Courant–Snyder parameters
પ્રવેગક ભૌતિકશાસ્ત્રમાં, કોરન્ટ-સ્નાઇડર પરિમાણો (જેને વારંવાર ટ્વિસ પરિમાણો અથવા CS પરિમાણો તરીકે ઓળખવામાં આવે છે) એ બીમમાં કણોની સ્થિતિ અને વેગના વિતરણનું વર્ણન કરવા માટે ઉપયોગમાં લેવાતા જથ્થાનો સમૂહ છે. જ્યારે બીમમાં દરેક કણોના તે પરિમાણ સાથે એક પરિમાણ અને વેગ (અથવા મોમેન્ટા) સાથેની સ્થિતિને તબક્કા અવકાશ આકૃતિ પર આલેખિત કરવામાં આવે છે, ત્યારે કણોને ઘેરી લેતું લંબગોળ સમીકરણ દ્વારા આપી શકાય છેઃ સ્થિતિ અક્ષ ક્યાં છે અને વેગ અક્ષ ક્યાં છે. આ રચનામાં,, અને આપેલ અક્ષ સાથે બીમ માટે કોરન્ટ-સ્નાઇડર પરિમાણો છે, અને તે ઉત્સર્જન છે. બીમ માટે પરિમાણોના ત્રણ સમૂહની ગણતરી કરી શકાય છે, દરેક ઓર્થોગોનલ દિશા માટે એક, x, y અને z. કણોના કિરણોના તબક્કાના અવકાશ ગુણધર્મોને વર્ણવવા માટે આ પરિમાણોનો ઉપયોગ અર્નેસ્ટ કોરન્ટ અને હાર્ટલેન્ડ સ્નાઇડર દ્વારા તેમના 1953 ના પેપર, "થિયરી ઓફ ધ અલ્ટરનેટિંગ-ગ્રેડિયન્ટ સિંક્રોટ્રોન" માં પ્રવેગક ભૌતિકશાસ્ત્ર સમુદાયમાં લોકપ્રિય બનાવવામાં આવ્યો હતો. તેમને પ્રવેગક ભૌતિકશાસ્ત્રના સાહિત્યમાં બ્રિટિશ ખગોળશાસ્ત્રી રિચાર્ડ ક્યૂ. ટ્વિસ પછી "ટ્વિસ પરિમાણો" તરીકે પણ વ્યાપકપણે ઓળખવામાં આવે છે, જો કે તે અસ્પષ્ટ છે કે તેમનું નામ રચના સાથે કેવી રીતે સંકળાયેલું હતું. તબક્કા અવકાશ ક્ષેત્રનું વર્ણન પ્રવેગક અથવા બીમ પરિવહન રેખા દ્વારા કણોની ગતિનું અનુકરણ કરતી વખતે, દરેક કણોની ગતિને વ્યક્તિગત રીતે ટ્રેક કરવાને બદલે, કણોના સમૂહના એકંદર ગુણધર્મોનું વર્ણન કરવું ઘણીવાર ઇચ્છનીય છે. લિઉવિલેના પ્રમેય દ્વારા એવું દર્શાવી શકાય છે કે સ્થિતિ અને વેગના તબક્કાના અવકાશ આલેખ પર કબજો કરાયેલી ઘનતા ત્યારે સ્થિર રહે છે જ્યારે બીમ માત્ર રૂઢિચુસ્ત દળો દ્વારા પ્રભાવિત થાય છે. આ પ્લોટ પર બીમ દ્વારા કબજો કરાયેલ વિસ્તાર બીમ ઉત્સર્જન તરીકે ઓળખાય છે, જો કે આ ગુણધર્મની ચોક્કસ ગાણિતિક વ્યાખ્યા માટે સંખ્યાબંધ સ્પર્ધાત્મક વ્યાખ્યાઓ છે. કોઓર્ડિનેટ્સ પ્રવેગક ભૌતિકશાસ્ત્રમાં, સંકલનની સ્થિતિને સામાન્ય રીતે આદર્શ સંદર્ભ કણોના સંદર્ભમાં વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જે