Bayesian quadrature
બાયેસિયન ચતુર્ભુજ એ અવ્યવસ્થિત એકીકરણ સમસ્યાઓનો અંદાજ કાઢવાની એક પદ્ધતિ છે. તે સંભવિત આંકડાકીય પદ્ધતિઓના વર્ગમાં આવે છે. બાયેસિયન ચતુર્ભુજ આંકડાકીય એકીકરણને બાયેસિયન અનુમાન કાર્ય તરીકે જુએ છે, જ્યાં કાર્ય મૂલ્યાંકનનો ઉપયોગ તે કાર્યના અભિન્ન અંગનો અંદાજ કાઢવા માટે થાય છે. આ કારણોસર, તેને કેટલીકવાર "બાયેસિયન સંભવિત આંકડાકીય એકીકરણ" અથવા "બાયેસિયન આંકડાકીય એકીકરણ" તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે. "બાયેસિયન ક્યુબેચર" નામનો ઉપયોગ કેટલીકવાર ત્યારે પણ થાય છે જ્યારે સંકલન બહુ-પરિમાણીય હોય. આ અભિગમનો સંભવિત ફાયદો એ છે કે તે ઇન્ટિગ્રલના મૂલ્ય માટે સંભવિત અનિશ્ચિતતા પરિમાણ પ્રદાન કરે છે. બાયેસિયન ચતુર્ભુજ આંકડાકીય સંકલન ચાલો ડોમેન (જ્યાં સામાન્ય રીતે) પર વ્યાખ્યાયિત કાર્ય હોઈએ. આંકડાકીય એકીકરણમાં, જુદા જુદા સ્થળોએ કાર્ય મૂલ્યાંકનનો ઉપયોગ માપ સામેના અભિન્નનો અંદાજ કાઢવા માટે થાય છેઃ એટલે કે. વજન જોતાં, ચતુર્ભુજ નિયમ એ બાયેસિયન ચતુર્ભુજ સ્વરૂપનો અંદાજ છે જેમાં અગાઉના વિતરણનો ઉલ્લેખ કરવામાં આવે છે, પશ્ચાદવર્તી વિતરણ મેળવવા માટે આને પહેલા કન્ડિશનિંગ કરવામાં આવે છે, પછી ગર્ભિત પશ્ચાદવર્તી વિતરણની ગણતરી કરવામાં આવે છે. "ચતુર્ભુજ" નામ એ હકીકત પરથી આવ્યું છે કે પશ્ચાદવર્તી અર્થ કેટલીકવાર ચતુર્ભુજ નિયમનું સ્વરૂપ લે છે, જેનું વજન અગાઉની પસંદગી દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. ગૌસીયન પ્રક્રિયાઓ સાથે બાયસીયન ચતુર્ભુજ માટે પૂર્વ વિતરણની સૌથી સામાન્ય પસંદગી ગૌસીયન પ્રક્રિયા છે કારણ કે આ સંયુગ્મિત અનુમાનને બંધ-સ્વરૂપ પશ્ચાદવર્તી વિતરણ મેળવવા માટે પરવાનગી આપે છે. ધારો કે આપણી પાસે પ્રીઅર મીન ફંક્શન અને કોવેરિયન્સ ફંક્શન (અથવા કર્નલ ફંક્શન) સાથે ગૌસીયન પ્રક્રિયા છે. પછી, પશ્ચાદવર્તી વિતરણ એક ગૌસીયન પ્રક્રિયા છે જેમાં સરેરાશ અને કર્નલઃ ક્યાં, અને દ્વારા આપવામાં આવે છે. વધુમાં, પશ્ચાદવર્તી વિતરણ એ સરેરાશ અને ભિન્નતા સાથે