Gregory coefficients
ગ્રેગરી ગુણાંક, જેને પારસ્પરિક લઘુગણક સંખ્યાઓ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે, બીજા પ્રકારની બર્નૌલી સંખ્યાઓ અથવા પ્રથમ પ્રકારની કૌચી સંખ્યાઓ, એ પરિમેય સંખ્યાઓ છે જે પરસ્પર લઘુગણક ગ્રેગરી ગુણાંકના મેકલૌરિન શ્રેણીના વિસ્તરણમાં જોવા મળે છે, જે નિરપેક્ષ મૂલ્યમાં બદલાતા અને ઘટતા હોય છે. આ સંખ્યાઓનું નામ જેમ્સ ગ્રેગરીના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે, જેમણે તેમને 1670માં સંખ્યાત્મક એકીકરણના સંદર્ભમાં રજૂ કર્યા હતા. તેઓ પછીથી ઘણા ગણિતશાસ્ત્રીઓ દ્વારા ફરીથી શોધાયા હતા અને ઘણીવાર આધુનિક લેખકોના કાર્યોમાં જોવા મળે છે, જેઓ હંમેશા તેમને ઓળખતા નથી. આંકડાકીય મૂલ્યો ગણતરી અને રજૂઆતો ગ્રેગરી ગુણાંકની ગણતરી કરવાની સૌથી સરળ રીત એ છે કે તેની સાથે પુનરાવર્તન સૂત્રનો ઉપયોગ કરવો. ગ્રેગરી ગુણાંકની ગણતરી નીચે આપેલા વિકલન અથવા સમાકલન દ્વારા પણ સ્પષ્ટ રીતે કરી શકાય છે, જે એક વખત સીધા અને બીજી વખત પહેલા દ્વિપદી શ્રેણીના વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરીને 0 અને 1 વચ્ચે સંકલન કરીને સાબિત કરી શકાય છે. તે મર્યાદિત સરવાળું સૂત્ર સૂચવે છે જ્યાં પ્રથમ પ્રકારની સહી કરેલી સ્ટર્લિંગ સંખ્યાઓ છે. અને શ્રોડરનું અભિન્ન સૂત્ર સીમાઓ અને એસિમ્પ્ટોટિક વર્તન ગ્રેગરી ગુણાંક જોહાન સ્ટેફન્સન દ્વારા આપવામાં આવેલી મર્યાદાને સંતોષે છે. આ સીમાઓ પાછળથી વિવિધ લેખકો દ્વારા સુધારવામાં આવી હતી. તેમના માટે સૌથી વધુ જાણીતી સીમાઓ બ્લેગોચિન દ્વારા આપવામાં આવી હતી. ખાસ કરીને, લક્ષણવિહીન રીતે, મોટા સૂચકાંક પર, આ સંખ્યાઓ વધુ સચોટ વર્ણન તરીકે વર્તે છે જે વેન વીન, ડેવિસ, કોફી, નેમેસ અને બ્લાગોચિનની કૃતિઓમાં મળી શકે છે. ગ્રેગરી ગુણાંક ધરાવતી ગ્રેગરી ગુણાંક સાથેની શ્રેણીની ગણતરી ઘણીવાર બંધ સ્વરૂપમાં થઈ શકે છે. આ સંખ્યાઓ સાથેની મૂળભૂત શ્રેણીમાં યુલરનો અચળાંક ક્યાં છે તેનો સમાવેશ થાય છે. આ પરિણામો ખૂબ જ જૂના છે, અને તેમનો ઇતિહાસ ગ્રેગોરિયો ફોન્ટાના અને લોરેન્ઝો માસ્ચેરોનીના કાર્યોમાં શોધી શકાય છે. ગ્રેગરી ગુણાંક સાથેની વધુ જટિલ શ્રેણીની ગણતરી વિવિધ લેખકો દ્વારા કરવામાં આવી હતી. કોવાલેન્કો, અલાબદુલમોહસિન અને કેટલાક અન્ય લેખકોએ ગણતરી કરી હતી કે અલાબદુલમોહસિન પણ કેન્ડેલપર્જર સાથે આ ઓળખ આપે છે, કોપ્પો અને યંગે દર્શાવ્યું હતું કે હાર્મોનિક સંખ્યાઓ ક્યાં છે. બ્લેગોચિન નીચેની ઓળખ પૂરી પાડે છે જ્યાં અભિન્ન લઘુગણક છે અને દ્વિપદી ગુણાંક છે. તે પણ જાણીતું છે કે ઝીટા કાર્ય, ગામા કાર્ય, બહુપત્નીત્વ કાર્યો, સ્ટીલ્ટજેસ અચળાંકો અને અન્ય ઘણા વિશેષ કાર્યો અને અચળાંકોને આ સંખ્યાઓ ધરાવતી અનંત શ્રેણીના સંદર્ભમાં વ્યક્ત કરી શકાય છે. સામાન્યીકરણ ગ્રેગરી ગુણાંક માટે વિવિધ સામાન્યીકરણ શક્ય છે. તેમાંના ઘણા પેરેન્ટ જનરેટિંગ સમીકરણમાં ફેરફાર કરીને મેળવી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, વેન વીન માને છે અને તેથી પાછળથી કોવાલેન્કો અને રુબિનસ્ટીન દ્વારા સમાન સામાન્યીકરણની દરખાસ્ત કરવામાં આવી હતી. તેવી જ રીતે, ગ્રેગરી ગુણાંક સામાન્યીકૃત બર્નૌલી સંખ્યાઓ સાથે સંબંધિત છે, જેથી જોર્ડન બહુપદીઓને એવી રીતે વ્યાખ્યાયિત કરે છે કે અને તેમને બીજા પ્રકારની બર્નૌલી બહુપદીઓ કહે છે. ઉપરોક્તમાંથી તે સ્પષ્ટ છે. કાર્લિટ્ઝે બહુપદીઓ રજૂ કરીને જોર્ડનની બહુપદીઓને સામાન્ય બનાવી અને તેથી બ્લાગોચાઇને એવી સંખ્યાઓ રજૂ કરી કે જેણે તેમનું ઉત્પન્ન કાર્ય મેળવ્યું અને મોટા પ્રમાણમાં તેમના એસિમ્પ્ટોટિક્સનો અભ્યાસ કર્યો. સ્પષ્ટપણે,. આ સંખ્યાઓ સખત રીતે વારાફરતી હોય છે અને ઝીટા-કાર્યો, યુલરના અચળાંક અને બહુપત્નીત્વ કાર્યો માટેના વિવિધ વિસ્તરણમાં સામેલ હોય છે. કોમાત્સુ દ્વારા સમાન પ્રકારનું એક અલગ સામાન્યીકરણ પણ પ્રસ્તાવિત કરવામાં આવ્યું હતું જેથી સંખ્યાઓને લેખક પોલી-કાઉચી સંખ્યાઓ દ્વારા બોલાવવામાં આવે. કોફી બહુપદીઓને વ્યાખ્યાયિત કરે છે અને તેથી. બીજા પ્રકારની સ્ટર્લિંગ બહુપદીઓ બર્નૌલી બહુપદીઓ પણ જુઓ સંદર્ભો પૂર્ણાંક ક્રમ સંખ્યા સિદ્ધાંત અસમાનતાઓ લક્ષણવિહીન વિશ્લેષણ