Three subgroups lemma
ગણિતમાં, વધુ સ્પષ્ટ રીતે જૂથ સિદ્ધાંતમાં, ત્રણ પેટાજૂથો લેમ્મા એ કોમ્યુટેટર સંબંધિત પરિણામ છે. તે ફિલિપ હોલ અને અર્ન્સ્ટ વિટની નામસ્ત્રોતીય ઓળખનું પરિણામ છે. નીચેની બાબતોમાં, નીચેના સંકેતનો ઉપયોગ કરવામાં આવશેઃ જો H અને K એ G જૂથના પેટા જૂથો છે, તો H અને K ના પરિવર્તક, જે [H, K] દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે, તેને બે પેટા જૂથોના ઘટકો વચ્ચે પરિવર્તકો દ્વારા પેદા થયેલ G ના પેટા જૂથ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. જો L એ ત્રીજું પેટાજૂથ હોય, તો [H, K, L] = [[H, K], L] ને અનુસરવામાં આવશે. જો x અને y એ G જૂથના ઘટકો હોય, તો x અને y નો સંયુગ્મ આ રીતે સૂચવવામાં આવશે. જો H એ G જૂથનું પેટા જૂથ છે, તો G માં H નું કેન્દ્રિયકરણ CG (H) દ્વારા સૂચવવામાં આવશે. નિવેદન ધારો કે X, Y અને Z એ G જૂથના પેટા જૂથો છે, અને ધારો અને પછી. વધુ સામાન્ય રીતે, સામાન્ય પેટાજૂથ માટે, જો અને પછી. સાબિતી અને હોલ-વિટ ઓળખ હોલ-વિટ ઓળખ જો, તો પછી ત્રણ પેટા જૂથોનો પુરાવો લેમ્મા લેટ, અને. પછી, અને ઉપરની હોલ-વિટ ઓળખ દ્વારા, તે તેને અનુસરે છે અને તેથી. તેથી, બધા માટે અને. આ તત્વો ઉત્પન્ન થતા હોવાથી, આપણે તે અને તેથી તારણ કાઢીએ છીએ. કોમ્યુટેટર લોઅર સેન્ટ્રલ સિરીઝ ગ્રુનની લેમ્મા જેકોબી આઇડેન્ટિટી નોટ્સ રેફરન્સ લેમ્માઝ ઇન ગ્રૂપ થિયરી પણ જુઓ.