Probabilistic numerics
સંભવિત સંખ્યાશાસ્ત્ર એ ગણતરીમાં અનિશ્ચિતતાના ખ્યાલ પર કેન્દ્રિત લાગુ ગણિત, આંકડાશાસ્ત્ર અને મશીન લર્નિંગના આંતરછેદ પર અભ્યાસનું સક્રિય ક્ષેત્ર છે. સંભવિત સંખ્યાશાસ્ત્રમાં, સંખ્યાત્મક વિશ્લેષણમાં કાર્યો જેમ કે એકીકરણ માટે સંખ્યાત્મક ઉકેલો શોધવા, રેખીય બીજગણિત, ઓપ્ટિમાઇઝેશન અને સિમ્યુલેશન અને વિભેદક સમીકરણોને આંકડાકીય, સંભવિત અથવા બાયેસિયન અનુમાનની સમસ્યાઓ તરીકે જોવામાં આવે છે. સંખ્યાત્મક પદ્ધતિ એ એક અલ્ગોરિધમ છે જે ગાણિતિક સમસ્યાના ઉકેલનો અંદાજ કાઢે છે (નીચે આપેલા ઉદાહરણોમાં સમીકરણોની રેખીય પ્રણાલીનો ઉકેલ, અભિન્ન મૂલ્ય, વિભેદક સમીકરણનો ઉકેલ, બહુપરીમાણીય કાર્યનો લઘુતમ સમાવેશ થાય છે). સંભવિત આંકડાકીય અલ્ગોરિધમમાં, અંદાજની આ પ્રક્રિયાને અંદાજ, અનુમાન અથવા શીખવાની સમસ્યા તરીકે માનવામાં આવે છે અને સંભવિત અનુમાનના માળખામાં સાકાર થાય છે (ઘણીવાર, પરંતુ હંમેશા નહીં, બાયેસિયન અનુમાન). ઔપચારિક રીતે, આનો અર્થ એ છે કે કોમ્પ્યુટર દ્વારા ગણતરી કરાયેલ સંખ્યાઓ વચ્ચેનો સંબંધ ઘડવા માટે અગાઉના વિતરણની દ્રષ્ટિએ કોમ્પ્યુટેશનલ સમસ્યાનું સેટઅપ કરવું (દા. ત. રેખીય બીજગણિતમાં મેટ્રિક્સ-વેક્ટર ગુણાકાર, ઓપ્ટિમાઇઝેશનમાં ઢાળ, સંકલનના મૂલ્યો અથવા વિભેદક સમીકરણને વ્યાખ્યાયિત કરતા વેક્ટર ક્ષેત્ર) અને સંભાવના કાર્યમાં પ્રશ્નમાં જથ્થો (રેખીય સમસ્યાનું સમાધાન, લઘુત્તમ, અભિન્ન, ઉકેલ વળાંક), અને આઉટપુટ તરીકે પશ્ચાદવર્તી વિતરણ પરત કરે છે. મોટાભાગના કિસ્સાઓમાં, આંકડાકીય અલ્ગોરિધમ્સ કઈ સંખ્યાઓની ગણતરી કરવી તે અંગે આંતરિક અનુકૂલનશીલ નિર્ણયો પણ લે છે, જે સક્રિય શીખવાની સમસ્યા બનાવે છે. સૌથી વધુ લોકપ્રિય ક્લાસિક આંકડાકીય અલ્ગોરિધમ્સનું સંભવિત માળખામાં ફરીથી અર્થઘટન કરી શકાય છે. આમાં સંયુગ્મિત ઢાળની પદ્ધતિ, નોર્ડસીક પદ્ધતિઓ, ગૌસીયન ચતુર્ભુજ નિયમો અને અર્ધ-ન્યુટન પદ્ધતિઓનો સમાવેશ થાય છે. આ તમામ કિસ્સાઓમાં, ક્લાસિક પદ્ધતિ નિયમિત લઘુત્તમ-ચોરસના અંદાજ પર આધારિત છે જે ગૌસીયન પૂર્વ અને સંભાવનાથી ઉદ્ભવતા પશ્ચાદવર્તી સરેરાશ સાથે સંકળાયેલ હોઈ શકે છે. આવા કિસ્સાઓમાં, ગૌસીયન પશ્ચાદવર્તીની ભિન્નતા પછી