Bohemian matrices
બોહેમિયન મેટ્રિક્સ પરિવાર એ મેટ્રિક્સનો સમૂહ છે જેની મુક્ત એન્ટ્રીઓ એક જ સ્વતંત્ર, સામાન્ય રીતે મર્યાદિત વસ્તીમાંથી આવે છે, જે મેટ્રિક્સ સૂચિ દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. આ ચોક્કસ બોહેમિયન મેટ્રિક્સ પરિવારમાંથી કોઈપણ મેટ્રિક્સનું દરેક ઇનપુટ સમૂહનું એક તત્વ હોવું જરૂરી છે. આ ગુણધર્મો ધરાવતા આવા મેટ્રિસીસને બોહેમિયન મેટ્રિસીસ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. બોહેમિયન મેટ્રિક્સમાં અન્ય રચનાઓ પણ હોઈ શકે છે, જેમ કે ટોપ્લિટ્ઝ મેટ્રિક્સ અથવા ઉપલા હેસેનબર્ગ મેટ્રિક્સ. સામાન્ય રીતે, એક સમયે નિશ્ચિત વસ્તી સાથે માત્ર એક જ બોહેમિયન મેટ્રિક્સ પરિવારનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે, અને તેથી કોઈ પણ આપેલ મેટ્રિક્સને બોહેમિયન તરીકે વર્ગીકૃત કરી શકે છે અથવા નોંધપાત્ર અસ્પષ્ટતા વિના નહીં. એપ્લિકેશન્સ સોફ્ટવેર પરીક્ષણ બોહેમિયન મેટ્રિસીસનો એક સામાન્ય ઉપયોગ રેખીય બીજગણિતમાં લાગુ કરવામાં આવેલા સોફ્ટવેરનું પરીક્ષણ કરવાનો છે. બોહેમિયન મેટ્રિસીસ (સામાન્ય રીતે) કમ્પ્યુટર પર સ્પષ્ટ રીતે રજૂ થાય છે, અને કોઈ પણ વ્યક્તિ સંપૂર્ણ શોધ (નાના પરિમાણો માટે), રેન્ડમ સેમ્પલિંગ અથવા ઓપ્ટિમાઇઝેશન તકનીકો દ્વારા આત્યંતિક વર્તન માટે ઓળખી શકે છે. એક અગ્રણી ઉદાહરણ સ્ટીવન ઇ. થોર્ન્ટન છે, જેમણે બે ટ્રિલિયનથી વધુ આઈગન વેલ્યુ સમસ્યાઓ હલ કરી હતી. આમ કરવાથી, તેમણે કેટલીક લોકપ્રિય સોફ્ટવેર પ્રણાલીઓમાં કન્વર્જન્સ નિષ્ફળતાના ઉદાહરણો શોધી કાઢ્યા. એનીમેટ્રિક્સ એ એક એક્સ્ટેન્સિબલ MATLAB મેટ્રિક્સ સંગ્રહ છે જે બોહેમિયન મેટ્રિક્સના શ્રેષ્ઠ વર્ગોનો સમૂહ મેળવે છે. મેટલેબ ગેલેરીમાં બોહેમિયન મેટ્રિક્સ પર ક્લીવ મોલરની બ્લોગ પોસ્ટ પણ જુઓ. સુધારેલી સીમાઓ 2018 બોહેમિયન મેટ્રિક્સ એન્ડ એપ્લિકેશન્સ વર્કશોપમાં આપવામાં આવેલા એક પ્રવચનમાં, નિક હાઈમે સમજાવ્યું કે કેવી રીતે તેમણે રોક પિવોટિંગ માટે મહત્તમ વૃદ્ધિ પરિબળ પર નીચલી સીમાઓને તીક્ષ્ણ કરવા માટે વસ્તી સાથે બોહેમિયન મેટ્રિક્સ પર આનુવંશિક અલ્ગોરિધમ્સનો ઉપયોગ કર્યો. અન્ય