Degrees of freedom (physics and chemistry)
ભૌતિકશાસ્ત્ર અને રસાયણશાસ્ત્રમાં, ડિગ્રી ઓફ ફ્રીડમ એ ભૌતિક પ્રણાલીની સ્થિતિના ઔપચારિક વર્ણનમાં એક સ્વતંત્ર ભૌતિક પરિમાણ છે. પ્રણાલીની તમામ સ્થિતિઓના સમૂહને પ્રણાલીના તબક્કાની જગ્યા તરીકે ઓળખવામાં આવે છે, અને પ્રણાલીની સ્વતંત્રતાની ડિગ્રી એ તબક્કાની જગ્યાના પરિમાણો છે. ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં કણના સ્થાન માટે ત્રણ સ્થિતિ કોઓર્ડિનેટ્સની જરૂર પડે છે. તેવી જ રીતે, કણની દિશા અને ઝડપને ત્રણ વેગ ઘટકોની દ્રષ્ટિએ વર્ણવી શકાય છે, દરેક અવકાશના ત્રણ પરિમાણોના સંદર્ભમાં છે. તેથી, જો પ્રણાલીની સમય ઉત્ક્રાંતિ નિર્ધારક હોય (જ્યાં એક ક્ષણે સ્થિતિ અનન્ય રીતે સમયના કાર્ય તરીકે તેની ભૂતકાળ અને ભવિષ્યની સ્થિતિ અને વેગ નક્કી કરે છે), તો આવી પ્રણાલીમાં છ ડિગ્રી ઓફ ફ્રીડમ હોય છે. જો કણની ગતિ ઓછી સંખ્યામાં પરિમાણો સુધી મર્યાદિત હોય-ઉદાહરણ તરીકે, કણ વાયર સાથે અથવા નિશ્ચિત સપાટી પર આગળ વધવું જોઈએ-તો સિસ્ટમમાં છ ડિગ્રીથી ઓછી સ્વતંત્રતા હોય છે. બીજી બાજુ, વિસ્તૃત પદાર્થ સાથેની સિસ્ટમ કે જે ફેરવી અથવા કંપન કરી શકે છે તેમાં છ ડિગ્રીથી વધુ સ્વતંત્રતા હોઈ શકે છે. શાસ્ત્રીય મિકેનિક્સમાં, કોઈપણ સમયે બિંદુ કણની સ્થિતિને ઘણીવાર લેગ્રેન્જિયન ઔપચારિકતામાં સ્થિતિ અને વેગ કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે અથવા હેમિલ્ટોનિયન ઔપચારિકતામાં સ્થિતિ અને વેગ કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે વર્ણવવામાં આવે છે. આંકડાકીય મિકેનિક્સમાં, ડિગ્રી ઓફ ફ્રીડમ એ સિસ્ટમના માઇક્રોસ્ટેટનું વર્ણન કરતી એક સ્કેલર સંખ્યા છે. સિસ્ટમના તમામ માઇક્રોસ્ટેટ્સનું સ્પષ્ટીકરણ એ સિસ્ટમના તબક્કાની જગ્યામાં એક બિંદુ છે. રસાયણશાસ્ત્રમાં 3D આદર્શ સાંકળ મોડેલમાં, દરેક મોનોમરની દિશાને વર્ણવવા માટે બે ખૂણા જરૂરી છે. તે ઘણીવાર સ્વતંત્રતાની દ્વિઘાત ડિગ્રીનો ઉલ્લેખ કરવા માટે ઉપયોગી છે. આ સ્વતંત્રતાની ડિગ્રી છે જે સિસ્ટમની ઊર્જામાં દ્વિઘાત કાર્યમાં ફાળો આપે છે. કોઈ કઈ ગણતરી કરી રહ્યું છે તેના આધારે, સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીને વ્યાખ્યાયિત કરવાની ઘણી જુદી જુદી રીતો છે, દરેકનું