Gaussian moat
સંખ્યા સિદ્ધાંતમાં, ગૌસીયન ખાઈની સમસ્યા પૂછે છે કે શું અલગ ગૌસીયન મુખ્ય સંખ્યાઓનો અનંત ક્રમ શોધવો શક્ય છે કે જેથી અનુક્રમમાં ક્રમિક સંખ્યાઓ વચ્ચેનો તફાવત બંધાયેલો હોય. વધુ રંગીન રીતે, જો કોઈ ગૌસીયન અવિભાજ્ય સંખ્યાઓને જટિલ સંખ્યાના સમુદ્રમાં પગથિયાં તરીકે જુએ છે, તો પ્રશ્ન એ છે કે શું કોઈ ભીના થયા વિના, બંધાયેલા કદના પગથિયાં સાથે મૂળથી અનંત સુધી ચાલી શકે છે. આ સમસ્યા સૌપ્રથમ 1962 માં બેસિલ ગોર્ડન દ્વારા રજૂ કરવામાં આવી હતી (જોકે તેને કેટલીકવાર ભૂલથી પોલ એર્દોસને આભારી ગણવામાં આવે છે) અને તે વણઉકેલાયેલી છે. સામાન્ય અભાજ્ય સંખ્યાઓ સાથે, આવો ક્રમ અશક્ય છેઃ અભાજ્ય સંખ્યા પ્રમેય સૂચવે છે કે અભાજ્ય સંખ્યાઓના અનુક્રમમાં મનસ્વી રીતે મોટા અંતરાય છે, અને એક પ્રાથમિક સીધો પુરાવો પણ છેઃ કોઈપણ n માટે, n − 1 ક્રમિક સંખ્યાઓ n! + 2, એન! + 3,., એન! + n બધા સંયુક્ત છે. બે ગૌસીયન અવિભાજ્ય વચ્ચેનો માર્ગ શોધવાની સમસ્યા જે મહત્તમ હોપના કદને ઘટાડે છે તે મિનિમેક્સ પાથ સમસ્યાનું એક ઉદાહરણ છે, અને શ્રેષ્ઠ પાથનું હોપ કદ બે અવિભાજ્ય વચ્ચેની સૌથી પહોળી ખાઈની પહોળાઈ જેટલું છે, જ્યાં ખાઈને અવિભાજ્યના બે ઉપગણમાં વિભાજન દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે અને તેની પહોળાઈ એ દરેક ઉપગણમાં એક તત્વ ધરાવતી સૌથી નજીકની જોડી વચ્ચેનું અંતર છે. આમ, ગૌસીયન ખાઈની સમસ્યાને અલગ પરંતુ સમકક્ષ સ્વરૂપમાં રજૂ કરી શકાય છેઃ મૂળની બાજુમાં મર્યાદિત રીતે ઘણા અવિભાજ્ય હોય તેવી ખાઈની પહોળાઈ પર કોઈ મર્યાદિત બંધન છે? કોમ્પ્યુટેશનલ શોધોએ દર્શાવ્યું છે કે મૂળ 6 પહોળાઈની ખાઈ દ્વારા અનંતથી અલગ પડે છે. તે જાણીતું છે કે, કોઈપણ હકારાત્મક સંખ્યા k માટે, ગૌસીયન અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ અસ્તિત્વ ધરાવે છે, જેમનો સૌથી નજીકનો પડોશી અંતર k અથવા તેનાથી મોટો હોય છે. હકીકતમાં, આ સંખ્યાઓ વાસ્તવિક અક્ષ પર મર્યાદિત હોઈ શકે છે. દાખલા તરીકે, 20785207 નંબર 17 પહોળાઈની ખાઈથી ઘેરાયેલો છે. આમ, નિશ્ચિતપણે મનસ્વી રીતે મોટી પહોળાઈની ખાઈઓ અસ્તિત્વમાં છે, પરંતુ આ ખાઈઓ મૂળને અનંતથી અલગ પાડતી નથી. સંદર્ભો વધુ વાંચન બાહ્ય કડીઓ મુખ્ય સંખ્યાઓ સંખ્યા સિદ્ધાંતમાં વણઉકેલાયેલી સમસ્યાઓ જટિલ સંખ્યાઓ