Lindley's paradox
લિન્ડલીનો વિરોધાભાસ એ આંકડામાં વિરોધાભાસી પરિસ્થિતિ છે જેમાં પૂર્વધારણા પરીક્ષણ સમસ્યા માટે બાયેસિયન અને વારંવાર અભિગમ અગાઉના વિતરણની ચોક્કસ પસંદગીઓ માટે અલગ પરિણામો આપે છે. બે અભિગમો વચ્ચેની અસંમતિની સમસ્યાની ચર્ચા હેરોલ્ડ જેફ્રીઝના 1939 ના પાઠ્યપુસ્તકમાં કરવામાં આવી હતી; ડેનિસ લિન્ડલીએ 1957 ના પેપરમાં અસંમતિને વિરોધાભાસ ગણાવ્યા પછી તે લિન્ડલીના વિરોધાભાસ તરીકે જાણીતો બન્યો. વિરોધાભાસ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે, તેમ છતાં, બાયેસિયન અને વારંવારના અભિગમોના જુદા જુદા પરિણામોને બે પદ્ધતિઓ વચ્ચે વાસ્તવિક અસંમતિને બદલે મૂળભૂત રીતે જુદા જુદા પ્રશ્નોના જવાબ આપવા માટે તેનો ઉપયોગ કરવા તરીકે સમજાવી શકાય છે. તેમ છતાં, પ્રાયોરના મોટા વર્ગ માટે ફ્રિક્વેન્ટિસ્ટ અને બાયેસિયન અભિગમ વચ્ચેના તફાવતો મહત્વના સ્તરને નિશ્ચિત રાખવાને કારણે થાય છેઃ જેમ કે લિન્ડલીએ પણ સ્વીકાર્યું હતું કે, "સિદ્ધાંત મહત્વના સ્તરને નિશ્ચિત રાખવાની પ્રથાને યોગ્ય ઠેરવતો નથી" અને "પ્રોફેસર પીયર્સન દ્વારા કેટલીક ગણતરીઓ પણ તે પેપરની ચર્ચામાં ભારપૂર્વક જણાવ્યું હતું કે જો નુકસાન અને અગાઉની સંભાવનાઓને નિશ્ચિત રાખવામાં આવે તો નમૂનાના કદ સાથે મહત્વના સ્તરને કેવી રીતે બદલવું પડશે". હકીકતમાં, જો નમૂનાના કદ સાથે નિર્ણાયક મૂલ્ય યોગ્ય રીતે ઝડપથી વધે છે, તો નમૂનાના કદમાં વધારો થતાં વારંવાર અને બાયેસિયન અભિગમો વચ્ચેનો મતભેદ નગણ્ય બની જાય છે. વિરોધાભાસનું વર્ણન કેટલાક પ્રયોગોના પરિણામમાં બે સંભવિત સમજૂતીઓ, પૂર્વધારણાઓ અને કેટલાક પૂર્વ વિતરણ છે જે અનિશ્ચિતતાનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે કે કઈ પૂર્વધારણા ધ્યાનમાં લેતા પહેલા વધુ સચોટ છે. લિન્ડલીનો વિરોધાભાસ ત્યારે થાય છે જ્યારે પરિણામ વારંવાર પરીક્ષણ દ્વારા "નોંધપાત્ર" હોય છે, જે નકારવા માટે પૂરતા પુરાવા સૂચવે છે, કહો કે, 5 ટકા સ્તરે, અને આપવાની પશ્ચાદવર્તી સંભાવના વધારે હોય છે, જે મજબૂત પુરાવા સૂચવે છે જે તેના કરતા વધુ સારી રીતે સંમત થાય છે. આ પરિણામો તે જ સમયે આવી શકે છે જ્યારે તે ખૂબ જ ચોક્કસ, વધુ ફેલાયેલું હોય અને પહેલાનું વિતરણ એક અથવા બીજાની તરફેણ કરતું નથી, જેમ કે નીચે બતાવ્યું છે. આંકડાકીય ઉદાહરણ નીચેનું આંકડાકીય ઉદાહરણ લિન્ડલીના વિરોધાભાસને સમજાવે છે. એક ચોક્કસ શહેરમાં એક ચોક્કસ સમયગાળામાં 49,581 છોકરાઓ અને 48,870 છોકરીઓનો જન્મ થયો છે. પુરુષ જન્મોનું અવલોકન કરેલું પ્રમાણ આમ 49,581/98,451 ≈ 0.5036 છે. આપણે ધારીએ છીએ કે પુરુષ જન્મનો અપૂર્ણાંક પરિમાણ સાથે દ્વિપદી ચલ છે. આપણે પરીક્ષણ કરવામાં રસ ધરાવીએ છીએ કે શું 0.5 અથવા અન્ય કોઈ મૂલ્ય છે. એટલે કે, આપણી નલ હાયપોથેસિસ છે અને વૈકલ્પિક છે. વારંવાર અભિગમ પરીક્ષણ માટે વારંવાર અભિગમ એ પી-વેલ્યુની ગણતરી કરવાનો છે, જે છોકરાઓના