List of uniform polyhedra by Schwarz triangle
યુનિફોર્મ પોલિહેડ્રા વચ્ચે ઘણા સંબંધો છે. વાયથોફનું બાંધકામ તીવ્ર અને અસ્પષ્ટ શ્વાર્ઝ ત્રિકોણમાંથી લગભગ તમામ સમાન બહુપદીનું નિર્માણ કરવામાં સક્ષમ છે. 2, 3, 3/2, 4, 4/3, 5, 5/2, 5/3, અને 5/4 (પરંતુ અંશ 4 અને અંશ 5 ધરાવતી સંખ્યાઓ એકસાથે ન આવી શકે) એ સંખ્યાઓ છે જેનો ઉપયોગ બિન-ડાયહેડ્રલ તીવ્ર અથવા અસ્પષ્ટ શ્વાર્ઝ ત્રિકોણની બાજુઓ માટે થઈ શકે છે જે જરૂરી નથી કે માત્ર અધોગતિ તરફ દોરી જાય. (4/2 નો ઉપયોગ પણ કરી શકાય છે, પરંતુ માત્ર એકસમાન પોલિહેડ્રા અધોગતિ તરફ દોરી જાય છે કારણ કે 4 અને 2 એક સામાન્ય પરિબળ ધરાવે છે.) આવા 44 શ્વાર્ઝ ત્રિકોણ છે (5 ટેટ્રાહેડ્રલ સમપ્રમાણતા સાથે, 7 ઓક્ટાહેડ્રલ સમપ્રમાણતા સાથે અને 32 આઈકોસાહેડ્રલ સમપ્રમાણતા સાથે), જે ડાયહેડ્રલ શ્વાર્ઝ ત્રિકોણના અનંત પરિવાર સાથે મળીને લગભગ તમામ બિન-વિકૃત સમાન બહુપદીની રચના કરી શકે છે. સંપૂર્ણપણે સાંયોગિક શિરોબિંદુઓ, કિનારીઓ અથવા ચહેરાઓ સાથે ઘણા અધોગતિ પામેલા એકસમાન પોલિહેડ્રા પણ વિથોફ બાંધકામ દ્વારા પેદા થઈ શકે છે, અને જે શ્વાર્ઝ ત્રિકોણમાંથી ઉદ્ભવે છે જે 4/2 નો ઉપયોગ કરતા નથી તે પણ તેમના બિન-અધોગતિગ્રસ્ત સમકક્ષો સાથે નીચેના કોષ્ટકોમાં આપવામાં આવ્યા છે. રીફ્લેક્સ શ્વાર્ઝ ત્રિકોણનો સમાવેશ કરવામાં આવ્યો નથી, કારણ કે તેઓ ફક્ત ડુપ્લિકેટ્સ અથવા ડીજનરેટ્સ બનાવે છે; જો કે, ત્રણ સ્નબ પોલિહેડ્રા પર તેમના ઉપયોગને કારણે કોષ્ટકની બહાર કેટલાકનો ઉલ્લેખ કરવામાં આવ્યો છે. કેટલાક નોન-વિથોફિયન યુનિફોર્મ પોલિહેડ્રા છે, જે કોઈ પણ શ્વાર્ઝ ત્રિકોણ પેદા કરી શકતા નથી; જો કે, તેમાંના મોટા ભાગનાને વિથોફ બાંધકામનો ઉપયોગ કરીને ડબલ કવર તરીકે (નોન-વિથોફિયન પોલિહેડ્રોનને એકને બદલે બે વાર આવરી લેવામાં આવે છે) અથવા કેટલાક વધારાના સુસંગત ચહેરાઓ સાથે બનાવી શકાય છે, જેને દરેક ધાર પર બેથી વધુ ચહેરા ન રાખવા માટે કાઢી નાખવા જોઈએ (જુઓ ઓમ્નિટ્રંકેટેડ polyhedron#Other સમ-બાજુવાળા નોન-કન્વેક્સ પોલિહેડ્રા). આવા પોલિહેડ્રા આ સૂચિમાં ફૂદડી દ્વારા ચિહ્નિત થયેલ છે. એકમાત્ર સમાન પોલિહેડ્રા જે હજુ પણ વાયથોફ બાંધકામ દ્વારા ઉત્પન્ન કરવામાં નિષ્ફળ જાય છે તે છે ગ્રેટ ડિરોમ્બિકોસિડોડેકાહેડ્રોન અને ગ્રેટ ડિસનબ ડિરોમ્બિડોડેકાહેડ્રોન. ગોળા પર શ્વાર્ઝ ત્રિકોણની દરેક ટાઇલિંગ ગોળાને માત્ર એક જ વાર આવરી શકે છે, અથવા તે પ્રક્રિયામાં પોતાને પાર કરીને ગોળાની આસપાસ ઘણી વખત પવન ફેરવી શકે છે. ગોળાની આસપાસ ટાઇલિંગ પવનની સંખ્યા ટાઇલિંગની ઘનતા છે, અને તેને સૂચવવામાં આવે છે. જોનાથન બોવર્સના પોલિહેડ્રા માટેના ટૂંકા નામો, જેને બોવર્સ ટૂંકાક્ષર તરીકે ઓળખવામાં આવે છે, તેનો ઉપયોગ જગ્યા બચાવવા માટે પોલિહેડ્રા માટેના સંપૂર્ણ નામોને બદલે થાય છે. મેડર સૂચકાંક પણ આપવામાં આવ્યો છે. ડાયહેડ્રલ શ્વાર્ઝ ત્રિકોણ સિવાય, શ્વાર્ઝ ત્રિકોણને તેમની ઘનતા દ્વારા ક્રમ આપવામાં આવે છે. યુક્લિડિયન ટિલિંગના સમાન કિસ્સાઓ પણ સૂચિબદ્ધ કરવામાં આવ્યા છે, અને હાયપરબોલિક ટિલિંગના કિસ્સાઓની ટૂંકમાં અને અપૂર્ણ રીતે ચર્ચા કરવામાં આવી છે. મોબિયસ અને શ્વાર્ઝ ત્રિકોણ π/p, π/q, π/r ખૂણાઓ સાથે 4 ગોળાકાર ત્રિકોણ છે, જ્યાં (pqr) પૂર્ણાંકો છેઃ (કોક્સેટર, "યુનિફોર્મ પોલિહેડ્રા", 1954) (2 2 r)-ડાયહેડ્રલ (2,33)-ટેટ્રાહેડ્રલ (2,34)-ઓક્ટાહેડ્રલ (2,35)-ઇકોસાહેડ્રલ આને મોબિયસ ત્રિકોણ કહેવામાં આવે છે. વધુમાં શ્વાર્ઝ ત્રિકોણ (p q r) ને પરિમેય સંખ્યાઓ માને છે. આમાંના દરેકને ઉપરના 4 સમૂહોમાંથી એકમાં વર્ગીકૃત કરી શકાય છે. જો કે પોલિહેડ્રોન સામાન્ય રીતે શ્વાર્ઝ ત્રિકોણ જેટલી જ ઘનતા ધરાવે છે જેમાંથી તે ઉત્પન્ન થાય છે, પરંતુ હંમેશા એવું થતું નથી. પ્રથમ, પોલિહેડ્રા કે જે મોડેલના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતા ચહેરાઓ ધરાવે છે (હેમિપોલિહેડ્રા, ગ્રેટ ડાયર્હોમ્બિકોસિડોડેકાહેડ્રોન અને ગ્રેટ ડિસનબ ડાયર્હોમ્બિડોડેકાહેડ્રોન સહિત) તેમાં સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત ઘનતા હોતી નથી. બીજું, ગોળાકાર પોલિહેડ્રોનને તેના સમતલીય પ્રતિરૂપમાં બદલતી વખતે એકરૂપતા પુનઃપ્રાપ્ત કરવા માટે જરૂરી વિકૃતિ પોલિહેડ્રોનના કેન્દ્રમાંથી ચહેરાઓને દબાણ કરી શકે છે અને ઘનતામાં ફેરફાર કરીને બીજી બાજુથી પાછળ કરી શકે છે. આ નીચેના કિસ્સાઓમાં થાય છેઃ મોટા કાપેલા ક્યુબોક્ટેહેડ્રોન, 2,3,4/3 |. જ્યારે શ્વાર્ઝ ત્રિકોણ (2,34/3) ની ઘનતા 7 છે, ત્યારે