Hardy Cross method
હાર્ડી ક્રોસ પદ્ધતિ એ પાઇપ નેટવર્ક પ્રણાલીઓમાં પ્રવાહ નક્કી કરવા માટેની એક પુનરાવર્તિત પદ્ધતિ છે જ્યાં ઇનપુટ્સ અને આઉટપુટ જાણીતા છે, પરંતુ નેટવર્કની અંદરનો પ્રવાહ અજ્ઞાત છે. આ પદ્ધતિ સૌપ્રથમ નવેમ્બર 1936માં તેના નામના હાર્ડી ક્રોસ દ્વારા પ્રકાશિત કરવામાં આવી હતી, જે અર્બાના-શેમ્પેન ખાતે ઇલિનોઇસ યુનિવર્સિટીમાં માળખાકીય ઇજનેરીના પ્રોફેસર હતા. હાર્ડી ક્રોસ પદ્ધતિ એ મોમેન્ટ વિતરણ પદ્ધતિનું અનુકૂલન છે, જે હાર્ડી ક્રોસ દ્વારા સ્થિર રીતે અનિશ્ચિત માળખામાં બળો નક્કી કરવાના માર્ગ તરીકે પણ વિકસાવવામાં આવી હતી. પાઇપ ફ્લો નેટવર્કનું વિશ્લેષણ કરવા માટે હાર્ડી ક્રોસ પદ્ધતિની રજૂઆતથી મ્યુનિસિપલ પાણી પુરવઠાની રચનામાં ક્રાંતિ આવી. પદ્ધતિ રજૂ કરવામાં આવી તે પહેલાં, માથાના નુકશાન અને પ્રવાહ વચ્ચેના બિનરેખીય સંબંધને કારણે વિતરણ માટે જટિલ પાઇપ પ્રણાલીઓને ઉકેલવી અત્યંત મુશ્કેલ હતી. આ પદ્ધતિને પાછળથી ન્યુટન-રેફસન પદ્ધતિ અથવા અન્ય આંકડાકીય પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને કમ્પ્યુટર સોલ્વિંગ અલ્ગોરિધમ્સ દ્વારા અપ્રચલિત બનાવવામાં આવી હતી જે હાથ દ્વારા સમીકરણોની બિનરેખીય પ્રણાલીઓને ઉકેલવાની જરૂરિયાતને દૂર કરે છે. 1930માં, હાર્ડી ક્રોસે "એનાલિસિસ ઓફ કન્ટિન્યુઅસ ફ્રેમ્સ બાય ડિસ્ટ્રિબ્યુટિંગ ફિક્સ્ડ-એન્ડ મોમેન્ટ્સ" નામનું એક પેપર પ્રકાશિત કર્યું હતું જેમાં તેમણે મોમેન્ટ ડિસ્ટ્રિબ્યુશન પદ્ધતિનું વર્ણન કર્યું હતું, જે આ ક્ષેત્રના ઇજનેરોની માળખાકીય વિશ્લેષણ કરવાની રીતને બદલી નાખશે. ક્ષણ વિતરણ પદ્ધતિનો ઉપયોગ સ્થિર રીતે અનિશ્ચિત માળખામાં બળો નક્કી કરવા માટે કરવામાં આવ્યો હતો અને ઇજનેરોને 1930 થી 1960 ના દાયકા સુધી કમ્પ્યુટર લક્ષી પદ્ધતિઓના વિકાસ સુધી માળખાઓને સુરક્ષિત રીતે ડિઝાઇન કરવાની મંજૂરી આપવામાં આવી હતી. નવેમ્બર 1936માં, ક્રોસે પાઇપ નેટવર્ક પ્રવાહ વિતરણ સમસ્યાઓને ઉકેલવા માટે સમાન ભૌમિતિક પદ્ધતિ લાગુ કરી, અને "નળીઓ અથવા વાહકના નેટવર્કમાં પ્રવાહનું વિશ્લેષણ" નામનું પેપર પ્રકાશિત કર્યું. વ્યુત્પત્તિ હાર્ડી ક્રોસ પદ્ધતિ એ પાઇપ નેટવર્કમાં પ્રવાહ માટે પુનરાવર્તિત રીતે ઉકેલવા માટે પ્રવાહની સાતત્યતા અને ક્ષમતાની સાતત્યતાનો ઉપયોગ છે. પાઇપના પ્રવાહના કિસ્સામાં, પ્રવાહના સંરક્ષણનો અર્થ એ છે કે અંદરનો પ્રવાહ પાઇપના દરેક જંકશન પર બહાર નીકળતા પ્રવાહ જેટલો છે. પોટેન્શિયલના સંરક્ષણનો અર્થ એ છે કે સિસ્ટમમાં કોઈપણ લૂપ સાથે કુલ દિશાસૂચક હેડ લોસ શૂન્ય છે (એમ ધારીને કે પ્રવાહ સામે ગણવામાં આવેલ હેડ લોસ ખરેખર હેડ ગેઇન છે). હાર્ડી ક્રોસે પ્રવાહ નેટવર્કને ઉકેલવા માટે બે પદ્ધતિઓ વિકસાવી હતી. દરેક પદ્ધતિ પ્રવાહ અથવા સંભવિતતાની સાતત્યતા જાળવી રાખીને શરૂ થાય છે, અને પછી પુનરાવર્તિત રીતે બીજા માટે ઉકેલ લાવે છે. ધારણાઓ હાર્ડી ક્રોસ પદ્ધતિ ધારે છે કે સિસ્ટમની અંદર અને બહાર જતો પ્રવાહ જાણીતો છે અને પાઇપની લંબાઈ, વ્યાસ, કઠોરતા અને અન્ય મુખ્ય લાક્ષણિકતાઓ પણ જાણીતી છે અથવા ધારી શકાય છે. આ પદ્ધતિ એ પણ ધારે છે કે પ્રવાહ દર અને માથાના નુકશાન વચ્ચેનો સંબંધ જાણીતો છે, પરંતુ આ પદ્ધતિમાં કોઈ ચોક્કસ સંબંધનો ઉપયોગ કરવાની જરૂર નથી. પાઇપ દ્વારા પાણીના પ્રવાહના કિસ્સામાં, માથાના નુકશાન અને પ્રવાહ વચ્ચેનો સંબંધ નક્કી કરવા માટે ઘણી પદ્ધતિઓ વિકસાવવામાં આવી છે. હાર્ડી ક્રોસ પદ્ધતિ આમાંના કોઈપણ સંબંધોનો ઉપયોગ કરવાની મંજૂરી આપે છે. હેડ લોસ અને ફ્લો વચ્ચેનો સામાન્ય સંબંધ છેઃ જ્યાં k એ એકમ ફ્લો દીઠ હેડ લોસ છે અને n એ ફ્લો એક્સ્પોનન્ટ છે. મોટાભાગની ડિઝાઇન પરિસ્થિતિઓમાં k બનાવતા મૂલ્યો, જેમ કે પાઇપની લંબાઈ, વ્યાસ અને કઠોરતા, જાણીતા અથવા ધારવામાં આવે છે અને આમ નેટવર્કમાં દરેક પાઇપ માટે k નું મૂલ્ય નક્કી કરી શકાય છે. હેડ લોસ નક્કી કરવા માટે ઉપયોગમાં લેવાતા સંબંધના આધારે k ના મૂલ્યો અને n નું મૂલ્ય બદલાય છે. જો કે, તમામ સંબંધો હાર્ડી ક્રોસ પદ્ધતિ સાથે સુસંગત છે. એ નોંધવું પણ યોગ્ય છે કે હાર્ડી ક્રોસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ સરળ સર્કિટ અને અન્ય પ્રવાહ જેવી પરિસ્થિતિઓને ઉકેલવા માટે થઈ શકે છે. સરળ સર્કિટના કિસ્સામાં, તેની સમકક્ષ છે. ગુણાંક k થી K, પ્રવાહ દર Q થી I અને ઘાતાંક n થી 1 સેટ કરીને, હાર્ડી ક્રોસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ સરળ સર્કિટને ઉકેલવા માટે કરી શકાય છે. જો કે, વોલ્ટેજ ડ્રોપ અને કરંટ વચ્ચેનો સંબંધ રેખીય હોવાથી, હાર્ડી ક્રોસ પદ્ધતિ જરૂરી નથી અને બિન-પુનરાવર્તિત પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને સર્કિટને ઉકેલી શકાય છે. હેડને સંતુલિત કરવાની પદ્ધતિ હેડને સંતુલિત કરવાની પદ્ધતિ પ્રારંભિક અનુમાનનો ઉપયોગ કરે છે જે દરેક જંક્શન પર પ્રવાહની સાતત્યતાને સંતોષે છે અને પછી