Sz.-Nagy's dilation theorem
Sz.-Nagy ડાયલેશન થીયરમ (બેલા સ્ઝોકેફાલ્વી-નાગી દ્વારા સાબિત) જણાવે છે કે હિલ્બર્ટ સ્પેસ પરના દરેક સંકોચનમાં હિલ્બર્ટ સ્પેસ માટે એકાત્મક ડાયલેશન હોય છે, જેમાં પ્રક્ષેપણ ક્યાંથી આવે છે. વધુમાં, આવા વિસ્તરણ અનન્ય છે (એકાત્મક સમાનતા સુધી) જ્યારે કોઈ વ્યક્તિ ધારે છે કે K ન્યૂનતમ છે, તે અર્થમાં કે K નો રેખીય ગાળો ગાઢ છે. જ્યારે આ લઘુતમ સ્થિતિ રહે છે, ત્યારે U ને T નું ન્યૂનતમ એકાત્મક વિસ્તરણ કહેવામાં આવે છે. ખાસ કિસ્સામાં S એ આઇસોમેટ્રી છે, DS * એ પ્રોજેક્ટર છે અને DS = 0 છે, તેથી નીચેનું Sz છે. જરૂરી બહુપદી કાર્યાત્મક કલન ગુણધર્મ સાથે S નું નાગી એકાત્મક વિસ્તરણઃ સંકોચન T ના સામાન્ય કિસ્સામાં પાછા ફરવું, હિલ્બર્ટ જગ્યા H પરના દરેક સંકોચન T માં આઇસોમેટ્રિક વિસ્તરણ હોય છે, ફરીથી કલન ગુણધર્મ સાથે, S ને બદલીને આપવામાં આવે છે, આમ આઇસોમેટ્રી S માટે અગાઉના Sz.-Nagy એકાત્મક વિસ્તરણમાં બાંધવામાં આવે છે, એક સંકોચન T માટે એકાત્મક વિસ્તરણ મેળવે છેઃ શેફર સ્વરૂપ એકાત્મક Sz નું શેફર સ્વરૂપ. નાગી ડાયલેશનને આપેલ સંકોચન માટે જરૂરી ગુણધર્મ સાથે તમામ એકાત્મક ડાયલેશનની લાક્ષણિકતા માટે પ્રારંભિક બિંદુ તરીકે જોઈ શકાય છે. બર્જર, ફોઆસ અને લેબો દ્વારા આ પ્રમેયનું સામાન્યીકરણ દર્શાવે છે કે જો X એ T માટે વર્ણપટ સમૂહ છે, અને તે ડિરીક્લેટ બીજગણિત છે, તો T ઉપરના સ્વરૂપનું ન્યૂનતમ સામાન્ય δX વિસ્તરણ ધરાવે છે. આનું પરિણામ એ છે કે સરળ રીતે જોડાયેલા સ્પેક્ટ્રલ સેટ X સાથેના કોઈપણ ઓપરેટરમાં ન્યૂનતમ સામાન્ય δX વિસ્તરણ હોય છે. આ Sz.-Nagy ના પ્રમેયને સામાન્ય બનાવે છે તે જોવા માટે, નોંધ લો કે સંકોચન ઓપરેટરો પાસે સ્પેક્ટ્રલ સમૂહ તરીકે એકમ ડિસ્ક D હોય છે, અને એકમ વર્તુળ δD માં સ્પેક્ટ્રમ ધરાવતા સામાન્ય ઓપરેટરો એકાત્મક હોય છે. સંદર્ભ સંચાલક સિદ્ધાંત કાર્યાત્મક વિશ્લેષણમાં સિદ્ધાંતો ધરાવતાં સિદ્ધાંતો ધરાવતાં સિદ્ધાંતો