Mock modular form
ગણિતમાં, મોક મોડ્યુલર સ્વરૂપ એ હાર્મોનિક નબળા માસ સ્વરૂપનો હોલોમોર્ફિક ભાગ છે, અને મોક થીટા કાર્ય અનિવાર્યપણે વજનનું મોક મોડ્યુલર સ્વરૂપ છે. મોક થીટા કાર્યોના પ્રથમ ઉદાહરણો શ્રીનિવાસ રામાનુજન દ્વારા જી. એચ. હાર્ડીને લખેલા તેમના છેલ્લા 1920 ના પત્રમાં અને તેમની ખોવાયેલી નોટબુકમાં વર્ણવવામાં આવ્યા હતા. સેન્ડર ઝ્વેગર્સે શોધ્યું કે તેમાં અમુક બિન-હોલોમોર્ફિક કાર્યો ઉમેરવાથી તે હાર્મોનિક નબળા માસ સ્વરૂપોમાં ફેરવાય છે. ઇતિહાસ રામાનુજનના 12 જાન્યુઆરી 1920ના હાર્ડીને લખેલા પત્રમાં કાર્યોના 17 ઉદાહરણોની યાદી આપવામાં આવી હતી જેને તેઓ મોક થીટા કાર્ય કહે છે, અને તેમની ખોવાયેલી નોટબુકમાં ઘણા વધુ ઉદાહરણો હતા. (રામાનુજને જેને આજે મોડ્યુલર સ્વરૂપ કહેવામાં આવે છે તેના માટે "થીટા ફંક્શન" શબ્દનો ઉપયોગ કર્યો હતો.) રામાનુજને ધ્યાન દોર્યું હતું કે તેઓ કસ્પ્સ પર એસિમ્પ્ટોટિક વિસ્તરણ ધરાવે છે, જે વજનના મોડ્યુલર સ્વરૂપોની જેમ જ હોય છે, સંભવતઃ કસ્પ્સ પર ધ્રુવો સાથે, પરંતુ "સામાન્ય" થીટા વિધેયોની દ્રષ્ટિએ વ્યક્ત કરી શકાતા નથી. તેમણે સમાન ગુણધર્મો ધરાવતા વિધેયોને "મોક થીટા વિધેયો" કહ્યા હતા. ઝ્વેગર્સે પાછળથી નબળા માસ સ્વરૂપો સાથે મોક થીટા કાર્યનું જોડાણ શોધ્યું. રામાનુજને તેમના નકલી થીટા કાર્યો સાથે એક ક્રમ જોડ્યો હતો, જે સ્પષ્ટ રીતે વ્યાખ્યાયિત ન હતો. ઝ્વેગર્સના કાર્ય પહેલાં, જાણીતા મોક થીટા કાર્યોના ક્રમમાં 3,5,6,7,8,10 નો સમાવેશ થતો હતો. રામાનુજનની ક્રમની કલ્પના પાછળથી વજનના હાર્મોનિક માસ સ્વરૂપોના નેબેન્ટીપસ પાત્રના વાહક સાથે સુસંગત હોવાનું બહાર આવ્યું જે રામાનુજનના મોક થીટા કાર્યોને તેમના હોલોમોર્ફિક અંદાજો તરીકે સ્વીકારે છે. પછીના કેટલાક દાયકાઓમાં, રામાનુજનના નકલી થીટા કાર્યોનો અભ્યાસ વોટસન, એન્ડ્રુઝ, સેલબર્ગ, હિકર્સન, ચોઈ, મેકિન્ટોશ અને અન્ય લોકો દ્વારા કરવામાં આવ્યો હતો, જેમણે તેમના વિશે રામાનુજનના નિવેદનોને સાબિત કર્યા હતા અને ઘણા વધુ ઉદાહરણો અને ઓળખ મેળવી હતી. (મોટાભાગની "નવી" ઓળખ અને ઉદાહરણો રામાનુજન પહેલેથી જ જાણતા હતા અને તેમની ખોવાયેલી નોટબુકમાં ફરી દેખાયા હતા.) 