Regular category
શ્રેણી સિદ્ધાંતમાં, નિયમિત શ્રેણી એ મર્યાદિત મર્યાદાઓ ધરાવતી શ્રેણી છે અને કર્નલ જોડી તરીકે ઓળખાતી મોર્ફિઝમ્સની જોડીના સહસમાયોજકો છે, જે ચોક્કસ ચોક્કસતા શરતોને સંતોષે છે. આ રીતે, નિયમિત વર્ગો ઉમેરણની જરૂર વગર છબીઓના અસ્તિત્વ જેવા અબેલિયન વર્ગોના ઘણા ગુણધર્મોને ફરીથી મેળવે છે. તે જ સમયે, નિયમિત શ્રેણીઓ પ્રથમ ક્રમના તર્કના ટુકડાના અભ્યાસ માટે પાયો પૂરો પાડે છે, જેને નિયમિત તર્ક તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. વ્યાખ્યા A શ્રેણી C ને નિયમિત કહેવામાં આવે છે જો તે નીચેના ત્રણ ગુણધર્મોને સંતોષેઃ C મર્યાદિત રીતે પૂર્ણ છે. જો f: X → Y એ C માં મોર્ફિઝમ છે, અને તે પુલબેક છે, તો પછી p0, p1 નું કોક્વાલીઝર અસ્તિત્વમાં છે. જોડી (p0, p1) ને f ની કર્નલ જોડી કહેવામાં આવે છે. પુલબેક હોવાથી, કર્નલ જોડી એક અનન્ય સમરૂપતા સુધી અનન્ય છે. જો f: X → Y એ C માં મોર્ફિઝમ છે, અને તે પુલબેક છે, અને જો f એ નિયમિત એપિમોર્ફિઝમ છે, તો g એ નિયમિત એપિમોર્ફિઝમ પણ છે. નિયમિત એપિમોર્ફિઝમ એ એક એપિમોર્ફિઝમ છે જે મોર્ફિઝમ્સની કેટલીક જોડીના સહ-સમતુલક તરીકે દેખાય છે. નિયમિત શ્રેણીઓના ઉદાહરણોમાં નીચેનાનો સમાવેશ થાય છેઃ સમૂહ, સમૂહો વચ્ચે સમૂહ અને કાર્યોની શ્રેણી વધુ સામાન્ય રીતે, દરેક પ્રાથમિક ટોપોસ જીઆરપી, જૂથોની શ્રેણી અને જૂથ હોમોમોર્ફિઝમ્સ રિંગ્સ અને રિંગ હોમોમોર્ફિઝમ્સની શ્રેણી વધુ સામાન્ય રીતે, કોઈપણ વિવિધતાના મોડેલ્સની શ્રેણી દરેક બાઉન્ડેડ મીટ-સેમિલેટિસ, ક્રમ સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવેલા મોર્ફિઝમ્સ સાથે દરેક અબેલિયન શ્રેણી નીચેની શ્રેણીઓ નિયમિત નથીઃ ટોચ, ટોપોલોજિકલ જગ્યાઓ અને સતત કાર્યોની શ્રેણી કેટ, નાની શ્રેણીઓની શ્રેણી અને ફંક્શનર્સ એપિ-મોનો ફેક્ટરાઇઝેશન નિયમિત શ્રેણીમાં, નિયમિત-એપિમોર્ફિઝમ્સ અને મોનોમોર્ફિઝમ્સ એક ફેક્ટરાઇઝેશન સિસ્ટમ બનાવે છે. દરેક મોર્ફિઝમ f: X → Y ને નિયમિત એપિમોર્ફિઝમ e: X → E પછી મોનોમોર્ફિઝમ m: E → Y માં ફેક્ટરાઇઝ કરી શકાય છે, જેથી f = m. ફેક્ટરાઇઝેશન એ અર્થમાં અનન્ય છે કે જો e ': X → E' એ અન્ય નિયમિત એપિમોર્ફિઝમ છે અને m ': E' → Y એ અન્ય મોનોમોર્ફિઝમ છે જેમ કે f = m 'e, તો ત્યાં એક આઇસોમોર્ફિઝમ h: E → E' અસ્તિત્વમાં છે જેમ કે તે = e 'અને m' h = m. મોનોમોર્ફિઝમ m ને f ની છબી કહેવામાં આવે છે. ચોક્કસ સિક્વન્સ અને નિયમિત ફંકટર નિયમિત શ્રેણીમાં, ફોર્મની આકૃતિને ચોક્કસ સિક્વન્સ કહેવામાં આવે છે જો તે કોએક્વલાઈઝર અને કર્નલ જોડી બંને હોય. પરિભાષા એ સમરૂપ બીજગણિતમાં ચોક્કસ અનુક્રમોનું સામાન્યીકરણ છેઃ અબેલિયન શ્રેણીમાં, આકૃતિ આ અર્થમાં ચોક્કસ હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તે સામાન્ય અર્થમાં ટૂંકા ચોક્કસ ક્રમ હોય. નિયમિત વર્ગો વચ્ચેના ફંકટરને નિયમિત કહેવામાં આવે છે, જો