Abel's summation formula
ગણિતમાં, નીલ્સ હેનરિક એબેલ દ્વારા રજૂ કરાયેલ એબેલના સરવાળા સૂત્રનો ઉપયોગ વિશ્લેષણાત્મક સંખ્યા સિદ્ધાંત અને શ્રેણીની ગણતરી કરવા માટે વિશેષ કાર્યોના અભ્યાસમાં સઘન રીતે થાય છે. સૂત્ર ચાલો વાસ્તવિક અથવા જટિલ સંખ્યાઓનો ક્રમ હોઈએ. કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા માટે આંશિક સરવાળા વિધેયને વ્યાખ્યાયિત કરો. વાસ્તવિક સંખ્યાઓને ઠીક કરો, અને તેના પર સતત વિકલનક્ષમ વિધેય થવા દો. પછીઃ સૂત્ર રીમાન-સ્ટીલ્ટજેસ માટે ભાગો દ્વારા સંકલન લાગુ કરીને મેળવવામાં આવે છે જે વિધેયો અને. ફેરફારો ડાબી બાજુના અંતિમ બિંદુને સૂત્ર આપે છે જો ક્રમ શરૂ કરીને અનુક્રમિત કરવામાં આવે, તો આપણે ઔપચારિક રીતે વ્યાખ્યાયિત કરી શકીએ છીએ. અગાઉનું સૂત્ર બને છે એબેલના સારાંશ સૂત્રને લાગુ કરવાની એક સામાન્ય રીત એ છે કે આમાંથી એક સૂત્રની મર્યાદા આ રીતે લેવી. પરિણામી સૂત્રો એ છે કે જ્યારે પણ જમણી બાજુની બંને મર્યાદાઓ અસ્તિત્વમાં હોય અને મર્યાદિત હોય ત્યારે આ સમીકરણો હોય છે. ખાસ કરીને ઉપયોગી કેસ એ બધા માટે ક્રમ છે. આ કિસ્સામાં તા. એ જ રીતે, ક્રમ માટે અને બધા માટે, સૂત્ર બને છે મર્યાદા તરીકે લેવા પર, આપણે ધારીએ છીએ કે જમણી બાજુના બંને શબ્દો અસ્તિત્વમાં છે અને મર્યાદિત છે. એબેલના સરવાળાના સૂત્રને એવા કિસ્સામાં સામાન્યીકૃત કરી શકાય છે કે જ્યાં અભિન્નને રીમાન-સ્ટીલ્ટજેસ અભિન્ન તરીકે અર્થઘટન કરવામાં આવે તો જ તેને સતત માનવામાં આવેઃ અમુક ક્રમ સાથે સંકળાયેલ આંશિક સરવાળા કાર્ય તરીકે લેવાથી, આ ભાગોના સૂત્ર દ્વારા સરવાળા તરફ દોરી જાય છે. ઉદાહરણો હાર્મોનિક સંખ્યાઓ જો માટે અને પછી અને સૂત્ર ઉપજ આપે છે ડાબી બાજુ એ હાર્મોનિક સંખ્યા છે. રીમેનના ઝીટા કાર્યનું પ્રતિનિધિત્વ જટિલ સંખ્યાને નિશ્ચિત કરો. જો માટે અને પછી અને સૂત્ર બને છે જો, તો પછી મર્યાદા અસ્તિત્વમાં છે અને સૂત્ર આપે છે જ્યાં રીમાન ઝેટા કાર્ય છે. આનો ઉપયોગ ડિરીક્લેટના પ્રમેયને મેળવવા માટે થઈ શકે છે જેમાં અવશેષ 1 પર એક સરળ ધ્રુવ હોય છે. રીમાન ઝીટા કાર્યનું પારસ્પરિક અગાઉના ઉદાહરણની તકનીક અન્ય ડિરીક્લેટ શ્રેણી પર પણ લાગુ થઈ શકે છે. જો મોબિયસ કાર્ય છે અને, તો પછી મર્ટન્સ કાર્ય છે અને આ સૂત્ર આ માટે ધરાવે છે. ભાગો દ્વારા સંકલન ભાગો દ્વારા સારાંશ સંદર્ભો પણ જુઓ. સંખ્યા સિદ્ધાંત સારાંશ પદ્ધતિઓ