Jordan curve theorem
ટોપોલોજીમાં, જોર્ડન વળાંક પ્રમેય ભારપૂર્વક જણાવે છે કે દરેક જોર્ડન વળાંક (એક સમતલ સરળ બંધ વળાંક) સમતલને વળાંકથી ઘેરાયેલા "આંતરિક" પ્રદેશમાં અને નજીકના અને દૂરના તમામ બાહ્ય બિંદુઓ ધરાવતા "બાહ્ય" પ્રદેશમાં વિભાજિત કરે છે. એક પ્રદેશના બિંદુને બીજાના બિંદુ સાથે જોડતો દરેક સતત માર્ગ વળાંક સાથે ક્યાંક છેદે છે. જ્યારે આ પ્રમેય સહજ ભાવે સ્પષ્ટ લાગે છે, ત્યારે તેને પ્રાથમિક રીતે સાબિત કરવા માટે થોડી ચાતુર્યની જરૂર પડે છે. "જોકે જે. સી. ટી. એ સૌથી જાણીતા ટોપોલોજિકલ પ્રમેયોમાંનું એક છે, તેમ છતાં ઘણા એવા છે, વ્યાવસાયિક ગણિતશાસ્ત્રીઓમાં પણ, જેમણે ક્યારેય તેનો પુરાવો વાંચ્યો નથી". (). વધુ પારદર્શક પુરાવાઓ બીજગણિત ટોપોલોજીની ગાણિતિક મશીનરી પર આધાર રાખે છે, અને આ ઉચ્ચ-પરિમાણીય જગ્યાઓ તરફ સામાન્યીકરણ તરફ દોરી જાય છે. જોર્ડન વળાંક પ્રમેયનું નામ ગણિતશાસ્ત્રી કેમિલી જોર્ડન (1838-1922) ના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે, જેમણે તેનો પ્રથમ પુરાવો શોધી કાઢ્યો હતો. દાયકાઓ સુધી, ગણિતશાસ્ત્રીઓ સામાન્ય રીતે માનતા હતા કે આ સાબિતી ખોટી છે અને પ્રથમ સખત સાબિતી ઓસ્વાલ્ડ વેબ્લેન દ્વારા હાથ ધરવામાં આવી હતી. જો કે, થોમસ સી. હેલ્સ અને અન્ય લોકોએ આ વિચારને ઉલટાવી દીધો છે. જોર્ડન પ્રમેયની વ્યાખ્યાઓ અને નિવેદન એ જોર્ડન વળાંક અથવા સમતલ R2 માં એક સરળ બંધ વળાંક એ સમતલમાં વર્તુળના ઇન્જેક્ટિવ સતત નકશાની છબી C છે, φ: S1 → R2. સમતલમાં જોર્ડન ચાપ એ સમતલમાં બંધ અને બંધાયેલા અંતરાલના ઇન્જેક્ટિવ સતત નકશાની છબી છે. તે એક સમતલ વળાંક છે જે જરૂરી નથી કે તે સરળ હોય કે બીજગણિત હોય. વૈકલ્પિક રીતે, જોર્ડન વળાંક એ સતત નકશા φ: [0,1] → R2 ની છબી છે જેમ કે φ (0) = φ (1) અને φ થી [0,1) નું પ્રતિબંધ ઇન્જેક્ટિવ છે. પ્રથમ બે શરતો કહે છે કે C એ સતત વળાંક છે, જ્યારે છેલ્લી શરત નક્કી કરે છે કે C પાસે કોઈ સ્વ-વિચ્છેદન બિંદુ નથી. આ વ્યાખ્યાઓ સાથે, જોર્ડન વળાંક પ્રમેયને નીચે પ્રમાણે વર્ણવી શકાય છેઃ તેનાથી વિપરીત, સમતલમાં જોર્ડન ચાપનું પૂરક જોડાયેલું છે. પુરાવા અને સામાન્યીકરણ જોર્ડન વળાંક પ્રમેયને 1911માં એચ. લેબસેગ્યુ અને એલ. ઇ. જે. બ્રોવર દ્વારા સ્વતંત્ર રીતે ઉચ્ચ પરિમાણોમાં સામાન્યીકૃત કરવામાં આવ્યું હતું, જેના પરિણામે જોર્ડન-બ્રોવર વિભાજન પ્રમેય બન્યો હતો. પુરાવો