Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio
મિરિફી લોગરિથમોરમ કેનોનિસ ડિસ્ક્રિપ્ટિયો (ડિસ્ક્રિપ્શન ઓફ ધ વન્ડરફુલ કેનન ઓફ લોગરિધમ્સ, 1614) અને મિરિફી લોગરિથમોરમ કેનોનિસ કન્સ્ટ્રક્ટિયો (કન્સ્ટ્રક્શન ઓફ ધ વન્ડરફુલ કેનન ઓફ લોગરિધમ્સ, 1619) એ જ્હોન નેપિયર દ્વારા લેટિન ભાષામાં લખાયેલા બે પુસ્તકો છે જે લઘુગણકની પદ્ધતિનું વર્ણન કરે છે. જ્યારે અન્ય લોકોએ લઘુગણકના વિચારનો સંપર્ક કર્યો હતો, ખાસ કરીને જોસ્ટ બર્ગી, તે નેપિયર હતા જેમણે સૌપ્રથમ તેમના મિરિફી લઘુગણક કેનોનિસ ડિસ્ક્રિપ્ટિયોમાં સરળતાથી ઉપયોગમાં લેવાતા પૂર્વગણતરી કોષ્ટકો સાથે આ ખ્યાલ પ્રકાશિત કર્યો હતો. લઘુગણકની રજૂઆત પહેલાં, ગુણાકાર, વિભાજન અને મૂળ નિષ્કર્ષણને સમાવતી ઉચ્ચ ચોકસાઈ ધરાવતી આંકડાકીય ગણતરીઓ કપરું અને ભૂલપ્રવણ હતી. લઘુગણક આ પ્રકારની ગણતરીઓને મોટા પ્રમાણમાં સરળ બનાવે છે. જેમ કે નેપિયરે કહ્યુંઃ ". સાથી ગણિતશાસ્ત્રીઓ, ગાણિતિક કળાઓની પ્રેક્ટિસમાં, લાંબા ગુણાકાર અને વિભાગોના ટેડિયમમાં, ગુણોત્તરની શોધમાં, અને ચોરસ અને ઘન મૂળના નિષ્કર્ષણમાં થયેલા મોટા વિલંબ કરતાં વધુ કંટાળાજનક કંઈ નથી. [સાથે] ઘણી લપસણી ભૂલો કે જે arise.I કાર્યવાહીને ટૂંકી કરવાની એક આશ્ચર્યજનક રીત શોધી શકે છે [જેમાં]. ગુણાકાર અને સંખ્યાઓના વિભાજન સાથે સંકળાયેલી તમામ સંખ્યાઓ, અને ચોરસ અને ઘન મૂળને બહાર કાઢવાના લાંબા કઠણ કાર્યો સાથે, કાર્યમાંથી પોતાને નકારી કાઢવામાં આવે છે, અને તેમની જગ્યાએ અન્ય સંખ્યાઓને બદલવામાં આવે છે, જે ઉમેરા, બાદબાકી દ્વારા નકારવામાં આવેલા કાર્યોને કરે છે. આ કોષ્ટકો ગોળાકાર ત્રિકોણમિતિમાં ગણતરીઓને ખૂબ જ સરળ બનાવે છે, જે ખગોળશાસ્ત્ર અને આકાશી નેવિગેશન માટે કેન્દ્રિય છે અને જેમાં સામાન્ય રીતે સાઇન, કોસાઇન અને અન્ય કાર્યોના ઉત્પાદનોનો સમાવેશ થાય છે. નેપિયર અન્ય ઉપયોગોનું પણ વર્ણન કરે છે, જેમ કે સમાધાન ગુણોત્તર સમસ્યાઓ. જ્હોન નેપિયરે કોષ્ટકોની ગણતરી કરવામાં 20 વર્ષ ગાળ્યા હતા. તેમણે તેમના ટેબલનું નિર્માણ કેવી રીતે કર્યું તેનું વર્ણન કરતો એક અલગ ગ્રંથ લખ્યો હતો, પરંતુ તેમનું પ્રથમ પુસ્તક કેવી રીતે પ્રાપ્ત થશે તે જોવા માટે પ્રકાશન અટકાવી દીધું હતું. જ્હોન 1617 માં મૃત્યુ પામ્યા હતા. તેમના પુત્ર, રોબર્ટે 1619માં હેનરી બ્રિગ્સ દ્વારા ઉમેરાઓ સાથે તેમના પિતાનું પુસ્તક, મિરિફી લોગરિથમોરમ કેનોનિસ કન્સ્ટ્રક્ટિઓ પ્રકાશિત કર્યું હતું. કન્સ્ટ્રક્ટિયો વિગતો આપે છે કે કેવી રીતે નેપિયરે સાઇન ફંક્શનના લઘુગણકની ગણતરીને સરળ બનાવવા માટે ભૌમિતિક પ્રગતિના ત્રણ કોષ્ટકો બનાવ્યા અને તેનો ઉપયોગ કર્યો. કોષ્ટકો નેપિયરના સમયમાં, યુરોપમાં વપરાતા દશાંશ સંકેતો, માત્ર પૂર્ણાંકોનું પ્રતિનિધિત્વ કરતા હતા. સિમોન સ્ટીવિન દ્વારા દશાંશ સંખ્યા સાથે અપૂર્ણાંક ભાગનો સમાવેશ કરવાની દરખાસ્ત કરવામાં આવી હતી પરંતુ તેમનું સંકેત વિચિત્ર હતું. અપૂર્ણાંક ભાગમાંથી દશાંશ સંખ્યાના પૂર્ણાંક ભાગને અલગ કરવા માટે સમયગાળાનો ઉપયોગ કરવાનો વિચાર સૌપ્રથમ નેપિયર દ્વારા તેમના કન્સ્ટ્રિક્ટિયો પુસ્તક, વિભાગ 5 માં પ્રસ્તાવિત કરવામાં આવ્યો હતો, "આ રીતે તેમની વચ્ચેના સમયગાળા દ્વારા અલગ પાડવામાં આવેલી સંખ્યામાં, સમયગાળા પછી જે પણ લખવામાં આવે છે તે અપૂર્ણાંક છે, જેનો છેદ તે પછીના ઘણા સાયફર્સ સાથે એકતા છે કારણ કે તે સમયગાળા પછીના આંકડાઓ છે". તેમણે કોષ્ટકોની વધુ સચોટ ગણતરીને સરળ બનાવવા માટે ખ્યાલનો ઉપયોગ કર્યો હતો, પરંતુ મુદ્રિત કોષ્ટકોમાં નહીં. આમ તેના કોષ્ટકમાં પ્રકાશિત કોણનું સાઇન મૂલ્ય એ એક સંપૂર્ણ સંખ્યા છે જે 10,000,000 એકમોના હાયપોટેન્યુઝ સાથે જમણા ત્રિકોણમાં તે કોણની વિરુદ્ધ બાજુની લંબાઈનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. કોષ્ટકમાં લઘુગણક, જોકે, તે સાઇન મૂલ્યને 10,000,000 દ્વારા વિભાજિત કરવામાં આવે છે. લઘુગણકને ફરીથી 10,000,000 ના ગર્ભિત છેદ સાથે પૂર્ણાંક તરીકે રજૂ કરવામાં આવે છે. કોષ્ટકમાં 45 જોડી મુખ પૃષ્ઠો છે. દરેક જોડીને ટોચ પર 0 થી 44 ડિગ્રી અને તળિયે 90 થી 45 ડિગ્રીના ખૂણા સાથે લેબલ કરવામાં આવે છે. (44-45 ડિગ્રી પૃષ્ઠ એક બાજુ છે.) કોષ્ટકના દરેક પૃષ્ઠ પરની પ્રથમ કોલમ મિનિટોમાં એક કોણ વૃદ્ધિ છે, જે પૃષ્ઠની ટોચ પર ડિગ્રી મૂલ્યમાં ઉમેરવામાં આવે છે. સૌથી જમણી બાજુની કોલમ દરેક પૃષ્ઠના તળિયે ડિગ્રી મૂલ્યમાં ઉમેરવાની મિનિટો છે. આ વ્યવસ્થા એવી છે કે પૃષ્ઠ પરની દરેક રેખા માટે, સ્તંભ 7 દ્વારા દર્શાવવામાં આવેલો સંપૂર્ણ કોણ સ્તંભ 1 (90°-સ્તંભ 1) નો સહ-કોણ છે. અંદરની તરફ આગળ વધવું, દરેક ખૂણા સ્તંભની બાજુમાં તે કોણનું સાઇન છે, ત્યારબાદ તે સાઇનનું નેપિયરિયન લોગનું નિરપેક્ષ મૂલ્ય છે. સમગ્ર પૃષ્ઠથી સ્તંભ 5 સુધી વાંચીને સ્તંભ 1 માટે લોગ-કોસાઈન્સ સરળતાથી મેળવી શકાય છે, અને તેનાથી ઊલટું. મધ્ય સ્તંભ બે લોગ વચ્ચેનો તફાવત દર્શાવે છે, જે સ્પર્શક કાર્યનો નેપિયરિયન લોગ છે (જો તમે સંકેતોને ઉલટાવો તો કોટેનજેન્ટ). કોષ્ટકોનો ઉપયોગ એક કરતા ઓછી હકારાત્મક સંખ્યાઓ માટે નેપિયરિયન લઘુગણકના કોષ્ટક તરીકે પણ થઈ શકે છે, જેમાં સાઇન મૂલ્યો (સ્તંભો 2 અને 6) નો દલીલ તરીકે અને લૉગ સાઇન મૂલ્યો (સ્તંભો 3 અને 5) નો પરિણામી લઘુગણક તરીકે ઉપયોગ થાય છે. પ્રક્રિયાને ઉલટાવવાથી એન્ટિ-લઘુગણક મળે છે. નીચે કોષ્ટકની પ્રથમ ત્રણ પંક્તિઓ નેપિયરના કોષ્ટકની ડાબી બાજુના 19 ડિગ્રી પૃષ્ઠના શીર્ષકો અને પ્રથમ બે માહિતી પંક્તિઓનું પુનઃઉત્પાદન કરે છે, ફોટોગ્રાફ જુઓ. તેઓ સમાન ખૂણાઓ માટે આધુનિક અલ્ગોરિધમ્સનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરાયેલા