Chapman–Kolmogorov equation
ગણિતમાં, ખાસ કરીને સંભાવના સિદ્ધાંતમાં માર્કોવિયન સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાઓના સિદ્ધાંતમાં, ચેપમેન-કોલ્મોગોરોવ સમીકરણ (સી. કે. ઈ.) એ સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયા પર કોઓર્ડિનેટ્સના વિવિધ સમૂહોના સંયુક્ત સંભાવના વિતરણને લગતી ઓળખ છે. આ સમીકરણ બ્રિટિશ ગણિતશાસ્ત્રી સિડની ચેપમેન અને રશિયન ગણિતશાસ્ત્રી એન્ડ્રી કોલ્મોગોરોવ બંને દ્વારા સ્વતંત્ર રીતે લેવામાં આવ્યું હતું. તાજેતરની વેરિયેશનલ બાયેસિયન પદ્ધતિઓમાં સી. કે. ઈ. નો મુખ્યત્વે ઉપયોગ થાય છે. ગાણિતિક વર્ણન ધારો કે {fi} એ રેન્ડમ વેરિયેબલનો અનુક્રમિત સંગ્રહ છે, એટલે કે સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયા. ચાલો રેન્ડમ ચલ f1 થી fn ના મૂલ્યોની સંયુક્ત સંભાવના ઘનતા કાર્ય હોઈએ. પછી, ચેપમેન-કોલમોગોરોવ સમીકરણ એટલે કે. ઉપદ્રવ ચલ પર સીધું હાંસિયામાં ધકેલવું. (નોંધ લો કે રેન્ડમ વેરિયેબલના અસ્થાયી (અથવા અન્ય કોઈપણ) ક્રમ વિશે હજુ સુધી કંઈપણ ધારવામાં આવ્યું નથી-ઉપરોક્ત સમીકરણ તેમાંથી કોઈપણના હાંસિયામાં જવા માટે સમાન રીતે લાગુ પડે છે.) જ્યારે વિચારણા હેઠળની સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયા માર્કોવિયન હોય, ત્યારે ચેપમેન-કોલ્મોગોરોવ સમીકરણ સંક્રમણ ઘનતા પરની ઓળખની સમકક્ષ હોય છે. માર્કોવ સાંકળ સેટિંગમાં, એક ધારે છે કે i1 <. <in. પછી, માર્કોવ ગુણધર્મને કારણે, જ્યાં શરતી સંભાવના એ સમય વચ્ચેની સંક્રમણ સંભાવના છે. તેથી, ચેપમેન-કોલ્મોગોરોવ સમીકરણ અનૌપચારિક રીતે સ્વરૂપ લે છે, આ કહે છે કે સ્થિતિ 1 થી સ્થિતિ 3 પર જવાની સંભાવના 1 થી મધ્યવર્તી સ્થિતિ 2 અને પછી 2 થી 3 સુધી જવાની સંભાવનાઓમાંથી મળી શકે છે, તમામ સંભવિત મધ્યવર્તી સ્થિતિ 2 નો ઉમેરો કરીને. જ્યારે માર્કોવ સાંકળની સ્થિતિ જગ્યા પર સંભાવના વિતરણ અલગ હોય અને માર્કોવ સાંકળ સજાતીય હોય, ત્યારે ચેપમેન-કોલ્મોગોરોવ સમીકરણોને (સંભવતઃ અનંત-પરિમાણીય) મેટ્રિક્સ ગુણાકારની દ્રષ્ટિએ વ્યક્ત કરી શકાય છે, આમઃ જ્યાં P (t) એ જમ્પ t નો સંક્રમણ મેટ્રિક્સ છે, એટલે કે, P (t) એ મેટ્રિક્સ છે કે એન્ટ્રી (i, j) માં સાંકળની સ્થિતિ i થી t પગલાંઓમાં સ્થિતિ j તરફ જવાની સંભાવના હોય છે. પરિણામે, તે અનુસરે છે કે જમ્પ t ના સંક્રમણ મેટ્રિક્સની ગણતરી કરવા માટે, તે જમ્પ 1 ના સંક્રમણ મેટ્રિક્સને t ની ઘાતમાં વધારવા માટે પૂરતું છે, એટલે કે ચેપમેન-કોલમોગોરોવ સમીકરણનું વિભેદક સ્વરૂપ મુખ્ય સમીકરણ તરીકે ઓળખાય છે. આ પણ જુઓ ફોકર-પ્લાન્ક સમીકરણ (જેને કોલ્મોગોરોવ ફોરવર્ડ સમીકરણ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે) કોલ્મોગોરોવ પછાત સમીકરણ માર્કોવ સાંકળોના ઉદાહરણો વધુ વાંચન બાહ્ય કડીઓ માર્કોવ પ્રક્રિયાઓ સ્ટોકેસ્ટિક કલન