Bernoulli umbra
ઉમ્બ્રલ કેલ્ક્યુલસમાં, બર્નૌલી અંબ્રા એ એક અંબ્રા છે, એક ઔપચારિક પ્રતીક છે, જે સંબંધ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે, જ્યાં અનુક્રમણિકા-ઘટાડતી સંચાલક છે, જેને મૂલ્યાંકન સંચાલક તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે અને બર્નૌલી સંખ્યાઓ છે, જેને અંબ્રાની ક્ષણો કહેવામાં આવે છે. સમાન અંબ્રા, તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જ્યાં તેનો ઘણીવાર ઉપયોગ થાય છે અને કેટલીકવાર તેને બર્નૌલી અંબ્રા પણ કહેવામાં આવે છે. તેઓ સમાનતા દ્વારા સંબંધિત છે. યુલર અંબ્રાની સાથે, બર્નૌલી અંબ્ર સૌથી મહત્વપૂર્ણ અંબ્રામાંનું એક છે. લેવિ-સિવિટા ક્ષેત્રમાં, બર્નૌલી અંબ્રાને પાવર સિરીઝવાળા તત્વો દ્વારા રજૂ કરી શકાય છે અને પાવર સિરીઝના ગુણાંકને અનુરૂપ ઇન્ડેક્સ ઓપરેટરને ઘટાડી શકાય છે. શબ્દોના અંકો OEIS A118050 માં આપવામાં આવ્યા છે અને છેદ OEIS A118051 માં છે. ના ગુણાંક બિન-શૂન્ય હોવાથી, બંને અનંત મોટી સંખ્યાઓ છે, જે અનંત નજીક (પરંતુ સમાન નથી, થોડી નાની) અને અનંત નજીક (થોડી નાની) છે. હાર્ડી ક્ષેત્રોમાં (જે લેવિ-સિવિટા ક્ષેત્રનું સામાન્યીકરણ છે) અંબ્રા કાર્યની અનંતતા પર સૂક્ષ્મજીવને અનુરૂપ હોય છે જ્યારે અનંતતા પર સૂક્ષ્મજીવને અનુરૂપ હોય છે, જ્યાં વ્યસ્ત દિગમ્મા કાર્ય છે. બર્નોઉલી બહુપદીઓ એ બર્નોઉલી સંખ્યાઓનું સામાન્યીકરણ હોવાથી, બર્નોઉલી અંબ્રાનું ઘાતાંક બર્નોઉલી બહુપદીઓ દ્વારા વ્યક્ત કરી શકાય છેઃ જ્યાં વાસ્તવિક અથવા જટિલ સંખ્યા છે. હર્વિટ્ઝ ઝેટા કાર્યનો ઉપયોગ કરીને આને વધુ સામાન્ય બનાવી શકાય છેઃ ઝેટા કાર્ય માટે રીમાન કાર્યાત્મક સમીકરણમાંથી તે વ્યુત્પન્ન નિયમને અનુસરે છે કારણ કે અને તે ક્રમના માત્ર બે સભ્યો છે અને જે અલગ પડે છે, કોઈપણ વિશ્લેષણાત્મક કાર્ય માટે નીચેનો નિયમ અનુસરે છેઃ બર્નૌલી અંબ્રાના પ્રાથમિક કાર્યો સામાન્ય નિયમ તરીકે, નીચેનું સૂત્ર કોઈપણ વિશ્લેષણાત્મક કાર્ય માટે ધરાવે છેઃ આ બર્નૌલી અંબ્રાના પ્રાથમિક કાર્યો માટે અભિવ્યક્તિઓ મેળવવાની મંજૂરી આપે છે. ખાસ કરીને, ખાસ કરીને, ઘાતાંકીય અને લઘુગણક કાર્યો વચ્ચેના સંબંધો બર્નૌલી અમ્બ્રા એક બાજુ ઘાતાંકીય, ત્રિકોણમિતીય અને હાયપરબોલિક કાર્યો અને બીજી બાજુ લઘુગણક, વ્યુત્ક્રમ ત્રિકોણમિતીય અને વ્યુત્ક્રમ હાયપરબોલિક કાર્યો વચ્ચે બંધ સ્વરૂપમાં સંબંધો સ્થાપિત કરવાની મંજૂરી આપે છેઃ સંદર્ભો બહુપદી મર્યાદિત તફાવતો સંયોજન ફેક્ટોરિયલ અને દ્વિપદી વિષયો