Cluster prime
સંખ્યા સિદ્ધાંતમાં, સમૂહ અવિભાજ્ય એ એક અવિભાજ્ય સંખ્યા છે જેમ કે દરેક સમ ધન પૂર્ણાંક k ≤ p−3 ને બે અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ વચ્ચેના તફાવત તરીકે લખી શકાય છે જે () થી વધુ ન હોય. ઉદાહરણ તરીકે, સંખ્યા 23 એ સમૂહ અવિભાજ્ય છે કારણ કે 23−3 = 20, અને 2 થી 20 સુધીનો દરેક સમ પૂર્ણાંક, સમાવિષ્ટ, એ ઓછામાં ઓછી એક જોડી અવિભાજ્ય સંખ્યાઓનો તફાવત છે જે 23 થી વધુ ન હોયઃ 5−3 = 27−3 = 411−5 = 611−3 = 813−3 = 1017−5 = 1217−3 = 1419−3 = 1623−5 = 1823−3 = 20 બીજી તરફ, 149 એ સમૂહ અવિભાજ્ય નથી કારણ કે 140 <146, અને બે અવિભાજ્ય સંખ્યાઓના તફાવત તરીકે 140 લખવાની કોઈ રીત નથી જે 149 કરતા ઓછી અથવા સમાન હોય. પરંપરા મુજબ, 2 ને ક્લસ્ટર પ્રાઇમ માનવામાં આવતું નથી. પ્રથમ 23 વિષમ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ (89 સુધી) બધા સમૂહ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે. ક્લસ્ટર પ્રાઈમ ન હોય તેવા પ્રથમ થોડા વિચિત્ર પ્રાઈમ 97,127,149,191,211,223,227,229 છે. તે જાણીતું નથી કે અનંત સંખ્યામાં ક્લસ્ટર પ્રાઈમ છે કે નહીં. ગુણધર્મો ક્લસ્ટર પ્રાઇમની પહેલાનું મુખ્ય અંતર હંમેશા છ કે તેથી ઓછું હોય છે. કોઈપણ મુખ્ય સંખ્યા માટે, ચાલો n-th મુખ્ય સંખ્યા દર્શાવીએ. જો ≤8 હોય, તો પછી −9 ને બે અવિભાજ્ય સંખ્યાઓના તફાવત તરીકે વ્યક્ત કરી શકાતો નથી; આમ, તે સમૂહ અવિભાજ્ય નથી. વિપરીત સાચું નથીઃ છ કે તેથી ઓછી લંબાઈના અંતરની જોડીમાં સૌથી નાનો બિન-ક્લસ્ટર મુખ્ય ભાગ 227 છે, જે 223 અને 227 વચ્ચે માત્ર ચારનું અંતર છે. 229 એ પ્રથમ નોન-ક્લસ્ટર પ્રાઇમ છે જે ટ્વીન પ્રાઇમ જોડીમાં સૌથી મોટો છે. ક્લસ્ટર પ્રાઇમનો સમૂહ એક નાનો સમૂહ છે. 1999માં, રિચાર્ડ બ્લેક્સમિથે સાબિત કર્યું કે ક્લસ્ટર પ્રાઇમના પારસ્પરિકનો સરવાળો મર્યાદિત છે. બ્લેક્સમિથે સી (એક્સ) પર સ્પષ્ટ ઉપલા બાઉન્ડ પણ સાબિત કર્યું, જે ક્લસ્ટર પ્રાઇમની સંખ્યા x કરતા ઓછી અથવા તેની બરાબર છે. ખાસ કરીને, કોઈપણ હકારાત્મક પૂર્ણાંક માટેઃ બધા પૂરતા પ્રમાણમાં મોટા x માટે. તે આમાંથી અનુસરે છે કે લગભગ તમામ મુખ્ય સંખ્યાઓ સમૂહ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓના સમૂહમાંથી ગેરહાજર હોય છે. સંદર્ભો બાહ્ય કડીઓ મુખ્ય સંખ્યાઓના વર્ગો