Time-evolving block decimation
ટાઇમ-ઇવોલ્વિંગ બ્લોક ડેસિમેશન (ટીઇબીડી) અલ્ગોરિધમ એ એક આંકડાકીય યોજના છે જેનો ઉપયોગ એક-પરિમાણીય ક્વોન્ટમ મલ્ટી-બોડી સિસ્ટમોનું અનુકરણ કરવા માટે થાય છે, જે સૌથી નજીકના પડોશી ક્રિયાપ્રતિક્રિયાઓ દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે. તેને ટાઇમ-ઇવોલ્વિંગ બ્લોક ડેસિમેશન તરીકે ઓળખવામાં આવે છે કારણ કે તે ઝડપથી મોટી મૂળ હિલ્બર્ટ જગ્યાના સંબંધિત ઓછી-પરિમાણીય હિલ્બર્ટ સબસ્પેસને ગતિશીલ રીતે ઓળખે છે. મેટ્રિક્સ પ્રોડક્ટ સ્ટેટ્સ ઔપચારિકતા પર આધારિત અલ્ગોરિધમ ત્યારે અત્યંત કાર્યક્ષમ બને છે જ્યારે સિસ્ટમમાં ગૂંચવણની માત્રા મર્યાદિત હોય, જે જરૂરિયાત એક પરિમાણમાં ક્વોન્ટમ મલ્ટી-બોડી સિસ્ટમ્સના મોટા વર્ગ દ્વારા પૂર્ણ થાય છે. પરિચય સામાન્ય ક્વોન્ટમ મલ્ટી-બોડી સિસ્ટમોનું અનુકરણ કરવાની અંતર્ગત મુશ્કેલીઓ, સિસ્ટમના કદ સાથે પરિમાણોમાં ઘાતાંકીય વધારો અને અનુરૂપ રીતે, ઉચ્ચ કોમ્પ્યુટેશનલ ખર્ચને ધ્યાનમાં લેતા, એક ઉકેલ એ હશે કે ખાસ કિસ્સાઓ સાથે વ્યવહાર કરતી આંકડાકીય પદ્ધતિઓ શોધવી, જ્યાં કોઈ સિસ્ટમના ભૌતિકશાસ્ત્રમાંથી નફો મેળવી શકે. ક્વોન્ટમ મલ્ટી-બોડી સિસ્ટમની સંપૂર્ણ લાક્ષણિકતા માટે ઉપયોગમાં લેવાતા તમામ પરિમાણો સાથે સીધો વ્યવહાર કરીને કાચા અભિગમને સિમ્યુલેશન માટે જરૂરી ચલની માત્રાના સિસ્ટમ કદ સાથે ભવ્ય ઘાતાંકીય નિર્માણ દ્વારા ગંભીર રીતે અવરોધિત કરવામાં આવે છે, જે શ્રેષ્ઠ કિસ્સાઓમાં, ગેરવાજબી રીતે લાંબા કોમ્પ્યુટેશનલ સમય અને મેમરીના વિસ્તૃત ઉપયોગ તરફ દોરી જાય છે. આ સમસ્યાને દૂર કરવા માટે સંખ્યાબંધ વિવિધ પદ્ધતિઓ વિકસાવવામાં આવી છે અને સમય જતાં અમલમાં મૂકવામાં આવી છે, જેમાં સૌથી સફળ પદ્ધતિઓમાંની એક ક્વોન્ટમ મોન્ટે કાર્લો પદ્ધતિ (ક્યુએમસી) છે. ક્યુએમસીની બાજુમાં ડેન્સિટી મેટ્રિક્સ રીનોર્મલાઇઝેશન ગ્રૂપ (ડીએમઆરજી) પદ્ધતિ પણ ખૂબ જ વિશ્વસનીય પદ્ધતિ છે, જેમાં વપરાશકર્તાઓનો સમુદાય વિસ્તરી રહ્યો છે અને ભૌતિક પ્રણાલીઓમાં એપ્લિકેશનોની સંખ્યા વધી રહી છે. જ્યારે પ્રથમ ક્વોન્ટમ કોમ્પ્યુટરને જોડવામાં આવશે અને કાર્યરત કરવામાં આવશે, ત્યારે કોમ્પ્યુટેશનલ ભૌતિકશાસ્ત્રના ક્ષેત્ર માટેના પરિપ્રેક્ષ્યો આશાસ્પદ દેખાશે, પરંતુ તે દિવસ સુધી વ્યક્તિએ પોતાની જાતને શાસ્ત્રીય કમ્પ્યુટર્સ દ્વારા પ્રદાન કરવામાં આવતા ભૌતિક સાધનો સુધી મર્યાદિત રાખવી પડશે. જ્યારે પ્રાયોગિક ભૌતિકશાસ્ત્રીઓ પ્રથમ ક્વોન્ટમ કમ્પ્યુટર બનાવવાના પ્રયાસમાં ઘણા પ્રયત્નો કરી રહ્યા છે, ત્યારે સૈદ્ધાંતિક ભૌતિકશાસ્ત્રીઓ ક્વોન્ટમ માહિતી સિદ્ધાંત (ક્યુઆઇટી) ના ક્ષેત્રમાં, વાસ્તવિક ક્વોન્ટમ અલ્ગોરિધમ્સ માટે શોધ કરી રહ્યા છે, જે ક્લાસિકલ કમ્પ્યુટર પર ઉકેલવાનો પ્રયાસ કરતી