Yang–Mills equations
ભૌતિકશાસ્ત્ર અને ગણિતમાં, અને ખાસ કરીને વિભેદક ભૂમિતિ અને ગેજ સિદ્ધાંતમાં, યાંગ-મિલ્સ સમીકરણો વેક્ટર બંડલ અથવા મુખ્ય બંડલ પરના જોડાણ માટે આંશિક વિભેદક સમીકરણોની એક પદ્ધતિ છે. તેઓ ભૌતિકશાસ્ત્રમાં યાંગ-મિલ્સ ક્રિયાના યુલર-લેગ્રેન્જ સમીકરણો તરીકે કાર્યાત્મક રીતે ઉદ્ભવે છે. તેમને ગણિતમાં પણ નોંધપાત્ર ઉપયોગ મળ્યો છે. સમીકરણોના ઉકેલોને યાંગ-મિલ્સ જોડાણો અથવા ઇન્સ્ટન્ટોન કહેવામાં આવે છે. ડોનાલ્ડસનના પ્રમેયને સાબિત કરવા માટે સિમોન ડોનાલ્ડસન દ્વારા ઇન્સ્ટન્ટોનની મોડુલી જગ્યાનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો. પ્રેરણા ભૌતિકશાસ્ત્ર ગેજ સિદ્ધાંતોના વિષય પરના તેમના પાયાના પેપરમાં, રોબર્ટ મિલ્સ અને ચેન-નિંગ યાંગે (અનિવાર્યપણે ગાણિતિક સાહિત્યથી સ્વતંત્ર) મુખ્ય બંડલ અને જોડાણોનો સિદ્ધાંત વિકસાવ્યો હતો જેથી તે ગેજ સમપ્રમાણતા અને ગેજ ઇનવેરિયન્સની વિભાવનાને સમજાવી શકે કારણ કે તે ભૌતિક સિદ્ધાંતોને લાગુ પડે છે. યાંગ અને મિલ્સે શોધી કાઢેલા ગેજ સિદ્ધાંતો, જેને હવે યાંગ-મિલ્સ સિદ્ધાંતો કહેવામાં આવે છે, તેણે મેક્સવેલના સમીકરણો પર જેમ્સ મેક્સવેલના શાસ્ત્રીય કાર્યને સામાન્ય બનાવ્યું, જેને વોલ્ફગેંગ પૌલી અને અન્ય લોકો દ્વારા ગેજ સિદ્ધાંતની ભાષામાં રજૂ કરવામાં આવ્યું હતું. યાંગ અને મિલ્સના કાર્યની નવીનતા લાઈ જૂથની મનસ્વી પસંદગી માટે ગેજ સિદ્ધાંતોને વ્યાખ્યાયિત કરવાની હતી, જેને માળખું જૂથ કહેવાય છે (અથવા ભૌતિકશાસ્ત્રમાં ગેજ જૂથ, વધુ વિગતો માટે ગેજ જૂથ (ગણિત) જુઓ). ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિઝમને અનુરૂપ કેસના વિરોધમાં આ જૂથ બિન-એબેલિયન હોઈ શકે છે, અને આવા પદાર્થોની ચર્ચા કરવા માટે યોગ્ય માળખું એ મુખ્ય બંડલનો સિદ્ધાંત છે. યાંગ અને મિલ્સના કાર્યના આવશ્યક મુદ્દાઓ નીચે મુજબ છે. એક એવું ધારે છે કે ભૌતિક મોડેલનું મૂળભૂત વર્ણન ક્ષેત્રોના ઉપયોગ દ્વારા થાય છે, અને તે તારવે છે કે સ્થાનિક ગેજ પરિવર્તન (મુખ્ય બંડલના સ્થાનિક તુચ્છકરણમાં ફેરફાર) હેઠળ, આ ભૌતિક ક્ષેત્રોએ ચોક્કસપણે તે રીતે પરિવર્તન કરવું જોઈએ જે રીતે મુખ્ય બંડલ પર જોડાણ (ભૌતિકશાસ્ત્રમાં, એક ગેજ ક્ષેત્ર) પરિવર્તિત થાય છે. ગેજ ક્ષેત્રની શક્તિ એ જોડાણની વળાંક છે, અને ગેજ ક્ષેત્રની ઊર્જા