Thales's theorem
ભૂમિતિમાં, થેલ્સનો પ્રમેય જણાવે છે કે જો, અને વર્તુળ પર અલગ બિંદુઓ હોય જ્યાં રેખા વ્યાસ હોય, તો કોણ એક સમકોણ છે. થેલ્સનો પ્રમેય એ અંકિત કોણ પ્રમેયનો એક વિશેષ કેસ છે અને તેનો ઉલ્લેખ યુક્લિડના તત્વોના ત્રીજા પુસ્તકમાં 31મા પ્રસ્તાવના ભાગ રૂપે કરવામાં આવ્યો છે અને સાબિત કરવામાં આવ્યો છે. તે સામાન્ય રીતે મિલેટસના થેલ્સને આભારી છે, પરંતુ કેટલીકવાર તે પાયથાગોરસને આભારી છે. ઇતિહાસ બેબીલોનીયન ગણિતશાસ્ત્રીઓ ગ્રીક ગણિતશાસ્ત્રીઓએ તેને સાબિત કર્યું તે પહેલાં ખાસ કિસ્સાઓમાં આ જાણતા હતા. થેલ્સ ઓફ મિલેટસ (ઇ. સ. પૂ. 6 ઠ્ઠી સદીની શરૂઆતમાં) ને પરંપરાગત રીતે આ સિદ્ધાંતને સાબિત કરવાનો શ્રેય આપવામાં આવે છે; જો કે, ઇ. સ. પૂ. 5 મી સદી સુધીમાં પણ થેલ્સના લેખનમાં કંઈ જ અસ્તિત્વમાં નહોતું, અને શોધ અને વિચારોને થેલ્સ અને પાયથાગોરસ જેવા શાણપણવાળા માણસોને પાછળથી ડોક્સોગ્રાફર્સ દ્વારા અફવાઓ અને અટકળો પર આધારિત ગણાવવામાં આવ્યા હતા. થેલ્સનો સંદર્ભ પ્રોક્લસ (ઇ. સ. 5મી સદી) દ્વારા અને ડાયોજીન્સ લાર્ટિયસ (ઇ. સ. 3જી સદી) દ્વારા પેમ્ફિલાના (ઇ. સ. 1લી સદી) નિવેદનનું દસ્તાવેજીકરણ કરીને કરવામાં આવ્યો હતો કે થેલ્સ "વર્તુળમાં જમણા ખૂણા ત્રિકોણ લખનાર પ્રથમ વ્યક્તિ હતા". થેલ્સે ઇજિપ્ત અને બેબીલોનીયાની યાત્રા કરી હોવાનો દાવો કરવામાં આવ્યો હતો, જ્યાં તેમણે ભૂમિતિ અને ખગોળશાસ્ત્ર વિશે શીખ્યા હોવાનું માનવામાં આવે છે અને ત્યાંથી તેઓ ગ્રીકો સુધી તેમનું જ્ઞાન લાવ્યા હતા, સાથે સાથે ભૌમિતિક સાબિતીની વિભાવનાની શોધ કરી હતી અને વિવિધ ભૌમિતિક પ્રમેયો સાબિત કર્યા હતા. જો કે, આમાંના કોઈપણ દાવાઓ માટે કોઈ સીધો પુરાવો નથી, અને તે મોટે ભાગે સટ્ટાકીય તર્કની શોધ હતી. આધુનિક વિદ્વાનો માને છે કે યુક્લિડના તત્વોમાં જોવા મળતી ગ્રીક અનુમાનાત્મક ભૂમિતિ ઇ. સ. પૂર્વે ચોથી સદી સુધી વિકસાવવામાં આવી ન હતી, અને થેલ્સનું કોઈપણ ભૌમિતિક જ્ઞાન નિરીક્ષણાત્મક હોત. આ પ્રમેય યુક્લિડના એલિમેન્ટ્સ () ના પુસ્તક II માં દરખાસ્ત 31 તરીકે જોવા મળે છેઃ "વર્તુળમાં અર્ધવર્તુળનો કોણ સાચો હોય છે, મોટા ભાગમાં જમણા ખૂણા કરતા ઓછો હોય છે, અને ઓછા ભાગમાં જમણા ખૂણા કરતા મોટો હોય છે; આગળ મોટા ખંડનો કોણ જમણા ખૂણા કરતા મોટો હોય છે, અને ઓછા ખંડનો કોણ જમણા ખૂણા કરતા ઓછો હોય