Median mechanism
મધ્યસ્થ પદ્ધતિ એ મતદાનનો નિયમ છે જે લોકોને એક-પરિમાણીય ક્ષેત્રમાં મૂલ્ય નક્કી કરવાની મંજૂરી આપે છે. દરેક વ્યક્તિ તેના આદર્શ મૂલ્યને લખીને મત આપે છે, અને નિયમ એક જ મૂલ્ય પસંદ કરે છે જે (મૂળભૂત પદ્ધતિમાં) તમામ મતોનું મધ્યક છે. મધ્યમ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરી શકાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, દેશના અંદાજપત્રનું કદ નક્કી કરવા માટેઃ દરેક વ્યક્તિ કહે છે કે આદર્શ અંદાજપત્રનું કદ કેટલું હોવું જોઈએ, અને પસંદ કરેલું કદ જાહેર મૂલ્યોની મધ્યમ છે. અન્ય સંભવિત એપ્લિકેશન એ નક્કી કરે છે કે વાર્ષિક શાળા વેકેશન કેટલો લાંબો હોવો જોઈએઃ દરેક વ્યક્તિ દિવસોમાં આદર્શ લંબાઈ કહે છે, અને મધ્ય પસંદ કરવામાં આવે છે. ત્રીજું ઉદાહરણ છેઃ ઓફિસમાં એર-કંડિશનરને કયા તાપમાન પર સેટ કરવું જોઈએ તે નક્કી કરવું. ચોથું ઉદાહરણ એક પરિમાણમાં સુવિધા સ્થાનની સમસ્યા છે. મધ્યમ પદ્ધતિની એક મહત્વપૂર્ણ વિશેષતા એ છે કે તે સાચું છેઃ જો દરેક મતદારની ઉપયોગિતા વધારે હોય, જ્યારે પણ પસંદ કરેલ મૂલ્ય તેના આદર્શ મૂલ્યની નજીક હોય, તો દરેક મતદાર માટે શ્રેષ્ઠ વ્યૂહરચના એ છે કે અન્ય મતદારો શું કહે છે તે ધ્યાનમાં લીધા વિના, તેનું સાચું આદર્શ મૂલ્ય જાહેર કરવું. આ અન્ય કુદરતી પદ્ધતિઓથી વિપરીત છે, જેમ કે સરેરાશ પદ્ધતિ. સરેરાશ પદ્ધતિમાં, જો વર્તમાન સરેરાશ મતદારના આદર્શ મૂલ્ય કરતાં ઓછી હોય, તો મતદાર માટે પસંદ કરેલા મૂલ્યને તેના આદર્શ મૂલ્ય તરફ "ખેંચવા" માટે ઉચ્ચ મૂલ્ય (અને તેનાથી ઊલટું) જાહેર કરવું શ્રેષ્ઠ હોઈ શકે છે. મધ્યસ્થ મિકેનિઝમ આવા મેનિપ્યુલેશન્સથી સુરક્ષિત છે. વધુમાં, દરેક મિકેનિઝમ કે જે સાચું અને અનામી છે તે એક સામાન્યીકૃત મધ્યમ મિકેનિઝમ છે-એક એવી મિકેનિઝમ કે જે અમુક નિશ્ચિત "સોસાયટી વોટ" દાખલ કરે છે અને પછી મધ્યમ પસંદ કરે છે (નીચે જુઓ). ધારણા સોસાયટી એક-પરિમાણીય સમૂહમાંથી મૂલ્ય પસંદ કરવા માંગે છે, જેને વાસ્તવિક રેખાના સબસેટ તરીકે વર્ણવી શકાય છે, દા. ત. વાસ્તવિક અંતરાલ [0,1]. કેટલાક મતદારો છે. દરેક મતદાર i નું આદર્શ મૂલ્ય π હોય છે, જેને i ની ટોચ પણ કહેવાય છે. મતદાર I ની ઉપયોગિતા પસંદ કરેલા મૂલ્ય પર આધાર રાખે છેઃ જો પસંદ કરેલ મૂલ્ય પાઈની નજીક હોય તો મતદાર વધુ ખુશ હોય છે. ઔપચારિક રીતે, ઉપયોગિતાઓ દરેક બે વિકલ્પો x, y માટે એક-ટોચની શરતને સંતોષે છેઃ જો x> y ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ x, અથવા જો x <y ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ x. એક ઉપયોગિતા કાર્ય જે આ શરતને સંતોષે છે તે છેઃ યુઆઇ (x) =-|x-પીઆઇ |; તેથી શિખરની ઉપયોગિતા 0 છે, અને અન્ય વિકલ્પોની ઉપયોગિતા નકારાત્મક છે, અને આપણે શિખરથી વધુ દૂર હોઈએ તેટલું વધુ નકારાત્મક બને છે. પ્રક્રિયા 1,., n માં દરેક એજન્ટ i ને પાઈના મૂલ્યની જાણ કરવા માટે કહેવામાં આવે છે. મૂલ્યોને ચડતા ક્રમમાં p1 ≤. ≤ pn માં ગોઠવવામાં આવે છે. મૂળભૂત