1936માં, વોટસને શોધી કાઢ્યું હતું કે મોડ્યુલર જૂથના તત્વોની ક્રિયા હેઠળ, ક્રમ 3 મોક થીટા કાર્યો લગભગ વજનના મોડ્યુલર સ્વરૂપોની જેમ પરિવર્તિત થાય છે (q ની યોગ્ય શક્તિઓ દ્વારા ગુણાકાર), સિવાય કે કાર્યાત્મક સમીકરણોમાં "ભૂલ શરતો" હોય છે, જે સામાન્ય રીતે સ્પષ્ટ સંકલન તરીકે આપવામાં આવે છે. જો કે, ઘણા વર્ષો સુધી મોક થીટા કાર્યની કોઈ સારી વ્યાખ્યા નહોતી. આ 2001 માં બદલાયું જ્યારે ઝ્વેગર્સે બિન-હોલોમોર્ફિક મોડ્યુલર સ્વરૂપો, લેર્ચ સમ અને અનિશ્ચિત થીટા શ્રેણી સાથેના સંબંધની શોધ કરી. ઝ્વેગર્સે વોટસન અને એન્ડ્રુઝના અગાઉના કાર્યનો ઉપયોગ કરીને દર્શાવ્યું હતું કે, 3,5 અને 7 ક્રમના મોક થીટા કાર્યોને વજનના નબળા માસ સ્વરૂપના સરવાળા તરીકે લખી શકાય છે અને તે કાર્ય કે જે ક્યુસ્પેઝ પર સમાપ્ત થતા ભૂગણિત સાથે બંધાયેલું છે. નબળા માસ સ્વરૂપમાં હાયપરબોલિક લેપલેસિયન (વજનના હોલોમોર્ફિક મોડ્યુલર સ્વરૂપો જેટલું જ મૂલ્ય) હેઠળ આઈગન વેલ્યુ હોય છે; જો કે, તે ક્યુસ્પેસની નજીક ઝડપથી વધે છે, તેથી તે માસ તરંગ સ્વરૂપો માટે સામાન્ય વૃદ્ધિની સ્થિતિને સંતોષતું નથી. ઝ્વેગર્સે આ પરિણામને ત્રણ અલગ અલગ રીતે સાબિત કર્યું, જેમાં મોક થીટા વિધેયોને પરિમાણ 2ના અનિશ્ચિત જાળીઓના હેકના થીટા વિધેયો અને એપેલ-લેર્ચ રાશિઓ અને મેરોમોર્ફિક જેકોબી સ્વરૂપો સાથે સંબંધિત કર્યા. ઝ્વેગર્સનું મૂળભૂત પરિણામ દર્શાવે છે કે મોક થીટા કાર્યો એ વજનના વાસ્તવિક વિશ્લેષણાત્મક મોડ્યુલર સ્વરૂપોના "હોલોમોર્ફિક ભાગો" છે. આ થીટા વિધેયોની મજાક ઉડાવવા માટે મોડ્યુલર સ્વરૂપો વિશે ઘણા પરિણામોને વિસ્તૃત કરવાની મંજૂરી આપે છે. ખાસ કરીને, મોડ્યુલર સ્વરૂપોની જેમ, મોક થીટા વિધેયો બધા ચોક્કસ સ્પષ્ટ મર્યાદિત-પરિમાણીય જગ્યાઓમાં આવેલા હોય છે, જે તેમની વચ્ચેની ઘણી ઓળખના લાંબા અને સખત પુરાવાઓને નિયમિત રેખીય બીજગણિતમાં ઘટાડે છે. પ્રથમ વખત મોક થીટા કાર્યોના અનંત સંખ્યામાં ઉદાહરણો બનાવવાનું શક્ય બન્યું; આ કાર્ય પહેલાં માત્ર 50 જેટલા ઉદાહરણો જાણીતા હતા (જેમાંથી મોટાભાગના પ્રથમ વખત રામાનુજન દ્વારા શોધાયા હતા). ઝ્વેગર્સના વિચારોના વધુ ઉપયોગો તરીકે, કેથરીન બ્રિંગમેન અને કેન ઓનોએ દર્શાવ્યું હતું કે રોજર્સ-ફાઈન મૂળભૂત હાયપરજિયોમેટ્રિક શ્રેણીમાંથી ઉદ્ભવતા ચોક્કસ ક્યૂ-શ્રેણીઓ વજનના હાર્મોનિક નબળા માસ સ્વરૂપોના હોલોમોર્ફિક ભાગો સાથે સંબંધિત છે અને દર્શાવ્યું હતું કે જ્યોર્જ એન્ડ્રુઝ અને લીલા ડ્રેગનેટ દ્વારા અભ્યાસ કરાયેલ ક્રમ 3 મોક થીટા ફંક્શન એફ (ક્યૂ) ના ગુણાંક માટે એસિમ્પ્ટોટિક શ્રેણી ગુણાંકમાં એકરૂપ થાય છે. ખાસ કરીને મોક થીટા વિધેયોમાં મોડ્યુલર જૂથના કસ્પ્સ પર એસિમ્પ્ટોટિક વિસ્તરણ હોય છે, જે ઉપલા અર્ધ-સમતલ પર કાર્ય કરે છે, જે કસ્પ્સ પર ધ્રુવો સાથે વજનના મોડ્યુલર સ્વરૂપો જેવા હોય છે. વ્યાખ્યા મોક મોડ્યુલર સ્વરૂપને હાર્મોનિક નબળા માસ સ્વરૂપના "હોલોમોર્ફિક ભાગ" તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવશે. સામાન્ય રીતે 2k ઇન્ટિગ્રલ સાથે વજન k ને ઠીક કરો. SL2 (Z) ના પેટા જૂથને (અથવા જો k અર્ધ-સંકલિત હોય તો મેટાપ્લેક્ટિક જૂથનું) અને જાતનું અક્ષર ρ ઠીક કરો. આ અક્ષર અને આ જૂથ માટે એક મોડ્યુલર સ્વરૂપ f, વજન k નું એક નબળું માસ સ્વરૂપ દ્વારા  તાઇના તત્વો હેઠળ રૂપાંતરિત થાય છે, જે વજન k ના મોડ્યુલર સ્વરૂપની જેમ પરિવર્તિત થાય છે અને વજન k લાપ્લેસીયન ઓપરેટરનું આઈગન ફંક્શન છે, અને જો તેનું આઈગન વેલ્યુ હોય તો તેને હાર્મોનિક કહેવામાં આવે છે. આ હોલોમોર્ફિક વજન k મોડ્યુલર સ્વરૂપોનું આઈગન વેલ્યુ છે, તેથી આ બધા હાર્મોનિક નબળા માસ સ્વરૂપોના ઉદાહરણો છે. (માસ સ્વરૂપ એક નબળું માસ સ્વરૂપ છે જે કસ્પ્સ પર ઝડપથી ઘટે છે.) તેથી હાર્મોનિક નબળા માસ સ્વરૂપને વિભેદક સંચાલક દ્વારા નાબૂદ કરવામાં આવે છે જો F કોઈ હાર્મોનિક નબળું માસ સ્વરૂપ હોય તો તેના દ્વારા આપવામાં આવેલ કાર્ય g હોલોમોર્ફિક છે અને વજન k ના મોડ્યુલર સ્વરૂપની જેમ પરિવર્તિત થાય છે, જો કે તે કસ્પ્સ પર હોલોમોર્ફિક ન પણ હોઈ શકે. જો આપણે સમાન છબી g સાથે અન્ય કોઈ વિધેય g * શોધી શકીએ, તો F − g * હોલોમોર્ફિક હશે. આવા કાર્ય સંકલન દ્વારા વિભેદક ઓપરેટરને ઊંધું કરીને આપવામાં આવે છે; ઉદાહરણ તરીકે આપણે વ્યાખ્યાયિત કરી શકીએ છીએ કે અનિવાર્યપણે અપૂર્ણ ગામા કાર્ય ક્યાં છે. જ્યારે પણ g પાસે cusp i ≤ પર શૂન્ય હોય ત્યારે ઇન્ટિગ્રલ કન્વર્જ થાય છે, અને અપૂર્ણ ગામા ફંક્શનને વિશ્લેષણાત્મક સાતત્ય દ્વારા વિસ્તૃત કરી શકાય છે, તેથી આ સૂત્રનો ઉપયોગ F ના હોલોમોર્ફિક ભાગ g * ને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે ત્યારે પણ થઈ શકે છે જ્યારે g એ i ≤ પર મેરોમોર્ફિક હોય, જોકે જો k એ 1 હોય અથવા ઇન્ટિગ્રલ ન હોય અથવા જો n = 0 હોય તો આની થોડી કાળજી લેવાની જરૂર છે. વિભેદક ઓપરેટરનો ઇન્વર્સ અનન્ય નથી કારણ કે આપણે તેની છબીને અસર કર્યા વિના g * માં કોઈપણ હોમોમોર્ફિક ફંક્શન ઉમેરી શકીએ છીએ, અને પરિણામે ફંક્શન g * એ જૂથ હેઠળ અપરિવર્તનશીલ હોવું જરૂરી નથી. કાર્ય h = F − g * ને F નો હોલોમોર્ફિક ભાગ કહેવામાં આવે છે. એક મોક મોડ્યુલર સ્વરૂપને કેટલાક હાર્મોનિક નબળા માસ સ્વરૂપ F ના હોલોમોર્ફિક ભાગ h તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. મોક મોડ્યુલર સ્વરૂપ એચ હોલોમોર્ફિક છે પરંતુ તદ્દન મોડ્યુલર નથી, જ્યારે એચ + જી * મોડ્યુલર છે પરંતુ તદ્દન હોલોમોર્ફિક નથી. વજન k ના મોક મોડ્યુલર સ્વરૂપોની જગ્યામાં સબસ્પેસ તરીકે વજન k ના લગભગ મોડ્યુલર સ્વરૂપો ("મોડ્યુલર સ્વરૂપો કે જે કસ્પ્સ પર મેરોમોર્ફિક હોઈ શકે છે") ની જગ્યા હોય છે. ભાગાકાર 2 − k વજનના હોલોમોર્ફિક મોડ્યુલર સ્વરૂપોની જગ્યા માટે (એન્ટિલિનિયરલી) આઇસોમોર્ફિક છે. મોક મોડ્યુલર સ્વરૂપ h ને અનુરૂપ વજન-(2 − k) મોડ્યુલર સ્વરૂપ g ને તેની છાયા કહેવામાં આવે છે. વિવિધ મોક થીટા કાર્યોમાં સમાન પડછાયો હોય તે એકદમ સામાન્ય છે. ઉદાહરણ તરીકે, રામાનુજન દ્વારા મળેલા ક્રમ 5 ના 10 મોક થીટા વિધેયો 5 ના બે જૂથોમાં આવે છે, જ્યાં દરેક જૂથના તમામ વિધેયો સમાન છાયા ધરાવે છે (અચળાંક દ્વારા ગુણાકાર સુધી). ડોન ઝાગિયર મોક થીટા કાર્યને q = e2i ગુણ્યા વજનના મોક મોડ્યુલર સ્વરૂપની તર્કસંગત શક્તિ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરે છે, જેની છાયા હકારાત્મક તર્કસંગત κ અને વિષમ સામયિક કાર્ય ε માટે સ્વરૂપની થીટા શ્રેણી છે. (આવી કોઈપણ થીટા શ્રેણી વજનનું મોડ્યુલર સ્વરૂપ છે). q ની તર્કસંગત શક્તિ એક ઐતિહાસિક અકસ્માત છે. મોટાભાગના નકલી મોડ્યુલર સ્વરૂપો અને નબળા માસ સ્વરૂપો કસ્પ્સમાં ઝડપી વૃદ્ધિ ધરાવે છે. તે શરત લાદવી સામાન્ય છે કે તેઓ કસ્પ્સ પર સૌથી વધુ ઝડપથી વૃદ્ધિ પામે છે (જે મોક મોડ્યુલર સ્વરૂપો માટે અર્થ છે કે તેઓ કસ્પ્સ પર "મેરોમોર્ફિક" છે). મોક મોડ્યુલર સ્વરૂપોની જગ્યા (આપેલ વજન અને જૂથની) જેની વૃદ્ધિ ક્યુસ્પેઝ પર અમુક નિશ્ચિત ઘાતાંકીય કાર્ય દ્વારા બંધાયેલી હોય તે મર્યાદિત-પરિમાણીય હોય છે. એપેલ-લેર્ચ સમ, લેમ્બર્ટ શ્રેણીનું સામાન્યીકરણ, સૌપ્રથમ પોલ એમિલ એપેલ અને મેથિયાસ લેર્ચ દ્વારા અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો હતો. વોટસને ક્રમ 3 મોક થીટા વિધેયોને એપેલ-લેર્ચ રકમની દ્રષ્ટિએ વ્યક્ત કરીને અભ્યાસ કર્યો હતો અને ઝ્વેગર્સે તેનો ઉપયોગ એ બતાવવા માટે કર્યો હતો કે મોક થીટા વિધેયો અનિવાર્યપણે મોક મોડ્યુલર સ્વરૂપો છે. એપેલ-લેર્ચ શ્રેણી છે જ્યાં અને સંશોધિત શ્રેણી જ્યાં અને y = IM () અને નીચેના પરિવર્તન ગુણધર્મોને સંતોષે છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, સંશોધિત એપેલ-લેર્ચ શ્રેણી આના સંદર્ભમાં મોડ્યુલર સ્વરૂપની જેમ પરિવર્તિત થાય છે. મોક થીટા વિધેયોને એપેલ-લેર્ચ શ્રેણીની દ્રષ્ટિએ વ્યક્ત કરી શકાય છે, આનો અર્થ એ છે કે જો તેમની પાસે ચોક્કસ બિન-વિશ્લેષણાત્મક શ્રેણી ઉમેરવામાં આવે તો મોક થીટા વિધેયો મોડ્યુલર સ્વરૂપોની જેમ પરિવર્તિત થાય છે. અનિશ્ચિત થીટા શ્રેણી જ્યોર્જ એન્ડ્રુઝે દર્શાવ્યું હતું કે રામાનુજનના પાંચમા ક્રમના કેટલાક મોક થીટા વિધેયો ગુણોત્તરની બરાબર છે જ્યાં θ () એ વજનનું મોડ્યુલર સ્વરૂપ છે અને θ () એ અનિશ્ચિત દ્વિસંગી દ્વિઘાત સ્વરૂપનું થીટા વિધેય છે, અને ડીન હિકરસને સાતમા ક્રમના મોક થીટા વિધેયો માટે સમાન પરિણામો સાબિત કર્યા હતા. ઝ્વેગર્સે વાસ્તવિક વિશ્લેષણાત્મક મોડ્યુલર સ્વરૂપો બનાવવા માટે અનિશ્ચિત થીટા વિધેયોને કેવી રીતે પૂર્ણ કરવા તે દર્શાવ્યું, અને આનો ઉપયોગ મોક થીટા વિધેયો અને નબળા માસ તરંગ સ્વરૂપો વચ્ચેના સંબંધનો બીજો પુરાવો આપવા માટે કર્યો. મેરોમૉર્ફિક જેકોબી સ્વરૂપો જ્યોર્જ એન્ડ્રુઝે અવલોકન કર્યું હતું કે રામાનુજનના પાંચમા ક્રમના કેટલાક મોક થીટા કાર્યોને જેકોબીના થીટા કાર્યોના અવતરણની દ્રષ્ટિએ વ્યક્ત કરી શકાય છે. ઝ્વેગર્સે આ વિચારનો ઉપયોગ મેરોમૉર્ફિક જેકોબી સ્વરૂપોના ફોરિયર ગુણાંક તરીકે મોક થીટા કાર્યોને વ્યક્ત કરવા માટે કર્યો હતો. રૂથ લોરેન્સ અને ડોન ઝાગિયરની એપ્લિકેશનો 3-મેનિફોલ્ડ્સના ક્વોન્ટમ અપરિવર્તનશીલ માટે મોક થીટા કાર્યોને સંબંધિત કરે છે. એ. એમ. સેમિખાતોવ, એ. તાઓરમિના અને