અપૂર્ણાંકનું અવલોકન કરવાની સંભાવના ઓછામાં ઓછી ધારણા જેટલી મોટી છે તે સાચું છે. કારણ કે જન્મની સંખ્યા ખૂબ મોટી છે, આપણે પુરુષ જન્મના અપૂર્ણાંક માટે સામાન્ય અંદાજનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ, અને, ગણતરી કરવા માટે જો આપણે 49,581 સ્ત્રી જન્મ જોયા હોત, એટલે કે. તેથી ફ્રિક્વન્ટિસ્ટ સામાન્ય રીતે દ્વિ-પક્ષીય પરીક્ષણ કરશે, જેના માટે પી-મૂલ્ય હશે. બંને કિસ્સાઓમાં, પી-મૂલ્ય 5 ટકાના મહત્વ સ્તર, α કરતા ઓછું હોય છે, તેથી વારંવાર અભિગમ નકારે છે કારણ કે તે અવલોકન કરેલા ડેટા સાથે અસંમત છે. બાયેસિયન અભિગમ અન્ય પર એક પૂર્વધારણાની તરફેણ કરવા માટે કોઈ કારણ ન માનતા, બાયેસિયન અભિગમ એ હશે કે અગાઉની સંભાવનાઓ અને સમાન વિતરણને નીચે સોંપવું, અને પછી બેયસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરવાની પશ્ચાદવર્તી સંભાવનાની ગણતરી કરવી, જન્મમાંથી છોકરાઓનું નિરીક્ષણ કર્યા પછી, આપણે દ્વિપદી ચલ માટે સંભાવના સમૂહ કાર્યનો ઉપયોગ કરીને દરેક પૂર્વધારણાની પશ્ચાદવર્તી સંભાવનાની ગણતરી કરી શકીએ છીએ, જ્યાં બીટા કાર્ય છે. આ મૂલ્યોમાંથી, આપણે પશ્ચાદવર્તી સંભાવના શોધીએ છીએ, જે ભારપૂર્વક તરફેણ કરે છે. બે અભિગમો-બાયેસિયન અને ફ્રીક્વન્ટિસ્ટ-સંઘર્ષમાં હોવાનું જણાય છે, અને આ "વિરોધાભાસ" છે. બાયેસિયન અને ફ્રિક્વેન્ટિસ્ટ અભિગમોનું સમાધાન લગભગ ચોક્કસ પૂર્વધારણા પરીક્ષણ નામાને ખોટા પોઝિટિવને નિયંત્રિત કરવા માટે નમૂનાના કદમાં મહત્વ સ્તરના અનુકૂલનની દરખાસ્ત કરી હતીઃ, જેમ કે. ઓછામાં ઓછા આંકડાકીય ઉદાહરણમાં, લેવાથી, 0.00318 ના મહત્વના સ્તરમાં પરિણમે છે, તેથી ફ્રિક્વેન્ટિસ્ટ નલ પૂર્વધારણાને નકારી કાઢશે નહીં, જે બાયેસિયન અભિગમ સાથે સંમત છે. બિન-માહિતીપ્રદ પ્રાથમિકતાઓ જો આપણે બિન-માહિતીપ્રદ પહેલાનો ઉપયોગ કરીએ અને વારંવાર અભિગમમાં વધુ સમાન પૂર્વધારણાનું પરીક્ષણ કરીએ, તો વિરોધાભાસ અદૃશ્ય થઈ જાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો આપણે પશ્ચાદવર્તી વિતરણની ગણતરી કરીએ, તો તેના પર સમાન પૂર્વ વિતરણનો ઉપયોગ કરીને (એટલે કે. ), આપણે શોધી કાઢીએ છીએ કે જો આપણે આનો ઉપયોગ એ સંભાવનાને ચકાસવા માટે કરીએ કે નવજાત બાળક છોકરી કરતાં છોકરો હોવાની શક્યતા વધારે છે, એટલે કે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, તે ખૂબ જ સંભવ છે કે પુરુષ જન્મનું પ્રમાણ 0.5 થી ઉપર હોય. ન તો વિશ્લેષણ અસરના કદનો સીધો અંદાજ આપે છે, પરંતુ બંનેનો ઉપયોગ તે નક્કી કરવા માટે થઈ શકે છે, ઉદાહરણ તરીકે, જો છોકરાના જન્મનો અપૂર્ણાંક કોઈ ચોક્કસ મર્યાદાથી ઉપર હોવાની શક્યતા છે. વાસ્તવિક વિરોધાભાસનો અભાવ બે અભિગમો વચ્ચે દેખીતી અસંમતિ પરિબળોના સંયોજનને કારણે થાય છે. પ્રથમ, સંદર્ભ વિના પરીક્ષણો ઉપરનો વારંવાર અભિગમ. બાયેસિયન અભિગમ એક વિકલ્પ તરીકે મૂલ્યાંકન કરે છે, અને અવલોકનો સાથે વધુ સારી