Contract bridge probabilities
બ્રિજની રમતમાં ગાણિતિક સંભાવનાઓ નોંધપાત્ર ભૂમિકા ભજવે છે. વિરોધીના કાર્ડની વહેંચણીના આધારે વિવિધ ઘોષણાત્મક રમત વ્યૂહરચનાઓ સફળતા તરફ દોરી જાય છે. કઈ વ્યૂહરચના સફળ થવાની સૌથી વધુ સંભાવના ધરાવે છે તે નક્કી કરવા માટે, ઘોષણાકારને સંભાવનાઓનું ઓછામાં ઓછું પ્રાથમિક જ્ઞાન હોવું જરૂરી છે. નીચે આપેલા કોષ્ટકો અગાઉની વિવિધ સંભાવનાઓનો ઉલ્લેખ કરે છે, એટલે કે. વધુ માહિતીની ગેરહાજરીમાં સંભાવનાઓ. બોલી લગાવવા અને રમવા દરમિયાન, હાથ વિશે વધુ માહિતી ઉપલબ્ધ થાય છે, જેનાથી ખેલાડીઓ તેમના સંભાવના અંદાજમાં સુધારો કરી શકે છે. દાવાના વિતરણની સંભાવના (ગુમ થયેલ ટ્રમ્પ્સ વગેરે માટે) બે છુપાયેલા હાથમાં આ ટેબલ વિવિધ રીતોને રજૂ કરે છે કે જેમાં બે થી આઠ ચોક્કસ કાર્ડ્સ વહેંચી શકાય છે, અથવા બે અજ્ઞાત 13-કાર્ડ હાથ (બોલી લગાવતા અને રમતા પહેલા, અથવા પ્રાયોરી) વચ્ચે પડી શકે છે અથવા વિભાજિત થઈ શકે છે. કોષ્ટક ચોક્કસ કાર્ડ્સના સંયોજનોની સંખ્યા પણ દર્શાવે છે જે કોઈપણ આંકડાકીય વિભાજન અને દરેક સંયોજન માટેની સંભાવનાઓ સાથે મેળ ખાય છે. આ સંભાવનાઓ ખાલી સ્થળોના કાયદાથી સીધી અનુસરે છે. સંભાવનાઓની ગણતરી ચાલો આપેલા દાવમાં અજાણ્યા કાર્ડ ધરાવતા પૂર્વના ખેલાડીની અને આપેલા દાવમાં અજાણ્યા કાર્ડ ધરાવતા પશ્ચિમના ખેલાડીની સંભાવના હોઈ શકે. જગ્યામાં સૂટમાં કાર્ડની ગોઠવણીની કુલ સંખ્યા એટલે કે. વસ્તુઓના ક્રમચયોની સંખ્યા કે જેમાંથી પોશાકમાં કાર્ડ્સ અપ્રભેદ્ય છે અને પોશાકમાં ન હોય તેવા કાર્ડ્સ અપ્રભેદ્ય છે. જે વ્યવસ્થાઓની સંખ્યા પૂર્વમાં સૂટમાં કાર્ડ્સ અને સૂટમાં વેસ્ટ કાર્ડ્સને અનુરૂપ છે તે દ્વારા આપવામાં આવે છે. તેથી, જો વિભાજનની દિશા બિનમહત્વપૂર્ણ હોય (તે માત્ર વિભાજન હોવું જરૂરી છે-, એવું નથી કે પૂર્વમાં ખાસ કરીને કાર્ડ્સ રાખવાની જરૂર છે), તો એકંદર સંભાવના તેના દ્વારા આપવામાં આવે છે જ્યાં ક્રોનેકર ડેલ્ટા એ સુનિશ્ચિત કરે છે કે પૂર્વ અને પશ્ચિમમાં દાવામાં સમાન સંખ્યામાં કાર્ડ્સ હોય તેવી પરિસ્થિતિ બે વાર ગણાશે નહીં. ઉપરોક્ત સંભાવનાઓ ધારે છે અને વિભાજનની દિશા બિનમહત્વપૂર્ણ છે, અને તેથી દ્વારા આપવામાં આવે છે. વધુ સામાન્ય સૂત્રનો ઉપયોગ દાવો તોડવાની સંભાવનાની ગણતરી કરવા માટે થઈ શકે છે જો કોઈ ખેલાડી બીજા દાવમાં કાર્ડ ધરાવે