Phragmen's voting rules
ફ્રેગમેનના મતદાનના નિયમો બહુ-વિજેતા મતદાન માટેના નિયમો છે. તેઓ મતદારોને પક્ષોને બદલે વ્યક્તિગત ઉમેદવારોને મત આપવાની મંજૂરી આપે છે, પરંતુ તેમ છતાં પ્રમાણસર પ્રતિનિધિત્વની બાંયધરી આપે છે. તેઓ લાર્સ એડવર્ડ ફ્રેગમેન દ્વારા ફ્રેન્ચ અને સ્વીડિશમાં 1893 અને 1899 ની વચ્ચે પ્રકાશિત કરવામાં આવ્યા હતા, અને 2016 માં સ્વાન્તે જેનસન દ્વારા અંગ્રેજીમાં અનુવાદ કરવામાં આવ્યા હતા. ફ્રેગમેનના બે પ્રકારના નિયમો છેઃ મંજૂરી મતપત્રોનો ઉપયોગ કરતા નિયમો (એટલે કે, બહુ-વિજેતા મંજૂરી મતદાન), અને ક્રમાંકિત મતપત્રોનો ઉપયોગ કરતા નિયમો (એટલે કે, બહુ-વિજેતા ક્રમાંકિત મતદાન). ફ્રેગમેનના નિયમો સંયુક્ત સહભાગી અંદાજપત્રના વધુ સામાન્ય સેટિંગમાં સ્વીકારવામાં આવ્યા હતા. પૃષ્ઠભૂમિ બહુવિધ વિજેતા મંજૂરી મતદાનમાં, દરેક મતદાર એક અથવા વધુ ઉમેદવારોને મત આપી શકે છે, અને લક્ષ્ય વિજેતાઓની નિશ્ચિત સંખ્યા k પસંદ કરવાનું છે (જ્યાં k, ઉદાહરણ તરીકે, સંસદના સભ્યોની સંખ્યા હોઈ શકે છે). પ્રશ્ન એ છે કે વિજેતાઓનો સમૂહ કેવી રીતે નક્કી કરવો? સૌથી સરળ પદ્ધતિ બહુવિધ બિન-હસ્તાંતરણીય મત છે, જેમાં સૌથી વધુ મંજૂરીઓ ધરાવતા ઉમેદવારોની પસંદગી કરવામાં આવે છે. પરંતુ આ પદ્ધતિ સૌથી મોટા પક્ષના ઉમેદવારોની પસંદગી કરવાનું વલણ ધરાવે છે, જેનાથી નાના પક્ષોને કોઈ પ્રતિનિધિત્વ મળતું નથી. 19મી સદીમાં, પ્રમાણસર પ્રતિનિધિત્વની બાંયધરી આપી શકે તેવી ચૂંટણી પ્રણાલીઓ અંગે ઘણી ચર્ચા થઈ હતી. ઉદાહરણ તરીકે 1878માં ડી 'હોન્ડ દ્વારા હિમાયત કરાયેલ એક ઉકેલ વ્યક્તિગત ઉમેદવારોને બદલે પક્ષ-યાદીઓને મત આપવાનો હતો. આ ઉકેલ આજે પણ ખૂબ જ સામાન્ય છે. ફ્રેગમેન વ્યક્તિગત ઉમેદવારોને મત આપવા માંગતા હતા, જેથી મતદારો તેમની વ્યક્તિગત ગુણવત્તાના આધારે ઉમેદવારોને મંજૂરી આપી શકે. ખાસ કિસ્સામાં જેમાં દરેક મતદાર એક જ પક્ષના તમામ અને માત્ર ઉમેદવારોને મંજૂરી આપે છે, ફ્રાગમેનની પદ્ધતિઓ ડી 'હોન્ડની પદ્ધતિ જેવી જ પરિણામો આપે છે. જો કે, ફ્રેગમેનની પદ્ધતિ વધુ સામાન્ય પરિસ્થિતિઓને સંભાળી શકે છે, જેમાં મતદારો વિવિધ પક્ષોના ઉમેદવારોને મત આપી શકે છે (હકીકતમાં, પદ્ધતિ કઈ ઉમેદવાર કયા પક્ષનો છે તે માહિતીની અવગણના કરે છે). અપ્રૂવલ બેલેટ માટે ક્રમિક ફ્રેગમેનની પદ્ધતિ અનિયમિત (મંજૂરી) બેલેટ માટે ફ્રેગમેનની પદ્ધતિને ઘણી સમકક્ષ રીતે રજૂ કરી શકાય છે ways.One એક સતત પ્રક્રિયા તરીકે છેઃ દરેક મતદાર 0 વર્ચ્યુઅલ મનીથી શરૂઆત કરે છે, અને દરરોજ 1ના સતત દરે નાણાં મેળવે છે. દરેક સમયે ટી, અમે હજી સુધી ચૂંટાયેલા ઉમેદવાર x ને સસ્તું તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ જો x ને મંજૂરી આપનારા મતદારો પાસે ઓછામાં ઓછા 1 નાણાં હોય. પ્રથમ વખત જ્યારે કેટલાક ઉમેદવાર પરવડે તેવા હોય, ત્યારે અમે એક પોસાય તેવા ઉમેદવારને મનસ્વી રીતે પસંદ કરીએ છીએ. અમે વાયને સમિતિમાં ઉમેરીએ છીએ, અને વાયને મંજૂરી આપનારા મતદારોના વર્ચ્યુઅલ નાણાંને ફરીથી સેટ કરીએ છીએ (કારણ કે તેઓએ વાયને ભંડોળ આપવા માટે તેમના વ્યર્થ નાણાંનો "ઉપયોગ" કર્યો હતો). જ્યાં સુધી કે સમિતિના તમામ સભ્યો ચૂંટાય નહીં ત્યાં સુધી મતદારો વર્ચ્યુઅલ નાણાં કમાતા રહે છે અને ઉમેદવારોને ભંડોળ પૂરું પાડે છે. ઉદાહરણો ચાલો આપણે એક સરળ ઉદાહરણથી શરૂઆત કરીએ, જે પક્ષ-સૂચિ મતદાન જેવું લાગે છે. ધારો કે ત્યાં k = 6 બેઠકો અને 9 ઉમેદવાર છે, જે a, b, c, d, e, f, g, h, i તરીકે સૂચવવામાં આવે છે. નીચેની પસંદગીઓ સાથે 63 મતદારો છેઃ 31 મતદારો a, b, c ને મંજૂરી આપે છે; 21 મતદારો d, e, f ને મંજૂરી આપે છે; અને 11 મતદારો g, h, i ને મંજૂરી આપે છે. મતદારો દરરોજ 1ના નિશ્ચિત દરે પૈસા કમાવવાનું શરૂ કરે છે. 1/31 દિવસ (~ 0.0323 દિવસ) પછી, 31 એ. બી. સી. મતદારો પાસે દરેક પાસે 0.0323 હોય છે, જેથી તેઓ એકસાથે તેમના માન્ય ઉમેદવારોમાંના એકને ભંડોળ પૂરું પાડી શકે. a, b, c માંથી એક મનસ્વી રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે; ધારો કે તે a છે. 1/21 દિવસ (~ 0.0476 દિવસ) પછી, 31 એ. બી. સી. મતદારો પાસે માત્ર ~ 0.015 હોય છે, પરંતુ 21 મતદારો પાસે 0.0476 હોય છે, તેથી તેઓ સાથે મળીને તેમના માન્ય ઉમેદવારોમાંના એકને ભંડોળ પૂરું પાડી શકે છે. ડી, ઇ, એફમાંથી એક મનસ્વી રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે; ધારો કે તે ડી છે. ~ 0.0646 દિવસ પછી, એબીસી મતદારો પાસે ફરીથી દરેક પાસે 0.0323 હોય છે, તેથી તેઓ તેમના મંજૂર ઉમેદવારોમાંના બીજાને ખરીદે છે, જેમ કે બી. 