Gauss's lemma (polynomials)
બીજગણિતમાં, ગૌસનું લેમ્મા, જેનું નામ કાર્લ ફ્રેડરિક ગૌસના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે, તે પૂર્ણાંકો પર બહુપદીઓ વિશેનું નિવેદન છે, અથવા, વધુ સામાન્ય રીતે, એક અનન્ય ફેક્ટરાઇઝેશન ડોમેન પર (એટલે કે, એક રિંગ કે જે અંકગણિતના મૂળભૂત પ્રમેયની જેમ જ એક અનન્ય ફેક્ટરાઇઝેશન ગુણધર્મ ધરાવે છે). ગૌસનું લેમ્મા ફેક્ટરાઇઝેશનના તમામ સિદ્ધાંત અને આવા બહુપદીઓના સૌથી મોટા સામાન્ય ભાજકોને આધાર આપે છે. ગૌસનું લેમ્મા ભારપૂર્વક જણાવે છે કે બે આદિમ બહુપદીઓનું ગુણાકાર આદિમ છે (પૂર્ણાંક ગુણાંક ધરાવતી બહુપદી જો તેના ગુણાંકના સૌથી મોટા સામાન્ય ભાજક તરીકે 1 હોય તો તે આદિમ છે). ગૌસના લેમ્માનું પરિણામ, જેને કેટલીકવાર ગૌસના લેમ્મા તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે, તે એ છે કે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તે પરિમાણીય સંખ્યાઓ પર ઈરીડ્યુસિબલ હોય તો જ આદિમ બહુપદી પૂર્ણાંકો પર ઈરીડ્યુસિબલ હોય છે. વધુ સામાન્ય રીતે, આદિમ બહુપદી પૂર્ણાંકો પર અને તર્કસંગત સંખ્યાઓ પર સમાન સંપૂર્ણ ગુણાંક ધરાવે છે. અનન્ય ફેક્ટરાઇઝેશન ડોમેનમાં ગુણાંકના કિસ્સામાં, "તર્કસંગત સંખ્યાઓ" ને "અપૂર્ણાંક ક્ષેત્ર" દ્વારા બદલવી આવશ્યક છે. આ સૂચવે છે કે, જો કાં તો ક્ષેત્ર, પૂર્ણાંકોની વીંટી અથવા અનન્ય ગુણાંક ડોમેન હોય, તો પછી દરેક બહુપદી રિંગ (એક અથવા અનેક અનિશ્ચિતતામાં) એક અનન્ય ગુણાંક ડોમેન છે. બીજું પરિણામ એ છે કે પૂર્ણાંકો અથવા તર્કસંગત ગુણાંક સાથેની બહુપદીઓનું ગુણાકાર અને સૌથી મોટી સામાન્ય વિભાજક ગણતરીને પૂર્ણાંકો અને આદિમ બહુપદીઓ પર સમાન ગણતરીઓમાં ઘટાડી શકાય છે. અમલમાં મૂકાયેલા તમામ અલ્ગોરિધમ્સમાં આનો વ્યવસ્થિત રીતે (સ્પષ્ટ રીતે અથવા પરોક્ષ રીતે) ઉપયોગ થાય છે (જુઓ બહુપદી સૌથી મોટો સામાન્ય વિભાજક અને બહુપદીઓનું પરિબળકરણ). ગૌસની વ્યાખ્યા અને તેના તમામ પરિણામો કે જેમાં સંપૂર્ણ ફેક્ટરાઇઝેશનના અસ્તિત્વનો સમાવેશ થતો નથી તે કોઈપણ જીસીડી ડોમેન (એક અભિન્ન ડોમેન કે જેના પર સૌથી મોટા સામાન્ય વિભાજક અસ્તિત્વ ધરાવે છે) પર સાચું રહે છે. ખાસ કરીને, GCD ડોમેન પર બહુપદી રિંગ પણ GCD ડોમેન છે. જો કોઈ આદિમ બહુપદીને એવું કહે કે ગુણાંક એકમ આદર્શ ઉત્પન્ન કરે, તો ગૌસનો લેમ્મા દરેક પરિવર્તનીય રિંગ પર સાચો છે. જો કે, આદિમની આ વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરતી વખતે થોડી કાળજી લેવી આવશ્યક છે, કારણ કે, એક અનન્ય