ચોરસ ભૂલ માટે સૌથી ખરાબ-કેસ અંદાજ સાથે સંકળાયેલી હોય છે. સંભવિત આંકડાકીય પદ્ધતિઓ ક્લાસિક, બિંદુ-અંદાજ આધારિત અંદાજ તકનીકો પર ઘણા વૈચારિક ફાયદાઓનું વચન આપે છેઃ તેઓ માળખાગત ભૂલ અંદાજો આપે છે (ખાસ કરીને, સંયુક્ત પશ્ચાદવર્તી નમૂનાઓ પરત કરવાની ક્ષમતા, એટલે કે. સમસ્યાના સાચા અજ્ઞાત ઉકેલ માટે બહુવિધ વાસ્તવિક પૂર્વધારણાઓ) શ્રેણીબદ્ધ બાયેસિયન અનુમાનનો ઉપયોગ દરેક પરિમાણ માટે નવી પદ્ધતિઓ ફરીથી શોધવાને બદલે સામાન્ય રીતે આવી પદ્ધતિઓમાં આંતરિક હાયપરપેરામેટર્સને સેટ કરવા અને નિયંત્રિત કરવા માટે થઈ શકે છે કારણ કે તેઓ ગણતરી કરેલ સંખ્યાઓ અને લક્ષ્ય જથ્થો વચ્ચેના સંબંધને વર્ણવતી સ્પષ્ટ સંભાવનાનો ઉપયોગ કરે છે અને તેને મંજૂરી આપે છે, સંભવિત સંખ્યાત્મક પદ્ધતિઓ અત્યંત અચોક્કસ, પક્ષપાતી અને સ્ટોકેસ્ટિક ગણતરીઓના પરિણામોનો પણ ઉપયોગ કરી શકે છે. તેનાથી વિપરીત, સંભવિત આંકડાકીય પદ્ધતિઓ ઘણીવાર અન્યત્ર "સંભાવના-મુક્ત" ગણવામાં આવતી ગણતરીઓમાં પણ સંભાવના પ્રદાન કરી શકે છે કારણ કે તમામ સંભવિત આંકડાકીય પદ્ધતિઓ આવશ્યકપણે સમાન ડેટા પ્રકારનો ઉપયોગ કરે છે-સંભાવના પગલાં-ઇનપુટ્સ અને આઉટપુટ બંને પર અનિશ્ચિતતાને માપવા માટે તેમને મોટા પાયે, સંયુક્ત ગણતરીઓમાં અનિશ્ચિતતાનો પ્રચાર કરવા માટે એકસાથે સાંકળવામાં આવી શકે છે. બીજગણિત, વિભેદક સમીકરણના સ્વરૂપ વિશે યાંત્રિક જ્ઞાન, અને ભૌતિક વિશ્વમાં એકત્રિત કરવામાં આવેલી પ્રણાલીના માર્ગના અવલોકનો) ને કુદરતી રીતે અને અલ્ગોરિધમની આંતરિક લૂપની અંદર જોડી શકાય છે, અન્યથા ગણતરીમાં જરૂરી નેસ્ટેડ લૂપ્સને દૂર કરી શકાય છે, દા. ત. વિપરીત સમસ્યાઓ. આ ફાયદાઓ અનિવાર્યપણે સમાન કાર્યાત્મક ફાયદાઓની સમકક્ષ છે જે મશીન લર્નિંગ, લાગુ અથવા કોમ્પ્યુટેશનલ ડોમેનમાં સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવેલા બિંદુ-અંદાજો કરતાં બાયેસિયન પદ્ધતિઓનો આનંદ માણે છે. આંકડાકીય કાર્યો આંકડાકીય એકીકરણની સમસ્યા માટે સંભવિત આંકડાકીય પદ્ધતિઓ વિકસાવવામાં આવી છે, જેમાં સૌથી લોકપ્રિય પદ્ધતિ બાયેસિયન ચતુર્ભુજ કહેવાય છે. આંકડાકીય એકીકરણમાં, સંખ્યાબંધ બિંદુઓ પર કાર્ય મૂલ્યાંકનનો ઉપયોગ અમુક માપ સામે કાર્યના અભિન્ન અંગનો અંદાજ કાઢવા માટે થાય છે. બાયેસિયન ક્વાડ્રેચરમાં પૂર્વ વિતરણનો ઉલ્લેખ કરવામાં આવે છે અને પશ્ચાદવર્તી વિતરણ મેળવવા માટે આને પહેલા કન્ડિશનિંગ કરવામાં આવે છે, પછી ગર્ભિત પશ્ચાદવર્તી વિતરણની ગણતરી કરવામાં આવે છે. પહેલાંની સૌથી સામાન્ય પસંદગી ગૌસીયન પ્રક્રિયા છે કારણ કે આ આપણને અભિન્ન પર બંધ-સ્વરૂપ પશ્ચાદવર્તી વિતરણ મેળવવાની મંજૂરી આપે છે જે એક એકરૂપ ગૌસીયન વિતરણ છે. બાયેસિયન ચતુર્ભુજ ખાસ કરીને ત્યારે ઉપયોગી છે જ્યારે કાર્યનું મૂલ્યાંકન કરવું ખર્ચાળ હોય અને ડેટાનું પરિમાણ નાનુંથી મધ્યમ હોય. ગાણિતિક ઓપ્ટિમાઇઝેશન માટે ઓપ્ટિમાઇઝેશન સંભવિત સંખ્યાશાસ્ત્રનો પણ અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો છે, જેમાં બિંદુઓના સમૂહ પર તે કાર્યના મૂલ્યાંકન (સંભવતઃ ઘોંઘાટીયા અથવા પરોક્ષ) આપવામાં આવેલા કેટલાક ઉદ્દેશ્ય કાર્યના લઘુત્તમ અથવા મહત્તમને શોધવાનો સમાવેશ થાય છે. કદાચ આ દિશામાં સૌથી નોંધપાત્ર પ્રયાસ બાયેસિયન ઓપ્ટિમાઇઝેશન છે, જે બાયેસિયન અનુમાનમાં આધારિત ઓપ્ટિમાઇઝેશન માટેનો સામાન્ય અભિગમ છે. બાયેસિયન ઓપ્ટિમાઇઝેશન અલ્ગોરિધમ્સ સમગ્ર ઓપ્ટિમાઇઝેશન પ્રક્રિયા દરમિયાન સંભવિત માન્યતા જાળવી રાખીને કામ કરે છે; આ ઘણીવાર અવલોકનો પર પૂર્વ શરતી ગૌસીયન પ્રક્રિયાનું સ્વરૂપ લે છે. આ માન્યતા પછી અવલોકનો મેળવવા માટે અલ્ગોરિધમને માર્ગદર્શન આપે છે જે ઓપ્ટિમાઇઝેશન પ્રક્રિયાને આગળ વધારવાની શક્યતા છે. બાયેસિયન ઓપ્ટિમાઇઝેશન નીતિઓ સામાન્ય રીતે પશ્ચાદવર્તી ઉદ્દેશ્ય કાર્યને સસ્તા, વિભેદક સંપાદન કાર્યમાં રૂપાંતરિત કરીને સાકાર થાય છે જે દરેક ક્રમિક નિરીક્ષણ સ્થાનને પસંદ કરવા માટે મહત્તમ કરવામાં આવે છે. એક અગ્રણી અભિગમ બાયેસિયન ક્રમિક પ્રાયોગિક ડિઝાઇન દ્વારા ઓપ્ટિમાઇઝેશનનું મોડેલ બનાવવાનો છે, જે યોગ્ય ઉપયોગિતા કાર્ય દ્વારા મૂલ્યાંકન કરાયેલ સૌથી વધુ ઓપ્ટિમાઇઝેશન પ્રગતિ આપતા નિરીક્ષણોનો ક્રમ મેળવવાનો પ્રયાસ કરે છે. આ અભિગમની આવકારદાયક આડઅસર એ છે કે ઉદ્દેશ્ય કાર્યમાં અનિશ્ચિતતા, અંતર્ગત સંભવિત માન્યતા દ્વારા માપવામાં આવે છે, જે ક્લાસિક સંશોધન વિ. શોષણ ટ્રેડઓફને સંબોધવામાં ઓપ્ટિમાઇઝેશન નીતિને