Claude Berge
ક્લાઉડ જેક્સ બર્જ (5 જૂન 1926-30 જૂન 2002) એક ફ્રેન્ચ ગણિતશાસ્ત્રી હતા, જેમને સંયોજન અને આલેખ સિદ્ધાંતના આધુનિક સ્થાપકોમાંના એક તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. જીવનચરિત્ર અને વ્યાવસાયિક ઇતિહાસ ક્લાઉડ બર્જના માતાપિતા આન્દ્રે બર્જ અને જેનેવીવ ફોરકેડ હતા. આન્દ્રે બર્જ (1902-1995) એક ચિકિત્સક અને મનોવિશ્લેષક હતા, જેમણે તેમના વ્યાવસાયિક કાર્ય ઉપરાંત ઘણી નવલકથાઓ પ્રકાશિત કરી હતી. તેઓ ખાણકામ ઇજનેર રેને બર્જ અને એન્ટોનેટ ફોરેના પુત્ર હતા. ફેલિક્સ ફ્રાન્કોઇસ ફોરે (1841-1899) એન્ટોનેટ ફોરેના પિતા હતા; તેઓ 1895 થી 1899 સુધી ફ્રાન્સના રાષ્ટ્રપતિ હતા. આન્દ્રે બર્જે 1924માં જેનેવીવ સાથે લગ્ન કર્યા હતા અને ક્લાઉડ તેમના છ બાળકોમાંથી બીજા હતા. તેમના પાંચ ભાઈ-બહેનો નિકોલ (સૌથી મોટા), એન્ટોઇન, ફિલિપ, એડિથ અને પેટ્રિક હતા. ક્લાઉડે પેરિસની પશ્ચિમમાં આવેલા વર્ન્યુઇલ-સુર-એવરે નજીકની સભામાં હાજરી આપી હતી. 1899માં સમાજશાસ્ત્રી એડમંડ ડેમોલિન્સ દ્વારા સ્થાપિત આ પ્રખ્યાત ખાનગી શાળાએ સમગ્ર ફ્રાન્સના વિદ્યાર્થીઓને તેના નવીન શૈક્ષણિક કાર્યક્રમ તરફ આકર્ષ્યા હતા. તેમના જીવનના આ તબક્કે, ક્લાઉડને કયા વિષયમાં વિશેષતા હોવી જોઈએ તે અંગે અચોક્કસતા હતી. તેમણે પછીના જીવનમાં કહ્યુંઃ "મને ખાતરી નહોતી કે હું ગણિત કરવા માંગુ છું. ઘણીવાર સાહિત્યનો અભ્યાસ કરવાની વધુ ઇચ્છા હતી ". સાહિત્ય અને અન્ય બિન-ગાણિતિક વિષયો પ્રત્યેનો તેમનો પ્રેમ તેમને ક્યારેય છોડ્યો નહીં અને અમે નીચે ચર્ચા કરીશું કે તેઓએ તેમના જીવનમાં કેવી રીતે મોટી ભૂમિકા ભજવી હતી. જો કે, તેમણે પેરિસ યુનિવર્સિટીમાં ગણિતનો અભ્યાસ કરવાનું નક્કી કર્યું. તેમની પ્રથમ ડિગ્રીના પુરસ્કાર પછી, તેમણે આન્દ્રે લિચનેરોવિઝની સલાહ પર ડોક્ટરેટની પદવી માટે સંશોધન કરવાનું ચાલુ રાખ્યું. તેમણે 1950માં ગણિતના લેખો પ્રકાશિત કરવાનું શરૂ કર્યું હતું. તે વર્ષે તેમના બે પેપર પ્રકાશિત થયા હતા, ટૂંકા પેપર સુર લ 'ઇસોવેલેન્સ એટ લા રેગ્યુલારિટે ડેસ ટ્રાન્સફોર્મેટર્સ અને મુખ્ય, 30 પાનાનું પેપર સુર અન નોવ્યૂ કેલ્ક્યુલ સિમ્બોલિક એટ સેસ એપ્લિકેશન્સ. આ મુખ્ય પેપરમાં તેમણે જે પ્રતીકાત્મક કલનની ચર્ચા કરી છે તે જનરેટિંગ ફંક્શન્સ અને લાપ્લાસ ટ્રાન્સફોર્મનું સંયોજન છે. ત્યારબાદ તેમણે આ પ્રતીકાત્મક કલનને સંયુક્ત વિશ્લેષણ, બર્નૌલી સંખ્યાઓ, તફાવત સમીકરણો, વિભેદક સમીકરણો અને સારાંશ પરિબળો પર લાગુ કર્યું. 