ફેક્ટરાઇઝેશન ડોમેન પર જે મુખ્ય આદર્શ ડોમેન નથી, ત્યાં બહુપદીઓ છે જે ઉપરોક્ત અર્થમાં આદિમ છે અને આ નવા અર્થમાં આદિમ નથી. જો પૂર્ણાંક ગુણાંક સાથેની બહુપદી હોય, તો તેને આદિમ કહેવામાં આવે છે જો તમામ ગુણાંકનો સૌથી મોટો સામાન્ય ભાજક 1 હોય; બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, કોઈ પણ મુખ્ય સંખ્યા તમામ ગુણાંકને વિભાજિત કરતી નથી. પુરાવોઃ સ્પષ્ટ રીતે બે આદિમ બહુપદીઓના ગુણાકાર f (x) g (x) માં પૂર્ણાંક ગુણાંક હોય છે. તેથી, જો તે આદિમ ન હોય, તો ત્યાં એક અવિભાજ્ય p હોવો આવશ્યક છે જે તેના તમામ ગુણાંકનો સામાન્ય ભાજક છે. પરંતુ p એ f (x) અથવા g (x) ના તમામ ગુણાંકને વિભાજિત કરી શકતો નથી (અન્યથા તેઓ આદિમ ન હોત). ધારો કે arxr એ f (x) નો પ્રથમ પદ છે જે p વડે વિભાજ્ય નથી અને bsxs એ g (x) નો પ્રથમ પદ છે જે p વડે વિભાજ્ય નથી. હવે ગુણાકારમાં xr + s શબ્દને ધ્યાનમાં લો, જેનો ગુણાંક છે. તેથી, ઉત્પાદનના ગુણાંકમાં કોઈ સામાન્ય વિભાજક ન હોઈ શકે અને આમ તે આદિમ હોય છે. વધુ સામાન્ય કેસ માટે પુરાવા નીચે આપવામાં આવ્યા છે. નોંધ લો કે જ્યારે Z [X] માં અચળ બહુપદી તરીકે જોવામાં આવે ત્યારે Z (એક મુખ્ય સંખ્યા) નું ઈરીડ્યુસિબલ એલિમેન્ટ હજુ પણ ઈરીડ્યુસિબલ છે; આ સ્ટેટમેન્ટમાં "નોન-કોન્સ્ટન્ટ" ની જરૂરિયાત સમજાવે છે. અનન્ય ફેક્ટરાઇઝેશન ડોમેન્સ માટેના નિવેદનો ગૌસનું લેમ્મા વધુ સામાન્ય રીતે મનસ્વી અનન્ય ફેક્ટરાઇઝેશન ડોમેન્સ પર ધરાવે છે. ત્યાં બહુપદીની સામગ્રીને ગુણાંકના સૌથી મોટા સામાન્ય ભાજક તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે (જીસીડીની જેમ, સામગ્રી વાસ્તવમાં સહયોગી તત્વોનો સમૂહ છે). યુ. એફ. ડી. માં ગુણાંક સાથેની બહુપદીને પછી આદિમ કહેવામાં આવે છે જો એક જ સમયે તમામ ગુણાંકને વિભાજીત કરનારા એકમાત્ર ઘટકો; એટલે કે, ગુણાંકનો જી. સી. ડી. એક હોય. પ્રિમિટિવિટી સ્ટેટમેન્ટઃ જો યુ. એફ. ડી. હોય, તો તેમાં પ્રિમિટિવ બહુપદીઓનો સમૂહ ગુણાકાર હેઠળ બંધ થાય છે. વધુ સામાન્ય રીતે, બહુપદીઓના ઉત્પાદનની સામગ્રી એ તેમની વ્યક્તિગત સામગ્રીનું ઉત્પાદન છે. ઇરેડ્યુસિબિલિટી સ્ટેટમેન્ટઃ ચાલો એક અનન્ય ફેક્ટરાઇઝેશન ડોમેન અને તેના અપૂર્ણાંકોનું ક્ષેત્ર બનીએ. જો અને માત્ર ત્યારે જ બિન-સ્થિર બહુપદી ઈરીડ્યુસિબલ છે જો તે ઈરીડ્યુસિબલ અને પ્રિમિટિવ બંને હોય. (પુરાવા માટે, નીચે #General સંસ્કરણ જુઓ.) ચાલો અપૂર્ણાંકોના ક્ષેત્ર સાથે એક અનન્ય ફેક્ટરાઇઝેશન ડોમેન બનીએ. જો બહુપદી ઉપર હોય તો કેટલાક માટે