Ridge detection
ઇમેજ પ્રોસેસિંગમાં, રિજ ડિટેક્શન એ સોફ્ટવેર દ્વારા, છબીમાં પર્વતમાળાઓ શોધવાનો પ્રયાસ છે, જેને વળાંક તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જેના બિંદુઓ ભૌગોલિક પર્વતમાળાઓ જેવા કાર્યના સ્થાનિક મહત્તમ હોય છે. એન ચલોના કાર્ય માટે, તેની પર્વતમાળાઓ વળાંકનો સમૂહ છે, જેના બિંદુઓ એન-1 પરિમાણોમાં સ્થાનિક મહત્તમ હોય છે. આ સંદર્ભમાં, પર્વતમાળા બિંદુઓની કલ્પના સ્થાનિક મહત્તમની વિભાવનાને વિસ્તરે છે. તદનુસાર, કાર્ય માટે ખીણોની કલ્પનાને સ્થાનિક મહત્તમની સ્થિતિને સ્થાનિક લઘુત્તમની સ્થિતિ સાથે બદલીને વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. રીજ સેટ અને વેલી સેટનું જોડાણ, કનેક્ટર સેટ તરીકે ઓળખાતા બિંદુઓના સંબંધિત સમૂહ સાથે મળીને, વળાંકનો એક જોડાયેલ સમૂહ બનાવે છે જે વિભાજન કરે છે, છેદે છે અથવા કાર્યના નિર્ણાયક બિંદુઓ પર મળે છે. સમૂહોના આ જોડાણને કાર્યનો સંબંધિત નિર્ણાયક સમૂહ કહેવામાં આવે છે. રીજ સમૂહો, ખીણ સમૂહો અને સંબંધિત નિર્ણાયક સમૂહો કાર્ય માટે આંતરિક મહત્વપૂર્ણ ભૌમિતિક માહિતીનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. એક રીતે, તેઓ કાર્યની મહત્વપૂર્ણ વિશેષતાઓનું સંક્ષિપ્ત પ્રતિનિધિત્વ પ્રદાન કરે છે, પરંતુ કાર્યની વૈશ્વિક લાક્ષણિકતાઓ નક્કી કરવા માટે તેનો કેટલો ઉપયોગ કરી શકાય છે તે એક ખુલ્લો પ્રશ્ન છે. રીજ ડિટેક્શન અને વેલી ડિટેક્શન પ્રક્રિયાઓની રચના માટેની પ્રાથમિક પ્રેરણા છબી વિશ્લેષણ અને કમ્પ્યુટર દ્રષ્ટિમાંથી આવી છે અને તે છબી ડોમેનમાં વિસ્તરેલ પદાર્થોના આંતરિક ભાગને પકડવાનું છે. છબી વિભાજન માટે વોટરશેડની દ્રષ્ટિએ રિજ-સંબંધિત રજૂઆતોનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો છે. છબી ક્ષેત્રમાં પર્વતમાળાઓ, ખીણો અને નિર્ણાયક બિંદુઓને પ્રતિબિંબિત કરતી આલેખ-આધારિત રજૂઆતો દ્વારા પદાર્થોના આકારોને પકડવાના પ્રયાસો પણ કરવામાં આવ્યા છે. જો માત્ર એક જ સ્કેલ પર ગણતરી કરવામાં આવે તો આવી રજૂઆતો અત્યંત અવાજ સંવેદનશીલ હોઈ શકે છે. કારણ કે સ્કેલ-સ્પેસ સૈદ્ધાંતિક ગણતરીઓમાં ગૌસીયન (સ્મૂથિંગ) કર્નલ સાથે કન્વોલ્યુશનનો સમાવેશ થાય છે, એવી આશા રાખવામાં આવે છે કે સ્કેલ સ્પેસ થિયરીના સંદર્ભમાં બહુ-સ્કેલ પર્વતમાળાઓ, ખીણો અને નિર્ણાયક બિંદુઓનો ઉપયોગ છબીમાં પદાર્થો (અથવા આકારો) ની વધુ મજબૂત રજૂઆત માટે પરવાનગી આપે છે. આ સંદર્ભમાં, પર્વતમાળાઓ અને ખીણોને કુદરતી રસના બિંદુઓ અથવા સ્થાનિક ચરમ બિંદુઓના પૂરક તરીકે જોઈ શકાય છે. યોગ્ય રીતે વ્યાખ્યાયિત વિભાવનાઓ સાથે, તીવ્રતાના લેન્ડસ્કેપમાં પર્વતમાળાઓ અને ખીણો (અથવા તીવ્રતાના લેન્ડસ્કેપમાંથી મેળવેલા અન્ય પ્રતિનિધિત્વમાં) સ્થાનિક દેખાવ પર અવકાશી અવરોધોને ગોઠવવા માટે સ્કેલ અપરિવર્તનશીલ હાડપિંજર બનાવી શકે છે, જેમાં બ્લુમની મધ્ય અક્ષ પરિવર્તન જે રીતે પ્રદાન કરે છે તેની સાથે સંખ્યાબંધ ગુણાત્મક સમાનતાઓ છે. લાક્ષણિક ઉપયોગોમાં, રીજ અને વેલી ડિસ્ક્રિપ્ટર્સનો ઉપયોગ ઘણીવાર હવાઈ છબીઓમાં રસ્તાઓ શોધવા માટે અને રેટિનાની છબીઓ અથવા ત્રિ-પરિમાણીય ચુંબકીય પ્રતિધ્વનિ છબીઓમાં રક્ત વાહિનીઓ શોધવા માટે થાય છે. દ્વિ-પરિમાણીય છબીમાં નિશ્ચિત સ્કેલ પર પર્વતમાળાઓ અને ખીણોની વિભેદક ભૌમિતિક વ્યાખ્યા ચાલો દ્વિ-પરિમાણીય કાર્યને દર્શાવીએ, અને ગૌસીયન કાર્ય સાથે કોન્વોલ્વિંગ દ્વારા મેળવેલ સ્કેલ-સ્પેસની રજૂઆત કરીએ. વધુમાં, સ્કેલ-સ્પેસ રજૂઆતના હેસિયન મેટ્રિક્સના આઈગન વેલ્યુઝને સ્થાનિક દિશાત્મક વ્યુત્પન્ન ઓપરેટરોને લાગુ કરવામાં આવેલા સંકલન પરિવર્તન (એક પરિભ્રમણ) સાથે દર્શાવો અને દર્શાવો, જ્યાં p અને q એ ફરતી સંકલન પ્રણાલીના કોઓર્ડિનેટ્સ છે. તે બતાવી શકાય છે કે જો આપણે પસંદ કરીએ તો રૂપાંતરિત સંકલન પ્રણાલીમાં મિશ્ર વ્યુત્પન્ન શૂન્ય છે. પછી, નિશ્ચિત સ્કેલ પર પર્વતમાળાઓની ઔપચારિક વિભેદક ભૌમિતિક વ્યાખ્યાને બિંદુઓના સમૂહ તરીકે વ્યક્ત કરી શકાય છે જે અનુરૂપ રીતે સંતોષ આપે છે, સ્કેલ પરની ખીણો બિંદુઓનો સમૂહ છે. છબી ઢાળની સમાંતર દિશા સાથે સંકલન પ્રણાલીની દ્રષ્ટિએ જ્યાં તે દર્શાવી શકાય છે કે આ પર્વતમાળા અને ખીણની વ્યાખ્યાને