Class formation
ગણિતમાં, વર્ગ રચના એ ચોક્કસ શરતોને સંતોષતા મોડ્યુલ પર કામ કરતું ટોપોલોજિકલ જૂથ છે. વર્ગ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંતમાં દેખાતા વિવિધ ગેલોઇસ જૂથો અને મોડ્યુલોને ગોઠવવા માટે એમિલ આર્ટિન અને જ્હોન ટેટ દ્વારા વર્ગ રચનાઓ રજૂ કરવામાં આવી હતી. વ્યાખ્યાઓ એ રચના એ ટોપોલોજિકલ જી-મોડ્યુલ એ સાથે મળીને એક ટોપોલોજિકલ જૂથ જી છે જેના પર જી સતત કાર્ય કરે છે. રચનાનું સ્તર E/F એ ખુલ્લા પેટા જૂથો E, F અને G ની જોડી છે જેમ કે F એ E નું મર્યાદિત અનુક્રમણિકા પેટા જૂથ છે. જો F એ E નું સામાન્ય પેટા જૂથ હોય તો તેને સામાન્ય સ્તર કહેવામાં આવે છે, અને જો વધુમાં ભાગાકાર જૂથ ચક્રીય હોય તો તેને ચક્રીય સ્તર કહેવામાં આવે છે. જો E એ G નું પેટા જૂથ હોય, તો AE ને E દ્વારા નિશ્ચિત A ના ઘટકો તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. જ્યારે પણ E/F સામાન્ય સ્તર હોય ત્યારે આપણે ટેટ કોહોમોલોજી જૂથ Hn (E/F, AF) માટે Hn (E/F) લખીએ છીએ. (કેટલાક લેખકો G ના પેટા જૂથને બદલે E અને F ને નિશ્ચિત ક્ષેત્રો માને છે, તેથી E/F ને બદલે F/E લખો.) એપ્લિકેશન્સમાં, G એ ઘણીવાર ક્ષેત્રનું સંપૂર્ણ ગેલોઇસ જૂથ હોય છે, અને ખાસ કરીને તે અનંત હોય છે, અને તેથી ખુલ્લા પેટાજૂથો કેટલાક નિશ્ચિત અલગ કરી શકાય તેવા બંધમાં સમાવિષ્ટ ક્ષેત્રના મર્યાદિત વિસ્તરણને અનુરૂપ હોય છે. વર્ગ રચના એ એવી રચના છે કે દરેક સામાન્ય સ્તર માટે E/F H1 (E/F) તુચ્છ હોય છે, અને H2 (E/F) એ |E F | ક્રમની ચક્રીય હોય છે. વ્યવહારમાં, આ ચક્રીય જૂથો મૂળભૂત વર્ગો તરીકે ઓળખાતા કેનોનિકલ જનરેટર યુ. ઇ./એફ. એચ. 2 (ઇ./એફ.) સાથે પ્રદાન કરવામાં આવે છે, જે એકબીજા સાથે એ અર્થમાં સુસંગત છે કે મૂળભૂત વર્ગનું પ્રતિબંધ (કોહોમોલોજી વર્ગોના) અન્ય મૂળભૂત વર્ગ છે. ઘણીવાર મૂળભૂત વર્ગોને વર્ગ રચનાના માળખાનો ભાગ માનવામાં આવે છે. જે રચના માત્ર H1 (E/F) = 1 શરતને સંતોષે છે તેને કેટલીકવાર ક્ષેત્ર રચના કહેવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો G એ L અને A = L × ક્ષેત્ર પર કામ કરતું કોઈ મર્યાદિત જૂથ હોય, તો હિલ્બર્ટના પ્રમેય 90 દ્વારા આ ક્ષેત્રની રચના છે. ઉદાહરણો વર્ગ રચનાઓના સૌથી મહત્વપૂર્ણ ઉદાહરણો (લગભગ મુશ્કેલીના ક્રમમાં ગોઠવાયેલા) નીચે મુજબ છેઃ આર્કિમિડીયન સ્થાનિક