Von Neumann–Morgenstern utility theorem
નિર્ણય સિદ્ધાંતમાં, વોન ન્યુમેન-મોર્ગનસ્ટર્ન (વી. એન. એમ.) ઉપયોગિતા પ્રમેય દર્શાવે છે કે, તર્કસંગત વર્તણૂકના અમુક સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતો હેઠળ, વિવિધ પસંદગીઓના જોખમી (સંભવિત) પરિણામોનો સામનો કરનાર નિર્ણય લેનાર એવું વર્તન કરશે જાણે કે તેઓ ભવિષ્યમાં કોઈ ચોક્કસ તબક્કે સંભવિત પરિણામો પર વ્યાખ્યાયિત કેટલાક કાર્યના અપેક્ષિત મૂલ્યને મહત્તમ કરી રહ્યા હોય. આ કાર્યને વોન ન્યુમેન-મોર્ગનસ્ટર્ન ઉપયોગિતા કાર્ય તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. આ પ્રમેય અપેક્ષિત ઉપયોગિતા સિદ્ધાંત માટેનો આધાર છે. 1947માં, જ્હોન વોન ન્યુમેન અને ઓસ્કર મોર્ગનસ્ટર્ને સાબિત કર્યું કે કોઈપણ વ્યક્તિ કે જેની પસંદગીઓ ચાર સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતોને સંતુષ્ટ કરે છે તેનું ઉપયોગિતા કાર્ય છે; આવી વ્યક્તિની પસંદગીઓને અંતરાલ સ્કેલ પર રજૂ કરી શકાય છે અને વ્યક્તિ હંમેશા એવી ક્રિયાઓને પસંદ કરશે જે અપેક્ષિત ઉપયોગિતાને મહત્તમ કરે. એટલે કે, તેઓએ સાબિત કર્યું કે એજન્ટ (VNM-) તર્કસંગત છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો સંભવિત પરિણામો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વાસ્તવિક-મૂલ્યવાન કાર્ય અસ્તિત્વમાં હોય જેમ કે એજન્ટની દરેક પસંદગીને અપેક્ષિત મૂલ્યને મહત્તમ કરીને વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે, જે પછી એજન્ટની VNM-ઉપયોગિતા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે (તે સતત ઉમેરવા અને હકારાત્મક સ્કેલર દ્વારા ગુણાકાર કરવા માટે અનન્ય છે). એવો કોઈ દાવો કરવામાં આવતો નથી કે એજન્ટ પાસે યુ ને મહત્તમ કરવાની "સભાન ઇચ્છા" છે, માત્ર તે જ કે યુ અસ્તિત્વમાં છે. અપેક્ષિત ઉપયોગિતા પૂર્વધારણા એ છે કે તર્કસંગતતાને અપેક્ષિત મૂલ્યને મહત્તમ કરવા તરીકે મોડેલિંગ કરી શકાય છે, જે પ્રમેય આપવામાં આવે છે, તેનો સારાંશ "તર્કસંગતતા એ VNM-તર્કસંગતતા છે" તરીકે કરી શકાય છે. જો કે, સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતોની વિવિધ આધારો પર ટીકા કરવામાં આવી છે, જેના પરિણામે સ્વયંસિદ્ધોને વધુ સમર્થન આપવામાં આવ્યું છે. વી. એન. એમ.