Vincent's theorem
ગણિતમાં, વિન્સેન્ટનો પ્રમેય-જેનું નામ એલેક્ઝાન્ડર જોસેફ હિડુલ્ફ વિન્સેન્ટ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે-તે એક પ્રમેય છે જે બહુપદીઓના વાસ્તવિક મૂળને તર્કસંગત ગુણાંક સાથે અલગ પાડે છે. વિન્સેન્ટનો પ્રમેય બહુપદીઓના વાસ્તવિક મૂળને અલગ કરવા માટેની સૌથી ઝડપી પદ્ધતિનો આધાર હોવા છતાં, તે લગભગ સંપૂર્ણપણે ભૂલી ગયો હતો, જે સ્ટર્મના પ્રમેય દ્વારા છવાયેલો હતો; પરિણામે, તે યુસ્પેન્સ્કીના પુસ્તક સિવાય, સમીકરણોના સિદ્ધાંત (20મી સદીના) પરના કોઈપણ શાસ્ત્રીય પુસ્તકોમાં દેખાતો નથી. આ પ્રમેયના બે પ્રકારો રજૂ કરવામાં આવ્યા છે, તેમની સાથે કેટલીક (સતત અપૂર્ણાંકો અને દ્વિભાજન) વાસ્તવિક મૂળ અલગ કરવાની પદ્ધતિઓ પણ રજૂ કરવામાં આવી છે. સંકેતની વિવિધતા ધારો કે c0, c1, c2. વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો મર્યાદિત અથવા અનંત ક્રમ છે. ધારો કે l <r અને નીચેની શરતો આ પ્રમાણે છેઃ જો r = l + 1 હોય તો સંખ્યાઓ cl અને cr વિરુદ્ધ ચિહ્નો ધરાવે છે. જો r ≤ l + 2 હોય તો સંખ્યાઓ ક્લ + 1,.., ક્ર-1 બધા શૂન્ય હોય છે અને સંખ્યાઓ ક્લ અને ક્ર વિરુદ્ધ ચિહ્નો ધરાવે છે. આને સંકેત ભિન્નતા અથવા સંખ્યાઓ સી. એલ. અને સી. આર. વચ્ચે સંકેત ફેરફાર કહેવામાં આવે છે. એક ચલમાં બહુપદી p (x) સાથે વ્યવહાર કરતી વખતે, p (x) ની નિશાનીની વિવિધતાઓની સંખ્યાને તેના ગુણાંકના ક્રમમાં નિશાનીની વિવિધતાઓની સંખ્યા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. આ પ્રમેયની બે આવૃત્તિઓ રજૂ કરવામાં આવી છેઃ વિન્સેન્ટને કારણે સતત અપૂર્ણાંક આવૃત્તિ અને એલેસિના અને ગલુઝીને કારણે દ્વિભાજન આવૃત્તિ. વિન્સેન્ટનો સિદ્ધાંતઃ સતત અપૂર્ણાંક સંસ્કરણ (1834 અને 1836) જો તર્કસંગત ગુણાંકવાળા અને બહુવિધ મૂળ વગરના બહુપદી સમીકરણમાં, કોઈ પણ હકારાત્મક સંખ્યાઓ એક કરતા મોટી અથવા સમાન હોય તેવા સ્વરૂપમાં ક્રમિક પરિવર્તન કરે છે, તો આવા સંખ્યાબંધ પરિવર્તન પછી, પરિણામી રૂપાંતરિત સમીકરણમાં કાં તો શૂન્ય સંકેત ભિન્નતા હોય છે અથવા તેમાં એક જ સંકેત ભિન્નતા હોય છે. પ્રથમ કિસ્સામાં કોઈ મૂળ નથી, જ્યારે બીજા કિસ્સામાં એક જ સકારાત્મક વાસ્તવિક મૂળ છે. વધુમાં, સૂચિત સમીકરણના અનુરૂપ મૂળને મર્યાદિત સતત અપૂર્ણાંક દ્વારા અંદાજવામાં આવે છેઃ વધુમાં, જો આ ગુણધર્મને સંતોષતી અનંત સંખ્યાઓ મળી શકે, તો મૂળને (અનંત) અનુરૂપ સતત અપૂર્ણાંક દ્વારા રજૂ કરવામાં આવે છે. ઉપરોક્ત નિવેદન વિન્સેન્ટના મૂળ કાગળોમાં જોવા મળતા પ્રમેયનો ચોક્કસ અનુવાદ છે; જો કે, વધુ સ્પષ્ટ સમજણ માટે નીચેની ટિપ્પણીઓ જરૂરી છેઃ જો n અવેજી પછી મેળવેલ બહુપદી સૂચવે છે (અને છેદને દૂર કર્યા પછી), તો ત્યાં N અસ્તિત્વમાં છે કે બધા માટે કાં તો કોઈ સંકેત ભિન્નતા નથી અથવા તેમાં એક સંકેત ભિન્નતા છે. પછીના કિસ્સામાં બધા માટે એક જ સકારાત્મક વાસ્તવિક મૂળ છે. સતત અપૂર્ણાંક મૂળ સમીકરણના હકારાત્મક મૂળનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે, અને મૂળ સમીકરણમાં એક કરતાં વધુ હકારાત્મક મૂળ હોઈ શકે છે. વધુમાં, એમ ધારીને કે આપણે ફક્ત મૂળ સમીકરણનું મૂળ મેળવી શકીએ છીએ જે> 1 છે. મનસ્વી હકારાત્મક મૂળ મેળવવા માટે આપણે તે ધારવાની જરૂર છે. નકારાત્મક મૂળ x ને − x દ્વારા બદલીને મેળવવામાં આવે છે, જે કિસ્સામાં નકારાત્મક મૂળ હકારાત્મક બને છે. વિન્સેન્ટનો થીયરમઃ બાયસેક્શન વર્ઝન (એલેસિના અને ગલુઝી 2000) ચાલો p (x) એ ડિગ્રી ડીગ (p) ની વાસ્તવિક બહુપદી છે જે ફક્ત સરળ મૂળ ધરાવે છે. હકારાત્મક જથ્થો δ નક્કી કરવો શક્ય છે જેથી a, b સાથે હકારાત્મક વાસ્તવિક સંખ્યાઓની દરેક જોડી માટે, સ્વરૂપની દરેક રૂપાંતરિત બહુપદીમાં બરાબર 0 અથવા 1 નિશાની ભિન્નતા હોય. બીજો કેસ ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે p (x) નું (a, b) ની અંદર એક જ મૂળ હોય. એલેસિના-ગાલુઝી "a _ b મૂળ પરીક્ષણ" સમીકરણ () માંથી બહુપદીના અંતરાલ (a, b) માં કોઈ મૂળ છે કે કેમ તે નક્કી કરવા માટે નીચેનો માપદંડ મેળવવામાં આવે છેઃ p (x) પર અવેજી કરો અને રૂપાંતરિત બહુપદીના ગુણાંકના ક્રમમાં ચિહ્નની વિવિધતાઓની સંખ્યા ગણો; આ સંખ્યા ખુલ્લા અંતરાલ (a, b) ની અંદર p (x) ના વાસ્તવિક મૂળની સંખ્યા પર ઉપલી સીમા આપે છે. વધુ સ્પષ્ટ રીતે કહીએ તો, R [x] માં બહુપદી p (x) ના ખુલ્લા અંતરાલ (a, b) માં વાસ્તવિક મૂળની સંખ્યા ρab (p)-ગુણાકાર ગણવામાં આવે છે-જે ડિગ્રી ડીગ (p) ની હોય છે, તે ઉપર નિશાનીની વિવિધતાઓની સંખ્યા વરાબ (p) દ્વારા બંધાયેલ હોય છે, જ્યાં જેમ કે ડેસકાર્ટના સંકેતોના નિયમના કિસ્સામાં જો વરાબ (p) = 0 હોય તો તે ρab (p) = 0 ને અનુસરે છે અને જો વરાબ (p) = 1 હોય તો તે ρab (p) = 1 ને અનુસરે છે. એલેસિના-ગાલુઝી "a _ b મૂળ પરીક્ષણ" નો એક ખાસ કેસ બુદાનની "0 _ 1 મૂળ પરીક્ષણ" છે. સાબિતીનું રેખાચિત્ર વિન્સેન્ટના પ્રમેયની વિગતવાર ચર્ચા, તેનું વિસ્તરણ, સામેલ પરિવર્તનોનું ભૌમિતિક અર્થઘટન અને ત્રણ અલગ-અલગ પુરાવાઓ એલેસિના અને ગલુઝીના કાર્યમાં મળી શકે છે. ચોથો પુરાવો ઓસ્ટ્રોવસ્કીના કારણે છે, જેમણે ઓબ્રેસ્કોફ, પૃષ્ઠ 81, દ્વારા 1920-1923 માં જણાવેલા પ્રમેયનો એક વિશેષ કેસ ફરીથી શોધ્યો હતો. વિન્સેન્ટના પ્રમેયને (બંને આવૃત્તિઓ) સાબિત કરવા માટે એલેસિના અને ગલુઝી દર્શાવે છે કે પ્રમેયમાં ઉલ્લેખિત પરિવર્તનની શ્રેણી પછી, એક સકારાત્મક મૂળ ધરાવતી બહુપદીમાં આખરે એક સંકેત ભિન્નતા હોય છે. આ બતાવવા માટે, તેઓ અગાઉ ઉલ્લેખિત 1920-1923 ના ઓબ્રેસ્કોફ દ્વારા પ્રમેય માટે નીચેના ઉપસંહારનો ઉપયોગ કરે છે; એટલે કે, નીચેની ઉપસંહાર જરૂરી શરતો આપે છે કે જેના હેઠળ એક સકારાત્મક મૂળ ધરાવતી બહુપદી તેના ગુણાંકના ક્રમમાં બરાબર એક નિશાની ભિન્નતા ધરાવે છે; અનુરૂપ આંકડો પણ જુઓ. કોરોલરી. (ઓબ્રેસ્કોફનું શંકુ અથવા ક્ષેત્ર પ્રમેય, 1920-1923 p. 81): જો વાસ્તવિક બહુપદીમાં એક સરળ મૂળ હોય, અને અન્ય તમામ (સંભવતઃ બહુવિધ) મૂળ ક્ષેત્રમાં હોય, તો તેના ગુણાંકના ક્રમમાં બરાબર એક સંકેત ભિન્નતા હોય છે. હવે મોબિયસ પરિવર્તન અને અનુરૂપ આકૃતિમાં દર્શાવેલ ત્રણ વર્તુળોનો વિચાર કરો; ધારો કે (પીળું) વર્તુળ જેનો વ્યાસ વાસ્તવિક અક્ષ પર છે, અંતિમ બિંદુઓ સાથે અને કાલ્પનિક અક્ષ પર વ્યસ્ત મોબિયસ પરિવર્તન દ્વારા મેપ કરેલું છે. ઉદાહરણ તરીકે, બિંદુને બિંદુ પર મેપ કરવામાં આવે છે બાહ્ય બિંદુઓ સાથે અર્ધ-સમતલ પર મેપ કરવામાં આવે છે. કેન્દ્ર અને ત્રિજ્યા સાથેના બે વર્તુળો (માત્ર તેમના વાદળી અર્ધચંદ્ર દૃશ્યમાન છે) રેખાઓ પર વ્યસ્ત મોબિયસ પરિવર્તન દ્વારા મેપ કરવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, બિંદુને બિંદુ પર મેપ કરવામાં આવે છે બાહ્ય બિંદુઓ (આઠ આકારની આકૃતિની બહારના) ક્ષેત્ર પર મેપ કરવામાં આવે છે. ઉપરોક્ત પરથી તે સ્પષ્ટ થાય છે કે જો બહુપદીમાં આઠ આકારની આકૃતિની અંદર એક જ સકારાત્મક મૂળ હોય અને અન્ય તમામ મૂળ તેની બહાર હોય, તો તે તેના ગુણાંકના ક્રમમાં એક સંકેત ભિન્નતા રજૂ કરે છે. આ પ્રક્રિયાને સમાપ્ત કરવાની ખાતરી પણ આપે છે. ઐતિહાસિક પૃષ્ઠભૂમિ વિન્સેન્ટના પ્રમેયની પ્રારંભિક એપ્લિકેશનો તેમના મૂળભૂત કાગળોમાં, વિન્સેન્ટે એવા ઉદાહરણો રજૂ કર્યા હતા જે દર્શાવે છે કે સતત અપૂર્ણાંકો સાથે બહુપદીઓના વાસ્તવિક મૂળને અલગ કરવા માટે તેમના પ્રમેયનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરવો. જો કે પરિણામી પદ્ધતિમાં ઘાતાંકીય કમ્પ્યુટિંગ સમય હતો, એક હકીકત એ છે કે ગણિતશાસ્ત્રીઓને તે સમયે સમજાયું હશે, જેમ કે એક સદી પછી યુસ્પેન્સ્કી પૃષ્ઠ 136 દ્વારા સમજાયું હતું. વિન્સેન્ટના અલ્ગોરિધમનો ઘાતાંકીય સ્વભાવ આંશિક ક્વોટિએન્ટ એઇ (વિન્સેન્ટના પ્રમેયમાં) ની ગણતરી કરવાની રીતને કારણે છે. એટલે કે, દરેક આંશિક ભાગની ગણતરી કરવા માટે (એટલે કે, x-અક્ષ પર મૂળ ક્યાં છે તે શોધવા માટે) વિન્સેન્ટ બુડનના પ્રમેયનો ઉપયોગ "કોઈ મૂળ પરીક્ષણ નથી" તરીકે કરે છે; બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, મૂળનો પૂર્ણાંક ભાગ શોધવા માટે વિન્સેન્ટ x → x + 1 સ્વરૂપના ક્રમિક અવેજી કરે છે અને ત્યારે જ અટકે છે જ્યારે બહુપદીઓ p (x) અને p (x + 1) તેમના ગુણાંક (એટલે કે. જ્યારે p (x + 1) ની નિશાનીની વિવિધતાઓની સંખ્યામાં ઘટાડો થાય છે. અનુરૂપ આકૃતિ જુઓ જ્યાં મૂળ અંતરાલ (5,6) માં આવેલું છે. તે સરળતાથી અનુમાન કરી શકાય છે કે, જો મૂળ મૂળથી દૂર હોય, તો તેનો પૂર્ણાંક ભાગ આ રીતે શોધવામાં ઘણો સમય લાગે છે, તેથી વિન્સેન્ટની પદ્ધતિની ઘાતાંકીય પ્રકૃતિ છે. નીચે આ ખામીને કેવી રીતે દૂર કરવામાં આવે છે તેનું સમજૂતી છે. વિન્સેન્ટની પ્રમેયની અદ્રશ્યતા 19મી સદીમાં છેલ્લા લેખક હતા જેમણે બહુપદીના વાસ્તવિક મૂળને અલગ કરવા માટે તેમના પ્રમેયનો ઉપયોગ કર્યો હતો. તેનું કારણ 1827માં સ્ટર્મના પ્રમેયનો દેખાવ હતો, જેણે બહુપદીના વાસ્તવિક ખુલ્લા અંતરાલ (a, b) માં વાસ્તવિક મૂળની ચોક્કસ સંખ્યાને વ્યાખ્યાયિત કરીને બહુપદી સમયમાં વાસ્તવિક મૂળ અલગતાની સમસ્યાનું સમાધાન કર્યું હતું. બહુપદીઓના વાસ્તવિક મૂળની ગણતરી કરવા માટેની પરિણામી (સ્ટર્મની) પદ્ધતિ ત્યારથી અત્યાર સુધી વ્યાપકપણે જાણીતી અને ઉપયોગમાં લેવાતી એકમાત્ર પદ્ધતિ છે-લગભગ 1980 સુધી, જ્યારે તેને વિન્સેન્ટના પ્રમેયમાંથી મેળવેલી પદ્ધતિઓ દ્વારા (લગભગ તમામ કમ્પ્યુટર બીજગણિત પ્રણાલીઓમાં) બદલવામાં આવી હતી, જેમાં સૌથી ઝડપી પદ્ધતિ વિન્સેન્ટ-અક્રિતાસ-સ્ટ્રેઝેબોન્સ્કી (વી. એ. એસ.) પદ્ધતિ છે. સેરેટે તેમના બીજગણિત, pp 363-368, વિન્સેન્ટની પ્રમેયને તેના પુરાવા સાથે સામેલ કરી હતી અને તમામ રસ ધરાવતા વાચકોને તેનો ઉપયોગ કેવી રીતે થાય છે તેના ઉદાહરણો માટે વિન્સેન્ટના કાગળો તરફ નિર્દેશિત કર્યા હતા. 