Field (physics)
ભૌતિકશાસ્ત્રમાં, ક્ષેત્ર એ ભૌતિક જથ્થો છે, જે સ્કેલર, વેક્ટર અથવા ટેન્સર દ્વારા રજૂ થાય છે, જે અવકાશ અને સમયના દરેક બિંદુ માટે મૂલ્ય ધરાવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, હવામાનના નકશા પર, સપાટીના તાપમાનનું વર્ણન નકશા પરના દરેક બિંદુને સંખ્યા સોંપીને કરવામાં આવે છે; તાપમાનમાં ફેરફારની ગતિશીલતાનો અભ્યાસ કરવા માટે તાપમાનને ચોક્કસ સમયે અથવા અમુક સમય અંતરાલ પર ગણી શકાય. સપાટી પરના પવનનો નકશો, નકશા પરના દરેક બિંદુને એક તીર સોંપે છે જે તે બિંદુએ પવનની ઝડપ અને દિશાનું વર્ણન કરે છે, તે વેક્ટર ક્ષેત્રનું ઉદાહરણ છે, એટલે કે. 1-પરિમાણીય (ક્રમ-1) ટેન્સર ક્ષેત્ર. ક્ષેત્ર સિદ્ધાંતો, અવકાશ અને સમયમાં ક્ષેત્રના મૂલ્યો કેવી રીતે બદલાય છે તેનું ગાણિતિક વર્ણન, ભૌતિકશાસ્ત્રમાં સર્વવ્યાપક છે. દાખલા તરીકે, વિદ્યુત ક્ષેત્ર એ અન્ય ક્રમ-1 ટેન્સર ક્ષેત્ર છે, જ્યારે ઇલેક્ટ્રોડાયનેમિક્સને અવકાશ સમયના દરેક બિંદુ પર બે ક્રિયાપ્રતિક્રિયા વેક્ટર ક્ષેત્રોની દ્રષ્ટિએ અથવા સિંગલ-ક્રમ 2-ટેન્સર ક્ષેત્ર તરીકે ઘડી શકાય છે. ક્ષેત્રોના ક્વોન્ટમ સિદ્ધાંતના આધુનિક માળખામાં, પરીક્ષણ કણનો ઉલ્લેખ કર્યા વિના પણ, ક્ષેત્ર જગ્યા રોકે છે, ઊર્જા ધરાવે છે, અને તેની હાજરી શાસ્ત્રીય "સાચા શૂન્યાવકાશ" ને બાકાત રાખે છે. આનાથી ભૌતિકશાસ્ત્રીઓએ વિદ્યુતચુંબકીય ક્ષેત્રોને ભૌતિક અસ્તિત્વ તરીકે ધ્યાનમાં લીધા છે, જે ક્ષેત્રની વિભાવનાને આધુનિક ભૌતિકશાસ્ત્રની ઇમારતનો સહાયક દાખલો બનાવે છે. "વિદ્યુતચુંબકીય ક્ષેત્ર વેગ અને ઊર્જા ધરાવી શકે છે તે હકીકત તેને ખૂબ જ વાસ્તવિક બનાવે છે. એક કણ એક ક્ષેત્ર બનાવે છે, અને એક ક્ષેત્ર બીજા કણ પર કાર્ય કરે છે, અને આ ક્ષેત્ર ઊર્જા સામગ્રી અને વેગ જેવા પરિચિત ગુણધર્મો ધરાવે છે, જેમ કે કણો હોઈ શકે છે". વ્યવહારમાં, મોટાભાગના ક્ષેત્રોની તાકાત અંતર સાથે ઘટતી જાય છે, જે આખરે શોધી ન શકાય તેવી બની જાય છે. દાખલા તરીકે, ઘણા સંબંધિત શાસ્ત્રીય ક્ષેત્રોની તાકાત, જેમ કે ન્યૂટનના ગુરુત્વાકર્ષણના સિદ્ધાંતમાં ગુરુત્વાકર્ષણીય ક્ષેત્ર અથવા શાસ્ત્રીય વિદ્યુતચુંબકીયતામાં વિદ્યુતસ્થૈતિક ક્ષેત્ર, સ્રોતથી અંતરના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે (એટલે કે, તેઓ ગૌસના નિયમને અનુસરે છે). પ્રતિનિધિત્વ કરેલ ભૌતિક જથ્થો અનુક્રમે સ્કેલર, વેક્ટર, સ્પિનોર અથવા ટેન્સર છે કે કેમ તેના આધારે ક્ષેત્રને સ્કેલર ક્ષેત્ર, વેક્ટર ક્ષેત્ર, સ્પિનોર ક્ષેત્ર અથવા ટેન્સર ક્ષેત્ર તરીકે વર્ગીકૃત કરી શકાય છે. જ્યાં પણ તેને વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે ત્યાં ક્ષેત્ર સુસંગત ટેન્સોરિયલ અક્ષર ધરાવે છેઃ એટલે કે. ક્ષેત્ર ક્યાંય સ્કેલર ક્ષેત્ર અને બીજે ક્યાંય વેક્ટર ક્ષેત્ર ન હોઈ શકે. ઉદાહરણ તરીકે, ન્યુટોનિયન ગુરુત્વાકર્ષણીય ક્ષેત્ર એ વેક્ટર ક્ષેત્ર છેઃ અવકાશ સમયના એક બિંદુ પર તેનું મૂલ્ય સ્પષ્ટ કરવા માટે ત્રણ સંખ્યાઓની જરૂર પડે છે, જે તે બિંદુ પરના ગુરુત્વાકર્ષણીય ક્ષેત્ર વેક્ટરના ઘટકો છે. વધુમાં, દરેક શ્રેણી (સ્કેલર, વેક્ટર, ટેન્સર) માં, ક્ષેત્ર અનુક્રમે સંખ્યાઓ અથવા ક્વોન્ટમ ઓપરેટરો દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે કે કેમ તેના આધારે તે શાસ્ત્રીય ક્ષેત્ર અથવા ક્વોન્ટમ ક્ષેત્ર હોઈ શકે છે. આ સિદ્ધાંતમાં ક્ષેત્રની સમકક્ષ રજૂઆત એ ક્ષેત્ર કણ છે, ઉદાહરણ તરીકે બોસોન. આઇઝેક ન્યૂટન માટે, તેમના સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણના કાયદાએ માત્ર ગુરુત્વાકર્ષણ બળને વ્યક્ત કર્યું હતું જે વિશાળ પદાર્થોની કોઈપણ જોડી વચ્ચે કાર્ય કરે છે. જ્યારે સૌરમંડળમાં ગ્રહો જેવા એકબીજા સાથે ક્રિયાપ્રતિક્રિયા કરતા ઘણા પદાર્થોની ગતિને જોવામાં આવે છે, ત્યારે પદાર્થોની દરેક જોડી વચ્ચેના બળ સાથે અલગથી ઝડપથી વ્યવહાર કરવો ગણતરીત્મક રીતે અસુવિધાજનક બની જાય છે. અઢારમી સદીમાં, આ તમામ ગુરુત્વાકર્ષણીય બળોના હિસાબને સરળ બનાવવા માટે એક નવો જથ્થો તૈયાર કરવામાં આવ્યો હતો. આ જથ્થો, ગુરુત્વાકર્ષણીય ક્ષેત્ર, અવકાશમાં દરેક બિંદુએ કુલ ગુરુત્વાકર્ષણીય પ્રવેગ આપે છે જે તે બિંદુએ નાના પદાર્થ દ્વારા અનુભવાય છે. આનાથી ભૌતિકશાસ્ત્રમાં કોઈ પણ રીતે ફેરફાર થયો ન હતોઃ તેનાથી કોઈ ફરક પડતો ન હતો કે કોઈ પદાર્થ પરના તમામ ગુરુત્વાકર્ષણીય બળોની ગણતરી વ્યક્તિગત રીતે કરવામાં આવી હતી અને પછી તેને એકસાથે ઉમેરવામાં આવ્યા હતા, અથવા જો તમામ યોગદાનને પહેલા ગુરુત્વાકર્ષણીય ક્ષેત્ર તરીકે એકસાથે ઉમેરવામાં આવ્યા હતા અને પછી તેને પદાર્થ પર લાગુ કરવામાં આવ્યા હતા. ક્ષેત્રની સ્વતંત્ર વિભાવનાનો વિકાસ ખરેખર ઓગણીસમી સદીમાં વિદ્યુતચુંબકીય સિદ્ધાંતના વિકાસ સાથે શરૂ થયો હતો. પ્રારંભિક તબક્કામાં, આન્દ્રે-મેરી એમ્પીયર અને ચાર્લ્સ-ઓગસ્ટિન ડી કોલોમ્બ ન્યૂટન-શૈલીના નિયમો સાથે સંચાલન કરી શકતા હતા જે વિદ્યુત ચાર્જ અથવા વિદ્યુત પ્રવાહોની જોડી વચ્ચેના બળોને વ્યક્ત કરતા હતા. જો કે, ક્ષેત્રનો અભિગમ અપનાવવો અને આ નિયમોને વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રોની દ્રષ્ટિએ વ્યક્ત કરવો તે વધુ સ્વાભાવિક બન્યું; 1849માં માઈકલ ફેરાડે "ક્ષેત્ર" શબ્દનો ઉપયોગ કરનાર પ્રથમ વ્યક્તિ બન્યા હતા. જેમ્સ ક્લર્ક મેક્સવેલની શોધ સાથે ક્ષેત્રની સ્વતંત્ર પ્રકૃતિ વધુ સ્પષ્ટ થઈ ગઈ કે આ ક્ષેત્રોમાં તરંગો મર્યાદિત ઝડપે પ્રસરે છે. પરિણામે, ચાર્જ અને પ્રવાહો પરના બળો હવે માત્ર એક જ સમયે અન્ય ચાર્જ અને પ્રવાહોની સ્થિતિ અને વેગ પર જ નહીં, પરંતુ ભૂતકાળમાં તેમની સ્થિતિ અને વેગ પર પણ આધાર રાખતા હતા. શરૂઆતમાં મેક્સવેલે સ્વતંત્ર રીતે અસ્તિત્વ ધરાવી શકે તેવા મૂળભૂત જથ્થા તરીકે ક્ષેત્રની આધુનિક વિભાવનાને અપનાવી ન હતી. તેના બદલે, તેમણે એવું માન્યું હતું કે વિદ્યુતચુંબકીય ક્ષેત્ર કેટલાક અંતર્ગત માધ્યમની વિકૃતિ વ્યક્ત કરે છે-તેજસ્વી ઈથર-રબરના પટલમાં તણાવની જેમ. જો એમ હોય તો, વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોનો અવલોકન કરેલ વેગ ઈથરના સંદર્ભમાં નિરીક્ષકના વેગ પર આધારિત હોવો જોઈએ. ઘણા પ્રયત્નો છતાં, આવી અસરનો કોઈ પ્રાયોગિક પુરાવો ક્યારેય મળ્યો ન હતો; 1905માં આલ્બર્ટ આઈન્સ્ટાઈન દ્વારા સાપેક્ષતાના વિશેષ સિદ્ધાંતની રજૂઆત દ્વારા પરિસ્થિતિનું સમાધાન કરવામાં આવ્યું હતું. આ સિદ્ધાંતે ગતિશીલ નિરીક્ષકોના દ્રષ્ટિકોણ એકબીજા સાથે સંબંધિત હોવાની રીતને બદલી નાખી. તેઓ એકબીજા સાથે એવી રીતે સંબંધિત બન્યા કે મેક્સવેલના સિદ્ધાંતમાં વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોનો વેગ તમામ નિરીક્ષકો માટે સમાન હશે. પૃષ્ઠભૂમિ માધ્યમની જરૂરિયાતને દૂર કરીને, આ વિકાસએ ભૌતિકશાસ્ત્રીઓ માટે ક્ષેત્રો વિશે ખરેખર સ્વતંત્ર અસ્તિત્વ તરીકે વિચારવાનું શરૂ કરવાનો માર્ગ ખોલ્યો. 