વખતે ખરાબ પ્રદર્શન કરશે, પરંતુ ક્વોન્ટમ પર ખૂબ ઝડપી અને સફળ રહેશે. આવા અલ્ગોરિધમ્સની શોધ હજુ પણ ચાલી રહી છે, સૌથી વધુ જાણીતી (અને લગભગ એકમાત્ર મળી આવેલી) શોરનું અલ્ગોરિધમ, મોટી સંખ્યાને ફેક્ટરીંગ કરવા માટે, અને ગ્રોવરનું સર્ચ અલ્ગોરિધમ છે. ક્યુઆઇટીના ક્ષેત્રમાં વાસ્તવિક ક્વોન્ટમ ગણતરી માટે જરૂરી પ્રાથમિક સંસાધનોને ઓળખવા પડે છે. આવા સંસાધન ક્વોન્ટમ વિરુદ્ધ ક્લાસિકલમાં સ્પીડઅપ ગેઇન માટે જવાબદાર હોઈ શકે છે, તેમને ઓળખવાનો અર્થ એ પણ છે કે શાસ્ત્રીય કમ્પ્યુટર પર વ્યાજબી રીતે કાર્યક્ષમ રીતે અનુકરણ કરી શકાય તેવી સિસ્ટમોને ઓળખવી. આવા સંસાધન ક્વોન્ટમ ગૂંચવણ છે; તેથી, ક્વોન્ટમ કોમ્પ્યુટેશનલ સ્પીડઅપ્સ માટે જરૂરી ગૂંચવણ માટે એક અલગ નીચલી સીમા સ્થાપિત કરવી શક્ય છે. તે સમયે ઇન્સ્ટિટ્યૂટ ફોર ક્વોન્ટમ ઇન્ફર્મેશન, કેલ્ટેક ખાતેના ગિફ્રે વિડાલે તાજેતરમાં ક્વોન્ટમ સિસ્ટમોની ચોક્કસ શ્રેણીનું અનુકરણ કરવા માટે ઉપયોગી યોજનાની દરખાસ્ત કરી છે. તેઓ ભારપૂર્વક જણાવે છે કે "શુદ્ધ અવસ્થાઓ સાથેની કોઈપણ ક્વોન્ટમ ગણતરીને શાસ્ત્રીય કમ્પ્યુટર સાથે અસરકારક રીતે અનુકરણ કરી શકાય છે જો તેમાં સામેલ ગૂંચવણની માત્રા પૂરતી મર્યાદિત હોય". સામાન્ય હેમિલ્ટોનિયનો સ્થાનિક ક્રિયાપ્રતિક્રિયાઓ પ્રદર્શિત કરે છે, ઉદાહરણ તરીકે, હૂબાર્ડ જેવા હેમિલ્ટોનિયનો સાથે આવું થાય છે. આ પદ્ધતિ સિસ્ટમમાં હાજર ગૂંચવણની માત્રાના સંદર્ભમાં ગણતરીના સમયના વધારામાં નિમ્ન-ડિગ્રી બહુપદી વર્તણૂક દર્શાવે છે. અલ્ગોરિધમ એક એવી યોજના પર આધારિત છે જે એ હકીકતનો ઉપયોગ કરે છે કે આ એક-પરિમાણીય પ્રણાલીઓમાં પ્રણાલીના દ્વિપક્ષી વિભાજન પર ઘટાડેલા ઘનતા મેટ્રિક્સના આઈગનવેલ્યુ ઝડપથી ક્ષીણ થઈ રહ્યા છે, આમ આપણને આપણે પસંદ કરેલા આઈગનવેલ્યુને અનુરૂપ આઈગનવેક્ટર્સ દ્વારા ફરીથી કદની જગ્યામાં કામ કરવાની મંજૂરી આપે છે. ક્લાસિકલ કમ્પ્યુટર પર ક્વોન્ટમ સિસ્ટમના સિમ્યુલેશન માટે જરૂરી કોમ્પ્યુટેશનલ સંસાધનોની માત્રાનો અંદાજ પણ લગાવી શકાય છે, તે જાણીને કે સિસ્ટમના કદ સાથે સિસ્ટમ સ્કેલમાં કેવી રીતે ગૂંચવણ છે. શાસ્ત્રીય રીતે (અને ક્વોન્ટમ, તેમજ) શક્ય સિમ્યુલેશન એ છે કે જેમાં માત્ર હળવી રીતે ગૂંચવાયેલી પ્રણાલીઓનો સમાવેશ થાય છે-બીજી તરફ, મજબૂત રીતે ગૂંચવાયેલી પ્રણાલીઓ માત્ર વાસ્તવિક ક્વોન્ટમ ગણતરીઓ માટે જ સારી છે. આંકડાકીય પદ્ધતિ વાસ્તવિક-સમયની ગતિશીલતા અથવા જમીનની સ્થિતિઓની ગણતરીઓનું અનુકરણ કરવા માટે કાલ્પનિક-સમયની ઉત્ક્રાંતિ અથવા લક્ષ્ય હેમિલ્ટોનિયન અને હેમિલ્ટોનિયન વચ્ચે પહેલેથી જ જાણીતી જમીનની સ્થિતિ સાથે આઇસેંટ્રોપિક પ્રક્ષેપણનો ઉપયોગ કરવામાં કાર્યક્ષમ છે. કોમ્પ્યુટેશનલ સમય સિસ્ટમના કદ સાથે રેખીય રીતે માપવામાં આવે છે, તેથી 1D