Compound of three octahedra
ગણિતમાં, ત્રણ ઓક્ટાહેડ્રા અથવા ઓક્ટાહેડ્રોન 3-સંયોજનનું સંયોજન એ ત્રણ નિયમિત ઓક્ટાહેડ્રામાંથી બનેલું પોલિહેડ્રલ સંયોજન છે, જે બધા એક સામાન્ય કેન્દ્રને વહેંચે છે પરંતુ એકબીજાના સંદર્ભમાં ફરે છે. ગાણિતિક સાહિત્યમાં અગાઉ દેખાતા હોવા છતાં, તેને એમ. સી. એસ્ચર દ્વારા ફરીથી શોધવામાં આવ્યું હતું અને લોકપ્રિય બનાવવામાં આવ્યું હતું, જેમણે તેનો ઉપયોગ તેમના 1948ના લાકડામાંથી બનાવેલા તારાઓની કેન્દ્રિય છબીમાં કર્યો હતો. એક નિયમિત અષ્ટકોણને સમઘનની આસપાસ એવી રીતે ઘેરાયેલું કરી શકાય છે કે સમઘનના બે વિરુદ્ધ ચોરસની આઠ ધાર અષ્ટકોણની આઠ બાજુઓ પર હોય. વિરુદ્ધ સમઘન ચોરસની ત્રણ જોડીમાંથી આ રીતે રચાયેલા ત્રણ અષ્ટભુજ ત્રણ અષ્ટફલકનું સંયોજન બનાવે છે. આઠ સમઘન શિરોબિંદુઓ સંયોજનમાં આઠ બિંદુઓ જેવા જ છે જ્યાં ત્રણ ધાર એકબીજાને પાર કરે છે. આ ટ્રિપલ ક્રોસિંગમાં ભાગ લેતી દરેક ઓક્ટાહેડ્રોન ધારને 1: ગુણોત્તરમાં ક્રોસિંગ પોઇન્ટ દ્વારા વિભાજિત કરવામાં આવે છે. બાકીની ઓક્ટાહેડ્રોન ધાર સંયોજનના આંતરિક ભાગમાં જોડીઓમાં એકબીજાને પાર કરે છે; તેમના ક્રોસિંગ તેમના મધ્યબિંદુઓ પર હોય છે અને જમણા ખૂણા બનાવે છે. ત્રણ ઓક્ટાહેડ્રાનું સંયોજન એક જ ઓક્ટાહેડ્રોનની ત્રણ નકલોમાંથી પણ બનાવી શકાય છે, જેમાં દરેક નકલને ત્રણ સમપ્રમાણતા અક્ષોમાંથી એકની આસપાસ/4ના ખૂણાથી ફેરવી શકાય છે, જે પ્રારંભિક ઓક્ટાહેડ્રોનના બે વિરુદ્ધ શિરોબિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે. ત્રણ ઓક્ટાહેડ્રાના સમાન સંયોજન માટેનું ત્રીજું માળખું ત્રણ સમઘનના સંયોજનના બેવડા પોલિહેડ્રોન જેવું છે, જે એકસમાન પોલિહેડ્રોન સંયોજનોમાંથી એક છે. ત્રણ ઓક્ટાહેડ્રામાંથી એકના છ શિરોબિંદુઓ કોઓર્ડિનેટ્સ અને દ્વારા આપી શકાય છે. અન્ય બે ઓક્ટાહેડ્રામાં કોઓર્ડિનેટ્સ હોય છે જે x અથવા y કોઓર્ડિનેટ માટે z કોઓર્ડિનેટની આપ-લે કરીને આ કોઓર્ડિનેટમાંથી મેળવી શકાય છે. સમપ્રમાણતા ત્રણ ઓક્ટાહેડ્રાનું સંયોજન એક ઓક્ટાહેડ્રોન જેવું જ સમપ્રમાણતા જૂથ ધરાવે છે. તે એક આઇસોહેડ્રલ ડેલ્ટા હેડ્રોન છે, જેનો અર્થ છે કે તેના ચહેરાઓ સમબાહુ ત્રિકોણ છે અને તેમાં દરેક ચહેરાને દરેક અન્ય ચહેરા પર લઈ જવાની સમપ્રમાણતા છે. આઇસોહેડ્રલ ડેલ્ટાહેડ્રા નું એક જાણીતું અનંત કુટુંબ છે, અને 36 વધુ જે આ પરિવારમાં આવતા નથી; ત્રણ ઓક્ટાહેડ્રાનું સંયોજન 36 છૂટાછવાયા ઉદાહરણોમાંથી એક