Rayleigh–Plesset equation
પ્રવાહી મિકેનિક્સમાં, રેલે-પ્લેસેટ સમીકરણ અથવા બેસન્ટ-રેલે-પ્લેસેટ સમીકરણ એક બિનરેખીય સામાન્ય વિભેદક સમીકરણ છે જે અસંપીડ્ય પ્રવાહીના અનંત શરીરમાં ગોળાકાર પરપોટાની ગતિશીલતાને નિયંત્રિત કરે છે. તેનું સામાન્ય સ્વરૂપ સામાન્ય રીતે લખવામાં આવે છે જ્યાં આસપાસના પ્રવાહીની ઘનતા હોય છે, સ્થિર હોવાનું માનવામાં આવે છે કે પરપોટાની ત્રિજ્યા એ આસપાસના પ્રવાહીની ગતિશીલ સ્નિગ્ધતા છે, સ્થિર હોવાનું માનવામાં આવે છે તે પરપોટા-પ્રવાહી ઇન્ટરફેસનું સપાટીનું તાણ છે, જેમાં, પરપોટાની અંદરનું દબાણ છે, જે સમાન હોવાનું માનવામાં આવે છે અને પરપોટાથી અનંત દૂર બાહ્ય દબાણ છે. રેલે-પ્લેસેટ સમીકરણ ગોળાકાર સમપ્રમાણતાની ધારણા હેઠળ નેવિયર-સ્ટોક્સ સમીકરણોમાંથી લેવામાં આવ્યું છે. સપાટીના તણાવ અને સ્નિગ્ધતાને અવગણીને, આ સમીકરણ સૌપ્રથમ ડબલ્યુ. એચ. બેસેન્ટ દ્વારા તેમના 1859 ના પુસ્તકમાં સમસ્યાના નિવેદન સાથે મેળવવામાં આવ્યું હતું, જેમાં કોઈ બળો દ્વારા કાર્યરત એકરૂપ અસંપીડ઼િત પ્રવાહીનો અનંત સમૂહ સ્થિર રહે છે, અને પ્રવાહીનો ગોળાકાર ભાગ અચાનક નાશ પામે છે; દળના કોઈપણ તબક્કે દબાણમાં તાત્કાલિક ફેરફાર શોધવો જરૂરી છે, અને જે સમયે પોલાણ ભરવામાં આવશે, અનંત અંતર પર દબાણ સ્થિર રહે તેવું માનવામાં આવે છે (હકીકતમાં, બેસેન્ટ સમસ્યાને કેમ્બ્રિજ સેનેટ-હાઉસની 1847 ની સમસ્યાઓને આભારી છે). બેસેન્ટે પ્રારંભિક ત્રિજ્યાના ખાલી પોલાણને ભરવા માટે જરૂરી સમયની આગાહી કરી હતી કે લોર્ડ રેલે ઊર્જાના સંરક્ષણના આધારે સમાન પરિણામની સરળ વ્યુત્પત્તિ શોધી કાઢી હતી. અંદર જતા પ્રવાહીની ગતિ ઊર્જા એ છે કે જ્યાં શૂન્યાવકાશની સમય-આધારિત ત્રિજ્યા છે, અને ત્યાં પ્રવાહીનો ત્રિજ્યા વેગ છે. અનંત પર દબાવતા પ્રવાહી દ્વારા કરવામાં આવતું કાર્ય છે, અને આ બે ઊર્જાની બરાબરી કરવાથી અને વચ્ચેનો સંબંધ મળે છે. પછી, નોંધ્યું કે, ચલોનું વિભાજન બેસન્ટનું પરિણામ આપે છે. રેલે ગામા કાર્યોની દ્રષ્ટિએ અભિન્ન (યુલરનું બીટા કાર્ય) નું મૂલ્યાંકન કરવામાં બેસન્ટ કરતાં વધુ આગળ વધ્યું. રેલેએ આદર્શ ગેસ (એક પરપોટો) થી ભરેલા પોલાણના કિસ્સામાં આ અભિગમ અપનાવ્યો હતો, જેમાં ગેસને સંકુચિત કરવા માટે કરવામાં