Schwarz's list
વિશેષ વિધેયોના ગાણિતિક સિદ્ધાંતમાં, શ્વાર્ઝની સૂચિ અથવા શ્વાર્ટઝ કોષ્ટક એ 15 કિસ્સાઓની સૂચિ છે જે હાયપરજિયોમેટ્રિક વિધેયોને બીજગણિત રીતે વ્યક્ત કરી શકાય છે. વધુ ચોક્કસપણે, તે એવા કિસ્સાઓ નક્કી કરતા પરિમાણોની સૂચિ છે જેમાં હાયપરજિયોમેટ્રિક સમીકરણમાં મર્યાદિત મોનોડ્રોમી જૂથ હોય છે, અથવા સમકક્ષ બે સ્વતંત્ર ઉકેલો હોય છે જે બીજગણિત કાર્યો છે. તે 15 કેસોની યાદી આપે છે, જેને મોનોડ્રોમી જૂથના સમરૂપતા વર્ગ (ચક્રીય જૂથના કેસને બાદ કરતાં) દ્વારા વિભાજિત કરવામાં આવે છે, અને સૌપ્રથમ શ્વાર્ઝ દ્વારા જટિલ વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિ પદ્ધતિઓ દ્વારા મેળવવામાં આવ્યા હતા. તદનુસાર નિવેદન સીધા હાયપરજિયોમેટ્રિક સમીકરણને સ્પષ્ટ કરતા પરિમાણોના સંદર્ભમાં નથી, પરંતુ ચોક્કસ ગોળાકાર ત્રિકોણોનું વર્ણન કરવા માટે ઉપયોગમાં લેવાતા જથ્થાના સંદર્ભમાં છે. જટિલ સમતલમાં સામાન્ય બીજા ક્રમના વિભેદક સમીકરણો માટે કોષ્ટકનું વ્યાપક મહત્વ ફેલિક્સ ક્લેઇન દ્વારા દર્શાવવામાં આવ્યું હતું, જેમણે આ અસરનું પરિણામ સાબિત કર્યું હતું કે આવા સમીકરણો અને નિયમિત એકવચનતા માટે મર્યાદિત મોનોડ્રોમીના કિસ્સાઓ ચલ (રીમાન ગોળાના જટિલ વિશ્લેષણાત્મક મેપિંગ્સ) ના ફેરફારોને આભારી હોઈ શકે છે જે સમીકરણને હાયપરજિયોમેટ્રિક સ્વરૂપમાં ઘટાડે છે. હકીકતમાં વધુ સાચું છેઃ શ્વાર્ઝની સૂચિ મર્યાદિત મોનોડ્રોમી ધરાવતી કોમ્પેક્ટ રીમાન સપાટીઓ પર નિયમિત સિંગ્યુલારીટીવાળા તમામ બીજા ક્રમના સમીકરણોને આધાર આપે છે, રીમાન ગોળા પરના હાયપરજિયોમેટ્રિક સમીકરણમાંથી જટિલ વિશ્લેષણાત્મક મેપિંગ દ્વારા પુલબેક દ્વારા, સમીકરણના ડેટામાંથી ગણતરી કરી શકાય તેવા ડિગ્રી દ્વારા. સંખ્યાઓ એ ત્રણ એકવચન બિંદુઓ પર હાયપરજિયોમેટ્રિક વિભેદક સમીકરણના ઘટકોના તફાવતો છે (ક્રમચયો, નિશાનીના ફેરફારો અને સમ સાથેનો ઉમેરો). જો અને હોય તો જ તે તર્કસંગત સંખ્યાઓ છે, જે સિદ્ધાંતના ભૌમિતિક અભિગમોને બદલે અંકગણિતમાં મહત્વ ધરાવે છે. શ્વાર્ઝના પરિણામોનું વિસ્તરણ ટી. કિમુરા દ્વારા આપવામાં આવ્યું હતું, જેમણે એવા કિસ્સાઓ સાથે વ્યવહાર કર્યો હતો કે જ્યાં હાયપરજિયોમેટ્રિક સમીકરણના વિભેદક ગેલોઇસ જૂથનો ઓળખ ઘટક ઉકેલવા યોગ્ય જૂથ છે. વિભેદક ગેલોઇસ જૂથ જી અને મોનોડ્રોમી જૂથને જોડતું એક સામાન્ય પરિણામ જણાવે છે કે જી એ ઝરીસ્કી ક્લોઝર છે-આ પ્રમેય માત્સુડાના પુસ્તકમાં મિચિઓ કુગાને આભારી છે. સામાન્ય વિભેદક ગેલોઇસ સિદ્ધાંત દ્વારા, પરિણામી કિમુરા-શ્વાર્ઝ કોષ્ટક બીજગણિત કાર્યો અને ચતુર્ભુજ દ્વારા સમીકરણની સંકલનશીલતાના કિસ્સાઓનું વર્ગીકરણ કરે છે. અન્ય સંબંધિત સૂચિ કે. ટેકુચીની છે, જેમણે (હાયપરબોલિક) ત્રિકોણ જૂથોને વર્ગીકૃત કર્યા છે જે અંકગણિત જૂથો છે (85 ઉદાહરણો). એમિલ પિકાર્ડે સામાન્યીકૃત હાયપરજિયોમેટ્રિક કાર્યના માધ્યમથી જટિલ ભૂમિતિમાં શ્વાર્ઝના કાર્યને વિસ્તારવાની માંગ કરી હતી, જેથી એવા સમીકરણોના કિસ્સાઓનું નિર્માણ કરી શકાય જ્યાં મોનોડ્રોમી પ્રોજેક્ટિવ એકાત્મક જૂથ પીયુ (1, એન) માં એક અલગ જૂથ હતું. પિયરે ડેલીગ્ને અને જ્યોર્જ મોસ્ટોએ તેમના વિચારોનો ઉપયોગ પ્રોજેક્ટિવ એકાત્મક જૂથમાં જાળી બનાવવા માટે કર્યો હતો. આ કાર્ય શાસ્ત્રીય કિસ્સામાં ટેકુચીની સૂચિની મર્યાદાને પુનઃપ્રાપ્ત કરે છે, અને તેઓ જે જાળીઓ બનાવે છે તેના લાક્ષણિકતા દ્વારા જે અંકગણિત જૂથો છે, જે પીયુ (1, એન) માં બિન-અંકગણિત જાળીઓના નવા ઉદાહરણો પૂરા પાડે છે. બાલદાસારીએ શ્વાર્ઝ યાદીના માધ્યમથી લેમે સમીકરણના બીજગણિત ઉકેલોની ચર્ચા કરવા માટે ક્લેઈન સાર્વત્રિકતાનો ઉપયોગ કર્યો હતો. અન્ય હાયપરજિયોમેટ્રિક કાર્યો કે જેને બીજગણિત રીતે વ્યક્ત કરી શકાય છે, જેમ કે શ્વાર્ઝની સૂચિ પર, સૈદ્ધાંતિક ભૌતિકશાસ્ત્રમાં દ્વિ-પરિમાણીય ગેજ સિદ્ધાંતોની વિકૃતિઓના સંદર્ભમાં ઉદ્ભવે છે. શ્વાર્ઝ ત્રિકોણ નોંધો સંદર્ભો બિનરેખીય શ્વાર્ઝની સૂચિ (પીડીએફ) હાયપરજિયોમેટ્રિક કાર્યો તરફની બાહ્ય કડીઓ પણ જુઓ.