1 + 2 + 3 + 4 + ⋯
અનંત શ્રેણી કે જેની શરતો પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ છે તે એક ભિન્ન શ્રેણી છે. શ્રેણીનો nમો આંશિક સરવાળો એ ત્રિકોણાકાર સંખ્યા છે જે જેમ જેમ n અનંત તરફ જાય છે તેમ તેમ બંધાયેલા વગર વધે છે. કારણ કે આંશિક રકમનો ક્રમ મર્યાદિત મર્યાદામાં એકરૂપ થવામાં નિષ્ફળ જાય છે, તેથી શ્રેણીમાં સરવાળો હોતો નથી. જો કે પ્રથમ નજરમાં આ શ્રેણીનું કોઈ અર્થપૂર્ણ મૂલ્ય નથી લાગતું, તેમ છતાં તેને સંખ્યાબંધ ગાણિતિક રીતે રસપ્રદ પરિણામો આપવા માટે હેરફેર કરી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, ગણિતમાં ઘણી સરવાળા પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ અલગ શ્રેણીને પણ આંકડાકીય મૂલ્યો સોંપવા માટે થાય છે. ખાસ કરીને, ઝીટા ફંક્શન રેગ્યુલરાઈઝેશન અને રામાનુજન સમેશનની પદ્ધતિઓ શ્રેણીનું મૂલ્ય નિર્ધારિત કરે છે, જે એક પ્રખ્યાત સૂત્ર દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છેઃ જ્યાં ડાબી બાજુને ઉપરોક્ત સમેશન પદ્ધતિઓમાંથી એકનો ઉપયોગ કરીને મેળવેલ મૂલ્ય તરીકે અર્થઘટન કરવું પડે છે, તેના સામાન્ય અર્થમાં અનંત શ્રેણીના સરવાળા તરીકે નહીં. આ પદ્ધતિઓ જટિલ વિશ્લેષણ, ક્વોન્ટમ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંત અને સ્ટ્રિંગ સિદ્ધાંત જેવા અન્ય ક્ષેત્રોમાં પણ લાગુ પડે છે. ચંદ્રશાઇન સિદ્ધાંત પરના એક મોનોગ્રાફમાં, યુનિવર્સિટી ઓફ આલ્બર્ટાના ગણિતશાસ્ત્રી ટેરી ગેન્નન આ સમીકરણને "વિજ્ઞાનમાં સૌથી નોંધપાત્ર સૂત્રોમાંનું એક" કહે છે. આંશિક સરવાળો શ્રેણીનો આંશિક સરવાળો છે, વગેરે. nમો આંશિક સરવાળો એક સરળ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છેઃ આ સમીકરણ પાયથાગોરિયનોને ઇ. સ. પૂર્વે છઠ્ઠી સદીની શરૂઆતમાં જાણીતું હતું. આ સ્વરૂપની સંખ્યાઓને ત્રિકોણાકાર સંખ્યાઓ કહેવામાં આવે છે, કારણ કે તેમને સમબાહુ ત્રિકોણ તરીકે ગોઠવી શકાય છે. ત્રિકોણાકાર સંખ્યાઓનો અનંત ક્રમ + ν સુધી અલગ થાય છે, તેથી વ્યાખ્યા મુજબ, અનંત શ્રેણી પણ + ν સુધી અલગ થાય છે. વિચલન એ શ્રેણીના સ્વરૂપનું એક સરળ પરિણામ છેઃ શબ્દો શૂન્ય સુધી પહોંચતા નથી, તેથી શ્રેણી પરીક્ષણ શબ્દ દ્વારા અલગ પડે છે. શાસ્ત્રીય ભિન્ન