ક્ષેત્રો સાથેના જોડાણ રેન્ડમ મેટ્રિક્સ બોહેમિયન મેટ્રિક્સનો અભ્યાસ રેન્ડમ સેમ્પલિંગ દ્વારા કરી શકાય છે; જ્યારે, આવા અભ્યાસોને રેન્ડમ મેટ્રિક્સના ક્ષેત્રનો ભાગ ગણી શકાય. જો કે, આજની તારીખમાં રેન્ડમ મેટ્રિસીસના અભ્યાસનું મોટાભાગનું ધ્યાન વાસ્તવિક સમપ્રમાણ અથવા હર્મિશિયન મેટ્રિસીસ પર અથવા મેટ્રિસીસના અભ્યાસ પર રહ્યું છે, જેમની એન્ટ્રીઓ સતત વિતરણમાંથી લેવામાં આવે છે, જેમ કે ગૌસીયન એન્સેમ્બલ. નોંધપાત્ર અપવાદોમાં ટેરેન્સ તાઓ અને વેન વુની કૃતિઓનો સમાવેશ થાય છે. બર્નૌલી અને હેડમર્ડ મેટ્રિસીસ માત્ર માંથી એન્ટ્રીઓ સાથે મેટ્રિસીસને કેટલીકવાર બર્નૌલી મેટ્રિસીસ કહેવામાં આવે છે, જે તેથી બોહેમિયન મેટ્રિસીસના ઉદાહરણો છે. હેડમર્ડ મેટ્રિક્સ એ બર્નૌલી મેટ્રિક્સ છે જે વધુ ગુણધર્મને સંતોષે છે, એટલે કે તેનો નિર્ધારક મહત્તમ છે. તેથી, હદામર્ડ મેટ્રિસીસ પણ બોહેમિયન છે. હેડમર્ડ મેટ્રિક્સ (અને ખરેખર બર્નૌલી મેટ્રિક્સ) નો અભ્યાસ "બોહેમિયન મેટ્રિક્સ" નામ અસ્તિત્વમાં છે તેના કરતા ઘણો લાંબો સમય સુધી કરવામાં આવ્યો છે. પરંતુ હડામર્ડ મેટ્રિસીસ વિશે જે પ્રકારના પ્રશ્નો પૂછી શકાય છે (મૂળ પ્રશ્ન એ હતો કે કયા મેટ્રિસીસમાં મહત્તમ નિર્ધારક હોય છે) તે અન્ય બોહેમિયન મેટ્રિસીસ વિશે પણ પૂછી શકાય છે. હદામર્ડ મેટ્રિસીસના પ્રથમ સામાન્યીકરણમાંનું એક તે હતું જેને હવે કેટલીકવાર બુટસન-પ્રકાર હદામર્ડ મેટ્રિસીસ કહેવામાં આવે છે, જેની એન્ટ્રીઓ તેના માટે એકતાના મૂળ છે. આને પ્રોટોટાઇપિકલ બોહેમિયન મેટ્રિસીસ પણ ગણી શકાય. આલેખ સિદ્ધાંતની સમજણ માટે અલગ પ્રવેશો, ખાસ કરીને ઇન્સિડેન્સ મેટ્રિક્સ સાથેના આલેખ સિદ્ધાંત મેટ્રિક્સ નિર્ણાયક છે. આલેખ સિદ્ધાંતના પરિણામોનો ઉપયોગ બોહેમિયન મેટ્રિક્સ પ્રયોગોમાં જોવા મળતી કેટલીક ઘટનાઓને સમજાવવા માટે થઈ શકે છે. તેનાથી વિપરીત, બોહેમિયન મેટ્રિક્સ કામદારો દ્વારા હિમાયત કરવામાં આવેલી શૈલીમાં હાથ ધરવામાં આવેલા કેટલાક પ્રયોગો આલેખ માટે માહિતીપ્રદ હોઈ શકે છે. બોહેમિયન મેટ્રિસીસ હેઠળ પૂર્ણાંક ક્રમના જ્ઞાનકોશમાં સૂચિબદ્ધ ખુલ્લી સમસ્યાઓની નોંધપાત્ર સંખ્યા પ્રકૃતિમાં સંયુક્ત