છે". દાંતેનો પેરાડિસો (કેન્ટો 13, રેખાઓ 101-102) ભાષણ દરમિયાન થેલ્સના પ્રમેયનો ઉલ્લેખ કરે છે. પુરાવો પ્રથમ પુરાવો નીચેની હકીકતો વપરાય છેઃ ત્રિકોણમાં ખૂણાઓનો સરવાળો 180° જેટલો હોય છે અને સમદ્વિબાહુ ત્રિકોણના આધાર ખૂણાઓ સમાન હોય છે. કારણ કે, અને સમદ્વિબાહુ ત્રિકોણ છે, અને સમદ્વિબાહુ ત્રિકોણના આધાર ખૂણાઓની સમાનતા દ્વારા, અને. દો અને. ત્રિકોણના ત્રણ આંતરિક ખૂણાઓ છે, અને. ત્રિકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો 180° જેટલો હોવાથી આપણી પાસે Q. E. D છે. બીજો પુરાવો પ્રમેયને ત્રિકોણમિતિઃ ધારો, અને નો ઉપયોગ કરીને પણ સાબિત કરી શકાય છે. પછી એકમ વર્તુળ પર એક બિંદુ છે. આપણે તે સાબિત કરીને બતાવીશું કે જમણો કોણ બનાવે છે અને તે લંબ છે-એટલે કે, તેમના ઢોળાવની ઉપજ −1 ની બરાબર છે. આપણે અને માટે ઢોળાવની ગણતરી કરીએ છીએઃ પછી આપણે બતાવીએ છીએ કે તેમનો ગુણાકાર −1 બરાબર છેઃ પાયથાગોરિયન ત્રિકોણમિતીય ઓળખ ત્રીજા સાબિતીના ઉપયોગની નોંધ લો ચાલો વર્તુળમાં ત્રિકોણ હોઈએ જ્યાં તે વર્તુળમાં વ્યાસ હોય. પછી રેખા પર પ્રતિબિંબિત કરીને એક નવો ત્રિકોણ બનાવો અને પછી તેને વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી લંબરૂપ રેખા પર ફરીથી પ્રતિબિંબિત કરો. રેખાઓ અને રેખાઓ સમાંતર હોવાથી, તેવી જ રીતે અને માટે, ચતુર્ભુજ એક સમાંતર ચતુર્ભુજ છે. રેખાઓ અને સમાંતર ચતુર્ભુજના કર્ણ બંને વર્તુળના વ્યાસ છે અને તેથી સમાન લંબાઈ ધરાવે છે, તેથી સમાંતર ચતુર્ભુજ એક લંબચોરસ હોવો જોઈએ. એક લંબચોરસમાં બધા ખૂણાઓ સમકોણ હોય છે. કોઈપણ ત્રિકોણ માટે, અને, ખાસ કરીને, કોઈપણ જમણા ત્રિકોણ માટે, ત્રિકોણના ત્રણેય શિરોબિંદુઓ ધરાવતું બરાબર એક વર્તુળ હોય છે. (સાબિતીનું સ્કેચ. આપેલ બે બિંદુઓથી સમાન અંતરે આવેલા બિંદુઓનું સ્થાન એક સીધી રેખા છે જેને બિંદુઓને જોડતા રેખા ખંડનું લંબ દ્વિભાજક કહેવામાં આવે છે. ત્રિકોણની કોઈપણ બે બાજુઓના લંબરૂપ દ્વિભાજક બરાબર એક બિંદુએ છેદે છે. આ બિંદુ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓથી સમાન અંતરે હોવું જોઈએ.) આ વર્તુળને ત્રિકોણનું વર્તુળ કહેવામાં આવે છે. થેલ્સના પ્રમેયને ઘડવાની એક રીત છેઃ જો ત્રિકોણના પરિઘવૃત્તનું કેન્દ્ર ત્રિકોણ પર હોય તો ત્રિકોણ જમણો હોય છે, અને તેના પરિઘવૃત્તનું કેન્દ્ર