Holonomic constraints
શાસ્ત્રીય મિકેનિક્સમાં, હોલોનોમિક અવરોધો એ સ્થિતિ ચલો (અને સંભવતઃ સમય) વચ્ચેના સંબંધો છે જે નીચેના સ્વરૂપમાં વ્યક્ત કરી શકાય છેઃ જ્યાં n સામાન્યીકૃત કોઓર્ડિનેટ્સ છે જે સિસ્ટમનું વર્ણન કરે છે (અનિયંત્રિત રૂપરેખાંકન જગ્યામાં). ઉદાહરણ તરીકે, ગોળાની સપાટી પર આવેલા કણની ગતિ હોલોનોમિક અવરોધને આધિન હોય છે, પરંતુ જો કણ ગુરુત્વાકર્ષણના પ્રભાવ હેઠળ ગોળામાંથી નીચે પડી શકે છે, તો અવરોધ નોન-હોલોનોમિક બની જાય છે. પ્રથમ કેસ માટે, હોલોનોમિક અવરોધ સમીકરણ દ્વારા આપી શકાય છે જ્યાં ત્રિજ્યાના ગોળાના કેન્દ્રથી અંતર છે, જ્યારે બીજો બિન-હોલોનોમિક કેસ વેગ-આધારિત અવરોધો (જેને અર્ધ-હોલોનોમિક અવરોધો પણ કહેવાય છે) દ્વારા આપી શકાય છે જેમ કે સામાન્ય રીતે હોલોનોમિક નથી. શાસ્ત્રીય મિકેનિક્સમાં જો સિસ્ટમની તમામ મર્યાદાઓ હોલોનોમિક હોય તો સિસ્ટમને હોલોનોમિક તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. અવરોધ સર્વગ્રાહી બનવા માટે તે એક કાર્ય તરીકે વ્યક્ત થવો જોઈએઃ એટલે કે. હોલોનોમિક અવરોધ માત્ર કોઓર્ડિનેટ્સ અને કદાચ સમય પર આધાર રાખે છે. તે t ના સંદર્ભમાં વેગ અથવા કોઈપણ ઉચ્ચ-ક્રમના વ્યુત્પન્ન પર આધાર રાખતું નથી. એક અવરોધ કે જે ઉપર દર્શાવેલ સ્વરૂપમાં વ્યક્ત કરી શકાતો નથી તે નોનહોલોનોમિક અવરોધ છે. પરિચય ઉપર વર્ણવ્યા મુજબ, હોલોનોમિક સિસ્ટમ (સરળ રીતે કહીએ તો) એક એવી સિસ્ટમ છે જેમાં કોઈ વ્યક્તિ સમય જતાં સિસ્ટમના ઘટકોની સ્થિતિના પરિવર્તનને જાણીને સિસ્ટમની સ્થિતિને અનુમાન કરી શકે છે, પરંતુ વેગ અથવા કયા ક્રમમાં ઘટકો એકબીજાની સાપેક્ષમાં આગળ વધ્યા તે જાણવાની જરૂર નથી. તેનાથી વિપરીત, નોનહોલોનોમિક સિસ્ટમ ઘણીવાર એવી સિસ્ટમ હોય છે જ્યાં સમય જતાં ઘટકોના વેગ સિસ્ટમની સ્થિતિમાં ફેરફાર નક્કી કરવામાં સક્ષમ હોવા જોઈએ, અથવા એવી સિસ્ટમ કે જ્યાં ફરતો ભાગ અવરોધ સપાટી, વાસ્તવિક અથવા કાલ્પનિક સાથે બંધાયેલો ન હોઈ શકે. હોલોનોમિક પ્રણાલીઓના ઉદાહરણોમાં ગેન્ટ્રી ક્રેન, લોલક અને રોબોટિક હથિયારો છે. નોનહોલોનોમિક સિસ્ટમોના ઉદાહરણો સેગવેઝ, યુનિસાઈકલ્સ અને ઓટોમોબાઇલ્સ છે. પરિભાષા રૂપરેખાંકન જગ્યા પ્રણાલીના ઘટકોના વિસ્થાપનની યાદી આપે છે, દરેક ડિગ્રી સ્વતંત્રતા માટે એક. રૂપરેખાંકન જગ્યાનો