Complete sequence
ગણિતમાં, કુદરતી સંખ્યાઓના ક્રમને સંપૂર્ણ ક્રમ કહેવામાં આવે છે જો દરેક હકારાત્મક પૂર્ણાંકને ક્રમમાં મૂલ્યોના સરવાળા તરીકે વ્યક્ત કરી શકાય, દરેક મૂલ્યનો મહત્તમ એક વખત ઉપયોગ કરીને. ઉદાહરણ તરીકે, દ્વિસંગી અંક પ્રણાલીનો આધાર, બે (1,2,4,8,.) ની ઘાતોનો ક્રમ, એક સંપૂર્ણ ક્રમ છે; કોઈપણ પ્રાકૃતિક સંખ્યાને જોતાં, આપણે તેની દ્વિસંગી રજૂઆતમાં 1 બિટ્સને અનુરૂપ મૂલ્યો પસંદ કરી શકીએ છીએ અને તે સંખ્યા મેળવવા માટે તેનો સરવાળો કરી શકીએ છીએ (દા. ત. 37 = 1001012 = 1 + 4 + 32). આ ક્રમ ન્યૂનતમ છે, કારણ કે કેટલીક પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓને રજૂ કરવી અશક્ય બનાવ્યા વિના તેમાંથી કોઈ મૂલ્ય દૂર કરી શકાતું નથી. સંપૂર્ણ ન હોય તેવા ક્રમના સરળ ઉદાહરણોમાં સમ સંખ્યાઓનો સમાવેશ થાય છે, કારણ કે સમ સંખ્યાઓ ઉમેરવાથી માત્ર સમ સંખ્યાઓ ઉત્પન્ન થાય છે-કોઈ વિષમ સંખ્યા બનાવી શકાતી નથી. સંપૂર્ણતા માટેની શરતો સામાન્યતાની ખોટ વિના, ધારો કે ક્રમ એક બિન-ઘટતા ક્રમમાં છે, અને એકના આંશિક સરવાળાને આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરે છેઃ પછી એક સંપૂર્ણ ક્રમ બનવા માટે શરતો જરૂરી અને પૂરતી બંને હોય છે. ઉપરોક્ત સ્થિતિઓનો એક ઉપસંહાર જે an ને સંપૂર્ણ ક્રમ બનાવવા માટે પૂરતા છે. જો કે, એવા સંપૂર્ણ ક્રમ છે જે આ પરિણામને સંતોષતા નથી, ઉદાહરણ તરીકે, જેમાં 2 ની દરેક ઘાત પછી નંબર 1 અને પ્રથમ અવિભાજ્યનો સમાવેશ થાય છે. અન્ય સંપૂર્ણ ક્રમમાં નીચેનાનો સમાવેશ થાય છેઃ સંખ્યા 1 નો ક્રમ અને ત્યારબાદ મુખ્ય સંખ્યાઓ (એસ. એસ. પિલ્લાઇ અને અન્ય લોકો દ્વારા અભ્યાસ કરાયેલ); આ બર્ટ્રાન્ડની પૂર્વધારણાથી અનુસરે છે. વ્યવહારુ સંખ્યાઓનો ક્રમ જે પ્રથમ પદ તરીકે 1 ધરાવે છે અને ઉપગણ તરીકે 2 ની અન્ય તમામ શક્તિઓ ધરાવે છે. ફિબોનાકી સંખ્યાઓ, તેમજ કોઈપણ એક સંખ્યા સાથે ફિબોનાકી સંખ્યાઓ દૂર કરવામાં આવી છે. આ ઓળખ પરથી અનુસરે છે કે પ્રથમ n ફિબોનાકી સંખ્યાઓનો સરવાળો (n + 2) nd ફિબોનાકી સંખ્યા બાદબાકી 1 છે. જેમ દ્વિસંગી આંકડાકીય પ્રણાલીને કારણે બેની શક્તિઓ સંપૂર્ણ ક્રમ બનાવે છે, તેવી જ રીતે હકીકતમાં કોઈપણ સંપૂર્ણ ક્રમનો ઉપયોગ બિટ સ્ટ્રિંગ્સ તરીકે પૂર્ણાંકોને એન્કોડ કરવા માટે થઈ શકે છે. જમણી બાજુનું બીટ સ્થાન ક્રમના પ્રથમ, સૌથી નાના સભ્યને સોંપવામાં આવે છે; આગામી જમણી બાજુના સભ્યને; અને તેથી વધુ. 1 પર સેટ કરેલા બિટ્સ રકમમાં શામેલ છે. આ રજૂઆતો અનન્ય ન પણ હોઈ શકે. ફિબોનાકી કોડિંગ ઉદાહરણ તરીકે, ફિબોનાકી અંકગણિત પ્રણાલીમાં, ફિબોનાકી ક્રમ પર આધારિત, સંખ્યા 17 ને છ અલગ અલગ રીતે એન્કોડ કરી શકાય છેઃ 110111 (F6 + F5 + F3 + F2 + F1 = 8 + 5 + 2 + 1 + 1 = 17, મહત્તમ સ્વરૂપ) 111001 (F6 + F5 + F4 + F1 = 8 + 5 + 3 + 1 = 17) 111010 (F6 + F5 + F4 + F2 = 8 + 5 + 3 + 1 = 17) 1000111 (F7 + F3 + F2 + F1 = 13 + 2 + 1 + 1 = 17) પાછળના વિના સંપૂર્ણ કોડિંગ અહીં મળી શકે છે. પાછળના એકને છોડીને, ઉપરનું 17 માટેનું કોડિંગ A104326 ના 16મા પદ તરીકે જોવા મળે છે. ન્યૂનતમ ફોર્મ ક્યારેય F1 નો ઉપયોગ કરશે નહીં અને હંમેશા પાછળનું શૂન્ય હશે. પાછળના શૂન્ય વિના સંપૂર્ણ કોડિંગ અહીં મળી શકે છે. આ કોડિંગને ઝેકેન્ડોર્ફ રજૂઆત તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. આ આંકડાકીય પ્રણાલીમાં, ફિબોનાકી સંખ્યાઓની વ્યાખ્યાને કારણે કોઈપણ સબસ્ટ્રિંગ "100" ને "011" દ્વારા બદલી શકાય છે અને તેનાથી ઊલટું. આ નિયમોનો સતત અમલ મહત્તમથી ન્યૂનતમમાં અનુવાદિત થશે, અને ઊલટું. હકીકત એ છે કે કોઈપણ સંખ્યા (1 કરતા મોટી) ને ટર્મિનલ 0 સાથે રજૂ કરી શકાય છે તેનો અર્થ એ છે કે 1 ઉમેરવું હંમેશા શક્ય છે, અને આપેલ છે કે, 1 અને 2 માટે ફિબોનાકી કોડિંગમાં રજૂ કરી શકાય છે, સંપૂર્ણતા ઇન્ડક્શન દ્વારા અનુસરે છે. ઓસ્ટ્રોવસ્કી અંક સંદર્ભો બાહ્ય કડીઓ પૂર્ણાંક ક્રમ પણ જુઓ.