સમરૂપતા સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરે છે. તે સૌપ્રથમ સ્થાપિત કરવામાં આવ્યું છે કે, વધુ સામાન્ય રીતે, જો X એ k-ગોળા માટે હોમોમોર્ફિક હોય, તો પછી Y = Rn + 1\X ના ઘટાડેલા અભિન્ન સમરૂપતા જૂથો નીચે મુજબ છેઃ આ મેયર-વિએટોરિસ ક્રમનો ઉપયોગ કરીને k માં ઇન્ડક્શન દ્વારા સાબિત થાય છે. જ્યારે n = k હોય, ત્યારે Y ની શૂન્ય ઘટાડેલી સમરૂપતા ક્રમ 1 ધરાવે છે, જેનો અર્થ છે કે Y પાસે 2 જોડાયેલા ઘટકો છે (જે, વધુમાં, પાથ સાથે જોડાયેલા છે), અને થોડી વધારાની કામગીરી સાથે, એક દર્શાવે છે કે તેમની સામાન્ય સીમા X છે. વધુ સામાન્યીકરણ જે. ડબલ્યુ. એલેક્ઝાન્ડર દ્વારા શોધાયું હતું, જેમણે આરએન + 1 ના કોમ્પેક્ટ સબસેટ એક્સના ઘટાડેલા સમરૂપતા અને તેના પૂરકના ઘટાડેલા સમરૂપતા વચ્ચે એલેક્ઝાન્ડર દ્વૈતની સ્થાપના કરી હતી. જો X એ સીમા વિના Rn + 1 (અથવા Sn + 1) નું n-પરિમાણીય કોમ્પેક્ટ જોડાયેલ સબમેનિફોલ્ડ હોય, તો તેના પૂરકમાં 2 જોડાયેલા ઘટકો હોય છે. જોર્ડન-સ્કોનફ્લાય પ્રમેય તરીકે ઓળખાતા જોર્ડન વળાંક પ્રમેયને મજબૂત બનાવવામાં આવ્યો છે, જે જણાવે છે કે R2માં જોર્ડન વળાંક દ્વારા નિર્ધારિત આંતરિક અને બાહ્ય સમતલીય પ્રદેશો એકમ ડિસ્કના આંતરિક અને બાહ્ય ભાગ માટે હોમોમોર્ફિક છે. ખાસ કરીને, આંતરિક પ્રદેશમાં કોઈપણ બિંદુ P અને જોર્ડન વળાંક પર એક બિંદુ A માટે, P ને A સાથે જોડતી જોર્ડન ચાપ અસ્તિત્વમાં છે અને, અંતિમ બિંદુ A ના અપવાદ સાથે, સંપૂર્ણપણે આંતરિક પ્રદેશમાં આવેલું છે. જોર્ડન-સ્કોનફ્લાય પ્રમેયની વૈકલ્પિક અને સમકક્ષ રચના ભારપૂર્વક જણાવે છે કે કોઈપણ જોર્ડન વળાંક φ: S1 → R2, જ્યાં S1 ને સમતલમાં એકમ વર્તુળ તરીકે જોવામાં આવે છે, તેને સમતલના હોમોમોર્ફિઝમ ±: R2 → R2 સુધી વિસ્તૃત કરી શકાય છે. લેબસ્ગ્યુ અને બ્રોવરના જોર્ડન વળાંક પ્રમેયના સામાન્યીકરણથી વિપરીત, આ નિવેદન ઉચ્ચ પરિમાણોમાં ખોટું બને છેઃ જ્યારે R3માં એકમ દડાની બાહ્ય બાજુ સરળતાથી જોડાયેલી હોય છે, કારણ કે તે એકમ ગોળા પર પાછું ખેંચે છે, એલેક્ઝાન્ડર શિંગવાળું ગોળા એ ગોળામાં R3 હોમોમોર્ફિકનો સબસેટ છે, પરંતુ અવકાશમાં એટલો વળાંક છે કે R3માં તેના પૂરકનો અમર્યાદિત ઘટક ફક્ત જોડાયેલ નથી, અને તેથી એકમ દડાની બાહ્ય બાજુએ હોમોમોર્ફિક નથી. જોર્ડન વક્ર પ્રમેયને બ્રોવર નિશ્ચિત બિંદુ પ્રમેય (2 પરિમાણોમાં) પરથી સાબિત કરી શકાય