Multidimensional sampling
ડિજિટલ સિગ્નલ પ્રોસેસિંગમાં, બહુ-પરિમાણીય સેમ્પલિંગ એ બહુ-પરિમાણીય ચલના કાર્યને બિંદુઓના અલગ સમૂહ પર માપવામાં આવેલા કાર્યના મૂલ્યોના અલગ સંગ્રહમાં રૂપાંતરિત કરવાની પ્રક્રિયા છે. આ લેખ પીટરસન અને મિડલટનને કારણે મૂળભૂત પરિણામ રજૂ કરે છે જે બિંદુઓના અલગ જાળી પર તેના માપમાંથી તરંગ-મર્યાદિત કાર્યને સંપૂર્ણ રીતે પુનઃનિર્માણ કરવાની શરતો પર રજૂ કરે છે. આ પરિણામ, જેને પીટરસન-મિડલટન પ્રમેય તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે, તે ઉચ્ચ-પરિમાણીય યુક્લિડિયન જગ્યાઓમાં એક-પરિમાણીય બેન્ડ-મર્યાદિત કાર્યોના નમૂના લેવા માટે ન્યક્વિસ્ટ-શૅનન નમૂના સિદ્ધાંતનું સામાન્યીકરણ છે. સારમાં, પીટરસન-મિડલટન પ્રમેય દર્શાવે છે કે તરંગ સંખ્યા-મર્યાદિત વિધેયને તેના મૂલ્યોમાંથી અનંત જાળી પર સંપૂર્ણ રીતે પુનઃનિર્માણ કરી શકાય છે, જો કે જાળી પૂરતી સારી હોય. આ પ્રમેય જાળી પર શરતો પૂરી પાડે છે જેના હેઠળ સંપૂર્ણ પુનર્નિર્માણ શક્ય છે. ન્યક્વિસ્ટ-શૅનન સેમ્પલિંગ થીયરમની જેમ, આ થીયરમ કોઈપણ વાસ્તવિક-વિશ્વની પરિસ્થિતિનું આદર્શીકરણ પણ ધારે છે, કારણ કે તે માત્ર એવા કાર્યોને લાગુ પડે છે જે અનંત બિંદુઓ પર નમૂના લેવામાં આવે છે. આદર્શ મોડેલ માટે સંપૂર્ણ પુનર્નિર્માણ ગાણિતિક રીતે શક્ય છે પરંતુ વાસ્તવિક દુનિયાના કાર્યો અને નમૂનાની તકનીકો માટે માત્ર એક અંદાજ છે, જોકે વ્યવહારમાં ઘણીવાર તે ખૂબ જ સારું હોય છે. પ્રારંભિક એક પરિમાણમાં બેન્ડ-મર્યાદિત કાર્યની વિભાવનાને ઉચ્ચ પરિમાણોમાં તરંગ-મર્યાદિત કાર્યની કલ્પનામાં સામાન્યીકૃત કરી શકાય છે. યાદ કરો કે એન-ડાયમેન્શનલ યુક્લિડિયન સ્પેસ પર ઇન્ટિગ્રેબલ ફંક્શનના ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મને આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છેઃ જ્યાં x અને x એ એન-ડાયમેન્શનલ વેક્ટર છે, અને તે વેક્ટરનું આંતરિક ઉત્પાદન છે. જો ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ સંતોષ આપે તો ફંક્શનને વેવન નંબર-મર્યાદિત સમૂહ તરીકે કહેવામાં આવે છે. તેવી જ રીતે, એક-પરિમાણમાં સમાન અંતરે નમૂના બિંદુઓની ગોઠવણીને ઉચ્ચ પરિમાણોમાં જાળીમાં સામાન્યીકૃત કરી શકાય છે. જાળી એ સ્વરૂપના બિંદુઓનો સંગ્રહ છે જ્યાં {v1,., vn} માટે આધાર છે. અનુરૂપ પારસ્પરિક જાળી એ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે કે જ્યાં વેક્ટરને સંતોષવા માટે પસંદ કરવામાં આવે છે. એટલે કે, જો વેક્ટર મેટ્રિક્સના કૉલમ અને મેટ્રિક્સના કૉલમ બનાવે છે, તો પછી. બે પરિમાણીય જગ્યામાં નમૂનાના જાળીનું ઉદાહરણ આકૃતિ 1 માં દર્શાવેલ ષટ્કોણ જાળી છે. અનુરૂપ પારસ્પરિક જાળી આકૃતિ 2 માં દર્શાવવામાં આવી છે. બે પરિમાણોમાં ચોરસ જાળીનો પારસ્પરિક જાળી એ બીજો ચોરસ જાળી છે. ત્રિ-પરિમાણીય જગ્યામાં ફેસ-સેન્ટર્ડ ક્યુબિક (એફસીસી) જાળીનું પારસ્પરિક જાળી એ બોડી સેન્ટર્ડ ક્યુબિક (બીસીસી) જાળી છે. ચાલો પ્રમેય એક જાળી અને અનુરૂપ પારસ્પરિક જાળીને સૂચવે છે. પીટરસન અને મિડલટનનો પ્રમેય જણાવે છે કે જે કાર્ય સમૂહ સુધી મર્યાદિત હોય તેને તેના માપમાંથી બરાબર પુનઃનિર્માણ કરી શકાય છે, જો કે સમૂહ તેની કોઈપણ સ્થાનાંતરિત આવૃત્તિઓ સાથે ઓવરલેપ થતો નથી જ્યાં શિફ્ટ x એ પારસ્પરિક જાળીનું કોઈપણ બિન-શૂન્ય તત્વ હોય. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, તેના માપમાંથી બરાબર પુનઃનિર્માણ કરી શકાય છે જો તે બધા માટે હોય. પુનર્રચના ઉચ્ચ પરિમાણોમાં પોઈસન સરવાળા સૂત્રના સામાન્યીકરણનો ઉપયોગ એ બતાવવા માટે કરી શકાય છે કે જાળી પરના કાર્યના નમૂનાઓ કાર્યનો સામયિક સરવાળો બનાવવા માટે પૂરતા છે. પરિણામ એ છેઃ જ્યાં વેક્ટર {v1,., vn} દ્વારા રચાયેલા પેરેલલપાઇપના કદને રજૂ કરે છે. આ સામયિક કાર્યને ઘણીવાર નમૂનારૂપ વર્ણપટ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે અને તેને ઉચ્ચ પરિમાણોમાં ડિસ્ક્રીટ-ટાઇમ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ (DTFT) ના એનાલોગ તરીકે અર્થઘટન કરી શકાય છે. જો મૂળ તરંગ સંખ્યા-મર્યાદિત વર્ણપટ સમૂહ પર સમર્થિત હોય તો કાર્ય પારસ્પરિક જાળી પર બિંદુઓ દ્વારા સ્થાનાંતરિત સમયાંતરે પુનરાવર્તનો પર સમર્થિત છે. જો પીટરસન-મિડલટન પ્રમેયની શરતો પૂરી થાય, તો કાર્ય બધા માટે સમાન છે, અને તેથી મૂળ ક્ષેત્રને નમૂનાઓમાંથી બરાબર પુનઃનિર્માણ કરી શકાય છે. આ કિસ્સામાં પુનઃનિર્મિત ક્ષેત્ર મૂળ ક્ષેત્ર સાથે મેળ ખાય છે અને તેને નમૂનાની દ્રષ્ટિએ વ્યક્ત કરી શકાય છે જ્યાં સમૂહના લાક્ષણિક કાર્યનું વ્યસ્ત ફોરિયર રૂપાંતર છે. આ અંતર્વેશન સૂત્ર એ વ્હિટ્ટેકર-શૅનન અંતર્વેશન સૂત્રની ઉચ્ચ-પરિમાણીય સમકક્ષ છે. ઉદાહરણ તરીકે ધારો કે તે ગોળાકાર ડિસ્ક છે. આકૃતિ 3 