Hasse diagram
ક્રમ સિદ્ધાંતમાં, હાસ્સ આકૃતિ (;) એ ગાણિતિક આકૃતિનો એક પ્રકાર છે જેનો ઉપયોગ મર્યાદિત આંશિક રીતે ક્રમબદ્ધ સમૂહને તેના સંક્રમક ઘટાડાના ચિત્રના સ્વરૂપમાં રજૂ કરવા માટે થાય છે. ચોક્કસપણે, આંશિક રીતે ક્રમાંકિત સમૂહ માટે એક સમતલમાં શિરોબિંદુ તરીકે દરેક તત્વનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે અને એક રેખા ખંડ અથવા વળાંક ખેંચે છે જે જ્યારે પણ આવરી લે છે (એટલે કે, જ્યારે પણ, અને તેનાથી અને તેની સાથે કોઈ અલગ નથી) ત્યારે એક શિરોબિંદુથી બીજા શિરોબિંદુ સુધી ઉપરની તરફ જાય છે. આ વળાંકો એકબીજાને પાર કરી શકે છે પરંતુ તેમના અંતિમ બિંદુઓ સિવાયના કોઈપણ શિરોબિંદુઓને સ્પર્શ ન કરવો જોઈએ. લેબલ કરેલા શિરોબિંદુઓ સાથેની આવી આકૃતિ, તેના આંશિક ક્રમને અનન્ય રીતે નક્કી કરે છે. હાસ્સ આકૃતિઓનું નામ હેલ્મુટ હાસ્સ (1898-1979) પરથી રાખવામાં આવ્યું છે; ગેરેટ બિરખોફના જણાવ્યા અનુસાર, તેમના અસરકારક ઉપયોગને કારણે તેમને હાસ્સ કહેવામાં આવે છે. જો કે, હાસ્સે આ આકૃતિઓનો ઉપયોગ કરનાર પ્રથમ વ્યક્તિ ન હતા. હસની પહેલાનું એક ઉદાહરણ અહીં મળી શકે છે. હાસ્સ આકૃતિઓ મૂળરૂપે હાથ દ્વારા આંશિક રીતે ક્રમબદ્ધ સમૂહોના રેખાંકનો બનાવવા માટેની તકનીક તરીકે તૈયાર કરવામાં આવી હતી, તેમ છતાં તેઓ તાજેતરમાં ગ્રાફ રેખાંકન તકનીકોનો ઉપયોગ કરીને આપમેળે બનાવવામાં આવ્યા છે. શબ્દસમૂહ "હાસ આકૃતિ" એ અમૂર્ત નિર્દેશિત એસાયક્લિક ગ્રાફ તરીકે સંક્રમક ઘટાડાનો પણ ઉલ્લેખ કરી શકે છે, જે તે ગ્રાફના કોઈપણ ચિત્રથી સ્વતંત્ર છે, પરંતુ આ ઉપયોગ અહીં ટાળવામાં આવ્યો છે. જો કે હાસ આકૃતિઓ સરળ, તેમજ સાહજિક, મર્યાદિત સ્થિતિઓ સાથે વ્યવહાર કરવા માટેના સાધનો છે, તેમ છતાં "સારા" આકૃતિઓ દોરવાનું મુશ્કેલ હોવાનું બહાર આવ્યું છે. કારણ એ છે કે, સામાન્ય રીતે, આપેલ સ્થિતિ માટે હાસ આકૃતિ દોરવાની ઘણી જુદી જુદી સંભવિત રીતો છે. માત્ર ક્રમના ન્યૂનતમ ઘટકોથી શરૂ કરવાની અને પછી વધુને વધુ ઘટકો વધારવાની સરળ તકનીક ઘણીવાર ખૂબ નબળા પરિણામો ઉત્પન્ન કરે છેઃ ક્રમની સમપ્રમાણતા અને આંતરિક રચના સરળતાથી ખોવાઈ જાય છે. નીચેનું ઉદાહરણ આ મુદ્દાને દર્શાવે છે. સમાવેશ દ્વારા આદેશિત 4-ઘટક સમૂહના પાવર સમૂહને ધ્યાનમાં લો. આ આંશિક ક્રમ માટે નીચે ચાર અલગ-અલગ હાસ આકૃતિઓ છે. દરેક સબસેટમાં દ્વિસંગી એન્કોડિંગ સાથે લેબલ થયેલ નોડ હોય છે જે દર્શાવે છે કે કોઈ ચોક્કસ તત્વ સબસેટ (1) માં છે કે નહીં (0): પ્રથમ આકૃતિ સ્પષ્ટ કરે છે કે પાવર સેટ એ ગ્રેડેડ પોસેટ છે. બીજી આકૃતિમાં સમાન શ્રેણીબદ્ધ માળખું છે, પરંતુ કેટલીક ધારને અન્ય કરતા લાંબી બનાવીને, તે ભારપૂર્વક જણાવે છે કે 4-પરિમાણીય