Sobolev mapping
ગણિતમાં, સોબોલેવ મેપિંગ એ મેનીફોલ્ડ્સ વચ્ચેનું મેપિંગ છે જે અમુક અર્થમાં સરળતા ધરાવે છે. હાર્મોનિક નકશાના સિદ્ધાંત સહિત વિવિધતા અને આંશિક વિભેદક સમીકરણોના કલનમાં સોબોલેવ મેપિંગ્સ કુદરતી રીતે બહુવિધ-મર્યાદિત સમસ્યાઓમાં દેખાય છે. વ્યાખ્યા રીમાનિયન મેનીફોલ્ડ્સ અને, જે સામાન્યતાને ગુમાવ્યા વિના નેશની સ્મૂથ એમ્બેડિંગ થીયરમ દ્વારા પ્રથમ ક્રમ () સોબોલેવ મેપિંગ્સ તરીકે આઇસોમેટ્રિક રીતે જડિત હોવાનું માનવામાં આવે છે, તેને મેટ્રિક સ્પેસના સંદર્ભમાં પણ વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. અંદાજ મજબૂત અંદાજની સમસ્યામાં તે નક્કી કરવામાં આવે છે કે સામાન્ય ટોપોલોજીના સંદર્ભમાં સરળ મેપિંગ્સ ગાઢ છે કે કેમ. જ્યારે, મોરેની અસમાનતા સૂચવે છે કે સોબોલેવ મેપિંગ સતત છે અને આમ સરળ નકશા દ્વારા મજબૂત અંદાજ લગાવી શકાય છે. જ્યારે, સોબોલેવ મેપિંગ્સમાં સરેરાશ ઓસિલેશન અદૃશ્ય થઈ જાય છે અને આમ સરળ નકશા દ્વારા અંદાજિત કરી શકાય છે. જ્યારે, ઘનતાનો પ્રશ્ન અવરોધ સિદ્ધાંત સાથે સંબંધિત છેઃ જો અને માત્ર ત્યારે જ ગાઢ હોય છે જો એક-પરિમાણીય ત્રિકોણમાંથી એક પરનું દરેક સતત મેપિંગ એ એકથી બીજા સુધી સતત નકશાનું પ્રતિબંધ હોય. નકશાના નબળા અંદાજનો ક્રમ શોધવાની સમસ્યા જ્યારે પૂર્ણાંક ન હોય ત્યારે મજબૂત અંદાજની સમકક્ષ હોય છે. પૂર્ણાંક ક્યારે હોય છે, ત્યારે એક જરૂરી શરત એ છે કે દરેક સતત નકશાના-પરિમાણીય ત્રિકોણ પરનું પ્રતિબંધ એક-પરિમાણીય ત્રિકોણથી એક-પરિમાણીય ત્રિકોણ પરના પ્રતિબંધ સાથે સુસંગત છે. જ્યારે, આ શરત પૂરતી છે કારણ કે, આ શરત પૂરતી નથી. હોમોટૉપી હોમોટૉપી સમસ્યામાં સામાન્ય ટોપોલોજીથી સંપન્ન જગ્યાના પાથ-કનેક્ટેડ ઘટકોનું વર્ણન અને વર્ગીકરણ કરવામાં આવે છે. ક્યારે અને પછી પાથ-કનેક્ટેડ ઘટકો અનિવાર્યપણે પાથ-કનેક્ટેડ ઘટકો જેવા જ હોય છેઃ બે નકશા પાથ દ્વારા જો અને માત્ર ત્યારે જ જોડાયેલા હોય છે જો તેઓ પાથ દ્વારા જોડાયેલા હોય, તો કોઈપણ પાથ-કનેક્ટેડ ઘટક અને કોઈપણ પાથ-કનેક્ટેડ ઘટક બિન તુચ્છ રીતે છેદે છે. જ્યારે, બે નકશા સતત માર્ગ દ્વારા જો અને માત્ર ત્યારે જ જોડાયેલા હોય છે જો સામાન્ય-પરિમાણીય ત્રિકોણ પર તેમના પ્રતિબંધો સમસ્થાનિક હોય. ટ્રેસનું વિસ્તરણ ક્લાસિકલ ટ્રેસ થિયરી જણાવે છે કે કોઈપણ સોબોલેવ નકશામાં ટ્રેસ હોય છે અને જ્યારે ટ્રેસ ઓપરેટર ચાલુ હોય છે. સર્જેક્ટિવિટીનો પુરાવો સરેરાશ દલીલ પર આધારિત હોવાથી, પરિણામ સહેલાઈથી સોબોલેવ મેપિંગ્સ સુધી વિસ્તરતું નથી. ટ્રેસ ઓપરેટર ક્યારે અથવા ક્યારે, મર્યાદિત છે અને તેના પર હોવાનું જાણીતું છે. જો કેટલાક માટે અનંત હોય અથવા હોય તો ટ્રેસ ઓપરેટરની સર્જેક્ટિવિટી નિષ્ફળ જાય છે. લિફ્ટિંગ આવરણ નકશાને જોતાં, લિફ્ટિંગ સમસ્યા પૂછે છે કે શું કોઈ નકશાને કેટલાક માટે લખી શકાય છે, કારણ કે તે સતત અથવા સરળ માટે છે અને શાસ્ત્રીય લિફ્ટિંગ સિદ્ધાંતમાં ક્યારે સરળ રીતે જોડાયેલ છે. જો ડોમેન સરળ રીતે જોડાયેલું હોય, તો કોઈપણ નકશાને અમુક લોકો માટે ક્યારે, ક્યારે અને ક્યારે કોમ્પેક્ટ છે, અને તરીકે લખી શકાય છે. લિફ્ટિંગમાં ક્યારે અને વિશ્લેષણાત્મક અવરોધ ક્યારે હોય છે તે ટોપોલોજીકલ અવરોધ છે. સંદર્ભો વધુ વાંચન https://mathoverflow.net/questions/108808/differential-of-a-sobolev-map-between-manifolds મેનિફોલ્ડ્સ મેપ્સ ઓફ મેનીફોલ્ડ્સ સોબોલેવ સ્પેસ હોમોટોપી થિયરી