Synthetic geometry
કૃત્રિમ ભૂમિતિ (કેટલીકવાર સ્વયંસિદ્ધ ભૂમિતિ અથવા તો શુદ્ધ ભૂમિતિ તરીકે પણ ઓળખાય છે) એ કોઓર્ડિનેટ્સનો ઉપયોગ કર્યા વગરની ભૂમિતિ છે. તે શરૂઆતમાં પૂર્વધારણા તરીકે ઓળખાતા કેટલાક મૂળભૂત ગુણધર્મોમાંથી તમામ પરિણામો સાબિત કરવા માટે સ્વયંસિદ્ધ પદ્ધતિ પર આધાર રાખે છે, અને હાલમાં તેને સ્વયંસિદ્ધ કહેવામાં આવે છે. "કૃત્રિમ ભૂમિતિ" શબ્દ 17મી સદી પછી જ બનાવવામાં આવ્યો હતો, અને રેને ડેસકાર્ટેસ દ્વારા સંકલન પદ્ધતિની રજૂઆત, જેને વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિ કહેવામાં આવતી હતી. તેથી "કૃત્રિમ ભૂમિતિ" શબ્દ જૂની પદ્ધતિઓનો ઉલ્લેખ કરવા માટે રજૂ કરવામાં આવ્યો હતો, જે ડેસકાર્ટેસ પહેલાં માત્ર જાણીતી હતી. ફેલિક્સ ક્લેઈન અનુસાર કૃત્રિમ ભૂમિતિ એ છે કે જે સૂત્રોનો આશ્રય લીધા વિના આંકડાઓનો અભ્યાસ કરે છે, જ્યારે વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિ સતત એવા સૂત્રોનો ઉપયોગ કરે છે જે કોઓર્ડિનેટ્સની યોગ્ય પદ્ધતિ અપનાવ્યા પછી લખી શકાય છે. કૃત્રિમ ભૂમિતિ માટેનો પ્રથમ વ્યવસ્થિત અભિગમ યુક્લિડ એલિમેન્ટ્સ છે. જો કે, 19મી સદીના અંતમાં એવું દેખાયું કે યુક્લિડની ધારણાઓ ભૂમિતિને દર્શાવવા માટે પૂરતી ન હતી. ભૂમિતિ માટેની પ્રથમ સંપૂર્ણ સ્વયંસિદ્ધ પદ્ધતિ 19મી સદીના અંતમાં ડેવિડ હિલ્બર્ટ દ્વારા આપવામાં આવી હતી. તે જ સમયે, એવું દેખાયું કે ભૂમિતિ બનાવવા માટે કૃત્રિમ પદ્ધતિઓ અને વિશ્લેષણાત્મક પદ્ધતિઓ બંનેનો ઉપયોગ કરી શકાય છે. એમિલ આર્ટીન દ્વારા તેમના પુસ્તક ભૌમિતિક બીજગણિતમાં એ હકીકત સાબિત કરવામાં આવી છે કે બે અપ્રોચ સમકક્ષ છે. આ સમાનતાને કારણે, કૃત્રિમ અને વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિ વચ્ચેનો તફાવત હવે ઉપયોગમાં નથી, સિવાય કે પ્રાથમિક સ્તરે, અથવા કોઈ પણ પ્રકારની સંખ્યાઓ સાથે સંબંધિત ન હોય તેવી ભૂમિતિઓ માટે, જેમ કે કેટલીક મર્યાદિત ભૂમિતિઓ અને બિન-ડેઝાર્ગેશિયન ભૂમિતિ. તાર્કિક સંશ્લેષણ તાર્કિક સંશ્લેષણની પ્રક્રિયા અમુક મનસ્વી પરંતુ ચોક્કસ પ્રારંભિક બિંદુથી શરૂ થાય છે. આ પ્રારંભિક બિંદુ એ આ આદિમ વિશેની આદિમ કલ્પનાઓ અથવા આદિમ અને સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતોનો પરિચય છેઃ આદિમ એ સૌથી મૂળભૂત વિચારો છે. સામાન્ય રીતે તેમાં વસ્તુઓ અને સંબંધો બંનેનો સમાવેશ થાય છે. ભૂમિતિમાં, પદાર્થો