Multiplication and repeated addition
ગણિતના શિક્ષણમાં, ગુણાકારની ક્રિયાને પુનરાવર્તિત ઉમેરાના સ્વરૂપ તરીકે શીખવવી જોઈએ કે કેમ તે મુદ્દા પર ચર્ચા થઈ હતી. ચર્ચામાં ભાગ લેનારાઓએ અંકગણિત, શિક્ષણશાસ્ત્ર, શિક્ષણ અને સૂચનાત્મક રચના, ગણિતનો ઇતિહાસ, ગણિતની ફિલસૂફી અને કોમ્પ્યુટર આધારિત ગણિતના સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતો સહિત બહુવિધ પરિપ્રેક્ષ્યો રજૂ કર્યા હતા. ચર્ચાની પૃષ્ઠભૂમિ 1990ના દાયકાની શરૂઆતમાં લેસ્લી સ્ટેફે ગણના યોજનાનો પ્રસ્તાવ મૂક્યો હતો જેનો ઉપયોગ બાળકો તેમના ગાણિતિક જ્ઞાનમાં ગુણાકારને આત્મસાત કરવા માટે કરે છે. જેરે કોન્ફ્રેએ ગણતરીની યોજનાને વિભાજનના અનુમાન સાથે વિરોધાભાસી ગણાવી હતી. કોન્ફ્રેએ સૂચવ્યું હતું કે ગણતરી અને વિભાજન એ બે અલગ, સ્વતંત્ર જ્ઞાનાત્મક આદિમ છે. આનાથી પરિષદ પ્રસ્તુતિઓ, લેખો અને પુસ્તક પ્રકરણોના રૂપમાં શૈક્ષણિક ચર્ચાઓ શરૂ થઈ. આ ચર્ચા અભ્યાસક્રમના વ્યાપક પ્રસાર સાથે શરૂ થઈ હતી જેમાં પ્રારંભિક વર્ષોમાં સ્કેલિંગ, ઝૂમ, ફોલ્ડિંગ અને ગાણિતિક કાર્યોને માપવા પર ભાર મૂકવામાં આવ્યો હતો. આવા કાર્યો માટે ગણતરી અથવા પુનરાવર્તિત ઉમેરા પર આધારિત ન હોય તેવા ગુણાકારના નમૂનાઓની જરૂર પડે છે અને તેને ટેકો આપે છે. પ્રશ્નની આસપાસ ચર્ચાઓ થાય છે, "શું ગુણાકાર ખરેખર પુનરાવર્તિત ઉમેરો છે?" 1990 ના દાયકાના મધ્યમાં માતાપિતા અને શિક્ષક ચર્ચા મંચો પર દેખાયા. કીથ ડેવ્લિને મેથેમેટિકલ એસોસિએશન ઑફ અમેરિકાની કોલમ "ઇટ ઇઝ નોટ નો રિપીટેડ એડિશન" લખી હતી, જે અગાઉના લેખમાં આ વિષયનો ટૂંકમાં ઉલ્લેખ કર્યા પછી શિક્ષકો સાથેના તેમના ઇમેઇલ આદાનપ્રદાન પર અનુસરવામાં આવી હતી. આ કોલમમાં અભ્યાસકર્તાઓની ચર્ચાઓ સાથે શૈક્ષણિક ચર્ચાઓને જોડવામાં આવી હતી. તેણે સંશોધન અને વ્યવસાયી બ્લોગ્સ અને ફોરમમાં બહુવિધ ચર્ચાઓ શરૂ કરી. કીથ ડેવ્લિને આ વિષય પર લખવાનું ચાલુ રાખ્યું છે. સામાન્ય કોર સ્ટેટ સ્ટાન્ડર્ડ્સ ઇનિશિયેટિવ જેવા લાક્ષણિક ગણિત અભ્યાસક્રમ અને ધોરણોમાં, વાસ્તવિક સંખ્યાઓના ગુણાકારનો અર્થ સામાન્ય રીતે પુનરાવર્તિત ઉમેરાથી શરૂ થાય છે અને આખરે સ્કેલિંગમાં રહે છે. એકવાર કુદરતી (અથવા સંપૂર્ણ) સંખ્યાઓને ગણતરીના સાધન તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે અને સમજવામાં આવે, પછી બાળકને અંકગણિતની મૂળભૂત કામગીરીઓ સાથે આ ક્રમમાં રજૂ કરવામાં આવે છેઃ સરવાળો, બાદબાકી, ગુણાકાર અને