Trapezoidal rule (differential equations)
આંકડાકીય વિશ્લેષણ અને વૈજ્ઞાનિક કમ્પ્યુટિંગમાં, ટ્રેપેઝોઇડલ નિયમ એ સંકલનની ગણતરી માટે ટ્રેપેઝોઇડલ નિયમમાંથી મેળવેલા સામાન્ય વિભેદક સમીકરણોને ઉકેલવા માટેની એક આંકડાકીય પદ્ધતિ છે. ટ્રેપેઝોઇડલ નિયમ એ એક ગર્ભિત બીજા ક્રમની પદ્ધતિ છે, જેને રુંગે-કુટ્ટા પદ્ધતિ અને રેખીય બહુસ્તરીય પદ્ધતિ એમ બંને તરીકે ગણી શકાય. પદ્ધતિ ધારો કે આપણે વિભેદક સમીકરણને ઉકેલવા માંગીએ છીએ ટ્રેપેઝોઇડલ નિયમ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે જ્યાં પગલાનું કદ છે. આ એક ગર્ભિત પદ્ધતિ છેઃ સમીકરણની બંને બાજુએ મૂલ્ય દેખાય છે, અને વાસ્તવમાં તેની ગણતરી કરવા માટે, આપણે એક સમીકરણ ઉકેલવું પડશે જે સામાન્ય રીતે બિનરેખીય હશે. આ સમીકરણને ઉકેલવા માટેની એક સંભવિત પદ્ધતિ ન્યૂટનની પદ્ધતિ છે. આપણે ઉકેલ માટે એકદમ સારો અંદાજ મેળવવા માટે યુલર પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ, જેનો ઉપયોગ ન્યૂટનની પદ્ધતિના પ્રારંભિક અનુમાન તરીકે થઈ શકે છે. યુલરની પદ્ધતિમાંથી માત્ર અનુમાનનો ઉપયોગ કરીને ટૂંકું કરવું એ હ્યુનની પદ્ધતિ કરવા સમાન છે. અભિપ્રેરણા વિભેદક સમીકરણને થી થી સંકલિત કરીને, આપણે જોઈએ છીએ કે ટ્રેપેઝોઇડલ નિયમ જણાવે છે કે જમણી બાજુના ઇન્ટિગ્રલનો અંદાજ આ રીતે લગાવી શકાય છે. ભૂલ વિશ્લેષણ તે ચતુર્ભુજ માટે ટ્રેપેઝોઇડલ નિયમના ભૂલ વિશ્લેષણ પરથી અનુસરે છે કે વિભેદક સમીકરણોને ઉકેલવા માટે ટ્રેપેઝોઇડલ નિયમની સ્થાનિક કાપણી ભૂલને આ રીતે બંધ કરી શકાય છેઃ આમ, ટ્રેપેઝોઇડલ નિયમ એ બીજા ક્રમની પદ્ધતિ છે. આ પરિણામનો ઉપયોગ એ બતાવવા માટે થઈ શકે છે કે વૈશ્વિક ભૂલ એ છે કે પગલાનું કદ શૂન્ય તરફ વળે છે (આના અર્થ માટે મોટા ઓ નોટેશન જુઓ). સ્થિરતા ટ્રેપેઝોઇડલ નિયમ માટે સંપૂર્ણ સ્થિરતાનું ક્ષેત્ર છે આમાં ડાબા-અડધા સમતલનો સમાવેશ થાય છે, તેથી ટ્રેપેઝોઇડલ નિયમ એ-સ્થિર છે. બીજો ડહલક્વિસ્ટ અવરોધ જણાવે છે કે એ-સ્થિર રેખીય બહુસ્તરીય પદ્ધતિઓમાં ટ્રેપેઝોઇડલ નિયમ સૌથી સચોટ છે. વધુ સ્પષ્ટ રીતે કહીએ તો, એક રેખીય મલ્ટીસ્ટેપ પદ્ધતિ કે જે એ-સ્ટેબલ છે તે મહત્તમ ક્રમ બે ધરાવે છે, અને બીજા ક્રમની એ-સ્ટેબલ રેખીય મલ્ટીસ્ટેપ પદ્ધતિનો ભૂલ અચળાંક ટ્રેપેઝૉઇડલ નિયમના ભૂલ અચળાંક કરતાં વધુ સારો ન હોઈ શકે. હકીકતમાં, ટ્રેપેઝોઇડલ નિયમ માટે સંપૂર્ણ સ્થિરતાનું ક્ષેત્ર ચોક્કસપણે ડાબી બાજુનું સમતલ છે. આનો અર્થ એ છે કે જો ટ્રેપેઝોઇડલ નિયમ રેખીય પરીક્ષણ સમીકરણ y "'= λy" પર લાગુ કરવામાં આવે, તો આંકડાકીય ઉકેલ શૂન્ય થઈ જાય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો ચોક્કસ ઉકેલ કરે. નોંધો સંદર્ભો. . ક્રેન્ક-નિકોલસન પદ્ધતિ રુંગ-કુટ્ટા પદ્ધતિઓ પણ જુઓ.