Toda oscillator
ભૌતિકશાસ્ત્રમાં, ટોડા ઓસિલેટર એ એક ખાસ પ્રકારનું બિનરેખીય ઓસિલેટર છે. તે પડોશીઓ વચ્ચે ઘાતાંકીય સંભવિત ક્રિયાપ્રતિક્રિયા સાથે કણોની સાંકળનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. આ વિભાવનાઓનું નામ મોરિકાઝુ તોડાના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે. ટોડા ઓસિલેટરનો ઉપયોગ સ્વ-સ્પંદનની ઘટનાને સમજવા માટે એક સરળ મોડેલ તરીકે થાય છે, જે ક્ષણિક શાસનમાં સોલિડ-સ્ટેટ લેસરની આઉટપુટ તીવ્રતાનું અર્ધ-સામયિક સ્પંદન છે. વ્યાખ્યા ટોડા ઓસિલેટર એ કોઈપણ મૂળની ગતિશીલ પ્રણાલી છે, જેને આશ્રિત સંકલન અને સ્વતંત્ર સંકલન સાથે વર્ણવી શકાય છે, જેમાં સ્વતંત્ર સંકલન સાથે ઉત્ક્રાંતિને સમીકરણ સાથે અંદાજિત કરી શકાય છે જ્યાં, અને મુખ્ય વ્યુત્પન્ન સૂચવે છે. ભૌતિક અર્થ સ્વતંત્ર સંકલનમાં સમયની સમજ હોય છે. ખરેખર, તે અમુક સંબંધ સાથે સમયના પ્રમાણસર હોઈ શકે છે, જેમ કે, જ્યાં અચળ છે. વ્યુત્પન્નમાં સંકલન સાથે કણના વેગની સમજ હોઈ શકે છે; પછી તેને પ્રવેગક તરીકે અર્થઘટન કરી શકાય છે; અને આવા કણનું દળ એકતાની બરાબર છે. ડિસિપેટિવ ફંક્શનમાં ઝડપ-પ્રમાણસર ઘર્ષણના ગુણાંકનો અર્થ હોઈ શકે છે. સામાન્ય રીતે, બંને પરિમાણો અને હકારાત્મક હોવાનું માનવામાં આવે છે; પછી આ ગતિ-પ્રમાણસર ઘર્ષણ ગુણાંક સંકલનના મોટા હકારાત્મક મૂલ્યો પર ઝડપથી વધે છે. પોટેન્શિયલ એ એક નિશ્ચિત કાર્ય છે, જે સંકલનના મોટા હકારાત્મક મૂલ્યો પર ઘાતાંકીય વૃદ્ધિ પણ દર્શાવે છે. લેસર ભૌતિકશાસ્ત્રમાં ઉપયોગમાં લેસર પોલાણમાં ફોટોનની સંખ્યાના લઘુગણકની સમજણ હોઈ શકે છે, જે તેના સ્થિર-સ્થિતિ મૂલ્ય સાથે સંબંધિત છે. પછી, આવા લેસરની ઉત્પાદન શક્તિ તેના પ્રમાણસર હોય છે અને તેના ઓસિલેશન પર સ્પંદનો બતાવી શકે છે. એકતા દળ કણ અને ફોટોનની સંખ્યાના લઘુગણક સાથેની બંને સામ્યતાઓ, ટોડા ઓસિલેટરની વર્તણૂકના વિશ્લેષણમાં ઉપયોગી છે. ઊર્જા સખત રીતે, ઓસિલેશન માત્ર સામયિક હોય છે. ખરેખર, સ્વ-સ્પંદનીય લેસર તરીકે ટોડા ઓસિલેટરની અનુભૂતિમાં, આ પરિમાણોમાં ક્રમના મૂલ્યો હોઈ શકે છે; કેટલાક સ્પંદનો દરમિયાન, સ્પંદનનું કંપનવિસ્તાર ખૂબ બદલાતું નથી. આ કિસ્સામાં, આપણે ધબકારાના સમયગાળા વિશે વાત કરી શકીએ છીએ, કારણ કે કાર્ય લગભગ સામયિક છે. આ કિસ્સામાં, ઓસિલેટરની ઊર્જા તેના પર નિર્ભર નથી, અને તેને ગતિના અચળાંક