1920 ના દાયકાના અંતમાં, ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સના નવા નિયમો સૌપ્રથમ વિદ્યુતચુંબકીય ક્ષેત્ર પર લાગુ કરવામાં આવ્યા હતા. 1927માં, પોલ ડીરાકે સફળતાપૂર્વક સમજાવવા માટે ક્વોન્ટમ ક્ષેત્રોનો ઉપયોગ કર્યો હતો કે કેવી રીતે અણુના નિમ્ન ક્વોન્ટમ સ્થિતિમાં ક્ષયને કારણે વિદ્યુતચુંબકીય ક્ષેત્રના ક્વોન્ટમ ફોટોનનું સ્વયંસ્ફુરિત ઉત્સર્જન થયું હતું. આ ટૂંક સમયમાં અનુભૂતિ દ્વારા અનુસરવામાં આવ્યું હતું (પાસ્કલ જોર્ડન, યુજીન વિગ્નર, વર્નર હેઇસેનબર્ગ અને વોલ્ફગેંગ પાઉલીના કાર્યને અનુસરીને) કે ઇલેક્ટ્રોન અને પ્રોટોન સહિતના તમામ કણોને કેટલાક ક્વોન્ટમ ક્ષેત્રના ક્વોન્ટા તરીકે સમજી શકાય છે, જે ક્ષેત્રોને પ્રકૃતિમાં સૌથી મૂળભૂત પદાર્થોના દરજ્જામાં ઉન્નત કરે છે. એવું કહેવાય છે કે, જ્હોન વ્હીલર અને રિચાર્ડ ફેનમેને ન્યૂટનની પૂર્વ-ક્ષેત્રની ક્રિયાની વિભાવનાને ગંભીરતાથી ધ્યાનમાં લીધી હતી (જોકે તેમણે તેને સામાન્ય સાપેક્ષતા અને ક્વોન્ટમ ઇલેક્ટ્રોડાયનેમિક્સમાં સંશોધન માટે ક્ષેત્રની વિભાવનાની ચાલુ ઉપયોગિતાને કારણે બાજુએ મૂકી દીધી હતી). શાસ્ત્રીય ક્ષેત્રોના ઘણા ઉદાહરણો છે. જ્યાં પણ ક્વોન્ટમ ગુણધર્મો ઉત્પન્ન થતા નથી ત્યાં શાસ્ત્રીય ક્ષેત્ર સિદ્ધાંતો ઉપયોગી રહે છે, અને સંશોધનના સક્રિય ક્ષેત્રો હોઈ શકે છે. સામગ્રીની સ્થિતિસ્થાપકતા, પ્રવાહી ગતિશીલતા અને મેક્સવેલના સમીકરણો એ બિંદુના કિસ્સાઓ છે. કેટલાક સૌથી સરળ ભૌતિક ક્ષેત્રો વેક્ટર બળ ક્ષેત્રો છે. ઐતિહાસિક રીતે, પ્રથમ વખત કે જે ક્ષેત્રોને ગંભીરતાથી લેવામાં આવ્યાં હતાં તે વિદ્યુત ક્ષેત્રનું વર્ણન કરતી વખતે ફેરાડેની બળની રેખાઓ સાથે હતું. તે પછી ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રનું પણ એ જ રીતે વર્ણન કરવામાં આવ્યું હતું. ન્યુટોનિયન ગુરુત્વાકર્ષણ એ ગુરુત્વાકર્ષણનું વર્ણન કરતો શાસ્ત્રીય ક્ષેત્ર સિદ્ધાંત છે, જે ગુરુત્વાકર્ષણ બળને બે દળો વચ્ચેની પરસ્પર ક્રિયાપ્રતિક્રિયા તરીકે વર્ણવે છે. દળ M ધરાવતી કોઈપણ વસ્તુ ગુરુત્વાકર્ષણીય ક્ષેત્ર g સાથે સંકળાયેલી હોય છે જે દળ સાથે અન્ય પદાર્થો પર તેના પ્રભાવનું વર્ણન કરે છે. અવકાશમાં r બિંદુ પર M નું ગુરુત્વાકર્ષણીય ક્ષેત્ર એ બળ F વચ્ચેના ગુણોત્તરને અનુરૂપ છે જે M એ r પર સ્થિત નાના અથવા નજીવી પરીક્ષણ દળ m પર અને પરીક્ષણ દળ પોતે જ લાગુ કરે છેઃ m એ M કરતા ઘણું નાનું છે તે નિર્ધારિત કરવું એ સુનિશ્ચિત કરે છે કે m ની હાજરી M ની વર્તણૂક પર નજીવી અસર ધરાવે છે. ન્યૂટનના સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમ અનુસાર, F (r) એ M અને m ને જોડતી રેખા સાથે પડેલો એકમ વેક્ટર છે અને M થી m તરફ નિર્દેશ કરે છે. તેથી, M નું ગુરુત્વાકર્ષણીય ક્ષેત્ર એ પ્રાયોગિક નિરીક્ષણ છે કે જડત્વીય દળ અને ગુરુત્વાકર્ષણીય