Orbit modeling
ઓર્બિટ મોડેલિંગ એ વિશાળ પદાર્થની ગતિનું અનુકરણ કરવા માટે ગાણિતિક નમૂનાઓ બનાવવાની પ્રક્રિયા છે કારણ કે તે ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે અન્ય વિશાળ પદાર્થની આસપાસ ભ્રમણકક્ષામાં ફરે છે. અન્ય બળો જેમ કે તૃતીય પદાર્થોમાંથી ગુરુત્વાકર્ષણીય આકર્ષણ, હવા પ્રતિકાર, સૌર દબાણ અથવા પ્રોપલ્શન સિસ્ટમમાંથી દબાણને સામાન્ય રીતે ગૌણ અસરો તરીકે મોડેલિંગ કરવામાં આવે છે. ભ્રમણકક્ષાનું સીધું મોડેલિંગ ખૂબ મોટી ભ્રમણકક્ષાઓમાં નાના વિક્ષેપોનું મોડેલ બનાવવાની જરૂરિયાતને કારણે મશીનની ચોકસાઇની મર્યાદાને આગળ ધપાવી શકે છે. આને કારણે, વધુ સારી ચોકસાઈ પ્રાપ્ત કરવા માટે ભ્રમણકક્ષાનું નમૂના બનાવવા માટે ઘણીવાર વિક્ષેપ પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. પૃષ્ઠભૂમિ ભ્રમણકક્ષાની ગતિ અને ભ્રમણકક્ષાના ગાણિતિક મોડેલિંગનો અભ્યાસ આકાશમાં ગ્રહોની ગતિની આગાહી કરવાના પ્રથમ પ્રયાસોથી શરૂ થયો હતો, જોકે પ્રાચીન સમયમાં કારણો એક રહસ્ય રહ્યા હતા. ન્યૂટને, જે સમયે તેમણે ગતિ અને ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમો ઘડ્યાં હતાં, તેમની ગણતરીની જટિલ મુશ્કેલીઓને ઓળખીને, તેમને વિક્ષેપના પ્રથમ વિશ્લેષણમાં લાગુ કર્યા હતા. ત્યારથી ઘણા મહાન ગણિતશાસ્ત્રીઓએ સામેલ વિવિધ સમસ્યાઓ પર ધ્યાન આપ્યું છે; સમગ્ર 18મી અને 19મી સદી દરમિયાન સમુદ્રમાં નેવિગેશનના હેતુઓ માટે ચંદ્ર અને ગ્રહોની સ્થિતિની સચોટ કોષ્ટકોની માંગ હતી. ભ્રમણકક્ષાની જટિલ ગતિઓને તોડી શકાય છે. માત્ર એક અન્ય પદાર્થની ગુરુત્વાકર્ષણીય અસર હેઠળ શરીર જે કાલ્પનિક ગતિને અનુસરે છે તે સામાન્ય રીતે શંકુ વિભાગ છે, અને તેને ભૂમિતિ પદ્ધતિઓ સાથે સહેલાઈથી તૈયાર કરી શકાય છે. આને બે-પદાર્થની સમસ્યા અથવા અનિયંત્રિત કેપ્લેરિયન ભ્રમણકક્ષા કહેવામાં આવે છે. કેપ્લેરિયન ભ્રમણકક્ષા અને શરીરની વાસ્તવિક ગતિ વચ્ચેના તફાવતો વિક્ષેપને કારણે થાય છે. આ વિક્ષેપો પ્રાથમિક અને ગૌણ પદાર્થ વચ્ચેની ગુરુત્વાકર્ષણીય અસર સિવાયના બળોને કારણે થાય છે અને ભ્રમણકક્ષાનું સચોટ અનુકરણ બનાવવા માટે તેનું અનુકરણ કરવું આવશ્યક છે. મોટાભાગના ઓર્બિટ મોડેલિંગ અભિગમો દ્વિ-શરીરની સમસ્યાનું મોડેલ બનાવે છે અને પછી આ વિક્ષેપિત દળોના નમૂનાઓ ઉમેરે છે અને સમય જતાં આ મોડેલોનું અનુકરણ કરે છે. વિક્ષેપિત બળોમાં પ્રાથમિક, સૌર પવન, ખેંચાણ, ચુંબકીય ક્ષેત્રો અને પ્રેરક બળો ઉપરાંત