Johannes de Groot
જોહાન્સ ડી ગ્રૂટ (7 મે, 1914-11 સપ્ટેમ્બર, 1972) એક ડચ ગણિતશાસ્ત્રી હતા, જે બીજા વિશ્વયુદ્ધ પછી બે દાયકાથી વધુ સમય સુધી અગ્રણી ડચ ટોપોલોજિસ્ટ રહ્યા હતા. જીવનચરિત્ર ડી ગ્રૂટનો જન્મ 7 મે, 1914ના રોજ લોપરસમ, ગ્રોનિંગન નગરપાલિકાના એક ગામ ગેરેલ્સવીરમાં થયો હતો. તેમણે રિજક્સુનિવર્સાઇટ ગ્રોનિંગન ખાતે સ્નાતક અને સ્નાતક એમ બંને અભ્યાસો કર્યા હતા, જ્યાં તેમણે 1942માં ગેરિટ શેકેની દેખરેખ હેઠળ પીએચ. ડી. પ્રાપ્ત કરી હતી. તેમણે સ્નાતક તરીકે ગણિત, ભૌતિકશાસ્ત્ર અને ફિલસૂફીનો અભ્યાસ કર્યો અને બીજગણિત અને બીજગણિત ભૂમિતિ પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરીને તેમના સ્નાતક અભ્યાસની શરૂઆત કરી, પરંતુ તે સમયે નેધરલેન્ડ્સમાં આ વિષયમાં સામાન્ય અણગમો હોવા છતાં, તેમના થીસીસના વિષય પોઇન્ટ સેટ ટોપોલોજી તરફ વળ્યા. યુનિવર્સિટી છોડ્યા પછી ઘણા વર્ષો સુધી, ડી ગ્રૂટે માધ્યમિક શાળા સ્તરે ગણિત શીખવ્યું, પરંતુ 1946 માં તેમને એમ્સ્ટરડેમમાં મેથેમેટિસ્ક સેન્ટ્રમમાં નિમણૂક કરવામાં આવી, 1947 માં તેમણે એમ્સ્ટરડેમ યુનિવર્સિટીમાં લેક્ચરરશિપ શરૂ કરી, 1948 માં તેઓ ડેલ્ફ્ટ યુનિવર્સિટી ઓફ ટેકનોલોજીમાં ગણિતના પ્રોફેસર તરીકે પદ પર ગયા, અને 1952 માં તેઓ ફરીથી એમ્સ્ટરડેમ યુનિવર્સિટીમાં ગયા, જ્યાં તેઓ તેમના બાકીના જીવન માટે રહ્યા. તેઓ 1960 થી 1964 સુધી મેથેમેટિસ્ક સેન્ટ્રમમાં શુદ્ધ ગણિતના વડા હતા અને 1964 થી એમ્સ્ટરડેમ યુનિવર્સિટીમાં વિજ્ઞાનના ડીન હતા. તેમણે પર્ડ્યુ યુનિવર્સિટી (1959-1960), સેન્ટ લૂઇસમાં વોશિંગ્ટન યુનિવર્સિટી (1963-1964), યુનિવર્સિટી ઓફ ફ્લોરિડા (1966-1967 અને ત્યારબાદ શિયાળો) અને યુનિવર્સિટી ઓફ સાઉથ ફ્લોરિડા (1971-1972) ની પણ મુલાકાત લીધી હતી. 11 સપ્ટેમ્બર, 1972ના રોજ રોટરડેમમાં તેમનું અવસાન થયું હતું. ડી ગ્રૂટ પાસે ઘણા વિદ્યાર્થીઓ હતા, અને 100 થી વધુ શૈક્ષણિક વંશજો હતા; કોએટ્સિયર અને વેન મિલ લખે છે કે આમાંના ઘણા યુવાન ટોપોલોજિસ્ટ્સે ડી ગ્રૂટની નાની મર્સિડીઝની પાછળની સીટમાં સંકોચન કરવાનો પ્રયાસ કરતી વખતે પ્રથમ હાથથી