Catalan's triangle
સંયુક્ત ગણિતમાં, કાતાલાનનો ત્રિકોણ એ એક સંખ્યા ત્રિકોણ છે જેની એન્ટ્રીઓ n X અને k Yની બનેલી સ્ટ્રિંગ્સની સંખ્યા એવી રીતે આપે છે કે સ્ટ્રિંગના કોઈ પણ પ્રારંભિક સેગમેન્ટમાં X કરતા વધુ Y નથી. તે કતલાન સંખ્યાઓનું સામાન્યીકરણ છે, અને તેનું નામ યુજેન ચાર્લ્સ કતલાન પરથી રાખવામાં આવ્યું છે. બેલી બતાવે છે કે નીચેના ગુણધર્મોને સંતોષે છેઃ . . ફોર્મ્યુલા 3 દર્શાવે છે કે ત્રિકોણમાં ડાબી અને ઉપરની સંખ્યાઓ ઉમેરીને ત્રિકોણમાં પ્રવેશ પુનરાવર્તિત રીતે મેળવવામાં આવે છે. પુનરાવર્તન સૂત્ર સાથે કતલાન ત્રિકોણનો સૌથી પહેલો દેખાવ 1800 માં લુઇસ ફ્રાન્કોઇસ એન્ટોઇન અર્બોગાસ્ટ દ્વારા પ્રકાશિત કેલ્ક્યુલસ પરના ગ્રંથના પૃષ્ઠ 214 માં છે. શાપિરો અન્ય ત્રિકોણ રજૂ કરે છે જેને તે કતલાન ત્રિકોણ કહે છે જે અહીં ચર્ચા કરવામાં આવી રહેલા ત્રિકોણથી અલગ છે. સામાન્ય સૂત્ર માટે સામાન્ય સૂત્ર સો વ્હેન દ્વારા આપવામાં આવે છે, વિકર્ણ એ-મી કતલાન સંખ્યા છે. હોકી-સ્ટિક ઓળખ અને કતલાન નંબરો માટે વૈકલ્પિક અભિવ્યક્તિનો ઉપયોગ કરીને-મી હરોળનો પંક્તિ સરવાળો-મી કતલાન નંબર છે. મૂલ્યોની કોષ્ટક કેટલાક મૂલ્યો દ્વારા આપવામાં આવે છે {| વર્ગ = "વિકિટેબલ" શૈલી = "લખાણ-સંરેખિતઃ જમણે;" |-! ! પહોળાઈ = "50" | 0! પહોળાઈ = "50" | 1! પહોળાઈ = "50" | 2! પહોળાઈ = "50" | 3! પહોળાઈ = "50" | 4! પહોળાઈ = "50" | 5! પહોળાઈ = "50" | 6! પહોળાઈ = "50" | 7! પહોળાઈ = "50" | 8 |-! 0 | 1 | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |-! 1 | 1 | | 1 | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |-! 2 | 1 | | 2 | | 2 | | | | | | | | | | | | | | | | |-! 3 | 1 | | 3 | | 5 | | 5 | | | | | | | | | | | | | |-! 4 | 1 | | 4 | | 9 | | 14 | | | | | | | | | | | | | |-! 5 | 1 | | 5 | | 14 | | 28 | | 42 | | 42 | | | | | | | | |-! 6 | 1 | | 6 | | 20 | | 48 | | 90 | | 132 | | 132 | | | | |-! 7 | 1 | | 7 | | 27 | | 75 | | 165 | | 297 | | 429 | | 429 | | |-! 8 | 1 | | 8 | | 35 | | 110 | | 275 | | 572 | | 1001 | | 1430 | | 1430 |} પ્રથમ વિભાગમાંથી ગુણધર્મ સૂત્ર 3 નો ઉપયોગ બંનેને સાબિત કરવા માટે કરી શકાય છે. જો, તો પછી અમુક તબક્કે 's' કરતા વધુ 's' હોવા જોઈએ, તેથી. - th મૂલ્યનું સંયુક્ત અર્થઘટન એ મહત્તમ ભાગ સાથે બરાબર ભાગો સાથે બિન-ઘટતા પાર્ટીશનોની સંખ્યા છે જેમ કે દરેક ભાગ તેની અનુક્રમણિકા કરતા ઓછો અથવા સમાન હોય. તેથી, ઉદાહરણ તરીકે, ગણતરીઓ સામાન્યીકરણ કતલાનના ટ્રેપેઝોઇડ્સ એ સંખ્યા ટ્રેપેઝોઇડ્સનો ગણતરીપાત્ર સમૂહ છે જે કતલાનના ત્રિકોણને સામાન્ય બનાવે છે. કાતાલાનનો ક્રમનો લંબચોરસ એ સંખ્યા લંબચોરસ છે જેની એન્ટ્રીઓ X-s અને Y-s ધરાવતી સ્ટ્રિંગ્સની સંખ્યા એવી રીતે આપે છે કે સ્ટ્રિંગના દરેક પ્રારંભિક સેગમેન્ટમાં Y-s ની સંખ્યા X-s ની સંખ્યા અથવા તેનાથી વધુ કરતાં વધી ન જાય. વ્યાખ્યા મુજબ, કાતાલાનનો ક્રમનો લંબચોરસ કાતાલાનનો ત્રિકોણ છે, એટલે કે. કાતાલાનના ક્રમના લંબચોરસના કેટલાક મૂલ્યો {| વર્ગ = "વિકિટેબલ" શૈલી = "લખાણ-સંરેખિતઃ જમણે;" |-! ! પહોળાઈ = "50" | 0! પહોળાઈ = "50" | 1! પહોળાઈ = "50" | 2! પહોળાઈ = "50" | 3! પહોળાઈ = "50" | 4! પહોળાઈ = "50" | 5! પહોળાઈ = "50" | 6! પહોળાઈ = "50" | 7! પહોળાઈ = "50" | 8 |-! 