Dehn invariant
ભૂમિતિમાં, ડેહ્ન અપરિવર્તન એ એક મૂલ્ય છે જેનો ઉપયોગ એ નક્કી કરવા માટે થાય છે કે શું એક પોલિહેડ્રોનને ટુકડાઓમાં કાપી શકાય છે અને બીજામાં ફરીથી જોડી શકાય છે ("વિચ્છેદિત"), અને શું પોલિહેડ્રોન અથવા તેના વિચ્છેદન જગ્યા ટાઇલ કરી શકે છે. તેનું નામ મેક્સ ડેહનના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે, જેમણે હિલ્બર્ટની ત્રીજી સમસ્યાને ઉકેલવા માટે તેનો ઉપયોગ કર્યો હતો અને સાબિત કર્યું હતું કે સમાન કદ ધરાવતા તમામ પોલિહેડ્રાને એકબીજામાં વિચ્છેદિત કરી શકાતા નથી. બે પોલિહેડ્રામાં પોલિહેડ્રલ ટુકડાઓમાં વિચ્છેદન હોય છે જે બંનેમાંથી એકમાં ફરીથી જોડાઈ શકે છે, જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તેમના વોલ્યુમ અને ડેહન અપરિવર્તન સમાન હોય. ડેહ્ન અપરિવર્તનશીલ શૂન્ય હોવું એ જગ્યા ભરતા પોલિહેડ્રોન હોવા માટે જરૂરી (પરંતુ પૂરતું નથી) શરત છે, અને જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તેના ડેહ્ન અપરિવર્તનશીલ શૂન્ય હોય તો પોલિહેડ્રોનને કાપીને જગ્યા ભરતા પોલિહેડ્રોનમાં ફરીથી જોડી શકાય છે. સ્વ-આંતરછેદ-મુક્ત લવચીક પોલિહેડ્રોનનું ડેહન અપરિવર્તનશીલ તે વળાંક સાથે અપરિવર્તનશીલ હોય છે. ડેહન અપરિવર્તન ઉચ્ચ પરિમાણોમાં વિચ્છેદન માટે પણ અપરિવર્તનશીલ છે, અને (કદ સાથે) ચાર પરિમાણોમાં સંપૂર્ણ અપરિવર્તનશીલ છે. સમઘન માટે ડેહન અપરિવર્તન શૂન્ય છે પરંતુ અન્ય પ્લેટોનિક ઘન પદાર્થો માટે બિન-શૂન્ય છે, જે સૂચવે છે કે અન્ય ઘન પદાર્થો જગ્યાને ટાઇલ કરી શકતા નથી અને તેમને સમઘનમાં વિચ્છેદિત કરી શકાતા નથી. તમામ આર્કિમિડીયન ઘન પદાર્થોમાં ડેહ્ન અપરિવર્તનશીલ હોય છે જે પ્લેટોનિક ઘન પદાર્થો માટેના અપરિવર્તનશીલ પદાર્થોના તર્કસંગત સંયોજનો છે. ખાસ કરીને, કાપવામાં આવેલ ઓક્ટાહેડ્રોન પણ જગ્યાને ટાઇલ્સ કરે છે અને સમઘનની જેમ ડેહ્ન અપરિવર્તનશીલ શૂન્ય ધરાવે છે. પોલિહેડ્રાના ડેહન અપરિવર્તન સંખ્યાઓ નથી. તેના બદલે, તેઓ અનંત-પરિમાણીય ટેન્સર જગ્યાના તત્વો છે. આ જગ્યા, જેને અબેલિયન જૂથ તરીકે જોવામાં આવે છે, તે જૂથ સમરૂપતા સાથે સંકળાયેલા ચોક્કસ ક્રમનો એક ભાગ છે. સમાન ફેરફારોને કેટલાક અન્ય વિચ્છેદન કોયડાઓ માટે પણ વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે, જેમાં અક્ષ-સમાંતર કાપ અને અનુવાદો દ્વારા એકબીજામાં લંબચોરસ બહુકોણને વિચ્છેદ કરવાની સમસ્યાનો સમાવેશ થાય છે. પૃષ્ઠભૂમિ અને ઇતિહાસ બે પરિમાણોમાં, 19મી સદીની શરૂઆતથી વોલેસ-બોલાઈ-ગેર્વિયન પ્રમેય જણાવે છે કે સમાન વિસ્તારના કોઈપણ બે બહુકોણને બહુકોણીય ટુકડાઓમાં કાપી શકાય છે અને એક બીજામાં ફરીથી જોડી શકાય છે. 19મી સદીના અંતમાં ડેવિડ હિલ્બર્ટને આ પરિણામમાં રસ પડ્યો. તેમણે તેનો ઉપયોગ યુક્લિડિયન ભૂમિતિ માટે હિલ્બર્ટના સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતોના સંબંધમાં દ્વિ-પરિમાણીય બહુકોણના ક્ષેત્રને સ્વયંસિદ્ધ કરવાના માર્ગ તરીકે કર્યો હતો. આ ભૂમિતિના પાયાને વધુ સખત બનાવવાના કાર્યક્રમનો એક ભાગ હતો, જેમાં યુક્લિડના એલિમેન્ટ્સે વધુ સહજ ભાવે હાથ ધરેલા વિસ્તાર જેવી સ્પષ્ટ કલ્પનાઓને ધ્યાનમાં લેવામાં આવી હતી. સ્વાભાવિક રીતે, આનાથી પ્રશ્ન ઊભો થયો કે શું સમાન સ્વયંસિદ્ધ સારવારને નક્કર ભૂમિતિ સુધી વિસ્તૃત કરી શકાય છે. 1900ની ગણિતશાસ્ત્રીઓની આંતરરાષ્ટ્રીય કોંગ્રેસમાં, હિલ્બર્ટે હિલ્બર્ટની સમસ્યાઓની રચના કરી હતી, જે 20મી સદીના ગણિતમાં ખૂબ પ્રભાવશાળી બની હતી. તેમાંથી એક, હિલ્બર્ટની ત્રીજી સમસ્યા, ઘન કદના સ્વયંસિદ્ધકરણ પર આ પ્રશ્નને સંબોધિત કરે છે. હિલ્બર્ટની ત્રીજી સમસ્યા વધુ સ્પષ્ટ રીતે પૂછવામાં આવી હતી કે શું સમાન જથ્થાના દરેક બે પોલિહેડ્રાને હંમેશા પોલિહેડ્રલ ટુકડાઓમાં કાપી શકાય છે અને એક બીજામાં ફરીથી જોડી શકાય છે. જો આ કિસ્સો હોય, તો કોઈપણ પોલિહેડ્રોનના કદને, સ્વયંસિદ્ધ રીતે, સમકક્ષ ઘનના કદ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે, જેમાં તેને ફરીથી જોડી શકાય છે. જો કે, જવાબ નકારાત્મક હોવાનું બહાર આવ્યું છેઃ તમામ પોલિહેડ્રાને સમઘનમાં વિચ્છેદિત કરી શકાતો નથી. હિલ્બર્ટની કેટલીક અન્ય સમસ્યાઓથી વિપરીત, ત્રીજી સમસ્યાનો જવાબ ખૂબ જ ઝડપથી મળ્યો. હકીકતમાં, રાઉલ બ્રિકાર્ડે 1896માં પહેલેથી જ તેને એક પ્રમેય તરીકે દાવો કર્યો હતો, પરંતુ એક પુરાવા સાથે જે અધૂરું સાબિત થયું. હિલ્બર્ટના વિદ્યાર્થી મેક્સ ડેહને તેમના 1900ના વસવાટના થીસીસમાં આ સમસ્યાનું સમાધાન કરવા માટે ડેહ્ન અપરિવર્તનની શોધ કરી હતી. ડેહને સાબિત કર્યું કે, એકબીજામાં ફરીથી જોડાવા માટે, સમાન કદના બે પોલિહેડ્રા પણ સમાન ડેહન અપરિવર્તનશીલ હોવા જોઈએ, પરંતુ તેમને સમાન કદના બે ટેટ્રાહેડ્રા મળ્યા જેમના ડેહન અપરિવર્તનશીલ અલગ હતા. આનાથી સમસ્યાનું નકારાત્મક સમાધાન મળ્યું. ડેહને તેના અપરિવર્તનશીલને અલગ રીતે ઘડ્યું હોવા છતાં, ડેહ્નના અપરિવર્તનશીલનો આધુનિક અભિગમ તેને ટેન્સર પ્રોડક્ટમાં મૂલ્ય તરીકે વર્ણવવાનો છે, જે નીચે મુજબ છે. ઉદાહરણો સરળીકૃત ગણતરી ડેહ્ન અપરિવર્તનને એવી રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવું કે જે તમામ પોલિહેડ્રા પર એક સાથે લાગુ થઈ શકે, તેમાં અનંત-પરિમાણીય વેક્ટર જગ્યાઓનો સમાવેશ થાય છે (નીચે જુઓ). જો કે, જ્યારે પ્લેટોનિક ઘન જેવા મર્યાદિત રીતે ઘણા પોલિહેડ્રા ધરાવતા કોઈ ચોક્કસ ઉદાહરણ સુધી મર્યાદિત હોય, ત્યારે તેને સરળ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે, જેમાં માત્ર મર્યાદિત સંખ્યામાં પરિમાણોનો સમાવેશ થાય છે, જે નીચે મુજબ છેઃ તમામ પોલિહેડ્રા ની ધારની લંબાઈ અને ડાયહેડ્રલ ખૂણાઓ (ધાર સાથે મળતા બે ચહેરાઓ વચ્ચેનો ખૂણો) નક્કી કરો. કોણોનો પેટા સમૂહ શોધો જે તર્કસંગત આધાર બનાવે છે. આનો અર્થ એ છે કે દરેક ડાયહેડ્રલ કોણને તર્કસંગત સંખ્યા ગુણાંક સાથે આધાર તત્વોના રેખીય સંયોજન તરીકે રજૂ કરી શકાય છે. વધુમાં, પાયાના તત્વોનું કોઈ તર્કસંગત રેખીય સંયોજન શૂન્યનો સરવાળો ન કરી શકે. આ આધારમાં (અથવા તેનો તર્કસંગત ગુણાંક) શામેલ કરો. પોલિહેડ્રોનની દરેક ધાર માટે, તેના ડાયહેડ્રલ ખૂણાને આધારમાંથી ખૂણાઓના તર્કસંગત સંયોજન તરીકે રજૂ કરે છે. આ સંયોજનના પરિમેય ગુણાંક માટે ગુણાંકને કાઢી નાંખો. બાકીના ગુણાંકને વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ તરીકે