છે. દા. ત. બોલી. ધારો કે પૂર્વમાં બોલીમાંથી 7 કુદકો હોવાનું જાણીતું છે અને ડમી જોયા પછી તમે પશ્ચિમને 2 કુદકો રાખવા માટે અનુમાન કરો છો; પછી જો તમારી રમતની બે રેખાઓ હીરાની 5-3 અથવા ક્લબની 4-4ની આશા રાખે છે, તો પ્રાથમિક સંભાવનાઓ અનુક્રમે 47 ટકા અને 48 ટકા છે પરંતુ તેથી હવે ક્લબ લાઇન હીરાની રેખા કરતાં નોંધપાત્ર રીતે સારી છે. એચસીપી વિતરણની સંભાવના હાઇ કાર્ડ પોઇન્ટ (એચસીપી) ની ગણતરી સામાન્ય રીતે દરેક એસ/કિંગ/ક્વીન/જેક માટે અનુક્રમે 4/3/2 1 પોઇન્ટના મિલ્ટન વર્ક સ્કેલનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે. આપેલ હાથમાં એચસીપીની ચોક્કસ સંખ્યા કરતાં વધુ ન હોય તેવી પ્રાથમિક સંભાવનાઓ નીચે આપેલા કોષ્ટકમાં આપવામાં આવી છે. ચોક્કસ બિંદુ શ્રેણીની સંભાવના શોધવા માટે, એક ફક્ત બે સંબંધિત સંચિત સંભાવનાઓને બાદ કરે છે. તેથી, 12-19 HCP હાથ (શ્રેણીઓ સહિત) સાથે વ્યવહાર કરવાની સંભાવના એ મહત્તમ 19 HCP બાદબાકી મહત્તમ 11 HCP હોવાની સંભાવના છે, અથવાઃ 0.9855 − 0.6518 = 0.3337. હાથની પેટર્નની સંભાવનાઓ હાથની પેટર્ન ચાર સુટ્સ પર હાથમાં તેર કાર્ડનું વિતરણ સૂચવે છે. કુલ 39 હાથની પેટર્ન શક્ય છે, પરંતુ તેમાંથી માત્ર 13માં 1 ટકાથી વધુ પ્રાથમિક સંભાવના છે. સૌથી વધુ સંભવિત પેટર્ન 4-4-3-2 પેટર્ન છે જેમાં બે ચાર-કાર્ડ સ્યુટ, ત્રણ-કાર્ડ સ્યુટ અને ડબલટનનો સમાવેશ થાય છે. નોંધ લો કે હાથની પેટર્ન અચોક્કસ રહે છે કે કયા ચોક્કસ સુટ્સમાં સૂચવેલ લંબાઈ હોય છે. 4-4-3-2 પેટર્ન માટે, ચાર સુટ્સમાંથી દરેકની લંબાઈ ઓળખવા માટે કોઈએ સ્પષ્ટ કરવાની જરૂર છે કે કયા સૂટમાં ત્રણ-કાર્ડ છે અને કયા સૂટમાં ડબલટન છે. પહેલા થ્રી-કાર્ડ સૂટને ઓળખવા માટે ચાર શક્યતાઓ છે અને પછી ડબલટનને ઓળખવા માટે ત્રણ શક્યતાઓ છે. તેથી, 4-4-3-2 પેટર્નના સ્યુટ ક્રમચયોની સંખ્યા બાર છે. અથવા, અલગ રીતે કહીએ તો, કુલ બાર રીતે 4-4-3-2 પેટર્નને ચાર સુટ્સ પર મેપ કરી શકાય છે. કોષ્ટકની નીચે હાથની તમામ 39 સંભવિત પેટર્ન, તેમની થવાની સંભાવના, તેમજ દરેક પેટર્ન માટે અનુકૂળ ક્રમચયોની સંખ્યા સૂચિબદ્ધ છે. હાથની પેટર્ન થવાની સંભાવના અનુસાર યાદીનો ક્રમ આપવામાં આવે છે. 39 હાથની પેટર્નને હાથના ચાર પ્રકારોમાં વર્ગીકૃત કરી શકાય છેઃ સંતુલિત હાથ, સિંગલ સ્યુટર્સ, બે સ્યુટર્સ અને થ્રી-સ્યુટર્સ. નીચેનું કોષ્ટક ચોક્કસ હાથ-પ્રકાર સાથે વ્યવહાર કરવાની પ્રાથમિક શક્યતાઓ આપે છે. 