ગુણાંક હોય છે, અને તેથી-ગુણાંકના gcd ને પરિબળમાં મૂકીને-આપણે અમુક આદિમ બહુપદી માટે લખી શકીએ છીએ. જેમ કે કોઈ તપાસી શકે છે, આ બહુપદી એકમ દ્વારા ગુણાકાર સુધી અનન્ય છે અને તેને તેનો આદિમ ભાગ (અથવા આદિમ પ્રતિનિધિ) કહેવામાં આવે છે અને તેને આના દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. પ્રક્રિયા ઉત્પાદન સાથે સુસંગત છેઃ આ રચનાનો ઉપયોગ નિવેદન દર્શાવવા માટે થઈ શકે છેઃ યુએફડી પર બહુપદી વીંટી એ યુએફડી છે. ખરેખર, ઇન્ડક્શન દ્વારા, જ્યારે યુએફડી હોય ત્યારે તે યુએફડી છે તે બતાવવા માટે પૂરતું છે. ચાલો બિન-શૂન્ય બહુપદી હોઈએ. હવે, એક અનન્ય ફેક્ટરાઇઝેશન ડોમેન છે (કારણ કે તે એક મુખ્ય આદર્શ ડોમેન છે) અને તેથી, બહુપદી તરીકે, તેને આ રીતે ફેક્ટરાઇઝ કરી શકાય છેઃ જ્યાં ઈરીડ્યુસિબલ બહુપદીઓ છે. હવે, આપણે ગુણાંકના જી. સી. ડી. માટે લખીએ છીએ (અને તે આદિમ ભાગ છે) અને પછીઃ હવે, તે (કારણ કે તે યુ. એફ. ડી. છે) ના મુખ્ય તત્વોનું ગુણાકાર છે અને તેનું મુખ્ય તત્વ એ મુખ્ય તત્વ છે, જેમ કે એક અભિન્ન ડોમેન છે. તેથી, પ્રાઇમ ફેક્ટરાઇઝેશન (અથવા ઈરીડ્યુસિબલ્સમાં અનન્ય ફેક્ટરાઇઝેશન) સ્વીકારે છે. આગળ, અવલોકન કરો કે તે ઇરેડ્યુસિબલ તત્વોમાં એક અનન્ય ફેક્ટરાઇઝેશન છે, કારણ કે (1) દરેક ઇરેડ્યુસિબિલિટી સ્ટેટમેન્ટ દ્વારા ઇરેડ્યુસિબલ છે અને (2) તે અનન્ય છે કારણ કે ફેક્ટરાઇઝેશનને ફેક્ટરાઇઝેશન તરીકે પણ જોઈ શકાય છે અને ત્યાં ફેક્ટરાઇઝેશન અનન્ય છે. કારણ કે અને અનન્ય રીતે એકમ ઘટકો દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે, ઉપરનું ફેક્ટરાઇઝેશન એ ઇરેડ્યુસિબલ ઘટકોમાં એક અનન્ય ફેક્ટરાઇઝેશન છે. શરત એ છે કે "આર એક અનન્ય ફેક્ટરાઇઝેશન ડોમેન છે" અનાવશ્યક નથી કારણ કે તે સૂચવે છે કે આ રિંગનું દરેક ઈરીડ્યુસિબલ તત્વ પણ એક મુખ્ય તત્વ છે, જે બદલામાં સૂચવે છે કે આરના દરેક બિન-શૂન્ય તત્વમાં ઈરીડ્યુસિબલ તત્વોના ગુણાકારમાં વધુમાં વધુ એક ફેક્ટરાઇઝેશન હોય છે અને ક્રમ અને સહયોગી સંબંધ સુધી એકમ હોય છે. રિંગમાં જ્યાં ફેક્ટરાઇઝેશન અનન્ય નથી, p અને q ઈરીડ્યુસિબલ તત્વો સાથે કહો કે જે બીજી બાજુના કોઈપણ પરિબળોને વિભાજિત કરતા નથી, ઉત્પાદન પ્રિમિટિવિટી સ્ટેટમેન્ટની નિષ્ફળતા દર્શાવે છે. નક્કર ઉદાહરણ માટે,,, લઈ શકાય છે. આ ઉદાહરણમાં બહુપદી (જમણી બાજુને વિભાજીત કરીને મેળવેલ) ઈરીડ્યુસિબિલિટી સ્ટેટમેન્ટની નિષ્ફળતાનું ઉદાહરણ પૂરું પાડે છે (તે R પર ઈરીડ્યુસિબલ છે, પરંતુ તેના અપૂર્ણાંકોના ક્ષેત્ર પર ઘટાડી શકાય