પુનઃપ્રાપ્ત થતી એકરૂપતા આઠ ષટ્કોણને કેન્દ્રમાં ધકેલી દે છે, જે ઘનતા |7 −8 | = 1 આપે છે, જે સમાન મોટા વર્તુળો ધરાવતા કોલુનર શ્વાર્ઝ ત્રિકોણ (2,34) ની સમાન છે. કાપવામાં આવેલ ડોડેકાડેકાહેડ્રોન, 2,5/3 5 |. જ્યારે શ્વાર્ઝ ત્રિકોણ (2,5/35) ની ઘનતા 9 છે, ત્યારે પુનઃપ્રાપ્ત થતી એકરૂપતા બાર દશકોશોને કેન્દ્રમાં ધકેલી દે છે, જે ઘનતા |9 −12 | = 3 આપે છે, જે સમાન મોટા વર્તુળો વહેંચતા કોલુનર શ્વાર્ઝ ત્રિકોણ (2,5/25) ની સમાન છે. થ્રી સ્નબ પોલિહેડ્રાઃ ગ્રેટ આઇકોસાહેડ્રોન | 2,3/2 3/2, સ્મોલ રેટ્રોસ્નબ આઇકોસિકોસિડોડેકાહેડ્રોન | 3/23/2 5/2, અને ગ્રેટ રેટ્રોસ્નબ આઇકોસિડોડેકાહેડ્રોન | 2,3/2 5/3. અહીં શિરોબિંદુ આકૃતિઓને પેન્ટાગોન અથવા ષટ્કોણને બદલે પેન્ટાગ્રામ અથવા ષટ્કોણમાં વિકૃત કરવામાં આવી છે, જે કેન્દ્રમાંથી તમામ સ્નબ ત્રિકોણને દબાણ કરે છે અને અનુક્રમે |5 −12 | = 7, |22 −60 | = 38, અને |23 −60 | = 37 ની ઘનતા આપે છે. આ ઘનતા કોલુનાર રીફ્લેક્સ-એન્ગલ શ્વાર્ઝ ત્રિકોણ જેવી જ છે જે ઉપર સમાવિષ્ટ નથી. આમ મહાન આઇકોસાહેડ્રોન (2/33) અથવા (2,3/4), નાના રેટ્રોસ્નબ આઇકોસિકોસિડોડેકાહેડ્રોન (3 3 5/8) અથવા (3 3/4 5/3), અને મહાન રેટ્રોસ્નબ આઇકોસિડોડેકાહેડ્રોન (2/3 3 5/2), (2,3/4 5/3), અથવા (2 3 5/7) માંથી આવે છે. (કોક્સેટર, "યુનિફોર્મ પોલિહેડ્રા", 1954) સારાંશ કોષ્ટક p, q, r (અને કેટલાક વિશેષ સ્વરૂપો) ના દરેક સમૂહ સાથે સાત જનરેટર બિંદુઓ છેઃ ચાર વિશેષ કિસ્સાઓ છેઃ p q-આ p q r અને p q s નું મિશ્રણ છે. બંને પ્રતીકો p q r અને p q s કેટલાક વધારાના ચહેરાઓ સાથે સામાન્ય બેઝ પોલિહેડ્રોન ઉત્પન્ન કરે છે. સંકેત p q પછી બેઝ પોલિહેડ્રોનનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે, જે p q r અને p q s બંને માટે સામાન્ય ચહેરાઓથી બનેલો છે. p q r-સ્નબ સ્વરૂપો (વૈકલ્પિક) ને આ અન્યથા બિનઉપયોગી પ્રતીક આપવામાં આવે છે. p q r s-U75 માટે એક અનોખું સ્નબ સ્વરૂપ જે ત્રિકોણાકાર મૂળભૂત ડોમેન્સનો ઉપયોગ કરીને વાયથોફ-કન્સ્ટ્રક્ટિબલ નથી. આ વાયથોફ પ્રતીકમાં ચાર સંખ્યાઓનો સમાવેશ કરવામાં આવ્યો છે કારણ કે આ પોલિહેડ્રોન ટેટ્રાગોનલ ગોળાકાર મૂળભૂત ક્ષેત્ર ધરાવે છે. (પી) ક્યૂ (આર) એસ-સ્કિલિંગની આકૃતિ માટેનું એક અનોખું સ્નબ સ્વરૂપ જે વિથોફ-કન્સ્ટ્રક્ટિબલ નથી. વિથોફ પ્રતીકમાંથી શિરોબિંદુ રૂપરેખાંકનમાં આ રૂપાંતર કોષ્ટક ઉપર સૂચિબદ્ધ અપવાદરૂપ પાંચ બહુભુજ માટે નિષ્ફળ જાય છે, જેમની ઘનતા તેમના ઉત્પન્ન થતા શ્વાર્ઝ ત્રિકોણ ટેસેલેશનની ઘનતા સાથે મેળ ખાતી નથી. આ કિસ્સાઓમાં શિરોબિંદુ આકૃતિ સપાટ ચહેરાઓ સાથે એકરૂપતા હાંસલ કરવા માટે અત્યંત વિકૃત છેઃ પ્રથમ બે કિસ્સાઓમાં તે તીવ્ર ત્રિકોણને બદલે એક અસ્પષ્ટ ત્રિકોણ છે, અને છેલ્લા ત્રણ કિસ્સાઓમાં તે પંચકોણ અથવા ષટ્કોણને બદલે પંચકોણ અથવા ષટ્કોણ છે, જે કેન્દ્રની આસપાસ બે વાર વીંટળાય છે. આના પરિણામે કેટલાક ચહેરાઓને પોલિહેડ્રોન દ્વારા સીધા જ દબાણ કરવામાં આવે છે જ્યારે શિરોબિંદુ આકૃતિ વિકૃતિ વિના ટોપોલોજીકલ સમકક્ષ સ્વરૂપો સાથે સરખામણી કરવામાં આવે છે અને બીજી બાજુ પ્રતિગામી બહાર આવે છે. નીચે આપેલા કોષ્ટકોમાં, લાલ પૃષ્ઠભૂમિ ડીજનરેટ પોલિહેડ્રાને ચિહ્નિત કરે છે. લીલી પૃષ્ઠભૂમિ બહિર્મુખ એકસમાન પોલિહેડ્રાને ચિહ્નિત કરે છે. ડાયહેડ્રલ (પ્રિઝમેટિક) ડાયહેડ્રલ શ્વાર્ઝ ત્રિકોણમાં, બે સંખ્યાઓ 2 છે, અને ત્રીજી કોઈપણ પરિમાણીય સંખ્યા હોઈ શકે છે જે 1 કરતા સખત રીતે મોટી હોય. (2 2 n/d)-અધોગતિ પામે છે જો gcd (n, d)> 1 હોય. ડાયહેડ્રલ સમપ્રમાણતા ધરાવતા ઘણા પોલિહેડ્રા પાસે ડિગોન ફેસિસ હોય છે જે તેમને ડિજનરેટ પોલિહેડ્રા બનાવે છે (દા. ત. દીહેડ્રા અને હોસોહેડ્રા). ટેબલના સ્તંભો કે જે માત્ર અધોગતિગ્રસ્ત એકસમાન પોલિહેડ્રા આપે છે તેનો સમાવેશ થતો નથીઃ ખાસ અધોગતિગ્રસ્ત કિસ્સાઓ (માત્ર (2 2 2) શ્વાર્ઝ ત્રિકોણમાં) મોટા ક્રોસ સાથે ચિહ્નિત થયેલ છે. આધાર {p} સાથે યુનિફોર્મ ક્રોસ એન્ટીપ્રિઝમ્સ જ્યાં p <3/2 અસ્તિત્વમાં નથી કારણ કે તેમની શિરોબિંદુ આકૃતિઓ ત્રિકોણાકાર અસમાનતાનું ઉલ્લંઘન કરશે; આ પણ મોટા ક્રોસ સાથે ચિહ્નિત થયેલ છે. 3/2 ક્રોસ કરેલ એન્ટીપ્રિઝમ (ટ્રીર્પ) અધોગતિ પામે છે, જે યુક્લિડિયન જગ્યામાં સપાટ છે, અને તેને મોટા ક્રોસ સાથે પણ ચિહ્નિત કરવામાં આવે છે. શ્વાર્ઝ ત્રિકોણ (2 2 એન/ડી) અહીં ત્યારે જ સૂચિબદ્ધ થાય છે જ્યારે જી. સી. ડી. (એન, ડી) = 1 હોય, કારણ કે અન્યથા તેઓ માત્ર અધોગતિ પામેલા એકસમાન બહુપદીમાં પરિણમે છે. નીચેની સૂચિ તમામ સંભવિત કિસ્સાઓ આપે છે જ્યાં n ≤ 6 છે. ટેટ્રાહેડ્રલ શ્વાર્ઝ ત્રિકોણમાં, મહત્તમ અંશની મંજૂરી 3 છે. ઓક્ટાહેડ્રલ શ્વાર્ઝ ત્રિકોણમાં, મહત્તમ અંશની મંજૂરી 4 છે. ત્યાં ઓક્ટાહેડ્રલ શ્વાર્ઝ ત્રિકોણ પણ અસ્તિત્વમાં છે જે 4/2 નો સંખ્યા તરીકે ઉપયોગ કરે છે, પરંતુ આ માત્ર એકસમાન બહુપત્નીત્વને અધોગતિ તરફ દોરી જાય છે કારણ કે 4 અને 2 એક સામાન્ય પરિબળ ધરાવે છે. આઇકોસાહેડ્રલ શ્વાર્ઝ ત્રિકોણમાં, મહત્તમ અંશની મંજૂરી 5 છે. વધુમાં, અંશ 4 નો ઉપયોગ આઇકોસાહેડ્રલ શ્વાર્ઝ ત્રિકોણમાં બિલકુલ કરી શકાતો નથી, જો કે અંશ 2 અને 3 ને મંજૂરી છે. (જો 4 અને 5 કેટલાક શ્વાર્ઝ ત્રિકોણમાં એકસાથે આવી શકે, તો તેઓએ કેટલાક મોબિયસ ત્રિકોણમાં પણ આવું કરવું પડશે; પરંતુ આ અશક્ય છે કારણ કે (2,45) એક અતિસંવેદનશીલ ત્રિકોણ છે, ગોળાકાર નહીં.) ઓક્ટાહેમિઓક્ટેહેડ્રોન ઉપરાંત, હેમિપોલીહેડ્રા વાયથોફ બાંધકામ દ્વારા બેવડા આવરણ તરીકે ઉત્પન્ન થાય છે. ઘટાડેલા સ્વરૂપો આ પોલિહેડ્રા વિથોફ બાંધકામ દ્વારા વધારાના ચહેરાઓ સાથે ઉત્પન્ન થાય છે. ટેટ્રાહેમીહેક્સાહેડ્રોન (તાહ, યુ4) એ {3/2}-કુપોલા (પ્રતિગામી ત્રિકોણાકાર કુપોલા, રેટ્રિકુ) નું {6/2} દ્વારા ઘટાડેલું સંસ્કરણ પણ છે. જેમ કે તેને ક્રોસ કરેલ ત્રિકોણાકાર કપ્લોઇડ પણ કહી શકાય. ઉપરના ઘણા કિસ્સાઓ ડીજનરેટ ઓમ્નિટ્રન્કેટેડ પોલિહેડ્રા પી. ક્યુ. આર. માંથી મેળવવામાં આવ્યા છે. આ કિસ્સાઓમાં, બે અલગ-અલગ અધોગતિના કિસ્સાઓ p q r અને p q s સમાન p અને q માંથી પેદા થઈ શકે છે; પરિણામમાં અનુક્રમે {2p} 's, {2q}' s અને {2r} 's અથવા {2s}' s નો સામનો થાય છે. આ બંને સમાન નોનડિજનરેટ યુનિફોર્મ પોલિહેડ્રા ઉત્પન્ન કરે છે જ્યારે સુસંગત ચહેરાઓ કાઢી નાખવામાં આવે છે, જે કોક્સેટરે p q નું પ્રતીક છે. આ કિસ્સાઓ નીચે સૂચિબદ્ધ છેઃ નાના અને મહાન રોમ્બિહેક્સાહેડ્રામાં, અપૂર્ણાંક 4/2 નો ઉપયોગ સૌથી નીચી શરતોમાં ન હોવા છતાં થાય છે. જ્યારે 2 4 2 અને 2 4/3 2 અનુક્રમે એક અષ્ટકોણીય અથવા અષ્ટકોણીય પ્રિઝમનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે, 2 4 4/2 અને 2 4/3 4/2 આવા ત્રણ પ્રિઝમનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે, જે