Regulated function
ગણિતમાં, નિયંત્રિત કાર્ય અથવા શાસિત કાર્ય એ એક વાસ્તવિક ચલનું ચોક્કસ પ્રકારનું સારી વર્તણૂક ધરાવતું કાર્ય છે. નિયંત્રિત વિધેયો સંકલિત વિધેયોના વર્ગ તરીકે ઉદ્ભવે છે, અને તેમાં ઘણી સમકક્ષ લાક્ષણિકતાઓ હોય છે. નિયમનકારી વિધેયોની રજૂઆત નિકોલસ બોરબાકી દ્વારા 1949માં તેમના પુસ્તક "લિવ્રે IV: ફોન્ક્શન્સ ડી 'ઉન વેરિયેબલ રીલે" માં કરવામાં આવી હતી. વ્યાખ્યા ધારો કે X એ ધોરણ | |-| |X સાથે બનાચ જગ્યા છે. એક વિધેય f: [0, T] → X ને નિયંત્રિત વિધેય કહેવામાં આવે છે જો નીચેની બે સમકક્ષ શરતોમાંથી એક (અને તેથી બંને) સાચું હોયઃ અંતરાલ [0, T] માં દરેક t માટે, ડાબી અને જમણી બંને મર્યાદાઓ f (t−) અને f (t +) X માં અસ્તિત્વ ધરાવે છે (દેખીતી રીતે, f (0−) અને f (T +) સિવાય); ત્યાં પગલું વિધેયો φn નો ક્રમ અસ્તિત્વમાં છેઃ [0, T] → X સમાનરૂપે f (એટલે કે. સર્વોચ્ચ ધોરણોના સંદર્ભમાં | |-| | ini). આ બે શરતો સમકક્ષ છે તે બતાવવા માટે થોડી મહેનતની જરૂર છે. જો કે, તે જોવાનું પ્રમાણમાં સરળ છે કે બીજી શરતને નીચેની સમકક્ષ રીતોમાં ફરીથી દર્શાવી શકાય છેઃ દરેક δ> 0 માટે, કેટલાક સ્ટેપ ફંક્શન φδ: [0, T] → X એવું છે કે f સ્પેસ સ્ટેપ ([0, T]; X) ના ક્લોઝરમાં આવેલું છે. રેગ્યુલેટેડ ફંક્શન્સના ગુણધર્મો ચાલો રેગ ([0, T]; X) તમામ રેગ્યુલેટેડ ફંક્શન્સના સમૂહને સૂચવે છે f: [0, T] → X. નિયમનકારી કાર્યોનો સરવાળો અને સ્કેલર ગુણાંક ફરીથી નિયમનકારી કાર્યો છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, રેગ ([0, T]; X) એ જગ્યા X તરીકે સમાન ક્ષેત્ર K પરની વેક્ટર જગ્યા છે; સામાન્ય રીતે, K એ વાસ્તવિક અથવા જટિલ સંખ્યાઓ હશે. જો X ગુણાકારની કામગીરીથી સજ્જ હોય, તો પછી નિયંત્રિત વિધેયોના ઉત્પાદનો ફરીથી નિયંત્રિત વિધેયો છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, જો X એ K-બીજગણિત છે, તો તે પણ Reg ([0, T]; X) છે. સર્વોચ્ચ ધોરણ એ રેગ ([0, ટી]; એક્સ) પરનું ધોરણ છે, અને રેગ ([0, ટી]; એક્સ) એ સર્વોચ્ચ ધોરણ દ્વારા પ્રેરિત ટોપોલોજીના સંદર્ભમાં એક ટોપોલોજિકલ વેક્ટર જગ્યા છે. ઉપર નોંધ્યા મુજબ, રેગ ([0, T]; X) એ સર્વોચ્ચ ધોરણના સંદર્ભમાં પગલું ([0, T]; X) ના B ([0, T]; X) માં બંધ છે. જો X એ બનાચ જગ્યા છે, તો પછી રેગ ([0, T]; X) પણ સર્વોચ્ચ ધોરણના સંદર્ભમાં બનાચ જગ્યા છે. રેગ ([0, T]; R) એક અનંત-પરિમાણીય વાસ્તવિક બનાચ બીજગણિત