Tensors in curvilinear coordinates
વક્રરેખીય કોઓર્ડિનેટ્સને ભૌતિકશાસ્ત્ર અને ઇજનેરીમાં મહત્વપૂર્ણ ઉપયોગો સાથે ટેન્સર કેલ્ક્યુલસમાં ઘડવામાં આવી શકે છે, ખાસ કરીને ભૌતિક જથ્થાના પરિવહન અને પ્રવાહી મિકેનિક્સ અને સાતત્ય મિકેનિક્સમાં દ્રવ્યની વિકૃતિનું વર્ણન કરવા માટે. ત્રિ-પરિમાણીય વક્રરેખીય કોઓર્ડિનેટ્સમાં વેક્ટર અને ટેન્સર બીજગણિત વક્રરેખીય કોઓર્ડિનેટ્સમાં પ્રાથમિક વેક્ટર અને ટેન્સર બીજગણિતનો ઉપયોગ મિકેનિક્સ અને ભૌતિકશાસ્ત્રના કેટલાક જૂના વૈજ્ઞાનિક સાહિત્યમાં થાય છે અને 1900ના દાયકાની શરૂઆત અને મધ્યથી કાર્યને સમજવા માટે અનિવાર્ય હોઈ શકે છે, ઉદાહરણ તરીકે ગ્રીન અને ઝર્ના દ્વારા લખાયેલ લખાણ. વેક્ટરના બીજગણિતમાં કેટલાક ઉપયોગી સંબંધો અને વક્રરેખીય કોઓર્ડિનેટ્સમાં સેકન્ડ ઓર્ડર ટેન્સર આ વિભાગમાં આપવામાં આવ્યા છે. સંકેતો અને સમાવિષ્ટો મુખ્યત્વે ઓગ્ડેન, નાઘડી, સિમોન્ડ્સ, ગ્રીન અને ઝર્ના, બસર અને વેઇચેર્ટ અને સિયરલેટમાંથી છે. સંકલન પરિવર્તન સંકલન ચલ સાથે બે સંકલન પ્રણાલીઓનો વિચાર કરો અને, જેને આપણે ટૂંકમાં અનુક્રમે ન્યાયી તરીકે રજૂ કરીશું અને હંમેશા ધારીશું કે આપણો સૂચકાંક 1 થી 3 સુધી ચાલે છે. આપણે ધારીશું કે આ કોઓર્ડિનેટ્સ પ્રણાલીઓ ત્રિ-પરિમાણીય યુક્લિડિયન અવકાશમાં સમાયેલી છે. કોઓર્ડિનેટ્સ અને તેનો ઉપયોગ એકબીજાને સમજાવવા માટે થઈ શકે છે, કારણ કે જેમ જેમ આપણે એક કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં કોઓર્ડિનેટ લાઇન સાથે આગળ વધીએ છીએ તેમ તેમ આપણે આપણી સ્થિતિનું વર્ણન કરવા માટે બીજાનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ. આ રીતે કોઓર્ડિનેટ્સ અને એકબીજાના કાર્યો છે જેના માટે લખી શકાય છે આ ત્રણ સમીકરણોને એકસાથે થી માં કોઓર્ડિનેટ ટ્રાન્સફોર્મેશન પણ કહેવામાં આવે છે. ચાલો આ પરિવર્તનને આના દ્વારા દર્શાવીએ. તેથી આપણે કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાંથી કોઓર્ડિનેટ વેરિયેબલ્સ સાથે કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં પરિવર્તનને કોઓર્ડિનેટ સાથે આ રીતે રજૂ કરીશુંઃ એ જ રીતે આપણે નીચેના કાર્ય તરીકે રજૂ કરી શકીએ છીએઃ તે જ રીતે આપણે મુક્ત સમીકરણોને વધુ સઘન રીતે લખી શકીએ છીએ. ચાલો આપણે આ પરિવર્તનને આના દ્વારા દર્શાવીએ. આપણે કોઓર્ડિનેટ વેરિયેબલ્સ સાથે કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાંથી કોઓર્ડિનેટ સાથે કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં પરિવર્તનને આ રીતે રજૂ કરીશુંઃ જો પરિવર્તન બાયજેક્ટિવ હોય તો આપણે પરિવર્તનની છબીને કહીએ છીએ, એટલે કે, સ્વીકાર્ય કોઓર્ડિનેટનો સમૂહ. જો રેખીય હોય તો કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમને એફાઇન કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ કહેવામાં આવશે, અન્યથા તેને વક્રરેખીય કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ કહેવામાં આવે છે જેકોબિયન જેમ કે આપણે હવે જોઈએ છીએ કે કોઓર્ડિનેટ અને એકબીજાના કાર્યો છે, આપણે ધ્યાનમાં લેતા કોઓર્ડિનેટ વેરિયેબલના સંદર્ભમાં કોઓર્ડિનેટ વેરિયેબલનું વ્યુત્પન્ન લઈ શકીએ છીએ, આ ડેરિવેટિવ્ઝને મેટ્રિક્સમાં ગોઠવી શકાય છે, કહો કે, જેમાં-th પંક્તિ અને-th સ્તંભમાં તત્વ છે પરિણામી મેટ્રિક્સને જેકોબિયન મેટ્રિક્સ કહેવામાં આવે છે. વક્રરેખીય કોઓર્ડિનેટ્સમાં વેક્ટર ચાલો (b1, b2, b3) ત્રિ-પરિમાણીય યુક્લિડિયન જગ્યા માટે મનસ્વી આધાર છે. સામાન્ય રીતે, બેસિસ વેક્ટર ન તો એકમ વેક્ટર હોય છે અને ન તો પરસ્પર ઓર્થોગોનલ. જો કે, તેઓ રેખીય રીતે સ્વતંત્ર હોવા જરૂરી છે. પછી વેક્ટર v ને આ રીતે વ્યક્ત કરી શકાય છે ઘટકો vk એ વેક્ટર v ના વિરોધાભાસી ઘટકો છે. પારસ્પરિક આધાર (b1, b2, b3) એ સંબંધ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જ્યાં δij એ ક્રોનેકર ડેલ્ટા છે. વેક્ટર v ને પારસ્પરિક આધારની દ્રષ્ટિએ પણ વ્યક્ત કરી શકાય છેઃ ઘટકો vk એ વેક્ટરના સહપરિવર્તનશીલ ઘટકો છે. વક્રરેખીય કોઓર્ડિનેટ્સમાં બીજા ક્રમના ટેન્સરને બીજા ક્રમના ટેન્સર તરીકે વ્યક્ત કરી શકાય છે. સિજના ઘટકોને વિરોધાભાસી ઘટકો, સીજે મિશ્ર જમણા-સહપરિવર્તન ઘટકો, સીજે મિશ્ર ડાબા-સહપરિવર્તન ઘટકો અને સિજે બીજા ક્રમના ટેન્સરના સહપરિવર્તન ઘટકો કહેવામાં આવે છે. ઓર્થોનોર્મલ જમણા હાથના ધોરણે, ત્રીજા ક્રમના વૈકલ્પિક ટેન્સરને આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે સામાન્ય વક્રરેખીય