Pompeiu derivative
ગાણિતિક વિશ્લેષણમાં, પોમ્પેયુ વ્યુત્પન્ન એ એક વાસ્તવિક ચલનું વાસ્તવિક મૂલ્ય ધરાવતું કાર્ય છે જે દરેક જગ્યાએ વિકલનક્ષમ કાર્યનું વ્યુત્પન્ન છે અને જે ગાઢ સમૂહમાં અદૃશ્ય થઈ જાય છે. ખાસ કરીને, પોમ્પેઈયુ વ્યુત્પન્ન દરેક બિંદુ પર અસંગત છે જ્યાં તે 0 નથી. સમાન રીતે શૂન્ય ન હોય તેવા આવા કાર્યો અસ્તિત્વમાં હોઈ શકે છે કે કેમ તે એક સમસ્યા હતી જે 1900ના દાયકાની શરૂઆતમાં કાર્યાત્મક ભિન્નતા અને સંકલનક્ષમતા પરના સંશોધનના સંદર્ભમાં ઊભી થઈ હતી. આ પ્રશ્નનો હકારાત્મક જવાબ દિમિત્રી પોમ્પેયુએ એક સ્પષ્ટ ઉદાહરણ બનાવીને આપ્યો હતો; તેથી આ કાર્યોને તેમના નામ પરથી નામ આપવામાં આવ્યું છે. પોમ્પેઈયુના બાંધકામનું વર્ણન અહીં કરવામાં આવ્યું છે. ચાલો વાસ્તવિક સંખ્યાના વાસ્તવિક ઘનમૂળને દર્શાવીએ. ચાલો એકમ અંતરાલમાં પરિમેય સંખ્યાઓની ગણતરી કરીએ. ચાલો સાથે હકારાત્મક વાસ્તવિક સંખ્યાઓ હોઈએ. દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરો દરેક ઇન માટે, શ્રેણીની દરેક મુદત નિરપેક્ષ મૂલ્ય કરતાં ઓછી અથવા સમાન હોય છે, તેથી શ્રેણી સમાનરૂપે વેઇઅરસ્ટ્રાસ-ટેસ્ટ દ્વારા સતત, સખત રીતે વધતા કાર્યમાં એકરૂપ થાય છે. વધુમાં, તે તારણ આપે છે કે દરેક બિંદુ પર જ્યાં સરવાળો મર્યાદિત હોય ત્યાં વિધેય વિકલનક્ષમ છે; અન્ય તમામ બિંદુઓ પર પણ, ખાસ કરીને, દરેક બિંદુ પર, એક હોય છે. ની છબી પસંદગી સુધી ડાબા અંતિમ બિંદુ સાથે બંધ બાઉન્ડેડ અંતરાલ હોવાથી, આપણે ધારી શકીએ છીએ અને ગુણાકાર પરિબળની પસંદગી સુધી આપણે ધારી શકીએ છીએ કે અંતરાલ પોતે જ મેપ કરે છે. તે સખત રીતે વધી રહ્યું હોવાથી તે ઇન્જેક્ટિવ છે, અને તેથી હોમોમોર્ફિઝમ છે; અને ઇન્વર્સ ફંક્શનના તફાવતની પ્રમેય દ્વારા, તેનો ઇન્વર્સ દરેક બિંદુ પર મર્યાદિત વ્યુત્પન્ન ધરાવે છે, જે ઓછામાં ઓછા બિંદુઓ પર અદૃશ્ય થઈ જાય છે. ગુણધર્મો તે જાણીતું છે કે દરેક જગ્યાએ ડિફરન્શીયેબલ ફંક્શન (અને વધુ સામાન્ય રીતે, કોઈપણ બેયર ક્લાસ વન ફંક્શન) ના વ્યુત્પન્નનો શૂન્ય સમૂહ એ વાસ્તવિક રેખાનો સબસેટ છે. વ્યાખ્યા મુજબ, કોઈપણ પોમ્પેયુ કાર્ય માટે, આ સમૂહ ગાઢ સમૂહ છે; તેથી તે શેષ સમૂહ છે. ખાસ કરીને, તેમાં અગણિત ઘણા મુદ્દાઓ છે. પોમ્પેયુ કાર્યોનું રેખીય સંયોજન એક વ્યુત્પન્ન છે, અને સમૂહ પર અદૃશ્ય થઈ જાય છે, જે બેયર શ્રેણી પ્રમેય દ્વારા ગાઢ સમૂહ છે. આમ, પોમ્પેયુ વિધેયો વિધેયોની વેક્ટર જગ્યા બનાવે છે. પોમ્પેયુ વ્યુત્પન્નના એકસમાન અભિસારી ક્રમનું મર્યાદા કાર્ય એ પોમ્પેયુ વ્યુત્પન્ન છે. ખરેખર, તે વ્યુત્પન્નની નિશાની હેઠળ મર્યાદાના પ્રમેયને કારણે વ્યુત્પન્ન છે. વધુમાં, તે ક્રમના કાર્યોના શૂન્ય સમૂહના આંતરછેદમાં અદૃશ્ય થઈ જાય છેઃ કારણ કે આ ગાઢ સમૂહ છે, મર્યાદા કાર્યનો શૂન્ય સમૂહ પણ ગાઢ છે. પરિણામે, અંતરાલ પરના તમામ બાઉન્ડેડ પોમ્પેયુ ડેરિવેટિવ્ઝનો વર્ગ એ સમાન અંતર હેઠળના તમામ બાઉન્ડેડ ફંક્શન્સની બનાચ સ્પેસની બંધ રેખીય સબસ્પેસ છે (તેથી, તે બનાચ સ્પેસ છે). પોમ્પેઈયુ દ્વારા સકારાત્મક વિધેયની ઉપરોક્ત રચના એ પોમ્પેઈયુના વિધેયનું એક વિશિષ્ટ ઉદાહરણ છેઃ વેઇલનો એક પ્રમેય જણાવે છે કે સામાન્ય રીતે પોમ્પેઈયુ વ્યુત્પન્ન ગાઢ સમૂહોમાં સકારાત્મક અને નકારાત્મક બંને મૂલ્યો ધારે છે, ચોક્કસ અર્થમાં કે આવા કાર્યો બનાચ અવકાશના શેષ સમૂહની રચના કરે છે. સંદર્ભો એન્ડ્રુ એમ. બ્રુકનર, "વાસ્તવિક કાર્યોનું તફાવત"; સી. આર. એમ. મોનોગ્રાફ શ્રેણી, મોન્ટ્રીયલ (1994). વાસ્તવિક વિશ્લેષણ