Finite geometry
મર્યાદિત ભૂમિતિ એ કોઈપણ ભૌમિતિક પ્રણાલી છે જેમાં માત્ર મર્યાદિત સંખ્યામાં બિંદુઓ હોય છે. પરિચિત યુક્લિડિયન ભૂમિતિ મર્યાદિત નથી, કારણ કે યુક્લિડિયન રેખામાં અનંત ઘણા બિંદુઓ હોય છે. કોમ્પ્યુટર સ્ક્રીન પર પ્રદર્શિત ગ્રાફિક્સ પર આધારિત ભૂમિતિ, જ્યાં પિક્સેલ્સને બિંદુઓ ગણવામાં આવે છે, તે મર્યાદિત ભૂમિતિ હશે. જ્યારે એવી ઘણી પ્રણાલીઓ છે જેને મર્યાદિત ભૂમિતિ કહી શકાય, ત્યારે તેમની નિયમિતતા અને સરળતાને કારણે મોટે ભાગે મર્યાદિત પ્રક્ષેપાત્મક અને સંલગ્ન જગ્યાઓ પર ધ્યાન આપવામાં આવે છે. મર્યાદિત ભૂમિતિના અન્ય નોંધપાત્ર પ્રકારો મર્યાદિત મોબિયસ અથવા વ્યુત્ક્રમ વિમાનો અને લાગ્યુરે વિમાનો છે, જે બેન્ઝ વિમાનો તરીકે ઓળખાતા સામાન્ય પ્રકારનાં ઉદાહરણો છે, અને તેમના ઉચ્ચ-પરિમાણીય એનાલોગ જેમ કે ઉચ્ચ મર્યાદિત વ્યુત્ક્રમ ભૂમિતિ. મર્યાદિત ભૂમિતિઓ રેખીય બીજગણિત દ્વારા બનાવી શકાય છે, જે મર્યાદિત ક્ષેત્ર પર વેક્ટર જગ્યાઓથી શરૂ થાય છે; આમ બાંધવામાં આવેલા એફાઇન અને પ્રોજેક્ટિવ પ્લેનને ગેલોઇસ ભૂમિતિ કહેવામાં આવે છે. મર્યાદિત ભૂમિતિઓને પણ સંપૂર્ણ રીતે સ્વયંસિદ્ધ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. સૌથી સામાન્ય મર્યાદિત ભૂમિતિઓ ગેલોઇસ ભૂમિતિઓ છે, કારણ કે પરિમાણ ત્રણ કે તેથી વધુની કોઈપણ મર્યાદિત પ્રોજેક્ટિવ જગ્યા મર્યાદિત ક્ષેત્ર પર પ્રોજેક્ટિવ જગ્યા માટે આઇસોમોર્ફિક છે (એટલે કે, મર્યાદિત ક્ષેત્ર પર વેક્ટર જગ્યાનું પ્રોજેક્ટિવાઇઝેશન). જો કે, પરિમાણ બે એફીન અને પ્રોજેક્ટિવ પ્લેન ધરાવે છે જે ગેલોઇસ ભૂમિતિઓ માટે આઇસોમોર્ફિક નથી, એટલે કે બિન-ડેઝાર્ગેશિયન પ્લેન. સમાન પરિણામો અન્ય પ્રકારની મર્યાદિત ભૂમિતિઓ માટે લાગુ પડે છે. ફાઈનાઈટ પ્લેન નીચેની ટિપ્પણીઓ માત્ર ફાઈનાઈટ પ્લેનને જ લાગુ પડે છે. મર્યાદિત સમતલ ભૂમિતિના બે મુખ્ય પ્રકારો છેઃ એફાઇન અને પ્રોજેક્ટિવ. એફાઇન પ્લેનમાં, સમાંતર રેખાઓનો સામાન્ય અર્થ લાગુ પડે છે. પ્રોજેક્ટિવ પ્લેનમાં, તેનાથી વિપરીત, કોઈપણ બે રેખાઓ એક અનન્ય બિંદુ પર છેદે છે, તેથી સમાંતર રેખાઓ અસ્તિત્વમાં નથી. મર્યાદિત એફાઇન પ્લેન ભૂમિતિ અને મર્યાદિત પ્રોજેક્ટિવ પ્લેન ભૂમિતિ બંનેને એકદમ સરળ સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતો દ્વારા વર્ણવી શકાય છે. એક