Quasirandom group
ગણિતમાં, ક્વાસીરેન્ડમ જૂથ એ એક જૂથ છે જેમાં મોટા ઉત્પાદન-મુક્ત ઉપગણનો સમાવેશ થતો નથી. આવા જૂથો ચોક્કસપણે નાના બિન-તુચ્છ ઇરેડ્યુસિબલ પ્રતિનિધિત્વ વિનાના છે. આ જૂથોના નામ ગ્રાફ થિયરી સાથેના તેમના જોડાણમાંથી ઉદ્ભવે છેઃ ક્વાસીરેન્ડમ જૂથના કોઈપણ સબસેટ પરના દ્વિપક્ષી કેલે ગ્રાફ હંમેશા દ્વિપક્ષી ક્વાસીરેન્ડમ ગ્રાફ હોય છે. પ્રેરણા ક્વાસીરેન્ડમ જૂથોની કલ્પના ત્યારે ઉદ્ભવે છે જ્યારે જૂથોના ઉપગણને ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે, જેના માટે ઉપગણમાં કોઈ બે ઘટકો ઉપગણમાં ઉત્પાદન ધરાવતા નથી; આવા ઉપગણને ઉત્પાદન-મુક્ત કહેવામાં આવે છે. લેઝલો બાબાઇ અને વેરા સોસે અચળાંકના અસ્તિત્વ વિશે પૂછ્યું જેના માટે ક્રમ સાથેના દરેક મર્યાદિત જૂથમાં ઓછામાં ઓછા કદ સાથે ઉત્પાદન-મુક્ત સબસેટ હોય છે. પૂર્ણાંકોના સરવાળા-મુક્ત સમૂહો વિશે પોલ એર્દોસના જાણીતા પરિણામનો ઉપયોગ એ સાબિત કરવા માટે કરી શકાય છે કે અબેલિયન જૂથો માટે પૂરતું છે, પરંતુ તે તારણ આપે છે કે આવા અચળાંક બિન-અબેલિયન જૂથો માટે અસ્તિત્વમાં નથી. બિન-તુચ્છ નીચલા અને ઉપલા સીમાઓ બંને હવે ઓર્ડર સાથે જૂથના સૌથી મોટા ઉત્પાદન-મુક્ત ઉપગણના કદ માટે જાણીતા છે. નીચી સીમા પૂરતા પ્રમાણમાં ઘણા કોસેટ્સના જોડાણનો મોટો સબસેટ લઈને સાબિત કરી શકાય છે, અને કોઈપણ મુખ્ય માટે પ્રોજેક્ટિવ વિશેષ રેખીય જૂથને ધ્યાનમાં લઈને ની ઉપરની સીમા આપવામાં આવે છે. ઉપલા બંધને સાબિત કરવાની પ્રક્રિયામાં, ટિમોથી ગોવર્સે ઉત્પાદન-મુક્ત સ્થિતિને સમાવવા માટે ક્વાસીરેન્ડમ જૂથની કલ્પનાને વ્યાખ્યાયિત કરી અને આલેખ સિદ્ધાંતમાં ક્વાસીરેન્ડમને સમાવતી સમાનતાઓ સાબિત કરી. ગ્રાફ ક્વાસીરેન્ડમ ઔપચારિક રીતે, એક જૂથ ક્વાસીરેન્ડમ છે કે નહીં તે વિશે વાત કરવાનો કોઈ અર્થ નથી. ક્વાસીરેન્ડમની કડક વ્યાખ્યા જૂથોના ક્રમને લાગુ પડશે, પરંતુ પ્રથમ દ્વિપક્ષી ગ્રાફ ક્વાસીરેન્ડમનેસને વ્યાખ્યાયિત કરવી આવશ્યક છે. જૂથોના ક્રમને ધ્યાનમાં લેવાની પ્રેરણા ગ્રાફોન સાથેના તેના જોડાણમાંથી ઉદ્ભવે છે, જેને ચોક્કસ અર્થમાં ગ્રાફની