Patterns in nature
પ્રકૃતિમાં પેટર્ન એ કુદરતી વિશ્વમાં જોવા મળતી ફોર્મની દૃશ્યમાન નિયમિતતા છે. આ પેટર્ન વિવિધ સંદર્ભોમાં પુનરાવર્તિત થાય છે અને કેટલીકવાર ગાણિતિક રીતે મોડેલિંગ કરી શકાય છે. કુદરતી પેટર્નમાં સમપ્રમાણતા, વૃક્ષો, સર્પાકાર, મીન્ડર્સ, તરંગો, ફીણ, ટેસેલેશન, તિરાડો અને પટ્ટાઓનો સમાવેશ થાય છે. પ્રારંભિક ગ્રીક ફિલસૂફોએ પેટર્નનો અભ્યાસ કર્યો હતો, જેમાં પ્લેટો, પાયથાગોરસ અને એમ્પેડોકલ્સે પ્રકૃતિમાં ક્રમને સમજાવવાનો પ્રયાસ કર્યો હતો. દૃશ્યમાન પેટર્નની આધુનિક સમજણ સમય જતાં ધીમે ધીમે વિકસિત થઈ. 19મી સદીમાં, બેલ્જિયન ભૌતિકશાસ્ત્રી જોસેફ પ્લેટુએ સાબુની ફિલ્મોની તપાસ કરી હતી, જે તેમને ન્યૂનતમ સપાટીની વિભાવના ઘડવા તરફ દોરી ગઈ હતી. જર્મન જીવવિજ્ઞાની અને કલાકાર અર્ન્સ્ટ હેકલે તેમની સમપ્રમાણતા પર ભાર મૂકવા માટે સેંકડો દરિયાઈ સજીવોને રંગ્યા હતા. સ્કોટિશ જીવવિજ્ઞાની ડી 'આર્સી થોમ્પસને છોડ અને પ્રાણીઓ બંનેમાં વૃદ્ધિની પેટર્નના અભ્યાસની પહેલ કરી હતી, જે દર્શાવે છે કે સરળ સમીકરણો સર્પાકાર વૃદ્ધિને સમજાવી શકે છે. 20મી સદીમાં, બ્રિટિશ ગણિતશાસ્ત્રી એલન ટ્યુરિંગે મોર્ફોજેનેસિસની પદ્ધતિઓની આગાહી કરી હતી જે ફોલ્લીઓ અને પટ્ટાની પેટર્નને જન્મ આપે છે. હંગેરિયન જીવવિજ્ઞાની એરિસ્ટિડ લિન્ડેનમેયર અને ફ્રેન્ચ અમેરિકન ગણિતશાસ્ત્રી બેનોઇટ મેન્ડલબ્રોટે દર્શાવ્યું હતું કે અસ્થિભંગનું ગણિત કેવી રીતે છોડની વૃદ્ધિની પેટર્ન બનાવી શકે છે. ગણિત, ભૌતિકશાસ્ત્ર અને રસાયણશાસ્ત્ર વિવિધ સ્તરો અને ધોરણો પર પ્રકૃતિની પેટર્નને સમજાવી શકે છે. જીવંત વસ્તુઓમાં પેટર્ન કુદરતી પસંદગી અને જાતીય પસંદગીની જૈવિક પ્રક્રિયાઓ દ્વારા સમજાવવામાં આવે છે. પેટર્ન રચનાનો અભ્યાસ પેટર્નની વિશાળ શ્રેણીનું અનુકરણ કરવા માટે કમ્પ્યુટર મોડેલનો ઉપયોગ કરે છે. પ્રારંભિક ગ્રીક ફિલસૂફોએ આધુનિક વિભાવનાઓની ધારણા કરીને પ્રકૃતિમાં ક્રમને સમજાવવાનો પ્રયાસ કર્યો હતો. પાયથાગોરસ (ઇ. સ. 570) ઇ. સ. પૂર્વે 495) એ સંગીતની સુમેળ જેવી પ્રકૃતિની પેટર્નને સંખ્યામાંથી ઉદભવે છે તેવું સમજાવ્યું, જેને તેમણે અસ્તિત્વનો મૂળભૂત ઘટક માન્યો. એમ્પેડોકલ્સ (સી. 494-સી. 434 બી. સી.) એ અમુક હદ સુધી સજીવોની રચનાઓ માટે ડાર્વિનના ઉત્ક્રાંતિ સમજૂતીની ધારણા કરી હતી. પ્લેટો (ઇ. સ. 427) 347 બી. સી.) એ કુદરતી સાર્વત્રિક અસ્તિત્વ માટે દલીલ કરી હતી. તેમણે આને આદર્શ સ્વરૂપો (ઇડોસઃ "સ્વરૂપ") નો સમાવેશ થતો હોવાનું માન્યું હતું, જેમાં ભૌતિક પદાર્થો ક્યારેય અપૂર્ણ નકલો કરતાં વધુ હોતા નથી. આમ, ફૂલ આશરે ગોળાકાર હોઈ શકે છે, પરંતુ તે ક્યારેય સંપૂર્ણ વર્તુળ નથી. થિયોફ્રેસ્ટસ (ઇ. સ. 372) 287 બી. સી.) એ નોંધ્યું હતું કે "સપાટ પાંદડાવાળા છોડ નિયમિત શ્રેણીમાં હોય છે"; પ્લિની ધ એલ્ડર (23-79 AD) એ તેમની પેટર્નવાળી ગોળાકાર ગોઠવણીની નોંધ લીધી હતી. સદીઓ પછી, લિયોનાર્ડો દા વિન્સી (1452-1519) એ પાંદડાની પેટર્નની સર્પાકાર ગોઠવણીની નોંધ લીધી, કે વૃક્ષની થડ જેમ જેમ ઉંમર વધે છે તેમ તેમ ક્રમિક વીંટીઓ મેળવે છે, અને વૃક્ષ-શાખાઓના ક્રોસ-વિભાગીય વિસ્તારો દ્વારા કથિત રીતે સંતુષ્ટ એક નિયમ પ્રસ્તાવિત કર્યો. 1202 માં, લિયોનાર્ડો ફિબોનાકીએ તેમના પુસ્તક સાથે પશ્ચિમી વિશ્વમાં ફિબોનાકી શ્રેણીની રજૂઆત કરી હતી. ફિબોનાકીએ સસલાની આદર્શ વસ્તીના વિકાસ પર એક વિચાર પ્રયોગ રજૂ કર્યો. જોહાન્સ કેપ્લર (1571-1630) એ પ્રકૃતિમાં ફિબોનાકી ક્રમની હાજરી તરફ ધ્યાન દોર્યું, તેનો ઉપયોગ કેટલાક ફૂલોના પંચકોણીય સ્વરૂપને સમજાવવા માટે કર્યો. 1658માં, અંગ્રેજ ચિકિત્સક અને ફિલસૂફ સર થોમસ બ્રાઉને ધ ગાર્ડન ઓફ સાયરસમાં "કેવી રીતે નેચર જીઓમેટ્રિઝેથ" ની ચર્ચા કરી હતી, જેમાં પાયથાગોરિયન અંકશાસ્ત્રમાં 5 નંબર અને ક્વિનકુંક્સ પેટર્નના પ્લેટોનિક સ્વરૂપનો ઉલ્લેખ કરવામાં આવ્યો હતો. પ્રવચનના કેન્દ્રીય પ્રકરણમાં વનસ્પતિશાસ્ત્રમાં ક્વિનકુંક્સના ઉદાહરણો અને અવલોકનો દર્શાવવામાં આવ્યા છે. 