-ઉપયોગિતા એ એક નિર્ણય ઉપયોગિતા છે જેનો ઉપયોગ નિર્ણય પસંદગીઓનું વર્ણન કરવા માટે થાય છે. તે સંબંધિત છે પરંતુ કહેવાતી ઇ-ઉપયોગિતાઓ (અનુભવ ઉપયોગિતાઓ) ની સમકક્ષ નથી, જે બેન્થમના ગ્રેટેસ્ટ હેપ્પીનેસ પ્રિન્સિપલ જેવી ખુશીને માપવાના હેતુથી ઉપયોગિતાની કલ્પનાઓ છે. સેટ-અપ પ્રમેયમાં, એક વ્યક્તિગત એજન્ટને લોટરી તરીકે ઓળખાતા વિકલ્પોનો સામનો કરવો પડે છે. કેટલાક પરસ્પર વિશિષ્ટ પરિણામોને ધ્યાનમાં રાખીને, લોટરી એ એક દૃશ્ય છે જ્યાં દરેક પરિણામ આપેલ સંભાવના સાથે થશે, બધી સંભાવનાઓનો સરવાળો એક સાથે થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, બે પરિણામો એ અને બી માટે, એક દૃશ્ય સૂચવે છે જ્યાં પી (એ) = 25 ટકા એ થવાની સંભાવના છે અને પી (બી) = 75 ટકા (અને તેમાંથી બરાબર એક થશે). વધુ સામાન્ય રીતે, ઘણા સંભવિત પરિણામો સાથેની લોટરી માટે, આપણે લખીએ છીએઃ 1 ની બરાબર s ના સરવાળા સાથે. લોટરીમાં પરિણામો પોતે અન્ય પરિણામો વચ્ચેની લોટરીઓ હોઈ શકે છે, અને વિસ્તૃત અભિવ્યક્તિને સમકક્ષ લોટરી ગણવામાં આવે છેઃ 0.5 (0.5A + 0.5B) + 0.5C = 0.25A + 0.25B + 0.50C. જો લોટરી L કરતાં લોટરી M પસંદ કરવામાં આવે, તો આપણે લખીએ છીએ, અથવા તેની સમકક્ષ,. જો એજન્ટ L અને M વચ્ચે ઉદાસીન હોય, તો આપણે ઉદાસીનતા સંબંધ લખીએ છીએ જો M ને કાં તો પસંદ કરવામાં આવે અથવા L ની સરખામણીમાં ઉદાસીનતા સાથે જોવામાં આવે, તો આપણે સ્વયંસિદ્ધ લખીએ છીએ. સંપૂર્ણતા ધારે છે કે વ્યક્તિ સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત પસંદગીઓ ધરાવે છેઃ સ્વયંસિદ્ધ 1 (સંપૂર્ણતા) કોઈપણ લોટરી એલ, એમ માટે, નીચેની ઓછામાં ઓછી એક ધરાવે છેઃ, (વ્યક્તિએ કેટલીક પસંદગી અથવા ઉદાસીનતા વ્યક્ત કરવી આવશ્યક છે). નોંધ લો કે આ રિફ્લેક્સિવિટી સૂચવે છે. ટ્રાન્ઝિટિવિટી ધારે છે કે પસંદગીઓ કોઈપણ ત્રણ વિકલ્પોમાં સુસંગત છેઃ સ્વયંસિદ્ધ 2 (ટ્રાન્ઝિટિવિટી) જો અને, તો. સાતત્ય ધારે છે કે આપેલ મધ્યમ વિકલ્પ કરતાં વધુ સારો અને ખરાબ હોવા વચ્ચે એક "ટિપિંગ પોઇન્ટ" છેઃ સ્વયંસિદ્ધ 3 (સાતત્ય): જો, તો એવી સંભાવના અસ્તિત્વમાં છે કે જ્યાં ડાબી બાજુના સંકેતલિપી એ એવી પરિસ્થિતિનો સંદર્ભ આપે છે જેમાં L સંભાવના p સાથે પ્રાપ્ત થાય છે અને N સંભાવના (1-p) સાથે પ્રાપ્ત થાય છે. સાતત્યને બદલે, એક વૈકલ્પિક સ્વયંસિદ્ધ ધારણ કરી શકાય છે જેમાં ચોક્કસ સમાનતાનો સમાવેશ થતો નથી, જેને આર્કિમિડીયન મિલકત કહેવાય છે. તે કહે છે કે પસંદગીમાં કોઈપણ વિભાજનને સંભાવનાઓમાં પૂરતા પ્રમાણમાં નાના વિચલન હેઠળ જાળવી શકાય છેઃ સ્વયંસિદ્ધ 3′ (આર્કિમિડીયન ગુણધર્મ): જો, તો એવી સંભાવના અસ્તિત્વમાં છે કે (3) અથવા (3′) માંથી