એફાઇન પ્લેન ભૂમિતિ એ એક બિન-ખાલી સમૂહ X છે (જેના તત્વોને "બિંદુઓ" કહેવામાં આવે છે), જેમાં X ના ઉપગણોનો બિન-ખાલી સંગ્રહ L છે (જેના તત્વોને "રેખાઓ" કહેવામાં આવે છે), જેમ કેઃ દરેક બે અલગ-અલગ બિંદુઓ માટે, બરાબર એક રેખા હોય છે જેમાં બંને બિંદુઓ હોય છે. પ્લેફેરનો સિદ્ધાંતઃ એક રેખા આપવામાં આવે છે અને એક બિંદુ ચાલુ નથી, ત્યાં બરાબર એક રેખા અસ્તિત્વમાં છે જેમાં ચાર બિંદુઓનો સમૂહ અસ્તિત્વમાં છે, જેમાંથી કોઈ ત્રણ એક જ રેખાના નથી. છેલ્લું સ્વયંસિદ્ધ એ સુનિશ્ચિત કરે છે કે ભૂમિતિ તુચ્છ નથી (ક્યાં તો ખાલી અથવા રસ લેવા માટે ખૂબ સરળ છે, જેમ કે તેના પર મનસ્વી સંખ્યામાં બિંદુઓ સાથેની એક રેખા), જ્યારે પ્રથમ બે ભૂમિતિના સ્વરૂપને સ્પષ્ટ કરે છે. સૌથી સરળ એફાઇન પ્લેનમાં માત્ર ચાર બિંદુઓ હોય છે; તેને ઓર્ડર 2 નું એફાઇન પ્લેન કહેવામાં આવે છે. (એફાઇન પ્લેનનો ક્રમ એ કોઈપણ રેખા પરના બિંદુઓની સંખ્યા છે, નીચે જુઓ.) કોઈ ત્રણ કોલિનિયર ન હોવાથી, બિંદુઓની કોઈપણ જોડી એક અનન્ય રેખા નક્કી કરે છે, અને તેથી આ સમતલમાં છ રેખાઓ હોય છે. તે ટેટ્રાહેડ્રોનને અનુરૂપ છે જ્યાં બિન-છેદતી ધારને "સમાંતર" ગણવામાં આવે છે, અથવા એક ચોરસ જ્યાં માત્ર વિરુદ્ધ બાજુઓ જ નહીં, પણ કર્ણને પણ "સમાંતર" ગણવામાં આવે છે. ક્રમ 3 ના એફાઇન પ્લેનને હેસ્સે રૂપરેખાંકન તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. વધુ સામાન્ય રીતે, n ક્રમના મર્યાદિત એફાઇન સમતલમાં n2 બિંદુઓ અને રેખાઓ હોય છે; દરેક રેખામાં n બિંદુઓ હોય છે, અને દરેક બિંદુ રેખાઓ પર હોય છે. મર્યાદિત પ્રોજેક્ટિવ પ્લેન એક પ્રોજેક્ટિવ પ્લેન ભૂમિતિ એ એક ખાલી સમૂહ X (જેના તત્વોને "બિંદુઓ" કહેવામાં આવે છે) છે, સાથે સાથે X ના ઉપગણોનો ખાલી સંગ્રહ L (જેના તત્વોને "રેખાઓ" કહેવામાં આવે છે), જેમ કેઃ દરેક બે અલગ-અલગ બિંદુઓ માટે, બરાબર એક રેખા હોય છે જેમાં બંને બિંદુઓ હોય છે. કોઈપણ બે અલગ રેખાઓના આંતરછેદમાં બરાબર એક બિંદુ હોય છે. ત્યાં ચાર બિંદુઓનો સમૂહ અસ્તિત્વમાં છે, જેમાંથી કોઈ ત્રણ એક જ રેખાના નથી. પ્રથમ બે સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતોની તપાસ દર્શાવે છે કે તેઓ લગભગ સમાન છે, સિવાય કે બિંદુઓ અને રેખાઓની ભૂમિકાઓ એકબીજા સાથે અદલાબદલી કરવામાં આવી છે. આ પ્રોજેક્ટિવ પ્લેન ભૂમિતિઓ માટે દ્વૈતતાના સિદ્ધાંતને સૂચવે છે, જેનો અર્થ છે કે જો આપણે રેખાઓ માટે બિંદુઓ અને બિંદુઓ માટે રેખાઓનું વિનિમય કરીએ તો આ તમામ ભૂમિતિઓમાં માન્ય કોઈપણ સાચું નિવેદન સાચું રહે છે. ત્રણેય સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતોને સંતોષતી સૌથી નાની ભૂમિતિ સાત બિંદુઓ ધરાવે છે. આ સૌથી સરળ પ્રોજેક્ટિવ પ્લેનમાં, સાત રેખાઓ પણ છે; દરેક બિંદુ ત્રણ રેખાઓ પર હોય છે, અને દરેક રેખામાં ત્રણ બિંદુઓ હોય છે. આ ચોક્કસ પ્રોજેક્ટિવ પ્લેનને કેટલીકવાર ફેનો પ્લેન કહેવામાં આવે છે. જો તે રેખા પરના બિંદુઓ સાથે સમતલમાંથી કોઈપણ રેખા દૂર કરવામાં આવે, તો પરિણામી ભૂમિતિ ક્રમ 2 નું એફાઇન સમતલ છે. ફેનો પ્લેનને ક્રમ 2 નું પ્રોજેક્ટિવ પ્લેન કહેવામાં આવે છે કારણ કે તે અનન્ય છે (આઇસોમોર્ફિઝમ સુધી). સામાન્ય રીતે, n ક્રમના પ્રક્ષેપક સમતલમાં n2 + n + 1 બિંદુઓ અને સમાન સંખ્યામાં રેખાઓ હોય છે; દરેક રેખામાં n + 1 બિંદુઓ હોય છે, અને દરેક બિંદુ n + 1 રેખાઓ પર હોય છે. ફાનો સમતલના સાત બિંદુઓનું ક્રમચય જે સમરેખીય બિંદુઓ (સમાન રેખા પરના બિંદુઓ) ને સમરેખીય બિંદુઓ સુધી લઈ જાય છે તેને સમતલનું સમરેખણ કહેવામાં આવે છે. સંપૂર્ણ સંરેખણ જૂથ ક્રમ 168નું છે અને તે પી. એસ. એલ. (2,7) ≈ પી. એસ. એલ. (3,2) જૂથ માટે સમરૂપ છે, જે આ ખાસ કિસ્સામાં સામાન્ય રેખીય જૂથ માટે પણ સમરૂપ છે. ક્રમ n નો મર્યાદિત સમતલ એ છે કે દરેક રેખામાં n બિંદુઓ હોય (એફાઇન સમતલ માટે), અથવા એવું કે દરેક રેખામાં n + 1 બિંદુઓ હોય (પ્રક્ષેપાત્મક સમતલ માટે). મર્યાદિત ભૂમિતિમાં એક મુખ્ય ખુલ્લો પ્રશ્ન છેઃ શું મર્યાદિત સમતલનો ક્રમ હંમેશા મુખ્ય શક્તિ છે? આ વાત સાચી હોવાનું માનવામાં આવે છે. જ્યારે પણ n એ મુખ્ય શક્તિ હોય ત્યારે તત્વો સાથે મર્યાદિત ક્ષેત્ર પર એફાઇન અને પ્રોજેક્ટિવ પ્લેનનો ઉપયોગ કરીને n ક્રમના એફાઇન અને પ્રોજેક્ટિવ પ્લેન અસ્તિત્વ ધરાવે છે. મર્યાદિત ક્ષેત્રોમાંથી ન લેવાયેલા વિમાનો પણ અસ્તિત્વ ધરાવે છે (દા. ત. માટે), પરંતુ તમામ જાણીતા ઉદાહરણોમાં મુખ્ય શક્તિનો ક્રમ હોય છે. અત્યાર સુધીનું શ્રેષ્ઠ સામાન્ય પરિણામ 1949નું બ્રૂક-રાયસર પ્રમેય છે, જે જણાવે છેઃ જો n એ સ્વરૂપનો હકારાત્મક પૂર્ણાંક હોય અથવા અને n એ બે પૂર્ણાંક વર્ગના સરવાળા બરાબર ન હોય, તો