Convexity in economics
অর্থনীতিতে কনভেক্সিটি একটি গুরুত্বপূর্ণ বিষয়। সাধারণ অর্থনৈতিক ভারসাম্যের তীর-ডেব্রু মডেলে, এজেন্টদের উত্তল বাজেট সেট এবং উত্তল পছন্দ রয়েছেঃ ভারসাম্য মূল্যে, বাজেট হাইপারপ্লেন সর্বোত্তম অর্জনযোগ্য উদাসীনতা বক্ররেখা সমর্থন করে। লাভ ফাংশন হল ব্যয় ফাংশনের উত্তল সংমিশ্রণ। কনভেক্স বিশ্লেষণ হল পাঠ্যপুস্তক অর্থনীতি বিশ্লেষণের একটি আদর্শ হাতিয়ার। অর্থনীতিতে অ-উত্তল ঘটনাগুলি অযৌক্তিক বিশ্লেষণের মাধ্যমে অধ্যয়ন করা হয়েছে, যা উত্তল বিশ্লেষণকে সাধারণীকরণ করে। প্রারম্ভিক অর্থনীতি নিম্নোক্ত সংজ্ঞা এবং উত্তল জ্যামিতি থেকে প্রাপ্ত ফলাফলের উপর নির্ভর করে। বাস্তব ভেক্টর স্থান দুটি মাত্রার একটি বাস্তব ভেক্টর স্থানকে একটি কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা দেওয়া যেতে পারে যেখানে প্রতিটি বিন্দু দুটি বাস্তব সংখ্যার তালিকা দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, যাকে "স্থানাঙ্ক" বলা হয়, যা প্রচলিতভাবে x এবং y দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। কার্টেসিয়ান সমতলে দুটি বিন্দু সমন্বয়-ভিত্তিক যোগ করা যেতে পারে (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2); আরও, একটি বিন্দুকে প্রতিটি বাস্তব সংখ্যা λ স্থানাঙ্ক-ভিত্তিক λ (x, y) = (λx, λy) দ্বারা গুণ করা যেতে পারে। আরও সাধারণভাবে, (সসীম) মাত্রা D-এর যে কোনও বাস্তব ভেক্টর স্থানকে দুটি ক্রিয়াকলাপের সাথে D বাস্তব সংখ্যার সমস্ত সম্ভাব্য তালিকার সেট হিসাবে দেখা যেতে পারেঃ ভেক্টর যোগ এবং একটি বাস্তব সংখ্যা দ্বারা গুণ। সীমাবদ্ধ-মাত্রিক ভেক্টর স্থানগুলির জন্য, ভেক্টর সংযোজন এবং বাস্তব-সংখ্যার গুণনের ক্রিয়াকলাপগুলি কার্টেসিয়ান সমতলের উদাহরণ অনুসরণ করে স্থানাঙ্ক অনুসারে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। একটি বাস্তব ভেক্টর স্পেসে, একটি সেটকে উত্তল হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় যদি, তার প্রতিটি জোড়া বিন্দুর জন্য, তাদের সাথে যুক্ত হওয়া রেখা বিভাগের প্রতিটি বিন্দু সেট দ্বারা আবৃত থাকে। উদাহরণস্বরূপ, একটি কঠিন ঘনক উত্তল হয়; তবে, ফাঁপা বা ছিদ্রযুক্ত যে কোনও কিছু, উদাহরণস্বরূপ, একটি অর্ধচন্দ্রাকার আকৃতি, অ-উত্তল হয়। সংক্ষিপ্তভাবে, খালি সেটটি উত্তল। আরও আনুষ্ঠানিকভাবে, একটি সেট Q উত্তল হয় যদি, Q-এর সমস্ত বিন্দু v0 এবং v1-এর জন্য এবং একক ব্যবধানের প্রতিটি বাস্তব সংখ্যা λ-এর জন্য, বিন্দু (1 − λ) v0 + λv1 হল Q-এর একটি সদস্য। গাণিতিক প্রবর্তন দ্বারা, একটি সেট Q উত্তল হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি Q-এর সদস্যদের প্রতিটি উত্তল সংমিশ্রণও Q-এর অন্তর্গত হয়। সংজ্ঞা অনুসারে, একটি সূচকযুক্ত উপসেট {v0, v1,... এর একটি উত্তল সংমিশ্রণ। একটি ভেক্টর স্থানের vD} হল সমীকরণ = 1-কে সন্তুষ্ট করে এমন অ-ঋণাত্মক বাস্তব সংখ্যার {λd} কিছু সূচকযুক্ত সেটের জন্য যে কোনও ওজনযুক্ত গড়। একটি