Labelled enumeration theorem
સંયુક્ત ગણિતમાં, લેબલ થયેલ ગણના પ્રમેય એ લેબલ થયેલ કેસ માટે પોલ્યા ગણના પ્રમેયનો પ્રતિરૂપ છે, જ્યાં આપણી પાસે ઘાતાંકીય જનરેટિંગ ફંક્શન (ઇજીએફ) જી (ઝેડ) દ્વારા આપવામાં આવેલ લેબલ થયેલ પદાર્થોનો સમૂહ છે જે એન સ્લોટમાં વહેંચવામાં આવે છે અને ક્રમચય જૂથ જી જે સ્લોટને ક્રમબદ્ધ કરે છે, આમ રૂપરેખાંકનોના સમકક્ષ વર્ગો બનાવે છે. એક વિશેષ રી-લેબલિંગ ઓપરેશન છે જે સ્લોટમાં ઓબ્જેક્ટ્સને ફરીથી લેબલ કરે છે, 1 થી k સુધી લેબલ સોંપે છે, જ્યાં k એ નોડ્સની કુલ સંખ્યા છે, એટલે કે. વ્યક્તિગત પદાર્થોના ગાંઠોની સંખ્યાનો સરવાળો. આ રી-લેબલિંગ પ્રક્રિયા હેઠળ વિવિધ રૂપરેખાંકનોની સંખ્યાનું ઇ. જી. એફ. ખાસ કરીને, જો G એ ક્રમ n નું સમપ્રમાણ જૂથ છે (તેથી, |G | = n! ), વિધેયોને આગળ એક જ ઉત્પન્ન કાર્યમાં જોડી શકાય છેઃ જે ઘાતાંકીય ડબલ્યુ. આર. ટી. છે. ચલ ઝેડ અને સામાન્ય ડબલ્યુઆરટી. ચલ ટી. ફરીથી લેબલ કરવાની પ્રક્રિયા આપણે ધારીએ છીએ કે કદના પદાર્થમાં લેબલવાળા આંતરિક ગાંઠો હોય છે, જેમાં લેબલ 1 થી મીટર સુધી જાય છે. સ્લોટ પર G ની ક્રિયા લેબલ વિનાના કેસની તુલનામાં ખૂબ સરળ છે, કારણ કે લેબલ સ્લોટમાં પદાર્થોને અલગ પાડે છે, અને G ની નીચેની ભ્રમણકક્ષાઓ બધા સમાન કદ ધરાવે છે. (ઇ. જી. એફ. જી. (ઝેડ.) માં કદ શૂન્યની વસ્તુઓનો સમાવેશ થતો નથી. આનું કારણ એ છે કે તેઓ લેબલ દ્વારા અલગ પાડવામાં આવતા નથી અને તેથી આવી બે અથવા વધુ વસ્તુઓની હાજરી ભ્રમણકક્ષાઓ બનાવે છે જેનું કદ તેના કરતા ઓછું હોય છે.) ઉલ્લેખ કર્યો છે તેમ, વસ્તુઓના ગાંઠો જ્યારે સ્લોટમાં વહેંચવામાં આવે છે ત્યારે તેમને ફરીથી લેબલ કરવામાં આવે છે. કહો કે કદની વસ્તુ પ્રથમ સ્લોટમાં જાય છે, કદની વસ્તુ બીજા સ્લોટમાં જાય છે, અને તેથી વધુ, અને રૂપરેખાંકનનું કુલ કદ k છે, જેથી ફરીથી લેબલ કરવાની પ્રક્રિયા નીચે મુજબ કાર્ય કરે છેઃ k લેબલના સમૂહમાંથી એક પાર્ટીશનને કદના સબસેટમાં પસંદ કરો હવે દરેક પદાર્થના આંતરિક ગાંઠોને સંબંધિત સબસેટમાંથી લેબલનો ઉપયોગ કરીને ફરીથી લેબલ કરો, લેબલનો ક્રમ જાળવી રાખો. દા. ત. જો પ્રથમ ઑબ્જેક્ટમાં 1 થી 4 લેબલવાળા ચાર નોડ્સ હોય અને આ ઑબ્જેક્ટ માટે પસંદ કરેલા લેબલ્સનો સમૂહ {2,5,6,10} હોય, તો નોડ 1 લેબલ 2, નોડ 2, લેબલ 5, નોડ 3, લેબલ 6 અને નોડ 4, લેબલ 10 મેળવે છે. આ રીતે ઓબ્જેક્ટ પરના લેબલો ઓબ્જેક્ટ માટે પસંદ કરેલા સબસેટના લેબલ્સનો ઉપયોગ કરીને એક અનન્ય લેબલિંગને પ્રેરિત કરે છે. પ્રમેયનો પુરાવો તે પુનઃ-લેબલ રચનાને અનુસરે છે કે કુલ કદ k ની અથવા વિવિધ રૂપરેખાંકનો છે. સૂત્ર પૂર્ણાંકનું મૂલ્યાંકન કરે છે કારણ કે k <n માટે શૂન્ય છે (યાદ રાખો કે g માં કદ શૂન્યની વસ્તુઓનો સમાવેશ થતો નથી) અને જ્યારે આપણી પાસે અને G નો ક્રમ હોય ત્યારે તે ક્રમને વિભાજિત કરે છે, જે લેગ્રેન્જના પ્રમેય દ્વારા છે. નિષ્કર્ષ એ છે કે લેબલ થયેલ રૂપરેખાંકનોના ઇ. જી. એફ. દ્વારા આપવામાં આવે છે આ સૂત્ર ક્રમની ગણતરી દ્વારા પણ મેળવી શકાય છે, એટલે કે. જ્યારે સ્લોટ્સને ક્રમબદ્ધ કરવામાં આવતા નથી, અને-પરિબળ વિના ઉપરોક્ત દલીલનો ઉપયોગ કરીને બતાવવામાં આવે છે કે રી-લેબલિંગ હેઠળ તેમનું જનરેટિંગ કાર્ય આના દ્વારા આપવામાં આવે છે. છેવટે નોંધ લો કે દરેક ક્રમ કદની ભ્રમણકક્ષાને અનુસરે છે, તેથી ભ્રમણકક્ષાનું નિર્માણ કાર્ય સંદર્ભો ફ્રાન્કોઇસ બર્ગેરોન, ગિલ્બર્ટ લેબલ, પિયર લેરોક્સ, થિયોરી ડેસ એસ્પેસિસ એટ કોમ્બિનેટોર ડેસ સ્ટ્રક્ચર્સ આર્બોરેસેન્ટેસ, લાસીમ, મોન્ટ્રિયલ (1994) દ્વારા આપવામાં આવ્યું છે. અંગ્રેજી સંસ્કરણઃ સંયુક્ત પ્રજાતિઓ અને વૃક્ષ જેવી રચનાઓ, કેમ્બ્રિજ યુનિવર્સિટી પ્રેસ (1998). એન્યુમરેટિવ કોમ્બિનેટોરિક્સ કોમ્બિનેટોરિક્સમાં સિદ્ધાંતો ધરાવતા લેખો