Modern triangle geometry
ગણિતમાં, આધુનિક ત્રિકોણ ભૂમિતિ અથવા નવી ત્રિકોણ ભૂમિતિ એ ઓગણીસમી સદીના છેલ્લા ક્વાર્ટરની શરૂઆતથી આશરે શોધાયેલ અને વિકસિત ત્રિકોણના ગુણધર્મોને લગતા જ્ઞાનનો સમૂહ છે. ત્રિકોણ અને તેમની મિલકતો ઓછામાં ઓછા યુક્લિડના સમયથી તપાસનો વિષય હતા. હકીકતમાં, યુક્લિડના એલિમેન્ટ્સમાં ત્રિકોણ સાથે સંકળાયેલા ચાર વિશેષ બિંદુઓ-સેન્ટ્રોઇડ, ઇન્સેન્ટર, સર્કમસેન્ટર અને ઓર્થોસેન્ટરનું વર્ણન છે. સત્તરમી સદીમાં પાસ્કલ અને સેવા, અઢારમી સદીમાં યુલર અને ઓગણીસમી સદીમાં ફ્યુએરબેકે અને અન્ય ઘણા ગણિતશાસ્ત્રીઓએ ત્રિકોણના ગુણધર્મો અંગે મહત્વપૂર્ણ શોધો કરી હોવા છતાં, 1873માં એમિલ લેમોઇન (1840-1912) દ્વારા "ત્રિકોણના નોંધપાત્ર બિંદુ પર" શીર્ષક સાથે એક પેપરનું પ્રકાશન હતું, જે નાથન આલ્ટ્સચિલર-કોર્ટ અનુસાર, "સમગ્ર ત્રિકોણની આધુનિક ભૂમિતિને foundations.of મૂકે છે". ધ અમેરિકન મેથેમેટિકલ મંથલી, જેમાં લેમોઇનનું મોટાભાગનું કાર્ય પ્રકાશિત થયું છે, તેણે જાહેર કર્યું કે "આમાંના કોઈ પણ [ભૂમિતિ] માટે આધુનિક ત્રિકોણ ભૂમિતિના આ આંદોલનને શરૂ કરવાનું સન્માન એમીલ-મિશેલ-હયાસિન્થે લેમોઇન કરતાં વધુ નથી". આ પેપરના પ્રકાશનને કારણે ઓગણીસમી સદીના છેલ્લા ક્વાર્ટર અને વીસમી સદીના પ્રારંભિક વર્ષો દરમિયાન ત્રિકોણના ગુણધર્મોની તપાસમાં નોંધપાત્ર વધારો થયો હતો. 1914માં પ્રકાશિત ક્લેઈન્સ એન્સાયક્લોપેડિયા ઓફ મેથેમેટિકલ સાયન્સમાં ત્રિકોણ ભૂમિતિ પરનો સો પાનાનો લેખ ત્રિકોણ ભૂમિતિમાં રસના આ ઉછાળાનો સાક્ષી આપે છે. શરૂઆતના દિવસોમાં, "નવી ત્રિકોણ ભૂમિતિ" અભિવ્યક્તિ માત્ર લેમોઇન બિંદુ, લેમોઇન વર્તુળ, બ્રોકાર્ડ વર્તુળ અને લેમોઇન રેખા જેવા ત્રિકોણ સાથે સંકળાયેલ રસપ્રદ પદાર્થોના સમૂહનો ઉલ્લેખ કરે છે. પાછળથી પત્રવ્યવહારનો સિદ્ધાંત જે ભૌમિતિક પરિવર્તનના સિદ્ધાંતની એક શાખા હતી તે વિવિધ અલગ પરિણામોને સુસંગતતા આપવા માટે વિકસાવવામાં આવી હતી. તેના વિકાસ સાથે, "નવી ત્રિકોણ ભૂમિતિ" અભિવ્યક્તિએ માત્ર ત્રિકોણ સાથે સંકળાયેલી ઘણી નોંધપાત્ર વસ્તુઓ જ નહીં પરંતુ આ વસ્તુઓનો અભ્યાસ અને વર્ગીકરણ કરવા માટે ઉપયોગમાં