Refinement monoid
ગણિતમાં, રિફાઇનમેન્ટ મોનોઇડ એ એક પરિવર્તનીય મોનોઇડ M છે જેમ કે M ના કોઈપણ ઘટકો a0, a1, b0, b1 માટે જેમ કે a0 + a1 = b0 + b1, ત્યાં M ના ઘટકો c00, c01, c10, c11 છે જેમ કે a0 = c00 + c01, a1 = c10 + c11, b0 = c00 + c10, અને b1 = c01 + c11. જો x + y = 0 સૂચવે છે કે x = y = 0, એમ ના કોઈપણ ઘટકો x, y માટે. મૂળભૂત ઉદાહરણો શૂન્ય સાથે જોડાણ-સમરૂપતા એ શુદ્ધિકરણ મોનોઇડ છે જો અને માત્ર જો તે વિતરણાત્મક હોય. કોઈપણ અબેલિયન જૂથ એ રિફાઇનમેન્ટ મોનોઇડ છે. આંશિક રીતે ક્રમાંકિત અબેલિયન જૂથ G નો હકારાત્મક શંકુ G + એ રિફાઇનમેન્ટ મોનોઇડ છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો G એક અંતર્વેશન જૂથ હોય, તો પછીનો અર્થ એ છે કે G ના કોઈપણ ઘટકો a0, a1, b0, b1 માટે જેમ કે તમામ i, j <2 માટે ai ≤ bj, G નું એક તત્વ x અસ્તિત્વમાં છે જેમ કે બધા i, j <2 માટે ai ≤ x ≤ bj. ઉદાહરણ તરીકે, જો G એ જાળી-આદેશિત હોય તો આ લાગુ પડે છે. બુલિયન બીજગણિત B નો સમરૂપતા પ્રકાર એ તમામ બુલિયન બીજગણિત B નો સમરૂપતા વર્ગ છે. (જો આપણે ઈચ્છીએ કે આ એક સમૂહ હોય, તો બીમાંથી એકની નીચે સેટ-સૈદ્ધાંતિક ક્રમના બુલિયન આલ્જેબ્રા સુધી મર્યાદિત રહો.) બુલિયન આલ્જેબ્રાના આઇસોમોર્ફિઝમ પ્રકારોનો વર્ગ, જે (કોઈપણ બુલિયન આલ્જેબ્રા X અને Y માટે, જ્યાં X નો આઇસોમોર્ફિઝમ પ્રકાર સૂચવે છે) દ્વારા વ્યાખ્યાયિત સરવાળા સાથે સંપન્ન છે, તે શંકુ આકારનું રિફાઇનમેન્ટ મોનોઇડ છે. બુલિયન બીજગણિત A અને પરિવર્તનીય મોનોઇડ M માટે, એક નકશો μ: A → M એ એક માપ છે, જો μ (a) = 0 હોય અને માત્ર જો a = 0 હોય, અને જ્યારે પણ a અને b અલગ હોય ત્યારે (એટલે કે, a, b = 0), કોઈપણ a માટે, A માં b. વધુમાં આપણે કહીએ છીએ કે, જો A માં તમામ c માટે અને M માં તમામ x, y માટે, જેમ કે μ (c) = x + y હોય, તો A માં a, b એ એવા છે કે c = a * b, μ (a) = x, અને μ (b) = y. પરિવર્તનીય મોનોઇડ M માં એક તત્વ e માપી શકાય તેવું છે (M ના સંદર્ભમાં), જો ત્યાં બુલિયન બીજગણિત A હોય અને V-માપ μ: A → M એવું હોય કે μ (1) = e---- આપણે કહીએ છીએ કે μ માપે છે e. આપણે કહીએ છીએ કે M માપી શકાય તેવું છે, જો M નું કોઈપણ તત્વ માપી શકાય તેવું હોય (M ના સંદર્ભમાં). અલબત્ત, દરેક માપી શકાય તેવું મોનોઇડ એક શંક્વાકાર રિફાઇનમેન્ટ મોનોઇડ છે. હંસ ડોબર્ટિને 1983માં સાબિત કર્યું હતું કે મહત્તમ α1 તત્વો સાથેનું કોઈપણ શંકુ આકારનું શુદ્ધિકરણ એ માપી શકાય તેવું છે. તેમણે એ પણ સાબિત કર્યું કે સૌથી વધુ ગણતરીપાત્ર શંકુ પરિષ્કરણ મોનોઇડમાં કોઈપણ તત્વને સૌથી વધુ ગણતરીપાત્ર બુલિયન બીજગણિત પર અનન્ય (આઇસોમોર્ફિઝમ સુધી) વી-માપ દ્વારા માપવામાં આવે છે. તેમણે ત્યાં કોઈ પણ શંક્વાકાર શુદ્ધિકરણ મોનોઈડ માપી શકાય તેવું છે કે કેમ તે મુદ્દો ઉઠાવ્યો હતો. 