Napoleon points
ભૂમિતિમાં, નેપોલિયન બિંદુઓ સમતલ ત્રિકોણ સાથે સંકળાયેલા વિશેષ બિંદુઓની જોડી છે. સામાન્ય રીતે એવું માનવામાં આવે છે કે આ બિંદુઓના અસ્તિત્વની શોધ 1804 થી 1815 સુધી ફ્રાન્સના સમ્રાટ નેપોલિયન બોનાપાર્ટે કરી હતી, પરંતુ ઘણા લોકોએ આ માન્યતા પર સવાલ ઉઠાવ્યા છે. નેપોલિયન બિંદુઓ ત્રિકોણ કેન્દ્રો છે અને તેઓ ક્લાર્ક કિમ્બર્લિંગના ત્રિકોણ કેન્દ્રોના જ્ઞાનકોશમાં X (17) અને X (18) બિંદુઓ તરીકે સૂચિબદ્ધ છે. "નેપોલિયન બિંદુઓ" નામ ત્રિકોણ કેન્દ્રોની એક અલગ જોડી પર પણ લાગુ કરવામાં આવ્યું છે, જે આઇસોડાયનેમિક બિંદુઓ તરીકે વધુ સારી રીતે ઓળખાય છે. બિંદુઓની વ્યાખ્યા પ્રથમ નેપોલિયન બિંદુ કોઈપણ સમતલ ત્રિકોણ હોવો જોઈએ. ત્રિકોણની બાજુઓ પર, અનુક્રમે બાહ્ય રીતે દોરેલા સમબાહુ ત્રિકોણ બનાવો. આ ત્રિકોણના કેન્દ્રબિંદુઓ અનુક્રમે હોવા જોઈએ. પછી રેખાઓ સહવર્તી હોય છે. સુસંગતતા બિંદુ એ ત્રિકોણનું પ્રથમ નેપોલિયન બિંદુ અથવા બાહ્ય નેપોલિયન બિંદુ છે. ત્રિકોણને બાહ્ય નેપોલિયન ત્રિકોણ કહેવામાં આવે છે. નેપોલિયનનો પ્રમેય ભારપૂર્વક જણાવે છે કે આ ત્રિકોણ એક સમબાહુ ત્રિકોણ છે. ક્લાર્ક કિમ્બર્લિંગના ત્રિકોણ કેન્દ્રોના જ્ઞાનકોશમાં, પ્રથમ નેપોલિયન બિંદુને X (17) દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. ત્રિકોણીય કોઓર્ડિનેટ્સઃ ના બેરિસેન્ટ્રીક કોઓર્ડિનેટ્સઃ બીજો નેપોલિયન બિંદુ કોઈપણ સમતલ ત્રિકોણ હોવો જોઈએ. ત્રિકોણની બાજુઓ પર, અનુક્રમે આંતરિક રીતે દોરેલા સમબાહુ ત્રિકોણ બનાવો. આ ત્રિકોણના કેન્દ્રબિંદુઓ અનુક્રમે હોવા જોઈએ. પછી રેખાઓ સહવર્તી હોય છે. સહમતિનો મુદ્દો એ બીજો નેપોલિયન બિંદુ અથવા નેપોલિયનનો આંતરિક બિંદુ છે. ત્રિકોણને આંતરિક નેપોલિયન ત્રિકોણ કહેવામાં આવે છે. નેપોલિયનનો પ્રમેય ભારપૂર્વક જણાવે છે કે આ ત્રિકોણ એક સમબાહુ ત્રિકોણ છે. ક્લાર્ક કિમ્બર્લિંગના ત્રિકોણ કેન્દ્રોના જ્ઞાનકોશમાં, બીજા નેપોલિયન બિંદુને X (18) દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. ત્રિકોણીય કોઓર્ડિનેટ્સઃ નેપોલિયન બિંદુઓ સાથે નજીકથી સંબંધિત બે બિંદુઓ ફર્માટ-ટોરિસેલી બિંદુઓ (ETC ના X (13) અને X (14)) છે. જો સમબાહુ ત્રિકોણના કેન્દ્રબિંદુઓને સંબંધિત શિરોબિંદુઓ સાથે જોડતી