Hesse pencil
ગણિતમાં, સિઝીજેટિક પેન્સિલ અથવા હેસ્સે પેન્સિલ, જેને ઓટ્ટો હેસ્સે માટે નામ આપવામાં આવ્યું છે, તે જટિલ પ્રોજેક્ટિવ પ્લેનમાં ક્યુબિક પ્લેન લંબગોળ વળાંકની એક પેન્સિલ (એક-પરિમાણીય કુટુંબ) છે, જે સમીકરણ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. બંનેને અને સમાન સ્કેલર દ્વારા ગુણાકાર કરવાથી વળાંકમાં ફેરફાર થતો નથી, તેથી પેન્સિલમાંથી વળાંક પસંદ કરવામાં માત્ર એક ડિગ્રી સ્વતંત્રતા હોય છે, પરંતુ ઉપર આપેલું બે-પરિમાણ સ્વરૂપ ક્યાં તો અથવા (પરંતુ બંને નહીં) ને શૂન્ય પર સેટ કરવાની મંજૂરી આપે છે. પેન્સિલમાં દરેક વળાંક જટિલ પ્રોજેક્ટિવ પ્લેનના નવ બિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે, જેમના સજાતીય કોઓર્ડિનેટ્સ 0,-1 ના કેટલાક ક્રમચયો અને એકતાના ક્યુબ રુટ છે. એકતાના ત્રણ મૂળ છે, અને મૂળ દીઠ છ ક્રમચયો છે, જે દરેક બિંદુના સજાતીય કોઓર્ડિનેટ્સ માટે 18 પસંદગીઓ આપે છે, પરંતુ તેઓ માત્ર નવ બિંદુઓ આપતી જોડીમાં સમકક્ષ છે. આ નવ બિંદુઓ દ્વારા સમઘનનું કુટુંબ હેસ્સે પેન્સિલ બનાવે છે. વધુ સામાન્ય રીતે, એકતાના ઘનમૂળ ધરાવતા કોઈપણ ક્ષેત્ર દ્વારા જટિલ સંખ્યાઓને બદલી શકાય છે અને આ નવ બિંદુઓ દ્વારા આ ક્ષેત્ર પરની હેસે પેન્સિલને સમઘનનું કુટુંબ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. હેસ્સે પેન્સિલના નવ સામાન્ય બિંદુઓ પેન્સિલમાં દરેક ક્યુબિક્સના વળાંક બિંદુઓ છે. આ નવ બિંદુઓમાંથી ઓછામાં ઓછા બેમાંથી પસાર થતી કોઈપણ રેખા તેમાંથી બરાબર ત્રણમાંથી પસાર થાય છે; નવ બિંદુઓ અને ત્રણ બિંદુઓમાંથી પસાર થતી બાર રેખાઓ હેસ રૂપરેખાંકન બનાવે છે. દરેક લંબગોળ વળાંક દ્વિવાર્ષિક રીતે હેસ પેન્સિલના વળાંકની સમકક્ષ હોય છે; આ લંબગોળ વળાંકનું હેસિયન સ્વરૂપ છે. જો કે, હેસિયન સ્વરૂપના પરિમાણો () મૂળ વળાંકની વ્યાખ્યાના ક્ષેત્રના વિસ્તરણ ક્ષેત્રના હોઈ શકે છે. સંદર્ભો લંબગોળ વળાંક