Theodore Frankel
થિયોડોર ફ્રેન્કલ (17 જૂન, 1929-5 ઓગસ્ટ, 2017) એક ગણિતશાસ્ત્રી હતા જેમણે એન્ડ્રેઓટી-ફ્રેન્કલ પ્રમેય અને ફ્રેન્કલ અનુમાન રજૂ કર્યું હતું. ફ્રેન્કેલે 1955માં યુનિવર્સિટી ઓફ કેલિફોર્નિયા, બર્કલેમાંથી પીએચ. ડી. પ્રાપ્ત કરી હતી. તેમના ડોક્ટરલ સલાહકાર હાર્લી ફ્લેન્ડર્સ હતા. યુનિવર્સિટી ઓફ કેલિફોર્નિયા, સાન ડિએગો ખાતે ગણિતના પ્રોફેસર એમેરિટસ, ફ્રેન્કલ પ્રિન્સટન, ન્યૂ જર્સીમાં ઇન્સ્ટિટ્યૂટ ફોર એડવાન્સ્ડ સ્ટડીના લાંબા સમય સુધી સભ્ય હતા. તેઓ વૈશ્વિક વિભેદક ભૂમિતિ, મોર્સ સિદ્ધાંત અને સાપેક્ષતા સિદ્ધાંતમાં તેમના કામ માટે જાણીતા છે. સ્ટેનફોર્ડ યુનિવર્સિટી અને બ્રાઉન યુનિવર્સિટીમાં ફેકલ્ટીમાં સેવા આપ્યા બાદ તેઓ 1965માં યુસી સાન ડિએગો ગણિત વિભાગમાં જોડાયા હતા. સંશોધન 1930 ના દાયકામાં, જ્હોન સિંગે ન્યૂનતમ લૂપ પર આર્ક્લેન્થ માટે બીજા ભિન્નતા સૂત્રને લાગુ કરીને, જે હવે સિન્જના પ્રમેય તરીકે ઓળખાય છે તેની સ્થાપના કરી. ફ્રેન્કેલે સિન્જની પદ્ધતિને ઉચ્ચ-પરિમાણીય પદાર્થોમાં અનુકૂલિત કરી. પરિણામે, તેઓ એ સાબિત કરવામાં સક્ષમ હતા કે, જ્યારે બંધ મેનીફોલ્ડ પર હકારાત્મક વક્ર રીમેનીયન મેટ્રિક આપવામાં આવે છે, ત્યારે કોઈપણ બે સંપૂર્ણપણે જીઓડેસિક કોમ્પેક્ટ સબમેનીફોલ્ડ્સ જો તેમના પરિમાણો પૂરતા પ્રમાણમાં મોટા હોય તો તેને છેદે છે. બે સબમેનિફોલ્ડ્સ વચ્ચે લઘુતમ જીઓડેસિક માટે સિન્જની પદ્ધતિ લાગુ કરવાનો વિચાર છે. એ જ અભિગમ દ્વારા, ફ્રેન્કેલે સાબિત કર્યું કે હકારાત્મક વક્ર કેલર મેનીફોલ્ડ્સના જટિલ સબમેનીફોલ્ડ્સ જો તેમના પરિમાણો પૂરતા પ્રમાણમાં મોટા હોય તો તેને છેદે છે. આ પરિણામો પાછળથી સેમ્યુઅલ ગોલ્ડબર્ગ અને શોશિચી કોબયાશી દ્વારા વિસ્તૃત કરવામાં આવ્યા હતા જેથી હોલોમોર્ફિક બાયસેક્શનલ વળાંકની હકારાત્મકતાને મંજૂરી મળે. રેને થોમના કાર્યથી પ્રેરિત થઈને ફ્રેન્કલ અને એલ્ડો એન્ડ્રોટીએ મોર્સ સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને લેફશેટ્ઝ હાયપરપ્લેન પ્રમેયનો નવો પુરાવો આપ્યો હતો. દલીલનો મુખ્ય મુદ્દો એ બીજગણિત હકીકત છે કે જટિલ દ્વિઘાત સ્વરૂપના વાસ્તવિક ભાગના આઈગનવેલ્યુ સ્વરૂપની જોડીમાં હોવા જોઈએ. આ લેફશેટ્ઝના પ્રમેયના સંદર્ભમાં, નિશ્ચિત બિંદુના અંતર દ્વારા આપવામાં આવેલા મોર્સ વિધેયને ધ્યાનમાં લઈને સુસંગત બને છે. નિર્ણાયક બિંદુઓ પર બીજા ક્રમના વિશ્લેષણને ઉપરોક્ત બીજગણિત વિશ્લેષણ દ્વારા તરત જ મદદ મળે છે, અને સમરૂપતા લુપ્ત થતી ઘટના મોર્સ અસમાનતાઓ દ્વારા અનુસરે છે. કિલિંગ વેક્ટર ક્ષેત્રને જોતાં, જેના માટે સમમિતિનું અનુરૂપ એક-પરિમાણ જૂથ હોલોમોર્ફિક મેપિંગ્સ દ્વારા કાર્ય કરે છે, ફ્રેન્કેલે કાર્ટાન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને બતાવ્યું કે કહલર સ્વરૂપ સાથેના વેક્ટર ક્ષેત્રનું આંતરિક ઉત્પાદન બંધ છે. પ્રથમ બેટ્ટી સંખ્યા શૂન્ય છે એમ ધારીને, ડી રામ પ્રમેય એવા વિધેયની રચના કરવા માટે લાગુ પડે છે કે જેના નિર્ણાયક બિંદુઓ વેક્ટર ક્ષેત્રના શૂન્ય સાથે મેળ ખાય છે. નિર્ણાયક બિંદુઓ પર બીજા ક્રમનું વિશ્લેષણ દર્શાવે છે કે વેક્ટર ક્ષેત્રના શૂન્યોનો સમૂહ કાર્ય માટે બિન-ઉત્પન્ન નિર્ણાયક મેનીફોલ્ડ છે. ક્રિટિકલ મેનીફોલ્ડ્સ માટે મોર્સ થિયરીના રાઉલ બોટના વિકાસને પગલે, ફ્રેન્કલ એ સ્થાપિત કરવામાં સક્ષમ હતા કે મેનીફોલ્ડની બેટ્ટી સંખ્યાઓ ક્રિટિકલ મેનીફોલ્ડ્સની બેટ્ટી સંખ્યાઓ દ્વારા સંપૂર્ણ રીતે એન્કોડ કરવામાં આવે છે, આ મેનીફોલ્ડ્સ સાથે તેમના મોર્સ ફંક્શનની અનુક્રમણિકા સાથે. ફ્રેન્કલના આ વિચારો પાછળથી માઇકલ અતિયા અને નિગેલ હિચિનની કૃતિઓ માટે મહત્વપૂર્ણ હતા. મુખ્ય પ્રકાશનો લેખો પાઠ્યપુસ્તકો સંદર્ભો 20મી સદીના અમેરિકન ગણિતશાસ્ત્રીઓ 21મી સદીના અમેરિકન ગણિતશાસ્ત્રીઓ યુનિવર્સિટી ઓફ કેલિફોર્નિયા, સાન ડિએગો ફેકલ્ટી 1929 જન્મ 2017 મૃત્યુ યુનિવર્સિટી ઓફ કેલિફોર્નિયા, બર્કલે એલ્યુમની ઇન્સ્ટિટ્યૂટ ફોર એડવાન્સ્ડ સ્ટડી લોકો બ્રાઉન યુનિવર્સિટી ફેકલ્ટી સ્ટેનફોર્ડ યુનિવર્સિટી ફેકલ્ટી