Hyperfunction
ગણિતમાં, હાયપરફંક્શન્સ એ કાર્યોનું સામાન્યીકરણ છે, જે સીમા પર એક હોલોમોર્ફિક કાર્યમાંથી બીજામાં 'જમ્પ' તરીકે છે, અને અનૌપચારિક રીતે અનંત ક્રમના વિતરણ તરીકે વિચારી શકાય છે. મિકિયો સાટો દ્વારા 1958માં જાપાનીઝમાં (1959,1960 અંગ્રેજીમાં) હાયપરફંક્શન્સની રજૂઆત કરવામાં આવી હતી, જે લોરેન્ટ શ્વાર્ટઝ, ગ્રોથેન્ડીક અને અન્યના અગાઉના કાર્યને આધારે કરવામાં આવી હતી. ફોર્મ્યુલેશન વાસ્તવિક રેખા પરના હાયપરફંક્શન્સને ઉપલા અર્ધ-સમતલ પર વ્યાખ્યાયિત એક હોલોમોર્ફિક કાર્ય અને નીચલા અર્ધ-સમતલ પર અન્ય વચ્ચે 'તફાવત' તરીકે કલ્પના કરી શકાય છે. એટલે કે, હાયપરફંક્શન જોડી (f, g) દ્વારા સ્પષ્ટ કરવામાં આવે છે, જ્યાં f એ ઉપલા અર્ધ-સમતલ પર હોલોમોર્ફિક કાર્ય છે અને g એ નીચલા અર્ધ-સમતલ પર હોલોમોર્ફિક કાર્ય છે. અનૌપચારિક રીતે, હાયપરફંક્શન એ છે કે વાસ્તવિક રેખા પર જ શું તફાવત હશે. આ તફાવત એફ અને જી બંનેમાં સમાન હોલોમોર્ફિક કાર્યને ઉમેરવાથી પ્રભાવિત થતો નથી, તેથી જો એચ સમગ્ર જટિલ સમતલ પર હોલોમોર્ફિક કાર્ય હોય, તો હાયપરફંક્શન્સ (એફ, જી) અને (એફ + એચ, જી + એચ) ને સમકક્ષ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. એક પરિમાણમાં વ્યાખ્યા પ્રેરણા શીફ કોહોમોલોજીના વિચારોનો ઉપયોગ કરીને નક્કર રીતે લાગુ કરી શકાય છે. વાસ્તવિક રેખા પરના હાયપરફંક્શન્સને પ્રથમ સ્થાનિક કોહોમોલોજી જૂથ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરો. ચોક્કસપણે, ચાલો અને અનુક્રમે ઉપલા અર્ધ-સમતલ અને નીચલા અર્ધ-સમતલ બનો. કોઈપણ શીફનું ઝીરોથ કોહોમોલોજી જૂથ ફક્ત તે શીફના વૈશ્વિક વિભાગો હોવાથી, આપણે જોઈએ છીએ કે હાયપરફંક્શન એ હોલોમોર્ફિક વિધેયોની જોડી છે જે ઉપલા અને નીચલા જટિલ અર્ધપ્લેન મોડ્યુલો સમગ્ર હોલોમોર્ફિક વિધેયો પર એક-એક છે. વધુ સામાન્ય રીતે કોઈ પણ ઓપન સેટને ભાગાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકે છે જ્યાં કોઈપણ ઓપન સેટ સાથે હોય છે. કોઈ એવું બતાવી શકે છે કે આ વ્યાખ્યા હાયપરફંક્શન્સને હોલોમોર્ફિક ફંક્શન્સના "સીમા મૂલ્યો" તરીકે વિચારવાનું બીજું કારણ આપવાની પસંદગી પર આધારિત નથી. ઉદાહરણો જો f એ સમગ્ર જટિલ સમતલ પર કોઈ હોલોમોર્ફિક કાર્ય હોય, તો વાસ્તવિક અક્ષ પર f નું પ્રતિબંધ એ હાયપરફંક્શન છે, જે (f, 0) અથવા (0, −f) દ્વારા રજૂ થાય છે. હેવિસાઇડ સ્ટેપ ફંક્શનને જટિલ લઘુગણકનું મુખ્ય મૂલ્ય ક્યાં છે તે રીતે રજૂ કરી શકાય છે. ડીરાક ડેલ્ટા "કાર્ય" દ્વારા રજૂ થાય છે આ ખરેખર કોચીના અભિન્ન સૂત્રનું પુનરાવર્તન છે. તેને ચકાસવા માટે વાસ્તવિક રેખાની નીચે f ના એકીકરણની ગણતરી કરી શકાય છે, અને વાસ્તવિક રેખાની ઉપર g ના એકીકરણને બાદ કરી શકાય છે-બંને ડાબેથી જમણે. નોંધ લો કે હાયપરફંક્શન બિન-તુચ્છ હોઈ શકે છે, ભલે ઘટકો સમાન કાર્યનું વિશ્લેષણાત્મક સાતત્ય હોય. હેવિસાઇડ કાર્યને અલગ કરીને પણ આને સરળતાથી ચકાસી શકાય છે. જો g એ બંધાયેલ અંતરાલ I માં સમાયેલ આધાર સાથે વાસ્તવિક રેખા પર સતત કાર્ય (અથવા વધુ સામાન્ય રીતે વિતરણ) હોય, તો g એ હાયપરફંક્શન (f, −f) ને અનુરૂપ છે, જ્યાં f એ I દ્વારા વ્યાખ્યાયિત પૂરક પર હોલોમોર્ફિક કાર્ય છે. f માટેનું સૂત્ર અગાઉના ઉદાહરણમાંથી અનુસરે છે, જેમાં g ને ડાયરેક ડેલ્ટા ફંક્શન સાથે પોતે જ કન્વોલ્યુશન તરીકે લખવામાં આવ્યું છે. એકતાના પાર્ટીશનનો ઉપયોગ કરીને કોઈ પણ સતત કાર્ય (વિતરણ) ને કોમ્પેક્ટ સપોર્ટ સાથે સ્થાનિક રીતે મર્યાદિત કાર્યો (વિતરણ) ના સરવાળા તરીકે લખી શકે છે. જો f એ કોઈ પણ કાર્ય છે જે 0 (ઉદાહરણ તરીકે, e1/z) પર આવશ્યક એકત્વ સિવાય દરેક જગ્યાએ હોલોમોર્ફિક હોય, તો તે આધાર 0 સાથેનું હાયપરફંક્શન છે જે વિતરણ નથી. જો f પાસે 0 પર મર્યાદિત ક્રમનો ધ્રુવ હોય તો તે વિતરણ છે, તેથી જ્યારે f પાસે આવશ્યક એકવચનતા હોય ત્યારે તે 0 પર "અનંત ક્રમનું વિતરણ" જેવું દેખાય છે. (નોંધ કરો કે વિતરણો હંમેશા કોઈપણ સમયે મર્યાદિત ક્રમ ધરાવે છે.) હાયપરફંક્શન્સ પરની કામગીરી કોઈપણ ઓપન સબસેટ હોવી જોઈએ. વ્યાખ્યા મુજબ વેક્ટર સ્પેસ એવી છે કે જટિલ સંખ્યાઓ સાથે સરવાળો અને ગુણાકાર સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત હોય. સ્પષ્ટ રીતેઃ સ્પષ્ટ પ્રતિબંધ નકશા એક આવરણમાં ફેરવાય છે (જે હકીકતમાં પાતળા છે). વાસ્તવિક વિશ્લેષણાત્મક કાર્યો અને તફાવત સાથે ગુણાકાર સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત છેઃ આ વ્યાખ્યાઓ સાથે ડી-મોડ્યુલ બની જાય છે અને એમ્બેડિંગ એ ડી-મોડ્યુલનું મોર્ફિઝમ છે. જો બે હોલોમોર્ફિક બિંદુઓ હોય, તો એકીકરણ સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છેઃ જ્યાં મનસ્વી વળાંક હોય છે. ચાલો કોમ્પેક્ટ સપોર્ટ સાથે હાયપરફંક્શન્સની જગ્યા બનીએ. દ્વિરેખીય સ્વરૂપ દ્વારા દરેક હાયપરફંક્શન્સને કોમ્પેક્ટ સપોર્ટ સાથે સતત રેખીય કાર્ય સાથે સાંકળવામાં આવે છે આ દ્વિ જગ્યાની ઓળખને પ્રેરિત કરે છે, જેમાં કોમ્પેક્ટ સપોર્ટ સાથે સતત કાર્યો અથવા વિતરણનો એક ખાસ કેસ ધ્યાનમાં લેવા યોગ્ય છેઃ જો કોઈ ઉપરના એમ્બેડિંગના સબસેટ તરીકે (અથવા) ને ધ્યાનમાં લે છે, તો તે બરાબર પરંપરાગત લેબસ્ગ્યુ-ઇન્ટિગ્રલની ગણતરી કરે છે. વધુમાંઃ જો કોમ્પેક્ટ સપોર્ટ સાથેનું વિતરણ છે, તો તે એક વાસ્તવિક વિશ્લેષણાત્મક કાર્ય છે, અને પછી આમ એકીકરણની આ કલ્પના ઔપચારિક અભિવ્યક્તિઓને ચોક્કસ અર્થ આપે છે જેમ કે સામાન્ય અર્થમાં અવ્યાખ્યાયિત છે. તદુપરાંતઃ કારણ કે વાસ્તવિક વિશ્લેષણાત્મક કાર્યો ગાઢ છે તે એક સબસ્પેસ છે. આ સમાન એમ્બેડિંગનું વૈકલ્પિક વર્ણન છે. જો ના ખુલ્લા સમૂહો વચ્ચેનો વાસ્તવિક વિશ્લેષણાત્મક નકશો હોય, તો પછી તેની સાથેની રચના એક સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત ઓપરેટર છેઃ બીજગણિત વિશ્લેષણ સામાન્યીકૃત કાર્ય વિતરણ (ગણિત) માઇક્રોલોકલ વિશ્લેષણ સ્યુડો-ડિફરન્શિયલ ઓપરેટર શીફ કોહોમોલોજી સંદર્ભો પણ જુઓ. . . . તેને એસ. કે. કે. કહેવામાં આવે છે. . . . . . . . બાહ્ય કડીઓ બીજગણિત વિશ્લેષણ જટિલ વિશ્લેષણ સામાન્યકૃત કાર્યો શીફ સિદ્ધાંત