1/11 દિવસ (~ 0.091 દિવસ) પછી ઘી મતદારો પાસે દરેક પાસે 0.091 હોય છે, તેથી તેઓ એકસાથે તેમના માન્ય ઉમેદવારોમાંના એકને ભંડોળ પૂરું પાડી શકે છે, જેમ કે G (આ સમયે, એબીસી મતદારો પાસે ફક્ત 0.0264 હોય છે અને ડિફ મતદારો પાસે 0.0434 હોય છે, તેથી તેમાંથી કોઈ પણ અન્ય ઉમેદવાર દ્વારા કરી શકાતું નથી). 0.0952 દિવસ પછી, ડિફ મતદારો પાસે ફરીથી 0.0476 હોય છે, તેથી તેઓ બીજા ઉમેદવારને ખરીદી શકે છે, જેમ કે e. 0.0969 દિવસ પછી, એબીસી મતદારો પાસે ફરીથી 0.0323 હોય છે, જેથી તેઓ બીજા ઉમેદવારને ખરીદી શકે, જેમ કે c. અંતિમ સમિતિ a, b, c; d, e; g છે. નોંધ લો કે દરેક "પક્ષ" નું પ્રતિનિધિત્વ તેના કદના પ્રમાણમાં થાય છેઃ 31 મતદારો માટે 3 ઉમેદવાર, 21 મતદારો માટે 2 ઉમેદવાર અને 11 મતદારો માટે 1 ઉમેદવાર. અહીં એક વધુ જટિલ ઉદાહરણ છે. ત્યાં k = 3 બેઠકો અને 6 ઉમેદવારો છે, જે A, B, C, P, Q, R દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. મતપત્રો છેઃ ABC માટે 1034 મત, PQR માટે 519 મત, ABQ માટે 90 મત, APQ માટે 47 મત. વિજેતાઓને નીચે પ્રમાણે ક્રમિક રીતે ચૂંટવામાં આવે છેઃ પ્રથમ, અમે દરેક ઉમેદવાર માટે t ના જરૂરી મૂલ્યની ગણતરી કરીએ છીએ જેથી ઉમેદવાર 1 ની કુલ મતદાન શક્તિ મેળવી શકે. આ મૂલ્ય A માટે 1/1171 છે (કારણ કે A 1171 મતપત્રોમાં દેખાય છે); B માટે 1/1124; C માટે 1/1034; P માટે 1/566; Q માટે 1/656; R માટે 1/519. આમ, A પ્રથમ ચૂંટાય છે. હવે, અમે દરેક ઉમેદવાર માટે t ના જરૂરી મૂલ્યની ફરીથી ગણતરી કરીએ છીએ જેથી ઉમેદવાર A ને મંજૂરી આપનારા દરેક મતદાર પાસેથી 1/1171 બાદ કરવાને ધ્યાનમાં રાખીને કુલ 1 ની મતદાન શક્તિ મેળવી શકે. B માટે જરૂરી મૂલ્ય 1/1124+1 1171 છે, કારણ કે ત્યાં 1124 મતદારો છે જેઓ B ને મંજૂરી આપે છે, અને તે બધાએ પહેલેથી જ A ને મંજૂરી આપી દીધી છે. તેવી જ રીતે, C માટે જરૂરી મૂલ્ય 1/1034+1 1171 છે; Q માટે તે 1/656 + (137/656)/1171 છે, કારણ કે Q માટે 656 મતદારોમાંથી 137 મતદારોએ પહેલેથી જ A ને મત આપ્યો છે; P માટે તે 1/566 + (47/566)/1171 છે; અને R માટે તે 1/519 છે. ક્યૂ માટે મૂલ્ય સૌથી નાનું છે, તેથી તેને બીજા વિજેતા તરીકે પસંદ કરવામાં આવે છે. તેવી