ધોરણે સમાન ટેન્સરને આ રીતે વ્યક્ત કરી શકાય છે તે બતાવી શકાય છે કે હવે, તેથી, તે જ રીતે, આપણે બતાવી શકીએ છીએ કે વેક્ટર કામગીરી ઓળખ નકશો હું દ્વારા વ્યાખ્યાયિત ઓળખ નકશાને આ રીતે દર્શાવી શકાય છેઃ સ્કેલર (ડોટ) ઉત્પાદન વક્રરેખીય કોઓર્ડિનેટ્સમાં બે વેક્ટરનું સ્કેલર ઉત્પાદન વેક્ટર (ક્રોસ) ઉત્પાદન છે. વક્રરેખીય કોઓર્ડિનેટ્સમાં, સમકક્ષ અભિવ્યક્તિ છેઃ જ્યાં ત્રીજા ક્રમનો વૈકલ્પિક ટેન્સર છે. બે વેક્ટરનું ક્રોસ પ્રોડક્ટ આના દ્વારા આપવામાં આવે છેઃ જ્યાં εijk એ ક્રમચય પ્રતીક છે અને તે કાર્ટેશિયન બેસિસ વેક્ટર છે. તેથી, અને તેથી, વેક્ટર પ્રોડક્ટ પર પાછા ફરવું અને સંબંધોનો ઉપયોગ કરવોઃ આપણને આપે છેઃ ટેન્સર ઓપરેશન્સ ઓળખ નકશો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત ઓળખ નકશો વેક્ટર પર બીજા ક્રમના ટેન્સરની ક્રિયા તરીકે દર્શાવી શકાય છે ક્રિયાને બે બીજા ક્રમના ટેન્સરના આંતરિક ઉત્પાદન તરીકે વક્રરેખીય કોઓર્ડિનેટ્સમાં વ્યક્ત કરી શકાય છે બે બીજા ક્રમના ટેન્સરનું આંતરિક ઉત્પાદન વક્રરેખીય કોઓર્ડિનેટ્સમાં વૈકલ્પિક રીતે, બીજા ક્રમના ટેન્સરના નિર્ધારક તરીકે વ્યક્ત કરી શકાય છે. પછી, આ સંબંધમાંથી આપણે બતાવી શકીએ કે ચાલો પરિવર્તનના જેકોબિયન બનીએ. પછી, નિર્ધારકની વ્યાખ્યા પરથી, આપણી પાસે સંખ્યાબંધ રસપ્રદ પરિણામો હોવાથી ઉપરોક્ત સંબંધોનો ઉપયોગ કરીને મેળવી શકાય છે. પ્રથમ, પછી ધ્યાનમાં લો એ જ રીતે, આપણે બતાવી શકીએ કે તેથી, એ હકીકતનો ઉપયોગ કરીને કે, બીજો રસપ્રદ સંબંધ નીચે તારવેલ છે. યાદ કરો કે જ્યાં A એ a છે, છતાં અનિશ્ચિત, અચળાંક છે. પછી આ અવલોકન ઇન્ડેક્સ નોટેશનમાં સંબંધો તરફ દોરી જાય છે, જ્યાં સામાન્ય ક્રમચય પ્રતીક છે. આપણે ટ્રાન્સફોર્મેશન ટેન્સર F માટે સ્પષ્ટ અભિવ્યક્તિ ઓળખી નથી કારણ કે વક્રરેખીય અને કાર્ટેશિયન પાયા વચ્ચેના મેપિંગનું વૈકલ્પિક સ્વરૂપ વધુ ઉપયોગી છે. એ જ રીતે, આ પરિણામોમાંથી આપણી પાસે ત્રિ-પરિમાણીય વક્રરેખીય કોઓર્ડિનેટ્સમાં વેક્ટર અને ટેન્સર કેલ્ક્યુલસ છે સિમોન્ડ્સ, ટેન્સર વિશ્લેષણ પરના તેમના પુસ્તકમાં, આલ્બર્ટ આઈન્સ્ટાઈને ટાંકીને કહ્યું છે કે સામાન્ય વક્રરેખીય કોઓર્ડિનેટ્સમાં વેક્ટર અને ટેન્સર કેલ્ક્યુલસનો ઉપયોગ સામાન્ય સાપેક્ષતામાં ચાર-પરિમાણીય વક્રરેખીય મેનીફોલ્ડ્સ પર ટેન્સર વિશ્લેષણમાં, વક્ર શેલ્સના મિકેનિક્સમાં, મેક્સવેલના સમીકરણોના અસ્થિર ગુણધર્મોની તપાસ કરવામાં થાય છે જે મેટામેટેરિયલ અને અન્ય ઘણા ક્ષેત્રોમાં રસ ધરાવે છે. વક્રરેખીય કોઓર્ડિનેટ્સમાં વેક્ટર અને સેકન્ડ ઓર્ડર ટેન્સરના કલનમાં કેટલાક ઉપયોગી સંબંધો આ વિભાગમાં આપવામાં આવ્યા છે. સંકેતો અને સમાવિષ્ટો મુખ્યત્વે ઓગ્ડેન, સિમોન્ડ્સ, ગ્રીન અને ઝર્ના, બસર અને વેઇચેર્ટ અને સિયરલેટમાંથી છે. મૂળભૂત વ્યાખ્યાઓ અવકાશમાં બિંદુની સ્થિતિને ત્રણ સંકલન ચલ દ્વારા વર્ગીકૃત કરવામાં આવે. સંકલન વળાંક q1 એ વળાંકને રજૂ કરે છે જેના પર q2, q3 અચળ હોય છે. ધારો કે x એ અમુક મૂળના સંબંધમાં બિંદુની સ્થિતિ વેક્ટર છે. પછી, એમ ધારીને કે આવા મેપિંગ અને તેનો ઇન્વર્સ અસ્તિત્વમાં છે અને સતત છે, આપણે લખી શકીએ છીએ. ક્વિ સંકલન વળાંકને qj, qk નિશ્ચિત સાથે આપવામાં આવેલા વિધેયોના એક-પરિમાણ પરિવાર દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. વળાંકનું સંકલન કરવા માટે સ્પર્શક વેક્ટર બિંદુ xi (α) (અથવા બિંદુ x પર સંકલન વળાંક qi) પર વળાંક xi માટે સ્પર્શક વેક્ટર એ ગ્રેડિયન્ટ સ્કેલર ક્ષેત્ર છે ચાલો f (x) અવકાશમાં સ્કેલર ક્ષેત્ર હોય. પછી f ક્ષેત્રના ઢાળને આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે કે જ્યાં c એ આર્બિટરી કોન્સ્ટન્ટ વેક્ટર છે. જો આપણે c ના ઘટકોને વ્યાખ્યાયિત કરીએ તો તે એવા છે કે જે પછી જો આપણે સુયોજિત કરીએ, તો આપણી પાસે વેક્ટર c ના વિરોધાભાસી ઘટકને બહાર કાઢવાનું સાધન છે. જો b એ એક બિંદુ પર સહપરિવર્તન (અથવા કુદરતી) આધાર છે, અને જો b એ તે બિંદુ પર વિરોધાભાસી (અથવા પારસ્પરિક) આધાર છે, તો પછી આધારની આ પસંદગી માટે સંક્ષિપ્ત તર્ક આગામી વિભાગમાં આપવામાં આવે છે. વેક્ટર ક્ષેત્ર એક સમાન પ્રક્રિયાનો ઉપયોગ વેક્ટર ક્ષેત્ર f (x) ના ઢાળ પર પહોંચવા માટે કરી શકાય છે. જો આપણે સ્થિતિ વેક્ટર ક્ષેત્ર r (x) = x ના ઢાળને ધ્યાનમાં લઈએ, તો આપણે બતાવી શકીએ કે વેક્ટર ક્ષેત્ર b એ qi સંકલન વળાંકને સ્પર્શક છે અને વળાંક પરના દરેક બિંદુ પર કુદરતી આધાર બનાવે છે. આ આધાર, જેમ કે આ લેખની શરૂઆતમાં ચર્ચા કરવામાં આવી છે, તેને સહપરિવર્તન વળાંક આધાર પણ કહેવામાં આવે છે. આપણે પારસ્પરિક આધાર, અથવા વિરોધાભાસી વળાંક આધાર, દ્વિ પણ વ્યાખ્યાયિત કરી શકીએ છીએ. ટેન્સર બીજગણિત પરના વિભાગમાં ચર્ચા કરવામાં આવી છે તેમ આધાર વેક્ટર વચ્ચેના તમામ બીજગણિત સંબંધો, દરેક બિંદુ x પર કુદરતી આધાર અને તેના પારસ્પરિક માટે લાગુ પડે છે. c મનસ્વી હોવાથી, આપણે લખી શકીએ છીએ નોંધ કરો કે વિરોધાભાસી આધાર વેક્ટર b એ અચળાંક sii ની સપાટીને લંબરૂપ છે અને તે પ્રથમ પ્રકારના ક્રિસ્ટોફેલ પ્રતીકો દ્વારા આપવામાં આવે છે. ઉપરોક્ત સંબંધોને ફરીથી ગોઠવવા માટે આનો ઉપયોગ કરવાથી બીજા પ્રકારનાં ક્રિસ્ટોફેલ પ્રતીકો મળે છે બીજા પ્રકારનાં ક્રિસ્ટોફેલ પ્રતીકોને આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જેમાં આ સૂચવે છે કે અન્ય જે સંબંધો અનુસરે છે તે અન્ય ખાસ કરીને ઉપયોગી સંબંધ છે, જે દર્શાવે છે કે ક્રિસ્ટોફેલ પ્રતીક માત્ર મેટ્રિક ટેન્સર અને તેના વ્યુત્પન્ન પર આધાર રાખે છે, જે વેક્ટર ક્ષેત્રના ઢાળ માટે સ્પષ્ટ અભિવ્યક્તિ છે. વક્રરેખીય કોઓર્ડિનેટ્સમાં વેક્ટર ક્ષેત્રના ઢાળ માટે નીચેની અભિવ્યક્તિઓ ખૂબ ઉપયોગી છે. ભૌતિક વેક્ટર ક્ષેત્રનું પ્રતિનિધિત્વ વેક્ટર ક્ષેત્ર v ને આ રીતે રજૂ કરી શકાય છે કે જ્યાં ક્ષેત્રના સહપરિવર્તન ઘટકો છે, તે ભૌતિક ઘટકો છે, અને (કોઈ સરવાળો નથી) તે સામાન્યીકૃત વિરોધાભાસી આધાર વેક્ટર છે. સેકન્ડ ઓર્ડર ટેન્સર ક્ષેત્ર બીજા ઓર્ડર ટેન્સર ક્ષેત્રનો ઢાળ એ જ રીતે ઢાળ માટે સ્પષ્ટ અભિવ્યક્તિઓ તરીકે વ્યક્ત કરી શકાય છે જો આપણે ટેન્સર માટેના અભિવ્યક્તિને વિરોધાભાસી આધારની દ્રષ્ટિએ ધ્યાનમાં લઈએ, તો પછી આપણે લખી શકીએ છીએ ભૌતિક સેકન્ડ ઓર્ડર ટેન્સર ક્ષેત્રનું પ્રતિનિધિત્વ બીજા ઓર્ડર ટેન્સર ક્ષેત્રના ભૌતિક ઘટકો સામાન્યીકૃત વિરોધાભાસી આધારનો ઉપયોગ કરીને મેળવી શકાય છે, એટલે કે, જ્યાં હેટેડ બેઝ વેક્ટરને સામાન્ય કરવામાં આવ્યા છે. આ સૂચવે છે કે (ફરીથી કોઈ સરવાળો નથી) વિચલન વેક્ટર ક્ષેત્ર વેક્ટર ક્ષેત્ર () ના વિચલનને આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. આ સંબંધ મેળવવા માટે યાદ રાખો કે હવે, તેની સમપ્રમાણતાને કારણે, આપણી પાસે યાદ છે કે જો [gij] એ મેટ્રિક્સ છે જેના ઘટકો gij છે, તો મેટ્રિક્સનો ઇન્વર્સ છે. મેટ્રિક્સનો વ્યસ્ત ભાગ એ રીતે આપવામાં આવે છે કે જ્યાં એઇજ એ ઘટકો ગીજનું કોફેક્ટર મેટ્રિક્સ છે. મેટ્રિક્સ બીજગણિતમાંથી આપણી પાસે છે તેથી, આ સંબંધને વિચલન માટે અભિવ્યક્તિમાં જોડવાથી થોડી હેરફેર વધુ સઘન સ્વરૂપ તરફ દોરી જાય છે બીજા ક્રમના ટેન્સર ક્ષેત્ર બીજા ક્રમના ટેન્સર ક્ષેત્રના વિચલનને તેનો ઉપયોગ કરીને વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જ્યાં a એ મનસ્વી અચળ વેક્ટર છે. વક્રરેખીય કોઓર્ડિનેટ્સમાં, લાપ્લેસીયન સ્કેલર ફિલ્ડ φ (x) સ્કેલર ફિલ્ડના લાપ્લેસીયનને આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે વેક્ટર ફિલ્ડના વિચલન માટે વૈકલ્પિક અભિવ્યક્તિનો ઉપયોગ આપણને આપે છે હવે તેથી, વેક્ટર ફિલ્ડનો કર્લ સહપરિવર્તન વક્રરેખીય કોઓર્ડિનેટ્સમાં વેક્ટર ફિલ્ડ v ના કર્લને આ રીતે લખી શકાય છે જ્યાં ઓર્થોગોનલ વક્રરેખીય કોઓર્ડિનેટ્સ ધારો કે, આ વિભાગના હેતુઓ માટે, કે વક્રરેખીય કોઓર્ડિનેટ્સ સિસ્ટમ ઓર્થોગોનલ છે, એટલે કે, અથવા સમકક્ષ, જ્યાં. પહેલાની જેમ, કોવેરિયન્ટ બેઝિસ વેક્ટર છે અને Bi, bj વિરોધાભાસી બેઝિસ વેક્ટર છે. ઉપરાંત, ચાલો (e1, e2, e3) પૃષ્ઠભૂમિ, નિશ્ચિત, કાર્ટેશિયન આધાર હોય. ઓર્થોગોનલ વક્રરેખીય કોઓર્ડિનેટ્સની યાદી નીચે આપવામાં આવી છે. ઓર્થોગોનલ વક્રરેખીય કોઓર્ડિનેટ્સમાં મેટ્રિક ટેન્સર ચાલો r (x) એ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમના મૂળના સંદર્ભમાં બિંદુ x નો સ્થિતિ વેક્ટર છે. આ સંકેતને x = r (x) નોંધ કરીને સરળ બનાવી શકાય છે. દરેક બિંદુ પર આપણે એક નાનું રેખા તત્વ dx બનાવી શકીએ છીએ. રેખા તત્વની લંબાઈનો વર્ગ એ સ્કેલર પ્રોડક્ટ dx • dx છે અને તેને જગ્યાનું મેટ્રિક કહેવામાં આવે છે. યાદ કરો કે જ્યારે આપણે વક્રરેખીય કોઓર્ડિનેટ્સની વાત કરીએ છીએ ત્યારે રસની જગ્યા યુક્લિડિયન હોવાનું માનવામાં આવે છે. ચાલો આપણે સ્થિતિ વેક્ટરને પૃષ્ઠભૂમિ, નિશ્ચિત, કાર્ટેશિયન આધારની દ્રષ્ટિએ વ્યક્ત કરીએ, એટલે કે, સાંકળ નિયમનો ઉપયોગ કરીને, આપણે પછી ત્રિ-પરિમાણીય ઓર્થોગોનલ વક્રરેખીય કોઓર્ડિનેટ્સ (q1, q2, q3) ની દ્રષ્ટિએ dx ને વ્યક્ત કરી