Empirical dynamic modeling
પ્રયોગમૂલક ગતિશીલ મોડેલિંગ (ઇ. ડી. એમ.) એ બિનરેખીય ગતિશીલ પ્રણાલીઓના વિશ્લેષણ અને આગાહી માટેનું માળખું છે. એપ્લિકેશન્સમાં વસ્તી ગતિશીલતા, ઇકોસિસ્ટમ સર્વિસ, મેડિસિન, ન્યુરોસાયન્સ, ડાયનેમિકલ સિસ્ટમ્સ, જિયોફિઝિક્સ અને માનવ-કમ્પ્યુટર ક્રિયાપ્રતિક્રિયાનો સમાવેશ થાય છે. ઇ. ડી. એમ. મૂળરૂપે રોબર્ટ મે અને જ્યોર્જ સુગીહારા દ્વારા વિકસાવવામાં આવ્યું હતું. તેને ડેટા મોડેલિંગ, પ્રેડિક્ટિવ એનાલિટિક્સ, ડાયનેમિકલ સિસ્ટમ એનાલિસિસ, મશીન લર્નિંગ અને ટાઇમ સિરીઝ એનાલિસિસ માટેની પદ્ધતિ ગણી શકાય. ગણિતના નમૂનાઓમાં વાસ્તવિક દુનિયાની પ્રણાલીઓના અવલોકનોને વર્ણવવાની જબરદસ્ત શક્તિ છે. તેનો ઉપયોગ નિયમિત રીતે પૂર્વધારણાને ચકાસવા, પદ્ધતિઓ સમજાવવા અને ભવિષ્યના પરિણામોની આગાહી કરવા માટે થાય છે. જો કે, વાસ્તવિક દુનિયાની પ્રણાલીઓ ઘણીવાર બિનરેખીય અને બહુ-પરિમાણીય હોય છે, જે કેટલાક કિસ્સાઓમાં સ્પષ્ટ સમીકરણ-આધારિત મોડેલિંગને સમસ્યારૂપ બનાવે છે. પ્રયોગમૂલક મોડેલો, જે પૂર્વધારણા સમીકરણોના ઉપયોગને બદલે ડેટામાંથી પેટર્ન અને જોડાણોનું અનુમાન કરે છે, તે જટિલ ગતિશીલતાના મોડેલિંગ માટે કુદરતી અને લવચીક માળખાને રજૂ કરે છે. ડોનાલ્ડ ડીએન્જેલિસ અને સિમોન યુરેકે સચિત્ર કર્યું કે બિનરેખીય ગતિશીલ પ્રણાલીઓ પર લાગુ કરવામાં આવે ત્યારે કેનોનિકલ આંકડાકીય નમૂનાઓ અયોગ્ય હોય છે. બિનરેખીય ગતિશીલતાની ઓળખ એ સ્થિતિ-નિર્ભરતા છેઃ પ્રણાલીની સ્થિતિઓ એક સ્થિતિમાંથી બીજી સ્થિતિમાં સંક્રમણને સંચાલિત કરતી અગાઉની સ્થિતિઓ સાથે સંબંધિત છે. ઇ. ડી. એમ. એક-પરિમાણીય નિરીક્ષણ સમય શ્રેણીને બદલે સિસ્ટમ ગતિશીલતાની બહુ-પરિમાણીય સ્થિતિ-જગ્યામાં કામ કરે છે. ઇ. ડી. એમ. રાજ્યો વચ્ચેના સંબંધોની ધારણા કરતું નથી, ઉદાહરણ તરીકે, કાર્યાત્મક નિર્ભરતા, પરંતુ સ્થાનિક, પડોશી રાજ્યોમાંથી ભાવિ રાજ્યોને પ્રોજેક્ટ કરે છે. આમ ઇ. ડી. એમ. એ રાજ્ય-અવકાશ, નજીકના પડોશીઓનો દાખલો છે જ્યાં પ્રણાલીની ગતિશીલતાનું નિરીક્ષણ સમય શ્રેણીમાંથી મેળવેલ સ્થિતિઓમાંથી અનુમાન કરવામાં આવે છે. આ કુદરતી રીતે બિનરેખીય ગતિશીલતાને આવરી લેતી પ્રણાલીનું મોડેલ-મુક્ત પ્રતિનિધિત્વ પ્રદાન કરે છે. ઇ. ડી. એમ. નો પાયાનો એ માન્યતા છે કે ગતિશીલ પ્રણાલીમાંથી અવલોકન કરાયેલી સમય શ્રેણીને ટેકેન્સના પ્રમેય સાથે સમય-વિલંબ દ્વારા ઉચ્ચ-પરિમાણીય સ્થિતિ-અવકાશમાં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે. રાજ્ય-અવકાશ મોડેલોનું મૂલ્યાંકન અવલોકનો માટે નમૂનાની વફાદારીના આધારે કરવામાં આવે છે, પરંપરાગત રીતે આગાહીઓ અને અવલોકનો વચ્ચેના પીઅર્સન સહસંબંધ સાથે. પદ્ધતિઓ ઇ. ડી. એમ. સતત વિકસતી રહી છે. 