K-stability of Fano varieties
ગણિતમાં, અને ખાસ કરીને બીજગણિત ભૂમિતિમાં, કે-સ્થિરતા એ પ્રોજેક્ટિવ બીજગણિત જાતો અને જટિલ મેનીફોલ્ડ્સ માટે આલ્જેબ્રો-ભૌમિતિક સ્થિરતા સ્થિતિ છે. કે-સ્થિરતા એ ફેનો જાતોના કિસ્સામાં ખાસ મહત્વ ધરાવે છે, જ્યાં તે મોડુલી જગ્યાઓની રચનાને મંજૂરી આપવા માટે યોગ્ય સ્થિરતા સ્થિતિ છે, અને જ્યાં તે ચોક્કસપણે કેલર-આઈન્સ્ટાઈન મેટ્રિક્સના અસ્તિત્વને દર્શાવે છે. કે-સ્થિરતાને સૌપ્રથમ 1997 માં ગેંગ ટિયાન દ્વારા 1993 થી શિંગ-તુંગ યૌના અનુમાનના જવાબમાં ફાનો મેનીફોલ્ડ્સ માટે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવી હતી કે સ્થિરતાની સ્થિતિ અસ્તિત્વમાં હોવી જોઈએ જે ફાનો મેનીફોલ્ડ પર કેલર-આઈન્સ્ટાઈન મેટ્રિકના અસ્તિત્વને દર્શાવે છે. તેની વ્યાખ્યા અગાઉ તોશિકી માબુચી દ્વારા રજૂ કરાયેલા કે-ઊર્જા વિધેયના સંદર્ભમાં કરવામાં આવી હતી. ટિયાનની કે-સ્થિરતાની વ્યાખ્યાને 2001માં સિમોન ડોનાલ્ડસન દ્વારા સંપૂર્ણ રીતે બીજગણિત-ભૌમિતિક રીતે સુધારવામાં આવી હતી. કે-સ્થિરતા એ ફેનોની જાતોના અભ્યાસ અને વર્ગીકરણમાં એક મહત્વપૂર્ણ વિચાર બની ગયો છે. 2012 માં ઝીયુઝિઓંગ ચેન, ડોનાલ્ડસન, અને સોંગ સન અને સ્વતંત્ર રીતે ગેંગ ટિયને સાબિત કર્યું કે એક સરળ ફેનો મેનીફોલ્ડ કે-પોલિસ્ટેબલ છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તે કેલર-આઈન્સ્ટાઈન મેટ્રિક સ્વીકારે. બર્મન-બુકસોમ-જોન્સન અને અન્યોના કાર્યને કારણે આને પાછળથી એકવચન કે-પોલીસ્ટેબલ ફેનો જાતોમાં સામાન્યીકૃત કરવામાં આવ્યું હતું. કે-સ્થિરતા એ ફેનો જાતોના મોડ્યુલી જગ્યાઓના નિર્માણમાં મહત્વપૂર્ણ છે, જ્યાં ભૌમિતિક અપરિવર્તન સિદ્ધાંતના મૂળ વિકાસ તરફ પાછા જતા અવલોકનો દર્શાવે છે કે સારા મોડ્યુલી બનાવવા માટે સ્થિર પદાર્થોના વર્ગ સુધી મર્યાદિત રહેવું જરૂરી છે. તે હવે ચેનયાંગ ઝુ અને અન્યોના કાર્ય દ્વારા જાણીતું છે કે મર્યાદિત પ્રકારની કે-પોલીસ્ટેબલ ફેનો જાતોની પ્રોજેક્ટિવ બરછટ મોડુલી જગ્યા અસ્તિત્વમાં છે. આ કામ કૌચર બિરકરના ફાનો જાતોની મર્યાદાના પુરાવા પર આધારિત છે, જેના માટે તેમને 2018 ફીલ્ડ્સ મેડલ એનાયત કરવામાં આવ્યો હતો. ફુજીતા-લી અને ઓડાકા દ્વારા કે-સ્થિરતાની સ્થિતિના સુધારાઓને કારણે, ફેનો જાતોની કે-સ્થિરતાની વ્યવહારમાં સ્પષ્ટ રીતે ગણતરી કરી શકાય છે. ફેનોની કઈ જાતો કે-સ્થિર છે તે પરિમાણ એક, બે અને ત્રણમાં સારી રીતે સમજી શકાય છે. વ્યાખ્યા અને લાક્ષણિકતાઓ ફેનો મેનીફોલ્ડ્સ માટે કે-સ્થિરતાની કલ્પનાને મૂળ રીતે ટિયાન દ્વારા વિભેદક ભૂમિતિના ઉપયોગથી સ્પષ્ટ કરવામાં આવી હતી, જેમણે વેક્ટર ક્ષેત્રના ફુટાકી અપરિવર્તનની શુદ્ધ વિશ્લેષણાત્મક કલ્પનાને ભ્રમણકક્ષાની એકવચનતા સાથે ચોક્કસ સામાન્ય જાતોના કિસ્સામાં વિસ્તૃત કરી હતી. આને પાછળથી ડોનાલ્ડસન દ્વારા શુદ્ધ આલ્જેબ્રો-ભૌમિતિક સ્વરૂપમાં સુધારવામાં આવ્યું હતું, પરંતુ આ સામાન્ય વ્યાખ્યાએ તમામ પ્રોજેક્ટિવ જાતોના વ્યાપક વર્ગ માટે અર્થપૂર્ણ બનાવવાને બદલે, ફેનો જાતોની ભૂમિતિ સાથે સીધો સંબંધ ગુમાવી દીધો હતો. ટિયાનનું કાર્ય દર્શાવે છે કે ડોનાલ્ડસન-ફુટાકી અચળાંક જે પરીક્ષણ રૂપરેખાંકનના કેન્દ્રીય તંતુ પર-ક્રિયાના વજનને સ્પષ્ટ કરે છે તેની ગણતરી ચોક્કસ આંતરછેદ સંખ્યાઓ (કહેવાતા સીએમ લાઇન બંડલ પર ક્રિયાના વજનને અનુરૂપ) ની દ્રષ્ટિએ કરી શકાય છે. ફાનોના કિસ્સામાં આ આંતરછેદ સંખ્યાઓ, જેમાં વિવિધતાના એન્ટિકેનોનીકલ વિભાજક અને તેની પરીક્ષણ ગોઠવણીનો સમાવેશ થાય છે, તેને ફાનોની વિવિધતાની બીજગણિત અને દ્વિવાર્ષિક ભૂમિતિના સંદર્ભમાં શક્તિશાળી વૈકલ્પિક લાક્ષણિકતાઓ આપી શકાય છે. આમ ફેનો જાતોના કિસ્સામાં, કે-સ્થિરતાના ઘણા જુદા પરંતુ સમકક્ષ લાક્ષણિકતાઓ છે, અને આમાંના કેટલાક લાક્ષણિકતાઓ સ્પષ્ટ ગણતરી અથવા પરિણામોના સરળ પુરાવાઓ આપે છે. આ વિભાગમાં તમામ વ્યાખ્યાઓ-ફાનો જાતની સામાન્યતામાં દર્શાવવામાં આવી છે, જે પુષ્કળ-કાર્ટિયર એન્ટિકેનોનિકલ વિભાજક અને સૌથી ખરાબ કાવામાટા લોગ ટર્મિનલ (કે. એલ. ટી.) એકવચનતા સાથે ફાનો જાત છે. કે-સ્થિરતાની વ્યાખ્યાઓ કોઈપણ-ગોરેનસ્ટીન ફેનો વિવિધતા માટે કરી શકાય છે (એટલે કે, કોઈપણ ફેનો વિવિધતા જ્યાં એન્ટિકનોનિકલ વિભાજક-કાર્ટિયર છે), જો કે ઓડાકા દ્વારા તે સાબિત કરવામાં આવ્યું હતું કે દરેક કે-સેમિસ્ટેબલ ફેનો વિવિધતા સૌથી ખરાબ કે. એલ. ટી. એકવચનતા ધરાવે છે, તેથી કે-સ્થિરતાનો અભ્યાસ કરવાના હેતુ માટે તે સૌથી ખરાબ કે. એલ. ટી. એકવચનતા ધારણ કરવા માટે પૂરતું છે. દરેક વ્યાખ્યાને સીધી રીતે વિસ્તૃત કરી શકાય છે---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------. પરંપરાગત વ્યાખ્યા કે-સ્થિરતાની વ્યાખ્યા ફેનો મેનીફોલ્ડ, અથવા