Rectangular potential barrier
ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સમાં, લંબચોરસ (અથવા, અમુક સમયે, ચોરસ) સંભવિત અવરોધ એ પ્રમાણભૂત એક-પરિમાણીય સમસ્યા છે જે તરંગ-યાંત્રિક ટનલિંગ (જેને "ક્વોન્ટમ ટનલિંગ" પણ કહેવાય છે) અને તરંગ-યાંત્રિક પ્રતિબિંબની ઘટનાઓને દર્શાવે છે. આ સમસ્યામાં લંબચોરસ સંભવિત ઊર્જા અવરોધનો સામનો કરતા કણ માટે એક-પરિમાણીય સમય-સ્વતંત્ર શ્રોડિન્જર સમીકરણને ઉકેલવાનો સમાવેશ થાય છે. અહીંની જેમ સામાન્ય રીતે એવું માનવામાં આવે છે કે મુક્ત કણ ડાબી બાજુથી અવરોધને અવરોધે છે. જો કે શાસ્ત્રીય રીતે બિંદુ દળ તરીકે વર્તતો કણ પ્રતિબિંબિત થશે જો તેની ઊર્જા વાસ્તવમાં દ્રવ્ય તરંગ તરીકે વર્તતા કણ કરતાં ઓછી હોય તો અવરોધમાં પ્રવેશવાની અને બીજી બાજુ તરંગ તરીકે તેની મુસાફરી ચાલુ રાખવાની બિન-શૂન્ય સંભાવના હોય છે. શાસ્ત્રીય તરંગ-ભૌતિકશાસ્ત્રમાં, આ અસરને અવિકસિત તરંગ જોડાણ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. કણ અવરોધમાંથી પસાર થવાની સંભાવના પ્રસારણ ગુણાંક દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યારે તે પ્રતિબિંબિત થવાની સંભાવના પ્રતિબિંબ ગુણાંક દ્વારા આપવામાં આવે છે. શ્રોડિંગરનું તરંગ-સમીકરણ આ ગુણાંકની ગણતરી કરવાની મંજૂરી આપે છે. ગણતરી તરંગ કાર્ય માટે સમય-સ્વતંત્ર શ્રોડિન્જર સમીકરણ વાંચે છે કે હેમિલ્ટોનિયન ક્યાં છે, (ઘટાડેલ) પ્લાન્ક અચળાંક છે, દળ છે, કણની ઊર્જા છે અને ઊંચાઈ અને પહોળાઈ સાથે અવરોધ ક્ષમતા છે. તે હેવિસાઇડ સ્ટેપ ફંક્શન છે, એટલે કે, અવરોધ અને વચ્ચે સ્થિત છે. પરિણામમાં ફેરફાર કર્યા વિના અવરોધને કોઈપણ સ્થાને ખસેડી શકાય છે. હેમિલ્ટોનિયનમાં પ્રથમ શબ્દ, ગતિ ઊર્જા છે. અવરોધ જગ્યાને ત્રણ ભાગોમાં વિભાજિત કરે છે (). આમાંના કોઈપણ ભાગમાં, પોટેન્શિયલ અચળ હોય છે, જેનો અર્થ થાય છે કે કણ અર્ધ-મુક્ત હોય છે, અને શ્રોડિંગર સમીકરણનો ઉકેલ ડાબી અને જમણી બાજુએ ફરતા તરંગોના સુપરપોઝિશન તરીકે લખી શકાય છે (મુક્ત કણ જુઓ). જો તરંગ સંખ્યાઓ ઊર્જા સાથે સંબંધિત હોય તો ગુણાંક પરનો સૂચકાંક અને વેગ વેક્ટરની દિશા સૂચવે છે. નોંધ લો કે, જો કણની ઊર્જા અવરોધની ઊંચાઈથી નીચે હોય, તો તે કાલ્પનિક બની જાય છે અને તરંગ કાર્ય અવરોધની અંદર ઝડપથી ક્ષીણ થઈ રહ્યું છે. તેમ છતાં, આ કિસ્સામાં તરંગો હવે ફેલાતા નથી તેમ છતાં આપણે સંકેત રાખીએ છીએ. અહીં આપણે ધાર્યું. આ કેસ નીચે ગણવામાં આવે છે. ગુણાંક તરંગ કાર્યની સીમા શરતો પરથી અને પર શોધવાના હોય છે. તરંગ કાર્ય અને તેના વ્યુત્પન્ન દરેક જગ્યાએ સતત હોવા જોઈએ, તેથી તરંગ કાર્યોને દાખલ કરવાથી, સીમા શરતો ગુણાંક પ્રસારણ અને પ્રતિબિંબ પર નીચેના પ્રતિબંધો આપે છે. બંને કિસ્સાઓમાં, કણ અવરોધ ક્ષેત્રની બહાર મુક્ત કણ તરીકે વર્તે છે. અવરોધની ઊંચાઈ કરતાં મોટી ઊર્જા ધરાવતો શાસ્ત્રીય કણ હંમેશા અવરોધને પાર કરશે, અને અવરોધ પર ઘટના ધરાવતો શાસ્ત્રીય કણ હંમેશા પ્રતિબિંબિત થશે. ક્વોન્ટમ કેસનો અભ્યાસ કરવા માટે, નીચેની પરિસ્થિતિને ધ્યાનમાં લોઃ ડાબી બાજુથી અવરોધ પર કણની ઘટના તે પ્રતિબિંબિત અથવા પ્રસારિત થઈ શકે છે ડાબી બાજુથી ઘટના માટે પ્રતિબિંબ અને પ્રસારણ માટેના કંપનવિસ્તાર શોધવા માટે, આપણે ઉપરોક્ત સમીકરણો (આવતા કણ), (પ્રતિબિંબ), (જમણી બાજુથી કોઈ આવતા કણ નહીં), અને (પ્રસારણ) મૂકીએ છીએ. પછી આપણે સમીકરણમાંથી ગુણાંકને દૂર કરીએ છીએ અને માટે હલ કરીએ છીએ અને પરિણામ એ આવે છે કેઃ મોડેલની મિરર સમપ્રમાણતાને કારણે, જમણી બાજુથી આપતનાં કંપનવિસ્તાર ડાબી બાજુથી સમાન હોય છે. નોંધ લો કે આ અભિવ્યક્તિઓ કોઈપણ ઊર્જા ધરાવે છે જો તો આ બંને અભિવ્યક્તિઓમાં એકવચનતા છે. પ્રાપ્ત અભિવ્યક્તિઓ E <V0 નું વિશ્લેષણ આશ્ચર્યજનક પરિણામ એ છે કે અવરોધની ઊંચાઈ કરતા ઓછી ઊર્જા માટે, અવરોધ દ્વારા કણો પ્રસારિત થવાની બિન-શૂન્ય સંભાવના છે, આ અસર, જે શાસ્ત્રીય કેસથી અલગ છે, તેને ક્વોન્ટમ ટનલિંગ કહેવામાં આવે છે. ટ્રાન્સમિશનને અવરોધ પહોળાઈ સાથે ઝડપથી દબાવવામાં આવે છે, જેને તરંગ કાર્યના કાર્યાત્મક સ્વરૂપમાંથી સમજી શકાય છેઃ અવરોધની બહાર તે તરંગ વેક્ટર સાથે દોલન કરે છે જ્યારે અવરોધની અંદર તે ઝડપથી અંતર પર ભીનું થાય છે જો અવરોધ આ સડો લંબાઈ કરતાં ઘણો પહોળો હોય, તો ડાબો અને જમણો ભાગ વર્ચ્યુઅલ રીતે સ્વતંત્ર હોય છે અને પરિણામે ટનલિંગ દબાવવામાં આવે છે. E> V0 આ કિસ્સામાં જ્યાં સમાન આશ્ચર્યજનક બાબત એ છે કે અવરોધની ઊંચાઈ કરતા મોટી ઊર્જા માટે, કણ બિન-શૂન્ય સંભાવના સાથે અવરોધમાંથી પ્રતિબિંબિત થઈ શકે છે. કોઈપણ પ્રતિબિંબ (,) વિના સંપૂર્ણ પ્રસારણનું શાસ્ત્રીય પરિણામ માત્ર ઉચ્ચ ઊર્જાની મર્યાદામાં જ નહીં પણ જ્યારે ઊર્જા અને અવરોધની પહોળાઈ સંતોષાય છે ત્યારે પણ પુનઃઉત્પાદિત થાય છે, જ્યાં (ઉપરની આકૃતિમાં નજીકના શિખરો અને 1.8 જુઓ). નોંધ લો કે લેખિત સંભાવનાઓ અને કંપનવિસ્તાર અવરોધ ઊંચાઈની કોઈપણ ઊર્જા (ઉપર/નીચે) માટે છે. E = V0 પ્રસારણની સંભાવના એ છે કે આ અભિવ્યક્તિ અન્ય કિસ્સાઓમાં ઉપર જણાવેલા સ્થિરાંકોમાંથી પ્રસારણ ગુણાંકની ગણતરી કરીને અથવા અભિગમ તરીકેની મર્યાદા લઈને મેળવી શકાય છે. આ હેતુ માટે ગુણોત્તર વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જેનો ઉપયોગ કાર્યમાં થાય છેઃ છેલ્લા સમીકરણમાં નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છેઃ આ વ્યાખ્યાઓ અભિવ્યક્તિમાં દાખલ કરી શકાય છે જેના માટે કેસ માટે મેળવવામાં આવ્યું હતું. હવે, જ્યારે x ની મર્યાદાની ગણતરી 1 ની નજીક પહોંચે છે (એલ 'હોપિટાલના નિયમનો ઉપયોગ કરીને), ત્યારે અભિગમ 1 ની મર્યાદા પણ મેળવી શકાય છેઃ મર્યાદા માટે મૂલ્યાંકન મૂલ્ય માટે ઉપરોક્ત અભિવ્યક્તિને પ્લગ કરીને, T માટે ઉપરોક્ત અભિવ્યક્તિ સફળતાપૂર્વક પુનઃઉત્પાદિત થાય છે. ટિપ્પણીઓ અને ઉપયોગો ઉપર રજૂ કરેલી ગણતરી શરૂઆતમાં અવાસ્તવિક અને ભાગ્યે જ ઉપયોગી લાગે છે. જો કે તે વિવિધ વાસ્તવિક જીવન પ્રણાલીઓ માટે યોગ્ય મોડેલ સાબિત થયું છે. આવા એક ઉદાહરણ બે વાહક સામગ્રી વચ્ચેના આંતરપૃષ્ઠો છે. મોટાભાગની સામગ્રીમાં, ઇલેક્ટ્રોનની ગતિ અર્ધ-મુક્ત હોય છે અને તેને અસરકારક દળ સાથે ઉપરના હેમિલ્ટોનિયનમાં ગતિશીલ શબ્દ દ્વારા વર્ણવી શકાય છે. ઘણીવાર આવી સામગ્રીની સપાટીઓ ઓક્સાઇડ સ્તરોથી ઢંકાયેલી હોય છે અથવા અન્ય કારણોસર આદર્શ હોતી નથી. આ પાતળા, બિન-વાહક સ્તરને પછી ઉપરની જેમ અવરોધ ક્ષમતા દ્વારા મોડેલિંગ કરી શકાય છે. ઇલેક્ટ્રોન પછી એક સામગ્રીમાંથી બીજી સામગ્રીમાં ટનલ કરી શકે છે જે પ્રવાહને જન્મ આપે છે. સ્કેનીંગ ટનલિંગ માઇક્રોસ્કોપ (એસટીએમ) ની કામગીરી આ ટનલિંગ અસર પર આધાર રાખે છે. તે કિસ્સામાં, અવરોધ એસટીએમની ટોચ અને અંતર્ગત પદાર્થ વચ્ચેના અંતરને કારણે છે. ટનલનો પ્રવાહ અવરોધની પહોળાઈ પર ઝડપથી આધાર રાખે છે, તેથી આ ઉપકરણ તપાસાયેલા નમૂના પર ઊંચાઈની ભિન્નતા માટે અત્યંત સંવેદનશીલ છે. ઉપરોક્ત મોડેલ એક-પરિમાણીય છે, જ્યારે જગ્યા ત્રિ-પરિમાણીય છે. શ્રોડિંગર સમીકરણને ત્રણ પરિમાણોમાં ઉકેલવું જોઈએ. બીજી બાજુ, ઘણી પ્રણાલીઓ માત્ર એક સંકલન દિશા સાથે બદલાય છે અને અન્ય સાથે અનુવાદાત્મક રીતે અપરિવર્તનશીલ હોય છે; તેઓ અલગ પાડી શકાય તેવા હોય છે. શ્રોડિંગર સમીકરણ પછી પ્રકારનાં તરંગ કાર્ય માટે ansatz દ્વારા અહીં ધ્યાનમાં લેવાયેલા કિસ્સામાં ઘટાડી શકાય છેઃ અવરોધના અન્ય સંબંધિત નમૂના માટે, ડેલ્ટા સંભવિત અવરોધ (ક્યુ. એમ.) જુઓ, જેને મર્યાદિત સંભવિત અવરોધના વિશેષ કેસ તરીકે ગણી શકાય. આ લેખના તમામ પરિણામો સ્થિર રાખીને મર્યાદાઓ લઈને ડેલ્ટા સંભવિત અવરોધને તરત જ લાગુ પડે છે. મોર્સ/લોંગ-રેન્જ પોટેન્શિયલ સ્ટેપ પોટેન્શિયલ ફાઈનાઇટ પોટેન્શિયલ વેલ સંદર્ભો ક્વોન્ટમ મોડેલ્સ સ્કેટરિંગ થિયરી શ્રોડિંગર સમીકરણ ક્વોન્ટમ મિકેનિકલ પોટેન્શિયલ