મર્યાદા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. જો નીચેની કોઈપણ સમકક્ષ શરતો હોય તો શિરોબિંદુઓ, શિરોબિંદુ ભાગો અને કિનારીઓ સાથે દ્વિદલીય આલેખનો એક ક્રમ (અહીં પૂર્ણાંકોને અનંત સુધી છોડવાની મંજૂરી છે) નિશ્ચિત કરો, અને જો નીચેની કોઈપણ સમકક્ષ શરતો હોય તો કિનારીઓ ક્વાસીરેન્ડમ છેઃ દરેક દ્વિદલીય આલેખ માટે શિરોબિંદુ ભાગો સાથે અને, તેમાં જડિત અને એમ્બેડ કરેલી લેબલ કરેલી નકલોની સંખ્યા અહીં છે, કાર્યને તેના પર આધાર રાખવાની મંજૂરી છે. આવા આલેખને ક્વાસીરેન્ડમ કહેવામાં આવે છે કારણ કે દરેક શરત ભારપૂર્વક જણાવે છે કે જો દ્વિપક્ષી આલેખ એર્ડોસ-રેની રેન્ડમ ગ્રાફ મોડેલ અનુસાર પેદા કરવામાં આવ્યો હોય તો ગણવામાં આવતા જથ્થાની લગભગ અપેક્ષા રાખવામાં આવે છે; એટલે કે, દરેક સંભવિત ધારને વચ્ચે અને સ્વતંત્ર રીતે સંભાવના સાથે સામેલ કરીને પેદા થાય છે. ચોક્કસપણે કહીએ તો, ક્વાસીરેન્ડમની કોઈપણ સમકક્ષ વ્યાખ્યાઓને જોતાં, આ શબ્દને નાના અચળાંક દ્વારા બદલી શકાય છે, અને તે ચોક્કસ સુધારેલી સ્થિતિને સંતોષતા કોઈપણ આલેખને-ક્વાસીરેન્ડમ કહી શકાય. તે તારણ આપે છે કે કોઈ પણ શરત હેઠળ-ક્વાસીરેન્ડમનેસ એ કોઈ ચોક્કસ અચળાંક માટે અન્ય કોઈ પણ શરત હેઠળ-ક્વાસીરેન્ડમની સમકક્ષ છે. દ્વિપક્ષી કેલે આલેખ આલેખ-સૈદ્ધાંતિક સેટિંગમાં ક્વાસીરેન્ડમનેસને જૂથ-સૈદ્ધાંતિક સેટિંગમાં અનુવાદિત કરવાનો માર્ગ આપે છે. મર્યાદિત જૂથ અને ઉપગણને જોતાં, દ્વિપક્ષી કેલે આલેખ એ શિરોબિંદુ સમૂહો સાથેનો દ્વિપક્ષી આલેખ છે અને દરેકને તત્વો દ્વારા લેબલ કરવામાં આવે છે, જેની ધાર શિરોબિંદુઓ વચ્ચે હોય છે, જેનો ગુણોત્તર વ્યાખ્યાનું એક તત્વ હોય છે. જો દરેક વાસ્તવિક સંખ્યા અને ઉપગણની પસંદગી માટે, આલેખનો ક્રમ ક્વાસિરાન્ડમ હોય તો (ફરીથી, પૂર્ણાંકોને છોડવાની મંજૂરી આપવામાં આવે છે) સાથે જૂથોનો ક્રમ ક્વાસિરાન્ડમ છે. જો કે ક્વાસીરેન્ડમનેસને માત્ર જૂથોના ક્રમ માટે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે, ચોક્કસ જૂથો માટે-ક્વાસીરેન્ડમની વિભાવનાને ચોક્કસ આલેખ માટે-ક્વાસીરેન્ડમની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીને જૂથો સુધી વિસ્તૃત કરી શકાય છે. ગુણધર્મો ગોવર્સ દ્વારા સાબિત થયા મુજબ, જૂથની ક્વાસીરેન્ડમનેસ સંખ્યાબંધ વિવિધ શરતોની સમકક્ષ હોવાનું બહાર આવ્યું છે. ચોક્કસપણે કહીએ તો, જૂથોના ક્રમને જોતાં, નીચેના સમકક્ષ છેઃ ક્વાસીરેન્ડમ છે; એટલે કે, દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કેલે ગ્રાફના તમામ ક્રમ ક્વાસીરેન્ડમ છે. સૌથી નાની બિન-તુચ્છ રજૂઆતનું પરિમાણ અમર્યાદિત છે. સૌથી મોટા ઉત્પાદન-મુક્ત ઉપગણનું કદ સૌથી નાના બિન-તુચ્છ ભાગનું કદ અમર્યાદિત છે. સ્યુડોરાન્ડમ જૂથોમાંથી પેદા થયેલા કેલે આલેખમાં મજબૂત મિશ્રણ ગુણધર્મો હોય છે; એટલે કે, કેટલાક શૂન્ય તરફ વલણ ધરાવે છે અને અનંત તરફ વલણ ધરાવે છે તે માટે તે દ્વિપક્ષી આલેખ છે. (યાદ કરો કે આલેખ એ શિરોબિંદુઓ સાથેનો આલેખ છે, દરેક ડિગ્રી સાથે, જેની નિકટતા મેટ્રિક્સ મહત્તમ બીજા ક્રમનું સૌથી મોટું આઈગન વેલ્યુ ધરાવે છે) હકીકતમાં, તે દર્શાવી શકાય છે કે કોઈપણ-ક્વાસીરેન્ડમ જૂથ માટે, સાથે ઉકેલોની સંખ્યા,, અને જો અવ્યવસ્થિત રીતે પસંદ કરવામાં આવે તો કોઈ શું અપેક્ષા રાખી શકે તે લગભગ સમાન છે; એટલે કે, લગભગ સમાન આ પરિણામ વિસ્તૃત મિશ્રણ લેમ્માના સીધા ઉપયોગથી અનુસરે છે. ઉદાહરણો ક્વાસીરેન્ડમ જૂથોના ઘણા નોંધપાત્ર પરિવારો છે. દરેક કિસ્સામાં, ક્વાસીરેન્ડમનેસ ગુણધર્મો તેની સૌથી નાની બિન-તુચ્છ રજૂઆતના પરિમાણને ચકાસીને સૌથી સરળતાથી ચકાસવામાં આવે છે. મુખ્ય માટે પ્રોજેક્ટિવ વિશેષ રેખીય જૂથો ક્વાસીરેન્ડમ જૂથોની શ્રેણી બનાવે છે, કારણ કે ફ્રોબેનિયસનું ઉત્તમ પરિણામ જણાવે છે કે તેની સૌથી નાની બિન-તુચ્છ રજૂઆતમાં ઓછામાં ઓછું પરિમાણ હોય છે. હકીકતમાં, આ જૂથો જૂથ ક્રમના કાર્ય તરીકે સૌથી મોટા જાણીતા ન્યૂનતમ બિન-તુચ્છ રજૂઆત ધરાવતા જૂથો છે. વૈકલ્પિક જૂથો ક્વાસીરેન્ડમ છે, કારણ કે તેની સૌથી નાની બિન-તુચ્છ રજૂઆતમાં પરિમાણ હોય છે, વધતા ક્રમ સાથે બિન-ચક્રીય સરળ જૂથોનો કોઈપણ ક્રમ ક્વાસીરેન્ડમ છે, કારણ કે તેની સૌથી નાની બિન-તુચ્છ રજૂઆતમાં ઓછામાં ઓછું પરિમાણ હોય છે, જ્યાં જૂથનો ક્રમ છે. સંદર્ભ આલેખ સિદ્ધાંત જૂથ સિદ્ધાંત