દળ એક અભૂતપૂર્વ સ્તરની ચોકસાઈ સમાન છે તે ઓળખ તરફ દોરી જાય છે કે ગુરુત્વાકર્ષણીય ક્ષેત્રની શક્તિ કણ દ્વારા અનુભવાયેલા પ્રવેગ સમાન છે. આ સમાનતા સિદ્ધાંતનો પ્રારંભિક બિંદુ છે, જે સામાન્ય સાપેક્ષતા તરફ દોરી જાય છે. કારણ કે ગુરુત્વાકર્ષણીય બળ F રૂઢિચુસ્ત છે, ગુરુત્વાકર્ષણીય ક્ષેત્ર g ને સ્કેલર ફંક્શનના ઢાળની દ્રષ્ટિએ ફરીથી લખી શકાય છે, ગુરુત્વાકર્ષણીય સંભવિત φ (r): વિદ્યુતચુંબકીય માઈકલ ફેરાડેએ ચુંબકત્વની તેમની તપાસ દરમિયાન ભૌતિક જથ્થા તરીકે ક્ષેત્રના મહત્વને સૌપ્રથમ સમજ્યું હતું. તેમને સમજાયું કે વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રો માત્ર બળના ક્ષેત્રો નથી જે કણોની ગતિને નિર્ધારિત કરે છે, પરંતુ એક સ્વતંત્ર ભૌતિક વાસ્તવિકતા પણ ધરાવે છે કારણ કે તેઓ ઊર્જા વહન કરે છે. આ વિચારો આખરે જેમ્સ ક્લર્ક મેક્સવેલ દ્વારા વિદ્યુતચુંબકીય ક્ષેત્ર માટે સમીકરણોની રજૂઆત સાથે ભૌતિકશાસ્ત્રમાં પ્રથમ એકીકૃત ક્ષેત્ર સિદ્ધાંતની રચના તરફ દોરી ગયા. આ સમીકરણોના આધુનિક સંસ્કરણને મેક્સવેલના સમીકરણો કહેવામાં આવે છે. વિદ્યુતસ્થૈતિકતા ચાર્જ q સાથે ચાર્જ થયેલ પરીક્ષણ કણ તેના ચાર્જ પર આધારિત બળ F નો અનુભવ કરે છે. આપણે એ જ રીતે વિદ્યુત ક્ષેત્ર E નું વર્ણન કરી શકીએ છીએ જેથી. આનો ઉપયોગ કરીને અને કુલમ્બનો નિયમ આપણને કહે છે કે એક જ ચાર્જ કણને કારણે વિદ્યુત ક્ષેત્ર રૂઢિચુસ્ત છે, અને તેથી તેને સ્કેલર પોટેન્શિયલ દ્વારા વર્ણવી શકાય છે, V (r): મેગ્નેટોસ્ટેટિક્સ એક સ્થિર પ્રવાહ I જે માર્ગ l સાથે વહે છે તે ક્ષેત્ર B બનાવશે, જે નજીકના ગતિશીલ ચાર્જ કણો પર બળ મૂકે છે જે ઉપર વર્ણવેલ વિદ્યુત ક્ષેત્ર બળથી માત્રાત્મક રીતે અલગ છે. નજીકના ચાર્જ q પર વેગ v સાથે I દ્વારા લાદવામાં આવેલું બળ એ છે કે જ્યાં B (r) એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે, જે બાયોટ-સાવર્ટ નિયમ દ્વારા I પરથી નક્કી થાય છેઃ ચુંબકીય ક્ષેત્ર સામાન્ય રીતે રૂઢિચુસ્ત નથી, અને તેથી તેને સામાન્ય રીતે સ્કેલર પોટેન્શિયલની દ્રષ્ટિએ લખી શકાતું નથી. જો કે, તેને વેક્ટર પોટેન્શિયલની દ્રષ્ટિએ લખી શકાય છે, A (r): ઇલેક્ટ્રોડાયનેમિક્સ સામાન્ય રીતે, ચાર્જ ઘનતા ρ (r, t) અને વર્તમાન ઘનતા J (r, t) બંનેની હાજરીમાં, વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર બંને હશે, અને બંને સમય પ્રમાણે બદલાશે. તેઓ મેક્સવેલના સમીકરણો દ્વારા નક્કી થાય છે, જે વિભેદક સમીકરણોનો સમૂહ છે જે E અને B ને ρ અને J સાથે સીધો સંબંધ ધરાવે છે. વૈકલ્પિક રીતે, સિસ્ટમને તેના સ્કેલર અને વેક્ટર પોટેન્શિયલ V અને A ની દ્રષ્ટિએ વર્ણવી શકાય છે. રિટાર્ડેડ પોટેન્શિયલ તરીકે ઓળખાતા અભિન્ન સમીકરણોનો સમૂહ ρ અને J માંથી V અને A ની ગણતરી કરવાની મંજૂરી આપે છે, અને ત્યાંથી વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રો સંબંધો દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. 