વર્ગ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંતઃ મોડ્યુલ A એ બિન-શૂન્ય જટિલ સંખ્યાઓનું જૂથ છે, અને G કાં તો તુચ્છ છે અથવા જટિલ જોડાણ દ્વારા પેદા થયેલ ક્રમ 2નું ચક્રીય જૂથ છે. મર્યાદિત ક્ષેત્રોઃ મોડ્યુલ A એ પૂર્ણાંકો છે (તુચ્છ G-ક્રિયા સાથે), અને G એ મર્યાદિત ક્ષેત્રનું નિરપેક્ષ ગેલોઇસ જૂથ છે, જે પૂર્ણાંકોની અનંત પૂર્ણતા માટે સમરૂપ છે. લાક્ષણિકતા p> 0 નો સ્થાનિક વર્ગ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંતઃ મોડ્યુલ A એ મર્યાદિત ક્ષેત્ર પર ઔપચારિક લોરેન્ટ શ્રેણીના ક્ષેત્રનું અલગ કરી શકાય તેવું બીજગણિત બંધ છે, અને G એ ગેલોઇસ જૂથ છે. લાક્ષણિકતા 0 નો બિન-આર્કીમીડિયન સ્થાનિક વર્ગ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંતઃ મોડ્યુલ A એ p-adic સંખ્યાઓના ક્ષેત્રનું બીજગણિત બંધ છે, અને G એ ગેલોઇસ જૂથ છે. લાક્ષણિકતા p> 0 નો વૈશ્વિક વર્ગ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંતઃ મોડ્યુલ A એ મર્યાદિત ક્ષેત્ર પર કેટલાક કાર્ય ક્ષેત્રના અલગ કરી શકાય તેવા મર્યાદિત વિસ્તરણના આદર્શ વર્ગના જૂથોનું જોડાણ છે, અને G એ ગેલોઇસ જૂથ છે. લાક્ષણિકતા 0 નો વૈશ્વિક વર્ગ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંતઃ મોડ્યુલ A એ બીજગણિત સંખ્યા ક્ષેત્રોના આદર્શ વર્ગોના જૂથોનું જોડાણ છે, અને G એ A પર કાર્ય કરતી તર્કસંગત સંખ્યાઓ (અથવા અમુક બીજગણિત સંખ્યા ક્ષેત્ર) નું ગેલોઇસ જૂથ છે. મર્યાદિત ક્ષેત્ર કેસ અને આર્કિમિડીયન સ્થાનિક ક્ષેત્ર કેસ માટે વર્ગ રચનાના ગુણધર્મને ચકાસવું સરળ છે, પરંતુ બાકીના કેસ વધુ મુશ્કેલ છે. વર્ગ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંતની મોટાભાગની મહેનત એ સાબિત કરવા માટે હોય છે કે આ ખરેખર વર્ગ રચનાઓ છે. નીચે આપેલા વિભાગોમાં વર્ણવ્યા મુજબ આ ઘણા પગલાંઓમાં કરવામાં આવે છે. પ્રથમ અસમાનતા વર્ગ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંતની પ્રથમ અસમાનતા જણાવે છે કે |H0 (E/F) | ≤ |E F | ચક્રીય સ્તરો E/F માટે. તે સામાન્ય રીતે હર્બ્રાન્ડ ભાગાકારના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને વધુ ચોક્કસ સ્વરૂપ |H0 (E/F) | = |E F | × |H1 (E/F) | માં સાબિત થાય છે. તે સાબિત કરવું એકદમ સરળ છે, કારણ કે હર્બ્રાન્ડ ભાગાકાર કામ કરવા માટે સરળ છે, કારણ કે તે ટૂંકા ચોક્કસ ક્રમ પર ગુણાકાર છે, અને મર્યાદિત