19મી સદીમાં વિન્સેન્ટના પ્રમેયનો ઉલ્લેખ કરનાર સેરેટ છેલ્લા લેખક હતા. 20મી સદીમાં વિન્સેન્ટનો પ્રમેય સમીકરણોના પુસ્તકોમાંના કોઈપણ સિદ્ધાંતમાં મળી શકતો નથી; એકમાત્ર અપવાદ યુસ્પેન્સ્કી અને ઓબ્રેસ્કોફના પુસ્તકો છે, જ્યાં બીજામાં માત્ર પ્રમેયનું નિવેદન છે. યુસ્પેન્સ્કીના પુસ્તકમાં જ અક્રિતાસે વિન્સેન્ટનો પ્રમેય શોધી કાઢ્યો હતો અને તેને તેમના પીએચ. ડી. થીસીસ "વિન્સેન્ટનો પ્રમેય બીજગણિત મેનિપ્યુલેશનમાં", નોર્થ કેરોલિના સ્ટેટ યુનિવર્સિટી, યુએસએ, 1978 નો વિષય બનાવ્યો હતો. તે સમયે એક મોટી સિદ્ધિ 1836 ના વિન્સેન્ટના મૂળ પેપરને પકડવાની હતી, જે કંઈક યુસ્પેન્સ્કીથી બચી ગયું હતું-પરિણામે એક મોટી ગેરસમજણ સર્જાઈ હતી. વિન્સેન્ટનું 1836નું મૂળ પેપર અમેરિકાના વિસ્કોન્સિન-મેડિસન યુનિવર્સિટીના પુસ્તકાલયમાં ગ્રંથપાલના પ્રશંસનીય પ્રયાસો (આંતર-પુસ્તકાલય લોન) દ્વારા અક્રિતાસને ઉપલબ્ધ કરાવવામાં આવ્યું હતું. વિન્સેન્ટના પ્રમેયમાંથી મેળવેલી વાસ્તવિક મૂળ અલગીકરણ પદ્ધતિઓ બહુપદીના વાસ્તવિક મૂળનું અલગીકરણ એ ખુલ્લા અસંબદ્ધ અંતરાલો શોધવાની પ્રક્રિયા છે જેમ કે દરેકમાં બરાબર એક વાસ્તવિક મૂળ હોય અને દરેક વાસ્તવિક મૂળ અમુક અંતરાલમાં સમાયેલ હોય. 19મી સદીની ફ્રેન્ચ ગણિતશાસ્ત્રની શાળા અનુસાર, વાસ્તવિક મૂળની ગણતરીમાં આ પ્રથમ પગલું છે, બીજું કોઈ પણ માત્રામાં ચોકસાઈ માટે તેમનો અંદાજ છે; વધુમાં, હકારાત્મક મૂળ પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરવામાં આવે છે, કારણ કે બહુપદીના નકારાત્મક મૂળને અલગ કરવા માટે p (x) એ x ને −x (x) દ્વારા બદલે છે અને પ્રક્રિયાને પુનરાવર્તન કરે છે. વિન્સેન્ટના પ્રમેયના સતત અપૂર્ણાંક સંસ્કરણનો ઉપયોગ ડિગ્રી ડીગ (પી) ના આપેલ બહુપદી પી (એક્સ) ના હકારાત્મક મૂળને અલગ કરવા માટે થઈ શકે છે. આ જોવા માટે, મોબિયસ પરિવર્તન દ્વારા સતત અપૂર્ણાંકનું પ્રતિનિધિત્વ કરો જે તેના ગુણાંકના ક્રમમાં એક નિશાની ભિન્નતા સાથે રૂપાંતરિત બહુપદી તરફ દોરી જાય છે. પછી, f (x) નું એક સકારાત્મક મૂળ (અંતરાલ (0, φ) માં) p (x) ના તે સકારાત્મક મૂળને અનુરૂપ છે જે અંતિમ બિંદુઓ અને સાથે ખુલ્લા અંતરાલમાં છે. આ અંતિમ બિંદુઓ ક્રમબદ્ધ નથી અને અનુક્રમે M (0) અને M (φ) ને અનુરૂપ છે. તેથી, બહુપદીના હકારાત્મક મૂળને અલગ કરવા માટે, દરેક મૂળ માટે-અનુરૂપ મોબિયસ પરિવર્તનના ચલ a, b, c, d ની ગણતરી કરવી જરૂરી છે જે સમીકરણ () ની જેમ રૂપાંતરિત બહુપદી તરફ દોરી જાય છે, જેમાં તેના ગુણાંકના અનુક્રમમાં એક સંકેત ભિન્નતા હોય છે. નિર્ણાયક નિરીક્ષણઃ મોબિયસ પરિવર્તન (વિન્સેન્ટના પ્રમેયમાં) ના ચલ a, b, c, d જે પરિવર્તિત બહુપદી તરફ દોરી જાય છે-જેમ કે સમીકરણ () માં-તેના ગુણાંકના અનુક્રમમાં એક નિશાની ભિન્નતા સાથે ગણતરી કરી શકાય છેઃ ક્યાં તો સતત અપૂર્ણાંકો દ્વારા, જે વિન્સેન્ટ-અક્રિતાસ-સ્ટ્રેઝેબોન્સ્કી (VAS) સતત અપૂર્ણાંકો પદ્ધતિ તરફ દોરી જાય છે, અથવા દ્વિભાજન દ્વારા, જે (અન્ય લોકો વચ્ચે) વિન્સેન્ટ-કોલિન્સ-અક્રિતાસ (VCA) દ્વિભાજન પદ્ધતિ તરફ દોરી જાય છે. આ તમામ મહત્વપૂર્ણ અવલોકનનો "દ્વિભાજન ભાગ" એલેસિના અને ગલુઝીના કાગળોમાં એક વિશેષ પ્રમેય તરીકે દેખાયો. નીચે વર્ણવેલ તમામ પદ્ધતિઓ (તેમની ઐતિહાસિક પૃષ્ઠભૂમિ માટે બુડનના પ્રમેય પરનો લેખ જુઓ) એ વિચારણા હેઠળના બહુપદીના હકારાત્મક મૂળના મૂલ્યો પર (એકવાર) ઉપલા બાઉન્ડ, યુ. બી. ની ગણતરી કરવાની જરૂર છે. અપવાદ એ વી. એ. એસ. પદ્ધતિ છે જ્યાં મુખ્ય લૂપના લગભગ દરેક ચક્રમાં વધારાની નીચલી સીમાઓ, એલ. બી. ની ગણતરી કરવી આવશ્યક છે. બહુપદી p (x) ની નીચલી બાઉન્ડ lb ની ગણતરી કરવા માટે બહુપદીની ઉપરની બાઉન્ડ ub ની ગણતરી કરો અને સેટ કરો. ડોરુ સ્ટેફાનેસ્કુના અગાઉના કાર્યના આધારે અક્રિતાસ, સ્ટ્રેઝેબોન્સ્કી અને વિગક્લાસ દ્વારા બહુપદીઓના માત્ર હકારાત્મક મૂળના મૂલ્યો પર ઉત્તમ (ઉપલા અને નીચલા) સીમાઓ વિકસાવવામાં આવી છે. તેમનું વર્ણન પી. એસ. વિગક્લાસના પીએચ. ડી. થીસીસ અને અન્યત્ર કરવામાં આવ્યું છે. આ સીમાઓ કમ્પ્યુટર બીજગણિત પ્રણાલીઓ-મેથેમેટિકા, સેજમેથ, સિમ્પાય, એક્સકાસ વગેરેમાં પહેલેથી જ લાગુ કરવામાં આવી છે. નીચે વર્ણવેલ ત્રણેય પદ્ધતિઓ ફ્રાન્કોઇસ બોલિયરની ઉત્તમ રજૂઆતને અનુસરે છે, પૃષ્ઠ 24. સતત અપૂર્ણાંક પદ્ધતિ માત્ર એક સતત અપૂર્ણાંક પદ્ધતિ વિન્સેન્ટના પ્રમેયમાંથી ઉદ્ભવે છે. ઉપર જણાવ્યા મુજબ, તેની શરૂઆત 1830ના દાયકામાં થઈ હતી જ્યારે વિન્સેન્ટે કાગળોમાં કેટલાક ઉદાહરણો રજૂ કર્યા હતા જે દર્શાવે છે કે સતત અપૂર્ણાંકો સાથે બહુપદીઓના વાસ્તવિક મૂળને અલગ કરવા માટે તેમના પ્રમેયનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરવો. જો કે પરિણામી પદ્ધતિમાં ઘાતાંકીય કમ્પ્યુટિંગ સમય હતો. આ પદ્ધતિ કેવી રીતે વિકસિત થઈ તેનું વર્ણન નીચે આપવામાં આવ્યું છે. વિન્સેન્ટ-અક્રિતાસ-સ્ટ્રેઝેબોન્સ્કી (વી. એ. એસ., 2005) વિન્સેન્ટની પદ્ધતિના ઘાતાંકીય વર્તનને નિયંત્રિત કરવા માટે વિકસાવવામાં આવેલી આ બીજી પદ્ધતિ છે (વી. સી. એ. પછી). વી. એ. એસ. સતત અપૂર્ણાંક પદ્ધતિ એ વિન્સેન્ટના પ્રમેયનો સીધો અમલ છે. તે મૂળરૂપે વિન્સેન્ટ દ્વારા 1834 થી 1938 સુધી કાગળોમાં ઘાતાંકીય સ્વરૂપમાં રજૂ કરવામાં આવ્યું હતું; એટલે કે, વિન્સેન્ટે દરેક આંશિક ભાગની ગણતરી એકમ વૃદ્ધિ એઇઆઈ + 1 ની શ્રેણી દ્વારા કરી હતી, જે x·x + 1 સ્વરૂપના અવેજની સમકક્ષ છે. વિન્સેન્ટની પદ્ધતિને અક્રિતાસ દ્વારા તેના બહુપદી જટિલતા સ્વરૂપમાં રૂપાંતરિત કરવામાં આવી હતી, જેમણે તેમના 1978 પીએચ. ડી. થીસીસ (વિન્સેન્ટની થીયરમ ઇન અલજેબ્રિક મેનિપ્યુલેશન, નોર્થ કેરોલિના સ્ટેટ યુનિવર્સિટી, યુએસએ) માં બહુપદીના હકારાત્મક મૂળના મૂલ્યો પર નીચલા બાઉન્ડ, એલબી તરીકે દરેક આંશિક ભાગની ગણતરી કરી હતી. આને આદર્શ હકારાત્મક નીચલા મૂળની સીમા કહેવામાં આવે છે જે સૌથી નાના હકારાત્મક મૂળના પૂર્ણાંક ભાગની ગણતરી કરે છે (અનુરૂપ આકૃતિ જુઓ). સમજવા માટે, હવે એઆઇ-એલબી સેટ કરો અથવા, સમકક્ષ રીતે, x-x + એલબી અવેજી કરો, જે અવેજી x-x + 1 જેટલો સમય લે છે. છેવટે, આદર્શ હકારાત્મક નીચલા મૂળની સીમા અસ્તિત્વમાં ન હોવાથી, સ્ટ્રેઝેબોન્સ્કીએ 2005 માં અવેજી રજૂ કરી, જ્યારે પણ; સામાન્ય રીતે અને મૂલ્ય 16 પ્રાયોગિક રીતે નક્કી કરવામાં આવ્યું હતું. વધુમાં, એવું દર્શાવવામાં આવ્યું છે કે વી. એ. એસ. (સતત અપૂર્ણાંકો) પદ્ધતિ વી. સી. એ. (દ્વિભાજન) પદ્ધતિના સૌથી ઝડપી અમલીકરણ કરતાં વધુ ઝડપી છે, એક હકીકત જે સ્વતંત્ર રીતે પુષ્ટિ કરવામાં આવી હતી; વધુ ચોક્કસપણે, ઉચ્ચ ડિગ્રી વી. એ. એસ. ની મિગ્નોટે બહુપદીઓ માટે વી. સી. એ. ના સૌથી ઝડપી અમલીકરણ કરતાં લગભગ 50,000 ગણી ઝડપી છે. 2007 માં, શર્માએ આદર્શ હકારાત્મક નીચલા બાઉન્ડની પૂર્વધારણાને દૂર કરી અને સાબિત કર્યું કે વી. એ. એસ. હજુ પણ સમયની બહુપદી છે. વી. એ. એસ. એ મેથેમેટિકા, સેજમેથ, સિમ્પાય, એક્સકાસમાં મૂળ અલગતા માટેનું મૂળભૂત અલ્ગોરિધમ છે. સ્ટર્મની પદ્ધતિ અને વી. એ. એસ. વચ્ચેની સરખામણી માટે એક્સકાસના વિધેયો રિયલરૂટ (પોલી) અને સમય (રિયલરૂટ (પોલી)) નો ઉપયોગ કરો. મૂળભૂત રીતે, પોલી રિયલરૂટના વાસ્તવિક મૂળને અલગ કરવા માટે વી. એ. એસ. પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરે છે; સ્ટર્મની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવા માટે રિયલરૂટ (સ્ટર્મ, પોલી) લખો. એન્ડ્રોઇડ ઉપકરણો માટે એ. બર્કાકિસ દ્વારા એપ્લિકેશન માટે બાહ્ય લિંક્સ પણ જુઓ જે સમાન કાર્ય કરે છે. અહીં વી. એ. એસ. (પી, એમ) કેવી રીતે કાર્ય કરે છે, જ્યાં સરળતા માટે સ્ટ્રેઝેબોન્સ્કીનું યોગદાન શામેલ નથીઃ ધારો કે પી (એક્સ) એ ડિગ્રી ડીગ (પી) ની બહુપદી છે જેમ કે પી (0) ષ્ણાંક 0. તેના હકારાત્મક મૂળને અલગ કરવા માટે, p (x) સાથે મોબિયસ પરિવર્તન M (x) = x ને સાંકળો અને જ્યારે જોડી {p (x), M (x)} પર પ્રક્રિયા કરવાની હોય ત્યારે નીચેના પગલાંઓનું પુનરાવર્તન કરો. જો શક્ય હોય તો, (તેના ગુણાંકના ક્રમમાં ચિહ્નની વિવિધતાઓની સંખ્યા વારનો ઉપયોગ કરીને) અંતરાલ (0, φ) ની અંદર તેના મૂળની સંખ્યાની ગણતરી કરવા માટે, p (x) પરના સંકેતોના ડેસકાર્ટેસના નિયમનો ઉપયોગ કરો. જો ત્યાં કોઈ મૂળ ન હોય તો ખાલી સમૂહને પરત કરે છે, જ્યારે કે જો એક મૂળ હોય તો અંતરાલ (a, b) પરત કરે છે, જ્યાં a = ન્યૂનતમ (M (0), M (≤), અને b = મહત્તમ (M (0), M (≤)); જો b = ≤ સમૂહ b = ub હોય, જ્યાં ub એ p (x) ના હકારાત્મક મૂળના મૂલ્યો પર ઉપલી સીમા છે. જો ત્યાં બે અથવા વધુ સંકેત ભિન્નતાઓ હોય તો ડેસકાર્ટેસનો સંકેતોનો નિયમ સૂચવે છે કે અંતરાલ (0, φ) ની અંદર શૂન્ય, એક અથવા વધુ વાસ્તવિક મૂળ હોઈ શકે છે; આ કિસ્સામાં અંતરાલ (0,1) ની અંદર રહેલા p (x) ના મૂળને અંતરાલ (1, φ) ની અંદરના મૂળથી અલગથી ધ્યાનમાં લો. 