Poincaré disk model
জ্যামিতিতে, পয়েনকারে ডিস্ক মডেল, যাকে কনফরমাল ডিস্ক মডেলও বলা হয়, হল দ্বিমাত্রিক হাইপারবোলিক জ্যামিতির একটি মডেল যেখানে সমস্ত বিন্দু একক ডিস্কের ভিতরে থাকে এবং সরলরেখা হয় ডিস্কের মধ্যে থাকা বৃত্তাকার চাপ যা একক বৃত্তের অর্থোগোনাল বা একক বৃত্তের ব্যাস। ডিস্ক মডেলের অভিযোজন সংরক্ষণকারী আইসোমেট্রিগুলির গ্রুপটি প্রজেক্টিভ বিশেষ একক গ্রুপ দ্বারা দেওয়া হয়, যা তার কেন্দ্র দ্বারা বিশেষ একক গ্রুপের এসইউ (1,1) এর ভাগফল। ক্লেইন মডেল এবং পয়েনকারে অর্ধ-স্থান মডেলের পাশাপাশি, ইউজেনিও বেলট্রামি এই মডেলগুলি ব্যবহার করে দেখিয়েছিলেন যে হাইপারবোলিক জ্যামিতি ইউক্লিডীয় জ্যামিতির সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ। এটি হেনরি পয়েনকেরের নামে নামকরণ করা হয়েছে, কারণ চৌদ্দ বছর পরে তাঁর এই উপস্থাপনাটি পুনরায় আবিষ্কার বেলট্রামির মূল কাজের চেয়ে বেশি পরিচিত হয়ে ওঠে। পয়েনকারে বল মডেল হল 3 বা এন-মাত্রিক হাইপারবোলিক জ্যামিতির অনুরূপ মডেল যেখানে জ্যামিতির বিন্দুগুলি এন-মাত্রিক একক বলের মধ্যে থাকে। ডিস্ক মডেলটি প্রথম বর্নহার্ড রিম্যান 1854 সালের একটি বক্তৃতায় (1868 সালে প্রকাশিত) বর্ণনা করেছিলেন, যা ইউজেনিও বেলট্রামির 1868 সালের একটি গবেষণাপত্রকে অনুপ্রাণিত করেছিল। হেনরি পয়েনকারে তাঁর 1882 সালের হাইপারবোলিক, প্যারাবোলিক এবং উপবৃত্তাকার ক্রিয়াকলাপের চিকিৎসায় এটি ব্যবহার করেছিলেন, তবে পয়েনকারে তাঁর 1905 সালের দার্শনিক গ্রন্থ, সায়েন্স অ্যান্ড হাইপোথিসিস-এ উপস্থাপনের পরে এটি ব্যাপকভাবে পরিচিত হয়ে ওঠে। সেখানে তিনি এমন একটি বিশ্বের বর্ণনা করেছেন, যা এখন পয়েনকারে ডিস্ক নামে পরিচিত, যেখানে স্থানটি ইউক্লিডীয় ছিল, কিন্তু যা তার বাসিন্দাদের কাছে হাইপারবোলিক জ্যামিতির স্বতঃসিদ্ধগুলিকে সন্তুষ্ট করার জন্য আবির্ভূত হয়েছিলঃ "ধরুন, উদাহরণস্বরূপ, একটি বিশাল গোলকের মধ্যে আবদ্ধ একটি বিশ্ব এবং নিম্নলিখিত নিয়মগুলির সাপেক্ষেঃ তাপমাত্রা অভিন্ন নয়; এটি তাদের কেন্দ্রে সর্বাধিক, এবং আমরা গোলকের পরিধির দিকে যাওয়ার সাথে সাথে ধীরে ধীরে হ্রাস পায়, যেখানে এটি পরম শূন্য। এই তাপমাত্রার সূত্রটি নিম্নরূপঃ যদি গোলকের ব্যাসার্ধ এবং কেন্দ্র থেকে বিবেচিত বিন্দুর দূরত্ব হয়, তবে পরম তাপমাত্রা এর সাথে আনুপাতিক হবে। উপরন্তু, আমি অনুমান করব যে এই জগতে সমস্ত বস্তুর প্রসারণের সহ-দক্ষতা একই, যাতে কোনও বস্তুর রৈখিক প্রসারণ তার পরম তাপমাত্রার আনুপাতিক হয়। পরিশেষে, আমি