Size effect on structural strength
બિન-યાદૃચ્છિક શક્તિ (ફીટ) ધરાવતી સામગ્રીમાંથી બનેલા સ્થિતિસ્થાપક અથવા પ્લાસ્ટિક માળખાના શાસ્ત્રીય સિદ્ધાંતો અનુસાર, જ્યારે ભૌમિતિક રીતે સમાન માળખાઓને ધ્યાનમાં લેવામાં આવે ત્યારે માળખાની નજીવી શક્તિ (σN) માળખાના કદ (D) થી સ્વતંત્ર હોય છે. આ ગુણધર્મમાંથી કોઈપણ વિચલનને કદ અસર કહેવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, સામગ્રીની પરંપરાગત શક્તિ આગાહી કરે છે કે જો મોટી બીમ અને નાના બીમ સમાન સામગ્રીથી બનેલા હોય તો તે સમાન તાણ પર નિષ્ફળ જશે. વાસ્તવિક દુનિયામાં, કદની અસરોને કારણે, મોટી બીમ નાની બીમ કરતાં ઓછી તાણ પર નિષ્ફળ જશે. માળખાકીય કદની અસર સમાન સૂક્ષ્મ માળખા સાથે સમાન સામગ્રીથી બનેલી રચનાઓ સાથે સંબંધિત છે. તેને સામગ્રીની અસમાનતાની કદ અસરથી અલગ પાડવી આવશ્યક છે, ખાસ કરીને હોલ-પેચ અસર, જે વર્ણવે છે કે પોલિક્રિસ્ટલાઇન ધાતુઓમાં અનાજના કદમાં ઘટાડા સાથે સામગ્રીની શક્તિ કેવી રીતે વધે છે. કદની અસરના બે કારણો હોઈ શકે છેઃ આંકડાકીય, ભૌતિક શક્તિના અવ્યવસ્થિતતાને કારણે, ઉચ્ચ તણાવના સ્થાનમાં ગંભીર ખામી થવાની સંભાવના અને વોલ્યુમમાં વધારો ગંભીર ખામીની સંભાવનામાં વધારો કરે છે. ઊર્જાસભર (અને બિન-આંકડાકીય), જ્યારે મોટી તિરાડ અથવા ક્ષતિગ્રસ્ત સામગ્રી ધરાવતો મોટો અસ્થિભંગ પ્રક્રિયા વિસ્તાર (એફ. પી. ઝેડ.) મહત્તમ ભાર સુધી પહોંચે તે પહેલાં વિકસે છે ત્યારે ઊર્જા મુક્ત થાય છે. બરડ માળખામાં કદની અસરનો આંકડાકીય સિદ્ધાંત આંકડાકીય કદની અસર બરડ માળખાના વ્યાપક વર્ગ માટે થાય છે જે સૌથી નબળા-કડી મોડેલને અનુસરે છે. આ મોડેલનો અર્થ એ છે કે એક મટિરિયલ એલિમેન્ટમાંથી મેક્રો-ફ્રેક્ચરની શરૂઆત, અથવા વધુ ચોક્કસપણે એક પ્રતિનિધિ વોલ્યુમ એલિમેન્ટ (આર. વી. ઈ.), સમગ્ર માળખાને નિષ્ફળ બનાવે છે, જેમ કે સાંકળમાં એક કડીની નિષ્ફળતા (આકૃતિ. 1એ). ભૌતિક શક્તિ અવ્યવસ્થિત હોવાથી, માળખામાં સૌથી નબળા ભૌતિક તત્વની શક્તિ (આકૃતિ. 1એ) માળખાના કદમાં વધારો થવાની સાથે ઘટવાની શક્યતા છે (જેમ કે 1684માં મેરિઓટે પહેલેથી જ નોંધ્યું છે). તણાવ હેઠળ એક આર. વી. ઈ. ની અને માળખાની નિષ્ફળતાની સંભાવનાઓને સૂચવતા, અને નોંધ્યું કે સાંકળની અસ્તિત્વની સંભાવના એ તેની તમામ કડીઓના અસ્તિત્વની સંયુક્ત સંભાવના છે, એક સહેલાઈથી નિષ્કર્ષ કાઢે છે કે કી એ વિતરણની ડાબી પૂંછડી છે. જ્યાં સુધી 1939માં વેઇબુલે સ્વીકાર્યું ન હતું કે પૂંછડી એ શક્તિનો કાયદો છે ત્યાં સુધી તેની સફળતાપૂર્વક ઓળખ થઈ ન હતી. પૂંછડીના ઘાતાંકને સૂચવતા, પછી કોઈ બતાવી શકે છે કે, જો માળખું એક આર. વી. ઈ. (એટલે કે, જો) કરતા પૂરતું મોટું હોય, તો કાર્ય તરીકે માળખાની નિષ્ફળતાની સંભાવના Eq છે. 2 એ સ્કેલ પરિમાણ અને આકાર પરિમાણ સાથે સંચિત વેઇબુલ વિતરણ છે; = માળખાની ભૂમિતિના આધારે સ્થિર પરિબળ, = માળખાનું કદ; = સંબંધિત (કદ-સ્વતંત્ર) સંકલન વેક્ટર, = પરિમાણહીન તાણ ક્ષેત્ર (ભૂમિતિ પર આધારિત), માપવામાં આવે છે જેથી મહત્તમ તાણ 1 હોય; = અવકાશી પરિમાણોની સંખ્યા (= 1,2 અથવા 3); = સામગ્રી લાક્ષણિકતા લંબાઈ જે આર. વી. ઈ. ના અસરકારક કદને રજૂ કરે છે (સામાન્ય રીતે લગભગ 3 સમરૂપતા કદ). આર. વી. ઈ. ને અહીં સૌથી નાના મટિરિયલ વોલ્યુમ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જેની નિષ્ફળતા સમગ્ર માળખાને નિષ્ફળ બનાવવા માટે પૂરતી છે. અનુભવ પરથી, માળખું એક આર. વી. ઈ. કરતાં પૂરતું મોટું હોય છે જો માળખામાં આર. વી. ઈ. ની સમકક્ષ સંખ્યા આશરે કરતાં મોટી હોય; = જો તણાવ ક્ષેત્ર એકરૂપ હોય (હંમેશા, અને સામાન્ય રીતે) તો સમાન આપતા આર. વી. ઈ. ની સંખ્યા. માઇક્રોમીટર સ્કેલ ઉપકરણો સિવાય ધાતુઓ અને બારીક-દાણાદાર સિરામિક્સ માટે મોટાભાગના સામાન્ય-સ્કેલ કાર્યક્રમો માટે, કદ વેઇબુલ સિદ્ધાંત લાગુ કરવા માટે પૂરતું મોટું છે (પરંતુ કોંક્રિટ જેવી બરછટ-દાણાદાર સામગ્રી માટે નહીં). Eq માંથી. 