વધુ સામાન્ય રીતે-ફેનો વિવિધતા માટે, ઘણા સ્વરૂપોમાં આપી શકાય છે. પરીક્ષણ રૂપરેખાંકનોની દ્રષ્ટિએ કે-સ્થિરતાની સામાન્ય વ્યાખ્યાને સરળ બનાવી શકાય છે (વધુ વિગતો માટે કે-સ્થિરતા જુઓ) જો કોઈ વ્યક્તિ જે પરીક્ષણ રૂપરેખાંકનને ધ્યાનમાં લે છે તેને સરળ બનાવી શકાય. ઉદાહરણ તરીકે, ટોરિક જાતોના કિસ્સામાં, કોઈ પણ વ્યક્તિ હંમેશા પરીક્ષણ રૂપરેખાંકનો લઈ શકે છે જે ટોરિક પણ હોય છે, અને આ ટોરિક જાતના ક્ષણના પોલીટોપ પર બહિર્મુખ કાર્યોની દ્રષ્ટિએ કે-સ્થિરતાના પુનઃનિર્ધારણ તરફ દોરી જાય છે, જેમ કે ડોનાલ્ડસન દ્વારા કે-સ્થિરતા પરના તેમના પ્રથમ પેપરમાં અવલોકન કરવામાં આવ્યું હતું. ફેનો મેનીફોલ્ડ્સના કિસ્સામાં, ટિયાનના કામમાં તે પહેલેથી જ ગર્ભિત હતું કે કોઈ સરળ કેન્દ્રીય ફાઇબર સાથે પરીક્ષણ રૂપરેખાંકનો સુધી મર્યાદિત રહી શકે છે, તે કિસ્સામાં જ્યાં કેન્દ્રીય ફાઇબર એક સામાન્ય વિવિધતા છે. આ કિસ્સામાં સામાન્ય પરીક્ષણ રૂપરેખાંકનના ડોનાલ્ડસન-ફુટાકી અપરિવર્તન માટે આંતરછેદ-સૈદ્ધાંતિક સૂત્ર અસ્તિત્વમાં છે. સ્પષ્ટ રીતે, એક પરીક્ષણ રૂપરેખાંકનને જટિલ પ્રોજેક્ટિવ રેખા પર પરીક્ષણ રૂપરેખાંકન સુધી વિસ્તારવામાં આવે છે, એક સૂત્ર હોય છે આ અપરિવર્તનશીલના સંદર્ભમાં, જો તે-ફેનો વિવિધતા હોય, તો આપણે કહીએ છીએ કે જો કોઈ સામાન્ય પરીક્ષણ રૂપરેખાંકન માટે કે-સમાન છે. K-સ્થિર જો કોઈ પણ સામાન્ય પરીક્ષણ રૂપરેખાંકન માટે કે જે કોડીમેન્શન 2 ના સમૂહની બહાર તુચ્છ પરીક્ષણ રૂપરેખાંકન માટે આઇસોમોર્ફિક નથી. સમાનરૂપે કે-સ્થિર જો કોઈપણ સામાન્ય પરીક્ષણ રૂપરેખાંકન માટે, જ્યાં પરીક્ષણ રૂપરેખાંકનનું લઘુતમ ધોરણ છે અને માત્ર તેના આધારે સમાન અચળાંક છે. જો કે-સ્થિર ન હોય તો કે-અસ્થિર. ઉપરોક્ત વ્યાખ્યાઓ અનુસાર, સમાન રીતે કે-સ્થિર કે-સ્થિર કે-સમાન અસરો છે ઉપરોક્ત વ્યાખ્યાઓ એવી પરિસ્થિતિ માટે સારી રીતે અનુકૂળ નથી કે જ્યાં ફેનો વિવિધતામાં ઓટોમોર્ફિઝમ્સ હોય. જ્યારે ઓટોમોર્ફિઝમ્સની જગ્યા હકારાત્મક-પરિમાણીય હોય છે, ત્યારે અકિટો ફુટાકી દ્વારા અવલોકન કરવામાં આવ્યું હતું કે ઓટોમોર્ફિઝમ્સમાંથી ચોક્કસ પરીક્ષણ રૂપરેખાંકનો બનાવવામાં આવ્યા છે, જેમાંથી કે-સ્થિરતાના પરીક્ષણના પરિપ્રેક્ષ્ય માટે "તુચ્છ" છે. આ કિસ્સામાં વ્યક્તિએ તે પરીક્ષણ રૂપરેખાંકનો સુધી મર્યાદિત રહેવું જોઈએ જે મહત્તમ ટોરસની ક્રિયાના સંદર્ભમાં સમાન છે, અને આ કે-બહુપત્નીત્વની કલ્પના તરફ દોરી જાય છે અથવા કે-સ્થિરતામાં ઘટાડો કરે છે. આપણે કહીએ છીએ કે કે-પોલીસ્ટેબલ છે જો કોઈપણ પરીક્ષણ રૂપરેખાંકન માટે અને સમાનતા ચોક્કસપણે ત્યારે જ હોય જ્યારે તે કોડીમેન્શન 2 ના સમૂહની બહાર આઇસોમોર્ફિક હોય. જો પરીક્ષણ રૂપરેખાંકનનું ઘટાડો-ધોરણ ક્યાં છે તો સમાનરૂપે K-સ્થિર ઘટાડો. જ્યાં ઓટોમોર્ફિઝમ જૂથ હકારાત્મક-પરિમાણીય નથી, ત્યાં આપણી અસરો સમાનરૂપે કે-સ્થિર કે-સ્થિર કે-સમાન છે. સમાન સ્થિરતાની સ્થિતિ સ્થિરતા કરતાં પ્રાથમિકતા વધુ મજબૂત છે, કારણ કે તે પરીક્ષણ રૂપરેખાંકનના ડોનાલ્ડસન-ફુટાકી અપરિવર્તન માટે શૂન્યથી ઉપરની સમાન બાઉન્ડ ધારે છે. જો કે તે બહાર આવ્યું છે કે-ફેનો જાતોના કિસ્સામાં એકસમાન સ્થિરતા ખરેખર સ્થિરતાની સમકક્ષ છે. સમાન K-સ્થિરતા માટે ઘણા પરિણામો વધુ સરળતાથી સાબિત થઈ શકે છે કારણ કે સમાન બાઉન્ડ બિન-સમાન બાઉન્ડ કરતાં વધુ મજબૂત હોય છે, તેથી ઘણીવાર પરંપરાગત K-(પોલી) સ્થિરતાના વિરોધમાં આ વ્યાખ્યા સાથે કામ કરે છે. કે-સ્થિરતા પરના લેખમાં ગણવામાં આવેલી ધ્રુવીકૃત વિવિધતાના વધુ સામાન્ય કિસ્સામાં તે હજુ પણ એક ખુલ્લી અને મહત્વપૂર્ણ સમસ્યા છે કે કેવી રીતે (ઘટાડેલી) સમાન કે-સ્થિરતા કે-(પોલી) સ્થિરતા સાથે સંબંધિત છે. વિશેષ પરીક્ષણ રૂપરેખાંકનો ઉપર જણાવ્યા મુજબ, કેટલીકવાર ધ્યાનમાં લેવાના પરીક્ષણ રૂપરેખાંકનના પ્રકારને સરળ બનાવી શકાય છે. ફેનોની જાતોના કિસ્સામાં, એક વિશેષ પરીક્ષણ રૂપરેખાંકન એ એક પરીક્ષણ રૂપરેખાંકન છે જેમ કે આપણી પાસે કેટલાક માટે વિભાજકની તર્કસંગત સમાનતા છે, અને કેન્દ્રીય ફાઇબર પણ-ફેનોની વિવિધતા છે. કોઈ પણ સાબિત કરી શકે છે કે કોઈપણ પરીક્ષણ રૂપરેખાંકનને જોતાં, એક વિશેષ પરીક્ષણ રૂપરેખાંકન અસ્તિત્વમાં છે જેમ કે આ સૂચવે છે કે K-સ્થિરતાના પરીક્ષણના હેતુઓ માટે, તે ફક્ત વિશેષ પરીક્ષણ રૂપરેખાંકનો માટે K-સ્થિરતાની ઉપરોક્ત વ્યાખ્યાઓને જોવા સુધી મર્યાદિત છે. હકીકત એ છે કે કોઈ પણ પરીક્ષણ રૂપરેખાંકનનું કેન્દ્રિય ફાઇબર પણ માની શકે છે કે ફેનો પણ દ્વિસંગી ભૂમિતિ અને ન્યૂનતમ મોડેલ પ્રોગ્રામ સાથે મજબૂત જોડાણો તરફ દોરી જાય છે, જે નીચેના વિભાગોમાં વર્ણવેલ કે-સ્થિરતાના સંખ્યાબંધ વૈકલ્પિક લાક્ષણિકતાઓ પ્રદાન કરે છે. મુખ્ય વૈકલ્પિક લાક્ષણિકતા એ ડિંગ સ્થિરતાની એક અલગ કલ્પનાની દ્રષ્ટિએ છે, જે ડિંગ અપરિવર્તન માટે કે-સ્થિરતાની સ્થિતિની વિવિધતા છે જ્યાં કોઈ પરીક્ષણ રૂપરેખાંકનના લોગ કેનોનિકલ થ્રેશોલ્ડ પર ઉમેરે છે. ડિંગ અપરિવર્તનશીલને માત્ર ફાનો જાતોના સેટિંગમાં વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. તેના બદલે આ નવા અપરિવર્તનનો ઉપયોગ કરીને, ડિંગની સ્થિરતાની દરેક કલ્પનાને ઉપરની જેમ જ વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે, જે ડિંગ (અર્ધ/પોલી) સ્થિરતા અને સમાન આવૃત્તિઓ તરફ દોરી જાય છે. ડિંગ અપરિવર્તનશીલ બીજગણિત ભૂમિતિના સંદર્ભમાં ડોનાલ્ડસન-ફુટાકી અપરિવર્તનશીલ કરતાં વધુ સારા ઔપચારિક ગુણધર્મો ધરાવે છે. તે જાણીતું છે કે જ્યારે પરીક્ષણ રૂપરેખાંકન વિશેષ હોય છે, ત્યારે ડિંગ અપરિવર્તનશીલ સ્થિર પરિબળ સુધી ડોનાલ્ડસન-ફુટાકી અપરિવર્તનશીલ સાથે સંમત થાય છે, અને તેથી ફેનો જાતો માટે ડિંગ સ્થિરતા કે-સ્થિરતાની સમકક્ષ છે. આલ્ફા અપરિવર્તન કે-સ્થિરતા માટે પરીક્ષણ કરવા માટેનું પ્રથમ જાણીતું અસરકારક માપદંડ ટિયાન દ્વારા વિકસાવવામાં આવ્યું હતું. મૂળરૂપે ટિયાનનું કાર્ય ફાનો મેનીફોલ્ડ પર કેલર-આઈન્સ્ટાઈન મેટ્રિકના અસ્તિત્વ માટે સીધું માપદંડ પ્રદાન કરવા માટે રચવામાં આવ્યું હતું, અને પછીના કાર્ય દ્વારા તે જાણીતું છે કે દરેક કેલર-આઈન્સ્ટાઈન ફાનો મેનીફોલ્ડ કે-પોલીસ્ટેબલ છે. ટિયાનની આલ્ફા અપરિવર્તનની મૂળ વ્યાખ્યા પ્રકૃતિમાં વિશ્લેષણાત્મક હતી, પરંતુ વ્યવહારમાં કેલર-આઈન્સ્ટાઈન મેટ્રિકના અસ્તિત્વને ચકાસવા માટે તેનો ઉપયોગ કરી શકાય છે. ટિયાનના આલ્ફા અપરિવર્તનને ઓટોમોર્ફિઝમ્સના જૂથની સાપેક્ષમાં વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે, અને આલ્ફા અપરિવર્તન ઉપરના ઘટાડેલા કે-સ્થિરતા અથવા કે-બહુપત્નીત્વના ખ્યાલને અનુરૂપ છે. ફેનો મેનીફોલ્ડ પર-ઇનવેરિયન્ટ કેલર મેટ્રિકને ઠીક કરો. આ અપરિવર્તનશીલનું મહત્વ નીચે મુજબ છેઃ પાછળથી ઓડાકા-સાનો દ્વારા અવલોકન કરવામાં આવ્યું હતું કે આલ્ફા અપરિવર્તનશીલને અંદર સમાવિષ્ટ તમામ-અપરિવર્તનશીલ રેખીય પ્રણાલીઓ પર લોગ કેનોનિકલ થ્રેશોલ્ડની અનંત દ્રષ્ટિએ શુદ્ધ આલ્જિબ્રો-ભૌમિતિક વ્યાખ્યા આપી શકાય છે. ચોક્કસપણે, ડિમેલીએ દર્શાવ્યું કે આ કેલર-આઈન્સ્ટાઈન મેટ્રિક્સના અસ્તિત્વના શુદ્ધ આલ્જેબ્રો-ભૌમિતિક પુરાવાને મંજૂરી આપે છે. બીટા અપરિવર્તનીય બીટા અપરિવર્તનીય ભૂમિતિ સાથે ગાઢ સંપર્ક બનાવે છે. આ અપરિવર્તન ફુજીતા અને લી દ્વારા વિકસાવવામાં આવ્યું હતું, જે કે-સ્થિરતાની લાક્ષણિકતાઓને વિભાજક અથવા ફેનો વિવિધતાના મૂલ્યાંકનની દ્રષ્ટિએ શોધવાના પ્રયાસમાં વિકસાવવામાં આવ્યું હતું. આ કાર્ય રોસ-થોમસના અગાઉના વિચારોથી પ્રેરિત હતું, જેણે વિવિધતાના ઉપગણમાંથી બહાર આવતા બીજગણિત અચળાંકની દ્રષ્ટિએ કે-સ્થિરતાને વર્ણવવાનો પ્રયાસ કર્યો હતો. આ "ઢોળાવ" કે-સ્થિરતા કે-સ્થિરતાની સમકક્ષ છે તે બતાવવું શક્ય નથી, પરંતુ માત્ર અંદરના વિભાજકને જ નહીં પરંતુ કોઈપણ દ્વિસંગી મોડેલની અંદરના વિભાજકને પસાર કરીને, વ્યક્તિ કે-સ્થિરતાનું સચોટ પરીક્ષણ કરવા માટે "પૂરતી" વસ્તુઓ મેળવે છે. ખાસ કરીને ફુજિતાને સમજાયું કે કે-સ્થિરતાના ઢોળાવની રોસ-થોમસની કલ્પના માત્ર સબશીમના શેષાદ્રી અચળાંક સુધી એકીકૃત કરીને મર્યાદિત હતી, જ્યાં બ્લો-અપ પરનો કુદરતી વિભાજક પૂરતો બને છે. કરાર દ્વારા-ઇનવેરિયન્ટ સ્યુડો ઇફેક્ટિવ થ્રેશોલ્ડ સુધી એકીકૃત થાય છે જ્યાં કુદરતી વિભાજક પાસે પોઝિટિવ વોલ્યુમ હોય છે (કારણ કે દરેક પર્યાપ્ત વિભાજક પાસે પોઝિટિવ વોલ્યુમ હોય છે, સ્યુડો ઇફેક્ટિવ થ્રેશોલ્ડ શેષાદ્રી અચળાંકની બહાર જાય છે). આ વધારાની માહિતી ફુજીતા અને લીના મૂલ્યાંકન માપદંડને કે-સ્થિરતાને સંપૂર્ણ રીતે દર્શાવવા માટે પૂરતી માહિતી આપે છે. ધારો કે તે-કાર્ટિયર કેનોનિકલ વિભાજક સાથેની સામાન્ય વિવિધતા છે. એક કહે છે કે ડિવાઇઝર ઓવર છે જો કોઈ સામાન્ય જાતની અંદર ડિવાઇઝર હોય જેમ કે ત્યાં યોગ્ય બાયરેશનલ મોર્ફિઝમ અસ્તિત્વમાં હોય (ઉદાહરણ તરીકે બ્લો અપ દ્વારા આપવામાં આવે છે). એક વિભાજકની લોગ વિસંગતતાને વ્યાખ્યાયિત કરે છે કે જ્યાં દ્વિસંગી ભૂમિતિના અર્થમાં વિભાજકની વિસંગતતા છે (કેનોનિકલ સિંગ્યુલારીટી જુઓ). વિભાજકની વિસંગતતાને નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. દ્વિવાર્ષિક મોર્ફિઝમના અસાધારણ સ્થાનથી દૂર, કેનોનિકલ ડિવાઇઝર્સ અને સંમત થાય છે. તેથી, તેમનો તફાવત ના અપવાદરૂપ સ્થાનમાં સમાવિષ્ટ મુખ્ય ભાજકોના અમુક સરવાળા દ્વારા આપવામાં આવે છે. તે છે, ક્યાં. વ્યાખ્યા મુજબ અને જ્યારે તે અપવાદરૂપ સ્થાનમાં મુખ્ય વિભાજકમાંથી એક નથી. લોગની વિસંગતતા ફેનો જાતની એકલતાને માપે છે. ખાસ કરીને X એ કવામાતા લોગ ટર્મિનલ છે જો અને માત્ર જો કોઈ ઓવર માટે હોય તો. બીટા અપરિવર્તનને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે, વોલ્યુમ ટર્મની પણ જરૂર પડે છે. ઉપરના વિભાજક માટે, વ્યાખ્યાયિત કરો અહીં વિભાજકનું કદ અપેક્ષિત પરિમાણની તુલનામાં તેના વિભાગોની જગ્યા વધે છે તે દરને માપે છે. એટલે કે, ક્યાં. છેવટે, બીટા અપરિવર્તનશીલને ફુજીતા અને લી દ્વારા આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવ્યું હતું જટિલ વ્યાખ્યા હોવા છતાં, દ્વિવાર્ષિક ભૂમિતિના શક્તિશાળી સાધનોને કારણે, આ અપરિવર્તનશીલની ગણતરી ફાનો જાતોના ઘણા વર્ગો માટે વ્યવહારમાં સ્પષ્ટપણે કરી શકાય છે જ્યાં તેમના દ્વિવાર્ષિક નમૂનાઓમાં વિભાજકની રચના જાણીતી છે. આ ઘણીવાર કોમ્પ્યુટેશનલ બીજગણિત ભૂમિતિ અથવા હાથથી ગણતરીના ઉપયોગથી પ્રાપ્ત કરી શકાય છે. ફ્યુજીતા અને લી દ્વારા સ્વતંત્ર રીતે પ્રથમ વખત (એક દિશામાં) અવલોકન કરાયેલ કે-સ્થિરતાની નીચેની લાક્ષણિકતામાં-ઇનવેરિયન્ટની સુસંગતતા છે. ડેલ્ટા અપરિવર્તનશીલ ડેલ્ટા અપરિવર્તનશીલને "એડિટિવ" બીટા અપરિવર્તનશીલના "ગુણાકાર" સંસ્કરણ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. પછી બધા વિભાજકના ડેલ્ટા અપરિવર્તનના સમાન માપ દ્વારા ડેલ્ટા અપરિવર્તનને આપવામાં આવે છે. વિભાજકનો ડેલ્ટા અચળાંક કલ્પનાત્મક રીતે બીટા અચળાંક જેવો જ હોય છે, જો કે ફુજીતા-ઓડાકા દ્વારા એવું અવલોકન કરવામાં આવ્યું હતું કે ડેલ્ટા અચળાંકની ગણતરી "ક્વોન્ટાઇઝ્ડ" ડેલ્ટા અચળાંકની મર્યાદા તરીકે કરી શકાય છે. ક્વોન્ટાઇઝ્ડ ડેલ્ટા અપરિવર્તનની ગણતરી m-બેઝિસ પ્રકારનાં વિભાજકોની દ્રષ્ટિએ કરી શકાય છે, જે નિશ્ચિત મર્યાદિત-પરિમાણીય વેક્ટર જગ્યામાં પાયાની પસંદગીઓ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આમ ડેલ્ટા અપરિવર્તન સામાન્ય રીતે તેના પુરોગામી કરતા વધુ ગણતરીપાત્ર અને સૈદ્ધાંતિક રીતે વધુ શક્તિશાળી હોય છે, અને ફાનો જાતો માટે કે-સ્થિરતાની સ્પષ્ટ ગણતરીઓ પર ઘણી પ્રગતિ થાય છે, અને ફાનો જાતોના મોડુલીના સિદ્ધાંતમાં તેની રજૂઆત થઈ ત્યારથી આવી છે. કે-સ્થિરતાના સિદ્ધાંતમાં તેનું પ્રારંભિક મહત્વ નીચેની લાક્ષણિકતામાં દર્શાવવામાં આવ્યું છે. બીજગણિત-અપરિવર્તન કેલર-આઈન્સ્ટાઈન મેટ્રિક્સના સ્પષ્ટ વિશ્લેષણાત્મક ગુણધર્મો સાથે સંપર્ક કરી શકે છે. ખાસ કરીને, કોઈ વ્યક્તિ સૌથી મોટી રિક્કીની નીચલી મર્યાદાને એવી તમામની સર્વોચ્ચતા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકે છે કે ત્યાં એક કેલર મેટ્રિક અસ્તિત્વમાં છે. કેલર-આઈન્સ્ટાઈન સમીકરણને ઉકેલવા માટે કુદરતી સાતત્ય પદ્ધતિને કેટલી દૂર સુધી પાર કરી શકાય તેની આ મર્યાદા છે. જો ગ્રેટેસ્ટ રિક્કી લોઅર બાઉન્ડ મૂલ્ય લે તો કોઈ વ્યક્તિ કેલર-આઈન્સ્ટાઈન મેટ્રિકનું અસ્તિત્વ મેળવવા માટે સાતત્ય પદ્ધતિ પૂર્ણ કરી શકે છે. તે તારણ આપે છે કે તમે આ સાતત્ય પદ્ધતિ સાથે ચોક્કસપણે કેટલું દૂર જઈ શકો છો, સૌથી મોટી રિક્કી લોઅર બાઉન્ડ, બરાબર-ઇનવેરિયન્ટ દ્વારા આપવામાં આવે છે. એટલે કે, ટોરિક ફેનો મેનીફોલ્ડ્સના કિસ્સામાં ડેલ્ટા અપરિવર્તનશીલનું વધુ ભૌમિતિક અર્થઘટન લી દ્વારા મેળવવામાં આવ્યું હતું. આવા ટોરિક ફેનો માટે, મૂળ હંમેશા ક્ષણ પોલીટોપનાં આંતરિક ભાગમાં સમાયેલ હોય છે. જો પોલીટોપનું બેરિસેન્ટર સૂચવે છે અને કિરણને છેદતા પોલીટોપની સીમા પરના બિંદુને સૂચવે છે, તો લીએ દર્શાવ્યું કે સૌથી મોટી રિક્કીની નીચલી સીમા ગુણોત્તર દ્વારા આપવામાં આવે છે. ખાસ કરીને ટોરિક ફેનોનું મૂળ જો અને માત્ર ત્યારે જ હોય છે જ્યારે તેનું બેરિસેન્ટર તેનું મૂળ હોય. ડેલ્ટા અપરિવર્તનશીલનો ઉપયોગ કરીને અર્થઘટન કરવામાં આવે છે (અને ખરેખર અગાઉના પરિણામોનો ઉપયોગ કરીને), કોઈ નિષ્કર્ષ કાઢે છે કે ટોરિક ફેનો મેનીફોલ્ડ કે-સ્થિર છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તેના પોલીટોપનું બેરિસેન્ટર મૂળ હોય. કેલર-આઈન્સ્ટાઈન મેટ્રિક્સનું અસ્તિત્વ તેની પ્રારંભિક રજૂઆતથી, કે-સ્થિરતાની કલ્પનાને નેનો મેનીફોલ્ડ્સ પર કેલર-આઈન્સ્ટાઈન મેટ્રિક્સના અસ્તિત્વ સાથે ગાઢ રીતે જોડવામાં આવી છે. હવે એવા ઘણા પ્રમેયો છે જે ચોક્કસ કે-સ્થિરતાની ધારણાઓને ઉકેલોના અસ્તિત્વ સાથે સંબંધિત કરે છે. આ ધારણાઓ મોટે ભાગે યાઉ-ટિયાન-ડોનાલ્ડસન ધારણા હેઠળ આવે છે. ફેનો જાતોના કિસ્સામાં આ અનુમાન ભારપૂર્વક જણાવે છેઃ ફેનો મેનીફોલ્ડ્સ માટે આ અનુમાન મૂળરૂપે યૌ અને ટિયાન દ્વારા પ્રસ્તાવિત કરવામાં આવ્યું હતું, અને વધુ સામાન્ય સ્વરૂપ ડોનાલ્ડસન દ્વારા જણાવવામાં આવ્યું હતું જે ફક્ત ફેનો મેનીફોલ્ડ્સના કેસથી આગળ વિસ્તરે છે. તેમ છતાં, ફેનોસના કિસ્સામાં પણ આ અનુમાન યૌ-ટિયાન-ડોનાલ્ડસન અનુમાન તરીકે જાણીતું