Lie point symmetry
લાઈ પોઇન્ટ સમપ્રમાણતા એ અદ્યતન ગણિતમાં એક ખ્યાલ છે. ઓગણીસમી સદીના અંત સુધીમાં, સોફુસ લાઇએ સામાન્ય વિભેદક સમીકરણો (ODE) ના ઉકેલોનો અભ્યાસ કરવા માટે લાઈ જૂથની કલ્પના રજૂ કરી હતી. તેમણે નીચેનો મુખ્ય ગુણધર્મ દર્શાવ્યો હતોઃ સામાન્ય વિભેદક સમીકરણનો ક્રમ જો બિંદુ પરિવર્તનના એક-પરિમાણ લાઈ જૂથ હેઠળ અપરિવર્તનશીલ હોય તો તેને એક વડે ઘટાડી શકાય છે. આ નિરીક્ષણ ઉપલબ્ધ એકીકરણ તકનીકોને એકીકૃત અને વિસ્તૃત કરે છે. લાઈએ તેમની બાકીની ગાણિતિક કારકિર્દી આ સતત જૂથો વિકસાવવા માટે સમર્પિત કરી જે હવે ગાણિતિક આધારિત વિજ્ઞાનના ઘણા ક્ષેત્રો પર અસર કરે છે. વિભેદક પ્રણાલીઓમાં લાઈ જૂથોના ઉપયોગો મુખ્યત્વે લાઈ અને એમી નોથર દ્વારા સ્થાપિત કરવામાં આવ્યા હતા, અને પછી એલી કાર્ટન દ્વારા હિમાયત કરવામાં આવી હતી. આશરે કહીએ તો, સિસ્ટમની લાઈ પોઇન્ટ સમપ્રમાણતા એ પરિવર્તનોનું સ્થાનિક જૂથ છે જે સિસ્ટમના દરેક ઉકેલને સમાન સિસ્ટમના બીજા ઉકેલમાં મેપ કરે છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, તે સિસ્ટમના ઉકેલ સમૂહને પોતે જ મેપ કરે છે. લાઈ જૂથોના પ્રાથમિક ઉદાહરણો અનુવાદો, પરિભ્રમણ અને સ્કેલિંગ છે. લાઈ સમપ્રમાણતા સિદ્ધાંત એક જાણીતો વિષય છે. તેમાં ઉદાહરણ તરીકે, સ્વતંત્ર સમપ્રમાણતાના વિરોધમાં સતત સમપ્રમાણતાની ચર્ચા કરવામાં આવી છે. આ સિદ્ધાંત માટેનું સાહિત્ય અન્ય સ્થળોની સાથે આ નોંધોમાં પણ મળી શકે છે. ઝાંખી સમપ્રમાણતાના પ્રકાર જૂથો આવેલા છે અને તેથી તેમના અનંત જનરેટરને સ્વતંત્ર ચલ, સ્થિતિ ચલ (આશ્રિત ચલ) અને કોઈપણ મર્યાદિત ક્રમ સુધી સ્થિતિ ચલના વ્યુત્પન્નની જગ્યા પર કાર્ય કરવા માટે કુદરતી રીતે "વિસ્તૃત" કરી શકાય છે. સમપ્રમાણતાના અન્ય ઘણા પ્રકારો છે. ઉદાહરણ તરીકે, સંપર્ક પરિવર્તન અનંત જનરેટરના ગુણાંકને કોઓર્ડિનેટ્સના પ્રથમ ડેરિવેટિવ્ઝ પર પણ આધાર રાખે છે. લાઈ-બેકલંડ પરિવર્તન તેમને મનસ્વી ક્રમ સુધી વ્યુત્પન્નોનો સમાવેશ કરવા દે છે. આવી સમપ્રમાણતાના અસ્તિત્વની શક્યતાને નોથર દ્વારા માન્યતા આપવામાં આવી હતી. લાઈ બિંદુ સમપ્રમાણતા માટે, અનંત જનરેટરના ગુણાંક માત્ર કોઓર્ડિનેટ્સ પર આધાર રાખે છે, જે દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. સામાન્ય વિભેદક સમીકરણોને ઉકેલવા માટે લાઈ દ્વારા લાઈ સમપ્રમાણતા રજૂ કરવામાં આવી હતી. સમપ્રમાણતા પદ્ધતિઓનો બીજો ઉપયોગ એ છે કે વિભેદક સમીકરણોની પ્રણાલીઓને ઘટાડવી, સરળ સ્વરૂપના વિભેદક સમીકરણોની સમકક્ષ પ્રણાલીઓ શોધવી. આને ઘટાડો કહેવામાં આવે છે. સાહિત્યમાં, શાસ્ત્રીય ઘટાડો પ્રક્રિયા અને ગતિશીલ ફ્રેમ-આધારિત ઘટાડો પ્રક્રિયા શોધી શકાય છે. સમાધાનોના વિવિધ સમપ્રમાણતા વર્ગોનું વર્ગીકરણ કરવા માટે પણ સમપ્રમાણતા જૂથોનો ઉપયોગ કરી શકાય છે. ભૌમિતિક માળખું અનંત અભિગમ અસત્યના મૂળભૂત સિદ્ધાંતો રેખાંકિત કરે છે કે અસત્ય જૂથોને અનંત જનરેટર તરીકે ઓળખાતા તત્વો દ્વારા વર્ગીકૃત કરી શકાય છે. આ ગાણિતિક પદાર્થો અનંત જનરેટરના લાઈ બીજગણિત બનાવે છે. સમપ્રમાણતા જૂથોના બંધ સ્વરૂપને શોધવા માટે ઘટાડેલી "અનંત સમપ્રમાણતા શરતો" (સમપ્રમાણતા જૂથના સમીકરણોને વ્યાખ્યાયિત કરવા) સ્પષ્ટ રીતે ઉકેલી શકાય છે, અને આમ સંકળાયેલ અનંત જનરેટર. ચાલો કોઓર્ડિનેટ્સનો સમૂહ બનીએ જેના પર સિસ્ટમ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જ્યાં તેની મુખ્યતા છે. ક્ષેત્રમાં એક અનંત જનરેટર એક રેખીય સંચાલક છે જે તેના કર્નલમાં હોય છે અને તે લીબનીઝ નિયમને સંતોષે છેઃ પ્રાથમિક વ્યુત્પત્તિઓના પ્રમાણભૂત આધારમાં, તેને આ રીતે લખવામાં આવે છેઃ જ્યાં બધા માટે અંદર છે. લાઈ જૂથો અને અસીમ જનરેટરના લાઈ આલ્જેબ્રા લાઈ આલ્જેબ્રા ઉપર વ્યાખ્યાયિત કર્યા મુજબ અનંત જનરેટરના જનરેટિંગ સેટ દ્વારા પેદા કરી શકાય છે. દરેક લાઈ જૂથ માટે, લાઈ બીજગણિતને જોડી શકાય છે. આશરે, લાઈ બીજગણિત એ વધારાની કામગીરી તરીકે લાઈ કૌંસથી સજ્જ વેક્ટર જગ્યા દ્વારા રચાયેલ બીજગણિત છે. લાઈ બીજગણિતનું આધાર ક્ષેત્ર અપરિવર્તનશીલની વિભાવના પર આધારિત છે. અહીં માત્ર મર્યાદિત-પરિમાણીય લાઈ આલ્જેબ્રા ગણવામાં આવે છે. સતત ગતિશીલ પ્રણાલીઓ ગતિશીલ પ્રણાલી (અથવા પ્રવાહ) એ એક-પરિમાણ જૂથ ક્રિયા છે. ચાલો આપણે આવી ગતિશીલ પ્રણાલી દ્વારા સૂચવીએ, વધુ ચોક્કસપણે, એક મેનીફોલ્ડ પર જૂથની (ડાબે-) ક્રિયાઃ જેમ કે તમામ બિંદુઓ માટેઃ જ્યાં તટસ્થ તત્વ છે; બધા માટે,. સતત ગતિશીલ પ્રણાલીને એવા જૂથ પર વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જેને ઓળખી શકાય છે. જૂથના ઘટકો સતત છે. એક અપરિવર્તનશીલ, આશરે કહીએ તો, એક તત્વ છે જે પરિવર્તન હેઠળ બદલાતું નથી. લાઈ બિંદુ સમપ્રમાણતાની વ્યાખ્યા આ ફકરામાં, આપણે ચોક્કસપણે વિસ્તૃત લાઈ બિંદુ સમપ્રમાણતા એટલે કે લાઈ બિંદુ સમપ્રમાણતાને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ. આપણે વિસ્તૃત જગ્યામાં કામ કરીએ છીએ એટલે કે સ્વતંત્ર ચલ, સ્થિતિ ચલ અને પરિમાણો વચ્ચેનો તફાવત શક્ય તેટલું ટાળવામાં આવે છે. પ્રણાલીનું સમપ્રમાણતા જૂથ એ એક સતત