ধরে নেব যে ভিন্ন তাপমাত্রার এক বিন্দু থেকে অন্য বিন্দুতে পরিবাহিত একটি বস্তু তার নতুন পরিবেশের সাথে তাত্ক্ষণিকভাবে তাপীয় ভারসাম্যে রয়েছে। । যদি তারা একটি জ্যামিতি তৈরি করে, তবে এটি আমাদের মতো হবে না, যা আমাদের অপরিবর্তনীয় কঠিন পদার্থের গতিবিধির অধ্যয়ন; এটি অবস্থানের পরিবর্তনের অধ্যয়ন হবে যা তারা এইভাবে আলাদা করবে এবং 'অ-ইউক্লিডীয় স্থানচ্যুতি' হবে এবং এটি অ-ইউক্লিডীয় জ্যামিতি হবে। যাতে আমাদের মতো শিক্ষিত প্রাণীদের আমাদের মতো জ্যামিতি না থাকে "। (pp.65-68) বিশেষত রুডলফ কার্নাপ এবং হ্যান্স রেইচেনবাখের প্রভাবশালী দার্শনিক আলোচনায়, স্থানিক জ্যামিতির পছন্দটি বাস্তবসম্মত নয়, এই অনুমানের জন্য পয়েনকারের ডিস্ক একটি গুরুত্বপূর্ণ প্রমাণ ছিল। বৈশিষ্ট্য রেখা হাইপারবোলিক সরল রেখাগুলি ডিস্কের সীমানার সাথে অর্থোগোনাল ডিস্কের মধ্যে থাকা ইউক্লিডীয় বৃত্তের সমস্ত চাপ এবং ডিস্কের সমস্ত ব্যাস নিয়ে গঠিত। কম্পাস এবং সোজা প্রান্তের নির্মাণ সীমানা বৃত্তের ব্যাসের উপর নয়, দুটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে অনন্য হাইপারবোলিক রেখাটি এইভাবে তৈরি করা যেতে পারেঃ বিন্দুর সীমানা বৃত্তে বিপরীতমুখী রেখাটি বিন্দুর সীমানা বৃত্তের বিপরীতমুখী রেখা হিসাবে ধরা যাক, সেগমেন্টের মধ্যবিন্দু হিসাবে ধরা যাক, সেগমেন্টের লম্ব দিয়ে রেখা আঁকুন, সেগমেন্টের লম্ব দিয়ে রেখা আঁকুন, যেখানে রেখা এবং রেখা ছেদ করে। কেন্দ্রের সাথে বৃত্ত আঁকুন এবং (এবং) এর মধ্য দিয়ে যান। ডিস্কের অভ্যন্তরে বৃত্তের যে অংশটি রয়েছে তা হল হাইপারবোলিক লাইন। যদি পি এবং কিউ সীমানা বৃত্তের ব্যাসে থাকে তবে ব্যাসটি হাইপারবোলিক লাইন। আরেকটি উপায় হ 'লঃ সেগমেন্টের মধ্যবিন্দু হতে দিন, সেগমেন্টের লম্ব দিয়ে রেখা m আঁকুন, পয়েন্টের সীমানা বৃত্তে বিপরীতমুখী হতে দিন, সেগমেন্টের মধ্যবিন্দু হতে দিন, সেগমেন্টের লম্ব দিয়ে রেখা আঁকুন, যেখানে রেখা এবং রেখা ছেদ করে। কেন্দ্রের সাথে বৃত্ত আঁকুন এবং (এবং) এর মধ্য দিয়ে যান। ডিস্কের অভ্যন্তরে বৃত্তের যে অংশটি রয়েছে তা হল হাইপারবোলিক লাইন। এই মডেলে দূরত্ব হল কেলি-ক্লেইন মেট্রিক্স। ডিস্কের অভ্যন্তরে দুটি স্বতন্ত্র বিন্দু p এবং q দেওয়া হলে, তাদের সংযুক্তকারী অনন্য হাইপারবোলিক রেখাটি দুটি আদর্শ বিন্দু, a এবং b-তে সীমানা ছেদ করে, যাতে বিন্দুগুলি ক্রমানুসারে, a, p, q, b এবং এবং এবং হয়। p এবং q এর মধ্যে হাইপারবোলিক দূরত্ব হল তারপর উল্লম্ব বারগুলি মডেলটিতে তাদের মধ্যে পয়েন্টগুলিকে