Petr–Douglas–Neumann theorem
ભૂમિતિમાં, પેટ્ર-ડગ્લાસ-ન્યુમેન પ્રમેય (અથવા પી. ડી. એન.-પ્રમેય) એ મનસ્વી સમતલીય બહુકોણ સંબંધિત પરિણામ છે. આ પ્રમેય ભારપૂર્વક જણાવે છે કે એક નિશ્ચિત પ્રક્રિયા જ્યારે મનસ્વી બહુકોણ પર લાગુ કરવામાં આવે છે ત્યારે હંમેશા પ્રારંભિક બહુકોણ જેટલી જ બાજુઓ ધરાવતો નિયમિત બહુકોણ મળે છે. આ પ્રમેય સૌપ્રથમ 1908માં પ્રાગના કારેલ પેટ્ર (1868-1950) દ્વારા પ્રકાશિત કરવામાં આવ્યો હતો. આ પ્રમેયની સ્વતંત્ર રીતે 1940માં જેસી ડગ્લાસ (1897-1965) દ્વારા અને 1941માં બી. એચ. ન્યુમેન (1909-2002) દ્વારા પણ પુનઃશોધ કરવામાં આવી હતી. આ પ્રમેયને પેટ્ર-ડગ્લાસ-ન્યુમેન પ્રમેય અથવા ટૂંકમાં પી. ડી. એન.-પ્રમેય તરીકે નામ આપવામાં આવ્યું તે સ્ટીફન બી. ગ્રેના કારણે છે. આ પ્રમેયને ડગ્લાસનો પ્રમેય, ડગ્લાસ-ન્યુમેન પ્રમેય, નેપોલિયન-ડગ્લાસ-ન્યુમેન પ્રમેય અને પેટ્રનો પ્રમેય પણ કહેવામાં આવે છે. પી. ડી. એન.-પ્રમેય એ નેપોલિયનના પ્રમેયનું સામાન્યીકરણ છે જે મનસ્વી ત્રિકોણ અને મનસ્વી ચતુર્ભુજ સાથે સંબંધિત વેન ઔબેલના પ્રમેય સાથે સંબંધિત છે. આ પ્રમેયનું નિવેદન પેટ્ર-ડગ્લાસ-ન્યુમેન પ્રમેય નીચે મુજબ ભારપૂર્વક જણાવે છે. જો સર્વોચ્ચ ખૂણા 2kπ/n સાથે સમદ્વિબાહુ ત્રિકોણ મનસ્વી n-ગોન A0 ની બાજુઓ પર ઊભા કરવામાં આવે, અને જો આ પ્રક્રિયાને ત્રિકોણના મુક્ત ખૂણાઓ દ્વારા રચાયેલા n-ગોન સાથે પુનરાવર્તિત કરવામાં આવે, પરંતુ k ના અલગ મૂલ્ય સાથે, અને તેથી જ્યાં સુધી તમામ મૂલ્યો 1 ≤ k ≤ n − 2 નો ઉપયોગ કરવામાં ન આવે (મનસ્વી ક્રમમાં), ત્યાં નિયમિત n-ગોન An − 2 રચાય છે, જેનું કેન્દ્રક A0 ના કેન્દ્રક સાથે મેળ ખાય છે. ત્રિકોણ માટે વિશેષતા ત્રિકોણના કિસ્સામાં, n નું મૂલ્ય 3 છે અને n − 2 નું મૂલ્ય 1 છે. તેથી k માટે માત્ર એક જ સંભવિત મૂલ્ય છે, એટલે કે 1. ત્રિકોણ માટે પ્રમેયની વિશેષતા ભારપૂર્વક જણાવે છે કે ત્રિકોણ A1 એ નિયમિત 3-ગોન છે, એટલે કે, એક સમબાહુ ત્રિકોણ છે. A1 એ ત્રિકોણ A0 ની બાજુઓ પર 2π/3 ના ટોચના ખૂણા સાથે સમદ્વિબાહુ ત્રિકોણના અક્ષો દ્વારા રચાય છે. A1 ના શિરોબિંદુઓ ત્રિકોણ A0 ની બાજુઓ પર ઊભા કરવામાં આવેલા સમબાહુ ત્રિકોણના કેન્દ્રો છે. આમ ત્રિકોણ માટે પી. ડી. એન. પ્રમેયની વિશેષતા નીચે પ્રમાણે ઘડી શકાય છેઃ જો કોઈ પણ ત્રિકોણની બાજુઓ પર સમબાહુ ત્રિકોણ ઊભા કરવામાં આવે, તો ત્રણ સમબાહુ ત્રિકોણના કેન્દ્રો દ્વારા રચાયેલ ત્રિકોણ સમબાહુ હોય છે. છેલ્લું નિવેદન નેપોલિયનના પ્રમેયનો દાવો છે. ચતુર્ભુજ માટે વિશેષતા ચતુર્ભુજ કિસ્સામાં, n નું મૂલ્ય 4 છે અને n − 2 નું મૂલ્ય 2 છે. k માટે બે સંભવિત મૂલ્યો છે, એટલે કે 1 અને 2, અને તેથી બે સંભવિત સર્વોચ્ચ ખૂણાઓ, એટલે કેઃ (2 × 1 × π)/4 = π/2 = 90° (k = 1 ને અનુરૂપ) (2 × 2 × π)/4 = π = 180° (k = 2 ને અનુરૂપ). પી. ડી. એન.-પ્રમેય અનુસાર ચતુર્ભુજ A2 એ નિયમિત 4-ગોન એટલે કે ચોરસ છે. ચોરસ A2 મેળવતી બે તબક્કાની પ્રક્રિયા બે અલગ અલગ રીતે હાથ ધરી શકાય છે. (સમદ્વિબાહુ ત્રિકોણની ટોચની ઝેડ રેખા ખંડ XY પર ઊભેલી ટોચની કોણ π સાથે રેખા ખંડ XYનું મધ્યબિંદુ છે.) ટોચના ખૂણા π/2 નો ઉપયોગ કરીને A1 અને પછી ટોચના ખૂણા π સાથે A2 બનાવો. આ કિસ્સામાં A1 ના શિરોબિંદુઓ સમદ્વિબાહુ ત્રિકોણના મુક્ત શિરોબિંદુઓ છે, જે ચતુર્ભુજ A0 ની બાજુઓ પર π/2 ના ટોચના ખૂણાઓ સાથે ઊભા છે. ચતુર્ભુજ A2 ના શિરોબિંદુઓ ચતુર્ભુજ A1 ની બાજુઓના મધ્યબિંદુઓ છે. PDN પ્રમેય મુજબ, A2 એ એક ચોરસ છે. ચતુર્ભુજ A1 ના શિરોબિંદુઓ ચતુર્ભુજ A0 ની બાજુઓ પર બાંધવામાં આવેલા ચોરસના કેન્દ્રો છે. ચતુર્ભુજ A2 એ ચોરસ છે તે દાવો એ દાવાની સમકક્ષ છે કે A1 ના કર્ણ એકબીજાના સમાન અને લંબરૂપ છે. બાદમાંનો દાવો વેન ઔબેલના પ્રમેયની સામગ્રી છે. આમ વેન ઔબેલનો પ્રમેય એ પી. ડી. એન.-પ્રમેયનો એક વિશેષ કિસ્સો છે. ટોચના ખૂણા π નો ઉપયોગ કરીને A1 અને પછી ટોચના ખૂણા π/2 સાથે A2 બનાવો. આ કિસ્સામાં A1 ના શિરોબિંદુઓ ચતુર્ભુજ A0 ની બાજુઓના મધ્યબિંદુઓ છે અને A2 ના શિરોબિંદુઓ એ A1 ની બાજુઓ પર ઉભા કરેલા સર્વોચ્ચ ખૂણાઓ π/2 સાથે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ છે. PDN-પ્રમેય ભારપૂર્વક જણાવે છે કે આ કિસ્સામાં પણ A2 એ ચોરસ છે. ચતુર્ભુજ માટે પ્રમેયના ઉપયોગને દર્શાવતી છબીઓ પેન્ટાગોન માટે વિશેષતા પેન્ટાગોનના કિસ્સામાં, આપણી પાસે n = 5 અને n − 2 = 3 છે. તેથી k માટે ત્રણ સંભવિત મૂલ્યો છે, એટલે કે 1,2 અને 3, અને તેથી સમદ્વિબાહુ ત્રિકોણ માટે ત્રણ સંભવિત સર્વોચ્ચ ખૂણાઓ છેઃ (2 × 1 × π)/5 = 2π/5 = 72° (2 × 2 × π)/5 = 4π/5 = 144° (2 × 3 × π)/5 = 6π/5 = 