Hesse configuration
ભૂમિતિમાં, હેસ્સે રૂપરેખાંકન એ 9 બિંદુઓ અને 12 રેખાઓનું રૂપરેખાંકન છે, જેમાં રેખા દીઠ ત્રણ બિંદુઓ અને દરેક બિંદુ દ્વારા ચાર રેખાઓ હોય છે. તેને જટિલ પ્રોજેક્ટિવ પ્લેનમાં લંબગોળ વળાંકના વળાંક બિંદુઓના સમૂહ તરીકે અનુભવી શકાય છે, પરંતુ યુક્લિડિયન પ્લેનમાં તેની કોઈ અનુભૂતિ નથી. તે કોલિન મેકલૌરિન દ્વારા રજૂ કરવામાં આવ્યું હતું અને તેના દ્વારા અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો હતો, અને તે યંગની ભૂમિતિ તરીકે પણ ઓળખાય છે, જેનું નામ મર્યાદિત ભૂમિતિ પર જ્હોન વેસ્લી યંગના પછીના કાર્ય પરથી રાખવામાં આવ્યું છે. વર્ણન હેસ્સે રૂપરેખાંકન 3 તત્વોના ક્ષેત્ર પર એફાઇન પ્લેનની રેખાઓ અને બિંદુઓ જેવા જ ઘટના સંબંધો ધરાવે છે. એટલે કે, હેસ્સે રૂપરેખાંકનના બિંદુઓને સંખ્યા મોડ્યુલો 3 ની ક્રમબદ્ધ જોડી સાથે ઓળખી શકાય છે, અને રૂપરેખાંકનની રેખાઓ અનુરૂપ રીતે રેખીય સમીકરણને સંતોષતા બિંદુઓના ત્રિપુટીઓ સાથે ઓળખી શકાય છે. વૈકલ્પિક રીતે, રૂપરેખાંકનના બિંદુઓને ટિક-ટેક-ટો બોર્ડના ચોરસ દ્વારા ઓળખી શકાય છે, અને રેખાઓને બોર્ડની રેખાઓ અને તૂટેલા કર્ણ સાથે ઓળખી શકાય છે. દરેક બિંદુ ચાર રેખાઓને અનુસરે છેઃ ગોઠવણીના ટિક ટેક ટો અર્થઘટનમાં, એક રેખા આડી હોય છે, એક ઊભી હોય છે, અને બે કર્ણ અથવા તૂટેલા કર્ણ હોય છે. દરેક લીટીમાં ત્રણ બિંદુ હોય છે. રૂપરેખાંકનોની ભાષામાં હેસ્સે રૂપરેખાંકનમાં સંકેત 94123 છે, જેનો અર્થ છે કે ત્યાં 9 બિંદુઓ, 4 રેખાઓ પ્રતિ બિંદુ, 12 રેખાઓ અને 3 બિંદુઓ પ્રતિ રેખા છે. હેસ્સે રૂપરેખાંકનમાં 216 સમપ્રમાણતા છે (તેના ઓટોમોર્ફિઝમ જૂથનો ક્રમ 216 છે). તેની સમપ્રમાણતાના જૂથને હેસિયન જૂથ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. સંબંધિત રૂપરેખાંકનો હેસ્સે રૂપરેખાંકનમાંથી કોઈપણ એક બિંદુ અને તેની ચાર ઘટના રેખાઓને દૂર કરવાથી 8383 પ્રકારનું બીજું રૂપરેખાંકન ઉત્પન્ન થાય છે, જે મોબિયસ-કેન્ટોર રૂપરેખાંકન છે. હેસે રૂપરેખાંકનમાં, 12 રેખાઓને સમાંતર (બિન-છેદતી) રેખાઓના ચાર ત્રિપલમાં જૂથબદ્ધ કરી શકાય