List of Mersenne primes and perfect numbers
મર્સેન અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ અને સંપૂર્ણ સંખ્યાઓ એ સંખ્યા સિદ્ધાંતમાં કુદરતી સંખ્યાઓના બે ઊંડાણપૂર્વક જોડાયેલા પ્રકારો છે. મેર્સેન અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ, જેનું નામ ફ્રિયર મેરિન મેર્સેન પરથી રાખવામાં આવ્યું છે, તે મુખ્ય સંખ્યાઓ છે જેને અમુક હકારાત્મક પૂર્ણાંક તરીકે વ્યક્ત કરી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, એક મર્સેન અવિભાજ્ય છે કારણ કે તે એક અવિભાજ્ય સંખ્યા છે અને આ રીતે વ્યક્ત કરી શકાય છે. મર્સેન અવિભાજ્ય સંખ્યાઓને અનુરૂપ સંખ્યાઓ પોતે અવિભાજ્ય હોવી જોઈએ, જો કે તમામ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ મર્સેન અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ તરફ દોરી જતી નથી-ઉદાહરણ તરીકે, દરમિયાન, સંપૂર્ણ સંખ્યાઓ એ કુદરતી સંખ્યાઓ છે જે તેમના હકારાત્મક યોગ્ય વિભાજકના સરવાળાની બરાબર હોય છે, જે સંખ્યાને બાદ કરતાં વિભાજક હોય છે. તેથી, તે એક સંપૂર્ણ સંખ્યા છે કારણ કે તેના યોગ્ય ભાજકો છે, અને, અને. મર્સેન અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ અને સમ સંપૂર્ણ સંખ્યાઓ વચ્ચે એક-થી-એક પત્રવ્યવહાર છે. આ યુક્લિડ-યુલર પ્રમેયને કારણે છે, જે આંશિક રીતે યુક્લિડ દ્વારા સાબિત થયું હતું અને લિયોનહાર્ડ યુલર દ્વારા પૂર્ણ થયું હતુંઃ સમ સંખ્યાઓ સંપૂર્ણ હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તેમને સ્વરૂપમાં વ્યક્ત કરી શકાય, જ્યાં એક મર્સેન અવિભાજ્ય છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, તે અભિવ્યક્તિમાં બંધબેસતા તમામ આંકડાઓ સંપૂર્ણ છે, જ્યારે તમામ સમ પૂર્ણ સંખ્યાઓ તે સ્વરૂપમાં બંધબેસે છે. દાખલા તરીકે, ના કિસ્સામાં, પ્રાઇમ છે, અને સંપૂર્ણ છે. તે હાલમાં એક ખુલ્લી સમસ્યા છે કે શું ત્યાં અનંત સંખ્યામાં મર્સેન અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ અને સંપૂર્ણ સંખ્યાઓ પણ છે. મર્સેન અવિભાજ્ય સંખ્યાઓની આવર્તન એ લેન્સ્ટ્રા-પોમેરન્સ-વેગસ્ટાફ અનુમાનનો વિષય છે, જે જણાવે છે કે મર્સેન અવિભાજ્ય સંખ્યાઓની અપેક્ષિત સંખ્યા આપેલ કેટલાક કરતા ઓછી છે, જ્યાં યુલરની સંખ્યા છે, તે યુલરનો અચળાંક છે, અને તે કુદરતી લઘુગણક છે. તે પણ જાણીતું નથી કે કોઈ વિષમ પૂર્ણ સંખ્યાઓ અસ્તિત્વમાં છે કે નહીં; સંભવિત વિષમ પૂર્ણ સંખ્યાઓ પર વિવિધ શરતો સાબિત થઈ છે, જેમાં નીચી સીમા પણ સામેલ છે. હાલમાં જાણીતા તમામ મર્સેન અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ અને સંપૂર્ણ સંખ્યાઓની તેમની અનુરૂપ ઘાતાંકોની યાદી નીચે મુજબ છે. ત્યાં 51 જાણીતા મર્સેન પ્રાઈમ (અને તેથી સંપૂર્ણ સંખ્યાઓ) છે, જેમાંથી સૌથી મોટા 17ની શોધ ડિસ્ટ્રિબ્યુટેડ કમ્પ્યુટિંગ પ્રોજેક્ટ ગ્રેટ ઈન્ટરનેટ મર્સેન પ્રાઈમ સર્ચ અથવા જીઆઇએમપીએસ દ્વારા કરવામાં આવી છે. નવા મર્સેન અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ લુકાસ-લેહમર પરીક્ષણ (એલ. એલ. ટી.) નો ઉપયોગ કરીને જોવા મળે છે, જે દ્વિસંગી કમ્પ્યુટર્સ માટે કાર્યક્ષમ મર્સેન અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ માટેની પ્રાથમિક કસોટી છે. પ્રદર્શિત રેન્ક હાલમાં જાણીતા સૂચકાંકોમાં છે; જો નાના સૂચકાંકો શોધવામાં આવે તો રેન્ક બદલાઈ શકે છે. જીઆઇએમપીએસ અનુસાર, 48મા કાર્યકારી ઘાતાંકથી ઓછી તમામ શક્યતાઓ ચકાસવામાં આવી છે અને ચકાસવામાં આવી છે. શોધ વર્ષ અને શોધક મર્સેન અવિભાજ્ય છે, કારણ કે સંપૂર્ણ સંખ્યા તરત જ યુક્લિડ-યુલર પ્રમેય દ્વારા અનુસરે છે. "જીઆઇએમપીએસ/નામ" તરીકે દર્શાવવામાં આવેલા શોધકો તે વ્યક્તિ દ્વારા ઉપયોગમાં લેવાતા હાર્ડવેર સાથેની જીઆઇએમપીએસ શોધોનો સંદર્ભ આપે છે. પછીની એન્ટ્રીઓ અત્યંત લાંબી હોય છે, તેથી દરેક સંખ્યાના માત્ર પ્રથમ અને છેલ્લા છ અંકો દર્શાવવામાં આવે છે. ઐતિહાસિક રીતે, સૌથી મોટી જાણીતી અભાજ્ય સંખ્યા ઘણીવાર મર્સેન અભાજ્ય સંખ્યા રહી છે. નોંધો સંદર્ભો મોટી સંખ્યાના સંપૂર્ણ મૂલ્યો સાથે જીઆઇએમપીએસ પર બાહ્ય કડીઓની સૂચિ ગાય હાવર્થ ગાણિતિક કોષ્ટકો દ્વારા મર્સેન સંખ્યાઓના ઇતિહાસ પર એક તકનીકી અહેવાલ ગણિત-સંબંધિત યાદી યાદી