Vector notation
ગણિત અને ભૌતિકશાસ્ત્રમાં, વેક્ટર નોટેશન એ વેક્ટરનું પ્રતિનિધિત્વ કરવા માટે સામાન્ય રીતે ઉપયોગમાં લેવાતી નોટેશન છે, જે યુક્લિડિયન વેક્ટર હોઈ શકે છે, અથવા વધુ સામાન્ય રીતે, વેક્ટર સ્પેસના સભ્યો હોઈ શકે છે. વેક્ટરનું પ્રતિનિધિત્વ કરવા માટે, સામાન્ય ટાઇપોગ્રાફિક પરંપરા લોઅર કેસ, સીધા બોલ્ડફેસ પ્રકાર છે, જેમ કે. ઇન્ટરનેશનલ ઓર્ગેનાઇઝેશન ફોર સ્ટાન્ડર્ડાઇઝેશન (આઇએસઓ) જમણા તીર દ્વારા ઉચ્ચારિત બોલ્ડ ઇટાલિક સેરીફ અથવા નોન-બોલ્ડ ઇટાલિક સેરીફની ભલામણ કરે છે. અદ્યતન ગણિતમાં, વેક્ટરને ઘણીવાર કોઈપણ ચલની જેમ સરળ ત્રાંસા અક્ષરોમાં રજૂ કરવામાં આવે છે. 1835માં ગ્યુસ્ટો બેલાવાઇટ્સે સમતુલ્ય નિર્દેશિત રેખા વિભાગોનો વિચાર રજૂ કર્યો હતો, જેના પરિણામે આવા વિભાગોના સમતુલ્ય વર્ગ તરીકે વેક્ટરનો ખ્યાલ આવ્યો હતો. વેક્ટર શબ્દની રચના ડબલ્યુ. આર. હેમિલ્ટન દ્વારા 1843ની આસપાસ કરવામાં આવી હતી, કારણ કે તેમણે ક્વાટર્નિયનો જાહેર કર્યા હતા, જે એક એવી પ્રણાલી છે જે ચાર પરિમાણીય જગ્યાને વિસ્તારવા માટે વેક્ટર અને સ્કેલર્સનો ઉપયોગ કરે છે. ક્વાટર્નિયન q = a + b + cj + dk માટે, હેમિલ્ટને બે અંદાજોનો ઉપયોગ કર્યો હતોઃ S q = a, q ના સ્કેલર ભાગ માટે, અને V q = b + cj + dk, વેક્ટર ભાગ. આધુનિક શબ્દો ક્રોસ પ્રોડક્ટ (×) અને ડોટ પ્રોડક્ટ (. ), બે વેક્ટર p અને q નો ચતુર્થાંશ ગુણાકાર pq =-p. q + p × q લખી શકાય છે. 1878 માં, ડબ્લ્યુ. કે. ક્લિફોર્ડએ તેમના પાઠ્યપુસ્તક એલિમેન્ટ્સ ઓફ ડાયનેમિકમાં વિદ્યાર્થીઓ માટે ક્વાટર્નિયન ઓપરેશનને ઉપયોગી બનાવવા માટે બે ઉત્પાદનોને કાપી નાખ્યા. યેલ યુનિવર્સિટી ખાતે વ્યાખ્યાન આપતા, જોસિયાહ વિલાર્ડ ગિબ્સે સ્કેલર પ્રોડક્ટ અને વેક્ટર પ્રોડક્ટ્સ માટે સંકેત પૂરા પાડ્યા હતા, જે વેક્ટર એનાલિસિસમાં રજૂ કરવામાં આવ્યા હતા. 1891માં, ઓલિવર હેવિસાઇડે ક્લેયરન્ડન માટે વેક્ટર અને સ્કેલર્સને અલગ પાડવાની દલીલ કરી હતી. તેમણે ટેટ દ્વારા ગ્રીક અક્ષરો અને મેક્સવેલ દ્વારા ગોથિક અક્ષરોના ઉપયોગની ટીકા કરી હતી. 1912માં, જે. બી. શોએ ક્વાટર્નિયન સોસાયટીના બુલેટિનમાં તેમના "વેક્ટર અભિવ્યક્તિઓ માટે તુલનાત્મક સંકેત" નું યોગદાન આપ્યું હતું. ત્યારબાદ, એલેક્ઝાન્ડર મેકફાર્લેને તે જ પ્રકાશનમાં વેક્ટર સાથે સ્પષ્ટ અભિવ્યક્તિ માટે 15 માપદંડ વર્ણવ્યા હતા. 