એ બિંદુઓ, રેખાઓ અને સમતલ જેવી વસ્તુઓ છે, જ્યારે મૂળભૂત સંબંધ ઘટના છે-એક પદાર્થની મુલાકાત અથવા બીજા સાથે જોડાવાનો. શરતો પોતે અવ્યાખ્યાયિત છે. હિલ્બર્ટે એક વખત ટિપ્પણી કરી હતી કે બિંદુઓ, રેખાઓ અને વિમાનોને બદલે કોષ્ટકો, ખુરશીઓ અને બીયર મગની વાત પણ કરી શકાય છે, મુદ્દો એ છે કે આદિમ શબ્દો માત્ર ખાલી પ્લેસહોલ્ડર્સ છે અને તેમાં કોઈ આંતરિક ગુણધર્મો નથી. સ્વયંસિદ્ધ એ આ આદિમ વિશેના નિવેદનો છે; ઉદાહરણ તરીકે, કોઈપણ બે બિંદુઓ એકસાથે માત્ર એક જ રેખા સાથે જોડાયેલા હોય છે (એટલે કે. કે કોઈપણ બે બિંદુઓ માટે, માત્ર એક જ રેખા હોય છે જે તે બંનેમાંથી પસાર થાય છે). સ્વયંસિદ્ધોને સાચા માનવામાં આવે છે, અને સાબિત કરવામાં આવતા નથી. તેઓ ભૌમિતિક વિભાવનાઓના બિલ્ડિંગ બ્લોક્સ છે, કારણ કે તેઓ પ્રિમિટિવ્સના ગુણધર્મોને સ્પષ્ટ કરે છે. સ્વયંસિદ્ધ સૂત્રોના આપેલ સમૂહમાંથી, સંશ્લેષણ કાળજીપૂર્વક બાંધવામાં આવેલી તાર્કિક દલીલ તરીકે આગળ વધે છે. જ્યારે કોઈ નોંધપાત્ર પરિણામ કડક રીતે સાબિત થાય છે, ત્યારે તે એક પ્રમેય બની જાય છે. સ્વયંસિદ્ધ સમૂહોના ગુણધર્મો ભૂમિતિ માટે કોઈ નિશ્ચિત સ્વયંસિદ્ધ સમૂહ નથી, કારણ કે એક કરતાં વધુ સુસંગત સમૂહ પસંદ કરી શકાય છે. આવા દરેક સમૂહ અલગ ભૂમિતિ તરફ દોરી શકે છે, જ્યારે સમાન ભૂમિતિ આપતા વિવિધ સમૂહોના ઉદાહરણો પણ છે. શક્યતાઓની આ વિપુલતા સાથે, એકવચનમાં "ભૂમિતિ" ની વાત કરવી હવે યોગ્ય નથી. ઐતિહાસિક રીતે, યુક્લિડની સમાંતર ધારણા અન્ય સિદ્ધાંતોથી સ્વતંત્ર હોવાનું બહાર આવ્યું છે. તેને ખાલી કાઢી નાખવાથી સંપૂર્ણ ભૂમિતિ મળે છે, જ્યારે તેને નકારવાથી હાયપરબોલિક ભૂમિતિ મળે છે. અન્ય સુસંગત સ્વયંસિદ્ધ સમૂહો અન્ય ભૂમિતિઓ પેદા કરી શકે છે, જેમ કે પ્રક્ષેપાત્મક, લંબગોળ, ગોળાકાર અથવા સંલગ્ન ભૂમિતિ. સાતત્ય અને "વચ્ચે" ના સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતો પણ વૈકલ્પિક છે, ઉદાહરણ તરીકે, તેમને કાઢીને અથવા તેમાં ફેરફાર કરીને અલગ ભૂમિતિઓ બનાવી શકાય છે. ક્લેઇનના એર્લાન્જેન કાર્યક્રમને અનુસરીને, આપેલ કોઈપણ ભૂમિતિના સ્વરૂપને વિકાસની શૈલીને બદલે સમપ્રમાણતા અને દરખાસ્તોની સામગ્રી વચ્ચેના જોડાણ તરીકે જોઈ શકાય છે. 19મી સદીમાં ગૌસ, બોલ્યાઈ, લોબાચેવસ્કી અને રીમાન દ્વારા બિન-યુક્લિડિયન ભૂમિતિઓની એક સાથે શોધ ન થઈ ત્યાં સુધી યુક્લિડની મૂળ સારવાર બે હજાર વર્ષથી વધુ સમય સુધી પડકાર વિનાની રહી હતી, જેના કારણે ગણિતશાસ્ત્રીઓએ યુક્લિડની અંતર્ગત ધારણાઓ પર સવાલ ઉઠાવ્યા હતા. પ્રારંભિક ફ્રેન્ચ વિશ્લેષકોમાંના એકએ કૃત્રિમ ભૂમિતિને આ રીતે સારાંશ આપ્યો હતોઃ યુક્લિડના તત્વોને કૃત્રિમ પદ્ધતિ દ્વારા ગણવામાં આવે છે. આ લેખકે, સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતો રજૂ કર્યા પછી, અને આવશ્યકતાઓની રચના કર્યા પછી, દરખાસ્તોની સ્થાપના કરી, જેને તેઓ ક્રમિક રીતે અગાઉના દ્વારા સમર્થિત હોવાનું સાબિત કરે છે, જે હંમેશા સરળથી સંયોજન તરફ આગળ વધે છે, જે સંશ્લેષણનું આવશ્યક સ્વરૂપ છે. કૃત્રિમ ભૂમિતિના પરાકાષ્ઠાને 19મી સદી ગણવામાં આવે છે, જ્યારે નિર્દેશાંકો અને કલન પર આધારિત વિશ્લેષણાત્મક પદ્ધતિઓને જેકબ સ્ટેઇનર જેવા કેટલાક ભૂમિતિ દ્વારા અવગણવામાં આવી હતી, જે પ્રોજેક્ટિવ ભૂમિતિના શુદ્ધ કૃત્રિમ વિકાસની તરફેણમાં હતી. ઉદાહરણ તરીકે, ઘટનાના સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતોથી શરૂ થતાં પ્રોજેક્ટિવ પ્લેનની સારવાર વાસ્તવમાં એક વ્યાપક સિદ્ધાંત (વધુ નમૂનાઓ સાથે) છે જે પરિમાણ ત્રણની વેક્ટર જગ્યાથી શરૂ કરીને જોવા મળે છે. પ્રોજેક્ટિવ ભૂમિતિ હકીકતમાં કોઈપણ ભૂમિતિમાં સૌથી સરળ અને સૌથી ભવ્ય કૃત્રિમ અભિવ્યક્તિ ધરાવે છે. તેમના એર્લાન્જેન કાર્યક્રમમાં, ફેલિક્સ ક્લેઇને કૃત્રિમ અને વિશ્લેષણાત્મક પદ્ધતિઓ વચ્ચેના તણાવને ઓછો કર્યો હતોઃ આધુનિક ભૂમિતિમાં કૃત્રિમ અને વિશ્લેષણાત્મક પદ્ધતિ વચ્ચેના વિરોધાભાસ પર આધુનિક સંશ્લેષણ અને આધુનિક વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિ વચ્ચેના તફાવતને હવે આવશ્યક ગણવો જોઈએ નહીં, કારણ કે વિષય-વસ્તુ અને તર્કની પદ્ધતિઓ બંનેએ ધીમે ધીમે બંનેમાં સમાન સ્વરૂપ લીધું છે. તેથી આપણે લખાણમાં પ્રોજેક્ટિવ ભૂમિતિ શબ્દ બંનેના સામાન્ય હોદ્દો તરીકે પસંદ કરીએ છીએ. કૃત્રિમ પદ્ધતિનો અવકાશ-પ્રત્યક્ષીકરણ સાથે વધુ સંબંધ હોવા છતાં અને તે રીતે તેના પ્રથમ સરળ વિકાસને દુર્લભ આકર્ષણ પ્રદાન કરે છે, તેમ છતાં અવકાશ-પ્રત્યક્ષીકરણનું ક્ષેત્ર વિશ્લેષણાત્મક પદ્ધતિથી બંધ નથી, અને વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિના સૂત્રોને ભૌમિતિક સંબંધોના ચોક્કસ અને સ્પષ્ટ નિવેદન તરીકે જોઈ શકાય છે. બીજી બાજુ, સારી રીતે ઘડવામાં આવેલા વિશ્લેષણના મૂળ સંશોધનના લાભને ઓછો અંદાજ ન આપવો જોઈએ-વિચારની અગાઉથી, તેના