Digital topology
ડિજિટલ ટોપોલોજી દ્વિ-પરિમાણીય (2D) અથવા ત્રિ-પરિમાણીય (3D) ડિજિટલ છબીઓના ગુણધર્મો અને લક્ષણો સાથે વ્યવહાર કરે છે જે વસ્તુઓના ટોપોલોજિકલ ગુણધર્મો (દા. ત., જોડાણ) અથવા ટોપોલોજિકલ લક્ષણો (દા. ત., સીમાઓ) ને અનુરૂપ હોય છે. ડિજિટલ ટોપોલોજીના ખ્યાલો અને પરિણામોનો ઉપયોગ મહત્વપૂર્ણ (નિમ્ન-સ્તર) છબી વિશ્લેષણ અલ્ગોરિધમ્સને સ્પષ્ટ કરવા અને ન્યાયી ઠેરવવા માટે થાય છે, જેમાં પાતળા કરવા, સરહદ અથવા સપાટીનું ટ્રેસિંગ, ઘટકો અથવા ટનલની ગણતરી અથવા પ્રદેશ-ભરવા માટેના અલ્ગોરિધમ્સનો સમાવેશ થાય છે. ડિજિટલ ટોપોલોજીનો સૌપ્રથમ અભ્યાસ 1960 ના દાયકાના અંતમાં કમ્પ્યુટર ઇમેજ એનાલિસિસ સંશોધક એઝ્રીએલ રોસેનફેલ્ડ (1931-2004) દ્વારા કરવામાં આવ્યો હતો, જેમના આ વિષય પરના પ્રકાશનોએ આ ક્ષેત્રની સ્થાપના અને વિકાસમાં મુખ્ય ભૂમિકા ભજવી હતી. "ડિજિટલ ટોપોલોજી" શબ્દની શોધ પોતે રોસેનફેલ્ડ દ્વારા કરવામાં આવી હતી, જેમણે તેનો ઉપયોગ પ્રથમ વખત 1973ના પ્રકાશનમાં કર્યો હતો. ગ્રીડ સેલ ટોપોલોજી તરીકે ઓળખાતું સંબંધિત કાર્ય, જેને ક્લાસિક સંયુક્ત ટોપોલોજીની કડી તરીકે ગણી શકાય, તે પાવેલ એલેક્ઝાન્ડ્રોવ અને હેઇન્ઝ હોપ્ફના પુસ્તક, ટોપોલોજી I (1935) માં દેખાયું હતું. રોસેનફેલ્ડ એટ અલ. પ્રસ્તાવિત ડિજિટલ કનેક્ટિવિટી જેમ કે બે પરિમાણોમાં 4-કનેક્ટિવિટી અને 8-કનેક્ટિવિટી તેમજ ત્રણ પરિમાણોમાં 6-કનેક્ટિવિટી અને 26-કનેક્ટિવિટી. જોડાયેલા ઘટકનું અનુમાન લગાવવા માટેની લેબલિંગ પદ્ધતિનો અભ્યાસ 1970ના દાયકામાં કરવામાં આવ્યો હતો. થિયોડોસિયોસ પાવલિડિસ (1982) એ ગ્રાફ-સૈદ્ધાંતિક અલ્ગોરિધમ્સનો ઉપયોગ સૂચવ્યો હતો જેમ કે જોડાયેલા ઘટકો શોધવા માટે ઊંડાઈ-પ્રથમ શોધ પદ્ધતિ. વ્લાદિમીર એ. કોવલેવસ્કી (1989) એ એલેક્ઝાન્ડ્રોવ-હોપ્ફ 2ડી ગ્રીડ સેલ ટોપોલોજીને ત્રણ અને ઉચ્ચ પરિમાણો સુધી વિસ્તૃત કરી. તેમણે અર્ન્સ્ટ સ્ટેનિટ્ઝ (1908) દ્વારા અગાઉ સૂચવવામાં આવેલી સ્થાનિક રીતે મર્યાદિત ટોપોલોજિકલ જગ્યાઓ અને અમૂર્ત કોષ સંકુલોનો વધુ સામાન્ય સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંત (2008) પણ રજૂ કર્યો હતો. તે એલેક્ઝાન્ડ્રોવ ટોપોલોજી છે. 2008 ના પુસ્તકમાં મેટ્રિકથી સ્વતંત્ર ટોપોલોજિકલ દડાઓ અને ગોળાઓની નવી વ્યાખ્યાઓ અને ડિજિટલ છબી વિશ્લેષણ માટે અસંખ્ય એપ્લિકેશનો છે. 1980ના દાયકાની શરૂઆતમાં, ડિજિટલ સપાટીઓનો અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો હતો. ડેવિડ મોર્ગેન્થેલર અને રોસેનફેલ્ડ (1981) એ ત્રિ-પરિમાણીય ડિજિટલ અવકાશમાં સપાટીઓની ગાણિતિક વ્યાખ્યા આપી હતી. આ વ્યાખ્યામાં કુલ નવ પ્રકારની ડિજિટલ સપાટીઓ છે. ડિજિટલ મેનીફોલ્ડનો અભ્યાસ 1990ના દાયકામાં કરવામાં આવ્યો હતો. 