માત્ર એક જ ધારણ કરવાની જરૂર છે, અને અન્ય પ્રમેય દ્વારા ગર્ભિત થશે. અપ્રસ્તુત વિકલ્પોની સ્વતંત્રતા ધારે છે કે પસંદગી અન્ય પરિણામની સંભાવનાથી સ્વતંત્ર રીતે ધરાવે છેઃ સ્વયંસિદ્ધ 4 (સ્વતંત્રતા): કોઈપણ માટે અને, નોંધ લો કે પ્રમેય કામ કરવા માટે "માત્ર જો" દિશા જરૂરી છે. તે વિના, આપણી પાસે આ પ્રતિકૂળ ઉદાહરણ છેઃ ત્યાં માત્ર બે પરિણામો છે, અને એજન્ટ ઉદાસીન છે, અને સખત રીતે તે બધાને પસંદ કરે છે. "માત્ર જો" દિશા સાથે, આપણે દલીલ કરી શકીએ છીએ કે તે સૂચવે છે, આમ આ પ્રતિકૂળ ઉદાહરણને બાકાત રાખે છે. સ્વતંત્ર સ્વયંસિદ્ધ શબ્દ સંયોજન લોટરીઓના ઘટાડા પર સ્વયંસિદ્ધ શબ્દ સૂચવે છેઃ સ્વયંસિદ્ધ 4′ (સંયોજન લોટરીમાં ઘટાડો): કોઈપણ લોટરી અને કોઈપણ માટે, સ્વયંસિદ્ધ 4 એ સ્વયંસિદ્ધ 4 'કેવી રીતે સૂચવે છે તે જોવા માટે, સ્વયંસિદ્ધ 4 માં અભિવ્યક્તિમાં સેટ કરો અને વિસ્તૃત કરો. કોઈપણ વી. એન. એમ.-તર્કસંગત એજન્ટ માટે પ્રમેય (એટલે કે. સ્વયંસિદ્ધ (1-4) ને સંતોષતા, ત્યાં એક કાર્ય u અસ્તિત્વમાં છે જે દરેક પરિણામ A ને વાસ્તવિક સંખ્યા u (A) સોંપે છે, જેમ કે કોઈપણ બે લોટરીઓ માટે, જ્યાં E (u (L)), અથવા વધુ ટૂંકમાં Eu (L) દ્વારા આપવામાં આવે છે. તેનાથી વિપરીત, ફંક્શન u ની અપેક્ષા વધારવા માટે કામ કરતો કોઈપણ એજન્ટ 1-4 સૂત્રોનું પાલન કરશે. આવા કાર્યને એજન્ટની વોન ન્યુમેન-મોર્ગનસ્ટર્ન (વી. એન. એમ.) ઉપયોગિતા કહેવામાં આવે છે. પુરાવો સ્કેચ પુરાવો રચનાત્મક છેઃ તે દર્શાવે છે કે ઇચ્છિત કાર્ય કેવી રીતે બનાવી શકાય છે. અહીં આપણે એવા કેસ માટે બાંધકામ પ્રક્રિયાની રૂપરેખા આપીએ છીએ જેમાં ચોક્કસ પરિણામોની સંખ્યા મર્યાદિત હોય. ધારો કે ત્યાં નિશ્ચિત પરિણામો છે. નોંધ લો કે દરેક ચોક્કસ પરિણામને લોટરી તરીકે જોઈ શકાય છેઃ તે એક અધોગતિગ્રસ્ત લોટરી છે જેમાં પરિણામ સંભાવના 1 સાથે પસંદ કરવામાં આવે છે. તેથી, સંપૂર્ણતા અને સંક્રમણશીલતાના સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતો દ્વારા, પરિણામોને સૌથી ખરાબથી શ્રેષ્ઠમાં ક્રમબદ્ધ કરવું શક્ય છેઃ આપણે ધારીએ છીએ કે ઓછામાં ઓછી એક અસમાનતા કડક છે (અન્યથા ઉપયોગિતા કાર્ય તુચ્છ છે-એક અચળાંક). તો. અમે આ બે આત્યંતિક પરિણામોનો ઉપયોગ કરીએ છીએ-સૌથી ખરાબ અને શ્રેષ્ઠ-અમારા ઉપયોગિતા કાર્યના સ્કેલિંગ એકમ તરીકે, અને વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએઃ અને દરેક સંભાવના માટે, લોટરીને વ્યાખ્યાયિત કરો જે સંભાવના સાથે શ્રેષ્ઠ પરિણામ પસંદ કરે છે અને અન્યથા સૌથી ખરાબ પરિણામઃ નોંધ લો કે અને. સાતત્ય સ્વયંસિદ્ધ દ્વારા, દરેક ચોક્કસ પરિણામ માટે, એવી સંભાવના છે કેઃ અને દરેક માટે, પરિણામ માટે ઉપયોગિતા કાર્યને આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જેથી દરેક લોટરીની ઉપયોગિતા એ તમારી અપેક્ષા છેઃ આ ઉપયોગિતા કાર્ય શા માટે અર્થપૂર્ણ છે તે જોવા માટે, લોટરીનો વિચાર કરો, જે સંભાવના સાથે પરિણામ પસંદ કરે છે. પરંતુ, અમારી ધારણા મુજબ, નિર્ણય લેનાર ચોક્કસ પરિણામ અને લોટરી વચ્ચે ઉદાસીન છે. તેથી, રિડક્શન સ્વયંસિદ્ધ દ્વારા, તે લોટરી અને નીચેની લોટરી વચ્ચે ઉદાસીન છેઃ લોટરી, અસરકારક રીતે, એક લોટરી છે જેમાં સંભાવના સાથે શ્રેષ્ઠ પરિણામ જીતવામાં આવે છે, અને અન્યથા સૌથી ખરાબ પરિણામ. તેથી, જો, તર્કસંગત નિર્ણય લેનાર લોટરી કરતાં લોટરીને પસંદ કરશે, કારણ કે તે તેને શ્રેષ્ઠ પરિણામ જીતવાની મોટી તક આપે છે. તેથીઃ જો અને માત્ર ત્યારે જ જો પ્રતિક્રિયા વોન ન્યુમેન અને મોર્ગનસ્ટર્ને તેમના નિષ્કર્ષના બળ પર આશ્ચર્યની અપેક્ષા રાખી હોય. પરંતુ તેમના મતે, તેમનું ઉપયોગિતા કાર્ય કામ કરે છે તેનું કારણ એ છે કે તે એવી વસ્તુની ભૂમિકાને ભરવા માટે ચોક્કસપણે બનાવવામાં આવે છે જેની અપેક્ષા મહત્તમ હોય છેઃ "ઘણા અર્થશાસ્ત્રીઓને લાગશે કે આપણે ઘણું વધારે ધારી રહ્યા છીએ. શું આપણે ઘણું બધું બતાવ્યું નથી? . જ્યાં સુધી આપણે જોઈ શકીએ છીએ, આપણી ધારણાઓ બુદ્ધિગમ્ય છે. આપણે વ્યવહારીક રીતે સંખ્યાત્મક ઉપયોગિતાને એવી વસ્તુ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી છે કે જેના માટે ગાણિતિક અપેક્ષાઓનું કલન કાયદેસર છે. - VNM 1953, § 3.1.1 p. 16 અને § 3.7.1 p. 28 આમ, પ્રમેયની સામગ્રી એ છે કે u ની રચના શક્ય છે, અને તેઓ તેની પ્રકૃતિ વિશે બહુ ઓછો દાવો કરે છે. પરિણામ જોખમથી દૂર રહેવાનું આપમેળે ધ્યાનમાં લેવું ઘણીવાર એવું બને છે કે વાસ્તવિક દુનિયાના નાણાં સાથે જુગારનો સામનો કરતી વ્યક્તિ તેમની ડોલર અસ્કયામતોના અપેક્ષિત મૂલ્યને મહત્તમ કરવા માટે કાર્ય કરતી નથી. ઉદાહરણ તરીકે, જે વ્યક્તિ પાસે માત્ર 1000 ડોલરની બચત હોય તે વ્યક્તિ 10,000 ડોલર જીતવા માટે 20 ટકા તક માટે જોખમ લેવા માટે અનિચ્છા ધરાવી શકે છે, જો કે, જો તે વ્યક્તિ વી. એન. એમ.-તર્કસંગત હોય, તો આવી હકીકતો આપમેળે તેમના ઉપયોગિતા કાર્યમાં નોંધાય છે. આ ઉદાહરણમાં, આપણે તારણ કાઢી શકીએ કે અહીં ડોલરની રકમ ખરેખર પરિણામોનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે (cf. "મૂલ્ય"), ત્રણ સંભવિત પરિસ્થિતિઓનો વ્યક્તિ સામનો કરી શકે છે. ખાસ કરીને, યુ એ વી. એન. એમ.