Invariant decomposition
અપરિવર્તનશીલ વિઘટન એ જૂથોના તત્વોનું ઓર્થોગોનલ પરિવહન તત્વોમાં વિઘટન છે. તે તેમના પેટા જૂથોમાં પણ માન્ય છે, દા. ત. ઓર્થોગોનલ, સ્યુડો-યુક્લિડિયન, કન્ફોર્મલ અને ક્લાસિકલ જૂથો. કારણ કે પિન જૂથોના ઘટકો લક્ષી પ્રતિબિંબની રચના છે, અપરિવર્તનશીલ વિઘટન પ્રમેય વાંચે છે-દરેક-પ્રતિબિંબને પરિવહન પરિબળોમાં વિઘટિત કરી શકાય છે. તેને અપરિવર્તનશીલ વિઘટન નામ આપવામાં આવ્યું છે કારણ કે આ પરિબળો-પ્રતિબિંબના અપરિવર્તનશીલ છે. એક જાણીતો વિશેષ કિસ્સો ચેઝલ્સનો પ્રમેય છે, જે જણાવે છે કે શરીરની કોઈપણ કઠોર ગતિને એક જ રેખાના પરિભ્રમણમાં વિઘટિત કરી શકાય છે, ત્યારબાદ અથવા તે પહેલાં અનુવાદ કરી શકાય છે. પરિભ્રમણ અને અનુવાદ બંને બે રેખાઓ અપરિવર્તનશીલ રાખે છેઃ પરિભ્રમણની અક્ષ અને અનુવાદની ઓર્થોગોનલ અક્ષ. પરિભ્રમણ અને અનુવાદ બંને બાયર્ફ્લેક્શન્સ હોવાથી, પ્રમેયનું વધુ અમૂર્ત નિવેદન વાંચે છે કે "દરેક ચતુર્ભુજ પ્રતિબિંબને પરિવર્તનશીલ બાયર્ફ્લેક્શન્સમાં વિઘટિત કરી શકાય છે". આ સ્વરૂપમાં નિવેદન પણ માન્ય છે, દા. ત. સ્પેસટાઇમ બીજગણિત, જ્યાં કોઈપણ લોરેન્ટ્ઝ પરિવર્તનને આવનજાવન પરિભ્રમણ અને બુસ્ટમાં વિઘટિત કરી શકાય છે. બાયવેક્ટર વિઘટન કુલ પરિમાણના ભૌમિતિક બીજગણિતમાં કોઈપણ બાયવેક્ટરને ઓર્થોગોનલ કમ્યુટિંગ સરળ બાયવેક્ટર્સમાં વિઘટિત કરી શકાય છે જે સંતોષ આપે છે. પછી લાક્ષણિક બહુપદી વ્યાખ્યાના ઉકેલો તરીકે શોધી કાઢવામાં આવે છે અને, ઉકેલો દ્વારા આપવામાં આવે છે. અપરિવર્તનશીલ વિઘટન માટેનો આ બંધ સ્વરૂપ ઉકેલ માત્ર 1 ના બીજગણિત ગુણાકાર સાથેના આઈગન મૂલ્યો માટે માન્ય છે. અધોગતિ માટે અપરિવર્તનશીલ વિઘટન હજુ પણ અસ્તિત્વમાં છે, પરંતુ બંધ સ્વરૂપ ઉકેલનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાતું નથી. ઘાતાંકીય નકશો A-પ્રતિબિંબને જ્યાં દ્વિભાજક છે તે રીતે લખી શકાય છે, અને આમ પરિબળકરણની મંજૂરી આપે છે અપરિવર્તનશીલ વિઘટન તેથી ઘાતાંકો માટે બંધ સ્વરૂપ સૂત્ર આપે છે, કારણ કે દરેક ચોરસ સ્કેલરમાં છે અને આમ યુલરના સૂત્રને અનુસરે છેઃ મર્યાદાનું કાળજીપૂર્વક મૂલ્યાંકન કરવું આપે છે અને આમ અનુવાદો પણ શામેલ છે. રોટર ફેક્ટરાઇઝેશન-પ્રતિબિંબ જોતાં આપણે ફેક્ટરાઇઝેશન શોધવા માંગીએ છીએ. સરળ બાયવેક્ટરને ક્યાં વ્યાખ્યાયિત કરી રહ્યા છીએ. આ બાયવેક્ટર્સ સીધા જ બાયવેક્ટર્સ માટે ઉપરોક્ત ઉકેલનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે, જ્યાં ગ્રેડ ભાગ પસંદ કરે છે. બાયવેક્ટર્સ મળ્યા પછી, સીધા જ મુખ્ય લઘુગણક તરીકે જોવા મળે છે. અપરિવર્તનશીલ વિઘટનને a-પ્રતિબિંબ સુધી વિસ્તારવા માટે, આપણે ઉપયોગ કરીએ છીએ કે