Quantum Fourier transform
কোয়ান্টাম কম্পিউটিং-এ, কোয়ান্টাম ফুরিয়ার রূপান্তর (কিউ. এফ. টি) হল কোয়ান্টাম বিটের উপর একটি রৈখিক রূপান্তর, এবং এটি বিচ্ছিন্ন ফুরিয়ার রূপান্তরের কোয়ান্টাম এনালগ। কোয়ান্টাম ফুরিয়ার রূপান্তর অনেক কোয়ান্টাম অ্যালগরিদমের একটি অংশ, বিশেষত পৃথক লগারিদম ফ্যাক্টরিং এবং গণনা করার জন্য শোরের অ্যালগরিদম, একক অপারেটরের আইগেনভ্যালু অনুমানের জন্য কোয়ান্টাম ফেজ অনুমান অ্যালগরিদম এবং লুকানো উপগোষ্ঠী সমস্যার জন্য অ্যালগরিদম। ডন কপারস্মিথ কোয়ান্টাম ফুরিয়ার রূপান্তর আবিষ্কার করেন। কোয়ান্টাম ফুরিয়ার রূপান্তর একটি কোয়ান্টাম কম্পিউটারে সরল একক ম্যাট্রিক্সের গুণফলের মধ্যে পচন সহ দক্ষতার সাথে সম্পাদন করা যেতে পারে। মাত্রার উপর বিচ্ছিন্ন ফুরিয়ার রূপান্তর একটি কোয়ান্টাম সার্কিট হিসাবে প্রয়োগ করা যেতে পারে যা শুধুমাত্র হ্যাডামার্ড গেট এবং নিয়ন্ত্রিত ফেজ শিফট গেট নিয়ে গঠিত, যেখানে কিউবিটের সংখ্যা। এটিকে ধ্রুপদী বিচ্ছিন্ন ফুরিয়ার রূপান্তরের সাথে তুলনা করা যেতে পারে, যা গেট নেয় (যেখানে বিটের সংখ্যা), যা সূচকীয়ভাবে এর চেয়ে বেশি। কোয়ান্টাম ফুরিয়ার রূপান্তর একটি কোয়ান্টাম অবস্থা ভেক্টরের (একটি কোয়ান্টাম রেজিস্টার) উপর কাজ করে এবং ধ্রুপদী ফুরিয়ার রূপান্তর একটি ভেক্টরের উপর কাজ করে। উভয় ধরনের ভেক্টরকেই জটিল সংখ্যার তালিকা হিসাবে লেখা যেতে পারে। কোয়ান্টামের ক্ষেত্রে এটি পরিমাপের উপর সমস্ত সম্ভাব্য ফলাফলের জন্য সম্ভাব্যতা প্রশস্ততার একটি ক্রম (যাকে বেসিস স্টেট বা আইগেনস্টেট বলা হয়)। যেহেতু পরিমাপ কোয়ান্টাম অবস্থাকে একটি একক ভিত্তি অবস্থায় ভেঙে দেয়, তাই ধ্রুপদী ফুরিয়ার রূপান্তর ব্যবহার করে এমন প্রতিটি কাজ কোয়ান্টাম ফুরিয়ার রূপান্তরের সূচকীয় গতির সুবিধা নিতে পারে না। সেরা কোয়ান্টাম ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম অ্যালগরিদমগুলি (2000 সালের শেষের দিকে হিসাবে পরিচিত) একটি দক্ষ অনুমান অর্জনের জন্য শুধুমাত্র গেটের প্রয়োজন হয়, তবে শর্ত থাকে যে একটি নিয়ন্ত্রিত ফেজ গেট একটি নেটিভ অপারেশন হিসাবে প্রয়োগ করা হয়। সংজ্ঞা কোয়ান্টাম ফুরিয়ার রূপান্তর হল একটি ধ্রুপদী বিচ্ছিন্ন ফুরিয়ার রূপান্তর যা একটি কোয়ান্টাম অবস্থার প্রশস্ততার ভেক্টরের উপর প্রয়োগ করা হয়, যার সাধারণত দৈর্ঘ্য থাকে। ধ্রুপদী ফুরিয়ার রূপান্তর একটি ভেক্টরের উপর কাজ করে এবং সূত্র অনুসারে এটিকে ভেক্টরের সাথে ম্যাপ করেঃ যেখানে এবং ঐক্যের একটি এন-তম মূল। একইভাবে, কোয়ান্টাম ফুরিয়ার রূপান্তর একটি কোয়ান্টাম অবস্থার উপর কাজ করে এবং সূত্র অনুসারে এটিকে একটি কোয়ান্টাম অবস্থায় ম্যাপ করেঃ (ফেজ ফ্যাক্টর সূচকের জন্য প্রচলিত নিয়মাবলী পরিবর্তিত হয়; এখানে কোয়ান্টাম ফুরিয়ার রূপান্তরের বিপরীত বিচ্ছিন্ন ফুরিয়ার রূপান্তরের মতো একই প্রভাব রয়েছে এবং তদ্বিপরীত।) যেহেতু এটি একটি ঘূর্ণন, তাই বিপরীত কোয়ান্টাম ফুরিয়ার রূপান্তর একইভাবে কাজ করে কিন্তু এর সাথেঃ যদি এটি একটি ভিত্তি অবস্থা হয়, তবে কোয়ান্টাম ফুরিয়ার রূপান্তরকে মানচিত্র হিসাবেও সমানভাবে প্রকাশ করা যেতে পারে, কোয়ান্টাম ফুরিয়ার রূপান্তরকে কোয়ান্টাম অবস্থা ভেক্টরের উপর কাজ করা একটি একক ম্যাট্রিক্স (বা কোয়ান্টাম গেট) হিসাবে দেখা যেতে পারে, যেখানে একক ম্যাট্রিক্স হল ডিএফটি ম্যাট্রিক্স। উদাহরণস্বরূপ, এবং পর্যায়ের ক্ষেত্রে রূপান্তর ম্যাট্রিক্স হল প্রোপার্টি ইউনিটারিটি কোয়ান্টাম ফুরিয়ার রূপান্তরের বেশিরভাগ বৈশিষ্ট্য এই সত্য থেকে অনুসরণ করে যে এটি একটি একক রূপান্তর। ম্যাট্রিক্স গুণন সম্পাদন করে এবং সম্পর্কটি বজায় রয়েছে কিনা তা নিশ্চিত করে এটি পরীক্ষা করা যেতে পারে, যেখানে এর হার্মিসিয়ান সংযোজন রয়েছে। বিকল্পভাবে, কেউ পরীক্ষা করতে পারেন যে আদর্শ 1-এর অর্থোগোনাল ভেক্টরগুলি আদর্শ 1-এর অর্থোগোনাল ভেক্টরের সাথে ম্যাপ করা হয়েছে। একক বৈশিষ্ট্য থেকে দেখা যায় যে, কোয়ান্টাম ফুরিয়ার রূপান্তরের বিপরীতটি হল ফুরিয়ার ম্যাট্রিক্সের হার্মিশিয়ান সংযোজন। যেহেতু কোয়ান্টাম ফুরিয়ার রূপান্তর প্রয়োগকারী একটি দক্ষ কোয়ান্টাম সার্কিট রয়েছে, তাই বিপরীত কোয়ান্টাম ফুরিয়ার রূপান্তর সম্পাদনের জন্য সার্কিটটি বিপরীত দিকে চালানো যেতে পারে। সুতরাং উভয় রূপান্তরই একটি কোয়ান্টাম কম্পিউটারে দক্ষতার সাথে সম্পাদন করা যেতে পারে। সার্কিট বাস্তবায়ন কিউবিট বর্তনীতে ব্যবহৃত কোয়ান্টাম গেটগুলি হল হ্যাডামার্ড গেট এবং ফেজ গেটঃ সার্কিটটি গেট এবং এর নিয়ন্ত্রিত সংস্করণ নিয়ে গঠিতঃ একটি অর্থোনরমাল বেসিস বেসিস স্টেট নিয়ে গঠিতঃ এই বেসিস স্টেটগুলি কিউবিটের সমস্ত সম্ভাব্য অবস্থাকে বিস্তৃত করেঃ যেখানে, টেনসর প্রোডাক্ট নোটেশন সহ, ইঙ্গিত দেয় যে কিউবিট 0 বা 1 সহ অবস্থায় রয়েছে। প্রচলিত নিয়ম অনুসারে, বেসিস স্টেট ইনডেক্স হল সবচেয়ে উল্লেখযোগ্য বিট সহ, দ্বারা এনকোড করা বাইনারি সংখ্যা। হাদামার্ড গেটের ক্রিয়া হল, যেখানে চিহ্নটি নির্ভর করে। কোয়ান্টাম ফুরিয়ার রূপান্তরকে একাধিক শব্দের টেনসর গুণফল হিসাবে লেখা যেতে পারেঃ ভগ্নাংশ বাইনারি স্বরলিপি ব্যবহার করে কোয়ান্টাম ফুরিয়ার রূপান্তরের ক্রিয়াটি সংহত পদ্ধতিতে প্রকাশ করা যেতে পারেঃ উপরে বর্ণিত সার্কিট থেকে এই অবস্থাটি পেতে, কিউবিটগুলির একটি অদলবদল অপারেশন অবশ্যই তাদের ক্রম বিপরীত করতে হবে। বেশিরভাগ ক্ষেত্রেই অদলবদল প্রয়োজন হয়। যেহেতু পৃথক ফুরিয়ার রূপান্তর, এন কিউবিটের উপর একটি অপারেশন, এন একক-কিউবিট অপারেশনের টেনসর প্রোডাক্টে ফ্যাক্টর করা যেতে পারে, এটি সহজেই একটি কোয়ান্টাম সার্কিট হিসাবে প্রতিনিধিত্ব করা হয় (আউটপুটের একটি ক্রম বিপরীত পর্যন্ত)। এই একক-কিউবিট