Posterior predictive distribution
બાયેસિયન આંકડાશાસ્ત્રમાં, પશ્ચાદવર્તી આગાહીયુક્ત વિતરણ એ અવલોકન કરેલા મૂલ્યો પર શરતી સંભવિત અવલોકન વિનાના મૂલ્યોનું વિતરણ છે. એન. આઈ. આઈ. ડી. નો સમૂહ આપવામાં આવ્યો છે. અવલોકનો, વિતરણમાંથી એક નવું મૂલ્ય દોરવામાં આવશે જે પરિમાણ પર આધાર રાખે છે, જ્યાં પરિમાણ જગ્યા છે. તે માટે એક જ શ્રેષ્ઠ અંદાજ મૂકવા માટે આકર્ષિત લાગે છે, પરંતુ આ વિશેની અનિશ્ચિતતાની અવગણના કરે છે, અને કારણ કે અનિશ્ચિતતાના સ્ત્રોતને અવગણવામાં આવે છે, આગાહીયુક્ત વિતરણ ખૂબ સાંકડી હશે. બીજી રીતે કહીએ તો, આત્યંતિક મૂલ્યોની આગાહીઓ તેમની પશ્ચાદવર્તી વિતરણ દ્વારા આપવામાં આવેલી પરિમાણોમાં અનિશ્ચિતતા માટે જવાબદાર હોય તેની સરખામણીમાં ઓછી સંભાવના ધરાવે છે. પશ્ચાદવર્તી આગાહીયુક્ત વિતરણ અનિશ્ચિતતા માટે જવાબદાર છે. સંભવિત મૂલ્યોની પશ્ચાદવર્તી વહેંચણી આના પર આધાર રાખે છેઃ અને આપેલની પશ્ચાદવર્તી આગાહીયુક્ત વહેંચણીની ગણતરી આપેલની પશ્ચાદવર્તી વહેંચણી પર આપેલ વિતરણને હાંસિયામાં ધકેલીને કરવામાં આવે છેઃ કારણ કે તે અનિશ્ચિતતા માટે જવાબદાર છે, પશ્ચાદવર્તી આગાહીયુક્ત વહેંચણી સામાન્ય રીતે આગાહીયુક્ત વહેંચણી કરતાં વધુ વ્યાપક હશે જે એક જ શ્રેષ્ઠ અંદાજમાં પ્લગ કરે છે. પૂર્વ વિ. પશ્ચાદવર્તી આગાહીયુક્ત વિતરણ પૂર્વ આગાહીયુક્ત વિતરણ, બાયેસિયન સંદર્ભમાં, તેના પૂર્વ વિતરણ પર હાંસિયામાં ધકેલાયેલા ડેટા બિંદુનું વિતરણ છે. એટલે કે, જો અને, તો પછી પૂર્વ આગાહીયુક્ત વિતરણ એ અનુરૂપ વિતરણ છે, જ્યાં આ પશ્ચાદવર્તી આગાહીયુક્ત વિતરણ જેવું જ છે સિવાય કે સીમાંતરણ (અથવા સમકક્ષ, અપેક્ષા) પશ્ચાદવર્તી વિતરણને બદલે પૂર્વ વિતરણના સંદર્ભમાં લેવામાં આવે છે. વધુમાં, જો પહેલાનું વિતરણ અગાઉના સંયુગ્મ હોય, તો પશ્ચાદવર્તી આગાહીયુક્ત વિતરણ અગાઉના આગાહીયુક્ત વિતરણ તરીકે વિતરણના સમાન પરિવાર સાથે સંબંધિત હશે. આ જોવા માટે સરળ છે. જો પહેલાનું વિતરણ સંયુગ્મ હોય, તો એટલે કે. પછી, પશ્ચાદવર્તી આગાહીયુક્ત વિતરણ અગાઉના આગાહીયુક્ત વિતરણ તરીકે સમાન વિતરણ H ને અનુસરે છે, પરંતુ અગાઉના માટે અવેજી હાયપરપેરામીટર્સના પશ્ચાદવર્તી મૂલ્યો સાથે. પહેલાનું આગાહીયુક્ત