Guderley–Landau–Stanyukovich problem
ગુડર્લી-લેન્ડાઉ-સ્ટેન્યુકોવિચ સમસ્યા આઘાત તરંગોના રૂપાંતરના સમયના ઉત્ક્રાંતિનું વર્ણન કરે છે. આ સમસ્યાની ચર્ચા જી. ગુડર્લી દ્વારા 1942માં અને સ્વતંત્ર રીતે લેવ લાન્દાઉ અને કે. પી. સ્ટેન્યુકોવિચ દ્વારા 1944માં કરવામાં આવી હતી, જ્યાં પછીના લેખકોનું વિશ્લેષણ 1955માં પ્રકાશિત થયું હતું. ગાણિતિક વર્ણન ગોળાકાર કન્વર્જિંગ આંચકા તરંગનો વિચાર કરો જે કોઈક રીતે રેડિયલ સ્થાન પર શરૂ કરવામાં આવ્યું હતું અને કેન્દ્ર તરફ નિર્દેશિત કરવામાં આવ્યું હતું. જેમ જેમ આઘાત તરંગ મૂળ તરફ પ્રવાસ કરે છે, તેમ તેમ તેની તાકાત વધે છે કારણ કે આઘાત તરંગ જેમ જેમ ફેલાય છે તેમ તેમ ઓછા પ્રમાણમાં દળને સંકુચિત કરે છે. આમ આઘાત તરંગનું સ્થાન સમયની સાથે બદલાય છે. વર્ણવવાનો સ્વ-સમાન ઉકેલ પ્રદેશને અનુરૂપ છે, એટલે કે, આઘાત તરંગ પ્રારંભિક સ્થિતિ વિશે ભૂલી જવા માટે પૂરતી મુસાફરી કરી છે. સ્વ-સમાન પ્રદેશમાં આઘાત તરંગ મજબૂત હોવાથી, તરંગની પાછળનું દબાણ તરંગની આગળના દબાણની તુલનામાં ખૂબ મોટું હોય છે. રેન્કિન-હ્યુગોનિઓટ પરિસ્થિતિઓ અનુસાર, મજબૂત તરંગો માટે, જો કે, જ્યાં વાયુની ઘનતાને રજૂ કરે છે; બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, આઘાત તરંગમાં ઘનતા કૂદકો મર્યાદિત છે. વિશ્લેષણ માટે, આમ કોઈ ધારી શકે છે અને, જે બદલામાં સેટ કરીને વેગ સ્કેલને દૂર કરે છે. આ તબક્કે, એ નોંધવું યોગ્ય છે કે સમાન સમસ્યા જેમાં મજબૂત આંચકા તરંગો બહારની તરફ પ્રસરે છે તે ટેલર-વોન ન્યુમેન-સેડોવ વિસ્ફોટ તરંગ દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે. ટેલર-વોન ન્યુમેન-સેડોવ વિસ્ફોટ તરંગનું વર્ણન સ્વ-સમાન ઉકેલ વિકસાવવા માટે પ્રવાહની કુલ ઊર્જા સામગ્રીનો ઉપયોગ કરે છે. આ સમસ્યાથી વિપરીત, ગર્ભિત આઘાત તરંગ સમગ્ર પ્રદેશમાં સ્વ-સમાન નથી (નજીકનું પ્રવાહ ક્ષેત્ર જે રીતે આઘાત તરંગ ઉત્પન્ન થાય છે તેના પર આધાર રાખે છે) અને આમ ગુડર્લી-લેન્ડાઉ-સ્ટેન્યુકોવિચ સમસ્યા સ્વ-સમાન રીતે વર્ણન કરવાનો પ્રયાસ કરે છે, પ્રવાહ ક્ષેત્ર માત્ર માટે; આ સ્વ-સમાન પ્રદેશમાં, ઊર્જા સ્થિર નથી અને હકીકતમાં, સમય સાથે ઘટતી બતાવવામાં આવશે (સમગ્ર પ્રદેશની કુલ ઊર્જા હજુ પણ સ્થિર છે). આઘાત તરંગ ક્ષેત્રના પ્રારંભિક કદની સરખામણીમાં સ્વ-સમાન પ્રદેશ નાનો હોવાથી, કુલ ઊર્જાનો માત્ર એક નાનો