Solder form
ગણિતમાં, વિભેદક ભૂમિતિમાં વધુ ચોક્કસપણે, ફાઇબર બંડલનું સોલ્ડરિંગ (અથવા ક્યારેક સોલ્ડર સ્વરૂપ) એ રેસાઓને મેનીફોલ્ડ સાથે એવી રીતે જોડવાની રીત છે કે તેમને સ્પર્શક તરીકે ગણી શકાય. સાહજિક રીતે, સોલ્ડરિંગ એ વિચારને અમૂર્ત શબ્દોમાં વ્યક્ત કરે છે કે દરેક બિંદુ પર ચોક્કસ મોડેલ ક્લેઇન ભૂમિતિ સાથે મેનીફોલ્ડનો સંપર્ક બિંદુ હોઈ શકે છે. બાહ્ય વિભેદક ભૂમિતિમાં, સોલ્ડરિંગને સરળ રીતે મોડેલ સ્પેસની સ્પર્શરેખા દ્વારા મેનીફોલ્ડમાં વ્યક્ત કરવામાં આવે છે. આંતરિક ભૂમિતિમાં, તેને વ્યક્ત કરવા માટે અન્ય તકનીકોની જરૂર પડે છે. સોલ્ડરિંગની શરૂઆત 1950માં ચાર્લ્સ એહરેસમેન દ્વારા આ સામાન્ય સ્વરૂપમાં કરવામાં આવી હતી. ફાઇબર બંડલનું સોલ્ડરિંગ ચાલો M એક સરળ મેનીફોલ્ડ અને G એ લાઈ જૂથ હોય, અને E એ માળખું જૂથ G સાથે M પર એક સરળ ફાઇબર બંડલ હોય. ધારો કે G E ના લાક્ષણિક ફાઇબર F પર અસ્થાયી રીતે કાર્ય કરે છે, અને તે મંદ F = મંદ M. E થી M ના સોલ્ડરિંગમાં નીચેની માહિતીનો સમાવેશ થાય છેઃ એક વિશિષ્ટ વિભાગ o: M → E. વેક્ટર બંડલનું રેખીય આઇસોમોર્ફિઝમ θ: TM → o * VE M ના સ્પર્શક બંડલથી વિશિષ્ટ વિભાગ સાથે E ના ઊભી બંડલના પુલબેક સુધી. ખાસ કરીને, આ પછીની સ્થિતિને એમ કહીને અર્થઘટન કરી શકાય છે કે θ x પર M ની સ્પર્શક જગ્યાથી વિશિષ્ટ વિભાગ દ્વારા નિર્ધારિત બિંદુ પર રેસાની (ઊભી) સ્પર્શક જગ્યા સુધી રેખીય સમરૂપતા નક્કી કરે છે. સોલ્ડરિંગ માટે θ સ્વરૂપને સોલ્ડર સ્વરૂપ કહેવામાં આવે છે. ખાસ કિસ્સાઓમાં પરંપરા અનુસાર, જ્યારે પણ સોલ્ડરિંગની પસંદગી અનન્ય અથવા પ્રમાણભૂત રીતે નક્કી કરવામાં આવે છે, ત્યારે સોલ્ડર સ્વરૂપને પ્રમાણભૂત સ્વરૂપ અથવા ટૉટોલોજિકલ સ્વરૂપ કહેવામાં આવે છે. એફાઇન બંડલ અને વેક્ટર બંડલ ધારો કે E એ એફાઇન વેક્ટર બંડલ છે (શૂન્ય વિભાગની પસંદગી વિનાનું વેક્ટર બંડલ). પછી E પર સોલ્ડરિંગ પહેલા એક વિશિષ્ટ વિભાગને સ્પષ્ટ કરે છેઃ એટલે કે, શૂન્ય વિભાગ o ની પસંદગી, જેથી E ને વેક્ટર બંડલ તરીકે ઓળખી શકાય. સોલ્ડર સ્વરૂપ પછી એક રેખીય આઇસોમોર્ફિઝમ છે જો કે, વેક્ટર બંડલ માટે મૂળ સ્થાને ઊભી જગ્યા અને ફાઇબર વીઓઈ ≈ ઇ વચ્ચે કેનોનિકલ આઇસોમોર્ફિઝમ હોય છે. આ ઓળખ બનાવતા, સોલ્ડર સ્વરૂપને રેખીય આઇસોમોર્ફિઝમ દ્વારા સ્પષ્ટ કરવામાં આવે છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, એફાઇન બંડલ ઇ પરની સોલ્ડરિંગ એ એમ ના સ્પર્શક બંડલ સાથે ઇ ના આઇસોમોર્ફિઝમની પસંદગી છે. ઘણીવાર વેક્ટર બંડલ પર સોલ્ડર સ્વરૂપની વાત કરવામાં આવે છે, જ્યાં તેને પ્રાથમિકતા સમજવામાં આવે છે કે સોલ્ડરિંગનો વિશિષ્ટ વિભાગ બંડલનો શૂન્ય વિભાગ છે. આ કિસ્સામાં, વેક્ટર બંડલનું માળખું જૂથ ઘણીવાર ઇ (જે જીએલ (એન) નું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે) ના લાક્ષણિક ફાઇબર સાથે જીએલ (એન) ના અર્ધ-પરોક્ષ ઉત્પાદન