Auction theory
હરાજી સિદ્ધાંત એ અર્થશાસ્ત્રની એક લાગુ શાખા છે જે હરાજી બજારોમાં બોલી લગાવનાર કેવી રીતે કાર્ય કરે છે અને હરાજી બજારોની વિશેષતાઓ અનુમાનિત પરિણામોને કેવી રીતે પ્રોત્સાહિત કરે છે તેનું સંશોધન કરે છે. હરાજી સિદ્ધાંત એ એક સાધન છે જેનો ઉપયોગ વાસ્તવિક દુનિયાની હરાજીની રચનાને જાણ કરવા માટે થાય છે. વિક્રેતાઓ ખરીદદારોને ઓછી કિંમતે ખરીદી કરવાની મંજૂરી આપતી વખતે વધુ આવક વધારવા માટે હરાજી સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરે છે. ખરીદદાર અને વેચનાર વચ્ચેની કિંમતની સાંઠગાંઠ એ આર્થિક સંતુલન છે. હરાજીના સિદ્ધાંતવાદીઓ બજારની નિષ્ફળતા તરફ દોરી શકે તેવા મુદ્દાઓને ઉકેલવા માટે હરાજી માટેના નિયમો તૈયાર કરે છે. આ નિયમોની રચના વિવિધ માહિતીપ્રદ સેટિંગ્સ વચ્ચે શ્રેષ્ઠ બોલી વ્યૂહરચનાઓને પ્રોત્સાહિત કરે છે. અર્થશાસ્ત્ર માટે 2020 નો નોબેલ પુરસ્કાર પોલ આર. મિલ્ગ્રોમ અને રોબર્ટ બી. વિલ્સનને "હરાજીના સિદ્ધાંતમાં સુધારા અને હરાજીના નવા સ્વરૂપોની શોધ માટે" એનાયત કરવામાં આવ્યો હતો. પરિચય હરાજી બોલી લગાવનારના જૂથની સંસાધનોની ફાળવણી સંબંધિત ચોક્કસ નિયમોનો અમલ કરીને વ્યવહારોને સરળ બનાવે છે. સિદ્ધાંતવાદીઓ હરાજીને આર્થિક રમતો માને છે જે બે બાબતોમાં અલગ પડે છેઃ બંધારણ અને માહિતી. આ સ્વરૂપ કિંમતોની જાહેરાત, બિડ મૂકવા, કિંમતોમાં સુધારો કરવા, હરાજી બંધ કરવા અને વિજેતાની પસંદગી કરવાની રીત માટેના નિયમોને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. બોલી લગાવનારાઓ વચ્ચે અસ્તિત્વમાં રહેલી માહિતીની અસમપ્રમાણતાના સંદર્ભમાં માહિતીના સંદર્ભમાં હરાજીની રીત અલગ પડે છે. મોટાભાગની હરાજીમાં, બોલી લગાવનાર પાસે કેટલીક ખાનગી માહિતી હોય છે જે તેઓ તેમના સ્પર્ધકો પાસેથી છુપાવવાનું પસંદ કરે છે. ઉદાહરણ તરીકે, બોલી લગાવનાર સામાન્ય રીતે વસ્તુનું તેમનું વ્યક્તિગત મૂલ્યાંકન જાણે છે, જે અન્ય બોલી લગાવનાર અને વિક્રેતા માટે અજાણ છે; જો કે, બોલી લગાવનારની વર્તણૂક અન્ય બોલી લગાવનારના વ્યક્તિગત મૂલ્યાંકનને પ્રભાવિત કરી શકે છે. ઇતિહાસ હરાજીને લગતી ઐતિહાસિક ઘટનાઓમાંની એક જે નોંધવામાં આવી છે તે બેબીલોનિયામાં એક રિવાજ છે, એટલે કે જ્યારે પુરુષો તેની સાથે લગ્ન કરવા માટે સ્ત્રીઓને પ્રસ્તાવ આપવાનો પ્રયાસ કરે છે. હરાજીની પદ્ધતિ જેટલી વધુ પરિચિત છે, તેટલી વધુ પરિસ્થિતિઓમાં હરાજી હાથ ધરવામાં આવે છે. પશુધન, દુર્લભ અને અસામાન્ય વસ્તુઓથી માંડીને નાણાકીય સંપત્તિઓ સુધીની વિવિધ વસ્તુઓની હરાજી થાય છે. બિન-સહકારી રમતોનો લાંબો ઇતિહાસ છે જેની શરૂઆત કોર્નોટના ડ્યુપોલી મોડેલથી થાય છે. 1994 માં આર્થિક વિજ્ઞાન માટે નોબેલ પુરસ્કાર વિજેતા, જ્હોન નેશે બિન-સહકારી રમત માટે સામાન્ય અસ્તિત્વ સિદ્ધાંત સાબિત કર્યો જે સરળ શૂન્ય-રકમની રમતોથી આગળ વધે છે. આ સિદ્ધાંતને વિક્રે (1961) દ્વારા દરેક ખરીદનારના અવલોકનક્ષમ મૂલ્ય સાથે વ્યવહાર કરવા માટે સામાન્યીકૃત કરવામાં આવ્યો હતો. 1970 ના દાયકાની શરૂઆતમાં હરાજીના સિદ્ધાંતવાદીઓએ સૌથી વધુ વાસ્તવિક હરાજી સ્વરૂપો અને માહિતી સેટિંગ્સ હેઠળ એક-વસ્તુની હરાજી માટે સંતુલન બોલીની શરતોને વ્યાખ્યાયિત કરવાનું શરૂ કર્યું હતું. બહુવિધ-વસ્તુઓની હરાજી કેવી રીતે અસરકારક રીતે કરી શકાય તે અંગે અત્યાધુનિક વિચારણા કરવામાં આવે છે હરાજીના પ્રકારો પરંપરાગત રીતે ચાર પ્રકારની હરાજી હોય છે જેનો ઉપયોગ એક જ વસ્તુની ફાળવણી માટે થાય છેઃ પ્રથમ કિંમતની સીલબંધ-બિડ હરાજી જેમાં બોલી લગાવનાર તેમની બોલી સીલબંધ પરબિડીયુંમાં મૂકે છે અને સાથે સાથે હરાજી કરનારને સોંપે છે. પરબિડીયાઓ ખોલવામાં