1754માં, ચાર્લ્સ બોનેટે અવલોકન કર્યું હતું કે છોડના સર્પાકાર ફાયલોટૅક્સિસને ઘડિયાળની દિશામાં અને ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં સુવર્ણ ગુણોત્તર શ્રેણીમાં વારંવાર વ્યક્ત કરવામાં આવે છે. ફિલોટૅક્સિસના ગાણિતિક અવલોકનો કાર્લ ફ્રેડરિક શિમ્પર અને તેમના મિત્ર એલેક્ઝાન્ડર બ્રૌનના અનુક્રમે 1830 અને 1830ના કાર્ય સાથે અનુસરવામાં આવ્યા હતા; ઑગસ્ટે બ્રાવેસ અને તેમના ભાઈ લુઇએ 1837માં ફિલોટૅક્સિસ ગુણોત્તરને ફિબોનાકી ક્રમ સાથે જોડ્યો હતો, અને પાઇનકોન્સ અને અનાનસમાં તેના દેખાવની પણ નોંધ લીધી હતી. તેમના 1854 ના પુસ્તકમાં, જર્મન મનોવિજ્ઞાની એડોલ્ફ ઝેઇઝિંગે છોડના ભાગો, પ્રાણીઓના હાડપિંજર અને તેમની નસો અને ચેતાની શાખાઓની પેટર્ન તેમજ સ્ફટિકોમાં વ્યક્ત કરેલા સુવર્ણ ગુણોત્તરની શોધ કરી હતી. 19મી સદીમાં, બેલ્જિયન ભૌતિકશાસ્ત્રી જોસેફ પ્લેટુ (1801-1883) એ આપેલ સીમા સાથે ન્યૂનતમ સપાટીના અસ્તિત્વની ગાણિતિક સમસ્યા ઘડી હતી, જેનું નામ હવે તેમના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે. તેમણે સાબુની ફિલ્મોનો સઘન અભ્યાસ કર્યો, પ્લેટુના નિયમો ઘડ્યાં જે ફીણમાં ફિલ્મો દ્વારા રચાયેલી રચનાઓનું વર્ણન કરે છે. લોર્ડ કેલ્વિને 1887 માં ફીણ તરીકે સમાન કદના કોષોને પેક કરવાની સૌથી કાર્યક્ષમ રીતની સમસ્યાને ઓળખી કાઢી હતી; તેમના દ્રાવણમાં માત્ર એક ઘનનો ઉપયોગ થાય છે, જે પ્લેટુના નિયમોને પહોંચી વળવા માટે ખૂબ જ સહેજ વક્ર ચહેરાઓ સાથે બિટ્રન્કેટેડ ક્યુબિક હનીકોમ્બ છે. 1993 સુધી કોઈ વધુ સારો ઉકેલ મળ્યો ન હતો જ્યારે ડેનિસ વેયર અને રોબર્ટ ફેલને વેયર-ફેલાન માળખાની દરખાસ્ત કરી હતી; બેઇજિંગ નેશનલ એક્વેટિક્સ સેન્ટરે 2008 સમર ઓલિમ્પિક્સમાં તેમની બાહ્ય દિવાલ માટે માળખાને અનુકૂલિત કર્યું હતું. અર્ન્સ્ટ હેકલે (1834-1919) દરિયાઇ સજીવોના સુંદર ચિત્રો દોર્યા, ખાસ કરીને રેડિયોલેરિયા, ઉત્ક્રાંતિના તેમના ખોટા-ડાર્વિનિયન સિદ્ધાંતોને ટેકો આપવા માટે તેમની સમપ્રમાણતા પર ભાર મૂક્યો. અમેરિકન ફોટોગ્રાફર વિલ્સન બેન્ટલીએ 1885માં સ્નોફ્લેકનો પ્રથમ માઇક્રોગ્રાફ લીધો હતો. 20મી સદીમાં, એ. એચ. ચર્ચે તેમના 1904ના પુસ્તકમાં ફાયલોટેક્સિસની પેટર્નનો અભ્યાસ કર્યો હતો. 1917માં, ડી 'આર્સી વેન્ટવર્થ થોમ્પસને ઓન ગ્રોથ એન્ડ ફોર્મ પ્રકાશિત કર્યું; તેમના ફાયલોટેક્સિસ અને ફિબોનાકી ક્રમનું વર્ણન, છોડની સર્પાકાર વૃદ્ધિની પેટર્નમાં ગાણિતિક સંબંધો દર્શાવે છે કે સરળ સમીકરણો પ્રાણીઓના શિંગડા અને મોલસ્ક શેલની સર્પાકાર વૃદ્ધિની પેટર્નનું વર્ણન કરી શકે છે. 1952માં કોમ્પ્યુટર વૈજ્ઞાનિક એલન ટ્યુરિંગે (1912-1954) મોર્ફોજેનેસિસ નામની પ્રક્રિયામાં જીવંત સજીવોમાં પેટર્ન બનાવવા માટે જરૂરી પદ્ધતિઓનું વિશ્લેષણ 'ધ કેમિકલ બેસિસ ઓફ મોર્ફોજેનેસિસ' લખ્યું હતું. તેમણે ઓસિલેટિંગ રાસાયણિક પ્રતિક્રિયાઓની આગાહી કરી હતી, ખાસ કરીને બેલોસોવ-ઝાબોટિન્સ્કી પ્રતિક્રિયા. આ સક્રિયક-અવરોધક પદ્ધતિઓ, ટ્યુરિંગે સૂચવ્યું હતું કે, પ્રાણીઓમાં પટ્ટાઓ અને ફોલ્લીઓની પેટર્ન (જેને "ટ્યુરિંગ પેટર્ન" તરીકે ઓળખવામાં આવે છે) પેદા કરી શકે છે, અને પ્લાન્ટ ફીલોટેક્સિસમાં જોવા મળતી સર્પાકાર પેટર્નમાં ફાળો આપે છે. 1968 માં, હંગેરિયન સૈદ્ધાંતિક જીવવિજ્ઞાની એરિસ્ટિડ લિન્ડેનમેયર (1925-1989) એ એલ-સિસ્ટમ વિકસાવી, જે એક ઔપચારિક વ્યાકરણ છે જેનો ઉપયોગ અસ્થિભંગની શૈલીમાં છોડની વૃદ્ધિની પેટર્નનું મોડેલ બનાવવા માટે થઈ શકે છે. એલ-સિસ્ટમોમાં પ્રતીકોની મૂળાક્ષરો હોય છે જેને પ્રતીકોના મોટા તાર બનાવવા માટે ઉત્પાદન નિયમોનો ઉપયોગ કરીને જોડી શકાય છે, અને પેદા કરેલા તારને ભૌમિતિક માળખામાં અનુવાદિત કરવાની પદ્ધતિ છે. 