Triangulated category
ગણિતમાં, ત્રિકોણાકાર શ્રેણી એ "અનુવાદ કારક" ની વધારાની રચના અને "ચોક્કસ ત્રિકોણ" નો વર્ગ ધરાવતી શ્રેણી છે. અગ્રણી ઉદાહરણો એબેલિયન શ્રેણીની વ્યુત્પન્ન શ્રેણી, તેમજ સ્થિર હોમોટૉપી શ્રેણી છે. ચોક્કસ ત્રિકોણ એબેલિયન શ્રેણીમાં ટૂંકા ચોક્કસ ક્રમને સામાન્ય બનાવે છે, તેમજ ટોપોલોજીમાં ફાઇબર ક્રમ અને કોફાઇબર ક્રમને સામાન્ય બનાવે છે. મોટાભાગના સમરૂપ બીજગણિતને ત્રિકોણાકાર વર્ગોની ભાષા દ્વારા સ્પષ્ટ અને વિસ્તૃત કરવામાં આવે છે, જેનું એક મહત્વપૂર્ણ ઉદાહરણ શીફ કોહોમોલોજીનો સિદ્ધાંત છે. 1960 ના દાયકામાં, ત્રિકોણાકાર શ્રેણીઓનો એક લાક્ષણિક ઉપયોગ અવકાશ X પર શીવ્સના ગુણધર્મોને શીવ્સના સંકુલ સુધી વિસ્તારવાનો હતો, જેને X પર શીવ્સની વ્યુત્પન્ન શ્રેણીની વસ્તુઓ તરીકે જોવામાં આવે છે. તાજેતરમાં, ત્રિકોણાકાર વર્ગો તેમના પોતાના અધિકારમાં રસના પદાર્થો બની ગયા છે. વિવિધ મૂળના ત્રિકોણાકાર વર્ગો વચ્ચેની ઘણી સમાનતાઓ સાબિત અથવા અનુમાન કરવામાં આવી છે. ઉદાહરણ તરીકે, હોમોલોજિકલ મિરર સિમેટ્રી અનુમાન આગાહી કરે છે કે કાલાબી-યુ મેનીફોલ્ડની વ્યુત્પન્ન શ્રેણી તેના "મિરર" સિમ્પ્લેક્ટિક મેનીફોલ્ડની ફુકાયા શ્રેણીની સમકક્ષ છે. શિફ્ટ ઓપરેટર એ ત્રિકોણાકાર શ્રેણીનું વર્ગીકૃત એનાલોગ છે. ઇતિહાસની ત્રિકોણાકાર શ્રેણીઓ ડાયટર પપ્પે (1962) અને જીન-લુઇસ વર્ડીયર (1963) દ્વારા સ્વતંત્ર રીતે રજૂ કરવામાં આવી હતી, જોકે પપ્પેના સ્વયંસિદ્ધ ઓછા સંપૂર્ણ હતા (ઓક્ટાહેડ્રલ સ્વયંસિદ્ધ (ટીઆર 4) નો અભાવ). પપ્પે સ્થિર હોમોટૉપી શ્રેણી દ્વારા પ્રેરિત હતી. વર્ડિયરનું મુખ્ય ઉદાહરણ અબેલિયન શ્રેણીની વ્યુત્પન્ન શ્રેણી હતી, જેને તેમણે એલેક્ઝાન્ડર ગ્રોથેન્ડીકના વિચારોને વિકસાવતા વ્યાખ્યાયિત પણ કરી હતી. વ્યુત્પન્ન શ્રેણીઓના પ્રારંભિક ઉપયોગોમાં સુસંગત દ્વૈત અને વર્ડીયર દ્વૈતનો સમાવેશ થાય છે, જે પોઇનકેર દ્વૈતને એકવચન જગ્યાઓ સુધી વિસ્તરે છે. વ્યાખ્યા શ્રેણી D પર શિફ્ટ અથવા ટ્રાન્સલેશન ફંકટર એ D થી D સુધી એક એડિટિવ ઓટોમોર્ફિઝમ (અથવા કેટલાક લેખકો માટે, ઓટો-ઇક્વિવેલન્સ) છે. પૂર્ણાંકો n માટે લખવું સામાન્ય છે. ત્રિકોણ (X, Y, Z, u, v, w) માં ત્રણ પદાર્થો X, Y અને Z નો સમાવેશ થાય છે. ત્રિકોણ સામાન્ય રીતે વણખેડાયેલા સ્વરૂપમાં લખવામાં આવે છેઃ અથવા ટૂંકમાં. ત્રિકોણીય શ્રેણી એ એક એડિટિવ શ્રેણી D છે જેમાં ટ્રાન્સલેશન ફંકટર અને ત્રિકોણોનો વર્ગ છે, જેને ચોક્કસ ત્રિકોણ (અથવા વિશિષ્ટ ત્રિકોણ) કહેવામાં આવે છે, જે નીચેના ગુણધર્મો (TR 1), (TR 2), (TR 3) અને (TR 4) ને સંતોષે છે. (આ સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતો સંપૂર્ણપણે સ્વતંત્ર નથી, કારણ કે (TR 3) અન્યમાંથી મેળવી શકાય