Dihedral angle
ડાયહેડ્રલ કોણ એ બે આંતરછેદના સમતલ અથવા અર્ધ-સમતલ વચ્ચેનો કોણ છે. રસાયણશાસ્ત્રમાં, તે ત્રણ અણુઓના બે સમૂહો દ્વારા અર્ધ-સમતલ વચ્ચે ઘડિયાળની દિશામાં કોણ છે, જેમાં બે અણુ સામાન્ય છે. નક્કર ભૂમિતિમાં, તેને એક રેખા અને બે અર્ધ-સમતલના જોડાણ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જેમાં આ રેખા એક સામાન્ય ધાર તરીકે હોય છે. ઉચ્ચ પરિમાણોમાં, ડાયહેડ્રલ કોણ બે હાયપરપ્લેન વચ્ચેના ખૂણાને રજૂ કરે છે. જ્યારે સ્ટારબોર્ડ અને પોર્ટ મુખ્ય વિમાનો (સામાન્ય રીતે "પાંખો" તરીકે ઓળખાય છે) બંને બાજુના અક્ષ તરફ ઉપર તરફ વળેલા હોય ત્યારે ઉડતી મશીનના વિમાનોને હકારાત્મક ડાયહેડ્રલ ખૂણા પર હોવાનું કહેવાય છે; જ્યારે નીચે તરફ વળેલું હોય ત્યારે તેઓ નકારાત્મક ડાયહેડ્રલ ખૂણા પર હોવાનું કહેવાય છે. ગાણિતિક પૃષ્ઠભૂમિ જ્યારે બે આંતરછેદના વિમાનોને બે સમીકરણો દ્વારા કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સની દ્રષ્ટિએ વર્ણવવામાં આવે છે ત્યારે તેમની વચ્ચેનો ડાયહેડ્રલ કોણ આના દ્વારા આપવામાં આવે છેઃ અને સંતોષ આપે છે વૈકલ્પિક રીતે, જો અને વિમાનો માટે સામાન્ય વેક્ટર હોય, તો એક પાસે વેક્ટરનું ડોટ પ્રોડક્ટ ક્યાં છે અને તે તેમની લંબાઈનું ઉત્પાદન છે. ઉપરોક્ત સૂત્રોમાં નિરપેક્ષ મૂલ્ય જરૂરી છે, કારણ કે એક સમીકરણમાં તમામ ગુણાંક ચિહ્નોને બદલતી વખતે અથવા એક સામાન્ય વેક્ટરને તેની વિરુદ્ધ દ્વારા બદલતી વખતે સમતલ બદલાતા નથી. જો કે, બે અર્ધ સમતલના ડાયહેડ્રલ કોણને ધ્યાનમાં લેતી વખતે નિરપેક્ષ મૂલ્યો ટાળી શકાય છે અને ટાળવા જોઈએ, જેમની સીમાઓ સમાન રેખા છે. આ કિસ્સામાં, અર્ધ પ્લેનને તેમના આંતરછેદના બિંદુ અને ત્રણ વેક્ટર દ્વારા વર્ણવી શકાય છે, અને તે અનુક્રમે આંતરછેદ રેખા, પ્રથમ અર્ધ પ્લેન અને બીજા અર્ધ પ્લેન સાથે સંબંધિત છે. આ બે અર્ધ પ્લેનનો ડાયહેડ્રલ કોણ આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે અને સંતોષ આપે છે આ કિસ્સામાં, બે અર્ધ-પ્લેનને બદલવાથી સમાન પરિણામ મળે છે, અને તે જ રીતે ડાયહેડ્રલ કોણને વ્યાખ્યાયિત કરે છે રસાયણશાસ્ત્રમાં (નીચે જુઓ), આપણે ડાયહેડ્રલ કોણને એવી રીતે વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ કે જે કોણની નિશાનીમાં ફેરફાર કરે છે, જે અને વચ્ચે હોઈ શકે છે. પોલિમર ભૌતિકશાસ્ત્રમાં પોલિમર ભૌતિકશાસ્ત્ર જેવા કેટલાક વૈજ્ઞાનિક ક્ષેત્રોમાં, કોઈ વ્યક્તિ બિંદુઓની સાંકળ અને સતત બિંદુઓ વચ્ચેની કડીઓ પર વિચાર કરી શકે છે. જો બિંદુઓ ક્રમિક રીતે ક્રમાંકિત હોય અને સ્થાનો,, વગેરે પર સ્થિત હોય. પછી બોન્ડ વેક્ટરને વધુ સામાન્ય રીતે = −, = −, અને = − દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. પ્રોટીન માળખામાં કાઇનેમેટિક સાંકળો અથવા એમિનો એસિડ માટે આ સ્થિતિ છે. આ કિસ્સાઓમાં, કોઈને ઘણીવાર સતત ત્રણ બિંદુઓ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત અર્ધ-સમતલમાં રસ હોય છે, અને આવા સતત બે અર્ધ-સમતલ વચ્ચેના ત્રિભુજ ખૂણામાં રસ હોય છે. જો, અને સતત ત્રણ બોન્ડ વેક્ટર હોય, તો અર્ધ-સમતલનું આંતરછેદ લક્ષી હોય છે, જે અંતરાલ સાથે સંબંધિત ડાયહેડ્રલ કોણને વ્યાખ્યાયિત કરવાની મંજૂરી આપે છે. આ ડાયહેડ્રલ કોણ એટાન 2 ફંક્શનનો ઉપયોગ કરીને અથવા દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, આ ડાયહેડ્રલ કોણ સાંકળની દિશા પર આધારિત નથી (જે ક્રમમાં બિંદુને ગણવામાં આવે છે)-આ ક્રમમાં દરેક વેક્ટરને તેના વિરુદ્ધ વેક્ટર દ્વારા બદલવાનો અને સૂચકાંકો 1 અને 3 નું વિનિમય કરવાનો સમાવેશ થાય છે. બંને ક્રિયાઓ કોસાઇનને બદલતી નથી, પરંતુ સાઇનની નિશાનીને બદલે છે. આમ, એકસાથે, તેઓ કોણ બદલતા નથી. સમાન ડાયહેડ્રલ ખૂણો માટેનું એક સરળ સૂત્ર નીચે મુજબ છે (સાબિતી નીચે આપવામાં આવી છે) અથવા સમકક્ષ રીતે, વેક્ટર ક્વાડ્રપલ પ્રોડક્ટ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને અગાઉના સૂત્રોમાંથી આ અનુમાન કરી શકાય છે, અને હકીકત એ છે કે સ્કેલર ટ્રિપલ પ્રોડક્ટ શૂન્ય છે જો તેમાં બે વાર સમાન વેક્ટર હોયઃ ક્રોસ પ્રોડક્ટની વ્યાખ્યાને જોતાં, આનો અર્થ એ છે કે તે પ્રથમ અણુની તુલનામાં ચોથા અણુની ઘડિયાળની દિશામાં કોણ છે, જ્યારે બીજા અણુથી ત્રીજા અણુ સુધી અક્ષને નીચે જુએ છે. ખાસ કિસ્સાઓ (સામાન્ય કિસ્સાઓ કહી શકાય) છે, અને, જેને ટ્રાન્સ, ગૌચે +, અને ગૌચે-કન્ફોર્મેશન કહેવામાં આવે છે. સ્ટીરિયોકેમિસ્ટ્રીમાં સ્ટીરિયોકેમિસ્ટ્રીમાં, વળાંક કોણને ડાયહેડ્રલ કોણના ચોક્કસ ઉદાહરણ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જે રાસાયણિક બંધન દ્વારા જોડાયેલા પરમાણુના બે ભાગોના ભૌમિતિક સંબંધનું વર્ણન કરે છે. અણુના ત્રણ બિન-કોલોનિયર અણુઓનો દરેક સમૂહ અર્ધ-સમતલને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. ઉપર વર્ણવ્યા મુજબ, જ્યારે આવા બે અર્ધ-સમતલ એકબીજાને છેદે છે (એટલે કે, સતત ચાર બંધાયેલા અણુઓનો સમૂહ), ત્યારે તેમની વચ્ચેનો કોણ એક ડાયહેડ્રલ કોણ હોય છે. ડાયહેડ્રલ ખૂણાઓનો ઉપયોગ પરમાણુ રચનાને સ્પષ્ટ કરવા માટે થાય છે. 