Klein–Kramers equation
ભૌતિકશાસ્ત્ર અને ગણિતમાં, ક્લેઇન-ક્રેમર્સ સમીકરણ અથવા કેટલીકવાર ક્રેમર્સ-ચંદ્રશેખર સમીકરણ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે તે આંશિક વિભેદક સમીકરણ છે જે તબક્કાની જગ્યામાં બ્રાઉનિયન કણોની સંભાવના ઘનતા કાર્યનું વર્ણન કરે છે. તે ફોકર-પ્લાન્ક સમીકરણનો એક વિશેષ કેસ છે. એક અવકાશી પરિમાણમાં, તે ત્રણ સ્વતંત્ર ચલોનું કાર્ય છેઃ સ્કેલર્સ, અને. આ કિસ્સામાં, ક્લેઇન-ક્રેમર્સ સમીકરણ એ છે કે જ્યાં બાહ્ય પોટેન્શિયલ છે, કણ સમૂહ છે, ઘર્ષણ (ખેંચાણ) ગુણાંક છે, તાપમાન છે, અને બોલ્ટઝમેન અચળાંક છે. અવકાશી પરિમાણોમાં, સમીકરણ અહીં છે અને અને ના સંદર્ભમાં ગ્રેડિયન્ટ ઓપરેટર છે, અને તેના સંદર્ભમાં લાપ્લેસીયન છે. અપૂર્ણાંક ક્લેઈન-ક્રેમર્સ સમીકરણ એ એક સામાન્યીકરણ છે જે અપૂર્ણાંક કલન દ્વારા વિસંગત પ્રસરણનો સમાવેશ કરે છે. ભૌતિક આધાર ક્લેઈન-ક્રેમર્સ સમીકરણ અંતર્ગત ભૌતિક મોડેલ એક અન્ડરડેમ્પ્ડ બ્રાઉનિયન કણનું છે. પ્રમાણભૂત બ્રાઉનિયન ગતિથી વિપરીત, જે ઓવરડેમ્પ્ડ હોય છે, અન્ડરડેમ્પ્ડ બ્રાઉનિયન ગતિ ઘર્ષણને મર્યાદિત માને છે, જે કિસ્સામાં વેગ સ્વતંત્રતાની સ્વતંત્ર ડિગ્રી રહે છે. ગાણિતિક રીતે, કણની સ્થિતિ તેની સ્થિતિ અને વેગ દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે, જે લેંગ્વિન સમીકરણો અનુસાર સમય સાથે વિકસિત થાય છે. આ સમીકરણો ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમને અનુરૂપ છે, પરંતુ ઘોંઘાટના કારણે આ શબ્દ નિર્ધારકને બદલે સ્ટોકેસ્ટિક ("રેન્ડમ") છે. ગતિશીલતાને સંભાવના ઘનતા કાર્યની દ્રષ્ટિએ પણ વર્ણવી શકાય છે, જે સમયે, સ્થિતિ પર અને વેગ સાથે કણ શોધવાની સંભાવના આપે છે. લેંગ્વિન સમીકરણોમાંથી સ્ટોકેસ્ટિક માર્ગ પર સરેરાશ કરીને, ક્લેઈન-ક્રેમર્સ સમીકરણનું પાલન કરવાનું દર્શાવી શકાય છે. મુક્ત અવકાશમાં ઉકેલ-પરિમાણીય મુક્ત-અવકાશ સમસ્યા બળને શૂન્યની બરાબર સુયોજિત કરે છે, અને તે ક્ષય પરના ઉકેલોને અનંત સમયે 0 એટલે કે, તરીકે ધ્યાનમાં લે છે. બિંદુ-સ્રોત પ્રારંભિક સ્થિતિ સાથે 1D મુક્ત-જગ્યા સમસ્યા માટે, ઉકેલ કે જે દ્વિભિન્ન ગૌસીયન છે અને સુબ્રમણ્યન ચંદ્રશેખર દ્વારા 1943 માં હલ કરવામાં