મૂલ્યો દ્વારા અનુસરવામાં આવે છે. આને 8-અંકની ચોકસાઈમાં કાપવામાં આવે છે, જે નેપિયરના કોષ્ટકની નજીવી 7-અંકની ચોકસાઈ કરતાં એક વધુ છે. સ્પષ્ટતા માટે સ્તંભ સંખ્યાઓ દર્શાવવામાં આવી છે. વર્ણનાત્મક લખાણ નેપિયરનું વર્ણન બે પુસ્તકોમાં વહેંચાયેલું છે. પ્રથમ તેમની શોધ અને કેટલાક ઉપયોગોનું વર્ણન કરે છે અને તેમાં કોષ્ટકોનો સમાવેશ થાય છે. બીજું ત્રિકોણમિતિના ઉપયોગોની ચર્ચા કરે છે. પુસ્તક I પ્રકરણ 1 માં વ્યાખ્યાઓ અને દરખાસ્તોની શ્રેણી છે જે નેપિયરની લઘુગણકની વિભાવનાને સમજાવે છે. તેમણે ગતિના બે નમૂનાઓના સંદર્ભમાં લઘુગણકની કલ્પના કરી હતી. પ્રથમમાં, કણ એક બિંદુથી શરૂ થાય છે અને સતત ઝડપે સીધી રેખા સાથે આગળ વધે છે. બીજામાં, એક કણ સીધી રેખા સાથે આગળ વધે છે, જે સમાન પ્રારંભિક ગતિથી શરૂ થાય છે, પરંતુ તેની ઝડપ પ્રારંભિક બિંદુથી તેના અંતરના પ્રમાણમાં ઘટે છે. સંખ્યાનો લઘુગણક, a, એ પછી સ્થિર ગતિ મોડેલમાં કણ દ્વારા પસાર થયેલ અંતર છે, જે તે બીજા, વ્યસ્ત પ્રમાણસર મોડેલમાં કણને a સુધી પહોંચવા માટે લે છે. તેઓ 10,000,000 ના લઘુગણકને શૂન્ય તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરે છે અને તે કરતાં ઓછા મૂલ્યોના લઘુગણકને હકારાત્મક હોવાનું વ્યાખ્યાયિત કરે છે, જ્યારે મોટી સંખ્યામાં નકારાત્મક લઘુગણક હોય છે, જે આધુનિક લઘુગણકોમાંથી નિશાનીનું ઉલટું છે. (આ સંકેત પરિવર્તન કેટલીકવાર એવું કહીને વ્યક્ત કરવામાં આવે છે કે નેપિયર આધાર 1/ઇ સાથે લઘુગણકનો ઉપયોગ કરે છે.) તે નોંધે છે કે તેને શૂન્ય લોગ રાખવા માટે કોઈપણ મૂલ્ય પસંદ કરવાની સ્વતંત્રતા છે, આધુનિક શબ્દોમાં આધાર, પરંતુ ગણતરીની સરળતા માટે 10,000,000 પસંદ કરે છે કારણ કે તે તેના સાઇન કોષ્ટકોમાં "કુલ સાઇન" (હાયપોટેન્યુઝ) સાથે મેળ ખાય છે. નેપેરિયન લઘુગણક જુઓ. બીજો પ્રકરણ લઘુગણકના ગુણધર્મોનું વર્ણન કરે છે અને ગુણોત્તર સાથે કામ કરવા માટે કેટલાક સૂત્રો (લખાણ સ્વરૂપમાં) આપે છે. તે એક નોંધ સાથે સમાપ્ત થાય છે જેમાં જણાવવામાં આવ્યું છે કે જ્યાં સુધી તેઓ તેમની શોધ કેવી રીતે પ્રાપ્ત થાય છે તે જોતા નથી ત્યાં સુધી તેઓ લઘુગણક નિર્માણ પરના તેમના કાર્યના પ્રકાશનમાં વિલંબ કરી રહ્યા છે. પ્રકરણ 3 કોષ્ટકો અને તેમના સાત સ્તંભોનું વર્ણન કરે છે, ઉપર જુઓ. ચોથું પ્રકરણ કોષ્ટકોનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરવો તે સમજાવે છે અને સાઇન ટેન્જેન્ટ અને સેકન્ટ માટે કાર્યરત ઉદાહરણો આપે છે. તે એ પણ સમજાવે છે કે દલીલ તરીકે સાઇન મૂલ્યો અને પરિણામ તરીકે લૉગ-સાઇન મૂલ્યોનો ઉપયોગ કરીને સીધા જ સંખ્યાઓના લઘુગણક કેવી રીતે મેળવવું અને તેનાથી ઊલટું. તેઓ દસના જુદા જુદા ગુણાંક સાથે કેવી રીતે વ્યવહાર કરવો તે અંગે ચર્ચા કરે