છે. દાખલા તરીકે, A306782 બર્નૌલી મેટ્રિસીસ (એટલે કે, વસ્તી સાથે બોહેમિયન મેટ્રિસીસ) માટે પરિમાણ 5 સુધી અને તેના સહિત અલગ ન્યૂનતમ બહુપદીઓની સંખ્યાનું કોષ્ટક સૂચિબદ્ધ કરે છે. ઉચ્ચ પરિમાણો માટેની સંખ્યાઓ જાણીતી નથી. પરિમાણ 6 ના બર્નૌલી મેટ્રિસીસની સંખ્યા છે; જ્યારે આ સમૂહને સંભવતઃ સંપૂર્ણ રીતે શોધી શકાય છે (તે આનંદકારક રીતે સમાંતર છે), મેટ્રિસીસની સંખ્યાની ઘાતાંકીય વૃદ્ધિ ટૂંક સમયમાં બ્રુટ બળને હરાવે છે. ત્યાં સમપ્રમાણતાઓ છે જેનો લાભ લઈ શકાય છે, જેમ કે શૂન્ય-એક મેટ્રિસીસ માટે કરવામાં આવે છે, પરંતુ આ માટે અત્યાધુનિક સંયોજન જ્ઞાનની જરૂર હોય તેવું લાગે છે. સંખ્યા સિદ્ધાંતવાદીઓએ ખૂબ જ લાંબા સમય સુધી પ્રતિબંધિત ગુણાંક ધરાવતી બહુપદીઓ પર કામ કર્યું છે. દાખલા તરીકે, લિટલવુડ બહુપદીઓમાં ગુણાંક હોય છે જ્યારે તેને એકવિધ ધોરણે વ્યક્ત કરવામાં આવે છે. કર્ટ માહલર આ સમસ્યાથી ચિંતિત હતા, જેમ કે એન્ડ્રુ ઓડલીઝ્કો, બ્યોર્ન પૂનેન અને પીટર બોરવીન હતા. સાથી મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરીને, આ દરેક પ્રતિબંધિત-ગુણાંક બહુપદી સમસ્યાઓને બોહેમિયન મેટ્રિક્સ સમસ્યા ગણી શકાય. જો કે, બોહેમિયન મેટ્રિક્સની લાક્ષણિક બહુપદીમાં એવા ગુણાંક હોઈ શકે છે જે પરિમાણમાં ઝડપથી મોટા હોય છે, તેથી વિપરીત સાચું નથી અને અભ્યાસના આ ક્ષેત્રો સમકક્ષ નથી. દાખલા તરીકે મેજિક સ્ક્વેર્સ સાથે અન્ય જોડાણો છે. ડી. બ્રી સાથે કેથલીન ઓલેરેનશોનું પુસ્તક જુઓ. નીચેનું પેપર સ્પષ્ટપણે બોહેમિયન મેટ્રિસીસને દ્વિઘાત સ્વરૂપો સાથે જોડે છે. બહુપદી સમીકરણોના ઉકેલ બહુપદી મૂળ શોધવા માટે સામાન્ય રીતે ઉપયોગમાં લેવાતી તકનીક એ છે કે તેના માટે સાથી મેટ્રિક્સ બનાવવું અને આઇગનવેલ્યુ શોધવા માટે આંકડાકીય આઇગનવેલ્યુ સોલ્વર્સનો ઉપયોગ કરવો, જે પછી મૂળ બહુપદીના મૂળ છે. આવું કરવું વિરોધાભાસી અને નકામું લાગે છે, પરંતુ તે તદ્દન વ્યવહારુ હોઈ શકે છે. NumPy ના બહુપદી પેકેજની આ મૂળભૂત પદ્ધતિ છે. આ પદ્ધતિ વારંવાર આંકડાકીય રીતે સ્થિર હોય છે, પરંતુ જો બહુપદી ગુણાંક મોટા હોય અથવા બહુપદી અન્યથા ખરાબ સ્થિતિમાં હોય તો