List of conjectures by Paul Erdős
ફલપ્રદ ગણિતશાસ્ત્રી પોલ એર્દોસ અને તેમના વિવિધ સહયોગીઓએ વિષયોના વિશાળ ક્ષેત્ર પર ઘણા પ્રખ્યાત ગાણિતિક અનુમાનો કર્યા હતા અને ઘણા કિસ્સાઓમાં એર્દોસે તેમને ઉકેલવા માટે નાણાકીય પુરસ્કારોની ઓફર કરી હતી. વણઉકેલાયેલું એર્ડોસ-ગ્યાર્ફસ લઘુત્તમ ડિગ્રી 3 સાથે આલેખમાં બેની ઘાત સમાન લંબાઈવાળા ચક્રો પર અનુમાન કરે છે. એર્ડોસ-હેજનલ અનુમાન કરે છે કે બાકાત પ્રેરિત સબગ્રાફ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત આલેખના પરિવારમાં, દરેક આલેખમાં કાં તો મોટો સમૂહ અથવા મોટો સ્વતંત્ર સમૂહ હોય છે. શક્તિશાળી સંખ્યાઓના સતત ત્રણ ગણો પર એર્દોસ-મોલિન-વાલ્શ અનુમાન કરે છે. એર્ડોસ-સેલફ્રિજ અનુમાન કરે છે કે અલગ મોડ્યુલી સાથેની આવરણ પ્રણાલીમાં ઓછામાં ઓછું એક સમ મોડ્યુલસ હોય છે. ડાયોફેન્ટાઇન સમીકરણ 4/n = 1/x + 1/y + 1/z પર એર્ડોસ-સ્ટ્રોસ અનુમાન. પરસ્પરના અલગ-અલગ સરવાળા સાથે ક્રમમાં અંકગણિત પ્રગતિ પર એર્ડોસ અનુમાન. બિંદુ સમૂહમાં વિશાળ બહિર્મુખ બહુકોણ છે તેની ખાતરી કરવા માટે જરૂરી બિંદુઓની સંખ્યા પર એર્દોસ-ઝેકેરેસ અનુમાન કરે છે. કુદરતી સંખ્યાઓના યોગાત્મક આધારો પર એર્દોસ-તુરાન અનુમાન. તર્કસંગત પારસ્પરિક શ્રેણી સાથે ઝડપથી વિકસતા પૂર્ણાંક ક્રમ પર એક અનુમાન. ત્રિકોણાકાર સંખ્યા કરતાં એક ઓછા વર્તુળો સાથે સમબાહુ ત્રિકોણમાં વર્તુળ પેકિંગ પર નોર્મન ઓલેર સાથે એક અનુમાન. એમ (એન) ની મર્યાદાનો અંદાજ કાઢવા માટે લઘુતમ ઓવરલેપ સમસ્યા. એક અનુમાન કે ત્રિવિધ વિસ્તરણ દરેક માટે ઓછામાં ઓછો એક અંક 2 ધરાવે છે. ડોંગ યીપ કાંગ, ટોમ કેલી, ડેનિએલા કુન, અભિષેક મેથુકુ અને ડેરિક ઓસ્થસ દ્વારા સાબિત (તમામ મોટા એન માટે) જૂથોના રંગીન સંઘો પર એર્ડોસ-ફેબર-લોવાસના અનુમાનને ઉકેલવામાં આવ્યું. જોએલ મોરેરા, ફ્લોરિયન કાર્લ રિક્ટર, ડોનાલ્ડ રોબર્ટસન દ્વારા 2018 માં સાબિત થયેલ સેટ પર એર્ડોસ સમસેટ અનુમાન. આ પુરાવો માર્ચ 2019માં "એનલ્સ ઓફ મેથેમેટિક્સ" માં દેખાયો છે. આલેખની રેમ્સે સંખ્યાઓ પર બર-એર્ડોસ અનુમાન, 2015 માં ચૂંગબુમ લી દ્વારા સાબિત થયું. ન્યાયી રંગો પરનું અનુમાન 1970માં એન્ડ્રેસ હાજનલ અને એન્ડ્રે સ્ઝેમેરેડી દ્વારા સાબિત થયું હતું અને હવે તે હાજનલ-સ્ઝેમેરેડી પ્રમેય તરીકે ઓળખાય છે. એક અનુમાન કે જેણે ફર્સ્ટનબર્ગ-સાર્કોઝી પ્રમેયને મજબૂત બનાવ્યું હોત તે જણાવવા માટે કે હકારાત્મક પૂર્ણાંકોના વર્ગ-તફાવત-મુક્ત સમૂહમાં તત્વોની સંખ્યા માત્ર તેના સૌથી મોટા મૂલ્યના વર્ગમૂળને પોલિલોગેરિધમિક પરિબળ દ્વારા વટાવી શકે છે, જેને 1978 માં એન્ડ્રેસ સાર્કોઝી દ્વારા નકારી કાઢવામાં આવ્યું હતું. નબળા/મજબૂત ડેલ્ટા-પ્રણાલીઓ પર એર્દોસ-લોવાસનું અનુમાન, 1974માં મિશેલ ડેઝા દ્વારા સાબિત થયું હતું. અવશેષોના બે સમૂહના સરવાળાની સંખ્યા પર સંયુક્ત સંખ્યા સિદ્ધાંતમાં એર્ડોસ-હેઇલબ્રોનનું અનુમાન, જે 1994માં ડાયસ દા સિલ્વા અને હમીદોને દ્વારા સાબિત થયું હતું. એકતાના મોનોક્રોમેટિક ઇજિપ્તીયન અપૂર્ણાંક રજૂઆતો પર સંયુક્ત સંખ્યા સિદ્ધાંતમાં એર્દોસ-ગ્રેહામ અનુમાન, 2000 માં એર્ની ક્રૂટ દ્વારા સાબિત થયું. ડાયોફેન્ટાઇન સમીકરણ n પર એર્ડોસ-સ્ટીવર્ટ અનુમાન! + 1 = પી. કે. એ. પી. કે. + 1બી, 2001માં ફ્લોરિયન લુકા દ્વારા ઉકેલવામાં આવ્યું હતું. પૂર્ણાંકોના સમ-ફ્રી સેટ પર કેમેરોન-એર્ડોસ અનુમાન, બેન ગ્રીન અને એલેક્ઝાન્ડર સપોઝેન્કો દ્વારા 2003-2004 માં સાબિત થયું. અનંત આલેખમાં અસંબદ્ધ માર્ગો પર એર્દોસ-મેંગર અનુમાન, 2009 માં રોન અહરોની અને એલી બર્જર દ્વારા સાબિત થયું. એર્ડોસની વિશિષ્ટ અંતરની સમસ્યા. 2010માં લેરી ગુથ અને નેટ્સ કાટ્ઝ દ્વારા સાચો ઘાતાંક સાબિત કરવામાં આવ્યો હતો, પરંતુ લોગ એનની સાચી શક્તિ હજુ પણ અનિશ્ચિત છે. મુખ્ય અંતરાયો પર એર્દોસ-રેન્કિન અનુમાન, 2014 માં ફોર્ડ, ગ્રીન, કોન્યાગિન અને તાઓ દ્વારા સાબિત થયું. ±1-સિક્વન્સના આંશિક સરવાળા પર એર્ડોસ વિસંગતતા સમસ્યા. ટેરેન્સ ટાઓએ સપ્ટેમ્બર 2015માં ઉકેલની જાહેરાત કરી હતી; તે 2016માં પ્રકાશિત થયો હતો. એર્ડોસ સ્ક્વેર ફ્રી અનુમાન કે કેન્દ્રીય દ્વિપદી ગુણાંક C (2n, n) n> 4 માટે ક્યારેય સ્ક્વેર ફ્રી નથી, તે 1996માં સાબિત થયું હતું. એર્ડોસ પ્રિમિટિવ સેટ અનુમાન કરે છે કે કોઈપણ પ્રિમિટિવ સેટ A (એક સમૂહ જ્યાં સમૂહનો કોઈ સભ્ય અન્ય સભ્યને વિભાજિત કરતો નથી) માટેનો સરવાળો પ્રાઈમ નંબરોના સમૂહ પર તેની મહત્તમ પ્રાપ્ત કરે છે, જે 2022 માં જારેડ ડ્યુકર લિચમેન દ્વારા સાબિત કરવામાં આવ્યો હતો. ઓલિવર જેન્ઝર અને બેન્ની સુદાકોવ દ્વારા ઉકેલાયેલા એન-વર્ટેક્સ ગ્રાફમાં કે-રેગ્યુલર સબગ્રાફ વિના ધારની મહત્તમ સંખ્યા વિશેની એર્ડોસ-સોઅર સમસ્યા પણ જુઓ પોલ એર્ડોસના સંદર્ભો પછી નામ આપવામાં આવેલી વસ્તુઓની સૂચિ બાહ્ય કડીઓ ફેન ચુંગ, "ગ્રાફ થિયરીમાં પોલ એર્ડોસની ખુલ્લી સમસ્યાઓ" ફેન ચુંગ, "ગ્રાફ થિયરીમાં પોલ એર્ડોસની ખુલ્લી સમસ્યાઓ" નું જીવંત સંસ્કરણ એર્ડોસ પોલ એર્ડોસ અનુમાન, એર્ડોસ