જ રીતે, B ને ત્રીજા વિજેતા તરીકે પસંદ કરવામાં આવે છે. પ્રકારો પક્ષો માટે ફ્રેગમેનની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવો શક્ય છે. દરેક મતદાર એક અથવા વધુ પક્ષોને મંજૂરી આપી શકે છે. પ્રક્રિયા પહેલાની જેમ જ છે, સિવાય કે હવે, દરેક પક્ષને ઘણી વખત પસંદ કરી શકાય છે-0 અને પક્ષમાં ઉમેદવારોની કુલ સંખ્યા વચ્ચે. ગુણધર્મો એકરૂપતા દરેક સંભવિત મતપત્ર બી માટે, ચાલો vb એ મતદારોની સંખ્યા છે જેમણે બરાબર બી મત આપ્યો (ઉદાહરણ તરીકેઃ ઉમેદવારોના બરાબર સમાન સમૂહને મંજૂરી આપી). ધારો કે પી. બી. એ મતદારોનો અપૂર્ણાંક છે જેમણે બરાબર બી. ને મત આપ્યો હતો (= વી. બી./મતની કુલ સંખ્યા). મતદાનની પદ્ધતિને સજાતીય કહેવામાં આવે છે જો તે માત્ર અપૂર્ણાંક pb પર આધારિત હોય. તેથી જો મતની સંખ્યાને સમાન અચળાંક સાથે ગુણાકાર કરવામાં આવે, તો પદ્ધતિ સમાન પરિણામ આપે છે. તે અર્થમાં ફ્રેગમેનની પદ્ધતિઓ એકરૂપ છે. ચૂંટાયેલા ઉમેદવારોની સ્વતંત્રતા જો મતપત્રમાં ગમે તેટલા ઉમેદવારોને ઉમેરવામાં આવે, પરંતુ તેમાંથી કોઈ ચૂંટાય નહીં, તો પરિણામ બદલાતું નથી. આ વ્યૂહાત્મક મતદાન માટે પ્રોત્સાહન ઘટાડે છે. એકવિધતા ફ્રેગમેનની પદ્ધતિઓ એક પછી એક બેઠકો સોંપે છે, તેથી તેઓ ઘરની એકવિધતાને સંતોષ આપે છેઃ જ્યારે વધુ બેઠકો ઉમેરવામાં આવે છે, ત્યારે વિજેતાઓનો સમૂહ વધે છે (કોઈ વિજેતા બેઠક ગુમાવતો નથી). તેઓ એકવિધતાના કેટલાક માપદંડોને પણ સંતોષે છે. ફ્રેગમેનની મંજૂરી-મતપત્ર પદ્ધતિ માટેઃ જો કોઈ ઉમેદવાર સી ચૂંટાય છે, અને પછી ઉમેદવાર સી નવા મતદારો પાસેથી કેટલીક મંજૂરીઓ મેળવે છે જેઓ સીને મત આપે છે, અથવા હાલના મતદારો પાસેથી જેઓ તેમના મતપત્રોમાં સી ઉમેરે છે, અને અન્ય કોઈ ફેરફારો થતા નથી, તો સી હજુ પણ ચૂંટાય છે. જો કે, આ એકવિધતા ઉમેદવારોની જોડી માટે નથી, પછી ભલે તેઓ હંમેશા એક સાથે દેખાય. ઉદાહરણ તરીકે, શક્ય છે કે ઉમેદવાર સી, ડી તમામ મતપત્રોમાં એકસાથે દેખાય અને બે બેઠકો મેળવે, પરંતુ જો સી, ડી માટે અન્ય મતપત્ર ઉમેરવામાં આવે, તો તેઓ માત્ર એક જ બેઠક મેળવે (તેથી તેમાંથી એક બેઠક ગુમાવે છે). તેવી જ રીતે, પક્ષો સાથેના પ્રકારમાં એકવિધતા નથીઃ પક્ષ વધુ મંજૂરીઓ મેળવી શકે છે પરંતુ તેમ છતાં ઓછી બેઠકો મેળવી શકે