1 માટે વિશેષ પરીક્ષણ કરવું આવશ્યક છે. આદર્શ નીચલા બાઉન્ડ અંતરાલ (0,1) ની અંદર મૂળ છે તેની ખાતરી કરવા માટે, lb નો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે; એટલે કે સૌથી નાના હકારાત્મક મૂળનો પૂર્ણાંક ભાગ નીચલા બાઉન્ડની મદદથી, p (x) ના હકારાત્મક મૂળના મૂલ્યો પર ગણવામાં આવે છે. જો, p (x) અને M (x) માટે અવેજી કરવામાં આવે છે, જ્યારે જો મૂળ (ઓ) નો પૂર્ણાંક ભાગ શોધવા માટે અવેજી (ઓ) x → x + 1 નો ઉપયોગ કરો. અંતરાલ (0,1) ની અંદરના મૂળની ગણતરી કરવા માટે p (x) અને M (x) ની અવેજી કરો અને જોડીની પ્રક્રિયા કરો જ્યારે અંતરાલ (1, ≤) માં મૂળની ગણતરી કરવા માટે x → x + 1 થી p (x) અને M (x) ની અવેજી કરો અને જોડી {p (1 + x), M (1 + x)} ની પ્રક્રિયા કરો. તે સારી રીતે બહાર આવી શકે છે કે 1 એ p (x) નું મૂળ છે, આ કિસ્સામાં, M (1) એ મૂળ બહુપદીનું મૂળ છે અને અલગતા અંતરાલ એક બિંદુ સુધી ઘટી જાય છે. નીચે વી. એ. એસ. (પી, એમ) ની પુનરાવર્તિત રજૂઆત છે. વીએએસ (પી, એમ): ઇનપુટઃ એક એકરૂપ, વર્ગ-મુક્ત બહુપદી, ડિગ્રી ડીગ (પી), અને મોબિયસ પરિવર્તન આઉટપુટઃ પી (એક્સ) ના હકારાત્મક મૂળના અલગ અંતરાલોની સૂચિ. 1 વાર-p (x)// ડેસકાર્ટેસના સંકેતોના નિયમની નિશાનીની વિવિધતાઓની સંખ્યા; 2 જો વાર = 0 હોય તો રીટર્ન (RETURN); 3 જો વાર = 1 હોય તો રીટર્ન (RETURN) {(a, b)}// a = ન્યૂનતમ (M (0), M (≤), b = મહત્તમ (M (0), M (≤)), પરંતુ જો b = ≤ સેટ b = ub હોય, જ્યાં ub એ p (x) ના હકારાત્મક મૂળના મૂલ્યો પર ઉપરની સીમા હોય; 4 lb-p (x) ના હકારાત્મક મૂળ પર આદર્શ નીચલી સીમા; 5 જો lb ≤ 1 હોય તો p (x + lb) 8 p1 ≤ p (x + 1), M1 ≤ M (x + 1)// (1, ≤) માં વાસ્તવિક મૂળ શોધો; 9 જો p (1) ≤ 0 હોય તો 10 RETURN VAS (p01, M01) ≤ VAS (p1 ≤, M1 ≤) 11 અન્ય 12 RETURN VAS (p01, M01) ≤ {[[m, m]} ≤ VAS (p1 ≤, M1 ≤) 13 અંતિમ ટિપ્પણીઓ સરળતા માટે સ્ટ્રેઝેબોન્સ્કીનું યોગદાન શામેલ નથી. ઉપરોક્ત અલ્ગોરિધમમાં દરેક બહુપદી સાથે મોબિયસ પરિવર્તન M (x) સંકળાયેલ છે. રેખા 1 માં ડેસકાર્ટેસનો સંકેતોનો નિયમ લાગુ કરવામાં આવ્યો છે. જો રેખાઓ 4 અને 5 ને વી. એ. એસ. (પી, એમ) માંથી દૂર કરવામાં આવે તો પરિણામી અલ્ગોરિધમ વિન્સેન્ટનું ઘાતાંકીય છે. બહુપદી p (x) પર કરવામાં આવેલ કોઈપણ અવેજી સંબંધિત મોબિયસ પરિવર્તન M (x) (રેખાઓ 56 અને 8) પર પણ કરવામાં આવે છે. અલગ અંતરાલોની ગણતરી રેખા 3 માં મોબિયસ પરિવર્તનમાંથી કરવામાં આવે છે, સિવાય કે રેખા 7 (પણ 12) માં ગણતરી કરાયેલ પૂર્ણાંક મૂળ. વીએએસ (પી, એમ) નું ઉદાહરણ આપણે વીએએસ પદ્ધતિ લાગુ કરીએ છીએ (નોંધ લો કેઃ). પુનરાવર્તન 1 VAS (x3−7x + 7, x) 1 વાર | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | પુનરાવર્તન 2 VAS (x3 − x2 − 2x + 1,) 1 વાર | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | પુનરાવર્તન 3 VAS (x3 + x2 − 2x−1,) 1 વાર 1// p (x) = x3 + x2 − 2x−13 RETURN {(, 2)} ના ગુણાંકના ક્રમમાં ચિહ્નની વિવિધતાઓની સંખ્યા અલગ અંતરાલોની સૂચિઃ પ્રક્રિયા કરવા માટેની જોડીઓની સૂચિઃ પ્રથમને દૂર કરો અને તેની પ્રક્રિયા કરો. પુનરાવર્તન 4 VAS (x3 + 2x2 − x−1,) 1 વાર 1// p (x) = x3 + 2x2 − x−13 RETURN {(1,)} ના ગુણાંકના ક્રમમાં ચિહ્નની વિવિધતાઓની સંખ્યા અલગ અંતરાલોની સૂચિઃ પ્રક્રિયા કરવા માટેની જોડીઓની સૂચિઃ પ્રથમને દૂર કરો અને તેની પ્રક્રિયા કરો. પુનરાવર્તન 5 વી. એ. એસ. (x3 + 6x2 + 5x + 1, x + 2) 1 વાર-0// p (x) = x3 + 6x2 + 5x + 1 2 ના ગુણાંકના ક્રમમાં ચિહ્નની વિવિધતાઓની સંખ્યા અલગતા અંતરાલોની સૂચિઃ પ્રક્રિયા કરવા માટેની જોડીઓની સૂચિઃ પૂર્ણ થયું. નિષ્કર્ષ તેથી, બહુપદીના બે હકારાત્મક મૂળ અલગ અંતરાલો અને} ની અંદર આવેલા છે. દરેક મૂળને અંદાજિત કરી શકાય છે (ઉદાહરણ તરીકે) જ્યાં સુધી અંતિમ બિંદુઓનો તફાવત તેના કરતા ઓછો ન હોય ત્યાં સુધી તે રહેલા અલગ અંતરાલને દ્વિભાજિત કરીને; આ અભિગમને અનુસરીને, મૂળ અને બની જાય છે. વિન્સેન્ટના પ્રમેયમાંથી મેળવેલી વિવિધ દ્વિભાજન પદ્ધતિઓ છે; તે બધાને અન્યત્ર રજૂ કરવામાં આવે છે અને તેની સરખામણી કરવામાં આવે છે. અહીં તેમાંથી બે સૌથી મહત્વપૂર્ણ પદ્ધતિઓનું વર્ણન કરવામાં આવ્યું છે, એટલે કે, વિન્સેન્ટ-કોલિન્સ-અક્રિતાસ (વીસીએ) પદ્ધતિ અને વિન્સેન્ટ-એલેસિના-ગલુઝી (વીએજી) પદ્ધતિ. વિન્સેન્ટ-એલેસિના-ગાલુઝી (વી. એ. જી.) પદ્ધતિ વિન્સેન્ટના પ્રમેયમાંથી મેળવેલી તમામ પદ્ધતિઓમાં સૌથી સરળ છે પરંતુ બહુપદીના મૂળ રસના અંતરાલમાં છે કે કેમ તે નક્કી કરવા માટે સૌથી વધુ સમય લેતી કસોટી (પંક્તિ 1 માં) છે; આ તેને આ લેખમાં રજૂ કરવામાં આવેલી પદ્ધતિઓમાં સૌથી ધીમી બનાવે છે. તેનાથી વિપરીત, વિન્સેન્ટ-કોલિન્સ-પ્રાકૃત (વી. સી. એ.) પદ્ધતિ વધુ જટિલ છે પરંતુ વી. એ. જી. કરતાં સરળ પરીક્ષણ (પંક્તિ 1 માં) નો ઉપયોગ કરે છે. આ સાથે કેટલાક સુધારાઓએ વી. સી. એ. ને સૌથી ઝડપી દ્વિભાજન પદ્ધતિ બનાવી છે. વિન્સેન્ટ-કોલિન્સ-પ્રાકૃતસ (વી. સી. એ., 1976) વિન્સેન્ટના મૂળ અભિગમની ઘાતાંકીય પ્રકૃતિને દૂર કરવા માટે વિકસાવવામાં આવેલી આ પ્રથમ પદ્ધતિ હતી, અને જ્યાં સુધી તેના નામની વાત છે ત્યાં સુધી તેનો ખૂબ જ રસપ્રદ ઇતિહાસ રહ્યો છે. આ પદ્ધતિ, જે ડેસકાર્ટેસના સંકેતોના નિયમ અને વિન્સેન્ટના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને વાસ્તવિક મૂળને અલગ પાડે છે, તેને મૂળ રીતે તેના શોધકો કોલિન્સ અને અક્રિતાસ દ્વારા સંશોધિત યુસ્પેન્સ્કીના અલ્ગોરિધમ તરીકે ઓળખવામાં આવી હતી. "કોલિન્સ-અક્રિતાસ પદ્ધતિ" અને "ડેસકાર્ટેસ પદ્ધતિ" જેવા નામોમાંથી પસાર થયા પછી (જો ફોરિયરના લેખને ધ્યાનમાં લેવામાં આવે તો તે ખૂબ ગૂંચવણભર્યો છે), તે આખરે લિલી યુનિવર્સિટીના ફ્રાન્કોઇસ બોલિયર હતા, જેમણે તેને વિન્સેન્ટ-કોલિન્સ-અક્રિતાસ (વીસીએ) પદ્ધતિ, પૃષ્ઠ 24 નામ આપ્યું હતું, જે એ હકીકત પર આધારિત છે કે "યુસ્પેન્સ્કીની પદ્ધતિ" અસ્તિત્વમાં નથી અને ન તો "ડેસકાર્ટેસ પદ્ધતિ" છે. આ પદ્ધતિનો શ્રેષ્ઠ અમલ રુઇલિયર અને ઝિમરમેનને કારણે છે, અને આજની તારીખ સુધી, તે સૌથી ઝડપી દ્વિભાજન પદ્ધતિ છે. તેમાં સ્ટર્મના અલ્ગોરિધમ જેવી જ સૌથી ખરાબ કેસ જટિલતા છે, પરંતુ તે લગભગ હંમેશા વધુ ઝડપી હોય છે. તે મેપલના રૂટફાઇન્ડિંગ પેકેજમાં લાગુ કરવામાં આવ્યું છે. વી. સી. એ. (પી, (એ, બી)) કેવી રીતે કાર્ય કરે છે તે અહીં છેઃ ડિગ્રી ડીગ (પી) ના બહુપદી ઓરિજિન (x) ને જોતાં, જેમ કે ઓરિજિન (0) §0, જેમના હકારાત્મક મૂળ અલગ હોવા જોઈએ, પહેલા આ હકારાત્મક મૂળના મૂલ્યો પર ઉપલા બાઉન્ડ, યુ. બી. ની ગણતરી કરો અને પી (એક્સ) = ઓરિજિન (યુ. બી. * એક્સ) અને (એ, બી) = (0, યુ. બી.) સેટ કરો. p (x) ના હકારાત્મક મૂળ બધા અંતરાલ (0,1) માં આવેલા છે અને તેમની અને ઓરિજિન (x) ના મૂળ વચ્ચે દ્વિભાજન છે, જે બધા અંતરાલ (a, b) = (0, ub) માં આવેલા છે (અનુરૂપ આંકડો જુઓ); આ દ્વિભાજનને α (a, b) = a + α (0,1) (b − a) દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે. તેવી જ રીતે, અંતરાલો (0,1) અને (0, યુ. બી.) વચ્ચે દ્વિભાજન છે. જ્યારે જોડી {p (x), (a, b)} પર પ્રક્રિયા કરવાની હોય ત્યારે નીચેના પગલાંઓનું પુનરાવર્તન કરો. અંતરાલ (0,1) ની અંદર તેના મૂળની સંખ્યાની ગણતરી કરવા માટે (તેના ગુણાંકના ક્રમમાં ચિહ્નની વિવિધતાઓની સંખ્યા વારનો ઉપયોગ કરીને) p (x) પર બુડનના "0 _ 1 મૂળ પરીક્ષણ" નો ઉપયોગ કરો. જો કોઈ મૂળ ન હોય તો ખાલી સમૂહ પરત કરે છે, અને જો એક મૂળ હોય તો અંતરાલ (a, b) પરત કરે છે. જો સંકેતમાં બે કે તેથી વધુ ભિન્નતા હોય તો બુદનનું "0 _ 1 મૂળ પરીક્ષણ" સૂચવે છે કે અંતરાલ (0,1) ની અંદર શૂન્ય, એક, બે કે તેથી વધુ વાસ્તવિક મૂળ હોઈ શકે છે. આ કિસ્સામાં તેને અડધા ભાગમાં કાપો અને અંતરાલ (0,) ની અંદર p (x) ના મૂળને અલગથી ધ્યાનમાં લો-અને જે અંતરાલ (a, (a + b)) ની અંદરના મૂળ (x) ના મૂળને અનુરૂપ છે અને અંતરાલ (a + b), b) ની અંદરના મૂળ (x) ને અનુરૂપ છે; એટલે કે, પ્રક્રિયા, અનુક્રમે, જોડીઓ (અનુરૂપ આકૃતિ જુઓ). તે સારી રીતે બહાર આવી શકે છે કે તે p (x) નું મૂળ છે, જે કિસ્સામાં (a + b) એ ઓરિજિન (x) નું મૂળ છે અને અલગતા અંતરાલ એક બિંદુ સુધી ઘટે છે. નીચે મૂળ અલ્ગોરિધમ વીસીએ (પી, (એ, બી)) ની પુનરાવર્તિત રજૂઆત છે. વી. સી. એ. (પી, (એ, બી)) ઇનપુટઃ એક એકરૂપ, વર્ગ-મુક્ત બહુપદી પી (યુ. બી. * એક્સ) bul ઝેડ [એક્સ], ડિગ્રી ડીગ (પી) નો પી (0) ષ્ણાંક 0, અને ખુલ્લો અંતરાલ (એ, બી) = (0, યુ. બી.), જ્યાં યુ. બી. એ પી. (એક્સ) ના હકારાત્મક મૂળના મૂલ્યો પર ઉપલી બાઉન્ડ છે. (p (ub * x) ના હકારાત્મક મૂળ બધા ખુલ્લા અંતરાલ (0,1) માં છે). આઉટપુટઃ p (x) 1 વારના હકારાત્મક મૂળના અલગ અંતરાલોની સૂચિ-(x + 1) ડીગ (p) p ()// બુદાનના "0 _ 1 મૂળ પરીક્ષણ" ની નિશાનીની વિવિધતાઓની સંખ્યા; 2 જો વાર = 0 હોય તો પાછા ફરો; 3 જો વાર = 1 હોય તો પાછા ફરો {(a, b)}; 4 p0-2-ડિગ્રી (p) p ()// માં વાસ્તવિક મૂળ શોધો; 5 m-(a + b)/મૂળ છે? (, 1) માં વાસ્તવિક મૂળ શોધો; 7 જો p ()  ઒ત્ત 0 હોય તો 8 RETURN VCA (p0, (a, m)) ≤ VCA (p1, (m, b)) 9 અન્ય 10 RETURN VCA (p0, (a, m)) ≤ {[m, m]} ≤ VCA (p1, (m, b)) 11 અંત ટિપ્પણી