Scallop theorem
ભૌતિકશાસ્ત્રમાં, સ્કેલોપ પ્રમેય જણાવે છે કે એક તરણવીર જે પારસ્પરિક ગતિ કરે છે તે નીચા-રેનોલ્ડ્સ નંબર ન્યુટોનિયન પ્રવાહી વાતાવરણમાં ચોખ્ખું વિસ્થાપન પ્રાપ્ત કરી શકતો નથી, એટલે કે. એક પ્રવાહી જે અત્યંત ચીકણું હોય છે. આવા તરણવીર ગતિની શ્રેણી દ્વારા તેના શરીરને ચોક્કસ આકારમાં વિકૃત કરે છે અને પછી વિપરીત ક્રમમાંથી પસાર થઈને મૂળ આકારમાં પાછા ફરે છે. તેનાથી કોઈ ફરક પડતો નથી કે તરણવીર ક્રમને કેટલો ઝડપી અથવા ધીમો કરે છે. ઓછી રેનોલ્ડ્સ સંખ્યા પર, સમય અથવા જડતા અમલમાં આવતી નથી, અને સ્વિમિંગ ગતિ સંપૂર્ણપણે આકારોના ક્રમ દ્વારા નક્કી થાય છે જે તરણવીર ધારે છે. એડવર્ડ મિલ્સ પર્સેલે તેમના 1977ના પેપર લાઇફ એટ લો રેનોલ્ડ્સ નંબરમાં આ પ્રમેય રજૂ કર્યો હતો, જેમાં જળચર ગતિશીલતાના ભૌતિક સિદ્ધાંતો સમજાવ્યા હતા. આ પ્રમેયને સ્કૉલપની ગતિ માટે નામ આપવામાં આવ્યું છે જે એક સમયગાળા દરમિયાન એક સરળ કાજ ખોલે છે અને બંધ કરે છે. આવી ગતિ ઓછી રેનોલ્ડ્સ સંખ્યાઓ પર સ્થળાંતર કરવા માટે પૂરતી નથી. સ્કૉલપ એ ગતિ માટે ઉપયોગ કરવા માટે એક ડિગ્રીની સ્વતંત્રતા ધરાવતી વસ્તુનું ઉદાહરણ છે. એક ડિગ્રીની સ્વતંત્રતા ધરાવતા પદાર્થો પારસ્પરિક રીતે વિકૃત થાય છે અને ત્યારબાદ, એક ડિગ્રીની સ્વતંત્રતા ધરાવતા પદાર્થો અત્યંત ચીકણા વાતાવરણમાં હલનચલન પ્રાપ્ત કરતા નથી. પૃષ્ઠભૂમિ સ્કેલોપ પ્રમેય એ જીવતંત્ર પર લાગુ થયેલા અનુગામી બળોનું પરિણામ છે કારણ કે તે આસપાસના પ્રવાહીમાંથી તરીને આવે છે. ઘનતા અને ગતિશીલ સ્નિગ્ધતા સાથે અસંપીડ્ય ન્યુટોનિયન પ્રવાહી માટે, પ્રવાહ નેવિયર-સ્ટોક્સ સમીકરણોને સંતોષે છેઃ, જ્યાં પ્રવાહીનો વેગ સૂચવે છે. જો કે, રેનોલ્ડ્સની નીચી સંખ્યા મર્યાદા પર, ડાબી બાજુએ નેવિયર-સ્ટોક્સ સમીકરણોની જડતા શરતો શૂન્ય હોય છે. નેવિઅર-સ્ટોક્સ સમીકરણોને બિન-પરિમાણીય બનાવીને આ વધુ સ્પષ્ટ કરવામાં આવે છે. લાક્ષણિકતા વેગ અને લંબાઈને વ્યાખ્યાયિત કરીને, અને, આપણે આપણા ચલને પરિમાણહીન સ્વરૂપમાં મૂકી શકીએ છીએઃ જ્યાં નોંધપાત્ર ચીકણું અસરો સાથે પ્રવાહ માટે પરિમાણહીન દબાણ યોગ્ય રીતે માપવામાં આવે છે. આ જથ્થાને નેવિયર-સ્ટોક્સ સમીકરણોમાં જોડવાથી આપણને મળે છેઃ અને શરતોને ફરીથી ગોઠવીને, આપણે પરિમાણહીન સ્વરૂપમાં પહોંચીએ છીએઃ, રેનોલ્ડ્સ સંખ્યા ક્યાં છે. ઓછી રેનોલ્ડ્સ સંખ્યા મર્યાદા (એ. એસ.) માં, એલ. એચ. એસ. શૂન્ય તરફ વળે છે અને આપણે સ્ટોક્સ સમીકરણોના પરિમાણહીન સ્વરૂપ પર પહોંચીએ છીએ. ઉપજને પુનઃપરિમાણિત કરવીઃ નિવેદન નીચા રેનોલ્ડ્સ નંબર પર કોઈ જડતા શરતો ન હોવાના પરિણામો આ પ્રમાણે છેઃ એક પરિણામનો અર્થ એ છે કે તરણવીર વર્ચ્યુઅલ રીતે કોઈ ચોખ્ખું બળ અથવા ટોર્ક અનુભવતો નથી. બીજું પરિણામ આપણને જણાવે છે કે વેગ બળના રેખીય પ્રમાણમાં છે (કોણીય વેગ અને ટોર્ક વિશે પણ એવું જ કહી શકાય). સ્ટોક્સના સમીકરણો રેખીય અને સમયથી સ્વતંત્ર બને છે. ખાસ કરીને, નીચા રેનોલ્ડ્સ નંબર શાસનમાં ફરતા તરણવીર માટે, તેની ગતિ સંતોષે છેઃ સમયની સ્વતંત્રતાઃ તે જ ગતિ ઝડપી અથવા ધીમી થઈ શકે છે, અને તે હજુ પણ સ્ટોક્સ સમીકરણોને સંતોષે છે. વધુ ભૌમિતિક રીતે, આનો અર્થ એ છે કે નીચા રેનોલ્ડ્સ નંબર શાસનમાં તરણવીરની ગતિ સંપૂર્ણપણે રૂપરેખાંકન જગ્યામાં તેના માર્ગના આકાર દ્વારા નક્કી થાય છે. કાઇનેમેટિક રિવર્સિબિલિટીઃ એ જ ગતિ ઉલટાવી શકાય છે. શરીર પર કામ કરતા બળોની કોઈપણ તાત્કાલિક ઉલટફેર તેની આસપાસના પ્રવાહી પ્રવાહની પ્રકૃતિને બદલશે નહીં, ફક્ત પ્રવાહની દિશા. આ બળો ગતિ ઉત્પન્ન કરવા માટે જવાબદાર છે. જ્યારે પદાર્થને માત્ર એક ડિગ્રીની સ્વતંત્રતા હોય છે, ત્યારે બળોનું ઉલટું થવું શરીરને પારસ્પરિક રીતે વિકૃત કરવાનું કારણ બનશે. દાખલા તરીકે, તેના કાજને ખોલતો સ્કૉલપ તેને ફક્ત પ્રોપલ્શન પ્રાપ્ત કરવાનો પ્રયાસ કરવા માટે બંધ કરશે. બળોનું ઉલટું થવું પ્રવાહની પ્રકૃતિને બદલતું નથી, તેથી પદાર્થ બરાબર એ જ રીતે વિપરીત દિશામાં આગળ વધશે, જે કોઈ ચોખ્ખું વિસ્થાપન તરફ દોરી જશે નહીં. આ રીતે આપણે સ્કેલોપ પ્રમેયના પરિણામો પર પહોંચીએ છીએ. સ્કેલિંગ દ્વારા પુરાવો આ પર્સેલ દ્વારા આપવામાં આવેલા પ્રૂફ સ્કેચની નજીક છે. મુખ્ય પરિણામ એ બતાવવાનું છે કે સ્ટોક્સ પ્રવાહીમાં તરણવીર સમય પર આધાર રાખતો નથી. એટલે કે, તરણવીરની ગતિ ધીમી થઈ ગઈ છે, ઝડપ વધી છે અથવા ઉલટાવી દેવામાં આવી છે કે કેમ તે કોઈ શોધી શકતું નથી. અન્ય પરિણામો પછી સરળ ઉપસંહાર છે. પ્રવાહીનો સ્ટ્રેસ ટેન્સર છે. ચાલો બિન-શૂન્ય વાસ્તવિક અચળાંક બનીએ. ધારો કે આપણી પાસે સ્વિમિંગ ગતિ છે, તો પછી આપણે નીચેનું સ્કેલિંગ કરી શકીએ છીએઃ અને સ્ટોક્સ સમીકરણનો બીજો ઉકેલ મેળવી શકીએ છીએ. એટલે કે, જો આપણે હાઇડ્રોસ્ટેટિક દબાણ, પ્રવાહ-વેગ અને તણાવ ટેન્સરને બધા દ્વારા