Power transform
આંકડામાં, પાવર ટ્રાન્સફોર્મ એ કાર્યોનું એક કુટુંબ છે જે પાવર કાર્યોનો ઉપયોગ કરીને ડેટાનું એકવિધ પરિવર્તન બનાવવા માટે લાગુ કરવામાં આવે છે. તે ડેટા પરિવર્તન તકનીક છે જેનો ઉપયોગ તફાવતને સ્થિર કરવા, ડેટાને વધુ સામાન્ય વિતરણ જેવા બનાવવા, જોડાણના પગલાંની માન્યતામાં સુધારો કરવા (જેમ કે ચલો વચ્ચે પીઅર્સન સહસંબંધ) અને અન્ય ડેટા સ્થિરીકરણ પ્રક્રિયાઓ માટે થાય છે. પાવર ટ્રાન્સફોર્મનો ઉપયોગ બહુવિધ ક્ષેત્રોમાં થાય છે, જેમાં બહુ-રીઝોલ્યુશન અને વેવલેટ વિશ્લેષણ, આંકડાકીય માહિતી વિશ્લેષણ, તબીબી સંશોધન, ભૌતિક પ્રક્રિયાઓનું મોડેલિંગ, ભૂ-રાસાયણિક માહિતી વિશ્લેષણ, રોગચાળાવિજ્ઞાન અને અન્ય ઘણા તબીબી, પર્યાવરણીય અને સામાજિક સંશોધન ક્ષેત્રોનો સમાવેશ થાય છે. વ્યાખ્યા પાવર ટ્રાન્સફોર્મેશનને પાવર પેરામીટર λ ના સંદર્ભમાં સતત બદલાતા ફંક્શન તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જે પીસ મુજબના ફંક્શન સ્વરૂપમાં છે જે તેને સિંગ્યુલારીટીના બિંદુ (λ = 0) પર સતત બનાવે છે. ડેટા વેક્ટર (y1,., yn) માટે જેમાં દરેક yi> 0, પાવર ટ્રાન્સફોર્મ એ છે કે જ્યાં y1,., yn અવલોકનોની ભૌમિતિક સરેરાશ છે. માટે કેસ એ મર્યાદા છે જે 0 ની નજીક છે. આ જોવા માટે, નોંધ લો કે-ટેલર શ્રેણીનો ઉપયોગ કરવો. પછી, અને બધું પરંતુ પૂરતું નાનું માટે નગણ્ય બની જાય છે. વિભાજકમાં ભૌમિતિક સરેરાશની (λ−1) મી શક્તિનો સમાવેશ સામેલ કોઈપણ સમીકરણના વૈજ્ઞાનિક અર્થઘટનને સરળ બનાવે છે, કારણ કે λ બદલાય તેમ માપનના એકમો બદલાતા નથી. બોક્સ અને કોક્સ (1964) એ સંભાવના સાથે પુનઃપ્રાપ્ત શક્તિ પરિવર્તનના જેકોબિયનનો સમાવેશ કરીને આ પરિવર્તનમાં ભૌમિતિક સરેરાશ રજૂ કરી. આ જેકોબિયન નીચે મુજબ છેઃ આ સામાન્ય લોગની શક્યતાને તેના મહત્તમ પર નીચે પ્રમાણે લખવાની મંજૂરી આપે છેઃ અહીંથી, માટે અભિવ્યક્તિમાં શોષી લેવાથી એક અભિવ્યક્તિ ઉત્પન્ન થાય છે જે સ્થાપિત કરે છે કે અવશેષોના વર્ગોનો સરવાળો ઘટાડવો એ સામાન્ય લોગની શક્યતાનો સરવાળો વધારવા સમાન છે. કોઈપણ λ માટે Y = 1 પર મૂલ્ય 0 છે, અને Y ના સંદર્ભમાં વ્યુત્પન્ન કોઈપણ λ માટે 1 છે. કેટલીકવાર Y એ અમુક પ્રકારના સરેરાશ મૂલ્ય પર Y = 1 આપવા માટે માપવામાં આવેલા અન્ય ચલનું સંસ્કરણ છે. પરિવર્તન એ એક શક્તિ પરિવર્તન છે, પરંતુ તે એવી રીતે કરવામાં આવે છે કે