Permutoassociahedron
ગણિતમાં, પર્મ્યુટોએસોસિએહેડ્રોન એ એક-પરિમાણીય પોલીટોપ છે, જેના શિરોબિંદુઓ શબ્દોના ક્રમચયોના કૌંસને અનુરૂપ હોય છે અને જેની ધાર બે કૌંસને જોડે છે, જે કાં તો સહયોગીતાનો ઉપયોગ કરીને કૌંસની જોડી ખસેડીને અથવા કૌંસ દ્વારા અલગ ન હોય તેવા બે સળંગ શબ્દોને સ્થાનાંતરિત કરીને એક બીજાથી મેળવી શકાય છે. પર્મ્યુટોએસોસિએહેડ્રોનને સૌપ્રથમ મિખાઇલ કપ્રાનોવ દ્વારા સીડબ્લ્યુ સંકુલ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવ્યું હતું, જેમણે નોંધ્યું હતું કે આ માળખું મેક લેનના સમપ્રમાણ અને ગૂંથેલા વર્ગો માટેના સુસંગતતા પ્રમેયમાં તેમજ નિઝનિક-ઝામોલોડચિકોવ સમીકરણો પરના વ્લાદિમીર ડ્રિન્ફેલ્ડના કાર્યમાં સ્પષ્ટ રીતે દેખાય છે. તેનું નિર્માણ વિક્ટર રેઇનર અને ગુંટર એમ. ઝિગલર દ્વારા બહિર્મુખ પોલીટોપ તરીકે કરવામાં આવ્યું હતું. ઉદાહરણો જ્યારે, પર્મ્યુટોએસોસિએહેડ્રોનના શિરોબિંદુઓને ત્રણ શબ્દોના તમામ ક્રમચયોને કૌંસ કરીને રજૂ કરી શકાય છે, અને. આવા છ ક્રમચયો છે,,,,, અને, અને તેમાંના દરેક બે કૌંસ સ્વીકારે છે (સહયોગીતા દ્વારા એકબીજા પાસેથી મેળવેલ). દાખલા તરીકે, તેને તરીકે અથવા તરીકે વર્ગીકૃત કરી શકાય છે. તેથી,-પરિમાણીય પર્મ્યુટોએસોસિએહેડ્રોન એ શિરોબિંદુઓ,,,,,,,,, અને સાથે ડોડેકાગોન છે. જ્યારે, શિરોબિંદુ પર્મ્યુટોસોસિઆહેડ્રોનના બરાબર ત્રણ અન્ય શિરોબિંદુઓને અડીને છેઃ,, અને. પ્રથમ બે શિરોબિંદુઓ સહયોગીતા દ્વારા અને ત્રીજા સ્થાનાંતરણ દ્વારા પહોંચી શકાય છે. શિરોબિંદુ ચાર શિરોબિંદુઓને અડીને આવેલું છે. તેમાંથી બે, અને, સહયોગીતા દ્વારા અને અન્ય બે, અને, સ્થાનાંતરણ દ્વારા પહોંચી શકાય છે. આ દર્શાવે છે કે, પરિમાણમાં અને તેનાથી ઉપર, પર્મ્યુટોએસોસિએહેડ્રોન એક સરળ પોલીટોપ નથી. ગુણધર્મો-પરિમાણીય પર્મ્યુટોએસોસિએહેડ્રોન શિરોબિંદુ ધરાવે છે. આ શબ્દોના ક્રમચયોની સંખ્યા અને આવા કોઈપણ ક્રમચયોની તમામ સંભવિત કૌંસની સંખ્યા વચ્ચેનું ગુણાકાર છે. પહેલાની સંખ્યા ફેક્ટોરિયલની બરાબર છે અને પછીની સંખ્યા છઠ્ઠી કતલાન સંખ્યા છે. કૌંસના ક્રમચયોના સંદર્ભમાં તેના વર્ણન અનુસાર, પર્મ્યુટોએસોસિએહેડ્રોનનું 1-હાડપિંજર બે અલગ અલગ પ્રકારના વળાંક (સહયોગીતા અને સ્થાનાંતરણ) સાથેનો એક વળાંક આલેખ છે. પર્મુટોહેડ્રોન એસોસીએહેડ્રોન સાયક્લોહેડ્રોન સંદર્ભો પર્મ્યુટેશન્સ પોલીટોપ્સ પણ જુઓ