Telephone number (mathematics)
ગણિતમાં, ટેલિફોન નંબરો અથવા ઇન્વોલ્યુશન નંબરો પૂર્ણાંકોનો ક્રમ બનાવે છે જે વ્યક્તિ-થી-વ્યક્તિ ટેલિફોન કૉલ્સ દ્વારા લોકોને કેવી રીતે જોડી શકાય તેની ગણતરી કરે છે. આ સંખ્યાઓ શિરોબિંદુઓ પર સંપૂર્ણ આલેખની મેળ ખાતી સંખ્યા (હોસોયા અનુક્રમણિકા), ઉત્ક્રાંતિ ધરાવતા ઘટકો પરના ક્રમચયોની સંખ્યા, હર્માઇટ બહુપદીઓના ગુણાંકના નિરપેક્ષ મૂલ્યોનો સરવાળો, કોષો સાથેની પ્રમાણભૂત યંગ ટેબ્લોની સંખ્યા અને સમપ્રમાણ જૂથની અપરિવર્તનીય રજૂઆતોની ડિગ્રીનો સરવાળો પણ વર્ણવે છે. ઇન્વોલ્યુશન નંબરોનો સૌપ્રથમ અભ્યાસ 1800 માં હેઇનરિચ ઑગસ્ટ રોથે દ્વારા કરવામાં આવ્યો હતો, જેમણે પુનરાવર્તન સમીકરણ આપ્યું હતું, જેના દ્વારા તેમની ગણતરી કરી શકાય છે, મૂલ્યો આપીને (થી શરૂ કરીને) એપ્લિકેશન્સ જ્હોન રિયોર્ડન આ નંબરો માટે નીચેની સમજૂતી પૂરી પાડે છેઃ ધારો કે લોકો ટેલિફોન સેવાનું સબ્સ્ક્રાઇબ કરે છે જે તેમાંથી કોઈપણ બેને કૉલ દ્વારા કનેક્ટ કરી શકે છે, પરંતુ બેથી વધુ લોકોને જોડતો એક પણ કૉલ કરી શકતા નથી. જોડાણની કેટલી જુદી જુદી પેટર્ન શક્ય છે? દાખલા તરીકે, ત્રણ ગ્રાહકો સાથે, કુલ ચાર પેટર્ન માટે, એક ટેલિફોન કૉલ બનાવવાની ત્રણ રીતો છે, અને એક વધારાની પેટર્ન જેમાં કોઈ કૉલ કરવામાં આવતો નથી. આ કારણોસર, કેટલી પેટર્ન શક્ય છે તેની ગણતરી કરતી સંખ્યાઓને કેટલીકવાર ટેલિફોન નંબર કહેવામાં આવે છે. લોકો વચ્ચેના જોડી મુજબના જોડાણોની દરેક પેટર્ન ઇન્વોલ્યુશનને વ્યાખ્યાયિત કરે છે, જે લોકોનું ક્રમચય છે જે તેનું પોતાનું વ્યસ્ત છે. આ ક્રમચયમાં, દરેક બે લોકો કે જેઓ એકબીજાને ફોન કરે છે તેમની અદલાબદલી કરવામાં આવે છે, અને કોલમાં સામેલ ન હોય તેવા લોકો પોતાની જગ્યાએ સ્થિર રહે છે. તેનાથી વિપરીત, દરેક સંભવિત હસ્તક્ષેપ આ પ્રકારના જોડી મુજબના વિનિમયના સમૂહનું સ્વરૂપ ધરાવે છે. તેથી, ટેલિફોન નંબરો પણ ઇન્વોલ્યુશનની ગણતરી કરે છે. 1800 માં રોથે દ્વારા અભ્યાસ કરાયેલ મૂળ સંયુક્ત ગણતરીની સમસ્યા એ ઇન્વોલ્યુશનની ગણતરીની સમસ્યા હતી અને આ સંખ્યાઓને ઇન્વોલ્યુશન સંખ્યાઓ પણ કહેવામાં આવે છે. આલેખ સિદ્ધાંતમાં, આલેખની ધારોનો ઉપગણ જે દરેક શિરોબિંદુને વધુમાં વધુ એક વાર સ્પર્શે છે તેને મેળ કહેવાય છે. રાસાયણિક આલેખ સિદ્ધાંતમાં આપેલ આલેખના મેળની ગણતરી કરવી મહત્વપૂર્ણ છે, જ્યાં આલેખના નમૂના અણુઓ અને મેળની સંખ્યા હોસોયા અનુક્રમણિકા છે. - વર્ટેક્સ આલેખનો સૌથી મોટો સંભવિત હોસોયા સૂચકાંક સંપૂર્ણ આલેખ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જેના માટે જોડી મુજબ જોડાણોની કોઈપણ પેટર્ન શક્ય છે; આમ, શિરોબિંદુઓ પર સંપૂર્ણ આલેખનો હોસોયા સૂચકાંક છઠ્ઠા ટેલિફોન નંબર જેટલો જ હોય છે. ફેરર્સ આકૃતિ એ એક ભૌમિતિક આકાર છે જે સમતલમાં ચોરસના સંગ્રહ દ્વારા રચાય છે, જે આડી ટોચની ધાર, ઊભી ડાબી ધાર અને ઉપર જમણીથી નીચે ડાબી બાજુની ધારની એક એકવિધ સાંકળ સાથે પોલિમિનોમાં જૂથબદ્ધ છે. એક પ્રમાણભૂત યુવાન ઝાંખી આ ચોરસમાં 1 થી સંખ્યાઓને એવી રીતે મૂકીને બનાવવામાં આવે છે કે સમગ્ર ઝાંખીમાં સંખ્યાઓ ડાબેથી જમણે અને ઉપરથી નીચે સુધી વધે. રોબિન્સન-શેન્સ્ટેડ પત્રવ્યવહાર અનુસાર, ક્રમચયો પ્રમાણભૂત યંગ ટેબ્લોની ક્રમબદ્ધ જોડી સાથે એક-માટે-એકને અનુરૂપ છે. ક્રમચયોને ઊંધી કરવી એ બે ઝાંખીઓની અદલાબદલીને અનુરૂપ છે, અને તેથી સ્વ-વ્યસ્ત ક્રમચયો એક ઝાંખીને અનુરૂપ છે, જે પોતાની સાથે જોડાયેલી છે. આમ, ટેલિફોન નંબરો પણ ચોરસ સાથેની યુવાન ઝાંખીઓની સંખ્યાને ગણાવે છે. પ્રતિનિધિત્વ સિદ્ધાંતમાં, ફેરર્સ આકૃતિઓ ક્રમચયોના સમપ્રમાણ જૂથના ઈરીડ્યુસિબલ રજૂઆતને અનુરૂપ છે, અને આપેલ આકાર સાથેની યંગ ટેબ્લો તે આકાર સાથે ઈરીડ્યુસિબલ રજૂઆતનો આધાર બનાવે છે. તેથી, ટેલિફોન નંબરો ઈરીડ્યુસિબલ રજૂઆતોની ડિગ્રીનો સરવાળો આપે છે. ચેસના ગણિતમાં, ટેલિફોન નંબરો ચેસબોર્ડ પર રૂક્સ મૂકવાની રીતોની સંખ્યાને એવી રીતે ગણાવે છે કે કોઈ બે રૂક્સ એકબીજા પર હુમલો ન કરે (કહેવાતા આઠ રૂક્સ પઝલ), અને એવી રીતે કે રૂક્સની ગોઠવણી બોર્ડના કર્ણ પ્રતિબિંબ હેઠળ સપ્રમાણ હોય. પોલ્યા ગણના પ્રમેય દ્વારા, આ સંખ્યાઓ પરસ્પર બિન-આક્રમક રૂક્સની "આવશ્યકપણે અલગ" રૂપરેખાંકનોની એકંદર સંખ્યા માટે સૂત્રના મુખ્ય ઘટકોમાંની એક બનાવે છે, જ્યાં જો બોર્ડની કોઈ સમપ્રમાણતા ન હોય તો બે રૂપરેખાંકનોને આવશ્યકપણે અલગ ગણવામાં આવે છે. ગાણિતિક ગુણધર્મો પુનરાવર્તન ટેલિફોન નંબરો 1800 માં હેનરિચ ઓગસ્ટ રોથે દ્વારા પ્રથમ વખત પ્રકાશિત થયેલા પુનરાવર્તન સંબંધને સંતોષે છે, જેના દ્વારા તેમની ગણતરી સરળતાથી કરી શકાય છે. આ પુનરાવર્તનને સમજાવવાની એક રીત એ છે કે ટેલિફોન સિસ્ટમમાં સબ્સ્ક્રાઇબર્સની જોડાણ પેટર્નને તે પેટર્નમાં વિભાજિત કરવી જેમાં પ્રથમ વ્યક્તિ બીજા કોઈને કૉલ કરી રહી નથી, અને પેટર્ન જેમાં પ્રથમ વ્યક્તિ કૉલ કરી રહી છે. ત્યાં જોડાણની પેટર્ન છે જેમાં પ્રથમ વ્યક્તિ ડિસ્કનેક્ટ થાય છે, જે પુનરાવર્તનની પ્રથમ મુદત સમજાવે છે. જો પ્રથમ વ્યક્તિ કોઈની સાથે જોડાયેલ હોય, તો તે વ્યક્તિ માટે પસંદગીઓ હોય છે, અને બાકીના લોકો માટે જોડાણની પેટર્ન હોય છે, જે પુનરાવર્તનની બીજી મુદત સમજાવે છે. સારાંશ સૂત્ર અને અંદાજ ટેલિફોન નંબરોને સરવાળા તરીકે બરાબર વ્યક્ત કરી શકાય છે પ્રથમ સરવાળાના દરેક પદમાં, મેળ ખાતી જોડીની સંખ્યા આપે છે, દ્વિપદી ગુણાંક મેળ ખાતા તત્વોને પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યાની ગણતરી કરે છે, અને ડબલ ફેક્ટોરિયલ એ તેની દલીલ સુધી વિચિત્ર પૂર્ણાંકોની પેદાશ છે અને પસંદ કરેલા તત્વોને સંપૂર્ણપણે મેળ ખાતી રીતોની સંખ્યાની ગણતરી કરે છે. તે સારાંશ સૂત્ર અને સ્ટર્લિંગના અંદાજને અનુસરે છે કે, એસિમ્પ્ટોટિકલી, જનરેટિંગ ફંક્શન ટેલિફોન નંબરોનું ઘાતાંકીય જનરેટિંગ ફંક્શન છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, ટેલિફોન નંબરને ટેલર શ્રેણીના ગુણાંક તરીકે વાંચી શકાય છે, અને th ટેલિફોન નંબર એ આ ફંક્શનના th વ્યુત્પન્નના શૂન્ય પરનું મૂલ્ય છે. આ કાર્ય હર્માઇટ બહુપદીઓના ઘાતાંકીય ઉત્પન્ન કાર્ય સાથે નજીકથી સંબંધિત છે, જે સંપૂર્ણ આલેખની મેળ ખાતી બહુપદીઓ છે. th (પ્રોબેબિલિસ્ટ) હર્માઇટ બહુપદીના ગુણાંકના નિરપેક્ષ મૂલ્યોનો સરવાળો એ th ટેલિફોન નંબર છે, અને ટેલિફોન નંબરને હર્માઇટ બહુપદીના ચોક્કસ વિશેષ મૂલ્યો તરીકે પણ અનુભવી શકાય છેઃ મુખ્ય પરિબળો ના મોટા મૂલ્યો માટે, th ટેલિફોન નંબર બેની મોટી શક્તિ દ્વારા વિભાજીત થાય છે. વધુ ચોક્કસપણે, અને નો 2-એડીક ક્રમ (મુખ્ય ગુણાંકમાં બે પરિબળોની સંખ્યા) છે; તેના માટે છે, અને તેના માટે છે. કોઈપણ મુખ્ય સંખ્યા માટે, ક્યાં તો શૂન્ય સુધી પહોંચે ત્યાં સુધી અથવા ચક્રને શોધી ન લે ત્યાં સુધી ટેલિફોન નંબરો, મોડ્યુલોના ક્રમ માટે પુનરાવર્તનની ગણતરી કરીને વિભાજીત ટેલિફોન નંબર અસ્તિત્વમાં છે કે કેમ તે ચકાસી શકાય છે. જે અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ ઓછામાં ઓછી એક ટેલિફોન સંખ્યાને વિભાજિત કરે છે તે અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે આ ક્રમમાં વિચિત્ર અવિભાજ્ય સંખ્યાઓને બિનકાર્યક્ષમ કહેવામાં આવે છે. તેમાંના દરેક અસંખ્ય ટેલિફોન નંબરોને વિભાજિત કરે છે. સંદર્ભો પૂર્ણાંક ક્રમ આંકડાકીય સંયોજન તથ્યાત્મક અને દ્વિપદી વિષયો મેળ ખાતા (આલેખ સિદ્ધાંત) ક્રમચયો