Kunerth's algorithm
કુનેર્થનું અલ્ગોરિધમ એ સંખ્યાના મોડ્યુલર વર્ગમૂળ નક્કી કરવા માટેનું એક અલ્ગોરિધમ છે. અલ્ગોરિધમને મોડ્યુલસના ફેક્ટરાઇઝેશનની જરૂર નથી, અને તેમાં માત્ર એક જ મોડ્યુલર ઓપરેશન હોય છે જે ઘણીવાર સરળ હોય છે જો સાઇફર પ્રાઇમ હોય. શોધવા માટે નીચેના પગલાંઓ 1) તેનું મોડ્યુલર વર્ગમૂળ શોધો આ પગલું એકદમ સરળ છે, ભલે મૂળ મોડ્યુલસ ગમે તેટલું મોટું હોય, જો તે અવિભાજ્ય હોય. 2) ના મોડ્યુલર વર્ગમૂળ સાથે સંકળાયેલ દ્વિઘાત સમીકરણને હલ કરો. તેમના મૂળ પેપરમાં કુનેર્થના મોટાભાગના ઉદાહરણો C ને કુદરતી વર્ગ બનાવીને આ સમીકરણને હલ કરે છે અને આમ z ને શૂન્ય સુયોજિત કરે છે. ચતુર્ભુજ મેળવવા માટે નીચેના સમીકરણને વિસ્તૃત કરો જો પછી તમે હંમેશા ખાતરી કરી શકો કે ઉપરોક્ત સમીકરણમાં N પદ (મોડ્યુલસ) ને સમાયોજિત કરીને ચતુર્ભુજ હલ કરી શકાય છે. આમ તમે પછી C + F એ ચોરસ છે તેની ખાતરી કરવા માટે F ને સમાયોજિત કરી શકો છો. તદ્દન મોટા મોડ્યુલા, જેમ કે આ પદ્ધતિ દ્વારા તેમના વર્ગમૂળ ઝડપથી લઈ શકાય છે. બહુપદી વિસ્તરણના પરિમાણો એકદમ પ્રવાહી છે, ઉદાહરણ તરીકે, તેમાં કરી શકાય છે. X અને Y ને સેટ કરવું ખૂબ જ સરળ છે જેથી તે ચોરસ હોય. નું મોડ્યુલર વર્ગમૂળ આ રીતે લઈ શકાય છે. 3) સંકળાયેલ વર્ગાત્મક સમીકરણને હલ કર્યા પછી હવે આપણી પાસે ચલ w છે અને v = r ને સુયોજિત કરો (જો વર્ગમાં C એ કુદરતી વર્ગ હોય તો). 4) વધુ બે ચલ, આલ્ફા અને બીટા માટે નીચેના સમીકરણ આલ્ફા = = ડબલ્યુ (વી + ડબલ્યુ બીટા) દ્વારા ઉકેલો આ મોડ્યુલર ઓપરેશન નથી અને આલ્ફા અને બીટામાં ઘણા જોડીદાર જવાબો હોઈ શકે છે. 5) નીચેની બહુપદીના ગુણાંકકરણ દ્વારા X માટે મૂલ્ય મેળવો. જેમ કે (-37 + 9 x) (1 + 25 x) 6) સમીકરણ દ્વારા મોડ્યુલર વર્ગમૂળ મેળવો. X સેટ કરવાનું યાદ રાખો જેથી ઉપરનો શબ્દ શૂન્ય હોય. આમ X એ 37/9 અથવા-1/25 હશે. ઉદાહરણ પ્રથમ મેળવવા માટે પછી નીચેની બહુપદીને વિસ્તૃત કરો જે છે કારણ કે, આ કિસ્સામાં ચતુર્ભુજમાં C શબ્દ એક કુદરતી વર્ગ છે, પછી સેટ કરો અને (જો z નું મૂલ્ય હોય તો સેટ કરો) W અને V આલ્ફા = = W (V + W * બીટા) ને સમાવતા નીચેના સમીકરણમાં આલ્ફા અને બીટા માટે ઉકેલો, જેનો જવાબ આલ્ફા = 15 અને બીટા =-2 મળે છે. (આ સમીકરણના ઘણા જોડીદાર જવાબો હોઈ શકે છે) પછી નીચેની બહુપદી મેળવવાનું પરિબળ બનાવો પછી ચકાસો કે મોડ્યુલર વર્ગમૂળ મેળવો. વર્ગમૂળની ગણતરીની પદ્ધતિઓ એડોલ્ફ કુનેર્થ, "સિટ્ઝુંગસ્બેરિચ્ટે" પણ જુઓ. એકેડેમી ડેર વિસેનશાફ્ટેન "વોલ્યુમ 75, II, 1877, પીપી. 7-58 એડોલ્ફ કુનેર્થ, "સિટ્ઝુંગસ્બેરિચ્ટે. એકેડેમી ડેર વિસેનશાફ્ટેન "વોલ્યુમ 82, II, 1880, પીપી. 342-375 સંદર્ભો ગણિતના લેખોને નિષ્ણાત ધ્યાનની જરૂર છે અલ્ગોરિધમ્સ ક્રિપ્ટોગ્રાફિક અલ્ગોરિધમ્સ