Banach's matchbox problem
બનાચની મેચ સમસ્યા એ સ્ટીફન બનાચને આભારી સંભાવનામાં એક ઉત્તમ સમસ્યા છે. ફેલર કહે છે કે આ સમસ્યા હ્યુગો સ્ટેઇનહૌસ દ્વારા તેમને સન્માનિત કરતા ભાષણમાં બનાચની ધૂમ્રપાનની આદતના રમૂજી સંદર્ભથી પ્રેરિત હતી, પરંતુ તે બનાચ ન હતા જેમણે સમસ્યા ઊભી કરી અથવા જવાબ આપ્યો. ધારો કે ગણિતશાસ્ત્રી દરેક સમયે બે માચિસની પેટીઓ ધરાવે છેઃ એક તેના ડાબા ખિસ્સામાં અને એક તેના જમણા ખિસ્સામાં. દરેક વખતે જ્યારે તેને મેચની જરૂર પડે છે, ત્યારે તે બંને ખિસ્સામાંથી તે લે તેવી શક્યતા છે. ધારો કે તે તેના ખિસ્સામાં પહોંચે છે અને પ્રથમ વખત શોધે છે કે પસંદ કરેલ બૉક્સ ખાલી છે. જો એવું માનવામાં આવે કે દરેક મેચબોક્સમાં મૂળ રૂપે મેચ હોય, તો અન્ય બૉક્સમાં બરાબર મેચ હોવાની સંભાવના શું છે? સોલ્યુશન વિદાઉટ લોસ ઓફ જનરાલિટી એ કેસને ધ્યાનમાં લો કે જ્યાં તેના જમણા ખિસ્સામાં અમર્યાદિત સંખ્યામાં મેચ હોય અને ડાબી બાજુ ખાલી હોય તે પહેલાં તેમાંથી દૂર કરવામાં આવેલી મેચોની સંખ્યા હોવી જોઈએ. જ્યારે ડાબો પોકેટ ખાલી જોવા મળે છે, ત્યારે તે વ્યક્તિએ પોકેટનો સમય પસંદ કર્યો છે. પછી બર્નૌલી પરીક્ષણોમાં નિષ્ફળતા પહેલાં સફળતાઓની સંખ્યા છે, જે નકારાત્મક દ્વિપદી વિતરણ ધરાવે છે અને આમ. મૂળ સમસ્યા પર પાછા ફરતા, આપણે જોઈએ છીએ કે ડાબો પોકેટ પહેલા ખાલી હોવાની સંભાવના બરાબર છે કારણ કે બંને સમાન રીતે સંભવિત છે. આપણે જોઈએ છીએ કે બીજા ખિસ્સામાં બાકી રહેલી મેચોની સંખ્યા છે. વિતરણની અપેક્ષા લગભગ છે. (આ સ્ટર્લિંગના અંદાજનો ઉપયોગ કરીને દર્શાવવામાં આવ્યું છે.) તેથી મેચ સાથેના બોક્સથી શરૂ કરીને, બીજા બૉક્સમાં મેચોની અપેક્ષિત સંખ્યા છે. આ પણ જુઓ સ્ટીફન બનાચ સંદર્ભોના નામ પરથી નામ આપવામાં આવેલી વસ્તુઓની સૂચિ બાહ્ય કડીઓ જાવા એપલેટ લાગુ સંભાવના સંભાવના સમસ્યાઓ