Schottky group
ગણિતમાં, સ્કોટકી જૂથ એ ક્લેનિયન જૂથનો એક ખાસ પ્રકાર છે, જેનો સૌપ્રથમ અભ્યાસ સ્કોટકી દ્વારા કરવામાં આવ્યો હતો. વ્યાખ્યા રીમાન ગોળા પર અમુક બિંદુ p નિશ્ચિત કરો. દરેક જોર્ડન વળાંક જે p માંથી પસાર થતો નથી તે રીમાન ગોળાને બે ટુકડાઓમાં વિભાજિત કરે છે, અને આપણે p ધરાવતા ટુકડાને વળાંકનો "બાહ્ય" અને અન્ય ટુકડાને તેનો "આંતરિક" કહીએ છીએ. ધારો કે રીમાન ગોળામાં 2 જી જોર્ડન વળાંક A1, B1,., Ag, Bg અલગ આંતરિક સાથે છે. જો ત્યાં મોબિયસ પરિવર્તન ટી. આઈ. એ. આઈ. ની બહારને બી. આઈ. ની અંદર લઈ જાય છે, તો આ પરિવર્તન દ્વારા પેદા થયેલ જૂથ ક્લેનિયન જૂથ છે. સ્કોટકી જૂથ એ કોઈપણ ક્લેનિયન જૂથ છે જે આ રીતે બનાવી શકાય છે. ગુણધર્મો કાર્ય દ્વારા, મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન થયેલ ક્લેઇનીયન જૂથ સ્કોટકી છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તે મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન થયેલ હોય, મુક્ત હોય, વિસંગતતાનું બિન-ખાલી ક્ષેત્ર હોય, અને તમામ બિન-તુચ્છ તત્વો લોક્સોડ્રોમિક હોય. રીમાન ગોળામાં તેના નિયમિત બિંદુઓ ω (G) પર સ્કોટકી જૂથ G ની ક્રિયા માટેનું મૂળભૂત ક્ષેત્ર તેને વ્યાખ્યાયિત કરતા જોર્ડન વળાંકના બાહ્ય ભાગ દ્વારા આપવામાં આવે છે. અનુરૂપ ભાગાકાર જગ્યા ω (G)/G જોર્ડન વણાંકોને જોડીમાં જોડીને આપવામાં આવે છે, તેવી જ રીતે જીનસ g ની સઘન રીમાન સપાટી પણ છે. આ 3-મેનીફોલ્ડની સીમા છે જે ભાગાકાર (H ω (G))/G 3-પરિમાણીય હાયપરબોલિક H જગ્યા વત્તા સ્કોટકી જૂથ G દ્વારા નિયમિત સમૂહ ω (G) લઈને આપવામાં આવે છે, જે જીનસ g નું હેન્ડલબોડી છે. તેનાથી વિપરીત જીનસ G ની કોઈપણ સઘન રીમાન સપાટી જીનસ g ના કેટલાક સ્કોટકી જૂથમાંથી મેળવી શકાય છે. ક્લાસિકલ અને બિન-ક્લાસિકલ સ્કોટકી જૂથો A સ્કોટકી જૂથને ક્લાસિકલ કહેવામાં આવે છે જો જનરેટરના કેટલાક સમૂહને અનુરૂપ તમામ વિસંગત જોર્ડન વણાંકોને વર્તુળો તરીકે પસંદ કરી શકાય. તેમણે બિન-શાસ્ત્રીય સ્કોટકી જૂથોના અસ્તિત્વનો પરોક્ષ અને બિન-રચનાત્મક પુરાવો આપ્યો હતો અને તેનું સ્પષ્ટ ઉદાહરણ આપ્યું હતું. તે આના દ્વારા દર્શાવવામાં આવ્યું છે કે તમામ મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન થયેલા શાસ્ત્રીય સ્કોટકી જૂથોમાં 2 કરતા ઓછા સાર્વત્રિક અચળાંક દ્વારા સખત રીતે ઉપર બંધાયેલા હૌસડોર્ફ પરિમાણના મર્યાદા