Open set condition
ફ્રેક્ટલ ભૂમિતિમાં, ઓપન સેટ સ્થિતિ (OSC) એ સામાન્ય રીતે સ્વ-સમાન ફ્રેક્ટલ્સ પર લાદવામાં આવેલી સ્થિતિ છે. અમુક અર્થમાં, આ સ્થિતિ ફ્રેક્ટલ બાંધકામમાં ઓવરલેપ પર પ્રતિબંધો લાદે છે. ખાસ કરીને, સંકોચક મેપિંગ્સની પુનરાવર્તિત કાર્ય પ્રણાલીને જોતાં, ઓપન સેટ શરત માટે જરૂરી છે કે ત્યાં બે શરતોને સંતોષતો બિન-ખાલી, ઓપન સેટ V અસ્તિત્વમાં હોયઃ સેટ જોડી મુજબ અલગ હોય છે. પી. એ. પી. મોરાન દ્વારા 1946 માં રજૂ કરાયેલ, ઓપન સેટ શરતનો ઉપયોગ ચોક્કસ સ્વ-સમાન ફ્રેક્ટલ્સના પરિમાણોની ગણતરી કરવા માટે થાય છે, ખાસ કરીને સિયેરપિન્સ્કી ગાસ્કેટ. તેનો ઉપયોગ પેકિંગ માપની ગણતરીને સરળ બનાવવા માટે પણ થાય છે. ઓપન સેટ સ્થિતિનું સમકક્ષ નિવેદન એ જરૂરી છે કે સેટનું એસ-ડાયમેન્શનલ હૌસડોર્ફ માપ શૂન્ય કરતા વધારે હોય. કોમ્પ્યુટિંગ હૌસડોર્ફ પરિમાણ જ્યારે ઓપન સેટ સ્થિતિ ધરાવે છે અને દરેક એક સમાનતા છે (એટલે કે, આઇસોમેટ્રીની રચના અને અમુક બિંદુની આસપાસ વિસ્તરણ), ત્યારે અનન્ય નિશ્ચિત બિંદુ એ એક સમૂહ છે જેનું હૌસડોર્ફ પરિમાણ નીચેના s માટે અનન્ય ઉકેલ છેઃ જ્યાં ri એ સમાનતાના પ્રસરણની તીવ્રતા છે. આ પ્રમેય સાથે, સિયેરપિન્સ્કી ગાસ્કેટના હૌસડોર્ફ પરિમાણની ગણતરી કરી શકાય છે. સમતલ R2 માં ત્રણ બિન-સમરેખીય બિંદુઓ a1, a2, a3 નો વિચાર કરો અને એઆઇની આસપાસ 1/2 ગુણોત્તરનું વિસ્તરણ થવા દો. અનુરૂપ નકશાનો અનન્ય બિન-ખાલી નિશ્ચિત બિંદુ સિયેરપિન્સ્કી ગાસ્કેટ છે, અને પરિમાણ s એ ઉપરોક્ત સમીકરણની બંને બાજુના કુદરતી લઘુગણકને લઈને, આપણે s માટે ઉકેલી શકીએ છીએ, એટલે કેઃ s = ln (3)/ln (2). સિયેરપિન્સ્કી ગાસ્કેટ સ્વ-સમાન છે અને ઓ. એસ. સી. ને સંતુષ્ટ કરે છે. મજબૂત ઓપન સેટ સ્થિતિ મજબૂત ઓપન સેટ સ્થિતિ (એસ. ઓ. એસ. સી.) એ ઓપન સેટ સ્થિતિનું વિસ્તરણ છે. ફ્રેક્ટલ એફ એ એસ. ઓ. એસ. સી. ને સંતોષે છે જો, ઓ. એસ. સી. ને સંતોષવા ઉપરાંત, એફ અને ઓપન સેટ વી વચ્ચેનું આંતરછેદ ખાલી ન હોય. બે શરતો સ્વ-સમાન અને સ્વ-અનુરૂપ સમૂહો માટે સમકક્ષ છે, પરંતુ અન્ય સમૂહોના ચોક્કસ વર્ગો માટે નહીં, જેમ કે અનંત મેપિંગ સાથેની કાર્ય પ્રણાલીઓ અને બિન-યુક્લિડિયન મેટ્રિક જગ્યાઓમાં. આ કિસ્સાઓમાં, એસ. ઓ. સી. એસ. ખરેખર એક મજબૂત સ્થિતિ છે. આ પણ જુઓ કેન્ટોર સમૂહ હાઉસડોર્ફ પરિમાણ દ્વારા ફ્રેક્ટલ્સની સૂચિ મિન્કોવ્સ્કી-બુલીગંડ પરિમાણ પેકિંગ પરિમાણ સંદર્ભો ફ્રેક્ટલ્સ ઇટરેટેડ ફંક્શન સિસ્ટમ ફ્રેક્ટલ્સ