તેમના કેટલાક ચોરસ મુખને શેર કરે છે (ચોક્કસપણે તે બમણા થઈને {8/2} નું ઉત્પાદન કરે છે). આ {8/2} બે ગણા નહીં પણ ચાર ગણા પરિભ્રમણ સમપ્રમાણતા સાથે દેખાય છે, જે 2 ને બદલે 4/2 ના ઉપયોગને ન્યાયી ઠેરવે છે. અન્ય સ્વરૂપો આ બે એકસમાન પોલિહેડ્રા વાયથોફ બાંધકામ દ્વારા બિલકુલ પેદા કરી શકાતા નથી. આ સામાન્ય રીતે "નોન-વિથોફિયન્સ" તરીકે વર્ણવવામાં આવતા એકસમાન પોલિહેડ્રાનો સમૂહ છે. વિથોફિયન યુનિફોર્મ પોલિહેડ્રાના ત્રિકોણાકાર મૂળભૂત ડોમેન્સને બદલે, આ બે પોલિહેડ્રામાં ટેટ્રાગોનલ મૂળભૂત ડોમેન્સ છે. સ્કિલિંગની આકૃતિને મેડરની સૂચિમાં અનુક્રમણિકા આપવામાં આવી નથી કારણ કે તે એક વિચિત્ર સમાન પોલિહેડ્રોન છે, જેમાં પર્વતમાળાઓ (3D કેસમાં ધાર) સંપૂર્ણપણે સંયોગ છે. ઉપરોક્ત સૂચિમાં સમાવિષ્ટ કેટલાક અધોગતિગ્રસ્ત પોલિહેડ્રોન માટે પણ આ સાચું છે, જેમ કે નાના જટિલ આઇકોસિડોડેકાહેડ્રોન. કિનારીઓ સાંયોગિક હોવાનું આ અર્થઘટન આ આંકડાઓને ધાર દીઠ બે બાજુઓ રાખવાની મંજૂરી આપે છેઃ કિનારીઓને બમણી ન કરવાથી તેમને ધાર પર મળતા 4,6,8,10 અથવા 12 ચહેરાઓ મળશે, જે આકૃતિઓ સામાન્ય રીતે એકસમાન પોલિહેડ્રા તરીકે બાકાત રાખવામાં આવે છે. સ્કિલિંગની આકૃતિમાં કેટલીક ધાર પર મળતા 4 ચહેરા હોય છે. આ બંને વિશેષ પોલિહેડ્રા મહાન સ્નબ ડોડેસિકોસિડોડેકાહેડ્રોન, 3 5/3 5/2 (યુ64) માંથી મેળવી શકાય છે. આ એક કાયરલ સ્નબ પોલિહેડ્રોન છે, પરંતુ તેના પેન્ટાગ્રામ કોપ્લાનર જોડીમાં દેખાય છે. આ પોલિહેડ્રોનની એક નકલને તેના એન્ન્ટીયોમોર્ફ સાથે જોડીને, પેન્ટાગ્રામ એક સાથે આવે છે અને તેને દૂર કરી શકાય છે. જેમ કે આ પોલિહેડ્રોનની શિરોબિંદુ આકૃતિની ધારમાં ચોરસની ત્રણ બાજુઓનો સમાવેશ થાય છે, ચોથી બાજુ તેના એનાન્સીઓમોર્ફ દ્વારા ફાળો આપવામાં આવે છે, આપણે જોઈએ છીએ કે પરિણામી પોલિહેડ્રોન હકીકતમાં વીસ ઓક્ટાહેડ્રાનું સંયોજન છે. આ દરેક અષ્ટકોણમાં સમાંતર મુખની એક જોડી હોય છે જે 3-5/3-5/2 ના સંપૂર્ણ સમપ્રમાણ ત્રિકોણમાંથી ઉદ્ભવે છે, જ્યારે અન્ય ત્રણ મૂળ 3-5/3-5/2 ના સ્નબ ત્રિકોણમાંથી આવે છે. વધુમાં, દરેક ઓક્ટાહેડ્રોનને સમાન ધાર અને શિરોબિંદુઓ સાથે ટેટ્રાહેમિહેક્સાહેડ્રોન દ્વારા બદલી શકાય