Functional renormalization group
સૈદ્ધાંતિક ભૌતિકશાસ્ત્રમાં, ફંક્શનલ રીનોર્મલાઇઝેશન ગ્રૂપ (એફઆરજી) એ રીનોર્મલાઇઝેશન ગ્રૂપ (આરજી) ખ્યાલનું અમલીકરણ છે જેનો ઉપયોગ ક્વોન્ટમ અને આંકડાકીય ક્ષેત્ર સિદ્ધાંતમાં થાય છે, ખાસ કરીને જ્યારે મજબૂત રીતે ક્રિયાપ્રતિક્રિયા કરતી સિસ્ટમો સાથે વ્યવહાર કરવામાં આવે છે. આ પદ્ધતિ ક્વોન્ટમ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંતની કાર્યાત્મક પદ્ધતિઓને કેનેથ જી. વિલ્સનના સાહજિક રીનોર્મલાઇઝેશન જૂથ વિચાર સાથે જોડે છે. આ તકનીક જાણીતા માઇક્રોસ્કોપિક નિયમો અને ભૌતિક પ્રણાલીઓમાં જટિલ મેક્રોસ્કોપિક ઘટનાઓ વચ્ચે સરળતાથી અંતર્વેશન કરવાની મંજૂરી આપે છે. આ અર્થમાં, તે માઇક્રોફિઝિક્સની સરળતાથી મેક્રોફિઝિક્સની જટિલતા તરફના સંક્રમણને દૂર કરે છે. લાક્ષણિક રીતે કહીએ તો, એફઆરજી ચલ રીઝોલ્યુશન સાથે માઇક્રોસ્કોપ તરીકે કામ કરે છે. એક જાણીતા માઇક્રોફિઝિકલ નિયમોના ઉચ્ચ-રીઝોલ્યુશન ચિત્રથી શરૂ થાય છે અને ત્યારબાદ મેક્રોસ્કોપિક સામૂહિક ઘટનાનું બરછટ ચિત્ર મેળવવા માટે રિઝોલ્યુશન ઘટાડે છે. આ પદ્ધતિ બિનપરંપરાગત છે, જેનો અર્થ છે કે તે નાના જોડાણ સ્થિરાંકમાં વિસ્તરણ પર આધાર રાખતી નથી. ગાણિતિક રીતે, એફઆરજી સ્કેલ-આધારિત અસરકારક ક્રિયા માટે ચોક્કસ કાર્યાત્મક વિભેદક સમીકરણ પર આધારિત છે. અસરકારક ક્રિયા માટેનું પ્રવાહ સમીકરણ ક્વોન્ટમ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંતમાં, અસરકારક ક્રિયા એ શાસ્ત્રીય ક્રિયા કાર્યાત્મકનું એનાલોગ છે અને તે આપેલ સિદ્ધાંતના ક્ષેત્રો પર આધારિત છે. તેમાં તમામ ક્વોન્ટમ અને થર્મલ વધઘટનો સમાવેશ થાય છે. ઉપજમાં ફેરફાર ચોક્કસ ક્વોન્ટમ ક્ષેત્ર સમીકરણો, ઉદાહરણ તરીકે બ્રહ્માંડશાસ્ત્ર અથવા સુપરકન્ડક્ટર્સના ઇલેક્ટ્રોડાયનેમિક્સ માટે. ગાણિતિક રીતે, એક-કણ ઇરેડ્યુસિબલ ફેનમેન આકૃતિઓનું જનરેટિંગ ફંક્શનલ છે. રસપ્રદ ભૌતિકશાસ્ત્ર, પ્રચારકો અને ક્રિયાપ્રતિક્રિયાઓ માટે અસરકારક જોડાણો તરીકે, તેમાંથી સીધા જ કાઢી શકાય છે. જો કે, સામાન્ય ક્રિયાપ્રતિક્રિયા ક્ષેત્ર સિદ્ધાંતમાં અસરકારક ક્રિયા મેળવવી મુશ્કેલ છે. એફ. આર. જી. રીનોર્મલાઇઝેશન જૂથ ખ્યાલનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરવા