Gopal Prasad
ગોપાલ પ્રસાદ (જન્મ 31 જુલાઈ 1945, ભારતના ગાઝીપુરમાં) એક ભારતીય-અમેરિકન ગણિતશાસ્ત્રી છે. તેમના સંશોધનના હિતો લાઈ જૂથો, તેમના અલગ પેટા જૂથો, બીજગણિત જૂથો, અંકગણિત જૂથો, સ્થાનિક રીતે સપ્રમાણ જગ્યાઓની ભૂમિતિ અને રિડક્ટિવ પી-એડિક જૂથોના પ્રતિનિધિત્વ સિદ્ધાંતના ક્ષેત્રોમાં ફેલાયેલા છે. તેઓ એન આર્બરમાં મિશિગન યુનિવર્સિટીમાં ગણિતના રાઉલ બોટ પ્રોફેસર છે. શિક્ષણ પ્રસાદે 1963માં મગધ યુનિવર્સિટીમાંથી ગણિતમાં સન્માન સાથે સ્નાતકની ડિગ્રી મેળવી હતી. બે વર્ષ પછી, 1965માં તેમણે પટના યુનિવર્સિટીમાંથી ગણિતમાં અનુસ્નાતકની ડિગ્રી મેળવી હતી. ઇન્ડિયન ઇન્સ્ટિટ્યૂટ ઓફ ટેકનોલોજી કાનપુરમાં ગણિત માટે તેમના પીએચ. ડી. કાર્યક્રમમાં ટૂંકા રોકાણ પછી, પ્રસાદે 1966માં ટાટા ઇન્સ્ટિટ્યૂટ ઓફ ફંડામેન્ટલ રિસર્ચ (ટીઆઈએફઆર) ખાતે પીએચ. ડી. કાર્યક્રમમાં પ્રવેશ કર્યો હતો. ત્યાં તેમણે તેમના સલાહકાર એમ. એસ. રઘુનાથન સાથે અર્ધ-સરળ લાઈ જૂથોમાં જાળીનો અભ્યાસ અને એકરૂપ પેટા જૂથ સમસ્યા સહિત અનેક વિષયો પર લાંબા અને વ્યાપક સહયોગની શરૂઆત કરી. 1976માં પ્રસાદે મુંબઈ યુનિવર્સિટીમાંથી પીએચ. ડી. પ્રાપ્ત કરી હતી. પ્રસાદ 1979માં ટી. આઈ. એફ. આર. માં સહયોગી પ્રોફેસર અને 1984માં પ્રોફેસર બન્યા હતા. 1992માં તેમણે એન આર્બરમાં મિશિગન યુનિવર્સિટીમાં ફેકલ્ટીમાં જોડાવા માટે ટી. આઈ. એફ. આર. છોડી દીધું, જ્યાં તેઓ ગણિતના રાઉલ બોટ એમેરિટસ પ્રોફેસર છે. ગોપાલ પ્રસાદના માતા-પિતા રામ કૃષ્ણ પ્રસાદ અને લક્ષ્મી દેવી હતા. રામ કૃષ્ણ પ્રસાદ એક સામાજિક કાર્યકર્તા, પરોપકારી હતા અને બ્રિટિશ શાસન સામે ભારતીય સ્વતંત્રતા સંગ્રામમાં ભાગ લેવા બદલ અંગ્રેજો દ્વારા તેમને જેલમાં ધકેલી દેવામાં આવ્યા હતા. આ પરિવાર છૂટક અને જથ્થાબંધ વેપાર સાથે સંકળાયેલો હતો. 1969માં તેમણે દેવરિયાની ઇન્દુ દેવી (ની પોદ્દાર) સાથે લગ્ન કર્યા હતા. ગોપાલ પ્રસાદ અને ઇન્દુ દેવીને એક પુત્ર છે, અનૂપ પ્રસાદ, જે D. E. માં મેનેજિંગ ડિરેક્ટર છે. શો એન્ડ કંપની, અને એક પુત્રી, ઇલા ફીટે, જે એમ. આઈ. ટી. ખાતે ન્યુરોસાયન્સના પ્રોફેસર છે, અને પાંચ પૌત્રો. ચેપલ હિલ ખાતે યુનિવર્સિટી ઓફ નોર્થ કેરોલિનામાં ગણિતના પ્રોફેસર શ્રવણ કુમાર, યુનિવર્સિટી ઓફ ટેક્સાસ, ઓસ્ટિનમાં એસ્ટ્રોફિઝિક્સના પ્રોફેસર પવન કુમાર અને ઇન્ડિયન ઇન્સ્ટિટ્યૂટ ઓફ ટેકનોલોજી, મુંબઈમાં ગણિતના પ્રોફેસર દીપેન્દ્ર પ્રસાદ તેમના નાના ભાઈઓ છે. ગણિતમાં પ્રસાદના પ્રારંભિક કાર્યોમાં કેટલાક યોગદાન વાસ્તવિક અને પી-એડિક અર્ધ-સરળ જૂથોના અલગ પેટા જૂથો પર હતા. તેમણે ક્રમ 1 ના વાસ્તવિક અર્ધ-સરળ જૂથોમાં અને પી-એડિક જૂથોમાં પણ જાળીની "મજબૂત કઠોરતા" સાબિત કરી, જુઓ [1] અને [2]. ત્યારબાદ તેમણે અર્ધ-સરળ બીજગણિત જૂથો પર જૂથ-સૈદ્ધાંતિક અને અંકગણિતના પ્રશ્નોનો સામનો કર્યો. તેમણે વૈશ્વિક કાર્ય ક્ષેત્રો પર ફક્ત જોડાયેલા અર્ધ-સરળ જૂથો માટે "મજબૂત અંદાજ" ગુણધર્મ સાબિત કર્યો [3]. પ્રસાદે આ જૂથોના ટોપોલોજીકલ કેન્દ્રીય વિસ્તરણને નિર્ધારિત કર્યું અને એમ. એસ. રઘુનાથનના સહયોગથી આઇસોટ્રોપિક જૂથો માટે "મેટાપ્લેક્ટિક કર્નલ" ની ગણતરી કરી, જુઓ [11], [12] અને [10]. પ્રસાદ અને રઘુનાથને નેસર-ટિટ્સ સમસ્યા પર પણ પરિણામો મેળવ્યા છે, [13]. પાછળથી, આન્દ્રેઈ રાપિનચુક સાથે મળીને, પ્રસાદે બધા સરળ રીતે જોડાયેલા અર્ધ-સરળ જૂથો માટે મેટાપ્લેક્ટિક કર્નલની ચોક્કસ ગણતરી કરી, જુઓ [14]. 1987માં, પ્રસાદે અર્ધ-સરળ જૂથોના એસ-અંકગણિત ગુણોત્તરના કદ માટે એક સૂત્ર શોધી કાઢ્યું હતું, [4]. આ સૂત્ર અને ચોક્કસ સંખ્યા સૈદ્ધાંતિક અને ગેલોઇસ-આલ્કોહોલોજિકલ અંદાજોનો ઉપયોગ કરીને, આર્મંડ બોરેલ અને ગોપાલ પ્રસાદે અંકગણિત જૂથો વિશે ઘણા મર્યાદિતતા સિદ્ધાંતો સાબિત કર્યા, [6]. વોલ્યુમ સૂત્ર, સંખ્યા-સૈદ્ધાંતિક અને બૃહત-ટિટ્સ સૈદ્ધાંતિક વિચારણાઓ સાથે મળીને ગોપાલ પ્રસાદ અને સાઈ-કી યેઉંગ દ્વારા નકલી પ્રોજેક્ટિવ પ્લેન (સરળ પ્રોજેક્ટિવ જટિલ સપાટીઓના સિદ્ધાંતમાં) નું 28 બિન-ખાલી વર્ગોમાં વર્ગીકરણ કરવામાં આવ્યું [21] (આ પણ જુઓ [22] અને [23]). આ વર્ગીકરણ, ડોનાલ્ડ કાર્ટરાઇટ અને ટિમ સ્ટેગરની ગણતરીઓ સાથે મળીને, નકલી પ્રોજેક્ટિવ વિમાનોની સંપૂર્ણ સૂચિ તરફ દોરી ગયું છે. આ યાદીમાં આઇસોમેટ્રી (28 વર્ગોમાં વહેંચાયેલ) સુધીના બરાબર 50 નકલી પ્રોજેક્ટિવ પ્લેનનો સમાવેશ થાય છે. આ કાર્ય બોરબાકી સેમિનારમાં ચર્ચાનો વિષય હતો. પ્રસાદે એલન મોય સાથે રિડક્ટિવ પી-એડિક જૂથોના પ્રતિનિધિત્વ સિદ્ધાંત પર કામ કર્યું છે. પેરાહોરિક પેટા જૂથોના ગાળણ, જેને "મોય-પ્રસાદ ગાળણ" તરીકે ઓળખવામાં આવે છે, તેનો પ્રતિનિધિત્વ સિદ્ધાંત અને હાર્મોનિક વિશ્લેષણમાં વ્યાપકપણે ઉપયોગ થાય છે. મોય અને પ્રસાદે આ ગાળણક્રિયાઓ અને બ્રુહટ-ટિટ્સ સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ "અપરિષ્કૃત ન્યૂનતમ કે-પ્રકારો" ના અસ્તિત્વને સાબિત કરવા માટે કર્યો હતો, જે ઈરીડ્યુસિબલ સ્વીકાર્ય રજૂઆતની "ઊંડાઈ" ની કલ્પનાને વ્યાખ્યાયિત કરવા અને ઊંડાઈ શૂન્યની રજૂઆતોનું વર્ગીકરણ આપવા માટે, જુઓ [8] અને [9]. આ બે કાગળો [8], [9] માં રજૂ કરાયેલા પરિણામો અને તકનીકોએ આ ક્ષેત્રમાં શ્રેણીબદ્ધ મહત્વપૂર્ણ વિકાસને સક્ષમ બનાવ્યો. આન્દ્રેઈ રાપિનચુકના સહયોગથી, પ્રસાદે અર્ધ-સરળ જૂથોના ઝારિસ્કી-ગાઢ પેટા જૂથોનો અભ્યાસ કર્યો છે અને ઘણા ઇચ્છનીય ગુણધર્મો સાથે નિયમિત અર્ધ-સરળ તત્વોના આવા પેટા જૂથમાં અસ્તિત્વ સાબિત કર્યું છે, [15], [16]. આ તત્વોનો ઉપયોગ ભૌમિતિક અને એર્ગોડિક સૈદ્ધાંતિક પ્રશ્નોની તપાસમાં કરવામાં આવ્યો છે. પ્રસાદ અને રાપિનચુકે અંકગણિત પેટા જૂથોની "નબળા-સુસંગતતા" ની નવી કલ્પના રજૂ કરી અને આપેલ અર્ધ-સરળ જૂથમાં અંકગણિત જૂથોના "નબળા-સુસંગતતા વર્ગો" નક્કી કર્યા. તેમણે તેમના પરિણામોનો ઉપયોગ નબળા-સમતુલ્યતા પર લંબાઈ-સમતુલ્ય અને સમ-સ્પેક્ટ્રલ અંકગણિત સ્થાનિક રીતે સમમિત જગ્યાઓ પર પરિણામો મેળવવા માટે કર્યો, જુઓ [17], [18] અને [19]. જિયુ-કાંગ યુ સાથે મળીને, પ્રસાદે G, [24] ના બૃહત-નિર્માણ પર રિડક્ટિવ p-adic જૂથ G ના ઓટોમોર્ફિઝમ્સના મર્યાદિત જૂથની ક્રિયા હેઠળ નિશ્ચિત બિંદુ સમૂહનો અભ્યાસ કર્યો છે. અન્ય સંયુક્ત કાર્યમાં, જેનો ઉપયોગ ભૌમિતિક લેંગલેન્ડ્સ કાર્યક્રમમાં કરવામાં આવ્યો છે, પ્રસાદ અને યુએ ડિસ્ક્રીટ વેલ્યુએશન રિંગ (ડીવીઆર) પર તમામ અર્ધ-ઘટાડતી જૂથ યોજનાઓ નક્કી કરી હતી, [25]. બ્રાયન કોનરેડ અને ઓફેર ગેબરના સહયોગથી, પ્રસાદે સ્યુડો-રિડક્ટિવ જૂથોની રચનાનો અભ્યાસ કર્યો છે, અને આર્મંડ બોરેલ અને જેક્સ ટિટ્સ દ્વારા વિગતવાર પુરાવા વિના જાહેર કરાયેલા