Polynomials calculating sums of powers of arithmetic progressions
અંકગણિત પ્રગતિઓની શક્તિઓના સરવાળાની ગણતરી કરતી બહુપદીઓ ચલમાં બહુપદીઓ છે જે સંચિત શક્તિઓના આધારે રચાયેલી ચોક્કસ અંકગણિત પ્રગતિ અને પસંદ કરેલા અચળ ઘાતાંક, બિન-નકારાત્મક પૂર્ણાંક, બંને પર આધાર રાખે છે. તેમની ડિગ્રી હંમેશા એક એકમ દ્વારા અચળ ઘાતાંક કરતાં વધી જાય છે અને તેમાં એવો ગુણધર્મ હોય છે કે જ્યારે બહુપદી ચલ સરવાળા ઉમેરણોની સંખ્યા સાથે મેળ ખાય છે, ત્યારે બહુપદી કાર્યનું પરિણામ પણ સરવાળા સાથે મેળ ખાય છે. તેથી સમસ્યા શોધવામાં છે એટલે કે. પરિશિષ્ટોના સરવાળાની ગણતરીના કાર્ય તરીકે બહુપદીઓઃ સાથે અને પૂર્ણાંકો હકારાત્મક, અંકગણિત પ્રગતિનું પ્રથમ પદ અને સામાન્ય તફાવત. બે પરિમાણો માત્ર પૂર્ણાંકો જ નહીં પણ તર્કસંગત, વાસ્તવિક અને જટિલ પણ હોઈ શકે છે. ઇતિહાસ પ્રાચીન સમયગાળો સમસ્યાનો ઇતિહાસ પ્રાચીનકાળથી શરૂ થાય છે અને તેના કેટલાક વિશેષ કિસ્સાઓ સાથે મેળ ખાય છે. આ કેસ અંકગણિત શ્રેણીની ગણતરી સાથે મેળ ખાય છે, જે અંકગણિત પ્રગતિના પ્રથમ મૂલ્યોનો સરવાળો છે. આ સમસ્યા એકદમ સરળ છે પરંતુ પાયથાગોરિયન શાળા દ્વારા ત્રિકોણાકાર સંખ્યાઓ સાથેના જોડાણ માટે પહેલેથી જ જાણીતો કેસ ઐતિહાસિક રીતે રસપ્રદ છેઃ પ્રથમ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના સરવાળાની ગણતરી કરતી બહુપદી. ગણિતના ઇતિહાસમાં જોવા મળતા પ્રથમ કિસ્સાઓ આ પ્રમાણે છેઃ બહુપદી જે વર્ગ બનાવતા પ્રથમ ક્રમિક અવરોધોના સરવાળાની ગણતરી કરે છે. પાયથાગોરિયનો દ્વારા કદાચ સારી રીતે ઓળખાતી મિલકત, જેમણે તેમની આંકડાકીય સંખ્યાઓ બનાવતી વખતે, આગામી સંપૂર્ણ ચોરસ મેળવવા માટે દરેક વખતે બિંદુઓની વિષમ સંખ્યા ધરાવતી નોમોન ઉમેરવી પડતી હતી. ક્રમિક પૂર્ણાંકોના વર્ગના સરવાળાની ગણતરી કરતી બહુપદી. ગુણધર્મ કે જે આપણને સર્પાકારમાં દર્શાવવામાં આવે છે, જે આર્કિમિડીઝનું કાર્ય છે; બહુપદી ક્રમિક પૂર્ણાંકોના સમઘનના સરવાળાની ગણતરી કરે છે. ગેરાસાના નિકોમાકસના પ્રમેયનો ઉપસંહાર. જે કિસ્સાઓમાં અગાઉની બે બહુપદીઓ સંબંધિત છે, તે ક્રમિક પૂર્ણાંકોની શક્તિઓની શાસ્ત્રીય સમસ્યાની રચના કરે છે. સમય જતાં, અન્ય ઘણા ગણિતશાસ્ત્રીઓને આ સમસ્યામાં રસ પડ્યો અને તેમણે તેના ઉકેલમાં વિવિધ યોગદાન આપ્યું. આમાં આર્યભટ્ટ, અલ-કરાજી, ઇબ્ન અલ-હેથમ, થોમસ હેરિયટ, જોહાન ફૌલહેબર, પિયરે દ ફર્માટ અને બ્લેઝ પાસ્કલનો સમાવેશ થાય છે, જેમણે અગાઉની ઓળખને ધ્યાનમાં લઈને ક્રમિક પૂર્ણાંકોની શક્તિઓના સરવાળાની સમસ્યાને પુનરાવર્તિત રીતે હલ કરી હતી, જે અગાઉની ઓળખને પહેલેથી જ જાણતી ડિગ્રીની બહુપદી મેળવવાની મંજૂરી આપે છે. 