Alhazen's problem
અલહાઝેનની સમસ્યા, જેને અલહાઝેનની બિલિયર્ડ સમસ્યા તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે, તે ભૌમિતિક ઓપ્ટિક્સમાં એક ગાણિતિક સમસ્યા છે જે સૌપ્રથમ 150 એડીમાં ટોલેમી દ્વારા ઘડવામાં આવી હતી. તેનું નામ 11મી સદીના આરબ ગણિતશાસ્ત્રી અલહાઝેન (ઇબ્ન અલ-હેથમ) ના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે, જેમણે તેમના બુક ઓફ ઓપ્ટિક્સમાં ભૌમિતિક ઉકેલ રજૂ કર્યો હતો. બીજગણિત ઉકેલમાં ક્વાર્ટિક સમીકરણોનો સમાવેશ થાય છે અને તે 1965 માં મળી આવ્યું હતું. ભૌમિતિક રચના સમસ્યામાં બે બિંદુઓમાંથી રેખાઓ દોરવાનો સમાવેશ થાય છે, જે વર્તુળના પરિઘ પર ત્રીજા બિંદુ પર મળે છે અને તે બિંદુ (સ્પેક્યુલર રિફ્લેક્શન) પર નોર્મલ સાથે સમાન ખૂણા બનાવે છે. આમ, ઓપ્ટિક્સમાં તેનો મુખ્ય ઉપયોગ સમસ્યાનું સમાધાન કરવાનો છે, "ગોળાકાર બહિર્મુખ અરીસા પર તે બિંદુ શોધો કે જેના પર આપેલ બિંદુથી આવતા પ્રકાશના કિરણો બીજા બિંદુ પર પ્રતિબિંબિત થવા માટે પ્રહાર કરવો આવશ્યક છે". આ ચોથા ડિગ્રીના સમીકરણ તરફ દોરી જાય છે. (અલહાઝેને પોતે સમસ્યાના આ બીજગણિત પુનર્લેખનનો ક્યારેય ઉપયોગ કર્યો નથી) અલહાઝેનના ઉકેલ ઇબ્ન અલ-હેથમે શંકુ વિભાગો અને ભૌમિતિક સાબિતીનો ઉપયોગ કરીને સમસ્યાનું સમાધાન કર્યું. બીજગણિત ઉકેલ પછીના ગણિતશાસ્ત્રીઓ જેમ કે ક્રિસ્ટિયન હ્યુજેન્સ, જેમ્સ ગ્રેગરી, ગુઇલાઉમ દ લ 'હોપિટાલ, આઇઝેક બેરો અને અન્ય ઘણા લોકોએ વિવિધ પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને સમસ્યાનું બીજગણિત સમાધાન શોધવાનો પ્રયાસ કર્યો, જેમાં ભૂમિતિ અને જટિલ સંખ્યાઓ દ્વારા વ્યુત્પત્તિ વિશ્લેષણાત્મક પદ્ધતિઓનો સમાવેશ થાય છે. સમસ્યાનો બીજગણિત ઉકેલ આખરે સૌપ્રથમ 1965 માં જેક એમ. એલ્કિન (એક એક્ચ્યુરિયન) દ્વારા ક્વાર્ટિક બહુપદી દ્વારા મળી આવ્યો હતો. અન્ય ઉકેલો પછીથી ફરીથી શોધાયા હતાઃ 1989 માં, હેરાલ્ડ રીડે દ્વારા; 1990 માં (1988 માં રજૂ કરાયેલ), મિલર અને વેગ દ્વારા; અને 1992 માં, જ્હોન ડી. સ્મિથ દ્વારા અને જોર્ગ વાલ્ડવોગેલ દ્વારા પણ. 1997માં, ઓક્સફર્ડના ગણિતશાસ્ત્રી પીટર એમ. ન્યુમેને સાબિત કર્યું કે અલહાઝેનની સમસ્યાના સામાન્ય ઉકેલ માટે કોઈ શાસક-અને-વ્યાપક રચના નથી (જોકે 1965માં એલ્કિને યુક્લિડિયન રચનાને પહેલેથી જ પ્રતિકૂળ ઉદાહરણ પૂરું પાડ્યું હતું). સામાન્યીકરણ તાજેતરમાં, મિત્સુબિશી ઇલેક્ટ્રિક રિસર્ચ લેબ્સના સંશોધકોએ અલહાઝેનની સમસ્યાના વિસ્તરણને હાયપરબોલિક, પેરાબોલિક અને લંબગોળ અરીસાઓ સહિત સામાન્ય રોટેશનલલી સિમેટ્રિક ક્વાડ્રિક અરીસાઓમાં હલ કર્યું. તેઓએ બતાવ્યું કે અરીસાના પ્રતિબિંબ બિંદુની ગણતરી સૌથી સામાન્ય કિસ્સામાં આઠમા ડિગ્રીના સમીકરણને હલ કરીને કરી શકાય છે. જો કૅમેરા (આંખ) ને અરીસાની ધરી પર મૂકવામાં આવે, તો સમીકરણની માત્રા ઘટીને છ થઈ જાય છે. અલહાઝેનની સમસ્યાને ગોળાકાર દડાથી બહુવિધ રીફ્રેક્શન સુધી પણ વિસ્તૃત કરી શકાય છે. પ્રકાશ સ્રોત અને ચોક્કસ રીફ્રેક્ટિવ ઇન્ડેક્સનો ગોળાકાર દડો જોતાં, ગોળાકાર દડા પરનો સૌથી નજીકનો બિંદુ જ્યાં પ્રકાશ નિરીક્ષકની આંખ તરફ રીફ્રેક્ટ થાય છે તે દસમા ડિગ્રી સમીકરણને હલ કરીને મેળવી શકાય છે. સંદર્ભો મધ્યયુગીન ઇસ્લામિક વિશ્વમાં ગણિતની ગાણિતિક સમસ્યાઓ ભૌમિતિક ઓપ્ટિક્સ ઇબ્ન અલ-હેથમ