Lebesgue differentiation theorem
ગણિતમાં, લેબસ્ગ્યુ વિભેદન પ્રમેય એ વાસ્તવિક વિશ્લેષણનું પ્રમેય છે, જે જણાવે છે કે લગભગ દરેક બિંદુ માટે, સંકલનક્ષમ વિધેયનું મૂલ્ય એ બિંદુ વિશે લેવામાં આવેલી અનંત સરેરાશની મર્યાદા છે. આ પ્રમેયનું નામ હેનરી લેબસ્ગ્યુ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે. આર. એન. પર લેબસેગ્યુ સંકલનક્ષમ વાસ્તવિક અથવા જટિલ-મૂલ્યના વિધેય f માટે નિવેદન, અનિશ્ચિત સંકલન એ એક સમૂહ કાર્ય છે જે માપવા યોગ્ય સમૂહ A ને લેબસેગ્યુ સંકલન સાથે મેળવે છે, જ્યાં સમૂહ A ના લાક્ષણિક કાર્યને સૂચવે છે. તે સામાન્ય રીતે n-પરિમાણીય લેબસ્ગ્યુ માપ સાથે લખવામાં આવે છે. x પર આ ઇન્ટિગ્રલનું વ્યુત્પન્ન એ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે કે જ્યાં |B | એ x પર કેન્દ્રિત બોલ B ના કદ (એટલે કે, લેબસ્ગ્યુ માપ) ને સૂચવે છે, અને B → x નો અર્થ એ છે કે B નો વ્યાસ 0 તરફ જાય છે. લેબસ્ગ્યુ વિભેદન પ્રમેય જણાવે છે કે આ વ્યુત્પન્ન અસ્તિત્વમાં છે અને લગભગ દરેક બિંદુ x bul Rn પર f (x) ની બરાબર છે. હકીકતમાં થોડું મજબૂત નિવેદન સાચું છે. નોંધ લો કેઃ મજબૂત દાવો એ છે કે જમણી બાજુ લગભગ દરેક બિંદુ x માટે શૂન્ય તરફ વલણ ધરાવે છે. જે બિંદુઓ x માટે આ સાચું છે તેને f ના લેબસ્ગ્યુ બિંદુઓ કહેવામાં આવે છે. વધુ સામાન્ય સંસ્કરણ પણ ધરાવે છે. એક બાઉન્ડેડ એક્સેંટ્રિસિટીના સેટ U ના પરિવાર દ્વારા બોલ B ને બદલી શકે છે. આનો અર્થ એ છે કે ત્યાં અમુક નિશ્ચિત c> 0 અસ્તિત્વમાં છે જેમ કે કુટુંબમાંથી દરેક સમૂહ U બોલ B સાથે સમાયેલ છે. એવું પણ માનવામાં આવે છે કે દરેક બિંદુ x bul Rn મનસ્વી રીતે નાના સમૂહોમાં સમાયેલ છે. જ્યારે આ સમૂહો x સુધી સંકોચાય છે, ત્યારે સમાન પરિણામ આવે છેઃ લગભગ દરેક બિંદુ x માટે, સમઘનનું કુટુંબ એ આવા પરિવારનું ઉદાહરણ છે, જેમ કે R2 માં લંબચોરસનું કુટુંબ (m) એવું છે કે બાજુઓનો ગુણોત્તર m − 1 અને m ની વચ્ચે રહે છે, કેટલાક નિશ્ચિત m ≤ 1 માટે. જો આરએન પર મનસ્વી ધોરણ આપવામાં આવે, તો ધોરણ સાથે સંકળાયેલ મેટ્રિક માટે દડાઓનું કુટુંબ એ બીજું ઉદાહરણ છે. એક-પરિમાણીય કેસ અગાઉ દ્વારા સાબિત થયો હતો. જો f વાસ્તવિક રેખા પર સંકલનક્ષમ હોય, તો કાર્ય લગભગ દરેક જગ્યાએ વિકલનક્ષમ છે, રીમાન સંકલન દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવ્યું હતું, આ અનિવાર્યપણે કલનનું મૂળભૂત પ્રમેય હશે, પરંતુ લેબસેગે સાબિત કર્યું કે લેબસેગ ઇંટીગ્રલનો ઉપયોગ કરતી વખતે તે સાચું રહે છે. સિદ્ધાંત તેના મજબૂત સ્વરૂપમાં-કે લગભગ દરેક બિંદુ સ્થાનિક રીતે સંકલિત કાર્ય f નો લેબસ્ગ્યુ બિંદુ છે-હાર્ડી-લિટલવુડ મહત્તમ કાર્ય માટે નબળા-L1 અંદાજોના પરિણામ તરીકે સાબિત કરી શકાય છે. નીચેનો પુરાવો પ્રમાણભૂત સારવારને અનુસરે છે જે, અને માં મળી શકે છે. નિવેદન અક્ષરમાં સ્થાનિક હોવાથી, f ને મર્યાદિત ત્રિજ્યાના અમુક દડાની બહાર શૂન્ય માની શકાય છે અને તેથી સંકલિત કરી શકાય છે. તે પછી તે સાબિત કરવા માટે પૂરતું છે કે સમૂહમાં તમામ α> 0 માટે માપ 0 છે. ચાલો ε> 0 આપવામાં આવે. L1 (Rn) માં કોમ્પેક્ટ સપોર્ટના સતત કાર્યોની ઘનતાનો ઉપયોગ કરીને, કોઈ પણ વ્યક્તિ આવા કાર્યને g સંતોષકારક શોધી શકે છે તે પછી મુખ્ય તફાવતને ફરીથી લખવામાં મદદરૂપ થાય છે કારણ કે પ્રથમ પદને f − g માટે મહત્તમ કાર્યના x પર મૂલ્ય દ્વારા બંધાવી શકાય છે, જે અહીં આ રીતે સૂચવવામાં આવે છેઃ બીજી પદ મર્યાદામાં અદૃશ્ય થઈ જાય છે કારણ કે g એ સતત કાર્ય છે, અને ત્રીજી પદ |f (x) −g (x) | દ્વારા બંધાયેલ છે. મૂળ તફાવતની ચોક્કસ કિંમત મર્યાદામાં 2α કરતા વધારે હોય તે માટે, પ્રથમ કે ત્રીજી શરતોમાંથી ઓછામાં ઓછી એક ચોક્કસ કિંમતમાં α કરતા વધારે હોવી જોઈએ. જો કે, હાર્ડી-લિટલવુડ કાર્ય પરનો અંદાજ કહે છે કે કેટલાક અચળાંક માટે માત્ર પરિમાણ n પર આધાર રાખે છે. માર્કોવ અસમાનતા (જેને ચેબીશેવની અસમાનતા પણ કહેવાય છે) કહે છે કે જ્યાંથી ε મનસ્વી હતું, તેને મનસ્વી રીતે નાનું ગણી શકાય, અને પ્રમેય અનુસરે છે. સાબિતીની ચર્ચા લેમ્માને આવરી લેતી વિટાલી આ પ્રમેયની સાબિતી માટે મહત્વપૂર્ણ છે; તેની ભૂમિકા હાર્ડી-લિટલવુડ મહત્તમ કાર્ય માટેના અંદાજને સાબિત કરવામાં છે. વ્યુત્પન્નની વ્યાખ્યામાં, જો દડાઓને શૂન્ય તરફ વળતા વ્યાસવાળા સમૂહોના પરિવારો દ્વારા બદલવામાં આવે તો તે પણ પ્રમેય ધરાવે છે, જે લેબસ્ગ્યુની નિયમિતતાની સ્થિતિને સંતોષે છે, જેને ઉપર બાઉન્ડેડ એક્સેંટ્રિસિટીવાળા સમૂહોના પરિવાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવી છે. આ અનુસરવામાં આવે છે કારણ કે લેમ્માને આવરી લેતા વિટાલીના નિવેદનમાં સમાન અવેજી કરી શકાય છે. ચર્ચા આ કલનશાસ્ત્રના મૂળભૂત પ્રમેયનું એનાલોગ અને સામાન્યીકરણ છે, જે રીમાન ઇન્ટિગ્રેબલ ફંક્શન અને તેના (અનિશ્ચિત) ઇન્ટિગ્રલના વ્યુત્પન્નની બરાબરી કરે છે. તેનાથી ઊલટું પણ દર્શાવવું શક્ય છે-કે દરેક વિકલનક્ષમ વિધેય તેના વિકલનના સમાકલનની બરાબર છે, પરંતુ આ માટે મનસ્વી વિકલનને સંકલિત કરવામાં સક્ષમ થવા માટે હેનસ્ટોક-કુર્ઝવેલ સમાકલનની જરૂર છે. લેબસ્ગ્યુ વિભેદન પ્રમેયનો એક ખાસ કિસ્સો લેબસ્ગ્યુ ઘનતા પ્રમેય છે, જે માપી શકાય તેવા સમૂહોના લાક્ષણિક કાર્યો માટેના વિભેદન પ્રમેયની સમકક્ષ છે. ઘનતા પ્રમેય સામાન્ય રીતે સરળ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સાબિત થાય છે (દા. ત. જુઓ માપ અને શ્રેણી). આ પ્રમેય લેબસ્ગ્યુ માપને બદલે આરએન પરના દરેક મર્યાદિત બોરેલ માપ માટે પણ સાચું છે (એક પુરાવો દા. ત. માં મળી શકે છે. ). વધુ સામાન્ય રીતે, તે અલગ કરી શકાય તેવી મેટ્રિક જગ્યા પર કોઈપણ મર્યાદિત બોરેલ માપ માટે સાચું છે જેમ કે નીચેનામાંથી ઓછામાં ઓછું એક ધરાવે છેઃ મેટ્રિક જગ્યા એ રીમાનિયન મેનીફોલ્ડ છે, મેટ્રિક જગ્યા એ સ્થાનિક રીતે કોમ્પેક્ટ અલ્ટ્રામેટ્રિક જગ્યા છે, માપ બમણી થઈ રહ્યું છે. આ પરિણામોનો પુરાવો (ફેડરર 1969) ના વિભાગો 2.8-2.9 માં મળી શકે છે. વાસ્તવિક વિશ્લેષણમાં લેબસ્ગ્યુની ઘનતા પ્રમેય સંદર્ભ પ્રમેય પણ જુઓ.