1975માં, ગોટફ્રીડ લીબનીઝ, જ્યોર્જ કેન્ટોર, હેલ્જ વોન કોચ, વાક્લો સિયેરપીન્સ્કી અને અન્ય લોકો દ્વારા પેટર્નના ગણિતના સદીઓના ધીમા વિકાસ પછી, બેનોઇટ મેન્ડેલબ્રોટે એક પ્રખ્યાત પેપર લખ્યું, બ્રિટનનો દરિયાકિનારો કેટલો લાંબો છે? આંકડાકીય સ્વ-સમાનતા અને અપૂર્ણાંક પરિમાણ, ફ્રેક્ટલના ખ્યાલમાં ગાણિતિક વિચારને સ્ફટિકીકૃત કરે છે. ઓર્કિડ, હમીંગબર્ડ અને મોરની પૂંછડી જેવી જીવંત વસ્તુઓમાં ફોર્મ, પેટર્ન અને રંગની સુંદરતા સાથે અમૂર્ત ડિઝાઇન હોય છે જેને મેચ કરવા માટે કલાકારો સંઘર્ષ કરે છે. લોકો પ્રકૃતિમાં જે સુંદરતા અનુભવે છે તે વિવિધ સ્તરે કારણો ધરાવે છે, ખાસ કરીને ગણિતમાં જે શારીરિક રીતે કઈ પેટર્ન બનાવી શકે છે તેનું સંચાલન કરે છે, અને કુદરતી પસંદગીની અસરોમાં જીવંત વસ્તુઓમાં, જે પેટર્ન કેવી રીતે વિકસિત થાય છે તેનું સંચાલન કરે છે. ગણિત તમામ પ્રકારની અમૂર્ત પદ્ધતિઓ અથવા નિયમિતતાઓને શોધવા અને સમજાવવા માંગે છે. પ્રકૃતિમાં દ્રશ્ય પેટર્ન અંધાધૂંધી સિદ્ધાંત, ફ્રેક્ટલ્સ, લઘુગણક સર્પાકાર, ટોપોલોજી અને અન્ય ગાણિતિક પેટર્નમાં સ્પષ્ટતા શોધે છે. ઉદાહરણ તરીકે, એલ-પ્રણાલીઓ વૃક્ષની વૃદ્ધિની વિવિધ પેટર્નના ભરોસાપાત્ર નમૂના બનાવે છે. ભૌતિકશાસ્ત્રના નિયમો ગણિતના અમૂર્તને વાસ્તવિક દુનિયામાં લાગુ કરે છે, ઘણીવાર જાણે કે તે સંપૂર્ણ હોય. ઉદાહરણ તરીકે, સ્ફટિક ત્યારે સંપૂર્ણ હોય છે જ્યારે તેમાં અવ્યવસ્થા જેવી કોઈ માળખાકીય ખામી ન હોય અને તે સંપૂર્ણપણે સમપ્રમાણ હોય. ચોક્કસ ગાણિતિક પૂર્ણતા માત્ર વાસ્તવિક વસ્તુઓનો અંદાજ લગાવી શકે છે. પ્રકૃતિમાં દૃશ્યમાન પેટર્ન ભૌતિક નિયમો દ્વારા સંચાલિત થાય છે; ઉદાહરણ તરીકે, મીન્ડર્સને પ્રવાહી ગતિશીલતાનો ઉપયોગ કરીને સમજાવી શકાય છે. જીવવિજ્ઞાનમાં, કુદરતી પસંદગી ઘણા કારણોસર જીવંત વસ્તુઓમાં પેટર્નના વિકાસનું કારણ બની શકે છે, જેમાં છદ્માવરણ, જાતીય પસંદગી અને અનુકરણ અને સહજીવનની સફાઈ સહિત વિવિધ પ્રકારના સંકેતો સામેલ છે. છોડમાં, મધમાખી જેવા જંતુઓને આકર્ષવા માટે લિલી જેવા જંતુ-પરાગાધાનવાળા ફૂલોના આકાર, રંગ અને પેટર્ન વિકસિત થયા છે. રંગો અને પટ્ટાના રેડિયલ પેટર્ન, જે ફક્ત અલ્ટ્રાવાયોલેટ પ્રકાશમાં જ દેખાય છે તે અમૃત માર્ગદર્શિકા તરીકે કામ કરે છે જે દૂરથી જોઈ શકાય છે. પેટર્નના પ્રકારો સમપ્રમાણતા જીવંત વસ્તુઓમાં વ્યાપક છે. પ્રાણીઓમાં મુખ્યત્વે દ્વિપક્ષી અથવા અરીસાની સમપ્રમાણતા હોય છે, જેમ કે છોડના પાંદડા અને ઓર્કિડ જેવા કેટલાક ફૂલો. ઘણા ફૂલો અને દરિયાઈ એનેમોન જેવા પ્રાણીઓના કેટલાક જૂથોની જેમ છોડમાં ઘણીવાર રેડિયલ અથવા રોટેશનલ સમપ્રમાણતા હોય છે. પંચગુણ સમપ્રમાણતા ઇચિનોડર્મ્સમાં જોવા મળે છે, જે જૂથમાં સ્ટારફિશ, દરિયાઈ અર્ચિન અને દરિયાઈ લિલીનો સમાવેશ થાય છે. નિર્જીવ વસ્તુઓમાં, સ્નોવફ્લેક્સ છ ગણી સમપ્રમાણતા ધરાવે છે; દરેક ફ્લેકનું માળખું તેના સ્ફટિકીકરણ દરમિયાન વિવિધ પરિસ્થિતિઓનો રેકોર્ડ બનાવે છે, જેમાં તેના છ હાથમાંથી દરેક પર વૃદ્ધિની લગભગ સમાન પેટર્ન હોય છે. સામાન્ય રીતે સ્ફટિકોમાં વિવિધ પ્રકારની સમપ્રમાણતા અને સ્ફટિકની આદતો હોય છે; તેઓ ઘન અથવા અષ્ટતલ હોઈ શકે છે, પરંતુ સાચા સ્ફટિકોમાં પાંચ ગણી સમપ્રમાણતા ન હોઈ શકે (ક્વાસિક્રિસ્ટલ્સથી વિપરીત). બિન-જીવંત વસ્તુઓમાં પરિભ્રમણ સમપ્રમાણતા વિવિધ સ્કેલ પર જોવા મળે છે, જેમાં તળાવમાં એક ટીપું પડે ત્યારે રચાયેલી તાજ આકારની સ્પ્લેશ પેટર્ન અને શનિ જેવા ગ્રહના ગોળાકાર આકાર અને વીંટીઓ બંનેનો સમાવેશ થાય છે. સમપ્રમાણતાના વિવિધ કારણો છે. રેડિયલ સમપ્રમાણતા દરિયાઈ એનેમોન્સ જેવા સજીવોને અનુકૂળ છે જેમના પુખ્ત વયના લોકો હલનચલન કરતા નથીઃ ખોરાક અને ધમકીઓ કોઈપણ દિશાથી આવી શકે છે. પરંતુ જે પ્રાણીઓ એક દિશામાં આગળ વધે છે તેમની ઉપરની અને નીચેની બાજુઓ, માથા અને પૂંછડીના છેડા હોય છે, અને તેથી ડાબી અને જમણી બાજુ હોય છે. માથું મોં અને ઇન્દ્રિય અંગો (સેફલાઈઝેશન) સાથે વિશિષ્ટ બને છે, અને શરીર દ્વિપક્ષી રીતે સપ્રમાણ બને છે (જોકે આંતરિક અવયવો હોવા જરૂરી નથી). ઇચિનોડર્મ્સની પાંચ ગણી (પેન્ટારેડિએટ) સમપ્રમાણતાનું કારણ વધુ ગૂંચવણભર્યું છે. પ્રારંભિક ઇચિનોડર્મ્સ દ્વિપક્ષી રીતે સમપ્રમાણતાવાળા હતા, જેમ કે તેમના લાર્વા હજુ પણ છે. સુમરલ અને રે દલીલ કરે છે કે જૂની સમપ્રમાણતાના નુકસાનમાં વિકાસલક્ષી અને પર્યાવરણીય બંને કારણો હતા. વૃક્ષો, અસ્થિભંગ વૃક્ષોની શાખાઓની રીતનું વર્ણન લિયોનાર્ડો દા વિન્સી દ્વારા