અર્થઘટન કરો, જેના પરિમાણો આધાર ખૂણાઓનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે, અને આ વેક્ટરને ધારની લંબાઈ દ્વારા માપવા. પોલિહેડ્રોનની તમામ ધાર માટેના વેક્ટરનો સરવાળો કરીને તેનું ડેહ્ન અપરિવર્તન પેદા કરો. જો કે આ પદ્ધતિમાં પાયાના તત્વોની મનસ્વી પસંદગીઓનો સમાવેશ થાય છે, આ પસંદગીઓ માત્ર તે જ ગુણાંકને અસર કરે છે જેના દ્વારા ડેહન અચળાંક રજૂ થાય છે. અમૂર્ત વેક્ટર જગ્યાના ઘટકો તરીકે, તેઓ આધારની પસંદગીથી પ્રભાવિત થતા નથી. પોલિહેડ્રાના કોઈપણ મર્યાદિત સમૂહના ડેહ્ન અપરિવર્તન દ્વારા ફેલાયેલ વેક્ટર જગ્યા અનંત-પરિમાણીય વેક્ટર જગ્યાની મર્યાદિત-પરિમાણીય પેટા જગ્યા બનાવે છે જેમાં તમામ પોલિહેડ્રાના ડેહ્ન અપરિવર્તનને વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. ડાયહેડ્રલ ખૂણાઓના કયા સંયોજનો તર્કસંગત રેખીય સંયોજનો દ્વારા સંબંધિત છે તે પ્રશ્ન હંમેશા સીધો હોતો નથી, અને તેમાં સંખ્યા સિદ્ધાંતમાંથી બિન-તુચ્છ પદ્ધતિઓ શામેલ હોઈ શકે છે. પ્લેટોનિક ઘન પાંચ પ્લેટોનિક ઘન માટે, ડાયહેડ્રલ ખૂણાઓ છેઃ ટેટ્રાહેડ્રોન માટે. સમઘન માટે, એક જમણો ખૂણો. ઓક્ટાહેડ્રોન માટે. ડોડેકાહેડ્રોન માટે, સુવર્ણ ગુણોત્તર ક્યાં છે. આઇકોસાહેડ્રોન માટે. સમઘનનો ડાયહેડ્રલ ખૂણો તેનો તર્કસંગત ગુણાંક છે, પરંતુ બાકીનો નથી. નિયમિત ટેટ્રાહેડ્રોન અને નિયમિત ઓક્ટાહેડ્રોનના ડાયહેડ્રલ ખૂણાઓ પૂરક ખૂણાઓ છેઃ આ પાંચ ખૂણાઓમાંથી ટેટ્રાહેડ્રોન અથવા ઓક્ટાહેડ્રોનને બાકાત રાખવાથી તર્કસંગત આધાર પેદા થાય છેઃ આ ખૂણાઓ વચ્ચે અન્ય કોઈ તર્કસંગત સંબંધો નથી. જો, દાખલા તરીકે, જે આધારને બાકાત રાખવામાં આવે છે તેનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, અને તેનો ઉપયોગ આધાર તત્વ તરીકે થાય છે પરંતુ પછી ડેહ્ન અપરિવર્તનશીલ ગણતરીમાંથી (તર્કસંગત ગુણાંક તરીકે) બાકાત રાખવામાં આવે છે, તો પછી બાકીના કોણ આધારિત ઘટકો છે, અને. પરિણામી ડેહન અપરિવર્તનમાં દરેક આધાર તત્વ માટે એક પરિમાણ હશે. આ આધાર સાથે, ધારની લંબાઈવાળા પ્લેટોનિક ઘન પદાર્થો માટે, ડેહન અપરિવર્તનશીલ છેઃ ટેટ્રાહેડ્રોન માટે. તેની લંબાઈની છ ધાર છે, જેમાં ચતુષ્ફલકીય ત્રિભુજ ખૂણાઓ છે. ક્યૂબ માટે. તેની કિનારીઓ ડાયહેડ્રલ ખૂણાઓ ધરાવે છે જે ફક્ત ડેહ્ન અચળાંકમાંથી અવગણવામાં આવેલા સંદર્ભમાં વ્યક્ત થાય છે. ઓક્ટાહેડ્રોન માટે. તેની બાર ધાર પર ત્રિભુજ છે. આ સંયોજનમાં, માટે ગુણાંક કાઢી નાખવામાં આવે છે, જે ડોડેકાહેડ્રોન માટે માત્ર એક ગુણાંક છોડી દે છે. તેમાં ડોડેકાહેડ્રલ ડાયહેડ્રલ ખૂણાઓ સાથે 30 ધાર છે. આઇકોસાહેડ્રોન માટે. તેમાં આઇકોસાહેડ્રલ ડાયહેડ્રલ ખૂણાઓ સાથે 30 ધાર છે. સમઘન આમાંથી એકમાત્ર એવું છે કે જેનું ડેહ્ન અપરિવર્તન શૂન્ય છે. અન્ય ચાર પ્લેટોનિક ઘન પદાર્થોમાંથી દરેકના ડેહન અચળાંક અસમાન અને બિન-શૂન્ય છે. ઓક્ટાહેડ્રોનનું ડેહન અપરિવર્તન એ સમાન ધારની લંબાઈના ટેટ્રાહેડ્રોનનું ડેહન અપરિવર્તન છે. સંબંધિત પોલિહેડ્રા કોઈપણ પેરેલલપાઇપ્ડનું ડેહ્ન અપરિવર્તન શૂન્ય છે, જેમ તે ક્યુબ માટે છે. પેરેલલપાઇપ્ડમાં ચાર સમાંતર ધારોનો દરેક સમૂહ સમાન લંબાઈ ધરાવે છે અને તેમાં ડાયહેડ્રલ ખૂણાઓનો