Neuberg cubic
યુક્લિડિયન ભૂમિતિમાં, ન્યુબર્ગ ઘન એ એક વિશિષ્ટ ઘન સમતલ વળાંક છે જે ઘણા નોંધપાત્ર ગુણધર્મો સાથે સંદર્ભ ત્રિકોણ સાથે સંકળાયેલ છે. તેનું નામ જોસેફ જીન બાપ્ટિસ્ટ ન્યુબર્ગ (30 ઓક્ટોબર 1840-22 માર્ચ 1926) ના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે, જે લક્ઝમબર્ગના ગણિતશાસ્ત્રી હતા, જેમણે 1884માં પ્રકાશિત થયેલા પેપરમાં પ્રથમ વખત વળાંક રજૂ કર્યો હતો. બર્નાર્ડ ગિલ્બર્ટના કેટલોગ ઓફ ટ્રાયેન્ગલ ક્યુબિક્સમાં ઓળખ નંબર K001 સાથે વળાંક પ્રથમ વસ્તુ તરીકે દેખાય છે, જે 1200 થી વધુ ત્રિકોણ ક્યુબિક્સ વિશેની વ્યાપક માહિતીનું સંકલન છે. વ્યાખ્યાઓ ન્યુબર્ગ ઘનને ઘણી અલગ અલગ રીતે લોકસ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. એક રીત એ છે કે તેને સંદર્ભ ત્રિકોણના સમતલમાં એક બિંદુના સ્થાન તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જેમ કે, જો ત્રિકોણની બાજુના પ્રતિબિંબો હોય, તો રેખાઓ સહવર્તી હોય છે. જો કે, તે સાબિત કરવાની જરૂર છે કે આ રીતે વ્યાખ્યાયિત લોકસ ખરેખર ઘન વળાંક છે. બીજી રીત એ છે કે તેને બિંદુના સ્થાન તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવી જેથી જો ત્રિકોણના પરિઘ કેન્દ્રો હોય, તો રેખાઓ સહવર્તી હોય. બીજી રીત એ છે કે તેને ચતુષ્કોણ અનોલ્યુટિફ્સ તરીકે ઓળખાતા નીચેના ગુણધર્મને સંતોષવાના સ્થાન તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવું (આ તે રીત હતી જેમાં ન્યુબર્ગે વળાંક રજૂ કર્યો હતો): સમીકરણ ચાલો સંદર્ભ ત્રિકોણની બાજુની લંબાઈ હોઈએ. પછી બેરિસેન્ટ્રીક કોઓર્ડિનેટ્સમાં ન્યુબર્ગ ક્યુબિકનું સમીકરણ અન્ય પરિભાષા છેઃ 21-બિંદુ વળાંક, 37-બિંદુ વળાંક જૂના સાહિત્યમાં ન્યુબર્ગ વળાંકને સામાન્ય રીતે 21-બિંદુ વળાંક તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. આ પરિભાષા ન્યુબર્ગ દ્વારા શોધાયેલ વળાંકના ગુણધર્મનો ઉલ્લેખ કરે છે કે તે સંદર્ભ ત્રિકોણ સાથે સંકળાયેલા અમુક વિશેષ 21 બિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે. સંદર્ભ ત્રિકોણ છે એમ ધારીએ તો, 21 બિંદુઓ નીચે સૂચિબદ્ધ છે. શિરોબિંદુઓ વિરુદ્ધ બાજુએ શિરોબિંદુઓનું પ્રતિબિંબ ભ્રમણકક્ષા ત્રણ બિંદુઓ જ્યાં જોડાતી રેખામાં A નું પ્રતિબિંબ હોય છે અને જ્યાં સાથે લંબ દ્વિભાજકનું આંતરછેદ હોય છે અને તે સાથે લંબ દ્વિભાજકનું આંતરછેદ હોય છે; અને તે જ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે ત્રિકોણની બાજુઓ પર બાંધવામાં આવેલા સમબાહુ ત્રિકોણના છ શિરોબિંદુઓ ત્રિકોણ કેન્દ્રોના જ્ઞાનકોશમાં બે સમસ્થાનિક કેન્દ્રો (બિંદુઓ X (13) અને X (14)) બે સમસ્થાનિક બિંદુઓ (બિંદુઓ X (15) અને X (16) ત્રિકોણ કેન્દ્રોના જ્ઞાનકોશમાં) જોડાયેલ આકૃતિ ત્રિકોણના ન્યુબર્ગ ઘનને દર્શાવે છે. 