Reeb sphere theorem
ગણિતમાં, રીબ ગોળા પ્રમેય, જેને જ્યોર્જ રીબના નામ પરથી નામ આપવામાં આવ્યું છે, તે જણાવે છે કે એક બંધ લક્ષી જોડાયેલ મેનીફોલ્ડ એમ. એન. જે માત્ર કેન્દ્રો ધરાવતા એકવચન ફોલિયેશનને સ્વીકારે છે તે ગોળા એસ. એન. માટે હોમોમોર્ફિક છે અને ફોલિયેશન બરાબર બે સિંગ્યુલારીટી ધરાવે છે. મોર્સ ફોલિયેશન એ ફોલિયેશન એફની એકવચનતા મોર્સ પ્રકારની હોય છે જો તેના નાના પડોશમાં ફોલિયેશનના તમામ પાંદડાઓ મોર્સ ફંક્શનના સ્તરના સમૂહો હોય, કારણ કે એકવચનતા એ ફંક્શનનું નિર્ણાયક બિંદુ છે. જો તે કાર્યની સ્થાનિક ચરમસીમા હોય તો સિંગ્યુલારીટી એ કેન્દ્ર છે; અન્યથા, સિંગ્યુલારીટી એ કાઠી છે. કેન્દ્રોની સંખ્યા સી અને સેડલ્સની સંખ્યા, ખાસ કરીને, મેનીફોલ્ડ ટોપોલોજી સાથે ચુસ્ત રીતે જોડાયેલ છે. આપણે એકત્વની અનુક્રમણિકા સૂચવીએ છીએ, જ્યાં k એ મોર્સ વિધેયના અનુરૂપ નિર્ણાયક બિંદુનો અનુક્રમણિકા છે. ખાસ કરીને, કેન્દ્રમાં અનુક્રમણિકા 0 હોય છે, કાઠીની અનુક્રમણિકા ઓછામાં ઓછી 1 હોય છે. મેનીફોલ્ડ એમ પર મોર્સ ફોલિયેશન એફ એ એકવચન ટ્રાન્સવર્સલી ઓરિએન્ટેડ કોડિમેન્શન છે, જે વર્ગનું એક ફોલિયેશન છે, જેમાં અલગ અલગ સિંગ્યુલારીટી હોય છે, જેમ કેઃ એફની દરેક સિંગ્યુલારીટી મોર્સ પ્રકારની હોય છે, દરેક સિંગ્યુલર પર્ણ એલમાં એક અનન્ય સિંગ્યુલારીટી પી હોય છે; વધુમાં, જો તે પછી જોડાયેલ ન હોય તો. રીબ ગોળા પ્રમેય આ કેસ છે, સેડલ્સ વિનાનો કેસ. પ્રમેયઃ ચાલો પરિમાણનું બંધ લક્ષી જોડાયેલ મેનીફોલ્ડ હોઈએ. ધારો કે તે એકલતાના બિન-ખાલી સમૂહ સાથે-ટ્રાન્સવર્સલી ઓરિએન્ટેડ કોડિમેન્શન એક ફોલિયેશનને સ્વીકારે છે, તે બધા કેન્દ્રો છે. પછી એકવચન સમૂહમાં બે બિંદુઓ હોય છે અને તે ગોળા માટે હોમોમોર્ફિક હોય છે. તે રીબ સ્થિરતા પ્રમેયનું પરિણામ છે. સામાન્યીકરણ વધુ સામાન્ય કિસ્સો એ છે કે 1978માં, એડવર્ડ વેગન્યુરે રીબ ગોળાના પ્રમેયને સેડલ્સ સાથેના મોર્સ પર્ણસમૂહમાં સામાન્ય બનાવ્યું હતું. તેમણે દર્શાવ્યું હતું કે કેન્દ્રોની સંખ્યા સેડલ્સની સંખ્યાની સરખામણીમાં ખૂબ વધારે ન હોઈ શકે, ખાસ કરીને. તેથી ત્યાં બરાબર બે કિસ્સાઓ છે જ્યારેઃ (1) (2) તેમણે (1) ને સંતોષતા એકવચનતા સાથે ફોલિયેશનને સ્વીકારતા મેનીફોલ્ડનું વર્ણન મેળવ્યું. પ્રમેયઃ ચાલો કેન્દ્રો અને સેડલ્સ સાથે મોર્સ ફોલિયેશનને સ્વીકારતા કોમ્પેક્ટ કનેક્ટેડ મેનીફોલ્ડ હોઈએ. પછી. જો તે હોમોમોર્ફિક હોય, તો તમામ સેડલ્સમાં અનુક્રમણિકા 1 હોય છે, દરેક નિયમિત પાંદડા માટે ડિફિયોમોર્ફિક હોય છે. છેવટે, 2008 માં, સેસર કામાચો અને બ્રુનો સ્કાર્ડુઆએ કેસ (2) પર વિચાર કર્યો. આ ઓછી સંખ્યામાં ઓછા પરિમાણોમાં શક્ય છે. પ્રમેયઃ ચાલો કોમ્પેક્ટ કનેક્ટેડ મેનીફોલ્ડ અને મોર્સ ફોલિયેશન ચાલુ કરીએ. જો, પછી અથવા, એ ઈલ્સ-કુઇપર મેનીફોલ્ડ છે. સંદર્ભો પર્ણસમૂહ ટોપોલોજીમાં પ્રમેયો