છે. ઉદાહરણ તરીકેઃ ધારો કે k = 3 બેઠકો અને 3 ઉમેદવારોઃ a, b, c. મતપત્રો છેઃ a માટે 4, b માટે 7, a + b માટે 1, a + c માટે 16, b + c માટે 4. પછી ચૂંટાયેલી સમિતિ {a, b, a} છે. પરંતુ, જો બી મતદારોમાંથી એક પણ a ને મંજૂરી આપે છે (જેથી મતપત્રો છેઃ a માટે 4, b માટે 6, a + b માટે 2, a + c માટે 16, b + c માટે 4), તો ચૂંટાયેલી સમિતિ {a, c, b} છે. તેથી પાર્ટીએ મંજૂરી મેળવી પરંતુ એક બેઠક ગુમાવી. ફ્રેગમેનની ક્રમાંકિત-મતપત્ર પદ્ધતિ માટેઃ જો કોઈ ઉમેદવાર સી ચૂંટાય છે, અને પછી ઉમેદવાર સીને કેટલાક મતપત્રોમાં બઢતી આપવામાં આવે છે, અથવા કેટલાક નવા મત મેળવે છે, અને અન્ય કોઈ ફેરફારો થતા નથી, તો સી હજુ પણ ચૂંટાય છે. જો કે, જો કેટલાક અન્ય ફેરફારો એક સાથે થાય, તો C તેની બેઠક ગુમાવી શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, શક્ય છે કે કેટલાક મતદારો તેમનો વિચાર બદલી નાખે, અને A અને B ને મત આપવાને બદલે, તેઓ C અને D ને મત આપે, અને આ ફેરફાર C ને તેની બેઠક ગુમાવવાનું કારણ બને. સુસંગતતા ફ્રેગમેનની પદ્ધતિઓ સુસંગતતાના માપદંડને સંતોષતી નથી. વધુમાં, તેઓ સંપૂર્ણ મતપત્રોની અવગણના કરતા નથીઃ જે મતદારો તમામ ઉમેદવારોને મત આપે છે (અને આમ સંપૂર્ણપણે ઉદાસીન હોય છે) તેમને ઉમેરવાથી પરિણામ પર અસર થઈ શકે છે. ખાસ કિસ્સાઓમાં જ્યારે એક જ બેઠક હોય (કે = 1): ફ્રેગમેનની મંજૂરી-મતપત્ર પદ્ધતિ મંજૂરી મતદાનમાં ઘટાડો કરે છે-તે હંમેશા સૌથી વધુ મંજૂરીઓ ધરાવતા ઉમેદવારની પસંદગી કરે છે. ફ્રેગમેનની ક્રમાંકિત-મતપત્ર પદ્ધતિ બહુમતી મતદાનમાં ઘટાડો કરે છે-તે હંમેશા મતદારોની સૌથી મોટી સંખ્યા દ્વારા પ્રથમ ક્રમાંકિત ઉમેદવારની પસંદગી કરે છે. વિકલ્પોને ક્રમ આપવા માટે ફ્રેગમેનની પદ્ધતિનો ઉપયોગ ક્રમિક ફ્રેગમેન પદ્ધતિનો ઉપયોગ માત્ર સબસેટ પસંદ કરવા માટે જ નહીં, પરંતુ જે ક્રમમાં તેઓ પસંદ કરવામાં આવે છે તે અનુસાર વિકલ્પોની શ્રેણી બનાવવા માટે પણ થઈ શકે છે. બ્રિલ અને ઇઝરાયેલ આ પદ્ધતિને ગતિશીલ ક્રમાંકન સુધી વિસ્તરે છે. ઓનલાઈન પ્રશ્નોત્તર અરજીઓ દ્વારા પ્રેરિત, તેઓ ધારે છે કે કેટલાક ઉમેદવારોની પસંદગી પહેલેથી જ થઈ ગઈ હતી, અને આ માહિતીનો ઉપયોગ રેન્કિંગની ગણતરીમાં કરે છે. તેઓ ફ્રેગમેનના શાસનના બે