માર્ગદર્શન આપી શકે છે. સ્થાનિક ઓપ્ટિમાઇઝેશન ઊંડા શિક્ષણ માટે સ્ટોકેસ્ટિક ઓપ્ટિમાઇઝેશનના સંદર્ભમાં સંભવિત આંકડાકીય પદ્ધતિઓ વિકસાવવામાં આવી છે, ખાસ કરીને લર્નિંગ રેટ ટ્યુનિંગ અને લાઇન સર્ચ, બેચ-સાઇઝ સિલેક્શન, અર્લી સ્ટોપિંગ, પ્રુનિંગ અને પ્રથમ અને બીજા ક્રમની શોધ દિશાઓ જેવા મુખ્ય મુદ્દાઓને સંબોધવા માટે. આ સેટિંગમાં, ઓપ્ટિમાઇઝેશનનો ઉદ્દેશ ઘણીવાર ડેટાસેટ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત સ્વરૂપનું પ્રયોગમૂલક જોખમ હોય છે, અને તે નુકસાન કે જે તેના અનુરૂપ ઇનપુટમાંથી લક્ષ્યની આગાહી કરવા માટે પરિમાણિત આગાહીયુક્ત મોડેલ કેટલું સારું પ્રદર્શન કરે છે તેનું પ્રમાણ આપે છે. રોગચાળાની અનિશ્ચિતતા ત્યારે ઊભી થાય છે જ્યારે ડેટાસેટનું કદ મોટું હોય અને તેની એક જ સમયે પ્રક્રિયા કરી શકાતી નથી, જેનો અર્થ થાય છે કે સ્થાનિક જથ્થા (કેટલાકને આપવામાં આવે તો) જેમ કે લોસ ફંક્શન અથવા તેના ગ્રેડિયન્ટની ગણતરી વાજબી સમયમાં કરી શકાતી નથી. તેથી, સામાન્ય રીતે મિની-બેચિંગનો ઉપયોગ ડેટાના રેન્ડમ સબસેટ પર આ જથ્થાના અંદાજકાર બનાવવા માટે થાય છે. સંભવિત આંકડાકીય પદ્ધતિઓ આ અનિશ્ચિતતાને સ્પષ્ટપણે મોડેલ કરે છે અને સ્વચાલિત નિર્ણયો અને પરિમાણ ટ્યુનિંગ માટે પરવાનગી આપે છે. રેખીય બીજગણિત માટે સંભવિત સંખ્યાત્મક પદ્ધતિઓએ મુખ્યત્વે સ્વરૂપના રેખીય સમીકરણોની પ્રણાલીઓને ઉકેલવા અને નિર્ધારકોની ગણતરી પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કર્યું છે. પદ્ધતિઓનો મોટો વર્ગ પ્રકૃતિમાં પુનરાવર્તિત છે અને વિવિધ વેક્ટર સાથે સિસ્ટમ મેટ્રિક્સ સાથે પુનરાવર્તિત મેટ્રિક્સ-વેક્ટર ગુણાકાર દ્વારા ઉકેલવા માટે રેખીય સિસ્ટમ વિશે માહિતી એકત્રિત કરે છે. આવી પદ્ધતિઓને રેખીય પ્રણાલીના ઉકેલ પર અથવા મેટ્રિક્સના (સ્યુડો-) ઇન્વર્સ પર માન્યતા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે કે કેમ તેના આધારે ઉકેલ અને મેટ્રિક્સ આધારિત પરિપ્રેક્ષ્યમાં વિભાજિત કરી શકાય છે. માન્યતા અપડેટનો ઉપયોગ કરે છે કે અનુમાનિત પદાર્થ મેટ્રિક્સ ગુણાકાર અથવા મારફતે અને સાથે જોડાયેલ છે. પદ્ધતિઓ સામાન્ય રીતે સમસ્યાના રેખીય અવલોકનો હેઠળ તેના બંધને કારણે ગૌસીયન વિતરણ ધારણ કરે છે. વિભાવનાત્મક રીતે અલગ હોવા છતાં, આ બે મંતવ્યો ગણતરીત્મક રીતે સમકક્ષ છે અને સ્વાભાવિક રીતે જમણી બાજુથી જોડાયેલા છે. ગૌસીયન પ્રક્રિયાઓને મોટા ડેટાસેટ્સમાં માપવા માટે સંભવિત આંકડાકીય રેખીય બીજગણિત દિનચર્યાઓ સફળતાપૂર્વક લાગુ કરવામાં આવી છે. ખાસ કરીને, તેઓ સંયુક્ત ગૌસીયન પ્રક્રિયા પશ્ચાદવર્તીમાં અંદાજિત ભૂલના ચોક્કસ પ્રસારને સક્ષમ કરે છે, જે અવલોકન કરેલા ડેટાની મર્યાદિત સંખ્યા અને ખર્ચવામાં આવેલી ગણતરીની મર્યાદિત માત્રા બંનેમાંથી ઉદ્ભવતા અનિશ્ચિતતાનું પ્રમાણ નક્કી કરે છે. સામાન્ય વિભેદક સમીકરણો, પ્રારંભિક અને સીમા મૂલ્ય સમસ્યાઓ માટે સામાન્ય વિભેદક સમીકરણો માટે સંભવિત આંકડાકીય પદ્ધતિઓ વિકસાવવામાં આવી છે. સામાન્ય વિભેદક સમીકરણો માટે રચાયેલ ઘણી જુદી જુદી સંભવિત આંકડાકીય પદ્ધતિઓ પ્રસ્તાવિત કરવામાં આવી છે, અને આને વ્યાપક રીતે નીચેની બે શ્રેણીઓમાં જૂથબદ્ધ કરી શકાય છેઃ રેન્ડમાઇઝેશન-આધારિત પદ્ધતિઓને સામાન્ય વિભેદક સમીકરણો માટે પ્રમાણભૂત નિર્ધારક આંકડાકીય પદ્ધતિઓના અવ્યવસ્થિત વિક્ષેપ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, આ એક-પગલાના સંકલનકારોના ઉકેલ પર ગૌસીયન વિક્ષેપોને ઉમેરીને અથવા તેમના સમય-પગલાને અવ્યવસ્થિત રીતે ખલેલ પહોંચાડીને પ્રાપ્ત કરવામાં આવ્યું છે. આ વિભેદક સમીકરણના ઉકેલ પર સંભાવના માપને વ્યાખ્યાયિત કરે છે જેનો નમૂનો લઈ શકાય છે. ગૌસીયન પ્રક્રિયા રીગ્રેસન પદ્ધતિઓ હાથમાં રહેલા વિભેદક સમીકરણને ગૌસીયન પ્રક્રિયા રીગ્રેસન સમસ્યા તરીકે ઉકેલવાની સમસ્યાને રજૂ કરવા પર આધારિત છે, જેમાં જમણી બાજુના મૂલ્યાંકનને વ્યુત્પન્ન પરના ડેટા તરીકે અર્થઘટન કરવામાં આવે છે. આ તકનીકો બાયેસિયન ક્યુબેચર જેવી જ છે, પરંતુ વિવિધ અને ઘણીવાર બિન-રેખીય નિરીક્ષણ મોડેલોનો ઉપયોગ કરે છે. તેની બાલ્યાવસ્થામાં, પદ્ધતિઓનો આ વર્ગ નિષ્કપટ ગૌસીયન પ્રક્રિયા પ્રતિગમન પર આધારિત હતો. આને પાછળથી (કાર્યક્ષમ ગણતરીની દ્રષ્ટિએ) સ્ટોકેસ્ટિક વિભેદક સમીકરણ દ્વારા તૈયાર કરવામાં આવેલા ગૌસમાર્કોવ પ્રાયર્સની તરફેણમાં સુધારવામાં આવ્યું હતું, જ્યાં-પરિમાણીય વેક્ટર મોડેલિંગ પ્રથમ વ્યુત્પન્ન છે, અને જ્યાં-પરિમાણીય બ્રાઉનિયન ગતિ છે. આમ કાલમન ગાળણ આધારિત પદ્ધતિઓ સાથે અનુમાનનો અસરકારક રીતે અમલ કરી શકાય છે. આ બે વર્ગો વચ્ચેની સીમા તીક્ષ્ણ નથી, ખરેખર રેન્ડમાઇઝ્ડ ડેટા પર આધારિત ગૌસીયન પ્રક્રિયા રીગ્રેસન અભિગમ પણ વિકસાવવામાં આવ્યો હતો. આ પદ્ધતિઓ કોમ્પ્યુટેશનલ રીમાનિયન ભૂમિતિ, વ્યુત્ક્રમ સમસ્યાઓ, સુપ્ત બળ મોડેલો અને સિમપ્લેક્ટીસિટી જેવા ભૌમિતિક માળખા સાથેના વિભેદક સમીકરણોમાં સમસ્યાઓ પર લાગુ કરવામાં આવી છે. આંશિક વિભેદક સમીકરણો આંશિક વિભેદક સમીકરણો માટે સંખ્યાબંધ સંભવિત સંખ્યાત્મક પદ્ધતિઓ પણ પ્રસ્તાવિત કરવામાં આવી છે. સામાન્ય વિભેદક સમીકરણોની જેમ, અભિગમોને વ્યાપક રીતે રેન્ડમાઇઝેશનના આધારે વિભાજિત કરી શકાય છે, સામાન્ય રીતે કેટલાક અંતર્ગત મર્યાદિત-ઘટક જાળીદાર અને ગૌસીયન પ્રક્રિયા રીગ્રેસન પર આધારિત. ગૌસીયન પ્રક્રિયા રીગ્રેસન પર આધારિત સંભવિત આંકડાકીય PDE ઉકેલકો ચોક્કસ પ્રાયોર માટે રેખીય PDE પર શાસ્ત્રીય પદ્ધતિઓ પુનઃપ્રાપ્ત કરે છે, ખાસ કરીને સરેરાશ ભારિત અવશેષોની પદ્ધતિઓમાં, જેમાં ગેલર્કિન પદ્ધતિઓ, મર્યાદિત તત્વ પદ્ધતિઓ તેમજ વર્ણપટ પદ્ધતિઓનો સમાવેશ થાય છે. ઇતિહાસ અને સંબંધિત ક્ષેત્રો આંકડાકીય વિશ્લેષણ અને સંભાવના વચ્ચેની આંતરક્રિયાને ગણિતના સંખ્યાબંધ અન્ય ક્ષેત્રો દ્વારા સ્પર્શ કરવામાં આવે છે, જેમાં આંકડાકીય પદ્ધતિઓનું સરેરાશ-કેસ વિશ્લેષણ, માહિતી-આધારિત જટિલતા, રમત સિદ્ધાંત અને આંકડાકીય નિર્ણય સિદ્ધાંતનો સમાવેશ થાય છે. જેને હવે "સંભવિત સંખ્યાશાસ્ત્ર" કહેવામાં આવે છે તેના પૂર્વગામીઓ 19મી સદીના અંતમાં અને 20મી સદીની શરૂઆતમાં મળી શકે છે. સંભવિત સંખ્યાશાસ્ત્રની ઉત્પત્તિ હેનરી પોઇનકેરે દ્વારા તેમના કેલ્ક્યુલ ડેસ પ્રોબેબિલાઇટ્સમાં બહુપદી પ્રક્ષેપણ માટે સંભવિત અભિગમોની ચર્ચામાં શોધી શકાય છે. આધુનિક પરિભાષામાં, પોઇનકેરે ફંક્શન પર ગૌસીયન પૂર્વ વિતરણને ધ્યાનમાં લીધું હતું, જેને રેન્ડમ ગુણાંક સાથે ઔપચારિક પાવર શ્રેણી તરીકે વ્યક્ત કરવામાં આવે છે, અને આ અગાઉ આપેલા "સંભવિત મૂલ્યો" અને તેના માટે અવલોકનો માટે પૂછ્યું હતું. સંખ્યાત્મક વિશ્લેષણ અને સંભાવનાની આંતરક્રિયામાં પછીનું નિર્ણાયક યોગદાન આલ્બર્ટ સુલ્ડિન દ્વારા અવિભાજ્ય ચતુર્થાંશના સંદર્ભમાં આપવામાં આવ્યું હતું. સુલ્ડિન દ્વારા ધ્યાનમાં લેવામાં આવેલી આંકડાકીય સમસ્યા એ ફંક્શનના ચોક્કસ ઇન્ટિગ્રલનો અંદાજ હતો, અગાઉ બ્રાઉનીયન ગતિ હેઠળ, નોડ્સના પોઇન્ટવાઇઝ મૂલ્યાંકનની ઍક્સેસ આપવામાં આવી હતી. સુલ્ડિને દર્શાવ્યું હતું કે, આપેલ ચતુર્ભુજ ગાંઠો માટે, ન્યૂનતમ સરેરાશ ચોરસ ભૂલ સાથેનો ચતુર્ભુજ નિયમ ટ્રેપેઝોઇડલ નિયમ છે; વધુમાં, આ ન્યૂનતમ ભૂલ આંતર-નોડ અંતરના સમઘનના સરવાળાના પ્રમાણસર છે. પરિણામે, કોઈ પણ વ્યક્તિ સમાન-અંતરવાળા ગાંઠો સાથે ટ્રેપેઝોઇડલ નિયમને અમુક અર્થમાં આંકડાકીય રીતે શ્રેષ્ઠ તરીકે જોઈ શકે છે-આંકડાકીય પદ્ધતિના સરેરાશ-કેસ વિશ્લેષણનું પ્રારંભિક ઉદાહરણ. સુલ્ડિનના દ્રષ્ટિકોણને પાછળથી માઇક લાર્કિન દ્વારા વિસ્તૃત કરવામાં આવ્યો હતો. નોંધ લો કે ઇન્ટિગ્રેન્ડ પર અગાઉની સુલ્ડિનની બ્રાઉનિયન ગતિ એ ગૌસીયન માપ છે અને એકીકરણની કામગીરી અને બિંદુ મુજબ મૂલ્યાંકન બંને રેખીય નકશા છે. આમ, ચોક્કસ સંકલન એ વાસ્તવિક મૂલ્ય ધરાવતું ગૌસીયન રેન્ડમ ચલ છે. ખાસ કરીને, અવલોકન કરેલા બિંદુ મુજબના મૂલ્યો પર કન્ડીશનીંગ કર્યા પછી, તે સામાન્ય વિતરણને અનુસરે છે, જેમાં સરેરાશ સમાન ટ્રેપેઝોઇડલ નિયમ અને સમાન ભિન્નતા છે. આ દ્રષ્ટિકોણ બાયેસિયન ચતુર્ભુજની ખૂબ નજીક છે, જે ચતુર્ભુજ પદ્ધતિના આઉટપુટને માત્ર એક બિંદુ અંદાજ તરીકે નહીં પરંતુ તેના પોતાના અધિકારમાં સંભાવના વિતરણ તરીકે જુએ છે. હૌમન ઓહાદી અને સહયોગીઓ દ્વારા નોંધવામાં આવ્યું છે તેમ, આંકડાકીય અંદાજ અને આંકડાકીય અનુમાન વચ્ચેની આંતરપ્રક્રિયાઓ પણ પલસ્તી અને રેની, સાર્ડ, કિમેલ્ડોર્ફ અને વાહબા (બાયેસિયન અંદાજ અને સ્પ્લાઇન સ્મૂથિંગ/ઇન્ટરપોલેશન વચ્ચેના પત્રવ્યવહાર પર) અને લાર્કિન (ગૌસીયન પ્રક્રિયા રીગ્રેસન અને આંકડાકીય અંદાજ વચ્ચેના પત્રવ્યવહાર પર) માં શોધી શકાય છે. રેન્ડમ પ્રક્રિયામાંથી નમૂના તરીકે સંપૂર્ણ રીતે જાણીતા કાર્યનું મોડેલિંગ કરવાનો અભિગમ વિરોધાભાસી લાગે છે, તેમ છતાં તેને સમજવા માટેનું એક કુદરતી માળખું માહિતી-આધારિત જટિલતા (આઇબીસી) માં મળી શકે છે, જે ગણતરીની જટિલતાની શાખા છે જે અવલોકન પર આધારિત છે કે આંકડાકીય અમલીકરણ માટે આંશિક માહિતી અને મર્યાદિત સંસાધનો સાથે ગણતરીની જરૂર છે. આઇ. બી. સી. માં, અપૂર્ણ માહિતી પર કામ કરતા અલ્ગોરિધમનો પ્રભાવ ગુમ થયેલ માહિતીના સંદર્ભમાં સૌથી ખરાબ સ્થિતિ અથવા સરેરાશ સ્થિતિ (અવ્યવસ્થિત) સેટિંગમાં વિશ્લેષણ કરી શકાય છે. વધુમાં, પેકેલે અવલોકન કર્યું તેમ, સરેરાશ કેસ સેટિંગને મિશ્ર (રેન્ડમાઇઝ્ડ) વ્યૂહરચનાઓ પર (સૌથી ખરાબ-કેસ) મિનિમેક્સ સમસ્યાને મિનિમેક્સ સમસ્યામાં ઉઠાવીને મેળવેલી પ્રતિકૂળ રમતમાં મિશ્ર વ્યૂહરચના તરીકે અર્થઘટન કરી શકાય છે. આ અવલોકન આંકડાકીય અંદાજ અને વોલ્ડના નિર્ણય સિદ્ધાંત વચ્ચે કુદરતી જોડાણ તરફ દોરી જાય છે, જે દેખીતી રીતે વોન ન્યુમેનના રમતના સિદ્ધાંતથી પ્રભાવિત છે. આ જોડાણનું વર્ણન કરવા માટે મિચેલ્લી અને રિવલિનના શ્રેષ્ઠ પુનઃપ્રાપ્તિ સેટિંગને ધ્યાનમાં લો જેમાં કોઈ વ્યક્તિ તે કાર્ય પર મર્યાદિત સંખ્યામાં રેખીય માપમાંથી અજ્ઞાત કાર્યને અંદાજિત કરવાનો પ્રયાસ કરે છે. આ શ્રેષ્ઠ પુનઃપ્રાપ્તિ સમસ્યાને શૂન્ય-રકમની રમત તરીકે અર્થઘટન કરીને જ્યાં ખેલાડી I અજ્ઞાત કાર્યને પસંદ કરે છે અને ખેલાડી II તેના અંદાજને પસંદ કરે છે, અને નુકસાનને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે દ્વિઘાત ધોરણમાં સંબંધિત ભૂલોનો ઉપયોગ કરીને, ગૌસીયન પ્રાયર્સ આવી રમતો માટે શ્રેષ્ઠ મિશ્ર વ્યૂહરચના તરીકે ઉભરી આવે છે, અને શ્રેષ્ઠ ગૌસીયન પહેલાનું સહપરિવર્તન સંચાલક પુનઃપ્રાપ્તિની સંબંધિત ભૂલને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે ઉપયોગમાં લેવાતા દ્વિઘાત ધોરણ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. સોફ્ટવેર પ્રોબનમઃ પાયથોનમાં સંભવિત આંકડાકીય. ProbNumDiffEq.jl: જુલિયામાં અમલમાં મૂકાયેલ ફિલ્ટરિંગ પર આધારિત સંભવિત આંકડાકીય ODE સોલ્વર્સ. ઇમુકિટઃ અનિશ્ચિતતા હેઠળ નિર્ણય લેવા માટે અનુકૂળ પાયથોન ટૂલબોક્સ. બેકપેકઃ પાયટોર્ચની ટોચ પર બાંધવામાં આવ્યું છે. તે ગ્રેડિયન્ટ સિવાયના જથ્થાની અસરકારક રીતે ગણતરી કરે છે. સરેરાશ-કેસ વિશ્લેષણ માહિતી-આધારિત જટિલતા અનિશ્ચિતતા પરિમાણ સંદર્ભો લાગુ આંકડાશાસ્ત્ર મશીન લર્નિંગ લાગુ ગણિત પણ જુઓ.