તેના બદલે ક્યાં લખી શકાય છે અને તેનું ચિહ્ન ધ્રુવીયતા નક્કી કરે છે; પર્વતમાળાઓ અને ખીણો માટે. દ્વિ-પરિમાણીય છબીઓમાંથી ચલ સ્કેલ પર્વતમાળાઓની ગણતરી ઉપર પ્રસ્તુત નિશ્ચિત સ્કેલ રિજ વ્યાખ્યા સાથેની મુખ્ય સમસ્યા એ છે કે તે સ્કેલ સ્તરની પસંદગી માટે ખૂબ જ સંવેદનશીલ હોઈ શકે છે. પ્રયોગો દર્શાવે છે કે ગૌસીયન પ્રી-સ્મૂથિંગ કર્નલના સ્કેલ પરિમાણને ઇમેજ ડોમેનમાં રિજ સ્ટ્રક્ચરની પહોળાઈ સાથે કાળજીપૂર્વક ટ્યુન કરવું આવશ્યક છે, જેથી રિજ ડિટેક્ટર અંતર્ગત ઇમેજ સ્ટ્રક્ચરને પ્રતિબિંબિત કરતી જોડાયેલ વળાંક ઉત્પન્ન કરી શકે. અગાઉની માહિતીની ગેરહાજરીમાં આ સમસ્યાને ઉકેલવા માટે, સ્કેલ-સ્પેસ પર્વતમાળાઓની કલ્પના રજૂ કરવામાં આવી છે, જે સ્કેલ પરિમાણને રિજ વ્યાખ્યાના અંતર્ગત ગુણધર્મ તરીકે માને છે અને સ્કેલ-સ્પેસ રિજ સાથે સ્કેલ સ્તરને બદલવાની મંજૂરી આપે છે. વધુમાં, સ્કેલ-સ્પેસ રિજનો ખ્યાલ પણ સ્કેલ પરિમાણને ઇમેજ ડોમેનમાં રિજ માળખાઓની પહોળાઈ સાથે આપમેળે ટ્યુન કરવાની મંજૂરી આપે છે, હકીકતમાં સારી રીતે દર્શાવેલ વ્યાખ્યાના પરિણામે. સાહિત્યમાં, આ વિચારના આધારે સંખ્યાબંધ વિવિધ અભિગમો પ્રસ્તાવિત કરવામાં આવ્યા છે. ચાલો પર્વતમાળાની મજબૂતાઈનું માપ દર્શાવીએ (નીચે નિર્દિષ્ટ કરવા માટે). પછી, દ્વિ-પરિમાણીય છબી માટે, સ્કેલ-સ્પેસ રિજ એ બિંદુઓનો સમૂહ છે જે સ્કેલ-સ્પેસ રજૂઆતમાં સ્કેલ પરિમાણ ક્યાં છે તે સંતોષે છે. તેવી જ રીતે, સ્કેલ-સ્પેસ વેલી એ બિંદુઓનો સમૂહ છે જે સંતોષ આપે છે. આ વ્યાખ્યાનું તાત્કાલિક પરિણામ એ છે કે દ્વિ-પરિમાણીય છબી માટે સ્કેલ-સ્પેસ પર્વતમાળાનો ખ્યાલ ત્રિ-પરિમાણીય સ્કેલ-સ્પેસમાં એક-પરિમાણીય વળાંકના સમૂહને બહાર કાઢે છે, જ્યાં સ્કેલ પરિમાણને સ્કેલ-સ્પેસ રિજ (અથવા સ્કેલ-સ્પેસ વેલી) સાથે બદલવાની મંજૂરી છે. ઇમેજ ડોમેનમાં રિજ ડિસ્ક્રિપ્ટર પછી દ્વિ-પરિમાણીય ઇમેજ પ્લેનમાં આ ત્રિ-પરિમાણીય વળાંકનું પ્રક્ષેપણ હશે, જ્યાં દરેક રિજ પોઇન્ટ પર એટ્રિબ્યુટ સ્કેલ માહિતીનો ઉપયોગ તે બિંદુના પડોશમાં ઇમેજ ડોમેનમાં રિજ સ્ટ્રક્ચરની