Bekić's theorem
ગણતરી સિદ્ધાંતમાં, બેકીકનો પ્રમેય અથવા બેકીકનો સિદ્ધાંત એ નિશ્ચિત-બિંદુઓ વિશેનો એક પ્રમેય છે જે એક સમયે એક ચલ પર પરસ્પર પુનરાવર્તનને પુનરાવર્તનમાં વિભાજિત કરવાની મંજૂરી આપે છે. તે ઑસ્ટ્રિયન હંસ બેકીચ (1936-1982) દ્વારા 1969 માં બનાવવામાં આવ્યું હતું, અને 1984 માં ક્લિફ જોન્સ દ્વારા એક પુસ્તકમાં મરણોત્તર પ્રકાશિત થયું હતું. આ પ્રમેય નીચે પ્રમાણે ગોઠવવામાં આવ્યો છે. બે ઓપરેટરોને ધ્યાનમાં લો અને પોઇન્ટેડ ડિરેક્ટેડ-પૂર્ણ આંશિક ઓર્ડર પર અને દરેક ઘટકમાં સતત. પછી સંચાલકને વ્યાખ્યાયિત કરો. આ ઉત્પાદન ક્રમ (ઘટક મુજબ ક્રમ) ના સંદર્ભમાં મોનોટોન છે. ક્લાઈન ફિક્સ્ડ-પોઇન્ટ થીયરમ મુજબ, તે ઓછામાં ઓછો ફિક્સ્ડ પોઇન્ટ ધરાવે છે, જેમ કે અને. બેકીકનો પ્રમેય (તેમની નોંધોમાં "દ્વિભાજન લેમ્મા" તરીકે ઓળખાય છે) એ છે કે એક સાથે ઓછામાં ઓછા નિશ્ચિત બિંદુને અને પર ઓછામાં ઓછા નિશ્ચિત બિંદુઓની શ્રેણીમાં વિભાજિત કરી શકાય છે, ખાસ કરીનેઃ આ પ્રસ્તુતિમાં આની દ્રષ્ટિએ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. તેના બદલે તેને સમપ્રમાણ પ્રસ્તુતિમાં વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છેઃ પુરાવો (બેકીકઃ કારણ કે તે નિશ્ચિત બિંદુ છે. તેવી જ રીતે. તેથી તે એક નિશ્ચિત બિંદુ છે. તેનાથી વિપરીત, જો તેની સાથે પૂર્વ-નિશ્ચિત બિંદુ હોય, તો અને; તેથી અને એ ન્યૂનતમ નિશ્ચિત બિંદુ છે. સંપૂર્ણ જાળીમાં ફેરફારો પ્રમેયનો એક પ્રકાર એ શરતોને મજબૂત કરે છે કે તે સંપૂર્ણ જાળી છે, અને નેસ્ટર-ટાર્સ્કી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને સૌથી ઓછો નિશ્ચિત બિંદુ શોધે છે. અને પછી સાતત્ય માટેની જરૂરિયાતને નબળી પાડી શકાય છે જેથી તેમને માત્ર એકવિધ કાર્યો કરવાની જરૂર પડે. બેકીકના લેમ્માને શ્રેણીઓ (પ્રારંભિક-આલ્જેબ્રા) ના એન્ડોફંક્ટર્સના નિશ્ચિત બિંદુઓ માટે સામાન્યીકૃત કરવામાં આવી છે. બે ફંકટર આપવામાં આવે છે અને જેમ કે બધા અને અસ્તિત્વ ધરાવે છે, નિશ્ચિત બિંદુ જોડી દ્વારા વહન કરવામાં આવે છેઃ ઉપયોગ બેકીકના પ્રમેયને એક ચલના ઓછામાં ઓછા નિશ્ચિત બિંદુઓની દ્રષ્ટિએ ટુપલના ઓછામાં ઓછા નિશ્ચિત બિંદુને શોધવા માટે વારંવાર લાગુ કરી શકાય છે. જો કે પરિણામી અભિવ્યક્તિ થોડી જટિલ બની શકે છે, સ્વચાલિત પ્રમેય કહેવતની રચના કરતી વખતે એક ચલના નિશ્ચિત બિંદુઓ વિશે તર્ક કરવો સરળ બની શકે છે. સંદર્ભ ક્રમ સિદ્ધાંત નિશ્ચિત-બિંદુ પ્રમેયો