સરવાળો હોય છે, તેથી ડેહ્ન અપરિવર્તનમાં તેમનું યોગદાન શૂન્ય થઈ જાય છે. અન્ય આર્કિમિડીયન ઘન પદાર્થોના ડેહન અપરિવર્તનને પ્લેટોનિક ઘન પદાર્થોના અપરિવર્તનના તર્કસંગત સંયોજનો તરીકે પણ વ્યક્ત કરી શકાય છે. પહેલાની જેમ જ આધારની દ્રષ્ટિએ, આ આકારોની ધારની લંબાઈ હોય છે તેવી જ ધારણા સાથે, ડેહન અપરિવર્તનશીલ છેઃ કાપેલા ટેટ્રાહેડ્રોન માટે. કાપેલા સમઘન, રોમ્બિક્યુબોક્ટાહેડ્રોન અને ક્યુબોક્ટાહેડ્રોન માટે. કાપેલા ઓક્ટાહેડ્રોન માટે, જે બિટ્રન્કેટેડ ક્યુબિક હનીકોમ્બ તરીકે જગ્યાને ટાઇલ્સ કરે છે. કાપેલા ડોડેકાહેડ્રોન માટે. કપાયેલા આઈકોસાહેડ્રોન માટે. આઇકોસિડોડેકાહેડ્રોન માટે. રોમ્બિકોસિડોડેકાહેડ્રોન માટે. કપાયેલા આઈકોસિડોડેકાહેડ્રોન માટે. આ જગ્યા સીધી ટાઇલ કરતું નથી, પરંતુ ઝોનોહેડ્રોન તરીકે તેને પેરેલલપીપેડ્સમાં વિભાજિત કરી શકાય છે, જે કરે છે. એપ્લિકેશન્સ જેમ અવલોકન કરવામાં આવ્યું છે તેમ, ડેહ્ન અપરિવર્તન એ પોલિહેડ્રાના વિચ્છેદન માટે એક અપરિવર્તનશીલ છે, એ અર્થમાં કે પોલિહેડ્રોનને નાના પોલિહેડ્રલ ટુકડાઓમાં કાપીને પછી તેમને અલગ પોલિહેડ્રોનમાં ફરીથી જોડવાથી પરિણામના ડેહ્ન અપરિવર્તનમાં ફેરફાર થતો નથી. જો આ કાપવાની પ્રક્રિયામાં નવી ધાર રજૂ કરવામાં આવે, તો પછી કાં તો તે પોલિહેડ્રોનની અંદર હોય છે, અને કુલ ડાયહેડ્રલ ખૂણાઓથી ઘેરાયેલું હોય છે, અથવા પોલિહેડ્રોનના ચહેરા પર, અને કુલ ડાયહેડ્રલ્સથી ઘેરાયેલું હોય છે; બંને કિસ્સાઓમાં આ તર્કસંગત ગુણાંક ડેહ્ન અપરિવર્તનમાં ફાળો આપતું નથી. સમાન વિશ્લેષણ દર્શાવે છે કે જ્યારે હાલની પોલિહેડ્રોન ધાર પોલિહેડ્રોનને કાપતી વખતે બનાવેલ નવા ચહેરાની સીમા હોય ત્યારે ડેહ્ન અપરિવર્તનમાં પણ કોઈ ફેરફાર થતો નથી. તે ધાર પરના નવા ડાયહેડ્રલ ખૂણાઓ સમાન સરવાળા સાથે જોડાય છે, અને ડેહ્ન અપરિવર્તનમાં સમાન યોગદાન આપે છે, જે તેઓ પહેલાં ધરાવતા હતા. વિચ્છેદનનો બીજો અપરિવર્તનશીલ ઘટક પોલિહેડ્રોનનું કદ છેઃ તેને પોલિહેડ્રલ ટુકડાઓમાં કાપીને અને ટુકડાઓને ફરીથી જોડવાથી કુલ કદમાં ફેરફાર થઈ શકતો નથી. તેથી, જો એક પોલિહેડ્રોનનું બીજા પોલિહેડ્રોનમાં વિચ્છેદન હોય, તો બંનેમાં સમાન ડેહ્ન અપરિવર્તન તેમજ સમાન કદ હોવું આવશ્યક છે. વોલ્યુમ અને ડેહન અપરિવર્તનશીલ આ સમસ્યા માટે એકમાત્ર અપરિવર્તનશીલ છે તે સાબિત કરીને આ પરિણામને વિસ્તૃત કર્યું. જો અને બંનેમાં સમાન કદ અને સમાન ડેહન અપરિવર્તનશીલ હોય, તો એકનું બીજામાં વિચ્છેદન કરવું હંમેશા શક્ય છે. ડેહન અપરિવર્તનશીલ પણ ટાઇલની જગ્યા માટે પોલિહેડ્રોનની ક્ષમતાને અવરોધે છે. દરેક જગ્યા ભરવાની ટાઇલમાં સમઘનની જેમ ડેહ્ન અપરિવર્તનશીલ શૂન્ય હોય છે. સમયાંતરે ટાઇલની જગ્યા ધરાવતી પોલિહેડ્રા માટે આ ટાઇલિંગની સમયાંતરે ઉપયોગ કરીને ટાઇલને કાપવા અને સમાન સમયાંતરે સમાંતર ગોઠવવા માટે અનુસરવામાં આવશે, પરંતુ આ પરિણામ શ્મિટ-કોનવે-ડેન્ઝર બાયપ્રિઝમ જેવી એપેરિયોડિક ટાઇલ્સ માટે પણ લાગુ પડે છે. આનું વિપરીત સાચું નથી-ડેહ્ન અપરિવર્તનશીલ શૂન્ય સાથે પોલિહેડ્રા અસ્તિત્વમાં છે જે ટાઇલ જગ્યા નથી. જો કે, આને હંમેશા અન્ય આકાર (સમઘન) માં વિચ્છેદિત કરી શકાય છે જે ટાઇલની જગ્યા