Ambit field
ગણિતમાં, એમ્બિટ ફિલ્ડ એ ડી-ડાયમેન્શનલ રેન્ડમ ફિલ્ડ છે જે આપેલ સિસ્ટમના સ્ટોકેસ્ટિક ગુણધર્મોનું વર્ણન કરે છે. ઇનપુટ સામાન્ય રીતે ડી-ડાયમેન્શનલ વેક્ટર છે (દા. ત. d-પરિમાણીય જગ્યા અથવા (1-પરિમાણીય) સમય અને (d−1)-પરિમાણીય જગ્યા) ક્ષેત્રના દરેક બિંદુને વાસ્તવિક મૂલ્ય સોંપે છે. તેના સૌથી સામાન્ય સ્વરૂપમાં, એમ્બિટ ફિલ્ડ, ને અચળાંક વત્તા સ્ટોકેસ્ટિક ઇન્ટિગ્રલ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જ્યાં એકીકરણ લેવી આધારના સંદર્ભમાં કરવામાં આવે છે, વત્તા સામાન્ય લેબસ્ગ્યુ ઇન્ટિગ્રલ દ્વારા આપવામાં આવેલ સરળ શબ્દ. એકીકરણ કહેવાતા એમ્બિટ સમૂહો પર કરવામાં આવે છે, જેનો ઉપયોગ પ્રભાવના ક્ષેત્રનું નમૂના બનાવવા માટે થાય છે (તેથી નામ, એમ્બિટ, "પ્રભાવના ક્ષેત્ર" અથવા "સીમા" માટે લેટિન) જે આપેલ બિંદુને અસર કરે છે. મહત્વાકાંક્ષા ક્ષેત્રોનો ઉપયોગ અને વિકાસ અશાંતિ અને વીજળીના ભાવોની ઉત્ક્રાંતિને વર્ણવવા માટે લવચીક સ્ટોકેસ્ટિક મોડેલોની જરૂરિયાત દ્વારા પ્રેરિત છે. જોખમ વ્યવસ્થાપન અને વ્યુત્પન્ન કિંમત નિર્ધારણ. તે ઓલે ઇ. બાર્નડોર્ફ-નીલ્સન અને જુર્ગેન સ્મીગલ દ્વારા અશાંતિ અને ગાંઠના વિકાસનું મોડેલ બનાવવા માટે પહેલ કરવામાં આવી હતી. નોંધ લો કે, આ લેખ એવા સંકેતનો ઉપયોગ કરશે જેમાં સમયને પરિમાણ તરીકે સમાવવામાં આવ્યો છે, એટલે કે. આપણે (d−1)-પરિમાણીય અવકાશને 1-પરિમાણીય સમય સાથે ધ્યાનમાં લઈએ છીએ. સિદ્ધાંત અને સંકેત સરળતાથી ડી-ડાયમેન્શનલ સ્પેસ (ક્યાં તો ટાઇમ હેરિન સહિત અથવા કોઈ પણ સમયને સમાવતી સેટિંગમાં) પર વહન કરે છે. અંતઃપ્રેરણા અને પ્રેરણા સ્ટોકેસ્ટિક વિશ્લેષણમાં, રેન્ડમ પ્રક્રિયા અથવા ક્ષેત્રનું મોડેલ બનાવવાની સામાન્ય રીત, સ્ટોકેસ્ટિક (આંશિક) વિભેદક સમીકરણ (એસપીડીઇ) દ્વારા પ્રક્રિયાની ગતિશીલતાને સ્પષ્ટ કરીને કરવામાં આવે છે. તે જાણીતું છે કે, (આંશિક) વિભેદક સમીકરણોના ઉકેલો કેટલાક કિસ્સાઓમાં અન્ય કાર્ય સાથે જોડાયેલા ગ્રીન કાર્યના અભિન્ન અંગ તરીકે આપી શકાય છે-જો વિભેદક સમીકરણ સ્ટોકેસ્ટિક હોય, એટલે કે. અવ્યવસ્થિત અવાજથી દૂષિત (દા. ત. સફેદ ઘોંઘાટ) અનુરૂપ ઉકેલ ગ્રીનના કાર્યનો સ્ટોકેસ્ટિક અભિન્ન ભાગ હશે. આ હકીકત, પહેલા એસ. પી. ડી. ઈ. નો ઉલ્લેખ કરવાને બદલે અને પછી આનો ઉકેલ શોધવાનો પ્રયાસ કરવાને બદલે, ગ્રીન્સ ફંક્શન દ્વારા