ઉપયોગ કરીને વર્ણવી શકાય તેવી પ્રણાલીને સ્ક્લેરોનોમિક કહેવામાં આવે છે. ઇવેન્ટ જગ્યા રૂપરેખાંકન જગ્યા જેવી જ છે સિવાય કે સમય જતાં સિસ્ટમમાં ફેરફારને રજૂ કરવા માટે ચલનો ઉમેરો (જો સિસ્ટમને વર્ણવવા માટે જરૂરી હોય તો). એક એવી પ્રણાલી કે જેનું વર્ણન માત્ર રૂપરેખાંકન જગ્યાને બદલે ઘટના જગ્યાનો ઉપયોગ કરીને કરવું આવશ્યક છે, તેને રિઓનોમિક કહેવામાં આવે છે. ઘણી પ્રણાલીઓને સ્ક્લેરોનોમિક અથવા રિઓનોમિક રીતે વર્ણવી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, લોલકની કુલ સ્વીકાર્ય ગતિને સ્ક્લેરોનોમિક અવરોધ સાથે વર્ણવી શકાય છે, પરંતુ લોલકની સમયની ગતિને રિઓનોમિક અવરોધ સાથે વર્ણવવી આવશ્યક છે. સ્ટેટ સ્પેસ એ રૂપરેખાંકન જગ્યા છે, વત્તા રૂપરેખાંકન જગ્યામાં દરેક શબ્દના વેગનું વર્ણન કરતી શરતો છે. રાજ્ય-સમયની જગ્યા સમય ઉમેરે છે. ઉદાહરણો ગેન્ટ્રી ક્રેન જમણી બાજુએ બતાવ્યા પ્રમાણે, ગેન્ટ્રી ક્રેન એક ઓવરહેડ ક્રેન છે જે તીર દ્વારા સૂચવ્યા મુજબ તેના હૂકને 3 અક્ષોમાં ખસેડવા માટે સક્ષમ છે. સહજ ભાવે, આપણે અનુમાન કરી શકીએ કે ક્રેન એક હોલોનોમિક સિસ્ટમ હોવી જોઈએ, કારણ કે તેના ઘટકોની આપેલ હિલચાલ માટે, ઘટકો કયા ક્રમમાં અથવા વેગમાં ફરે છે તેનાથી કોઈ ફરક પડતો નથીઃ જ્યાં સુધી આપેલ પ્રારંભિક સ્થિતિમાંથી દરેક ઘટકનું કુલ વિસ્થાપન સમાન હોય, ત્યાં સુધી બધા ભાગો અને સમગ્ર સિસ્ટમ એક જ સ્થિતિમાં સમાપ્ત થશે. ગાણિતિક રીતે આપણે આને આ રીતે સાબિત કરી શકીએ છીએઃ આપણે સિસ્ટમની રૂપરેખાંકન જગ્યાને આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરી શકીએ છીએઃ આપણે કહી શકીએ કે ક્રેનની દરેક ઘટકનું તેની "શૂન્ય" સ્થિતિમાંથી વિક્ષેપણ અનુક્રમે વાદળી, લીલો અને નારંગી ઘટકો માટે છે. કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમની દિશા અને પ્લેસમેન્ટથી કોઈ ફરક પડતો નથી કે સિસ્ટમ હોલોનોમિક છે કે નહીં, પરંતુ આ ઉદાહરણમાં ઘટકો તેના અક્ષોની સમાંતર આગળ વધે છે. જો સંકલન પ્રણાલીનું મૂળ ક્રેનની પાછળ-નીચે-ડાબી બાજુએ હોય, તો આપણે સ્થિતિ અવરોધ સમીકરણ આ રીતે લખી શકીએઃ ક્રેનની ઊંચાઈ ક્યાં છે. વૈકલ્પિક રીતે, આપણે પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં સરળ બનાવી શકીએ છીએ જ્યાં તમામ અચળાંકો ચલ પછી