Jyā, koti-jyā and utkrama-jyā
ભારતીય ગણિતશાસ્ત્રીઓ અને ખગોળશાસ્ત્રીઓ દ્વારા રજૂ કરાયેલા ત્રણ ત્રિકોણમિતીય કાર્યો છે-જ્યા, કોટી-જ્યા અને ઉત્કર્ષ-જ્યા. આ કાર્યોના સંદર્ભો ધરાવતો સૌથી જૂનો ભારતીય ગ્રંથ સૂર્ય સિદ્ધાંત છે. આ વર્તુળોની કમાનોના કાર્યો છે, ખૂણાઓના કાર્યો નહીં. જ્યા અને કોટી-જ્યા સાઇન અને કોસાઇનના આધુનિક ત્રિકોણમિતીય કાર્યો સાથે ગાઢ સંબંધ ધરાવે છે. હકીકતમાં, "સાઇન" અને "કોસાઇન" ના આધુનિક શબ્દોની ઉત્પત્તિ સંસ્કૃત શબ્દો "જ્યા" અને "કોટી-જ્યા" માં મળી આવી છે. વ્યાખ્યા ચાલો 'ચાપ AB' એ ચાપને સૂચવે છે જેની બે ચરમસીમાઓ કેન્દ્ર O સાથે વર્તુળના A અને B છે. જો લંબ બી. એમ. ને બી. થી ઓ. એ. પર છોડવામાં આવે, તોઃ ચાપ એબીનો જ્યા = ચાપ એબીનો બીએમ કોટી-જ્યા = ચાપ એબીનો ઓમ ઉત્કર્ષ-જ્યા = એમએ જો વર્તુળની ત્રિજ્યા આર હોય અને ચાપ એબીની લંબાઈ એસ હોય, તો રેડિયનમાં માપવામાં આવેલા ઓ પર ચાપ એબી દ્વારા ઘટાડેલ કોણ θ = s/R છે. ત્રણ ભારતીય કાર્યો નીચે મુજબ આધુનિક ત્રિકોણમિતિ કાર્યો સાથે સંબંધિત છેઃ જ્યા (ચાપ એબી) = આર સિન (એસ/આર) કોટી-જ્યા (ચાપ એબી) = આર કોસ (એસ/આર) ઉત્કર્ષ-જ્યા (ચાપ એબી) = આર (1-કોસ (એસ/આર) વર્તુળની કમાનના બે છેડાઓને જોડતી સીધી રેખા ધનુષની દોરી જેવી હોય છે અને આ રેખા વર્તુળની દોરી હોય છે. આ તારને જ્યા કહેવામાં આવે છે જેનો સંસ્કૃતમાં અર્થ "ધનુષ-તાર" થાય છે, જે સંભવતઃ હિપ્પાર્કસના સમાન અર્થ સાથે અનુવાદિત થાય છે. જીવા શબ્દનો ઉપયોગ ભૌમિતિક સાહિત્યમાં જ્ઞાના સમાનાર્થી તરીકે પણ થાય છે. અમુક સમયે, ભારતીય ખગોળશાસ્ત્રીઓ અને ગણિતશાસ્ત્રીઓને સમજાયું કે ગણતરીઓ વધુ અનુકૂળ રહેશે જો કોઈ વ્યક્તિ સંપૂર્ણ તારોને બદલે તારોના અર્ધભાગનો ઉપયોગ કરે અને અર્ધ-તારને ચાપના અર્ધભાગ સાથે સાંકળે. અર્ધ-તારોને અર્ધ-જ્યાસ અથવા જ્યા-અર્ધ કહેવામાં આવતા હતા. આ શબ્દોને ફરીથી ક્વોલિફાયર અર્ધને બાદ કરીને ટૂંકાવીને જ્યા કરવામાં આવ્યા હતા, જેનો અર્થ "અડધો" થાય છે. સંસ્કૃત શબ્દ કોટીનો અર્થ "બિંદુ, શિખર" અને ખાસ કરીને "ધનુષનો વક્ર અંત" થાય છે. ત્રિકોણમિતિમાં, તે "90° સુધી ચાપનું પૂરક" દર્શાવવા માટે આવ્યું હતું. આમ કોટી-જ્યા એ "પૂરક ચાપનો જ્યા" છે. ભારતીય ગ્રંથોમાં, ખાસ કરીને ભાષ્યોમાં, કોટી-જ્યાને ઘણીવાર કોજ્યા તરીકે સંક્ષિપ્ત કરવામાં આવે છે. કોટી શબ્દ "જમણા ખૂણાવાળા ત્રિકોણની બાજુ" ને પણ સૂચવે છે. આમ કોટી-જ્યાનો અર્થ જમણા ત્રિકોણના અન્ય કેથેટસ પણ થઈ શકે