ઇટાલિયન પુનરુજ્જીવનમાં કરવામાં આવ્યું હતું. એ ટ્રીટાઇઝ ઓન પેઈન્ટિંગમાં તેમણે જણાવ્યું હતું કેઃ એક વૃક્ષની બધી શાખાઓ તેની ઊંચાઈના દરેક તબક્કે જ્યારે એકસાથે મૂકવામાં આવે છે ત્યારે તે [તેમની નીચે] થડની જાડાઈમાં સમાન હોય છે. વધુ સામાન્ય સંસ્કરણ જણાવે છે કે જ્યારે મૂળ શાખા બે અથવા વધુ બાળક શાખાઓમાં વિભાજિત થાય છે, ત્યારે બાળક શાખાઓના સપાટીના વિસ્તાર મૂળ શાખા સુધી ઉમેરે છે. એક સમકક્ષ રચના એ છે કે જો મૂળ શાખા બે બાળક શાખાઓમાં વિભાજિત થાય છે, તો પછી પિતૃ અને બે બાળક શાખાઓના ક્રોસ-વિભાગીય વ્યાસ જમણા-કોણીય ત્રિકોણ બનાવે છે. એક સમજૂતી એ છે કે આ વૃક્ષોને ભારે પવનનો વધુ સારી રીતે સામનો કરવાની મંજૂરી આપે છે. બાયોમિકેનિકલ મોડેલોના સિમ્યુલેશન આ નિયમ સાથે સહમત થાય છે. ફ્રેક્ટલ્સ અનંત સ્વ-સમાન છે, ફ્રેક્ટલ પરિમાણ ધરાવતી પુનરાવર્તિત ગાણિતિક રચનાઓ છે. અનંત પુનરાવર્તન પ્રકૃતિમાં શક્ય નથી તેથી તમામ 'ફ્રેક્ટલ' પેટર્ન માત્ર અંદાજિત છે. ઉદાહરણ તરીકે, ફર્ન અને અમ્બેલિફર્સ (એપિયાસી) ના પાંદડા 2,3 અથવા 4 સ્તરો સુધી માત્ર સ્વ-સમાન (પિનેટ) હોય છે. ફર્ન જેવી વૃદ્ધિની પેટર્ન છોડમાં અને પ્રાણીઓમાં જોવા મળે છે જેમાં બ્રાયોઝોઆ, પરવાળા, હાઇડ્રોઝોઆ જેવા કે એર ફર્ન, સર્ટુલેરિયા આર્જેન્ટીયા અને નિર્જીવ વસ્તુઓમાં, ખાસ કરીને વિદ્યુત વિસર્જિત થાય છે. લિન્ડેનમેયર સિસ્ટમ ફ્રેક્ટલ્સ શાખા કોણ, ગાંઠો અથવા શાખા બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર (ઇન્ટર્નોડની લંબાઈ) અને શાખા બિંદુ દીઠ શાખાઓની સંખ્યા સહિત નાના પરિમાણોમાં ફેરફાર કરીને વૃક્ષની વૃદ્ધિની વિવિધ પેટર્નનું મોડેલ બનાવી શકે છે. ફ્રેક્ટલ જેવી પેટર્ન પ્રકૃતિમાં વાદળો, નદી નેટવર્ક, ભૂસ્તરીય ફોલ્ટ રેખાઓ, પર્વતો, દરિયાકિનારા, પ્રાણીઓનો રંગ, બરફના ટુકડા, સ્ફટિકો, રક્ત વાહિનીની શાખાઓ, પુર્કિંજે કોષો, એક્ટિન સાયટોસ્કેલેટન અને દરિયાઈ તરંગો જેવી વિવિધ ઘટનાઓમાં વ્યાપકપણે જોવા મળે છે. સર્પાકાર સર્પાકાર છોડમાં અને કેટલાક પ્રાણીઓમાં, ખાસ કરીને મોલસ્કમાં સામાન્ય છે. ઉદાહરણ તરીકે, નોટિલસ, એક સેફાલોપોડ મોલસ્કમાં, તેના શેલનો દરેક ચેમ્બર આગામીની અંદાજિત નકલ છે, જે સતત પરિબળ દ્વારા માપવામાં આવે છે અને લઘુગણક સર્પાકારમાં ગોઠવાય છે. અસ્થિભંગની આધુનિક સમજણને જોતાં, વૃદ્ધિ સર્પાકારને સ્વ-સમાનતાના વિશેષ કેસ તરીકે જોઈ શકાય છે. છોડના સર્પાકારને ફીલોટેક્સિસમાં જોઈ શકાય છે, દાંડી પરના પાંદડાઓની ગોઠવણી, અને અન્ય ભાગોની ગોઠવણીમાં (પેરાસ્ટીચી) જેમ કે સંયુક્ત ફૂલના માથા અને સૂર્યમુખી જેવા બીજના માથા અથવા અનાનસ અને સાપના ફળ જેવા ફળોના માળખામાં, તેમજ પાઇન શંકુમાં ભીંગડાઓની પેટર્નમાં, જ્યાં બહુવિધ સર્પાકાર ઘડિયાળની દિશામાં અને ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં ચાલે છે. આ વ્યવસ્થાઓમાં વિવિધ સ્તરો પર સમજૂતીઓ છે-ગણિત, ભૌતિકશાસ્ત્ર, રસાયણશાસ્ત્ર, જીવવિજ્ઞાન-દરેક વ્યક્તિગત રીતે સાચું છે, પરંતુ બધા એકસાથે જરૂરી છે. ફાઇલોટેક્સિસ સર્પાકાર ફિબોનાકી ગુણોત્તરમાંથી પેદા કરી શકાય છેઃ ફિબોનાકી ક્રમ 1,1,2,3,5,8,13 ચાલે છે. (દરેક અનુગામી સંખ્યા અગાઉની બે સંખ્યાઓનો સરવાળો છે). ઉદાહરણ તરીકે, જ્યારે પાંદડાઓ દાંડીને વૈકલ્પિક કરે છે, ત્યારે સર્પાકારનું એક પરિભ્રમણ બે પાંદડાઓને સ્પર્શે છે, તેથી પેટર્ન અથવા ગુણોત્તર 1/2 છે. હેઝલમાં ગુણોત્તર 1/3 છે; જરદાળુમાં તે 2/5 છે; નાશપતીમાં તે 3/8 છે; બદામમાં તે 5/13 છે. સૂર્યમુખી અને ડેઝીની જેમ ડિસ્ક ફીલોટેક્સિસમાં, ફ્લોરેટ્સને ફર્મેટના સર્પાકાર સાથે ગોઠવવામાં આવે છે, પરંતુ આ છૂપાવવામાં આવે છે કારણ કે ક્રમિક ફ્લોરેટ્સ સુવર્ણ ખૂણા દ્વારા, 137.508 ° (વર્તુળને સુવર્ણ ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે) દ્વારા દૂર અંતરે હોય છે; જ્યારે ફ્લાવરહેડ પરિપક્વ હોય છે જેથી તમામ ઘટકો સમાન કદના હોય, ત્યારે આ અંતર વધુ સ્પષ્ટ સર્પાકારની ફિબોનાકી સંખ્યા બનાવે છે. ભૌતિકશાસ્ત્રના દૃષ્ટિકોણથી, સર્પાકાર એ સૌથી ઓછી-ઊર્જા