1713માં જેકબ બર્નૌલીના પરિવારે મરણોપરાંત તેમની "આર્ટિસ કોન્જેક્ટેન્ડી" પ્રકાશિત કરી હતી, જેમાં આ અનંત શ્રેણીની પ્રથમ 10 બહુપદીઓ ચોક્કસ સંખ્યાઓ પર આધારિત સામાન્ય સૂત્ર સાથે એકસાથે દેખાય છે, જે ટૂંક સમયમાં તેમના નામ પર રાખવામાં આવી હતી. તેના બદલે આ સૂત્રનું શ્રેય જોહાન ફૌલહેબરને તેમના યોગ્ય યોગદાન માટે આપવામાં આવ્યું હતું, જેને પોતે બર્નૌલી દ્વારા માન્યતા આપવામાં આવી હતી. તે પણ તરત જ સ્પષ્ટ થઈ ગયું હતું કે શૂન્યથી શરૂ થતા ક્રમિક પૂર્ણાંકોની ઘાતોના સરવાળાની ગણતરી કરતી બહુપદીઓ એકથી શરૂ થતી બહુપદીઓ જેવી જ હતી. આનું કારણ એ છે કે તે સ્પષ્ટ છે કે અને તેથી સ્વરૂપની ડિગ્રીની બહુપદીઓએ તેઓ બને છે તે એકવિધ તફાવતને બાદ કર્યો. જો કે, ફૌલહેબરના સૂત્રનો પુરાવો ગુમ હતો, જે એક સદી કરતાં વધુ સમય પછી કાર્લ જી. જેકોબી દ્વારા આપવામાં આવ્યો હતો, જેમણે બર્નૌલી સંખ્યાઓ ઉત્પન્ન કરતા ઘાતાંકીય વિધેયની અનંત શ્રેણીમાં વિકાસનો ઉપયોગ કરીને ગાણિતિક વિશ્લેષણની પ્રગતિથી લાભ મેળવ્યો હતો. આધુનિક સમયગાળો 1982 એ. ડબલ્યુ. એફ. એડવર્ડ્સ એક લેખ પ્રકાશિત કરે છે જેમાં તેઓ દર્શાવે છે કે પાસ્કલની ઓળખને ત્રિકોણાકાર મેટ્રિસીસ દ્વારા વ્યક્ત કરી શકાય છે જેમાં પાસ્કલનો ત્રિકોણ દરેક રેખાના છેલ્લા તત્વથી વંચિત છેઃ ઉદાહરણ પાંચમા ક્રમના મેટ્રિક્સની પસંદગી દ્વારા મર્યાદિત છે પરંતુ તે સરળતાથી ઉચ્ચ ક્રમ સુધી વિસ્તારી શકાય છે. સમીકરણને આ રીતે લખી શકાય છેઃ અને સમીકરણની બંને બાજુઓને ડાબી બાજુએ મેટ્રિક્સ A ના વ્યસ્ત વડે ગુણાકાર કરીને, આપણે મેળવીએ છીએ જે બર્નૌલી સંખ્યાઓનો સીધો ઉપયોગ કર્યા વિના બહુપદી ગુણાંક પર સીધા પહોંચવાની મંજૂરી આપે છે. એડવર્ડ્સ પછી પાવર સમ સમસ્યાના વિવિધ પાસાઓ સાથે કામ કરતા અન્ય લેખકો મેટ્રિક્સ પાથ લે છે અને તેમના લેખોમાં વેન્ડરમોન્ડે વેક્ટર જેવા ઉપયોગી સાધનોમાં સમસ્યાના પાસાઓનો અભ્યાસ કરે છે. અન્ય સંશોધકો પરંપરાગત વિશ્લેષણાત્મક માર્ગ દ્વારા સંશોધન કરવાનું ચાલુ રાખે છે અને કોઈપણ ભૌમિતિક પ્રગતિ માટે ક્રમિક પૂર્ણાંકોના સરવાળાની સમસ્યાનું સામાન્યીકરણ કરે છે બહુપદીઓના ગુણાંક પુનરાવર્તિત સૂત્રો દ્વારા અને અન્ય રીતે જોવા મળે છે જે સંખ્યા સિદ્ધાંત માટે બર્નૌલી બહુપદીઓના કાર્ય તરીકે સરવાળાના પરિણામની અભિવ્યક્તિ તરીકે અથવા સ્ટર્લિંગ સંખ્યાઓ અને પ્રથમ અને બીજા પ્રકારની આર-વ્હિટની સંખ્યાઓ સાથે સંકળાયેલા સૂત્રો તરીકે રસપ્રદ છે. તે દર્શાવવામાં આવ્યું છે કે, પરિમાણો પસંદ કર્યા પછી અને જે અંકગણિત પ્રગતિ અને હકારાત્મક પૂર્ણાંક નક્કી કરે છે, આપણે નીચેની ઘાતોના સરવાળાને અનુરૂપ બહુપદીઓ શોધીએ છીએઃ ક્રમના ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સની હરોળના બહુપદી ગુણાંક ઘટકો