Exercise (mathematics)
ગાણિતિક અભ્યાસ એ બીજગણિત અથવા અન્ય ગણિતનો નિયત પડકાર માટે નિયમિત ઉપયોગ છે. ગણિતના શિક્ષકો તેમના વિદ્યાર્થીઓની કુશળતા વિકસાવવા માટે ગાણિતિક કસરતો સોંપે છે. પ્રારંભિક કસરતો પૂર્ણાંકોના ઉમેરા, બાદબાકી, ગુણાકાર અને વિભાજન સાથે વ્યવહાર કરે છે. શાળામાં કસરતોના વ્યાપક અભ્યાસક્રમો આવા અંકગણિતને તર્કસંગત સંખ્યાઓ સુધી વિસ્તરે છે. ભૂમિતિના વિવિધ અભિગમો ખૂણાઓ, વિભાગો અને ત્રિકોણના સંબંધો પર આધારિત અભ્યાસો ધરાવે છે. ત્રિકોણમિતિ વિષય તેની ઘણી કસરતો ત્રિકોણમિતિ ઓળખમાંથી મેળવે છે. કોલેજમાં ગણિતની કવાયત ઘણીવાર વાસ્તવિક ચલ અથવા પ્રમેયોના ઉપયોગના કાર્યો પર આધારિત હોય છે. કલનની પ્રમાણભૂત કવાયતમાં ચોક્કસ કાર્યોના વ્યુત્પન્ન અને સંકલન શોધવાનો સમાવેશ થાય છે. સામાન્ય રીતે પ્રશિક્ષકો વિદ્યાર્થીઓને કામ કરેલા ઉદાહરણો સાથે તૈયાર કરે છેઃ કસરત જણાવવામાં આવે છે, પછી એક આદર્શ જવાબ આપવામાં આવે છે. વિદ્યાર્થીઓ પોતાની જાતે કસરત કરવાનો પ્રયાસ કરવા તૈયાર થાય તે પહેલાં ઘણીવાર કેટલાક કામ કરેલા ઉદાહરણો દર્શાવવામાં આવે છે. કેટલાક ગ્રંથો, જેમ કે શૌમની રૂપરેખાઓ, ગાણિતિક વિષયની સૈદ્ધાંતિક સારવારને બદલે કામ કરેલા ઉદાહરણો પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરે છે. ઝાંખી પ્રાથમિક શાળામાં વિદ્યાર્થીઓ એક આંકડાની અંકગણિત કવાયતથી શરૂઆત કરે છે. પાછળથી મોટાભાગની કસરતોમાં ઓછામાં ઓછા બે અંકોનો સમાવેશ થાય છે. પ્રાથમિક બીજગણિતમાં એક સામાન્ય કવાયત બહુપદીઓના ગુણાંકકરણની માંગ કરે છે. બીજી કવાયત વર્ગાકાર બહુપદીમાં ચોરસને પૂર્ણ કરવાની છે. કૃત્રિમ રીતે ઉત્પન્ન થયેલ શબ્દ સમસ્યા એ કવાયતની એક શૈલી છે જેનો હેતુ ગણિતને સુસંગત રાખવાનો છે. સ્ટીફન લીકોકે આ પ્રકારનું વર્ણન કર્યુંઃ અંકગણિતનો વિદ્યાર્થી જેણે તેની કળાના પ્રથમ ચાર નિયમોમાં નિપુણતા મેળવી છે અને સફળતાપૂર્વક સરવાળા અને અપૂર્ણાંકો સાથે પ્રયાસ કર્યો છે તે પોતાને સમસ્યાઓ તરીકે ઓળખાતા પ્રશ્નોના અખંડ વિસ્તારનો સામનો કરે છે. આ સાહસ અને ઉદ્યોગની ટૂંકી વાર્તાઓ છે જેનો અંત અવગણવામાં આવ્યો છે અને, એક મજબૂત પારિવારિક સામ્યતા સાથે વિશ્વાસઘાત હોવા છતાં, રોમાંસના ચોક્કસ તત્વ વિના નથી. કસરત અને ગાણિતિક સમસ્યા વચ્ચેનો તફાવત