Feuerbach hyperbola
ભૂમિતિમાં, ફ્યુએરબેચ હાયપરબોલા એક લંબચોરસ હાયપરબોલા છે જે ઓર્થોસેન્ટર, ગેર્ગોને પોઇન્ટ, નાગેલ પોઇન્ટ અને શિફલર પોઇન્ટ જેવા મહત્વપૂર્ણ ત્રિકોણ કેન્દ્રોમાંથી પસાર થાય છે. હાયપરબોલાનું કેન્દ્ર ફ્યુએરબાખ બિંદુ છે, જે આંતરિક વર્તુળ અને નવ-બિંદુ વર્તુળની સ્પર્શક બિંદુ છે. સમીકરણ તે ત્રિકોણીય સમીકરણ ધરાવે છે (અહીં સંબંધિત શિરોબિંદુઓ પરના ખૂણાઓ છે અને તે બેરિસેન્ટ્રીક કોઓર્ડિનેટ છે). ગુણધર્મો અન્ય લંબચોરસ હાયપરબોલાની જેમ, વળાંક પરના કોઈપણ ત્રણ બિંદુઓનું ઓર્થોસેન્ટર હાયપરબોલા પર આવેલું છે. તેથી, ત્રિકોણનું ઓર્થોસેન્ટર વળાંક પર આવેલું છે. આ રેખા આ હાયપરબોલા પર સ્પર્શક છે. OIનું આઇસોગોનલ કોન્જ્યુગેટ હાયપરબોલા એ સર્કમસેન્ટર અને ઇન્સેન્ટરને જોડતી લાઇનનું આઇસોગોનલ કોન્જ્યુગેટ છે. આ હકીકત કેટલાક રસપ્રદ ગુણધર્મો તરફ દોરી જાય છે. ખાસ કરીને રેખા પર પડેલા તમામ બિંદુઓમાં તેમના આઇસોગોનલ સંયોજનો હાયપરબોલા પર આવેલા હોય છે. નાગેલ બિંદુ વળાંક પર આવેલું છે કારણ કે તેનું આઇસોગોનલ સંયુગ્મ એ શિરોબિંદુઓને જોડતી રેખાઓનું સમવર્તી બિંદુ છે અને વિરુદ્ધ મિશ્રરેખીય અંતઃવર્તુળ ટચપોઇન્ટ્સ છે, જે અંતઃવર્તુળ અને પરિઘાકારની સમાનતા પણ છે. તેવી જ રીતે, ગેર્ગોને બિંદુ વળાંક પર આવેલું છે કારણ કે તેનું આઇસોગોનલ સંયુગ્મ આંતરિક વર્તુળ અને પરિઘ વર્તુળની પૂર્વ-સમાનતા છે. હાયપરબોલા પરના કોઈપણ બિંદુનું પેડલ વર્તુળ હાયપરબોલાના કેન્દ્ર, ફ્યુએરબેક બિંદુમાંથી પસાર થાય છે. કરિયાનું પ્રમેય ત્રિકોણને જોતાં, ત્રિકોણની બાજુઓ સાથે અનુક્રમે શિરોબિંદુઓની વિરુદ્ધમાં આંતરિક વર્તુળના સ્પર્શબિંદુઓ હોવા જોઈએ. રેખાઓ પર આવેલા બિંદુઓ આવા હોવા જોઈએ. પછી, રેખાઓ ફ્યુએરબેચ હાયપરબોલા પર આવેલા બિંદુ પર સહવર્તી હોય છે. કરિયાના પ્રમેયનો લાંબો ઇતિહાસ છે. તે ઑગસ્ટ બાઉટિન અને વી દ્વારા સ્વતંત્ર રીતે સાબિત કરવામાં આવ્યું હતું. રિટાલી., પરંતુ તે કરિયાના પેપર પછી જ પ્રખ્યાત થયું. તે સમયની આસપાસ, આ પરિણામના ઘણા સામાન્યીકરણ આપવામાં આવ્યા હતા. કરિયાના પ્રમેયનો ઉપયોગ ફ્યુએરબેક હાયપરબોલાના નિર્માણ માટે થઈ શકે છે. લેમોઇનના પ્રમેય અને કરિયાના પ્રમેય બંને જેકોબીના પ્રમેયનો એક વિશેષ કિસ્સો છે. અન્ય લંબચોરસ હાયપરબોલાસ કીપર્ટ હાયપરબોલા, અનન્ય શંકુ જે ત્રિકોણના ત્રણ શિરોબિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે, તેનો કેન્દ્રબિંદુ અને તેના લંબચોરસ જેરાબેક હાયપરબોલા, ત્રિકોણના નવ-બિંદુ વર્તુળ પર કેન્દ્રિત એક લંબચોરસ હાયપરબોલા અને ત્રિકોણના ત્રણ શિરોબિંદુઓ તેમજ તેના પરિઘ, લંબચોરસ અને અન્ય વિવિધ નોંધપાત્ર કેન્દ્રોમાંથી પસાર થાય છે.