1925માં પ્રકાશિત થયેલા એક પેપરમાં, બી. એચ. બ્રાઉને ન્યુબર્ગ ક્યુબિક પર 16 વધારાના વિશેષ બિંદુઓની શોધની જાણ કરી હતી, જે ક્યુબિક પર તે સમયે જાણીતા વિશેષ બિંદુઓની કુલ સંખ્યા 37 બનાવે છે. આ કારણે, ન્યુબર્ગ ક્યુબિકને કેટલીકવાર 37-પોઇન્ટ ક્યુબિક તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે. હાલમાં, ન્યુબર્ગ ઘન પર મોટી સંખ્યામાં વિશેષ બિંદુઓ આવેલા હોવાનું જાણીતું છે. ગિલ્બર્ટ્સ કેટલોગમાં આવા વિશેષ બિંદુઓની સૂચિને સમર્પિત એક વિશેષ પૃષ્ઠ છે જે ત્રિકોણ કેન્દ્રો પણ છે. ગોળાકાર ઘન તરીકે ન્યુબર્ગ ઘનના કેટલાક ગુણધર્મો સંદર્ભ ત્રિકોણના સમતલમાં અનંત પર રેખાના ત્રિકોણીય કોઓર્ડિનેટ્સમાં સમીકરણ એ છે કે આ રેખા પર બે વિશેષ બિંદુઓ છે જેને અનંત પર ગોળાકાર બિંદુઓ કહેવાય છે. ત્રિકોણના સમતલમાં દરેક વર્તુળ આ બે બિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે અને દરેક શંકુ જે આ બિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે તે એક વર્તુળ છે. આ બિંદુઓના ત્રિકોણીય કોઓર્ડિનેટ્સ ક્યાં છે. કોઈપણ ઘન વળાંક જે અનંત સમયે બે ગોળાકાર બિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે તેને ગોળાકાર ઘન કહેવામાં આવે છે. ન્યુબર્ગ ઘન એક ગોળાકાર ઘન છે. ન્યુબર્ગ ક્યુબિક એક મુખ્ય આઇસોગોનલ ક્યુબિક તરીકે ત્રિકોણના સંદર્ભમાં બિંદુનું આઇસોગોનલ સંયુગ્મ એ અનુક્રમે ખૂણા દ્વિભાજકની આસપાસની રેખાઓના પ્રતિબિંબની સુસંગતતા છે. ના આઇસોગોનલ સંયુગ્મને કેટલીકવાર દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. નો આઇસોગોનલ કોન્જુગેટ છે. સ્વ-સમદ્વિબાહુ ઘન એ ત્રિકોણ ઘન છે જે સમદ્વિબાહુ જોડાણ હેઠળ અપરિવર્તનશીલ હોય છે. મુખ્ય આઇસોગોનલ ક્યુબિક એ ક્યુબિક છે જેમાં ક્યુબિક પર આવેલા બિંદુઓ અને તેમના આઇસોગોનલ સંયોજનો નિશ્ચિત બિંદુ સાથે સમરેખીય હોય છે જેને ક્યુબિકના ધરી બિંદુ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. ન્યુબર્ગ ક્યુબિક એ એક મુખ્ય આઇસોગોનલ ક્યુબિક છે જે અનંત રેખા સાથે યુલર રેખાના આંતરછેદ પર તેની ધરી ધરાવે છે. કિમ્બર્લિંગના ત્રિકોણ કેન્દ્રોના જ્ઞાનકોશમાં, આ બિંદુને X (30) દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. પિવોટોલ ઓર્થોક્યુબિક તરીકે ન્યુબર્ગ ક્યુબિક ચાલો ત્રિકોણના સમતલમાં એક બિંદુ હોઈએ. લંબ રેખાઓ અનુક્રમે પ્રતિચ્છેદ કરે છે અને આ બિંદુઓ એક રેખા પર આવેલા છે. ત્રિકોણીય ધ્રુવ હોવો જોઈએ. આઇસોપીવોટલ ક્યુબિક એ ત્રિકોણ ક્યુબિક છે જેનો ગુણધર્મ છે કે ત્યાં એક નિશ્ચિત બિંદુ છે, જેમ કે ક્યુબિક પરના કોઈપણ બિંદુ M માટે, બિંદુઓ કોલિનિયર છે. નિશ્ચિત બિંદુને ઘનનો ઓર્થોપીવોટ કહેવામાં આવે છે. ન્યુબર્ગ ક્યુબિક એ ત્રિકોણના પરિઘ કેન્દ્રમાં ઓર્થોપીવોટ સાથેનો એક ઓર્થોપીવોટલ ક્યુબિક છે. વધુ વાંચન અબ્દિકાદિર અલ્ટિન્ટાસ, ન્યુબર્ગના કેટલાક ગુણધર્મો પર ઘન સંદર્ભો ત્રિકોણ ભૂમિતિ