An Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and Magnetism
એન એસે ઓન ધ એપ્લિકેશન ઓફ મેથેમેટિકલ એનાલિસિસ ટુ ધ થિયરીઝ ઓફ ઇલેક્ટ્રિસિટી એન્ડ મેગ્નેટિઝમ એ 1828 માં જ્યોર્જ ગ્રીન દ્વારા એક મૂળભૂત પ્રકાશન છે, જ્યાં તેમણે વીજળી અને ચુંબકત્વ પર સિમોન ડેનિસ પોઈસનના અગાઉના કાર્યને વિસ્તૃત કર્યું છે. ગાણિતિક વિશ્લેષણમાં કામ, ખાસ કરીને જે હવે સાર્વત્રિક રીતે ગ્રીનના પ્રમેય તરીકે ઓળખાય છે, તે ગાણિતિક ભૌતિકશાસ્ત્રની તમામ શાખાઓમાં સૌથી વધુ મહત્વનું છે. તેમાં સંભવિતતાના સિદ્ધાંતનું પ્રથમ પ્રદર્શન છે. ભૌતિકશાસ્ત્રમાં, ગ્રીનના પ્રમેયનો ઉપયોગ મોટે ભાગે દ્વિ-પરિમાણીય પ્રવાહ સંકલનને ઉકેલવા માટે થાય છે, જેમાં જણાવવામાં આવ્યું છે કે વોલ્યુમની અંદરના કોઈપણ બિંદુએ પ્રવાહીના પ્રવાહનો સરવાળો બંધ વિસ્તાર વિશેના કુલ પ્રવાહના સરવાળા જેટલો હોય છે. સમતલ ભૂમિતિમાં, અને ખાસ કરીને, ક્ષેત્ર સર્વેક્ષણમાં, ગ્રીનના પ્રમેયનો ઉપયોગ માત્ર પરિમિતિ પર સંકલન કરીને સમતલ આકૃતિઓનું ક્ષેત્રફળ અને કેન્દ્ર નક્કી કરવા માટે થઈ શકે છે. આ નિબંધમાં 'સંભવિત કાર્ય' શબ્દ સૌપ્રથમ જોવા મળે છે. આમાં શુદ્ધ ગણિતમાં તેમના નોંધપાત્ર પ્રમેયનો પણ સમાવેશ થાય છે, જે સાર્વત્રિક રીતે ગ્રીનના પ્રમેય તરીકે ઓળખાય છે, અને કદાચ ગાણિતિક ભૌતિકશાસ્ત્રની સમગ્ર શ્રેણીમાં તપાસનું સૌથી મહત્વપૂર્ણ સાધન છે. હવે આપણે બધા સામાન્ય રીતે ઓછામાં ઓછું ગ્રીનના કાર્યનું મહત્વ અને 1828માં તેમના નિબંધના પ્રકાશન પછી થયેલી પ્રગતિને સમજી શકીએ છીએ. પરંતુ તેમના કાર્ય અને અનુગામી પ્રગતિની સંપૂર્ણ પ્રશંસા કરવા માટે વ્યક્તિએ આ સમયે ગ્રીનને દેખાતા ગણિત-ભૌતિક વિજ્ઞાન માટેના દૃષ્ટિકોણને જાણવાની જરૂર છે અને તેમની શોધોને જાહેર કરવામાં તેમની શુદ્ધ સંવેદનશીલતાને સમજવાની જરૂર છે. જ્યોર્જ ગ્રીન દ્વારા 1828માં પોઈસનની વિદ્યુત અને ચુંબકીય તપાસને સામાન્ય અને વિસ્તૃત કરવામાં આવી હતી. ગ્રીનની પ્રક્રિયા લેગ્રેન્જ, લાપ્લાસ અને પોઈસન દ્વારા પહેલેથી જ ઉપયોગમાં લેવાતા કાર્યના ગુણધર્મો પર આધારિત છે, જે ક્ષેત્રમાં તમામ વિદ્યુત અથવા ચુંબકીય ચાર્જના સરવાળાને રજૂ કરે છે, જે આપેલ બિંદુથી તેમના સંબંધિત અંતર દ્વારા વિભાજિત થાય છેઃ આ કાર્યને ગ્રીન નામ પોટેન્શિયલ આપે છે, જેના દ્વારા તે હંમેશા જાણીતું છે. 1828 માં, ગ્રીને પેપર પ્રકાશિત કર્યું જે તે નિબંધ છે જે આજે સૌથી વધુ પ્રખ્યાત છે. જ્યારે ગ્રીને તેમનો નિબંધ પ્રકાશિત કર્યો, ત્યારે તે 51 લોકોને સબ્સ્ક્રિપ્શનના આધારે વેચવામાં આવ્યો હતો, જેમાંથી મોટાભાગના મિત્રો હતા અને કદાચ તે સમજી શક્યા ન હતા. શ્રીમંત જમીનમાલિક અને ગણિતશાસ્ત્રી એડવર્ડ બ્રોમહેડે એક નકલ ખરીદી અને ગ્રીનને ગણિતમાં વધુ કામ કરવા માટે પ્રોત્સાહિત કર્યા. આ પ્રસ્તાવને નિષ્ઠાવાન ન માનતા, ગ્રીને બે વર્ષ સુધી બ્રોમહેડનો સંપર્ક કર્યો ન હતો. કાર્ય પ્રકાશિત કર્યા પછી, તેમણે પ્રણાલીના તમામ કણોના દળોને ઉમેરીને મેળવેલા પરિણામને દર્શાવવા માટે પ્રથમ 'સંભવિત' શબ્દ રજૂ કર્યો, દરેકને આપેલ બિંદુથી તેના અંતર દ્વારા વિભાજિત કરવામાં આવે છે; અને આ કાર્યના ગુણધર્મોને પ્રથમ ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે અને ચુંબકત્વ અને વીજળીના સિદ્ધાંતો પર લાગુ કરવામાં આવે છે. આ પછી સર બ્રોમહેડ દ્વારા કેમ્બ્રિજ ફિલોસોફિકલ સોસાયટીને બે કાગળો મોકલવામાં આવ્યા હતાઃ (1) 'ઓન ધ લોઝ ઓફ ધ ઇક્વિલિબ્રિયમ ઓફ ફ્લુઇડ્સ એનાલોગસ ટુ ધ ઇલેક્ટ્રિક ફ્લુઇડ' (12 નવેમ્બર 1832); (2) 'ઓન ધ ડિટરમિનેશન ઓફ ધ એટ્રેક્શન ઓફ એલિપ્સોઇડ્સ ઓફ વેરિયેબલ ડેન્સિટીઝ' (6 મે 1833). બંને પેપર મહાન વિશ્લેષણાત્મક શક્તિ દર્શાવે છે, પરંતુ વ્યવહારીક રીતે રસપ્રદ કરતાં વિચિત્ર છે. ગ્રીનના 1828ના નિબંધની 1846 સુધી ગણિતશાસ્ત્રીઓ દ્વારા અવગણના કરવામાં આવી હતી, અને તે સમય પહેલાં તેના મોટાભાગના મહત્વપૂર્ણ પ્રમેયો ગૌસ, ચેસલ્સ, સ્ટર્મ અને થોમસન જે. દ્વારા ફરીથી શોધવામાં આવ્યા હતા. તેણે લોર્ડ કેલ્વિન અને જેમ્સ ક્લર્ક મેક્સવેલના કાર્યને પ્રભાવિત કર્યું હતું. સ્વ-શિક્ષિત ગણિતશાસ્ત્રીનો નિબંધ તેમના સમય સુધી વીજળીના ગાણિતિક સિદ્ધાંતમાં કરવામાં આવેલી સૌથી મોટી પ્રગતિઓમાંની એક હતી. સર વિલિયમ થોમસને અવલોકન કર્યું છે તેમ, "તેમના સંશોધનો" એ પ્રાથમિક દરખાસ્ત તરફ દોરી ગયા છે જે કુલમ્બના પ્રાયોગિક નિયમોમાં આપવામાં આવેલી સામગ્રીમાંથી બનાવવામાં આવતી દરેક સંપૂર્ણ ગાણિતિક રચનાનો કાયદેસર પાયો હોવો જોઈએ. તેઓ માત્ર વ્યવહારુ વિદ્યુતશાસ્ત્રીઓ માટે હંમેશાં ખૂબ જ રસપ્રદ રહેલા સુંદર માત્રાત્મક પ્રયોગોનું કુદરતી અને સંપૂર્ણ સમજૂતી જ પરવડી શકે તેમ નથી, પરંતુ તેઓ ગણિતશાસ્ત્રીને સમસ્યાઓનો સામનો કરવાની સૌથી સરળ અને સૌથી શક્તિશાળી પદ્ધતિઓ સૂચવે છે, જે જો માત્ર જૂના વિશ્લેષણના બળ દ્વારા હુમલો કરવામાં આવે તો તે કાયમ માટે વણઉકેલાયેલી જ રહી હશે. સંસ્મરણની શરૂઆતની નજીક સપાટી અને કદના સંકલનને જોડતા પ્રખ્યાત સૂત્રની સ્થાપના કરવામાં આવી છે, જેને હવે સામાન્ય રીતે ગ્રીનનો પ્રમેય કહેવામાં આવે છે, અને જેમાંથી