Constant-mean-curvature surface
વિભેદક ભૂમિતિમાં, સતત-અર્થ-વળાંક (CMC) સપાટીઓ સતત સરેરાશ વળાંક ધરાવતી સપાટીઓ હોય છે. આમાં ઉપગણ તરીકે ન્યૂનતમ સપાટીઓનો સમાવેશ થાય છે, પરંતુ સામાન્ય રીતે તેમને વિશેષ કેસ તરીકે ગણવામાં આવે છે. નોંધ લો કે આ સપાટીઓ સામાન્ય રીતે ગોળાના મહત્વપૂર્ણ અપવાદ સાથે સતત ગૌસીયન વળાંકવાળી સપાટીઓથી અલગ હોય છે. 1841 માં ઇતિહાસમાં ડેલાઉનેએ સાબિત કર્યું હતું કે સતત સરેરાશ વળાંક સાથે ક્રાંતિની એકમાત્ર સપાટીઓ શંકુના રુલેટ્સને ફેરવીને મેળવવામાં આવેલી સપાટીઓ હતી. આ સમતલ, નળાકાર, ગોળા, કેટેનોઇડ, અંડ્યુલોઇડ અને નોડૉઇડ છે. 1853માં જે. એચ. જેલ્લેટે દર્શાવ્યું હતું કે જો સતત સરેરાશ વળાંક સાથે સાંકડી તારાના આકારની સપાટી હોય, તો તે પ્રમાણભૂત ગોળા છે. ત્યારબાદ, એ. ડી. એલેક્ઝાન્ડ્રોવે સાબિત કર્યું કે સતત સરેરાશ વળાંક સાથે કોમ્પેક્ટ એમ્બેડેડ સપાટી એક ગોળા હોવી જોઈએ. આના આધારે એચ. હોપે 1956માં અનુમાન લગાવ્યું હતું કે કોઈપણ નિમજ્જિત કોમ્પેક્ટ ઓરિએન્ટેબલ અચળાંક સરેરાશ વળાંક અતિસંવેદનશીલતા પ્રમાણભૂત એમ્બેડેડ ગોળા હોવી જોઈએ. આ અનુમાનને 1982માં વુ-યી હ્સિયાંગ દ્વારા એક પ્રતિકૂળ ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને નકારી કાઢવામાં આવ્યું હતું. 1984માં હેનરી સી. વેન્ટેએ વેન્ટે ટોરસનું નિર્માણ કર્યું હતું, જે સતત સરેરાશ વળાંક સાથે ટોરસમાં નિમજ્જન હતું. આ બિંદુ સુધી એવું લાગતું હતું કે CMC સપાટીઓ દુર્લભ હતી; નવી તકનીકોએ ઘણા બધા ઉદાહરણો આપ્યા. ખાસ કરીને ગ્લુઇંગ પદ્ધતિઓ સી. એમ. સી. સપાટીઓને એકદમ મનસ્વી રીતે જોડવાની મંજૂરી આપે છે. વિલંબિત સપાટીઓને તેમના CMC ગુણધર્મોને જાળવી રાખીને, ડૂબી ગયેલા "પરપોટા" સાથે પણ જોડી શકાય છે. મીક્સે દર્શાવ્યું હતું કે ત્યાં કોઈ એમ્બેડેડ CMC સપાટીઓ નથી જેમાં માત્ર એક જ છેડો હોય. કોરેવાર, કુસ્નર અને સોલોમનએ સાબિત કર્યું કે સંપૂર્ણ એમ્બેડેડ CMC સપાટીમાં અંત અનડ્યુલોઈડ્સ માટે એસિમ્પ્ટોટિક હશે. દરેક છેડો અંડ્યુલોઇડના એસિમ્પ્ટોટિક અક્ષ સાથે "બળ" ધરાવે છે (જ્યાં n એ ગરદનનો પરિઘ છે), જેનો સરવાળો સપાટીના અસ્તિત્વ માટે સંતુલિત હોવો આવશ્યક છે. વર્તમાન કાર્યમાં એમ્બેડેડ CMC સપાટીઓના પરિવારોને તેમની મોડ્યુલી જગ્યાઓના સંદર્ભમાં વર્ગીકરણનો સમાવેશ થાય છે. ખાસ કરીને, જીનસ 0 ના કોપ્લાનર k-અંડ્યુલોઈડ્સ માટે વિષમ k માટે સંતોષ થાય છે, અને સમ k માટે. મહત્તમ k − 2 છેડા નળાકાર હોઈ શકે છે. જનરેશન પદ્ધતિઓ પ્રતિનિધિત્વ સૂત્ર જેમ કે ન્યૂનતમ સપાટીઓ માટે, હાર્મોનિક કાર્યોની નજીકની કડી અસ્તિત્વમાં છે. એક લક્ષી સપાટી સતત સરેરાશ વળાંક ધરાવે છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તેનો ગૌસ નકશો હાર્મોનિક નકશો હોય. કેનમોત્સુનું પ્રતિનિધિત્વ સૂત્ર એ ન્યૂનતમ સપાટીઓના વેઇઅરસ્ટ્રાસ-એનેપર