રીતે સંમત થવા માટે પ્રથમ શોધે છે. આનું કારણ એ છે કે પછીની પૂર્વધારણા વધુ ફેલાયેલી છે, જેમ કે ગમે ત્યાં હોઈ શકે છે, જેના પરિણામે તેની પશ્ચાદવર્તી સંભાવના ખૂબ ઓછી હોય છે. શા માટે તે સમજવા માટે, બે પૂર્વધારણાઓને અવલોકનોના જનરેટર તરીકે ધ્યાનમાં લેવી મદદરૂપ છેઃ નીચે, અમે પસંદ કરીએ છીએ, અને પૂછીએ છીએ કે 98,451 જન્મોમાં 49,581 છોકરાઓ જોવાની શક્યતા કેટલી છે. નીચે, આપણે 0 થી 1 ની અંદર ગમે ત્યાંથી અવ્યવસ્થિત રીતે પસંદ કરીએ છીએ, અને એ જ પ્રશ્ન પૂછીએ છીએ. નીચે માટેના મોટાભાગના સંભવિત મૂલ્યો અવલોકનો દ્વારા ખૂબ જ નબળી રીતે સમર્થિત છે. સારમાં, પદ્ધતિઓ વચ્ચેની સ્પષ્ટ અસંમતિ એ બિલકુલ અસંમતિ નથી, પરંતુ પૂર્વધારણાઓ માહિતી સાથે કેવી રીતે સંબંધિત છે તે વિશેના બે અલગ અલગ નિવેદનો છેઃ વારંવાર અભ્યાસ કરનારને લાગે છે કે તે નિરીક્ષણ માટે નબળી સમજૂતી છે. બાયેસિયન શોધે છે કે અવલોકન માટે તે કરતાં વધુ સારી સમજૂતી છે. ફ્રિક્વેન્ટિસ્ટ ટેસ્ટ અનુસાર, નવજાત શિશુઓની જાતિના ગુણોત્તર અસંભવિત રીતે 50/50 પુરુષ/સ્ત્રી છે. તેમ છતાં 50/50 એ મોટાભાગના, પરંતુ બધા નહીં, અન્ય ગુણોત્તર કરતાં વધુ સારો અંદાજ છે. આ પૂર્વધારણા નિરીક્ષણને લગભગ અન્ય તમામ ગુણોત્તર કરતાં વધુ સારી રીતે બંધબેસતું હોત, જેમાં સમાવેશ થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, પૂર્વધારણાઓ અને પૂર્વ સંભાવનાઓની આ પસંદગી આ નિવેદન સૂચવે છેઃ "જો> 0.49 અને <0.51, તો બરાબર 0.5 હોવાની પૂર્વ સંભાવના 0.50/0.51 98% છે". માટે આટલી મજબૂત પસંદગીને જોતાં, તે જોવાનું સરળ છે કે શા માટે બાયેસિયન અભિગમની તરફેણ કરે છે, તેમ છતાં અવલોકન કરેલ મૂલ્ય 0.5 થી દૂર છે. 2 થી વધુ સિગ્માનું વિચલન વારંવારના અભિગમમાં નોંધપાત્ર માનવામાં આવે છે, પરંતુ તેના મહત્વને બાયેસિયન અભિગમમાં પહેલાના દ્વારા નકારી કાઢવામાં આવે છે. તેને બીજી રીતે જોતાં, આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે પહેલાનું વિતરણ ડેલ્ટા ફંક્શન સાથે આવશ્યકપણે સપાટ છે. આ સ્પષ્ટપણે શંકાસ્પદ છે. હકીકતમાં જો તમે વાસ્તવિક સંખ્યાઓને સતત તરીકે જોશો, તો એવું માનવું વધુ તાર્કિક રહેશે કે કોઈ પણ આપેલ સંખ્યા માટે બરાબર પરિમાણ મૂલ્ય હોવું અશક્ય છે, એટલે કે, આપણે ધારવું જોઈએ. વૈકલ્પિક પૂર્વધારણા માટે વધુ વાસ્તવિક વિતરણ પશ્ચાદવર્તી માટે ઓછું આશ્ચર્યજનક પરિણામ ઉત્પન્ન કરે છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો આપણે, એટલે કે, મહત્તમ સંભાવના અંદાજ સાથે બદલીએ, તો પાછળની સંભાવના 0.93 ની સરખામણીમાં માત્ર 0.07 હશે (અલબત્ત, કોઈ ખરેખર અગાઉના વિતરણના ભાગ રૂપે એમ. એલ. ઇ. નો ઉપયોગ કરી શકતું નથી). તાજેતરની ચર્ચા વિરોધાભાસ સક્રિય ચર્ચાનો સ્ત્રોત બની રહ્યો છે. આ પણ જુઓ બેયસ પરિબળ નોંધો વધુ વાંચન આંકડાકીય પૂર્વધારણાનું પરીક્ષણ આંકડાકીય વિરોધાભાસ બેયસીયન આંકડાશાસ્ત્ર