Classical orthogonal polynomials
ગણિતમાં, શાસ્ત્રીય ઓર્થોગોનલ બહુપદીઓ સૌથી વધુ ઉપયોગમાં લેવાતી ઓર્થોગોનલ બહુપદીઓ છેઃ હર્માઇટ બહુપદીઓ, લેગુએરે બહુપદીઓ, જેકોબી બહુપદીઓ (ખાસ કિસ્સામાં ગેજેનબાવર બહુપદીઓ, ચેબીશેવ બહુપદીઓ અને લિજેન્ડ્રે બહુપદીઓ સહિત). ગાણિતિક ભૌતિકશાસ્ત્ર (ખાસ કરીને, રેન્ડમ મેટ્રિસીસનો સિદ્ધાંત), અંદાજ સિદ્ધાંત, આંકડાકીય વિશ્લેષણ અને અન્ય ઘણા ક્ષેત્રોમાં તેમની ઘણી મહત્વપૂર્ણ ઉપયોગિતાઓ છે. શાસ્ત્રીય ઓર્થોગોનલ બહુપદીઓ 19મી સદીની શરૂઆતમાં એડ્રિયન-મેરી લિજેન્ડ્રેની કૃતિઓમાં દેખાઇ હતી, જેમણે લિજેન્ડ્રે બહુપદીઓ રજૂ કરી હતી. 19મી સદીના અંતમાં, પી. એલ. ચેબીશેવ અને પછી એ. એ. માર્કોવ અને ટી. જે. સ્ટિલ્ટજેસ દ્વારા ક્ષણની સમસ્યાને ઉકેલવા માટે સતત અપૂર્ણાંકના અભ્યાસથી ઓર્થોગોનલ બહુપદીઓની સામાન્ય કલ્પના તરફ દોરી ગયું. આપેલ બહુપદીઓ માટે અને શાસ્ત્રીય ઓર્થોગોનલ બહુપદીઓ નિર્ધારિત સ્થિરાંકો સાથે વિભેદક સમીકરણના ઉકેલો દ્વારા વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે. ઓર્થોગોનલ શાસ્ત્રીય બહુપદીઓની ઘણી વધુ સામાન્ય વ્યાખ્યાઓ છે; ઉદાહરણ તરીકે, એસ્કી યોજનામાં તમામ બહુપદીઓ માટે આ શબ્દનો ઉપયોગ કરો. વ્યાખ્યા સામાન્ય રીતે, વજનના સંદર્ભમાં ઓર્થોગોનલ બહુપદીઓ સંતોષ આપે છે ઉપરના સંબંધો સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર સુધી વ્યાખ્યાયિત કરે છે. સ્થિરાંકને ઠીક કરવા માટે વિવિધ સામાન્યીકરણોનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, દા. ત. શાસ્ત્રીય ઓર્થોગોનલ બહુપદીઓ વજનના નીચેના ત્રણ પરિવારોને અનુરૂપ છેઃ પ્રમાણભૂત સામાન્યીકરણ (જેને માનકીકરણ પણ કહેવાય છે) નીચે વિગતવાર છે. જેકોબી બહુપદીઓ જેકોબી બહુપદીઓ માટે સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે તેઓ ઓર્થોગોનાલિટીની સ્થિતિ દ્વારા સામાન્યીકૃત (પ્રમાણિત) થાય છે અને સંતોષાય છે જેકોબી બહુપદીઓ વિભેદક સમીકરણના ઉકેલો છે મહત્વપૂર્ણ વિશેષ કિસ્સાઓમાં જેકોબી બહુપદીઓને ગેજેનબાવર બહુપદીઓ (પરિમાણ સાથે) કહેવામાં આવે છે કારણ કે, આને લિજેન્ડર બહુપદીઓ કહેવામાં આવે છે (જેના માટે ઓર્થોગોનાલિટીનું અંતરાલ [−1,1] છે અને વજન કાર્ય ફક્ત 1 છે): કારણ કે, એક વ્યક્તિ ચેબીશેવ બહુપદીઓ (અનુક્રમે બીજા અને પ્રથમ પ્રકારની) મેળવે છે. હર્માઇટ બહુપદીઓ હર્માઇટ બહુપદીઓને આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે તેઓ ઓર્થોગોનાલિટીની સ્થિતિ અને વિભેદક સમીકરણ લેગુએરે બહુપદીઓને સંતોષે છે સામાન્યીકૃત લેગુએરે બહુપદીઓને આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે (શાસ્ત્રીય લેગુએરે બહુપદીઓને અનુરૂપ). તેઓ ઓર્થોગોનાલિટી સંબંધ અને વિભેદક સમીકરણને સંતોષે છે વિભેદક સમીકરણ શાસ્ત્રીય ઓર્થોગોનલ બહુપદીઓ એ સ્વરૂપના વિભેદક સમીકરણમાંથી ઉદ્ભવે છે જ્યાં Q એ આપેલ વર્ગાત્મક (વધુમાં વધુ) બહુપદી છે, અને L એ આપેલ રેખીય બહુપદી છે. કાર્ય f, અને અચળાંક λ, મળવાનું છે. (નોંધ લો કે આવા સમીકરણ માટે બહુપદી ઉકેલ હોવો અર્થપૂર્ણ છે. સમીકરણમાં દરેક પદ બહુપદી છે, અને ડિગ્રી સુસંગત છે.) આ સ્ટર્મ-લિઉવિલે પ્રકારનું સમીકરણ છે. આવા સમીકરણો સામાન્ય રીતે λ ના ચોક્કસ મૂલ્યો સિવાય તેમના ઉકેલ કાર્યો f માં એકવચનતા ધરાવે છે. તેમને આઈગનવેક્ટર/આઈગન વેલ્યુ સમસ્યાઓ તરીકે વિચારી શકાય છેઃ D ને વિભેદક સંચાલક ગણવું, અને λ ની નિશાની બદલવી, સમસ્યા આઈગનવેક્ટર્સ (આઈગનફંક્શન્સ) f, અને અનુરૂપ આઈગનવેલ્યુઓ λ શોધવાની છે, જેમ કે f માં સિંગ્યુલારીટી નથી અને D (f) = λf. જ્યાં સુધી λ ચોક્કસ મૂલ્યો ન લે ત્યાં સુધી આ વિભેદક સમીકરણના ઉકેલોમાં એકવચનતા હોય છે. સંખ્યાઓ λ0, λ1, λ2 ની શ્રેણી છે. જે બહુપદી ઉકેલો P0, P1, P2 ની શ્રેણી તરફ દોરી જાય છે. જો શરતોના નીચેના સમૂહોમાંથી એકને પૂર્ણ કરવામાં આવે તોઃ Q વાસ્તવમાં વર્ગાત્મક છે, L રેખીય છે, Q પાસે બે અલગ વાસ્તવિક મૂળ છે, L નું મૂળ સખત રીતે Q ના મૂળ વચ્ચે આવેલું છે, અને Q અને L ની અગ્રણી શરતો સમાન નિશાની ધરાવે છે. Q વાસ્તવમાં વર્ગાત્મક નથી, પરંતુ રેખીય છે, L રેખીય છે, Q અને L ના મૂળ અલગ છે, અને Q અને L ની અગ્રણી શરતો સમાન નિશાની ધરાવે છે જો L નું મૂળ Q ના મૂળ કરતા ઓછું હોય, અથવા ઊલટું. Q એ માત્ર એક બિન-શૂન્ય અચળાંક છે, L એ રેખીય છે, અને L ની અગ્રણી સંજ્ઞા Q ની વિરુદ્ધ નિશાની ધરાવે છે. આ ત્રણ કિસ્સાઓ અનુક્રમે જેકોબી જેવા, લાગ્યુરે જેવા અને હર્માઇટ જેવા બહુપદી તરફ દોરી જાય