Radial basis function
ગણિતમાં રેડિયલ બેસિસ ફંક્શન (આરબીએફ) એ એક વાસ્તવિક મૂલ્ય ધરાવતું ફંક્શન છે, જેનું મૂલ્ય માત્ર ઇનપુટ અને અમુક નિશ્ચિત બિંદુ વચ્ચેના અંતર પર આધાર રાખે છે, ક્યાં તો મૂળ, જેથી, અથવા કોઈ અન્ય નિશ્ચિત બિંદુ, જેને કેન્દ્ર કહેવાય છે, જેથી. ગુણધર્મને સંતોષે તેવું કોઈપણ કાર્ય રેડિયલ કાર્ય છે. અંતર સામાન્ય રીતે યુક્લિડિયન અંતર હોય છે, જો કે કેટલીકવાર અન્ય મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. તેનો ઉપયોગ ઘણીવાર સંગ્રહ તરીકે થાય છે જે રસના અમુક કાર્ય માટે આધાર બનાવે છે, તેથી તેનું નામ છે. રેડિયલ પાયાના કાર્યોના સરવાળાનો ઉપયોગ સામાન્ય રીતે આપેલ કાર્યોને અંદાજિત કરવા માટે થાય છે. આ અંદાજ પ્રક્રિયાને એક સરળ પ્રકારના ન્યુરલ નેટવર્ક તરીકે પણ અર્થઘટન કરી શકાય છે; આ તે સંદર્ભ હતો જેમાં તેઓ મૂળરૂપે 1988માં ડેવિડ બ્રૂમહેડ અને ડેવિડ લોવેના કાર્યમાં મશીન લર્નિંગ પર લાગુ કરવામાં આવ્યા હતા, જે માઈકલ જે. ડી. પોવેલના 1977ના નિર્ણાયક સંશોધનમાંથી ઉદ્ભવ્યા હતા. આર. બી. એફ. નો ઉપયોગ સહાયક વેક્ટર વર્ગીકરણમાં કર્નલ તરીકે પણ થાય છે. આ તકનીક એટલી અસરકારક અને લવચીક સાબિત થઈ છે કે રેડિયલ બેસિસ ફંક્શન્સ હવે વિવિધ ઇજનેરી કાર્યક્રમોમાં લાગુ કરવામાં આવે છે. વ્યાખ્યા રેડિયલ કાર્ય એ એક કાર્ય છે. જ્યારે વેક્ટર જગ્યા પર મેટ્રિક સાથે જોડી બનાવવામાં આવે છે ત્યારે કાર્યને કેન્દ્રમાં રેડિયલ કર્નલ કહેવામાં આવે છે. રેડિયલ ફંક્શન અને સંબંધિત રેડિયલ કર્નલોને રેડિયલ બેસિસ ફંક્શન્સ કહેવામાં આવે છે, જો કોઈ પણ નોડ્સના સમૂહ માટે ઉદાહરણોમાં સામાન્ય રીતે ઉપયોગમાં લેવાતા રેડિયલ બેસિસ ફંક્શન્સના પ્રકારોમાં (રેડિયલ કર્નલના ઇનપુટને માપવા માટે ઉપયોગમાં લઈ શકાય તેવા આકારના પરિમાણને સૂચવવા માટે લખવું અને તેનો ઉપયોગ કરવો): અંદાજ રેડિયલ બેસિસ ફંક્શન્સનો ઉપયોગ સામાન્ય રીતે તે સ્વરૂપના કાર્ય અંદાજો બનાવવા માટે થાય છે જ્યાં અંદાજિત કાર્યને રેડિયલ બેસિસ ફંક્શન્સના સરવાળા તરીકે રજૂ કરવામાં આવે છે, દરેક અલગ કેન્દ્ર સાથે સંકળાયેલું હોય છે અને યોગ્ય ગુણાંક દ્વારા ભારિત હોય. આ પ્રકારની અંદાજિત યોજનાઓનો ઉપયોગ ખાસ કરીને સમય શ્રેણીની આગાહી અને બિનરેખીય પ્રણાલીઓના નિયંત્રણમાં કરવામાં આવે છે જે કમ્પ્યુટર ગ્રાફિક્સમાં પૂરતી સરળ અસ્તવ્યસ્ત વર્તણૂક અને 3D પુનર્નિર્માણ દર્શાવે છે (ઉદાહરણ તરીકે, અધિક્રમિક આરબીએફ અને પોઝ સ્પેસ ડિફૉર્મેશન). આરબીએફ નેટવર્ક સરવાળાને રેડિયલ બેઝિસ ફંક્શન નેટવર્ક તરીકે ઓળખાતા કૃત્રિમ ન્યુરલ નેટવર્કના