Generalized Clifford algebra
ગણિતમાં, સામાન્યીકૃત ક્લિફોર્ડ બીજગણિત (જી. સી. એ.) એ એક અભિન્ન સહયોગી બીજગણિત છે જે ક્લિફોર્ડ બીજગણિતને સામાન્ય બનાવે છે, અને હર્મન વેલના કાર્ય પર પાછા જાય છે, જેમણે જે. જે. સિલ્વેસ્ટર (1882) દ્વારા રજૂ કરાયેલા અને કાર્ટન (1898) અને શ્વિંગર દ્વારા આયોજિત આ ઘડિયાળ-અને-શિફ્ટ ઓપરેટર્સનો ઉપયોગ અને ઔપચારિકરણ કર્યું હતું. ઘડિયાળ અને શિફ્ટ મેટ્રિસીસ ગાણિતિક ભૌતિકશાસ્ત્રના અસંખ્ય ક્ષેત્રોમાં નિયમિત ઉપયોગો શોધે છે, જે મર્યાદિત-પરિમાણીય વેક્ટર જગ્યાઓમાં ક્વોન્ટમ યાંત્રિક ગતિશીલતાનો પાયાનો પુરાવો પૂરો પાડે છે. સ્પિનોરની વિભાવનાને આગળ આ બીજગણિત સાથે જોડી શકાય છે. સામાન્યીકૃત ક્લિફોર્ડ આલ્જેબ્રા શબ્દ સહયોગી આલ્જેબ્રાનો પણ ઉલ્લેખ કરી શકે છે જે દ્વિઘાત સ્વરૂપોને બદલે ઉચ્ચ ડિગ્રીના સ્વરૂપોનો ઉપયોગ કરીને બનાવવામાં આવે છે. વ્યાખ્યા અને ગુણધર્મો અમૂર્ત વ્યાખ્યા-પરિમાણીય સામાન્યીકૃત ક્લિફોર્ડ બીજગણિતને ક્ષેત્ર પર સહયોગી બીજગણિત તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જે અને દ્વારા ઉત્પન્ન થાય છે. તદુપરાંત, ભૌતિક એપ્લિકેશનો માટે સંબંધિત કોઈપણ ઈરીડ્યુસિબલ મેટ્રિક્સ રજૂઆતમાં, તે જરૂરી છે, અને gcd. આ ક્ષેત્રને સામાન્ય રીતે જટિલ સંખ્યાઓ C તરીકે લેવામાં આવે છે. વધુ ચોક્કસ વ્યાખ્યા જી. સી. એ. ના વધુ સામાન્ય કિસ્સાઓમાં, ક્રમના-પરિમાણીય સામાન્યીકૃત ક્લિફોર્ડ બીજગણિતમાં તમામ જે, કે અને માટે ગુણધર્મ છે. તે અનુસરે છે કે અને બધા માટે જે, કે, એલ = 1,., એન, અને તે 1 નું th રુટ છે. સાહિત્યમાં સામાન્યીકૃત ક્લિફોર્ડ બીજગણિતની ઘણી વ્યાખ્યાઓ અસ્તિત્વમાં છે. ક્લિફોર્ડ બીજગણિત (ઓર્થોગોનલ) ક્લિફોર્ડ બીજગણિતમાં, તત્વો એન્ટિકોમ્યુટેશન નિયમને અનુસરે છે. મેટ્રિક્સ રજૂઆત ઘડિયાળ અને શિફ્ટ મેટ્રિક્સને શ્વિંગરના કેનોનિકલ નોટેશનમાં મેટ્રિક્સ દ્વારા રજૂ કરી શકાય છે. નોંધપાત્ર રીતે, (વેઇલ બ્રેઇડિંગ સંબંધો), અને (અલગ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ). સાથે, એકમાં ત્રણ પાયાના ઘટકો હોય છે, જે સાથે મળીને, સામાન્યીકૃત ક્લિફોર્ડ બીજગણિત (જીસીએ) ની ઉપરોક્ત શરતોને પૂર્ણ કરે છે. આ મેટ્રિસીસ, અને, જેને સામાન્ય રીતે "શિફ્ટ અને ક્લોક મેટ્રિસીસ" તરીકે ઓળખવામાં આવે છે, તે 1880ના દાયકામાં જે. જે. સિલ્વેસ્ટર દ્વારા રજૂ કરવામાં આવ્યા હતા. (નોંધ કરો કે મેટ્રિસીસ ચક્રીય ક્રમચય મેટ્રિસીસ છે જે ગોળાકાર પાળી કરે છે; તેમને ઉપલા અને નીચલા પાળી મેટ્રિસીસ સાથે ભેળસેળ ન કરવી જોઈએ, જે અનુક્રમે કર્ણની ઉપર અથવા નીચે હોય છે). ચોક્કસ ઉદાહરણો કેસ આ કિસ્સામાં, આપણી પાસે = −1 છે, અને આમ, જે પાઉલી મેટ્રિસીસની રચના કરે છે. આ કિસ્સામાં આપણી પાસે = છે અને તે મુજબ નક્કી કરી શકાય છે. આ પણ જુઓ ક્લિફોર્ડ બીજગણિત પાઉલી મેટ્રિક્સના સામાન્યીકરણ DFT મેટ્રિક્સ સર્ક્યુલન્ટ મેટ્રિક્સ સંદર્ભો વધુ વાંચન (ગણિતીય વિજ્ઞાનમાં અલ્લાદી રામકૃષ્ણનના વારસામાં (pp. 465-489). સ્પ્રિંગર, ન્યૂયોર્ક, એનવાય.) આલ્જેબ્રાસ ક્લિફોર્ડ આલ્જેબ્રાસ રીંગ થિયરી ચતુર્ભુજ ગાણિતિક ભૌતિકશાસ્ત્ર બનાવે છે