LOBPCG
સ્થાનિક રીતે ઓપ્ટિમલ બ્લોક પ્રી-કન્ડિશન્ડ કોન્જુગેટ ગ્રેડિયન્ટ (એલ. ઓ. બી. પી. સી. જી.) એ જટિલ હર્મિશિયન અથવા વાસ્તવિક સપ્રમાણ મેટ્રિક્સની આપેલ જોડી માટે સૌથી મોટા (અથવા સૌથી નાના) આઈગનવેલ્યુઝ અને સપ્રમાણ સામાન્યીકૃત આઈગનવેલ્યુ સમસ્યાના અનુરૂપ આઈગનવેક્ટર્સ શોધવા માટેની મેટ્રિક્સ-મુક્ત પદ્ધતિ છે, જ્યાં મેટ્રિક્સને પણ હકારાત્મક-નિશ્ચિત માનવામાં આવે છે. બેકગ્રાઉન્ડ 1948માં કેન્ટોરોવિચે સ્કેલર પ્રોડક્ટમાં રેલેહ ભાગાકારના સ્કેલ કરેલ ગ્રેડિયન્ટની દિશાનો ઉપયોગ કરીને સૌથી તીવ્ર વંશ દ્વારા સપ્રમાણ મેટ્રિક્સના સૌથી નાના આઈગન વેલ્યુની ગણતરી કરવાની દરખાસ્ત કરી હતી, જેમાં વેક્ટરના રેખીય ગાળામાં રેલેહ ભાગાકારને ઘટાડીને ગણતરી કરવામાં આવે છે અને એટલે કે. સ્થાનિક રીતે શ્રેષ્ઠ રીતે. સમોકિશે પૂર્વશરત દિશા અને વ્યુત્પન્ન એસિમ્પ્ટોટિક પેદા કરવા માટે શેષ વેક્ટર પર પૂર્વશરત લાગુ કરવાની દરખાસ્ત કરી હતી, જેમ જેમ આઈગનવેક્ટર, કન્વર્જન્સ રેટ બાઉન્ડ્સની નજીક પહોંચે છે. ડી 'યાકોનોવે વર્ણપટ સમકક્ષ પૂર્વશરત અને વ્યુત્પન્ન બિન-એસિમ્પ્ટોટિક કન્વર્જન્સ દરની સીમા સૂચવી હતી. આઈગન વેલ્યુ સમસ્યાઓ માટે બ્લોક સ્થાનિક રીતે શ્રેષ્ઠ બહુ-પગલાવાળા સૌથી તીવ્ર અવરોહણનું વર્ણન તેમાં કરવામાં આવ્યું હતું. વર્તમાન અંદાજ, વર્તમાન અવશેષ અને અગાઉના અંદાજ, તેમજ તેના બ્લોક સંસ્કરણ દ્વારા ફેલાયેલ સબસ્પેસ પર રેલે ભાગાકારનું સ્થાનિક લઘુતમકરણ, તેમાં દેખાયું. પૂર્વ-શરતી સંસ્કરણનું અને માં વિશ્લેષણ કરવામાં આવ્યું હતું. મુખ્ય વિશેષતાઓ મેટ્રિક્સ-મુક્ત, એટલે કે. ગુણાંક મેટ્રિક્સને સ્પષ્ટપણે સંગ્રહિત કરવાની જરૂર નથી, પરંતુ મેટ્રિક્સ-વેક્ટર ઉત્પાદનોનું મૂલ્યાંકન કરીને મેટ્રિક્સને ઍક્સેસ કરી શકે છે. ફેક્ટરાઇઝેશન-ફ્રી એટલે કે. સામાન્યીકૃત આઈગન વેલ્યુ સમસ્યા માટે પણ કોઈ મેટ્રિક્સ વિઘટનની જરૂર નથી. પુનરાવર્તન દીઠ ખર્ચ અને મેમરીનો ઉપયોગ લેન્સઝોસ પદ્ધતિ સાથે સ્પર્ધાત્મક છે, જે સપ્રમાણ મેટ્રિક્સની એક આત્યંતિક આઈગનપેયરની ગણતરી કરે છે. રેખીય અભિસરણની સૈદ્ધાંતિક રીતે ખાતરી આપવામાં આવે છે અને વ્યવહારીક રીતે અવલોકન કરવામાં આવે છે. પરિવર્તનીય અને બિન-સમમિતીય તેમજ નિશ્ચિત અને સકારાત્મક ચોક્કસ પૂર્વશરત સહિત લેન્ક્ઝોસ પદ્ધતિથી વિપરીત, સીધી પૂર્વશરતને કારણે ત્વરિત અભિસરણ. પૂર્વશરત દ્વારા કાર્યક્ષમ ડોમેન વિઘટન અને મલ્ટીગ્રિડ તકનીકોના તુચ્છ સમાવેશને મંજૂરી આપે છે. વોર્મ દરેક પુનરાવર્તન પર આઈગનવેક્ટરનો અંદાજ શરૂ કરે છે અને ગણતરી કરે છે. લેન્ક્ઝોસ પદ્ધતિની સરખામણીમાં આંકડાકીય રીતે વધુ સ્થિર છે, અને ઓછી ચોકસાઇવાળા કોમ્પ્યુટર અંકગણિતમાં કામ કરી શકે છે. અમલમાં મૂકવા માટે સરળ, ઘણા સંસ્કરણો પહેલેથી જ દેખાયા છે. અવરોધિત કરવું અત્યંત કાર્યક્ષમ મેટ્રિક્સ-મેટ્રિક્સ કામગીરીનો ઉપયોગ કરવાની મંજૂરી આપે છે, દા. ત., BLAS 3. બ્લોક કદને કન્વર્જન્સ સ્પીડ વિરુદ્ધ ઓર્થોગોનલાઇઝેશનના કમ્પ્યુટર ખર્ચ અને દરેક પુનરાવર્તન પર રેલે-રિટ્ઝ પદ્ધતિને સંતુલિત કરવા માટે ટ્યુન કરી શકાય છે. એલ્ગોરિધમ સિંગલ-વેક્ટર વર્ઝન પ્રિલિમિનરીઝઃ આઈગન વેલ્યુ સમસ્યાઓ માટે ગ્રેડિયન્ટ ડિસેન્ટ આ પદ્ધતિ સામાન્યીકૃત રેલેહ ભાગાકારનું પુનરાવર્તિત મહત્તમકરણ (અથવા લઘુતમ) કરે છે જે સામાન્યીકૃત રેલેહ ભાગાકારની સૌથી તીવ્ર ચડાઇની દિશા, જે ગ્રેડિયન્ટ છે, તે આઈગનવેક્ટર અવશેષ તરીકે ઓળખાતા વેક્ટરની હકારાત્મક પ્રમાણમાં હોય છે. જો પૂર્વશરત ઉપલબ્ધ હોય, તો તે અવશેષ પર લાગુ કરવામાં આવે છે અને પૂર્વશરત અવશેષ તરીકે ઓળખાતા વેક્ટરને આપે છે. પૂર્વશરત વિના, આપણે સેટ કરીએ છીએ અને તેથી. પુનરાવર્તિત પદ્ધતિ અથવા, ટૂંકમાં, પૂર્વ-શરતી સૌથી તીવ્ર ચડતો (અથવા ઉતરતો) તરીકે ઓળખાય છે, જ્યાં સ્કેલરને પગલાનું કદ કહેવામાં આવે છે. શ્રેષ્ઠ પગલાનું કદ રેલે ભાગાકારને મહત્તમ કરીને નક્કી કરી શકાય છે, એટલે કે, (અથવા ઘટાડવાના કિસ્સામાં), આ કિસ્સામાં પદ્ધતિને સ્થાનિક રીતે શ્રેષ્ઠ કહેવામાં આવે છે. ત્રણ-ગાળાનું પુનરાવર્તન સ્થાનિક રીતે શ્રેષ્ઠ પૂર્વ-શરતી સૌથી તીવ્ર ચડતો (અથવા ઉતરતો) ના અભિસરણને નાટકીય રીતે વેગ આપવા માટે, તેને ત્રણ-ગાળાના બનાવવા માટે બે-ગાળાના પુનરાવર્તન સંબંધમાં એક વધારાનો વાહક ઉમેરી શકાય છેઃ (લઘુત્તમ કરવાના કિસ્સામાં ઉપયોગ). 3-પરિમાણીય સબસ્પેસમાં રેલે ભાગાકારનું મહત્તમકરણ/લઘુતમકરણ રેલે-રિટ્ઝ પદ્ધતિ દ્વારા આંકડાકીય રીતે કરી શકાય છે. વધુ વેક્ટર ઉમેરવાથી, જુઓ, દા. ત., રિચાર્ડસન એક્સ્ટ્રાપોલેશન, નોંધપાત્ર પ્રવેગમાં પરિણમતું નથી પરંતુ ગણતરી ખર્ચમાં વધારો કરે છે, તેથી સામાન્ય રીતે ભલામણ કરવામાં આવતી નથી. આંકડાકીય સ્થિરતામાં સુધારો જેમ જેમ પુનરાવર્તનો ભેગા થાય છે તેમ, વેક્ટર અને લગભગ રેખીય રીતે આશ્રિત બની જાય છે, પરિણામે ચોકસાઇમાં ઘટાડો થાય છે અને રાઉન્ડ-ઓફ ભૂલોની હાજરીમાં રેલે-રિટ્ઝ પદ્ધતિને આંકડાકીય રીતે અસ્થિર બનાવે છે. ત્રિ-પરિમાણીય સબસ્પેસના આધારે વેક્ટરને વેક્ટર સાથે બદલીને ચોકસાઇની ખોટ ટાળી શકાય છે, જ્યારે સબસ્પેસને યથાવત રાખીને અને ઓર્થોગોનલાઇઝેશન અથવા અન્ય કોઈપણ વધારાની કામગીરીને ટાળી શકાય છે. વધુમાં, સ્થિરતા અને પ્રાપ્ય ચોકસાઈમાં સુધારો કરવા માટે બિન-શરતી આઈગનવેલ્યુ સમસ્યાઓ માટે ત્રિ-પરિમાણીય સબસ્પેસના આધારને ઓર્થોગોનલાઇઝ કરવાની જરૂર પડી શકે છે. ક્રાયલોવ સબસ્પેસ એનાલોગ આ એલ. ઓ. બી. પી. સી. જી. પદ્ધતિનું સિંગલ-વેક્ટર વર્ઝન છે-સપ્રમાણ આઈગન વેલ્યુ સમસ્યાઓના કિસ્સામાં પૂર્વશરત સંયુગ્મિત