-તર્કસંગતતાનો વિરોધ કર્યા વિના યુ ($1) + યુ ($1) §યુ ($2) જેવા ગુણધર્મો પ્રદર્શિત કરી શકે છે. આ નાણાકીય જોખમ નિવારણના માત્રાત્મક સિદ્ધાંત તરફ દોરી જાય છે. અપેક્ષિત ઉપયોગિતા પૂર્વધારણા માટેની અસરો 1738માં, ડેનિયલ બર્નૌલીએ એક ગ્રંથ પ્રકાશિત કર્યો હતો જેમાં તેમણે એવું માન્યું હતું કે તર્કસંગત વર્તનને કાર્ય યુની અપેક્ષાઓને મહત્તમ કરવા તરીકે વર્ણવી શકાય છે, જે ખાસ કરીને નાણાકીય-મૂલ્યવાન હોવું જરૂરી નથી, આમ જોખમથી દૂર રહેવાનું કારણ બને છે. આ અપેક્ષિત ઉપયોગિતા પૂર્વધારણા છે. જણાવ્યા મુજબ, પૂર્વધારણા એક બોલ્ડ દાવો લાગે છે. અપેક્ષિત ઉપયોગિતા પ્રમેયનો ઉદ્દેશ "સામાન્ય શરતો" પ્રદાન કરવાનો છે (એટલે કે. સ્વયંસિદ્ધ) જ્યારે અપેક્ષિત ઉપયોગિતા પૂર્વધારણા હોય ત્યારે તેનું વર્ણન કરે છે, જેનું સીધા અને સાહજિક રીતે મૂલ્યાંકન કરી શકાય છેઃ "સ્વયંસિદ્ધ ખૂબ સંખ્યાબંધ ન હોવા જોઈએ, તેમની પદ્ધતિ શક્ય તેટલી સરળ અને પારદર્શક હોવી જોઈએ, અને દરેક સ્વયંસિદ્ધનો તાત્કાલિક સાહજિક અર્થ હોવો જોઈએ જેના દ્વારા તેની યોગ્યતાનું સીધું મૂલ્યાંકન કરી શકાય. આપણી જેવી પરિસ્થિતિમાં આ છેલ્લી જરૂરિયાત ખાસ કરીને મહત્વપૂર્ણ છે, તેની અસ્પષ્ટતા હોવા છતાંઃ આપણે એક સાહજિક ખ્યાલને ગાણિતિક સારવાર માટે અનુકૂળ બનાવવા માંગીએ છીએ અને આ માટે શું પૂર્વધારણાની જરૂર છે તે શક્ય તેટલી સ્પષ્ટ રીતે જોવા માંગીએ છીએ. - વી. એન. એમ. 1953 § 3.5.2, પૃષ્ઠ 25 જેમ કે, દાવો કરે છે કે અપેક્ષિત ઉપયોગિતા પૂર્વધારણા તર્કસંગતતાને લાક્ષણિકતા આપતી નથી, તે વી. એન. એમ. સિદ્ધાંતોમાંથી એકને નકારી કાઢવી જોઈએ. વિવિધ સામાન્યીકૃત અપેક્ષિત ઉપયોગિતા સિદ્ધાંતો ઉદ્ભવ્યા છે, જેમાંથી મોટાભાગના સ્વતંત્રતાના સિદ્ધાંતને છોડી દે છે અથવા હળવા કરે છે. નીતિશાસ્ત્ર અને નૈતિક ફિલસૂફી માટે અસરો કારણ કે આ પ્રમેય જુગારના સંભવિત પરિણામોની પ્રકૃતિ વિશે કંઇ ધારણ કરતું નથી, તેથી તે નૈતિક રીતે નોંધપાત્ર ઘટનાઓ હોઈ શકે છે, ઉદાહરણ તરીકે અન્યના જીવન, મૃત્યુ, માંદગી અથવા સ્વાસ્થ્યનો સમાવેશ થાય છે. વોન ન્યુમેન-મોર્ગનસ્ટર્ન તર્કસંગત એજન્ટ આવી ઘટનાઓ માટે ખૂબ જ ચિંતા સાથે કામ કરવા માટે સક્ષમ છે, ઘણી વ્યક્તિગત સંપત્તિ અથવા સુખાકારીનો ત્યાગ કરે છે, અને આ બધી ક્રિયાઓ એજન્ટના વી. એન. એમ.