Numerical continuation
આંકડાકીય સાતત્ય એ પરિમાણિત બિનરેખીય સમીકરણોની પ્રણાલીના અંદાજિત ઉકેલોની ગણતરી કરવાની એક પદ્ધતિ છે, પરિમાણ સામાન્ય રીતે વાસ્તવિક સ્કેલર હોય છે, અને ઉકેલ એન-વેક્ટર હોય છે. નિશ્ચિત પરિમાણ મૂલ્ય માટે, યુક્લિડિયન એન-સ્પેસ પોતે જ નકશો બનાવે છે. મોટેભાગે મૂળ નકશા બનાચ અવકાશમાંથી જ હોય છે, અને યુક્લિડિયન એન-અવકાશ એ મર્યાદિત-પરિમાણીય બનાચ અવકાશ છે. પ્રવાહ અથવા નકશાના પરિમાણિત પરિવારની સ્થિર સ્થિતિ અથવા નિશ્ચિત બિંદુ આ સ્વરૂપનું હોય છે, અને પ્રવાહના માર્ગને અલગ કરીને અથવા નકશાને પુનરાવર્તિત કરીને, સામયિક ભ્રમણકક્ષાઓ અને હેટેરોક્લિનિક ભ્રમણકક્ષાઓને પણ તેના ઉકેલ તરીકે રજૂ કરી શકાય છે. અન્ય સ્વરૂપો કેટલીક બિનરેખીય પ્રણાલીઓમાં, પરિમાણો સ્પષ્ટ છે. અન્યમાં તેઓ ગર્ભિત છે, અને બિનરેખીય સમીકરણોની પદ્ધતિ લખવામાં આવે છે જ્યાં એન-વેક્ટર છે, અને તેની છબી એન-1 વેક્ટર છે. સ્પષ્ટ પરિમાણ અવકાશ વિના આ રચના સામાન્ય રીતે નીચેના વિભાગોમાં ફોર્મ્યુલેશન માટે યોગ્ય નથી, કારણ કે તે સ્વરૂપની પરિમાણિત સ્વાયત્ત બિનરેખીય ગતિશીલ પ્રણાલીઓનો સંદર્ભ આપે છેઃ જો કે, બીજગણિત પ્રણાલીમાં અજ્ઞાત અને પરિમાણો વચ્ચે કોઈ તફાવત નથી. સામયિક ગતિ એ તબક્કાની જગ્યામાં બંધ વળાંક છે. એટલે કે, અમુક સમયગાળા માટે, સામયિક ગતિનું પાઠ્યપુસ્તકનું ઉદાહરણ અનડેમ્પ્ડ લોલક છે. જો ફેઝ સ્પેસ એક અથવા વધુ કોઓર્ડિનેટ્સમાં સામયિક હોય, જેમ કે વેક્ટર સાથે, તો પછી દરેક પૂર્ણાંક માટે બીજા પ્રકારની સામયિક ગતિઓ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. સામયિક ગતિ માટે ગર્ભિત પ્રણાલી લખવાનું પ્રથમ પગલું એ સમયગાળાને સીમા શરતોમાંથી ODE તરફ ખસેડવાનું છેઃ બીજું પગલું એ વધારાનું સમીકરણ, એક તબક્કાની મર્યાદા ઉમેરવાનું છે, જેને સમયગાળો નક્કી કરવા તરીકે વિચારી શકાય છે. આ જરૂરી છે કારણ કે ઉપરોક્ત સીમા મૂલ્ય સમસ્યાના કોઈપણ ઉકેલને મનસ્વી રકમ દ્વારા સમયસર ખસેડી શકાય છે (સમય વ્યાખ્યાયિત સમીકરણોમાં દેખાતો નથી-ગતિશીલ પ્રણાલીને સ્વાયત્ત કહેવામાં આવે છે). તબક્કાની મર્યાદા માટે ઘણી પસંદગીઓ છે. જો નજીકના પરિમાણ મૂલ્ય પર જાણીતી સામયિક ભ્રમણકક્ષા હોય, તો પોઇનકેરે ઉપયોગ કરે છે જે દર્શાવે છે કે તે એક સમતલમાં આવેલું છે જે બંધ વળાંકના સ્પર્શક વેક્ટર માટે ઓર્થોગોનલ છે. આ સમતલને પોઇનકેરે વિભાગ કહેવામાં આવે છે. સામાન્ય સમસ્યા માટે વધુ સારી તબક્કાની મર્યાદા એ યુસેબિયસ ડોડેલ દ્વારા રજૂ કરાયેલ એક અભિન્ન અવરોધ છે, જે તબક્કાને પસંદ કરે છે જેથી જાણીતા અને અજ્ઞાત ભ્રમણકક્ષાઓ વચ્ચેનું અંતર ઘટાડી શકાયઃ હોમોક્લિનિક અને હેટેરોક્લિનિક ગતિ વ્યાખ્યાઓ ઉકેલ ઘટક બિનરેખીય પ્રણાલીનો ઉકેલ ઘટક એ બિંદુઓનો સમૂહ છે જે સંતોષ આપે છે અને ઉકેલોના માર્ગ દ્વારા પ્રારંભિક ઉકેલ સાથે જોડાયેલ છે જેના માટે અને. આંકડાકીય સાતત્ય એ એક અલ્ગોરિધમ છે જે પરિમાણિત બિનરેખીય સમીકરણોની પ્રણાલી અને પ્રારંભિક ઉકેલને ઇનપુટ તરીકે લે છે, અને ઉકેલ ઘટક પર બિંદુઓનો સમૂહ ઉત્પન્ન કરે છે. નિયમિત બિંદુ એ એક બિંદુ છે જેના પર જેકોબિયન પૂર્ણ ક્રમ ધરાવે છે. નિયમિત બિંદુની નજીક ઉકેલ ઘટક એ નિયમિત બિંદુ (ગર્ભિત કાર્ય પ્રમેય) માંથી પસાર થતો એક અલગ વળાંક છે. બિંદુની ઉપરની આકૃતિમાં એક નિયમિત બિંદુ છે. એકવચન બિંદુ એ એક બિંદુ છે જેના પર F નો જેકોબિયન પૂર્ણ ક્રમ નથી. એકવચન બિંદુની નજીક ઉકેલ ઘટક નિયમિત બિંદુમાંથી પસાર થતો એક અલગ વળાંક ન પણ હોઈ શકે. સ્થાનિક માળખું ઉચ્ચ ડેરિવેટિવ્ઝ દ્વારા નક્કી થાય છે. બિંદુની ઉપરની આકૃતિમાં જ્યાં બે વાદળી વળાંકો ઓળંગે છે તે એકવચન બિંદુ છે. સામાન્ય દ્રાવણમાં ઘટકો શાખાયુક્ત વળાંક હોય છે. શાખા બિંદુઓ એકવચન બિંદુઓ છે. એકવચન બિંદુ છોડતા ઉકેલ વળાંકને શોધવાનું શાખા પરિવર્તન કહેવાય છે, અને દ્વિભાજન સિદ્ધાંત (એકત્વ સિદ્ધાંત, આપત્તિ સિદ્ધાંત) માંથી તકનીકોનો ઉપયોગ કરે છે. મર્યાદિત-પરિમાણીય પ્રણાલીઓ માટે (ઉપર વ્યાખ્યાયિત કર્યા મુજબ) લિયાપુનોવ-શ્મિટ વિઘટનનો ઉપયોગ બે પ્રણાલીઓ ઉત્પન્ન કરવા માટે થઈ શકે છે જેના પર ઇમ્પ્લિસિટ ફંક્શન પ્રમેય લાગુ થાય છે. લિયાપુનોવ-શ્મિટ વિઘટન પ્રણાલીના પ્રતિબંધનો ઉપયોગ જેકોબિયનની શૂન્ય જગ્યા અને જેકોબિયનની શ્રેણીના પૂરક તરીકે કરે છે. જો મેટ્રિક્સના સ્તંભો ની ખાલી જગ્યા માટે ઓર્થોનોર્મલ આધાર હોય અને મેટ્રિક્સના સ્તંભો ની ડાબી ખાલી જગ્યા માટે ઓર્થોનોર્મલ આધાર હોય, તો સિસ્ટમને જ્યાં ની ખાલી જગ્યાના પૂરકમાં છે તે રીતે ફરીથી લખી શકાય છે. પ્રથમ સમીકરણમાં, જેને જેકોબિયન () ની શૂન્ય જગ્યા દ્વારા પરિમાણિત કરવામાં આવે છે, તેના સંદર્ભમાં જેકોબિયન બિન-એકવચન છે. તેથી ઇમ્પ્લિસિટ ફંક્શન થીયરમ જણાવે છે કે ત્યાં એક મેપિંગ છે જેમ કે અને. બીજા સમીકરણને (અવેજી સાથે) દ્વિભાજન સમીકરણ કહેવામાં આવે છે (જોકે તે સમીકરણોની પદ્ધતિ હોઈ શકે છે). દ્વિભાજન સમીકરણમાં ટેલર વિસ્તરણ છે જેમાં સ્થિર અને રેખીય શબ્દોનો અભાવ છે. મૂળ પ્રણાલીના જેકોબિયનના સમીકરણો અને શૂન્ય જગ્યાને સ્કેલ કરીને બિન-એકવચન જેકોબિયન સાથે એક પ્રણાલી શોધી શકાય છે. સ્કેલ્ડ દ્વિભાજન સમીકરણની ટેલર શ્રેણીમાં અચળ પદને બીજગણિત દ્વિભાજન સમીકરણ કહેવામાં આવે છે, અને દ્વિભાજન સમીકરણો લાગુ કરાયેલ ગર્ભિત કાર્ય પ્રમેય જણાવે છે કે બીજગણિત દ્વિભાજન સમીકરણના દરેક અલગ ઉકેલ માટે મૂળ સમસ્યાના ઉકેલોની એક શાખા છે જે એકવચન બિંદુમાંથી પસાર થાય છે. અન્ય પ્રકારનો એકવચન બિંદુ એ વળાંક બિંદુ વિભાજન અથવા સેડલ-નોડ વિભાજન છે, જ્યાં વળાંકને અનુસરવામાં આવે ત્યારે પરિમાણની દિશા વિપરીત થાય છે. ઉપરની આકૃતિમાં લાલ વળાંક વળાંક દર્શાવે છે. વિશિષ્ટ અલ્ગોરિધમ્સ કુદરતી પરિમાણ સાતત્ય સમીકરણોની બિનરેખીય પ્રણાલીઓના ઉકેલની મોટાભાગની પદ્ધતિઓ પુનરાવર્તિત પદ્ધતિઓ છે. ચોક્કસ પરિમાણ મૂલ્ય માટે પ્રારંભિક અનુમાન પર મેપિંગ વારંવાર લાગુ કરવામાં આવે છે. જો પદ્ધતિ એકરૂપ થાય અને સુસંગત હોય, તો મર્યાદામાં પુનરાવર્તન ના ઉકેલની નજીક પહોંચે છે. નેચરલ પેરામીટર કન્ટીન્યુઅન્સ એ પેરામેટ્રીઝ્ડ પ્રોબ્લેમ માટે ઇટરેટિવ સોલ્વરનું ખૂબ જ સરળ અનુકૂલન છે. ના એક મૂલ્ય પરના ઉકેલનો ઉપયોગ એ. ટી. ના ઉકેલ માટે પ્રારંભિક અનુમાન તરીકે થાય છે. પૂરતા પ્રમાણમાં નાના સાથે પ્રારંભિક અનુમાન પર લાગુ કરાયેલ પુનરાવર્તન એકરૂપ થવું જોઈએ. કુદરતી પરિમાણ ચાલુ રાખવાનો એક ફાયદો એ છે કે તે સમસ્યા માટે ઉકેલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ બ્લેક બોક્સ તરીકે કરે છે. જે જરૂરી છે તે એ છે કે પ્રારંભિક ઉકેલ આપવામાં આવે (કેટલાક ઉકેલકો હંમેશા નિશ્ચિત પ્રારંભિક અનુમાનથી શરૂ કરતા હતા). બ્લેક બોક્સ સોલવર્સ પર વધુ વ્યવહારદક્ષ અલ્ગોરિધમ્સ લાગુ કરવા પર મોટા પાયે ચાલુ રાખવાના ક્ષેત્રમાં ઘણું કામ કરવામાં આવ્યું છે (જુઓ દા. ત. એલઓસીએ). જો કે, કુદરતી પરિમાણ સાતત્ય વળાંક બિંદુઓ પર નિષ્ફળ જાય છે, જ્યાં ઉકેલોની શાખા ગોળાકાર થાય છે. તેથી વળાંક બિંદુઓ સાથેની સમસ્યાઓ માટે, સ્યુડો-આર્ક્લેન્થ સાતત્ય જેવી વધુ વ્યવહારદક્ષ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવો આવશ્યક છે (નીચે જુઓ). સરળ અથવા પીસવાઇઝ રેખીય સાતત્ય સરળ સાતત્ય અથવા પીસવાઇઝ રેખીય સાતત્ય (ઓલગોવર અને જ્યોર્જ) ત્રણ મૂળભૂત પરિણામો પર આધારિત છે. પ્રથમ છે {| class = "વિકિટેબલ" |-|If F (x) IR ^ n ને IR ^ (n-1) માં મેપ્સ કરે છે, (n-1)-પરિમાણીય સિમ્પ્લેક્સ પર એક અનન્ય રેખીય ઇન્ટરપોલેન્ટ છે જે સિમ્પ્લેક્સના શિરોબિંદુઓ પરના કાર્ય મૂલ્યો સાથે સંમત થાય છે. |} બીજું પરિણામ છેઃ {| વર્ગ = "વિકિટેબલ" |-|An (n-1)-પરિમાણીય સિમ્પ્લેક્સને તે નક્કી કરવા માટે ચકાસી શકાય છે કે અનન્ય રેખીય ઇન્ટરપોલેન્ટ સિમ્પ્લેક્સની અંદર 0 મૂલ્ય લે છે કે કેમ. |} મહેરબાની કરીને વિગતો માટે પીસવાઇઝ રેખીય સાતત્ય પરનો લેખ જુઓ. આ બે કામગીરીઓ સાથે આ સાતત્ય અલ્ગોરિધમ જણાવવું સરળ છે (જોકે અલબત્ત કાર્યક્ષમ અમલીકરણ માટે વધુ વ્યવહારદક્ષ અભિગમની જરૂર છે. જુઓ [B1]). એક પ્રારંભિક સિમ્પ્લેક્સ આપવામાં આવ્યું હોવાનું માનવામાં આવે છે, સંદર્ભના સરળ વિઘટનમાંથી. પ્રારંભિક સિમ્પ્લેક્સમાં ઓછામાં ઓછો એક ચહેરો હોવો જોઈએ જેમાં તે ચહેરા પર અનન્ય રેખીય અંતર્વેશકનો શૂન્ય હોવો જોઈએ. સિમ્પ્લેક્સના અન્ય ચહેરાનું પછી પરીક્ષણ કરવામાં આવે છે, અને સામાન્ય રીતે આંતરિક શૂન્ય સાથે એક વધારાનો ચહેરો હશે. પ્રારંભિક સિમ્પ્લેક્સ પછી સિમ્પ્લેક્સ દ્વારા બદલવામાં આવે છે જે શૂન્ય ધરાવતા બંને ચહેરા પર