Schur algebra
ગણિતમાં, ઇસાઈ શુરના નામ પરથી નામ આપવામાં આવેલ શુર બીજગણિત એ અમુક મર્યાદિત-પરિમાણીય બીજગણિત છે જે સામાન્ય રેખીય અને સપ્રમાણ જૂથો વચ્ચે શુર-વેલ દ્વૈતતા સાથે નજીકથી સંકળાયેલા છે. તેનો ઉપયોગ તે બે જૂથોના પ્રતિનિધિત્વ સિદ્ધાંતોને સંબંધિત કરવા માટે થાય છે. તેમના ઉપયોગને જે. ના પ્રભાવશાળી મોનોગ્રાફ દ્વારા પ્રોત્સાહન આપવામાં આવ્યું હતું. એ. ગ્રીન પ્રથમ 1980 માં પ્રકાશિત થયું હતું. "શુર બીજગણિત" નામ લીલા રંગને કારણે છે. સામાન્ય રેખીય જૂથો અને સપ્રમાણ જૂથો માટે વિઘટન સંખ્યાઓની ગણતરીની (હજુ પણ ખુલ્લી) સમસ્યાઓ ખરેખર સમકક્ષ છે તે દર્શાવવા માટે મોડ્યુલર કિસ્સામાં (હકારાત્મક લાક્ષણિકતાના અનંત ક્ષેત્રો પર) ગોર્ડન જેમ્સ અને કરિન એર્ડમેન દ્વારા શુર આલ્જેબ્રાનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો. મર્યાદિત જૂથ યોજનાઓના કોહોમોલોજીની મર્યાદિત પેઢીને સાબિત કરવા માટે ફ્રીડલેન્ડર અને સુસલીન દ્વારા શુર આલ્જેબ્રાનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો. નિર્માણ શુર બીજગણિતને કોઈપણ પરિવર્તનીય રિંગ અને પૂર્ણાંકો માટે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. પરિવર્તનીય ચલમાં બહુપદીઓના બીજગણિત (ગુણાંક સાથે) નો વિચાર કરો, 1 ≤ i, j ≤. ડિગ્રીની સજાતીય બહુપદીઓ દ્વારા દર્શાવો. ના ઘટકો કે-રેખીય સંયોજનો છે જે જનરેટરના એકસાથે ગુણાકાર દ્વારા રચાય છે (પુનરાવર્તનને મંજૂરી આપે છે). આમ હવે, ગુણાકાર સાથે કુદરતી કોલ બીજગણિત માળખું ધરાવે છે અને (ક્રોનેકર ડેલ્ટા) દ્વારા જનરેટર પર આપવામાં આવેલા બીજગણિત હોમોમોર્ફિઝમ્સની ગણતરી કરે છે. ગુણાકાર એ બીજગણિત હોમોમોર્ફિઝમ હોવાથી, તે બાયાલજેબ્રા છે. કોઈ સરળતાથી તપાસે છે કે તે દરેક r ≤ 0 માટે બાયલ્જેબ્રાનું સબકોલજેબ્રા છે. વ્યાખ્યા. શુર બીજગણિત (ડિગ્રીમાં) એ બીજગણિત છે. એટલે કે, તે રેખીય દ્વિગુણિત છે. તે એક સામાન્ય હકીકત છે કે કોલ બીજગણિતનું રેખીય દ્વૈત એ કુદરતી રીતે બીજગણિત છે, જ્યાં બીજગણિતમાં ગુણાકાર કોલ બીજગણિતમાં ગુણાકારને દ્વિગુણિત કરીને પ્રેરિત થાય છે. આ જોવા માટે, ચાલો અને, રેખીય વિધેયો આપવામાં આવે, તેમના ઉત્પાદનને રેખીય વિધેય દ્વારા આપવામાં આવેલ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરો. મુખ્ય ગુણધર્મો સૌથી મૂળભૂત ગુણધર્મોમાંથી એક કેન્દ્રિય બીજગણિત તરીકે વ્યક્ત થાય છે. પછી અક્ષરો પરનું સપ્રમાણ જૂથ સ્થાન ક્રમચય દ્વારા ટેન્સર જગ્યા પર કુદરતી રીતે કાર્ય કરે છે, અને એક આઇસોમોર્ફિઝમ ધરાવે છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, તેને સપ્રમાણ જૂથની ક્રિયા સાથે ટેન્સર જગ્યાના