Narrow escape problem
જીવવિજ્ઞાન, બાયોફિઝિક્સ અને સેલ્યુલર બાયોલોજીમાં સાંકડી પલાયન સમસ્યા એ સર્વવ્યાપક સમસ્યા છે. ગાણિતિક રચના નીચે મુજબ છેઃ બ્રાઉનિયન કણ (આયન, પરમાણુ અથવા પ્રોટીન) પ્રતિબિંબિત સીમા દ્વારા બંધાયેલ ક્ષેત્ર (એક કમ્પાર્ટમેન્ટ અથવા કોષ) સુધી મર્યાદિત હોય છે, સિવાય કે એક નાની બારી કે જેના દ્વારા તે છટકી શકે છે. બચવાની સાંકડી સમસ્યા એ છે કે બચવાના સરેરાશ સમયની ગણતરી કરવી. જેમ જેમ બારી સંકોચાય છે તેમ તેમ આ સમય અલગ પડે છે, આમ ગણતરીને એક એકલ વિક્ષેપ સમસ્યા તરીકે રજૂ કરે છે. જ્યારે ભાગી જવાના સ્થળે ગંભીર ભૌમિતિક પ્રતિબંધોને કારણે ભાગી જવું વધુ કડક હોય છે, ત્યારે સાંકડી ભાગી જવાની સમસ્યા ગંભીર સામુદ્રધુની સમસ્યા બની જાય છે. જીવવિજ્ઞાન અને બાયોફિઝિક્સના સંદર્ભમાં ડી. હોલ્કમેન અને ઝેડ. શુસ દ્વારા સાંકડી એસ્કેપ સમસ્યાની દરખાસ્ત કરવામાં આવી હતી, અને પછીથી A.Singer સાથે અને લાગુ ગણિત અને કોમ્પ્યુટેશનલ જીવવિજ્ઞાનમાં સાંકડી એસ્કેપ થિયરી તરફ દોરી ગઈ હતી. રચના કણની ગતિને લેંગ્વિન સમીકરણની સ્મોલુકોવ્સ્કી મર્યાદા દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છેઃ જ્યાં કણનો પ્રસરણ ગુણાંક છે, તે દળના એકમ દીઠ ઘર્ષણ ગુણાંક છે, દળના એકમ દીઠ બળ છે અને તે બ્રાઉનિયન ગતિ છે. સરેરાશ પ્રથમ પસાર થવાનો સમય અને ફોકર-પ્લાન્ક સમીકરણ એક સામાન્ય પ્રશ્ન એ છે કે તેની સીમામાં નાની શોષી લેતી બારીમાંથી બહાર નીકળે તે પહેલાં બંધાયેલ ક્ષેત્રમાં ફેલાતા કણના સરેરાશ અસ્થાયી સમયનો અંદાજ લગાવવો. સમયનો અંદાજ સીમામાં એસિમ્પ્ટોટિક રીતે કરવામાં આવે છે સંભાવના ઘનતા કાર્ય (પી. ડી. એફ.) એ સમયે સ્થિતિ પર કણ શોધવાની સંભાવના છે. પી. ડી. એફ. ફોક્કર-પ્લાન્ક સમીકરણને સંતોષે છેઃ પ્રારંભિક સ્થિતિ અને મિશ્ર ડિરીક્લેટ-ન્યુમેન સીમા શરતો સાથે () કાર્ય પ્રારંભિક સ્થિતિ પર શરતી કણના સરેરાશ અસ્થાયી સમયને રજૂ કરે છે. તે સીમા મૂલ્ય સમસ્યાનો ઉકેલ છે ઉકેલ ક્ષેત્રના પરિમાણ પર આધારિત છે. દ્વિ-પરિમાણીય ડિસ્ક પર ફેલાતા કણ માટે ડોમેનની સપાટી ક્યાં છે. લક્ષણવિહીન સ્વરૂપને કારણે શોષી લેતી સીમાની નજીકના નાના સીમા સ્તર સિવાય કાર્ય પ્રારંભિક સ્થિતિ પર આધારિત