সংযুক্ত করে লাইন বিভাগের ইউক্লিডীয় দৈর্ঘ্য নির্দেশ করে (বৃত্তাকার চাপ বরাবর নয়), ln হল প্রাকৃতিক লগারিদম। দুটি বিন্দুর মধ্যে হাইপারবোলিক দূরত্ব গণনা করার আরেকটি উপায় হল যেখানে এবং যেখানে ডিস্কের কেন্দ্রে p সংশ্লিষ্ট q-এর দূরত্ব, p এবং q-এর মধ্যে দূরত্ব, ডিস্কের সীমানা বৃত্তের ব্যাসার্ধ এবং হাইপারবোলিক কোসাইন-এর বিপরীত হাইপারবোলিক ফাংশন। যখন ডিস্কটি ব্যবহার করা হয় ওপেন ইউনিট ডিস্ক এবং একটি বিন্দু হল উৎস এবং বিন্দুগুলির মধ্যে ইউক্লিডীয় দূরত্ব হয় r তখন হাইপারবোলিক দূরত্ব হয়ঃ হাইপারবোলিক স্পর্শকের বিপরীত হাইপারবোলিক ফাংশন কোথায়। যখন ডিস্কটি ওপেন ইউনিট ডিস্ক হিসাবে ব্যবহৃত হয় এবং বিন্দুটি মূল এবং বিন্দুর মধ্যে থাকে (অর্থাৎ। দুটি বিন্দু একই ব্যাসার্ধে রয়েছে, একই মেরু কোণ রয়েছে এবং), তাদের হাইপারবোলিক দূরত্ব হল এটি পূর্ববর্তী সূত্রে হ্রাস পায় যদি। একটি বৃত্ত (একটি সমতলের সমস্ত বিন্দুর সমষ্টি যা একটি নির্দিষ্ট বিন্দু, তার কেন্দ্র থেকে প্রদত্ত দূরত্বে থাকে) হল এমন একটি বৃত্ত যা সম্পূর্ণরূপে ডিস্কের ভিতরে তার সীমানা স্পর্শ বা ছেদ করে না। মডেলটিতে বৃত্তের হাইপারবোলিক কেন্দ্রটি সাধারণভাবে বৃত্তের ইউক্লিডীয় কেন্দ্রের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ নয়, তবে তারা সীমানা বৃত্তের একই ব্যাসার্ধে রয়েছে। হাইপারসাইকেল একটি হাইপারসাইকেল (একটি সমতলের সমস্ত বিন্দুর সেট যা একটি দিকে এবং একটি প্রদত্ত রেখা, তার অক্ষ থেকে প্রদত্ত দূরত্বে থাকে) হল একটি ইউক্লিডীয় বৃত্তাকার বৃত্তাকার চাপ বা সীমানা বৃত্তের কর্ড যা একটি ধনাত্মক কিন্তু অ-ডান কোণে সীমানা বৃত্তকে ছেদ করে। এর অক্ষ হল হাইপারবোলিক রেখা যা একই দুটি আদর্শ বিন্দু ভাগ করে নেয়। এটি একটি সমদূরবর্তী বক্ররেখা হিসাবেও পরিচিত। একটি জন্মচক্র (একটি বক্ররেখা যার স্বাভাবিক বা লম্ব ভূগণিত সমস্ত একই দিকে অ্যাসিম্পটোটিকভাবে একত্রিত হয়), ডিস্কের অভ্যন্তরে একটি বৃত্ত যা ডিস্কের সীমানা বৃত্তকে স্পর্শ করে। যে বিন্দুতে এটি সীমানা বৃত্তকে স্পর্শ করে তা জন্মচক্রের অংশ নয়। এটি একটি আদর্শ বিন্দু এবং জাতকচক্রের অতিপ্রাকৃত কেন্দ্র। ইউক্লিডীয় সারসংক্ষেপ একটি ইউক্লিডীয় বৃত্তঃ যা সম্পূর্ণরূপে ডিস্কের ভিতরে একটি হাইপারবোলিক বৃত্ত। (যখন ডিস্কের কেন্দ্রটি বৃত্তের ভিতরে থাকে না, তখন ইউক্লিডীয় কেন্দ্রটি সর্বদা হাইপারবোলিক কেন্দ্রের তুলনায় ডিস্কের কেন্দ্রের কাছাকাছি থাকে, অর্থাৎ। ধরে রাখে)। যা ডিস্কের ভিতরে থাকে এবং সীমানা স্পর্শ করে তা একটি জন্মচক্র; যা সীমানাটিকে অর্থোগোনালভাবে ছেদ করে তা একটি হাইপারবোলিক লাইন; এবং যা সীমানাটিকে অ-অর্থোগোনালভাবে ছেদ করে তা একটি হাইপারসাইকেল। সীমানা বৃত্তের একটি ইউক্লিডীয় কর্ডঃ যা কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে যায় তা একটি হাইপারবোলিক লাইন; এবং যা কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে যায় না তা একটি হাইপারসাইকেল। মেট্রিক এবং বক্রতা যদি u এবং v বাস্তব n-মাত্রিক ভেক্টর স্থান Rn-এ স্বাভাবিক ইউক্লিডীয় আদর্শ সহ দুটি ভেক্টর হয়, যার উভয়েরই আদর্শ 1-এর কম হয়, তবে আমরা একটি আইসোমেট্রিক অপরিবর্তনীয়কে সংজ্ঞায়িত করতে পারি যেখানে স্বাভাবিক ইউক্লিডীয় আদর্শকে বোঝায়। তারপর দূরত্ব ফাংশন হল এই ধরনের দূরত্ব ফাংশন একটির চেয়ে কম আদর্শের যে কোনও দুটি ভেক্টরের জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয় এবং এই ধরনের ভেক্টরের সেটকে একটি মেট্রিক স্পেসে পরিণত করে যা ধ্রুবক বক্রতার হাইপারবোলিক স্পেসের একটি মডেল-1। মডেলটির অনুরূপ বৈশিষ্ট্য রয়েছে যে হাইপারবোলিক স্পেসে দুটি ছেদকারী বক্ররেখার মধ্যে কোণটি মডেলের কোণের সমান। পয়েনকারে ডিস্ক মডেলের সংশ্লিষ্ট মেট্রিক টেনসরটি দেওয়া হয় যেখানে xi হল পরিবেষ্টিত ইউক্লিডীয় স্থানের কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্ক। ডিস্ক মডেলের ভূগণিত হল Sn−1 সীমানা গোলকের লম্ব বৃত্ত। দুটি মাত্রায়, এই ফ্রেম এবং লেভি-সিভিটা সংযোগের ক্ষেত্রে, সংযোগ ফর্মগুলি 1-ফর্মের অনন্য তির্যক-প্রতিসম ম্যাট্রিক্স দ্বারা দেওয়া হয় যা টর্জন-মুক্ত, অর্থাৎ ম্যাট্রিক্স সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে। ফলন যেখানে বক্রতা ম্যাট্রিক্স হয় তার জন্য এই সমীকরণটি সমাধান করা অতএব, হাইপারবোলিক ডিস্কের বক্রতা হাইপারবোলিক জ্যামিতির অন্যান্য মডেলের সাথে সম্পর্ক ক্লেইন ডিস্ক মডেলের সাথে সম্পর্ক ক্লেইন ডিস্ক মডেল (বেলট্রামি-ক্লেইন মডেল নামেও পরিচিত) এবং পয়েনকারে ডিস্ক মডেল উভয়ই মডেল যা একটি ডিস্কে পুরো হাইপারবোলিক সমতলকে প্রজেক্ট করে। দুটি মডেল গোলার্ধের মডেলের উপর বা থেকে একটি অভিক্ষেপের মাধ্যমে সম্পর্কিত। ক্লেইন ডিস্ক মডেলটি গোলার্ধের মডেলের একটি অর্থোগ্রাফিক অভিক্ষেপ যেখানে পয়েনকারে ডিস্ক মডেলটি একটি স্টেরিওগ্রাফিক অভিক্ষেপ। ক্লেইন ডিস্ক মডেলের একটি সুবিধা হল যে এই মডেলের রেখাগুলি ইউক্লিডীয় সোজা কর্ড। একটি অসুবিধা হল যে ক্লেইন ডিস্ক মডেলটি