0 ° અને ± 90 ° વચ્ચેના ખૂણાઓને અનુરૂપ સ્ટીરિયોકેમિકલ ગોઠવણીને સિન (ઓ) કહેવામાં આવે છે, જે ± 90 ° અને 180 ° વિરોધી (એ) વચ્ચેના ખૂણાઓને અનુરૂપ હોય છે. તેવી જ રીતે, 30° અને 150° વચ્ચે અથવા −30° અને −150° વચ્ચેના ખૂણાઓને અનુરૂપ ગોઠવણીઓને ક્લિનલ (c) કહેવામાં આવે છે અને 0° અને ±30° અથવા ±150° અને 180° વચ્ચેના ખૂણાઓને પેરિપ્લાનર (p) કહેવામાં આવે છે. બે પ્રકારના શબ્દોને જોડી શકાય છે જેથી કોણની ચાર શ્રેણીઓને વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય; 0° થી ±30° સિંપરીપ્લાનર (sp); 30° થી 90° અને −30° થી −90° સિંક્લિનલ (એસસી); 90° થી 150° અને −90° થી −150° એન્ટિકલિનલ (એસી); ±150° થી 180° એન્ટીપરીપ્લાનર (એપી). સિંપરિપ્લાનર રચનાને સિન-અથવા સિસ-રચના તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે; એન્ટી અથવા ટ્રાન્સ તરીકે એન્ટિપરિપ્લાનર; અને ગૌચે અથવા સ્ક્યુ તરીકે સિંક્લિનલ. ઉદાહરણ તરીકે, એન-બ્યુટેન સાથે બે કેન્દ્રીય કાર્બન પરમાણુઓ અને મિથાઈલ કાર્બન પરમાણુઓમાંથી કોઈ એકની દ્રષ્ટિએ બે વિમાનો નિર્દિષ્ટ કરી શકાય છે. ઉપર દર્શાવેલ સિંક-રચના, 60°ના ડાયહેડ્રલ ખૂણા સાથે 180°ના ડાયહેડ્રલ ખૂણા સાથે એન્ટિ-કન્ફોર્મેશન કરતાં ઓછી સ્થિર છે. મેક્રોમોલેક્યુલર ઉપયોગ માટે પ્રતીકો T, C, G +, G −, A + અને A − ની ભલામણ કરવામાં આવે છે (અનુક્રમે ap, sp, + sc, −sc, + ac અને −ac). મૂળરૂપે 1963માં જી. એન. રામચંદ્રન, સી. રામકૃષ્ણન અને વી. શશિશેખરન દ્વારા વિકસાવવામાં આવેલ રામચંદ્રન પ્લોટ (રામચંદ્રન આકૃતિ અથવા [φ, si] પ્લોટ તરીકે પણ ઓળખાય છે) એ પ્રોટીન માળખામાં એમિનો એસિડના અવશેષોના φ સામે કરોડરજ્જુના ડાયહેડ્રલ ખૂણાઓ માટે ઊર્જાસભર રીતે માન્ય પ્રદેશોની કલ્પના કરવાની એક રીત છે. પ્રોટીન સાંકળમાં ત્રણ ડાયહેડ્રલ ખૂણાઓ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છેઃ ω (ω) એ સાંકળ Cα − C '− N − Cα નો ખૂણો છે, φ (phi) એ સાંકળ C' − N − Cα − C 'si (psi) નો ખૂણો છે જે સાંકળ N − Cα − C' − N નો ખૂણો છે (રામચંદ્રન દ્વારા φ′ કહેવાય છે) જમણી બાજુની આકૃતિ આ દરેક ખૂણાઓનું સ્થાન સમજાવે છે (પરંતુ તે જે રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે તે રીતે તે યોગ્ય રીતે દર્શાવતું નથી). પેપ્ટાઇડ બંધની સમતુલા સામાન્ય રીતે ω ને 180° (લાક્ષણિક ટ્રાન્સ કેસ) અથવા 0° (દુર્લભ સિસ કેસ) સુધી મર્યાદિત કરે છે. ટ્રાન્સ અને સિસ આઇસોમર્સમાં Cα અણુઓ વચ્ચેનું અંતર અનુક્રમે આશરે 3.8 અને 2.9 Å છે. પ્રોટીનમાં મોટાભાગના પેપ્ટાઇડ બંધ ટ્રાન્સ હોય છે, જો કે પ્રોલિનના નાઇટ્રોજન સાથેના પેપ્ટાઇડ બંધમાં અન્ય એમિનો-એસિડ જોડીઓની તુલનામાં સિસનો વ્યાપ વધે છે. બાજુની સાંકળના ડાયહેડ્રલ ખૂણાઓને χn (ચી-એન) સાથે નિયુક્ત કરવામાં આવે છે. તેઓ 180°, 60° અને −60° ની નજીક ક્લસ્ટર થવાનું વલણ ધરાવે છે, જેને ટ્રાન્સ, ગૌચે −, અને ગૌચે + કન્ફોર્મેશન કહેવામાં આવે છે. ચોક્કસ સાઇડચેન ડાયહેડ્રલ ખૂણાઓની સ્થિરતા φ અને si મૂલ્યોથી પ્રભાવિત થાય છે. દાખલા તરીકે, ગૌચે + રોટેમરમાં બાજુની સાંકળના સી. જી. એમ. અને આગામી અવશેષના બેકબોન નાઇટ્રોજન વચ્ચે સીધી સ્ટેરિક ક્રિયાપ્રતિક્રિયાઓ થાય છે જ્યારે ±-60° ની નજીક હોય છે. બેકબોન-ડિપેન્ડન્ટ રોટેમર લાઈબ્રેરીઓમાં આંકડાકીય વિતરણો પરથી આ સ્પષ્ટ થાય છે. સાંકળોમાં ડાયહેડ્રલ ખૂણાઓથી કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સમાં રૂપાંતર આંતરિક કોઓર્ડિનેટ્સમાં પોલિમર બેકબોન્સ, ખાસ કરીને પ્રોટીનનું પ્રતિનિધિત્વ કરવું સામાન્ય છે; એટલે કે, સતત ડાયહેડ્રલ ખૂણાઓ અને બોન્ડની લંબાઈની સૂચિ. જો કે, કેટલાક પ્રકારના કોમ્પ્યુટેશનલ રસાયણશાસ્ત્ર તેના બદલે કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સનો ઉપયોગ કરે છે. કોમ્પ્યુટેશનલ સ્ટ્રક્ચર ઓપ્ટિમાઇઝેશનમાં, કેટલાક પ્રોગ્રામ્સને તેમના પુનરાવર્તન દરમિયાન આ રજૂઆતો વચ્ચે આગળ અને પાછળ ફેરવવાની જરૂર છે. આ કાર્ય ગણતરીના સમય પર પ્રભુત્વ ધરાવે છે. ઘણા પુનરાવર્તનો અથવા લાંબી સાંકળો ધરાવતી પ્રક્રિયાઓ માટે, તે સંચિત આંકડાકીય અચોક્કસતા પણ રજૂ કરી શકે છે. જ્યારે તમામ રૂપાંતર અલ્ગોરિધમ્સ ગાણિતિક રીતે સમાન પરિણામો ઉત્પન્ન કરે છે, ત્યારે તેઓ ઝડપ અને આંકડાકીય ચોકસાઈમાં અલગ પડે છે. ભૂમિતિ દરેક પોલિહેડ્રોનની દરેક ધાર પર એક ડાયહેડ્રલ કોણ હોય છે જે તે ધારને શેર કરતા બે ચહેરાના સંબંધનું વર્ણન કરે છે. આ ડાયહેડ્રલ ખૂણો, જેને ચહેરાનો ખૂણો પણ કહેવામાં આવે છે, તેને પોલિહેડ્રોનના સંદર્ભમાં આંતરિક ખૂણો તરીકે માપવામાં આવે છે. 0°ના કોણનો અર્થ એ છે કે ચહેરાના સામાન્ય વાહક સમાંતર છે અને ચહેરાઓ એકબીજાને ઓવરલેપ કરે છે, જે સૂચવે છે કે તે ડીજનરેટ પોલિહેડ્રોનનો ભાગ છે. 180° નો કોણનો અર્થ છે કે ટાઇલિંગની જેમ ચહેરાઓ સમાંતર છે. પોલિહેડ્રોનના અંતર્મુખ ભાગો પર 180°થી મોટો કોણ હોય છે. એજ-ટ્રાન્ઝિટિવ પોલિહેડ્રોનમાં દરેક ડાયહેડ્રલ કોણ સમાન મૂલ્ય ધરાવે છે. આમાં 5 પ્લેટોનિક ઘન પદાર્થો, 13 કતલાન ઘન પદાર્થો, 4 કેપ્લર-પોઇનસોત પોલિહેડ્રા, બે ક્વાસીરેગ્યુલર ઘન પદાર્થો અને બે ક્વાસીરેગ્યુલર બેવડા ઘન પદાર્થોનો સમાવેશ થાય છે. ડાયહેડ્રલ ખૂણા માટે કોસાઇનોનો નિયમ પોલીહેડ્રોનના 3 ચહેરાઓ આપવામાં આવે છે જે સામાન્ય શિરોબિંદુ P પર મળે છે અને તેની ધાર AP, BP અને CP હોય છે, APC અને BPC ધરાવતા ચહેરાઓ વચ્ચેના ડાયહેડ્રલ કોણની કોસાઇન છેઃ આ કોસાઇનના ગોળાકાર નિયમમાંથી અનુમાન કરી શકાય છે. સ્ટીરિયોકેમિસ્ટ્રી પ્રોટીન માળખું યુક્લિડિયન ઘન ભૂમિતિ કોણ વિમાનો (ભૂમિતિ)