Pendulum (mechanics)
લોલક એ એક નિશ્ચિત આધારથી લટકાવેલો પદાર્થ છે જેથી તે ગુરુત્વાકર્ષણના પ્રભાવ હેઠળ મુક્તપણે આગળ અને પાછળ ઝૂલતો રહે. જ્યારે લોલક તેની વિશ્રામી, સંતુલન સ્થિતિથી બાજુની બાજુએ વિસ્થાપિત થાય છે, ત્યારે તે ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પુનઃસ્થાપિત બળને આધિન હોય છે જે તેને સંતુલન સ્થિતિ તરફ પાછું વેગ આપશે. જ્યારે મુક્ત થાય છે, ત્યારે લોલકના દળ પર કામ કરતું પુનઃસ્થાપિત બળ તેને સંતુલનની સ્થિતિ વિશે દોલાયમાન કરે છે, તેને આગળ અને પાછળ ફેરવે છે. લોલકનું ગણિત સામાન્ય રીતે ખૂબ જટિલ હોય છે. સરળ ધારણાઓ કરી શકાય છે, જે સરળ લોલકના કિસ્સામાં ગતિના સમીકરણોને નાના-કોણના દોલન માટે વિશ્લેષણાત્મક રીતે હલ કરવાની મંજૂરી આપે છે. સરળ ગુરુત્વાકર્ષણ લોલક એક સરળ ગુરુત્વાકર્ષણ લોલક એ વાસ્તવિક લોલકનું આદર્શ ગાણિતિક મોડેલ છે. આ એક વજન (અથવા બોબ) છે જે ઘર્ષણ વિના, ધરીમાંથી લટકાવેલી દળહીન દોરીના છેડે હોય છે. આ મોડેલમાં કોઈ ઘર્ષણ ઊર્જા નુકસાન થતું નથી, જ્યારે પ્રારંભિક વિસ્થાપન આપવામાં આવે છે ત્યારે તે સતત કંપનવિસ્તાર પર આગળ અને પાછળ ઝૂલશે. આ મોડેલ આ ધારણાઓ પર આધારિત છેઃ લાકડી અથવા દોરી કે જેના પર બોબ ઝૂલતો હોય છે તે દળહીન, અવિભાજ્ય હોય છે અને હંમેશા તંગ રહે છે. બોબ એક બિંદુ સમૂહ છે. ગતિ માત્ર બે પરિમાણોમાં થાય છે, એટલે કે. બોબ લંબગોળ નહીં પરંતુ ચાપને અનુસરે છે. ગતિ ઘર્ષણ અથવા હવાના પ્રતિકાર માટે ઊર્જા ગુમાવતી નથી. ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર એકસમાન છે. ટેકો આગળ વધતો નથી. વિભેદક સમીકરણ જે સરળ લોલકની ગતિને રજૂ કરે છે તે છે જ્યાં ગુરુત્વાકર્ષણીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા છે, તે લાકડી અથવા દોરીની લંબાઈ છે, અને ઊભીથી લોલક સુધીનો કોણ છે. લઘુ-કોણ અંદાજ ઉપર આપેલું વિભેદક સમીકરણ સરળતાથી ઉકેલી શકાતું નથી, અને પ્રાથમિક કાર્યોની દ્રષ્ટિએ લખી શકાય તેવો કોઈ ઉકેલ નથી. જો કે, દોલનના કંપનવિસ્તારના કદમાં પ્રતિબંધ ઉમેરવાથી એક સ્વરૂપ મળે છે જેનો ઉકેલ સરળતાથી મેળવી શકાય છે. જો એવું માનવામાં આવે કે ખૂણો 1 રેડિયન કરતા ઘણો ઓછો છે (ઘણીવાર 0.1 રેડિયન