Discrete Chebyshev polynomials
ગણિતમાં, સ્વતંત્ર ચેબીશેવ બહુપદીઓ, અથવા ગ્રામ બહુપદીઓ, એક પ્રકારની સ્વતંત્ર ઓર્થોગોનલ બહુપદીઓ છે જેનો ઉપયોગ અંદાજિત સિદ્ધાંતમાં થાય છે, જે પાફન્યુટી ચેબીશેવ દ્વારા રજૂ કરવામાં આવી હતી અને ગ્રામ દ્વારા ફરીથી શોધવામાં આવી હતી. પાછળથી તેઓ સ્પિન એંગ્યુલર મોમેન્ટમના વિવિધ બીજગણિત ગુણધર્મોને લાગુ પડતા હોવાનું જાણવા મળ્યું હતું. પ્રાથમિક વ્યાખ્યા સ્વતંત્ર ચેબીશેવ બહુપદી એ x માં n ડિગ્રીની બહુપદી છે, કારણ કે, એવી રીતે બાંધવામાં આવી છે કે અસમાન ડિગ્રીની બે બહુપદીઓ ડીરાક ડેલ્ટા કાર્ય સાથે વજન કાર્યના સંદર્ભમાં ઓર્થોગોનલ હોય. એટલે કે, ડાબી બાજુનું ઇન્ટિગ્રલ વાસ્તવમાં ડેલ્ટા ફંક્શનને કારણે એક સરવાળો છે, અને આપણી પાસે છે, આમ, બહુપદી હોવા છતાં, માત્ર બિંદુઓના અલગ સમૂહ પર તેના મૂલ્યો જ કોઈ મહત્વ ધરાવે છે. તેમ છતાં, કારણ કે આ બહુપદીઓને બિન-નકારાત્મક વજન કાર્યના સંદર્ભમાં ઓર્થોગોનાલિટીની દ્રષ્ટિએ વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે, ઓર્થોગોનલ બહુપદીઓનો સંપૂર્ણ સિદ્ધાંત લાગુ પડે છે. ખાસ કરીને, બહુપદીઓ એ અર્થમાં પૂર્ણ છે કે ચેબીશેવે સામાન્યીકરણ પસંદ કર્યું છે જેથી આ બહુપદીઓને સાઇન કન્વેન્શન સાથે સંપૂર્ણપણે ઠીક કરે. જો સ્વતંત્ર ચલને રેખીય રીતે માપવામાં આવે અને સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે જેથી અંતિમ બિંદુઓ મૂલ્યો ધારણ કરે અને પછી, એક અચળાંક તરીકે, લીજેન્ડર બહુપદી ક્યાં છે. ઉન્નત વ્યાખ્યા ચાલો બંધ અંતરાલ [−1,1] પર વ્યાખ્યાયિત એક સરળ કાર્ય હોઈએ, જેના મૂલ્યો માત્ર બિંદુઓ પર સ્પષ્ટ રીતે જાણીતા હોય છે, જ્યાં k અને m પૂર્ણાંકો છે અને. કાર્ય એ છે કે f ને n <m ડિગ્રીની બહુપદી તરીકે અંદાજિત કરવું. એક સકારાત્મક અર્ધ-નિશ્ચિત દ્વિસંગી સ્વરૂપને ધ્યાનમાં લો જ્યાં અને તે [−1,1] પર સતત હોય અને તેને એક અલગ અર્ધ-સામાન્ય ગણવા દો. જ્યારે પણ સમાન ન હોય ત્યારે એકબીજાને ઓર્થોગોનલ બહુપદીઓનો પરિવાર હોવો જોઈએ. ધારો કે તમામ બહુપદીઓ હકારાત્મક અગ્રણી ગુણાંક ધરાવે છે અને તેઓ એવી રીતે સામાન્યીકૃત થાય છે કે તેમને સ્વતંત્ર ચેબીશેવ (અથવા ગ્રામ) બહુપદીઓ કહેવામાં આવે છે. સ્પિન બીજગણિત સાથે જોડાણ અલગ ચેબીશેવ બહુપદીઓ સ્પિનના વિવિધ બીજગણિત ગુણધર્મો સાથે આશ્ચર્યજનક જોડાણો ધરાવે છેઃ સ્પિન સંક્રમણ સંભાવનાઓ, આઈન્સ્ટાઈન-પોડોલ્સ્કી-રોઝન પ્રયોગના બોમના સ્પિન-એસ સંસ્કરણમાં સ્પિનના અવલોકનો માટેની સંભાવનાઓ અને વિવિધ સ્પિન સ્થિતિઓ માટે વિગ્નર કાર્યો. ખાસ કરીને, બહુપદીઓ પરિભ્રમણ મેટ્રિક્સ (વિગ્નર ડી-મેટ્રિક્સ) ના નિરપેક્ષ વર્ગના આઈગનવેક્ટર્સ હોવાનું બહાર આવ્યું છે. સંકળાયેલ આઈગન વેલ્યુ એ લિજેન્ડર બહુપદી છે, જ્યાં પરિભ્રમણ કોણ છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, જો સામાન્ય કોણીય વેગ અથવા સ્પિન આઈગનસ્ટેટ ક્યાં છે, અને પછી આઈગનવેક્ટર્સ ચેબીશેવ બહુપદીઓના સ્કેલ અને શિફ્ટેડ વર્ઝન છે. તેમને સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે જેથી સંબંધિત, અને અનુરૂપને બદલે બિંદુઓ પર આધાર હોય. વધુમાં, તેને માપવામાં આવી શકે છે જેથી અન્ય સામાન્યકરણની શરતોનું પાલન કરી શકાય. ઉદાહરણ તરીકે, કોઈ એવી માંગ કરી શકે છે કે તેઓ તેની સાથે સંતુષ્ટ થાય. સંદર્ભો ઓર્થોગોનલ બહુપદી અંદાજ સિદ્ધાંત