Band (algebra)
ગણિતમાં, બેન્ડ (જેને ઇડેમ્પોટન્ટ સેમિગ્રુપ પણ કહેવાય છે) એ એક અર્ધસમૂહ છે જેમાં દરેક તત્વ ઇડેમ્પોટન્ટ હોય છે (બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો તેના પોતાના વર્ગની બરાબર). બેન્ડ્સનો સૌપ્રથમ અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો હતો અને તેમના દ્વારા નામ આપવામાં આવ્યું હતું. 1970ના દાયકાની શરૂઆતમાં બિર્યુકોવ, ફેનેમોર અને ગેરહાર્ડ દ્વારા વિવિધ પ્રકારના બેન્ડની જાળીનું સ્વતંત્ર રીતે વર્ણન કરવામાં આવ્યું હતું. સેમીલેટીસ, ડાબી-શૂન્ય બેન્ડ્સ, જમણી-શૂન્ય બેન્ડ્સ, લંબચોરસ બેન્ડ્સ, સામાન્ય બેન્ડ્સ, ડાબી-નિયમિત બેન્ડ્સ, જમણી-નિયમિત બેન્ડ્સ અને નિયમિત બેન્ડ્સ એ બેન્ડ્સના ચોક્કસ પેટા વર્ગો છે જે આ જાળીના તળિયાની નજીક આવેલા છે અને જે ખાસ રસ ધરાવે છે; તેઓ ટૂંકમાં નીચે વર્ણવેલ છે. બેન્ડની વિવિધતા બેન્ડનો એક વર્ગ વિવિધતા બનાવે છે જો તે પેટા જૂથો, હોમોમોર્ફિક છબીઓ અને સીધા ઉત્પાદનની રચના હેઠળ બંધ હોય. બેન્ડની દરેક વિવિધતાને એક વ્યાખ્યાયિત ઓળખ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. સેમિલેટીસ સેમિલેટીસ બરાબર પરિવર્તનીય બેન્ડ છે; એટલે કે, તેઓ બધા માટે સમીકરણને સંતોષતા બેન્ડ છે અને. બેન્ડ્સ પ્રીઓર્ડરને પ્રેરિત કરે છે જેને જો કે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. જરૂરી કમ્યુટેટિવિટી સૂચવે છે કે આ પ્રીઓર્ડર (સેમીલેટીસ) આંશિક ક્રમ બની જાય છે. ડાબી-શૂન્ય બેન્ડ એ સમીકરણને સંતોષતો બેન્ડ છે, જ્યાંથી તેના કેલે કોષ્ટકમાં સતત પંક્તિઓ હોય છે. સમમિતીય રીતે, જમણા-શૂન્ય પટ્ટો સંતોષકારક હોય છે, જેથી કેલે કોષ્ટકમાં સતત સ્તંભો હોય છે. લંબચોરસ પટ્ટો એક લંબચોરસ પટ્ટો છે જે બધા માટે, અથવા સમાન રીતે, બધા માટે સંતોષ આપે છે, કોઈપણ અર્ધસમૂહમાં પ્રથમ ઓળખ નોવેર કોમ્યુટેટિવ અર્ધસમૂહને લાક્ષણિકતા આપવા માટે પૂરતી છે. ક્યાંય પણ પરિવર્તનીય અર્ધસમૂહ પ્રથમ ઓળખ સૂચવે છે. કોઈપણ લવચીક મેગ્મા માં તેથી દરેક તત્વ તેના ચોરસ સાથે પરિવર્તિત થાય છે. તેથી કોઈપણ નોવેર કોમ્યુટેટિવ સેમીગ્રુપમાં દરેક તત્વ નિષ્ક્રિય હોય છે આમ કોઈપણ નોવેર કોમ્યુટેટિવ સેમીગ્રુપ હકીકતમાં નોવેર કોમ્યુટેટિવ બેન્ડ છે. આમ કોઈપણ નોવેરમાં કોમ્યુટેટિવ સેમિગ્રુપ તેથી સાથે અને આમ-પ્રથમ લાક્ષણિક ઓળખ સાથે મુસાફરી કરે છે. કોઈપણ અર્ધસમૂહમાં પ્રથમ ઓળખ નિષ્ક્રિયતા સૂચવે છે કારણ કે તે ખૂબ જ સક્ષમ (એક બેન્ડ) છે. તેથી બેન્ડમાં કોઈપણ અર્ધસમૂહમાં પ્રથમ ઓળખ પણ બીજાને સૂચવે છે કારણ કે. લંબચોરસ અર્ધસમૂહના આદર્શો એક પેટા પટ્ટો બનાવે છે જે એક લંબચોરસ પટ્ટો છે પરંતુ એક લંબચોરસ અર્ધસમૂહમાં એવા તત્વો હોઈ શકે છે જે આદર્શો ન હોય. બેન્ડમાં બીજી ઓળખ દેખીતી રીતે પ્રથમ સૂચવે છે પરંતુ તેના માટે નિષ્ક્રિયતાની જરૂર પડે છે. એવા અર્ધસમૂહો અસ્તિત્વ ધરાવે છે જે બીજી ઓળખને સંતોષે છે પરંતુ બેન્ડ નથી અને પ્રથમને સંતોષે નહીં. લંબચોરસ પટ્ટાનું સંપૂર્ણ વર્ગીકરણ છે. આપેલ મનસ્વી સમૂહો અને કોઈ પણ વ્યક્તિ મેગ્મા ઓપરેશનને સેટ કરીને વ્યાખ્યાયિત કરી શકે છે આ ઓપરેશન સહયોગી છે કારણ કે કોઈપણ ત્રણ જોડી માટે, આપણી પાસે અને તેવી જ રીતે આ બે મેગ્મા ઓળખ છે અને એકસાથે ઉપરની બીજી લાક્ષણિક ઓળખની સમકક્ષ છે. આ બંને સાથે મળીને સહયોગીતા પણ સૂચવે છે. કોઈપણ મેગ્મા કે જે આ બે લંબચોરસ ઓળખ અને વ્યક્તિત્વને સંતોષે છે તે એક લંબચોરસ પટ્ટો છે. તેથી કોઈપણ મેગ્મા કે જે લાક્ષણિક ઓળખ (ચાર અલગ મેગ્મા ઓળખ) બંનેને સંતોષે છે તે એક બેન્ડ છે અને તેથી એક લંબચોરસ બેન્ડ છે. ઉપર વ્યાખ્યાયિત મેગ્મા ઓપરેશન એક લંબચોરસ બેન્ડ છે કારણ કે આપણી પાસે કોઈપણ જોડી માટે દરેક તત્વ આદર્શ છે અને પ્રથમ લાક્ષણિક ઓળખ બીજાથી આદર્શ સાથે અનુસરે છે. પરંતુ એક મેગ્મા કે જે ફક્ત પ્રથમ લાક્ષણિકતા અને લાક્ષણિકતા માટેની ઓળખને સંતોષે છે તે સહયોગી હોવું જરૂરી નથી તેથી બીજી લાક્ષણિકતા માત્ર અર્ધસમૂહમાં પ્રથમથી અનુસરે છે. કોઈપણ લંબચોરસ બેન્ડ ઉપરોક્ત સ્વરૂપમાંથી એક માટે સમરૂપ છે (ક્યાં તો ખાલી છે, અથવા કોઈપણ તત્વ પસંદ કરો, અને પછી () સમરૂપતાને વ્યાખ્યાયિત કરે છે). ડાબી-શૂન્ય અને જમણી-શૂન્ય બેન્ડ લંબચોરસ બેન્ડ છે, અને હકીકતમાં દરેક લંબચોરસ બેન્ડ ડાબી-શૂન્ય બેન્ડ અને જમણી-શૂન્ય બેન્ડના સીધા ઉત્પાદન માટે સમરૂપ છે. મુખ્ય ક્રમના તમામ લંબચોરસ પટ્ટાઓ ડાબી કે જમણી બાજુએ શૂન્ય પટ્ટાઓ હોય છે. લંબચોરસ પટ્ટીને સંપૂર્ણ રીતે લંબચોરસ કહેવામાં આવે છે જો તે ડાબી-શૂન્ય અથવા જમણી-શૂન્ય પટ્ટો ન હોય. સ્પષ્ટ ભાષામાં, કોઈ કહી શકે છે કે બિન-ખાલી લંબચોરસ પટ્ટાની શ્રેણી સમાન છે, જ્યાં બિન-ખાલી સમૂહોને પદાર્થો તરીકે અને કાર્યોને મોર્ફિઝમ્સ તરીકે વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે. આ સૂચવે છે કે દરેક બિન-ખાલી લંબચોરસ પટ્ટો સમૂહની જોડીમાંથી આવતા એક માટે આઇસોમોર્ફિક છે એટલું જ નહીં, પણ આ સમૂહો વિશિષ્ટ રીતે કેનોનિકલ આઇસોમોર્ફિઝમ સુધી નક્કી કરવામાં આવે છે, અને પટ્ટાઓ વચ્ચેના તમામ હોમોમોર્ફિઝમ્સ સમૂહ વચ્ચેના કાર્યોની જોડીમાંથી આવે છે. જો ઉપરોક્ત પરિણામમાં સમૂહ ખાલી હોય, તો લંબચોરસ પટ્ટો તેનાથી સ્વતંત્ર છે, અને તેનાથી ઊલટું. આ જ કારણ છે કે ઉપરોક્ત પરિણામ માત્ર બિન-ખાલી લંબચોરસ પટ્ટાઓ અને બિન-ખાલી સમૂહોની જોડી વચ્ચે સમાનતા આપે છે. લંબચોરસ પટ્ટાઓ એ-આલ્જેબ્રા પણ છે, જ્યાં સેટ પર મોનાડ છે, જે કર્ણ નકશો છે, અને. સામાન્ય બેન્ડ એ બધા માટે સંતોષકારક બેન્ડ છે, અને. આપણે એમ પણ કહી શકીએ કે સામાન્ય બેન્ડ એ બધા માટે સંતોષકારક બેન્ડ છે, અને. આ એ જ સમીકરણ છે જેનો ઉપયોગ મધ્યસ્થ મેગ્માને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે થાય છે, તેથી સામાન્ય બેન્ડને મધ્યસ્થ બેન્ડ પણ કહી શકાય, અને સામાન્ય બેન્ડ મધ્યસ્થ મેગ્માના ઉદાહરણો છે. ડાબા-નિયમિત બેન્ડ એ બધા માટે સંતોષકારક બેન્ડ છે, જો આપણે અર્ધસમૂહ લઈએ અને જો વ્યાખ્યાયિત કરીએ, તો આપણે આંશિક ક્રમ મેળવીએ છીએ જો અને માત્ર ત્યારે જ જો આ અર્ધસમૂહ ડાબા-નિયમિત બેન્ડ હોય. આ રીતે ડાબા-નિયમિત પટ્ટાઓ પોસટ્સના અભ્યાસમાં કુદરતી રીતે દેખાય છે. જમણા-નિયમિત બેન્ડ એ બધા માટે સંતોષકારક બેન્ડ છે કોઈપણ જમણા-નિયમિત બેન્ડ વિરુદ્ધ ઉત્પાદનનો ઉપયોગ કરીને ડાબા-નિયમિત બેન્ડ બની જાય છે. ખરેખર, દરેક પ્રકારના પટ્ટામાં 'વિરુદ્ધ' સંસ્કરણ હોય છે; આ નીચેની આકૃતિમાં પ્રતિબિંબ સમપ્રમાણતાને જન્મ આપે છે. નિયમિત પટ્ટો એક નિયમિત પટ્ટો એ જાતોના તમામ જાળી માટે સંતોષકારક પટ્ટો છે જ્યારે આંશિક રીતે સમાવેશ દ્વારા આદેશ આપવામાં આવે છે, ત્યારે પટ્ટાની જાતો કુદરતી રીતે જાળી બનાવે છે, જેમાં બે જાતોનું મિલન તેમનું આંતરછેદ છે અને બે જાતોનું જોડાણ એ સૌથી નાનો પ્રકાર છે જેમાં તે બંનેનો સમાવેશ થાય છે. આ જાળીનું સંપૂર્ણ માળખું જાણીતું છે; ખાસ કરીને, તે ગણતરીપાત્ર, સંપૂર્ણ અને વિતરણક્ષમ છે. નિયમિત પટ્ટાની 13 જાતોની બનેલી સબલેટિસ આકૃતિમાં દર્શાવવામાં આવી છે. ડાબી-શૂન્ય પટ્ટાઓ, અર્ધ-પટ્ટાઓ અને જમણી-શૂન્ય પટ્ટાઓ આ જાળીના ત્રણ અણુઓ (બિન-તુચ્છ ન્યૂનતમ ઘટકો) છે. આકૃતિમાં દર્શાવેલ દરેક પ્રકારના પટ્ટાઓ માત્ર એક ઓળખ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. આ કોઈ સંયોગ નથીઃ હકીકતમાં, દરેક પ્રકારના બેન્ડને એક જ ઓળખ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. બુલિયન રીંગ પણ જુઓ, એક રીંગ જેમાં દરેક તત્વ (ગુણાકારમાં) સક્ષમ હોય છે, ક્યાંય પણ પરિવર્તનીય અર્ધસમૂહ અર્ધસમૂહના વિશેષ વર્ગો નથી. . . . . . . . . . બીજગણિત માળખાં અર્ધસમૂહ સિદ્ધાંત