Arithmetic progression topologies
સામાન્ય ટોપોલોજી અને સંખ્યા સિદ્ધાંતમાં, ગણિતની શાખાઓમાં, અંકગણિત પ્રગતિ, સ્વરૂપના ક્રમ અથવા ઓપન સેટ્સના યોગ્ય સંગ્રહને આધાર તરીકે લઈને પૂર્ણાંકોના સમૂહ અથવા હકારાત્મક પૂર્ણાંકોના સમૂહ પર વિવિધ ટોપોલોજીઓને વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. ત્રણ ઉદાહરણો ફર્સ્ટનબર્ગ ટોપોલોજી અને ગોલોમ્બ ટોપોલોજી અને કિર્ચ ટોપોલોજી છે. ચોક્કસ વ્યાખ્યાઓ નીચે આપવામાં આવી છે. હિલેલ ફર્સ્ટનબર્ગે અવિભાજ્ય સમૂહના અનંતતાનો "ટોપોલોજિકલ" પુરાવો પૂરો પાડવા માટે પ્રથમ ટોપોલોજી રજૂ કરી હતી. બીજા ટોપોલોજીનો અભ્યાસ સોલોમન ગોલોમ્બ દ્વારા કરવામાં આવ્યો હતો અને તે સંખ્યાબંધ અનંત હૌસડોર્ફ જગ્યાનું ઉદાહરણ પૂરું પાડે છે જે જોડાયેલ છે. એ. એમ. કિર્ચ દ્વારા રજૂ કરાયેલ ત્રીજી ટોપોલોજી, ગણનાત્મક રીતે અનંત હૌસડોર્ફ જગ્યાનું ઉદાહરણ છે જે બંને જોડાયેલા અને સ્થાનિક રીતે જોડાયેલા છે. આ ટોપોલોજીમાં રસપ્રદ વિભાજન અને એકરૂપતા ગુણધર્મો પણ છે. અંકગણિત પ્રગતિ ટોપોલોજીની કલ્પનાને મનસ્વી ડેડેકાઇન્ડ ડોમેન્સમાં સામાન્યીકૃત કરી શકાય છે. આવી બે અંકગણિત પ્રગતિઓનું આંતરછેદ કાં તો ખાલી હોય છે, અથવા તે જ સ્વરૂપની બીજી અંકગણિત પ્રગતિ છેઃ જ્યાં અને તેનો સૌથી ઓછો સામાન્ય ગુણાંક હોય છે. આવી બે અંકગણિત પ્રગતિઓનું આંતરછેદ કાં તો ખાલી છે, અથવા તે જ સ્વરૂપની બીજી અંકગણિત પ્રગતિ છેઃ આંતરછેદના સૌથી નાના તત્વની બરાબર છે. આ દર્શાવે છે કે અંકગણિત પ્રગતિઓની મર્યાદિત સંખ્યાનું દરેક બિન-ખાલી આંતરછેદ ફરીથી એક અંકગણિત પ્રગતિ છે. પછી કોઈ વ્યક્તિ અંકગણિત પ્રગતિઓના સંગ્રહને પસંદ કરીને અથવા તેના પર ટોપોલોજીને વ્યાખ્યાયિત કરી શકે છે, તેના તમામ તત્વોને ખુલ્લા સમૂહો તરીકે જાહેર કરી શકે છે અને તેના દ્વારા પેદા થયેલ ટોપોલોજીને લઈ શકે છે. જો બે તત્વોનું કોઈપણ બિન-ખાલી આંતરછેદ ફરીથી એક તત્વ છે, તો સંગ્રહ ટોપોલોજી માટેનો આધાર હશે. સામાન્ય રીતે, તે ટોપોલોજી માટે પેટા આધાર હશે, અને