મોડ્યુલો માટે 1 છે. લગભગ 1950 પહેલાં, પ્રથમ અસમાનતાને બીજી અસમાનતા તરીકે ઓળખવામાં આવતી હતી, અને તેનાથી ઊલટું. બીજી અસમાનતા વર્ગ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંતની બીજી અસમાનતા જણાવે છે કે તમામ સામાન્ય સ્તરો E/F માટે |H0 (E/F) | ≤ |E F |. સ્થાનિક ક્ષેત્રો માટે, આ અસમાનતા હિલ્બર્ટના પ્રમેય 90 થી પ્રથમ અસમાનતા અને જૂથ કોહોમોલોજીના કેટલાક મૂળભૂત ગુણધર્મો સાથે સરળતાથી અનુસરે છે. બીજી અસમાનતા સૌપ્રથમ વૈશ્વિક ક્ષેત્રો માટે વેબર દ્વારા સંખ્યા ક્ષેત્રોની એલ શ્રેણીના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરવામાં આવી હતી, જે નીચે મુજબ છે. ધારો કે E/F સ્તર વૈશ્વિક ક્ષેત્રોના વિસ્તરણ k. K ને અનુરૂપ છે. K એકના ડેડેકિંડ ઝીટા વિધેયનો અભ્યાસ કરવાથી જાણવા મળે છે કે K ના 1 ડિગ્રી અવિભાજ્યમાં ડિરીક્લેટ ઘનતા હોય છે જે s = 1 પર ધ્રુવના ક્રમ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જે 1 છે (જ્યારે K એ તર્કસંગત હોય છે, ત્યારે આ અનિવાર્યપણે યુલરનો પુરાવો છે કે રીમાન ઝીટા વિધેયના s = 1 પર ધ્રુવનો ઉપયોગ કરતા અનંત સંખ્યાબંધ અવિભાજ્ય છે.) જેમ કે k માં દરેક પ્રાઇમ કે જે એક ધોરણ છે તે K ના ડિગ્રી (K/k) = |E F | વિશિષ્ટ ડિગ્રી 1 પ્રાઇમનો ગુણાકાર છે, આ દર્શાવે છે કે k ના પ્રાઇમનો સમૂહ કે જે ધોરણો છે તેની ઘનતા 1/|E F | છે. બીજી બાજુ, H0 (E/F) જૂથના અક્ષરોની ડિરીક્લેટ L-શ્રેણીનો અભ્યાસ કરીને, એક દર્શાવે છે કે આ જૂથના તુચ્છ તત્વનું પ્રતિનિધિત્વ કરતા k ના અવિભાજ્યની ડિરીક્લેટ ઘનતા 1/|H0 (E/F) | ધરાવે છે. (સાબિતીનો આ ભાગ ડિરીક્લેટના સાબિતીનું સામાન્યીકરણ છે કે અંકગણિત પ્રગતિમાં અનંત સંખ્યાબંધ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે.) પરંતુ એક અવિભાજ્ય H0 (E/F) જૂથના તુચ્છ તત્વનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે જો તે સામાન્ય મોડ્યુલો મુખ્ય આદર્શોની બરાબર હોય, તો આ સમૂહ ઓછામાં ઓછો અવિભાજ્ય સમૂહ જેટલો ગાઢ હોય છે જે ધોરણો છે. તેથી 1/|H0 (E/F) | ≤1/|E F | જે બીજી અસમાનતા છે. 