આવે છે અને સૌથી વધુ બોલી લગાવનાર વ્યક્તિ બોલીની રકમ ચૂકવીને જીતી જાય છે. હરાજીના આ સ્વરૂપને વ્યૂહાત્મક વિચારણાઓની જરૂર છે કારણ કે બોલી લગાવનારએ માત્ર તેમના મૂલ્યાંકનને જ નહીં પરંતુ અન્ય બોલી લગાવનારના મૂલ્યાંકન અને અન્ય બોલી લગાવનાર અન્ય બોલી લગાવનારના મૂલ્યાંકનને શું માને છે તે પણ ધ્યાનમાં લેવું જોઈએ. આવી હરાજીનું પ્રથમ ઔપચારિક વિશ્લેષણ વિકરી [1961] દ્વારા કરવામાં આવ્યું હતું. બે ખરીદદારો અને સમાન રીતે વિતરિત મૂલ્યોના કિસ્સાઓ માટે, તેમણે દર્શાવ્યું હતું કે સમપ્રમાણ સંતુલન વ્યૂહરચના ખરીદદારના મૂલ્યના અડધા જેટલી બોલી રજૂ કરવાની હતી. બીજી કિંમતની સીલબંધ બોલીની હરાજી (વિકરી હરાજી) જેમાં બોલી લગાવનાર તેમની બોલી સીલબંધ પરબિડીયુંમાં મૂકે છે અને સાથે સાથે તેને હરાજી કરનારને સોંપે છે. પરબિડીયાઓ ખોલવામાં આવે છે અને સૌથી વધુ બોલી લગાવનાર વ્યક્તિ જીતી જાય છે, જે બીજી સૌથી વધુ બોલીની બરાબર કિંમત ચૂકવે છે. આ હરાજી પ્રકારનો તર્ક એ છે કે તમામ બોલી લગાવનારાઓ માટે પ્રભાવશાળી વ્યૂહરચના તેમના સાચા મૂલ્યાંકન માટે બોલી લગાવવાની છે વિલિયમ વિકરી બીજા ભાવની હરાજીનો અભ્યાસ કરનાર પ્રથમ વિદ્વાન હતા, પરંતુ તેમનો ઉપયોગ ઇતિહાસમાં કેટલાક પુરાવા સાથે પાછો જાય છે જે સૂચવે છે કે ગોથેએ તેમની હસ્તપ્રતો બીજા ભાવની હરાજીના સ્વરૂપનો ઉપયોગ કરીને પ્રકાશકને વેચી દીધી હતી. ઓનલાઈન હરાજીમાં ઘણીવાર વિક્રિની બીજી કિંમતની હરાજીના સમકક્ષ સંસ્કરણનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે જેમાં બોલી લગાવનાર વસ્તુઓ માટે પ્રોક્સી બિડ પ્રદાન કરે છે. પ્રોક્સી બિડ એ એવી રકમ છે જેના પર કોઈ વ્યક્તિ કોઈ વસ્તુનું મૂલ્ય નક્કી કરે છે. જ્યાં સુધી વિજેતા માટે પ્રોક્સી બિડ ટોચ પર ન હોય ત્યાં સુધી ઓનલાઈન હરાજી ઘર વસ્તુની કિંમતમાં બોલી લગાવશે. જો કે, વ્યક્તિએ પોતાનું પ્રોક્સી મૂલ્યાંકન હોવા છતાં, બીજા ક્રમની સૌથી વધુ કિંમત કરતાં માત્ર એક જ વધારો ચૂકવવો પડે છે. ઓપન એસેંડિંગ-બિડ હરાજી (અંગ્રેજી હરાજી) એ સૌથી જૂની અને સંભવતઃ સૌથી સામાન્ય પ્રકારની હરાજી છે જેમાં સહભાગીઓ વધુને વધુ બોલી લગાવે છે, જ્યારે તેઓ વર્તમાન સૌથી વધુ બોલી કરતાં વધુ ચૂકવણી કરવા તૈયાર ન હોય ત્યારે બોલી લગાવવાનું બંધ કરે છે. આ ત્યાં સુધી ચાલુ રહે છે જ્યાં સુધી કોઈ પણ સહભાગી ઊંચી બોલી લગાવવા માટે તૈયાર ન હોય; સૌથી વધુ બોલી લગાવનાર અંતિમ રકમની બોલી પર હરાજી જીતે છે. કેટલીકવાર બોલી વિક્રેતા દ્વારા નિર્ધારિત અનામત કિંમત સુધી પહોંચે તો જ લોટ વેચવામાં આવે છે. ઓપન ડિસેન્ડિંગ-બિડ હરાજી (ડચ હરાજી) જેમાં હરાજી કરનાર દ્વારા તમામ બોલી લગાવનારને રોકવા માટે પૂરતા ઊંચા સ્તરે કિંમત નક્કી કરવામાં આવે છે, અને જ્યાં સુધી બોલી લગાવનાર હરાજી જીતીને વર્તમાન કિંમતે ખરીદી કરવા તૈયાર ન થાય ત્યાં સુધી તેને ક્રમશઃ ઘટાડવામાં આવે છે. મોટાભાગની હરાજીની થિયરી આ ચાર "મૂળભૂત" હરાજી પ્રકારોની આસપાસ ફરે છે. જો કે, અન્ય લોકોએ પણ કેટલાક શૈક્ષણિક અભ્યાસ મેળવ્યા છે (જુઓ). વિશ્વમાં વિકાસ અને ટેકનોલોજીએ પણ વર્તમાન હરાજી પ્રણાલીને પ્રભાવિત કરી છે. ઇન્ટરનેટના અસ્તિત્વ સાથે, ઓનલાઇન હરાજી એ લોકો માટે એક વિકલ્પ બની ગયો છે જેઓ હરાજીમાં ભાગ લેવા માંગે છે. પુરવઠા અને માંગના આધારે ચોક્કસ કિંમતો સ્થાપિત કરવા માટે ઓનલાઇન હરાજી કાર્યક્ષમ મંચ છે. વધુમાં, તે ભૌગોલિક સીમાઓને પાર કરી શકે છે. ઓનલાઈન હરાજી સાઇટ્સનો ઉપયોગ વિવિધ હેતુઓ માટે થાય છે, જેમ કે અનિચ્છનીય ઇન્વેન્ટરીને વેચતી કંપનીઓને ઓનલાઇન "ગેરેજ વેચાણ". ઓનલાઈન હરાજી અને પરંપરાગત હરાજી વચ્ચેનો નોંધપાત્ર તફાવત એ છે કે ઇન્ટરનેટ પર બોલી લગાવનાર વાસ્તવિક વસ્તુનું નિરીક્ષણ કરવામાં અસમર્થ હોય છે, જે કાલ્પનિક અને વાસ્તવિક ઉત્પાદનો વચ્ચે કથિત તફાવત તરફ દોરી જાય છે. હરાજી પ્રક્રિયા છ મૂળભૂત પ્રવૃત્તિઓ છે જે હરાજી આધારિત વેપાર પ્રક્રિયાને પૂરક છેઃ પ્રારંભિક ખરીદનાર અને વિક્રેતા નોંધણી એ વેપારી પક્ષોનું પ્રમાણીકરણ, સંકેતલિપી કીઓનું વિનિમય અને રૂપરેખા નિર્માણ છે. ચોક્કસ હરાજી કાર્યક્રમની સ્થાપના એ વેચવામાં આવેલી અથવા હસ્તગત કરેલી વસ્તુઓનું વર્ણન કરવાની અને હરાજીના નિયમો સ્થાપિત કરવાની પ્રક્રિયામાં એક પગલું છે. હરાજીના નિયમો હરાજીના પ્રકાર, પરિમાણો, શરૂ થવાની તારીખ અને બંધ થવાના નિયમોને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. સંભવિત ખરીદદારોને આકર્ષવા માટે સમયપત્રક અને જાહેરાત કરવામાં આવે છે. સંભવિત ખરીદદારોને આકર્ષવા માટે સમાન શ્રેણીની વસ્તુઓની એકસાથે હરાજી થવી જોઈએ. લોકપ્રિય હરાજીને ઓછી લોકપ્રિય હરાજી સાથે જોડી શકાય છે જેથી લોકોને ઓછી લોકપ્રિય હરાજીમાં ભાગ લેવા માટે સમજાવી શકાય. બોલી લગાવવાનું પગલું બોલીઓ એકત્રિત કરે છે અને હરાજીના બોલી નિયંત્રણ નિયમોનો અમલ કરે છે. બિડનું મૂલ્યાંકન અને હરાજી બંધ કરવાથી હરાજીના સમાપન નિયમો લાગુ થાય છે અને વિજેતાઓ અને ગુમાવનારાઓને સૂચિત કરવામાં આવે છે. વેપાર સમાધાન વેચનારને ચૂકવણી, માલનું હસ્તાંતરણ, એજન્ટોને ફીનું સંચાલન કરે છે. હરાજી પરબિડીયું પ્રમેય હરાજી પરબિડીયું પ્રમેય હરાજીમાં અપેક્ષિત કેટલીક સંભાવનાઓને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. મેકાફી અને મેકમિલન (1987) દ્વારા વ્યાખ્યાયિત હરાજી માટેનું બેન્ચમાર્ક મોડેલ નીચે મુજબ છે. તમામ બિડર્સ જોખમ-તટસ્થ છે. દરેક બોલી લગાવનાર પાસે વસ્તુ માટે ખાનગી મૂલ્યાંકન હોય છે (લગભગ હંમેશા) જે અમુક સંભાવના વિતરણમાંથી સ્વતંત્ર રીતે લેવામાં આવે છે. બોલી લગાવનાર પાસે સમપ્રમાણ માહિતી હોય છે. ચુકવણીને માત્ર બિડના કાર્ય તરીકે રજૂ કરવામાં આવે છે. જીતવાની સંભાવના હરાજીમાં ખરીદદારની બોલી જીતવામાં આવે છે જો વિરોધી બોલી લગાવનારની બોલી ઓછી હોય. મૂલ્યોથી બિડ સુધીનો નકશો સખત રીતે વધી રહ્યો છે, તેથી ઉચ્ચ મૂલ્ય ખરીદનાર જીતે છે. આંકડામાં "પ્રથમ" મૂલ્ય હોવાની સંભાવનાને સ્વતંત્ર મૂલ્યો સાથે અને એન અન્ય બિડર્સ હરાજી તરીકે લખવામાં આવે છે. ખરીદદારની ચૂકવણી એ બોલી છે જે ખરીદદારની ચૂકવણીને મહત્તમ બનાવે છે. તેથી સંતુલન ચૂકવણી એ મહત્તમ માટે જરૂરી શરત છેઃ જ્યારે અંતિમ પગલું સંતુલન ચૂકવણીનું કુલ વ્યુત્પન્ન લેવાનું હોય ત્યારે બીજી મુદત શૂન્ય છે. તેથી પછી બે ખરીદદારો સાથે સમાન વિતરણનું ઉદાહરણ લો. સમાન વિતરણ માટે સંભાવના એ છે કે જો તેનું મૂલ્ય અન્ય ખરીદદાર કરતા વધારે હોય. પછી સંતુલન ચૂકવણી છે. જીતવાની સંભાવના છે. પછી. આ અભિવ્યક્તિને ફરીથી ગોઠવતા, ત્રણ ખરીદદારો સાથે, પછી ખરીદદારો સાથે લેબ્રુન (1996) એક સામાન્ય પુરાવો પૂરો પાડે છે કે ત્યાં કોઈ અસમપ્રમાણ સંતુલન નથી. ખરીદનારના દ્રષ્ટિકોણથી શ્રેષ્ઠ હરાજીઓ પ્રકટીકરણ સિદ્ધાંત એક સરળ પરંતુ શક્તિશાળી આંતરદૃષ્ટિ છે. 