Arcsine laws (Wiener process)
સંભાવના સિદ્ધાંતમાં, આર્ક્સાઇન નિયમો એ એક-પરિમાણીય રેન્ડમ વોક અને બ્રાઉનિયન ગતિ (વીનર પ્રક્રિયા) માટેના પરિણામોનો સંગ્રહ છે. આમાંથી સૌથી વધુ જાણીતા છે. ત્રણેય કાયદાઓ વીનર પ્રક્રિયાના માર્ગ ગુણધર્મોને આર્ક્સાઇન વિતરણ સાથે સંબંધિત કરે છે. [0,1] પર રેન્ડમ વેરિયેબલ X ને આર્ક્સાઇન-ડિસ્ટ્રિબ્યુટ કરવામાં આવે છે જો સમગ્ર કાયદાના નિવેદનમાં આપણે ધારીએ કે (Wt) 0 ≤ t ≤ 1 ωR એ [0,1] પરની એક-પરિમાણીય વીનર પ્રક્રિયા છે. સ્કેલ ઇનવેરિયન્સ એ સુનિશ્ચિત કરે છે કે પરિણામોને સામાન્યીકૃત કરીને વીનર પ્રક્રિયાઓ માટે ચલાવી શકાય છે જે t ω [0, ω] માટે ચાલે છે. પ્રથમ (લેવીનો) આર્ક્સાઇન કાયદો પ્રથમ આર્ક્સાઇન કાયદો જણાવે છે કે એક-પરિમાણીય વીનર પ્રક્રિયા હકારાત્મક હોય તે સમયનું પ્રમાણ આર્ક્સાઇન વિતરણને અનુસરે છે. ચાલો [0,1] માં સમયના સમૂહનું માપ હોઈએ કે જેના પર વીનર પ્રક્રિયા હકારાત્મક છે. પછી આર્ક્સાઇન વહેંચવામાં આવે છે. બીજો આર્ક્સાઇન કાયદો બીજો આર્ક્સાઇન કાયદો વીનર પ્રક્રિયા છેલ્લી વખત સંકેત બદલે છે તેના વિતરણનું વર્ણન કરે છે. છેલ્લા શૂન્યનો સમય હોવો જોઈએ. પછી L એ આર્ક્સાઇન વિતરિત છે. ત્રીજો આર્ક્સાઇન કાયદો ત્રીજો આર્ક્સાઇન કાયદો જણાવે છે કે જે સમયે વીનર પ્રક્રિયા તેની મહત્તમ હાંસલ કરે છે તે આર્ક્સાઇન વિતરણ છે. કાયદાનું નિવેદન એ હકીકત પર આધાર રાખે છે કે વીનર પ્રક્રિયા લગભગ ચોક્કસપણે અનન્ય મેક્સિમા ધરાવે છે, અને તેથી આપણે રેન્ડમ ચલ M ને વ્યાખ્યાયિત કરી શકીએ છીએ જે તે સમય છે કે જેના પર મેક્સિમા પ્રાપ્ત થાય છે. એટલે કે. અનન્ય M એ છે કે પછી M એ આર્ક્સાઇન વિતરિત છે. બીજા અને ત્રીજા નિયમોની સમાનતા વીનર પ્રક્રિયાની ચાલી રહેલી મહત્તમ પ્રક્રિયાને વ્યાખ્યાયિત કરતી વખતે Xt = Mt − Wt નો નિયમ પ્રતિબિંબિત વીનર પ્રક્રિયા |Bt | જેવો જ નિયમ ધરાવે છે (જ્યાં Bt એ Wt થી સ્વતંત્ર વીનર પ્રક્રિયા છે). B અને |B | ના શૂન્ય એક સાથે હોવાથી, X ના છેલ્લા શૂન્યનું વિતરણ L જેટલું જ છે, જે વીનર પ્રક્રિયાના છેલ્લા શૂન્ય છે. X નું છેલ્લું શૂન્ય બરાબર ત્યારે થાય છે જ્યારે W તેની મહત્તમ હાંસલ કરે છે. તે અનુસરે છે કે બીજા અને ત્રીજા નિયમો સમકક્ષ છે. નોંધો સંદર્ભો વીનર પ્રક્રિયા આંકડાકીય મિકેનિક્સ