Eigenvalues and eigenvectors of the second derivative
વિવિધ સીમા શરતો સાથે બીજા વ્યુત્પન્નના આઈગનવેલ્યુ અને આઈગનવેક્ટર્સ માટે સ્પષ્ટ સૂત્રો સતત અને સ્વતંત્ર બંને કિસ્સાઓ માટે પ્રદાન કરવામાં આવે છે. સ્વતંત્ર કિસ્સામાં, બીજા વ્યુત્પન્નના પ્રમાણભૂત કેન્દ્રીય તફાવત અંદાજનો ઉપયોગ સમાન ગ્રીડ પર થાય છે. આ સૂત્રોનો ઉપયોગ વેરિયેબલ્સના વિભાજનના કિસ્સામાં લેપલેસિયનના આઈગનફંક્શન્સ માટે અભિવ્યક્તિઓ મેળવવા માટે થાય છે, તેમજ નિયમિત ગ્રીડ પર બહુ-પરિમાણીય અલગ લેપલેસિયનના આઈગનવેલ્યુઝ અને આઈગનવેક્ટર્સ શોધવા માટે થાય છે, જેને એક-પરિમાણમાં અલગ લેપલેસિયનના ક્રોનેકર સરવાળા તરીકે રજૂ કરવામાં આવે છે. સતત કેસ અનુક્રમણિકા j એ jth આઈગન વેલ્યુ અથવા આઈગનવેક્ટરનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે અને 1 થી 1 સુધી ચાલે છે. ધારો કે સમીકરણ ડોમેન પર વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે, નીચેના આઈગનવેલ્યુઝ અને નોર્મલાઇઝ્ડ આઈગનવેક્ટર્સ છે. આઈગન વેલ્યુઓને ઉતરતા ક્રમમાં ક્રમ આપવામાં આવે છે. શુદ્ધ ડિરીક્લેટ સીમા શરતો શુદ્ધ ન્યુમેન સીમા શરતો સામયિક સીમા શરતો (એટલે કેઃ એક સરળ આઈગન મૂલ્ય છે અને આગળના તમામ આઈગન મૂલ્યો દ્વારા આપવામાં આવે છે, દરેક ગુણાકાર 2 સાથે). મિશ્ર ડિરીક્લેટ-ન્યુમેન બાઉન્ડ્રી શરતો મિશ્ર ન્યુમેન-ડિરીક્લેટ બાઉન્ડ્રી શરતો અલગ કેસ નોટેશનઃ અનુક્રમણિકા j એ jth આઈગન વેલ્યુ અથવા આઈગનવેક્ટરને રજૂ કરે છે. અનુક્રમણિકા i એ આઈગનવેક્ટરના ith ઘટકને રજૂ કરે છે. i અને j બંને 1 થી n સુધી જાય છે, જ્યાં મેટ્રિક્સનું કદ n x n હોય છે. આઈગન વેલ્યુઓને ઉતરતા ક્રમમાં ક્રમ આપવામાં આવે છે. શુદ્ધ ડિરીક્લેટ બાઉન્ડ્રી શરતો શુદ્ધ ન્યુમેન બાઉન્ડ્રી શરતો સામયિક બાઉન્ડ્રી શરતો (નોંધ કરો કે 0 સિવાય આઇગનવેલ્યુ પુનરાવર્તિત થાય છે અને જો n સમ હોય તો સૌથી મોટું.) મિશ્ર ડિરીક્લેટ-ન્યુમેન બાઉન્ડ્રી શરતો મિશ્ર ન્યુમેન-ડિરીક્લેટ બાઉન્ડ્રી શરતો ડિસ્ક્રીટ કેસ ડિરીક્લેટ કેસમાં આઈગનવેલ્યુઝ અને આઈગનવેક્ટર્સની વ્યુત્પત્તિ 1D ડિસ્ક્રીટ કેસમાં ડિરીક્લેટ બાઉન્ડ્રી શરતો સાથે, આપણે ફરીથી ગોઠવવાની શરતોને હલ કરી