Period mapping
ગણિતમાં, બીજગણિત ભૂમિતિના ક્ષેત્રમાં, સમયગાળાનું મેપિંગ કોહલર મેનીફોલ્ડ્સના પરિવારોને હોજ માળખાના પરિવારો સાથે સંબંધિત કરે છે. એહરેસમેનનો પ્રમેય ચાલો એક હોલોમોર્ફિક સબમર્સિવ મોર્ફિઝમ હોઈએ. બી ના બિંદુ બી માટે, અમે એફ ઓવર બી બાય એક્સબીના ફાઇબરને સૂચવીએ છીએ. બી. એહરેસમેનના પ્રમેયમાં બિંદુ 0 નક્કી કરો કે 0 ની આસપાસ એક નાનો ખુલ્લો પડોશી U છે જેમાં f ફાઇબર બંડલ બની જાય છે. એટલે કે, તે ડિફિયોમોર્ફિક છે. ખાસ કરીને, સંયુક્ત નકશો એ ડિફિયોમોર્ફિઝમ છે. આ ડિફિયોમોર્ફિઝમ અનન્ય નથી કારણ કે તે તુચ્છતાની પસંદગી પર આધારિત છે. લઘુતમકરણ U માં સરળ માર્ગોમાંથી બનાવવામાં આવ્યું છે, અને તે બતાવી શકાય છે કે ડિફિયોમોર્ફિઝમનો હોમોટૉપી વર્ગ ફક્ત b થી 0 સુધીના માર્ગોના હોમોટૉપી વર્ગની પસંદગી પર આધાર રાખે છે. ખાસ કરીને, જો યુ સંકોચાય તેવું હોય, તો હોમોટૉપી સુધી સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત ડિફિયોમોર્ફિઝમ છે. Xb થી X0 વચ્ચેનું ડિફિયોમોર્ફિઝમ કોહોમોલોજી જૂથોના આઇસોમોર્ફિઝમને પ્રેરિત કરે છે અને હોમોટોપિક નકશા કોહોમોલોજી પર સમાન નકશાને પ્રેરિત કરે છે, આ આઇસોમોર્ફિઝમ ફક્ત b થી 0 સુધીના માર્ગના હોમોટોપી વર્ગ પર આધાર રાખે છે. સ્થાનિક અનપોલરાઇઝ્ડ પિરિયડ મેપિંગ્સ ધારે છે કે f યોગ્ય છે અને X0 એ કેલરની વિવિધતા છે. કેલર શરત ખુલ્લી છે, તેથી સંભવતઃ યુ સંકોચાઈ ગયા પછી, એક્સબી કોમ્પેક્ટ છે અને યુમાં તમામ બી માટે કેલર છે. યુ વધુ સંકોચાઈ ગયા પછી આપણે ધારી શકીએ કે તે સંકોચાય તેવું છે. પછી X0 અને Xb ના કોહોમોલોજી જૂથો વચ્ચે સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત સમરૂપતા છે. કોહોમોલોજી જૂથોના આ આઇસોમોર્ફિઝમ્સ સામાન્ય રીતે X0 અને Xb ના હોજ માળખાને જાળવી રાખશે નહીં કારણ કે તેઓ ડિફિયોમોર્ફિઝમ્સ દ્વારા પ્રેરિત થાય છે, બાયહોલોમોર્ફિઝમ્સ દ્વારા નહીં. ચાલો હોજ ફિલ્ટરેશનનું pth પગલું દર્શાવીએ. Xb ની હોજ સંખ્યાઓ X0 જેવી જ છે, તેથી સંખ્યા b થી સ્વતંત્ર છે. સમયગાળો નકશો એ નકશો છે જ્યાં F એ bp પરિમાણોની પેટા જગ્યાઓની સાંકળોની ફ્લેગ વિવિધતા છે, બધા p માટે k, જે મોકલે છે કારણ કે Xb એ કેલર મેનીફોલ્ડ છે, હોજ ગાળણ હોજ-રીમેન દ્વિરેખીય સંબંધોને સંતોષે છે. આ સૂચવે છે કે સબસ્પેસના તમામ ફ્લેગ આ શરતને સંતોષતા નથી. આ સ્થિતિને સંતોષતા ફ્લેગ વેરાયટીના સબસેટને અનપોલરાઇઝ્ડ લોકલ પિરિયડ ડોમેન કહેવામાં આવે છે અને તેને સૂચવવામાં આવે છે. સ્થાનિક ધ્રુવીકૃત સમયગાળાના મેપિંગ્સ ધારો કે હવે માત્ર