એલન એચ. સ્કોનફેલ્ડ દ્વારા કરવામાં આવ્યો હતોઃ વિદ્યાર્થીઓએ સંબંધિત વિષયમાં નિપુણ હોવું જોઈએ, અને તે માટે કસરતો યોગ્ય છે. પરંતુ જો રટણની કસરતો જ એકમાત્ર પ્રકારની સમસ્યાઓ છે જે વિદ્યાર્થીઓ તેમના વર્ગોમાં જુએ છે, તો અમે વિદ્યાર્થીઓને ગંભીર નુકસાન પહોંચાડી રહ્યા છીએ. તેમણે પડકારો નક્કી કરવાની હિમાયત કરી હતીઃ "વાસ્તવિક સમસ્યાઓ" દ્વારા. મારો મતલબ એ છે કે ગાણિતિક કાર્યો કે જે વિદ્યાર્થી માટે પ્રમાણિક પડકાર ઊભો કરે છે અને ઉકેલ મેળવવા માટે વિદ્યાર્થીએ કામ કરવાની જરૂર છે. માર્વિન બિટિંગરે જ્યારે તેમના પાઠ્યપુસ્તકની બીજી આવૃત્તિ તૈયાર કરી ત્યારે સમાન લાગણી વ્યક્ત કરી હતીઃ વપરાશકર્તાઓની ટિપ્પણીઓના જવાબમાં, લેખકોએ એવી કસરતો ઉમેરી છે જેમાં વિદ્યાર્થીને હાથ પરના પાઠના તાત્કાલિક ઉદ્દેશોની સમજણ સિવાય કંઈક કરવાની જરૂર હોય છે, તેમ છતાં તે ખૂબ જ પડકારજનક હોય તે જરૂરી નથી. દરેક વિદ્યાર્થી અથવા વિદ્યાર્થીઓના સમૂહ માટે નિકટવર્તી વિકાસનું ક્ષેત્ર, કસરતોને મુશ્કેલીના સ્તરે સુયોજિત કરે છે જે પડકાર આપે છે પરંતુ તેમને નિરાશ કરતું નથી. કલન પાઠ્યપુસ્તકની પ્રસ્તાવનામાં કેટલીક ટિપ્પણીઓ પુસ્તકમાં કસરતનું કેન્દ્રિય સ્થાન દર્શાવે છેઃ કવાયતમાં લખાણનો લગભગ એક ચતુર્થાંશ ભાગ હોય છે-જે આપણા મતે લખાણનો સૌથી મહત્વપૂર્ણ ભાગ છે. . દરેક પ્રકરણના અંતે પૂરક કસરતો અન્ય કસરત સમૂહને વિસ્તૃત કરે છે અને સંચિત કસરતો પ્રદાન કરે છે જેમાં અગાઉના પ્રકરણોમાંથી કુશળતા જરૂરી હોય છે. આ લખાણમાં "કાર્યોમાં કાર્યો અને આલેખ" (પ્રકરણ 0.6) નો સમાવેશ થાય છે જે શબ્દની સમસ્યાઓ માટેની તૈયારીના ચૌદ પાના છે. મર્યાદિત ક્ષેત્રો પરના પુસ્તકના લેખકોએ મુક્તપણે તેમની કસરતો પસંદ કરીઃ પાઠ્યપુસ્તક તરીકે આ પુસ્તકનું આકર્ષણ વધારવા માટે, અમે લખાણમાં યોગ્ય બિંદુઓ પર તૈયાર કરેલા ઉદાહરણોનો સમાવેશ કર્યો છે અને 1-9 પ્રકરણો માટે કસરતોની સૂચિ શામેલ કરી છે. આ કસરતો નિયમિત સમસ્યાઓથી માંડીને મુખ્ય પ્રમેયોના વૈકલ્પિક પુરાવાઓ સુધીની હોય છે, પરંતુ તેમાં લખાણમાં જે આવરી લેવામાં આવ્યું છે તેનાથી આગળ સામગ્રી પણ હોય છે. જે. સી. મેક્સવેલે સમજાવ્યું કે કેવી રીતે કસરત ગણિતની ભાષામાં પ્રવેશની સુવિધા આપે છેઃ ગણિતશાસ્ત્રીઓ તરીકે આપણે સંખ્યા અથવા જથ્થાના પ્રતીકો પર ચોક્કસ માનસિક કામગીરીઓ કરીએ છીએ, અને, વધુ સરળથી વધુ જટિલ કામગીરીઓ તરફ આગળ વધીને, આપણે એક જ વસ્તુને ઘણા જુદા જુદા સ્વરૂપોમાં વ્યક્ત કરવા માટે સક્ષમ છીએ. આ વિવિધ સ્વરૂપોની સમાનતા, સ્વ-સ્પષ્ટ સ્વયંસિદ્ધોનું જરૂરી પરિણામ હોવા છતાં, આપણા મન માટે હંમેશા સ્વયં-સ્પષ્ટ હોતી નથી; પરંતુ ગણિતશાસ્ત્રી, જેમણે લાંબા અભ્યાસ દ્વારા આમાંના ઘણા સ્વરૂપો સાથે પરિચિતતા પ્રાપ્ત કરી છે, અને જે પ્રક્રિયાઓ એકથી બીજા તરફ દોરી જાય છે તેમાં નિષ્ણાત બની ગયા છે, તેઓ ઘણીવાર ગૂંચવણભરી અભિવ્યક્તિને બીજામાં રૂપાંતરિત કરી શકે છે જે તેનો અર્થ વધુ બુદ્ધિગમ્ય ભાષામાં સમજાવે છે. વિવિધ કોલેજોમાં વ્યક્તિગત પ્રશિક્ષકો તેમના ગણિતના અભ્યાસક્રમોના ભાગ રૂપે કસરતનો ઉપયોગ કરે છે. યુનિવર્સિટીઓમાં સમસ્યાનું નિરાકરણની તપાસ કરતા, શોએનફેલ્ડે નોંધ્યુંઃ ગણિતના મુખ્ય વિષયો માટે ઉચ્ચ વિભાગની તકોમાંનુ, જ્યાં મોટાભાગના વિદ્યાર્થીઓ તેમના વ્યક્તિગત પ્રશિક્ષકો દ્વારા સંકલિત કરવામાં આવેલી સમસ્યાઓના સંગ્રહ પર કામ કરતા હતા. આવા અભ્યાસક્રમોમાં ચોક્કસ હ્યુરિસ્ટિક્સ શીખવવાના પ્રયાસ વિના, કરીને શીખવા પર ભાર મૂકવામાં આવતો હતોઃ વિદ્યાર્થીઓએ ઘણી સમસ્યાઓ પર કામ કર્યું કારણ કે (આવા અભ્યાસક્રમો પાછળના ગર્ભિત સૂચનાત્મક નમૂના અનુસાર) આ રીતે વ્યક્તિ ગણિતમાં સારી રીતે કામ કરે છે. આવા કસરત સંગ્રહ પ્રશિક્ષક અને તેની સંસ્થાના માલિકીના હોઈ શકે છે. વ્યાયામ સમૂહોના મૂલ્યના ઉદાહરણ તરીકે, તોરુ કુમોનની સિદ્ધિ અને તેની કુમોન પદ્ધતિનો વિચાર કરો. તેમના કાર્યક્રમમાં, વિદ્યાર્થી કસરતના દરેક સ્તરની નિપુણતા પહેલાં આગળ વધતો નથી. રશિયન સ્કૂલ ઓફ મેથેમેટિક્સમાં, વિદ્યાર્થીઓ પ્રથમ ધોરણની શરૂઆતમાં જ બહુવિધ તબક્કાની સમસ્યાઓ શરૂ કરે છે, ઉકેલ તરફ આગળ વધવા માટે અગાઉના પરિણામો પર નિર્માણ કરવાનું શીખે છે. 1960ના દાયકામાં, ગણિતના અભ્યાસોના સંગ્રહોનું રશિયનમાંથી ભાષાંતર કરવામાં આવ્યું હતું અને ડબલ્યુ. એચ. ફ્રીમેન એન્ડ કંપનીઃ ધ યુએસએસઆર ઓલિમ્પિયાડ પ્રોબ્લેમ બુક (1962), પ્રોબ્લેમ્સ ઇન હાયર આલ્જેબ્રા (1965), અને પ્રોબ્લેમ્સ ઇન ડિફરન્શિયલ ઇક્વેશન્સ (1963) દ્વારા પ્રકાશિત કરવામાં આવ્યા હતા. ચીનમાં, પ્રાચીન સમયથી ગણતરીની સળિયાનો ઉપયોગ સંખ્યાઓનું પ્રતિનિધિત્વ કરવા માટે થતો હતો, અને અંકગણિત સળિયાના કલન અને બાદમાં સુનપાન સાથે પૂર્ણ કરવામાં આવતું હતું. સંખ્યાઓ અને ગણતરી પરના પુસ્તક અને ગાણિતિક કલા પરના નવ પ્રકરણોમાં એવા અભ્યાસોનો સમાવેશ થાય છે જે રેખીય બીજગણિતના ઉદાહરણો છે. આશરે 980 માં અલ-સિઝીએ તેમની વેઝ ઓફ મેકિંગ ઇઝી ધ ડેરિવેશન ઓફ જીઓમેટ્રિક ફિગર્સ લખી હતી, જેનું 1996 માં જાન હોગેન્ડિજક દ્વારા ભાષાંતર અને પ્રકાશિત કરવામાં આવ્યું હતું. અભ્યાસોના અરબી ભાષાના સંગ્રહને સ્પેનિશ અનુવાદ કોમ્પેન્ડિયો ડી આલ્જેબ્રા ડી એબેનબેડર તરીકે આપવામાં આવ્યો હતો અને નેચરમાં તેની સમીક્ષા કરવામાં આવી હતી. રોબર્ટ રેકોર્ડે સૌપ્રથમ 1543માં ધ ગ્રાઉન્ડ ઓફ આર્ટ્સ પ્રકાશિત કર્યું હતું. યુરોપમાં 1900 પહેલાં, ગ્રાફિકલ પરિપ્રેક્ષ્યના વિજ્ઞાને ભૌમિતિક કવાયતની રચના કરી હતી. ઉદાહરણ તરીકે, 1719માં બ્રુક ટેલરે 'લીનિયર પર્સ્પેક્ટિવના નવા સિદ્ધાંતો' [વાચક] માં લખ્યું હતું કે આ સિદ્ધાંતો કેટલા વ્યાપક છે તે અવલોકન કરવામાં વધુ આનંદ મળશે, તેમને ચોક્કસ કિસ્સાઓમાં લાગુ કરીને, જે તેઓ પોતે આ કળામાં જાતે જ અમલમાં મૂકશે. ટેલરે ચાલુ રાખ્યું. કોઈ પણ કળાને શીખવાની સાચી અને શ્રેષ્ઠ રીત માટે, અન્ય વ્યક્તિ દ્વારા કરવામાં આવેલા ઘણા બધા ઉદાહરણો જોવાનું નથી; પરંતુ તેના સિદ્ધાંતોમાંથી પહેલા પોતાની જાતને પ્રાપ્ત કરવી, અને પછી તેમને પરિચિત બનાવવી, પ્રેક્ટિસમાં પોતાની જાતને ઉપયોગ કરીને. શાળાઓમાં લેખન સ્લેટનો ઉપયોગ કસરત માટે પ્રારંભિક સ્વરૂપ પ્રદાન કરે છે. લેખિત પરીક્ષાઓ અને પેન અને કાગળ પર આધારિત અભ્યાસની શરૂઆત પછી વ્યાયામ કાર્યક્રમોનો વિકાસ થયો. ફેલિક્સ ક્લેઇને ઇકોલ પોલિટેકનિકની પ્રવેશ પરીક્ષા માટેની તૈયારીને "ગણિતના વિશિષ્ટ અભ્યાસક્રમ" તરીકે વર્ણવી હતી. આ ગાણિતિક શિક્ષણની અસાધારણ રીતે મજબૂત એકાગ્રતા છે-અઠવાડિયામાં 16 કલાક સુધી-જેમાં પ્રાથમિક વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિ અને મિકેનિક્સ અને તાજેતરમાં અનંત કલનનો પણ સંપૂર્ણ અભ્યાસ કરવામાં આવે છે અને ઘણી કસરતો દ્વારા સુરક્ષિત રીતે નિપુણ સાધન બનાવવામાં આવે છે. સિલ્વેસ્ટ્રે લેક્રોઇક્સ એક પ્રતિભાશાળી શિક્ષક અને વ્યાખ્યાતા હતા. વર્ણનાત્મક ભૂમિતિ પરના તેમના પુસ્તકમાં વાચકની સમજણનો ઉપયોગ કરવા માટે "સમસ્યા" લેબલવાળા વિભાગોનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો છે. 