Schläfli double six
ભૂમિતિમાં, શ્લાફલી ડબલ સિક્સ એ ત્રિ-પરિમાણીય યુક્લિડિયન અવકાશમાં 30 બિંદુઓ અને 12 રેખાઓનું રૂપરેખાંકન છે, જે 1858માં લુડવિગ શ્લાફલી દ્વારા રજૂ કરવામાં આવ્યું હતું. રૂપરેખાંકનની રેખાઓને છ રેખાઓના બે ઉપગણમાં વિભાજિત કરી શકાય છેઃ દરેક રેખા તેની છ રેખાઓના પોતાના ઉપગણમાં રેખાઓથી અલગ પડે છે અને છ રેખાઓના અન્ય ઉપગણમાં એક સિવાયની તમામ રેખાઓને છેદે છે. રૂપરેખાંકનની 12 રેખાઓમાંથી દરેકમાં પાંચ આંતરછેદ બિંદુઓ છે, અને આ 30 આંતરછેદ બિંદુઓમાંથી દરેક બરાબર બે રેખાઓ સાથે સંબંધિત છે, દરેક સબસેટમાંથી એક, તેથી રૂપરેખાંકનોના સંકેતલિપીમાં શ્લાફલી ડબલ સિક્સને 30,2125 લખવામાં આવે છે. બાંધકામ શ્લાફ્લીએ બતાવ્યું તેમ, ડબલ સિક્સ કોઈપણ પાંચ રેખાઓ a1, a2, a3, a4, a5 થી બનાવી શકાય છે, જે તમામ સામાન્ય રેખા b6 દ્વારા છેદવામાં આવે છે, પરંતુ અન્યથા સામાન્ય સ્થિતિમાં હોય છે (ખાસ કરીને, દરેક બે રેખાઓ ai અને aj વક્ર હોવી જોઈએ, અને કોઈ પણ ચાર રેખાઓ ai સામાન્ય શાસિત સપાટી પર હોવી જોઈએ નહીં). પાંચ રેખાઓમાંથી દરેક માટે, પાંચ રેખાઓમાંથી ચારના પૂરક સમૂહમાં બે ચતુર્થાંશ હોય છેઃ b6 અને બીજી રેખા b. આ રીતે રચાયેલી પાંચ રેખાઓ b1, b2, b3, b4 અને b5 બદલામાં બીજી રેખા, a6 દ્વારા છેદે છે. બાર રેખાઓ એઇ અને બાય બેવડું છ બનાવે છેઃ દરેક રેખા એઇ અન્ય પાંચ રેખાઓ સાથે આંતરછેદ બિંદુ ધરાવે છે, રેખાઓ bj જેના માટે i ષ્ણાંક j છે, અને ઊલટું. ચિત્રમાં દર્શાવેલ વૈકલ્પિક રચના એ છે કે સમઘનના છ ચહેરાના કેન્દ્રોમાંથી બાર રેખાઓ મૂકવી, દરેક તેના ચહેરાના સમતલમાં અને બધા સમઘનની કિનારીઓના સંદર્ભમાં સમાન ખૂણા બનાવે છે. એકવાર આમાંથી કોઈપણ રીતે નિર્માણ થયા પછી, ડબલ સિક્સને સમતલમાં પ્રક્ષેપિત કરી શકાય છે, જે સમાન ઘટના પેટર્ન સાથે બિંદુઓ અને રેખાઓની દ્વિ-પરિમાણીય પ્રણાલી બનાવે છે. સંબંધિત પદાર્થો સામાન્ય ઘન સપાટીમાં 27 રેખાઓ હોય છે, જેમાંથી 36 ડબલ છ રૂપરેખાંકનો મળી શકે છે. આ તમામ રેખાઓનું પ્રતિનિધિત્વ કરવા માટે જટિલ સંખ્યા કોઓર્ડિનેટ્સનો ઉપયોગ કરવો જરૂરી હોઈ શકે છે; ઘન સપાટીઓ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ પર 27 કરતા ઓછી રેખાઓ ધરાવી શકે છે. 27 રેખાઓના આવા કોઈપણ સમૂહમાં, આ રેખાઓના ત્રિપલમાંથી પસાર થતા 15 સ્પર્શક વિમાનો સાથે મળીને, બેવડા છની પૂરક 15 રેખાઓ, અન્ય રૂપરેખાંકન, ક્રેમોના-રિકમંડ રૂપરેખાંકનની આપતન પેટર્ન ધરાવે છે. બેવડા છ રૂપરેખાંકનની બાર રેખાઓનો આંતરછેદ આલેખ એ બાર-શિરોબિંદુ તાજ આલેખ છે, એક દ્વિપક્ષી આલેખ જેમાં દરેક શિરોબિંદુ વિરુદ્ધ રંગના છ શિરોબિંદુઓમાંથી પાંચને અડીને છે. ડબલ સિક્સનો લેવી ગ્રાફ ક્રાઉન ગ્રાફની દરેક ધારને બે ધારવાળા માર્ગ દ્વારા બદલીને મેળવી શકાય છે. સમઘન સપાટી પર 27 રેખાઓના સમગ્ર સમૂહનો આંતરછેદ આલેખ એ શ્લાફલી આલેખનો પૂરક છે. નોંધો સંદર્ભો બાહ્ય કડીઓ રૂપરેખાંકનો (ભૂમિતિ)