છે અને આધુનિક વૈજ્ઞાનિક સંકેતની જેમ જ એક સંકેત રજૂ કરે છે, જેમાં તેઓ દાયકાઓ સુધી સુધારાની જરૂરિયાત સૂચવવા માટે જથ્થાના લઘુગણક પછી સંખ્યાબંધ શૂન્ય જોડે છે. તેઓ વિવિધ કિસ્સાઓમાં ઉમેરવા અથવા બાદ કરવા માટે ચોક્કસ લઘુગણક પરિમાણો આપે છેઃ 23025842 + 0 અથવા 46051684 + 00, અથવા 69077527 + 000, અથવા 92103369 + 0000, અથવા 115129211 + 00000 આ 10,000,000 * ln (10), 10,000,000 * ln (100), વગેરેને અનુરૂપ છે. પ્રકરણ 5 નેપિયરના લઘુગણકનો ઉપયોગ કરીને પ્રમાણસરતા અને તેમના ઉકેલમાં ચાર સમસ્યાઓ રજૂ કરે છે. તેમણે "આ લઘુગણકો દ્વારા કેટલો મોટો ફાયદો થાય છે તે પૂછીને સમાપન કર્યુંઃ કારણ કે ગુણાકાર માટે આને ઉમેરવાથી, વિભાગીય માટે બાદબાકી દ્વારા, વર્ગમૂળના નિષ્કર્ષણ માટે બે દ્વારા વિભાજન દ્વારા, અને ઘનમૂળ માટે ત્રણ દ્વારા. ગણતરીના તમામ ભારે કાર્યને ટાળવામાં આવે છે". પુસ્તક II પુસ્તક II "તે ઉમદા પ્રકારની ભૂમિતિ, જેને ત્રિકોણમિતિ કહેવામાં આવે છે" સાથે સંબંધિત છે. પ્રથમ પ્રકરણ જમણા ત્રિકોણ સાથે સમતલ ત્રિકોણમિતિમાં સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે લઘુગણકનો ઉપયોગ કરવા સાથે સંબંધિત છે અને, ખાસ કરીને, નાના ખૂણાઓ સાથે, જ્યાં તેના ત્રિકોણમિતિ લઘુગણક મોટા થાય છે. આગામી પ્રકરણ સમતલ ત્રાંસા ત્રિકોણને આવરી લે છે. બાકીના પ્રકરણો ગોળાકાર ત્રિકોણમિતિને આવરી લે છે, જે ચતુર્થાંશથી શરૂ થાય છે. તેઓ તેમના પેન્ટાગ્રામમા મિરિફિકમનું પણ વર્ણન કરે છે, જે ગોળા પર પાંચ-પોઇન્ટેડ તારો છે, જેના તમામ ખૂણા 90 ડિગ્રી છે. મિરિફી લોગરિથમોરમ કેનોનિસ કન્સ્ટ્રક્ટિયો [[ફાઇલઃ કન્સ્ટ્રક્ટિયોના અંગ્રેજી અનુવાદનું અદ્ભુત સિદ્ધાંતનું નિર્માણ Logarithms-0025.jpg |thumb |Title પાનું]] નેપિયર તેમના વિચારો પર ગણિત સમુદાય તરફથી પ્રતિસાદ બાકી હોવાથી તેમણે લઘુગણકનું કોષ્ટક કેવી રીતે બનાવ્યું તે સિદ્ધાંત અને વિગતો પ્રકાશિત કરવામાં અનિચ્છા ધરાવતા હતા, અને ડિસ્ક્રિપ્ટિયોના પ્રકાશન પછી ટૂંક સમયમાં તેમનું અવસાન થયું હતું. તેમના પુત્ર રોબર્ટે 1619માં કન્સ્ટ્રક્ટિઓ પ્રકાશિત કર્યું હતું. આ ગ્રંથમાં રોબર્ટની પ્રસ્તાવના અને કેટલાક પરિશિષ્ટો છે, જેમાં ગોળાકાર ત્રિકોણને વધુ સરળતાથી ઉકેલવા માટે જ્હોન નેપિયરની પદ્ધતિઓ પરનો એક વિભાગ અને હેનરી બિગ્સ દ્વારા "અન્ય અને વધુ સારા પ્રકારનાં લઘુગણક" પરનો એક વિભાગ, એટલે કે આધાર 10 અથવા સામાન્ય લઘુગણકનો સમાવેશ થાય છે. વિલિયમ રાય મેકડોનાલ્ડનો અંગ્રેજી અનુવાદ 1889માં ટિપ્પણીઓ સાથે પ્રકાશિત થયો હતો. નેપિયર વિવિધ ગતિ રૂપરેખાઓ હેઠળ ચાલતા બે બિંદુઓ વચ્ચેના પત્રવ્યવહાર દ્વારા લઘુગણકનું વર્ણન કરે છે. પ્રથમ બિંદુ, પી, એક મર્યાદિત રેખા ખંડ પી0 થી ક્યૂ સાથે આગળ વધે છે, પ્રારંભિક