Cremona–Richmond configuration
ગણિતમાં, ક્રેમોના-રિકમંડ રૂપરેખાંકન એ 15 રેખાઓ અને 15 બિંદુઓનું રૂપરેખાંકન છે, જેમાં દરેક રેખા પર 3 બિંદુઓ અને દરેક બિંદુ દ્વારા 3 રેખાઓ હોય છે, અને તેમાં કોઈ ત્રિકોણ નથી. તેનો અભ્યાસ અને દ્વારા કરવામાં આવ્યો હતો. તે પરિમાણો (2,2) સાથે સામાન્યીકૃત ચતુષ્કોણ છે. તેનો લેવી આલેખ ટુટ્ટે-કોક્ઝેટર આલેખ છે. સમપ્રમાણતા ક્રેમોના-રિકમંડ રૂપરેખાંકનના બિંદુઓને છ-તત્વ સમૂહના તત્વોની અનિયંત્રિત જોડી સાથે ઓળખી શકાય છે; આ જોડીને ડુએડ્સ કહેવામાં આવે છે. તેવી જ રીતે, રૂપરેખાંકનની રેખાઓને સમાન છ તત્વોને ત્રણ જોડીમાં વિભાજિત કરવાની 15 રીતો સાથે ઓળખી શકાય છે; આ પાર્ટીશનોને સિન્થેમ્સ કહેવામાં આવે છે. આ રીતે ઓળખાય છે, રૂપરેખાંકનનો એક બિંદુ રૂપરેખાંકનની રેખા સાથે સંકળાયેલો હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો બિંદુને અનુરૂપ દ્વૈત વાક્યને અનુરૂપ સિન્થેમમાં ત્રણ જોડીમાંથી એક હોય. ડુઆડ્સ અને સિન્થેમ્સની આ પ્રણાલી અંતર્ગત છ તત્વોના તમામ ક્રમચયોના સમપ્રમાણ જૂથ ક્રેમોના-રિકમંડ રૂપરેખાંકનના સમપ્રમાણતા જૂથ તરીકે કાર્ય કરે છે, અને રૂપરેખાંકનનું ઓટોમોર્ફિઝમ જૂથ આપે છે. રૂપરેખાંકનના દરેક ધ્વજ (એક ઘટના બિંદુ-રેખા જોડી) ને આ જૂથમાં સમપ્રમાણતા દ્વારા દરેક અન્ય ધ્વજ પર લઈ જઈ શકાય છે. ક્રેમોના-રિકમંડ રૂપરેખાંકન સ્વ-દ્વૈત છેઃ રૂપરેખાંકનની તમામ ઘટનાઓને જાળવી રાખીને રેખાઓ માટે બિંદુઓનું વિનિમય કરવું શક્ય છે. આ દ્વૈતતા ટુટ્ટે-કોક્સેટર આલેખને ક્રેમોના-રિકમંડ રૂપરેખાંકનની બહાર વધારાની સમપ્રમાણતા આપે છે, જે તેના દ્વિપક્ષીકરણની બંને બાજુઓને અદલાબદલી કરે છે. આ સમપ્રમાણતા છ તત્વો પરના સમપ્રમાણ જૂથના બાહ્ય ઓટોમોર્ફિઝમ્સને અનુરૂપ છે. અનુભૂતિ ચાર-પરિમાણીય અવકાશમાં સામાન્ય સ્થિતિમાં કોઈપણ છ બિંદુઓ 15 બિંદુઓ નક્કી કરે છે જ્યાં બે બિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખા અન્ય ચાર બિંદુઓ દ્વારા હાયપરપ્લેનને છેદે છે; આમ, છ બિંદુઓના ડુઆડ્સ આ 15 વ્યુત્પન્ન બિંદુઓ સાથે એક-માટે-એકને અનુરૂપ છે. કોઈપણ ત્રણ ડુઅડ્સ કે જે એકસાથે સિન્થેમની રચના કરે છે તે એક રેખા નક્કી કરે છે, સિન્થેમમાં ત્રણ ડુઅડ્સમાંથી બે ધરાવતા ત્રણ હાયપરપ્લેનની આંતરછેદ રેખા, અને આ રેખામાં તેના ત્રણ ડુઅડ્સમાંથી મેળવેલા દરેક બિંદુઓ છે. આમ, અમૂર્ત રૂપરેખાંકનના ડુઅડ્સ અને સિન્થેમ્સ એક-માટે-એકને અનુરૂપ છે, ઘટના-જાળવણીની રીતે, આ 15 બિંદુઓ અને 15 રેખાઓ મૂળ છ બિંદુઓમાંથી મેળવવામાં આવે છે, જે રૂપરેખાંકનની અનુભૂતિ બનાવે છે. એ જ અનુભૂતિ યુક્લિડિયન અવકાશ અથવા યુક્લિડિયન સમતલમાં રજૂ કરી શકાય છે. ક્રેમોના-રિકમંડ રૂપરેખાંકનમાં ક્રમ-પાંચ ચક્રીય સમપ્રમાણતા સાથે સમતલમાં અનુભૂતિઓનો એક-પરિમાણ પરિવાર પણ છે. ઈતિહાસમાં ક્યૂબિક સપાટીઓ મળી આવી છે જેમાં 15 વાસ્તવિક રેખાઓ (ક્યુબિક પરની તમામ 27 રેખાઓના સમૂહમાં શ્લાફલી ડબલ સિક્સના પૂરક) અને 15 સ્પર્શક સપાટીઓ છે, જેમાં દરેક સમતલમાં ત્રણ રેખાઓ અને દરેક રેખામાંથી ત્રણ સમતલ હોય છે. આ રેખાઓ અને વિમાનોને અન્ય સમતલ દ્વારા છેદવાથી 153153 રૂપરેખાંકનમાં પરિણમે છે. શ્લાફલીની રેખાઓ અને વિમાનોની ચોક્કસ ઘટના પેટર્ન પાછળથી શ્લાફલી દ્વારા પ્રકાશિત કરવામાં આવી હતી. અવલોકન કે પરિણામી રૂપરેખાંકનમાં કોઈ ત્રિકોણ નથી, દ્વારા બનાવવામાં આવ્યું હતું, અને તે જ રૂપરેખાંકન પણ કાર્યમાં દેખાય છે. સ્વ-અંકિત બહુકોણ તરીકે રૂપરેખાંકનનું વર્ણન મળ્યું. એચ. એફ. બેકરે તેમના 1922-1925 પાઠ્યપુસ્તક, પ્રિન્સિપલ્સ ઓફ જીઓમેટ્રીના બે ગ્રંથો માટે અગ્રભાગ તરીકે આ રૂપરેખાંકનની ચાર-પરિમાણીય અનુભૂતિનો ઉપયોગ કર્યો હતો. તે જ રૂપરેખાંકનની પણ પુનઃ શોધ કરી, અને ક્રમ-પાંચ ચક્રીય સમપ્રમાણતા સાથે તેની અનુભૂતિ મળી. રૂપરેખાંકનનું નામ અને દ્વારા તેના અભ્યાસ પરથી આવ્યું છે; કદાચ તેમના કાર્યમાં કેટલીક ભૂલોને કારણે, માર્ટિનેટ્ટીનું સમકાલીન યોગદાન અસ્પષ્ટતામાં પડ્યું હતું. નોંધો સંદર્ભો. . . . જેમ ટાંકવામાં આવ્યું છે. . . . . . જેમ ટાંકવામાં આવ્યું છે. . બાહ્ય કડીઓ ક્રેમોના-રિકમંડ રૂપરેખાંકનની છબી ક્રેમોના-રિકમંડ રૂપરેખાંકનની છબી રૂપરેખાંકન (ભૂમિતિ)