Complex hyperbolic space
ગણિતમાં, હાયપરબોલિક કોમ્પ્લેક્સ સ્પેસ એ હર્મિશિયન મેનીફોલ્ડ છે જે કોમ્પ્લેક્સ મેનીફોલ્ડ્સના સંદર્ભમાં વાસ્તવિક હાયપરબોલિક સ્પેસની સમકક્ષ છે. જટિલ હાયપરબોલિક જગ્યા એ કેલર મેનીફોલ્ડ છે, અને તે એકમાત્ર સરળ રીતે જોડાયેલ કેલર મેનીફોલ્ડ છે જેની હોલોમોર્ફિક વિભાગીય વળાંક-1 ની બરાબર સ્થિર છે. તેના અંતર્ગત રીમાનિયન મેનીફોલ્ડમાં બિન-સ્થિર નકારાત્મક વળાંક હોય છે, જે-1 અને-1/4 (અથવા-4 અને-1, મેટ્રિકના સામાન્યકરણની પસંદગી અનુસાર) ની વચ્ચે હોય છેઃ ખાસ કરીને, તે એક કે. એ. ટી. (-1/4) જગ્યા છે. જટિલ હાયપરબોલિક જગ્યાઓ પણ લાઈ જૂથો સાથે સંકળાયેલી સપ્રમાણ જગ્યાઓ છે. તેઓ વાસ્તવિક અને ચતુર્થાંશ હાયપરબોલિક જગ્યાઓ સાથે બિન-કોમ્પેક્ટ પ્રકારની શ્રેણી એક સમપ્રમાણ જગ્યાઓના ત્રણ પરિવારોમાંથી એકની રચના કરે છે, જેમાં વર્ગીકરણમાં એક અપવાદરૂપ જગ્યા, કેલે પ્લેન ઉમેરવી આવશ્યક છે. જટિલ હાયપરબોલિક સ્પેસ પ્રોજેક્ટિવ મોડેલનું નિર્માણ ચાલો જટિલ વેક્ટર સ્પેસમાં સહીનું સ્યુડો-હર્મિશિયન સ્વરૂપ હોઈએ. જટિલ હાયપરબોલિક જગ્યાનું પ્રોજેક્ટિવ મોડેલ આ સ્વરૂપ માટે તમામ નકારાત્મક વેક્ટરની પ્રોજેક્ટિવ જગ્યા છેઃ જટિલ પ્રોજેક્ટિવ જગ્યાના ખુલ્લા સમૂહ તરીકે, આ જગ્યા જટિલ મેનીફોલ્ડની રચનાથી સંપન્ન છે. તે યુનિટ બોલ માટે બાયહોલોમોર્ફિક છે, કારણ કે કોઈ એ નોંધ કરીને જોઈ શકે છે કે નેગેટિવ વેક્ટરમાં નોન ઝીરો ફર્સ્ટ કોઓર્ડિનેટ હોવો જોઈએ, અને પ્રોજેક્ટિવ સ્પેસમાં 1 ની બરાબર પ્રથમ કોઓર્ડિનેટ સાથે એક અનન્ય પ્રતિનિધિ હોવો જોઈએ. શરત જ્યારે તેની સમકક્ષ હોય છે. એકમ દડાના બિંદુને પ્રક્ષેપાત્મક જગ્યાના બિંદુ પર મોકલતો નકશો આમ જરૂરી બાયહોલોમોર્ફિઝમને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. આ મોડેલ પોઇનકેરે ડિસ્ક મોડેલની સમકક્ષ છે. વાસ્તવિક હાયપરબોલિક જગ્યાથી વિપરીત, જટિલ પ્રોજેક્ટિવ જગ્યાને હાયપરબોલોઇડની શીટ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાતી નથી, કારણ કે પ્રોજેક્ટિવ મોડેલ પર આ હાયપરબોલોઇડના પ્રક્ષેપણમાં ફાઇબર જોડાયેલ છે (વાસ્તવિક કિસ્સામાં ફાઇબર છે). હર્મિશિયન મેટ્રિકને નીચેની રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છેઃ જો શંકુ સાથે સંબંધિત હોય, તો પછી ઓર્થોગોનલ જગ્યાનું પ્રતિબંધ આ જગ્યા પર ચોક્કસ હકારાત્મક હર્મિશિયન ઉત્પાદનને વ્યાખ્યાયિત કરે છે, અને કારણ કે બિંદુ પરની સ્પર્શક જગ્યાને કુદરતી રીતે ઓળખી શકાય છે, આ હર્મિશિયન આંતરિક ઉત્પાદનને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. જેમ કે ગણતરી દ્વારા જોઈ શકાય છે, આ આંતરિક ઉત્પાદન પ્રતિનિધિઓની પસંદગી પર આધારિત નથી. હોલોમોર્ફિક વિભાગીય વળાંક-1 ની બરાબર અને-4 ની બરાબર ન હોય તે માટે, વ્યક્તિએ આ મેટ્રિકને પરિબળ દ્વારા ફરીથી સામાન્ય બનાવવાની જરૂર છે. આ મેટ્રિક એક કેલર મેટ્રિક છે. સીગલ મોડેલ જટિલ હાયપરબોલિક જગ્યાનું સીગલ મોડેલ એ એવું ઉપગણ છે કે તે અનંત પર કેલે ટ્રાન્સફોર્મ બાઉન્ડ્રી દ્વારા એકમ દડા માટે બાયહોલોમોર્ફિક છે પ્રોજેક્ટિવ મોડેલમાં, જટિલ હાયપરબોલિક જગ્યા પરિમાણના જટિલ એકમ દડા સાથે ઓળખાય છે, અને તેની સીમાને દડાની સીમા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે, જે વાસ્તવિક પરિમાણના ગોળા માટે ડિફિયોમોર્ફિક છે. આ વ્યાખ્યાયિત કરવા સમાન છેઃ કે. એ. ટી. (0) જગ્યા તરીકે, જટિલ હાયપરબોલિક જગ્યા પણ અનંત પર સીમા ધરાવે છે. આ સીમા હમણાં જ નિર્ધારિત સીમા સાથે મેળ ખાય છે. જટિલ હાયપરબોલિક જગ્યાની સીમા કુદરતી રીતે સી. આર. માળખું ધરાવે છે. આ માળખું (વિષમ પરિમાણીય) ગોળા પર પ્રમાણભૂત સંપર્ક માળખું પણ છે. હોલોમોર્ફિક આઇસોમેટ્રીઝ અને સપ્રમાણ જગ્યાનું જૂથ જટિલ હાયપરબોલિક જગ્યાના હોલોમોર્ફિક આઇસોમેટ્રીઝનું જૂથ લાઈ જૂથ છે. આ જૂથ જટિલ હાયપરબોલિક જગ્યા પર અસ્થાયી રીતે કાર્ય કરે છે, અને બિંદુનું સ્ટેબિલાઇઝર એકાત્મક જૂથ માટે આઇસોમોર્ફિક છે. જટિલ હાયપરબોલિક જગ્યા આમ સજાતીય જગ્યા માટે હોમોમોર્ફિક છે. સ્ટેબિલાઇઝર એ મહત્તમ કોમ્પેક્ટ પેટાજૂથ છે. પરિણામે, જટિલ હાયપરબોલિક જગ્યા એ રીમાનિયન સપ્રમાણ જગ્યા છે, જ્યાં સ્યુડો-યુનિટરી જૂથ છે. જટિલ હાયપરબોલિક જગ્યાના હોલોમોર્ફિક આઇસોમેટ્રીઝનું જૂથ પણ આ જગ્યાની સીમા પર કાર્ય કરે છે, અને આમ બંધ ડિસ્ક પર હોમોમોર્ફિઝમ્સ દ્વારા કાર્ય કરે