Welch bounds
ગણિતમાં, વેલ્ચ બાઉન્ડ્સ એ વેક્ટર સ્પેસમાં એકમ વેક્ટરના સમૂહને સમાનરૂપે ફેલાવવાની સમસ્યા સાથે સંબંધિત અસમાનતાનું એક કુટુંબ છે. ટેલિકોમ્યુનિકેશન એન્જિનિયરિંગમાં ચોક્કસ પદ્ધતિઓની રચના અને વિશ્લેષણમાં સીમાઓ મહત્વપૂર્ણ સાધનો છે, ખાસ કરીને કોડિંગ થિયરીમાં. સીમાઓ મૂળરૂપે એલ. આર. વેલ્ચ દ્વારા 1974ના પેપરમાં પ્રકાશિત કરવામાં આવી હતી. ગાણિતિક નિવેદન જો એકમ વેક્ટર હોય, તો વ્યાખ્યાયિત કરો, જ્યાં સામાન્ય આંતરિક ઉત્પાદન હોય છે. પછી નીચેની અસમાનતાઓ આ પ્રમાણે છેઃ વેલ્ચ સીમાઓ પણ કેટલીકવાર વેક્ટરના સમૂહ વચ્ચેના સરેરાશ વર્ગ ઓવરલેપના સંદર્ભમાં દર્શાવવામાં આવે છે. આ કિસ્સામાં, એક અસમાનતા લાગુ પડે છે જો, તો પછી વેક્ટર એક ઓર્થોનોર્મલ સેટ બનાવી શકે છે. આ કિસ્સામાં, અને સીમાઓ ખાલી છે. પરિણામે, સીમાનું અર્થઘટન માત્ર ત્યારે જ અર્થપૂર્ણ છે જો. આ આ લેખના બાકીના ભાગમાં ધારવામાં આવશે. k = 1 માટેનો પુરાવો "પ્રથમ વેલ્ચ બાઉન્ડ", જેને અનુરૂપ છે, તે એપ્લિકેશનોમાં અત્યાર સુધીમાં સૌથી વધુ ઉપયોગમાં લેવાય છે. તેનો પુરાવો બે તબક્કામાં આગળ વધે છે, જેમાંથી દરેક વધુ મૂળભૂત ગાણિતિક અસમાનતા પર આધારિત છે. પ્રથમ પગલું કોચી-શ્વાર્ઝ અસમાનતાને આમંત્રણ આપે છે અને વેક્ટરના ગ્રામ મેટ્રિક્સને ધ્યાનમાં લઈને શરૂ થાય છે; એટલે કે, તેનું ટ્રેસ તેના આઈગનવેલ્યુના સરવાળા બરાબર છે. કારણ કે નો ક્રમ સૌથી વધુ છે, અને તે એક સકારાત્મક અર્ધ-અનંત મેટ્રિક્સ છે, તેના બાકીના આઈગન મૂલ્યો સાથે મોટાભાગના સકારાત્મક આઈગન મૂલ્યો છે જે બધા શૂન્યની બરાબર છે. જેમ કે બિન-શૂન્ય આઈગન મૂલ્યોને લખીને અને વેક્ટર સાથેના એક-વેક્ટરના આંતરિક ઉત્પાદનમાં કોચી-શ્વાર્ઝ અસમાનતાને લાગુ કરીને, જેના ઘટકો આ આઈગન મૂલ્યો છે, તે સંતોષ આપે છે. તેથી, અથવા સાબિતીનો બીજો ભાગ એક અસમાનતાનો ઉપયોગ કરે છે જે સરળ નિરીક્ષણને આવરી લે છે કે બિન-નકારાત્મક સંખ્યાઓના સમૂહની સરેરાશ સમૂહની સૌથી મોટી સંખ્યા કરતા વધારે ન હોઈ શકે. ગાણિતિક સંકેતલિપીમાં, જો માટે, તો અગાઉની અભિવ્યક્તિમાં સરવાળામાં બિન-નકારાત્મક શબ્દો છે, જેમાંથી સૌથી મોટો છે. તેથી, અથવા જે ચોક્કસપણે વેલ્ચ દ્વારા આપવામાં આવેલી અસમાનતા છે. વેલ્ચ બાઉન્ડ્સ હાંસલ કરવી અમુક ટેલિકોમ્યુનિકેશન એપ્લિકેશન્સમાં, વેલ્ચ બાઉન્ડ્સને સમાનતા સાથે પૂર્ણ કરતા વેક્ટરના સમૂહનું નિર્માણ કરવું ઇચ્છનીય છે. બાઉન્ડ માટે વેક્ટરના કહેવાતા વેલ્ચ બાઉન્ડ ઇક્વાલિટી (WBE) સેટ મેળવવા માટે ઘણી તકનીકો રજૂ કરવામાં આવી છે. ઉપર આપેલો પુરાવો દર્શાવે છે કે વેલ્ચ બાઉન્ડમાં બે અલગ-અલગ ગાણિતિક અસમાનતાઓનો સમાવેશ થાય છે. કોચી-શ્વાર્ઝ અસમાનતાને સમાનતા સાથે મળી આવે છે જ્યારે તેમાં સામેલ બે વાહક સમરેખીય હોય છે. જે રીતે તેનો ઉપરોક્ત સાબિતીમાં ઉપયોગ થાય છે, તે ત્યારે થાય છે જ્યારે ગ્રામ મેટ્રિક્સના તમામ બિન-શૂન્ય આઈગન મૂલ્યો સમાન હોય, જે ચોક્કસપણે ત્યારે થાય છે જ્યારે વેક્ટર માટે ચુસ્ત ફ્રેમ બનાવે છે. સાબિતીમાં અન્ય અસમાનતા સમાનતાથી સંતુષ્ટ થાય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો દરેક પસંદગી માટે સમાન હોય. આ કિસ્સામાં, વેક્ટર સમકોણીય હોય છે. તેથી આ વેલ્ચ બાઉન્ડ સમાનતા સાથે મળે છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો વેક્ટરનો સમૂહ સમકોણીય ચુસ્ત ફ્રેમ હોય. તેવી જ રીતે, સરેરાશ સ્ક્વેર્ડ ઓવરલેપની દ્રષ્ટિએ જણાવેલી વેલ્ચ સીમાઓ, બધા માટે સંતૃપ્ત થાય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો જટિલ પ્રોજેક્ટિવ જગ્યામાં વેક્ટરનો સમૂહ-ડિઝાઇન હોય. ગોળાકાર ડિઝાઇન ક્વોન્ટમ ટી-ડિઝાઇન સમભુજ રેખાઓ સંદર્ભો અસમાનતાઓ પણ જુઓ.