2 કોઈ પણ વ્યક્તિ બતાવી શકે છે કે સરેરાશ શક્તિ અને શક્તિની વિવિધતાનો ગુણાંક નીચે પ્રમાણે મેળવવામાં આવે છેઃ (ગામા કાર્ય ક્યાં છે) પ્રથમ સમીકરણ દર્શાવે છે કે માળખાની ભૂમિતિને ધ્યાનમાં લીધા વિના સરેરાશ નજીવી શક્તિ પર કદની અસર એ કદની શક્તિ કાર્ય છે. વેઇબુલ પરિમાણને પ્રાયોગિક રીતે બે પદ્ધતિઓ દ્વારા ઓળખી શકાય છેઃ 1) ઘણા સમાન નમૂનાઓ પર માપવામાં આવતા મૂલ્યોનો ઉપયોગ શક્તિની વિવિધતાના ગુણાંકની ગણતરી કરવા માટે થાય છે, અને પછી તેનું મૂલ્ય Eq ને હલ કરીને અનુસરવામાં આવે છે. (4); અથવા 2) ના મૂલ્યો વિવિધ કદના ભૌમિતિક રીતે સમાન નમૂનાઓ પર માપવામાં આવે છે અને વિરુદ્ધના પ્લોટમાં તેમના રેખીય રીગ્રેસનનો ઢોળાવ આપે છે. પદ્ધતિ 1 એ વિવિધ કદ માટે સમાન પરિણામ આપવું જોઈએ, અને પદ્ધતિ 2 એ પદ્ધતિ 1 જેવું જ પરિણામ આપવું જોઈએ. જો નહીં, તો કદની અસર અંશતઃ અથવા સંપૂર્ણપણે બિન-વેઇબુલિયન છે. વિવિધ કદ માટે પરીક્ષણની અવગણના ઘણીવાર ખોટા તારણો તરફ દોરી જાય છે. બીજી તપાસ એ છે કે જ્યારે વેઇબુલ સ્કેલમાં આલેખિત કરવામાં આવે ત્યારે ઘણા સમાન નમૂનાઓની શક્તિનો હિસ્ટોગ્રામ એક સીધી રેખા હોવો આવશ્યક છે. ઉચ્ચ શક્તિ શ્રેણી પર જમણી તરફના વિચલનનો અર્થ એ છે કે તે ખૂબ નાનું છે અને સામગ્રી બરડ છે. ઊર્જાસભર કદની અસર હકીકત એ છે કે વેઇબુલ કદની અસર એ એક શક્તિ કાયદો છે તેનો અર્થ એ છે કે તે સ્વ-સમાન છે, એટલે કે, કોઈ લાક્ષણિક માળખું કદ અસ્તિત્વમાં નથી, અને સામગ્રીની અસમાનતાની સરખામણીમાં તે નગણ્ય છે. માઇક્રોમીટર સ્કેલ સિવાય થાક-ભેજયુક્ત ધાતુઓ અથવા બારીક દાણાદાર સિરામિક્સ માટે આ સ્થિતિ છે. પરિમિતનું અસ્તિત્વ એ ઊર્જાસભર કદની અસરનું મુખ્ય લક્ષણ છે, જેની શોધ 1984માં થઈ હતી. આ પ્રકારની કદની અસર બે શક્તિ નિયમો વચ્ચેના સંક્રમણનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે અને તે બરડ વિજાતીય પદાર્થોમાં જોવા મળે છે, જેને ક્વાસિબ્રિટલ કહેવાય છે. આ સામગ્રીઓમાં કોંક્રિટ, ફાઇબર કમ્પોઝિટ્સ, ખડકો, બરછટ અને સખત સિરામિક્સ, કઠોર ફીણ, દરિયાઈ બરફ, ડેન્ટલ સિરામિક્સ, ડેન્ટિન, હાડકાં, જૈવિક શેલો, ઘણી બાયો-અને બાયો-પ્રેરિત સામગ્રી, ચણતર, મોર્ટાર, સખત સુસંગત જમીન, ગ્રાઉટેડ માટી, એકીકૃત બરફ, લાકડું, કાગળ, કાર્ટન, કોલસો, સિમેન્ટવાળી રેતી વગેરેનો સમાવેશ થાય છે. સૂક્ષ્મ અથવા નેનો સ્કેલ પર, તમામ બરડ પદાર્થો બરડ બની જાય છે, અને તેથી ઊર્જાસભર કદની અસર દર્શાવવી આવશ્યક છે. પ્રબલિત કોંક્રિટના શીયર, ટોર્સનલ અને પંચિંગ નિષ્ફળતાઓમાં, કોંક્રિટમાંથી એન્કરના પુલઆઉટમાં, પાતળા પ્રબલિત કોંક્રિટ કૉલમ અને પ્રીસ્ટ્રેસ્ડ કોંક્રિટ બીમની સંકોચન નિષ્ફળતામાં, ફાઇબર-પોલિમર કમ્પોઝિટ્સ અને સેન્ડવિચ સ્ટ્રક્ચર્સની સંકોચન અને તાણ નિષ્ફળતામાં અને ઉપરોક્ત તમામ અર્ધ-બરડ સામગ્રીની નિષ્ફળતામાં સ્પષ્ટ ઊર્જાસભર કદની અસર જોવા મળે છે. આ કદની અસરના બે મૂળભૂત પ્રકારોમાં તફાવત કરી શકાય છે. પ્રકાર 1: રચનાઓ કે જે તિરાડ પડવાની શરૂઆતમાં નિષ્ફળ જાય છે જ્યારે મેક્રો-ક્રેક એક આર. વી. ઈ. થી શરૂ થાય છે જેનું કદ માળખાના કદની તુલનામાં નગણ્ય નથી, ત્યારે આંકડાકીય કદની અસર પર નિર્ધારક કદની અસર પ્રભુત્વ ધરાવે છે. કદની અસરનું કારણ માળખામાં તણાવનું પુનઃવિતરણ છે (આકૃતિ. 2 સી) પ્રારંભિક આરવીઇમાં નુકસાનને કારણે, જે સામાન્ય રીતે અસ્થિભંગની સપાટી પર સ્થિત હોય છે. આ કદની અસરનું એક સરળ સાહજિક સમર્થન મિડસ્પેન (આકૃતિ) પર કેન્દ્રિત ભાર હેઠળ વણખેડાયેલા સરળ રીતે સમર્થિત બીમની લવચીક નિષ્ફળતાને ધ્યાનમાં લઈને આપી શકાય છે. 