19મી સદીના અંતમાં, વિદ્યુતચુંબકીય ક્ષેત્રને અવકાશમાં બે વેક્ટર ક્ષેત્રોના સંગ્રહ તરીકે સમજવામાં આવ્યું હતું. આજકાલ, અવકાશકાળમાં આને એક જ અસમપ્રમાણતા વિરોધી બીજા ક્રમના ટેન્સર ક્ષેત્ર તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. સામાન્ય સાપેક્ષતામાં ગુરુત્વાકર્ષણ આઈન્સ્ટાઈનનો ગુરુત્વાકર્ષણ સિદ્ધાંત, જેને સામાન્ય સાપેક્ષતા કહેવાય છે, તે ક્ષેત્ર સિદ્ધાંતનું બીજું ઉદાહરણ છે. અહીં મુખ્ય ક્ષેત્ર મેટ્રિક ટેન્સર છે, જે અવકાશકાળમાં સપ્રમાણ બીજા ક્રમનું ટેન્સર ક્ષેત્ર છે. આ ન્યૂટનના સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમને બદલે છે. ક્ષેત્રો તરીકે તરંગો તરંગોને ભૌતિક ક્ષેત્રો તરીકે બનાવી શકાય છે, તેમની મર્યાદિત પ્રસાર ઝડપ અને કારણભૂત પ્રકૃતિને કારણે જ્યારે એક અલગ બંધ પ્રણાલીનું સરળ ભૌતિક મોડેલ સેટ કરવામાં આવે છે. તેઓ વ્યુત્ક્રમ-ચોરસ કાયદાને પણ આધિન છે. વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો માટે, ઓપ્ટિકલ ક્ષેત્રો છે, અને વિવર્તન માટે નજીકના અને દૂરના ક્ષેત્રની મર્યાદા જેવા શબ્દો છે. જોકે વ્યવહારમાં, ઓપ્ટિક્સના ક્ષેત્ર સિદ્ધાંતોને મેક્સવેલના ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ક્ષેત્ર સિદ્ધાંત દ્વારા રદ કરવામાં આવે છે. ક્વોન્ટમ ક્ષેત્રો હવે એવું માનવામાં આવે છે કે ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સે તમામ ભૌતિક ઘટનાઓને આધાર આપવો જોઈએ, જેથી શાસ્ત્રીય ક્ષેત્ર સિદ્ધાંત, ઓછામાં ઓછા સિદ્ધાંતમાં, ક્વોન્ટમ યાંત્રિક દ્રષ્ટિએ પુનઃરચના કરવાની મંજૂરી આપે; સફળતા અનુરૂપ ક્વોન્ટમ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંત આપે છે. ઉદાહરણ તરીકે, ક્લાસિકલ ઇલેક્ટ્રોડાયનેમિક્સનું ક્વોન્ટાઇઝિંગ ક્વોન્ટમ ઇલેક્ટ્રોડાયનેમિક્સ આપે છે. ક્વોન્ટમ ઇલેક્ટ્રોડાયનેમિક્સ એ દલીલપૂર્વક સૌથી સફળ વૈજ્ઞાનિક સિદ્ધાંત છે; પ્રાયોગિક માહિતી તેની આગાહીઓને અન્ય કોઈપણ સિદ્ધાંત કરતાં વધુ ચોકસાઇ (વધુ નોંધપાત્ર અંકો) સાથે પુષ્ટિ આપે છે. અન્ય બે મૂળભૂત ક્વોન્ટમ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંતો ક્વોન્ટમ ક્રોમોડાયનેમિક્સ અને ઇલેક્ટ્રોવીક થિયરી છે. ક્વોન્ટમ ક્રોમોડાયનેમિક્સમાં, રંગક્ષેત્ર રેખાઓ ટૂંકા અંતરે ગ્લુઓન દ્વારા જોડાયેલી હોય છે, જે ક્ષેત્ર દ્વારા ધ્રુવીકૃત થાય છે અને તેની સાથે સુસંગત હોય છે. આ અસર ટૂંકા અંતરની અંદર વધે છે (ક્વોર્કની નજીકથી આશરે 1 એફ. એમ.) જે ટૂંકા અંતરની અંદર રંગ બળમાં વધારો કરે છે, ક્વોર્કને હેડ્રોનમાં મર્યાદિત કરે છે. જેમ જેમ ક્ષેત્રની રેખાઓ ગ્લુઓન દ્વારા ચુસ્તપણે એક સાથે ખેંચાય છે, તેમ તેમ તેઓ વિદ્યુત ચાર્જ વચ્ચેના વિદ્યુત ક્ષેત્ર જેટલું બહારની તરફ "નમતા" નથી. આ ત્રણેય ક્વોન્ટમ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંતો કણ ભૌતિકશાસ્ત્રના કહેવાતા પ્રમાણભૂત નમૂનાના વિશેષ કિસ્સાઓ તરીકે મેળવી શકાય છે. સામાન્ય સાપેક્ષતા, ગુરુત્વાકર્ષણનો આઈન્સ્ટાઈન ક્ષેત્ર સિદ્ધાંત, હજુ સુધી સફળતાપૂર્વક માપવામાં આવ્યો નથી. જો કે, એક વિસ્તરણ, થર્મલ ફિલ્ડ થિયરી, મર્યાદિત તાપમાને ક્વોન્ટમ ફિલ્ડ થિયરી સાથે કામ કરે છે, જે ક્વોન્ટમ ફિલ્ડ થિયરીમાં ભાગ્યે જ ગણવામાં આવે છે. બી. આર. એસ. ટી. સિદ્ધાંતમાં એક વિચિત્ર ક્ષેત્રો સાથે વ્યવહાર કરે છે, દા. ત. ફદ્દીવ-પોપોવ ભૂત. શ્રેણીબદ્ધ મેનીફોલ્ડ્સ અને સુપરમેનીફોલ્ડ્સ બંને પર વિચિત્ર શાસ્ત્રીય