1998માં ફ્રેડરિક વેહરુંગ દ્વારા આનો નકારાત્મક જવાબ આપવામાં આવ્યો હતો. પ્રતિકૂળ ઉદાહરણોમાં કોઈ પણ કાર્ડિનાલિટી α2 કરતા વધારે અથવા તેની બરાબર હોઈ શકે છે. વોન ન્યુમેન નિયમિત રિંગ્સનો બિનકાર્યક્ષમ K-સિદ્ધાંત રિંગ (એકમ સાથે) R માટે, FP (R) દ્વારા મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન થયેલ પ્રોજેક્ટિવ જમણા R-મોડ્યુલોના વર્ગને સૂચવે છે. સમાનરૂપે, FP (R) ના પદાર્થો એ Rn સ્વરૂપના તમામ મોડ્યુલોનો સીધો સરવાળો છે, જેમાં n એ હકારાત્મક પૂર્ણાંક છે, જેને તેના પર જમણા મોડ્યુલ તરીકે જોવામાં આવે છે. FP (R) માં ઑબ્જેક્ટ X ના આઇસોમોર્ફિઝમ પ્રકાર દ્વારા દર્શાવો. પછી એફપી (આર) ના સભ્યોના તમામ આઇસોમોર્ફિઝમ પ્રકારોનો સમૂહ વી (આર), જે દ્વારા વ્યાખ્યાયિત ઉમેરા સાથે સંપન્ન છે, તે શંકુ પરિવર્તનીય મોનોઈડ છે. વધુમાં, જો આર વોન ન્યુમેન નિયમિત હોય, તો વી (આર) એ રિફાઇનમેન્ટ મોનોઇડ છે. તેમાં ક્રમ-એકમ છે. આપણે કહીએ છીએ કે V (R) એ R ની અસ્થિર K-થિયરીને એન્કોડ કરે છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો R એ વિભાજન રિંગ છે, તો FP (R) ના સભ્યો બરાબર R પરની મર્યાદિત-પરિમાણીય જમણી વેક્ટર જગ્યાઓ છે, અને બે વેક્ટર જગ્યાઓ આઇસોમોર્ફિક છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તેઓ સમાન પરિમાણ ધરાવે છે. તેથી V (R) એ તમામ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના એકસૂત્ર માટે સમરૂપ છે, જે તેના સામાન્ય ઉમેરાથી સંપન્ન છે. થોડું વધુ જટિલ ઉદાહરણ નીચે પ્રમાણે મેળવી શકાય છે. F ક્ષેત્ર પર મેટ્રિસિયલ બીજગણિત એ સ્વરૂપની રિંગ્સનો મર્યાદિત ગુણાકાર છે, n પંક્તિઓ સાથેના તમામ વર્ગ મેટ્રિસીસની રિંગ અને F માં એન્ટ્રીઓ, ચલ હકારાત્મક પૂર્ણાંકો n માટે. F પર મેટ્રિસિયલ આલ્જેબ્રાની સીધી મર્યાદા એ F પર સ્થાનિક રીતે મેટ્રિસિયલ બીજગણિત છે. દરેક સ્થાનિક મેટ્રિસિયલ બીજગણિત વોન ન્યુમેન નિયમિત છે. કોઈપણ સ્થાનિક મેટ્રિસિયલ બીજગણિત આર માટે, વી (આર) એ કહેવાતા પરિમાણ જૂથનો હકારાત્મક શંકુ છે. વ્યાખ્યા મુજબ, પરિમાણ જૂથ એ આંશિક રીતે ક્રમાંકિત અબેલિયન જૂથ છે, જેનો અંતર્ગત ક્રમ નિર્દેશિત હોય છે, જેનો સકારાત્મક શંકુ એક શુદ્ધિકરણ મોનોઇડ છે, અને જે છિદ્રિત નથી, જેનો અર્થ થાય છે કે mx ≤ 0 એ સૂચવે છે કે x ≤ 0, G ના કોઈપણ તત્વ x અને કોઈપણ સકારાત્મક પૂર્ણાંક m માટે. કોઈપણ સરળ જૂથ, એટલે કે, સ્વરૂપનું આંશિક રીતે ક્રમાંકિત અબેલિયન જૂથ, એક પરિમાણ જૂથ છે. એફ્રોસ, હેન્ડલમેન અને શેને 1980માં સાબિત કર્યું હતું કે પરિમાણ જૂથો બરાબર સરળ જૂથોની સીધી મર્યાદા છે, જ્યાં સંક્રમણ નકશા હકારાત્મક હોમોમોર્ફિઝમ્સ છે. આ પરિણામ 1976માં પી. એ. ગ્રિલેટ દ્વારા થોડા અલગ સ્વરૂપમાં સાબિત થઈ ચૂક્યું હતું. ઇલિયટે 1976માં સાબિત કર્યું હતું કે સરળ જૂથોની કોઈપણ ગણતરીપાત્ર સીધી મર્યાદાનો હકારાત્મક શંકુ V (R) માટે આઇસોમોર્ફિક છે, કેટલાક સ્થાનિક મેટ્રિસિયલ રીંગ R માટે. છેવટે, ગુડઅર્લ અને હેન્ડલમેને 1986માં સાબિત કર્યું કે મહત્તમ α1 તત્વો ધરાવતા કોઈપણ પરિમાણ જૂથનો હકારાત્મક શંકુ V (R) માટે આઇસોમોર્ફિક છે, કેટલાક સ્થાનિક મેટ્રિસિયલ રીંગ R (કોઈપણ આપેલ ક્ષેત્ર પર) માટે. વેહરુંગે 1998માં સાબિત કર્યું હતું કે ક્રમ-એકમ સાથે પરિમાણ જૂથો છે જેમના હકારાત્મક શંકુને વોન ન્યુમેન નિયમિત રીંગ આર માટે વી (આર) તરીકે રજૂ કરી શકાતા નથી. આપેલ ઉદાહરણોમાં α2 કરતા વધારે અથવા તેની બરાબર કોઈપણ કાર્ડિનાલિટી હોઈ શકે છે. મહત્તમ α1 (અથવા તો α0) તત્વો સાથેના કોઈપણ શંકુ આકારના શુદ્ધિકરણ મોનોઇડને આર વોન ન્યુમેન નિયમિત માટે V (R) તરીકે રજૂ કરી શકાય છે કે કેમ તે એક ખુલ્લી સમસ્યા છે. સંદર્ભો વધુ વાંચન અર્ધસમૂહ સિદ્ધાંત