Cayley–Klein metric
গণিতে, একটি কাইলি-ক্লেইন মেট্রিক হল একটি প্রজেক্টিভ স্পেসে একটি নির্দিষ্ট চতুর্ভুজের পরিপূরকের উপর একটি মেট্রিক যা একটি ক্রস-অনুপাত ব্যবহার করে সংজ্ঞায়িত করা হয়। নির্মাণটি আর্থার কেলির প্রবন্ধ "দূরত্বের তত্ত্বের উপর" থেকে উদ্ভূত হয়েছিল যেখানে তিনি চতুর্ভুজকে পরম বলে অভিহিত করেছেন। 1871 এবং 1873 সালে ফেলিক্স ক্লেইন গবেষণাপত্রে এবং পরবর্তী বই ও গবেষণাপত্রে নির্মাণটি আরও বিস্তারিতভাবে তৈরি করেছিলেন। কাইলি-ক্লেইন মেট্রিক্স জ্যামিতিতে একটি ঐক্যবদ্ধ ধারণা কারণ পদ্ধতিটি হাইপারবোলিক জ্যামিতি, উপবৃত্তাকার জ্যামিতি এবং ইউক্লিডীয় জ্যামিতিতে মেট্রিক্স সরবরাহ করতে ব্যবহৃত হয়। অ-ইউক্লিডীয় জ্যামিতির ক্ষেত্রটি মূলত কেলি-ক্লেইন মেট্রিক্স দ্বারা প্রদত্ত ভিত্তির উপর নির্ভর করে। কার্ল ভন স্টাউটের (1847) নিক্ষেপের বীজগণিত হল জ্যামিতির একটি পদ্ধতি যা মেট্রিক থেকে স্বাধীন। ধারণাটি ছিল প্রজেক্টিভ হারমোনিক কনজুগেট এবং ক্রস-অনুপাতের সম্পর্ককে একটি লাইনের পরিমাপের মৌলিক হিসাবে ব্যবহার করা। আরেকটি গুরুত্বপূর্ণ অন্তর্দৃষ্টি ছিল এডমন্ড ল্যাগুয়েরের (1853) ল্যাগুয়ের সূত্র, যিনি দেখিয়েছিলেন যে দুটি রেখার মধ্যে ইউক্লিডীয় কোণকে একটি ক্রস-অনুপাতের লগারিদম হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে। অবশেষে, কেলি (1859) একটি প্রজেক্টিভ মেট্রিকের পরিপ্রেক্ষিতে দূরত্ব প্রকাশের জন্য সম্পর্ক প্রণয়ন করেন এবং তাদের জ্যামিতির পরম হিসাবে কাজ করা সাধারণ চতুর্ভুজ বা শঙ্কুগুলির সাথে সম্পর্কিত করেন। ক্লেইন (1871,1873) ভন স্টাউটের কাজ থেকে মেট্রিক ধারণার শেষ অবশিষ্টাংশগুলি সরিয়ে ফেলেন এবং কেলির তত্ত্বের সাথে একত্রিত করেন, যাতে কেলির নতুন মেট্রিককে লগারিদম এবং ক্রস-অনুপাতকে চারটি বিন্দুর জ্যামিতিক বিন্যাস দ্বারা উত্পন্ন সংখ্যা হিসাবে ভিত্তি করা যায়। এই পদ্ধতিটি দূরত্বের একটি বৃত্তাকার সংজ্ঞা এড়ানোর জন্য প্রয়োজনীয় যদি ক্রস-অনুপাত পূর্বে সংজ্ঞায়িত দূরত্বের দ্বিগুণ অনুপাত হয়। বিশেষ করে, তিনি দেখিয়েছেন যে অ-ইউক্লিডীয় জ্যামিতিগুলি কাইলি-ক্লেইন মেট্রিকের উপর ভিত্তি করে হতে পারে। কাইলি-ক্লেইন জ্যামিতি হল কাইলি-ক্লেইন মেট্রিক অপরিবর্তনীয় রেখে যাওয়া গতির গোষ্ঠীর অধ্যয়ন। এটি একটি চতুর্ভুজ বা শঙ্কু নির্বাচনের উপর নির্ভর করে যা স্থানটির পরম হয়ে ওঠে। এই গ্রুপটি এমন কোলাইনেশন হিসাবে প্রাপ্ত হয় যার জন্য পরম