મૂકવામાં આવે છેઃ કારણ કે આપણે હોલોનોમિક સ્વરૂપમાં અવરોધ સમીકરણ મેળવ્યું છે (ખાસ કરીને, આપણું અવરોધ સમીકરણ ક્યાં સ્વરૂપ ધરાવે છે), આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે આ પ્રણાલી હોલોનોમિક હોવી જોઈએ. પેંડુલમ જમણી બાજુએ બતાવ્યા પ્રમાણે, એક સરળ પેંડુલમ એ વજન અને દોરીથી બનેલી સિસ્ટમ છે. દોરી ટોચની બાજુએ અને નીચેની બાજુએ વજન સાથે જોડાયેલી હોય છે. અવિકસિત હોવાથી, દોરીની લંબાઈ અચળ હોય છે. આ પ્રણાલી હોલોનોમિક છે કારણ કે તે હોલોનોમિક અવરોધનું પાલન કરે છે જ્યાં વજનની સ્થિતિ છે અને સ્ટ્રિંગની લંબાઈ છે. કઠોર પદાર્થ કઠોર પદાર્થના કણો હોલોનોમિક અવરોધનું પાલન કરે છે જ્યાં, અનુક્રમે કણોની સ્થિતિ છે અને, અને તેમની વચ્ચેનું અંતર છે. જો આપેલ સિસ્ટમ હોલોનોમિક હોય, તો પ્રશ્નમાં સિસ્ટમના ઘટકો સાથે વધારાના ભાગોને સખત રીતે જોડવાથી તેને બિન-હોલોનોમિક બનાવી શકાતી નથી, એમ ધારીને કે ડિગ્રી ઓફ ફ્રીડમમાં ઘટાડો થતો નથી (બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, રૂપરેખાંકનની જગ્યા બદલાતી નથી એમ ધારીને). ફાફિયન સ્વરૂપ અવરોધના નીચેના વિભેદક સ્વરૂપને ધ્યાનમાં લોઃ ith અવરોધ સમીકરણ માટે વિભેદોના ગુણાંક ક્યાં છે. આ સ્વરૂપને ફાફિયન સ્વરૂપ અથવા વિભેદક સ્વરૂપ કહેવામાં આવે છે. જો વિભેદક સ્વરૂપ સંકલનક્ષમ હોય, એટલે કે, જો કોઈ કાર્ય સમાનતાને સંતોષતું હોય તો આ અવરોધ એક હોલોનોમિક અવરોધ છે; અન્યથા, તે નોનહોલોનોમિક છે. તેથી, તમામ હોલોનોમિક અને કેટલાક નોનહોલોનોમિક અવરોધોને વિભેદક સ્વરૂપનો ઉપયોગ કરીને વ્યક્ત કરી શકાય છે. નોનહોલોનોમિક અવરોધો કે જેને આ રીતે વ્યક્ત કરી શકાતા નથી તેના ઉદાહરણો તે છે જે સામાન્યીકૃત વેગ પર આધારિત છે. ફાફિયન સ્વરૂપમાં અવરોધ સમીકરણ સાથે, શું અવરોધ હોલોનોમિક અથવા નોનહોલોનોમિક છે તે ફાફિયન સ્વરૂપ સંકલિત છે કે કેમ તેના પર આધાર રાખે છે. ફાફિયન સ્વરૂપ અવરોધની સંકલનક્ષમતા (અથવા અભાવ) ચકાસવા માટે પરીક્ષણના વર્ણન માટે નીચે હોલોનોમિક અવરોધો માટે સાર્વત્રિક પરીક્ષણ જુઓ. હોલોનોમિક અવરોધો માટે સાર્વત્રિક પરીક્ષણ જ્યારે પ્રણાલીનું અવરોધ સમીકરણ ફાફિયન અવરોધ સ્વરૂપમાં લખવામાં આવે છે, ત્યારે તે પ્રણાલી હોલોનોમિક છે કે કેમ તે નક્કી કરવા માટે એક ગાણિતિક પરીક્ષણ અસ્તિત્વમાં છે. અવરોધ સમીકરણ અથવા અવરોધ સમીકરણોના સમૂહો માટે (નોંધ લો કે સમયનું પ્રતિનિધિત્વ કરતા ચલ (ઓ) ને ઉપરથી અને નીચેના સ્વરૂપમાં સામેલ કરી શકાય છે): આપણે પરીક્ષણ સમીકરણનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએઃ જ્યાં અવરોધ સમીકરણ દીઠ પરીક્ષણ સમીકરણોના સંયોજનોમાં, અવરોધ સમીકરણોના તમામ સમૂહો માટે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, ત્રણ ચલની પ્રણાલીનું એક વખત એક પરીક્ષણ સમીકરણ સાથે પરીક્ષણ કરવું પડશે, જેમાં શરતો અવરોધ સમીકરણ (કોઈપણ ક્રમમાં) માં શરતો છે, પરંતુ ચાર ચલની પ્રણાલીનું પરીક્ષણ કરવા માટે પરીક્ષણ ચાર અલગ-અલગ પરીક્ષણ સમીકરણો સાથે ચાર વખત સુધી કરવું પડશે, જેમાં શરતો શરતો હશે, અને અવરોધ સમીકરણમાં (દરેક કોઈપણ ક્રમમાં) ચાર અલગ-અલગ પરીક્ષણોમાં કરવું પડશે. પાંચ ચલની પ્રણાલી માટે, તે હકીકતને ચકાસવા માટે હોલોનોમિક પ્રણાલી પર દસ પરીક્ષણો કરવા પડશે, અને અવરોધ સમીકરણોના ત્રણ સમૂહો સાથે પાંચ ચલની પ્રણાલી માટે, ત્રીસ પરીક્ષણો (ચલ-પરિવર્તન જેવું સરળીકરણ ધારીને તે સંખ્યાને ઘટાડવા માટે કરી શકાતું નથી). આ કારણોસર, ત્રણ કરતાં વધુ ચલની પ્રણાલીઓ પર આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતી વખતે સામાન્ય સમજનો ઉપયોગ કરવા માટે સલાહ આપવામાં આવે છે કે શું પ્રશ્નમાં સિસ્ટમ હોલોનોમિક છે કે કેમ, અને જો સિસ્ટમ સંભવતઃ ન હોય તો જ પરીક્ષણ કરવાનું ચાલુ રાખો. વધુમાં, એ જ રીતે ગાણિતિક અંતઃપ્રેરણાનો ઉપયોગ કરીને આગાહી કરવાનો પ્રયાસ કરવો શ્રેષ્ઠ છે કે કઈ કસોટી પહેલા નિષ્ફળ જશે અને તેની સાથે શરૂ થશે, શરૂઆતમાં એવા પરીક્ષણોને અવગણીને કે જે સફળ થવાની સંભાવના હોય. જો દરેક પરીક્ષણ સમીકરણ તમામ અવરોધ સમીકરણો માટે સંયોજનોના સંપૂર્ણ સમૂહ માટે સાચું હોય, તો સિસ્ટમ હોલોનોમિક છે. જો તે એક પણ પરીક્ષણ સંયોજન માટે અસત્ય છે, તો સિસ્ટમ નોનહોલોનોમિક છે. ઉદાહરણ પ્ફાફિયન સ્વરૂપમાં અવરોધ સમીકરણ દ્વારા વર્ણવેલ આ ગતિશીલ પ્રણાલીનો વિચાર કરો. રૂપરેખાંકન જગ્યા, નિરીક્ષણ દ્વારા, છે. કારણ કે રૂપરેખાંકન જગ્યામાં માત્ર ત્રણ શબ્દો છે, ત્યાં માત્ર એક જ પરીક્ષણ સમીકરણની જરૂર પડશે. આપણે અવરોધ સમીકરણની શરતોને આ રીતે ગોઠવી શકીએ છીએ, અવેજની તૈયારીમાંઃ શરતોને બદલીને, આપણું