છે, અને બ્રોવર નિશ્ચિત બિંદુ પ્રમેયને હેક્સ પ્રમેય પરથી સાબિત કરી શકાય છેઃ "હેક્સની દરેક રમતમાં ઓછામાં ઓછો એક વિજેતા હોય છે", જેમાંથી આપણે તાર્કિક સૂચિતાર્થ મેળવીએ છીએઃ હેક્સ પ્રમેય બ્રોવર નિશ્ચિત બિંદુ પ્રમેય સૂચવે છે, જે જોર્ડન વક્ર પ્રમેય સૂચવે છે. તે સ્પષ્ટ છે કે જોર્ડન વળાંક પ્રમેય "મજબૂત હેક્સ પ્રમેય" સૂચવે છેઃ "હેક્સની દરેક રમત બરાબર એક વિજેતા સાથે સમાપ્ત થાય છે, જેમાં બંને પક્ષો હારવાની અથવા બંને પક્ષો જીતવાની કોઈ શક્યતા નથી", આમ જોર્ડન વળાંક પ્રમેય મજબૂત હેક્સ પ્રમેયની સમકક્ષ છે, જે સંપૂર્ણપણે અલગ પ્રમેય છે. બ્રોવર ફિક્સ્ડ પોઇન્ટ થીયરમ, બે સમકક્ષ પ્રમેયો વચ્ચે સેન્ડવિચ કરીને, બંનેની સમકક્ષ છે. વિપરીત ગણિત અને કોમ્પ્યુટર-ઔપચારિક ગણિતમાં, જોર્ડન વળાંક પ્રમેયને સામાન્ય રીતે પહેલા મજબૂત હેક્સ પ્રમેયની જેમ સમકક્ષ સ્વતંત્ર સંસ્કરણમાં રૂપાંતરિત કરીને, પછી સ્વતંત્ર સંસ્કરણ સાબિત કરીને સાબિત કરવામાં આવે છે. ઇમેજ પ્રોસેસિંગ માટે એપ્લિકેશન ઇમેજ પ્રોસેસિંગમાં, દ્વિસંગી ચિત્ર એ 0 અને 1 નું અલગ ચોરસ ગ્રીડ છે, અથવા સમકક્ષ રીતે, એક કોમ્પેક્ટ સબસેટ છે. જો યોગ્ય રીતે વ્યાખ્યાયિત આલેખ માળખું ન હોય તો, ઘટકોની સંખ્યા જેવા ટોપોલોજીકલ ફેરફારો સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં નિષ્ફળ થઈ શકે છે. તેના પર બે સ્પષ્ટ આલેખ માળખાં છેઃ "4-પડોશી ચોરસ ગ્રીડ", જ્યાં દરેક શિરોબિંદુ જોડાયેલ છે. "8-પડોશી ચોરસ ગ્રીડ", જ્યાં દરેક શિરોબિંદુ આઇ. એફ. એફ. સાથે જોડાયેલ છે, અને. બંને આલેખ માળખાં મજબૂત હેક્સ પ્રમેયને સંતોષવામાં નિષ્ફળ જાય છે. 4-પાડોશી ચોરસ ગ્રીડ કોઈ-વિજેતા પરિસ્થિતિને મંજૂરી આપે છે, અને 8-પડોશી ચોરસ ગ્રીડ બે-વિજેતા પરિસ્થિતિને મંજૂરી આપે છે. પરિણામે, જોર્ડન કર્વ થીયરમ જેવા જોડાણના ગુણધર્મો, ગ્રાફ માળખા હેઠળ સામાન્ય નથી. જો "6-પડોશી ચોરસ ગ્રીડ" માળખું તેના પર લાદવામાં આવે, તો તે ષટ્કોણ ગ્રીડ છે, અને આમ મજબૂત હેક્સ પ્રમેયને સંતોષે છે, જે જોર્ડન વળાંક પ્રમેયને સામાન્ય બનાવવાની મંજૂરી આપે છે. આ કારણોસર, દ્વિસંગી છબીમાં જોડાયેલા ઘટકોની ગણતરી કરતી વખતે, 6-પડોશી ચોરસ ગ્રીડનો સામાન્ય રીતે ઉપયોગ થાય છે. સ્ટેઇનહૌસ ચેસબોર્ડ પ્રમેય અમુક અર્થમાં સ્ટેઇનહૌસ ચેસબોર્ડ પ્રમેય દર્શાવે છે કે 4-પડોશી ગ્રીડ અને 8-પડોશી ગ્રીડ "એકસાથે" જોર્ડન વળાંક પ્રમેય સૂચવે