স্থিতিশীল। প্রকৃতপক্ষে, ক্রস-অনুপাত যে কোনও কোলিনিয়েশনের অধীনে অপরিবর্তনীয়, এবং স্থিতিশীল পরম মেট্রিক তুলনাকে সক্ষম করে, যা সমতা হবে। উদাহরণস্বরূপ, একক বৃত্তটি হাইপারবোলিক জ্যামিতিতে পয়েনকারে ডিস্ক মডেল এবং বেলট্রামি-ক্লেইন মডেলের পরম। একইভাবে, আসল রেখাটি পয়েনকারে অর্ধ-সমতল মডেলের পরম। কাইলি-ক্লেইন জ্যামিতির ব্যাপ্তি 2004 সালে হর্স্ট এবং রল্ফ স্ট্রুভ দ্বারা সংক্ষিপ্ত করা হয়েছিলঃ বাস্তব প্রজেক্টিভ লাইনে তিনটি অ্যাবসলুট রয়েছে, বাস্তব প্রজেক্টিভ প্লেনে সাতটি এবং বাস্তব প্রজেক্টিভ স্পেসে 18টি। হাইপারবোলিক, উপবৃত্তাকার, গ্যালিলিয়ান এবং মিনকোস্কিয়ান এবং তাদের দ্বৈত হিসাবে সমস্ত ধ্রুপদী অ-ইউক্লিডীয় প্রজেক্টিভ স্পেসকে এইভাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। কাইলি-ক্লেইন ভোরোনোই রেখাচিত্রগুলি রৈখিক হাইপারপ্লেন দ্বিখণ্ডকের সাথে সংযুক্ত রেখাচিত্র। ক্রস অনুপাত এবং দূরত্ব কেলি-ক্লেইন মেট্রিক প্রথম বাস্তব প্রজেক্টিভ লাইন পি (আর) এবং প্রজেক্টিভ স্থানাঙ্কে চিত্রিত করা হয়। সাধারণত প্রজেক্টিভ জ্যামিতি মেট্রিক জ্যামিতির সাথে সম্পর্কিত নয়, তবে হোমোগ্রাফি এবং প্রাকৃতিক লগারিদম সহ একটি যন্ত্র সংযোগ তৈরি করে। পি (আর)-এর দুটি বিন্দু পি এবং কিউ দিয়ে শুরু করুন। ক্যানোনিকাল এম্বেডিংয়ে সেগুলি হল [p: 1] এবং [q: 1]। সমসংস্থানিক মানচিত্রটি পি-কে শূন্য এবং কিউ-কে অনন্ত পর্যন্ত নিয়ে যায়। উপরন্তু, মধ্যবিন্দু (p + q)/2 যায় [1:1]। প্রাকৃতিক লগারিদম [p, q] ব্যবধানের চিত্রটিকে বাস্তব রেখায় নিয়ে যায়, যার মধ্যবিন্দুতে চিত্রের লগ 0 হয়। ব্যবধানের দুটি বিন্দুর মধ্যে দূরত্বের জন্য, কেলি-ক্লেইন মেট্রিক পয়েন্টের অনুপাতের লগারিদম ব্যবহার করে। একটি অনুপাত সংরক্ষণ করা হয় যখন সংখ্যা এবং হর সমানভাবে পুনরায় অনুপাত করা হয়, তাই এই অনুপাতগুলির লগারিদম সংরক্ষণ করা হয়। অনুপাতের এই নমনীয়তা দূরত্বের জন্য শূন্য বিন্দুর চলাচলকে সক্ষম করেঃ এটিকে a-তে নিয়ে যাওয়ার জন্য, উপরের হোমোগ্রাফি প্রয়োগ করুন, ধরুন w অর্জন করুন। তারপর এই হোমোগ্রাফি তৈরি করুনঃ যা [w, 1] থেকে [1:1] পর্যন্ত সময় নেয়। প্রথম এবং দ্বিতীয় হোমোগ্রাফির গঠন a থেকে 1 পর্যন্ত লাগে, এইভাবে বিরতিতে একটি স্বেচ্ছাচারী a কে স্বাভাবিক করে। রচিত হোমোগ্রাফিগুলিকে পি, কিউ এবং এ-এর ক্রস অনুপাত হোমোগ্রাফি বলা হয়। প্রায়শই ক্রস অনুপাত চারটি মানের একটি ফাংশন হিসাবে চালু করা হয়। এখানে তিনটি হল হোমোগ্রাফির সংজ্ঞা এবং চতুর্থটি হল হোমোগ্রাফির যুক্তি। 