Grothendieck category
ગણિતમાં, ગ્રોથેન્ડીક શ્રેણી એ ચોક્કસ પ્રકારની અબેલિયન શ્રેણી છે, જે 1957ના એલેક્ઝાન્ડર ગ્રોથેન્ડીકના તોહોકુ પેપરમાં રજૂ કરવામાં આવી હતી, જેથી મોડ્યુલો માટે અને શીવ્સ માટે એકીકૃત રીતે હોમોલોજિકલ બીજગણિતની મશીનરી વિકસાવી શકાય. આ શ્રેણીઓનો સિદ્ધાંત 1962માં પિયરે ગેબ્રિએલના મુખ્ય થીસીસમાં વધુ વિકસાવવામાં આવ્યો હતો. દરેક બીજગણિત વિવિધતા સાથે કોઈ વ્યક્તિ ગ્રોથેન્ડીક શ્રેણીને જોડી શકે છે, જેમાં અર્ધ-સુસંગત આવરણ હોય છે. આ શ્રેણી વિશેની તમામ સંબંધિત ભૌમિતિક માહિતીને એન્કોડ કરે છે, અને (ગેબ્રિએલ-રોસેનબર્ગ પુનર્નિર્માણ પ્રમેય) માંથી પુનઃપ્રાપ્ત કરી શકાય છે. આ ઉદાહરણ બિનપરિવર્તનશીલ બીજગણિત ભૂમિતિ માટે એક અભિગમને જન્મ આપે છેઃ "બિન-વિનિમયશીલ જાતો" નો અભ્યાસ એ (ચોક્કસ) ગ્રોથેન્ડીક વર્ગોના અભ્યાસ સિવાય બીજું કંઈ નથી. વ્યાખ્યા વ્યાખ્યા પ્રમાણે, ગ્રોથેન્ડીક શ્રેણી એ જનરેટર સાથેની એબી5 શ્રેણી છે. જોડણીમાં, આનો અર્થ એ છે કે તે એક અબેલિયન શ્રેણી છે; પદાર્થોના દરેક (સંભવતઃ અનંત) કુટુંબમાં સહઉત્પાદન (સીધા સરવાળા તરીકે પણ ઓળખાય છે) હોય છે; ટૂંકા ચોક્કસ સિક્વન્સની સીધી મર્યાદાઓ ચોક્કસ હોય છે; આનો અર્થ એ છે કે જો ટૂંકા ચોક્કસ સિક્વન્સની સીધી સિસ્ટમ આપવામાં આવે, તો સીધી મર્યાદાનો પ્રેરિત ક્રમ પણ ટૂંકા ચોક્કસ ક્રમ છે. (સીધી મર્યાદાઓ હંમેશા બરાબર હોય છે; અહીં મહત્વનો મુદ્દો એ છે કે આપણે તેમને ડાબી બાજુએ પણ બરાબર રાખવાની જરૂર છે.) તેની પાસે જનરેટર છે, એટલે કે. તેમાં એક એવી વસ્તુ છે જે સમૂહોની શ્રેણીમાં વફાદાર ફંકટર છે. (આપણી પરિસ્થિતિમાં, આ કહેવાની સમકક્ષ છે કે દરેક પદાર્થ એક એપિમોર્ફિઝમને સ્વીકારે છે, જ્યાં (સંભવતઃ અનંત) સમૂહના દરેક તત્વ માટે એકની નકલોનો સીધો સરવાળો સૂચવે છે.) "ગ્રોથેન્ડીક શ્રેણી" નામ ન તો ગ્રોથેન્ડીકના તોહોકુ પેપરમાં કે ન તો ગેબ્રિએલના થીસીસમાં દેખાયું હતું; તેનો ઉપયોગ 1960ના દાયકાના ઉત્તરાર્ધમાં જાન-એરિક રૂસ, બો સ્ટેનસ્ટ્રોમ, ઉલરિચ ઓબર્સ્ટ અને બોડો પેરેગીસ સહિત અનેક લેખકોના કાર્યમાં થયો હતો. (કેટલાક લેખકો એક અલગ વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરે છે જેમાં તેમને જનરેટરના અસ્તિત્વની જરૂર નથી.) ઉદાહરણો ગ્રોથેન્ડીક શ્રેણીનું આદર્શ ઉદાહરણ એ અબેલિયન જૂથોની શ્રેણી છે; પૂર્ણાંકોનું