Kansa method
કંસ પદ્ધતિ એ આંશિક વિભેદક સમીકરણોને ઉકેલવા માટે ઉપયોગમાં લેવાતી કમ્પ્યુટર પદ્ધતિ છે. તેનો મુખ્ય ફાયદો એ છે કે કમ્પ્યુટર પર તેને સમજવું અને પ્રોગ્રામ કરવું ખૂબ જ સરળ છે. તે મર્યાદિત તત્વ પદ્ધતિ કરતાં ઘણી ઓછી જટિલ છે. બીજો ફાયદો એ છે કે તે બહુવિધ ચલ સમસ્યાઓ પર સારી રીતે કામ કરે છે. 3 થી વધુ જગ્યા ચલ અને સમય સાથે કામ કરતી વખતે મર્યાદિત તત્વ પદ્ધતિ જટિલ હોય છે. કંસ પદ્ધતિને બાસ્કેટબોલ કોર્ટની સામ્યતા દ્વારા સમજાવી શકાય છે, જેમાં સમગ્ર છત પર ઘણા લાઇટ બલ્બ લટકાવવામાં આવ્યા છે. તમે દરેક બલ્બની ચમક માટે ઉકેલો જેથી દરેક બલ્બની નીચે બાસ્કેટબોલ કોર્ટની ફ્લોર પર સીધી ઇચ્છિત પ્રકાશની તીવ્રતા તે સમયે વિભેદક સમીકરણને હલ કરે. તેથી જો બાસ્કેટબોલ કોર્ટ પર 100 બલ્બ લટકેલા હોય; તો બાસ્કેટબોલ કોર્ટની ફ્લોર પર કોઈપણ સમયે પ્રકાશની તીવ્રતા પ્રકાશની તીવ્રતાની નજીક પહોંચે છે જે બાસ્કેટબોલ કોર્ટની ફ્લોર પર કોઈપણ સ્થાન પર વિભેદક સમીકરણને લગભગ હલ કરે છે. એક સરળ કમ્પ્યુટર પ્રોગ્રામ દરેક બલ્બની તેજ માટે પુનરાવર્તન દ્વારા હલ કરી શકે છે, જે આ પદ્ધતિને પ્રોગ્રામ કરવા માટે સરળ બનાવે છે. આ પદ્ધતિને ભારિત અવશેષો (ગેલર્કિન), એકીકરણ અથવા અદ્યતન ગણિતની જરૂર નથી. ઇ. જે. કંસએ 1990ના દાયકાની શરૂઆતમાં રેડિયલ બેસિસ ફંક્શન (આરબીએફ) ને વિસ્તૃત કરવાનો પ્રથમ પ્રયાસ કર્યો હતો, જે તે સમયે સ્કેટર્ડ ડેટા પ્રોસેસિંગ અને ફંક્શન એપ્રોક્સીમેશનમાં ખૂબ જ લોકપ્રિય હતું, જે મજબૂત સ્વરૂપના કોલોકેશન ફોર્મ્યુલેશનમાં આંશિક વિભેદક સમીકરણોના ઉકેલ માટે હતું. તેમનો આરબીએફ કોલોકેશન અભિગમ સ્વાભાવિક રીતે મેશલેસ, પ્રોગ્રામમાં સરળ અને ગાણિતિક રીતે શીખવા માટે ખૂબ જ સરળ છે. ટૂંક સમયમાં, આ પદ્ધતિ શૈક્ષણિક સમુદાયમાં કંસ પદ્ધતિ તરીકે જાણીતી બની હતી. કારણ કે આરબીએફ પરિમાણને ધ્યાનમાં લીધા વિના એક-પરિમાણીય યુક્લિડિયન અંતર ચલનો ઉપયોગ કરે છે, કંસ પદ્ધતિ પરિમાણ અને રસની સમસ્યાઓની ભૌમિતિક જટિલતાથી સ્વતંત્ર છે. આ પદ્ધતિ એ અર્થમાં ડોમેન-પ્રકારની આંકડાકીય તકનીક છે કે સમસ્યાને માત્ર સીમા શરતોને સંતોષવા માટે સીમા પર જ નહીં