Congruence lattice problem
ગણિતમાં, એકરૂપ જાળીની સમસ્યા પૂછે છે કે શું દરેક બીજગણિત વિતરણ જાળી કોઈ અન્ય જાળીના એકરૂપ જાળી માટે સમરૂપ છે. આ સમસ્યા રોબર્ટ પી. દિલવર્થ દ્વારા રજૂ કરવામાં આવી હતી, અને ઘણા વર્ષો સુધી તે જાળી સિદ્ધાંતમાં સૌથી પ્રસિદ્ધ અને લાંબા સમયથી ચાલતી ખુલ્લી સમસ્યાઓમાંની એક હતી; તેની જાળી સિદ્ધાંતના વિકાસ પર જ ઊંડી અસર પડી હતી. દરેક વિતરણ જાળી એ એકરૂપ જાળી છે તે અનુમાન મહત્તમ α1 સઘન ઘટકો સાથે તમામ વિતરણ જાળી માટે સાચું છે, પરંતુ એફ. વેહરુંગે કુરાટોવ્સ્કીના મુક્ત સમૂહ પ્રમેય પર આધારિત બાંધકામનો ઉપયોગ કરીને α2 સઘન ઘટકો સાથે વિતરણ જાળી માટે પ્રતિકૂળ ઉદાહરણ પૂરું પાડ્યું હતું. પ્રારંભિક અમે કોન A દ્વારા બીજગણિત A ની એકરૂપ જાળી સૂચવીએ છીએ, એટલે કે, સમાવેશ હેઠળ A ની તમામ એકરૂપતાની જાળી. નીચેની એક સાર્વત્રિક-બીજગણિત તુચ્છતા છે. તે કહે છે કે એકરૂપતા માટે, મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન થવું એ જાળી-સૈદ્ધાંતિક ગુણધર્મ છે. લેમ્મા. બીજગણિત A ની એકરૂપતા મર્યાદિત રીતે ત્યારે જ પેદા થાય છે જ્યારે તે કોન A નું સઘન તત્વ હોય. બીજગણિતની દરેક એકરૂપતા એ તેની નીચે મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન થયેલ એકરૂપતાનું જોડાણ છે (દા. ત., મોડ્યુલનું દરેક પેટા મોડ્યુલ તેના તમામ મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન થયેલ પેટા મોડ્યુલોનું જોડાણ છે), આપણે નીચેનું પરિણામ મેળવીએ છીએ, જે સૌપ્રથમ 1948માં બિર્ખોફ અને ફ્રિંક દ્વારા પ્રકાશિત કરવામાં આવ્યું હતું. પ્રમેય (બિર્ખોફ અને ફ્રિંક 1948). કોઈપણ બીજગણિત A ની એકરૂપ જાળી કોન A એ બીજગણિત જાળી છે. જ્યારે જૂથો, મોડ્યુલો, રિંગ્સ (તેમને બ્રહ્માંડના સબસેટ સાથે ઓળખી શકાતા નથી) ની તુલનામાં જાળીઓની એકરૂપતા કંઈક ગુમાવે છે, ત્યારે તેઓ હજુ સુધી સામનો કરવામાં આવેલી અન્ય તમામ રચનાઓમાં પણ અનન્ય ગુણધર્મ ધરાવે છે. પ્રમેય (ફનાયામા અને નાકાયામા 1942). કોઈપણ જાળીનું એકરૂપ જાળી વિતરણક્ષમ હોય છે. આ કહે છે કે આપેલ જાળીના કોઈપણ એકરૂપ α, β, અને γ માટે α (β) = (α). આ પરિણામનું એનાલોગ નિષ્ફળ જાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, મોડ્યુલો માટે, એક નિયમ તરીકે, આપેલ મોડ્યુલના પેટા મોડ્યુલો એ, બી, સી માટે. આ પરિણામ પછી તરત જ, દિલવર્થે નીચેનું પરિણામ સાબિત કર્યું. તેમણે પરિણામ પ્રકાશિત કર્યું ન હતું પરંતુ તે 1948માં બિરખોફમાં તેમને શ્રેય આપવામાં આવેલી કવાયત તરીકે દેખાય છે. પ્રથમ પ્રકાશિત પુરાવો ગ્રેત્ઝર અને શ્મિટ 1962 માં છે. પ્રમેય (દિલવર્થ ≈ 1940, ગ્રેત્ઝર અને શ્મિટ 1962). દરેક મર્યાદિત વિતરણ જાળી અમુક મર્યાદિત જાળીના એકરૂપ જાળી માટે સમરૂપ છે. તે અવલોકન કરવું અગત્યનું છે કે ગ્રેત્ઝર અને શ્મિટના સાબિતીમાં મળેલો ઉકેલ જાળી વિભાગીય રીતે પૂરક છે, એટલે કે, તેમાં ઓછામાં ઓછું તત્વ છે (કોઈપણ મર્યાદિત જાળી માટે સાચું છે) અને તમામ તત્વો માટે a ≤ b એ x = b અને a ≤ x = 0 સાથે એક તત્વ x અસ્તિત્વમાં છે. તે પેપરમાં જ સી. એલ. પી. પ્રથમ વખત પ્રકાશિત સ્વરૂપમાં જણાવવામાં આવ્યું છે, જોકે એવું લાગે છે કે સી. એલ. પી. ના પ્રારંભિક પ્રયાસો પોતે દિલવર્થ દ્વારા કરવામાં આવ્યા હતા. મર્યાદિત