Elementary matrix
ગણિતમાં, પ્રાથમિક મેટ્રિક્સ એ એક મેટ્રિક્સ છે જે એક પ્રાથમિક પંક્તિ કામગીરી દ્વારા ઓળખ મેટ્રિક્સથી અલગ પડે છે. જ્યારે ક્ષેત્ર હોય ત્યારે પ્રાથમિક મેટ્રિસીસ સામાન્ય રેખીય જૂથ ઉત્પન્ન કરે છે. પ્રાથમિક મેટ્રિક્સ દ્વારા ડાબો ગુણાકાર (પૂર્વ ગુણાકાર) પ્રાથમિક પંક્તિ કામગીરીને રજૂ કરે છે, જ્યારે જમણો ગુણાકાર (ગુણાકાર પછી) પ્રાથમિક સ્તંભ કામગીરીને રજૂ કરે છે. પ્રાથમિક પંક્તિ કામગીરીનો ઉપયોગ ગૌસીયન નાબૂદીમાં મેટ્રિક્સને પંક્તિ ઈચેલોન સ્વરૂપમાં ઘટાડવા માટે થાય છે. તેનો ઉપયોગ ગૌસ-જોર્ડન નાબૂદીમાં પણ થાય છે જેથી મેટ્રિક્સને ઘટાડીને ઘટાડેલા પંક્તિ સ્તરના સ્વરૂપમાં ઘટાડી શકાય. પ્રાથમિક હરોળની કામગીરી ત્રણ પ્રકારની પ્રાથમિક મેટ્રિસીસ હોય છે, જે ત્રણ પ્રકારની હરોળની કામગીરીને અનુરૂપ હોય છે (અનુક્રમે, સ્તંભની કામગીરી): હરોળમાં ફેરફાર મેટ્રિક્સની અંદરની હરોળને બીજી હરોળમાં ફેરવી શકાય છે. હરોળ ગુણાકાર હરોળના દરેક તત્વને બિન-શૂન્ય અચળાંક દ્વારા ગુણાકાર કરી શકાય છે. તેને સ્કેલિંગ એ રો તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે. એક હરોળને તે હરોળના સરવાળા અને બીજી હરોળના ગુણાંક દ્વારા બદલી શકાય છે. જો પ્રાથમિક મેટ્રિક્સ હોય, તો નીચે વર્ણવ્યા મુજબ, મેટ્રિક્સ પર પ્રાથમિક પંક્તિ કામગીરી લાગુ કરવા માટે, ડાબી બાજુના પ્રાથમિક મેટ્રિક્સ દ્વારા ગુણાકાર થાય છે. કોઈપણ પંક્તિ કામગીરી માટે પ્રાથમિક મેટ્રિક્સ ઓળખ મેટ્રિક્સ પર કામગીરી ચલાવીને મેળવવામાં આવે છે. આ હકીકતને મેટ્રિસીસની શ્રેણીમાં લાગુ કરાયેલ યોનેડા લેમ્માના ઉદાહરણ તરીકે સમજી શકાય છે. રો-સ્વિચિંગ ટ્રાન્સફોર્મેશન મેટ્રિક્સ પરની પ્રથમ પ્રકારની રો ઓપરેશન પંક્તિ પરના તમામ મેટ્રિક્સ તત્વોને તેમના સમકક્ષો સાથે અલગ પંક્તિ પર ફેરવે છે. અનુરૂપ પ્રાથમિક મેટ્રિક્સ ઓળખ મેટ્રિક્સની પંક્તિ અને પંક્તિની અદલાબદલી કરીને મેળવવામાં આવે છે. તેવી જ રીતે પંક્તિ અને પંક્તિની અદલાબદલી દ્વારા ઉત્પન્ન થયેલ મેટ્રિક્સ છે. ગુણાંક મુજબ, મેટ્રિક્સને આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છેઃ ગુણધર્મો આ મેટ્રિક્સનો વ્યુત્ક્રમ પોતે જ છેઃ ઓળખ મેટ્રિક્સનો નિર્ધારક એકતા હોવાથી, તે અનુસરે છે કે કોઈપણ ચોરસ મેટ્રિક્સ (સાચા કદના) માટે, આપણી પાસે છે. સૈદ્ધાંતિક વિચારણાઓ માટે, રો-સ્વિચિંગ પરિવર્તન નીચે રજૂ કરેલા રો-એડિશન અને રો-મલ્ટિપ્લિકેશન પરિવર્તનમાંથી મેળવી શકાય છે કારણ કે રો-મલ્ટિપ્લાયનિંગ પરિવર્તન મેટ્રિક્સ પરની આગામી પ્રકારની રો ઓપરેશન પંક્તિ પરના તમામ તત્વોને ગુણાકાર કરે છે જ્યાં બિન-શૂન્ય સ્કેલર (સામાન્ય રીતે વાસ્તવિક સંખ્યા) હોય છે. અનુરૂપ પ્રાથમિક મેટ્રિક્સ એક વિકર્ણ મેટ્રિક્સ છે, જેમાં દરેક જગ્યાએ વિકર્ણ એન્ટ્રી 1 હોય છે, સિવાય કે જ્યાં તે હોય. આમ પંક્તિ દ્વારા ગુણાકાર કરીને મેટ્રિક્સ ઉત્પન્ન થાય છે. ગુણાંક મુજબ, મેટ્રિક્સને આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છેઃ ગુણધર્મો આ મેટ્રિક્સનો ઇન્વર્સ મેટ્રિક્સ દ્વારા આપવામાં આવે છે અને તેનો ઇન્વર્સ કર્ણ મેટ્રિક્સ છે. તેથી ચોરસ મેટ્રિક્સ (સાચા કદના) માટે, આપણી પાસે રો-એડિશન ટ્રાન્સફોર્મેશન છે મેટ્રિક્સ પરની અંતિમ પ્રકારની રો ઓપરેશન પંક્તિને સ્કેલર દ્વારા ગુણાકાર કરીને પંક્તિમાં ઉમેરે છે. અનુરૂપ પ્રાથમિક મેટ્રિક્સ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે પરંતુ તે સ્થિતિમાં છે. પંક્તિમાં સમય પંક્તિ ઉમેરીને ઉત્પન્ન થયેલ મેટ્રિક્સ પણ આવું જ છે. અને સ્તંભમાં સમય સ્તંભ ઉમેરીને ઉત્પન્ન થયેલ મેટ્રિક્સ છે. ગુણાંક મુજબ, મેટ્રિક્સને આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છેઃ ગુણધર્મો આ પરિવર્તન એક પ્રકારનું શીયર મેપિંગ છે, જેને ટ્રાન્સવેક્શન્સ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે. આ મેટ્રિક્સનો ઇન્વર્સ મેટ્રિક્સ દ્વારા આપવામાં આવે છે અને તેનો ઇન્વર્સ ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સ છે. તેથી, ચોરસ મેટ્રિક્સ (સાચા કદના) માટે આપણી પાસે રો-એડિશન ટ્રાન્સફોર્મ છે જે સ્ટેઇનબર્ગ સંબંધોને સંતોષે છે. આ પણ જુઓ ગૌસીયન નાબૂદી રેખીય બીજગણિત રેખીય સમીકરણોની પ્રણાલી મેટ્રિક્સ (ગણિત) એલયુ વિઘટન ફ્રોબેનિયસ મેટ્રિક્સ સંદર્ભો રેખીય બીજગણિત