યાંગ-મિલ્સ ક્રિયા કાર્યાત્મક દ્વારા (અચળાંક સુધી) આપવામાં આવે છે. ઓછામાં ઓછી ક્રિયાના સિદ્ધાંત સૂચવે છે કે આ ભૌતિક સિદ્ધાંત માટે ગતિના સાચા સમીકરણો આ કાર્યાત્મક યુલર-લેગ્રેન્જ સમીકરણો દ્વારા આપવા જોઈએ, જે નીચે તારવેલા યાંગ-મિલ્સ સમીકરણો છેઃ ગણિત સિદ્ધાંતની ભૌતિક ઉત્પત્તિ ઉપરાંત, યાંગ-મિલ્સ સમીકરણો મહત્વપૂર્ણ ભૌમિતિક રસ ધરાવે છે. સામાન્ય રીતે વેક્ટર બંડલ અથવા મુખ્ય બંડલ પર જોડાણની કોઈ કુદરતી પસંદગી હોતી નથી. ખાસ કિસ્સામાં જ્યાં આ બંડલ રીમાનિયન મેનીફોલ્ડનું સ્પર્શક બંડલ છે, ત્યાં આવી કુદરતી પસંદગી છે, લેવી-સિવિટા જોડાણ, પરંતુ સામાન્ય રીતે સંભવિત પસંદગીઓની અનંત-પરિમાણીય જગ્યા હોય છે. યાંગ-મિલ્સ જોડાણ સામાન્ય ફાઇબર બંડલ માટે જોડાણની અમુક પ્રકારની કુદરતી પસંદગી આપે છે, જે આપણે હવે વર્ણવીએ છીએ. જોડાણને તેના સ્થાનિક સ્વરૂપો દ્વારા બંડલ માટે તુચ્છ ખુલ્લા આવરણ માટે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. કેનોનિકલ જોડાણ પસંદ કરવાનો પ્રથમ પ્રયાસ એ હોઈ શકે છે કે આ સ્વરૂપો અદૃશ્ય થઈ જાય. જો કે, જ્યાં સુધી તુચ્છતા સપાટ ન હોય ત્યાં સુધી આ શક્ય નથી, એ અર્થમાં કે સંક્રમણ કાર્યો સતત કાર્યો છે. દરેક બંડલ સપાટ નથી, તેથી સામાન્ય રીતે આ શક્ય નથી. તેના બદલે કોઈ પૂછી શકે છે કે સ્થાનિક જોડાણ ફોર્મ પોતે સ્થિર છે. મુખ્ય બંડલ પર આ શરતને શબ્દસમૂહ કરવાની સાચી રીત એ છે કે વળાંક અદૃશ્ય થઈ જાય છે. જો કે, ચેરન-વેઇલ સિદ્ધાંત મુજબ જો વળાંક અદૃશ્ય થઈ જાય (એટલે કે, એક સપાટ જોડાણ છે), તો અંતર્ગત મુખ્ય બંડલમાં તુચ્છ ચેરન વર્ગો હોવા જોઈએ, જે સપાટ જોડાણોના અસ્તિત્વમાં ટોપોલોજિકલ અવરોધ છેઃ દરેક મુખ્ય બંડલમાં સપાટ જોડાણ હોઈ શકે નહીં. શ્રેષ્ઠ એવી આશા રાખી શકાય છે કે પછી વળાંક અદૃશ્ય થવાને બદલે, બંડલની વળાંક શક્ય તેટલી નાની હોય. ઉપર વર્ણવેલ યાંગ-મિલ્સ એક્શન ફંક્શનલ ચોક્કસપણે વળાંકના-નોર્મનો વર્ગ છે, અને તેના યુલર-લેગ્રેન્જ સમીકરણો આ ફંક્શનલના નિર્ણાયક બિંદુઓનું વર્ણન કરે છે, કાં તો સંપૂર્ણ મિનિમા અથવા સ્થાનિક મિનિમા. એટલે કે, યાંગ-મિલ્સ જોડાણો ચોક્કસપણે તે છે જે તેમની વળાંકને ઘટાડે છે. આ અર્થમાં તેઓ ગાણિતિક દ્રષ્ટિકોણથી મેનીફોલ્ડ પર મુખ્ય અથવા વેક્ટર બંડલ પર જોડાણની કુદરતી પસંદગી છે. વ્યાખ્યા ચાલો