Schwartz–Bruhat function
ગણિતમાં, શ્વાર્ટઝ-બ્રુહાટ વિધેય, જેને લોરેન્ટ શ્વાર્ટઝ અને ફ્રાન્કોઇસ બ્રુહાટના નામ પરથી નામ આપવામાં આવ્યું છે, તે એડેલેસ જેવા સ્થાનિક રીતે સઘન અબેલિયન જૂથ પર એક જટિલ મૂલ્યવાન વિધેય છે, જે વાસ્તવિક વેક્ટર જગ્યા પર શ્વાર્ટઝ વિધેયને સામાન્ય બનાવે છે. સમશીતોષ્ણ વિતરણને શ્વાર્ટઝ-બ્રુહાટ વિધેયોની જગ્યા પર સતત રેખીય કાર્યાત્મક તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. વ્યાખ્યાઓ વાસ્તવિક વેક્ટર જગ્યા પર, શ્વાર્ટઝ-બ્રુહાટ વિધેયો માત્ર સામાન્ય શ્વાર્ટઝ વિધેયો છે (તમામ વ્યુત્પન્ન ઝડપથી ઘટતા જાય છે) અને જગ્યા બનાવે છે. ટોરસ પર, શ્વાર્ટઝ-બ્રુહાટ કાર્યો એ સરળ કાર્યો છે. પૂર્ણાંકોની નકલોના સરવાળા પર, શ્વાર્ટઝ-બ્રુહાટ વિધેયો ઝડપથી ઘટતા કાર્યો છે. પ્રાથમિક જૂથ પર (એટલે કે, એક અબેલિયન સ્થાનિક રીતે સઘન જૂથ કે જે વાસ્તવિક, પૂર્ણાંકો, વર્તુળ જૂથ અને મર્યાદિત જૂથોની નકલોનું ઉત્પાદન છે), શ્વાર્ટઝ-બ્રુહાટ વિધેયો એ સરળ કાર્યો છે, જેમના તમામ વ્યુત્પન્ન ઝડપથી ઘટી રહ્યા છે. સામાન્ય રીતે સ્થાનિક રીતે કોમ્પેક્ટ અબેલિયન જૂથ પર, ચાલો કોમ્પેક્ટલી જનરેટેડ પેટાજૂથ હોઈએ, અને આવા કોમ્પેક્ટ પેટાજૂથ જે પ્રાથમિક છે. પછી શ્વાર્ટઝ-બ્રુહાટ ફંક્શનનું પુલબેક એ શ્વાર્ટઝ-બ્રુહાટ ફંક્શન ચાલુ છે, અને તેના પરના તમામ શ્વાર્ટઝ-બ્રુહાટ ફંક્શન યોગ્ય અને યોગ્ય માટે આ રીતે મેળવવામાં આવે છે. (શ્વાર્ટઝ-બ્રુહાટ કાર્યોની જગ્યા પ્રેરક મર્યાદા ટોપોલોજીથી સંપન્ન છે.) બિન-આર્કીમીડિયન સ્થાનિક ક્ષેત્ર પર, શ્વાર્ટઝ-બ્રુહાટ કાર્ય એ સઘન આધારનું સ્થાનિક રીતે સતત કાર્ય છે. ખાસ કરીને, વૈશ્વિક ક્ષેત્ર પર એડેલેસ રિંગ પર, શ્વાર્ટઝ-બ્રુહાટ ફંક્શન્સ એ દરેક સ્થાન પરના ઉત્પાદનોના મર્યાદિત રેખીય સંયોજનો છે, જ્યાં દરેક સ્થાનિક ક્ષેત્ર પર શ્વાર્ટઝ-બ્રુહાટ ફંક્શન છે અને તે બધા માટે પૂર્ણાંકોની રિંગ પર લાક્ષણિક કાર્ય છે પરંતુ મર્યાદિત રીતે ઘણા. (આર્કિમિડીયન સ્થાનો માટે, ફક્ત સામાન્ય શ્વાર્ટઝ કાર્યો ચાલુ છે, જ્યારે બિન-આર્કિમિડીયન સ્થાનો માટે બિન-આર્કિમિડીયન સ્થાનિક ક્ષેત્રોના શ્વાર્ટઝ-બ્રુહાટ કાર્યો છે.) એડેલેસ પર શ્વાર્ટઝ-બ્રુહાટ વિધેયોની જગ્યાને સ્થાનિક ક્ષેત્રોની શ્વાર્ટઝ-બ્રુહાટ જગ્યાઓના પ્રતિબંધિત ટેન્સર ઉત્પાદન તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જ્યાં સ્થાનોની