Singular boundary method
આંકડાકીય વિશ્લેષણમાં, સિંગ્યુલર બાઉન્ડ્રી મેથડ (SBM) મેશલેસ બાઉન્ડ્રી કોલોકેશન તકનીકોના પરિવાર સાથે સંબંધિત છે જેમાં ફંડામેન્ટલ સોલ્યુશન્સ (MFS), બાઉન્ડ્રી નોટ મેથડ (BCM), રેગ્યુલરાઇઝ્ડ મેશલેસ મેથડ (RMM), બાઉન્ડ્રી પાર્ટિકલ મેથડ (BPM), મોડિફાઇડ MFS વગેરેનો સમાવેશ થાય છે. મજબૂત સ્વરૂપની કોલોકેશન પદ્ધતિઓનો આ પરિવાર સીમા ગાંઠો સાથેની સીમા મૂલ્ય સમસ્યાઓના સંખ્યાત્મક ઉકેલમાં પરંપરાગત સીમા તત્વ પદ્ધતિ (બી. ઇ. એમ.) માં એકવચન સંખ્યાત્મક એકીકરણ અને જાળી બનાવવાની પ્રક્રિયાને ટાળવા માટે રચાયેલ છે, જેમાં સંચાલક સમીકરણનો મૂળભૂત ઉકેલ સ્પષ્ટપણે જાણીતો છે. એસ. બી. એમ. ની મુખ્ય વિશેષતા એ છે કે મૂળભૂત ઉકેલની પદ્ધતિમાં કાલ્પનિક સીમાને પાર કરવી, જ્યારે પછીની તમામ ગુણવત્તાને જાળવી રાખવી. આ પદ્ધતિ ક્લાસિકલ ડોમેન અથવા બાઉન્ડ્રી ડિસ્ક્રીટાઈઝેશન પદ્ધતિઓ પર ઘણા ફાયદા પ્રદાન કરે છે, જેમાંથી છેઃ મેશલેસ. આ પદ્ધતિ માટે ન તો ડોમેન કે ન તો બાઉન્ડ્રી મેશિંગની જરૂર છે, પરંતુ માત્ર બાઉન્ડ્રી-ડિસ્ક્રીટાઈઝેશન પોઇન્ટની જરૂર છે; એકીકરણ-મુક્ત. એકવચન અથવા લગભગ એકવચન કર્નલોનું આંકડાકીય એકીકરણ અન્યથા મુશ્કેલીકારક, ખર્ચાળ અને જટિલ હોઈ શકે છે, જેમ કે કિસ્સામાં, ઉદાહરણ તરીકે, સીમા તત્વ પદ્ધતિ; સજાતીય સમસ્યાઓ માટે માત્ર સીમા પૃથ્થકરણ. SBM મૂળભૂત ઉકેલોની પદ્ધતિમાં ગૂંચવણભરી કાલ્પનિક સીમાને દૂર કરવા માટે મર્યાદિત તત્વ અથવા મર્યાદિત તફાવત પદ્ધતિઓ જેવી ડોમેન વિવેચનાત્મક પદ્ધતિઓ પર BEMના તમામ ફાયદાઓ વહેંચે છે (ફિગ્સ જુઓ. 1 અને 2), મૂળ તીવ્રતા પરિબળની વિભાવનાની રજૂઆત માટે આભાર, જે મૂળભૂત ઉકેલોની એકલતાને અલગ પાડે છે. એસ. બી. એમ. બી. ઈ. એમ. અને એમ. એફ. એસ. જેવી લોકપ્રિય સીમા-પ્રકારની પદ્ધતિઓનો નોંધપાત્ર અને આશાસ્પદ વિકલ્પ પૂરો પાડે છે, ખાસ કરીને, અનંત ક્ષેત્ર, તરંગ, પાતળા દિવાલોની રચનાઓ અને વિપરીત સમસ્યાઓ માટે. એકવચન સીમા પદ્ધતિનો ઇતિહાસ એસ. બી. એમ. ની પદ્ધતિ સૌપ્રથમ 2009 માં ચેન અને તેમના સહયોગીઓ દ્વારા પ્રસ્તાવિત કરવામાં આવી હતી. મૂળભૂત ઉકેલોની એકલતાને અલગ કરવા માટે મૂળ તીવ્રતા પરિબળનો ખ્યાલ રજૂ કરવાનો મૂળભૂત વિચાર છે જેથી સ્રોત બિંદુઓને સીધી વાસ્તવિક સીમા પર મૂકી શકાય. તેની સરખામણીમાં, મૂળભૂત ઉકેલોની પદ્ધતિ માટે મૂળભૂત ઉકેલની એકલતાને ટાળવા માટે સ્રોત બિંદુઓને મૂકવા માટે કાલ્પનિક સીમાની જરૂર પડે છે. ત્યારથી SBM વિવિધ ભૌતિક સમસ્યાઓ પર સફળતાપૂર્વક લાગુ કરવામાં આવ્યું છે, જેમ કે સંભવિત સમસ્યાઓ, અનંત ક્ષેત્રની સમસ્યા, હેલ્મહોલ્ટ્ઝ સમસ્યા અને સમતલ સ્થિતિસ્થાપકતા સમસ્યા. મૂળ તીવ્રતા પરિબળનું મૂલ્યાંકન કરવા માટે બે તકનીકો છે. પ્રથમ અભિગમ એ છે કે સમસ્યા ક્ષેત્રની અંદર