Plateau's problem
ગણિતમાં, ઉચ્ચપ્રદેશની સમસ્યા આપેલ સીમા સાથે ન્યૂનતમ સપાટીના અસ્તિત્વને દર્શાવવાની છે, જે સમસ્યા જોસેફ-લુઇસ લેગ્રાન્જે 1760માં ઉભી કરી હતી. જો કે, તેનું નામ જોસેફ પ્લેટુના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે જેમણે સાબુ ફિલ્મો સાથે પ્રયોગ કર્યો હતો. આ સમસ્યાને વિવિધતાના કલનનો ભાગ માનવામાં આવે છે. અસ્તિત્વ અને નિયમિતતાની સમસ્યાઓ ભૌમિતિક માપન સિદ્ધાંતનો એક ભાગ છે. સમસ્યાના વિવિધ વિશિષ્ટ સ્વરૂપોનું સમાધાન કરવામાં આવ્યું હતું, પરંતુ 1930માં જ જેસી ડગ્લાસ અને ટિબોર રાડો દ્વારા સ્વતંત્ર રીતે મેપિંગ (નિમજ્જન) ના સંદર્ભમાં સામાન્ય ઉકેલો મળી આવ્યા હતા. તેમની પદ્ધતિઓ તદ્દન અલગ હતી; રેડોનું કાર્ય રેને ગાર્નિયરના અગાઉના કાર્ય પર બાંધવામાં આવ્યું હતું અને માત્ર સુધારી શકાય તેવા સરળ બંધ વળાંક માટે રાખવામાં આવ્યું હતું, જ્યારે ડગ્લાસે મનસ્વી સરળ બંધ વળાંક માટે તેના પરિણામ હોલ્ડિંગ સાથે સંપૂર્ણપણે નવા વિચારોનો ઉપયોગ કર્યો હતો. બંને લઘુતમ સમસ્યાઓ સ્થાપિત કરવા પર આધાર રાખતા હતા; ડગ્લાસે હવે નામ આપવામાં આવેલા ડગ્લાસ ઇન્ટિગ્રલને લઘુતમ કર્યું જ્યારે રાડોએ "ઊર્જા" ને લઘુતમ કરી. ડગ્લાસને તેમના પ્રયાસો માટે 1936માં ફીલ્ડ્સ મેડલ એનાયત કરવામાં આવ્યો હતો. ઉચ્ચ પરિમાણોમાં સમસ્યાનું ઉચ્ચ પરિમાણો સુધી વિસ્તરણ (એટલે કે,-પરિમાણીય અવકાશમાં-પરિમાણીય સપાટીઓ માટે) અભ્યાસ કરવો વધુ મુશ્કેલ હોવાનું બહાર આવ્યું છે. વધુમાં, જ્યારે મૂળ સમસ્યાના ઉકેલો હંમેશા નિયમિત હોય છે, ત્યારે તે તારણ આપે છે કે વિસ્તૃત સમસ્યાના ઉકેલોમાં એકલતા હોઈ શકે છે. હાઇપરસર્ફેસ કિસ્સામાં જ્યાં, સિંગ્યુલારીટીઝ માત્ર માટે જ થાય છે. ઉચ્ચપ્રદેશની સમસ્યાના આવા એકવચન ઉકેલનું ઉદાહરણ સિમોન્સ શંકુ છે, જેમાં એક શંકુ છે જેનું વર્ણન સૌપ્રથમ જિમ સિમોન્સ દ્વારા કરવામાં આવ્યું હતું અને બોમ્બેરી, ડી જ્યોર્જી અને ગ્યુસ્ટી દ્વારા તેને ક્ષેત્ર લઘુતમ કરનાર તરીકે દર્શાવવામાં આવ્યું હતું. અમુક ખાસ કિસ્સાઓમાં વિસ્તૃત સમસ્યાને ઉકેલવા માટે, કોડિમેન્શન 1 માટે પરિમિતિનો સિદ્ધાંત (ડી જ્યોર્જી) અને ઉચ્ચ કોડિમેન્શન માટે સુધારી શકાય તેવા પ્રવાહોનો સિદ્ધાંત (ફેડરર અને ફ્લેમિંગ) વિકસાવવામાં આવ્યો છે. આ સિદ્ધાંત કોડિમેન્શન 1 ઉકેલોના અસ્તિત્વની બાંયધરી આપે છે જે હૌસડોર્ફ પરિમાણના બંધ સમૂહથી સરળ હોય છે. ઉચ્ચ કોડિમેન્શનના કિસ્સામાં આલ્મગ્રેને તેમના નિયમિતતા પ્રમેયમાં મહત્તમ પરિમાણના એકવચન સમૂહ સાથે ઉકેલોનું અસ્તિત્વ સાબિત કર્યું. આલ્મગ્રેનના વિદ્યાર્થી એસ. એક્સ. ચાંગે આલ્મગ્રેનના કાર્ય પર નિર્માણ કર્યું હતું, જે દર્શાવે છે કે અભિન્ન પ્રવાહોને ઘટાડતા 2-પરિમાણીય ક્ષેત્રની એકવચનતા (મનસ્વી કોડીમેન્શનમાં) એક મર્યાદિત અલગ સમૂહ બનાવે છે. જેન્ની હેરિસન અને હેરિસન પુઘનો સ્વયંસિદ્ધ અભિગમ વિવિધ પ્રકારના વિશેષ કેસોની સારવાર કરે છે. ખાસ કરીને, તેઓ સામાન્ય હોમોલોજિકલ, કોહોમોલોજિકલ અથવા હોમોટોપિકલ ફેલાવાની પરિસ્થિતિઓના સંયોજનને સંતોષતા સુધારાત્મક સમૂહોના કોઈપણ સંગ્રહ માટે મનસ્વી પરિમાણ અને કોડિમેન્શનમાં અનિસોટ્રોપિક ઉચ્ચપ્રદેશની સમસ્યાનું સમાધાન કરે છે. હેરિસન-પુગના પરિણામોનો એક અલગ પુરાવો કેમિલો ડી લેલિસ, ફ્રાન્સેસ્કો ઘિરાલ્ડિન અને ફ્રાન્સેસ્કો મેગી દ્વારા મેળવવામાં આવ્યો હતો. ભૌતિક ઉપયોગો ભૌતિક સાબુની ફિલ્મો ફ્રેડરિક આલ્મગ્રેનના-લઘુતમ સમૂહો દ્વારા વધુ સચોટ રીતે તૈયાર કરવામાં આવે છે, પરંતુ સઘનતા પ્રમેયનો અભાવ વિસ્તાર લઘુતમકારનું અસ્તિત્વ સાબિત કરવાનું મુશ્કેલ બનાવે છે. આ સંદર્ભમાં, એક સતત ખુલ્લો પ્રશ્ન ઓછામાં ઓછા વિસ્તારની સાબુ ફિલ્મનું અસ્તિત્વ રહ્યો છે. અર્ન્સ્ટ રોબર્ટ રીફેનબર્ગે સીમાઓ માટે આવી "સાર્વત્રિક ઉચ્ચપ્રદેશની સમસ્યા" હલ કરી જે એક એમ્બેડેડ ગોળાઓ માટે હોમોમોર્ફિક છે. ડબલ બબલ અનુમાન ડિરીક્લેટ સિદ્ધાંત પ્લેટુના નિયમો પણ જુઓ સ્ટ્રેચ્ડ ગ્રીડ પદ્ધતિ બર્નસ્ટીનની સમસ્યા સંદર્ભો વિવિધતાની ગણતરી લઘુત્તમ સપાટીઓ ગાણિતિક સમસ્યાઓ