વિતરણ સંયોજન વિતરણના સ્વરૂપમાં હોય છે, અને હકીકતમાં તેનો ઉપયોગ ઘણીવાર સંયોજન વિતરણને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે થાય છે, કારણ કે માહિતી પર નિર્ભરતા અને સંયોગના મુદ્દા જેવા કોઈપણ જટિલ પરિબળોના અભાવને કારણે. ઉદાહરણ તરીકે, વિદ્યાર્થીના ટી-વિતરણને જાણીતા સરેરાશ μ પરંતુ અજ્ઞાત ભિન્નતા σx2 સાથે સામાન્ય વિતરણના પૂર્વ આગાહીયુક્ત વિતરણ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે, જેમાં સંયુગ્મ પૂર્વ સ્કેલ-ઇન્વર્સ-ચી-સ્ક્વેર્ડ વિતરણ σx2 પર મૂકવામાં આવે છે, જેમાં હાયપરપેરામીટર્સ ν અને σ2 હોય છે. પરિણામી સંયોજન વિતરણ ખરેખર બિન-પ્રમાણિત વિદ્યાર્થીનું ટી-વિતરણ છે, અને આ વિતરણના બે સૌથી સામાન્ય પરિમાણોમાંથી એકને અનુસરે છે. પછી, અનુરૂપ પશ્ચાદવર્તી આગાહીયુક્ત વિતરણ ફરીથી વિદ્યાર્થીનું ટી હશે, જેમાં પશ્ચાદવર્તી વિતરણમાં દેખાતા અદ્યતન હાયપરપેરામીટર્સ પણ પશ્ચાદવર્તી આગાહીયુક્ત વિતરણમાં સીધા જ દેખાય છે. કેટલાક કિસ્સાઓમાં યોગ્ય સંયોજન વિતરણને એક અલગ પરિમાણનો ઉપયોગ કરીને વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જે વર્તમાન સમસ્યામાં આગાહીયુક્ત વિતરણ માટે સૌથી કુદરતી હશે. ઘણીવાર આ પરિણામ આવે છે કારણ કે સંયોજન વિતરણને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે વપરાતું પૂર્વ વિતરણ વર્તમાન સમસ્યામાં વપરાતા વિતરણથી અલગ હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે, ઉપર સૂચવ્યા મુજબ, વિદ્યાર્થીના ટી-વિતરણને ભિન્નતા પર મૂકવામાં આવેલા સ્કેલ્ડ-ઇન્વર્સ-ચી-સ્ક્વેર્ડ વિતરણની દ્રષ્ટિએ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવ્યું હતું. જો કે, આ પરિસ્થિતિમાં અગાઉ સંયુગ્મ તરીકે વ્યસ્ત ગામા વિતરણનો ઉપયોગ કરવો વધુ સામાન્ય છે. પેરામીટરાઇઝેશન સિવાય બંને હકીકતમાં સમકક્ષ છે; તેથી, વિદ્યાર્થીના ટી-ડિસ્ટ્રિબ્યુશનનો ઉપયોગ હજુ પણ આગાહીયુક્ત વિતરણ માટે થઈ શકે છે, પરંતુ હાયપરપેરામીટર્સને પ્લગ કરતા પહેલા ફરીથી પેરામીટરાઇઝ કરવા આવશ્યક છે. ઘાતાંકીય પરિવારોમાં મોટાભાગના, પરંતુ બધા નહીં, વિતરણના સામાન્ય પરિવારો ઘાતાંકીય પરિવારો છે. ઘાતાંકીય