ગતિ સાથે જે પી અને ક્યૂના અંતરના પ્રમાણમાં ઘટે છે. બીજો બિંદુ, L, એક અનબાઉન્ડ લાઇન સેગમેન્ટ સાથે આગળ વધે છે જે L0 થી શરૂ થાય છે અને તે જ પ્રારંભિક ગતિ સાથે P સાથે શરૂ થાય છે, પરંતુ તે ગતિને ફેરફાર વિના જાળવી રાખે છે. પી ની દરેક સંભવિત સ્થિતિ માટે, જે ક્યૂ થી તેના અંતર દ્વારા માપવામાં આવે છે, ત્યાં એલ. નેપિયરની અનુરૂપ એક સાથે સ્થિતિ છે, જે પી થી ક્યૂ સુધીના અંતરના લઘુગણકને L0 થી તે L સુધી અંતર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરે છે. ગણતરી અભિગમ નેપિયર તેના લઘુગણક કોષ્ટકની ગણતરી કરવા માટે ઘણી આંતરદૃષ્ટિ પર આધાર રાખે છે. ઉચ્ચ ચોકસાઈ હાંસલ કરવા માટે તે 10,000,000 ના મોટા આધાર સાથે શરૂઆત કરે છે. પરંતુ તે પછી તે સંકેતલિપીમાં દશાંશ અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરીને વધારાની ચોકસાઇ મેળવે છે, જે તેણે શોધ કરી હતી, પરંતુ હવે સાર્વત્રિક રીતે પરિચિત છે, એટલે કે દશાંશ બિંદુનો ઉપયોગ કરીને. તેઓ કેટલાક ઉદાહરણો સાથે તેમના સંકેતો કેવી રીતે કાર્ય કરે છે તે સમજાવવા આગળ વધે છે. તેઓ તેમની ગણતરીમાં થતી કોઈપણ ભૂલોને બાંધવા માટે અંતરાલ અંકગણિતનું એક સ્વરૂપ પણ રજૂ કરે છે. હવે તેઓ અવલોકન કરે છે તે બીજી પરિચિત હકીકત એ છે કે 10 ની ઘાત ધરાવતા છેદ સાથેના અપૂર્ણાંકોની ગણતરી દશાંશ ચિહ્નમાં દશાંશ બિંદુની સાપેક્ષ સંખ્યાને સ્થાનાંતરિત કરીને સરળતાથી કરી શકાય છે. જેમ તેઓ તેને મૂકે છેઃ "આપણે સંખ્યાના સરળ ભાગો કહીએ છીએ, કોઈપણ ભાગ કે જેના છેદ એકતાથી બનેલા હોય અને સંખ્યાબંધ સાયફર્સ, આવા ભાગો મુખ્ય સંખ્યાના અંતે જેટલા આંકડા હોય તેટલા નકારવાથી મેળવવામાં આવે છે. તેઓ નોંધે છે કે અંકગણિત પ્રગતિઓની ગણતરી કરવી સરળ છે કારણ કે તેમાં માત્ર સરવાળો અને બાદબાકીનો સમાવેશ થાય છે પરંતુ ભૌમિતિક પ્રગતિઓની ગણતરી કરવી સામાન્ય રીતે મુશ્કેલ છે કારણ કે તેમાં ગુણાકાર, વિભાજન અને સંભવતઃ મૂળનો સમાવેશ થાય છે. જો કે તેઓ અવલોકન કરે છે કે ભૌમિતિક પ્રગતિમાં સ્વરૂપના ગુણક (એટલે કે. ફોર્મ 0.99.9 ની ગણતરી, m નાઇન સાથે) ની ગણતરી માત્ર એક પાળી અને દરેક તબક્કા દીઠ એક બાદબાકીનો ઉપયોગ કરીને મનસ્વી ચોકસાઇ સાથે કરી શકાય છે. તેવી જ રીતે, સ્વરૂપના ગુણક (એટલે કે. 0.99.95) ને માત્ર એક પાળીની જરૂર પડે છે, સંપૂર્ણ ચોકસાઇ માટે દરેક તબક્કા દીઠ બે દ્વારા એક વિભાજન અને એક બાદબાકી, જેને તેઓ "સહનીય રીતે સરળ" કહે છે. નેપિયર એ પણ અવલોકન કરે છે કે ભૌમિતિક પ્રગતિનું લઘુગણક દરેક તબક્કે સ્થિર મૂલ્ય દ્વારા અલગ પડે છે, એટલે કે ગુણકનું લઘુગણક. તેથી જો કોઈ વ્યક્તિ ભૌમિતિક પ્રગતિ અને ગુણકના પ્રારંભિક મૂલ્યના લઘુગણકને જાણે છે, તો તે ગુણકના લઘુગણકને વારંવાર ઉમેરીને પ્રગતિના દરેક સભ્યના લઘુગણકની ગણતરી કરી