પ્રવેગક માટે આદર્શ ડિઝાઇનના માર્ગને અનુસરે છે. આ માર્ગ સાથે સંરેખિત દિશાને "z", (કેટલીકવાર "s") તરીકે ઓળખવામાં આવે છે અને તેને સમાંતર સંકલન તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે. બે ત્રાંસા સંકલન અક્ષો, x અને y, ને z અક્ષ અને એકબીજા સાથે લંબરૂપ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. x, y અને z અક્ષો સાથેના સંદર્ભ કણની સાપેક્ષ દરેક કણની સ્થિતિનું વર્ણન કરવા ઉપરાંત, આ દરેક મૂલ્યોના ફેરફારના દરને ધ્યાનમાં લેવો પણ જરૂરી છે. આ સામાન્ય રીતે સમયના સંદર્ભને બદલે સમાંતર સંકલન (x '= dx/dz) ના સંદર્ભમાં ફેરફારના દર તરીકે આપવામાં આવે છે. મોટા ભાગના કિસ્સાઓમાં, x 'અને y' બંને 1 કરતા ઘણા ઓછા હોય છે, કારણ કે કણો બીમ પાથ સાથે તેના ત્રાંસા કરતાં વધુ ઝડપથી આગળ વધશે. આ ધારણાને ધ્યાનમાં રાખીને, x 'અને y' ને સરળ ગુણોત્તરને બદલે ખૂણા તરીકે વ્યક્ત કરવા માટે નાના ખૂણા અંદાજનો ઉપયોગ કરવો શક્ય છે. જેમ કે, x 'અને y' સામાન્ય રીતે મિલીરેડિયન્સમાં દર્શાવવામાં આવે છે. લંબગોળ સમીકરણ જ્યારે ફેઝ સ્પેસમાં કણ વિતરણની આસપાસ લંબગોળ દોરવામાં આવે છે, ત્યારે લંબગોળ માટેનું સમીકરણ આ રીતે આપવામાં આવે છેઃ "ક્ષેત્રફળ" અહીં ફેઝ સ્પેસમાં એક ક્ષેત્ર છે, અને લંબાઈ * કોણના એકમો ધરાવે છે. કેટલાક સ્રોતો આ વિસ્તારને બીમ ઉત્સર્જન તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરે છે, જ્યારે અન્ય ઉપયોગ કરે છે. 2 પરિમાણીય ગૌસીયન વિતરણ સાથે બીમમાંના કણોના ચોક્કસ અપૂર્ણાંક તરીકે વિસ્તારને વ્યાખ્યાયિત કરવો પણ શક્ય છે. અન્ય ત્રણ ગુણાંક,,, અને, CS પરિમાણો છે. આ લંબગોળ પ્રવેગકમાં એક બિંદુ પર કણોની સ્થિતિ અને વેગનો તાત્કાલિક આલેખ હોવાથી, આ મૂલ્યો સમય સાથે બદલાશે. માત્ર બે સ્વતંત્ર ચલ, x અને x 'હોવાથી અને ઉત્સર્જન સ્થિર હોવાથી, CS પરિમાણોમાંથી માત્ર બે જ સ્વતંત્ર છે. ત્રણ પરિમાણો વચ્ચેનો સંબંધ આ રીતે આપવામાં આવે છેઃ સામયિક પ્રણાલીઓ માટે વ્યુત્પત્તિ સીએસ પરિમાણોને તબક્કાની જગ્યામાં કણોના સંગ્રહના પ્રયોગમૂલક વર્ણન તરીકે ગણવા ઉપરાંત, વિદ્યુતચુંબકીય ક્ષેત્રોમાં કણોની ગતિના સમીકરણોના