1841માં હર્મન ગ્રાસમેન દ્વારા અને ફરીથી 1862માં જર્મન ભાષામાં વેક્ટર વિચારો વિકસાવવામાં આવ્યા હતા. પરંતુ જર્મન ગણિતશાસ્ત્રીઓને અંગ્રેજી બોલતા ગણિતશાસ્ત્રીઓ જેટલા ચતુર્થાંશ સાથે લેવામાં આવતા ન હતા. જ્યારે ફેલિક્સ ક્લેઇન જર્મન ગાણિતિક જ્ઞાનકોશનું આયોજન કરી રહ્યા હતા, ત્યારે તેમણે આર્નોલ્ડ સોમરફેલ્ડને વેક્ટર નોટેશનને પ્રમાણિત કરવાની જવાબદારી સોંપી હતી. 1950માં, જ્યારે એકેડેમિક પ્રેસે સોમરફેલ્ડ દ્વારા સૈદ્ધાંતિક ભૌતિકશાસ્ત્ર પરના વ્યાખ્યાનના ખંડ 2ના જી. કુએર્ટીના અનુવાદને પ્રકાશિત કર્યો, ત્યારે વેક્ટર નોટેશન એ ફૂટનોટનો વિષય હતોઃ "મૂળ જર્મન લખાણમાં, વેક્ટર અને તેમના ઘટકો સમાન ગોથિક પ્રકારોમાં છાપવામાં આવે છે. આ અનુવાદ માટે બંને વચ્ચે ટાઇપોગ્રાફિક તફાવત કરવાની વધુ સામાન્ય રીત અપનાવવામાં આવી છે. લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ્સ કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સ સિસ્ટમને જોતાં, વેક્ટરને તેના કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા નિર્દિષ્ટ કરી શકાય છે, જે સંખ્યાઓનું ટુપલ છે. ક્રમબદ્ધ સમૂહ સંકેતનમાં વેક્ટરને ઘટકોના ક્રમબદ્ધ સમૂહનો ઉપયોગ કરીને સ્પષ્ટ કરી શકાય છે, જે કૌંસ અથવા કોણ કૌંસમાં બંધ હોય છે. સામાન્ય અર્થમાં, n-પરિમાણીય વેક્ટર v ને નીચેનામાંથી કોઈપણ સ્વરૂપમાં સ્પષ્ટ કરી શકાય છેઃ જ્યાં v1, v2,., vn −1, vn એ v ના ઘટકો છે. રો મેટ્રિક્સ તરીકે ઉલ્લેખિત વેક્ટરને રો વેક્ટર તરીકે ઓળખવામાં આવે છે; જે કોલમ મેટ્રિક્સ તરીકે ઉલ્લેખિત છે તે કોલમ વેક્ટર તરીકે ઓળખાય છે. ફરીથી, n-પરિમાણીય વેક્ટરને મેટ્રિસીસનો ઉપયોગ કરીને નીચેનામાંથી કોઈપણ સ્વરૂપમાં સ્પષ્ટ કરી શકાય છેઃ જ્યાં v1, v2,., vn −1, vn એ v ના ઘટકો છે. કેટલાક અદ્યતન સંદર્ભોમાં, પંક્તિ અને સ્તંભ વેક્ટરનો અલગ અર્થ હોય છે; વધુ માટે વેક્ટરની સહપરિવર્તન અને વિરોધાભાસ જુઓ. એકમ વેક્ટર નોટેશન (અથવા ઓછા પરિમાણો, જેમ કે જ્યાં નીચે vz શૂન્ય હોય) માં વેક્ટરને વેક્ટરના ઘટકોના સ્કેલર ગુણાંકના