તરીકે ગણી શકાય. પછી, ધબકારાના એક સમયગાળા દરમિયાન, અને વચ્ચેનો સંબંધ વિશ્લેષણાત્મક રીતે વ્યક્ત કરી શકાય છેઃ જ્યાં અને તેના ન્યૂનતમ અને મહત્તમ મૂલ્યો છે; આ ઉકેલ જ્યારે કેસ માટે લખવામાં આવે છે. જોકે, અન્ય ઉકેલો ટ્રાન્સલેશનલ ઇનવેરિયન્સના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને મેળવી શકાય છે. ધબકારાના કંપનવિસ્તારને દર્શાવવા માટે ગુણોત્તર એક અનુકૂળ પરિમાણ છે. આનો ઉપયોગ કરીને, આપણે મધ્ય મૂલ્યને આ રીતે વ્યક્ત કરી શકીએ છીએ; અને ઊર્જા પણ તેનું પ્રાથમિક કાર્ય છે. ઉપયોગમાં, જથ્થો પ્રણાલીની ભૌતિક ઊર્જા હોવો જરૂરી નથી; આ કિસ્સાઓમાં, આ પરિમાણહીન જથ્થાને અર્ધ-ઊર્જા કહી શકાય. ધબકારાનો સમયગાળો ધબકારાનો સમયગાળો એ કંપનવિસ્તારનું વધતું કાર્ય છે. ક્યારે, સમયગાળો ક્યારે, સમગ્ર શ્રેણીમાં, સમયગાળો અને આવર્તન ઓછામાં ઓછા 8 નોંધપાત્ર આંકડાઓ દ્વારા અંદાજિત કરી શકાય છે. આ અંદાજની સાપેક્ષ ભૂલ ઓળંગાઈ નથી. સ્પંદનોમાં ઘટાડો અને ના નાના (પરંતુ હજુ પણ હકારાત્મક) મૂલ્યો પર, સ્પંદનો ધીમે ધીમે ક્ષીણ થાય છે, અને આ ક્ષયને વિશ્લેષણાત્મક રીતે વર્ણવી શકાય છે. પ્રથમ અંદાજમાં, પરિમાણો અને ક્ષયમાં ઉમેરણીય યોગદાન આપે છે; ક્ષય દર, તેમજ બિનરેખીય દોલનનું કંપનવિસ્તાર અને તબક્કો, પ્રાથમિક કાર્યો સાથે ઉપરોક્ત સમયગાળાની સમાન રીતે અંદાજિત કરી શકાય છે. આદર્શ ટોડા ઓસિલેટરની વર્તણૂકનું વર્ણન કરતી વખતે, આવા અંદાજોની ભૂલ આદર્શ અને ઓપ્ટિકલ બેન્ચ પર સ્વ-પલ્સ લેસર તરીકે તેની પ્રાયોગિક અનુભૂતિ વચ્ચેના તફાવતો કરતાં ઓછી હોય છે. જો કે, સ્વ-પલ્સ લેસર ગુણાત્મક રીતે ખૂબ સમાન વર્તન દર્શાવે છે. સતત મર્યાદા ગતિના ટોડા સાંકળ સમીકરણો, સતત મર્યાદામાં જેમાં પડોશીઓ વચ્ચેનું અંતર શૂન્ય થાય છે, તે કોર્ટેવેગ-ડી વ્રીસ સમીકરણ (KdV) સમીકરણ બની જાય છે. અહીં સાંકળમાં કણને લેબલ કરતી અનુક્રમણિકા નવું અવકાશી સંકલન બની જાય છે. તેનાથી વિપરીત, ટોડા ક્ષેત્ર સિદ્ધાંત એક નવું અવકાશી સંકલન રજૂ કરીને પ્રાપ્ત થાય છે જે સાંકળ અનુક્રમણિકા લેબલથી સ્વતંત્ર છે. આ સાપેક્ષ રીતે અપરિવર્તનશીલ રીતે કરવામાં આવે છે, જેથી સમય અને જગ્યાને સમાન આધારો પર ગણવામાં આવે. આનો અર્થ એ છે કે ટોડા ક્ષેત્ર સિદ્ધાંત ટોડા સાંકળની સતત મર્યાદા નથી. ગાણિતિક ભૌતિકશાસ્ત્ર અણુ, પરમાણુ અને ઓપ્ટિકલ ભૌતિકશાસ્ત્ર સંદર્ભો