Eilenberg–Ganea theorem
ગણિતમાં, ખાસ કરીને હોમોલોજિકલ બીજગણિત અને બીજગણિત ટોપોલોજીમાં, આઈલેનબર્ગ-ગેનીયા પ્રમેય જણાવે છે કે દરેક મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન થયેલ જૂથ G માટે તેના કોહોમોલોજિકલ પરિમાણ (એટલે કે) પર ચોક્કસ શરતો સાથે, કોઈ પણ પરિમાણ n નું એસફેરિકલ CW સંકુલ X બનાવી શકે છે, જેનું મૂળભૂત જૂથ G છે. આ પ્રમેયનું નામ પોલિશ ગણિતશાસ્ત્રી સેમ્યુઅલ આઈલેનબર્ગ અને રોમાનિયન ગણિતશાસ્ત્રી ટ્યુડર ગેનીયા પરથી રાખવામાં આવ્યું છે. આ પ્રમેય સૌપ્રથમ 1957 માં એનલ્સ ઓફ મેથેમેટિક્સમાં ટૂંકા પેપરમાં પ્રકાશિત થયો હતો. વ્યાખ્યાઓ જૂથ કોહોમોલોજીઃ ચાલો એક જૂથ બનીએ અને અનુરૂપ આઈલેનબર્ગ-મેકલેન જગ્યા બનીએ. પછી આપણી પાસે નીચેનું એકવચન સાંકળ સંકુલ છે જે જૂથની વીંટી પરનું મુક્ત રીઝોલ્યુશન છે (જ્યાં એક તુચ્છ-મોડ્યુલ છે): જ્યાં તેનું સાર્વત્રિક આવરણ છે અને તે એકવચન-સાંકળો દ્વારા પેદા થયેલ મુક્ત અબેલિયન જૂથ છે. - મોડ્યુલમાં ગુણાંક ધરાવતા જૂથનું જૂથ કોહોમોલોજી એ ગુણાંક સાથે આ સાંકળ સંકુલનું કોહોમોલોજી છે, અને તેના દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. કોહોમોલોજિકલ પરિમાણઃ એક જૂથમાં ગુણાંક સાથે કોહોમોલોજિકલ પરિમાણ હોય છે (દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે) જો હકીકતઃ જો લંબાઈનું પ્રોજેક્ટિવ રિઝોલ્યુશન હોય, એટલે કે, તુચ્છ મોડ્યુલ તરીકે લંબાઈનું પ્રોજેક્ટિવ રિઝોલ્યુશન હોય તો મહત્તમ જો અને માત્ર જો બધા-મોડ્યુલો માટે અને બધા માટે હોય. તેથી, આપણી પાસે કોહોમોલોજીકલ પરિમાણની વૈકલ્પિક વ્યાખ્યા નીચે મુજબ છે, ગુણાંક સાથે G નું કોહોમોલોજીકલ પરિમાણ સૌથી નાનું n (સંભવતઃ અનંત) છે જેમ કે G લંબાઈ n નું પ્રોજેક્ટિવ રિઝોલ્યુશન ધરાવે છે, એટલે કે, લંબાઈ n નું પ્રોજેક્ટિવ રિઝોલ્યુશન તુચ્છ મોડ્યુલ તરીકે ધરાવે છે. આઈલેનબર્ગ-ગેનીયા પ્રમેય ચાલો એક મર્યાદિત રીતે પ્રસ્તુત જૂથ બનીએ અને એક પૂર્ણાંક બનીએ. ધારો કે ગુણાંક સાથેનું કોહોમોલોજીકલ પરિમાણ વધુમાં વધુ છે, એટલે કે,. પછી એક-પરિમાણીય એસફેરિકલ સીડબ્લ્યુ સંકુલ અસ્તિત્વમાં છે જેમ કે મૂળભૂત જૂથ છે, એટલે કે,. આ થીયરમનું કન્વર્સ કન્વર્સ એ સેલ્યુલર હોમોલોજીનું પરિણામ છે, અને હકીકત એ છે કે દરેક મુક્ત મોડ્યુલ પ્રોજેક્ટિવ છે. પ્રમેયઃ ધારો કે X એ π1 (X) = G, પછી cdZ (G) ≤ n સાથેનું એક એસફેરિકલ n-ડાયમેન્શનલ CW કોમ્પ્લેક્સ છે. પ્રમેયઃ કોહોમોલોજીકલ પરિમાણનો દરેક મર્યાદિત રીતે પેદા થયેલ સમૂહ મુક્ત છે. આ નિવેદન માટે આઈલેનબર્ગ-ગેનીયા અનુમાન તરીકે ઓળખાય છે. આઈલેનબર્ગ-ગેનીયા અનુમાનઃ જો G જૂથમાં કોહોમોલોજીકલ પરિમાણ 2 હોય તો તેની સાથે 2-પરિમાણીય એસફેરિકલ CW કોમ્પ્લેક્સ X છે. તે જાણીતું છે કે G સાથે જૂથ આપવામાં આવે તો, તેની સાથે 3-પરિમાણીય એસફેરિકલ CW સંકુલ X અસ્તિત્વમાં છે. આઇલેનબર્ગ-ગેનીયા અનુમાન ગ્રુપ કોહોમોલોજી કોહોમોલોજિકલ ડાયમેન્શન સ્ટેલિંગ્સ થીયરમ ફોર એન્ડ્સ ઓફ ગ્રૂપ્સ રેફરન્સ પણ જુઓ. કેનેથ એસ. બ્રાઉન, કોહોમોલોજી ઓફ ગ્રૂપ્સ, 1982 ના મૂળ, ગ્રેજ્યુએટ ટેક્સ્ટ્સ ઇન મેથેમેટિક્સ, 87, સ્પ્રિંગર-વેરલેગ, ન્યૂ યોર્ક, 1994 નું સુધારેલ પુનઃમુદ્રણ. બીજગણિત ટોપોલોજીમાં હોમોલોજિકલ બીજગણિત પ્રમેયો