Limit (mathematics)
ગણિતમાં, મર્યાદા એ મૂલ્ય છે કે જે કાર્ય (અથવા ક્રમ) ઇનપુટ (અથવા અનુક્રમણિકા) અમુક મૂલ્ય સુધી પહોંચે છે. ગણતરી અને ગાણિતિક વિશ્લેષણ માટે મર્યાદાઓ આવશ્યક છે, અને તેનો ઉપયોગ સાતત્ય, વ્યુત્પન્ન અને સંકલનને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે થાય છે. ક્રમની મર્યાદાની વિભાવનાને ટોપોલોજિકલ નેટની મર્યાદાની વિભાવના સાથે વધુ સામાન્યીકૃત કરવામાં આવે છે, અને તે શ્રેણી સિદ્ધાંતમાં મર્યાદા અને સીધી મર્યાદા સાથે નજીકથી સંબંધિત છે. સૂત્રોમાં, કાર્યની મર્યાદાને સામાન્ય રીતે આ રીતે લખવામાં આવે છે (જોકે કેટલાક લેખકો "લિમ" ને બદલે "એલ. ટી". નો ઉપયોગ કરે છે) અને તેને "જેમ અભિગમ સમાન હોય તેમ મર્યાદા" તરીકે વાંચવામાં આવે છે. હકીકત એ છે કે કાર્ય જેમ જેમ નજીક આવે છે તેમ તેમ મર્યાદાની નજીક પહોંચે છે તેને કેટલીકવાર જમણા તીર (→ અથવા) દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે, જેમાં "ઓફ ટેન્ડ્સ ટુ ટેન્ડ્સ ટુ" લખવામાં આવે છે. ઇતિહાસ ગ્રેગોઇર ડી સેન્ટ-વિન્સેન્ટે તેમના કાર્ય ઓપસ જીઓમેટ્રિકમ (1647) માં ભૌમિતિક શ્રેણીની મર્યાદા (ટર્મિનસ) ની પ્રથમ વ્યાખ્યા આપી હતીઃ "પ્રગતિનું ટર્મિનસ એ શ્રેણીનો અંત છે, જે કોઈ પણ પ્રગતિ સુધી પહોંચી શકતી નથી, ભલે તે અનંતમાં ચાલુ રહે, પણ જે તે આપેલ સેગમેન્ટ કરતાં વધુ નજીક પહોંચી શકે છે". મર્યાદાની આધુનિક વ્યાખ્યા બર્નાર્ડ બોલ્ઝાનો પાસે જાય છે, જેમણે 1817માં સતત કાર્યોને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે એપ્સિલોન-ડેલ્ટા તકનીકની મૂળભૂત બાબતો વિકસાવી હતી. જો કે, તેમનું કાર્ય તેમના મૃત્યુના ત્રીસ વર્ષ સુધી અન્ય ગણિતશાસ્ત્રીઓ માટે અજાણ રહ્યું હતું. ઓગસ્ટિન-લુઇસ કોચીએ 1821માં, કાર્લ વેઇઅરસ્ટ્રાસ દ્વારા અનુસરતા, કાર્યની મર્યાદાની વ્યાખ્યાને ઔપચારિક બનાવી, જે મર્યાદાની (ε, δ)-વ્યાખ્યા તરીકે જાણીતી બની. તીરને મર્યાદા ચિહ્નની નીચે મૂકવાનો આધુનિક સંકેત જી. એચ. હાર્ડીને કારણે છે, જેમણે તેને 1908 માં તેમના પુસ્તક એ કોર્સ ઓફ પ્યોર મેથેમેટિક્સમાં રજૂ કર્યો હતો. શ્રેણીઓમાં મર્યાદાના પ્રકાર વાસ્તવિક સંખ્યાઓ અભિવ્યક્તિ 0.999. નું અર્થઘટન શ્રેણી 0.9,0.99,0.999, વગેરેની મર્યાદા તરીકે થવું જોઈએ. આ ક્રમને સખત રીતે મર્યાદા 1 હોવાનું દર્શાવી શકાય છે, અને તેથી આ અભિવ્યક્તિનું મૂલ્ય 1 હોવાનું અર્થપૂર્ણ અર્થઘટન કરવામાં આવે છે. ઔપચારિક રીતે, ધારો કે તે વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ક્રમ છે. જ્યારે ક્રમની મર્યાદા અસ્તિત્વમાં હોય, ત્યારે વાસ્તવિક સંખ્યા એ આ ક્રમની મર્યાદા હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો દરેક વાસ્તવિક સંખ્યા માટે, એવી પ્રાકૃતિક સંખ્યા અસ્તિત્વમાં હોય કે જે આપણા બધા માટે હોય. સામાન્ય સંકેતને આ રીતે વાંચવામાં આવે છેઃ "n ની અનંત સુધી પહોંચવાની મર્યાદા L ની બરાબર છે" અથવા "n ની અનંત સુધી પહોંચવાની મર્યાદા L ની બરાબર છે". ઔપચારિક વ્યાખ્યાનો સહજ અર્થ એ છે કે આખરે, ક્રમના તમામ ઘટકો મનસ્વી રીતે મર્યાદાની નજીક આવી જાય છે, કારણ કે નિરપેક્ષ મૂલ્ય એ અને વચ્ચેનું અંતર છે. દરેક ક્રમની મર્યાદા હોતી નથી. મર્યાદા સાથેના ક્રમને અભિસારી કહેવામાં આવે છે; અન્યથા તેને વિચલન કહેવામાં આવે છે. કોઈ એવું બતાવી શકે છે કે અભિસારી ક્રમની માત્ર એક જ મર્યાદા હોય છે. ક્રમની મર્યાદા અને કાર્યની મર્યાદા નજીકથી સંબંધિત છે. એક તરફ, ક્રમની અનંતતા સુધી પહોંચતી મર્યાદા એ માત્ર કાર્યની અનંતતા પરની મર્યાદા છે-જે પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ પર વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. બીજી બાજુ, જો X એ વિધેયનું ક્ષેત્ર છે અને જો અનંતની નજીક પહોંચતી મર્યાદા X − x0 માં બિંદુઓના દરેક મનસ્વી ક્રમ માટે હોય, જે તેમાં એકરૂપ થાય છે, તો અભિગમ તરીકે વિધેયની મર્યાદા સમાન છે. આવો જ એક ક્રમ હશે. એક મર્યાદા તરીકે અનંત મર્યાદિત મૂલ્યને બદલે "અનંત તરફ વલણ" ધરાવતી મર્યાદા હોવાની કલ્પના પણ છે. જો દરેક વાસ્તવિક સંખ્યા માટે, જેને બાઉન્ડ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે, ત્યાં એક પૂર્ણાંક અસ્તિત્વમાં હોય કે દરેક માટે, એટલે કે, દરેક સંભવિત બાઉન્ડ માટે, ક્રમ આખરે બાઉન્ડ કરતાં વધી જાય, તો ક્રમને "અનંત તરફ વલણ" કહેવામાં આવે છે. આ ઘણીવાર લખવામાં આવે છે અથવા સરળ રીતે કરવામાં આવે છે. ક્રમ અલગ હોઈ શકે છે, પરંતુ અનંત તરફ વલણ ધરાવતો નથી. આવા ક્રમને ઓસિલેટરી કહેવામાં આવે છે. ઓસિલેટરી અનુક્રમનું ઉદાહરણ છે. નકારાત્મક અનંત તરફ વળવાની અનુરૂપ કલ્પના છે, જે ઉપરોક્ત વ્યાખ્યામાં અસમાનતાને બદલીને A ક્રમ સાથે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જેને અનબાઉન્ડ કહેવામાં આવે છે, જે જટિલ સંખ્યાઓમાં અથવા કોઈપણ મેટ્રિક જગ્યામાં ક્રમ માટે સમાન રીતે માન્ય વ્યાખ્યા છે. જે સિક્વન્સ અનંત તરફ વલણ ધરાવતા નથી તેમને બાઉન્ડેડ કહેવામાં આવે છે. જે સિક્વન્સ હકારાત્મક અનંત તરફ વલણ ધરાવતા નથી તેમને ઉપર બાઉન્ડેડ કહેવામાં આવે છે, જ્યારે જે નકારાત્મક અનંત તરફ વલણ ધરાવતા નથી તેઓ નીચે બાઉન્ડેડ છે. મેટ્રિક જગ્યા ઉપરના ક્રમની ચર્ચા વાસ્તવિક સંખ્યાઓના ક્રમ માટે છે. મર્યાદાની કલ્પનાને મેટ્રિક જગ્યાઓ જેવી વધુ અમૂર્ત જગ્યાઓમાં મૂલ્યવાન સિક્વન્સ માટે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. જો અંતર કાર્ય સાથે મેટ્રિક જગ્યા હોય, અને તે એક ક્રમ હોય, તો ક્રમની મર્યાદા (જ્યારે તે અસ્તિત્વમાં હોય) એ એક તત્વ છે, જે આપવામાં આવે છે, ત્યાં એવું અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે દરેક માટે, આપણી પાસે સમકક્ષ નિવેદન છે કે જો વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ક્રમ હોય. ઉદાહરણોઃ Rn એક મહત્વપૂર્ણ ઉદાહરણ એ-પરિમાણીય વાસ્તવિક વેક્ટરની જગ્યા છે, જેમાં દરેક વાસ્તવિક હોય તેવા ઘટકો સાથે, યોગ્ય અંતર કાર્યનું ઉદાહરણ યુક્લિડિયન અંતર છે, જે દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે. ટોપોલોજિકલ જગ્યા અમુક અર્થમાં સૌથી અમૂર્ત જગ્યા જેમાં મર્યાદાઓને વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે તે ટોપોલોજિકલ જગ્યાઓ છે. જો ટોપોલોજી સાથે ટોપોલોજિકલ જગ્યા છે, અને તે એક ક્રમ છે, તો ક્રમની મર્યાદા (જ્યારે તે અસ્તિત્વમાં હોય) એ એક બિંદુ છે, જેનો (ખુલ્લો) પડોશ આપવામાં આવે છે, ત્યાં એવું અસ્તિત્વ છે કે દરેક માટે, સંતુષ્ટ થાય છે. આ કિસ્સામાં, મર્યાદા (જો તે અસ્તિત્વમાં હોય તો) અનન્ય ન પણ હોઈ શકે. જો કે જો હૌસડોર્ફ જગ્યા હોય તો તે અનન્ય હોવી જોઈએ. ફંક્શન સ્પેસ આ વિભાગ કાર્યોના ક્રમની મર્યાદાના વિચાર સાથે વ્યવહાર કરે છે, કાર્યોની મર્યાદાના વિચાર સાથે ગેરસમજ ન થવી જોઈએ, જેની નીચે ચર્ચા કરવામાં આવી છે. કાર્યાત્મક વિશ્લેષણનું ક્ષેત્ર આંશિક રીતે કાર્ય જગ્યાઓ પર અભિસરણની ઉપયોગી કલ્પનાઓને ઓળખવા માંગે છે. ઉદાહરણ તરીકે, સામાન્ય સમૂહથી કાર્યોની જગ્યાને ધ્યાનમાં લો. વિધેયોના ક્રમને જોતાં, જેમ કે દરેક એક વિધેય છે, ધારો કે ત્યાં એક એવું વિધેય અસ્તિત્વમાં છે કે જે દરેક માટે હોય, તો પછી અનુક્રમ બિંદુની દિશામાં એકરૂપ થાય છે. જો કે, આવા ક્રમ અનપેક્ષિત વર્તન પ્રદર્શિત કરી શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, સતત વિધેયોની શ્રેણીનું નિર્માણ કરવું શક્ય છે જે અસંગત બિંદુની મર્યાદા ધરાવે છે. કન્વર્જન્સની બીજી કલ્પના યુનિફોર્મ કન્વર્જન્સ છે. બે કાર્યો વચ્ચેનું સમાન અંતર એ બે કાર્યો વચ્ચેનો મહત્તમ તફાવત છે કારણ કે દલીલ વૈવિધ્યસભર છે. એટલે કે, પછી ક્રમને આ અંતરના સંદર્ભમાં એકસમાન રીતે અભિસારી અથવા એક સમાન મર્યાદા હોય તેવું કહેવામાં આવે છે. એકસમાન મર્યાદામાં બિંદુની મર્યાદા કરતાં "સારા" ગુણધર્મો છે. ઉદાહરણ તરીકે, સતત કાર્યોના ક્રમની સમાન મર્યાદા સતત હોય છે. કન્વર્જન્સની ઘણી જુદી જુદી કલ્પનાઓને ફંક્શન સ્પેસ પર વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. આ કેટલીકવાર જગ્યાની નિયમિતતા પર આધારિત હોય છે. કન્વર્જન્સની કેટલીક કલ્પના સાથે ફંક્શન સ્પેસના અગ્રણી ઉદાહરણો એલપી સ્પેસ અને સોબોલેવ સ્પેસ છે. કાર્યોમાં ધારો કે તે વાસ્તવિક મૂલ્ય ધરાવતું કાર્ય છે અને તે વાસ્તવિક સંખ્યા છે. સહજ ભાવે કહીએ તો, અભિવ્યક્તિનો અર્થ એ છે કે તેની પૂરતી નજીક રહીને તેને ઇચ્છિત તેટલી નજીક બનાવી શકાય છે. તે કિસ્સામાં, ઉપરોક્ત સમીકરણને "ની મર્યાદા, જેમ નજીક આવે છે, તે છે" તરીકે વાંચી શકાય છે. ઔપચારિક રીતે, "અભિગમની મર્યાદા" ની વ્યાખ્યા નીચે મુજબ આપવામાં આવી છે. મર્યાદા એ એક વાસ્તવિક સંખ્યા છે જેથી, મનસ્વી વાસ્તવિક સંખ્યા ("ભૂલ" તરીકે માનવામાં આવે છે) આપવામાં આવે, ત્યાં એક એવી સંખ્યા છે કે જે, કોઈપણ સંતોષકારક માટે, તે ધરાવે છે. આને (ε, δ)-મર્યાદાની વ્યાખ્યા તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. અસમાનતાનો ઉપયોગ વિચારણા હેઠળના મુદ્દાઓના સમૂહમાંથી બાકાત રાખવા માટે થાય છે, પરંતુ કેટલાક લેખકો તેમની મર્યાદાની વ્યાખ્યામાં આનો સમાવેશ કરતા નથી, તેને સરળ રીતે બદલે છે. આ રિપ્લેસમેન્ટ એ વધુમાં સતત રહેવાની જરૂર પડવાની સમકક્ષ છે. તે સાબિત કરી શકાય છે કે એક સમકક્ષ વ્યાખ્યા છે જે ક્રમની મર્યાદાઓ અને કાર્યોની મર્યાદાઓ વચ્ચેનું જોડાણ પ્રગટ કરે છે. સમકક્ષ વ્યાખ્યા નીચે મુજબ આપવામાં આવી છે. પહેલા અવલોકન કરો કે ડોમેનના દરેક ક્રમ માટે, એક સંકળાયેલ ક્રમ છે, જે નીચેની શ્રેણીની છબી છે. મર્યાદા એક વાસ્તવિક સંખ્યા છે જેથી, તમામ ક્રમ માટે, સંકળાયેલ ક્રમ. એક તરફી મર્યાદા "ડાબા હાથની" મર્યાદા ("નીચેથી") હોવાની કલ્પના અને "જમણા હાથની" મર્યાદા ("ઉપરથી") ની કલ્પનાને વ્યાખ્યાયિત કરવી શક્ય છે. આ માટે સંમત થવાની જરૂર નથી. એક ઉદાહરણ હકારાત્મક સૂચક કાર્ય દ્વારા આપવામાં આવે છે, જે એવી રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે કે જો, અને જો. પર, કાર્યમાં 0 ની "ડાબા હાથની મર્યાદા", 1 ની "જમણા હાથની મર્યાદા" છે, અને તેની મર્યાદા અસ્તિત્વમાં નથી. પ્રતીકાત્મક રીતે, આને આ ઉદાહરણ તરીકે કહી શકાય, અને, અને આમાંથી અનુમાન કરી શકાય છે કે તે અસ્તિત્વમાં નથી, કારણ કે. કાર્યોની મર્યાદામાં અનંતના ક્ષેત્રમાં "અનંત તરફ વલણ" ની કલ્પનાને વ્યાખ્યાયિત કરવી શક્ય છે, આ અભિવ્યક્તિમાં, અનંતને હસ્તાક્ષરિત માનવામાં આવે છેઃ ક્યાં તો અથવા. "f ની મર્યાદા x હકારાત્મક અનંત તરફ વલણ ધરાવે છે" ને નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. તે એક વાસ્તવિક સંખ્યા છે કે, કોઈપણ વાસ્તવિકને જોતાં, ત્યાં એક અસ્તિત્વ ધરાવે છે જેથી જો,. સમાનરૂપે, કોઈપણ ક્રમ માટે, આપણી પાસે છે. "અનંત તરફ વલણ" ની કલ્પનાને તેના મૂલ્યમાં વ્યાખ્યાયિત કરવી પણ શક્ય છે, વ્યાખ્યા નીચે મુજબ આપવામાં આવી છે. કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યાને જોતાં, ત્યાં એક છે જેથી, વિધેયના નિરપેક્ષ મૂલ્ય માટે. સમાનરૂપે, કોઈપણ ક્રમ માટે, ક્રમ. બિન-પ્રમાણભૂત વિશ્લેષણ બિન-પ્રમાણભૂત વિશ્લેષણમાં (જેમાં સંખ્યા પ્રણાલીના અતિ વાસ્તવિક વિસ્તરણનો સમાવેશ થાય છે), ક્રમની મર્યાદાને અનંત અતિપ્રાકૃતિક સૂચકાંક n = H પર ક્રમના કુદરતી વિસ્તરણના મૂલ્યના પ્રમાણભૂત ભાગ તરીકે વ્યક્ત કરી શકાય છે. આમ, અહીં, પ્રમાણભૂત ભાગ કાર્ય "st" દરેક મર્યાદિત અતિ વાસ્તવિક સંખ્યાને નજીકની વાસ્તવિક સંખ્યાને પૂર્ણ કરે છે (તેમની વચ્ચેનો તફાવત અનંત છે). આ કુદરતી અંતઃપ્રેરણાને ઔપચારિક બનાવે છે કે અનુક્રમણિકાના "ખૂબ મોટા" મૂલ્યો માટે, અનુક્રમમાંના શબ્દો અનુક્રમના મર્યાદા મૂલ્યની "ખૂબ નજીક" છે. તેનાથી વિપરીત, કાઉચી ક્રમ દ્વારા અલ્ટ્રા પાવર બાંધકામમાં રજૂ કરાયેલ હાયપરરિયલનો પ્રમાણભૂત ભાગ, ફક્ત તે ક્રમની મર્યાદા છેઃ આ અર્થમાં, મર્યાદા લેવી અને પ્રમાણભૂત ભાગ લેવો એ સમકક્ષ પ્રક્રિયાઓ છે. મર્યાદા સમૂહ ક્રમનો મર્યાદા સમૂહ ચાલો ટોપોલોજિકલ જગ્યામાં એક ક્રમ હોઈએ. નક્કરતા માટે, તરીકે વિચારી શકાય છે, પરંતુ વ્યાખ્યાઓ વધુ સામાન્ય રીતે ધરાવે છે. મર્યાદા સમૂહ એ બિંદુઓનો સમૂહ છે જેમ કે જો તેની સાથે