Antiderivative (complex analysis)
જટિલ વિશ્લેષણમાં, ગણિતની એક શાખા, કોમ્પ્લેક્સ-વેલ્યુડ ફંક્શન g ની એન્ટિડેરિવેટિવ અથવા પ્રિમિટિવ એ એક ફંક્શન છે જેનું કોમ્પ્લેક્સ ડેરિવેટિવ્ઝ g છે. વધુ સ્પષ્ટ રીતે કહીએ તો, કોમ્પ્લેક્સ પ્લેનમાં એક ઓપન સેટ આપવામાં આવે છે અને જે ફંક્શનનું એન્ટિડેરિવેટિવ એ એક ફંક્શન છે જે સંતોષ આપે છે. જેમ કે, આ ખ્યાલ વાસ્તવિક-મૂલ્યવાન કાર્યના એન્ટિડેરિવેટિવનું જટિલ-ચલ સંસ્કરણ છે. વિશિષ્ટતા અચલ કાર્યનું વ્યુત્પન્ન એ શૂન્ય કાર્ય છે. તેથી, કોઈપણ અચળ કાર્ય એ શૂન્ય કાર્યનું એન્ટિડેરિવેટિવ છે. જો જોડાયેલ સમૂહ હોય, તો સ્થિર વિધેયો એ શૂન્ય વિધેયના એકમાત્ર એન્ટિડેરિવેટિવ્સ છે. નહિંતર, ફંક્શન એ શૂન્ય ફંક્શનનું એન્ટિડેરિવેટિવ છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તે દરેક જોડાયેલા ઘટક પર સ્થિર હોય (તે સ્થિરાંકો સમાન હોવાની જરૂર નથી). આ અવલોકન સૂચવે છે કે જો કાર્યમાં એન્ટિડેરિવેટિવ હોય, તો તે એન્ટિડેરિવેટિવ કાર્યના ઉમેરા સુધી અનન્ય છે જે દરેક જોડાયેલા ઘટક પર સતત હોય છે. અસ્તિત્વ એક જટિલ સમતલમાં પાથ ઇન્ટિગ્રલ્સ દ્વારા એન્ટિડેરિવેટિવ્ઝના અસ્તિત્વને લાક્ષણિકતા આપી શકે છે, જે વાસ્તવિક ચલનાં કાર્યોની જેમ જ છે. જો અને માત્ર જો, a થી b સુધીના દરેક γ પાથ માટે, કોઈપણ બંધ પાથ γ માટે સમાન રીતે પાથ ઇન્ટિગ્રલ હોય, તો કદાચ આશ્ચર્યજનક નથી, g પાસે એન્ટિડેરિવેટિવ f છે. જો કે, આ ઔપચારિક સમાનતા હોવા છતાં, જટિલ-એન્ટિડેરિવેટિવ ધરાવવું એ તેના વાસ્તવિક સમકક્ષ કરતાં ઘણી વધુ પ્રતિબંધિત સ્થિતિ છે. જ્યારે અસંગત વાસ્તવિક કાર્ય માટે વિરોધી-વ્યુત્પન્ન હોવું શક્ય છે, ત્યારે જટિલ ચલનાં હોલોમોર્ફિક કાર્યો માટે પણ વિરોધી-વ્યુત્પન્ન અસ્તિત્વમાં નિષ્ફળ થઈ શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, પારસ્પરિક કાર્યને ધ્યાનમાં લો, g (z) = 1/z જે પંચર કરેલ સમતલ C\ {0} પર હોલોમોર્ફિક છે. સીધી ગણતરી દર્શાવે છે કે મૂળને ઘેરી લેતા કોઈપણ વર્તુળ સાથે g નું અભિન્ન બિન-શૂન્ય છે. તેથી g ઉપર દર્શાવેલ શરતમાં નિષ્ફળ જાય છે. આ રૂઢિચુસ્ત વેક્ટર ક્ષેત્રો માટે સંભવિત કાર્યોના અસ્તિત્વ જેવું જ છે, જેમાં ગ્રીન્સ થીયરમ ત્યારે જ પાથ ઇન્ડિપેન્ડન્સની બાંયધરી આપી શકે છે જ્યારે કોચી ઇન્ટિગ્રલ થીયરમના કિસ્સામાં પ્રશ્નમાં કાર્યને સરળ રીતે જોડાયેલા પ્રદેશ પર વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. હકીકતમાં, હોલોમોર્ફી સ્થાનિક રીતે એન્ટિડેરિવેટિવ હોવા દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે, એટલે કે, જી એ હોલોમોર્ફિક છે જો તેના ડોમેનમાં દરેક ઝેડ માટે, ત્યાં ઝેડના કેટલાક પડોશી યુ છે જેમ કે જી યુ પર એન્ટિડેરિવેટિવ ધરાવે છે. વધુમાં, હોલોમોર્ફી એ કાર્ય માટે એન્ટિડેરિવેટિવ હોવા માટે જરૂરી શરત છે, કારણ કે કોઈપણ હોલોમોર્ફિક કાર્યનું વ્યુત્પન્ન હોલોમોર્ફિક છે. કોચી ઇન્ટિગ્રલ થીયરમની વિવિધ આવૃત્તિઓ, જે કોચી ફંક્શન થિયરીનું પાયાનું પરિણામ છે, જે પાથ ઇન્ટિગ્રલ્સનો ભારે ઉપયોગ કરે છે, તે પૂરતી શરતો આપે છે, જે હેઠળ, હોલોમોર્ફિક g માટે, કોઈપણ બંધ પાથ γ માટે અદૃશ્ય થઈ જાય છે (જે, ઉદાહરણ તરીકે, હોઈ શકે છે કે g નું ડોમેન ફક્ત જોડાયેલ અથવા સ્ટાર-કન્વેક્સ હોઈ શકે છે). આવશ્યકતા પહેલા આપણે બતાવીએ છીએ કે જો f એ U પર g નું એન્ટિડેરિવેટિવ છે, તો પછી g પાસે ઉપર આપેલો પાથ ઇન્ટિગ્રલ પ્રોપર્ટી છે. કોઈપણ પીસવાઇઝ C1 પાથ γ: [a, b] → U આપવામાં આવે તો, કોઈ પણ વ્યક્તિ g ઓવર γ ના પાથ ઇન્ટિગ્રલને વ્યક્ત કરી શકે છે. પર્યાપ્તતા આગળ આપણે બતાવીએ છીએ કે જો g હોલોમોર્ફિક છે, અને કોઈપણ માર્ગ પર g નું ઇન્ટિગ્રલ માત્ર અંતિમ બિંદુઓ પર આધાર રાખે છે, તો g પાસે એન્ટિડેરિવેટિવ છે. આપણે સ્પષ્ટપણે એન્ટિ-ડેરિવેટિવ્ઝ શોધીને આમ કરીશું. સામાન્યતાની ખોટ વિના, આપણે ધારી શકીએ કે g નું ડોમેન U જોડાયેલું છે, કારણ કે અન્યથા દરેક જોડાયેલા ઘટક પર એન્ટિડેરિવેટિવનું અસ્તિત્વ સાબિત કરી શકાય છે. આ ધારણા સાથે, U માં એક બિંદુ z0 નક્કી કરો અને U માં કોઈપણ z માટે કાર્યને વ્યાખ્યાયિત કરો જ્યાં γ એ z0 થી z ને જોડતો કોઈપણ માર્ગ છે. આ પ્રકારનો માર્ગ અસ્તિત્વમાં છે કારણ કે U એ ઓપન કનેક્ટેડ સેટ હોવાનું માનવામાં આવે છે. ફંક્શન f સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે કારણ કે ઇન્ટિગ્રલ માત્ર γ ના અંતિમ બિંદુઓ પર આધાર રાખે છે. આ f એ g નું એન્ટિડેરિવેટિવ છે તે વાસ્તવિક કેસની જેમ જ દલીલ કરી શકાય છે. આપણી પાસે, યુ માં આપેલ ઝેડ માટે, કે ઝેડ પર કેન્દ્રિત અને સંપૂર્ણપણે યુ ની અંદર સમાવિષ્ટ ડિસ્ક અસ્તિત્વમાં હોવી જોઈએ. પછી આ ડિસ્કની અંદર ઝેડ સિવાયના દરેક ડબલ્યુ માટે જ્યાં [ઝેડ, ડબલ્યુ] ઝેડ અને ડબલ્યુ વચ્ચેના રેખા ખંડને સૂચવે છે. જીની સાતત્યતા દ્વારા, અંતિમ અભિવ્યક્તિ શૂન્ય પર જાય છે કારણ કે ડબલ્યુ ઝેડની નજીક પહોંચે છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, f′ = g. સંદર્ભો બાહ્ય કડીઓ જટિલ વિશ્લેષણ