અબેલિયન જૂથ જનરેટર તરીકે કામ કરી શકે છે. વધુ સામાન્ય રીતે, કોઈપણ રિંગ (સહયોગી, સાથે, પરંતુ જરૂરી નથી કે પરિવર્તનીય) આપવામાં આવે તો, ઉપરના બધા જમણા (અથવા વૈકલ્પિક રીતેઃ ડાબે) મોડ્યુલોની શ્રેણી ગ્રોથેન્ડીક શ્રેણી છે; તે પોતે જનરેટર તરીકે કામ કરી શકે છે. ટોપોલોજિકલ જગ્યાને જોતાં, એબેલિયન જૂથોના તમામ આવરણની શ્રેણી ગ્રોથેન્ડીક શ્રેણી છે. (વધુ સામાન્ય રીતેઃ જમણા મોડ્યુલની તમામ શીવ્સની શ્રેણી કોઈપણ રિંગ માટે ગ્રોથેન્ડીક શ્રેણી છે.) રિંગ્ડ જગ્યાને જોતાં, OX-મોડ્યુલોના શીવ્સની શ્રેણી ગ્રોથેન્ડીક શ્રેણી છે. (એફાઇન અથવા પ્રોજેક્ટિવ) બીજગણિત વિવિધતા (અથવા વધુ સામાન્ય રીતેઃ કોઈપણ યોજના) જોતાં, અર્ધ-સુસંગત આવરણની શ્રેણી ગ્રોથેન્ડીક શ્રેણી છે. એક નાની સાઇટ (સી, જે) (એટલે કે. ગ્રોથેન્ડીક ટોપોલોજી જે) સાથે એક નાની શ્રેણી સી, સાઇટ પરના અબેલિયન જૂથોના તમામ શીવ્સની શ્રેણી ગ્રોથેન્ડીક શ્રેણી છે. ગ્રોથેન્ડીક શ્રેણીઓનું વધુ નિર્માણ કોઈપણ શ્રેણી કે જે ગ્રોથેન્ડીક શ્રેણીની સમકક્ષ હોય તે પોતે જ ગ્રોથેન્ડીક શ્રેણી છે. ગ્રોથેન્ડીક શ્રેણીઓને જોતાં, ઉત્પાદન શ્રેણી ગ્રોથેન્ડીક શ્રેણી છે. એક નાની શ્રેણી અને ગ્રોથેન્ડીક શ્રેણીને જોતાં, ફંકટર શ્રેણી, જેમાં થી થી સુધીના તમામ સહપરિવર્તનશીલ ફંકટરનો સમાવેશ થાય છે, તે ગ્રોથેન્ડીક શ્રેણી છે. નાની પ્રીએડિટિવ શ્રેણી અને ગ્રોથેન્ડીક શ્રેણીને જોતાં, તમામ એડિટિવ કોવેરિયન્ટ ફંકટરની ફંકટર શ્રેણી ગ્રોથેન્ડીક શ્રેણી છે. જો ગ્રોથેન્ડીક શ્રેણી છે અને તે સ્થાનિક પેટા શ્રેણી છે, તો પછી બંને અને સેરે ભાગાકાર શ્રેણી ગ્રોથેન્ડીક શ્રેણીઓ છે. ગુણધર્મો અને પ્રમેયો દરેક ગ્રોથેન્ડીક શ્રેણીમાં ઇન્જેક્ટિવ કોજેનેરેટર હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે, અબેલિયન જૂથોની શ્રેણીનું ઇન્જેક્ટિવ કોજેનેરેટર એ ભાગાકાર જૂથ છે. ગ્રોથેન્ડીક શ્રેણીની દરેક વસ્તુમાં ઇન્જેક્ટિવ હલ હોય છે. આ ઇન્જેક્ટિવ રિઝોલ્યુશનનું નિર્માણ કરવાની મંજૂરી આપે છે અને તેથી વ્યુત્પન્ન ફંકટરને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે હોમોલોજિકલ બીજગણિતના સાધનોનો ઉપયોગ કરે છે. (નોંધ કરો કે તમામ ગ્રોથેન્ડીક શ્રેણીઓ તમામ વસ્તુઓ માટે પ્રોજેક્ટિવ રિઝોલ્યુશનને મંજૂરી આપતી નથી; ઉદાહરણો ઘણા ટોપોલોજિકલ જગ્યાઓ પર અબેલિયન જૂથોના આવરણની