Residually finite group
જૂથ સિદ્ધાંતના ગાણિતિક ક્ષેત્રમાં, જૂથ G એ શેષ રૂપે મર્યાદિત અથવા મર્યાદિત રીતે અંદાજપાત્ર છે જો G માં ઓળખ ન હોય તેવા દરેક તત્વ g માટે G થી મર્યાદિત જૂથમાં હોમોમોર્ફિઝમ h હોય, જેમ કે સંખ્યાબંધ સમકક્ષ વ્યાખ્યાઓ છેઃ જો જૂથમાં દરેક બિન-ઓળખ તત્વ માટે, તે તત્વ ન હોય તેવા મર્યાદિત અનુક્રમણિકાનું સામાન્ય પેટાજૂથ હોય તો જૂથ શેષ રૂપે મર્યાદિત હોય છે. એક જૂથ શેષ રૂપે મર્યાદિત હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જ્યારે તેના મર્યાદિત અનુક્રમણિકાના તમામ પેટાજૂથોનું આંતરછેદ તુચ્છ હોય. એક જૂથ અવશેષરૂપે મર્યાદિત હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો મર્યાદિત અનુક્રમણિકાના તેના તમામ સામાન્ય પેટાજૂથોનું આંતરછેદ તુચ્છ હોય. એક જૂથ અવશેષરૂપે મર્યાદિત હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તેને મર્યાદિત જૂથોના પરિવારના સીધા ઉત્પાદનમાં સમાવી શકાય. અવશેષ રીતે મર્યાદિત જૂથોના ઉદાહરણોમાં મર્યાદિત જૂથો, મુક્ત જૂથો, મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન થયેલ નિલપોટેન્ટ જૂથો, પોલીસાયક્લિક-બાય-ફાઇનાઇટ જૂથો, મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન થયેલ રેખીય જૂથો અને કોમ્પેક્ટ 3-મેનિફોલ્ડ્સના મૂળભૂત જૂથો છે. શેષ મર્યાદિત જૂથોના પેટાજૂથો શેષ રૂપે મર્યાદિત હોય છે, અને શેષ મર્યાદિત જૂથોના સીધા ઉત્પાદનો શેષ રૂપે મર્યાદિત હોય છે. શેષ મર્યાદિત જૂથોની કોઈપણ વ્યસ્ત મર્યાદા શેષ રૂપે મર્યાદિત હોય છે. ખાસ કરીને, તમામ અનંત જૂથો શેષ રૂપે મર્યાદિત છે. બિન-અવશેષ મર્યાદિત જૂથોના ઉદાહરણો એ હકીકતનો ઉપયોગ કરીને બનાવી શકાય છે કે તમામ મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન થયેલ અવશેષ મર્યાદિત જૂથો હોપફિયન જૂથો છે. ઉદાહરણ તરીકે બૌમ્સ્લેગ-સોલીટર જૂથ બી (2,3) હોપ્ફિયન નથી, અને તેથી શેષ રૂપે મર્યાદિત નથી. દરેક જૂથ G ને ઓળખના ખુલ્લા પડોશના આધાર તરીકે, G માં મર્યાદિત અનુક્રમણિકાના તમામ સામાન્ય પેટાજૂથોના સંગ્રહને લઈને ટોપોલોજિકલ જૂથમાં બનાવી શકાય છે. પરિણામી ટોપોલોજીને G પર પ્રોફાઇનાઇટ ટોપોલોજી કહેવામાં આવે છે. એક જૂથ અવશેષરૂપે મર્યાદિત હોય છે જો, અને માત્ર ત્યારે જ જો, તેની પ્રોફાઇનાઇટ ટોપોલોજી હૌસડોર્ફ હોય. એક જૂથ કે જેના ચક્રીય પેટાજૂથો પ્રોફાઇનાઇટ ટોપોલોજીમાં બંધ હોય છે. જૂથો કે જેમના દરેક મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન થયેલા પેટા જૂથો પ્રોફાઇનાઇટ ટોપોલોજીમાં બંધ હોય છે તેમને પેટા જૂથ અલગ પાડી શકાય તેવું કહેવામાં આવે છે (એલઇઆરએફ પણ, સ્થાનિક રીતે વિસ્તૃત અવશેષ મર્યાદિત માટે). એક જૂથ જેમાં દરેક સંયોગ વર્ગ પ્રોફાઇનાઇટ ટોપોલોજીમાં બંધ હોય છે તેને સંયોગ અલગ પાડી શકાય તેવું કહેવામાં આવે છે. અવશેષ રૂપે મર્યાદિત જૂથોની વિવિધતાઓ એક પ્રશ્ન છેઃ વિવિધતાના ગુણધર્મો શું છે, જેમના તમામ જૂથો અવશેષ રૂપે મર્યાદિત છે? આ વિશેના બે પરિણામો છેઃ માત્ર શેષ મર્યાદિત જૂથો ધરાવતી કોઈપણ વિવિધતા એ-જૂથ દ્વારા પેદા થાય છે. માત્ર શેષ મર્યાદિત જૂથો ધરાવતી કોઈપણ વિવિધતા માટે, તેમાં એક મર્યાદિત જૂથ હોય છે જેમ કે તમામ સભ્યો તે મર્યાદિત જૂથના સીધા ઉત્પાદનમાં જડિત હોય છે. અવશેષ સંપત્તિ (ગણિત) સંદર્ભો પણ જુઓ બાહ્ય કડીઓ ઉપરોક્ત કેટલાક નિવેદનોના પુરાવા સાથે લેખ અનંત જૂથ સિદ્ધાંત જૂથોના ગુણધર્મો