કરતા ઓછો, લગભગ 6° તરીકે ટાંકવામાં આવે છે), અથવા પછી નાના-ખૂણા અંદાજનો ઉપયોગ કરવા માટે અવેજીમાં, હાર્મોનિક ઓસિલેટર માટેનું સમીકરણ મળે છે, અંદાજને કારણે ભૂલ ક્રમની છે (ટેલર વિસ્તરણમાંથી). શરૂઆતનો ખૂણો હોવો જોઈએ. જો એવું માનવામાં આવે કે લોલક શૂન્ય કોણીય વેગ સાથે મુક્ત થાય છે, તો ઉકેલ બની જાય છે ગતિ એ સરળ હાર્મોનિક ગતિ છે જ્યાં દોલનનું કંપન (એટલે કે લોલકની લાકડી અને ઊભી વચ્ચેનો મહત્તમ કોણ) છે. તે પછી ગતિનો અનુરૂપ અંદાજિત સમયગાળો છે જે તે સમયગાળા માટે ક્રિસ્ટિયન હ્યુજેન્સના નિયમ તરીકે ઓળખાય છે. નોંધ લો કે નાના-ખૂણા અંદાજ હેઠળ, સમયગાળો કંપનવિસ્તારથી સ્વતંત્ર છે; આ ગેલિલિયો દ્વારા શોધાયેલ આઇસોક્રોનિઝમનો ગુણધર્મ છે. લોલકની લંબાઈ માટે અંગૂઠાનો નિયમ આપે છે જો એસ. આઈ. એકમોનો ઉપયોગ કરવામાં આવે (એટલે કે. મીટર અને સેકન્ડમાં માપ), અને એમ ધારીને કે માપ પૃથ્વીની સપાટી પર થઈ રહ્યું છે, પછી, અને (0.994 એ 3 દશાંશ સ્થાનો માટેનો અંદાજ છે). તેથી, લંબાઈ અને સમયગાળા માટે પ્રમાણમાં વાજબી અંદાજો આ પ્રમાણે છેઃ બે ધબકારા વચ્ચે સેકન્ડની સંખ્યા ક્યાં છે (સ્વિંગની દરેક બાજુ માટે એક ધબકારા), અને મીટરમાં માપવામાં આવે છે. આર્બિટ્રરી-એમ્પ્લિટ્યુડ સમયગાળો નાના ખૂણા અંદાજની બહારના કંપનવિસ્તાર માટે, ઊર્જા પદ્ધતિ () માંથી મેળવેલા કોણીય વેગ માટેના સમીકરણને પહેલા ઊંધું કરીને, અને પછી એક સંપૂર્ણ ચક્રમાં, અથવા અર્ધ-ચક્રથી બે વાર અથવા ચતુર્થાંશ-ચક્રથી ચાર ગણું સંકલન કરીને ચોક્કસ સમયગાળાની ગણતરી કરી શકાય છે. (તેનાથી વિપરીત, તેના મહત્તમની નજીકનું લોલક નીચે પડવામાં આપખુદ રીતે લાંબો સમય લાગી શકે છે.) આ ઇન્ટિગ્રલને લંબગોળ ઇન્ટિગ્રલની દ્રષ્ટિએ ફરીથી લખી શકાય છે કે જ્યાં દ્વારા વ્યાખ્યાયિત પ્રથમ પ્રકારનું અપૂર્ણ લંબગોળ ઇન્ટિગ્રલ છે અથવા વધુ સંક્ષિપ્તમાં અવેજી દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે, અહીં દ્વારા વ્યાખ્યાયિત પ્રથમ પ્રકારનું સંપૂર્ણ લંબગોળ ઇન્ટિગ્રલ છે. અહીંથી લંબગોળ સંકલનની ગણતરી કરવા માટે આગળ વધવાની ઘણી રીતો છે. લંબગોળ સમાકલન માટે લીજેન્ડ્રે બહુપદી ઉકેલ અને લંબગોળ સમાકલન માટે લીજેન્ડ્રે બહુપદી ઉકેલઃ જ્યાં