সামঞ্জস্যপূর্ণ নয় (বৃত্ত এবং কোণগুলি বিকৃত)। একটি ডিস্কে উভয় মডেলে একই রেখা প্রক্ষেপ করার সময় উভয় রেখা একই দুটি আদর্শ বিন্দুর মধ্য দিয়ে যায়। (আদর্শ বিন্দুগুলি একই স্থানে থাকে) এছাড়াও ক্লেইন ডিস্ক মডেলের কর্ডের মেরু হল বৃত্তের কেন্দ্র যা পয়েনকারে ডিস্ক মডেলের চাপ ধারণ করে। পয়েনকারে ডিস্ক মডেলের একটি বিন্দু (x, y) ক্লেইন মডেলের মানচিত্রে রয়েছে। ক্লেইন মডেলের একটি বিন্দু (x, y) পয়েনকারে ডিস্ক মডেলের সাথে মিলিত হয়। আদর্শ পয়েন্ট এবং সূত্রগুলির জন্য পয়েন্টগুলি স্থির হয়ে যায়। যদি পয়েনকারে ডিস্ক মডেলের একটি বিন্দুর প্রতিনিধিত্বকারী একটিরও কম আদর্শ ভেক্টর হয়, তবে ক্লেইন ডিস্ক মডেলের সংশ্লিষ্ট বিন্দুটি নিম্নরূপঃ বিপরীতভাবে, বেলট্রামি-ক্লেইন মডেলের একটি বিন্দুর প্রতিনিধিত্বকারী একটিরও কম আদর্শ ভেক্টর থেকে, পয়েনকারে ডিস্ক মডেলের সংশ্লিষ্ট বিন্দুটি দেওয়া হয়ঃ পয়েনকারে অর্ধ-সমতল মডেলের সাথে সম্পর্ক পয়েনকারে ডিস্ক মডেল এবং পয়েনকারে অর্ধ-সমতল মডেল উভয়ই হেনরি পয়েনকারে-এর নামে নামকরণ করা হয়েছে। যদি পয়েনকারে ডিস্ক মডেলের একটি বিন্দুর প্রতিনিধিত্বকারী একটির চেয়ে কম আদর্শের একটি জটিল সংখ্যা হয়, তবে অর্ধ-সমতল মডেলের সংশ্লিষ্ট বিন্দুটি কেলি রূপান্তরের বিপরীত দ্বারা দেওয়া হয়ঃ অর্ধ-সমতল মডেলের মানচিত্রে একটি বিন্দু (x, y)। অর্ধ-সমতল মডেলের একটি বিন্দু (x, y) ডিস্ক মডেলের সাথে মিলিত হয়। হাইপারবোলয়েড মডেলের সাথে সম্পর্ক পয়েনকারে ডিস্ক মডেল, সেইসাথে ক্লেইন মডেল, প্রকল্পগতভাবে হাইপারবোলয়েড মডেলের সাথে সম্পর্কিত। যদি আমাদের হাইপারবোলয়েড মডেলের হাইপারবোলয়েডের উপরের শীটে একটি বিন্দু [t, x1,., xn] থাকে, যার ফলে হাইপারবোলয়েড মডেলের একটি বিন্দু সংজ্ঞায়িত হয়, তবে আমরা এটিকে [−1,0,., 0] এর মধ্য দিয়ে টানা একটি রেখা দিয়ে ছেদ করে হাইপারপ্লেন t = 0-এর উপর প্রজেক্ট করতে পারি। ফলাফল হল পয়েনকারে ডিস্ক মডেলের সংশ্লিষ্ট বিন্দু। হাইপারবোলয়েডের কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্ক (t, xi) এবং সমতলের (yi) জন্য, রূপান্তর সূত্রগুলি হলঃ একটি গোলক এবং সমতলের মধ্যে স্টেরিওগ্রাফিক অভিক্ষেপের সূত্রগুলির তুলনা করুন। হাইপারবোলিক সমতলে বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতি গঠন বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতির একটি মৌলিক গঠন হল দুটি প্রদত্ত বিন্দুর মধ্য দিয়ে একটি রেখা খুঁজে বের করা। পয়েনকারে ডিস্ক মডেলে, সমতলের