Càdlàg
গণিতে, একটি ক্যাডলাগ (ফরাসিঃ "কন্টিনিউ এ ড্রয়েট, লিমিট এ গাউচে"), আর. সি. এল. এল ("বাম সীমার সাথে ডান কন্টিনিউয়াস"), বা কর্লোল ("ডানদিকে কন্টিনিউয়াস, বামদিকে সীমা") ফাংশন হল এমন একটি ফাংশন যা বাস্তব সংখ্যার (বা তাদের একটি উপসেট) উপর সংজ্ঞায়িত করা হয় যা সর্বত্র ডান-ধারাবাহিক এবং সর্বত্র বাম সীমা থাকে। ক্যাডলাগ ফাংশনগুলি স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়াগুলির অধ্যয়নে গুরুত্বপূর্ণ যা ব্রাউনিয়ান গতির বিপরীতে লাফ দেয় (বা এমনকি প্রয়োজন), যার অবিচ্ছিন্ন নমুনা পথ রয়েছে। একটি প্রদত্ত ডোমেনে ক্যাডল্যাগ ফাংশনের সংগ্রহ স্কোরোখোদ স্পেস নামে পরিচিত। দুটি সম্পর্কিত পদ হল ক্যাগলড, যার অর্থ "কন্টিনিউ এ গাউচে, লিমিট এ ড্রয়েট", ক্যাডলাগের বাম-ডান বিপরীত, এবং "কন্টিনিউ এ ল 'উন, লিমিট এ ল' আউত্রে" (একদিকে অবিচ্ছিন্ন, অন্যদিকে সীমা), এমন একটি ফাংশনের জন্য যা ডোমেনের প্রতিটি বিন্দুতে হয় ক্যাডলাগ বা ক্যাগলড। সংজ্ঞা ধরা যাক একটি মেট্রিক স্পেস, এবং ধরা যাক। একটি ফাংশনকে ক্যাডল্যাগ ফাংশন বলা হয় যদি, প্রতিটির জন্য, বাম সীমা বিদ্যমান থাকে; এবং ডান সীমা বিদ্যমান এবং সমান হয়। অর্থাৎ, বাম সীমা সহ ডান-ধারাবাহিক। উদাহরণস্বরূপ, বাস্তব সংখ্যার একটি উপসেটে অবিচ্ছিন্ন সমস্ত ফাংশন সেই উপসেটে ক্যাডল্যাগ ফাংশন। তাদের সংজ্ঞার ফলস্বরূপ, সমস্ত ক্রমবর্ধমান বন্টন ফাংশন হল ক্যাডল্যাগ ফাংশন। উদাহরণস্বরূপ, বিন্দুতে ক্রমবর্ধমান তার চেয়ে কম বা সমান হওয়ার সম্ভাবনার সাথে মিলে যায়। অন্য কথায়, দ্বি-লেজ বিতরণের জন্য উদ্বেগের আধা-খোলা ব্যবধানটি ডান-বন্ধ। একটি উন্মুক্ত বিরতিতে সংজ্ঞায়িত যে কোনও উত্তল ফাংশনের ডান অন্তরজ হল একটি ক্রমবর্ধমান ক্যাডল্যাগ ফাংশন। স্কোরোখোদ স্থান থেকে সমস্ত ক্যাডলাগ ফাংশনের সেটকে প্রায়শই (বা সহজভাবে) দ্বারা চিহ্নিত করা হয় এবং ইউক্রেনীয় গণিতবিদ আনাতোলি স্কোরোখোদের নামে এটিকে স্কোরোখোদ স্থান বলা হয়। স্কোরোখোদ স্থানকে একটি টপোলজি বরাদ্দ করা যেতে পারে যা স্বজ্ঞাতভাবে আমাদের "স্থান এবং সময়কে কিছুটা নড়াচড়া করার" অনুমতি দেয় (যেখানে অভিন্ন অভিসারের ঐতিহ্যবাহী টপোলজি আমাদের কেবল "স্থানটিকে কিছুটা নড়াচড়া করার" অনুমতি দেয়)। সরলতার জন্য, নিন এবং-আরও সাধারণ নির্মাণের জন্য বিলিংসলে দেখুন। আমাদের অবশ্যই