છે. જો કે, તેનું સમપ્રમાણતા જૂથ દરેક શિરોબિંદુને દરેક અન્ય શિરોબિંદુ પર લઈ જતું નથી, તેથી તે પોતે એક સમાન પોલિહેડ્રોન સંયોજન નથી. ત્રણ ઓક્ટાહેડ્રાનું આંતરછેદ 14 શિરોબિંદુઓ અને 24 ચહેરાઓ સાથેનું બહિર્મુખ બહુભુજ છે, એક ટેટ્રાકિસ ષટ્કોણ, જે કેન્દ્રીય સમઘનના દરેક ચહેરા પર નીચા ચોરસ પિરામિડને જોડીને રચાય છે. આમ, સંયોજનને ટેટ્રાકિસ હેક્સાહેડ્રોનના નક્ષત્ર તરીકે જોઈ શકાય છે. સમઘનની દરેક બાજુ પર ઊંચા પિરામિડ્સનો ઉપયોગ કરીને રચાયેલ ટેટ્રાકિસ હેક્સાહેડ્રોનનું એક અલગ સ્વરૂપ બિન-બહિર્મુખ છે, પરંતુ તેમાં સમબાહુ ત્રિકોણના ચહેરાઓ છે જે ફરીથી ત્રણ અષ્ટકોણના ચહેરાઓ જેવા જ સમતલ પર આવેલા છે; તે જાણીતું આઇસોહેડ્રલ ડેલ્ટાહેડ્રા છે. સમાન ચહેરાના સમતલને વહેંચતા ત્રીજા સમશીતોષ્ણ ડેલ્ટા-હેડ્રોન, છ ટેટ્રાહેડ્રાનું સંયોજન, ત્રણ ઓક્ટાહેડ્રાના સંયોજનના દરેક ચહેરાને ત્રણ સ્ટેલા ઓક્ટાંગ્યુલા બનાવીને બનાવી શકાય છે. સમાન ફેસ પ્લેન સાથેનું ચોથું આઇસોહેડ્રલ ડેલ્ટાહેડ્રોન, જે ત્રણ ઓક્ટાહેડ્રાના સંયોજનનું નક્ષત્ર પણ છે, તે ટેટ્રાકિસ હેક્સાહેડ્રોન જેવું જ સંયોજન માળખું ધરાવે છે, પરંતુ ક્યુબ ફેસ સાથે ક્યુબની બાહ્ય બાજુએ પિરામિડને જોડવાને બદલે આંતરછેદ પિરામિડમાં અંદરની તરફ ડેંટ કરે છે. જે સમઘનની આસપાસ ત્રણ ઓક્ટાહેડ્રાને ઘેરી શકાય છે તેમાં પ્રતિબિંબ સમપ્રમાણતાના નવ સ્તર હોય છે. આમાંથી ત્રણ પ્રતિબિંબ ફલક સમઘનની બાજુઓને સમાંતર પસાર થાય છે, બે વિરુદ્ધ બાજુઓ વચ્ચે અડધો રસ્તો; અન્ય છ સમઘનની આજુબાજુ તેના ચાર શિરોબિંદુઓમાંથી ત્રાંસા રીતે પસાર થાય છે. આ નવ વિમાનો ત્રણ ઓક્ટાહેડ્રાના નવ વિષુવવૃત્તીય વિમાનો સાથે મેળ ખાય છે. ઇતિહાસ પિએરો ડેલા ફ્રાન્સેસ્કા દ્વારા 15મી સદીની હસ્તપ્રત ડી ક્વિન્ક કોર્પોરિબસ રેગ્યુલરિબસમાં, ડેલા ફ્રાન્સેસ્કામાં પહેલેથી જ સમઘનની આસપાસ ઘેરાયેલા ઓક્ટાહેડ્રોનનું ચિત્ર સામેલ છે, જેમાં સમઘનની આઠ ધાર ઓક્ટાહેડ્રોનના આઠ ચહેરાઓમાં આવેલી છે. એક જ સમઘનની આસપાસ આ રીતે ઘેરાયેલા ત્રણ ઓક્ટાહેડ્રા ત્રણ ઓક્ટાહેડ્રાનું સંયોજન બનાવશે, પરંતુ ડેલા ફ્રાન્સેસ્કા સંયોજનને દર્શાવતું નથી. ગાણિતિક સાહિત્યમાં ત્રણ ઓક્ટાહેડ્રાના સંયોજનનો આગામી દેખાવ મેક્સ બ્રુકનરનું 1900નું કાર્ય હોવાનું જણાય છે, જેમાં તેનો ઉલ્લેખ કરવામાં આવ્યો છે અને તેમાં તેના એક નમૂનાનો ફોટોગ્રાફ સામેલ છે. ડચ કલાકાર એમ. સી. એસ્ચર, તેમના 1948 ના લાકડામાંથી