જાળીઓના એકરૂપ જાળીઓને પ્રચંડ પ્રમાણમાં ધ્યાન આપવામાં આવ્યું છે, જેના માટે એક સંદર્ભ ગ્રેત્ઝરનો 2005 મોનોગ્રાફ છે. એકરૂપ જાળી સમસ્યા (સી. એલ. પી.): શું દરેક વિતરણ બીજગણિત જાળી અમુક જાળીના એકરૂપ જાળી માટે સમરૂપ છે? સી. એલ. પી. સમસ્યા જાળી સિદ્ધાંતની સૌથી રસપ્રદ અને સૌથી લાંબી ખુલ્લી સમસ્યાઓમાંની એક રહી છે. સાર્વત્રિક બીજગણિતના કેટલાક સંબંધિત પરિણામો નીચે મુજબ છે. પ્રમેય (ગ્રેટ્ઝર અને શ્મિટ 1963). દરેક બીજગણિત જાળી અમુક બીજગણિતની એકરૂપ જાળી માટે સમરૂપ હોય છે. વેક્ટર સ્પેસ V ની તમામ પેટા જગ્યાઓની જાળી પેટા V ચોક્કસપણે બીજગણિત જાળી છે. આગળનું પરિણામ દર્શાવે છે તેમ, આ બીજગણિત જાળીઓનું પ્રતિનિધિત્વ કરવું મુશ્કેલ છે. પ્રમેય (ફ્રીઝ, લેમ્પે અને ટેલર 1979). ધારો કે V એ અગણિત ક્ષેત્ર F પર અનંત-પરિમાણીય વેક્ટર જગ્યા છે. પછી કોન A થી સબ V માટે આઇસોમોર્ફિક સૂચવે છે કે કોઈપણ બીજગણિત A માટે A પાસે ઓછામાં ઓછી કાર્ડ F કામગીરી છે. V એ અનંત-પરિમાણીય હોવાથી, પેટા V નું સૌથી મોટું તત્વ (એકમ) સઘન નથી. જો કે તે નિરુપદ્રવી લાગે છે, ઉપરોક્ત પરિણામના નિવેદનમાં સઘન એકમ ધારણા આવશ્યક છે, જે નીચેના પરિણામ દ્વારા દર્શાવવામાં આવી છે. પ્રમેય (લેમ્પે 1982). કોમ્પેક્ટ એકમ ધરાવતી દરેક બીજગણિત જાળી અમુક ગ્રૂપોઇડની એકરૂપ જાળી માટે સમરૂપ હોય છે. સી. એલ. પી. ની સેમીલેટીસ રચના એ બીજગણિતની એકરૂપ જાળી કોન એ એ એક બીજગણિત જાળી છે. કોન A ના કોમ્પેક્ટ તત્વોની (, 0)-સેમિલેટિસને કોન A દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે, અને તેને કેટલીકવાર A ની એકરૂપ સેમિલેટિસ કહેવામાં આવે છે. પછી કોન A એ કોન A ના આદર્શ જાળી માટે સમરૂપ છે. અહીં દર્શાવ્યા મુજબ, તમામ (ષ્ણ, 0)-સેમિલેટીસની શ્રેણી અને તમામ બીજગણિત લેટીસની શ્રેણી (મોર્ફિઝમ્સની યોગ્ય વ્યાખ્યાઓ સાથે) વચ્ચેની શાસ્ત્રીય સમાનતાનો ઉપયોગ કરીને, આપણે સી. એલ. પી. ની નીચેની સેમિલેટિસ-સૈદ્ધાંતિક રચના મેળવીએ છીએ. સી. એલ. પી. ની સેમીલેટીસ-સૈદ્ધાંતિક રચનાઃ શું દરેક ડિસ્ટ્રિબ્યુટિવ (ષ્ણ, 0)-સેમીલેટીસ અમુક લેટીસની એકરૂપ સેમીલેટીસ માટે આઇસોમોર્ફિક છે? કહો કે ડિસ્ટ્રિબ્યુટિવ (ષ્ણ, 0)-સેમિલેટિસ રજૂ કરી શકાય તેવું છે, જો તે કોંક્રિટ L માટે આઇસોમોર્ફિક છે, તો કેટલાક લેટીસ L માટે. તેથી CLP પૂછે છે કે શું દરેક ડિસ્ટ્રિબ્યુટિવ (ષ્ણ, 0)-સેમિલેટિસ રજૂ કરી શકાય તેવું છે. આ સમસ્યાની આસપાસની ઘણી તપાસમાં અર્ધવિરામ અથવા બીજગણિતની આકૃતિઓનો સમાવેશ થાય છે. આ વિશેની સૌથી ઉપયોગી લોકકથાઓનું પરિણામ નીચે મુજબ છે. પ્રમેય. ફંકટર કોન્ક્સ, જે આપેલ સહીના તમામ આલ્જેબ્રા પર વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે, બધા માટે (ષ્ણ, 0)-સેમિલેટીસ, સીધી મર્યાદા જાળવી રાખે છે. ડિસ્ટ્રિબ્યુટિવ જોઇન-હોમોમોર્ફિઝમ્સ દ્વારા શ્મિટનો અભિગમ આપણે કહીએ છીએ કે a (, 0)-સેમિલેટિસ શ્મિટની સ્થિતિને સંતોષે છે, જો તે B ના કેટલાક ડિસ્ટ્રિબ્યુટિવ જોઇન-કોન્ગ્રુઅન્સ હેઠળ સામાન્યીકૃત બુલિયન સેમિલેટિસ B ના ભાગાકાર માટે આઇસોમોર્ફિક હોય. (ષ્ણ, 0)-સેમિલેટિસિસની પ્રતિનિધિત્વક્ષમતા વિશેના સૌથી ઊંડા પરિણામોમાંથી એક નીચે મુજબ છે. પ્રમેય (શ્મિટ 1968). શ્મિટની સ્થિતિને સંતોષતી કોઈપણ (ષ્ણ, 