છે, અને 6-પડોશી ગ્રીડ તેમની વચ્ચેનું ચોક્કસ પ્રક્ષેપણ છે. આ પ્રમેય જણાવે છે કેઃ ધારો કે તમે ચેસબોર્ડ પર કેટલાક ચોરસ પર બોમ્બ મૂકો, જેથી કોઈ રાજા બોમ્બ પર પગ મૂક્યા વિના નીચેથી ઉપરની તરફ ન જઈ શકે, તો પછી એક રુક ડાબી બાજુથી જમણી બાજુએ માત્ર બોમ્બ પર જ પગ મૂકી શકે છે. ઇતિહાસ અને વધુ પુરાવાઓ જોર્ડન કર્વ થીયરમનું નિવેદન શરૂઆતમાં સ્પષ્ટ લાગી શકે છે, પરંતુ તે સાબિત કરવું મુશ્કેલ છે. બર્નાર્ડ બોલ્ઝાનો એ ચોક્કસ અનુમાન ઘડનાર પ્રથમ વ્યક્તિ હતા, તેમણે અવલોકન કર્યું હતું કે તે સ્વ-સ્પષ્ટ નિવેદન ન હતું, પરંતુ તેને સાબિતીની જરૂર હતી. બહુકોણ માટે આ પરિણામ સ્થાપિત કરવું સરળ છે, પરંતુ સમસ્યા તેને તમામ પ્રકારના ખરાબ વર્તણૂકવાળા વળાંકમાં સામાન્ય કરવામાં આવી હતી, જેમાં કોચ સ્નોફ્લેક અને અન્ય ફ્રેક્ટલ વળાંક જેવા ક્યાંય પણ અલગ પાડી શકાય તેવા વળાંકનો સમાવેશ થતો નથી, અથવા જોર્ડન દ્વારા બાંધવામાં આવેલ હકારાત્મક વિસ્તારનો વળાંક પણ સામેલ છે. આ પ્રમેયનો પ્રથમ પુરાવો કેમિલી જોર્ડન દ્વારા વાસ્તવિક વિશ્લેષણ પરના તેમના પ્રવચનોમાં આપવામાં આવ્યો હતો, અને તે તેમના પુસ્તક કોર્સ ડી 'એનાલિસિસ ડી લ' ઇકોલ પોલિટેકનિકમાં પ્રકાશિત થયો હતો. જોર્ડનનો પુરાવો સંપૂર્ણ હતો કે કેમ તે અંગે કેટલાક વિવાદો છેઃ તેના પર મોટાભાગના ટિપ્પણીકારોએ દાવો કર્યો છે કે પ્રથમ સંપૂર્ણ પુરાવો પાછળથી ઓસ્વાલ્ડ વેબ્લેન દ્વારા આપવામાં આવ્યો હતો, જેમણે જોર્ડનના પુરાવો વિશે નીચે મુજબ કહ્યું હતુંઃ તેમ છતાં, તેનો પુરાવો ઘણા ગણિતશાસ્ત્રીઓ માટે અસંતોષકારક છે. તે સરળ બહુકોણના મહત્વપૂર્ણ વિશેષ કેસમાં પુરાવા વિના પ્રમેય ધારે છે, અને તે બિંદુથી દલીલમાં, ઓછામાં ઓછું સ્વીકારવું આવશ્યક છે કે બધી વિગતો આપવામાં આવી નથી. જો કે, થોમસ સી. હેલ્સે લખ્યુંઃ મને મળેલા લગભગ દરેક આધુનિક ટાંકણો સહમત થાય છે કે પ્રથમ સાચો પુરાવો વેબ્લેનને કારણે છે. જોર્ડનની સાબિતીની ભારે ટીકાને ધ્યાનમાં રાખીને, હું આશ્ચર્યચકિત થઈ ગયો જ્યારે હું તેના વિશે વાંધાજનક કંઈ ન જોવા માટે તેનો પુરાવો વાંચવા બેઠો. ત્યારથી, મેં જોર્ડનની ટીકા કરનારા સંખ્યાબંધ લેખકોનો સંપર્ક કર્યો છે, અને દરેક કેસમાં લેખકે સ્વીકાર્યું છે કે જોર્ડનની સાબિતીમાં કોઈ ભૂલની સીધી જાણકારી નથી. હેલ્સે એ પણ ધ્યાન દોર્યું હતું કે સરળ બહુકોણનો વિશેષ કેસ માત્ર એક સરળ કવાયત નથી, પરંતુ જોર્ડન દ્વારા