Boundary particle method
લાગુ ગણિતમાં, બાઉન્ડ્રી પાર્ટિકલ મેથડ (બી. પી. એમ.) એ બાઉન્ડ્રી-ઓનલી મેશલેસ (મેશફ્રી) કોલોકેશન તકનીક છે, એ અર્થમાં કે બિન-સજાતીય આંશિક વિભેદક સમીકરણોના આંકડાકીય ઉકેલમાં આંતરિક ગાંઠોમાંથી કોઈની જરૂર નથી. આંકડાકીય પ્રયોગો દર્શાવે છે કે બી. પી. એમ. માં વર્ણપટ અભિસરણ છે. તેનો અંતર્વેશન મેટ્રિક્સ સપ્રમાણ હોઈ શકે છે. ઇતિહાસ અને તાજેતરના વિકાસ તાજેતરના દાયકાઓમાં, દ્વિ પારસ્પરિકતા પદ્ધતિ (ડી. આર. એમ.) અને બહુવિધ પારસ્પરિકતા પદ્ધતિ (એમ. આર. એમ.) સીમા પૃથક્કરણ તકનીકો, જેમ કે સીમા તત્વ પદ્ધતિ (બી. ઈ. એમ.) સાથે જોડાણમાં બિન-એકરૂપ આંશિક વિભેદક સમીકરણોના ચોક્કસ ઉકેલનું મૂલ્યાંકન કરવા માટે આશાસ્પદ તકનીકો તરીકે ઉભરી રહી છે. દાખલા તરીકે, કહેવાતી ડી. આર.-બી. ઈ. એમ. અને એમ. આર.-બી. ઈ. એમ. બિન-એકરૂપ સમસ્યાઓના સંખ્યાત્મક ઉકેલમાં લોકપ્રિય બી. ઈ. એમ. તકનીકો છે. ચોક્કસ ઉકેલનું મૂલ્યાંકન કરવા માટે ડી. આર. એમ. એક સામાન્ય પદ્ધતિ બની ગઈ છે. જો કે, કન્વર્જન્સ અને સ્થિરતાની બાંયધરી આપવા માટે ડી. આર. એમ. ને આંતરિક ગાંઠોની જરૂર પડે છે. એમ. આર. એમ. નો ડી. આર. એમ. પર ફાયદો એ છે કે તેને બિન-એકરૂપ સમસ્યાઓ માટે આંતરિક નોડ્સનો ઉપયોગ કરવાની જરૂર નથી. ડી. આર. એમ. ની સરખામણીમાં, એમ. આર. એમ. અંતર્વેશન મેટ્રિક્સના નિર્માણમાં ગણતરીની દ્રષ્ટિએ વધુ ખર્ચાળ છે અને વિનાશ પ્રક્રિયામાં ઉચ્ચ ક્રમના લેપલેસિયન ઓપરેટરોના પરંપરાગત ઉપયોગને કારણે સામાન્ય બિન-સજાતીય સમસ્યાઓ માટે મર્યાદિત લાગુ પડે છે. ઉપરોક્ત સમસ્યાઓને દૂર કરવા માટે પુનરાવર્તિત સંયુક્ત બહુવિધ પારસ્પરિકતા પદ્ધતિ (આર. સી.-એમ. આર. એમ.) ની દરખાસ્ત કરવામાં આવી હતી. આર. સી.-એમ. આર. એમ. નો મુખ્ય વિચાર સંચાલક સમીકરણમાં સંખ્યાબંધ બિન-એકરૂપ શબ્દોને દૂર કરવા માટે ઉચ્ચ-ક્રમના લેપલેસિયન ઓપરેટરોને બદલે ઉચ્ચ-ક્રમના સંયુક્ત વિભેદક ઓપરેટરોને નિયુક્ત કરવાનો છે. આર. સી.