રૂપરેખાંકનો છે જે ગતિશીલ પ્રણાલીઓમાં સ્વ-સંગઠિત પ્રક્રિયાઓ દ્વારા સ્વયંભૂ ઉભરી આવે છે. રસાયણશાસ્ત્રના દૃષ્ટિકોણથી, પ્રતિક્રિયા-પ્રસરણ પ્રક્રિયા દ્વારા સર્પાકાર પેદા કરી શકાય છે, જેમાં સક્રિયકરણ અને અવરોધ બંનેનો સમાવેશ થાય છે. ફાયલોટેક્સિસ પ્રોટીન દ્વારા નિયંત્રિત થાય છે જે પ્લાન્ટ હોર્મોન ઓક્સિનની સાંદ્રતામાં હેરફેર કરે છે, જે સ્ટેમની આસપાસના કળીઓના સંબંધિત ખૂણાને નિયંત્રિત કરવા માટે અન્ય પદ્ધતિઓ સાથે મેરિસ્ટેમ વૃદ્ધિને સક્રિય કરે છે. જૈવિક દ્રષ્ટિકોણથી, કોઈપણ જગ્યામાં શક્ય હોય ત્યાં સુધી પાંદડાઓને ગોઠવવાની કુદરતી પસંદગી દ્વારા તરફેણ કરવામાં આવે છે કારણ કે તે સંસાધનો, ખાસ કરીને પ્રકાશસંશ્લેષણ માટે સૂર્યપ્રકાશની મહત્તમ પહોંચ આપે છે. ગણિતમાં, ગતિશીલ પ્રણાલી જો પ્રારંભિક પરિસ્થિતિઓ (કહેવાતી "બટરફ્લાય ઇફેક્ટ") પ્રત્યે (અત્યંત) સંવેદનશીલ હોય તો તે અસ્તવ્યસ્ત હોય છે, જેમાં ટોપોલોજીકલ મિશ્રણ અને ગાઢ સામયિક ભ્રમણકક્ષાઓના ગાણિતિક ગુણધર્મોની જરૂર પડે છે. ફ્રેક્ટલ્સની સાથે, અંધાધૂંધી સિદ્ધાંત પ્રકૃતિમાં પેટર્ન પર અનિવાર્યપણે સાર્વત્રિક પ્રભાવ તરીકે સ્થાન ધરાવે છે. અંધાધૂંધી અને અસ્થિભંગ વચ્ચે સંબંધ છે-અસ્તવ્યસ્ત પ્રણાલીઓમાં વિચિત્ર આકર્ષણો અસ્થિભંગ પરિમાણ ધરાવે છે. કેટલાક સેલ્યુલર ઓટોમેટા, ગાણિતિક નિયમોના સરળ સમૂહો કે જે પેટર્ન ઉત્પન્ન કરે છે, તેમાં અસ્તવ્યસ્ત વર્તન હોય છે, ખાસ કરીને સ્ટીફન વોલ્ફ્રેમના નિયમ 30. વોર્ટેક્સ સ્ટ્રીટ્સ એ ફરતા વોર્ટીસની વાંકીચૂંકી પેટર્ન છે જે અવરોધક પદાર્થો પર પ્રવાહી, મોટેભાગે હવા અથવા પાણીના પ્રવાહના અસ્થિર વિભાજન દ્વારા બનાવવામાં આવે છે. જ્યારે અવરોધનું કદ અથવા પ્રવાહનો વેગ પ્રવાહીની સ્નિગ્ધતાની તુલનામાં પૂરતો મોટો થઈ જાય છે ત્યારે સરળ (લેમિનાર) પ્રવાહ તૂટી જવાનું શરૂ કરે છે. મીન્ડર્સ નદીઓ અથવા અન્ય નહેરોમાં પાતળા વળાંક છે, જે પ્રવાહી તરીકે રચાય છે, મોટેભાગે પાણી, વળાંકની આસપાસ વહે છે. જેમ જેમ રસ્તો થોડો વળાંકવાળો બને છે, તેમ તેમ દરેક વળાંકનું કદ અને વળાંક વધે છે કારણ કે હેલિકલ પ્રવાહ રેતી અને કાંકરી જેવી સામગ્રીને નદીની અંદર વળાંકની અંદર ખેંચે છે. લૂપની બહારની બાજુને સ્વચ્છ અને અસુરક્ષિત છોડી દેવામાં આવે છે, તેથી ધોવાણ ઝડપી બને છે, જે શક્તિશાળી હકારાત્મક પ્રતિસાદ લૂપમાં મીન્ડરિંગને વધુ વધારે છે. તરંગો, ટેકરાઓ તરંગો એ વિક્ષેપ છે જે ગતિ કરતી વખતે ઊર્જા વહન કરે છે. યાંત્રિક તરંગો મધ્યમ-હવા અથવા પાણી દ્વારા પ્રસરે છે, જેનાથી તેઓ પસાર થતાં તે દોલન કરે છે. પવન તરંગો એ દરિયાની સપાટીના તરંગો છે જે પાણીના કોઈપણ મોટા ભાગની લાક્ષણિક અસ્તવ્યસ્ત પેટર્ન બનાવે છે, જો કે તેમની આંકડાકીય વર્તણૂકની આગાહી પવન તરંગના નમૂનાઓ દ્વારા કરી શકાય છે. જેમ જેમ પાણી અથવા પવનમાં તરંગો રેતી પરથી પસાર થાય છે, તેમ તેમ તેઓ તરંગોની પેટર્ન બનાવે છે. જ્યારે પવન રેતીના મોટા ભાગો પર ફૂંકાય છે, ત્યારે તેઓ ટેકરા બનાવે છે, કેટલીકવાર તકલામાકન રણની જેમ વ્યાપક ઢગલાના ક્ષેત્રોમાં. ડ્યૂન્સ અર્ધચંદ્રાકાર, ખૂબ લાંબી સીધી રેખાઓ, તારાઓ, ગુંબજો, પેરાબોલાસ અને સમાંતર અથવા સીફ ('તલવાર') આકારો સહિત વિવિધ પેટર્ન બનાવી શકે છે. બાર્ચન્સ અથવા અર્ધચંદ્રાકાર ટેકરાઓ રણની રેતી પર કામ કરતા પવન દ્વારા ઉત્પન્ન થાય છે; અર્ધચંદ્રાકારના બે શિંગડા અને સ્લિપ ફેસ ડાઉનવિન્ડ નિર્દેશ કરે છે. રેતી ઉપરના પવનની સપાટી પર ફૂંકાય છે, જે આડી સપાટીથી લગભગ 15 ડિગ્રી પર ઊભી હોય છે, અને સ્લિપ સપાટી પર પડે છે, જ્યાં તે રેતીના આરામના ખૂણા સુધી એકઠી થાય છે, જે લગભગ 35 ડિગ્રી હોય છે. જ્યારે કાપલીનો ચહેરો આરામના ખૂણા કરતાં વધી જાય છે, ત્યારે રેતીનું હિમપ્રપાત થાય છે, જે એક બિનરેખીય વર્તણૂક છેઃ ઘણી ઓછી માત્રામાં રેતીના ઉમેરાથી કંઈ ખાસ થતું નથી, પરંતુ પછી વધુ નાની માત્રાનો ઉમેરો અચાનક મોટી માત્રામાં હિમપ્રપાતનું કારણ બને છે. આ બિનરેખીયતા ઉપરાંત, બાર્ચન એકાંત તરંગોની જેમ વર્તે છે. પરપોટા, ફીણ સાબુનો પરપોટો એક ગોળા બનાવે