Conway polynomial (finite fields)
গণিতে, সীমাবদ্ধ ক্ষেত্র Fpn-এর জন্য কনওয়ে বহুপদী Cp, n হল Fp-এর উপর ডিগ্রি n-এর একটি নির্দিষ্ট অপরিবর্তনীয় বহুপদী যা Cp, n-এর বিভাজন ক্ষেত্র হিসাবে Fpn-এর একটি আদর্শ উপস্থাপনাকে সংজ্ঞায়িত করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। রিচার্ড এ পার্কার জন এইচ কনওয়ের নামে কনওয়ে বহুপদীগুলির নামকরণ করেছিলেন, যিনি প্রথম তাদের সংজ্ঞায়িত করেছিলেন এবং উদাহরণ গণনা করেছিলেন। কনওয়ে বহুপদগুলি একটি নির্দিষ্ট সামঞ্জস্যতা শর্ত পূরণ করে যা কনওয়ে দ্বারা একটি ক্ষেত্রের উপস্থাপনা এবং তার উপক্ষেত্রের উপস্থাপনের মধ্যে প্রস্তাবিত হয়েছিল। এগুলি কম্পিউটার বীজগণিতে গুরুত্বপূর্ণ যেখানে তারা বিভিন্ন গাণিতিক ডাটাবেস এবং কম্পিউটার বীজগণিত ব্যবস্থার মধ্যে বহনযোগ্যতা প্রদান করে। যেহেতু কনওয়ে পলিনোমিয়ালগুলি গণনা করা ব্যয়বহুল, তাই বাস্তবে ব্যবহার করার জন্য সেগুলি অবশ্যই সংরক্ষণ করতে হবে। কনওয়ে পলিনোমিয়ালের ডাটাবেস কম্পিউটার বীজগণিত সিস্টেম জিএপি, ম্যাকালে 2, ম্যাগমা, সেজম্যাথ এবং ফ্রাঙ্ক লুবেকের ওয়েবসাইটে পাওয়া যায়। এফ. পি. এন-এর পটভূমি উপাদানগুলিকে একটি −1βn −1 +. + a1β + a0 ফর্মের সমষ্টি হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে যেখানে β হল এফ. পি-এর উপর ডিগ্রি এন-এর একটি অপরিবর্তনীয় বহুপদীর মূল এবং এ. জে হল এফ. পি-এর উপাদান। এই উপস্থাপনায় ক্ষেত্রের উপাদানগুলির সংযোজন কেবল ভেক্টর সংযোজন। যদিও সমরূপতা পর্যন্ত ক্রম pn-এর একটি অনন্য সীমাবদ্ধ ক্ষেত্র রয়েছে, ক্ষেত্রের উপাদানগুলির উপস্থাপনা অপরিবর্তনীয় বহুপদের পছন্দের উপর নির্ভর করে। কনওয়ে পলিনোমিয়াল হল এই পছন্দকে প্রমিত করার একটি উপায়। একটি সসীম ক্ষেত্রের অ-শূন্য উপাদানগুলি গুণনের অধীনে একটি চক্রাকার গোষ্ঠী গঠন করে। এফপিএন-এর একটি আদিম উপাদান, α, এমন একটি উপাদান যা এই গোষ্ঠীটি তৈরি করে। অ-শূন্য ক্ষেত্রের উপাদানগুলিকে α এর শক্তি হিসাবে উপস্থাপন করলে ক্ষেত্রে গুণন দক্ষতার সাথে সম্পাদন করা যায়। α-এর জন্য আদিম বহুপদী হল Fp-তে সহগ সহ ক্ষুদ্রতম সম্ভাব্য ডিগ্রির মনিক বহুপদী যার Fpn-এ মূল হিসাবে α রয়েছে (α-এর জন্য ন্যূনতম বহুপদী)। এটি অবশ্যই অপরিবর্তনীয়। কনওয়ে বহুপদীকে আদিম হিসাবে বেছে নেওয়া হয়, যাতে এর প্রতিটি মূল সংশ্লিষ্ট সসীম ক্ষেত্রের গুণিতক গোষ্ঠী তৈরি করে। এফ. পি. এন-এর