વેક્ટર ભાગ એ એક પ્રતિબિંબ છે જે પહેલેથી જ-પ્રતિબિંબ સાથે પરિવર્તિત થાય છે, અને તે-પ્રતિબિંબ સાથે ઓર્થોગોનલ છે. સમસ્યા પછી ઉપર વર્ણવેલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને વિઘટન શોધવા માટે ઘટાડે છે. અપરિવર્તનશીલ બાયવેક્ટર્સ બાયવેક્ટર્સ એ અનુરૂપના અપરિવર્તનશીલ છે કારણ કે તેઓ તેની સાથે મુસાફરી કરે છે, અને આમ જૂથ જોડાણ હેઠળ પરિચયમાં આપેલા ચેસલ્સના પ્રમેયના ઉદાહરણ પર પાછા જતા, 3D માં સ્ક્રૂ ગતિ બે રેખાઓને અપરિવર્તનશીલ રાખે છે અને, જે પરિભ્રમણની અક્ષ અને ક્ષિતિજ પર અનુવાદની ઓર્થોગોનલ અક્ષને અનુરૂપ હોય છે. જ્યારે સમગ્ર જગ્યા સ્ક્રૂ ગતિમાંથી પસાર થાય છે, ત્યારે આ બે અક્ષો તેના દ્વારા અપરિવર્તિત રહે છે. ઇતિહાસ અપરિવર્તનશીલ વિઘટન તેના મૂળ માર્સેલ રીસ દ્વારા બાયવેક્ટર્સ વિશે કરવામાં આવેલા નિવેદનમાં શોધે છેઃ શું કોઈ પણ બાયવેક્ટરને પરસ્પર ઓર્થોગોનલ સરળ બાયવેક્ટર્સના સીધા સરવાળામાં વિઘટિત કરી શકાય છે? ગાણિતિક રીતે, આનો અર્થ એ થશે કે પરિમાણીય ભૌમિતિક બીજગણિતમાં આપેલ બાયવેક્ટર માટે, મહત્તમ બાયવેક્ટર્સ શોધવાનું શક્ય હોવું જોઈએ, જેમ કે, જ્યાં સંતોષ થાય છે અને સ્કેલરનો વર્ગ હોવો જોઈએ. માર્સેલ રીઝે કેટલાક ઉદાહરણો આપ્યા જે આ અનુમાન તરફ દોરી જાય છે, પણ એક (દેખીતો) પ્રતિકૂળ ઉદાહરણ પણ આપ્યું છે. ભૌમિતિક બીજગણિતમાં અનુમાનનો પ્રથમ વધુ સામાન્ય ઉકેલ ડેવિડ હેસ્ટેન્સ અને ગેરેટ સોબ્ઝીક દ્વારા આપવામાં આવ્યો હતો. જો કે, આ ઉકેલ શુદ્ધ યુક્લિડિયન જગ્યાઓ સુધી મર્યાદિત હતો. 2011 માં (3ડીસીજીએ) માં ઉકેલ લીઓ ડોર્સ્ટ અને રોબર્ટ જાન વાલ્કેનબર્ગ દ્વારા પ્રકાશિત કરવામાં આવ્યો હતો, અને તે લોરેન્ટ્ઝિયન સહીમાં પ્રથમ ઉકેલ હતો. 2011 માં પણ, ચાર્લ્સ ગન ડીજનરેટ મેટ્રિકમાં ઉકેલ આપનાર પ્રથમ વ્યક્તિ હતા. આનાથી પહેલી ઝલક મળી કે સિદ્ધાંત મેટ્રિક સ્વતંત્ર હોઈ શકે છે. પછી, 2021 માં, માર્ટિન રોલ્ફ્સ દ્વારા તેમના પીએચડી થીસીસમાં સંપૂર્ણ મેટ્રિક અને પરિમાણ સ્વતંત્ર બંધ સ્વરૂપ ઉકેલ આપવામાં આવ્યો હતો. અને ભૌમિતિક બીજગણિતમાં બાયવેક્ટર્સ લાઈ બીજગણિત બનાવે છે, તેથી આ થીસીસનો ઉપયોગ જૂથોના તત્વોને ઓર્થોગોનલ કમ્યુટિંગ પરિબળોમાં વિઘટિત કરવા માટે પણ કરવામાં આવ્યો હતો, જે દરેક યુલરના સૂત્રને અનુસરે છે, અને આ જૂથો માટે બંધ સ્વરૂપ ઘાતાંકીય અને લઘુગણકીય કાર્યો રજૂ કરવા માટે. ત્યારબાદ માર્ટિન રોલ્ફ્સ અને સ્ટીવન ડી કેનિન્કના એક પેપરમાં અપરિવર્તનશીલ વિઘટનને માત્ર નહીં પણ તત્વોનો સમાવેશ કરવા માટે વિસ્તૃત કરવામાં આવ્યું હતું અને તેમાંથી પસાર થયા વિના તત્વોનું સીધું વિઘટન જોવા મળ્યું હતું. સંદર્ભો જૂથ સિદ્ધાંત