39 હાથની પેટર્નનું વૈકલ્પિક જૂથ ક્યાં તો સૌથી લાંબા પોશાક દ્વારા અથવા સૌથી ટૂંકા પોશાક દ્વારા બનાવી શકાય છે. નીચે કોષ્ટકો આપેલ લંબાઈના સૌથી લાંબા અથવા ટૂંકા સૂટ સાથે હાથને વ્યવહાર કરવાની પ્રાથમિક તક આપે છે. સંભવિત હાથ અને સોદાની સંખ્યા 635,013,559,600 () જુદા જુદા હાથ છે જે એક ખેલાડી પકડી શકે છે. વધુમાં, જ્યારે બાકીના 39 કાર્ડ્સ તેમના તમામ સંયોજનો સાથે સમાવવામાં આવે છે ત્યારે ત્યાં 53,644,737,765,488,792,839,237,440,000 (53.6 x 1027) વિવિધ સોદા શક્ય છે () આ સંખ્યાની વિશાળતાને આ પ્રશ્નનો જવાબ આપીને સમજી શકાય છે કે "જો દરેક સોદો માત્ર એક ચોરસ મિલીમીટર પર કબજો કરશે તો તમારે તમામ સંભવિત બ્રિજ સોદાઓને ફેલાવવા માટે કેટલો મોટો વિસ્તારની જરૂર પડશે?". જવાબ છેઃ પૃથ્વીની સપાટીના ક્ષેત્રફળ કરતાં સો કરોડ ગણો વધુ વિસ્તાર. દેખીતી રીતે, 2 અને 3 ની અદલાબદલી સિવાયના સમાન સોદાઓ અલગ પરિણામ આપવાની શક્યતા નથી. નાના કાર્ડ્સની અપ્રસ્તુતતાને સ્પષ્ટ કરવા માટે (જે હંમેશા કેસ નથી), બ્રિજમાં આવા નાના કાર્ડ્સને સામાન્ય રીતે 'x' દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. આમ, આ અર્થમાં "સંભવિત સોદાઓની સંખ્યા" તેના પર નિર્ભર કરે છે કે કેટલા બિન-સન્માન કાર્ડ્સ (2,3,. 9) ને 'અવિભાજ્ય' ગણવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો 'x' નોટેશન દસથી નાના તમામ કાર્ડ્સ પર લાગુ કરવામાં આવે, તો સૂટ વિતરણ A987-K106-Q54-J32 અને A432-K105-Q76-J98 સમાન ગણવામાં આવશે. નીચેનું કોષ્ટક સોદાઓની સંખ્યા દર્શાવે છે જ્યારે નાના કાર્ડ્સની વિવિધ સંખ્યાઓને અવિભાજ્ય ગણવામાં આવે છે. નોંધ લો કે કોષ્ટકમાં છેલ્લી એન્ટ્રી (37,478,624) ડેકના વિવિધ વિતરણોની સંખ્યાને અનુરૂપ છે (સોદાઓની સંખ્યા જ્યારે કાર્ડ્સ ફક્ત તેમના પોશાક દ્વારા અલગ પડે છે). લોઝિંગ-ટ્રિક કાઉન્ટ્સની સંભાવના લોઝિંગ-ટ્રિક કાઉન્ટ એ હાથ મૂલ્યાંકનની પદ્ધતિ તરીકે એચસીપી કાઉન્ટનો વિકલ્પ છે. સંદર્ભો 1954 માં લેખકો દ્વારા બીજી ફ્રેન્ચ આવૃત્તિ વધુ વાંચન. એલેક ટ્રોબ દ્વારા ધ મેથેમેટિકલ થિયરી ઓફ બ્રિજ તરીકે અંગ્રેજીમાં અનુવાદિત અને સંપાદિત; સી. સી. ની સહાય દ્વારા તાઇવાનમાં 1974 માં મુદ્રિત. વેઈ.