Ternary cubic
ગણિતમાં, ત્રિકોણીય ઘન સ્વરૂપ એ ત્રણ ચલમાં સજાતીય ડિગ્રી 3 બહુપદી છે. અપરિવર્તન સિદ્ધાંત ત્રિમાસિક ઘન એ 2 કરતાં વધુ ચલમાં 2 કરતા વધુ ડિગ્રીના સ્વરૂપના કેટલાક કિસ્સાઓમાંનો એક છે, જેમની અપરિવર્તનની વીંટીની ગણતરી 19મી સદીમાં સ્પષ્ટ રીતે કરવામાં આવી હતી. અપરિવર્તનશીલની વીંટી SL3 (C) હેઠળ ત્રિમાસિક ઘનના અપરિવર્તનશીલોનું બીજગણિત એ 4 અને 6 ડિગ્રીના બે અપરિવર્તનશીલ S અને T દ્વારા પેદા થયેલ બહુપદી બીજગણિત છે, જેને એરોનહોલ્ડ અપરિવર્તનશીલ કહેવાય છે. જ્યારે ત્રિકોણીય ઘનના ગુણાંકમાં બહુપદી તરીકે લખવામાં આવે ત્યારે અપરિવર્તનશીલ બદલે જટિલ હોય છે, અને સહપરિવર્તનની વીંટીમાં સ્પષ્ટ રીતે આપવામાં આવે છે. ત્રિકોણીય ઘનની ઓળખ સહપરિવર્તન U ડિગ્રી 1 અને ક્રમ 3 ધરાવે છે. હેસિયન એચ એ ડિગ્રી 3 અને ઓર્ડર 3 ના ત્રિકોણીય સમઘનનું સહપરિવર્તન છે. ડિગ્રી 8 અને ક્રમ 6 ના ત્રિકોણીય સમઘનનું સહપરિવર્તન G છે જે વળાંક અને તેના હેસિયન વળાંકના સંદર્ભમાં x ના ધ્રુવીય સૅલ્મોન શંકુ પર આવેલા બિંદુઓ x પર અદૃશ્ય થઈ જાય છે. બ્રિયોશી કોવેરિયન્ટ જે એ યુ, જી, અને એચ નો જેકોબિયન છે, જે ક્રમ 9 ની ડિગ્રી 12 છે. ત્રિકોણીય ઘનના સહપરિવર્તનોનું બીજગણિત U, G, H અને J દ્વારા અચળાંકની વીંટી પર ઉત્પન્ન થાય છે, આ સંબંધ સાથે કે J નો વર્ગ અન્ય જનરેટરમાં બહુપદી છે. બાયનરી ક્યુબિકના ડિસ્ક્રિમિનન્ટનું ક્લેબશ ટ્રાન્સફર એ ડિગ્રી 4 અને વર્ગ 6 ના ત્રિકોણીય ક્યુબિક્સનું વિરોધાભાસી એફ છે, જે ક્યુબિક વળાંકનું દ્વિ ક્યુબિક આપે છે. ત્રિકોણીય ઘનનો કેલિયન પી એ ડિગ્રી 3 અને વર્ગ 3 નો વિરોધાભાસી છે. ત્રિકોણીય ઘનનો ક્વિપિયન ક્યૂ એ ડિગ્રી 5 અને વર્ગ 3 નો વિરોધાભાસી છે. હર્માઇટ વિરોધાભાસી Π એ ડિગ્રી 12 અને વર્ગ 9 ના ત્રિકોણીય સમઘનનું અન્ય વિરોધાભાસી છે. વિરોધાભાસીઓની વીંટી F, P, Q અને Π દ્વારા અપરિવર્તનશીલની વીંટી પર ઉત્પન્ન થાય છે, જે સંબંધ સાથે અન્ય જનરેટરમાં Π2 એ બહુપદી છે. સહવર્તીઓની વીંટી અને સહવર્તીઓની વીંટીનું વર્ણન, 34 જનરેટર આપે છે. દ્વિસંગી ઘનના હેસિયનનું ક્લેબ્શ સ્થાનાંતરણ એ ડિગ્રી 2, ક્રમ 2 અને વર્ગ 2નું સહવર્તી છે. ઓળખ સહપરિવર્તનના જેકોબિયન અને દ્વિસંગી ઘનના હેસિયનનું ક્લેબશ ટ્રાન્સફર એ ડિગ્રી 3, વર્ગ 3 અને ક્રમ 3 ના ત્રિસંગી સમઘનનું સહવર્તી છે.