Landau's problems
1912ની ગણિતશાસ્ત્રીઓની આંતરરાષ્ટ્રીય કોંગ્રેસમાં, એડમન્ડ લાન્દાઉએ મુખ્ય સંખ્યાઓ વિશેની ચાર મૂળભૂત સમસ્યાઓની યાદી આપી હતી. આ સમસ્યાઓને તેમના ભાષણમાં "ગણિતની હાલની સ્થિતિમાં આક્રમક" તરીકે વર્ણવવામાં આવી હતી અને હવે તે લાન્દાઉની સમસ્યાઓ તરીકે ઓળખાય છે. તેઓ નીચે મુજબ છેઃ ગોલ્ડબેકનું અનુમાનઃ શું 2 કરતા મોટા દરેક સમ પૂર્ણાંકને બે અવિભાજ્ય સંખ્યાઓના સરવાળા તરીકે લખી શકાય? ટ્વીન પ્રાઈમ અનુમાનઃ શું અનંત રીતે ઘણા પ્રાઈમ p છે જેમ કે p + 2 પ્રાઈમ છે? દંતકથાનું અનુમાનઃ શું સતત સંપૂર્ણ ચોરસ વચ્ચે હંમેશા ઓછામાં ઓછો એક અવિભાજ્ય હોય છે? શું અનંત સંખ્યાબંધ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ p એવી છે કે p − 1 એક સંપૂર્ણ વર્ગ છે? બીજા શબ્દોમાં કહીએ તોઃ શું n2 + 1 સ્વરૂપમાં અનંત સંખ્યાબંધ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે? તમામ ચાર સમસ્યાઓ વણઉકેલાયેલી છે. ઉકેલો તરફ પ્રગતિ ગોલ્ડબેકનું અનુમાન ગોલ્ડબેકનું નબળું અનુમાન, 5 કરતા મોટી દરેક વિચિત્ર સંખ્યાને ત્રણ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓના સરવાળા તરીકે વ્યક્ત કરી શકાય છે, તે ગોલ્ડબેકના અનુમાનનું પરિણામ છે. ઇવાન વિનોગ્રાદોવએ 1937માં તેને મોટા પર્યાપ્ત એન (વિનોગ્રાદોવના પ્રમેય) માટે સાબિત કર્યું, અને હેરાલ્ડ હેલફગોટે 2013માં ગોલ્ડબેકના નબળા અનુમાનના સંપૂર્ણ પુરાવા સુધી તેને વિસ્તૃત કર્યું. ચેનનો પ્રમેય, ગોલ્ડબેકના અનુમાનનો બીજો નબળો પડાવ, સાબિત કરે છે કે તમામ પૂરતા પ્રમાણમાં મોટા n માટે, જ્યાં p એ અવિભાજ્ય છે અને q એ કાં તો અવિભાજ્ય અથવા અર્ધ-પ્રાથમિક છે. બોર્ડિગ્નન, જોહન્સ્ટન અને સ્ટેરિચકોવાએ યામાદા પર સુધારો કરીને અને સુધારીને, ચેનના પ્રમેયની સ્પષ્ટ આવૃત્તિ સાબિત કરીઃ દરેક સમ સંખ્યા એક અવિભાજ્યનો સરવાળો અને વધુમાં વધુ બે અવિભાજ્યનો ગુણાકાર કરતાં મોટી છે. બોર્ડિગ્નન અને સ્ટેરિચકોવા આને ડિરીક્લેટ એલ-ફંક્શન્સ માટે સામાન્યીકૃત રીમાન પૂર્વધારણાને ધારીને ઘટાડે છે. જ્હોન્સન અને સ્ટેરિચકોવા એક એવી સંખ્યાનો ઉપયોગ કરવાની કિંમત પર તમામ n> = 4 માટે કામ કરતી આવૃત્તિ આપે છે જે મુખ્ય અથવા અર્ધ પ્રાથમિકને બદલે મહત્તમ 369 અવિભાજ્ય સંખ્યાઓનું ગુણાકાર છે; GRH હેઠળ તેઓ 369 થી 33 માં સુધારો કરે છે. મોન્ટગોમેરી અને વોનએ દર્શાવ્યું હતું કે બે અવિભાજ્ય સંખ્યાઓના સરવાળા તરીકે વ્યક્ત ન કરી શકાય તેવી સમ સંખ્યાઓનો અપવાદરૂપ સમૂહ ઘનતા શૂન્યનો હતો, જો કે સમૂહ મર્યાદિત સાબિત થયો નથી. અપવાદરૂપ સમૂહ પરની શ્રેષ્ઠ વર્તમાન સીમાઓ (પર્યાપ્ત મોટા x માટે) પિન્ટઝને કારણે અને આર. એચ. હેઠળ, ગોલ્ડસ્ટોનને કારણે છે. લિનિકે સાબિત કર્યું કે પૂરતી મોટી સમ સંખ્યાઓને બે અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ અને કેટલાક (બિનઅસરકારક) અચળાંક K ની 2 ની ઘાતોના સરવાળા તરીકે વ્યક્ત કરી શકાય છે. ઘણી પ્રગતિઓને પગલે (ઝાંખી માટે પિન્ટ્ઝ જુઓ), પિન્ટ્ઝ અને રુઝાએ તેમાં સુધારો કરીને K = 8 કર્યું. GRH પર આને K = 7 સુધી સુધારી શકાય છે. ટ્વીન પ્રાઇમ અનુમાન યિતાંગ ઝાંગે દર્શાવ્યું હતું કે 7 કરોડથી બંધાયેલ અંતર સાથે અનંત સંખ્યામાં ઘણી મુખ્ય જોડીઓ છે, અને પોલિમથ પ્રોજેક્ટના સહયોગી પ્રયાસ દ્વારા આ પરિણામને 246 લંબાઈના અંતર સુધી સુધારવામાં આવ્યું છે. સામાન્યીકૃત ઇલિયટ-હેલ્બર્સ્ટેમ અનુમાન હેઠળ આ સુધારીને 6 કરવામાં આવ્યું હતું, મેનાર્ડ અને ગોલ્ડસ્ટન, પિન્ટ્ઝ અને યિલ્દિરિમ દ્વારા અગાઉના કાર્યને લંબાવવામાં આવ્યું હતું. ચેનએ દર્શાવ્યું હતું કે અનંત સંખ્યાબંધ પ્રાઈમ p (પાછળથી ચેન પ્રાઈમ તરીકે ઓળખાતા) એવા છે કે p + 2 કાં તો પ્રાઈમ અથવા સેમી પ્રાઈમ છે. દંતકથાનું અનુમાન એ તપાસવા માટે પૂરતું છે કે p થી શરૂ થતું દરેક મુખ્ય અંતર તેના કરતા નાનું છે. મહત્તમ મુખ્ય અંતરાયોનું કોષ્ટક દર્શાવે છે કે અનુમાન 264 ≈ 1.8 ધરાવે છે. તે કદની નજીકના પ્રતિકૂળ ઉદાહરણ માટે મુખ્ય અંતરની જરૂર પડશે જે સરેરાશ અંતરના કદ કરતાં સો કરોડ ગણું વધારે હશે. જર્વિનીમી, હીથ-બ્રાઉન અને માટોમાકી પર સુધારો કરે છે, તે દર્શાવે છે કે સૌથી વધુ અપવાદરૂપ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે અને તેના પછી તેના કરતા મોટા અંતરાય છે; ખાસ કરીને, ઇંગહામને કારણે પરિણામ દર્શાવે છે કે દરેક મોટા પર્યાપ્ત n માટે અને તેની વચ્ચે એક અવિભાજ્ય સંખ્યા છે. નજીક-ચોરસ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ લેન્ડાઉની ચોથી સમસ્યામાં પૂછવામાં આવ્યું કે શું અનંત સંખ્યાબંધ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે કે જે પૂર્ણાંક n માટે સ્વરૂપમાં છે. (આ સ્વરૂપની જાણીતી અવિભાજ્ય સંખ્યાઓની સૂચિ છે.) આવા અનંત સંખ્યાઓનું અસ્તિત્વ અન્ય સંખ્યા-સૈદ્ધાંતિક અનુમાનો જેમ કે બુન્યાકોવ્સ્કી અનુમાન અને બેટમેન-હોર્ન અનુમાનના પરિણામે અનુસરશે. આ સમસ્યા ખુલ્લી છે. નજીકના ચોરસ અવિભાજ્યોનું એક ઉદાહરણ ફર્મેટ અવિભાજ્ય છે. હેનરિક ઇવાનિયેકે દર્શાવ્યું હતું કે મહત્તમ બે મુખ્ય પરિબળો સાથે સ્વરૂપની અનંત સંખ્યાઓ છે. એન્કેની અને કુબિલિયસે સાબિત કર્યું કે, હેક અક્ષરો પર એલ-વિધેયો માટે વિસ્તૃત રીમાન પૂર્વધારણાને ધારીને, આ સ્વરૂપમાં અનંત સંખ્યાબંધ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે. લાન્દાઉનું અનુમાન મજબૂત લોકો માટે છે. શ્રેષ્ઠ બિનશરતી પરિણામ હરમન અને લેવિસને કારણે છે અને તે આપે છે. મેરિકોસ્કીએ અગાઉના કાર્યોમાં સુધારો કરીને દર્શાવ્યું હતું કે ઓછામાં ઓછું સૌથી મોટું મુખ્ય પરિબળ ધરાવતા સ્વરૂપોની સંખ્યા અનંત છે. ઘાતાંકને 2 સાથે બદલવાથી લાન્દાઉનું અનુમાન પ્રાપ્ત થશે. ફ્રીડલેન્ડર-ઇવાનિક પ્રમેય દર્શાવે છે કે અનંત સંખ્યાબંધ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ આ સ્વરૂપની હોય છે. બેયર અને ઝાઓ સાબિત કરે છે કે સાથે સ્વરૂપના અનંત સંખ્યાબંધ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે; એલ-કાર્યો માટે સામાન્યીકૃત રીમાન પૂર્વધારણા હેઠળ અને ચોક્કસ ઇલિયટ-હેલ્બર્સ્ટેમ પ્રકારની પૂર્વધારણા હેઠળ ઘાતાંકમાં સુધારો કરી શકાય છે. બ્રુન ચાળણી સ્વરૂપ ધરાવતા અવિભાજ્ય સંખ્યાઓની ઘનતા પર ઉપલી સીમા સ્થાપિત કરે છેઃ ત્યાં સુધી આવા અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે. તેથી સ્વરૂપની લગભગ તમામ સંખ્યાઓ સંયુક્ત હોય છે. આ પણ જુઓ ગણિતમાં વણઉકેલાયેલી સમસ્યાઓની યાદી હિલ્બર્ટની સમસ્યાઓ નોંધો સંદર્ભો બાહ્ય કડીઓ મુખ્ય સંખ્યાઓ વિશેની ધારણાઓ સંખ્યા સિદ્ધાંતમાં વણઉકેલાયેલી સમસ્યાઓ