છે.) TR1 દરેક પદાર્થ X માટે, નીચેનો ત્રિકોણ ચોક્કસ છેઃ દરેક આકારવાદ માટે, એક પદાર્થ Z હોય છે (જેને કોન અથવા મોર્ફિઝમનું કોફાઇબર કહેવાય છે) જે ચોક્કસ ત્રિકોણમાં બંધબેસે છે. તે અન્ય સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતો પરથી અનુસરે છે કે ચોક્કસ ત્રિકોણ (અને ખાસ કરીને પદાર્થ Z) મોર્ફિઝમ દ્વારા આઇસોમોર્ફિઝમ સુધી નક્કી થાય છે, જો કે હંમેશા અનન્ય આઇસોમોર્ફિઝમ સુધી નહીં. ચોક્કસ ત્રિકોણ માટે દરેક સમરૂપ ત્રિકોણ ચોક્કસ હોય છે. આનો અર્થ એ છે કે જો ચોક્કસ ત્રિકોણ હોય, અને,, અને સમરૂપતા હોય, તો તે પણ ચોક્કસ ત્રિકોણ છે. TR2 જો ચોક્કસ ત્રિકોણ હોય, તો બે ફરતા ત્રિકોણ પણ છે અને છેલ્લા ત્રિકોણને ધ્યાનમાં રાખીને, પદાર્થ Z [−1] ને મોર્ફિઝમનું ફાઇબર કહેવામાં આવે છે. બીજા ફરતા ત્રિકોણનું વધુ જટિલ સ્વરૂપ હોય છે જ્યારે તે સમરૂપતા નથી પરંતુ માત્ર શ્રેણીઓની પરસ્પર વ્યસ્ત સમાનતાઓ છે, કારણ કે તે થી મોર્ફિઝમ છે, અને એકને મોર્ફિઝમ મેળવવા માટે કુદરતી પરિવર્તન સાથે રચના કરવી આવશ્યક છે. આ સંભવિત સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતો વિશે જટિલ પ્રશ્નો તરફ દોરી જાય છે જે વ્યક્તિએ કુદરતી પરિવર્તન બનાવવા પર અને વિપરીત સમાનતાઓની જોડીમાં લાદવા પડે છે. આ મુદ્દાને કારણે, ત્રિકોણાકાર શ્રેણીની વ્યાખ્યામાં સામાન્ય પસંદગી એ ધારણા છે કે અને પરસ્પર વ્યસ્ત સમરૂપતા છે. ટી. આર. 3 બે ચોક્કસ ત્રિકોણ અને દરેક ત્રિકોણમાં પ્રથમ મોર્ફિઝમ્સ વચ્ચેના નકશાને જોતાં, બે ત્રિકોણમાંથી દરેકમાં ત્રીજા પદાર્થો વચ્ચે એક મોર્ફિઝમ અસ્તિત્વમાં છે જે દરેક વસ્તુને ગતિશીલ બનાવે છે. એટલે કે, નીચેના આકૃતિમાં (જ્યાં બે પંક્તિઓ ચોક્કસ ત્રિકોણ હોય છે અને f અને g એ મોર્ફિઝમ્સ હોય છે જેમ કે gu = u′f), ત્યાં એક નકશો h અસ્તિત્વમાં છે (જરૂરી નથી કે અનન્ય) જે તમામ ચોરસને પરિવર્તિત કરે છેઃ TR 4: ઓક્ટાહેડ્રલ સ્વયંસિદ્ધ ચલો અને મોર્ફિઝમ્સ બનો, અને રચાયેલ મોર્ફિઝમ્સને ધ્યાનમાં લો. ટી. આર. 1 અનુસાર આ ત્રણ મોર્ફિઝમ્સમાંથી દરેક માટે ચોક્કસ ત્રિકોણ બનાવો. ઓક્ટાહેડ્રલ સ્વયંસિદ્ધ (આશરે) જણાવે છે કે ત્રણ નકશાના શંકુને ચોક્કસ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓમાં બનાવી શકાય છે જેથી "બધું જ પરિવર્તિત થાય". વધુ ઔપચારિક રીતે, ચોક્કસ ત્રિકોણને જોતાં, એક ચોક્કસ ત્રિકોણ અસ્તિત્વમાં છે જેમ કે આ સ્વયંસિદ્ધને "ઓક્ટાહેડ્રલ સ્વયંસિદ્ધ" કહેવામાં આવે છે કારણ કે તમામ પદાર્થો અને મોર્ફિઝમ્સને દોરવાથી ઓક્ટાહેડ્રોનનું હાડપિંજર મળે છે, જેના ચાર ચહેરા ચોક્કસ ત્રિકોણ છે. અહીંની પ્રસ્તુતિ વર્ડિયરની પોતાની છે, અને તેમાં ઓક્ટાહેડ્રલ આકૃતિ સાથે સંપૂર્ણ દેખાય છે. નીચેની