Budan's theorem
ગણિતમાં, બુડનનો પ્રમેય એ અંતરાલમાં બહુપદીના વાસ્તવિક મૂળની સંખ્યાને બંધાવવા અને આ સંખ્યાની સમાનતાની ગણતરી કરવા માટેનો એક પ્રમેય છે. તે 1807 માં ફ્રાન્કોઇસ બુડન ડી બોઇસ્લોરેન્ટ દ્વારા પ્રકાશિત કરવામાં આવ્યું હતું. 1820માં જોસેફ ફોરિયર દ્વારા સ્વતંત્ર રીતે સમાન પ્રમેય પ્રકાશિત કરવામાં આવ્યો હતો. આ દરેક પ્રમેય બીજાનો ઉપસંહાર છે. ફોરિયરનું નિવેદન 19મી સદીના સાહિત્યમાં વધુ વખત જોવા મળે છે અને તેને ફોરિયર, બુડન-ફોરિયર, ફોરિયર-બુડન તરીકે ઓળખવામાં આવે છે અને બુડનના પ્રમેય બુડનની મૂળ રચનાનો ઉપયોગ બહુપદીઓના વાસ્તવિક મૂળના અલગતા માટે ઝડપી આધુનિક અલ્ગોરિધમ્સમાં થાય છે. સંકેતની વિવિધતા વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો મર્યાદિત ક્રમ હોવો જોઈએ. ચિહ્નમાં ફેરફાર અથવા અનુક્રમમાં ચિહ્નમાં ફેરફાર એ સૂચકાંકોની જોડી છે જેમ કે અને ક્યાં તો અથવા તે બધા માટે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, શૂન્યની અવગણના કરતી વખતે, જ્યાં ચિહ્નો બદલાય છે તે દરેક સ્થળે અનુક્રમમાં નિશાનીમાં ફેરફાર થાય છે. બહુપદીના વાસ્તવિક મૂળનો અભ્યાસ કરવા માટે, વિવિધ ક્રમની નિશાનીની વિવિધતાઓની સંખ્યાનો ઉપયોગ કરી શકાય છે. બુડનના પ્રમેય માટે, તે ગુણાંકનો ક્રમ છે. ફોરિયરના પ્રમેય માટે, તે એક બિંદુ પર ક્રમિક ડેરિવેટિવ્ઝના મૂલ્યોનો ક્રમ છે. સ્ટર્મના પ્રમેય માટે તે સ્ટર્મ ક્રમના એક બિંદુ પરના મૂલ્યોનો ક્રમ છે. આ લેખમાં વર્ણવેલ તમામ પરિણામો ડેસકાર્ટેસના સંકેતોના નિયમ પર આધારિત છે. જો તે વાસ્તવિક ગુણાંક સાથેની અવિભાજ્ય બહુપદી હોય, તો ચાલો આપણે તેના હકારાત્મક વાસ્તવિક મૂળની સંખ્યા દ્વારા, તેમના ગુણાકાર સાથે ગણવામાં આવે છે, અને તેના ગુણાંકના ક્રમમાં ચિહ્નની વિવિધતાઓની સંખ્યા દ્વારા સૂચવીએ. ડેસકાર્ટેસનો સંકેતોનો નિયમ ભારપૂર્વક જણાવે છે કે તે બિન-નકારાત્મક સમ પૂર્ણાંક છે. ખાસ કરીને, જો, તો પછી એક છે. બુદનનું નિવેદન વાસ્તવિક ગુણાંક સાથેની અવિભાજ્ય બહુપદીને જોતાં, ચાલો આપણે અર્ધ-ખુલ્લા અંતરાલ (વાસ્તવિક સંખ્યાઓ સાથે) માં વાસ્તવિક મૂળની સંખ્યા, તેમના ગુણાકાર સાથે ગણવામાં આવે છે. ચાલો આપણે બહુપદીના ગુણાંકના ક્રમમાં નિશાનીની વિવિધતાઓની સંખ્યા દ્વારા પણ સૂચવીએ. ખાસ કરીને, અગાઉના વિભાગના સંકેત સાથે હોય છે. બુડનનો પ્રમેય નીચે મુજબ છેઃ તે બિન-નકારાત્મક સમ પૂર્ણાંક છે. જેમ કે બિન નકારાત્મક છે, આ સૂચવે છે કે આ ડેસકાર્ટેસના સંકેતોના નિયમનું સામાન્યીકરણ છે, જેમ કે, જો કોઈ પૂરતા પ્રમાણમાં મોટું પસંદ કરે છે, તો તે તેના તમામ વાસ્તવિક મૂળ કરતાં મોટું છે, અને તેના તમામ ગુણાંક હકારાત્મક છે, એટલે કે અને જે ડેસકાર્ટેસના સંકેતોના નિયમને બુડનના પ્રમેયનો એક વિશેષ કેસ બનાવે છે. જ્યાં સુધી ડેસકાર્ટેસના