છે. આ ત્રણ કિસ્સાઓમાંના દરેકમાં, આપણી પાસે નીચે મુજબ છેઃ ઉકેલો બહુપદીઓ P0, P1, P2,. ની શ્રેણી છે, દરેક Pn ડિગ્રી n ધરાવે છે, અને λn સંખ્યાને અનુરૂપ છે. ઓર્થોગોનાલિટીનો અંતરાલ જે પણ મૂળ Q ધરાવે છે તેનાથી બંધાયેલો છે. L નું મૂળ ઓર્થોગોનાલિટીના અંતરાલની અંદર છે. ચાલો, બહુપદીઓ વજન કાર્ય W (x) હેઠળ ઓર્થોગોનલ હોય છે, અંતરાલની અંદર કોઈ શૂન્ય અથવા અનંતતા નથી, જો કે તેમાં અંતિમ બિંદુઓ પર શૂન્ય અથવા અનંતતા હોઈ શકે છે. W (x) કોઈપણ બહુપદીને મર્યાદિત આંતરિક ગુણાકાર આપે છે. અંતરાલમાં W (x) ને 0 કરતા વધારે બનાવી શકાય છે. (જો જરૂરી હોય તો સમગ્ર વિભેદક સમીકરણ નેગેટ કરો જેથી અંતરાલની અંદર Q (x)> 0 હોય.) એકીકરણના અચળાંકને કારણે, R (x) જથ્થો માત્ર એક મનસ્વી હકારાત્મક ગુણાકાર અચળાંક સુધી નક્કી થાય છે. તેનો ઉપયોગ માત્ર સજાતીય વિભેદક સમીકરણોમાં (જ્યાં આનાથી કોઈ ફરક પડતો નથી) અને વજન કાર્યની વ્યાખ્યામાં (જે અનિશ્ચિત પણ હોઈ શકે છે) કરવામાં આવશે. નીચે આપેલા કોષ્ટકો R (x) અને W (x) ના "સત્તાવાર" મૂલ્યો આપશે. રોડ્રિગ્સ સૂત્ર અગાઉના વિભાગની ધારણાઓ હેઠળ, Pn (x) તેના પ્રમાણસર છે. તે ઘણીવાર લખવામાં આવે છે જ્યાં સંખ્યાઓ માનકીકરણ પર આધારિત હોય છે. એનના પ્રમાણભૂત મૂલ્યો નીચેના કોષ્ટકોમાં આપવામાં આવશે. સંખ્યાઓ λn અગાઉના વિભાગની ધારણાઓ હેઠળ, આપણી પાસે છે (કારણ કે Q વર્ગાત્મક છે અને L રેખીય છે, અને અચળાંક છે, તેથી આ માત્ર સંખ્યાઓ છે.) વિભેદક સમીકરણ માટેનું બીજું સ્વરૂપ ચાલો પછી હવે વિભેદક સમીકરણને R/Q વડે ગુણાકાર કરો, મેળવવું અથવા આ સમીકરણ માટેનું પ્રમાણભૂત સ્ટર્મ-લિઉવિલે સ્વરૂપ છે. વિભેદક સમીકરણ માટેનું ત્રીજું સ્વરૂપ ચાલો પછી હવે વિભેદક સમીકરણને S/Q વડે ગુણાકાર કરીએ, મેળવવું અથવા મેળવવું. (આપણે ઘાતાંક સાથે મૂંઝવણ ટાળવા માટે કૌંસમાં "r" મૂકીએ છીએ.) P એ n − r ડિગ્રીની બહુપદી છે. પછી આપણી પાસે નીચે મુજબ છેઃ (ઓર્થોગોનાલિટી) નિશ્ચિત r માટે, બહુપદી ક્રમ P, P, P,. ઓર્થોગોનલ છે, જે દ્વારા ભારિત છે. (સામાન્યીકૃત રોડ્રિગ્સ સૂત્ર) P એ (વિભેદક સમીકરણ) P ના પ્રમાણસર છે, જ્યાં λr એ λn જેવું જ કાર્ય છે, એટલે કે, (વિભેદક સમીકરણ, બીજું સ્વરૂપ) P એ એક ઉકેલ છે. આ દરેકમાં, સંખ્યાઓ a, b અને c એ n અને r પર આધાર રાખે છે, અને વિવિધ સૂત્રોમાં અસંબંધિત છે. વિવિધ રીતે ઓર્થોગોનલ બહુપદીઓને સંડોવતા અન્ય સંખ્યાબંધ સૂત્રો છે. અહીં તેમનો એક નાનો નમૂનો છે, જે ચેબીશેવ, સંબંધિત લાગ્યુરે અને હર્માઇટ બહુપદીઓને સંબંધિત છેઃ ઓર્થોગોનાલિટી ચોક્કસ λ માટેનું વિભેદક સમીકરણ લખી શકાય છે (x પર સ્પષ્ટ અવલંબનને બાદ કરતાં) ઉપજ દ્વારા ગુણાકાર કરીને અને સબસ્ક્રિપ્ટ્સને ઉલટાવીને ઉપજ બાદબાકી અને સંકલન થાય છેઃ પરંતુ તે જોઈ શકાય છે કે જેથીઃ જો બહુપદીઓ f એવી હોય કે ડાબી બાજુનો શબ્દ શૂન્ય હોય, અને માટે, તો પછી ઓર્થોગોનાલિટી સંબંધ રહેશેઃ માટે. વિભેદક સમીકરણમાંથી વ્યુત્પત્તિ ઉપરના વિભેદક સમીકરણમાંથી ઉદ્ભવતા તમામ બહુપદી ક્રમ સમતુલ્ય છે, ડોમેનના સ્કેલિંગ અને/અથવા સ્થળાંતર હેઠળ, અને બહુપદીઓનું વધુ પ્રતિબંધિત વર્ગોમાં માનકીકરણ. તે પ્રતિબંધિત વર્ગો બરાબર "શાસ્ત્રીય ઓર્થોગોનલ બહુપદીઓ" છે. દરેક જેકોબી જેવા બહુપદી ક્રમમાં તેનું ક્ષેત્ર સ્થાનાંતરિત અને/અથવા માપવામાં આવી શકે છે જેથી તેની ઓર્થોગોનાલિટીનું અંતરાલ [−1,1] હોય અને તેમાં Q = 1 − x2 હોય. પછી તેમને જેકોબી બહુપદીઓમાં પ્રમાણિત કરી શકાય છે. આમાંના ઘણા મહત્વપૂર્ણ પેટા વર્ગો છેઃ ગેગેનબાવર, લિજેન્ડ્રે અને બે પ્રકારના ચેબીશેવ. દરેક લેગુએરે જેવા બહુપદી અનુક્રમમાં તેનું ડોમેન સ્થાનાંતરિત, માપવામાં અને/અથવા પ્રતિબિંબિત થઈ શકે છે જેથી તેની ઓર્થોગોનાલિટીનો અંતરાલ હોય, અને તેમાં Q = x હોય. ત્યારબાદ તેમને એસોસિએટેડ લેગુએરે બહુપદીઓમાં પ્રમાણિત કરી શકાય છે. સાદા લેગુએરે બહુપદીઓ આમાંથી એક પેટા વર્ગ છે. દરેક હર્માઇટ જેવા બહુપદી ક્રમમાં તેનું ક્ષેત્ર સ્થાનાંતરિત અને/અથવા માપવામાં આવી શકે છે જેથી તેની ઓર્થોગોનાલિટીનો અંતરાલ હોય, અને તેમાં Q = 1 અને L (0) = 0 હોય. પછી તેમને હર્માઇટ બહુપદીઓમાં પ્રમાણિત કરી શકાય છે. કારણ કે ઉપર વર્ણવેલ રીતે વિભેદક સમીકરણમાંથી ઉદ્ભવતા તમામ બહુપદી ક્રમ શાસ્ત્રીય બહુપદીઓની તુચ્છ રીતે સમકક્ષ હોય છે, તેથી વાસ્તવિક શાસ્ત્રીય બહુપદીઓનો હંમેશા ઉપયોગ થાય છે. જેકોબી બહુપદી જેકોબી જેવી બહુપદીઓ, એકવાર તેમનું ડોમેન સ્થાનાંતરિત થઈ જાય અને માપવામાં આવે જેથી ઓર્થોગોનાલિટીનું અંતરાલ [−1,1] હોય, તો હજુ પણ બે પરિમાણો નક્કી કરવાના છે. તેઓ જેકોબી બહુપદીઓમાં લખાયેલા છે. આપણી પાસે અને છે. બંને અને-1 કરતા વધારે હોવા જરૂરી છે. (આ L ના મૂળને ઓર્થોગોનાલિટીના અંતરાલની અંદર મૂકે છે.) જ્યારે અને સમાન ન હોય ત્યારે, આ બહુપદીઓ x = 0 ની સમપ્રમાણતાવાળી હોતી નથી. વિભેદક સમીકરણ જેકોબીનું સમીકરણ છે. વધુ વિગતો માટે, જેકોબી બહુપદી જુઓ. ગેજેનબાવર બહુપદીઓ જ્યારે કોઈ પરિમાણો સુયોજિત કરે છે અને જેકોબી બહુપદીઓમાં એકબીજાની બરાબર હોય છે, ત્યારે તે ગેજેનબાવર અથવા અલ્ટ્રાસફેરિકલ બહુપદીઓ મેળવે છે. તેઓ લખાયેલા છે, અને જેમ આપણી પાસે અને છે તેમ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. પરિમાણ −1/2 કરતા મોટું હોવું જરૂરી છે. (સંજોગોવશાત્, નીચેના કોષ્ટકમાં આપેલા માનકીકરણનો α = 0 અને n ષ્ણ 0 માટે કોઈ અર્થ નથી, કારણ કે તે બહુપદીઓને શૂન્ય પર સેટ કરશે. તે કિસ્સામાં, સ્વીકૃત માનકીકરણ કોષ્ટકમાં આપેલા મૂલ્યને બદલે સુયોજિત કરે છે.) ઉપરોક્ત વિચારણાઓને અવગણીને, પરિમાણઃ અથવા, વધુ સામાન્ય રીતેઃ અન્ય તમામ શાસ્ત્રીય જેકોબી જેવી બહુપદીઓ (દંતકથા, વગેરે) ના વ્યુત્પન્ન સાથે નજીકથી સંબંધિત છે. ગેજેનબાવર બહુપદીઓના વિશેષ કિસ્સાઓ છે, જે મૂલ્ય પસંદ કરીને અને માનકીકરણ પસંદ કરીને મેળવવામાં આવે છે. વધુ વિગતો માટે, Gegenbauer બહુપદી જુઓ. લીજેન્ડ્રે બહુપદી વિભેદક સમીકરણ આ લીજેન્ડ્રેનું સમીકરણ છે. વિભેદક સમીકરણનું બીજું સ્વરૂપ છેઃ પુનરાવર્તન સંબંધ એ મિશ્ર પુનરાવર્તન રોડ્રિગ્સનું સૂત્ર છે વધુ વિગતો માટે, લિજેન્ડ્રે બહુપદી જુઓ. એસોસિએટેડ લિજેન્ડ્રે બહુપદીઓ એસોસિએટેડ લિજેન્ડ્રે બહુપદીઓ, જ્યાં સૂચવવામાં આવે છે અને તેની સાથે પૂર્ણાંકો છે, તેને આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે કૌંસમાં m (ઘાતાંક સાથે મૂંઝવણ ટાળવા માટે) એ એક પરિમાણ છે. કૌંસમાં m એ લિજેન્ડર બહુપદીના m-th વ્યુત્પન્નને સૂચવે છે. આ "બહુપદીઓ" નું નામ ખોટું રાખવામાં આવ્યું છે-જ્યારે m વિષમ હોય ત્યારે તે બહુપદીઓ નથી. તેમનો પુનરાવર્તન સંબંધ છેઃ નિશ્ચિત m માટે, ક્રમ વજન 1 સાથે [−1,1] પર ઓર્થોગોનલ છે. આપેલ m માટે, ચેબીશેવ બહુપદીઓના ઉકેલો છે. પુનરાવર્તન