-એમ. આર. એમ. કોમ્પ્યુટેશનલ ખર્ચ ઘટાડવા માટે એમ. આર. એમ. ઇન્ટરપોલેશન મેટ્રિક્સની પુનરાવર્તિત રચનાઓનો ઉપયોગ કરે છે. સીમા કણ પદ્ધતિ (બી. પી. એમ.) એ મૂળભૂત ઉકેલની પદ્ધતિ (એમ. એફ. એસ.), સીમા ગાંઠ પદ્ધતિ (બી. કે. એમ.), નિયમિત જાળી વિનાની પદ્ધતિ (આર. એમ. એમ.), એકવચન સીમા પદ્ધતિ (એસ. બી. એમ.) અને ટ્રેફ્ટઝ પદ્ધતિ (ટી. એમ.) જેવી મજબૂત-સ્વરૂપની જાળી વિનાની સીમા જોડાણ વિચ્છેદન યોજનાઓ સાથે આર. સી.-એમ. આર. એમ. ને જોડીને એક અસમરૂપ આંશિક વિભેદક સમીકરણનું સીમા-માત્ર વિભેદન છે. બી. પી. એમ. બિન-સજાતીય હેલ્મહોલ્ટ્ઝ સમીકરણ અને સંવહન-પ્રસરણ સમીકરણ જેવી સમસ્યાઓ પર લાગુ કરવામાં આવ્યું છે. બી. પી. એમ. અંતર્વેશન રજૂઆત વેવલેટ શ્રેણીની છે. બી. પી. એમ. ને હેલ્મહોલ્ટ્ઝ, પોઈસન અને પ્લેટ બેન્ડિંગ સમસ્યાઓમાં લાગુ કરવા માટે, ઉચ્ચ-ક્રમના મૂળભૂત ઉકેલ અથવા સામાન્ય ઉકેલ, હાર્મોનિક કાર્ય અથવા ટ્રેફ્ટઝ કાર્ય (ટી-પૂર્ણ કાર્યો) નો ઉપયોગ ઘણીવાર થાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, બર્જર, વિંકલર અને કંપનશીલ પાતળા પ્લેટ સમીકરણો. આ પદ્ધતિ પોઈસન અને બિન-સજાતીય હેલ્મહોલ્ટ્ઝ સમીકરણો સાથે સંકળાયેલી વ્યસ્ત કોચી સમસ્યા પર લાગુ કરવામાં આવી છે. વધુ ટિપ્પણીઓ બી. પી. એમ. ને જટિલ સ્રોત કાર્યો ધરાવતી સમસ્યાઓના ઉકેલમાં મુશ્કેલીનો સામનો કરવો પડી શકે છે, જેમ કે બિન-સરળ, મોટા-ઢાળ કાર્યો અથવા અલગ માપેલા ડેટાનો સમૂહ. આવી સમસ્યાઓના ઉકેલમાં નીચેનાનો સમાવેશ થાય છેઃ (1) જટિલ કાર્યો અથવા અલગ માપેલા ડેટાના સમૂહને બહુપદી અથવા ત્રિકોણમિતિ કાર્ય શ્રેણીના સરવાળા દ્વારા પ્રક્ષેપિત કરી શકાય છે. પછી, આર. સી.-એમ. આર. એમ. બિન-સજાતીય સમીકરણને ઉચ્ચ ક્રમના સજાતીય સમીકરણમાં ઘટાડી શકે છે, અને બી. પી. એમ. નો અમલ સીમા-માત્ર પૃથક્કરણ સાથે આ સમસ્યાઓને ઉકેલવા માટે કરી શકાય છે. (2) ડોમેન વિઘટનનો ઉપયોગ બી. પી. એમ. સીમા-માત્ર મોટા-ગ્રેડિયન્ટ સ્રોત કાર્યોની સમસ્યાઓના ઉકેલ માટે થઈ શકે છે. મેશફ્રી પદ્ધતિ રેડિયલ બેસિસ ફંક્શન બાઉન્ડ્રી એલિમેન્ટ પદ્ધતિ ટ્રેફ્ટઝ પદ્ધતિ મૂળભૂત ઉકેલની પદ્ધતિ બાઉન્ડ્રી ગાંઠ પદ્ધતિ સિંગ્યુલર બાઉન્ડ્રી પદ્ધતિ સંદર્ભો બાહ્ય કડીઓ બાઉન્ડ્રી પાર્ટિકલ પદ્ધતિ ફ્રી સોફ્ટવેર અને મેટલેબ કોડ્સ વિંકર પ્લેટ બેન્ડિંગ એનાલિસિસ બી. પી. એમ. ટૂલબોક્સ ઇન્વર્સ કોચી સમસ્યાઓ માટે આંકડાકીય વિશ્લેષણ આંકડાકીય વિભેદક સમીકરણો