પરીક્ષણ સમીકરણ બને છેઃ તમામ આંશિક વ્યુત્પન્નની ગણતરી કર્યા પછી, આપણને મળે છેઃ સરળ બનાવતા, આપણે શોધી કાઢીએ છીએ કેઃ આપણે જોઈએ છીએ કે આપણું પરીક્ષણ સમીકરણ સાચું છે, અને આમ, પ્રણાલી સર્વગ્રાહી હોવી જોઈએ. આપણે આપણી કસોટી પૂર્ણ કરી લીધી છે, પરંતુ હવે એ જાણીને કે સિસ્ટમ હોલોનોમિક છે, આપણે હોલોનોમિક કન્સ્ટ્રેઇનટ સમીકરણ શોધવાની ઇચ્છા રાખી શકીએ છીએ. આપણે ફાફિયન સ્વરૂપના દરેક પદને એકીકૃત કરીને અને તેમને એક સમીકરણમાં એકીકૃત કરવાનો પ્રયાસ કરીને તેને શોધવાનો પ્રયાસ કરી શકીએ છીએ, જેમ કેઃ તે જોવાનું સરળ છે કે આપણે હોલોનોમિક અવરોધ સમીકરણ શોધવા માટે આપણા એકીકરણના પરિણામોને જોડી શકીએ છીએઃ જ્યાં C એ સંકલનનો અચળાંક છે. સ્થિર ગુણાંકની મર્યાદાઓ આપેલ ફાફિયન અવરોધ માટે જ્યાં દરેક વિભેદકનો દરેક ગુણાંક સ્થિર હોય છે, બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, સ્વરૂપમાં અવરોધઃ અવરોધ સર્વગ્રાહી હોવો જોઈએ. આપણે આને નીચે પ્રમાણે સાબિત કરી શકીએ છીએઃ ફાફિયન સ્વરૂપમાં અવરોધોની એક પ્રણાલીને ધ્યાનમાં લો જ્યાં સીધા ઉપર વર્ણવ્યા મુજબ દરેક વિભેદકનો દરેક ગુણાંક અચળ હોય છે. આ અવરોધોની પદ્ધતિ સર્વગ્રાહી છે કે કેમ તે ચકાસવા માટે, આપણે સાર્વત્રિક પરીક્ષણનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે પરીક્ષણ સમીકરણમાં, ત્રણ શબ્દો છે જેનો સરવાળો શૂન્ય હોવો જોઈએ. તેથી, જો દરેક સંભવિત પરીક્ષણ સમીકરણમાં તે ત્રણ શબ્દોમાંથી દરેક શૂન્ય હોય, તો પછી તમામ પરીક્ષણ સમીકરણો સાચા છે અને આ પ્રણાલી હોલોનોમિક છે. દરેક પરીક્ષણ સમીકરણની દરેક મુદત આ સ્વરૂપમાં હોય છેઃ જ્યાંઃ,, અને આપેલ અવરોધ માટે કેટલાક સંયોજન (કુલ સંયોજનો સાથે) છે. , અને અને નું અનુરૂપ સંયોજન છે. વધુમાં, પરીક્ષણ સમીકરણોના સમૂહો પણ છે. આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે, વ્યાખ્યા પ્રમાણે, બધા અચળાંકો છે. તે કલનશાસ્ત્રમાં જાણીતું છે કે કોઈપણ અચળાંકનું કોઈપણ વ્યુત્પન્ન (પૂર્ણ અથવા આંશિક) છે. તેથી, આપણે દરેક આંશિક વ્યુત્પન્નને ઘટાડી શકીએ છીએઃ અને તેથી દરેક પદ શૂન્ય છે, ડાબી બાજુ દરેક પરીક્ષણ સમીકરણ શૂન્ય છે, દરેક પરીક્ષણ સમીકરણ સાચું છે, અને સિસ્ટમ હોલોનોમિક છે. બે અથવા એક ચલની રૂપરેખાંકન જગ્યાઓ કોઈપણ સિસ્ટમ કે જેને ફાફિયન અવરોધ દ્વારા વર્ણવી શકાય છે અને માત્ર બે ચલ અથવા એક ચલની રૂપરેખાંકન જગ્યા અથવા સ્થિતિ જગ્યા ધરાવે છે તે હોલોનોમિક છે. આપણે આને આ રીતે સાબિત કરી શકીએ છીએઃ રૂપરેખાંકન જગ્યા અથવા સ્થિતિ જગ્યા સાથે ગતિશીલ પ્રણાલીને ધ્યાનમાં લોઃ જો પ્રણાલીને સ્થિતિ જગ્યા દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે, તો આપણે ફક્ત કહીએ છીએ કે તે આપણા સમય ચલ બરાબર છે. આ પ્રણાલીને ફાફિયન સ્વરૂપમાં વર્ણવવામાં આવશેઃ અવરોધોના સમૂહ સાથે. સાર્વત્રિક પરીક્ષણનો ઉપયોગ કરીને પ્રણાલીનું પરીક્ષણ કરવામાં આવશે. જો કે, સાર્વત્રિક પરીક્ષણ માટે રૂપરેખાંકન અથવા સ્થિતિ અવકાશમાં ત્રણ ચલની જરૂર પડે છે. આને સમાવવા માટે, આપણે ફક્ત રૂપરેખાંકનમાં ડમી વેરિયેબલ અથવા રચવા માટે સ્ટેટ સ્પેસ ઉમેરીએ છીએઃ કારણ કે ડમી વેરિયેબલ વ્યાખ્યા દ્વારા સિસ્ટમમાં કંઈપણનું માપ નથી, તેથી ફાફિયન સ્વરૂપમાં તેનો ગુણાંક હોવો આવશ્યક છે. આમ આપણે આપણા ફાફિયન સ્વરૂપમાં સુધારો કરીએ છીએઃ જો ત્યાં અવરોધોનો સમૂહ હોય તો હવે આપણે આપેલ અવરોધ માટે પરીક્ષણનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએઃ તે સમજ્યા પછીઃ કારણ કે સિસ્ટમને વર્ણવવા માટે ઉપયોગમાં લેવાતા ગુણાંકમાં ડમી ચલ દેખાઈ શકતો નથી, આપણે જોઈએ છીએ કે અવરોધ સમીકરણોના તમામ સમૂહો માટે પરીક્ષણ સમીકરણ સાચું હોવું જોઈએ અને આમ સિસ્ટમ હોલોનોમિક હોવી જોઈએ. એક સમાન સાબિતી રૂપરેખાંકન અથવા સ્થિતિ અવકાશમાં એક વાસ્તવિક ચલ અને બે ડમી ચલ સાથે હાથ ધરવામાં આવી શકે છે જે પુષ્ટિ કરે છે કે ફાફિયન સ્વરૂપમાં વર્ણવી શકાય તેવી એક-ડિગ્રી-ઓફ-ફ્રીડમ સિસ્ટમ્સ પણ હંમેશા હોલોનોમિક હોય છે. નિષ્કર્ષમાં, આપણે સમજીએ છીએ કે ફાફિયન સ્વરૂપમાં નોનહોલોનોમિક સિસ્ટમોનું મોડેલ બનાવવું શક્ય હોવા છતાં, ફાફિયન સ્વરૂપમાં બે કે તેથી ઓછી ડિગ્રીઝ ઓફ ફ્રીડમ (ડિગ્રીઝ ઓફ ફ્રીડમની સંખ્યા રૂપરેખાંકન જગ્યામાં શબ્દોની સંખ્યા જેટલી હોય છે) સાથે મોડેલ કરી શકાય તેવી કોઈપણ સિસ્ટમ હોલોનોમિક હોવી જોઈએ. મહત્વની નોંધઃ ખ્યાલ આવે છે કે પરીક્ષણ સમીકરણ નિષ્ફળ ગયું કારણ કે ડમી ચલ, અને તેથી પરીક્ષણમાં સમાવિષ્ટ ડમી વિભેદક, વાસ્તવિક રૂપરેખાંકન અથવા સ્થિતિ જગ્યા ચલોનું કાર્ય છે તે કોઈપણ વસ્તુને અલગ પાડશે. રૂપરેખાંકન