માપીએ, તો પણ આપણે સ્ટોક્સ સમીકરણનો ઉકેલ મેળવીએ છીએ. ગતિ નીચા રેનોલ્ડ્સ નંબર શાસનમાં હોવાથી, જડતા બળો નગણ્ય હોય છે, અને તરણવીર પર તાત્કાલિક કુલ બળ અને ટોર્ક બંને શૂન્ય પર સંતુલિત હોવા જોઈએ. તરણવીર પર તાત્કાલિક કુલ બળ અને ટોર્કની ગણતરી તેની સપાટી પર સ્ટ્રેસ ટેન્સરને એકીકૃત કરીને કરવામાં આવે છે, તેથી તાત્કાલિક કુલ બળ અને ટોર્ક પણ વધે છે, જે હજુ પણ શૂન્ય છે. આમ, તરણવીરની ગતિ અને આસપાસના પ્રવાહી ભીંગડાઓની ગતિ બંનેને સમાન પરિબળ દ્વારા માપવાથી, આપણે હજુ પણ એક ગતિ મેળવીએ છીએ જે સ્ટોક્સ સમીકરણને માન આપે છે. વેક્ટર કલન દ્વારા પુરાવો સ્કેલોપ પ્રમેયનો પુરાવો ગાણિતિક રીતે ભવ્ય રીતે રજૂ કરી શકાય છે. આ કરવા માટે, આપણે પહેલા સ્ટોક્સ સમીકરણોની રેખીયતાના ગાણિતિક પરિણામોને સમજવું પડશે. સારાંશમાં, સ્ટોક્સ સમીકરણોની રેખીયતા આપણને તરણવીરના તરવાના વેગને તેની સપાટીની આસપાસના પ્રવાહીના વેગ ક્ષેત્ર (સ્વિમિંગ ગેટ તરીકે ઓળખાય છે) સાથે સંબંધિત કરવા માટે પારસ્પરિક પ્રમેયનો ઉપયોગ કરવાની મંજૂરી આપે છે, જે તે પ્રદર્શિત કરે છે તે સામયિક ગતિ અનુસાર બદલાય છે. આ સંબંધ આપણને એ નિષ્કર્ષ પર આવવા દે છે કે હલનચલન તરવાના દરથી સ્વતંત્ર છે. ત્યારબાદ, આ શોધ તરફ દોરી જાય છે કે સામયિક ગતિનું ઉલટું થવું એ સમપ્રમાણતાને કારણે આગળની ગતિ જેવું જ છે, જેનાથી આપણે એવા નિષ્કર્ષ પર આવી શકીએ કે ત્યાં કોઈ ચોખ્ખું વિસ્થાપન હોઈ શકે નહીં. દર-સ્વતંત્રતા પારસ્પરિક પ્રમેય સમાન ભૂમિતિમાં બે સ્ટોક્સ પ્રવાહ વચ્ચેના સંબંધનું વર્ણન કરે છે જ્યાં સ્નિગ્ધ અસરોની તુલનામાં જડતા અસરો નજીવી હોય છે. એકમ નોર્મલ સાથે સપાટીથી ઘેરાયેલા પ્રવાહીથી ભરેલા પ્રદેશને ધ્યાનમાં લો. ધારો કે આપણી પાસે વેગ ક્ષેત્રોનું સ્વરૂપ ધરાવતા ક્ષેત્રમાં સ્ટોક્સ સમીકરણોના ઉકેલો છે અને. વેગ ક્ષેત્રો અનુક્રમે અનુરૂપ તાણ ક્ષેત્રોને આશ્રય આપે છે. પછી નીચેની સમાનતા ધરાવે છેઃ પારસ્પરિક પ્રમેય આપણને અન્ય પ્રવાહમાંથી માહિતીનો ઉપયોગ કરીને ચોક્કસ પ્રવાહ વિશે માહિતી મેળવવાની મંજૂરી આપે છે. સ્ટોક્સના સમીકરણોને ઉકેલવા કરતાં આ વધુ સારું છે, જે જાણીતી સીમા સ્થિતિ ન હોવાને કારણે મુશ્કેલ છે. આ ખાસ કરીને ઉપયોગી છે જો કોઈ એક જ ભૂમિતિમાં સરળ સમસ્યાના પ્રવાહનો અભ્યાસ કરીને જટિલ સમસ્યામાંથી પ્રવાહને સમજવા માંગે છે. તરણવીરના તરવાના વેગને તેની તરવાની