ક્ષેત્રોનું વિવિધ વર્ણન છે. શાસ્ત્રીય ક્ષેત્રો સાથે ઉપરની જેમ, પહેલાની જેમ સમાન તકનીકોનો ઉપયોગ કરીને શુદ્ધ ગાણિતિક દૃષ્ટિકોણથી તેમના ક્વોન્ટમ સમકક્ષોનો સંપર્ક કરવો શક્ય છે. ક્વોન્ટમ ક્ષેત્રોને સંચાલિત કરતા સમીકરણો હકીકતમાં PDE (ખાસ કરીને, સાપેક્ષ તરંગ સમીકરણો (RWE)) છે. આમ યાંગ-મિલ્સ, ડીરાક, ક્લેઇન-ગોર્ડન અને શ્રોડિંગર ક્ષેત્રોને તેમના સંબંધિત સમીકરણોના ઉકેલો તરીકે ગણી શકાય. એક સંભવિત સમસ્યા એ છે કે આ RWEs જટિલ ગાણિતિક પદાર્થો સાથે વિદેશી બીજગણિત ગુણધર્મો (દા. ત.) સાથે વ્યવહાર કરી શકે છે. સ્પિનરો ટેન્સર નથી, તેથી સ્પિનોર ક્ષેત્રો માટે કલનની જરૂર પડી શકે છે), પરંતુ સિદ્ધાંતમાં આને હજુ પણ યોગ્ય ગાણિતિક સામાન્યીકરણ આપવામાં વિશ્લેષણાત્મક પદ્ધતિઓને આધિન કરી શકાય છે. ક્ષેત્ર સિદ્ધાંત સામાન્ય રીતે ક્ષેત્રની ગતિશીલતાની રચનાનો સંદર્ભ આપે છે, એટલે કે, સમય સાથે ક્ષેત્ર કેવી રીતે બદલાય છે અથવા અન્ય સ્વતંત્ર ભૌતિક ચલોના સંદર્ભમાં કે જેના પર ક્ષેત્ર આધાર રાખે છે. સામાન્ય રીતે આ ક્ષેત્રની લેગ્રેન્જિયન અથવા હેમિલ્ટોનિયન લખીને કરવામાં આવે છે, અને તેને અનંત સંખ્યામાં ડિગ્રી ઓફ ફ્રીડમ સાથે ક્લાસિકલ અથવા ક્વોન્ટમ મિકેનિકલ સિસ્ટમ તરીકે ગણવામાં આવે છે. પરિણામી ક્ષેત્ર સિદ્ધાંતોને શાસ્ત્રીય અથવા ક્વોન્ટમ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંતો તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. શાસ્ત્રીય ક્ષેત્રની ગતિશીલતા સામાન્ય રીતે ક્ષેત્ર ઘટકોની દ્રષ્ટિએ લગ્રેન્જિયન ઘનતા દ્વારા નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે; ગતિશીલતા ક્રિયા સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને મેળવી શકાય છે. બહુવિધ કલન, સંભવિત સિદ્ધાંત અને આંશિક વિભેદક સમીકરણો (PDE) માંથી માત્ર ગણિતનો ઉપયોગ કરીને ભૌતિકશાસ્ત્રના કોઈપણ પૂર્વ જ્ઞાન વિના સરળ ક્ષેત્રોનું નિર્માણ કરવું શક્ય છે. ઉદાહરણ તરીકે, સ્કેલર PDE તરંગ સમીકરણ અને પ્રવાહી ગતિશીલતા માટે કંપનવિસ્તાર, ઘનતા અને દબાણ ક્ષેત્રો જેવા જથ્થાને ધ્યાનમાં લઈ શકે છે; ગરમી/પ્રસરણ સમીકરણો માટે તાપમાન/સાંદ્રતા ક્ષેત્રો. ભૌતિકશાસ્ત્રની બહાર (દા. ત., રેડિયોમેટ્રી અને કમ્પ્યુટર ગ્રાફિક્સ), પ્રકાશ ક્ષેત્રો પણ છે. આ અગાઉના તમામ ઉદાહરણો સ્કેલર ક્ષેત્રો છે. તેવી જ રીતે વેક્ટર માટે, (લાગુ કરેલ ગાણિતિક) પ્રવાહી ગતિશાસ્ત્રમાં વિસ્થાપન, વેગ અને વર્ટિસિટી ક્ષેત્રો માટે વેક્ટર PDE છે, પરંતુ વેક્ટર ક્ષેત્રો માટે કલન હોવાથી (જેમ કે આ ત્રણ જથ્થા અને સામાન્ય રીતે વેક્ટર PDE માટે) વેક્ટર કલન હવે વધુમાં જરૂરી હોઈ શકે છે. સાતત્ય મિકેનિક્સમાં વધુ સામાન્ય સમસ્યાઓમાં ઉદાહરણ તરીકે, દિશાત્મક સ્થિતિસ્થાપકતા (જેમાંથી ટેન્સર શબ્દ આવે છે, જે સ્ટ્રેચ માટે લેટિન શબ્દ પરથી ઉતરી આવ્યો છે), જટિલ પ્રવાહી પ્રવાહ અથવા અનિસોટ્રોપિક પ્રસરણ, જે મેટ્રિક્સ-ટેન્સર PDE તરીકે રચાયેલ છે, અને પછી મેટ્રિક્સ અથવા ટેન્સર ક્ષેત્રોની જરૂર પડે છે, તેથી મેટ્રિક્સ અથવા ટેન્સર કલન. સ્કેલર્સ (અને તેથી વેક્ટર, મેટ્રિસીસ અને ટેન્સર) વાસ્તવિક અથવા જટિલ હોઈ શકે છે કારણ કે બંને અમૂર્ત-બીજગણિત/રીંગ-સૈદ્ધાંતિક