Quantization of the electromagnetic field
વિદ્યુતચુંબકીય ક્ષેત્રના પરિમાણીકરણનો અર્થ એ છે કે વિદ્યુતચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ફોટોન તરીકે ઓળખાતા અલગ ઊર્જા કોષો હોય છે. ફોટોન ચોક્કસ ઊર્જા, ચોક્કસ વેગ અને ચોક્કસ પરિભ્રમણના દળહીન કણો છે. ફોટોઇલેક્ટ્રિક અસરને સમજાવવા માટે, આલ્બર્ટ આઈન્સ્ટાઈને 1905માં સંશોધનાત્મક રીતે ધાર્યું હતું કે વિદ્યુતચુંબકીય ક્ષેત્રમાં hν માત્રાના ઊર્જાના કણો હોય છે, જ્યાં h એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે અને ν એ તરંગ આવર્તન છે. 1927માં પોલ એ. એમ. ડીરાક નવા ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સના ફેબ્રિકમાં ફોટોન ખ્યાલને વણાટ કરવામાં અને દ્રવ્ય સાથે ફોટોનની ક્રિયાપ્રતિક્રિયાનું વર્ણન કરવામાં સક્ષમ હતા. તેમણે એક તકનીક લાગુ કરી જેને હવે સામાન્ય રીતે સેકન્ડ ક્વોન્ટાઇઝેશન કહેવામાં આવે છે, જો કે આ શબ્દ ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ક્ષેત્રો માટે કંઈક અંશે ખોટું નામ છે, કારણ કે તે ક્લાસિકલ મેક્સવેલ સમીકરણોના ઉકેલો છે. ડીરાકના સિદ્ધાંતમાં ક્ષેત્રોને પ્રથમ વખત માપવામાં આવે છે અને તે પણ પ્રથમ વખત છે જ્યારે પ્લાન્કનો અચળાંક અભિવ્યક્તિઓમાં પ્રવેશ કરે છે. તેમના મૂળ કાર્યમાં, ડીરાકે વિવિધ વિદ્યુતચુંબકીય સ્થિતિઓ (ક્ષેત્રના ફોરિયર ઘટકો) અને સ્થિતિ ઊર્જાના તબક્કાઓને ગતિશીલ ચલ તરીકે માપવા માટે લીધા હતા (એટલે કે, તેમણે તેમને સંચાલકો તરીકે પુનઃવ્યાખ્યાયિત કર્યા અને તેમની વચ્ચેના પૂર્વધારણા પરિવર્તન સંબંધો). હાલમાં વેક્ટર પોટેન્શિયલના ફોરિયર ઘટકોનું પ્રમાણ નક્કી કરવું વધુ સામાન્ય છે. આ તે છે જે નીચે કરવામાં આવે છે. મોડ સાથે સંકળાયેલ ક્વોન્ટમ યાંત્રિક ફોટોન સ્થિતિ નીચે રજૂ કરવામાં આવી છે, અને તે દર્શાવવામાં આવ્યું છે કે તે નીચેના ગુણધર્મો ધરાવે છેઃ આ સમીકરણો અનુક્રમે કહે છેઃ ફોટોન શૂન્ય વિશ્રામી દળ ધરાવે છે; ફોટોન ઊર્જા hν = hc|k | છે (k એ તરંગ વેક્ટર છે, c એ પ્રકાશની ઝડપ છે); તેની વિદ્યુતચુંબકીય ગતિમાનતા ′k [′ = h/(2π)] છે; ધ્રુવીકરણ μ = ±1 એ ફોટોન સ્પિનના z-ઘટકનું આઈગન વેલ્યુ છે. બીજું ક્વોન્ટાઇઝેશન બીજું ક્વોન્ટાઇઝેશન સ્કેલર અથવા વેક્ટર ફિલ્ડ (અથવા વેવ ફંક્શન્સ) ના વિસ્તરણ સાથે શરૂ થાય છે, જેમાં