આઈ. યુ ટીપુનિને મોક થીટા કાર્યોને અનંત-પરિમાણીય લાઈ સુપરઅલજેબ્રા અને દ્વિ-પરિમાણીય અનુરૂપ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંત સાથે સંબંધિત કર્યા. જે. ટ્રુસ્ટે દર્શાવ્યું હતું કે મોક મોડ્યુલર સ્વરૂપોની મોડ્યુલર પૂર્ણતા સતત વર્ણપટ સાથે અનુરૂપ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંતોની લંબગોળ જાતિ તરીકે ઉદ્ભવે છે. મોક થીટા કાર્યો અંબ્રલ મૂનશાઇનના સિદ્ધાંતમાં દેખાય છે. આતિશ દાભોલકર, સમીર મૂર્તિ અને ડોન ઝાગિયરે દર્શાવ્યું હતું કે નકલી મોડ્યુલર સ્વરૂપો એન = 4 સ્ટ્રિંગ સિદ્ધાંતોમાં ક્વોન્ટમ બ્લેક હોલ્સના અધોગતિ સાથે સંબંધિત છે. ઉદાહરણો વજન k નું કોઈપણ મોડ્યુલર સ્વરૂપ (સંભવતઃ માત્ર cusps પર મેરોમોર્ફિક) એ શેડો 0 સાથે વજન k નું મોક મોડ્યુલર સ્વરૂપ છે. વજન 2 અને સ્તર 1 ની ક્વાસીમોડ્યુલર આઈઝેનસ્ટીન શ્રેણી એ વજન 2 નું મોક મોડ્યુલર સ્વરૂપ છે, જેમાં છાયા અચળાંક છે. આનો અર્થ એ છે કે તે વજન 2 (જ્યાં = x + iy) ના મોડ્યુલર સ્વરૂપની જેમ પરિવર્તિત થાય છે. ડોન ઝાગિયર દ્વારા ફોરિયર ગુણાંક સાથે અભ્યાસ કરાયેલ કાર્ય કે જે કાલ્પનિક દ્વિઘાત ક્ષેત્રોની હર્વિટ્ઝ વર્ગ સંખ્યાઓ H (N) છે તે વજન, સ્તર 4 અને છાયા σqn2 નું મોક મોડ્યુલર સ્વરૂપ છે. અનુરૂપ નબળું માસ તરંગ સ્વરૂપ છે જ્યાં અને y = IM (), q = e2i. મોક થીટા વિધેયો વજનના મોક મોડ્યુલર સ્વરૂપો છે, જેની છાયા એ યુનરી થીટા વિધેય છે, જેને q ની તર્કસંગત શક્તિ (ઐતિહાસિક કારણોસર) દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે. ઝ્વેગર્સના કાર્ય તેમને બનાવવા માટે એક સામાન્ય પદ્ધતિ તરફ દોરી ગયા તે પહેલાં, મોટાભાગના ઉદાહરણો મૂળભૂત હાયપરજિયોમેટ્રિક કાર્યો તરીકે આપવામાં આવ્યા હતા, પરંતુ આ મોટે ભાગે એક ઐતિહાસિક અકસ્માત છે, અને મોટાભાગના મોક થીટા કાર્યોમાં આવા કાર્યોની દ્રષ્ટિએ કોઈ જાણીતી સરળ અભિવ્યક્તિ નથી. "તુચ્છ" મોક થીટા વિધેયો વજનના (હોલોમોર્ફિક) મોડ્યુલર સ્વરૂપો છે, જેને સેરે અને સ્ટાર્ક દ્વારા વર્ગીકૃત કરવામાં આવ્યા હતા, જેમણે દર્શાવ્યું હતું કે તે બધાને 1-પરિમાણીય જાળીઓના થીટા વિધેયોની દ્રષ્ટિએ લખી શકાય છે. નીચેના ઉદાહરણો q-પોચમેર પ્રતીકો (a; q) n નો ઉપયોગ કરે છે જેને આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છેઃ ક્રમ 2 કેટલાક ક્રમ 2 મોક થીટા કાર્યોનો અભ્યાસ મેકિન્ટોશ દ્વારા કરવામાં આવ્યો હતો. રામાનુજનને તેમની ખોવાયેલી નોટબુકમાં આ કાર્ય મળ્યું હતું. આ ઓર્ડર 3 દ્વારા ઓર્ડર-8 કાર્યો પરના વિભાગમાં સૂચિબદ્ધ કાર્યો સાથે સંબંધિત છે, રામાનુજને હાર્ડીને લખેલા પત્રમાં ચાર ઓર્ડર-3 મોક થીટા કાર્યોનો ઉલ્લેખ કર્યો છે, અને તેમની ખોવાયેલી નોટબુકમાં વધુ ત્રણનો ઉલ્લેખ કર્યો છે, જેને જી. એન. વોટસન દ્વારા ફરીથી શોધવામાં આવ્યા હતા. બાદમાં રામાનુજન દ્વારા જણાવેલા તેમની વચ્ચેના સંબંધોને સાબિત કર્યા અને તેમને એપેલ-લેર્ચ રકમ તરીકે વ્યક્ત કરીને મોડ્યુલર જૂથના તત્વો હેઠળ તેમના પરિવર્તન પણ શોધી કાઢ્યા. ડ્રેગનેટ તેમના ગુણાંકના એસિમ્પ્ટોટિક વિસ્તરણનું વર્ણન કરે છે. ઝ્વેગર્સે તેમને હાર્મોનિક નબળા માસ સ્વરૂપો સાથે સંબંધિત કર્યા. નાથન ફાઇનનો મોનોગ્રાફ પણ જુઓ. રામાનુજન દ્વારા આપવામાં આવેલ સાત ક્રમ-3 મોક થીટા કાર્યો છે. . . . . . . આમાંના પ્રથમ ચાર સમાન પડછાયા (અચળાંક સુધી) સાથે જૂથ બનાવે છે, અને તે જ રીતે છેલ્લા ત્રણ પણ કરે છે. વધુ ચોક્કસપણે, કાર્યો નીચેના સંબંધોને સંતોષે છે (રામાનુજન દ્વારા શોધાયેલ અને વોટસન દ્વારા સાબિત): ઓર્ડર 5 રામાનુજને હાર્ડીને લખેલા તેમના 1920ના પત્રમાં ઓર્ડર 5ના દસ મોક થીટા કાર્યો લખ્યા હતા, અને તેમની વચ્ચેના કેટલાક સંબંધો દર્શાવ્યા હતા જે વોટસન દ્વારા સાબિત થયા હતા. તેમની ખોવાયેલી નોટબુકમાં તેમણે આ કાર્યોને લગતી કેટલીક વધુ ઓળખ દર્શાવી હતી, જે હિકર્સન દ્વારા સાબિત કરવામાં આવેલી નકલી થીટા ધારણાઓની સમકક્ષ હતી. એન્ડ્રુઝને વજનના મોડ્યુલર સ્વરૂપો દ્વારા અનિશ્ચિત થીટા શ્રેણીના ભાગાકાર તરીકે આમાંના ઘણા કાર્યોની રજૂઆત મળી. ઓર્ડર 6 રામાનુજને તેમની ખોવાયેલી નોટબુકમાં ઓર્ડર 6 ના સાત મોક થીટા વિધેયો લખ્યા હતા અને તેમની વચ્ચે 11 ઓળખ દર્શાવી હતી, જે એન્ડ્રુઝ અને હિકર્સન દ્વારા સાબિત કરવામાં આવી હતી. રામાનુજનની બે ઓળખ વિવિધ દલીલો પર φ અને si ને સંબંધિત કરે છે, તેમાંથી ચાર એપેલ-લેર્ચ શ્રેણીની દ્રષ્ટિએ φ અને si વ્યક્ત કરે છે, અને છેલ્લી પાંચ ઓળખ φ અને si ની દ્રષ્ટિએ બાકીના પાંચ છઠ્ઠા ક્રમના મોક થીટા કાર્યોને