n એ મર્યાદિત સમતલના ક્રમ તરીકે થતું નથી. સૌથી નાનો પૂર્ણાંક કે જે મુખ્ય ઘાત નથી અને બ્રૂક-રાયસર પ્રમેય દ્વારા આવરી લેવામાં આવ્યો નથી તે 10 છે; 10 એ સ્વરૂપનું છે, પરંતુ તે વર્ગના સરવાળા બરાબર છે. ક્રમ 10 ના મર્યાદિત સમતલનું અસ્તિત્વ ન હોવાનું કમ્પ્યુટર-સહાયિત સાબિતીમાં સાબિત થયું હતું જે 1989 માં સમાપ્ત થયું હતું-વિગતો માટે જુઓ. વિચારણા કરવા માટે આગામી સૌથી નાની સંખ્યા 12 છે, જેના માટે ન તો હકારાત્મક કે નકારાત્મક પરિણામ સાબિત થયું નથી. વ્યક્તિગત ઉદાહરણો થોમસ પેનિંગ્ટન કિર્કમેન (1847) ના કાર્યમાં અને વોન સ્ટાઉટ (1856) દ્વારા આપવામાં આવેલી મર્યાદિત પ્રોજેક્ટિવ ભૂમિતિના વ્યવસ્થિત વિકાસમાં મળી શકે છે. મર્યાદિત પ્રોજેક્ટિવ ભૂમિતિ માટેની પ્રથમ સ્વયંસિદ્ધ સારવાર ઇટાલિયન ગણિતશાસ્ત્રી ગિનો ફાનો દ્વારા વિકસાવવામાં આવી હતી. તેમણે વિકસાવેલા પ્રોજેક્ટિવ એન-સ્પેસ માટે સ્વયંસિદ્ધ સમૂહની સ્વતંત્રતાને સાબિત કરવાના તેમના કાર્યમાં, તેમણે 15 બિંદુઓ, 35 રેખાઓ અને 15 વિમાનો (આકૃતિ જુઓ) સાથે મર્યાદિત ત્રિ-પરિમાણીય જગ્યાને ધ્યાનમાં લીધી, જેમાં દરેક રેખામાં માત્ર ત્રણ બિંદુઓ હતા. 1906માં ઓસ્વાલ્ડ વેબ્લેન અને ડબલ્યુ. એચ. બુસીએ ગેલોઇસ ક્ષેત્ર GF (q) ની એન્ટ્રીઓ સાથે સજાતીય કોઓર્ડિનેટ્સનો ઉપયોગ કરીને પ્રોજેક્ટિવ ભૂમિતિ વર્ણવી હતી. જ્યારે n + 1 કોઓર્ડિનેટ્સનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, ત્યારે n-પરિમાણીય મર્યાદિત ભૂમિતિને PG (n, q) તરીકે સૂચવવામાં આવે છે. તે કૃત્રિમ ભૂમિતિમાં ઉદ્ભવે છે અને સંકળાયેલ પરિવર્તન જૂથ ધરાવે છે. 3 અથવા વધુ પરિમાણોની મર્યાદિત જગ્યાઓ મર્યાદિત સમતલ ભૂમિતિ અને ઉચ્ચ-પરિમાણીય મર્યાદિત જગ્યાઓની ભૂમિતિ વચ્ચેના કેટલાક મહત્વપૂર્ણ તફાવતો માટે, સ્વયંસિદ્ધ પ્રક્ષેપાત્મક જગ્યા જુઓ. સામાન્ય રીતે ઉચ્ચ-પરિમાણીય મર્યાદિત જગ્યાઓની ચર્ચા માટે, ઉદાહરણ તરીકે, જે. ડબલ્યુ. પી. ની કૃતિઓ જુઓ. હિર્શફેલ્ડ. આ ઉચ્ચ-પરિમાણીય જગ્યાઓ () નો અભ્યાસ અદ્યતન ગાણિતિક સિદ્ધાંતોમાં ઘણા મહત્વપૂર્ણ ઉપયોગો ધરાવે છે. સ્વયંસિદ્ધ વ્યાખ્યા પ્રોજેક્ટિવ સ્પેસ S ને સ્વયંસિદ્ધ રીતે સમૂહ P (બિંદુઓનો સમૂહ) તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે, જે P (રેખાઓનો સમૂહ) ના ઉપગણના સમૂહ L સાથે