નમૂના ગાંઠોના સમૂહને મૂકવો અને બીજગણિત સમીકરણોની ગણતરી કરવી. આ વ્યૂહરચના વધારાના કોમ્પ્યુટેશનલ ખર્ચ તરફ દોરી જાય છે અને એમ. એફ. એસ. ની સરખામણીમાં પદ્ધતિ અપેક્ષા મુજબ કાર્યક્ષમ નથી. બીજો અભિગમ મૂળભૂત ઉકેલ અને તેના વ્યુત્પન્નની એકલતાને રદ કરવા માટે નિયમિતકરણ તકનીકનો ઉપયોગ કરવાનો છે. પરિણામે, મૂળની તીવ્રતાના પરિબળો કોઈપણ નમૂના નોડ્સનો ઉપયોગ કર્યા વિના સીધા નક્કી કરી શકાય છે. આ યોજના પદ્ધતિને વધુ સ્થિર, સચોટ, કાર્યક્ષમ બનાવે છે અને તેની લાગુ પડતી ક્ષમતાને વિસ્તરે છે. તાજેતરના વિકાસ બાઉન્ડ્રી લેયર ઇફેક્ટ સમસ્યાઓ અન્ય તમામ બાઉન્ડ્રી-પ્રકારની આંકડાકીય પદ્ધતિઓની જેમ, એવું પણ જોવા મળ્યું છે કે SBM નજીકના વિસ્તારમાં ઉકેલની ચોકસાઈમાં નાટ્યાત્મક ઘટાડાનો સામનો કરે છે. મૂળમાં એકત્વથી વિપરીત, નજીકના સરહદી પ્રદેશોમાં મૂળભૂત ઉકેલ મર્યાદિત રહે છે. જો કે, સપાટ કાર્ય બનવાને બદલે, જેમ જેમ ક્ષેત્ર બિંદુ સીમાની નજીક પહોંચે છે તેમ તેમ અંતર્વેશન કાર્ય એક તીક્ષ્ણ શિખર વિકસાવે છે. પરિણામે, કર્નલો "લગભગ એકવચન" બની જાય છે અને તેની ચોક્કસ ગણતરી કરી શકાતી નથી. આ બીઇએમ-આધારિત પદ્ધતિઓમાં જોવા મળતી કહેવાતી સીમા સ્તરની અસર જેવી જ છે. સિંહ કાર્ય પર આધારિત બિનરેખીય પરિવર્તનનો ઉપયોગ લગભગ એકવચન કર્નલોના ઝડપી ફેરફારોને દૂર કરવા અથવા દૂર કરવા માટે કરી શકાય છે. પરિણામે, એસ. બી. એમ. માં મુશ્કેલીજનક સીમા સ્તરની અસરને સફળતાપૂર્વક દૂર કરવામાં આવી છે. આ પરિવર્તનનું અમલીકરણ સીધું છે અને તેને હાલના SBM કાર્યક્રમોમાં સરળતાથી સમાવી શકાય છે. અભ્યાસ કરાયેલ પરીક્ષણ સમસ્યાઓ માટે, જ્યારે ક્ષેત્ર બિંદુ અને સીમા વચ્ચેનું અંતર 1 જેટલું નાનું હોય ત્યારે પણ ખૂબ જ આશાસ્પદ પરિણામો પ્રાપ્ત થાય છે. એમ. એફ. એસ. અને બી. ઇ. એમ. જેવી મોટા પાયે સમસ્યાઓ, એસ. બી. એમ. ગાઢ ગુણાંક મેટ્રિસીસ ઉત્પન્ન કરશે, જેમની કામગીરીની ગણતરી અને મેટ્રિક્સ સમીકરણના નિર્માણ માટે મેમરીની જરૂરિયાતો ઓ (એન 2) ના ક્રમની હોય છે, જે મોટા પાયે સમસ્યાઓનું અનુકરણ કરવા માટે ગણતરીત્મક રીતે ખૂબ ખર્ચાળ છે. ફાસ્ટ મલ્ટિપોલ મેથડ (FMM) CPU સમય અને મેમરી જરૂરિયાત બંનેને O (N2) થી O (N) અથવા O (NlogN) સુધી ઘટાડી શકે છે. એફ. એમ. એમ. ની મદદથી, એસ. બી. એમ. ડેસ્કટોપ પર લાખો અજ્ઞાત લોકોની મોટા પાયે સમસ્યાનું સમાધાન કરવામાં સંપૂર્ણપણે સક્ષમ બની શકે છે. આ ઝડપી અલ્ગોરિધમ નાટકીય રીતે એસ. બી. એમ. ના લાગુ પડતા વિસ્તારને અગાઉ શક્ય હતી તેના કરતા ઘણી મોટી સમસ્યાઓ સુધી વિસ્તરે છે. મેશફ્રી પદ્ધતિઓ રેડિયલ બેસિસ ફંક્શન ટ્રેફ્ટઝ પદ્ધતિ સંદર્ભો બાહ્ય કડીઓ કર્નલ અંતર કાર્યો અને રેડિયલ બેસિસ કાર્યો એકવચન સીમા પદ્ધતિ આંકડાકીય વિશ્લેષણ આંકડાકીય વિભેદક સમીકરણો પણ જુઓ.