Kiepert conics
ત્રિકોણ ભૂમિતિમાં, કીપર્ટ શંકુ એ સંદર્ભ ત્રિકોણ સાથે સંકળાયેલા બે વિશેષ શંકુ છે. તેમાંથી એક હાયપરબોલા છે, જેને કીપર્ટ હાયપરબોલા કહેવાય છે અને બીજો પેરાબોલા છે, જેને કીપર્ટ પેરાબોલા કહેવાય છે. કીપર્ટ શંકુને નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છેઃ જો ત્રણ ત્રિકોણ, અને, ત્રિકોણની બાજુઓ પર પાયા તરીકે બાંધવામાં આવે, તો સમાન હોય, સમદ્વિબાહુ હોય અને સમાન રીતે સ્થિત હોય, તો ત્રિકોણ અને પરિપ્રેક્ષ્યમાં હોય છે. જેમ જેમ સમદ્વિબાહુ ત્રિકોણોનો આધાર કોણ અને વચ્ચે બદલાય છે, ત્રિકોણના પરિપ્રેક્ષ્યના કેન્દ્રનું સ્થાન અને તે કીપર્ટ હાયપરબોલા તરીકે ઓળખાતો હાયપરબોલા છે અને તેમની પરિપ્રેક્ષ્યના અક્ષનું પરબિડીયું કીપર્ટ પેરાબોલા તરીકે ઓળખાતું પેરાબોલા છે. તે સાબિત થયું છે કે કીપર્ટ હાયપરબોલા એ શિરોબિંદુઓમાંથી પસાર થતો હાયપરબોલા છે, સંદર્ભ ત્રિકોણનું કેન્દ્ર અને ઓર્થોસેન્ટર અને કીપર્ટ પેરાબોલા એ સંદર્ભ ત્રિકોણમાં અંકિત પેરાબોલા છે જેમાં યુલર રેખા નિર્દેશક તરીકે અને ત્રિકોણ કેન્દ્ર X110 કેન્દ્ર તરીકે છે. આર. એચ. એડી અને આર. ફ્રિટ્શ દ્વારા એક પેપરમાંથી નીચેનું અવતરણ ત્રિકોણ ભૂમિતિના અભ્યાસમાં કીપર્ટ શંકુના મહત્વને સ્થાપિત કરવા માટે પૂરતું સાક્ષી છેઃ "જો મંગળના કોઈ મુલાકાતી ત્રિકોણની ભૂમિતિ શીખવા માંગતા હોય પરંતુ પૃથ્વીના પ્રમાણમાં ગાઢ વાતાવરણમાં માત્ર એક જ પાઠ માટે લાંબા સમય સુધી રહી શકે, તો પૃથ્વી પરના ગણિતશાસ્ત્રીઓ, કોઈ શંકા વિના, આ વિનંતીને પહોંચી વળવા માટે સખત દબાણ કરશે. આ પેપરમાં, અમે માનીએ છીએ કે અમારી પાસે સમસ્યાનો મહત્તમ ઉકેલ છે. કીપર્ટ કોનિક્સ. કીપર્ટ હાયપરબોલા 1868માં એમિલ લેમોઇન દ્વારા પ્રસ્તાવિત નીચેની સમસ્યાના ઉકેલની તપાસ કરતી વખતે લુડવિગ કીપર્ટ દ્વારા કીપર્ટ હાયપરબોલાની શોધ કરવામાં આવી હતીઃ "બાજુઓ પર બનેલા સમબાહુ ત્રિકોણના શિખરોને ધ્યાનમાં રાખીને ત્રિકોણની રચના કરો". આ સમસ્યાનું સમાધાન લુડવિગ કીપર્ટ દ્વારા 1869માં પ્રકાશિત કરવામાં આવ્યું હતું અને તેના ઉકેલમાં એક ટિપ્પણી હતી જેમાં અગાઉ ઉલ્લેખિત કીપર્ટ હાયપરબોલાની લોકસ વ્યાખ્યાને અસરકારક રીતે દર્શાવવામાં આવી હતી. મૂળભૂત હકીકતો સંદર્ભ ત્રિકોણની બાજુની લંબાઈ અને શિરોબિંદુ ખૂણાઓ હોવા જોઈએ. સમીકરણ બેરિસેન્ટ્રીક કોઓર્ડિનેટ્સમાં કીપર્ટ હાયપરબોલાનું સમીકરણ કેન્દ્ર છે, એસિમ્પ્ટોટ્સ કીપર્ટ હાયપરબોલાનું કેન્દ્ર ત્રિકોણ કેન્દ્ર X (115) છે. કેન્દ્રના બેરિસેન્ટ્રીક કોઓર્ડિનેટ્સ છે. કીપર્ટ હાયપરબોલાના એસિમ્પ્ટોટ્સ એ વર્તુળ સાથે બ્રોકાર્ડ અક્ષના આંતરછેદોની સિમસન રેખાઓ છે. કીપર્ટ હાયપરબોલા એક લંબચોરસ હાયપરબોલા છે અને તેથી તેની વિષમતા છે. ગુણધર્મો કીપર્ટ હાયપરબોલાનું કેન્દ્ર નવ-બિંદુ વર્તુળ પર આવેલું છે. કેન્દ્ર એ ત્રિકોણના સમસ્થાનિક કેન્દ્રોને જોડતા રેખા ખંડનું મધ્યબિંદુ છે, જે ત્રિકોણ કેન્દ્રોના જ્ઞાનકોશમાં ત્રિકોણ કેન્દ્રો X (13) અને X (14) છે. આઇસોગોનલ પરિવર્તન હેઠળ કીપર્ટ હાયપરબોલાની છબી ત્રિકોણની બ્રોકાર્ડ અક્ષ છે જે સિમેડિયન બિંદુ અને પરિઘ કેન્દ્રને જોડતી રેખા છે. ચાલો એક ચતુષ્કોણીય ત્રિકોણના સમતલમાં એક બિંદુ હોઈએ અને તેના સંદર્ભમાં ત્રિકોણીય ધ્રુવીય હોઈએ. યુલર રેખાને લંબરૂપ હોય તેવા બિંદુઓનું સ્થાન કીપર્ટ હાયપરબોલા છે. કીપર્ટ પેરાબોલા ધ કીપર્ટ પેરાબોલા નો સૌપ્રથમ અભ્યાસ 1888 માં જર્મન ગણિતના શિક્ષક ઑગસ્ટસ આર્ટ્ઝ્ટ દ્વારા "શાળા કાર્યક્રમ" માં કરવામાં આવ્યો હતો. મૂળભૂત હકીકતો બેરિસેન્ટ્રીક કોઓર્ડિનેટ્સમાં કીપર્ટ પેરાબોલાનું સમીકરણ ક્યાં છે. કીપર્ટ પેરાબોલાનું કેન્દ્ર ત્રિકોણ કેન્દ્ર X (110) છે. ફોકસના બેરિસેન્ટ્રીક કોઓર્ડિનેટ્સ કીપર્ટ પેરાબોલા એ ત્રિકોણની યુલર રેખા છે. છબીઓ પણ જુઓ ત્રિકોણ શંકુ આધુનિક ત્રિકોણ ભૂમિતિ બાહ્ય કડીઓ સંદર્ભ ત્રિકોણ ભૂમિતિ