તેવું છે). અન્ય એક જાણીતું ઉદાહરણ બહુપદી છે, જેના મૂળ સુવર્ણ ગુણોત્તર અને તેના સંયુગ્મ છે જે દર્શાવે છે કે તે ક્ષેત્ર પર ઘટાડી શકાય તેવું છે, જો કે તે અપૂર્ણાંકનું ક્ષેત્ર ધરાવતા બિન-યુએફડી પર ઇરેડ્યુસિબલ છે. પછીના ઉદાહરણમાં રીંગને તેના અભિન્ન બંધને (ડિરીક્લેટ પૂર્ણાંકોની રીંગ) માં લઈને યુએફડીમાં બનાવી શકાય છે, જેની ઉપર ઘટાડી શકાય તેવું બને છે, પરંતુ પહેલાના ઉદાહરણમાં આર પહેલેથી જ અભિન્ન રીતે બંધ છે. સામાન્ય સંસ્કરણ ચાલો એક પરિવર્તનીય રીંગ બનીએ. જો બહુપદી હોય, તો આપણે તેના તમામ ગુણાંક દ્વારા પેદા થયેલ આદર્શ માટે લખીએ છીએ; તેને ની સામગ્રી કહેવામાં આવે છે. નોંધ લો કે દરેક માટે. આગામી દરખાસ્ત વધુ નોંધપાત્ર મિલકત દર્શાવે છે. જો એકમ આદર્શ હોય તો બહુપદીને આદિમ કહેવામાં આવે છે. જ્યારે (અથવા વધુ સામાન્ય રીતે જ્યારે બેઝઆઉટ ડોમેન હોય), ત્યારે આ આદિમ બહુપદીની સામાન્ય વ્યાખ્યા સાથે સંમત થાય છે. (પરંતુ જો માત્ર યુએફડી હોય, તો આ વ્યાખ્યા અનન્ય ફેક્ટરાઇઝેશન ડોમેન્સ માટે #Statements માં આદિમતાની વ્યાખ્યા સાથે અસંગત છે.) પુરાવોઃ આ એ હકીકતનો ઉપયોગ કરીને સરળ છે જે પુરાવો સૂચવે છેઃ () પ્રથમ નોંધ લો કે ગુણાંકની જી. સી. ડી. 1 છે કારણ કે, અન્યથા, આપણે લખવાના ગુણાંકમાંથી કેટલાક તત્વોને પરિબળ બનાવી શકીએ છીએ, જે લખવાની અપરિવર્તનીયતાને વિરોધાભાસી બનાવે છે. આગળ, ધારો કે કેટલીક બિન-સ્થિર બહુપદીઓ માટે. પછી, કેટલાક લોકો માટે, બહુપદીમાં ગુણાંક હોય છે અને તેથી, ગુણાંકના gcd ને પરિબળ બનાવીને, આપણે લખીએ છીએ. આવું જ કરો અને આપણે કેટલાક માટે લખી શકીએ છીએ. હવે, કેટલાકને જવા દો. પછી. આમાંથી, દરખાસ્તનો ઉપયોગ કરીને, આપણે મેળવીએ છીએઃ એટલે કે, વિભાજન થાય છે. આમ, અને પછી ફેક્ટરાઇઝેશન ની ઇરેડ્યુસિબિલિટીનો વિરોધાભાસ બનાવે છે. () જો ઈરીડ્યુસિબલ ઓવર હોય, તો પછી કાં તો તે ઈરીડ્યુસિબલ ઓવર હોય અથવા તેમાં પરિબળ તરીકે અચળ બહુપદી હોય, તો બીજી શક્યતા ધારણા દ્વારા નકારી કાઢવામાં આવે છે. દરખાસ્તનો પુરાવોઃ સ્પષ્ટપણે. જો પ્રાઇમ આઇડિયલ ધરાવતો હોય, તો મોડ્યુલો. કારણ કે તે ઇન્ટિગ્રલ ડોમેન પર બહુપદી રિંગ છે અને આમ એક ઇન્ટિગ્રલ ડોમેન છે, આ ક્યાં તો અથવા મોડ્યુલો સૂચવે છે. તેથી, ક્યાં તો અથવા તેમાં સમાયેલ છે. કારણ કે તે તમામ મુખ્ય આદર્શોનું આંતરછેદ છે જે ધરાવે છે અને ની પસંદગી મનસ્વી હતી,. હવે આપણે "વધુમાં" ભાગ સાબિત કરીએ છીએ. ગુણાંકમાંથી જી. સી. ડી. ને ફેક્ટર કરીને, આપણે લખી શકીએ છીએ અને જ્યાં ગુણાંકના