Cycle graph (algebra)
જૂથ સિદ્ધાંતમાં, અમૂર્ત બીજગણિતનું પેટાક્ષેત્ર, જૂથ ચક્ર આલેખ જૂથના વિવિધ ચક્રને સમજાવે છે અને ખાસ કરીને નાના મર્યાદિત જૂથોની રચનાની કલ્પના કરવામાં ઉપયોગી છે. એક ચક્ર એ આપેલ જૂથ તત્વ a ની શક્તિઓનો સમૂહ છે, જ્યાં એક, એક તત્વ a ની n-th શક્તિને તેના દ્વારા n વખત ગુણાકારના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. તત્વ a ને ચક્ર ઉત્પન્ન કરવા માટે કહેવામાં આવે છે. મર્યાદિત જૂથમાં, a ની કેટલીક બિન-શૂન્ય શક્તિ જૂથ ઓળખ હોવી જોઈએ, e; આવી સૌથી ઓછી શક્તિ એ ચક્રનો ક્રમ છે, જે તેમાંના અલગ તત્વોની સંખ્યા છે. ચક્ર આલેખમાં, ચક્રને બહુકોણ તરીકે રજૂ કરવામાં આવે છે, જેમાં શિરોબિંદુઓ જૂથ તત્વોનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે, અને જોડતી રેખાઓ સૂચવે છે કે તે બહુકોણમાંના તમામ ઘટકો સમાન ચક્રના સભ્યો છે. ચક્ર ચક્રો ઓવરલેપ થઈ શકે છે, અથવા તેમની પાસે ઓળખ સિવાય કોઈ સામાન્ય તત્વ હોઈ શકે નહીં. ચક્ર આલેખ દરેક રસપ્રદ ચક્રને બહુકોણ તરીકે દર્શાવે છે. જો a ક્રમ 6 નું ચક્ર ઉત્પન્ન કરે છે (અથવા, વધુ ટૂંકમાં, ક્રમ 6 ધરાવે છે), તો a6 = e. પછી a2, {a2, a4, e} ની ઘાતોનો સમૂહ એક ચક્ર છે, પરંતુ આ ખરેખર કોઈ નવી માહિતી નથી. તેવી જ રીતે, a5 પોતે a જેવું જ ચક્ર ઉત્પન્ન કરે છે. તેથી, માત્ર આદિમ ચક્રોને ધ્યાનમાં લેવાની જરૂર છે, એટલે કે તે જે અન્ય ચક્રના સબસેટ નથી. આમાંના દરેક કેટલાક આદિમ તત્વ, a દ્વારા ઉત્પન્ન થાય છે. મૂળ જૂથના દરેક ઘટક માટે એક બિંદુ લો. દરેક આદિમ તત્વ માટે, e ને a સાથે, a ને a2 સાથે, an ને −1 થી an, વગેરે સાથે જોડો, જ્યાં સુધી e પહોંચી ન જાય. પરિણામ ચક્ર આલેખ છે. જ્યારે a2 = e હોય, ત્યારે a નો ક્રમ 2 હોય છે (એક ઇન્વોલ્યુશન છે), અને તે e સાથે બે ધાર દ્વારા જોડાયેલ હોય છે. સિવાય કે જ્યારે ઉદ્દેશ ચક્રની બે ધાર પર ભાર મૂકવાનો હોય, ત્યારે તે સામાન્ય રીતે બે ઘટકો વચ્ચે એક જ રેખા તરીકે દોરવામાં આવે છે. ગુણધર્મો જૂથ ચક્ર આલેખના ઉદાહરણ તરીકે, ડાયહેડ્રલ જૂથ ડીએચ 4 ને ધ્યાનમાં લો. આ જૂથ માટેનું ગુણાકાર કોષ્ટક ડાબી બાજુએ દર્શાવવામાં આવ્યું છે, અને