Tangential polygon
યુક્લિડિયન ભૂમિતિમાં, સ્પર્શક બહુકોણ, જેને પરિવેષ્ટિત બહુકોણ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે, તે બહિર્મુખ બહુકોણ છે જેમાં અંકિત વર્તુળ હોય છે (જેને આંતરિક વર્તુળ પણ કહેવાય છે). આ એક વર્તુળ છે જે બહુકોણની દરેક બાજુઓને સ્પર્શક છે. સ્પર્શક બહુકોણનો બેવડો બહુકોણ એક ચક્રીય બહુકોણ છે, જે તેના દરેક શિરોબિંદુઓમાંથી પસાર થતું પરિવેષ્ટિત વર્તુળ ધરાવે છે. તમામ ત્રિકોણ સ્પર્શક હોય છે, જેમ કે સંખ્યાબંધ બાજુઓ ધરાવતા તમામ નિયમિત બહુકોણ હોય છે. સ્પર્શક બહુકોણનું સારી રીતે અભ્યાસ કરેલું જૂથ સ્પર્શક ચતુર્ભુજ છે, જેમાં રોમ્બી અને પતંગનો સમાવેશ થાય છે. લાક્ષણિકતાઓ બહિર્મુખ બહુકોણ આંતરિક વર્તુળ ધરાવે છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તેના તમામ આંતરિક ખૂણા દ્વિભાજક સહવર્તી હોય. આ સામાન્ય બિંદુ ઇન્સેન્ટર (આંતરિક વર્તુળનું કેન્દ્ર) છે. જો અને માત્ર ત્યારે જ જો સમીકરણોની પ્રણાલીમાં હકારાત્મક વાસ્તવિકતામાં ઉકેલ (x1,., xn) હોય તો જ n ક્રમિક બાજુઓ a1,., અને એક સ્પર્શક બહુકોણ અસ્તિત્વમાં છે. જો આવો ઉકેલ અસ્તિત્વમાં હોય, તો x1,., xn એ બહુકોણની સ્પર્શક લંબાઈ છે (શિરોબિંદુઓથી લઈને તે બિંદુઓ સુધીની લંબાઈ જ્યાં આંતરિક વર્તુળ બાજુઓને સ્પર્શક હોય છે). વિશિષ્ટતા અને બિન-વિશિષ્ટતા જો n બાજુઓની સંખ્યા વિચિત્ર હોય, તો ઉપરના અસ્તિત્વના માપદંડને સંતોષતા કોઈપણ બાજુની લંબાઈના સમૂહ માટે માત્ર એક જ સ્પર્શક બહુકોણ હોય છે. પરંતુ જો n સમ હોય તો તેમાં અનંતતા હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે, ચતુર્ભુજ કિસ્સામાં જ્યાં બધી બાજુઓ સમાન હોય ત્યાં આપણી પાસે તીવ્ર ખૂણાઓના કોઈપણ મૂલ્ય સાથે સમસ્થાનિક હોઈ શકે છે, અને તમામ સમસ્થાનિક એક આંતરિક વર્તુળ માટે સ્પર્શક હોય છે. ત્રિજ્યા જો સ્પર્શક બહુકોણની n બાજુઓ a1,., an હોય, તો ત્રિજ્યા (અંતઃવૃત્તની ત્રિજ્યા) એ છે જ્યાં K એ બહુકોણનું ક્ષેત્રફળ છે અને s એ અર્ધપરિમાપક છે. (તમામ ત્રિકોણ સ્પર્શક હોવાથી, આ સૂત્ર તમામ ત્રિકોણને લાગુ પડે છે.) અન્ય ગુણધર્મો બાજુઓની વિષમ સંખ્યા ધરાવતા સ્પર્શક બહુકોણ માટે, તમામ ખૂણાઓ સમાન હોય તો જ બધી બાજુઓ સમાન હોય છે (તેથી બહુકોણ નિયમિત હોય છે). જો વૈકલ્પિક ખૂણાઓ સમાન હોય (એટલે કે, ખૂણાઓ A, C, E,. સમાન હોય અને ખૂણાઓ B, D, F. સમાન હોય) તો જ બાજુઓની સમ સંખ્યા ધરાવતા સ્પર્શક બહુકોણની બધી બાજુઓ સમાન હોય છે. બાજુઓની સમ સંખ્યા ધરાવતા સ્પર્શક બહુકોણમાં, વિષમ ક્રમાંકિત બાજુઓની લંબાઈનો સરવાળો સમ ક્રમાંકિત બાજુઓની લંબાઈના સરવાળા જેટલો હોય છે. સ્પર્શક બહુકોણ સમાન પરિઘ અને સમાન અનુક્રમમાં સમાન આંતરિક ખૂણાઓ સાથે અન્ય કોઈપણ બહુકોણ કરતાં મોટો વિસ્તાર ધરાવે છે. કોઈપણ સ્પર્શક બહુકોણનું કેન્દ્રબિંદુ, તેના સીમા બિંદુઓનું કેન્દ્રબિંદુ અને અંકિત વર્તુળનું કેન્દ્ર સમરેખીય હોય છે, જેમાં અન્ય વચ્ચે બહુકોણનું કેન્દ્રબિંદુ હોય છે અને સીમાના કેન્દ્રબિંદુથી ઇન્સેન્ટરથી બમણું દૂર હોય છે. જો વર્તુળ સાથેના સ્પર્શક ત્રિકોણની સ્પર્શકતાઓ પણ સંદર્ભ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ હોય તો ત્રિકોણને સંદર્ભ ત્રિકોણની સ્પર્શક ત્રિકોણ કહેવામાં આવે છે. સ્પર્શક ચતુર્ભુજ સ્પર્શક ષટ્કોણ સ્પર્શક ષટ્કોણ ABCDEF માં, બ્રાયનચોનના પ્રમેય અનુસાર મુખ્ય કર્ણ AD, BE અને CF સહવર્તી છે. સર્કમગોન સંદર્ભો પણ જુઓ બહુકોણના પ્રકારો