Euler summation
કન્વર્જન્ટ અને ડાયવર્જન્ટ શ્રેણીના ગણિતમાં, યુલર સરવાળો એ એક સરવાળો પદ્ધતિ છે. એટલે કે, તે શ્રેણીને મૂલ્ય સોંપવાની એક પદ્ધતિ છે, જે આંશિક રકમની મર્યાદા લેવાની પરંપરાગત પદ્ધતિથી અલગ છે. એક શ્રેણીને જોતાં, જો તેનું યુલર રૂપાંતર સરવાળામાં રૂપાંતરિત થાય છે, તો તે સરવાળાને મૂળ શ્રેણીનો યુલર સરવાળો કહેવામાં આવે છે. ડાયવર્જન્ટ સિરીઝ માટે મૂલ્યોને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે ઉપયોગમાં લેવા ઉપરાંત, યુલર સરવાળાનો ઉપયોગ સિરીઝના કન્વર્જન્સને ઝડપી બનાવવા માટે થઈ શકે છે. યુલર સરવાળાને સૂચવવામાં આવેલી પદ્ધતિઓના પરિવારમાં સામાન્યીકૃત કરી શકાય છે (E, q), જ્યાં q ≤ 0 છે. (E, 1) સરવાળો એ સામાન્ય યુલર સરવાળો છે. આ તમામ પદ્ધતિઓ બોરેલ સરવાળા કરતાં સખત રીતે નબળી છે; q> 0 માટે તેઓ એબેલ સરવાળા સાથે અજોડ છે. વ્યાખ્યા અમુક મૂલ્ય y માટે આપણે ચોક્કસ ઔપચારિક સરવાળાને અનુરૂપ યુલર સરવાળાને (જો તે y ના તે મૂલ્ય માટે એકરૂપ થાય છે) આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરી શકીએ છીએઃ જો તમામ ઔપચારિક સરવાળા ખરેખર એકરૂપ થાય, તો યુલર સરવાળો ડાબી બાજુની બરાબર હશે. જો કે, યુલર સરવાળાનો ઉપયોગ અભિસરણને વેગ આપી શકે છે (આ ખાસ કરીને વૈકલ્પિક શ્રેણી માટે ઉપયોગી છે); કેટલીકવાર તે અલગ રકમને ઉપયોગી અર્થ પણ આપી શકે છે. અભિગમની નોંધને યોગ્ય ઠેરવવા માટે કે વિનિમયિત સરવાળા માટે, યુલરનો સરવાળો પ્રારંભિક શ્રેણીમાં ઘટાડો કરે છે, કારણ કે આ પદ્ધતિ પોતે પુનરાવર્તિત એપ્લિકેશન દ્વારા સુધારી શકાતી નથી, ઉદાહરણ તરીકે ઔપચારિક સરવાળા માટે y = 1 નો ઉપયોગ કરીને આપણે મેળવીએ છીએ જો Pk એ ડિગ્રી k ની બહુપદી હોય. નોંધ લો કે આંતરિક સરવાળો શૂન્ય હશે, તેથી આ કિસ્સામાં યુલર સરવાળો અનંત શ્રેણીને મર્યાદિત સરવાળા સુધી ઘટાડે છે. ચોક્કસ પસંદગી બર્નૌલી સંખ્યાઓની સ્પષ્ટ રજૂઆત પૂરી પાડે છે, કારણ કે (રીમાન ઝેટા કાર્ય). ખરેખર, આ કિસ્સામાં ઔપચારિક સરવાળો અલગ પડે છે કારણ કે k હકારાત્મક છે, પરંતુ યુલર સરવાળાને ઝીટા ફંક્શન (અથવા તેના બદલે, સંબંધિત ડિરીક્લેટ એટા ફંક્શન) પર લાગુ કરવાથી ઉપજ (cf. વૈશ્વિક સ્તરે અભિસારી શ્રેણી) જે બંધ સ્વરૂપની હોય છે. વાય ની યોગ્ય પસંદગી સાથે (એટલે કે. આ શ્રેણી −) ની બરાબર અથવા તેની નજીક છે. દ્વિપદી રૂપાંતર બોરેલ સરવાળો સેસેરો સરવાળો લેમ્બર્ટ સરવાળો પેરોનનું સૂત્ર એબેલિયન અને ટૌબેરિયન પ્રમેયો એબેલ-પ્લાના સૂત્ર એબેલનું સરવાળો સૂત્ર વેન વિજન્ગાર્ડન પરિવર્તન યુલર-બૂલ સરવાળો સંદર્ભો ગાણિતિક શ્રેણી સારાંશ પદ્ધતિઓ પણ જુઓ.