O-minimal theory
গাণিতিক যুক্তিতে, এবং আরও সুনির্দিষ্টভাবে মডেল তত্ত্বে, একটি অসীম কাঠামো (এম, <,) যা সম্পূর্ণরূপে <দ্বারা ক্রমবদ্ধ করা হয় তাকে ও-ন্যূনতম কাঠামো বলা হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি প্রতিটি সংজ্ঞায়িত উপসেট এক্সএমএম (এম থেকে নেওয়া পরামিতি সহ) ব্যবধান এবং বিন্দুর একটি সীমাবদ্ধ মিলন হয়। ও-মিনিমালিটিকে পরিমাপক নির্মূলের একটি দুর্বল রূপ হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে। একটি কাঠামো এম ও-মিনিমাল হয় যদি এবং শুধুমাত্র এম-এ একটি মুক্ত চলক এবং পরামিতি সহ প্রতিটি সূত্র একটি পরিমাণ-মুক্ত সূত্রের সমতুল্য হয় যা শুধুমাত্র ক্রমের সাথে জড়িত থাকে, এছাড়াও এম-এ পরামিতি সহ। এটি ন্যূনতম কাঠামোর অনুরূপ, যা সমতার ঠিক অনুরূপ বৈশিষ্ট্য। একটি তত্ত্ব টি হল একটি ও-মিনিমাল তত্ত্ব যদি টি-এর প্রতিটি মডেল ও-মিনিমাল হয়। এটি জানা যায় যে একটি ও-মিনিমাল কাঠামোর সম্পূর্ণ তত্ত্ব টি একটি ও-মিনিমাল তত্ত্ব। এই ফলাফলটি লক্ষণীয় কারণ, বিপরীতে, একটি ন্যূনতম কাঠামোর সম্পূর্ণ তত্ত্বটি একটি দৃঢ় ন্যূনতম তত্ত্ব হওয়ার প্রয়োজন নেই, অর্থাৎ, একটি মৌলিক সমতুল্য কাঠামো থাকতে পারে যা ন্যূনতম নয়। সেট-তাত্ত্বিক সংজ্ঞা ও-ন্যূনতম কাঠামো মডেল তত্ত্বের আশ্রয় ছাড়াই সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। এখানে আমরা একটি সেট-তাত্ত্বিক পদ্ধতিতে একটি নন-এম্প্টি সেট M-এর উপর একটি কাঠামোকে সংজ্ঞায়িত করি, একটি ক্রম S = (Sn), n = 0,1,2, যেমন Sn হল Mn-এর উপসেটগুলির একটি বুলিয়ান বীজগণিত যদি A ω Sn হয় তবে M × A এবং A × M Sn + 1-এ থাকে সেট {(x1,, xn) ω Mn: x1 = xn} Sn-এ থাকে যদি A ω Sn + 1 এবং π: Mn + 1 → Mn প্রথম n স্থানাঙ্কের অভিক্ষেপ মানচিত্র হয়, তাহলে π (A) ω Sn। যদি এম-এর শেষবিন্দু ছাড়া ঘন রৈখিক ক্রম থাকে, ধরুন <, তাহলে এম-এর উপর একটি কাঠামো এস-কে ও-মিনিমাল বলা হয় যদি এটি অতিরিক্ত স্বতঃসিদ্ধগুলি সন্তুষ্ট করে <লি> সেট <(= {(x, y) bul M2: x <y}) এস2 <লি>-তে থাকে তবে এস1-এর সেটগুলি সঠিকভাবে ব্যবধান এবং পয়েন্টগুলির সীমাবদ্ধ ইউনিয়ন। "ও" মানে "অর্ডার", যেহেতু যে কোনও ও-ন্যূনতম কাঠামোর জন্য অন্তর্নিহিত সেটে একটি ক্রম প্রয়োজন। মডেল তাত্ত্বিক সংজ্ঞা ও-ন্যূনতম কাঠামো মডেল তত্ত্ব থেকে উদ্ভূত হয়েছে এবং তাই মডেল তত্ত্বের ভাষা ব্যবহার করে একটি সহজ-কিন্তু সমতুল্য-সংজ্ঞা রয়েছে। বিশেষত যদি L একটি বাইনারি সম্পর্ক সহ একটি ভাষা হয় এবং (M, <,.) একটি L-কাঠামো যেখানে <একটি ঘন রৈখিক ক্রমের স্বতঃসিদ্ধগুলিকে সন্তুষ্ট করার জন্য ব্যাখ্যা করা হয়, তবে (M, <,.) কে একটি o-ন্যূনতম কাঠামো বলা হয় যদি