1993માં ચેન અને ઝાંગ દ્વારા ડિજિટલ કે-મેનિફોલ્ડની પુનરાવર્તિત વ્યાખ્યા સહજ ભાવે પ્રસ્તાવિત કરવામાં આવી હતી. છબી પ્રક્રિયા અને કમ્પ્યુટર દ્રષ્ટિમાં ઘણી એપ્લિકેશનો મળી આવી હતી. મૂળભૂત પરિણામો ડિજિટલ ટોપોલોજીમાં મૂળભૂત (પ્રારંભિક) પરિણામ કહે છે કે 2D દ્વિસંગી છબીઓને 4-અથવા 8-એડજેન્સી અથવા "પિક્સેલ કનેક્ટિવિટી" ("ઓબ્જેક્ટ" અથવા "નોન-ઓબ્જેક્ટ" પિક્સેલ્સ માટે) ના વૈકલ્પિક ઉપયોગની જરૂર પડે છે જેથી વિભાજન અને જોડાણની મૂળભૂત ટોપોલોજીકલ દ્વૈતતા સુનિશ્ચિત કરી શકાય. આ વૈકલ્પિક ઉપયોગ 2D ગ્રીડ સેલ ટોપોલોજીમાં ખુલ્લા અથવા બંધ સમૂહોને અનુરૂપ છે, અને પરિણામ 3D માટે સામાન્યીકૃત થાય છેઃ 6-અથવા 26-એડજેન્સીનો વૈકલ્પિક ઉપયોગ 3D ગ્રીડ સેલ ટોપોલોજીમાં ખુલ્લા અથવા બંધ સમૂહોને અનુરૂપ છે. ગ્રીડ સેલ ટોપોલોજી બહુસ્તરીય (દા. ત., રંગ) 2D અથવા 3D છબીઓને પણ લાગુ પડે છે, ઉદાહરણ તરીકે સંભવિત છબી મૂલ્યોના કુલ ક્રમ પર આધારિત અને 'મહત્તમ-લેબલ નિયમ' લાગુ કરે છે (ક્લેટ અને રોસેનફેલ્ડનું પુસ્તક જુઓ, 2004). ડિજિટલ ટોપોલોજી સંયુક્ત ટોપોલોજી સાથે ખૂબ જ સંબંધિત છે. તેમની વચ્ચેના મુખ્ય તફાવતો છેઃ (1) ડિજિટલ ટોપોલોજી મુખ્યત્વે ગ્રિડ કોષો દ્વારા રચાયેલી ડિજિટલ વસ્તુઓનો અભ્યાસ કરે છે, અને (2) ડિજિટલ ટોપોલોજી બિન-જોર્ડન મેનીફોલ્ડ્સ સાથે પણ કામ કરે છે. સંયુક્ત મેનીફોલ્ડ એ એક પ્રકારનું મેનીફોલ્ડ છે જે મેનીફોલ્ડનું વિવેકીકરણ છે. તેનો અર્થ સામાન્ય રીતે સરળ સંકુલ દ્વારા બનાવવામાં આવેલ પીસવાઇઝ રેખીય મેનીફોલ્ડ થાય છે. ડિજિટલ મેનીફોલ્ડ એ એક ખાસ પ્રકારનું સંયુક્ત મેનીફોલ્ડ છે જે ડિજિટલ અવકાશમાં વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. ગ્રીડ કોષ જગ્યા. ગૌસ-બોનેટ થીયરમનું ડિજિટલ સ્વરૂપ છેઃ ધારો કે M એ સીધી નિકટતામાં બંધ ડિજિટલ 2D મેનીફોલ્ડ છે (એટલે કે, 3D માં a (6,26)-સપાટી). જીનસ માટેનું સૂત્ર છે, જ્યાં સપાટી-બિંદુઓનો સમૂહ સૂચવે છે, જેમાંના દરેક સપાટી પર i અડીને આવેલા બિંદુઓ ધરાવે છે (ચેન અને રોંગ, આઇસીપીઆર 2008). જો એમ ફક્ત જોડાયેલ હોય, એટલે કે, તો પછી. (યુલરની લાક્ષણિકતા પણ જુઓ.) ડિજિટલ ભૂમિતિ સંયોજન ટોપોલોજી કોમ્પ્યુટેશનલ ભૂમિતિ કોમ્પ્યુટેશનલ ટોપોલોજી ટોપોલોજિકલ ડેટા એનાલિસિસ ટોપોલોજી ડિસ્ક્રીટ મેથેમેટિક્સ જિયોસ્પેશિયલ ટોપોલોજી સંદર્ભો વ્લાદિમીર એ. કોવલેવસ્કી પણ જુઓ. (2008).