Quasiconvex function
ગણિતમાં, ક્વાસીકોનવેક્સ વિધેય એ એક વાસ્તવિક મૂલ્ય ધરાવતું વિધેય છે જે અંતરાલ પર અથવા વાસ્તવિક વેક્ટર જગ્યાના બહિર્મુખ સબસેટ પર વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જેમ કે સ્વરૂપના કોઈપણ સમૂહની વ્યસ્ત છબી બહિર્મુખ સમૂહ હોય છે. એક ચલ કાર્ય માટે, વળાંકના કોઈપણ વિસ્તાર સાથે સૌથી ઊંચું બિંદુ અંતિમ બિંદુઓમાંથી એક છે. ક્વાસીકોનવેક્સ કાર્યનું નકારાત્મક ક્વાસીકોનકેવ હોવાનું કહેવાય છે. બધા બહિર્મુખ કાર્યો પણ બહિર્મુખ છે, પરંતુ તમામ બહિર્મુખ કાર્યો બહિર્મુખ નથી, તેથી બહિર્મુખતા એ બહિર્મુખનું સામાન્યીકરણ છે. યુનિવેરિયેટ યુનિમોડલ વિધેયો ક્વાસીકોનવેક્સ અથવા ક્વાસીકોનકેવ છે, જો કે બહુવિધ દલીલોવાળા વિધેયો માટે આ જરૂરી નથી. ઉદાહરણ તરીકે, 2-ડાયમેન્શનલ રોસેનબ્રોક ફંક્શન યુનિમોડલ છે પરંતુ ક્વાસીકોનવેક્સ નથી અને સ્ટાર-કન્વેક્સ સબ-લેવલ સેટ સાથેના કાર્યો ક્વાસીકોનવેક્સ વિના યુનિમોડલ હોઈ શકે છે. વ્યાખ્યા અને ગુણધર્મો વાસ્તવિક વેક્ટર જગ્યાના બહિર્મુખ સબસેટ પર વ્યાખ્યાયિત કાર્ય ક્વાસીકોનવેક્સ છે જો બધા માટે અને આપણી પાસે હોય. શબ્દોમાં કહીએ તો, જો તે હંમેશા સાચું હોય કે અન્ય બે બિંદુઓ વચ્ચેનો સીધો બિંદુ અન્ય બંને બિંદુઓ કરતા કાર્યનું ઊંચું મૂલ્ય આપતું નથી, તો તે ક્વાસીકોનવેક્સ છે. નોંધ લો કે બિંદુઓ અને, અને તેમની વચ્ચેનું સીધું બિંદુ, રેખા પરના બિંદુઓ હોઈ શકે છે અથવા વધુ સામાન્ય રીતે n-પરિમાણીય અવકાશમાં બિંદુઓ હોઈ શકે છે. અર્ધ-બહિર્મુખ કાર્યને વ્યાખ્યાયિત કરવાની વૈકલ્પિક રીત (પરિચય જુઓ) એ જરૂરી છે કે દરેક પેટા-સ્તર સમૂહ બહિર્મુખ સમૂહ હોય. જો વધુમાં બધા માટે અને, તો તે સખત રીતે ક્વાસીકોનવેક્સ છે. એટલે કે, કડક ક્વાસીકોનવેક્સિટી માટે જરૂરી છે કે અન્ય બે બિંદુઓ વચ્ચેના સીધા બિંદુએ અન્ય બિંદુઓમાંથી એક કરતા કાર્યનું ઓછું મૂલ્ય આપવું આવશ્યક છે. ક્વાસીકોનકેવ કાર્ય એ એક કાર્ય છે જેનું નકારાત્મક