સંકેતોના નિયમની વાત છે, જો કોઈની પાસે આ હોય તો તેનો અર્થ એ છે કે, જો કોઈની પાસે "શૂન્ય-મૂળ પરીક્ષણ" અને "એક-મૂળ પરીક્ષણ" હોય. ઉદાહરણ 1. બહુપદી અને ખુલ્લા અંતરાલને જોતાં, એક પાસે આમ છે, અને બુડનનો પ્રમેય ભારપૂર્વક જણાવે છે કે બહુપદી ખુલ્લા અંતરાલ 2 માં બે અથવા શૂન્ય વાસ્તવિક મૂળ ધરાવે છે. સમાન બહુપદી સાથે એક છે આમ, અને બુડનનો પ્રમેય ભારપૂર્વક જણાવે છે કે બહુપદીને ખુલ્લા અંતરાલમાં કોઈ વાસ્તવિક મૂળ નથી આ શૂન્ય-મૂળ પરીક્ષણ તરીકે બુડનના પ્રમેયના ઉપયોગનું ઉદાહરણ છે. બહુપદી વાસ્તવિક મૂળ પર ફોરિયરનું નિવેદન ફોરિયરનું પ્રમેય, જેને ફોરિયર-બુડન પ્રમેય અથવા બુડન-ફોરિયર પ્રમેય (કેટલીકવાર માત્ર બુડનનું પ્રમેય) પણ કહેવાય છે, તે બરાબર બુડનના પ્રમેય જેવું જ છે, સિવાય કે, માટે અને ના ગુણાંકનો ક્રમ એ. ટી. ના વ્યુત્પન્નોનો ક્રમ દ્વારા બદલવામાં આવે છે. દરેક પ્રમેય બીજાનો ઉપસંહાર છે. આ બહુપદી at ના ટેલર વિસ્તરણનું પરિણામ છે, જે સૂચવે છે કે in નો ગુણાંક એ ધનાત્મક સંખ્યાનો ભાગાકાર છે. આમ ફોરિયરના પ્રમેય અને બુડનના પ્રમેયમાં ગણવામાં આવતા ક્રમમાં સમાન સંખ્યામાં સંકેત ભિન્નતા હોય છે. બે પ્રમેયો વચ્ચેનો આ મજબૂત સંબંધ 19મી સદીમાં થયેલા પ્રાથમિકતા વિવાદ અને એક જ પ્રમેય માટે ઘણા નામોના ઉપયોગને સમજાવી શકે છે. આધુનિક ઉપયોગમાં, કોમ્પ્યુટર ગણતરી માટે, બુડનના પ્રમેયને સામાન્ય રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે કારણ કે ફેક્ટોરિયલ પરિબળને કારણે બુડનની સરખામણીમાં ફોરિયરના પ્રમેયમાં અનુક્રમમાં ઘણા મોટા ગુણાંક હોય છે. પુરાવો દરેક પ્રમેય બીજાનો ઉપસંહાર હોવાથી, તે ફોરિયરના પ્રમેયને સાબિત કરવા માટે પૂરતું છે. પુરાવોઃ ડિગ્રી હોવી જોઈએ, જેથી તે બિન-સ્થિર બહુપદીઓ હોય, તે બિન-શૂન્ય અચળાંક હોય અને બધા સમાન રીતે શૂન્ય હોય. સાઇન વેરિયેશનનું કાર્ય ફક્ત ઓછામાં ઓછા એકના મૂળ પર બદલાઈ શકે છે જો બદલાય છે, તો પછી કેટલાક માટે, તેનું મૂળ હોય છે, અને દરેકનું કોઈ મૂળ નથી. જો, તો પછી અમુક અને અમુક બહુપદી માટે જે સંતોષ આપે છે. સ્પષ્ટ રીતે અને નાના માટે ગણતરી કરીને, આપણી પાસે આ સમીકરણમાં, આ શબ્દ થી માં બદલાતા સંકેતોને કારણે છે. આ શબ્દ ઉચ્ચ વ્યુત્પન્ન સંકેતો સંભવતઃ શૂન્ય બનવાને કારણે છે. જો, તો પછી કેટલાક ડેરિવેટિવ્ઝ શૂન્ય હોય છે, પરંતુ બંને અને બિન-શૂન્ય રહે છે, તેથી આપણે માત્ર સમાન સંખ્યામાં સંકેત ફેરફારો ગુમાવીએ છીએઃ જો બદલાય છે, તો તે જ રીતે દલીલ કરીએ તો, આપણે શોધી કાઢીએ છીએ કે બંને કિસ્સાઓમાં, આપણે તેટલું નાનું લઈ શકીએ છીએ. બહુપદીના વાસ્તવિક મૂળની ગણતરી અને સ્થાનની સમસ્યાનો વ્યવસ્થિત અભ્યાસ 19મી સદીની શરૂઆતમાં જ શરૂ થયો હતો. 