Balanced module
મોડ્યુલ થિયરી તરીકે ઓળખાતા અમૂર્ત બીજગણિતના પેટાક્ષેત્રમાં, જમણા R મોડ્યુલ M ને સંતુલિત મોડ્યુલ કહેવામાં આવે છે (અથવા ડબલ સેન્ટ્રલાઈઝર પ્રોપર્ટી હોવાનું કહેવાય છે) જો અબેલિયન જૂથ M નું દરેક એન્ડોમોર્ફિઝમ જે M ના તમામ R-એન્ડોમોર્ફિઝમ્સ સાથે પરિવર્તિત થાય છે તે રિંગ એલિમેન્ટ દ્વારા ગુણાકાર દ્વારા આપવામાં આવે છે. સ્પષ્ટ રીતે, કોઈપણ એડિટિવ એન્ડોમોર્ફિઝમ f માટે, જો દરેક R એન્ડોમોર્ફિઝમ g માટે fg = gf હોય, તો R માં એક r અસ્તિત્વમાં છે જેમ કે M માં તમામ x માટે f (x) = xr. સેન્ટ્રલાઈઝર્સની ભાષામાં, સંતુલિત મોડ્યુલ એ છે કે જે ડબલ સેન્ટ્રલાઈઝર થીયરમના નિષ્કર્ષને સંતોષ આપે છે, એટલે કે, M ના તમામ R એન્ડોમોર્ફિઝમ્સ સાથે આવતા જૂથ M ના એકમાત્ર એન્ડોમોર્ફિઝમ્સ એ રિંગ તત્વો દ્વારા જમણા ગુણાકાર દ્વારા પ્રેરિત છે. જો દરેક જમણા આર મોડ્યુલ સંતુલિત હોય તો રિંગને સંતુલિત કહેવામાં આવે છે. તે તારણ આપે છે કે સંતુલિત હોવું એ રિંગ્સ પર ડાબી-જમણી સમપ્રમાણ સ્થિતિ છે, અને તેથી તેને "ડાબી" અથવા "જમણી" સાથે ઉપસર્ગ કરવાની જરૂર નથી. સંતુલિત મોડ્યુલો અને રિંગ્સનો અભ્યાસ એ સી. જે. દ્વારા ક્યુ. એફ.-1 રિંગ્સના અભ્યાસનો પરિણામ છે. નેસબિટ અને આર. એમ. થ્રોલ. આ અભ્યાસ વી. પી. કેમિલોના મહાનિબંધમાં ચાલુ રાખવામાં આવ્યો હતો અને બાદમાં તે સંપૂર્ણ રીતે વિકસિત થયો હતો. આ પેપર ઘણા ઉદાહરણો સાથે ખાસ કરીને વ્યાપક દૃષ્ટિકોણ આપે છે. આ સંદર્ભો ઉપરાંત, કે. મોરિતા અને એચ. તચિકાવાએ પણ પ્રકાશિત અને અપ્રકાશિત પરિણામોમાં યોગદાન આપ્યું છે. સંતુલિત મોડ્યુલો અને રિંગ્સના સિદ્ધાંતમાં ફાળો આપનારા લેખકોની આંશિક સૂચિ સંદર્ભોમાં મળી શકે છે. ઉદાહરણો અને ગુણધર્મો અર્ધ-સરળ વીંટીઓ સંતુલિત હોય છે. સરળ રીંગ પરનો દરેક બિન-શૂન્ય જમણો આદર્શ સંતુલિત હોય છે. અર્ધ-ફ્રોબેનિયસ રિંગ પરનું દરેક વફાદાર મોડ્યુલ સંતુલિત હોય છે. જમણી આર્ટીનિયન રિંગ્સ માટે ડબલ સેન્ટ્રલાઈઝર થીયરમ જણાવે છે કે કોઈપણ સરળ જમણી R મોડ્યુલ સંતુલિત છે. પેપરમાં અસંતુલિત મોડ્યુલોની સંખ્યાબંધ રચનાઓ છે. તે સ્થાપિત કરવામાં આવ્યું હતું કે એકીકૃત રિંગ્સ સંતુલિત છે. તેનાથી વિપરીત, એક સંતુલિત વીંટી જે તેના કેન્દ્ર પર એક મોડ્યુલ તરીકે મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન થાય છે તે એકીકૃત છે. પરિવર્તનીય આર્ટીનિયન રિંગ્સમાં, સંતુલિત રિંગ્સ બરાબર અર્ધ-ફ્રોબેનિયસ રિંગ્સ છે. ગુણધર્મો "સંતુલિત" હોવું એ મોડ્યુલો માટે એક સ્પષ્ટ ગુણધર્મ છે, એટલે કે, તે મોરિતા સમાનતા દ્વારા સંરક્ષિત છે. સ્પષ્ટ રીતે, જો F (-) એ R મોડ્યુલોની શ્રેણીમાંથી S મોડ્યુલોની શ્રેણીમાં મોરિટા સમકક્ષતા છે, અને જો M સંતુલિત છે, તો F (M) સંતુલિત છે. સંતુલિત વીંટીઓનું માળખું પણ સંપૂર્ણપણે નિર્ધારિત થાય છે, અને તેમાં દર્શાવેલ છે. છેલ્લા બિંદુને ધ્યાનમાં રાખીને, સંતુલિત વીંટી હોવાનો ગુણધર્મ મોરિતા અપરિવર્તનશીલ ગુણધર્મ છે. કયા રિંગ્સમાં તમામ ફાઈનાઈટલી જનરેટેડ આર મોડ્યુલો સંતુલિત છે તે પ્રશ્નનો જવાબ પહેલેથી જ આપવામાં આવ્યો છે. આ સ્થિતિ રિંગ આર સંતુલિત હોવાની સમકક્ષ હોવાનું બહાર આવ્યું છે. નોંધો સંદર્ભ મોડ્યુલ સિદ્ધાંત રીંગ સિદ્ધાંત