બન્યું છે. સામાન્ય અનુમાનની વધુ ચર્ચા માટે કે-સ્થિરતા જુઓ. ફેનો મેનીફોલ્ડ્સના કિસ્સામાં, વાય. ટી. ડી. અનુમાન સ્વીકારે છે કે સરળ જાતોના કિસ્સામાં સામાન્યીકરણ અને અનુમાનના સ્વરૂપો હવે એકવચન ફેનોસ અને લોગ ફેનોસ માટે જાણીતા છે. કોહલર-આઈન્સ્ટાઈન મેટ્રિક સાથેનો ફેનો મેનીફોલ્ડ કે-પોલીસ્ટેબલ છે તે અનુમાનની આગળની દિશા ટિયાન દ્વારા તેમના મૂળ પેપરમાં સાબિત કરવામાં આવી હતી જ્યારે ફેનો મેનીફોલ્ડમાં એક અલગ ઓટોમોર્ફિઝમ જૂથ હોય છે, એટલે કે. આ દિશા સંપૂર્ણ સામાન્યતામાં સાબિત થઈ હતી, બર્મન દ્વારા ઓટોમોર્ફિઝમ જૂથ અલગ હોવાની ધારણાને દૂર કરી હતી. યુ-ટિયાન-ડોનાલ્ડસન અનુમાનની વિપરીત દિશા પ્રથમ ચેન-ડોનાલ્ડસન-સન દ્વારા ઉપર જણાવ્યા મુજબ સરળ કેસમાં અને તે જ સમયે ટિયાન દ્વારા ઉકેલવામાં આવી હતી. ચેન, ડોનાલ્ડસન અને સનએ આરોપ લગાવ્યો છે કે પુરાવા માટે સમાન અગ્રતાનો ટિયાનનો દાવો ખોટો છે, અને તેઓએ તેના પર શૈક્ષણિક ગેરવર્તણૂકનો આરોપ લગાવ્યો છે. તિયાનએ તેમના દાવાઓનો વિરોધ કર્યો છે. ચેન, ડોનાલ્ડસન અને સનને અમેરિકન મેથેમેટિકલ સોસાયટીના પ્રતિષ્ઠિત 2019 વેબ્લેન પ્રાઇઝ દ્વારા માન્યતા આપવામાં આવી હતી કારણ કે તેમણે અનુમાનનું સમાધાન કર્યું હતું. બ્રેકથ્રુ પ્રાઇઝે ડોનાલ્ડસનને ગણિતમાં બ્રેકથ્રુ પ્રાઇઝ અને સનને ન્યૂ હોરાઇઝન બ્રેકથ્રુ પ્રાઇઝ સાથે માન્યતા આપી છે, જે અંશતઃ ચેન-ડોનાલ્ડસન-સન અને ટિયાનના conjecture.The પુરાવાઓ પર ચેન સાથેના તેમના કાર્ય પર આધારિત છે, જે રિક્કી વક્રતા સીમાઓ સાથે ફેનો મેનીફોલ્ડ્સની ગ્રોમોવ-હૌસડોર્ફ મર્યાદાના નાજુક અભ્યાસ પર આધારિત હતા. તાજેતરમાં, "શાસ્ત્રીય" સાતત્ય પદ્ધતિ પર આધારિત પુરાવો વેદ દાતાર અને ગાબોર ઝેકેલીહિદી દ્વારા આપવામાં આવ્યો હતો, ત્યારબાદ ચેન, સન અને બિંગ વાંગ દ્વારા કેલર-રિક્કી પ્રવાહનો ઉપયોગ કરીને પુરાવો આપવામાં આવ્યો હતો. રોબર્ટ બર્મન, સેબેસ્ટિયન બૌકસમ અને મેટિયાસ જોન્સન પણ નવા પરિવર્તનશીલ અભિગમમાંથી પુરાવા પૂરા પાડે છે, જે બિન-આર્કિમિડીયન ભૂમિતિના સંદર્ભમાં કે-સ્થિરતાનું અર્થઘટન કરે છે. ખાસ રસપ્રદ બાબત એ છે કે બર્મન-બુકસોમ-જોન્સનનો પુરાવો સરળ લોગ ફેનો જોડીના કિસ્સામાં પણ લાગુ પડે છે, અને તે કે-બહુપત્નીત્વની કલ્પનાનો ઉપયોગ કરતું નથી, પરંતુ ડર્વાન અને બુકસોમ-હિસામોટો-જોન્સન દ્વારા રજૂ કરાયેલ સમાન કે-સ્થિરતાની કલ્પનાનો ઉપયોગ કરે છે. હવે તે જાણીતું છે કે એકસમાન કે-સ્થિરતા કે-સ્થિરતાની સમકક્ષ છે અને તેથી બી. બી. જે. નો પુરાવો સંપૂર્ણ વાય. ટી. ડી. અનુમાનનો નવો પુરાવો પૂરો પાડે છે. પરિવર્તનશીલ તકનીકો બર્મન-બુકસોમ-જોન્સન અને ફુજીતા-ઓડાકાના કહેવાતા ક્વોન્ટાઇઝ્ડ ડેલ્ટા અપરિવર્તન પર આધારિત, ઝાંગે સરળ ફેનો મેનીફોલ્ડ્સ માટે વાય. ટી. ડી. અનુમાનનો ટૂંકો ક્વોન્ટાઇઝેશન-આધારિત પુરાવો રજૂ કર્યો. સંપૂર્ણપણે અન્ય તકનીકોનો ઉપયોગ કરીને, બર્મને યુનિફોર્મ ગિબ્સ સ્ટેબિલિટી તરીકે ઓળખાતા થર્મોડાયનેમિક અભિગમનો ઉપયોગ કરીને વાય. ટી. ડી.-પ્રકારનાં અનુમાનનો પુરાવો પણ તૈયાર કર્યો છે, જ્યાં કેલર-આઈન્સ્ટાઈન મેટ્રિક રેન્ડમ પોઇન્ટ પ્રક્રિયા દ્વારા બનાવવામાં આવે છે. સિંગ્યુલર ફેનોની જાતો અને નબળા કેલર-આઈન્સ્ટાઈન મેટ્રિક્સ બર્મન-બુકસોમ-જોન્સન દ્વારા વિવિધ તકનીકોનો ઉપયોગ કરીને યૌ-ટિયાન-ડોનાલ્ડસન અનુમાનના નવા પુરાવાએ એકલ ફેનોની જાતો માટે કે-સ્થિરતા અને કેલર-આઈન્સ્ટાઈન મેટ્રિક્સના સંભવિત અભ્યાસને ખોલ્યો. ઉપયોગમાં લેવાતી વિવિધ તકનીકો ઉપર વર્ણવ્યા મુજબ સમાન કે-સ્થિરતા પર આધાર રાખે છે. કેહલેર-આઈન્સ્ટાઈન મેટ્રિકને સ્વીકારતા ફેનો મેનીફોલ્ડ કે-પોલીસ્ટેબલ છે તે બર્મનનું પરિણામ-લોગ ફેનો જોડીની સંપૂર્ણ સામાન્યતામાં સાબિત થયું હતું, જેમાં નબળા કેહલેર-આઈન્સ્ટાઈન મેટ્રિકને સ્વીકારવામાં આવ્યું હતું. - ફાનો વિવિધતા પર નબળું કેલર-આઈન્સ્ટાઈન મેટ્રિક એ હકારાત્મક-પ્રવાહ છે જે તેના સરળ સ્થાન પર સરળ કેલર-આઈન્સ્ટાઈન મેટ્રિક આપવા માટે પ્રતિબંધિત છે. વિભાજક સાથે સુસંગતતાની આવશ્યકતા દ્વારા, આ વ્યાખ્યાને જોડી પર નબળા કેલર-આઈન્સ્ટાઈન મેટ્રિક સુધી વિસ્તૃત કરી શકાય છે. આ સામાન્યતામાં, વાય. ટી. ડી. અનુમાનની વિપરીત દિશા લિ-તિયાન-વાંગ દ્વારા એવા કિસ્સામાં સાબિત કરવામાં આવી હતી કે જ્યાં ઓટોમોર્ફિઝમ જૂથ અલગ છે, અને સંપૂર્ણ સામાન્યતામાં Li.By દ્વારા લિયુ-ઝુ-ઝુઆંગ દ્વારા મર્યાદિત પેઢીના અનુમાનના ઠરાવ દ્વારા તે જાણીતું છે કે ઘટેલી સમાન કે-સ્થિરતા કે-બહુપત્નીત્વની સમકક્ષ છે, તેથી બર્મનના પરિણામ સાથે જોડાઈને યૌ-તિયાન-ડોનાલ્ડસન અનુમાન એકવચન ફેનો જાતો માટે સંપૂર્ણ સામાન્યતામાં સાચું છે. કે-સ્થિર ફેનો જાતોની મોડ્યુલી જગ્યાઓ બીજગણિત ભૂમિતિમાં મોડ્યુલી જગ્યાઓનું