Energy distance
শক্তির দূরত্ব হল সম্ভাব্যতা বিতরণের মধ্যে একটি পরিসংখ্যানগত দূরত্ব। যদি এক্স এবং ওয়াই যথাক্রমে ক্রমবর্ধমান বন্টন ফাংশন (সিডিএফ) এফ এবং জি সহ আরডি-তে স্বাধীন র্যান্ডম ভেক্টর হয়, তবে এফ এবং জি বন্টনের মধ্যে শক্তির দূরত্বকে যেখানে (এক্স, এক্স ', ওয়াই, ওয়াই') স্বাধীন, তার বর্গমূল হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়, এক্স এবং এক্স 'এর সিডিএফ হল এফ, ওয়াই এবং ওয়াই' এর সিডিএফ হল জি, প্রত্যাশিত মান, এবং।।।। । একটি ভেক্টরের দৈর্ঘ্য নির্দেশ করে। শক্তির দূরত্ব একটি মেট্রিকের সমস্ত স্বতঃসিদ্ধকে সন্তুষ্ট করেঃ ডি (এফ, জি) = 0 যদি এবং শুধুমাত্র যদি এফ = জি। পরিসংখ্যানগত প্রয়োগের জন্য শক্তির দূরত্ব 1985 সালে গ্যাবর জে স্জকেলির দ্বারা চালু করা হয়েছিল, যিনি প্রমাণ করেছিলেন যে বাস্তব-মূল্যবান র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলির জন্য হ্যারাল্ড ক্র্যামারের দূরত্বের ঠিক দ্বিগুণঃ এই সমতুল্যতার একটি সহজ প্রমাণের জন্য, স্জকেলির (2002) দেখুন। উচ্চতর মাত্রায়, তবে, দুটি দূরত্ব আলাদা কারণ শক্তির দূরত্ব ঘূর্ণন অপরিবর্তনীয় যেখানে ক্র্যামারের দূরত্ব নয়। (লক্ষ্য করুন যে ক্র্যামারের দূরত্ব বিতরণ-মুক্ত ক্র্যামার-ভন মিসেসের মানদণ্ডের মতো নয়।) মেট্রিক স্পেসে সাধারণীকরণ মেট্রিক স্পেসে সম্ভাব্যতা বিতরণের সাথে শক্তির দূরত্বের ধারণাকে সাধারণীকরণ করা যেতে পারে। বোরেল সিগমা বীজগণিত সহ একটি মেট্রিক স্পেস ধরা যাক। পরিমাপযোগ্য স্থানে সমস্ত সম্ভাব্যতা পরিমাপের সংগ্রহকে বোঝানো যাক। যদি μ এবং ν সম্ভাব্যতা পরিমাপ হয়, তবে μ এবং ν এর শক্তি-দূরত্বকে এর বর্গমূল হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। যদি একটি দৃঢ় ঋণাত্মক নির্দিষ্ট কার্নেল হয়, তবে একটি মেট্রিক, এবং বিপরীতভাবে। এই অবস্থাটি নেতিবাচক ধরনের বলে প্রকাশ করা হয়। একটি মেট্রিক হওয়ার জন্য নেতিবাচক প্রকার যথেষ্ট নয়; পরের শর্তটি শক্তিশালী নেতিবাচক প্রকার বলে প্রকাশ করা হয়। এই পরিস্থিতিতে, শক্তির দূরত্ব শূন্য হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি এক্স এবং ওয়াই একইভাবে বিতরণ করা হয়। ট্যাক্সিক্যাব মেট্রিক সহ সমতল হল ঋণাত্মক প্রকারের কিন্তু প্রবল ঋণাত্মক প্রকারের নয় এমন মেট্রিকের একটি উদাহরণ। সমস্ত ইউক্লিডীয় স্থান এবং এমনকি পৃথকযোগ্য হিলবার্ট স্থানগুলির শক্তিশালী নেতিবাচক প্রকার রয়েছে। মেশিন লার্নিংয়ের জন্য কার্নেল পদ্ধতির সাহিত্যে, শক্তির দূরত্বের