બનાવે છે. કપાયેલું આઇકોસિડોડેકાહેડ્રોન એક ઉદાહરણ છે. ડેહનનું પરિણામ ગોળાકાર ભૂમિતિ અને હાયપરબોલિક ભૂમિતિ માટે માન્ય રહે છે. તે બંને ભૂમિતિઓમાં, બે પોલિહેડ્રા કે જેને કાપી શકાય છે અને એકબીજામાં ફરીથી જોડી શકાય છે તેમાં સમાન ડેહ્ન અપરિવર્તન હોવું આવશ્યક છે. જો કે, જેસેને અવલોકન કર્યું તેમ, ગોળાકાર અથવા હાયપરબોલિક ભૂમિતિમાં સિડલરના પરિણામનું વિસ્તરણ ખુલ્લું રહે છેઃ તે જાણીતું નથી કે સમાન કદ અને સમાન ડેહન અપરિવર્તન સાથે બે ગોળાકાર અથવા હાયપરબોલિક પોલિહેડ્રા હંમેશા કાપી શકાય છે અને એકબીજામાં ફરીથી જોડાઈ શકે છે. મર્યાદિત કદ સાથેના દરેક હાયપરબોલિક મેનીફોલ્ડને ભૌગોલિક સપાટીઓ સાથે હાયપરબોલિક પોલિહેડ્રોન (મેનીફોલ્ડના મૂળભૂત જૂથ માટેનું મૂળભૂત ક્ષેત્ર) માં કાપી શકાય છે, જે મેનીફોલ્ડના સાર્વત્રિક આવરણને ટાઇલ્સ કરે છે અને તેથી આવશ્યકપણે શૂન્ય ડેહ્ન અપરિવર્તનશીલ હોય છે. વધુ સામાન્ય રીતે, જો પોલિહેડ્રા સંયુક્ત રીતે ટાઇલ્સની જગ્યાનું સંયોજન કરે છે, તો તેમના ડેહન અપરિવર્તનોનો સરવાળો (સમાન પ્રમાણમાં લેવામાં આવે છે) શૂન્ય હોવો જોઈએ. દાખલા તરીકે, ટેટ્રાહેડ્રલ-ઓક્ટાહેડ્રલ હનીકોમ્બ એ ટેટ્રાહેડ્રા અને ઓક્ટાહેડ્રા (ઓક્ટાહેડ્રા કરતા બમણા ટેટ્રાહેડ્રા સાથે) દ્વારા જગ્યાની ટાઇલિંગ છે, જે એ હકીકતને અનુરૂપ છે કે ઓક્ટાહેડ્રોન અને બે ટેટ્રાહેડ્રાના ડેહ્ન અપરિવર્તનોનો સરવાળો (સમાન બાજુની લંબાઈ સાથે) શૂન્ય છે. સંપૂર્ણ વ્યાખ્યા ટેન્સર પ્રોડક્ટ તરીકે ડેહન અપરિવર્તનની વ્યાખ્યામાં પોલિહેડ્રોનની કલ્પનાની જરૂર પડે છે, જેના માટે ધારની લંબાઈ અને ડાયહેડ્રલ ખૂણાઓ સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. સૌથી સામાન્ય રીતે, તે પોલિહેડ્રા પર લાગુ પડે છે, જેની સીમાઓ ટુકડાઓમાં રેખીય મેનીફોલ્ડ્સ હોય છે, જે યુક્લિડિયન અવકાશમાં મર્યાદિત સંખ્યામાં વિમાનો પર જડિત હોય છે. જો કે, ડેહન અપરિવર્તનને ગોળાકાર ભૂમિતિમાં અથવા હાયપરબોલિક અવકાશમાં પોલિહેડ્રા માટે અને યુક્લિડિયન અવકાશમાં ચોક્કસ સ્વ-પાર પોલિહેડ્રા માટે પણ ગણવામાં આવે છે. આ ટેન્સર પ્રોડક્ટનું ડાબી બાજુનું પરિબળ વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સમૂહ છે (આ કિસ્સામાં પોલિહેડ્રાની ધારની લંબાઈનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે) અને જમણું પરિબળ રેડિયનમાં ડાયહેડ્રલ ખૂણાઓનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે, જે 2 ના સંખ્યા મોડ્યુલો તર્કસંગત ગુણાંક તરીકે આપવામાં આવે છે. (કેટલાક સ્રોતો ખૂણાઓને તેના બદલે મોડ્યુલો લે છે અથવા ખૂણાઓને વિભાજીત કરે છે અને તેના સ્થાને ઉપયોગ કરે છે પરંતુ તેનાથી પરિણામી ટેન્સર ઉત્પાદનમાં કોઈ ફરક પડતો નથી, કારણ કે યોગ્ય પરિબળમાં કોઈપણ તર્કસંગત ગુણાંક ઉત્પાદનમાં શૂન્ય બની જાય છે.) ધારની લંબાઈ અને ધાર ડાયહેડ્રલ ખૂણાઓ સાથે પોલિહેડ્રોનનું ડેહ્ન અપરિવર્તન એ સરવાળો છે તેની રચના ટેન્સર તરીકે ડેહ્ન અપરિવર્તનશીલ વધારાના ગુણધર્મો આપે છે જે ભૌમિતિક રીતે અર્થપૂર્ણ છે. ખાસ કરીને, તે ટેન્સર ક્રમ ધરાવે છે, જે આવા શબ્દોના સરવાળા તરીકે કોઈપણ અભિવ્યક્તિમાં શબ્દોની લઘુતમ સંખ્યા છે. પોલિહેડ્રોનની ધાર પરના સરવાળા તરીકે ડેહ્ન અપરિવર્તનની અભિવ્યક્તિ બરાબર આ સ્વરૂપ ધરાવે છે, તેથી ડેહ્ન અપરિવર્તનનો ક્રમ આપેલ પોલિહેડ્રોનના વિચ્છેદનના પરિણામે કોઈપણ પોલિહેડ્રોન માટે શક્ય ઓછામાં ઓછી સંખ્યાબંધ ધાર પર નીચી સીમા આપે છે. હેમલ આધારનો ઉપયોગ ડેહન અપરિવર્તનશીલના વૈકલ્પિક પરંતુ સમકક્ષ વર્ણનમાં હેમલ આધારની પસંદગીનો સમાવેશ થાય છે, જે વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો અનંત સબસેટ છે જેમ કે દરેક વાસ્તવિક સંખ્યાને તેના તત્વોના મર્યાદિત રીતે ઘણા તર્કસંગત ગુણાંકના સરવાળા તરીકે અનન્ય રીતે વ્યક્ત કરી શકાય છે. આમ, એક એડિટિવ જૂથ તરીકે, દરેક તત્વ માટે એક સરવાળા સાથેની નકલોના સીધા સરવાળા માટે આઇસોમોર્ફિક છે. જો (અથવા તેનો તર્કસંગત ગુણાંક) પસંદ કરવામાં આવે તો તે તેના ઘટકોમાંનું એક છે, અને આ તત્વ સાથેનો બાકીનો આધાર બાકાત છે, તો ટેન્સર પ્રોડક્ટને (અનંત પરિમાણીય) વાસ્તવિક વેક્ટર જગ્યા તરીકે વર્ણવી શકાય છે. ડેહન અપરિવર્તન દરેક ડાયહેડ્રલ ખૂણાને આધાર તત્વોના મર્યાદિત સરવાળામાં વિઘટિત કરીને વ્યક્ત કરી શકાય છે જ્યાં તર્કસંગત છે, હેમલ આધારમાં વાસ્તવિક સંખ્યાઓમાંની એક છે, અને આ આધાર તત્વોને ક્રમાંકિત કરવામાં આવે છે જેથી તે તેનો પરિમેય ગુણાંક છે પરંતુ નહીં. આ વિઘટન સાથે, ડેહ્ન અપરિવર્તન એ છે કે જ્યાં દરેક મૂળભૂત તત્વને અનુરૂપ પ્રમાણભૂત એકમ વેક્ટર છે. ના તર્કસંગત ગુણાંકને અનુરૂપ શબ્દને દૂર કરવા માટે અહીં સરવાળો શરૂ થાય છે. આ વૈકલ્પિક રચના દર્શાવે છે કે ડેહ્ન અપરિવર્તનના મૂલ્યોને વાસ્તવિક વેક્ટર જગ્યાની વધારાની રચના આપી શકાય છે. જો કે, સામાન્ય રીતે, હેમલ પાયાના નિર્માણમાં પસંદગીના સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતનો સમાવેશ થાય છે, પોલિહેડ્રાના ડાયહેડ્રલ ખૂણાઓ દ્વારા પેદા થતી મર્યાદિત-પરિમાણીય વેક્ટર જગ્યા પર ધ્યાન મર્યાદિત કરીને આને ટાળી શકાય છે (પોલિહેડ્રાના કોઈપણ ચોક્કસ મર્યાદિત સમૂહને ધ્યાનમાં લેતી વખતે). અનંત ધાર લંબાઈ સાથે હાયપરબોલિક પોલિહેડ્રા હાયપરબોલિક જગ્યામાં આદર્શ પોલિહેડ્રોન માટે, ધારની લંબાઈ અનંત હોય છે, જે ડેહ્ન અપરિવર્તનની સામાન્ય વ્યાખ્યાને લાગુ પડતી નથી. તેમ છતાં, આ કાપણી પ્રક્રિયા દ્વારા બનાવવામાં આવેલી વધારાની વક્ર ધારને અવગણીને, તેમના શિરોબિંદુઓને કાપવા માટે હોરોસ્ફિયરનો ઉપયોગ કરીને અને પરિણામી કાપેલા આકાર માટે સામાન્ય રીતે ડેહન અપરિવર્તનની ગણતરી કરીને ડેહન અપરિવર્તનને આ પોલિહેડ્રા સુધી વિસ્તૃત કરી શકાય છે. પરિણામ કાપણી માટે કુંડળીની પસંદગી પર આધારિત નથી, જ્યાં સુધી દરેક આપેલ પોલિહેડ્રોનના માત્ર એક જ શિરોબિંદુને કાપી નાખે. જો કે ડેહન અપરિવર્તનશીલ આ જગ્યાના તમામ ઘટકોમાં મૂલ્યો લે છે, તેમ છતાં તેને પોલિહેડ્રાના ડેહન અપરિવર્તનશીલ તરીકે અનુભવી શકાય છે. યુક્લિડિયન પોલિહેડ્રાના ડેહન અપરિવર્તનશીલ એક વાસ્તવિક રેખીય પેટા જગ્યા બનાવે છેઃ એક વ્યક્તિ પોલિહેડ્રાના અસંબદ્ધ જોડાણને લઈને (અથવા તેમને ચહેરા પર એકસાથે ચોંટાડીને) પોલિહેડ્રાના ડેહન અપરિવર્તનશીલને ઉમેરી શકે છે, પોલિહેડ્રોનના આકારમાં છિદ્રોને મોટા