છે, જે ન્યૂનતમ વિસ્તાર (ન્યૂનતમ સપાટી) ધરાવતી સપાટી છે-બંધ વોલ્યુમ માટે શક્ય તેટલો સૌથી નાનો સપાટી વિસ્તાર છે. બે પરપોટા એકસાથે વધુ જટિલ આકાર બનાવે છેઃ બંને પરપોટાની બાહ્ય સપાટીઓ ગોળાકાર હોય છે; આ સપાટીઓ ત્રીજી ગોળાકાર સપાટી દ્વારા જોડાયેલી હોય છે કારણ કે નાના પરપોટા સહેજ મોટા પરપોટા સાથે જોડાય છે. ફીણ એ પરપોટાનો સમૂહ છે; વિવિધ સામગ્રીના ફીણ પ્રકૃતિમાં જોવા મળે છે. સાબુની ફિલ્મથી બનેલા ફીણ ઉચ્ચપ્રદેશના નિયમોનું પાલન કરે છે, જેમાં દરેક ધાર પર 120° પર ત્રણ સાબુની ફિલ્મ અને લગભગ 109.5 ° ના ચતુષ્કોણીય ખૂણા પર દરેક શિરોબિંદુ પર ચાર સાબુની ધાર મળવાની જરૂર પડે છે. ઉચ્ચપ્રદેશના નિયમો અનુસાર ફિલ્મો સરળ અને સતત હોવી જરૂરી છે, અને દરેક બિંદુ પર સતત સરેરાશ વળાંક હોવો જરૂરી છે. ઉદાહરણ તરીકે, ફિલ્મ એક દિશામાં ઉપર વળાંક લઈને (જેમ કે, ડાબેથી જમણે) અને બીજી દિશામાં નીચે તરફ વળાંક લઈને (જેમ કે, આગળથી પાછળ) સરેરાશ લગભગ સપાટ રહી શકે છે. ન્યૂનતમ સપાટીઓ ધરાવતી રચનાઓનો ઉપયોગ તંબુ તરીકે થઈ શકે છે. જીવંત કોષોના સ્કેલ પર, ફીણની પેટર્ન સામાન્ય છે; રેડિયોલેરિયનો, સ્પોન્જ સ્પિક્યુલ્સ, સિલિકોફ્લેજલેટ એક્સોસ્કેલેટન્સ અને દરિયાઈ અર્ચિનનું કેલ્સાઇટ હાડપિંજર, સિડારિસ રુગોસા, બધા ઉચ્ચપ્રદેશની ફીણની સરહદોના ખનિજ કાસ્ટ જેવા હોય છે. રેડિયોલેરિયનનું હાડપિંજર, અર્ન્સ્ટ હેકેલ દ્વારા દોરવામાં આવેલું એક સુંદર દરિયાઈ સ્વરૂપ, ઓલોનિયા હેક્સાગોના, એવું લાગે છે કે તે સંપૂર્ણપણે ષટ્કોણોથી બનેલો ગોળા છે, પરંતુ આ ગાણિતિક રીતે અશક્ય છે. યુલર લાક્ષણિકતા જણાવે છે કે કોઈપણ બહિર્મુખ પોલિહેડ્રોન માટે, ચહેરાઓની સંખ્યા વત્તા શિરોબિંદુઓની સંખ્યા (ખૂણાઓ) એ ધારની સંખ્યા વત્તા બે જેટલી હોય છે. આ સૂત્રનું પરિણામ એ છે કે ષટ્કોણના કોઈપણ બંધ પોલિહેડ્રોનમાં બરાબર 12 પેન્ટાગોનનો સમાવેશ થવો જોઈએ, જેમ કે સોકર બોલ, બકમિન્સ્ટર ફુલર જીઓડેસિક ડોમ અથવા ફુલરીન પરમાણુ. ષટ્કોણની જાળી ચિકન વાયરની શીટની જેમ સપાટ હોય છે તેની નોંધ લઈને આની કલ્પના કરી શકાય છે, પરંતુ દરેક પંચકોણ જે ઉમેરવામાં આવે છે તે જાળીને વાળવા માટે દબાણ કરે છે (ત્યાં ઓછા ખૂણા હોય છે, તેથી જાળી અંદર ખેંચાય છે). ટેસેલેશન એ સપાટ સપાટી પર ટાઇલ્સનું પુનરાવર્તન કરીને રચાયેલી પેટર્ન છે. ટિલિંગના 17 વોલપેપર જૂથો છે. કલા અને ડિઝાઇનમાં સામાન્ય હોવા છતાં, જીવંત વસ્તુઓમાં બરાબર પુનરાવર્તિત ઝુકાવ શોધવાનું ઓછું સરળ છે. સામાજિક ભમરીઓના કાગળના માળાઓમાંના કોષો અને મધમાખીઓ દ્વારા બનાવવામાં આવેલા હનીકોમ્બમાં મીણના કોષો જાણીતા ઉદાહરણો છે. પ્રાણીઓમાં, હાડકાની માછલી, સરીસૃપ અથવા પેંગોલિન, અથવા સલાક જેવા ફળો ઓવરલેપિંગ સ્કેલ અથવા ઓસ્ટીઓડર્મ્સ દ્વારા સુરક્ષિત છે, આ વધુ કે ઓછા બરાબર પુનરાવર્તિત એકમો બનાવે છે, જો કે ઘણીવાર સ્કેલ હકીકતમાં કદમાં સતત બદલાય છે. ફૂલોમાં, સાપનું માથું ફ્રિટિલરી, ફ્રિટિલેરિયા મેલીગ્રીસ, તેમની પાંખડીઓ પર ટેસેલેટેડ ચેકબોર્ડ પેટર્ન ધરાવે છે. ખનિજોની રચનાઓ ત્રિ-પરિમાણીય શ્રેણીઓનું નિયમિત પુનરાવર્તન કરવાના સારા ઉદાહરણો પૂરા પાડે છે. હજારો જાણીતા ખનીજ હોવા છતાં, સ્ફટિકમાં અણુઓની ગોઠવણીના થોડા સંભવિત પ્રકારો છે, જે સ્ફટિક માળખું, સ્ફટિક પ્રણાલી અને બિંદુ જૂથ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે; ઉદાહરણ તરીકે, ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં 7 જાળી પ્રણાલીઓ માટે બરાબર 14 બ્રેવિસ જાળીઓ છે. તિરાડો એ રેખીય છિદ્રો છે જે તણાવ દૂર કરવા માટે સામગ્રીમાં રચાય છે. જ્યારે સ્થિતિસ્થાપક સામગ્રી એકસરખી રીતે ખેંચાય છે અથવા સંકોચાય છે, ત્યારે તે આખરે તેની તૂટવાની શક્તિ સુધી પહોંચે છે અને પછી બધી દિશાઓમાં અચાનક નિષ્ફળ જાય છે, 120 ડિગ્રી સાંધા સાથે તિરાડો બનાવે છે, તેથી ત્રણ તિરાડો નોડ પર મળે છે. તેનાથી વિપરીત, જ્યારે અસ્થિર સામગ્રી નિષ્ફળ જાય છે, ત્યારે તણાવ દૂર કરવા માટે સીધી તિરાડો રચાય છે. તે જ દિશામાં વધુ દબાણ પછી ફક્ત હાલની તિરાડોને ખોલશે; જમણા