Perles configuration
ભૂમિતિમાં, પર્લ્સ રૂપરેખાંકન એ યુક્લિડિયન સમતલમાં નવ બિંદુઓ અને નવ રેખાઓની એક પ્રણાલી છે, જેના માટે દરેક સંયુક્ત રીતે સમકક્ષ અનુભૂતિ તેના કોઓર્ડિનેટ્સમાંથી એક તરીકે ઓછામાં ઓછી એક અતાર્કિક સંખ્યા ધરાવે છે. તે નિયમિત પંચકોણની કર્ણ અને સમપ્રમાણતા રેખાઓમાંથી બનાવી શકાય છે, જેમાં સમપ્રમાણતા રેખાઓમાંથી એકને બાકાત રાખવામાં આવે છે. બદલામાં, તેનો ઉપયોગ ઉચ્ચ-પરિમાણીય બહિર્મુખ બહુપદી બનાવવા માટે થઈ શકે છે જેને તર્કસંગત કોઓર્ડિનેટ્સ આપી શકાતા નથી, જેમાં કોઈપણ જાણીતા ઉદાહરણની સૌથી ઓછી શિરોબિંદુઓ હોય છે. પ્રોજેક્ટિવ પ્લેનમાં પર્લ્સ રૂપરેખાંકનની તમામ અનુભૂતિઓ પ્રોજેક્ટિવ પરિવર્તન હેઠળ એકબીજાની સમકક્ષ હોય છે. બાંધકામ પર્લ્સ રૂપરેખાંકન બનાવવાની એક રીત નિયમિત પંચકોણ અને તેના પાંચ કર્ણથી શરૂ કરવાની છે. આ કર્ણ બાહ્ય પંચકોણની અંદર આવેલા નાના આંતરિક પંચકોણની બાજુઓ બનાવે છે. બાહ્ય પંચકોણનો દરેક શિરોબિંદુ આંતરિક પંચકોણના શિરોબિંદુથી વિરુદ્ધ સ્થિત છે. રૂપરેખાંકનના નવ બિંદુઓમાં દરેક પંચકોણના પાંચ શિરોબિંદુઓમાંથી ચાર અને બે પંચકોણોનું વહેંચાયેલું કેન્દ્ર હોય છે. બે વિરુદ્ધ શિરોબિંદુઓ અવગણવામાં આવ્યા છે, દરેક પંચકોણમાંથી એક. રૂપરેખાંકનની નવ રેખાઓમાં પાંચ રેખાઓ હોય છે જે બાહ્ય પંચકોણ અને આંતરિક પંચકોણની બાજુઓના કર્ણ હોય છે, અને ચાર રેખાઓ જે કેન્દ્રમાંથી અને બે પંચકોણમાંથી શિરોબિંદુઓની વિરુદ્ધ જોડીમાંથી પસાર થાય છે. પ્રોજેક્ટિવ ઇનવેરિયન્સ અને અતાર્કિકતા પર્લ્સ રૂપરેખાંકનની અનુભૂતિને સમાન આંતરછેદ પેટર્ન સાથે કોઈપણ નવ બિંદુઓ અને નવ રેખાઓનો સમાવેશ કરવા માટે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. તેનો અર્થ એ છે કે એક બિંદુ અને રેખા અનુભૂતિમાં એકબીજાને છેદે છે, જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તેઓ નિયમિત પંચકોણથી બનેલા રૂપરેખાંકનમાં છેદે છે. યુક્લિડિયન સમતલમાં અથવા, વધુ સામાન્ય રીતે, વાસ્તવિક પ્રોજેક્ટિવ સમતલમાં આ રૂપરેખાંકનની દરેક અનુભૂતિ, પ્રોજેક્ટિવ પરિવર્તન હેઠળ, નિયમિત પંચકોણથી આ રીતે બાંધવામાં આવેલી અનુભૂતિને સમકક્ષ છે. કારણ કે ક્રોસ-રેશિયો, કોઈપણ ચાર કોલિનિયર બિંદુઓથી વ્યાખ્યાયિત સંખ્યા, પ્રોજેક્ટિવ પરિવર્તન હેઠળ બદલાતી નથી, દરેક અનુભૂતિમાં ચાર બિંદુઓ હોય છે જે નિયમિત પંચકોણમાંથી મેળવેલા અનુભૂતિમાં ચાર કોલિનિયર બિંદુઓના ક્રોસ-રેશિયો સમાન ક્રોસ-રેશિયો ધરાવે છે. પરંતુ, આ ચાર બિંદુઓનો ક્રોસ-રેશિયો છે, જ્યાં સુવર્ણ ગુણોત્તર, એક અતાર્કિક સંખ્યા છે. તર્કસંગત કોઓર્ડિનેટ્સ ધરાવતા દરેક ચાર સમરેખીય બિંદુઓ તર્કસંગત ક્રોસ રેશિયો ધરાવે છે, તેથી પર્લ્સ રૂપરેખાંકન તર્કસંગત બિંદુઓ દ્વારા અનુભવી શકાતું નથી. બ્રાન્કો ગ્રુનબૌમે અનુમાન લગાવ્યું છે કે દરેક રૂપરેખાંકન કે જે અતાર્કિક પરંતુ તર્કસંગત સંખ્યાઓ દ્વારા પ્રાપ્ત કરી શકાય છે તેમાં ઓછામાં ઓછા નવ બિંદુઓ હોય છે; જો એમ હોય તો, પર્લ્સ રૂપરેખાંકન બિંદુઓ અને રેખાઓનું સૌથી નાનું શક્ય અતાર્કિક રૂપરેખાંકન હશે. પોલિહેડ્રલ સંયોજનશાસ્ત્રમાં ઉપયોગથી પર્લેસે તેના રૂપરેખાંકનનો ઉપયોગ બાર શિરોબિંદુઓ સાથે આઠ-પરિમાણીય બહિર્મુખ પોલિટોપનું નિર્માણ કરવા માટે કર્યો હતો જે સમાન રીતે વાસ્તવિક કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે અનુભવી શકાય છે પરંતુ તર્કસંગત કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે નહીં. રૂપરેખાંકનના બિંદુઓ, તેમાંથી ત્રણ બમણા થયા અને દરેક બિંદુ સાથે સંકળાયેલા સંકેતો સાથે, પર્લ્સ પોલીટોપનું ગેલ આકૃતિ બનાવે છે. અર્ન્સ્ટ સ્ટેનિટ્ઝના સ્ટેનિટ્ઝના પ્રમેયના પુરાવાનો ઉપયોગ એ બતાવવા માટે કરી શકાય છે કે દરેક ત્રિ-પરિમાણીય પોલીટોપને તર્કસંગત કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે અનુભવી શકાય છે, પરંતુ હવે તે જાણીતું છે કે ચાર પરિમાણોમાં અતાર્કિક પોલીટોપ અસ્તિત્વ ધરાવે છે. જો કે, પર્લ્સ પોલીટોપ કોઈપણ જાણીતા અતાર્કિક પોલીટોપ કરતાં સૌથી ઓછા શિરોબિંદુઓ ધરાવે છે. ઇતિહાસ અને સંબંધિત કાર્ય ધ પર્લ્સ રૂપરેખાંકન 1960ના દાયકામાં મીખા પર્લ્સ દ્વારા રજૂ કરવામાં આવ્યું હતું. બિંદુઓ અને રેખાઓના અતાર્કિક રૂપરેખાંકનનું આ પ્રથમ જાણીતું ઉદાહરણ નથી. બે ના વર્ગમૂળને અનુરૂપ રૂપરેખાંકન બનાવવા માટે વોન સ્ટાઉડના થ્રોના બીજગણિતને લાગુ કરીને મેળવેલ 11-પોઇન્ટનું ઉદાહરણ વર્ણવે છે. નિયમિત પ્રોજેક્ટિવ રૂપરેખાંકનો, બિંદુઓ અને રેખાઓની મર્યાદિત પ્રણાલીઓના અભ્યાસનો લાંબો ઇતિહાસ છે જેમાં દરેક બિંદુ સમાન રીતે ઘણી રેખાઓને સ્પર્શે છે અને દરેક રેખા સમાન રીતે ઘણા બિંદુઓને સ્પર્શે છે. જો કે, આ રૂપરેખાંકનોની જેમ જ નામ આપવામાં આવ્યું હોવા છતાં, પર્લ્સ રૂપરેખાંકન નિયમિત નથીઃ તેના મોટાભાગના બિંદુઓ ત્રણ રેખાઓને સ્પર્શ કરે છે અને તેની મોટાભાગની રેખાઓ ત્રણ બિંદુઓને સ્પર્શ કરે છે, પરંતુ ચાર બિંદુઓની એક રેખા અને ચાર રેખાઓ પર એક બિંદુ હોય છે. આ સંદર્ભમાં તે પાપ્પસ રૂપરેખાંકનથી અલગ છે, જેમાં નવ બિંદુઓ અને નવ રેખાઓ પણ છે, પરંતુ દરેક રેખા પર ત્રણ બિંદુઓ અને દરેક બિંદુ દ્વારા ત્રણ રેખાઓ છે. નોંધો સંદર્ભો રૂપરેખાંકનો (ભૂમિતિ) પોલિહેડ્રલ સંયોજનશાસ્ત્ર