આકૃતિમાં, યુ અને વી એ આપેલ આકારવાદ છે, અને મૂળ અક્ષરો વિવિધ નકશાના શંકુ છે (પસંદ કરેલ છે જેથી દરેક ચોક્કસ ત્રિકોણમાં એક્સ, વાય અને ઝેડ અક્ષર હોય). વિવિધ તીર "ડિગ્રી 1" ના છે તે દર્શાવવા માટે [1] સાથે ચિહ્નિત કરવામાં આવ્યા છે; દા. ત. Z′ થી X સુધીનો નકશો હકીકતમાં Z′ થી X [1] સુધીનો છે. ઓક્ટાહેડ્રલ સ્વયંસિદ્ધ પછી નકશા f અને g ના અસ્તિત્વ પર ભાર મૂકે છે જે ચોક્કસ ત્રિકોણ બનાવે છે, અને જેથી f અને g તેમને સમાવતી અન્ય બાજુઓમાં પરિવર્તનીય ત્રિકોણ બનાવે છેઃ બે અલગ અલગ ચિત્રો દેખાય છે (પ્રથમ પણ રજૂ કરે છે). પ્રથમ ઉપરોક્ત ઓક્ટાહેડ્રોનના ઉપલા અને નીચલા પિરામિડને રજૂ કરે છે અને ભારપૂર્વક જણાવે છે કે નીચલા પિરામિડને જોતાં, કોઈ પણ વ્યક્તિ ઉપલા પિરામિડને ભરી શકે છે જેથી Y થી Y′ અને Y થી Y′ સુધીના બે માર્ગો સમાન હોય (આ સ્થિતિને હાર્ટશોર્નની રજૂઆતમાંથી કદાચ ભૂલથી અવગણવામાં આવી છે). + તરીકે ચિહ્નિત ત્રિકોણ પરિવર્તનીય છે અને "d" તરીકે ચિહ્નિત ત્રિકોણ ચોક્કસ છેઃ બીજી આકૃતિ વધુ નવીન રજૂઆત છે. ચોક્કસ ત્રિકોણને રેખીય રીતે રજૂ કરવામાં આવે છે, અને આકૃતિ એ હકીકત પર ભાર મૂકે છે કે "અષ્ટકોણ" માં ચાર ત્રિકોણ ત્રિકોણના નકશાની શ્રેણી દ્વારા જોડાયેલા છે, જ્યાં ત્રણ ત્રિકોણ (એટલે કે, જે X થી Y, Y થી Z, અને X થી Z સુધી આકારવાદને પૂર્ણ કરે છે) આપવામાં આવે છે અને ચોથા ત્રિકોણના અસ્તિત્વનો દાવો કરવામાં આવે છે. એક X ની આસપાસ "પિવોટિંગ" કરીને પ્રથમ બે વચ્ચે, Z ની આસપાસ પિવોટિંગ કરીને ત્રીજા તરફ અને X′ ની આસપાસ પિવોટિંગ કરીને ચોથા તરફ પસાર થાય છે. આ આકૃતિમાંના તમામ આવરણો પરિવર્તનીય છે (ત્રિકોણ અને ચોરસ બંને) પરંતુ Y′ થી Y સુધીના બે માર્ગોની સમાનતાને વ્યક્ત કરતો અન્ય પરિવર્તનીય ચોરસ સ્પષ્ટ નથી. "ધારની બહાર" તરફ નિર્દેશ કરતા તમામ તીર ડિગ્રી 1 છેઃ આ છેલ્લી આકૃતિ ઓક્ટાહેડ્રલ સ્વયંસિદ્ધના ઉપયોગી સાહજિક અર્થઘટનને પણ સમજાવે છે. ત્રિકોણાકાર વર્ગોમાં, ત્રિકોણ ચોક્કસ ક્રમની ભૂમિકા ભજવે છે, અને તેથી આ પદાર્થોને "ભાગાકાર" તરીકે વિચારવું સૂચક છે, અને. તે શબ્દોમાં, છેલ્લા ત્રિકોણનું અસ્તિત્વ એક તરફ (ત્રિકોણને જોતા), અને (ત્રિકોણને જોતા) વ્યક્ત થાય છે. આને એકસાથે મૂકીને, ઓક્ટાહેડ્રલ સ્વયંસિદ્ધ "ત્રીજા સમરૂપતા પ્રમેય" પર ભાર મૂકે છેઃ જો ત્રિકોણાકાર શ્રેણી એ અબેલિયન શ્રેણી A ની વ્યુત્પન્ન શ્રેણી D (A) છે, અને X, Y, Z એ A ની વસ્તુઓ છે જે ડિગ્રી 0 માં કેન્દ્રિત સંકુલ તરીકે જોવામાં આવે છે, અને નકશા અને A માં મોનોમોર્ફિઝમ્સ છે, તો પછી D (A) માં આ મોર્ફિઝમ્સના શંકુ ખરેખર A માં ઉપરના ગુણોત્તર માટે સમરૂપ છે. છેવટે, 4 પંક્તિઓ અને 4 સ્તંભો સાથે દ્વિ-પરિમાણીય પરિવર્તનીય આકૃતિનો ઉપયોગ કરીને ઓક્ટાહેડ્રલ સ્વયંસિદ્ધ બનાવે છે. ઓક્ટાહેડ્રલ સ્વયંસિદ્ધનું સામાન્યીકરણ પણ આપે છે. ગુણધર્મો ત્રિકોણાકાર શ્રેણી D માટે સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતોના કેટલાક સરળ પરિણામો અહીં છે. D માં ચોક્કસ ત્રિકોણ આપવામાં આવે તો, કોઈપણ બે ક્રમિક આકારવિજ્ઞાનની રચના શૂન્ય હોય છે. એટલે કે, vu = 0, wv = 0, u [1] w = 0, અને તેથી વધુ. મોર્ફિઝમને જોતાં, ટીઆર 1 ચોક્કસ ત્રિકોણને પૂર્ણ કરતા શંકુ ઝેડના અસ્તિત્વની બાંયધરી આપે છે. યુ ના કોઈપણ બે શંકુ આઇસોમોર્ફિક હોય છે, પરંતુ આઇસોમોર્ફિઝમ હંમેશા અનન્ય રીતે નિર્ધારિત થતું નથી. ડીમાં દરેક મોનોમોર્ફિઝમ એ સીધો સરવાળો છે, અને દરેક એપીમોર્ફિઝમ એક પ્રક્ષેપણ છે. સંબંધિત મુદ્દો એ છે કે ત્રિકોણીય શ્રેણીમાં મોર્ફિઝમ્સ માટે "ઇન્જેક્ટિવિટી" અથવા "સર્જેક્ટિવિટી" વિશે વાત કરવી જોઈએ નહીં. દરેક મોર્ફિઝમ કે જે આઇસોમોર્ફિઝમ નથી તેમાં નોનઝીરો "કોકર્નલ" ઝેડ (જેનો અર્થ છે કે એક ચોક્કસ ત્રિકોણ છે) અને નોનઝીરો "કર્નલ" પણ હોય છે, જેનું નામ ઝેડ [−1] છે. શંકુની રચનાની બિન-કાર્યાત્મકતા ત્રિકોણાકાર શ્રેણીઓ સાથેની તકનીકી ગૂંચવણોમાંની એક હકીકત એ છે કે શંકુની રચના કાર્યાત્મક નથી. ઉદાહરણ તરીકે, રિંગ અને વિશિષ્ટ ત્રિકોણના આંશિક નકશાને જોતાં, બે નકશા છે જે આ આકૃતિને પૂર્ણ કરે છે. આ ઓળખ નકશો હોઈ શકે છે, અથવા શૂન્ય નકશો હોઈ શકે છે, જે બંને પરિવર્તનીય છે. બે નકશા અસ્તિત્વમાં છે તે હકીકત એ હકીકતનો પડછાયો છે કે ત્રિકોણાકાર શ્રેણી એ એક સાધન છે જે હોમોટૉપી મર્યાદા અને કોલિમિટને એન્કોડ કરે છે. આ સમસ્યાનો એક ઉકેલ ગ્રોથેન્ડીક દ્વારા પ્રસ્તાવિત કરવામાં આવ્યો હતો જેમાં માત્ર વ્યુત્પન્ન શ્રેણીને જ નહીં, પરંતુ આ શ્રેણી પર આકૃતિઓની વ્યુત્પન્ન શ્રેણીને પણ ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે. આવા પદાર્થને ડેરિવેટર કહેવામાં આવે છે. ઉદાહરણો શું વધુ સારા સિદ્ધાંતો છે? કેટલાક નિષ્ણાતો શંકા કરે છે pg 190 (જુઓ, ઉદાહરણ તરીકે,) કે ત્રિકોણાકાર વર્ગો ખરેખર "સાચો" ખ્યાલ નથી. આવશ્યક કારણ એ છે કે મોર્ફિઝમનું શંકુ માત્ર બિન-વિશિષ્ટ આઇસોમોર્ફિઝમ સુધી અનન્ય છે. ખાસ કરીને, મોર્ફિઝમનું શંકુ સામાન્ય રીતે કાર્યાત્મક રીતે મોર્ફિઝમ પર આધાર રાખતું નથી (ઉદાહરણ તરીકે, સ્વયંસિદ્ધ (ટીઆર 3) માં બિન-વિશિષ્ટતાની નોંધ લો). આ બિન-વિશિષ્ટતા ભૂલોના સંભવિત સ્ત્રોત છે. જોકે, સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતો વ્યવહારમાં પર્યાપ્ત રીતે કામ કરે છે અને તેમના અભ્યાસ માટે ઘણું સાહિત્ય સમર્પિત છે. ડેરિવેટર્સ એક વૈકલ્પિક દરખાસ્ત 80 એસ. પી. જી. 