છે. બ્રોવરના નિશ્ચિત બિંદુ પ્રમેય અનુસાર, જટિલ હાયપરબોલિક જગ્યાના કોઈપણ હોલોમોર્ફિક આઇસોમેટ્રીમાં ઓછામાં ઓછો એક બિંદુ નિશ્ચિત હોવો જોઈએ. આઇસોમેટ્રીનું વર્ગીકરણ ત્રણ પ્રકારમાં કરવામાં આવે છેઃ જો તે જટિલ હાયપરબોલિક જગ્યામાં કોઈ બિંદુને સ્થિર કરે તો આઇસોમેટ્રીને લંબગોળ કહેવામાં આવે છે. આઇસોમેટ્રીને પેરાબોલિક કહેવામાં આવે છે જો તે જટિલ હાયપરબોલિક જગ્યામાં કોઈ બિંદુને નિશ્ચિત કરતું નથી અને સીમામાં એક અનન્ય બિંદુને નિશ્ચિત કરે છે. આઇસોમેટ્રીને હાયપરબોલિક (અથવા લોક્સોડ્રોમિક) કહેવામાં આવે છે જો તે જટિલ હાયપરબોલિક જગ્યામાં કોઈ બિંદુને નિશ્ચિત કરતું નથી અને સીમામાં બરાબર બે બિંદુઓને નિશ્ચિત કરે છે. તેનું ઇવાસાવા વિઘટન એ વિઘટન છે, જ્યાં એકાત્મક જૂથ છે, તે વાસ્તવિક સંખ્યાઓનું યોગાત્મક જૂથ છે અને તે વાસ્તવિક પરિમાણનું હેઇસેનબર્ગ જૂથ છે. આ પ્રકારનું વિઘટન આની પસંદગી પર આધાર રાખે છેઃ જટિલ હાયપરબોલિક જગ્યાની સીમામાં એક બિંદુ (તે પછી ફિક્સિંગના યુનિપોટેન્ટ પેરાબોલિક તત્વોનું જૂથ) અનંત પર જતી એક લક્ષી જીઓડેસિક રેખા (તે પછી આ જીઓડેસિક સાથે અનુવાદ તરીકે કામ કરતા હાયપરબોલિક તત્વોનું જૂથ છે અને તેની આસપાસ કોઈ પરિભ્રમણ ભાગ નથી) માટે મૂળની પસંદગી, એટલે કે. એક એકમ ઝડપ પરિમાણ કે જેની છબી છે (તે પછી ફિક્સિંગના લંબગોળ તત્વોનું જૂથ છે) આવા કોઈપણ વિઘટન માટે, પેટાજૂથની ક્રિયા મુક્ત અને સંક્રમક હોય છે, તેથી ડિફિયોમોર્ફિઝમને પ્રેરિત કરે છે. આ ડિફિયોમોર્ફિઝમને સીગલ મોડેલના સામાન્યીકરણ તરીકે જોઈ શકાય છે. હોલોમોર્ફિક આઇસોમેટ્રીનું જૂથ હાયપરબોલિક કોમ્પ્લેક્સ સ્પેસની સ્પર્શક જટિલ રેખાઓ પર અસ્થાયી રીતે કાર્ય કરે છે. આ જ કારણ છે કે આ જગ્યા સતત હોલોમોર્ફિક વિભાગીય વળાંક ધરાવે છે, જેની ગણતરી-4 (મેટ્રિકના ઉપરોક્ત સામાન્યીકરણ સાથે) ની બરાબર કરી શકાય છે. આ ગુણધર્મ હાયપરબોલિક કોમ્પ્લેક્સ સ્પેસને લાક્ષણિકતા આપે છેઃ આઇસોમેટ્રિક બાયહોલોમોર્ફિઝમ સુધી, આપેલ સતત હોલોમોર્ફિક વિભાગીય વળાંકનો ફક્ત એક જ સરળ રીતે જોડાયેલ સંપૂર્ણ કહલર મેનીફોલ્ડ છે. વધુમાં, જ્યારે હર્મિશિયન મેનીફોલ્ડમાં સમાન સ્થિર હોલોમોર્ફિક વિભાગીય