ગતિશીલ હોવાને કારણે એક ફાયદો. પરંતુ તે હંમેશા આગ્રહ રાખવો જોઈએ કે ગણિતના વિષયને ત્યાં સુધી સમાપ્ત માનવામાં ન આવે જ્યાં સુધી તે સહજ રીતે સ્પષ્ટ ન થઈ જાય, અને વિશ્લેષણની સહાયથી કરવામાં આવેલી પ્રગતિ માત્ર એક પ્રથમ પગલું છે, જોકે તે ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ પગલું છે. યુક્લિડિયન ભૂમિતિના નજીકના સ્વયંસિદ્ધ અભ્યાસથી લેમ્બર્ટ ચતુર્ભુજ અને સાચેરી ચતુર્ભુજનું નિર્માણ થયું. આ રચનાઓએ બિન-યુક્લિડિયન ભૂમિતિના ક્ષેત્રની રજૂઆત કરી હતી જ્યાં યુક્લિડના સમાંતર સ્વયંસિદ્ધતાને નકારી કાઢવામાં આવે છે. ગૌસ, બોલ્યાઈ અને લોબાચેવસ્કીએ સ્વતંત્ર રીતે હાયપરબોલિક ભૂમિતિ બનાવી, જ્યાં સમાંતર રેખાઓ સમાંતરતાનો કોણ ધરાવે છે જે તેમના વિભાજન પર આધાર રાખે છે. આ અભ્યાસ પોઇનકેરે ડિસ્ક મોડેલ દ્વારા વ્યાપકપણે સુલભ બન્યો જ્યાં મોબિયસ પરિવર્તન દ્વારા ગતિ આપવામાં આવે છે. તેવી જ રીતે, ગૌસના વિદ્યાર્થી રીમેને રીમાનિયન ભૂમિતિ બનાવી, જેમાંથી લંબગોળ ભૂમિતિ એક ચોક્કસ કેસ છે. અન્ય એક ઉદાહરણ લુડવિગ ઈમેન્યુઅલ મેગ્નસ દ્વારા વિકસાવવામાં આવેલી વ્યુત્ક્રમાત્મક ભૂમિતિ સાથે સંબંધિત છે, જેને ભાવનામાં કૃત્રિમ ગણી શકાય. પારસ્પરિકતાની નજીકથી સંબંધિત કામગીરી સમતલનું વિશ્લેષણ વ્યક્ત કરે છે. કાર્લ વોન સ્ટાઉડે દર્શાવ્યું હતું કે બીજગણિત સિદ્ધાંતો, જેમ કે વિનિમય અને ઉમેરા અને ગુણાકારની સહયોગીતા, હકીકતમાં ભૌમિતિક રૂપરેખાંકનોમાં રેખાઓની ઘટનાઓનું પરિણામ છે. ડેવિડ હિલ્બર્ટે દર્શાવ્યું હતું કે ડેસારગ્યુસ સંરચનાએ વિશેષ ભૂમિકા ભજવી હતી. આગળનું કામ રુથ મૌફાંગ અને તેના વિદ્યાર્થીઓ દ્વારા કરવામાં આવ્યું હતું. આ વિભાવનાઓ ઘટના ભૂમિતિના પ્રેરકોમાંની એક છે. જ્યારે સમાંતર રેખાઓને પ્રાથમિક તરીકે લેવામાં આવે છે, ત્યારે સંશ્લેષણ એફીન ભૂમિતિ ઉત્પન્ન કરે છે. યુક્લિડિયન ભૂમિતિ એ એફાઇન અને મેટ્રિક ભૂમિતિ બંને હોવા છતાં, સામાન્ય રીતે એફાઇન જગ્યાઓમાં મેટ્રિક ખૂટે છે. આ રીતે પૂરી પાડવામાં આવતી વધારાની લવચીકતા એફીન ભૂમિતિને અવકાશ સમયના અભ્યાસ માટે યોગ્ય બનાવે છે, જેમ કે એફીન ભૂમિતિના ઇતિહાસમાં ચર્ચા કરવામાં આવી છે. 