શ્રેણીઓ છે, જેમ કે વાસ્તવિક સંખ્યાઓની જગ્યા પર.) ગ્રોથેન્ડીક શ્રેણીમાં, આપેલ ઓબ્જેક્ટના સબઓબ્જેક્ટ્સના કોઈપણ કુટુંબમાં સર્વોચ્ચતા (અથવા "સરવાળો") તેમજ અનંત (અથવા "આંતરછેદ") હોય છે, જે બંને ફરીથી તેના સબઓબ્જેક્ટ્સ છે. વધુમાં, જો પરિવારને નિર્દેશિત કરવામાં આવે (એટલે કે. કુટુંબમાં કોઈપણ બે પદાર્થો માટે, પરિવારમાં ત્રીજો પદાર્થ હોય છે જેમાં બે હોય છે), અને બીજો પેટા વિષય છે, આપણી પાસે ગ્રોથેન્ડીક શ્રેણીઓ સારી રીતે સંચાલિત હોય છે (કેટલીકવાર સ્થાનિક રીતે નાની કહેવાય છે, જો કે તે શબ્દનો ઉપયોગ અલગ ખ્યાલ માટે પણ થાય છે), એટલે કે. આપેલ કોઈપણ પદાર્થની પેટા વસ્તુઓનો સંગ્રહ સમૂહ બનાવે છે (યોગ્ય વર્ગને બદલે). તે એક ઊંડું પરિણામ છે કે દરેક ગ્રોથેન્ડીક શ્રેણી પૂર્ણ છે, એટલે કે. જેમાં મનસ્વી મર્યાદાઓ (અને ખાસ ઉત્પાદનોમાં) અસ્તિત્વ ધરાવે છે. તેનાથી વિપરીત, તે સહ-પૂર્ણ વ્યાખ્યાથી સીધા અનુસરે છે, એટલે કે. જેમાં આર્બિટરી કોલિમિટ્સ અને કોપ્રોડક્ટ્સ (ડાયરેક્ટ સમ) અસ્તિત્વ ધરાવે છે. ગ્રોથેન્ડીક શ્રેણીમાં સહઉત્પાદનો ચોક્કસ છે (એટલે કે. ટૂંકા ચોક્કસ ક્રમના પરિવારનું સહઉત્પાદન ફરીથી ટૂંકા ચોક્કસ ક્રમ છે), પરંતુ ઉત્પાદનો ચોક્કસ હોવાની જરૂર નથી. ગ્રોથેન્ડીક શ્રેણીમાંથી મનસ્વી શ્રેણીમાં આવતા ફંકટરની ડાબી બાજુની બાજુની બાજુની બાજુની બાજુની બાજુની બાજુની બાજુની બાજુની બાજુની બાજુની બાજુની બાજુની બાજુની બાજુની બાજુની બાજુની બાજુની બાજુની બાજુની બાજુની બાજુની બાજુની બાજુની બાજુની બાજુની બાજુની બાજુની બાજુની બાજુની બાજુની બાજુની બાજુની બાજુની બાજુની બાજુની બાજુની બાજુની બાજુની બાજુની બાજુની બાજુની બાજુની બાજુની બાજુની બાજુની બાજુની બાજુની બાજુની બાજુની બાજુની બાજુની બાજુની બાજુની બાજુની બાજુની બાજુની બાજુની બાજુની બાજુની બાજુની બાજુની બાજુની બાજુની બાજુની બાજુની બાજુની બાજુની બાજુની બાજુની બાજુની બાજુની બાજુની બાજુની બાજુની બાજુની બાજુની બાજુની બાજુની બાજુની બાજુની બાજુની બાજુની બાજુની બાજુની બાજુની બાજુની બાજુની બાજુની બાજુની બાજુની બાજુની આ પીટર જે. ફ્રીડના વિશેષ સંલગ્ન ફંકટર પ્રમેય અને તેના દ્વિમાંથી અનુસરે છે. ગેબ્રિએલ-પોપેસ્કુ પ્રમેય જણાવે છે કે કોઈપણ ગ્રોથેન્ડીક શ્રેણી અમુક યુનિટલ રીંગ (જેને જનરેટરની એન્ડોમોર્ફિઝમ રીંગ તરીકે લઈ શકાય