મર્યાદિત સમૂહ છે. આ જગ્યાના ઘટકો સ્વરૂપના છે, જ્યાં બધા માટે અને બધા માટે પરંતુ મર્યાદિત રીતે ઘણા છે. દરેક માટે આપણે લખી શકીએ છીએ, જે મર્યાદિત છે અને આમ સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત છે. ઉદાહરણો દરેક શ્વાર્ટઝ-બ્રુહાટ કાર્યને, જ્યાં દરેક, અને તરીકે લખી શકાય છે. આ અવલોકન કરીને જોઈ શકાય છે કે સ્થાનિક ક્ષેત્ર હોવું એ સૂચવે છે કે વ્યાખ્યા દ્વારા કોમ્પેક્ટ સપોર્ટ છે, એટલે કે, મર્યાદિત સબકવર છે. કારણ કે દરેક ઓપન સેટને આપણી પાસે (કેટલાક માટે અને) સ્વરૂપના ખુલ્લા દડાઓના અસંગત જોડાણ તરીકે વ્યક્ત કરી શકાય છે. કાર્ય પણ સ્થાનિક રીતે સ્થિર હોવું જોઈએ, તેથી કેટલાક માટે. (શૂન્ય પર મૂલ્યાંકન માટે, હંમેશા એક શબ્દ તરીકે સમાવવામાં આવે છે.) તર્કસંગત એડેલેસ પર શ્વાર્ટઝ-બ્રુહાટ અવકાશમાં તમામ કાર્યો તમામ તર્કસંગત અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ પર મર્યાદિત રેખીય સંયોજનો છે, જ્યાં, અને બધા માટે પરંતુ મર્યાદિત રીતે ઘણા. સમૂહો અને એ અનુક્રમે p-adic સંખ્યાઓનું ક્ષેત્ર અને p-adic પૂર્ણાંકોની વીંટી છે. ગુણધર્મો સ્થાનિક રીતે સઘન અબેલિયન જૂથ પર શ્વાર્ટઝ-બ્રુહાટ કાર્યનું ફોરિયર રૂપાંતર એ પોન્ટ્રીગિન દ્વિ જૂથ પર શ્વાર્ટઝ-બ્રુહાટ કાર્ય છે. પરિણામે, ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ આવા જૂથ પર સમશીતોષ્ણ વિતરણને દ્વિ જૂથ પર સમશીતોષ્ણ વિતરણમાં લઈ જાય છે. બીજગણિત સંખ્યા સિદ્ધાંતમાં, શ્વાર્ટઝ-બ્રુહટ જગ્યા પરના (એડિટિવ) હાર માપને ધ્યાનમાં રાખીને, એડેલેસ પરના શ્વાર્ટઝ-બ્રુહટ કાર્યોનો ઉપયોગ વિશ્લેષણમાંથી પોઈસન સરવાળા સૂત્રનું એડેલિક સંસ્કરણ આપવા માટે કરી શકાય છે, એટલે કે, દરેક માટે, ક્યાં છે. જ્હોન ટેટે રીમાન ઝેટા કાર્ય માટે કાર્યાત્મક સમીકરણનું વધુ સામાન્ય સંસ્કરણ સાબિત કરવા માટે તેમના ડોક્ટરલ થીસીસમાં આ સૂત્ર વિકસાવ્યું હતું. આમાં સંખ્યા ક્ષેત્રના ઝીટા કાર્યને એક અભિન્ન પ્રતિનિધિત્વ આપવાનો સમાવેશ થાય છે જેમાં શ્વાર્ટઝ-બ્રુહટ કાર્યનું અભિન્ન, પરીક્ષણ કાર્ય તરીકે પસંદ કરવામાં આવે છે, તે ચોક્કસ અક્ષર દ્વારા વળેલું હોય છે અને આ જૂથના ગુણાકાર હાર માપના સંદર્ભમાં સંકલિત હોય છે. આ વ્યક્તિને આ ઝીટા સંકલન દ્વારા ઝીટા કાર્યોનો અભ્યાસ કરવા માટે વિશ્લેષણાત્મક પદ્ધતિઓ લાગુ કરવાની મંજૂરી આપે છે. સંદર્ભ સંખ્યા સિદ્ધાંત ટોપોલોજીકલ જૂથો