Covariance function
સંભાવના સિદ્ધાંત અને આંકડાશાસ્ત્રમાં, સહપ્રસરણ કાર્ય વર્ણવે છે કે બે યાદૃચ્છિક ચલ (તેમના સહપ્રસરણ) વિવિધ અવકાશી અથવા અસ્થાયી વિભાજન સાથે એક સાથે કેટલા બદલાય છે. ડોમેન D પર રેન્ડમ ફિલ્ડ અથવા સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયા Z (x) માટે, કોવેરિયન્સ ફંક્શન C (x, y) બે સ્થાનો x અને y પર રેન્ડમ ફિલ્ડના મૂલ્યોની કોવેરિયન્સ આપે છેઃ સમાન C (x, y) ને બે ઉદાહરણોમાં ઓટોકોવેરિયન્સ ફંક્શન કહેવામાં આવે છેઃ સમય શ્રેણીમાં (x અને y અવકાશને બદલે સમયના સ્થળોનો સંદર્ભ આપે છે તે સિવાય બરાબર સમાન ખ્યાલ દર્શાવવા માટે), અને મલ્ટીવેરિયેટ રેન્ડમ ક્ષેત્રોમાં (પોતાની સાથે ચલની કોવેરિયન્સનો સંદર્ભ આપવા માટે, વિવિધ સ્થાનો પર બે જુદા જુદા ચલો વચ્ચે ક્રોસ કોવેરિયન્સના વિરોધમાં, કોવ (Z (x1), Y (x2))). સ્વીકાર્યતા x1, x2,., xN bulD સ્થાનો માટે દરેક રેખીય સંયોજનના તફાવતની ગણતરી કરી શકાય છે કારણ કે A વિધેય એ માન્ય સહપ્રસરણ વિધેય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો આ તફાવત N અને વજનની તમામ સંભવિત પસંદગીઓ માટે બિન-નકારાત્મક હોય. આ ગુણધર્મ ધરાવતા વિધેયને હકારાત્મક અર્ધપરિમિત કહેવામાં આવે છે. સ્થિરતા સાથે સરળીકરણ નબળા સ્થિર રેન્ડમ ક્ષેત્રના કિસ્સામાં, જ્યાં કોઈપણ લેગ એચ માટે, સહપ્રસરણ કાર્યને એક-પરિમાણ કાર્ય દ્વારા રજૂ કરી શકાય છે જેને કોવેરિયોગ્રામ અને સહપ્રસરણ કાર્ય પણ કહેવાય છે. સ્પષ્ટ રીતે C (xi, xj) ની ગણતરી Cs (h) માંથી આ રીતે કરી શકાય છેઃ સહપ્રસરણ વિધેયના આ એકલ-દલીલ સંસ્કરણની હકારાત્મક નિશ્ચિતતાને બોચ્નરના પ્રમેય દ્વારા ચકાસી શકાય છે. સહપ્રસરણ કાર્યોના પેરામેટ્રિક પરિવારો આપેલ ભિન્નતા માટે, એક સરળ સ્થિર પેરામેટ્રિક સહપ્રસરણ કાર્ય એ "ઘાતાંકીય સહપ્રસરણ કાર્ય" છે જ્યાં V એ સ્કેલિંગ પરિમાણ (સહસંબંધ લંબાઈ) છે, અને d = d (x, y) એ બે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર છે. ઘાતાંકીય સહપ્રસરણ કાર્ય સાથે ગૌસીયન પ્રક્રિયાના નમૂનાના માર્ગો સરળ નથી. "સ્ક્વેર્ડ એક્સ્પોનેન્શિયલ" (અથવા "ગૌસીયન") સહપ્રસરણ કાર્યઃ એ સરળ નમૂના માર્ગો સાથેનું સ્થિર સહપ્રસરણ કાર્ય છે. મેટર્ન સહપ્રસરણ કાર્ય અને તર્કસંગત વર્ગાત્મક સહપ્રસરણ કાર્ય એ સ્થિર સહપ્રસરણ કાર્યોના બે પેરામેટ્રિક પરિવારો છે. મેટરન કુટુંબમાં વિશેષ કિસ્સાઓમાં ઘાતાંકીય અને વર્ગાકાર ઘાતાંકીય સહપ્રસરણ કાર્યોનો સમાવેશ થાય છે. આ પણ જુઓ ઑટોકોરિલેશન ફંક્શન સહસંબંધ કાર્ય કોવેરિયન્સ મેટ્રિક્સ ક્રિગિંગ પોઝિટિવ-ડેફિનિટ કર્નલ રેન્ડમ ફિલ્ડ સ્ટોકેસ્ટિક પ્રોસેસ વેરિયોગ્રામ સંદર્ભો ભૂસ્તરશાસ્ત્ર અવકાશી વિશ્લેષણ કોવેરિયન્સ અને સહસંબંધ