1816માં તેમણે સામાન્ય શિક્ષણ પર નિબંધો અને ખાસ કરીને ગણિત શિક્ષણ પર નિબંધો લખ્યા હતા, જેમાં કસરત અને પરીક્ષણની જરૂરિયાત પર ભાર મૂકવામાં આવ્યો હતોઃ પરીક્ષક, ટૂંકા ગાળામાં, તે જે વિષયો પૂછે છે તેને આવરી લેવા માટે પૂરતા પ્રશ્નોને ગુણાકાર કરવા માટે, શીખવવામાં આવતી સામગ્રીના મોટા ભાગ સુધી, ઓછા સંપૂર્ણ ન હોઈ શકે, કારણ કે, જો સંક્ષિપ્તમાં, તે અરજીઓને બાજુએ રાખે, તો તે વિદ્યાર્થીઓની વિદ્યાશાખાઓ માટે આ રીતે કંઈપણ મેળવશે નહીં. એન્ડ્રુ વારવિકે કસરતોના ઐતિહાસિક પ્રશ્ન તરફ ધ્યાન દોર્યું છેઃ ગાણિતિક ભૌતિકશાસ્ત્રના પાઠ્યપુસ્તકોમાં પ્રકરણોના અંતે દૃષ્ટાંતરૂપ કસરતો અને સમસ્યાઓનો સમાવેશ હવે એટલો સામાન્ય છે કે તે અસાધારણ લાગે છે, પરંતુ તે સમજવું મહત્વપૂર્ણ છે કે આ શિક્ષણશાસ્ત્રનું સાધન પ્રમાણમાં તાજેતરના મૂળનું છે અને ચોક્કસ ઐતિહાસિક સંદર્ભમાં રજૂ કરવામાં આવ્યું હતું. કેમ્બ્રિજ યુનિવર્સિટી ખાતે શરૂ કરવામાં આવેલી મેથેમેટિકલ ટ્રાઇપોસ પરીક્ષાઓના અહેવાલમાં, તેઓ નોંધે છે કે આવા સંચિત, સ્પર્ધાત્મક શિક્ષણ પણ ખાનગી શિક્ષકો દ્વારા વ્યક્તિગત ટ્યુશન, ખાસ તૈયાર કરેલી હસ્તપ્રતો અને શ્રેણીબદ્ધ ઉદાહરણો અને સમસ્યાઓનો ઉપયોગ કરીને વધુ અસરકારક રીતે પૂર્ણ કરવામાં આવ્યું હતું, જે સામાન્ય ગતિએ મોટા વર્ગોને ભણાવતા કોલેજના વ્યાખ્યાનો દ્વારા કરવામાં આવ્યું હતું. પરીક્ષા અને વ્યાયામના સંબંધને સમજાવતા તેઓ લખે છે. 1830ના દાયકા સુધીમાં પાઠ્યપુસ્તકોમાં અભ્યાસને બદલે પરીક્ષાના કાગળો પરની સમસ્યાઓએ મહત્વાકાંક્ષી વિદ્યાર્થીઓ કેવા ધોરણો ઇચ્છતા હતા તેની વ્યાખ્યા કરી હતી. [કેમ્બ્રિજના વિદ્યાર્થીઓ] માત્ર એક ઉદાહરણના શ્રેષ્ઠ સ્કેચ દ્વારા તેમનો માર્ગ શોધવાની અપેક્ષા રાખતા ન હતા, પરંતુ આવી કસરતોને પરીક્ષાઓમાં મુશ્કેલ સમસ્યાઓનો સામનો કરવા માટે ઉપયોગી તૈયારી તરીકે ગણવાનું શીખવવામાં આવતું હતું. આ સુધારાએ કેવી રીતે મૂળ ઊભું કર્યું તે સમજાવતા, વોરવિકે લખ્યુંઃ કેમ્બ્રિજમાં વ્યાપકપણે એવું માનવામાં આવતું હતું કે નવી વિશ્લેષણાત્મક પદ્ધતિઓ સહિત ગણિત શીખવવાની શ્રેષ્ઠ રીત વ્યવહારુ ઉદાહરણો અને