માટે એક વ્યવહારુ સાધન પૂરું પાડે છે. એફઆરજી (FRG) માં કેન્દ્રિય ઉદ્દેશ એ સ્કેલ-આધારિત અસરકારક ક્રિયા કાર્યાત્મક છે જેને ઘણીવાર સરેરાશ ક્રિયા અથવા વહેતી ક્રિયા કહેવામાં આવે છે. આરજી સ્લાઇડિંગ સ્કેલ પરની નિર્ભરતા સંપૂર્ણ ઇન્વર્સ પ્રોપેગેટરમાં રેગ્યુલેટર (ઇન્ફ્રારેડ કટઓફ) ઉમેરીને રજૂ કરવામાં આવે છે. આશરે કહીએ તો, રેગ્યુલેટર મોમેન્ટા સાથે સ્લો મોડ્સને મોટા જથ્થા આપીને અલગ કરે છે, જ્યારે ઉચ્ચ મોમેન્ટમ મોડ્સને અસર થતી નથી. આમ, મોમેન્ટા સાથે તમામ ક્વોન્ટમ અને આંકડાકીય વધઘટનો સમાવેશ થાય છે. વહેતી ક્રિયા 1993માં ક્રિસ્ટોફ વેટેરીચ અને ટિમ આર. મોરિસ દ્વારા મેળવેલા ચોક્કસ કાર્યાત્મક પ્રવાહ સમીકરણનું પાલન કરે છે. અહીં ક્ષેત્રોના નિશ્ચિત મૂલ્યો પર RG સ્કેલના સંદર્ભમાં વ્યુત્પન્ન સૂચવે છે. વધુમાં, સમીકરણની ટેન્સર રચનાને કારણે અનુક્રમે ડાબી બાજુ અને જમણી બાજુથી કાર્યાત્મક વ્યુત્પન્ન સૂચવે છે. આ લક્ષણને ઘણીવાર અસરકારક ક્રિયાના બીજા વ્યુત્પન્ન દ્વારા સરળ બનાવવામાં આવે છે. માટે કાર્યાત્મક વિભેદક સમીકરણને પ્રારંભિક સ્થિતિ સાથે પૂરક હોવું જોઈએ, જ્યાં "શાસ્ત્રીય ક્રિયા" માઇક્રોસ્કોપિક અલ્ટ્રાવાયોલેટ સ્કેલ પર ભૌતિકશાસ્ત્રનું વર્ણન કરે છે. મહત્ત્વની વાત એ છે કે ઇન્ફ્રારેડ મર્યાદામાં સંપૂર્ણ અસરકારક ક્રિયા પ્રાપ્ત થાય છે. વેટેરીક સમીકરણમાં સુપરટ્રેસ સૂચવવામાં આવે છે જે મોમેન્ટા, ફ્રીક્વન્સીઝ, આંતરિક સૂચકાંકો અને ક્ષેત્રો (વત્તા સાથે બોસન્સ અને ઓછા ચિહ્ન સાથે ફર્મિઓન) નો સરવાળો કરે છે. માટે ચોક્કસ પ્રવાહ સમીકરણ એક-લૂપ માળખું ધરાવે છે. વિક્ષેપ સિદ્ધાંતની સરખામણીમાં આ એક મહત્વપૂર્ણ સરળીકરણ છે, જ્યાં બહુ-લૂપ આકૃતિઓનો સમાવેશ થવો આવશ્યક છે. બીજું કાર્યાત્મક વ્યુત્પન્ન એ નિયમનકારની હાજરી દ્વારા સુધારેલ સંપૂર્ણ વ્યસ્ત ક્ષેત્ર પ્રસારક છે. રીનોર્મલાઇઝેશન ગ્રૂપ ઇવોલ્યુશનને થિયરી સ્પેસમાં સચિત્ર કરી શકાય છે, જે સમસ્યાની સમપ્રમાણતા દ્વારા માન્ય તમામ સંભવિત ચાલી રહેલા કપ્લિંગ્સની બહુ-પરિમાણીય જગ્યા છે. આકૃતિમાં યોજનાકીય રીતે બતાવ્યા પ્રમાણે, માઇક્રોસ્કોપિક અલ્ટ્રાવાયોલેટ સ્કેલ પર એક પ્રારંભિક સ્થિતિથી શરૂ થાય છે. જેમ જેમ સ્લાઇડિંગ સ્કેલ ઘટાડવામાં આવે છે તેમ, વહેતી ક્રિયા કાર્યાત્મક પ્રવાહ સમીકરણ અનુસાર થિયરી સ્પેસમાં વિકસિત થાય છે. નિયમનકારની પસંદગી અનન્ય નથી, જે પુનર્રચના જૂથ પ્રવાહમાં કેટલીક યોજનાની નિર્ભરતાનો પરિચય આપે છે. આ કારણોસર, નિયમનકારની વિવિધ પસંદગીઓ આકૃતિમાં વિવિધ માર્ગોને અનુરૂપ છે. ઇન્ફ્રારેડ સ્કેલ પર, જોકે, કટ-ઓફની દરેક પસંદગી માટે સંપૂર્ણ અસરકારક ક્રિયા પુનઃપ્રાપ્ત થાય છે, અને તમામ માર્ગ થિયરી સ્પેસમાં એક જ બિંદુ પર મળે છે. રસના મોટાભાગના કિસ્સાઓમાં વેટેરીચ સમીકરણ માત્ર આશરે ઉકેલી શકાય છે. સામાન્ય રીતે અમુક પ્રકારનું વિસ્તરણ કરવામાં આવે છે, જે પછી મર્યાદિત ક્રમમાં કાપવામાં આવે છે જે સામાન્ય વિભેદક સમીકરણોની મર્યાદિત પ્રણાલી તરફ દોરી જાય છે. વિવિધ વ્યવસ્થિત વિસ્તરણ યોજનાઓ (જેમ કે વ્યુત્પન્ન વિસ્તરણ, શિરોબિંદુ વિસ્તરણ, વગેરે) વિકસાવવામાં આવ્યા હતા. યોગ્ય યોજનાની પસંદગી શારીરિક રીતે પ્રેરિત હોવી જોઈએ અને તે આપેલ સમસ્યા પર આધારિત હોવી જોઈએ. વિસ્તરણમાં આવશ્યકપણે નાના પરિમાણનો સમાવેશ થતો નથી (જેમ કે ક્રિયાપ્રતિક્રિયા જોડાણ અચળાંક) અને તેથી તે સામાન્ય રીતે બિન-અવ્યવસ્થિત પ્રકૃતિના હોય છે. જો કે, નોંધ લો કે (પ્રિફેક્ટર-) સંમેલનો અને અસરકારક ક્રિયાની નક્કર વ્યાખ્યાને લગતી બહુવિધ પસંદગીઓને કારણે, સાહિત્યમાં વેટેરીક સમીકરણની અન્ય (સમકક્ષ) આવૃત્તિઓ મળી શકે છે. ફંક્શનલ રીનોર્મલાઇઝેશનના પાસાઓ વેટેરીક પ્રવાહ સમીકરણ એક ચોક્કસ સમીકરણ છે. જો કે, વ્યવહારમાં, કાર્યાત્મક વિભેદક સમીકરણને કાપી નાખવું આવશ્યક છે, એટલે કે. તેને કેટલાક ચલોનાં વિધેયોમાં અથવા અમુક મર્યાદિત-પરિમાણીય પેટા-સિદ્ધાંત જગ્યા પર પણ પ્રક્ષેપિત કરવું આવશ્યક છે. દરેક બિન-અવ્યવસ્થિત પદ્ધતિની જેમ, કાર્યાત્મક પુનઃ સામાન્યીકરણમાં ભૂલ અંદાજનો પ્રશ્ન બિન-તુચ્છ છે. એફઆરજીમાં ભૂલનો અંદાજ કાઢવાની એક રીત એ છે કે ક્રમિક પગલાંઓમાં કાપણીમાં સુધારો કરવો, એટલે કે. વધુને વધુ ચાલી રહેલા કપ્લિંગ્સનો સમાવેશ કરીને પેટા-સિદ્ધાંતની જગ્યાને વિસ્તૃત કરવી. વિવિધ કાપણી માટેના પ્રવાહમાં તફાવત ભૂલનો સારો અંદાજ આપે છે. વૈકલ્પિક રીતે, આપેલ (નિશ્ચિત) કાપણીમાં વિવિધ નિયમનકાર કાર્યોનો ઉપયોગ કરી