Jacobi rotation
આંકડાકીય રેખીય બીજગણિતમાં, જેકોબી પરિભ્રમણ એ n-પરિમાણીય આંતરિક ઉત્પાદન જગ્યાના 2-પરિમાણીય રેખીય ઉપક્ષેત્રનું પરિભ્રમણ, Qkl છે, જે n × n વાસ્તવિક સપ્રમાણ મેટ્રિક્સ, A ની બિન-કર્ણ એન્ટ્રીઓની સપ્રમાણ જોડીને શૂન્ય કરવા માટે પસંદ કરવામાં આવે છે, જ્યારે તેને સમાનતા પરિવર્તન તરીકે લાગુ કરવામાં આવે છેઃ તે જેકોબી આઈગનવેલ્યુ અલ્ગોરિધમમાં મુખ્ય કામગીરી છે, જે આંકડાકીય રીતે સ્થિર છે અને સમાંતર પ્રોસેસરો પર અમલીકરણ માટે સારી રીતે અનુકૂળ છે. માત્ર પંક્તિઓ k અને l અને A ના સ્તંભો k અને l ને અસર થશે, અને તે A સમપ્રમાણ રહેશે. ઉપરાંત, Qkl માટે સ્પષ્ટ મેટ્રિક્સની ગણતરી ભાગ્યે જ કરવામાં આવે છે; તેના બદલે, સહાયક મૂલ્યોની ગણતરી કરવામાં આવે છે અને A ને કાર્યક્ષમ અને આંકડાકીય રીતે સ્થિર રીતે અપડેટ કરવામાં આવે છે. જો કે, સંદર્ભ માટે, આપણે મેટ્રિક્સને આ રીતે લખી શકીએ છીએ કે, Qkl એ ચાર એન્ટ્રીઓ સિવાય એક ઓળખ મેટ્રિક્સ છે, બે વિકર્ણ પર (qkk અને qll, બંને c ની બરાબર) અને બે સમપ્રમાણતાથી વિકર્ણથી દૂર મૂકવામાં આવે છે (qkl અને qlk, અનુક્રમે s અને −s ની બરાબર). અહીં c = cos θ અને s = sin θ અમુક ખૂણા θ માટે; પરંતુ પરિભ્રમણ લાગુ કરવા માટે, ખૂણો પોતે જરૂરી નથી. ક્રોનેકર ડેલ્ટા નોટેશનનો ઉપયોગ કરીને, મેટ્રિક્સ એન્ટ્રીઓ લખી શકાય છેઃ ધારો કે h એ k અથવા l સિવાયનો અનુક્રમણિકા છે (જે પોતે અલગ હોવો જોઈએ). પછી સમાનતા અપડેટ બીજગણિત રીતે ઉત્પન્ન કરે છેઃ આંકડાકીય રીતે સ્થિર ગણતરી અપડેટ માટે જરૂરી જથ્થા નક્કી કરવા માટે, આપણે શૂન્ય માટે બંધ-કર્ણ સમીકરણને હલ કરવું આવશ્યક છે. આ સૂચવે છે કેઃ β ને આ જથ્થાના અડધા પર સેટ કરો જો akl શૂન્ય હોય તો આપણે અપડેટ કર્યા વિના રોકી શકીએ છીએ, આમ આપણે ક્યારેય શૂન્ય દ્વારા ભાગાકાર કરતા નથી. ચાલો t ટેન θ છે. પછી કેટલીક ત્રિકોણમિતીય ઓળખ સાથે આપણે સમીકરણને આ રીતે ઘટાડીએ છીએઃ સ્થિરતા માટે આપણે ઉકેલ પસંદ કરીએ છીએઃ આમાંથી આપણે c અને s આ રીતે મેળવી શકીએ છીએઃ જો કે હવે આપણે અગાઉ આપેલા બીજગણિત સુધારા સમીકરણોનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ, તેમ છતાં તેમને ફરીથી લખવું વધુ સારું રહેશે. ધારો કેઃ જેથી ρ = તન (θ/2). પછી સુધારેલા સુધારા સમીકરણો આ પ્રમાણે છેઃ અગાઉ સૂચવ્યા મુજબ, આપણે ક્યારેય સ્પષ્ટ રીતે પરિભ્રમણ કોણ θ ની ગણતરી કરવાની જરૂર નથી. હકીકતમાં, આપણે શૂન્ય પરિભ્રમણ માટે શૂન્ય પર સેટ કરેલ ટી સાથે માત્ર ત્રણ મૂલ્યો k, l અને t જાળવીને Qkl દ્વારા નિર્ધારિત સપ્રમાણ સુધારાઓનું પુનઃઉત્પાદન કરી શકીએ છીએ. ગિવન્સ રોટેશન હાઉસહોલ્ડર ટ્રાન્સફોર્મેશન સંદર્ભો આંકડાકીય રેખીય બીજગણિત પણ જુઓ