સંચારના એન્ડોમોર્ફિઝમના બીજગણિત તરીકે જોઈ શકાય છે. દ્વિપદી ગુણાંક દ્વારા આપવામાં આવેલ ક્રમથી મુક્ત છે. તેના વિવિધ પાયા જાણીતા છે, જેમાંથી ઘણી અર્ધ-માનક આકારની યુવાન ઝાંખીની જોડી દ્વારા અનુક્રમિત કરવામાં આવે છે, કારણ કે તે પાર્ટીશનોના સમૂહમાં અલગ અલગ ભાગોમાં બદલાય છે. જો k એ અનંત ક્ષેત્ર હોય, તો તેના પર કામ કરતા સામાન્ય રેખીય જૂથની ક્રિયા માટે આવરણ બીજગણિત (એચ. વેઇલના અર્થમાં) સાથે પણ ઓળખી શકાય છે (ટેન્સર પર વિકર્ણ ક્રિયા દ્વારા, મેટ્રિક્સ ગુણાકાર દ્વારા આપવામાં આવેલી પ્રાકૃતિક ક્રિયાથી પ્રેરિત). શુર આલ્જેબ્રા "પૂર્ણાંકો પર વ્યાખ્યાયિત" છે. આનો અર્થ એ છે કે તેઓ સ્કેલર ગુણધર્મના નીચેના ફેરફારને સંતોષે છેઃ કોઈપણ પરિવર્તનીય રીંગ માટે. શુર આલ્જેબ્રા અર્ધ-વંશપરંપરાગત આલ્જેબ્રા (ક્લાઇન, પાર્શલ અને સ્કોટ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત) ના કુદરતી ઉદાહરણો પૂરા પાડે છે, અને આમ તેમાં સરસ સમરૂપ ગુણધર્મો છે. ખાસ કરીને, શુર આલ્જેબ્રા મર્યાદિત વૈશ્વિક પરિમાણ ધરાવે છે. સામાન્યીકરણ સામાન્યીકૃત શુર બીજગણિત (કોઈપણ ઘટાડેલા બીજગણિત જૂથ સાથે સંકળાયેલ) 1980ના દાયકામાં ડોનકિન દ્વારા રજૂ કરવામાં આવ્યા હતા. આ અર્ધ-વંશપરંપરાગત પણ છે. લગભગ તે જ સમયે, ડીપર અને જેમ્સે પરિમાણિત શુર બીજગણિત (અથવા ટૂંકા માટે q-શુર બીજગણિત) રજૂ કર્યા, જે ઉપર વર્ણવેલ શાસ્ત્રીય શુર બીજગણિતનો એક પ્રકાર છે, જેમાં સમપ્રમાણ જૂથને અનુરૂપ હેક બીજગણિત દ્વારા અને સામાન્ય રેખીય જૂથને યોગ્ય ક્વોન્ટમ જૂથ દ્વારા બદલવામાં આવે છે. સામાન્યીકૃત ક્યૂ-શુર બીજગણિત પણ છે, જે ડીપર અને જેમ્સના કાર્યને તે જ રીતે સામાન્ય બનાવીને મેળવવામાં આવે છે જે રીતે ડોનકિને શાસ્ત્રીય શુર બીજગણિતને સામાન્ય બનાવ્યું હતું. ત્યાં વધુ સામાન્યીકરણ છે, જેમ કે એફાઇન કાક-મૂડી લાઈ આલ્જેબ્રા સાથે સંબંધિત એફાઇન ક્યૂ-શુર આલ્જેબ્રા અને અન્ય સામાન્યીકરણ, જેમ કે સાઇક્લોટોમિક ક્યૂ-શુર આલ્જેબ્રા જે અરિકી-કોઇક આલ્જેબ્રા સાથે સંબંધિત છે (જે ચોક્કસ જટિલ પ્રતિબિંબ જૂથોની ક્યૂ-વિકૃતિઓ છે). સામાન્યીકરણના આ વિવિધ વર્ગોનો અભ્યાસ સમકાલીન સંશોધનનું સક્રિય ક્ષેત્ર બનાવે છે. સ્ટુઅર્ટ માર્ટિન, શુર આલ્જેબ્રાસ એન્ડ રિપ્રેઝન્ટેશન થિયરી, કેમ્બ્રિજ યુનિવર્સિટી પ્રેસ 1993., એન્ડ્રુ માથાસ, ઇવાહોરી-હેકે આલ્જેબ્રાસ એન્ડ શુર આલ્જેબ્રાસ ઓફ ધ સિમેટ્રિક ગ્રૂપ, યુનિવર્સિટી લેક્ચર સિરીઝ, vol.15, અમેરિકન મેથેમેટિકલ સોસાયટી, 1999., હર્મન વેલ, ધ ક્લાસિકલ ગ્રૂપ્સ. તેમના પરિવર્તનો અને પ્રતિનિધિઓ. પ્રિન્સટન યુનિવર્સિટી પ્રેસ, પ્રિન્સટન, એન. જે., 1939. બીજગણિત પ્રતિનિધિત્વ સિદ્ધાંત