এই সাধারণ ধারণাগুলি সর্বাধিক গড় অসামঞ্জস্যের নামে অধ্যয়ন করা হয়। অনুমান পরীক্ষার জন্য দূরত্ব ভিত্তিক এবং কার্নেল পদ্ধতির সমতুল্যতা বেশ কয়েকজন লেখক দ্বারা আচ্ছাদিত। শক্তি পরিসংখ্যান একটি সম্পর্কিত পরিসংখ্যানগত ধারণা, ই-পরিসংখ্যানগত বা শক্তি-পরিসংখ্যানগত ধারণাটি 1980-এর দশকে গ্যাবর জে স্জকেলির দ্বারা প্রবর্তিত হয়েছিল যখন তিনি বুদাপেস্ট, হাঙ্গেরি এবং এমআইটি, ইয়েল এবং কলম্বিয়ায় কথোপকথনের বক্তৃতা দিচ্ছিলেন। এই ধারণাটি নিউটনের সম্ভাব্য শক্তির ধারণার উপর ভিত্তি করে তৈরি। ধারণাটি হল পরিসংখ্যানগত পর্যবেক্ষণগুলিকে একটি পরিসংখ্যানগত সম্ভাব্য শক্তি দ্বারা পরিচালিত স্বর্গীয় বস্তু হিসাবে বিবেচনা করা যা কেবল তখনই শূন্য হয় যখন একটি অন্তর্নিহিত পরিসংখ্যানগত শূন্য অনুমান সত্য হয়। শক্তি পরিসংখ্যান হল পরিসংখ্যানগত পর্যবেক্ষণের মধ্যে দূরত্বের ফাংশন। জিঞ্জার এ. এ, কাকোসিয়ান এ. ভি, ক্লেবানোভ এল. বি-তে শক্তির দূরত্ব এবং ই-পরিসংখ্যানকে এন-দূরত্ব এবং এন-পরিসংখ্যান হিসাবে বিবেচনা করা হয়েছিল। কিছু সম্ভাব্যতা পরিমাপের সাথে সম্পর্কিত কিছু পরিসংখ্যানের গড় মানের মাধ্যমে বিতরণের বৈশিষ্ট্য, স্টোকাস্টিক মডেলগুলির জন্য স্থিতিশীলতা সমস্যা। মস্কো, ভিএনআইআইএসআই, 1989,47-55। (রাশিয়ান ভাষায়), ইংরেজি অনুবাদঃ পরিসংখ্যানের গড় মান এবং নির্দিষ্ট সম্ভাব্য মেট্রিক দ্বারা বিতরণের একটি বৈশিষ্ট্যকরণ। এ. জিঞ্জার, এ. ভি. কাকোসিয়ান, এল. বি. ক্লেবানোভ জার্নাল অফ সোভিয়েত ম্যাথমেটিক্সে (1992)। একই গবেষণাপত্রে দৃঢ়ভাবে ঋণাত্মক নির্দিষ্ট কার্নেলের একটি সংজ্ঞা দেওয়া হয়েছিল এবং উপরে আলোচিত মেট্রিক স্পেসের উপর একটি সাধারণীকরণ প্রদান করা হয়েছিল। বইটি এই ফলাফলগুলি এবং পরিসংখ্যানগত পরীক্ষায় তাদের প্রয়োগগুলিও দেয়। বইটিতে তার সম্ভাবনা থেকে পরিমাপ পুনরুদ্ধারের জন্য কিছু অ্যাপ্লিকেশন রয়েছে। সমান বিতরণের জন্য পরীক্ষা শূন্য অনুমানটি বিবেচনা করুন যে দুটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল, এক্স এবং ওয়াই-এর একই সম্ভাব্যতা বিতরণ রয়েছেঃ এক্স এবং ওয়াই থেকে পরিসংখ্যানগত নমুনার জন্যঃ এবং, এক্স এবং ওয়াই নমুনার মধ্যে দূরত্বের নিম্নলিখিত গাণিতিক গড় গণনা করা হয়ঃ অন্তর্নিহিত নাল হাইপোথিসিসের ই-পরিসংখ্যান নিম্নরূপ সংজ্ঞায়িত করা হয়েছেঃ কেউ প্রমাণ করতে পারে যে এবং সংশ্লিষ্ট জনসংখ্যার মান শূন্য যদি এবং শুধুমাত্র যদি এক্স এবং ওয়াই-এর একই বন্টন () থাকে। এই নাল হাইপোথিসিসের অধীনে পরীক্ষার