શકાય છે અને સંબંધિત નિયમનકારની પસંદગીઓ માટે ઇન્ફ્રારેડમાં RG પ્રવાહનો તફાવત નક્કી કરી શકાય છે. જો બોસોનાઇઝેશનનો ઉપયોગ કરવામાં આવે, તો વિવિધ બોસોનાઇઝેશન પ્રક્રિયાઓના સંદર્ભમાં અંતિમ પરિણામોની અસંવેદનશીલતા ચકાસી શકાય છે. એફ. આર. જી. માં, તમામ આર. જી. પદ્ધતિઓની જેમ, આર. જી. પ્રવાહોની ટોપોલોજીમાંથી ભૌતિક પ્રણાલી વિશે ઘણી સમજ મેળવી શકાય છે. ખાસ કરીને, પુનર્રચના જૂથ ઉત્ક્રાંતિના નિશ્ચિત બિંદુઓની ઓળખ ખૂબ મહત્વની છે. નિશ્ચિત બિંદુઓની નજીક ચાલી રહેલા જોડાણોનો પ્રવાહ અસરકારક રીતે અટકી જાય છે અને આરજી-કાર્યો શૂન્ય સુધી પહોંચે છે. (આંશિક રીતે) સ્થિર ઇન્ફ્રારેડ નિશ્ચિત બિંદુઓની હાજરી સાર્વત્રિકતાના ખ્યાલ સાથે ગાઢ રીતે જોડાયેલી છે. સાર્વત્રિકતા એ અવલોકનમાં પ્રગટ થાય છે કે કેટલીક ખૂબ જ અલગ ભૌતિક પ્રણાલીઓ સમાન નિર્ણાયક વર્તન ધરાવે છે. દાખલા તરીકે, સારી ચોકસાઈ માટે, પાણીમાં પ્રવાહી-વાયુ તબક્કાના સંક્રમણ અને ચુંબકમાં લોહચુંબકીય તબક્કાના સંક્રમણના નિર્ણાયક ઘટકો સમાન છે. પુનર્રચના જૂથ ભાષામાં, સમાન સર્વવ્યાપકતા વર્ગમાંથી વિવિધ પ્રણાલીઓ સમાન (આંશિક રીતે) સ્થિર ઇન્ફ્રારેડ નિશ્ચિત બિંદુ તરફ વહે છે. આ રીતે મેક્રોફિઝિક્સ ચોક્કસ ભૌતિક મોડેલની સૂક્ષ્મ વિગતોથી સ્વતંત્ર બને છે. વિક્ષેપ સિદ્ધાંતની તુલનામાં, કાર્યાત્મક પુનઃનિર્ધારણ પુનઃનિર્ધારણ અને બિન-સામાન્ય જોડાણ વચ્ચે સખત તફાવત કરતું નથી. સમસ્યાની સમપ્રમાણતા દ્વારા માન્ય તમામ ચાલી રહેલા જોડાણો એફ. આર. જી. પ્રવાહ દરમિયાન પેદા થાય છે. જો કે, બિન-સામાન્ય કપ્લિંગ્સ ઇન્ફ્રારેડ તરફના ઉત્ક્રાંતિ દરમિયાન ખૂબ જ ઝડપથી આંશિક નિશ્ચિત બિંદુઓ સુધી પહોંચે છે, અને આમ પુનઃ સામાન્ય કપ્લિંગ્સની સંખ્યા દ્વારા આપવામાં આવેલા પરિમાણના અતિ સપાટી પર પ્રવાહ અસરકારક રીતે તૂટી જાય છે. બિન-સામાન્ય કપ્લિંગ્સને ધ્યાનમાં લેવાથી બિન-સાર્વત્રિક લક્ષણોનો અભ્યાસ કરવાની મંજૂરી મળે છે જે માઇક્રોસ્કોપિક ક્રિયા અને મર્યાદિત અલ્ટ્રાવાયોલેટ કટઓફની નક્કર પસંદગી પ્રત્યે સંવેદનશીલ હોય છે. વેટેરીક સમીકરણ 1984માં જોસેફ પોલ્ચિન્સ્કી દ્વારા મેળવેલા પોલ્ચિન્સ્કી કાર્યાત્મક સમીકરણના લિજેન્ડ્રે પરિવર્તનમાંથી મેળવી શકાય