Elliptical distribution
સંભાવના અને આંકડામાં, લંબગોળ વિતરણ એ સંભાવના વિતરણના વ્યાપક પરિવારનો કોઈપણ સભ્ય છે જે બહુપરીમાણીય સામાન્ય વિતરણને સામાન્ય બનાવે છે. સહજ ભાવે, સરળીકૃત બે અને ત્રિ-પરિમાણીય કિસ્સામાં, સંયુક્ત વિતરણ સમઘન-ઘનતા પ્લોટ્સમાં અનુક્રમે લંબગોળ અને લંબગોળ બનાવે છે. આંકડામાં, સામાન્ય વિતરણનો ઉપયોગ શાસ્ત્રીય બહુભિન્નરૂપી વિશ્લેષણમાં થાય છે, જ્યારે લંબગોળ વિતરણનો ઉપયોગ સામાન્યીકૃત બહુભિન્નરૂપી વિશ્લેષણમાં થાય છે, જે બહુભિન્નરૂપી ટી-વિતરણ અથવા હળવા (સામાન્ય વિતરણની સરખામણીમાં) જેવી ભારે પૂંછડીઓ સાથે સમપ્રમાણ વિતરણના અભ્યાસ માટે થાય છે. કેટલીક આંકડાકીય પદ્ધતિઓ કે જે મૂળરૂપે સામાન્ય વિતરણના અભ્યાસ દ્વારા પ્રેરિત હતી તે સામાન્ય લંબગોળ વિતરણ (મર્યાદિત ભિન્નતા સાથે) માટે સારી કામગીરી ધરાવે છે, ખાસ કરીને ગોળાકાર વિતરણ માટે (જે નીચે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવી છે). પ્રસ્તાવિત બહુવિધ-આંકડાકીય પ્રક્રિયાઓનું મૂલ્યાંકન કરવા માટે મજબૂત આંકડાશાસ્ત્રમાં લંબગોળ વિતરણનો પણ ઉપયોગ થાય છે. વ્યાખ્યા લંબગોળ વિતરણોને સંભાવના સિદ્ધાંતના લાક્ષણિક કાર્યની દ્રષ્ટિએ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. યુક્લિડિયન અવકાશ પર રેન્ડમ વેક્ટરનું લંબગોળ વિતરણ હોય છે જો તેનું લાક્ષણિક કાર્ય કેટલાક સ્થાન પરિમાણો, કેટલાક બિન-નકારાત્મક-નિશ્ચિત મેટ્રિક્સ અને કેટલાક સ્કેલર કાર્ય માટે નીચેના કાર્યાત્મક સમીકરણ (દરેક સ્તંભ-વેક્ટર માટે) ને સંતોષે છે. વાસ્તવિક રેન્ડમ-વેક્ટર માટે લંબગોળ વિતરણની વ્યાખ્યાને જટિલ સંખ્યાઓના ક્ષેત્રમાં યુક્લિડિયન જગ્યાઓમાં રેન્ડમ વેક્ટરને સમાવવા માટે વિસ્તૃત કરવામાં આવી છે, જેથી સમય-શ્રેણી વિશ્લેષણમાં ઉપયોગોને સરળ બનાવી શકાય. લંબગોળ વિતરણમાંથી સ્યુડો-રેન્ડમ વેક્ટર પેદા કરવા માટે કોમ્પ્યુટેશનલ પદ્ધતિઓ ઉપલબ્ધ છે, ઉદાહરણ તરીકે મોન્ટે કાર્લો સિમ્યુલેશનમાં ઉપયોગ માટે. કેટલાક લંબગોળ વિતરણોને વૈકલ્પિક રીતે તેમના ઘનતા કાર્યોની દ્રષ્ટિએ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. ઘનતા વિધેય f સાથેનું લંબગોળ વિતરણ આ સ્વરૂપ ધરાવે છેઃ જ્યાં સામાન્યીકરણ અચળાંક હોય છે, તે મધ્ય વેક્ટર સાથેનું એક-પરિમાણીય રેન્ડમ વેક્ટર છે (જે પછીનું અસ્તિત્વમાં હોય તો સરેરાશ વેક્ટર