Complemented group
ગણિતમાં, જૂથ સિદ્ધાંતના ક્ષેત્રમાં, પૂરક જૂથ શબ્દનો ઉપયોગ બે અલગ, પરંતુ સમાન રીતે થાય છે. પૂરક જૂથ એ છે કે જેમાં દરેક પેટા જૂથમાં જૂથ-સૈદ્ધાંતિક પૂરક હોય છે. આવા જૂથોને રશિયન સાહિત્યમાં સંપૂર્ણપણે ફેક્ટરીઝેબલ જૂથો કહેવામાં આવે છે. નીચેના કોઈપણ મર્યાદિત જૂથ G માટે સમકક્ષ છેઃ G પૂરક છે G એ ચોરસ-મુક્ત ક્રમના જૂથોના સીધા ઉત્પાદનનું પેટા જૂથ છે (એક વિશેષ પ્રકારનો Z-જૂથ) G એ પ્રાથમિક અબેલિયન સાયલો પેટા જૂથો (એક વિશેષ પ્રકારનો A-જૂથ) સાથે સુપરસોલ્વેબલ જૂથ છે. પાછળથી, જો પેટાજૂથોની જાળી એક પૂરક જાળી હોય, એટલે કે, જો દરેક પેટાજૂથો H માટે એક પેટાજૂથો K હોય, જેમ કે H θK = 1 અને τH, K & હેરસ્પા; ω એ આખું જૂથ હોય, તો જૂથને પૂરક કહેવામાં આવે છે. હોલની વ્યાખ્યા એ ઉપરાંત જરૂરી છે કે H અને K પર્મ્યુટ, એટલે કે, H = {hk: h in H, k in K} એક પેટાજૂથ બનાવે. આવા જૂથોને ઇટાલિયન અને જાળી સૈદ્ધાંતિક સાહિત્યમાં કે-જૂથો પણ કહેવામાં આવે છે, જેમ કે. કે-જૂથનું ફ્રેટિની પેટા જૂથ તુચ્છ છે; જો કોઈ જૂથમાં કોર-મુક્ત મહત્તમ પેટા જૂથ હોય જે કે-જૂથ હોય, તો તે પોતે કે-જૂથ છે; તેથી કે-જૂથોના પેટા જૂથો કે-જૂથો હોવાની જરૂર નથી, પરંતુ ભાગાકાર જૂથો અને કે-જૂથોના સીધા ઉત્પાદનો કે-જૂથો છે. તેમાં દર્શાવવામાં આવ્યું છે કે દરેક મર્યાદિત સરળ જૂથ એક પૂરક જૂથ છે. નોંધ લો કે મર્યાદિત સરળ જૂથોના વર્ગીકરણમાં, કે-જૂથનો ઉપયોગ એવા જૂથનો અર્થ કરવા માટે થાય છે કે જેમના યોગ્ય પેટાજૂથોમાં જાણીતા મર્યાદિત સરળ જૂથોમાં માત્ર રચના પરિબળો હોય છે. પૂરક ન હોય તેવા જૂથનું ઉદાહરણ (બંને અર્થમાં) ક્રમ p2નું ચક્રીય જૂથ છે, જ્યાં p એ મુખ્ય સંખ્યા છે. આ જૂથમાં માત્ર એક બિન-તુચ્છ પેટાજૂથ H છે, જે ક્રમ p નું ચક્રીય જૂથ છે, તેથી H ના પૂરક બનવા માટે અન્ય કોઈ પેટાજૂથ L હોઈ શકે નહીં.