સંબંધ રોડ્રિગ્સનો સૂત્ર છે આ બહુપદીઓમાં એવો ગુણધર્મ છે કે, ઓર્થોગોનાલિટીના અંતરાલમાં, (તેને સાબિત કરવા માટે, પુનરાવર્તન સૂત્રનો ઉપયોગ કરો.) આનો અર્થ એ છે કે તેમના તમામ સ્થાનિક મિનિમા અને મેક્સિમાના મૂલ્યો −1 અને + 1 છે, એટલે કે બહુપદીઓ "સ્તર" છે. આને કારણે, ચેબીશેવ બહુપદીઓની દ્રષ્ટિએ કાર્યોના વિસ્તરણનો ઉપયોગ કેટલીકવાર કમ્પ્યુટર ગણિત પુસ્તકાલયોમાં બહુપદી અંદાજો માટે થાય છે. કેટલાક લેખકો આ બહુપદીઓની આવૃત્તિઓનો ઉપયોગ કરે છે જે સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવી છે જેથી ઓર્થોગોનાલિટીનું અંતરાલ [0,1] અથવા [−2,2] હોય. બીજી પ્રકારની ચેબીશેવ બહુપદીઓ પણ છે, જે આપણી પાસે છેઃ વધુ વિગતો માટે, પ્રથમ કેટલીક બહુપદીઓ માટેની અભિવ્યક્તિઓ સહિત, જુઓ ચેબીશેવ બહુપદીઓ. લેગુએરે બહુપદીઓ સૌથી સામાન્ય લેગુએરે જેવી બહુપદીઓ, ડોમેન સ્થાનાંતરિત થયા પછી અને માપવામાં આવ્યા પછી, એસોસિએટેડ લેગુએરે બહુપદીઓ (જેને સામાન્યીકૃત લેગુએરે બહુપદી પણ કહેવાય છે) છે, જે સૂચવવામાં આવે છે. એક પરિમાણ છે, જે કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા હોઈ શકે છે જે-1 કરતા સખત રીતે મોટી હોય છે. ઘાતાંક સાથે મૂંઝવણ ટાળવા માટે પરિમાણ કૌંસમાં મૂકવામાં આવે છે. સાદા લેગુએરે બહુપદીઓ ફક્ત આનું સંસ્કરણ છેઃ વિભેદક સમીકરણ આ લેગુએરેનું સમીકરણ છે. વિભેદક સમીકરણનું બીજું સ્વરૂપ છે પુનરાવર્તન સંબંધ રોડ્રિગ્સ સૂત્ર છે આ પરિમાણઃ અથવા, વધુ સામાન્ય રીતેઃ લેગુએરેના સમીકરણને એવા સ્વરૂપમાં હેરફેર કરી શકાય છે જે ઉપયોગમાં વધુ ઉપયોગી છેઃ આનો ઉકેલ વધુ હેરફેર કરી શકાય છે. પૂર્ણાંક ક્યારે છે, અનેઃ એ ક્યારે પૂર્ણાંકનો ઉકેલ છેઃ ઉકેલ ઘણીવાર સંકળાયેલ લાગ્યુરે બહુપદીઓને બદલે વ્યુત્પન્નની દ્રષ્ટિએ વ્યક્ત કરવામાં આવે છેઃ આ સમીકરણ ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સમાં ઉદભવે છે, એક-ઇલેક્ટ્રોન અણુ માટે શ્રોડિંગર સમીકરણના ઉકેલના રેડિયલ ભાગમાં. ભૌતિકશાસ્ત્રીઓ ઘણીવાર લેગુએરે બહુપદીઓની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરે છે જે અહીં વપરાયેલી વ્યાખ્યા કરતાં પરિબળ દ્વારા મોટી હોય છે. પ્રથમ કેટલીક બહુપદીઓ માટેના સમીકરણો સહિત વધુ વિગતો