નથી. પ્રથમ ક્રમનો શબ્દ પરિમાણ 2 માં મહત્વ ધરાવે છેઃ ત્રિજ્યાની ગોળાકાર ડિસ્ક માટે, કેન્દ્રમાં શરૂ થતા કણનો સરેરાશ બચવાનો સમય છે કણના સમાન પ્રારંભિક વિતરણના સંદર્ભમાં બચવાનો સરેરાશ સમય દ્વારા આપવામાં આવે છે. નાના મુખની ભૂમિતિ બચવાના સમયને અસર કરી શકે છેઃ જો શોષી લેતી બારી ખૂણાના ખૂણે સ્થિત હોય, તોઃ વધુ આશ્ચર્યજનક, દ્વિ-પરિમાણીય ડોમેનમાં કસ્પની નજીક, બચવાનો સમય લઘુગણક રીતે વધવાને બદલે બીજગણિત રીતે વધે છેઃ બે સ્પર્શક વર્તુળો વચ્ચે બંધાયેલ ડોમેનમાં, બચવાનો સમય છેઃ ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર ક્યાં છે. છેવટે, જ્યારે ડોમેન એ એનુલસ હોય છે, ત્યારે આંતરિક વર્તુળ પર સ્થિત નાના ખૂણા તરફના એસ્કેપ ટાઇમમાં બીજા પરિમાણનો સમાવેશ થાય છે જે આંતરિક અને બાહ્ય ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર છે, એસ્કેપ ટાઇમ, જે સમાન પ્રારંભિક વિતરણના સંદર્ભમાં સરેરાશ છે, તે છેઃ આ સમીકરણમાં એસિમ્પ્ટોટિક વિસ્તરણના બે શબ્દો છે અને તે શોષી લેનાર સીમાનો કોણ છે. 1 ની નજીકનો કેસ ખુલ્લો રહે છે, અને સામાન્ય ડોમેન્સ માટે, એસ્કેપ ટાઇમનું એસિમ્પ્ટોટિક વિસ્તરણ એક ખુલ્લી સમસ્યા રહે છે. ત્રિ-પરિમાણીય ડોમેન્સમાં કસ્પ પોઇન્ટની નજીક એસ્કેપ ટાઇમની ગણતરી કરવાની સમસ્યા પણ આવી જ છે. બળના ક્ષેત્રમાં બ્રાઉનિયન ગતિ માટે સ્પેક્ટ્રમમાં અંતર પ્રથમ અને બીજા આઈગનવેલ્યુ વચ્ચે નાનું હોવું જરૂરી નથી, નાના છિદ્રના સંબંધિત કદ અને બળ અવરોધો પર આધાર રાખીને, કણને છટકી જવા માટે દૂર કરવું પડે છે. પલાયનનો પ્રવાહ જરૂરી નથી કે તે પોઈસોનીયન હોય. વિશ્લેષણાત્મક પરિણામો એક પ્રમેય જે બ્રાઉનિયન ગતિથી બચવાની સમસ્યાને (નિર્ધારક) આંશિક વિભેદક સમીકરણ સમસ્યા સાથે સંબંધિત કરે છે તે નીચે મુજબ છે. વધુમાં, તફાવતની સરેરાશની ગણતરી સૂત્રમાંથી કરી શકાય છે પ્રમેયનો પ્રથમ ભાગ એક શાસ્ત્રીય પરિણામ છે, જ્યારે સરેરાશ તફાવત 2011 માં કેરી કેગિનાલ્પ અને ઝિનફુ ચેન દ્વારા સાબિત કરવામાં આવ્યો હતો. અસિંપ્ટોટિકલી નાના પરિમાણ તરીકે નાના દરવાજાનો ઉપયોગ કરીને પલાયનનો સમય સંખ્યાબંધ અભ્યાસોનો વિષય રહ્યો છે. નીચેના બંધ સ્વરૂપનું પરિણામ એક ચોક્કસ ઉકેલ આપે છે જે આ એસિમ્પ્ટોટિક