માં ઘણા કણોની પ્રણાલીઓની તપાસ કરી શકાય છે. ટીઇબીડી અલ્ગોરિધમનો એક ઉપયોગી લક્ષણ એ છે કે તે સમય-આધારિત હેમિલ્ટોનિયનોના સમય ઉત્ક્રાંતિ સિમ્યુલેશન માટે વિશ્વસનીય રીતે ઉપયોગમાં લઈ શકાય છે, જે પ્રણાલીઓનું વર્ણન કરે છે જે ઓપ્ટિકલ લેટીસમાં ઠંડા અણુઓ સાથે અથવા ક્વોન્ટમ પરિવહનમાં સંતુલનથી દૂરની પ્રણાલીઓમાં અનુભવી શકાય છે. આ દ્રષ્ટિકોણથી, ટી. ઇ. બી. ડી. એ ડી. એમ. આર. જી. પર ચોક્કસ પ્રભુત્વ મેળવ્યું હતું, જે એક ખૂબ જ શક્તિશાળી તકનીક હતી, પરંતુ તાજેતરમાં સુધી સમય-ઉત્ક્રાંતિના અનુકરણ માટે ખૂબ સારી રીતે અનુકૂળ નહોતી. મેટ્રિક્સ પ્રોડક્ટ સ્ટેટ્સ ઔપચારિકતા ડી. એમ. આર. જી. ના ગાણિતિક કેન્દ્રમાં હોવાથી, ટી. ઇ. બી. ડી. યોજના ડી. એમ. આર. જી. સમુદાય દ્વારા અપનાવવામાં આવી હતી, આમ ટૂંકા ગાળા માટે સમય આધારિત ડી. એમ. આર. જી., ટી-ડી. એમ. આર. જી. ને જન્મ આપ્યો હતો. લગભગ તે જ સમયે, અન્ય જૂથોએ સમાન અભિગમો વિકસાવ્યા છે જેમાં ક્વોન્ટમ માહિતી મુખ્ય ભૂમિકા ભજવે છે, ઉદાહરણ તરીકે, સામયિક સીમા પરિસ્થિતિઓ માટે ડી. એમ. આર. જી. ના અમલીકરણમાં અને એક-પરિમાણીય ક્વોન્ટમ જાળી પ્રણાલીઓમાં મિશ્ર-સ્થિતિ ગતિશીલતાનો અભ્યાસ કરવા માટે. તે છેલ્લા અભિગમો વાસ્તવમાં એક ઔપચારિકતા પ્રદાન કરે છે જે મૂળ ટીઇબીડી અભિગમ કરતાં વધુ સામાન્ય છે, કારણ કે તે મેટ્રિક્સ પ્રોડક્ટ ઓપરેટરો સાથે ઉત્ક્રાંતિ સાથે વ્યવહાર કરવાની પણ મંજૂરી આપે છે; આ ટીઇબીડી કેસના વિરોધમાં બિન-તુચ્છ બિન-અનંત ઉત્ક્રાંતિના અનુકરણને સક્ષમ કરે છે, અને મેટ્રિક્સ પ્રોડક્ટ સ્ટેટ્સના ઉચ્ચ-પરિમાણીય એનાલોગ સાથે વ્યવહાર કરવા માટે નિર્ણાયક ઘટક છે. સ્થિતિનું વિઘટન સ્થિતિના વિઘટનનો પરિચય કાર્ય દ્વારા વર્ણવેલ એન ક્યુબિટ્સની સાંકળને ધ્યાનમાં લો. વર્ણન કરવાની સૌથી કુદરતી રીત સ્થાનિક-પરિમાણીય આધારનો ઉપયોગ કરવાની રહેશેઃ જ્યાં M એ સ્થળ પરનું પરિમાણ છે. ટી. ઇ. બી. ડી. ની યુક્તિ ગુણાંકને ફરીથી લખવાની છેઃ મેટ્રિક્સ ઉત્પાદન સ્થિતિ તરીકે ઓળખાતું આ સ્વરૂપ ગણતરીઓને મોટા પ્રમાણમાં સરળ બનાવે છે. શા માટે તે સમજવા માટે, કોઈ વ્યક્તિના રાજ્યના શ્મિટ વિઘટનને જોઈ શકાય છે, જે મર્યાદિત ગૂંચવણ સાથેની સ્થિતિને વધુ સરળ રીતે વ્યક્ત કરવા માટે એકવચન મૂલ્ય વિઘટનનો ઉપયોગ કરે છે. શ્મિટ વિઘટન દ્વિપક્ષી પ્રણાલીની સ્થિતિને ધ્યાનમાં લો. આવી દરેક સ્થિતિને યોગ્ય રીતે પસંદ કરેલા આધારમાં રજૂ કરી શકાય છેઃ જ્યાં વેક્ટર સાથે રચાય છે જે ઓર્થોનોર્મલ આધાર બનાવે છે અને, અનુરૂપ રીતે, વેક્ટર, જે ઓર્થોનોર્મલ આધાર બનાવે છે, જેમાં ગુણાંક વાસ્તવિક અને હકારાત્મક હોય છે. આને સ્થિતિનું શ્મિટ વિઘટન (એસ. ડી.) કહેવાય છે. સામાન્ય રીતે સરવાળો ઉપર જાય છે. દ્વિપક્ષી વિભાજનનો શ્મિટ ક્રમ બિન-શૂન્ય શ્મિટ ગુણાંકની સંખ્યા દ્વારા આપવામાં આવે છે. જો શ્મિટ ક્રમ એક હોય, તો વિભાજન ઉત્પાદન સ્થિતિ દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે. એસ. ડી. ના વેક્ટર એક તબક્કા સુધી નક્કી કરવામાં આવે છે અને આઈગન વેલ્યુ અને શ્મિટ ક્રમ અનન્ય છે. ઉદાહરણ તરીકે, બે-ક્વિબિટ સ્થિતિઃ નીચેની SD ધરાવે છેઃ સાથે બીજી બાજુ, સ્થિતિઃ એક ઉત્પાદન સ્થિતિ છેઃ સ્થિતિનું વિઘટન બનાવવું આ તબક્કે આપણે સ્પષ્ટપણે વિઘટન કેવી રીતે બનાવીએ છીએ (ચાલો તેને D કહીએ) તે જોવાનો પ્રયાસ કરવા માટે પૂરતા પ્રમાણમાં જાણતા હોઈએ છીએ. દ્વિપક્ષી વિભાજનનો વિચાર કરો. એસ. ડી. માં ગુણાંક અને આઈગનવેક્ટર હોય છે. સ્થાનિક ધોરણે 's' ને વિસ્તૃત કરીને, કોઈ લખી શકે છેઃ પ્રક્રિયાને ત્રણ તબક્કામાં વિઘટિત કરી શકાય છે, જે સાંકળમાં દરેક બોન્ડ (અને, અનુરૂપ રીતે, SD) માટે પુનરાવર્તિત થાય છેઃ પગલું 1: 's' ને ક્યુબિટ 2 માટે સ્થાનિક ધોરણે વ્યક્ત કરો. પગલું 2: દરેક વેક્ટરને મહત્તમ (વિડાલનો ભાર) શ્મિટ વેક્ટર અને, અનુરૂપ, ગુણાંકની દ્રષ્ટિએ લખોઃ પગલું 3: અવેજી બનાવો અને મેળવોઃ 1 થી 3 પગલાંઓનું પુનરાવર્તન કરીને, વ્યક્તિ સ્થિતિ D નું સંપૂર્ણ વિઘટન બનાવી શકે છે. છેલ્લું એક વિશેષ કેસ છે, પ્રથમની જેમ, જાળીના સ્થળે સ્થાનિક આધારની દ્રષ્ટિએ બોન્ડ પર જમણા હાથના શ્મિટ વેક્ટરને વ્યક્ત કરે છે. તેમાં બતાવ્યા પ્રમાણે, બંધ પર શ્મિટ વિઘટન મેળવવું સરળ છે, એટલે કે. , D માંથી શ્મિટ આઈગન વેલ્યુ, સ્પષ્ટપણે D માં આપવામાં આવે છેઃ શ્મિટ આઈગનવેક્ટર્સ સરળ છેઃ અને તર્કસંગત હવે, પ્રારંભિક શરતોને બદલે D તરફ જોતાં, ત્યાં છે. દેખીતી રીતે આ ગુણાંકને ફરીથી લખવાની માત્ર એક ફેન્સી રીત છે, પરંતુ હકીકતમાં તે તેના કરતાં વધુ છે. ધારો કે N એ સમ છે, સાંકળની મધ્યમાં દ્વિપક્ષી કટ માટે શ્મિટ ક્રમ મહત્તમ મૂલ્ય ધરાવી શકે છે; આ કિસ્સામાં આપણે ઓછામાં ઓછા ગુણાંક સાથે અંત લાવીએ છીએ, માત્ર એકને ધ્યાનમાં લેતા, પ્રારંભિક કરતાં સહેજ વધુ! સત્ય એ છે કે ઓછી માત્રામાં ગૂંચવણ દર્શાવતી પ્રણાલીઓ સાથે વ્યવહાર કરતી વખતે વિઘટન D ઉપયોગી છે, જે સદભાગ્યે ઘણી 1D પ્રણાલીઓમાં થાય છે, જ્યાં જમીનની સ્થિતિના શ્મિટ ગુણાંક ઘાતાંકીય રીતે ક્ષીણ થાય છેઃ તેથી, માત્ર કેટલાક શ્મિટ ગુણાંક (એટલે કે સૌથી મોટા) ને ધ્યાનમાં લેવું શક્ય છે, અન્યને છોડી દે છે અને પરિણામે સ્થિતિને ફરીથી સામાન્ય બનાવે છેઃ રાખવામાં આવેલા શ્મિટ ગુણાંકની સંખ્યા ક્યાં છે. ચાલો આ અમૂર્ત ચિત્રથી દૂર જઈએ અને આ વિઘટન કરવાના ફાયદા પર ભાર મૂકવા માટે એક નક્કર ઉદાહરણ સાથે પોતાને તાજગી આપીએ. દાખલા તરીકે, સરળતા માટે, લોહચુંબકીય સાંકળમાં 50 ફર્મિયનોના કેસનો વિચાર કરો. 