Bessel–Clifford function
ગાણિતિક વિશ્લેષણમાં, ફ્રેડરિક બેસેલ અને વિલિયમ કિંગડન ક્લિફોર્ડના નામ પરથી નામ આપવામાં આવેલું બેસેલ-ક્લિફોર્ડ કાર્ય એ બે જટિલ ચલોનું સંપૂર્ણ કાર્ય છે જેનો ઉપયોગ બેસેલ કાર્યોના સિદ્ધાંતનો વૈકલ્પિક વિકાસ પ્રદાન કરવા માટે થઈ શકે છે. જો સમગ્ર વિધેય પારસ્પરિક ગામા વિધેય દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે, તો પછી બેસેલ-ક્લિફોર્ડ વિધેય શ્રેણી દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે ક્રમિક પદોનો ગુણોત્તર z/k (n + k) છે, જે z અને n ના તમામ મૂલ્યો માટે વધતા k સાથે શૂન્ય તરફ વળે છે. ગુણોત્તર પરીક્ષણ દ્વારા, આ શ્રેણી તમામ z અને n માટે સંપૂર્ણપણે એકરૂપ થાય છે, અને બંધાયેલા |z | ધરાવતા તમામ પ્રદેશો માટે સમાનરૂપે, અને તેથી બેસેલ-ક્લિફોર્ડ વિધેય એ બે જટિલ ચલ n અને z નું સંપૂર્ણ વિધેય છે. બેસલ-ક્લિફોર્ડ વિધેયનું વિભેદક સમીકરણ તે x ના સંદર્ભમાં વિભેદન પર ઉપરોક્ત શ્રેણીમાંથી અનુસરે છે જે રેખીય બીજા ક્રમના સજાતીય વિભેદક સમીકરણને સંતોષે છે આ સમીકરણ સામાન્યીકૃત હાયપરજિયોમેટ્રિક પ્રકારનું છે, અને હકીકતમાં બેસલ-ક્લિફોર્ડ વિધેય એક સ્કેલિંગ પરિબળ સુધી છે જે પોચેમર-બાર્ન્સ હાયપરજિયોમેટ્રિક વિધેય છે; આપણી પાસે n એ નકારાત્મક પૂર્ણાંક ન હોય ત્યાં સુધી, જે કિસ્સામાં જમણી બાજુ અવ્યાખ્યાયિત હોય, બે વ્યાખ્યાઓ અનિવાર્યપણે સમકક્ષ હોય છે; હાયપરજિયોમેટ્રિક વિધેયને સામાન્ય કરવામાં આવે છે જેથી તેનું મૂલ્ય z = 0 પર એક હોય. પ્રથમ પ્રકારના બેસલ કાર્યને બેસલ-ક્લિફોર્ડ કાર્યની દ્રષ્ટિએ વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે કારણ કે જ્યારે n એ પૂર્ણાંક નથી ત્યારે આપણે આમાંથી જોઈ શકીએ છીએ કે બેસલ કાર્ય સંપૂર્ણ નથી. એ જ રીતે, પ્રથમ પ્રકારના સુધારેલા બેસલ કાર્યને આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે પ્રક્રિયા અલબત્ત ઉલટાવી શકાય છે, જેથી આપણે બેસલ-ક્લિફોર્ડ કાર્યને આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરી શકીએ પરંતુ આ પ્રારંભિક બિંદુથી આપણે પછી સંપૂર્ણ બતાવવાની જરૂર પડશે. પુનરાવર્તન સંબંધ વ્યાખ્યાયિત શ્રેણીમાંથી, તે તરત જ અનુસરે છે કે આનો ઉપયોગ કરીને, આપણે વિભેદક સમીકરણને ફરીથી લખી શકીએ છીએ જે બેસલ-ક્લિફોર્ડ કાર્ય માટે પુનરાવર્તન સંબંધને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. આ 0F1 માટે સમાન સંબંધની સમકક્ષ છે. આપણી પાસે, ગૌસના સતત અપૂર્ણાંકના એક વિશેષ કેસ તરીકે તે બતાવી શકાય છે કે આ સતત અપૂર્ણાંક તમામ કિસ્સાઓમાં એકરૂપ થાય છે. બીજા પ્રકારના બેસલ-ક્લિફોર્ડ વિધેય બેસલ-ક્લિફોર્ડ વિભેદક સમીકરણમાં બે રેખીય રીતે સ્વતંત્ર ઉકેલો છે. કારણ કે મૂળ એ વિભેદક સમીકરણનું નિયમિત એકવચન બિંદુ છે, અને કારણ કે તે સંપૂર્ણ છે, તેથી બીજો ઉકેલ મૂળ સમયે એકવચન હોવો જોઈએ. જો આપણે નક્કી કરીએ કે કયા માટે કન્વર્જ થાય છે, અને વિશ્લેષણાત્મક રીતે તેને ચાલુ રાખીએ, તો આપણે વિભેદક સમીકરણનો બીજો રેખીય સ્વતંત્ર ઉકેલ મેળવીએ છીએ. બીજા પ્રકારના બેસલ વિધેયોને અનુરૂપ બનાવવા માટે 1/2 નું પરિબળ દાખલ કરવામાં આવે છે. આપણી પાસે અને K ની દ્રષ્ટિએ, આપણી પાસે છે તેથી, જેમ બેસલ ફંક્શન અને પ્રથમ પ્રકારના સુધારેલા બેસલ ફંક્શન બંનેની દ્રષ્ટિએ વ્યક્ત કરી શકાય છે, તેમ બીજા પ્રકારના બંનેને ની દ્રષ્ટિએ વ્યક્ત કરી શકાય છે. જો આપણે exp (t) અને exp (z/t) માટે સંપૂર્ણપણે અભિસારી શ્રેણીને એકસાથે ગુણાકાર કરીએ, તો આપણને (જ્યારે t શૂન્ય ન હોય ત્યારે) exp (t + z/t) માટે સંપૂર્ણપણે અભિસારી શ્રેણી મળે છે. આ જનરેટિંગ ફંક્શનનો ઉપયોગ પછી વધુ સૂત્રો મેળવવા માટે થઈ શકે છે, ખાસ કરીને આપણે કોચીના અભિન્ન સૂત્રનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ અને સંદર્ભો તરીકે પૂર્ણાંક n માટે મેળવી શકીએ છીએ. . . . . . વિશેષ હાયપરજિયોમેટ્રિક કાર્યો