સમતુલ્ય સપાટી પર પોઈસનનું પરિણામ-અને કદ-ચુંબકીયકરણનું વિતરણ એ એક ચોક્કસ ઉપયોગ છે. સંભવિતતાના ગુણધર્મોની તપાસ કરવા માટે આ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને, ગ્રીન નોંધપાત્ર સુંદરતા અને રસના ઘણા પરિણામો પર પહોંચ્યા. તેની પદ્ધતિની શક્તિનું ઉદાહરણ તરીકે આપણે ફક્ત નીચેનાનો ઉલ્લેખ કરવાની જરૂર છેઃ-ધારો કે ત્યાં એક ખોખલા વાહક કવચ છે, જે બે બંધ સપાટીઓથી ઘેરાયેલું છે, અને સંખ્યાબંધ વિદ્યુતકૃત પદાર્થો મૂકવામાં આવ્યા છે, કેટલાક તેની અંદર અને કેટલાક તેના વિના; અને આંતરિક સપાટી અને આંતરિક પદાર્થોને આંતરિક પ્રણાલી અને બાહ્ય સપાટી અને બાહ્ય પદાર્થોને બાહ્ય પ્રણાલી કહેવા દો. પછી આંતરિક પ્રણાલીની તમામ વિદ્યુત ઘટનાઓ, આકર્ષણો, પ્રતિકર્ષણ અને ઘનતાને લગતી, એવી જ હશે કે જાણે કોઈ બાહ્ય પ્રણાલી ન હોય, અને આંતરિક સપાટી એક સંપૂર્ણ વાહક હોય, જે પૃથ્વી સાથે સંચારમાં મૂકવામાં આવે; અને બાહ્ય પ્રણાલીની તમામ વસ્તુઓ એવી જ હશે કે જાણે આંતરિક પ્રણાલી અસ્તિત્વમાં ન હોય, અને બાહ્ય સપાટી એક સંપૂર્ણ વાહક હોય, જેમાં મૂળરૂપે કવચમાં અને તમામ આંતરિક પદાર્થોમાં સમાવિષ્ટ સંપૂર્ણ વીજળીની માત્રા હોય. તે સ્પષ્ટ થશે કે ઇલેક્ટ્રોસ્ટેટિક્સે આ સમય સુધીમાં વિકાસની સ્થિતિ પ્રાપ્ત કરી લીધી હતી જેમાં વધુ પ્રગતિની આશા માત્ર ગાણિતિક ઉપરના માળખામાં જ કરી શકાય છે, સિવાય કે પ્રયોગ અનપેક્ષિત રીતે સંપૂર્ણપણે નવા પાત્રની ઘટનાઓને પ્રકાશમાં લાવે. આ પ્રમેયોની સૌથી સરળ એપ્લિકેશનોમાંની એક લેડેન ફિયાલના સિદ્ધાંતને પૂર્ણ કરવાની હતી, જેનું પરિણામ (જો આપણે ફેરાડે દ્વારા શોધાયેલ અવાહક ઘન માધ્યમની વિશિષ્ટ ક્રિયા સિવાય) આપણે તેમની પ્રતિભાને આભારી છીએ. તેમણે એ પણ બતાવ્યું છે કે કેવી રીતે અનંત સંખ્યામાં વાહકોના સ્વરૂપોની શોધ થઈ શકે છે, જેથી દરેક પર સંતુલનમાં વીજળીનું વિતરણ મર્યાદિત બીજગણિત દ્રષ્ટિએ વ્યક્ત થઈ શકે છે-વિજ્ઞાનમાં એક વિશાળ પ્રગતિ, જ્યારે આપણે ધ્યાનમાં લઈએ કે એક ગોળાકાર વાહક પર વીજળીનું વિતરણ, એક અસંતુષ્ટ લંબગોળ વાહક, અને એકબીજાને પરસ્પર પ્રભાવિત કરતા બે ગોળા, પોઈસન દ્વારા હલ કરવામાં આવેલા એકમાત્ર કિસ્સાઓ હતા, અને ખરેખર ગાણિતિક લેખકો દ્વારા ઉકેલવા યોગ્ય હોવાનું માનવામાં આવતા એકમાત્ર કિસ્સાઓ હતા. આવૃત્તિઓ વિદ્યુત અને ચુંબકત્વના સિદ્ધાંતો પર ગાણિતિક વિશ્લેષણના ઉપયોગ પર નિબંધ, નોટિંગહામ, 1828. ગાણિતિક વિશ્લેષણ વેક્ટર કલન આંશિક વિભેદક સમીકરણ સંદર્ભો સંભવિત સિદ્ધાંત ગણિતના પેપર 1828 નિબંધો પણ જુઓ.