1979માં એક સામાન્ય મહેસૂલ સમાનતા સિદ્ધાંત સાબિત થયો જે તમામ ખરીદદારો અને તેથી વેચનારને લાગુ પડે છે. તેમની પ્રાથમિક રુચિ એ શોધવામાં હતી કે ખરીદદારો માટે હરાજીનો કયો નિયમ વધુ સારો રહેશે. એક નિયમ હોઈ શકે છે, ઉદાહરણ તરીકે, કે બધા ખરીદદારો નોન-રિફંડેબલ બિડ ચૂકવે છે. (આવી હરાજી ઓનલાઇન હાથ ધરવામાં આવે છે.) સમાનતા પ્રમેય દર્શાવે છે કે કોઈપણ ફાળવણી પદ્ધતિ અથવા હરાજી જે બેન્ચમાર્ક મોડેલની ચાર મુખ્ય ધારણાઓને સંતોષે છે તે વિક્રેતા માટે સમાન અપેક્ષિત આવક તરફ દોરી જશે. (મૂલ્ય v સાથે ખરીદનાર i પણ તમામ હરાજીમાં સમાન "ચૂકવણી" અથવા "ખરીદદાર સરપ્લસ" ધરાવે છે). સંકલિત મૂલ્યોની હરાજીઓ મોડેલોના વ્યાપક વર્ગ માટે એક મોડેલ તૈયાર કરનાર પ્રથમ પેપર એ મિલ્ગ્રોમ અને વેબરનું (1983) સંબંધિત મૂલ્યો સાથેની હરાજી પરનું પેપર હતું. તાજેતરના કાર્યકારી પેપર જનરલ એસિમેટ્રિક હરાજીમાં, રિલે (2022) તમામ મૂલ્ય વિતરણ માટે સંતુલન બિડની લાક્ષણિકતા પ્રદાન કરે છે. દરેક ખરીદનારનું મૂલ્ય હકારાત્મક કે નકારાત્મક રીતે સહસંબંધિત હોઈ શકે છે. હરાજીમાં લાગુ કરાયેલો પ્રકટીકરણ સિદ્ધાંત એ છે કે સીમાંત ખરીદનારની ચૂકવણી અથવા "ખરીદનારની વધારાની રકમ" એ પી (વી) છે, જે વિજેતા બનવાની સંભાવના છે. દરેક સહભાગી-કાર્યક્ષમ હરાજીમાં, ઉચ્ચ મૂલ્યના ખરીદનાર માટે જીતવાની સંભાવના 1 છે. તેથી ખરીદદારને સીમાંત ચૂકવણી આવી દરેક હરાજીમાં સમાન હોય છે. તેથી ચૂકવણી પણ સમાન હોવી જોઈએ. વેચાણકર્તાના દ્રષ્ટિકોણથી હરાજી (આવક મહત્તમકરણ) તદ્દન સ્વતંત્ર રીતે અને ટૂંક સમયમાં,) આવકની સામાન્ય લાક્ષણિકતા પ્રદાન કરવા માટે સાક્ષાત્કાર સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરે છે, જે મહત્તમ સીલબંધ ઉચ્ચ બોલી હરાજીને મહત્તમ કરે છે. "નિયમિત" કિસ્સામાં આ ભાગીદારી-કાર્યક્ષમ હરાજી છે. તેથી અનામત કિંમત નક્કી કરવી એ વિક્રેતા માટે શ્રેષ્ઠ છે. "અનિયમિત" કિસ્સામાં તે પછીથી દર્શાવવામાં આવ્યું છે કે ચોક્કસ પેટા અંતરાલમાં બિડ પર પ્રતિબંધ મૂકીને પરિણામ અમલમાં મૂકી શકાય છે. બેન્ચમાર્ક મોડેલની ચાર મુખ્ય ધારણાઓમાંથી દરેકને હળવા કરવાથી અનન્ય લાક્ષણિકતાઓ સાથે હરાજીના સ્વરૂપો મળે છે. જોખમ-પ્રતિકૂળ બોલી લગાવનારાઓને જોખમી વર્તણૂકોમાં ભાગ લેવાથી અમુક પ્રકારનો ખર્ચ થાય છે, જે ઉત્પાદનના તેમના મૂલ્યાંકનને અસર કરે છે. સીલબંધ બોલીની પ્રથમ કિંમતની હરાજીમાં, જોખમ-પ્રતિકૂળ બોલી લગાવનાર તેમની જીતની સંભાવના વધારવા માટે વધુ બોલી લગાવવા તૈયાર હોય છે, જે બદલામાં, તેમની અપેક્ષિત ઉપયોગિતામાં વધારો કરે છે. આ સીલબંદ બોલીની પ્રથમ કિંમતની હરાજીને અંગ્રેજી અને સીલબંદ બોલીની બીજી કિંમતની હરાજી કરતાં વધુ અપેક્ષિત આવક પેદા કરવાની મંજૂરી આપે છે. સહસંબંધિત મૂલ્યો સાથેના બંધારણોમાં-જ્યાં વસ્તુ માટે બોલી લગાવનારના મૂલ્યો સ્વતંત્ર નથી-બોલી લગાવનારમાંથી એક વસ્તુની તેમની કિંમત ઊંચી હોવાનું સમજીને અન્ય બોલી લગાવનાર તેમના પોતાના મૂલ્યોને ઊંચા હોવાનું સમજશે તેવી શક્યતા વધારે છે. આ ઉદાહરણનું નોંધપાત્ર ઉદાહરણ વિજેતા શાપ છે, જ્યાં હરાજીના પરિણામો વિજેતાને જણાવે છે કે બીજા બધાએ વસ્તુની કિંમત તેમના કરતા ઓછી હોવાનો અંદાજ મૂક્યો હતો. વધુમાં, જોડાણ સિદ્ધાંત બોલી લગાવનારના મૂલ્યો વચ્ચે પરસ્પર નિર્ભરતા સાથે હરાજીના એકદમ સામાન્ય વર્ગ વચ્ચે આવકની સરખામણી કરવાની મંજૂરી આપે છે. અસમપ્રમાણ મોડેલ ધારે છે કે બોલી લગાવનારને બે વર્ગોમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે જે વિવિધ વિતરણો (દા. ત., પ્રાચીન હરાજીમાં વિક્રેતાઓ અને સંગ્રાહકો) માંથી મૂલ્યાંકન મેળવે છે. રોયલ્ટી અથવા પ્રોત્સાહન ચૂકવણી સાથેના બંધારણોમાં, વિક્રેતા વધારાના પરિબળોનો સમાવેશ કરે છે, ખાસ કરીને તે કે જે વસ્તુના સાચા મૂલ્યને અસર કરે છે (દા. ત., પુરવઠો, ઉત્પાદન ખર્ચ અને રોયલ્ટી ચૂકવણી), ભાવ કાર્યમાં. સ્થિર માળખામાં વિકસિત કાર્યક્ષમ વેપાર પ્રક્રિયાઓનો સિદ્ધાંત બિન-પુનરાવર્તનના આધાર પર ભારે આધાર રાખે છે. ઉદાહરણ તરીકે, હરાજી વિક્રેતા-શ્રેષ્ઠ ડિઝાઇન (માયર્સનમાં મેળવેલ) માં શ્રેષ્ઠ સૌથી ઓછી કિંમતનો સમાવેશ થાય છે