1807 માં, ફ્રાન્કોઇસ બુડન ડી બોઇસ્લોરેન્ટે ડેસકાર્ટેસના સંકેતોના નિયમ-અંતરાલ માટે માન્ય-કોઈપણ અંતરાલ સુધી વિસ્તારવા માટેની પદ્ધતિ શોધી કાઢી હતી. જોસેફ ફોરિયરે 1820માં સમાન પ્રમેય પ્રકાશિત કર્યો હતો, જેના પર તેમણે વીસ વર્ષથી વધુ સમય સુધી કામ કર્યું હતું. બે પ્રમેયો વચ્ચેની સમાનતાને કારણે, બે પ્રમેયો સ્વતંત્ર રીતે શોધાયા હોવા છતાં, પ્રાથમિકતા વિવાદ થયો હતો. તે સામાન્ય રીતે ફોરિયરની રચના અને પુરાવા હતા જેનો ઉપયોગ 19મી સદી દરમિયાન સમીકરણોના સિદ્ધાંત પરના પાઠ્યપુસ્તકોમાં કરવામાં આવ્યો હતો. 19મી સદીમાં બુડન અને ફોરિયરના પ્રમેયોનો ઉપયોગ ટૂંક સમયમાં ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ માનવામાં આવતો હતો, જો કે તેઓ અંતરાલમાં બહુપદીના વાસ્તવિક મૂળની સંખ્યાની ગણતરીની સમસ્યાને સંપૂર્ણપણે હલ કરતા નથી. 1827માં સ્ટર્મ દ્વારા આ સમસ્યાનું સંપૂર્ણપણે સમાધાન કરવામાં આવ્યું હતું. જો કે સ્ટર્મનો પ્રમેય ડેસકાર્ટેસના સંકેતોના નિયમ પર આધારિત નથી, તેમ છતાં સ્ટર્મ અને ફ્યુરિયરના પ્રમેયો માત્ર સંખ્યાઓના ક્રમમાં સંકેતોની વિવિધતાઓની સંખ્યાના ઉપયોગ દ્વારા જ નહીં, પણ સમસ્યાના સમાન અભિગમ દ્વારા પણ સંબંધિત છે. સ્ટર્મે પોતે ફોરિયરની પદ્ધતિઓથી પ્રેરિત હોવાનું સ્વીકાર્યું હતુંઃ "આ એક સ્થિતિ છે, અને તેનું અનુકરણ કરે છે. "જેનો અર્થ થાય છે" તેમણે નિર્ધારિત કરેલા સિદ્ધાંતો પર આધાર રાખીને અને તેમના પુરાવાઓનું અનુકરણ કરીને મને નવા સિદ્ધાંતો મળ્યા છે જે હું રજૂ કરવા જઈ રહ્યો છું. "આ કારણે, 19મી સદી દરમિયાન, ફોરિયર અને સ્ટર્મના સિદ્ધાંતો સમીકરણોના સિદ્ધાંત પરના લગભગ તમામ પુસ્તકોમાં એકસાથે દેખાયા હતા. ફોરિયર અને બુડને અંતરાલોના કદને ઘટાડવાની સમસ્યાને ખુલ્લી મૂકી દીધી જેમાં મૂળને એવી રીતે શોધવામાં આવે છે કે, આખરે, નિશાનીની વિવિધતાઓની સંખ્યા વચ્ચેનો તફાવત વધુમાં વધુ એક હોય છે, જે પ્રમાણિત કરવાની મંજૂરી આપે છે કે અંતિમ અંતરાલોમાં દરેકમાં મહત્તમ એક મૂળ હોય છે. આ સમસ્યાનું સમાધાન 1834માં એલેક્ઝાન્ડર જોસેફ હિડુલ્ફ વિન્સેન્ટ દ્વારા કરવામાં આવ્યું હતું. આશરે કહીએ તો, વિન્સેન્ટના પ્રમેયમાં મોબિયસ પરિવર્તન દ્વારા ચલના બુડનના રેખીય પરિવર્તનને બદલવા માટે સતત અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરવાનો સમાવેશ થાય છે. 19મી સદીના અંતમાં બુડન, ફોરિયર અને વિન્સેન્ટનો સિદ્ધાંત વિસ્મૃત થઈ ગયો હતો. 20મી સદીના ઉત્તરાર્ધ પહેલા આ પ્રમેયોનો ઉલ્લેખ કરનારા છેલ્લા લેખક જોસેફ આલ્ફ્રેડ સેરેટ હતા. કોમ્પ્યુટર બીજગણિતમાં, કમ્પ્યુટર્સ પર વાસ્તવિક મૂળના અલગતા માટે એક કાર્યક્ષમ અલ્ગોરિધમ પ્રદાન કરવા માટે, કોલિન્સ અને અક્રિતાસ દ્વારા 1976 માં તેમને ફરીથી રજૂ કરવામાં આવ્યા હતા. આ પણ જુઓ બહુપદી મૂળના ગુણધર્મો મૂળ શોધ અલ્ગોરિધમ સંદર્ભો બાહ્ય કડીઓ ગાણિતિક પ્રમેયો મૂળ શોધ અલ્ગોરિધમ્સ વાસ્તવિક બીજગણિત ભૂમિતિ