কোনও সংজ্ঞায়িত সেটের জন্য X′M-এর জন্য সীমাবদ্ধভাবে অনেকগুলি উন্মুক্ত ব্যবধান I1,., M′ {± ≤}-এ IR এবং একটি সীমাবদ্ধ সেট X0 থাকে যাতে ও-ন্যূনতম তত্ত্বের উদাহরণগুলি হলঃ কেবল ক্রম সহ ভাষায় ঘন রৈখিক ক্রমের সম্পূর্ণ তত্ত্ব। আরসিএফ, বাস্তব বদ্ধ ক্ষেত্রের তত্ত্ব। সীমাবদ্ধ বিশ্লেষণমূলক ফাংশন সহ বাস্তব ক্ষেত্রের সম্পূর্ণ তত্ত্ব যোগ করা হয়েছে (অর্থাৎ। [0,1] n-এর আশেপাশে বিশ্লেষণাত্মক ফাংশন, [0,1] n-এর মধ্যে সীমাবদ্ধ; লক্ষ্য করুন যে অনিয়ন্ত্রিত সাইন ফাংশনের অসীম সংখ্যক মূল রয়েছে এবং তাই একটি ও-ন্যূনতম কাঠামোতে সংজ্ঞায়িত করা যায় না। উইলকির উপপাদ্য দ্বারা সূচকীয় ফাংশনের প্রতীক সহ বাস্তব ক্ষেত্রের সম্পূর্ণ তত্ত্ব। আরও সাধারণভাবে, ফাফিয়ান ফাংশন সহ বাস্তব সংখ্যার সম্পূর্ণ তত্ত্ব যোগ করা হয়েছে। শেষ দুটি উদাহরণ একত্রিত করা যেতে পারেঃ বাস্তব ক্ষেত্রের যে কোনও ও-ন্যূনতম সম্প্রসারণের পরিপ্রেক্ষিতে (যেমন সীমাবদ্ধ বিশ্লেষণমূলক ফাংশন সহ বাস্তব ক্ষেত্র), কেউ এর ফাফিয়ান ক্লোজারকে সংজ্ঞায়িত করতে পারে, যা আবার একটি ও-ন্যূনতম কাঠামো। (একটি কাঠামোর ফাফিয়ান ক্লোজার, বিশেষ করে, ফাফিয়ান চেইনের অধীনে বন্ধ করা হয় যেখানে বহুপদের জায়গায় নির্বিচারে সংজ্ঞায়িত ফাংশন ব্যবহার করা হয়।) আর. সি. এফ-এর ক্ষেত্রে, সংজ্ঞায়িত সেটগুলি হল আধা-বীজগাণিতিক সেট। এইভাবে ও-ন্যূনতম কাঠামো এবং তত্ত্বগুলির অধ্যয়ন প্রকৃত বীজগাণিতিক জ্যামিতিকে সাধারণীকরণ করে। বর্তমান গবেষণার একটি প্রধান ধারা বাস্তব ক্রমযুক্ত ক্ষেত্রের সম্প্রসারণ আবিষ্কারের উপর ভিত্তি করে যা ও-মিনিমাল। প্রয়োগের সাধারণতা সত্ত্বেও, ও-মিনিমাল কাঠামোতে সংজ্ঞায়িত সেটের জ্যামিতি সম্পর্কে অনেক কিছু দেখানো যেতে পারে। একটি কোষ পচন উপপাদ্য রয়েছে, হুইটনি এবং ভার্ডিয়ার স্তরবিন্যাস উপপাদ্য এবং মাত্রা এবং অয়লার বৈশিষ্ট্য সম্পর্কে একটি ভাল ধারণা রয়েছে। উপরন্তু, একটি ও-মিনিমাল কাঠামোতে অবিচ্ছিন্নভাবে ডিফারেনশিয়েবল সংজ্ঞায়িত ফাংশনগুলি লোজাসিভিচ বৈষম্যের একটি সাধারণীকরণকে সন্তুষ্ট করে, এমন একটি বৈশিষ্ট্য যা কিছু অ-মসৃণ অপ্টিমাইজেশন পদ্ধতির সংমিশ্রণ নিশ্চিত করতে ব্যবহৃত হয়েছে, যেমন স্টোকাস্টিক সাবগ্রেডিএন্ট পদ্ধতি (কিছু হালকা অনুমানের অধীনে)। আরও দেখুন আধা-বীজগাণিতিক সেট বাস্তব বীজগাণিতিক জ্যামিতি দৃঢ়ভাবে ন্যূনতম তত্ত্ব দুর্বল ও-ন্যূনতম কাঠামো সি-ন্যূনতম তত্ত্ব নিয়ন্ত্রিত টপোলজি উল্লেখ বাহ্যিক লিঙ্ক মডেল তত্ত্ব প্রাক-মুদ্রণ সার্ভার বাস্তব বীজগাণিতিক এবং বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতি প্রাক-মুদ্রণ সার্ভার গাণিতিক যুক্তি মডেল তত্ত্ব বাস্তব বীজগাণিতিক জ্যামিতি টপোলজি