શ્રેણીઓમાં, સારાંશને મર્યાદિત મૂલ્યમાં હેરફેર કરવું પ્રમાણમાં મુશ્કેલ છે. ઘણી સરવાળા પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ વિવિધ શ્રેણીઓને આંકડાકીય મૂલ્યો સોંપવા માટે થાય છે, જેમાંથી કેટલીક અન્ય કરતા વધુ શક્તિશાળી હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે, સેસેરો સરવાળો એ એક જાણીતી પદ્ધતિ છે જે ગ્રાન્ડીની શ્રેણી, હળવી અલગ શ્રેણી, નો સરવાળો આપે છે. એબેલ સરવાળો એ વધુ શક્તિશાળી પદ્ધતિ છે જે માત્ર ગ્રાન્ડીની શ્રેણીનો સરવાળો જ નથી કરતી, પરંતુ વધુ જટિલ શ્રેણીનો સરવાળો પણ કરે છે. ઉપરોક્ત શ્રેણીઓથી વિપરીત, સિઝારો સારાંશપાત્ર નથી અને ન તો એબેલ સારાંશપાત્ર છે. તે પદ્ધતિઓ ઓસિલેટિંગ ડાયવર્જન્ટ સિરીઝ પર કામ કરે છે, પરંતુ તેઓ + ν સુધી ડાયવર્જ થતી સિરીઝ માટે મર્યાદિત જવાબ આપી શકતા નથી. ભિન્ન શ્રેણીના સરવાળાની મોટાભાગની પ્રાથમિક વ્યાખ્યાઓ સ્થિર અને રેખીય હોય છે, અને કોઈપણ પદ્ધતિ કે જે સ્થિર અને રેખીય બંને હોય તે મર્યાદિત મૂલ્યનો સરવાળો કરી શકતી નથી; નીચે જુઓ. વધુ અદ્યતન પદ્ધતિઓ જરૂરી છે, જેમ કે ઝીટા કાર્ય નિયમિતકરણ અથવા રામાનુજન સરવાળો. આ પદ્ધતિઓ સાથે સંબંધિત કેટલાક રફ હ્યુરિસ્ટિક્સનો ઉપયોગ કરવાના મૂલ્ય માટે દલીલ કરવી પણ શક્ય છે. હ્યુરિસ્ટિક્સ શ્રીનિવાસ રામાનુજને તેમની પ્રથમ નોટબુકના પ્રકરણ 8 માં "" ની બે વ્યુત્પત્તિઓ રજૂ કરી હતી. સરળ, ઓછી સખત વ્યુત્પત્તિ નીચે પ્રમાણે બે તબક્કામાં આગળ વધે છે. પ્રથમ મુખ્ય સમજ એ છે કે હકારાત્મક સંખ્યાઓની શ્રેણી વૈકલ્પિક શ્રેણી સાથે નજીકથી મળતી આવે છે. પછીની શ્રેણી પણ અલગ છે, પરંતુ તેની સાથે કામ કરવું ખૂબ સરળ છે; એવી ઘણી શાસ્ત્રીય પદ્ધતિઓ છે જે તેને મૂલ્ય આપે છે, જે 18મી સદીથી શોધવામાં આવી છે. શ્રેણીને શ્રેણીમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે, કોઈ વ્યક્તિ બીજી મુદતમાંથી 4, ચોથી મુદતમાંથી 8, છઠ્ઠી મુદતમાંથી 12 અને તેથી વધુ બાદ કરી શકે છે. બાદ કરવાની કુલ રકમ છે, જે મૂળ શ્રેણીની 4 ગણી છે. આ સંબંધોને બીજગણિતનો ઉપયોગ કરીને વ્યક્ત કરી શકાય છે. શ્રેણીનો "સરવાળો" ગમે તે હોય, તેને કહો પછી આ સમીકરણને 4 વડે ગુણાકાર કરો અને પ્રથમમાંથી બીજા સમીકરણને બાદ કરી નાખોઃ બીજી મુખ્ય સમજ એ છે કે વૈકલ્પિક શ્રેણી એ વિધેયની ઔપચારિક શક્તિ શ્રેણી વિસ્તરણ છે પરંતુ x ને 1 તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. (આ x ની બિન-નકારાત્મક શક્તિઓના વૈકલ્પિક સરવાળા સાથે સરખાવીને અને પછી સમીકરણની બંને બાજુઓને અલગ કરીને અને નકારીને જોઈ શકાય છે.) તદનુસાર, રામાનુજન લખે છે કે બંને બાજુઓને −3 વડે વિભાજીત કરવાથી, એકને c = મળે છે. સામાન્ય રીતે કહીએ તો, અનંત શ્રેણીઓને એવી રીતે હેરફેર કરવી ખોટી છે કે જાણે તે મર્યાદિત રકમ હોય. ઉદાહરણ તરીકે, જો શૂન્યને અલગ શ્રેણીની મનસ્વી સ્થિતિમાં દાખલ કરવામાં આવે, તો એવા પરિણામો પર પહોંચવું શક્ય છે જે સ્વ-સુસંગત નથી, અન્ય પદ્ધતિઓ સાથે સુસંગત હોવા જોઈએ. ખાસ કરીને, આ પગલું માત્ર એડિટિવ આઇડેન્ટિટી લૉ દ્વારા ન્યાયી ઠેરવવામાં આવતું નથી. એક આત્યંતિક ઉદાહરણ તરીકે, શ્રેણીના આગળના ભાગમાં એક જ શૂન્ય ઉમેરવાથી અલગ પરિણામ આવી શકે છે. આ પરિસ્થિતિને સુધારવાની એક રીત, અને જ્યાં શૂન્ય દાખલ કરી શકાય છે તે સ્થાનોને મર્યાદિત કરવાની એક રીત એ છે કે અમુક કાર્ય પર અવલંબન જોડીને શ્રેણીમાં દરેક શબ્દનો ટ્રેક રાખવો. શ્રેણીમાં, દરેક પદ n એ માત્ર એક સંખ્યા છે. જો n શબ્દને ફંક્શન n − s માં બઢતી આપવામાં આવે, જ્યાં s એક જટિલ ચલ છે, તો પછી કોઈ ખાતરી કરી શકે છે કે માત્ર શબ્દોની જેમ જ ઉમેરવામાં આવે છે. પરિણામી શ્રેણીને વધુ સખત રીતે હેરફેર કરી શકાય છે, અને ચલ s ને પછીથી −1 પર સેટ કરી શકાય છે. આ વ્યૂહરચનાના અમલીકરણને ઝીટા કાર્ય નિયમિતકરણ કહેવામાં આવે છે. ઝીટા કાર્ય નિયમિતકરણ ઝીટા કાર્ય નિયમિતકરણમાં, શ્રેણીને શ્રેણી દ્વારા બદલવામાં આવે છે. પછીની શ્રેણી ડિરીક્લેટ શ્રેણીનું ઉદાહરણ છે. જ્યારે s નો વાસ્તવિક ભાગ 1 કરતા મોટો હોય, ત્યારે ડિરીક્લેટ શ્રેણી એકરૂપ થાય છે, અને તેનો સરવાળો રીમાન ઝીટા વિધેય ζ (s) છે. બીજી બાજુ, જ્યારે s નો વાસ્તવિક ભાગ 1 કરતા ઓછો અથવા બરાબર હોય ત્યારે ડિરીક્લેટ શ્રેણી અલગ પડે છે, તેથી, ખાસ કરીને, જે શ્રેણી s =-1 સુયોજિત કરવાથી પરિણમે છે તે એકરૂપ થતી નથી. રીમાન ઝીટા કાર્ય રજૂ કરવાનો ફાયદો એ છે કે તેને વિશ્લેષણાત્મક સાતત્ય દ્વારા s ના અન્ય મૂલ્યો