Randolph diagram
રેન્ડોલ્ફ આકૃતિ (આર-આકૃતિ) એ તાર્કિક અભિવ્યક્તિઓ અને સમૂહોના સંયોજનોની કલ્પના કરવાની એક સરળ રીત છે. રેન્ડોલ્ફ આકૃતિઓ ગણિતશાસ્ત્રી જ્હોન એફ. રેન્ડોલ્ફ દ્વારા 1965માં બનાવવામાં આવી હતી, જ્યારે તેઓ યુનિવર્સિટી ઓફ અરકાનસાસમાં ભણાવતા હતા. ઝાંખી રેન્ડોલ્ફ આકૃતિઓનું દરેક લીટીને એક તાર્કિક નિવેદન અથવા સમૂહ સાથે સંબંધિત અથવા સંબંધિત તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરીને સૌથી સરળતાથી અર્થઘટન કરી શકાય છે. રેખાની ઉપરનું કોઈપણ બિંદુ સત્ય અથવા સમાવેશ સૂચવે છે અને રેખાની નીચેનું બિંદુ અસત્ય અથવા બાકાત સૂચવે છે. આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને, કોઈ પણ વ્યક્તિ આંતરછેદક રેખાઓનો ઉપયોગ કરીને સમૂહો અથવા તાર્કિક નિવેદનોના કોઈપણ સંયોજનનું પ્રતિનિધિત્વ કરી શકે છે. વેન આકૃતિઓનો ઉપયોગ સામાન્ય રીતે સમૂહના સંયોજનોને રજૂ કરવા માટે થાય છે, તેમ છતાં રેન્ડોલ્ફ આકૃતિઓ 3 થી વધુ સમૂહના સંયોજનોને સ્વચ્છ રીતે રજૂ કરવામાં સક્ષમ હોવાનો ફાયદો ધરાવે છે. વેન આકૃતિઓને ક્યાં તો ઉચ્ચ અવકાશી પરિમાણોમાં વિસ્તરણ અથવા વધુ જટિલ આકારોના ઉપયોગની જરૂર પડે છે જ્યારે રેન્ડોલ્ફ આકૃતિઓ દરેક વધારાના સમૂહ માટે સમાનરૂપે પેટા વિભાજિત થાય છે. અહીં તાર્કિક નિવેદનોના 5 સમૂહો માટે વેન આકૃતિ અને આર-આકૃતિ વચ્ચેની સરખામણી છેઃ ઇતિહાસ આ વિષય પરના તેમના પ્રારંભિક પેપર, ક્રોસ-એક્ઝામિનિંગ પ્રપોઝિશનલ કેલ્ક્યુલસ એન્ડ સેટ ઓપરેશન્સમાં, રેન્ડોલ્ફ ઉલ્લેખ કરે છે કે તાર્કિક સંબંધોનું પ્રતિનિધિત્વ કરવા માટે ક્રોસ અને બિંદુઓનો પ્રથમ ઉપયોગ ન્યુરોફિઝિયોલોજિસ્ટ અને રેન્ડોલ્ફના સમકાલીન ડબ્લ્યુ. એસ. મેકકુલોચ દ્વારા રજૂ કરવામાં આવ્યો હતો. રેન્ડોલ્ફે બેથી વધુ તાર્કિક નિવેદનો અથવા સમૂહોના સંયોજનો અને સંબંધોનું પ્રતિનિધિત્વ કરવાની નવી રીત સાથે મેકકુલોચની પ્રણાલીમાં ફેરફાર કર્યો, એટલે કે રજૂ કરાયેલા દરેક નવા તત્વ માટે નવી કર્ણ રેખા સાથે આર-આકૃતિના દરેક વિભાગને પેટા વિભાજિત કર્યો. રેન્ડોલ્ફનું પેપર સૂચવે છે કે તેમની મૂળ કલ્પના તાર્કિક સંબંધોનું પ્રતિનિધિત્વ કરવા માટે આર-આકૃતિઓનો ઉપયોગ કરવાની હતી, અને પછી સિદ્ધાંતને સેટ કરવા માટે પણ લાગુ કરવાના વિચારને વિસ્તૃત કર્યો હતો. સમગ્ર પેપરમાં, આર-આકૃતિઓનો ઉપયોગ સામાન્ય તાર્કિક અને સેટ દ્વિસંગી કામગીરી પ્રતીકો સાથે કરવામાં આવે છે. તર્ક સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ તર્ક સિદ્ધાંત પર આર-આકૃતિઓ લાગુ કરતી વખતે, તાર્કિક નિવેદનો પી, ક્યૂ અને આર દરેક મોટા નિવેદનમાં દરેક તત્વની માન્યતાને દૃષ્ટિની રીતે પ્રદર્શિત કરવા માટે એક રેખા અથવા બહુવિધ રેખાઓ બની શકે છે. સામાન્ય રીતે, p ને ઉપરની તરફની ઢાળવાળી રેખા (/) દ્વારા રજૂ કરવામાં આવે છે જ્યારે q ને નીચેની તરફની ઢાળવાળી રેખા (\) દ્વારા રજૂ કરવામાં આવે છે. ત્રાંસા રેખાની ઉપર આકૃતિમાં એક બિંદુ તે નિવેદન માટે સત્ય સૂચવે છે; તેવી જ રીતે, નીચેનું બિંદુ અસત્ય સૂચવે છે. પી અને ક્યૂ માટે આર-આકૃતિઓ અનુક્રમે નીચે દર્શાવવામાં આવી છેઃ બેથી વધુ નિવેદનો માટે, પી અને ક્યૂ રેખાઓના આંતરછેદ દ્વારા રચાયેલી ચાર જગ્યાઓને વધુ રેખાઓમાં વિભાજિત કરવી આવશ્યક છે. r ના કિસ્સામાં, ચાર જગ્યાઓમાંથી દરેકમાં એક ઉપરની તરફની ઢાળવાળી રેખા (/) ઉમેરવામાં આવે છે. આર માટે આર-આકૃતિ નીચે દર્શાવેલ છેઃ આ પદ્ધતિને કોઈપણ સત્ય મૂલ્યો માટે વિસ્તૃત કરી શકાય છેઃ, વગેરે. આર-આકૃતિઓનો ઉપયોગ મુખ્યત્વે તાર્કિક અભિવ્યક્તિઓ રજૂ કરવા માટે થાય છે. તાર્કિક દરખાસ્તને જોતાં, આર-આકૃતિઓ દરેક તત્વની દરેક સંભવિત સાચી/ખોટી વિવિધતાના પરિણામને પ્રદર્શિત કરવામાં સક્ષમ છે, જે સત્ય કોષ્ટકનું પ્રતિનિધિત્વ કરવાની વૈકલ્પિક રીત બનાવે છે. નીચે આપેલા કોષ્ટકમાં બતાવ્યા પ્રમાણે, તમામ મૂળભૂત તાર્કિક કામગીરીઓ અથવા જોડાણો, સત્ય કોષ્ટકના વધુ સરળતાથી વાંચી શકાય તેવા વિકલ્પ તરીકે આર-આકૃતિઓનો ઉપયોગ કરીને વ્યક્ત કરી શકાય છેઃ તાર્કિક અભિવ્યક્તિઓને સરળ બનાવવા માટે આર-આકૃતિઓનો ઉપયોગ જટિલ તાર્કિક અભિવ્યક્તિઓને સરળતાથી સરળ બનાવવા માટે કરી શકાય છે, એક પગલું-દર-પગલા પ્રક્રિયાનો ઉપયોગ કરીને. કામગીરીના ક્રમનો ઉપયોગ કરીને, લોજિકલ ઓપરેટરોને યોગ્ય ક્રમમાં આર-આકૃતિઓ પર લાગુ કરવામાં આવે છે. છેવટે, પરિણામ એ આર-આકૃતિ છે જેને સરળ તાર્કિક અભિવ્યક્તિમાં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, નીચેની અભિવ્યક્તિ લોઃ તેને આર-આકૃતિઓનો ઉપયોગ કરીને નીચે પ્રમાણે સરળ બનાવી શકાય છેઃ જે સમાન છેઃ તાર્કિક દલીલો સાબિત કરવી એ જ રીતે, તાર્કિક દલીલોને સાબિત કરવા અથવા ખોટી સાબિત કરવા માટે આર-આકૃતિઓનો ઉપયોગ કરી શકાય છે. દાખલા તરીકે, જાણીતા દલીલ મોડસ પોનેન્સને લો, જેને ઇમ્પ્લિકેશન એલિમિનેશન તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છેઃ આને ટૉટોલોજિકલ લોજિકલ એક્સપ્રેશનમાં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે, જેને પછી આર-આકૃતિઓનો ઉપયોગ કરીને સરળ બનાવી શકાય છેઃ પરિણામ એ આર-આકૃતિ છે જેમાં દરેક જગ્યામાં બિંદુ હોય છે. આનો અર્થ એ છે કે દલીલ એક સ્વગતશાસ્ત્ર છે; તે તમામ કિસ્સાઓમાં સાચું છે. એક આર-આકૃતિ જેમાં કોઈ જગ્યામાં બિંદુ નથી તે એક વિરોધાભાસ છે, એક નિવેદન જે ક્યારેય સાચું નથી. વેન આકૃતિઓના વિકલ્પ તરીકે સમૂહ સિદ્ધાંતમાં પણ આર-આકૃતિઓ સુયોજિત કરવા માટેના ઉપયોગનો ઉપયોગ થાય છે. સમૂહ સિદ્ધાંતમાં, દરેક રેખા તાર્કિક નિવેદનને બદલે સમૂહને રજૂ કરે છે; A એ p ને બદલે છે અને B એ q ને બદલે છે. જ્યારે સમૂહ માટે વપરાય છે, ત્યારે રેખાની ઉપરનું બિંદુ સમાવેશને રજૂ કરે છે, જ્યાં નીચેનું બિંદુ બાકાતને રજૂ કરે છે. તર્કશાસ્ત્રની જેમ, મૂળભૂત સમૂહ કામગીરીઓને આર-આકૃતિઓનો ઉપયોગ કરીને દૃષ્ટિની રીતે રજૂ કરી શકાય છેઃ આર-આકૃતિઓ સમૂહ સૈદ્ધાંતિક અને તાર્કિક વિભાવનાઓ વચ્ચેની સમાનતાને સમજાવે છેઃ સમૂહ સિદ્ધાંતમાં આંતરછેદ તર્કશાસ્ત્રમાં સંયોજનની સમકક્ષ હોય છે, અને સમૂહ સિદ્ધાંતનું જોડાણ તાર્કિક વિચ્છેદનની સમકક્ષ હોય છે. સમૂહ સિદ્ધાંતમાં સંદર્ભો ચિત્રાત્મક વિભાવનાઓ આકૃતિઓ