ચાલને આધિન બળ સાથે સાંકળવા માટે પારસ્પરિક પ્રમેયનો ઉપયોગ કરી શકાય છેઃ હવે જ્યારે આપણે સ્થાપિત કર્યું છે કે શરીર પર કાર્ય કરતા બળની દિશામાં તાત્કાલિક તરણ વેગ અને તેની તરવાની ચાલ વચ્ચેનો સંબંધ સામાન્ય સ્વરૂપને અનુસરે છે, જ્યાં અને તરણવીરની સપાટી પરના બિંદુઓની સ્થિતિને સૂચવે છે, ત્યારે આપણે સ્થાપિત કરી શકીએ છીએ કે હલનચલન દરથી સ્વતંત્ર છે. એક તરણવીરનો વિચાર કરો જે સમય અને સમય વચ્ચેની ગતિની શ્રેણી દ્વારા સામયિક રીતે વિકૃત થાય છે. તરણવીરનું ચોખ્ખું વિસ્થાપન છે. હવે તરણવીરને એ જ રીતે પરંતુ અલગ દરે વિકૃત કરવાનું વિચારો. અમે મેપિંગ સાથે આનું વર્ણન કરીએ છીએ. આ નકશાનો ઉપયોગ કરીને, આપણે તે જોઈએ છીએ. આ પરિણામનો અર્થ એ છે કે તરણવીર દ્વારા કાપવામાં આવેલું ચોખ્ખું અંતર તે જે દરે વિકૃત થઈ રહ્યું છે તેના પર નિર્ભર નથી, પરંતુ માત્ર આકારના ભૌમિતિક ક્રમ પર આધાર રાખે છે. આ પ્રથમ મુખ્ય પરિણામ છે. આગળ અને પાછળની ગતિની સમપ્રમાણતા જો તરણવીર સામયિક રીતે આગળ વધી રહ્યો હોય જે સમય અપરિવર્તનશીલ હોય, તો આપણે જાણીએ છીએ કે એક સમયગાળા દરમિયાન સરેરાશ વિસ્થાપન શૂન્ય હોવું જોઈએ. સાબિતીને સમજાવવા માટે, ચાલો આપણે એક સમયગાળા દરમિયાન તરણવીરની વિકૃતિને ધ્યાનમાં લઈએ જે સમયે અને સમયે શરૂ થાય છે અને સમાપ્ત થાય છે. તેનો અર્થ એ કે શરૂઆતમાં અને અંતે તેનો આકાર સમાન છે, એટલે કે. . આગળ, આપણે પ્રથમ ગતિની સમય-વ્યુત્ક્રમ સમપ્રમાણતા દ્વારા પ્રાપ્ત ગતિને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ જે સમયે અને સમયે શરૂ અને અંતના સમયગાળા દરમિયાન થાય છે. અગાઉના વિભાગમાં સમાન મેપિંગનો ઉપયોગ કરીને, આપણે રિવર્સ મોશનમાં આકારને ફોરવર્ડ મોશનમાં આકાર જેવો જ વ્યાખ્યાયિત અને વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ. હવે આપણે આ બે કિસ્સાઓમાં ચોખ્ખા વિસ્થાપન વચ્ચેનો સંબંધ શોધીએ છીએઃ આ બીજું મુખ્ય પરિણામ છે. અગાઉના વિભાગના અમારા પ્રથમ મુખ્ય પરિણામ સાથે જોડાઈને, આપણે તે જોઈએ છીએ. આપણે જોઈએ છીએ કે તરણવીર જે તેના આકારના ફેરફારોના ક્રમને ઉલટાવીને તેની ગતિને ઉલટાવે છે તે મુસાફરી કરેલા વિપરીત અંતર તરફ દોરી જાય છે. વધુમાં, તરણવીર શરીરની પારસ્પરિક વિકૃતિ દર્શાવે છે, તેથી ગતિનો ક્રમ અને અને વચ્ચે સમાન હોય છે. આમ, મુસાફરી કરેલું અંતર સમયની દિશાથી સ્વતંત્ર રીતે સમાન હોવું