સૂત્રોની પુષ્ટિ કરે છે અને તેમને એવા દરવાજા સુધી વિસ્તરે છે જે જરૂરી નથી કે નાના હોય. પરિણામોનો બીજો સમૂહ બહાર નીકળવાના સ્થાનની સંભાવના ઘનતા સાથે સંબંધિત છે. એટલે કે, કોઈપણ (બોરેલ સમૂહ) માટે, સંભાવના છે કે એક કણ, મૂળથી શરૂ થાય છે અથવા એકસરખી રીતે વહેંચાય છે, બ્રાઉનિયન ગતિ દર્શાવે છે, જ્યારે તે અથડાય છે ત્યારે પ્રતિબિંબિત થાય છે, અને એકવાર અથડાય છે ત્યારે છટકી જાય છે, જ્યાંથી એ. ટી. નું સપાટી તત્વ છે. બ્રાઉનિયન ગતિ એસ્કેપના સિમ્યુલેશન સિમ્યુલેશનમાં આંકડાકીય નમૂનાની પ્રક્રિયાને કારણે એક અવ્યવસ્થિત ભૂલ છે. કેન્દ્રીય મર્યાદા પ્રમેયને અપીલ કરીને અને મોટી સંખ્યામાં નમૂનાઓનો ઉપયોગ કરીને આ ભૂલને મર્યાદિત કરી શકાય છે. બ્રાઉનિયન ગતિના અંદાજમાં પગલાના કદના મર્યાદિત કદના અંદાજને કારણે પણ એક વિસંગતતા ભૂલ છે. પછી કોઈ પ્રયોગમૂલક પરિણામો મેળવી શકે છે કારણ કે પગલાનું કદ અને દરવાજાનું કદ અલગ અલગ હોય છે. વર્તુળના ચોક્કસ કેસ માટે ઉપર ટાંકવામાં આવેલા ચોક્કસ પરિણામનો ઉપયોગ કરીને, આંકડાકીય ઉકેલ સાથે ચોક્કસ ઉકેલની કાળજીપૂર્વક સરખામણી કરવી શક્ય છે. આ મર્યાદિત પગલાં અને સતત પ્રસરણ વચ્ચેના તફાવતને પ્રકાશિત કરે છે. આ સમસ્યા માટે સિમ્યુલેશન દ્વારા બહાર નીકળવાના સ્થળોનું વિતરણ પણ મેળવવામાં આવ્યું હતું. જૈવિક ઉપયોગો માઇક્રોડોમેન્સમાં સ્ટોકેસ્ટિક રાસાયણિક પ્રતિક્રિયાઓ રાસાયણિક પ્રતિક્રિયાઓનો આગળનો દર સાંકડા બચવાના સમયનો પારસ્પરિક છે, જે અનંત માધ્યમમાં સ્થિત બ્રાઉનિયન કણો માટે શાસ્ત્રીય સ્મોલુકોવ્સ્કી સૂત્રને સામાન્ય બનાવે છે. માર્કોવ વર્ણનનો ઉપયોગ નાની સંખ્યામાં સાઇટ્સ પર બંધનકર્તા અને અનબાઇન્ડિંગનો અંદાજ કાઢવા માટે થઈ શકે છે. સંદર્ભો બાહ્ય કડીઓ એપ્લાઇડ મેથેમેટિક્સ એન્ડ કોમ્પ્યુટેશનલ બાયોલોજી ઇન ઇકોલ નોર્મેલ સુપરિયોર, પેરિસ કેરી કેગિનાલ્પ પ્રકાશનો અને પ્રવચનો http://www.pitt.edu ~ કેરીકેગ/કોમ્પેટ્સ રેન્ડસ પેપર http://www.pitt.edu ~ કેરીકેગ/પેપર1. પી. ડી. એફ. એ. આર. એમ. એ. પેપર http://www.pitt.edu ~ કેરીકેગ/પેપર2. પી. ડી. એફ. ડિફ્યુઝન મેથેમેટિકલ અને સૈદ્ધાંતિક જીવવિજ્ઞાન સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાઓ