Sobel test
આંકડામાં, સોબેલ પરીક્ષણ એ મધ્યસ્થી અસરના મહત્વને ચકાસવાની એક પદ્ધતિ છે. આ પરીક્ષણ ન્યૂ યોર્ક, એનવાયમાં કોલંબિયા યુનિવર્સિટીના આંકડાશાસ્ત્રના પ્રોફેસર માઈકલ ઇ. સોબેલના કાર્ય પર આધારિત છે અને તે ડેલ્ટા પદ્ધતિનો ઉપયોગ છે. મધ્યસ્થતામાં, સ્વતંત્ર ચલ અને આશ્રિત ચલ વચ્ચેનો સંબંધ પરોક્ષ અસર હોવાનું અનુમાન કરવામાં આવે છે જે ત્રીજા ચલ (મધ્યસ્થી) ના પ્રભાવને કારણે અસ્તિત્વમાં છે. પરિણામે જ્યારે મધ્યસ્થીને સ્વતંત્ર ચલ સાથે પ્રતિગમન વિશ્લેષણ મોડેલમાં સામેલ કરવામાં આવે છે, ત્યારે સ્વતંત્ર ચલની અસર ઓછી થાય છે અને મધ્યસ્થની અસર નોંધપાત્ર રહે છે. સોબેલ પરીક્ષણ મૂળભૂત રીતે એક વિશિષ્ટ ટી પરીક્ષણ છે જે તે નક્કી કરવા માટે એક પદ્ધતિ પ્રદાન કરે છે કે શું સ્વતંત્ર ચલની અસરમાં ઘટાડો, મોડેલમાં મધ્યસ્થીનો સમાવેશ કર્યા પછી, નોંધપાત્ર ઘટાડો છે અને તેથી મધ્યસ્થીની અસર આંકડાકીય રીતે નોંધપાત્ર છે કે કેમ. સૈદ્ધાંતિક આધાર મધ્યસ્થતાની અસરનું મૂલ્યાંકન કરતી વખતે ત્રણ અલગ અલગ પ્રતિગમન મોડેલોની તપાસ કરવામાં આવે છેઃ મોડલ 1: YO = γ1 + τXI + ε1 મોડલ 2: XM = γ2 + αXI + ε2 મોડલ 3: YO = γ3 + τXI + βXM + ε3 આ મોડેલોમાં YO એ આશ્રિત ચલ છે, XI એ સ્વતંત્ર ચલ છે અને XM એ મધ્યસ્થી છે. પરિમાણો γ1, γ2 અને γ3 દરેક મોડેલ માટે અવરોધો રજૂ કરે છે, જ્યારે ε1, ε2 અને ε3 દરેક સમીકરણ માટે ભૂલ પદ રજૂ કરે છે. τ મોડેલ 1 માં સ્વતંત્ર ચલ અને આશ્રિત ચલ વચ્ચેના સંબંધને સૂચવે છે, જ્યારે τ મધ્યસ્થીની અસરને નિયંત્રિત કર્યા પછી મોડેલ 3 માં તે જ સંબંધને સૂચવે છે. αXI અને βXM શબ્દો અનુક્રમે સ્વતંત્ર ચલ માટે નિયંત્રણ કર્યા પછી સ્વતંત્ર ચલ અને મધ્યસ્થી અને આશ્રિત ચલ વચ્ચેના સંબંધને રજૂ કરે છે. ગુણાંકનું ઉત્પાદન આ નમૂનાઓમાંથી, મધ્યસ્થી અસરની ગણતરી (τ-τ) તરીકે કરવામાં આવે છે. આ મધ્યસ્થીને નિયંત્રિત કર્યા પછી આશ્રિત ચલ પર સ્વતંત્ર ચલની અસરની તીવ્રતામાં ફેરફારને રજૂ કરે છે. આ સમીકરણોની તપાસ પરથી તે નક્કી કરી શકાય છે કે (αβ) = (τ-τ). α શબ્દ સ્વતંત્ર ચલ અને મધ્યસ્થી વચ્ચેના સંબંધની તીવ્રતાને રજૂ કરે છે. β શબ્દ સ્વતંત્ર ચલની અસરને નિયંત્રિત કર્યા પછી