Girsanov theorem
સંભાવના સિદ્ધાંતમાં, ગિરસાનોવ પ્રમેય જણાવે છે કે માપમાં ફેરફારો હેઠળ સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાઓ કેવી રીતે બદલાય છે. આ પ્રમેય નાણાકીય ગણિતના સિદ્ધાંતમાં ખાસ કરીને મહત્વપૂર્ણ છે કારણ કે તે કહે છે કે ભૌતિક માપમાંથી કેવી રીતે રૂપાંતર કરવું, જે સંભાવનાને વર્ણવે છે કે અંતર્ગત સાધન (જેમ કે શેરની કિંમત અથવા વ્યાજ દર) કોઈ ચોક્કસ મૂલ્ય અથવા મૂલ્યોને જોખમ-તટસ્થ માપમાં લઈ જશે, જે અંતર્ગત ડેરિવેટિવ્ઝના મૂલ્યનું મૂલ્યાંકન કરવા માટે ખૂબ જ ઉપયોગી સાધન છે. આ પ્રકારના ઇતિહાસના પરિણામો સૌપ્રથમ 1940ના દાયકામાં કેમેરોન-માર્ટિન દ્વારા અને 1960માં આઇગોર ગિરસાનોવ દ્વારા સાબિત કરવામાં આવ્યા હતા. ત્યારબાદ તેમને પ્રક્રિયાના વધુ સામાન્ય વર્ગોમાં વિસ્તૃત કરવામાં આવ્યા છે, જે લેંગલાર્ટ (1977) ના સામાન્ય સ્વરૂપમાં પરિણમ્યા હતા. મહત્વ સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાઓના સામાન્ય સિદ્ધાંતમાં ગિરસાનોવની પ્રમેય મહત્વપૂર્ણ છે કારણ કે તે મુખ્ય પરિણામને સક્ષમ કરે છે કે જો Q એ એક માપ છે જે P ના સંદર્ભમાં સંપૂર્ણપણે સતત છે તો દરેક P-સેમિમાર્ટીંગેલ એ Q-સેમિમાર્ટીંગેલ છે. જ્યારે અંતર્ગત સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયા વીનર પ્રક્રિયા હોય ત્યારે આપણે વિશેષ કેસ માટે પ્રથમ પ્રમેય જણાવીએ છીએ. બ્લેક-સ્કોલ્સ મોડેલમાં જોખમ-તટસ્થ કિંમત નિર્ધારણ માટે આ વિશેષ કેસ પૂરતો છે. વીનર સંભાવના જગ્યા પર વીનર પ્રક્રિયા થવા દો. વીનર પ્રક્રિયાના કુદરતી ગાળણ માટે અનુકૂળ માપી શકાય તેવી પ્રક્રિયા બનવા દો; આપણે ધારીએ છીએ કે સામાન્ય શરતો સંતોષાઈ ગઈ છે. એક અનુકૂળ પ્રક્રિયા આપવામાં આવે તો વ્યાખ્યાયિત કરો કે W ના સંદર્ભમાં X નો સ્ટોકેસ્ટિક ઘાતાંક ક્યાં છે, એટલે કે. અને પ્રક્રિયા X ની દ્વિઘાત વિવિધતાને સૂચવે છે. જો માર્ટિંગેલ હોય તો પ્રોબેબીલીટી માપ Q ને રેડોન-નિકોડીમ ડેરિવેટિવ્ઝ પર વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. જો X એક સતત પ્રક્રિયા છે અને W એ P માપ હેઠળ બ્રાઉનિયન ગતિ છે, તો પછી Q હેઠળ બ્રાઉનિયન ગતિ છે. જે સતત છે તે હકીકત તુચ્છ છે; ગિરસાનોવના પ્રમેય અનુસાર તે એક ક્યૂ લોકલ માર્ટિંગેલ છે, અને તેની ગણતરી કરીને લેવી દ્વારા બ્રાઉનીયન ગતિની લાક્ષણિકતા દ્વારા અનુસરવામાં આવે છે કે આ એક ક્યૂ બ્રાઉનીયન ગતિ છે. ટિપ્પણીઓ ઘણી સામાન્ય એપ્લિકેશનોમાં, પ્રક્રિયા X ને આ સ્વરૂપના X દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, તો