તે મર્યાદિત મર્યાદાઓ અને કર્નલ જોડીઓના સહ-સમીકરણોને જાળવી રાખે છે. ફંકટર નિયમિત હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જ્યારે તે મર્યાદિત મર્યાદાઓ અને ચોક્કસ ક્રમ જાળવી રાખે. આ કારણોસર, નિયમિત ફંકટરને કેટલીકવાર ચોક્કસ ફંકટર કહેવામાં આવે છે. મર્યાદિત મર્યાદા જાળવી રાખનારા કાર્યોને ઘણીવાર ચોક્કસ છોડી દેવામાં આવે છે. નિયમિત તર્ક અને નિયમિત શ્રેણીઓ નિયમિત તર્ક એ પ્રથમ ક્રમના તર્કનો ટુકડો છે જે સ્વરૂપના નિવેદનોને વ્યક્ત કરી શકે છે જ્યાં અને નિયમિત સૂત્રો એટલે કે. અણુ સૂત્રો, સત્ય અચળાંક, દ્વિસંગી મળે છે (સંયોજન) અને અસ્તિત્વના પરિમાણમાંથી બનેલા સૂત્રો. આવા સૂત્રોને નિયમિત શ્રેણીમાં અર્થઘટન કરી શકાય છે, અને અર્થઘટન એ અનુક્રમનું એક મોડેલ છે, જો અર્થઘટન દ્વારા પરિબળોનું અર્થઘટન. આ દરેક સિદ્ધાંત (અનુક્રમોનો સમૂહ) ટી માટે અને દરેક નિયમિત શ્રેણી સી માટે સીમાં ટીના નમૂનાઓની શ્રેણી મોડ (ટી, સી) આપે છે. આ રચના એક ફંકટર મોડ (ટી,-) આપે છેઃ નાના નિયમિત વર્ગોની શ્રેણી રેગકેટમાંથી રેગકેટ → કેટ અને નાના વર્ગોમાં નિયમિત ફંકટર. તે એક મહત્વપૂર્ણ પરિણામ છે કે દરેક સિદ્ધાંત T માટે એક નિયમિત શ્રેણી R (T) છે, જેમ કે દરેક નિયમિત શ્રેણી C માટે એક સમાનતા છે જે C માં સ્વાભાવિક છે. અહીં, R (T) ને નિયમિત સિદ્ધાંત T ની વર્ગીકરણ શ્રેણી કહેવામાં આવે છે. સમાનતા સુધી કોઈપણ નાની નિયમિત શ્રેણી આ રીતે કેટલાક નિયમિત સિદ્ધાંતની વર્ગીકરણ શ્રેણી તરીકે ઊભી થાય છે. ચોક્કસ (અસરકારક) વર્ગો સમાનતા સંબંધોનો સિદ્ધાંત એક નિયમિત સિદ્ધાંત છે. નિયમિત શ્રેણીના પદાર્થ પરનો સમાનતા સંબંધ એ એકવિધતા છે જે પ્રતિબિંબીતતા, સમપ્રમાણતા અને સંક્રમણ માટેની શરતોના અર્થઘટનને સંતોષે છે. દરેક કર્નલ જોડી સમાનતા સંબંધને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. તેનાથી વિપરીત, સમાનતા સંબંધ જો કર્નલ જોડી તરીકે ઊભો થાય તો તે અસરકારક હોવાનું કહેવાય છે. એક સમાનતા સંબંધ અસરકારક છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તેમાં સહ-સમતુલક હોય અને તે આની કર્નલ જોડી હોય. જો દરેક સમાનતા સંબંધ અસરકારક હોય તો નિયમિત શ્રેણીને બારના અર્થમાં ચોક્કસ અથવા ચોક્કસ અથવા અસરકારક નિયમિત 'કહેવામાં આવે છે. (નોંધ કરો કે "ચોક્કસ શ્રેણી" શબ્દનો ઉપયોગ ક્વિલનના અર્થમાં ચોક્કસ શ્રેણીઓ માટે પણ અલગ રીતે થાય છે.) ચોક્કસ શ્રેણીઓના ઉદાહરણો સમૂહોની શ્રેણી આ અર્થમાં ચોક્કસ છે, અને તે જ રીતે કોઈપણ (પ્રાથમિક) ટોપો છે. દરેક સમાનતા સંબંધમાં એક સમતુલક હોય છે, જે સમાનતા વર્ગો લઈને જોવા મળે છે. દરેક અબેલિયન શ્રેણી ચોક્કસ છે. દરેક શ્રેણી કે જે સમૂહોની શ્રેણી પર મોનડિક છે તે ચોક્કસ છે. પથ્થરની જગ્યાઓની શ્રેણી નિયમિત છે, પરંતુ ચોક્કસ નથી. શ્રેણી સિદ્ધાંતમાં રૂપક (શ્રેણી સિદ્ધાંત) ટોપોસ ચોક્કસ સમાપ્તિ સંદર્ભો શ્રેણીઓ પણ જુઓ.