સમઘનમાં બનાવીને ડેહન અપરિવર્તનશીલને નકારી શકે છે, અને સમાન સંખ્યા દ્વારા પોલિહેડ્રોનને સ્કેલ કરીને કોઈપણ હકારાત્મક વાસ્તવિક સ્કેલર દ્વારા ડેહન અપરિવર્તનશીલને ગુણાકાર કરી શકે છે. કયા ઘટકો સાકાર થઈ શકે છે તે પ્રશ્ન ડ્યુપોન્ટ અને સાહના કાર્ય દ્વારા સ્પષ્ટ કરવામાં આવ્યો હતો, જેમણે જૂથ સમરૂપતાને સંડોવતા અબેલિયન જૂથો (વેક્ટર જગ્યાઓ નહીં) ના નીચેના ચોક્કસ ક્રમનું અસ્તિત્વ દર્શાવ્યું હતુંઃ અહીં, સંકેતલિપી યુક્લિડિયન પોલિહેડ્રા મોડ્યુલો પર મુક્ત અબેલિયન જૂથનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે, જે પોલિહેડ્રાની જોડીમાંથી મેળવેલા ચોક્કસ સંબંધોને રજૂ કરે છે જેને એકબીજામાં વિચ્છેદિત કરી શકાય છે. ત્રિકોણાકાર પ્રિઝમ દ્વારા આ જૂથમાં પેદા થયેલું પેટા જૂથ છે, અને તેનો ઉપયોગ અહીં કદને રજૂ કરવા માટે થાય છે (કારણ કે દરેક વાસ્તવિક સંખ્યા આ જૂથના બરાબર એક તત્વનું કદ છે). પોલિહેડ્રા જૂથનો નકશો ડેહન અપરિવર્તનશીલ છે. તે યુક્લિડિયન બિંદુ પરિભ્રમણ જૂથ છે, અને તે જૂથ સમરૂપતા છે. યુક્લિડિયન વિચ્છેદન માટે વોલ્યુમ અને ડેહ્ન અપરિવર્તનશીલ એકમાત્ર અપરિવર્તનશીલ છે તે સિડલરનો પ્રમેય સમરૂપ રીતે આ નિવેદન દ્વારા રજૂ થાય છે કે આ અનુક્રમમાં દેખાતો સમૂહ તુચ્છ જૂથ છે (સંકેતન 0 દ્વારા અનુક્રમમાં અન્યત્ર રજૂ થાય છે). જો તે બિન-તુચ્છ હોત, તો પોલિહેડ્રાના જૂથમાં તેની છબી પોલિહેડ્રાનું એક કુટુંબ આપશે જે સમાન કદના સમઘન માટે વિચ્છેદનક્ષમ નથી પરંતુ શૂન્ય ડેહન અપરિવર્તનશીલ છે. સિડલરના પ્રમેય મુજબ, આવા બહુપત્નીત્વ અસ્તિત્વમાં નથી. ચોક્કસ ક્રમની જમણી બાજુએ દેખાતું જૂથ કેલર ભિન્નતાઓના જૂથ માટે સમરૂપ છે, અને લંબાઈ અને ખૂણાઓના ટેન્સર ઉત્પાદનોમાંથી કેલર ભિન્નતાઓનો નકશો તેના દ્વારા આપવામાં આવે છે જ્યાં તેની સાર્વત્રિક વ્યુત્પત્તિ છે. આ જૂથ અનુભૂતિમાં અવરોધ છેઃ તેના બિન-શૂન્ય તત્વો એવા ઘટકોમાંથી આવે છે જેને ડેહ્ન અપરિવર્તન તરીકે અનુભવી શકાતા નથી. હાયપરબોલિક અથવા ગોળાકાર અવકાશમાં, પ્રાપ્ત કરી શકાય તેવા ડેહન અચળાંકો વેક્ટર અવકાશની રચના કરે તે જરૂરી નથી, કારણ કે સ્કેલર ગુણાકાર હવે શક્ય નથી. જો કે, તેઓ હજુ પણ ટેન્સર પ્રોડક્ટનું પેટા જૂથ બનાવે છે જેમાં તેઓ તત્વો છે. સમાન રીતે, ડ્યુપોન્ટ અને સાહ ચોક્કસ ક્રમના અસ્તિત્વને સાબિત કરે છે અને અહીં વિશેષ રેખીય જૂથને સૂચવે છે, અને તે મોબિયસ પરિવર્તનોનું જૂથ છે; સુપરસ્ક્રિપ્ટ માઇનસ-સાઇન જટિલ જોડાણ દ્વારા પ્રેરિત ઇન્વોલ્યુશન માટે (−1)-આઇજેનસ્પેસ સૂચવે છે. તે વિશેષ એકાત્મક જૂથને સૂચવે છે. પેટા જૂથ એ સમગ્ર ગોળા દ્વારા પેદા થયેલ જૂથ છે. ફરીથી, આ ક્રમમાં સૌથી જમણું બિન-શૂન્ય જૂથ એ ડેહ્ન અપરિવર્તન તરીકે મૂલ્યની અનુભૂતિમાં અવરોધ છે. ડેહન અપરિવર્તનના આ બીજગણિત દ્રષ્ટિકોણને ઉચ્ચ પરિમાણો સુધી વિસ્તૃત કરી શકાય છે, જ્યાં તે બીજગણિત કે-સિદ્ધાંતને સમાવતું પ્રેરક અર્થઘટન ધરાવે છે. ચાર પરિમાણોમાં, પોલિહેડ્રા મોડ્યુલો વિચ્છેદનનું જૂથ ત્રિ-પરિમાણીય જૂથ માટે સમરૂપ છે. દરેક ચાર-પરિમાણીય પોલીટોપને ત્રિ-પરિમાણીય પોલીટોપ પર પ્રિઝમમાં વિચ્છેદિત કરી શકાય છે, અને બે