શકે છે. પ્રથમ લઘુગણકની ગણતરી તેના બે રેખા નમૂનાનો ઉપયોગ કરીને, નેપિયર 0.9999999 ના લઘુગણક માટે નીચલા અને ઉપલા સીમાઓ શોધે છે. તેની નીચલી સીમા ધારે છે કે બિંદુ P ધીમું થતું નથી, તે કિસ્સામાં L 1-0.9999999 નું અંતર ખસેડશે. તેની ઉપરની સીમા ધારે છે કે P એ તેની 0.9999999 ની અંતિમ ઝડપે શરૂઆત કરી હતી, જે કિસ્સામાં L એ (1-0.9999999)/0.9999999 નું અંતર ખસેડ્યું હશે. તેની ત્રિજ્યા 10,000,000 દ્વારા સ્કેલ કરેલ, નીચલી બાઉન્ડ 1 છે અને તેની ઉપરની બાઉન્ડ 1.0000001 છે. તેઓ સૂચવે છે કે આ મૂલ્યો વચ્ચેનો તફાવત નાનો હોવાથી, તેમની વચ્ચેનું કોઈપણ મૂલ્ય 10 મિલિયનમાં એક ભાગ કરતાં ઓછી "અસંવેદનશીલ ભૂલ" રજૂ કરશે, પરંતુ તેઓ વધુ સમજૂતી વિના, મધ્યબિંદુ, 1.00000005 પસંદ કરે છે. આ પસંદગી તેમને તેમના અનુવાદક વિલિયમ રાય મેકડોનાલ્ડ તરીકે ઘણી વધુ ચોકસાઇ આપે છે. પરિશિષ્ટમાં નિર્દેશ કરવામાં આવ્યો છે કે. 9999999 ના લઘુગણક માટે નેપિયરનું સ્કેલ અપ મૂલ્ય સાચા મૂલ્યની ખૂબ નજીક છે, 1.00000005 00000033333583. અને લઘુગણકની તેની પછીની તમામ ગણતરીઓ 1.00000005 મૂલ્યમાંથી ઉદ્ભવે છે. મેકડોનાલ્ડ સૂચવે છે કે નેપિયર પાસે મધ્યબિંદુ પસંદ કરવા માટે વધુ સારું કારણ હોવું જોઈએ. સહાયક કોષ્ટકો નેપિયર ત્રણ કોષ્ટકો બનાવવા માટે આ આંતરદૃષ્ટિઓનો ઉપયોગ કરે છે. પ્રથમ કોષ્ટક, આધુનિક સંકેતલિપીમાં, 0 થી 100 સુધીના n માટે 10000000 * (0.9999999) n સંખ્યાઓનો સમાવેશ કરે છે. બીજામાં 0 થી 50 સુધીના n માટે 100000 * (0.99999) n સંખ્યાઓ છે. તે પછી તે તેના પ્રથમ કોષ્ટકની તમામ એન્ટ્રીઓ માટે લઘુગણક ભરવા માટે. 9999999 ના લોગ માટે તેનું મૂલ્ય લાગુ કરે છે. તે. 99999 ના લોગની ગણતરી કરવા માટે છેલ્લી એન્ટ્રીનો ઉપયોગ કરી શકે છે, કારણ કે. 9999999100.99999 ની ખૂબ નજીક છે. તે પછી તે તેના બીજા કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરે છે, જે. 9995 ના લઘુગણકની ગણતરી કરવા માટે. 99999 ની 50 ઘાત હોય છે. મેકડોનાલ્ડ એ પણ નિર્દેશ કરે છે કે નેપિયરની બીજા કોષ્ટકની ગણતરીમાં ભૂલ આવી છે; નેપિયરનું પચાસમું મૂલ્ય 9995001.222927 છે, પરંતુ તે 9995001.22480 હોવું જોઈએ. મેકડોનાલ્ડ તેમના પરિશિષ્ટમાં આ ભૂલના પરિણામોની ચર્ચા કરે છે. રેડિકલ ટેબલ નેપિયર પછી 69 સ્તંભો અને 21 પંક્તિઓ સાથે પ્રમાણનું ત્રીજું ટેબલ બનાવે છે, જેને તેઓ તેમનું "રેડિકલ ટેબલ" કહે છે. 1 થી શરૂ થતી ટોચની હરોળનું પ્રમાણ 0.99 છે. દરેક સ્તંભની એન્ટ્રીઓ 0.9995 ના પ્રમાણમાં છે. (નોંધ કરો કે 0.9995 = 1-1/2000, અડધા કરીને, ખસેડીને અને બાદ કરીને "સહનીય રીતે સરળ" ગુણાકારને મંજૂરી આપે છે.) નેપિયર. 99 ના લઘુગણકની ગણતરી કરવા માટે પ્રથમ સ્તંભનો ઉપયોગ કરે છે, જેમાં. 