উত্তল সেটের সংজ্ঞা বোঝায় যে দুটি উত্তল সেটের ছেদ একটি উত্তল সেট। আরও সাধারণভাবে, উত্তল সেটের একটি পরিবারের ছেদ একটি উত্তল সেট। একটি বাস্তব ভেক্টর স্থানের প্রতিটি উপসেট Q-এর জন্য, এটি ন্যূনতম উত্তল সেট যা Q ধারণ করে। সুতরাং কনভ (কিউ) হল সমস্ত উত্তল সেটের ছেদ যা কিউ-কে আবৃত করে। একটি সেটের উত্তল কাঠামোকে সমতুল্যভাবে কিউ-তে পয়েন্টের সমস্ত উত্তল সংমিশ্রণের সেট হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। দ্বৈততাঃ অর্ধ-স্থান ছেদ করা হাইপারপ্লেনকে সমর্থন করা জ্যামিতিতে একটি ধারণা। একটি হাইপারপ্লেন একটি স্থানকে দুটি অর্ধ-স্থানে বিভক্ত করে। একটি হাইপারপ্লেন প্রকৃত এন-স্পেসে একটি সেটকে সমর্থন করে বলে মনে করা হয় যদি এটি নিম্নলিখিত উভয়টির সাথে মিলিত হয়ঃ হাইপারপ্লেন দ্বারা নির্ধারিত দুটি বদ্ধ অর্ধ-স্থানের মধ্যে একটিতে সম্পূর্ণরূপে অন্তর্ভুক্ত থাকে এবং হাইপারপ্লেনে কমপক্ষে একটি বিন্দু থাকে। এখানে, একটি বদ্ধ অর্ধ-স্থান হল অর্ধ-স্থান যা হাইপারপ্লেনকে অন্তর্ভুক্ত করে। সমর্থনকারী হাইপারপ্লেন উপপাদ্য এই উপপাদ্যটি বলে যে যদি একটি বদ্ধ উত্তল সেট করা থাকে এবং সীমানার উপর একটি বিন্দু হয় তবে একটি সমর্থনকারী হাইপারপ্লেন বিদ্যমান থাকে যার মধ্যে উপপাদ্যটিতে হাইপারপ্লেন অনন্য নাও হতে পারে, যেমন ডানদিকে দ্বিতীয় ছবিতে লক্ষ্য করা গেছে। যদি বদ্ধ সেটটি উত্তল না হয়, তবে উপপাদ্যটির বিবৃতি ডানদিকের তৃতীয় ছবিতে যেমন চিত্রিত হয়েছে তার সীমানার সমস্ত বিন্দুতে সত্য নয়। অর্থনীতি পণ্যের একটি সর্বোত্তম ঝুড়ি ঘটে যেখানে ভোক্তার উত্তল পছন্দ সেটটি বাজেটের সীমাবদ্ধতা দ্বারা সমর্থিত হয়, যেমনটি চিত্রটিতে দেখানো হয়েছে। যদি পছন্দের সেটটি উত্তল হয়, তবে ভোক্তার সর্বোত্তম সিদ্ধান্তের সেটটি একটি উত্তল সেট, উদাহরণস্বরূপ, একটি অনন্য সর্বোত্তম বাস্কেট (বা এমনকি সর্বোত্তম বাস্কেটের একটি লাইন সেগমেন্ট)। সরলতার জন্য, আমরা ধরে নেব যে একজন গ্রাহকের পছন্দগুলি একটি ইউটিলিটি ফাংশন দ্বারা বর্ণনা করা যেতে পারে যা একটি অবিচ্ছিন্ন ফাংশন, যা বোঝায় যে পছন্দ সেটগুলি বন্ধ রয়েছে। (অপ্টিমাইজেশান অ্যাপ্লিকেশনের উপধারায় "ক্লোজড সেট"-এর অর্থ নীচে ব্যাখ্যা করা হয়েছে।) যদি একটি পছন্দের সেট অ-উত্তল হয়, তবে কিছু দাম দুটি ভিন্ন সর্বোত্তম খরচ সিদ্ধান্তকে সমর্থন করে একটি বাজেট তৈরি করে। উদাহরণস্বরূপ, আমরা কল্পনা করতে পারি যে, চিড়িয়াখানার জন্য একটি সিংহের দাম একটি ঈগলের সমান, এবং আরও যে একটি চিড়িয়াখানার বাজেট একটি ঈগল বা একটি সিংহের জন্য যথেষ্ট। আমরা এটাও অনুমান করতে পারি যে, একজন চিড়িয়াখানা-রক্ষক উভয় প্রাণীকেই সমানভাবে মূল্যবান বলে মনে করেন। এই ক্ষেত্রে, চিড়িয়াখানা একটি সিংহ বা একটি ঈগল কিনবে। অবশ্যই, একজন সমসাময়িক চিড়িয়াখানা-রক্ষক অর্ধেক ঈগল এবং একটি (বা একটি গ্রিফিন) কিনতে চান না! সুতরাং, সমসাময়িক চিড়িয়াখানা-রক্ষকের পছন্দগুলি অ-উত্তলঃ চিড়িয়াখানা-রক্ষক উভয়ের যে কোনও কঠোরভাবে উত্তল