પરંતુ સંચાલક સમીકરણને સંતોષવા માટે ડોમેનની અંદર પણ અલગ કરવામાં આવે છે. તેનાથી વિપરીત, આરબીએફ સંખ્યાત્મક પદ્ધતિઓનો બીજો પ્રકાર છે, જેને સીમા-પ્રકાર આરબીએફ કોલોકેશન પદ્ધતિ કહેવામાં આવે છે, જેમ કે મૂળભૂત ઉકેલની પદ્ધતિ, સીમા ગાંઠ પદ્ધતિ, એકવચન સીમા પદ્ધતિ, સીમા કણ પદ્ધતિ અને નિયમિત જાળી વિનાની પદ્ધતિ, જેમાં આધાર કાર્યો, જેને કર્નલ કાર્ય તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે, તે સંચાલક સમીકરણને સંતોષે છે અને ઘણીવાર મૂળભૂત ઉકેલ અથવા સંચાલિત સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ હોય છે. પરિણામે, માત્ર બાઉન્ડ્રી ડિસ્ક્રીટાઈઝેશન જરૂરી છે. કંસ પદ્ધતિમાં આરબીએફ સંચાલક સમીકરણને સંતોષતું નથી, તેથી આરબીએફ પસંદ કરવાની વધુ સ્વતંત્રતા છે. કંસ પદ્ધતિમાં સૌથી વધુ લોકપ્રિય આરબીએફ મલ્ટીક્વાડ્રિક (એમક્યુ) છે, જે સામાન્ય રીતે યોગ્ય આકાર પરિમાણ પસંદ કરવામાં આવે તો વર્ણપટની ચોકસાઈ દર્શાવે છે. વર્ણન કંસ પદ્ધતિ, જેને મોડિફાઇડ એમક્યુ સ્કીમ અથવા એમક્યુ કોલોકેશન પદ્ધતિ પણ કહેવાય છે, તે જાણીતા એમક્યુ ઇન્ટરપોલેશનમાંથી ઉદ્ભવી છે. આ પદ્ધતિની કાર્યક્ષમતા અને લાગુ પડવાની ક્ષમતા સમસ્યાઓની વિશાળ શ્રેણીમાં ચકાસવામાં આવી છે. સીમા-પ્રકારની આરબીએફ સંયોજન પદ્ધતિઓની તુલનામાં, કંસ પદ્ધતિ એવી સમસ્યાઓ માટે વ્યાપક રીતે લાગુ પડે છે કે જેના મૂળભૂત અને સામાન્ય ઉકેલો ઉપલબ્ધ નથી, દા. ત., વિવિધ ગુણાંક અને બિનરેખીય સમસ્યાઓ. ફોર્મ્યુલેશન d-પરિમાણીય ભૌતિક ક્ષેત્રને ધ્યાનમાં લઈએ અને નીચેની સીમા મૂલ્ય સમસ્યા (BVP) ને ધ્યાનમાં લઈએ જ્યાં L એ વિભેદક સંચાલકનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે અને d એ સમસ્યાની પરિમાણીયતા છે, અનુક્રમે ડિરીક્લેટ અને ન્યુમેન સીમાઓને સૂચવે છે, અને. કંસ પદ્ધતિ આરબીએફના રેખીય સંયોજન દ્વારા ઇચ્છિત કાર્યને આ સ્વરૂપમાં અંદાજિત કરે છેઃ ગુણાંક ક્યાં નક્કી કરવાના છે, એમક્યુ જેવા આરબીએફને સૂચવે છે. ઉકેલની વિશિષ્ટતાની બાંયધરી આપવા માટે, બહુપદી શબ્દ નીચે પ્રમાણે ઉમેરી શકાય છેઃ બહુપદી ક્યાં છે. આરબીએફ પ્રક્ષેપણ (4) અને (5) બંનેનો વ્યવહારમાં ઘણીવાર ઉપયોગ થાય છે. ગણિતશાસ્ત્રીઓ તેના સખત અને નક્કર સૈદ્ધાંતિક પાયા માટે બીજાને પસંદ કરે છે, જ્યારે ઇજનેરી વપરાશકર્તાઓ ઘણીવાર પહેલાનો ઉપયોગ કરે છે કારણ કે તે સરળ અને સરળ છે અને મોટાભાગના કિસ્સાઓમાં સારા પરિણામો ઉત્પન્ન કરે છે. Eq ને બદલી રહ્યા છીએ. (4) અથવા (5) ગુણ્યા Eqs. (1-3) પરિણામી બીજગણિત સમીકરણ પ્રણાલી ઉત્પન્ન કરે છેઃ જ્યાં વિસ્તરણ ગુણાંકનું મૂલ્યાંકન કર્યા પછી, ઇચ્છિત કાર્યની ગણતરી Eq થી કરી શકાય છે. (4) અથવા (5). ઇતિહાસ અને તાજેતરના વિકાસ પી. ડી. ઈ. ના આંકડાકીય ઉકેલો સામાન્ય રીતે મર્યાદિત તફાવત પદ્ધતિ (એફ. ડી. એમ.), મર્યાદિત તત્વ પદ્ધતિ (એફ. ઈ. એમ.) અથવા સીમા તત્વ પદ્ધતિ (બી. ઈ. એમ.) દ્વારા મેળવવામાં આવે છે. તે જાણીતું છે કે એફ. ડી. એમ. ને અનિયમિત ડોમેનનું મોડેલ બનાવવું મુશ્કેલ છે કારણ કે તેને સામાન્ય રીતે લંબચોરસ ગ્રીડ સિસ્ટમની જરૂર પડે છે. જો કે FEM વધુ લવચીક માળખાને સમાવી શકે છે, મેશિંગ અને રીમેશિંગ તુચ્છ નથી. બી. ઇ. એમ. એ કેટલીક ઇજનેરી સમસ્યાઓમાં વૈકલ્પિક પદ્ધતિ છે, જેમ કે ઊલટું, અમર્યાદિત ક્ષેત્ર અને પાતળા દિવાલોની રચના સમસ્યાઓ. જો કે, તેના ઉપયોગો મોટે ભાગે સંચાલક સમીકરણના મૂળભૂત ઉકેલની ઉપલબ્ધતા દ્વારા મર્યાદિત છે. તાજેતરના કેટલાક દાયકાઓમાં, "મેશલેસ" અથવા "એલિમેન્ટ-ફ્રી" પદ્ધતિઓ ખૂબ ધ્યાન આકર્ષિત કરે છે. આ દ્રશ્ય પાછળનું પ્રેરક બળ એ છે કે જાળી આધારિત પદ્ધતિઓ જેવી કે પ્રમાણભૂત FEM અને BEM માટે ઉચ્ચ-પરિમાણીય, ગતિશીલ અને જટિલ આકારની સીમા સમસ્યાઓનું સંચાલન કરવા માટે નિષેધાત્મક રીતે ગણતરીના પ્રયાસની જરૂર પડે છે. કંસ પદ્ધતિ આર. બી. એફ. ને, ખાસ કરીને એમ. ક્યુ. ને, જાળી અથવા તત્વોની જરૂર વગર નોડ્સ પર સીધી રીતે સાંકળે છે અને તેથી તે સ્વાભાવિક રીતે ખરેખર જાળી વિનાની પદ્ધતિ છે. મહાન પ્રયાસો છતાં, કંસ પદ્ધતિની ઉકેલનીયતાના સખત ગાણિતિક પુરાવા હજુ પણ ખૂટે છે. વધુમાં, મિશ્ર સીમા શરતો તેના અંતર્વેશન મેટ્રિક્સની સમપ્રમાણતાને પણ નષ્ટ કરે છે. રેફરી. સોલ્વાબિલિટીના ધ્વનિ ગાણિતિક વિશ્લેષણ સાથે સપ્રમાણ હર્માઇટ આરબીએફ કોલોકેશન યોજનાનો પ્રસ્તાવ મૂકો. જોકે, કંસ પદ્ધતિ અને સપ્રમાણ હર્માઇટ પદ્ધતિમાં એક સામાન્ય મુદ્દો એ છે કે સીમાને અડીને આવેલા ગાંઠો પરના આંકડાકીય ઉકેલો મધ્ય પ્રદેશની સરખામણીમાં તીવ્રતાના એકથી બે ક્રમમાં બગડે છે. PDE કોલોકેશન ઓન ધ બાઉન્ડ્રી (PDECB) અસરકારક રીતે આ ખામીને દૂર કરે છે. જો કે, આ વ્યૂહરચના માટે સીમાને અડીને આવેલા ક્ષેત્રની અંદર અથવા બહાર ગાંઠોના વધારાના સમૂહની જરૂર છે. આ વધારાના નોડ્સને મનસ્વી રીતે મૂકવાથી જટિલ અને બહુ-જોડાયેલ ડોમેન સમસ્યાઓના અનુકરણમાં મુશ્કેલીજનક સમસ્યાઓ પેદા થાય છે. પી. ડી. ઈ. સી. બી. માં પણ સ્પષ્ટ સૈદ્ધાંતિક સમર્થનનો અભાવ છે. હકીકતમાં, એક સમાન વ્યૂહરચના પણ પ્રસ્તાવિત કરવામાં આવી છે, જે સમાન સીમા ગાંઠો પર સંચાલિત અને સીમા સમીકરણો બંનેને સંયોજિત કરે છે. જો કે, આ પદ્ધતિ અસમપ્રમાણતાવાળી છે અને હજુ પણ સ્પષ્ટ સૈદ્ધાંતિક પાયાનો અભાવ છે. લીલી બીજી ઓળખનો ઉપયોગ કરીને, ઉપરોક્ત તમામ નબળાઈઓને દૂર કરવા માટે સુધારેલી કંસ પદ્ધતિ તૈયાર કરવામાં આવી છે. એમક્યુ માટે, તેનું આકાર પરિમાણ મોટે ભાગે તેની પ્રક્ષેપણ ભૂલ નક્કી કરે છે. મલ્ટીક્વાડ્રિક રેડિયલ બેસિસ ફંક્શન્સના કુટુંબને લગતા સંખ્યાબંધ ગાણિતિક સિદ્ધાંતો અસ્તિત્વમાં છે અને આકાર પરિમાણની પસંદગી પર કેટલાક સૂચનો પૂરા પાડે છે. કોમ્પ્યુટેશનલ વિજ્ઞાનમાં કંસ પદ્ધતિ વ્યાપકપણે લાગુ કરવામાં આવે છે. માં, કંસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ પેરાબોલિક, હાયપરબોલિક અને લંબગોળ આંશિક વિભેદક સમીકરણોને સંબોધવા માટે થાય છે. કંસ પદ્ધતિ તાજેતરમાં વિવિધ સામાન્ય અને પી. ડી. ઈ. માં વિસ્તૃત કરવામાં આવી છે જેમાં પેશી ઇજનેરી સમસ્યાઓના દ્વિ-ફેસિક અને ત્રિફેસિક મિશ્રણ નમૂનાઓ, આઘાત તરંગ સાથે 1ડી બિનરેખીય બર્ગરનું સમીકરણ, ભરતી અને વર્તમાન અનુકરણ માટે છીછરા પાણીના સમીકરણો, ઉષ્મા સ્થાનાંતરણ સમસ્યાઓ, મુક્ત સીમા સમસ્યાઓ અને અપૂર્ણાંક પ્રસરણ સમીકરણો સામેલ છે. રેડિયલ બેસિસ ફંક્શન મૂળભૂત ઉકેલોની પદ્ધતિ બાઉન્ડ્રી નોટ પદ્ધતિ બાઉન્ડ્રી પાર્ટિકલ પદ્ધતિ સિંગ્યુલર બાઉન્ડ્રી પદ્ધતિ બાહ્ય કડીઓ મોડિફાઇડ કંસ પદ્ધતિ સંદર્ભો આંશિક વિભેદક સમીકરણો