Problem of the Nile
નાઇલ નદીની સમસ્યા એ માપના સમાન વિભાજન સાથે સંબંધિત એક ગાણિતિક સમસ્યા છે. આ સમસ્યા સૌપ્રથમ રોનાલ્ડ ફિશર દ્વારા 1936-1938 માં રજૂ કરવામાં આવી હતી. તે ડુબિન્સ અને સ્પાનિયર દ્વારા નીચેના શબ્દોમાં રજૂ કરવામાં આવ્યું છેઃ "દર વર્ષે, નાઇલ નદીમાં પૂર આવે છે, જેનાથી ઇજિપ્તના પૂર્વવંશીય ગામની ખેતીની જમીનની સિંચાઈ અથવા કદાચ વિનાશક ભાગો થાય છે. જમીનના જુદા જુદા ભાગોનું મૂલ્ય પૂરની ઊંચાઈ પર નિર્ભર રહેશે. પ્રશ્નમાં કે રહેવાસીઓમાંથી દરેકને જમીનનો ટુકડો આપવાની સંભાવના હતી, જેની કિંમત કુલ જમીન મૂલ્યના 1/કે હશે, ભલે તે પૂરની ઊંચાઈ ગમે તેટલી હોય. "ઔપચારિક રીતે, દરેક ઊંચાઈ એચ માટે, જમીન પર એક બિનપરમાણ્વિક માપ વીએચ છે, જે જ્યારે નાઇલની ઊંચાઈ એચ હોય ત્યારે જમીનના મૂલ્યોને રજૂ કરે છે. સામાન્ય રીતે, અનંત ઘણી જુદી જુદી ઊંચાઈઓ હોઈ શકે છે, અને તેથી, અનંત ઘણા જુદા જુદા માપ. વિલિયમ ફેલરે 1938માં દર્શાવ્યું હતું કે સામાન્ય કેસનો ઉકેલ અસ્તિત્વમાં ન હોઈ શકે. જ્યારે વિવિધ ઊંચાઈઓની સંખ્યા (= માપ) મર્યાદિત હોય, ત્યારે ઉકેલ હંમેશા અસ્તિત્વમાં હોય છે. આને સૌપ્રથમ 1946માં જર્ઝી નેયમેન દ્વારા નોંધવામાં આવ્યું હતું, અને 1961માં ડબિન્સ-સ્પાનિયર પ્રમેયોના ઉપસંહાર તરીકે સાબિત થયું હતું. આ કિસ્સામાં સમસ્યાને ચોક્કસ વિભાજન અથવા સર્વસંમતિ વિભાજન સમસ્યા કહેવામાં આવે છે. સંબંધિત સમસ્યાઓ એ નેયમેન અને પિયરસન દ્વારા અભ્યાસ કરાયેલા સમાન પ્રદેશોની સમસ્યા છે. અહીં, જમીનને k ઉપગણમાં વિભાજિત કરવાને બદલે, માત્ર એક જ ઉપગણની શોધ કરવામાં આવે છે, જેનું મૂલ્ય દરેક માપ માટે r ગુણ્યા કુલ મૂલ્ય છે (જ્યાં r એ [0,1] માં આપેલ અચળાંક છે). અસ્તિત્વના દ્રષ્ટિકોણથી, આ સમસ્યા નાઇલની સમસ્યાની સમકક્ષ છે, જેમ કે જ્યોર્જ ડાર્મોઇસે નોંધ્યું છે. જો કે, તેઓ જરૂરી કાપની સંખ્યામાં અલગ પડે છે. કોઈપણ r માટે જરૂરી કાપની મહત્તમ સંખ્યા સ્ટ્રોમ્ક્વિસ્ટ-વુડલ પ્રમેયમાં વર્ણવવામાં આવી છે. સંદર્ભો વાજબી વિભાગ