માટે, લેગુએરે બહુપદીઓ જુઓ. હર્માઇટ બહુપદી વિભેદક સમીકરણ છે આ હર્માઇટનું સમીકરણ છે. વિકલન સમીકરણનું બીજું સ્વરૂપ છે ત્રીજું સ્વરૂપ છે પુનરાવર્તન સંબંધ રોડ્રિગ્સ સૂત્ર છે પ્રથમ થોડા હર્માઇટ બહુપદીઓ છે એક સંકળાયેલ હર્માઇટ કાર્યોને વ્યાખ્યાયિત કરી શકે છે કારણ કે ગુણક વજન કાર્યના વર્ગમૂળના પ્રમાણસર હોય છે, આ કાર્યો કોઈ વજન કાર્ય વિના ઓર્થોગોનલ હોય છે. સંબંધિત હર્માઇટ કાર્યો માટે ઉપરોક્ત વિભેદક સમીકરણનું ત્રીજું સ્વરૂપ છે સંબંધિત હર્માઇટ કાર્યો ગણિત અને ભૌતિકશાસ્ત્રના ઘણા ક્ષેત્રોમાં ઉદ્ભવે છે. ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સમાં, તેઓ હાર્મોનિક ઓસિલેટર માટે શ્રોડિંગરના સમીકરણના ઉકેલો છે. તેઓ સતત ફોરિયર રૂપાંતરણના આઈગનફંક્શન્સ (આઈગન વેલ્યુ (−in) સાથે) પણ છે. ઘણા લેખકો, ખાસ કરીને સંભાવનાશાસ્ત્રીઓ, હર્માઇટ બહુપદીઓની વૈકલ્પિક વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરે છે, જેમાં તેના બદલે વજન કાર્ય છે. જો સંકેતનો ઉપયોગ આ હર્માઇટ બહુપદીઓ માટે થાય છે, અને ઉપરના માટે H, તો પછી આને આ રીતે વર્ગીકૃત કરી શકાય છે વધુ વિગતો માટે, હર્માઇટ બહુપદીઓ જુઓ. શાસ્ત્રીય ઓર્થોગોનલ બહુપદીઓની લાક્ષણિકતાઓ એવી ઘણી શરતો છે જે શાસ્ત્રીય ઓર્થોગોનલ બહુપદીઓને અન્યથી અલગ પાડે છે. પ્રથમ શરત સોનિન (અને પછીથી હેન દ્વારા) દ્વારા શોધવામાં આવી હતી, જેમણે દર્શાવ્યું હતું કે (ચલના રેખીય ફેરફારો સુધી) શાસ્ત્રીય ઓર્થોગોનલ બહુપદીઓ માત્ર એવી છે કે તેમના વ્યુત્પન્ન પણ ઓર્થોગોનલ બહુપદીઓ છે. બોચનરે શાસ્ત્રીય ઓર્થોગોનલ બહુપદીઓને તેમના પુનરાવર્તન સંબંધોના સંદર્ભમાં દર્શાવી હતી. ટ્રિકોમીએ શાસ્ત્રીય ઓર્થોગોનલ બહુપદીઓને રોડ્રિગ્સ સૂત્રના ચોક્કસ એનાલોગ તરીકે વર્ણવી હતી. શાસ્ત્રીય ઓર્થોગોનલ બહુપદીઓનું કોષ્ટક નીચેનું કોષ્ટક શાસ્ત્રીય ઓર્થોગોનલ બહુપદીઓના ગુણધર્મોનો સારાંશ આપે છે. એપેલ ક્રમ પણ જુઓ હાયપરજિયોમેટ્રિક ઓર્થોગોનલ બહુપદીઓની કી યોજના દ્વિપદી પ્રકારનાં બહુપદી ક્રમ બાયોર્થોગોનલ બહુપદીઓ સામાન્યીકૃત ફોરિયર શ્રેણી ગૌણ માપ શેફર ક્રમ ઉમ્બ્રલ કેલ્ક્યુલસ નોંધો સંદર્ભો પુરાવા ધરાવતા લેખો ઓર્થોગોનલ બહુપદી વિશેષ હાયપરજિયોમેટ્રિક કાર્યો zh: