R. Tyrrell Rockafellar
રાલ્ફ ટાયરેલ રોકફેલ્લર (જન્મ 10 ફેબ્રુઆરી, 1935) એક અમેરિકન ગણિતશાસ્ત્રી છે અને ઓપ્ટિમાઇઝેશન થિયરી અને વિશ્લેષણ અને સંયોજનના સંબંધિત ક્ષેત્રોમાં અગ્રણી વિદ્વાનોમાંના એક છે. તેઓ ચાર મુખ્ય પુસ્તકોના લેખક છે, જેમાં સીમાચિહ્નરૂપ લખાણ "કન્વેક્સ એનાલિસિસ" (1970) નો સમાવેશ થાય છે, જે ગૂગલ સ્કોલર અનુસાર 27,000 થી વધુ વખત ટાંકવામાં આવ્યું છે અને આ વિષય પર પ્રમાણભૂત સંદર્ભ છે, અને "વેરિએશનલ એનાલિસિસ" (1998, રોજર જે-બી વેટ્સ સાથે) જેના માટે લેખકોને ઇન્સ્ટિટ્યૂટ ફોર ઓપરેશન્સ રિસર્ચ એન્ડ મેનેજમેન્ટ સાયન્સિસ (આઈએનએફઓઆરએમએસ) તરફથી ફ્રેડરિક ડબલ્યુ. લેન્ચેસ્ટર પુરસ્કાર મળ્યો હતો. તેઓ યુનિવર્સિટી ઓફ વોશિંગ્ટન, સિએટલ ખાતે ગણિત અને લાગુ ગણિત વિભાગોમાં પ્રોફેસર એમેરિટસ છે. પ્રારંભિક જીવન અને શિક્ષણ રાલ્ફ ટાયરેલ રોકફેલ્લરનો જન્મ મિલવૌકી, વિસ્કોન્સિનમાં થયો હતો. તેનું નામ તેના પિતા રાલ્ફ રોકફેલરના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે, જેમાં તેની માતાનું પ્રથમ નામ ટાયરેલ છે. તેની માતાને ટેરી નામ ગમતું હોવાથી, માતાપિતાએ તેને ટાયરેલના ઉપનામ તરીકે અપનાવ્યું અને ટૂંક સમયમાં જ બધાએ તેને ટેરી તરીકે ઓળખાવ્યો. રોકફેલર અમેરિકન ઉદ્યોગપતિ અને પરોપકારી જ્હોન ડી. રોકફેલરના દૂરના સંબંધી છે. તેઓ બંને તેમના પૂર્વજોને રોકનફેલ્ડર નામના બે ભાઈઓ સાથે શોધી શકે છે જેઓ 1728માં જર્મનીના રાઇનલેન્ડ-ફાલ્ટ્ઝ પ્રદેશમાંથી અમેરિકા આવ્યા હતા. ટૂંક સમયમાં જ કુટુંબના નામની જોડણી વિકસિત થઈ, જેના પરિણામે રોકફેલર, રોકફેલર અને નામની અન્ય ઘણી આવૃત્તિઓ બની. રોકફેલ્લર 1953માં હાર્વર્ડ કોલેજમાં હાજરી આપવા માટે કેમ્બ્રિજ, મેસેચ્યુસેટ્સ ગયા હતા. ગણિતમાં સ્નાતક થયા બાદ તેમણે 1957માં હાર્વર્ડમાંથી સુમ્મા કમ લોડે સાથે સ્નાતકની પદવી મેળવી હતી. તેઓ ફી બીટા કપ્પા સન્માન સમાજ માટે પણ ચૂંટાયા હતા. રોકફેલ્લર 1957-58 માં બોન યુનિવર્સિટીમાં ફુલબ્રાઇટ સ્કોલર હતા અને 1959માં માર્ક્વેટ યુનિવર્સિટીમાં માસ્ટર ઓફ સાયન્સની ડિગ્રી પૂર્ણ કરી હતી. ઔપચારિક રીતે પ્રોફેસર ગેરેટ બિરખોફના માર્ગદર્શન હેઠળ, રોકફેલરે 1963માં હાર્વર્ડ યુનિવર્સિટીમાંથી ગણિતમાં તેમની ડોક્ટર ઓફ ફિલોસોફીની ડિગ્રી "કન્વેક્સ ફંક્શન્સ એન્ડ ડ્યુઅલ એક્સ્ટ્રીમમ પ્રોબ્લેમ્સ" નિબંધ સાથે પૂર્ણ કરી હતી. જો કે, તે સમયે હાર્વર્ડમાં બહિર્મુખતા અને ઓપ્ટિમાઇઝેશનમાં બહુ ઓછો રસ હતો અને બિરખોફ ન તો સંશોધન સાથે સંકળાયેલા હતા અને ન તો વિષયથી પરિચિત હતા. આ મહાનિબંધ જ્હોન વોન ન્યુમેન દ્વારા વિકસાવવામાં આવેલા રેખીય પ્રોગ્રામિંગના દ્વૈત સિદ્ધાંતથી પ્રેરિત હતો, જેના વિશે રોકફેલરે પ્રિન્સટન યુનિવર્સિટીમાં આલ્બર્ટ ડબલ્યુ. ટકર દ્વારા સંકલિત તાજેતરના કાગળોમાંથી શીખ્યા હતા. ફ્રાન્સમાં જીન-જેક્સ મોરેઉ દ્વારા સમકાલીન કાર્ય સાથે રોકફેલ્લરના મહાનિબંધને બહિર્મુખ વિશ્લેષણનો જન્મ માનવામાં આવે છે. હાર્વર્ડમાંથી સ્નાતક થયા પછી, રોકફેલ્લર યુનિવર્સિટી ઓફ ટેક્સાસ, ઓસ્ટિન ખાતે ગણિતના સહાયક પ્રોફેસર બન્યા, જ્યાં તેઓ કમ્પ્યુટર વિજ્ઞાન વિભાગ સાથે પણ જોડાયેલા હતા. બે વર્ષ પછી, તેઓ સિએટલમાં યુનિવર્સિટી ઓફ વોશિંગ્ટનમાં ગયા જ્યાં તેમણે 1966 થી 2003 સુધી ગણિત અને લાગુ ગણિત વિભાગોમાં સંયુક્ત હોદ્દાઓ ભર્યા જ્યારે તેઓ નિવૃત્ત થયા. તેઓ હાલમાં યુનિવર્સિટીમાં પ્રોફેસર એમેરિટસ છે. તેમણે યુનિવર્સિટી ઓફ ફ્લોરિડા અને હોંગકોંગ પોલિટેકનિક યુનિવર્સિટીમાં સંલગ્ન હોદ્દાઓ સંભાળ્યા છે. રોકફેલ્લર ગણિત સંસ્થા, કોપનહેગન (1964), પ્રિન્સટન યુનિવર્સિટી (1965-66), ગ્રેનોબલ યુનિવર્સિટી (1973-74), કોલોરાડો યુનિવર્સિટી, બોલ્ડર (1978), ઇન્ટરનેશનલ ઇન્સ્ટિટ્યૂટ ઓફ એપ્લાઇડ સિસ્ટમ્સ એનાલિસિસ, વિયેના (1980-81), યુનિવર્સિટી ઓફ પિસા (1991), યુનિવર્સિટી ઓફ પેરિસ-ડાઉફિન (1996), યુનિવર્સિટી ઓફ પાઉ (1997), કેઇઓ યુનિવર્સિટી (2009), નેશનલ યુનિવર્સિટી ઓફ સિંગાપોર (2011), યુનિવર્સિટી ઓફ વિયેના (2011) અને યેલ યુનિવર્સિટી (2012) માં મુલાકાતી પ્રોફેસર હતા. રોકફેલરને 1982માં સોસાયટી ફોર ઇન્ડસ્ટ્રિયલ એન્ડ એપ્લાઇડ મેથેમેટિક્સ (એસ. આઈ. એ. એમ.) અને મેથેમેટિકલ ઓપ્ટિમાઇઝેશન સોસાયટી તરફથી ડેન્ટઝિગ પુરસ્કાર મળ્યો, 1992માં જ્હોન વોન ન્યુમેન વ્યાખ્યાન આપ્યું, જે રોજર જે. બી. વેટ્સ સાથે 1998માં ઇન્સ્ટિટ્યૂટ ફોર ઓપરેશન્સ રિસર્ચ એન્ડ મેનેજમેન્ટ સાયન્સિસ (આઈ. એન. એફ. ઓ. આર. એમ. એસ.) તરફથી "વેરિયેશનલ એનાલિસિસ" પુસ્તક માટે ફ્રેડરિક ડબલ્યુ. લેન્ચેસ્ટર પુરસ્કાર મળ્યો હતો. 