Feferman–Vaught theorem
મોડેલ થિયરીમાં ફેફરમેન-વોટ થીયરમ એ સોલોમન ફેફરમેન અને રોબર્ટ લૉસન વોટ દ્વારા એક થીયરમ છે જે દર્શાવે છે કે કેવી રીતે, અલ્ગોરિધમિક રીતે, પ્રથમ ક્રમની રચનાઓના ઉત્પાદનના પ્રથમ ક્રમના સિદ્ધાંતને તત્વોના પ્રથમ ક્રમના સિદ્ધાંતમાં ઘટાડવો. આ પ્રમેયને આદર્શ સિદ્ધાંતમાં પ્રમાણભૂત પરિણામોમાંથી એક માનવામાં આવે છે. આ પ્રમેય સિદ્ધાંતોના સીધા ઉત્પાદનો પર એન્ડ્રેઝ મોસ્ટોવ્સ્કીના અગાઉના પરિણામને વિસ્તરે છે. તે સાર્વત્રિક બીજગણિતમાં એવા ગુણધર્મને (મનસ્વી પરિમાણો સાથેના સૂત્રોને) સામાન્ય બનાવે છે કે જે સમાનતાઓ (ઓળખ) બીજગણિત માળખાઓના સીધા ઉત્પાદનો (જે બિરખોફના પ્રમેયની એક દિશાનું પરિણામ છે) પર વહન કરે છે. માળખાઓનું પ્રત્યક્ષ ઉત્પાદન પ્રથમ ક્રમના તર્ક હસ્તાક્ષર એલ. ને ધ્યાનમાં લો. ઉત્પાદન માળખાઓની વ્યાખ્યા કેટલાક અનુક્રમણિકા સમૂહ I માટે એલ-માળખાઓનું કુટુંબ લે છે અને ઉત્પાદન માળખાને વ્યાખ્યાયિત કરે છે, જે એલ-માળખું પણ છે, જેમાં તમામ કાર્યો અને સંબંધોને બિંદુવાર વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. આ વ્યાખ્યા સાર્વત્રિક બીજગણિતમાં સીધા ઉત્પાદનને સંબંધાત્મક પ્રથમ ક્રમની રચનાઓમાં સામાન્ય બનાવે છે, જેમાં માત્ર કાર્ય પ્રતીકો જ નહીં પણ સંબંધ પ્રતીકો પણ હોય છે. જો L માં દલીલો સાથેનું સંબંધ પ્રતીક હોય અને કાર્ટેશિયન ઉત્પાદનના ઘટકો હોય, તો આપણે જ્યારે એક કાર્યાત્મક સંબંધ હોય, ત્યારે આ વ્યાખ્યા સાર્વત્રિક બીજગણિતમાં સીધા ઉત્પાદનની વ્યાખ્યાને ઘટાડે છે. ડાયરેક્ટ પ્રોડક્ટ્સ માટે થીયરમનું નિવેદન ફ્રી વેરિયેબલ્સ સાથે સિગ્નેચર L માં ફર્સ્ટ-ઓર્ડર લોજિક ફોર્મ્યુલા માટે, અને વેરિયેબલ્સના અર્થઘટન માટે, આપણે સૂચકાંકોના સમૂહને વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ, જેના માટે ફ્રી વેરિયેબલ્સ સાથે ફર્સ્ટ-ઓર્ડર ફોર્મ્યુલા આપવામાં આવે છે, તેના સમકક્ષ રમતના સામાન્ય સ્વરૂપની ગણતરી કરવા માટે એક અલ્ગોરિધમ છે, જે પરસ્પર વિરોધાભાસી સૂત્રોનું મર્યાદિત વિચ્છેદન છે. ફેફરમેન-વોટ પ્રમેય એક અલ્ગોરિધમ આપે છે જે પ્રથમ ક્રમ સૂત્ર લે છે અને એક સૂત્ર બનાવે છે જે ઉત્પાદનમાં રહેલી સ્થિતિને સૂચકાંકોના સમૂહના અર્થઘટનમાં રહેલી