આવેલું છે, અને પ્રક્રિયા પુનરાવર્તિત થાય છે. સંદર્ભોઃ ઓલગોવર અને જ્યોર્જ [બી1] આલ્ગોથિહમનું ચપળ, સ્પષ્ટ વર્ણન પ્રદાન કરે છે. સ્યુડો-આર્ક્લેન્થ સાતત્ય આ પદ્ધતિ એ અવલોકન પર આધારિત છે કે વળાંકનું "આદર્શ" પરિમાણ આર્ક્લેન્થ છે. સ્યુડો-આર્ક્લેન્થ એ વળાંકની સ્પર્શક જગ્યામાં આર્ક્લેન્થનો અંદાજ છે. પરિણામી સુધારેલી કુદરતી સાતત્ય પદ્ધતિ સ્યુડો-આર્ક્લેન્થ (તેના બદલે) માં એક પગલું બનાવે છે. પુનરાવર્તિત સોલ્વરને આપેલ સ્યુડો-આર્ક્લેન્થ પર એક બિંદુ શોધવું જરૂરી છે, જેમાં n બાય n + 1 જેકોબિયનમાં વધારાની અવરોધ (સ્યુડો-આર્ક્લેન્થ અવરોધ) ઉમેરવાની જરૂર પડે છે. તે ચોરસ જેકોબિયન ઉત્પન્ન કરે છે, અને જો પગથિયાંનું કદ પૂરતું નાનું હોય તો સુધારેલ જેકોબિયન સંપૂર્ણ ક્રમ છે. સ્યુડો-આર્ક્લેન્થ સાતત્ય સ્વતંત્ર રીતે એડવર્ડ રિક્સ અને ગેરાલ્ડ વેમ્પનર દ્વારા 1960 ના દાયકાના અંતમાં મર્યાદિત તત્વ કાર્યક્રમો માટે વિકસાવવામાં આવ્યું હતું, અને 1970 ના દાયકાની શરૂઆતમાં એચ. બી. કેલર. આ પ્રારંભિક વિકાસનો વિગતવાર અહેવાલ એમ. એ. ક્રિસફિલ્ડઃ નોનલિનીયર ફાઈનાઇટ એલિમેન્ટ એનાલિસિસ ઓફ સોલિડ્સ એન્ડ સ્ટ્રક્ચર્સ, વોલ્યુમ 1: બેઝિક કન્સેપ્ટ્સ, વિલી, 1991 ના પાઠ્યપુસ્તકમાં આપવામાં આવ્યો છે. ક્રિસફિલ્ડ પદ્ધતિઓના આ વર્ગના સૌથી સક્રિય વિકાસકર્તાઓમાંના એક હતા, જે હવે વ્યાપારી બિનરેખીય મર્યાદિત તત્વ કાર્યક્રમોની પ્રમાણભૂત પ્રક્રિયાઓ છે. અલ્ગોરિધમ એ આગાહી કરનાર-સુધારક પદ્ધતિ છે. આગાહી પગલું બિંદુ શોધે છે (IR ^ (n + 1) માં) જે વર્તમાન નિર્દેશક પર સ્પર્શક વેક્ટર સાથેનું એક પગલું છે. બિનરેખીય પ્રણાલીને ઉકેલવા માટે સુધારક સામાન્ય રીતે ન્યૂટનની પદ્ધતિ અથવા અમુક પ્રકાર છે, જ્યાં સ્પર્શક વેક્ટર છે. આ પ્રણાલીનો જેકોબિયન સરહદી મેટ્રિક્સ છે નિયમિત બિંદુઓ પર, જ્યાં બિનપરિવર્તિત જેકોબિયન સંપૂર્ણ ક્રમ ધરાવે છે, ત્યાં સ્પર્શક વેક્ટર આ નવી જેકોબિયનની ટોચની હરોળની શૂન્ય જગ્યાને ફેલાવે છે. સ્પર્શક વેક્ટરને છેલ્લી પંક્તિ તરીકે ઉમેરવું એ ન્યુટન પ્રણાલીના સામાન્ય ઉકેલમાં નલ વેક્ટરના ગુણાંકને નિર્ધારિત કરવા તરીકે જોઈ શકાય છે (ચોક્કસ ઉકેલ વત્તા નલ વેક્ટરનો મનસ્વી ગુણાંક). ગૌસ-ન્યુટન સાતત્ય આ પદ્ધતિ સ્યુડો-આર્ક્લેન્થ સાતત્યનો એક પ્રકાર છે. આર્ક્લેન્થ અવરોધમાં પ્રારંભિક બિંદુ પર સ્પર્શકનો ઉપયોગ કરવાને બદલે, વર્તમાન ઉકેલ પર સ્પર્શકનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. આ ન્યૂટનની પદ્ધતિમાં જેકોબિયનના સ્યુડો-ઇન્વર્સનો ઉપયોગ કરવા સમાન છે, અને લાંબા પગલાં લેવાની મંજૂરી આપે છે. [B17] એક કરતાં વધુ પરિમાણોમાં સાતત્ય ઉપર વર્ણવેલ અલ્ગોરિધમ્સમાં પરિમાણ એ વાસ્તવિક સ્કેલર છે. મોટાભાગની ભૌતિક અને ડિઝાઇન સમસ્યાઓમાં સામાન્ય રીતે એક કરતાં વધુ પરિમાણો હોય