મૂલ્ય અલગ છે. વાયુઓ માટે થર્મોડાયનેમિક ડિગ્રીઝ ઓફ ફ્રીડમ સમીકરણ અનુસાર, ગેસના મોલ દીઠ આંતરિક ઊર્જા બરાબર હોય છે, જ્યાં નિરપેક્ષ તાપમાન હોય છે અને સ્થિર કદ પર ચોક્કસ ઉષ્મા cv = (f) (R/2) હોય છે. R = 8.314 J/(Kmol) એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે, અને "f" એ થર્મોડાયનેમિક (ચતુર્ભુજ) ડિગ્રી ઓફ ફ્રીડમની સંખ્યા છે, જેમાં ઊર્જા કેટલી રીતે આવી શકે છે તેની ગણતરી કરવામાં આવે છે. કોઈપણ અણુ અથવા અણુમાં x, y અને z અક્ષોના સંદર્ભમાં દળના કેન્દ્રની ટ્રાન્સલેશનલ ગતિ (ગતિ ઊર્જા) સાથે સંકળાયેલ ત્રણ ડિગ્રી ઓફ ફ્રીડમ હોય છે. ઉમદા વાયુ પરમાણુઓ જેવી મોનોઆટોમિક પ્રજાતિઓ માટે આ એકમાત્ર ડિગ્રી ઓફ ફ્રીડમ છે. બે કે તેથી વધુ અણુઓ ધરાવતી રચના માટે, સમગ્ર રચનામાં પરિભ્રમણ ગતિ ઊર્જા પણ હોય છે, જ્યાં આખું માળખું એક અક્ષની આસપાસ ફરે છે. એક રેખીય પરમાણુ, જ્યાં તમામ અણુઓ એક જ અક્ષ સાથે આવેલા હોય છે, જેમ કે કોઈપણ દ્વિપરમાણુક અણુ અને કાર્બન ડાયોક્સાઇડ (CO2) જેવા કેટલાક અન્ય અણુઓ, તેમાં બે પરિભ્રમણની ડિગ્રી હોય છે, કારણ કે તે પરમાણુ અક્ષને લંબરૂપ બે અક્ષોમાંથી કોઈ એકને ફેરવી શકે છે. એક બિનરેખીય પરમાણુ, જ્યાં અણુઓ પાણી (H2O) ની જેમ એક જ અક્ષ પર આવેલા નથી, તેમાં સ્વતંત્રતાની ત્રણ પરિભ્રમણ ડિગ્રી હોય છે, કારણ કે તે ત્રણ લંબ અક્ષોમાંથી કોઈપણની આસપાસ ફેરવી શકે છે. ખાસ કિસ્સાઓમાં, જેમ કે શોષાયેલા મોટા અણુઓમાં, સ્વતંત્રતાની પરિભ્રમણની માત્રા માત્ર એક સુધી મર્યાદિત હોઈ શકે છે. બે કે તેથી વધુ અણુઓ ધરાવતું માળખું પણ કંપનશીલ ઊર્જા ધરાવે છે, જ્યાં વ્યક્તિગત અણુઓ એકબીજાના સંદર્ભમાં આગળ વધે છે. ડાયાટોમિક અણુમાં એક પરમાણુ કંપન સ્થિતિ હોય છેઃ બે અણુઓ તેમની વચ્ચેના રાસાયણિક બંધન સાથે આગળ અને પાછળ દોલન કરે છે જે સ્પ્રિંગ તરીકે કામ કરે છે. પરમાણુ ધરાવતા અણુમાં પરમાણુ કંપનની વધુ જટિલ રીતો હોય છે, જેમાં રેખીય અણુ માટે કંપનની રીતો અને બિનરેખીય અણુ માટે રીતો હોય છે. ચોક્કસ ઉદાહરણો તરીકે, રેખીય CO2 અણુમાં ઓસિલેશનની 4 રીતો હોય છે, અને બિનરેખીય પાણીના અણુમાં ઓસિલેશનની 3 રીતો હોય છે દરેક કંપન સ્થિતિમાં બે ઊર્જા શરતો હોય છેઃ ગતિશીલ અણુઓની ગતિ ઊર્જા અને વસંત જેવા રાસાયણિક