Umbilical point
ત્રણ પરિમાણોમાં સપાટીઓની વિભેદક ભૂમિતિમાં, નાભિ અથવા નાભિ બિંદુઓ એ સપાટી પરના બિંદુઓ છે જે સ્થાનિક રીતે ગોળાકાર હોય છે. આવા બિંદુઓ પર બધી દિશાઓમાં સામાન્ય વળાંક સમાન હોય છે, તેથી, બંને મુખ્ય વળાંક સમાન હોય છે, અને દરેક સ્પર્શક વાહક એક મુખ્ય દિશા હોય છે. "નાભિ" નામ લેટિન નાભિ (નાભિ) પરથી આવ્યું છે. અમ્બિલિક બિંદુઓ સામાન્ય રીતે સપાટીના લંબગોળ પ્રદેશમાં અલગ બિંદુઓ તરીકે જોવા મળે છે; એટલે કે, જ્યાં ગૌસીયન વળાંક હકારાત્મક હોય છે. ગોળા એ બિન-શૂન્ય વળાંક ધરાવતી એકમાત્ર સપાટી છે જ્યાં દરેક બિંદુ નાભિ છે. સપાટ નાભિ એ શૂન્ય ગૌસીયન વળાંક ધરાવતી નાભિ છે. મંકી સેડલ એ સપાટ નાભિ સાથેની સપાટીનું ઉદાહરણ છે અને સમતલ પર દરેક બિંદુ સપાટ નાભિ છે. ટોરસમાં કોઈ નાભિ ન હોઈ શકે, પરંતુ યુક્લિડિયન અવકાશમાં સરળતાથી જડિત બિન-શૂન્ય યુલર લાક્ષણિકતાની દરેક બંધ સપાટીમાં ઓછામાં ઓછી એક નાભિ હોય છે. કોન્સ્ટેન્ટિન કારાથિઓડોરીનું એક અપ્રમાણિત અનુમાન જણાવે છે કે યુક્લિડિયન અવકાશમાં દરેક સરળ ટોપોલોજિકલ ગોળામાં ઓછામાં ઓછા બે નાભિ હોય છે. નાભિ બિંદુઓના ત્રણ મુખ્ય પ્રકારો લંબગોળ નાભિ, પેરાબોલિક નાભિ અને હાયપરબોલિક નાભિ છે. લંબગોળ નાભિમાં ત્રણ રિજ રેખાઓ હોય છે જે નાભિમાંથી પસાર થાય છે અને હાયપરબોલિક નાભિમાં માત્ર એક જ હોય છે. પેરાબોલિક નાભિ એ બે પર્વતમાળાઓ સાથેનો એક સંક્રમણકાલીન કેસ છે, જેમાંથી એક એકવચન છે. સંક્રમણકાલીન કેસો માટે અન્ય રૂપરેખાંકનો શક્ય છે. આ કિસ્સાઓ રેને થોમના આપત્તિ સિદ્ધાંતની D4−, D5 અને D4 + પ્રાથમિક આપત્તિઓને અનુરૂપ છે. અમ્બિલિક્સને નાભિ આસપાસ મુખ્ય દિશા વેક્ટર ક્ષેત્રની પેટર્ન દ્વારા પણ વર્ગીકૃત કરી શકાય છે જે સામાન્ય રીતે ત્રણ રૂપરેખાંકનોમાંથી એક બનાવે છેઃ તારો, લીંબુ અને લેમનસ્ટાર (અથવા મોનસ્ટાર). વેક્ટર ક્ષેત્રની અનુક્રમણિકા −1⁄2 (તારો) અથવા 1⁄2 (લીંબુ, મોનસ્ટાર) છે. લંબગોળ અને પેરાબોલિક નાભિમાં હંમેશા તારાની પેટર્ન હોય છે, જ્યારે હાયપરબોલિક નાભિમાં તારો, લીંબુ અથવા મોનસ્ટાર હોઈ શકે છે. આ વર્ગીકરણ સૌપ્રથમ ડાર્બોક્સને કારણે થયું હતું અને નામો હેન્ને પરથી આવ્યા છે. અલગ નાભિ સાથે જીનસ 0 ધરાવતી સપાટીઓ માટે, દા. ત. એક લંબગોળ, મુખ્ય દિશા વેક્ટર ક્ષેત્રની અનુક્રમણિકા પોઇનકેરે-હોપ્ફ પ્રમેય દ્વારા 2 હોવી જોઈએ. સામાન્ય