શકીએ છીએ. એ પણ નોંધ લો કે જ્યાં હિઝ એ લેમે ગુણાંક છે. જો આપણે સ્કેલ પરિબળોને વ્યાખ્યાયિત કરીએ, તો તેનો ઉપયોગ કરીને આપણે મૂળભૂત ટેન્સર અને લેમે ગુણાંક વચ્ચેનો સંબંધ મેળવીએ છીએ. ઉદાહરણોઃ ધ્રુવીય કોઓર્ડિનેટ્સ જો આપણે R2 માટે ધ્રુવીય કોઓર્ડિનેટ્સને ધ્યાનમાં લઈએ, તો નોંધ લો કે (r, θ) વક્રરેખીય કોઓર્ડિનેટ્સ છે, અને પરિવર્તનનો જેકોબિયન નિર્ધારક (r, θ) → (r cos θ, r sin θ) r છે. સામાન્યકૃત બેસિસ વેક્ટર એ છે er = (cos θ, sin θ), eθ = (− sin θ, cos θ) અને સ્કેલ પરિબળો એ છે hr = 1 અને hθ = r. મૂળભૂત ટેન્સર g11 = 1, g22 = r2, g12 = g21 = 0 છે. રેખા અને સપાટી સંકલન જો આપણે વેક્ટર કલન ગણતરીઓ માટે વક્રરેખીય કોઓર્ડિનેટ્સનો ઉપયોગ કરવા માંગતા હોઈએ, તો રેખા, સપાટી અને કદ સંકલનની ગણતરીમાં ગોઠવણો કરવાની જરૂર છે. સરળતા માટે, આપણે ફરીથી ચર્ચાને ત્રણ પરિમાણો અને ઓર્થોગોનલ વક્રરેખીય કોઓર્ડિનેટ્સ સુધી મર્યાદિત રાખીએ છીએ. જો કે, સમાન દલીલો-પરિમાણીય સમસ્યાઓ માટે લાગુ પડે છે, જો કે જ્યારે સંકલન પ્રણાલી ઓર્થોગોનલ ન હોય ત્યારે અભિવ્યક્તિઓમાં કેટલાક વધારાના શબ્દો હોય છે. રેખા સંકલન સામાન્ય રીતે રેખા સંકલનની ગણતરીમાં આપણે ગણતરી કરવામાં રસ ધરાવીએ છીએ જ્યાં x (t) કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સમાં C ને પરિમાણ આપે છે. વક્રરેખીય કોઓર્ડિનેટ્સમાં, સાંકળ નિયમ દ્વારા શબ્દ. અને લેમે ગુણાંકની વ્યાખ્યા પરથી, અને આમ હવે, ક્યારેથી, આપણી પાસે છે અને આપણે સામાન્ય રીતે આગળ વધી શકીએ છીએ. સરફેસ ઇન્ટિગ્રલ્સ તેવી જ રીતે, જો આપણે સરફેસ ઇન્ટિગ્રલમાં રસ ધરાવીએ, તો કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સમાં સપાટીના પરિમાણ સાથે સંબંધિત ગણતરી છેઃ ફરીથી, વક્રરેખીય કોઓર્ડિનેટ્સમાં, આપણી પાસે છે અને આપણે ફરીથી વક્રરેખીય કોઓર્ડિનેટ્સની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ ઉપજ આપવા માટે કરીએ છીએ. નિર્ધારક સ્વરૂપમાં, વક્રરેખીય કોઓર્ડિનેટ્સની દ્રષ્ટિએ ક્રોસ પ્રોડક્ટ હશેઃ ગ્રેડ, કર્લ, ડિવ, લેપલેસિયન 3 પરિમાણોના ઓર્થોગોનલ વક્રરેખીય કોઓર્ડિનેટ્સમાં, જ્યાં કોઈ સ્કેલર અથવા વેક્ટર ક્ષેત્રના ઢાળને આ રીતે વ્યક્ત કરી