Sylvester–Gallai configuration
ભૂમિતિમાં, સિલ્વેસ્ટર-ગલાઈ રૂપરેખાંકનમાં પ્રોજેક્ટિવ સ્પેસના બિંદુઓના મર્યાદિત સબસેટનો સમાવેશ થાય છે, જેમાં એ ગુણધર્મ હોય છે કે સબસેટના કોઈપણ બે બિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખા પણ સબસેટના ઓછામાં ઓછા એક અન્ય બિંદુમાંથી પસાર થાય છે. સિલ્વેસ્ટર-ગલાઈ રૂપરેખાંકનોને પ્રક્ષેપાત્મક જગ્યાના બિંદુઓના સબસેટ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવાને બદલે, તેમને બિંદુઓ અને રેખાઓના અમૂર્ત ઘટના માળખા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે, જે ગુણધર્મોને સંતોષ આપે છે કે, બિંદુઓની દરેક જોડી માટે, માળખામાં જોડી ધરાવતી બરાબર એક રેખા શામેલ છે અને દરેક રેખામાં ઓછામાં ઓછા ત્રણ બિંદુઓ હોય છે. આ વધુ સામાન્ય સ્વરૂપમાં તેમને સિલ્વેસ્ટર-ગલાઈ ડિઝાઇન પણ કહેવામાં આવે છે. નજીકથી સંબંધિત ખ્યાલ સિલ્વેસ્ટર મેટ્રોઇડ છે, જે કોઈ બે-બિંદુ રેખાઓ ન હોવાની સિલ્વેસ્ટર-ગલાઈ રૂપરેખાંકન જેવી જ મિલકત ધરાવતું મેટ્રોઇડ છે. યુક્લિડિયન સમતલમાં, વાસ્તવિક પ્રક્ષેપક સમતલ, ઉચ્ચ-પરિમાણીય યુક્લિડિયન જગ્યાઓ અથવા વાસ્તવિક પ્રક્ષેપક જગ્યાઓ, અથવા ક્રમબદ્ધ ક્ષેત્રમાં કોઓર્ડિનેટ્સ ધરાવતી જગ્યાઓ, સિલ્વેસ્ટર-ગલાઈ પ્રમેય દર્શાવે છે કે એકમાત્ર શક્ય સિલ્વેસ્ટર-ગલાઈ રૂપરેખાંકનો એક-પરિમાણીય છેઃ તેમાં ત્રણ અથવા વધુ સમરેખીય બિંદુઓ હોય છે. આ હકીકત અને હેસે રૂપરેખાંકનના ઉદાહરણ દ્વારા પ્રેરિત હતું કે શું, જટિલ-સંખ્યા કોઓર્ડિનેટ્સ ધરાવતી જગ્યાઓમાં, દરેક સિલ્વેસ્ટર-ગલાઈ રૂપરેખાંકન મહત્તમ દ્વિ-પરિમાણીય છે કે કેમ. પ્રશ્ન પુનરાવર્તન કરો. સેરેના પ્રશ્નનો હકારાત્મક જવાબ આપ્યો; કેલીના પુરાવાને સરળ બનાવ્યો, અને સમાન રીતે સાબિત કર્યું કે ક્વાટર્નિયન કોઓર્ડિનેટ્સ ધરાવતી જગ્યાઓમાં, તમામ સિલ્વેસ્ટર-ગલાઈ રૂપરેખાંકનો ત્રિ-પરિમાણીય પેટા જગ્યામાં હોવા જોઈએ. પ્રોજેક્ટિવ રૂપરેખાંકનો પ્રોજેક્ટિવ રૂપરેખાંકનો અભ્યાસ કરે છે જે સિલ્વેસ્ટર-ગલાઈ રૂપરેખાંકનો પણ છે; પ્રોજેક્ટિવ રૂપરેખાંકનમાં વધારાની જરૂરિયાત હોય છે કે દરેક બે બિંદુઓમાંથી સમાન સંખ્યામાં રેખાઓ હોય અને દરેક બે રેખાઓ સમાન સંખ્યામાં બિંદુઓ ધરાવે. સિલ્વેસ્ટર-ગલાઈ રૂપરેખાંકનોમાં, દાખલા તરીકે, મર્યાદિત ક્ષેત્રો પર વ્યાખ્યાયિત કોઈપણ પરિમાણની સંલગ્ન અને પ્રોજેક્ટિવ જગ્યાઓનો સમાવેશ થાય છે, અને આ તમામ પ્રોજેક્ટિવ રૂપરેખાંકનો પણ છે. દરેક પ્રોજેક્ટિવ રૂપરેખાંકનને સંકેત (પી. એ. એલ. બી.) આપી શકાય છે, જ્યાં પી એ બિંદુઓની સંખ્યા, એલ રેખાઓની સંખ્યા, બિંદુ દીઠ રેખાઓની