12 નું પરિમાણ, ચાલો કહીએ કે, એક વાજબી પસંદગી હશે, જેમાં કાઢી નાખેલા આઈગનવેલ્યુને કુલના% પર રાખવામાં આવશે, જેમ કે આંકડાકીય અભ્યાસો દ્વારા દર્શાવવામાં આવ્યું છે, જેનો અર્થ મૂળની સરખામણીમાં આશરે ગુણાંક થાય છે. જો શ્મિટ આઈગનવેલ્યુઝમાં આ ઘાતાંકીય ક્ષય ન હોય, પરંતુ તેઓ બીજગણિત ઘટાડો દર્શાવે છે, તો પણ આપણે આપણી સ્થિતિનું વર્ણન કરવા માટે D નો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ. વફાદાર વર્ણન માટે જવાબદાર ગુણાંકની સંખ્યા સમજણપૂર્વક મોટી હોઈ શકે છે, પરંતુ હજુ પણ અંતિમ આંકડાકીય સિમ્યુલેશનની પહોંચની અંદર છે. જ્યારે એક-ક્વિબિટ ગેટ્સ (OQG) અને બે-ક્વિબિટ ગેટ્સ (TQG) પડોશી ક્વિબિટ પર કામ કરે છે ત્યારે વિઘટન D ની વર્તણૂકની તપાસ કરવા માટે હવે આગળ વધી શકાય છે. તમામ ગુણાંકને અપડેટ કરવાને બદલે, આપણે આપણી જાતને સંખ્યાબંધ કામગીરીઓ સુધી મર્યાદિત રાખીશું જે ઓછી ડિગ્રીની બહુપદી તરીકે વધે છે, આમ ગણતરીના સમયની બચત થાય છે. ક્વિબિટ k પર કામ કરતા એક-ક્વિબિટ ગેટ્સ OQG માત્ર તે જ ક્વિબિટને અસર કરી રહ્યા છે જેના પર તેઓ કામ કરી રહ્યા છે, ક્વિબિટ k પર એકાત્મક ઓપરેટર પછી સ્થિતિનું અપડેટ ડાબી બાજુના શ્મિટ આઈગનવેલ્યુઝ અથવા વેક્ટરને સંશોધિત કરતું નથી, પરિણામે 's, અથવા જમણી બાજુએ, તેથી' s. માત્ર 's' ને અપડેટ કરવામાં આવશે (માત્ર મોટાભાગની કામગીરીની જરૂર હોય છે), કારણ કે 's' અને 's' ને અપડેટ કરવા માટે જરૂરી ફેરફારો, 's' અને 's' ને અપડેટ કરવા માટે જરૂરી ફેરફારો, ક્યુબિટ્સ k, k + 1 પર એકાત્મક ઓપરેશન V ને અનુસરીને, ફક્ત ચિંતા અને. તેમાં સંખ્યાબંધ મૂળભૂત કામગીરીઓનો સમાવેશ થાય છે. વિડાલના મૂળ અભિગમને અનુસરીને, તેને માત્ર ચાર પેટા પ્રણાલીઓ સાથે સંકળાયેલ હોવાનું ગણી શકાયઃ સબસ્પેસ J ઘટાડેલા ઘનતા મેટ્રિક્સના આઈગનવેક્ટર્સ દ્વારા ફેલાયેલું છેઃ તેવી જ રીતે, સબસ્પેસ K ઘટાડેલા ઘનતા મેટ્રિક્સના આઈગનવેક્ટર્સ દ્વારા ફેલાયેલું છેઃ પેટા જગ્યાઓ અને ક્યુબિટ્સ k અને k + 1 સાથે સંબંધિત છે. આ આધાર અને વિઘટન D નો ઉપયોગ કરીને, આ રીતે લખી શકાય છેઃ OQG માટે સમાન તર્કનો ઉપયોગ કરીને, TQG V ને ક્યુબિટ્સ k, k + 1 પર લાગુ કરવા માટે માત્ર અપડેટ કરવાની જરૂર છે, અને આપણે આ રીતે લખી શકીએ છીએઃ જ્યાં નવું વિઘટન શોધવા માટે, બોન્ડ k પર નવા અને તેમના અનુરૂપ શ્મિટ આઈગનવેક્ટર્સની ગણતરી અને વિઘટન D ના સંદર્ભમાં વ્યક્ત કરવી આવશ્યક છે. તેથી ઘટાડેલા ઘનતા મેટ્રિક્સને વિકર્ણ કરવામાં આવે છેઃ તેના આઈગન મૂલ્યોના વર્ગમૂળો નવા છે. વિકર્ણિત મેટ્રિક્સના આઈગનવેક્ટર્સને આધારમાં વ્યક્ત કરતાઃ 's' પણ મેળવવામાં આવે છેઃ ડાબી બાજુના આઈગનવેક્ટર્સમાંથી, તેમને આધારમાં વ્યક્ત કર્યા પછી, 's' છેઃ ગણતરીત્મક ખર્ચ D માં સૌથી મોટા ટેન્સરનું પરિમાણ ક્રમમાં