લેવાતી પદ્ધતિઓ પણ સૂચવી હતી. અહીં 1887 થી ત્રિકોણ ભૂમિતિ ની વ્યાખ્યા છેઃ "ત્રિકોણના સમતલમાં એક બિંદુ M આપવામાં આવતા, આપણે હંમેશાં અનંત રીતભાતમાં, બીજો બિંદુ M 'શોધી શકીએ છીએ, જે કાલ્પનિક ભૌમિતિક નિયમ અનુસાર પ્રથમને અનુરૂપ છે; આ બે બિંદુઓ તેમની વચ્ચે ભૌમિતિક સંબંધો ધરાવે છે, જેની સરળતા કાયદાની નસીબદાર પસંદગી પર આધાર રાખે છે જે તેમને એકીકૃત કરે છે અને દરેક ભૌમિતિક નિયમ પરિવર્તનની પદ્ધતિને એક સંયુગ્મન પદ્ધતિને જન્મ આપે છે જેનો અભ્યાસ કરવાનું બાકી છે". ("ઓગણીસમી અને વીસમી સદીમાં એક પ્રાચીન આકૃતિ સાથે નવી ભૌમિતિક પદ્ધતિઓ શીખવવીઃ યુરોપ અને યુએસએ (1888-1952) માં પાઠ્યપુસ્તકોમાં નવી ત્રિકોણ ભૂમિતિ" શીર્ષક ધરાવતું પોલિન રોમેરા-લેબ્રેટ દ્વારા 2009માં પ્રસ્તુત પરિષદ પેપર જુઓ.) જો કે, રસનો આ વધારો ટૂંક સમયમાં તૂટી પડ્યો અને વીસમી સદીના અંતિમ વર્ષો સુધી ત્રિકોણ ભૂમિતિને સંપૂર્ણપણે અવગણવામાં આવી હતી. તેમના "ગણિતના વિકાસ" માં, એરિક ટેમ્પલ બેલ 1940માં આધુનિક ત્રિકોણ ભૂમિતિના દરજ્જા પર પોતાનો ચુકાદો આ રીતે રજૂ કરે છેઃ "20મી સદીના ભૂમિતિશાસ્ત્રીઓએ લાંબા સમયથી આ તમામ ખજાનાને ભૂમિતિના સંગ્રહાલયમાં પવિત્રતાથી દૂર કર્યા છે જ્યાં ઇતિહાસની ધૂળ ઝડપથી તેમની ચમકને મંદ કરી દે છે". (ગણિતનો વિકાસ, પૃષ્ઠ 323) ફિલિપ ડેવિસે ત્રિકોણ ભૂમિતિમાં રસ ઘટવાના ઘણા કારણો સૂચવ્યા છે. આમાં નીચેનાનો સમાવેશ થાય છેઃ એવી લાગણી કે વિષય પ્રાથમિક છે અને નીચી વ્યાવસાયિક સ્થિતિનો છે. તેની પદ્ધતિસરની શક્યતાઓનો અંત. વિષયના કહેવાતા ઊંડા પરિણામોની દ્રશ્ય જટિલતા. બીજગણિતની તરફેણમાં દ્રશ્યનું ડાઉનગ્રેડિંગ. અન્ય ક્ષેત્રો સાથે જોડાણની અછત. ટેસેલેશન, ફ્રેક્ટલ્સ, ગ્રાફ થિયરી વગેરે જેવા મજબૂત દ્રશ્ય સામગ્રી સાથે અન્ય વિષયો સાથે સ્પર્ધા. આધુનિક ઇલેક્ટ્રોનિક કોમ્પ્યુટરના આગમન સાથે રસનો વધુ પુનરુત્થાન જોવા મળ્યું હતું. ત્રિકોણ ભૂમિતિ ફરીથી સમર્પિત ભૂમિતિઓના જૂથ દ્વારા અનુસરવામાં આવતા સંશોધનનું સક્રિય ક્ષેત્ર બની ગયું છે. આ પુનરુત્થાનના પ્રતીક તરીકે, "ત્રિકોણ કેન્દ્ર" ની વિભાવનાની રચના અને ક્લાર્ક કિમ્બર્લિંગ દ્વારા લગભગ 50,000 ત્રિકોણ કેન્દ્રો અને તેમના ગુણધર્મોની યાદી ધરાવતા ત્રિકોણ કેન્દ્રોના જ્ઞાનકોશના સંકલન અને 1200 થી વધુ ત્રિકોણ સમઘનના વિવિધ ગુણધર્મોના વિગતવાર વર્ણન સાથે ત્રિકોણ સમઘનની સૂચિનું સંકલન પણ દર્શાવી શકાય છે. 