ઢાળ રેખીય ઉકેલોના સંભવિત સામાન્યીકરણમાંથી એક. તુચ્છ કિસ્સામાં પણ અને તેની સાથે પરિણામી અંદાજ લેન્ક્ઝોસ અલ્ગોરિધમ દ્વારા મેળવેલા અંદાજ કરતાં અલગ હશે, જો કે બંને અંદાજો સમાન ક્રાયલોવ સબસ્પેસના હશે. પ્રાયોગિક ઉપયોગના દૃશ્યો એલ. ઓ. બી. પી. સી. જી. ના સિંગલ-વેક્ટર સંસ્કરણની અત્યંત સરળતા અને ઉચ્ચ કાર્યક્ષમતા તેને ગંભીર હાર્ડવેર મર્યાદાઓ હેઠળ આઇગન વેલ્યુ-સંબંધિત એપ્લિકેશનો માટે આકર્ષક બનાવે છે, જેમાં સ્પેક્ટ્રલ ક્લસ્ટરિંગ આધારિત રીઅલ-ટાઇમ વિસંગતતા શોધવાથી લઈને એમ્બેડેડ એએસઆઇસી અથવા એફ. પી. જી. એ. પર ગ્રાફ પાર્ટીશનિંગ દ્વારા મોડેલિંગ અને ટોચના 500 સુપરકોમ્પ્યુટર્સ પર રેકોર્ડ કમ્પ્યુટિંગ જટિલતાની ભૌતિક ઘટનાઓનું મોડેલિંગ સામેલ છે. બ્લોક વર્ઝન સારાંશ અનુગામી આઈગનપેર્સની ગણતરી એક પછી એક સિંગલ-વેક્ટર એલ. ઓ. બી. પી. સી. જી. દ્વારા ઓર્થોગોનલ ડિફ્લેશન સાથે અથવા એક સાથે બ્લોક તરીકે કરી શકાય છે. પહેલાના અભિગમમાં, પહેલેથી જ ગણતરી કરાયેલ અંદાજિત આઈગનવેક્ટર્સમાં અચોક્કસતા પછીની ગણતરી કરાયેલ આઈગનવેક્ટર્સની ચોકસાઈને ઉમેરવામાં અસર કરે છે, આમ દરેક નવી ગણતરી સાથે ભૂલ વધે છે. એલ. ઓ. બી. પી. સી. જી. ના બ્લોક વર્ઝનમાં સ્થાનિક રીતે શ્રેષ્ઠ રીતે બ્લોકમાં કેટલાક અંદાજિત આઈગનવેક્ટર્સને એકસાથે પુનરાવર્તન કરવું. તે આઈગનવેક્ટર્સની ઝડપી, સચોટ અને મજબૂત ગણતરીને મંજૂરી આપે છે, જેમાં લગભગ બહુવિધ આઈગનવેલ્યુને અનુરૂપ હોય છે જ્યાં સિંગલ-વેક્ટર એલ. ઓ. બી. પી. સી. જી. ધીમા કન્વર્જન્સથી પીડાય છે. બ્લોક કદને આંકડાકીય સ્થિરતા વિરુદ્ધ કન્વર્જન્સ સ્પીડ વિરુદ્ધ ઓર્થોગોનલાઇઝેશનના કમ્પ્યુટર ખર્ચ અને દરેક પુનરાવર્તન પર રેલે-રિટ્ઝ પદ્ધતિને સંતુલિત કરવા માટે ટ્યુન કરી શકાય છે. કોર ડિઝાઇન એલ. ઓ. બી. પી. સી. જી. માં બ્લોક અભિગમ સિંગલ-વેક્ટર અને બ્લોક-વેક્ટર સાથે બદલાય છે, એટલે કે. મેટ્રિસીસ અને, જ્યાં, દા. ત., દરેક સ્તંભ અંદાજે એક આઈગનવેક્ટર ધરાવે છે. તમામ સ્તંભોને એક સાથે પુનરાવર્તિત કરવામાં આવે છે, અને અંદાજિત આઈગનવેક્ટર્સનો આગામી મેટ્રિક્સ મેટ્રિક્સના તમામ સ્તંભો દ્વારા ફેલાયેલ સબસ્પેસ પર રેલે-રિટ્ઝ પદ્ધતિ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. દરેક સ્તંભની ગણતરી ફક્ત મેટ્રિક્સના દરેક સ્તંભ માટે પૂર્વશરત અવશેષ તરીકે કરવામાં આવે છે જે એવી રીતે નક્કી કરવામાં આવે છે કે સ્તંભો દ્વારા ફેલાયેલી પેટા જગ્યાઓ અને સ્તંભો સમાન હોય. આંકડાકીય સ્થિરતા વિરુદ્ધ કાર્યક્ષમતા રેલે-રિટ્ઝ પદ્ધતિનું પરિણામ મેટ્રિસીસના તમામ સ્તંભો દ્વારા ફેલાયેલ સબસ્પેસ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે અને જ્યાં સબસ્પેસનો આધાર સૈદ્ધાંતિક રીતે મનસ્વી હોઈ શકે છે. જો કે, અચોક્કસ કોમ્પ્યુટર અંકગણિતમાં રેલે-રિટ્ઝ પદ્ધતિ આંકડાકીય રીતે અસ્થિર બની જાય છે જો કેટલાક બેસિસ વેક્ટર લગભગ રેખીય રીતે નિર્ભર હોય. આંકડાકીય અસ્થિરતા સામાન્ય રીતે થાય છે, દા. ત., જો પુનરાવર્તિત બ્લોકમાંના કેટલાક આઈગનવેક્ટર્સ આપેલ કમ્પ્યુટર ચોકસાઇ માટે પહેલેથી જ પ્રાપ્ય ચોકસાઈ સુધી પહોંચે છે અને ખાસ કરીને ઓછી ચોકસાઇમાં અગ્રણી હોય છે, દા. ત., સિંગલ ચોકસાઇ. એલ. ઓ. બી. પી. સી. જી. ના બહુવિધ વિવિધ અમલીકરણની કળા એ છે કે સબસ્પેસનો સારો આધાર પસંદ કરીને ઓછામાં ઓછા કમ્પ્યુટિંગ ખર્ચ પર રેલે-રિટ્ઝ પદ્ધતિની આંકડાકીય સ્થિરતા સુનિશ્ચિત કરવી. ગ્રામ-શ્મિટ પ્રક્રિયા દ્વારા આધાર વેક્ટરને ઓર્થોગોનલ બનાવવાનો દલીલપૂર્વકનો સૌથી સ્થિર અભિગમ પણ સૌથી વધુ ગણતરીત્મક ખર્ચાળ છે. ઉદાહરણ તરીકે, એલ. ઓ. બી. પી. સી. જી. અમલીકરણ, સામાન્ય મેટ્રિક્સના અસ્થિર પરંતુ કાર્યક્ષમ કોલેસ્કી વિઘટનનો ઉપયોગ કરે છે, જે સમગ્ર સબસ્પેસને બદલે માત્ર વ્યક્તિગત મેટ્રિક્સ પર કરવામાં આવે છે. કોમ્પ્યુટર મેમરીની સતત વધતી જતી માત્રા આજકાલ શ્રેણીમાં લાક્ષણિક બ્લોક કદને મંજૂરી આપે છે, જ્યાં ગણતરીના સમયની ટકાવારી ઓર્થોગોનલાઇઝેશન અને રેલે-રિટ્ઝ પદ્ધતિ પર પ્રભુત્વ મેળવવાનું શરૂ કરે છે. અગાઉ કન્વર્જ્ડ આઈગનવેક્ટર્સને લોક કરવા આઈગન વેલ્યુ સમસ્યાઓ માટે બ્લોક પદ્ધતિઓ કે જે પુનરાવર્તિત સબસ્પેસીસમાં સામાન્ય રીતે કેટલાક પુનરાવર્તિત આઈગનવેક્ટર્સ અન્ય કરતા વધુ ઝડપથી કન્વર્જ્ડ હોય છે જે પહેલેથી જ કન્વર્જ્ડ આઈગનવેક્ટર્સને લોક કરવા માટે પ્રેરિત કરે છે, એટલે કે, બિનજરૂરી ગણતરીઓને દૂર કરવા અને આંકડાકીય સ્થિરતામાં સુધારો કરવા માટે, તેમને પુનરાવર્તિત લૂપમાંથી દૂર કરે છે. આઈગનવેક્ટરને સરળ રીતે દૂર કરવાથી હજુ પણ પુનરાવર્તિત વેક્ટરમાં તેની નકલ બની શકે છે. સપ્રમાણ આઈગન વેલ્યુ સમસ્યાઓના આઈગનવેક્ટર્સ જોડી મુજબ ઓર્થોગોનલ છે તે હકીકત સૂચવે છે કે તમામ પુનરાવર્તિત વેક્ટર્સને બંધ વેક્ટર્સ સાથે ઓર્થોગોનલ રાખવામાં આવે છે. ગણતરીના ખર્ચને ઘટાડતી વખતે આંકડાકીય ચોકસાઈ અને સ્થિરતા જાળવી રાખીને લોકિંગનો અલગ રીતે અમલ કરી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, એલ. ઓ. બી. પી. સી. જી. અમલીકરણ, અનુસરવું, હાર્ડ લોકિંગને અલગ કરવું, એટલે કે. પ્રતિબંધ દ્વારા ડિફ્લેશન, જ્યાં લૉક કરેલા આઈગનવેક્ટર્સ કોડ ઇનપુટ તરીકે કામ કરે છે અને બદલાતા નથી, સોફ્ટ લોકિંગથી, જ્યાં લૉક કરેલા વેક્ટર્સ અવશેષોની ગણતરીના સામાન્ય રીતે સૌથી મોંઘા પુનરાવર્તિત પગલામાં ભાગ લેતા નથી, જો કે, સંપૂર્ણપણે રેલે-રિટ્ઝ પદ્ધતિમાં ભાગ લે છે અને આમ રેલે-રિટ્ઝ પદ્ધતિ દ્વારા તેને બદલવાની મંજૂરી આપવામાં આવે છે. ફેરફારો, એલ. ઓ. બી. પી. સી. જી. II