Folded Reed–Solomon code
કોડિંગ થિયરીમાં, ફોલ્ડેડ રીડ-સોલોમન કોડ્સ રીડ-સોલોમન કોડ્સ જેવા હોય છે, જે કોડવર્ડ પ્રતીકોનું કાળજીપૂર્વક સંકલન કરીને મોટા મૂળાક્ષર પર રીડ-સોલોમન કોડવર્ડ્સનું મેપિંગ કરીને મેળવવામાં આવે છે. ફોલ્ડેડ રીડ-સોલોમન કોડ પણ પરવારેશ-વાર્ડી કોડનો એક ખાસ કેસ છે. શ્રેષ્ઠ પરિમાણોનો ઉપયોગ કરીને કોઈ વ્યક્તિ આરના દર સાથે ડીકોડ કરી શકે છે, અને 1-આરની ડીકોડિંગ ત્રિજ્યા પ્રાપ્ત કરી શકે છે. "ફોલ્ડેડ રીડ-સોલોમન કોડ્સ" શબ્દ વી. વાય. દ્વારા પેપરમાં રચવામાં આવ્યો હતો. ક્રાચકોવ્સ્કી એક અલ્ગોરિધમ સાથે કે જેણે ઘણી રેન્ડમ "તબક્કાવાર વિસ્ફોટ" ભૂલો સાથે રીડ-સોલોમન કોડ રજૂ કર્યા. ફોલ્ડેડ આરએસ કોડ્સ માટે લિસ્ટ-ડીકોડિંગ અલ્ગોરિધમ આવી તબક્કાવાર વિસ્ફોટ ભૂલો માટે ગુરુસ્વામી-સુદાન અલ્ગોરિધમ દ્વારા પ્રાપ્ત રીડ-સોલોમન કોડ્સની મર્યાદાની બહાર સુધારે છે. ઇતિહાસ કોડિંગ થિયરીમાં ચાલી રહેલા પડકારોમાંથી એક એ છે કે ભૂલ સુધારણા કોડ (કોડિંગ) દર અને ભૂલ-સુધારણા ત્રિજ્યા વચ્ચે શ્રેષ્ઠ વિનિમય પ્રાપ્ત કરે છે. જો કે આ વ્યવહારીક રીતે હાંસલ કરવું શક્ય ન પણ હોઈ શકે (ઘોંઘાટીયા ચેનલ કોડિંગ થિયરીના મુદ્દાઓને કારણે), અર્ધ શ્રેષ્ઠ વિનિમય સૈદ્ધાંતિક રીતે પ્રાપ્ત કરી શકાય છે. ફોલ્ડેડ રીડ-સોલોમન કોડ તૈયાર કરવામાં આવે તે પહેલાં, તમામ દરો માટે રીડ-સોલોમન કોડ દ્વારા શ્રેષ્ઠ ભૂલ-સુધારણા ત્રિજ્યા પ્રાપ્ત કરવામાં આવી હતી. પરવારેશ-વાર્ડી અલ્ગોરિધમ ભૂલોના અપૂર્ણાંકને ડીકોડ કરી શકે છે તેના માટે દરો માટે પરવારેશ અને વાર્ડી દ્વારા આ મર્યાદામાં સુધારો કરવામાં આવ્યો હતો. ફોલ્ડેડ રીડ-સોલોમન કોડ્સ આ અગાઉની રચનાઓમાં સુધારો કરે છે, અને કોઈપણ અચળાંક માટે ભૂલોના અપૂર્ણાંક માટે બહુપદી સમયમાં ડીકોડ કરી શકાય છે. વ્યાખ્યા લંબાઈ અને પરિમાણના રીડ-સોલોમન કોડ અને ફોલ્ડિંગ પરિમાણનો વિચાર કરો. ધારો કે તે વિભાજિત થાય છે. આના જેવા રીડ-સોલોમન કોડ્સ માટે મેપિંગઃ જ્યાં એક આદિમ તત્વ છે. રીડ સોલોમન કોડનું ફોલ્ડ કરેલું સંસ્કરણ, સૂચવેલ બ્લોક લંબાઈનો કોડ છે. આરએસ કોડવર્ડ્સમાંથી સતત પ્રતીકો સાથે ફક્ત રીડ સોલોમન કોડ્સ એકસાથે જૂથબદ્ધ છે. ગ્રાફિક વર્ણન ઉપરની વ્યાખ્યા આકૃતિ દ્વારા વધુ સ્પષ્ટ કરવામાં આવી છે, જેમાં ફોલ્ડિંગ પરિમાણ ક્યાં છે. સંદેશ દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે, જે જ્યારે રીડ-સોલોમન એન્કોડિંગનો ઉપયોગ કરીને એન્કોડ કરવામાં આવે છે, ત્યારે તેમાં at, ક્યાંનાં મૂલ્યો હોય છે. પછી મૂળાક્ષર પર લંબાઈનો કોડવર્ડ આપવા માટે 3 તત્વોના જૂથોમાં બંડલિંગ કરવામાં આવે છે. અહીં અવલોકન કરવા જેવી બાબત એ છે કે દર્શાવવામાં આવેલી ફોલ્ડિંગ કામગીરી મૂળ રીડ-સોલોમન કોડના દરમાં ફેરફાર કરતી નથી. આ સાબિત કરવા માટે, લંબાઈ, પરિમાણ અને અંતરનો રેખીય કોડ ધ્યાનમાં લો. ફોલ્ડિંગ ઓપરેશન તેને કોડ બનાવશે. આ દ્વારા દર સમાન રહેશે. ફોલ્ડેડ રીડ-સોલોમન કોડ અને સિંગલટન બાઉન્ડ સિંગલટન બાઉન્ડના એસિમ્પ્ટોટિક વર્ઝન અનુસાર, તે જાણીતું છે કે કોડનું સંબંધિત અંતર, કોડનો દર ક્યાં છે તે સંતોષવું આવશ્યક છે. અગાઉ સાબિત થયું છે તેમ, દર જાળવી રાખવામાં આવ્યો હોવાથી, સંબંધિત અંતર પણ સિંગલટન બાઉન્ડને મળે છે. શા માટે ફોલ્ડિંગ મદદ કરી શકે છે? ફોલ્ડેડ રીડ-સોલોમન કોડ મૂળભૂત રીતે રીડ સોલોમન કોડ જેવા જ છે, જે ફક્ત મોટા મૂળાક્ષર પર જોવામાં આવે છે. આ કેવી રીતે મદદ કરી શકે છે તે બતાવવા માટે, ફોલ્ડ કરેલ રીડ-સોલોમન કોડને ધ્યાનમાં લો. ભૂલોના સમાન અપૂર્ણાંક માટે રીડ-સોલોમન કોડને ડીકોડિંગ અને ફોલ્ડ કરેલ રીડ-સોલોમન કોડ લગભગ સમાન કોમ્પ્યુટેશનલ તીવ્રતાના કાર્યો છેઃ કોઈ પણ ફોલ્ડ કરેલ રીડ-સોલોમન કોડના પ્રાપ્ત શબ્દને પ્રગટ કરી શકે છે, તેને મૂળ રીડ-સોલોમન કોડના પ્રાપ્ત શબ્દ તરીકે ગણી શકે છે, અને તેના પર રીડ-સોલોમન સૂચિ ડીકોડિંગ અલ્ગોરિધમ ચલાવી શકે છે. દેખીતી રીતે, આ સૂચિમાં પ્રાપ્ત શબ્દના અંતરની અંદર બધા ફોલ્ડ કરેલા રીડ-સોલોમન કોડવર્ડ્સ હશે, જેમાં કેટલાક એક્સ્ટ્રાઝ હશે, જેને આપણે કાઢી શકીએ છીએ. ઉપરાંત, ફોલ્ડ કરેલા રીડ-સોલોમન કોડને ડીકોડ કરવું એ એક સરળ કાર્ય છે. ધારો કે આપણે ભૂલોમાંથી ત્રીજા ભાગને સુધારવા માંગીએ છીએ. પસંદ કરેલ ડીકોડિંગ અલ્ગોરિધમે ભૂલ પેટર્નને સુધારવી આવશ્યક છે જે રીડ-સોલોમન એન્કોડિંગમાં દરેક ત્રીજા પ્રતીકને સુધારે છે. પરંતુ ફોલ્ડિંગ પછી, આ ભૂલ પેટર્ન તમામ પ્રતીકોને ભ્રષ્ટ કરશે અને ભૂલ સુધારણાની જરૂરિયાતને દૂર કરશે. ભૂલોના આ પ્રસારને ગ્રાફિકલ વર્ણનમાં વાદળી રંગ દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. આ સાબિત કરે છે કે ભૂલોના નિશ્ચિત અપૂર્ણાંક માટે ફોલ્ડિંગ ઓપરેશન ભૂલો વિતરિત કરવા માટે ચેનલની લવચીકતાને ઘટાડે છે, જે બદલામાં ભૂલ પેટર્નની સંખ્યામાં ઘટાડો તરફ દોરી જાય છે જેને સુધારવાની જરૂર છે. રીડ-સોલોમન (એફ. આર. એસ.) કોડ અને પરવારેશ વાર્ડી (પી. વી.) કોડ કેવી રીતે ફોલ્ડ કરવામાં આવે છે તે સંબંધિત છે આપણે ફોલ્ડેડ રીડ સોલોમન કોડને પરવારેશ વાર્ડી કોડ સાથે સંબંધિત કરી શકીએ છીએ જે બહુપદીઓ સાથે ડિગ્રીની બહુપદીને એન્કોડ કરે છે જ્યાં ઈરીડ્યુસિબલ બહુપદી છે. ઈરીડ્યુસિબલ બહુપદી અને પરિમાણ પસંદ કરતી વખતે આપણે તપાસવું જોઈએ કે ડિગ્રીની દરેક બહુપદી સૌથી વધુ સંતોષ આપે છે કે કેમ કારણ કે તે માત્ર સ્થાનાંતરિત પ્રતિરૂપ છે જ્યાં પ્રિમિટિવ એલિમેન્ટ છે. જો આપણે મૂલ્યાંકન બિંદુઓના સમૂહ માટે ફોલ્ડ કરેલા આર. એસ. કોડની તુલના ક્રમ 2ના પી. વી. કોડ સાથે કરીએ તો આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે પી. વી. એન્કોડિંગમાં, દરેક માટે અને પર દેખાય છે, ફોલ્ડ કરેલા એફ. આર. એસ. એન્કોડિંગથી વિપરીત જેમાં તે માત્ર એક જ વાર દેખાય છે. આમ, પી. વી. અને ફોલ્ડ કરેલા આર. એસ. કોડમાં સમાન માહિતી હોય છે પરંતુ માત્ર એફ. આર. એસ. નો દર એક પરિબળ દ્વારા મોટો હોય છે અને તેથી ફોલ્ડેટેડ આર. એસ. કોડ માટે લિસ્ટ ડીકોડિંગ ત્રિજ્યા ટ્રેડ-ઓફ માત્ર પી. વી. કોડની સૂચિ ડીકોડેબિલિટીનો ઉપયોગ કરીને વધુ સારી છે. પ્લસ પોઇન્ટ એ છે કે એફઆરએસ કોડને એવી રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે કે તેઓ અનુરૂપ પીવી કોડ કરતાં વધુ સારા દર સાથે સમાન ભૂલ સુધારણા પ્રદર્શન સાથે યોગ્ય પીવી કોડના સંકુચિત સ્વરૂપો છે. આ વિચારનો ઉપયોગ દરના ફોલ્ડેડ આર. એસ. કોડ બનાવવા માટે કરી શકાય છે જે લગભગ ત્રિજ્યા સુધી સૂચિબદ્ધ ડીકોડેબલ છે. યાદી-ડીકોડિંગ ફોલ્ડેડ રીડ-સોલોમન કોડ્સની સંક્ષિપ્ત ઝાંખી ગુરુસ્વામી દ્વારા રજૂ કરાયેલ સૂચિ ડીકોડિંગ અલ્ગોરિધમ જે ત્રિજ્યા સુધી એફઆરએસ કોડને ડીકોડ કરવા માટે દ્વિઘાત સમયમાં ચાલે છે. અલ્ગોરિધમમાં અનિવાર્યપણે ત્રણ પગલાં હોય છે, એટલે કે અંતર્વેશન પગલું જેમાં વેલ્ચ બર્લેકેમ્પ શૈલીના અંતર્વેશનનો ઉપયોગ બિન-શૂન્ય બહુપદીને અંતર્વેશન કરવા માટે થાય છે, જે પછી અંતર્વેશનમાં મેળવેલા સમીકરણને સંતોષતી ડિગ્રી ધરાવતી તમામ બહુપદીઓ જોવા મળે છે. ત્રીજા તબક્કામાં ક્લોઝ-બાય કોડવર્ડ્સની વાસ્તવિક સૂચિ સોલ્યુશન સબસ્પેસને કાપીને ઓળખવામાં આવે છે જે સમય લે છે. રેખીય-બીજગણિત સૂચિ ડીકોડિંગ અલ્ગોરિધમ ગુરુસ્વામી રેખીય-બીજગણિત પર આધારિત સમય સૂચિ ડીકોડિંગ અલ્ગોરિધમ રજૂ કરે છે, જે રીડ-સોલોમન કોડને ત્રિજ્યા સુધી યાદી-કદ સાથે ડીકોડ કરી શકે છે. આ અલ્ગોરિધમમાં ત્રણ પગલાં છેઃ ઇન્ટરપોલેશન સ્ટેપ, રૂટ ફાઇન્ડિંગ સ્ટેપ અને પ્રૂન સ્ટેપ. ઇન્ટરપોલેશન પગલામાં તે રેખીય પ્રણાલીને હલ કરીને ઉમેદવાર સંદેશ બહુપદી શોધવાનો પ્રયાસ કરશે. રુટ ફાઇન્ડિંગ સ્ટેપમાં, તે અન્ય રેખીય પ્રણાલીને હલ કરીને ઉકેલ સબસ્પેસ શોધવાનો પ્રયાસ કરશે. છેલ્લું પગલું બીજા પગલામાં મેળવેલા સોલ્યુશન સબસ્પેસને કાપવાનો પ્રયાસ કરશે. અમે નીચેના દરેક પગલાની વિગતો રજૂ કરીશું. પગલું 1: અંતર્વેશન પગલું તે વેલ્ચ-બર્લેકેમ્પ-શૈલીનું અંતર્વેશન છે (કારણ કે તેને વેલ્ચ-બર્લેકેમ્પ અલ્ગોરિધમના ઉચ્ચ-પરિમાણીય સામાન્યીકરણ તરીકે જોઈ શકાય છે). ધારો કે આપણને નીચે બતાવ્યા પ્રમાણે-folded રીડ-સોલોમન કોડનો કોડવર્ડ મળ્યો છે. તેથી અંતર્વેશનની જરૂરિયાતો હશે પછી તેમાં મોનોમીયલની સંખ્યા છે કારણ કે તેમાં મોનોમીયલની સંખ્યા અંતર્વેશનની સ્થિતિઓની સંખ્યા કરતા વધારે છે. આપણી પાસે લેમ્મા 1 ની નીચે છે. ઉપરોક્ત અંતર્વેશનની સ્થિતિને સંતોષવા માટે મોટાભાગની મર્યાદાઓ અને ચલ સાથે સજાતીય રેખીય પ્રણાલીને હલ કરીને શોધી શકાય છે. વધુમાં આ અંતર્વેશન કામગીરીમાં કરી શકાય છે. આ લેમ્મા આપણને બતાવે છે કે અંતર્વેશન પગલું નજીકના રેખીય સમયમાં કરી શકાય છે. હમણાં માટે, આપણે બહુપરીમાણીય બહુપદી માટે જરૂરી દરેક વસ્તુ વિશે વાત કરી છે. બાકીનું કાર્ય સંદેશ બહુપદીઓ પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરવાનું છે. લેમ્મા 2. જો ઉમેદવાર સંદેશ બહુપદી એ મહત્તમ ડિગ્રીની બહુપદી છે જેનું ફોલ્ડેડ રીડ-સોલોમન એન્કોડિંગ ઓછામાં ઓછા સ્તંભોમાં પ્રાપ્ત શબ્દ સાથે સંમત થાય છે તો અહીં "સંમત" નો અર્થ એ છે કે સ્તંભમાંના તમામ મૂલ્યો કોડવર્ડમાં અનુરૂપ મૂલ્યો સાથે મેળ ખાતા હોવા જોઈએ. આ લેમ્મા આપણને બતાવે છે કે આવી કોઈપણ બહુપદી બીજગણિત સ્થિતિ રજૂ કરે છે જે તે સંદેશ બહુપદીઓ માટે સંતુષ્ટ હોવી જોઈએ જેને આપણે સૂચિ ડીકોડિંગમાં રસ ધરાવીએ છીએ. આગળ આપણે ડીકોડિંગ બાઉન્ડ મેળવી શકીએ છીએ. આપણે નોંધ્યું છે કે અપૂર્ણાંક કરાર એ પગલું 2 છેઃ મૂળ શોધવાનું પગલું. આ પગલા દરમિયાન, આપણું કાર્ય એ વાત પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરે છે કે કેવી રીતે ડિગ્રી સાથે તમામ બહુપદીઓ શોધવા અને પગલું 1 થી આપણને મળતા સમીકરણને સંતોષવા પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરે છે, એટલે કે ઉપરનું સમીકરણ બહુપદીના ગુણાંકમાં એક રેખીય પ્રણાલી સમીકરણો બનાવે છે, તેથી ઉપરના સમીકરણનો ઉકેલ એ એક એફાઇન સબસ્પેસ છે. આ હકીકત એ મુખ્ય મુદ્દો છે જે એક કાર્યક્ષમ અલ્ગોરિધમને જન્મ આપે છે-આપણે રેખીય પ્રણાલીને હલ કરી શકીએ છીએ. ઉકેલનું પરિમાણ કેટલું મોટું છે તે પૂછવું સ્વાભાવિક છે. શું પરિમાણ પર કોઈ ઉપરની સીમા છે? કાર્યક્ષમ સૂચિ ડીકોડિંગ અલ્ગોરિધમ બનાવવા માટે ઉપલા બાઉન્ડ હોવું ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે કારણ કે કોઈ પણ ડીકોડિંગ સમસ્યા માટે બધા કોડવર્ડ્સને સરળતાથી આઉટપુટ કરી શકે છે. ખરેખર તે ખરેખર ઉપરની સીમા ધરાવે છે જેમ કે નીચે લેમ્મા દલીલ કરે છે. લેમ્મા 3. જો ક્રમ ઓછામાં ઓછો હોય (ખાસ કરીને જ્યારે તે આદિમ હોય), તો ઉકેલનું પરિમાણ મહત્તમ હોય છે. આ લેમ્મા આપણને સોલ્યુશન સ્પેસ માટે પરિમાણની ઉપરની સીમા