સરવાળા તરીકે નિર્દિષ્ટ કરી શકાય છે જેમાં પ્રમાણભૂત આધારના સભ્યો હોય છે. આધાર એકમ વેક્ટર, અને સાથે રજૂ થાય છે. ત્રિ-પરિમાણીય વેક્ટરને એકમ વેક્ટર સંકેતનો ઉપયોગ કરીને નીચેના સ્વરૂપમાં સ્પષ્ટ કરી શકાય છેઃ જ્યાં vx, vy અને vz એ v ના સ્કેલર ઘટકો છે. સ્કેલર ઘટકો હકારાત્મક કે નકારાત્મક હોઈ શકે છે; સ્કેલર ઘટકનું નિરપેક્ષ મૂલ્ય તેની તીવ્રતા છે. ધ્રુવીય કોઓર્ડિનેટ્સ સમતલમાં એક બિંદુના બે ધ્રુવીય કોઓર્ડિનેટ્સને દ્વિ-પરિમાણીય વેક્ટર તરીકે ગણી શકાય. આવા વેક્ટરમાં તીવ્રતા (અથવા લંબાઈ) અને દિશા (અથવા ખૂણો) હોય છે. તીવ્રતા, જેને સામાન્ય રીતે r તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે, તે પ્રારંભિક બિંદુ, મૂળથી તે બિંદુ સુધીનું અંતર છે જે રજૂ થાય છે. કોણ, જેને સામાન્ય રીતે θ (ગ્રીક અક્ષર થીટા) તરીકે રજૂ કરવામાં આવે છે, તે કોણ છે, જે સામાન્ય રીતે માપવામાં આવે છે, એક નિશ્ચિત દિશા વચ્ચે, સામાન્ય રીતે હકારાત્મક x-અક્ષની દિશા અને મૂળથી બિંદુ સુધીની દિશા. કોણ સામાન્ય રીતે રેન્જ રેડિયન અથવા અંદર આવેલા ઘટાડવામાં આવે છે. ક્રમબદ્ધ સમૂહ અને મેટ્રિક્સ સંકેતો વેક્ટરને લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ્સની જેમ ક્રમબદ્ધ જોડી સંકેતલિપી (માત્ર બે ઘટકોનો ઉપયોગ કરીને ક્રમબદ્ધ સમૂહ સંકેતલિપીનો સબસેટ) અથવા મેટ્રિક્સ સંકેતલિપીનો ઉપયોગ કરીને સ્પષ્ટ કરી શકાય છે. આ સ્વરૂપોમાં, વેક્ટરનો પ્રથમ ઘટક r (v1 ને બદલે) છે, અને બીજો ઘટક θ (v2 ને બદલે) છે. ધ્રુવીય કોઓર્ડિનેટ્સને લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ્સથી અલગ પાડવા માટે, કોણને કોણ પ્રતીક સાથે ઉપસર્ગ કરી શકાય છે. v માટે દ્વિ-પરિમાણીય ધ્રુવીય કોઓર્ડિનેટ્સને ક્રમબદ્ધ જોડી અથવા મેટ્રિક્સ નોટેશનનો ઉપયોગ કરીને નીચેનામાંથી કોઈપણ તરીકે રજૂ કરી શકાય છેઃ જ્યાં r એ પરિમાણ છે, θ એ કોણ છે, અને કોણ પ્રતીક () વૈકલ્પિક છે. ડાયરેક્ટ નોટેશન વેક્ટરને સરળ સ્વાયત્ત સમીકરણોનો ઉપયોગ કરીને પણ સ્પષ્ટ કરી શકાય છે જે r અને θ ને સ્પષ્ટ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરે છે. આ અપૂરતું હોઈ શકે છે, પરંતુ બે-પરિમાણીય લંબચોરસ વેક્ટર સાથેની