Sum of four cubes problem
ચાર સમઘનની સમસ્યાનો સરવાળો પૂછે છે કે શું દરેક પૂર્ણાંક પૂર્ણાંકોના ચાર સમઘનનો સરવાળો છે. એવું અનુમાન કરવામાં આવે છે કે જવાબ હકારાત્મક છે, પરંતુ આ અનુમાન ન તો સાબિત થયું છે અને ન તો નકારી કાઢવામાં આવ્યું છે. કેટલાક સમઘન નકારાત્મક સંખ્યાઓ હોઈ શકે છે, તેનાથી વિપરીત સમઘનના સરવાળા પર વારિંગની સમસ્યા, જ્યાં તેઓ હકારાત્મક હોવા જરૂરી છે. અવેજી, અને ઓળખ એ ઓળખ તરફ દોરી જાય છે જે દર્શાવે છે કે 6 નો દરેક પૂર્ણાંક ગુણાંક એ ચાર સમઘનનો સરવાળો છે. (વધુ સામાન્ય રીતે, એ જ પુરાવો દર્શાવે છે કે દરેક વીંટીમાં 6 નો દરેક ગુણાંક એ ચાર સમઘનનો સરવાળો છે.) દરેક પૂર્ણાંક તેના પોતાના ક્યુબ મોડ્યુલો 6 સાથે એકરૂપ હોવાથી, તે અનુસરે છે કે દરેક પરિમાણીય પૂર્ણાંક એ પૂર્ણાંકોના પાંચ સમઘનનો સરવાળો છે. 1966માં, સાબિત થયું કે કોઈ પણ પૂર્ણાંક કે જે 4 કે −4 મોડ્યુલો 9 સાથે એકરૂપ નથી, તે પૂર્ણાંકોના ચાર સમઘનનો સરવાળો છે. આ માટે, તેમણે નીચેની ઓળખોનો ઉપયોગ કર્યોઃ અને આ ઓળખ (અને તેમાંથી વિરુદ્ધ તરફ પસાર કરીને મેળવેલી) તરત જ દર્શાવે છે કે કોઈ પણ પૂર્ણાંક કે જે 4 કે −4 મોડ્યુલો 9 સાથે એકરૂપ નથી અને 2 કે −2 મોડ્યુલો 18 સાથે એકરૂપ નથી, તે તર્કસંગત પૂર્ણાંકોના ચાર સમઘનનો સરવાળો છે. વધુ સૂક્ષ્મ તર્કનો ઉપયોગ કરીને, ડેમજાનેન્કોએ સાબિત કર્યું કે 2 અથવા −2 મોડ્યુલો 18 સાથે એકરૂપ પૂર્ણાંકો પણ પૂર્ણાંકોના ચાર સમઘનનો સરવાળો છે. તેથી સમસ્યા માત્ર 4 અથવા −4 મોડ્યુલો 9 ના એકરૂપ પૂર્ણાંકો માટે ઊભી થાય છે. એક ઉદાહરણ છે પરંતુ તે જાણીતું નથી કે આવા દરેક પૂર્ણાંકને ચાર સમઘનના સરવાળા તરીકે લખી શકાય છે કે કેમ. 18x ± 2 કેસ હેનરી કોહેનના ડેમજાનેન્કોના પેપરના અનુવાદ અનુસાર, આ ઓળખ તેમની પૂરક ઓળખ સાથે 108x ± 38 કેસ છોડી દે છે, જે દરખાસ્તને સાબિત કરે છે. તેઓ તેમના પેપરમાં 108x±38 કેસ પણ સાબિત કરે છે. ત્રણ સમઘનનો સરવાળો નોંધો અને સંદર્ભો પણ જુઓ ડાયોફેન્ટાઇન સમીકરણો ગણિતમાં વણઉકેલાયેલી સમસ્યાઓ