0 থেকে এই চতুর্থ বিন্দুর দূরত্ব হল মূল্যায়নকৃত হোমোগ্রাফির লগারিদম। পি (আর) ধারণকারী একটি প্রজেক্টিভ স্পেসে, ধরুন একটি শঙ্কুযুক্ত কে দেওয়া হয়েছে, যেখানে কে-তে পি এবং কিউ রয়েছে। বৃহত্তর স্পেসে একটি হোমোগ্রাফি একটি অপরিবর্তনীয় সেট হিসাবে কে থাকতে পারে কারণ এটি স্পেসের পয়েন্টগুলিকে ক্রমবর্ধমান করে। এই ধরনের হোমোগ্রাফি পি (আর)-এর উপর একটি প্ররোচিত করে এবং যেহেতু পি এবং কিউ কে-তে থাকে, তাই ক্রস অনুপাত অপরিবর্তনীয় থাকে। উচ্চতর সমসংস্থানগুলি K দ্বারা বেষ্টিত অঞ্চলের গতি প্রদান করে, গতি সংরক্ষণকারী দূরত্ব, একটি আইসোমেট্রি সহ। ডিস্ক অ্যাপ্লিকেশনগুলি ধরুন পরমের জন্য একটি একক বৃত্ত নির্বাচন করা হয়েছে। অন্যদিকে, সাধারণ জটিল সমতলে একক বৃত্তটি জটিল সংখ্যার গাণিতিক ব্যবহার করে এবং জটিল প্রজেক্টিভ রেখা পি (সি)-তে পাওয়া যায়, যা বাস্তব প্রজেক্টিভ সমতল পি2 (আর) থেকে কিছুটা আলাদা। পূর্ববর্তী বিভাগে প্রবর্তিত পি (আর)-এর জন্য দূরত্বের ধারণাটি পাওয়া যায় কারণ পি (আর) পি2 (আর) এবং পি (সি) উভয় ক্ষেত্রেই অন্তর্ভুক্ত। ধরুন a এবং b হল P2 (R)-এর বৃত্তের অভ্যন্তরে অবস্থিত। তারপর তারা একটি রেখার উপর থাকে যা বৃত্তটিকে p এবং q এ ছেদ করে। a থেকে b পর্যন্ত দূরত্ব হল হোমোগ্রাফির মানের লগারিদম, যা b-এর ক্ষেত্রে প্রয়োগ করা হলে p, q এবং a দ্বারা উপরে উৎপন্ন হয়। এই ক্ষেত্রে ডিস্কের ভূগণিত হল রেখা বিভাগ। অন্যদিকে, ভূগণিত হল জটিল সমতলে ডিস্কের সাধারণ বৃত্তের বৃত্ত। এই শ্রেণীর বক্ররেখা মোবিয়াস রূপান্তর দ্বারা ক্রমবর্ধমান হয়, যা এই ডিস্কের গতির উৎস যা একক বৃত্তকে একটি অপরিবর্তনীয় সেট হিসাবে ছেড়ে যায়। এই ডিস্কে a এবং b দেওয়া থাকলে, একটি অনন্য সাধারণীকৃত বৃত্ত রয়েছে যা সমকোণে একক বৃত্তের সাথে মিলিত হয়, ধরুন এটি p এবং q এ ছেদ করে। আবার, a থেকে b পর্যন্ত দূরত্বের জন্য প্রথমে p, q এবং a-এর জন্য হোমোগ্রাফি তৈরি করে, তারপর b-তে মূল্যায়ন করে এবং অবশেষে লগারিদম ব্যবহার করে। এই পদ্ধতিতে প্রাপ্ত হাইপারবোলিক সমতলে দুটি মডেল হল কেলি-ক্লেইন মডেল এবং পয়েনকারে ডিস্ক মডেল। 1926 সালে তাঁর মৃত্যুর পর প্রকাশিত গণিতের ইতিহাস বিষয়ক বক্তৃতায় ক্লেইন লিখেছিলেনঃ চার-মাত্রিক বিশ্বের ক্ষেত্রে বা (ত্রিমাত্রিক অবস্থায় থাকা এবং সমজাতীয় স্থানাঙ্ক ব্যবহার করা) সম্প্রতি পদার্থবিজ্ঞানের আপেক্ষিকতা তত্ত্বের মাধ্যমে বিশেষ তাৎপর্য অর্জন করেছে। অর্থাৎ, নিরপেক্ষ বা হাইপারবোলিক জ্যামিতিতে (উপরে আলোচিত), ব্যবধান বা স্থানকালের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ, এবং পরম অপরিবর্তনীয় রেখে এর রূপান্তর লরেঞ্জ রূপান্তরের সাথে সম্পর্কিত হতে পারে। একইভাবে, হাইপারবোলিক জ্যামিতিতে একক বৃত্ত বা একক গোলকের সমীকরণগুলি ভৌত বেগ বা আপেক্ষিকতার সাথে মিলে যায়, যা আলোর গতি দ্বারা আবদ্ধ, যাতে যে কোনও ভৌত বেগের জন্য, অনুপাতটি একটি একক গোলকের অভ্যন্তরে সীমাবদ্ধ থাকে এবং গোলকের পৃষ্ঠ জ্যামিতির জন্য কেলি পরম গঠন করে। হাইপারবোলিক স্পেসের জন্য কাইলি-ক্লেইন মেট্রিক এবং বিশেষ আপেক্ষিকতার মিনকোভস্কি স্পেসের মধ্যে সম্পর্ক সম্পর্কে অতিরিক্ত বিবরণ 1910 সালে ক্লেইন দ্বারা নির্দেশিত হয়েছিল, সেইসাথে অ-ইউক্লিডীয় জ্যামিতির উপর তাঁর বক্তৃতার 1928 সংস্করণে। 2008 সালে হর্স্ট মার্টিনি এবং মার্গারিটা স্পিরোভা কেলি পরমের সাথে যুক্ত অ্যাফিন জ্যামিতি ব্যবহার করে ক্লিফোর্ডের প্রথম বৃত্ত উপপাদ্য এবং অন্যান্য ইউক্লিডীয় জ্যামিতিকে সাধারণীকরণ করেনঃ যদি পরমটিতে একটি রেখা থাকে, তবে একজন অ্যাফিন কেলি-ক্লেইন জ্যামিতির একটি উপপরিবার অর্জন করে। যদি পরমটি একটি রেখা f এবং f-এর উপর একটি বিন্দু F নিয়ে গঠিত হয়, তাহলে আমাদের আইসোট্রপিক জ্যামিতি রয়েছে। একটি আইসোট্রপিক বৃত্ত হল একটি শঙ্কু স্পর্শকারী f। সমজাতীয় স্থানাঙ্ক (x, y, z) ব্যবহার করুন। অসীমের রেখা f হল z = 0। যদি F = (0,1,0) হয়, তাহলে y-অক্ষের সমান্তরাল ব্যাসের একটি প্যারাবোলা একটি আইসোট্রপিক বৃত্ত। ধরা যাক পি = (1,0,0) এবং কিউ = (0,1,0) পরমের উপর, তাই এফ উপরের মতোই। (x, y) সমতলে একটি আয়তক্ষেত্রাকার হাইপারবোলা অনন্ততায় পি এবং কিউ লাইনের মধ্য দিয়ে যায় বলে মনে করা হয়। এই বক্ররেখা হল ছদ্ম-ইউক্লিডীয় বৃত্ত। মার্টিনি এবং স্পিরোভা আইসোট্রপিক জ্যামিতির জন্য দ্বৈত সংখ্যা এবং ছদ্ম-ইউক্লিডীয় জ্যামিতির জন্য বিভক্ত-জটিল সংখ্যা ব্যবহার করেন। এই সাধারণীকৃত জটিল সংখ্যাগুলি তাদের জ্যামিতির সাথে যুক্ত হয় যেমন সাধারণ জটিল সংখ্যাগুলি ইউক্লিডীয় জ্যামিতির সাথে করে। ইতিহাস কেলি আর্থার কেলি (1859) "পরম" সংজ্ঞায়িত করেছেন যার উপর ভিত্তি করে তিনি তাঁর প্রজেক্টিভ মেট্রিককে সমজাতীয় স্থানাঙ্কের পরিপ্রেক্ষিতে দ্বিতীয় ডিগ্রির পৃষ্ঠের একটি সাধারণ সমীকরণ হিসাবে ভিত্তি