મૂંઝવણને ટાળવા માટે ઉપયોગી છે જે ક્રમબદ્ધ જોડી અથવા મેટ્રિક્સ નોટેશનનો ઉપયોગ કરવાથી ઉદ્ભવે છે. એક દ્વિ-પરિમાણીય વેક્ટર જેની તીવ્રતા 5 એકમો છે, અને જેની દિશા π/9 રેડિયન (20°) છે, તેને નીચેનામાંથી કોઈપણ સ્વરૂપનો ઉપયોગ કરીને સ્પષ્ટ કરી શકાય છેઃ નળાકાર વેક્ટર એક નળાકાર વેક્ટર એ ધ્રુવીય કોઓર્ડિનેટ્સની વિભાવનાનું ત્રણ પરિમાણોમાં વિસ્તરણ છે. તે નળાકાર સંકલન પ્રણાલીમાં તીર જેવું છે. નળાકાર વેક્ટરને xy-સમતલમાં અંતર, એક કોણ અને xy-સમતલ (ઊંચાઈ) થી અંતર દ્વારા નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે. પ્રથમ અંતર, જેને સામાન્ય રીતે r અથવા ρ (ગ્રીક અક્ષર rho) તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે, તે xy-સમતલ પર વેક્ટરના પ્રક્ષેપણની તીવ્રતા છે. કોણ, જેને સામાન્ય રીતે θ અથવા φ (ગ્રીક અક્ષર phi) તરીકે રજૂ કરવામાં આવે છે, તેને હકારાત્મક દિશામાં x-અક્ષ સાથે કોલિનિયર રેખાથી ઓફસેટ તરીકે માપવામાં આવે છે; કોણ સામાન્ય રીતે શ્રેણીની અંદર રહે છે. બીજું અંતર, જેને સામાન્ય રીતે h અથવા z તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે, તે xy-સમતલથી વેક્ટરના અંતિમ બિંદુ સુધીનું અંતર છે. ક્રમબદ્ધ સમૂહ અને મેટ્રિક્સ સંકેતો નળાકાર વેક્ટર ધ્રુવીય કોઓર્ડિનેટ્સનો ઉપયોગ કરે છે, જ્યાં બીજા અંતર ઘટકને ક્રમબદ્ધ ત્રિપાઇ (ફરીથી, ક્રમબદ્ધ સમૂહ સંકેતનો સબસેટ) અને મેટ્રિક્સ બનાવવા માટે ત્રીજા ઘટક તરીકે જોડવામાં આવે છે. કોણને કોણ પ્રતીક () સાથે ઉપસર્ગ કરી શકાય છે; અંતર-કોણ-અંતર સંયોજન આ સંકેતલિપીમાં નળાકાર વેક્ટરને સમાન સંકેતલિપીમાં ગોળાકાર વેક્ટરથી અલગ પાડે છે. ત્રિ-પરિમાણીય નળાકાર વેક્ટર v ને નીચેનામાંથી કોઈપણ તરીકે રજૂ કરી શકાય છે, ક્યાં તો ક્રમબદ્ધ ત્રિપાઇ અથવા મેટ્રિક્સ સંકેતનો ઉપયોગ કરીનેઃ જ્યાં r એ xy-સમતલ પર v ના પ્રક્ષેપણની તીવ્રતા છે, θ એ હકારાત્મક x-અક્ષ અને v વચ્ચેનો કોણ છે, અને h એ xy-સમતલથી v ના અંતિમ બિંદુ સુધીની ઊંચાઈ છે. ફરીથી, કોણ પ્રતીક () વૈકલ્પિક છે. r (અથવા ρ), θ (અથવા φ), અને h (અથવા z) ને વ્યાખ્યાયિત કરતા સરળીકૃત સ્વાયત્ત સમીકરણોનો ઉપયોગ કરીને નળાકાર વેક્ટરને પણ સીધો સ્પષ્ટ કરી