2 ડી). સામગ્રીની વિજાતીયતાને કારણે, જે મહત્તમ ભાર નક્કી કરે છે તે ટેન્સાઇલ ફેસ પર સ્થિતિસ્થાપક રીતે ગણતરી કરેલ તાણ નથી, જ્યાં = બેન્ડિંગ મોમેન્ટ, = બીમની ઊંડાઈ, અને = બીમ પહોળાઈ. તેના બદલે, જે નક્કી કરે છે તે તાણનું મૂલ્ય છે જે તાણના ચહેરાથી આશરે અંતરે છે, જે FPZ (2c) ની મધ્યમાં છે. એ નોંધવું કે =, જ્યાં = તાણ ઢાળ = અને = સામગ્રીની આંતરિક તાણ શક્તિ =, અને નિષ્ફળતાની સ્થિતિ = ને ધ્યાનમાં લેતા, વ્યક્તિને મળે છે = જ્યાં, જે એક અચળાંક છે કારણ કે ભૌમિતિક રીતે સમાન બીમ માટે = અચળાંક. આ અભિવ્યક્તિ માત્ર નાના પર્યાપ્ત માટે જ માન્ય છે, અને તેથી (દ્વિપદી વિસ્તરણની પ્રથમ બે શરતો અનુસાર) કોઈ તેને અંદાજિત કરી શકે છે જે પ્રકાર 1 નિર્ધારક કદ અસરનો નિયમ છે (આકૃતિ. 2એ). કરવામાં આવેલા અંદાજનો હેતુ છેઃ (એ) ખૂબ જ નાના માટે નકારાત્મક બનવાથી અટકાવવું, જેના માટે ઉપરોક્ત દલીલ લાગુ પડતી નથી; અને (બી) એસિમ્પ્ટોટિક શરતને સંતોષવા માટે કે જેના માટે નિર્ધારક કદની અસર અદૃશ્ય થઈ જવી જોઈએ. અહીં = હકારાત્મક પ્રયોગમૂલક અચળાંક; મૂલ્યો = અથવા 2 નો ઉપયોગ કોંક્રિટ માટે કરવામાં આવ્યો છે, જ્યારે સાહિત્યમાંથી હાલની પરીક્ષણ માહિતી અનુસાર મહત્તમ છે (આકૃતિ. 2 ડી). Eq નું મૂળભૂત વ્યુત્પત્તિ. સામાન્ય માળખાકીય ભૂમિતિ માટે 5 એ પરિમાણીય વિશ્લેષણ લાગુ કરીને અને જ્યારે પ્રારંભિક મેક્રો-ક્રેકની લંબાઈ શૂન્ય તરફ જાય છે ત્યારે ઊર્જા મુક્તિના મર્યાદિત કિસ્સામાં એસિમ્પ્ટોટિક મેળ દ્વારા આપવામાં આવે છે. સામાન્ય માળખાઓ માટે, નીચેના અસરકારક કદને Eq માં બદલી શકાય છે. (5): જ્યાં = સપાટી પર સ્થિત મહત્તમ તાણ બિંદુ પર તાણ ઢાળ, સપાટીની સામાન્ય દિશામાં. Eq. 5 મોટા કદ માટે લાગુ કરી શકાતું નથી કારણ કે તે આડી એસિમ્પ્ટોટ માટે પહોંચે છે. મોટા કદ માટે, વેઇબુલ આંકડાકીય કદ અસર, Eq નો સંપર્ક કરવો આવશ્યક છે. 3. આ સ્થિતિ સામાન્યીકૃત ઊર્જાસભર-આંકડાકીય કદ અસર કાયદા દ્વારા સંતુષ્ટ થાય છેઃ જ્યાં પ્રયોગમૂલક સ્થિરાંકો () છે. નિર્ધારિત સૂત્ર (5) ને મર્યાદા કેસ તરીકે પુનઃપ્રાપ્ત કરવામાં આવે છે. (આકૃતિ. 2 ડી) ઘણા જુદા જુદા કોંક્રિટ માટેના પરીક્ષણ પરિણામો સાથે છેલ્લા સૂત્રની સરખામણી દર્શાવે છે, જે પરિમાણહીન શક્તિ વિરુદ્ધ પરિમાણહીન માળખાના કદ તરીકે રચાયેલ છે. પ્રકાર 1 કદની અસરનો સંભવિત સિદ્ધાંત અસ્થિભંગ નેનો-મિકેનિક્સમાંથી મેળવી શકાય છે. ક્રેમરનો સંક્રમણ દર સિદ્ધાંત દર્શાવે છે કે, નેનો-સ્કેલ પર, નેનો-સ્કેલ શક્તિની સંભાવના વિતરણની દૂર-ડાબી પૂંછડી એ પ્રકારનો શક્તિ નિયમ છે. મટિરિયલ મેક્રો-સ્કેલમાં મલ્ટીસ્કેલ સંક્રમણનું વિશ્લેષણ પછી દર્શાવે છે કે આર. વી. ઈ. શક્તિ વિતરણ ગૌસીયન છે પરંતુ વેઇબુલ (અથવા પાવર-લો) ડાબી પૂંછડી સાથે જેનો ઘાતાંક 2 કરતા ઘણો મોટો છે અને લગભગ 0.001 ની સંભાવના પર લગભગ કલમ કરવામાં આવે છે. સાથે માળખાઓ માટે, જે બરડ સામગ્રી માટે સામાન્ય છે, વેઇબુલ સિદ્ધાંત લાગુ પડતો નથી. પરંતુ Eq દ્વારા વ્યક્ત કરાયેલ અંતર્ગત સૌથી નબળું લિંક મોડેલ. (1) માટે, કરે છે, જોકે મર્યાદિત સાથે, જે એક નિર્ણાયક મુદ્દો છે. સૌથી નબળા-કડી સાંકળ મોડેલની મર્યાદા વેઇબુલ વિતરણથી મોટા વિચલનનું કારણ બને છે. જેમ જેમ માળખાનું કદ, દ્વારા માપવામાં આવે છે, વધે છે તેમ, વેઇબુલિયન ડાબા ભાગનું કલમ બિંદુ જમણી તરફ આગળ વધે છે, જ્યાં સુધી, લગભગ, સમગ્ર વિતરણ વેઇબુલિયન ન બને. આ વિતરણમાંથી સરેરાશ શક્તિની ગણતરી કરી શકાય છે અને, જેમ તે બહાર આવ્યું છે તેમ, તેનો પ્લોટ Eq ના પ્લોટ સાથે સમાન છે. 5 આકૃતિમાં જોવા મળે છે. 2જી. વેઇબુલ એસિમ્પ્ટોટથી વિચલનનું બિંદુ એક આર. વી. ઈ. (આકૃતિ. 2જી). નોંધ લો કે સૌથી નબળા લિંક મોડેલમાં સાંકળની મર્યાદિતતા કદની અસરના નિર્ધારિત ભાગને મેળવે છે. આ સિદ્ધાંતને ઇવાન્સ અને પેરિસના બરડ પદાર્થોમાં તિરાડ વૃદ્ધિના નિયમો પર કદની અસર અને સ્થિર અને થાકના જીવનકાળ પર કદની અસર સુધી પણ વિસ્તૃત કરવામાં આવ્યો છે. એવું જણાયું હતું કે જીવનકાળ પર કદની અસર ટૂંકા સમયની તાકાત કરતાં ઘણી વધારે મજબૂત હોય છે (પૂંછડીનો ઘાતાંક એ કદનો ક્રમ ઓછો હોય છે). પ્રકાર 2: માળખાં જેમાં મોટી તિરાડ અથવા ખાડો અસ્તિત્વ ધરાવે છે તે સમાન ઊંડા ખાડાઓ ધરાવતા નમૂનાઓ માટે સૌથી મજબૂત શક્ય કદની અસર થાય છે (આકૃતિ. 