Spectral shape analysis
વર્ણપટ આકાર વિશ્લેષણ ભૌમિતિક આકારોની તુલના અને વિશ્લેષણ કરવા માટે લાપ્લાસ-બેલ્ટ્રામી સંચાલકના વર્ણપટ (આઈગન વેલ્યુ અને/અથવા આઈગનફંક્શન્સ) પર આધાર રાખે છે. લાપ્લાસ-બેલ્ટ્રામી ઓપરેટરનું સ્પેક્ટ્રમ આઇસોમેટ્રી હેઠળ અપરિવર્તનશીલ હોવાથી, તે બિન-કઠોર આકારોના વિશ્લેષણ અથવા પુનઃપ્રાપ્તિ માટે સારી રીતે અનુકૂળ છે, એટલે કે. મનુષ્યો, પ્રાણીઓ, છોડ વગેરે જેવી નમેલી વસ્તુઓ. લાપ્લાસ-બેલ્ટ્રામી ઓપરેટર ઘણા મહત્વપૂર્ણ વિભેદક સમીકરણોમાં સામેલ છે, જેમ કે ઉષ્મા સમીકરણ અને તરંગ સમીકરણ. તેને રીમાનિયન મેનીફોલ્ડ પર વાસ્તવિક મૂલ્યના વિધેય f ના ઢાળના વિચલન તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છેઃ તેના વર્ણપટ ઘટકોની ગણતરી હેલ્મહોલ્ટ્ઝ સમીકરણ (અથવા લેપલેસિયન આઈગનવેલ્યુ સમસ્યા) ને હલ કરીને કરી શકાય છેઃ ઉકેલો આઈગનફંક્શન્સ (સ્થિતિઓ) અને અનુરૂપ આઈગનવેલ્યુ છે, જે હકારાત્મક વાસ્તવિક સંખ્યાઓના વિચલન ક્રમને રજૂ કરે છે. બંધ ડોમેન્સ માટે અથવા ન્યુમેન બાઉન્ડ્રી કન્ડિશનનો ઉપયોગ કરતી વખતે પ્રથમ આઈગન વેલ્યુ શૂન્ય છે. કેટલાક આકારો માટે, વર્ણપટની ગણતરી વિશ્લેષણાત્મક રીતે કરી શકાય છે (દા. ત. લંબચોરસ, સપાટ ટોરસ, નળાકાર, ડિસ્ક અથવા ગોળા). ગોળા માટે, ઉદાહરણ તરીકે, આઈગનફંક્શન્સ ગોળાકાર હાર્મોનિક્સ છે. આઈગન વેલ્યુ અને આઈગનફંક્શન્સના સૌથી મહત્વપૂર્ણ ગુણધર્મો એ છે કે તેઓ આઇસોમેટ્રી અપરિવર્તનશીલ છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, જો આકાર ખેંચાયો ન હોય (દા. ત. કાગળની શીટ ત્રીજા પરિમાણમાં વળે છે), વર્ણપટ મૂલ્યો બદલાશે નહીં. વાંકી શકાય તેવી વસ્તુઓ, જેમ કે પ્રાણીઓ, છોડ અને મનુષ્યો, સાંધા પર માત્ર ન્યૂનતમ ખેંચાણ સાથે શરીરની વિવિધ મુદ્રાઓમાં આગળ વધી શકે છે. પરિણામી આકારોને નિયર-આઇસોમેટ્રિક કહેવામાં આવે છે અને વર્ણપટ આકાર વિશ્લેષણનો ઉપયોગ કરીને તેની સરખામણી કરી શકાય છે. ભૌમિતિક આકારોને ઘણીવાર 2D વક્ર સપાટીઓ, 2D સપાટી મેશ (સામાન્ય રીતે ત્રિકોણ મેશ) અથવા 3D નક્કર પદાર્થો (દા. ત.) તરીકે રજૂ કરવામાં આવે છે. વોક્સેલ્સ અથવા