Šindel sequence
એડિટિવ કોમ્બિનેટોરિક્સમાં, સિંડેલ ક્રમ એ ગુણધર્મ સાથે પૂર્ણાંકોનો સામયિક ક્રમ છે કે તેના આંશિક સરવાળામાં તમામ ત્રિકોણાકાર સંખ્યાઓનો સમાવેશ થાય છે. દાખલા તરીકે, જે ક્રમ 1,2,3,4,3,2 થી શરૂ થાય છે તે ત્રિકોણાકાર આંશિક સરવાળા વગેરે સાથે સિંડેલ ક્રમ છે. આવા ક્રમને વર્ણવવાની બીજી રીત એ છે કે તેને સંલગ્ન અનુગામીઓમાં વિભાજિત કરી શકાય છે, જેનો સરવાળો ક્રમિક પૂર્ણાંકો છેઃ આ ચોક્કસ ઉદાહરણનો ઉપયોગ પ્રાગ ખગોળશાસ્ત્રીય ઘડિયાળની ગિયરિંગમાં થાય છે, જે ઘડિયાળની ઘંટડીઓને દરેક કલાકની યોગ્ય સંખ્યાના સમયે ચીમ કરવા માટેની પદ્ધતિનો એક ભાગ છે. સિન્ડલ સિક્વન્સને 14મી અને 15મી સદીના ચેક વૈજ્ઞાનિક જાન સિન્ડલના નામ પરથી નામ આપવામાં આવ્યું છે, જેમની ગણતરીઓનો ઉપયોગ પ્રાગ ઘડિયાળની રચનામાં કરવામાં આવ્યો હતો. આ ક્રમની વ્યાખ્યા અને નામ માઇકલ ક્રિઝેક, એલેના સોલકોવા અને લોરેન્સ સોમર દ્વારા પ્રાગ ઘડિયાળના ગણિતનું વિશ્લેષણ કરતા તેમના કાર્યમાં આપવામાં આવ્યા હતા. જો સામયિક ક્રમના એક જ સમયગાળાની અંદર સંખ્યાઓનો સરવાળો સૂચવે છે, અને તે વિચિત્ર છે, તો તે સિન્ડલ ક્રમ છે કે કેમ તે નક્કી કરવા માટે માત્ર ત્રિકોણાકાર સંખ્યાઓને તપાસવાની જરૂર છે. જો આ બધી ત્રિકોણાકાર સંખ્યાઓ ક્રમનો આંશિક સરવાળો હોય, તો બધી મોટી ત્રિકોણાકાર સંખ્યાઓ પણ હશે. સમ મૂલ્યો માટે, ત્રિકોણાકાર સંખ્યાઓના મોટા સમૂહને તપાસવાની જરૂર છે. પ્રાગ ઘડિયાળમાં, 1,2,3,4,3 અને 2 એકમોના અંતરાલો પર સ્લોટ સાથે સહાયક ગિયર (તેના દરેક પરિભ્રમણમાં ઉદાહરણ સિન્ડલ અનુક્રમમાં પુનરાવર્તન) ને સિંક્રનાઇઝ કરવામાં આવે છે અને અન્ય મોટા ગિયરની ગતિને નિયંત્રિત કરે છે, જેના સ્લોટ 1,2,3,4,5,24 એકમોના અંતરાલો પર હોય છે, જે દિવસમાં એકવાર ફરે છે અને તેનું અંતર દરેક કલાકની ઝંકારની સંખ્યાને નિયંત્રિત કરે છે. આ બે ગિયર્સને સુમેળમાં રાખવા માટે, તે મહત્વપૂર્ણ છે કે, મોટા ગિયરની દરેક ફેરબદલી માટે, નાના ગિયર પણ સંખ્યાબંધ વખત પૂર્ણાંક ફરે. ગાણિતિક રીતે, આનો અર્થ એ છે કે સિંડેલ ક્રમના સમયગાળાનો સરવાળો સમાનરૂપે વિભાજીત થવો જોઈએ, જે મોટા ગિયરના અંતરાલોની સરવાળો છે. આ કારણોસર આપેલ સમયગાળાની રકમ સાથે સિંડેલ સિક્વન્સ શોધવાનું રસપ્રદ છે. આ સમસ્યાના સંબંધમાં, એક આદિમ સિન્ડલ ક્રમ, એક સિન્ડલ ક્રમ છે, જેમાંથી કોઈ બે સંખ્યાઓને તેમના સરવાળા દ્વારા બદલી શકાતી નથી, જે ટૂંકા સિન્ડલ ક્રમ બનાવે છે. દરેક માટે એક અનન્ય આદિમ સિંડેલ ક્રમ અસ્તિત્વમાં છે જેનો સમયગાળો સરવાળો સમાન છે. જો કે, નોંધ લો કે આ ક્રમ ટૂંકા સિન્ડલ ક્રમને એકથી વધુ વખત પુનરાવર્તન કરીને રચાય છે. એક ક્રમ કે જે કોઈપણ સમયગાળા સાથે માત્ર નંબર 1 નું પુનરાવર્તન કરે છે, તે એક સિંડેલ ક્રમ છે, અને તેને તુચ્છ સિંડેલ ક્રમ કહેવામાં આવે છે. જો બેની શક્તિ હોય, તો સમયગાળો સાથેનો તુચ્છ સિન્ડલ ક્રમ આદિમ છે, અને તે સમયગાળાના સરવાળા સાથેનો અનન્ય આદિમ સિન્ડલ ક્રમ છે. અન્ય કોઈપણ પસંદગી માટે, સમયગાળાની રકમ સાથેનો અનન્ય આદિમ સિંડેલ ક્રમ તુચ્છ નથી. સ્પાર્સ રૂલર નોટ્સ રેફરન્સ એડિટિવ કોમ્બિનેટોરિક્સ પણ જુઓ