করেছেনঃ দুটি বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব তারপর দ্বারা দেওয়া হয়। ক্লেইন ফেলিক্স ক্লেইন (1871) কেলির অভিব্যক্তিগুলিকে নিম্নরূপ পুনর্বিন্যাস করেনঃ তিনি সমজাতীয় স্থানাঙ্কের পরিপ্রেক্ষিতে পরম (যাকে তিনি মৌলিক শঙ্কু বিভাগ বলে অভিহিত করেন) লিখেছিলেনঃ এবং পরম এবং দুটি উপাদান গঠন করে তিনি তাদের মধ্যে মাত্রিক দূরত্বকে ক্রস অনুপাতের পরিপ্রেক্ষিতে সংজ্ঞায়িত করেছিলেনঃ সমতলে, মাত্রিক দূরত্বের জন্য একই সম্পর্ক থাকে, তা ছাড়া এবং এখন প্রতিটি তিনটি স্থানাঙ্কের সাথে সম্পর্কিত। মৌলিক শঙ্কু বিভাগ হিসাবে তিনি বিশেষ কেস নিয়ে আলোচনা করেছিলেন, যা বাস্তব হলে হাইপারবোলিক জ্যামিতি এবং কাল্পনিক হলে উপবৃত্তাকার জ্যামিতির সাথে সম্পর্কিত। এই রূপটি অপরিবর্তনীয় রেখে যাওয়া রূপান্তরগুলি সংশ্লিষ্ট অ-ইউক্লিডীয় স্থানের গতির প্রতিনিধিত্ব করে। বিকল্পভাবে, তিনি বৃত্তের সমীকরণটি এই আকারে ব্যবহার করেছিলেন, যা ধনাত্মক হলে হাইপারবোলিক জ্যামিতি (বেলট্রামি-ক্লেইন মডেল) বা ঋণাত্মক হলে উপবৃত্তাকার জ্যামিতির সাথে সম্পর্কিত। মহাকাশে, তিনি দ্বিতীয় মাত্রার মৌলিক পৃষ্ঠগুলি নিয়ে আলোচনা করেছিলেন, যা অনুসারে কাল্পনিকগুলি উপবৃত্তাকার জ্যামিতিকে বোঝায়, বাস্তব এবং আয়তাকারগুলি তিনটি প্রধান জ্যামিতির মধ্যে একটির সাথে কোনও সম্পর্ক ছাড়াই এক-শীট হাইপারবোলয়েডের সাথে মিলে যায়, যেখানে বাস্তব এবং অ-রেক্টিলিনিয়ারগুলি হাইপারবোলিক স্থানকে বোঝায়। তাঁর 1873 সালের গবেষণাপত্রে তিনি কেলি মেট্রিক এবং রূপান্তর গোষ্ঠীর মধ্যে সম্পর্কের দিকে ইঙ্গিত করেছিলেন। বিশেষত, দ্বিতীয় মাত্রার পৃষ্ঠের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ বাস্তব সহগ সহ দ্বিঘাত সমীকরণগুলিকে বর্গের যোগফলের মধ্যে রূপান্তরিত করা যেতে পারে, যার মধ্যে ধনাত্মক এবং ঋণাত্মক চিহ্নের সংখ্যার মধ্যে পার্থক্য সমান থাকে (এটিকে এখন সিলভেস্টারের জড়তার সূত্র বলা হয়)। যদি সমস্ত বর্গের চিহ্ন একই হয়, তবে পৃষ্ঠটি ধনাত্মক বক্রতা সহ কাল্পনিক। যদি একটি চিহ্ন অন্যটির থেকে আলাদা হয়, তবে পৃষ্ঠটি ঋণাত্মক বক্রতা সহ একটি উপবৃত্তাকার বা দ্বি-শীট হাইপারবোলয়েডে পরিণত হয়। শীতকালীন সেমিস্টারে অ-ইউক্লিডীয় জ্যামিতির উপর তাঁর বক্তৃতার প্রথম খণ্ডে (প্রকাশিত 1889/90), তিনি অ-ইউক্লিডীয় সমতল নিয়ে আলোচনা করেছিলেন, এই অভিব্যক্তিগুলি পরমের জন্য ব্যবহার করেছিলেনঃ এবং অ-ইউক্লিডীয় স্থানগুলিতে গতির প্রতিনিধিত্বকারী কলিনেশন এবং মোবিয়াস রূপান্তরগুলির ক্ষেত্রে তাদের অপরিবর্তিতা নিয়ে আলোচনা করেছিলেন। 