પહોળાઈના કુદરતી અંદાજ તરીકે થઈ શકે છે. સાહિત્યમાં, પર્વતમાળાની મજબૂતાઈના વિવિધ માપનો પ્રસ્તાવ મૂકવામાં આવ્યો છે. જ્યારે લિન્ડબર્ગે (1996,1998) સ્કેલ-સ્પેસ રિજ શબ્દની રચના કરી, ત્યારે તેમણે રિજ સ્ટ્રેન્થના ત્રણ માપને ધ્યાનમાં લીધાઃ મુખ્ય મુખ્ય વળાંક-નોર્મલાઇઝ્ડ ડેરિવેટિવ્ઝના સંદર્ભમાં વ્યક્ત કરવામાં આવે છે. - નોર્મલાઇઝ્ડ સ્ક્વેર આઈગન વેલ્યુ તફાવતનો વર્ગ-નોર્મલાઇઝ્ડ આઈગન વેલ્યુ તફાવતનો વર્ગ-નોર્મલાઇઝ્ડ ડેરિવેટિવ્ઝની કલ્પના અહીં જરૂરી છે, કારણ કે તે રિજ અને વેલી ડિટેક્ટર અલ્ગોરિધમ્સને યોગ્ય રીતે માપાંકન કરવાની મંજૂરી આપે છે. બે (અથવા ત્રણ પરિમાણો) માં જડિત એક-પરિમાણીય ગૌસીયન રીજ માટે જ્યારે લંબાઈના એકમોમાં માપવામાં આવે ત્યારે ડિટેક્શન સ્કેલ રીજ સ્ટ્રક્ચરની પહોળાઈ જેટલું હોવું જોઈએ (ડિટેક્શન ફિલ્ટરના કદ અને તે પ્રતિક્રિયા આપે છે તે છબી માળખા વચ્ચે મેળ ખાવાની જરૂરિયાત), તે અનુસરે છે કે વ્યક્તિએ પસંદ કરવું જોઈએ. પર્વતમાળાની મજબૂતાઈના આ ત્રણ માપમાંથી, પ્રથમ ઘટક એ સામાન્ય હેતુની પર્વતમાળાની મજબૂતાઈનું માપ છે, જેમાં રક્ત વાહિનીઓની શોધ અને માર્ગ નિષ્કર્ષણ જેવા ઘણા ઉપયોગો છે. તેમ છતાં, અસ્તિત્વનો ઉપયોગ ફિંગરપ્રિન્ટ એન્હાન્સમેન્ટ, રીઅલ-ટાઇમ હેન્ડ ટ્રેકિંગ અને હાવભાવ ઓળખ જેવી એપ્લિકેશનોમાં તેમજ છબીઓ અને વિડિયોમાં મનુષ્યોને શોધવા અને ટ્રેક કરવા માટે સ્થાનિક છબી આંકડાઓનું મોડેલિંગ કરવા માટે કરવામાં આવ્યો છે. ત્યાં અન્ય નજીકથી સંબંધિત રીજ વ્યાખ્યાઓ પણ છે જે ની ગર્ભિત ધારણા સાથે સામાન્યીકૃત વ્યુત્પન્નોનો ઉપયોગ કરે છે. આ અભિગમોને વધુ વિગતવાર વિકસાવો. જો કે, જ્યારે પર્વતમાળાઓ શોધવામાં આવે છે, ત્યારે શોધનું પ્રમાણ તેના કરતા બમણું મોટું હશે, પરિણામે વધુ આકારની વિકૃતિઓ થશે અને છબી ક્ષેત્રમાં નજીકના દખલ કરતી છબી રચનાઓ સાથે પર્વતમાળાઓ અને ખીણોને પકડવાની ક્ષમતા ઓછી થશે. ડિજિટલ છબીઓમાં પર્વતમાળાઓ અને ખીણોની કલ્પના 1983માં હેરાલિક દ્વારા અને 1984માં ગૌસીયન પિરામિડના તફાવત અંગે ક્રાઉલી દ્વારા રજૂ કરવામાં