સમૂહો હોય છે. તેનાથી વિપરીત, તેણે સાબિત કર્યું છે કે તમામ બિન-શાસ્ત્રીય સ્કોટકી જૂથોના મર્યાદા સમૂહોના હૌસડોર્ફ પરિમાણ પર સાર્વત્રિક નીચલી સીમા અસ્તિત્વમાં છે. સ્કોટકી જૂથોના મર્યાદા સમૂહો સ્કોટકી જૂથના મર્યાદા સમુચ્ચય, જે ω (G) નું પૂરક છે, તેમાં હંમેશા લેબસ્ગ્યુ માપ શૂન્ય હોય છે, પરંતુ d <2 માટે હકારાત્મક d-પરિમાણીય હૌસડોર્ફ માપ હોઈ શકે છે. તે સંપૂર્ણ છે અને હકારાત્મક લઘુગણક ક્ષમતા સાથે ક્યાંય ગાઢ નથી. શાસ્ત્રીય સ્કોટકી જૂથો માટે લેબસ્ગ્યુ પગલાં પરનું નિવેદન પોઇનકેરે શ્રેણી પોઇનકેરેના અસ્તિત્વથી અનુસરે છે જે દર્શાવે છે કે | ci | −4 શ્રેણી જૂથના બિન-ઓળખ તત્વો પર સારાંશ છે. હકીકતમાં મૂળભૂત ડોમેનના આંતરિક ભાગમાં બંધ ડિસ્ક લેતા, વિવિધ જૂથ ઘટકો હેઠળની તેની છબીઓ અલગ પડે છે અને લગભગ 0 ની આસપાસ નિશ્ચિત ડિસ્કમાં સમાયેલી હોય છે. તેથી ક્ષેત્રોનો સરવાળો મર્યાદિત છે. ચલ સૂત્રના ફેરફારો દ્વારા, વિસ્તાર અચળ વખત | ci | −4 કરતા વધારે છે. સમાન દલીલ સૂચવે છે કે મર્યાદા સમૂહમાં લેબસ્ગ્યુ માપ શૂન્ય છે. કારણ કે તે n દ્વારા બંધાયેલ શબ્દ લંબાઈવાળા જૂથ ઘટકો દ્વારા મૂળભૂત પ્રદેશની છબીઓના જોડાણના પૂરકમાં સમાયેલ છે. આ વર્તુળોનું મર્યાદિત જોડાણ છે તેથી તેનું ક્ષેત્રફળ મર્યાદિત છે. તે વિસ્તાર શબ્દની લંબાઈ n ના તત્વોના પોઇનકેર સરવાળામાં યોગદાનના અચળ સમય દ્વારા ઉપર બંધાયેલો છે, તેથી તે ઘટીને 0 થાય છે. સ્કોટકી જગ્યા (કેટલીક જાતિ જી ± 2 ની) એ જીનસ જી ના ચિહ્નિત સ્કોટકી જૂથોની જગ્યા છે, બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો પી. એસ. એલ. 2 (સી) ના જી તત્વોના સમૂહની જગ્યા જે સ્કોટકી જૂથ પેદા કરે છે, મોબિયસ પરિવર્તન હેઠળ સમાનતા સુધી. તે જટિલ પરિમાણ 3g−3 નું જટિલ મેનીફોલ્ડ છે. તેમાં શાસ્ત્રીય સ્કોટકી જૂથોને અનુરૂપ ઉપગણ તરીકે શાસ્ત્રીય સ્કોટકી જગ્યા છે. જીનસ જીની સ્કોટકી જગ્યા સામાન્ય રીતે જોડાયેલી નથી, પરંતુ તેની સાર્વત્રિક આવરણ જગ્યાને કોમ્પેક્ટ જીનસ જી રીમેન સપાટીઓના ટેચમુલર જગ્યા સાથે ઓળખી શકાય છે. બેલ્ટ્રામી સમીકરણ રિલે સ્લાઇસ નોટ્સ સંદર્ભો ડેવિડ મમફોર્ડ, કેરોલિન સિરીઝ, અને ડેવિડ રાઈટ, ઈન્દ્રાના મોતીઃ ફેલિક્સ ક્લેઈનનું વિઝન, કેમ્બ્રિજ યુનિવર્સિટી પ્રેસ, 2002 બાહ્ય લિંક્સ ત્રણ પરિવર્તનમાંથી સ્કોટકી જૂથ પેદા કરે છે. ક્લેઇનીયન જૂથો જૂથ સિદ્ધાંત અલગ જૂથો જૂઠું બોલે છે