કાર્યોના સંપૂર્ણ સમૂહનો સમાવેશ થાય છે. આ વિસ્તરણ કાર્યો એક જ કણના કોઓર્ડિનેટ્સ પર આધાર રાખે છે. બેસિસ ફંક્શન્સનો ગુણાકાર કરતા ગુણાંકને ઓપરેટર્સ તરીકે અર્થઘટન કરવામાં આવે છે અને આ નવા ઓપરેટરો વચ્ચે (વિરોધી) પરિવર્તન સંબંધો લાદવામાં આવે છે, બોસન્સ માટે પરિવર્તન સંબંધો અને ફર્મિઓન માટે પરિવર્તન વિરોધી સંબંધો (બેસિસ ફંક્શન્સને કંઈ થતું નથી). આમ કરવાથી, વિસ્તૃત ક્ષેત્રને ફર્મિઓન અથવા બોસોન સંચાલક ક્ષેત્રમાં રૂપાંતરિત કરવામાં આવે છે. વિસ્તરણ ગુણાંકને સામાન્ય સંખ્યાઓથી ઓપરેટરો, સર્જન અને વિનાશ ઓપરેટરોમાં પ્રોત્સાહન આપવામાં આવ્યું છે. ક્રિએશન ઓપરેટર અનુરૂપ બેસિસ ફંક્શનમાં કણ બનાવે છે અને વિનાશ ઓપરેટર આ ફંક્શનમાં કણનો નાશ કરે છે. ઇ. એમ. ક્ષેત્રોના કિસ્સામાં ક્ષેત્રનું જરૂરી વિસ્તરણ એ ફોરિયર વિસ્તરણ છે. ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ક્ષેત્ર અને વેક્ટર પોટેન્શિયલ શબ્દ સૂચવે છે તેમ, એક ઇ. એમ. ક્ષેત્રમાં બે વેક્ટર ક્ષેત્રો, એક વિદ્યુત ક્ષેત્ર અને એક ચુંબકીય ક્ષેત્ર હોય છે. બંને સમય-આધારિત વેક્ટર ક્ષેત્રો છે જે શૂન્યાવકાશમાં ત્રીજા વેક્ટર ક્ષેત્ર (વેક્ટર પોટેન્શિયલ) પર આધાર રાખે છે, તેમજ સ્કેલર ક્ષેત્ર જ્યાં ρ × A એ A નું વળાંક છે. કુલમ્બ ગેજ પસંદ કરવાથી, જેના માટે  વિદ્યમાન A = 0, A ને ત્રાંસા ક્ષેત્રમાં ફેરવે છે. વોલ્યુમ V = L3 ના મર્યાદિત ક્યુબિક બોક્સમાં બંધ વેક્ટર પોટેન્શિયલનું ફોરિયર વિસ્તરણ તે પછી છે જ્યાં ના જટિલ સંયોજનને સૂચવે છે. તરંગ વેક્ટર k એ (r, t) ના અનુરૂપ ફોરિયર ઘટક (એક ધ્રુવીકૃત મોનોક્રોમેટિક તરંગ) ની પ્રસાર દિશા આપે છે; તરંગ વેક્ટરની લંબાઈ ν મોડની આવર્તન સાથે હોય છે. આ સરવાળામાં k હકારાત્મક અને નકારાત્મક એમ બંને પૂર્ણાંકો પર ચાલે છે. (ફોરિયર આધારનો ઘટક એ જેમ વાસ્તવિક છે તેના ઘટકનો જટિલ સંયોજન છે.) વેક્ટર k ના ઘટકો અલગ મૂલ્યો ધરાવે છે (બાઉન્ડ્રી શરતનું પરિણામ છે કે A બોક્સની વિરુદ્ધ દિવાલો પર સમાન મૂલ્ય ધરાવે છે): બે e (μ) ("ધ્રુવીકરણ વેક્ટર") ડાબા અને જમણા હાથના ગોળાકાર ધ્રુવીકૃત (એલસીપી અને આરસીપી) માટે પરંપરાગત એકમ વેક્ટર છે. ઇ. એમ. તરંગો (જોન્સ કેલ્ક્યુલસ અથવા જોન્સ વેક્ટર, જોન્સ કેલ્ક્યુલસ જુઓ) અને k ને લંબરૂપ છે. તેઓ એકાત્મક પરિવર્તન દ્વારા ઓર્થોનોર્મલ કાર્ટેશિયન વેક્ટર ex અને i સાથે સંબંધિત છે, A નો k-th ફોરિયર ઘટક k ને લંબરૂપ વેક્ટર છે અને તેથી તે e (1) અને e (−1) નું રેખીય સંયોજન છે. સુપરસ્ક્રિપ્ટ μ એ e (μ) સાથેના ઘટકને સૂચવે છે. સ્પષ્ટપણે, ફોરિયર ગુણાંકનો (સ્વતંત્ર અનંત) સમૂહ અને વેક્ટર પોટેન્શિયલને વ્યાખ્યાયિત કરતા ચલ છે. નીચે મુજબ તેમને ઓપરેટર્સ તરીકે બઢતી આપવામાં આવશે. ઉપરના અને સંદર્ભમાં ક્ષેત્ર સમીકરણોનો ઉપયોગ કરીને, વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રો ઓળખ (અને વાહક છે) નો ઉપયોગ કરીને છે અને કારણ કે દરેક સ્થિતિ એક જ આવર્તન અવલંબન ધરાવે છે. ઇ. એમ. ક્ષેત્રનું ક્વોન્ટાઇઝેશન ક્વોન્ટાઇઝેશનનું સૌથી જાણીતું ઉદાહરણ એ છે કે કણના સમય-આધારિત રેખીય વેગને નિયમ દ્વારા બદલવો એ નોંધવું કે પ્લેન્કનો અચળાંક અહીં રજૂ કરવામાં આવ્યો છે અને શાસ્ત્રીય અભિવ્યક્તિની સમય-નિર્ભરતા ક્વોન્ટમ મિકેનિકલ ઓપરેટરમાં લેવામાં આવતી નથી (આ કહેવાતા શ્રોડિંગર ચિત્રમાં સાચું છે). ઇ. એમ. ક્ષેત્ર માટે આપણે કંઈક આવું જ કરીએ છીએ. જથ્થો એ વિદ્યુત અચળાંક છે, જે અહીં વિદ્યુતચુંબકીય એસ. આઈ. એકમોના ઉપયોગને કારણે દેખાય છે. ક્વોન્ટાઇઝેશનના નિયમો આ પ્રમાણે છેઃ બોસોન કમ્યુટેશન સંબંધોને આધિન ચોરસ કૌંસ એક કોમ્યુટેટર સૂચવે છે, જે કોઈપણ બે ક્વોન્ટમ મિકેનિકલ ઓપરેટરો A અને B દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. ક્લાસિકલથી ક્વોન્ટમ સિદ્ધાંતમાં સંક્રમણ માટે પ્લેન્કના અચળાંકની રજૂઆત આવશ્યક છે. હેમિલ્ટોનિયન (ઊર્જા સંચાલક) ને એક સરળ સ્વરૂપ આપવા માટે આ પરિબળ રજૂ કરવામાં આવ્યું છે, નીચે જુઓ. પરિમાણિત ક્ષેત્રો (સંચાલક ક્ષેત્રો) નીચે મુજબ છે જ્યાં ω = c |k | = ck. જમણી બાજુ સરળતાથી પ્રથમ ઉપયોગ કરીને મેળવી શકાય છે (યુલર સમીકરણ અને ત્રિકોણમિતિ ઓર્થોગોનાલિટીમાંથી મેળવી શકાય છે) જ્યાં k એ ઉપર વર્ણવ્યા મુજબ V = L × L × L ના બૉક્સમાં મર્યાદિત તરંગ માટે તરંગ સંખ્યા છે અને બીજું, ω = kc નો ઉપયોગ કરીને. ફિલ્ડ ઓપરેટરોને ક્લાસિકલ હેમિલ્ટોનિયનમાં બદલવાથી હેમિલ્ટન ઓપરેટરને ઇ. એમ. ક્ષેત્ર મળે છે, બીજી સમાનતા ઉપરથી k′ = k અને μ′ = μ સાથે બોસોન પરિવર્તન સંબંધોના ત્રીજા ભાગનો ઉપયોગ કરીને અનુસરે છે. ફરીથી નોંધ લો કે γω = hν = γ c|k | અને યાદ રાખો કે ω એ k પર આધાર રાખે છે, ભલે તે