જીનસ 0 સપાટીઓમાં અનુક્રમણિકા 1⁄2 ની ઓછામાં ઓછી ચાર નાભિ હોય છે. પરિભ્રમણના લંબગોળમાં બે બિન-સામાન્ય નાભિ હોય છે, જેમાંથી દરેકમાં અનુક્રમણિકા 1 હોય છે. નાભિના ઘન સ્વરૂપોનું વર્ગીકરણ નાભિનું વર્ગીકરણ વાસ્તવિક ઘન સ્વરૂપોના વર્ગીકરણ સાથે નજીકથી જોડાયેલું છે. ક્યુબિક સ્વરૂપમાં સંખ્યાબંધ મૂળ રેખાઓ એવી હશે કે તમામ વાસ્તવિક માટે ક્યુબિક સ્વરૂપ શૂન્ય હોય. સંખ્યાબંધ શક્યતાઓ છે જેમાં નીચેનાનો સમાવેશ થાય છેઃ ત્રણ અલગ રેખાઓઃ એક લંબગોળ ઘન સ્વરૂપ, પ્રમાણભૂત મોડેલ. ત્રણ રેખાઓ, જેમાંથી બે સંયોગ છેઃ એક પેરાબોલિક ક્યુબિક સ્વરૂપ, પ્રમાણભૂત મોડેલ. એક વાસ્તવિક રેખાઃ એક હાયપરબોલિક ઘન સ્વરૂપ, પ્રમાણભૂત મોડેલ. ત્રણ સંયોગ રેખાઓ, પ્રમાણભૂત મોડેલ. સમાન સ્કેલિંગ હેઠળ આવા ક્યુબિક્સના સમાનતા વર્ગો ત્રિ-પરિમાણીય વાસ્તવિક પ્રોજેક્ટિવ સ્પેસ બનાવે છે અને પેરાબોલિક સ્વરૂપોનો સબસેટ સપાટીને વ્યાખ્યાયિત કરે છે-જેને ક્રિસ્ટોફર ઝીમેન દ્વારા નાભિ બંગડી કહેવાય છે. સંકલન પ્રણાલીના પરિભ્રમણ હેઠળ સમકક્ષતા વર્ગો લેવાથી વધુ એક પરિમાણ દૂર થાય છે અને ઘન સ્વરૂપોને એક જ જટિલ પરિમાણ સાથે જટિલ ઘન સ્વરૂપ દ્વારા રજૂ કરી શકાય છે. પેરાબોલિક સ્વરૂપો ત્યારે થાય છે જ્યારે આંતરિક ડેલ્ટોઇડ, લંબગોળ સ્વરૂપો ડેલ્ટોઇડની અંદર હોય છે અને હાયપરબોલિક સ્વરૂપો બહાર હોય છે. જો અને તે એકતાનું ઘનમૂળ ન હોય તો ઘન સ્વરૂપ એ જમણા ખૂણાવાળું ઘન સ્વરૂપ છે જે નાભિ માટે વિશેષ ભૂમિકા ભજવે છે. જો પછી બે મૂળ રેખાઓ ઓર્થોગોનલ છે. બીજું ઘન સ્વરૂપ, જેકોબિયન વેક્ટર મૂલ્ય કાર્યના જેકોબિયન નિર્ધારકને લઈને રચાય છે. અચળ ગુણાંક સુધી આ ઘન સ્વરૂપ છે. જટિલ સંખ્યાઓનો ઉપયોગ કરીને જેકોબિયન એક પેરાબોલિક ક્યુબિક સ્વરૂપ છે, જ્યારે વર્ગીકરણ આકૃતિમાં બાહ્ય ડેલ્ટોઇડ છે. અમ્બિલિક વર્ગીકરણ મૂળ સ્થાને એક અલગ નાભિ બિંદુ ધરાવતી કોઈપણ સપાટીને મોંગે ફોર્મ પેરામીટરાઇઝેશન તરીકે વ્યક્ત કરી શકાય છે, જ્યાં અનન્ય મુખ્ય વળાંક છે. નાભિનો પ્રકાર ઘન ભાગમાંથી ઘન સ્વરૂપ અને અનુરૂપ જેકોબિયન ઘન સ્વરૂપ દ્વારા વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે. જ્યારે મુખ્ય દિશાઓ નાભિ પર અનન્ય રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવતી નથી, ત્યારે સપાટી પરની પર્વતમાળાને અનુસરતી વખતે મુખ્ય દિશાઓની મર્યાદાઓ મળી શકે છે અને