4 બી), અથવા માળખાઓ કે જેમાં વિવિધ કદ માટે સમાન મોટી તિરાડ, મહત્તમ ભાર સુધી પહોંચે તે પહેલાં સ્થિર રીતે રચાય છે. કારણ કે અસ્થિભંગની શરૂઆતનું સ્થાન તિરાડની ટોચ પર થવાનું પૂર્વનિર્ધારિત છે અને આમ વિવિધ આર. વી. ઈ. ની અવ્યવસ્થિત શક્તિનો નમૂનો લઈ શકતું નથી, સરેરાશ કદની અસરમાં આંકડાકીય યોગદાન નગણ્ય છે. આવી વર્તણૂક પ્રબલિત કોંક્રિટ, ક્ષતિગ્રસ્ત ફાઇબર-પ્રબલિત પોલિમર અને કેટલાક સંકુચિત બિન-પ્રબલિત માળખાઓની લાક્ષણિકતા છે. ઊર્જાસભર કદની અસરને આકૃતિમાં પેનલને ધ્યાનમાં લઈને સાહજિક રીતે સમજાવી શકાય છે. 1c, d, શરૂઆતમાં સમાન તણાવ હેઠળ. ટોચ પર પહોળાઈના નુકસાન ક્ષેત્ર સાથે લંબાઈના તિરાડનો પરિચય, તાણને દૂર કરે છે, અને આમ તિરાડની બાજુઓ પરના ઢોળાવની છાયાવાળી નુકસાન વિનાના ત્રિકોણમાંથી તાણ ઊર્જાને પણ દૂર કરે છે. પછી, જો અને વિવિધ કદ માટે લગભગ સમાન હોય, તો છાંયડોવાળા ત્રિકોણમાંથી મુક્ત થતી ઊર્જા તેના પ્રમાણસર હોય છે, જ્યારે અસ્થિભંગ પ્રક્રિયા દ્વારા વિખેરાયેલી ઊર્જા તેના પ્રમાણસર હોય છે; અહીં = પદાર્થની અસ્થિભંગ ઊર્જા, = અસ્થિભંગ પહેલાં ઊર્જાની ઘનતા, અને = યંગનું સ્થિતિસ્થાપક માપાંક. અને વચ્ચેની વિસંગતતા દર્શાવે છે કે દરેક કદ માટે ઊર્જા પ્રકાશન અને અપવ્યય દરનું સંતુલન ત્યારે જ અસ્તિત્વમાં હોઈ શકે છે જ્યારે તે વધવાની સાથે ઘટે છે. જો પહોળાઈના નુકસાન ક્ષેત્રની અંદર વિખેરાયેલી ઊર્જા ઉમેરવામાં આવે, તો વ્યક્તિ બાઝંત (1984) કદ અસર કાયદો (પ્રકાર 2) મેળવે છેઃ (આકૃતિ. 4c, d) જ્યાં = સ્થિરાંકો, જ્યાં = પદાર્થની તાણ શક્તિ, અને માળખાની ભૂમિતિ માટે જવાબદાર છે. વધુ જટિલ ભૂમિતિઓ માટે આવી સાહજિક વ્યુત્પત્તિ શક્ય નથી. જો કે, એસિમ્પ્ટોટિક મેચિંગ સાથે જોડાયેલા પરિમાણીય વિશ્લેષણ દર્શાવે છે કે Eq. 8 સામાન્ય રીતે લાગુ પડે છે, અને તે કે માળખાની ભૂમિતિ પર તેના પરિમાણોની નિર્ભરતા લગભગ નીચેનું સ્વરૂપ ધરાવે છેઃ જ્યાં FPZ લંબાઈનો અડધો ભાગ, = સંબંધિત પ્રારંભિક તિરાડ લંબાઈ (જે ભૌમિતિક રીતે સમાન સ્કેલિંગ માટે સ્થિર છે); = રેખીય સ્થિતિસ્થાપક અસ્થિભંગ મિકેનિક્સ (LEFM) નું પરિમાણહીન ઊર્જા પ્રકાશન કાર્ય, જે માળખાની ભૂમિતિની અસર લાવે છે;, અને = તણાવ તીવ્રતા પરિબળ. ફિટિંગ Eq. 8 ખૂબ જ અલગ કદના ભૌમિતિક રીતે સમાન નોચવાળા નમૂનાઓના પરીક્ષણોમાંથી માહિતી મેળવવી એ સામગ્રી અને તેને ઓળખવાની સારી રીત છે. કોહેસિવ ક્રેક, ક્રેક બેન્ડ અને નોનલોકલ મોડલ્સમાં કદની અસર મર્યાદિત તત્વ કોડ દ્વારા નિષ્ફળતાના આંકડાકીય સિમ્યુલેશન ઊર્જાસભર (અથવા નિર્ધારક) કદની અસરને ત્યારે જ પકડી શકે છે જ્યારે તાણને વિરૂપતા સાથે સંબંધિત ભૌતિક કાયદો લાક્ષણિક લંબાઈ ધરાવે છે. ફક્ત તણાવ-તાણ સંબંધો દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ સામગ્રી સાથેના શાસ્ત્રીય મર્યાદિત તત્વ કોડ માટે આ કેસ ન હતો. એક પૂરતી સરળ કોમ્પ્યુટેશનલ પદ્ધતિ એ સુસંગત (અથવા કાલ્પનિક) ક્રેક મોડેલ છે, જેમાં એવું માનવામાં આવે છે કે આંશિક રીતે ખુલ્લી તિરાડોમાં પ્રસારિત તણાવ એ ક્રેક ઓપનિંગનું ઘટતું કાર્ય છે, એટલે કે. આ કાર્ય હેઠળનો વિસ્તાર છે, અને તે સામગ્રીની લાક્ષણિક લંબાઈ છે જે નિર્ધારિત કદની અસરને જન્મ આપે છે. એક વધુ સરળ પદ્ધતિ ક્રેક-બેન્ડ મોડેલ છે, જેમાં સુસંગત ક્રેકને સિમ્યુલેશનમાં એક મર્યાદિત તત્વના કદની બરાબર પહોળાઈના ક્રેક બેન્ડ દ્વારા બદલવામાં આવે છે અને સ્ટ્રેસ-સ્ટ્રેઇન સંબંધ જે ક્રોસ-બેન્ડની દિશામાં જ્યાં = તે દિશામાં સરેરાશ તાણ તરીકે નરમ પડે છે. જ્યારે એડજસ્ટ કરવાની જરૂર પડે છે, ત્યારે સ્ટ્રેસ સ્ટ્રેન સંબંધને હળવો કરવામાં આવે છે જેથી ઊર્જાનો સાચો અપવ્યય જળવાઈ રહે. વધુ બહુમુખી પદ્ધતિ એ બિન-સ્થાનિક નુકસાન મોડેલ છે જેમાં