કોમ્પેક્ટ, ઓરિએન્ટેડ, રીમાનિયન મેનીફોલ્ડ હોઈએ. યાંગ-મિલ્સ સમીકરણોને કેટલાક કોમ્પેક્ટ લાઈ જૂથ માટે વેક્ટર બંડલ અથવા મુખ્ય-બંડલ ઓવર પરના જોડાણ માટે શબ્દબદ્ધ કરી શકાય છે. અહીં પછીનું સંમેલન રજૂ કરવામાં આવ્યું છે. ચાલો મુખ્ય-બંડલને દર્શાવીએ. પછી જોડાણને મુખ્ય બંડલની કુલ જગ્યા પર લાઈ બીજગણિત-મૂલ્યવાન વિભેદક સ્વરૂપ દ્વારા સ્પષ્ટ કરી શકાય છે. આ જોડાણમાં વળાંક સ્વરૂપ હોય છે, જે બે સ્વરૂપમાં હોય છે, જેની બાજુના બંડલમાં કિંમતો હોય છે. જોડાણ સાથે સંકળાયેલ એક બાહ્ય કોવેરિયન્ટ વ્યુત્પન્ન છે, જે સંલગ્ન બંડલ પર વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે. વધુમાં, તે કોમ્પેક્ટ હોવાથી, તેની સાથે સંકળાયેલ કોમ્પેક્ટ લાઈ બીજગણિત સંલગ્ન રજૂઆત હેઠળ અપરિવર્તનશીલ આંતરિક ઉત્પાદનને સ્વીકારે છે. રીમાનિયન હોવાથી, કોટેનજેન્ટ બંડલ પર આંતરિક ઉત્પાદન હોય છે, અને તેના પર અપરિવર્તનશીલ આંતરિક ઉત્પાદન સાથે જોડાઈને-મૂલ્યવાન બે-સ્વરૂપોના બંડલ પર આંતરિક ઉત્પાદન હોય છે. કારણ કે તે લક્ષી છે, આ બંડલના વિભાગો પર-inner ઉત્પાદન છે. એટલે કે, જ્યાં ઇન્ટિગ્રલની અંદર બંડલ મુજબના આંતરિક ઉત્પાદનનો ઉપયોગ કરવામાં આવી રહ્યો છે, અને તે રીમાનિયન વોલ્યુમનું સ્વરૂપ છે. આ-inner ઉત્પાદનનો ઉપયોગ કરીને, ઔપચારિક સંલગ્ન સંચાલક દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. સ્પષ્ટ રીતે આ બે સ્વરૂપો પર કાર્યરત હોજ સ્ટાર ઓપરેટર ક્યાં છે તેના દ્વારા આપવામાં આવે છે. ઉપરોક્ત સુયોજનને ધારીએ તો, યાંગ-મિલ્સ સમીકરણો એ દ્વારા આપવામાં આવેલ (સામાન્ય રીતે બિન-રેખીય) આંશિક વિભેદક સમીકરણોની એક પ્રણાલી છે કારણ કે હોજ સ્ટાર એક સમરૂપતા છે, યાંગ-મિલ્સ સમીકરણો માટેના સ્પષ્ટ સૂત્ર દ્વારા સમાન રીતે લખી શકાય છે. દરેક જોડાણ આપમેળે બિયાંચી ઓળખને સંતોષે છે, તેથી યાંગ-મિલ્સ જોડાણોને હાર્મોનિક વિભેદક સ્વરૂપોના બિન-રેખીય એનાલોગ તરીકે જોઈ શકાય છે, જે સંતોષ આપે છે. આ અર્થમાં યાંગ-મિલ્સ જોડાણોની શોધની સરખામણી હોજ સિદ્ધાંત સાથે કરી શકાય છે, જે વિભેદક સ્વરૂપના ડી રામ કોહોમોલોજી વર્ગમાં હાર્મોનિક પ્રતિનિધિ શોધે છે. સામ્યતા એ છે કે યાંગ-મિલ્સ જોડાણ એ મુખ્ય બંડલ પરના તમામ સંભવિત જોડાણોના સમૂહમાં હાર્મોનિક પ્રતિનિધિ જેવું છે. વ્યુત્પત્તિ યાંગ-મિલ્સ સમીકરણો એ યાંગ-મિલ્સ કાર્યાત્મક યુલર-લેગ્રેન્જ સમીકરણો છે, જેને આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. આ એફાઇન જગ્યામાં જોડાણની નાની વિકૃતિને જોતાં, વળાંક આ રીતે સંબંધિત છે () ના નિર્ણાયક બિંદુઓને નિર્ધારિત કરવા માટે, ગણતરી કરો જોડાણ એ યાંગ-મિલ્સ કાર્યાત્મક એક નિર્ણાયક બિંદુ છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો આ દરેક માટે અદૃશ્ય થઈ જાય, અને આ ચોક્કસપણે ત્યારે થાય છે જ્યારે () સંતુષ્ટ થાય. યાંગ-મિલ્સ જોડાણોની મોડુલી જગ્યા યાંગ-મિલ્સ સમીકરણો ગેજ અપરિવર્તનશીલ છે. ગાણિતિક રીતે, ગેજ પરિવર્તન એ મુખ્ય બંડલનું ઓટોમોર્ફિઝમ છે, અને આંતરિક ઉત્પાદન અપરિવર્તનશીલ હોવાથી, યાંગ-મિલ્સ કાર્યાત્મક સંતોષ આપે છે અને તેથી જો () સંતોષ આપે છે, તો તે પણ થાય છે. યાંગ-મિલ્સ જોડાણોમાં મોડ્યુલો ગેજ પરિવર્તન માટે મોડ્યુલી જગ્યા છે. ઓટોમોર્ફિઝમ્સના ગેજ જૂથ દ્વારા દર્શાવો. સમૂહ તમામ જોડાણો મોડ્યુલો ગેજ પરિવર્તનોનું વર્ગીકરણ કરે છે, અને યાંગ-મિલ્સ જોડાણોની મોડ્યુલી જગ્યા એક ઉપગણ છે. સામાન્ય રીતે ન તો હૌસડોર્ફ અથવા સ્મૂથ મેનીફોલ્ડ હોય છે. જો કે, ઈરીડ્યુસિબલ જોડાણો સુધી મર્યાદિત કરીને, એટલે કે, જે જોડાણોનું હોલોનોમી જૂથ બધા દ્વારા આપવામાં આવે છે, તે હૌસડોર્ફ જગ્યાઓ મેળવે છે. ઈરીડ્યુસિબલ જોડાણોની જગ્યા સૂચવવામાં આવે છે, અને તેથી મોડુલી જગ્યાઓ સૂચવવામાં આવે છે અને. યાંગ-મિલ્સ જોડાણોની મોડુલી જગ્યાઓનો ચોક્કસ સંજોગોમાં સઘન અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો છે. માઈકલ અતિયાહ અને રાઉલ બોટે સઘન રીમાન સપાટીઓ પરના બંડલ માટે યાંગ-મિલ્સ સમીકરણોનો અભ્યાસ કર્યો હતો. ત્યાં મોડ્યુલી જગ્યા હોલોમોર્ફિક વેક્ટર બંડલ્સના મોડ્યુલી જગ્યા તરીકે વૈકલ્પિક વર્ણન મેળવે છે. આ નરસિમ્હન-શેષાદ્રી પ્રમેય છે, જે ડોનાલ્ડસન દ્વારા યાંગ-મિલ્સ જોડાણોને હોલોમોર્ફિક વેક્ટર બંડલ્સ સાથે સંબંધિત આ સ્વરૂપમાં સાબિત થયું હતું. આ સેટિંગમાં મોડુલી સ્પેસમાં કોમ્પેક્ટ કેલર મેનીફોલ્ડનું માળખું છે. યાંગ-મિલ્સ જોડાણોના મોડુલીનો સૌથી વધુ અભ્યાસ ત્યારે કરવામાં આવ્યો છે જ્યારે આધાર મેનીફોલ્ડનું પરિમાણ ચાર હોય છે. અહીં યાંગ-મિલ્સ સમીકરણો બીજા ક્રમના PDE થી પ્રથમ ક્રમના PDE, વિરોધી સ્વ-દ્વૈત સમીકરણોમાં સરળીકરણને સ્વીકારે