Common graph
આલેખ સિદ્ધાંતમાં, ગણિતના એક ક્ષેત્રમાં, સામાન્ય આલેખ હોમોમોર્ફિઝમ ઘનતાઓમાં અસમાનતાઓને લગતા ચરમ આલેખ સિદ્ધાંતની શાખાને અનુસરે છે. આશરે કહીએ તો, એક સામાન્ય આલેખ છે જો તે "સામાન્ય રીતે" સબગ્રાફ તરીકે દેખાય છે, એક અર્થમાં કે કોઈપણ આલેખ અને તેના પૂરકમાં નકલોની કુલ સંખ્યા એ સમાન શિરોબિંદુઓ પરની તમામ સંભવિત નકલોના મોટા અપૂર્ણાંક છે. સહજ ભાવે, જો તેની થોડી નકલો હોય, તો તેની ભરપાઈ કરવા માટે તેના પૂરકમાં તેની ઘણી બધી નકલો હોવી આવશ્યક છે. સામાન્ય આલેખ હોમોમોર્ફિઝમ ઘનતા અસમાનતાઓ સાથે વ્યવહાર કરતી અન્ય આલેખ કલ્પનાઓ સાથે નજીકથી સંબંધિત છે. ઉદાહરણ તરીકે, સામાન્ય આલેખ એ સિડોરેન્કો આલેખનો વધુ સામાન્ય કિસ્સો છે. વ્યાખ્યા ગ્રાફ સામાન્ય છે જો અસમાનતા કોઈપણ ગ્રાફોન માટે ધરાવે છે, જ્યાં ધારની સંખ્યા છે અને હોમોમોર્ફિઝમ ઘનતા છે. અસમાનતા ચુસ્ત છે કારણ કે જ્યારે સ્થિર ગ્રાફોન હોય ત્યારે હંમેશા નીચલી સીમા સુધી પહોંચે છે. વ્યાખ્યાના અર્થઘટનો આલેખ માટે, આપણી પાસે અને સંકળાયેલ ગ્રાફોન માટે, કારણ કે પૂરક સાથે સંકળાયેલ ગ્રાફોન છે. તેથી, આ સૂત્ર આપણને ખૂબ જ અનૌપચારિક અંતઃપ્રેરણા પ્રદાન કરે છે, જેનો અર્થ ગમે તે હોય, અને "અંદાજિત" આલેખમાં આલેખની લેબલ કરેલી નકલોના આશરે અપૂર્ણાંક તરીકે જુઓ. પછી, આપણે ધારી શકીએ કે જથ્થો આશરે છે અને બાદમાં અને ની નકલોની સંયુક્ત સંખ્યા તરીકે અર્થઘટન કરી શકીએ છીએ. તેથી, આપણે જોઈએ છીએ કે તે ધરાવે છે. આનો અર્થ એ છે કે સામાન્ય આલેખ સામાન્ય રીતે સબગ્રાફ તરીકે દેખાય છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, જો આપણે ધાર અને બિન-ધારને સમાન શિરોબિંદુઓ પર સંપૂર્ણ આલેખની ધારની 2-રંગીન ધાર તરીકે વિચારીએ, તો તેની તમામ સંભવિત નકલોના ઓછામાં ઓછા અપૂર્ણાંક એકવર્ણી હોય છે. નોંધ લો કે Erdós-Rényi રેન્ડમ ગ્રાફમાં સંભાવના સાથે દોરવામાં આવેલી દરેક ધાર સાથે, દરેક ગ્રાફ હોમોમોર્ફિઝમ મોનોક્રોમેટિક હોવાની સંભાવના ધરાવે છે. તેથી, સામાન્ય આલેખ એ એક આલેખ છે જ્યાં તે ગ્રાફ પર ગ્રાફના મોનોક્રોમેટિક સબગ્રાફ તરીકે તેની ન્યૂનતમ સંખ્યાને પ્રાપ્ત કરે છે. સામાન્યીકૃત હોમોમોર્ફિઝમ ઘનતાનો ઉપયોગ કરીને ઉપરોક્ત વ્યાખ્યાને આ રીતે સમજી શકાય છે. ઉદાહરણો ઉપર જણાવ્યા મુજબ, તમામ સિડોરેન્કો આલેખ સામાન્ય આલેખ છે. તેથી, કોઈપણ જાણીતા સિડોરેન્કો આલેખ એ સામાન્ય આલેખનું ઉદાહરણ છે, અને, સૌથી નોંધપાત્ર રીતે, સમ લંબાઈના ચક્ર સામાન્ય છે. જો કે, આ મર્યાદિત ઉદાહરણો છે કારણ કે તમામ સિડોરેન્કો આલેખ દ્વિપક્ષી આલેખ છે જ્યારે નીચે દર્શાવ્યા મુજબ બિન-દ્વિપક્ષી સામાન્ય આલેખ અસ્તિત્વમાં છે. ત્રિકોણ આલેખ એ બિન-દ્વિપક્ષી સામાન્ય આલેખનું એક સરળ ઉદાહરણ છે. 4 શિરોબિંદુઓ પર સંપૂર્ણ આલેખની ધારને દૂર કરીને મેળવેલ આલેખ સામાન્ય છે. બિન-ઉદાહરણોઃ એક સમય માટે એવું માનવામાં આવતું હતું કે તમામ આલેખ સામાન્ય છે. જો કે, તે બહાર આવ્યું છે કે તે માટે સામાન્ય નથી. ખાસ કરીને, સામાન્ય હોવા છતાં તે સામાન્ય નથી. પુરાવા સિડોરેન્કો આલેખ સામાન્ય છે જો તે તમામ ગ્રાફોનને સંતોષ આપે તો ગ્રાફ એ સિડોરેન્કો આલેખ છે. તે કિસ્સામાં,. વધુમાં, જે હોમોમોર્ફિઝમ ડેન્સિટીની વ્યાખ્યાને અનુસરે છે. કાર્ય માટે જેનસનની અસમાનતા સાથે આને જોડવુંઃ આમ, સામાન્ય આલેખ માટેની શરતો પૂરી થાય છે. ત્રિકોણ આલેખ સામાન્ય છે અવિભાજ્ય અભિવ્યક્તિને વિસ્તૃત કરો અને ચલ વચ્ચેની સમપ્રમાણતાને ધ્યાનમાં લોઃ અભિવ્યક્તિમાં દરેક શબ્દ નાના આલેખની હોમોમોર્ફિઝમ ઘનતાના સંદર્ભમાં લખી શકાય છે. હોમોમોર્ફિઝમ ડેન્સિટીઝની વ્યાખ્યા મુજબઃ જ્યાં એક ભાગ પર શિરોબિંદુ અને બીજા ભાગ પર શિરોબિંદુઓ પર સંપૂર્ણ દ્વિપક્ષી આલેખ સૂચવે છે. તે નીચે પ્રમાણે છેઃ તે ચલ વચ્ચેની સમપ્રમાણતાને આભારી હોઈ શકે છે અનેઃ જ્યાં છેલ્લું પગલું અભિન્ન કૌચી-શ્વાર્ઝ અસમાનતાને અનુસરે છે. છેવટેઃ આ પુરાવો "કોઈપણ પક્ષમાં પરિચિતો અને અજાણ્યાઓના સેટ્સ પર" માં પ્રમેય 1 ના સતત એનાલોગને લઈને મેળવી શકાય છે સિડોરેન્કોના અનુમાન સંદર્ભો ગ્રાફ પરિવારો એક્સ્ટ્રીમ ગ્રાફ થિયરી પણ જુઓ.