છે. ઉચ્ચ-પરિમાણીય સાતત્ય એ કેસનો ઉલ્લેખ કરે છે જ્યારે કે-વેક્ટર હોય. એ જ પરિભાષા લાગુ પડે છે. નિયમિત ઉકેલ એ એક ઉકેલ છે જેના પર જેકોબિયન સંપૂર્ણ ક્રમ ધરાવે છે. એકવચન ઉકેલ એ એક ઉકેલ છે જેના પર જેકોબિયન સંપૂર્ણ ક્રમ કરતાં ઓછો હોય છે. એક નિયમિત ઉકેલ કે-પરિમાણીય સપાટી પર આવેલો છે, જેને સ્પર્શક અવકાશ (જેકોબિયનની શૂન્ય જગ્યા) માં એક બિંદુ દ્વારા પરિમાણિત કરી શકાય છે. આ ફરીથી ઇમ્પ્લિસિટ ફંક્શન પ્રમેયનો સીધો ઉપયોગ છે. આંકડાકીય સાતત્ય તકનીકોના ઉપયોગો આંકડાકીય સાતત્ય તકનીકોને અસ્તવ્યસ્ત ગતિશીલ પ્રણાલીઓ અને આપત્તિ સિદ્ધાંતના ક્ષેત્ર સાથે સંબંધિત અન્ય વિવિધ પ્રણાલીઓના અભ્યાસમાં મોટી માત્રામાં સ્વીકૃતિ મળી છે. આવા ઉપયોગનું કારણ એ છે કે વિવિધ બિન-રેખીય ગતિશીલ પ્રણાલીઓ પ્રણાલીના સમીકરણોમાં સમાવિષ્ટ પરિમાણોની શ્રેણીમાં નિર્ધારિત અને અનુમાનિત રીતે વર્તે છે. જો કે, ચોક્કસ પરિમાણ મૂલ્ય માટે સિસ્ટમ અવ્યવસ્થિત રીતે વર્તવાનું શરૂ કરે છે અને તેથી જ્યારે સિસ્ટમ બિન-અનુમાનિત થવા લાગે છે અને બરાબર શું (સૈદ્ધાંતિક રીતે) સિસ્ટમને અસ્થિર બનાવે છે તેની ઘટનાઓને સમજવા માટે સક્ષમ થવા માટે પરિમાણને અનુસરવું જરૂરી બન્યું. પરિમાણ સાતત્યનું વિશ્લેષણ સ્થિર/નિર્ણાયક બિંદુ વિભાજન વિશે વધુ આંતરદૃષ્ટિ તરફ દોરી શકે છે. સેડલ-નોડ, ટ્રાન્સક્રિટિકલ, પિચ-ફોર્ક, પિરિયડ ડબલિંગ, હોપ્ફ, સેકન્ડરી હોપ્ફ (નેઇમાર્ક) સ્થિર ઉકેલોના વિભાજનનો અભ્યાસ નિર્ણાયક બિંદુઓ પર ઉદ્ભવતા સંજોગો અને ઘટનાઓની સૈદ્ધાંતિક ચર્ચા માટે પરવાનગી આપે છે. પરિમાણ સાતત્ય ગતિશીલ પ્રણાલીનું વિશ્લેષણ કરવા માટે વધુ ભરોસાપાત્ર પ્રણાલી પણ આપે છે કારણ કે તે વધુ સંવાદાત્મક, સમયબદ્ધ સંખ્યાત્મક ઉકેલો કરતાં વધુ સ્થિર છે. ખાસ કરીને એવા કિસ્સાઓમાં કે જ્યાં ગતિશીલ પ્રણાલી ચોક્કસ પરિમાણ મૂલ્યો (અથવા બહુવિધ પરિમાણો માટે મૂલ્યોનું સંયોજન) પર વિસ્ફોટ થવાની સંભાવના ધરાવે છે. બિનરેખીય આંશિક વિભેદક સમીકરણોના અભ્યાસમાં સ્થિર ઉકેલો (આકર્ષવા અથવા દૂર કરવા) ની હાજરી અંગે તે અત્યંત સમજદાર છે, જ્યાં ક્રેન્ક નિકોલસન અલ્ગોરિધમના સ્વરૂપમાં પગ મૂકવાનો સમય અત્યંત સમય માંગી લે છે તેમજ સિસ્ટમમાં આશ્રિત ચલની બિનરેખીય વૃદ્ધિના કિસ્સાઓમાં અસ્થિર છે. તોફાનનો અભ્યાસ એ બીજું ક્ષેત્ર છે જ્યાં ન્યુમેરિકલ કન્ટિન્યુએશન તકનીકોનો ઉપયોગ નીચા રેનોલ્ડ્સ નંબરોથી શરૂ થતી સિસ્ટમમાં તોફાનના આગમનનો અભ્યાસ કરવા માટે કરવામાં આવ્યો છે. ઉપરાંત, આ તકનીકોનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવેલા સંશોધનોએ ન્યુટોનિયન ગુરુત્વાકર્ષણમાં પ્રતિબંધિત થ્રી-બોડી સમસ્યાના કિસ્સામાં સ્થિર મેનીફોલ્ડ્સ અને અપરિવર્તનશીલ-ટોરીમાં દ્વિભાજન શોધવાની સંભાવના પૂરી પાડી છે અને લોરેન્ઝ સમીકરણો જેવી પ્રણાલીઓના વર્તનમાં રસપ્રદ અને ઊંડી