1940માં શેવેલ્લીને બીજી અસમાનતાના શુદ્ધ બીજગણિત પુરાવા મળ્યા, પરંતુ તે વેબરના મૂળ પુરાવા કરતાં લાંબા અને સખત છે. લગભગ 1950 પહેલાં, બીજી અસમાનતા પ્રથમ અસમાનતા તરીકે જાણીતી હતી; નામ બદલવામાં આવ્યું હતું કારણ કે શેવેલીનો બીજગણિત પુરાવો પ્રથમ અસમાનતાનો ઉપયોગ કરે છે. તાકાગીએ વર્ગ ક્ષેત્રને એવી રીતે વ્યાખ્યાયિત કર્યું છે કે જ્યાં બીજી અસમાનતામાં સમાનતા હોય. નીચે આર્ટિન સમરૂપતા દ્વારા, H0 (E/F) એ E/F ના અબેલિયનકરણ માટે સમરૂપતા છે, તેથી બીજી અસમાનતામાં સમાનતા અબેલિયન વિસ્તરણ માટે બરાબર છે, અને વર્ગ ક્ષેત્રો અબેલિયન વિસ્તરણ જેવા જ છે. પ્રથમ અને બીજી અસમાનતાને નીચે પ્રમાણે જોડી શકાય છે. ચક્રીય સ્તરો માટે, બે અસમાનતાઓ એકસાથે સાબિત કરે છે કે H1 (E/F) |E F | = H0 (E/F) ≤ |E F | તેથી H0 (E/F) = |E F | અને H1 (E/F) = 1. હવે કોહોમોલોજી જૂથો વિશેનો મૂળભૂત પ્રમેય દર્શાવે છે કે તમામ ચક્રીય સ્તરો માટે H1 (E/F) = 1 હોવાથી, આપણી પાસે તમામ સામાન્ય સ્તરો માટે H1 (E/F) = 1 છે (તેથી ખાસ કરીને રચના એ ક્ષેત્રની રચના છે). H1 (E/F) હંમેશા તુચ્છ હોય છે તેનો આ પુરાવો તેના બદલે ગોળાકાર છે; વૈશ્વિક ક્ષેત્રો માટે તેનો કોઈ "સીધો" પુરાવો (આનો અર્થ ગમે તે હોય) જાણીતો નથી. (સ્થાનિક ક્ષેત્રો માટે H1 (E/F) નું લુપ્ત થવું એ માત્ર હિલ્બર્ટનો પ્રમેય 90 છે.) ચક્રીય જૂથ માટે, H0 એ H2 જેવું જ છે, તેથી તમામ ચક્રીય સ્તરો માટે H2 (E/F) = |E F |. ગ્રુપ કોહોમોલોજીનો બીજો પ્રમેય દર્શાવે છે કે તમામ સામાન્ય સ્તરો માટે H1 (E/F) = 1 અને તમામ ચક્રીય સ્તરો માટે H2 (E/F) ≤ |E F | હોવાથી, આપણી પાસે તમામ સામાન્ય સ્તરો માટે H2 (E/F) ≤ |E F | છે. (હકીકતમાં, સમાનતા તમામ સામાન્ય સ્તરો માટે લાગુ પડે છે, પરંતુ આ માટે વધુ મહેનત કરવી પડે છે; આગળનો વિભાગ જુઓ.) વર્ગ રચનાના બ્રાઉઅર જૂથો H2 (E/*) ને H2 (E/F) જૂથોની સીધી મર્યાદા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે કારણ કે F એ E ના તમામ ખુલ્લા પેટા જૂથો પર ચાલે છે. તમામ સ્તરો માટે H1 ના લુપ્ત થવાનું સરળ પરિણામ એ છે કે જૂથો H2 (E/F) એ બ્રાઉઅર જૂથના તમામ પેટા જૂથો છે. સ્થાનિક વર્ગ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંતમાં બ્રાઉઅર જૂથો ક્ષેત્રોના બ્રાઉઅર જૂથો જેવા જ છે, પરંતુ વૈશ્વિક વર્ગ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંતમાં રચનાનું બ્રાઉઅર જૂથ અનુરૂપ વૈશ્વિક ક્ષેત્રનું બ્રાઉઅર જૂથ નથી (જોકે તેઓ સંબંધિત છે). આગળનું પગલું એ સાબિત કરવાનું છે કે H2 (E/F) બરાબર |E F | ક્રમનું ચક્રીય છે; અગાઉનો વિભાગ દર્શાવે છે કે તેમાં મહત્તમ આ ક્રમ છે, તેથી તે H2 (E/F) માં ક્રમ |E F | ના કેટલાક તત્વને શોધવા માટે પૂરતું છે. મનસ્વી એક્સ્ટેન્શન્સ માટેનો પુરાવો G જૂથમાંથી સમરૂપતાનો ઉપયોગ કરે છે, જે કર્નલ G φ સાથે પૂર્ણાંકોની અનંત પૂર્ણતા પર હોય છે, અથવા બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો G ના સમરૂપતાનો સુસંગત ક્રમ, કર્નલ Gn સાથે તમામ n માટે ક્રમ n ના ચક્રીય જૂથો પર હોય છે. આ હોમોમોર્ફિઝમ્સ ક્ષેત્રોના ચક્રીય સાયક્લોટોમિક એક્સ્ટેન્શન્સનો ઉપયોગ કરીને બનાવવામાં આવે છે; મર્યાદિત ક્ષેત્રો માટે તેઓ બીજગણિત બંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે, બિન-આર્કિમિડીયન સ્થાનિક ક્ષેત્રો માટે તેઓ મહત્તમ અનરેમિફાઇડ એક્સ્ટેન્શન્સ દ્વારા આપવામાં આવે છે, અને વૈશ્વિક ક્ષેત્રો માટે તેઓ સહેજ વધુ જટિલ હોય છે. જેમ કે આ એક્સ્ટેન્શન્સ સ્પષ્ટપણે આપવામાં આવ્યા છે, તેઓ ચકાસી શકે છે કે તેમની પાસે ગુણધર્મ છે કે H2 (G/Gn) કેનોનિકલ જનરેટર સાથે ક્રમ n નો ચક્રીય છે. તે આમાંથી અનુસરે છે કે કોઈપણ સ્તર E માટે, જૂથ H2 (E/E ≤ G ≤) પ્રમાણભૂત રીતે Q/Z માટે સમરૂપ છે. એકતાના મૂળનો ઉપયોગ કરવાનો આ વિચાર ચેબોટારેવ દ્વારા તેમના ચેબોટારેવના ઘનતા પ્રમેયના પુરાવામાં રજૂ કરવામાં આવ્યો હતો, અને તેના થોડા સમય પછી આર્ટિન દ્વારા તેમના પારસ્પરિકતા પ્રમેયને સાબિત કરવા માટે તેનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો. સામાન્ય સ્તરો E, F માટે એક ચોક્કસ ક્રમ છે આ ક્રમમાં છેલ્લા બે જૂથો બંનેને Q/Z સાથે ઓળખી શકાય છે અને તેમની વચ્ચેનો નકશો પછી |E F | દ્વારા ગુણાકાર થાય છે. તેથી પ્રથમ જૂથ કેનોનિક રીતે Z/nZ માટે આઇસોમોર્ફિક છે. કારણ કે H2 (E/F) નો ક્રમ મહત્તમ Z/nZ બરાબર હોવો જોઈએ (અને ખાસ કરીને મધ્ય જૂથમાં સમાયેલ છે). આ દર્શાવે છે કે કોઈપણ સ્તરનું બીજું કોહોમોલોજી જૂથ H2 (E/F) એ ક્રમ |E F | નું ચક્રીય છે, જે વર્ગ રચનાના સ્વયંસિદ્ધોની ચકાસણી પૂર્ણ કરે છે. સાબિતીઓમાં થોડી વધુ કાળજી સાથે, આપણને H2 (E/F) નું કેનોનિકલ જનરેટર મળે છે, જેને મૂળભૂત વર્ગ કહેવાય છે. આ પરથી જાણવા મળે છે કે બ્રાઉઅર જૂથ H2 (E/*) એ (કેનોનિક રીતે) જૂથ Q/Z માટે આઇસોમોર્ફિક છે, સિવાય કે આર્કિમિડીયન સ્થાનિક ક્ષેત્રો R અને C ના કિસ્સામાં જ્યારે તેનો ક્રમ 2 અથવા 1 હોય. જૂથ કોહોમોલોજીમાં ટેટનો પ્રમેય અને આર્ટિનનો નકશો ટેટનો પ્રમેય