Jacobi ellipsoid
જેકોબી લંબગોળ એ ત્રિકોણીય છે (એટલે કે. સ્કેલિન) હાઇડ્રોસ્ટેટિક સંતુલન હેઠળ લંબગોળ જે ત્યારે ઉદભવે છે જ્યારે સ્વ-ગુરુત્વાકર્ષણ, સમાન ઘનતાવાળું પ્રવાહી પદાર્થ સતત કોણીય વેગ સાથે ફરે છે. તેનું નામ જર્મન ગણિતશાસ્ત્રી કાર્લ ગુસ્તાવ જેકબ જેકોબીના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે. જેકોબી પહેલાં, મેકલૌરિન સ્ફેરોઇડ, જે 1742 માં ઘડવામાં આવ્યું હતું, તે એકમાત્ર પ્રકારનો લંબગોળ માનવામાં આવતો હતો જે સંતુલનમાં હોઈ શકે છે. 1811માં લેગ્રાન્જે ત્રિ-અક્ષીય લંબગોળ સંતુલનમાં હોવાની શક્યતાને ધ્યાનમાં લીધી, પરંતુ તારણ કાઢ્યું કે લંબગોળની બે વિષુવવૃત્તીય અક્ષો સમાન હોવી જોઈએ, જે મેકલૌરિન ગોળાકારના ઉકેલ તરફ દોરી જાય છે. પરંતુ જેકોબીને સમજાયું કે લેગ્રાન્જનું પ્રદર્શન પર્યાપ્તતાની શરત છે, પરંતુ જરૂરી નથી. તેમણે ટિપ્પણી કરીઃ "જો કોઈ એવું માને કે ક્રાંતિના ગોળાકાર એ બીજી-ડિગ્રી સપાટીઓની પ્રતિબંધિત ધારણા હેઠળ પણ સંતુલનના એકમાત્ર સ્વીકાર્ય આંકડા છે તો તે એક ગંભીર ભૂલ કરશે" (.) "હકીકતમાં એક સરળ વિચારણા દર્શાવે છે કે ત્રણ અસમાન અક્ષોવાળા લંબગોળ સંતુલનના આંકડા હોઈ શકે છે; અને તે વિષુવવૃત્તીય વિભાગ માટે મનસ્વી આકારનું લંબગોળ ધારણ કરી શકે છે અને ત્રીજી અક્ષ (જે ત્રણ અક્ષોમાં સૌથી ઓછું પણ છે) અને પરિભ્રમણનો કોણીય વેગ નક્કી કરી શકે છે જેથી લંબગોળ એ સંતુલનની આકૃતિ છે". જેકોબી સૂત્ર વિષુવવૃત્તીય અર્ધ-મુખ્ય અક્ષો અને ધ્રુવીય અર્ધ-મુખ્ય અક્ષો સાથેના લંબગોળ માટે, કોણીય વેગ લગભગ એ સ્થિતિને આધિન છે કે જ્યાં ઘનતા છે અને તે ગુરુત્વાકર્ષણીય અચળાંક છે તેના દ્વારા આપવામાં આવે છે. કાર્લસન સપ્રમાણ સ્વરૂપ લંબગોળ અભિન્નની દ્રષ્ટિએ, કોણીય વેગ માટેનું સૂત્ર બને છે અને અર્ધ-મુખ્ય અક્ષોના સંબંધિત કદ પરની શરત એ છે કે જેકોબી લંબગોળની કોણીય ગતિ એ દ્વારા આપવામાં આવે છે કે જ્યાં લંબગોળનું દળ છે અને તે સરેરાશ ત્રિજ્યા છે, જે લંબગોળ જેવા જ કદના ગોળાની ત્રિજ્યા છે. ડેડેકિંડ લંબગોળ સાથેનો સંબંધ જેકોબી અને ડેડેકિંડ લંબગોળ બંને ફરતા એકરૂપ સ્વ-ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવાહીના શરીર માટે સંતુલનની આકૃતિઓ છે. જો કે, જ્યારે જેકોબી લંબગોળ શારીરિક રીતે ફરે છે, ત્યારે ફરતી ફ્રેમમાં પ્રવાહીનો કોઈ આંતરિક પ્રવાહ નથી, ત્યારે ડેડેકિંડ લંબગોળ તેની અંદર ફરતા ઘટક પ્રવાહી સાથે એક નિશ્ચિત દિશા જાળવી રાખે છે. આ ડેડેકિન્ડના પ્રમેયનું સીધું પરિણામ છે. આપેલ કોઈપણ જેકોબી લંબગોળ માટે, સમાન અર્ધ-મુખ્ય અક્ષો અને સમાન દળ સાથે અને પ્રવાહ વેગ ક્ષેત્ર સાથે એક ડેડેકિંડ લંબગોળ અસ્તિત્વમાં છે જ્યાં લંબગોળની અક્ષો સાથે અનુક્રમે સંરેખિત અક્ષો પર કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સ છે. અહીં વર્ટિસિટી છે, જે સમગ્ર સ્ફેરોઇડ () માં એકસમાન છે. જેકોબી એલિપ્સૉઇડનો કોણીય વેગ અને અનુરૂપ ડેડેકિંડ એલિપ્સૉઇડની વર્ટિસિટી આ રીતે સંબંધિત છે એટલે કે, ડેડેકિંડ એલિપ્સૉઇડના પ્રવાહીના દરેક કણ તે જ સમયગાળામાં સમાન લંબગોળ સર્કિટનું વર્ણન કરે છે જેમાં જેકોબી સ્ફેરોઇડ એક પરિભ્રમણ કરે છે. ખાસ કિસ્સામાં, જેકોબી અને ડેડેકિંડ લંબગોળ (અને મેકલૌરિન સ્ફેરોઇડ) એક અને સમાન બની જાય છે; શારીરિક પરિભ્રમણ અને ગોળાકાર પ્રવાહ એક જ વસ્તુનો જથ્થો છે. આ કિસ્સામાં, સખત રીતે ફરતી બોડી માટે હંમેશા સાચું છે. સામાન્ય કિસ્સામાં, જેકોબી અને ડેડેકિંડ લંબગોળમાં સમાન ઊર્જા હોય છે, પરંતુ જેકોબી ગોળાકારની કોણીય ગતિ એક પરિબળ દ્વારા વધારે હોય છે.