Lill's method
ગણિતમાં, લિલની પદ્ધતિ એ કોઈપણ ડિગ્રીની અવિભાજ્ય બહુપદીના વાસ્તવિક મૂળ શોધવાની દ્રશ્ય પદ્ધતિ છે. તે 1867 માં ઑસ્ટ્રિયન એન્જિનિયર એડવર્ડ લિલ દ્વારા વિકસાવવામાં આવ્યું હતું. લિલના પછીના પેપરમાં જટિલ મૂળની સમસ્યા પર ચર્ચા કરવામાં આવી હતી. લિલની પદ્ધતિમાં બહુપદીના ગુણાંકની સમાન લંબાઈ સાથે જમણા ખૂણા બનાવતા સીધી રેખાના ભાગોનો માર્ગ દોરવાનો સમાવેશ થાય છે. બહુપદીના મૂળ પછી અન્ય જમણા-કોણ પાથના ઢોળાવ તરીકે મળી શકે છે, જે શરૂઆતને ટર્મિનસ સાથે પણ જોડે છે, પરંતુ પ્રથમ પાથની રેખાઓ પર શિરોબિંદુઓ સાથે. પદ્ધતિનું વર્ણન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવા માટે મૂળથી શરૂ કરીને આકૃતિ દોરવામાં આવે છે. એક રેખાખંડ પ્રથમ ગુણાંકની તીવ્રતા (ઉચ્ચતમ-શક્તિ પદનો ગુણાંક) દ્વારા જમણી તરફ દોરવામાં આવે છે (જેથી નકારાત્મક ગુણાંક સાથે ખંડ મૂળની ડાબી બાજુએ સમાપ્ત થશે). પ્રથમ સેગમેન્ટના અંતથી બીજો સેગમેન્ટ બીજા ગુણાંકની તીવ્રતા દ્વારા ઉપર તરફ દોરવામાં આવે છે, પછી ત્રીજા પરિમાણ દ્વારા છોડી દેવામાં આવે છે, અને ચોથા પરિમાણ દ્વારા નીચે, અને તેથી વધુ. દિશાઓનો ક્રમ (વળાંક નહીં) હંમેશા જમણી તરફ, ઉપરની તરફ, ડાબી તરફ, નીચેની તરફ હોય છે, પછી તેનું પુનરાવર્તન થાય છે. આમ દરેક વળાંક ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે. આ પ્રક્રિયા શૂન્ય સહિત બહુપદીના દરેક ગુણાંક માટે ચાલુ રહે છે, જેમાં નકારાત્મક ગુણાંક "પાછળની તરફ ચાલતા" હોય છે. સમીકરણની અચળ મુદતને અનુરૂપ સેગમેન્ટના અંતે પહોંચેલું અંતિમ બિંદુ એ ટર્મિનસ છે. પછી મૂળમાંથી અમુક ખૂણા પર એક રેખા છોડવામાં આવે છે, જે દરેક રેખા ખંડમાંથી જમણા ખૂણા પર પ્રતિબિંબિત થાય છે (જરૂરી નથી કે પ્રતિબિંબનો "કુદરતી" ખૂણો), અને જ્યારે કોણીય માર્ગ તે રેખા પરના રેખા ખંડને અથડાતો નથી ત્યારે દરેક ખંડમાંથી (શૂન્ય ગુણાંક માટેની રેખા સહિત) રેખા દ્વારા જમણા ખૂણા પર પ્રત્યાવર્તન થાય છે. ઊભી અને આડી રેખાઓ નીચે આપેલા ક્રમમાં પ્રતિબિંબિત થાય છે અથવા અપવર્તિત થાય છેઃ તે પછીના ગુણાંક વગેરેને અનુરૂપ ખંડ ધરાવતી રેખા. પસંદ કરીને કે જેથી પાથ ટર્મિનસ પર ઉતરે, સ્પર્શકની નકારાત્મક આ બહુપદીનું મૂળ છે. બહુપદીના દરેક વાસ્તવિક શૂન્ય માટે એક અનન્ય પ્રારંભિક કોણ અને માર્ગ હશે જે ટર્મિનસ પર ઉતરશે. ઉદાહરણ તરીકે, બે વાસ્તવિક મૂળ ધરાવતા વર્ગમાં બરાબર બે ખૂણા હશે જે ઉપરોક્ત શરતોને સંતોષે છે. જટિલ મૂળ માટે, વ્યક્તિએ સમાન ત્રિકોણની શ્રેણી શોધવાની પણ જરૂર છે, પરંતુ મૂળના કાલ્પનિક ભાગ જેટલું અંતર દ્વારા બહુપદી માર્ગથી વિસ્થાપિત મૂળ માર્ગના શિરોબિંદુઓ સાથે. આ કિસ્સામાં મૂળ માર્ગ લંબચોરસ નહીં હોય. સમજૂતી અસરમાં રચના હોર્નરની પદ્ધતિ અનુસાર બહુપદીનું મૂલ્યાંકન કરે છે. બહુપદી માટે,, ના મૂલ્યો ક્રમિક રીતે બહુપદી અને મૂળ માર્ગોના શિરોબિંદુઓ વચ્ચેના અંતર તરીકે ઉત્પન્ન થાય છે. બહુપદીના મૂળ માટે અંતિમ મૂલ્ય શૂન્ય હોય છે, તેથી છેલ્લું શિરોબિંદુ બહુપદી પાથ ટર્મિનસ સાથે મેળ ખાય છે. વધારાના ગુણધર્મો એક ઉકેલ રેખા જે મૂળ આપે છે તે બહુપદી માટે લિલની રચના જેવી જ છે, જેમાં તે મૂળ દૂર કરવામાં આવે છે, કારણ કે દ્રશ્ય રચના રેખીય (મૂળ) મોનિક (રફિનીનો નિયમ) દ્વારા બહુપદીના કૃત્રિમ વિભાજન જેવી જ છે. આકૃતિના સમપ્રમાણતાથી, તે સરળતાથી જોઈ શકાય છે કે વિપરીત બહુપદીના મૂળ મૂળ મૂળના પારસ્પરિક છે. ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં વળાંકને બદલે ઘડિયાળની દિશામાં વળાંકનો ઉપયોગ કરીને પણ બાંધકામ કરી શકાય છે. જ્યારે અન્ય પરંપરાનો ઉપયોગ કરીને પાથનું અર્થઘટન કરવામાં આવે છે, ત્યારે તે પ્રતિબિંબિત બહુપદી (દરેક વિચિત્ર ગુણાંક ચિહ્ન બદલાયેલું) ને અનુરૂપ હોય છે અને મૂળને નકારવામાં આવે છે. જ્યારે જમણા-કોણનો માર્ગ બીજી દિશામાં પસાર થાય છે પરંતુ તે જ દિશા પરંપરા હોય છે, ત્યારે તે વિપરીત પ્રતિબિંબિત બહુપદીને અનુરૂપ હોય છે અને મૂળ મૂળના નકારાત્મક પારસ્પરિક હોય છે. થેલ્સના પ્રમેય લિલની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને દ્વિઘાત મૂળ શોધવા માટે થેલ્સના પ્રમેયનો ઉપયોગ દ્વિઘાત બહુપદીના વાસ્તવિક મૂળ શોધવા માટે કરી શકાય છે. આ ઉદાહરણમાં 3x2 + 5x−2 સાથે, બહુપદીના રેખા વિભાગો પહેલા ઉપરની જેમ કાળા રંગમાં દોરવામાં આવે છે. એક વર્તુળ દોરવામાં આવે છે જેમાં શરૂઆત અને અંતના બિંદુઓને જોડતા સીધા રેખાખંડ વ્યાસ બનાવે છે. થેલ્સના પ્રમેય અનુસાર, આ બિંદુઓ અને વર્તુળ પરના અન્ય કોઈપણ બિંદુ ધરાવતો ત્રિકોણ એક જમણો ત્રિકોણ છે. લિલની પદ્ધતિના મધ્ય ભાગ સાથે આ વર્તુળના આંતરછેદો, જો જરૂરી હોય તો વિસ્તૃત થાય છે, આમ લિલની પદ્ધતિમાં બે કોણીય માર્ગોને વ્યાખ્યાયિત કરે છે, રંગીન વાદળી અને લાલ. તેમના પ્રથમ વિભાગોના ઢાળના નકારાત્મક, m, વાસ્તવિક મૂળ 1/3 અને −2 આપે છે. પેપર ફોલ્ડિંગનો ઉપયોગ કરીને મૂળ શોધવું 1936માં માર્ગેરિટા પિયાઝોલા બેલોચે દર્શાવ્યું હતું કે પેપર ફોલ્ડિંગનો ઉપયોગ કરીને ઘન સમીકરણોને ઉકેલવા માટે લિલની પદ્ધતિ કેવી રીતે અપનાવી શકાય. જો એક સાથે ગણોને મંજૂરી આપવામાં આવે તો વાસ્તવિક મૂળ સાથેનું કોઈપણ nth ડિગ્રી સમીકરણ n-2 એક સાથે ગણો વાપરીને ઉકેલી શકાય છે. આ ઉદાહરણમાં 3x3 + 2x2 − 7x + 2 સાથે, બહુપદીના રેખા વિભાગો પ્રથમ કાગળની શીટ (કાળા) પર દોરવામાં આવે છે. અનુક્રમે બીજા અને ત્રીજા વિભાગોમાં (મંદ વર્તુળ અને ચોરસ) શરૂઆત અને અંત બિંદુઓના પ્રતિબિંબમાંથી પસાર થતી રેખાઓ અને તેમની સમાંતર (ગ્રે રેખાઓ) દોરવામાં આવે છે. દરેક મૂળ માટે, શરૂઆતના બિંદુ (કાળા વર્તુળ) અને અંતિમ બિંદુ (કાળા ચોરસ) આ રેખાઓ પર પ્રતિબિંબિત થાય ત્યાં સુધી કાગળને ફોલ્ડ કરવામાં આવે છે. પ્રતિબિંબની અક્ષ (ડેશ-ડોટ રેખા) મૂળ (વાદળી, જાંબલી અને લાલ) ને અનુરૂપ કોણીય માર્ગને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. તેમના પ્રથમ વિભાગોના ઢાળોનું નકારાત્મક, m, વાસ્તવિક મૂળ 1/3,1 અને −2 આપે છે. કાર્લાઇલ વર્તુળ પણ જુઓ, જે પ્રમાણભૂત વર્ગાત્મક માટે લિલની પદ્ધતિના સહેજ સુધારેલા સંસ્કરણ પર આધારિત છે. સંદર્ભો બાહ્ય કડીઓ લિલની પદ્ધતિ માટે એનિમેશન ગણિતશાસ્ત્રી વિડિયોઃ "લેસરો સાથે કાચબાને શૂટ કરીને સમીકરણો ઉકેલવા" ભૂમિતિ પેપર ફોલ્ડિંગ બહુપદી