માટે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. પછી ઝીટા-નિયમિત સરવાળાને ζ (−1) તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. આ બિંદુ પરથી, એ સાબિત કરવાની કેટલીક રીતો છે કે એક પદ્ધતિ, યુલરના તર્કની તર્જ પર, રીમાન ઝેટા કાર્ય અને ડિરીક્લેટ એટા કાર્ય η (s) વચ્ચેના સંબંધનો ઉપયોગ કરે છે. એટા કાર્યને વૈકલ્પિક ડિરીક્લેટ શ્રેણી દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, તેથી આ પદ્ધતિ અગાઉના હ્યુરિસ્ટિક્સને સમાંતર છે. જ્યાં બંને ડિરીક્લેટ શ્રેણી ભેગા થાય છે, ત્યાં એકની ઓળખ હોય છેઃ જ્યારે બંને કાર્યોને વિશ્લેષણાત્મક સાતત્ય દ્વારા વિસ્તૃત કરવામાં આવે છે ત્યારે ઓળખ ચાલુ રહે છે, જેમાં s ના મૂલ્યોનો સમાવેશ થાય છે, જેના માટે ઉપરોક્ત શ્રેણી અલગ પડે છે. હવે, η (−1) ની ગણતરી કરવી એ એક સરળ કાર્ય છે, કારણ કે η ફંક્શન તેની વ્યાખ્યાયિત શ્રેણીના એબેલ સરવાળાની બરાબર છે, જે એક તરફી મર્યાદા છેઃ બંને બાજુઓને −3 વડે વિભાજીત કરવાથી, કટઓફ રેગ્યુલરાઇઝેશન મળે છે. સ્મૂથિંગ એ ઝીટા ફંક્શન નિયમિતકરણ, જટિલ વિશ્લેષણ પર તેની નિર્ભરતા અને યુલર-મેક્લૌરિન સૂત્રના શોર્ટકટ સાથે રામાનુજન સરવાળા વચ્ચેનો એક વૈચારિક સેતુ છે. તેના બદલે, આ પદ્ધતિ વાસ્તવિક વિશ્લેષણની પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને શ્રેણીના રૂઢિચુસ્ત પરિવર્તન પર સીધી રીતે કાર્ય કરે છે. વિચાર એ છે કે ખરાબ વર્તણૂકવાળી અલગ શ્રેણીને સ્મૂથ વર્ઝન સાથે બદલવાનો છે જ્યાં f એ યોગ્ય ગુણધર્મો સાથેનું કટઓફ ફંક્શન છે. કટઓફ ફંક્શનને સામાન્ય બનાવવું આવશ્યક છે; આ વિભેદક સમીકરણોમાં વપરાતા સામાન્યકરણથી અલગ છે. કટઓફ ફંક્શનમાં શ્રેણીમાં કરચલીઓને સરળ બનાવવા માટે પૂરતા બાઉન્ડેડ ડેરિવેટિવ્ઝ હોવા જોઈએ, અને તે શ્રેણી વધે તેના કરતા વધુ ઝડપથી 0 સુધી ક્ષીણ થવું જોઈએ. સગવડતા માટે, કોઈએ જરૂર પડી શકે છે કે એફ સરળ, બંધાયેલ અને સઘન રીતે સપોર્ટેડ હોય. પછી કોઈ સાબિત કરી શકે છે કે આ સરળ સરવાળો એસિમ્પ્ટોટિક છે, જ્યાં C એ અચળાંક છે જે f પર આધાર રાખે છે. એસિમ્પ્ટોટિક વિસ્તરણની અચળ મુદત f પર આધાર રાખતી નથીઃ તે આવશ્યકપણે વિશ્લેષણાત્મક સાતત્ય દ્વારા આપવામાં આવેલ સમાન મૂલ્ય છે. રામાનુજનનો સરવાળો રામાનુજનનો