સમઘન એ બે 3-પરિમાણીય સમઘનનું સંયોજન છે, અને તે જ રીતે ટેટ્રાહેડ્રોન (અમૂર્ત 3-બહુપદી) બે ત્રિકોણ (અમૂર્ત 2-બહુપદી) નું વિલિનીકરણ કરે છે. ત્રીજી આકૃતિ માળખાની કેટલીક આંતરિક સમપ્રમાણતા દર્શાવે છે. ચોથી આકૃતિમાં શિરોબિંદુઓ 4×4 ગ્રીડમાં ગોઠવાયેલા છે. ઉપરની તરફની સમતોલતા જો આંશિક ક્રમ હાસ આકૃતિ તરીકે દોરી શકાય જેમાં કોઈ બે ધાર ઓળંગતી નથી, તો તેનો આવરણ આલેખ ઉપરની તરફનો સમતોલ હોવાનું કહેવાય છે. ઉપરની તરફના સમતલતા અને ક્રોસિંગ-ફ્રી હાસ્સ આકૃતિ નિર્માણ પર સંખ્યાબંધ પરિણામો જાણીતા છેઃ જો દોરવાનો આંશિક ક્રમ જાળી હોય, તો તે ક્રોસિંગ વિના દોરવામાં આવી શકે છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તેમાં મહત્તમ બે ક્રમ પરિમાણ હોય. આ કિસ્સામાં, ક્રમના પરિમાણને સમજીને બે રેખીય ક્રમમાં તત્વો માટે તેમની સ્થિતિમાંથી કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સ મેળવીને, અને પછી ચિત્રને 45-ડિગ્રી ખૂણા દ્વારા ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં ફેરવીને બિન-ક્રોસિંગ રેખાંકન શોધી શકાય છે. જો આંશિક ક્રમમાં મહત્તમ એક ન્યૂનતમ તત્વ હોય, અથવા તેમાં મહત્તમ એક મહત્તમ તત્વ હોય, તો તે રેખીય સમયમાં ચકાસી શકાય છે કે શું તેની પાસે નોન-ક્રોસિંગ હાસ આકૃતિ છે કે કેમ. બહુવિધ સ્રોતો અને સિંક સાથેનો આંશિક ક્રમ ક્રોસિંગ-ફ્રી હાસ્સ આકૃતિ તરીકે દોરી શકાય છે કે કેમ તે નક્કી કરવા માટે તે એન. પી.-પૂર્ણ છે. જો કે, ક્રોસિંગ-ફ્રી હાસ આકૃતિ શોધવી એ નિશ્ચિત-પરિમાણ ટ્રેક્ટેબલ છે જ્યારે ઉચ્ચારણ બિંદુઓની સંખ્યા અને આંશિક ક્રમના સંક્રમક ઘટાડાના ત્રિકોણીય જોડાયેલા ઘટકો દ્વારા પરિમાણિત કરવામાં આવે છે. જો આંશિક ક્રમના તત્વોના y-કોઓર્ડિનેટ્સ સ્પષ્ટ કરવામાં આવે, તો તે કોઓર્ડિનેટ સોંપણીઓને માન આપતી ક્રોસિંગ-ફ્રી હાસ આકૃતિ રેખીય સમયમાં મળી શકે છે, જો આવી આકૃતિ અસ્તિત્વમાં હોય. ખાસ કરીને, જો ઇનપુટ પોસેટ એક ગ્રેડેડ પોસેટ હોય, તો તે રેખીય સમયમાં નક્કી કરવું શક્ય છે કે શું ત્યાં ક્રોસિંગ-ફ્રી હાસ્સ આકૃતિ છે કે જેમાં દરેક શિરોબિંદુની ઊંચાઈ તેના ક્રમના પ્રમાણસર છે. યુ. એમ. એલ. નોટેશન સોફ્ટવેર એન્જિનિયરિંગમાં, સોફ્ટવેર સિસ્ટમના વર્ગો અને આ વર્ગો વચ્ચેના વારસાના સંબંધને ઘણીવાર ક્લાસ ડાયાગ્રામનો ઉપયોગ કરીને દર્શાવવામાં આવે છે, જે હાસ્સ ડાયાગ્રામનું એક સ્વરૂપ છે જેમાં વર્ગોને જોડતી કિનારીઓ સુપરક્લાસના છેડે ખુલ્લા ત્રિકોણ સાથે નક્કર રેખા સેગમેન્ટ્સ તરીકે દોરવામાં આવે છે. નોંધો સંદર્ભો બાહ્ય કડીઓ આકૃતિઓ નિર્દેશિત ચક્રીય આલેખ આલેખ રેખાંકન સમૂહ સિદ્ધાંતમાં ગ્રાફિકલ વિભાવનાઓ ક્રમ સિદ્ધાંત