Quantum mutual information
ક્વોન્ટમ માહિતી સિદ્ધાંતમાં, ક્વોન્ટમ મ્યુચ્યુઅલ માહિતી, અથવા વોન ન્યુમેન મ્યુચ્યુઅલ માહિતી, જ્હોન વોન ન્યુમેન પછી, ક્વોન્ટમ સ્થિતિની પેટા પ્રણાલીઓ વચ્ચેના સહસંબંધનું માપ છે. તે શેનોન પરસ્પર માહિતીનું ક્વોન્ટમ યાંત્રિક એનાલોગ છે. પ્રેરણા સરળતા માટે, એવું માનવામાં આવશે કે લેખમાંની તમામ વસ્તુઓ મર્યાદિત-પરિમાણીય છે. ક્વોન્ટમ મ્યુચ્યુઅલ એન્ટ્રોપીની વ્યાખ્યા ક્લાસિકલ કેસ દ્વારા પ્રેરિત છે. બે ચલ p (x, y) ના સંભાવના વિતરણ માટે, બે સીમાંત વિતરણો છે. કોઈ સીધી ગણતરી કરી શકે છે તેથી પરસ્પર માહિતી એ છે કે જ્યાં બિટ્સમાં પરસ્પર માહિતી મેળવવા માટે લઘુગણકને આધાર 2 માં લેવામાં આવે છે. પરંતુ આ ચોક્કસપણે p (x, y) અને p (x) p (y) વચ્ચેની સંબંધિત એન્ટ્રોપી છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, જો આપણે બે ચલ x અને y ને અસંબદ્ધ માનીએ, તો પરસ્પર માહિતી એ આ (સંભવતઃ ખોટી) ધારણાના પરિણામે અનિશ્ચિતતામાં વિસંગતતા છે. તે સાપેક્ષ એન્ટ્રોપીના ગુણધર્મને અનુસરે છે કે I (X: Y) ≤0 અને સમાનતા ત્યારે જ રહે છે જ્યારે p (x, y) = p (x) p (y) હોય. વ્યાખ્યા શાસ્ત્રીય સંભાવના વિતરણના ક્વોન્ટમ યાંત્રિક પ્રતિરૂપને ઘનતા મેટ્રિસીસ સાથે મોડેલિંગ કરવામાં આવે છે. ક્વોન્ટમ પ્રણાલીનો વિચાર કરો જેને બે ભાગોમાં વહેંચી શકાય છે, એ અને બી, જેથી બંને ભાગ પર સ્વતંત્ર માપન કરી શકાય. સમગ્ર ક્વોન્ટમ પ્રણાલીની સ્થિતિ જગ્યા એ પછી બે ભાગો માટેની જગ્યાઓનું ટેન્સર પ્રોડક્ટ છે. ધારો કે ρAB એ એચ. એ. બી. માં સ્થિતિઓ પર કામ કરતો ઘનતા મેટ્રિક્સ છે. ઘનતા મેટ્રિક્સ S (ρ) ની વોન ન્યુમેન એન્ટ્રોપી એ શેનોન એન્ટ્રોપીની ક્વોન્ટમ યાંત્રિક સામ્યતા છે. સંભાવના વિતરણ p (x, y) માટે, સીમાંત વિતરણ x અથવા y ચલને એકીકૃત કરીને મેળવવામાં આવે છે. ઘનતા મેટ્રિક્સ માટે અનુરૂપ કામગીરી એ આંશિક ટ્રેસ છે. તેથી કોઈ વ્યક્તિ સબસિસ્ટમ A પર ρ સ્થિતિને સોંપી શકે છે જ્યાં સિસ્ટમ B ના સંદર્ભમાં TrB આંશિક ટ્રેસ છે. આ સિસ્ટમ A પર ρAB ની ઘટાડેલી સ્થિતિ છે. સિસ્ટમ A ના સંદર્ભમાં ρAB ની ઘટાડેલી વોન ન્યુમેન એન્ટ્રોપી S (ρB) છે તે જ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. હવે તે જોઈ શકાય છે કે ક્વોન્ટમ મ્યુચ્યુઅલ માહિતીની વ્યાખ્યા, શાસ્ત્રીય વ્યાખ્યાને અનુરૂપ, નીચે મુજબ હોવી જોઈએ. ક્વોન્ટમ મ્યુચ્યુઅલ માહિતીનું શાસ્ત્રીય કેસની જેમ જ અર્થઘટન કરી શકાય છેઃ તે બતાવી શકાય છે કે જ્યાં ક્વોન્ટમ સંબંધિત એન્ટ્રોપી સૂચવે છે. નોંધ લો કે ક્વોન્ટમ કેસમાં પરસ્પર માહિતીનું વૈકલ્પિક સામાન્યીકરણ છે. આપેલ સ્થિતિ માટે બંને વચ્ચેના તફાવતને ક્વોન્ટમ વિસંગતતા કહેવામાં આવે છે, જે પ્રશ્નમાં રહેલા સ્થિતિના ક્વોન્ટમ સહસંબંધ માટેનું માપ છે. ગુણધર્મો જ્યારે સ્થિતિ શુદ્ધ હોય (અને આમ), ત્યારે પરસ્પર માહિતી સ્થિતિની ગૂંચવણ એન્ટ્રોપી કરતા બમણી હોય છેઃ જો કે, હકારાત્મક ક્વોન્ટમ પરસ્પર માહિતી એ ગૂંચવણનું સૂચક હોવું જરૂરી નથી. અલગ કરી શકાય તેવી સ્થિતિઓના શાસ્ત્રીય મિશ્રણમાં હંમેશા શૂન્ય ગૂંચવણ હશે, પરંતુ તેમાં બિન-શૂન્ય ક્યુએમઆઈ હોઈ શકે છે, જેમ કે આ કિસ્સામાં, સ્થિતિ માત્ર શાસ્ત્રીય રીતે સહસંબંધિત સ્થિતિ છે. બહુપક્ષીય સામાન્યીકરણ ધારો કે સિસ્ટમ n સબસિસ્ટમ્સ દ્વારા રચાયેલી હોય તોઃ જ્યાં અને સરવાળો પુનરાવર્તન વિના સબસિસ્ટમના તમામ અલગ સંયોજનો પર હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે, લોઃ હમણાં લોઃ નોંધ લો કે આપણે ખરેખર જે કરી રહ્યા છીએ તે પ્રતિ સમય એક સબસિસ્ટમ પર આંશિક ટ્રેસ લઈ રહ્યું છે, ઉદાહરણ લો, પ્રથમ ટર્મમાં આપણે ટ્રેસ કરી રહ્યા છીએ, બીજા ટર્મમાં ટ્રેસ સમાપ્ત થઈ ગયું છે અને તેથી વધુ. ક્વોન્ટમ યાંત્રિક એન્ટ્રોપી ક્વોન્ટમ માહિતી સિદ્ધાંત