સરળ એક-સ્તરના પ્રકાર તરીકે પણ અર્થઘટન કરી શકાય છે, જેમાં રેડિયલ બેઝિસ ફંક્શન નેટવર્કના સક્રિયકરણ કાર્યોની ભૂમિકા ભજવે છે. તે દર્શાવી શકાય છે કે કોમ્પેક્ટ અંતરાલ પરના કોઈપણ સતત કાર્યને સૈદ્ધાંતિક રીતે આ સ્વરૂપના સરવાળા દ્વારા મનસ્વી ચોકસાઈ સાથે ઇન્ટરપોલેટ કરી શકાય છે, જો પૂરતા પ્રમાણમાં મોટી સંખ્યામાં રેડિયલ બેસિસ કાર્યોનો ઉપયોગ કરવામાં આવે. વજનના સંદર્ભમાં અંદાજ અલગ પાડી શકાય તેવો છે. આમ ન્યુરલ નેટવર્ક્સ માટે કોઈપણ પ્રમાણભૂત પુનરાવર્તિત પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને વજન શીખી શકાય છે. આ રીતે રેડિયલ પાયાના કાર્યોનો ઉપયોગ કરવાથી વાજબી અંતર્વેશન અભિગમ પ્રાપ્ત થાય છે, જો કે ફિટિંગ સમૂહ એવી રીતે પસંદ કરવામાં આવ્યો હોય કે તે સમગ્ર શ્રેણીને વ્યવસ્થિત રીતે આવરી લે (સમાન અંતરના ડેટા બિંદુઓ આદર્શ છે). જો કે, બહુપદી શબ્દ કે જે રેડિયલ બેસિસ ફંક્શન્સ માટે ઓર્થોગોનલ હોય તે વિના, ફિટિંગ સેટની બહારના અંદાજો નબળું પ્રદર્શન કરે છે. પી. ડી. ઈ. ના રેડિયલ બેસિસ ફંક્શન્સ માટેના આર. બી. એફ. નો ઉપયોગ કાર્યોને અંદાજિત કરવા માટે થાય છે અને તેથી તેનો ઉપયોગ આંશિક વિભેદક સમીકરણો (પી. ડી. ઈ.) ને અલગ પાડવા અને આંકડાકીય રીતે ઉકેલવા માટે થઈ શકે છે. આ સૌપ્રથમ 1990 માં ઇ. જે. કંસ દ્વારા કરવામાં આવ્યું હતું જેમણે પ્રથમ આરબીએફ આધારિત આંકડાકીય પદ્ધતિ વિકસાવી હતી. તેને કંસ પદ્ધતિ કહેવામાં આવે છે અને તેનો ઉપયોગ લંબગોળ પોઈસન સમીકરણ અને રેખીય એડવેક્શન-પ્રસરણ સમીકરણને ઉકેલવા માટે કરવામાં આવ્યો હતો. ડોમેનમાં બિંદુઓ પર કાર્ય મૂલ્યો આર. બી. એફ. ના રેખીય સંયોજન દ્વારા અંદાજવામાં આવે છેઃ વ્યુત્પન્નોનો અંદાજ આ રીતે કરવામાં આવે છેઃ જ્યાં વિસર્જિત ડોમેનમાં બિંદુઓની સંખ્યા, ડોમેનનું પરિમાણ અને વિકલન ઓપરેટર દ્વારા અપરિવર્તિત સ્કેલર ગુણાંક છે. ત્યારબાદ રેડિયલ બેઝિસ ફંક્શન્સ પર આધારિત વિવિધ આંકડાકીય પદ્ધતિઓ વિકસાવવામાં આવી હતી. કેટલીક પદ્ધતિઓ આરબીએફ-એફડી પદ્ધતિ, આરબીએફ-ક્યુઆર પદ્ધતિ અને આરબીએફ-પીયુએમ પદ્ધતિ છે. મેટર્ન કોવેરિયન્સ ફંક્શન રેડિયલ બેઝિસ ફંક્શન ઇન્ટરપોલેશન કંસા પદ્ધતિ સંદર્ભો વધુ વાંચન સિરાયનોન, એસ., 1988, ક્રિગિંગનો તુલનાત્મક અભ્યાસ, મલ્ટીક્વાડ્રિક-બાયહાર્મોનિક અને ખનિજ સંસાધન સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટેની અન્ય પદ્ધતિઓ, પીએચડી જુઓ. નિબંધ, વિભાગ. પૃથ્વી વિજ્ઞાન વિભાગ, આયોવા સ્ટેટ યુનિવર્સિટી, એમ્સ, આયોવા. આર્ટિફિશિયલ ન્યુરલ નેટવર્ક્સ ઇન્ટરપોલેશન ન્યુમેરિકલ એનાલિસિસ