પરિમાણીકરણનું પ્રતિરૂપ છેઃ ચાલો એક ખુલ્લું સરળ રીતે જોડાયેલ સબસેટ હોઈએ અને મનસ્વી બિન-શૂન્ય વાસ્તવિક અચળાંક હોઈએ. ધારો કે તે રીમાન ગોળામાં એક હાર્મોનિક કાર્ય છે. જો પછી ફોર દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે તો તે નિયમિત સપાટી છે જે ગૌસ નકશા અને સરેરાશ વળાંક તરીકે હોય છે. માટે અને આ ગોળા ઉત્પન્ન કરે છે. અને સિલિન્ડર ક્યાં આપે છે. સંયુગ્મિત પિતરાઈ પદ્ધતિ લોસને 1970માં દર્શાવ્યું હતું કે દરેક CMC સપાટીમાં સમમિતીય "પિતરાઈ" ન્યૂનતમ સપાટી હોય છે. આ ભૂગણિત બહુકોણથી શરૂ થતી રચનાઓને મંજૂરી આપે છે, જે ન્યૂનતમ પેચ દ્વારા ફેલાયેલી હોય છે જેને પ્રતિબિંબ દ્વારા સંપૂર્ણ સપાટીમાં વિસ્તૃત કરી શકાય છે, અને પછી CMC સપાટીમાં ફેરવી શકાય છે. સી. એમ. સી. ટોરી હિચિન, પિંકોલ, સ્ટર્લિંગ અને બોબેન્કોએ દર્શાવ્યું હતું કે અવકાશ સ્વરૂપોમાં 2-ટોરસના તમામ સતત સરેરાશ વક્રતા નિમજ્જન અને શુદ્ધ આલ્જેબ્રો-ભૌમિતિક ડેટામાં વર્ણવી શકાય છે. આને સમતલના સી. એમ. સી. નિમજ્જનના ઉપગણ સુધી વિસ્તૃત કરી શકાય છે જે મર્યાદિત પ્રકારના હોય છે. વધુ ચોક્કસપણે CMC નિમજ્જન અને, અને સ્વરૂપના વર્ણપટ માહિતી વચ્ચે એક સ્પષ્ટ દ્વિભાજન છે જ્યાં વર્ણપટ વળાંક તરીકે ઓળખાતી લંબવર્તુળાકાર વળાંક હોય છે, તે એક મેરોમૉર્ફિક કાર્ય છે, અને તેના પર બિંદુઓ હોય છે, તે એક એન્ટિહોલોમોર્ફિક ઇન્વોલ્યુશન છે અને ચોક્કસ શરતોનું પાલન કરવા પર એક રેખા બંડલ છે. અલગ આંકડાકીય પદ્ધતિઓ અલગ વિભેદક ભૂમિતિ સી. એમ. સી. સપાટીઓ (અથવા અલગ સમકક્ષો) માટે અંદાજો પેદા કરવા માટે વાપરી શકાય છે, સામાન્ય રીતે યોગ્ય ઊર્જા કાર્યાત્મકને ઘટાડીને. સી. એમ. સી. સપાટીઓ સાબુના પરપોટાની રજૂઆત માટે કુદરતી છે, કારણ કે તેમાં બિન-શૂન્ય દબાણના તફાવતને અનુરૂપ વળાંક હોય છે. મેક્રોસ્કોપિક બબલ સપાટીઓ ઉપરાંત CMC સપાટીઓ સુપરહાઇડ્રોફોબિક સપાટી પર ગેસ-લિક્વિડ ઇન્ટરફેસના આકાર માટે સુસંગત છે. ત્રણ વખતની ઓછામાં ઓછી સપાટીઓની જેમ, બ્લોક કોપોલિમર માટેના નમૂના તરીકે સામયિક CMC સપાટીઓમાં રસ રહ્યો છે જ્યાં વિવિધ ઘટકોમાં બિન-શૂન્ય ઇન્ટરફેસિયલ ઊર્જા અથવા તણાવ હોય છે. સમયાંતરે ન્યૂનતમ સપાટીઓ માટે CMC એનાલોગનું નિર્માણ કરવામાં આવ્યું છે, જે જગ્યાના અસમાન પાર્ટીશનો ઉત્પન્ન કરે છે. સી. એમ. સી. ની રચનાઓ એ. બી. સી. ટ્રિબલોક કોપોલિમરમાં જોવા મળી છે. સ્થાપત્યમાં સી. એમ. સી. સપાટીઓ હવા-સમર્થિત માળખાઓ જેમ કે ફૂલાવી શકાય તેવા ગુંબજો અને આવરણો તેમજ વહેતા કાર્બનિક આકારોના સ્ત્રોત માટે સુસંગત છે. આ પણ જુઓ ડબલ બબલ અનુમાન મુક્ત સપાટી લઘુત્તમ સપાટી સંદર્ભો બાહ્ય કડીઓ CMC સપાટીઓ પર વૈજ્ઞાનિક ગ્રાફિક્સ પ્રોજેક્ટ જીઓમેટ્રીવર્કસ્ટેટ સપાટી ગેલેરી CMC સપાટીઓની GANG ગેલેરી Noid, એન-નોઇડ CMC સપાટીઓની ગણતરી માટે સોફ્ટવેર સપાટીઓની વિભેદક ભૂમિતિ