બનાવેલા સ્ટાર્સમાં, લાકડામાંથી બનાવેલા આ આકારના પાંજરાની કેન્દ્રિય આકૃતિ તરીકે ઉપયોગમાં લેવાય છે, જેમાં બે કાચંડો હોય છે અને અવકાશમાં તરતા હોય છે. એચ. એસ. એમ. કોક્સેટર, એમ ધારીને કે એસ્ચરે આ આકારને સ્વતંત્ર રીતે ફરીથી શોધ્યો, લખે છે કે "તે નોંધપાત્ર છે કે એસ્ચર, બીજગણિત અથવા વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિના કોઈપણ જ્ઞાન વિના, આ અત્યંત સપ્રમાણ આકૃતિને ફરીથી શોધવામાં સક્ષમ હતા". જો કે, જ્યોર્જ ડબ્લ્યુ. હાર્ટે દસ્તાવેજીકરણ કર્યું છે કે એસ્ચર બ્રુકનરના કાર્યથી પરિચિત હતા અને તેમણે દોરેલા ઘણા સ્ટેલેટેડ પોલિહેડ્રા અને પોલિહેડ્રલ સંયોજનોના આધાર તરીકે તેનો ઉપયોગ કર્યો હતો. અગાઉ 1948 માં, એસ્ચરે સમાન થીમ, સ્ટડી ફોર સ્ટાર્સ સાથે પ્રારંભિક લાકડાનો ઉપયોગ કર્યો હતો, પરંતુ અભ્યાસમાં ત્રણ નિયમિત ઓક્ટાહેડ્રાના સંયોજનનો ઉપયોગ કરવાને બદલે તેમણે એક અલગ પરંતુ સંબંધિત આકારનો ઉપયોગ કર્યો હતો, એક સ્ટેલેટેડ રોમ્બિક ડોડેકાહેડ્રોન (જેને ક્યારેક એસ્ચર્સ સોલિડ કહેવામાં આવે છે), જેને ત્રણ સપાટ ઓક્ટાહેડ્રાના સંયોજન તરીકે બનાવી શકાય છે. પોલિહેડ્રોન તરીકેનું આ સ્વરૂપ ટોપોલોજીકલ રીતે ડિસડ્યાકિસ ડોડેકાહેડ્રોન જેવું જ છે, જેને સમસ્થાનિક ચહેરા પર ટૂંકા પિરામિડ સાથે સમસ્થાનિક ડોડેકાહેડ્રોન તરીકે જોઈ શકાય છે. ઓક્ટાહેડ્રલ સંયોજનની બેવડી આકૃતિ, ત્રણ સમઘનનું સંયોજન, એ જ સ્ટેલેટેડ રોમ્બિક ડોડેકાહેડ્રોનની બાજુમાં, પછીના એસ્ચર વુડકટ, ધોધમાં પણ દર્શાવવામાં આવ્યું છે. ત્રણ ઓક્ટાહેડ્રાના સંયોજને તેના કાર્ય સાથે ગાણિતિક સાહિત્યમાં વધુ યોગ્ય રીતે ફરી પ્રવેશ કર્યો, જેમણે તેના અસ્તિત્વનું નિરીક્ષણ કર્યું અને તેના શિરોબિંદુઓ માટે કોઓર્ડિનેટ્સ પૂરા પાડ્યા. અને દ્વારા તેનો વધુ વિગતવાર અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો હતો. ત્રણ ઓક્ટાહેડ્રાના અન્ય સંયોજનો ઓક્ટાહેડ્રાને ત્રિકોણાકાર એન્ટિપ્રિઝમ્સ તરીકે જોવામાં આવે છે, એન્ટિપ્રિઝમ્સનું અન્ય એકસમાન પ્રિઝમેટિક સંયોજન D3d સમપ્રમાણતા સાથે અસ્તિત્વમાં છે, ક્રમ 12. દરેક એન્ટીપ્રિઝમ 40 ડિગ્રી ફેરવવામાં આવે છે. ઉપર અને નીચેના સમતલમાં સંયોજન એનનેગ્રામ, {9/3} અથવા 3 {3} હોય તેવું જોઈ શકાય છે. આ પણ જુઓ ચાર ઓક્ટાહેડ્રાનું સંયોજન પાંચ ઓક્ટાહેડ્રાનું સંયોજન દસ ઓક્ટાહેડ્રાનું સંયોજન વીસ ઓક્ટાહેડ્રાનું સંયોજન સંદર્ભો બાહ્ય કડીઓ પોલિહેડ્રલના સંયોજનો