ઉકેલ તરીકે સમાન સ્વરૂપ લઈને, સ્ટોકેસ્ટિક ઇન્ટિગ્રલ દ્વારા સીધા જ રસના ક્ષેત્રનું મોડેલિંગ કરવાના કારણને પ્રેરિત કરે છે. આ વિવિધ ઘટનાઓના મોડેલિંગ માટે ખૂબ જ લવચીક અને સામાન્ય માળખું પ્રદાન કરે છે. વ્યાખ્યા એક ગતિ-અવકાશી મહત્વાકાંક્ષા ક્ષેત્ર, એ અવકાશ-સમયમાં મૂલ્યોને અંદર લઈ જતું અવ્યવસ્થિત ક્ષેત્ર છે. ચાલો નિર્ધારિત કર્નલ કાર્યો, એક સ્ટોકેસ્ટિક કાર્ય, એક સ્ટોકેસ્ટિક ક્ષેત્ર (જેને અશાંતિમાં ઊર્જા વિસર્જન ક્ષેત્ર અને નાણામાં વોલેટિલિટી કહેવાય છે) અને લેવી આધારમાં એમ્બિટ સેટ હોઈએ. હવે, એમ્બિટ ક્ષેત્ર એ એમ્બિટ સમૂહો છે ઉપરોક્તમાં, એમ્બિટ સમૂહો અને અવકાશ-સમયમાં આપેલ બિંદુ માટે પ્રભાવના ક્ષેત્રનું વર્ણન કરે છે. આઈ. ઇ. આપેલ બિંદુ પર, સમૂહો અને અવકાશ-સમયના બિંદુઓ છે જે પર કક્ષાના ક્ષેત્રના મૂલ્યને અસર કરે છે. જ્યારે સમયને પરિમાણોમાંના એક તરીકે ગણવામાં આવે છે, ત્યારે સમૂહોને ઘણીવાર માત્ર સમય-કોઓર્ડિનેટ્સનો સમાવેશ કરવા માટે લેવામાં આવે છે જે વર્તમાન સમય, ટી પર અથવા તે પહેલાં હોય છે, જેથી ક્ષેત્રની કાર્યકારણતા જાળવી શકાય (એટલે કે. અવકાશ-સમયમાં આપેલ બિંદુ માત્ર તે જ ઘટનાઓથી પ્રભાવિત થઈ શકે છે જે સમય પહેલા બની હોય અને આમ ભવિષ્યથી પ્રભાવિત ન થઈ શકે). એમ્બિટ સમૂહો વિવિધ સ્વરૂપોના હોઈ શકે છે અને મોડેલિંગ હેતુઓ માટે એમ્બિટ ક્ષેત્રોનો ઉપયોગ કરતી વખતે, એમ્બિટ સમૂહોની પસંદગી એવી રીતે થવી જોઈએ કે જે ઇચ્છિત ગુણધર્મોને મેળવે (દા. ત. પ્રણાલીની શૈલીયુક્ત હકીકતો) શ્રેષ્ઠ શક્ય રીતે ગણવામાં આવે છે. આ અર્થમાં, સેટનો ઉપયોગ ચોક્કસ મોડેલને ડેટાને શક્ય તેટલી નજીકથી ફિટ કરવા માટે કરી શકાય છે અને આમ મોડેલને સ્પષ્ટ કરવાની ખૂબ જ લવચીક-છતાં સામાન્ય-રીત પ્રદાન કરે છે. એમ્બિટ પ્રક્રિયા ઘણીવાર, રસનો હેતુ પોતે એમ્બિટ ક્ષેત્ર નથી, પરંતુ તેના બદલે ક્ષેત્રમાંથી ચોક્કસ માર્ગ લેતી પ્રક્રિયા છે. આવી પ્રક્રિયાને એમ્બિટ પ્રક્રિયા કહેવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે આવી પ્રક્રિયા ચોક્કસ નાણાકીય હેતુની કિંમતનું પ્રતિનિધિત્વ કરી શકે છે-દા. ત. ચોક્કસ સમય માટે ફોરવર્ડ કોન્ટ્રાક્ટની કિંમત અને જગ્યામાં બિંદુ, ડિલિવરીનો સમય, હાજર કિંમત, ડિલિવરીનો સમયગાળો વગેરે જેવી વસ્તુઓનું પ્રતિનિધિત્વ કરતી જગ્યા. આ નીચેની વ્યાખ્યાને પ્રેરિત કરે છેઃ ચાલો