દરેક બહુપદી સાથે ઉપરોક્ત અલ્ગોરિધમમાં એક અંતરાલ (a, b) સંકળાયેલ છે. અન્યત્ર બતાવ્યા પ્રમાણે, પૃષ્ઠ 11, મોબિયસ પરિવર્તન પણ દરેક બહુપદી સાથે સંકળાયેલ હોઈ શકે છે, જે કિસ્સામાં વીસીએ વધુ વીએએસ જેવું દેખાય છે. પંક્તિ 1માં બુદનનું "0 _ 1 મૂળ પરીક્ષણ" લાગુ કરવામાં આવે છે. વી. સી. એ. (પી, (એ, બી)) નું ઉદાહરણ બહુપદીને જોતાં અને હકારાત્મક મૂળના મૂલ્યો પર ઉપલા બંધ તરીકે ધ્યાનમાં લેતા વી. સી. એ. પદ્ધતિની દલીલો છેઃ અને. પુનરાવર્તન 1 1 વાર 2// (x + 1) 3p () = 7x3 − 7x2 − 35x + 43 4 p0 → 64x3 − 112x + 56 5 m → 2 6 p1 → 64x3 + 192x2 + 80x + 8 p () = 1 8 રીટર્ન વીસીએ (64x3 − 112x + 56, (0,2)) ≤ વીસીએ (64x3 + 192x2 + 80x + 8, (2,4)) અલગતાના અંતરાલોની સૂચિઃ પ્રક્રિયા કરવા માટેની જોડીઓની સૂચિઃ પ્રથમને દૂર કરો અને તેની પ્રક્રિયા કરો. પુનરાવર્તન 2 વી. સી. એ. (64x3 −112x + 56, (0,2)) 1 વાર// (x + 1) 3p () = 56x3 + 56x2 − 56x + 8 4 p0 = 64x3 − 448x + 448 5 m = 8 રીટર્ન વી. સી. એ. (64x3 − 448x + 448, (0,1)) ≤ વી. સી. એ. (64x3 + 192x2 − 256x + 64, (1,2)) પુનરાવર્તન 3 વી. સી. એ. (64x3 − 448x + 448, (0,1)) 1 વાર (x + 1) 3p () = 448x3 + 896x2 + 448x + 642 રીટર્નના ગુણાંકના ક્રમમાં ચિહ્નની વિવિધતાની સંખ્યા અલગતા અંતરાલોની સૂચિઃ પ્રક્રિયા કરવા માટેની જોડીની સૂચિઃ પ્રથમને દૂર કરો અને તેની પ્રક્રિયા કરો. પુનરાવર્તન 4 વી. સી. એ. (64x3 + 192x2 −256x + 64, (1,2)) 1 વાર (x + 1) 3p () = 64x3 −64x2 −128x + 64 4 p0 → 64x3 + 384x2 − 1024x + 5125 m → 6 p1 → 64x3 + 576x2 − 64x + 64 7 p () = − 8 રીટર્ન વી. સી. એ. (64x3 + 384x2 − 1024x + 512, (1,)) ¥ વી. સી. એ. (64x3 + 57) પુનરાવર્તન 5 વી. સી. એ. (64x3 + 384x2 −1024x + 512, (1,)) 1 વાર 1// (x + 1) 3p () = 512x3 + 512x2 − 128x − 64 3 RETURN {(1,)} ના ગુણાંકના ક્રમમાં ચિહ્નની વિવિધતાઓની સંખ્યા અલગ અંતરાલોની સૂચિઃ પ્રક્રિયા કરવા માટેની જોડીઓની સૂચિઃ પ્રથમને દૂર કરો અને તેની પ્રક્રિયા કરો. પુનરાવર્તન 6 વી. સી. એ. (64x3 + 576x2 − 64x−64, (, 2)) 1 વાર 1// ગુણાંકના ક્રમમાં ચિહ્નની વિવિધતાની સંખ્યા (x + 1) 3p () = −64x3 − 256x2 + 256x + 5123 RETURN {(, 2)} અલગતાના અંતરાલોની સૂચિઃ પ્રક્રિયા કરવા માટેની જોડીઓની સૂચિઃ પ્રથમને દૂર કરો અને તેની પ્રક્રિયા કરો. પુનરાવર્તન 7 વી. સી. એ. (64x3 + 192x2 + 80x + 8, (2,4)) 1 વાર (x + 1) 3p () = 8x3 + 104x2 + 376x + 344 2 રીટર્નના ગુણાંકના ક્રમમાં ચિહ્નની વિવિધતાની સંખ્યા અલગ અંતરાલોની સૂચિઃ પ્રક્રિયા કરવા માટેની જોડીઓની સૂચિઃ પૂર્ણ થયું. નિષ્કર્ષ તેથી, બહુપદીના બે હકારાત્મક મૂળ અલગ અંતરાલો અને} ની અંદર આવેલા છે. દરેક મૂળને અંદાજિત કરી શકાય છે (ઉદાહરણ તરીકે) જ્યાં સુધી અંતિમ બિંદુઓનો તફાવત તેના કરતા ઓછો ન હોય ત્યાં સુધી તે રહેલા અલગ અંતરાલને દ્વિભાજિત કરીને; આ અભિગમને અનુસરીને, મૂળ અને બની જાય છે. વિન્સેન્ટ-એલેસિના-ગાલુઝી (વી. એ. જી., 2000) આ છેલ્લે વિકસાવવામાં આવી હતી અને વિન્સેન્ટના પ્રમેયમાંથી મેળવવામાં આવેલી સૌથી સરળ વાસ્તવિક મૂળ અલગ કરવાની પદ્ધતિ છે. વીએજી (પી, (એ, બી)) કેવી રીતે કાર્ય કરે છે તે અહીં છેઃ ડિગ્રી ડીગ (પી) ની બહુપદી પી (એક્સ) આપવામાં આવે છે, જેમ કે પી (0)  ઒ત્ત 0, જેના હકારાત્મક મૂળ અલગ હોવા જોઈએ, પહેલા આ હકારાત્મક મૂળના મૂલ્યો પર ઉપલા બાઉન્ડ, યુબીની ગણતરી કરો અને (એ, બી) = (0, યુબી) સેટ કરો. p (x) ના બધા હકારાત્મક મૂળ અંતરાલ (a, b) માં આવેલા છે. પ્રક્રિયા કરવા માટે અંતરાલો (a, b) હોય ત્યારે નીચેના પગલાંઓનું પુનરાવર્તન કરો; આ કિસ્સામાં બહુપદી p (x) સમાન રહે છે. અંતરાલ (a, b) ની અંદર તેના મૂળની સંખ્યાની ગણતરી કરવા માટે (તેના ગુણાંકના ક્રમમાં ચિહ્નની વિવિધતાની સંખ્યા વારનો ઉપયોગ કરીને) p (x) પર એલેસિના-ગાલુઝી "a _ b મૂળ પરીક્ષણ" નો ઉપયોગ કરો. જો કોઈ મૂળ ન હોય તો ખાલી સમૂહ પરત કરે છે, અને જો એક મૂળ હોય તો અંતરાલ (a, b) પરત કરે છે. જો સંકેતમાં બે કે તેથી વધુ ભિન્નતા હોય તો એલેસિના-ગાલુઝી "a _ b મૂળ પરીક્ષણ" સૂચવે છે કે અંતરાલ (a, b) ની અંદર શૂન્ય, એક, બે કે તેથી વધુ વાસ્તવિક મૂળ હોઈ શકે છે. આ કિસ્સામાં તેને અડધા ભાગમાં કાપો અને અંતરાલ (a, (a + b)) ની અંદર p (x) ના મૂળને અંતરાલ (a + b), b) ની અંદરના મૂળથી અલગથી ધ્યાનમાં લો; એટલે કે, પ્રક્રિયા, અનુક્રમે, અંતરાલ (a, (a + b)) અને (a + b), b). તે સારી રીતે બહાર આવી શકે છે કે (a + b) એ p (x) નું મૂળ છે, જે કિસ્સામાં