ડબલ ફેક્ટોરિયલ સૂચવે છે, ત્યાં સરળ લોલકના સમયગાળાનો ચોક્કસ ઉકેલ છેઃ આકૃતિ 4 પાવર શ્રેણીનો ઉપયોગ કરીને સંબંધિત ભૂલો દર્શાવે છે. તે રેખીય અંદાજ છે, અને અનુક્રમે 2જી થી 10મી ઘાત સુધીની શરતોનો સમાવેશ કરવો. લંબગોળ અભિન્ન માટે પાવર શ્રેણી ઉકેલ ઉપરોક્ત ઉકેલની અન્ય રચના શોધી શકાય છે જો નીચેની મેકલૌરિન શ્રેણીઃ નો ઉપયોગ ઉપરના લિજેન્ડ્રે બહુપદી ઉકેલમાં થાય છે. પરિણામી શક્તિ શ્રેણી છેઃ પૂર્ણાંક ક્રમના ઓન-લાઇન જ્ઞાનકોશમાં અંશો અને છેદ સાથે વધુ અપૂર્ણાંકો ઉપલબ્ધ છે. લંબગોળ અભિન્ન માટે અંકગણિત-ભૌમિતિક સરેરાશ ઉકેલ આપેલ છે અને લંબગોળ અભિન્નનો અંકગણિત-ભૌમિતિક સરેરાશ ઉકેલઃ અને નો અંકગણિત-ભૌમિતિક સરેરાશ ક્યાં છે. આ સમયગાળા માટે વૈકલ્પિક અને ઝડપી-કન્વર્જિંગ સૂત્ર આપે છેઃ આ અલ્ગોરિધમનું પ્રથમ પુનરાવર્તન આપે છે આ અંદાજમાં 96.11 ડિગ્રી સુધીના ખૂણાઓ માટે 1 ટકાથી ઓછી સાપેક્ષ ભૂલ છે. કારણ કે અભિવ્યક્તિને વધુ સંક્ષિપ્તમાં આ રીતે લખી શકાય છે આ અલ્ગોરિધમનો સેકન્ડ ઓર્ડર વિસ્તરણ ઘટાડીને A સેકન્ડ ઇટરેશન આપે છે આ બીજા અંદાજમાં 163.10 ડિગ્રી સુધીના ખૂણાઓ માટે 1 ટકાથી ઓછી સાપેક્ષ ભૂલ છે. બિનરેખીય લોલક સમયગાળા માટે અંદાજિત સૂત્ર જો કે, કોઈપણ મર્યાદિત કંપનવિસ્તાર રેડ માટે, અનુરૂપ સંપૂર્ણ લંબગોળ અભિન્નનું મૂલ્યાંકન કરીને ચોક્કસ સમયગાળો નક્કી કરી શકાય છે, જ્યાં, આ ઘણીવાર એપ્લિકેશનોમાં ટાળવામાં આવે છે કારણ કે આ અભિન્નને બંધ સ્વરૂપમાં પ્રાથમિક કાર્યોની દ્રષ્ટિએ વ્યક્ત કરવું શક્ય નથી. આનાથી કંપનવિસ્તાર સાથે લોલકના સમયગાળાના વધારા માટે સરળ અંદાજિત સૂત્રો પર સંશોધન માટે માર્ગ મોકળો થયો છે (પ્રારંભિક ભૌતિકશાસ્ત્ર પ્રયોગશાળાઓ, શાસ્ત્રીય મિકેનિક્સ, ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિઝમ, ધ્વનિશાસ્ત્ર, ઇલેક્ટ્રોનિક્સ, સુપરકન્ડક્ટિવિટી વગેરેમાં ઉપયોગી છે. જુદા જુદા લેખકો દ્વારા મળેલા અંદાજિત સૂત્રોને નીચે પ્રમાણે વર્ગીકૃત કરી શકાય છેઃ 'એટલા મોટા ખૂણા નહીં' સૂત્રો, એટલે કે. જે રેડની નીચેના કંપનવિસ્તાર માટે સારા અંદાજો આપે છે (લવચીક સ્ટ્રિંગના અંતમાં બોબ માટે એક કુદરતી મર્યાદા), જો કે ચોક્કસ સમયગાળાના સંદર્ભમાં વિચલન કંપનવિસ્તાર સાથે એકવિધ રીતે વધે છે, જે રેડની નજીકના કંપનવિસ્તાર માટે અયોગ્ય છે. સાહિત્યમાં જોવા મળતા સૌથી સરળ સૂત્રોમાંનું એક લિમા (2006) દ્વારા નીચે મુજબ છેઃ, જ્યાં. 