એમ્બિટ ક્ષેત્ર, Y, ઉપરની જેમ આપવામાં આવે અને અવકાશ-સમયમાં વળાંકને ધ્યાનમાં લઈએ. એમ્બિટ પ્રક્રિયાને વળાંક સાથેના ક્ષેત્રના મૂલ્ય તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, એટલે કે. સ્ટોકેસ્ટિક ઇન્ટરમિટેન્સી/વોલેટિલિટી ઊર્જા વિસર્જિત ક્ષેત્ર/વોલેટિલિટી, સામાન્ય રીતે, સ્ટોકેસ્ટિક (તોફાનના સંદર્ભમાં ઇન્ટરમિટેન્સી કહેવાય છે) છે, અને તેને સ્ટોકેસ્ટિક ચલ અથવા ક્ષેત્ર તરીકે મોડેલિંગ કરી શકાય છે. ખાસ કરીને, તે પોતે અન્ય એમ્બિટ ફિલ્ડ દ્વારા મોડેલિંગ કરી શકાય છે, એટલે કે. જ્યાં બિન-નકારાત્મક લેવી આધાર છે. લેવી આધારના સંદર્ભમાં એકીકરણ સ્ટોકેસ્ટિક ઇન્ટિગ્રલ, એમ્બિટ પ્રક્રિયાની વ્યાખ્યામાં લેવી આધાર (ઇન્ટિગ્રેટર) પર સ્ટોકેસ્ટિક ક્ષેત્ર (ઇન્ટિગ્રાન્ડ) નું અભિન્ન અંગ છે, અને આમ તે સામાન્ય સ્ટોકેસ્ટિક ઇટો-ઇન્ટિગ્રલ કરતાં વધુ જટિલ છે. એકીકરણનો એક નવો સિદ્ધાંત વોલ્શ (1987) દ્વારા પ્રદાન કરવામાં આવ્યો હતો જ્યાં એકીકરણ રેન્ડમ ક્ષેત્રોના સંદર્ભમાં કરવામાં આવે છે અને આ સિદ્ધાંતને કહેવાતા લેવી પાયાના સંદર્ભમાં એકીકરણ સુધી વિસ્તૃત કરી શકાય છે, જે એમ્બીટ ક્ષેત્રનો મુખ્ય નિર્માણ ખંડ છે. લેવી આધારની વ્યાખ્યા રેન્ડમ વેક્ટરના કુટુંબને લેવી આધાર કહેવામાં આવે છે જોઃ 1. નો કાયદો બધા માટે અનંત રીતે વિભાજીત છે. 2. જો અસંગત હોય, તો સ્વતંત્ર હોય છે. 3. જો તેની સાથે અસંબદ્ધ હોય, તો એ. એસ. જ્યાં જમણી બાજુએ 3. નું અભિસરણ એ. એસ. છે. નોંધ લો કે ગુણધર્મો 2. અને 3. સ્વતંત્ર રીતે વેરવિખેર રેન્ડમ માપને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. એક સ્થિર ઉદાહરણ કેટલાક ડેટામાં (દા. ત. કોમોડિટીની કિંમતો) ત્યાં ઘણીવાર સ્થિર ઘટક જોવા મળે છે, જેને એક સારું મોડેલ કેપ્ચર કરવામાં સક્ષમ હોવું જોઈએ. મહત્વાકાંક્ષા ક્ષેત્રને સીધી રીતે સ્થિર બનાવી શકાય છે. એમ્બિટ ક્ષેત્રને ધ્યાનમાં લો, જ્યાં એમ્બિટ સમૂહો, તે સ્વરૂપના હોય છે જ્યાં સમય-કોઓર્ડિનેટ્સ નકારાત્મક હોય છે (માટે સમાન). વધુમાં, આપણે તે માટે લઈએ છીએ અને તે સ્થિર રેન્ડમ ચલ/ક્ષેત્રો પણ છે. ખાસ કરીને, આપણે સ્થિર એમ્બિટ ક્ષેત્રને જ લઈ શકીએ છીએઃ જ્યાં બિન-નકારાત્મક લેવી આધાર છે અને તે એક સકારાત્મક કાર્ય છે. સંદર્ભો બાહ્ય કડીઓ આર્હસ યુનિવર્સિટી ખાતે એમ્બિટ પ્રક્રિયાઓ રેન્ડમ વેરિયેબલ્સના બીજગણિત