સમજ પણ આપી છે. સોફ્ટવેર (બાંધકામ હેઠળ) ડાયનેમિકલ સિસ્ટમ્સ પરનું SIAM પ્રવૃત્તિ જૂથ પણ જુઓ 'સૂચિ http://www.dynamicalsystems.org/sw/sw ઓટોઃ અભિન્ન અવરોધો સાથે બે બિંદુ સીમા મૂલ્ય સમસ્યાઓ (TPBVPs) ના ઉકેલોની ગણતરી. https://sourceforge.net/projects/auto-07p સોર્સફોર્જ પર ઉપલબ્ધ છે. હોમકૉન્ટઃ હોમોક્લિનિક અને હેટેરોક્લિનિક ભ્રમણકક્ષાની ગણતરી. ઓટો મેટકોન્ટમાં સમાવિષ્ટઃ સોર્સફોર્જ પર ઉપલબ્ધ આંકડાકીય સાતત્ય અને દ્વિભાજન માટે મેટલેબ ટૂલબોક્સ. ડી. ડી. ઈ. બી. આઈ. એફ. ટી. ઓ. એલ.: વિલંબ વિભેદક સમીકરણોના ઉકેલોની ગણતરી. એક MATLAB પેકેજ. કે. યુ. લ્યુવેન પાયકોન્ટમાંથી ઉપલબ્ધઃ આંકડાકીય સાતત્ય અને દ્વિભાજન માટે પાયથોન ટૂલબોક્સ. નિશ્ચિત બિંદુ સાતત્ય માટે મૂળ પાયથોન અલ્ગોરિધમ્સ, અન્ય પ્રકારની સમસ્યાઓ માટે ઓટો માટે અત્યાધુનિક ઇન્ટરફેસ. પાયડસ્ટૂલ કેન્ડીસ/ક્યુએના ભાગ રૂપે સમાવિષ્ટઃ યુનિવર્સિટાટ પોટ્સડેમ [એ16] MANPAK માંથી ઉપલબ્ધઃ Netlib [A15] PDDE-CONT માંથી ઉપલબ્ધઃ http://seis.bris.ac.uk ~ rs1909/pdde/multifario: http://multifario.sourceforge.net LOCA: https://trilinos.org/packages/nox-and-loca DSTool GAIO OSCILL8: ઓસિલ8 એ એક ગતિશીલ પ્રણાલી સાધન છે જે વપરાશકર્તાને દ્વિભાજન વિશ્લેષણાત્મક તકનીકોનો ઉપયોગ કરીને બિનરેખીય ODE ની ઉચ્ચ-પરિમાણીય પરિમાણ જગ્યા શોધવાની મંજૂરી આપે છે. સોર્સફોર્જ પરથી ઉપલબ્ધ છે. MANLAB: ઉકેલની ફુરિયર શ્રેણી (હાર્મોનિક સંતુલન પદ્ધતિ) અને ટેલર શ્રેણી વિકાસ (એસિમ્પ્ટોટિક આંકડાકીય પદ્ધતિ) નો ઉપયોગ કરીને વિભેદક સમીકરણોના સંતુલન, સામયિક અને અર્ધ-સામયિક ઉકેલની ગણતરી. એલ. એમ. એ. માર્સેલીથી ઉપલબ્ધ છે. BifurcationKit.jl: આ જુલિયા પેકેજનો ઉદ્દેશ મોટા પરિમાણીય સમીકરણો F (u, λ) = 0નું સ્વચાલિત દ્વિભાજન વિશ્લેષણ કરવાનો છે, જ્યાં પુનરાવર્તિત પદ્ધતિઓ, વિરલ રચના અને ચોક્કસ હાર્ડવેરનો લાભ લઈને (દા. ત. જીપીયુ). ઉદાહરણો બિંદુઓ શોધવાની આ સમસ્યા, જે મૂળમાં એફ નકશા કરે છે તે કોમ્પ્યુટર ગ્રાફિક્સમાં સમોચ્ચ નકશા (એન = 2), અથવા આઇસોસર્ફેસ (એન = 3) દોરવાની સમસ્યાઓ તરીકે દેખાય છે. મૂલ્ય h સાથેનું સમોચ્ચ એ F-h = 0 સંદર્ભ પુસ્તકો [B1] "આંકડાકીય સાતત્ય પદ્ધતિઓનો પરિચય", યુજીન એલ. ઓલગોવર અને કર્ટ જ્યોર્જ, SIAM ક્લાસિક્સ ઇન એપ્લાઇડ મેથેમેટિક્સ 45 ના તમામ ઉકેલ ઘટકોનો સમૂહ છે. 