સાતત્ય બિંદુ પર તણાવ એ તે બિંદુ પર તાણનું નહીં પરંતુ તે બિંદુ પર કેન્દ્રિત કદના ચોક્કસ પડોશની અંદર તાણ ક્ષેત્રની સરેરાશનું કાર્ય છે. હજુ પણ બીજી પદ્ધતિ ઢાળ નુકસાન મોડેલ છે જેમાં તણાવ માત્ર તે બિંદુ પરના તાણ પર જ નહીં પણ તાણના ઢાળ પર પણ આધાર રાખે છે. આ તમામ કોમ્પ્યુટેશનલ પદ્ધતિઓ મર્યાદિત તત્વની જાળીના શુદ્ધિકરણના સંદર્ભમાં નિષ્પક્ષતા અને યોગ્ય અભિસરણની ખાતરી કરી શકે છે. કદની અસરના અસ્થિભંગના પાસાઓ સામગ્રીના અસ્થિભંગના ગુણધર્મો, જેમાં તિરાડની સપાટીની કઠોરતાના અસ્થિભંગના પાસા અને છિદ્રોની રચનાના અસ્થિભંગના પાસાનો સમાવેશ થાય છે, તે કોંક્રિટમાં કદની અસરમાં ભૂમિકા ભજવી શકે છે, અને સામગ્રીની અસ્થિભંગ ઊર્જાને અસર કરી શકે છે. જો કે, અસ્થિભંગના ગુણધર્મોને હજુ સુધી વ્યાપક પ્રમાણમાં પ્રાયોગિક રીતે દસ્તાવેજીકરણ કરવામાં આવ્યા નથી અને આંકડાકીય અને ઊર્જાસભર કદની અસરો સાથે તુલનાત્મક રીતે સમસ્યાનો હજુ સુધી ઊંડાણપૂર્વક અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો નથી. કદની અસર પર ફ્રેક્ટલ પ્રભાવની વ્યવહારુ વિચારણા માટે મુખ્ય અવરોધ એ છે કે, જો એક માળખાની ભૂમિતિ માટે માપાંકન કરવામાં આવે, તો તે સ્પષ્ટ નથી કે બીજી ભૂમિતિ માટે કદની અસરનું અનુમાન કેવી રીતે કરવામાં આવે છે. ફાયદા અને ગેરફાયદાઓની ચર્ચા કરવામાં આવી હતી, દા. ત., કાર્પિન્ટેરી એટ અલ દ્વારા. (1994,2001) અને બાઝંત અને યાવરી (2005). વ્યવહારુ મહત્વ મોટા કોંક્રિટ પુલો, પરમાણુ સમાવિષ્ટો, છતના શેલો, ઊંચી ઇમારતો, ટનલ લાઇનિંગ્સ, વિમાનના મોટા ભાર વહન ભાગો, અવકાશયાન અને ફાઇબર-પોલિમર સંયોજનોથી બનેલા જહાજો, વિન્ડ ટર્બાઇન, મોટા ભૂ-તકનીકી ખોદકામ, પૃથ્વી અને ખડકના ઢોળાવ, તરતા દરિયાઈ બરફ વહન ભાર, બરફ દળો હેઠળ તેલ પ્લેટફોર્મ વગેરેની તાકાતની સલામત આગાહી માટે કદની અસરને ધ્યાનમાં લેવી જરૂરી છે. તેમની રચના ખૂબ નાના પ્રયોગશાળાના નમૂનાઓ પર માપવામાં આવતા ભૌતિક ગુણધર્મો પર આધારિત છે. આ ગુણધર્મોને તીવ્રતાના એક કે બે ક્રમથી મોટા કદમાં વિસ્તૃત કરવા જોઈએ. જો ખર્ચાળ પૂર્ણ-પાયે નિષ્ફળતા પરીક્ષણ, ઉદાહરણ તરીકે ખૂબ મોટા વિમાનના સુકાનની નિષ્ફળતા પરીક્ષણ હાથ ધરવામાં આવે, તો પણ ભાર ક્ષમતાનું આંકડાકીય વિતરણ મેળવવા માટે તેને હજાર વખત પુનરાવર્તન કરવું આર્થિક રીતે પ્રતિબંધિત છે. સલામતી પરિબળો અંતર્ગત આવી આંકડાકીય માહિતી માત્ર પ્રયોગશાળાના પરીક્ષણોના યોગ્ય વિસ્તરણ દ્વારા જ મેળવી શકાય છે. કદની અસરનું મહત્વ વધી રહ્યું છે કારણ કે વધુને વધુ પાતળા સ્વરૂપોની મોટી અને મોટી રચનાઓ બનાવવામાં આવી રહી છે. સલામતી પરિબળો, અલબત્ત, મોટા સલામતી માર્જિન આપે છે-એટલા મોટા કે સૌથી મોટા સિવિલ એન્જિનિયરિંગ માળખાઓ માટે પણ સરેરાશ સામગ્રી ગુણધર્મો પર આધારિત શાસ્ત્રીય નિર્ધારક વિશ્લેષણ સામાન્ય રીતે મહત્તમ ડિઝાઇન ભાર કરતાં નાના નિષ્ફળતા ભાર પેદા કરે છે. આ કારણોસર, કોંક્રિટ માળખાં અને માળખાકીય લેમિનેટ્સની બરડ નિષ્ફળતામાં તાકાત પર કદની અસરને લાંબા સમયથી અવગણવામાં આવી છે. પછી, જો કે, નિષ્ફળતાની સંભાવના, જે હોવી જરૂરી છે, અને વાસ્તવમાં સામાન્ય કદની રચનાઓ માટે આવા મૂલ્યો ધરાવે છે, તે જીવનકાળ મુજબ ખૂબ મોટી રચનાઓ માટે ઓછી થઈ શકે છે. આવી ઉચ્ચ નિષ્ફળતાની સંભાવના અસહ્ય છે કારણ કે તે જોખમોમાં નોંધપાત્ર વધારો કરે છે જેના માટે લોકો અનિવાર્યપણે સંપર્કમાં આવે છે. હકીકતમાં, ઐતિહાસિક અનુભવ દર્શાવે છે કે ખૂબ મોટી રચનાઓ નાના કરતા વધુ તીવ્રતાના ક્રમમાં વારંવાર નિષ્ફળ રહી છે. તે જાહેર આક્રોશ તરફ દોરી ગયું નથી તેનું કારણ એ છે કે મોટા માળખા થોડા છે. પરંતુ સ્થાનિક લોકો માટે, જેમણે દરરોજ માળખાનો ઉપયોગ કરવો જ જોઇએ, જોખમ સ્વીકાર્ય નથી. અન્ય ઉપયોગ એ અસ્થિભંગ ઊર્જા અને લાક્ષણિક સામગ્રીની લંબાઈનું પરીક્ષણ છે. બરડ સામગ્રી માટે, ટોચના ભાર પર કદની અસરને માપવી (અને ટોચના ભાર