U-rank
મોડલ થિયરીમાં, ગાણિતિક તર્કની એક શાખા, યુ-રેન્ક એ સ્થિર સિદ્ધાંતોના સંદર્ભમાં (સંપૂર્ણ) પ્રકારની જટિલતાનું એક માપ છે. હંમેશની જેમ, ઊંચો યુ-ક્રમ ઓછો પ્રતિબંધ સૂચવે છે, અને તમામ સમૂહો પર તમામ પ્રકારો માટે યુ-ક્રમનું અસ્તિત્વ એક મહત્વપૂર્ણ મોડેલ-સૈદ્ધાંતિક સ્થિતિને સમકક્ષ છેઃ આ કિસ્સામાં, ઉત્કૃષ્ટતા. વ્યાખ્યા યુ-ક્રમને નીચે મુજબ, કોઈપણ સમૂહ A પર કોઈપણ (સંપૂર્ણ) n-પ્રકાર p માટે પ્રેરક રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છેઃ U (p) ≤ 0 જો δ એક મર્યાદા ક્રમિક હોય, તો પછી U (p) ≤ δ ચોક્કસપણે જ્યારે U (p) ≤ α δ કરતા ઓછા બધા α માટે કોઈપણ α = β + 1 માટે, U (p) ≤ α ચોક્કસપણે જ્યારે ત્યાં U (q) ≤ β સાથે p નું ફોર્કિંગ એક્સ્ટેંશન q હોય ત્યારે આપણે કહીએ છીએ કે U (p) = α જ્યારે U (p) ≤ α હોય પરંતુ U (p) ≤ α + 1 ન હોય. જો તમામ ઓર્ડિનલ્સ α માટે U (p) ≤ α હોય, તો આપણે કહીએ છીએ કે U-ક્રમ અનબાઉન્ડ છે, અથવા U (p) = ≤ છે. નોંધઃ યુ-ક્રમ ઔપચારિક રીતે સૂચવવામાં આવે છે, જ્યાં p એ ખરેખર p (x) છે, અને x એ n લંબાઈના ચલોનું ટુપલ છે. જ્યારે કોઈ મૂંઝવણ ન થાય ત્યારે આ સબસ્ક્રિપ્ટ સામાન્ય રીતે અવગણવામાં આવે છે. રેન્કિંગ સિદ્ધાંતો યુ-રેન્ક તેના ક્ષેત્રમાં મોનોટોન છે. એટલે કે, ધારો કે p એ A પર સંપૂર્ણ પ્રકાર છે અને B એ A નો સબસેટ છે. પછી q માટે p થી B નું પ્રતિબંધ, U (q) ≤ U (p). જો આપણે B (ઉપર) ને ખાલી માનીએ, તો આપણને નીચે મુજબ મળે છેઃ જો ત્યાં n-પ્રકારનો p હોય, કેટલાક પરિમાણોના સમૂહ પર, ઓછામાં ઓછો α ક્રમ સાથે, તો પછી ક્રમના ખાલી સમૂહ પર ઓછામાં ઓછો α પ્રકાર હોય છે. આમ, આપણે સંપૂર્ણ (સ્થિર) સિદ્ધાંત T માટે વ્યાખ્યાયિત કરી શકીએ છીએ. પછી આપણે સુપરસ્ટેબિલિટીનું સંક્ષિપ્ત લાક્ષણિકતા મેળવીએ છીએ; એક સ્થિર સિદ્ધાંત ટી સુપરસ્ટેબલે છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો દરેક એન. ગુણધર્મો માટે ઉપર નોંધ્યા મુજબ, યુ-રેન્ક તેના ડોમેનમાં મોનોટોન છે. જો p પાસે U-ક્રમ α હોય, તો કોઈપણ β <α માટે, U-ક્રમ β સાથે p નું ફોર્કિંગ એક્સ્ટેંશન q છે. જો p એ A પર b નો પ્રકાર હોય, તો ત્યાં અમુક સમૂહ B એ વિસ્તરે છે, જેમાં q એ B પર b નો પ્રકાર છે. જો p અનરેન્ક કરેલું હોય (એટલે કે, p પાસે U-ક્રમ છે), તો પછી p નું ફોર્કિંગ એક્સ્ટેંશન q છે જે પણ અનરેન્ક કરેલું છે. સુપરસ્ટેબિલિટીની ગેરહાજરીમાં પણ, એક ક્રમિક β છે જે તમામ ક્રમાંકિત પ્રકારોનો મહત્તમ ક્રમ છે, અને કોઈપણ α <β માટે, ક્રમ α નો એક પ્રકાર p છે, અને જો p નો ક્રમ β કરતા વધારે હોય, તો તે હોવો આવશ્યક છે. ઉદાહરણો યુ (પી)> 0 ચોક્કસપણે જ્યારે પી બિન-બીજગણિત હોય. જો T એ બીજગણિત રીતે બંધ ક્ષેત્રોનો (કોઈપણ નિશ્ચિત લાક્ષણિકતાનો) સિદ્ધાંત છે. વધુમાં, જો A એ કોઈ પરિમાણોનો સમૂહ છે અને K એ A દ્વારા ઉત્પન્ન થયેલ ક્ષેત્ર છે, તો પછી A પર 1-પ્રકારનો p ક્રમ 1 ધરાવે છે જો (બધી) p ની અનુભૂતિઓ K પર દિવ્ય હોય, અને અન્યથા 0 હોય. વધુ સામાન્ય રીતે, A પર n-પ્રકારનો p એ U-ક્રમ k ધરાવે છે, જે તેની કોઈપણ અનુભૂતિની ઉત્કૃષ્ટતા ડિગ્રી (K પર) છે. સંદર્ભો મોડેલ સિદ્ધાંત