મધ્યસ્થી અને આશ્રિત ચલ વચ્ચેના સંબંધની તીવ્રતાને રજૂ કરે છે. તેથી (αβ) આ બે શબ્દોના ગુણાકારને રજૂ કરે છે. સારમાં આ આશ્રિત ચલમાં ભિન્નતાની માત્રા છે જે મધ્યસ્થીની પદ્ધતિ દ્વારા સ્વતંત્ર ચલ દ્વારા ગણવામાં આવે છે. આ પરોક્ષ અસર છે, અને (αβ) શબ્દને ગુણાંકનું ગુણાકાર કહેવામાં આવે છે. વેન આકૃતિ અભિગમ ગુણાંકના ગુણાકાર વિશે વિચારવાની બીજી રીત એ છે કે નીચેની આકૃતિની તપાસ કરવી. દરેક વર્તુળ દરેક ચલની ભિન્નતાને રજૂ કરે છે. જ્યાં વર્તુળો ઓવરલેપ ભિન્નતા દર્શાવે છે ત્યાં વર્તુળોમાં સામાન્ય હોય છે અને આમ બીજા ચલ પર એક ચલની અસર થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે વિભાગો c + d આશ્રિત ચલ પર સ્વતંત્ર ચલની અસરને રજૂ કરે છે, જો આપણે મધ્યસ્થીને અવગણીએ, અને τ ને અનુરૂપ હોય. આશ્રિત ચલમાં તફાવતની આ કુલ માત્રા જે સ્વતંત્ર ચલ દ્વારા ગણવામાં આવે છે તેને પછી ક્ષેત્ર c અને d માં વિભાજિત કરી શકાય છે. ક્ષેત્ર c એ તફાવત છે જે સ્વતંત્ર ચલ અને આશ્રિત ચલ મધ્યસ્થી સાથે સામાન્ય છે, અને આ પરોક્ષ અસર છે. ક્ષેત્રફળ c ગુણાંક (αβ) અને (τ−τ) ના ગુણાકારને અનુરૂપ છે. સોબેલ પરીક્ષણ એ પરીક્ષણ કરી રહ્યું છે કે વિસ્તાર સી કેટલો મોટો છે. જો વિસ્તાર સી પૂરતો મોટો હોય તો સોબેલનું પરીક્ષણ નોંધપાત્ર છે અને નોંધપાત્ર મધ્યસ્થી થઈ રહી છે. સોબેલ પરીક્ષણની ગણતરી પરોક્ષ અસરનું આંકડાકીય મહત્વ નક્કી કરવા માટે, પરોક્ષ અસર પર આધારિત આંકડાની સરખામણી તેના નલ સેમ્પલિંગ વિતરણ સાથે કરવી આવશ્યક છે. સોબેલ પરીક્ષણ ટી સ્ટેટિસ્ટિક મેળવવા માટે માપનની તેની અંદાજિત પ્રમાણભૂત ભૂલની તુલનામાં પરોક્ષ અસરની તીવ્રતાનો ઉપયોગ કરે છે અથવા જ્યાં એસઇ એ પૂલ્ડ પ્રમાણભૂત ભૂલ શબ્દ છે અને σ2β એ β નું ભિન્નતા છે અને σ2α એ α નું ભિન્નતા છે. આ ટી આંકડાઓનું મહત્વ નક્કી કરવા માટે તેની સરખામણી સામાન્ય વિતરણ સાથે કરી શકાય છે. સોબેલ પરીક્ષણની ગણતરી કરવાની વૈકલ્પિક પદ્ધતિઓ પ્રસ્તાવિત કરવામાં આવી છે જે મહત્વ નક્કી કરવા માટે z અથવા t વિતરણનો ઉપયોગ કરે છે, અને દરેક પ્રમાણભૂત ભૂલનો અલગ અંદાજ કાઢે છે. સોબેલ પરીક્ષણ સાથે સમસ્યાઓ ઉત્પાદન શબ્દની વહેંચણી ઉત્પાદન શબ્દ αβ નું