છે. વિરોધી સ્વ-દ્વૈત સમીકરણો જ્યારે આધાર મેનીફોલ્ડનું પરિમાણ ચાર હોય, ત્યારે એક સંયોગ થાય છેઃ હોજ સ્ટાર ઓપરેટર બે સ્વરૂપોને બે સ્વરૂપોમાં મેપ કરે છે. હોજ સ્ટાર ઓપરેટર આ કિસ્સામાં ઓળખ માટે ચોરસ કરે છે, અને તેથી આઇગનવેલ્યુઝ અને છે. ખાસ કરીને, સ્વ-દ્વૈત અને સ્વ-દ્વૈત વિરોધી બે સ્વરૂપોના હકારાત્મક અને નકારાત્મક આયગેનસ્પેસમાં વિઘટન થાય છે. જો ચાર-મેનીફોલ્ડ પર મુખ્ય-બંડલ પરનું જોડાણ કાં તો સંતોષ આપે છે અથવા, પછી () દ્વારા, જોડાણ યાંગ-મિલ્સ જોડાણ છે. આ જોડાણોને સ્વ-દ્વૈત જોડાણો અથવા સ્વ-દ્વૈત વિરોધી જોડાણો કહેવામાં આવે છે, અને સમીકરણોને સ્વ-દ્વૈત (એસ. ડી.) સમીકરણો અને સ્વ-દ્વૈત વિરોધી (એ. એસ. ડી.) સમીકરણો કહેવામાં આવે છે. સ્વ-દ્વૈત અને વિરોધી સ્વ-દ્વૈત જોડાણોની જગ્યાઓ દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે અને, અને તે જ રીતે અને માટે. એએસડી જોડાણો અથવા ઇન્સ્ટન્ટન્સની મોડ્યુલી જગ્યાનો ડોનાલ્ડસન દ્વારા સૌથી વધુ સઘન અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો હતો જ્યાં અને તે સરળ રીતે જોડાયેલ છે. આ સેટિંગમાં, મુખ્ય-બંડલને તેના બીજા ચેરન વર્ગ દ્વારા વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે. મુખ્ય બંડલની વિવિધ પસંદગીઓ માટે, રસપ્રદ ગુણધર્મો ધરાવતી મોડુલી જગ્યાઓ મળે છે. ઘટાડી શકાય તેવા જોડાણોને મંજૂરી આપતી વખતે પણ આ જગ્યાઓ હૌસડોર્ફ હોય છે અને સામાન્ય રીતે સરળ હોય છે. ડોનાલ્ડસન દ્વારા બતાવવામાં આવ્યું હતું કે સરળ ભાગ દિશા નિર્દેશિત છે. અતિયાહ-સિંગર અનુક્રમણિકા પ્રમેય દ્વારા, કોઈ ગણતરી કરી શકે છે કે એએસડી જોડાણોની મોડ્યુલી જગ્યાનું પરિમાણ ક્યારે, જ્યાં પ્રથમ બેટ્ટી સંખ્યા છે, અને તે આંતરછેદના સંદર્ભમાં હકારાત્મક-નિશ્ચિત સબસ્પેસનું પરિમાણ છે. ઉદાહરણ તરીકે, ક્યારે અને ક્યારે આંતરછેદનું સ્વરૂપ તુચ્છ છે અને મોડુલી જગ્યાનું પરિમાણ છે. આ બી. પી. એસ. ટી. ઇન્સ્ટન્ટનના અસ્તિત્વ સાથે સંમત થાય છે, જે તેના કેન્દ્ર અને તેના સ્કેલને વ્યાખ્યાયિત કરતા 5 પરિમાણ પરિવાર સુધીનું અનન્ય એ. એસ. ડી. ઇન્સ્ટન્ટોન છે. ઉલેનબેકના દૂર કરી શકાય તેવા સિંગ્યુલારીટી થીયરમનો ઉપયોગ કરીને આવા ઇન્સ્ટન્ટોનને અનંત બિંદુ પર વિસ્તૃત કરી શકાય છે. યાંગ-મિલ્સ સમીકરણોની મોડુલી જગ્યાનો