0)-સમાનતાને રજૂ કરી શકાય છે. આનાથી નીચેની સમસ્યા ઊભી થઈ, જે તે જ પેપરમાં જણાવવામાં આવી હતી. સમસ્યા 1 (શ્મિટ 1968). શું કોઈપણ (ષ્ણ, 0)-સેમિલેટિસ શ્મિટની સ્થિતિને સંતોષે છે? આંશિક હકારાત્મક જવાબો નીચે મુજબ છે. પ્રમેય (શ્મિટ 1981). શૂન્ય સાથેની દરેક વિતરણ જાળી શ્મિટની સ્થિતિને સંતોષે છે; આમ તે રજૂ કરી શકાય તેવું છે. ફોર્સિંગ અને બુલિયન-વેલ્યુડ મોડેલ્સનો ઉપયોગ કરીને ખૂબ જ લાંબા અને તકનીકી પુરાવા દ્વારા આ પરિણામમાં નીચે મુજબ વધુ સુધારો કરવામાં આવ્યો છે. પ્રમેય (વેહરંગ 2003). શૂન્ય અને (ષ્ણ, 0)-હોમોમોર્ફિઝમ્સ સાથે વિતરણ જાળીઓના ગણતરીપાત્ર ક્રમની દરેક સીધી મર્યાદા રજૂ કરી શકાય છે. અન્ય મહત્વપૂર્ણ પ્રતિનિધિત્વ પરિણામો અર્ધપત્રકની મુખ્યતા સાથે સંબંધિત છે. 1985માં હુહ્નના અવસાન પછી ડોબર્ટિન દ્વારા પ્રકાશન માટે નીચેનું પરિણામ તૈયાર કરવામાં આવ્યું હતું. આ બે સંબંધિત કાગળો 1989માં પ્રકાશિત થયા હતા. પ્રમેય (હુહ્ન 1985). મહત્તમ α1 પર કાર્ડિનાલિટીની દરેક ડિસ્ટ્રિબ્યુટિવ (, 0)-સેમિલેટિસ શ્મિટની સ્થિતિને સંતોષે છે. આમ તે પ્રતિનિધિત્વક્ષમ છે. વિવિધ પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને, ડોબર્ટિનને નીચેનું પરિણામ મળ્યું. પ્રમેય (ડોબર્ટિન 1986). દરેક વિતરણાત્મક (0,0)-સમરૂપતા જેમાં દરેક મુખ્ય આદર્શ સૌથી વધુ ગણવા યોગ્ય હોય તે રજૂ કરી શકાય તેવું છે. સમસ્યા 2 (ડોબર્ટીન 1983). શું દરેક કોનિકલ રિફાઇનમેન્ટ મોનોઈડ માપી શકાય તેવું છે? પુડલાકનો અભિગમ; (, 0)-સમાનતાના આકૃતિઓ ઉઠાવવી પુડલાક દ્વારા તેમના 1985 ના પેપરમાં સૂચવવામાં આવેલ સી. એલ. પી. નો અભિગમ અલગ છે. તે નીચેના પરિણામ પર આધારિત છે, પુડલાકના 1985 ના પેપરમાં તથ્ય 4, પૃષ્ઠ 100, જે અગાઉ યુરી એલ. એર્શોવ દ્વારા તેમના 1977 ના મોનોગ્રાફના પરિચયના વિભાગ 3 માં મુખ્ય પ્રમેય તરીકે મેળવવામાં આવ્યું હતું. પ્રમેય (એર્શોવ 1977, પુડલાક 1985). દરેક ડિસ્ટ્રિબ્યુટિવ (ષ્ણ, 0)-સેમિલેટિસ એ તેના મર્યાદિત ડિસ્ટ્રિબ્યુટિવ (ષ્ણ, 0)-સબસમિલેટિસિસનું નિર્દેશિત જોડાણ છે. આનો અર્થ એ છે કે ડિસ્ટ્રિબ્યુટિવ (ષ્ણ, 0)-સેમિલેટિસ S માં દરેક મર્યાદિત સબસેટ S ના અમુક મર્યાદિત ડિસ્ટ્રિબ્યુટિવ (ષ્ણ, 0)-સબસમિલેટિસમાં સમાયેલ છે. હવે આપણે આપેલ ડિસ્ટ્રિબ્યુટિવ (ષ્ણ, 0)-સેમિલેટિસ S ને કોંક્રિટ L તરીકે રજૂ કરવાનો પ્રયાસ કરી રહ્યા છીએ, અમુક લેટીસ L માટે. S ને મર્યાદિત ડિસ્ટ્રિબ્યુટિવ (ષ્ણ, 0)-સબસમિલેટિસના નિર્દેશિત સંઘ તરીકે લખીને, આપણે દરેક Si ને લેટીસ હોમોમોર્ફિઝમ્સ સાથે લેટીસ Li ના એકરૂપ જાળી તરીકે રજૂ કરવાની આશા રાખીએ છીએ. જો આ કરી શકાય, તો પછી, જેમ આપણે જોયું છે કે કોનક ફંકટર સીધી મર્યાદાને જાળવી રાખે છે, સીધી મર્યાદાને સંતોષે છે. જ્યારે આ સામાન્ય રીતે કરી શકાય કે કેમ તે સમસ્યા લગભગ 20 વર્ષ સુધી ખુલ્લી રહી હતી, ત્યારે પુડલાક તેને શૂન્ય સાથે વિતરણ જાળી માટે સાબિત કરી શક્યો હતો, આમ શ્મિટના પરિણામોમાંથી એકને કાર્યાત્મક ઉકેલ પ્રદાન કરીને વિસ્તૃત કરી શક્યો હતો. પ્રમેય (પુડલાક 1985). શૂન્ય અને 0-જાળી એમ્બેડિંગ્સ સાથેના તમામ વિતરણ લેટીસની શ્રેણીમાંથી શૂન્ય અને 0-જાળી એમ્બેડિંગ્સ સાથેના તમામ લેટીસની શ્રેણીમાં, ફંક્શનને સાચવવાની સીધી મર્યાદા અસ્તિત્વમાં