સરવાળો પણ છે. રામાનુજને 27 ફેબ્રુઆરી 1913ના રોજ જી. એચ. હાર્ડીને લખેલા તેમના બીજા પત્રમાં લખ્યું હતુંઃ "પ્રિય સાહેબ, હું 8 ફેબ્રુઆરી 1913ના તમારા પત્રને વાંચીને ખૂબ જ સંતુષ્ટ છું. મને તમારી પાસેથી એવા જ જવાબની અપેક્ષા હતી જે લંડનના ગણિતના પ્રોફેસરે મને બ્રોમ્વિચની અનંત શ્રેણીનો કાળજીપૂર્વક અભ્યાસ કરવા અને ભિન્ન શ્રેણીના જોખમોમાં ન આવવા માટે લખ્યું હતું. . મેં તેમને કહ્યું કે શ્રેણીની અનંત સંખ્યાના શબ્દોનો સરવાળોઃ મારા સિદ્ધાંત હેઠળ. જો હું તમને આ કહીશ તો તમે તરત જ મને મારા લક્ષ્ય તરીકે પાગલ આશ્રય તરફ ધ્યાન દોરશો. હું આને ફક્ત તમને સમજાવવા માટે વિસ્તૃત કરું છું કે જો હું એક જ અક્ષરમાં જે રેખાઓ પર આગળ વધીશ તે સૂચવીશ તો તમે મારી સાબિતીની પદ્ધતિઓનું પાલન કરી શકશો નહીં. ". રામાનુજન સરવાળો એ શ્રેણીના આંશિક સરવાળા માટે યુલર-મેક્લૌરિન સૂત્રમાં અચળ પદને અલગ કરવાની એક પદ્ધતિ છે. ફંક્શન f માટે, શ્રેણીના શાસ્ત્રીય રામાનુજન સરવાળાને આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જ્યાં f (2k−1) એ f નું (2k−1)-th વ્યુત્પન્ન છે અને B2k એ 2k-th બર્નૌલી સંખ્યા છેઃ, વગેરે છે. સેટિંગમાં, f નું પ્રથમ વ્યુત્પન્ન 1 છે, અને દરેક અન્ય શબ્દ અદૃશ્ય થઈ જાય છે, તેથી અસાતત્યતાઓને ટાળવા માટે, રામાનુજન સરવાળાના આધુનિક સિદ્ધાંત માટે જરૂરી છે કે f એ "નિયમિત" હોય, એ અર્થમાં કે યુલર-મેક્લૌરિન સૂત્રમાં બાકીની શરતો માટે f ના ઉચ્ચ ક્રમના વ્યુત્પન્ન ઝડપથી 0 તરફ વલણ ધરાવે છે. રામાનુજને મૌનપણે આ મિલકત ધારણ કરી હતી. નિયમિતતાની જરૂરિયાત સ્પેસ્ડ-આઉટ શ્રેણી પર રામાનુજન સરવાળાના ઉપયોગને અટકાવે છે, કારણ કે કોઈ નિયમિત કાર્ય તે મૂલ્યો લેતું નથી. તેના બદલે, આવી શ્રેણીનું અર્થઘટન ઝીટા કાર્ય નિયમિતકરણ દ્વારા થવું જોઈએ. આ કારણોસર, હાર્ડી સંબંધિત શ્રેણીઓનો સરવાળો શોધવા માટે જાણીતી શ્રેણીના રામાનુજન સરવાળાને લાગુ કરતી વખતે "ખૂબ સાવધાની" રાખવાની ભલામણ કરે છે. સ્થિર રેખીય સરવાળો પદ્ધતિઓની નિષ્ફળતા એક સરવાળો પદ્ધતિ જે રેખીય અને સ્થિર હોય તે શ્રેણીનો કોઈપણ મર્યાદિત મૂલ્ય સાથે સરવાળો કરી શકતી નથી. (સ્થિરતાનો અર્થ એ છે કે શ્રેણીની શરૂઆતમાં શબ્દ ઉમેરવાથી ઉમેરાયેલા શબ્દના મૂલ્યનો સરવાળો વધે છે.) આને નીચે પ્રમાણે જોઈ શકાય છે. જો પછી બંને બાજુએ 0 ઉમેરવાથી સ્થિરતા મળે છે. રેખીયતા દ્વારા, પ્રથમમાંથી બીજા સમીકરણને બાદ કરી શકાય છે (સ્તંભોમાં પ્રથમ લીટીમાંથી બીજી રેખાના દરેક ઘટકને બાદ કરીને) જેથી બંને બાજુએ 0 ઉમેરવાથી ફરીથી મળે છે અને છેલ્લી બે શ્રેણીઓને બાદ કરવાથી વિરોધાભાસી સ્થિરતા મળે છે. તેથી, દરેક પદ્ધતિ જે સરવાળાને મર્યાદિત મૂલ્ય આપે છે તે સ્થિર નથી અથવા રેખીય નથી. બોસોનીક સ્ટ્રિંગ થિયરીમાં, પ્રયાસ એ છે કે સ્ટ્રિંગના સંભવિત ઉર્જા સ્તરની ગણતરી કરવી, ખાસ કરીને, સૌથી નીચા ઉર્જા સ્તરની. અનૌપચારિક રીતે કહીએ તો, સ્ટ્રિંગના દરેક હાર્મોનિકને D−2 સ્વતંત્ર ક્વોન્ટમ હાર્મોનિક ઓસિલેટરના સંગ્રહ તરીકે જોઈ શકાય છે, જે દરેક ત્રાંસા દિશા માટે એક છે, જ્યાં D એ અવકાશ સમયનું પરિમાણ છે. જો મૂળભૂત ઓસિલેશન ફ્રિક્વન્સી ω હોય, તો n-th હાર્મોનિકમાં ફાળો આપતા ઓસિલેટરમાં રહેલી ઊર્જા nhω/2 છે. તેથી ડાઇવર્જન્ટ શ્રેણીનો ઉપયોગ કરીને, તમામ હાર્મોનિક્સનો સરવાળો છે. આખરે આ હકીકત છે, જે ગોડાર્ડ-થોર્ન પ્રમેય સાથે જોડાયેલી છે, જે 26 સિવાયના પરિમાણોમાં સુસંગત ન રહેવામાં બોસોનિક સ્ટ્રિંગ સિદ્ધાંત તરફ દોરી જાય છે. તેનું નિયમિતકરણ એક પરિમાણમાં સ્કેલર ક્ષેત્ર માટે કાસીમીર બળની ગણતરીમાં પણ સામેલ છે. ઘાતાંકીય કટઓફ કાર્ય શ્રેણીને સરળ બનાવવા માટે પૂરતું છે, જે એ હકીકતને રજૂ કરે છે કે આપખુદ રીતે ઉચ્ચ-ઊર્જા સ્થિતિઓ વાહક પ્લેટ દ્વારા અવરોધિત નથી. સમસ્યાની અવકાશી સમપ્રમાણતા વિસ્તરણના વર્ગાત્મક પદને રદ કરવા માટે જવાબદાર છે. જે બાકી છે તે સતત શબ્દ − 1/12 છે, અને આ પરિણામનું નકારાત્મક ચિહ્ન એ હકીકતને પ્રતિબિંબિત કરે છે કે કાસીમીર બળ આકર્ષક છે. સમાન ગણતરી ત્રણ પરિમાણોમાં સામેલ છે, જેમાં રીમાન ઝીટા કાર્યની જગ્યાએ એપસ્ટીન ઝીટા-કાર્યનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. તે અસ્પષ્ટ છે કે લિયોનહાર્ડ યુલરએ શ્રેણીનો સારાંશ આપ્યો હતો કે કેમ. મોરિસ ક્લાઇનના જણાવ્યા અનુસાર, વિવિધ શ્રેણીઓ પર યુલરનું પ્રારંભિક કાર્ય કાર્ય વિસ્તરણ પર આધારિત હતું, જેમાંથી તેમણે તારણ કાઢ્યું હતું. રેમન્ડ અયુબ અનુસાર, ભિન્ન ઝીટા શ્રેણી એબેલ-સંચિત ન