'ખૂબ મોટા ખૂણા' સૂત્રો, એટલે કે. જે નાના કંપનવિસ્તાર (એટલે કે, નાના કંપનવિસ્તાર માટે અયોગ્ય) માટે એકવિધ રીતે વધે છે તે ભૂલ સાથે, રેડની નજીકના કંપનવિસ્તાર માટે એસિમ્પ્ટોટિક રીતે ચોક્કસ સમયગાળાનો અંદાજ કાઢે છે. આવી વધુ સારી સૂત્રોમાંની એક એ છે કે ક્રોમેર દ્વારા, એટલે કેઃ અલબત્ત, જ્યારે કઠોર લાકડી અથવા ડિસ્કનો ઉપયોગ કરીને ઘણા પ્રયોગોમાં જોવા મળે છે ત્યારે કંપનવિસ્તાર સાથેનો વધારો વધુ સ્પષ્ટ થાય છે. હાલમાં પ્રારંભિક ભૌતિકશાસ્ત્ર પ્રયોગશાળાઓમાં પણ સચોટ ટાઈમર અને સેન્સર ઉપલબ્ધ હોવાથી, 'ખૂબ મોટા-ખૂણા' પ્રયોગોમાં જોવા મળતી પ્રાયોગિક ભૂલો ચોક્કસ સમયગાળા સાથે સરખામણી કરવા માટે પહેલેથી જ પૂરતી નાની છે અને સિદ્ધાંત અને પ્રયોગો વચ્ચે ખૂબ જ સારો કરાર જેમાં ઘર્ષણ નગણ્ય છે તે મળી આવ્યું છે. ઘણા પ્રશિક્ષકો દ્વારા આ પ્રવૃત્તિને પ્રોત્સાહન આપવામાં આવ્યું હોવાથી, તમામ સંભવિત કંપનવિસ્તાર માટે માન્ય લોલક સમયગાળા માટે એક સરળ અંદાજિત સૂત્ર માંગવામાં આવ્યું હતું, જેની સાથે પ્રાયોગિક માહિતીની સરખામણી કરી શકાય છે. 2008 માં, લિમાએ આ લાક્ષણિકતા સાથે ભારિત-સરેરાશ સૂત્ર મેળવ્યુંઃ જ્યાં, જે માત્ર 0.6% (at) ની મહત્તમ ભૂલ રજૂ કરે છે. આર્બિટ્રરી-એમ્પ્લિટ્યુડ એંગ્યુલર ડિસ્પ્લેસમેન્ટ ફોરિયર શ્રેણીનું વિસ્તરણ જ્યાં લંબગોળ નોમ છે, અને એંગ્યુલર ફ્રીક્વન્સી દ્વારા આપવામાં આવે છે. જો કોઈ વ્યાખ્યાયિત કરે તો વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરીને અંદાજ લગાવી શકાય છે (જુઓ). નોંધ લો કે આપણી પાસે છે, આમ અંદાજ મોટા કંપનવિસ્તાર માટે પણ લાગુ પડે છે. સમાનરૂપે, કોણને મોડ્યુલસ માટે નાના, અને સાથે જેકોબી લંબગોળ કાર્યની દ્રષ્ટિએ આપી શકાય છે, તેથી ઉકેલ પેંડુલમ (મિકેનિક્સ) #Small-કોણ અંદાજમાં આપેલા ઉકેલ દ્વારા સારી રીતે અનુમાનિત છે. ઉદાહરણો નીચે આપેલા એનિમેશનમાં બોબના પ્રારંભિક વિસ્થાપનની વધતી માત્રા સાથે સરળ (ઘર્ષણ વિનાના) લોલકની ગતિ દર્શાવવામાં આવી છે. દરેક