Zilber–Pink conjecture
ગણિતમાં, ઝિલ્બર-ગુલાબી અનુમાન એ એન્ડ્રે-ઓર્ટ, મેનિન-મમફોર્ડ અને મોર્ડેલ-લેંગ જેવા ઘણા પ્રખ્યાત ડાયોફેન્ટાઇન અનુમાન અને નિવેદનોનું દૂરગામી સામાન્યીકરણ છે. બીજગણિત તોરી અને સેમીબેલિયન જાતો માટે તે બોરિસ ઝિલ્બર દ્વારા અને સ્વતંત્ર રીતે એનરિકો બોમ્બેરી, ડેવિડ મેસર, અમ્બર્ટો ઝેનિયર દ્વારા 2000 ના દાયકાની શરૂઆતમાં પ્રસ્તાવિત કરવામાં આવી હતી. સેમીબેલિયન જાતો માટે અનુમાન મોર્ડેલ-લેંગ અને મેનિન-મફોર્ડ અનુમાન સૂચવે છે. રિચાર્ડ પિંકે શિમુરાની જાતો માટે (ફરીથી સ્વતંત્ર રીતે) વધુ સામાન્ય અનુમાન રજૂ કર્યું હતું, જે એન્ડ્રે-ઓર્ટ અનુમાન પણ સૂચવે છે. બીજગણિત તોરીના કિસ્સામાં, ઝિલ્બરે તેને તોરી (સી. આઈ. ટી.) સાથે આંતરછેદ પરનું અનુમાન કહ્યું હતું. સામાન્ય સંસ્કરણ હવે ઝિલ્બર-ગુલાબી અનુમાન તરીકે ઓળખાય છે. તે આશરે જણાવે છે કે અમુક વિશિષ્ટ જાતો સાથે બીજગણિત વિવિધતાના બિનપરંપરાગત અથવા અસંભવિત આંતરછેદોને મર્યાદિત રીતે ઘણી વિશેષ જાતો દ્વારા ગણવામાં આવે છે. નિવેદન બિનપરંપરાગત અને અસંભવિત આંતરછેદો બે બીજગણિત જાતોના આંતરછેદને બિનપરંપરાગત કહેવામાં આવે છે જો તેનું પરિમાણ અપેક્ષા કરતા મોટું હોય. વધુ ચોક્કસપણે, ત્રણ જાતો આપવામાં આવે તો, આંતરછેદનું એક ઘટક જો માં બિનપરંપરાગત હોવાનું કહેવાય છે. ના અપેક્ષિત પરિમાણ હોવાથી, બિનપરંપરાગત આંતરછેદો "બિનપરંપરાગત રીતે મોટા" હોય છે અને તે થવાની અપેક્ષા નથી. જ્યારે, જાતો અને તે બિલકુલ આંતરછેદ થવાની અપેક્ષા નથી, તેથી જ્યારે તેઓ કરે છે, ત્યારે આંતરછેદ અસંભવિત હોવાનું કહેવાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં બે રેખાઓ છેદે છે, તો તે અસંભવિત આંતરછેદ છે, કારણ કે બે અવ્યવસ્થિત રીતે પસંદ કરેલી રેખાઓ લગભગ ક્યારેય છેદે નહીં. શિમુરાની જાતની ખાસ જાતો અમુક અંકગણિત રીતે વ્યાખ્યાયિત પેટા જાતો છે. તેઓ વિશેષ બિંદુઓની ઉચ્ચ પરિમાણીય આવૃત્તિઓ છે. ઉદાહરણ તરીકે, સેમીબેલિયન જાતોમાં વિશેષ બિંદુઓ વળાંક બિંદુઓ છે અને વિશેષ જાતો વળાંક બિંદુઓ દ્વારા ઇરેડ્યુસિબલ બીજગણિત પેટાજૂથોનું ભાષાંતર છે. મોડ્યુલર સેટિંગમાં વિશિષ્ટ બિંદુઓ એકવચન મોડ્યુલી છે અને વિશેષ જાતો મોડ્યુલર સમીકરણો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત જાતોના ઈરીડ્યુસિબલ ઘટકો છે. મિશ્ર શિમુરાની વિવિધતા અને પેટા વિવિધતાને જોતાં, એક બિનપરંપરાગત પેટા વિવિધતા એ આંતરછેદનું એક બિનપરંપરાગત ઘટક છે જ્યાં એક વિશેષ પેટા વિવિધતા છે. ઝિલ્બર-ગુલાબી અનુમાન મિશ્ર શિમુરા વિવિધતા અથવા અર્ધ-અબેલિયન વિવિધતા પર વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, અને તે એક ઉપ-વિવિધતા છે. પછી તેમાં માત્ર મર્યાદિત રીતે ઘણા મહત્તમ બિનપરંપરાગત પેટા પ્રકારો હોય છે. ઝિલ્બર-ગુલાબી અનુમાનના અબેલિયન અને મોડ્યુલર સંસ્કરણો શિમુરાની જાતો માટેના અનુમાનના વિશેષ કિસ્સાઓ છે, જ્યારે સામાન્ય રીતે અર્ધ-એબેલિયન કેસ નથી. જો કે, સેમીબેલિયન અને શિમુરાની જાતોની વિશેષ પેટા જાતો ઘણા ઔપચારિક ગુણધર્મો ધરાવે છે જે બંને સેટિંગ્સમાં સમાન રચનાને માન્ય બનાવે છે. આંશિક પરિણામો અને વિશેષ કિસ્સાઓ જ્યારે કે ઝિલ્બર-ગુલાબી અનુમાન વ્યાપક રીતે ખુલ્લું છે, ત્યારે ઘણા વિશેષ કિસ્સાઓ અને નબળા સંસ્કરણો સાબિત થયા છે. જો વિવિધતામાં વિશેષ વિવિધતા હોય તો વ્યાખ્યા મુજબ તે એક બિનપરંપરાગત ઉપ-વિવિધતા છે. તેથી, ઝિલ્બર-ગુલાબી અનુમાન સૂચવે છે કે તેમાં માત્ર મર્યાદિત રીતે ઘણા મહત્તમ વિશેષ પેટા પ્રકારો છે. સેમીબેલિયન સેટિંગમાં આ મેનિન-મમ્ફોર્ડ અનુમાન છે અને શિમુરા સેટિંગમાં આન્દ્રે-ઓર્ટ અનુમાન છે. બંને હવે પ્રમેયો છે; પહેલું ઘણા દાયકાઓથી જાણીતું છે, જ્યારે બીજું તાજેતરમાં જ સંપૂર્ણ સામાન્યતામાં સાબિત થયું હતું. ઝિલ્બર-ગુલાબી અનુમાન પર ઘણા આંશિક પરિણામો સાબિત થયા છે. મોડ્યુલર સેટિંગમાં એક ઉદાહરણ એ છે કે કોઈપણ જાતમાં માત્ર મર્યાદિત રીતે ઘણા મહત્તમ મજબૂત રીતે બિનપરંપરાગત પેટા વિવિધતાઓ હોય છે, જ્યાં મજબૂત રીતે બિનપરંપરાગત પેટા વિવિધતા એ કોઈ સતત સંકલન વિનાની બિનપરંપરાગત પેટા વિવિધતા છે. સંદર્ભો વધુ વાંચન ડાયોફેન્ટાઇન ભૂમિતિ અનુમાન