કોમ્પેક્ટિફિકેશનનો અનુભવ કર્યો હતો. મેકડોવેલ લખે છે, "તેમના વિદ્યાર્થીઓ અનિવાર્યપણે ડચ યુનિવર્સિટીઓમાં ટોપોલોજી ફેકલ્ટીની રચના કરે છે". ડચ ટોપોલોજી પર ડી ગ્રૂટનો ઊંડો પ્રભાવ તેમના નામના જોહાન્સ એન્ટોનિયસ મેરી ડી ગ્રૂટની જટિલ શૈક્ષણિક વંશાવળીમાં જોઈ શકાય છે (ચિત્રમાં બતાવેલ): પાછળથી ડી ગ્રૂટ, ટોપોલોજીમાં 1990 પીએચ. ડી., વરિષ્ઠ ડી ગ્રૂટના શૈક્ષણિક પૌત્ર, પ્રપૌત્ર અને મહાન-પ્રપૌત્ર છે, જે શૈક્ષણિક દેખરેખના ચાર અલગ અલગ માર્ગો દ્વારા છે. ડી ગ્રૂટ 1969માં રોયલ નેધરલેન્ડ એકેડેમી ઓફ આર્ટ્સ એન્ડ સાયન્સના સભ્ય તરીકે ચૂંટાયા હતા. રિસર્ચ ડી ગ્રૂટે આશરે 90 વૈજ્ઞાનિક કાગળો પ્રકાશિત કર્યા. તેમનું ગાણિતિક સંશોધન સામાન્ય રીતે ટોપોલોજી અને ટોપોલોજિકલ ગ્રુપ થિયરી સાથે સંબંધિત હતું, જોકે તેમણે અમૂર્ત બીજગણિત અને ગાણિતિક વિશ્લેષણમાં પણ યોગદાન આપ્યું હતું. તેમણે પરિમાણ સિદ્ધાંત (એક એવો વિષય જે બ્રોવર માટે પણ રસ ધરાવતો હતો) પર ઘણા કાગળો લખ્યા હતા. આ વિષય પર તેમનું પ્રથમ કાર્ય, તેમના થીસીસમાં, જગ્યાના કોમ્પેક્ટનેસ ડિગ્રી સાથે સંબંધિત છેઃ આ એક સંખ્યા છે, જેને કોમ્પેક્ટ સ્પેસ માટે −1 તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, અને 1 + x જો જગ્યાના દરેક બિંદુ પાસે પડોશી હોય, જેની સીમા કોમ્પેક્ટનેસ ડિગ્રી x ધરાવે છે. તેમણે એક મહત્વપૂર્ણ અનુમાન લગાવ્યું હતું, જેને ખૂબ જ પાછળથી 1982માં પોલ દ્વારા અને 1988માં કિમુરા દ્વારા ઉકેલવામાં આવ્યું હતું, કે કોમ્પેક્ટનેસ ડિગ્રી એ સમૂહના લઘુતમ પરિમાણ જેટલી જ હતી જે તેને કોમ્પેક્ટ કરવા માટે જગ્યા સાથે જોડી શકાય છે. આમ, દાખલા તરીકે, પરિચિત યુક્લિડિયન જગ્યા કોમ્પેક્ટનેસ ડિગ્રી શૂન્ય ધરાવે છે; તે પોતે કોમ્પેક્ટ નથી, પરંતુ દરેક બિંદુને કોમ્પેક્ટ ગોળાથી ઘેરાયેલો પડોશી છે. આ કોમ્પેક્ટનેસ ડિગ્રી, શૂન્ય, એક બિંદુના પરિમાણની બરાબર છે જે યુક્લિડિયન જગ્યામાં તેના એક-બિંદુ કોમ્પેક્ટિફિકેશનની રચના કરવા માટે ઉમેરી શકાય છે. ડી ગ્રૂટની સઘનતા ડિગ્રી સમસ્યા અને ટોપોલોજિકલ જગ્યાઓ માટે પરિમાણની અન્ય વ્યાખ્યાઓ સાથેના તેના સંબંધની વિગતવાર સમીક્ષા કોએત્સિયર અને વેન મિલ દ્વારા પૂરી પાડવામાં આવી છે. 