1999માં, તેમને આઈ. એન. એફ. ઓ. આર. એમ. એસ. તરફથી જ્હોન વોન ન્યુમેન થિયરી પુરસ્કાર એનાયત કરવામાં આવ્યો હતો. તેઓ 2002માં માહિતીના ફેલોના વર્ગમાં ચૂંટાયા હતા. તેઓ યુનિવર્સિટી ઓફ ગ્રોનિંગન (1984), યુનિવર્સિટી ઓફ મોન્ટપેલિયર (1995), યુનિવર્સિટી ઓફ ચિલી (1998) અને યુનિવર્સિટી ઓફ એલિકેન્ટ (2000) માંથી માનદ ડોક્ટરેટની પદવીઓ મેળવનાર છે. ઇન્સ્ટિટ્યૂટ ફોર સાયન્ટિફિક ઇન્ફર્મેશન (આઇ. એસ. આઇ.) રોકફેલ્લરને અત્યંત ટાંકવામાં આવેલા સંશોધક તરીકે સૂચિબદ્ધ કરે છે. સંશોધન રોકફેલ્લરનું સંશોધન ગાણિતિક વિચારો અને વિભાવનાઓને મજબૂત માળખામાં ગોઠવવાના ધ્યેયથી પ્રેરિત છે જે નવી આંતરદૃષ્ટિ અને સંબંધો આપે છે. આ અભિગમ તેમના મૌલિક પુસ્તક "વેરિયેશનલ એનાલિસિસ" (1998, રોજર જે. બી. વેટ્સ સાથે) માં સૌથી વધુ મુખ્ય છે, જ્યાં બહિર્મુખ વિશ્લેષણ, બિનરેખીય વિશ્લેષણ, વિવિધતાના કલન, ગાણિતિક ઓપ્ટિમાઇઝેશન, સંતુલન સિદ્ધાંત અને નિયંત્રણ પ્રણાલીઓના ક્ષેત્રોમાં અસંખ્ય થ્રેડો વિકસાવવામાં આવ્યા હતા જેથી મર્યાદિત પરિમાણોમાં વિવિધ સમસ્યાઓ માટે એકીકૃત અભિગમ ઉત્પન્ન કરી શકાય. અભ્યાસના આ વિવિધ ક્ષેત્રોને હવે પરિવર્તનશીલ વિશ્લેષણ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. ખાસ કરીને, લખાણ વિશ્લેષણના ઘણા ક્ષેત્રોમાં જરૂરી ગુણધર્મ તરીકે વિભેદકતાનું વિતરણ કરે છે અને અસ્પષ્ટતા, સેટ-વેલ્યુડનેસ અને વિસ્તૃત વાસ્તવિક-વેલ્યુડનેસને સ્વીકારે છે, જ્યારે હજુ પણ દૂરગામી કલન નિયમો વિકસાવે છે. ગણિતમાં યોગદાન અનંત અને નકારાત્મક અનંત મૂલ્યો સાથે વાસ્તવિક રેખાને વિસ્તારવાનો અને પછી (બહિર્મુખ) કાર્યોને આ મૂલ્યોને લેવાની મંજૂરી આપવાનો અભિગમ રોકફેલ્લરના મહાનિબંધમાં શોધી શકાય છે અને સ્વતંત્ર રીતે, જીન-જેક્સ મોરેઉ દ્વારા તે જ સમયની આસપાસ કરવામાં આવેલા કાર્યમાં શોધી શકાય છે. સેટ-વેલ્યુડ મેપિંગ્સ (જેને મલ્ટિવેલ્યુડ ફંક્શન્સ પણ કહેવાય છે) ની કેન્દ્રિય ભૂમિકાને રોકફેલ્લરના મહાનિબંધમાં પણ માન્યતા આપવામાં આવી હતી અને હકીકતમાં, x પર f ફંક્શનના સબગ્રેડિએન્ટ્સના સમૂહ માટે પ્રમાણભૂત સંકેતલિપી ષ્ણૂ f (x) ત્યાં ઉદ્દભવ્યું હતું. રોકફેલ્લરે ફર્માટના નિયમને વિસ્તારીને નોનસ્મૂથ વિશ્લેષણમાં ફાળો આપ્યો હતો, જે સબગ્રેડિએન્ટ કલન અને પરિવર્તનશીલ ભૂમિતિના ઉપયોગથી સંયુક્ત સમસ્યાઓ માટે ઓપ્ટિમાઇઝેશન સમસ્યાઓના ઉકેલોની લાક્ષણિકતા ધરાવે છે અને તે રીતે ગર્ભિત કાર્ય પ્રમેયને બાયપાસ કરે છે. આ અભિગમ લેગ્રેન્જ મલ્ટિપ્લાયરની કલ્પનાને સરળ સમાનતા અને અસમાનતા પ્રણાલીઓથી બહારની સેટિંગ્સમાં વિસ્તૃત કરે છે. તેમના ડૉક્ટરેટના મહાનિબંધ અને પછીના અસંખ્ય પ્રકાશનોમાં, રોકફેલરે બહિર્મુખ સંયુગ્મ કાર્યો પર આધારિત સામાન્ય દ્વૈત સિદ્ધાંત વિકસાવ્યો હતો, જે પરિમાણોના વિક્ષેપ દ્વારા પ્રાપ્ત સમસ્યાઓના પરિવારમાં સમસ્યાને સમાવવા પર કેન્દ્રિત છે. આ રેખીય પ્રોગ્રામિંગ દ્વૈતતા અને લગ્રેન્જિયન દ્વૈતતાને સમાવી લે છે, અને સામાન્ય બહિર્મુખ સમસ્યાઓ તેમજ બિન-બહિર્મુખ સમસ્યાઓ સુધી વિસ્તરે છે, ખાસ કરીને જ્યારે વૃદ્ધિ સાથે જોડાય છે. એપ્લિકેશન્સમાં યોગદાન રોકફેલરે લાગુ કરેલી સમસ્યાઓ અને કોમ્પ્યુટેશનલ પાસાઓ પર પણ કામ કર્યું હતું. 1970 ના દાયકામાં, તેમણે નિકટવર્તી બિંદુ પદ્ધતિના વિકાસમાં ફાળો આપ્યો હતો, જે આંકડાકીય કાર્યક્રમોમાં વારંવાર ઉપયોગમાં લેવાતી નિકટવર્તી ઢાળ પદ્ધતિ સહિત અનેક સફળ અલ્ગોરિધમ્સને આધાર આપે છે. તેમણે સામાન્ય સંકલનને વ્યાખ્યાયિત કરીને અને તેનું વિશ્લેષણ કરીને સ્ટોકેસ્ટિક પ્રોગ્રામિંગમાં અપેક્ષા કાર્યોના વિશ્લેષણને નક્કર પાયા પર મૂક્યું. રોકાફેલરે અર્થશાસ્ત્રમાં નિયંત્રણ પ્રણાલીઓ અને સામાન્ય સંતુલન સિદ્ધાંતના વિશ્લેષણમાં પણ યોગદાન આપ્યું હતું. 1990 ના દાયકાના અંતથી, રોકફેલ્લર નાણાકીય ઇજનેરી અને વિશ્વસનીયતા ઇજનેરીમાં જોખમ આકારણી અને નિર્ણય લેવા માટે ગાણિતિક વિભાવનાઓના આયોજન અને વિસ્તરણમાં સક્રિય રીતે સામેલ છે. આમાં જોખમના પગલાંના ગાણિતિક ગુણધર્મોની તપાસ અને 2000માં "શરતી મૂલ્ય-જોખમ" તેમજ 2010માં "સુપરક્વેન્ટાઇલ" અને "બફર નિષ્ફળતા સંભાવના" શબ્દોનો સમાવેશ થાય છે, જે કાં તો અપેક્ષિત અછત સાથે સુસંગત છે અથવા નજીકથી સંબંધિત છે. પસંદ કરેલા પ્રકાશનો પુસ્તકો રોકફેલ્લર, આર. ટી. (1974). દ્વૈતતા અને ઓપ્ટિમાઇઝેશનને સંયોજિત કરો. જોન્સ હોપકિન્સ યુનિવર્સિટી, બાલ્ટીમોર, એમ. ડી., જૂન, 1973 ખાતે આપવામાં આવેલા પ્રવચનો. એપ્લાઇડ મેથેમેટિક્સમાં મેથેમેટિકલ સાયન્સિસ પ્રાદેશિક પરિષદ શ્રેણીનું પરિષદ મંડળ, નં. 