-ઉપયોગિતા કાર્યના નિર્માણ/વ્યાખ્યામાં પરિબળ બનશે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, જે કુદરતી રીતે "વ્યક્તિગત લાભ" તરીકે જોવામાં આવે છે, અને જે કુદરતી રીતે "પરોપકાર" તરીકે જોવામાં આવે છે, તે બંને વી. એન. એમ.-તર્કસંગત વ્યક્તિના વી. એન. એમ.-ઉપયોગિતા કાર્યમાં સ્પષ્ટ રીતે સંતુલિત છે. તેથી, એજન્ટ-કેન્દ્રિતથી એજન્ટ-તટસ્થ વર્તણૂકોની સંપૂર્ણ શ્રેણી છે. જો ની ઉપયોગિતા છે, તો વોન ન્યુમેન-મોર્ગનસ્ટર્ન તર્કસંગત એજન્ટ અને વચ્ચે ઉદાસીન હોવો જોઈએ. એજન્ટ-કેન્દ્રિત વોન ન્યુમેન-મોર્ગનસ્ટર્ન તર્કસંગત એજન્ટ તેથી તેના પોતાના સંભવિત ભાવિ સ્વયં વચ્ચે ઉપયોગિતાના વધુ સમાન અથવા "વાજબી" વિતરણની તરફેણ કરી શકતો નથી. ઉપયોગિતાની અન્ય કલ્પનાઓથી વિશિષ્ટતા કેટલાક ઉપયોગિતાવાદી નૈતિક સિદ્ધાંતો સામૂહિકની "કુલ ઉપયોગિતા" અને "સરેરાશ ઉપયોગિતા" તરીકે ઓળખાતી માત્રાઓ સાથે સંબંધિત છે, અને પોતાની પોતાની અવગણના સાથે અન્યની ઉપયોગિતા અથવા સુખની તરફેણ કરવાના સંદર્ભમાં નૈતિકતાની લાક્ષણિકતા ધરાવે છે. આ ધારણાઓ વી. એન. એમ.-ઉપયોગિતા સાથે સંબંધિત હોઈ શકે છે, પરંતુ તેનાથી અલગ હોઈ શકે છેઃ 1) વી. એન. એમ.-ઉપયોગિતા એ નિર્ણય ઉપયોગિતા છેઃ તે તે છે કે જેના અનુસાર કોઈ નિર્ણય લે છે, અને તેથી વ્યાખ્યા દ્વારા એવી કોઈ વસ્તુ ન હોઈ શકે જેની કોઈ અવગણના કરે. 2) વી. એન. એમ.-ઉપયોગિતા બહુવિધ વ્યક્તિઓમાં પ્રમાણભૂત રીતે સંકલિત નથી (મર્યાદાઓ જુઓ), તેથી "કુલ વી. એન. એમ.-ઉપયોગિતા" અને "સરેરાશ વી. એન. એમ.-ઉપયોગિતા" તરત જ અર્થપૂર્ણ નથી (અમુક પ્રકારની સામાન્યીકરણ ધારણા જરૂરી છે). "અનુભવ ઉપયોગિતા" માટે ઇ-ઉપયોગિતા શબ્દ બેન્થમના સૌથી મહાન સુખ સિદ્ધાંત જેવી "ભોગવાદી" ઉપયોગિતાના પ્રકારોને સંદર્ભિત કરવા માટે રચવામાં આવ્યો છે. નૈતિકતા નિર્ણયોને અસર કરતી હોવાથી, વી. એન. એમ.-તર્કસંગત એજન્ટની નૈતિકતા તેના પોતાના ઉપયોગિતા કાર્યની વ્યાખ્યાને અસર કરશે (ઉપર જુઓ). આમ, વી. એન. એમ.-તર્કસંગત એજન્ટની નૈતિકતાને અન્ય માધ્યમોમાં વી. એન. એમ.-ઉપયોગિતા, ઇ-ઉપયોગિતા અથવા અન્યની "ખુશી" સાથે એજન્ટની વી. એન. એમ.-ઉપયોગિતાના સહસંબંધ દ્વારા વર્ગીકૃત કરી શકાય છે, પરંતુ એજન્ટની પોતાની વી. એન. એમ.