લોલકની ઉપરનો નાનો આલેખ અનુરૂપ તબક્કાની સમતલ આકૃતિ છે; આડી અક્ષ વિસ્થાપન છે અને ઊભી અક્ષ વેગ છે. ભીનું, સંચાલિત લોલક ઉપરોક્ત ચર્ચા લોલક બોબ પર કેન્દ્રિત છે જે ફક્ત ગુરુત્વાકર્ષણ બળ દ્વારા કાર્ય કરે છે. અહીં આપણે તેના બદલે ભીનાશ બળ ધારીએ છીએ, દા. ત. હવા પ્રતિકાર, તેમજ સાઇનસોઈડલ પ્રેરક બળ શરીર પર કાર્ય કરે છે. આ પ્રણાલી ભીની, સંચાલિત ઓસિલેટર છે અને અસ્તવ્યસ્ત છે. સમીકરણ (1) ને આ રીતે લખી શકાય છે (ઉપર સમીકરણ (1) નું ટોર્ક વ્યુત્પત્તિ જુઓ). હવે આપણે જમણી બાજુએ ડેમ્પિંગ શબ્દ અને ફોર્સિંગ શબ્દ ઉમેરી શકીએ છીએ જ્યાં આપણે ડેમ્પિંગ જોડી કોણીય વેગના પ્રમાણસર હોવાનું માની લીધું છે (આ ઓછી ગતિવાળા હવા પ્રતિકાર માટે સાચું છે, ડ્રેગ (ભૌતિકશાસ્ત્ર) પણ જુઓ). અને તે સ્થિરાંકો છે જે અનુક્રમે દબાણનું કંપનવિસ્તાર અને ભીનાશની માત્રાને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. તે ડ્રાઇવિંગ ઓસિલેશનની કોણીય આવર્તન છે. હવે આપણે દ્વારા વિભાજીત કરીને અને અચળાંકોને યોગ્ય રીતે પુનઃવ્યાખ્યાયિત કરીને સરળ બનાવી શકીએ છીએ જેથી આ સમીકરણ અસ્તવ્યસ્ત વર્તન દર્શાવે છે. આ લોલકની ચોક્કસ ગતિ માત્ર આંકડાકીય રીતે મળી શકે છે અને તે પ્રારંભિક પરિસ્થિતિઓ પર ખૂબ નિર્ભર છે, દા. ત. પ્રારંભિક વેગ અને પ્રારંભિક કંપનવિસ્તાર. જો કે, ઉપર દર્શાવેલ નાના ખૂણા અંદાજનો ઉપયોગ હજુ પણ અંદાજિત વિશ્લેષણાત્મક ઉકેલ આપવા માટે જરૂરી શરતો હેઠળ થઈ શકે છે. સંયોજન લોલક એક સંયોજન લોલક (અથવા ભૌતિક લોલક) તે છે જ્યાં લાકડી દળહીન નથી, અને તેનું કદ વિસ્તૃત હોઈ શકે છે; એટલે કે, એક મનસ્વી આકારનું કઠોર શરીર જે ધરી દ્વારા ઝૂલતું હોય છે. આ કિસ્સામાં લોલકનો સમયગાળો ધરી બિંદુની આસપાસ તેની જડતાની ક્ષણ પર આધાર રાખે છે. ટોર્કનું સમીકરણ આપે છેઃ જ્યાંઃ કોણીય પ્રવેગક છે. ટોર્ક છે ટોર્ક ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા ઉત્પન્ન થાય છે તેથીઃ જ્યાંઃ પદાર્થનું દળ એ ધરીથી પદાર્થના દળના કેન્દ્ર સુધીનું અંતર છે તે ઊભી ખૂણો છે તેથી, નાના-કોણ અંદાજ હેઠળ, ધરી બિંદુ વિશે પદાર્થની જડતાની ક્ષણ ક્યાં છે. જો પ્રારંભિક ખૂણાને ધ્યાનમાં લેવામાં આવે (મોટા કંપનવિસ્તાર