શકે છે. વેક્ટર ક્ષેત્રનો વળાંક તેના દ્વારા આપવામાં આવે છે જ્યાં εijk એ લેવી-સિવિટા પ્રતીક છે. ઉદાહરણ તરીકેઃ નળાકાર ધ્રુવીય કોઓર્ડિનેટ્સ નળાકાર કોઓર્ડિનેટ્સ માટે આપણી પાસે છે અને જ્યાં પછી સહપરિવર્તન અને વિરોધાભાસી બેસિસ વેક્ટર છે જ્યાં દિશામાં એકમ વેક્ટર છે. નોંધ લો કે મેટ્રિક ટેન્સરના ઘટકો એવા છે જે દર્શાવે છે કે આધાર ઓર્થોગોનલ છે. બીજા પ્રકારના ક્રિસ્ટોફેલ પ્રતીકના બિન-શૂન્ય ઘટકો ભૌતિક વેક્ટર ક્ષેત્રનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. નળાકાર ધ્રુવીય કોઓર્ડિનેટ્સમાં સામાન્યીકૃત વિરોધાભાસી બેસિસ વેક્ટર છે અને વેક્ટર v ના ભૌતિક ઘટકો સ્કેલર ક્ષેત્રના ઢાળ છે. નળાકાર કોઓર્ડિનેટ્સમાં સ્કેલર ક્ષેત્ર, f (x) ના ઢાળની ગણતરી હવે વળાંકવાળા કોઓર્ડિનેટ્સમાં સામાન્ય અભિવ્યક્તિમાંથી કરી શકાય છે અને તે વેક્ટર ક્ષેત્રના ઢાળનું સ્વરૂપ ધરાવે છે. તેવી જ રીતે, નળાકાર કોઓર્ડિનેટ્સમાં વેક્ટર ક્ષેત્ર, v (x) ના ઢાળને વેક્ટર ક્ષેત્રનું વિચલન દર્શાવી શકાય છે. નળાકાર ધ્રુવીય કોઓર્ડિનેટ્સમાં તેથી, ભૌતિક બીજા ક્રમના ટેન્સર ક્ષેત્રનું પ્રતિનિધિત્વ બીજા ક્રમના ટેન્સર ક્ષેત્રના ભૌતિક ઘટકો તે પ્રાપ્ત થાય છે જ્યારે ટેન્સરને સામાન્યીકૃત વિરોધાભાસી આધારની દ્રષ્ટિએ વ્યક્ત કરવામાં આવે છે. નળાકાર ધ્રુવીય કોઓર્ડિનેટ્સમાં આ ઘટકો છેઃ બીજા ક્રમના ટેન્સર ક્ષેત્રનો ઢાળ ઉપરોક્ત વ્યાખ્યાઓનો ઉપયોગ કરીને આપણે બતાવી શકીએ છીએ કે નળાકાર ધ્રુવીય કોઓર્ડિનેટ્સમાં બીજા ક્રમના ટેન્સર ક્ષેત્રનો ઢાળ બીજા ક્રમના ટેન્સર ક્ષેત્રના વિચલન તરીકે વ્યક્ત કરી શકાય છે. તેથી, કોવેરિયન્સ અને કોન્ટ્રાવેરિયન્સ પણ જુઓ વક્ર અવકાશ સમયના ઓર્થોગોનલ કોઓર્ડિનેટ્સના ગણિતનો મૂળભૂત પરિચય ફ્રેનેટ-સેરેટ સૂત્રો કોવેરિયન્ટ વ્યુત્પન્ન ટેન્સર વ્યુત્પન્ન (સાતત્ય મિકેનિક્સ) નળાકાર અને ગોળાકાર કોઓર્ડિનેટ્સમાં વક્રરેખીય પરિપ્રેક્ષ્ય ડેલ સંદર્ભો નોંધો વધુ વાંચન બાહ્ય કડીઓ વક્રરેખીય કોઓર્ડિનેટ્સમાં એકમ વેક્ટરની વ્યુત્પત્તિ ગણિતવર્લ્ડનું પૃષ્ઠ વક્રરેખીય કોઓર્ડિનેટ્સ પર પ્રો. આર. બ્રાનોનનું વક્રરેખીય કોઓર્ડિનેટ્સ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ્સ પરનું ઇ-બુક 3