હોવાની હકીકત એ યુલરને એટા કાર્યની જેમ મુક્તપણે ઝીટા કાર્યનો ઉપયોગ કરતા અટકાવે છે, અને તે શ્રેણી સાથે "કોઈ અર્થ જોડી શક્યા ન હોત". અન્ય લેખકોએ યુલરને સરવાળો આપવાનો શ્રેય આપ્યો છે, જે સૂચવે છે કે યુલરએ ઝીટા અને ઇટા કાર્યો વચ્ચેના સંબંધને નકારાત્મક પૂર્ણાંકો સુધી લંબાવ્યો હોત. પ્રાથમિક સાહિત્યમાં, આ શ્રેણીનો ઉલ્લેખ યુલરના 1760ના પ્રકાશનમાં ભિન્ન ભૌમિતિક શ્રેણીની સાથે કરવામાં આવ્યો છે. યુલર સંકેત આપે છે કે આ પ્રકારની શ્રેણીમાં મર્યાદિત, નકારાત્મક રકમ હોય છે, અને તે સમજાવે છે કે ભૌમિતિક શ્રેણી માટે આનો અર્થ શું છે, પરંતુ તે ચર્ચા કરવા માટે પાછા નથી આવતા. એ જ પ્રકાશનમાં, યુલર લખે છે કે નો સરવાળો અનંત છે. લોકપ્રિય માધ્યમોમાં ડેવિડ લેવિટની 2007ની નવલકથા ધ ઇન્ડિયન ક્લર્કમાં એક દ્રશ્યનો સમાવેશ થાય છે જેમાં હાર્ડી અને લિટલવુડ આ શ્રેણીના અર્થની ચર્ચા કરે છે. તેઓ નિષ્કર્ષ કાઢે છે કે રામાનુજને ζ (−1) ની પુનઃ શોધ કરી છે, અને તેઓ તેમના બીજા પત્રમાં "પાગલ આશ્રય" વાક્યને એ સંકેત તરીકે લે છે કે રામાનુજન તેમની સાથે રમી રહ્યા છે. સિમોન મેકબર્નીનું 2007નું નાટક એ ડિસઅપીયરિંગ નંબર શરૂઆતના દ્રશ્યમાં શ્રેણી પર કેન્દ્રિત છે. મુખ્ય પાત્ર, રુથ, વ્યાખ્યાન ખંડમાં જાય છે અને ઘોષણા કરતા પહેલા એક અલગ શ્રેણીના વિચારનો પરિચય આપે છે, "હું તમને કંઈક ખરેખર રોમાંચક બતાવવા જઈ રહ્યો છું", એટલે કે. જેમ જેમ રુથ ઝીટા કાર્યના કાર્યાત્મક સમીકરણની વ્યુત્પત્તિમાં પ્રવેશ કરે છે, અન્ય અભિનેતા પ્રેક્ષકોને સંબોધે છે, સ્વીકારે છે કે તેઓ અભિનેતાઓ છેઃ "પરંતુ ગણિત વાસ્તવિક છે. તે ભયાનક છે, પરંતુ તે વાસ્તવિક છે. જાન્યુઆરી 2014માં, નંબરફાઇલે આ શ્રેણી પર એક યુટ્યુબ વીડિયો તૈયાર કર્યો હતો, જેને તેના પ્રથમ મહિનામાં 15 લાખથી વધુ વખત જોવામાં આવ્યો હતો. 8 મિનિટનો આ વીડિયો યુનિવર્સિટી ઓફ નોટિંગહામના ભૌતિકશાસ્ત્રી ટોની પાડિલા દ્વારા વર્ણવવામાં આવ્યો છે. પડિલ્લા રામાનુજનની દલીલ જેવી જ મુદત-દર-મુદત બાદબાકીનો ઉપયોગ કરવા સાથે શરૂ થાય છે અને તેને સંબંધિત કરે છે. નંબરફાઇલે નોટિંગહામના ભૌતિકશાસ્ત્રી એડ કોપલેન્ડને દર્શાવતા વિડિયોની 21-મિનિટનું સંસ્કરણ પણ બહાર પાડ્યું હતું, જે કેવી રીતે