ચાર-પરિમાણીય પોલીટોપને એકબીજા સાથે વિચ્છેદિત કરી શકાય છે જ્યારે તેમના વોલ્યુમ અને ડેહન અપરિવર્તન સમાન હોય છે. ચાર કરતા વધુ પરિમાણોમાં, તે ખુલ્લું રહે છે કે શું વિચ્છેદનનું અસ્તિત્વ સંપૂર્ણપણે વોલ્યુમ અને ડેહન અપરિવર્તન દ્વારા વર્ણવવામાં આવ્યું છે, અથવા વિચ્છેદન અસ્તિત્વમાં છે કે કેમ તે નિર્ધારિત કરવા માટે અન્ય માહિતીની જરૂર છે કે કેમ. સંબંધિત પરિણામો ડેહન અપરિવર્તનશીલ સમાન અભિગમનો ઉપયોગ એ નક્કી કરવા માટે કરી શકાય છે કે શું બે લંબચોરસ બહુકોણને માત્ર અક્ષ-સમાંતર કાપ અને અનુવાદોનો ઉપયોગ કરીને (મનસ્વી ખૂણા અને પરિભ્રમણ પર કાપને બદલે) એકબીજામાં વિચ્છેદિત કરી શકાય છે કે કેમ. આ પ્રકારના વિચ્છેદન માટે અપરિવર્તનશીલ ટેન્સર ઉત્પાદનનો ઉપયોગ કરે છે જ્યાં ઉત્પાદનમાં ડાબી અને જમણી શરતો લંબચોરસની ઊંચાઈ અને પહોળાઈનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. કોઈપણ આપેલ બહુકોણ માટે અપરિવર્તનની ગણતરી બહુકોણને લંબચોરસમાં કાપીને, દરેક લંબચોરસની ઊંચાઈ અને પહોળાઈનું ટેન્સર પ્રોડક્ટ લઈને અને પરિણામો ઉમેરીને કરવામાં આવે છે. વિચ્છેદન શક્ય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો બે બહુકોણ સમાન અપરિવર્તનશીલ હોય, જે સૂચવે છે કે તેઓ પણ સમાન વિસ્તાર ધરાવે છે. આ અપરિવર્તનશીલનો ઉપયોગ 1903ના ડેહનના બીજા પરિણામને સાબિત કરવા માટે થઈ શકે છેઃ એક જ વિસ્તારના બે લંબચોરસને એક બીજામાં વિચ્છેદિત કરી શકાય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તેમના પાસાનો ગુણોત્તર એકબીજાના તર્કસંગત ગુણાંક હોય. તે અનુસરે છે કે ચોરસના જોડાણમાંથી રચાયેલા પોલીમિનોને આ રીતે માત્ર ત્યારે જ ચોરસમાં વિચ્છેદિત કરી શકાય છે જ્યારે તે ચોરસ સંખ્યા હોય. ડેહન અપરિવર્તનના આ સંસ્કરણ માટે, ટેન્સર ક્રમ એ લંબચોરસની લઘુતમ સંખ્યા જેટલો છે જેમાં બહુકોણને વિચ્છેદિત કરી શકાય છે. ફ્લેક્સિબલ પોલિહેડ્રા એ પોલિહેડ્રાનો એક વર્ગ છે જે સતત ગતિમાંથી પસાર થઈ શકે છે જે તેમના ચહેરાના આકારને જાળવી રાખે છે. કોચીના કઠોરતા પ્રમેય અનુસાર, તેઓ બિન-બહિર્મુખ હોવા જોઈએ, અને તે જાણીતું છે ("ધબકારા પ્રમેય") કે આ સમગ્ર ગતિ દરમિયાન પોલિહેડ્રોનનું કદ સ્થિર રહેવું જોઈએ. આ પ્રમેયની એક મજબૂત આવૃત્તિ જણાવે છે કે આવા પોલિહેડ્રોનનો ડેહ્ન અપરિવર્તનશીલ પણ કોઈપણ સતત ગતિ દરમિયાન અપરિવર્તનશીલ રહેવો જોઈએ. આ પરિણામને "મજબૂત ધબકારા પ્રમેય" કહેવામાં આવે છે. તે તમામ બિન-સ્વ-છેદતા લવચીક પોલિહેડ્રા માટે સાબિત થયું છે. જો કે, સ્વ-આંતરછેદો સાથે વધુ જટિલ લવચીક પોલિહેડ્રા માટે ડેહ્ન અપરિવર્તનશીલ પોલિહેડ્રોન ફ્લેક્સ તરીકે સતત બદલાઈ શકે છે. એક સરળ સપાટીની કુલ સરેરાશ વળાંકને ડેહ્ન અપરિવર્તનશીલ જેવી જ વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીને બહુપૃષ્ઠીય સપાટીઓમાં સામાન્યીકૃત કરી શકાય છે, જેમ કે ધારની લંબાઈની ધાર પરનો સરવાળો બાહ્ય ત્રિભુજ ખૂણાઓ દ્વારા ગુણાકાર થાય છે. તે કોઈપણ ફ્લેક્સિંગ પોલિહેડ્રોન માટે સ્થિર રહેવાનું પણ સાબિત થયું છે. નોંધો સંદર્ભો બાહ્ય કડીઓ નંબરફાઇલ ભૌમિતિક વિચ્છેદન પોલિહેડ્રા પર ડેહ્ન અપરિવર્તન વિશેનો વીડિયો