Quaternion estimator algorithm
ક્વાટર્નિયન એસ્ટિમેટર અલ્ગોરિધમ (ક્યુ. યુ. ઇ. એસ. ટી.) એ વહાબાની સમસ્યાને ઉકેલવા માટે રચાયેલ એક અલ્ગોરિધમ છે, જેમાં દરેક પ્રણાલીમાં નમૂના લેવામાં આવેલા અવલોકનોના બે સમૂહોમાંથી અનુક્રમે બે સંકલન પ્રણાલીઓ વચ્ચે પરિભ્રમણ મેટ્રિક્સ શોધવાનો સમાવેશ થાય છે. અલ્ગોરિધમ પાછળનો મુખ્ય વિચાર વાહબાની સમસ્યા માટે લોસ ફંક્શનની અભિવ્યક્તિને દ્વિઘાત સ્વરૂપ તરીકે શોધવાનો છે, જેમાં કેલી-હેમિલ્ટન પ્રમેય અને ન્યૂટન-રેફસન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને આઈગનવેલ્યુ સમસ્યાને અસરકારક રીતે હલ કરવા અને ઉકેલની આંકડાકીય રીતે સ્થિર રજૂઆતની રચના કરવી. કમ્પ્યુટર સાયન્સ કોર્પોરેશનમાં કામ કરતી વખતે 1981માં માલ્કમ ડી. શુસ્ટર દ્વારા અલ્ગોરિધમ રજૂ કરવામાં આવ્યું હતું. ડેવનપોર્ટની ક્યૂ પદ્ધતિ અથવા એકવચન મૂલ્ય વિઘટન જેવી અન્ય પદ્ધતિઓ કરતાં સિદ્ધાંતમાં ઓછી મજબૂત હોવા છતાં, એલ્ગોરિધમ વ્યવહારુ કાર્યક્રમોમાં નોંધપાત્ર રીતે ઝડપી અને વિશ્વસનીય છે, અને તેનો ઉપયોગ રોબોટિક્સ અને એવિઓનિક્સ જેવા ક્ષેત્રોમાં વલણ નિર્ધારણ સમસ્યા માટે થાય છે. વાહબાની સમસ્યાની રચનામાં પરિભ્રમણ મેટ્રિક્સ શોધવાનો સમાવેશ થાય છે જે નુકસાન કાર્યને ઘટાડે છે જ્યાં સંદર્ભ ફ્રેમમાં વેક્ટર અવલોકનો છે, બોડી ફ્રેમમાં વેક્ટર અવલોકનો છે, બે ફ્રેમ વચ્ચે પરિભ્રમણ મેટ્રિક્સ છે, અને વજનનો સમૂહ છે. આને એવી રીતે વ્યાખ્યાયિત ગેઇન ફંક્શનની મહત્તમ સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખવું શક્ય છે કે જ્યારે મહત્તમ કરવામાં આવે ત્યારે નુકસાન ઓછામાં ઓછું પ્રાપ્ત થાય. લાભને બદલામાં ફરીથી લખી શકાય છે જ્યાં વલણ રૂપરેખા મેટ્રિક્સ તરીકે ઓળખાય છે. ચલની સંખ્યાને ઘટાડવા માટે, વેક્ટર ભાગ અને સ્કેલર ભાગ સાથે એકમ ચતુર્થાંશ તરીકે પરિભ્રમણને પરિમાણિત કરીને સમસ્યાને ફરીથી ગોઠવી શકાય છે, જે અક્ષની આસપાસ કોણના પરિભ્રમણને રજૂ કરે છે, જેની દિશા વેક્ટર દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે, જે એકતા અવરોધને આધિન છે. હવે ક્વાટર્નિયન પરિમાણની દ્રષ્ટિએ વ્યક્ત કરવું શક્ય છે કારણ કે સ્ક્યુ-સિમેટ્રિક મેટ્રિક્સ ક્યાં છે. ક્વાટર્નિયન રજૂઆત સાથે બદલીને અને પરિણામી અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવતા, ગેઇન ફંક્શનને દ્વિઘાત સ્વરૂપ તરીકે લખી શકાય છે જ્યાં મેટ્રિક્સને માત્રામાંથી વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે આ દ્વિઘાત સ્વરૂપને એકતાના અવરોધ હેઠળ લેગ્રેન્જ ગુણક ઉમેરીને ઑપ્ટિમાઇઝ કરી શકાય છે, એક અનિયંત્રિત ગેઇન ફંક્શન પ્રાપ્ત કરે છે જે મહત્તમ ક્યારે પ્રાપ્ત કરે છે. આ સૂચવે છે કે શ્રેષ્ઠ પરિભ્રમણને ક્વાટર્નિયન દ્વારા પરિમાણિત કરવામાં આવે છે જે સૌથી મોટા આઈગન વેલ્યુ સાથે સંકળાયેલ આઈગનવેક્ટર છે. લાક્ષણિક સમીકરણનો ઉકેલ શ્રેષ્ઠ ચતુર્થાંશને સૌથી મોટા આઈગન વેલ્યુ માટે આઈગનવેક્ટરના લાક્ષણિક સમીકરણને હલ કરીને અને તેનું નિર્માણ કરીને નક્કી કરી શકાય છે. ની વ્યાખ્યા પરથી, બે સમીકરણોની પ્રણાલી તરીકે ફરીથી લખવું શક્ય છે જ્યાં રોડ્રિગ્સ વેક્ટર છે. બીજા સમીકરણમાં પ્રથમને બદલીને, લાક્ષણિક સમીકરણની અભિવ્યક્તિ મેળવવી શક્ય છે. કારણ કે, તે તેને અનુસરે છે અને તેથી શ્રેષ્ઠ ઉકેલ માટે (જ્યારે નુકસાન ઓછું હોય). આ રોડ્રિગ્સ વેક્ટરમાં બદલીને શ્રેષ્ઠ ચતુર્થાંશ બનાવવાની મંજૂરી આપે છે. જોકે વેક્ટર માટે એકવચન છે. રોડ્રિગ્સ વેક્ટરનો સમાવેશ ન કરતા ઉકેલની વૈકલ્પિક અભિવ્યક્તિ કેલે-હેમિલ્ટન પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને બનાવી શકાય છે. મેટ્રિક્સનું લાક્ષણિક સમીકરણ એ છે કે જ્યાં કેલે-હેમિલ્ટન પ્રમેય જણાવે છે કે પરિવર્તનીય રિંગ પરનો કોઈપણ ચોરસ મેટ્રિક્સ તેના પોતાના લાક્ષણિક સમીકરણને સંતોષે છે, તેથી ક્યાં અને આ માટે શ્રેષ્ઠ વેક્ટરની નવી રચના પ્રદાન કરે છે જે શ્રેષ્ઠ પરિભ્રમણની સંયુક્ત ચતુર્થાંશ રજૂઆત આપે છે. નું મૂલ્ય લાક્ષણિક સમીકરણના આંકડાકીય ઉકેલ તરીકે નક્કી કરી શકાય છે. અગાઉ મેળવેલા લાક્ષણિક સમીકરણની અંદર બદલી રહ્યા છીએ. ન્યુટન-રૅફસન પદ્ધતિ દ્વારા જેનું મૂળ અસરકારક રીતે અંદાજિત કરી શકાય છે તે આપે છે, જેમાં 1 ને ઉકેલના પ્રારંભિક અનુમાન તરીકે લઈને સૌથી વધુ આઈગન વેલ્યુ (ઉપર બતાવેલ હકીકતનો ઉપયોગ કરીને, કે જ્યારે ચતુર્થાંશ શ્રેષ્ઠ ઉકેલની નજીક હોય) માં રૂપાંતરિત થાય છે. ટ્રાયડ પદ્ધતિ પણ જુઓ વાહબાની સમસ્યા સંદર્ભો સ્ત્રોતો બાહ્ય કડીઓ ત્રણ પરિમાણોમાં પરિભ્રમણ અવકાશયાન વલણ નિયંત્રણ