প্রথমে ধারাবাহিকতার মডুলাসের একটি এনালগ সংজ্ঞায়িত করতে হবে। যে কোনও জন্য, সেট করুন এবং, জন্য, ক্যাডল্যাগ মডুলাসকে এমনভাবে সংজ্ঞায়িত করুন যেখানে অসীমটি সমস্ত পার্টিশনের উপর দিয়ে যায়। এই সংজ্ঞাটি অ-ক্যাডল্যাগের জন্য বোধগম্য (ঠিক যেমন ধারাবাহিকতার স্বাভাবিক মডুলাস বিচ্ছিন্ন ফাংশনের জন্য বোধগম্য) এবং এটি দেখানো যেতে পারে যে ক্যাডল্যাগ যদি এবং শুধুমাত্র যদি হয়। এখন আসুন নিজের থেকে সমস্ত কঠোরভাবে ক্রমবর্ধমান, অবিচ্ছিন্ন বাইজেকশনগুলির সেটকে বোঝাই (এগুলি "সময়ের মধ্যে উইগলস")। আসুন ফাংশনগুলির উপর অভিন্ন নিয়মটি নির্দেশ করি। আইডেন্টিটি ফাংশন কোথায় তা দিয়ে স্কোরোখোদ মেট্রিক নির্ধারণ করুন। "উইগল" অন্তর্দৃষ্টির পরিপ্রেক্ষিতে, "সময়ের মধ্যে উইগল"-এর আকার পরিমাপ করা হয় এবং "স্থানের মধ্যে উইগল"-এর আকার পরিমাপ করা হয়। এটি দেখানো যেতে পারে যে স্কোরোখোদ মেট্রিক প্রকৃতপক্ষে একটি মেট্রিক। এর দ্বারা সৃষ্ট টপোলজিকে স্কোরোখোদ টপোলজি বলা হয়। একটি সমতুল্য মেট্রিক, স্বাধীনভাবে চালু করা হয়েছিল এবং স্যুইচিং সিস্টেমগুলির বিশ্লেষণের জন্য নিয়ন্ত্রণ তত্ত্বে ব্যবহৃত হয়েছিল। স্কোরোখোদ স্থানের বৈশিষ্ট্য অভিন্ন টপোলজির সাধারণীকরণ ক্রমাগত ফাংশনের স্থান হল এর একটি সাবস্পেস। স্কোরোখোদ টপোলজি সেখানকার অভিন্ন টপোলজির সাথে মিলে যায়। সম্পূর্ণতা এটি দেখানো যেতে পারে যে, যদিও স্কোরোখোদ মেট্রিকের ক্ষেত্রে এটি একটি সম্পূর্ণ স্থান নয়, তবে একটি টপোলজিক্যালি সমতুল্য মেট্রিক রয়েছে যার ক্ষেত্রে এটি সম্পূর্ণ। পৃথকীকরণ অথবা,-এর ক্ষেত্রে একটি পৃথক স্থান। সুতরাং, স্কোরোখোদ স্থানটি একটি পোলিশ স্থান। আরজেলা-আসকোলি উপপাদ্যের প্রয়োগের মাধ্যমে, কেউ দেখাতে পারে যে স্কোরোখোদ স্থানের সম্ভাব্যতা পরিমাপের একটি ক্রম কঠোর হয় যদি এবং কেবলমাত্র নিম্নলিখিত উভয় শর্ত পূরণ করা হয়ঃ এবং বীজগাণিতিক এবং টপোলজিকাল কাঠামো স্কোরোখোদ টপোলজির অধীনে এবং ফাংশনের পয়েন্টওয়াইজ সংযোজন, একটি টপোলজিকাল গ্রুপ নয়, যা নিম্নলিখিত উদাহরণ দ্বারা দেখা যায়ঃ আসুন একটি অর্ধ-খোলা ব্যবধান হতে দিন এবং চরিত্রগত ফাংশনের ক্রম হিসাবে গ্রহণ করুন। যদিও স্কোরোখোদ টপোলজিতে, ক্রমটি 0-তে একত্রিত হয় না। আরও দেখুন তথ্যসূত্র আরও পড়া বাস্তব বিশ্লেষণ স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়া