છે) પર જમણા મોડ્યુલોની શ્રેણીની સંપૂર્ણ પેટા શ્રેણીની સમકક્ષ હોય છે, અને કેટલાક સ્થાનિક પેટા શ્રેણી દ્વારા ગેબ્રિએલ ભાગ તરીકે મેળવી શકાય છે. ગેબ્રિએલ-પોપેસ્કુના પરિણામે, દરેક ગ્રોથેન્ડીક શ્રેણી સ્થાનિક રીતે પ્રસ્તુત કરવા યોગ્ય છે તે દર્શાવી શકાય છે. વધુમાં, ગેબ્રિએલ-પોપેસ્કુનો ઉપયોગ એ જોવા માટે કરી શકાય છે કે દરેક ગ્રોથેન્ડીક શ્રેણી પૂર્ણ છે, જે કેટલાક લોકો માટે સંપૂર્ણ શ્રેણીની પ્રતિબિંબીત પેટા શ્રેણી છે. દરેક નાની અબેલિયન શ્રેણીને નીચેની રીતે ગ્રોથેન્ડીક શ્રેણીમાં સમાવી શકાય છે. લેફ્ટ-એક્ઝેક્ટ એડિટિવ (કોવેરિયન્ટ) ફંક્ટર્સની શ્રેણી (જ્યાં એબેલિયન જૂથોની શ્રેણી સૂચવે છે) એ ગ્રોથેન્ડીક શ્રેણી છે, અને ફંક્ટર, સાથે, સંપૂર્ણ, વફાદાર અને ચોક્કસ છે. એક જનરેટર બધા સહઉત્પાદન દ્વારા આપવામાં આવે છે, સાથે. આ શ્રેણી ઇન્ડ-ઓબ્જેક્ટ્સની શ્રેણીની સમકક્ષ છે અને એમ્બેડિંગ કુદરતી એમ્બેડિંગને અનુરૂપ છે. તેથી આપણે તેની સહ-પૂર્ણતા તરીકે જોઈ શકીએ છીએ. વિશેષ પ્રકારની વસ્તુઓ અને ગ્રોથેન્ડીક શ્રેણીઓ ગ્રોથેન્ડીક શ્રેણીમાં એક વસ્તુને ફાઈનાઈટલી જનરેટેડ કહેવામાં આવે છે જો, જ્યારે પણ તેને પેટા-વસ્તુઓના પરિવારના સરવાળા તરીકે લખવામાં આવે, તો તે પહેલેથી જ મર્યાદિત ઉપકુટુંબનો સરવાળો હોય છે. (મોડ્યુલ શ્રેણીઓના કિસ્સામાં, આ કલ્પના મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન થયેલ મોડ્યુલોની પરિચિત કલ્પનાની સમકક્ષ છે.) ફાઈનાઈટલી જનરેટેડ ઓબ્જેક્ટ્સની એપીમોર્ફિક ઈમેજ ફરીથી ફાઈનાઈટલી જનરેટ થાય છે. જો અને બંને અને મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન થાય છે, તો તે જ છે. ઑબ્જેક્ટ મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન થાય છે જો, અને માત્ર ત્યારે જ, કોઈપણ નિર્દેશિત સિસ્ટમ માટે જેમાં દરેક મોર્ફિઝમ એક મોનોમોર્ફિઝમ છે, કુદરતી મોર્ફિઝમ એક આઇસોમોર્ફિઝમ છે. ગ્રોથેન્ડીક શ્રેણીમાં કોઈ બિન-શૂન્ય મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન થયેલ વસ્તુઓ હોવી જરૂરી નથી. ગ્રોથેન્ડીક શ્રેણીને સ્થાનિક રીતે મર્યાદિત રીતે જનરેટેડ કહેવામાં આવે છે જો તેમાં મર્યાદિત રીતે જનરેટેડ જનરેટરનો સમૂહ હોય (એટલે કે. જો ત્યાં મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન થયેલ પદાર્થોનો પરિવાર અસ્તિત્વમાં હોય, જેમ કે દરેક પદાર્થ માટે અસ્તિત્વમાં છે અને બિન-શૂન્ય આકારવાદ; સમકક્ષઃ) ની નકલોના સીધા સરવાળાની એપિમોર્ફિક છબી છે. આવી શ્રેણીમાં, દરેક પદાર્થ તેના મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન થયેલા પેટા પદાર્થોનો સરવાળો છે. દરેક શ્રેણી સ્થાનિક રીતે મર્યાદિત રીતે પેદા થાય છે. ગ્રોથેન્ડીક શ્રેણીમાં ઑબ્જેક્ટને ફાઈનાઈટલી પ્રેઝન્ટ કહેવામાં આવે છે જો તે ફાઈનાઈટલી જનરેટેડ હોય અને ફાઈનાઈટલી જનરેટેડ ડોમેન સાથેના દરેક એપીમોર્ફિઝમમાં ફાઈનાઈટલી જનરેટેડ કર્નલ હોય. ફરીથી, આ મર્યાદિત રીતે પ્રસ્તુત મોડ્યુલોની કલ્પનાને સામાન્ય બનાવે છે. જો અને બંને અને મર્યાદિત રીતે રજૂ કરવામાં આવે, તો તે જ છે. સ્થાનિક રીતે મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન થયેલ ગ્રોથેન્ડીક શ્રેણીમાં, મર્યાદિત રીતે પ્રસ્તુત વસ્તુઓને નીચે પ્રમાણે વર્ગીકૃત કરી શકાય છેઃ in મર્યાદિત રીતે રજૂ કરવામાં આવે છે જો, અને માત્ર ત્યારે જ જો, દરેક નિર્દેશિત પ્રણાલી માટે, કુદરતી મોર્ફિઝમ એક સમરૂપતા હોય. ગ્રોથેન્ડીક શ્રેણીમાં એક વસ્તુને સુસંગત કહેવામાં આવે છે જો તે મર્યાદિત રીતે પ્રસ્તુત કરવામાં આવે અને જો તેના દરેક મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન થયેલ પેટા પદાર્થો પણ મર્યાદિત રીતે પ્રસ્તુત કરવામાં આવે. (આ ગોળાકાર જગ્યા પર સુસંગત આવરણની કલ્પનાને સામાન્ય બનાવે છે.) તમામ સુસંગત પદાર્થોની સંપૂર્ણ પેટા શ્રેણી એબેલિયન છે અને સમાવેશ કારક ચોક્કસ છે. ગ્રોથેન્ડીક શ્રેણીમાં એક પદાર્થને નોથેરિયન કહેવામાં આવે છે જો તેની પેટા વસ્તુઓનો સમૂહ ચડતી સાંકળની સ્થિતિને સંતોષે છે, એટલે કે. જો ઉપ-વસ્તુઓનો દરેક ક્રમ આખરે સ્થિર થઈ જાય. આ ત્યારે જ બને છે જ્યારે X નો દરેક પેટા પદાર્થ મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન થાય. (આ કિસ્સામાં, આ કલ્પના નોથેરિયન મોડ્યુલોની પરિચિત કલ્પનાની સમકક્ષ છે.) જો તેમાં નોથેરિયન જનરેટરનો સમૂહ હોય તો ગ્રોથેન્ડીક શ્રેણીને સ્થાનિક રીતે નોથેરિયન કહેવામાં આવે છે; એક ઉદાહરણ ડાબી-નોથેરિયન રિંગ પર ડાબી બાજુના મોડ્યુલોની શ્રેણી છે. નોંધો સંદર્ભો બાહ્ય લિંક્સ એબેલિયન શ્રેણીઓ, ડેનિયલ મર્ફેટની નોંધો. વિભાગ 2.3 માં ગ્રોથેન્ડીક શ્રેણીઓને આવરી લેવામાં આવી છે. શ્રેણી સિદ્ધાંત યોગાત્મક વર્ગો હોમોલોજિકલ બીજગણિત