આવેલા કાર્ય માટે એક શબ્દનો સમાવેશ કરવામાં આવ્યો હતો. સંપૂર્ણ ખાલી શૂન્યાવકાશના કિસ્સામાં, રેલેએ નક્કી કર્યું કે ત્રિજ્યા પર પ્રવાહીમાં દબાણ આના દ્વારા આપવામાં આવે છે. જ્યારે શૂન્યાવકાશ તેના પ્રારંભિક કદનો ઓછામાં ઓછો એક ચતુર્થાંશ હોય, ત્યારે દબાણ અનંતથી શૂન્ય પર એકવિધ રીતે ઘટે છે. જેમ જેમ શૂન્યાવકાશ વધુ સંકોચાય છે તેમ તેમ મહત્તમ દબાણ ઘટે છે, જે ખૂબ જ ઝડપથી વધતું દેખાય છે અને શૂન્યાવકાશ પર એકરૂપ થાય છે. આ સમીકરણ સૌપ્રથમ 1949 માં મિલ્ટન એસ. પ્લેસેટ દ્વારા સપાટીના તણાવની અસરોનો સમાવેશ કરીને મુસાફરી પોલાણ પર લાગુ કરવામાં આવ્યું હતું. વ્યુત્પત્તિ રેલે-પ્લેસેટ સમીકરણ ગતિશીલ પરિમાણ તરીકે પરપોટા ત્રિજ્યાનો ઉપયોગ કરીને સંપૂર્ણપણે પ્રથમ સિદ્ધાંતોમાંથી મેળવી શકાય છે. સમય આધારિત ત્રિજ્યા સાથે ગોળાકાર પરપોટાનો વિચાર કરો, સમય ક્યાં છે. ધારો કે પરપોટા એકસમાન તાપમાન અને દબાણ સાથે એકરૂપ રીતે વિતરિત વરાળ/ગેસ ધરાવે છે. પરપોટાની બહાર સ્થિર ઘનતા અને ગતિશીલ સ્નિગ્ધતા સાથે પ્રવાહીનું અનંત ક્ષેત્ર છે. તાપમાન અને દબાણને પરપોટાથી દૂર અને રહેવા દો. તાપમાન સ્થિર હોવાનું માનવામાં આવે છે. પરપોટાના કેન્દ્રથી ત્રિજ્યા અંતર પર, વિવિધ પ્રવાહી ગુણધર્મો દબાણ, તાપમાન અને ત્રિજ્યા બાહ્ય વેગ છે. નોંધ લો કે આ પ્રવાહી ગુણધર્મો માત્ર પરપોટાની બહાર વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. દળ સંરક્ષણ દળના સંરક્ષણ દ્વારા, વ્યુત્ક્રમ-વર્ગ નિયમ માટે જરૂરી છે કે ત્રિજ્યાત્મક રીતે બાહ્ય વેગ મૂળ (પરપોટાનું કેન્દ્ર) થી અંતરના વર્ગના વ્યુત્ક્રમ પ્રમાણમાં હોવો જોઈએ. તેથી, સમયનું અમુક કાર્ય થવા દો, પરપોટાની સપાટી પર શૂન્ય દળ પરિવહનના કિસ્સામાં, ઇન્ટરફેસ પરનો વેગ હોવો જોઈએ જે આપે છે કે જ્યાં દળ પરિવહન થાય છે તે કિસ્સામાં, પરપોટાની અંદર દળના વધારાનો દર પરપોટાના કદ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જો પરપોટાની સાપેક્ષ પ્રવાહીનો વેગ હોય, તો પરપોટામાં પ્રવેશતા દળને પરપોટાના સપાટી વિસ્તાર દ્વારા આપવામાં આવે છે. હવે દળના સંરક્ષણ દ્વારા, તેથી. તેથી ઘણા કિસ્સાઓમાં, પ્રવાહીની ઘનતા વરાળની ઘનતા કરતાં ઘણી વધારે હોય છે, જેથી તેને મૂળ શૂન્ય દળ સ્થાનાંતરણ સ્વરૂપ દ્વારા અંદાજિત કરી શકાય છે, જેથી ગતિ સંરક્ષણ એમ ધારીને કે પ્રવાહી એક ન્યુટોનિયન પ્રવાહી છે, રેડિયલ દિશામાં ગતિ માટે ગોળાકાર કોઓર્ડિનેટ્સમાં અસંપીડ્ય નેવિયર-સ્ટોક્સ સમીકરણ સબસ્ટિટ્યુટિંગ કાઇનેમેટિક સ્નિગ્ધતા આપે છે અને ફરીથી ગોઠવણી આપે છે જેના દ્વારા સમૂહ સંરક્ષણ ઉપજમાંથી અવેજી નોંધ કરો કે સ્નિગ્ધ શબ્દો અવેજી દરમિયાન રદ થાય છે. ચલોને અલગ કરવા અને પરપોટાની સીમાથી એકીકૃત કરવાથી સીમા શરતો મળે છે ચાલો પ્રવાહીમાં સામાન્ય તાણ હોઈએ જે પરપોટાના કેન્દ્રથી ત્રિજ્યીય રીતે બહાર તરફ નિર્દેશ કરે છે. ગોળાકાર કોઓર્ડિનેટ્સમાં, સતત ઘનતા અને સતત સ્નિગ્ધતા ધરાવતા પ્રવાહી માટે, તેથી પરપોટાની સપાટીના અમુક નાના ભાગ પર, લેમિના પર કામ કરતા એકમ વિસ્તાર દીઠ ચોખ્ખું બળ એ છે કે જ્યાં સપાટીનું તાણ છે. જો સરહદની પાર કોઈ દળ સ્થાનાંતરણ ન હોય, તો એકમ વિસ્તાર દીઠ આ બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ, તેથી અને તેથી વેગ સંરક્ષણનું પરિણામ એ બને છે કે જેના દ્વારા પુનઃરચના અને લેટિંગથી રેલે-પ્લેસેટ સમીકરણ મળે છે. સમયના સંદર્ભમાં વ્યુત્પન્નોનું પ્રતિનિધિત્વ કરવા માટે ડોટ નોટેશનનો ઉપયોગ કરીને, રેલે-પ્લેસેટ સમીકરણને વધુ સંક્ષિપ્તમાં ઉકેલો તરીકે લખી શકાય છે. તાજેતરમાં, ખાલી અને ગેસથી ભરેલા પરપોટા બંને માટે રેલે-પ્લેસેટ સમીકરણ માટે વિશ્લેષણાત્મક બંધ-સ્વરૂપ ઉકેલો મળી આવ્યા હતા અને એન-પરિમાણીય કેસમાં સામાન્યીકૃત કરવામાં આવ્યા હતા. જ્યારે કેશિલારિટીની અસરોને કારણે સપાટીનું તણાવ હાજર હોય ત્યારે પણ અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો હતો. ઉપરાંત, ખાસ કેસ માટે જ્યાં સપાટીના તણાવ અને સ્નિગ્ધતાની અવગણના કરવામાં આવે છે, ઉચ્ચ-ક્રમના વિશ્લેષણાત્મક અંદાજો પણ જાણીતા છે. સ્થિર કિસ્સામાં, રેલે-પ્લેસેટ સમીકરણ સરળ બને છે, જે યંગ-લેપલેસ સમીકરણ આપે છેઃ જ્યારે પરપોટા ત્રિજ્યા અને દબાણમાં માત્ર અનંત સામયિક ભિન્નતાઓને ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે, ત્યારે આર. પી. સમીકરણ પરપોટા દોલનની કુદરતી આવર્તનની અભિવ્યક્તિ પણ આપે છે. સંદર્ભો પ્રવાહી ગતિશીલતા પ્રવાહી ગતિશીલતાના સમીકરણો સામાન્ય વિભેદક સમીકરણો