2001માં ફ્લોરિડા એટલાન્ટિક યુનિવર્સિટીના પોલ યિયુ દ્વારા સ્થાપિત ઓપન એક્સેસ જર્નલ ફોરમ જીઓમેટ્રિકોરમે પણ ત્રિકોણ ભૂમિતિ માટે આ નવા મળેલા ઉત્સાહને આગળ વધારવામાં જબરદસ્ત પ્રોત્સાહન પૂરું પાડ્યું હતું. કમનસીબે, 2019 થી, જર્નલ સબમિશન સ્વીકારી રહ્યું નથી, જોકે પાછળના મુદ્દાઓ હજુ પણ ઓનલાઇન ઉપલબ્ધ છે. લેમોઇન ભૂમિતિ લેમોઇન બિંદુ કેન્દ્રબિંદુ G સાથે આપેલ ત્રિકોણ ABC માટે, શિરોબિંદુ દ્વારા સિમેડિયન એ ખૂણા A ના દ્વિભાજકમાં રેખા AG નું પ્રતિબિંબ છે. દરેક શિરોબિંદુમાંથી પસાર થતા ત્રિકોણ માટે ત્રણ સિમેડિયન્સ છે. ત્રણ સિમ્મેડિયન સહવર્તી હોય છે અને સામાન્ય રીતે કે દ્વારા સૂચવવામાં આવતા સમવર્તી બિંદુને લેમોઇન બિંદુ અથવા સિમ્મેડિયન બિંદુ અથવા ત્રિકોણ એબીસીનો ગ્રેબ બિંદુ કહેવામાં આવે છે. જો ત્રિકોણ ABC ની બાજુની લંબાઈ a, b, c હોય તો લેમોઇન બિંદુના બેરિસેન્ટ્રિક કોઓર્ડિનેટ્સ a2: b2: c2 છે. તેને "આધુનિક ભૂમિતિના મુકુટ રત્નોમાંથી એક" તરીકે વર્ણવવામાં આવ્યું છે. ગાણિતિક સાહિત્યમાં આ મુદ્દાના અગાઉના ઘણા સંદર્ભો છે, જેની વિગતો જ્હોન મેકેના સિમેડિયન મુદ્દાના ઇતિહાસમાં ઉપલબ્ધ છે. હકીકતમાં, સિમ્મેડિયનોની સમવર્તીતા એ વધુ સામાન્ય પરિણામનો એક વિશેષ કિસ્સો છેઃ ત્રિકોણ ABCના સમતલમાં કોઈપણ બિંદુ P માટે, રેખાઓ AP, BP, CPના સમભુજ સમવર્તી હોય છે, AP (અનુક્રમે BP, CP) નું સમભુજ કોણ A (અનુક્રમે B, C) ના દ્વિભાજકમાં રેખા APનું પ્રતિબિંબ હોય છે. સમવર્તી બિંદુને પી. નું આઇસોગોનલ સંયુગ્મ કહેવામાં આવે છે. આ પરિભાષામાં, લેમોઇન બિંદુ એ કેન્દ્રકનું આઇસોગોનલ સંયુગ્મ છે. ત્રિકોણની બાજુઓને સમાંતર ત્રિકોણ ABCના લેમોઇન બિંદુ દ્વારા રેખાઓના આંતરછેદના બિંદુઓ ત્રિકોણ ABCનું પ્રથમ લેમોઇન વર્તુળ તરીકે ઓળખાતા વર્તુળ પર આવેલા હોય છે. પ્રથમ લેમોઇન વર્તુળનું કેન્દ્ર ત્રિકોણના