વિતરણ માત્ર મોટા નમૂનાના કદ પર સામાન્ય છે, જેનો અર્થ છે કે નાના નમૂનાના કદ પર સૂત્રમાંથી મેળવેલ p-મૂલ્ય સાચા p-મૂલ્યનો સચોટ અંદાજ નહીં હોય. આવું થાય છે કારણ કે α અને β બંને સામાન્ય રીતે વિતરિત હોવાનું માનવામાં આવે છે, અને બે સામાન્ય રીતે વિતરિત ચલોના ઉત્પાદનનું વિતરણ વક્ર હોય છે, સિવાય કે માધ્યમ પ્રમાણભૂત વિચલનો કરતાં ઘણું મોટું હોય. જો નમૂનો પૂરતો મોટો હોય તો આ કોઈ સમસ્યા નહીં હોય, જો કે જ્યારે નમૂનો પૂરતો મોટો હોય ત્યારે તે નક્કી કરવું કંઈક અંશે વ્યક્તિલક્ષી છે. ગુણાંકના ગુણાકારમાં સમસ્યાઓ કેટલીક પરિસ્થિતિઓમાં શક્ય છે કે (τ-τ) icv (αβ). આ ત્યારે થાય છે જ્યારે મધ્યસ્થ અસરોનો અંદાજ કાઢવા માટે ઉપયોગમાં લેવાતા નમૂનાઓમાં નમૂનાનું કદ અલગ હોય છે. ધારો કે 200 કેસોમાંથી સ્વતંત્ર ચલ અને મધ્યસ્થી ઉપલબ્ધ છે, જ્યારે આશ્રિત ચલ માત્ર 150 કેસોમાંથી ઉપલબ્ધ છે. આનો અર્થ એ છે કે α પરિમાણ 200 કેસો સાથે રીગ્રેસન મોડેલ પર આધારિત છે અને β પરિમાણ માત્ર 150 કેસો સાથે રીગ્રેસન મોડેલ પર આધારિત છે. τ અને τ બંને 150 કેસ સાથે રીગ્રેસન મોડલ પર આધારિત છે. જુદા જુદા નમૂનાના કદ અને જુદા જુદા સહભાગીઓનો અર્થ છે કે (τ-τ) § (αβ). એકમાત્ર સમય (τ-τ) = (αβ) ત્યારે હોય છે જ્યારે રીગ્રેસનનું પરીક્ષણ કરતા દરેક મોડેલમાં બરાબર સમાન સહભાગીઓનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. સોબેલ પરીક્ષણના વિકલ્પો ગુણાંક વિતરણનું ઉત્પાદન ગુણાંક વિતરણના ઉત્પાદનની બિન-સામાન્યતાને દૂર કરવાની એક વ્યૂહરચના એ છે કે સોબેલ પરીક્ષણના આંકડાની સરખામણી સામાન્ય વિતરણને બદલે ઉત્પાદનના વિતરણ સાથે કરવી. આ અભિગમ સામાન્ય રીતે વહેંચાયેલા બે ચલોના ગુણાકારના ગાણિતિક વ્યુત્પત્તિ પર આધારિત છે, જે સામાન્યતાને લાગુ કરવાને બદલે વિતરણના વળાંકને સ્વીકારે છે. સાહિત્યમાં વધુ લોકપ્રિય બની રહેલો બીજો અભિગમ બુટસ્ટ્રેપિંગ છે. બુટસ્ટ્રેપિંગ એ બિન-પેરામેટ્રિક રીસામ્પલિંગ પ્રક્રિયા છે જે ડેટાસેટનું વારંવાર નમૂના લઈને αβ ના નમૂના વિતરણનો પ્રયોગમૂલક અંદાજ બનાવી શકે છે. બુટસ્ટ્રેપિંગ સામાન્યતાની ધારણા પર આધાર રાખતું નથી. સંદર્ભો આંકડાકીય પરીક્ષણો રીગ્રેસન વિશ્લેષણ