Binet equation
જેક્સ ફિલિપ મેરી બિનેટ દ્વારા મેળવેલ બિનેટ સમીકરણ, સમતલ ધ્રુવીય કોઓર્ડિનેટ્સમાં ભ્રમણકક્ષાની ગતિના આકારને ધ્યાનમાં રાખીને કેન્દ્રીય બળનું સ્વરૂપ પ્રદાન કરે છે. સમીકરણનો ઉપયોગ આપેલ બળ નિયમ માટે ભ્રમણકક્ષાનો આકાર મેળવવા માટે પણ થઈ શકે છે, પરંતુ તેમાં સામાન્ય રીતે બીજા ક્રમના બિનરેખીય સામાન્ય વિભેદક સમીકરણનો ઉકેલ સામેલ હોય છે. બળના કેન્દ્રની આસપાસ ગોળ ગતિના કિસ્સામાં એક અનોખો ઉકેલ અશક્ય છે. સમીકરણ ભ્રમણકક્ષાના આકારને ઘણીવાર કોણના કાર્ય તરીકે સંબંધિત અંતરની દ્રષ્ટિએ સરળતાથી વર્ણવવામાં આવે છે. બિનેટ સમીકરણ માટે, ભ્રમણકક્ષાના આકારને તેના બદલે પારસ્પરિક દ્વારા કાર્ય તરીકે વધુ સંક્ષિપ્તમાં વર્ણવવામાં આવે છે. ચોક્કસ કોણીય વેગને વ્યાખ્યાયિત કરો કે કોણીય વેગ ક્યાં છે અને તે દળ છે. આગામી વિભાગમાં મેળવેલ બિનેટ સમીકરણ, કાર્યની દ્રષ્ટિએ બળ આપે છેઃ શુદ્ધ કેન્દ્રીય બળ માટે વ્યુત્પત્તિ ન્યૂટનનો બીજો નિયમ એ છે કે કોણીય વેગના સંરક્ષણ માટે જરૂરી છે કે સમયના સંદર્ભમાં વ્યુત્પન્નને કોણના સંદર્ભમાં વ્યુત્પન્ન તરીકે ફરીથી લખી શકાયઃ ઉપરોક્ત તમામને જોડીને, આપણે સામાન્ય ઉકેલ પર પહોંચીએ છીએ જ્યાં કણનું પ્રારંભિક સંકલન છે. ઉદાહરણો કેપ્લર સમસ્યા ક્લાસિકલ વ્યુત્ક્રમ વર્ગ નિયમની ભ્રમણકક્ષાની ગણતરી કરવાની પરંપરાગત કેપ્લર સમસ્યાને બિનેટ સમીકરણમાંથી વિભેદક સમીકરણના ઉકેલ તરીકે વાંચી શકાય છે. જો કોણ પેરીઆપ્સિસમાંથી માપવામાં આવે, તો પછી (પારસ્પરિક) ધ્રુવીય કોઓર્ડિનેટ્સમાં વ્યક્ત ભ્રમણકક્ષા માટેનો સામાન્ય ઉકેલ એ છે. ઉપરનું ધ્રુવીય સમીકરણ શંકુ વિભાગોનું વર્ણન કરે છે, જેમાં અર્ધ-અક્ષાંશ ગુદામાર્ગ (સમાન) અને ભ્રમણકક્ષાની વિષમતા છે. સાપેક્ષવાદી શ્વાર્ઝસ્ચિલ્ડ કોઓર્ડિનેટ્સ માટે મેળવેલ સાપેક્ષવાદી સમીકરણ એ છે કે જ્યાં પ્રકાશની ઝડપ છે અને તે શ્વાર્ઝસ્ચિલ્ડ ત્રિજ્યા છે. અને રેઇસ્નર-નોર્ડસ્ટ્રોમ મેટ્રિક માટે આપણે મેળવીશું કે વિદ્યુત ચાર્જ ક્યાં છે અને વેક્યૂમ પારગમ્યતા ક્યાં છે. ઊલટું કેપ્લર સમસ્યા ઊલટું કેપ્લર સમસ્યાનો વિચાર કરો. કયા પ્રકારનો બળ નિયમ લંબગોળ કેન્દ્રની આસપાસ બિનવર્તુળાકાર ભ્રમણકક્ષા (અથવા વધુ સામાન્ય રીતે બિનવર્તુળાકાર શંકુ વિભાગ) ઉત્પન્ન