પરિઘકેન્દ્ર અને લેમોઇન બિંદુ વચ્ચે મધ્યમાં આવેલું છે, ત્રિકોણ ABCના લેમોઇન બિંદુ દ્વારા ત્રિકોણ ABCની બાજુઓ પરના વિરોધી સમાંતર આંતરછેદના બિંદુઓ બીજા લેમોઇન વર્તુળ અથવા ત્રિકોણ ABCનું કોસાઇન વર્તુળ તરીકે ઓળખાતા વર્તુળ પર આવેલા છે. "કોસાઇન વર્તુળ" નામ બીજા લેમોઇન વર્તુળના ગુણધર્મને કારણે છે કે ત્રિકોણની બાજુઓ પરના વર્તુળ દ્વારા અવરોધિત સેગમેન્ટ્સની લંબાઈ બાજુઓની વિરુદ્ધ ખૂણાઓની કોસાઇનના પ્રમાણમાં હોય છે. બીજા લેમોઇન વર્તુળનું કેન્દ્ર લેમોઇન બિંદુ છે. લેમોઇન અક્ષ કોઈપણ ત્રિકોણ ABC અને તેની સ્પર્શક ત્રિકોણ પરિપ્રેક્ષ્યમાં હોય છે અને પરિપ્રેક્ષ્યની અક્ષને ત્રિકોણ ABCની લેમોઇન અક્ષ કહેવામાં આવે છે. તે ત્રિકોણ ABCના સમશીતોષ્ણ બિંદુનો ત્રિકોણીય ધ્રુવીય છે અને ત્રિકોણ ABCના પરિઘના સંદર્ભમાં Kનો ધ્રુવીય પણ છે. પ્રારંભિક આધુનિક ત્રિકોણ ભૂમિતિ લેમોઇનના પેપરના પ્રકાશન પછી ત્રિકોણ ભૂમિતિમાં રસની ટોચ દરમિયાન અસ્તિત્વમાં હતી તે આધુનિક ત્રિકોણ ભૂમિતિના વિશ્વમાં એક ઝડપી નજર નીચે રજૂ કરવામાં આવી છે. આ પ્રસ્તુતિ મોટે ભાગે વિલિયમ ગેલેટલીના 1910માં પ્રકાશિત થયેલા પુસ્તક અને રોજર એ જ્હોન્સનના 1929માં પ્રથમ વખત પ્રકાશિત થયેલા પુસ્તકમાં ચર્ચા કરાયેલા વિષયો પર આધારિત છે. પોરિસ્ટિક ત્રિકોણ બે ત્રિકોણને પોરિસ્ટિક ત્રિકોણ કહેવામાં આવે છે જો તેઓ સમાન આંતરિક વર્તુળ અને પરિઘ ધરાવે છે. કેન્દ્ર O અને ત્રિજ્યા R સાથેનું વર્તુળ અને કેન્દ્ર I અને ત્રિજ્યા r સાથેનું બીજું વર્તુળ જોતાં, વર્તુળ O (R) ને પરિઘાકાર તરીકે અને I (r) ને વર્તુળમાં જો અને માત્ર જો હોય તો અનંત સંખ્યામાં ત્રિકોણ ABC હોય છે. આ ત્રિકોણ ત્રિકોણની પોરિસ્ટિક પ્રણાલી બનાવે છે. સંદર્ભ ત્રિકોણ તરીકે કેન્દ્રક જેવા ચોક્કસ વિશેષ બિંદુઓનું સ્થાન વર્તુળો અને બિંદુઓ તરીકે બહાર આવતા વિવિધ ત્રિકોણને શોધી કાઢે છે. સિમસન રેખા ABC ત્રિકોણના વર્તુળ પરના કોઈપણ બિંદુ P માટે, ABC ત્રિકોણની બાજુઓ પર P થી લંબરૂપ પગ સંરેખીય હોય છે અને સંરેખીય રેખા એ P ની જાણીતી સિમસન રેખા હોય છે. પેડલ અને એન્ટિપેડલ ત્રિકોણ એક બિંદુ P આપવામાં આવે તો, P