Pasch's axiom
ભૂમિતિમાં, પાસ્ચનો સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંત એ સમતલ ભૂમિતિમાં એક નિવેદન છે, જેનો ઉપયોગ યુક્લિડ દ્વારા પરોક્ષ રીતે થાય છે, જે યુક્લિડે તેમને આપેલા અભિધારણાઓમાંથી મેળવી શકાતો નથી. તેની આવશ્યક ભૂમિકાની શોધ 1882માં મોરિટ્ઝ પાસ દ્વારા કરવામાં આવી હતી. નિવેદન સ્વયંસિદ્ધ જણાવે છે કે, હકીકત એ છે કે એસી અને બીસી વિભાગો બંને રેખા દ્વારા છેદવામાં આવતા નથી તે સપ્લિમેન્ટ I, 1 માં સાબિત થાય છે, જે પી. બર્નેઝ દ્વારા લખવામાં આવ્યું હતું. આ સ્વયંસિદ્ધનું વધુ આધુનિક સંસ્કરણ નીચે મુજબ છેઃ (જો ત્રીજી બાજુ આપણી રેખાને સમાંતર હોય, તો આપણે "અનંત પરના આંતરછેદને" બાહ્ય તરીકે ગણીએ છીએ.) સ્વયંસિદ્ધનું વધુ અનૌપચારિક સંસ્કરણ ઘણીવાર જોવા મળે છેઃ હિસ્ટ્રી પાસ્ચે 1882માં આ સ્વયંસિદ્ધને પ્રકાશિત કર્યું હતું અને દર્શાવ્યું હતું કે યુક્લિડના સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતો અપૂર્ણ હતા. સ્વયંસિદ્ધ એ સમતલ ભૂમિતિમાં ક્રમની વિભાવનાને રજૂ કરવાના પાસ્ચના અભિગમનો એક ભાગ હતો. સમાનતાઓ પ્રાથમિક ભૂમિતિના અન્ય ઉપાયોમાં, સ્વયંસિદ્ધના વિવિધ સમૂહોનો ઉપયોગ કરીને, પાસ્ચના સ્વયંસિદ્ધને પ્રમેય તરીકે સાબિત કરી શકાય છે; જ્યારે તેને સ્વયંસિદ્ધમાંના એક તરીકે લેવામાં આવે છે ત્યારે તે સમતલ વિભાજન સ્વયંસિદ્ધિનું પરિણામ છે. હિલ્બર્ટ યુક્લિડિયન ભૂમિતિના સ્વયંસિદ્ધ ઉપચારમાં પાસ્ચના સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરે છે. હિલ્બર્ટની પ્રણાલીમાં બાકી રહેલા સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતોને જોતાં, તે દર્શાવી શકાય છે કે પાસ્ચનો સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંત તાર્કિક રીતે સમતલ વિભાજન સ્વયંસિદ્ધની સમકક્ષ છે. હિલ્બર્ટ દ્વારા પાસ્ચના સ્વયંસિદ્ધ શબ્દનો ઉપયોગ ડેવિડ હિલ્બર્ટ તેમના પુસ્તક ફાઉન્ડેશન્સ ઓફ જીઓમેટ્રીમાં પાસ્ચના સ્વયંસિદ્ધ શબ્દનો ઉપયોગ કરે છે જે યુક્લિડિયન ભૂમિતિ માટે સ્વયંસિદ્ધ આધાર પૂરો પાડે છે. આવૃત્તિના આધારે, તેને II. 4 અથવા II. 5 ક્રમાંકિત કરવામાં આવે છે. તેમનું નિવેદન ઉપર આપવામાં આવ્યું છે. હિલ્બર્ટની સારવારમાં, આ સ્વયંસિદ્ધ ક્રમના સ્વયંસિદ્ધોને લગતા વિભાગમાં દેખાય છે અને તેને ક્રમના સમતલ સ્વયંસિદ્ધ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. તે ત્રિકોણની બાજુઓ (રેખા ખંડોને બદલે રેખાઓ તરીકે ગણવામાં આવે છે) ની દ્રષ્ટિએ સ્વયંસિદ્ધ શબ્દસમૂહ નથી કરતો તેથી ત્રિકોણ ABC ની બાજુઓ સાથે રેખાના આંતરિક અને બાહ્ય આંતરછેદો વિશે વાત કરવાની જરૂર નથી. કેવેટ્સ પાસ્ચનો સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંત પાસ્ચના પ્રમેયથી અલગ છે, જે એક રેખા પર ચાર બિંદુઓના ક્રમ વિશેનું નિવેદન છે. જો કે, સાહિત્યમાં એવા ઘણા ઉદાહરણો છે જ્યાં પાસ્ચના સિદ્ધાંતને પાસ્ચના પ્રમેય તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. આનું એક નોંધપાત્ર ઉદાહરણ છે. પાસ્ચના સ્વયંસિદ્ધને પ્રોજેક્ટિવ ભૂમિતિ માટે વેબ્લેન-યંગ સ્વયંસિદ્ધ સાથે ભેળસેળ ન કરવી જોઈએ, જે આ રીતે કહી શકાયઃ વેબ્લેન-યંગ સ્વયંસિદ્ધના નિવેદનમાં આંતરિક અને બાહ્ય આંતરછેદનોનો કોઈ ઉલ્લેખ નથી જે ફક્ત રેખાઓની બેઠકની ઘટના ગુણધર્મ સાથે સંબંધિત છે. પ્રક્ષેપાત્મક ભૂમિતિમાં વચ્ચેનો ખ્યાલ (આંતરિક અને બાહ્ય વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે જરૂરી) માન્ય નથી અને બધી રેખાઓ મળે છે (તેથી સમાંતર રેખાઓનો મુદ્દો ઊભો થતો નથી). નોંધો સંદર્ભો બાહ્ય કડીઓ યુક્લિડિયન સમતલ ભૂમિતિ ભૂમિતિના પાયા