બંધ (ઓ) ની સંભવિત ઊર્જા. તેથી, કંપનશીલ ઊર્જાની શરતોની સંખ્યા એ રેખીય પરમાણુ માટે સ્થિતિઓ છે અને બિનરેખીય અણુ માટે સ્થિતિઓ છે. પરિભ્રમણ અને કંપન બંને સ્થિતિઓનું પ્રમાણ નક્કી કરવામાં આવે છે, જેમાં ઓછામાં ઓછું તાપમાન સક્રિય કરવાની જરૂર પડે છે. ફ્રીડમની રોટેશનલ ડિગ્રીને સક્રિય કરવા માટે "રોટેશનલ તાપમાન" ઘણા વાયુઓ માટે 100 K કરતા ઓછું હોય છે. N2 અને O2 માટે, તે 3 K કરતા ઓછું હોય છે. નોંધપાત્ર કંપન માટે જરૂરી "કંપનશીલ તાપમાન" 103 K અને 104 K, N2 માટે 3521 K અને O2 માટે 2156 K વચ્ચે હોય છે. લાક્ષણિક વાતાવરણીય તાપમાન N2 અને O2માં કંપનને સક્રિય કરવા માટે પૂરતું ઊંચું નથી, જેમાં મોટાભાગના વાતાવરણનો સમાવેશ થાય છે. (આગામી આંકડો જુઓ.) જો કે, ખૂબ ઓછા વિપુલ પ્રમાણમાં ગ્રીનહાઉસ વાયુઓ પૃથ્વીની સપાટીમાંથી ઇન્ફ્રારેડને શોષીને ટ્રોપોસ્ફિયરને ગરમ રાખે છે, જે તેમની કંપનશીલ સ્થિતિને ઉત્તેજિત કરે છે. આ ઊર્જાનો મોટાભાગનો ભાગ "ગ્રીનહાઉસ અસર" દ્વારા ઇન્ફ્રારેડમાં સપાટી પર પાછો ફેરવવામાં આવે છે. કારણ કે ઓરડાનું તાપમાન (≈ 298 K) લાક્ષણિક પરિભ્રમણ તાપમાનથી ઉપર હોય છે પરંતુ લાક્ષણિક કંપન તાપમાન કરતા ઓછું હોય છે, માત્ર અનુવાદ અને પરિભ્રમણ ડિગ્રી ઓફ ફ્રીડમ, સમાન માત્રામાં, ગરમી ક્ષમતા ગુણોત્તરમાં ફાળો આપે છે. આ જ કારણ છે કે ઓરડાના તાપમાને મોનોટોમિક વાયુઓ માટે ≈ અને ડાયટોમિક વાયુઓ માટે ≈. હવામાં ડાયટોમિક વાયુઓનું પ્રભુત્વ હોવાથી (નાઇટ્રોજન અને ઓક્સિજન લગભગ 99 ટકા યોગદાન આપે છે), તેની દાઢની આંતરિક ઊર્જા = (5/2) ની નજીક છે, જે ડાયટોમિક વાયુઓ દ્વારા પ્રદર્શિત 5 ડિગ્રી ઓફ ફ્રીડમ દ્વારા નક્કી થાય છે. જમણી બાજુનો આલેખ જુઓ. 140 K <<380 K માટે, cv એ (5/2) d થી 1 ટકાથી ઓછો તફાવત ધરાવે છે. ટ્રોપોસ્ફિયર અને સ્ટ્રેટોસ્ફિયરમાં તાપમાનથી ઉપરના તાપમાને જ કેટલાક અણુઓમાં N2 અને O2ની કંપન પદ્ધતિઓને સક્રિય કરવા માટે પૂરતી ઊર્જા હોય છે. જેમ જેમ તાપમાન T = 400 K થી ઉપર વધે છે તેમ તેમ સ્થિર કદ પર ચોક્કસ ઉષ્મા, cv, ધીમે ધીમે (7/2) તરફ વધે છે, જ્યાં cv એ (5/2) d = 717.5 J/(K કિલોગ્રામ) થી 1.3% ઉપર હોય છે. પોઝિશન સ્પષ્ટ કરવા માટે કોઓર્ડિનેટ્સની લઘુતમ સંખ્યાની ગણતરી, પોઝિશન સ્પષ્ટ કરવા માટે જરૂરી કોઓર્ડિનેટ્સની લઘુતમ સંખ્યાનો ઉપયોગ કરીને પણ ડિગ્રી ઓફ ફ્રીડમની ગણતરી કરી શકાય છે. આ નીચે પ્રમાણે કરવામાં આવે છેઃ એક કણ માટે આપણને તેની સ્થિતિ સ્પષ્ટ કરવા માટે 2-D સમતલમાં 2 કોઓર્ડિનેટ્સ અને 3-D અવકાશમાં 3 કોઓર્ડિનેટ્સની જરૂર પડે છે. આમ 3-D જગ્યામાં તેની સ્વતંત્રતાની માત્રા 3 છે. 2 કણો ધરાવતા પદાર્થ માટે (ઉદા. એક ડાયાટોમિક પરમાણુ) તેમની વચ્ચે સતત અંતર સાથે 3-D જગ્યામાં (ધારો કે d) આપણે (નીચે) તેની સ્વતંત્રતાની ડિગ્રી 5 બતાવી શકીએ છીએ. ધારો કે આ શરીરના એક કણમાં સંકલન હોય છે અને બીજામાં અજ્ઞાત સાથે સંકલન હોય છે. બે કોઓર્ડિનેટ્સ વચ્ચેના અંતર માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ એક અજ્ઞાત સાથે એક સમીકરણમાં પરિણમે છે, જેમાં આપણે ઉકેલ લાવી શકીએ છીએ. તેમાંથી એક,,,, અથવા અજ્ઞાત હોઈ શકે છે. શાસ્ત્રીય સમવિભાજન પ્રમેયથી વિપરીત, ઓરડાના તાપમાને, અણુઓની કંપન ગતિ સામાન્ય રીતે ઉષ્મા ક્ષમતામાં નજીવું યોગદાન આપે છે. આનું કારણ એ છે કે સ્વતંત્રતાની આ ડિગ્રીઓ સ્થિર થઈ જાય છે કારણ કે ઊર્જા આઈગનવેલ્યુ વચ્ચેનું અંતર આસપાસના તાપમાન () ને અનુરૂપ ઊર્જા કરતાં વધી જાય છે. સ્વતંત્રતાની સ્વતંત્ર ડિગ્રીઓ સિસ્ટમની સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીઓનો સમૂહ સ્વતંત્ર હોય છે જો સમૂહ સાથે સંકળાયેલી ઊર્જાને નીચેના સ્વરૂપમાં લખી શકાયઃ જ્યાં એકમાત્ર ચલનું કાર્ય છે. ઉદાહરણ તરીકેઃ જો અને તે સ્વતંત્રતાની બે ડિગ્રીઓ છે, અને તે સંકળાયેલ ઊર્જા છેઃ જો, તો પછી સ્વતંત્રતાની બે ડિગ્રીઓ સ્વતંત્ર છે. જો, તો પછી સ્વતંત્રતાની બે ડિગ્રી સ્વતંત્ર નથી. અને ના ઉત્પાદનને સમાવતો શબ્દ એક જોડાણ શબ્દ છે જે સ્વતંત્રતાના બે ડિગ્રી વચ્ચેની ક્રિયાપ્રતિક્રિયાને વર્ણવે છે. 1 થી માટે, સ્વતંત્રતાની th ડિગ્રીનું મૂલ્ય બોલ્ટ્ઝમેન વિતરણ અનુસાર વહેંચવામાં આવે છે. તેનું સંભાવના ઘનતા કાર્ય નીચે મુજબ છેઃ, આ વિભાગમાં, અને સમગ્ર લેખમાં કૌંસ તેઓ બંધ કરેલા જથ્થાના સરેરાશને સૂચવે છે. પ્રણાલીની આંતરિક ઊર્જા એ સ્વતંત્રતાની દરેક ડિગ્રી સાથે સંકળાયેલી સરેરાશ ઊર્જાનો સરવાળો છેઃ સ્વતંત્રતાની ચતુર્ભુજ ડિગ્રી જો સ્વતંત્રતાની આ ડિગ્રી સાથે સંકળાયેલ ઊર્જા શબ્દોને આ રીતે લખી શકાય, જ્યાં