Equidiagonal quadrilateral
યુક્લિડિયન ભૂમિતિમાં, સમકોણ ચતુર્ભુજ એ બહિર્મુખ ચતુર્ભુજ છે જેની બે કર્ણ સમાન લંબાઈ ધરાવે છે. સમકોણ ચતુર્ભુજ પ્રાચીન ભારતીય ગણિતમાં મહત્વપૂર્ણ હતા, જ્યાં ચતુર્ભુજને પહેલા સમકોણ અને પછી વધુ વિશિષ્ટ પ્રકારોમાં વર્ગીકૃત કરવામાં આવતા હતા. સમકોણ ચતુષ્કોણના ઉદાહરણોમાં સમદ્વિબાહુ ટ્રેપેઝોઇડ્સ, લંબચોરસ અને ચોરસનો સમાવેશ થાય છે. તમામ ચતુર્ભુજમાં, જે આકાર તેની પરિમિતિ અને તેના વ્યાસનો સૌથી મોટો ગુણોત્તર ધરાવે છે તે π/3,5π/12,5π/6, અને 5π/12 ખૂણાઓ સાથેનું સમકોણ પતંગ છે. લાક્ષણિકતાઓ બહિર્મુખ ચતુર્ભુજ સમકોણ હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તેનો વેરિગ્નન સમાંતર ચતુર્ભુજ, તેની બાજુઓના મધ્યબિંદુઓ દ્વારા રચાયેલ સમાંતર ચતુર્ભુજ, એક સમભુજ હોય. એક સમકક્ષ શરત એ છે કે ચતુર્ભુજના દ્વિમિતીય (વેરિગ્નન સમાંતર ચતુર્ભુજના કર્ણ) લંબરૂપ હોય છે. કર્ણ લંબાઈ અને દ્વિ-મધ્યમ લંબાઈ ધરાવતો બહિર્મુખ ચતુર્ભુજ અને જો અને માત્ર ત્યારે જ સમ-કર્ણ હોય તો સમ-કર્ણ ચતુર્ભુજનું ક્ષેત્રફળ K સરળતાથી ગણતરી કરી શકાય છે જો દ્વિ-મધ્યમ m અને n ની લંબાઈ જાણીતી હોય. ચતુષ્કોણ સમકોણ હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો આ એ હકીકતનું સીધું પરિણામ હોય કે બહિર્મુખ ચતુર્ભુજનું ક્ષેત્રફળ તેના વેરિગ્નન સમાંતર ચતુર્ભુજના ક્ષેત્રફળ કરતા બમણું હોય અને આ સમાંતર ચતુર્ભુજના કર્ણ ચતુર્ભુજના દ્વિધામાં હોય. દ્વિમિતીયની લંબાઈ માટેના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને, વિસ્તારને સમકોણ ચતુર્ભુજની બાજુઓ a, b, c, d અને કર્ણના મધ્યબિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર x ના સંદર્ભમાં પણ વ્યક્ત કરી શકાય છે કારણ કે અન્ય ક્ષેત્ર સૂત્રો બહિર્મુખ ચતુર્ભુજના ક્ષેત્ર માટે સૂત્રોમાં p = q સુયોજિત કરીને મેળવી શકાય છે. અન્ય પ્રકારના ચતુર્ભુજ સાથેનો સંબંધ એક સમાંતર ચતુર્ભુજ સમકોણ હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તે એક લંબચોરસ હોય, અને સમકોણ સમકોણ હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તે સમદ્વિબાહુ સમકોણ હોય. ચક્રીય સમકોણ ચતુર્ભુજ બરાબર સમદ્વિબાહુ ટ્રેપેઝોઇડ્સ છે. સમકોણ ચતુર્ભુજ અને લંબકોણ ચતુર્ભુજ વચ્ચે દ્વૈતતા છેઃ એક ચતુર્ભુજ સમકોણ હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તેનો વેરિગ્નન સમાંતર ચતુર્ભુજ લંબકોણ (એક લંબચોરસ) હોય, અને ચતુર્ભુજ લંબકોણ હોય જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તેનો વેરિગ્નન સમાંતર ચતુર્ભુજ સમકોણ (એક લંબચોરસ) હોય. સમાનરૂપે, ચતુર્ભુજમાં સમાન કર્ણ હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તેમાં લંબરૂપ દ્વિમિતીય હોય, અને તેમાં લંબરૂપ વિકર્ણ હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તેમાં સમાન દ્વિમિતીય હોય. તે વેન ઔબેલના પ્રમેયના સામાન્યીકરણ દ્વારા સમકોણ અને લંબકોણ ચતુર્ભુજ વચ્ચે વધુ જોડાણો આપે છે. ચતુર્ભુજ કે જે બંને લંબચોરસ અને સમકોણ હોય છે, અને જેમાં કર્ણ ઓછામાં ઓછા ચતુર્ભુજની બધી બાજુઓ જેટલા લાંબા હોય છે, તે તમામ ચતુર્ભુજ વચ્ચે તેમના વ્યાસ માટે મહત્તમ વિસ્તાર ધરાવે છે, જે સૌથી મોટી નાની બહુકોણ સમસ્યાના n = 4 કેસને હલ કરે છે. ચોરસ એ એક એવો ચતુર્ભુજ છે, પરંતુ અન્ય ઘણા અનંત છે. સમકોણાકાર, લંબકોણાકાર ચતુર્ભુજને મધ્ય-ચોરસ ચતુર્ભુજ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે કારણ કે તે એકમાત્ર એવા ચતુર્ભુજ છે જેના માટે વેરિગ્નન સમાંતર ચતુર્ભુજ (ચતુર્ભુજ બાજુઓના મધ્યબિંદુઓ પર શિરોબિંદુઓ સાથે) એક ચોરસ છે. આવા ચતુર્ભુજ, ક્રમિક બાજુઓ a, b, c, d સાથે, ક્ષેત્રફળ ધરાવે છે A મધ્ય ચોરસ સમાંતર ચતુર્ભુજ બરાબર એક ચોરસ છે. સંદર્ભો ચતુર્ભુજોનાં પ્રકારો