પછી નમૂના નરમ થવા પર) એ સૌથી સરળ અભિગમ છે. કદની અસરને જાણવી પણ વિપરીત અર્થમાં મહત્વપૂર્ણ છે-માઇક્રોમીટર સ્કેલ ઉપકરણો માટે જો તેઓ 0.01m થી 0.1 મીટરના સ્કેલ પર વધુ અનુકૂળ રીતે માપવામાં આવતા ભૌતિક ગુણધર્મોના આધારે આંશિક અથવા સંપૂર્ણ રીતે ડિઝાઇન કરવામાં આવે છે. સામગ્રી નિષ્ફળતા સિદ્ધાંત પણ જુઓ માળખાકીય નિષ્ફળતા ફ્રેક્ચર મિકેનિક્સ કોંક્રિટ ફ્રેક્ચર વિશ્લેષણ થાક (સામગ્રી) કોંક્રિટ શંકુ નિષ્ફળતા નોંધો સંદર્ભો અને ગ્રંથસૂચિ બેરેનબ્લેટ, જી. આઈ. 1959). "બરડ અસ્થિભંગ દરમિયાન સંતુલનની તિરાડોની રચના. સામાન્ય વિચારો અને પૂર્વધારણા, અક્ષીય સમપ્રમાણતાવાળી તિરાડો ". પ્રિકલ. મેટ. મીખ. 23 (3), 434-444. બેરેનબ્લેટ, જી. આઈ. (1996). સ્કેલિંગ, સ્વ-સમાનતા અને મધ્યવર્તી એસિમ્પ્ટોટિક્સ. કેમ્બ્રિજ યુનિવર્સિટી પ્રેસ. બેરેનબ્લેટ, જી. આઈ. (1978). સમાનતા, સ્વ-સમાનતા અને મધ્યવર્તી એસિમ્પ્ટોટિક્સ (રશિયનમાં) Girometeoizdat, મોસ્કો; અને અંગ્રેજી અનુવાદ, કન્સલ્ટન્ટ્સ બ્યુરો, ન્યૂ યોર્ક 1979. બેરેનબ્લેટ, જી. આઈ. (2003) સ્કેલિંગ, કેમ્બ્રિજ યુનિવર્સિટી પ્રેસ. બાઝંત, ઝેડ. પી. (1976). "તાણ-નરમ પાડતી કોંક્રિટમાં અસ્થિરતા, નરમાઈ અને કદની અસર". જે. એંગ. ઠીક છે. ડિવ., એમ. સો. સિવિલ એન્જી., 102, ઇ. એમ. 2,331-344; ડિસ્ક. 103, 357-358,775-777,104,501-502. બાઝંત, ઝેડ. પી. 1984). "ભોળા અસ્થિભંગમાં કદની અસરઃ કોંક્રિટ, ખડક, ધાતુ". જે. ઓફ એન્ગ. મિકેનિક્સ, ASCE, 110,518-535. બાઝંત, ઝેડ. પી. (1997). "ક્વાસિબ્રિટલ ફ્રેક્ચરનું સ્કેલિંગઃ એસિમ્પ્ટોટિક એનાલિસિસ". ઇન્ટ. જે. ઓફ ફ્રેક્ચર 83 (1), 19-40. બાઝંત, ઝેડ. પી. (2002). "માળખાકીય શક્તિનું સ્કેલિંગ". 2જી આવૃત્તિ, એલ્સેવિયર, લંડન 2005. બાઝન્ટ, ઝેડ. પી., અને ચેન, ઇ. પી. (1997). "માળખાકીય નિષ્ફળતાનું માપન". એપ્લાઇડ મિકેનિક્સ સમીક્ષાઓ ASME 50 (10), 593-627. બાઝંત, ઝેડ. પી., અને કાઝેમી, એમ. ટી. (1990). "અસ્થિભંગ ઊર્જાનું નિર્ધારણ, પ્રક્રિયા ક્ષેત્રની લંબાઈ અને કદની અસરથી બરડપણાની સંખ્યા, ખડક અને કોંક્રિટના ઉપયોગ સાથે". ઇન્ટ. જે. ઓફ ફ્રેક્ચર, 44,111-131. બાઝન્ટ, ઝેડ. પી., અને નોવાક, ડી. (2000). "ક્રેક દીક્ષા સમયે અર્ધ-બરડ નિષ્ફળતામાં સક્રિય-આંકડાકીય કદની અસર". એસીઆઈ મટિરીયલ્સ જર્નલ 97 (3), 381-392. બાઝંત, ઝેડ. પી., અને પ્લાનસ, જે. (1998). કોંક્રિટ અને અન્ય બરડ સામગ્રીમાં અસ્થિભંગ અને કદની અસર. સીઆરસી પ્રેસ, બોકા રેટન, ફ્લોરિડા. બાઝંત, ઝેડ. પી., અને યાવરી, એ. (2005). "શું માળખાકીય તાકાત પર કદની અસરનું કારણ ફ્રેક્ટલ અથવા ઊર્જાસભર-આંકડાકીય છે?" અંગ્રેજી. ફ્રેક્ચર મિકેનિક્સ 72,1-31; વોલ્યુમમાં ચર્ચા અને જવાબ સાથે. 74 (2007), પૃષ્ઠ 2897. બાઝન્ટ, ઝેડ. પી. (2004) "સ્કેલિંગ થિયરી ઓફ ક્વેસબ્રિટલ સ્ટ્રક્ચરલ ફેલ્યોર". પ્રો. નતાલ. એકે. સાયન્સ., યુએસએ 101 (37), 13397-13399. બાઝન્ટ, ઝેડ. પી., ડેનિયલ, આઈ. એમ., અને લી, ઝેડ. (1996). "સંયુક્ત લેમિનેટ્સની કદની અસર અને અસ્થિભંગની લાક્ષણિકતાઓ". જે. ઓફ એન્ગર્ગ. સામગ્રી અને ટેકનોલોજી ASME 118 (3), 317-324. બાઝાંત, ઝેડ. પી. અને જિરાસેક, એમ. (2002). "પ્લાસ્ટિસિટી અને નુકસાનના બિન-સ્થાનિક અભિન્ન ફોર્મ્યુલેશનઃ પ્રગતિનું સર્વેક્ષણ". જે. એન્ગ્રેગ મેચ, એએસસીઈ, 128 (11), 1119-1149. બાઝન્ટ, ઝેડ. પી. અને લે, જે. એલ. (2009) "નેનો-મિકેનિક્સ આધારિત મોડેલિંગ ઓફ લાઇફટાઇમ ડિસ્ટ્રિબ્યુશન ઓફ ક્વાસિબ્રિટલ સ્ટ્રક્ચર્સ", જે. એંગર્ગ. નિષ્ફળતા એના., 16, pp 2521-2529 બાઝન્ટ, Z. P., લે, J. L., અને બાઝન્ટ, M. Z. (2009). "એટોમિસ્ટિક ફ્રેક્ચર મિકેનિક્સ પર આધારિત અર્ધ-ભંગુર માળખાઓની શક્તિ અને આજીવન વિતરણનું માપન". પ્રો. નેશનલ એકેડેમી. સાયન્સ યુ. એસ. એ. 11484-11489 બાઝન્ટ, ઝેડ. પી., અને પેંગ, એસ.