પીટરસન-મિડલટન પ્રમેયની શરતો ક્યારે પૂરી થાય છે તેના સમર્થનને સમજાવે છે. આપણે જોઈએ છીએ કે વર્ણપટ પુનરાવર્તનો ઓવરલેપ થતા નથી અને તેથી મૂળ વર્ણપટ બરાબર પુનઃપ્રાપ્ત કરી શકાય છે. અસરો અલિયાસિંગ આ પ્રમેય નમૂનાના સંપૂર્ણ પુનર્નિર્માણ માટે નમૂના લેટીસ પર શરતો આપે છે. જો જાળીઓ પીટરસન-મિડલટનની સ્થિતિને સંતોષવા માટે પૂરતી સારી ન હોય, તો પછી સામાન્ય રીતે નમૂનાઓમાંથી ક્ષેત્રનું બરાબર પુનઃનિર્માણ કરી શકાતું નથી. આ કિસ્સામાં આપણે કહીએ છીએ કે નમૂનાઓને ઉપનામ આપવામાં આવી શકે છે. ફરીથી, ઉદાહરણને ધ્યાનમાં લો જેમાં ગોળાકાર ડિસ્ક છે. જો પીટરસન-મિડલટન શરતો ન હોય તો, નમૂના સ્પેક્ટ્રમનો આધાર આકૃતિ 4 માં બતાવ્યા પ્રમાણે હશે. આ કિસ્સામાં વર્ણપટ પુનરાવર્તનો ઓવરલેપ થાય છે જે પુનર્નિર્માણમાં ઉપનામ તરફ દોરી જાય છે. ઓછા રીઝોલ્યુશનવાળી છબીઓનો અભ્યાસ કરીને ઉપનામનું સરળ ઉદાહરણ મેળવી શકાય છે. ગ્રે-સ્કેલની છબીને દ્વિ-પરિમાણીય અવકાશમાં કાર્ય તરીકે અર્થઘટન કરી શકાય છે. ઉપનામનું ઉદાહરણ આકૃતિ 5 માં ઈંટની પેટર્નની છબીઓમાં દર્શાવવામાં આવ્યું છે. જ્યારે નમૂનાના પ્રમેયની સ્થિતિ સંતોષાતી નથી ત્યારે છબી ઉપનામની અસરો દર્શાવે છે. જો પિક્સેલ્સની જાળી દ્રશ્ય માટે પૂરતી સારી ન હોય, તો મેળવેલ છબીમાં મોઇરે પેટર્નના દેખાવ દ્વારા પુરાવા તરીકે અલિયાસિંગ થાય છે. આકૃતિ 6 માંની છબી ત્યારે મેળવવામાં આવે છે જ્યારે દ્રશ્યના સરળ સંસ્કરણને સમાન જાળી સાથે નમૂના લેવામાં આવે છે. આ કિસ્સામાં પ્રમેયની શરતો સંતોષાય છે અને કોઈ ઉપનામ થતું નથી. તરંગ-સંખ્યા-મર્યાદિત ક્ષેત્રો માટે નમૂનાની યોજનાની રચના કરવામાં રસ ધરાવતી વસ્તુઓમાંની એક એવી બિંદુઓની ગોઠવણીને ઓળખવી છે જે લઘુત્તમ નમૂનાની ઘનતા તરફ દોરી જાય છે, એટલે કે, એકમ અવકાશી કદ દીઠ નમૂનાના બિંદુઓની ઘનતા. સામાન્ય રીતે માપ લેવા અને સંગ્રહિત કરવા માટેનો ખર્ચ કાર્યરત નમૂનાની ઘનતાના પ્રમાણમાં હોય છે. ઘણીવાર વ્યવહારમાં, દ્વિ-પરિમાણીય ક્ષેત્રોના નમૂનાનો કુદરતી અભિગમ લંબચોરસ જાળી પરના બિંદુઓ પર તેનો નમૂનો લેવાનો હોય છે. જો કે, નમૂનાની ઘનતાની દ્રષ્ટિએ આ હંમેશા આદર્શ પસંદગી નથી. પીટરસન અને મિડલટનના પ્રમેયનો ઉપયોગ નમૂના ક્ષેત્રો માટે શ્રેષ્ઠ જાળીને ઓળખવા માટે થઈ શકે છે જે આપેલ સમૂહ સુધી મર્યાદિત તરંગ સંખ્યા ધરાવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, તે