તેના હાયપોટેન્યુઝ પર હોય છે. થેલ્સના પ્રમેયની વિપરીતતા એ છેઃ જમણા ત્રિકોણના પરિઘનું કેન્દ્ર તેના હાયપોટેન્યુઝ પર આવેલું છે. (સમાનરૂપે, જમણા ત્રિકોણનો હાયપોટેન્યુઝ તેના પરિઘવૃત્તનો વ્યાસ છે.) ભૂમિતિના ઉપયોગથી વિપરીતનો પુરાવો આ પુરાવો લંબચોરસ બનાવવા માટે જમણા ત્રિકોણને 'પૂર્ણ' કરે છે અને નોંધે છે કે તે લંબચોરસનું કેન્દ્ર શિરોબિંદુઓથી સમાન અંતરે છે અને તે જ રીતે મૂળ ત્રિકોણના પરિઘાકાર વર્તુળનું કેન્દ્ર પણ છે, તે બે તથ્યોનો ઉપયોગ કરે છેઃ સમાંતર ચતુર્ભુજમાં નજીકના ખૂણા પૂરક (180 ° માં ઉમેરો) હોય છે અને, લંબચોરસના કર્ણ સમાન હોય છે અને તેમના મધ્યબિંદુમાં એકબીજાને પાર કરે છે. ચાલો ત્યાં એક જમણો ખૂણો, પસાર થવાની સમાંતર એક રેખા અને પસાર થવાની સમાંતર એક રેખા હોય. ચાલો રેખાઓના આંતરછેદનું બિંદુ અને. (તે સાબિત થયું નથી કે તે વર્તુળ પર આવેલું છે.) ચતુર્ભુજ રચના દ્વારા સમાંતર ચતુર્ભુજ બનાવે છે (કારણ કે વિરુદ્ધ બાજુઓ સમાંતર હોય છે). સમાંતર ચતુર્ભુજમાં અડીને આવેલા ખૂણાઓ પૂરક (180°માં ઉમેરો) અને સમકોણ (90°) હોવાથી ખૂણાઓ પણ જમણા (90°) હોય છે; પરિણામે તે એક લંબચોરસ છે. ચાલો કર્ણના આંતરછેદનું બિંદુ અને. પછી બિંદુ, ઉપરની બીજી હકીકત દ્વારા,, અને થી સમાન અંતરે છે. અને તે જ રીતે પરિઘાકાર વર્તુળનું કેન્દ્ર છે, અને ત્રિકોણ () નો હાયપોટેન્યુઝ એ વર્તુળનો વ્યાસ છે. ભૂમિતિના ઉપયોગથી વિપરીતનો વૈકલ્પિક પુરાવો હાયપોટેન્યુઝ સાથે જમણો ત્રિકોણ આપવામાં આવે તો, એક વર્તુળ બનાવો જેનો વ્યાસ છે. ચાલો તેનું કેન્દ્ર બનીએ. ચાલો અને કિરણનું આંતરછેદ હોઈએ. થેલ્સના પ્રમેય મુજબ, તે સાચું છે. પરંતુ પછી સમાન હોવું જોઈએ. (જો અંદર આવેલું હોય, તો તે અસ્પષ્ટ હશે, અને જો બહાર આવેલું હોય, તો તે તીવ્ર હશે.) રેખીય બીજગણિતનો ઉપયોગ કરીને વિપરીતનો પુરાવો આ પુરાવો બે તથ્યોનો ઉપયોગ કરે છેઃ બે રેખાઓ જમણો કોણ બનાવે છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તેમના દિશાત્મક વેક્ટરનું ડોટ પ્રોડક્ટ શૂન્ય હોય, અને વેક્ટરની લંબાઈનો વર્ગ વેક્ટરના ડોટ પ્રોડક્ટ દ્વારા આપવામાં આવે. ચાલો એક જમણો ખૂણો અને વ્યાસ સાથે વર્તુળ હોય. સરળ ગણતરી માટે, M નું કેન્દ્ર મૂળ પર આવેલું છે. પછી આપણે જાણી શકીએ છીએ, કારણ કે મૂળ પર કેન્દ્રિત વર્તુળનો વ્યાસ છે, અને, કારણ કે