Divergent geometric series
ગણિતમાં, સ્વરૂપની અનંત ભૌમિતિક શ્રેણી અલગ હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો | r | ≤1 હોય. અલગ શ્રેણીના સરવાળા માટેની પદ્ધતિઓ કેટલીકવાર ઉપયોગી હોય છે, અને સામાન્ય રીતે અલગ ભૌમિતિક શ્રેણીનું એવા સરવાળા સાથે મૂલ્યાંકન કરે છે જે સંવર્ધિત કેસના સૂત્ર સાથે સંમત થાય છે. આ કોઈપણ સરવાળા પદ્ધતિ માટે સાચું છે જે નિયમિતતા, રેખીયતા અને સ્થિરતાના ગુણધર્મો ધરાવે છે. ઉદાહરણો મુશ્કેલીના વધતા ક્રમમાં સરવાળોઃ 1 − 1 + 1 − 1 + ··, જેનો સામાન્ય ગુણોત્તર −11 − 2 + 4 − 8 + ·· છે, જેનો સામાન્ય ગુણોત્તર −21 + 2 + 4 + 8 + ··· છે, જેનો સામાન્ય ગુણોત્તર 211 + 1 + 1 + ··· છે, જેનો સામાન્ય ગુણોત્તર 1 છે. અભ્યાસ માટે પ્રેરણા તે શોધવું ઉપયોગી છે કે કઈ સારાંશ પદ્ધતિઓ ભૌમિતિક શ્રેણી સૂત્ર ઉત્પન્ન કરે છે જેના માટે સામાન્ય ગુણોત્તર છે. આ માહિતી માટેનો એક ઉપયોગ કહેવાતા બોરેલ-ઓકાડા સિદ્ધાંત છેઃ જો એક નિયમિત સરવાળો પદ્ધતિ જટિલ સમતલના ઉપગણ Sમાં તમામ z માટે 1/(1-z) નો સરવાળો કરે છે, તો S પર અમુક પ્રતિબંધો આપવામાં આવે છે, તો પછી આ પદ્ધતિ f માટે મિટ્ટાગ-લેફલર તારો સાથે S ના આંતરછેદ પર અન્ય કોઈપણ કાર્યનું વિશ્લેષણાત્મક સાતત્ય પણ આપે છે. પ્રદેશ દ્વારા સારાંશ ઓપન યુનિટ ડિસ્ક સામાન્ય સરવાળો ફક્ત સામાન્ય ગુણોત્તર |z | <1 માટે જ સફળ થાય છે. બંધ એકમ ડિસ્ક સેસેરો સરવાળો એબેલ સરવાળો મોટી ડિસ્ક યુલર સરવાળો અર્ધ-સમતલ આ શ્રેણી વાસ્તવિક ભાગ <1 સાથે દરેક ઝેડ માટે બોરેલ સરવાળો છે. આવી કોઈપણ શ્રેણીનો સરવાળો સામાન્યીકૃત યુલર પદ્ધતિ (E, a) દ્વારા યોગ્ય a માટે પણ કરી શકાય છે. છાંયડો ધરાવતો સમતલ કેટલીક ક્ષણ અચળાંક પદ્ધતિઓ બોરેલ સરવાળો ઉપરાંત કાર્ય 1/(1−z) ના સમગ્ર મિટ્ટાગ-લેફલર તારા પરની ભૌમિતિક શ્રેણીનો સરવાળો કરી શકે છે, એટલે કે, કિરણો સિવાયના તમામ z માટે. સર્વત્ર નોંધો સંદર્ભો ભિન્ન શ્રેણી ભૌમિતિક શ્રેણી