એલ. ઓ. બી. પી. સી. જી. માં મેટ્રિસીસના તમામ સ્તંભો અને રેલે-રિટ્ઝ પદ્ધતિમાં સમાવેશ થાય છે, જેના પરિણામે દરેક પુનરાવર્તન પર ગણતરી કરવા માટે ડોટ પ્રોડક્ટ્સ સુધી અને ઉકેલવા માટે જરૂરી અપ-બાય-આઈગનવેલ્યુ સમસ્યામાં પરિણમે છે, જ્યાં બ્લોકનું કદ સૂચવે છે-સ્તંભોની સંખ્યા. મોટા બ્લોક કદ માટે આ ગણતરી અને I/O ખર્ચ પર પ્રભુત્વ મેળવવાનું શરૂ કરે છે અને સમાંતરતાને મર્યાદિત કરે છે, જ્યાં બહુવિધ ગણતરી ઉપકરણો એક સાથે ચાલી રહ્યા છે. મૂળ એલ. ઓ. બી. પી. સી. જી. પેપર એક ફેરફારનું વર્ણન કરે છે, જેને એલ. ઓ. બી. પી. સી. જી. II કહેવાય છે, જે દરેક ઇચ્છિત આઈગનપેયર માટે એલ. ઓ. બી. પી. સી. જી. પદ્ધતિના સિંગલ-વેક્ટર વર્ઝનને ચલાવતી આવી સમસ્યાને ઉકેલવા માટે રેલે-રિટ્ઝ પ્રક્રિયા સાથે 3-બાય-3 અંદાજિત આઈગનવેલ્યુ સમસ્યાઓનું નિરાકરણ કરે છે. તમામ આઈગનપેયર્સ માટે વૈશ્વિક રેલે-રિટ્ઝ પ્રક્રિયા દરેક પુનરાવર્તન પર હોય છે પરંતુ માત્ર મેટ્રિક્સના સ્તંભો પર હોય છે, આમ દરેક પુનરાવર્તન પર વૈશ્વિક અંદાજિત આઈગનવેલ્યુ સમસ્યાના કદ અને જરૂરી બિંદુ ઉત્પાદનોની સંખ્યાને ઘટાડીને-બાય-બાય-બાય-કરવામાં આવે છે. સંદર્ભ આગળ દરેક અંદાજિત આઈગનવેક્ટર માટે અલગથી એલ. ઓ. બી. પી. સી. જી. અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરે છે, એટલે કે, નિશ્ચિત સંખ્યામાં પુનરાવર્તનો માટે દરેક ઇચ્છિત આઈગનપેયર માટે એલ. ઓ. બી. પી. સી. જી. પદ્ધતિનું અનબ્લોક કરેલું સંસ્કરણ ચલાવવું. આ રનમાં રેલે-રિટ્ઝ પ્રક્રિયાઓને માત્ર 3 × 3 અંદાજિત આઈગન વેલ્યુ સમસ્યાઓના સમૂહને હલ કરવાની જરૂર છે. તમામ ઇચ્છિત આઈગનપેયર્સ માટે વૈશ્વિક રેલે-રિટ્ઝ પ્રક્રિયા સમયાંતરે માત્ર અવરોધિત એલ. ઓ. બી. પી. સી. જી પુનરાવર્તનોની નિશ્ચિત સંખ્યાના અંતે લાગુ કરવામાં આવે છે. મૂળ એલ. ઓ. બી. પી. સી. જી. ની સરખામણીમાં આવા ફેરફારો ઓછા મજબૂત હોઈ શકે છે. સિંગલ-વેક્ટર એલ. ઓ. બી. પી. સી. જી. ની વ્યક્તિગત રીતે ચાલતી શાખાઓ તેના બદલે સતત પુનરાવર્તિત માર્ગોને અનુસરી શકે નહીં અને સમાન આઈગનવેક્ટર માટે ડુપ્લિકેટ અંદાજો બનાવી શકે નહીં. સિંગલ-વેક્ટર એલ. ઓ. બી. પી. સી. જી. ક્લસ્ટર કરેલ આઈગન વેલ્યુ માટે અયોગ્ય હોઈ શકે છે, પરંતુ અલગ નાના-બ્લોક એલ. ઓ. બી. પી. સી. જી. રન માટે પુનરાવર્તનની પ્રક્રિયા દરમિયાન તેમના બ્લોક કદ આપમેળે નક્કી કરવાની જરૂર પડે છે કારણ કે આઈગન વેલ્યુના ક્લસ્ટરોની સંખ્યા અને તેમના કદ અગાઉથી અજ્ઞાત હોઈ શકે છે. કન્વર્જન્સ થિયરી અને કન્સ્ટ્રક્શન દ્વારા પ્રેક્ટિસ એલ. ઓ. બી. પી. સી. જી. એ વ્યાપક કન્વર્જન્સ થિયરી ધરાવતી બ્લોક સ્ટીપેસ્ટ ગ્રેડિયન્ટ ડિસેન્ટ કરતાં ધીમી નહીં પણ રેલેહ ભાગાકારને ઘટાડવાની ખાતરી આપે છે. દરેક આઈગનવેક્ટર રેલે ભાગાકારનું