આવ્યો હતો (જેમણે સંભવિતતાની હાજરીમાં સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે સામાન્ય પદ્ધતિ પણ ઘડી હતી): જ્યાં આ વિશેષ ઉકેલને ગ્રીન્સ ફંક્શન તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે, અને તેનો ઉપયોગ સામાન્ય ઉકેલ બનાવવા માટે થઈ શકે છે, એટલે કે, સામાન્ય પ્રારંભિક પરિસ્થિતિઓ માટેનો ઉકેલઃ તેવી જ રીતે, બિંદુ-સ્રોત પ્રારંભિક સ્થિતિ સાથે 3D મુક્ત-જગ્યા સમસ્યાનો ઉકેલ સાથે, અને 1D ઉકેલ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. એસિમ્પ્ટોટિક વર્તણૂક અમુક પરિસ્થિતિઓમાં, ફ્રી-સ્પેસ ક્લેઈન-ક્રેમર્સ સમીકરણનો ઉકેલ પ્રસરણ પ્રક્રિયાની જેમ એસિમ્પ્ટોટિક રીતે વર્તે છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો પછી ઘનતા સંતોષે છે કે પ્રસરણ સમીકરણ માટે ફ્રી-સ્પેસ ગ્રીનનું કાર્ય ક્યાં છે. ક્લેઇન-ક્રેમર્સ સમીકરણનું 1D, સમય-સ્વતંત્ર, બળ-મુક્ત () સંસ્કરણ અર્ધ-અનંત અથવા બંધાયેલ ક્ષેત્ર પર ચલને અલગ કરીને ઉકેલી શકાય છે. ઉકેલ સામાન્ય રીતે સીમા સ્તર વિકસાવે છે જે અવકાશમાં ઝડપથી બદલાય છે અને સીમા પર જ બિન-વિશ્લેષણાત્મક હોય છે. સારી રીતે દર્શાવેલી સમસ્યા ક્ષેત્રના માત્ર અડધા ભાગ પર સીમા માહિતી સૂચવે છેઃ ડાબી સીમા પર હકારાત્મક અડધો ભાગ () અને જમણી બાજુએ નકારાત્મક અડધો ભાગ (). પર વ્યાખ્યાયિત અર્ધ-અનંત સમસ્યા માટે, સીમા શરતો આ રીતે આપી શકાય છેઃ કેટલાક કાર્ય માટે. બિંદુ-સ્રોત સીમા સ્થિતિ માટે, ઉકેલ અનંત સરવાળા અને ઉત્પાદનોની દ્રષ્ટિએ ચોક્કસ અભિવ્યક્તિ ધરાવે છેઃ અહીં, ક્લેઈન-ક્રેમર્સ સમીકરણના બિન-પરિમાણીય સંસ્કરણ માટે પરિણામ જણાવવામાં આવ્યું છેઃ આ રજૂઆતમાં, લંબાઈ અને સમયને અને ના એકમોમાં માપવામાં આવે છે, જેમ કે અને બંને પરિમાણહીન હોય છે. જો સીમાની સ્થિતિ છે, ક્યાં, તો ઉકેલ એ છે કે જ્યાં આ પરિણામ વીનર-હોફ પદ્ધતિ દ્વારા મેળવી શકાય છે. જો કે, અભિવ્યક્તિનો વ્યવહારુ ઉપયોગ શ્રેણીના ધીમા અભિસરણ દ્વારા મર્યાદિત છે, ખાસ કરીને 0 ની નજીકના મૂલ્યો માટે. ફોકર-પ્લાન્ક સમીકરણ ઓર્ન્સ્ટીન-ઉહ્લેનબેક પ્રક્રિયા વીનર પ્રક્રિયા રેખીય પરિવહન સિદ્ધાંત ન્યુટ્રોન પરિવહન સંદર્ભો આંશિક વિભેદક સમીકરણો પણ જુઓ.