નીચે મુજબ છે. ધારો કે A એ મર્યાદિત જૂથ G પરનું મોડ્યુલ છે અને a એ H2 (G, A) નું એક તત્વ છે, જેમ કે G H1 (E, A) ના દરેક પેટાજૂથ E માટે તુચ્છ છે, અને H2 (E, A) એ Res (a) દ્વારા ઉત્પન્ન થાય છે જેનો ક્રમ E છે. જો આપણે ટેટના પ્રમેયનો કેસ n = −2 વર્ગ રચનામાં લાગુ કરીએ, તો આપણે જોઈએ છીએ કે કોઈપણ સામાન્ય સ્તર E/F માટે H − 2 (E/F, Z) → H0 (E/F, AF) આઇસોમોર્ફિઝમ છે. જૂથ H−2 (E/F, Z) એ માત્ર E/F નું અબેલિયનકરણ છે, અને જૂથ H0 (E/F, AF) એ AE મોડ્યુલો છે જે AF ના ધોરણોનું જૂથ છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, આપણી પાસે AE ની દ્રષ્ટિએ ગેલોઇસ જૂથ E/F ના અબેલિયનકરણનું સ્પષ્ટ વર્ણન છે. આ આઇસોમોર્ફિઝમનું ઇન્વર્સ લેવાથી E/Fનું હોમોમોર્ફિઝમ AE → એબેલિયનકરણ મળે છે, અને તમામ ખુલ્લા પેટા જૂથો F પર મર્યાદા લેવાથી Eનું હોમોમોર્ફિઝમ AE → એબેલિયનકરણ મળે છે, જેને આર્ટિન નકશો કહેવાય છે. આર્ટિન નકશો અનિવાર્યપણે અનુમાનાત્મક નથી, પરંતુ તેમાં ગાઢ છબી છે. તેના કર્નલની નીચે અસ્તિત્વ પ્રમેય એ AE (વર્ગ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંત માટે) નો જોડાયેલ ઘટક છે, જે બિન-આર્કિમિડીયન સ્થાનિક ક્ષેત્રોના વર્ગ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંત અને કાર્ય ક્ષેત્રો માટે તુચ્છ છે, પરંતુ આર્કિમિડીયન સ્થાનિક ક્ષેત્રો અને સંખ્યા ક્ષેત્રો માટે બિન-તુચ્છ છે. તાકાગી અસ્તિત્વ પ્રમેય વર્ગ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંતનો મુખ્ય બાકી રહેલો પ્રમેય તાકાગી અસ્તિત્વ પ્રમેય છે, જે જણાવે છે કે આદર્શ વર્ગ જૂથના દરેક મર્યાદિત અનુક્રમણિકા બંધ પેટાજૂથ કેટલાક અબેલિયન વિસ્તરણને અનુરૂપ ધોરણોનું જૂથ છે. આને સાબિત કરવાની શાસ્ત્રીય રીત એ છે કે ધોરણોના નાના જૂથો સાથે કેટલાક વિસ્તરણોનું નિર્માણ કરવું, પહેલા એકતાના ઘણા મૂળિયા ઉમેરીને, અને પછી કુમ્મર વિસ્તરણ અને આર્ટિન-શ્રેયર વિસ્તરણ લેવું. આ વિસ્તરણ બિન-એબેલિયન હોઈ શકે છે (જોકે તે એબેલિયન જૂથો દ્વારા એબેલિયન જૂથોનું વિસ્તરણ છે); જો કે, આનાથી ખરેખર કોઈ ફરક પડતો નથી, કારણ કે બિન-એબેલિયન ગેલોઇસ વિસ્તરણનું સામાન્ય જૂથ તેના મહત્તમ એબેલિયન વિસ્તરણ જેવું જ છે (આ આપણે વર્ગ ક્ષેત્રો વિશે પહેલેથી જ જે જાણતા હોઈએ છીએ તેનો ઉપયોગ કરીને બતાવી શકાય છે). આ દર્શાવવા માટે પૂરતા (અબેલિયન) વિસ્તરણ આપે છે કે આદર્શ વર્ગ જૂથના કોઈપણ મર્યાદિત અનુક્રમણિકા પેટાજૂથને અનુરૂપ અબેલિયન વિસ્તરણ છે. પરિણામ એ છે કે આર્ટિન નકશાનું કર્નલ આદર્શ વર્ગ જૂથની ઓળખનો જોડાયેલ ઘટક છે, જેથી એફના ગેલોઇસ જૂથનું અબેલિયનકરણ આદર્શ વર્ગ જૂથની અનંત પૂર્ણતા છે. સ્થાનિક વર્ગ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંત માટે, લ્યુબિન-ટેટ ઔપચારિક જૂથ કાયદાઓનો વધુ સ્પષ્ટ રીતે ઉપયોગ કરીને અબેલિયન વિસ્તરણોનું નિર્માણ કરવું પણ શક્ય છે. વૈશ્વિક ક્ષેત્રો માટે, અબેલિયન એક્સ્ટેન્શન્સને કેટલાક કિસ્સાઓમાં સ્પષ્ટ રીતે બનાવી શકાય છેઃ ઉદાહરણ તરીકે, તર્કસંગતના અબેલિયન એક્સ્ટેન્શન્સને એકતાના મૂળનો ઉપયોગ કરીને બનાવી શકાય છે, અને ચતુર્ભુજ કાલ્પનિક ક્ષેત્રોના અબેલિયન એક્સ્ટેન્શન્સને લંબગોળ કાર્યોનો ઉપયોગ કરીને બનાવી શકાય છે, પરંતુ મનસ્વી વૈશ્વિક ક્ષેત્રો માટે આનું એનાલોગ શોધવું એ એક વણઉકેલાયેલી સમસ્યા છે. વેઇલ જૂથ આ વેઇલ જૂથ નથી અને તેનો વેઇલ-ચેટલેટ જૂથ અથવા મોર્ડેલ-વેઇલ જૂથ સાથે કોઈ સંબંધ નથી મૂળભૂત વર્ગો યુ. ઇ./એફ. એચ. 2 (ઇ./એફ., એ. એફ.) સાથે વર્ગ રચનાનું વેઇલ જૂથ એક પ્રકારનું સંશોધિત ગેલોઇસ જૂથ છે, જે વર્ગ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંતના વિવિધ ફોર્મ્યુલેશનમાં અને ખાસ કરીને લેંગલેન્ડ પ્રોગ્રામમાં રજૂ કરવામાં આવ્યું છે અને તેનો ઉપયોગ થાય છે. જો E/F એક સામાન્ય સ્તર હોય, તો E/F નું વેઇલ જૂથ U એ H2 (E/F, AF) માં મૂળભૂત વર્ગ uE/F ને અનુરૂપ વિસ્તરણ 1 → AF → U → E/F → 1 છે. સમગ્ર રચનાના વેઇલ જૂથને G/F ના તમામ સ્તરોના વેઇલ જૂથોની વ્યસ્ત મર્યાદા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, F માટે G નું ખુલ્લું પેટાજૂથ. વર્ગ રચના (G, A) નો પારસ્પરિક નકશો AG થી વેઇલ જૂથના અબેલિયનકરણમાં સમરૂપતાને પ્રેરિત કરે છે. એબેલિયન એક્સ્ટેંશન આર્ટિન એલ-ફંક્શન આર્ટિન રેસિપ્રોસિટી ક્લાસ ફિલ્ડ થિયરી કોમ્પ્લેક્સ મલ્ટિપ્લિકેશન ગેલોઇસ કોહોમોલોજી હાસ્સ નોર્મ થીયરમ હર્બ્રાન્ડ ક્વોશન્ટ હિલ્બર્ટ ક્લાસ ફિલ્ડ ક્રોનેકર-વેબર થીયરમ લોકલ ક્લાસ ફિલ્ડ થિયરી તાકાગી અસ્તિત્વ થીયરમ ટેટ કોહોમોલોજી ગ્રુપ રેફરન્સ, ખાસ કરીને. પ્રકરણ XI: વર્ગ રચનાઓ, તેમના એકત્રિત કરેલા કાગળોના પ્રથમ ખંડમાં પુનઃમુદ્રિત, બીજગણિત સંખ્યા સિદ્ધાંત વર્ગ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંત