Kalman's conjecture
કાલમાનનું અનુમાન અથવા કાલમાન સમસ્યા એ એક સ્કેલર બિનરેખીયતા સાથે બિનરેખીય નિયંત્રણ પ્રણાલીની સંપૂર્ણ સ્થિરતા પર એક અપ્રમાણિત અનુમાન છે, જે રેખીય સ્થિરતાના ક્ષેત્ર સાથે સંબંધિત છે. કાલમાનનું અનુમાન એ આઈઝરમેનના અનુમાનને મજબૂત કરે છે અને તે માર્કસ-યામાબે અનુમાનનો એક ખાસ કેસ છે. આ અનુમાન ખોટું સાબિત થયું હતું પરંતુ સંપૂર્ણ સ્થિરતા પર (માન્ય) પર્યાપ્ત માપદંડ તરફ દોરી ગયું હતું. 1957માં આર. ઈ. કલમાને તેમના પેપરમાં કલમનના અનુમાન (કલમન સમસ્યા) ના ગાણિતિક નિવેદનમાં નીચે મુજબ જણાવ્યું હતુંઃ આકૃતિમાં જો f (e). 1 ને સ્થિરાંકો K દ્વારા બદલવામાં આવે છે જે f '(e) ના તમામ સંભવિત મૂલ્યોને અનુરૂપ છે, અને તે જોવા મળે છે કે ક્લોઝ્ડ-લૂપ સિસ્ટમ આવા તમામ K માટે સ્થિર છે, પછી તે સહજ ભાવે સ્પષ્ટ કરે છે કે સિસ્ટમ મોનોસ્ટેબલ હોવી જોઈએ; એટલે કે, તમામ ક્ષણિક ઉકેલો એક અનન્ય, સ્થિર નિર્ણાયક બિંદુ પર ભેગા થશે. કાલમનના નિવેદનને નીચેના અનુમાનમાં સુધારી શકાય છેઃ એક સ્કેલર બિનરેખીતા ધરાવતી પ્રણાલીને ધ્યાનમાં લો જ્યાં P એ અચળાંક n × n મેટ્રિક્સ છે, q, r એ અચળાંક n-પરિમાણીય વેક્ટર છે, ≤ એ સ્થાનાંતરણની ક્રિયા છે, f (e) એ સ્કેલર કાર્ય છે, અને f (0) = 0 છે. ધારો કે, f (e) એક વિભેદક વિધેય છે અને નીચેની શરત માન્ય છે. પછી કલમાનનું અનુમાન છે કે સિસ્ટમ મોટા (એટલે કે. એક અનન્ય સ્થિર બિંદુ એ વૈશ્વિક આકર્ષણ છે) જો f (e) = Ke, k ω (k1, k2) સાથેની તમામ રેખીય પ્રણાલીઓ એસિમ્પ્ટોટિકલી સ્થિર હોય. આઇઝરમેનના અનુમાનમાં બિનરેખીયતાના વ્યુત્પન્ન પરની શરતની જગ્યાએ તે જરૂરી છે કે બિનરેખીયતા પોતે રેખીય ક્ષેત્રની છે. કાલમાનનું અનુમાન n ≤ 3 માટે સાચું છે અને n> 3 માટે પ્રતિકૂળ ઉદાહરણોના નિર્માણ માટે અસરકારક પદ્ધતિઓ છેઃ બિનરેખીય વ્યુત્પન્ન રેખીય સ્થિરતાના ક્ષેત્ર સાથે સંબંધિત છે, અને એક અનન્ય સ્થિર સંતુલન સ્થિર સામયિક ઉકેલ (છુપાયેલ દોલન) સાથે સહઅસ્તિત્વ ધરાવે છે. અલગ-અલગ સમયમાં, કાલમન અનુમાન માત્ર n = 1 માટે સાચું છે, n ≤ 2 માટે પ્રતિકૂળ ઉદાહરણો બનાવી શકાય છે. સંદર્ભો વધુ વાંચન બાહ્ય કડીઓ આઇઝરમેન અને કાલમેનના અનુમાનોના પ્રતિરૂપોમાં છુપાયેલા ઓસિલેશનનું વિશ્લેષણાત્મક-સંખ્યાત્મક સ્થાનિકીકરણ મેપલક્લાઉડમાં ડિસ્ક્રીટ-ટાઇમ પ્રતિકૂળ ઉદાહરણ બિનરેખીય નિયંત્રણ છુપાયેલા ઓસિલેશન