2022 સુધીમાં, મુખ્ય અલ્ગોરિધમ્સ સિમ્પ્લેક્સ પ્રક્ષેપણ, અનુક્રમિક સ્થાનિક રીતે ભારિત વૈશ્વિક રેખીય નકશા (એસ-મેપ) પ્રક્ષેપણ, સિમ્પ્લેક્સ અથવા એસ-મેપમાં મલ્ટિવેરિયેટ એમ્બેડિંગ, કન્વર્જન્ટ ક્રોસ મેપિંગ (સીસીએમ) અને મલ્ટીવ્યૂ એમ્બેડિંગ છે, જે નીચે વર્ણવેલ છે. નજીકના પડોશીઓ આના અનુસાર જોવા મળે છેઃ સિમ્પ્લેક્સ સિમ્પ્લેક્સ પ્રક્ષેપણ એ નજીકના પડોશી પ્રક્ષેપણ છે. તે રાજ્ય-ક્ષેત્રમાં સ્થાનના નજીકના પડોશીઓને શોધી કાઢે છે જ્યાંથી આગાહી ઇચ્છિત છે. મુક્ત પરિમાણોની સંખ્યાને ઘટાડવા માટે સામાન્ય રીતે સ્ટેટ-સ્પેસમાં પરિમાણીય સિમ્પ્લેક્સને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે સેટ કરવામાં આવે છે. આગાહીની ગણતરી આગળના ભારિત તબક્કા-જગ્યા સિમ્પ્લેક્સ અંદાજિત બિંદુઓની સરેરાશ તરીકે કરવામાં આવે છે. દરેક પાડોશી રાજ્ય-અવકાશમાં પ્રક્ષેપણ મૂળ વેક્ટરના અંતરના પ્રમાણમાં ભારિત હોય છે. નજીકના પડોશીને શોધોઃ અંતર સ્કેલને વ્યાખ્યાયિત કરોઃ વજનની ગણતરીઃ {} માટેઃ સ્ટેટ-સ્પેસ સિમ્પ્લેક્સની સરેરાશઃ એસ-મેપ એસ-મેપ સિમ્પ્લેક્સમાં સ્ટેટ-સ્પેસની આગાહીને નજીકના પડોશીઓની સરેરાશથી તમામ પડોશીઓ માટે યોગ્ય રેખીય રીગ્રેસન સુધી વિસ્તરે છે, પરંતુ ઘાતાંકીય ક્ષય કર્નલ સાથે સ્થાનિક છે. ઘાતાંકીય સ્થાનિકીકરણ કાર્ય છે, જ્યાં પડોશી અંતર અને સરેરાશ અંતર છે. આ રીતે, મૂલ્યના આધારે, આગાહી મૂળ બિંદુની નજીકના પડોશીઓનું વજન તેનાથી આગળના કરતા વધારે હોય છે, જેમ કે બિનરેખીય પ્રણાલી માટે સ્થાનિક રેખીય અંદાજ વાજબી છે. આ સ્થાનિકીકરણ ક્ષમતા વ્યક્તિને શ્રેષ્ઠ સ્થાનિક પ્રમાણને ઓળખવા માટે પરવાનગી આપે છે, અસરમાં રાજ્ય નિર્ભરતાના પ્રમાણને માપવામાં આવે છે, અને તેથી સિસ્ટમની બિનરેખીયતા. એસ-મેપની બીજી વિશેષતા એ છે કે યોગ્ય રીતે બંધબેસતા મોડેલ માટે, ચલ વચ્ચેના પ્રતિગમન ગુણાંકને બહુવિધ સાથે ચલોના ઢાળ (દિશાત્મક વ્યુત્પન્ન) નો અંદાજ દર્શાવવામાં આવ્યો છે. આ જેકોબિયન્સ સિસ્ટમ વેરિયેબલ્સ વચ્ચે સમય-બદલાતી ક્રિયાપ્રતિક્રિયા શક્તિઓનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. નજીકના પડોશીને શોધોઃ અંતરનો સરવાળોઃ વજનની ગણતરીઃ {} માટેઃ રીવેટિંગ મેટ્રિક્સઃ ડિઝાઇન મેટ્રિક્સઃ વેટેડ ડિઝાઇન મેટ્રિક્સઃ રિસ્પોન્સ વેક્ટરઃ વેટેડ રિસ્પોન્સ વેક્ટરઃ લીસ્ટ સ્ક્વેર્સ સોલ્યુશન (SVD): સ્થાનિક રેખીય મોડેલ આગાહી છેઃ મલ્ટિવેરિયેટ એમ્બેડિંગ મલ્ટિવેરિયેટ એમ્બેડિંગ સ્વીકારે છે કે સમય-વિલંબ એમ્બેડિંગ એકમાત્ર માન્ય સ્ટેટ-સ્પેસ બાંધકામ નથી. સિમ્પ્લેક્સ અને એસ-મેપમાં અવલોકન વેક્ટરમાંથી સ્ટેટ-સ્પેસ પેદા કરી શકાય