Trefftz method
ગણિતમાં, ટ્રેફ્ટઝ પદ્ધતિ એ જર્મન ગણિતશાસ્ત્રી એરિક ટ્રેફ્ટઝ (ડી) (1888-1937) ના નામ પરથી નામ આપવામાં આવેલા આંશિક વિભેદક સમીકરણોના આંકડાકીય ઉકેલ માટેની પદ્ધતિ છે. તે મર્યાદિત તત્વ પદ્ધતિઓના વર્ગમાં આવે છે. પરિચય વર્ણસંકર ટ્રેફ્ટઝ મર્યાદિત-તત્વ પદ્ધતિ લગભગ 30 વર્ષ પહેલાં તેની રજૂઆત થઈ ત્યારથી નોંધપાત્ર રીતે અદ્યતન થઈ છે. મર્યાદિત તત્વ વિશ્લેષણની પરંપરાગત પદ્ધતિમાં વિભેદક સમીકરણને રૂપાંતરિત કરવાનો સમાવેશ થાય છે જે સમસ્યાને પરિવર્તનશીલ કાર્યમાં સંચાલિત કરે છે જેમાંથી તત્વના નોડલ ગુણધર્મો-જેને ક્ષેત્ર ચલ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે-શોધી શકાય છે. આને વિભેદક સમીકરણના અંદાજિત ઉકેલોમાં બદલીને અને મર્યાદિત તત્વની જડતા મેટ્રિક્સ ઉત્પન્ન કરીને ઉકેલી શકાય છે જે વૈશ્વિક જડતા મેટ્રિક્સ મેળવવા માટે સાતત્યમાંના તમામ ઘટકો સાથે જોડાય છે. આ વૈશ્વિક મેટ્રિક્સ માટે સંબંધિત સીમા શરતોનો ઉપયોગ, અને ક્ષેત્ર ચલોનો અનુગામી ઉકેલ ગાણિતિક પ્રક્રિયાને પૂર્ણ કરે છે, જેના પછી વાસ્તવિક જીવનની ઇજનેરી સમસ્યાઓને ઉકેલવા માટે આંકડાકીય ગણતરીઓનો ઉપયોગ કરી શકાય છે. કાર્યાત્મક ઉકેલના એક મહત્વપૂર્ણ પાસામાં આપણે એવા ઉકેલો શોધવાની જરૂર છે જે આપેલ સીમા શરતોને સંતોષે અને આંતર-તત્વ સાતત્યને સંતોષે કારણ કે આપણે દરેક તત્વ ડોમેન પરના ગુણધર્મોને સ્વતંત્ર રીતે વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ. સંકર ટ્રેફ્ટઝ પદ્ધતિ ધારેલા વિસ્થાપન ક્ષેત્રોમાં પરંપરાગત મર્યાદિત તત્વ પદ્ધતિ અને પરિવર્તનશીલ કાર્યાત્મક રચનાથી અલગ છે. પરંપરાગત પદ્ધતિથી વિપરીત (રેલે-રિટ્ઝ ગાણિતિક તકનીક પર આધારિત) ટ્રેફ્ટઝ પદ્ધતિ (ટ્રેફ્ટઝ ગાણિતિક તકનીક પર આધારિત) ધારે છે કે વિસ્થાપન ક્ષેત્ર બે સ્વતંત્ર ઘટકોથી બનેલું છે; આંતર-તત્વ વિસ્થાપન ક્ષેત્ર જે સંચાલિત વિભેદક સમીકરણને સંતોષે છે અને તેનો ઉપયોગ તત્વ ક્ષેત્રની અંદર સંભવિતતાની વિવિધતાને અંદાજિત કરવા માટે થાય છે, અને અનુરૂપ ફ્રેમ ક્ષેત્ર જે ખાસ કરીને તત્વની સીમા પર વ્યાખ્યાયિત આંતર-તત્વ સાતત્ય સ્થિતિને સંતોષે છે. અહીં ફ્રેમ ક્ષેત્ર એ જ છે જેનો ઉપયોગ પરંપરાગત મર્યાદિત તત્વ પદ્ધતિમાં થાય છે પરંતુ તત્વની સીમા પર સખત રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે-તેથી પદ્ધતિના નામકરણમાં "વર્ણસંકર" શબ્દનો ઉપયોગ થાય છે. આ રીતે પરિવર્તનશીલ વિધેયમાં સીમા શરતોને ધ્યાનમાં રાખવા માટે વધારાની શરતો શામેલ હોવી આવશ્યક છે, કારણ કે ધારેલ ઉકેલ ક્ષેત્ર માત્ર સંચાલિત વિભેદક સમીકરણને સંતોષે છે. પરંપરાગત મર્યાદિત તત્વ પદ્ધતિ પર ફાયદા પરંપરાગત પદ્ધતિ પર વર્ણસંકર ટ્રેફ્ટઝ પદ્ધતિના મુખ્ય ફાયદાઓ છેઃ રચનામાં તત્વની સીમાઓ સાથે એકીકરણની માંગ કરવામાં આવે છે જે તત્વની સીમા માટે વળાંક-બાજુવાળા અથવા બહુપદી આકારોનો ઉપયોગ કરવાની મંજૂરી આપે છે, જે તત્વો માટે વિસ્તરણ પાયા રજૂ કરે છે જે પરિવર્તનશીલ કાર્યાત્મક દ્વારા આંતર-તત્વ સાતત્યને સંતોષતા નથી, અને આ પદ્ધતિ પરીક્ષણ કાર્યો તરીકે સ્થાનિક ઉકેલ કાર્યોના ઉપયોગ દ્વારા ક્રેક એકવચન અથવા છિદ્રિત તત્વોના વિકાસ માટે પરવાનગી આપે છે. લગભગ 30 વર્ષ પહેલાં તેની મુખ્ય પ્રવાહની રજૂઆત થઈ ત્યારથી, આ સુધારેલી મર્યાદિત તત્વ પદ્ધતિ સ્થિતિસ્થાપકતા, કિર્ચોફ પ્લેટો, જાડી પ્લેટો, સામાન્ય ત્રિ-પરિમાણીય ઘન મિકેનિક્સ, અસમપ્રમાણ ઘન મિકેનિક્સ, સંભવિત સમસ્યાઓ, શેલો, ઇલાસ્ટોડાયનેમિક સમસ્યાઓ, ભૌમિતિક રીતે બિનરેખીય પ્લેટ બેન્ડિંગ અને ક્ષણિક ગરમી વહન વિશ્લેષણ જેવી વિવિધ એપ્લિકેશનોમાં વધુને વધુ લોકપ્રિય બની છે. તે હાલમાં ઓસ્ટ્રેલિયાના કેનબેરામાં ઓસ્ટ્રેલિયન નેશનલ યુનિવર્સિટી (એએનયુ) ખાતે ફેકલ્ટી ઓફ એન્જિનિયરિંગ એન્ડ ઇન્ફર્મેશન ટેકનોલોજી (એફઇઆઇટી) ખાતે ચાલી રહેલા સંશોધન દ્વારા સ્થિર, બિન-તોફાની, અસંપીડ્ય, ન્યુટોનિયન પ્રવાહી પ્રવાહ કાર્યક્રમો પર લાગુ કરવામાં આવી રહ્યું છે. સંકર ટ્રેફ્ટઝ પદ્ધતિ કેટલાક ક્ષેત્રોમાં પણ લાગુ કરવામાં આવી રહી છે, દા. ત. પોર્ટુગલમાં લિસ્બનની ટેકનિકલ યુનિવર્સિટી, ઇન્સ્ટિટ્યુટો સુપિરિયર ટેક્નીકો ખાતે ચાલી રહેલા સંશોધન પ્રોજેક્ટ દ્વારા હાઇડ્રેટેડ સોફ્ટ પેશીઓ અથવા પાણી-સંતૃપ્ત છિદ્રાળુ માધ્યમોનું કોમ્પ્યુટેશનલ મોડેલિંગ. નોંધો સંદર્ભો બાહ્ય કડીઓ પોર્ટુગલના લિસ્બનમાં ઇન્સ્ટિટ્યુટો સુપિરિયર ટેક્નીકો ખાતે હાઇબ્રિડ-ટ્રેફ્ટઝ સંશોધન પ્રોજેક્ટ આંકડાકીય વિભેદક સમીકરણો