સ્થિર બિંદુ છે, જ્યાં ઢાળ અદૃશ્ય થઈ જાય છે. આમ, કોઈપણ આઈગનવેક્ટરની નજીકમાં ગ્રેડિયન્ટ ડિસેન્ટ ધીમું પડી શકે છે, જો કે, તે ક્યાં તો રેખીય કન્વર્જન્સ દર સાથે આઈગનવેક્ટર સાથે કન્વર્જ થવાની બાંયધરી આપે છે અથવા, જો આ આઈગનવેક્ટર સેડલ પોઇન્ટ હોય, તો પુનરાવર્તિત રેલેહ ભાગાકાર અનુરૂપ આઈગનવેલ્યુની નીચે જવાની શક્યતા વધારે છે અને નીચે આપેલા આગામી આઈગનવેલ્યુ સાથે રેખીય રીતે કન્વર્જ થવાનું શરૂ કરે છે. રેખીય અભિસરણ દરનું સૌથી ખરાબ મૂલ્ય નક્કી કરવામાં આવ્યું છે અને તે આઈગન વેલ્યુ અને બાકીના મેટ્રિક્સ સ્પેક્ટ્રમ વચ્ચેના સંબંધિત અંતર અને જો હાજર હોય તો પૂર્વશરતની ગુણવત્તા પર આધાર રાખે છે. સામાન્ય મેટ્રિક્સ માટે, દેખીતી રીતે આઈગનવેક્ટર્સની આગાહી કરવાની કોઈ રીત નથી અને આમ પ્રારંભિક અંદાજો પેદા કરે છે જે હંમેશા સારી રીતે કામ કરે છે. એલ. ઓ. બી. પી. સી. જી. દ્વારા પુનરાવર્તિત ઉકેલ પ્રારંભિક આઈગનવેક્ટર્સ અંદાજો પ્રત્યે સંવેદનશીલ હોઈ શકે છે, દા. ત., મધ્યવર્તી આઈગનપેર્સને પસાર કરતી વખતે કન્વર્જ ધીમું થવામાં વધુ સમય લે છે. તદુપરાંત, સિદ્ધાંતમાં, કોઈ પણ વ્યક્તિ સૌથી નાની આઈગનપેયર માટે જરૂરી કન્વર્જન્સની બાંયધરી આપી શકતી નથી, જો કે ચૂકી જવાની સંભાવના શૂન્ય છે. શૂન્ય સરેરાશ સાથે સારી ગુણવત્તાનું રેન્ડમ ગૌસીયન કાર્ય સામાન્ય રીતે પ્રારંભિક અંદાજો પેદા કરવા માટે એલ. ઓ. બી. પી. સી. જી. માં મૂળભૂત છે. પ્રારંભિક અંદાજોને ઠીક કરવા માટે, રેન્ડમ નંબર જનરેટર માટે એક નિશ્ચિત બીજ પસંદ કરી શકાય છે. લેન્ઝોસ પદ્ધતિથી વિપરીત, એલ. ઓ. બી. પી. સી. જી. વ્યવહારમાં ભાગ્યે જ એસિમ્પ્ટોટિક સુપરલિનીયર કન્વર્જન્સ દર્શાવે છે. આંશિક મુખ્ય ઘટક વિશ્લેષણ (પી. સી. એ.) અને એકવચન મૂલ્ય વિઘટન (એસ. વી. ડી.) એલ. ઓ. બી. પી. સી. જી. ને કેટલાક સૌથી મોટા એકવચન મૂલ્યો અને અનુરૂપ એકવચન વેક્ટર (આંશિક એસ. વી. ડી.) ની ગણતરી માટે તુચ્છ રીતે અનુકૂલિત કરી શકાય છે, દા. ત., પી. સી. એ. ની પુનરાવર્તિત ગણતરી માટે, શૂન્ય સરેરાશ સાથે ડેટા મેટ્રિક્સ માટે, સ્પષ્ટ રીતે સહપરિવર્તન મેટ્રિક્સની ગણતરી કર્યા વિના, એટલે કે. મેટ્રિક્સ-ફ્રી ફેશનમાં. મુખ્ય ગણતરી એ સહપરિવર્તન મેટ્રિક્સ અને બ્લોક-વેક્ટરના ઉત્પાદનના કાર્યનું મૂલ્યાંકન છે જે ઇચ્છિત એકવચન વેક્ટરને પુનરાવર્તિત રીતે અંદાજ આપે છે. પી. સી. એ. ને કોવેરિયન્સ મેટ્રિક્સના સૌથી મોટા આઈગનવેલ્યુની જરૂર હોય છે, જ્યારે એલ. ઓ. બી. પી. સી. જી. સામાન્ય રીતે સૌથી નાનાઓની ગણતરી કરવા માટે લાગુ કરવામાં આવે છે. એક સરળ કાર્ય એ છે કે કાર્યને નકારવું, બદલવું અને આમ આઈગનવેલ્યુના ક્રમને ઉલટાવવો, કારણ કે એલ. ઓ. બી. પી. સી. જી. એ ધ્યાન આપતું નથી કે આઈગનવેલ્યુ સમસ્યાનું મેટ્રિક્સ હકારાત્મક ચોક્કસ છે કે નહીં. પી. સી. એ. અને એસ. વી. ડી. માટે એલ. ઓ. બી. પી. સી. જી. નો અમલ સાયપાઇમાં 1.4.0 ના પુનરાવર્તનથી કરવામાં આવે છે. સામાન્ય સોફ્ટવેર અમલીકરણ એલ. ઓ. બી. પી. સી. જી. ના શોધક, એન્ડ્રુ કેનાઝેવે, પી. ઈ. ટી. એસ. સી., હાયપર અને પેરેલલ હાયરાર્કિકલ એડેપ્ટિવ મલ્ટી લેવલ મેથડ (પી. એચ. એ. એમ. એલ.) ના ઇન્ટરફેસો સાથે બ્લોક લોકલી ઓપ્ટિમલ પ્રી-કન્ડિશન્ડ આઈગનવેલ્યુ સોલવર્સ (બી. એલ. ઓ. પી. ઇ. એક્સ.) નામનું સંદર્ભ અમલીકરણ પ્રકાશિત કર્યું હતું. અન્ય અમલીકરણ, દા. ત., જીએનયુ ઓક્ટેવ, મેટલેબ (વિતરિત અથવા ટાઇલિંગ એરે સહિત), જાવા, એનાસાઝી (ટ્રિલિનો), એસએલઇપીસી, સાયપી, જુલિયા, મેગમા, પાયટોર્ચ, રસ્ટ, ઓપનએમપી અને ઓપનએસીસી, ક્યુપી (સીયુડીએ દ્વારા એક્સિલરેટેડ એ ન્યુમ્પી-સુસંગત એરે લાઇબ્રેરી), ગૂગલ જેએક્સ અને એનવીડિયા એએમજીએક્સમાં ઉપલબ્ધ છે. એલ. ઓ. બી. પી. સી. જી. લાગુ કરવામાં આવે છે, પરંતુ ટેન્સરફ્લોમાં સામેલ નથી. એપ્લિકેશન્સ ડેટા માઇનિંગ સોફ્ટવેર પેકેજો સ્કિકિટ-લર્ન અને મેગમેન એલ. ઓ. બી. પી. સી. જી. નો ઉપયોગ સ્પેક્ટ્રલ ક્લસ્ટરિંગને માપવા માટે કરે છે અને લેપલેસિયન આઈગનમેપ્સ દ્વારા મોટા ડેટા સમૂહોમાં શિક્ષણને અનેકગણું કરે છે. એનવીડિયાએ સીયુડીએ 8 માં રજૂ કરવામાં આવેલી તેની એનવીજીઆરએપીએચ લાઇબ્રેરીમાં એલઓબીપીસીજી લાગુ કરી છે. સ્ફિંક્સ, એક વર્ણસંકર વિતરિત-અને વહેંચાયેલ-મેમરી-સક્ષમ સમાંતર ગ્રાફ પાર્ટીશનર-પ્રથમ ગ્રાફ પાર્ટીશનિંગ ટૂલ જે વિતરિત-મેમરી સેટિંગ્સ પર જી. પી. યુ. પર કામ કરે છે-ગ્રાફ પાર્ટીશનિંગ માટે સ્પેક્ટ્રલ ક્લસ્ટરિંગનો ઉપયોગ કરે છે, એનાસાઝી પેકેજમાંથી એલ. ઓ. બી. પી. સી. જી. નો ઉપયોગ કરીને ગ્રાફના લેપલેસિયન મેટ્રિક્સ પર આઈગનવેક્ટર્સની ગણતરી કરે છે. સામગ્રી વિજ્ઞાન એલ. ઓ. બી. પી. સી. જી. એ. બી. આઈ. એન. આઈ. ટી. (સી. યુ. ડી. એ. સંસ્કરણ સહિત) અને ઓક્ટોપસમાં લાગુ કરવામાં આવે છે. તેનો ઉપયોગ જાપાનમાં અર્થ સિમ્યુલેટર સુપરકોમ્પ્યુટર પર ગોર્ડન બેલ પ્રાઇઝ ફાઇનલિસ્ટ્સ દ્વારા બહુ-અબજ કદના મેટ્રિક્સ માટે કરવામાં આવ્યો છે. સુપરકન્ડક્ટિવિટી પાછળના મિકેનિઝમને સમજવા માટે મજબૂત-સહસંબંધિત ઇલેક્ટ્રોન સિસ્ટમો માટેનું હૂબાર્ડ મોડેલ કે કમ્પ્યુટર અને મલ્ટી-જી. પી. યુ. સિસ્ટમો પર હેમિલ્ટોનિયનની જમીનની સ્થિતિની ગણતરી કરવા માટે એલ. ઓ. બી. પી. સી. જી. નો ઉપયોગ કરે છે. સમતલ તરંગ આધારનો ઉપયોગ કરીને કોહ્ન-શામ સમીકરણો અને ઘનતા કાર્યાત્મક સિદ્ધાંત (ડી. એફ. ટી.) માટે એલ. ઓ. બી. પી. સી. જી. ની મેટલેબ અને જુલિયા આવૃત્તિઓ છે. તાજેતરના અમલીકરણમાં ટી. ટી. પી. વાય., પ્લેટિપસ-ક્યુ. એમ., એમ. એફ. ડી. એન., એસીઈ-મોલેક્યુલ, લેકોનિકનો સમાવેશ થાય