ઉપયોગ ડોનાલ્ડસન દ્વારા સરળ રીતે જોડાયેલા ચાર-મેનિફોલ્ડ્સના આંતરછેદના સ્વરૂપ વિશે ડોનાલ્ડસનના પ્રમેયને સાબિત કરવા માટે કરવામાં આવ્યો હતો. ક્લિફોર્ડ ટૌબ્સ અને કારેન ઉહ્લેનબેકના વિશ્લેષણાત્મક પરિણામોનો ઉપયોગ કરીને, ડોનાલ્ડસન એ દર્શાવવામાં સક્ષમ હતા કે ચોક્કસ સંજોગોમાં (જ્યારે આંતરછેદન સ્વરૂપ ચોક્કસ હોય છે) એએસડી ઇન્સ્ટન્ટોનની મોડુલી જગ્યા એક સરળ, સઘન, લક્ષી, સરળ રીતે જોડાયેલા ચાર-મેનીફોલ્ડ પર મેનીફોલ્ડની નકલ અને જટિલ પ્રોજેક્ટિવ પ્લેનની નકલોના અસંગત જોડાણ વચ્ચે સુસંગતતા આપે છે. આંતરછેદન સ્વરૂપ એ સમરૂપતા સુધી અપરિવર્તનશીલ કોબોર્ડિઝમ છે, જે દર્શાવે છે કે આવા કોઈપણ સરળ મેનીફોલ્ડમાં ત્રાંસા આંતરછેદન સ્વરૂપ હોય છે. એએસડી ઇન્સ્ટન્ટોનની મોડુલી જગ્યાનો ઉપયોગ ફોર-મેનિફોલ્ડ્સના વધુ ફેરફારોને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે થઈ શકે છે. ડોનાલ્ડસને મોડુલી જગ્યા પર કોહોમોલોજી વર્ગોની જોડીમાંથી ઉદ્ભવતા ચાર-મેનીફોલ્ડ સાથે સંકળાયેલી તર્કસંગત સંખ્યાઓને વ્યાખ્યાયિત કરી. આ કાર્યને પછીથી સેઇબર્ગ-વિટન અપરિવર્તન દ્વારા વટાવી દેવામાં આવ્યું છે. પરિમાણીય ઘટાડો અને અન્ય મોડ્યુલી જગ્યાઓ પરિમાણીય ઘટાડાની પ્રક્રિયા દ્વારા, યાંગ-મિલ્સ સમીકરણોનો ઉપયોગ વિભેદક ભૂમિતિ અને ગેજ સિદ્ધાંતમાં અન્ય મહત્વપૂર્ણ સમીકરણો મેળવવા માટે થઈ શકે છે. ડાયમેન્શનલ રિડક્શન એ યાંગ-મિલ્સ સમીકરણોને ચાર ગણાથી વધુ લેવાની પ્રક્રિયા છે, સામાન્ય રીતે, અને સમપ્રમાણતા જૂથ હેઠળ ઉકેલો અપરિવર્તનશીલ હોય તે લાદવાની પ્રક્રિયા છે. ઉદાહરણ તરીકેઃ એક જ દિશામાં અનુવાદ હેઠળ સ્વ-દ્વૈત વિરોધી સમીકરણોને અપરિવર્તનશીલ રાખવાની જરૂરિયાત દ્વારા, વ્યક્તિ બોગોમોલેની સમીકરણો મેળવે છે જે ચુંબકીય મોનોપોલનું વર્ણન કરે છે. સ્વ-દ્વૈત સમીકરણોને બે દિશામાં અનુવાદ હેઠળ અપરિવર્તનીય હોવાની જરૂર પડવાથી, એક વ્યક્તિ હિચિનના સમીકરણો મેળવે છે જેની પ્રથમ તપાસ હિચિન દ્વારા કરવામાં આવી હતી. આ સમીકરણો સ્વાભાવિક રીતે હિગ્સ બંડલ અને હિચિન પ્રણાલીના અભ્યાસ તરફ દોરી જાય છે. સ્વ-દ્વૈત વિરોધી સમીકરણોને ત્રણ દિશામાં અપરિવર્તનશીલ રાખવાની જરૂર પડવાથી, અંતરાલ પર નહમ સમીકરણો પ્રાપ્ત થાય છે. પરિમાણાત્મક રીતે ઘટાડેલા એએસડી સમીકરણોના ઉકેલો વચ્ચે દ્વૈતતા છે અને તેને વર્નર નાહમ પછી નાહમ ટ્રાન્સફોર્મ કહેવામાં આવે છે, જેમણે પ્રથમ નાહમ સમીકરણ ડેટામાંથી મોનોપોલ્સ કેવી રીતે બનાવવું તેનું વર્ણન કર્યું હતું. હિચિનએ ઊલટું દર્શાવ્યું, અને ડોનાલ્ડસને સાબિત કર્યું કે નાહમ સમીકરણોના ઉકેલોને જટિલ પ્રક્ષેપાત્મક રેખાથી તર્કસંગત નકશાના મોડુલી જગ્યાઓ સાથે જોડી શકાય છે. આ ઉકેલો માટે અવલોકન કરાયેલ દ્વૈતતા ચાર-મેનીફોલ્ડની સમપ્રમાણતાના મનસ્વી બેવડા જૂથો માટે માન્ય હોવાનું માનવામાં આવે છે. ખરેખર, અંદર બેવડા જાળી હેઠળ અપરિવર્તનશીલ ઇન્સ્ટન્ટોન વચ્ચે, બેવડા ચાર-પરિમાણીય ટોરી પર ઇન્સ્ટન્ટોન વચ્ચે સમાન દ્વૈતતા છે, અને ADHM બાંધકામને એક જ બિંદુ પર ઇન્સ્ટન્ટોન અને બેવડા બીજગણિત ડેટા વચ્ચે દ્વૈતતા તરીકે વિચારી શકાય છે. એએસડી સમીકરણોના સમપ્રમાણતામાં ઘટાડો પણ સંખ્યાબંધ સંકલિત પ્રણાલીઓ તરફ દોરી જાય છે, અને વોર્ડનું અનુમાન છે કે હકીકતમાં તમામ જાણીતા સંકલિત ઓડીઈ અને પીડીઈ એએસડીવાયએમના સમપ્રમાણતામાં ઘટાડામાંથી આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, એ. એસ. ડી. વાય. એમ. ના એસ. યુ. (2) એ. એસ. ડી. વાય. એમ. ના ઘટાડાથી સાઇન-ગોર્ડન અને કોર્ટેવેગ-ડી વ્રીસ સમીકરણ મળે છે, એ. એસ. ડી. વાય. એમ. નું ત્ઝિટ્ઝિકા સમીકરણ મળે છે, અને પરિમાણોમાં ચોક્કસ ઘટાડો વોર્ડનું સંકલિત કાયરલ મોડેલ આપે છે. આ અર્થમાં તે સંકલિત પ્રણાલીઓ માટે એક 'મુખ્ય સિદ્ધાંત' છે, જે ઘણી જાણીતી પ્રણાલીઓને યોગ્ય પરિમાણો પસંદ કરીને પુનઃપ્રાપ્ત કરવાની મંજૂરી આપે છે, જેમ કે ગેજ જૂથની પસંદગી અને સમપ્રમાણતા ઘટાડવાની યોજના. આવા અન્ય મુખ્ય સિદ્ધાંતો ચાર-પરિમાણીય ચેરન-સિમોન્સ સિદ્ધાંત અને એફાઇન ગૌડિન મોડેલ છે. ચેરન-સિમોન્સ સિદ્ધાંત સઘન રીમાન સપાટી પરના યાંગ-મિલ્સ સમીકરણોની મોડુલી જગ્યાને નળાકાર પર ચેરન-સિમોન્સ સિદ્ધાંતની રૂપરેખાંકન જગ્યા તરીકે જોઈ શકાય છે. આ કિસ્સામાં મોડ્યુલી જગ્યા ભૌમિતિક પરિમાણને સ્વીકારે છે, જેની શોધ નાઇજેલ હિચિન અને એક્સેલરોડ-ડેલા પિએટ્રા-વિટેન દ્વારા સ્વતંત્ર રીતે કરવામાં આવી હતી. આ પણ જુઓ જોડાણ (વેક્ટર બંડલ) જોડાણ (મુખ્ય બંડલ) ડોનાલ્ડસન સિદ્ધાંત હર્મિશિયન યાંગ-મિલ્સ સમીકરણો વિકૃત હર્મિશિયન યાંગ-મિલ્સ સમીકરણો યાંગ-મિલ્સ-હિગ્સ સમીકરણો નોંધો સંદર્ભો વિભેદક ભૂમિતિ ગાણિતિક ભૌતિકશાસ્ત્ર આંશિક વિભેદક સમીકરણો