Madhava's correction term
માધવનો સુધારણા શબ્દ એ કેરળના ખગોળશાસ્ત્ર અને ગણિતશાસ્ત્રના સ્થાપક સંગમગ્રામના માધવ (સી. 1340-સી. 1425) ને આભારી ગાણિતિક અભિવ્યક્તિ છે, જેનો ઉપયોગ માધવ-લીબનીઝ અનંત શ્રેણીને કાપીને મેળવેલા આંશિક સરવાળા અંદાજ કરતાં ગાણિતિક અચળાંક (પી. આઈ.) ના મૂલ્યનો વધુ સારો અંદાજ આપવા માટે થઈ શકે છે. માધવ-લીબનીઝ અનંત શ્રેણી માટે પ્રથમ શબ્દોનો આંશિક સરવાળો લેતા આપણી પાસે નીચેનો અંદાજ છેઃ માધવ સુધારણા શબ્દને સૂચવતા, આપણી પાસે નીચેનો વધુ સારો અંદાજ છેઃ માધવને સંભવિત મૂલ્યો તરીકે ત્રણ અલગ અલગ અભિવ્યક્તિઓ આપવામાં આવી છે, એટલે કે, કેરળ શાળાના ગણિતશાસ્ત્રીઓના પ્રવર્તમાન લખાણોમાં સુધારણા શરતો અને કેવી રીતે મેળવવામાં આવી છે તે અંગે કેટલાક સંકેતો છે, પરંતુ અભિવ્યક્તિ કેવી રીતે મેળવવામાં આવી છે તેના પર કોઈ સંકેતો નથી. આના કારણે સૂત્રો કેવી રીતે મેળવવામાં આવ્યા હશે તેના પર ઘણાં અટકળો કરવામાં આવ્યાં છે. કેરળના ગ્રંથોમાં આપવામાં આવેલી સુધારણા શરતો 1530ની આસપાસ કેરળના ગણિતશાસ્ત્રના ભારતીય ખગોળશાસ્ત્રી જેસ્થદેવ દ્વારા ગણિત અને ખગોળશાસ્ત્ર પર લખાયેલા મુખ્ય ગ્રંથ યુક્તિભાષામાં સ્પષ્ટ રીતે આપવામાં આવી છે, પરંતુ તે માટે ત્યાં માત્ર તર્કના એક પગલા તરીકે દેખાય છે જે તેની વ્યુત્પત્તિ તરફ દોરી જાય છે. કેરળની ખગોળશાસ્ત્ર અને ગણિતની શાળા સાથે સંકળાયેલા ખગોળશાસ્ત્રી/ગણિતશાસ્ત્રી નીલકંઠ સોમયાજી દ્વારા લખાયેલ અને 1501માં પૂર્ણ થયેલ તંત્રસંગ્રાહની યુક્તીદીપિકા-લઘુવિવિધિની ટીકા, નીચેના શ્લોકોમાં બીજો સુધારાત્મક શબ્દ રજૂ કરે છે (પ્રકરણ 2: શ્લોક 271-274): શ્લોકોનો અંગ્રેજી અનુવાદઃ "વ્યાસને 4 વડે ગુણાકાર કરવા માટે વૈકલ્પિક રીતે વ્યાસને 4 વડે ગુણાકાર અને વિષમ સંખ્યાઓ 3,5 વગેરે દ્વારા અલગથી વિભાજિત કરવા માટે ઉમેરો અને બાદ કરો. તે વિષમ સંખ્યા કે જેના પર આ પ્રક્રિયા સમાપ્ત થાય છે, વ્યાસના ચાર ગણા પછીની સમ સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર થવો જોઈએ, અડધી અને [પછી] તે [સમ] સંખ્યાના વર્ગમાં ઉમેરાયેલા એક દ્વારા વિભાજિત થવો જોઈએ. છેલ્લી મુદત બાદ કરવામાં આવી હતી અથવા ઉમેરવામાં આવી હતી તે મુજબ પરિણામ ઉમેરવું અથવા બાદ કરવું પડશે. આ તે પ્રક્રિયા સાથે આગળ વધવાથી મેળવવામાં આવશે તેના કરતાં વધુ સચોટ રીતે પરિઘ આપે છે. આધુનિક સંકેતોમાં આને નીચે પ્રમાણે વર્ણવી શકાય છે (વર્તુળનો વ્યાસ ક્યાં છે): પરિઘ જો આપણે સુયોજિત કરીએ, તો ઉપરોક્ત સમીકરણની જમણી બાજુની છેલ્લી સંજ્ઞા ઓછી થાય છે. આ જ ભાષ્ય નીચેની પંક્તિઓમાં સુધારાનો શબ્દ પણ આપે છે (પ્રકરણ 2: પંક્તિઓ 295-296): પંક્તિઓનો અંગ્રેજી અનુવાદઃ "એક સૂક્ષ્મ પદ્ધતિ, અન્ય સુધારણા સાથે. [જાળવી રાખો] પ્રથમ પ્રક્રિયા જેમાં વિષમ સંખ્યાઓ, 3,5, વગેરે દ્વારા વ્યાસના ચાર ગણા ભાગનો સમાવેશ થાય છે. [પરંતુ] પછી તેને [વ્યાસના ચાર ગણો] એક વડે ગુણાકાર કરીને પછીની સમસંખ્યામાં અડધી અને ચોરસ કરીને ઉમેરો અને એક વડે વિભાજીત કરીને અગાઉના ગુણકના ચાર ગણી કરીને [આ સાથે] સમસંખ્યાને અડધી કરીને ગુણાકાર કરો. આધુનિક સંકેતોમાં, આ નીચે પ્રમાણે કહી શકાયઃ જ્યાં "ગુણક" જો આપણે સુયોજિત કરીએ, તો ઉપરોક્ત સમીકરણની જમણી બાજુની છેલ્લી મુદત ઘટાડે છે. સુધારાની શરતોની ચોકસાઈ દો. પછી, લખતા, ભૂલોને નીચેની સીમાઓ હોય છેઃ ગણતરીમાં ભૂલોના આંકડાકીય મૂલ્યોની કિંમતની ગણતરીમાં આ અંદાજોનો ઉપયોગ કરવામાં ભૂલો છે નીચેનું કોષ્ટક કેટલાક પસંદ કરેલા મૂલ્યો માટે આ ભૂલોના મૂલ્યો આપે છે. સુધારણા શબ્દો માટે સતત અપૂર્ણાંક સમીકરણો એ નોંધવામાં આવ્યું છે કે સુધારણા શબ્દો નીચેના સતત અપૂર્ણાંક સમીકરણોના પ્રથમ ત્રણ અભિસારીઓ છેઃ જે કાર્ય સમીકરણને ચોક્કસ બનાવે છે તે નીચેના સ્વરૂપમાં વ્યક્ત કરી શકાય છેઃ આ અનંત સતત અપૂર્ણાંકના પ્રથમ ત્રણ અભિસારીઓ ચોક્કસપણે માધવની સુધારણા શરતો છે. ઉપરાંત, આ કાર્યમાં નીચેનો ગુણધર્મ છેઃ હયાસી એટ અલ દ્વારા અનુમાનિત વ્યુત્પત્તિ. 1990 માં પ્રકાશિત થયેલા એક પેપરમાં, ત્રણ જાપાની સંશોધકોના જૂથે એક કુશળ પદ્ધતિનો પ્રસ્તાવ મૂક્યો હતો, જેના દ્વારા માધવએ ત્રણ સુધારણા શરતો મેળવી હશે. તેમની દરખાસ્ત બે ધારણાઓ પર આધારિત હતીઃ માધવનો ઉપયોગ મૂલ્ય તરીકે થતો હતો અને તેમણે વિભાજન માટે યુક્લિડિયન અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કર્યો હતો. મૂલ્યો લખવા અને ગણતરી કરવા તેમને અંશ તરીકે 1 સાથે અપૂર્ણાંક તરીકે વ્યક્ત કરે છે, અને અંતે અંદાજો મેળવવા માટે છેદમાં અપૂર્ણાંક ભાગોને અવગણે છેઃ આ નીચેના પ્રથમ અંદાજ સૂચવે છે જેના વિશે અગાઉ વાત કરવામાં આવેલી સુધારણા શબ્દ છે. જે અપૂર્ણાંકોની અવગણના કરવામાં આવી હતી તેને પછી અંશ તરીકે 1 સાથે વ્યક્ત કરી શકાય છે, જેમાં આગામી અંદાજ મેળવવા માટે છેદના અપૂર્ણાંકોની અવગણના કરવામાં આવે છે. આવા બે પગલાંઓ છેઃ આ આગામી બે અંદાજો બરાબર સુધારાની શરતો જેવા જ આપે છે અને માધવને આભારી છે. માધવ શ્રેણી માધવની સાઇન કોષ્ટક સંદર્ભો વધારાની વાંચન પાઇ હિસ્ટ્રી ઓફ કેલ્ક્યુલસ કેરળ સ્કૂલ ઓફ એસ્ટ્રોનોમી એન્ડ મેથેમેટિક્સ મેથેમેટિકલ શ્રેણી પણ જુઓ.