પણ હોય છે), અને તે એક સકારાત્મક ચોક્કસ મેટ્રિક્સ છે જે સહપરિવર્તન મેટ્રિક્સના પ્રમાણસર હોય છે જો પછીનું અસ્તિત્વમાં હોય. ઉદાહરણોમાં નીચેના બહુપરીમાણીય સંભાવના વિતરણોનો સમાવેશ થાય છેઃ બહુપરીમાણીય સામાન્ય વિતરણ બહુપરીમાણીય ટી-વિતરણ સમમિત મલ્ટીવેરિયેટ સ્થિર વિતરણ સમમિત મલ્ટીવેરિયેટ લાપ્લાસ વિતરણ બહુપરીમાણીય લોજિસ્ટિક વિતરણ બહુપરીમાણીય સમમિત સામાન્ય હાયપરબોલિક વિતરણ ગુણધર્મો 2-પરિમાણીય કિસ્સામાં, જો ઘનતા અસ્તિત્વમાં હોય, તો દરેક આઇસો-ડેન્સિટી લોકસ (x1, x2 જોડીનો સમૂહ જે તમામ ચોક્કસ મૂલ્ય આપે છે) એક લંબગોળ અથવા લંબગોળનું જોડાણ છે (તેથી તેનું નામ લંબગોળ વિતરણ). વધુ સામાન્ય રીતે, આર્બિટરી એન માટે, આઇસો-ડેન્સિટી લોકી એ લંબગોળનું જોડાણ છે. આ તમામ લંબચોરસ અથવા લંબચોરસ સામાન્ય કેન્દ્ર ધરાવે છે અને એકબીજાની સ્કેલ કરેલી નકલો (હોમોથેટ્સ) છે. મલ્ટિવેરિયેટ નોર્મલ ડિસ્ટ્રિબ્યુશન એ ખાસ કેસ છે જેમાં. જ્યારે મલ્ટિવેરિયેટ નોર્મલ અમર્યાદિત હોય છે (દરેક તત્વ બિન-શૂન્ય સંભાવના સાથે મનસ્વી રીતે મોટા હકારાત્મક અથવા નકારાત્મક મૂલ્યો લઈ શકે છે, કારણ કે તમામ બિન-નકારાત્મક માટે), સામાન્ય રીતે લંબગોળ વિતરણો બંધાયેલ અથવા અમર્યાદિત હોઈ શકે છે-જો કેટલાક મૂલ્ય કરતાં બધા માટે વધારે હોય તો આવા વિતરણ બંધાયેલ હોય છે. ત્યાં લંબગોળ વિતરણો છે જે અવ્યાખ્યાયિત સરેરાશ ધરાવે છે, જેમ કે કોચી વિતરણ (અવિભાજ્ય કિસ્સામાં પણ). જો સંયુક્ત રીતે લંબગોળ રેન્ડમ વેક્ટરના બે સબસેટ અસંબદ્ધ હોય, તો જો તેમના માધ્યમો અસ્તિત્વમાં હોય તો તેઓ એકબીજાથી સ્વતંત્ર હોય છે (અન્ય સબવેક્ટરના મૂલ્ય પર શરતી દરેક સબવેક્ટરનો સરેરાશ બિનશરતી સરેરાશ બરાબર હોય છે). જો રેન્ડમ વેક્ટર X લંબગોળ રીતે વહેંચાયેલું હોય, તો તે જ રીતે સંપૂર્ણ પંક્તિ ક્રમ સાથે કોઈપણ મેટ્રિક્સ D માટે DX છે. આમ X ના ઘટકોનું કોઈપણ રેખીય સંયોજન લંબગોળ હોય છે (જોકે તે જ લંબગોળ વિતરણ સાથે જરૂરી નથી), અને X નો કોઈપણ સબસેટ લંબગોળ હોય છે. એપ્લિકેશન્સ લંબગોળ વિતરણોનો ઉપયોગ આંકડાશાસ્ત્ર અને અર્થશાસ્ત્રમાં થાય છે. ગાણિતિક અર્થશાસ્ત્રમાં, લંબગોળ વિતરણનો ઉપયોગ ગાણિતિક નાણામાં પોર્ટફોલિયોને વર્ણવવા માટે કરવામાં આવે છે. આંકડાશાસ્ત્રઃ સામાન્યીકૃત બહુપરીમાણીય વિશ્લેષણ આંકડામાં, બહુપરીમાણીય સામાન્ય વિતરણ (ગૌસનું) નો