સ્વતંત્રતાની અન્ય ચતુર્ભુજ ડિગ્રીઓનું રેખીય સંયોજન છે. ઉદાહરણ તરીકેઃ જો અને તે સ્વતંત્રતાની બે ડિગ્રીઓ છે, અને તે સંકળાયેલ ઊર્જા છેઃ જો, તો પછી સ્વતંત્રતાની બે ડિગ્રીઓ સ્વતંત્ર અને બિન-દ્વિઘાત નથી. જો, તો પછી સ્વતંત્રતાની બે ડિગ્રી સ્વતંત્ર અને બિન-ચતુષ્કોણીય છે. જો, તો પછી સ્વતંત્રતાની બે ડિગ્રી સ્વતંત્ર નથી પરંતુ દ્વિઘાત છે. જો, તો પછી સ્વતંત્રતાની બે ડિગ્રી સ્વતંત્ર અને દ્વિઘાત છે. ઉદાહરણ તરીકે, ન્યુટોનિયન મિકેનિક્સમાં, સ્વતંત્રતાની દ્વિઘાત ડિગ્રીની પ્રણાલીની ગતિશીલતા સતત ગુણાંક સાથે એકરૂપ રેખીય વિભેદક સમીકરણોના સમૂહ દ્વારા નિયંત્રિત થાય છે. દ્વિઘાત અને સ્વતંત્ર ડિગ્રી ઓફ ફ્રીડમ એ દ્વિઘાત અને સ્વતંત્ર ડિગ્રી ઓફ ફ્રીડમ છે જો તેઓ જે પ્રણાલીનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે તેની સૂક્ષ્મ સ્થિતિ સાથે સંકળાયેલી ઊર્જાને આ રીતે લખી શકાયઃ સમીકરણ સિદ્ધાંત આંકડાકીય મિકેનિક્સની શાસ્ત્રીય મર્યાદામાં, થર્મોડાયનેમિક સંતુલન પર, દ્વિઘાત અને સ્વતંત્ર ડિગ્રી ઓફ ફ્રીડમની પ્રણાલીની આંતરિક ઊર્જા છેઃ અહીં, ડિગ્રી ઓફ ફ્રીડમ સાથે સંકળાયેલી સરેરાશ ઊર્જા છેઃ કારણ કે ડિગ્રી ઓફ ફ્રીડમ સ્વતંત્ર છે, તેથી પ્રણાલીની આંતરિક ઊર્જા દરેક ડિગ્રી ઓફ ફ્રીડમ સાથે સંકળાયેલ સરેરાશ ઊર્જાના સરવાળા જેટલી છે, જે પરિણામ દર્શાવે છે. સામાન્યીકરણ તેના તબક્કાની જગ્યામાં એક બિંદુ તરીકે સિસ્ટમની સ્થિતિનું વર્ણન, ગાણિતિક રીતે અનુકૂળ હોવા છતાં, મૂળભૂત રીતે અચોક્કસ માનવામાં આવે છે. ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સમાં, ગતિ ડિગ્રીઝ ઓફ ફ્રીડમને તરંગ કાર્યની વિભાવના સાથે સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે, અને ઓપરેટર્સ કે જે અન્ય ડિગ્રીઝ ઓફ ફ્રીડમને અનુરૂપ હોય છે તેમાં અલગ સ્પેક્ટ્રા હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે, ઇલેક્ટ્રોન અથવા ફોટોન માટે આંતરિક કોણીય મોમેન્ટમ ઓપરેટર (જે રોટેશનલ ફ્રીડમને અનુરૂપ છે) માત્ર બે આઈગન વેલ્યુ ધરાવે છે. આ વિસંગતતા ત્યારે સ્પષ્ટ થાય છે જ્યારે ક્રિયામાં પ્લેન્ક અચળાંકની તીવ્રતાનો ક્રમ હોય છે, અને સ્વતંત્રતાની વ્યક્તિગત ડિગ્રીને અલગ કરી શકાય છે. સંદર્ભો ભૌતિક જથ્થા પરિમાણ