ગતિશીલ પ્રણાલી છે જે મેનીફોલ્ડ પર કામ કરતા સ્થાનિક લાઈ જૂથ પર વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે. સ્પષ્ટતાની ખાતર, આપણે આપણી જાતને n-પરિમાણીય વાસ્તવિક મેનીફોલ્ડ્સ સુધી મર્યાદિત રાખીએ છીએ જ્યાં સિસ્ટમ કોઓર્ડિનેટ્સની સંખ્યા છે. બીજગણિત પ્રણાલીઓની લાઈ પોઇન્ટ સમપ્રમાણતા ચાલો આપણે આગામી સમપ્રમાણતાની વ્યાખ્યામાં ઉપયોગમાં લેવાતી બીજગણિત પ્રણાલીઓને વ્યાખ્યાયિત કરીએ. બીજગણિત પ્રણાલીઓ ચાલો ક્ષેત્ર પર તર્કસંગત કાર્યોનો મર્યાદિત સમૂહ હોઈએ જ્યાં અને એટલે કે બહુપદીઓ છે. ગુણાંક સાથેના ચલમાં. તેની સાથે સંકળાયેલી બીજગણિત પ્રણાલીને નીચેની સમાનતાઓ અને અસમાનતાઓ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છેઃ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત બીજગણિત પ્રણાલી નિયમિત છે. સ્મૂથ) જો સિસ્ટમ મહત્તમ ક્રમની હોય, એટલે કે જેકોબિયન મેટ્રિક્સ સંકળાયેલ અર્ધ-બીજગણિત વિવિધતાના દરેક ઉકેલ પર ક્રમનો હોય. લાઈ બિંદુ સમપ્રમાણતાની વ્યાખ્યા નીચે આપેલા પ્રમેય (જુઓ th. 2 માં 2.8) જરૂરી અને પૂરતી શરતો આપે છે જેથી સ્થાનિક લાઈ જૂથ બીજગણિત પ્રણાલીનું સમપ્રમાણતા જૂથ બને. પ્રમેય. ચાલો n-પરિમાણીય અવકાશમાં કાર્યરત સતત ગતિશીલ પ્રણાલીનું જોડાયેલ સ્થાનિક લાઈ જૂથ બનીએ. ચાલો બીજગણિત સમીકરણોની નિયમિત પ્રણાલીને વ્યાખ્યાયિત કરીએઃ પછી આ બીજગણિત પ્રણાલીનું સમપ્રમાણતા જૂથ છે જો, અને માત્ર જો, ના લાઈ બીજગણિતમાં દરેક અનંત જનરેટર માટે. ઉદાહરણ 6 ચલની જગ્યા પર વ્યાખ્યાયિત બીજગણિત પ્રણાલીનો વિચાર કરો, એટલે કેઃ અનંત જનરેટર એક-પરિમાણ સમપ્રમાણતા જૂથોમાંથી એક સાથે સંકળાયેલું છે. તે 4 ચલ પર કાર્ય કરે છે, એટલે કે અને. કોઈ તેને સરળતાથી ચકાસી શકે છે અને. આ રીતે બીજગણિત પ્રણાલીને લુપ્ત કરતી કોઈપણ બાબત માટે સંબંધો સંતુષ્ટ થાય છે. ગતિશીલ પ્રણાલીઓની લાઈ પોઇન્ટ સમપ્રમાણતા ચાલો આપણે આગામી સમપ્રમાણતાની વ્યાખ્યામાં ઉપયોગમાં લેવાતી પ્રથમ ક્રમની ODE ની પ્રણાલીઓને વ્યાખ્યાયિત કરીએ. ODEs અને સંકળાયેલ અનંત જનરેટરની પ્રણાલીઓ WRT વ્યુત્પત્તિ હોઈ શકે છે. સતત સ્વતંત્ર ચલ. આપણે બે સમૂહોને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ. સંકળાયેલ સંકલન સમૂહ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે અને તેનું મુખ્ય છે. આ સંકેતો સાથે, પ્રથમ ક્રમની ODE ની પ્રણાલી એ એવી પ્રણાલી છે જ્યાંઃ અને સમૂહ ODE ના સ્થિતિ ચલની ઉત્ક્રાંતિને સ્પષ્ટ કરે છે. સ્વતંત્ર ચલ. સમૂહના