Spectral submanifold
ગતિશીલ પ્રણાલીઓમાં, સ્પેક્ટ્રલ સબમેનિફોલ્ડ (એસએસએમ) એ અનન્ય સૌથી સરળ અપરિવર્તનશીલ મેનીફોલ્ડ છે જે બિનરેખીયતાના ઉમેરા હેઠળ રેખીય ગતિશીલ પ્રણાલીના સ્પેક્ટ્રલ સબસ્પેસના બિનરેખીય વિસ્તરણ તરીકે સેવા આપે છે. એસ. એસ. એમ. સિદ્ધાંત એ શરતો પૂરી પાડે છે કે જ્યારે રેખીય ગતિશીલ પ્રણાલીના ઇગેનસ્પેસના અપરિવર્તનશીલ ગુણધર્મોને બિનરેખીય પ્રણાલી સુધી વિસ્તૃત કરી શકાય છે, અને તેથી બિનરેખીય પરિમાણીયતા ઘટાડામાં એસ. એસ. એમ. ના ઉપયોગને પ્રેરિત કરે છે. વ્યાખ્યા સ્થિર મેટ્રિક્સ સાથેના સ્વરૂપના બિનરેખીય સામાન્ય વિભેદક સમીકરણ અને સરળ કાર્યમાં સમાવિષ્ટ બિનરેખીયતાને ધ્યાનમાં લો. ધારો કે તમામ આઈગન વેલ્યુઓ માટે, એટલે કે, મૂળ એ એસિમ્પ્ટોટિકલી સ્થિર નિશ્ચિત બિંદુ છે. હવે આઈગનવેક્ટર્સનો સમયગાળો પસંદ કરો. પછી, ઇગેનસ્પેસ એ રેખીય પ્રણાલીનું અપરિવર્તનશીલ સબસ્પેસ છે. રેખીય પ્રણાલીમાં બિનરેખીયતાના ઉમેરા હેઠળ, સામાન્ય રીતે અનંત ઘણા અપરિવર્તનશીલ મેનીફોલ્ડ્સમાં વિક્ષેપિત થાય છે. આ અપરિવર્તનશીલ મેનીફોલ્ડ્સમાં, અનન્ય સૌથી સરળને સ્પેક્ટ્રલ સબમેનીફોલ્ડ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. અસ્થિર એસ. એસ. એમ. માટે સમકક્ષ પરિણામ ધરાવે છે. અસ્તિત્વ સ્પેક્ટ્રલ સબમેનિફોલ્ડ સ્પર્શક મૂળ સ્થાને અસ્તિત્વમાં હોવાની બાંયધરી આપવામાં આવે છે, જો કે અમુક બિન-પ્રતિધ્વનિ શરતો ના વર્ણપટમાં આઇગન વેલ્યુ દ્વારા સંતુષ્ટ થાય છે. ખાસ કરીને, સ્પેક્ટ્રલ સબસ્પેસની બહારના આઈગનવેલ્યુમાંથી એકની બરાબરનું કોઈ રેખીય સંયોજન હોઈ શકતું નથી. જો આવા બાહ્ય રેઝોનન્સ હોય, તો કોઈ રેઝોનન્ટ મોડને વિસ્તૃત સ્પેક્ટ્રલ સબસ્પેસને લગતા ઉચ્ચ-પરિમાણીય એસએસએમમાં સામેલ કરી શકે છે અને વિશ્લેષણને વિસ્તૃત કરી શકે છે. બિન-સ્વાયત્ત વિસ્તરણ વર્ણપટ સબમેનિફોલ્ડ્સ પરનો સિદ્ધાંત અર્ધ-સામયિક દબાણ શબ્દ સાથે સ્વરૂપની બિનરેખીય બિન-સ્વાયત્ત પ્રણાલીઓ સુધી વિસ્તરે છે. મહત્વ સ્પેક્ટ્રલ સબમેનિફોલ્ડ્સ ગતિશીલ પ્રણાલીઓમાં સખત બિનરેખીય પરિમાણીયતા ઘટાડા માટે ઉપયોગી છે. ઉચ્ચ-પરિમાણીય તબક્કાની જગ્યાને નીચલા-પરિમાણીય મેનીફોલ્ડમાં ઘટાડવાથી સિસ્ટમના મુખ્ય એસિમ્પ્ટોટિક વર્તનનું સચોટ વર્ણન કરવાની મંજૂરી આપીને મોટા સરળીકરણ તરફ દોરી શકે છે. જાણીતી ગતિશીલ પ્રણાલી માટે, એસ. એસ. એમ. ની ગણતરી ઇનવેરિયન્સ સમીકરણોને હલ કરીને વિશ્લેષણાત્મક રીતે કરી શકાય છે, અને એસ. એસ. એમ. પરના ઘટાડેલા નમૂનાઓને દબાણના પ્રતિભાવની આગાહી માટે ઉપયોગમાં લઈ શકાય છે. વધુમાં આ મેનીફોલ્ડ્સ મશીન લર્નિંગ અલ્ગોરિધમ્સના ઉપયોગ સાથે ડાયનેમિકલ સિસ્ટમના ટ્રેજેક્ટરી ડેટામાંથી સીધા જ કાઢવામાં આવી શકે છે. આ પણ જુઓ ઇનવેરિયન્ટ મેનીફોલ્ડ નોનલિનીયર ડાયમેન્શનલ્ટી રિડક્શન લેગ્રેન્જિયન સુસંગત માળખું સંદર્ભો ઓટોમેટેડ એસ. એસ. એમ. ગણતરી ડાયનેમિકલ સિસ્ટમો માટે બાહ્ય કડીઓ સાધન