સાથે. અહીં ચોક્કસ કિસ્સામાં ઉકેલવાનું સૂત્ર છે જે આપેલ અંકગણિત પ્રગતિની બહુપદીઓને 0 થી 3 ના ઘાતાંકો સાથે આપે છેઃ સમીકરણ કે જેને સરળતાથી m (બિન-નકારાત્મક પૂર્ણાંકો) ના વિવિધ મૂલ્યો સુધી વિસ્તૃત કરી શકાય છે તેનો સારાંશ અને સામાન્યીકરણ નીચે મુજબ છેઃ અથવા સાથે મૂકીને પણ અહીં મેટ્રિસીસ અને વેન્ડરમોન્ડે વેક્ટરની સખત વ્યાખ્યા છેઃ તેથી તેના પરિણામો માટે મેટ્રિક્સ A એ એડવર્ડ્સની પહેલેથી જ જોયેલી છે, એક નીચલા ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સ જે પુનઃઉત્પાદન કરે છે, બિન-શૂન્ય તત્વોમાં, દરેક હરોળના છેલ્લા તત્વથી વંચિત પાસ્કલની ત્રિકોણ. બીજી બાજુ ના ઘટકો માટે શક્તિ વિકાસના એકસૂત્રો છે. તે સ્તંભ ગુણાકાર દ્વારા હરોળનું તટસ્થ તત્વ છે જેથી આ કિસ્સામાં સામાન્ય સમીકરણ બનેઃ તે એડવર્ડ્સ દ્વારા શોધાયેલું છે સામાન્યને સાબિત કરવા માટે આ ચોક્કસ કેસમાંથી આવવા માટે, સમીકરણના બે સભ્યોને નીચેની ઓળખની ખાતરી કર્યા પછી મેટ્રિક્સ દ્વારા ડાબી બાજુએ ગુણાકાર કરવા માટે પૂરતું છે ક્રમિક વિષમ સંખ્યાઓની ઘાતોનો સરવાળો આપણે ક્રમિક અવરોધોની ઘાત ઉમેરવાની સમસ્યાને ઉકેલવા માટે અગાઉના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએઃ અવરોધો પ્રથમ તત્વ સાથે અંકગણિતની પ્રગતિને અનુરૂપ છે અને કારણ તરીકે આપણે વિચિત્ર શક્તિઓના સરવાળાની ગણતરી કરતી પ્રથમ પાંચ બહુપદી શોધવા માટે m = 4 સુયોજિત કરીએ છીએ. ગણતરી આપણે મેળવીએ છીએઃ તેથી આપણી પાસે ઉત્પાદન માટે અને નુકસાન માટે સામાન્ય સમીકરણ છેઃ છેલ્લી પંક્તિ () નો ઉપયોગ કરીને આપણે પછી મેળવીએ છીએ અને અન્ય પંક્તિઓનો ઉપયોગ કરીએ છીએઃ 1 થી શરૂ થતા ક્રમિક પૂર્ણાંકોનો સરવાળો પસંદ કરેલ અને ગણતરી કરેલ અને T (1,1) જે પાસ્કલના ત્રિકોણને અનુરૂપ છેઃ 0 થી શરૂ થતા ક્રમિક પૂર્ણાંકોનો સરવાળો પસંદ કરેલ અને ગણતરી કરેલ અને T (0,1) એકમ મેટ્રિક્સઃ પ્રગતિ-1,3,7,11,15. ફરીથી પસંદ કરેલ, ગણતરી કરેલ, અગાઉના ફકરા અને સહયોગી ગુણધર્મના પરિણામનો ઉપયોગ કર્યોઃ ફૌલહેબરના સૂત્રનું સામાન્યીકરણ મેટ્રિક્સને બર્નૌલી બહુપદીઓના કાર્ય તરીકે નીચેની રીતે વ્યક્ત કરી શકાય છે જેમાંથી સામાન્યીકૃત ફૌલહેબર સૂત્ર મેળવવામાં આવે છેઃ અને જાણીતા વિશેષ કિસ્સાઓ પણઃ જ્યાં 0 માં ગણતરી કરાયેલ બર્નૌલી બહુપદીઓ બર્નૌલી સંખ્યાઓ છે અને 1 માં ગણતરી કરાયેલ તેના બદલાયેલા ચિહ્ન સાથેનો પ્રકાર છે. બર્નૌલીની બહુપદીઓના અનુવાદના ગુણધર્મ માટે, સામાન્યીકૃત ફૌલહેબર સૂત્ર સાહિત્યમાં અન્યથી વિપરીત ખૂબ જ વ્યાપક બની શકે છે. તેથી બે વિશેષ કિસ્સાઓ પણઃ સંદર્ભો અંકગણિત પ્રગતિઓ પણ જુઓ ફૌલહેબરનું સૂત્ર પાસ્કલનું ત્રિકોણ દ્વિપદી પ્રમેય બર્નૌલી બહુપદી બહુપદી