કરે છે? લંબગોળ માટે ઉપરોક્ત ધ્રુવીય સમીકરણને બે વાર અલગ પાડવાથી બળનો નિયમ મળે છે જે અપેક્ષિત વ્યસ્ત વર્ગ નિયમ છે. ભ્રમણકક્ષાને ભૌતિક મૂલ્યો સાથે સરખાવવું અથવા ન્યુટનના સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમ અથવા કુલમ્બના નિયમને અનુક્રમે પુનઃઉત્પાદિત કરે છે. શ્વાર્ઝસ્ચિલ્ડ કોઓર્ડિનેટ્સ માટે અસરકારક બળ એ છે કે જ્યાં બીજી મુદત પેરિયાપ્સિસના કોણીય પરિવર્તન જેવી ચતુર્ભુજ અસરોને અનુરૂપ વ્યસ્ત-ચતુર્થક બળ છે (તે મંદ ક્ષમતાઓ દ્વારા પણ મેળવી શકાય છે). ન્યૂટોનિયન પછીના પરિમાણાત્મક ઔપચારિકતામાં આપણે સામાન્ય સાપેક્ષતા માટે અને શાસ્ત્રીય કિસ્સામાં ક્યાં મેળવીશું. કોટ્સ સર્પાકાર એક વ્યુત્ક્રમ સમઘન બળ નિયમ સ્વરૂપ ધરાવે છે વ્યુત્ક્રમ સમઘન નિયમની ભ્રમણકક્ષાના આકારોને કોટ્સ સર્પાકાર તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. બિનેટ સમીકરણ દર્શાવે છે કે ભ્રમણકક્ષાઓ સમીકરણના ઉકેલો હોવા જોઈએ વિભેદક સમીકરણમાં કેપ્લર સમસ્યાના વિવિધ શંકુ વિભાગોની સામ્યતામાં ત્રણ પ્રકારના ઉકેલો છે. જ્યારે, ઉકેલ એપિસિપરલ હોય છે, જેમાં સીધી રેખાના પેથોલોજીકલ કેસનો સમાવેશ થાય છે. જ્યારે, ઉકેલ હાયપરબોલિક સર્પાકાર છે. જ્યારે ઉકેલ પોઇનસોટનું સર્પાકાર હોય છે. જો કે બિનેટ સમીકરણ બળના કેન્દ્ર વિશે ગોળ ગતિ માટે એક અનન્ય બળ નિયમ આપવામાં નિષ્ફળ જાય છે, જ્યારે વર્તુળનું કેન્દ્ર અને બળનું કેન્દ્ર એક સાથે ન આવે ત્યારે સમીકરણ બળ નિયમ પ્રદાન કરી શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે એક ગોળાકાર ભ્રમણકક્ષાનો વિચાર કરો જે સીધા જ બળના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે. વ્યાસની આવી ગોળાકાર ભ્રમણકક્ષા માટે A (પારસ્પરિક) ધ્રુવીય સમીકરણ બે વાર તફાવત કરે છે અને પાયથાગોરિયન ઓળખનો ઉપયોગ કરવાથી બળનો નિયમ મળે છે. આકર્ષક બળ નિયમની ભ્રમણકક્ષાઓનું નિર્માણ, નોંધપાત્ર રીતે વધુ મુશ્કેલ સમસ્યા છે કારણ કે તે બીજા ક્રમના બિનરેખીય વિભેદક સમીકરણને ઉકેલવા સમાન છે. શાસ્ત્રીય કેન્દ્રીય બળની સમસ્યા પણ જુઓ સામાન્ય સાપેક્ષતામાં સામાન્ય સાપેક્ષતા બે-શરીરની સમસ્યા બર્ટ્રાન્ડના પ્રમેય સંદર્ભો શાસ્ત્રીય મિકેનિક્સ ભૌતિકશાસ્ત્રના નામસ્ત્રોતીય નિયમો