નિર્માણ એ કેન્દ્રિય સમસ્યા છે. બીજગણિત વળાંકના મોડ્યુલીના નિર્માણથી ભૌમિતિક અપરિવર્તન સિદ્ધાંત, ઢગલા અને બીજગણિત સપાટીઓના વર્ગીકરણના વિકાસને પ્રોત્સાહન મળ્યું છે, જેણે સમગ્ર બીજગણિત ભૂમિતિમાં પરિણામોને પ્રેરિત કર્યા છે. સામાન્ય પ્રકારની જાતોના કહેવાતા કે. એસ. બી. મોડ્યુલી જગ્યાઓ તરફ દોરી જતા કોલ્લર-શેફર્ડ-બેરોન દ્વારા ન્યૂનતમ મોડેલ પ્રોગ્રામમાંથી ઉદભવેલી તકનીકોનો ઉપયોગ કરીને કેનોનિકલી ધ્રુવીકૃત જાતોના મોડ્યુલી જગ્યાઓનો કેસ ઉકેલવામાં આવ્યો હતો. સામાન્ય પ્રકારની જાતોનો મુખ્ય ગુણધર્મ જે મોડુલીના નિર્માણને મંજૂરી આપે છે તે આવી જાતોના ઓટોમોર્ફિઝમ્સનો અભાવ છે. આ ફાનો જાતો માટે લાગુ પડતું નથી, જેમાં ઘણીવાર ખૂબ મોટા ઓટોમોર્ફિઝમ જૂથો હોઈ શકે છે, તેથી ન્યૂનતમ મોડેલ પ્રોગ્રામને ફાનો જાતોના મોડુલીના નિર્માણ માટે સીધી અરજીઓ મળી ન હતી, અને તે સ્પષ્ટ થઈ ગયું કે કે-સ્થિરતા એ આ કિસ્સામાં મોડુલીની રચનાને મંજૂરી આપવા માટે યોગ્ય આલ્જેબ્રો-ભૌમિતિક કલ્પના હતી. કે-સ્થિર જાતોની મોડુલી જગ્યાઓ કે-મોડુલી તરીકે ઓળખાય છે. સ્મૂથ કેસ સ્મૂથ ફેનો મેનીફોલ્ડ્સના કિસ્સામાં, વિશ્લેષણાત્મક રીતે મોડુલી સ્પેસ બનાવવા માટે યૌ-ટિયાન-ડોનાલ્ડસન અનુમાનમાંથી ઉદ્ભવતા તકનીકોનો ઉપયોગ કરી શકાય છે. ખાસ કરીને ઓડાકા અને ડોનાલ્ડસનના YTD અનુમાનના પુરાવામાં ઉપયોગમાં લેવાતા કેલર-આઈન્સ્ટાઈન ફેનોસના ગ્રોમોવ કોમ્પેક્ટનેસના વિચારો પર નિર્માણના કાર્યમાં અલગ ઓટોમોર્ફિઝમ જૂથો સાથે સરળ ફેનોકેલર-આઈન્સ્ટાઈન મેનીફોલ્ડ્સની મોડુલી જગ્યાઓનું અસ્તિત્વ સૂચવે છે. આ મોડ્યુલી જગ્યાઓ હૌસડોર્ફ છે અને સૌથી ખરાબ ભાગાકાર એકવચનતા ધરાવે છે. વાય. ટી. ડી. અનુમાન મુજબ આ વૈકલ્પિક રીતે અલગ ઓટોમોર્ફિઝમ જૂથો સાથે સરળ કે-પોલિસ્ટેબલ ફેનો જાતોની મોડુલી જગ્યાઓ છે. જો કે, સરળ ફાનો કેલર-આઈન્સ્ટાઈન મેનીફોલ્ડ્સની ગ્રોમોવ-હૌસડોર્ફ મર્યાદા એકવચન-ફાનો વિવિધતા તરફ દોરી શકે છે, તેથી ઓડાકા અને ડોનાલ્ડસન દ્વારા વર્ણવેલ મોડ્યુલી જગ્યાઓ સઘન નથી, એક માપદંડ જે મોડ્યુલી જગ્યાઓની રચનામાં ઘણીવાર ઇચ્છનીય છે. સરળ કે-પોલીસ્ટેબલ ફેનોસની મોડ્યુલી જગ્યાને સઘન બનાવવાની એક પદ્ધતિ એ છે કે એકવચન કે-પોલીસ્ટેબલ ફેનોસની મોડ્યુલી જગ્યામાં પસાર થવું, અને તેની પ્રક્ષેપકતા સાબિત કરવા માટે બીજગણિત ભૂમિતિ ઉપયોગ કરવો. યૉ-ટિયાન-ડોનાલ્ડસનનો એકવચન ફેનો જાતો માટેનો અંદાજ આ કોમ્પેક્ટિફિકેશનને એક વૈકલ્પિક દ્રષ્ટિકોણ આપશે જેમાં નબળા કેલર-આઈન્સ્ટાઈન મેટ્રિક્સ સાથે એકવચન ફેનો જાતોનો સમાવેશ થાય છે. સામાન્ય કેસ મોડુલી જગ્યાઓ બનાવવા માટેની પ્રમાણભૂત બીજગણિત તકનીક ભૌમિતિક અપરિવર્તન સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરે છે. સામાન્ય રીતે મોડુલી બનાવવા માટે મમફોર્ડના ભૌમિતિક અપરિવર્તન સિદ્ધાંતને લાગુ કરવા માટે, વ્યક્તિએ નિશ્ચિત મર્યાદિત-પરિમાણીય પ્રોજેક્ટિવ જગ્યામાં જાતોના કુટુંબને એમ્બેડ કરવું આવશ્યક છે. આવા પરિવાર પછી પ્રોજેક્ટિવ સ્પેસની અનુરૂપ હિલ્બર્ટ યોજનામાં બિંદુઓના સ્થાનને વ્યાખ્યાયિત કરે છે, જે એક પ્રોજેક્ટિવ યોજના છે જેના પર પ્રોજેક્ટિવ ઓટોમોર્ફિઝમનું જૂથ કાર્ય કરે છે. આ રેખીયકરણના સંદર્ભમાં GIT સ્થિરતાને હિલ્બર્ટ સ્થિરતા કહેવામાં આવે છે. જો આ લોકસ એક ખુલ્લો સમૂહ બનાવે છે, તો GIT નો ઉપયોગ ભાગાકાર બનાવવા માટે થઈ શકે છે જે આ પદાર્થોને પરિમાણ આપે છે. સારા સંજોગોમાં આ ભાગ યોગ્ય અને પ્રક્ષેપાત્મક હોઈ શકે છે. નિશ્ચિત પ્રોજેક્ટિવ જગ્યાની અંદર જાતોના કુટુંબને જોડવું હંમેશા શક્ય નથી અને તેથી તેમના મોડુલીને ભૌમિતિક અપરિવર્તન સિદ્ધાંત સાથે વર્ણવો, અને આ વિશેષ ગુણધર્મને બાઉન્ડનેસ કહેવામાં આવે છે. ફેનો જાતોનો મૂળભૂત ગુણધર્મ એ છે કે તેઓ બંધાયેલા રહેવામાં નિષ્ફળ જાય છે, અને આમ તેમની સ્થિરતાને કોઈપણ મર્યાદિત-પરિમાણીય ભૌમિતિક અપરિવર્તન સિદ્ધાંત દ્વારા વ્યાજબી રીતે પકડી શકાતી નથી. આ સમજાવે છે કે શા માટે કે-સ્થિરતાને પરીક્ષણ રૂપરેખાંકનોને ધ્યાનમાં લેવાની જરૂર છે, જેના માટે પ્રમાણમાં પુષ્કળ લાઇન બંડલ મનસ્વી રીતે મોટા માટે અમુક શક્તિને અનુરૂપ હોઈ શકે છે. જો કે, કૌચર બિરકરના પરિણામો દર્શાવે છે કે ફેનો જાતોના અમુક પરિવારો બંધાયેલા પરિવારો બનાવે છે, જે સૂચવે છે કે મોડુલી જગ્યાઓ બનાવવા માટે ફેનો જાતોના વોલ્યુમ-બાઉન્ડેડ પરિવારોની સ્થિરતાનો અભ્યાસ કરવો શક્ય છે. આ કામ માટે બિરકરને 2018માં ફીલ્ડ્સ મેડલ એનાયત કરવામાં આવ્યો હતો. જિઆંગ દ્વારા સાબિત કરવામાં આવ્યું હતું કે કે-સેમિસ્ટેબલ-ફેનો જાતો જે નીચે બંધાયેલ વોલ્યુમ સાથે બંધાયેલ કુટુંબ બનાવે છે. આમ આપેલ વોલ્યુમ માટે એક સમાન પૂર્ણાંક અસ્તિત્વમાં છે જેમ કે દરેક