પરિવારો પાસે મોટી સંખ્યામાં ઉપયોગી ગુણધર્મો છે. આમાંથી એક એ છે કે તમામ સભ્યો સંયુગ્મિત પૂર્વ વિતરણો ધરાવે છે-જ્યારે અન્ય બહુ ઓછા વિતરણોમાં સંયુગ્મિત પ્રાયોર હોય છે. ઘાતાંકીય પરિવારોમાં પૂર્વ આગાહીયુક્ત વિતરણ અન્ય ઉપયોગી ગુણધર્મ એ છે કે સંયોજન વિતરણની સંભાવના ઘનતા કાર્ય તેના સંયુક્ત પૂર્વ વિતરણ પર હાંસિયામાં ધકેલાયેલા ઘાતાંકીય કુટુંબ વિતરણના પૂર્વ આગાહીયુક્ત વિતરણને અનુરૂપ વિશ્લેષણાત્મક રીતે નક્કી કરી શકાય છે. ધારો કે તે પરિમાણ સાથે ઘાતાંકીય પરિવારનો સભ્ય છે જે કુદરતી પરિમાણ અનુસાર પરિમાણિત છે, અને તે અગાઉ યોગ્ય સંયુગ્મ તરીકે વહેંચવામાં આવે છે, પછી પૂર્વ આગાહીયુક્ત વિતરણ (સાથે સંયોજનનું પરિણામ) છે. તેથી એકીકરણનું પરિણામ સામાન્યકરણ કાર્યનું પારસ્પરિક હશે. ઉપરોક્ત પરિણામ પેરામેટ્રીઝેશનની પસંદગીથી સ્વતંત્ર છે, જેમ કે કંઈ નહીં, અને દેખાય છે. (તે પરિમાણનું કાર્ય છે અને તેથી તે પરિમાણોની પસંદગીના આધારે વિવિધ સ્વરૂપો ધારણ કરશે.) અને ની પ્રમાણભૂત પસંદગીઓ માટે, કુદરતી પરિમાણોની દ્રષ્ટિએ ફરીથી લખવાને બદલે સામાન્ય પરિમાણો સાથે સીધા જ કામ કરવું ઘણીવાર સરળ હોય છે. ઇન્ટિગ્રલ ટ્રેક્ટેબલ હોવાનું કારણ એ છે કે તેમાં પૂર્વ વિતરણ અને સંભાવનાના ગુણાકાર દ્વારા વ્યાખ્યાયિત ઘનતાના સામાન્યકરણ અચળાંકની ગણતરીનો સમાવેશ થાય છે. જ્યારે બન્ને સંયુગ્મિત હોય, ત્યારે ઉત્પાદન પશ્ચાદવર્તી વિતરણ હોય છે, અને ધારણા દ્વારા, આ વિતરણનો સામાન્યકરણ અચળાંક જાણી શકાય છે. ઉપર બતાવ્યા પ્રમાણે, સંયોજન વિતરણનું ઘનતા કાર્ય એક ચોક્કસ સ્વરૂપને અનુસરે છે, જેમાં કાર્યના ઉત્પાદનનો સમાવેશ થાય છે જે ઘનતા કાર્યનો ભાગ બનાવે છે, જેમાં સામાન્યકરણના બે સ્વરૂપો "અચળાંક" માટે, એક પૂર્વ વિતરણમાંથી અને બીજું પશ્ચાદવર્તી વિતરણમાંથી મેળવવામાં આવે છે. બીટા-દ્વિપદી વિતરણ એ આ પ્રક્રિયા કેવી રીતે કાર્ય કરે છે તેનું સારું ઉદાહરણ છે. આવા વિતરણોની વિશ્લેષણાત્મક વ્યવહારક્ષમતા હોવા છતાં, તેઓ પોતાનામાં સામાન્ય રીતે ઘાતાંકીય પરિવારના સભ્યો નથી. ઉદાહરણ તરીકે, ત્રણ-પરિમાણ વિદ્યાર્થીનું ટી વિતરણ, બીટા-દ્વિપદી વિતરણ અને ડિરીક્લેટ-બહુપદી વિતરણ એ બધા ઘાતાંકીય-કુટુંબ વિતરણ (અનુક્રમે સામાન્ય વિતરણ, દ્વિપદી વિતરણ અને બહુપદી વિતરણ) ના અનુમાનિત વિતરણો છે, પરંતુ તેમાંથી કોઈ પણ ઘાતાંકીય પરિવારના સભ્યો નથી. તેના પર કાર્યાત્મક નિર્ભરતાની હાજરીને કારણે આ ઉપર જોઈ શકાય છે. ઘાતાંકીય-કુટુંબ વિતરણમાં, સમગ્ર ઘનતા કાર્યને ત્રણ પ્રકારના ગુણાકાર પરિબળોમાં અલગ કરવું શક્ય હોવું જોઈએઃ (1) માત્ર ચલ ધરાવતા પરિબળો, (2) માત્ર પરિમાણો ધરાવતા પરિબળો, અને (3) પરિબળો કે જેમના લઘુગણક ચલ અને પરિમાણો વચ્ચે ગુણાકાર કરે છે. ની હાજરી આને અશક્ય બનાવે છે સિવાય કે "નોર્મલાઇઝિંગ" ફંક્શન કાં તો અનુરૂપ દલીલને સંપૂર્ણપણે અવગણે અથવા તેનો ઉપયોગ ફક્ત અભિવ્યક્તિના એક્સ્પોનન્ટમાં જ કરે. ઘાતાંકીય પરિવારોમાં પશ્ચાદવર્તી આગાહીયુક્ત વિતરણ જ્યારે સંયુગ્મ પૂર્વનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, ત્યારે પશ્ચાદવર્તી આગાહીયુક્ત વિતરણ અગાઉના આગાહીયુક્ત વિતરણ તરીકે સમાન પરિવાર સાથે સંબંધિત હોય છે, અને પૂર્વ આગાહીયુક્ત વિતરણ માટેના સૂત્રમાં પરિમાણો (ઓ) ના પશ્ચાદવર્તી વિતરણ માટે અદ્યતન હાયપરપેરામીટર્સને પ્લગ કરીને નક્કી કરવામાં આવે છે. ઘાતાંકીય-કુટુંબ વિતરણ માટે પશ્ચાદવર્તી સુધારા સમીકરણોના સામાન્ય સ્વરૂપનો ઉપયોગ કરીને (ઘાતાંકીય કુટુંબ લેખમાં યોગ્ય વિભાગ જુઓ), આપણે પશ્ચાદવર્તી આગાહીયુક્ત વિતરણ માટે એક સ્પષ્ટ સૂત્ર લખી શકીએ છીએઃ જ્યાં આ દર્શાવે છે કે અવલોકનોની શ્રેણીનું પશ્ચાદવર્તી આગાહીયુક્ત વિતરણ, એવા કિસ્સામાં કે જ્યાં અવલોકનો અગાઉ યોગ્ય સંયુગ્મ સાથે ઘાતાંકીય કુટુંબને અનુસરે છે, તેમાં સંયોજન વિતરણની સમાન સંભાવના ઘનતા હોય છે, ઉપર નિર્દિષ્ટ પરિમાણો સાથે. અવલોકનો પોતે જ આ સ્વરૂપમાં દાખલ થાય છે આને અવલોકનોના પૂરતા આંકડા તરીકે ઓળખવામાં આવે છે, કારણ કે તે આપણને તેમના પર આધારિત પશ્ચાદવર્તી અથવા પશ્ચાદવર્તી આગાહીયુક્ત વિતરણની ગણતરી કરવા માટે અવલોકનો વિશે જાણવાની જરૂર છે તે બધું કહે છે (અથવા, તે બાબત માટે, અવલોકનોની સંભાવના પર આધારિત અન્ય કંઈપણ, જેમ કે સીમાંત સંભાવના). સંયુક્ત આગાહીયુક્ત વિતરણ, સીમાંત સંભાવના વહેંચાયેલ પરિમાણ પર પૂર્વ વિતરણ સાથે સ્વતંત્ર રીતે સમાન રીતે વિતરિત નમૂનાઓની નિશ્ચિત સંખ્યા પર સંયુક્ત વિતરણના સંયોજનના પરિણામને ધ્યાનમાં લેવું પણ શક્ય છે. બાયેસિયન સેટિંગમાં, આ વિવિધ સંદર્ભોમાં આવે છેઃ બહુવિધ નવા અવલોકનોના પૂર્વ અથવા પશ્ચાદવર્તી આગાહીયુક્ત વિતરણની ગણતરી, અને અવલોકન કરેલા ડેટાની સીમાંત સંભાવનાની ગણતરી (બેયસના કાયદામાં છેદ). જ્યારે નમૂનાનું વિતરણ ઘાતાંકીય કુટુંબમાંથી હોય અને પહેલાનું વિતરણ સંયુગ્મિત હોય, ત્યારે પરિણામી સંયોજન વિતરણ ટ્રેક્ટેબલ હશે અને ઉપરના અભિવ્યક્તિના સમાન સ્વરૂપને અનુસરશે. હકીકતમાં, તે બતાવવું સરળ છે કે અવલોકનો માટેના સમૂહનું સંયુક્ત સંયોજન વિતરણ છે આ પરિણામ અને એક જ સંયોજન વિતરણ માટેનું ઉપરોક્ત પરિણામ વેક્ટર-મૂલ્યના નિરીક્ષણ પર વિતરણના કિસ્સામાં તુચ્છ રીતે વિસ્તરે છે, જેમ કે બહુવિધ ગૌસીયન વિતરણ. ગિબ્સ સેમ્પલિંગ સાથેનો સંબંધ તૂટી ગયેલા ગિબ્સ સેમ્પલરમાં નોડને બહાર કાઢવો એ સંયોજન સમાન છે. પરિણામે, જ્યારે સ્વતંત્રનો સમૂહ સમાન રીતે વહેંચાયેલો હોય (એટલે કે) બધા ગાંઠો સમાન અગાઉના ગાંઠો પર આધાર રાખે છે, અને તે ગાંઠો પડી ભાંગ્યો છે, પરિણામે એક ગાંઠોની શરતી સંભાવના અન્યને તેમજ પડી ભાંગેલા ગાંઠોના પેરેન્ટ્સને આપવામાં આવે છે (પરંતુ અન્ય કોઈ ગાંઠો પર કન્ડીશનીંગ નહીં, દા. ત. કોઈપણ ચાઈલ્ડ નોડ્સ) એ બાકીના તમામ એટલે કે ડી. ના પશ્ચાદવર્તી આગાહીયુક્ત વિતરણ જેવું જ છે. ગાંઠો (અથવા વધુ યોગ્ય રીતે, અગાઉ એટલે કે. ગાંઠો, કારણ કે તૂટી પડવાથી ગાંઠો વચ્ચે નિર્ભરતા રજૂ થાય છે). એટલે કે, નોડના તમામ માતા-પિતાને સીધા જ તમામ બાળકો સાથે જોડીને, અને દરેક બાળક સાથે સંકળાયેલ ભૂતપૂર્વ શરતી સંભાવના વિતરણને તેના માતાપિતા પર શરતી બાળક માટે અનુરૂપ પશ્ચાદવર્તી આગાહીયુક્ત વિતરણ સાથે બદલીને, નોડમાંથી તૂટી પડવાનું અમલમાં મૂકવું સામાન્ય રીતે શક્ય છે. નોડ્સ કે જે દૂર કરેલા નોડના બાળકો પણ હતા. ઉદાહરણ તરીકે, વધુ ચોક્કસ ચર્ચા માટે અને અમુક મુશ્કેલ મુદ્દાઓ વિશે કેટલીક સાવચેતીઓ માટે, ડિરીક્લેટ-બહુપદી વિતરણ લેખ જુઓ. આ પણ જુઓ વિશ્વસનીયતા સિદ્ધાંત ચક્રવૃદ્ધિ સંભાવના વિતરણ આગાહી સીમાંત સંભાવના સંદર્ભો સંભાવના વિતરણનો વધુ વાંચન સિદ્ધાંત બાયેસિયન આંકડાશાસ્ત્ર