Topological rigidity
ટોપોલોજીના ગાણિતિક ક્ષેત્રમાં, મેનીફોલ્ડ M ને ટોપોલોજીકલી રિજિડ કહેવામાં આવે છે જો M ની સમકક્ષ દરેક મેનીફોલ્ડ પણ M માટે હોમોમોર્ફિક હોય. હોમોમોર્ફિક અથવા ડિફિયોમોર્ફિક. સ્પષ્ટ રીતે મોર્ફિઝમનું નિર્માણ કરવું લગભગ હંમેશા અવ્યવહારુ હોય છે. જો આપણે એક અથવા બંને જગ્યાઓ (મેનીફોલ્ડ્સ) પર વધુ શરત મૂકીએ તો આપણે આ વધારાની રચનાનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ તે બતાવવા માટે કે ઇચ્છિત મોર્ફિઝમ અસ્તિત્વમાં હોવું જોઈએ. કઠોરતા પ્રમેય એ છે કે જ્યારે બે મેનીફોલ્ડ્સ (સામાન્ય રીતે હોમોટોપી સમાનતા) વચ્ચે એકદમ નબળી સમાનતા મજબૂત સમાનતા હોમોમોર્ફિઝમ, ડિફિયોમોર્ફિઝમ અથવા આઇસોમેટ્રીનું અસ્તિત્વ સૂચવે છે. વ્યાખ્યા. બંધ ટોપોલોજિકલ મેનીફોલ્ડ M ને ટોપોલોજિકલ રિજિડ કહેવામાં આવે છે જો કોઈ હોમોટોપી સમાનતા f: N → M સાથે કેટલાક મેનીફોલ્ડ N સ્રોત તરીકે અને M લક્ષ્ય તરીકે હોમોમોર્ફિઝમ માટે હોમોટોપિક હોય. ઉદાહરણ 1. જો બંધ 2-મેનિફોલ્ડ્સ M અને N હોમોટોપિક રીતે સમકક્ષ હોય તો તેઓ હોમોમોર્ફિક છે. વધુમાં, બંધ સપાટીઓની કોઈપણ સમસ્થાનિક સમાનતા હોમોમોર્ફિઝમમાં વિકૃત થાય છે. ઉદાહરણ 2. જો બંધ મેનીફોલ્ડ Mn (n ષ્ણ 3) એ Sn માટે સમસ્થાનિક-સમકક્ષ હોય તો Mn એ Sn માટે સમરૂપ છે. ભૂમિતિ વ્યાખ્યામાં કઠોરતા પ્રમેય. સપાટ-રીમેનિયન મેનીફોલ્ડ્સના ડિફિયોમોર્ફિઝમને એફાઇન આઇ. એફ. એફ. કહેવામાં આવે છે જે ભૂગણિતને ભૂગણિત તરફ લઈ જાય છે. પ્રમેય (Bieberbach) જો f: M → N એ સપાટ બંધ જોડાયેલા રીમાનિયન મેનીફોલ્ડ્સ વચ્ચેની સમસ્થાનિક સમાનતા હોય તો f એ એફાઇન હોમોમોર્ફિઝમ માટે સમસ્થાનિક છે. મોસ્ટોવની કઠોરતા પ્રમેય થીયરમઃ ચાલો M અને N કોમ્પેક્ટ, સ્થાનિક રીતે સપ્રમાણ રીમાનિયન મેનીફોલ્ડ્સ હોય, જેમાં દરેક જગ્યાએ બિન-સકારાત્મક વળાંક હોય, જેમાં કોઈ બંધ એક અથવા દ્વિ-પરિમાણીય ભૌગોલિક સબસ્પેસ ન હોય, જે સ્થાનિક રીતે સીધા પરિબળ હોય. જો f: M → N એ સમસ્થાનિક સમાનતા હોય તો f એ સમમિતિનું સમસ્થાનિક છે. પ્રમેય (હાયપરબોલિક n-મેનિફોલ્ડ્સ માટે મોસ્ટોવનો પ્રમેય, n ≤ 3): જો M અને N સંપૂર્ણ હાયપરબોલિક n-મેનિફોલ્ડ્સ હોય, તો મર્યાદિત કદ સાથે n ≤ 3 અને f: M → N એ સમસ્થાનિક સમાનતા હોય તો f એ સમસ્થાનિક છે. આ પરિણામોને જ્યોર્જ મોસ્ટોના નામ પરથી નામ આપવામાં આવ્યું છે. બીજગણિત સ્વરૂપ ધારો કે  તાઇપરબોલિક n-સ્પેસ H ના આઇસોમેટ્રી જૂથના અલગ પેટા જૂથો છે, જ્યાં n ≤ 3, જેમના ગુણોત્તર H/Π અને H/Π મર્યાદિત કદ ધરાવે છે. જો અલગ જૂથો તરીકે આઇસોમોર્ફિક હોય તો તેઓ સંયુગ્મિત છે. ટિપ્પણીઓ (1) દ્વિ-પરિમાણીય કિસ્સામાં ઓછામાં ઓછી બે જાતિના કોઈપણ મેનીફોલ્ડમાં હાયપરબોલિક માળખું હોય છે. આ કિસ્સામાં મોસ્ટોવની કઠોરતા પ્રમેય લાગુ પડતી નથી. હકીકતમાં, આવા કોઈપણ મેનીફોલ્ડ પર ઘણી હાયપરબોલિક રચનાઓ હોય છે; આવી દરેક રચના ટેકમુલર જગ્યામાં એક બિંદુને અનુરૂપ હોય છે. (2) બીજી બાજુ, જો એમ અને એન મર્યાદિત કદના 2-મેનીફોલ્ડ હોય તો તે બતાવવું સરળ છે કે જ્યારે તેમના મૂળભૂત જૂથો સમાન હોય ત્યારે તેઓ બરાબર હોમોમોર્ફિક હોય છે. ઉપયોગ મર્યાદિત-વોલ્યુમ હાયપરબોલિક એન-મેનિફોલ્ડ એમ (એન ≤ 3 માટે) ની સમમિતિનું જૂથ મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન થાય છે અને π1 (એમ) માટે સમરૂપ છે. સંદર્ભ ટોપોલોજી મેનીફોલ્ડ્સના નકશા હોમોટોપી સિદ્ધાંત