થી ત્રિકોણ ABC ની બાજુઓ પર લંબરૂપ પગ D, E, F થવા દો. ત્રિકોણ DEF ને P નો પેડલ ત્રિકોણ કહેવામાં આવે છે. P નો એન્ટિપેડલ ત્રિકોણ એ અનુક્રમે A, B, C થી PA, PB, PC સુધી લંબરૂપ રેખાઓ દ્વારા રચાયેલી ત્રિકોણ છે. બે બિંદુઓ P અને Q ને કાઉન્ટર પોઇન્ટ કહેવામાં આવે છે જો P નો પેડલ ત્રિકોણ Q ના એન્ટિપેડલ ત્રિકોણ માટે હોમોથેટિક હોય અને Q નો પેડલ ત્રિકોણ P ના એન્ટિપેડલ ત્રિકોણ માટે હોમોથેટિક હોય. આધુનિક ત્રિકોણ ભૂમિતિમાં, ઓર્થોપોલ્સના ગુણધર્મો સાથે કામ કરતા સાહિત્યનો મોટો ભાગ છે. બ્રોકાર્ડ બિંદુઓ વર્તુળોની લેટનું વર્ણન ત્રિકોણ ABC ની બાજુઓ BC, CA, AB પર કરવામાં આવે છે, જેના બાહ્ય વિભાગોમાં અનુક્રમે C, A, B અને B, C, A ખૂણાઓના બે ત્રિકોણ હોય છે. ખૂણાઓની ત્રિપુટી દ્વારા નિર્ધારિત વર્તુળોની દરેક ત્રિપુટી એક સામાન્ય બિંદુ પર છેદે છે, આમ આવા બે બિંદુઓ મળે છે. આ બિંદુઓને ત્રિકોણ ABC ના બ્રોકાર્ડ બિંદુઓ કહેવામાં આવે છે અને સામાન્ય રીતે દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. જો પી એ પ્રથમ બ્રોકાર્ડ બિંદુ છે (જે વર્તુળોની પ્રથમ ત્રિપુટી દ્વારા નિર્ધારિત બ્રોકાર્ડ બિંદુ છે) તો પછી પી. બી. સી., પી. સી. એ. અને પી. એ. બી. ખૂણાઓ એકબીજાના સમાન હોય છે અને સામાન્ય ખૂણાને ત્રિકોણ એ. બી. સી. નો બ્રોકાર્ડ ખૂણો કહેવામાં આવે છે અને તેને સામાન્ય રીતે સૂચવવામાં આવે છે. કેટલીક છબીઓ સમકાલીન આધુનિક ત્રિકોણ ભૂમિતિ ત્રિકોણ કેન્દ્ર વીસમી સદીના અંતિમ વર્ષો દરમિયાન ત્રિકોણ ભૂમિતિમાં રસના પુનરુત્થાન દરમિયાન ઉભરી આવેલા સૌથી નોંધપાત્ર વિચારોમાંથી એક ત્રિકોણ કેન્દ્રની કલ્પના છે. 1994માં ક્લાર્ક કિમ્બર્લિંગ દ્વારા રજૂ કરાયેલ આ ખ્યાલ ત્રિકોણ સાથે સંકળાયેલા ઘણા વિશેષ અને નોંધપાત્ર મુદ્દાઓને એક વિચારમાં એકીકૃત કરે છે. આ વિચારની શરૂઆત થઈ ત્યારથી, ત્રિકોણ કેન્દ્રો સાથે પરિણામ કેવી રીતે જોડાય છે તેની ચર્ચા કર્યા વિના ત્રિકોણ સાથે સંકળાયેલા કોઈપણ પરિણામ પર લગભગ કોઈ ચર્ચા પૂર્ણ થતી નથી. ત્રિકોણ કેન્દ્રની વ્યાખ્યા ત્રણ વાસ્તવિક ચલ a, b, c ના વાસ્તવિક મૂલ્યના વિધેય f માં નીચેના