જે વિક્રેતાના મૂલ્યાંકન અને સૌથી ઓછા સંભવિત ખરીદનારના મૂલ્યાંકન બંને કરતાં વધી જાય છે. રમત-સૈદ્ધાંતિક હરાજી મોડેલ એ એક ગાણિતિક રમત છે જે ખેલાડીઓના સમૂહ, દરેક ખેલાડી માટે ઉપલબ્ધ ક્રિયાઓ (વ્યૂહરચનાઓ) નો સમૂહ અને વ્યૂહરચનાઓના દરેક સંયોજનને અનુરૂપ વળતર વાહક દ્વારા રજૂ થાય છે. સામાન્ય રીતે, ખેલાડીઓ ખરીદદાર (ઓ) અને વેચનાર (ઓ) હોય છે. દરેક ખેલાડીનો એક્શન સેટ બોલી કાર્યો અથવા આરક્ષણ કિંમતો (અનામત) નો સમૂહ છે. દરેક બિડ ફંક્શન ખેલાડીના મૂલ્ય (ખરીદનારના કિસ્સામાં) અથવા કિંમત (વિક્રેતાના કિસ્સામાં) ને બિડ કિંમત સાથે મેપ કરે છે. વ્યૂહરચનાઓના સંયોજન હેઠળ દરેક ખેલાડીની ચૂકવણી એ વ્યૂહરચનાઓના સંયોજન હેઠળ તે ખેલાડીની અપેક્ષિત ઉપયોગિતા (અથવા અપેક્ષિત નફો) છે. હરાજી અને વ્યૂહાત્મક બોલીના રમત-સૈદ્ધાંતિક નમૂનાઓ સામાન્ય રીતે નીચેની બે શ્રેણીઓમાંથી કોઈ એકમાં આવે છે. ખાનગી મૂલ્યોના નમૂનામાં, દરેક સહભાગી (બોલી લગાવનાર) ધારે છે કે દરેક સ્પર્ધાત્મક બોલી લગાવનાર સંભાવના વિતરણમાંથી અવ્યવસ્થિત ખાનગી મૂલ્ય મેળવે છે. સામાન્ય મૂલ્ય મોડેલમાં, સહભાગીઓ પાસે વસ્તુનું સમાન મૂલ્યાંકન હોય છે, પરંતુ તેમની પાસે આ મૂલ્યાંકન વિશે સંપૂર્ણ સચોટ માહિતી હોતી નથી. વસ્તુનું ચોક્કસ મૂલ્યાંકન જાણવાને બદલે, દરેક સહભાગી એવું માની શકે છે કે અન્ય કોઈપણ સહભાગી તમામ બોલી લગાવનાર માટે સામાન્ય સંભાવના વિતરણમાંથી રેન્ડમ સંકેત મેળવે છે, જેનો ઉપયોગ સાચા મૂલ્યાંકનનો અંદાજ કાઢવા માટે થઈ શકે છે. સામાન્ય રીતે, પરંતુ હંમેશાં નહીં, ખાનગી મૂલ્યોનું મોડેલ ધારે છે કે બોલી લગાવનારમાં મૂલ્યો સ્વતંત્ર છે, જ્યારે સામાન્ય મૂલ્ય મોડેલ સામાન્ય રીતે ધારે છે કે મૂલ્યો સંભાવના વિતરણના સામાન્ય પરિમાણો સુધી સ્વતંત્ર છે. વ્યૂહાત્મક બોલી માટે વધુ સામાન્ય શ્રેણી એ સંલગ્ન મૂલ્યો મોડેલ છે, જેમાં બોલી લગાવનારની કુલ ઉપયોગિતા તેમના વ્યક્તિગત ખાનગી સંકેત અને કેટલાક અજ્ઞાત સામાન્ય મૂલ્ય બંને પર આધારિત હોય છે. ખાનગી મૂલ્ય અને સામાન્ય મૂલ્ય મોડેલો બંનેને સામાન્ય સંલગ્ન મૂલ્યોના મોડેલના વિસ્તરણ તરીકે જોઈ શકાય છે. જ્યારે બોલી લગાવનારના મૂલ્ય વિતરણ વિશે સ્પષ્ટ ધારણાઓ કરવી જરૂરી હોય, ત્યારે મોટાભાગના પ્રકાશિત સંશોધન સમપ્રમાણ બોલી લગાવનારને ધારે છે. આનો અર્થ એ છે કે સંભાવના વિતરણ કે જેમાંથી બોલી લગાવનાર તેમના મૂલ્યો (અથવા સંકેતો) મેળવે છે તે બોલી લગાવનારમાં સમાન છે. ખાનગી મૂલ્યોના મોડેલમાં જે સ્વતંત્રતા ધારે છે, સમપ્રમાણતા સૂચવે છે કે બોલી લગાવનારના મૂલ્યો "એટલે કે" છે. - સ્વતંત્ર રીતે અને સમાન રીતે વિતરિત. એક મહત્વપૂર્ણ ઉદાહરણ (જે સ્વતંત્રતા ધારણ કરતું નથી) એ મિલ્ગ્રોમ અને વેબરનું "સામાન્ય સમપ્રમાણ મોડેલ" (1982) છે. અસમપ્રમાણ હરાજી અસમપ્રમાણ મૂલ્ય વિતરણ પરનું સૌથી પહેલું પેપર વિકરી (1961) નું છે. એક ખરીદનારનું મૂલ્ય [0,1] પર સમાનરૂપે વહેંચવામાં આવે છે. અન્ય ખરીદનારનું જાણીતું મૂલ્ય 1⁄2 છે. સંતુલન બિડ વિતરણ અને બંને સમાન સમજશક્તિ આધાર [0,1/2]. કૂદકો બોલી; ધારો કે ખરીદદારોના મૂલ્યો સમાનરૂપે [0,1] પર વહેંચવામાં આવે છે અને [0,2] ખરીદનાર 1 ને વ્યાપક ટેકો છે. પછી બંને v = 1 સિવાય તેમના અડધા મૂલ્યો માટે બોલી લગાવવાનું ચાલુ રાખે છે. જમ્પ બિડઃ ખરીદનાર 2 એ 1/2 ની બોલીથી 3/4 ની બોલીમાં કૂદકો લગાવ્યો. જો ખરીદનાર 1 તેને અનુસરે તો તે તેના નફાના માર્જિનને અડધું કરે છે અને તેની જીતની સંભાવનાને બમણી કરે છે (ટાઇ બ્રેકિંગ નિયમને કારણે (એક સિક્કો ઉછાળો) તેથી ખરીદનાર 2 કૂદકો મારતો નથી. આ ખરીદનારને વધુ સારી તક આપે છે. જો તેનું મૂલ્ય અડધાથી