9995 ના લોગનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, જે તેની પાસે પહેલેથી જ છે. તે હવે ત્રીજા કોષ્ટકમાં દરેક એન્ટ્રીનો લઘુગણક ભરી શકે છે કારણ કે, પ્રમાણસરતા દ્વારા, એન્ટ્રીઓ વચ્ચે લઘુગણકોમાં તફાવત સ્થિર છે. ત્રીજું કોષ્ટક હવે 1,449 મૂલ્યોના સમૂહ માટે લઘુગણક પ્રદાન કરે છે જે આશરે 5,000,000 થી 10,000,000 સુધીની શ્રેણીને આવરી લે છે, જે 10,000,000 ની ત્રિજ્યા ધારીને 30 થી 90 ડિગ્રી સુધીના સાઇન ફંક્શનના મૂલ્યોને અનુરૂપ છે. નેપિયર પછી સમજાવે છે કે તે શ્રેણીમાં લઘુગણક માટે બાઉન્ડિંગ અંતરાલની ગણતરી કરવા માટે કોષ્ટકોનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરવો. પ્રકાશિત કોષ્ટકોનું નિર્માણ નેપિયર પછી તેમના પ્રકાશિત કોષ્ટકોનું પુનઃઉત્પાદન કરવા માટેની સૂચનાઓ આપે છે, જેમાં તેમના સાત સ્તંભો અને દરેક મિનિટની કમાનનું કવરેજ હોય છે. તે પોતે સાઇનની ગણતરી કરતો નથી, જેના માટે મૂલ્યો પહેલેથી જ ઉપલબ્ધ કોષ્ટકમાંથી ભરવાના હોય છે. "રેઇનહોલ્ડનું સાઇનનું સામાન્ય કોષ્ટક, અથવા અન્ય કોઈ વધુ ચોક્કસ, તમને આ મૂલ્યો પ્રદાન કરશે". 30 ડિગ્રીથી 90 ડિગ્રી સુધીના ખૂણાઓ માટે સાઇનના લઘુગણકની ગણતરી પછી આમૂલ કોષ્ટક અને તેના લઘુગણકમાં સૌથી નજીકની સંખ્યા શોધીને અને રેખીય પ્રક્ષેપણ દ્વારા ઇચ્છિત સાઇનના લઘુગણકની ગણતરી કરીને કરવામાં આવે છે. તેઓ 30 ડિગ્રી કરતા ઓછા ખૂણાઓ માટે લઘુગણકની ગણતરી કરવા માટે ઘણી રીતો સૂચવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, કોઈ વ્યક્તિ 0 કરતાં ઓછી સાઈનને [0.5,1] ની શ્રેણીમાં લાવવા માટે બે કે દસની અમુક ઘાત વડે ગુણાકાર કરી શકે છે. આમૂલ કોષ્ટકમાં તે લઘુગણકને શોધ્યા પછી, જરૂરી લઘુગણક મેળવવા માટે બે કે દસની શક્તિનો લઘુગણક ઉમેરવામાં આવે છે (તે એક ટૂંકું કોષ્ટક આપે છે). નેપિયર એ નિર્દેશ કરીને સમાપ્ત કરે છે કે તેની ટેબલ લંબાવવાની બે પદ્ધતિઓ નાના તફાવતો સાથે પરિણામો ઉત્પન્ન કરે છે. તેઓ સૂચવે છે કે અન્ય "જેમની પાસે પુષ્કળ વિદ્યાર્થીઓ અને કમ્પ્યુટર્સ હોઈ શકે છે" તે જ પદ્ધતિઓ દ્વારા 10,000,000,000 ના મોટા પાયે પરિબળ સાથે નવું ટેબલ બનાવે છે, પરંતુ માત્ર 35 સ્તંભો સાથે આમૂલ ટેબલનો ઉપયોગ કરે છે, જે 45 થી 90 ડિગ્રી સુધી દૂતોને આવરી લેવા માટે પૂરતું છે. પરિશિષ્ટમાં, નેપિયર "અન્ય અને વધુ સારા પ્રકારના લઘુગણક" ની રચનાની ચર્ચા કરે છે જ્યાં એકનો લઘુગણક શૂન્ય હોય છે અને દસનો લઘુગણક 10,000,000,000, અનુક્રમણિકા હોય છે. આ અનિવાર્યપણે મોટા પાયે પરિબળ સાથે આધાર 10 લઘુગણક છે. તેઓ આવા કોષ્ટકની ગણતરી કરવાની વિવિધ રીતોની ચર્ચા કરે છે અને 2 ના લઘુગણકને 210,000,000 માં અંકોની સંખ્યા તરીકે વર્ણવીને સમાપ્ત કરે છે, જેની ગણતરી તેઓ 30102999 તરીકે કરે છે. પરિશિષ્ટ પછી નેપિયરની