દર્શાવે છે. છેવટે, ઉપરોક્ત વિશ્લેષણના આધારે, આપણી પાસે નીચે પ્રમેય પ્રમેય 1 છે. બ્લોક લંબાઈના ફોલ્ડેડ રીડ-સોલોમન કોડ માટે અને તમામ પૂર્ણાંકો માટે નીચેની માન્યતાને રેટ કરો. પ્રાપ્ત શબ્દને જોતાં, સમય જતાં, કોઈ પણ વ્યક્તિ મહત્તમ પરિમાણની પેટા જગ્યા માટેનો આધાર શોધી શકે છે જેમાં તમામ સંદેશ બહુપદીઓ હોય છે, જેની એફ. આર. એસ. એન્કોડિંગ કોડવર્ડ સ્થિતિના મહત્તમ અપૂર્ણાંકથી અલગ હોય છે. જ્યારે, આપણે જોઈએ છીએ કે આ ભૂલોના અપૂર્ણાંક સાથે એક અનન્ય ડીકોડિંગ અલ્ગોરિધમમાં ઘટાડો કરે છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, આપણે અનન્ય ડીકોડિંગ અલ્ગોરિધમને સૂચિ ડીકોડિંગ અલ્ગોરિધમની વિશેષતા તરીકે ગણી શકીએ છીએ. જથ્થો એ પરિમાણ પસંદગીઓ માટે છે જે ની સૂચિ ડીકોડિંગ ત્રિજ્યા પ્રાપ્ત કરે છે. પ્રમેય 1 આપણને જણાવે છે કે ભૂલની ત્રિજ્યા કેટલી મોટી હશે. હવે આપણને આખરે ઉકેલ સબસ્પેસ મળે છે. જો કે, હજુ પણ એક સમસ્યા ઊભી છે. સૌથી ખરાબ કિસ્સામાં સૂચિનું કદ છે. પરંતુ ક્લોઝ-બાય કોડવર્ડ્સની વાસ્તવિક સૂચિ તે સબસ્પેસની અંદર માત્ર એક નાનો સમૂહ છે. તેથી આપણે તેને સાંકડી કરવા માટે સબસ્પેસને કાપવા માટે કેટલીક પ્રક્રિયાની જરૂર છે. આ કાપણી પ્રક્રિયામાં સૌથી ખરાબ કિસ્સામાં સમય લાગે છે. કમનસીબે તે ચાલી રહેલા સમયને કેવી રીતે સુધારવું તે જાણીતું નથી કારણ કે આપણે ફોલ્ડ કરેલા રીડ-સોલોમન કોડ માટે સૂચિ કદની મર્યાદાને કેવી રીતે સુધારવી તે જાણતા નથી. જો આપણે સંદેશો તરીકે તમામ સંભવિત ડિગ્રી બહુપદીઓના સબસેટને કાળજીપૂર્વક પસંદ કરીને કોડ બદલીએ તો વસ્તુઓ વધુ સારી બને છે, સૂચિનું કદ ખૂબ નાનું હોવાનું દર્શાવે છે જ્યારે દરમાં માત્ર થોડો ઘટાડો થાય છે. આપણે આગામી તબક્કામાં આ વિશે ટૂંકમાં વાત કરીશું. પગલું 3: કાપણી પગલું ફોલ્ડ કરેલા રીડ-સોલોમન કોડને ડીકોડિંગ કરવાની સમસ્યાને બે રેખીય પ્રણાલીઓમાં રૂપાંતરિત કરીને, એક રેખીય પ્રણાલી જેનો ઉપયોગ પ્રક્ષેપણ પગલા માટે થાય છે અને બીજી રેખીય પ્રણાલી ઉમેદવાર ઉકેલ સબસ્પેસ શોધવા માટે થાય છે, ડીકોડિંગ સમસ્યાની જટિલતા સફળતાપૂર્વક ઘટાડીને દ્વિઘાત થઈ જાય છે. જો કે, સૌથી ખરાબ કિસ્સામાં, આઉટપુટની સૂચિ કદની સીમા ખૂબ ખરાબ છે. પગલું 2 માં ઉલ્લેખ કરવામાં આવ્યો હતો કે જો કોઈ સંદેશ તરીકે તમામ સંભવિત ડિગ્રી બહુપદીઓના ઉપગણને કાળજીપૂર્વક પસંદ કરે, તો સૂચિનું કદ ઘણું ઘટાડી શકાય છે. અહીં આપણે આપણી ચર્ચાને વિસ્તૃત કરીશું. આ ધ્યેય હાંસલ કરવા માટે, વિચાર એ છે કે ગુણાંક વેક્ટરને વિશેષ સબસેટ સુધી મર્યાદિત રાખવો, જે નીચેની બે શરતોને સંતોષે છેઃ શરત 1. સમૂહ પૂરતો મોટો હોવો જોઈએ (). આ એ સુનિશ્ચિત કરવા માટે છે કે દરમાં પરિબળ દ્વારા સૌથી વધુ ઘટાડો થશે. શરત 2. સમૂહમાં સંતોષકારક પરિમાણની કોઈપણ સબસ્પેસ સાથે નીચું આંતરછેદ હોવું જોઈએ અને આવા સબસેટને સબસ્પેસ-ઇવેઝિવ સબસેટ કહેવામાં આવે છે. સૌથી ખરાબ સ્થિતિમાં સૂચિના કદ માટે બાઉન્ડ છે, અને તેને સબસ્પેસ-ઇવેઝિવ સબસેટ્સનો ઉપયોગ કરીને સંબંધિત નાના બાઉન્ડમાં ઘટાડી શકાય છે. આ પગલું દરમિયાન, કારણ કે તેને ઉકેલ સબસ્પેસના દરેક તત્વની તપાસ કરવી પડે છે જે આપણે પગલું 2 થી મેળવીએ છીએ, તે સૌથી ખરાબ કિસ્સામાં સમય લે છે (ઉકેલ સબસ્પેસનું પરિમાણ છે). ડીવીર અને લોવેટે ગુરુસ્વામીના કાર્યના આધારે પરિણામમાં સુધારો કર્યો, જે સૂચિનું કદ ઘટાડીને સ્થિર કરી શકે છે. અહીં ફક્ત તે વિચાર રજૂ કરવામાં આવ્યો છે જેનો ઉપયોગ સોલ્યુશન સબસ્પેસને કાપવા માટે થાય છે. કાપણી પ્રક્રિયાની વિગતો માટે, મહેરબાની કરીને ગુરુસ્વામી, ડીવીર અને લોવેટના કાગળોનો સંદર્ભ લો, જે સંદર્ભમાં સૂચિબદ્ધ છે. સારાંશ જો આપણે પગલું 3 ને ધ્યાનમાં ન લઈએ, તો આ અલ્ગોરિધમ દ્વિઘાત સમયમાં ચાલી શકે છે. આ અલ્ગોરિધમનો સારાંશ નીચે સૂચિબદ્ધ છે. આ પણ જુઓ રીડ-સોલોમન ભૂલ સુધારણા સિંગલટન બાઉન્ડ કોડિંગ થિયરી સૂચિ ડીકોડિંગ સંદર્ભો અત્રિ રુદ્રના વ્યાખ્યાન નોંધોઃ ફોલ્ડેડ રીડ-સોલોમન કોડ્સ અત્રિ રુદ્રના વ્યાખ્યાન નોંધોઃ બાઉન્ડ્સ વેંકટેશન ગુરુસ્વામીના વ્યાખ્યાન નોંધોઃ વેંકટેશન ગુરુસ્વામીના વ્યાખ્યાન નોંધોઃ યાદી ડીકોડિંગ ફોલ્ડેડ રીડ-સોલોમન કોડ કોડિંગ થિયરી ભૂલ શોધ અને સુધારણા કોમ્પ્યુટેશનલ જટિલતા સિદ્ધાંત