છે, જેમ કે કોન્કફેર કુદરતી રીતે ઓળખની સમકક્ષ છે. વધુમાં, φ (S) એ એક મર્યાદિત અણુ જાળી છે, જે કોઈપણ મર્યાદિત વિતરણ (0)-સેમિલેટિસ S માટે છે. આ પરિણામ વધુ જટિલ બાંધકામ દ્વારા, 2004 અને 2006 માં રુઝિકા દ્વારા સ્થાનિક રીતે મર્યાદિત, વિભાગીય રીતે પૂરક મોડ્યુલર જાળીમાં વધુ સુધારવામાં આવ્યું છે. પુડલાકે 1985માં પૂછ્યું હતું કે શું ઉપરનું તેમનું પરિણામ વિતરણની સમગ્ર શ્રેણી (ષ્ણ, 0)-(ષ્ણ, 0)-એમ્બેડિંગ્સ સાથે સમાનતામાં વિસ્તૃત કરી શકાય છે. જ્યાં સુધી તાજેતરમાં તુમા અને વેહરુંગ દ્વારા નકારાત્મક રીતે ઉકેલવામાં ન આવ્યો ત્યાં સુધી આ સમસ્યા ખુલ્લી રહી હતી. પ્રમેય (તુમા અને વેહરુંગ 2006). ત્યાં મર્યાદિત બુલિયન (, 0)-સેમિલેટીસ અને (, 0,1)-એમ્બેડિંગ્સનો એક આકૃતિ D અસ્તિત્વમાં છે, જે મર્યાદિત આંશિક રીતે ક્રમબદ્ધ સમૂહ દ્વારા અનુક્રમિત છે, જેને કોન્ક્ટ ફંકટરના સંદર્ભમાં, લેટીસ અને લેટીસ હોમોમોર્ફિઝમ્સના કોઈપણ આકૃતિ દ્વારા ઉપાડી શકાતી નથી. ખાસ કરીને, આ તરત જ સૂચવે છે કે સી. એલ. પી. પાસે કોઈ કાર્યકારી ઉકેલ નથી. વધુમાં, તે કેયર્ન્સ અને સેન્ડ્રેઈ દ્વારા સાર્વત્રિક બીજગણિતના 1998ના ઊંડા પરિણામોને અનુસરે છે, જે કહેવાતા કોમ્યુટેટર થિયરી ઓફ વેરાયટીઝમાં છે કે ઉપરોક્ત પરિણામને તમામ જાળીઓની વિવિધતાથી કોઈપણ વિવિધતા સુધી વિસ્તૃત કરી શકાય છે, જેમ કે તમામ કોન એ, માટે, સહીમાં નિશ્ચિત બિન-તુચ્છ ઓળખને સંતોષે છે (ટૂંકમાં, બિન-તુચ્છ એકરૂપ ઓળખ સાથે). આપણે એ પણ ઉલ્લેખ કરવો જોઈએ કે સી. એલ. પી. ખાતેના ઘણા પ્રયાસો પણ નીચેના પરિણામ પર આધારિત હતા, જે સૌપ્રથમ 1978માં બુલમેન-ફ્લેમિંગ અને મેકડોવેલ દ્વારા શેનોનના સ્પષ્ટ 1974ના પરિણામનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરવામાં આવ્યા હતા, સીધી દલીલ માટે 2001માં ગુડએર્લ અને વેહરંગ પણ જુઓ. પ્રમેય (બુલમેન-ફ્લેમિંગ અને મેકડોવેલ 1978). દરેક વિતરણાત્મક (ષ્ણ, 0)-સમરૂપતા એ મર્યાદિત બુલિયન (ષ્ણ, 0)-સમરૂપતા અને (ષ્ણ, 0)-સમરૂપતાની સીધી મર્યાદા છે. એવું અવલોકન કરવું જોઈએ કે જ્યારે એર્શોવ-પુડલાક પ્રમેયમાં ઉપયોગમાં લેવાતા સંક્રમણ હોમોમોર્ફિઝમ્સ (, 0)-એમ્બેડિંગ્સ છે, ત્યારે ઉપરના પરિણામમાં ઉપયોગમાં લેવાતા સંક્રમણ હોમોમોર્ફિઝમ્સ એક-થી-એક જરૂરી નથી, ઉદાહરણ તરીકે જ્યારે કોઈ ત્રણ-તત્વ સાંકળનું પ્રતિનિધિત્વ કરવાનો પ્રયાસ કરે છે. વ્યવહારીક રીતે આ ખૂબ મુશ્કેલીનું કારણ નથી, અને નીચેના પરિણામો સાબિત કરવાનું શક્ય બનાવે છે. પ્રમેય. મહત્તમ α1 પર કાર્ડિનાલિટીનું દરેક ડિસ્ટ્રિબ્યુટિવ (ષ્ણ, 0)-સેમિલેટિસ (1) કોન એલ માટે આઇસોમોર્ફિક છે, કેટલાક સ્થાનિક રીતે મર્યાદિત, પ્રમાણમાં પૂરક મોડ્યુલર લેટિસ એલ (તુમા 1998 અને ગ્રેત્ઝર, લેક્સર અને વેહરંગ 2000) માટે. (2) કેટલાક (જરૂરી નથી કે યુનિટલ) વોન ન્યુમેન રેગ્યુલર રીંગ (વેહરંગ 2000) ના મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન થયેલ દ્વિ-બાજુવાળા આદર્શોની સેમીલેટીસ. (3) કોંક્રિટ એલ, કેટલાક વિભાગીય પૂરક મોડ્યુલર જાળી એલ (વેહરંગ 2000) માટે. (4) કેટલાક સ્થાનિક રીતે મર્યાદિત જૂથો (રુઝીકા, તુમા અને વેહરુંગ 2007) ના મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન થયેલા સામાન્ય પેટાજૂથોનું