1955માં હર્બર્ટ બુસેમેન અને પોલ જે. કેલીએ કૃત્રિમ ભૂમિતિ માટે ઉદાસીન નોંધ સંભળાવી હતીઃ જોકે અનિચ્છાએ, ભૂમિતિશાસ્ત્રીઓએ સ્વીકારવું જ જોઇએ કે કૃત્રિમ ભૂમિતિના સૌંદર્યએ નવી પેઢી માટે તેની અપીલ ગુમાવી દીધી છે. કારણો સ્પષ્ટ છેઃ આટલા લાંબા સમય પહેલા કૃત્રિમ ભૂમિતિ એકમાત્ર એવું ક્ષેત્ર હતું જેમાં તર્ક સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતોથી સખત રીતે આગળ વધ્યો હતો, જ્યારે આ અપીલ-ઘણા ગાણિતિક રીતે રસ ધરાવતા લોકો માટે એટલી મૂળભૂત-હવે અન્ય ઘણા ક્ષેત્રો દ્વારા કરવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, કોલેજના અભ્યાસોમાં હવે રેખીય બીજગણિત, ટોપોલોજી અને આલેખ સિદ્ધાંતનો સમાવેશ થાય છે જ્યાં વિષય પ્રથમ સિદ્ધાંતોમાંથી વિકસાવવામાં આવે છે, અને દરખાસ્તો પ્રાથમિક પુરાવાઓ દ્વારા કાઢવામાં આવે છે. વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિ સાથે કૃત્રિમને બદલવાની અપેક્ષા ભૌમિતિક સામગ્રીના નુકસાન તરફ દોરી જાય છે. ભૂમિતિના આજના વિદ્યાર્થી પાસે યુક્લિડના ઉપલબ્ધ સિદ્ધાંતો સિવાયના અન્ય સિદ્ધાંતો છેઃ હિલ્બર્ટના સિદ્ધાંતો અને ટાર્સ્કીના સિદ્ધાંતો જુઓ. અર્ન્સ્ટ કોટરે 1901માં "મોંગેથી સ્ટૌડ્ટ (1847) સુધી કૃત્રિમ ભૂમિતિના વિકાસ" પર (જર્મન) અહેવાલ પ્રકાશિત કર્યો હતો; ભૌમિતિક પ્રમેયોના કૃત્રિમ ભૂમિતિ કૃત્રિમ પુરાવાઓનો ઉપયોગ કરતા પુરાવા સહાયક રચનાઓ (જેમ કે સહાયક રેખાઓ) અને બાજુઓ અથવા ખૂણાઓની સમાનતા અને ત્રિકોણની સમાનતા અને એકરૂપતા જેવી વિભાવનાઓનો ઉપયોગ કરે છે. આવા પુરાવાઓના ઉદાહરણો બટરફ્લાય થીયરમ, એન્ગલ બાયસેક્ટર થીયરમ, એપોલોનીયસ થીયરમ, બ્રિટિશ ફ્લેગ થીયરમ, સેવા થીયરમ, ઇક્વલ ઇન્સર્કલ્સ થીયરમ, જીઓમેટ્રિક મીન થીયરમ, હેરોનનું સૂત્ર, આઇસોસેલેસ ટ્રાયેન્ગલ થીયરમ, કોસાઈન્સનો નિયમ અને અન્ય લેખોમાં મળી શકે છે જે અહીં સાથે જોડાયેલા છે. કોમ્પ્યુટેશનલ સિન્થેટિક ભૂમિતિ કોમ્પ્યુટેશનલ ભૂમિતિ સાથે જોડાણમાં, કોમ્પ્યુટેશનલ સિન્થેટિક ભૂમિતિ સ્થાપિત કરવામાં આવી છે, ઉદાહરણ તરીકે, મેટ્રોઇડ સિદ્ધાંત સાથે ગાઢ જોડાણ ધરાવે છે. કૃત્રિમ વિભેદક ભૂમિતિ એ વિભેદક બહુવિધ સિદ્ધાંતના પાયા પર ટોપોસ સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ છે. ભૂમિતિના પાયા પણ જુઓ ઘટના ભૂમિતિ કૃત્રિમ વિભેદક ભૂમિતિ નોંધો સંદર્ભો હેલસ્ટેડ, જી. બી. (1896) એલિમેન્ટરી સિન્થેટિક ભૂમિતિ વાયા ઈન્ટરનેટ આર્કાઇવ હેલસ્ટેડ, જ્યોર્જ બ્રુસ (1906) સિન્થેટિક પ્રોજેક્ટિવ ભૂમિતિ, વાયા ઈન્ટરનેટ આર્કાઇવ. હિલ્બર્ટ અને કોહ્ન-વોસેન, ભૂમિતિ અને કલ્પના. ભૂમિતિ ક્ષેત્રો