1951માં તેમણે વધુ બે ટૂંકા કાગળો, સુર લ 'ઇન્વર્ઝન ડેસ ટ્રાન્સફોર્મેટર્સ અને સુર ઉન થિયોરી એન્સેમ્બ્લિસ્ટ ડેસ જેક્સ અલ્ટરનેટિફ્સ પ્રકાશિત કર્યા, જેમાં વિવિધ પરિણામોની જાહેરાત કરવામાં આવી હતી જેની તેમના થીસીસમાં સંપૂર્ણ ચર્ચા કરવામાં આવશે. 1953માં તેમને એન્ડ્રે લિચનેરોવિઝની દેખરેખ હેઠળ તેમના થીસીસ સુર ઉન થિયોરી એન્સેમ્બ્લિસ્ટ ડેસ જેક્સ અલ્ટરનેટિફ્સ માટે ડોક્ટરેટની પદવી એનાયત કરવામાં આવી હતી. આ થીસીસમાં, તેમણે એવી રમતોની તપાસ કરી જ્યાં સંપૂર્ણ માહિતી ઉપલબ્ધ હોય, જેમાં દરેક ચાલ પર, સંભવતઃ અનંત સંખ્યામાં પસંદગીઓ હોય છે. અનિશ્ચિત સમય સુધી ચાલુ રાખવાની મંજૂરી સાથે રમતો મર્યાદિત હોય તે જરૂરી નથી. બર્જે સંપૂર્ણ વિશ્લેષણ સાથે આવી રમતોના ગુણધર્મોની તપાસ કરી. તેમના થીસીસ પર આધારિત અને તે જ શીર્ષક સાથેનું 55 પાનાનું પેપર 1953માં પ્રકાશિત થયું હતું. બર્ગે 29 ડિસેમ્બર 1952ના રોજ જેન જેન્ટાઝ (જન્મ 7 જાન્યુઆરી 1925) સાથે લગ્ન કર્યા; તેમને એક બાળક હતું, ડેલ્ફીન, જેનો જન્મ 1 માર્ચ 1964ના રોજ થયો હતો. 1952માં, તેમની ડોક્ટરેટની પદવી પહેલાં, બર્જની સેન્ટર નેશનલ ડે લા રિસર્ચ સાયન્ટિફિક ખાતે સંશોધન સહાયક તરીકે નિમણૂક કરવામાં આવી હતી. 1957માં તેમણે પ્રિન્સટન યુનિવર્સિટીમાં મુલાકાતી પ્રોફેસર તરીકે અમેરિકામાં સમય પસાર કર્યો હતો. તેમણે ત્યાં અર્થશાસ્ત્ર સંશોધન પ્રોજેક્ટમાં ભાગ લીધો હતો, જે ઓફિસ ઓફ નેવલ રિસર્ચ સાથે કરાર હેઠળ હતો. પ્રિન્સટનમાં તેમણે કામ હાથ ધર્યું હતું, જે પ્રોસિડિંગ્સ ઓફ ધ નેશનલ એકેડેમી ઓફ સાયન્સિસ ઓફ ધ યુનાઇટેડ સ્ટેટ્સ ઓફ અમેરિકામાં પ્રકાશિત પેપર ટુ થીઓરમસ ઇન ગ્રાફ થિયરીમાં રજૂ કરવામાં આવ્યું હતું. આ આલેખ સિદ્ધાંત પરના તેમના પ્રથમ કાગળોમાંથી એક હતું, તેમનું પહેલાનું કાર્ય રમતો અને સંયોજનના સિદ્ધાંત પર હતું. તેઓ આ સમયે તેમનું પ્રખ્યાત પુસ્તક થિયોરી ડેસ ગ્રેફ્સ એટ સેસ એપ્લિકેશન્સ (ગ્રાફ થિયરી એન્ડ એપ્લિકેશન્સ) લખી રહ્યા હતા અને તેમણે હમણાં જ થિયરી ઓફ ગેમ્સ, થિયરી જનરલ ડેસ જેક્સ એન પર્સન્સ (એન ખેલાડીઓ સાથેની રમતોનો સામાન્ય સિદ્ધાંત) (1957) પર તેમનું પુસ્તક પ્રકાશિત કર્યું હતું. યુનાઇટેડ સ્ટેટ્સથી ફ્રાન્સ પરત ફરીને, બર્ગે સેન્ટર નેશનલ ડી લા રિસર્ચ સાયન્ટિફિક ખાતે સંશોધન નિયામકનું પદ સંભાળ્યું. ઉપરાંત, 1957માં તેમને પેરિસ યુનિવર્સિટીના ઇન્સ્ટિટ્યૂટ ઓફ સ્ટેટિસ્ટિક્સમાં પ્રોફેસર તરીકે નિયુક્ત કરવામાં આવ્યા હતા. થિયોરી ડેસ ગ્રેફ્સ એટ સેસ એપ્લિકેશન્સ 1958 માં પ્રકાશિત થયું હતું અને, નોંધપાત્ર રીતે, તે પછીના વર્ષે તેમનું ત્રીજું પુસ્તક, એસ્પેસિસ ટોપોલોજિક, ફોન્ક્શન્સ મલ્ટીવોક્સ (ટોપોલોજિકલ સ્પેસ, મલ્ટી-વેલ્યુડ ફંક્શન્સ) પ્રકાશિત થયું હતું. ત્રીસ વર્ષની શરૂઆતમાં એક ગણિતશાસ્ત્રી માટે આટલા વર્ષોમાં ત્રણ મુખ્ય પુસ્તકો પ્રકાશિત કરવા એ ખરેખર એક ઉત્કૃષ્ટ સિદ્ધિ છે. 1952ની શરૂઆતમાં તેઓ ફ્રેન્ચ નેશનલ સેન્ટર ફોર સાયન્ટિફિક રિસર્ચ (સી. એન. આર. એસ.) માં સંશોધન સહાયક હતા અને 1957થી 1964 સુધી તેઓ પેરિસ યુનિવર્સિટીમાં ઇન્સ્ટિટ્યૂટ ઓફ સ્ટેટિસ્ટિક્સમાં પ્રોફેસર હતા. 1965 થી 1967 સુધી તેમણે રોમમાં ઇન્ટરનેશનલ કમ્પ્યુટિંગ સેન્ટરનું નિર્દેશન કર્યું હતું. તેઓ સેન્ટર ડી 'એનાલિસિસ એટ ડી મેથેમેટિક સોશલ્સ (CAMS) સાથે પણ સંકળાયેલા હતા, જે ઇકોલે ડેસ હૌટ્સ એટુડેસ એન સાયન્સિસ સોશલ્સના સંશોધન કેન્દ્ર છે. તેમણે 1957માં પ્રિન્સટન યુનિવર્સિટી, 1968માં પેન્સિલવેનિયા સ્ટેટ યુનિવર્સિટી અને 1985માં ન્યૂયોર્ક યુનિવર્સિટીમાં મુલાકાતી હોદ્દાઓ સંભાળ્યા હતા અને ભારતીય આંકડાકીય સંસ્થા, કલકત્તાની વારંવાર મુલાકાત લેતા હતા. 1960ની આસપાસનો સમયગાળો બર્જ માટે ખાસ કરીને મહત્વપૂર્ણ અને ફળદાયી રહ્યો હોવાનું જણાય છે. થિયોરી ડેસ ગ્રેફ્સ એટ સેસ એપ્લિકેશન્સ પુસ્તક દ્વારા તેમણે પોતાના માટે એક ગાણિતિક નામ સ્થાપિત કર્યું હતું. 1959માં તેમણે હંગેરીના ડોબોગોકો ખાતે પ્રથમ ગ્રાફ થિયરી પરિષદમાં હાજરી આપી હતી અને હંગેરિયન ગ્રાફ સિદ્ધાંતવાદીઓને મળ્યા હતા. તેમણે આલેખ રંગ પર એક સર્વેક્ષણ પેપર પ્રકાશિત કર્યું, જ્યાં તેમણે એવા વિચારો રજૂ કર્યા જે ટૂંક સમયમાં સંપૂર્ણ આલેખ તરફ દોરી ગયા. માર્ચ 1960માં તેમણે પૂર્વ જર્મનીના હેલમાં એક સભામાં આ વિશે વાત કરી હતી. તે જ વર્ષે નવેમ્બરમાં, તેઓ ઓલિપો (ઓવ્રોઇર ડી લિટેરેચર પોટેન્ટિયલ) ના દસ સ્થાપક સભ્યોમાંના એક હતા. અને 1961 માં, તેમના મિત્ર અને સહયોગી માર્સેલ-પોલ શ્યુત્ઝેનબર્ગર સાથે, તેમણે પેરિસ યુનિવર્સિટી (જે પાછળથી ઇક્વિપે કોમ્બિનેટોર ડુ સી. એન. આર. એસ. બની હતી) ખાતે સેમિનાઇર સુર લેસ પ્રોબલેમ્સ કોમ્બિનેટોરની શરૂઆત કરી હતી. તે જ સમયે, બર્જે એક શિલ્પકાર તરીકે સફળતા હાંસલ કરી. 1994માં બર્જે ઓલિપો માટે 'ગાણિતિક' હત્યાનું રહસ્ય લખ્યું હતું. આ ટૂંકી વાર્તામાં, ડ્યુક ઓફ ડેન્સમોરની હત્યા કોણે કરી (1995), ડ્યુક ઓફ ડેન્સમોરની તેની છ રખાતમાંથી એક દ્વારા હત્યા કરવામાં આવી છે, અને શેરલોક હોમ્સ અને ડૉ. વોટસનને કેસ ઉકેલવા માટે બોલાવવામાં આવ્યા છે. વોટસનને હોમ્સ દ્વારા ડ્યુકના મહેલમાં મોકલવામાં આવે છે, પરંતુ પરત ફર્યા બાદ તે હોમ્સ સુધી જે માહિતી પહોંચાડે છે તે ખૂબ જ ગૂંચવણભરી હોય છે. હોમ્સ એ માહિતીનો ઉપયોગ કરે છે જે વોટસન તેને આલેખ બનાવવા માટે આપે છે. તે પછી તે ગ્રાફ પર ગ્યોરગી હાજોસના પ્રમેયને લાગુ કરે છે જે ખૂનીનું નામ ઉત્પન્ન કરે છે. ઔલિપોમાં બર્જના અન્ય હોંશિયાર યોગદાનનું વર્ણન કરવામાં આવ્યું છે. બર્જનો બીજો રસ કલા અને શિલ્પમાં હતો. તેમણે તેમના પુસ્તક સ્કલ્પ્ચર્સ મલ્ટિપેટર્સ (1962) માં સેન નદીમાં મળી આવેલા પથ્થરોમાંથી બનાવવામાં આવેલા તેમના પ્રારંભિક શિલ્પોનું વર્ણન કર્યું છે. બાર્ને ટોફ્ટ લખે છેઃ ગાણિતિક યોગદાન બર્જે રમત સિદ્ધાંત (1957), આલેખ સિદ્ધાંત અને તેના ઉપયોગો (1958), ટોપોલોજિકલ જગ્યાઓ (1959), સંયોજનોના સિદ્ધાંતો (1968) અને હાયપરગ્રાફ્સ (1970) પર પાંચ પુસ્તકો લખ્યા હતા, દરેકનું ઘણી ભાષાઓમાં ભાષાંતર કરવામાં આવ્યું હતું. આ પુસ્તકોએ વિષયોના સફળ વ્યવહારુ ઉપયોગોને પ્રકાશિત કરીને આલેખ સિદ્ધાંત અને સંયોજનશાસ્ત્રના વિષયોને બદનામીમાંથી બહાર લાવવામાં મદદ કરી. તેમને ખાસ કરીને 1960ના દાયકાની શરૂઆતમાં તેમણે કરેલા સંપૂર્ણ આલેખ પરના બે અનુમાનો માટે યાદ કરવામાં આવે છે, પરંતુ તે નોંધપાત્ર રીતે પછી સુધી સાબિત થયા ન હતાઃ આલેખ ત્યારે જ સંપૂર્ણ હોય છે જ્યારે તેનું પૂરક સંપૂર્ણ હોય, જે 1972માં લેઝલો લોવેઝ દ્વારા સાબિત કરવામાં આવ્યું હતું અને હવે તે સંપૂર્ણ આલેખ પ્રમેય તરીકે ઓળખાય છે, અને આલેખ ત્યારે જ સંપૂર્ણ હોય છે જ્યારે તેમાં કે તેના પૂરકમાં ઓછામાં ઓછી પાંચની વિચિત્ર લંબાઈનું પ્રેરિત ચક્ર ન હોય, જે મારિયા ચુડનોવ્સ્કી, નીલ રોબર્ટસન, પોલ સીમોર અને રોબિન થોમસ દ્વારા 2006માં પ્રકાશિત કાર્યમાં સાબિત કરવામાં આવ્યું હોય અને હવે તે મજબૂત સંપૂર્ણ આલેખ પ્રમેય તરીકે ઓળખાય છે. રમતગમત એ તેમના સમગ્ર જીવન દરમિયાન ક્લાઉડ બર્જનો જુસ્સો હતો, પછી ભલે તે ચેસ, બેકગેમન અને હેક્સ જેવી મનપસંદ રમતોમાં રમવી હોય અથવા વધુ સૈદ્ધાંતિક પાસાઓનું અન્વેષણ કરવું હોય. આ જુસ્સાએ ગણિતમાં તેમની રુચિને સંચાલિત કરી. તેમણે 1951ની શરૂઆતમાં રમત સિદ્ધાંત પર લખવાનું શરૂ કર્યું હતું, 1957માં પ્રિન્સટન, ન્યૂ જર્સીમાં ઇન્સ્ટિટ્યૂટ ફોર એડવાન્સ્ડ સ્ટડીમાં એક વર્ષ વિતાવ્યું હતું અને તે જ વર્ષે તેમનું પ્રથમ મુખ્ય પુસ્તક, થિયોરી જનરલ ડેસ જેક્સ એન પર્સનનું નિર્માણ કર્યું હતું. અહીં, માત્ર જ્હોન વોન ન્યુમેન અને જ્હોન નેશ જેવા નામો જ નહીં, પરંતુ ડેન્સ કોનિગ, ઓસ્ટીન ઓરે અને રિચાર્ડસન જેવા નામો પણ જોવા મળે છે. ખરેખર, આ પુસ્તકમાં ઘણો આલેખ સિદ્ધાંત છે, એટલે કે રમત સિદ્ધાંત માટે ઉપયોગી આલેખ સિદ્ધાંત; તેમાં ઘણી ટોપોલોજી પણ છે, એટલે કે રમત સિદ્ધાંત સાથે સુસંગતતાની ટોપોલોજી. આમ, તે સ્વાભાવિક હતું કે બર્જે બે મોટા ગ્રંથો, થિયોરી ડેસ ગ્રેફ્સ એટ સેસ એપ્લિકેશન્સ અને એસ્પેસિસ ટોપોલોજિક, ફોન્ક્શન્સ મલ્ટીવોક્સ સાથે આ કાર્યને ઝડપથી અનુસર્યું. પ્રથમ એક શ્રેષ્ઠ કૃતિ છે, જેમાં સામાન્ય સિદ્ધાંત, સિદ્ધાંતો-સરળ અને મુશ્કેલ, પુરાવા, ઉદાહરણો, ઉપયોગો, આકૃતિઓનું અનોખું મિશ્રણ છે. તે સંપૂર્ણ વર્ણનને બદલે આલેખ સિદ્ધાંતનું વ્યક્તિગત ઘોષણાપત્ર છે, જેમ કે કોનિગ દ્વારા પુસ્તકમાં પ્રયાસ કરવામાં આવ્યો છે. ગ્રાફ થિયરી પરના અગાઉના બે પુસ્તકો, અનુક્રમે આન્દ્રે સેઇન્ટ-લાગુ અને કોનિગ દ્વારા, બર્જના પુસ્તક સાથે સરખામણી કરવી એક રસપ્રદ પ્રોજેક્ટ હશે. તે સ્પષ્ટ છે કે બર્જનું પુસ્તક ખાસ કરીને કોનિગ કરતાં વધુ આરામથી અને રમતિયાળ છે. તે બર્જના સ્વાદ દ્વારા સંચાલિત થાય છે અને તેનું ઉપશીર્ષક 'ગ્રાફ થિયરીમાં પ્રલોભન' હોઈ શકે છે (પ્રસ્તાવનામાંથી જિયાન-કાર્લો રોટાના શબ્દોનો ઉપયોગ બર્જના પુસ્તકના અંગ્રેજી અનુવાદમાં કરવા માટે). આ પુસ્તકના મુખ્ય વિષયોમાં ફેક્ટરાઇઝેશન, મેચિંગ અને વૈકલ્પિક માર્ગો છે. અહીં બર્જ તિબોર ગલ્લાઇના મૂળભૂત કાગળ પર આધાર રાખે છે. ગલ્લાઈ સૌથી મહાન આલેખ સિદ્ધાંતવાદીઓમાંના એક હતા-તેમની અમુક અંશે અવગણના કરવામાં આવી હતી-પરંતુ બર્જ દ્વારા નહીં. સંયોજનામાં લઘુતમ-મહત્તમ પ્રમેયો અને એલ. પી.-દ્વૈતતા પર ભાર મૂકનારા પ્રથમ લોકોમાં ગલ્લાઈનો સમાવેશ થાય છે. તેઓ ઓપ્ટિમાઇઝેશનમાં તેમના મહત્તમ પ્રમેય અને બર્જના લેમ્મા માટે પણ જાણીતા છે, જે જણાવે છે કે ગ્રાફ G માં મેળ ખાતો M મહત્તમ હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો G માં એમ. આર્ટના સંદર્ભમાં કોઈ વૃદ્ધિ માર્ગ ન હોય. ગણિત ઉપરાંત, ક્લાઉડ બર્જ સાહિત્ય, શિલ્પ અને કલાનો આનંદ માણતા હતા. બર્જે સાહિત્યના નવા સ્વરૂપો બનાવવા માટે 1960માં નવલકથાકારો અને અન્ય ગણિતશાસ્ત્રીઓ સાથે મળીને ફ્રેન્ચ સાહિત્યિક જૂથ ઓલિપોની સહ-સ્થાપના કરી હતી. આ જોડાણમાં, તેમણે ગાણિતિક પ્રમેય પર આધારિત હત્યાનું રહસ્ય લખ્યુંઃ ડ્યુક ઓફ ડેન્સમોરની હત્યા કોણે કરી? આ વાર્તાના રૂપાંતરણમાં, ડ્યુક ઓફ ડેન્સમોર એક વિસ્ફોટમાં મૃત્યુ પામે છે. દસ વર્ષ પછી, શેરલોક હોમ્સ અને ડૉ. વોટસનને આ વણઉકેલાયેલા કેસની તપાસ માટે બોલાવવામાં આવે છે. ડ્યુકની સાત ભૂતપૂર્વ પત્નીઓની સાક્ષીઓ અને અંતરાલ આલેખના તેમના જ્ઞાનનો ઉપયોગ કરીને, હોમ્સ એ નક્કી કરવામાં સક્ષમ છે કે કોણે ડ્યુકની બહુવિધ મુલાકાતો કરી હતી અને બોમ્બ રોપવામાં સક્ષમ હતા. પુરસ્કારો અને સન્માન બર્જે 1989માં એસોસિએશન ઓફ યુરોપિયન ઓપરેશનલ રિસર્ચ સોસાયટીઝ તરફથી યુરો ગોલ્ડ મેડલ જીત્યો હતો અને (રોનાલ્ડ ગ્રેહામ સાથે) 1993માં ઇન્સ્ટિટ્યૂટ ઓફ કોમ્બિનેટોરિક્સ એન્ડ ઇટ્સ એપ્લિકેશન્સ તરફથી ઉદ્ઘાટન યુલર મેડલ જીત્યો હતો. પસંદ કરેલા પ્રકાશનો મુખ્ય ગાણિતિક કાર્યો (નોંધઃ કૌંસમાં રફ અંગ્રેજી અનુવાદ) થિયોરી જનરલ ડેસ જેક્સ એન પર્સન્સ (એન ખેલાડીઓ માટે રમતોનો સામાન્ય સિદ્ધાંત), 1957, ટ્રાન્સ. રશિયનમાં, 