છે. બી. એલ. ઓ. પી. ઇ. એક્સ. માંથી મિકેનિક્સ અને પ્રવાહી એલ. ઓ. બી. પી. સી. જી. નો ઉપયોગ મલ્ટીલેવલ બેલેન્સિંગ ડોમેન ડીકમ્પોઝિશન બાય કન્સ્ટ્રેન્ટ્સ (બી. ડી. ડી. સી.) સોલ્વર લાઇબ્રેરી બી. ડી. ડી. સી. એમ. એલ. માં પૂર્વશર્ત સુયોજન માટે થાય છે, જે ઓપન. એફ. ટી. એલ. (ઓપન ફાઈનાઇટ એલિમેન્ટ ટેમ્પલેટ લાઇબ્રેરી) અને ફ્લો123ડી સિમ્યુલેટરમાં સમાવિષ્ટ છે, જે તૂટેલા છિદ્રાળુ માધ્યમોમાં ભૂગર્ભ જળ પ્રવાહ, દ્રાવણ અને ઉષ્મા પરિવહન કરે છે. એલ. ઓ. બી. પી. સી. જી. નો અમલ એલ. એસ.-ડી. વાય. એન. એ. માં કરવામાં આવ્યો છે. મેક્સવેલના સમીકરણો એલ. ઓ. બી. પી. સી. જી. એ પી. વાય. એફ. ઇ. એમ. એક્સ. અને ઉચ્ચ પ્રદર્શન મલ્ટીફિઝિક્સ મર્યાદિત તત્વ સોફ્ટવેર નેટજેન/એન. જી. સોલ્વમાં મુખ્ય આઈગનવેલ્યુ સોલ્વર્સમાંથી એક છે. હાયપરમાંથી એલ. ઓ. બી. પી. સી. જી. ને મર્યાદિત તત્વ પદ્ધતિઓ એમ. એફ. ઇ. એમ. માટે ઓપન સોર્સ લાઇટવેઇટ સ્કેલેબલ સી + + લાઇબ્રેરીમાં સામેલ કરવામાં આવે છે, જેનો ઉપયોગ ઘણા પ્રોજેક્ટ્સમાં થાય છે, જેમાં બ્લાસ્ટ, એક્સબ્રેડ, વિઝઇટ, એક્સ. એસ. ડી. કે., સાયડેકમાં ફાસ્ટમેથ ઇન્સ્ટિટ્યૂટ અને એક્સાસ્કેલ કમ્પ્યુટિંગ પ્રોજેક્ટમાં કો-ડિઝાઇન સેન્ટર ફોર એફિશિયન્ટ એક્સાસ્કેલ ડિસ્ક્રિટાઇઝેશન (સી. ઈ. ઈ. ડી.) નો સમાવેશ થાય છે. ડીનોઇઝિંગ ઇટરેટિવ એલ. ઓ. બી. પી. સી. જી. આધારિત અંદાજિત લો-પાસ ફિલ્ટરનો ઉપયોગ ડીનોઇઝિંગ માટે થઈ શકે છે; જુઓ, દા. ત., કુલ વિવિધતા ડીનોઇઝિંગને વેગ આપવા માટે. છબી વિભાજન સ્પેક્ટ્રલ ક્લસ્ટરિંગ દ્વારા છબી વિભાજન પિક્સેલ્સ વચ્ચે એફિનિટી મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરીને લો-ડાયમેન્શન એમ્બેડિંગ કરે છે, ત્યારબાદ લો ડાયમેન્શનલ સ્પેસમાં આઈગનવેક્ટર્સના ઘટકોનું ક્લસ્ટરિંગ થાય છે, દા. ત., ગ્રાફ લેપલેસિયનનો ઉપયોગ કરીને. મલ્ટીગ્રિડ પૂર્વશરત સાથે એલ. ઓ. બી. પી. સી. જી. દ્વારા સ્પેક્ટ્રલ ગ્રાફ પાર્ટીશનિંગ દ્વારા છબી વિભાજનની સૌપ્રથમ દરખાસ્ત કરવામાં આવી છે અને વાસ્તવમાં અને માં તેનું પરીક્ષણ કરવામાં આવ્યું છે. પછીનો અભિગમ પાછળથી પાયથોન સ્કિકિટ-લર્નમાં અમલમાં મૂકવામાં આવ્યો છે જે ગ્રાફ લેપલેસિયન માટે આઈગન વેલ્યુ સમસ્યાને ઉકેલવા માટે બીજગણિત મલ્ટીગ્રિડ પૂર્વશરત સાથે સાયપીમાંથી એલઓબીપીસીજીનો ઉપયોગ કરે છે. સંદર્ભો બાહ્ય લિંક્સ એમ. એ. ટી. એલ. એ. બી. એલ. ઓ. બી. પી. સી. જી. માં ઓક્ટેવ એલ. ઓ. બી. પી. સી. જી. માં જાવામાં સાયપી એલ. ઓ. બી. પી. સી. જી. માં ગૂગલ કોડ એલ. ઓ. બી. પી. સી. જી. બ્લોક લોકલી ઓપ્ટિમલ પ્રીકન્ડિશન્ડ આઈગનવેલ્યુ સોલ્વર્સ (બી. એલ. ઓ. પી. ઇ. એક્સ.) માં ગિટહબ ખાતે અને ગૂગલ કોડ ન્યુમેરિકલ લીનિયર બીજગણિત સાયન્ટિફિક સિમ્યુલેશન સોફ્ટવેર ખાતે સંગ્રહિત