Omega-categorical theory
ગાણિતિક તર્કશાસ્ત્રમાં, ઓમેગા-શ્રેણીબદ્ધ સિદ્ધાંત એ એક સિદ્ધાંત છે જે સમરૂપતા સુધી બરાબર એક ગણનાત્મક રીતે અનંત મોડેલ ધરાવે છે. "" "" "" "" "" "" "" "" "" "" "" "" "" "" "" "" "" "" "" "" "" "" "" "" "" "" "" "" "" "" "" "" "" "" ગણતરીપાત્ર પ્રથમ ક્રમના સિદ્ધાંતો માટે આ કલ્પના સૌથી મહત્વપૂર્ણ છે. એક સિદ્ધાંત પરની ઘણી શરતો એક-શ્રેણીના ગુણધર્મની સમકક્ષ હોય છે. 1959માં ઇર્વિન એન્ગલર, ચેઝલો રાઇલ-નાર્ડેઝેવ્સ્કી અને લાર્સ સ્વેનોનિયસે કેટલાકને સ્વતંત્ર રીતે સાબિત કર્યા. આમ છતાં, સાહિત્ય હજુ પણ આ શરતોના નામ તરીકે રાઇલ-નાર્ડેઝેવ્સ્કી પ્રમેયનો વ્યાપકપણે ઉલ્લેખ કરે છે. પ્રમેય સાથે સમાવિષ્ટ શરતો લેખકો વચ્ચે બદલાય છે. અનંત નમૂનાઓ સાથે ગણતરીપાત્ર સંપૂર્ણ પ્રથમ ક્રમના સિદ્ધાંત T ને જોતાં, નીચેની બાબતો સમકક્ષ છેઃ સિદ્ધાંત T એ ઓમેગા-શ્રેણીબદ્ધ છે. ટીના દરેક ગણતરીપાત્ર મોડેલમાં ઓલિગોમોર્ફિક ઓટોમોર્ફિઝમ જૂથ હોય છે (એટલે કે, દરેક એન માટે એમએન પર મર્યાદિત રીતે ઘણી ભ્રમણકક્ષાઓ હોય છે). ટીના કેટલાક ગણતરીપાત્ર મોડેલમાં ઓલિગોમોર્ફિક ઓટોમોર્ફિઝમ જૂથ છે. સિદ્ધાંત T પાસે એક મોડેલ છે, જે દરેક પ્રાકૃતિક સંખ્યા n માટે, માત્ર મર્યાદિત રીતે ઘણા n-પ્રકારોને અનુભવે છે, એટલે કે, સ્ટોન સ્પેસ Sn (T) મર્યાદિત છે. દરેક પ્રાકૃતિક સંખ્યા n માટે, T માં માત્ર મર્યાદિત રીતે ઘણા n-પ્રકારો હોય છે. દરેક પ્રાકૃતિક સંખ્યા n માટે, દરેક n-પ્રકાર અલગ પડે છે. દરેક કુદરતી સંખ્યા n માટે, સમકક્ષતા મોડ્યુલો T સુધી n મુક્ત ચલ સાથે માત્ર મર્યાદિત રીતે ઘણા સૂત્રો છે, બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, દરેક n માટે, T નું nમું લિન્ડેનબૌમ-ટાર્સ્કી બીજગણિત મર્યાદિત છે. ટીનું દરેક મોડેલ અણુ છે. ટીનું દરેક ગણતરીપાત્ર મોડેલ અણુ છે. સિદ્ધાંત ટીમાં ગણતરીપાત્ર અણુ અને સંતૃપ્ત મોડેલ છે. સિદ્ધાંત T સંતૃપ્ત મુખ્ય મોડેલ ધરાવે છે. ઉદાહરણો કોઈપણ ગણનાત્મક રીતે અનંત રચનાનો સિદ્ધાંત જે મર્યાદિત સંબંધાત્મક ભાષા પર એકરૂપ હોય તે ઓમેગા-શ્રેણીબદ્ધ છે. તેથી, નીચેના સિદ્ધાંતો ઓમેગા-શ્રેણીબદ્ધ છેઃ અંતિમ બિંદુઓ વગરના ગાઢ રેખીય ક્રમનો સિદ્ધાંત (કેન્ટોરનો આઇસોમોર્ફિઝમ પ્રમેય) રેડો ગ્રાફનો સિદ્ધાંત કોઈપણ મર્યાદિત ક્ષેત્ર પર અનંત રેખીય જગ્યાઓનો સિદ્ધાંત નોંધો સંદર્ભો મોડેલ સિદ્ધાંત ગાણિતિક સિદ્ધાંતો