উপক্ষেত্রগুলি হল এফ. পি. এম ক্ষেত্র যা এম-কে এন-কে ভাগ করে। এফ. পি. এম-এর অ-শূন্য উপাদানগুলি থেকে গঠিত চক্রাকার গোষ্ঠীটি এফ. পি. এন-এর চক্রাকার গোষ্ঠীর একটি উপগোষ্ঠী। যদি α পরেরটি উৎপন্ন করে, তবে α এর ক্ষুদ্রতম শক্তি যা পূর্ববর্তীটি উৎপন্ন করে তা হল αr যেখানে r = (pn−1)/(pm−1)। যদি fn মূল α সহ Fpn-এর জন্য একটি আদিম বহুপদী হয়, এবং যদি fm Fpm-এর জন্য একটি আদিম বহুপদী হয়, তবে কনওয়ের সংজ্ঞা অনুসারে, fm এবং fn সামঞ্জস্যপূর্ণ যদি αr fm-এর মূল হয়। এর জন্য প্রয়োজন fm (x) ভাগ fn (xr)। সামঞ্জস্যের এই ধারণাকে কিছু লেখক আদর্শ-সামঞ্জস্য বলে। একটি সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের জন্য কনওয়ে বহুপদটি বেছে নেওয়া হয় যাতে এর প্রতিটি উপক্ষেত্রের কনওয়ে বহুপদের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ হয়। ওয়ার্নার নিকেল প্রমাণ করেছেন যে এইভাবে পছন্দ করা সম্ভব। সংজ্ঞা কনওয়ে বহুপদী সি. পি, এন-কে অভিধানগতভাবে ন্যূনতম মৌলিক বহুপদী হিসেবে সংজ্ঞায়িত করা হয় যা এফ. পি-র উপর ডিগ্রি এন-এর সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ, যা সি. পি-এর সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ, সমস্ত এম-কে এন-কে ভাগ করার জন্য এম। এটি এন-এর উপর একটি সূচক সংজ্ঞাঃ মূল কেস হল সি. পি, 1 (এক্স) = এক্স-α যেখানে α হল এফ. পি-এর অভিধানগতভাবে ন্যূনতম আদিম উপাদান। ব্যবহৃত অভিধানগত ক্রমের ধারণাটি নিম্নরূপঃ এফপি-র উপাদানগুলি 0 <1 <2 <. <পি-1 ক্রমযুক্ত। Fp [x]-এ ডিগ্রি d-এর একটি বহুপদীকে adxd − ad − 1xd − 1 +. + (−1) ga0 লেখা হয় এবং তারপর adad − 1. a0 শব্দ হিসাবে প্রকাশ করা হয়। ডিগ্রি ডি-এর দুটি বহুপদ তাদের সংশ্লিষ্ট শব্দের অভিধানগত ক্রম অনুসারে সাজানো হয়। যেহেতু এমন কোনও প্রাকৃতিক গাণিতিক মানদণ্ড রয়েছে বলে মনে হয় না যা একটি মৌলিক আদিম বহুপদকে অন্য সকলের তুলনায় সামঞ্জস্যের শর্তগুলি সন্তুষ্ট করবে, কনওয়ে বহুপদের সংজ্ঞায় অভিধানগত ক্রম আরোপকে একটি প্রথা হিসাবে বিবেচনা করা উচিত। ব্রুট-ফোর্স সার্চের চেয়ে বেশি কার্যকরী কনওয়ে পলিনোমিয়ালগুলি গণনা করার জন্য গণনা অ্যালগরিদম হিথ এবং লোহর তৈরি করেছেন। লুবেক ইঙ্গিত করেন যে তাদের অ্যালগরিদম হল পার্কারের পদ্ধতির একটি পুনঃ আবিষ্কার। নোটস রেফারেন্স সীমাবদ্ধ ক্ষেত্র কম্পিউটার বীজগণিত জন হর্টন কনওয়ে