ক্রিয়াকলাপগুলির প্রত্যেকটি একটি হ্যাডামার্ড গেট এবং একটি রৈখিক সংখ্যক নিয়ন্ত্রিত ফেজ গেট ব্যবহার করে দক্ষতার সাথে প্রয়োগ করা যেতে পারে। প্রথম মেয়াদে একটি হাদামার্ড গেট এবং নিয়ন্ত্রিত ফেজ গেটের প্রয়োজন হয়, পরবর্তী মেয়াদে একটি হাদামার্ড গেট এবং নিয়ন্ত্রিত ফেজ গেটের প্রয়োজন হয় এবং পরবর্তী প্রতিটি মেয়াদে একটি কম নিয়ন্ত্রিত ফেজ গেটের প্রয়োজন হয়। আউটপুট রিভার্সালের জন্য প্রয়োজনীয় গেটগুলি বাদ দিয়ে গেটের সংখ্যা যোগ করলে গেট পাওয়া যায়, যা কিউবিটের সংখ্যায় দ্বিঘাত বহুপদী। একটি রৈখিক নিকটতম প্রতিবেশী স্থাপত্যের উপর কোয়ান্টাম ফুরিয়ার রূপান্তরের সার্কিট-স্তরের বাস্তবায়ন আগে অধ্যয়ন করা হয়েছে। কিউবিটের সংখ্যায় বর্তনীর গভীরতা রৈখিক। উদাহরণ তিনটি কিউবিটের উপর কোয়ান্টাম ফুরিয়ার রূপান্তর, সহ, নিম্নলিখিত রূপান্তর দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়ঃ যেখানে ঐক্যের অষ্টম মূল সন্তোষজনক। তিনটি কিউবিটে ফুরিয়ার রূপান্তরের ম্যাট্রিক্স উপস্থাপনাটি হ 'লঃ 3-কিউবিট কোয়ান্টাম ফুরিয়ার রূপান্তরটি এইভাবে পুনর্লিখন করা যেতে পারেঃ নিম্নলিখিত স্কেচটি সংশ্লিষ্ট সার্কিটটি দেখায় (সঠিক কিউএফটি-র সাপেক্ষে আউটপুট কিউবিটের বিপরীত ক্রম সহ): উপরে যেমন গণনা করা হয়েছে, ব্যবহৃত গেটের সংখ্যা যা এর জন্য সমান। কোয়ান্টাম হ্যাডামার্ড রূপান্তরের সাথে সম্পর্ক সসীম (আবেলিয়ান) গোষ্ঠীগুলিতে সাধারণীকৃত ফুরিয়ার রূপান্তর ব্যবহার করে, একটি এন-কিউবিট কোয়ান্টাম রেজিস্টারে কোয়ান্টাম ফুরিয়ার রূপান্তরকে সংজ্ঞায়িত করার দুটি প্রাকৃতিক উপায় রয়েছে। উপরে বর্ণিত কিউ. এফ. টি ডি. এফ. টি-র সমতুল্য, যা এই এন কিউবিটগুলিকে চক্রাকার গোষ্ঠী দ্বারা সূচক হিসাবে বিবেচনা করে। যাইহোক, বুলিয়ান গ্রুপ দ্বারা সূচক হিসাবে কিউবিটগুলি বিবেচনা করাও যুক্তিসঙ্গত এবং এই ক্ষেত্রে ফুরিয়ার রূপান্তরটি হল হাদামার্ড রূপান্তর। সমান্তরালভাবে প্রতিটি এন কিউবিটে একটি হাদামার্ড গেট প্রয়োগ করে এটি অর্জন করা হয়। শোরের অ্যালগরিদম উভয় ধরনের ফুরিয়ার রূপান্তর ব্যবহার করে, একটি প্রাথমিক হ্যাডামার্ড রূপান্তরের পাশাপাশি একটি কিউএফটি। তথ্যসূত্র কে. আর পার্থসারথি, কোয়ান্টাম গণনা এবং কোয়ান্টাম ত্রুটি সংশোধন কোডের উপর বক্তৃতা (ইন্ডিয়ান স্ট্যাটিস্টিক্যাল ইনস্টিটিউট, দিল্লি সেন্টার, জুন 2001) জন প্রিস্কিল, পদার্থবিজ্ঞানের জন্য লেকচার নোটস 229: কোয়ান্টাম তথ্য এবং গণনা (সিআইটি, সেপ্টেম্বর 1998) বাহ্যিক লিঙ্ক ওল্ফ্রাম প্রদর্শন প্রকল্পঃ কোয়ান্টাম সার্কিট গ্রোভারের অনুসন্ধান অ্যালগরিদম বাস্তবায়ন ওল্ফ্রাম প্রদর্শন প্রকল্পঃ কোয়ান্টাম সার্কিট বাস্তবায়ন কোয়ান্টাম ফুরিয়ার রূপান্তর কুইর্ক অনলাইন জীবন কোয়ান্টাম ফুরিয়ার রূপান্তর রূপান্তর কোয়ান্টাম অ্যালগরিদম ফুরিয়ার বিশ্লেষণ