વળાંક હોય છે, ત્યારે દરેક વાસ્તવિક સ્પર્શક સમતલની વિભાગીય વળાંક સંપૂર્ણપણે સૂત્ર દ્વારા નક્કી થાય છેઃ જ્યાં અને વચ્ચેનો કોણ છે, એટલે કે વેક્ટર અને વેક્ટર વચ્ચેના ખૂણાઓનો અનંત ભાગ. આ ખૂણો 0 ની બરાબર હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તે એક જટિલ રેખા હોય, અને જો અને માત્ર ત્યારે જ બરાબર થાય છે જો તે સંપૂર્ણપણે વાસ્તવિક હોય. આમ જટિલ હાયપરબોલિક જગ્યાની વિભાગીય વળાંક-4 (જટિલ રેખાઓ માટે) થી-1 (સંપૂર્ણપણે વાસ્તવિક સપાટીઓ માટે) સુધી બદલાય છે. જટિલ પરિમાણ 1 માં, સ્પર્શક અવકાશમાં દરેક વાસ્તવિક સમતલ એક જટિલ રેખા છેઃ આમ પરિમાણ 1 ની હાયપરબોલિક જટિલ જગ્યા-1 ની બરાબર સતત વળાંક ધરાવે છે, અને એકરૂપતા પ્રમેય દ્વારા, તે વાસ્તવિક હાયપરબોલિક સમતલ માટે સમમિત છે. આમ હાયપરબોલિક જટિલ જગ્યાઓને હાયપરબોલિક પ્લેનના અન્ય ઉચ્ચ-પરિમાણીય સામાન્યીકરણ તરીકે જોઈ શકાય છે, જે વાસ્તવિક હાયપરબોલિક જગ્યાઓ કરતાં ઓછી પ્રમાણભૂત છે. ત્રીજું સંભવિત સામાન્યીકરણ એ સજાતીય જગ્યા છે, જે ફરીથી હાયપરબોલિક પ્લેન સાથે એકરુપ થાય છે, પરંતુ જ્યારે 1 કરતા વધારે ક્રમની સમપ્રમાણ જગ્યા બની જાય છે. પરિમાણ n ની જટિલ હાયપરબોલિક જગ્યાના દરેક સંપૂર્ણ જિયોડેસિક સબમેનિફોલ્ડ એ નીચેનામાંથી એક છેઃ નાના પરિમાણની જટિલ હાયપરબોલિક જગ્યાની નકલ, તેના કરતા નાના વાસ્તવિક પરિમાણની વાસ્તવિક હાયપરબોલિક જગ્યાની નકલ. ખાસ કરીને, જટિલ હાયપરબોલિક જગ્યાના કોઈ કોડીમેન્શન 1 સંપૂર્ણપણે જિયોડેસિક સબસ્પેસ નથી. બોલ પર અન્ય મેટ્રિક્સ સાથે લિંક કરો યુનિટ બોલ પર, જટિલ હાયપરબોલિક મેટ્રિક બર્ગમેન મેટ્રિક સાથે, કેટલાક સ્કેલર રીનોર્મલાઇઝેશન સુધી મેળ ખાય છે. આ સૂચવે છે કે દડાની દરેક બાયહોલોમોર્ફિઝમ વાસ્તવમાં જટિલ હાયપરબોલિક મેટ્રિકની આઇસોમેટ્રી છે. જટિલ હાયપરબોલિક મેટ્રિક પણ કોબાયાશી મેટ્રિક સાથે મેળ ખાય છે. રીનોર્મલાઇઝેશન સુધી, જટિલ હાયપરબોલિક મેટ્રિક કેલર-આઈન્સ્ટાઈન છે, જેનો અર્થ છે કે તેની રિક્કી વળાંક મેટ્રિકની બહુવિધ છે. આ પણ જુઓ હાયપરબોલિક જગ્યા ક્વાટર્નિયોનિક હાયપરબોલિક જગ્યા સંદર્ભો વિભેદક ભૂમિતિ રીમાનિયન ભૂમિતિ લાઈ જૂથો સજાતીય જગ્યાઓ