ભાગ સ્વ-સમાન પ્રદેશમાં સંચિત થાય છે. આમ સમસ્યામાં સ્વ-સમાન વર્ણન શોધવા માટે પરિમાણીય દલીલો વાપરવા માટે કોઈ લંબાઈ સ્કેલ નથી એટલે કે, પરની નિર્ભરતા માત્ર પરિમાણીય દલીલો દ્વારા નક્કી કરી શકાતી નથી. આ પ્રકારની સમસ્યાઓ બીજા પ્રકારના સ્વ-સમાન ઉકેલ દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે. સગવડતા માટે, સમયને એવી રીતે માપો કે જેથી કન્વર્જિંગ શોક વેવ સમયે મૂળ સુધી પહોંચે. કારણ કે, અભિસારી આંચકો મૂળની નજીક પહોંચે છે અને કારણ કે, પ્રતિબિંબિત આઘાત તરંગ મૂળમાંથી બહાર આવે છે. આઘાત તરંગનું સ્થાન કાર્ય દ્વારા વર્ણવવામાં આવ્યું હોવાનું માનવામાં આવે છે જ્યાં સમાનતા સૂચકાંક છે અને તે અચળાંક છે. પ્રતિબિંબિત આંચકો સમાન સમાનતા સૂચકાંક સાથે ઉભરી આવે છે. તેનું મૂલ્ય એ શરત પરથી નક્કી થાય છે કે સ્વ-સમાન ઉકેલ અસ્તિત્વમાં છે, જ્યારે અચળાંકને સ્વ-સમાન વિશ્લેષણમાંથી વર્ણવી શકાતો નથી; અચળાંકમાં પ્રદેશની માહિતી હોય છે અને તેથી તે ત્યારે જ નક્કી કરી શકાય છે જ્યારે પ્રવાહનો સમગ્ર પ્રદેશ ઉકેલાઈ જાય. નું પરિમાણ 'માટે' ઉકેલ્યા પછી જ મળશે. ટેલર-વોન ન્યુમેન-સેડોવ વિસ્ફોટ તરંગ માટે, પરિમાણીય દલીલો પ્રાપ્ત કરવા માટે વાપરી શકાય છે આંચકા-તરંગ વેગ રેન્કિન-હ્યુગોનિયોટ શરતો અનુસાર મજબૂત આંચકા આગળના ભાગની પાછળ તરત જ વાયુ વેગ, દબાણ અને ઘનતા દ્વારા આપવામાં આવે છે, કારણ કે આદર્શ વાયુ આ આંચકા આગળના ભાગની પાછળના પ્રવાહ માટે સીમા શરતો તરીકે કામ કરશે. સ્વ-સમાન ઉકેલ સંચાલક સમીકરણો એ છે કે જ્યાં ઘનતા છે, દબાણ છે, એન્ટ્રોપી છે અને રેડિયલ વેગ છે. દબાણની જગ્યાએ, આપણે સંબંધનો ઉપયોગ કરીને ધ્વનિની ગતિનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ. સ્વ-સમાન સમીકરણો મેળવવા માટે, અમે નોંધ રજૂ કરીએ છીએ કે બંને અને નકારાત્મક હોવાથી,. ઔપચારિક રીતે શ્રેણી માટે ઉકેલ શોધવો પડશે. પરની સીમા શરતો દ્વારા આપવામાં આવે છે પરની સીમા શરતો પતન સમયે અવલોકનમાંથી મેળવી શકાય છે, જેમાં તે અનંત બની જાય છે. પતનની ક્ષણે, મૂળથી કોઈપણ અંતરે પ્રવાહ ચલ મર્યાદિત હોવા જોઈએ, એટલે કે, અને તેના માટે મર્યાદિત હોવા જોઈએ. આ ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે સ્વ-સમાન ચલને સંચાલિત સમીકરણોમાં બદલવાથી અહીંથી, આપણે સરળતાથી બે સમીકરણો શોધવા માટે અને (અથવા,) માટે ઉકેલી શકીએ. ત્રીજા