-ઉપયોગિતાની અવગણના દ્વારા નહીં, જે દ્રષ્ટિએ વિરોધાભાસ છે. જો L અને M લોટરી હોય, તો pL + (1−p) M ને ફક્ત "વિસ્તૃત" કરવામાં આવે છે અને તેને લોટરી જ માનવામાં આવે છે, VNM ઔપચારિકતા "નેસ્ટેડ જુગાર" તરીકે અનુભવી શકાય તેવી બાબતની અવગણના કરે છે. આ એલ્સબર્ગ સમસ્યા સાથે સંબંધિત છે જ્યાં લોકો જોખમો વિશેની ધારણાને ટાળવાનું પસંદ કરે છે. વોન ન્યુમેન અને મોર્ગેનસ્ટર્ને આ મર્યાદાને માન્યતા આપીઃ ". જુગારની ચોક્કસ ઉપયોગિતા જેવી વિભાવનાઓ આ સ્તરે વિરોધાભાસથી મુક્ત રીતે ઘડી શકાતી નથી. આ એક વિરોધાભાસી દાવો લાગે છે. પરંતુ જે કોઈએ ગંભીરતાપૂર્વક તે પ્રપંચી ખ્યાલને સ્વયંસિદ્ધ કરવાનો પ્રયાસ કર્યો છે, તે કદાચ તેની સાથે સહમત થશે. - વી. એન. એમ. 1953 § 3.7.1, પૃ. 28. કોઈપણ બે VNM-એજન્ટો X અને Y માટે, તેમના VNM-ઉપયોગિતા કાર્યો uX અને uY માત્ર એડિટિવ સ્થિરાંકો અને મલ્ટિપ્લિકેટિવ પોઝિટિવ સ્કેલર્સ સુધી નક્કી કરવામાં આવે છે, તેથી આ પ્રમેય બંનેની તુલના કરવા માટે કોઈ પ્રમાણભૂત રીત પ્રદાન કરતું નથી. તેથી યુએક્સ (એલ) + યુવાય (એલ) અને યુએક્સ (એલ) − યુવાય (એલ) જેવી અભિવ્યક્તિઓને પ્રમાણભૂત રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવતી નથી, ન તો યુએક્સ (એલ) <યુવાય (એલ) જેવી સરખામણીઓ પ્રમાણભૂત રીતે સાચી કે ખોટી છે. ખાસ કરીને, વસ્તીની ઉપરોક્ત "કુલ વી. એન. એમ.-ઉપયોગિતા" અને "સરેરાશ વી. એન. એમ.-ઉપયોગિતા" સામાન્યીકરણ ધારણાઓ વિના પ્રમાણભૂત રીતે અર્થપૂર્ણ નથી. અર્થશાસ્ત્રને લાગુ પડતી અપેક્ષિત ઉપયોગિતા પૂર્વધારણામાં પ્રયોગશાળા આધારિત પ્રયોગમૂલક પ્રયોગોના સમૂહમાં મર્યાદિત આગાહીયુક્ત ચોકસાઈ હોવાનું દર્શાવવામાં આવ્યું છે, જેમ કે એલાઇસ વિરોધાભાસ. જે કેટલાક લોકોને પુરાવા તરીકે અર્થઘટન કરવા તરફ દોરી જાય છે કે મનુષ્ય હંમેશા તર્કસંગત હોતા નથી, અથવા વી. એન. એમ.-તર્કસંગતતા એ તર્કસંગતતાની યોગ્ય લાક્ષણિકતા નથી, અથવા બંનેનું સંયોજન નથી, અથવા મનુષ્ય વી. એન. એમ.-તર્કસંગત રીતે વર્તે છે પરંતુ યુ નું ઉદ્દેશ્ય મૂલ્યાંકન અને યુ ની રચના એ જટિલ સમસ્યાઓ છે. સંદર્ભો અને વધુ વાંચન આનંદ, પોલ. જોખમ હેઠળ તર્કસંગત પસંદગીના પાયા ઓક્સફર્ડ, ઓક્સફર્ડ યુનિવર્સિટી પ્રેસ. 1993માં 1995,2002માં ફિશબર્ન, પીટર સી. યુટિલિટી થિયરી ફોર ડિસિઝન મેકિંગનું પુનઃમુદ્રણ કરવામાં આવ્યું હતું. હંટીંગ્ટન, એનવાય. રોબર્ટ ઇ. ક્રીગર પબ્લિશિંગ કંપની. 1970. સિક્સ્ટો રિયોસ (1998) નિર્ણય વિજ્ઞાનમાં કેટલીક સમસ્યાઓ અને વિકાસ, રેવિસ્ટા મેટેમેટિકા કોમ્પ્લ્યુટેન્સ 11 (1): 113-41. પીટરસન, માર્ટિન (2009). નિર્ણય સિદ્ધાંતનો પરિચય (કેમ્બ્રિજ ફિલોસોફીનો પરિચય). કેમ્બ્રિજઃ કેમ્બ્રિજ યુનિવર્સિટી પ્રેસ. પ્રમેય રમત સિદ્ધાંત ઉપયોગિતા જ્હોન વોન ન્યુમેન