Construction of an irreducible Markov chain in the Ising model
ઇઝિંગ મોડેલમાં ઈરીડ્યુસિબલ માર્કોવ સાંકળનું નિર્માણ એ પરિણામોને સાબિત કરવા માટેની એક ગાણિતિક પદ્ધતિ છે. લાગુ ગણિતમાં, ઇઝિંગ મોડેલમાં ઈરીડ્યુસિબલ માર્કોવ ચેઇનનું નિર્માણ એ કોમ્પ્યુટેશનલ અવરોધને દૂર કરવા માટેનું પ્રથમ પગલું છે જ્યારે માર્કોવ ચેઇન મોન્ટે કાર્લો પદ્ધતિનો ઉપયોગ મર્યાદિત ઇઝિંગ મોડેલ માટે ચોક્કસ ગુડનેસ-ઓફ-ફિટ ટેસ્ટ મેળવવા માટે કરવામાં આવે છે. આઇસિંગ મોડેલનો ઉપયોગ ચુંબકીય તબક્કાના સંક્રમણોનો અભ્યાસ કરવા માટે થાય છે અને તે ક્રિયાપ્રતિક્રિયા કરતી પ્રણાલીઓના નમૂનાઓમાંનું એક છે. માર્કોવ દરેક પૂર્ણાંક વેક્ટરને આધાર આપે છે, જેને વિશિષ્ટ રીતે, ક્યાં અને બિન-નકારાત્મક વેક્ટર તરીકે લખી શકાય છે. ઇઝિંગ મોડેલ માટે માર્કોવ આધાર એ પૂર્ણાંક વેક્ટરનો સમૂહ છે જેમ કેઃ (i) બધા માટે, અને હોવો આવશ્યક છે. (ii) કોઈપણ અને કોઈપણ માટે, હંમેશા સંતોષ અસ્તિત્વ ધરાવે છે અને l = 1,., k માટે. પછી, મેટ્રોપોલિસ-હેસ્ટિંગ્સ અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરીને, આપણે અપેરિયોડિક, રિવર્સિબલ અને ઈરીડ્યુસિબલ માર્કોવ ચેઇન મેળવી શકીએ છીએ. પર્સી ડાયકોનિસ અને બર્ન્ડ સ્ટર્મફેલ્સ દ્વારા 1998 માં પ્રકાશિત પેપર 'શરતી વિતરણોમાંથી નમૂના લેવા માટે બીજગણિત અલ્ગોરિધમ્સ' દર્શાવે છે કે માર્કોવ આધારને બીજગણિત રીતે ઇઝિંગ મોડેલ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. કાગળ મુજબ, આદર્શ માટે કોઈપણ જનરેટિંગ સેટ ઇઝિંગ મોડેલ માટે માર્કોવ આધાર છે. ઈરીડ્યુસિબલ માર્કોવ સાંકળનું નિર્માણ કાગળમાં ઉલ્લેખિત અલ્ગોરિધમમાં ફેરફાર કર્યા વિના, એકસમાન નમૂના મેળવવાનું અશક્ય છે, અન્યથા અચોક્કસ પી-મૂલ્યો તરફ દોરી જાય છે. એક સરળ સ્વેપને સ્વરૂપ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જ્યાં નો કેનોનિકલ બેઝિસ વેક્ટર છે. સરળ અદલાબદલીઓ y માં બે જાળી બિંદુઓની સ્થિતિને બદલે છે. ઝેડ નમૂનાના વિનિમયના સમૂહને સૂચવે છે. પછી બે રૂપરેખાંકનો Z દ્વારા જોડવામાં આવે છે, જો સરળ અદલાબદલી વચ્ચે અને તેમાં કોઈ રસ્તો હોય, જેનો અર્થ એ છે કે ત્યાં એવું અસ્તિત્વ છે કે l = 1,., k માટે અલ્ગોરિધમ હવે આ રીતે વર્ણવી શકાય છેઃ (i) રૂપરેખાંકનમાં માર્કોવ સાંકળથી પ્રારંભ કરો (ii) રેન્ડમ પર સમાન રીતે પસંદ કરો અને દો. (iii) સ્વીકારો જો; અન્યથા y માં રહે છે. પરિણામી માર્કોવ સાંકળ કદાચ પ્રારંભિક સ્થિતિને છોડી શકતી નથી, તેમ છતાં 1-પરિમાણીય ઇસિંગ મોડેલ માટે સમસ્યા ઊભી થતી નથી. ઉચ્ચ પરિમાણોમાં, આપણે મેટ્રોપોલિસ-હેસ્ટિંગ્સ અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરીને આ સમસ્યાને દૂર કરી શકીએ છીએ, જેમાં 1-પરિમાણીય આઇસિંગ મોડેલમાં સૌથી નાના વિસ્તૃત નમૂના અવકાશમાં ઇરેડ્યુસિબિલિટી 1-પરિમાણીય આઇસિંગ મોડેલમાં ઇરેડ્યુસિબિલિટીના સાબિતી માટે બે લેમ્માની જરૂર પડે છે. લેમ્મા 1:1-પરિમાણ ઇઝિંગ મોડેલ માટે મહત્તમ-સિંગલટન રૂપરેખાંકન અનન્ય છે (તેના જોડાયેલા ઘટકોના સ્થાન સુધી) અને તેમાં સિંગલટન અને કદના એક જોડાયેલા ઘટકોનો સમાવેશ થાય છે. લેમ્મા 2: અને માટે, ચાલો અનન્ય મહત્તમ-સિંગલટન રૂપરેખાંકનને દર્શાવીએ. ત્યાં એક ક્રમ અસ્તિત્વમાં છે જેમ કેઃ અને l = 1,., k માટે કારણ કે તે સૌથી નાની વિસ્તૃત નમૂનાની જગ્યા છે જેમાં, કોઈપણ બે રૂપરેખાંકનોને છોડ્યા વિના સરળ સ્વેપ Z દ્વારા જોડી શકાય છે. આ લેમ્મા 2 દ્વારા સાબિત થાય છે, તેથી આપણે 1-પરિમાણ આઈસિંગ મોડેલ માટે સરળ અદલાબદલીના આધારે માર્કોવ સાંકળની ઇરેડ્યુસિબિલિટી મેળવીએ છીએ. ઉપરના પગલાઓ દ્વારા પરિમાણ 2 અથવા તેનાથી વધુના આઈસિંગ મોડેલ માટે સમાન નિષ્કર્ષ મેળવવો પણ શક્ય છે. સંદર્ભો લેટીસ મોડેલો માર્કોવ સાંકળ મોન્ટે કાર્લો