Lakes of Wada
ગણિતમાં, સમતલ અથવા ઓપન યુનિટ સ્ક્વેરના ત્રણ અલગ-અલગ જોડાયેલા ખુલ્લા સમૂહો વિરોધાભાસી ગુણધર્મ સાથે છે કે તે બધાની સમાન સીમા હોય છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, એક તળાવની સીમા પર પસંદ કરેલા કોઈપણ બિંદુ માટે, અન્ય બે તળાવોની સીમાઓમાં પણ તે બિંદુ હોય છે. સમાન સીમા ધરાવતા બેથી વધુ સમૂહોમાં વાડા ગુણધર્મ હોવાનું કહેવાય છે; ઉદાહરણોમાં ગતિશીલ પ્રણાલીઓમાં વાડા તટપ્રદેશનો સમાવેશ થાય છે. આ ગુણધર્મ વાસ્તવિક દુનિયાની પ્રણાલીઓમાં દુર્લભ છે. વાડાના તળાવોની રજૂઆત ટેકિયો વાડા દ્વારા કરવામાં આવી હતી, જેમણે આ શોધનો શ્રેય ટેકો વાડાને આપ્યો હતો. તેની રચના એક બિનસંયોજિત સાતત્ય દ્વારા નિર્માણ જેવી જ છે, અને હકીકતમાં ત્રણ સમૂહોની સામાન્ય સીમા માટે બિનસંયોજિત સાતત્ય હોવું શક્ય છે. વાડાના તળાવોનું નિર્માણ વાડાના તળાવોની રચના સૂકી જમીનના બંધ એકમ ચોરસથી શરૂ થાય છે, અને પછી નીચેના નિયમ અનુસાર 3 તળાવો ખોદવામાં આવે છેઃ n = 1,2,3,. તળાવ n મોડ 3 (= 0,1,2) નો વિસ્તાર કરો જેથી તે ખુલ્લું અને જોડાયેલ હોય અને બાકીની બધી સૂકી જમીનના 1/n અંતરની અંદરથી પસાર થાય. આ કરવું જોઈએ જેથી બાકીની સૂકી જમીન બંધ એકમ ચોરસમાં હોમોમોર્ફિક રહે. અનંત દિવસો પછી, ત્રણ તળાવો હજુ પણ જોડાયેલા ખુલ્લા સમૂહોથી અલગ છે, અને બાકીની સૂકી જમીન એ 3 તળાવોમાંથી દરેકની સરહદ છે. ઉદાહરણ તરીકે, પ્રથમ પાંચ દિવસ હોઈ શકે છે (જમણી બાજુની છબી જુઓ): બધી સૂકી જમીનના 1/3 અંદરથી પસાર થતા 1/3 પહોળાઈના વાદળી તળાવને ખોદી કાઢો. તમામ સૂકી જમીનની 32ની અંદરથી પસાર થતા પહોળાઈના લાલ તળાવને ખોદી કાઢો. બધી સૂકી જમીનની અંદર/33 ની અંદરથી પસાર થતા પહોળાઈ 1/33 ના લીલા તળાવને ખોદી કાઢો. તમામ સૂકી જમીનની 34ની અંદરથી પસાર થતી પહોળાઈ 1/34 ની ચેનલ દ્વારા વાદળી તળાવને વિસ્તૃત કરો. (નાની નહેર પાતળા વાદળી તળાવને જાડા તળાવ સાથે જોડે છે, જે છબીની મધ્યમાં છે.) લાલ તળાવને તમામ સૂકી જમીનની 35ની અંદરથી પસાર થતી પહોળાઈની ચેનલ દ્વારા વિસ્તૃત કરો. (નાની નહેર પાતળા લાલ તળાવને જાડા તળાવ સાથે જોડે છે, જે છબીની ઉપર ડાબી બાજુની નજીક છે.) આ બાંધકામની વિવિધતા એક જ સીમા સાથે જોડાયેલા તળાવોની ગણતરી કરી શકાય તેવી અનંત સંખ્યા પેદા કરી શકે છેઃ 1,2,0,1,2,0,1,2,0 ના ક્રમમાં તળાવોને લંબાવવાને બદલે, તેમને 0,0,1,0,1,2,0,1,2,3,0,1,2,3,4, અને તેથી વધુ ક્રમમાં વિસ્તૃત કરો. વાડા તટપ્રદેશ, વાડા તટપ્રદેશ એ બિન-રેખીય પ્રણાલીઓના ગણિતમાં અભ્યાસ કરાયેલ આકર્ષણના અમુક વિશેષ તટપ્રદેશો છે. જે તટપ્રદેશમાં એવી મિલકત હોય કે જે તે તટપ્રદેશની સરહદ પરના દરેક બિંદુના દરેક પડોશમાં ઓછામાં ઓછા ત્રણ તટપ્રદેશોને છેદે છે તેને વાડા તટપ્રદેશ કહેવામાં આવે છે, અથવા વાડા મિલકત હોવાનું કહેવાય છે. વાડાના તળાવોથી વિપરીત, વાડા તટપ્રદેશો ઘણીવાર વિચ્છેદિત થઈ જાય છે. વાડા તટપ્રદેશનું ઉદાહરણ ન્યૂટન ફ્રેક્ટલ દ્વારા આપવામાં આવ્યું છે, જે અલગ મૂળ ધરાવતી ઘન બહુપદીના મૂળ શોધવા માટે ન્યૂટન-રેફસન પદ્ધતિના આકર્ષણના તટપ્રદેશોનું વર્ણન કરે છે, જેમ કે ચિત્ર જુઓ. અંધાધૂંધી સિદ્ધાંતમાં વાડા તટપ્રદેશો અંધાધૂંધી સિદ્ધાંતમાં, વાડા તટપ્રદેશો ખૂબ જ વારંવાર ઉદ્ભવે છે. સામાન્ય રીતે, વાડાની મિલકત વિઘટનકારી ગતિશીલ પ્રણાલીઓના આકર્ષણના તટપ્રદેશમાં જોઈ શકાય છે. પરંતુ હેમિલ્ટોનિયન પ્રણાલીઓના બહાર નીકળવાના તટપ્રદેશો પણ વાડાની મિલકત દર્શાવી શકે છે. બહુવિધ નિકાસ સાથેની પ્રણાલીઓના અસ્તવ્યસ્ત સ્કેટરિંગના સંદર્ભમાં, બહાર નીકળવાના તટપ્રદેશો વાડા ગુણધર્મ દર્શાવે છે. એમ. એ. એફ. સંજુઆન અને અન્ય. તેણે બતાવ્યું છે કે હેનોન-હેઇલ્સ પ્રણાલીમાં બહાર નીકળવાના તટપ્રદેશોમાં આ વાડા ગુણધર્મ છે. આ પણ જુઓ સંદર્ભો વધુ વાંચન ઉદાહરણ 10.13 બાહ્ય કડીઓ વાડા તટપ્રદેશોની પ્રાયોગિક અનુભૂતિ (ફોટોગ્રાફ્સ સાથે), andamooka.org વાડા તટપ્રદેશો અને વાડા મિલકતનો પરિચય www-chaos.umd.edu અનંતના પ્રતિબિંબીત ક્ષેત્રોઃ વાડા તટપ્રદેશ ફ્રેક્ટલ્સ, miqel.com વાડા તટપ્રદેશોઃ અવ્યવસ્થિત સ્કેટરિંગનું રેન્ડરિંગ, astronomy.swin.edu.au ટોપોલોજી ફ્રેક્ટલ્સ