તત્વોને સ્થિતિ ચલ કહેવામાં આવે છે, આ પરિમાણો છે. કોઈ પણ સતત ગતિશીલ પ્રણાલીને તેના સમીકરણોને ઉકેલીને ODE ની પ્રણાલી સાથે જોડી શકે છે. અનંત જનરેટર એ એક વ્યુત્પત્તિ છે જે ODE ની પ્રણાલીઓ સાથે નજીકથી સંબંધિત છે (વધુ ચોક્કસપણે સતત ગતિશીલ પ્રણાલીઓ સાથે). ODE ની પ્રણાલી, સંકળાયેલ વેક્ટર ક્ષેત્ર અને અનંત જનરેટર વચ્ચેની કડી માટે, વિભાગ 1.3 જુઓ. ઉપર વર્ણવ્યા મુજબ ODE ની પ્રણાલી સાથે સંકળાયેલ અનંત જનરેટરને નીચે મુજબ સમાન સંકેતો સાથે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છેઃ લાઈ બિંદુ સમપ્રમાણતાની વ્યાખ્યા અહીં આવી સમપ્રમાણતાની ભૌમિતિક વ્યાખ્યા છે. ચાલો એક સતત ગતિશીલ પ્રણાલી અને તેનું અનંત જનરેટર બનીએ. સતત ગતિશીલ પ્રણાલી એ લાઈ બિંદુ સમપ્રમાણતા છે, જો, અને માત્ર ત્યારે જ, દરેક ભ્રમણકક્ષાને ભ્રમણકક્ષામાં મોકલે છે. તેથી, અનંત જનરેટર લાઈ કૌંસના આધારે નીચેના સંબંધને સંતોષે છેઃ જ્યાં અને એટલે કે કોઈપણ અચળાંક છે. . આ જનરેટર રેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે. તેની સમપ્રમાણતાના અનંત જનરેટરની ગણતરી કરવા માટે સ્પષ્ટ સૂત્રોની જરૂર નથી. ઉદાહરણ પિયરે ફ્રાન્કોઇસ વેરહુલ્સ્ટના લોજિસ્ટિક વૃદ્ધિ મોડેલને રેખીય પ્રિડેશન સાથે ધ્યાનમાં લો, જ્યાં રાજ્ય ચલ વસ્તીનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. પરિમાણ એ વૃદ્ધિ અને શિકાર દર વચ્ચેનો તફાવત છે અને પરિમાણ પર્યાવરણની ગ્રહણશીલ ક્ષમતાને અનુરૂપ છેઃ ODE ની આ પ્રણાલી સાથે સંકળાયેલ સતત ગતિશીલ પ્રણાલી છેઃ સ્વતંત્ર ચલ સતત બદલાય છે; આમ સંકળાયેલ જૂથને તેની સાથે ઓળખી શકાય છે. ODE ની આ પ્રણાલી સાથે સંકળાયેલ અનંત જનરેટર છેઃ નીચેના અનંત જનરેટર 2-પરિમાણીય સમપ્રમાણતા જૂથના છેઃ સોફ્ટવેર આ ક્ષેત્રમાં ઘણા સોફ્ટવેર પેકેજો અસ્તિત્વમાં છે. ઉદાહરણ તરીકે, મેપલનું પેકેજ લાઈસિમમ PDE માટે કેટલીક લાઈ સમપ્રમાણતા પદ્ધતિઓ પ્રદાન કરે છે. તે નિર્ધારિત પ્રણાલીઓના એકીકરણ અને વિભેદક સ્વરૂપોમાં પણ હેરફેર કરે છે. નાની સિસ્ટમો પર તેની સફળતા હોવા છતાં, નિર્ધારિત સિસ્ટમોને આપમેળે ઉકેલવા માટેની તેની એકીકરણ ક્ષમતાઓ જટિલતાના મુદ્દાઓ દ્વારા મર્યાદિત છે. DETools પેકેજ ODE ની લાઈ સમપ્રમાણતા શોધવા માટે વેક્ટર ક્ષેત્રોના વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરે છે. ODE માટે લાઈ સમપ્રમાણતા શોધવી, સામાન્ય કિસ્સામાં, મૂળ પ્રણાલીને ઉકેલવા જેટલી જ જટિલ હોઈ શકે છે. સંદર્ભો જૂઠ જૂથો સમપ્રમાણતા