0 | 1 | | 1 | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |-! 1 | 1 | | 2 | | 2 | | | | | | | | | | | | | | | | |-! 2 | 1 | | 3 | | 5 | | | | | | | | | | | | | | | | |-! 3 | 1 | | 4 | | 9 | | 14 | | | | | | | | | | | | | |-! 4 | 1 | | 5 | | 14 | | 28 | | 42 | | 42 | | | | | | | | |-! 5 | 1 | | 6 | | 20 | | 48 | | 90 | | 132 | | 132 | | | | |-! 6 | 1 | | 7 | | 27 | | 75 | | 165 | | 297 | | 429 | | 429 | | |-! 7 | 1 | | 8 | | 35 | | 110 | | 275 | | 572 | | 1001 | | 1430 | | | 1430 |} કાતાલાનના ટ્રેપેઝોઇડ ક્રમના કેટલાક મૂલ્યો {| વર્ગ = "વિકિટેબલ" શૈલી = "લખાણ-સંરેખિતઃ જમણે;" |-! ! પહોળાઈ = "50" | 0! પહોળાઈ = "50" | 1! પહોળાઈ = "50" | 2! પહોળાઈ = "50" | 3! પહોળાઈ = "50" | 4! પહોળાઈ = "50" | 5! પહોળાઈ = "50" | 6! પહોળાઈ = "50" | 7! પહોળાઈ = "50" | 8! પહોળાઈ = "50" | 9 |-! 0 | 1 | | 1 | | 1 | | | | | | | | | | | | | | | | | | |-! 1 | 1 | | 2 | | 3 | | 3 | | | | | | | | | | | | | | | |-! 2 | 1 | | 3 | | 6 | | 9 | | 9 | | | | | | | | | | | | |-! 3 | 1 | | 4 | | 10 | | 19 | | 28 | | 28 | | | | | | | | | | | |-! 4 | 1 | | 5 | | 15 | | 34 | | 62 | | 90 | | 90 | | | | | | | |-! 5 | 1 | | 6 | | 21 | | 55 | | 117 | | 207 | | 297 | | | | | | | | |-! 6 | 1 | | 7 | | 28 | | 83 | | 200 | | 407 | | 704 | | 1001 | | 1001 | | |-! 7 | 1 | | 8 | | 36 | | 119 | | 319 | | 726 | | 1430 | | 2431 | | 3432 | | 3432 |} ફરીથી, દરેક તત્વ ઉપરના એકનો અને ડાબી બાજુના એકનો સરવાળો છે. માટે એક સામાન્ય સૂત્ર (,,) દ્વારા આપવામાં આવે છે. સાબિતી 1 માટેના સામાન્ય સૂત્રના પુરાવા આ સાબિતીમાં કેટાલન સંખ્યા માટેના બીજા સાબિતીમાં ઉપયોગમાં લેવાતી આન્દ્રેની પ્રતિબિંબ પદ્ધતિનો વિસ્તાર વિવિધ કર્ણો સુધી થાય છે. નીચે દર્શાવેલ છે કે કેવી રીતે રેખાકૃતિના તળિયે ડાબી બાજુથી ઉપરની જમણી તરફનો દરેક માર્ગ જે અવરોધને પાર કરે છે તે પણ અંતિમ બિંદુ પર પ્રતિબિંબિત થઈ શકે છે. તેમાંથી કેટલા માર્ગો અવરોધને પાર કરતા નથી તે નિર્ધારિત કરવા માટે અમે ત્રણ કિસ્સાઓ ધ્યાનમાં લઈએ છીએઃ (1) જ્યારે અવરોધને પાર કરી શકાતો નથી, તો ત્યાંથી બધા માર્ગો માન્ય છે, એટલે કે. . (2) જ્યારે અવરોધને પાર ન કરે એવો માર્ગ બનાવવો અશક્ય હોય, એટલે કે. . (3) જ્યારે, ત્યારે 'લાલ' માર્ગોની સંખ્યા બાદબાકી 'પીળા' માર્ગોની સંખ્યા છે જે અવરોધને પાર કરે છે, એટલે કે. . તેથી તે સુધીના માર્ગોની સંખ્યા અવરોધને પાર કરતી નથી જે અગાઉના વિભાગ "સામાન્યીકરણ" માં સૂત્રમાં દર્શાવેલ છે. પુરાવો 2 સૌપ્રથમ, આપણે પુનરાવર્તન સંબંધની માન્યતાને બે ભાગોમાં વિભાજીત કરીને પુષ્ટિ કરીએ છીએ, પ્રથમ XY સંયોજનો માટે X માં સમાપ્ત થાય છે અને બીજું Y માં સમાપ્ત થાય છે. તેથી પ્રથમ જૂથમાં માન્ય સંયોજનો છે અને બીજામાં માન્ય સંયોજનો છે. પુરાવો 2 ઉકેલની ચકાસણી કરીને પૂર્ણ થાય છે જે પુનરાવર્તન સંબંધને સંતોષે છે અને અને માટે પ્રારંભિક શરતોનું પાલન કરે છે. સંદર્ભો સંખ્યાઓના ત્રિકોણ