Topographic Rossby waves
ટોપોગ્રાફિક રોસબી તરંગો ભૂભૌતિકીય તરંગો છે જે તળિયાની અનિયમિતતાને કારણે રચાય છે. દરિયાની ગતિશીલતા માટે, તળિયાની અનિયમિતતાઓ દરિયાની સપાટી પર હોય છે જેમ કે મધ્ય સમુદ્રની પર્વતમાળા. વાતાવરણીય ગતિશીલતા માટે, ભૂભૌતિકીય પ્રવાહી ગતિશીલતાની અન્ય પ્રાથમિક શાખા, નીચેની અનિયમિતતાઓ જમીન પર જોવા મળે છે, ઉદાહરણ તરીકે પર્વતોના સ્વરૂપમાં. ટોપોગ્રાફિક રોસબી તરંગો એ બે પ્રકારના ભૂભૌતિકીય તરંગોમાંથી એક છે જેનું નામ હવામાનશાસ્ત્રી કાર્લ-ગુસ્તાફ રોસબીના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે. અન્ય પ્રકારના રોસ્બી તરંગોને ગ્રહીય રોસ્બી તરંગો કહેવામાં આવે છે અને તેનું ભૌતિક મૂળ અલગ હોય છે. પૃથ્વી પર બદલાતા કોરિઓલિસ પરિમાણને કારણે ગ્રહોની રોસબી તરંગો રચાય છે. રોસ્બી તરંગો અર્ધ-ભૌગોલિક, વિખેરાયેલા તરંગો છે. આનો અર્થ એ છે કે માત્ર કોરિઓલિસ બળ અને દબાણ-ઢાળ બળ પ્રવાહને પ્રભાવિત કરે છે, જેમ કે ભૂસ્તર પ્રવાહમાં, પણ જડતા. ભૌતિક વ્યુત્પત્તિ આ વિભાગ ગાણિતિક રીતે સૌથી સરળ પરિસ્થિતિનું વર્ણન કરે છે જ્યાં ટોપોગ્રાફિક રોસબી તરંગો રચાય છેઃ એક સમાન તળિયાનો ઢોળાવ. છીછરા પાણીના સમીકરણો એક સંકલન પ્રણાલીને પૂર્વ દિશામાં x, ઉત્તર દિશામાં y અને પૃથ્વીની સપાટીથી અંતર તરીકે z સાથે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. કોઓર્ડિનેટ્સને પૃથ્વીની સપાટી પરના ચોક્કસ સંદર્ભ સંકલનમાંથી સંદર્ભ અક્ષાંશ અને સરેરાશ સંદર્ભ સ્તરની જાડાઈ સાથે માપવામાં આવે છે. વ્યુત્પત્તિ છીછરા પાણીના સમીકરણોથી શરૂ થાય છેઃ જ્યાં ઉપરના સમીકરણમાં, ઘર્ષણ (ચીકણું ખેંચાણ અને ગતિશીલ સ્નિગ્ધતા) ની અવગણના કરવામાં આવે છે. વધુમાં, સતત કોરિઓલિસ પરિમાણ ધારવામાં આવે છે ("એફ-પ્લેન અંદાજ"). છીછરા પાણીના સમીકરણોના પ્રથમ અને બીજા સમીકરણને અનુક્રમે ઝોનલ અને મેરિડીનલ મોમેન્ટમ સમીકરણો કહેવામાં આવે છે, અને ત્રીજું સમીકરણ સાતત્ય સમીકરણ છે. છીછરા પાણીના સમીકરણો એકરૂપ અને બેરોટ્રોપિક પ્રવાહી ધારણ કરે છે. સરળતા માટે, સિસ્ટમ નબળા અને સમાન તળિયાના ઢોળાવ દ્વારા મર્યાદિત છે જે વાય-અક્ષ સાથે સંરેખિત છે, જે બદલામાં ગ્રહોની રોસબી તરંગો સાથેના પરિણામો સાથે વધુ સારી સરખામણીને સક્ષમ કરે છે. અવ્યવસ્થિત પ્રવાહી માટે સરેરાશ સ્તરની જાડાઈ પછી વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે કે તળિયાનો ઢોળાવ ક્યાં છે, ભૌગોલિક પરિમાણ અને ગતિનું આડી લંબાઈનું માપ. ટોપોગ્રાફિક પરિમાણ પરનું પ્રતિબંધ બાંયધરી આપે છે કે તળિયાની નબળી અનિયમિતતા છે. સ્થાનિક અને તાત્કાલિક પ્રવાહીની જાડાઈને છીછરા પાણીના સમીકરણોના સાતત્ય સમીકરણમાં આ અભિવ્યક્તિનો ઉપયોગ કરીને લખી શકાય છે. સમીકરણોના સમૂહને સમીકરણોનો સમૂહ મેળવવા માટે રેખીય બનાવવામાં આવે છે જે વિશ્લેષણાત્મક રીતે ઉકેલવા માટે સરળ હોય છે. આ રોસબી નંબર આરઓ (= એડવેક્શન/કોરિઓલિસ ફોર્સ) ધારીને કરવામાં આવે છે, જે ટેમ્પોરલ રોસબી નંબર આરઓટી (= જડતા/કોરિઓલિસ ફોર્સ) કરતા ઘણો નાનો છે. વધુમાં, લંબાઈનું માપ પ્રવાહીની જાડાઈ કરતાં ઘણું નાનું હોવાનું માનવામાં આવે છે. છેવટે, ટોપોગ્રાફિક પરિમાણ પરની સ્થિતિનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે અને રેખીય સમીકરણોનો નીચેનો સમૂહ મેળવવામાં આવે છેઃ અર્ધ-ભૂસ્તરશાસ્ત્રીય અંદાજ આગળ, અર્ધ-ભૂસ્તરશાસ્ત્રીય અંદાજ આરઓ, આરઓટી 1 બનાવવામાં આવે છે, જેમ કે ભૂસ્તરશાસ્ત્રીય પ્રવાહ ઘટકો ક્યાં અને ક્યાં છે અને અને અને અને સાથે યુગસ્તરશાસ્ત્રીય પ્રવાહ ઘટકો છે. સમીકરણોના અગાઉ મેળવેલા સમૂહ માટે અને તેમાં આ સમીકરણોને બદલીને, ઉપજ મળે છેઃ જ્યાં નાના ઘટક શબ્દો (અને) નો ગુણાકાર કરવામાં આવે છે તેવા શબ્દોની અવગણના કરવાથી, મેળવેલા સમીકરણો આ પ્રમાણે છેઃ સાતત્ય સમીકરણમાં એજોસ્ટ્રોફિક વેગના ઘટકોને બદલીને નીચેનું પરિણામ મળે છેઃ જેમાં R, વિરૂપણની રોસબી ત્રિજ્યાને વિક્ષેપ સંબંધ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. આ જ કારણ છે કે આ તરંગોને ટોપોગ્રાફિક રોસબી તરંગો કહેવામાં આવે છે. ટોપોગ્રાફિક રોસબી તરંગોની મહત્તમ આવર્તન છે જે અને માટે પ્રાપ્ત થાય છે. જો દબાણ આ થ્રેશોલ્ડથી ઉપરની આવર્તન સાથે તરંગો બનાવે છે, તો કોઈ રોસ્બી તરંગો ઉત્પન્ન થતા નથી. આ પરિસ્થિતિ ભાગ્યે જ બને છે, સિવાય કે તે ખૂબ જ નાની હોય. અન્ય તમામ કિસ્સાઓમાં ઓળંગે છે અને સિદ્ધાંત તૂટી જાય છે. આનું કારણ એ છે કે ધારેલી શરતોઃ અને આરઓટી હવે માન્ય નથી. પ્રારંભિક બિંદુ તરીકે ઉપયોગમાં લેવાતા છીછરા પાણીના સમીકરણો કેલ્વિન તરંગો અને જડતા-ગુરુત્વાકર્ષણ તરંગો (પોઇનકેર તરંગો) જેવા અન્ય પ્રકારના તરંગોને પણ મંજૂરી આપે છે. જો કે, આ પરિણામ મેળવવા માટે ઉપયોગમાં લેવાતી અર્ધ-ભૌગોલિક ધારણાને કારણે આ પ્રાપ્ત પરિણામોમાં દેખાતા નથી. તરંગ ગતિશીલતામાં આને ગાળણ કહેવામાં આવે છે. તબક્કાની ઝડપ આઇસોબાથ (સમાન ઊંડાઈની રેખાઓ, અહીં x-દિશા) સાથે તરંગોની તબક્કાની ઝડપ એ છે કે ઉત્તર ગોળાર્ધમાં તરંગો તેમની જમણી બાજુએ છીછરા બાજુ સાથે અને દક્ષિણ ગોળાર્ધમાં તેમની ડાબી બાજુએ છીછરા બાજુ સાથે પ્રસરે છે. નું સમીકરણ દર્શાવે છે કે તબક્કાની ઝડપ તરંગોની સંખ્યા સાથે બદલાય છે તેથી તરંગો વિખેરાયેલા હોય છે. મહત્તમ એ છે કે જે ખૂબ લાંબા તરંગો () ની ઝડપ છે. વાય-દિશામાં તબક્કાની ઝડપ છે જેનો અર્થ છે કે તેમાં કોઈપણ નિશાની હોઈ શકે છે. તબક્કાની ઝડપ આપવામાં આવે છે જેના દ્વારા તેને જોઈ શકાય છે. આ સૂચવે છે કે મહત્તમ મહત્તમ છે. ટોપોગ્રાફિક અને ગ્રહીય રોસબી તરંગો વચ્ચેની સામ્યતા ગ્રહીય અને ટોપોગ્રાફિક રોસબી તરંગો એ અર્થમાં સમાન છે કે, જો ઉપરોક્ત અભિવ્યક્તિઓમાં શબ્દની અદલાબદલી કરવામાં આવે, તો બીટા-પરિમાણ અથવા રોસબી પરિમાણ ક્યાં છે, ગ્રહીય રોસબી તરંગોની અભિવ્યક્તિ પ્રાપ્ત થાય છે. આ સમાનતાનું કારણ એ છે કે ઘર્ષણ વિનાના, એકરૂપ પ્રવાહ માટે બિનરેખીય છીછરા પાણીના સમીકરણો માટે સંભવિત વર્ટિસિટી q સંરક્ષિત છેઃ સંબંધિત વર્ટિસિટી હોવા સાથે, જે ઝેડ-અક્ષ વિશે પ્રવાહી તત્વોની પરિભ્રમણ ઝડપ કરતા બમણી છે, અને તેને ગાણિતિક રીતે ઝેડ-અક્ષ વિશે ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં પરિભ્રમણ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. બીટા-પ્લેન પર અને મેરિડીનલ દિશામાં રેખીય ઢાળવાળા તળિયે, સંભવિત વર્ટિસિટી બને છે. ઉપરની વ્યુત્પત્તિઓમાં એવું માનવામાં આવતું હતું કે જ્યાં છેદ પર ટેલર વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો અને બિંદુઓ ઉચ્ચ ક્રમની શરતો સૂચવે છે. માત્ર સૌથી મોટી શરતોને ધ્યાનમાં રાખીને અને બાકીની અવગણના કરીને, નીચેનું પરિણામ પ્રાપ્ત થાય છેઃ પરિણામે, સંભવિત વર્ટિસિટીમાં જે સામ્યતા દેખાય છે તે તે છે અને સંભવિત વર્ટિસિટી સમીકરણમાં સમાન ભૂમિકા ભજવે છે. આ શબ્દોને થોડી અલગ રીતે ફરીથી લખીને, આ અગાઉ જોવામાં આવેલા અને, જે ગ્રહો અને ભૌગોલિક રોસબી તરંગો વચ્ચેની સમાનતા દર્શાવે છે. સંભવિત વર્ટિસિટી માટેનું સમીકરણ દર્શાવે છે કે સંભવિત વર્ટિસિટીમાં પૃષ્ઠભૂમિ ઢાળને કારણે ગ્રહોની અને ભૌગોલિક રોસબી તરંગો અસ્તિત્વ ધરાવે છે. ગ્રહો અને ભૌગોલિક રોસબી તરંગો વચ્ચેની સામ્યતાનો ઉપયોગ પ્રયોગશાળાના પ્રયોગોમાં કરવામાં આવે છે જે ભૂભૌતિકીય પ્રવાહોનો અભ્યાસ કરે છે જેમાં બીટા અસરનો સમાવેશ થાય છે જે પૃથ્વી પરના કોરિઓલિસ પરિમાણમાં ફેરફાર છે. તે પ્રયોગોમાં ઉપયોગમાં લેવાતા પાણીના જહાજો કોરિઓલિસ પરિમાણમાં નોંધપાત્ર ફેરફાર કરવા માટે ખૂબ નાના છે. આ પ્રયોગોમાં ઢાળવાળી તળિયાની ટાંકીનો ઉપયોગ કરીને બીટા અસરની ચોક્કસ હદ સુધી નકલ કરી શકાય છે. ઢાળવાળા તળિયે બીટા અસરનું સ્થાનાંતર માત્ર હળવા ઢોળાવ, ધીમી પ્રવાહી ગતિ અને સ્તરીકરણની ગેરહાજરીમાં જ માન્ય છે. વિભાવનાત્મક સમજૂતી છેલ્લા વિભાગમાં બતાવ્યા પ્રમાણે, રોસ્બી તરંગો રચાય છે કારણ કે સંભવિત વર્ટિસિટીનું સંરક્ષણ કરવું આવશ્યક છે. જ્યારે સપાટી ઢાળવાળી હોય છે, ત્યારે પ્રવાહી સ્તરની જાડાઈ સ્થિર હોતી નથી. સંભવિત વર્ટિસિટીનું સંરક્ષણ સંબંધિત વર્ટિસિટી અથવા કોરિઓલિસ પરિમાણને બદલવા માટે દબાણ કરે છે. કોરિઓલિસ પરિમાણ આપેલ અક્ષાંશ પર અચળ હોવાથી, સંબંધિત વર્ટિસિટીમાં ફેરફાર થવો આવશ્યક છે. આકૃતિમાં પ્રવાહી છીછરા વાતાવરણમાં જાય છે, જ્યાં તે નાનું હોય છે, જેના કારણે પ્રવાહી શિખર બનાવે છે. જ્યારે ઊંચાઈ નાની હોય, ત્યારે સાપેક્ષ વર્ટિસિટી પણ નાની હોવી જોઈએ. આકૃતિમાં, આ ગોળાકાર તીરો સાથે દર્શાવવામાં આવેલી નકારાત્મક સાપેક્ષ વર્ટિસિટી (ઉત્તર ગોળાર્ધમાં ઘડિયાળની દિશામાં ફરતી) બની જાય છે. દક્ષિણ ગોળાર્ધમાં આ ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં ફરે છે, કારણ કે દક્ષિણ ગોળાર્ધમાં કોરિઓલિસ પરિમાણ નકારાત્મક છે. જો પ્રવાહી ઊંડા વાતાવરણમાં જાય છે, તો વિપરીત સાચું છે. મૂળ ઊંડાઈ પરના પ્રવાહી પાર્સલને બે પ્રવાહી પાર્સલની વચ્ચે સેન્ડવિચ કરવામાં આવે છે, જેમાં એક સકારાત્મક સંબંધિત વર્ટિસિટી ધરાવે છે અને અન્ય એક નકારાત્મક સંબંધિત વર્ટિસિટી ધરાવે છે. આ આકૃતિમાં ડાબી બાજુએ પ્રવાહી પાર્સલની હિલચાલનું કારણ બને છે. સામાન્ય રીતે, વિસ્થાપન એક તરંગ પેટર્નનું કારણ બને છે જે ઉત્તર ગોળાર્ધમાં જમણી બાજુએ છીછરી બાજુ સાથે અને દક્ષિણ ગોળાર્ધમાં ડાબી બાજુએ પ્રસરે છે. 1 જાન્યુઆરી 1965 થી 1 જાન્યુઆરી 1968 સુધી, વુડ્સ હોલ ઓશનોગ્રાફિક ઇન્સ્ટિટ્યુશન ખાતેના બ્યુય પ્રોજેક્ટે વેગ માપવા માટે ઉત્તરીય એટલાન્ટિકની પશ્ચિમ બાજુએ જહાજો છોડ્યા હતા. ડેટામાં ઘણા અંતરાય છે કારણ કે કેટલાક બોય્ઝ ગુમ થઈ ગયા હતા. તેમ છતાં તેઓ 500 મીટરની ઊંડાઈએ ટોપોગ્રાફિક રોસબી તરંગોને માપવામાં સફળ રહ્યા. કેટલાક અન્ય સંશોધન પ્રોજેક્ટોએ પુષ્ટિ કરી છે કે ઉત્તરી એટલાન્ટિકમાં ખરેખર ભૌગોલિક રોસબી તરંગો છે. 1988માં, ઉત્તરપશ્ચિમ પ્રશાંત તટપ્રદેશમાં બેરોટ્રોપિક ગ્રહોના રોસબી તરંગો મળી આવ્યા હતા. 2017માં કરવામાં આવેલા વધુ સંશોધનોએ તારણ કાઢ્યું હતું કે રોસબી તરંગો કોઈ ગ્રહોની રોસબી તરંગો નથી, પરંતુ ભૌગોલિક રોસબી તરંગો છે. 2021માં, દક્ષિણ ચીન સમુદ્રમાં થયેલા સંશોધનોએ પુષ્ટિ કરી હતી કે ભૌગોલિક રોસબી તરંગો અસ્તિત્વ ધરાવે છે. 2016 માં, પૂર્વ ભૂમધ્ય પ્રદેશમાં થયેલા સંશોધનમાં દર્શાવવામાં આવ્યું હતું કે 4000 મીટર (https://doi.org/10.1016/j.dsr2.2019.07.008) ના ઢોળાવવાળા તળિયે મેસોસ્કેલ પરિભ્રમણ માળખાના બાજુની પાળીને કારણે ક્રેટેની દક્ષિણે ભૌગોલિક રોસબી તરંગો ઉત્પન્ન થાય છે. સંદર્ભો ભૂ-ભૌતિકશાસ્ત્ર મહાસાગરો