સંકેતમાં સ્પષ્ટ ન હોય. સંકેત ω (k) રજૂ કરી શકાયો હોત, પરંતુ તે સામાન્ય નથી કારણ કે તે સમીકરણોને અવ્યવસ્થિત કરે છે. ડિગ્રેશનઃ હાર્મોનિક ઓસિલેટર એક-પરિમાણીય ક્વોન્ટમ હાર્મોનિક ઓસિલેટરની બીજી ક્વોન્ટાઇઝ્ડ સારવાર એ ક્વોન્ટમ મિકેનિકલ અભ્યાસક્રમોમાં એક જાણીતો વિષય છે. અમે તેના વિશે થોડા શબ્દો કહીએ છીએ. હાર્મોનિક ઓસિલેટર હેમિલ્ટોનિયનનું સ્વરૂપ છે જ્યાં ω ષ્ણ2πν એ ઓસિલેટરની મૂળભૂત આવર્તન છે. ઓસિલેટરની જમીનની સ્થિતિ દ્વારા નિયુક્ત કરવામાં આવે છે; અને તેને "વેક્યૂમ સ્થિતિ" તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. તે બતાવી શકાય છે કે તે એક ઉત્તેજના સંચાલક છે, તે n ગણો ઉત્તેજિત અવસ્થામાંથી n + 1 ગણો ઉત્તેજિત અવસ્થામાં ઉત્તેજિત થાય છેઃ ખાસ કરીનેઃ અને હાર્મોનિક ઓસિલેટર ઊર્જાઓ સમાન અંતરે હોવાથી, n-ગણો ઉત્તેજિત અવસ્થાને એક જ સ્થિતિ તરીકે જોઈ શકાય છે જેમાં n કણો (કેટલીકવાર વાઇબ્રોન તરીકે ઓળખાય છે) અને તમામ ઊર્જા hν હોય છે. આ કણો બોસોન છે. સ્પષ્ટ કારણોસર ઉત્તેજના સંચાલકને સર્જન સંચાલક કહેવામાં આવે છે. પરિવર્તન સંબંધથી અનુસરે છે કે હર્મિશિયન સંલગ્ન ડી-એક્સાઇટ્સઃ ખાસ કરીને જેથી સ્પષ્ટ કારણોસર ડી-એક્સાઇટેશન ઓપરેટરને વિનાશ ઓપરેટર કહેવામાં આવે છે. ગાણિતિક પ્રેરણ દ્વારા નીચેનો "વિભેદન નિયમ", જેની પછી જરૂર પડશે, તે સરળતાથી સાબિત થાય છે, ધારો કે હવે આપણી પાસે સંખ્યાબંધ બિન-ક્રિયાપ્રતિક્રિયાશીલ (સ્વતંત્ર) એક-પરિમાણીય હાર્મોનિક ઓસિલેટર છે, દરેકની પોતાની મૂળભૂત આવર્તન ωi છે. કારણ કે ઓસિલેટર સ્વતંત્ર હોય છે, હેમિલ્ટોનિયન એ એક સરળ સરવાળો છેઃ તેને બદલીને આપણે જોઈએ છીએ કે ઇ. એમ. ક્ષેત્રના હેમિલ્ટોનિયનને ઊર્જાના સ્વતંત્ર ઓસિલેટરના હેમિલ્ટોનિયન તરીકે ગણી શકાય ω = |k |c જે e (μ) ની દિશામાં μ = ±1 સાથે ઓસિલેટ કરે છે. ફોટોન સંખ્યા જણાવે છે (ફોક જણાવે છે) પરિમાણિત ઇ. એમ. ક્ષેત્ર શૂન્યાવકાશ (કોઈ ફોટોન નહીં) સ્થિતિ ધરાવે છે. તેનો ઉપયોગ, કહો કે, m ફોટોનની ક્વોન્ટમ સ્થિતિ (k, μ) સ્થિતિમાં અને n ફોટોનની સ્થિતિ (k′, μ′) આપે છે. પ્રમાણસરતા પ્રતીકનો ઉપયોગ થાય છે કારણ કે ડાબી બાજુની સ્થિતિ એકતા માટે સામાન્ય નથી, જ્યારે જમણી બાજુની સ્થિતિ સામાન્ય થઈ શકે છે. ઓપરેટર નંબર ઓપરેટર છે. ક્વોન્ટમ યાંત્રિક ફોટોન સંખ્યા સ્થિતિ પર