છે, જેમાં પ્રથમ કેથેટસ જ્યા છે. ઉત્કર્ષનો અર્થ થાય છે "ઊંધી", આમ ઉત્કર્ષ-જ્ઞાનો અર્થ થાય છે "ઊંધી દોરી". ઉત્ક્રમ-જ્યાના કોષ્ટક મૂલ્યો ત્રિજ્યામાંથી તત્વોને વિપરીત ક્રમમાં બાદ કરીને જ્યાના કોષ્ટક મૂલ્યોમાંથી મેળવવામાં આવે છે. આ ખરેખર ધનુષ અને ધનુષ-તાર વચ્ચેનું તીર છે અને તેથી તેને બાણ, ઇસુ અથવા શર પણ કહેવામાં આવે છે, જેનો અર્થ થાય છે "તીર". વર્તુળની ચાપ જે કેન્દ્રમાં 90°ના ખૂણા સુધી વિસ્તરે છે તેને વૃત્ત-પાદ (વર્તુળનો ચતુર્ભુજ) કહેવામાં આવે છે. દરેક રાશિ સાઇન 30° ની ચાપને વ્યાખ્યાયિત કરે છે અને સતત ત્રણ રાશિ સાઇન વૃથા-પાડને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. વૃથા-પાડનો જય એ વર્તુળની ત્રિજ્યા છે. ભારતીય ખગોળશાસ્ત્રીઓએ આધાર વર્તુળની ત્રિજ્યાને દર્શાવવા માટે ત્રિ-જ્યા શબ્દનો ઉપયોગ કર્યો હતો, ત્રિ-જ્યા શબ્દ "ત્રણ ચિહ્નોના જ્ય" નો સંકેત આપે છે. ત્રિજ્યાને વ્યાસ, વિશ્કંભ, વિસ્તાર વગેરે પણ કહેવામાં આવે છે, જેનો અર્થ "અર્ધ-વ્યાસ" થાય છે. એક પરંપરા અનુસાર, 'જ્યા' અને 'કોટી-જ્યા' કાર્યોને અનુક્રમે 'રિન' અને 'રેકોસ' દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે, જેને એક શબ્દ તરીકે ગણવામાં આવે છે. અન્ય અનુક્રમે "સિન" અને "કોસ" દ્વારા જ્યા અને કોટી-જ્યાને સૂચવે છે (પ્રથમ અક્ષરો સામાન્ય સાઇન અને કોસાઇન કાર્યોમાં નાના અક્ષરો હોવાના પ્રથમ અક્ષરોના વિરોધાભાસમાં મોટા અક્ષરો છે). જ્યાથી સાઇન સુધી આધુનિક શબ્દ સાઇનની ઉત્પત્તિ સંસ્કૃત શબ્દ અથવા વધુ ચોક્કસપણે તેના સમાનાર્થી શબ્દમાં જોવા મળે છે. આ શબ્દ મધ્યયુગીન ઇસ્લામિક ગણિતમાં અપનાવવામાં આવ્યો હતો, જેને અરબીમાં (જિબ) તરીકે લિપ્યંતરિત કરવામાં આવ્યો હતો. અરબી ટૂંકા સ્વરો વિના લખાય છે-અને ઉધાર તરીકે લાંબા સ્વરને અહીં યા સાથે સૂચવવામાં આવે છે-આનું અર્થઘટન હોમોગ્રાફ, (જિબ) તરીકે કરવામાં આવ્યું હતું, જેનો અર્થ થાય છે "છાતી". આ લખાણના 12મી સદીના લેટિન અનુવાદકએ "છાતી", સાઇનસ માટે લેટિન સમકક્ષનો ઉપયોગ કર્યો હતો. જ્યારે બન્યું, ત્યારે એવું સૂચવવામાં આવ્યું છે કે સામ્યતા દ્વારા સહ-સાઇનસ બન્યું. જો કે, પ્રારંભિક મધ્યયુગીન ગ્રંથોમાં, કોસાઇનને "પૂરકની સાઇન" કહેવામાં આવે છે, જે તેની સમાનતા સાંયોગિક હોવાનું સૂચવે છે. શ્લોક સંદર્ભો ત્રિકોણમિતિ કાર્યો ત્રિકોણમિતિ ભારતીય ગણિત સંસ્કૃત શબ્દો અને શબ્દસમૂહો હિન્દુ ખગોળશાસ્ત્ર કેરળ ખગોળશાસ્ત્ર અને ગણિતની શાળા ગણિતનો ઇતિહાસ