Heinrich August Rothe
હેઇનરિચ ઑગસ્ટ રોથે (1773-1842) એક જર્મન ગણિતશાસ્ત્રી હતા, જે એર્લાન્જેન ખાતે ગણિતના પ્રોફેસર હતા. તેઓ કાર્લ હિન્ડેનબર્ગના વિદ્યાર્થી અને હિન્ડેનબર્ગની સ્કૂલ ઓફ કોમ્બિનેટોરિક્સના સભ્ય હતા. જીવનચરિત્ર રોથેનો જન્મ 1773માં ડ્રેસ્ડેનમાં થયો હતો અને 1793માં તે લીપઝિગ યુનિવર્સિટીમાં શિક્ષક બન્યા હતા. તેઓ 1796માં લેઇપઝિગ ખાતે અસાધારણ પ્રોફેસર બન્યા હતા અને 1804માં તેઓ સંપૂર્ણ પ્રોફેસર તરીકે એર્લાન્જેન ગયા હતા અને અગાઉ કાર્લ ક્રિશ્ચિયન વોન લેંગ્સડોર્ફની ખુરશી સંભાળી હતી. તેઓ 1842માં મૃત્યુ પામ્યા હતા અને એર્લાન્જેન ખાતે તેમનું સ્થાન વધુ પ્રખ્યાત ગણિતશાસ્ત્રી જોહાન ફ્રેડરિક ફાફના ભાઈ જોહાન વિલ્હેમ ફાફ દ્વારા લેવામાં આવ્યું હતું. સંશોધન રોથે-હેગન ઓળખ, દ્વિપદી ગુણાંક માટેનું સારાંશ સૂત્ર, રોથેના 1793 થીસીસમાં દેખાયું હતું. તેનું નામ તેમના માટે અને જોહાન જ્યોર્જ હેગનના પછીના કાર્ય માટે રાખવામાં આવ્યું છે. આ જ થીસીસમાં કાર્ય માટે ટેલર શ્રેણીમાંથી ઇન્વર્સ ફંક્શનની ટેલર શ્રેણીની ગણતરી કરવા માટેનું સૂત્ર પણ સામેલ હતું, જે લેગ્રેન્જ ઇન્વર્ઝન થીયરમ સાથે સંબંધિત હતું. ક્રમચયોના અભ્યાસમાં, 1800 માં ક્રમચયોના વ્યસ્તતાને વ્યાખ્યાયિત કરનાર રોથે પ્રથમ હતા. તેમણે ક્રમચયોની કલ્પના કરવા માટે એક તકનીક વિકસાવી જે હવે રોથે આકૃતિ તરીકે ઓળખાય છે, એક ચોરસ કોષ્ટક જેમાં દરેક કોષ (i, j) માં એક બિંદુ હોય છે, જેના માટે ક્રમચયો દરેક કોષ (i, j) માં i ની સ્થિતિને j અને ક્રોસ તરીકે દર્શાવે છે, જેના માટે પંક્તિ i માં પાછળથી એક બિંદુ હોય છે અને પછીથી સ્તંભ j માં બીજો બિંદુ હોય છે. રોથે આકૃતિઓનો ઉપયોગ કરીને, તેમણે દર્શાવ્યું કે ક્રમચયમાં વ્યુત્ક્રમોની સંખ્યા તેના વ્યુત્ક્રમ જેટલી જ હોય છે, કારણ કે વ્યુત્ક્રમ ક્રમચય તેની આકૃતિ તરીકે મૂળ આકૃતિનું ટ્રાન્સપોઝ ધરાવે છે, અને બંને ક્રમચયોના વ્યુત્ક્રમો ક્રોસ દ્વારા ચિહ્નિત થાય છે. રોથેએ આ હકીકતનો ઉપયોગ એ બતાવવા માટે કર્યો હતો કે મેટ્રિક્સનો નિર્ધારક ટ્રાન્સપોઝના નિર્ધારક જેટલો જ છેઃ જો કોઈ બહુપદી તરીકે નિર્ધારકને વિસ્તૃત કરે છે, તો દરેક પદ ક્રમચયને અનુરૂપ હોય છે, અને શબ્દની નિશાની તેના વ્યુત્ક્રમોની સંખ્યાની સમાનતા દ્વારા નક્કી થાય છે. ટ્રાન્સપોઝના નિર્ધારકનો દરેક પદ વિપરીત ક્રમચય અને સમાન સંખ્યામાં વ્યુત્ક્રમો સાથે મૂળ મેટ્રિક્સના પદને અનુરૂપ હોવાથી, તેનું ચિહ્ન સમાન હોય છે, અને તેથી બે નિર્ધારકો પણ સમાન હોય છે. ક્રમચયો પરના તેમના 1800 ના કાર્યમાં, રોથે પણ ક્રમચયોને ધ્યાનમાં લેનાર પ્રથમ વ્યક્તિ હતા જે ઇન્વોલ્યુશન છે; એટલે કે, તેઓ તેમના પોતાના વ્યસ્ત છે, અથવા સમકક્ષ રીતે તેઓ સપ્રમાણ રોથે આકૃતિઓ ધરાવે છે. તેમણે આ ક્રમચયોની ગણતરી માટે પુનરાવર્તન સંબંધ શોધી કાઢ્યો, જે યુવાન ઝાંખીઓની સંખ્યાની પણ ગણતરી કરે છે, અને જેનો ઉકેલ ટેલિફોન નંબર 1,2,4,10,26,76,232,764,2620,9496 છે. રોથે 1811ના પ્રકાશનમાં દ્વિપદી પ્રમેયના q-એનાલોગ q-દ્વિપદી પ્રમેયની રચના કરનાર પ્રથમ વ્યક્તિ પણ હતા. પસંદગીના પ્રકાશનો ફોર્મ્યુલા ડી સીરીયરમ રિવર્સિયોન ડેમોન્સ્ટ્રેટીયો યુનિવર્સલિસ સિગ્નિસ લોકાલીબસ કોમ્બિનેટોરિયો-એનાલિટિકોમ વિકારીસ એક્ઝિબિટાઃ ડિસર્ટેટીયો એકેડેમિક, લેઇપઝિગ, 1793. "યુબેર પર્મ્યુટેશનન, બેઝીહંગ ઓફ ધ સ્ટેલન ઈહરર એલિમેન્ટમાં. નાબૂદીની સમસ્યાનો ઉકેલ આવી ગયો છે. હિન્ડેનબર્ગમાં, કાર્લ, એડ., સામ્મલુંગ કોમ્બિનેટોરિસ્ક-એનાલિટિસ્ચર અભાન્ડલુંગેન, પીપી. 263-305, બે જી. ફ્લેશર ડેમ જુન્જર્ન, 1800. વ્યવસ્થિત લેહરબુચ ડેર એરિથમેટિક, લેઇપઝિગ, 1811 સંદર્ભો 1773 જન્મ 1842 મૃત્યુ 18મી સદીના જર્મન ગણિતશાસ્ત્રીઓ સંયુક્ત લેઇપઝિગ યુનિવર્સિટીના ભૂતપૂર્વ વિદ્યાર્થીઓ લેઇપઝિગ યુનિવર્સિટીના શૈક્ષણિક સ્ટાફ 19મી સદીના જર્મન ગણિતશાસ્ત્રીઓ