Row equivalence
રેખીય બીજગણિતમાં, બે મેટ્રિસીસ પંક્તિ સમકક્ષ હોય છે જો પ્રાથમિક પંક્તિ કામગીરીના ક્રમ દ્વારા એકને બીજામાં બદલી શકાય. વૈકલ્પિક રીતે, બે m × n મેટ્રિસીસ પંક્તિ સમકક્ષ હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તેમની પાસે સમાન પંક્તિ જગ્યા હોય. આ ખ્યાલ સામાન્ય રીતે મેટ્રિસીસ પર લાગુ થાય છે જે રેખીય સમીકરણોની પ્રણાલીઓનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે, આ કિસ્સામાં સમાન કદના બે મેટ્રિસીસ પંક્તિ સમકક્ષ હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો અનુરૂપ સજાતીય પ્રણાલીઓમાં ઉકેલોનો સમાન સમૂહ હોય, અથવા સમકક્ષ મેટ્રિસીસમાં સમાન શૂન્ય જગ્યા હોય. કારણ કે પ્રાથમિક પંક્તિ કામગીરીઓ ઉલટાવી શકાય તેવી હોય છે, પંક્તિ સમાનતા એ એક સમાનતા સંબંધ છે. તેને સામાન્ય રીતે ટિલ્ડ (~) દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. સ્તંભ સમાનતાની સમાન કલ્પના છે, જે પ્રાથમિક સ્તંભ કામગીરી દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે; બે મેટ્રિસીસ સ્તંભ સમકક્ષ હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તેમના ટ્રાન્સપોઝ મેટ્રિસીસ પંક્તિ સમકક્ષ હોય. બે લંબચોરસ મેટ્રિસીસ કે જેને એક બીજામાં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે જે પ્રાથમિક પંક્તિ અને સ્તંભ કામગીરી બંનેને મંજૂરી આપે છે તેને ફક્ત સમકક્ષ કહેવામાં આવે છે. પ્રાથમિક પંક્તિ કામગીરી પ્રાથમિક પંક્તિ કામગીરી એ નીચેની કોઈપણ એક ચાલ છેઃ અદલાબદલીઃ મેટ્રિક્સની બે પંક્તિઓને અદલાબદલી કરો. સ્કેલઃ મેટ્રિક્સની હરોળને બિન-શૂન્ય અચળાંકથી ગુણાકાર કરો. મુખ્ય બિંદુઃ મેટ્રિક્સની એક હરોળના ગુણાંકને બીજી હરોળમાં ઉમેરો. જો પ્રાથમિક પંક્તિ કામગીરીના ક્રમ દ્વારા A ને B માં રૂપાંતરિત કરવું શક્ય હોય તો બે મેટ્રિસીસ A અને B પંક્તિ સમકક્ષ છે. રો સ્પેસ મેટ્રિક્સની રો સ્પેસ એ તેના રો વેક્ટરના તમામ સંભવિત રેખીય સંયોજનોનો સમૂહ છે. જો મેટ્રિક્સની પંક્તિઓ રેખીય સમીકરણોની પ્રણાલીનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે, તો પછી પંક્તિ અવકાશમાં તમામ રેખીય સમીકરણો હોય છે જે પ્રણાલીમાંથી બીજગણિત રીતે કાઢી શકાય છે. બે m × n મેટ્રિસીસ પંક્તિ સમકક્ષ હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તેમની પાસે સમાન પંક્તિ જગ્યા હોય. ઉદાહરણ તરીકે, મેટ્રિસીસ રો સમકક્ષ છે, રો સ્પેસ એ ફોર્મના તમામ વેક્ટર છે. સજાતીય સમીકરણોની અનુરૂપ પ્રણાલીઓ સમાન માહિતી આપે છેઃ ખાસ કરીને, આ બંને પ્રણાલીઓ વ્યાખ્યાઓની સમાનતા સ્વરૂપના દરેક સમીકરણને સૂચવે છે હકીકત એ છે કે બે મેટ્રિસીસ પંક્તિ સમકક્ષ હોય છે જો અને માત્ર જો તેમની પાસે સમાન પંક્તિ જગ્યા હોય તો તે રેખીય બીજગણિતમાં એક મહત્વપૂર્ણ પ્રમેય છે. સાબિતી નીચેના અવલોકનો પર આધારિત છેઃ પ્રાથમિક પંક્તિ કામગીરી મેટ્રિક્સની પંક્તિ જગ્યાને અસર કરતી નથી. ખાસ કરીને, કોઈપણ બે પંક્તિ સમકક્ષ મેટ્રિસીસમાં સમાન પંક્તિ જગ્યા હોય છે. કોઈપણ મેટ્રિક્સને પ્રાથમિક પંક્તિ કામગીરી દ્વારા ઘટાડેલા પંક્તિ સ્તર સ્વરૂપમાં મેટ્રિક્સમાં ઘટાડી શકાય છે. ઘટાડેલા પંક્તિ સ્તર સ્વરૂપમાં બે મેટ્રિસીસમાં સમાન પંક્તિ જગ્યા હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તેઓ સમાન હોય. તર્કની આ રેખા એ પણ સાબિત કરે છે કે દરેક મેટ્રિક્સ એક અનન્ય મેટ્રિક્સની સમકક્ષ છે જે ઘટાડેલા પંક્તિ સ્તર સ્વરૂપ સાથે છે. વધારાના ગુણધર્મો કારણ કે મેટ્રિક્સની નલ સ્પેસ એ પંક્તિ જગ્યાનું ઓર્થોગોનલ પૂરક છે, બે મેટ્રિક્સ પંક્તિ સમકક્ષ હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તેમની પાસે સમાન નલ સ્પેસ હોય. મેટ્રિક્સનો ક્રમ પંક્તિ જગ્યાના પરિમાણ જેટલો હોય છે, તેથી પંક્તિ સમકક્ષ મેટ્રિક્સમાં સમાન ક્રમ હોવો આવશ્યક છે. આ ઘટાડેલા પંક્તિ સ્તર સ્વરૂપમાં ધરીઓની સંખ્યા બરાબર છે. મેટ્રિક્સ ઇન્વર્ટિબલ છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તે ઓળખ મેટ્રિક્સની સમકક્ષ હોય. મેટ્રિક્સ A અને B પંક્તિ સમકક્ષ હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો ત્યાં ઇન્વર્ટિબલ મેટ્રિક્સ P હોય જેમ કે A = PB હોય. પ્રાથમિક પંક્તિ કામગીરીઓ પણ જુઓ પંક્તિ અવકાશ આધાર (રેખીય બીજગણિત) પંક્તિ ઘટાડો (ઘટાડેલ) પંક્તિ સ્તર ફોર્મ સંદર્ભો બાહ્ય કડીઓ રેખીય બીજગણિત મેટ્રિક્સ સમાનતા (ગણિત)