અભિસારી અનુગામી હોય, તો તે મર્યાદા સમૂહ સાથે સંબંધિત છે. આ સંદર્ભમાં, આવા બિંદુને કેટલીકવાર મર્યાદા બિંદુ કહેવામાં આવે છે. આ કલ્પનાનો ઉપયોગ ઓસિલેટરી સિક્વન્સના "લાંબા ગાળાના વર્તન" ની લાક્ષણિકતા છે. ઉદાહરણ તરીકે, ક્રમને ધ્યાનમાં લો. n = 1 થી શરૂ કરીને, આ ક્રમની પ્રથમ કેટલીક શરતો છે. તે ચકાસી શકાય છે કે તે ઓસિલેટરી છે, તેથી તેની કોઈ મર્યાદા નથી, પરંતુ તેમાં મર્યાદા બિંદુઓ છે. માર્ગની મર્યાદા સમૂહ આ કલ્પનાનો ઉપયોગ ગતિશીલ પ્રણાલીઓમાં, માર્ગની મર્યાદાઓનો અભ્યાસ કરવા માટે થાય છે. કાર્ય તરીકે માર્ગને વ્યાખ્યાયિત કરતા, બિંદુને "સમય" પર માર્ગની "સ્થિતિ" તરીકે માનવામાં આવે છે. માર્ગની મર્યાદા સમૂહને નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. વધતા સમયના કોઈપણ ક્રમમાં, સ્થિતિઓનો એક સંકળાયેલ ક્રમ હોય છે. જો વધતા સમયના કોઈપણ ક્રમ માટે ક્રમની મર્યાદા સમૂહ હોય, તો તે માર્ગની મર્યાદા સમૂહ છે. તકનીકી રીતે, આ-મર્યાદા સમૂહ છે. ઘટતા સમયના ક્રમ માટે નિર્ધારિત અનુરૂપ મર્યાદાને-મર્યાદા સમૂહ કહેવામાં આવે છે. એક દૃષ્ટાંતરૂપ ઉદાહરણ વર્તુળની ગતિ છેઃ આની કોઈ વિશિષ્ટ મર્યાદા નથી, પરંતુ દરેક માટે, બિંદુ એ સમયના ક્રમ દ્વારા આપવામાં આવેલ મર્યાદા બિંદુ છે. પરંતુ મર્યાદા બિંદુઓ માર્ગ પર પ્રાપ્ત કરવાની જરૂર નથી. પ્રક્ષેપવક્રમાં તેની મર્યાદા સેટ તરીકે એકમ વર્તુળ પણ છે. ઉપયોગ મર્યાદાઓનો ઉપયોગ વિશ્લેષણમાં સંખ્યાબંધ મહત્વપૂર્ણ વિભાવનાઓને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે થાય છે. શ્રેણી રસની ચોક્કસ અભિવ્યક્તિ કે જેને ક્રમની મર્યાદા તરીકે ઔપચારિક કરવામાં આવે છે તે અનંત શ્રેણીનો સરવાળો છે. આ વાસ્તવિક સંખ્યાઓના "અનંત સરવાળા" છે, જેને સામાન્ય રીતે આ રીતે લખવામાં આવે છે. આને મર્યાદાઓ દ્વારા નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છેઃ વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ક્રમ આપવામાં આવે તો, આંશિક રકમનો ક્રમ આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. નહિંતર, શ્રેણી અલગ હોવાનું કહેવાય છે. એક ઉત્તમ ઉદાહરણ બેસલ સમસ્યા છે, જ્યાં. પછી જો કે, જ્યારે સિક્વન્સ માટે અનિવાર્યપણે કન્વર્જન્સની એક અનન્ય કલ્પના છે, શ્રેણી માટે કન્વર્જન્સની વિવિધ કલ્પનાઓ છે. આનું કારણ એ છે કે અભિવ્યક્તિ ક્રમના વિવિધ ક્રમ વચ્ચે ભેદભાવ કરતી નથી, જ્યારે આંશિક રકમના ક્રમના અભિસરણ ગુણધર્મો ક્રમના ક્રમ પર આધારિત હોઈ શકે છે. જે શ્રેણી તમામ ક્રમમાં એકરૂપ થાય છે તેને બિનશરતી અભિસારી કહેવામાં આવે છે. તે નિરપેક્ષ અભિસરણની સમકક્ષ સાબિત થઈ શકે છે. આને નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. જો સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે તો શ્રેણી સંપૂર્ણપણે અભિસારી હોય છે. વધુમાં, તમામ સંભવિત ઓર્ડર સમાન મૂલ્ય આપે છે. નહિંતર, શ્રેણી શરતી રીતે અભિસારી છે. શરતી રીતે અભિસારી શ્રેણી માટેનું આશ્ચર્યજનક પરિણામ રીમાન શ્રેણી પ્રમેય છેઃ ક્રમના આધારે, આંશિક સરવાળા કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યામાં અભિસારી કરી શકાય છે, તેમજ. પાવર સિરીઝ શ્રેણીના સરવાળાના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગી ઉપયોગ પાવર સિરીઝ માટે છે. આ સ્વરૂપની શ્રેણીઓનો સરવાળો છે જે ઘણીવાર એક જટિલ સંખ્યા તરીકે માનવામાં આવે છે, અને જટિલ ક્રમના અભિસરણની યોગ્ય કલ્પના જરૂરી છે. મૂલ્યોના સમૂહ કે જેના માટે શ્રેણીનો સરવાળો એકરૂપ થાય છે તે એક વર્તુળ છે, જેની ત્રિજ્યા અભિસરણની ત્રિજ્યા તરીકે ઓળખાય છે. એક બિંદુ પર કાર્યની સાતત્ય એક બિંદુ પર સાતત્યની વ્યાખ્યા મર્યાદાઓ દ્વારા આપવામાં આવે છે. મર્યાદાની ઉપરોક્ત વ્યાખ્યા સાચી છે, ભલે તે હોય. ખરેખર, કાર્યને વ્યાખ્યાયિત કરવાની પણ જરૂર નથી. જો કે, જો વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે અને તે સમાન હોય, તો કાર્યને બિંદુ પર સતત કહેવામાં આવે છે. તેવી જ રીતે, ફંક્શન જ્યારે પણ હોય ત્યારે, જો તરીકે, અથવા ક્રમની દ્રષ્ટિએ સતત હોય છે. જ્યાં વ્યાખ્યાયિત નથી તે મર્યાદાનું ઉદાહરણ નીચે આપવામાં આવ્યું છે. ધ્યાનમાં લો કે કાર્ય પછી વ્યાખ્યાયિત નથી (અનિશ્ચિત સ્વરૂપ જુઓ), તેમ છતાં મનસ્વી રીતે 1 ની નજીક જાય છે, તે અનુરૂપ 2 ની નજીક પહોંચે છેઃ આમ, મનસ્વી રીતે 2 ની મર્યાદાની નજીક બનાવી શકાય છે-માત્ર પૂરતા પ્રમાણમાં નજીક કરીને. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, આની ગણતરી બીજગણિત રીતે પણ કરી શકાય છે, જેમ કે તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે. હવે, કારણ કે તે 1 પર સતત છે, હવે આપણે 1 માટે પ્લગ કરી શકીએ છીએ, જે સમીકરણ તરફ દોરી જાય છે. મર્યાદિત મૂલ્યો પર મર્યાદા ઉપરાંત, વિધેયોની પણ અનંત પર મર્યાદા હોઈ શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, કાર્યને ધ્યાનમાં લો જ્યાંઃ જેમ જેમ તે અત્યંત મોટું બને છે તેમ, અભિગમોનું મૂલ્ય અને તેનું મૂલ્ય ઇચ્છે તેટલી નજીક કરી શકાય છે-પૂરતા પ્રમાણમાં મોટું કરીને. તેથી આ કિસ્સામાં, જેમ જેમ અનંત સુધી પહોંચે છે તેની મર્યાદા છે, અથવા ગાણિતિક સંકેતલિપીમાં, સતત કાર્યો મર્યાદાને ધ્યાનમાં લેતી વખતે કાર્યોનો એક મહત્વપૂર્ણ વર્ગ સતત કાર્યો છે. આ ચોક્કસપણે તે કાર્યો છે જે મર્યાદાને જાળવી રાખે છે, એ અર્થમાં કે જો તે સતત કાર્ય છે, તો જ્યારે પણ ડોમેનમાં હોય, ત્યારે મર્યાદા અસ્તિત્વમાં હોય છે અને વધુમાં છે. ટોપોલોજિકલ જગ્યાઓના સૌથી સામાન્ય સેટિંગમાં, એક ટૂંકો પુરાવો નીચે આપવામાં આવ્યો છેઃ ચાલો ટોપોલોજિકલ જગ્યાઓ અને વચ્ચે સતત કાર્ય કરીએ. વ્યાખ્યા મુજબ, દરેક ઓપન સેટ માટે, પ્રિમેજ ઓપન ઇન છે. હવે ધારો કે તે મર્યાદા સાથેનો ક્રમ છે. પછી એક ક્રમ છે, અને તે અમુક બિંદુ છે. એક પડોશી પસંદ કરો. પછી એક ખુલ્લો સમૂહ (સાતત્ય દ્વારા) છે જે ખાસ કરીને સમાવે છે, અને તેથી તેનો પડોશી છે. ના કન્વર્જન્સ દ્વારા, એવું અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે, આપણી પાસે છે. પછી બંને પક્ષોને