Unit hyperbola
ભૂમિતિમાં, એકમ હાયપરબોલા એ કાર્ટેશિયન સમતલમાં બિંદુઓનો સમૂહ (x, y) છે જે ગર્ભિત સમીકરણને સંતોષે છે અનિશ્ચિત ઓર્થોગોનલ જૂથોના અભ્યાસમાં, એકમ હાયપરબોલા વૈકલ્પિક રેડિયલ લંબાઈ માટેનો આધાર બનાવે છે જ્યારે એકમ વર્તુળ તેના કેન્દ્રને ઘેરી લે છે, એકમ હાયપરબોલાને સમતલમાં તેને પૂરક બનાવવા માટે સંયુક્ત હાયપરબોલાની જરૂર પડે છે. હાયપરબોલાની આ જોડી એસિમ્પ્ટોટ્સ y = x અને y = − x શેર કરે છે. જ્યારે એકમ હાયપરબોલાના સંયુગ્મનો ઉપયોગ થાય છે, ત્યારે વૈકલ્પિક રેડિયલ લંબાઈ હોય છે એકમ હાયપરબોલા એ લંબચોરસ હાયપરબોલાનો એક ખાસ કેસ છે, જેમાં ચોક્કસ દિશા, સ્થાન અને સ્કેલ હોય છે. જેમ કે, તેની વિષમતા સમાન છે એકમ હાયપરબોલા એવી એપ્લિકેશનો શોધે છે જ્યાં વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિના હેતુઓ માટે વર્તુળને હાયપરબોલા સાથે બદલવું આવશ્યક છે. એક અગ્રણી ઉદાહરણ એ છે કે અવકાશ સમયને સ્યુડો-યુક્લિડિયન અવકાશ તરીકે દર્શાવવામાં આવ્યો છે. ત્યાં એકમ હાયપરબોલાના એસિમ્પ્ટોટ્સ પ્રકાશ શંકુ બનાવે છે. વધુમાં, ગ્રેગોઇર ડી સેન્ટ-વિન્સેન્ટ દ્વારા હાયપરબોલિક ક્ષેત્રોના ક્ષેત્રો પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરવાથી લઘુગણક કાર્ય અને ક્ષેત્ર ક્ષેત્રો દ્વારા હાયપરબોલાના આધુનિક પરિમાણો તરફ દોરી ગયું. જ્યારે સંયુગ્મિત હાયપરબોલાસ અને હાયપરબોલિક ખૂણાઓની કલ્પનાઓને સમજી શકાય છે, ત્યારે શાસ્ત્રીય જટિલ સંખ્યાઓ, જે એકમ વર્તુળની આસપાસ બનેલી હોય છે, તેને એકમ હાયપરબોલાની આસપાસ બનેલી સંખ્યાઓ સાથે બદલી શકાય છે. એસિમ્પ્ટોટ્સ સામાન્ય રીતે વળાંકની એસિમ્પ્ટોટિક રેખાઓ વળાંક તરફ એકરૂપ થાય છે. બીજગણિત ભૂમિતિ અને બીજગણિત વળાંકના સિદ્ધાંતમાં એસિમ્પ્ટોટ્સ માટે એક અલગ અભિગમ છે. આ વળાંકને સૌપ્રથમ પ્રોજેક્ટિવ પ્લેનમાં સજાતીય કોઓર્ડિનેટ્સનો ઉપયોગ કરીને અર્થઘટન કરવામાં આવે છે. પછી એસિમ્પ્ટોટ્સ એ રેખાઓ છે જે અનંત બિંદુ પર પ્રોજેક્ટિવ વળાંકને સ્પર્શક હોય છે, આમ અંતરની વિભાવના અને અભિસરણની કોઈપણ જરૂરિયાતને અવરોધે છે. સામાન્ય માળખામાં (x, y, z) સમીકરણ z = 0 દ્વારા નિર્ધારિત અનંત પરની રેખા સાથે એકરૂપ કોઓર્ડિનેટ્સ છે. દાખલા તરીકે, સી. જી. ગિબ્સને લખ્યુંઃ R2 માં પ્રમાણભૂત લંબચોરસ હાયપરબોલા માટે, અનુરૂપ પ્રોજેક્ટિવ વળાંક એ છે કે જે P = (1:1:0) અને Q = (1: −1:0) બિંદુઓ પર z = 0 ને મળે છે. પી અને ક્યૂ બંને એફ પર સરળ છે, જેમાં સ્પર્શક x + y = 0, x − y = 0 છે; આમ આપણે પ્રાથમિક ભૂમિતિના પરિચિત 'એસિમ્પ્ટોટ્સ' ને પુનઃપ્રાપ્ત કરીએ છીએ. મિન્કોવ્સ્કી આકૃતિ મિન્કોવ્સ્કી આકૃતિ અવકાશ સમયના સમતલમાં દોરવામાં આવી છે જ્યાં અવકાશી પાસાને એક પરિમાણ સુધી મર્યાદિત કરવામાં આવ્યું છે. આવા સમતલ પર અંતર અને સમયના એકમો 30 સેન્ટિમીટર લંબાઈ અને નેનોસેકન્ડ અથવા ખગોળીય એકમો અને 8 મિનિટ અને 20 સેકન્ડ અથવા પ્રકાશ વર્ષ અને વર્ષોના અંતરાલોના એકમો છે. કોઓર્ડિનેટ્સના આ દરેક સ્કેલ વત્તા અથવા ઓછા એક ઢોળાવની કર્ણ રેખાઓ સાથે ઘટનાઓના ફોટોન જોડાણોમાં પરિણમે છે. સાપેક્ષતાના પરિવર્તનોનું વર્ણન કરવા માટે ઉપયોગમાં લેવાતા આકૃતિ હર્મન મિન્કોવ્સ્કીમાં પાંચ તત્વોની રચના કરવામાં આવી છેઃ એકમ હાયપરબોલા, તેનો સંયુક્ત હાયપરબોલા, હાયપરબોલાની અક્ષો, એકમ હાયપરબોલાનો વ્યાસ અને સંયુક્ત વ્યાસ. અક્ષો સાથેનું સમતલ સંદર્ભની વિશ્રામી ફ્રેમનો સંદર્ભ આપે છે. એકમ હાયપરબોલાનો વ્યાસ ગતિમાં સંદર્ભની ફ્રેમને ઝડપી a સાથે રજૂ કરે છે જ્યાં તનહ a = y/x અને (x, y) એકમ હાયપરબોલાના વ્યાસનું અંતિમ બિંદુ છે. સંયુગ્મ વ્યાસ એ ઝડપી a ને અનુરૂપ સમકાલીનતાના અવકાશી હાયપરપ્લેનનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. આ સંદર્ભમાં એકમ હાયપરબોલા એ એક કેલિબ્રેશન હાયપરબોલા છે સામાન્ય રીતે સાપેક્ષતાના અભ્યાસમાં ઊભી અક્ષ સાથેના હાયપરબોલાને પ્રાથમિક તરીકે લેવામાં આવે છેઃ સમયનો તીર આકૃતિની નીચેથી ટોચ સુધી જાય છે-રિચાર્ડ ફેનમેન દ્વારા તેમના પ્રખ્યાત આકૃતિઓમાં અપનાવવામાં આવેલી પરંપરા. અવકાશને સમય અક્ષને લંબરૂપ સમતલ દ્વારા રજૂ કરવામાં આવે છે. અહીં અને હવે મધ્યમાં એક વિલક્ષણતા છે. વર્ટિકલ ટાઇમ એક્સિસ કન્વેન્શન 1908 માં મિન્કોવ્સ્કીમાંથી ઉદ્ભવે છે, અને એડિંગ્ટનની ધ નેચર ઓફ ધ ફિઝિકલ વર્લ્ડ (1928) ના પાન 48 પર પણ સચિત્ર છે. પરિમાણાંકન એકમ હાયપરબોલાને પરિમાણિત કરવાની સીધી રીત ઘાતાંકીય કાર્ય સાથે પરિમાણિત હાયપરબોલા xy = 1 થી શરૂ થાય છેઃ આ હાયપરબોલાને મેટ્રિક્સ ધરાવતા રેખીય મેપિંગ દ્વારા એકમ હાયપરબોલામાં રૂપાંતરિત કરવામાં આવે છે આ પરિમાણ t એ હાયપરબોલિક કોણ છે, જે હાયપરબોલિક કાર્યોની દલીલ છે. ડબ્લ્યુ. કે. ક્લિફોર્ડ દ્વારા એલિમેન્ટ્સ ઓફ ડાયનેમિક (1878) માં પેરામેટ્રીઝ્ડ યુનિટ હાયપરબોલાની પ્રારંભિક અભિવ્યક્તિ જોવા મળે છે. તે હાયપરબોલામાં અર્ધ-હાર્મોનિક ગતિનું વર્ણન નીચે પ્રમાણે કરે છેઃ આ ગતિ લંબગોળ હાર્મોનિક ગતિ સાથે કેટલીક વિચિત્ર સામ્યતા ધરાવે છે. . આમ પ્રવેગક હંમેશા લંબગોળ હાર્મોનિક ગતિની જેમ કેન્દ્રથી અંતરના પ્રમાણમાં હોય છે, પરંતુ કેન્દ્રથી દૂર નિર્દેશિત હોય છે. ચોક્કસ શંકુ તરીકે, શંકુ પર બિંદુઓ ઉમેરવાની પ્રક્રિયા દ્વારા હાયપરબોલાને પરિમાણિત કરી શકાય છે. રશિયન વિશ્લેષકો દ્વારા નીચેનું વર્ણન આપવામાં આવ્યું હતુંઃ શંકુ પર એક બિંદુ E નિશ્ચિત કરો. એ બિંદુઓને ધ્યાનમાં લો કે જેના પર એબીની સમાંતર ઇ દ્વારા દોરવામાં આવેલી સીધી રેખા એ અને બી બિંદુઓનો સરવાળો બનવા માટે બીજી વખત શંકુને છેદે છે. નિશ્ચિત બિંદુ E = (1,0) ધરાવતા હાયપરબોલા માટે બિંદુઓનો સરવાળો અને તે પરિમાણ હેઠળનો બિંદુ છે અને આ સરવાળો પરિમાણ t ના ઉમેરા સાથે સુસંગત છે. જટિલ સમતલ બીજગણિત જ્યારે એકમ વર્તુળ જટિલ સંખ્યાઓ સાથે સંકળાયેલું હોય છે, ત્યારે એકમ હાયપરબોલા એ ઝેડ = x + yj ધરાવતા વિભાજીત-જટિલ સંખ્યા સમતલની ચાવી છે, જ્યાં જે 2 = + 1 છે. પછી jz = y + xj, તેથી સમતલ પર j ની ક્રિયા કોઓર્ડિનેટ્સને અદલાબદલી કરવાની છે. ખાસ કરીને, આ ક્રિયા એકમ હાયપરબોલાને તેના સંયુગ્મ સાથે અદલાબદલી કરે છે અને હાયપરબોલાના સંયુગ્મ વ્યાસની જોડીઓ અદલાબદલી કરે છે. હાયપરબોલિક કોણ પરિમાણ a ની દ્રષ્ટિએ, એકમ હાયપરબોલામાં બિંદુઓનો સમાવેશ થાય છે, જ્યાં j = (0,1). એકમ હાયપરબોલાની જમણી શાખા હકારાત્મક ગુણાંકને અનુરૂપ છે. હકીકતમાં, આ શાખા જે-અક્ષ પર કાર્યરત ઘાતાંકીય નકશાની છબી છે. આમ આ શાખા એ વળાંક છે a પર વળાંકનો ઢોળાવ વ્યુત્પન્ન દ્વારા આપવામાં આવે છે કોઈપણ a,) માટે હાયપરબોલિક-ઓર્થોગોનલ છે. આ સંબંધ જ્યારે i2 = −1 હોય ત્યારે exp (ai) અને i exp (ai) ની લંબરૂપતાને અનુરૂપ હોય છે. કારણ કે, શાખા એ ગુણાકાર હેઠળનું જૂથ છે. વર્તુળ જૂથથી વિપરીત, આ એકમ હાયપરબોલા જૂથ સઘન નથી. સામાન્ય જટિલ સમતલની જેમ, કર્ણ પર ન હોય તેવા બિંદુ એકમ હાયપરબોલાના પરિમાણ અને વૈકલ્પિક રેડિયલ લંબાઈનો ઉપયોગ કરીને ધ્રુવીય વિઘટન ધરાવે છે. સંદર્ભો એફ. રીસ હાર્વે (1990) સ્પિનર્સ અને કેલિબ્રેશન, આકૃતિ 4.33, પાનું 70, એકેડેમિક પ્રેસ,. શંકુ વિભાગ 1 (સંખ્યા) વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિ રેખીય બીજગણિત જૂથો