ઉપર હોય તો તે ઉપયોગ માટે જીતે છે. માસ્કિન અને રિલે (2000) નું આગામી પેપર સંતુલન બિડની ગુણાત્મક લાક્ષણિકતા પ્રદાન કરે છે જ્યારે "મજબૂત ખરીદનાર" એસ પાસે મૂલ્ય વિતરણ હોય છે જે શરતી સ્ટોકેસ્ટિક પ્રભુત્વની ધારણા હેઠળ નબળા ખરીદદાર પર પ્રભુત્વ ધરાવે છે. (દરેક રાઇટ-ટ્રંકટેડ મૂલ્ય વિતરણ માટે ફર્સ્ટ ઓર્ડર સ્ટોકેસ્ટિક પ્રભુત્વ). અન્ય પ્રારંભિક યોગદાન કીથ વેહરરનો 1999નો લેખ છે. પાછળથી પ્રકાશિત થયેલા સંશોધનમાં સુસાન એથેના 2001 ઇકોનોમેટ્રીકા લેખ, તેમજ રેની અને ઝમીર (2004) નો સમાવેશ થાય છે. આવક સમાનતા હરાજી સિદ્ધાંતના મુખ્ય તારણોમાંથી એક આવક સમાનતા પ્રમેય છે. પ્રારંભિક સમકક્ષતા પરિણામો સૌથી સામાન્ય હરાજીમાં આવકની સરખામણી પર કેન્દ્રિત હતા. બે ખરીદદારો અને સમાન રીતે વહેંચાયેલા મૂલ્યોના કિસ્સામાં આ પ્રકારનો પ્રથમ પુરાવો બાય હતો. 1979 માં વધુ સામાન્ય પરિણામ સાબિત થયું. (તદ્દન સ્વતંત્ર રીતે અને ટૂંક સમયમાં, આ પણ આના દ્વારા મેળવવામાં આવ્યું હતું). આવક સમાનતા પ્રમેય જણાવે છે કે કોઈપણ ફાળવણી પદ્ધતિ અથવા હરાજી જે બેન્ચમાર્ક મોડેલની ચાર મુખ્ય ધારણાઓને સંતોષે છે તે વિક્રેતા માટે સમાન અપેક્ષિત આવક તરફ દોરી જશે (અને પ્રકાર V નો ખેલાડી ખેલાડી હરાજીના પ્રકારોમાં સમાન વધારાની અપેક્ષા રાખી શકે છે). પ્રમેયની મૂળભૂત આવૃત્તિ ભારપૂર્વક જણાવે છે કે, જ્યાં સુધી એસ. આઈ. પી. વી. (સિમેટ્રિક ઇન્ડિપેન્ડન્ટ પ્રાઇવેટ વેલ્યુ) પર્યાવરણની ધારણા છે, ત્યાં સુધી તમામ પ્રમાણભૂત હરાજી હરાજી કરનારને સમાન અપેક્ષિત નફો આપે છે અને બોલી લગાવનારને સમાન અપેક્ષિત સરપ્લસ આપે છે. વિજેતાનું શ્રાપ વિજેતાનું શ્રાપ એ એક એવી ઘટના છે જે સામાન્ય મૂલ્ય સેટિંગ્સમાં થઈ શકે છે-જ્યારે વિવિધ બિડર્સ માટે વાસ્તવિક મૂલ્યો અજ્ઞાત હોય છે પરંતુ સહસંબંધિત હોય છે, અને બિડર્સ અંદાજિત મૂલ્યોના આધારે બોલીના નિર્ણયો લે છે. આવા કિસ્સાઓમાં, વિજેતા સૌથી વધુ અંદાજ સાથે બોલી લગાવનાર બનવાનું વલણ ધરાવે છે, પરંતુ હરાજીના પરિણામો દર્શાવે છે કે બાકીની બોલી લગાવનારના માલના મૂલ્યના અંદાજો વિજેતા કરતાં ઓછા છે, જે વિજેતાને એવી છાપ આપે છે કે તેઓ "ખૂબ બોલી લગાવે છે". આવી રમતના સંતુલનમાં, વિજેતાનું શ્રાપ થતું નથી કારણ કે બોલી લગાવનાર તેમની બોલીની વ્યૂહરચનાઓમાં પૂર્વગ્રહ માટે જવાબદાર હોય છે. વર્તણૂકીય અને પ્રયોગમૂલક રીતે, જોકે, વિજેતાનું શ્રાપ એક સામાન્ય ઘટના છે, જેનું વર્ણન રિચાર્ડ થેલર દ્વારા વિગતવાર કરવામાં આવ્યું છે. સમાન અને સ્વતંત્ર વિતરિત ખાનગી મૂલ્યો સાથે, રિલે અને સેમ્યુઅલ્સન (1981) એ દર્શાવ્યું હતું કે કોઈપણ હરાજી અથવા હરાજી જેવી ક્રિયા (જેમ કે "વોર ઓફ એટ્રિશન") માં ફાળવણી "સહભાગી કાર્યક્ષમ" છે, એટલે કે. સંભાવના 1 સાથે સૌથી વધુ બોલી દાખલ કરનાર ખરીદનારને વસ્તુ ફાળવવામાં આવે છે. ત્યારબાદ તેઓએ દર્શાવ્યું કે ફાળવણીની સમાનતા એ તમામ અનામત કિંમતો માટે ચૂકવણીની સમાનતા સૂચવે છે. ત્યારબાદ તેઓએ દર્શાવ્યું કે લઘુતમ કિંમત અથવા (અનામત કિંમત) નક્કી કરીને નીચા મૂલ્યના ખરીદદારો સાથે ભેદભાવ કરવાથી અપેક્ષિત આવકમાં વધારો થશે. માયર્સનની સાથે, તેમણે દર્શાવ્યું કે સૌથી વધુ નફાકારક અનામત કિંમત બોલી લગાવનારની સંખ્યાથી સ્વતંત્ર છે. એક સરળ અંતઃપ્રેરણા છે. અનામત કિંમત ત્યારે જ અમલમાં આવે છે જ્યારે એક જ બોલી હોય. આમ તે પૂછવા સમાન છે કે કઈ અનામત કિંમત એક જ ખરીદદાર પાસેથી આવકને મહત્તમ બનાવશે. જો મૂલ્યો અંતરાલ [0,100] પર સમાનરૂપે વહેંચવામાં આવે, તો આ ખરીદનારનું મૂલ્ય r કરતા ઓછું હોવાની સંભાવના p (r) એ p (r) = (100-r)/100 છે. તેથી અપેક્ષિત આવક પી (આર) * આર = (100-આર) * આર/100 = (આર-50) * (આર-50) + 25 છે. આમ અનામત કિંમતને મહત્તમ કરતી અપેક્ષિત આવક 50 છે. માયર્સન (1981). સૌથી વધુ મૂલ્ય ધરાવતી વસ્તુ સિવાય બોલી લગાવનારને વસ્તુને પુરસ્કાર આપતી પદ્ધતિ તૈયાર કરવી ક્યારેય વધુ નફાકારક બની શકે છે કે કેમ તે પ્રશ્નની પણ તપાસ કરવામાં આવી હતી. આશ્ચર્યજનક રીતે, આ કિસ્સો છે. માસ્કિન અને રિલેએ પછી બતાવ્યું તેમ, આ શ્રેષ્ઠ અનામત કિંમતથી ઉપર ચોક્કસ અંતરાલો પર બિડને બાકાત રાખવાની સમકક્ષ છે. બુલો અને ક્લેમ્પેરરે (1996) દર્શાવ્યું છે કે એન બિડર્સ સાથેની હરાજી અને શ્રેષ્ઠ રીતે પસંદ કરેલ અનામત કિંમત વિક્રેતા માટે એન + 1 બિડર્સ (અને કોઈ અનામત કિંમત નહીં) સાથેની પ્રમાણભૂત હરાજી કરતાં ઓછો અપેક્ષિત નફો પેદા કરે છે. જર્નલ ઓફ ઇકોનોમિક લિટરેચરમાં JEL વર્ગીકરણ વર્ગીકરણ પ્રણાલી C7 એ રમત સિદ્ધાંત માટેનું વર્ગીકરણ છે અને D44 એ હરાજી માટેનું વર્ગીકરણ છે. વ્યવસ્થાપન અર્થશાસ્ત્રના વિદ્વાનોએ વ્યવસાય વ્યૂહરચનામાં હરાજી સિદ્ધાંતના કેટલાક ઉપયોગોની નોંધ લીધી છે. એટલે કે, હરાજી સિદ્ધાંત પ્રિએમ્પશન રમતો અને એટ્રિશન રમતો પર લાગુ કરી શકાય છે. પ્રિએમ્પશન ગેમ્સ એ એક એવી રમત છે જ્યાં ઉદ્યોગસાહસિકો અન્ય પેઢીઓને નવી ટેકનોલોજી સાથે બજારમાં પ્રવેશતા પહેલા તે વ્યાપારી જમાવટ માટે તૈયાર થાય તે પહેલાં તેને અટકાવશે. તકનીકી વ્યાપારી રીતે વ્યવહારુ બનવાની રાહ જોવામાંથી પેદા થયેલ મૂલ્ય પણ જોખમમાં વધારો કરે છે કે હરીફ અગાઉથી બજારમાં પ્રવેશ કરશે. પ્રિએમ્પ્ટિવ ગેમ્સને પ્રથમ કિંમતની સીલબંધ હરાજી તરીકે તૈયાર કરી શકાય છે. જ્યારે ટેકનોલોજી વ્યાપારી જમાવટ માટે તૈયાર હોય ત્યારે બંને કંપનીઓ બજારમાં પ્રવેશવાનું પસંદ કરશે; આને બંને કંપનીઓનું મૂલ્યાંકન ગણી શકાય. જો કે, એક પેઢી એવી માહિતી રાખી શકે છે કે ટેક્નોલોજી અન્ય પેઢી માને તે પહેલાં વ્યવહારુ છે. વધુ સારી માહિતી ધરાવતી કંપની બજારમાં પ્રવેશ કરશે અને નિષ્ફળતાનું જોખમ વધારે હોવા છતાં અગાઉ બજારમાં પ્રવેશવા માટે બોલી લગાવશે. એટ્રિશનની રમતો એ અન્ય પેઢીઓને બજાર છોડવા માટે પૂર્વતૈયારી કરવાની રમતો છે. આ ઘણીવાર એરલાઇન ઉદ્યોગમાં થાય છે કારણ કે આ બજારોને અત્યંત સ્પર્ધાત્મક માનવામાં આવે છે. જેમ જેમ નવી એરલાઇન બજારમાં પ્રવેશ કરશે તેમ તેમ તેઓ બજારહિસ્સો મેળવવા માટે કિંમતોમાં ઘટાડો કરશે. આ વર્તમાન એરલાઇનને બજારહિસ્સો ગુમાવવાનું ટાળવા માટે કિંમતોમાં ઘટાડો કરવા માટે પણ દબાણ કરે છે. આ હરાજીની રમત બનાવે છે. સામાન્ય રીતે, બજારમાં પ્રવેશ કરનારાઓ પદધારીને નાદાર બનાવવાના પ્રયાસની વ્યૂહરચનાનો ઉપયોગ કરશે. આમ, હરાજીને માપવામાં આવે છે કે દરેક પેઢી કેટલી ખોટ કરવા તૈયાર છે કારણ કે તેઓ એટ્રિશનની રમતમાં રહે છે. જે પેઢી રમતમાં સૌથી લાંબો સમય ચાલે છે તે બજારનો હિસ્સો જીતે છે. આ વ્યૂહરચનાનો ઉપયોગ નેટફ્લિક્સ, હુલુ, ડિઝની + અને એચ. બી. ઓ. એમ. એક્સ જેવી મનોરંજન સ્ટ્રીમિંગ સેવાઓ દ્વારા વધુ સમકાલીન રીતે કરવામાં આવ્યો છે, જે તમામ ખોટ કરતી કંપનીઓ છે જે વધુ વિસ્તૃત મનોરંજન સામગ્રી પર બોલી લગાવીને બજાર હિસ્સો મેળવવાનો પ્રયાસ કરી રહી છે. હરાજી સિદ્ધાંતને નોબેલ પુરસ્કાર મળ્યો સ્ટેનફોર્ડ યુનિવર્સિટીના બે પ્રોફેસરો પોલ મિલ્ગ્રોમ અને રોબર્ટ વિલ્સને હરાજી સિદ્ધાંતમાં સફળતાપૂર્વક સુધારો કર્યો અને એક સાથે બહુવિધ રાઉન્ડ હરાજી (એસ. એમ. આર. એ.) સહિત અનેક નવા હરાજી સ્વરૂપોની શોધ કરી. આ ફોર્મેટ અંગ્રેજી હરાજી (ઓપન-આઉટક્રાઈ) અને સીલબંધ બોલી હરાજી બંનેના લાભને જોડે છે. ફેડરલ કોમ્યુનિકેશન્સ કમિશન (એફસીસી) દ્વારા એસ. એમ. આર. એ. ને સમસ્યાનું સમાધાન