Non-Archimedean geometry
ગણિતમાં, બિન-આર્કિમિડીયન ભૂમિતિ એ ભૂમિતિના સંખ્યાબંધ સ્વરૂપોમાંથી કોઈપણ છે જેમાં આર્કિમિડીઝના સિદ્ધાંતને નકારવામાં આવે છે. આવી ભૂમિતીનું ઉદાહરણ ડેહ્ન પ્લેન છે. બિન-આર્કિમિડીયન ભૂમિતિઓ, ઉદાહરણ સૂચવે છે તેમ, યુક્લિડીયન ભૂમિતિથી નોંધપાત્ર રીતે અલગ ગુણધર્મો ધરાવે છે. બે ઇન્દ્રિયો છે જેમાં આ શબ્દનો ઉપયોગ કરી શકાય છે, જે ક્ષેત્રો પરની ભૂમિતિઓનો ઉલ્લેખ કરે છે જે આર્કિમિડીયન ગુણધર્મની બે ઇન્દ્રિયોમાંથી એકનું ઉલ્લંઘન કરે છે (એટલે કે. ક્રમ અથવા તીવ્રતાના સંદર્ભમાં). બિન-આર્કિમિડીયન ક્રમબદ્ધ ક્ષેત્ર પરની ભૂમિતિ આ શબ્દનો પ્રથમ અર્થ બિન-આર્કિમિડીયન ક્રમબદ્ધ ક્ષેત્ર પરની ભૂમિતિ અથવા તેના સબસેટ છે. ઉપરોક્ત ડેહન પ્લેન તર્કસંગત કાર્યોના ક્ષેત્રના આધારે ચોક્કસ બિન-આર્કિમિડીયન ક્રમબદ્ધ ક્ષેત્રના મર્યાદિત ભાગનું સ્વ-ઉત્પાદન લે છે. આ ભૂમિતિમાં, યુક્લિડિયન ભૂમિતિથી નોંધપાત્ર તફાવતો છે; ખાસ કરીને, એક બિંદુ દ્વારા સીધી રેખા સાથે અનંત ઘણી સમાંતરતાઓ છે-તેથી સમાંતર પૂર્વધારણા નિષ્ફળ જાય છે-પરંતુ ત્રિકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો હજુ પણ એક સીધો કોણ છે. સહજ ભાવે, આવી જગ્યામાં, રેખા પરના બિંદુઓને વાસ્તવિક સંખ્યાઓ અથવા તેના સબસેટ દ્વારા વર્ણવી શકાતા નથી, અને ત્યાં "અનંત" અથવા "અનંત" લંબાઈના વિભાગો અસ્તિત્વમાં છે. બિન-આર્કિમિડીયન મૂલ્યવાન ક્ષેત્ર પરની ભૂમિતિ આ શબ્દનો બીજો અર્થ બિન-આર્કિમિડીયન મૂલ્યવાન ક્ષેત્ર અથવા અલ્ટ્રામેટ્રિક જગ્યા પરની મેટ્રિક ભૂમિતિ છે. આવી જગ્યામાં, યુક્લિડિયન ભૂમિતિના પરિણામમાં વધુ વિરોધાભાસ જોવા મળે છે. ઉદાહરણ તરીકે, બધા ત્રિકોણ સમદ્વિબાહુ છે, અને ઓવરલેપિંગ બોલ્સ માળો છે. આવી જગ્યાનું ઉદાહરણ પી-એડિક સંખ્યાઓ છે. સહજ ભાવે, આવી જગ્યામાં, અંતર "ઉમેરવામાં" અથવા "એકઠા કરવામાં" નિષ્ફળ જાય છે. ભૂમિતિના સંદર્ભ ક્ષેત્રો