કે-સેમિસ્ટેબલ-ફેનોનું એન્ટિકેનોનીકલ વોલ્યુમ નિશ્ચિત પ્રોજેક્ટિવ જગ્યાની અંદર એમ્બેડિંગ સ્વીકારે છે. કે-સેમિસ્ટેબલ ફેનોસના આ સ્થાનની નિખાલસતા બ્લમ-લિઉ-ઝુ અને ઝુ દ્વારા સાબિત થઈ હતી. આ સૂચવે છે કે મર્યાદિત પ્રકારનાં આર્ટીન સ્ટૅકનું અસ્તિત્વ કે-સેમિસ્ટેબલ-ફેનો જાતોના પરિમાણો દ્વારા નીચે બંધાયેલ વોલ્યુમ સાથે સૂચવવામાં આવે છે. પ્રોજેક્ટિવ વિવિધતા અથવા યોજના તરીકે વાસ્તવિક મોડ્યુલી જગ્યા શોધવા માટે, સ્ટેકની અંદર કે-સેમિસ્ટેબલ ફેનોસની એસ-પૂર્ણતા અને-રિડક્ટિવિટી વિશે ચોક્કસ ગુણધર્મો સાબિત કરવા આવશ્યક છે. કે-પોલિસ્ટેબિલિટીના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને, મોડ્યુલી સ્ટેકના આ ગુણધર્મો સાચા છે અને સ્ટેક માટે એક બરછટ મોડ્યુલી જગ્યા અસ્તિત્વમાં છે જે કે-પોલિસ્ટેબલ-ફેનો જાતોને નીચેથી બંધાયેલ વોલ્યુમ સાથે પરિમાણ આપે છે. તે સાબિત થયું હતું કે તે યોગ્ય છે અને સીએમ-લાઇન બંડલ પૂરતું છે, એટલે કે બરછટ મોડુલી જગ્યા પણ પ્રોજેક્ટિવ છે. કે-મોડ્યુલીના અસ્તિત્વના પરિણામનો સારાંશ નીચે આપેલા theorem.The કે-પોલીસ્ટેબલ ફેનોસના મોડ્યુલી જગ્યાના નિર્માણમાં લોગ ફેનોની જાતોના સેટિંગમાં સામાન્યીકૃત કરી શકાય છે. એકવચન-ફાનો જાતોનો કેસ જે સરળ હોય છે (એટલે કે તે સરળ કે-પોલીસ્ટેબલ ફાનો મેનીફોલ્ડ્સના બીજગણિત પરિવારોની મર્યાદાઓ છે) અગાઉ લિ-વાંગ-ઝુ દ્વારા વિશ્લેષણાત્મક તકનીકોના સંયોજનનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલવામાં આવ્યો હતો, જે ઓડાકા, ડોનાલ્ડસન અને કોડોગની-પાટકફાલ્વીના અગાઉના કાર્ય પર પણ આધાર રાખે છે. ત્યાં બરછટ મોડ્યુલી જગ્યા એક યોજના તરીકે દર્શાવવામાં આવી છે, પરંતુ સામાન્ય રીતે કે-મોડ્યુલી માટેના અસ્તિત્વ પરિણામો માત્ર બીજગણિત જગ્યાના અસ્તિત્વની બાંયધરી આપે છે. કે-સ્થિર ફેનો જાતોનો સ્પષ્ટ અભ્યાસ કે-સ્થિરતાની બીજગણિત કલ્પનાથી આગળ છે, અને નીચા પરિમાણોમાં રસ ધરાવતો હતો તે ફક્ત કેલર-આઈન્સ્ટાઈન મેનીફોલ્ડ્સના અભ્યાસને કારણે હતો. ઉદાહરણ તરીકે, સ્પષ્ટ રચના અથવા ટિયાનના આલ્ફા અપરિવર્તનના ઉપયોગ દ્વારા, કે-સ્થિરતાની વ્યાખ્યા રજૂ કરવામાં આવી તે પહેલાં પરિમાણ 1 અને 2 ના તમામ સરળ કેલર-આઈન્સ્ટાઈન મેનીફોલ્ડ્સ જાણીતા હતા. પરિમાણ 3 માં અને કેલર-આઈન્સ્ટાઈન મેટ્રિક્સની ઉચ્ચ સ્પષ્ટ રચનાઓ વધુ મુશ્કેલ બની જાય છે, પરંતુ કે-સ્થિરતાના બીજગણિત અભ્યાસમાંથી ઉદભવેલી પ્રગતિએ કે-પોલીસ્ટેબલ ફેનો થ્રીફોલ્ડ્સ અને ઉચ્ચ પરિમાણીય જાતોના ચોક્કસ પરિવારોની સ્પષ્ટ ગણતરીઓને સક્ષમ કરી છે, અને ત્યારબાદ નવા કેલર-આઈન્સ્ટાઈન મેનીફોલ્ડ્સની શોધ થઈ છે. પરિમાણ 1 પરિમાણ 1 માં એક અનન્ય સરળ ફેનો વિવિધતા છે, જે જટિલ પ્રોજેક્ટિવ રેખા છે. ફુબિની-સ્ટડી મેટ્રિકના અસ્તિત્વને કારણે આ વિવિધતા સરળતાથી કે-સ્થિર હોવાનું જોવામાં આવે છે, જે કેહલર-આઈન્સ્ટાઈન મેટ્રિક છે, જે કે-પોલિસ્ટેબિલિટી સૂચવે છે. સરળ રીમાન સપાટીઓની કે-સ્થિરતાનો શુદ્ધ આલ્જેબ્રો-ભૌમિતિક પુરાવો ઢોળાવ કે-સ્થિરતા પર રોસ-થોમસના કાર્યમાંથી અનુસરે છે, જે પરિમાણ એકમાં કે-સ્થિરતાની સમકક્ષ છે. આ કિસ્સામાં વળાંક પરના બિંદુઓના સંગ્રહમાંથી પરીક્ષણ રૂપરેખાંકનો બનાવી શકાય છે, અને જ્યારે વળાંક સરળ હોય ત્યારે કોઈ પણ બિંદુ અસ્થિર થતું નથી. પરિમાણ 2 પરિમાણ બેમાં ખાલી જગ્યાઓ કે જે કેલર-આઈન્સ્ટાઈન મેટ્રિક્સને સ્વીકારે છે તે ટિયાન દ્વારા વર્ગીકૃત કરવામાં આવી હતી. પરિમાણ બે, ડેલ પેઝો સપાટીઓમાં સરળ ફેનોની જાતોના 10 વિરૂપતા પરિવારો છે. આલ્ફા અપરિવર્તનશીલનો ઉપયોગ કરીને, ટિયાને દર્શાવ્યું હતું કે એક સરળ ફેનો સપાટી કેલર-આઈન્સ્ટાઈન મેટ્રિકને સ્વીકારે છે અને જો તે એક કે બે બિંદુઓમાં જટિલ પ્રોજેક્ટિવ પ્લેનનો ફટકો ન હોય તો જ તે કે-પોલિસ્ટેબલ છે. આમ આ 10 વર્ગોમાંથી 8 વર્ગોમાં કે-પોલીસ્ટેબલ ફેનો સપાટીઓ હોય છે. ટિયાન અને માબુચી-મુકાઈ દ્વારા ફાનો સપાટીઓના કે-મોડુલીનો સ્પષ્ટ ઉદાહરણોમાં અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો હતો. કેલર-આઈન્સ્ટાઈન ફેનો સપાટીઓના કોમ્પેક્ટ મોડ્યુલી સ્પેસની સ્પષ્ટ રચનાઓ ઓડાકા-સ્પોટી-સન દ્વારા પ્રાપ્ત કરવામાં આવી હતી. આ જગ્યાઓ ગ્રોમોવ-હૌસડોર્ફ કોમ્પેક્ટિફિકેશન તરીકે બનાવવામાં આવી હતી પરંતુ લોગ ફેનો સપાટીઓની સ્પષ્ટ બીજગણિત જગ્યાઓ સાથે ઓળખવામાં આવી હતી. ઉદાહરણ તરીકે, ઓડાકા-સ્પોટ્ટી-સન દ્વારા સાબિત થયું છે કે ચોથી ડિગ્રીની સ્મૂથેબલ કેલર-આઈન્સ્ટાઈન સપાટીઓની કોમ્પેક્ટ મોડ્યુલી જગ્યા ભારિત પ્રોજેક્ટિવ જગ્યા દ્વારા આપવામાં આવે છે, જેમાં લોકસને અનુરૂપ ચોથી ડિગ્રીની સ્મૂથેબલ કેલર-આઈન્સ્ટાઈન સપાટીઓ હોય છે, જ્યાં સમીકરણને સંતોષતા તે બિંદુઓ ધરાવતો પૂરતો વિભાજક હોય છે. પરિમાણ 