2003 માં. [બી2] "ડાયનેમિકલ ઇક્વિલિબ્રિયાના દ્વિભાજન માટે આંકડાકીય પદ્ધતિઓ", વિલી જે. એફ. ગોવર્ટ્સ, સિયામ 2000. [B3] "લ્યાપુનોવ-શ્મિટ મેથડ્સ ઇન નોનલિનીયર એનાલિસિસ એન્ડ એપ્લિકેશન્સ", નિકોલે સિડોરોવ, બોરિસ લોગિનોવ, એલેક્ઝાન્ડર સિનિટ્સિન અને મિચેલ ફલાલેવ, ક્લુવર એકેડેમિક પબ્લિશર્સ, 2002. [બી4] "મેથડ્સ ઓફ બાયફર્કેશન થિયરી", શુઈ-ની ચાઉ અને જેક કે. હેલ, સ્પ્રિંગર-વેરલેગ 1982. [બી5] "એલિમેન્ટ્સ ઓફ એપ્લાઇડ બાયફર્કેશન થિયરી", યુરી એ. કુનેત્સોવ, સ્પ્રિંગર-વેરલેગ એપ્લાઇડ મેથેમેટિકલ સાયન્સિસ 112,1995. [B6] "નોનલીનિયર ઓસિલેશન, ડાયનેમિકલ સિસ્ટમ્સ, એન્ડ બાયફર્કેશન ઓફ વેક્ટર ફીલ્ડ્સ", જ્હોન ગુકેનહેઇમર અને ફિલિપ હોમ્સ, સ્પ્રિંગર-વેરલેગ એપ્લાઇડ મેથેમેટિકલ સાયન્સિસ 42,1983. [B7] "પ્રાથમિક સ્થિરતા અને દ્વિભાજન સિદ્ધાંત", ગેરાર્ડ ઇઓસ અને ડેનિયલ ડી. જોસેફ, સ્પ્રિંગર-વેરલેગ ગણિતમાં સ્નાતક પાઠો, 1980. [બી8] "સિંગ્યુલારિટી થિયરી એન્ડ એન ઇન્ટ્રોડક્શન ટુ કેટસ્ટ્રોફી થિયરી", યુંગ-ચેન લુ, સ્પ્રિંગર-વેરલેગ, 1976. [બી9] "ગ્લોબલ બાયફર્કેશન્સ એન્ડ કેઓસ, એનાલિટિક મેથડ્સ", એસ. વિગિન્સ, સ્પ્રિંગર-વેરલેગ એપ્લાઇડ મેથેમેટિકલ સાયન્સ 73,1988. [B10] "સિંગ્યુલારિટીઝ એન્ડ ગ્રૂપ્સ ઇન બાયફર્કેશન થિયરી, વોલ્યુમ I", માર્ટિન ગોલુબિટ્સ્કી અને ડેવિડ જી. શેફર, સ્પ્રિંગર-વેરલેગ એપ્લાઇડ મેથેમેટિકલ સાયન્સિસ 51,1985. [B11] "સિંગ્યુલારિટીઝ એન્ડ ગ્રૂપ્સ ઇન બાયફર્કેશન થિયરી, વોલ્યુમ II", માર્ટિન ગોલુબિટ્સ્કી, ઇયાન સ્ટુઅર્ટ અને ડેવિડ જી. શેફર, સ્પ્રિંગર-વેરલેગ એપ્લાઇડ મેથેમેટિકલ સાયન્સિસ 69,1988. [બી12] "સોલ્વિંગ પોલિનોમિયલ સિસ્ટમ્સ યુઝિંગ કન્ટિન્યુએશન ફોર એન્જિનિયરિંગ એન્ડ સાયન્ટિફિક પ્રોબ્લેમ્સ", એલેક્ઝાન્ડર મોર્ગન, પ્રેન્ટિસ-હોલ, એન્ગલવુડ ક્લિફ્સ, એનજે 1987. [બી13] "પાથવેઝ ટુ સોલ્યુશન્સ, ફિક્સ્ડ પોઇંટ્સ એન્ડ ઇક્વિલિબ્રિયા", સી. બી. ગાર્સિયા અને ડબલ્યુ. આઇ. ઝાંગવિલ, પ્રેન્ટિસ-હોલ, 1981. [બી14] "ધ ઇમ્પ્લિસિટ ફંક્શન થીયરમઃ હિસ્ટ્રી, થિયરી એન્ડ એપ્લિકેશન્સ", સ્ટીવન જી. ક્રેન્ટ્ઝ અને હેરોલ્ડ આર. પાર્ક્સ, બિર્ખૌઝર, 2002. [બી15] "નોનલીનિયર ફંક્શનલ એનાલિસિસ", જે. ટી. શ્વાર્ટઝ, ગોર્ડન અને બ્રીચ સાયન્સ પબ્લિશર્સ, નોટ્સ ઓન મેથેમેટિક્સ એન્ડ ઇટ્સ એપ્લિકેશન્સ, 1969. [B16] "વિષયો બિનરેખીય કાર્યાત્મક વિશ્લેષણમાં", લુઇસ નિરેનબર્ગ (રાલ્ફ એ. આર્ટિનોની નોંધો), ગણિતમાં એ. એમ. એસ. કોરન્ટ વ્યાખ્યાન નોંધો 6,1974. [B17] "ન્યુટન મેથડ્સ ફોર નોનલીનિયર પ્રોબ્લેમ્સ-એફાઇન ઇનવેરિયન્સ એન્ડ એડેપ્ટિવ એલ્ગોરિધમ્સ", પી. ડેફલહાર્ડ, સિરીઝ કોમ્પ્યુટેશનલ મેથેમેટિક્સ 35, સ્પ્રિંગર, 2006. જર્નલ લેખો [A1] "એન એલ્ગોરિધમ ફોર પીસવાઇઝ લીનિયર એપ્રોક્સિમેશન ઓફ ઇમ્પ્લિસિટલી ડિફાઇન્ડ ટુ-ડાયમેન્શનલ સર્ફેસીસ", યુજીન એલ. ઓલગોવર અને સ્ટીફન ગુન્ટ્ઝમેન, SIAM જર્નલ ઓન ન્યુમેરિકલ એનાલિસિસ, વોલ્યુમ 24, નંબર 2,452-469,1987. [A2] "સમીકરણોની પ્રણાલીઓ માટે અંદાજો, નિશ્ચિત બિંદુઓ અને ઉકેલો માટે સરળ અને સાતત્ય પદ્ધતિઓ", E. L. ઓલગોવર અને K. જ્યોર્જ, SIAM સમીક્ષા, ખંડ 22,28-85,1980. [A3] "એન એલ્ગોરિધમ ફોર પીસવાઇઝ-લિનિયર એપ્રોક્સિમેશન