સ્થિતિ સુધી ઘટાડે છેઃ સૂત્ર આમ મુક્ત સમૂહ ચલો સાથેનું સૂત્ર છે, ઉદાહરણ તરીકે, સમૂહના બુલિયન બીજગણિતના પ્રથમ ક્રમ સિદ્ધાંતમાં. પ્રારંભિક સૂત્રની રચનાને અનુસરીને પ્રૂફ આઈડિયા ફોર્મ્યુલાનું નિર્માણ કરી શકાય છે. જ્યારે પરિમાણ મુક્ત હોય ત્યારે, તેની ઉપરના પ્રત્યક્ષ ઉત્પાદનની વ્યાખ્યા નીચે મુજબ છે પરિણામે, આપણે સમૂહોના બુલિયન બીજગણિતની ભાષામાં સમાનતા (સમકક્ષ, સમૂહોના ક્ષેત્ર) તરીકે લઈ શકીએ છીએ. સ્થિતિને માત્રાત્મક સૂત્રો સુધી લંબાવવાને માત્રાત્મક નાબૂદીના એક સ્વરૂપ તરીકે જોઈ શકાય છે, જ્યાં ઉત્પાદનના ઘટકો પરની માત્રાત્મકતાને ઘટાડીને તેના ઉપગણ પરની માત્રાત્મકતા કરવામાં આવે છે. સામાન્યીકૃત ઉત્પાદનો સીધા ઉત્પાદન માળખાના સબસ્ટ્રક્ચરને ધ્યાનમાં લેવું ઘણીવાર રસપ્રદ છે. જો સબસ્ટ્રક્ચર સાથે સંબંધિત ઉત્પાદન તત્વોને વ્યાખ્યાયિત કરતા પ્રતિબંધને અનુક્રમણિકા તત્વોના સમૂહ પરની શરત તરીકે વ્યક્ત કરી શકાય, તો પરિણામોને સામાન્યીકૃત કરી શકાય છે. એક ઉદાહરણ એ ઉત્પાદન તત્વોનું સબસ્ટ્રક્ચર છે જે સ્થિર છે પરંતુ મર્યાદિત રીતે ઘણા સૂચકાંકો છે. ધારો કે ભાષા L એ સતત પ્રતીક ધરાવે છે અને માત્ર તે જ ઉત્પાદન ઘટકો ધરાવતી સબસ્ટ્રક્ચરને ધ્યાનમાં લો કે જેના માટે સમૂહ મર્યાદિત છે. આ પ્રમેય પછી આવા સબસ્ટ્રક્ચરમાં સત્ય મૂલ્યને સમૂહોના બુલિયન બીજગણિતમાં સૂત્રમાં ઘટાડે છે, જ્યાં અમુક સમૂહો મર્યાદિત હોવા માટે પ્રતિબંધિત હોય છે. સામાન્યીકૃત ઉત્પાદનોને વ્યાખ્યાયિત કરવાની એક રીત એ છે કે તે સબસ્ટ્રક્ચર્સને ધ્યાનમાં લેવી કે જ્યાં સમૂહો સૂચકાંકોના સમૂહોના કેટલાક બુલિયન બીજગણિત (પાવરસેટ સમૂહ બીજગણિતનો સબસેટ) સાથે સંબંધિત છે, અને જ્યાં ઉત્પાદન સબસ્ટ્રક્ચર ગ્લુઇંગ સ્વીકારે છે. અહીં ગ્લુઇંગને સ્વીકારવું એ નીચેની બંધ સ્થિતિનો સંદર્ભ આપે છેઃ જો બે ઉત્પાદન ઘટકો હોય અને તે બુલિયન બીજગણિતનું તત્વ હોય, તો તે "ગ્લુઇંગ" દ્વારા વ્યાખ્યાયિત તત્વ પણ છે અને તે મુજબઃ પરિણામો ફેફરમેન-વોટ પ્રમેય એ અંકગણિતના મૂળભૂત પ્રમેય દ્વારા, પ્રેસબર્ગર અંકગણિત માળખાના સામાન્યીકૃત ઉત્પાદન (શક્તિ) તરીકે ગુણાકાર સાથે કુદરતી સંખ્યાઓની રચનાને જોઈને સ્કોલેમ અંકગણિતની નિર્ણાયકતા સૂચવે છે. નમૂના સિદ્ધાંત સંદર્ભો