વિભાજન. આ કામગીરીઓ, બાળકના ગણિતના શિક્ષણના ખૂબ જ પ્રારંભિક તબક્કે રજૂ કરવામાં આવી હોવા છતાં, વિદ્યાર્થીઓમાં અદ્યતન આંકડાકીય ક્ષમતાઓ તરીકે સંખ્યા જ્ઞાનના વિકાસ પર કાયમી અસર કરે છે. આ અભ્યાસક્રમમાં, પુનરાવર્તિત ઉમેરા સંબંધિત પ્રશ્નો પૂછ્યા પછી તરત જ ગુણાકાર રજૂ કરવામાં આવે છે, જેમ કેઃ "દરેકમાં 8 સફરજનની 3 થેલીઓ હોય છે. કુલ કેટલા સફરજન છે? વિદ્યાર્થી કરી શકે છેઃ અથવા વિકલ્પ પસંદ કરી શકે છે આ અભિગમ ઘણા વર્ષોના શિક્ષણ અને શીખવા માટે સમર્થિત છે, અને એવી ધારણા સ્થાપિત કરે છે કે ગુણાકાર એ ઉમેરવાની વધુ કાર્યક્ષમ રીત છે. એકવાર 0 લાવવામાં આવે, તે કોઈ નોંધપાત્ર ફેરફારને અસર કરતું નથી કારણ કે જે 0 છે, અને પરિવર્તનીય ગુણધર્મ આપણને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે પણ દોરી જશે. ગુણાકાર એ પુનરાવર્તિત સરવાળો છે એવી માન્યતા સામે પ્રથમ પડકાર ત્યારે દેખાય છે જ્યારે વિદ્યાર્થીઓ અપૂર્ણાંક સાથે કામ કરવાનું શરૂ કરે છે. ગાણિતિક દ્રષ્ટિકોણથી, પુનરાવર્તિત ઉમેરા તરીકે ગુણાકારને અપૂર્ણાંકોમાં વિસ્તૃત કરી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, શાબ્દિક રીતે "પાંચ-છઠ્ઠા ભાગનો એક અને ત્રણ-ચતુર્થાંશ ભાગ" કહેવાય છે. આ પછીથી નોંધપાત્ર છે કારણ કે વિદ્યાર્થીઓને શીખવવામાં આવે છે કે, શબ્દની સમસ્યાઓમાં, "નો" શબ્દ સામાન્ય રીતે ગુણાકાર સૂચવે છે. જો કે, આ વિસ્તરણ ઘણા વિદ્યાર્થીઓ માટે સમસ્યારૂપ છે, જેઓ અપૂર્ણાંકો રજૂ કરવામાં આવે ત્યારે ગણિત સાથે સંઘર્ષ કરવાનું શરૂ કરે છે. વધુમાં, જ્યારે અતાર્કિક સંખ્યાઓ અમલમાં મૂકવામાં આવે ત્યારે પુનરાવર્તિત ઉમેરા મોડેલમાં નોંધપાત્ર ફેરફાર કરવો આવશ્યક છે. આ મુદ્દાઓ અંગે, ગણિતના શિક્ષકોએ ચર્ચા કરી છે કે શું અપૂર્ણાંકો અને અતાર્કિક સંખ્યાઓ સાથેની વિદ્યાર્થીઓની મુશ્કેલીઓ આ સંખ્યાઓ રજૂ કરવામાં આવે તે પહેલાં લાંબા સમય સુધી ગુણાકારને પુનરાવર્તિત ઉમેરા તરીકે જોવામાં આવે છે, અને સંબંધિત રીતે પ્રાથમિક શિક્ષણ માટે સખત ગણિતમાં નોંધપાત્ર ફેરફાર કરવો સ્વીકાર્ય છે કે કેમ, જે બાળકોને એવા નિવેદનો પર વિશ્વાસ કરવા તરફ દોરી જાય છે જે પાછળથી ખોટા સાબિત થાય છે. સ્કેલિંગથી ગુણાકાર સુધી ગુણાકાર શીખવાનો એક સિદ્ધાંત વાયગોત્સ્કી વર્તુળમાં રશિયન ગણિતના શિક્ષકોના કાર્યમાંથી ઉદ્ભવે છે, જે વિશ્વ યુદ્ધો વચ્ચે સોવિયેત સંઘમાં સક્રિય હતા. તેમના યોગદાનને વિભાજન અનુમાન તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. ગુણાકાર શીખવાનો બીજો સિદ્ધાંત મૂર્ત સમજશક્તિનો અભ્યાસ કરતા લોકોમાંથી ઉદ્ભવે છે, જેમણે ગુણાકાર માટેના અંતર્ગત રૂપકોની તપાસ કરી હતી. એકસાથે આ તપાસોએ નાના બાળકો માટે "સ્વાભાવિક રીતે ગુણાકાર" કાર્યો સાથે અભ્યાસક્રમને પ્રેરિત કર્યો છે. આ કાર્યોના ઉદાહરણોમાં નીચેનાનો સમાવેશ થાય છેઃ સ્થિતિસ્થાપક ખેંચાણ, ઝૂમ, ફોલ્ડિંગ, પડછાયાઓ રજૂ કરવા અથવા પડછાયાઓ છોડવા. આ કાર્યો ગણતરી પર આધારિત નથી, અને પુનરાવર્તિત ઉમેરાની દ્રષ્ટિએ સરળતાથી કલ્પના કરી શકાતી નથી. આ અભ્યાસક્રમ સાથે સંબંધિત ચર્ચાના મુદ્દાઓમાં નીચેનાનો સમાવેશ થાય છેઃ શું ગુણાકાર કરી શકાય? ગુણાકારને ઘણીવાર પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ માટે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જે પછી પૂર્ણ સંખ્યાઓ, અપૂર્ણાંકો અને અતાર્કિક સંખ્યાઓ સુધી વિસ્તૃત થાય છે. જો કે, અમૂર્ત બીજગણિતમાં કેટલીક વસ્તુઓ પર દ્વિસંગી કામગીરી તરીકે ગુણાકારની વધુ સામાન્ય વ્યાખ્યા છે જે સંખ્યાઓ હોઈ શકે છે અથવા ન પણ હોઈ શકે. નોંધપાત્ર રીતે, જટિલ સંખ્યાઓ, વેક્ટર, મેટ્રિસીસ અને ક્વાટર્નિયનોને ગુણાકાર કરી શકાય છે. કેટલાક શિક્ષકો માને છે કે પ્રાથમિક શિક્ષણ દરમિયાન ગુણાકારને માત્ર પુનરાવર્તિત ઉમેરા તરીકે જોવું એ ગુણાકારના આ પાસાઓની પાછળની સમજણમાં દખલ કરી શકે છે. ગુણાકારને આધાર આપતા નમૂનાઓ અને રૂપકો ગણિતના શિક્ષણના સંદર્ભમાં, નમૂનાઓ એ અમૂર્ત ગાણિતિક વિચારોની નક્કર રજૂઆત છે જે વિચારના કેટલાક અથવા તમામ આવશ્યક ગુણોને પ્રતિબિંબિત કરે છે. નમૂનાઓ ઘણીવાર ભૌતિક અથવા વર્ચ્યુઅલ મેનિપ્યુલેટિવ્સ અને તેમની સાથે આવતી અભ્યાસક્રમ સામગ્રી તરીકે વિકસાવવામાં આવે છે. ગુણાકાર અને પુનરાવર્તિત ઉમેરા વિશેની ચર્ચાનો એક ભાગ વિવિધ નમૂનાઓ અને તેમની અભ્યાસક્રમ સામગ્રીની સરખામણી છે. વિવિધ મોડેલો વિવિધ પ્રકારની સંખ્યાઓના ગુણાકારને સમર્થન આપી શકે છે અથવા ન પણ આપી શકે; દાખલા તરીકે સમૂહ મોડેલ જેમાં સંખ્યાઓને પદાર્થોના સંગ્રહ તરીકે રજૂ કરવામાં આવે છે, અને દરેકમાં સમાન સંખ્યામાં પદાર્થો સાથે બહુવિધ સમૂહોના જોડાણ તરીકે ગુણાકાર, અપૂર્ણાંક અથવા વાસ્તવિક સંખ્યાઓના ગુણાકાર સુધી વિસ્તૃત કરી શકાતો નથી. વિવિધ નમૂનાઓ અંકગણિતના ચોક્કસ ઉપયોગો માટે પણ સુસંગત હોઈ શકે છે; ઉદાહરણ તરીકે, સંભાવના અને જીવવિજ્ઞાનમાં સંયોજન નમૂનાઓ આવે છે. સંદર્ભો ગણિત શિક્ષણ