માટે), તો માટે અભિવ્યક્તિ બને છેઃ અને સમયગાળો આપે છેઃ જ્યાં ઓસિલેશનનો મહત્તમ ખૂણો (ઊભી સંદર્ભમાં) છે અને તે પ્રથમ પ્રકારનો સંપૂર્ણ લંબગોળ અભિન્ન છે. કાલ્પનિક સમયગાળાનું ભૌતિક અર્થઘટન જેકોબિયન લંબગોળ કાર્ય કે જે સમયના કાર્ય તરીકે લોલકની સ્થિતિને વ્યક્ત કરે છે તે વાસ્તવિક સમયગાળો અને કાલ્પનિક સમયગાળો સાથેનું બમણું સામયિક કાર્ય છે. વાસ્તવિક સમયગાળો, અલબત્ત, લોલકને એક સંપૂર્ણ ચક્રમાંથી પસાર થવામાં લાગતો સમય છે. પોલ એપેલે કાલ્પનિક સમયગાળાના ભૌતિક અર્થઘટન તરફ ધ્યાન દોર્યુંઃ જો એક લોલકનો મહત્તમ કોણ હોય અને બીજાનો મહત્તમ કોણ હોય, તો દરેકનો વાસ્તવિક સમયગાળો બીજાના કાલ્પનિક સમયગાળાની તીવ્રતા છે. જોડીદાર લોલક જોડીદાર લોલક એકબીજાની ગતિને અસર કરી શકે છે, ક્યાં તો દિશા જોડાણ દ્વારા (જેમ કે બોબ્સને જોડતી સ્પ્રિંગ) અથવા સહાયક માળખામાં ગતિ દ્વારા (જેમ કે ટેબલટોપ). બોબ્સને જોડતા સ્પ્રિંગ દ્વારા જોડાયેલા બે સમાન સરળ લોલક માટે ગતિના સમીકરણો લાગ્રેન્જિયન મિકેનિક્સનો ઉપયોગ કરીને મેળવી શકાય છે. પ્રણાલીની ગતિ ઊર્જા છેઃ જ્યાં બોબ્સનું દળ છે, તે તારની લંબાઈ છે, અને, સંતુલનમાંથી બે બોબ્સનું કોણીય વિસ્થાપન છે. પ્રણાલીની સંભવિત ઊર્જા છેઃ જ્યાં ગુરુત્વાકર્ષણીય પ્રવેગ છે, અને તે વસંત અચળાંક છે. તેની સંતુલન સ્થિતિમાંથી સ્પ્રિંગનું વિસ્થાપન નાના ખૂણા અંદાજ ધારે છે. પછી લગ્રેન્જિયન એ છે જે નીચેના યુગ્મિત વિભેદક સમીકરણોના સમૂહ તરફ દોરી જાય છેઃ આ બે સમીકરણોને વારાફરતી ઉમેરવા અને બાદ કરવા, અને નાના ખૂણાના અંદાજને લાગુ કરવાથી, ચલમાં બે હાર્મોનિક ઓસિલેટર સમીકરણો મળે છે અનેઃ અનુરૂપ ઉકેલો સાથે જ્યાં અને,, સંકલનના અચળાંકો છે. ઉકેલોને અને એકલા સંદર્ભમાં વ્યક્ત કરવોઃ જો બોબ્સને પ્રારંભિક દબાણ આપવામાં ન આવે, તો શરત જરૂરી છે, જે આપે છે (થોડી પુનઃરચના પછી): હાર્મોનોગ્રાફ કોનિકલ લોલક સાયક્લોઈડલ લોલક ડબલ લોલક ઊંધી લોલક કાપિટ્ઝાનું લોલક રેલે-લોરેન્ટ્ઝ લોલક સ્થિતિસ્થાપક લોલક મેથ્યુ કાર્ય લોલક સમીકરણો (સોફ્ટવેર) સંદર્ભો વધુ વાંચન બાહ્ય લિંક્સ મેથવર્લ્ડ લેખ પર મેથ્યુ કાર્ય વિભેદક સમીકરણો ગતિશીલ સિસ્ટમો હોરોલોજી ગાણિતિક ભૌતિકશાસ્ત્ર ગણિત