તેનો ખરેખર ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો ન હતો, અને માઇકલ રીકેનને ટાંકીને કહ્યું હતું કેઃ જોર્ડનનો પુરાવો અનિવાર્યપણે સાચો છે. જોર્ડનનો પુરાવો વિગતોને સંતોષકારક રીતે રજૂ કરતું નથી. પરંતુ વિચાર સાચો છે, અને કેટલાક પોલિશિંગ સાથે સાબિતી દોષરહિત હશે. અગાઉ, જોર્ડનનો પુરાવો અને ચાર્લ્સ જીન ડે લા વેલી પુસિનનો બીજો પ્રારંભિક પુરાવો સ્કોએનફ્લાય (1924) દ્વારા વિવેચનાત્મક રીતે વિશ્લેષણ અને પૂર્ણ કરવામાં આવ્યો હતો. નિમ્ન-પરિમાણીય ટોપોલોજી અને જટિલ વિશ્લેષણમાં જોર્ડન વળાંક પ્રમેયના મહત્વને કારણે, તેને 20મી સદીના પૂર્વાર્ધના અગ્રણી ગણિતશાસ્ત્રીઓ તરફથી ઘણું ધ્યાન મળ્યું હતું. આ પ્રમેય અને તેના સામાન્યીકરણના વિવિધ પુરાવાઓનું નિર્માણ જે. ડબલ્યુ. એલેક્ઝાન્ડર, લુઇસ એન્ટોઇન, લુડવિગ બીબરબેક, લ્યુત્ઝન બ્રોવર, અર્નોડ ડેન્જોય, ફ્રેડરિક હાર્ટોગ્સ, બેલા કેરેક્જાર્ટો, આલ્ફ્રેડ પ્રિંગશેમ અને આર્થર મોરિટ્ઝ સ્કોનફ્લાય દ્વારા કરવામાં આવ્યું હતું. જોર્ડન વળાંક પ્રમેયના નવા પ્રાથમિક પુરાવાઓ, તેમજ અગાઉના પુરાવાઓનું સરળીકરણ, હાથ ધરવામાં આવે છે. અને દ્વારા પ્રાથમિક પુરાવા રજૂ કરવામાં આવ્યા હતા. દ્વારા બિન-માનક વિશ્લેષણનો ઉપયોગ કરીને પુરાવા. દ્વારા રચનાત્મક ગણિતનો ઉપયોગ કરતો પુરાવો. બ્રોવર ફિક્સ્ડ પોઇન્ટ થીયરમનો ઉપયોગ કરીને પુરાવા. સંપૂર્ણ દ્વિપક્ષી આલેખ K3,3 ની બિન-સ્પષ્ટતાનો ઉપયોગ કરીને પુરાવા દ્વારા આપવામાં આવ્યો હતો. મુશ્કેલીનું મૂળ નીચે મુજબ સમજાવવામાં આવ્યું છે. તે સાબિત કરવું પ્રમાણમાં સરળ છે કે જોર્ડન વળાંક પ્રમેય દરેક જોર્ડન બહુકોણ (લેમ્મા 1) માટે ધરાવે છે, અને દરેક જોર્ડન વળાંકને જોર્ડન બહુકોણ (લેમ્મા 2) દ્વારા મનસ્વી રીતે અંદાજિત કરી શકાય છે. જોર્ડન બહુકોણ એ બહુકોણીય સાંકળ છે, જે બંધાયેલ ખુલ્લા સમૂહની સીમા છે, તેને ખુલ્લો બહુકોણ કહે છે, અને તેના બંધને બંધ બહુકોણ કહે છે. બંધ બહુકોણમાં રહેલી સૌથી મોટી ડિસ્કના વ્યાસનો વિચાર કરો. દેખીતી રીતે, તે હકારાત્મક છે. જોર્ડન બહુકોણના ક્રમનો ઉપયોગ કરીને (જે આપેલ જોર્ડન વળાંકમાં એકરૂપ થાય છે) આપણી પાસે એક ક્રમ છે જે સંભવતઃ હકારાત્મક સંખ્યામાં રૂપાંતરિત થાય છે, જે જોર્ડન વળાંકથી ઘેરાયેલા બંધ પ્રદેશમાં સમાયેલ સૌથી મોટી ડિસ્કનો વ્યાસ છે. જો કે, આપણે સાબિત કરવું પડશે કે ક્રમ શૂન્યમાં એકરૂપ થતો નથી, માત્ર