પછી X માટે માર્ટીંગેલ બનવા માટે જરૂરી અને પૂરતી શરત નોવિકોવની સ્થિતિ છે, જેમાં જરૂરી છે કે સ્ટોકેસ્ટિક એક્સપોનેન્શલ એ પ્રક્રિયા Z છે જે સ્ટોકેસ્ટિક વિભેદક સમીકરણને ઉકેલે છે. ઉપર બાંધવામાં આવેલ માપ Q એ P ઓનની સમકક્ષ નથી કારણ કે આ માત્ર ત્યારે જ હશે જો રેડોન-નિકોડીમ વ્યુત્પન્ન એક સમાન રીતે સંકલિત માર્ટીંગેલ હોય, જે ઉપર વર્ણવેલ એક્સપોનેન્શલ માર્ટીંગેલ નથી. બીજી બાજુ જ્યાં સુધી નોવિકોવની શરત સંતોષાય છે ત્યાં સુધી પગલાં સમાન છે. વધુમાં, પછી આ કિસ્સામાં ઉપરોક્ત અવલોકનને જોડીને, આપણે જોઈએ છીએ કે માટેની પ્રક્રિયા એ ક્યુ બ્રાઉનિયન ગતિ છે. ઉપરોક્ત પ્રમેયની ઇગોર ગિરસાનોવની આ મૂળ રચના હતી. આ પ્રમેયનો ઉપયોગ બ્લેક-સ્કોલ્સ મોડેલમાં અનન્ય જોખમ-તટસ્થ માપ દર્શાવવા માટે થઈ શકે છે, એટલે કે. જે માપમાં વ્યુત્પન્નનું વાજબી મૂલ્ય ડિસ્કાઉન્ટેડ અપેક્ષિત મૂલ્ય, Q છે, તે લેંગ્વિન સમીકરણોના ઉપયોગ દ્વારા સ્પષ્ટ કરવામાં આવે છે. આ પ્રમેયનો બીજો ઉપયોગ, જે આઇગોર ગિરસાનોવના મૂળ પેપરમાં પણ આપવામાં આવ્યો છે, તે સ્ટોકેસ્ટિક વિભેદક સમીકરણો માટે છે. ખાસ કરીને, ચાલો આપણે તે સમીકરણને ધ્યાનમાં લઈએ જ્યાં બ્રાઉનિયન ગતિ સૂચવે છે. અહીં અને નિશ્ચિત નિર્ધારક કાર્યો છે. આપણે ધારીએ છીએ કે આ સમીકરણનો એક અનોખો મજબૂત ઉકેલ છે. આ કિસ્સામાં ગિરસાનોવના પ્રમેયનો ઉપયોગ બ્રાઉનિયન ગતિ માટે સંબંધિત કાર્યાત્મક દ્રષ્ટિએ સીધા કાર્યોની ગણતરી કરવા માટે થઈ શકે છે. વધુ સ્પષ્ટ રીતે, આપણી પાસે સતત કાર્યો પર કોઈપણ બાઉન્ડેડ ફંક્શનલ માટે છે જે આ ગિરસાનોવના પ્રમેયને લાગુ કરીને અનુસરે છે, અને ઉપરનું નિરીક્ષણ, માર્ટિંગેલ પ્રક્રિયામાં. ખાસ કરીને, આપણે નોંધ્યું છે કે ઉપરના સંકેત સાથે, પ્રક્રિયા એ ક્યુ બ્રાઉનિયન ગતિ છે. આને વિભેદક સ્વરૂપમાં ફરીથી લખવાથી આપણે જોઈએ છીએ કે Q હેઠળનો નિયમ સમીકરણને વ્યાખ્યાયિત કરે છે, જેમ કે Q બ્રાઉનિયન ગતિ છે. ખાસ કરીને, આપણે જોઈએ છીએ કે જમણી બાજુને આ રીતે લખી શકાય છે, જ્યાં Q એ Y પ્રક્રિયાના સંદર્ભમાં લેવામાં આવેલું માપ છે, તેથી પરિણામ હવે માત્ર ગિરસાનોવના પ્રમેયનું નિવેદન છે. આ એપ્લિકેશનનું વધુ સામાન્ય સ્વરૂપ એ છે કે જો બંને અનન્ય મજબૂત ઉકેલોને સ્વીકારે છે, તો પછી કોઈપણ બાઉન્ડેડ ફંક્શનલ માટે, આપણી પાસે તે છે સંદર્ભો જુઓ સ્ટોકેસ્ટિક કેલ્ક્યુલસ પરની બાહ્ય કડીઓ નોંધો જેમાં ગિરસાનોવના પ્રમેયનો સરળ રૂપરેખા પુરાવો છે. સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાઓ ગાણિતિક સિદ્ધાંતો ગાણિતિક નાણા