અલગતા અંતરાલ એક બિંદુ સુધી ઘટે છે. નીચે વીએજી (પી, (એ, બી)) ની પુનરાવર્તિત રજૂઆત છે. વી. એ. જી. (પી, (એ, બી)) ઇનપુટઃ એક એકરૂપ, વર્ગ-મુક્ત બહુપદી પી (એક્સ) િયોંબુલ ઝેડ [એક્સ], ડિગ્રી ડીગ (પી) નો પી (0) ષ્ણાંક 0 અને ખુલ્લો અંતરાલ (એ, બી) = (0, યુબી), જ્યાં યુબી એ પી (એક્સ) ના હકારાત્મક મૂળના મૂલ્યો પર ઉપલી બાઉન્ડ છે. આઉટપુટઃ p (x) ના હકારાત્મક મૂળના અલગ અંતરાલોની સૂચિ. (x + 1) ડિગ (p) p ()// એલેસિના-ગાલુઝી "a _ b રુટ ટેસ્ટ" ની નિશાનીની વિવિધતાઓની સંખ્યા; (x + 1) ડિગ (p) p ()// એલેસિના-ગાલુઝી "a _ b રુટ ટેસ્ટ" ની સંખ્યા; (x + 1) ડિગ (p) p ()// એલેસિના-ગાલુઝી "a _ b રૂટ્સ ટેસ્ટ" ની સંખ્યા; (x + 1) ડિગ (p) p ()// એલેસિના-ગાલુઝી "a _ b રૂટ્સ ટેસ્ટ" ની સંખ્યા; (x + 1) ડિગ (p) p ()// એલેસિના-ગાલુઝી "a _ b રૂટ્સ ટેસ્ટ" ની સંખ્યા; (x + 1) ડિગ (p) p ()// એલેસિના-ગાલુઝી "a _ b રૂટ્સ ટેસ્ટ" ની સંખ્યા; (x + 1) ડિગ (p) p () / જેમ કે એલેસિના અને ગલુઝી નિર્દેશ કરે છે, પૃષ્ઠ 189, ડોનાટો સેલીને કારણે આ અલ્ગોરિધમનો એક પ્રકાર છે. સેલીએ સૂચવ્યું હતું કે અંતિમ બિંદુઓના મધ્યસ્થીનો ઉપયોગ તેમના મધ્યબિંદુને બદલે થવો જોઈએ. જો કે, એવું દર્શાવવામાં આવ્યું છે કે અંતિમ બિંદુઓના મધ્યસ્થીનો ઉપયોગ સામાન્ય રીતે "મધ્ય-બિંદુ" સંસ્કરણ કરતાં ઘણો ધીમો છે. VAG (p, (a, b)) નું ઉદાહરણ બહુપદી p (x) = x3 − 7x + 7 ને જોતાં અને હકારાત્મક મૂળ ub = 4 ના મૂલ્યો પર ઉપલા બંધ તરીકે ધ્યાનમાં લેતા VAG ની દલીલો છેઃ p (x) = x3 − 7x + 7 અને (a, b) = (0,4). પુનરાવર્તન 1 1 વાર 2// (x + 1) 3p () = 43x3 −35x2 −7x + 7 4 m (0 + 4) = 2,5 p (m) = 1 8 રીટર્ન વેગ (x3 −7x + 7, (0,2)) ≤ VAG (x3 −7x + 7, (2,4) અલગતાના અંતરાલોની સૂચિઃ {}. પ્રક્રિયા કરવાના અંતરાલોની સૂચિઃ {(0,2), (2,4)}. પ્રથમને દૂર કરો અને તેની પ્રક્રિયા કરો. પુનરાવર્તન 2 વી. એ. જી. (x3 − 7x + 7, (0,2)) 1 વાર (x + 1) 3p () = x3 − 7x2 + 7x + 7 4 m (0 + 2) = 1.5 p (m) = 1 8 રીટર્ન વી. એ. જી. (x3 − 7x + 7, (0,1)) ≤ વી. એ. જી. (x3 − 7x + 7, (1,2) અલગતાના અંતરાલોની સૂચિઃ {}. પ્રક્રિયા કરવાના અંતરાલોની સૂચિઃ {(0,1), (1,2), (2,4)}. પ્રથમને દૂર કરો અને તેની પ્રક્રિયા કરો. પુનરાવર્તન 3 વી. એ. જી. (x3 − 7x + 7, (0,1)) 1 વાર 0// (x + 1) 3p () = x3 + 7x2 + 14x + 7 2 ના ગુણાંકના ક્રમમાં ચિહ્નની વિવિધતાની સંખ્યા અલગતા અંતરાલોની સૂચિઃ {}. પ્રક્રિયા કરવાના અંતરાલોની સૂચિઃ {(1,2), (2,4)}. પ્રથમને દૂર કરો અને તેની પ્રક્રિયા કરો. પુનરાવર્તન 4 VAG (x3 − 7x + 7, (1,2)) 1 વાર 2// (x + 1) 3p () = x3 − 2x2 − x + 1 4 m (1 + 2) = 5 p (m) = − 8 રીટર્ન VAG (x3 − 7x + 7, (1,)) ≤ VAG (x3 − 7x + 7, (, 2)) અલગતાના અંતરાલોની સૂચિઃ {}. પ્રક્રિયા કરવાના અંતરાલોની સૂચિઃ {(1,), (, 2), (2,4)}. પ્રથમને દૂર કરો અને તેની પ્રક્રિયા કરો. પુનરાવર્તન 5 VAG (x3 − 7x + 7, (1,)) 1 વાર 1// 23 (x + 1) 3p () = x3 + 2x2 − 8x − 8 3 રીટર્ન (1,) ના ગુણાંકના ક્રમમાં ચિહ્નની વિવિધતાઓની સંખ્યા અલગ અંતરાલોની સૂચિઃ {(1,)}. પ્રક્રિયા કરવાના અંતરાલોની સૂચિઃ {(, 2), (2,4)}. પ્રથમને દૂર કરો અને તેની પ્રક્રિયા કરો. પુનરાવર્તન 6 VAG (x3 − 7x + 7, (, 2)) 1 વાર 1// 23 (x + 1) 3p () = 8x3 + 4x2 − 4x − 1 3 રીટર્ન (, 2) ના ગુણાંકના ક્રમમાં ચિહ્નની વિવિધતાઓની સંખ્યા અલગ અંતરાલોની સૂચિઃ {(1,), (, 2)}. પ્રક્રિયા કરવાના અંતરાલોની યાદીઃ {(2,4)}. પ્રથમને દૂર કરો અને તેની પ્રક્રિયા કરો. પુનરાવર્તન 7 વી. એ. જી. (x3 − 7x + 7, (2,4)) 1 વાર (x + 1) 3p () = 344x3 + 376x2 + 104x + 8 2 રીટર્નના ગુણાંકના ક્રમમાં ચિહ્નની વિવિધતાની સંખ્યા અલગતા અંતરાલોની સૂચિઃ {(1,), (, 2)}. પ્રક્રિયા કરવાના અંતરાલોની સૂચિઃ યુ. પૂર્ણ થયું. નિષ્કર્ષ તેથી, બહુપદીના બે હકારાત્મક મૂળ અલગ અંતરાલો અને} ની અંદર આવેલા છે. દરેક મૂળને અંદાજિત કરી શકાય છે (ઉદાહરણ તરીકે) જ્યાં સુધી અંતિમ બિંદુઓનો તફાવત તેના કરતા ઓછો ન હોય ત્યાં સુધી તે રહેલા અલગ અંતરાલને દ્વિભાજિત કરીને; આ અભિગમને અનુસરીને, મૂળ અને બની જાય છે. બહુપદી મૂળના ગુણધર્મો પણ જુઓ રૂટ-ફાઇન્ડિંગ અલ્ગોરિધમ વિએટાના સૂત્રો ન્યૂટનની પદ્ધતિ સંદર્ભો બાહ્ય કડીઓ બર્કાકિસ, એન્ટોનીસઃ રિયલરૂટ્સ, સ્ટર્મની પદ્ધતિ અને વીએએસ https://play.google.com/store/apps/details?id=org.kde.necessitas.berkakis.realroots ગાણિતિક પ્રમેયોની તુલના કરવા માટે એન્ડ્રોઇડ ઉપકરણો માટે એક મફત એપ્લિકેશન છે.