અન્ય પદાર્થોમાંથી ગુરુત્વાકર્ષણ આકર્ષણનો સમાવેશ થઈ શકે છે. સરળ બે-બોડી અને ત્રણ-બોડી સમસ્યાઓ માટે વિશ્લેષણાત્મક ઉકેલો (ભવિષ્યના કોઈપણ સમયે સ્થિતિ અને ગતિની આગાહી કરવા માટે ગાણિતિક અભિવ્યક્તિઓ) અસ્તિત્વમાં છે; અમુક ખાસ કિસ્સાઓ સિવાય એન-બોડી સમસ્યા માટે કોઈ મળ્યું નથી. બે શરીરની સમસ્યા પણ અદ્રાવ્ય બની જાય છે જો એક શરીર આકારમાં અનિયમિત હોય. રસની મોટાભાગની સમસ્યાઓના વિશ્લેષણાત્મક ઉકેલો શોધવામાં મુશ્કેલીને કારણે, કમ્પ્યુટર મોડેલિંગ અને સિમ્યુલેશનનો ઉપયોગ સામાન્ય રીતે ભ્રમણકક્ષાની ગતિનું વિશ્લેષણ કરવા માટે થાય છે. અવકાશયાનની ભ્રમણકક્ષાઓ અને માર્ગોનું અનુકરણ કરવા માટે વિવિધ પ્રકારના સોફ્ટવેર ઉપલબ્ધ છે. કેપ્લેરિયન ઓર્બિટ મોડેલ તેના સૌથી સરળ સ્વરૂપમાં, ભ્રમણકક્ષાનું મોડેલ એમ ધારીને બનાવી શકાય છે કે માત્ર બે પદાર્થો સામેલ છે, બંને ગોળાકાર બિંદુ-સમૂહ તરીકે વર્તે છે, અને અન્ય કોઈ બળો પદાર્થો પર કાર્ય કરતા નથી. આ કેસ માટે મોડેલને કેપ્લર ભ્રમણકક્ષામાં સરળ બનાવવામાં આવ્યું છે. કેપ્લેરિયન ભ્રમણકક્ષાઓ શંકુ વિભાગોને અનુસરે છે. ભ્રમણકક્ષાનું ગાણિતિક મોડેલ જે કેન્દ્રીય પદાર્થ અને ભ્રમણકક્ષામાં ફરતા પદાર્થ વચ્ચેનું અંતર આપે છે તેને આ રીતે વ્યક્ત કરી શકાય છેઃ જ્યાંઃ અંતર એ અર્ધ-મુખ્ય અક્ષ છે, જે ભ્રમણકક્ષાના કદને વિકેન્દ્રતા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરે છે, જે ભ્રમણકક્ષાના આકારને વ્યાખ્યાયિત કરે છે તે સાચી વિસંગતતા છે, જે ભ્રમણકક્ષામાં ફરતા પદાર્થની વર્તમાન સ્થિતિ અને તેની ભ્રમણકક્ષામાં સ્થાન વચ્ચેનો કોણ છે જે કેન્દ્રીય પદાર્થની સૌથી નજીક છે (જેને પેરીઆપ્સિસ કહેવાય છે) વૈકલ્પિક રીતે, સમીકરણને આ રીતે વ્યક્ત કરી શકાય છેઃ જ્યાં વળાંકનું અર્ધ-અક્ષાંશ ગુદામાર્ગ કહેવાય છે. સમીકરણનું આ સ્વરૂપ ખાસ કરીને પેરાબોલિક માર્ગ સાથે વ્યવહાર કરતી વખતે ઉપયોગી છે, જેના માટે અર્ધ-મુખ્ય અક્ષ અનંત છે. વૈકલ્પિક અભિગમ આઇઝેક ન્યૂટનના સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમનો નીચે વ્યાખ્યાયિત કર્યા મુજબ ઉપયોગ કરે છેઃ જ્યાંઃ બે બિંદુ દળો વચ્ચેના ગુરુત્વાકર્ષણીય બળની તીવ્રતા એ ગુરુત્વાકર્ષણીય અચળાંક છે જે પ્રથમ બિંદુ દળનું દળ છે અને બીજા બિંદુ દળનું દળ એ બે બિંદુ દળો વચ્ચેનું અંતર છે. વ્યવહારમાં, કેપ્લેરિયન ભ્રમણકક્ષાઓ સામાન્ય રીતે માત્ર પ્રથમ ક્રમના અંદાજો, વિશેષ કિસ્સાઓમાં અથવા અવ્યવસ્થિત ભ્રમણકક્ષા માટેના આધાર નમૂના તરીકે ઉપયોગી છે. ઓર્બિટ સિમ્યુલેશન પદ્ધતિઓ ઓર્બિટ મોડેલો સામાન્ય રીતે ખાસ વિક્ષેપ પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને સમય અને અવકાશમાં પ્રચાર કરવામાં આવે છે. આ પ્રથમ કેપ્લેરિયન ભ્રમણકક્ષા તરીકે ભ્રમણકક્ષાનું મોડેલિંગ કરીને કરવામાં આવે છે. પછી ભ્રમણકક્ષાને અસર કરતી વિવિધ વિક્ષેપોને ધ્યાનમાં લેવા માટે મોડેલમાં વિક્ષેપો ઉમેરવામાં આવે છે. અવકાશી મિકેનિક્સમાં કોઈપણ સમસ્યા પર વિશેષ વિક્ષેપ લાગુ કરી શકાય છે, કારણ કે તે એવા કિસ્સાઓ સુધી મર્યાદિત નથી જ્યાં વિક્ષેપિત દળો નાના હોય. વિશેષ વિક્ષેપ પદ્ધતિઓ એ સૌથી સચોટ મશીન-જનરેટેડ ગ્રહોની ઇફેમેરાઇડ્સનો આધાર છે. જુઓ, દાખલા તરીકે, જેટ પ્રોપલ્શન લેબોરેટરી ડેવલપમેન્ટ એફેમેરિસ કોવેલની પદ્ધતિ કોવેલની પદ્ધતિ એક વિશેષ વિક્ષેપ પદ્ધતિ છે; ગાણિતિક રીતે, પરસ્પર ક્રિયાપ્રતિક્રિયા કરતી સંસ્થાઓ માટે, અન્ય સંસ્થાઓમાંથી શરીર પર ન્યુટોનિયન બળોનો સારાંશ આ રીતે કરવામાં આવે છે, જ્યાં શરીરનું પ્રવેગક વેક્ટર ગુરુત્વાકર્ષણીય અચળાંક છે તે શરીરનું દળ છે અને તે પદાર્થોના સ્થિતિ વેક્ટર છે અને તે પદાર્થથી પદાર્થ વચ્ચેનું અંતર છે જેમાં તમામ વેક્ટરને સિસ્ટમના બેરિસેન્ટરમાં સંદર્ભિત કરવામાં આવે છે. આ સમીકરણને ઘટકોમાં ઉકેલવામાં આવે છે, અને આ નવા વેગ અને સ્થિતિ વેક્ટર રચવા માટે આંકડાકીય રીતે સંકલિત કરવામાં આવે છે કારણ કે સિમ્યુલેશન સમય જતાં આગળ વધે છે. કોવેલની પદ્ધતિનો ફાયદો એપ્લિકેશન અને પ્રોગ્રામિંગની સરળતા છે. એક ગેરલાભ એ છે કે જ્યારે વિક્ષેપોની તીવ્રતા મોટી થઈ જાય છે (જેમ કે જ્યારે કોઈ વસ્તુ બીજાની નજીક પહોંચે છે) ત્યારે પદ્ધતિની ભૂલો પણ મોટી થઈ જાય છે. બીજો ગેરલાભ એ છે કે સૂર્ય જેવી પ્રબળ કેન્દ્રીય પદાર્થ ધરાવતી પ્રણાલીઓમાં, કેન્દ્રીય પદાર્થ અને વિચલિત પદાર્થોના બળોમાં મોટા તફાવતને કારણે અંકગણિતમાં ઘણા નોંધપાત્ર અંકો વહન કરવું જરૂરી છે. એન્કેની પદ્ધતિ એન્કેની પદ્ધતિ સંદર્ભ તરીકે ઓસ્યુલેટિંગ ભ્રમણકક્ષાથી શરૂ થાય છે અને સમયના કાર્ય તરીકે સંદર્ભમાંથી ભિન્નતાને ઉકેલવા માટે આંકડાકીય રીતે સંકલિત થાય છે. તેના ફાયદા એ છે કે વિક્ષેપો સામાન્ય રીતે તીવ્રતામાં નાના હોય છે, તેથી એકીકરણ મોટા પગલાંઓમાં આગળ વધી શકે છે (પરિણામે ઓછી ભૂલો થાય છે), અને પદ્ધતિ કોવેલની પદ્ધતિ કરતાં ભારે વિક્ષેપોથી ઘણી ઓછી પ્રભાવિત થાય છે. તેનો ગેરલાભ જટિલતા છે; તેનો ઉપયોગ પ્રસંગોપાત ઓસ્યુલેટિંગ ભ્રમણકક્ષાને અપડેટ કર્યા વિના અને ત્યાંથી ચાલુ રાખ્યા વિના અનિશ્ચિત સમય માટે કરી શકાતો નથી, જે પ્રક્રિયા રેક્ટિફિકેશન તરીકે ઓળખાય છે. ઓસ્ક્યુલેટિંગ ભ્રમણકક્ષાનું ત્રિજ્યા વેક્ટર, વિક્ષેપિત ભ્રમણકક્ષાનું ત્રિજ્યા વેક્ટર અને વિક્ષેપિત ભ્રમણકક્ષામાંથી વિવિધતા હોવાનું માનીએ અને તે માત્ર અને જ્યાં ગુરુત્વાકર્ષણીય પરિમાણ છે અને કેન્દ્રીય પદાર્થ અને વિક્ષેપિત પદાર્થના દળો છે, તે ગતિના સમીકરણો છે, જે વિક્ષેપિત પ્રવેગ છે, અને અને અને ની તીવ્રતા છે. સમીકરણો () અને () માંથી સમીકરણ () માં બદલીને, જે, સિદ્ધાંતમાં, શોધવા માટે બે વાર સંકલિત કરી શકાય છે. કારણ કે દોડનારી ભ્રમણકક્ષાની ગણતરી સરળતાથી બે-શરીરની પદ્ધતિઓ દ્વારા કરવામાં આવે છે, અને તેનો હિસાબ રાખવામાં આવે છે અને તેને ઉકેલી શકાય છે. વ્યવહારમાં, કૌંસમાં જથ્થો એ બે લગભગ સમાન વેક્ટરનો તફાવત છે, અને વધારાના નોંધપાત્ર અંકોની જરૂરિયાતને ટાળવા માટે વધુ હેરફેર જરૂરી છે. સ્પર્લિંગ-બર્ડેટ પદ્ધતિ 1991 માં વિક્ટર આર. બોન્ડ અને માઈકલ એફ. ફ્રેઇટાએ દ્વિ-શરીરની અવ્યવસ્થિત સમસ્યાને ઉકેલવા માટે એક કાર્યક્ષમ અને અત્યંત સચોટ પદ્ધતિ બનાવી. આ પદ્ધતિ હંસ સ્પર્લિંગ દ્વારા મેળવેલા ગતિના રેખીય અને નિયમિત વિભેદક સમીકરણો અને સી. એ. દ્વારા વિકસાવવામાં આવેલા આ સમીકરણો પર આધારિત વિક્ષેપ સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરે છે. વર્ષ 1864માં બર્ડેટ. 1973માં, બોન્ડ અને હેન્સેને દ્વિ-શરીર ઊર્જાને બદલે પરિમાણ તરીકે વિક્ષેપિત પ્રણાલીની કુલ ઊર્જાનો ઉપયોગ કરીને અને તત્વોની સંખ્યા ઘટાડીને 13 કરીને બર્ડેટના વિભેદક સમીકરણોના સમૂહમાં સુધારો કર્યો. 1989માં બોન્ડ અને ગોટલીબે જેકોબિયન ઇન્ટિગ્રલને સમાવી લીધું હતું, જે ન્યુટોનિયન સમીકરણોમાં સંભવિત કાર્ય સ્પષ્ટ રીતે સમય તેમજ સ્થિતિ પર આધારિત હોય ત્યારે અચળાંક હોય છે. ગતિના વિભેદક સમીકરણોના પુનઃરચનામાં કુલ ઊર્જાને બદલવા માટે એક તત્વ તરીકે જેકોબિયન અચળાંકનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો. આ પ્રક્રિયામાં, અન્ય તત્વ રજૂ કરવામાં આવે છે જે કોણીય વેગના ઘટકના પ્રમાણસર હોય છે. આનાથી તત્વોની કુલ સંખ્યા 14 થઈ ગઈ. 1991માં, બોન્ડ અને ફ્રેઇટાએ લાપ્લાસ વેક્ટરને અન્ય વેક્ટર ઇન્ટિગ્રલ તેમજ અન્ય સ્કેલર ઇન્ટિગ્રલ સાથે બદલીને વધુ સુધારા કર્યા હતા, જેણે કેટલાક ઘટકો