તે એક જમણો ખૂણો છે. તે અનુસરે છે આનો અર્થ એ છે કે અને મૂળથી સમાન અંતરે છે, એટલે કે કેન્દ્રમાંથી. કારણ કે તે પર આવેલું છે, તેથી તે કરે છે, અને તેથી વર્તુળ ત્રિકોણનું પરિઘ છે. ઉપરોક્ત ગણતરીઓ હકીકતમાં સ્થાપિત કરે છે કે થેલ્સના પ્રમેયની બંને દિશાઓ કોઈપણ આંતરિક ઉત્પાદન અવકાશમાં માન્ય છે. સામાન્યીકરણ અને સંબંધિત પરિણામો થેલ્સની પ્રમેય એ નીચેના પ્રમેયનો એક વિશેષ કિસ્સો છેઃ ત્રણ બિંદુઓ આપવામાં આવે છે, અને કેન્દ્ર સાથેના વર્તુળ પર, કોણ ખૂણા કરતા બમણો મોટો હોય છે. અંકિત ખૂણો જુઓ, આ પ્રમેયનો પુરાવો ઉપર આપેલા થેલ્સના પ્રમેયના પુરાવો જેવો જ છે. થેલ્સના પ્રમેય સાથે સંબંધિત પરિણામ નીચે મુજબ છેઃ જો વર્તુળનો વ્યાસ હોય, તોઃ જો વર્તુળની અંદર હોય, તો જો વર્તુળ પર હોય, તો જો વર્તુળની બહાર હોય, તો. એપ્લિકેશન થેલ્સના પ્રમેયનો ઉપયોગ આપેલ વર્તુળમાં સ્પર્શક બનાવવા માટે થઈ શકે છે જે આપેલ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે. જમણી બાજુની આકૃતિમાં, કેન્દ્ર સાથેનું વર્તુળ અને બહારનું બિંદુ આપવામાં આવ્યું છે, કેન્દ્ર સાથે ત્રિજ્યાનું વર્તુળ બે ભાગમાં વિભાજીત કરો અને દોરો. આ વર્તુળનો વ્યાસ છે, તેથી ઓપીને બિંદુઓ સાથે જોડતા ત્રિકોણ અને જ્યાં વર્તુળો છેદે છે તે બંને જમણા ત્રિકોણ છે. થેલ્સના પ્રમેયનો ઉપયોગ સમકોણવાળા પદાર્થનો ઉપયોગ કરીને વર્તુળનું કેન્દ્ર શોધવા માટે પણ થઈ શકે છે, જેમ કે વર્તુળ કરતા મોટા કાગળની ચોરસ અથવા લંબચોરસ શીટ. કોણ તેના પરિઘ પર ગમે ત્યાં મૂકવામાં આવે છે (આકૃતિ 1). પરિઘ સાથે બંને બાજુના આંતરછેદો વ્યાસને વ્યાખ્યાયિત કરે છે (આકૃતિ 2). આંતરછેદોના જુદા જુદા સમૂહ સાથે આનું પુનરાવર્તન કરવાથી બીજો વ્યાસ મળે છે (આકૃતિ 3). કેન્દ્ર વ્યાસના આંતરછેદ પર છે. આ પણ જુઓ સિન્થેટિક ભૂમિતિ ઇન્વર્સ પાયથાગોરિયન થીયરમ નોટ્સ રેફરન્સસ એક્સટર્નલ લિંક્સ મુંચિંગ ઓન ઇન્સ્ક્રાઇબ્ડ એન્ગલ્સ થેલ્સના થીયરમને સમજાવવામાં આવ્યું છે, જેમાં ઇન્ટરેક્ટિવ એનિમેશન માઇકલ શ્રેઇબર દ્વારા થેલ્સના થીયરમના ડેમોઝ, ધ વોલ્ફ્રેમ ડેમોન્સ્ટ્રેશન પ્રોજેક્ટનો સમાવેશ થાય છે. યુક્લિડિયન સમતલ ભૂમિતિ પુરાવાઓ ધરાવતા લેખો જમણા ત્રિકોણ વિશેના પ્રમેયો ત્રિકોણ અને વર્તુળો વિશેના પ્રમેયોઃ ટિયોરેમા ડી Tales#Segundo ટિયોરેમા હેઃ мсφτ талс #המשפט асни