અર્થમાં ક્ષેત્રો છે. સામાન્ય સેટિંગમાં, શાસ્ત્રીય ક્ષેત્રોને ફાઇબર બંડલ્સના વિભાગો દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે અને તેમની ગતિશીલતા જેટ મેનીફોલ્ડ્સ (કોવેરિયન્ટ ક્લાસિકલ ફિલ્ડ થિયરી) ની દ્રષ્ટિએ ઘડવામાં આવે છે. આધુનિક ભૌતિકશાસ્ત્રમાં, સૌથી વધુ અભ્યાસ કરાયેલ ક્ષેત્રો તે છે જે ચાર મૂળભૂત બળોનું નમૂના બનાવે છે જે એક દિવસ એકીકૃત ક્ષેત્ર સિદ્ધાંત તરફ દોરી શકે છે. ક્ષેત્રોની સમપ્રમાણતા ક્ષેત્ર (શાસ્ત્રીય અથવા ક્વોન્ટમ) નું વર્ગીકરણ કરવાની એક અનુકૂળ રીત તેની પાસે રહેલી સમપ્રમાણતા દ્વારા છે. ભૌતિક સમપ્રમાણતા સામાન્ય રીતે બે પ્રકારની હોય છેઃ અવકાશ સમય સમપ્રમાણતા ક્ષેત્રોને ઘણીવાર અવકાશ સમયના પરિવર્તન હેઠળ તેમના વર્તન દ્વારા વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે. આ વર્ગીકરણમાં ઉપયોગમાં લેવાતા શબ્દો છેઃ સ્કેલર ક્ષેત્રો (જેમ કે તાપમાન) જેમના મૂલ્યો જગ્યાના દરેક બિંદુ પર એક જ ચલ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જગ્યાના પરિવર્તન હેઠળ આ મૂલ્ય બદલાતું નથી. વેક્ટર ક્ષેત્રો (જેમ કે ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં દરેક બિંદુ પર બળની તીવ્રતા અને દિશા) જે જગ્યાના દરેક બિંદુ પર વેક્ટરને જોડીને નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે. આ વેક્ટરના ઘટકો અવકાશમાં પરિભ્રમણ હેઠળ વિરોધાભાસી રીતે પોતાની વચ્ચે પરિવર્તિત થાય છે. તેવી જ રીતે, ડ્યુઅલ (અથવા સહ-) વેક્ટર ક્ષેત્ર જગ્યાના દરેક બિંદુ સાથે ડ્યુઅલ વેક્ટરને જોડે છે, અને દરેક ડ્યુઅલ વેક્ટરના ઘટકો સહપરિવર્તનમાં પરિવર્તિત થાય છે. અવકાશના દરેક બિંદુ પર ટેન્સર દ્વારા નિર્દિષ્ટ ટેન્સર ક્ષેત્રો (જેમ કે સ્ફટિકના તાણ ટેન્સર). અવકાશમાં પરિભ્રમણ હેઠળ, ટેન્સરના ઘટકો વધુ સામાન્ય રીતે પરિવર્તિત થાય છે જે સહપરિવર્તન સૂચકાંકો અને વિરોધાભાસી સૂચકાંકોની સંખ્યા પર આધાર રાખે છે. સ્પિનોર ક્ષેત્રો (જેમ કે ડીરાક સ્પિનોર) સ્પિન સાથેના કણોને વર્ણવવા માટે ક્વોન્ટમ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંતમાં ઉદ્ભવે છે જે તેમના એક ઘટક સિવાય વેક્ટરની જેમ પરિવર્તિત થાય છે; બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, જ્યારે કોઈ વેક્ટર ક્ષેત્રને ચોક્કસ અક્ષની આસપાસ 360 ડિગ્રી ફેરવે છે, ત્યારે વેક્ટર ક્ષેત્ર પોતાની તરફ વળે છે; જો કે, તે જ કિસ્સામાં સ્પિનોર તેમના નકારાત્મક તરફ વળશે. આંતરિક સમપ્રમાણતા ક્ષેત્રોમાં અવકાશ સમય સમપ્રમાણતા ઉપરાંત આંતરિક સમપ્રમાણતા હોઈ શકે છે. ઘણી પરિસ્થિતિઓમાં, વ્યક્તિને એવા ક્ષેત્રોની જરૂર પડે છે જે અવકાશ સમય સ્કેલરની સૂચિ હોયઃ (φ1, φ2,. φN). ઉદાહરણ તરીકે, હવામાનની આગાહીમાં આ તાપમાન, દબાણ, ભેજ વગેરે હોઈ શકે છે. કણ ભૌતિકશાસ્ત્રમાં, ક્વોર્કની ક્રિયાપ્રતિક્રિયાની રંગ સમપ્રમાણતા એ આંતરિક સમપ્રમાણતાનું ઉદાહરણ છે, જે મજબૂત ક્રિયાપ્રતિક્રિયાનું ઉદાહરણ છે. અન્ય ઉદાહરણોમાં આઇસોસ્પિન, નબળા આઇસોસ્પિન, વિચિત્રતા અને અન્ય કોઈપણ સ્વાદ સમપ્રમાણતા છે. જો સમસ્યાની સમપ્રમાણતા હોય, જેમાં અવકાશ સમયનો સમાવેશ થતો નથી, જેના હેઠળ આ ઘટકો એક બીજામાં પરિવર્તિત થાય છે, તો