સિસ્ટમમાં દરેક લૂપ પર પોટેન્શિયલની સાતત્યતા પ્રાપ્ત ન થાય ત્યાં સુધી પ્રવાહને સંતુલિત કરે છે. સાબિતી (આર સૂચવે છે કે) નીચેનો પુરાવો હાર્ડી ક્રોસના પેપર, "નળીઓ અથવા વાહકોના નેટવર્કમાં પ્રવાહનું વિશ્લેષણ" માંથી લેવામાં આવ્યો છે, અને રોબર્ટ જે. હૌટાલેન દ્વારા ટેકનોલોજી એન્હાન્સડ લર્નિંગ વોટર એન્ડ વેસ્ટવોટર એન્જિનિયરિંગ પેજ, અને ફંડામેન્ટલ્સ ઓફ હાઇડ્રોલિક એન્જિનિયરિંગ સિસ્ટમ્સ પર રાષ્ટ્રીય કાર્યક્રમ દ્વારા ચકાસી શકાય છે. જો દરેક પાઇપમાં પ્રવાહ દરનો પ્રારંભિક અંદાજ સાચો હોય, તો સિસ્ટમમાં લૂપ પર હેડમાં ફેરફાર શૂન્ય બરાબર હશે. જો કે, જો પ્રારંભિક અનુમાન સાચું ન હોય, તો માથામાં ફેરફાર બિન-શૂન્ય હશે અને પ્રવાહમાં ફેરફાર લાગુ કરવો આવશ્યક છે. નવો પ્રવાહ દર એ જૂના પ્રવાહ દર અને પ્રવાહ દરમાં કેટલાક ફેરફારનો સરવાળો છે જેમ કે લૂપ પર માથામાં ફેરફાર શૂન્ય હોય છે. નવા લૂપ પર હેડમાં ફેરફારનો સરવાળો પછી હશે. ટેલર વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરીને તેનું મૂલ્ય અંદાજિત કરી શકાય છે. વધારાના શબ્દોની સરખામણીમાં નાના માટે અદૃશ્ય થઈ જાય છે, છોડવુંઃ અને માટે ઉકેલવું પ્રવાહમાં ફેરફાર જે લૂપ પર માથાને સંતુલિત કરશે તેનો અંદાજ આના દ્વારા કરવામાં આવે છે. જો કે, ટેલરના વિસ્તરણમાંથી અવગણવામાં આવેલી શરતોને કારણે આ માત્ર એક અંદાજ છે. લૂપ પર હેડમાં ફેરફાર શૂન્ય ન પણ હોઈ શકે, પરંતુ તે પ્રારંભિક અનુમાન કરતાં નાનો હશે. નવું શોધવાની બહુવિધ પુનરાવર્તનો સાચો ઉકેલ અંદાજિત કરશે. પ્રક્રિયા પદ્ધતિ નીચે મુજબ છેઃ દરેક પાઇપમાં પ્રવાહનો અંદાજ કાઢો, ખાતરી કરો કે પ્રવાહમાં કુલ દરેક જંકશન પર કુલ પ્રવાહની બરાબર છે. (અનુમાન સારું હોવું જરૂરી નથી, પરંતુ એક સારું અનુમાન ઉકેલ શોધવામાં લાગતો સમય ઘટાડશે.) સિસ્ટમમાં દરેક બંધ લૂપ નક્કી કરો. દરેક લૂપ માટે, ઘડિયાળની દિશામાં હેડ લોસ અને ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં હેડ લોસ નક્કી કરો. દરેક પાઇપમાં માથાના નુકશાનની ગણતરી તેનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે. ઘડિયાળની દિશામાં હેડ લોસ ઘડિયાળની દિશામાં પ્રવાહથી થાય છે અને તેવી જ રીતે ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં થાય છે. ઘડિયાળની દિશામાં માથાની ખોટમાંથી ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં માથાની ખોટને બાદ કરીને દરેક લૂપમાં માથાની કુલ ખોટ નક્કી કરો. દરેક લૂપ માટે, દિશાના સંદર્ભ વિના શોધો (તમામ મૂલ્યો હકારાત્મક હોવા જોઈએ). પ્રવાહમાં ફેરફાર સમાન છે. જો પ્રવાહમાં ફેરફાર હકારાત્મક હોય, તો તેને ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં લૂપની તમામ પાઈપો પર લાગુ કરો. જો પ્રવાહમાં ફેરફાર નકારાત્મક હોય, તો તેને ઘડિયાળની દિશામાં લૂપની તમામ પાઈપો પર લાગુ કરો. જ્યાં સુધી પ્રવાહમાં ફેરફાર સંતોષકારક શ્રેણીમાં ન આવે ત્યાં સુધી પગલું 3 થી ચાલુ રાખો. પ્રવાહને સંતુલિત કરવાની પદ્ધતિ (અપૂર્ણ વિભાગ) પ્રવાહને સંતુલિત કરવાની પદ્ધતિ પ્રારંભિક અનુમાનનો ઉપયોગ કરે છે જે દરેક લૂપ પર પોટેન્શિયલની સાતત્યતાને સંતોષે છે અને પછી દરેક જંક્શન પર પ્રવાહની સાતત્યતા પ્રાપ્ત ન થાય ત્યાં સુધી પ્રવાહને સંતુલિત કરે છે. હાર્ડી ક્રોસ પદ્ધતિના ફાયદા સરળ ગણિત હાર્ડી ક્રોસ પદ્ધતિ ઉપયોગી છે કારણ કે તે સમીકરણોની પદ્ધતિને ઉકેલવાની જરૂરિયાતને અવગણીને માત્ર સરળ ગણિત પર આધાર રાખે છે. હાર્ડી ક્રોસ પદ્ધતિઓ વિના, ઇજનેરોએ ચલ ઘટકો સાથે સમીકરણોની જટિલ પ્રણાલીઓને ઉકેલવી પડશે જે સરળતાથી હાથથી ઉકેલી શકાતી નથી. સ્વયં સુધારણા હાર્ડી ક્રોસ પદ્ધતિ સમસ્યાનું સમાધાન કરવા માટે ઉપયોગમાં લેવાતા પ્રારંભિક અનુમાનમાં ભૂલોને પુનરાવર્તિત રીતે સુધારે છે. ગણતરીમાં અનુગામી ભૂલો પણ પુનરાવર્તિત રીતે સુધારવામાં આવે છે. જો પદ્ધતિને યોગ્ય રીતે અનુસરવામાં આવે, તો દરેક પાઇપમાં યોગ્ય પ્રવાહ હજુ પણ શોધી શકાય છે જો પ્રક્રિયામાં નાની ગાણિતિક ભૂલો સતત કરવામાં આવે. જ્યાં સુધી છેલ્લા કેટલાક પુનરાવર્તનો વિગતવાર ધ્યાન સાથે કરવામાં આવે છે, ત્યાં સુધી ઉકેલ હજુ પણ સાચો રહેશે. હકીકતમાં, ગણતરીઓ ઝડપથી ચલાવવા માટે પદ્ધતિના પ્રારંભિક પુનરાવર્તનમાં ઇરાદાપૂર્વક દશાંશને છોડી દેવું શક્ય છે. ઉદાહરણ હાર્ડી ક્રોસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ પાઇપ નેટવર્કમાં પ્રવાહ વિતરણની ગણતરી કરવા માટે થઈ શકે છે. જમણી બાજુએ બતાવેલ સરળ પાઇપ ફ્લો નેટવર્કનું ઉદાહરણ ધ્યાનમાં લો. આ ઉદાહરણ માટે, અંદર અને બહારનો પ્રવાહ 10 લિટર પ્રતિ સેકન્ડ હશે. આપણે n ને 2 તરીકે ધ્યાનમાં લઈશું, અને એકમ પ્રવાહ r દીઠ હેડ લોસ, અને દરેક પાઇપ માટે પ્રારંભિક પ્રવાહ અનુમાન નીચે મુજબ છેઃ આપણે ઉપરની પદ્ધતિ પ્રક્રિયામાં દર્શાવેલ પગલાંને અનુસરીને, હેડને સંતુલિત કરવાની પદ્ધતિ દ્વારા નેટવર્કને હલ કરીએ છીએ. 1. પ્રારંભિક અનુમાન સ્થાપિત કરવામાં આવે છે જેથી નેટવર્કમાં દરેક જંકશન પર પ્રવાહની સાતત્ય જાળવવામાં આવે. 2. સિસ્ટમના લૂપને લૂપ 1-2-3 અને લૂપ 2-3-4 તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. 3. દરેક પાઇપમાં માથાના નુકસાન નક્કી કરવામાં આવે છે. લૂપ 1-2-3 માટે, ઘડિયાળની દિશામાં હેડ લોસનો સરવાળો 25 છે અને ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં હેડ લોસનો સરવાળો 125 છે. લૂપ 2-3-4 માટે ઘડિયાળની દિશામાં હેડ લોસનો સરવાળો 125 છે અને ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં હેડ લોસનો સરવાળો 25 છે. 4. લૂપ 1-2-3 માં ઘડિયાળની દિશામાં કુલ હેડ લોસ છે. લૂપ 2-3-4 માં ઘડિયાળની દિશામાં કુલ હેડ લોસ છે. 5. દરેક લૂપ માટે તેનું મૂલ્ય નક્કી કરવામાં આવે છે. આકૃતિમાં બતાવ્યા પ્રમાણે તે બંને લૂપમાં (સમપ્રમાણતાને કારણે) 60 હોવાનું જોવા મળે છે. 6. સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને દરેક લૂપ માટે પ્રવાહમાં ફેરફાર જોવા મળે છે. લૂપ 1-2-3 માટે, પ્રવાહમાં ફેરફાર બરાબર છે અને લૂપ 2-3-4 માટે પ્રવાહમાં ફેરફાર બરાબર છે. 7. પ્રવાહમાં ફેરફાર લૂપ્સ પર લાગુ થાય છે. લૂપ 1-2-3 માટે, પ્રવાહમાં ફેરફાર નકારાત્મક હોય છે તેથી તેનું નિરપેક્ષ મૂલ્ય ઘડિયાળની દિશામાં લાગુ થાય છે. લૂપ 2-3-4 માટે, પ્રવાહમાં ફેરફાર હકારાત્મક છે તેથી તેનું નિરપેક્ષ મૂલ્ય ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં લાગુ કરવામાં આવે છે. પાઇપ 2-3 માટે, જે બંને લૂપમાં હોય છે, પ્રવાહમાં ફેરફારો સંચિત હોય છે. આ પ્રક્રિયા પછી પગલું 3 થી પુનરાવર્તન થાય છે જ્યાં સુધી પ્રવાહમાં ફેરફાર પૂરતો ઓછો ન થાય અથવા શૂન્ય પર ન જાય. 3. લૂપ 1-2-3 માં કુલ હેડ લોસ એ છે કે ઘડિયાળની દિશામાં હેડ લોસ એ ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં હેડ લોસ બરાબર છે. આનો અર્થ એ છે કે આ લૂપમાં પ્રવાહ સંતુલિત છે અને પ્રવાહ દર સાચો છે. લૂપ 2-3-4 માં કુલ હેડ લોસ પણ સંતુલિત રહેશે (ફરીથી સમપ્રમાણતાને કારણે). આ કિસ્સામાં, પદ્ધતિને એક પુનરાવર્તનમાં સાચો ઉકેલ મળ્યો. અન્ય નેટવર્ક માટે, જ્યાં સુધી પાઈપોમાં પ્રવાહ સાચો અથવા લગભગ સાચો ન હોય ત્યાં સુધી તે બહુવિધ પુનરાવર્તનો લઈ શકે છે. પાઇપ નેટવર્ક વિશ્લેષણ મોમેન્ટ વિતરણ પદ્ધતિ સંદર્ભો હાઇડ્રોલિક ઇજનેરી પણ જુઓ.