વ્યક્ત કરે છે. બર્ન્ડ્ટ અને ચાને વધુ બે છઠ્ઠા ક્રમના કાર્યોની શોધ કરી. ક્રમ 6 મોક થીટા કાર્યો છેઃ ક્રમ 7 રામાનુજને હાર્ડીને લખેલા તેમના 1920ના પત્રમાં ક્રમ 7ના ત્રણ મોક થીટા કાર્યો આપ્યા હતા. સેલબર્ગ દ્વારા તેમનો અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો હતો, જેમણે તેમના ગુણાંક માટે એસિમ્પ્ટોટિક વિસ્તરણ શોધી કાઢ્યું હતું, અને એન્ડ્રુઝ દ્વારા. હિકર્સનને વજનના મોડ્યુલર સ્વરૂપો દ્વારા અનિશ્ચિત થીટા શ્રેણીના ભાગ તરીકે આમાંના ઘણા કાર્યોની રજૂઆત મળી. ઝ્વેગર્સે તેમના મોડ્યુલર પરિવર્તન ગુણધર્મોનું વર્ણન કર્યું. આ ત્રણ મોક થીટા વિધેયો અલગ પડછાયાઓ ધરાવે છે, તેથી રામાનુજનના ક્રમ-3 અને ક્રમ-5 વિધેયોથી વિપરીત, તેમની અને સામાન્ય મોડ્યુલર સ્વરૂપો વચ્ચે કોઈ રેખીય સંબંધો નથી. અનુરૂપ નબળા માસ સ્વરૂપો એ છે કે જ્યાં અને તે વધુ કે ઓછા પ્રમાણમાં પૂરક ભૂલ કાર્ય છે. મેટાપ્લેક્ટિક જૂથ હેઠળ, આ ત્રણ કાર્યો મેટાપ્લેક્ટિક જૂથની ચોક્કસ 3-પરિમાણીય રજૂઆત અનુસાર નીચે પ્રમાણે પરિવર્તિત થાય છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, તેઓ વજનના સ્તર 1 વેક્ટર-મૂલ્યના હાર્મોનિક નબળા માસ સ્વરૂપના ઘટકો છે. ઓર્ડર 8 ગોર્ડન અને મેકિન્ટોશને ઓર્ડર 8ના આઠ મોક થીટા ફંક્શન્સ મળ્યા. તેઓએ તેમને સંડોવતા પાંચ રેખીય સંબંધો શોધી કાઢ્યા, અને ચાર કાર્યોને એપેલ-લેર્ચ સરવાળા તરીકે વ્યક્ત કર્યા, અને મોડ્યુલર જૂથ હેઠળ તેમના પરિવર્તનોનું વર્ણન કર્યું. બે કાર્યો V1 અને U0 અગાઉ રામાનુજન દ્વારા તેમની ખોવાયેલી નોટબુકમાં મળી આવ્યા હતા. ઓર્ડર 10 રામાનુજને તેમની ખોવાયેલી નોટબુકમાં ચાર ઓર્ડર-10 મોક થીટા કાર્યોની યાદી આપી હતી અને તેમની વચ્ચેના કેટલાક સંબંધો દર્શાવ્યા હતા, જે ચોઈ દ્વારા સાબિત થયા હતા. નોંધો સંદર્ભો તેમની એકત્રિત કૃતિઓના પ્રથમ ખંડમાં પુનઃમુદ્રિત. વધુ વાંચન બાહ્ય કડીઓ આંતરરાષ્ટ્રીય પરિષદઃ મોક થીટા કાર્યો અને એપ્લિકેશન્સ 2009 જ્યોર્જ એન્ડ્રુઝ દ્વારા મોક થીટા કાર્યો પરના કાગળો કેથરીન બ્રિંગમેન દ્વારા મોક થીટા કાર્યો પરના કાગળો કેન ઓનો દ્વારા મોક થીટા કાર્યો પરના કાગળો સેન્ડર ઝ્વેગર્સ દ્વારા મોક થીટા કાર્યો પરના કાગળો મોડ્યુલર ફોર્મ્સ ક્યૂ-એનાલોગ શ્રીનિવાસ રામાનુજન