આવી હતી. તબીબી છબી વિશ્લેષણ માટે રીજ ડિસ્ક્રિપ્ટર્સના ઉપયોગનો પીઝર અને તેના સહકાર્યકરો દ્વારા વ્યાપક અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો છે, જેના પરિણામે એમ-રીપ્સની તેમની કલ્પના પરિણમી છે. રીજ ડિટેક્શનને લિન્ડબર્ગ દ્વારા-નોર્મલાઇઝ્ડ ડેરિવેટિવ્ઝ અને સ્કેલ-સ્પેસ રીજની રજૂઆત સાથે આગળ વધારવામાં આવ્યું છે, જે જગ્યા અને ઓવર સ્કેલ પર હેસિયન મેટ્રિક્સ (અથવા રીજ સ્ટ્રેન્થના અન્ય માપ) ના યોગ્ય રીતે નોર્મલાઇઝ્ડ મુખ્ય મુખ્ય વળાંકના સ્થાનિક મહત્તમકરણથી વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવ્યું છે. આ ધારણાઓ પાછળથી સ્ટેગર એટ અલ દ્વારા માર્ગ નિષ્કર્ષણના ઉપયોગ સાથે વિકસાવવામાં આવી છે. અને ફ્રેન્ગી એટ અલ દ્વારા રક્ત વાહિનીના વિભાજન માટે. તેમજ સાટો એટ અલ દ્વારા વક્રરેખીય અને ટ્યુબ્યુલર માળખાઓની શોધ માટે. અને ક્રિસિયન એટ અલ. કોએન્ડરિંક અને વેન ડોર્ન દ્વારા નિશ્ચિત સ્કેલ પર શાસ્ત્રીય પર્વતમાળાની કેટલીક વ્યાખ્યાઓની સમીક્ષા કરવામાં આવી છે, જેમાં તેમની વચ્ચેના સંબંધોનો સમાવેશ થાય છે. જહાજ નિષ્કર્ષણ તકનીકોની સમીક્ષા કિર્બાસ અને ક્વેક દ્વારા રજૂ કરવામાં આવી છે. N પરિમાણોમાં પર્વતમાળાઓ અને ખીણોની વ્યાખ્યા તેના વ્યાપક અર્થમાં, પર્વતમાળાની કલ્પના વાસ્તવિક મૂલ્યના કાર્યના સ્થાનિક મહત્તમના વિચારને સામાન્ય બનાવે છે. કાર્યના ક્ષેત્રમાં એક બિંદુ એ કાર્યનું સ્થાનિક મહત્તમ છે જો ગુણધર્મ સાથે અંતર હોય કે જે જો એકમોની અંદર હોય, તો પછી. તે સારી રીતે જાણીતું છે કે નિર્ણાયક બિંદુઓ, જેમાંથી સ્થાનિક મહત્તમ માત્ર એક પ્રકાર છે, તે કાર્યના ક્ષેત્રમાં સૌથી અસામાન્ય પરિસ્થિતિઓ (એટલે કે, બિન-સામાન્ય કિસ્સાઓમાં) સિવાયના તમામમાં અલગ બિંદુઓ છે. આ શરતને હળવી કરવાનો વિચાર કરો કે સમગ્ર પડોશમાં માત્ર તે જ જરૂરી છે કે આ એક પરિમાણીય સબસેટ પર રહે. સંભવતઃ આ છૂટછાટ એવા બિંદુઓના સમૂહને મંજૂરી આપે છે જે માપદંડને સંતોષે છે, જેને આપણે રીજ કહીશું, ઓછામાં ઓછા સામાન્ય કિસ્સામાં, એક ડિગ્રી સ્વતંત્રતા