સમપ્રમાણતાના આ સમૂહને આંતરિક સમપ્રમાણતા કહેવામાં આવે છે. આંતરિક સમપ્રમાણતા હેઠળ ક્ષેત્રોના ચાર્જનું વર્ગીકરણ પણ કરી શકાય છે. આંકડાકીય ક્ષેત્ર સિદ્ધાંત આંકડાકીય ક્ષેત્ર સિદ્ધાંત ક્ષેત્ર-સૈદ્ધાંતિક નમૂનાને બહુવિધ શરીર પ્રણાલીઓ અને આંકડાકીય મિકેનિક્સ તરફ વિસ્તારવાનો પ્રયાસ કરે છે. ઉપરની જેમ, સામાન્ય રીતે અનંત સંખ્યામાં ડિગ્રીઝ ઓફ ફ્રીડમ દલીલ દ્વારા તેનો સંપર્ક કરી શકાય છે. આંકડાકીય મિકેનિક્સની જેમ જ ક્વોન્ટમ અને ક્લાસિકલ મિકેનિક્સ વચ્ચે કેટલાક ઓવરલેપ છે, આંકડાકીય ક્ષેત્ર સિદ્ધાંત ક્વોન્ટમ અને ક્લાસિકલ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંતો બંને સાથે જોડાયેલો છે, ખાસ કરીને પહેલું જેની સાથે તે ઘણી પદ્ધતિઓ વહેંચે છે. એક મહત્વપૂર્ણ ઉદાહરણ સરેરાશ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંત છે. સતત અવ્યવસ્થિત ક્ષેત્રો ઉપરોક્ત શાસ્ત્રીય ક્ષેત્રો, જેમ કે વિદ્યુતચુંબકીય ક્ષેત્ર, સામાન્ય રીતે અનંત વિભેદક કાર્યો હોય છે, પરંતુ તેઓ કોઈ પણ સંજોગોમાં લગભગ હંમેશા બમણા વિભેદક હોય છે. તેનાથી વિપરીત, સામાન્યીકૃત કાર્યો સતત નથી હોતા. મર્યાદિત તાપમાને શાસ્ત્રીય ક્ષેત્રો સાથે કાળજીપૂર્વક વ્યવહાર કરતી વખતે, સતત અવ્યવસ્થિત ક્ષેત્રોની ગાણિતિક પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, કારણ કે ઉષ્મીય રીતે વધઘટ થતા શાસ્ત્રીય ક્ષેત્રો ક્યાંય પણ વિભેદક નથી. રેન્ડમ ક્ષેત્રો એ રેન્ડમ ચલોનો અનુક્રમિત સમૂહ છે; સતત રેન્ડમ ક્ષેત્ર એ એક રેન્ડમ ક્ષેત્ર છે જે તેના અનુક્રમણિકા સમૂહ તરીકે કાર્યોનો સમૂહ ધરાવે છે. ખાસ કરીને, તેના અનુક્રમણિકા સમૂહ તરીકે કાર્યોની શ્વાર્ટઝ જગ્યા રાખવા માટે સતત રેન્ડમ ક્ષેત્ર લેવાનું ઘણીવાર ગાણિતિક રીતે અનુકૂળ હોય છે, આ કિસ્સામાં સતત રેન્ડમ ક્ષેત્ર એક સમશીતોષ્ણ વિતરણ છે. આપણે સતત અવ્યવસ્થિત ક્ષેત્ર વિશે, (ખૂબ) રફ રીતે, એક સામાન્ય કાર્ય તરીકે વિચારી શકીએ છીએ જે લગભગ દરેક જગ્યાએ હોય છે, પરંતુ એવું કે જ્યારે આપણે કોઈપણ મર્યાદિત પ્રદેશ પરની તમામ અનંતતાઓની ભારિત સરેરાશ લઈએ છીએ, ત્યારે આપણને મર્યાદિત પરિણામ મળે છે. અનંત સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત નથી; પરંતુ મર્યાદિત મૂલ્યો મર્યાદિત મૂલ્યો મેળવવા માટે વજન કાર્યો તરીકે ઉપયોગમાં લેવાતા કાર્યો સાથે સંકળાયેલ હોઈ શકે છે, અને તે સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. આપણે સતત રેન્ડમ ક્ષેત્રને કાર્યોની જગ્યામાંથી વાસ્તવિક સંખ્યાઓમાં રેખીય નકશા તરીકે સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત કરી શકીએ છીએ. કોન્ફોર્મલ ફિલ્ડ થિયરી કોવેરિયન્ટ હેમિલ્ટોનિયન ફિલ્ડ થિયરી ફિલ્ડ સ્ટ્રેન્થ હિસ્ટ્રી ઓફ ધ ફિલોસોફી ઓફ ફિલ્ડ થિયરી લેગ્રેન્જિયન એન્ડ યુલરિયન સ્પષ્ટીકરણ ઓફ અ ફિલ્ડ સ્કેલર ફિલ્ડ થિયરી વેલોસિટી ફિલ્ડ નોટ્સ વધુ વાંચન લેન્ડાઉ, લેવ ડી. અને લાઇફશિટ્ઝ, એવગેની એમ. (1971) જુઓ. ક્લાસિકલ થિયરી ઓફ ફીલ્ડ્સ (ત્રીજી આવૃત્તિ). લંડનઃ પર્ગામન. . વોલ્યુમ. સૈદ્ધાંતિક ભૌતિકશાસ્ત્રના અભ્યાસક્રમના 2. બાહ્ય કડીઓ કણ અને પોલિમર ક્ષેત્ર સિદ્ધાંતો ગાણિતિક ભૌતિકશાસ્ત્ર સૈદ્ધાંતિક ભૌતિકશાસ્ત્ર ભૌતિક જથ્થા