રેખાઓ બનાવવાને બદલે હવે ત્રિકોણના સંબંધિત શિરોબિંદુઓ સાથે સમબાહુ ત્રિકોણના અગ્રબિંદુઓને જોડતી રેખાઓ બનાવે છે, તો આ રીતે બાંધવામાં આવેલી ત્રણ રેખાઓ ફરીથી સહવર્તી છે. સુસંગતતાના બિંદુઓને ફર્મેટ-ટોરિસેલી બિંદુઓ કહેવામાં આવે છે, જેને કેટલીકવાર અને તરીકે સૂચવવામાં આવે છે. ફર્મેટ રેખા (એટલે કે, બે ફર્મેટ-ટોરિસેલી બિંદુઓને જોડતી રેખા) અને નેપોલિયન રેખા (એટલે કે, બે નેપોલિયન બિંદુઓને જોડતી રેખા) નું આંતરછેદ એ ત્રિકોણનું સિમેડિયન બિંદુ (ETCનું X (6)) છે. સામાન્યીકરણ નેપોલિયન બિંદુઓના અસ્તિત્વને લગતા પરિણામોને વિવિધ રીતે સામાન્યીકૃત કરી શકાય છે. નેપોલિયન બિંદુઓને વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આપણે બાજુઓ પર દોરેલા સમબાહુ ત્રિકોણથી શરૂઆત કરીએ છીએ અને પછી આ ત્રિકોણના કેન્દ્રોને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ. આ કેન્દ્રોને ABC ત્રિકોણની બાજુઓ પર બાંધવામાં આવેલા સમદ્વિબાહુ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ તરીકે વિચારી શકાય છે, જેમાં આધાર ખૂણા/6 (30 ડિગ્રી) ની બરાબર હોય છે. સામાન્યીકરણ અન્ય ત્રિકોણને નિર્ધારિત કરવાનો પ્રયાસ કરે છે, જે જ્યારે બાજુઓ પર ઉભા થાય છે, ત્યારે તેમના બાહ્ય શિરોબિંદુઓ અને શિરોબિંદુઓને જોડતી સહવર્તી રેખાઓ હોય છે. સમદ્વિબાહુ ત્રિકોણ આ સામાન્યીકરણ નીચેની બાબતો પર ભાર મૂકે છેઃ જો આપેલ ત્રિકોણની બાજુઓ પર પાયા તરીકે બાંધવામાં આવેલા ત્રણ ત્રિકોણ સમાન, સમદ્વિબાહુ અને સમાન રીતે સ્થિત હોય, તો રેખાઓ એક બિંદુ પર એકરૂપ થાય છે. જો સામાન્ય આધાર કોણ હોય, તો પછી ત્રણ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓમાં નીચેના ત્રિકોણીય કોઓર્ડિનેટ્સ હોય છે. ના ત્રિકોણીય કોઓર્ડિનેટ્સ છે કેટલાક વિશેષ કિસ્સાઓ રસપ્રદ છે. {| વર્ગ = "વિકિટેબલ" |-! મૂલ્ય! ! બિંદુ |-| | |, બિંદુ |-| | નું કેન્દ્રબિંદુ, વેક્ટન બિંદુઓનું ઓર્થોસેન્ટર |-| | |, પ્રથમ નેપોલિયન બિંદુ X (17) |-| | |, બીજો નેપોલિયન બિંદુ X (18) |-| |, પ્રથમ ફર્મેટ-ટોરિસેલી બિંદુ X (13) |-| |, બીજો ફર્મેટ-ટોરિસેલી બિંદુ X (14) |-|... શિરોબિંદુ |-| | | વધુમાં, આધાર કોણ તરીકેનું સ્થાન −/2 અને/2 વચ્ચે બદલાય છે તે શંકુ છે આ શંકુ લંબચોરસ હાયપરબ છે. આ હાયપરબોલા એ અનન્ય શંકુ છે જે પાંચ બિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે. સમાન ત્રિકોણ ત્રિકોણની બાજુઓ પર ઊભા કરવામાં આવેલા ત્રણ ત્રિકોણ ત્રણ રેખાઓ સહવર્તી થવા માટે સમદ્વિબાહુ હોવાની જરૂર નથી. જો કોઈ પણ ત્રિકોણની બાજુઓ પર સમાન ત્રિકોણ બહારથી બાંધવામાં આવે તો રેખાઓ સહવર્તી હોય છે. આર્બિટ્રરી ત્રિકોણ રેખાઓની સુસંગતતા ખૂબ જ આરામદાયક પરિસ્થિતિઓમાં પણ રહે છે. નીચેનું પરિણામ રેખાઓ સહવર્તી હોવા માટેની સૌથી સામાન્ય શરતોમાંથી એક દર્શાવે છે. જો કોઈ પણ ત્રિકોણની બાજુઓ પર ત્રિકોણ બહારની તરફ એવી રીતે બાંધવામાં આવે કે રેખાઓ સહવર્તી હોય. સમવર્તી બિંદુને જેકોબી બિંદુ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. ઇતિહાસ કોક્સેટર અને ગ્રીટ્ઝર નેપોલિયન પ્રમેય આ રીતે જણાવે છેઃ જો કોઈ પણ ત્રિકોણની બાજુઓ પર સમબાહુ ત્રિકોણ બાહ્ય રીતે ઊભા કરવામાં આવે, તો તેમના કેન્દ્રો સમબાહુ ત્રિકોણ બનાવે છે. તેઓ અવલોકન કરે છે કે નેપોલિયન બોનાપાર્ટ ભૂમિતિમાં ખૂબ રસ ધરાવતા ગણિતશાસ્ત્રી હતા. જો કે, તેઓ શંકા કરે છે કે નેપોલિયન તેને આભારી પ્રમેય શોધવા માટે પૂરતી ભૂમિતિ જાણતો હતો કે કેમ. નેપોલિયનના પ્રમેયમાં અંકિત પરિણામનો સૌથી પહેલો નોંધાયેલો દેખાવ 1825માં 'ધ લેડીઝ ડાયરી' માં પ્રકાશિત થયેલા એક લેખમાં છે. ધ લેડીઝ ડાયરી એક વાર્ષિક સામયિક હતું જે 1704 થી 1841 સુધી લંડનમાં પ્રચલિત હતું. પરિણામ ડબલ્યુ. રધરફર્ડ, વુડબર્ન દ્વારા પૂછવામાં આવેલા પ્રશ્નના ભાગ રૂપે દેખાયું. VII. પૂછપરછ કરો. (1439); શ્રી ડબ્લ્યુ. રધરફર્ડ, વુડબર્ન દ્વારા. કોઈપણ ત્રિકોણ ABC ની ત્રણ બાજુઓ પર સમબાહુ ત્રિકોણ (બધા શિરોબિંદુઓ કાં તો બહારની તરફ અથવા બધા અંદરની તરફ હોય છે) નું વર્ણન કરો. પ્રદર્શનની જરૂર હતી ". જો કે, આ પ્રશ્નમાં કહેવાતા નેપોલિયન બિંદુઓના અસ્તિત્વનો કોઈ સંદર્ભ નથી. ગણિતના જર્મન ઇતિહાસકાર ક્રિસ્ટોફ જે. સ્ક્રિબાએ 'હિસ્ટોરીયા મેથેમેટિકા' માં એક પેપરમાં નેપોલિયનના મુદ્દાઓને નેપોલિયન સાથે જોડવાની સમસ્યાનો અભ્યાસ કર્યો છે. ત્રિકોણ કેન્દ્ર ત્રિકોણ શંકુ નેપોલિયનનો પ્રમેય નેપોલિયનની સમસ્યા વેન ઔબેલનો પ્રમેય ફર્મેટ બિંદુ સંદર્ભો વધુ વાંચન ત્રિકોણ કેન્દ્રો જુઓ.