Tate duality
ગણિતમાં, ટેટ દ્વૈતતા અથવા પોઈટોઉ-ટેટ દ્વૈતતા એ બીજગણિત સંખ્યા ક્ષેત્ર અથવા સ્થાનિક ક્ષેત્રના ગેલોઇસ જૂથ પરના મોડ્યુલોના ગેલોઇસ કોહોમોલોજી જૂથો માટે દ્વૈતતા પ્રમેય છે, જે અને દ્વારા રજૂ કરવામાં આવે છે. સ્થાનિક ટેટ દ્વૈતતા પી-એડિક સ્થાનિક ક્ષેત્ર માટે, સ્થાનિક ટેટ દ્વૈતતા કહે છે કે ગેલોઇસ કોહોમોલોજીમાંથી ઉદ્ભવતા મર્યાદિત જૂથોની એક સંપૂર્ણ જોડી છેઃ જ્યાં એક મર્યાદિત જૂથ યોજના છે, તેની દ્વિગુણિત અને ગુણાકાર જૂથ છે. લાક્ષણિકતાના સ્થાનિક ક્ષેત્ર માટે, નિવેદન સમાન છે, સિવાય કે જોડી મૂલ્યો લે છે. જ્યારે આર્કિમિડીયન ક્ષેત્ર હોય ત્યારે નિવેદન પણ ધરાવે છે, જો કે કોહોમોલોજી જૂથોની વ્યાખ્યા આ કિસ્સામાં કંઈક અલગ દેખાય છે. વૈશ્વિક ટેટ દ્વૈત વૈશ્વિક ક્ષેત્ર પર મર્યાદિત જૂથ યોજનાને જોતાં, વૈશ્વિક ટેટ દ્વૈતતા ઉપર બાંધવામાં આવેલી સ્થાનિક જોડીનો ઉપયોગ કરવાની સમરૂપતા સાથે સંબંધિત છે. આ સ્થાનિકીકરણ નકશા દ્વારા કરવામાં આવે છે જ્યાં તમામ સ્થળોએ બદલાય છે, અને જ્યાં અનરેમિફાઇડ કોહોમોલોજી જૂથોના સંદર્ભમાં પ્રતિબંધિત ઉત્પાદન સૂચવે છે. સ્થાનિક જોડીનો સારાંશ કેનોનિકલ સંપૂર્ણ જોડી આપે છે પોઈટોઉ-ટેટ દ્વૈતતાનો એક ભાગ જણાવે છે કે, આ જોડી હેઠળ, ની છબી માટે ની છબીની બરાબર છે. નકશામાં બધા માટે મર્યાદિત કર્નલ છે, અને ટેટ પણ કેનોનિકલ સંપૂર્ણ જોડી બનાવે છે આ દ્વૈતતાઓને ઘણીવાર નવ-ગાળાના ચોક્કસ ક્રમના સ્વરૂપમાં રજૂ કરવામાં આવે છે. આ તમામ નિવેદનો ટેટ દ્વારા સ્થાનોના સમૂહના આધારે વધુ સામાન્ય સ્વરૂપમાં રજૂ કરવામાં આવ્યા હતા, જેમાં ઉપરોક્ત નિવેદનો એ કેસ માટેના તેમના પ્રમેયોનું સ્વરૂપ છે જેમાં સ્થાનોના તમામ સ્થાનો છે. વધુ સામાન્ય પરિણામ માટે, જુઓ દા. ત. . પોઈટોઉ-ટેટ દ્વૈતતા અન્ય નિવેદનોમાં, પોઈટોઉ-ટેટ દ્વૈતતા ચોક્કસ શેફારેવિચ જૂથો વચ્ચે સંપૂર્ણ જોડી સ્થાપિત કરે છે. વૈશ્વિક ક્ષેત્ર, અવિભાજ્યોનો સમૂહ S અને મહત્તમ વિસ્તરણ કે જે S ની બહાર અનરેમિફાઇડ છે, તેને જોતાં, વ્યાપક રીતે કહીએ તો, શેફારેવિચ જૂથો કોહોમોલોજીમાં તે તત્વોને મેળવે છે, જેમાંથી S માં અવિભાજ્ય સાથે સંબંધિત સ્થાનિક ક્ષેત્રોના ગેલોઇસ કોહોમોલોજીમાં અદ્રશ્ય થઈ જાય છે. આર્ટિન-વર્ડિયર દ્વૈત ટેટ જોડી સંદર્ભો બીજગણિત સંખ્યા સિદ્ધાંત ગેલોઇસ સિદ્ધાંત દ્વૈત સિદ્ધાંતો પણ જુઓ.