તે λ = 0 પર પરિમાણ λ સાથે સતત રહે. તે ઇકોનોમેટ્રિક્સ સહિત રીગ્રેસન વિશ્લેષણમાં લોકપ્રિય સાબિત થયું છે. બોક્સ અને કોક્સે પરિવર્તનનું વધુ સામાન્ય સ્વરૂપ પણ પ્રસ્તાવિત કર્યું હતું જેમાં શિફ્ટ પરિમાણનો સમાવેશ થાય છે. જે બધા i માટે yi + α> 0 ધરાવે છે. જો τ (Y, λ, α) કાપેલા સામાન્ય વિતરણને અનુસરે છે, તો Y એ બોક્સ-કોક્સ વિતરણને અનુસરે છે. બિકેલ અને ડોક્સમે પરિવર્તનની શ્રેણીને તમામ y સુધી લંબાવીને કાપેલા વિતરણનો ઉપયોગ કરવાની જરૂરિયાતને દૂર કરી, નીચે પ્રમાણેઃ જ્યાં sgn (.) તે સાઇન ફંક્શન છે. વ્યાખ્યામાં આ ફેરફારની વ્યવહારુ અસર ઓછી છે, જ્યાં સુધી તે સામાન્ય રીતે હોય તેના કરતા ઓછી હોય. બિકેલ અને ડોક્સમે એ પણ સાબિત કર્યું કે યોગ્ય નિયમિતતા પરિસ્થિતિઓમાં પરિમાણ અંદાજો સુસંગત અને એસિમ્પ્ટોટિકલી સામાન્ય છે, જો કે પ્રમાણભૂત ક્રેમર-રાવ લોઅર બાઉન્ડ અવાજના તફાવતની તુલનામાં પરિમાણ મૂલ્યો નાના હોય ત્યારે તફાવતને નોંધપાત્ર રીતે ઓછો અંદાજ આપી શકે છે. જો કે, તફાવતને ઓછો અંદાજ આપવાની આ સમસ્યા ઘણી એપ્લિકેશનોમાં મૂળ સમસ્યા ન પણ હોઈ શકે. બોક્સ-કોક્સ પરિવર્તન એક-પરિમાણ બોક્સ-કોક્સ પરિવર્તનને મૂળ લેખમાં વર્ણવ્યા મુજબ બે-પરિમાણ બોક્સ-કોક્સ પરિવર્તન તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. વધુમાં, પ્રથમ પરિવર્તન માટે અને બીજું માટે છે. પ્રોફાઇલ સંભાવના કાર્યનો ઉપયોગ કરીને અને ગુડનેસ-ઓફ-ફિટ પરીક્ષણોનો ઉપયોગ કરીને પરિમાણનો અંદાજ લગાવવામાં આવે છે. આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ બોક્સ-કોક્સ પરિવર્તન માટે આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ પ્રોફાઇલ સંભાવના કાર્ય પર વિલ્ક્સના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને એસિમ્પ્ટોટિક રીતે બનાવી શકાય છે, જે નીચેના પ્રતિબંધોને પૂર્ણ કરે છે તેના તમામ સંભવિત મૂલ્યો શોધવા માટેઃ ઉદાહરણ BUPA યકૃત ડેટા સેટમાં યકૃત ઉત્સેચકો ALT અને γGT પર ડેટા હોય છે. ધારો કે આપણે ALT ની આગાહી કરવા માટે લોગ (γGT) નો ઉપયોગ કરવામાં રસ ધરાવીએ છીએ. આંકડાનો આલેખ આકૃતિની પેનલ (એ) માં દેખાય છે. ત્યાં બિન-સતત તફાવત હોવાનું જણાય છે, અને બોક્સ-કોક્સ પરિવર્તન મદદ કરી શકે છે. પાવર પરિમાણની લોગ-લાઇકીલીહૂડ પેનલ (બી) માં દેખાય છે. આડી સંદર્ભ રેખા મહત્તમથી χ 12/2 ના અંતરે છે અને λ માટે અંદાજે 95 ટકા વિશ્વાસ અંતરાલને વાંચવા માટે તેનો ઉપયોગ કરી શકાય છે. એવું લાગે છે કે શૂન્યની નજીકનું મૂલ્ય સારું રહેશે, તેથી આપણે લોગ લઈએ છીએ. સંભવતઃ, લોગ પરિવર્તનમાં શિફ્ટ પરિમાણ ઉમેરીને પરિવર્તનમાં સુધારો કરી શકાય છે. આકૃતિની પેનલ (સી) લોગ-લાઇકીલીહૂડ દર્શાવે છે. આ કિસ્સામાં, મહત્તમ સંભાવના શૂન્યની નજીક છે જે સૂચવે છે કે શિફ્ટ પરિમાણની જરૂર નથી. અંતિમ પેનલ સુપરઇમ્પોઝ્ડ રીગ્રેસન લાઇન સાથે રૂપાંતરિત ડેટા દર્શાવે છે. નોંધ લો કે જોકે બોક્સ-કોક્સ પરિવર્તન મોડેલ ફિટમાં મોટા સુધારા કરી શકે છે, તેમ છતાં કેટલાક મુદ્દાઓ છે જેમાં પરિવર્તન મદદ કરી શકતું નથી. વર્તમાન ઉદાહરણમાં, ડેટા તેના બદલે ભારે પૂંછડીવાળા હોય છે જેથી સામાન્યતાની ધારણા વાસ્તવિક ન હોય અને મજબૂત રીગ્રેસન અભિગમ વધુ ચોક્કસ મોડેલ તરફ દોરી જાય છે. ઇકોનોમેટ્રિક એપ્લિકેશન અર્થશાસ્ત્રીઓ ઘણીવાર બોક્સ-કોક્સ પરિવર્તનના કેટલાક પ્રકારો દ્વારા ઉત્પાદન સંબંધોને લાક્ષણિકતા આપે છે. ઉત્પાદન Q ની સામાન્ય રજૂઆતને કેપિટલ સ્ટોક K દ્વારા પૂરી પાડવામાં આવતી સેવાઓ પર આધારિત તરીકે અને મજૂર કલાકો N દ્વારા ધ્યાનમાં લોઃ બોક્સ-કોક્સ પરિવર્તનને ઊંધું કરીને Q માટે ઉકેલવું જે આપણને મળે છે જે વિકલ્પ (CES) ઉત્પાદન કાર્યની સતત સ્થિતિસ્થાપકતા તરીકે ઓળખાય છે. સીઇએસ ઉત્પાદન કાર્ય એ એક ડિગ્રીનું સજાતીય કાર્ય છે. જ્યારે λ = 1 હોય, ત્યારે આ રેખીય ઉત્પાદન કાર્ય ઉત્પન્ન કરે છેઃ જ્યારે λ → 0 હોય ત્યારે આ પ્રખ્યાત કોબ-ડગ્લાસ ઉત્પાદન કાર્ય ઉત્પન્ન કરે છેઃ પ્રવૃત્તિઓ અને પ્રદર્શન SOCR સંસાધન પૃષ્ઠોમાં જાવા એપ્લેટ્સ અને ચાર્ટ્સનો ઉપયોગ કરીને બોક્સ-કોક્સ (પાવર) પરિવર્તન દર્શાવતી સંખ્યાબંધ હાથથી ક્રિયાપ્રતિક્રિયા કરતી પ્રવૃત્તિઓ હોય છે. આ ક્યુ-ક્યુ પ્લોટ, એક્સ-વાય સ્કેટરપ્લોટ્સ, ટાઇમ-સિરીઝ પ્લોટ અને હિસ્ટોગ્રામ પર આ પરિવર્તનની અસરોને સીધી રીતે સમજાવે છે. યેઓ-જોહ્નસન પરિવર્તન એ શૂન્ય અને નકારાત્મક મૂલ્યો માટે પણ પરવાનગી આપે છે. કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા હોઈ શકે છે, જ્યાં ઓળખ પરિવર્તન ઉત્પન્ન થાય છે. પરિવર્તન કાયદો વાંચે છેઃ નોંધો સંદર્ભો બાહ્ય કડીઓ (નિશ્ચિત કડી) સેનફોર્ડ વેઇસબર્ગ, યેઓ-જોહ્નસન પાવર ટ્રાન્સફોર્મેશન્સ સામાન્ય વિતરણ આંકડાકીય માહિતી પરિવર્તન