-ડી. (2006) "નબળા માળખાઓના નિષ્ફળતાના જોખમ અને સલામતી પરિબળો પર કદની અસરના મિકેનિક્સ આધારિત આંકડા". પ્રો. નતાલ એકેડ. સાયન્સ., યુએસએ 103 (25), pp. 9434-9439. બાઝન્ટ, ઝેડ. પી., અને પેંગ, એસ. ડી. (2007) "સક્રિયકરણ ઊર્જા આધારિત આત્યંતિક મૂલ્ય આંકડા અને બરડ અને અર્ધ-બરડ અસ્થિભંગમાં કદની અસર". જે. મેક. ફિઝ. ઘન 55, pp. 91-134. બાઝન્ટ, ઝેડ. પી., વોરેચોવ્સ્કી, એમ., અને નોવાક, ડી. (2007) "નિર્ધારક મર્યાદિત તત્વ ઉકેલોમાંથી ઊર્જાસભર-આંકડાકીય કદ અસરની એસિમ્પ્ટોટિક આગાહી". જે. એન્ગર્ગ. Mech, ASCE, 128,153-162. બાઝાંત, ઝેડ. પી. અને ઝી, વાય. (1991) "અર્ધ-બરડ માળખામાં આંકડાકીય કદની અસરઃ II. બિન-સ્થાનિક સિદ્ધાંત ". જે. એન્ગર્ગ. મેક., ASCE 117 (7), 2623-2640. બાઝન્ટ, ઝેડ. પી., ઝોઉ, વાય., ડેનિયલ, આઈ. એમ., કેનર, એફ. સી., અને યુ, ક્યૂ. (2006). "લેમિનેટ-ફોમ સેન્ડવિચ પ્લેટની તાકાત પર કદની અસર", જે. ઓફ એન્ગ્રેગ. સામગ્રી અને ટેકનોલોજી ASME 128 (3), 366-374. બેરેમિન, એફ. એમ. (1983). "ન્યુક્લિયર પ્રેશર વેસલ સ્ટીલના ક્લેવેજ ફ્રેક્ચર માટેનો સ્થાનિક માપદંડ". ધાતુશાસ્ત્ર વ્યવહારો એ, 14,227-2287. બૌચૌડ, ઇ. (1997). "તિરાડોના સ્કેલિંગ ગુણધર્મો". જે. ફિઝ. : કન્ડેન્સ. દ્રવ્ય 9,4319-4344. કાર્પિન્ટેરી, એ. (1994). "અવ્યવસ્થિત સામગ્રીની તાકાત અને કઠિનતા માટે સ્કેલિંગ કાયદાઓ અને પુનઃનિર્ધારણ જૂથો". ઇન્ટ. જે. ઓફ સોલિડ્સ એન્ડ સ્ટ્રક્ચર્સ 31 (3), 291-302. કાર્પિન્ટેરી, એ., ચિયા, બી., અને કોર્નેટ્ટી, પી. (2001). "સ્થિર-ગતિશીલ દ્વૈતતા અને ફ્રેક્ટલ મીડિયાના મિકેનિક્સમાં વર્ચ્યુઅલ વર્કનો સિદ્ધાંત". કોમ્પ. મેથ. એપલમાં. ઠીક છે. અને અંગ્રેજી. 19, 3-19. કોલમેન, બી. ડી. (1958) "સ્ટેટિસ્ટિક્સ એન્ડ ટાઈમ ડિપેન્ડન્ટ ઓફ મિકેનિકલ બ્રેકડાઉન ઇન ફાઈબર્સ". જે. એપલ. ફિઝ. 29 (6), pp. 968-983. દા વિન્સી, એલ. (1500)---જુઓ ધ નોટબુક્સ ઓફ લિયોનાર્ડો દા વિન્સી (1945), એડવર્ડ મેકકર્ડી, લંડન (પૃષ્ઠ 546); અને લેસ મનુસ્ક્રિટ્સ ડી લિયોનાર્ડ ડી વિન્સી, અનુવાદ. ફ્રેન્ચમાં સી. રાવિસન-મોલિયન, ઇન્સ્ટિટ્યુટ ડી ફ્રાન્સ (1881-91), વોલ્યુમ. 3. ફિશર, આર. એ. અને ટિપેટ, એલએચ. સી. (1928). "નમૂનાના સૌથી મોટા અને સૌથી નાના સભ્યના આવર્તન વિતરણના સ્વરૂપોને મર્યાદિત કરવા". પ્રો., કેમ્બ્રિજ ફિલોસોફિકલ સોસાયટી 24,180-190. ફ્રેચેટ, એમ. (1927). "એક વર્ષમાં સૌથી વધુ સંભાવના છે". એન. સો. પોલોન. ગણિત. 6, પૃ. 93. ફ્રોઉડેન્થલ, એ. એમ., અને ગુંબેલ, ઇ. જે. (1956). "થાકના શારીરિક અને આંકડાકીય પાસાઓ". એડવાન્સિસ ઇન એપ્લાઇડ મિકેનિક્સ, વોલ્યુમ. 4, એકેડેમિક પ્રેસ, 117-157. ગ્રાસલ, પી., અને બા ઝન્ટ, ઝેડ. પી. (2009). "અર્ધ-બરડ માળખામાં આંકડાકીય કદની અસરનું રેન્ડમ જાળી-કણ સિમ્યુલેશન ક્રેકની શરૂઆતમાં નિષ્ફળ જાય છે". જે. ઓફ એન્ગર્ગ. ઠીક છે. ASCE 135 (2), ફેબ્રુઆરી, 85-92. ગુંબેલ, ઇ. જે. (1958). એક્સ્ટ્રીમના આંકડા. કોલંબિયા યુનિવર્સિટી પ્રેસ, ન્યૂયોર્ક. હાર્લો, ડી. જી. અને ફોનિક્સ, એસ. એલ. (1978) "ધ ચેઇન-ઓફ-બંડલ્સ પ્રોબેબિલિટી મોડલ ફોર ધ સ્ટ્રેન્થ ઓફ ફાઇબ્રસ મટિરિયલ્સ I: એનાલિસિસ એન્ડ કોન્જેક્ચર્સ". જે. કોમ્પ. મેટર. 12: હાર્લો, ડી. જી. અને ફોનિક્સ, એસ. એલ. (1979) "સંયુક્ત સામગ્રીની નિષ્ફળતાની સંભાવના પરની સીમાઓ". ઇન્ટ. જે. ફ્રાક. 15 (4), 312-336 હિલરબોર્ગ એ. (1985). "કોંક્રિટની અસ્થિભંગ ઊર્જા નક્કી કરવાની પદ્ધતિનો સૈદ્ધાંતિક આધાર". સામગ્રી અને માળખાં 18 (106), 291-296. હિલરબોર્ગ, એ., મોડેર, એમ. અને પીટરસન, પી. ઈ. (1976). "ફ્રેક્ચર મિકેનિક્સ અને મર્યાદિત તત્વોના માધ્યમથી કોંક્રિટમાં તિરાડ રચના અને તિરાડ વૃદ્ધિનું વિશ્લેષણ". સિમેન્ટ અને કોંક્રિટ સંશોધન 6 773-782. લે, જે. એલ., અને બાઝન્ટ, ઝેડ. પી. (2009) "ડેન્ટલ રિસ્ટોરેટિવ સિરામિક્સના તાકાત વિતરણ માટે શૂન્ય થ્રેશોલ્ડ સાથે મર્યાદિત સૌથી નબળા લિંક મોડેલ", ડેન્ટ. , 25, નં. 