Ambient construction
અનુરૂપ ભૂમિતિમાં, આજુબાજુની રચના ચાર્લ્સ ફેફરમેન અને રોબિન ગ્રેહામની રચનાનો ઉલ્લેખ કરે છે, જેના માટે પરિમાણ n ના અનુરૂપ મેનીફોલ્ડને ચોક્કસ પોઇનકેરે મેનીફોલ્ડની સીમા તરીકે અથવા વૈકલ્પિક રીતે ચોક્કસ સ્યુડો-રીમેનિયન મેનીફોલ્ડના આકાશી ગોળા તરીકે (આજુબાજુના) અનુભવાય છે. આજુબાજુની રચના એ અર્થમાં પ્રમાણભૂત છે કે તે માત્ર મેટ્રિકના અનુરૂપ વર્ગનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છેઃ તે અનુરૂપ રીતે અપરિવર્તનશીલ છે. જો કે, બાંધકામ માત્ર એસિમ્પ્ટોટિક રીતે કામ કરે છે, અંદાજના ચોક્કસ ક્રમ સુધી. સામાન્ય રીતે, નિર્ણાયક ક્રમથી આગળ આ વિસ્તરણ ચાલુ રાખવામાં અવરોધ છે. અવરોધ પોતે ટેન્સોરિયલ પાત્રનો હોય છે, અને તેને (કન્ફોર્મલ) અવરોધ ટેન્સર તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. તે, વેલ ટેન્સર સાથે, કન્ફોર્મલ ડિફરન્શિયલ ભૂમિતિના બે આદિમ અચળાંકોમાંથી એક છે. અવરોધ ટેન્સર ઉપરાંત, આજુબાજુના બાંધકામનો ઉપયોગ જી. જે. એમ. એસ. ઓપરેટરો તરીકે ઓળખાતા સુસંગત રીતે અપરિવર્તનશીલ વિભેદક ઓપરેટરોના વર્ગને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે થઈ શકે છે. સંબંધિત બાંધકામ એ ટ્રેક્ટર બંડલ છે. વિહંગાવલોકન આજુબાજુના બાંધકામ માટેનું નમૂના સપાટ ભૂમિતિ એ મિન્કોવ્સ્કી અવકાશમાં ભાવિ નલ શંકુ છે, જેનું મૂળ કાઢી નાખવામાં આવ્યું છે. અનંત પર આકાશી ગોળા એ અનુરૂપ મેનીફોલ્ડ એમ છે, અને શંકુમાંના નલ કિરણો એમ પર એક રેખા બંડલ નક્કી કરે છે. વધુમાં, નલ શંકુ એક મેટ્રિક વહન કરે છે જે શંકુના જનરેટરની દિશામાં અધોગતિ પામે છે. આ સપાટ મોડેલ જગ્યામાં આજુબાજુની રચના પછી પૂછે છેઃ જો કોઈને તેના અધોગામી મેટ્રિક સાથે આવા લાઇન બંડલ આપવામાં આવે, તો નલ કોનથી મેટ્રિકને કેનોનિકલ રીતે કેટલું વિસ્તૃત કરવું શક્ય છે, આમ આજુબાજુની મિન્કોવ્સ્કી જગ્યાને પુનઃપ્રાપ્ત કરી શકાય છે? ઔપચારિક શબ્દોમાં, ડીજનરેટ મેટ્રિક વિસ્તરણ સમસ્યા માટે ડિરીક્લેટ સીમા શરત પૂરી પાડે છે અને, જેમ તે થાય છે તેમ, વિસ્તૃત મેટ્રિક માટે કુદરતી સ્થિતિ રિક્કી સપાટ છે (સામાન્ય અનુરૂપ જોડાણના સામાન્યકરણને કારણે). જ્યારે M અનુરૂપ વક્ર હોય ત્યારે આજુબાજુની રચના આને સામાન્ય બનાવે છે, પ્રથમ ડીજનરેટ મેટ્રિક સાથે કુદરતી નલ લાઇન બંડલ N બનાવીને, અને પછી N × (-1,1) પર સંકળાયેલ ડિરીક્લેટ સમસ્યાનું સમાધાન કરીને. વિગતો આ વિભાગ બાંધકામની ઝાંખી આપે છે, પ્રથમ નલ લાઇન બંડલ અને પછી તેના આસપાસના વિસ્તરણની. નલ લાઇન બંડલ ધારો કે M એક કન્ફોર્મલ મેનીફોલ્ડ છે, અને તે [g] M પર વ્યાખ્યાયિત કન્ફોર્મલ મેટ્રિકને સૂચવે છે. ચાલો π: N → M કન્ફોર્મલ મેટ્રિકના તમામ પ્રતિનિધિઓ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત T * M * T * M ના ટૉટોલોજિકલ સબબંડલને સૂચવે છે. નિશ્ચિત પૃષ્ઠભૂમિ મેટ્રિક g0 ની દ્રષ્ટિએ, N એ મેટ્રિકના તમામ હકારાત્મક ગુણાંક ω2g0 ધરાવે છે. N પર R + ની એક કુદરતી ક્રિયા હોય છે, જે N દ્વારા આપવામાં આવે છે. વધુમાં, N ની કુલ જગ્યા ઓટોટોલોજીકલ ડીજનરેટ મેટ્રિક ધરાવે છે, કારણ કે જો p એ π: N → M ના તંતુનું એક બિંદુ છે જે અનુરૂપ પ્રતિનિધિ gp ને અનુરૂપ છે, તો પછી આ મેટ્રિક ઊભી દિશાઓ સાથે ડીજનરેટ થાય છે. વધુમાં, તે N પર R + ક્રિયા હેઠળ ડિગ્રી 2 નું સજાતીય છેઃ ચાલો X એ સ્કેલિંગ ક્રિયા ઉત્પન્ન કરતું ઊભી વેક્ટર ક્ષેત્ર છે. પછી નીચેના ગુણધર્મો તાત્કાલિક છેઃ h (X,-) = 0 LXh = 2h, જ્યાં LX એ વેક્ટર ક્ષેત્ર X સાથે Lie વ્યુત્પન્ન છે. આજુબાજુની જગ્યા ચાલો N ~ = N × (-1,1), કુદરતી સમાવેશ સાથે i: N → N ~. વિસ્તરણ δω કુદરતી રીતે N ~ સુધી વિસ્તરે છે, અને તેથી વિસ્તરણનું જનરેટર X પણ આવું જ કરે છે. મેટ્રિક સજાતીય છેઃ δω * h ~ = ω2 h ~ મેટ્રિક એ આજુબાજુનું વિસ્તરણ છેઃ i * h ~ = h, જ્યાં i * એ કુદરતી સમાવેશ સાથેનો પુલબેક છે. મેટ્રિક રિક્કી ફ્લેટ છેઃ રિક (એચ ~) = 0. ધારો કે કન્ફોર્મલ મેટ્રિક g અને સ્થાનિક કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ x = (xi) નો એક નિશ્ચિત પ્રતિનિધિ M પર પસંદ કરવામાં આવે છે. આ N પર કોઓર્ડિનેટ્સને (x, t2g (x)) સાથે N ના ફાઇબરમાં એક બિંદુને ઓળખીને પ્રેરિત કરે છે જ્યાં t> 0 એ ફાઇબર કોઓર્ડિનેટ છે. (આ કોઓર્ડિનેટ્સમાં, X = t. છેવટે, જો ρ એ N ~ માં N નું વ્યાખ્યાયિત કાર્ય છે જે વિસ્તરણ હેઠળ 0 ડિગ્રીનું સજાતીય છે, તો પછી (x, t, ρ) એ N ~ ના કોઓર્ડિનેટ્સ છે. વધુમાં, કોઈપણ એક્સ્ટેંશન મેટ્રિક કે જે ડિગ્રી 2 નું સજાતીય હોય તેને આ કોઓર્ડિનેટ્સમાં આ સ્વરૂપમાં લખી શકાય છેઃ જ્યાં gij એ g (x, 0) = g (x) સાથે n2 વિધેયો છે, જે આપેલ અનુરૂપ પ્રતિનિધિ છે. કેટલીક ગણતરીઓ કર્યા પછી એક વ્યક્તિ દર્શાવે છે કે રિક્કી સપાટતા એ નીચેના વિભેદક સમીકરણની સમકક્ષ છે, જ્યાં અવિભાજ્ય ρ ના સંદર્ભમાં વિભેદન છેઃ પછી કોઈ વ્યક્તિ આ સમીકરણને ρ માં પાવર શ્રેણી તરીકે ઔપચારિક રીતે હલ કરી શકે છે જેથી નલ કોનમાંથી આજુબાજુના મેટ્રિકનો એસિમ્પ્ટોટિક વિકાસ મેળવી શકાય. ઉદાહરણ તરીકે, ρ = 0 ને બદલીને અને ઉકેલવાથી gij′ (x, 0) = 2Pij મળે છે જ્યાં P એ સ્કાઉટન ટેન્સર છે. આગળ, ફરીથી તફાવત કરીને અને સમીકરણમાં gij′ (x, 0) ના જાણીતા મૂલ્યને બદલીને, બીજો વ્યુત્પન્ન બેચ ટેન્સરનો ગુણાંક હોવાનું શોધી શકાય છે. અને તેથી આગળ. એ. ડી. એસ./સી. એફ. ટી. પત્રવ્યવહાર હોલોગ્રાફિક સિદ્ધાંત સંદર્ભો સામાન્ય સાપેક્ષતામાં અનૌપચારિક ભૂમિતિ ટેન્સર પણ જુઓ.