અથવા સ્ટેટ સ્પેસ સાથે સિસ્ટમ હોવીઃ અને અવરોધોનો સમૂહ જ્યાં એક અથવા વધુ અવરોધો ફાફિયન સ્વરૂપમાં હોયઃ તે સિસ્ટમ હોલોનોમિક હોવાની બાંયધરી આપતું નથી, કારણ કે એક વિભેદકનો ગુણાંક હોવા છતાં, રૂપરેખાંકન અથવા સ્ટેટ સ્પેસમાં વર્ણવેલ ત્રણ ડિગ્રીઝ ઓફ ફ્રીડમ છે. સ્વતંત્ર સામાન્યીકૃત કોઓર્ડિનેટ્સમાં પરિવર્તન હોલોનોમિક અવરોધ સમીકરણો આપણને આપણી સિસ્ટમમાં કેટલાક આશ્રિત ચલોને સરળતાથી દૂર કરવામાં મદદ કરી શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો આપણે દૂર કરવા માંગતા હોઈએ, જે અવરોધ સમીકરણમાં એક પરિમાણ છે, તો આપણે સમીકરણને નીચેના સ્વરૂપમાં ફરીથી ગોઠવી શકીએ છીએ, એમ ધારીને કે તે કરી શકાય છે, અને ઉપરોક્ત કાર્યનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમના દરેક સમીકરણમાં તેને બદલી શકીએ છીએ. આ હંમેશા સામાન્ય ભૌતિક પ્રણાલીઓ માટે કરી શકાય છે, જો કે તેનું વ્યુત્પન્ન સતત હોય, તો ઇમ્પ્લિસિટ ફંક્શન થીયરમ દ્વારા, ઉકેલની ખાતરી અમુક ખુલ્લા સમૂહમાં આપવામાં આવે છે. આમ, આશ્રિત ચલની તમામ ઘટનાઓને દૂર કરવી શક્ય છે. ધારો કે ભૌતિક પ્રણાલીમાં ડિગ્રી ઓફ ફ્રીડમ હોય છે. હવે, સિસ્ટમ પર હોલોનોમિક મર્યાદાઓ લાદવામાં આવે છે. પછી, ડિગ્રી ઓફ ફ્રીડમની સંખ્યા ઘટાડી દેવામાં આવે છે. આપણે સિસ્ટમની ગતિનું સંપૂર્ણ વર્ણન કરવા માટે સ્વતંત્ર સામાન્યીકૃત કોઓર્ડિનેટ્સ () નો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ. પરિવર્તન સમીકરણને નીચે પ્રમાણે વ્યક્ત કરી શકાય છેઃ ભૌતિક પ્રણાલીઓનું વર્ગીકરણ શાસ્ત્રીય ભૌતિકશાસ્ત્રનો સખત અને પદ્ધતિસર અભ્યાસ કરવા માટે, આપણે પ્રણાલીઓનું વર્ગીકરણ કરવાની જરૂર છે. અગાઉની ચર્ચાના આધારે, આપણે ભૌતિક પ્રણાલીઓને હોલોનોમિક પ્રણાલીઓ અને નોન-હોલોનોમિક પ્રણાલીઓમાં વર્ગીકૃત કરી શકીએ છીએ. ઘણા સિદ્ધાંતો અને સમીકરણોની લાગુ પડવાની શરતોમાંની એક એ છે કે સિસ્ટમ હોલોનોમિક સિસ્ટમ હોવી જોઈએ. ઉદાહરણ તરીકે, જો ભૌતિક પ્રણાલી હોલોનોમિક પ્રણાલી અને મોનોજેનિક પ્રણાલી હોય, તો હેમિલ્ટનનો સિદ્ધાંત લેગ્રાન્જના સમીકરણની શુદ્ધતા માટે જરૂરી અને પૂરતી શરત છે. નોનહોલોનોમિક સિસ્ટમ ગોર્યાચેવ-ચેપ્લિન ટોપ ફાફિયન કન્સ્ટ્રેઇનટ ઉદવાડિયા-કલાબા સમીકરણ સંદર્ભો શાસ્ત્રીય મિકેનિક્સ પણ જુઓ.