ગુણધર્મો હોઈ શકે છેઃ એકરૂપતા f (ta, tb, tc) = tn f (a, b, c) અમુક અચળાંક n માટે અને બધા t> 0 માટે. બીજા અને ત્રીજા ચલમાં દ્વિગુણિતઃ f (a, b, c) = f (a, c, b). જો બિન-શૂન્ય f પાસે આ બંને ગુણધર્મો હોય તો તેને ત્રિકોણ કેન્દ્ર કાર્ય કહેવામાં આવે છે. જો f એ ત્રિકોણ કેન્દ્ર કાર્ય હોય અને a, b, c એ સંદર્ભ ત્રિકોણની બાજુ-લંબાઈ હોય તો તે બિંદુ કે જેના ત્રિકોણીય કોઓર્ડિનેટ્સ f (a, b, c): f (b, c, a): f (c, a, b) હોય તેને ત્રિકોણ કેન્દ્ર કહેવામાં આવે છે. ક્લાર્ક કિમ્બર્લિંગ ત્રિકોણ કેન્દ્રોના સંગ્રહને સમર્પિત વેબસાઇટની જાળવણી કરી રહ્યા છે. ત્રિકોણ કેન્દ્રોનો જ્ઞાનકોશ નામની વેબસાઇટમાં લગભગ 50,000 ત્રિકોણ કેન્દ્રોની વ્યાખ્યાઓ અને વર્ણન છે. કેન્દ્રીય રેખા સમકાલીન આધુનિક ત્રિકોણ ભૂમિતિને એકીકૃત કરવાની બીજી કલ્પના કેન્દ્રિય રેખા છે. આ ખ્યાલ ત્રિકોણ સાથે સંકળાયેલી કેટલીક વિશેષ સીધી રેખાઓને એકીકૃત કરે છે. કેન્દ્રીય રેખાની કલ્પના પણ ત્રિકોણ કેન્દ્રની કલ્પના સાથે સંબંધિત છે. કેન્દ્રીય રેખાની વ્યાખ્યા ધારો કે ABC એક સમતલ ત્રિકોણ છે અને (x: y: z) ત્રિકોણ ABCના સમતલમાં મનસ્વી બિંદુના ત્રિકોણીય કોઓર્ડિનેટ્સ છે. ત્રિકોણ ABCના સમતલમાં એક સીધી રેખા જેનું ત્રિકોણીય કોઓર્ડિનેટ્સમાં સમીકરણ f (a, b, c) x + g (a, b, c) y + h (a, b, c) z = 0 સ્વરૂપ ધરાવે છે જ્યાં ત્રિકોણીય કોઓર્ડિનેટ્સ (f (a, b, c): g (a, b, c): h (a, b, c)) સાથેનું બિંદુ ત્રિકોણ કેન્દ્ર છે, ત્રિકોણ ABCના સાપેક્ષ ત્રિકોણ ABCના સમતલમાં એક કેન્દ્રીય રેખા છે. કેન્દ્રીય રેખાનું ભૌમિતિક નિર્માણ ધારો કે X એ ત્રિકોણ ABCનું કોઈપણ ત્રિકોણ કેન્દ્ર છે. AX, BX અને CX રેખાઓ અને તેમના પ્રતિબિંબને અનુક્રમે A, B, C શિરોબિંદુઓ પરના ખૂણાઓના આંતરિક દ્વિભાજકમાં દોરો. પ્રતિબિંબિત રેખાઓ સહવર્તી હોય છે અને સુસંગતતા બિંદુ એ X નો આઇસોગોનલ સંયુગ્મ Y છે. ચાલો સીવિઅન્સ AY, BY, CY ત્રિકોણ ABC ની વિરુદ્ધ બાજુએ અનુક્રમે A ', B', C 'પર મળે. ત્રિકોણ A 'B' C 'એ Y નો સીવીયન ત્રિકોણ છે. ત્રિકોણ ABC અને સીવીયન ત્રિકોણ A 'B' C 'પરિપ્રેક્ષ્યમાં