Fraňková–Helly selection theorem
ગણિતમાં, ફ્રેન્કોવા-હેલી પસંદગી પ્રમેય એ નિયંત્રિત કાર્યોના કિસ્સામાં મર્યાદિત ભિન્નતાના કાર્યો માટે હેલીના પસંદગી પ્રમેયનું સામાન્યીકરણ છે. તે 1991 માં ચેક ગણિતશાસ્ત્રી ડાના ફ્રાન્કોવા દ્વારા સાબિત કરવામાં આવ્યું હતું. પૃષ્ઠભૂમિ X ને અલગ પાડી શકાય તેવી હિલ્બર્ટ જગ્યા માની લો અને ચાલો BV ([0, T]; X) એ તમામ વિધેયો f: [0, T] → X ની પ્રમાણભૂત વેક્ટર જગ્યાને સૂચવે છે, જે અંતરાલ [0, T] પર મર્યાદિત કુલ ભિન્નતા સાથે છે, જે કુલ ભિન્નતા ધોરણથી સજ્જ છે. તે સારી રીતે જાણીતું છે કે BV ([0, T]; X) હેલીના પસંદગી પ્રમેય તરીકે ઓળખાતા સઘનતા પ્રમેયને સંતોષે છેઃ BV ([0, T]; X) માં વિધેયો (fn) n ω N નો કોઈપણ ક્રમ આપવામાં આવે છે જે કુલ ભિન્નતા ધોરણમાં સમાન રીતે બંધાયેલ છે, ત્યાં એક અનુગામી અને મર્યાદા વિધેય f ω BV ([0, T]; X) અસ્તિત્વમાં છે જેમ કે fn (k) (t) દરેક t ω [0, T] માટે X થી f (t) માં નબળી રીતે એકરૂપ થાય છે. એટલે કે, દરેક સતત રેખીય કાર્યાત્મક λ bul X * માટે, હવે સર્વોચ્ચ ધોરણથી સજ્જ તમામ નિયંત્રિત વિધેયો f: [0, T] → X ની બનાચ જગ્યા રેગ ([0, T]; X) નો વિચાર કરો. હેલીનો પ્રમેય અવકાશ રેગ ([0, T]; X) માટે માન્ય નથીઃ એક પ્રતિકૂળ ઉદાહરણ અનુક્રમ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જો કે, જો નબળા પસંદગી પ્રમેય સાચું હોય અને ફ્રેન્કોવા-હેલી પસંદગી પ્રમેય આવું પરિણામ હોય તો કોઈ પૂછી શકે છે. ફ્રેન્કોવા-હેલી પસંદગી પ્રમેયનું નિવેદન પહેલાની જેમ, X ને અલગ પાડી શકાય તેવી હિલ્બર્ટ જગ્યા માની લો અને રેગ ([0, T]; X) એ નિયમનકારી વિધેયો f: [0, T] → X ની જગ્યા સૂચવે છે, જે સર્વોચ્ચ ધોરણથી સજ્જ છે. ધારો કે (એફએન) એન. એન. એ રેગ ([0, ટી]; એક્સ) માં એક ક્રમ છે જે નીચેની શરતોને સંતોષે છેઃ દરેક ε> 0 માટે, કેટલાક એલઇ> 0 અસ્તિત્વમાં છે જેથી દરેક એફએનને એક યુએનબીવી ([0, ટી]; એક્સ) સંતોષકારક દ્વારા અંદાજિત કરી શકાય અને જ્યાં |-| એ એક્સમાં ધોરણ સૂચવે છે અને વાર (યુ) એ યુની વિવિધતા સૂચવે છે, જેને [0, ટી] ના તમામ પાર્ટીશનો પર સર્વોચ્ચ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. પછી ત્યાં એક અનુગામી અને એક મર્યાદા વિધેય અસ્તિત્વમાં છે f bul Reg ([0, T]; X) જેમ કે fn (k) (t) દરેક t bul [0, T] માટે X થી f (t) માં નબળું રૂપાંતરિત થાય છે. એટલે કે, દરેક સતત રેખીય કાર્યાત્મક λ bul X * માટે, વિશ્લેષણમાં સંદર્ભ પ્રમેય કોમ્પેક્ટનેસ પ્રમેયો