આધારે તેમને મેળવવાનું શક્ય છે. ગતિનું સમીકરણ મજબૂત ફોકસિંગ પ્રવેગકમાં, ત્રાંસા ફોકસિંગ મુખ્યત્વે ચતુર્ભુજ ચુંબક દ્વારા પ્રદાન કરવામાં આવે છે. ચુંબકની અક્ષની સમાંતર ત્રાંસા ગતિ માટે ગતિનું રેખીય સમીકરણ છેઃ જ્યાં કેન્દ્રિત ગુણાંક છે, જેની લંબાઈ −2ના એકમો હોય છે, અને તે ચતુર્ભુજ ક્ષેત્રમાં માત્ર બિન-શૂન્ય હોય છે. (નોંધ લો કે આ સમગ્ર સમજૂતીમાં x નો ઉપયોગ થાય છે, પરંતુ y નો ઉપયોગ k માટે ચિહ્નના ફેરફાર સાથે થઈ શકે છે. સમાંતર સંકલન, z, માટે કંઈક અલગ વ્યુત્પત્તિ જરૂરી છે.) ધારો કે તે સામયિક છે, ઉદાહરણ તરીકે, ગોળાકાર પ્રવેગકની જેમ, આ હિલ વિભેદક સમીકરણ જેવું જ સ્વરૂપ ધરાવતું વિભેદક સમીકરણ છે. આ સમીકરણનો ઉકેલ સ્યુડો હાર્મોનિક ઓસિલેટર છેઃ જ્યાં A (z) એ ઓસિલેશનનું કંપનવિસ્તાર છે, તે "બીટાટ્રોન તબક્કો" છે જે તેના મૂલ્ય પર આધારિત છે, અને તે પ્રારંભિક તબક્કો છે. કંપનવિસ્તાર સ્થિતિ આધારિત ભાગ અને પ્રારંભિક મૂલ્યમાં વિઘટિત થાય છે, જેમ કેઃ (તે યાદ રાખવું અગત્યનું છે કે 'મુસાફરીની દિશામાં સ્થિતિના સંદર્ભમાં વ્યુત્પન્ન સૂચવવાનું ચાલુ રાખે છે, સમય નહીં.) કણ વિતરણ ગતિના આ સમીકરણોને જોતાં, બીમ યીલ્ડમાં કણો માટે સરેરાશ મૂલ્યો લેતાઃ આને નીચેની વ્યાખ્યાઓ સાથે સરળ બનાવી શકાય છેઃ આપીનેઃ આ અન્ય સ્વરૂપમાં CS પરિમાણો અને ઉત્સર્જન છે. પરિમાણો વચ્ચેના સંબંધ સાથે જોડાઈને, આ મનસ્વી (ગૌસીયન જરૂરી નથી) કણ વિતરણ માટે ઉત્સર્જનની વ્યાખ્યા તરફ પણ દોરી જાય છેઃ ગુણધર્મો CS પરિમાણોનો ઉપયોગ કરીને કણ વિતરણને પરિમાણાત્મક રીતે વર્ણવવાનો ફાયદો એ છે કે એકંદર વિતરણની ઉત્ક્રાંતિની ગણતરી દરેક વ્યક્તિગત કણને ટ્રેક કરવા અને પછી પ્રવેગક માર્ગ સાથે બહુવિધ બિંદુઓ પર સ્થાનોને જોડવા કરતાં મેટ્રિક્સ ઓપ્ટિક્સનો ઉપયોગ કરીને વધુ સરળતાથી કરી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો પરિમાણો સાથેનું કણ વિતરણ, અને લંબાઈ L ની ખાલી જગ્યામાંથી પસાર થાય છે, તો મૂલ્યો, અને તે જગ્યાના અંતે આના દ્વારા આપવામાં આવે છેઃ બીમ ઉત્સર્જન બીટા કાર્ય (પ્રવેગક ભૌતિકશાસ્ત્ર) રે ટ્રાન્સફર મેટ્રિક્સ વિશ્લેષણ સંદર્ભો પ્રવેગક ભૌતિકશાસ્ત્ર