Quasisymmetric map
গণিতে, মেট্রিক স্পেসের মধ্যে একটি কোয়াসিসিমেট্রিক সমরূপতা হল একটি মানচিত্র যা দ্বি-লিপশিৎজ মানচিত্রকে সাধারণীকরণ করে। দ্বি-লিপশিটজ মানচিত্রগুলি কোনও সেটের ব্যাসকে গুণনীয়ক গুণকের চেয়ে বেশি সঙ্কুচিত বা প্রসারিত না করলেও, কোয়াসিসিমেট্রিক মানচিত্রগুলি দুর্বল জ্যামিতিক বৈশিষ্ট্যকে সন্তুষ্ট করে যে তারা সেটগুলির আপেক্ষিক আকার সংরক্ষণ করেঃ যদি দুটি সেট এ এবং বি-এর ব্যাস টি হয় এবং দূরত্ব টি-এর চেয়ে বেশি না হয়, তবে তাদের আকারের অনুপাত একটি গুণনীয়ক ধ্রুবকের চেয়ে বেশি পরিবর্তিত হয় না। এই মানচিত্রগুলি কোয়াসিকোফর্মাল মানচিত্রের সাথেও সম্পর্কিত, কারণ অনেক ক্ষেত্রে এগুলি প্রকৃতপক্ষে সমতুল্য। সংজ্ঞা ধরা যাক (এক্স, ডিএক্স) এবং (ওয়াই, ডিওয়াই) দুটি মেট্রিক স্পেস। একটি সমরূপতা f: X → Y কে η-সমতুল্য বলা হয় যদি একটি ক্রমবর্ধমান ফাংশন থাকে η: [0, ≤) → [0, ≤) যেমন X-এ স্বতন্ত্র বিন্দুর যে কোনও ট্রিপল x, y, z-এর জন্য, আমাদের মৌলিক বৈশিষ্ট্য রয়েছে বিপরীতগুলি সমতুল্য হয় যদি f: X → Y উপরের মতো একটি বিপরীত η-সমতুল্য মানচিত্র হয়, তবে এর বিপরীত মানচিত্রটি-সমতুল্য, যেখানে সমতুল্য মানচিত্রগুলি সেটগুলির আপেক্ষিক আকার সংরক্ষণ করে। যাইহোক, যদি সংযুক্ত থাকে এবং দ্বিগুণ হয়, তবে সমস্ত দুর্বল কোয়াসিসিমেট্রিক মানচিত্র কোয়াসিসিমেট্রিক। এই ফলাফলের আবেদন হল যে দুর্বল-সমমিতি প্রমাণ করা সরাসরি সমমিতি প্রমাণ করার চেয়ে অনেক সহজ এবং অনেক প্রাকৃতিক পরিবেশে দুটি ধারণা সমতুল্য। δ-মনোটোনের মানচিত্র হিলবার্ট স্পেসে একটি মনোটোনের মানচিত্র f: H → H হল δ-মনোটোনের মান যদি H-এর সমস্ত x এবং y-এর জন্য, এই শর্তটির জ্যামিতিক অর্থ কী তা বোঝার জন্য, ধরুন f (0) = 0 এবং উপরের অনুমানটি বিবেচনা করুন যখন y = 0। তারপর এটি বোঝায় যে ভেক্টর x এবং তার চিত্র f (x)-এর মধ্যে কোণটি 0 এবং আর্কোস δ <π/2-এর মধ্যে থাকে। এই মানচিত্রগুলি কোয়াসিসিমেট্রিক, যদিও এগুলি কোয়াসিসিমেট্রিক মানচিত্রের অনেক সংকীর্ণ উপশ্রেণী। উদাহরণস্বরূপ, জটিল সমতলে একটি সাধারণ কোয়াসিসিমেট্রিক মানচিত্র বাস্তব রেখাকে হাউজডর্ফ মাত্রার একটি সেটের সাথে ম্যাপ করতে পারে যা কঠোরভাবে একের চেয়ে বড়, একটি δ-মনোটোন সর্বদা বাস্তব রেখাকে একটি লিপস্কিটজ ফাংশন L: R → R এর ঘোরানো গ্রাফের সাথে ম্যাপ করবে। দ্বিগুণ পরিমাপ বাস্তব রেখার কোয়াসিসিমেট্রিক হোমিওমরফিজমগুলি তাদের ডেরিভেটিভের পরিপ্রেক্ষিতে চিহ্নিত করা যেতে পারে। একটি ক্রমবর্ধমান সমরূপতা f: R → R কোয়াসিসিমেট্রিক হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি একটি ধ্রুবক C> 0 এবং বাস্তব রেখার উপর একটি দ্বিগুণ পরিমাপ থাকে যেমন ইউক্লিডীয় স্থান একটি অনুরূপ ফলাফল ইউক্লিডীয় স্থানে ধরে রাখে। ধরুন C = 0 এবং আমরা f-এর জন্য উপরের সমীকরণটি পুনর্লিখন করি এইভাবে লিখতে গিয়ে, আমরা এই একই ইন্টিগ্রাল ব্যবহার করে একটি মানচিত্র সংজ্ঞায়িত করার চেষ্টা করতে পারি, তবে পরিবর্তে Rn-এর উপর ইন্টিগ্রেট (যা এখন একটি ভেক্টর মূল্যবান ইন্টিগ্র্যান্ড) করতে পারিঃ যদি Rn-এর উপর একটি দ্বিগুণ পরিমাপ হয় এবং তারপর মানচিত্রটি কোয়াসিসিমেট্রিক হয় (আসলে, এটি পরিমাপের উপর নির্ভর করে কিছু δ-এর জন্য δ-মনোটোন)। ইউক্লিডীয় স্থানে কোয়াসিসিমেট্রি এবং কোয়াসিকোফর্মালিটি ধরা যাক এবং Rn-এর উন্মুক্ত উপসেট হতে হবে। যদি f: ω → ω 'η-কোয়াসিসিমেট্রিক হয়, তবে এটি K-কোয়াসিকোফর্মালও হয়, যেখানে এর উপর নির্ভর করে একটি ধ্রুবক। বিপরীতভাবে, যদি f: ω → ω 'কে-কোয়াসিকোফর্মাল হয় এবং এতে থাকে, তবে η-কোয়াসিসিমেট্রিক হয়, যেখানে শুধুমাত্র নির্ভর করে। কোয়াসি-মোবিয়াস মানচিত্র একটি সম্পর্কিত কিন্তু দুর্বল শর্ত হল কোয়াসি-মোবিয়াস মানচিত্রের ধারণা যেখানে অনুপাতের পরিবর্তে শুধুমাত্র ক্রস-অনুপাত বিবেচনা করা হয়ঃ সংজ্ঞা ধরা যাক (এক্স, ডিএক্স) এবং (ওয়াই, ডিওয়াই) দুটি মেট্রিক স্পেস এবং ধরা যাক η: [0, ν) → [0, ν) একটি ক্রমবর্ধমান ফাংশন। একটি η-আধা-মোবিয়াস সমরূপতা f: X → Y হল একটি সমরূপতা যার জন্য X-এর স্বতন্ত্র বিন্দুর প্রতিটি চতুর্ভুজ x, y, z, t-এর জন্য, আমাদের রয়েছে ডুয়াদি-আর্ল এক্সটেনশন রেফারেন্স জ্যামিতি গাণিতিক বিশ্লেষণ মেট্রিক জ্যামিতি।