Osgood curve
ગાણિતિક વિશ્લેષણમાં, ઓસ્ગુડ વળાંક એ બિન-સ્વ-છેદતા વળાંક છે જે હકારાત્મક વિસ્તાર ધરાવે છે. તેના વિસ્તાર હોવા છતાં, આવા વળાંક માટે કોઈપણ દ્વિ-પરિમાણીય પ્રદેશને આવરી લેવાનું શક્ય નથી, જે તેમને જગ્યા ભરવાના વળાંકથી અલગ પાડે છે. ઓસ્ગુડ વળાંકનું નામ વિલિયમ ફોગ ઓસ્ગુડ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે. વ્યાખ્યા અને ગુણધર્મો યુક્લિડિયન સમતલમાં એક વળાંકને ઓસ્ગુડ વળાંક તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જ્યારે તે બિન-સ્વ-છેદક હોય છે (એટલે કે, તે જોર્ડન વળાંક અથવા જોર્ડન ચાપ હોય છે) અને તેનો હકારાત્મક વિસ્તાર હોય છે. વધુ ઔપચારિક રીતે, તેમાં હકારાત્મક દ્વિ-પરિમાણીય લેબસ્ગ્યુ માપ હોવું આવશ્યક છે. ઓસ્ગુડ વળાંકમાં હોઝડોર્ફ પરિમાણ બે હોય છે, જેમ કે જગ્યા ભરવાના વળાંક. જો કે, તેઓ અવકાશ-ભરવાના વળાંકો ન હોઈ શકેઃ નેટોના પ્રમેય મુજબ, સમતલના તમામ બિંદુઓને આવરી લેતા, અથવા સમતલના કોઈપણ દ્વિ-પરિમાણીય પ્રદેશ, સ્વ-આંતરછેદો તરફ દોરી જશે. ઓસ્ગુડ વળાંકના પ્રથમ ઉદાહરણો અને દ્વારા મળી આવ્યા હતા. બંને ઉદાહરણોમાં વળાંકના ભાગોમાં હકારાત્મક વિસ્તાર હોય છે, પરંતુ અન્ય ભાગોમાં શૂન્ય વિસ્તાર હોય છે; આ ખામીને સુધારવામાં આવી હતી, જેમણે વાક્લો સિયેરપિન્સ્કીના અગાઉના બાંધકામના આધારે તેના દરેક બિંદુઓના દરેક પડોશમાં હકારાત્મક વિસ્તાર ધરાવતો વળાંક શોધી કાઢ્યો હતો. નોપના ઉદાહરણનો વધારાનો ફાયદો એ છે કે તેના વિસ્તારને તેના બહિર્મુખ પતવારના વિસ્તારની મનસ્વી રીતે નજીક બનાવી શકાય છે. બાંધકામ ઓસ્ગુડ વળાંક મેળવવા માટે ચોક્કસ ફ્રેક્ટલ્સ અને જગ્યા ભરવાના વળાંકની પુનરાવર્તિત રચનામાં ફેરફાર કરવો શક્ય છે. દાખલા તરીકે, નોપની રચનામાં ત્રિકોણાકાર પટ્ટાને દૂર કરીને ત્રિકોણને નાના ત્રિકોણની જોડીમાં પુનરાવર્તિત રીતે વિભાજિત કરવાનો સમાવેશ થાય છે, જે વહેંચાયેલ શિરોબિંદુ પર મળે છે. જ્યારે આ બાંધકામનું દરેક સ્તર તેના ત્રિકોણના વિસ્તારના સમાન અપૂર્ણાંકને દૂર કરે છે, ત્યારે પરિણામ કોચ સ્નોફ્લેક જેવા સેસેરો ફ્રેક્ટલ છે. તેના બદલે, સ્તર દીઠ દૂર કરવામાં આવેલા વિસ્તારના અપૂર્ણાંકને ઘટાડવું, જે વિસ્તારના સતત અપૂર્ણાંકને દૂર ન કરવા માટે ઝડપથી પૂરતું છે, તે ઓસ્ગુડ વળાંક ઉત્પન્ન કરે છે. ઓસ્ગુડ વળાંક બનાવવાની બીજી રીત એ છે કે સ્મિથ-વોલ્ટેરા-કેન્ટોર સમૂહની દ્વિ-પરિમાણીય આવૃત્તિ બનાવવી, જે બિન-શૂન્ય વિસ્તાર સાથે સંપૂર્ણપણે વિચ્છેદિત બિંદુ સમૂહ છે, અને પછી ડેન્જોય-રીઝ પ્રમેય લાગુ કરો, જે મુજબ સમતલનો દરેક બંધાયેલ અને સંપૂર્ણપણે વિચ્છેદિત સબસેટ જોર્ડન વળાંકનો સબસેટ છે. નોંધો સંદર્ભો. . . . . . . બાહ્ય કડીઓ વિમાન વળાંક વિસ્તાર