છે અને DEF ને બે ત્રિકોણની પરિપ્રેક્ષ્યની ધરી બનવા દો. DEF રેખા એ Y બિંદુનો ત્રિકોણીય ધ્રુવીય છે. રેખા DEF એ ત્રિકોણ કેન્દ્ર X સાથે સંકળાયેલી કેન્દ્રિય રેખા છે. ત્રિકોણ શંકુ એ સંદર્ભ ત્રિકોણના સમતલમાં એક શંકુ છે અને તેની સાથે કોઈક રીતે સંકળાયેલ છે. ઉદાહરણ તરીકે, સંદર્ભ ત્રિકોણનું પરિઘ અને આંતરિક વર્તુળ ત્રિકોણ શંકુ છે. અન્ય ઉદાહરણોમાં સ્ટેઇનર લંબગોળ છે જે શિરોબિંદુઓમાંથી પસાર થતું અને સંદર્ભ ત્રિકોણના કેન્દ્રમાં તેનું કેન્દ્ર ધરાવતું લંબગોળ છે, કીપર્ટ હાયપરબોલા જે શિરોબિંદુઓમાંથી પસાર થતું શંકુ છે, કેન્દ્ર અને સંદર્ભ ત્રિકોણનું ઓર્થોસેન્ટર અને આર્ટ્ઝ્ટ પેરાબોલાસ જે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ પર સંદર્ભ ત્રિકોણની બે બાજુઓને સ્પર્શતા પેરાબોલાસ છે. તાજેતરમાં અભ્યાસ કરાયેલા કેટલાક ત્રિકોણ શંકુઓમાં હોફસ્ટેડટર લંબગોળ અને વાયએફએફ શંકુઓનો સમાવેશ થાય છે. જો કે, સાહિત્યમાં ત્રિકોણ શંકુની પરિભાષાની કોઈ ઔપચારિક વ્યાખ્યા નથી; એટલે કે, શંકુના સંદર્ભ ત્રિકોણ સાથે જે સંબંધો હોવા જોઈએ જેથી તેને ત્રિકોણ શંકુ તરીકે ઓળખવામાં આવે તે ચોક્કસપણે ઘડવામાં આવ્યા નથી. વોલ્ફ્રમમેથવર્લ્ડમાં "ત્રિકોણ શંકુ" શીર્ષક ધરાવતું એક પાનું છે જે ત્રિકોણ શંકુની વ્યાખ્યા આપ્યા વિના 42 વસ્તુઓની યાદી આપે છે (તે બધી શંકુ નથી). ત્રિકોણના સમઘનની સમઘનની સમઘનની સમઘનની સમઘનની સમઘનની સમઘનની સમઘનની સમઘનની સમઘનની સમઘનની સમઘનની સમઘનની સમઘનની સમઘનની સમઘનની સમઘનની સમઘનની સમઘનની સમઘનની સમઘનની સમઘનની સમઘનની સમઘનની સમઘનની સમઘનની સમઘનની સમઘનની સમઘનની સમઘનની સમઘનની સમઘનની સમઘનની સમઘનની સમઘનની સમઘનની સમઘનની સમઘનની સમઘનની સમઘનની સમઘનની સમઘનની સમઘનની સમઘનની સમઘનની સમઘનની સમઘનની સમઘનની સમઘનની સમઘનની સમઘનની સમઘનની સમઘનની સમઘનની સમઘનની સમઘનની સમઘનની સમઘનની સમઘનની સમઘનની સમઘનની સમઘનની સમઘનની સમઘનની સમઘનની સમઘન ઉદાહરણ તરીકે, સંદર્ભ ત્રિકોણ ABC ના સમતલમાં બિંદુ P નું સ્થાન એવું છે કે, જો ત્રિકોણ ABC ની બાજુમાં P નું પ્રતિબિંબ PA, Pb, Pc હોય, તો પછી રેખાઓ APA, BPb અને CPc સહવર્તી હોય તો