Depth (ring theory)
પરિવર્તનીય અને સમરૂપ બીજગણિતમાં, ઊંડાઈ એ રિંગ્સ અને મોડ્યુલોની એક મહત્વપૂર્ણ અપરિવર્તનશીલ બાબત છે. જો કે ઊંડાઈને વધુ સામાન્ય રીતે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે, તેમ છતાં સૌથી સામાન્ય કેસ ગણવામાં આવે છે તે પરિવર્તનીય નોથેરિયન સ્થાનિક રિંગ પરના મોડ્યુલનો કેસ છે. આ કિસ્સામાં, મોડ્યુલની ઊંડાઈ તેના પ્રોજેક્ટિવ પરિમાણ સાથે ઑસલેન્ડર-બુચ્સબૌમ સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત છે. ઊંડાઈનો વધુ પ્રાથમિક ગુણધર્મ એ અસમાનતા છે જે મોડ્યુલના ક્રુલ પરિમાણને સૂચવે છે. ઊંડાઈનો ઉપયોગ રિંગ્સ અને મોડ્યુલોના વર્ગોને સારા ગુણધર્મો સાથે વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે થાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, કોહેન-મેકાલે રિંગ્સ અને મોડ્યુલો, જેના માટે સમાનતા છે. વ્યાખ્યા ચાલો એક પરિવર્તનીય રીંગ, એક આદર્શ અને યોગ્ય રીતે સમાયેલ ગુણધર્મ સાથે મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન થયેલ-મોડ્યુલ હોઈએ. (એટલે કે, કેટલાક ઘટકો તેમાં નથી.) પછી ની-ઊંડાઈ, જેને સામાન્ય રીતે ગ્રેડ પણ કહેવામાં આવે છે, તેને આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે વ્યાખ્યા અનુસાર, મહત્તમ આદર્શ સાથે સ્થાનિક રીંગની ઊંડાઈ તેની ઉપરના મોડ્યુલ તરીકે તેની-ઊંડાઈ છે. જો કોહેન-મકાઉલે સ્થાનિક વીંટી હોય, તો તેની ઊંડાઈ તેના પરિમાણની બરાબર છે. ડેવિડ રીસના પ્રમેય દ્વારા, ઊંડાઈને નિયમિત ક્રમની કલ્પનાનો ઉપયોગ કરીને પણ વર્ગીકૃત કરી શકાય છે. પ્રમેય (રીસ) ધારો કે તે મહત્તમ આદર્શ સાથેની પરિવર્તનીય નોથેરિયન સ્થાનિક રીંગ છે અને તે મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન થયેલ-મોડ્યુલ છે. પછી માટે તમામ મહત્તમ નિયમિત સિક્વન્સ, જ્યાં દરેક સંબંધિત છે, તેની સમાન લંબાઈ-ની ઊંડાઈ જેટલી હોય છે. ઊંડાઈ અને પ્રક્ષેપાત્મક પરિમાણ પ્રક્ષેપાત્મક પરિમાણ અને પરિવર્તનીય નોથેરિયન સ્થાનિક રિંગ પર મોડ્યુલની ઊંડાઈ એકબીજાના પૂરક છે. આ ઑસલેન્ડર-બુચ્સબૌમ સૂત્રની સામગ્રી છે, જે માત્ર મૂળભૂત સૈદ્ધાંતિક મહત્વનું જ નથી, પરંતુ મોડ્યુલની ઊંડાઈની ગણતરી કરવાની અસરકારક રીત પણ પ્રદાન કરે છે. ધારો કે તે મહત્તમ આદર્શ સાથેની પરિવર્તનીય નોથેરિયન સ્થાનિક રીંગ છે અને તે મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન થયેલ-મોડ્યુલ છે. જો નું પ્રક્ષેપાત્મક પરિમાણ મર્યાદિત હોય, તો ઑસલેન્ડર-બુચ્સબૌમ સૂત્ર જણાવે છે કે ઊંડાઈ શૂન્ય રિંગ્સ એક પરિવર્તનીય નોથેરિયન સ્થાનિક રિંગની ઊંડાઈ શૂન્ય હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તેનો મહત્તમ આદર્શ સંકળાયેલ મુખ્ય હોય, અથવા, સમકક્ષ રીતે, જ્યારે તેનો બિન-શૂન્ય તત્વ હોય (એટલે કે, નાશ પામે છે). આનો અર્થ એ છે કે, અનિવાર્યપણે, બંધ બિંદુ એક એમ્બેડેડ ઘટક છે. ઉદાહરણ તરીકે, રિંગ (જ્યાં એક ક્ષેત્ર છે), જે મૂળ પર જડિત બેવડા બિંદુ સાથે રેખા () નું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે, તેની મૂળ પર ઊંડાઈ શૂન્ય હોય છે, પરંતુ પરિમાણ એક હોય છેઃ આ રિંગનું ઉદાહરણ આપે છે જે કોહેન-મેકાલે નથી. સંદર્ભો વિનફ્રાઇડ બ્રુન્સ; જુર્ગેન હર્ઝોગ, કોહેન-મેકાલે રિંગ્સ. ઉન્નત ગણિતમાં કેમ્બ્રિજ સ્ટડીઝ, 39. કેમ્બ્રિજ યુનિવર્સિટી પ્રેસ, કેમ્બ્રિજ, 1993. xii + 403 પીપી. મોડ્યુલ સિદ્ધાંત પરિવર્તનીય બીજગણિત