1890 সালের গ্রীষ্মকালীন সেমিস্টারের বক্তৃতা সম্বলিত দ্বিতীয় খণ্ডে ক্লেইন কাইলি মেট্রিকের সাথে অ-ইউক্লিডীয় স্থান নিয়ে আলোচনা করেছিলেন এবং দেখিয়েছিলেন যে এই চতুর্ভুজ দ্বিঘাত রূপের রূপগুলি বাস্তব রৈখিক রূপান্তর দ্বারা নিম্নলিখিত পাঁচটি রূপের মধ্যে একটিতে আনা যেতে পারে। অবশেষে তিনি অ-ইউক্লিডীয় স্থানগুলিতে গতির প্রতিনিধিত্বকারী কোলিনিয়েশন এবং মোবিয়াস রূপান্তরগুলির ক্ষেত্রে তাদের অপরিবর্তিতা নিয়ে আলোচনা করেছিলেন। রবার্ট ফ্রিক এবং ক্লেইন 1897 সালে অটোমরফিক ফাংশনের উপর বক্তৃতার প্রথম খণ্ডের ভূমিকায় এই সমস্ত কিছুর সংক্ষিপ্তসার করেছিলেন, যেখানে তারা সমতল জ্যামিতিতে পরম হিসাবে এবং সেইসাথে হাইপারবোলিক স্থানের জন্য ব্যবহার করেছিলেন। অ-ইউক্লিডীয় জ্যামিতির উপর ক্লেইনের বক্তৃতাগুলি মরণোত্তর একটি খণ্ড হিসাবে পুনরায় প্রকাশিত হয়েছিল এবং 1928 সালে ওয়ালথার রোজম্যান দ্বারা উল্লেখযোগ্যভাবে সম্পাদিত হয়েছিল। অ-ইউক্লিডীয় জ্যামিতির উপর ক্লেইনের কাজের একটি ঐতিহাসিক বিশ্লেষণ এ 'ক্যাম্পো এবং পাপাডোপোলোস (2014) দ্বারা দেওয়া হয়েছিল। হিলবার্ট মেট্রিক নোটস রেফারেন্স ঐতিহাসিক (দ্বিতীয় মুদ্রণ, 1892 সালে প্রথম মুদ্রণ) (দ্বিতীয় মুদ্রণ, 1892 সালে প্রথম মুদ্রণ) গৌণ উৎস বার্ট্রান্ড রাসেল (1898) অ্যান এসে অন দ্য ফাউন্ডেশন্স অফ জিওমেট্রি, ডোভার পাবলিকেশনস, ইনকর্পোরেটেড দ্বারা পুনরায় প্রকাশিত 1956। আলফ্রেড নর্থ হোয়াইটহেড (1898) ইউনিভার্সাল অ্যালজেব্রা, বই ষষ্ঠ অধ্যায় 1: দূরত্বের তত্ত্ব, পৃষ্ঠা 347-70, বিশেষ করে ধারা 199 কেলির দূরত্বের তত্ত্ব। ডানকান সমারভিল (1910/11) "কেলি-ক্লেইন মেট্রিক্স ইন এন-ডাইমেনশনাল স্পেস", এডিনবার্গ ম্যাথমেটিকাল সোসাইটির কার্যধারা 28:25-41। ডেভিড ডেলফেনিচ দ্বারা ইংরেজি অনুবাদে পুনঃমুদ্রিতঃ লরেঞ্জ গোষ্ঠীর জ্যামিতিক ভিত্তির উপর; ইংরেজি অনুবাদঃ এম একারম্যান দ্বারা 19 শতকে গণিতের বিকাশ, গণিত বিজ্ঞান প্রেস হার্ভে লিপকিন (1985) জর্জিয়া ইনস্টিটিউট অফ টেকনোলজি থেকে মেট্রিক জ্যামিতি আরও পড়া জ্যান ড্রসলার (1979) "কাইলি-ক্লেইন জ্যামিতিতে বহুমাত্রিক মেট্রিক স্কেলিংয়ের ভিত্তি", ব্রিটিশ জার্নাল অফ ম্যাথমেটিকাল অ্যান্ড স্ট্যাটিস্টিক্যাল সাইকোলজি 32 (2); 185-211 প্রজেক্টিভ জ্যামিতি মেট্রিক জ্যামিতি