Artin–Verdier duality
ગણિતમાં, આર્ટિન-વર્ડીયર દ્વૈતતા એ બીજગણિત સંખ્યાઓની વીંટીના વર્ણપટ પર રચનાત્મક અબેલિયન આવરણ માટે દ્વૈતતા પ્રમેય છે, જે ટેટ દ્વૈતતાને સામાન્ય બનાવે છે. તે દર્શાવે છે કે, જ્યાં સુધી એટેલ (અથવા સપાટ) કોહોમોલોજીનો સંબંધ છે, સંખ્યા ક્ષેત્રમાં પૂર્ણાંકોની વીંટી ત્રિ-પરિમાણીય ગાણિતિક પદાર્થની જેમ વર્તે છે. નિવેદન ધારો કે X એ સંપૂર્ણપણે કાલ્પનિક સંખ્યા ક્ષેત્ર K માં પૂર્ણાંકોની વીંટીનું વર્ણપટ છે, અને F એ X પર રચનાત્મક એટેલ એબેલિયન આવરણ છે. પછી યોનેડા જોડી એ દરેક પૂર્ણાંક r માટે મર્યાદિત અબેલિયન જૂથોની બિન-અપક્ષયી જોડી છે. અહીં, Hr (X, F) એ F માં મૂલ્યો સાથે X યોજનાનું r-th étale કોહોમોલોજી જૂથ છે, અને Extr (F, G) એ X પર étale ébelian શીવ્સની શ્રેણીમાં étale શીફ F દ્વારા étale શીફ G ના r-વિસ્તરણોનું જૂથ છે. વધુમાં, જી. એમ. એ એક્સના માળખાના આવરણમાં એકમોના એટેલ આવરણને સૂચવે છે. રચનાત્મક માટે આર્ટિન-વર્ડિયર દ્વૈતતા સાબિત થઈ છે, પરંતુ જરૂરી નથી કે વળાંક આવરણ હોય. આવા શીફ F માટે, ઉપરોક્ત જોડી આઇસોમોર્ફિઝમ્સને પ્રેરિત કરે છે જ્યાં ફાઈનાઈટ ફ્લેટ ગ્રુપ સ્કીમ્સ ધારો કે U એ સંખ્યા ક્ષેત્ર K માં પૂર્ણાંકોની રિંગના સ્પેક્ટ્રમનું ઓપન સબશીમ છે, અને F એ U પર ફાઈનાઈટ ફ્લેટ કોમ્યુટેટિવ ગ્રુપ સ્કીમ છે. પછી કપ પ્રોડક્ટ તમામ પૂર્ણાંકો r માટે મર્યાદિત અબેલિયન જૂથોની બિન-ડિજનરેટ જોડીને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. અહીં FD એ F ના કાર્ટિયર ડ્યુઅલને સૂચવે છે, જે U પરની અન્ય મર્યાદિત ફ્લેટ કોમ્યુટેટિવ ગ્રુપ સ્કીમ છે. વધુમાં, સપાટ અબેલિયન આવરણ F માં મૂલ્યો સાથે યોજના U નું r-th ફ્લેટ કોહોમોલોજી જૂથ છે, અને સપાટ અબેલિયન આવરણ F માં મૂલ્યો સાથે U ના કોમ્પેક્ટ સપોર્ટ સાથે r-th ફ્લેટ કોહોમોલોજી છે. કોમ્પેક્ટ સપોર્ટ સાથે ફ્લેટ કોહોમોલોજીને લાંબા ચોક્કસ ક્રમને જન્મ આપવા માટે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. સ્થાનિક યોગદાન Hr (Kv, F) એ સ્થળ v પર K ના હેન્સેલાઇઝેશન Kv નું ગેલોઇસ કોહોમોલોજી છે, જેમાં લા ટેટમાં ફેરફાર કરવામાં આવ્યો છેઃ અહીં સંખ્યા સિદ્ધાંત દ્વૈત સિદ્ધાંતોમાં સંદર્ભ પ્રમેયોનું અલગ કરી શકાય તેવું સમાપન છે.