આપેલ જોર્ડન વળાંકનો ઉપયોગ કરીને, સંભવતઃ વળાંકથી ઘેરાયેલો પ્રદેશ નહીં. આ ટવેરબર્ગના લેમ્મા 3 નો મુદ્દો છે. આશરે, બંધ બહુકોણ દરેક જગ્યાએ પાતળાથી શૂન્ય ન હોવા જોઈએ. વધુમાં, તેઓ ક્યાંય પાતળાથી શૂન્ય ન હોવા જોઈએ, જે ટવેરબર્ગના લેમ્મા 4 નો મુદ્દો છે. જોર્ડન વળાંક પ્રમેયનો પ્રથમ ઔપચારિક પુરાવો જાન્યુઆરી 2005માં HOL પ્રકાશ પ્રણાલીમાં બનાવવામાં આવ્યો હતો અને તેમાં લગભગ 60,000 રેખાઓ હતી. 2005માં મિઝાર પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ગણિતશાસ્ત્રીઓની આંતરરાષ્ટ્રીય ટીમ દ્વારા અન્ય એક સખત 6,500-લાઇનનો ઔપચારિક પુરાવો તૈયાર કરવામાં આવ્યો હતો. મિઝાર અને એચ. ઓ. એલ. લાઇટ પ્રૂફ બંને અગાઉ સાબિત થયેલા સિદ્ધાંતોના પુસ્તકાલયો પર આધાર રાખે છે, તેથી આ બે કદ તુલનાત્મક નથી. તે દર્શાવે છે કે વિપરીત ગણિતમાં જોર્ડન વળાંક પ્રમેય સિસ્ટમ પર નબળા કોનિગના લેમ્માની સમકક્ષ છે. કોમ્પ્યુટેશનલ ભૂમિતિમાં, જોર્ડન વળાંક પ્રમેયનો ઉપયોગ એ ચકાસવા માટે થઈ શકે છે કે કોઈ બિંદુ સરળ બહુકોણની અંદર અથવા બહાર આવેલું છે કે કેમ. આપેલ બિંદુ પરથી, એવા કિરણોને શોધી કાઢો જે બહુકોણના કોઈપણ શિરોબિંદુમાંથી પસાર થતા નથી (બધા કિરણો પરંતુ મર્યાદિત સંખ્યા અનુકૂળ હોય છે). પછી, બહુકોણની ધાર સાથે કિરણોના આંતરછેદોની સંખ્યાની ગણતરી કરો. જોર્ડન વક્ર પ્રમેયનો પુરાવો સૂચવે છે કે બિંદુ બહુકોણની અંદર છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તે વિચિત્ર હોય. કોમ્પ્યુટેશનલ પાસાઓ એડલર, ડસ્કલાકિસ અને ડેમાઇન સાબિત કરે છે કે જોર્ડનના પ્રમેયની કોમ્પ્યુટેશનલ આવૃત્તિ PPAD-પૂર્ણ છે. ઉપસંહાર તરીકે, તેઓ દર્શાવે છે કે જોર્ડનનો પ્રમેય બ્રોવર નિશ્ચિત-બિંદુ પ્રમેય સૂચવે છે. આ માહેરાના અગાઉના પરિણામને પૂરક બનાવે છે, કે બ્રોવરનું નિશ્ચિત બિંદુ પ્રમેય જોર્ડનનું પ્રમેય સૂચવે છે. ડેન્જોય-રીઝ પ્રમેય પણ જુઓ, જે સમતલમાં બિંદુઓના ચોક્કસ સમૂહોનું વર્ણન છે જે જોર્ડન વણાંકોના ઉપગણ હોઈ શકે છે લેક્સ ઓફ વાડા અર્ધ-ફ્યુશિયન જૂથ, એક ગાણિતિક જૂથ જે જોર્ડન વણાંકો નોંધો સંદર્ભોને સાચવે છે. લેખકની સાઇટ બાહ્ય લિંક્સ મિઝારમાં જોર્ડનના વળાંક પ્રમેયનો સંપૂર્ણ 6,500 રેખા ઔપચારિક પુરાવો. એન્ડ્રુ રાનીકીના હોમપેજ પર જોર્ડન વળાંક પ્રમેયના પુરાવાઓનો સંગ્રહ ડેવિડ બી. ગૌલ્ડ દ્વારા જોર્ડન વળાંક પ્રમેય (પીડીએફ) નો એક સરળ પુરાવો