આ ઘન સ્વરૂપની મૂળ-રેખાઓને અનુરૂપ હોય છે. વળાંકની રેખાઓની પેટર્ન જેકોબિયન દ્વારા નક્કી થાય છે. નાભિ બિંદુઓનું વર્ગીકરણ નીચે મુજબ છેઃ આંતરિક ડેલ્ટોઇડની અંદર-લંબગોળ નાભિ આંતરિક વર્તુળ પર-બે રીજ રેખાઓ સ્પર્શક આંતરિક ડેલ્ટોઇડ પર-પેરાબોલિક નાભિ બહારના આંતરિક ડેલ્ટોઇડ પર-હાયપરબોલિક નાભિ અંદરના વર્તુળમાં-તારાની પેટર્ન બાહ્ય વર્તુળ પર-નાભિઓનો જન્મ બાહ્ય વર્તુળ અને બાહ્ય ડેલ્ટોઇડ વચ્ચે-મોનસ્ટાર પેટર્ન બહારના ડેલ્ટોઇડની અંદર-લીંબુ પેટર્ન આંતરિક ડેલ્ટોઇડના કસ્પ્સ-ઘન (પ્રતીકાત્મક) નાભિ કર્ણ અને આડી રેખા પર-અરીસાની સમપ્રમાણતા સાથે સમપ્રમાણતાવાળા નાભિ સપાટીઓના સામાન્ય પરિવારમાં નાભિ સંક્રમણનો જન્મ જોડીમાં બનાવી શકાય છે અથવા નાશ કરી શકાય છે. બંને નાભિ હાયપરબોલિક હશે, એક સ્ટાર પેટર્ન સાથે અને એક મોનસ્ટાર પેટર્ન સાથે. આકૃતિમાં બાહ્ય વર્તુળ, એક સમકોણ ઘન સ્વરૂપ, આ સંક્રમણકાલીન કિસ્સાઓ આપે છે. પ્રતીકાત્મક નાભિ આનો એક ખાસ કેસ છે. ફોકલ સપાટી લંબગોળ નાભિ અને હાયપરબોલિક નાભિમાં સ્પષ્ટ રીતે અલગ ફોકલ સપાટીઓ હોય છે. સપાટી પરની કિનારી એક કિનારી ધારને અનુરૂપ હોય છે તેથી લંબગોળ કેન્દ્રીય સપાટીની દરેક શીટમાં ત્રણ કિનારી ધાર હોય છે જે નાભિના કેન્દ્ર પર એક સાથે આવે છે અને પછી બીજી શીટ પર સ્વિચ કરે છે. હાયપરબોલિક નાભિ માટે એક જ કુસ્પીડલ ધાર હોય છે જે એક શીટથી બીજી શીટમાં બદલાય છે. રીમાનિયન મેનીફોલ્ડ્સમાં ઉચ્ચ પરિમાણમાં વ્યાખ્યા રીમાનિયન સબમેનીફોલ્ડ્સમાં A બિંદુ p નાભિ છે જો, p પર, (વેક્ટર-મૂલ્ય) બીજું મૂળભૂત સ્વરૂપ કોઈ સામાન્ય વેક્ટર ટેન્સર પ્રેરિત મેટ્રિક (પ્રથમ મૂળભૂત સ્વરૂપ) હોય. સમાનરૂપે, બધા વેક્ટર U, V માટે p, II (U, V) = gp (U, V) પર, જ્યાં p પર સરેરાશ વળાંક વેક્ટર છે. આ એવું કહેવા સમાન છે કે સબમેનિફોલ્ડને આસપાસના ("એમ્બિયન્ટ") મેનીફોલ્ડના મેટ્રિકના યોગ્ય અનુરૂપ ફેરફાર દ્વારા સંપૂર્ણપણે જીઓડેસિક બનાવી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, યુક્લિડિયન અવકાશમાં સપાટી નાભિ હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તે ગોળાનો ટુકડો હોય. આ પણ જુઓ નાભિ-એક શારીરિક શબ્દ જેનો અર્થ થાય છે, અથવા નાભિ સંદર્ભો વોલ્યુમ I વોલ્યુમ II વોલ્યુમ III વોલ્યુમ IV તારા, લીંબુ, મોનસ્ટારના ચિત્રો અને વધુ સંદર્ભો સપાટીઓની વિભેદક ભૂમિતિ