છે. હેસે રૂપરેખાંકનમાંથી એક જ ત્રિપલ સાથે સંકળાયેલી ત્રણ રેખાઓ દૂર કરવાથી 9393 પ્રકારનું રૂપરેખાંકન, પેપસ રૂપરેખાંકન ઉત્પન્ન થાય છે. હેસે રૂપરેખાંકનને બદલામાં ચાર બિંદુઓ ઉમેરીને વધારી શકાય છે, દરેક ત્રણ બિન-છેદતી રેખાઓ માટે એક, અને ચાર નવા બિંદુઓ ધરાવતી એક રેખા, 134134 પ્રકારનું રૂપરેખાંકન રચવા માટે, ત્રણ-ઘટક ક્ષેત્ર પર પ્રોજેક્ટિવ પ્લેનના બિંદુઓ અને રેખાઓનો સમૂહ. અનુભૂતિ હેસ્સે રૂપરેખાંકનને જટિલ પ્રોજેક્ટિવ પ્લેનમાં લંબગોળ વળાંકના 9 વળાંક બિંદુઓ તરીકે અને 12 રેખાઓ વળાંક બિંદુઓના ત્રણ ગણો દ્વારા અનુભવી શકાય છે. જો જટિલ સમતલમાં નવ બિંદુઓનો આપેલ સમૂહ લંબગોળ વળાંક C ના વળાંકનો સમૂહ હોય, તો તે C દ્વારા અને C ના હેસિયન વળાંક, હેસ પેન્સિલ દ્વારા પેદા થયેલ વળાંકની પેન્સિલમાં દરેક વળાંકના વળાંકનો સમૂહ પણ છે. હેસિયન પોલિહેડ્રોન એ જટિલ સમતલમાં હેસ રૂપરેખાંકનનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. હેસ્સે રૂપરેખાંકન મોબિયસ-કેન્ટોર રૂપરેખાંકન સાથે એક જટિલ અનુભૂતિ હોવાનો ગુણધર્મ વહેંચે છે પરંતુ યુક્લિડિયન સમતલમાં બિંદુઓ અને સીધી રેખાઓ દ્વારા અનુભૂતિ કરી શકાતી નથી. હેસ્સે રૂપરેખાંકનમાં, દરેક બે બિંદુઓ રૂપરેખાંકનની રેખા (સિલ્વેસ્ટર-ગલાઈ રૂપરેખાંકનનો વ્યાખ્યાયિત ગુણધર્મ) દ્વારા જોડાયેલા હોય છે અને તેથી તેના બે બિંદુઓમાંથી પસાર થતી દરેક રેખામાં ત્રીજો બિંદુ હોય છે. પરંતુ યુક્લિડિયન સમતલમાં, બિંદુઓનો દરેક મર્યાદિત સમૂહ કાં તો સમરેખીય હોય છે, અથવા તેમાં બિંદુઓની જોડીનો સમાવેશ થાય છે, જેની રેખામાં સમૂહના અન્ય કોઈ બિંદુઓ નથી; આ સિલ્વેસ્ટર-ગલાઈ પ્રમેય છે. કારણ કે હેસ્સે રૂપરેખાંકન સિલ્વેસ્ટર-ગલાઈ પ્રમેયની અવગણના કરે છે, તેને કોઈ યુક્લિડિયન અનુભૂતિ નથી. આ ઉદાહરણ એ પણ દર્શાવે છે કે સિલ્વેસ્ટર-ગલાઈ પ્રમેયને જટિલ પ્રોજેક્ટિવ પ્લેનમાં સામાન્યીકૃત કરી શકાતો નથી. જો કે, જટિલ જગ્યાઓમાં, હેસ્સે રૂપરેખાંકન અને તમામ સિલ્વેસ્ટર-ગલાઈ રૂપરેખાંકનો દ્વિ-પરિમાણીય સપાટ પેટા જગ્યામાં હોવા જોઈએ. સંદર્ભો રૂપરેખાંકનો (ભૂમિતિ) લંબગોળ વળાંક