અનુકૂલન સૂચવે છેઃ ગતિશીલ ફ્રેગમેનઃ દરેક તબક્કે, તેઓ પહેલેથી જ ચૂંટાયેલા ઉમેદવારોના ક્રમ પર લૂપ કરે છે, અને તેમના સમર્થકોમાં તેમની "કિંમત" વહેંચે છે. આ દરેક વપરાશકર્તા માટે સંભવિત "દેવું"-નકારાત્મક સંતુલન બનાવે છે. દેવાની ગણતરી સમય O (m n 2) માં કરી શકાય છે, જ્યાં m એ ઉમેદવારોની સંખ્યા અને n એ વપરાશકર્તાઓની સંખ્યા છે. પછી, વપરાશકર્તાઓ પહેલાની જેમ નાણાં એકત્ર કરવાનું શરૂ કરે છે, જ્યાં વપરાશકર્તા તેના "દેવું" ચૂકવ્યા પછી જ નવા ઉમેદવારોની ખરીદી શરૂ કરી શકે છે. જ્યાં સુધી નવી રેન્કિંગની ગણતરી ન થાય ત્યાં સુધી તેઓ ઉમેદવારોને ક્રમમાં ખરીદે છે. નવી રેન્કિંગ પ્રમાણસર છે. નવા ક્રમની ગણતરી સમય O (m2n2) માં કરી શકાય છે. માયોપિક ફ્રેગમેનઃ ડાયનેમિક ફ્રેગમેનની જેમ દરેક વપરાશકર્તાનું "દેવું" ગણવામાં આવે છે. પછી, ક્રમિક ફ્રેગમેન ચલાવીને સંપૂર્ણ રેન્કિંગ બનાવવાને બદલે, ઉમેદવારોને તેઓ વપરાશકર્તાઓને બનાવશે તે "દેવું" ની રકમ દ્વારા ક્રમ આપવામાં આવે છે. એટલે કેઃ ઉમેદવારોને આગામી ચૂંટાવા માટે તેમની યોગ્યતા અનુસાર ક્રમ આપવામાં આવે છે. પરિણામી રેન્કિંગ આવશ્યકપણે પ્રમાણસર નથી (ખાસ કરીને, જ્યારે ક્રમ ખાલી હોય, ત્યારે માયોપિક ફ્રેગમેન ઉપયોગિતાવાદી મંજૂરી મતદાન સાથે મેળ ખાય છે). નવા ક્રમની ગણતરી સમય O (m n2) માં કરી શકાય છે. તેઓ સૈદ્ધાંતિક અને પ્રયોગમૂલક બંને રીતે આ અનુકૂલનની એકવિધતા અને નિષ્પક્ષતાના ગુણધર્મોનું વિશ્લેષણ કરે છે. ફ્રેગમેનની પદ્ધતિઓ વિશે વધુ માહિતી અહીં ઉપલબ્ધ છે. ફ્રેગમેનની પદ્ધતિઓ વિરુદ્ધ થિએલની પદ્ધતિઓના ગાણિતિક ગુણધર્મો. એનેસ્ટ્રોમ અને ફ્રેગમેનની પદ્ધતિઓ. અમલીકરણ અને પ્રદર્શન ફ્રેગમેનના મતદાનના કેટલાક નિયમો પાયથોન પેકેજ એબસીવોટિંગમાં લાગુ કરવામાં આવે છે. ફ્રેગમેનના મતદાનના કેટલાક નિયમો pref.tools વેબસાઇટ પર ઓનલાઇન અજમાવી શકાય છે. સરળ અને જટિલ બંને આવૃત્તિઓનો ઉપયોગ ક્રિપ્ટોકરન્સી પોલકાડોટના સબસ્ટ્રેટમાં થાય છે. એક હસ્તાંતરણીય મત અને સમાન શેરની પદ્ધતિ બંનેનો એક જ ધ્યેય છેઃ પ્રમાણસર પ્રતિનિધિત્વની બાંયધરી આપતી વખતે વ્યક્તિગત ઉમેદવારોને મત આપવાની મંજૂરી આપવી. સંદર્ભો મતદાનને મંજૂરી બહુ-વિજેતા ચૂંટણી પ્રણાલીઓ પસંદગીની ચૂંટણી પ્રણાલીઓ