রেখাগুলি বৃত্তের কিছু অংশ দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয় যার সমীকরণগুলি একক বৃত্তের অর্থোগোনাল বৃত্তের সাধারণ রূপ, বা অন্যথায় ব্যাস দ্বারা। একটি ব্যাসের উপর না থাকা ডিস্কের দুটি বিন্দু u = (u1, u2) এবং v = (v1, v2) দেওয়া থাকলে, আমরা উভয় বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া এই ফর্মের বৃত্তের জন্য সমাধান করতে পারি এবং পেতে পারি। যেহেতু ক্লেইন মডেল এবং পয়েনকারে ডিস্ক মডেলে আদর্শ বিন্দুগুলি একই, তাই প্রতিটি মডেলের জন্য সূত্রগুলি অভিন্ন। যদি উভয় মডেলের রেখাগুলি ব্যাস হয়, যাতে v = −u এবং t = −s হয়, তবে আমরা কেবল দুটি একক ভেক্টরের মধ্যে কোণটি খুঁজে পাচ্ছি এবং কোণের সূত্রটি হল θ, যদি v = −u কিন্তু t = −s না হয়, তবে সূত্রটি হয়ে যায়, ওয়েজ প্রোডাক্ট ()-এর পরিপ্রেক্ষিতে, যেখানে উভয় কর্ড ব্যাস না হলে, সাধারণ সূত্রটি পাওয়া যায় যেখানে বিনেট-কাউচি পরিচয় এবং এগুলি একক ভেক্টর ব্যবহার করে আমরা উপরের অভিব্যক্তিগুলি বিশুদ্ধভাবে বিন্দু পণ্যের পরিপ্রেক্ষিতে পুনর্লিখন করতে পারি, যেমন শৈল্পিক উপলব্ধি এম. সি. এসচার দ্বি-মাত্রিক সমতলে অনন্তের প্রতিনিধিত্ব করার ধারণাটি অন্বেষণ করেছিলেন। কানাডার গণিতবিদ এইচ. এস. এম-এর সঙ্গে আলোচনা। 1956 সালের দিকে কক্সেটার হাইপারবোলিক টেসেলেশনের প্রতি এসচারের আগ্রহকে অনুপ্রাণিত করেছিলেন, যা হাইপারবোলিক সমতলের নিয়মিত টিলিং। এসচারের কাঠের খোদাই সার্কেল লিমিট I-IV 1958 থেকে 1960 সালের মধ্যে এই ধারণাটি প্রদর্শন করে, যার মধ্যে শেষটি হল সার্কেল লিমিট IV: হ্যাভেন অ্যান্ড হেল 1960 সালে। ব্রুনো আর্নস্টের মতে, তাদের মধ্যে সেরা হল সার্কেল লিমিট III। হাইপাররোগ, একটি রোগুয়েলাইক গেম, তার বিশ্ব জ্যামিতির জন্য হাইপারবোলিক প্লেন ব্যবহার করে এবং পয়েনকারে ডিস্ক মডেলও ব্যবহার করে। আরও দেখুন হাইপারবোলিক জ্যামিতি বেলট্রামি-ক্লেইন মডেল পয়েনকারে অর্ধ-সমতল মডেল পয়েনকারে মেট্রিক সিউডোস্ফিয়ার হাইপারবোলয়েড মডেল বিপরীতমুখী জ্যামিতি হাইপারবোলিক সমতলে অভিন্ন টিলিং আরও পড়ুন জেমস ডব্লিউ অ্যান্ডারসন, হাইপারবোলিক জ্যামিতি, দ্বিতীয় সংস্করণ, স্প্রিংগার, 2005। ইউজেনিও বেলট্রামি, টিওরিয়া ফন্ডামেন্টেল ডিগলি স্পাজি ডি কার্ভাতুরা কোস্টান্টে, আনালি। দ্য ম্যাট., দ্বিতীয় সার 2 (1868), 232-255। সল স্ট্যাল, দ্য পয়েনকারে হাফ-প্লেন, জোন্স অ্যান্ড বার্টলেট, 1993। বাহ্যিক সংযোগ বহুমাত্রিক জ্যামিতি হাইপারবোলিক জ্যামিতি ডিস্ক