જોઈએ, જેનો અર્થ છે કે નીચા રેનોલ્ડ્સ નંબર વાતાવરણમાં ચોખ્ખી ગતિ માટે પારસ્પરિક ગતિનો ઉપયોગ કરી શકાતો નથી. અપવાદો સ્કેલોપ પ્રમેય એવું માને છે કે જો આપણે ધારીએ કે તરણવીર જડતા અને બાહ્ય શરીર દળોની ગેરહાજરીમાં અનંત શાંત ન્યુટોનિયન પ્રવાહીમાં પારસ્પરિક ગતિમાંથી પસાર થાય છે. જો કે, એવા કિસ્સાઓ છે કે જ્યાં સ્કેલોપ પ્રમેય માટેની ધારણાઓનું ઉલ્લંઘન કરવામાં આવે છે. એક કિસ્સામાં, ચીકણું વાતાવરણમાં સફળ તરવૈયાઓએ બિન-પારસ્પરિક શરીર ગતિશાસ્ત્ર દર્શાવવું આવશ્યક છે. અન્ય કિસ્સામાં, જો તરણવીર નોન-ન્યુટોનિયન પ્રવાહીમાં હોય, તો હલનચલન પણ પ્રાપ્ત કરી શકાય છે. બિન-પારસ્પરિક ગતિના પ્રકાર તેમના મૂળ પેપરમાં, પર્સેલે બિન-પારસ્પરિક શરીર વિરૂપતાનું એક સરળ ઉદાહરણ રજૂ કર્યું હતું, જે હવે સામાન્ય રીતે પર્સેલ તરણવીર તરીકે ઓળખાય છે. આ સરળ તરણવીર પાસે ગતિ માટે બે ડિગ્રીની સ્વતંત્રતા હોય છેઃ એકબીજા સાથે તબક્કાની બહાર ફરતી ત્રણ કઠોર કડીઓથી બનેલું બે-પાંખવાળું શરીર. જો કે, એક કરતાં વધુ ડિગ્રીની ગતિની સ્વતંત્રતા ધરાવતી કોઈપણ વસ્તુ હલનચલન પણ પ્રાપ્ત કરી શકે છે. સામાન્ય રીતે, બેક્ટેરિયા જેવા સૂક્ષ્મ સજીવોએ બિન-પારસ્પરિક ગતિ કરવા માટે વિવિધ પદ્ધતિઓ વિકસાવી છેઃ ફ્લેજેલમનો ઉપયોગ, જે ફરે છે, માધ્યમને પાછળની તરફ ધકેલે છે-અને કોષને આગળ-તે જ રીતે જે રીતે જહાજનો સ્ક્રૂ જહાજને ખસેડે છે. આ રીતે કેટલાક બેક્ટેરિયા આગળ વધે છે; ફ્લેજેલમ એક છેડે બેક્ટેરિયલ કોષની સપાટીમાં સખત રીતે રાખવામાં આવેલી જટિલ ફરતી મોટર સાથે જોડાયેલું હોય છે. લવચીક હાથનો ઉપયોગઃ આ ઘણી અલગ અલગ રીતે કરી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, સસ્તન પ્રાણીઓના શુક્રાણુઓમાં ફ્લેજેલમ હોય છે, જે ચાબુકની જેમ કોષના છેડે ખસી જાય છે અને કોષને આગળ ધકેલી દે છે. સિલિયા સસ્તન પ્રાણીના ફ્લેજેલા જેવી જ રચનાઓ છે; તેઓ પેરામેસિયમ જેવા કોષને સ્તન સ્ટ્રોકથી અલગ ન હોય તેવી જટિલ ગતિ દ્વારા આગળ વધારી શકે છે. ભૌમિતિક રીતે, ફરતું ફ્લાજેલમ એક-પરિમાણીય તરણવીર છે, અને તે કામ કરે છે કારણ કે તેની ગતિ વર્તુળ આકારની ગોઠવણી જગ્યાની આસપાસ જઈ રહી છે, અને વર્તુળ પારસ્પરિક ગતિ નથી. લવચીક હાથ એક બહુ-પરિમાણીય તરણવીર છે, અને તે કામ કરે છે કારણ કે તેની ગતિ ચોરસ આકારની ગોઠવણી જગ્યામાં એક વર્તુળની આસપાસ જઈ રહી છે. નોંધ લો કે પ્રથમ પ્રકારની ગતિમાં બિન-તુચ્છ હોમોટૉપી હોય છે, પરંતુ બીજા પ્રકારની ગતિમાં તુચ્છ હોમોટૉપી હોય છે. બિન-ન્યુટોનિયન પ્રવાહી ન્યુટોનિયન પ્રવાહીની ધારણા આવશ્યક છે કારણ કે સ્ટોક્સ સમીકરણો જટિલ યાંત્રિક અને રિયોલોજિકલ ગુણધર્મો ધરાવતા વાતાવરણમાં રેખીય અને સમય-સ્વતંત્ર રહેશે નહીં. તે પણ સામાન્ય જ્ઞાન છે કે ઘણા જીવંત સુક્ષ્મસજીવો જટિલ બિન-ન્યુટોનિયન પ્રવાહીમાં રહે છે, જે જૈવિક રીતે સંબંધિત વાતાવરણમાં સામાન્ય છે. દાખલા તરીકે, ક્રોલિંગ કોષો ઘણીવાર સ્થિતિસ્થાપક પોલિમરીક પ્રવાહીમાં સ્થળાંતર કરે છે. નોન-ન્યુટોનિયન પ્રવાહીમાં ઘણા ગુણધર્મો હોય છે જેને નાના પાયે હલનચલન ઉત્પન્ન કરવા માટે હેરફેર કરી શકાય છે. પ્રથમ, આવા એક શોષણક્ષમ ગુણધર્મ એ સામાન્ય તણાવ તફાવત છે. આ તફાવતો તરણવીરના પ્રવાહ દ્વારા પ્રવાહીના ખેંચાણથી ઉદ્ભવે છે. અન્ય શોષણક્ષમ ગુણધર્મ તણાવમાં છૂટછાટ છે. આવા તણાવના આવા સમયના ઉત્ક્રાંતિમાં સ્મૃતિ શબ્દ હોય છે, જો કે આનો ઉપયોગ કેટલી હદે થઈ શકે છે તે મોટે ભાગે અજ્ઞાત છે. છેલ્લે, બિન-ન્યુટોનિયન પ્રવાહીમાં સ્નિગ્ધતા હોય છે જે શીયર દર પર આધારિત હોય છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, તરણવીર તેના ગતિના દરમાં ફેરફાર કરીને રેનોલ્ડ્સ નંબરના અલગ વાતાવરણનો અનુભવ કરશે. ઘણા જૈવિક રીતે સંબંધિત પ્રવાહી શીયર-થિનિંગ દર્શાવે છે, જેનો અર્થ છે કે શીયર દર સાથે સ્નિગ્ધતા ઘટે છે. આવા વાતાવરણમાં, તરણવીર જે દરે પારસ્પરિક ગતિ દર્શાવે છે તે નોંધપાત્ર રહેશે કારણ કે તે હવે સમય અપરિવર્તનશીલ રહેશે નહીં. આ આપણે જે સ્થાપિત કર્યું છે તેનાથી તદ્દન વિપરીત છે જ્યાં તરણવીર જે દરે ચાલે છે તે હલનચલન સ્થાપિત કરવા માટે અપ્રસ્તુત છે. આમ, પારસ્પરિક તરણવીરને બિન-ન્યુટોનિયન પ્રવાહીમાં ડિઝાઇન કરી શકાય છે. ક્યુ એટ અલ. (2014) બિન-ન્યુટોનિયન પ્રવાહીમાં માઇક્રો સ્કેલોપની રચના કરવામાં સક્ષમ હતા. બેક્ટેરિયલ ગતિશીલતા માઇક્રોસ્વિમર પ્રોટેસ્ટ લોકોમોશન સંદર્ભો બાહ્ય કડીઓ ઇ. એમ. પર્સેલ પણ જુઓ. લાઇફ એટ લો રેનોલ્ડ્સ નંબર, અમેરિકન જર્નલ ઓફ ફિઝિક્સ વોલ્યુમ 45, પી. 3-11 (1977) કાઇનેમેટિક રિવર્સિબિલિટી એન્ડ ધ સ્કૉલપ થીયરમ વિડિયો ઓફ એ સ્વિમિંગ રોબોટ સ્કૉલપ થીયરમ ફિઝિક્સ થીયરમ્સ ફ્લુઇડ ડાયનામિક્સ મેથેમેટિકલ એન્ડ થેઓરિટિકલ બાયોલોજીને કારણે ચીકણું પ્રવાહીમાં આગળ વધવામાં અસમર્થ છે.