શકાય છે. ચલ માટે વાપરવા માટે નામો પસંદ કરતી વખતે સુસંગતતાનો ઉપયોગ થવો જોઈએ; ρ ને θ અને તેથી વધુ સાથે મિશ્રિત ન કરવું જોઈએ. ત્રિ-પરિમાણીય વેક્ટર, જેની xy-સમતલ પર પ્રક્ષેપણની તીવ્રતા 5 એકમો છે, જેનો હકારાત્મક x-અક્ષથી કોણ π/9 રેડિયન (20°) છે, અને જેની xy-સમતલથી ઊંચાઈ 3 એકમો છે તે નીચેનામાંથી કોઈપણ સ્વરૂપમાં સ્પષ્ટ કરી શકાય છેઃ ગોળાકાર વેક્ટર એક ગોળાકાર વેક્ટર ધ્રુવીય વેક્ટરની વિભાવનાને ત્રણ પરિમાણોમાં વિસ્તારવા માટેની બીજી પદ્ધતિ છે. તે ગોળાકાર સંકલન પ્રણાલીમાં તીર જેવું છે. ગોળાકાર વેક્ટરને તીવ્રતા, અઝીમુથ ખૂણો અને પરાકાષ્ઠા ખૂણા દ્વારા સ્પષ્ટ કરવામાં આવે છે. તીવ્રતા સામાન્ય રીતે ρ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે. અઝીમુથ ખૂણો, જેને સામાન્ય રીતે θ તરીકે રજૂ કરવામાં આવે છે, તે હકારાત્મક x-અક્ષમાંથી () સરભર થાય છે. પરાકાષ્ઠાનો ખૂણો, જે સામાન્ય રીતે φ તરીકે રજૂ થાય છે, તે હકારાત્મક z-અક્ષમાંથી સરભર થાય છે. બંને ખૂણાઓ સામાન્ય રીતે શૂન્ય (સમાવિષ્ટ) થી 2π (વિશિષ્ટ) સુધીની શ્રેણીમાં આવેલા હોય છે. ક્રમબદ્ધ સમૂહ અને મેટ્રિક્સ સંકેતો ગોળાકાર વેક્ટરને ધ્રુવીય વેક્ટરની જેમ નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે, જ્યાં ક્રમબદ્ધ ત્રિપાઇ અને મેટ્રિક્સ રચવા માટે પરાકાષ્ઠા કોણને ત્રીજા ઘટક તરીકે જોડવામાં આવે છે. અઝીમુથ અને પરાકાષ્ઠા ખૂણા બંને કોણ પ્રતીક () સાથે ઉપસર્ગ કરી શકાય છે; ઉપસર્ગનો ઉપયોગ અંતર-કોણ-કોણ સંયોજન બનાવવા માટે સતત થવો જોઈએ જે ગોળાકાર વેક્ટરને નળાકારથી અલગ પાડે છે. ત્રિ-પરિમાણીય ગોળાકાર વેક્ટર v ને નીચેનામાંથી કોઈપણ તરીકે રજૂ કરી શકાય છે, ક્યાં તો ક્રમબદ્ધ ત્રિપાઇ અથવા મેટ્રિક્સ નોટેશનનો ઉપયોગ કરીનેઃ જ્યાં ρ એ તીવ્રતા છે, θ એ અઝીમુથ કોણ છે, અને φ એ પરાકાષ્ઠા કોણ છે. ધ્રુવીય અને નળાકાર વેક્ટરની જેમ, ગોળાકાર વેક્ટરને સરળ સ્વાયત્ત સમીકરણોનો ઉપયોગ કરીને સ્પષ્ટ કરી શકાય છે, આ કિસ્સામાં ρ, θ અને φ માટે. એક ત્રિ-પરિમાણીય વેક્ટર જેની તીવ્રતા 5 એકમો છે, જેનો અઝીમુથ કોણ π/9 રેડિયન (20°) છે, અને જેનો પરાકાષ્ઠા કોણ π/4 રેડિયન (45°) છે તેને આ રીતે નિર્દિષ્ટ કરી શકાય છેઃ કોઈપણ વેક્ટર જગ્યામાં, વેક્ટર ઉમેરા અને સ્કેલર ગુણાકારની કામગીરીને વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. નોર્મ્ડ વેક્ટર સ્પેસ પણ નોર્મ (અથવા તીવ્રતાના નિર્ધારણ) તરીકે ઓળખાતી કામગીરીને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. આંતરિક ઉત્પાદન જગ્યાઓ પણ આંતરિક ઉત્પાદન તરીકે ઓળખાતી કામગીરીને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. આંતરિક ઉત્પાદનને ડોટ પ્રોડક્ટ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. અને, ક્રોસ પ્રોડક્ટ તરીકે ઓળખાતી વધારાની કામગીરીને પણ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. વેક્ટર ઉમેરા વેક્ટર ઉમેરા બે વેક્ટર વચ્ચે ઓપરેટર તરીકે ઉપયોગમાં લેવાતા વત્તા ચિહ્ન સાથે રજૂ થાય છે. બે વેક્ટર u અને v નો સરવાળો આ રીતે દર્શાવવામાં આવશેઃ સ્કેલર ગુણાકાર સ્કેલર ગુણાકારને બીજગણિત ગુણાકારની જેમ જ રજૂ કરવામાં આવે છે. વેક્ટરની બાજુમાં સ્કેલર (જેમાંથી ક્યાં તો અથવા બંને કૌંસમાં હોઈ શકે છે) સ્કેલર ગુણાકાર સૂચવે છે. બે સામાન્ય ઓપરેટરો, ડોટ અને રોટેટેડ ક્રોસ પણ સ્વીકાર્ય છે (જોકે રોટેટેડ ક્રોસનો લગભગ ક્યારેય ઉપયોગ થતો નથી), પરંતુ તેઓ ડોટ પ્રોડક્ટ્સ અને ક્રોસ પ્રોડક્ટ્સ સાથે મૂંઝવણનું જોખમ લે છે, જે બે વેક્ટર પર કામ કરે છે. વેક્ટર v સાથેના સ્કેલર k નું ગુણાકાર નીચેની કોઈપણ શૈલીમાં રજૂ કરી શકાય છેઃ વેક્ટર બાદબાકી અને સ્કેલર વિભાજન સ્કેલર ગુણાકાર સાથે બાદબાકી અને વિભાજનના બીજગણિત ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને, બે વેક્ટરને "બાદબાકી" કરવી અને વેક્ટરને સ્કેલર દ્વારા "વિભાજીત" કરવું પણ શક્ય છે. વેક્ટર બાદબાકી પ્રથમ વેક્ટર ઓપરેન્ડમાં બીજા વેક્ટર ઓપરેન્ડ સાથે −1 ના સ્કેલર ગુણાંકને ઉમેરીને કરવામાં આવે છે. આને ઓપરેટર તરીકે ઓછા ચિહ્નના ઉપયોગ દ્વારા રજૂ કરી શકાય છે. બે વેક્ટર u અને v વચ્ચેનો તફાવત નીચેની કોઈપણ શૈલીમાં રજૂ કરી શકાય છેઃ સ્કેલર વિભાજન વેક્ટર ઓપરેન્ડને સ્કેલર ઓપરેન્ડના આંકડાકીય વ્યસ્ત સાથે ગુણાકાર કરીને કરવામાં આવે છે. આને અપૂર્ણાંક પટ્ટી અથવા વિભાજન ચિહ્નોના ઉપયોગ દ્વારા ઓપરેટરો તરીકે રજૂ કરી શકાય છે. વેક્ટર