191 માં ગ્રોથેન્ડીક દ્વારા પર્સ્યૂઇંગ સ્ટેક્સમાં પ્રસ્તાવિત ડેરિવેટર્સનો સિદ્ધાંત છે, અને બાદમાં 90 ના દાયકામાં આ વિષય પરની તેમની હસ્તપ્રતમાં વિકસાવવામાં આવ્યો હતો. અનિવાર્યપણે, આ નબળા સમકક્ષ વર્ગ સાથેની શ્રેણી માટે આકૃતિ શ્રેણીઓ દ્વારા આપવામાં આવેલી હોમોટૉપી શ્રેણીઓની એક પદ્ધતિ છે. આ વર્ગો પછી આકૃતિઓના આકારવાદ દ્વારા સંબંધિત છે. આ ઔપચારિકતામાં હોમોટૉપી મર્યાદા અને કોલિમિટ્સને પુનઃપ્રાપ્ત કરવામાં સક્ષમ હોવાનો ફાયદો છે, જે શંકુની રચનાને બદલે છે. અન્ય એક વૈકલ્પિક રચના એ સ્થિર ν-શ્રેણીઓનો સિદ્ધાંત છે. સ્થિર φ-શ્રેણીની હોમોટૉપી શ્રેણી કેનોનિક રીતે ત્રિકોણાકાર હોય છે, અને વધુમાં મેપિંગ શંકુ અનિવાર્યપણે અનન્ય બની જાય છે (ચોક્કસ હોમોટૉપિકલ અર્થમાં). વધુમાં, એક સ્થિર φ-શ્રેણી કુદરતી રીતે તેની હોમોટૉપી શ્રેણી માટે સુસંગતતાના સંપૂર્ણ પદાનુક્રમને એન્કોડ કરે છે, જેના તળિયે ઓક્ટાહેડ્રલ સ્વયંસિદ્ધ બેસે છે. આમ, તેની હોમોટૉપી શ્રેણીના ત્રિકોણની માહિતી આપવા કરતાં સ્થિર φ-શ્રેણીની માહિતી આપવી સખત રીતે મજબૂત છે. વ્યવહારમાં ઉદ્ભવતા લગભગ તમામ ત્રિકોણાકાર વર્ગો સ્થિર φ-વર્ગોમાંથી આવે છે. ત્રિકોણાકાર શ્રેણીઓનું સમાન (પરંતુ વધુ વિશેષ) સંવર્ધન એ ડીજી-શ્રેણીની કલ્પના છે. કેટલીક રીતે, સ્થિર φ-શ્રેણીઓ અથવા dg-શ્રેણીઓ ત્રિકોણાકાર શ્રેણીઓ કરતાં વધુ સારી રીતે કામ કરે છે. એક ઉદાહરણ ત્રિકોણાકાર વર્ગો વચ્ચે ચોક્કસ ફંકટરની કલ્પના છે, જેની નીચે ચર્ચા કરવામાં આવી છે. ક્ષેત્ર k પરની સરળ પ્રક્ષેપાત્મક વિવિધતા X માટે, સુસંગત આવરણની બંધાયેલ વ્યુત્પન્ન શ્રેણી કુદરતી રીતે dg-શ્રેણીમાંથી આવે છે. X અને Y જાતો માટે, X ની dg-શ્રેણીથી લઈને Y સુધીની દરેક ફંકટર ફોરિયર-મુકાઈ ટ્રાન્સફોર્મ દ્વારા આવરણના સંકુલમાંથી આવે છે. તેનાથી વિપરીત, એક ચોક્કસ ફંકટરનું ઉદાહરણ છે જે શીવ્સના સંકુલમાંથી આવતું નથી. આ ઉદાહરણને ધ્યાનમાં રાખીને, ત્રિકોણાકાર વર્ગો વચ્ચેના આકારવાદની "યોગ્ય" કલ્પના એવી લાગે છે જે અંતર્ગત ડીજી-વર્ગો (અથવા સ્થિર φ-વર્ગો) ના આકારવાદમાંથી આવે છે. ત્રિકોણીય શ્રેણીઓ પર સ્થિર φ-શ્રેણીઓ અથવા dg-શ્રેણીઓનો બીજો ફાયદો બીજગણિત K-સિદ્ધાંતમાં જોવા મળે છે. કોઈ પણ વ્યક્તિ, પૂર્ણાંકો i માટે અબેલિયન જૂથોનો ક્રમ આપીને, સ્થિર φ-શ્રેણી અથવા dg-શ્રેણી C ના બીજગણિત K-સિદ્ધાંતને વ્યાખ્યાયિત કરી શકે છે. સી સાથે સંકળાયેલ ત્રિકોણાકાર શ્રેણીની દ્રષ્ટિએ જૂથનું સરળ વર્ણન છે પરંતુ એક ઉદાહરણ દર્શાવે છે કે ડીજી-શ્રેણીના ઉચ્ચ કે-જૂથો હંમેશા સંકળાયેલ ત્રિકોણાકાર શ્રેણી દ્વારા નક્કી કરવામાં આવતા નથી. આમ ત્રિકોણાકાર શ્રેણીમાં સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત જૂથ હોય છે, પરંતુ સામાન્ય રીતે ઉચ્ચ કે-જૂથો નથી. બીજી બાજુ, ત્રિકોણાકાર