છે. એફ. આર. જી. માં ઉપયોગમાં લેવાતી અસરકારક સરેરાશ ક્રિયાની વિભાવના, જોકે, પોલ્ચિન્સ્કી સમીકરણમાં વહેતી ખુલ્લી ક્રિયા કરતાં વધુ સાહજિક છે. વધુમાં, એફઆરજી પદ્ધતિ વ્યવહારુ ગણતરીઓ માટે વધુ યોગ્ય સાબિત થઈ. લાક્ષણિક રીતે, મજબૂત રીતે ક્રિયાપ્રતિક્રિયા કરતી પ્રણાલીઓના નિમ્ન-ઊર્જા ભૌતિકશાસ્ત્રને મેક્રોસ્કોપિક ડિગ્રીઝ ઓફ ફ્રીડમ દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે (એટલે કે. કણ ઉત્તેજના) જે માઇક્રોસ્કોપિક ઉચ્ચ-ઊર્જા ડિગ્રી ઓફ ફ્રીડમથી ખૂબ જ અલગ છે. દાખલા તરીકે, ક્વોન્ટમ ક્રોમોડાયનેમિક્સ એ પરસ્પર ક્રિયા કરતા ક્વોર્ક અને ગ્લુઓનનો ક્ષેત્ર સિદ્ધાંત છે. જો કે, ઓછી ઊર્જા પર, સ્વતંત્રતાની યોગ્ય માત્રા બેરિયોન અને મેસોન્સ છે. બીજું ઉદાહરણ કન્ડેન્સ્ડ મેટર ફિઝિક્સમાં BEC/BCS ક્રોસઓવર પ્રોબ્લેમ છે. જ્યારે માઇક્રોસ્કોપિક સિદ્ધાંતને બે-ઘટક બિન-સંબંધિત ફર્મિઓનની દ્રષ્ટિએ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, ત્યારે ઓછી ઊર્જા પર સંયુક્ત (કણ-કણ) ડાયમર સ્વતંત્રતાની વધારાની ડિગ્રી બની જાય છે, અને તેને મોડેલમાં સ્પષ્ટ રીતે શામેલ કરવાની સલાહ આપવામાં આવે છે. આંશિક બોસોનાઇઝેશન (હૂબાર્ડ-સ્ટ્રેટોનોવિચ ટ્રાન્સફોર્મેશન) ની પદ્ધતિ દ્વારા વર્ણનમાં લો-એનર્જી કોમ્પોઝિટ ડિગ્રીઝ ઓફ ફ્રીડમ રજૂ કરી શકાય છે. જોકે, આ પરિવર્તન યુવી સ્કેલ પર એકવાર અને કાયમ માટે કરવામાં આવે છે. એફઆરજીમાં મેક્રોસ્કોપિક ડિગ્રીઝ ઓફ ફ્રીડમનો સમાવેશ કરવાની વધુ કાર્યક્ષમ રીત રજૂ કરવામાં આવી હતી, જેને ફ્લોઇંગ બોસોનાઇઝેશન અથવા રીબોસોનાઇઝેશન તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. સ્કેલ-આધારિત ક્ષેત્ર પરિવર્તનની મદદથી, આ તમામ આરજી સ્કેલ પર સતત હૂબાર્ડ-સ્ટ્રેટોનોવિચ પરિવર્તન કરવાની મંજૂરી આપે છે. વિક-ઓર્ડર્ડર્ડ અસરકારક ક્રિયાપ્રતિક્રિયા માટે કાર્યાત્મક રીનોર્મલાઇઝેશન-જૂથ અસરકારક ક્રિયા માટેના પ્રવાહ સમીકરણથી વિપરીત, આ યોજના અસરકારક ક્રિયાપ્રતિક્રિયા માટે ઘડવામાં આવી છે જે એન-કણોની ક્રિયાપ્રતિક્રિયાના શિરોબિંદુઓ ઉત્પન્ન કરે છે, જે ખુલ્લા પ્રસારકો દ્વારા કાપવામાં આવે છે; તે એન-કણોના લીલા કાર્યો માટે કાર્યાત્મક ઉત્પન્ન કરતું "પ્રમાણભૂત" છે. ગ્રીન