ચક્ર આલેખ જમણી બાજુએ e સાથે ઓળખ તત્વને સ્પષ્ટ કરીને દર્શાવવામાં આવ્યો છે. ગુણાકાર કોષ્ટકમાં a4 = e સાથે {e, a, a2, a3} ચક્રની નોંધ લો. તેવી જ રીતે, કોઈપણ જૂથમાં કોઈપણ ચક્રમાં ઓછામાં ઓછા બે જનરેટર હોય છે, અને તે બંને દિશામાં પસાર થઈ શકે છે. વધુ સામાન્ય રીતે, n ઘટકો સાથેના ચક્રના જનરેટરની સંખ્યા n ના યુલર φ કાર્ય દ્વારા આપવામાં આવે છે, અને આમાંથી કોઈપણ જનરેટરને ચક્રમાં પ્રથમ નોડ (ઓળખ e ની બાજુમાં) તરીકે લખી શકાય છે; અથવા વધુ સામાન્ય રીતે ગાંઠોને અચિહ્નિત છોડી દેવામાં આવે છે. જનરેટરમાં બે અલગ-અલગ ચક્ર એકબીજાને છેદતા નથી. જે ચક્રમાં તત્વોની બિન-મુખ્ય સંખ્યા હોય છે તેમાં ચક્રીય પેટાજૂથો હોય છે જે આલેખમાં દર્શાવવામાં આવતા નથી. ઉપરના સમૂહ ડીહ 4 માટે, આપણે a2 અને e વચ્ચેની રેખા દોરી શકીએ છીએ, પરંતુ a2 એ મોટા ચક્રનો ભાગ હોવાથી, આ ચક્ર આલેખની ધાર નથી. જ્યારે બે ચક્ર બિન-ઓળખ તત્વને શેર કરે છે ત્યારે અસ્પષ્ટતા હોઈ શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, 8-એલિમેન્ટ ક્વાટર્નિયન જૂથ જમણી બાજુએ દર્શાવેલ ચક્ર આલેખ ધરાવે છે. મધ્ય હરોળના દરેક તત્વોને જ્યારે તેના દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે ત્યારે તે −1 આપે છે (જ્યાં 1 એ ઓળખ તત્વ છે). આ કિસ્સામાં આપણે ચક્રોનો ટ્રેક રાખવા માટે વિવિધ રંગોનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ, જો કે સમપ્રમાણતા વિચારણાઓ પણ કામ કરશે. અગાઉ નોંધ્યું છે તેમ, 2-ઘટક ચક્રની બે ધાર સામાન્ય રીતે એક જ રેખા તરીકે રજૂ થાય છે. તત્વનું વ્યસ્ત એ તેના ચક્રમાં તેના માટે નોડ સપ્રમાણતા છે, પ્રતિબિંબના સંદર્ભમાં જે ઓળખને નિશ્ચિત કરે છે. 1950ના દાયકાની શરૂઆતમાં સંખ્યા સિદ્ધાંતકાર ડેનિયલ શેન્ક્સ દ્વારા અવશેષ વર્ગોના ગુણાકાર જૂથોના અભ્યાસ માટે એક સાધન તરીકે ઇતિહાસ ચક્ર આલેખની તપાસ કરવામાં આવી હતી. શેન્ક્સે સૌપ્રથમ આ વિચાર તેમના પુસ્તક સોલ્વ્ડ એન્ડ અનસોલ્વ્ડ પ્રોબ્લેમ્સ ઇન નંબર થિયરીની 1962ની પ્રથમ આવૃત્તિમાં પ્રકાશિત કર્યો હતો. પુસ્તકમાં, શાંક્સ તપાસ કરે છે કે કયા જૂથોમાં સમરૂપ ચક્ર આલેખ હોય છે અને ક્યારે ચક્ર આલેખ સમતલીય હોય છે. 