અર્ધવિરામ. (5) (બિન-પરિવર્તનીય) રીંગ (રુઝિકા, તુમા અને વેહરુંગ 2007) પર કેટલાક જમણા મોડ્યુલની સબમોડ્યૂલ જાળી. આપણે યાદ કરીએ છીએ કે (યુનિટલ, એસોસિએટિવ) રીંગ R માટે, આપણે V (R) દ્વારા ફાઇનાઈટલી જનરેટેડ પ્રોજેક્ટિવ રાઇટ R-મોડ્યુલોના આઇસોમોર્ફિઝમ વર્ગોના (કોનિકલ, કોમ્યુટેટિવ) મોનોઇડને સૂચવીએ છીએ, વધુ વિગતો માટે અહીં જુઓ. યાદ કરો કે જો આર વોન ન્યુમેન રેગ્યુલર હોય, તો વી (આર) એ રિફાઇનમેન્ટ મોનોઇડ છે. આઇ. ડી. સી. આર. દ્વારા આર. ના મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન થયેલ દ્વિ-બાજુવાળા આદર્શોની (ષ્ણ, 0)-સમાનતાને દર્શાવો. આપણે એલ. (આર.) દ્વારા વોન ન્યુમેન નિયમિત રીંગ આરના તમામ મુખ્ય જમણા આદર્શોની જાળીને દર્શાવીએ છીએ. તે જાણીતું છે કે એલ. (આર.) એક પૂરક મોડ્યુલર જાળી છે. નીચેનું પરિણામ વેહરુંગ દ્વારા જોવામાં આવ્યું હતું, જે મુખ્યત્વે જોન્સન અને ગુડેર્લ દ્વારા અગાઉના કાર્યોને આધારે બનાવવામાં આવ્યું હતું. પ્રમેય (વેહરંગ 1999). ધારો કે R એ વોન ન્યુમેન નિયમિત રીંગ છે. પછી (0,0)-સેમિલેટિસીસ IDc R અને Conc L (R) બંને V (R) ના મહત્તમ સેમિલેટિસ ભાગાકાર માટે આઇસોમોર્ફિક છે. બર્ગમેન 1986ની એક જાણીતી અપ્રકાશિત નોંધમાં સાબિત કરે છે કે કોઈપણ સ્થાનિક રીતે મેટ્રિક્સિયલ રીંગ R (કોઈપણ ક્ષેત્ર પર) માટે કોઈપણ સૌથી વધુ ગણતરીપાત્ર ડિસ્ટ્રિબ્યુટિવ (, 0)-સેમિલેટિસ IDC R માટે આઇસોમોર્ફિક છે. આ પરિણામ 2000માં વેહરુંગ દ્વારા માત્ર આરની નિયમિતતા રાખીને (સાબિતી દ્વારા બાંધવામાં આવેલી વીંટી સ્થાનિક રીતે મેટ્રિક નથી) મહત્તમ એ. 1 પર કાર્ડિનાલિટીના અર્ધવિરામ સુધી વિસ્તૃત કરવામાં આવ્યું છે. એ1 કેસમાં આરને સ્થાનિક રીતે મેટ્રિક લઈ શકાય કે કેમ તે પ્રશ્ન થોડા સમય માટે ખુલ્લો રહ્યો, જ્યાં સુધી 2004માં વેહરુંગ દ્વારા તેને નકારી કાઢવામાં ન આવ્યો. ઉપરના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને અને 1998માં વેહરુંગ દ્વારા રજૂ કરવામાં આવેલા પરિમાણ મોનોઇડ તરીકે ઓળખાતા વી (આર) રચનાના જાળી-સૈદ્ધાંતિક એનાલોગનો ઉપયોગ કરીને જાળીની દુનિયામાં પાછા અનુવાદ કરવાથી નીચેનું પરિણામ મળે છે. પ્રમેય (વેહરંગ 2004). કોઈ પણ મોડ્યુલર જાળી L માટે મર્યાદિત લંબાઈ ધરાવતી દરેક ફાઈનાઈટલી જનરેટેડ સબલેટિસ માટે, કાર્ડિનાલિટી α1નું એક વિતરણાત્મક (ષ્ણ, 0,1)-સમરૂપતા અસ્તિત્વમાં છે જે કોન L માટે આઇસોમોર્ફિક નથી. સમસ્યા 3 (ગુડયરલ 1991). શું ક્રમ-એકમ ધરાવતા કોઈપણ પરિમાણ જૂથનો હકારાત્મક શંકુ V (R) માટે આઇસોમોર્ફિક છે, કેટલાક વોન ન્યુમેન નિયમિત રીંગ R માટે? કુરાટોવ્સ્કીના મુક્ત સમૂહ પ્રમેયનો પ્રથમ ઉપયોગ ઉપરોક્ત સમસ્યા 1 (શ્મિટ), સમસ્યા 2 (ડોબર્ટિન) અને સમસ્યા 3 (ગુડઅર્લ) ને 1998માં એક સાથે નકારાત્મકમાં ઉકેલવામાં આવ્યા હતા. પ્રમેય (વેહરંગ 1998). ક્રમ-એકમ સાથે તર્કસંગત પર એક પરિમાણ વેક્ટર જગ્યા G અસ્તિત્વમાં છે, જેનો હકારાત્મક શંકુ G + કોઈપણ વોન ન્યુમેન નિયમિત રીંગ R માટે V (R) માટે સમરૂપ નથી, અને તે ડોબર્ટિનના અર્થમાં માપી શકાતો નથી. વધુમાં, G + નો મહત્તમ અર્ધવિરામ ભાગ શ્મિટની સ્થિતિને સંતોષતો નથી. વધુમાં, G ને α2 કરતા વધારે અથવા તેની બરાબર કોઈપણ કાર્ડિનાલિટીમાંથી લઈ શકાય છે. તે શ્મિટ, હુહ્ન, ડોબર્ટિન, ગુડેર્લ અને