બનાવે છેઃ મર્યાદિત રેખીય સંયોજનો અને નિયંત્રિત કાર્યોના ઉત્પાદનો ફરીથી નિયંત્રિત કાર્યો છે. કોમ્પેક્ટ સ્પેસ (જેમ કે [0, T]) પર વ્યાખ્યાયિત કન્ટિન્યુઅસ ફંક્શન આપમેળે સમાન રીતે કન્ટિન્યુઅસ હોવાથી, દરેક કન્ટિન્યુઅસ ફંક્શન f: [0, T] → X પણ નિયંત્રિત થાય છે. હકીકતમાં, સર્વોચ્ચ ધોરણના સંદર્ભમાં, સતત વિધેયોની જગ્યા C0 ([0, T]; X) એ રેગ ([0, T]; X) ની બંધ રેખીય પેટા જગ્યા છે. જો X એ બનાચ જગ્યા હોય, તો બંધાયેલ ભિન્નતાના વિધેયોની જગ્યા BV ([0, T]; X) એ Reg ([0, T]; X) ની ગાઢ રેખીય પેટા જગ્યા બનાવે છેઃ જો X એ બનાચ જગ્યા હોય, તો પછી એક વિધેય f: [0, T] → X નિયંત્રિત થાય છે જો અને માત્ર જો તે અમુક φ માટે બંધાયેલ φ-ભિન્નતાનું હોયઃ જો X એ અલગ કરી શકાય તેવી હિલ્બર્ટ જગ્યા હોય, તો Reg ([0, T]; X) ફ્રેન્કોવા-હેલી પસંદગી પ્રમેય તરીકે ઓળખાતા સઘનતા પ્રમેયને સંતોષે છે. બાઉન્ડેડ વેરિએશન BV ના રેગ્યુલેટેડ ફંક્શનની વિસંગતતાઓનો સમૂહ ગણતરીપાત્ર છે કારણ કે આવા ફંક્શન્સમાં માત્ર જમ્પ-પ્રકારની વિસંગતતા હોય છે. આ જોવા માટે એ નોંધવું પૂરતું છે કે આપેલ બિંદુઓનો સમૂહ કે જેના પર જમણી અને ડાબી મર્યાદા મર્યાદિત કરતાં વધુ અલગ પડે છે. ખાસ કરીને, વિસંગતતા સમૂહમાં શૂન્ય માપ હોય છે, જેમાંથી તે અનુસરે છે કે નિયંત્રિત કાર્યમાં સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત રીમાન સંકલન હોય છે. ટિપ્પણીઃ બેયર શ્રેણી પ્રમેય અનુસાર આવા કાર્યના વિસંગતતાના બિંદુઓનો સમૂહ કાં તો ઓછો હોય છે અથવા તેમાં ખાલી આંતરિક ભાગ હોય છે. આ હંમેશા ગણતરીક્ષમતા સાથે સમકક્ષ નથી હોતું. ઇન્ટિગ્રલ, સ્પષ્ટ રીતે સ્ટેપ ફંક્શન્સ પર વ્યાખ્યાયિત કર્યા મુજબ, રેગ ([0, T]; X) સુધી કુદરતી રીતે વિસ્તરે છે, જેમાં રેગ્યુલેટેડ ફંક્શનના ઇન્ટિગ્રલને તેની સાથે સમાનરૂપે કન્વર્જ થતા સ્ટેપ ફંક્શન્સના કોઈપણ ક્રમના ઇન્ટિગ્રલની મર્યાદા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. આ એક્સ્ટેંશન સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત છે અને ઇન્ટિગ્રલના તમામ સામાન્ય ગુણધર્મોને સંતોષે છે. ખાસ કરીને, નિયંત્રિત ઇન્ટિગ્રલ એ રેગ ([0, T]; X) થી X સુધી બંધાયેલ રેખીય કાર્ય છે; તેથી, X = R કિસ્સામાં, ઇન્ટિગ્રલ એ જગ્યાનું એક તત્વ છે જે રેગ ([0, T]; R) સાથે દ્વિગુણિત છે; રીમાન ઇન્ટિગ્રલ સાથે સંમત થાય છે. સંદર્ભો બાહ્ય કડીઓ વાસ્તવિક વિશ્લેષણ કાર્યોના પ્રકારો