1959 માં, હોમોમોર્ફિઝમ્સના વર્ગીકરણ પરના તેમના કાર્યથી આ પ્રમેય તરફ દોરી ગયું કે યુક્લિડિયન પ્લેનના જોડી મુજબના બિન-હોમોમોર્ફિક જોડાયેલા સબસેટ્સની મોટી કાર્ડિનલ સંખ્યા, β2 મળી શકે છે, જેમ કે આમાંથી કોઈ પણ સેટમાં તેને પોતાને અથવા આમાંના કોઈપણ સેટમાં મેપિંગ કરતું કોઈ બિન-તુચ્છ સતત કાર્ય નથી. પ્લેનના આ સબસેટ્સ દ્વારા રચાયેલી ટોપોલોજિકલ જગ્યાઓ આમ તુચ્છ ઓટોમોર્ફિઝમ જૂથ ધરાવે છે; ડી ગ્રુટે આ રચનાનો ઉપયોગ એ બતાવવા માટે કર્યો હતો કે તમામ જૂથો કેટલાક કોમ્પેક્ટ હૌસડોર્ફ જગ્યાના ઓટોમોર્ફિઝમ જૂથ છે, જૂથના કેલે ગ્રાફની કિનારીઓને કોઈ બિન-તુચ્છ ઓટોમોર્ફિઝમ્સ ધરાવતી જગ્યાઓ દ્વારા બદલીને અને પછી સ્ટોન-ચેક કોમ્પેક્ટિફિકેશન લાગુ કરીને. સંબંધિત બીજગણિત પરિણામ એ છે કે દરેક જૂથ પરિવર્તનીય રિંગનું ઓટોમોર્ફિઝમ જૂથ છે. તેમના સંશોધનના અન્ય પરિણામોમાં પુરાવાઓનો સમાવેશ થાય છે કે માપનક્ષમ ટોપોલોજિકલ જગ્યા બિન-આર્કિમિડીયન મેટ્રિક ધરાવે છે (મજબૂત ત્રિકોણ અસમાનતા d (x, z) ≤ મહત્તમ (d (x, y), d (y, z) ને સંતોષ આપે છે) જો અને માત્ર જો તેનું પરિમાણ શૂન્ય હોય, તો કોકોમ્પેક્ટનેસની દ્રષ્ટિએ સંપૂર્ણપણે માપનક્ષમ જગ્યાઓનું વર્ણન અને હિલ્બર્ટ જગ્યાનું ટોપોલોજિકલ લાક્ષણિકતા. 1962 પછીથી, તેમનું સંશોધન મુખ્યત્વે નવા ટોપોલોજિકલ સિદ્ધાંતોના વિકાસ સાથે સંબંધિત હતુંઃ સબ કોમ્પેક્ટનેસ, કોકોમ્પેક્ટનેસ, કોટોપોલોજી, જીએ-કોમ્પેક્ટિફિકેશન, સુપરએક્સ્ટેંશન, માઇનસ્પેસ, એન્ટિસ્પેસીસ અને સ્ક્વેર કોમ્પેક્ટનેસ. સંદર્ભો બાહ્ય લિંક્સ જોહાન્સ ડી ગ્રૂટ (1914-1972). જાન વાન મિલ, બાયોગ્રાફિશ વુર્ડેનબોક વોન નેડરલેન્ડસ વિસ્કુન્ડીજેન, સપ્ટેમ્બર 2006. (ડચમાં.) 1914 જન્મ 1972 મૃત્યુ 20મી સદીના ડચ ગણિતશાસ્ત્રીઓ ડેલ્ફ્ટ યુનિવર્સિટી ઓફ ટેક્નોલોજીના શૈક્ષણિક સ્ટાફ રોયલ નેધરલેન્ડ એકેડેમી ઓફ આર્ટ્સ એન્ડ સાયન્સના ટોપોલોજિસ્ટ ટોપોલોજિસ્ટ લોકો સેન્ટ લૂઇસમાં ગ્રોનિંગન ભૂતપૂર્વ વિદ્યાર્થી વોશિંગ્ટન યુનિવર્સિટીના લોકો ગણિતશાસ્ત્રીઓ