Mordell–Weil group
અંકગણિત ભૂમિતિમાં, મોર્ડેલ-વેઇલ જૂથ એ સંખ્યા ક્ષેત્ર પર વ્યાખ્યાયિત કોઈપણ અબેલિયન વિવિધતા સાથે સંકળાયેલ એક અબેલિયન જૂથ છે, તે અબેલિયન વિવિધતાનો અંકગણિત અપરિવર્તનશીલ છે. તે ફક્ત-બિંદુઓનું જૂથ છે, તેથી મોર્ડેલ-વેઇલ જૂથ 207 છે. આ જૂથ વિશેનું મુખ્ય માળખું પ્રમેય મોર્ડેલ-વેઇલ પ્રમેય છે જે દર્શાવે છે કે આ જૂથ હકીકતમાં મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન થયેલ અબેલિયન જૂથ છે. વધુમાં, આ જૂથ સાથે સંબંધિત ઘણા અનુમાનો છે, જેમ કે બિર્ચ અને સ્વિનરટન-ડાયર અનુમાન જે એક ખાસ બિંદુ પર સંકળાયેલ એલ-ફંક્શનના શૂન્યના ક્રમ સાથે સંબંધિત છે. ઉદાહરણો અબેલિયન જાતના મોર્ડેલ-વેઇલ જૂથના સ્પષ્ટ ઉદાહરણોનું નિર્માણ એ એક બિન-તુચ્છ પ્રક્રિયા છે જે હંમેશા સફળ થવાની બાંયધરી આપતી નથી, તેથી અમે તેના બદલે ચોક્કસ લંબગોળ વળાંકના કિસ્સામાં નિષ્ણાત છીએ. ચાલો તર્કસંગત સંખ્યાઓ પર વેઇઅરસ્ટ્રાસ સમીકરણ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરીએ. તેમાં ડિસ્ક્રિમિનન્ટ છે (અને આ બહુપદીનો ઉપયોગ વૈશ્વિક મોડેલને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે થઈ શકે છે). તે નીચેની પ્રક્રિયા દ્વારા શોધી શકાય છે. પ્રથમ, આપણે કેટલીક સંખ્યાઓને પ્લગ કરીને કેટલાક સ્પષ્ટ વળાંક બિંદુઓ શોધીએ છીએ, જે છે. વધુમાં, પૂર્ણાંકોની કેટલીક નાની જોડીનો પ્રયાસ કર્યા પછી, આપણે શોધી કાઢીએ છીએ કે તે એક બિંદુ છે જે દેખીતી રીતે વળાંક નથી. ટોર્સિયન ભાગ શોધવા માટે એક ઉપયોગી પરિણામ એ છે કે પ્રાઇમનું ટોર્સિયન, સારો ઘટાડો કરવા માટે, સૂચવવામાં આવે છે, તેથી આપણે બે પ્રાઇમ પર તપાસ કરીએ છીએ અને સેટની કાર્ડિનાલિટીની ગણતરી કરીએ છીએ. વધુમાં, આપણે જાણીએ છીએ કે બિંદુ અનંત ક્રમ ધરાવે છે કારણ કે અન્યથા બંને મુખ્ય પરિબળો દ્વારા વહેંચાયેલું મુખ્ય પરિબળ હશે, તેથી ક્રમ ઓછામાં ઓછો છે. હવે, ક્રમની ગણતરી કરવી એ વધુ મુશ્કેલ પ્રક્રિયા છે જેમાં જૂથની ગણતરી કરવામાં આવે છે જેમાં હોમોલોજિકલ બીજગણિત અને કુમ્મર નકશામાંથી કેટલાક લાંબા ચોક્કસ ક્રમનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. વિશિષ્ટ પરિમાણોની અબેલિયન જાતોના મોર્ડેલ-વેઇલ જૂથોની રચના, ચોક્કસ ક્ષેત્રો પર અથવા અન્ય કોઈ વિશેષ ગુણધર્મ હોવા વિશે સાહિત્યમાં ઘણા સિદ્ધાંતો છે. તર્કસંગત કાર્ય ક્ષેત્ર k (t) પર અબેલિયન જાતો હાયપરલિપ્ટિક વળાંક માટે અને નિશ્ચિત ક્ષેત્ર પર વ્યાખ્યાયિત અબેલિયન વિવિધતા માટે, અમે આવરણ નકશા સાથે સંકળાયેલા ક્ષેત્ર વિસ્તરણના ગેલોઇસ કોહોમોલોજી માટે 1-કોસાઇલ દ્વારા (કાર્ય ક્ષેત્રની પુલબેક) ના વળાંકને સૂચવીએ છીએ. નોંધ લો કે જે નકશામાંથી અનુસરે છે તે હાયપરલિપ્ટિક છે. વધુ સ્પષ્ટ રીતે, આ 1-કોસીલ જૂથોના નકશા તરીકે આપવામાં આવે છે, જે સાર્વત્રિક ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને બે નકશા આપવા સમાન છે, તેથી આપણે તેને નકશા તરીકે લખી શકીએ છીએ જ્યાં સમાવેશ નકશો છે અને નકારાત્મક પર મોકલવામાં આવે છે. આનો ઉપયોગ બીજગણિત ભૂમિતિના સામાન્ય સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને વ્યાખ્યાયિત ટ્વિસ્ટેડ અબેલિયન વિવિધતાને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે થઈ શકે છે. ખાસ કરીને, આ રચનાના સાર્વત્રિક ગુણધર્મોમાંથી, એક અબેલિયન વિવિધતા છે જેની ઉપર આધાર-પરિવર્તન પછી સમરૂપતા છે. પ્રમેય ઉપર આપેલા સુયોજન માટે, જ્યાં વળાંકનો જેકોબિયન છે ત્યાં અબેલિયન જૂથોનું આઇસોમોર્ફિઝમ છે, અને તે વળાંકનો 2-વળાંક ધરાવતો પેટાજૂથ છે. મોર્ડેલ-વેઇલ પ્રમેય પણ જુઓ સંદર્ભો વધુ ઉદાહરણો અને કિસ્સાઓ મોર્ડેલ-વેઇલ ગ્રુપ ઓફ કર્વ્સ ઓફ જિનસ 2 સાર્વત્રિક લંબગોળ વળાંકના મોર્ડેલ-વેઇલ જૂથને નિર્ધારિત કરી રહ્યા છે ગેલોઇસ વંશ અને એબેલિયન વિવિધતાના વળાંક કાર્ય ક્ષેત્રો પર જેકોબિયન્સના મોર્ડેલ-વેઇલ જૂથો પર ડાયોફેન્ટાઇન ભૂમિતિ લંબગોળ વળાંક એબેલિયન જાતો