Zsigmondy's theorem
સંખ્યા સિદ્ધાંતમાં, કાર્લ ઝિગ્મોંડીના નામ પરથી નામ આપવામાં આવેલ ઝિગ્મોંડીનો પ્રમેય જણાવે છે કે જો સહમૌલિક પૂર્ણાંકો હોય, તો કોઈપણ પૂર્ણાંક માટે, એક મુખ્ય સંખ્યા p (જેને પ્રિમિટિવ પ્રાઇમ ડિવાઇઝર કહેવાય છે) હોય છે જે નીચે આપેલા અપવાદો સાથે કોઈપણ હકારાત્મક પૂર્ણાંક માટે વિભાજીત થાય છે અને વિભાજીત થતું નથીઃ,; પછી જેમાં કોઈ મુખ્ય વિભાજક નથી, બેની શક્તિ છે; પછી કોઈ પણ વિષમ મુખ્ય પરિબળો તેમાં સમાવિષ્ટ હોવા જોઈએ, જે પણ સમ છે,; પછી આ બેંગના પ્રમેયને સામાન્ય બનાવે છે, જે જણાવે છે કે જો અને 6 ની બરાબર ન હોય, તો તેમાં એક મુખ્ય વિભાજક હોય છે જે કોઈની સાથે વિભાજીત થતો નથી. તેવી જ રીતે, અપવાદ સાથે ઓછામાં ઓછો એક પ્રિમિટિવ પ્રાઇમ ડિવાઇઝર હોય છે. ઝિગ્મોન્ડીનો પ્રમેય ઘણીવાર ઉપયોગી છે, ખાસ કરીને જૂથ સિદ્ધાંતમાં, જ્યાં તેનો ઉપયોગ એ સાબિત કરવા માટે થાય છે કે વિવિધ જૂથોના અલગ ક્રમ હોય છે સિવાય કે જ્યારે તેઓ સમાન હોવાનું જાણીતું હોય. આ પ્રમેયની શોધ 1894 થી 1925 સુધી વિયેનામાં કામ કરતા ઝિગમોન્ડી દ્વારા કરવામાં આવી હતી. સામાન્યીકરણ ચાલો બિન-શૂન્ય પૂર્ણાંકોનો ક્રમ બનીએ. ક્રમ સાથે સંકળાયેલ Zsigmondy સમૂહ એ સમૂહ છે એટલે કે, સૂચકાંકોનો સમૂહ કે જેથી દરેક મુખ્ય વિભાજન પણ કેટલાક માટે કેટલાકને વિભાજિત કરે છે. આમ ઝ્સિગ્મોન્ડીનો પ્રમેય સૂચવે છે કે, અને કાર્માઇકલનો પ્રમેય કહે છે કે ફિબોનાકી ક્રમનો ઝ્સિગ્મોન્ડી સમૂહ છે, અને પેલ ક્રમનો સમૂહ છે. 2001માં બિલુ, હનરોટ અને વૂટિયરે સાબિત કર્યું કે સામાન્ય રીતે, જો લુકાસ ક્રમ અથવા લેહમેર ક્રમ હોય, તો (જુઓ, આવા માત્ર 13 છે, એટલે કે 1,2,3,4,5,6,7,8,10,12,13,18,30). લુકાસ અને લેહમર સિક્વન્સ એ વિભાજ્યતા સિક્વન્સના ઉદાહરણો છે. તે પણ જાણીતું છે કે જો લંબગોળ વિભાજ્યતા ક્રમ હોય, તો તેનો ઝ્સિગ્મોંડી સમૂહ મર્યાદિત છે. જો કે, પરિણામ એ અર્થમાં બિનઅસરકારક છે કે સાબિતી સૌથી મોટા તત્વ માટે સ્પષ્ટ ઉપલી સીમા આપતું નથી, જો કે તેમાં તત્વોની સંખ્યા માટે અસરકારક ઉપલી સીમા આપવી શક્ય છે. કાર્મિકેલનો પ્રમેય પણ જુઓ સંદર્ભો સંખ્યા સિદ્ધાંતમાં બાહ્ય જોડાણો પ્રમેયો