તમામ અંકગણિત પ્રગતિઓનો સમૂહ કે જે તત્વોના બિન-ખાલી મર્યાદિત આંતરછેદો છે તે ટોપોલોજી માટે આધાર હશે. ત્રણ વિશેષ કિસ્સાઓ અનુસરવામાં આવે છે. પૂર્ણાંકોના સમૂહ પર ફર્સ્ટેનબર્ગ ટોપોલોજી, અથવા સમાન અંતરે પૂર્ણાંક ટોપોલોજી, અને હકારાત્મક પૂર્ણાંકોના સમૂહ પર ગોલમ્બ ટોપોલોજી, અથવા પ્રમાણમાં મુખ્ય પૂર્ણાંક ટોપોલોજીનો સંગ્રહને આધાર તરીકે લઈને મેળવવામાં આવે છે. તેવી જ રીતે, વધારાની સ્થિતિ સાથે આવા સમૂહોનો પેટા સંગ્રહ પણ ટોપોલોજી માટે આધાર બનાવે છે. અનુરૂપ ટોપોલોજિકલ અવકાશને ગોલમ્બ અવકાશ કહેવામાં આવે છે. સકારાત્મક પૂર્ણાંકોના સમૂહ પરની કિર્ચ ટોપોલોજી, અથવા મુખ્ય પૂર્ણાંક ટોપોલોજી, બધા સાથે અને અવિભાજ્ય સમાનરૂપે વિભાજીત ન થાય તેવા સંગ્રહને સબબેઝ તરીકે લઈને મેળવવામાં આવે છે, કોઈ પણ વ્યક્તિ મુખ્ય અને બધા સાથેનો સંગ્રહ સબબેઝ તરીકે લઈ શકે છે. ટોપોલોજી માટેનો આધાર પ્રમાણમાં મુખ્ય અને ચોરસ મુક્ત (અથવા વધારાની સ્થિતિ સાથે સમાન) સાથે તમામનો સમાવેશ કરે છે. અનુરૂપ ટોપોલોજિકલ અવકાશને કિર્ચ અવકાશ કહેવામાં આવે છે. ત્રણ ટોપોલોજીઓ એ અર્થમાં સંબંધિત છે કે કિર્ચ ટોપોલોજીમાં દરેક ખુલ્લો સમૂહ ગોલોમ્બ ટોપોલોજીમાં ખુલ્લો છે, અને ગોલોમ્બ ટોપોલોજીમાં દરેક ખુલ્લો સમૂહ ફર્સ્ટનબર્ગ ટોપોલોજીમાં ખુલ્લો છે (સબસ્પેસ સુધી મર્યાદિત). સેટ પર, કિર્ચ ટોપોલોજી ગોલોમ્બ ટોપોલોજી કરતાં બરછટ છે, જે પોતે ફર્સ્ટનબર્ગ ટોપોલોજી કરતાં બરછટ છે. ગુણધર્મો ગોલમ્બ ટોપોલોજી અને કિર્ચ ટોપોલોજી હૌસડોર્ફ છે, પરંતુ નિયમિત નથી. ફર્સ્ટેનબર્ગ ટોપોલોજી હૌસડોર્ફ અને નિયમિત છે. તે માપવા યોગ્ય છે, પરંતુ સંપૂર્ણપણે માપવા યોગ્ય નથી. ખરેખર, તે વાસ્તવિક રેખામાંથી વારસામાં મળેલી સબસ્પેસ ટોપોલોજી સાથે તર્કસંગત સંખ્યાઓ માટે હોમોમોર્ફિક છે. બ્રોઆને દર્શાવ્યું છે કે ફર્સ્ટનબર્ગ ટોપોલોજી પરિમેય સંખ્યાઓની-adic પૂર્ણતા સાથે નજીકથી સંબંધિત છે. જોડાણના ગુણધર્મોને ધ્યાનમાં રાખીને, ફર્સ્ટનબર્ગ ટોપોલોજી સંપૂર્ણપણે વિચ્છેદિત છે. ગોલોમ્બ ટોપોલોજી જોડાયેલ છે, પરંતુ સ્થાનિક રીતે જોડાયેલ નથી. કિર્ચ ટોપોલોજી બંને જોડાયેલ અને સ્થાનિક રીતે જોડાયેલ છે. ફર્સ્ટેનબર્ગ ટોપોલોજી સાથેના પૂર્ણાંકો એક સજાતીય જગ્યા બનાવે છે, કારણ કે તે એક ટોપોલોજિકલ રિંગ છે-અમુક અર્થમાં, એકમાત્ર ટોપોલોજી જેના પર તે રિંગ છે. તેનાથી વિપરીત, ગોલોમ્બ જગ્યા અને કિર્ચ જગ્યા ટોપોલોજીકલ રીતે કઠોર છે-એકમાત્ર સ્વ-હોમોમોર્ફિઝમ તુચ્છ છે. અવિભાજ્ય સંખ્યાઓના અનંત સાથેનો સંબંધ ફર્સ્ટનબર્ગ અને ગોલોમ્બ બંને ટોપોલોજી એ પુરાવો આપે છે કે અનંત સંખ્યાઓ છે. સાબિતીનું સ્કેચ નીચે પ્રમાણે ચાલે છેઃ એક અવિભાજ્ય નક્કી કરો અને નોંધ લો કે (સકારાત્મક, ગોલોમ્બ સ્પેસ કેસમાં) પૂર્ણાંકો મર્યાદિત રીતે ઘણા અવશેષ વર્ગોના મોડ્યુલોનું જોડાણ છે. દરેક અવશેષ વર્ગ એક અંકગણિત પ્રગતિ છે, અને આમ ક્લોપેન થાય છે. દરેક અવિભાજ્યના ગુણાંકને ધ્યાનમાં લો. આ ગુણાંક અવશેષ વર્ગ (એટલા બંધ) છે, અને આ સમૂહોનું જોડાણ એકમો સિવાયના તમામ (ગોલોમ્બઃ હકારાત્મક) પૂર્ણાંકો છે. જો ત્યાં મર્યાદિત રીતે ઘણા અવિભાજ્ય હોય, તો તે જોડાણ એક બંધ સમૂહ છે, અને તેથી તેનું પૂરક (}) ખુલ્લું છે. પરંતુ દરેક નોન એમ્પ્ટી ઓપન સેટ અનંત છે, તેથી} ઓપન નથી. સામાન્યીકરણ ફર્સ્ટનબર્ગ ટોપોલોજી એ જૂથ પર પ્રોફાઇનાઇટ ટોપોલોજીનો એક વિશેષ કેસ છે. વિગતવાર, તે સમાવેશ દ્વારા પ્રેરિત ટોપોલોજી છે, જ્યાં તેની પ્રોફાઇનાઇટ ટોપોલોજી સાથે પ્રોફાઇનાઇટ ઇન્ટિજર રિંગ છે. અંકગણિત પ્રગતિની કલ્પના મનસ્વી મોડ્યુલોમાં અર્થપૂર્ણ છે, પરંતુ તેમના પર ટોપોલોજીનું નિર્માણ આંતરછેદ હેઠળ બંધ કરવા પર આધાર રાખે છે. તેના બદલે, સાચું સામાન્યીકરણ ડેડેકાઇન્ડ ડોમેનના આદર્શોમાંથી ટોપોલોજી બનાવે છે. આ પ્રક્રિયા મોટી સંખ્યામાં ગણનાત્મક રીતે અનંત, હૌસડોર્ફ, જોડાયેલા સમૂહો ઉત્પન્ન કરે છે, પરંતુ શું વિવિધ ડેડેકાઇન્ડ ડોમેન્સ હોમિયોમોર્ફિક ટોપોલોજિકલ જગ્યાઓ ઉત્પન્ન કરી શકે છે તે વર્તમાન સંશોધનનો વિષય છે. નોંધો સંદર્ભો. ટોપોલોજીકલ જગ્યાઓ અંકગણિત શ્રેણી