Pochhammer contour
ગણિતમાં, અને દ્વારા રજૂ કરાયેલ પોચેમર સમોચ્ચ એ જટિલ સમતલમાં એક સમોચ્ચ છે જેમાં બે બિંદુઓ દૂર કરવામાં આવે છે, જેનો ઉપયોગ સમોચ્ચ એકીકરણ માટે થાય છે. જો A અને B બે બિંદુઓની આસપાસ લૂપ હોય, તો બંને અમુક નિશ્ચિત બિંદુ P થી શરૂ થાય છે, તો પોચેમર સમોચ્ચ એ પરિવર્તક ABA −1B −1 છે, જ્યાં સુપરસ્ક્રિપ્ટ −1 વિરુદ્ધ દિશામાં લેવામાં આવેલા માર્ગને સૂચવે છે. 0 અને 1 તરીકે લેવામાં આવેલા બે બિંદુઓ સાથે, નિશ્ચિત આધારબિંદુ P તેમની વચ્ચેના વાસ્તવિક અક્ષ પર હોવાથી, એક ઉદાહરણ એ માર્ગ છે જે P થી શરૂ થાય છે, ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં બિંદુ 1 ને ઘેરી લે છે અને P પર પાછો આવે છે, પછી 0 ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં ફરે છે અને P પર પાછા આવે છે, તે પછી 1 અને પછી 0 ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં, P પર પાછા આવતા પહેલા. સમોચ્ચનો વર્ગ એક વાસ્તવિક પરિવર્તક છે જ્યારે તેને બે બિંદુઓના જટિલ સમતલ (અથવા રીમાન ગોળા) માં પૂરકના આધારબિંદુ P સાથે મૂળભૂત જૂથમાં ગણવામાં આવે છે. જ્યારે સમોચ્ચ સંકલન લેવાની વાત આવે છે, ત્યારે બેઝપોઈન્ટને P થી બીજી પસંદગી Q તરફ ખસેડવાથી પરિણામમાં કોઈ ફરક પડતો નથી, કારણ કે P થી Q અને પાછળના સંકલન રદ થશે. શૂન્ય માટે સમરૂપ પરંતુ શૂન્ય માટે સમસ્થાનિક નથી બમણું પંચર કરેલ સમતલની અંદર આ વળાંક શૂન્ય માટે સમસ્થાનિક છે પરંતુ શૂન્ય માટે સમસ્થાનિક નથી. બમણું પંચર કરેલ સમતલમાં તેને એક પણ બિંદુ સુધી સંકોચી શકાતું નથી તે હકીકત હોવા છતાં કોઈપણ બિંદુ વિશે તેની વળાંક સંખ્યા 0 છે. એપ્લિકેશન્સ બીટા ફંક્શન યુલરના ઇન્ટિગ્રલ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જો કે α અને β ના વાસ્તવિક ભાગો પોઝિટિવ હોય છે, જેને પોચેમર સમોચ્ચ C પર ઇન્ટિગ્રલમાં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે કારણ કે સમોચ્ચ ઇન્ટિગ્રલ α અને β ના તમામ મૂલ્યો માટે એકરૂપ થાય છે અને તેથી બીટા ફંક્શનનું વિશ્લેષણાત્મક સાતત્ય આપે છે. હાયપરજિયોમેટ્રિક કાર્ય માટે યુલરના ઇન્ટિગ્રલને તેની વિશ્લેષણાત્મક સાતત્યતા આપવા માટે સમાન પદ્ધતિ લાગુ કરી શકાય છે. નોંધો સંદર્ભો વિશેષ કાર્યો