1961 થિયોરી ડેસ ગ્રેફ્સ એટ સેસ એપ્લિકેશન્સ, વિલી, 1958, ટ્રાન્સ. અંગ્રેજી, રશિયન, સ્પેનિશ, રોમાનિયન, ચાઇનીઝ. અંગ્રેજી અનુવાદઃ ધ થિયરી ઓફ ગ્રાફ્સ એન્ડ ઇટ્સ એપ્લિકેશન્સ, વિલી, 1964 એસ્પેસિસ ટોપોલોજિક, ફોન્ક્શન્સ મલ્ટીવોક્સ, 1959, ટ્રાન્સ. અંગ્રેજીમાં, 1963. અંગ્રેજી અનુવાદ ટોપોલોજિકલ સ્પેસઃ ઇન્ક્લુડિંગ અ ટ્રીટમેન્ટ ઓફ મલ્ટી-વેલ્યુડ ફંક્શન્સ, વેક્ટર સ્પેસ એન્ડ કન્વેક્સિટી, ડોવર બુક્સ, 2010. પ્રોગ્રામ્સ, જેક્સ અને રીસૉક્સ ડી ટ્રાન્સપોર્ટ, એ. ઘોઇલા-હૌરી સાથે, વિલી, 1962, ટ્રાન્સ. અંગ્રેજી, સ્પેનિશ, જર્મન, ચાઇનીઝ. અંગ્રેજી અનુવાદઃ પ્રોગ્રામિંગ, ગેમ્સ એન્ડ ટ્રાન્સપોર્ટેશન નેટવર્ક્સ, વિલી, 1965 ગ્રેફ્સ પારફિટ્સ (પરફેક્ટ ગ્રાફ્સ), 1963 પ્રિન્સિપ્સ ડી કોમ્બિનેટોર, વિલી, 1968. અંગ્રેજી અનુવાદઃ પ્રિન્સિપલ્સ ઓફ કોમ્બિનેટોરિક્સ, એકેડેમિક પ્રેસ, 1971 ગ્રેફ્સ એટ હાયપરગ્રાફ્સ, 1969 અને 1970 માં, ટ્રાન્સ. અંગ્રેજીમાં, જાપાનીઝમાં. અંગ્રેજી અનુવાદઃ ગ્રાફ અને હાયપરગ્રાફ, નોર્થ-હોલેન્ડ પબ્લિશિંગ કંપની, 1973. હાયપરગ્રાફ્સ. કોમ્પિનેટોઅર્સ ડેસ એન્સેમ્બલ ફિનિસ (હાયપરગ્રાફ્સ. સંયુક્ત મર્યાદિત સમૂહો), ગૌથિયર-વિલાર્સ, 1987, ટ્રાન્સ. અંગ્રેજી સાહિત્યિક કૃતિ સ્કલ્પ્ચર્સ મલ્ટિપેટર્સ, 1961 લા રેઇન એઝટેક (એઝટેક ક્વીન), 1983 ક્યુ એ તુએ લે ડુક ડી ડેન્સમોર? (ડ્યુક ઓફ ડેન્સમોરને કોણે મારી નાખ્યો?) 1994 રેમન્ડ ક્વિનેઉ એટ લા કોમ્બિનેટોર (રેમન્ડ ક્વિનેઉ અને કોમ્બિનેટોરિક્સ), 1997 સંદર્ભો બાહ્ય કડીઓ મોન્ટ્રીયલ યુનિવર્સિટી ખાતે ક્લાઉડ બર્જ ક્લાઉડ બર્જ પૃષ્ઠની ગાણિતિક કૃતિઓ જેના હાન ઓબિચ્યુરી દ્વારા શ્રીનિવાસ ભોગલે ઓબિચ્યુરી બાય વક્લાવ ચ્વાટલ ક્રિએશન એન્ડ રિક્રિએશનઃ એ ટ્રિબ્યુટ ટુ ધ મેમરી ઓફ ક્લાઉડ બર્જ ઇન ડિસ્ક્રીટ મેથેમેટિક્સ, વોલ્યુમ 306, ઓક્ટોબર 6,2006 જન્મ 2002 મૃત્યુ પેરિસ યુનિવર્સિટી ઓફ પેરિસના ભૂતપૂર્વ વિદ્યાર્થીઓના વૈજ્ઞાનિકો પિયરે અને મેરી ક્યુરી યુનિવર્સિટીના યુનિવર્સિટી ઓફ પેરિસના શૈક્ષણિક સ્ટાફ 20 મી સદીના ફ્રેન્ચ ગણિતશાસ્ત્રીઓ ગ્રાફ સિદ્ધાંતવાદીઓ સંયુક્ત ફ્રેન્ચ નેશનલ સેન્ટર ફોર સાયન્ટિફિક રિસર્ચ વૈજ્ઞાનિકો ઓલિપો સભ્યો