દ્વારા ગર્ભિત રીતે મોટું થાય છે. ઉદાહરણો એક ખાસ કેસ તરીકે, ઉદાહરણ તરીકે, સ્પર્શક બંડલ પોતે એક કેનોનિકલ સોલ્ડર સ્વરૂપ ધરાવે છે, એટલે કે ઓળખ. જો એમ પાસે રીમાનિયન મેટ્રિક (અથવા સ્યુડો-રીમાનિયન મેટ્રિક) હોય, તો કોવેરિયન્ટ મેટ્રિક ટેન્સર સ્પર્શક બંડલથી કોટેનજેન્ટ બંડલ સુધી સમરૂપતા આપે છે, જે સોલ્ડર સ્વરૂપ છે. હેમિલ્ટોનિયન મિકેનિક્સમાં, સોલ્ડર સ્વરૂપને ટૉટોલોજિકલ વન-ફોર્મ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે, અથવા વૈકલ્પિક રીતે લિઉવિલે વન-ફોર્મ, પોઇનકેરે વન-ફોર્મ, કેનોનિકલ વન-ફોર્મ અથવા સિમ્પ્લેક્ટિક પોટેન્શિયલ તરીકે ઓળખાય છે. વેક્ટર બંડલ પરનું સોલ્ડર સ્વરૂપ જોડાણના વળાંક અને સમોચ્ચ ટેન્સરને વ્યાખ્યાયિત કરવાની મંજૂરી આપે છે. સોલ્ડર સ્વરૂપો સિગ્મા મોડેલમાં જોવા મળે છે, જ્યાં તેઓ સ્પેસટાઇમ મેનીફોલ્ડની સ્પર્શક જગ્યાને ક્ષેત્ર મેનીફોલ્ડની સ્પર્શક જગ્યામાં ગુંદર કરે છે. સામાન્ય સાપેક્ષતામાં વાઇરબીન્સ અથવા ટેટ્રાડ્સ, સોલ્ડર સ્વરૂપો જેવા દેખાય છે, જેમાં તેઓ અવકાશી સમયના મેનીફોલ્ડ પર ચાર્ટનું સંકલન કરે છે, જે સ્પર્શક જગ્યા પર પસંદગીના, સામાન્ય રીતે ઓર્થોનોર્મલ ધોરણે હોય છે, જ્યાં ગણતરીઓ નોંધપાત્ર રીતે સરળ કરી શકાય છે. એટલે કે, કોઓર્ડિનેટ ચાર્ટ્સ ઉપરની વ્યાખ્યાઓમાં છે, અને ફ્રેમ ફિલ્ડ એ વર્ટિકલ બંડલ છે. સિગ્મા મોડેલમાં, વાઇરબીન્સ સ્પષ્ટપણે સોલ્ડર સ્વરૂપો છે. મુખ્ય બંડલ મુખ્ય બંડલની ભાષામાં, સરળ મેનીફોલ્ડ M પર સરળ મુખ્ય G-બંડલ P પર સોલ્ડર સ્વરૂપ એ G ના રેખીય પ્રતિનિધિત્વ V માં મૂલ્યો સાથે P પર આડી અને G-સમતુલ્ય વિભેદક 1-સ્વરૂપ છે, જેથી સ્પર્શક બંડલ TM થી સંકળાયેલ બંડલ P × GV સાથે સંકળાયેલ બંડલ નકશો એક બંડલ સમરૂપતા છે. (ખાસ કરીને, V અને M નું પરિમાણ સમાન હોવું જોઈએ.) સોલ્ડર સ્વરૂપનું પ્રેરક ઉદાહરણ એ મેનીફોલ્ડના ફ્રેમ બંડલ પરનું ટૉટોલોજિકલ અથવા મૂળભૂત સ્વરૂપ છે. આ નામનું કારણ એ છે કે ટાંકીવાળું ટાંકીવાળું ટાંકીવાળું ટાંકીવાળું ટાંકીવાળું ટાંકીવાળું ટાંકીવાળું ટાંકીવાળું ટાંકીવાળું ટાંકીવાળું ટાંકીવાળું ટાંકીવાળું ટાંકીવાળું ટાંકીવાળું ટાંકીવાળું ટાંકીવાળું ટાંકીવાળું ટાંકીવાળું ટાંકીવાળું ટાંકીવાળું ટાંકીવાળું ટાંકીવાળું ટાંકીવાળું ટાંકીવાળું ટાંકીવાળું ટાંકીવાળું ટાંકીવાળું ટાંકીવાળું ટાંકીવાળું ટાંકીવાળું ટાંકીવાળું ટાંકીવાળું ટાંકીવાળું ટાંકીવાળું ટાંકીવાળું ટાંકીવાળું ટાંકીવાળું ટાંકીવાળું ટાંકીવાળું ટાંકીવાળું ટાંકીવાળું ટાંકીવાળું ટાંકીવાળું ટાંકીવાળું ટાંકીવાળું ટાંકીવાળું ટાંકીવાળું ટાંકીવાળું ટાંકી સોલ્ડર સ્વરૂપો જી-માળખાના અભ્યાસ માટે એક પદ્ધતિ પ્રદાન કરે છે અને કાર્ટન જોડાણોના સિદ્ધાંતમાં મહત્વપૂર્ણ છે. ભૌતિકશાસ્ત્રના સાહિત્યમાં પરિભાષા અને અભિગમ ખાસ કરીને લોકપ્રિય છે. નોંધો સંદર્ભો વિભેદક સ્વરૂપો ફાઇબર બંડલ