3 માં શુદ્ધ બીજગણિત તકનીકોનો ઉપયોગ કે-સ્થિર ફેનો જાતોના ઉદાહરણો શોધવા માટે થઈ શકે છે જે કેલર-આઈન્સ્ટાઈન મેટ્રિક્સને સ્વીકારવા માટે જાણીતી પ્રાથમિકતા નથી. સ્મૂથ ફાનો થ્રીફોલ્ડનું ઇસ્કોવ્સ્કીખ-મોરી-મુકાઈ વર્ગીકરણ તેના ઘટકોમાં કે-સ્ટેબલ ફાનો થ્રીફોલ્ડનો અભ્યાસ કરવાની સમસ્યાને તોડવાની કુદરતી રીત પ્રદાન કરે છે. તે જાણીતું છે કે સરળ ફેનો થ્રીફોલ્ડ્સના 105 વિકૃતિ પરિવારો છે, અને ફુજીતા-લીના બીટા અપરિવર્તનશીલ અને ફુજીતા-ઓડાકાના ડેલ્ટા અપરિવર્તનશીલનો ઉપયોગ કરીને સ્પષ્ટ ગણતરીઓનો ઉપયોગ એ નક્કી કરવા માટે કરી શકાય છે કે કયા વિકૃતિ પરિવારોમાં કે-સ્થિર પ્રતિનિધિઓ છે. દરેક વિરૂપતા કુટુંબ માટે તે જાણીતું છે કે કુટુંબનું સામાન્ય તત્વ કે-(પોલી) સ્થિર છે કે નહીં. ખાસ કરીને તે જાણીતું છે કે 105માંથી 78 પરિવારોમાં તેમના વિરૂપતા વર્ગમાં કે-પોલીસ્ટેબલ પ્રતિનિધિ હોય છે. 105 પરિવારોમાંથી 71 પરિવારો માટે, તે વિરૂપતા વર્ગના દરેક સભ્ય માટે જાણીતું છે, પછી ભલે તે કે-પોલીસ્ટેબલ હોય કે નહીં. 105 વિરૂપતા પરિવારોના ઘણા ઉદાહરણો માટે, પ્રતિનિધિ ત્રણ ગણોની કે-સ્થિરતાને કુદરતી જીઆઇટી સમસ્યાના સંદર્ભમાં અર્થઘટન કરી શકાય છે જે તે કુટુંબનું વર્ણન કરે છે, અને તેથી ફેનો ત્રણ ગણોના કે-મોડુલીના સ્પષ્ટ ઉદાહરણો પણ જીઆઇટી અવતરણ તરીકે મળી શકે છે. ફેનો થ્રીફોલ્ડ્સના કેટલાક વર્ગો માટે વર્ગીકરણની સમસ્યા ખુલ્લી રહે છે. ઉદાહરણ તરીકે, તે જાણીતું છે કે વિરૂપતા વર્ગમાં મુકાઈ-ઉમેમુરા ત્રણ ગણો કેલર-આઈન્સ્ટાઈન મેટ્રિકને સ્વીકારે છે અને તેથી ડોનાલ્ડસનના કાર્ય દ્વારા કે-પોલિસ્ટેબલ છે, જેમણે ઉપરના માપદંડનો સ્પષ્ટ ઉપયોગ કરીને ટિયાનના આલ્ફા અપરિવર્તનની ગણતરી કરી હતી. આ મેનીફોલ્ડમાં બિન-અલગ ઓટોમોર્ફિઝમ જૂથ છે અને જેની નજીકની વિકૃતિઓ પણ કે-પોલીસ્ટેબલ છે તે જાણી શકાયું નથી. એવું અનુમાન કરવામાં આવે છે કે વર્સલ વિરૂપણ જગ્યાની અંદર GIT-પોલિસ્ટેબલ બિંદુઓને અનુરૂપ વિકૃતિઓ નજીકના K-પોલિસ્ટેબલ જાતોને અનુરૂપ હોવી જોઈએ. ઉચ્ચ પરિમાણો કોઈપણ પરિમાણમાં કે-પોલીસ્ટેબલ ફેનો મેનીફોલ્ડનું પ્રથમ અને સરળ ઉદાહરણ જટિલ પ્રોજેક્ટિવ સ્પેસ છે, જે હંમેશા ફુબિની-સ્ટડી મેટ્રિકને સ્વીકારે છે જે કોઈપણ પરિમાણમાં કેલર-આઈન્સ્ટાઈન છે અને તેથી તમામ પ્રોજેક્ટિવ સ્પેસ કે-પોલીસ્ટેબલ છે. સામાન્ય રીતે ઉચ્ચ પરિમાણોમાં આવા ઘણા "સ્પષ્ટ" કેલર-આઈન્સ્ટાઈન મેટ્રિક્સ નથી, અને ઉદાહરણો શોધવા માટે સ્થિરતાની તાજેતરની તકનીકોનો ઉપયોગ કરવો આવશ્યક છે. ફેનો જાતોના અમુક પરિવારો માટે, કે-સ્થિરતાને બીટા અથવા ડેલ્ટા અપરિવર્તનશીલ સાથે આલ્ફા અપરિવર્તનશીલ અથવા શુદ્ધ આલ્જિબ્રો-ભૌમિતિક તકનીકો દ્વારા વિશ્લેષણાત્મક તકનીકોનો ઉપયોગ કરીને ઉચ્ચ પરિમાણોમાં સાબિત કરી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, ફર્મેટ હાયપરસર્ફેસ એ વિવિધ સ્વરૂપો છે આ હાયપરસર્ફેસ અલગ ઓટોમોર્ફિઝમ જૂથ સાથે સરળ ફેનો મેનીફોલ્ડ્સ છે, અને તે ટિયાન દ્વારા આલ્ફા ઇનવેરિયન્ટનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરવામાં આવ્યું હતું જે સૂચવે છે કે કેલર-આઈન્સ્ટાઈનને સ્વીકારે છે, અને વધુ વિગતવાર દલીલોના ઉપયોગથી ટિયાનએ કેલર-આઈન્સ્ટાઈન મેટ્રિકનું અસ્તિત્વ સાબિત કર્યું. બીજી બાજુ, ડેલ્ટા અપરિવર્તનશીલ ઝુઆંગનો ઉપયોગ કરીને સંપૂર્ણ બીજગણિત પુરાવો આપ્યો જે કે-સ્થિર છે અને તેથી આ કિસ્સાઓમાં કેલર-આઈન્સ્ટાઈન મેટ્રિક સ્વીકારે છે. એકસમાન કે-સ્થિરતા અને કે-સુસંગતતા માટે નિખાલસતા પરિણામોનો ઉપયોગ કરીને, આમાંથી કોઈ નિષ્કર્ષ કાઢી શકે છે કે અંદરની ડિગ્રીની સામાન્ય સરળ અતિસંવેદનશીલતા કે-સ્થિર છે. કેટલાક કિસ્સાઓમાં તે હકીકતમાં જાણીતું છે કે તમામ ડિગ્રી હાયપરસર્ફેસ કે-સ્થિર હોય છે, જેમ કે અંદરની તમામ સરળ હાયપરસર્ફેસ. ચોક્કસ ફેનો જાતોના અભ્યાસ ઉપરાંત, ચોક્કસ સેટિંગ્સમાં કે-મોડુલીને ઉચ્ચ પરિમાણોમાં સ્પષ્ટપણે વર્ણવી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, જ્યારે કે-મોડ્યુલી "સ્પષ્ટ" જીઆઇટી અર્થઘટન સ્વીકારે છે, ત્યારે બીટા અથવા ડેલ્ટા અપરિવર્તનના બીજગણિત સાધનોનો ઉપયોગ તે ચકાસવા માટે કરી શકાય છે કે જીઆઇટી સ્થિરતા તે ચોક્કસ સમસ્યા માટે કે-સ્થિરતાની સમકક્ષ છે. ઉદાહરણ તરીકે, લિયુએ દર્શાવ્યું હતું કે ક્યુબિક ફોરફોલ્ડ હાયપરસર્ફેસ માટે, (સંભવતઃ એકવચન) ક્યુબિક ફોરફોલ્ડ્સની GIT મોડ્યુલી જગ્યા K-મોડ્યુલી જગ્યા માટે આઇસોમોર્ફિક છે, અને આમ વ્યક્તિ તેમની GIT સ્થિરતા અને એકવચન રચનાના સંદર્ભમાં K-સ્થિર, K-બહુપરીમાણીય અને K-સમાન ક્યુબિક ફોરફોલ્ડ્સનું સ્પષ્ટ વર્ણન મેળવે છે. ખાસ કરીને દરેક સરળ ઘન ચાર ગણો કે-સ્થિર હોય છે. સંદર્ભો નોંધો બીજગણિત ભૂમિતિ