ઓફ એન ઇમ્પ્લિસિટલી ડિફાઈન્ડ મેનિફોલ્ડ", યુજીન એલ. ઓલગોવર અને ફિલિપ એચ. શ્મિટ, SIAM જર્નલ ઓન ન્યુમેરિકલ એનાલિસિસ, વોલ્યુમ 22, નંબર 2,322-346, એપ્રિલ 1985. [A4] "કન્ટૂર ટ્રેસિંગ બાય પીસવાઇઝ લીનિયર એપ્રોક્સિમેશન્સ", ડેવિડ પી. ડોબકિન, સિલ્વિયો વી. એફ. લેવી, વિલિયમ પી. થર્સ્ટન અને એલન આર. વિલ્ક્સ, ગ્રાફિક્સ પર એસીએમ ટ્રાન્ઝેક્શન્સ, 9 (4) 389-423,1990. [A5] "દ્વિભાજન અને બિનરેખીય આઈગન વેલ્યુ સમસ્યાઓનું સંખ્યાત્મક સમાધાન", એચ. બી. કેલર, "દ્વિભાજન સિદ્ધાંતની અરજીઓ" માં, પી. રાબિનોવિટ્ઝ એડ., એકેડેમિક પ્રેસ, 1977. [A6] "એક સ્થાનિક પરિમાણિત સાતત્ય પ્રક્રિયા", ડબલ્યુ. સી. રાઇનબોલ્ટ અને જે. વી. બુર્કાર્ડ, એસીએમ ટ્રાન્ઝેક્શન્સ ઓન મેથેમેટિકલ સોફ્ટવેર, વોલ્યુમ 9,236-246,1983. [A7] "નોનલીનિયર ન્યુમેરિક્સ" ઇ. ડોડેલ, ઇન્ટરનેશનલ જર્નલ ઓફ બાયફર્કેશન એન્ડ કેઓસ, 7 (9): 2127-2143,1997. [A8] "બિનરેખીય ગણતરી", આર. સેડેલ, ઇન્ટરનેશનલ જર્નલ ઓફ બાયફર્કેશન એન્ડ કેઓસ, 7 (9): 2105-2126,1997. [A9] "ઓન અ મૂવિંગ ફ્રેમ એલ્ગોરિધમ એન્ડ ધ ટ્રાઇએંગ્યુલેશન ઓફ ઇક્વિલિબ્રિયમ મેનિફોલ્ડ્સ", W. C. રાઇનબોલ્ટ, ઇન ટી. કુપર, આર. સેડેલ, અને એચ. ટ્રોગર આવૃત્તિઓ. "ISNM79: દ્વિભાજનઃ વિશ્લેષણ, અલ્ગોરિધમ્સ, એપ્લિકેશન્સ", પૃષ્ઠો 256-267. બિરખૌસર, 1987. [A10] "ઓન ધ કમ્પ્યુટેશન ઓફ મલ્ટી-ડાયમેન્શનલ સોલ્યુશન મેનિફોલ્ડ્સ ઓફ પેરામિટરાઇઝ્ડ ઇક્વેશન્સ", W. C. રાઇનબોલ્ટ, ન્યુમેરિશ મેથેમેટિક, 53,1988, પૃષ્ઠો 165-181. [A11] "ઇમ્પ્લિસિટલી ડિફાઈન્ડ ટુ-ડાયમેન્શનલ મેનિફોલ્ડ્સના સરળ અંદાજ પર", એમ. એલ. બ્રોડઝિક અને ડબ્લ્યુ. સી. રાઇનબોલ્ટ, કોમ્પ્યુટર્સ એન્ડ મેથેમેટિક્સ વિથ એપ્લિકેશન્સ, 28 (9): 9-21,1994. [A12] "ધ કમ્પ્યુટેશન ઓફ સિમ્પ્લિસિયલ એપ્રોક્સિમેશન્સ ઓફ ઇમ્પ્લિસિટલી ડિફાઈન્ડ પી-મેનિફોલ્ડ્સ", એમ. એલ. બ્રોડઝિક, કોમ્પ્યુટર્સ એન્ડ મેથેમેટિક્સ વિથ એપ્લિકેશન્સ, 36 (6): 93-113,1998. [A13] "દ્વિ-પરિમાણીય સંખ્યાત્મક સાતત્ય માટે નવું અલ્ગોરિધમ", આર. મેલવિલે અને ડી. એસ. મેકી, કોમ્પ્યુટર્સ અને એપ્લિકેશન્સ સાથે ગણિત, 30 (1): 31-46,1995. [A14] "મલ્ટિપલ પેરામીટર કન્ટિન્યુએશનઃ કમ્પ્યુટિંગ ઇમ્પ્લિસિટલી ડિફાઈન્ડ કે-મેનિફોલ્ડ્સ", એમ. ઇ. હેન્ડરસન, IJBC 12 [3]: 451-76,2003. [A15] "MANPACK: ગર્ભિત રીતે વ્યાખ્યાયિત મેનીફોલ્ડ્સ પર ગણતરીઓ માટે અલ્ગોરિધમ્સનો સમૂહ", W. C. રાઇનબોલ્ટ, કોમ્પ્યુટ. ગણિત. અરજી કરો. 27 પાનાઓ 15-9,1996. [A16] "કેન્ડીસ/ક્યુએ-બિનરેખીય ગતિશીલ પ્રણાલીઓના ગુણાત્મક વિશ્લેષણ માટેની સોફ્ટવેર સિસ્ટમ", ફ્યુડેલ, યુ. અને ડબલ્યુ. જેનસેન, ઇન્ટ. જે. બાયફર્કેશન એન્ડ કેઓસ, વોલ્યુમ. 2 નં. 4, પીપી. 773-794, વર્લ્ડ સાયન્ટિફિક, 1992. આંકડાકીય વિશ્લેષણ ગતિશીલ પ્રણાલીઓ