માટે વિભેદક સમીકરણોમાં દેખાતા નાના બિનસાંપ્રદાયિક શબ્દોને દૂર કર્યા હતા. સ્પર્લિંગ-બર્ડેટ પદ્ધતિ નીચે મુજબ 5 પગલાની પ્રક્રિયામાં ચલાવવામાં આવે છેઃ પગલું 1: પ્રારંભિક સ્થિતિ, પ્રારંભિક વેગ અને પ્રારંભિક સમયને ધ્યાનમાં રાખીને, નીચેના ચલોનું પ્રારંભ કરવામાં આવે છેઃ અવ્યવસ્થિત દળોને કારણે થતી વિક્ષેપો, અને તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, તેનું મૂલ્યાંકન અન્ય પ્રવેગને કારણે કરવામાં આવે છે, જેને આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, તેનું મૂલ્યાંકન કરવામાં આવે છે પગલું 2: તત્વોને કોઓર્ડિનેટ્સમાં રૂપાંતરિત કરો જ્યાં સ્ટમ્પફ ફંક્શન્સ છે પગલું 3: ઘટકો માટે વિભેદક સમીકરણોનું મૂલ્યાંકન કરો પગલું 4: એકીકરણ અહીં વિભેદક સમીકરણોને પગલું 5 પર તત્વ મૂલ્ય મેળવવા માટે સમયગાળા દરમિયાન સંકલિત કરવામાં આવે છેઃ એડવાન્સ સેટ અને સિમ્યુલેશન અટકાવવાની શરતો પૂર્ણ થાય ત્યાં સુધી પગલું 2 પર પાછા ફરો. વિક્ષેપ વિક્ષેપ બળો ભ્રમણકક્ષાઓને સંપૂર્ણ કેપ્લેરિયન ભ્રમણકક્ષામાંથી વિક્ષેપિત કરે છે. આ દરેક બળો માટેના નમૂનાઓ ભ્રમણકક્ષાના અનુકરણ દરમિયાન બનાવવામાં આવે છે અને ચલાવવામાં આવે છે જેથી ભ્રમણકક્ષા પર તેમની અસરો નક્કી કરી શકાય. બિન-ગોળાકાર ગુરુત્વાકર્ષણ પૃથ્વી એક સંપૂર્ણ ગોળાકાર નથી અને ન તો પૃથ્વીની અંદર દ્રવ્યમાન સમાનરૂપે વહેંચાયેલું છે. આના પરિણામે બિંદુ-દળ ગુરુત્વાકર્ષણ મોડેલ પૃથ્વીની આસપાસની ભ્રમણકક્ષાઓ, ખાસ કરીને પૃથ્વીની નીચી ભ્રમણકક્ષાઓ માટે અચોક્કસ છે. પૃથ્વીની સપાટીની આસપાસ ગુરુત્વાકર્ષણીય ક્ષમતામાં ફેરફારોને ધ્યાનમાં લેવા માટે, પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણીય ક્ષેત્રને ગોળાકાર હાર્મોનિક્સ સાથે મોડેલિંગ કરવામાં આવે છે જે સમીકરણ દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છેઃ જ્યાં ગુરુત્વાકર્ષણીય પરિમાણને G, સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણીય અચળાંક અને પ્રાથમિક પદાર્થના દળના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. તે એકમ વેક્ટર છે જે પ્રાથમિક અને ગૌણ પદાર્થો વચ્ચેનું અંતર વ્યાખ્યાયિત કરે છે, જે અંતરની તીવ્રતા છે. ડિગ્રી n અને ઓર્ડર m ના ગોળાકાર હાર્મોનિકના યોગદાનને રજૂ કરે છે, જેને આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છેઃ જ્યાંઃ એ પ્રાથમિક પદાર્થની સરેરાશ વિષુવવૃત્તીય