Lemoine's problem
ભૂમિતિમાં, લેમોઇનની સમસ્યા એ 1868માં ફ્રેન્ચ ગણિતશાસ્ત્રી એમિલ લેમોઇન દ્વારા રજૂ કરાયેલી સીધી ધાર અને હોકાયંત્ર નિર્માણની સમસ્યા છેઃ ત્રિકોણની બાજુઓ પર મૂકવામાં આવેલા દરેક સમબાહુ ત્રિકોણના એક શિરોબિંદુને જોતાં, મૂળ ત્રિકોણની રચના કરો. આ સમસ્યાને પ્રશ્ન 864 તરીકે પ્રકાશિત કરવામાં આવી હતી (શ્રેણી 2, ખંડ 7 (1868), પૃષ્ઠ 191). સમસ્યામાં મુખ્ય રસ એ છે કે લુડવિગ કીપર્ટ દ્વારા સમસ્યાના ઉકેલની ચર્ચા (શ્રેણી 2, ખંડ 8 (1869), પૃષ્ઠ 40-42) માં પ્રકાશિત કરવામાં આવી હતી જેમાં હાયપરબોલાનું વર્ણન હતું જે હવે કીપર્ટ હાયપરબોલા તરીકે ઓળખાય છે. લુડવિગ કીપર્ટનો ઉકેલ કીપર્ટ થોડા લેમ્માને સાબિત કરીને તેની રચનાની માન્યતા સ્થાપિત કરે છે. સમસ્યા એ ત્રિકોણની બાજુઓ પર મૂકવામાં આવેલા સમબાહુ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ હોઈ શકે છે. લેમ્મા 1 જો એક મનસ્વી ત્રિકોણની ત્રણ બાજુઓ પર એક સમબાહુ ત્રિકોણનું વર્ણન કરે તો રેખાખંડો સમાન હોય છે, તેઓ એક બિંદુ પર સહમત થાય છે, અને તેઓ એકબીજાની રચના કરે છે તે ખૂણાઓ 60° સમાન હોય છે. લેમ્મા 2 જો એક પર તે જ રચના કરે છે જેના પર ત્રણ સમબાહુ ત્રિકોણ ત્રણ સમાન રેખા ખંડો હશે જે બિંદુ પર પણ સહમત થશે. લેમ્મા 3 એ અનુક્રમે ઉકેલના મધ્યબિંદુઓ છે જે અનુક્રમે સમબાહુ ત્રિકોણના વિભાગો પર વર્ણવે છે. મધ્યબિંદુઓ અનુક્રમે જરૂરી ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ છે. અન્ય ઉકેલો કીપર્ટ ઉપરાંત અન્ય કેટલાક લોકોએ 1868-9 દરમિયાન તેમના ઉકેલો રજૂ કર્યા હતા, જેમાં મેસર્સ વિલીયર (આર્લોન ખાતે), બ્રોકાર્ડ, ક્લેવરી (લિસી ડી ક્લેરમોન્ટ), જોફ્રે (લિસી ચાર્લમેગ્ને), રેસીન (લિસી ડી પોઈટિયર્સ), ઓગિયર (લિસી ડી કેન), વી. નિબીલોવ્સ્કી અને એલ. હેનરી લોરેઝનો સમાવેશ થાય છે. કીપર્ટનો ઉકેલ અન્ય કરતાં વધુ સંપૂર્ણ હતો. સંદર્ભ ત્રિકોણ સમસ્યાઓ