পরিসংখ্যানটি স্বাধীন স্ট্যান্ডার্ড স্বাভাবিক র্যান্ডম ভেরিয়েবলের দ্বিঘাত আকারে বিতরণে একত্রিত হয়। বিকল্প অনুমানের অধীনে টি অনন্তের দিকে প্রবণতা দেখায়। এটি একটি সামঞ্জস্যপূর্ণ পরিসংখ্যানগত পরীক্ষা, সমান বিতরণের জন্য শক্তি পরীক্ষা তৈরি করা সম্ভব করে তোলে। অসমত্বের ই-সহগও প্রবর্তন করা যেতে পারে। এটি সর্বদা 0 এবং 1 এর মধ্যে থাকে এবং যেখানে প্রত্যাশিত মান নির্দেশ করে হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। H = 0 ঠিক যখন X এবং Y-এর বন্টন একই হয়। সদ্গুণ-উপযুক্ত একটি বহুমুখী সদ্গুণ-উপযুক্ত পরিমাপ নির্বিচারে মাত্রায় বিতরণের জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয় (নমুনা আকার দ্বারা সীমাবদ্ধ নয়)। এনার্জি গুডনেস-অফ-ফিট পরিসংখ্যান হল যেখানে এক্স এবং এক্স 'স্বাধীন এবং অনুমানকৃত বন্টন অনুযায়ী অভিন্নভাবে বিতরণ করা হয়, এবং। একমাত্র প্রয়োজনীয় শর্ত হল শূন্য অনুমানের অধীনে এক্স-এর সসীম মুহূর্ত রয়েছে। নাল হাইপোথিসিসের অধীনে, এবং কিউএন-এর অ্যাসিম্পটোটিক ডিস্ট্রিবিউশন হল কেন্দ্রিক গাউসিয়ান র্যান্ডম ভেরিয়েবলের একটি দ্বিঘাত রূপ। একটি বিকল্প অনুমানের অধীনে, কিউএন অনন্তের দিকে ঝুঁকে থাকে এবং এইভাবে একটি পরিসংখ্যানগতভাবে সামঞ্জস্যপূর্ণ পরীক্ষা নির্ধারণ করে। বেশিরভাগ প্রয়োগের জন্য সূচক 1 (ইউক্লিডীয় দূরত্ব) প্রয়োগ করা যেতে পারে। মাল্টিভ্যারিয়েট স্বাভাবিকতা পরীক্ষার গুরুত্বপূর্ণ বিশেষ ক্ষেত্রে আর-এর জন্য শক্তি প্যাকেজে প্রয়োগ করা হয়। পরীক্ষাগুলি পারেটো (শক্তি আইন)-এর মতো ভারী লেজের বিতরণের জন্য বা (0,1)-এ সূচক প্রয়োগের মাধ্যমে স্থিতিশীল বিতরণের জন্যও তৈরি করা হয়। অ্যাপ্লিকেশন অ্যাপ্লিকেশনগুলির মধ্যে রয়েছেঃ হায়ারার্কিকাল ক্লাস্টারিং (ওয়ার্ড পদ্ধতির একটি সাধারণীকরণ) মাল্টিভ্যারিয়েট নর্মালিটি টেস্টিং সমান বিতরণের মাল্টি-স্যাম্পেল হাইপোথিসিস টেস্টিং, চেঞ্জ পয়েন্ট ডিটেকশন মাল্টিভ্যারিয়েট ইন্ডিপেন্ডেন্সঃ দূরত্বের পারস্পরিক সম্পর্ক, ব্রাউনিয়ান কোভ্যারিয়েন্স। স্কোরিং নিয়মঃ সম্ভাব্য ভবিষ্যদ্বাণীর জন্য একটি নতুন এবং খুব সাধারণ ধরনের সঠিক স্কোরিং নিয়ম, শক্তি স্কোর বিকাশের জন্য নিটিং এবং রাফ্টেরি শক্তি দূরত্ব প্রয়োগ করে। শক্তিশালী পরিসংখ্যান দৃশ্যপট হ্রাস জিন নির্বাচন মাইক্রো অ্যারে তথ্য বিশ্লেষণ উপাদান কাঠামো বিশ্লেষণ মর্ফোমেট্রিক এবং কেমোমেট্রিক তথ্য প্রয়োগ শক্তি পরিসংখ্যানের প্রয়োগগুলি আর-এর জন্য মুক্ত উৎস শক্তি প্যাকেজে প্রয়োগ করা হয়।