Mixtilinear incircles of a triangle
સમતલ ભૂમિતિમાં, ત્રિકોણનું મિશ્રરેખીય આંતરિક વર્તુળ એ એક વર્તુળ છે જે તેની બે બાજુઓને સ્પર્શક હોય છે અને આંતરિક રીતે તેના પરિઘને સ્પર્શક હોય છે. શિરોબિંદુ ધરાવતી બંને બાજુઓ પર ત્રિકોણની સ્પર્શિકાના મિશ્ર-રેખીય આંતરિક વર્તુળને-મિશ્ર-રેખીય આંતરિક વર્તુળ કહેવામાં આવે છે. દરેક ત્રિકોણમાં ત્રણ અનન્ય મિશ્ર-રેખીય આંતરિક વર્તુળો હોય છે, જે દરેક શિરોબિંદુને અનુરૂપ હોય છે. અસ્તિત્વ અને વિશિષ્ટતાનો પુરાવો ત્રિકોણનું વર્તુળ અનન્ય છે. ચાલો ત્રિજ્યા સાથે કેન્દ્રિત વ્યુત્ક્રમની રચના અને કોણ દ્વિભાજકના સંદર્ભમાં પ્રતિબિંબ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત પરિવર્તન હોઈએ. કારણ કે વ્યુત્ક્રમ અને પ્રતિબિંબ બાયજેક્ટિવ છે અને સ્પર્શ બિંદુઓને જાળવી રાખે છે, પછી તે પણ કરે છે. પછી, નીચે-વર્તુળની છબી બાજુઓ માટે આંતરિક રીતે સ્પર્શક વર્તુળ છે અને તેનો પરિઘ, એટલે કે-મિશ્રાકાર આંતરિક વર્તુળ છે. તેથી,-મિશ્રરેખીય આંતરિક વર્તુળ અસ્તિત્વમાં છે અને અનન્ય છે, અને સમાન દલીલ અને ને અનુરૂપ મિશ્રરેખીય આંતરિક વર્તુળો માટે સમાન સાબિત કરી શકે છે. માળખું-મિશ્રરેખીય આંતરિક વર્તુળ નીચેના પગલાંના ક્રમ સાથે બનાવી શકાય છે. દ્વિભાજક ખૂણાઓને છેદતા ઇન્સેન્ટરને દોરો. રેખાઓને લંબરૂપ, સ્પર્શ કરતી રેખાઓ અને અનુક્રમે બિંદુઓ પર એક રેખા દોરો. આ મિશ્રરેખીય વર્તુળના સ્પર્શક બિંદુઓ છે. બિંદુઓ પર અને તેમાંથી અનુક્રમે લંબરૂપ દોરો, અને તેમને અંદર છેદો. તે વર્તુળનું કેન્દ્ર છે, તેથી કેન્દ્ર અને ત્રિજ્યા સાથેનું વર્તુળ મિશ્રરેખીય અંતઃવૃત્ત છે આ રચના નીચેની હકીકતને કારણે શક્ય છેઃ લેમ્મા ઇન્સેન્ટર એ બંને બાજુઓ સાથે મિશ્રરેખીય અંતઃવૃત્તના સ્પર્શ બિંદુઓનું મધ્યબિંદુ છે. સાબિતી ચાલો ત્રિકોણનું પરિઘ વર્તુળ હોઈએ અને-મિશ્રિત આંતરિક વર્તુળ અને સ્પર્શ બિંદુ હોઈએ. ચાલો સાથે રેખાનું આંતરછેદ અને સાથે રેખાનું આંતરછેદ હોઈએ. વચ્ચે કેન્દ્ર સાથે હોમોથેટી અને સૂચવે છે કે તે અનુક્રમે ચાપના મધ્યબિંદુઓ છે. અંકિત કોણ પ્રમેય સૂચવે છે કે અને તે સમરેખીય બિંદુઓના ત્રિપલ છે. ષટ્કોણ પર અંકિત પાસ્કલનો પ્રમેય સૂચવે છે કે તે સમરેખીય છે. ખૂણાઓ અને ખૂણાઓ સમાન હોવાથી, તે અનુસરે છે જે ખંડનું મધ્યબિંદુ છે. ત્રિજ્યાના અન્ય ગુણધર્મો નીચેનું સૂત્ર ત્રિકોણના આંતરિક વર્તુળની ત્રિજ્યા અને-મિશ્રિત આંતરિક વર્તુળની ત્રિજ્યાને સંબંધિત કરે છેઃ કોણની તીવ્રતા ક્યાં છે. વર્તુળ પરના બિંદુઓ સાથેનો સંબંધ બિંદુ ધરાવતું ચાપનું મધ્યબિંદુ રેખા પર હોય છે. ચતુર્ભુજ હાર્મોનિક છે, જેનો અર્થ થાય છે કે તે ત્રિકોણ પર સિમેડિયન છે. વર્તુળ વર્તુળ સાથે સ્પર્શક બિંદુ સાથે સંબંધિત છે અને તે ચક્રીય ચતુર્ભુજ છે. સર્પાકાર સમાનતા એ સર્પાકાર સમાનતાનું કેન્દ્ર છે જે અનુક્રમે નકશો બનાવે છે. ત્રણ મિશ્રરેખીય આંતરિક વર્તુળો વચ્ચેનો સંબંધ શિરોબિંદુઓને જોડતી રેખાઓ અને મિશ્રરેખીય સ્પર્શતા બિંદુઓ અનુરૂપ મિશ્રરેખીય આંતરિક વર્તુળ સાથે પરિઘના સંપર્ક બિંદુ સુધી શિરોબિંદુને જોડતી ત્રણ રેખાઓ આંતરિક વર્તુળ અને પરિઘના સમાનતાના બાહ્ય કેન્દ્રમાં મળે છે. ત્રિકોણ કેન્દ્રોનો ઓનલાઇન જ્ઞાનકોશ આ મુદ્દાને X (56) તરીકે સૂચિબદ્ધ કરે છે. તેને ત્રિકોણીય કોઓર્ડિનેટ્સ અને બેરિસેન્ટ્રીક કોઓર્ડિનેટ્સ રેડિકલ સેન્ટર દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. ત્રણ મિશ્ર-રેખીય આંતરિક વર્તુળોનું આમૂલ કેન્દ્ર એ બિંદુ છે જે અનુક્રમે ઇન્સેન્ટર, ઈનેરેડિયસ, સર્કમસેન્ટર અને સર્કમ્રેડિયસના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત થાય છે. સંદર્ભો યુક્લિડિયન સમતલ ભૂમિતિ