અરજી કરવાથી તે જ મળે છે, તે જ માટે, આપણી પાસે દરેક માટે છે. મૂળરૂપે એક મનસ્વી પડોશી હતો, તેથી. આ સાબિતીને સમાપ્ત કરે છે. વાસ્તવિક વિશ્લેષણમાં, સબસેટ પર વ્યાખ્યાયિત વાસ્તવિક-મૂલ્યવાન કાર્યોના વધુ નક્કર કેસ માટે, એટલે કે, સતત કાર્યને એક કાર્ય તરીકે પણ વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે જે તેના ક્ષેત્રના દરેક બિંદુ પર સતત હોય છે. મર્યાદા બિંદુઓ ટોપોલોજીમાં, મર્યાદાનો ઉપયોગ ટોપોલોજિકલ જગ્યાના સબસેટના મર્યાદા બિંદુઓને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે થાય છે, જે બદલામાં બંધ સમૂહોની ઉપયોગી લાક્ષણિકતા આપે છે. ટોપોલોજિકલ જગ્યામાં, એક ઉપગણને ધ્યાનમાં લો. એક બિંદુને મર્યાદા બિંદુ કહેવામાં આવે છે જો તેમાં કોઈ ક્રમ હોય. શા માટે ન્યાયી બનવાને બદલે અંદર હોવાનું વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે તે નીચેના ઉદાહરણ દ્વારા સચિત્ર છે. લો અને. પછી, અને તેથી તે અચળ ક્રમની મર્યાદા છે. પરંતુ તે મર્યાદા નથી. બંધ સમૂહ, જેને ખુલ્લા સમૂહના પૂરક તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, તે સમકક્ષ કોઈપણ સમૂહ છે જેમાં તેના તમામ મર્યાદા બિંદુઓ હોય છે. વ્યુત્પન્નને ઔપચારિક રીતે મર્યાદા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. વાસ્તવિક વિશ્લેષણના અવકાશમાં, વ્યુત્પન્નને પહેલા ઉપગણ પર વ્યાખ્યાયિત વાસ્તવિક કાર્યો માટે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. વ્યુત્પન્નને નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. જો મર્યાદા અસ્તિત્વમાં હોય, તો પછી વ્યુત્પન્ન એ આ મર્યાદા છે. સમાનરૂપે, તે મર્યાદા છે જો વ્યુત્પન્ન અસ્તિત્વમાં હોય, તો તે સામાન્ય રીતે દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. ગુણધર્મો વાસ્તવિક સંખ્યાઓના ક્રમ વાસ્તવિક સંખ્યાઓના ક્રમ માટે, સંખ્યાબંધ ગુણધર્મો સાબિત કરી શકાય છે. ધારો કે અને એ બે ક્રમ છે જે અનુક્રમે અને સાથે એકરૂપ થાય છે. મર્યાદાનો સરવાળો સરવાળાની મર્યાદાની બરાબર હોય છે. મર્યાદાનું ઉત્પાદન એ ઉત્પાદનની મર્યાદાની બરાબર હોય છે. મર્યાદાનો ઊલટું વિપરીત મર્યાદાની મર્યાદાની બરાબર હોય છે (જ્યાં સુધી). કૌચી સિક્વન્સ વાસ્તવિક સંખ્યાઓના કન્વર્જન્ટ સિક્વન્સનો ગુણધર્મ એ છે કે તે કૌચી સિક્વન્સ છે. કોચી ક્રમની વ્યાખ્યા એ છે કે દરેક વાસ્તવિક સંખ્યા માટે, એક એવી સંખ્યા હોય છે કે જ્યારે પણ, અનૌપચારિક રીતે, કોઈપણ મનસ્વી રીતે નાની ભૂલ માટે, વ્યાસનો અંતરાલ શોધવો શક્ય છે જેથી આખરે ક્રમ અંતરાલમાં સમાયેલો હોય. કોચી સિક્વન્સ કન્વર્જન્ટ સિક્વન્સ સાથે નજીકથી સંબંધિત છે. હકીકતમાં, વાસ્તવિક સંખ્યાઓના ક્રમ માટે તેઓ સમકક્ષ હોય છેઃ કોઈપણ કોચી ક્રમ અભિસારી હોય છે. સામાન્ય મેટ્રિક જગ્યાઓમાં, તે જાળવી રાખે છે કે કન્વર્જન્ટ સિક્વન્સ પણ કોચી છે. પરંતુ વિપરીત સાચું નથીઃ દરેક કોચી ક્રમ સામાન્ય મેટ્રિક જગ્યામાં અભિસારી નથી. એક ઉત્તમ પ્રતિકૂળ ઉદાહરણ એ સામાન્ય અંતર સાથે તર્કસંગત સંખ્યાઓ છે. દશાંશ સ્થાન પર કાપવામાં આવેલા દશાંશ અંદાજોનો ક્રમ એક કોચી ક્રમ છે, પરંતુ તેમાં એકરૂપ થતો નથી. મેટ્રિક અવકાશ જેમાં દરેક કોચી ક્રમ પણ અભિસારી હોય છે, એટલે કે, કોચી ક્રમ અભિસારી ક્રમની સમકક્ષ હોય છે, તેને સંપૂર્ણ મેટ્રિક અવકાશ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. કન્વર્જન્ટ સિક્વન્સ કરતાં કોચી સિક્વન્સ "કામ કરવા માટે સરળ" હોઈ શકે છે તેનું એક કારણ એ છે કે તે માત્ર સિક્વન્સનો ગુણધર્મ છે, જ્યારે કન્વર્જન્ટ સિક્વન્સ માટે માત્ર સિક્વન્સ જ નહીં પણ સિક્વન્સની મર્યાદા પણ જરૂરી છે. એક ક્રમ એક મર્યાદામાં એકરૂપ થાય છે કે નહીં તે ઉપરાંત, એક ક્રમ કેટલી ઝડપથી એક મર્યાદામાં એકરૂપ થાય છે તેનું વર્ણન કરવું શક્ય છે. આનું પ્રમાણ નક્કી કરવાની એક રીત છે ક્રમના અભિસરણના ક્રમનો ઉપયોગ કરવો. અભિસરણના ક્રમની ઔપચારિક વ્યાખ્યા નીચે મુજબ કહી શકાય. ધારો કે તે વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ક્રમ છે જે મર્યાદા સાથે અભિસારી છે. વધુમાં, બધા માટે. જો હકારાત્મક અચળાંકો અને અસ્તિત્વમાં હોય તો તે કન્વર્જન્સના ક્રમ સાથે કન્વર્જ થાય છે. અચળાંકને એસિમ્પ્ટોટિક ભૂલ અચળાંક તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. કન્વર્જન્સના ક્રમનો ઉપયોગ ઉદાહરણ તરીકે ભૂલ વિશ્લેષણમાં આંકડાકીય વિશ્લેષણના ક્ષેત્રમાં થાય છે. કોમ્પ્યુટેબિલિટી મર્યાદાઓની ગણતરી કરવી મુશ્કેલ હોઈ શકે છે. ત્યાં મર્યાદા અભિવ્યક્તિઓ અસ્તિત્વમાં છે જેનું કન્વર્જન્સનું મોડ્યુલસ અનિર્ણાયક છે. પુનરાવર્તન સિદ્ધાંતમાં, મર્યાદા લેમ્મા સાબિત કરે છે કે મર્યાદાનો ઉપયોગ કરીને અનિર્ણિત સમસ્યાઓને એન્કોડ કરવી શક્ય છે. ઘણા સિદ્ધાંતો અથવા પરીક્ષણો છે જે સૂચવે છે કે મર્યાદા અસ્તિત્વમાં છે કે નહીં. આને કન્વર્જન્સ ટેસ્ટ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. ઉદાહરણોમાં ગુણોત્તર પરીક્ષણ અને સ્ક્વિઝ પ્રમેયનો સમાવેશ થાય છે. જો કે તેઓ મર્યાદાની ગણતરી કેવી રીતે કરવી તે કહી શકતા નથી. એસિમ્પ્ટોટિક એનાલિસિસ પણ જુઓઃ મર્યાદિત વર્તનનું વર્ણન કરવાની એક પદ્ધતિ બિગ ઓ નોટેશનઃ જ્યારે દલીલ કોઈ ચોક્કસ મૂલ્ય અથવા અનંત તરફ વળે છે ત્યારે કાર્યની મર્યાદિત વર્તણૂકનું વર્ણન કરવા માટે વપરાય છે બનાચ જગ્યા પર વ્યાખ્યાયિત બનાચ મર્યાદા જે સામાન્ય મર્યાદાને વિસ્તરે છે. શ્રેણી સિદ્ધાંતમાં રેન્ડમ વેરિયેબલ્સ કન્વર્જન્ટ મેટ્રિક્સની કન્વર્જન્સ સીધી મર્યાદા કાર્યની વિપરીત મર્યાદા એકતરફી મર્યાદાઃ વાસ્તવિક ચલ x ના કાર્યોની બે મર્યાદાઓમાંથી કોઈ એક, જેમ x ઉપર અથવા નીચેથી એક બિંદુ સુધી પહોંચે છે મર્યાદાઓની સૂચિઃ સામાન્ય કાર્યો માટેની મર્યાદાઓની સૂચિ સ્ક્વીઝ થીયરમઃ અન્ય બે કાર્યો સાથે સરખામણી કરીને કાર્યની મર્યાદા શોધે છે કન્વર્જન્સના ઉચ્ચ અને નીચલા પ્રકારોને મર્યાદિત કરો એનોટેટેડ ઇન્ડેક્સ નોંધો સંદર્ભો બાહ્ય કડીઓ કન્વર્જન્સ (ગણિત) વાસ્તવિક વિશ્લેષણ લક્ષણવિહીન વિશ્લેષણ વિભેદક કલન સામાન્ય ટોપોલોજી