કાર્ય કરતી વખતે, તે સ્થિતિમાં ફોટોનની સંખ્યા (k, μ) પરત કરે છે. આ ત્યારે પણ લાગુ પડે છે જ્યારે આ સ્થિતિમાં ફોટોનની સંખ્યા શૂન્ય હોય, તો નંબર ઓપરેટર શૂન્ય આપે છે. એક-ફોટોન કીટ પર નંબર ઓપરેટરની ક્રિયા બતાવવા માટે, આપણે ધ્યાનમાં લઈએ છીએ કે, મોડનો નંબર ઓપરેટર (k, μ) જો મોડ ખાલી હોય તો શૂન્ય આપે છે અને જો મોડ એકલો હોય તો એકતા આપે છે. સમાન મોડના એન-ફોટોન કીટ પર મોડ (કે, એમયુ) ના નંબર ઓપરેટરની ક્રિયાને ધ્યાનમાં લેવા માટે, આપણે સૂચકાંકો કે અને એમયુ છોડીએ છીએ અને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ અગાઉ રજૂ કરાયેલા "તફાવત નિયમ" નો ઉપયોગ કરો અને તે અનુસરે છે કે એ ફોટોન નંબર સ્થિતિ (અથવા ફોક સ્થિતિ) એ નંબર ઓપરેટરની આઈગનસ્ટેટ છે. આ જ કારણ છે કે અહીં વર્ણવેલ ઔપચારિકતાને ઘણીવાર વ્યવસાય સંખ્યા પ્રતિનિધિત્વ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. ફોટોન ઊર્જા અગાઉ હેમિલ્ટોનિયન રજૂ કરવામાં આવી હતી. ઊર્જાના શૂન્યને સ્થાનાંતરિત કરી શકાય છે, જે સંખ્યા સંચાલકની દ્રષ્ટિએ અભિવ્યક્તિ તરફ દોરી જાય છે, એક-ફોટોન સ્થિતિ પર H ની અસર દેખીતી રીતે, એક-ફોટોન સ્થિતિ એ H ની આઈગન સ્થિતિ છે અને γω = hν એ અનુરૂપ ઊર્જા છે. એ જ રીતે ઉદાહરણ ફોટોન ઘનતા 100 કેડબલ્યુ રેડિયો ટ્રાન્સમીટિંગ સ્ટેશન દ્વારા બનાવવામાં આવેલી વિદ્યુતચુંબકીય ઊર્જા ઘનતાની ગણતરી વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ (ક્યાં?) પરના લેખમાં કરવામાં આવી છે. સ્ટેશનથી 5 કિમી દૂર ઊર્જાની ઘનતાનો અંદાજ 2.1 × 10−10 J/m3 હતો. શું સ્ટેશનના પ્રસારણનું વર્ણન કરવા માટે ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સની જરૂર છે? ઇ. એમ. કિરણોત્સર્ગનો શાસ્ત્રીય અંદાજ ત્યારે સારો હોય છે જ્યારે ફોટોનની સંખ્યા વોલ્યુમમાં એકતા કરતાં ઘણી મોટી હોય છે જ્યાં λ એ રેડિયો તરંગોની લંબાઈ હોય છે. તે કિસ્સામાં ક્વોન્ટમ વધઘટ નજીવી હોય છે અને સાંભળી શકાતી નથી. ધારો કે રેડિયો સ્ટેશન ν = 100 મેગાહર્ટઝ પર પ્રસારણ કરે છે, તો તે νh = 1 × 108 × 6.6 × 10−34 = 6.6 × 10−26 J ની ઊર્જા સામગ્રી સાથે ફોટોન મોકલી રહ્યું છે, જ્યાં h એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે. સ્ટેશનની તરંગલંબાઇ λ = c/ν = 3 m છે, જેથી λ/(2π) = 48 સે. મી. અને કદ 0.109 