પદ્ધતિમાં, જ્યારે n વિષમ હોય ત્યારે પસંદ કરેલ મૂલ્ય p (n + 1)/2 હોય છે, જે મૂલ્યોના મધ્યની બરાબર હોય છે (જ્યારે n સમ હોય, ત્યારે પસંદ કરેલ મૂલ્ય pn/2 હોય છે): પસંદગી = મધ્યક (p1,., pn). સામાન્યીકૃત મધ્યસ્થ પદ્ધતિ (જી. એમ. એમ.) માં, કેટલાક કે પૂર્વ-નિર્ધારિત સમાજના મત (જેને ફેન્ટમ મત પણ કહેવાય છે), એસ1,., એસ. કે. હોય છે. પસંદ કરેલ મૂલ્ય છેઃ પસંદગી = મધ્ય (p1,., pn, s1,., sk). મિલકતો સોસાયટીના મતની દરેક પસંદગી માટે એસ. 1,., એસ. કે., જી. એમ. એમ. અનામી, વ્યૂહરચના-પ્રતિરોધક અને જૂથ-વ્યૂહરચના-પ્રતિરોધક છે. વધુમાં, જો સોસાયટીના મતોની સંખ્યા મહત્તમ n-1 હોય, તો GMM પણ પેરેટો-કાર્યક્ષમ છે. ખાસ કરીને, જી. એમ. એમ. સર્વસંમતિની મિલકતને સંતોષે છેઃ જો તમામ એન મતદારો મૂલ્ય પર સહમત થાય, તો આ મૂલ્ય પસંદ કરવામાં આવે છે. લાક્ષણિકતાઓ દરેક અનામી અને વ્યૂહરચનાપ્રૂફ મિકેનિઝમ માટે, કેટલાક એન + 1 સોસાયટી મત એવા હોય છે કે આ મિકેનિઝમ આ સોસાયટીના મત સાથે જી. એમ. એમ. ની સમકક્ષ હોય છે. નોંધ કરો કે આમાં એન-1 સોસાયટીના મત ધરાવતા તમામ જી. એમ. એમ.-એસ. નો સમાવેશ થાય છેઃ કેટલાક એન-1 સોસાયટીના મત આપવામાં આવે તો, કોઈ પણ વ્યક્તિ સોસાયટીના મતને-φ (અથવા સૌથી નાનું સંભવિત મૂલ્ય) પર ઉમેરી શકે છે અને સોસાયટીના મતને + φ (અથવા સૌથી મોટું સંભવિત મૂલ્ય) પર જોડી શકે છે; આ એન + 1 સોસાયટીના મત સાથેનો સરેરાશ મૂળ એન-1 સોસાયટીના મત સાથેનો સરેરાશ સમાન છે. તેવી જ રીતે, આ વર્ગમાં એન-3 સોસાયટીના મત, એન-5 સોસાયટીના મત વગેરે ધરાવતા તમામ જી. એમ. એમ. નો સમાવેશ થાય છે. દરેક અનામી, વ્યૂહરચનાપ્રતિરોધી અને કાર્યક્ષમ પદ્ધતિને એન-1 સમાજના મતો સાથે સામાન્યીકૃત મધ્યમ પદ્ધતિ તરીકે રજૂ કરી શકાય છે. વિશેષ કિસ્સાઓમાં જો તમામ n-1 સોસાયટીના મત-φ (અથવા સૌથી નાનું સંભવિત મૂલ્ય) હોય, તો GMM લઘુતમ (p1,., pn) = p1 પસંદ કરે છે. તેવી જ રીતે, જો તમામ n-1 સોસાયટીના મત + ν (અથવા સૌથી મોટું સંભવિત મૂલ્ય) હોય, તો GMM મહત્તમ (p1,., pn) = pn પસંદ કરે છે. સામાન્ય રીતે, જો k સોસાયટીના મત + ν અને n-1-k-ν હોય, તો GMM pk + 1-(k + 1)-th ઉચ્ચતમ મૂલ્ય પસંદ કરે છે. આ તમામ પદ્ધતિઓ સાચી છે. બજેટ એકત્રીકરણ માટે અરજી બજેટ દરખાસ્તોના સાચા એકત્રીકરણ માટે એક પદ્ધતિ બનાવવા માટે સામાન્યીકૃત મધ્યમ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો છે. સંબંધિત વિભાવનાઓ ચિંગ દ્વારા સમાન લાક્ષણિકતા આપવામાં આવી છે. મધ્યસ્થ પદ્ધતિમાં, દરેક એજન્ટ તેના/તેણીના આદર્શ મૂલ્ય ("શિખર") નો અહેવાલ આપે છે. સરેરાશ મતદાર પ્રમેય ક્રમાંકિત મતદાન પદ્ધતિઓ સાથે સંબંધિત છે, જેમાં દરેક એજન્ટ વિકલ્પો પર તેના/તેણીના સંપૂર્ણ ક્રમાંકનની જાણ કરે છે. પ્રમેય કહે છે કે, જો એજન્ટોની પસંદગીઓ સિંગલ-પીક હોય, તો દરેક કોન્ડોર્સેટ પદ્ધતિ હંમેશા સરેરાશ મતદાર દ્વારા પસંદ કરાયેલા ઉમેદવારની પસંદગી કરે છે. સંદર્ભો એક-વિજેતા ચૂંટણી પ્રણાલીઓ મિકેનિઝમ ડિઝાઇન