વિભાવનાઓ અને આધાર-10 લઘુગણક પર હેનરી બ્રિગ્સની ટિપ્પણીઓ આવે છે. આગામી વિભાગ નેપિયરનો 12 પાનાનો નિબંધ છે જેનું શીર્ષક છે "અદભૂત સરળતા સાથે ગોળાકાર ત્રિકોણના ઉકેલ માટે કેટલીક ખૂબ જ નોંધપાત્ર દરખાસ્તો", જ્યાં તેઓ તેમને બે જમણા ત્રિકોણમાં વિભાજિત કર્યા વિના કેવી રીતે ઉકેલવા તે વર્ણવે છે. આ વિભાગ પછી બ્રિગ્સની ટિપ્પણી પણ આવે છે. અનુવાદક, મેકડોનાલ્ડ, આ તબક્કે કેટલીક નોંધોનો સમાવેશ કરે છે, જેમાં નેપિયરના નામની જોડણી, બીજા ખંડના પ્રકાશનમાં વિલંબના સંદર્ભો, દશાંશ અંકગણિતનો વિકાસ, નેપિયરના બીજા કોષ્ટકમાં ભૂલ અને નેપિયરની પદ્ધતિની ચોકસાઈ અને આધાર-10 લઘુગણકની ગણતરી માટેની પદ્ધતિઓની ચર્ચા કરવામાં આવી છે. છેલ્લો વિભાગ જાહેર પુસ્તકાલયોમાં નેપિયરની કૃતિઓના મેકડોનાલ્ડની સૂચિ છે, જેમાં ધાર્મિક કાર્યો, વિવિધ ભાષાઓમાં આવૃત્તિઓનો સમાવેશ થાય છે. અને જ્હોન નેપિયર અને લઘુગણકના કાર્ય સાથે સંબંધિત અન્ય પુસ્તકો. રિસેપ્શન નેપિયરની ગણતરીની નવીન પદ્ધતિ બ્રિટન અને વિદેશમાં ઝડપથી ફેલાઈ. કેપ્લરે તેમની શોધ અને ખગોળશાસ્ત્રને તેના ફાયદાઓ બદલ તેમને અભિનંદન આપતા એક પત્ર સાથે તેમના 1620ના એફેરેરિસને નેપિયરને સમર્પિત કર્યા હતા. કેપ્લરને નાના ખૂણાઓ પર કેટલીક અચોક્કસતાઓ સિવાય કોઈ આવશ્યક ભૂલો મળી નથી. આકાશી નેવિગેશન પર સત્તા ધરાવતા એડવર્ડ રાઈટે 1615માં નેપિયરના લેટિન ડિસ્ક્રિપ્ટિયોનું અંગ્રેજીમાં ભાષાંતર કર્યું હતું, જોકે રાઈટના મૃત્યુને કારણે પ્રકાશનમાં વિલંબ થયો હતો. બ્રિગ્સે આ ખ્યાલને વધુ અનુકૂળ આધાર 10 અથવા સામાન્ય લઘુગણક સુધી વિસ્તાર્યો. ઉર્સિનસે નેપિયરને "સમાન વગરનો ગણિતશાસ્ત્રી" ગણાવ્યો હતો. ત્રણસો વર્ષ પછી, 1914માં, ઇ. ડબલ્યુ. હોબ્સને લઘુગણકને "વિશ્વની સૌથી મહાન વૈજ્ઞાનિક શોધોમાંની એક" ગણાવી હતી. 1620 માં એડમન્ડ ગુન્ટરે લઘુગણક સ્કેલ સાથે શાસક વિકસાવ્યો; વિભાજકની જોડી સાથે તેનો ઉપયોગ ગુણાકાર અને વિભાજન માટે થઈ શકે છે. ઇ. સ. 1622માં, વિલિયમ ઓઉગ્રેડે બે હેન્ડહેલ્ડ ગુંટર નિયમોને જોડીને ગણતરી ઉપકરણ બનાવ્યું જે અનિવાર્યપણે પ્રથમ સ્લાઇડ નિયમ હતો. લઘુગણક કાર્ય ગાણિતિક વિશ્લેષણનો મુખ્ય ભાગ બની ગયું હતું, પરંતુ વીસમી સદીમાં યાંત્રિક કેલ્ક્યુલેટરનો ગુણાકાર થતાં લઘુગણકની મુદ્રિત કોષ્ટકોનું મહત્વ ધીમે ધીમે ઘટતું ગયું અને પછીથી, ઇલેક્ટ્રોનિક કમ્પ્યુટરોએ ઉચ્ચ ચોકસાઈની ગણતરીની જરૂરિયાતોને સંભાળી લીધી. 1970 ના દાયકામાં હાથથી પકડેલા વૈજ્ઞાનિક કેલ્ક્યુલેટરની રજૂઆતથી સ્લાઇડ નિયમોના યુગનો અંત આવ્યો. ધ અમેરિકન પ્રેક્ટિકલ નેવિગેટર (બૌડિચ) ની વર્તમાન 2002ની આવૃત્તિમાં હજુ પણ ત્રિકોણમિતિ વિધેયોના લઘુગણક અને લઘુગણકનાં કોષ્ટકો છે. લઘુગણક ગુણાકાર ચિહ્નનો ઇતિહાસ સંદર્ભ લઘુગણક ગણિતનો ઇતિહાસ પણ જુઓ.