Kummer configuration
ભૂમિતિમાં, અર્ન્સ્ટ કુમેર માટે નામ આપવામાં આવેલું કુમેર રૂપરેખાંકન, 16 બિંદુઓ અને 16 વિમાનોનું ભૌમિતિક રૂપરેખાંકન છે, જેમ કે દરેક બિંદુ 6 વિમાનો પર આવેલું છે અને દરેક સમતલમાં 6 બિંદુઓ છે. વધુમાં, બિંદુઓની દરેક જોડી બરાબર બે સમતલ સાથે સંલગ્ન હોય છે, અને દરેક બે સમતલ બરાબર બે બિંદુઓમાં છેદે છે. તેથી રૂપરેખાંકન એક બાયપ્લેન છે, ખાસ કરીને, 2− (16,6,2) ડિઝાઇન. કુમેર સપાટીના 16 નોડ્સ અને 16 ટ્રોપ્સ કુમેર રૂપરેખાંકન બનાવે છે. ઉપરોક્ત ગુણધર્મોને સંતોષતા 16 ઘટકોમાંથી 16 જુદા જુદા 6-સમૂહો પસંદ કરવાની ત્રણ અલગ અલગ બિન-આઇસોમોર્ફિક રીતો છે, એટલે કે બાયપ્લેન બનાવવું. ત્રણેયમાંથી સૌથી વધુ સપ્રમાણતા એ કુમેર રૂપરેખાંકન છે, જેને 16 બિંદુઓ પર "શ્રેષ્ઠ બાયપ્લેન" પણ કહેવામાં આવે છે. બાંધકામ જોર્ડન (1869) ની પદ્ધતિને અનુસરીને, પરંતુ એસ્મસ અને સાર્ડી (1981) પણ જુઓ, 4x4 ગ્રીડમાં 16 બિંદુઓ (જેમ કે સંખ્યા 1 થી 16) ગોઠવો. બદલામાં દરેક તત્વ માટે, એક જ હરોળના અન્ય 3 બિંદુઓ અને એક જ સ્તંભના અન્ય 3 બિંદુઓ લો અને તેમને 6-સમૂહમાં જોડો. આ દરેક બિંદુ માટે એક 6-ઘટક બ્લોક બનાવે છે. એક જ પંક્તિ અથવા સ્તંભ પર બે બિંદુઓ ધ્યાનમાં લો. તે પંક્તિ અથવા સ્તંભમાં અન્ય બે બિંદુઓ છે જે બંને પ્રારંભિક બિંદુઓ માટે બ્લોકમાં દેખાય છે, તેથી તે બ્લોક બે બિંદુઓમાં છેદે છે. હવે એક જ પંક્તિ અથવા સ્તંભમાં ન હોય તેવા બે બિંદુઓને ધ્યાનમાં લો. તેમના અનુરૂપ બ્લોક બે બિંદુઓમાં છેદે છે જે બે પ્રારંભિક બિંદુઓ સાથે એક લંબચોરસ બનાવે છે. આમ તમામ બ્લોક બે બિંદુઓમાં છેદે છે. તે આંતરછેદના બિંદુઓને અનુરૂપ બ્લોકની તપાસ કરીને, કોઈ પણ બે પ્રારંભિક બિંદુઓ બે બ્લોકમાં હાજર છે. ઓટોમોર્ફિઝમ્સ 16 બિંદુઓના બરાબર 11520 ક્રમચયો છે જે સમાન બ્લોકને પાછા આપે છે. વધુમાં, બિંદુ લેબલો સાથે બ્લોક લેબલોની આપ-લે કરવાથી કદ 2નું બીજું ઓટોમોર્ફિઝમ મળે છે, જેના પરિણામે 23040 ઓટોમોર્ફિઝમ થાય છે. ક્લેઈન રૂપરેખાંકન સંદર્ભો રૂપરેખાંકનો (ભૂમિતિ) બીજગણિત ભૂમિતિ પણ જુઓ.