216° PDN-પ્રમેય અનુસાર, A3 એક નિયમિત પંચકોણ છે. નિયમિત પંચકોણ A3 ના નિર્માણ તરફ દોરી જતી ત્રણ તબક્કાની પ્રક્રિયા સમદ્વિબાહુ ત્રિકોણના નિર્માણ માટે જે ક્રમમાં સર્વોચ્ચ ખૂણાઓ પસંદ કરવામાં આવે છે તેના આધારે છ અલગ અલગ રીતે કરી શકાય છે. પ્રમેયનો પુરાવો આ પ્રમેયને રેખીય બીજગણિતમાંથી કેટલીક પ્રાથમિક વિભાવનાઓનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરી શકાય છે. પુરાવા એન-ગોનના શિરોબિંદુઓનું પ્રતિનિધિત્વ કરતી જટિલ સંખ્યાઓની સૂચિ દ્વારા એન-ગોનને એન્કોડ કરીને શરૂ થાય છે. આ સૂચિને n-પરિમાણીય જટિલ રેખીય અવકાશ Cn માં વેક્ટર તરીકે વિચારી શકાય છે. એક n-ગોન A લો અને તેને જટિલ વેક્ટર A = (a1, a2,., an) દ્વારા રજૂ થવા દો. બહુકોણ B ને A ની બાજુઓ પર બનેલા સમાન ત્રિકોણના મુક્ત શિરોબિંદુઓ દ્વારા રચાય છે અને તેને જટિલ વેક્ટર B = (b1, b2,., bn) દ્વારા રજૂ થવા દો. પછી આપણી પાસે α (ar−br) = ar + 1−br છે, જ્યાં α = exp (iθ) અમુક θ માટે (અહીં i એ −1 નું વર્ગમૂળ છે). આ બીઆરની ગણતરી કરવા માટે નીચેની અભિવ્યક્તિ આપે છેઃ બીઆર = (1 − α) −1 (એઆર + 1 − αઆર). રેખીય સંચાલક S: Cn → Cn ની દ્રષ્ટિએ કે જે ચક્રીય રીતે કોઓર્ડિનેટ્સને એક જગ્યાએ ક્રમબદ્ધ કરે છે, આપણી પાસે B = (1 − α) −1 (S − αI) A છે, જ્યાં I એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે. આનો અર્થ એ છે કે આપણે જે નિયમિત બહુકોણ દર્શાવવાની જરૂર છે તે નીચે આપેલા ઓપરેટરોની રચનાને લાગુ કરીને A0 માંથી મેળવવામાં આવે છેઃ (1 − ωk) −1 (S − ωk I) k = 1,2,., n − 2 માટે, જ્યાં ω = exp (2πi/n). (આ કમ્યુટ કારણ કે તેઓ એક જ ઓપરેટર S માં તમામ બહુપદીઓ છે.) એક બહુકોણ P = (p1, p2,., pn) એક નિયમિત n-ગોન છે જો P ની દરેક બાજુ 2π/n ના ખૂણાથી ફરે છે, એટલે કે, જો p + 1 − p = ω (p + 2 − p + 1). આ શરતને S ની દ્રષ્ટિએ નીચે પ્રમાણે ઘડી શકાય છેઃ (S − I) (I − ωS) P = 0. અથવા સમકક્ષ (S−I) (S−ωn−1I) P = 0, કારણ કે ωn = 1 છે. પેટ્ર-ડગ્લાસ-ન્યુમેન પ્રમેય હવે નીચેની ગણતરીઓમાંથી અનુસરે છે. (S−I) (S−ωn−1I) an−2 = (S−I) (S−ωn−1I) (1−ω) −1 (S−ωI) (1−ω2) −1 (S−ω2I). (1−ωn−2) −1 (S−ωn−2I) A0 = (1−ω) −1 (1−ω2) −1. (1−ωn−2) −1 (S−I) (S−ωI) (S−ωI) (S−ω2I). (S−ωn−1I) A0 = (1−ωn−1)