De Bruijn–Erdős theorem (incidence geometry)
ઘટના ભૂમિતિમાં, ડી બ્રુઇજન-એર્ડોસ પ્રમેય, જે મૂળ રૂપે દ્વારા પ્રકાશિત કરવામાં આવ્યો હતો, તે પ્રોજેક્ટિવ પ્લેનમાં n બિંદુઓ દ્વારા નિર્ધારિત રેખાઓની સંખ્યા પર નીચી સીમા દર્શાવે છે. દ્વૈત દ્વારા, આ રેખાઓના રૂપરેખાંકન દ્વારા નિર્ધારિત આંતરછેદ બિંદુઓની સંખ્યા પર પણ બંધાયેલ છે. ડી બ્રુઇજન અને એર્દોસ દ્વારા આપવામાં આવેલ પુરાવો સંયુક્ત હોવા છતાં, ડી બ્રુઇજન અને એર્દોસે તેમના પેપરમાં નોંધ્યું હતું કે એનાલોગસ (યુક્લિડિયન) પરિણામ સિલ્વેસ્ટર-ગલાઈ થીયરમનું પરિણામ છે, જે બિંદુઓની સંખ્યા પર ઇન્ડક્શન દ્વારા છે. પ્રમેયનું નિવેદન ધારો કે P એ પ્રોજેક્ટિવ પ્લેનમાં n બિંદુઓનું રૂપરેખાંકન છે, બધા એક રેખા પર નહીં. પછી, t ≤ n, અને જો t = n હોય, તો કોઈપણ બે રેખાઓમાં P નો બરાબર એક બિંદુ સામાન્ય હોય છે. આ કિસ્સામાં, P એ કાં તો પ્રોજેક્ટિવ પ્લેન છે અથવા P એ નજીકની પેન્સિલ છે, જેનો અર્થ છે કે બરાબર n-1 બિંદુઓ કોલિનિયર છે. યુક્લિડીયન પુરાવો આ પ્રમેય ત્રણ બિન-સમરેખીય બિંદુઓ માટે સ્પષ્ટ રીતે સાચું છે. અમે ઇન્ડક્શન દ્વારા આગળ વધીએ છીએ. ધારો કે n> 3 અને પ્રમેય n − 1 માટે સાચું છે. ધારો કે P એ n બિંદુઓનો સમૂહ છે, બધા સમરેખીય નથી. સિલ્વેસ્ટર-ગલાઈ પ્રમેય જણાવે છે કે પી ના બરાબર બે બિંદુઓ ધરાવતી એક રેખા છે. આવી બે બિંદુ રેખાઓને સામાન્ય રેખાઓ કહેવામાં આવે છે. ધારો કે a અને b એ સામાન્ય રેખા પર P ના બે બિંદુઓ છે. જો બિંદુ a ને દૂર કરવાથી કોલિનિયર બિંદુઓનો સમૂહ ઉત્પન્ન થાય છે, તો P એ n રેખાઓની નજીકની પેન્સિલ ઉત્પન્ન કરે છે (n-1 સામાન્ય રેખાઓ a દ્વારા વત્તા એક રેખા જેમાં અન્ય n-1 બિંદુઓ હોય છે). નહિંતર, a ને દૂર કરવાથી n − 1 બિંદુઓનો સમૂહ, P 'ઉત્પન્ન થાય છે જે બધા સમરેખીય નથી. ઇન્ડક્શન પૂર્વધારણા દ્વારા, પી 'ઓછામાં ઓછી એન-1 રેખાઓ નક્કી કરે છે. a અને b દ્વારા નિર્ધારિત સામાન્ય રેખા આમાંથી નથી, તેથી P ઓછામાં ઓછી n રેખાઓ નક્કી કરે છે. જે. એચ. કોનવેના પુરાવા જ્હોન હોર્ટન કોનવે પાસે શુદ્ધ સંયુક્ત પુરાવા છે જે પરિણામે જટિલ સંખ્યાઓ, ચતુર્થાંશ અને અષ્ટકોણ પરના બિંદુઓ અને રેખાઓ માટે પણ ધરાવે છે. સંદર્ભો સ્ત્રોતો. પ્રોજેક્ટિવ ભૂમિતિમાં પ્રમેયો યુક્લિડિયન પ્લેન ભૂમિતિ સ્વતંત્ર ભૂમિતિમાં પ્રમેયો ઘટના ભૂમિતિ પોલ એર્દોસ