ફંક્શનના સંદર્ભમાં અસરકારક ક્રિયાપ્રતિક્રિયાના વિક ક્રમને આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. ફિલ્ડ સ્પેસમાં લેપલેસિયન ક્યાં છે. આ ક્રિયા સામાન્ય ક્રમ જેવી જ છે અને સંબંધિત ગ્રીન ફંક્શન ડી સાથે સ્રોત ક્ષેત્રોના કોન્વોલ્યુશન દ્વારા રચાયેલી તમામ સંભવિત શરતોને ક્રિયાપ્રતિક્રિયામાંથી બાકાત રાખે છે. કેટલાક કટઓફનો પરિચય આપતા પોલ્ચિન્સ્કી સમીકરણ વિક-ઓર્ડર્ડ સમીકરણનું સ્વરૂપ લે છે જ્યાં એપ્લિકેશન્સ પદ્ધતિ ભૌતિકશાસ્ત્રમાં અસંખ્ય સમસ્યાઓ પર લાગુ કરવામાં આવી હતી, દા. ત. : આંકડાકીય ક્ષેત્ર સિદ્ધાંતમાં, એફ. આર. જી. એ વિવિધ પરિમાણોમાં શાસ્ત્રીય રેખીય-સમમિતીય સ્કેલર સિદ્ધાંતોમાં તબક્કાના સંક્રમણોનું એકીકૃત ચિત્ર પ્રદાન કર્યું છે, જેમાં માટે નિર્ણાયક ઘટકો અને માટે બેરેઝિન્સ્કી-કોસ્ટરલિટ્ઝ-થૌલેસ તબક્કા સંક્રમણનો સમાવેશ થાય છે. ગેજ ક્વોન્ટમ ફિલ્ડ થિયરીમાં, એફ. આર. જી. નો ઉપયોગ, ઉદાહરણ તરીકે, કાયરલ તબક્કાના સંક્રમણ અને ક્યુ. સી. ડી. ના ઇન્ફ્રારેડ ગુણધર્મો અને તેના મોટા સ્વાદના વિસ્તરણની તપાસ કરવા માટે કરવામાં આવ્યો હતો. કન્ડેન્સ્ડ દ્રવ્ય ભૌતિકશાસ્ત્રમાં, આ પદ્ધતિ જાળીના નમૂનાઓની સારવારમાં સફળ સાબિત થઈ હતી (દા. ત. હૂબાર્ડ મોડેલ અથવા હતાશ ચુંબકીય પ્રણાલીઓ), પ્રતિકારક બોસ ગેસ, બે-ઘટક ફર્મી ગેસ માટે BEC/BCS ક્રોસઓવર, કોન્ડો અસર, અવ્યવસ્થિત પ્રણાલીઓ અને બિન-અસ્થિર ઘટના. ગુરુત્વાકર્ષણ પર એફ. આર. જી. ના ઉપયોગથી ચાર અવકાશ સમય પરિમાણોમાં ક્વોન્ટમ ગુરુત્વાકર્ષણની બિનપરંપરાગત પુનઃસામાન્યતાની તરફેણમાં દલીલો પૂરી પાડવામાં આવી હતી, જેને એસિમ્પ્ટોટિક સલામતી દૃશ્ય તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. ગાણિતિક ભૌતિકશાસ્ત્રમાં એફ. આર. જી. નો ઉપયોગ વિવિધ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંતોની પુનઃસામાન્યતા સાબિત કરવા માટે કરવામાં આવ્યો હતો. આ પણ જુઓ રીનોર્મલાઇઝેશન જૂથ રીનોર્મલાઇઝેશન ક્રિટિકલ ફેનોમેના સ્કેલ ઇનવેરિયન્સ ક્વોન્ટમ ગુરુત્વાકર્ષણમાં એસિમ્પ્ટોટિક સલામતી સંદર્ભો કાગળો શિક્ષણશાસ્ત્ર સમીક્ષાઓ આંકડાકીય મિકેનિક્સ રીનોર્મલાઇઝેશન જૂથ સ્કેલિંગ સમપ્રમાણતા નિશ્ચિત બિંદુઓ (ગણિત)