રહ્યા છીએ, હવે ચાલો. ઉપરાંત, ધારીએ તો, આપણે કોઈપણ બિન-શૂન્ય સ્કેલર દ્વારા આઈગનવેક્ટર્સને સ્કેલ કરી શકીએ છીએ, જેથી સ્કેલ કરો. પછી આપણે પુનરાવર્તનને અનિશ્ચિત તરીકે ધ્યાનમાં લેતા જોઈએ છીએ, જ્યાં બીજા પ્રકારની kth ચેબીશેવ બહુપદી છે. ત્યારથી, આપણને તે મળે છે. તે સ્પષ્ટ છે કે આપણી સમસ્યાના આઈગન વેલ્યુ બીજા પ્રકારની n મી ચેબીશેવ બહુપદીના શૂન્ય હશે, સંબંધ સાથે. આ શૂન્ય સારી રીતે જાણીતા છે અને તે છેઃ માટે સૂત્રમાં આને જોડવું, અને સરળ બનાવવા માટે ટ્રિગ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, આપણે ન્યુમેન કેસ શોધીએ છીએ. આંતરિક ગ્રીડ બિંદુઓ અને ગ્રીડ અંતર સાથે આ ચોક્કસપણે ડિરીક્લેટ સૂત્ર છે. આપણે ઉપર જે જોયું તેના જેવું જ, ધારીએ તો, આપણને મળે છે આ આપણને આઈગનવેલ્યુ આપે છે અને ત્યાં છે. જો આપણે એવી ધારણાને પડતી મૂકીએ કે, આપણે શોધી કાઢીએ કે તેની સાથે પણ એક ઉકેલ છે અને આ આઈગન વેલ્યુને અનુરૂપ છે. ઉપરના સૂત્રમાં સૂચકાંકોને ફરીથી લેબલ કરીને અને શૂન્ય આઈગન વેલ્યુ સાથે જોડીને, આપણે મેળવીએ છીએ, ડિરીક્લેટ-ન્યુમેન કેસ ડિરીક્લેટ-ન્યુમેન કેસ માટે, આપણે હલ કરી રહ્યા છીએ, જ્યાં આપણે સહાયક ચલ રજૂ કરવાની જરૂર છે. ઉપરાંત, આપણે જાણીએ છીએ અને ધારીએ છીએ કે, આપણે માપ કરી શકીએ છીએ જેથી આપણે લખી પણ શકીએ આ ત્રણ સમીકરણોનું સાચું સંયોજન લઈને, આપણે મેળવી શકીએ છીએ અને આ રીતે આપણી નવી પુનરાવૃત્તિ આપણી આઈગન વેલ્યુ સમસ્યાનું સમાધાન કરશે જ્યારે આપણને ઉકેલ મળે ત્યારે આપણી નવી પુનરાવૃત્તિ આપે છે જ્યાં ફરીથી બીજા પ્રકારની kth ચેબીશેવ બહુપદી છે. અને આપણી ન્યુમેન સીમા સ્થિતિ સાથે જોડાઈને, આપણી પાસે એક જાણીતું સૂત્ર છે જે પ્રથમ પ્રકારની ચેબીશેવ બહુપદીઓને બીજા પ્રકારની બહુપદીઓ સાથે સંબંધિત કરે છે. (n + 1) મી કિંમત આપણને શૂન્ય વેક્ટરને આઈગન વેક્ટર તરીકે આઈગન વેલ્યુ 0 સાથે આપે છે, જે તુચ્છ છે. આ મૂળ પુનરાવૃત્તિ પર પાછા આવીને જોઈ શકાય છે. તેથી આપણે આ મૂલ્યોમાંથી માત્ર પ્રથમ n ને ડિરીક્લેટ-ન્યુમેન સમસ્યાના n આઈગનવેલ્યુ તરીકે ગણીએ છીએ. સંદર્ભ સંચાલક સિદ્ધાંત મેટ્રિક્સ સિદ્ધાંત આંકડાકીય વિભેદક સમીકરણો મર્યાદિત તફાવતો