સંખ્યા અને બી રેખા દીઠ બિંદુઓની સંખ્યા છે, જે સમીકરણ પી. એ. = એલ. બી. ને સંતોષે છે. મોત્ઝકિને અવલોકન કર્યું હતું કે, સિલ્વેસ્ટર-ગલાઈ ડિઝાઇનને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે આ પરિમાણો માટે, તે જરૂરી છે કે b> 2, તે p <l (પ્રક્ષેપાત્મક જગ્યામાં બિન-સમરેખીય બિંદુઓના કોઈપણ સમૂહ માટે ઓછામાં ઓછી બિંદુઓ જેટલી રેખાઓ નક્કી કરે છે) અને તેઓ વધારાના સમીકરણનું પણ પાલન કરે છે. સિલ્વેસ્ટર-ગલાઈ ડિઝાઇન કે જે પ્રોજેક્ટિવ રૂપરેખાંકનો પણ છે તે ST (2, b, p) પરિમાણો સાથે સ્ટેઇનર સિસ્ટમો જેવી જ છે. મોત્ઝકિને આ પ્રકારના નાના રૂપરેખાંકનોના કેટલાક ઉદાહરણો સૂચિબદ્ધ કર્યાઃ 7373, ફેનો પ્લેનના પરિમાણો, બે તત્વોના ક્ષેત્ર પર પ્રોજેક્ટિવ પ્લેન. 94123, હેસ રૂપરેખાંકનના પરિમાણો. આ ત્રણ-તત્વ ક્ષેત્ર પરનું એફાઇન પ્લેન છે, અને લંબગોળ વળાંકના વળાંક બિંદુઓના સમૂહ તરીકે, જટિલ-સંખ્યાના કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે પણ અનુભવી શકાય છે. 134134, ત્રણ-તત્વ ક્ષેત્ર પર પ્રોજેક્ટિવ પ્લેનના પરિમાણો. 136263, બે 13-ઘટક સ્ટેઇનર ટ્રિપલ સિસ્ટમોના પરિમાણો છે. 157353, બે-તત્વ ક્ષેત્ર પર ત્રિ-પરિમાણીય પ્રક્ષેપાત્મક જગ્યાના પરિમાણો અને 79 અન્ય સ્ટેઇનર ટ્રિપલ સિસ્ટમ્સ 165204, ચાર-તત્વ ક્ષેત્ર પર એફાઇન પ્લેનના પરિમાણો. 215215, ચાર-તત્વ ક્ષેત્ર પર પ્રોજેક્ટિવ પ્લેનના પરિમાણો. 256305, પાંચ-તત્વ ક્ષેત્ર પર એફાઇન પ્લેનના પરિમાણો. અને સિલ્વેસ્ટર-ગલાઈ ડિઝાઇનની વૈકલ્પિક ભૌમિતિક રજૂઆતોનો અભ્યાસ કર્યો, જેમાં ડિઝાઇનના બિંદુઓને ચાર પરિમાણીય જગ્યામાં ત્રાંસા રેખાઓ દ્વારા રજૂ કરવામાં આવે છે અને ડિઝાઇનની દરેક રેખા હાયપરપ્લેન દ્વારા રજૂ કરવામાં આવે છે. સાત-બિંદુ અને 13-બિંદુ પ્રોજેક્ટિવ પ્લેન બંને આ પ્રકારની રજૂઆતો ધરાવે છે. અન્ય ઉદાહરણોમાં સામાન્ય રીતે તમામ બિન-સમરેખીય સિલ્વેસ્ટર-ગલાઈ રૂપરેખાંકનો અને સિલ્વેસ્ટર-ગલાઈ ડિઝાઇનને વધુમાં વધુ 14 બિંદુઓ પર વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે. તેમાં દસ બિંદુઓ સાથે એક અનન્ય ડિઝાઇનનો સમાવેશ થાય છે; તેમાં, કેટલાક બિંદુઓ ત્રણ ચાર-બિંદુ રેખાઓમાં સમાયેલ છે જ્યારે અન્ય બિંદુઓ ત્રણ ત્રણ-બિંદુ રેખાઓ અને એક ચાર-બિંદુ રેખા સાથે સંબંધિત છે. એક અનન્ય 11-પોઇન્ટ સિલ્વેસ્ટર-ગલાઈ ડિઝાઇન, બે અલગ-અલગ 12-પોઇન્ટ ડિઝાઇન અને ચાર અનિયમિત 13-પોઇન્ટ ડિઝાઇન પણ છે. 14 પોઈન્ટ માટે, તેમને જાણવા મળ્યું કે ફરીથી માત્ર એક જ સંભવિત સિલ્વેસ્ટર-ગલાઈ ડિઝાઇન હતી. સંદર્ભો. . . . . . રૂપરેખાંકનો (ભૂમિતિ)