અવિભાજ્ય ગૌસીયન વિતરણ છે જે કાર્ય દ્વારા આપવામાં આવે છે. ખાસ કરીને, નોંધ લો કે પશ્ચાદવર્તી સરેરાશ વજન સાથેનો ચતુર્ભુજ નિયમ છે અને પશ્ચાદવર્તી ભિન્નતા વપરાશકર્તાની કિંમત પરની અનિશ્ચિતતાનું પ્રમાણ પ્રદાન કરે છે. વધુ પડકારજનક એકીકરણ સમસ્યાઓમાં, જ્યાં પૂર્વ વિતરણ પર મહામારીની અનિશ્ચિતતાની અર્થપૂર્ણ રજૂઆત તરીકે આધાર રાખી શકાતો નથી, ત્યાં ઉદાહરણ તરીકે, મહત્તમ સંભાવના અંદાજનો ઉપયોગ કરીને કર્નલ હાયપરપેરામીટર્સને સેટ કરવા માટે ડેટાનો ઉપયોગ કરવો જરૂરી છે. કર્નલ હાયપરપેરામીટર્સનો અંદાજ બાયેસિયન ચતુર્ભુજમાં અનુકૂલનશીલતાનો પરિચય આપે છે. ઉદાહરણ સરળતા અને સહસંબંધ લંબાઈના મેટર્ન સહપ્રસરણ કાર્ય સાથે અગાઉ શૂન્ય-અર્થ ગૌસીયન પ્રક્રિયા પર આધારિત બાયેસિયન ચતુર્ભુજ નિયમનો ઉપયોગ કરીને સંકલનના અંદાજનો વિચાર કરો. આ સહપ્રસરણ કાર્ય એ છે કે તે ગણતરી કરવી સીધી છે (જોકે કંટાળાજનક છે) કે બાયેસિયન ચતુર્ભુજ બિંદુના અંદાજ અને પશ્ચાદવર્તી દળની સાંદ્રતાના કન્વર્જન્સ, જેમ કે સચોટ અભિન્નની આસપાસ માપવામાં આવે છે, જેમ કે વધુને વધુ બિંદુઓ પર મૂલ્યાંકન કરવામાં આવે છે તે સાથેના એનિમેશનમાં પ્રદર્શિત થાય છે. ફાયદા અને ગેરફાયદા બાયેસિયન ચતુર્ભુજ એ સંભવિત આંકડાનું ઉદાહરણ હોવાથી, તે પરંપરાગત આંકડાકીય એકીકરણ પદ્ધતિઓની તુલનામાં ચોક્કસ ફાયદાઓ મેળવે છેઃ તે અનિશ્ચિતતાને સંખ્યાત્મક ભૂલની અસરને સ્પષ્ટ રીતે મોડેલ કરવા માટે અનુગામી તમામ ગણતરીઓ દ્વારા માપવા અને પ્રચાર કરવાની મંજૂરી આપે છે. તે અગાઉના વિતરણોની વિવેકપૂર્ણ પસંદગીનો ઉપયોગ કરીને પૂર્વ જ્ઞાનનો સમાવેશ કરવાની સૈદ્ધાંતિક રીત પ્રદાન કરે છે, જે હમણાં વર્ણવેલ પ્રમાણભૂત ગૌસીયન પ્રક્રિયાની તુલનામાં વધુ વ્યવહારદક્ષ હોઈ શકે છે. તે માહિતીના વધુ કાર્યક્ષમ ઉપયોગની મંજૂરી આપે છે, દા. ત. વ્યાજની બહુવિધ સંબંધિત માત્રાનું સંયુક્ત રીતે અનુમાન લગાવવું અથવા જરૂરી પોઈન્ટની સંખ્યા ઘટાડવા માટે સક્રિય શિક્ષણનો ઉપયોગ કરવો. આ ગુણ હોવા છતાં, બાયેસિયન ચતુર્ભુજ પદ્ધતિઓ નીચેની મર્યાદાઓ ધરાવે છેઃ જોકે બાયેસિયન નમૂનારૂપ અનિશ્ચિતતાના જથ્થાની સૈદ્ધાંતિક સારવારને મંજૂરી આપે છે, તેમ છતાં પશ્ચાદવર્તી અનુમાન હંમેશા શોધી શકાય તેવું નથી, તેથી બીજા-સ્તરના અંદાજની જરૂર પડે છે. ઇ. જી. ગૌસીયન પ્રક્રિયાઓ સાથેના બાયસીયન ચતુર્ભુજ માટે, સામાન્ય કર્નલ અને માપ માટે કર્નલ મીન એમ્બેડિંગમાં કોઈ બંધ-સ્વરૂપ અભિવ્યક્તિ નથી. ગૌસીયન પ્રક્રિયાઓ પર આધારિત બાયેસિયન ચતુર્ભુજ પદ્ધતિઓની ગણતરીની કિંમત સામાન્ય રીતે ઊંધી મેટ્રિસીસની કિંમતને કારણે હોય છે, જે મોટા પાયે સમસ્યાઓ માટે તેમની અરજીઓને અવગણી શકે છે. એલ્ગોરિધમિક ડિઝાઇન પ્રાયર ડિસ્ટ્રિબ્યુશન સૌથી વધુ ઉપયોગમાં લેવાતી અગાઉની પ્રક્રિયા ગૌસીયન પ્રક્રિયા છે. આ મુખ્યત્વે ગૌસીયન સંયોગ દ્વારા પૂરા પાડવામાં આવેલા લાભને કારણે છે અને હકીકત એ છે કે ગૌસીયન પ્રક્રિયાઓ અગાઉના સહપરિવર્તનની સાવચેતીપૂર્વક પસંદગી દ્વારા સરળતા, સમયાંતરે અને અસ્પષ્ટતા સહિત અગાઉના જ્ઞાનની વિશાળ શ્રેણીને એન્કોડ કરી શકે છે. જો કે, સંખ્યાબંધ અન્ય અગાઉના વિતરણોની પણ દરખાસ્ત કરવામાં આવી છે. આમાં મલ્ટી-આઉટપુટ ગૌસીયન પ્રક્રિયાઓનો સમાવેશ થાય છે, જે એક સાથે અથવા ક્રમિક રીતે બહુવિધ સંબંધિત આંકડાકીય એકીકરણ કાર્યોનો સામનો કરતી વખતે ખાસ કરીને ઉપયોગી છે, અને વૃક્ષ-આધારિત પ્રાયોર જેમ કે બાયેસિયન એડિટિવ રીગ્રેસન ટ્રી, જે અસંગત માટે સારી રીતે અનુકૂળ છે. વધુમાં, એકીકરણના પગલા માટે ડિરીક્લેટ પ્રક્રિયાઓની પ્રાથમિકતાઓ પણ પ્રસ્તાવિત કરવામાં આવી છે. બિંદુની પસંદગી બિંદુઓને કાં તો આપવામાં આવે તેવું માનવામાં આવે છે, અથવા પસંદ કરી શકાય છે જેથી વધુ ઝડપી દરે પાછળનું ધ્યાન કેન્દ્રિત થાય તેની ખાતરી કરી શકાય. એક અભિગમમાં અન્ય ચતુર્ભુજ નિયમોમાંથી બિંદુ સમૂહોનો ઉપયોગ કરવાનો સમાવેશ થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, મોન્ટે કાર્લો માટે બાયેસિયન અભિગમમાંથી સ્વતંત્ર અને સમાન રીતે વિતરિત અનુભૂતિઓ લેવાથી, જ્યારે લો-ડિસ્ક્રિપેન્સી સિક્વન્સ અથવા લેટીસ જેવા ચોક્કસ નિર્ધારક બિંદુ સમૂહોનો ઉપયોગ કરીને અર્ધ-મોન્ટે કાર્લોના બાયેસિયન વિકલ્પને પુનઃપ્રાપ્ત કરે છે. ખાસ કરીને બાયેસિયન ચતુર્ભુજ માટે રચાયેલ બિંદુ સમૂહોનો ઉપયોગ કરવો પણ શક્ય છે; ઉદાહરણ તરીકે જુઓ કે માપનીય બાયેસિયન ચતુર્ભુજ અંદાજકો મેળવવા માટે બિંદુ સમૂહમાં સમપ્રમાણતાનો ઉપયોગ કોણે કર્યો. વૈકલ્પિક રીતે, સક્રિય શિક્ષણ અને બાયેસિયન પ્રાયોગિક ડિઝાઇનના સિદ્ધાંતોને અનુસરીને અનુકૂલનશીલ રીતે બિંદુઓની પસંદગી પણ કરી શકાય છે, જેથી બહુ-આઉટપુટ ગૌસીયન પ્રક્રિયાઓ સહિત પશ્ચાદવર્તી અનિશ્ચિતતાને સીધી ઘટાડી શકાય. કર્નલ મીન અને પ્રારંભિક ભૂલ બાયેસિયન ક્વાડ્રેચરનો અમલ કરતી વખતે એક પડકાર એ છે કે કાર્ય અને અચળાંકનું મૂલ્યાંકન કરવાની જરૂર છે. પહેલાને સામાન્ય રીતે કર્નલ મીન કહેવામાં આવે છે, અને તે એક જથ્થો છે જે કર્નલ આધારિત અંતરની ગણતરી માટે ચાવીરૂપ છે જેમ કે મહત્તમ સરેરાશ વિસંગતતા. બાદમાં સામાન્ય રીતે પ્રારંભિક ભૂલ કહેવામાં આવે છે કારણ કે તે કોઈપણ કાર્ય મૂલ્યો અવલોકન કરવામાં આવે તે પહેલાં એકીકરણ ભૂલ પર ઉપલા બાઉન્ડ પ્રદાન કરે છે. કમનસીબે, કર્નલ મીન અને પ્રારંભિક ભૂલની ગણતરી માત્ર થોડી સંખ્યામાં જોડીઓ માટે કરી શકાય છે; ઉદાહરણ તરીકે કોષ્ટક 1 જુઓ. બાયેસિયન ચતુર્ભુજ માટે સંખ્યાબંધ સૈદ્ધાંતિક બાંયધરીઓ મેળવવામાં આવી છે. આને સામાન્ય રીતે સંકલનના સોબોલેવ સુગમતા ગુણધર્મોની જરૂર પડે છે, જો કે તાજેતરનું કાર્ય ગૌસીયન કર્નલના પુનઃઉત્પાદન કર્નલ હિલ્બર્ટ જગ્યામાં એકીકરણ સુધી પણ વિસ્તરે છે. મોટાભાગના પરિણામો મોન્ટે કાર્લો અથવા નિર્ધારક ગ્રીડ પોઇન્ટ સેટના કિસ્સામાં લાગુ પડે છે, પરંતુ કેટલાક પરિણામો અનુકૂલનશીલ ડિઝાઇન સુધી પણ વિસ્તરે છે. સોફ્ટવેર પ્રોબનમઃ પાયથોનમાં સંભવિત આંકડાકીય પદ્ધતિઓ, જેમાં બાયેસિયન ચતુર્ભુજ અમલીકરણનો સમાવેશ થાય છે. ઇમુકિટઃ પાયથોનમાં અનિશ્ચિતતા હેઠળ અનુકરણ અને નિર્ણય લેવો. ક્યૂ. એમ. સી. પી. વાય.: પાયથોનમાં ક્યૂ. એમ. સી. બિંદુ સમૂહો સાથે બાયેસિયન ચતુર્ભુજ. સંદર્ભો આંકડાકીય એકીકરણ (ચતુર્ભુજ) બાયેસિયન અનુમાન