સમસ્યાઓ દ્વારા હતી, અને 1830ના દાયકાના મધ્ય સુધીમાં, કોલેજના યુવા સાથીઓની પ્રથમ પેઢીમાંથી જેમને આ રીતે ઉચ્ચ વિશ્લેષણ શીખવવામાં આવ્યું હતું, તેઓ પોતાનું સંશોધન હાથ ધરવા અને ટ્રીપોસ પરીક્ષક તરીકે નિયુક્ત થવા બંનેની શરૂઆત કરી રહ્યા હતા. વોરવિક અહેવાલ આપે છે કે જર્મનીમાં, લગભગ તે જ સમયે, ફ્રાન્ઝ અર્ન્સ્ટ ન્યુમેને "શ્રેણીબદ્ધ કસરતોની એક સામાન્ય પ્રણાલી વિકસાવી હતી જેણે વિદ્યાર્થીને આવશ્યક ગાણિતિક કુશળતા અને તકનીકોના પદાનુક્રમ સાથે પરિચય કરાવ્યો હતો, અને પોતાના સમસ્યાના સમૂહો બનાવવાની શરૂઆત કરી હતી જેના દ્વારા તેમના વિદ્યાર્થીઓ તેમની કળા શીખી શકે". રશિયામાં, સ્ટીફન ટિમોશેન્કોએ કસરતની આસપાસની સૂચનાઓમાં સુધારો કર્યો. 1913માં તેઓ પીટર્સબર્ગ સ્ટેટ યુનિવર્સિટી ઓફ મીન્સ ઓફ કોમ્યુનિકેશનમાં સામગ્રીની તાકાત શીખવી રહ્યા હતા. જેમ કે તેમણે 1968માં લખ્યું હતું કે, સંસ્થામાં [વ્યવહારુ] અભ્યાસો આપવામાં આવતા ન હતા અને પરીક્ષાઓમાં વિદ્યાર્થીઓને અપનાવવામાં આવેલા પાઠ્યપુસ્તકમાંથી માત્ર સૈદ્ધાંતિક પ્રશ્નો પૂછવામાં આવતા હતા. મારે આ પ્રકારના શિક્ષણનો શક્ય તેટલી વહેલી તકે અંત લાવવો પડ્યો હતો. વિદ્યાર્થીઓ પરિસ્થિતિને સ્પષ્ટ રીતે સમજી ગયા હતા, વિષયના વધુ સારા એકીકરણની જરૂરિયાતને સમજી ગયા હતા અને તેમના કામના બોજમાં ભારે વધારા સામે વાંધો ઉઠાવ્યો ન હતો. મુખ્ય મુશ્કેલી શિક્ષકો સાથે હતી-અથવા વધુ ચોક્કસપણે, પરીક્ષકો સાથે, જેઓ તેમની પરીક્ષાઓ પુસ્તક પર આધારિત કરવા માટે ટેવાયેલા હતા. પરીક્ષામાં વ્યવહારુ સમસ્યાઓ મૂકવાથી તેમનું કામ જટિલ બન્યું હતું. તેઓ years.the માં વ્યક્તિઓ હતા, માત્ર આશા યુવાન લોકોને શિક્ષણમાં લાવવાની હતી. એલ્ગોરિધમ વર્ક-એક્ઝામ્પલ ઇફેક્ટ સંદર્ભો પણ જુઓ બાહ્ય કડીઓ તાત્યાના અફાનાસેવા (1931) પેસિફિક ઇન્સ્ટિટ્યૂટ ફોર મેથેમેટિકલ સાયન્સિસ તરફથી પ્રાયોગિક ભૂમિતિમાં કસરતો. વ્લાદિમીર આર્નોલ્ડ (2004) ઇમેજિનરી પ્લેટફોર્મ પર 5 થી 15 વર્ષની વયના વિદ્યાર્થીઓ માટે કસરતો જેમ્સ આલ્ફ્રેડ ઇવિંગ (1911) ગણિત, મિકેનિક્સ, નેવિગેશન અને નોટિકલ એસ્ટ્રોનોમી, હીટ અને સ્ટીમ, ઇલેક્ટ્રિસિટીમાં ઉદાહરણો, ઈન્ટરનેટ આર્કાઇવમાંથી જુનિયર ઓફિસર્સના ઉપયોગ માટે. જિમ હેફેરોન અને અન્યો (2004) ગણિતનું શિક્ષણ