ક્વાસીકોનવેક્સ છે, અને સખત ક્વાસીકોનકેવ કાર્ય એ એક કાર્ય છે જેનું નકારાત્મક સખત રીતે ક્વાસીકોનવેક્સ છે. સમાન રીતે એક કાર્ય ક્વાસિકોન્કેવ છે જો અને સખત રીતે ક્વાસિકોન્કેવ હોય જો A (સખત રીતે) ક્વાસિકોન્વેક્સ કાર્યમાં (સખત રીતે) બહિર્મુખ નીચલા સમોચ્ચ સમૂહો હોય, જ્યારે (સખત રીતે) ક્વાસિકોન્કેવ કાર્યમાં (સખત રીતે) બહિર્મુખ ઉપલા સમોચ્ચ સમૂહો હોય. એક કાર્ય જે ક્વાસીકોનવેક્સ અને ક્વાસીકોનકેવ બંને છે તે ક્વાસીલીનિયર છે. અર્ધ-કોન્કવિટીનો એક ચોક્કસ કેસ, જો, યુનિમોડાલિટી છે, જેમાં સ્થાનિક રીતે મહત્તમ મૂલ્ય હોય છે. એપ્લિકેશન્સ ક્વાસીકોનવેક્સ ફંક્શન્સ ગાણિતિક વિશ્લેષણ, ગાણિતિક ઓપ્ટિમાઇઝેશન અને રમત સિદ્ધાંત અને અર્થશાસ્ત્રમાં એપ્લિકેશન્સ ધરાવે છે. મેથેમેટિકલ ઓપ્ટિમાઇઝેશન બિનરેખીય ઓપ્ટિમાઇઝેશનમાં, ક્વાસીકોનવેક્સ પ્રોગ્રામિંગ પુનરાવર્તિત પદ્ધતિઓનો અભ્યાસ કરે છે જે ક્વાસીકોનવેક્સ કાર્યો માટે લઘુત્તમ (જો કોઈ અસ્તિત્વમાં હોય તો) સાથે એકરૂપ થાય છે. ક્વાસીકોનવેક્સ પ્રોગ્રામિંગ એ બહિર્મુખ પ્રોગ્રામિંગનું સામાન્યીકરણ છે. ક્વાસીકોનવેક્સ પ્રોગ્રામિંગનો ઉપયોગ "સરોગેટ" બેવડી સમસ્યાઓના ઉકેલમાં થાય છે, જેની દ્વિભાષીઓ પ્રાથમિક સમસ્યાના ક્વાસીકોનવેક્સ બંધને પ્રદાન કરે છે, જે તેથી લાગ્રેન્જિયન બેવડી સમસ્યાઓ દ્વારા પૂરા પાડવામાં આવેલ બહિર્મુખ બંધ કરતાં વધુ કડક સીમા પ્રદાન કરે છે. સિદ્ધાંતમાં, ક્વાસીકોનવેક્સ પ્રોગ્રામિંગ અને બહિર્મુખ પ્રોગ્રામિંગ સમસ્યાઓ વાજબી સમયગાળામાં ઉકેલી શકાય છે, જ્યાં પુનરાવર્તનોની સંખ્યા સમસ્યાના પરિમાણમાં બહુપદીની જેમ વધે છે (અને સહન કરવામાં આવેલી અંદાજિત ભૂલના પારસ્પરિકમાં); જો કે, આવી સૈદ્ધાંતિક રીતે "કાર્યક્ષમ" પદ્ધતિઓ "ડાઇવર્જન્ટ-સિરીઝ" સ્ટેપસાઇઝ નિયમોનો ઉપયોગ કરે છે, જે સૌપ્રથમ ક્લાસિકલ સબગ્રેડિયન્ટ પદ્ધતિઓ માટે વિકસાવવામાં આવ્યા હતા. ડાયવર્જન્ટ-સિરીઝના નિયમોનો ઉપયોગ કરતી ક્લાસિકલ સબગ્રેડિયન્ટ પદ્ધતિઓ બહિર્મુખ લઘુતમીકરણની આધુનિક પદ્ધતિઓ કરતાં ઘણી ધીમી છે, જેમ કે સબગ્રેડિયન્ટ પ્રક્ષેપણ પદ્ધતિઓ, વંશની બંડલ પદ્ધતિઓ અને નોનસ્મૂથ ફિલ્ટર પદ્ધતિઓ. અર્થશાસ્ત્ર અને આંશિક વિભેદક સમીકરણોઃ મિનિમેક્સ પ્રમેયો સૂક્ષ્મ અર્થશાસ્ત્રમાં, ક્વાસિકોન્કેવ ઉપયોગિતા કાર્યો સૂચવે છે કે ગ્રાહકો બહિર્મુખ પસંદગીઓ ધરાવે છે. ક્વાસીકોનવેક્સ કાર્યો રમત સિદ્ધાંત, ઔદ્યોગિક સંગઠન અને સામાન્ય સંતુલન સિદ્ધાંતમાં પણ મહત્વપૂર્ણ છે, ખાસ કરીને સાયનના મિનિમેક્સ પ્રમેયની એપ્લિકેશનો માટે. જ્હોન વોન ન્યુમેનના મિનિમેક્સ પ્રમેયને સામાન્ય બનાવતા, સાયનના પ્રમેયનો ઉપયોગ આંશિક વિભેદક સમીકરણોના સિદ્ધાંતમાં પણ થાય છે. ક્વાસીકોનવેક્સિટીની જાળવણી કામગીરી ક્વાસીકોનવેક્સિટીની જાળવણી મહત્તમ ક્વાસીકોનવેક્સ કાર્યો (એટલે કે) તે ક્વાસીકોનવેક્સ છે. તેવી જ રીતે, મહત્તમ કડક ક્વાસીકોનવેક્સ વિધેયો કડક ક્વાસીકોનવેક્સ છે. તેવી જ રીતે, લઘુતમ ક્વાસિકોન્કેવ વિધેયો ક્વાસિકોન્કેવ છે, અને લઘુતમ કડક-ક્વાસિકોન્કેવ વિધેયો કડક રીતે-ક્વાસિકોન્કેવ છે. બિન-ઘટતા કાર્ય સાથેની રચનાઃ ક્વાસીકોનવેક્સ, બિન-ઘટતું, પછી ક્વાસીકોનવેક્સ છે. તેવી જ રીતે, જો ક્વાસિકોન્કેવ, બિન-ઘટતું હોય, તો તે ક્વાસિકોન્કેવ છે. લઘુતમ (એટલે કે. ક્વાસીકોનવેક્સ, બહિર્મુખ સમૂહ, પછી ક્વાસીકોનવેક્સ છે) ક્વાસીકોનવેક્સિટીને જાળવી ન રાખવાની કામગીરી સમાન ક્ષેત્ર પર વ્યાખ્યાયિત ક્વાસીકોનવેક્સ કાર્યોનો સરવાળો ક્વાસીકોનવેક્સ હોવો જરૂરી નથીઃ બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, જો ક્વાસીકોનવેક્સ હોય, તો ક્વાસીકોનવેક્સ હોવું જરૂરી નથી. વિવિધ ક્ષેત્રો પર વ્યાખ્યાયિત ક્વાસીકોનવેક્સ કાર્યોનો સરવાળો (એટલે કે. જો ક્વાસીકોનવેક્સ હોય, તો) ક્વાસીકોનવેક્સ હોવું જરૂરી નથી. આવા કાર્યોને અર્થશાસ્ત્રમાં "એડિટિવલી ડિકોમ્પોઝ્ડ" અને ગાણિતિક ઓપ્ટિમાઇઝેશનમાં "સેપરેબલ" કહેવામાં આવે છે. ઉદાહરણો દરેક બહિર્મુખ કાર્ય ક્વાસીકોનવેક્સ છે. અંતર્મુખ કાર્ય ક્વાસીકોનવેક્સ હોઈ શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, તે અંતર્મુખ અને ક્વાસીકોનવેક્સ બંને છે. કોઈપણ મોનોટોનિક કાર્ય ક્વાસીકોનવેક્સ અને ક્વાસીકોનકેવ બંને છે. વધુ સામાન્ય રીતે, જે કાર્ય એક બિંદુ સુધી ઘટે છે અને તે બિંદુથી વધે છે તે ક્વાસીકોનવેક્સ (એકરૂપતાની તુલના કરો) છે. ફ્લોર ફંક્શન એ ક્વાસીકોનવેક્સ ફંક્શનનું ઉદાહરણ છે જે ન તો બહિર્મુખ છે અને ન તો સતત. કોન્વેક્સ ફંક્શન કોન્કેવ ફંક્શન લોગરિથમિકલી કોન્કેવ ફંક્શન સ્યુડોકન્વેક્સિટી કેટલાક જટિલ ચલો (સામાન્યીકૃત કન્વેક્સિટી નહીં) સ્યુડોકન્વેક્સ ફંક્શન ઇન્વેક્સ ફંક્શન કોન્કેવિફિકેશન સંદર્ભો એવ્રીલ, એમ., ડાયવર્ટ, ડબ્લ્યુ. ઇ., શેઇબલ, એસ. અને ઝાંગ, આઈ., સામાન્યીકૃત કોન્કેવિટી, પ્લેનમ પ્રેસ, 1988 ના અર્થમાં પણ જુઓ. ગાયક, ઇવાન એબ્સ્ટ્રેક્ટ બહિર્મુખ વિશ્લેષણ. કેનેડિયન મેથેમેટિકલ સોસાયટી સિરીઝ ઓફ મોનોગ્રાફ્સ એન્ડ એડવાન્સ્ડ ટેક્સ્ટ્સ. વિલે-ઇન્ટરસાયન્સ પ્રકાશન. જ્હોન વિલી એન્ડ સન્સ, ઇન્ક., ન્યૂ યોર્ક, 1997. xxii + 491 પીપી. બાહ્ય કડીઓ એસ. આઈ. ઓ. એન., એમ., "સામાન્ય મિનિમેક્સ પ્રમેય પર", પેસિફિક જે. ગણિત. 8 (1958), 171-176. મેથેમેટિકલ પ્રોગ્રામિંગ ગ્લોસરી કોન્કેવ અને ક્વાસી-કોન્કેવ ફંક્શન્સ-ચાર્લ્સ વિલ્સન દ્વારા, એનવાયયુ અર્થશાસ્ત્ર વિભાગ ક્વાસીકોનકેવિટી અને ક્વાસીકોનવેક્સિટી-માર્ટિન જે. ઓસબોર્ન દ્વારા, યુનિવર્સિટી ઓફ ટોરોન્ટો અર્થશાસ્ત્ર વિભાગ કન્વેક્સ ઓપ્ટિમાઇઝેશન કન્વેક્સ ઓપ્ટિમાઇઝેશન કન્વેક્સ ઓપ્ટિમાઇઝેશન કન્વેક્સ ઓપ્ટિમાઇઝેશન કન્વેક્સ ઓપ્ટિમાઇઝેશન કન્વેક્સ ઓપ્ટિમાઇઝેશન કન્વેક્સ ઓપ્ટિમાઇઝેશન કન્વેક્સ ઓપ્ટિમાઇઝેશન કન્વેક્સ ઓપ્ટિમાઇઝેશન કન્વેક્સ ઓપ્ટિમાઇઝેશન કન્વેક્સ ઓપ્ટિમાઇઝેશન કન્વેક્સ ઓપ્ટિમાઇઝેશન કન્વેક્સ ઓપ્ટિમાઇઝેશન કન્વેક્સ ઓપ્ટિમાઇઝેશન કન્વેક્સ ઓપ્ટિમાઇઝેશન કન્વેક્સ ઓપ્ટિમાઇઝેશન કન્વેક્સ ઓપ્ટિમાઇઝેશન કન્વેક્સ ઓપ્ટિમ