છે. ઓક્ટાહેડ્રામાં સંપૂર્ણ સપ્રમાણ ત્રિકોણને લઈને, મહાન સ્નબ ડોડેસીકોસિડોડેકાહેડ્રામાં મૂળ સુસંગત પેન્ટાગ્રામ અને ટેટ્રાહેમીહેક્સાહેડ્રાના વિષુવવૃત્તીય ચોરસ એકસાથે મહાન ડિરોમ્બિકોસિડોડેકાહેડ્રોન (મિલરનો રાક્ષસ) ઉત્પન્ન કરે છે. તેના બદલે ઓક્ટાહેડ્રાના સ્નબ ત્રિકોણને લેવાથી મહાન ડિસનબ ડિરોમ્બિડોડેકાહેડ્રોન (સ્કિલિંગની આકૃતિ) મળે છે. યુક્લિડિયન ટિલિંગ્સ એકમાત્ર સમતલ ત્રિકોણ કે જે સમતલને એકવાર ઉપર ટાઇલ કરે છે તે છે (3 3 3), (4 2 4), અને (3 2 6): તેઓ અનુક્રમે સમબાહુ ત્રિકોણ, 45-45-90 જમણી સમદ્વિબાહુ ત્રિકોણ અને 30-60-90 જમણી ત્રિકોણ છે. તે અનુસરે છે કે કોઈપણ સમતલ ત્રિકોણ જે સમતલને ઘણી વખત ટાઇલિંગ કરે છે તે આમાંથી એકની બહુવિધ નકલોમાંથી બનાવવું આવશ્યક છે. એકમાત્ર શક્યતા એ છે કે 30-30-120 લંબચોરસ સમદ્વિબાહુ ત્રિકોણ (3/266) = (623) + (2,63) સમતલને બે વાર ટાઇલ કરે છે. દરેક ત્રિકોણ 120° શિરોબિંદુ પર શાખા બિંદુ સાથે વિરુદ્ધ દિશાઓ સાથે બે વાર ગણવામાં આવે છે. બે એપિરોગન્સમાંથી બનેલી ટાઇલિંગ {ini, 2} સ્વીકારવામાં આવતી નથી, કારણ કે તેના ચહેરા એકથી વધુ ધાર પર મળે છે. અહીં '' એ 'ના પ્રતિગામી પ્રતિરૂપને સૂચવે છે. અધોગતિગ્રસ્ત નામના સ્વરૂપો આ પ્રમાણે છેઃ ચેટીટઃ 3 ષટ્કોણ ટિલિંગનું સંયોજન + ત્રિકોણાકાર ટાઇલિંગ ચટાઃ 3 ષટ્કોણ ટિલિંગનું સંયોજન + ત્રિકોણાકાર ટાઇલિંગ + તમામ ધાર શ્રેણીઓ સાથે એપિરોગન્સના ડબલ કવરઃ 3 ષટ્કોણ ટિલિંગનું સંયોજન + તમામ ધાર શ્રેણીઓ સાથે એપિરોગન્સના ડબલ કવર કોસાઃ ચોરસ ટાઇલિંગ + તમામ ધાર શ્રેણીઓ સાથે એપિરોગન્સના ડબલ કવર ટાઇલિંગ 6 6/5 | φ વાયથોફની રચના દ્વારા ડબલ કવર તરીકે ઉત્પન્ન થાય છેઃ ઉપરાંત મિશ્ર પ્રતીક p q | સાથે કેટલાક ટિલિંગ પણ છેઃ કેટલાક બિન-વાયથોફિયન ટિલિંગ્સ પણ છેઃ પ્લેનના સમાન ટિલિંગનો સમૂહ સંપૂર્ણ સાબિત થતો નથી, તેનાથી વિપરીત. ઉપરોક્ત ટિલિંગ્સ કોક્સેટર, લોંગ્યુએટ-હિગિન્સ અને મિલર દ્વારા તેમના 1954 ના પેપરમાં સમાન પોલિહેડ્રા પર મળેલા તમામનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. તેઓએ અનુમાન લગાવ્યું કે યાદીઓ પૂર્ણ હતીઃ આ સોપોવ દ્વારા 1970 માં સમાન પોલિહેડ્રા માટે સાબિત કરવામાં આવ્યું હતું, પરંતુ સમાન ઝુકાવ માટે સાબિત થયું નથી. ખરેખર બ્રાન્કો ગ્રુનબૌમ, જે. સી. પી. મિલર અને જી. સી. શેફર્ડ યુનિફોર્મ ટિલિંગ્સ વિથ હોલો ટાઇલ્સ (1981) માં પંદર વધુ નોન-વિથોફિયન યુનિફોર્મ ટિલિંગ્સની યાદી આપે છેઃ શિરોબિંદુ આકૃતિઓ 4.8.4/3.8.4/3 માટે બે-બે ટિલિંગ્સ છે. આ બે શિરોબિંદુ આકૃતિઓમાંથી દરેક માટે ત્રીજી ટાઇલિંગ પણ અસ્તિત્વમાં છે જે માત્ર સ્યુડો-યુનિફોર્મ છે (તમામ શિરોબિંદુઓ એકસરખા દેખાય છે, પરંતુ તેઓ બે સમપ્રમાણતા ભ્રમણકક્ષામાં આવે છે). તેથી, યુક્લિડિયન ટિલિંગ માટે, શિરોબિંદુ રૂપરેખાંકન વિશિષ્ટ રીતે ટાઇલિંગ નક્કી કરતું નથી. નીચે આપેલા ચિત્રોમાં, આડી અને ઊભી ધારવાળા સમાવિષ્ટ ચોરસને કેન્દ્રિય બિંદુ સાથે ચિહ્નિત કરવામાં આવ્યા છે. એક જ ચોરસમાં કિનારીઓ પ્રકાશિત હોય છે. ગ્રુનબૌમ, મિલર અને શેફર્ડ પણ ચહેરા તરીકે વાંકીચૂંકી (સ્ક્યુ એપિરોગન્સ) નો ઉપયોગ કરીને 33 સમાન ઝુકાવની યાદી આપે છે, જેમાંથી દસ એવા પરિવારો છે જે મુક્ત પરિમાણ (વાંકીચૂંકીનો કોણ) ધરાવે છે. આઠ કિસ્સાઓમાં આ પરિમાણ સતત છે; બેમાં, તે અલગ છે. હાયપરબોલિક ટિલિંગ્સ હાયપરબોલિક પ્લેનને ટાઇલિંગ કરતા ત્રિકોણોનો સમૂહ અનંત છે. તદુપરાંત હાયપરબોલિક અવકાશમાં મૂળભૂત ડોમેન સિમ્પ્લેક્સ હોવું જરૂરી નથી. પરિણામે હાયપરબોલિક પ્લેનના સમાન ઝુકાવની સંપૂર્ણ સૂચિ આપી શકાતી નથી. જ્યારે બહિર્મુખ ટાઇલ્સ સુધી મર્યાદિત હોય ત્યારે પણ, સમાન શિરોબિંદુ રૂપરેખાંકન સાથે બહુવિધ ટિલિંગ્સ શોધવાનું શક્ય છેઃ ઉદાહરણ તરીકે સ્નબ ઓર્ડર-6 ચોરસ tiling#Related પોલિહેડ્રા અને ટાઇલિંગ જુઓ. કેટલાક નાના બહિર્મુખ કિસ્સાઓ (આદર્શ ચહેરાઓ અથવા શિરોબિંદુઓને સમાવતા નથી) નીચે આપવામાં આવ્યા છેઃ સંદર્ભો રિચાર્ડ ક્લિટ્ઝિંગઃ બિંદુ-જૂથ સમપ્રમાણતા જટિલતા દ્વારા પોલિહેડ્રા શ્વાર્ઝ ત્રિકોણ ભાગ 1, ભાગ 2 યુક્લિડિયન ટેસેલેશન અને હનીકોમ્બ હાયપરબોલિક ટેસેલેશન અને હનીકોમ્બ કોષ્ટકો ક્લિટ્ઝિંગ દ્વારા તેમના સ્થળ પર રજૂ કરાયેલા કોષ્ટકો પર આધારિત છે. બાહ્ય કડીઓ જિમ મેકનીલઃ પ્લેન ઝ્વી હાર 'એલનું ટેસેલેશનઃ યુનિફોર્મ પોલિહેડ્રા હિરોનોરી સકામોટો માટે યુનિફોર્મ સોલ્યુશનઃ યુક્લિડ પ્લેન પર યુનિફોર્મ ટેસેલેશન યુનિફોર્મ પોલિહેડ્રા યુનિફોર્મ ટિલિંગ્સ