Coxeter complex
ગણિતમાં, કોક્સેટર સંકુલ, જેનું નામ એચ. એસ. એમ. કોક્સેટરના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે, તે કોક્સેટર જૂથ સાથે સંકળાયેલ ભૌમિતિક માળખું (એક સરળ સંકુલ) છે. કોક્સેટર સંકુલ એ મૂળભૂત વસ્તુઓ છે જે ઇમારતોના નિર્માણને મંજૂરી આપે છે; તેઓ મકાનના એપાર્ટમેન્ટ બનાવે છે. કેનોનિકલ રેખીય પ્રતિનિધિત્વ કોક્સેટર પ્રણાલી સાથે સંકળાયેલ કોક્સેટર સંકુલના નિર્માણમાં પ્રથમ ઘટક ચોક્કસ પ્રતિનિધિત્વ છે, જેને કેનોનિકલ પ્રતિનિધિત્વ કહેવાય છે. ચાલો કોક્સેટર મેટ્રિક્સ સાથે કોક્સેટર સિસ્ટમ બનીએ. કેનોનિકલ રજૂઆત ઔપચારિક પ્રતીકોના આધારે વેક્ટર સ્પેસ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જે સપ્રમાણ દ્વિરેખીય સ્વરૂપથી સજ્જ છે. ખાસ કરીને તા. પછી ચાલુ ક્રિયા દ્વારા આપવામાં આવે છે. કોક્સેટર જૂથોના સિદ્ધાંતમાં આ રજૂઆતમાં ઘણા પાયાના ગુણધર્મો છે; દાખલા તરીકે, જો અને માત્ર ત્યારે જ હકારાત્મક ચોક્કસ છે જો તે મર્યાદિત હોય. તે એક વફાદાર પ્રતિનિધિત્વ છે. ચેમ્બર્સ અને ટિટ્સ શંકુ આ રજૂઆત પ્રતિબિંબ જૂથ તરીકે વર્ણવે છે, જેમાં ચેતવણી હકારાત્મક ચોક્કસ ન પણ હોઈ શકે. તે પછી પ્રતિનિધિત્વને તેના બેવડાથી અલગ પાડવું મહત્વપૂર્ણ બને છે. વેક્ટર અંદર આવેલા હોય છે અને તેમાં અનુરૂપ બેવડા વેક્ટર હોય છે, જેના દ્વારા કોણીય કૌંસ અને વચ્ચેની કુદરતી જોડી સૂચવે છે. હવે કાર્ય કરે છે અને કાર્ય માટે અને કોઈપણ દ્વારા આપવામાં આવે છે. પછી હાયપરપ્લેનમાં પ્રતિબિંબ છે. એક પાસે મૂળભૂત ખંડ છે; આની સામે કહેવાતી દિવાલો છે. અન્ય ચેમ્બર અનુવાદ દ્વારા મેળવી શકાય છેઃ તેઓ માટે છે. ટિટ્સ કોન છે. આ બધું જ હોવું જરૂરી નથી. મુખ્ય મહત્વ એ હકીકત છે કે તે બહિર્મુખ છે. બંધ કરવું એ ચાલુ ક્રિયા માટેનું મૂળભૂત ક્ષેત્ર છે. કોક્સેટર સંકુલના સંદર્ભમાં કોક્સેટર સંકુલ છે, જ્યાં હકારાત્મક વાસ્તવિકતાનું ગુણાકાર જૂથ છે. ઉદાહરણો મર્યાદિત ડાયહેડ્રલ જૂથો ડાયહેડ્રલ જૂથો (2n ક્રમના) અનુરૂપ પ્રકારના કોક્સેટર જૂથો છે. તેમની પાસે પ્રસ્તુતિ છે. કેનોનિકલ રેખીય રજૂઆત એ ડાયહેડ્રલ જૂથની સામાન્ય પ્રતિબિંબ રજૂઆત છે, જે સમતલમાં-ગોન પર કાર્ય કરે છે (તેથી આ કિસ્સામાં). દાખલા તરીકે, આ કિસ્સામાં આપણને કોક્સેટર પ્રકારનું જૂથ મળે છે, જે સમતલમાં સમબાહુ ત્રિકોણ પર કાર્ય કરે છે. દરેક પ્રતિબિંબ ડ્યુઅલ વેક્ટર સ્પેસમાં સંકળાયેલ હાયપરપ્લેન ધરાવે છે (જેને બાયલિનિયર ફોર્મનો ઉપયોગ કરીને વેક્ટર સ્પેસ સાથે જ ઓળખી શકાય છે, જે ઉપર સૂચવ્યા મુજબ આ કિસ્સામાં આંતરિક ઉત્પાદન છે); આ દિવાલો છે. નીચે દર્શાવ્યા મુજબ તેઓ ચેમ્બરને કાપી નાખે છેઃ કોક્સેટર સંકુલ પછી અનુરૂપ-ગોન છે, જેમ કે ઉપરની છબીમાં. આ પરિમાણ 1 નું સરળ સંકુલ છે, અને તેને પ્રકાર દ્વારા રંગીન કરી શકાય છે. અનંત ડાયહેડ્રલ જૂથ બીજું પ્રેરક ઉદાહરણ અનંત ડાયહેડ્રલ જૂથ છે. આને વાસ્તવિક રેખાના સમપ્રમાણતાના જૂથ તરીકે જોઈ શકાય છે જે પૂર્ણાંક કોઓર્ડિનેટ્સ સાથેના બિંદુઓના સમૂહને સાચવે છે; તે અને માં પ્રતિબિંબે દ્વારા પેદા થાય છે. આ જૂથમાં કોક્સેટર પ્રસ્તુતિ છે. આ કિસ્સામાં, તેની બેવડી જગ્યા સાથે ઓળખવું હવે શક્ય નથી, જેમ કે ડીજનરેટ છે. તે પછી ફક્ત તેની સાથે કામ કરવું વધુ સારું છે, જ્યાં હાયપરપ્લેન વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. આ પછી નીચેનું ચિત્ર આપે છેઃ આ કિસ્સામાં, ટિટ્સ શંકુ સંપૂર્ણ સમતલ નથી, પરંતુ માત્ર ઉપલા અડધા સમતલ છે. હકારાત્મક વાસ્તવિક દ્વારા ભાગાકાર લેવાથી પૂર્ણાંકો પર ચિહ્નિત બિંદુઓ સાથે વાસ્તવિક રેખાની બીજી નકલ મળે છે. આ અનંત ડાયહેડ્રલ જૂથનું કોક્સેટર સંકુલ છે. કોક્સેટર સંકુલનું વૈકલ્પિક બાંધકામ કોક્સેટર સંકુલનું બીજું વર્ણન કોક્સેટર જૂથના પ્રમાણભૂત કોસેટનો ઉપયોગ કરે છે. પ્રમાણભૂત કોસેટ એ સ્વરૂપનો કોસેટ છે, જ્યાં કેટલાક યોગ્ય સબસેટ માટે. ઉદાહરણ તરીકે, અને. કોક્સેટર સંકુલ પછી પ્રમાણભૂત કોસેટની સ્થિતિ છે, જે રિવર્સ સમાવેશ દ્વારા ક્રમબદ્ધ છે. આ એક સરળ સંકુલનું કેનોનિકલ માળખું ધરાવે છે, જેમ કે તમામ સ્થિતિઓ કે જે સંતોષ આપે છેઃ કોઈપણ બે ઘટકોની સૌથી મોટી નીચલી સીમા હોય છે. આપેલ કોઈપણ તત્વ કરતાં ઓછું અથવા તેની બરાબર તત્વોની સ્થિતિ અમુક પૂર્ણાંક n માટે ઉપગણની સ્થિતિ માટે સમરૂપ હોય છે. ગુણધર્મો કોક્સેટર સંકુલ સાથે સંકળાયેલું પરિમાણ ધરાવે છે. જો W મર્યાદિત હોય અને જો W અનંત હોય તો તે સંકોચાય તેવું હોય તો તે-ગોળા માટે હોમોમોર્ફિક છે. ગોળાકાર ટિટ્સ બિલ્ડિંગનો દરેક એપાર્ટમેન્ટ કોક્સેટર કોમ્પ્લેક્સ છે. બિલ્ડીંગ્સ વેલ ગ્રૂપ રૂટ સિસ્ટમ રેફરન્સ સોર્સ પીટર અબ્રામેંકો અને કેનેથ એસ. બ્રાઉન, બિલ્ડીંગ્સ, થિયરી એન્ડ એપ્લિકેશન્સ પણ જુઓ. સ્પ્રિંગર, 2008. જૂથ સિદ્ધાંત બીજગણિત સંયોજનશાસ્ત્ર ભૌમિતિક જૂથ સિદ્ધાંત ગાણિતિક રચનાઓ