તેથી, એચ. કે. એસ. નો ઉપયોગ આંશિક આકાર મેળ ખાતી એપ્લિકેશનોમાં થઈ શકે છે જ્યારે કે જી. પી. એસ. નો ઉપયોગ કરી શકાતો નથી. સ્પેક્ટ્રલ ગ્રાફ વેવલેટ સિગ્નેચર (એસ. જી. ડબલ્યુ. એસ.) એસ. જી. ડબલ્યુ. એસ. સ્પેક્ટ્રલ ડિસ્ક્રિપ્ટર્સ માટે એક સામાન્ય સ્વરૂપ પ્રદાન કરે છે, જ્યાં કોઈ ફિલ્ટર કાર્યને સ્પષ્ટ કરીને એચ. કે. એસ. મેળવી શકે છે. એસ. જી. ડબલ્યુ. એસ. એ એક મલ્ટી-રિઝોલ્યુશન લોકલ ડિસ્ક્રિપ્ટર છે જે માત્ર આઇસોમેટ્રિક અપરિવર્તનશીલ જ નથી, પરંતુ કોમ્પેક્ટ પણ છે, ગણતરી કરવામાં સરળ છે અને બેન્ડ-પાસ અને લો-પાસ ફિલ્ટર્સ બંનેના ફાયદાઓને જોડે છે. HKS બહુવિધ સ્કેલ પર આકારનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે, તેમ છતાં તે સ્વાભાવિક રીતે સ્કેલ અપરિવર્તનશીલ નથી. ઉદાહરણ તરીકે, આકાર માટે HKS અને તેના સ્કેલ કરેલ સંસ્કરણ પૂર્વ-સામાન્યીકરણ વિના સમાન નથી. સ્કેલ ઇનવેરિયન્સની ખાતરી કરવાની એક સરળ રીત એ છે કે દરેક આકારને સમાન સપાટી વિસ્તાર (દા. ત. સ્કેલ ઇનવેરિયન્સ) માટે પૂર્વ-સ્કેલિંગ કરવું. 1). ઉપરના સંકેતનો ઉપયોગ કરીને, આનો અર્થ છેઃ વૈકલ્પિક રીતે, એચ. કે. એસ. નું સ્કેલ-ઇનવેરિયન્ટ વર્ઝન પણ સ્કેલ સ્પેસ રિપ્રેઝન્ટેશન જનરેટ કરીને બનાવી શકાય છે. સ્કેલ-સ્પેસમાં, સ્કેલ આકારના HKS ગુણાકાર પરિબળ સુધીના અનુવાદને અનુરૂપ છે. આ એચ. કે. એસ. નું ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ સમય-અનુવાદને જટિલ સમતલમાં બદલે છે, અને ટ્રાન્સફોર્મના મોડ્યુલસને ધ્યાનમાં લઈને અનુવાદ પરની નિર્ભરતાને દૂર કરી શકાય છે. . વૈકલ્પિક સ્કેલ અપરિવર્તનશીલ HKS ને સ્કેલ અપરિવર્તનશીલ મેટ્રિક દ્વારા તેની રચનાને કામ કરીને સ્થાપિત કરી શકાય છે, જેમ કે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે. વોલ્યુમેટ્રિક એચકેએસ એચકેએસને 3ડી આકારની સીમા સપાટી માટે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જેને 2ડી રીમાનિયન મેનીફોલ્ડ તરીકે રજૂ કરવામાં આવે છે. માત્ર સીમાને ધ્યાનમાં લેવાને બદલે, 3D આકારના સમગ્ર કદને HKS ના વોલ્યુમેટ્રિક સંસ્કરણને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે ગણી શકાય. વોલ્યુમેટ્રિક એચકેએસને સમગ્ર વોલ્યુમ (3-સબમેનિફોલ્ડ તરીકે) પરના ઉષ્મા સમીકરણને ધ્યાનમાં લઈને અને આકારની 2-મેનીફોલ્ડ સીમા પર ન્યુમેન સીમા સ્થિતિને વ્યાખ્યાયિત કરીને સામાન્ય એચકેએસની જેમ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. વોલ્યુમેટ્રિક HKS વોલ્યુમ આઇસોમેટ્રી સુધીના પરિવર્તનોનું નિરૂપણ કરે છે, જે સીમા આઇસોમેટ્રી કરતાં વધુ વિશ્વાસુપણે વાસ્તવિક 3D પદાર્થોના પરિવર્તનનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. આકાર શોધ સ્કેલ-ઇનવેરિયન્ટ એચકેએસ સુવિધાઓનો ઉપયોગ આકાર પુનઃપ્રાપ્તિ કાર્યક્રમો માટે બેગ-ઓફ-ફીચર્સ મોડેલમાં થઈ શકે છે. લાક્ષણિકતાઓનો ઉપયોગ ભૌમિતિક શબ્દોના અવકાશી સંબંધોને ધ્યાનમાં રાખીને બનાવવામાં આવે છે, જેમાંથી આકારો બનાવી શકાય છે (શબ્દો તરીકે લાક્ષણિકતાઓ અને વાક્યો તરીકે આકારોનો ઉપયોગ કરવા સમાન). અનુક્રમિત સંગ્રહ રચવા માટે કોમ્પેક્ટ દ્વિસંગી કોડનો ઉપયોગ કરીને આકારો રજૂ કરવામાં આવે છે. ક્વેરી આકારને જોતાં, અનુક્રમણિકામાં સંભવતઃ આઇસોમેટ્રિક પરિવર્તન સાથેના સમાન આકારોને નિકટતા-માપ તરીકે કોડના હેમિંગ અંતરનો ઉપયોગ કરીને પુનઃપ્રાપ્ત કરી શકાય છે. સંદર્ભો છબી પ્રક્રિયા હીટ ટ્રાન્સફર ડિજિટલ ભૂમિતિ ટોપોલોજી વિભેદક ભૂમિતિ