શ્રેણીઓનો સિદ્ધાંત સ્થિર φ-શ્રેણીઓ અથવા dg-શ્રેણીઓના સિદ્ધાંત કરતાં સરળ છે, અને ઘણા ઉપયોગોમાં ત્રિકોણાકાર માળખું પૂરતું છે. એક ઉદાહરણ બ્લોચ-કાટો અનુમાનનો પુરાવો છે, જ્યાં ત્રિકોણાકાર શ્રેણીઓના સ્તરે ઘણી ગણતરીઓ કરવામાં આવી હતી, અને φ-શ્રેણીઓ અથવા dg-શ્રેણીઓની વધારાની રચનાની જરૂર નહોતી. ત્રિકોણાકાર શ્રેણીઓમાં કોહોમોલોજી ત્રિકોણાકાર શ્રેણીઓ કોહોમોલોજીની કલ્પનાને સ્વીકારે છે, અને દરેક ત્રિકોણાકાર શ્રેણીમાં કોહોમોલોજીકલ ફંકટરનો મોટો પુરવઠો હોય છે. ત્રિકોણાકાર શ્રેણી D થી અબેલિયન શ્રેણી A સુધી કોહોમોલોજીકલ ફંકટર F એ એક એવો ફંકટર છે કે દરેક ચોક્કસ ત્રિકોણ માટે A માંનો ક્રમ ચોક્કસ હોય. ચોક્કસ ત્રિકોણ બંને દિશામાં ચોક્કસ ત્રિકોણોનો અનંત ક્રમ નક્કી કરે છે, તેથી કોહોમોલોજિકલ ફંકટર F વાસ્તવમાં અબેલિયન શ્રેણી A માં લાંબો ચોક્કસ ક્રમ આપે છેઃ એક મુખ્ય ઉદાહરણ છેઃ ત્રિકોણાકાર શ્રેણી D માં દરેક પદાર્થ B માટે, ફંકટર અને કોહોમોલોજિકલ છે, જેમાં અબેલિયન જૂથોની શ્રેણીમાં મૂલ્યો છે. (ચોક્કસપણે કહીએ તો, બાદમાં એક વિરોધાભાસી ફંકટર છે, જેને ડીની વિરુદ્ધ શ્રેણી પર ફંકટર તરીકે ગણી શકાય.) એટલે કે, એક ચોક્કસ ત્રિકોણ અબેલિયન જૂથોના બે લાંબા ચોક્કસ ક્રમ નક્કી કરે છેઃ અને ચોક્કસ ત્રિકોણાકાર વર્ગો માટે, આ ચોક્કસ ક્રમ શીફ કોહોમોલોજી, જૂથ કોહોમોલોજી અને ગણિતના અન્ય ક્ષેત્રોમાં ઘણા મહત્વપૂર્ણ ચોક્કસ ક્રમ આપે છે. પૂર્ણાંકો i માટે સંકેતનો પણ ઉપયોગ કરી શકાય છે, જે એબેલિયન શ્રેણીમાં એક્સ્ટ ફંકટરને સામાન્ય બનાવે છે. આ સંકેતલિપીમાં, ઉપરનો પ્રથમ ચોક્કસ ક્રમ લખવામાં આવશેઃ અબેલિયન શ્રેણી A માટે, વ્યુત્પન્ન શ્રેણી D (A) પર કોહોમોલોજિકલ ફંકટરનું બીજું મૂળભૂત ઉદાહરણ A માં ઑબ્જેક્ટ પર જટિલ X મોકલે છે. એટલે કે, D (A) માં ચોક્કસ ત્રિકોણ A માં લાંબો ચોક્કસ ક્રમ નક્કી કરે છેઃ તેનો ઉપયોગ કરીને. ચોક્કસ ફંકટર અને સમાનતાઓ ત્રિકોણાકાર શ્રેણી D થી ત્રિકોણાકાર શ્રેણી E સુધી ચોક્કસ ફંકટર (જેને ત્રિકોણાકાર ફંકટર પણ કહેવાય છે) એક એડિટિવ ફંકટર છે, જે ઢીલી રીતે કહીએ તો, અનુવાદ સાથે મુસાફરી કરે છે અને ચોક્કસ ત્રિકોણને ચોક્કસ ત્રિકોણ પર મોકલે છે. વધુ વિગતવાર, ચોક્કસ ફંકટર કુદરતી સમરૂપતા સાથે આવે છે (જ્યાં પ્રથમ D ના અનુવાદ ફંકટરને સૂચવે છે અને બીજો E ના અનુવાદ ફંકટરને સૂચવે છે), જેમ કે જ્યારે પણ D માં ચોક્કસ ત્રિકોણ હોય, ત્યારે તે E માં ચોક્કસ ત્રિકોણ હોય છે. ત્રિકોણાકાર વર્ગોની સમાનતા એ ચોક્કસ ફંકટર છે જે વર્ગોની સમાનતા પણ છે. આ કિસ્સામાં, એક ચોક્કસ ફંકટર છે જેમ કે એફજી અને જીએફ કુદરતી રીતે સંબંધિત ઓળખ ફંકટર માટે આઇસોમોર્ફિક છે. કોમ્પેક્ટલી જનરેટેડ ત્રિકોણાકાર શ્રેણીઓ ચાલો D એ ત્રિકોણાકાર શ્રેણી હોય, જેમ કે મનસ્વી સમૂહ દ્વારા અનુક્રમિત સીધો સરવાળો (જરૂરી નથી કે મર્યાદિત હોય) D માં અસ્તિત્વ ધરાવે છે. જો ફંકટર સીધો સરવાળો કરે તો D માં ઑબ્જેક્ટ X ને કોમ્પેક્ટ કહેવામાં આવે છે. સ્પષ્ટ રીતે, આનો અર્થ એ છે કે સમૂહ S દ્વારા અનુક્રમિત D માં પદાર્થોના દરેક પરિવાર માટે, અબેલિયન જૂથોનું કુદરતી હોમોમોર્ફિઝમ એક આઇસોમોર્ફિઝમ છે. આ શ્રેણી સિદ્ધાંતમાં કોમ્પેક્ટ ઓબ્જેક્ટની સામાન્ય કલ્પનાથી અલગ છે, જેમાં માત્ર સહઉત્પાદનને બદલે તમામ કોલિમિટ્સનો સમાવેશ થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, સ્થિર હોમોટૉપી શ્રેણીમાં કોમ્પેક્ટ ઓબ્જેક્ટ એ મર્યાદિત સ્પેક્ટ્રમ છે. રિંગની વ્યુત્પન્ન શ્રેણીમાં અથવા યોજનાની અર્ધ-સુસંગત વ્યુત્પન્ન શ્રેણીમાં કોમ્પેક્ટ ઓબ્જેક્ટ એક સંપૂર્ણ સંકુલ છે. ક્ષેત્ર પરની સરળ પ્રક્ષેપાત્મક વિવિધતા X ના કિસ્સામાં, સંપૂર્ણ સંકુલની શ્રેણી Perf (X) ને સુસંગત આવરણની બંધાયેલ વ્યુત્પન્ન શ્રેણી તરીકે પણ જોઈ શકાય છે. ત્રિકોણાકાર શ્રેણી D સઘન રીતે ઉત્પન્ન થાય છે જો D પાસે મનસ્વી (જરૂરી નથી કે મર્યાદિત) સીધો સરવાળો હોય; D માં સઘન પદાર્થોનો સમૂહ S હોય છે કે જેથી D માં દરેક બિન-શૂન્ય પદાર્થ X માટે, અમુક પૂર્ણાંક n માટે બિન-શૂન્ય નકશા સાથે S માં એક પદાર્થ Y હોય છે. ઘણી કુદરતી રીતે બનતી "મોટી" ત્રિકોણાકાર શ્રેણીઓ સઘન રીતે ઉત્પન્ન થાય છેઃ રિંગ R પર મોડ્યુલોની વ્યુત્પન્ન શ્રેણી એક પદાર્થ, R-મોડ્યુલ R દ્વારા સઘન રીતે ઉત્પન્ન થાય છે. અર્ધ-સઘન અર્ધ-અલગ યોજનાની અર્ધ-સુસંગત વ્યુત્પન્ન શ્રેણી એક પદાર્થ દ્વારા સઘન રીતે ઉત્પન્ન થાય છે. સ્થિર હોમોટૉપી શ્રેણી એક પદાર્થ, ગોળાકાર વર્ણપટ દ્વારા સઘન રીતે પેદા થાય છે. એમ્નોન નીમેને બ્રાઉન રિપ્રેઝન્ટેબિલિટી થીયરમને કોઈપણ કોમ્પેક્ટલી જનરેટેડ ત્રિકોણાકાર શ્રેણીમાં સામાન્ય બનાવ્યું, જે નીચે મુજબ છે. ચાલો D એ સઘન રીતે પેદા થયેલ ત્રિકોણાકાર શ્રેણી છે, એક કોહોમોલોજિકલ ફંકટર જે સહઉત્પાદનોને ઉત્પાદનોમાં લઈ જાય છે. પછી H રજૂ કરી શકાય તેવું છે. (એટલે કે, D નો એક પદાર્થ W છે જે બધા X માટે છે.) અન્ય સંસ્કરણ માટે, ચાલો D એ કોમ્પેક્ટલી જનરેટેડ ત્રિકોણાકાર શ્રેણી છે, T કોઈપણ ત્રિકોણાકાર શ્રેણી છે. જો ચોક્કસ ફંકટર કોપ્રોડક્ટ્સને કોપ્રોડક્ટ્સ મોકલે છે, તો F પાસે જમણી બાજુ છે. બ્રાઉન રિપ્રેઝન્ટેબિલિટી થીયરમનો ઉપયોગ ત્રિકોણાકાર વર્ગો વચ્ચેના વિવિધ પરિબળોને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે થઈ શકે છે. ખાસ કરીને, નીમેને તેનો ઉપયોગ યોજનાઓના મોર્ફિઝમ f માટે અસાધારણ ઇન્વર્સ ઇમેજ ફંકટરના નિર્માણને સરળ બનાવવા અને સામાન્ય બનાવવા માટે કર્યો હતો, જે સુસંગત દ્વૈત સિદ્ધાંતનું