તે ન્યુબર્ગ ક્યુબિક નામના ઘન વળાંક છે. તે બર્નાર્ડ ગિલ્બર્ટના કેટલોગ ઓફ ટ્રાયેન્ગલ ક્યુબિક્સમાં સૂચિબદ્ધ પ્રથમ ઘન છે. આ સૂચિ દરેક વળાંક પરની માહિતી સાથે 1200 થી વધુ ત્રિકોણ સમઘનની યાદી આપે છે જેમ કે વળાંકનું બેરિસેન્ટ્રીક સમીકરણ, ત્રિકોણ કેન્દ્રો જે વળાંક પર આવેલા છે, વળાંકના લોકસ ગુણધર્મો અને વળાંક પરના સાહિત્યના સંદર્ભો. ત્રિકોણ ભૂમિતિમાં કમ્પ્યુટર્સ વીસમી સદીના અંતિમ વર્ષો અને વર્તમાન સદીના પ્રારંભિક વર્ષો દરમિયાન જોવા મળેલા ત્રિકોણ ભૂમિતિના રસમાં વિકાસના માર્ગ પર કમ્પ્યુટર્સના પ્રવેશનો નિર્ણાયક પ્રભાવ હતો. કમ્પ્યુટરે આ અભ્યાસક્રમને જે રીતે પ્રભાવિત કર્યો હતો તેમાંથી કેટલીક રીતો ફિલિપ ડેવિસ દ્વારા વર્ણવવામાં આવી છે. ત્રિકોણ ભૂમિતિમાં નવા પરિણામો પેદા કરવા માટે કોમ્પ્યુટરનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો છે. 2015 માં પ્રકાશિત એક સર્વેક્ષણ લેખ કમ્પ્યુટર પ્રોગ્રામ "ડર્કવરર" દ્વારા શોધાયેલ કેટલાક મહત્વપૂર્ણ નવા પરિણામોનું વર્ણન આપે છે. પ્રમેયોના નીચેના નમૂના ડિસ્કવરર દ્વારા શોધાયેલા નવા પરિણામોનો સ્વાદ આપે છે. પ્રમેય 6.1 ધારો કે P અને Q એ બિંદુઓ છે, ન તો ત્રિકોણ ABC ની બાજુની રેખા પર આવેલા છે. જો પી અને ક્યૂ એબીસીના સંદર્ભમાં આઇસોગોનલ સંયુગ્મ હોય, તો તેમના પૂરકોનું સેવા ઉત્પાદન કીપર્ટ હાયપરબોલા પર આવેલું છે. પ્રમેય 9.1. એકરૂપતાનું Yff કેન્દ્ર એ ઇન્સેન્ટરના પેડલ ત્રિકોણના સંદર્ભમાં આંતરિક વર્તુળ અને પરિઘની સમાનતાનું આંતરિક કેન્દ્ર છે. લેસ્ટર વર્તુળ એ વર્તુળ છે જે પરિઘ કેન્દ્ર, નવ-બિંદુ કેન્દ્ર અને બાહ્ય અને આંતરિક ફર્મેટ બિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે. સામાન્યીકૃત લેસ્ટર વર્તુળ એ એક વર્તુળ છે જે ઓછામાં ઓછા ચાર ત્રિકોણ કેન્દ્રોમાંથી પસાર થાય છે. ડિસ્કવરરે કેટલાક સામાન્યીકૃત લેસ્ટર વર્તુળોની શોધ કરી છે. સાવા ગ્રોઝદેવ, હિરોશી ઓકુમુરા, ડેકો ડેકોવ યુક્લિડિયન ભૂમિતિના કોમ્પ્યુટર દ્વારા શોધાયેલા જ્ઞાનકોશને સમર્પિત વેબ પોર્ટલની જાળવણી કરી રહ્યા છે. સંદર્ભો વધારાનું વાંચન ત્રિકોણ ભૂમિતિ ભૂમિતિનો ઇતિહાસ