সংমিশ্রণের চেয়ে যে কোনও একটি প্রাণী রাখতে পছন্দ করেন। সাধারণ অর্থনৈতিক ভারসাম্য, বাজারের ব্যর্থতা এবং জনসাধারণের অর্থনীতির তত্ত্বগুলিতে অ-উত্তল সেটগুলি অন্তর্ভুক্ত করা হয়েছে। এই ফলাফলগুলি ক্ষুদ্র অর্থনীতি, সাধারণ ভারসাম্য তত্ত্ব, খেলা তত্ত্ব, গাণিতিক অর্থনীতি এবং ফলিত গণিতের (অর্থনীতিবিদদের জন্য) স্নাতক স্তরের পাঠ্যপুস্তকে বর্ণনা করা হয়েছে। শ্যাপলি-ফকম্যান লেম্মার ফলাফলগুলি প্রতিষ্ঠিত করে যে অ-উত্তলতা অনেক গ্রাহকের সাথে বাজারে আনুমানিক ভারসাম্যের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ; এই ফলাফলগুলি অনেক ছোট সংস্থার সাথে উৎপাদন অর্থনীতির ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য। "অলিগোপলি"-তে (কয়েকটি উৎপাদক দ্বারা প্রভাবিত বাজার), বিশেষত "একচেটিয়া"-তে (একটি উৎপাদক দ্বারা প্রভাবিত বাজার), অ-উত্তলতা গুরুত্বপূর্ণ থেকে যায়। বড় উৎপাদকদের সাথে বাজারের শক্তি শোষণের উদ্বেগ প্রকৃতপক্ষে অ-উত্তল সেটগুলির উপর সাহিত্যের সূচনা করেছিল, যখন পিয়েরো স্রাফা 1926 সালে স্কেলে ক্রমবর্ধমান রিটার্ন সহ সংস্থাগুলির বিষয়ে লিখেছিলেন, যার পরে হ্যারল্ড হোটেলিং 1938 সালে প্রান্তিক মূল্য নির্ধারণ সম্পর্কে লিখেছিলেন। স্রাফা এবং হোটেলিং উভয়ই প্রতিযোগীবিহীন উৎপাদকদের বাজার শক্তিকে আলোকিত করেছিল, স্পষ্টভাবে অর্থনীতির সরবরাহ-দিকের একটি সাহিত্যকে উদ্দীপিত করেছিল। অ-উত্তল সেটগুলি পরিবেশগত পণ্য (এবং অন্যান্য বহিরাগত), তথ্য অর্থনীতি এবং শেয়ার বাজারের (এবং অন্যান্য অসম্পূর্ণ বাজার) সাথেও উদ্ভূত হয়। এই ধরনের প্রয়োগগুলি অর্থনীতিবিদদের অ-উত্তল সেটগুলি অধ্যয়ন করতে অনুপ্রাণিত করে চলেছে। অ-মসৃণ বিশ্লেষণ অর্থনীতিবিদরা ক্রমবর্ধমানভাবে অ-মসৃণ বিশ্লেষণ সহ অ-মসৃণ সেটগুলি অধ্যয়ন করেছেন, যা উত্তল বিশ্লেষণকে সাধারণীকরণ করে। "উৎপাদন ও ব্যবহার উভয় ক্ষেত্রেই অ-উত্তলতা. এমন গাণিতিক সরঞ্জামের প্রয়োজন ছিল যা উত্তলতার বাইরে চলে গিয়েছিল এবং আরও বিকাশের জন্য অ-মসৃণ ক্যালকুলাস আবিষ্কারের জন্য অপেক্ষা করতে হয়েছিল" (উদাহরণস্বরূপ, ফ্রান্সিস ক্লার্কের স্থানীয়ভাবে লিপশিটজ ক্যালকুলাস), যা এবং দ্বারা বর্ণিত হয়েছে। লিখেছেন যে "মূল্য নির্ধারণের নিয়ম সহ সংস্থাগুলির সাধারণ ভারসাম্য বিশ্লেষণে প্রধান পদ্ধতিগত উদ্ভাবন" ছিল "বিশ্বব্যাপী বিশ্লেষণ (ডিফারেনশিয়াল টপোলজি) এবং উত্তল বিশ্লেষণের [সংশ্লেষণ] হিসাবে অ-মসৃণ বিশ্লেষণের পদ্ধতির প্রবর্তন"। এর মতে, "অ-মসৃণ বিশ্লেষণ স্পর্শক তল দ্বারা বহুগুণের স্থানীয় অনুমানকে প্রসারিত করে [এবং] স্পর্শক শঙ্কু দ্বারা উত্তল সেটগুলির অনুরূপ অনুমানকে সেটগুলিতে প্রসারিত করে" যা অ-মসৃণ বা অ-উত্তল হতে পারে। অর্থনীতিবিদরা বীজগাণিতিক টপোলজিও ব্যবহার করেছেন। আরও দেখুন কনভেক্স ডুয়ালিটি নোটস রেফারেন্স লুয়েনবার্গার, ডেভিড জি. মাইক্রোইকোনমিক থিওরি, ম্যাকগ্রা-হিল, ইনকর্পোরেটেড, নিউ ইয়র্ক, 1995। কনভেক্স হালস কনভেক্স জ্যামিতি সাধারণ ভারসাম্য তত্ত্ব