ત્રિજ્યા છે. તે પ્રાથમિક બોડીના કેન્દ્રથી ગૌણ બોડીના કેન્દ્ર સુધી સ્થિતિ વેક્ટરની તીવ્રતા છે. અને ડિગ્રી n અને ક્રમ m ના ગુરુત્વાકર્ષણીય ગુણાંક છે. આ સામાન્ય રીતે ગુરુત્વાકર્ષણ માપન દ્વારા જોવા મળે છે. એકમ વેક્ટર પ્રાથમિક બોડી પર નિશ્ચિત સંકલન પ્રણાલીને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. પૃથ્વી માટે, પૃથ્વીના ભૌમિતિક કેન્દ્ર અને ગ્રીનવિચ મેરિડીયનને છેદતી રેખાને સમાંતર વિષુવવૃત્તીય સમતલમાં આવેલું છે, જે ઉત્તર ધ્રુવીય અક્ષની દિશામાં નિર્દેશ કરે છે, અને તેને ડિગ્રી n અને ક્રમ m ની વ્યુત્પન્ન લિજેન્ડર બહુપદી તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. તેઓ પુનરાવર્તન સંબંધ દ્વારા ઉકેલાય છેઃ ગૌણ પદાર્થના ભૌગોલિક અક્ષાંશનું સાઇન છે, જે છે. તેને નીચેના પુનરાવૃત્તિ સંબંધ અને પ્રારંભિક પરિસ્થિતિઓ સાથે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છેઃ જ્યારે પ્રાથમિક પદાર્થની આસપાસ ભ્રમણકક્ષાના વિક્ષેપોનું મોડેલિંગ કરવામાં આવે ત્યારે વિક્ષેપમાં માત્ર શબ્દોનો સરવાળો સામેલ કરવાની જરૂર હોય છે કારણ કે બિંદુ-સમૂહ ગુરુત્વાકર્ષણ મોડેલને ત્રીજા પદાર્થના વિક્ષેપ શબ્દમાં ગણવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, સૂર્ય અને ચંદ્ર પૃથ્વીની આસપાસના ભ્રમણકક્ષાઓમાં વિક્ષેપ પેદા કરે છે. આ બળોને એ જ રીતે તૈયાર કરવામાં આવે છે જે રીતે ગુરુત્વાકર્ષણને સીધા ગુરુત્વાકર્ષણીય એન-બોડી સિમ્યુલેશન દ્વારા પ્રાથમિક પદાર્થ માટે તૈયાર કરવામાં આવે છે. લાક્ષણિક રીતે, આ ત્રીજા પદાર્થોમાંથી અસરોના મોડેલિંગ માટે માત્ર ગોળાકાર બિંદુ-દળ ગુરુત્વાકર્ષણ મોડેલનો ઉપયોગ થાય છે. થર્ડ-બોડી વિક્ષેપના કેટલાક વિશેષ કિસ્સાઓમાં અંદાજિત વિશ્લેષણાત્મક ઉકેલો હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે, ચડતા નોડના જમણા આરોહણ માટે વિક્ષેપ અને ગોળાકાર પૃથ્વીની ભ્રમણકક્ષા માટે પેરિજીની દલીલ આ પ્રમાણે છેઃ જ્યાંઃ દરરોજ ડિગ્રીમાં ચડતા નોડના જમણા આરોહણમાં ફેરફાર છે. દરરોજ ડિગ્રીમાં પેરિજીની દલીલમાં ફેરફાર છે. તે ભ્રમણકક્ષાનું વલણ છે. તે દિવસ દીઠ ભ્રમણકક્ષાની પરિભ્રમણની સંખ્યા છે. સૌર કિરણોત્સર્ગ સૌર કિરણોત્સર્ગનું દબાણ ભ્રમણકક્ષામાં વિક્ષેપ પેદા કરે છે. તે પૃથ્વીની ભ્રમણકક્ષામાં અવકાશયાનને જે પ્રવેગ આપે છે તેની તીવ્રતા નીચે આપેલા સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને તૈયાર કરવામાં આવે છેઃ જ્યાંઃ મીટર પ્રતિ સેકન્ડમાં પ્રવેગની તીવ્રતા ચોરસ છે. મીટર-ચોરસમાં સૂર્યના સંપર્કમાં આવેલો ક્રોસ-વિભાગીય વિસ્તાર છે. તે કિલોગ્રામમાં અવકાશયાનનું દળ છે. તે પ્રતિબિંબ પરિબળ છે જે ભૌતિક ગુણધર્મો પર આધાર રાખે છે. શોષણ માટે, સ્પેક્યુલર પ્રતિબિંબ માટે અને પ્રસરેલા પ્રતિબિંબ માટે. પૃથ્વીની આસપાસની ભ્રમણકક્ષાઓ માટે, સૌર કિરણોત્સર્ગનું દબાણ 800 કિમીની ઊંચાઈથી ઉપર ખેંચવા કરતાં વધુ મજબૂત બળ બની જાય છે. પ્રોપલ્શન અવકાશયાન પ્રોપલ્શનના ઘણા વિવિધ પ્રકારો છે. રોકેટ એન્જિન સૌથી વધુ ઉપયોગમાં લેવાતા એન્જિનમાંથી એક છે. રોકેટ એન્જિનનું બળ આ સમીકરણ દ્વારા તૈયાર કરવામાં આવે છેઃ {| બોર્ડર = "0" સેલપેડિંગ = "2" |-|align = right|where: |-! સંરેખિત કરો = જમણે | |align = ડાબે | = એક્ઝોસ્ટ ગેસ માસ ફ્લો |-! સંરેખિત કરો = જમણે | |align = ડાબે | = અસરકારક એક્ઝોસ્ટ વેગ |-! સંરેખિત કરો = જમણે | |align = ડાબે | = નોઝલ એક્ઝિટ પ્લેન પર વાસ્તવિક જેટ વેગ |-! સંરેખિત કરો = જમણે | |align = ડાબે | = નોઝલ એક્ઝિટ પ્લેન પર પ્રવાહ વિસ્તાર (અથવા પ્લેન જ્યાં જેટ નોઝલ છોડે છે જો અલગ પ્રવાહ હોય તો) |-! સંરેખિત કરો = જમણે | |align = ડાબે | = સ્થિર દબાણ નોઝલ પર સૌર સઢ ઇચ્છિત પ્રેરક બળ પ્રાપ્ત કરવા માટે કિરણોત્સર્ગ દબાણનો ઉપયોગ કરે છે. સૌર પવનને કારણે વિક્ષેપ મોડેલનો ઉપયોગ સૌર સઢમાંથી પ્રેરક બળના નમૂના તરીકે થઈ શકે છે. પૃથ્વીની નીચી ભ્રમણકક્ષામાં ઉપગ્રહો પર કામ કરતું પ્રાથમિક બિન-ગુરુત્વાકર્ષણ બળ વાતાવરણીય ખેંચાણ છે. ખેંચાણ વેગની દિશાની વિરુદ્ધમાં કાર્ય કરશે અને ભ્રમણકક્ષામાંથી ઊર્જા દૂર કરશે. ખેંચાણને કારણે બળ નીચે આપેલા સમીકરણ દ્વારા તૈયાર કરવામાં આવે છેઃ જ્યાં ખેંચાણ બળ છે, તે પ્રવાહીની ઘનતા છે, તે પ્રવાહીને સંબંધિત પદાર્થનો વેગ છે, તે ખેંચાણ ગુણાંક છે (એક પરિમાણહીન પરિમાણ, દા. ત. મોટાભાગના ઉપગ્રહો માટે 2 થી 4) એ સંદર્ભ ક્ષેત્ર છે. 120 કિ. મી. થી ઓછી ઉંચાઈ ધરાવતી ભ્રમણકક્ષાઓ સામાન્ય રીતે એટલી ઊંચી ખેંચાણ ધરાવે છે કે ભ્રમણકક્ષાઓ એટલી ઝડપથી ક્ષીણ થઈ જાય છે કે ઉપગ્રહને કોઈપણ વ્યવહારુ મિશન પૂર્ણ કરવા માટે પૂરતું જીવનકાળ મળે છે. બીજી બાજુ, 600 કિ. મી. થી વધુની ઉંચાઈ ધરાવતી ભ્રમણકક્ષાઓ પ્રમાણમાં નાની ખેંચાણ ધરાવે છે જેથી ભ્રમણકક્ષા એટલી ધીમી થઈ જાય છે કે તેના ઉપયોગી જીવન પર ઉપગ્રહ પર તેની કોઈ વાસ્તવિક અસર થતી