16. સોસાયટી ફોર ઇન્ડસ્ટ્રિયલ એન્ડ એપ્લાઇડ મેથેમેટિક્સ, ફિલાડેલ્ફિયા, પી. એ. vi + 74 પીપી. રોકફેલ્લર, આર. ટી. (1981). સબગ્રેડિએન્ટ્સનો સિદ્ધાંત અને ઓપ્ટિમાઇઝેશનની સમસ્યાઓ માટે તેની એપ્લિકેશનો. કન્વેક્સ અને નોન-કન્વેક્સ કાર્યો. હેલ્ડરમેન વેર્લાગ, બર્લિન. vii + 107 પીપી. રોકફેલ્લર, આર. ટી. (1984). નેટવર્ક પ્રવાહ અને મોનોટ્રોપિક ઓપ્ટિમાઇઝેશન. વિલી. ડોન્ટચેવ, એ. એલ.; રોકફેલ્લર, આર. ટી. (2009). ઇમ્પ્લિસિટ ફંક્શન્સ અને સોલ્યુશન મેપિંગ. પરિવર્તનશીલ વિશ્લેષણમાંથી એક દ્રષ્ટિકોણ. ગણિતમાં સ્પ્રિંગર મોનોગ્રાફ્સ. સ્પ્રિંગર, ડોર્ડ્રેક્ટ. xii + 375 પીપી. . પેપર્સ રોકફેલ્લર, આર. ટી. (1967). બહિર્મુખ અને અંતર્મુખ પ્રકારની મોનોટોન પ્રક્રિયાઓ. અમેરિકન મેથેમેટિકલ સોસાયટીની યાદો, નં. 77 અમેરિકન મેથેમેટિકલ સોસાયટી, પ્રોવિડન્સ, R. I. i + 74 pp. (1992 જ્હોન વોન ન્યુમેન વ્યાખ્યાન) કન્વેક્સ વિશ્લેષણ પણ જુઓ (સી. એફ. વર્નર ફેન્શેલ) કન્વેક્સ ફંક્શન લાક્ષણિક કાર્ય (બહિર્મુખ વિશ્લેષણ) બંધ બહિર્મુખ કાર્ય કન્વેક્સ સંયુગ્મ શિલાલેખ (ગણિત) ફેન્શેલ સંયુગ્મ લિજેન્ડ્રે-ફેન્શેલ પરિવર્તન યોગ્ય બહિર્મુખ કાર્ય સબડિફરેન્શિયલ સબગ્રેડિયન્ટ કન્વેક્સ સમૂહ કારાથિઓડોરીનો પ્રમેય કન્વેક્સ શંકુ દ્વૈત (ગણિત) મોનોટોન સંચાલક (મહત્તમ મોનોટોન સંચાલકનું ચક્રીય વિઘટન) ઓરિએન્ટેડ મેટ્રોઇડ્સ (સાકાર કરી શકાય તેવા ઓ. એમ. અને એપ્લિકેશનો) કારાથિઓડોરીનો પ્રમેય (બહિર્મુખ હલ) લેમ્મા ઓફ ફાર્કસ મોનોટ્રોપિક પ્રોગ્રામિંગ ટકર, આલ્બર્ટ ડબલ્યુ. સેટ-વેલ્યુડ વિશ્લેષણ પોમ્પેયુ-હૌસડોર્ફ અંતર મોર્ડુકોવિચ, ઇન્સ્ટિટ્યૂટ ઓફ ઓપરેશન્સ રિસર્ચ એન્ડ મેનેજમેન્ટ સાયન્સમાંથી આર. ટાયરેલ રોકાફેલ્લરનું જીવનચરિત્ર કન્વેક્સ વિશ્લેષણ ગાણિતિક વિશ્લેષકો 20મી સદીના અમેરિકન ગણિતશાસ્ત્રીઓ 21મી સદીના અમેરિકન ગણિતશાસ્ત્રીઓ અમેરિકન કામગીરી સંશોધકો અમેરિકન આંકડાશાસ્ત્રીઓ જીવંત લોકો વિવિધતા વિશ્લેષકો યુનિવર્સિટી ઓફ વોશિંગ્ટન ફેકલ્ટી જ્હોન વોન ન્યુમેન થિયરી પુરસ્કાર વિજેતાઓ હાર્વર્ડ યુનિવર્સિટીના ભૂતપૂર્વ વિદ્યાર્થીઓ જર્મન મૂળના અમેરિકન લોકો મિલવૌકીના 1935ના જન્મના અર્થશાસ્ત્રીઓ વિસ્કોન્સિન ફેલો ઓફ ધ ઇન્સ્ટિટ્યૂટ ફોર ઓપરેશન્સ રિસર્ચ એન્ડ મેનેજમેન્ટ સાયન્સિસ