5, 2009, pp 641-648 Le, J-L., અને બાઝન્ટ, Z. P. (2011). "યુનિફાઇડ નેનો-મિકેનિક્સ બેઝ્ડ પ્રોબેબિલિસ્ટિક થિયરી ઓફ ક્વાસિબ્રિટલ એન્ડ બ્રિટલ સ્ટ્રક્ચર્સ". જે. ઓફ ધ મેક. અને શારીરિક. સોલિડ્સ, પ્રેસમાં. મહેશ, એસ. અને ફોનિક્સ, એસ. એલ. (2004) "લાઇફટાઇમ ડિસ્ટ્રિબ્યુશન્સ ફોર યુનિડાયરેક્શનલ ફાઈબ્રસ કમ્પોઝિટ્સ અંડર ક્રીપ-રિપ્ચર લોડિંગ". ઇન્ટ. જે. ફ્રેક્ટ. 127, pp. 303-360. મારિયોટ્ટે, ઇ. (1686). ટ્રેઇટ ડુ મોવમેન્ટ ડેસ ઇઓક્સ, મરણોપરાંત એમ. ડી લા હાયર દ્વારા સંપાદિત; અંગ્રેજી. અનુવાદ કરો. જે. ટી. ડેસવાગ્યુલિયર્સ, લંડન (1718), પૃષ્ઠ 249; મેરિઓટની એકત્રિત કૃતિઓ, બીજી આવૃત્તિ, ધ હેગ (1740). મિહાશી, એચ., ઓકામુરા, એચ., અને બાઝંત, ઝેડ. પી., સંપાદકો (1994). કોંક્રિટ માળખામાં કદની અસર (પ્રોસી., જાપાન કોંક્રિટ ઇન્સ્ટિટ્યૂટ ઇન્ટર્ન. સેન્ડાઇ, જાપાનમાં યોજાયેલી વર્કશોપ, Oct.31-Nov.2,1993). E & FN સ્પૉન, લંડન-ન્યૂયોર્ક, 556 + xiv પૃષ્ઠો). ફોનિક્સ, એસ. એલ. (1978એ) "સ્ટોકેસ્ટિક સ્ટ્રેન્થ એન્ડ થાક ઓફ ફાઇબર બંડલ્સ". ઇન્ટ. જે. ફ્રાક. વોલ્યુમ. 14, નં. 3, 327-344. ફોનિક્સ, એસ. એલ. (1978બી) "સમાંતર સભ્યોની યાંત્રિક પ્રણાલીની નિષ્ફળતાનો એસિમ્પ્ટોટિક સમય". સિયામ જે. એપલ. ગણિત. વોલ્યુમ. 34, નં. 2, 227-246. ફોનિક્સ, એસ. એલ., અને ટિર્ની, એલ. જે. (1983) "તંતુઓ વચ્ચે સ્થાનિક સ્થિતિસ્થાપક ભાર-વહેંચણી હેઠળ એક દિશાસૂચક સંયુક્ત સામગ્રીની સમય આધારિત નિષ્ફળતા માટેનું આંકડાકીય મોડેલ". અંગ્રેજી. ફ્રેક્ટ. ઠીક છે. 18 (1), pp. 193-215. ફોનિક્સ, એસ. એલ., ઇબ્નબદેલજલિલ, એમ., હુઈ, સી.-વાય. (1997). "બરડ મેટ્રિક્સ તંતુમય સંયોજનોની તાકાત માટે વિતરણમાં કદની અસરો". ઇન્ટ. જે. ઘન રચના. 34 (5), 545-568. પીજાઉડીયર-કેબોટ, જી., અને બાઝન્ટ, ઝેડ. પી. 1987). "નોનલોકલ નુકસાન સિદ્ધાંત". જે. ઓફ એન્ગર્ગ. મિકેનિક્સ, ASCE 113 (10), 1512-1533. RILEM સમિતિ TC-QFS (2004). "ક્વાસિબ્રિટલ ફ્રેક્ચર સ્કેલિંગ અને કદ અસર---અંતિમ અહેવાલ". સામગ્રી અને માળખાં (પેરિસ) 37 (નં. 272), 547-586. આલ્ફ્રેડ એમ. ફ્રોઉડેન્થલ દ્વારા પસંદ કરેલા કાગળો (1981). એમ. સો. સિવિલ એન્ગર્સ, ન્યૂયોર્ક. સ્મિથ, આર. એલ. (1982) "સમાન ભાર વહેંચણી સાથે શ્રેણી-સમાંતર પ્રણાલીની શક્તિનું એસિમ્પ્ટોટિક વિતરણ". એન પ્રોબાબ. 10 (1), પૃ. 137-171. ટિર્ની, એલ.-જે. (1983) "સ્થાનિક લોડ શેરિંગ હેઠળ રેસાના બંડલની થાક નિષ્ફળતાના સમય પર એસિમ્પ્ટોટિક બાઉન્ડ્સ". એડ. એપલ. પ્રો. વોલ્યુમ 14, નંબર 1, pp 95-121. વેઇબુલ, ડબલ્યુ. (1939). "ઘન પદાર્થોમાં ભંગાણની ઘટના". પ્રોસી., રોયલ સ્વીડિશ ઇન્સ્ટિટ્યૂટ ઓફ એન્જિનિયરિંગ રિસર્ચ (ઇન્જેનિઓર્સવેટેન્સકેપ્સ અકાદમી). હેન્ડલ.) 153, સ્ટોકહોમ, 1-55. વેઇબુલ, ડબલ્યુ. (1949). "ઘન પદાર્થોમાં થાકની નિષ્ફળતાની આંકડાકીય રજૂઆત". પ્રોસી., રોય. ઇન્સ્ટ. ટેક્નો. નં. 27. વેઇબુલ, ડબલ્યુ. (1951). "વ્યાપક ઉપયોગીતાનું આંકડાકીય વિતરણ કાર્ય". જે. ઓફ એપ્લાઇડ મિકેનિક્સ ASME, વોલ્યુમ. 18. વેઇબુલ, ડબલ્યુ. (1956). "થાકના મૂળભૂત પાસાઓ". પ્રોસી., કોલોકિયમ ઓન ફેટીગ, સ્ટોકહોમ, સ્પ્રિંગર-વેર્લાગ. ઝુ, એક્સ. એફ. (2007) "અનિશ્ચિતતાઓને સંડોવતા લંબગોળ સમસ્યાઓ પર એક બહુસ્તરીય સ્ટોકેસ્ટિક મર્યાદિત તત્વ પદ્ધતિ". કોમ્પ્યુટ કરો. મેથ. એપલ. ઠીક છે. અંગ્રેજી. 196, pp. 2723-2736. ઝુર્કોવ, એસ. એન. (1965). "ઘન પદાર્થોની શક્તિનો ગતિશીલ ખ્યાલ". ઇન્ટ. જે. ફ્રેક્ટ. ઠીક છે. 1 (4), pp 311-323. સ્ટેપાનોવ, I. એ. (1995). "સ્કેલ અસર એ નક્કર પદાર્થોના સેલ્યુલર માળખાનું પરિણામ છે. શક્તિનાં મૂલ્યોમાં ફેલાવાની થર્મોફ્લૂક્ચુએશન પ્રકૃતિ ". સામગ્રી વિજ્ઞાન 31 (4), pp 441-447. બાહ્ય કડીઓ ભૌતિક નમૂનાઓ કોન્ટિનમ મિકેનિક્સ અસ્થિભંગ મિકેનિક્સ