મળીને આ સ્વયંસિદ્ધોને સંતોષે છેઃ દરેક બે અલગ બિંદુઓ p અને q બરાબર એક જ રેખામાં હોય છે. વેબ્લેનનો સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતઃ જો a, b, c, d અલગ બિંદુઓ હોય અને ab અને cdમાંથી પસાર થતી રેખાઓ મળે, તો AC અને bdમાંથી પસાર થતી રેખાઓ પણ મળે. કોઈપણ રેખા પર ઓછામાં ઓછા 3 બિંદુઓ હોય છે. છેલ્લો સ્વયંસિદ્ધ એ ઘટાડી શકાય તેવા કિસ્સાઓને દૂર કરે છે જેને અલગ-અલગ પ્રોજેક્ટિવ જગ્યાઓમાં કોઈપણ બે બિંદુઓને જોડતી 2-બિંદુ રેખાઓ સાથે પ્રોજેક્ટિવ જગ્યાઓના અલગ જોડાણ તરીકે લખી શકાય છે. વધુ અમૂર્ત રીતે, તેને ઘટના માળખા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે જેમાં બિંદુઓના સમૂહ P, રેખાઓના સમૂહ L અને ઘટના સંબંધ I નો સમાવેશ થાય છે જે દર્શાવે છે કે કયા બિંદુઓ કઈ રેખાઓ પર આવેલા છે. મર્યાદિત પ્રક્ષેપાત્મક જગ્યા મેળવવા માટે વધુ એક સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતની જરૂર છેઃ બિંદુઓનો સમૂહ P એ મર્યાદિત સમૂહ છે. કોઈપણ મર્યાદિત પ્રક્ષેપાત્મક જગ્યામાં, દરેક રેખામાં સમાન સંખ્યામાં બિંદુઓ હોય છે અને જગ્યાના ક્રમને આ સામાન્ય સંખ્યા કરતાં એક ઓછા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. પ્રોજેક્ટિવ સ્પેસની સબસ્પેસ એ સબસેટ X છે, જેમ કે X ના બે બિંદુઓ ધરાવતી કોઈપણ રેખા એ X નો સબસેટ છે (એટલે કે, સંપૂર્ણપણે X માં સમાયેલ છે). સંપૂર્ણ જગ્યા અને ખાલી જગ્યા હંમેશા સબસ્પેસ હોય છે. અવકાશના ભૌમિતિક પરિમાણને n કહેવામાં આવે છે જો તે સૌથી મોટી સંખ્યા હોય જેના માટે આ સ્વરૂપની પેટા જગ્યાઓની સખત ચડતી સાંકળ હોયઃ બીજગણિત રચના પ્રણાલીઓનું પ્રમાણભૂત બીજગણિત નિર્માણ આ સ્વયંસિદ્ધોને સંતોષે છે. વિભાજન રીંગ D માટે D પર-પરિમાણીય વેક્ટર જગ્યા બનાવો (વેક્ટર જગ્યા પરિમાણ એ આધારમાં તત્વોની સંખ્યા છે). ધારો કે P એ આ વેક્ટર સ્પેસની 1-પરિમાણીય (સિંગલ જનરેટર) સબસ્પેસ અને L એ 2-પરિમાણીય (બે સ્વતંત્ર જનરેટર) સબસ્પેસ (વેક્ટર એડિશન હેઠળ બંધ) છે. ઘટના એ નિયંત્રણ છે. જો D મર્યાદિત હોય તો તે મર્યાદિત ક્ષેત્ર GF (q) હોવું જોઈએ, કારણ કે વેડરબર્નના નાના પ્રમેય અનુસાર તમામ મર્યાદિત વિભાજન રિંગ્સ ક્ષેત્રો છે. આ કિસ્સામાં, આ બાંધકામ મર્યાદિત પ્રોજેક્ટિવ જગ્યા ઉત્પન્ન કરે છે. વધુમાં, જો પ્રક્ષેપાત્મક જગ્યાનું ભૌમિતિક પરિમાણ ઓછામાં ઓછું ત્રણ હોય તો ત્યાં એક વિભાજન વીંટી હોય છે જેમાંથી આ રીતે જગ્યા બનાવી શકાય છે. પરિણામે, ઓછામાં ઓછા ત્રણ ભૌમિતિક પરિમાણોની તમામ મર્યાદિત પ્રક્ષેપાત્મક જગ્યાઓ મર્યાદિત ક્ષેત્રો પર વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. આવા મર્યાદિત ક્ષેત્ર પર વ્યાખ્યાયિત મર્યાદિત પ્રક્ષેપાત્મક જગ્યા એક રેખા પર બિંદુઓ ધરાવે છે, તેથી ક્રમની બે વિભાવનાઓ એક સાથે આવે છે. આવી મર્યાદિત પ્રોજેક્ટિવ જગ્યાને આ રીતે સૂચવવામાં આવે છે, જ્યાં પીજી પ્રોજેક્ટિવ ભૂમિતિ માટે વપરાય છે, એન એ ભૂમિતિના ભૌમિતિક પરિમાણ છે અને q એ ભૂમિતિ બનાવવા માટે ઉપયોગમાં લેવાતા મર્યાદિત ક્ષેત્રનું કદ (ક્રમ) છે. સામાન્ય રીતે, k-પરિમાણીય પેટા જગ્યાઓની સંખ્યા ગુણાકાર દ્વારા આપવામાં આવે છેઃ જે ગૌસીયન દ્વિપદી ગુણાંક છે, જે દ્વિપદી ગુણાંકનું q એનાલોગ છે. ભૌમિતિક પરિમાણ દ્વારા મર્યાદિત પ્રક્ષેપાત્મક જગ્યાઓનું વર્ગીકરણ પરિમાણ 0 (કોઈ રેખાઓ નહીં): જગ્યા એક જ બિંદુ છે અને એટલી અધોગતિ પામે છે કે તેને સામાન્ય રીતે અવગણવામાં આવે છે. પરિમાણ 1 (બરાબર એક રેખા): બધા બિંદુઓ અનન્ય રેખા પર આવેલા હોય છે, જેને પ્રક્ષેપાત્મક રેખા કહેવાય છે. પરિમાણ 2: ઓછામાં ઓછી 2 રેખાઓ હોય છે, અને કોઈપણ બે રેખાઓ મળે છે. માટે પ્રોજેક્ટિવ સ્પેસ એ પ્રોજેક્ટિવ પ્લેન છે. આનું વર્ગીકરણ કરવું ખૂબ મુશ્કેલ છે, કારણ કે તે બધા a સાથે આઇસોમોર્ફિક નથી. ડેસારગ્યુસીયન પ્લેન (જે a સાથે આઇસોમોર્ફિક છે) ડેસારગ્યુસના પ્રમેયને સંતોષે છે અને મર્યાદિત ક્ષેત્રો પર પ્રોજેક્ટિવ પ્લેન છે, પરંતુ ઘણા બિન-ડેસારગ્યુસીયન પ્લેન છે. પરિમાણ ઓછામાં ઓછું 3: બે બિન-છેદતી રેખાઓ અસ્તિત્વ ધરાવે છે. વેબ્લેન-યંગ થીયરમ મર્યાદિત કિસ્સામાં જણાવે છે કે ભૌમિતિક પરિમાણની દરેક પ્રોજેક્ટિવ જગ્યા એ, અમુક મર્યાદિત ક્ષેત્ર GF (q) પર n-પરિમાણીય પ્રોજેક્ટિવ જગ્યા સાથે આઇસોમોર્ફિક છે. સૌથી નાની પ્રક્ષેપાત્મક ત્રિ-જગ્યા સૌથી નાની ત્રિ-પરિમાણીય પ્રક્ષેપાત્મક જગ્યા GF (2) ક્ષેત્રની ઉપર છે અને તેને PG (3,2) દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. તેમાં 15 બિંદુઓ, 35 રેખાઓ અને 15 વિમાનો છે. દરેક સમતલમાં 7 બિંદુઓ અને 7 રેખાઓ હોય છે. દરેક લીટીમાં 3 પોઈન્ટ હોય છે. ભૂમિતિ તરીકે, આ સમતલ ફાનો સમતલ માટે સમરૂપ છે. દરેક બિંદુ 7 રેખાઓમાં સમાયેલ છે. જુદા જુદા બિંદુઓની દરેક જોડી બરાબર એક જ રેખામાં સમાયેલી હોય છે અને જુદા જુદા સમતલની દરેક જોડી બરાબર એક જ રેખામાં છેદે છે. 1892માં, ગિનો ફાનો આ પ્રકારની મર્યાદિત ભૂમિતિને ધ્યાનમાં લેનાર પ્રથમ વ્યક્તિ હતા. કિર્કમેનની શાળાની વિદ્યાર્થિનીઓની સમસ્યા પીજી (3,2) કિર્કમેનની શાળાની વિદ્યાર્થિનીઓની સમસ્યાના ઉકેલની પૃષ્ઠભૂમિ તરીકે ઊભી થાય છે, જે જણાવે છેઃ "પંદર શાળાની વિદ્યાર્થિનીઓ દરરોજ ત્રણના પાંચ જૂથોમાં ચાલે છે. છોકરીઓને એક અઠવાડિયા માટે ચાલવાની વ્યવસ્થા કરો જેથી તે સમયે છોકરીઓની દરેક જોડી એક જૂથમાં માત્ર એક જ વાર સાથે ચાલે. છોકરીઓ સાથે ચાલવા માટે 35 જુદા જુદા સંયોજનો છે. અઠવાડિયાના 7 દિવસ પણ હોય છે, અને દરેક જૂથમાં 3 છોકરીઓ હોય છે. આ સમસ્યાના સાત બિન-આઇસોમોર્ફિક ઉકેલોમાંથી બેને ફેનો 3-સ્પેસ, પીજી (3,2) માં માળખાઓની દ્રષ્ટિએ કહી શકાય, જેને પેકેજિંગ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. પ્રોજેક્ટિવ સ્પેસનો ફેલાવો એ તેના બિંદુઓને અસંબદ્ધ રેખાઓમાં વિભાજન છે, અને પેકિંગ એ રેખાઓને અસંબદ્ધ સ્પ્રેડમાં વિભાજન છે. પીજી (3,2) માં, સ્પ્રેડ એ 15 પોઇન્ટ્સનું 5 વિભાજીત રેખાઓ (દરેક રેખા પર 3 પોઇન્ટ્સ સાથે) માં વિભાજન હશે, આમ ચોક્કસ દિવસે શાળાની વિદ્યાર્થીનીઓની ગોઠવણીને અનુરૂપ હશે. પીજી (3,2) ના પેકિંગમાં સાત અલગ-અલગ સ્પ્રેડ હોય છે અને તેથી તે ગોઠવણીના સંપૂર્ણ સપ્તાહને અનુરૂપ હોય છે. બ્લોક ડિઝાઇન પણ જુઓ-મર્યાદિત પ્રોજેક્ટિવ પ્લેનનું સામાન્યીકરણ. સામાન્યીકૃત બહુકોણ ઘટના ભૂમિતિ રેખીય જગ્યા (ભૂમિતિ) બહુકોણની નજીક આંશિક ભૂમિતિ ધ્રુવીય જગ્યા નોંધો સંદર્ભો. બાહ્ય કડીઓ એરિક મૂરહાઉસ દ્વારા ઘટના ભૂમિતિ ટેરેન્સ તાઓ દ્વારા બીજગણિત સંયુક્ત ભૂમિતિ માઈકલ ગ્રીનબર્ગ દ્વારા મર્યાદિત ભૂમિતિ પર નિબંધ મર્યાદિત ભૂમિતિ (સ્ક્રિપ્ટ) મર્યાદિત ભૂમિતિ સંસાધનો જે. ડબલ્યુ. પી. હિર્શફેલ્ડ, મર્યાદિત ભૂમિતિ પર સંશોધક હિર્શફેલ્ડ દ્વારા મર્યાદિત ભૂમિતિ પર પુસ્તકો મર્યાદિત ભૂમિતિ એ. એમ. એસ. સ્તંભઃ મર્યાદિત ભૂમિતિ? ગેલોઇસ ભૂમિતિ અને સામાન્યીકૃત બહુકોણ, 1998 માં મેથઓવરફ્લો પર ઓર્ડર 12 ના પ્રોજેક્ટિવ પ્લેનનો સઘન અભ્યાસક્રમ. સંયોજનો