1978ની બીજી આવૃત્તિમાં, શેન્ક્સ વર્ગ જૂથો પરના તેમના સંશોધન અને બેબી-સ્ટેપ જાયન્ટ-સ્ટેપ પદ્ધતિના વિકાસ પર પ્રતિબિંબિત કરે છેઃ સાઇકલ ગ્રાફનો ઉપયોગ નાથન કાર્ટરના 2009ના પ્રારંભિક પાઠ્યપુસ્તક વિઝ્યુઅલ ગ્રુપ થિયરીમાં શિક્ષણશાસ્ત્રના સાધન તરીકે થાય છે. ચોક્કસ જૂથ પરિવારોની આલેખ લાક્ષણિકતાઓ ચોક્કસ જૂથ પ્રકારો લાક્ષણિક આલેખ આપે છેઃ ચક્રીય જૂથો Zn, ક્રમ n, એ એક જ ચક્ર છે જે ફક્ત શિરોબિંદુઓ પરના ઘટકો સાથે n-બાજુવાળા બહુકોણ તરીકે આલેખિત થયેલ છેઃ જ્યારે n એક મુખ્ય સંખ્યા હોય, ત્યારે સ્વરૂપ (Zn) m ના જૂથોમાં ઓળખ તત્વને વહેંચતા n-તત્વ ચક્ર હશેઃ ડાયહેડ્રલ જૂથો ડાયહ્ન, ક્રમ 2n માં n-તત્વ ચક્ર અને n-તત્વ ચક્રનો સમાવેશ થાય છેઃ ડાયસાયક્લિક જૂથો, Dicn = Q4n, ક્રમ 4n: અન્ય સીધા ઉત્પાદનોઃ સમમિત જૂથો-સમમિત જૂથ Sn, ક્રમ n ના કોઈપણ જૂથ માટે, તે જૂથ માટે એક પેટા જૂથ આઇસોમોર્ફિક ધરાવે છે. આમ ક્રમ n ના દરેક જૂથનો ચક્ર આલેખ Sn ના ચક્ર આલેખમાં જોવા મળશે. ઉદાહરણ જુઓઃ S4 ના પેટાજૂથો ઉદાહરણોઃ સંપૂર્ણ અષ્ટતલ જૂથના પેટાજૂથો સંપૂર્ણ અષ્ટતલ જૂથ એ સમપ્રમાણ જૂથ S4 અને ચક્રીય જૂથ Z2 નું સીધું ઉત્પાદન છે. તેનો ક્રમ 48 છે, અને તેમાં દરેક ક્રમના પેટાજૂથો છે જે 48 ને વિભાજિત કરે છે. નીચેના ઉદાહરણોમાં એકબીજા સાથે સંબંધિત ગાંઠો એકબીજાની બાજુમાં મૂકવામાં આવ્યા છે, તેથી આ જૂથો માટે આ સૌથી સરળ શક્ય ચક્ર આલેખ નથી (જેમ કે જમણી બાજુના). તમામ આલેખની જેમ ચક્ર આલેખને વિવિધ ગુણધર્મો પર ભાર આપવા માટે વિવિધ રીતે રજૂ કરી શકાય છે. S4 ના ચક્ર આલેખની બે રજૂઆતો તેનું ઉદાહરણ છે. આ પણ જુઓ નાના જૂથોની સૂચિ કેલે ગ્રાફ બાહ્ય કડીઓ સંદર્ભો સ્કીના, એસ. (1990). ચક્રો, તારાઓ અને વ્હીલ્સ. ડિસ્ક્રીટ મેથેમેટિક્સનો અમલઃ કોમ્બિનેટોરિક્સ અને ગ્રાફ થિયરી વિથ મેથેમેટિકા. 144-147). પેમ્મારાજુ, એસ., અને સ્કીના, એસ. (2003). ચક્રો, તારાઓ અને વ્હીલ્સ. કોમ્પ્યુટેશનલ ડિસ્ક્રીટ મેથેમેટિક્સઃ કોમ્બિનેટોરિક્સ એન્ડ ગ્રાફ થિયરી વિથ મેથેમેટિકા (પીપી. 248-249). કેમ્બ્રિજ યુનિવર્સિટી પ્રેસ. એબ્સ્ટ્રેક્ટ બીજગણિત જૂથ સિદ્ધાંત એપ્લિકેશન-વિશિષ્ટ આલેખ