હોવી જોઈએ. આનો અર્થ એ છે કે પર્વતમાળા બિંદુઓનો સમૂહ 1-પરિમાણીય લોકસ અથવા પર્વતમાળા વળાંક બનાવશે. નોંધ લો કે ઉપરોક્ત વિચારને સ્થાનિક મિનિમામાં સામાન્ય બનાવવા માટે સુધારી શકાય છે અને પરિણામે જેને 1-પરિમાણીય ખીણ વળાંક કહી શકાય. આ નીચેની રીજ વ્યાખ્યા એબરલીના પુસ્તકને અનુસરે છે અને તેને ઉપર જણાવેલી કેટલીક રીજ વ્યાખ્યાઓના સામાન્યીકરણ તરીકે જોઈ શકાય છે. ચાલો એક ખુલ્લો સમૂહ બનીએ, અને સરળ બનીએ. જવા દો. ચાલો એટનો ઢાળ હોઈએ, અને એટનો હેસિયન મેટ્રિક્સ હોઈએ. ચાલો ક્રમબદ્ધ આઈગનવેલ્યુ હોઈએ અને આઈગનસ્પેસમાં એક એકમ આઈગનવેક્ટર હોઈએ. (આ માટે, વ્યક્તિએ ધારવું જોઈએ કે તમામ આઈગનવેલ્યુ અલગ છે.) બિંદુ એ 1-પરિમાણીય પર્વતમાળા પરનું એક બિંદુ છે જો નીચેની શરતો ધરાવે છેઃ, અને માટે. આ ચોક્કસ ખ્યાલને ચોક્કસ બનાવે છે જે આ ચોક્કસ-પરિમાણીય સબસ્પેસ સુધી મર્યાદિત સ્થાનિક મહત્તમ ધરાવે છે. આ વ્યાખ્યા કુદરતી રીતે કે-પરિમાણીય પર્વતમાળાને નીચે પ્રમાણે સામાન્ય બનાવે છેઃ બિંદુ એ કે-પરિમાણીય પર્વતમાળા પરનું એક બિંદુ છે જો નીચેની શરતો ધરાવે છેઃ, અને માટે. ઘણી રીતે, આ વ્યાખ્યાઓ સ્વાભાવિક રીતે કાર્યના સ્થાનિક મહત્તમને સામાન્ય બનાવે છે. ડેમન અને મિલર દ્વારા મહત્તમ બહિર્મુખ પર્વતમાળાઓના ગુણધર્મોને નક્કર ગાણિતિક આધાર પર મૂકવામાં આવ્યા છે. એક-પરિમાણ પરિવારોમાં તેમની મિલકતો કેલર દ્વારા સ્થાપિત કરવામાં આવી હતી. મહત્તમ સ્કેલ રીજ નીચેની વ્યાખ્યા ફ્રિટ્શને શોધી શકાય છે જે દ્વિ-પરિમાણીય ગ્રેસ્કેલ છબીઓમાં આકૃતિઓ વિશે ભૌમિતિક માહિતી કાઢવામાં રસ ધરાવતા હતા. ફ્રિટ્શે તેની છબીને "મધ્યસ્થતા" ફિલ્ટરથી ફિલ્ટર કરી હતી જેણે તેને સ્કેલ-સ્પેસમાં "સીમાથી દૂર" માહિતી જેવી માહિતી આપી હતી. આ છબીની પર્વતમાળાઓ, જે એકવાર મૂળ છબી પર પ્રક્ષેપિત કરવામાં આવી હતી, તે મૂળ છબીના આકારના હાડપિંજર (દા. ત., બ્લમ મધ્યસ્થ અક્ષ) જેવી જ હોવી જોઈએ. ત્રણ ચલોના કાર્યની મહત્તમ સ્કેલ રીજ માટેની વ્યાખ્યા નીચે મુજબ છે, જેમાંથી એક "સ્કેલ" પરિમાણ છે. એક વસ્તુ જે આપણે આ વ્યાખ્યામાં સાચી બનવા માંગીએ છીએ તે એ છે કે, જો આ પર્વતમાળા પર એક બિંદુ હોય, તો તે બિંદુ પર કાર્યનું મૂલ્ય સ્કેલ પરિમાણમાં મહત્તમ હોય છે. ચાલો એક સ્મૂથ ડિફરન્શીયેબલ ફંક્શન ચાલુ કરીએ. આ મહત્તમ સ્કેલ રિજ પરનું એક બિંદુ છે જો અને માત્ર જો અને, અને અને. કિનારી શોધ અને કિનારી શોધ વચ્ચેના સંબંધો કિનારી શોધનો હેતુ સામાન્ય રીતે વિસ્તરેલ પદાર્થની સમપ્રમાણતાના મુખ્ય અક્ષને પકડવાનો હોય છે, જ્યારે કિનારી શોધનો હેતુ સામાન્ય રીતે પદાર્થની સીમાને પકડવાનો હોય છે. જો કે, ધારની શોધ પરના કેટલાક સાહિત્યમાં ભૂલથી ધારની વિભાવનામાં પર્વતમાળાઓની કલ્પનાનો સમાવેશ થાય છે, જે પરિસ્થિતિને મૂંઝવે છે. વ્યાખ્યાઓની દ્રષ્ટિએ, એજ ડિટેક્ટર્સ અને રિજ ડિટેક્ટર્સ વચ્ચે ગાઢ જોડાણ છે. કેની દ્વારા આપવામાં આવેલ બિન-મહત્તમની રચના સાથે, તે માને છે કે ધારને તે બિંદુઓ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જ્યાં ઢાળની તીવ્રતા ઢાળની દિશામાં સ્થાનિક મહત્તમ ધારે છે. આ વ્યાખ્યાને વ્યક્ત કરવાની વિભેદક ભૌમિતિક રીતને અનુસરીને, આપણે ઉપરોક્ત-સંકલિત પ્રણાલીમાં કહી શકીએ કે સ્કેલ-સ્પેસ રજૂઆતની ઢાળ તીવ્રતા, જે-દિશામાં પ્રથમ ક્રમના દિશાત્મક વ્યુત્પન્નની બરાબર છે, તેનું પ્રથમ ક્રમ દિશાત્મક વ્યુત્પન્ન-દિશામાં શૂન્યની બરાબર હોવું જોઈએ જ્યારે-દિશામાં બીજા ક્રમના દિશાત્મક વ્યુત્પન્ન નકારાત્મક હોવું જોઈએ, એટલે કે. સ્થાનિક આંશિક વ્યુત્પન્નની દ્રષ્ટિએ સ્પષ્ટ અભિવ્યક્તિ તરીકે લખાયેલી, આ ધારની વ્યાખ્યાને વિભેદક અપરિવર્તનના શૂન્ય-પાર વળાંક તરીકે વ્યક્ત કરી શકાય છે જે નીચેના વિભેદક અપરિવર્તન પર સંકેત-શરતને સંતોષે છે (વધુ માહિતી માટે ધાર શોધ પરનો લેખ જુઓ). નોંધપાત્ર રીતે, આ રીતે મેળવેલી કિનારીઓ ઢાળની તીવ્રતાના શિખરો છે. આ પણ જુઓ બ્લોબ ડિટેક્શન કોમ્પ્યુટર વિઝન એજ ડિટેક્શન ફીચર ડિટેક્શન (કોમ્પ્યુટર વિઝન) ઇન્ટરેસ્ટ પોઇન્ટ ડિટેક્શન સ્કેલ સ્પેસ રેફરન્સ ફીચર ડિટેક્શન (કોમ્પ્યુટર વિઝન) મલ્ટિવેરિએબલ કેલ્ક્યુલસ સ્મૂથ ફંક્શન્સ સિંગ્યુલારિટી થિયરી