છે, અથવા એક નિરીક્ષણ સમય શ્રેણીના સમય-વિલંબ એમ્બેડિંગ્સ, અથવા બંને. કન્વર્જન્ટ ક્રોસ મેપિંગ કન્વર્જન્ટ ક્રોસ મેપિંગ (સી. સી. એમ.) સામાન્યીકૃત ટેકેન્સ પ્રમેય માટે એક ઉપસંહારનો લાભ લે છે કે તે જ સિસ્ટમમાંથી અવલોકન કરાયેલા ચલો વચ્ચે ક્રોસ આગાહી અથવા ક્રોસ મેપ શક્ય હોવું જોઈએ. ધારો કે ચલ અને, કારણોને સમાવતી કેટલીક ગતિશીલ પ્રણાલીમાં. કારણ કે અને તે જ ગતિશીલ પ્રણાલી સાથે સંબંધિત છે, તેમનું પુનર્નિર્માણ (એમ્બેડિંગ્સ દ્વારા), અને, તે જ પ્રણાલીમાં નકશો પણ બનાવે છે. કારણભૂત ચલ અસરગ્રસ્ત ચલ પર સહી કરે છે, અને પરિણામે, તેના આધારે પુનઃનિર્મિત સ્થિતિઓનો ઉપયોગ તેના મૂલ્યોની આગાહી કરવા માટે કરી શકાય છે. સી. સી. એમ. બિંદુઓની લાઇબ્રેરી (અથવા કાર્યકારણની અન્ય દિશા માટે ઊલટું) નો ઉપયોગ કરીને આગાહી કરીને કાર્યકારણિતા અનુમાન કરવા માટે આ ગુણધર્મનો લાભ લે છે, જ્યારે ક્રોસ મેપ આગાહીક્ષમતામાં સુધારાઓનું મૂલ્યાંકન કરે છે કારણ કે મોટા અને મોટા રેન્ડમ નમૂનાઓનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. જો આગાહી કરવાની કુશળતા વધે છે અને સંપૂર્ણ રીતે સંતૃપ્ત થાય છે, તો આ એવા પુરાવા પૂરા પાડે છે જે આકસ્મિક રીતે પ્રભાવિત કરે છે. મલ્ટીવ્યૂ એમ્બેડિંગ એ એક પરિમાણીયતા ઘટાડવાની તકનીક છે જ્યાં મોટી સંખ્યામાં સ્ટેટ-સ્પેસ ટાઇમ સિરીઝ વેક્ટરનું મહત્તમ મોડેલ આગાહી તરફ સંયુક્ત મૂલ્યાંકન કરવામાં આવે છે. ઇ. ડી. એમ. તકનીકોના વિસ્તરણમાં નીચેનાનો સમાવેશ થાય છેઃ બિનરેખીય રાજ્ય અવકાશ પુનર્નિર્માણ માટે સામાન્યીકૃત પ્રમેયો વિસ્તૃત અભિસરણ ક્રોસ મેપિંગ ગતિશીલ સ્થિરતા એસ-મેપ નિયમિતકરણ વિસ્તૃત અભિસરણ ક્રોસ-મેપિંગ પર આધારિત ઇ. ડી. એમ. હાઇબ્રિડ સ્લાઇડિંગ વિન્ડો સાથે વિઝ્યુઅલ એનાલિટિક્સ ક્રોસ સૉર્ટિંગ એક્સપર્ટ સિસ્ટમ એમ્પિરિકલ મોડ મોડ મોડેલિંગ બંડલ એમ્બેડિંગ મલ્ટીવ્યૂ અંતર નિયમિત એસ-મેપ સાથે ચલ પગલા કદ સિસ્ટમ ગતિશીલતા જટિલ ગતિશીલતા બિનરેખીય પરિમાણીયતા ઘટાડા સંદર્ભો વધુ વાંચન બાહ્ય લિંક્સ એનિમેશન ઓનલાઇન પુસ્તકો અથવા વ્યાખ્યાન નોંધો ઇ. ડી. એમ. પરિચય. વિડિયો, ઉદાહરણો અને સંદર્ભો સાથે પરિચય. ગતિશીલ પ્રણાલીઓનો ભૌમિતિક સિદ્ધાંત. નીલ્સ બર્ગલુન્ડનું વ્યાખ્યાન અદ્યતન સ્નાતક સ્તરે ETH ખાતેના અભ્યાસક્રમ માટે નોંધે છે. આર્ક્સિવ પ્રીપ્રિન્ટ સર્વર ગતિશીલ પ્રણાલીઓમાં (બિન-રેફરી) હસ્તપ્રતોની દૈનિક રજૂઆત ધરાવે છે. સંશોધન જૂથો સુગીહારા લેબ, સ્ક્રિપ્સ ઇન્સ્ટિટ્યુશન ઓફ ઓશનોગ્રાફી, યુનિવર્સિટી ઓફ કેલિફોર્નિયા સાન ડિએગો. બિનરેખીય પ્રણાલીઓ ડેટા મોડેલિંગ આગાહીયુક્ત વિશ્લેષણ મશીન લર્નિંગ બિનરેખીય સમય શ્રેણી વિશ્લેષણ