ટેટ્રાહેડ્રા મેશનો ઉપયોગ કરીને). આ તમામ કિસ્સાઓ માટે હેલ્મહોલ્ટ્ઝ સમીકરણ ઉકેલી શકાય છે. જો કોઈ સીમા અસ્તિત્વમાં હોય, દા. ત. એક ચોરસ, અથવા કોઈપણ 3D ભૌમિતિક આકારનું કદ, સીમા શરતો સ્પષ્ટ કરવાની જરૂર છે. વિવિધ પ્રકારની ભૂમિતિ રજૂઆતો માટે લાપ્લાસ ઓપરેટરના કેટલાક વિવેચનો અસ્તિત્વ ધરાવે છે (ડિસ્ક્રીટ લાપ્લાસ ઓપરેટર જુઓ). આમાંના ઘણા ઓપરેટરો અંતર્ગત સતત ઓપરેટરનો અંદાજ સારી રીતે કરતા નથી. સ્પેક્ટ્રલ શેપ ડિસ્ક્રિપ્ટર્સ શેપડીએનએ અને તેના પ્રકારો શેપડીએનએ એ પ્રથમ સ્પેક્ટ્રલ શેપ ડિસ્ક્રિપ્ટર્સમાંથી એક છે. તે લાપ્લાસ-બેલ્ટ્રામી ઓપરેટરના આઈગનવેલ્યુનો સામાન્યીકૃત પ્રારંભિક ક્રમ છે. તેના મુખ્ય ફાયદાઓ સરળ રજૂઆત (સંખ્યાઓનો વાહક) અને સરખામણી, સ્કેલ ઇનવેરિયન્સ છે, અને તેની સરળતા હોવા છતાં બિન-કઠોર આકારોની આકાર પુનઃપ્રાપ્તિ માટે ખૂબ જ સારું પ્રદર્શન છે. આકાર ડી. એન. એ. ના સ્પર્ધકોમાં જીઓડેસિક ડિસ્ટન્સ મેટ્રિક્સ (એસ. ડી.-જી. ડી. એમ.) અને રિડ્યુસ્ડ બાયહાર્મોનિક ડિસ્ટન્સ મેટ્રિક્સ (આર.-બી. આઈ. એચ. ડી. એમ.) ના એકવચન મૂલ્યોનો સમાવેશ થાય છે. જો કે, આઈગનવેલ્યુ વૈશ્વિક વર્ણનકર્તાઓ છે, તેથી આકાર ડીએનએ અને અન્ય વૈશ્વિક વર્ણપટ વર્ણનકારોનો ઉપયોગ સ્થાનિક અથવા આંશિક આકાર વિશ્લેષણ માટે કરી શકાતો નથી. ગ્લોબલ પોઇન્ટ સિગ્નેચર (જી. પી. એસ.) એક બિંદુ પર ગ્લોબલ પોઇન્ટ સિગ્નેચર એ લેપલેસ-બેલ્ટ્રામી ઓપરેટરના સ્કેલ્ડ આઈગનફંક્શન્સનો વેક્ટર છે જેની ગણતરી (એટલે કે. આકારનું સ્પેક્ટ્રલ એમ્બેડિંગ). જી. પી. એસ. એ એ અર્થમાં વૈશ્વિક લક્ષણ છે કે તેનો ઉપયોગ આંશિક આકાર મેળ માટે કરી શકાતો નથી. હીટ કર્નલ સિગ્નેચર (HKS) હીટ કર્નલ સિગ્નેચર હીટ કર્નલના આઈગન-વિઘટનનો ઉપયોગ કરે છેઃ સપાટી પરના દરેક બિંદુ માટે હીટ કર્નલના વિકર્ણને ચોક્કસ સમય મૂલ્યો પર નમૂના લેવામાં આવે છે અને સ્થાનિક સિગ્નેચર મળે છે જેનો ઉપયોગ આંશિક મેળ અથવા સમપ્રમાણતા શોધ માટે પણ થઈ શકે છે. વેવ કર્નલ સિગ્નેચર (ડબલ્યુ. કે. એસ.) ડબલ્યુ. કે. એસ. એ એચ. કે. એસ. સમાન વિચારને અનુસરે છે, જે ઉષ્મા સમીકરણને શ્રોડિંગર તરંગ સમીકરણ સાથે બદલે છે. ઇમ્પ્રૂવ્ડ વેવ કર્નલ સિગ્નેચર (આઈડબલ્યુકેએસ) આઈડબલ્યુકેએસ આઈગનવેલ્યુઝમાં નવા સ્કેલિંગ ફંક્શનની રજૂઆત કરીને અને નવા વળાંક શબ્દને એકત્રિત કરીને બિન-સખત આકાર પુનઃપ્રાપ્તિ માટે ડબલ્યુકેએસમાં સુધારો કરે છે. સ્પેક્ટ્રલ ગ્રાફ વેવલેટ સિગ્નેચર (એસ. જી. ડબલ્યુ. એસ.) એસ. જી. ડબલ્યુ. એસ. એ એક સ્થાનિક ડિસ્ક્રિપ્ટર છે જે માત્ર આઇસોમેટ્રિક અપરિવર્તનશીલ જ નથી, પરંતુ કોમ્પેક્ટ પણ છે, ગણતરી કરવામાં સરળ છે અને બેન્ડ-પાસ અને લો-પાસ ફિલ્ટર્સ બંનેના ફાયદાઓને જોડે છે. એસ. જી. ડબલ્યુ. એસ. નું એક મહત્વપૂર્ણ પાસું એ છે કે ડબ્લ્યુ. કે. એસ. અને એચ. કે. એસ. ના ફાયદાઓને એક જ સહીમાં જોડવાની ક્ષમતા છે, જ્યારે આકારોની બહુ-રીઝોલ્યુશન રજૂઆતને મંજૂરી આપે છે. સ્પેક્ટ્રલ મેચિંગ જટિલ આકારો સાથે સંકળાયેલા ગ્રાફ લેપલેસિયનનું સ્પેક્ટ્રલ વિઘટન (ડિસ્ક્રીટ લેપલેસ ઓપરેટર જુઓ) આઇગનફંક્શન્સ (સ્થિતિઓ) પ્રદાન કરે છે જે આઇસોમેટ્રીમાં અપરિવર્તનશીલ હોય છે. આકાર પરના દરેક શિરોબિંદુને દરેક બિંદુ પર આઇગનમોડલ મૂલ્યોના સંયોજનો સાથે અનન્ય રીતે રજૂ કરી શકાય છે, જેને કેટલીકવાર વર્ણપટ કોઓર્ડિનેટ્સ કહેવામાં આવે છેઃ વર્ણપટ મેળમાં વિવિધ આકારો પર શિરોબિંદુઓની જોડી બનાવીને બિંદુ પત્રવ્યવહાર સ્થાપિત કરવાનો સમાવેશ થાય છે જે સૌથી સમાન વર્ણપટ કોઓર્ડિનેટ્સ ધરાવે છે. પ્રારંભિક કાર્ય સ્ટીરિયોસ્કોપી માટે વિરલ પત્રવ્યવહાર પર કેન્દ્રિત હતું. કોમ્પ્યુટેશનલ કાર્યક્ષમતા હવે સંપૂર્ણ જાળી પર ગાઢ પત્રવ્યવહારને સક્ષમ કરે છે, ઉદાહરણ તરીકે કોર્ટિકલ સપાટીઓ વચ્ચે. સ્પેક્ટ્રલ મેચિંગનો ઉપયોગ જટિલ બિન-કઠોર છબી નોંધણી માટે પણ થઈ શકે છે, જે નોંધપાત્ર રીતે મુશ્કેલ હોય છે જ્યારે છબીઓમાં ખૂબ મોટી વિકૃતિઓ હોય છે. વર્ણપટ આઈગન મોડલ મૂલ્યો પર આધારિત આવી છબી નોંધણી પદ્ધતિઓ ખરેખર વૈશ્વિક આકારની લાક્ષણિકતાઓ મેળવે છે, અને પરંપરાગત બિન-કઠોર છબી નોંધણી પદ્ધતિઓથી વિપરીત છે જે ઘણીવાર સ્થાનિક આકારની લાક્ષણિકતાઓ (દા. ત., છબી ઢાળ) પર આધારિત હોય છે. સંદર્ભો છબી પ્રક્રિયા ડિજિટલ ભૂમિતિ ટોપોલોજી વિભેદક ભૂમિતિ