Cyclic polytope
ગણિતમાં, ચક્રીય પોલીટોપ, જેને C (n, d) તરીકે સૂચવવામાં આવે છે, તે એક બહિર્મુખ પોલીટોપ છે જે Rd માં તર્કસંગત સામાન્ય વળાંક પર n અલગ બિંદુઓના બહિર્મુખ આવરણ તરીકે રચાય છે, જ્યાં n એ d કરતા વધારે હોય છે. આ પોલીટોપનો અભ્યાસ કોન્સ્ટેન્ટિન કારાથિઓડોરી, ડેવિડ ગેલ, થિયોડોર મોત્ઝકિન, વિક્ટર ક્લી અને અન્ય લોકો દ્વારા કરવામાં આવ્યો હતો. તેઓ પોલિહેડ્રલ સંયોજનશાસ્ત્રમાં મહત્વની ભૂમિકા ભજવે છેઃ પીટર મેકમુલન અને રિચાર્ડ સ્ટેનલી દ્વારા સાબિત કરાયેલ ઉપલા બાઉન્ડ પ્રમેય અનુસાર, ચક્રીય પોલીટોપ C (n, d) ની સીમા, n શિરોબિંદુઓ સાથે પરિમાણ d−1ના તમામ સરળ ગોળાઓમાં i-પરિમાણીય ચહેરાની સંખ્યાને મહત્તમ કરે છે. વ્યાખ્યા ક્ષણનો વળાંક આના દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. શિરોબિંદુઓ સાથેનું-પરિમાણીય ચક્રીય પોલીટોપ એ મોમેન્ટ કર્વ સાથે અલગ-અલગ બિંદુઓનું બહિર્મુખ આવરણ છે. આ પોલીટોપનું સંયુક્ત માળખું પસંદ કરેલા બિંદુઓથી સ્વતંત્ર છે, અને પરિણામી પોલીટોપનું પરિમાણ d અને n શિરોબિંદુઓ છે. તેની સીમા એ (d−1)-પરિમાણીય સરળ પોલીટોપ છે જે Δ (n, d) તરીકે સૂચવવામાં આવે છે. પવનની સમાનતાની સ્થિતિ પવનની સમાનતાની સ્થિતિ ચક્રીય પોલીટોપ પર એક પાસું નક્કી કરવા માટે જરૂરી અને પૂરતી સ્થિતિ પૂરી પાડે છે. જવા દો. પછી, a-સબસેટ એ iff નું એક પાસું બનાવે છે જેમાં કોઈપણ બે ઘટકો અનુક્રમમાંથી સમાન સંખ્યામાં ઘટકો દ્વારા અલગ પડે છે. પડોશી ચક્રીય બહુપદીઓ પડોશી બહુપદીઓના ઉદાહરણો છે, જેમાં મહત્તમ ડી/2 શિરોબિંદુઓનો દરેક સમૂહ ચહેરો બનાવે છે. તેઓ જાણીતા પ્રથમ પડોશી પોલીટોપ્સ હતા, અને થિયોડોર મોત્ઝકિને અનુમાન લગાવ્યું હતું કે તમામ પડોશી પોલીટોપ્સ સંયુક્ત રીતે ચક્રીય પોલીટોપ્સના સમકક્ષ છે, પરંતુ હવે આ ખોટા હોવાનું જાણીતું છે. ચહેરાની સંખ્યા ચક્રીય પોલીટોપ Δ (n, d) ના i-પરિમાણીય ચહેરાની સંખ્યા સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે અને તે સંપૂર્ણપણે ડેહ્ન-સોમરવિલે સમીકરણો દ્વારા નક્કી થાય છે. અપર બાઉન્ડ થીયરમ અપર બાઉન્ડ થીયરમ જણાવે છે કે ચક્રીય બહુપદીઓ આપેલ પરિમાણ અને શિરોબિંદુઓની સંખ્યા માટે મહત્તમ સંભવિત સંખ્યા ધરાવે છેઃ જો δ એ n શિરોબિંદુઓ સાથે d−1 પરિમાણનો સરળ ગોળા હોય, તો પછી સરળ બહુપદીઓ માટેનો ઉપલા બાઉન્ડ અનુમાન થિયોડોર મોત્ઝકિન દ્વારા 1957માં પ્રસ્તાવિત કરવામાં આવ્યો હતો અને પીટર મેકમુલન દ્વારા 1970માં સાબિત કરવામાં આવ્યો હતો. વિક્ટર ક્લીએ સૂચવ્યું હતું કે સમાન નિવેદન તમામ સરળ ક્ષેત્રો માટે હોવું જોઈએ અને આ ખરેખર 1975 માં રિચાર્ડ પી. સ્ટેનલી દ્વારા સ્ટેનલી-રેઇસનર રિંગ અને હોમોલોજિકલ પદ્ધતિઓની કલ્પનાનો ઉપયોગ કરીને સ્થાપિત કરવામાં આવ્યું હતું. આ પણ જુઓ કોમ્બિનેટરિયલ કમ્યુટેટિવ બીજગણિત સંદર્ભો પોલિહેડ્રલ કોમ્બિનેટોરિક્સ