Gauss's lemma (number theory)
સંખ્યા સિદ્ધાંતમાં ગૌસનું લેમ્મા પૂર્ણાંકને દ્વિઘાત અવશેષ હોવાની શરત આપે છે. જો કે તે ગણતરીની રીતે ઉપયોગી નથી, તેમ છતાં તે સૈદ્ધાંતિક મહત્વ ધરાવે છે, જે દ્વિઘાત પારસ્પરિકતાના કેટલાક પુરાવાઓમાં સામેલ છે. તેનો પ્રથમ દેખાવ કાર્લ ફ્રેડરિક ગૌસના દ્વિઘાત પારસ્પરિકતાના ત્રીજા પુરાવા (1808) માં થયો હતો અને તેણે તેને તેના પાંચમા પુરાવા (1818) માં ફરીથી સાબિત કર્યો હતો. લેમ્માનું નિવેદન કોઈપણ વિષમ અવિભાજ્ય માટે એક પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ જે સહમૌલિક છે. પૂર્ણાંકો અને તેમના ઓછામાં ઓછા હકારાત્મક અવશેષો મોડ્યુલો ધ્યાનમાં લો. આ અવશેષો બધા અલગ છે, તેથી (તેમાંના) છે. ધારો કે આ અવશેષોની સંખ્યા તેના કરતા વધારે છે. પછી લિજેન્ડર પ્રતીક ક્યાં છે? ઉદાહરણ = 11 અને = 7 લઈને, પૂર્ણાંકોનો સંબંધિત ક્રમ 7,14,21,28,35 છે. મોડ્યુલો 11માં ઘટાડો કર્યા પછી, આ ક્રમ 7,3,10,6,2 બને છે. આમાંથી ત્રણ પૂર્ણાંકો 11/2 (એટલે કે 6,7 અને 10) કરતા મોટા છે, તેથી = 3. તદનુસાર ગૌસનું લેમ્મા આગાહી કરે છે કે આ ખરેખર સાચું છે, કારણ કે 7 એ દ્વિઘાત અવશેષ મોડ્યુલો 11 નથી. અવશેષો 7,3,10,6,2 નો ઉપરોક્ત ક્રમ −4,3, −1, −5,2 પણ લખી શકાય છે. આ સ્વરૂપમાં, 11/2 કરતા મોટા પૂર્ણાંકો નકારાત્મક સંખ્યાઓ તરીકે દેખાય છે. તે પણ સ્પષ્ટ છે કે અવશેષોના નિરપેક્ષ મૂલ્યો એ અવશેષો 1,2,3,4,5 નું ક્રમચય છે. પુરાવો એકદમ સરળ પુરાવો, જે ફર્મેટના નાના પ્રમેયના સૌથી સરળ પુરાવોમાંથી એકની યાદ અપાવે છે, તે બે અલગ અલગ રીતે ઉત્પાદન મોડ્યુલો પીનું મૂલ્યાંકન કરીને મેળવી શકાય છે. એક તરફ તે સમાન છે તો બીજી તરફ મૂલ્યાંકનમાં વધુ મહેનત લાગે છે. જો બિન-શૂન્ય અવશેષ મોડ્યુલો હોય, તો ચાલો આપણે "નિરપેક્ષ મૂલ્ય" ને વ્યાખ્યાયિત કરીએ કારણ કે તે ગુણાંકની ગણતરી કરે છે જે પછીની શ્રેણીમાં છે, અને તે ગુણાંક માટે, પ્રથમ શ્રેણીમાં હોવાથી, આપણે હવે અવલોકન કર્યું છે કે મૂલ્યો અલગ છે. ખરેખર, આપણી પાસે છે કારણ કે તે સહમૌલિક છે. આ આપે છે =, કારણ કે અને હકારાત્મક લઘુત્તમ અવશેષો છે. પરંતુ તેમાંના ચોક્કસ છે, તેથી તેમના મૂલ્યો પૂર્ણાંકોની પુનઃગોઠવણી છે. તેથી, આપણા પ્રથમ મૂલ્યાંકન સાથે સરખામણી કરતા, આપણે બિન-શૂન્ય પરિબળને રદ કરી શકીએ છીએ અને આપણી પાસે બાકી છે આ ઇચ્છિત પરિણામ છે, કારણ કે યુલરના માપદંડ મુજબ ડાબી બાજુ એ લિજેન્ડર પ્રતીક માટે માત્ર એક વૈકલ્પિક અભિવ્યક્તિ છે. સામાન્યીકરણ કોઈપણ વિષમ અવિભાજ્ય માટે ચાલો એક પૂર્ણાંક હોઈએ જે સહમૌલિક છે. ચાલો એક એવો સમૂહ બનીએ જે અને નું અસંબદ્ધ જોડાણ હોય. પછી ક્યાં. મૂળ નિવેદનમાં,. પુરાવો લગભગ સરખો જ છે. એપ્લિકેશન્સ ગૌસના લેમ્માનો ઉપયોગ ઘણા બધામાં થાય છે, પરંતુ કોઈ પણ રીતે નહીં, દ્વિઘાત પારસ્પરિકતાના જાણીતા પુરાવાઓ. ઉદાહરણ તરીકે, ગોટહોલ્ડ આઈઝેનસ્ટાઇને ગૌસના લેમ્માનો ઉપયોગ એ સાબિત કરવા માટે કર્યો હતો કે જો તે એક વિષમ અવિભાજ્ય છે અને આ સૂત્રનો ઉપયોગ દ્વિઘાત પારસ્પરિકતા સાબિત કરવા માટે કર્યો હતો. ગોળાકાર વિધેયોને બદલે લંબગોળનો ઉપયોગ કરીને, તેમણે ઘન અને ચતુર્થક પારસ્પરિકતાના નિયમો સાબિત કર્યા. લિયોપોલ્ડ ક્રોનેકરે એ બતાવવા માટે લેમ્માનો ઉપયોગ કર્યો કે સ્વિચિંગ અને તરત જ દ્વિઘાત પારસ્પરિકતા આપે છે. તેનો ઉપયોગ કદાચ "બીજા પૂરક કાયદા" ના સૌથી સરળ પુરાવાઓમાં પણ થાય છે ગૌસના લેમ્માના ઉચ્ચ શક્તિઓના સામાન્યીકરણનો ઉપયોગ ઉચ્ચ શક્તિ અવશેષ પ્રતીકોની ગણતરી કરવા માટે થઈ શકે છે. દ્વિધ્રુવીય પારસ્પરિકતા પરના તેમના બીજા મોનોગ્રાફમાં, ગૌસે ગૌસીયન પૂર્ણાંકોની વીંટી, ઇનના દ્વિધ્રુવીય પાત્ર માટેનું સૂત્ર મેળવવા માટે ચોથી-શક્તિ લેમ્માનો ઉપયોગ કર્યો હતો. ત્યારબાદ, આઇઝેનસ્ટાઇને ઘન અને ચતુર્થાંશ પારસ્પરિકતા સાબિત કરવા માટે ત્રીજી અને ચોથી-શક્તિ આવૃત્તિઓનો ઉપયોગ કર્યો. nth ઘાત અવશેષ પ્રતીક k એ પૂર્ણાંકોની વીંટી સાથેનું બીજગણિત સંખ્યા ક્ષેત્ર છે અને તે એક મુખ્ય આદર્શ છે. ના આદર્શ ધોરણને અવશેષ વર્ગ રિંગની મુખ્યતા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. પ્રાઇમ હોવાથી આ એક મર્યાદિત ક્ષેત્ર છે, તેથી આદર્શ ધોરણ છે. ધારો કે એકતાનું આદિમ મૂળ અને તે અને સહઅસ્તિત્વ છે (એટલે કે. ). પછી એકતાના કોઈ પણ બે અલગ મૂળ એકરૂપ મોડ્યુલો ન હોઈ શકે. આ વિરોધાભાસ દ્વારા સાબિત કરી શકાય છે, જે મોડ ધારીને શરૂ થાય છે. તે મોડ, અને દો. એકતાના મૂળની વ્યાખ્યા પરથી, અને દ્વારા વિભાજીત કરવાથી લેટિંગ અને લેટિંગ રેસિડ્યુઝ મોડ મળે છે, કારણ કે અને કોપ્રાઇમ, મોડ છે પરંતુ ધારણા હેઠળ, જમણી બાજુના પરિબળોમાંથી એક શૂન્ય હોવું જોઈએ. તેથી, બે અલગ મૂળ એકરૂપ છે તેવી ધારણા ખોટી છે. આમ ની શક્તિઓ ધરાવતાં અવશેષ વર્ગો તેના એકમોના (ગુણાકાર) જૂથના ક્રમનું પેટા જૂથ છે, તેથી, નો ક્રમ એક ગુણાંક છે, અને તેમાં ફર્માટના પ્રમેયનો એક એનાલોગ છે. જો માટે, તો પછી અને મોડથી, સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત છે અને એકતાના અનન્ય મૂળ સાથે સુસંગત છે. એકતાના આ મૂળને માટે th-પાવર અવશેષ પ્રતીક કહેવામાં આવે છે અને તેના દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે તે સાબિત કરી શકાય છે કે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો ત્યાં કોઈ મોડ હોય. 1/n પ્રણાલીઓ ચાલો એકતાના th મૂળનું ગુણાકાર જૂથ હોઈએ, અને ચાલો તેના કોસેટના પ્રતિનિધિઓ હોઈએ પછી તેને સિસ્ટમ મોડ કહેવામાં આવે છે બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, સમૂહમાં સંખ્યાઓ હોય છે અને આ સમૂહ માટે પ્રતિનિધિ સમૂહ બનાવે છે. સિસ્ટમ બનાવવી એ સરળ છેઃ ચાલો કોઈ પણ પસંદ કરો અને તેમાંથી એકરૂપ સંખ્યાઓને દૂર કરવા માટે એક પ્રતિનિધિ સમૂહ બનીએ. જ્યાં સુધી સમાપ્ત ન થાય ત્યાં સુધી પુનરાવર્તન માટે સુસંગત સંખ્યાઓમાંથી પસંદ કરો અને દૂર કરો. પછી એક સિસ્ટમ મોડ છે nth પાવર્સ માટે લેમ્માને ગૌસના લેમ્માને નીચે પ્રમાણે th પાવર અવશેષ પ્રતીક સુધી વિસ્તૃત કરી શકાય છે. ચાલો એકતાનું આદિમ મૂળ, એક મુખ્ય આદર્શ, (એટલે કે. પછી દરેક માટે, પૂર્ણાંકો, અનન્ય (મોડ), અને અનન્ય (મોડ) હોય છે, જેમ કે અને th-પાવર અવશેષ પ્રતીક સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે. સાબિતી th-પાવર લેમ્માનો પુરાવો એ જ વિચારોનો ઉપયોગ કરે છે જેનો ઉપયોગ દ્વિઘાત લેમ્માના પુરાવોમાં કરવામાં આવ્યો હતો. પૂર્ણાંકો અને, અને તેમની વિશિષ્ટતા (મોડ) અને (મોડ) નું અસ્તિત્વ, અનુક્રમે, એક પ્રતિનિધિ સમૂહ છે તે હકીકતમાંથી આવે છે. ધારો કે = =, એટલે કે. અને પછી કારણ અને સહઅસ્તિત્વ બંને બાજુઓ દ્વારા વિભાજિત કરી શકાય છે, જે આપીને, કારણ કે તે એક પ્રણાલી છે, સૂચવે છે અને દર્શાવે છે કે તે સમૂહનું ક્રમચય છે. પછી એક તરફ, શક્તિ અવશેષ પ્રતીકની વ્યાખ્યા દ્વારા, અને બીજી તરફ, કારણ એ એક ક્રમચય છે, તેથી અને બધા માટે, અને સહમૌલિક હોવાથી, એકરૂપતાની બંને બાજુથી રદ કરી શકાય છે, અને પ્રમેય એ હકીકત પરથી અનુસરે છે કે એકતાના કોઈ પણ બે અલગ મૂળ એકરૂપ (મોડ) હોઈ શકતા નથી. જૂથ સિદ્ધાંતમાં સ્થાનાંતરણ સાથેનો સંબંધ ચાલો બિન-શૂન્ય અવશેષ વર્ગોનું ગુણાકાર જૂથ હોઈએ, અને પેટા જૂથ {+ 1, −1} હોઈએ. કોસેટ પ્રતિનિધિઓના આ સંગ્રહમાં ટ્રાન્સફરની મશીનરીને લાગુ કરીને, આપણે ટ્રાન્સફર હોમોમોર્ફિઝમ મેળવીએ છીએ જે લેમ્માના નિવેદનમાં મોકલે છે, ક્યાં છે અને ક્યાં છે તે નકશો હોવાનું બહાર આવે છે. ગૌસના લેમ્માને પછી ગણતરી તરીકે જોવામાં આવી શકે છે જે સ્પષ્ટપણે આ હોમોમોર્ફિઝમને દ્વિઘાત અવશેષ પાત્ર તરીકે ઓળખે છે. ઝોલોટારેવના લેમ્મા સંદર્ભો પણ જુઓ સંખ્યા સિદ્ધાંતમાં પુરાવાઓ ધરાવતા લેમ્મા મોડ્યુલર અંકગણિત ચતુર્ભુજ અવશેષો સંખ્યા સિદ્ધાંતમાં ચોરસ