ઉપયોગ શાસ્ત્રીય બહુપરીમાણીય વિશ્લેષણમાં થાય છે, જેમાં અંદાજ અને પૂર્વધારણા-પરીક્ષણ માટેની મોટાભાગની પદ્ધતિઓ સામાન્ય વિતરણ માટે પ્રેરિત હોય છે. ક્લાસિકલ મલ્ટીવેરિયેટ વિશ્લેષણથી વિપરીત, સામાન્યીકૃત મલ્ટીવેરિયેટ વિશ્લેષણ સામાન્યતાના પ્રતિબંધ વિના લંબગોળ વિતરણ પરના સંશોધનનો સંદર્ભ આપે છે. યોગ્ય લંબગોળ વિતરણ માટે, કેટલીક શાસ્ત્રીય પદ્ધતિઓમાં સારા ગુણધર્મો ચાલુ રહે છે. મર્યાદિત-ભિન્નતા ધારણાઓ હેઠળ, કોચરાનના પ્રમેય (દ્વિઘાત સ્વરૂપોના વિતરણ પર) નું વિસ્તરણ ધરાવે છે. ગોળાકાર વિતરણ શૂન્ય સરેરાશ અને તફાવત સાથેના લંબગોળ વિતરણને ગોળાકાર વિતરણ કહેવામાં આવે છે જ્યાં ઓળખ-મેટ્રિક્સ છે. ગોળાકાર વિતરણ માટે, પરિમાણ-અંદાજ અને પૂર્વધારણા-પરીક્ષણ પકડ પરના શાસ્ત્રીય પરિણામો લંબાવવામાં આવ્યા છે. સમાન પરિણામો રેખીય નમૂનાઓ માટે અને ખરેખર જટિલ નમૂનાઓ માટે પણ છે (ખાસ કરીને વૃદ્ધિ વક્ર નમૂના માટે). બહુપરીમાણીય નમૂનાઓનું વિશ્લેષણ બહુપરીમાણીય બીજગણિત (ખાસ કરીને ક્રોનેકર ઉત્પાદનો અને વેક્ટરાઇઝેશન) અને મેટ્રિક્સ કલનનો ઉપયોગ કરે છે. મજબૂત આંકડાશાસ્ત્રઃ અસિંપ્ટોટિક્સ લંબગોળ વિતરણનો બીજો ઉપયોગ મજબૂત આંકડાશાસ્ત્રમાં થાય છે, જેમાં સંશોધકો વધુ સામાન્ય સમસ્યાઓ પર પ્રક્રિયાઓના પ્રદર્શનની સમજ મેળવવા માટે, લંબગોળ વિતરણના વર્ગ પર આંકડાકીય પ્રક્રિયાઓ કેવી રીતે કાર્ય કરે છે તેની તપાસ કરે છે, ઉદાહરણ તરીકે આંકડાશાસ્ત્રના મર્યાદિત સિદ્ધાંત ("એસિમ્પ્ટોટિક્સ") નો ઉપયોગ કરીને. પોર્ટફોલિયો થિયરીમાં અર્થશાસ્ત્ર અને નાણા લંબગોળ વિતરણ મહત્વપૂર્ણ છે કારણ કે, જો પોર્ટફોલિયોની રચના માટે ઉપલબ્ધ તમામ અસ્કયામતો પરનું વળતર સંયુક્ત રીતે લંબગોળ રીતે વહેંચવામાં આવે છે, તો પછી તમામ પોર્ટફોલિયોને તેમના સ્થાન અને સ્કેલ દ્વારા સંપૂર્ણપણે વર્ગીકૃત કરી શકાય છે-એટલે કે, સમાન સ્થાન અને પોર્ટફોલિયો વળતરના સ્કેલ સાથેના કોઈપણ બે પોર્ટફોલિયોમાં પોર્ટફોલિયો વળતરનું સમાન વિતરણ હોય છે. પોર્ટફોલિયો વિશ્લેષણની વિવિધ વિશેષતાઓ, જેમાં મ્યુચ્યુઅલ ફંડ સેપરેશન થીયરમ્સ અને કેપિટલ એસેટ પ્રાઇસિંગ મોડલનો સમાવેશ થાય છે, તે તમામ લંબગોળ વિતરણ માટે લાગુ પડે છે. નોંધો સંદર્ભો મૂળરૂપે વધુ વાંચન કાગળોનો સંગ્રહ. સંભાવના વિતરણના પ્રકાર સ્થાન-સ્કેલ કૌટુંબિક સંભાવના વિતરણ બહુવિધ આંકડા સામાન્ય વિતરણ