Ahlfors theory
અહલફોર્સ સિદ્ધાંત એ નેવનલિન્ના સિદ્ધાંતના ભૌમિતિક પ્રતિરૂપ તરીકે લાર્સ અહલફોર્સ દ્વારા શોધાયેલ ગાણિતિક સિદ્ધાંત છે. 1936માં અહલ્ફોર્સને આ સિદ્ધાંત માટે બે પ્રથમ ફીલ્ડ્સ મેડલમાંથી એક એનાયત કરવામાં આવ્યો હતો. તેને નકશાને આવરી લેવાના મૂળભૂત ગુણધર્મોના સામાન્યીકરણ તરીકે ગણી શકાય, જે અમુક સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત અર્થમાં "લગભગ આવરણ" છે. તે અનુરૂપ રીમાનિયન મેટ્રિક્સથી સજ્જ સરહદી રીમાન સપાટીઓને લાગુ પડે છે. પ્રારંભિક સરહદો A સરહદી રીમાન સપાટી X ને સઘન રીમાન સપાટી પરના પ્રદેશ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે, જેની સીમા ષ્ણુલ X મર્યાદિત રીતે ઘણા અસંબદ્ધ જોર્ડન વળાંક ધરાવે છે. મોટાભાગની એપ્લિકેશનોમાં આ વળાંક ટુકડાઓમાં વિશ્લેષણાત્મક હોય છે, પરંતુ આ વળાંક પર કેટલીક સ્પષ્ટ ન્યૂનતમ નિયમિતતાની સ્થિતિ છે જે સિદ્ધાંતને કાર્ય કરવા માટે જરૂરી છે; તેને અહલ્ફોર્સ નિયમિતતા કહેવામાં આવે છે. કન્ફોર્મલ રીમાનિયન મેટ્રિકને લંબાઈ તત્વ ds દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જે કન્ફોર્મલ સ્થાનિક કોઓર્ડિનેટ્સ z માં ds = ρ (z) |dz | તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે, જ્યાં ρ એ અલગ શૂન્ય સાથેનું સરળ હકારાત્મક કાર્ય છે. જો શૂન્ય ગેરહાજર હોય, તો મેટ્રિકને સ્મૂથ કહેવામાં આવે છે. લંબાઈ તત્વ સૂત્રો દ્વારા સુધારી શકાય તેવા વળાંકની લંબાઈ અને પ્રદેશોના ક્ષેત્રોને વ્યાખ્યાયિત કરે છે પછી બે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર આ બિંદુઓને જોડતા વળાંકની લંબાઈની અનંત તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. સેટિંગ અને નોટેશન ચાલો X અને Y બે સરહદી રીમાન સપાટીઓ છે, અને ધારો કે Y એક સરળ (સીમા સહિત) કન્ફોર્મલ મેટ્રિક σ (z) dz થી સજ્જ છે. ધારો કે f એ X થી Y સુધીનો હોલોમોર્ફિક નકશો છે. પછી X પર પુલ-બેક મેટ્રિક અસ્તિત્વમાં છે, જે દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જ્યારે X આ મેટ્રિકથી સજ્જ હોય, ત્યારે f સ્થાનિક આઇસોમેટ્રી બની જાય છે; એટલે કે, વળાંકની લંબાઈ તેની છબીની લંબાઈ જેટલી હોય છે. X અને Y પરની તમામ લંબાઈ અને ક્ષેત્ર આ બે મેટ્રિક્સના સંદર્ભમાં માપવામાં આવે છે. જો f એ X ની સીમા Y ની સીમા પર મોકલે છે, તો f એ વિસ્તૃત આવરણ છે. ખાસ કરીને, a) દરેક બિંદુની પૂર્વચિત્રોની સંખ્યા સમાન (મર્યાદિત) હોય છે, જે ગુણાકારની ગણતરી કરે છે. આ સંખ્યા આવરણની ડિગ્રી છે. બી) રીમાન-હર્વિટ્ઝ સૂત્ર ધરાવે છે, ખાસ કરીને, X ની યુલર લાક્ષણિકતા એ Y ગુણ્યા ડિગ્રીની યુલર લાક્ષણિકતા છે. હવે ધારો કે X ની સીમાનો અમુક ભાગ Y ના આંતરિક ભાગમાં મેપ કરવામાં આવ્યો છે. આ ભાગને સાપેક્ષ સીમા કહેવામાં આવે છે. ધારો કે L એ આ સાપેક્ષ સીમાની લંબાઈ છે. પ્રથમ મુખ્ય પ્રમેય સરેરાશ આવરણ સંખ્યાને સૂત્ર દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે આ સંખ્યા આવરણની માત્રાનું સામાન્યીકરણ છે. તેવી જ રીતે, દરેક નિયમિત વળાંક γ માટે અને Y માં દરેક નિયમિત પ્રદેશ D માટે સરેરાશ આવરણ સંખ્યાઓ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છેઃ પ્રથમ મુખ્ય પ્રમેય કહે છે કે દરેક નિયમિત પ્રદેશ અને દરેક નિયમિત વળાંક માટે, જ્યાં L એ સંબંધિત સીમાની લંબાઈ છે, અને k એ અચળાંક છે જે ફક્ત Y, σ, D અને γ પર આધાર રાખે છે, પરંતુ તે f અને X થી સ્વતંત્ર છે. જ્યારે L = 0 હોય ત્યારે આ અસમાનતાઓ આવરણના ગુણધર્મ a) ના નબળા એનાલોગ બની જાય છે. બીજો મુખ્ય પ્રમેય ધારો કે ρ એ યુલર લાક્ષણિકતાનું નકારાત્મક છે (જેથી m છિદ્રોવાળા ગોળા માટે ρ = 2m−2). પછી આ ત્યારે જ અર્થપૂર્ણ બને છે જ્યારે ρ (Y)> 0 હોય, ઉદાહરણ તરીકે જ્યારે Y એ ત્રણ (અથવા વધુ) છિદ્રો ધરાવતો ગોળા હોય. આ કિસ્સામાં, પરિણામને આવરણના ગુણધર્મ બી) ના સામાન્યીકરણ તરીકે ગણી શકાય. એપ્લિકેશન્સ ધારો કે હવે Z એ એક ખુલ્લી રીમાન સપાટી છે, ઉદાહરણ તરીકે કોમ્પ્લેક્સ પ્લેન અથવા યુનિટ ડિસ્ક, અને Z ને કન્ફોર્મલ મેટ્રિક ds થી સજ્જ થવા દો. આપણે કહીએ છીએ કે (ઝેડ, ડી. એસ.) નિયમિત રીતે સમાપ્ત થાય છે જો ઝેડમાં સમાવિષ્ટ સરહદી સપાટીઓ ડીજેનો વધતો ક્રમ તેમના બંધ સાથે હોય, જેનું ઝેડમાં જોડાણ હોય, અને એવું કે અહલ્ફોર્સે સાબિત કર્યું કે મનસ્વી કન્ફોર્મલ મેટ્રિક સાથેનું જટિલ સમતલ નિયમિતપણે સમાપ્ત થાય છે. આ હકીકત, બે મુખ્ય પ્રમેયો સાથે મળીને પિકાર્ડનો પ્રમેય અને નેવનલિન્ના સિદ્ધાંતનો બીજો મુખ્ય પ્રમેય સૂચવે છે. પિકાર્ડના પ્રમેયના અન્ય ઘણા મહત્વપૂર્ણ સામાન્યીકરણ અહલ્ફોર્સ સિદ્ધાંતમાંથી મેળવી શકાય છે. એક ખાસ કરીને નોંધપાત્ર પરિણામ (આન્દ્રે બ્લોચ દ્વારા અગાઉ અનુમાન કરવામાં આવ્યું હતું) એ પાંચ ટાપુ પ્રમેય છે. પાંચ-ટાપુ પ્રમેય ધારો કે D1,., D5 એ રીમાન ગોળા પરના પાંચ જોર્ડન પ્રદેશો છે જે અલગ-અલગ બંધ છે. પછી ત્યાં એક અચળાંક c અસ્તિત્વમાં છે, જે ફક્ત આ પ્રદેશો પર આધાર રાખે છે, અને નીચેનો ગુણધર્મ ધરાવે છેઃ ધારો કે f એ એકમ ડિસ્કમાં એક મેરોમોર્ફિક કાર્ય છે જે ગોળાકાર વ્યુત્પન્નને સંતોષે છે. આ ચાર પ્રદેશોમાં લાગુ પડતું નથી. ઉદાહરણ તરીકે, f (z) = χ (Kz) લો, જ્યાં K> 0 આપખુદ રીતે મોટું છે, અને χ એ વેઇઅરસ્ટ્રાસ લંબગોળ કાર્ય છે જે વિભેદક સમીકરણને સંતોષે છે. ટિપ્પણીઓ અહલફોર્સના મૂળ જર્નલ પેપર ઉપરાંત, આ સિદ્ધાંત પુસ્તકોમાં સમજાવવામાં આવ્યો છે. બીજા મુખ્ય પ્રમેયના સરળ પુરાવા ટોકી અને ડી થેલિનના કાગળોમાં મળી શકે છે. પાંચ ટાપુ પ્રમેયનો એક સરળ પુરાવો, જે અહલ્ફોર્સના સિદ્ધાંત પર આધાર રાખતો નથી, તે બર્ગવીલર દ્વારા વિકસાવવામાં આવ્યો હતો. સંદર્ભો