એબેલ રકમ તરીકે અને ζ (−1) તરીકે વધુ વિગતવાર વર્ણન કરે છે. પ્રથમ વિડિયોમાં કઠોરતાના અભાવ વિશે ફરિયાદો પ્રાપ્ત થયા પછી, પડિલાએ તેમના વેબપેજ પર સંબંધિત ડિરીક્લેટ શ્રેણીના વિશ્લેષણાત્મક સાતત્ય વચ્ચેની ઓળખ માટે વિડિયોમાં હેરફેરને લગતી સમજૂતી પણ લખી હતી. ધ ન્યૂ યોર્ક ટાઈમ્સના નંબરફાઇલ વિડિયોના કવરેજમાં, ગણિતશાસ્ત્રી એડવર્ડ ફ્રેન્કેલે ટિપ્પણી કરીઃ "આ ગણતરી ગણિતના શ્રેષ્ઠ ગુપ્ત રહસ્યોમાંનું એક છે. બહારથી કોઈને આ વિશે ખબર નથી. સ્મિથસોનિયન મેગેઝિનમાં આ વિષયના કવરેજમાં નંબરફાઇલ વિડિયોને ભ્રામક તરીકે વર્ણવવામાં આવ્યો છે અને નોંધ્યું છે કે સરવાળાનું અર્થઘટન વિશ્લેષણાત્મક સાતત્યની તકનીકોમાંથી સમાન ચિહ્ન માટેના વિશિષ્ટ અર્થ પર આધારિત છે, જેમાં સમાન અર્થ સાથે સંકળાયેલ છે. જર્મન ગણિતશાસ્ત્રી બર્કર્ડ પોલસ્ટર દ્વારા 2018 માં તેમની મેથોલોગર યુટ્યુબ ચેનલ પર સમાન આધારો પર નંબરફાઇલ વિડિયોની ટીકા કરવામાં આવી હતી, તેમના વીડિયોને 2023 સુધીમાં 27 લાખ વ્યૂઝ મળ્યા હતા. સંદર્ભ ગ્રંથસૂચિ વધુ વાંચન પાન. 293 જુઓ. બાહ્ય કડીઓ લેમ્બ ઇ. (2014), "શું 1 + 2 + 3. ખરેખર સમાન છે-1/12? ", સાયન્ટિફિક અમેરિકન બ્લોગ્સ. ગાણિતિક ભૌતિકશાસ્ત્રમાં આ અઠવાડિયાના તારણો (અઠવાડિયું 124), (અઠવાડિયું 126), (અઠવાડિયું 147), (અઠવાડિયું 233) યુલરનો પુરાવો કે 1 + 2 + 3 + ꯘꯥ = − 1/12-જ્હોન બૈઝ દ્વારા યુલર-મેક્લૌરિન સૂત્ર, બર્નૌલી સંખ્યાઓ, ઝીટા કાર્ય અને ટેરેન્સ તાઓ દ્વારા વાસ્તવિક-ચલ વિશ્લેષણાત્મક સાતત્ય લ્યુબોસ મોટલ દ્વારા નકારાત્મક પૂર્ણાંકોના ઝેટાનું પુનરાવર્તિત મૂલ્યાંકન નંબરફાઇલ વિડિઓ 1 + 2 + 3 + 4 + 5 +. =-1/12 કુદરતી સંખ્યાઓનો સરવાળો (બીજો પુરાવો અને વધારાના ફૂટેજ) યુલરની પદ્ધતિનું પ્રદર્શન શામેલ છે. જો આપણે બધી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સરવાળો કરીએ તો આપણને શું મળે છે? ટોની પાડિલાના વિડિયો વિશેની ટિપ્પણીઓનો પ્રતિસાદ ન્યૂયોર્ક ટાઈમ્સના સંબંધિત લેખ શા માટે-1/12 એ એડવર્ડ ફ્રેન્કેલ ડાયવર્જન્ટ સિરીઝ સાથે ગોલ્ડ નગેટ ફોલો-અપ નંબરફાઇલ વિડિયો છેઃ શા માટે 1 + 2 + 3 + ꯘꯥ = − 1/12 યુનિવર્સિટી ઓફ એરિઝોના ડાયવર્જન્ટ સિરીઝ અંકગણિત શ્રેણીના બ્રાયડન કૈસ દ્વારા