જી. સી. ડી. બંને 1 છે. સ્પષ્ટપણે, જ્યારે દ્વારા બદલવામાં આવે ત્યારે તે દાવાને સાબિત કરવા માટે પૂરતું છે; આમ, આપણે ધારીએ છીએ કે બંનેના ગુણાંકની જીસીડી 1 છે. જો એક અનન્ય ફેક્ટરાઇઝેશન ડોમેન હોય તો બાકીનો પુરાવો સરળ અને પારદર્શક હોય છે; આમ આપણે તે કિસ્સામાં અહીં પુરાવો આપીએ છીએ (અને GCD કેસ માટે પુરાવો જુઓ). જો એમ હોય તો, સાબિત કરવા માટે કંઈ નથી. તેથી, અન્યથા ધારો; પછી એક બિન-એકમ તત્વ છે જે ગુણાંકને વિભાજિત કરે છે. તે તત્વને મુખ્ય તત્વોના ગુણાકારમાં ફેક્ટરાઇઝ કરીને, આપણે તે તત્વને મુખ્ય તત્વ તરીકે લઈ શકીએ છીએ. હવે, આપણી પાસે છેઃ આમ, ક્યાં તો ગુણાંકના જી. સી. ડી. ધરાવે છે અથવા વિરોધાભાસી બંને 1 છે. ટિપ્પણીઃ GCD ડોમેન પર (દા. ત., એક અનન્ય ફેક્ટરાઇઝેશન ડોમેન), બહુપદીના તમામ ગુણાંકની gcd, જે એકમ ઘટકો સુધી અનન્ય છે, તેને પણ ની સામગ્રી કહેવામાં આવે છે. એપ્લિકેશન્સ તે ગૌસના લેમ્માને અનુસરે છે કે દરેક અનન્ય ફેક્ટરાઇઝેશન ડોમેન માટે, બહુપદી રિંગ પણ એક અનન્ય ફેક્ટરાઇઝેશન ડોમેન છે (અનન્ય ફેક્ટરાઇઝેશન ડોમેન્સ માટે #Statements જુઓ). આઇઝેનસ્ટીનની ઇરેડ્યુસિબિલિટી માપદંડ દર્શાવવા માટે પણ ગૌસના લેમ્માનો ઉપયોગ કરી શકાય છે. છેવટે, તેનો ઉપયોગ તે બતાવવા માટે થઈ શકે છે કે સાયક્લોટોમિક બહુપદીઓ (પૂર્ણાંક ગુણાંકવાળા એકાત્મક એકમો) ઈરીડ્યુસિબલ છે. ગૌસ લેમ્મા નીચેનું નિવેદન સૂચવે છેઃ જો એક ચલમાં એક અનન્ય ગુણાંક ડોમેન (અથવા વધુ સામાન્ય રીતે GCD ડોમેન) માં ગુણાંક સાથે મોનિક બહુપદી હોય, તો તેનું મૂળ તેના અપૂર્ણાંકના ક્ષેત્રમાં છે. જો, તો તે કહે છે કે પૂર્ણાંકો પર મોનિક બહુપદીનું તર્કસંગત મૂળ એક પૂર્ણાંક છે (cf. તર્કસંગત મૂળ પ્રમેય). નિવેદન જોવા માટે, ચાલો 'ઇન' નું મૂળ હોઈએ અને ધારો કે તે પ્રમાણમાં મુખ્ય છે. આપણે કેટલાક સાથે લખી શકીએ છીએ. પછી એક ફેક્ટરાઇઝેશન છે. પરંતુ તે આદિમ છે (યુએફડી અર્થમાં) અને આમ ગૌસના લેમ્મા દ્વારા ગુણાંકને વિભાજિત કરે છે, અને તેથી અંદર. મોનિક હોવાથી, આ ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે એકમ હોય. એક સમાન દલીલ બતાવે છેઃ ચાલો અપૂર્ણાંકોના ક્ષેત્ર સાથે GCD ડોમેન બનીએ અને. જો અમુક બહુપદી માટે જે યુ. એફ. ડી. અર્થમાં આદિમ છે અને, તો પછી. ઈરીડ્યુસિબિલિટી સ્ટેટમેન્ટ એ પણ સૂચવે છે કે બીજગણિત પૂર્ણાંકની તર્કસંગત સંખ્યાઓ પરની ન્યૂનતમ બહુપદીમાં પૂર્ણાંક ગુણાંક હોય છે. નોંધો સંદર્ભ બહુપદીઓ વિશેના પ્રમેયો રિંગ સિદ્ધાંતમાં પ્રમેયો બીજગણિતમાં લેમ્મા