હેન્ડલમેનની અગાઉ ઉલ્લેખિત કૃતિઓ પરથી અનુસરે છે કે ઉપરના ત્રણેય નકારાત્મક પરિણામોમાં α2 બાઉન્ડ શ્રેષ્ઠ છે. એ 2 બાઉન્ડ સૂચવે છે તેમ, અનંત સંયોજન સામેલ છે. ઉપયોગમાં લેવાયેલો સિદ્ધાંત કુરાટોવ્સ્કીનો મુક્ત સમૂહ પ્રમેય છે, જે સૌપ્રથમ 1951માં પ્રકાશિત થયો હતો. અહીં માત્ર n = 2 કેસનો ઉપયોગ થાય છે. ઉપરોક્ત પરિણામનો સેમીલેટીસ ભાગ અનંત સેમીલેટીસ-સૈદ્ધાંતિક નિવેદન યુઆરપી (યુનિફોર્મ રિફાઇનમેન્ટ પ્રોપર્ટી) દ્વારા પ્રાપ્ત થાય છે. જો આપણે શ્મિટની સમસ્યાને ખોટી સાબિત કરવા માંગતા હોઈએ, તો વિચાર એ છે કે (1) એ સાબિત કરવા માટે કે કોઈપણ સામાન્યીકૃત બુલિયન અર્ધવિરામ યુ. આર. પી. ને સંતોષે છે (જે સરળ છે), (2) કે યુ. આર. પી. ને હોમોમોર્ફિક છબી હેઠળ નબળા વિતરણ હોમોમોર્ફિઝમ હેઠળ સાચવવામાં આવે છે (જે પણ સરળ છે), અને (3) કે કાર્ડિનાલિટી એ 2 નું વિતરણ અસ્તિત્વમાં છે જે યુ. આર. પી. ને સંતોષે નહીં (જે મુશ્કેલ છે, અને કુરાટોવ્સ્કીના મુક્ત સમૂહ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરે છે). યોજનાકીય રીતે, ઉપરના પ્રમેયની રચનાને નીચે પ્રમાણે વર્ણવી શકાય છે. સમૂહ ω માટે, આપણે જનરેટર 1 દ્વારા વ્યાખ્યાયિત આંશિક રીતે ક્રમબદ્ધ વેક્ટર જગ્યા E (ω) ને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ અને ω માં i <2 અને x માટે, અને ω માં કોઈપણ x માટે a0, x + a1, x = 1, a0, x ω0, અને a1, x ω0 સંબંધોને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ. પરિમાણ જૂથોના સિદ્ધાંતના સ્કોલેમાઈઝેશનનો ઉપયોગ કરીને, આપણે E (ω) ને પરિમાણ વેક્ટર જગ્યા F (ω) માં કાર્યાત્મક રીતે એમ્બેડ કરી શકીએ છીએ. ઉપરના પ્રમેયનું વેક્ટર સ્પેસ પ્રતિ-ઉદાહરણ G = F (ω) છે, જે ઓછામાં ઓછા α2 તત્વો ધરાવતા કોઈપણ સમૂહ ω માટે છે. આ પ્રતિકૂળ ઉદાહરણને પછીથી પ્લોસિકા અને તુમા દ્વારા સીધા સેમીલેટીસ બાંધકામમાં સુધારવામાં આવ્યું છે. a (′, 0)-સેમિલેટિસ માટે, મોટા સેમિલેટિસ R (S) એ નવા ઘટકો t (a, b, c) દ્વારા મુક્તપણે ઉત્પન્ન થયેલ (′, 0)-સેમિલેટિસ છે, a, b, c માટે S માં એવું છે કે c ≤ a ′ b, માત્ર સંબંધોને આધિન c = t (a, b, c) ′ t (b, a, c) અને t (a, b, c) ≤ a. આ રચનાને પુનરાવર્તિત કરવાથી S નું મુક્ત વિતરણ વિસ્તરણ મળે છે. અંતે, G (ω) = D (L (ω)) મૂકો. મોટાભાગના સંબંધિત કાર્યોમાં, નીચેની સમાન શુદ્ધિકરણ સંપત્તિનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. તે 1998 અને 1999માં વેહરુંગ દ્વારા રજૂ કરાયેલ ફેરફાર છે. વ્યાખ્યા (પ્લોસિકા, તુમા અને વેહરુંગ 1998). આપણે કહીએ છીએ કે નબળા સમાન શુદ્ધિકરણ ગુણધર્મ WURP e પર ધરાવે છે, જો S માંના તમામ પરિવારો અને ઘટકો માટે, જેમ કે i માંના તમામ i માટે એઆઇબીઆઇ = ઇ હોય, તો S ના તત્વોનો એક એવો પરિવાર અસ્તિત્વમાં છે કે જે I માંના તમામ i, જે, જે, જે, જે, જે, જે, જે, જે, જે, જે, જે, જે, જે, જે, જે, જે, જે, જે, જે, જે, જે, જે, જે, જે, જે, જે, જે, જે, જે, જે, જે, જે, જે, જે, જે, જે, જે, જે, જે, જે, જે, જે, જે, જે, જે, જે, જે, જે, જે, જે, જે, જે, જે, જે, જે, જે, જે, જે, જે, જે, જે, જે, જે, જે, જે, જે, જે. આપણે કહીએ છીએ કે S એ WURP ને સંતોષે છે, જો WURP એ S ના દરેક તત્વ પર ધરાવે છે. પરિમાણ વેક્ટર જગ્યાઓ પર વેહરંગના ઉપરોક્ત કાર્યને આધારે, પ્લોસિકા અને તુમાએ સાબિત કર્યું કે WURP ઓછામાં ઓછા α2 કાર્ડિનાલિટીના કોઈપણ સમૂહ ω માટે G (ω) માં નથી. તેથી G (ω) શ્મિટની શરતને સંતોષતો નથી. અહીં ઉલ્લેખિત તમામ નકારાત્મક પ્રતિનિધિત્વ પરિણામો હંમેશા કેટલાક સમાન શુદ્ધિકરણ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરે છે, જેમાં પ્રથમ પરિમાણ વેક્ટર જગ્યાઓ વિશેનો સમાવેશ થાય છે. જો કે, આ નકારાત્મક પરિણામોમાં ઉપયોગમાં લેવાતા અર્ધવિરામ પ્રમાણમાં જટિલ છે. 1998માં પ્લોસિકા, તુમા અને વેહરુંગ દ્વારા સાબિત થયેલું નીચેનું પરિણામ વધુ આઘાતજનક છે, કારણ કે તે પ્રતિનિધિત્વક્ષમ અર્ધપત્રકોના ઉદાહરણો દર્શાવે છે જે શ્મિટની સ્થિતિને સંતોષતા નથી. આપણે FV (ω) દ્વારા કોઈપણ પ્રકારના V જાળી માટે, V માં ω પર મુક્ત જાળી સૂચવીએ છીએ. પ્રમેય (પ્લોસિકા, તુમા અને વેહરુંગ 1998). સેમીલેટીસ કોનક એફ. વી. (ω) ડબ્લ્યુ. યુ. આર. પી. ને સંતોષતું નથી, કાર્ડિનાલિટીના કોઈપણ સમૂહ માટે ઓછામાં ઓછું એ. 2 અને લેટીસની કોઈપણ બિન-વિતરણ વિવિધતા વી માટે. પરિણામે, કોનક એફવી (ω) શ્મિટની સ્થિતિને સંતોષતું નથી. 2001માં તુમા અને વેહરુંગ દ્વારા સાબિત કરવામાં આવ્યું છે કે કોનક એફવી (ω) એ કોનક એલ માટે સમરૂપ નથી, કોઈપણ જાળી એલ માટે જેમાં ક્રમમાન સુસંગતતા હોય. ડબલ્યુ. યુ. આર. પી. ના સહેજ નબળા પડવાનો ઉપયોગ કરીને, આ પરિણામ 2007માં રુઝિકા, તુમા અને વેહ્રુંગ દ્વારા ક્રમમાં બદલી શકાય તેવી સુસંગતતા સાથે મનસ્વી આલ્જેબ્રા સુધી વિસ્તૃત કરવામાં આવ્યું છે. તેથી, ઉદાહરણ તરીકે, જો ω ઓછામાં ઓછા α2 ઘટકો ધરાવે છે, તો પછી કોનક એફવી (ω) કોઈપણ જૂથના સામાન્ય પેટાજૂથ અથવા કોઈપણ મોડ્યુલના પેટા મોડ્યુલ જાળી માટે આઇસોમોર્ફિક નથી. સી. એલ. પી. નું સમાધાનઃ ધોવાણ લેમ્મા નીચે આપેલા તાજેતરના પ્રમેય સી. એલ. પી. નું સમાધાન કરે છે. પ્રમેય (વેહરંગ 2007). જ્યારે પણ સમૂહમાં ઓછામાં ઓછા αω + 1 ઘટકો હોય ત્યારે કોઈપણ જાળી L માટે અર્ધ જાળી G (ω) એ સમરૂપતા L માટે સમરૂપતા નથી. તેથી, સી. એલ. પી. નું પ્રતિકૂળ ઉદાહરણ લગભગ દસ વર્ષથી જાણીતું હતું, તે માત્ર એટલું જ છે કે કોઈને ખબર નહોતી કે તે શા માટે કામ કરે છે! ઉપરોક્ત પ્રમેય પહેલાંના તમામ પરિણામોમાં એકરૂપતાના અમુક સ્વરૂપની ક્રમપરિવર્તનશીલતાનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો. બિન-સુસંગતતા-પર્મ્યુટેબલ જાળીઓના સુસંગતતા જાળીમાં પૂરતી રચના શોધવામાં મુશ્કેલી હતી. આપણે ε દ્વારા 'પેરિટી ફંક્શન' ને કુદરતી સંખ્યાઓ પર દર્શાવીશું, એટલે કે, ε (n) = n મોડ 2, કોઈપણ કુદરતી સંખ્યા n માટે. આપણે L ને બીજગણિત માનીએ છીએ જે અર્ધવિરામ (L, ′) ની રચના ધરાવે છે જેથી L ની દરેક એકરૂપતા પણ ક્રિયા માટે એકરૂપ હોય. આપણે મૂક્યું છે અને આપણે કોંક્યૂ એલ દ્વારા સૂચિત કરીએ છીએ કે કોંક્યૂ એલની (ષ્ણ, 0)-સબસમિલેટીસ જે તમામ મુખ્ય એકરૂપતાઓ θ (u, v) (= L ની ઓછામાં ઓછી એકરૂપતા જે u અને v ને ઓળખે છે) દ્વારા પેદા થાય છે, જ્યાં (u, v) એ U × U સાથે સંબંધિત છે. આપણે L. br/> ધ ઇરોઝન લેમ્મા (વેહરંગ 2007) માં તમામ u, v માટે θ + (u, v) = θ મૂકીએ છીએ. ધારો કે L માં x0, x1 અને હકારાત્મક પૂર્ણાંક n માટે, તેની સાથે L નો મર્યાદિત સબસેટ હોવો જોઈએ. પછી જે <2 માટે સર્વસંમતિ છે, જેમ કે (ગાણિતિક તર્કશાસ્ત્રમાં પ્રથમ ક્રમના ઠરાવ સાથે અસ્પષ્ટ ઔપચારિક સમાનતાનું નિરીક્ષણ કરો. શું આ સામ્યતાને આગળ ધપાવી શકાય?) ઉપરના પ્રમેયનો પુરાવો અર્ધવિરામચિહ્નોના એકરૂપ લેટીસ માટે માળખાકીય પ્રમેય સુયોજિત કરીને ચાલે છે-એટલે કે, ઇરોઝન લેમ્મા, મુક્ત વિતરણ વિસ્તરણ G (ω) માટે બિન-માળખાકીય પ્રમેયો સામે, મુખ્યને બાષ્પીભવન લેમ્મા કહેવામાં આવે છે. જ્યારે બાદમાં તકનીકી રીતે મુશ્કેલ છે, તેઓ અમુક અર્થમાં અનુમાનિત છે. તેનાથી તદ્દન વિપરીત, ઇરોઝન લેમ્માનો પુરાવો પ્રાથમિક અને સરળ છે, તેથી તે કદાચ તેના નિવેદનની વિચિત્રતા છે જે સમજાવે છે કે તે આટલા લાંબા સમયથી છુપાયેલું છે. હકીકતમાં, ઉપરના પ્રમેયમાં વધુ સાબિત થાય છેઃ કોઈપણ બીજગણિત L માટે એકમ સાથે જોડ-સમરૂપતાની એકરૂપ-સુસંગત રચના સાથે અને ઓછામાં ઓછા αω + 1 તત્વો સાથે કોઈપણ સમૂહ ω માટે, કોઈ નબળું વિતરણ હોમોમોર્ફિઝમ નથી. ખાસ કરીને, સી. એલ. પી. આખરે જાળી સિદ્ધાંતની સમસ્યા નહોતી, પરંતુ સાર્વત્રિક બીજગણિતની સમસ્યા હતી-વધુ સ્પષ્ટ રીતે, અર્ધ જાળી સિદ્ધાંત! આ પરિણામોને એક સમાન રિફાઇનમેન્ટ પ્રોપર્ટીના સંદર્ભમાં પણ અનુવાદિત કરી શકાય છે, જે સીએલઆર દ્વારા વેહરંગના પેપરમાં સીએલઆર દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે, જે સીએલપીનું સોલ્યુશન રજૂ કરે છે, જે ડબ્લ્યુયુઆરપી કરતાં નોંધપાત્ર રીતે વધુ જટિલ છે. છેવટે, રુઝિકા દ્વારા કાર્ડિનાલિટી બાઉન્ડ αω + 1 ને શ્રેષ્ઠ બાઉન્ડ α2 માં સુધારવામાં આવ્યું છે. પ્રમેય (2008). જ્યારે પણ સમૂહમાં ઓછામાં ઓછા α2 તત્વો હોય ત્યારે કોઈપણ જાળી L માટે અર્ધ જાળી G (ω) એ સમરૂપતા L માટે સમરૂપતા નથી. રુઝીકાનો પુરાવો વેહરુંગના પુરાવોની મુખ્ય રેખાઓને અનુસરે છે, સિવાય કે તે કુરાટોવ્સ્કીના મુક્ત સમૂહ પ્રમેયની વૃદ્ધિ રજૂ કરે છે, જેને મુક્ત વૃક્ષોનું અસ્તિત્વ કહેવાય છે, જેનો ઉપયોગ તે ધોવાણ લેમ્માને સંડોવતા અંતિમ દલીલમાં કરે છે. સી. એલ. પી. માટે નકારાત્મક ઉકેલનો પુરાવો દર્શાવે છે કે જાળીઓના સઘન એકરૂપતા દ્વારા વિતરણ અર્ધવિરામનું પ્રતિનિધિત્વ કરવાની સમસ્યા અર્ધવિરામની એકરૂપતા જાળીઓ માટે પહેલેથી જ દેખાય છે. આંશિક રીતે ક્રમબદ્ધ સમૂહની રચના સમાન સમસ્યાઓનું કારણ બનશે કે કેમ તે પ્રશ્નનો જવાબ નીચેના પરિણામ દ્વારા આપવામાં આવે છે. પ્રમેય (વેહરંગ 2008). કોઈપણ ડિસ્ટ્રિબ્યુટિવ (′, 0)-સેમિલેટિસ S માટે, એક (′, 0)-સેમિલેટિસ P અને એક નકશો છે જે નીચેની શરતો ધરાવે છેઃ (1) x ≤ y સૂચવે છે કે μ (x, y) = 0, P માં તમામ x માટે, y. (2) μ (x, z) ≤ μ (x, y) ≤ μ (y, z), P માં તમામ x, y, z માટે. (3) P માં તમામ x ≤ y અને S માં તમામ α, β માટે કે જેથી μ (x, y) ≤ α ≤ β, ત્યાં એક સકારાત્મક પૂર્ણાંક હોય છે. (4) 'પી' માં x માટે, 'એસ' એ જોડ-સમરૂપતા તરીકે, 'μ' (x, 0) સ્વરૂપના તમામ ઘટકો દ્વારા ઉત્પન્ન થાય છે. વધુમાં, જો 'એસ' પાસે સૌથી મોટું તત્વ હોય, તો 'પી' ને સૌથી મોટા તત્વ સાથેનું જાળી માની શકાય છે. તે ચકાસવું મુશ્કેલ નથી કે ઉપરની શરતો (1)-(4) એ S ની વિતરણક્ષમતાને સૂચવે છે, તેથી ઉપરનું પરિણામ (, 0)-સમરૂપતાઓ માટે વિતરણક્ષમતાની લાક્ષણિકતા આપે છે. નોંધો સંદર્ભો લેટીસ સિદ્ધાંત ગાણિતિક સમસ્યાઓ