ખૂણા પર તણાવ જૂની તિરાડો માટે 90 ડિગ્રી પર નવી તિરાડો બનાવી શકે છે. આમ તિરાડોની પેટર્ન સૂચવે છે કે સામગ્રી સ્થિતિસ્થાપક છે કે નહીં. ઓક વૃક્ષની છાલ જેવી સખત તંતુમય સામગ્રીમાં, હંમેશની જેમ તણાવ દૂર કરવા માટે તિરાડો રચાય છે, પરંતુ તેઓ લાંબા સમય સુધી વધતા નથી કારણ કે તેમની વૃદ્ધિ મજબૂત સ્થિતિસ્થાપક રેસાના બંડલ દ્વારા વિક્ષેપિત થાય છે. વૃક્ષની દરેક પ્રજાતિનું કોષ અને અણુઓના સ્તરે પોતાનું માળખું હોવાથી, દરેકની તેની છાલમાં વિભાજનની પોતાની પેટર્ન હોય છે. સ્થાનો, પટ્ટાઓ ચિત્તા અને લેડીબર્ડ જોવા મળે છે; એન્જલફિશ અને ઝેબ્રા પટ્ટાવાળા હોય છે. આ પેટર્નમાં ઉત્ક્રાંતિવાદી સમજૂતી છેઃ તેમની પાસે એવા કાર્યો છે જે પેટર્નવાળા પ્રાણીના સંતાનો પ્રજનન માટે ટકી રહેવાની શક્યતા વધારે છે. પ્રાણીઓની પેટર્નનું એક કાર્ય છદ્માવરણ છે; દાખલા તરીકે, એક ચિત્તો જે જોવાનું મુશ્કેલ છે તે વધુ શિકાર પકડે છે. બીજું કાર્ય સંકેત આપવાનું છે-દાખલા તરીકે, જો તેમાં કડક ચેતવણીના રંગો હોય, અને તે અપ્રિય રીતે કડવું અથવા ઝેરી હોય, અથવા અન્ય અપ્રિય જંતુઓની નકલ કરે તો લેડીબર્ડ પર શિકારી પક્ષીઓ દ્વારા હુમલો થવાની સંભાવના ઓછી હોય છે. એક યુવાન પક્ષી લેડીબર્ડ જેવા ચેતવણીની પેટર્નવાળા જંતુને જોઈ શકે છે અને તેને ખાવાનો પ્રયાસ કરી શકે છે, પરંતુ તે આ માત્ર એક જ વાર કરશે; ખૂબ જ ટૂંક સમયમાં તે કડવા જંતુને થૂંકી દેશે; તે વિસ્તારના અન્ય લેડીબર્ડ અવિરત રહેશે. યુવાન ચિત્તા અને લેડીબર્ડ, જનીનો વારસામાં મેળવે છે જે કોઈક રીતે ડાઘ પેદા કરે છે, ટકી રહે છે. પરંતુ જ્યારે આ ઉત્ક્રાંતિવાદી અને કાર્યાત્મક દલીલો સમજાવે છે કે શા માટે આ પ્રાણીઓને તેમની પેટર્નની જરૂર છે, ત્યારે તેઓ પેટર્ન કેવી રીતે રચાય છે તે સમજાવતા નથી. પેટર્ન રચના એલન ટ્યુરિંગ અને બાદમાં ગાણિતિક જીવવિજ્ઞાની જેમ્સ મુરેએ એક એવી પદ્ધતિનું વર્ણન કર્યું હતું જે સ્વયંભૂ સ્પોટેડ અથવા પટ્ટાવાળી પેટર્ન બનાવે છેઃ પ્રતિક્રિયા-પ્રસરણ પ્રણાલી. યુવાન જીવતંત્રના કોષોમાં જનીનો હોય છે જે રાસાયણિક સંકેત, એક મોર્ફોજેન દ્વારા ચાલુ કરી શકાય છે, જે ચોક્કસ પ્રકારની રચનાના વિકાસમાં પરિણમે છે, ત્વચાના ઘેરા રંગના પેચ કહે છે. જો મોર્ફોજેન દરેક જગ્યાએ હાજર હોય, તો પરિણામ કાળા ચિત્તાની જેમ સમાન રંગદ્રવ્ય છે. પરંતુ જો તે અસમાન રીતે વહેંચાયેલું હોય, તો ફોલ્લીઓ અથવા પટ્ટાઓ પરિણમી શકે છે. ટ્યુરિંગે સૂચવ્યું હતું કે મોર્ફોજેનના ઉત્પાદન પર પ્રતિક્રિયા નિયંત્રણ હોઈ શકે છે. આ મોર્ફોજેનની માત્રામાં સતત વધઘટનું કારણ બની શકે છે કારણ કે તે શરીરની આસપાસ ફેલાય છે. સ્થાયી તરંગ પેટર્ન બનાવવા માટે બીજી પદ્ધતિની જરૂર પડે છે (ફોલ્લીઓ અથવા પટ્ટામાં પરિણમે છે): એક અવરોધક રાસાયણિક જે મોર્ફોજેનનું ઉત્પાદન બંધ કરે છે, અને તે પોતે મોર્ફોજેન કરતાં શરીરમાં વધુ ઝડપથી ફેલાય છે, પરિણામે સક્રિયક-અવરોધક યોજના બને છે. બેલોસોવ-ઝાબોટિન્સ્કી પ્રતિક્રિયા એ આ પ્રકારની યોજનાનું બિન-જૈવિક ઉદાહરણ છે, એક રાસાયણિક ઓસિલેટર. પછીના સંશોધનોએ ઝેબ્રા પટ્ટાઓ, જિરાફના ફોલ્લીઓ, જગુઆર ફોલ્લીઓ (ઘેરા તૂટેલા વીંટીઓથી ઘેરાયેલા મધ્યમ-શ્યામ પેચો) અને લેડીબર્ડ શેલ પેટર્ન (ફોલ્લીઓ અને પટ્ટાના વિવિધ ભૌમિતિક લેઆઉટ, ચિત્રો જુઓ) જેવા વૈવિધ્યસભર પેટર્નના સચોટ નમૂનાઓ બનાવવામાં સફળતા મેળવી છે. ટ્યુરિંગના કાર્યમાંથી વિકસાવવામાં આવેલા રિચાર્ડ પ્રુમના સક્રિયકરણ-અવરોધ મોડેલો, પાંખની અંદરની નવ મૂળભૂત પિગમેન્ટેશન પેટર્નની અવલોકન શ્રેણી માટે છ ચલોનો ઉપયોગ કરે છે, જેમાં સૌથી સરળ, કેન્દ્રીય રંગદ્રવ્ય પેચ, કેન્દ્રિત પેચો, બાર, શેવરોન, આંખના ડાઘ, કેન્દ્રીય ફોલ્લીઓની જોડી, જોડીદાર ફોલ્લીઓની પંક્તિઓ અને બિંદુઓની શ્રેણીનો સમાવેશ થાય છે. વધુ વિસ્તૃત મોડેલો ગિનિફૌલ ન્યુમિડા મેલિયાગ્રિસમાં જટિલ પીંછાની પેટર્નનું અનુકરણ કરે છે જેમાં વ્યક્તિગત પીંછા આધાર પર બારથી દૂરના (દૂરના) છેડે બિંદુઓની શ્રેણીમાં સંક્રમણ દર્શાવે છે. આ માટે જગ્યા અને સમય બંનેમાં ક્રિયાપ્રતિક્રિયાઓ સાથે