હોય છે; જ્યારે એકનું નિર્માણ કરે છે ત્યારે સરવાળો બને છે, અને દરેક માટે, કુલ કામગીરીમાં ઉમેરો થાય છે. તત્વોની રચના માટે, અથવા ડાબા હાથના આઈગનવેક્ટર્સની ગણતરી માટે, અનુક્રમે મહત્તમ, મૂળભૂત કામગીરી માટે આ જ લાગુ પડે છે. ક્યુબિટ્સના કિસ્સામાં, તેથી તેની ભૂમિકા મૂળભૂત કામગીરીની સંખ્યાના તીવ્રતાના ક્રમ માટે ખૂબ સુસંગત નથી, પરંતુ જ્યારે સ્થળ પરનું પરિમાણ બે કરતા વધારે હોય ત્યારે તેનું નિર્ણાયક યોગદાન હોય છે. આંકડાકીય સિમ્યુલેશન આંકડાકીય સિમ્યુલેશન એક રેખામાં ગોઠવાયેલા કણોની પ્રણાલીના હેમિલ્ટોનિયનોને (સંભવતઃ સમય આધારિત) લક્ષ્યાંકિત કરે છે, જે મનસ્વી ઓ. ક્યુ. જી. અને ટી. ક્યુ. જી. થી બનેલા હોય છેઃ બે સંભવિત બિન-સંચાર શબ્દોના સરવાળા તરીકે વિઘટન કરવું ઉપયોગી છે, જ્યાં કોઈપણ બે-શરીરની શરતો પરિવહન કરે છેઃ, આ ઘાતાંકીય સંચાલકના સુઝુકી-ટ્રોટર વિસ્તરણ (એસ. ટી.) બનાવવા માટે કરવામાં આવે છે, જેનું નામ માસુઓ સુઝુકી અને હેલ ટ્રોટર પરથી રાખવામાં આવ્યું છે. સુઝુકી-ટ્રોટર વિસ્તરણ પ્રથમ ક્રમ (ST1) નું સુઝુકી-ટ્રોટર વિસ્તરણ ઘાતાંકીય ઓપરેટરો લખવાની સામાન્ય રીતનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છેઃ અથવા, સમાન રીતે સુધારણા શબ્દ મર્યાદામાં અદૃશ્ય થઈ જાય છે ક્વોન્ટમ ગતિશીલતાના સિમ્યુલેશન માટે એકાત્મક ઓપરેટર્સનો ઉપયોગ કરવો ઉપયોગી છે, જે ધોરણને જાળવી રાખે છે (પાવર શ્રેણીના વિસ્તરણથી વિપરીત), અને ત્યાં જ ટ્રોટર-સુઝુકી વિસ્તરણ આવે છે. ક્વોન્ટમ ડાયનેમિક્સની સમસ્યાઓમાં એસટી વિસ્તરણમાં ઓપરેટરોની એકાત્મકતા તદ્દન વ્યવહારુ સાબિત થાય છે, કારણ કે ભૂલ એકંદર તબક્કામાં ધ્યાન કેન્દ્રિત કરે છે, આમ આપણને વિશ્વાસુપણે અપેક્ષા મૂલ્યોની ગણતરી કરવાની અને જથ્થાને સંરક્ષિત કરવાની મંજૂરી આપે છે. કારણ કે ST ફેઝ-સ્પેસ વોલ્યુમને સાચવે છે, તેને સિમ્પ્લેક્ટિક ઇન્ટિગ્રેટર પણ કહેવામાં આવે છે. ST2 ની યુક્તિ એ છે કે એકાત્મક ઓપરેટરોને આ રીતે લખવુંઃ ક્યાં. આ સંખ્યાને ટ્રોટર નંબર કહેવામાં આવે છે. સમય-ઉત્ક્રાંતિનું અનુકરણ ઓપરેટરો, વ્યક્ત કરવા માટે સરળ છે, કારણ કેઃ કોઈપણ બે ઓપરેટરો, (અનુક્રમે,,) માટે મુસાફરી કરે છે અને પ્રથમ ક્રમનું ST વિસ્તરણ માત્ર ઘાતાંકોનું ઉત્પાદન રાખે છે, આ કિસ્સામાં અંદાજ ચોક્કસ બને છે. સમય-ઉત્ક્રાંતિ આ મુજબ કરી શકાય છે દરેક "સમય-પગલા" માટે, બધી વિચિત્ર સાઇટો પર ક્રમિક રીતે લાગુ કરવામાં આવે છે, પછી સમ સાઇટો પર, અને ફરીથી વિચિત્ર સાઇટો પર; આ મૂળભૂત રીતે TQG નો ક્રમ છે, અને તેને લાગુ કરતી વખતે વિઘટનને કેવી રીતે અપડેટ કરવું તે ઉપર સમજાવવામાં આવ્યું છે. અમારું લક્ષ્ય એ છે કે n-કણ હેમિલ્ટોનિયનનો ઉપયોગ કરીને સમય T માટે સ્થિતિ તરફ સમયની ઉત્ક્રાંતિ કરવી. જો શક્ય હોય તો, મનસ્વી n-કણોની સ્થિતિ માટે વિઘટનનું નિર્માણ કરવું મુશ્કેલ છે, કારણ કે આનો અર્થ એ થશે કે વ્યક્તિએ દરેક બંધ પર શ્મિટ વિઘટનની ગણતરી કરવી પડશે, શ્મિટ આઈગનવેલ્યુઝને ઘટતા ક્રમમાં ગોઠવવા પડશે અને પ્રથમ અને યોગ્ય શ્મિટ આઈગનવેક્ટર્સ પસંદ કરવા પડશે. ધ્યાનમાં રાખો કે આ કંઈક અંશે ઉદાર ઘટાડો ઘનતા મેટ્રિસીસને વિકર્ણ બનાવશે, જેનું અનુકરણ કરવાની સિસ્ટમના આધારે, આપણી પહોંચ અને ધીરજની બહારનું કાર્ય હોઈ શકે છે. તેના બદલે, નીચેની બાબતો કરવાનો પ્રયાસ કરી શકાય છેઃ i) સરળ પ્રારંભિક સ્થિતિ માટે વિઘટનનું નિર્માણ કરો, ચાલો આપણે કહીએ કે, અમુક ઉત્પાદન સ્થિતિ, જેના માટે વિઘટન સીધું છે. ii) પૂરતા પ્રમાણમાં સ્થાનિક પરિવર્તન દ્વારા હેમિલ્ટોનિયનની જમીનની સ્થિતિ સાથે સંબંધિત Q (એક કે જેને TQG ના ઉત્પાદન તરીકે વ્યક્ત કરી શકાય છે, ઉદાહરણ તરીકે) iii) હેમિલ્ટોનિયનની જમીનની સ્થિતિ તરફ કાલ્પનિક-સમયની ઉત્ક્રાંતિ બનાવો, તેના અનુસારઃ અથવા, વૈકલ્પિક રીતે, સમય-આધારિત હેમિલ્ટોનિયનનો ઉપયોગ કરીને આઇસેન્ટ્રોપિક ઉત્ક્રાંતિનું અનુકરણ કરો, જે હેમિલ્ટોનિયન, જે તેની જમીનની સ્થિતિ તરીકે ઉત્પાદનની સ્થિતિ ધરાવે છે અને હેમિલ્ટોનિયન વચ્ચે અંતર્વેશન કરે છે; ઉત્ક્રાંતિ પૂરતી ધીમી થવી જોઈએ, જેમ કે સિસ્ટમ હંમેશા જમીનની સ્થિતિમાં હોય અથવા ઓછામાં ઓછી, તેની ખૂબ નજીક હોય. 4) છેવટે, હેમિલ્ટોનિયનનો ઉપયોગ કરવા માટે રાજ્યની સમય-ઉત્ક્રાંતિ બનાવોઃ ભૂલ સ્ત્રોતો સિમ્યુલેશનમાં ભૂલો સુઝુકી-ટ્રોટર અંદાજ અને હિલ્બર્ટ જગ્યાના સંકળાયેલ કાપણીના પરિણામે છે. સુઝુકી-ટ્રોટર વિસ્તરણમાંથી આવતી ભૂલો ઓર્ડરના ટ્રોટર અંદાજના કિસ્સામાં, ભૂલ ક્રમની છે. પગલાંઓને ધ્યાનમાં લેતા, T સમય પછીની ભૂલ છેઃ અસંબદ્ધ સ્થિતિ છેઃ ટ્રોટર વિસ્તરણ પછી રાજ્ય ક્યાં રાખવામાં આવે છે અને વિસ્તરણ કરતી વખતે જે ભાગની અવગણના કરવામાં આવે છે તેનો હિસાબ છે. કુલ ભૂલ સમય સાથે આ રીતે માપવામાં આવે છેઃ ટ્રોટર ભૂલ સાંકળના પરિમાણથી સ્વતંત્ર છે. હિલ્બર્ટ જગ્યાના કાપવાથી આવતી ભૂલો વિઘટન D માં સમાવિષ્ટ હિલ્બર્ટ જગ્યાના કાપવાથી થતી ભૂલોને ધ્યાનમાં લેતા, તે બમણી છે. પ્રથમ, જેમ આપણે ઉપર જોયું છે તેમ, શ્મિટ વર્ણપટમાં સૌથી નાનું યોગદાન બાકી છે, સ્થિતિને વિશ્વાસુપણે રજૂ કરવામાં આવી રહી છેઃ બંધ પર ઘટાડેલા ઘનતા મેટ્રિક્સના તમામ કાઢી નાખેલા આઈગનવેલ્યુનો સરવાળો ક્યાં છે. સ્થિતિ, આપેલ બોન્ડ પર, શ્મિટ વિઘટન દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છેઃ જ્યાં કાપણી પછી સ્થિતિ રાખવામાં આવે છે અને તે સૌથી નાના, અપ્રસ્તુત શ્મિટ ગુણાંકને અનુરૂપ આઈગનફંક્શન્સ દ્વારા રચાયેલી સ્થિતિ છે, જે અવગણવામાં આવે છે. હવે, કારણ કે તેઓ ઓર્થોગોનલ જગ્યાઓને