દરેક Xb કેહલેર નથી, પરંતુ એક કેહલેર વર્ગ છે જે b માં હોલોમોર્ફિકલી બદલાય છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, ધારો કે ત્યાં એક વર્ગ ω છે જેમ કે દરેક b માટે, ω થી Xb નું પ્રતિબંધ ωb એ કેલર વર્ગ છે. ωb નિયમ દ્વારા Hk (Xb, C) પર દ્વિરેખીય સ્વરૂપ Q નક્કી કરે છે આ સ્વરૂપ b માં હોલોમોર્ફિક રીતે બદલાય છે, અને પરિણામે સમયગાળાના મેપિંગની છબી વધારાના અવરોધોને સંતોષે છે જે ફરીથી હોજ-રીમેન દ્વિરેખીય સંબંધોમાંથી આવે છે. આ છેઃ ઓર્થોગોનાલિટીઃ ક્યૂના સંદર્ભમાં ઓર્થોગોનલ છે. હકારાત્મક નિશ્ચિતતાઃ બધા માટે, પ્રકારનાં આદિમ વર્ગો પરનું પ્રતિબંધ હકારાત્મક નિશ્ચિત છે. ધ્રુવીકૃત સ્થાનિક સમયગાળાનું ક્ષેત્ર એ ધ્રુવીકૃત ન હોય તેવા સ્થાનિક સમયગાળાનું ક્ષેત્ર છે, જેના ધ્વજ આ વધારાની શરતોને સંતોષે છે. પ્રથમ શરત એક બંધ સ્થિતિ છે, અને બીજી એક ખુલ્લી સ્થિતિ છે, અને પરિણામે ધ્રુવીકૃત સ્થાનિક સમયગાળો ડોમેન એ બિનધ્રુવીકૃત સ્થાનિક સમયગાળા ડોમેન અને ફ્લેગ વિવિધતા એફનો સ્થાનિક રીતે બંધ સબસેટ છે. સમયગાળો મેપિંગને તે જ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. ધ્રુવીકૃત સ્થાનિક સમયગાળાનું ક્ષેત્ર અને ધ્રુવીકૃત સમયગાળાનું મેપિંગ હજુ પણ અનુક્રમે અને સૂચવવામાં આવે છે. વૈશ્વિક સમયગાળાની નકશાઓ માત્ર સ્થાનિક સમયગાળાની નકશાઓ પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરવાથી બેઝ સ્પેસ B ની ટોપોલોજીમાં હાજર માહિતીની અવગણના થાય છે. વૈશ્વિક સમયગાળાની નકશાનું નિર્માણ કરવામાં આવ્યું છે જેથી આ માહિતી હજુ પણ ઉપલબ્ધ રહે. વૈશ્વિક સમયગાળાના મેપિંગ્સના નિર્માણમાં મુશ્કેલી બી ની મોનોડ્રોમીમાંથી આવે છેઃ Xb અને X0 તંતુઓને લગતા ડિફિયોમોર્ફિઝમ્સનો હવે કોઈ અનોખો હોમોટૉપી વર્ગ નથી. તેના બદલે, બી માં પાથના અલગ હોમોટૉપી વર્ગો સંભવતઃ ડિફિયોમોર્ફિઝમ્સના અલગ હોમોટૉપી વર્ગોને પ્રેરિત કરે છે અને તેથી સંભવતઃ કોહોમોલોજી જૂથોના અલગ આઇસોમોર્ફિઝમ્સને પ્રેરિત કરે છે. પરિણામે હવે દરેક ફાઇબર માટે સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત ધ્વજ નથી. તેના બદલે, ધ્વજને માત્ર મૂળભૂત જૂથની ક્રિયા સુધી વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. અનપોલરાઇઝ્ડ કિસ્સામાં, મોનોડ્રોમી જૂથને GL (Hk (X0, Z)) ના પેટા જૂથ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરો જેમાં ઉપર મુજબ B માં વળાંકના હોમોટોપી વર્ગ દ્વારા પ્રેરિત તમામ ઓટોમોર્ફિઝમ્સનો સમાવેશ થાય છે. ધ્વજની વિવિધતા એ પેરાબોલિક પેટાજૂથ દ્વારા લાઈ જૂથનો ભાગ છે, અને મોનોડ્રોમી જૂથ એ લાઈ જૂથનું અંકગણિત પેટાજૂથ છે. વૈશ્વિક અનપોલરાઇઝ્ડ પિરિયડ ડોમેન એ સ્થાનિક અનપોલરાઇઝ્ડ પિરિયડ ડોમેનનો ભાગાકાર છે જે κ ની ક્રિયા દ્વારા થાય છે (આમ તે બેવડા કોસેટનો સંગ્રહ છે). ધ્રુવીકૃત કિસ્સામાં, મોનોડ્રોમી જૂથના ઘટકો પણ દ્વિસંગી સ્વરૂપ Q ને જાળવી રાખવા માટે જરૂરી છે, અને વૈશ્વિક ધ્રુવીકૃત સમયગાળાનું ક્ષેત્ર એ જ રીતે જાત દ્વારા ભાગાકાર તરીકે બનાવવામાં આવે છે. બંને કિસ્સાઓમાં, પિરિયડ મેપિંગ Xb પર હોજ ગાળણના વર્ગમાં B નો એક બિંદુ લે છે. ગુણધર્મો ગ્રિફિથ્સે સાબિત કર્યું કે સમયગાળાનો નકશો હોલોમોર્ફિક છે. તેમનો પારગમન સિદ્ધાંત સમયગાળાના નકશાની શ્રેણીને મર્યાદિત કરે છે. પિરિયડ મેટ્રિક્સ હોજ ગાળણક્રિયા પિરિયડ મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરીને કોઓર્ડિનેટ્સમાં વ્યક્ત કરી શકાય છે. kth અભિન્ન સમરૂપતા જૂથના વળાંક-મુક્ત ભાગ માટે આધાર δ1,., δr પસંદ કરો. પી અને ક્યૂ સાથે ઠીક કરો, અને પ્રકારનાં હાર્મોનિક સ્વરૂપો માટે ω1,., ωs આધાર પસંદ કરો. આ પાયાના સંદર્ભમાં X0 નો સમયગાળો મેટ્રિક્સ એ મેટ્રિક્સ છે સમયગાળો મેટ્રિક્સની એન્ટ્રીઓ આધારની પસંદગી અને જટિલ માળખા પર આધારિત છે. δs ને મેટ્રિક્સ λ ની પસંદગી દ્વારા બદલી શકાય છે, અને ωs ને મેટ્રિક્સ A ની પસંદગી દ્વારા બદલી શકાય છે. પિરિયડ મેટ્રિક્સ એ ω ની સમકક્ષ હોય છે જો તેને A અને λ ની કેટલીક પસંદગી માટે Aω તરીકે લખી શકાય. લંબગોળ વળાંકનો કિસ્સો લંબગોળ વળાંકના પરિવારનો વિચાર કરો જ્યાં λ એ કોઈ પણ જટિલ સંખ્યા છે જે શૂન્ય અથવા એકની બરાબર નથી. વળાંકના પ્રથમ કોહોમોલોજી જૂથ પર હોજ ગાળણ બે પગલાં ધરાવે છે, F0 અને F1. જો કે, F0 એ સંપૂર્ણ કોહોમોલોજી જૂથ છે, તેથી ગાળણનો એકમાત્ર રસપ્રદ શબ્દ F1 છે, જે H1,0 છે, જે હોલોમોર્ફિક હાર્મોનિક 1-સ્વરૂપોની જગ્યા છે. H1,0 એક-પરિમાણીય છે કારણ કે વળાંક લંબગોળ છે, અને બધા λ માટે, તે વિભેદક સ્વરૂપ દ્વારા ફેલાયેલો છે. વળાંકના સમરૂપતા જૂથના સ્પષ્ટ પ્રતિનિધિઓ શોધવા માટે, નોંધ લો કે વળાંકને રીમાન ગોળા પર બહુ-મૂલ્યવાન કાર્યના આલેખ તરીકે રજૂ કરી શકાય છે. આ વિધેયના શાખા બિંદુઓ શૂન્ય, એક, λ અને અનંત પર છે. બે શાખા કટ બનાવો, એક શૂન્યથી એક તરફ અને બીજો λ થી અનંત સુધી ચાલે છે. આ કાર્યના શાખા બિંદુઓને સમાપ્ત કરે છે, તેથી તેઓ બહુ-મૂલ્યવાન કાર્યને બે એક-મૂલ્યવાન શીટ્સમાં કાપી નાખે છે. એક નાનો સુધારો કરો. આ શીટ્સમાંથી એક પર, વળાંકને ટ્રેસ કરો. પૂરતા પ્રમાણમાં નાના ε માટે, આ વળાંક શાખા કટને ઘેરી લે છે અને શાખા કટને મળતો નથી. હવે બીજો વળાંક δ (t) શોધી કાઢો જે એક શીટમાં શરૂ થાય છે અને બીજી શીટમાં ચાલુ રહે છે. આ વળાંકનો દરેક અડધો ભાગ રીમાન સપાટીની બે શીટ્સ પરના બિંદુઓ 1 અને λ ને જોડે છે. સેઇફર્ટ-વાન કેમ્પેન પ્રમેય પરથી, વળાંકનું સમરૂપતા જૂથ ક્રમ બેથી મુક્ત છે. કારણ કે વળાંક એક જ બિંદુ પર મળે છે, તેમના સમરૂપતા વર્ગોમાંથી કોઈ પણ અન્ય સમરૂપતા વર્ગનો યોગ્ય ગુણાંક નથી, અને તેથી તેઓ H1 નો આધાર બનાવે છે. તેથી આ પરિવાર માટે સમયગાળો મેટ્રિક્સ છે આ મેટ્રિક્સની પ્રથમ એન્ટ્રી આપણે A તરીકે સંક્ષિપ્તમાં અને બીજાને B તરીકે સંક્ષિપ્તમાં લખીશું. દ્વિરેખીય સ્વરૂપ Q હકારાત્મક નિશ્ચિત છે કારણ કે સ્થાનિક રીતે, આપણે હંમેશા ω ને f dz તરીકે લખી શકીએ છીએ, તેથી પોઇનકેરે દ્વૈતતા દ્વારા, γ અને δ કોહોમોલોજી વર્ગો γ * અને δ * ને અનુરૂપ છે જે એકસાથે એક આધાર છે. તે અનુસરે છે કે ω ને γ * અને δ * ના રેખીય સંયોજન તરીકે લખી શકાય છે. ગુણાંક γ અને δ એ બે આધાર તત્વોના સંદર્ભમાં ω નું મૂલ્યાંકન કરીને આપવામાં આવે છેઃ જ્યારે આપણે આ શરતોમાં Q ની હકારાત્મક નિશ્ચિતતાને ફરીથી લખીએ છીએ, ત્યારે આપણી પાસે γ * અને δ * અભિન્ન હોવાથી, તેઓ જોડાણ હેઠળ બદલાતા નથી. વધુમાં, કારણ કે γ અને δ એક જ બિંદુમાં છેદે છે અને એક જ બિંદુ H0 નું જનરેટર છે, તેથી γ * અને δ * નું કપ ગુણાકાર એ X0 નો મૂળભૂત વર્ગ છે. પરિણામે આ ઇન્ટિગ્રલ સમાન છે. અભિન્ન સખત રીતે હકારાત્મક છે, તેથી ન તો A કે ન તો B શૂન્ય હોઈ શકે છે. ω ને પુનઃપ્રાપ્ત કર્યા પછી, આપણે ધારી શકીએ કે સમયગાળો મેટ્રિક્સ કડક હકારાત્મક કાલ્પનિક ભાગ સાથે કેટલીક જટિલ સંખ્યા τ બરાબર છે. આ ક્રિયામાંથી આવતી અસ્પષ્ટતાને દૂર કરે છે. ની ક્રિયા પછી ઉપલા અર્ધ-સમતલ પર મોડ્યુલર જૂથની સામાન્ય ક્રિયા છે. પરિણામે, પિરિયડ ડોમેન રીમાન ગોળા છે. જાળી તરીકે લંબગોળ વળાંકનું આ સામાન્ય પરિમાણ છે. આ પણ જુઓ હોજ સિદ્ધાંત જેકોબિયન વિવિધ મોડ્યુલર જૂથ સંદર્ભો ગણતરીઓ સ્વરૂપના વળાંક માટે સમયગાળાના મેટ્રિક્સની સ્પષ્ટ ગણતરી-ઉદાહરણોમાં હાયપરલિપ્ટિક વળાંક માટે સમયગાળાના મેટ્રિક્સની સ્પષ્ટ ગણતરીનો સમાવેશ થાય છે-ઉદાહરણોમાં હાયપરસર્ફેસના સમયગાળાની ગણતરી માટે અલ્ગોરિધમનો સમાવેશ થાય છે જનરલ વોઇસિન, હોજ થિયરી અને કોમ્પ્લેક્સ બીજગણિત ભૂમિતિ I, II એપ્લિકેશન્સ શિમુરા વળાંક જીનસ ત્રણમાં હાયપરલિપ્ટિક જેકોબિયન્સના સ્થાનની અંદર બાહ્ય કડીઓ ગણિતના જ્ઞાનકોશ હોજ સિદ્ધાંતમાં લંબગોળ વળાંકમાં સમયગાળાનું મેપિંગ