બે અવરોધક સંકેતો દ્વારા બનાવવામાં આવેલ દોલનની જરૂર પડે છે. વાઘની ઝાડીઓ અને દેવદારના મોજાઓના વનસ્પતિયુક્ત લેન્ડસ્કેપમાં અન્ય કારણોસર પેટર્ન બની શકે છે. વાઘની ઝાડની પટ્ટાઓ શુષ્ક ઢોળાવ પર જોવા મળે છે જ્યાં છોડની વૃદ્ધિ વરસાદ દ્વારા મર્યાદિત હોય છે. વનસ્પતિની દરેક આશરે આડી પટ્ટી તેની ઉપરના ખુલ્લા વિસ્તારમાંથી વરસાદનું પાણી અસરકારક રીતે એકત્રિત કરે છે. પવનની વિક્ષેપ પછી, પુનઃજનન દરમિયાન પર્વતીય ઢોળાવ પરના જંગલોમાં ફર તરંગો આવે છે. જ્યારે વૃક્ષો પડે છે, ત્યારે તેઓએ જે વૃક્ષોને આશ્રય આપ્યો હતો તે ખુલ્લા પડી જાય છે અને બદલામાં નુકસાન થવાની શક્યતા વધુ હોય છે, તેથી અંતરાયો પવનની નીચે વિસ્તરે છે. દરમિયાન, પવનની બાજુએ, યુવાન વૃક્ષો ઉગે છે, જે બાકીના ઊંચા વૃક્ષોના પવનની છાયાથી સુરક્ષિત છે. કુદરતી પેટર્ન કેટલીકવાર પ્રાણીઓ દ્વારા રચાય છે, જેમ કે ઉત્તરપશ્ચિમ યુનાઇટેડ સ્ટેટ્સના મીમા ટેકરા અને અન્ય કેટલાક વિસ્તારોમાં, જે પોકેટ ગોફર્સની બુરોવિંગ પ્રવૃત્તિઓ દ્વારા ઘણા વર્ષોથી બનાવવામાં આવે છે, જ્યારે નામીબિયાના કહેવાતા પરી વર્તુળો રેતીના ઉધઈના સ્પર્ધાત્મક જૂથોની ક્રિયાપ્રતિક્રિયા દ્વારા, રણના છોડ વચ્ચે પાણી માટેની સ્પર્ધા દ્વારા બનાવવામાં આવે છે. પર્માફ્રોસ્ટ જમીનમાં સક્રિય ઉપલા સ્તર સાથે વાર્ષિક ફ્રીઝ અને થોને આધિન, પેટર્નવાળી જમીન બની શકે છે, વર્તુળો, જાળી, બરફના ફાચર બહુકોણ, પગથિયાં અને પટ્ટાઓ બનાવી શકે છે. થર્મલ સંકોચન સંકોચન તિરાડો રચવાનું કારણ બને છે; પીગળવામાં, પાણી તિરાડોને ભરી દે છે, જ્યારે તે પછી થીજી જાય ત્યારે બરફ રચવા માટે વિસ્તરે છે, અને તિરાડોને ફાચરમાં પહોળી કરે છે. આ તિરાડો જોડાઈને બહુકોણ અને અન્ય આકારો બનાવી શકે છે. કરોડરજ્જુના મગજ પર વિકસતી ફાટેલી પેટર્ન બે ભૌમિતિક પરિમાણો પર આધારિત મર્યાદિત વિસ્તરણની ભૌતિક પ્રક્રિયાને કારણે થાય છેઃ સંબંધિત સ્પર્શક કોર્ટિકલ વિસ્તરણ અને આચ્છાદનની સંબંધિત જાડાઈ. એક દ્રાવક ઉમેર્યા પછી બાહ્ય સ્તર (આચ્છાદનનું પ્રતિનિધિત્વ કરતા) ના વિસ્તરણના પરિણામે સંકોચક યાંત્રિક દળોને કારણે મગજના નમૂનાઓમાં જિરી (શિખરો) અને સુલ્કી (ગર્ત) ની સમાન પેટર્ન દર્શાવવામાં આવી છે, જે સરળ, સ્તરવાળી જેલ્સથી શરૂ થાય છે. કોમ્પ્યુટર સિમ્યુલેશનમાં આંકડાકીય નમૂનાઓ કુદરતી અને પ્રાયોગિક અવલોકનોને ટેકો આપે છે કે મોટા મગજમાં સપાટીની ફોલ્ડિંગ પેટર્ન વધે છે. વિકાસાત્મક જીવવિજ્ઞાન ઉદભવ છોડનો ઉત્ક્રાંતિ ઇતિહાસ ગણિત અને કલા મોર્ફોજેનેસિસ પેટર્ન રચના વિડમેનસ્ટેટન પેટર્ન સંદર્ભો ફૂટનોટ્સ સાઇટેશન્સ ગ્રંથસૂચિ પાયોનિયરિંગ લેખકો ફિબોનાકી, લિયોનાર્ડો પણ જુઓ. લિબર અબાચી, 1202. સિગલર દ્વારા અનુવાદિત, લોરેન્સ ઇ. ફિબોનાકીની લિબર અબાસી. સ્પ્રિંગર, 2002. હેકેલ, અર્ન્સ્ટ. કુન્સ્ટફોર્મન ડેર નેચર (પ્રકૃતિમાં કલા સ્વરૂપો), 1899-1904. થોમ્પસન, ડી 'આર્સી વેન્ટવર્થ. વૃદ્ધિ અને સ્વરૂપ પર. કેમ્બ્રિજ, 1917. સામાન્ય પુસ્તકો આદમ, જ્હોન એ. પ્રકૃતિમાં ગણિતઃ કુદરતી વિશ્વમાં મોડેલિંગ પેટર્ન. પ્રિન્સટન યુનિવર્સિટી પ્રેસ, 2006. બોલ, ફિલિપ. પ્રકૃતિમાં દાખલાઓ. શિકાગો, 2016. મર્ફી, પેટ અને નીલ, વિલિયમ. પ્રકૃતિની રચના દ્વારા. ક્રોનિકલ બુક્સ, 1993. પ્રકૃતિના નમૂનાઓ (કલા તરીકે) એડમાયર, બર્નાર્ડ. પૃથ્વીના નમૂનાઓ. ફીડન પ્રેસ, 2007. મેકનાબ, મેગી. પ્રકૃતિ દ્વારા ડિઝાઇનઃ ડિઝાઇનમાં સાર્વત્રિક સ્વરૂપો અને સિદ્ધાંતોનો ઉપયોગ કરવો. ન્યૂ રાઇડર્સ, 2012. નાકામુરા, શિગેકી. પેટર્ન સોર્સબુકઃ કુદરત દ્વારા પ્રેરિત 250 પેટર્ન. પુસ્તકો 1 અને 2. રોકપોર્ટ, 2009. ઓ 'નીલ, પોલી. સપાટીઓ અને રચનાઓઃ એક વિઝ્યુઅલ સોર્સબુક. બ્લેક, 2008. પોર્ટર, એલિયટ અને ગ્લીક, જેમ્સ. પ્રકૃતિની અરાજકતા. વાઇકિંગ પેંગ્વિન, 1990. બાહ્ય કડીઓ ફિબોનાકી નંબર્સ એન્ડ ધ ગોલ્ડન સેક્શન ફીલોટેક્સિસઃ એન ઇન્ટરેક્ટિવ સાઇટ ફોર ધ મેથેમેટિકલ સ્ટડી ઓફ પ્લાન્ટ પેટર્ન ફોર્મેશન એપ્લાઇડ મેથેમેટિક્સ હિસ્ટ્રી ઓફ સાયન્સ નેચર પેટર્ન ફોર્મેશન પેટર્ન રિક્રિએશનલ મેથેમેટિક્સ