દર્શાવી શકાય છે કે બિંદુઓની લઘુતમ અવકાશી ઘનતા ધરાવતી જાળી જે વર્તુળાકાર ડિસ્ક સુધી મર્યાદિત તરંગોની સંખ્યાના ક્ષેત્રોના સંપૂર્ણ પુનર્નિર્માણને સ્વીકારે છે તે ષટ્કોણ જાળી છે. પરિણામે, આઇસોટ્રોપિક ક્ષેત્રોના નમૂના લેવા માટે ષટ્કોણ જાળીઓને પસંદ કરવામાં આવે છે. શ્રેષ્ઠ નમૂના લેટીસનો ઉચ્ચ પરિમાણોમાં અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો છે. સામાન્ય રીતે, શ્રેષ્ઠ ગોળાકાર પેકિંગ જાળીઓ સરળ સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાઓના નમૂના લેવા માટે આદર્શ હોય છે જ્યારે શ્રેષ્ઠ ગોળાકાર આવરણ જાળીઓ રફ સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાઓના નમૂના લેવા માટે આદર્શ હોય છે. શ્રેષ્ઠ જાળીઓ, સામાન્ય રીતે, બિન-વિભાજીત હોવાથી, પ્રક્ષેપણ અને પુનર્નિર્માણ ગાળકોની રચના માટે બિન-ટેન્સર-પ્રોડક્ટ (એટલે કે, બિન-વિભાજીત) ફિલ્ટર ડિઝાઇન મિકેનિઝમ્સની જરૂર પડે છે. બૉક્સ સ્પ્લાઇન આવા બિન-વિભાજીત પુનર્નિર્માણ એફ. આઈ. આર. ફિલ્ટર્સની રચના કરવા માટે લવચીક માળખું પ્રદાન કરે છે જે દરેક જાળી માટે ભૌમિતિક રીતે તૈયાર કરી શકાય છે. હેક્સ-સ્પ્લાઇન એ 2-ડી ષટ્કોણ જાળી માટે બી-સ્પ્લાઇનનું સામાન્યીકરણ છે. તેવી જ રીતે, 3-ડી અને ઉચ્ચ પરિમાણોમાં, વોરોનોઈ સ્પ્લાઇન બી-સ્પ્લાઇનનું સામાન્યીકરણ પ્રદાન કરે છે જેનો ઉપયોગ બિન-વિભાજીત એફ. આઈ. આર. ફિલ્ટર્સની રચના કરવા માટે થઈ શકે છે, જે શ્રેષ્ઠ જાળી સહિત કોઈપણ જાળી માટે ભૌમિતિક રીતે તૈયાર કરવામાં આવે છે. આદર્શ લો-પાસ ફિલ્ટર્સ (એટલે કે, સિંક ફંક્શન્સ) નું સ્પષ્ટ નિર્માણ આ જાળીઓ (જે ઝોનોટોપ છે) ના બ્રિલોઇન ઝોન (એટલે કે, ઉપર) ના ભૌમિતિક ગુણધર્મોનો અભ્યાસ કરીને શક્ય છે. આ અભિગમ સામાન્ય જાળી માટે બંધ-સ્વરૂપની સ્પષ્ટ રજૂઆત પ્રદાન કરે છે, જેમાં શ્રેષ્ઠ નમૂના જાળીનો સમાવેશ થાય છે. આ બાંધકામ શ્રેષ્ઠ જાળીઓ માટે બહુ-પરિમાણીય સેટિંગમાં 1-ડીમાં લેન્ઝોસ ફિલ્ટરનું સામાન્યીકરણ પ્રદાન કરે છે. ભૂકંપીય સર્વેક્ષણો, પર્યાવરણની દેખરેખ અને અવકાશી શ્રાવ્ય-ક્ષેત્ર માપન જેવી અવકાશી ઘટનાઓના માપનને સમાવતી એપ્લિકેશનોમાં કાર્યક્ષમ સેન્સર પ્લેસમેન્ટ વ્યૂહરચના તૈયાર કરવામાં પીટરસન-મિડલટન પ્રમેય ઉપયોગી છે. સંદર્ભો ડિજિટલ સિગ્નલ પ્રોસેસિંગ બહુ-પરિમાણીય સિગ્નલ પ્રોસેસિંગ પ્રમેય ફોરિયર વિશ્લેષણમાં