m3 છે. આ વોલ્યુમ તત્વની ઊર્જાનું પ્રમાણ 2.1 ×10−10 × 0.109 = 2.3 ×10−11 J છે, જે પ્રતિ ફોટોન 3.4 × 1014 જેટલું છે દેખીતી રીતે, 3.4 × 1014> 1 અને તેથી ક્વોન્ટમ અસરો ભૂમિકા ભજવતી નથી; આ સ્ટેશન દ્વારા ઉત્સર્જિત તરંગો શાસ્ત્રીય મર્યાદા દ્વારા સારી રીતે વર્ણવવામાં આવે છે અને ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સની જરૂર નથી. ફોટોન વેગ વિદ્યુતચુંબકીય ક્ષેત્રના ફોરિયર વિસ્તરણને શાસ્ત્રીય સ્વરૂપમાં રજૂ કરવાથી ઉપજની માત્રા મળે છે 1/2 શબ્દને પડતો મૂકી શકાય છે, કારણ કે જ્યારે કોઈ માન્ય k પર સરવાળો કરે છે, ત્યારે k − k સાથે રદ થાય છે. સિંગલ-ફોટોન સ્થિતિ પર PEM ની અસર દેખીતી રીતે, સિંગલ-ફોટોન સ્થિતિ એ મોમેન્ટમ ઓપરેટરની આઇગેનસ્ટેટ છે, અને γk એ આઇગેનવેલ્યુ (સિંગલ ફોટોનની મોમેન્ટમ) છે. ફોટોન દળ બિન-શૂન્ય રેખીય વેગ ધરાવતો ફોટોન, કોઈ કલ્પના કરી શકે છે કે તેની પાસે બિન-લુપ્ત વિરામ દળ m0 છે, જે શૂન્ય ઝડપે તેનું દળ છે. જો કે, હવે આપણે બતાવીશું કે આ કેસ નથીઃ m0 = 0. ફોટોન પ્રકાશની ગતિ સાથે પ્રસરે છે, તેથી વિશેષ સાપેક્ષતા માટે કહેવામાં આવે છે. ઊર્જા અને વેગ વર્ગ માટે સાપેક્ષ અભિવ્યક્તિઓ છે, p2/E2 થી, ઉપયોગ કરો અને તે અનુસરે છે જેથી m0 = 0. ફોટોન સ્પિન ફોટોનને સ્પિન ક્વોન્ટમ નંબર S = 1 સાથે ત્રિપાઇ સ્પિન સોંપી શકાય છે. આ 14N આઇસોટોપના પરમાણુ પરિભ્રમણ જેવું જ છે, પરંતુ મહત્વપૂર્ણ તફાવત એ છે કે MS = 0 સાથેની સ્થિતિ શૂન્ય છે, માત્ર MS = ±1 સાથેની સ્થિતિઓ બિન-શૂન્ય છે. સ્પિન ઓપરેટરોને વ્યાખ્યાયિત કરો બે ઓર્થોગોનલ એકમ વેક્ટર વચ્ચેના બે ઓપરેટરો ડાયડિક ઉત્પાદનો છે. એકમ વેક્ટર પ્રસાર દિશા k (ઝેડ અક્ષની દિશા, જે સ્પિન ક્વોન્ટાઇઝેશન અક્ષ છે) ને લંબરૂપ હોય છે. સ્પિન ઓપરેટરો સામાન્ય કોણીય વેગ પરિવર્તન સંબંધોને સંતોષે છે ખરેખર, ડાયડિક ઉત્પાદન ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરે છે કારણ કે ez એકમ લંબાઈનો હોય છે. આ રીતે, નિરીક્ષણ દ્વારા તે અનુસરે છે અને તેથી ફોટોન સ્પિનને લેબલ કરે છે, કારણ કે વેક્ટર પોટેન્શિયલ A એક ત્રાંસા ક્ષેત્ર છે, ફોટોન પાસે કોઈ આગળ (μ = 0) સ્પિન ઘટક નથી. મનસ્વી સ્પિન ક્ષેત્રોના ક્યુ. ઇ. ડી. વેક્યૂમ જનરલાઈઝ્ડ પોલરાઇઝેશન વેક્ટર પણ જુઓ. સંદર્ભો ગેજ સિદ્ધાંતો ગાણિતિક પરિમાણ