Quasimorphism
જૂથ સિદ્ધાંતમાં, જૂથ આપવામાં આવે તો, ક્વાસીમોર્ફિઝમ (અથવા અર્ધ-મોર્ફિઝમ) એ એક કાર્ય છે જે બંધાયેલ ભૂલ સુધી ઉમેરવામાં આવે છે, એટલે કે. ત્યાં એક સતત અસ્તિત્વ ધરાવે છે જે બધા માટે છે. જે લઘુતમ હકારાત્મક મૂલ્ય માટે આ અસમાનતા સંતોષાય છે તેને ખામી તરીકે લખવામાં આવે છે. જૂથ માટે, ક્વાસીમોર્ફિઝમ્સ ફંક્શન સ્પેસની સબસ્પેસ બનાવે છે. ઉદાહરણો ગ્રુપ હોમોમોર્ફિઝમ્સ અને બાઉન્ડેડ ફંક્શન્સ ક્વાસીમોર્ફિઝમ્સ છે. જૂથ હોમોમોર્ફિઝમ અને બાઉન્ડેડ ફંક્શનનો સરવાળો પણ ક્વાસીમોર્ફિઝમ છે, અને આ સ્વરૂપના કાર્યોને કેટલીકવાર "તુચ્છ" ક્વાસીમોર્ફિઝમ્સ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. ચાલો એક સમૂહ પર મુક્ત જૂથ બનીએ. ઘટાડેલા શબ્દ માટે, આપણે પહેલા મોટા ગણતરી કાર્યને વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ, જે ઘટાડેલા પ્રતિનિધિમાં નકલોની સંખ્યા માટે વળતર આપે છે. તેવી જ રીતે, આપણે નાના ગણતરી કાર્યને વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ, જે ઘટાડેલા પ્રતિનિધિમાં બિન-ઓવરલેપિંગ નકલોની મહત્તમ સંખ્યા પરત કરે છે. ઉદાહરણ તરીકે, અને. પછી, એક મોટી ગણતરી ક્વાસીમોર્ફિઝમ (રેસ્પ. ઓછી ગણતરી ક્વાસીમોર્ફિઝમ) એ સ્વરૂપનું કાર્ય છે (રેસ્પ. . પરિભ્રમણ સંખ્યા એ ક્વાસીમોર્ફિઝમ છે, જે વર્તુળની દિશા-સંરક્ષિત હોમોમોર્ફિઝમ્સને સૂચવે છે. સજાતીય એ ક્વાસીમોર્ફિઝમ જો બધા માટે સજાતીય છે. તે તારણ આપે છે કે ક્વાસીમોર્ફિઝમ્સના અભ્યાસને સજાતીય ક્વાસીમોર્ફિઝમ્સના અભ્યાસમાં ઘટાડી શકાય છે, કારણ કે દરેક ક્વાસીમોર્ફિઝમ એક અનન્ય સજાતીય ક્વાસીમોર્ફિઝમથી દૂર એક બંધાયેલ અંતર છે, જે આના દ્વારા આપવામાં આવે છેઃ સજાતીય ક્વાસીમોર્ફિઝમમાં નીચેના ગુણધર્મો હોય છેઃ તે સંયુગ્મતા વર્ગો પર સ્થિર હોય છે, એટલે કે. બધા માટે, જો અબેલિયન હોય, તો તે જૂથ હોમોમોર્ફિઝમ છે. ઉપરોક્ત ટિપ્પણી સૂચવે છે કે આ કિસ્સામાં તમામ ક્વાસીમોર્ફિઝમ્સ "તુચ્છ" છે. પૂર્ણાંક-મૂલ્ય એક પણ વિધેયના કિસ્સામાં સમાન રીતે ક્વાસીમોર્ફિઝમ્સને વ્યાખ્યાયિત કરી શકે છે. આ કિસ્સામાં, સજાતીય ક્વાસીમોર્ફિઝમ્સ વિશેની ઉપરોક્ત ચર્ચા હવે ટકી નથી, કારણ કે સામાન્ય રીતે મર્યાદા અસ્તિત્વમાં નથી. ઉદાહરણ તરીકે, નકશો એક ક્વાસીમોર્ફિઝમ છે. યોગ્ય સમાનતા સંબંધ દ્વારા ક્વાસીમોર્ફિઝમ્સના ભાગાકાર તરીકે વાસ્તવિક સંખ્યાઓની રચના છે, જુઓ પૂર્ણાંકોમાંથી વાસ્તવિક સંખ્યાઓની રચના (યુડોક્સસ વાસ્તવિક). નોંધો સંદર્ભો વધુ વાંચન અર્ધ-આકારવાદ શું છે? ડી. કોટ્સચિક ગ્રુપ થિયરી એડિટિવ ફંક્શન્સ