v અને સ્કેલર c ના ભાગાકારને નીચેના કોઈપણ સ્વરૂપોમાં રજૂ કરી શકાય છેઃ નોર્મ વેક્ટરના ધોરણને વેક્ટરની બંને બાજુએ ડબલ બાર સાથે રજૂ કરવામાં આવે છે. વેક્ટર v ના ધોરણને આ રીતે રજૂ કરી શકાય છેઃ ધોરણને કેટલીકવાર સિંગલ બાર સાથે પણ રજૂ કરવામાં આવે છે, જેમ કે, પરંતુ આને નિરપેક્ષ મૂલ્ય (જે ધોરણનો એક પ્રકાર છે) સાથે ભેળસેળ કરી શકાય છે. આંતરિક ઉત્પાદન બે વેક્ટરનું આંતરિક ઉત્પાદન (જેને સ્કેલર પ્રોડક્ટ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે, જેને સ્કેલર ગુણાકાર સાથે ગેરસમજ ન થવી જોઈએ) એ કોણ કૌંસમાં બંધ થયેલ ક્રમબદ્ધ જોડી તરીકે રજૂ થાય છે. બે વેક્ટર u અને v ના આંતરિક ઉત્પાદનને આ રીતે રજૂ કરવામાં આવશેઃ ડોટ ઉત્પાદન આંતરિક ઉત્પાદનને ડોટ ઉત્પાદન તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે. પ્રમાણભૂત આંતરિક ઉત્પાદન સંકેત ઉપરાંત, ડોટ ઉત્પાદન સંકેત (ઓપરેટર તરીકે ડોટનો ઉપયોગ કરીને) નો પણ ઉપયોગ કરી શકાય છે (અને તે વધુ સામાન્ય છે). બે વેક્ટર u અને v ના ડોટ પ્રોડક્ટને આ રીતે રજૂ કરી શકાય છેઃ કેટલાક જૂના સાહિત્યમાં, ડોટ પ્રોડક્ટ બે વેક્ટર વચ્ચે બાજુ-બાજુ લખવામાં આવે છે. આ સંકેતને બે વેક્ટર વચ્ચેના ડાયડિક ઉત્પાદન સાથે ભેળસેળ કરી શકાય છે. ક્રોસ પ્રોડક્ટ બે વેક્ટર (in) નું ક્રોસ પ્રોડક્ટ ઓપરેટર તરીકે રોટેટેડ ક્રોસનો ઉપયોગ કરીને રજૂ કરવામાં આવે છે. બે વેક્ટર u અને v નું ક્રોસ પ્રોડક્ટ આ રીતે રજૂ કરવામાં આવશેઃ કેટલાક સંમેલનો દ્વારા (દા. ત. ફ્રાન્સમાં અને ઉચ્ચ ગણિતના કેટલાક ક્ષેત્રોમાં), આને ફાચર દ્વારા પણ સૂચવવામાં આવે છે, જે ફાચર ઉત્પાદન સાથે મૂંઝવણને ટાળે છે કારણ કે બંને ત્રણ પરિમાણોમાં કાર્યાત્મક રીતે સમકક્ષ છેઃ કેટલાક જૂના સાહિત્યમાં, નીચેના સંકેતનો ઉપયોગ યુ અને વી વચ્ચેના ક્રોસ પ્રોડક્ટ માટે થાય છેઃ નાબલા વેક્ટર નોટેશનનો ઉપયોગ નાબલા ઓપરેટર દ્વારા કલન સાથે થાય છેઃ સ્કેલર ફંક્શન એફ સાથે, ઢાળને વેક્ટર ક્ષેત્રની જેમ લખવામાં આવે છે, એફને વિચલન તરીકે અને વેક્ટર ક્ષેત્ર સાથે લખવામાં આવે છે, એફ કર્લને યુક્લિડિયન વેક્ટર ફેઝર સંદર્ભો ગાણિતિક સંકેત વેક્ટર (ગણિત અને ભૌતિકશાસ્ત્ર) તરીકે લખવામાં આવે છે.