માનવામાં આવે છે. એફસીસી પરંપરાગત હરાજીનો ઉપયોગ કરીને તેના તમામ ટેલિકોમ્યુનિકેશન ફ્રીક્વન્સી સ્લોટ્સ વેચવા માંગે છે, જો કે, તે આખરે મફતમાં લાઇસન્સ આપવા અથવા યુનાઇટેડ સ્ટેટ્સમાં ટેલિકોમ એકાધિકાર સાથે સમાપ્ત થશે. આખરે, એક સાથે બહુવિધ રાઉન્ડની હરાજીએ યુએસ સરકારને યુએસ ડોલરમાં 20 અબજ ડોલરનો નફો આપ્યો છે. સિમ્યુલેશનની બહુવિધ રાઉન્ડની હરાજીની પ્રક્રિયા ત્રણથી ચાર રાઉન્ડની હરાજી હતી. દરેક બોલી લગાવનારએ તેમની હરાજીની કિંમતને સીલ કરવી પડશે; હરાજી કરનારએ દરેક બોલી લગાવનારને દરેક રાઉન્ડમાં સૌથી વધુ કિંમતની હરાજીની જાહેરાત કરવી પડશે. તમામ બોલી લગાવનાર આ રાઉન્ડમાં સૌથી વધુ હરાજી કિંમત સાંભળ્યા પછી તેમની હરાજીની કિંમત અને વ્યૂહરચનાને સમાયોજિત અને બદલી શકે છે. હરાજી ત્યાં સુધી ચાલુ રહેશે જ્યાં સુધી બોલીની કિંમતની સૌથી વધુ કિંમત છેલ્લા રાઉન્ડની સૌથી વધુ બોલી કિંમત કરતાં ઓછી ન હોય. એસ. એમ. આર. એ. એ પ્રથમ વિશિષ્ટતા એ છે કે આ હરાજી વિવિધ આવૃત્તિઓ માટે એક સાથે થઈ રહી છે, તેથી, તે સટોડિયાઓની કિંમતમાં ગંભીરતાથી વધારો કરે છે, કારણ કે સીલબંધ બોલી ખાતરી આપી શકે છે કે તમામ બોલી તમામ બોલી લગાવનારના ઉત્પાદનોની કિંમતના મૂલ્યાંકનને પ્રતિબિંબિત કરે છે. બીજો તફાવત એ છે કે બોલી સંખ્યાબંધ રાઉન્ડમાં થાય છે અને બોલીની સૌથી વધુ કિંમતની જાહેરાત કરે છે, તેથી, બોલી લગાવનારને તેમના સ્પર્ધકોની પસંદગીઓ અને માહિતી વિશે વધુ જાણવા અને તે મુજબ તેમની વ્યૂહરચનાને સમાયોજિત કરવાની મંજૂરી આપે છે. આમ, હરાજીની અંદર અસમપ્રમાણ માહિતીની અસરમાં ઘટાડો થાય છે. વધુમાં, બહુવિધ રાઉન્ડની બોલી હરાજીમાં બોલી લગાવનારને સક્રિય રાખી શકે છે. તેણે બોલી લગાવનાર માટે સૌથી વધુ બોલી લગાવનારની કિંમત સમજવા માટે માહિતીમાં નોંધપાત્ર વધારો કર્યો છે કારણ કે બોલી લગાવ્યા પછી દરેક રાઉન્ડમાં યજમાન સૌથી વધુ બોલી લગાવનારની કિંમતની જાહેરાત કરશે. ફૂટનોટ્સ વધુ વાંચન કેસેડી, આર. (1967). હરાજી અને હરાજી. યુનિવર્સિટી ઓફ કેલિફોર્નિયા પ્રેસ. એક પ્રભાવશાળી પ્રારંભિક સર્વેક્ષણ. ક્લેમ્પર, પી. (એડ.). (1999 બી). હરાજીનો આર્થિક સિદ્ધાંત. એડવર્ડ એલ્ગર. હરાજી સિદ્ધાંતમાં નિર્ણાયક કાગળોનો સંગ્રહ. ક્લેમ્પર, પી. (1999એ). હરાજી સિદ્ધાંતઃ સાહિત્ય માટે માર્ગદર્શિકા. જર્નલ ઓફ ઇકોનોમિક સર્વેઝ, 13 (3), 227-286. એક સારું આધુનિક સર્વેક્ષણ; અગાઉના પુસ્તકનું પ્રથમ પ્રકરણ. ઓનલાઈન ઉપલબ્ધ ડ્રાફ્ટ એડિશન હરાજી સિદ્ધાંત પરનું એક ખૂબ જ સારું આધુનિક પાઠ્યપુસ્તક છે. . એક સર્વેક્ષણ. માયર્સન, આર. (1981). શ્રેષ્ઠ હરાજી ડિઝાઇન. ગણિત ઓફ ઓપરેશન્સ રિસર્ચ, 6 (1), 58-73. એક નિર્ણાયક પેપર, આવક સમાનતા અને શ્રેષ્ઠ હરાજી રજૂ કરે છે. રિલે, જે. અને સેમ્યુઅલ્સન, ડબલ્યુ. (1981). શ્રેષ્ઠ હરાજી. ધ અમેરિકન ઇકોનોમિક રિવ્યૂ, 71 (3), 381-392. એક નિર્ણાયક પેપર; ઉપર ટાંકવામાં આવેલા માયર્સનના પેપર સાથે એક સાથે પ્રકાશિત થયું. પાર્સન્સ, એસ., રોડરિગ્ઝ-અગિલર, જે. એ., અને ક્લેઈન, એમ. (2011). હરાજી અને બોલીઃ કોમ્પ્યુટર વૈજ્ઞાનિકો માટે માર્ગદર્શિકા. તાજેતરનું પાઠ્યપુસ્તક; પ્રકરણ 11 જુઓ, જે ગણતરીના દ્રષ્ટિકોણથી હરાજી સિદ્ધાંત રજૂ કરે છે. નિઃશુલ્ક ઑનલાઇન ડાઉનલોડ કરી શકાય છે. વિલ્સન, આર. (1987એ). હરાજી સિદ્ધાંત. જે. ઈટવેલ, એમ. મિલગેટ, પી. ન્યૂમેન (એડ. ), ધ ન્યૂ પાલગ્રેવ ડિક્શનરી ઓફ ઇકોનોમિક્સ, વોલ્યુમ. I. લંડનઃ મેકમિલન. બાહ્ય કડીઓ GameTheory.net પર હરાજી, જે વેબેક મશીન પર પણ ઉપલબ્ધ છે, ફોરેક્સ FXબ્રોકરમાં હરાજી બજાર સિદ્ધાંતની મૂળભૂત બાબતો અર્થશાસ્ત્રના પેટાક્ષેત્રોની સમીક્ષાઓ