સામાન્ય સરળ જોડાયેલા રેખીય બીજગણિત જૂથો માટે જોડાણ સિદ્ધાંતોના પુરાવા પણ પૂરા પાડ્યા છે; તેમના સંશોધન મોનોગ્રાફ [26] માં આ બધું છે. બીજા મોનોગ્રાફમાં [27] સ્યુડો-રિડક્ટિવ જૂથોનું સંપૂર્ણ વર્ગીકરણ છે, જેમાં ટિટ્સ-શૈલીનું વર્ગીકરણ અને ઘણા રસપ્રદ ઉદાહરણો પણ સામેલ છે. સ્યુડો-રિડક્ટિવ જૂથોના વર્ગીકરણમાં પહેલેથી જ ઘણા ઉપયોગો છે. માર્ચ 2010માં સ્યુડો-રિડક્ટિવ જૂથો પર ટિટ્સ, કોનરેડ-ગેબર-પ્રસાદના કાર્ય પર બોરબાકી સેમિનાર યોજાયો હતો. પ્રસાદે બ્રુહટ-ટિટ્સ સિદ્ધાંત [28] [29] માં અનરેમિફાઇડ અને ટેમલી રેમિફાઇડ વંશજો માટે નવી પદ્ધતિઓ વિકસાવી છે. તાશો કલેથા સાથે મળીને, તેમણે તાજેતરમાં બ્રુહટ-ટિટ્સ સિદ્ધાંત પર એક પુસ્તક [30] લખ્યું છે જેમાં ઘણા પરિણામોના નવા પુરાવા છે. ઓનર્સ પ્રસાદને મિશિગન યુનિવર્સિટીમાં ગુગેનહેમ ફેલોશિપ, હમ્બોલ્ટ સિનિયર રિસર્ચ એવોર્ડ અને રાઉલ બોટ પ્રોફેસરશિપ મળી છે. તેમને શાંતિ સ્વરૂપ ભટનાગર પુરસ્કાર (ભારત સરકારની વૈજ્ઞાનિક અને ઔદ્યોગિક સંશોધન પરિષદ દ્વારા) એનાયત કરવામાં આવ્યો હતો. તેમણે ભારતીય રાષ્ટ્રીય વિજ્ઞાન અકાદમી, ભારતીય વિજ્ઞાન અકાદમીમાં ફેલોશિપ પ્રાપ્ત કરી છે. પ્રસાદે 1990માં ક્યોટોમાં યોજાયેલી ગણિતશાસ્ત્રીઓની આંતરરાષ્ટ્રીય કોંગ્રેસમાં આમંત્રિત પ્રવચન આપ્યું હતું. 2012માં તેઓ અમેરિકન મેથેમેટિકલ સોસાયટીના સભ્ય બન્યા હતા. તેમણે 2011 થી 2018 સુધી ઇન્ફોસિસ પ્રાઇઝના મેથેમેટિકલ સાયન્સ જ્યુરીમાં સેવા આપી છે. પ્રસાદ એક દાયકાથી વધુ સમય સુધી મિશિગન મેથેમેટિકલ જર્નલના મેનેજિંગ એડિટર હતા, છ વર્ષ સુધી એનલ્સ ઓફ મેથેમેટિક્સના સહયોગી સંપાદક હતા અને શરૂઆતથી જ એશિયન જર્નલ ઓફ મેથેમેટિક્સના સંપાદક છે. સંદર્ભો [1]. ક્યૂ-રેન્ક 1 જાળીની મજબૂત કઠોરતા, શોધ ગણિત. 21 (1973), 255-286. [2]. સ્થાનિક ક્ષેત્રો પર અર્ધ-સરળ જૂથોમાં જાળી, Adv.in ગણિત. બીજગણિત અને સંખ્યા સિદ્ધાંતમાં અભ્યાસ, 1979,285-356. [3]. કાર્ય ક્ષેત્રો પર અર્ધ-સરળ જૂથો માટે મજબૂત અંદાજ, એનલ્સ ઓફ મેથેમેટિક્સ 105 (1977), 553-572. [4]. અર્ધ-સરળ જૂથોના એસ-અંકગણિત ભાગોના વોલ્યુમો, Publ.Math.IHES 69 (1989), 91-117. [5]. અર્ધ-સરળ જૂથો અને અંકગણિત પેટા જૂથો, ગણિતના Proc.Int.Congress, ક્યોટો, 1990, વોલ્યુમ. II, 821-832. [6]. અર્ધ-સરળ જૂથોમાં બંધાયેલા કોવોલ્યુમના સ્વતંત્ર પેટા જૂથો માટે મર્યાદિતતા પ્રમેયો, Publ.Math.IHES 69 (1989), 119-171; પરિશિષ્ટઃ ibid, 71 (1990); A.Borel સાથે. [7]. એસ-ઇન્ટિગ્રલ બિંદુઓ પર આઇસોટ્રોપિક વર્ગાત્મક સ્વરૂપોના મૂલ્યો, કમ્પોઝિટિઓ મેથેમેટિકા, 83 (1992), 347-372; A.Borel સાથે. [8]. પી-એડિક જૂથો માટે બિનપરિભાષિત ન્યૂનતમ કે-પ્રકારો, ઇન્વેન્શન્સ મઠ. 116 (1994), 393-408; એલન મોય સાથે. [9]. જેક્વેટ ફંકટર અને અપરિષ્કૃત ન્યૂનતમ કે-પ્રકારો, કોમેન્ટરી Math.Helv. 71 (1996), 98-121; એલન મોય સાથે. [10]. એકરૂપ પેટા જૂથ સમસ્યા પર "મેટાપ્લેક્ટિક કર્નલ" નું નિર્ધારણ, શોધ ગણિત. 71 (1983), 21-42; M.S.Raghunathan સાથે. [11]. સ્થાનિક ક્ષેત્રો પર અર્ધ-સરળ જૂથોના ટોપોલોજીકલ કેન્દ્રીય વિસ્તરણ, એનલ્સ ઓફ મેથેમેટિક્સ 119 (1984), 143-268; M.S.Raghunathan સાથે. [12]. SL _ 1 (D), ઇન્વેન્શન્સ મઠના ટોપોલોજિકલ કેન્દ્રીય વિસ્તરણ. 92 (1988), 645-689; M.S.Raghunathan સાથે. [13]. નેસર-ટિટ્સ સમસ્યા પર, કોમેન્ટરી Math.Helv. 60 (1985), 107-121; M.S.Raghunathan સાથે. [14]. મેટાપ્લેક્ટિક કર્નલની ગણતરી, Publ.Math.IHES 84 (1996), 91-187; A.S.Rapinchuk સાથે. [15]. ઝારિસ્કી-ગાઢ પેટાજૂથોમાં ઈરીડ્યુસિબલ આર-રેગ્યુલર તત્વોનું અસ્તિત્વ, Math.Res.Letters 10 (2003), 21-32; A.S.Rapinchuk સાથે. [16]. ઝારિસ્કી-ગાઢ પેટા જૂથો અને દિવ્ય સંખ્યા સિદ્ધાંત, Math.Res.Letters 12 (2005), 239-249; A.S.Rapinchuk સાથે. [17]. નબળા સુસંગત અંકગણિત જૂથો અને સ્થાનિક રીતે સમપ્રમાણ જગ્યાઓ, Publ.Math.IHES 109 (2009), 113-184; A.S.Rapinchuk સાથે. [18]. ઇન્વોલ્યુશન સાથે સરળ આલ્જેબ્રામાં ઇન્વોલ્યુશન સાથે ક્ષેત્રોને એમ્બેડ કરવા માટેના સ્થાનિક-વૈશ્વિક સિદ્ધાંતો, કોમેન્ટરી Math.Helv. 85 (2010), 583-645; A.S.Rapinchuk સાથે. [19]. સ્થાનિક રીતે સપ્રમાણ જગ્યાઓમાં બંધ ભૂગણિતની લંબાઈ દ્વારા પેદા થયેલ ક્ષેત્રો પર, A.S.Rapinchuk સાથે પ્રીપ્રિન્ટ કરો. [20]. "કલેક્ટેડ પેપર્સ ઓફ જ્હોન મિલ્નર", vol.V, AMS (2010), 307-325; A.S.Rapinchuk સાથે બાસ, મિલ્નર અને સેરના કાર્ય પછી એકરૂપ પેટા જૂથ સમસ્યા પર વિકાસ. [21]. નકલી પ્રક્ષેપાત્મક વિમાનો, ઇન્વેન્શન્સ મઠ. 168 (2007), 321-370, "પરિશિષ્ટ", ibid, 182 (2010), 213-227; સાઈ-કી યેઉંગ સાથે. [22]. અંકગણિત નકલી પ્રોજેક્ટિવ જગ્યાઓ અને અંકગણિત નકલી ગ્રાસમેનિયન, Amer.J.Math. 131 (2009), 379-407; સાઈ-કી યેઉંગ સાથે. [23]. સાઈ-કી યેઉંગ સાથે A _ n, n <5, J.Math.Soc.Japan સિવાયના પ્રકારની અંકગણિત નકલી કોમ્પેક્ટ હર્મિશિયન સમપ્રમાણ જગ્યાઓનું અસ્તિત્વ નથી. [24]. ઘટાડેલા જૂથો અને ઇમારતો પર મર્યાદિત જૂથ ક્રિયાઓ પર, ઇન્વેન્શન્સ મઠ. 147 (2002), 545-560; જિઉ-કાંગ યુ સાથે. [25]. અર્ધ-ઘટાડતી જૂથ યોજનાઓ પર, J.Alg.Geom. 15 (2006), 507-549; જિઉ-કાંગ યુ સાથે. [26]. સ્યુડો-રિડક્ટિવ જૂથો, બીજી આવૃત્તિ, ન્યૂ મેથેમેટિકલ મોનોગ્રાફ્સ #26, XXIV + 665 પૃષ્ઠો, કેમ્બ્રિજ યુનિવર્સિટી પ્રેસ, 2015; બ્રાયન કોનરેડ અને ઓફેર ગેબર સાથે. [27]. સ્યુડો-રિડક્ટિવ જૂથોનું વર્ગીકરણ, એનલ્સ ઓફ મેથેમેટિક્સ સ્ટડીઝ #191,245 પૃષ્ઠો, પ્રિન્સટન યુનિવર્સિટી પ્રેસ, 2015; બ્રાયન કોનરેડ સાથે. [28]. બ્રુહટ-ટિટ્સ સિદ્ધાંત, આમેરમાં અનરેમિફાઇડ વંશ તરફનો એક નવો અભિગમ. જે. ગણિત. વોલ્યુમ. 142 #1 (2020), 215-253. [29]. ઘટાડેલા જૂથો અને ઇમારતો પર મર્યાદિત જૂથ ક્રિયાઓ અને બ્રુહટ-ટિટ્સ સિદ્ધાંત, આમેરમાં ટેમ્લી-રેમિફાઇડ વંશ. જે. ગણિત. વોલ્યુમ. 142 #4 (2020), 1239-1267. [30]. બ્રુહટ-ટિટ્સ થિયરીઃ એ ન્યૂ એપ્રોચ, કેમ્બ્રિજ યુનિવર્સિટી પ્રેસ, યુકે, 2022; તાશો કલેથા સાથે. બાહ્ય કડીઓ 1945 જન્મ જીવંત લોકો 20મી સદીના ભારતીય ગણિતશાસ્ત્રીઓ મગધ યુનિવર્સિટીના ભૂતપૂર્વ વિદ્યાર્થીઓ પટના યુનિવર્સિટીના ભૂતપૂર્વ વિદ્યાર્થીઓ મુંબઈ યુનિવર્સિટીના ભૂતપૂર્વ વિદ્યાર્થીઓ મિશિગન યુનિવર્સિટી ફેકલ્ટી લોકો ગાઝીપુર ટાટા ઇન્સ્ટિટ્યૂટ ઓફ ફંડામેન્ટલ રિસર્ચના ભૂતપૂર્વ વિદ્યાર્થીઓ ફેલોજ ઓફ ધ અમેરિકન મેથેમેટિકલ સોસાયટી ઉત્તર પ્રદેશના વૈજ્ઞાનિકો ગણિતશાસ્ત્રમાં શાંતિ સ્વરૂપ ભટનાગર પુરસ્કારના પ્રાપ્તકર્તાઓ