Cartier duality
ગણિતમાં, કાર્ટિયર દ્વૈતતા એ પરિવર્તનીય જૂથ યોજનાઓ માટે પોન્ટ્રીગિન દ્વૈતતાનું એનાલોગ છે. તે દ્વારા રજૂ કરવામાં આવ્યું હતું. અક્ષરોનો ઉપયોગ કરીને વ્યાખ્યા કોઈપણ મર્યાદિત સપાટ પરિવર્તનીય જૂથ યોજના G ઓવર S આપવામાં આવે છે, તેની કાર્ટિયર ડ્યુઅલ એ અક્ષરોનું જૂથ છે, જેને ફંકટર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જે કોઈપણ S-યોજના T ને જૂથ યોજના હોમોમોર્ફિઝમ્સના અબેલિયન જૂથમાં આધાર પરિવર્તનથી અને S-યોજનાઓના કોઈપણ નકશાને અક્ષર જૂથોના કેનોનિકલ નકશામાં લઈ જાય છે. આ ફંકટર મર્યાદિત ફ્લેટ એસ-ગ્રુપ યોજના દ્વારા રજૂ કરી શકાય છે, અને કાર્ટિયર દ્વૈતતા મર્યાદિત ફ્લેટ કોમ્યુટેટિવ એસ-ગ્રુપ યોજનાઓની શ્રેણીમાંથી એક એડિટિવ અનૈચ્છિક એન્ટિક્વિવલન્સ બનાવે છે. જો G એ અચળ પરિવર્તનીય જૂથ યોજના છે, તો તેનું કાર્ટિયર ડ્યુઅલ એ વિકર્ણ જૂથ D (G) છે, અને તેનાથી ઊલટું. જો S એ એફાઇન હોય, તો ડ્યૂઅલિટી ફંકટર ફંક્શન્સના હોપ્ફ આલ્જેબ્રાની ડ્યુઅલિટી દ્વારા આપવામાં આવે છે. હોપ્ફ બીજગણિતનો ઉપયોગ કરીને વ્યાખ્યા ક્ષેત્ર પરની મર્યાદિત પરિવર્તનીય જૂથ યોજના મર્યાદિત પરિમાણીય પરિવર્તનીય સહસંયોજક હોપ્ફ બીજગણિતને અનુરૂપ છે. કાર્ટિયર દ્વૈતતા હોપ્ફ બીજગણિતના દ્વૈતને લેવા, ગુણાકાર અને ગુણાકારની આપ-લે કરવા માટે અનુરૂપ છે. કાર્ટિયર દ્વૈતના વધુ સામાન્ય કિસ્સાઓ કાર્ટિયર દ્વૈતની વ્યાખ્યા વધુ સામાન્ય પરિસ્થિતિઓમાં ઉપયોગી રીતે વિસ્તરે છે જ્યાં યોજનાઓ પર પરિણામી ફંકટરને હવે જૂથ યોજના તરીકે રજૂ કરવામાં આવતું નથી. સામાન્ય કિસ્સાઓમાં એસ ઉપરના પરિવર્તનીય જૂથોના એફ. પી. પી. એફ. શીવ્સ અને તેના સંકુલનો સમાવેશ થાય છે. જ્યારે કોઈ વ્યક્તિ સારી મર્યાદા વર્તણૂક ધરાવતી શ્રેણીઓ સાથે કામ કરવા માંગે છે ત્યારે આ વધુ સામાન્ય ભૌમિતિક વસ્તુઓ ઉપયોગી થઈ શકે છે. મધ્યવર્તી એબ્સ્ટ્રેક્શનના કિસ્સાઓ છે, જેમ કે ફિલ્ડ પર કોમ્યુટેટિવ બીજગણિત જૂથો, જ્યાં કાર્ટિયર દ્વૈતતા કોમ્યુટેટિવ એફાઇન ઔપચારિક જૂથો સાથે વિરોધાભાસ આપે છે, તેથી જો G એ એડિટિવ ગ્રુપ છે, તો તેનું કાર્ટિયર ડ્યુઅલ એ મલ્ટિપ્લિકેટિવ ફોર્મલ ગ્રુપ છે, અને જો G એ ટોરસ છે, તો તેનું કાર્ટિયર ડ્યુઅલ એટેલ અને ટોર્સન-ફ્રી છે. ટોરીના લૂપ જૂથો માટે, કાર્ટિયર દ્વૈત સ્થાનિક ભૌમિતિક વર્ગ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંતમાં શાંત પ્રતીકને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. ગેરાર્ડ લૌમોને 1-પ્રેરણાઓ પર અર્ધ-સુસંગત મોડ્યુલો માટે શીફ-સૈદ્ધાંતિક ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ રજૂ કર્યું હતું જે આમાંના ઘણા સમાનતાઓમાં નિષ્ણાત છે. ઉદાહરણો ક્રમ n ના ચક્રીય જૂથનું કાર્ટિયર ડ્યુઅલ એ એકતાના n-th મૂળ છે. લાક્ષણિકતા p ના ક્ષેત્ર પર જૂથ યોજના (pth ઘાત લઈને પ્રેરિત એડિટિવ જૂથના એન્ડોમોર્ફિઝમનું કર્નલ) તેની પોતાની કાર્ટિયર ડ્યુઅલ છે. સંદર્ભો બીજગણિત જૂથો