કેટલીકવાર તે સારી રીતે કામ કરતું નથી. કેટલીકવાર બોહેમિયન મેટ્રિક્સ પરિવારમાં બહુપદી માટે ન્યૂનતમ ઊંચાઈ સાથી મેટ્રિક્સ શોધીને પરિસ્થિતિ સુધારી શકાય છે. જોકે, આ માટે કોઈ કાર્યક્ષમ સામાન્ય હેતુની તકનીકો જાણીતી નથી. ઇતિહાસ "બોહેમિયન મેટ્રિક્સ" નામ, આ રીતે સમસ્યાઓનું વર્ગીકરણ કરવા માટે ઉપયોગી હોઈ શકે છે તે વિચાર સાથે, ISSAC 2016 દ્વારા છાપવામાં આવ્યું હતું. આ નામ નેમોનિક બુન્ડેડ હાઈટ મેટ્રિક્સ ઓફ ઇન્ટિજર્સ (BOHEMI) પરથી ઊભું થયું છે, જો કે વર્ગીકરણ ત્યારથી બિન-પૂર્ણાંક વસ્તી (ઉદાહરણ તરીકે ગૌસીયન પૂર્ણાંકો સહિત) સહિત અન્ય અલગ વસ્તી સુધી વિસ્તૃત કરવામાં આવ્યું છે. આ વર્ગીકરણ કરવાના વિચારની વ્યાપકતા અને ઉપયોગિતા વધુને વધુ સ્પષ્ટ થઈ રહી છેઃ પ્રથમ નોંધપાત્ર જર્નલ પ્રકાશન હતું, જોકે તે પહેલાં નાના પ્રકાશનો પ્રકાશિત થયા હતા. માર્ચ 2022 સુધીમાં, આ લેખમાં અન્યત્ર ટાંકવામાં આવેલા નામ સિવાય સ્પષ્ટ રીતે નામનો ઉપયોગ કરતા પ્રકાશનોમાં આ વિષય પરની પ્રથમ વર્કશોપ 2018 માં માન્ચેસ્ટર યુનિવર્સિટીમાં યોજાઈ હતી અને તેનું શીર્ષક બોહેમિયન મેટ્રિક્સ એન્ડ એપ્લિકેશન્સ હતું. આ વિચારને જ્યોર્જ પોલ્યાના અર્થમાં એક વિશેષતા ગણી શકાય, જેમાં બોહેમિયન મેટ્રિક્સ પરિવારો ચોક્કસ પ્રવેશો સુધી મર્યાદિત છે અને આમ તે વિશેષ મેટ્રિક્સ છે. આ વિચારને સામાન્યીકરણ પણ ગણી શકાય, કારણ કે ગ્રાફના ઇન્સિડેન્સ મેટ્રિક્સમાં માત્ર 0 અથવા 1 અથવા લિટલવુડ બહુપદીના સાથી મેટ્રિક્સમાં-1 અને 1 એન્ટ્રીઓને બદલે, બોહેમિયન પરિવારમાં એવી એન્ટ્રીઓ હોઈ શકે છે જે અન્યથા બંધાયેલ, અલગ અથવા (સામાન્ય રીતે) બંને હોય. આ વિચાર કંઈક અંશે સાઇન પેટર્ન મેટ્રિસીસ જેવો જ છે, જેમાં વાસ્તવિક એન્ટ્રીઓ સાથેના બે મેટ્રિસીસને સમકક્ષ ગણવામાં આવે છે જો અનુરૂપ એન્ટ્રીઓમાં સમાન નિશાની હોય, અને તે સિદ્ધાંત સામાન્ય ગુણધર્મો શોધે છે. વસ્તી સાથેનું બોહેમિયન મેટ્રિક્સ એ સાઇન પેટર્ન મેટ્રિક્સનું ઉદાહરણ છે, અને તેથી તેમાં આવા મેટ્રિક્સના તમામ ગુણધર્મો છે, પરંતુ તેની બોહેમિયન પ્રકૃતિને કારણે તેમાં વિશેષ ગુણધર્મો પણ હોઈ શકે છે. સંદર્ભો મેટ્રિક્સ