અનુરૂપ વેક્ટર દ્વારા ફેલાયેલા છે. ટ્રોટર વિસ્તરણ માટે સમાન દલીલનો ઉપયોગ કરીને, કાપણી પછીની ભૂલ છેઃ આગામી બોન્ડ પર ગયા પછી, સ્થિતિ એ જ રીતે છેઃ ભૂલ, બીજા કાપણી પછી, છેઃ અને તેથી વધુ, જેમ આપણે બોન્ડથી બોન્ડ તરફ આગળ વધીએ છીએ. વિઘટનમાં સમાવિષ્ટ બીજો ભૂલ સ્ત્રોત વધુ સૂક્ષ્મ છે અને તેની થોડી ગણતરીની જરૂર છે. જેમ આપણે પહેલાં ગણતરી કરી હતી તેમ, બોન્ડ પર કાપણી કર્યા પછી નોર્મલાઇઝેશન કોન્સ્ટન્ટ છેઃ ચાલો હવે બોન્ડ પર જઈએ અને જમણા હાથના શ્મિટ વેક્ટરના ધોરણની ગણતરી કરીએ; સંપૂર્ણ શ્મિટ પરિમાણને ધ્યાનમાં લેતા, ધોરણ છેઃ, ક્યાં. કાપેલી જગ્યાને ધ્યાનમાં લેતા, ધોરણ છેઃ તફાવતને ધ્યાનમાં લેતા, આપણે મેળવીએ છીએઃ તેથી, ઘટાડેલા ઘનતા મેટ્રિક્સનું નિર્માણ કરતી વખતે, મેટ્રિક્સના ટ્રેસને પરિબળ દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છેઃ કુલ કાપવાની ભૂલ કુલ કાપવાની ભૂલ, બંને સ્રોતોને ધ્યાનમાં રાખીને, ઉપરની બાઉન્ડેડ છેઃ ટ્રોટર વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતી વખતે, આપણે બોન્ડથી બોન્ડમાં જતા નથી, પરંતુ સમાન સમાનતાના બોન્ડ્સ વચ્ચે; વધુમાં, ST2 માટે, આપણે વિષમ માટે એક અને બેની સ્વીપ કરીએ છીએ. પરંતુ તેમ છતાં, ઉપર રજૂ કરેલી ગણતરી હજુ પણ ચાલુ છે. ભૂલનું મૂલ્યાંકન સામાન્યીકરણ અચળાંક સાથે ક્રમિક રીતે ગુણાકાર કરીને કરવામાં આવે છે, દરેક વખતે જ્યારે આપણે ઘટાડો ઘનતા મેટ્રિક્સ બનાવીએ છીએ અને તેના સંબંધિત આઈગનવેલ્યુ પસંદ કરીએ છીએ. "અનુકૂલનશીલ" શ્મિટ પરિમાણ એક વસ્તુ જે ચોકસાઈ ગુમાવ્યા વિના ઘણા કોમ્પ્યુટેશનલ સમયની બચત કરી શકે છે તે છે દરેક બોન્ડ માટે બધા બોન્ડ્સ માટે નિશ્ચિત પરિમાણને બદલે અલગ શ્મિટ પરિમાણનો ઉપયોગ કરવો, હંમેશની જેમ સંબંધિત ગુણાંકની માત્ર જરૂરી માત્રા રાખવી. ઉદાહરણ તરીકે, પ્રથમ બોન્ડ લેતા, ક્યુબિટ્સના કિસ્સામાં, શ્મિટ પરિમાણ માત્ર બે છે. તેથી, પ્રથમ બોન્ડ પર, નિરર્થક રીતે વિકર્ણ બનાવવાને બદલે, ચાલો આપણે કહીએ કે, 10 બાય 10 અથવા 20 બાય 20 મેટ્રિસીસ, આપણે આપણી જાતને સામાન્ય 2 બાય 2 સુધી મર્યાદિત કરી શકીએ છીએ, આમ અલ્ગોરિધમ સામાન્ય રીતે ઝડપી બનાવે છે. તેના બદલે આપણે જે કરી શકીએ છીએ તે એસ. ડી. ના આઈગન વેલ્યુ માટે થ્રેશોલ્ડ સેટ કરવું છે, જે ફક્ત થ્રેશોલ્ડથી ઉપર છે. સુઝુકી-ટ્રોટર વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરીને ઘાતાંકીય સમય-ઉત્ક્રાંતિ ઓપરેટરના ફેક્ટરાઇઝેશનને કારણે ટીઇબીડી સીધી સમાંતરતાની સંભાવના પણ પ્રદાન કરે છે. સમાંતર-ટીઇબીડી તેના બિન-સમાંતર સમકક્ષ સમાન ગણિત ધરાવે છે, માત્ર તફાવત આંકડાકીય અમલીકરણમાં છે. સંદર્ભો ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સ કોમ્પ્યુટેશનલ ભૌતિકશાસ્ત્ર