કેન્દ્રિય લક્ષણ છે. ટી-રચનાઓ દરેક અબેલિયન શ્રેણી એ માટે, વ્યુત્પન્ન શ્રેણી ડી (એ) એ ત્રિકોણાકાર શ્રેણી છે, જેમાં એ સંપૂર્ણ પેટા શ્રેણી તરીકે છે (ડિગ્રી શૂન્યમાં કેન્દ્રિત સંકુલ). વિવિધ અબેલિયન વર્ગોમાં સમકક્ષ વ્યુત્પન્ન વર્ગો હોઈ શકે છે, જેથી ત્રિકોણાકાર શ્રેણી તરીકે D (A) માંથી A નું પુનર્ગઠન કરવું હંમેશા શક્ય નથી. એલેક્ઝાન્ડર બેઇલિન્સન, જોસેફ બર્નસ્ટીન અને પિયર ડેલીગ્ને ત્રિકોણાકાર શ્રેણી ડી પર ટી-માળખાની કલ્પના દ્વારા આ પરિસ્થિતિનું વર્ણન કર્યું છે. ડી પરની એ ટી-રચના ડીની અંદર અબેલિયન શ્રેણી નક્કી કરે છે, અને ડી પરની વિવિધ ટી-રચનાઓ વિવિધ અબેલિયન શ્રેણીઓ આપી શકે છે. સ્થાનિકકરણ અને જાડા પેટા વર્ગો ચાલો D એ મનસ્વી સીધી રકમ સાથે ત્રિકોણાકાર શ્રેણી છે. ડીની સ્થાનિક પેટા શ્રેણી એ કડક રીતે સંપૂર્ણ ત્રિકોણાકાર પેટા શ્રેણી છે જે મનસ્વી સીધી રકમ હેઠળ બંધ કરવામાં આવે છે. નામ સમજાવવા માટેઃ જો કોમ્પેક્ટલી જનરેટેડ ત્રિકોણાકાર શ્રેણી D ની સ્થાનિક પેટા શ્રેણી S પદાર્થોના સમૂહ દ્વારા ઉત્પન્ન થાય છે, તો ત્યાં કર્નલ S સાથે બોસફિલ્ડ સ્થાનિકીકરણ ફંકટર છે. (એટલે કે, D માં દરેક ઑબ્જેક્ટ X માટે S માં Y અને જમણી ઓર્થોગોનલમાં LX સાથે ચોક્કસ ત્રિકોણ છે.) ઉદાહરણ તરીકે, આ રચનામાં મુખ્ય સંખ્યા પર વર્ણપટનું સ્થાનિકીકરણ અથવા જગ્યા પર આવરણના સંકુલથી ખુલ્લા ઉપગણ સુધી પ્રતિબંધનો સમાવેશ થાય છે. સમાંતર કલ્પના "નાના" ત્રિકોણાકાર વર્ગો માટે વધુ સુસંગત છેઃ ત્રિકોણાકાર શ્રેણી C ની જાડી પેટા શ્રેણી એ કડક રીતે સંપૂર્ણ ત્રિકોણાકાર પેટા શ્રેણી છે જે સીધા સરવાળા હેઠળ બંધ છે. (જો સી આઇડેમ્પોટન્ટ-પૂર્ણ હોય, તો પેટા શ્રેણી જો અને માત્ર ત્યારે જ જાડી હોય છે જો તે પણ આઇડેમ્પોટન્ટ-પૂર્ણ હોય.) સ્થાનિકીકરણની પેટા શ્રેણી જાડી છે. તેથી જો S એ ત્રિકોણાકાર શ્રેણી D ની સ્થાનિક પેટા શ્રેણી છે, તો પછી કોમ્પેક્ટ ઓબ્જેક્ટ્સની પેટા શ્રેણી સાથે S નું આંતરછેદ એ ની જાડી પેટા શ્રેણી છે. ઉદાહરણ તરીકે, ડેવિનાટ્ઝ-હોપકિન્સ-સ્મિથે મોરાવા કે-થિયરીની દ્રષ્ટિએ મર્યાદિત વર્ણપટની ત્રિકોણાકાર શ્રેણીના તમામ જાડા પેટા વર્ગો વર્ણવ્યા છે. સંપૂર્ણ સ્થિર હોમોટૉપી શ્રેણીના સ્થાનિક પેટા વર્ગોને વર્ગીકૃત કરવામાં આવ્યા નથી. ફોરિયર-મુકાઈ ટ્રાન્સફોર્મ સિક્સ ઓપરેશન્સ પરવર્સ શીફ ડી-મોડ્યુલ બેઇલિન્સન-બર્નસ્ટીન લોકલાઇઝેશન મોડ્યુલ સ્પેક્ટ્રમ સેમીઓર્થોગોનલ ડિકોમ્પોઝિશન બ્રિજલેન્ડ સ્ટેબિલિટી કંડિશન નોંધો સંદર્ભો ત્રિકોણીય વર્ગો માટે કેટલાક પાઠ્યપુસ્તક પરિચય છેઃ એપ્લિકેશનો સાથે સંક્ષિપ્ત સારાંશ છેઃ કેટલાક વધુ અદ્યતન સંદર્ભો છેઃ બાહ્ય કડીઓ જે. પીટર મે, ત્રિકોણીય વર્ગો માટે સ્વયંસિદ્ધ હોમોલોજિકલ બીજગણિત