નથી. હવાની ઘનતા થર્મોસ્ફિયરમાં નોંધપાત્ર રીતે બદલાઈ શકે છે જ્યાં પૃથ્વીની પરિભ્રમણ કરતા મોટાભાગના ઉપગ્રહો રહે છે. આ વિવિધતા મુખ્યત્વે સૌર પ્રવૃત્તિને કારણે છે, અને આમ સૌર પ્રવૃત્તિ અવકાશયાન પર ખેંચાણના બળને મોટા પ્રમાણમાં પ્રભાવિત કરી શકે છે અને લાંબા ગાળાના ભ્રમણકક્ષાના અનુકરણને જટિલ બનાવી શકે છે. ચુંબકીય ક્ષેત્રો ચુંબકીય ક્ષેત્રો ભ્રમણકક્ષામાં વિક્ષેપના સ્ત્રોત તરીકે નોંધપાત્ર ભૂમિકા ભજવી શકે છે, જે લાંબા ગાળાની એક્સપોઝર સુવિધામાં જોવા મળ્યું હતું. ગુરુત્વાકર્ષણની જેમ, પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રને નીચે બતાવ્યા પ્રમાણે ગોળાકાર સંવાદિતા દ્વારા વ્યક્ત કરી શકાય છેઃ પૃથ્વીની સપાટીની ઉપરના બિંદુ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર વેક્ટર ક્યાં છે. ડિગ્રી n અને ઓર્ડર m ના ગોળાકાર હાર્મોનિકના યોગદાનને રજૂ કરે છે, જેને આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છેઃ જ્યાંઃ પ્રાથમિક પદાર્થની સરેરાશ વિષુવવૃત્તીય ત્રિજ્યા છે. તે પ્રાથમિક બોડીના કેન્દ્રથી ગૌણ બોડીના કેન્દ્ર સુધી સ્થિતિ વેક્ટરની તીવ્રતા છે. તે ગૌણ પદાર્થની દિશામાં એક એકમ વેક્ટર છે જેનું મૂળ પ્રાથમિક પદાર્થના કેન્દ્રમાં છે. અને ડિગ્રી n અને ક્રમ m ના ગૌસ ગુણાંક છે. આ સામાન્ય રીતે ચુંબકીય ક્ષેત્રના માપન દ્વારા જોવા મળે છે. એકમ વેક્ટર પ્રાથમિક બોડી પર નિશ્ચિત સંકલન પ્રણાલીને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. પૃથ્વી માટે, પૃથ્વીના ભૌમિતિક કેન્દ્ર અને ગ્રીનવિચ મેરિડીયનને છેદતી રેખાને સમાંતર વિષુવવૃત્તીય સમતલમાં આવેલું છે, જે ઉત્તર ધ્રુવીય અક્ષની દિશામાં નિર્દેશ કરે છે, અને તેને n ડિગ્રી અને ક્રમ m ની વ્યુત્પન્ન લિજેન્ડર બહુપદી તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. તેઓ પુનરાવર્તન સંબંધ દ્વારા ઉકેલાય છેઃ 1 જો m = 0, માટે અને માટે અને તે ગૌણ પદાર્થના ભૌગોલિક અક્ષાંશનું સાઇન છે, જે છે. તેને નીચેના પુનરાવર્તન સંબંધ અને પ્રારંભિક પરિસ્થિતિઓ સાથે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છેઃ એન-બોડી સમસ્યા ઓર્બિટલ રેઝોનન્સ ઓસ્ક્યુલેટિંગ ઓર્બિટ પર્ટર્બેશન (ખગોળશાસ્ત્ર) પ્રભાવનું ક્ષેત્ર (એસ્ટ્રોડાયનેમિક્સ) બે-બોડી સમસ્યા નોંધો અને સંદર્ભો બાહ્ય કડીઓ પૃથ્વી ઓર્બિટલ પર્ટર્બેશનના ગુરુત્વાકર્ષણ નકશા ગતિશીલ પ્રણાલીઓ સૌર મંડળની ગતિશીલતા