સમીકરણ તરીકે, આપણે ચલને દૂર કરીને બે સમીકરણો કરી શકીએ છીએ. પરિણામી સમીકરણો ક્યાં અને છે. એકવાર ત્રીજું સમીકરણ ઉકેલી લેવામાં આવે તે પછી તે સરળતાથી જોઈ શકાય છે, પ્રથમ બે સમીકરણોને સરળ ચતુર્ભુજનો ઉપયોગ કરીને સંકલિત કરી શકાય છે. ત્રીજું સમીકરણ શૉક ફ્રન્ટની પાછળની સ્થિતિને લગતી સીમા સ્થિતિ સાથે કાર્ય માટે પ્રથમ ક્રમનું વિભેદક સમીકરણ છે. પરંતુ બીજી એક સીમા શરત છે જેને સંતોષવાની જરૂર છે, એટલે કે, અહીં જોવા મળતી સ્થિતિને લગતી. આ વધારાની શરત કોઈપણ મનસ્વી મૂલ્ય માટે સંતોષી શકાતી નથી, પરંતુ ત્યાં માત્ર એક જ મૂલ્ય અસ્તિત્વમાં છે જેના માટે બીજી શરત સંતોષી શકાય છે. આમ તે આઈગન વેલ્યુ તરીકે મેળવવામાં આવે છે. આ આઈગન વેલ્યુ આંકડાકીય રીતે મેળવી શકાય છે. જે સ્થિતિ નક્કી કરે છે તેને આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ અભિન્ન વળાંકને નક્કર વળાંક તરીકે ગોઠવીને સમજાવી શકાય છે. બિંદુ એ વિભેદક સમીકરણ માટેની પ્રારંભિક શરત છે, એટલે કે. અભિન્ન વળાંક બિંદુ પર સમાપ્ત થવો જોઈએ. એ જ આકૃતિમાં, સ્થિતિને અનુરૂપ પેરાબોલા પણ બિંદુયુક્ત વળાંક તરીકે આલેખિત કરવામાં આવે છે. બિંદુ હંમેશા આ પેરાબોલાથી ઉપર હોય તેના કરતાં તેને સરળતાથી બતાવી શકાય છે. આનો અર્થ એ છે કે અભિન્ન વળાંક બિંદુ સુધી પહોંચવા માટે પેરાબોલાને છેદે છે. ત્રણેય વિભેદક સમીકરણોમાં, ગુણોત્તર સૂચવે છે કે આ ગુણોત્તર તે બિંદુએ અદૃશ્ય થઈ જાય છે જ્યાં અભિન્ન વળાંક પેરાબોલાને છેદે છે. કાર્યો માટેની ભૌતિક જરૂરિયાત એ છે કે તેઓ એક અનન્ય ઉકેલ મેળવવા માટે એક-મૂલ્યવાન કાર્યો હોવા જોઈએ. આનો અર્થ એ છે કે કાર્યો અને ડોમેનની અંદર ક્યાંય પણ ચરમસીમા ન હોઈ શકે. પરંતુ તે સમયે, અદ્રશ્ય થઈ શકે છે, જે સૂચવે છે કે ઉપરોક્ત કાર્યો ચરમસીમા ધરાવે છે. આ પરિસ્થિતિને ટાળવાનો એકમાત્ર રસ્તો એ છે કે ગુણોત્તરને મર્યાદિત બનાવવો. એટલે કે, જેમ જેમ શૂન્ય બને છે, તેમ તેમ આપણે પ્રાપ્ત કરવા માટે પણ શૂન્ય હોવું જરૂરી છે. પર, ત્રીજા સમીકરણના આંકડાકીય એકીકરણ માટે અને માટે પ્રદાન કરે છે. આ મૂલ્યોની સરખામણી લેન્ડૌ અને સ્ટેન્યુકોવિચ દ્વારા મેળવેલા અંદાજિત સૂત્ર સાથે થઈ શકે છે. તે સ્થાપિત કરી શકાય છે કે,. સામાન્ય રીતે, સમાનતા સૂચકાંક એક અતાર્કિક સંખ્યા છે. ટેલર-વોન ન્યુમેન-સેડોવ વિસ્ફોટ તરંગ ઝેલ્ડોવિચ-ટેલર પ્રવાહ સંદર્ભો પણ જુઓ.