Bernstein's problem
ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতিতে, বার্নস্টাইনের সমস্যাটি নিম্নরূপঃ যদি Rn−1-এর উপর একটি ফাংশনের গ্রাফটি Rn-এর একটি ন্যূনতম পৃষ্ঠ হয়, তবে এটি কি বোঝায় যে ফাংশনটি রৈখিক? এটি n-এর জন্য সর্বাধিক 8-এর জন্য সত্য, কিন্তু n-এর জন্য কমপক্ষে 9-এর জন্য মিথ্যা। সমস্যাটির নামকরণ করা হয়েছে সের্গেই নাটানোভিচ বার্নস্টেইনের নামে যিনি 1914 সালে এন = 3 মামলার সমাধান করেছিলেন। বিবৃতি ধরুন যে f হল n − 1 বাস্তব চলকের একটি ফাংশন। f-এর গ্রাফ হল Rn-এর একটি পৃষ্ঠ, এবং শর্ত হল যে এটি একটি ন্যূনতম পৃষ্ঠ যে f ন্যূনতম পৃষ্ঠ সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে বার্নস্টাইনের সমস্যা জিজ্ঞাসা করে যে একটি সম্পূর্ণ ফাংশন (Rn−1 জুড়ে সংজ্ঞায়িত একটি ফাংশন) যা এই সমীকরণটি সমাধান করে তা অবশ্যই একটি ডিগ্রি-1 বহুপদী। ইতিহাস বার্নস্টাইনের উপপাদ্যকে প্রমাণ করেছে যে R2-এর উপর একটি বাস্তব ফাংশনের একটি গ্রাফ যা R3-এর একটি ন্যূনতম পৃষ্ঠ অবশ্যই একটি সমতল হতে হবে। বার্নস্টাইনের উপপাদ্যের একটি নতুন প্রমাণ দিয়েছেন এই সত্য থেকে অনুমান করে যে R3-তে কোনও অ-সমতলীয় এলাকা-হ্রাসকারী শঙ্কু নেই। দেখিয়েছেন যে যদি আরএন-1-এ কোনও অ-সমতলীয় এলাকা-হ্রাসকারী শঙ্কু না থাকে তবে বার্নস্টাইনের উপপাদ্যের এনালগটি আরএন-এর গ্রাফের জন্য সত্য, যা বিশেষভাবে বোঝায় যে এটি আর 4-এ সত্য। দেখিয়েছেন যে R4-এ কোনও অ-সমতলীয় ন্যূনতম শঙ্কু নেই, এইভাবে বার্নস্টাইনের উপপাদ্যটি R5-এ প্রসারিত হয়েছে। দেখিয়েছেন যে R7-এ কোনও অ-সমতলীয় ন্যূনতম শঙ্কু নেই, এইভাবে বার্নস্টাইনের উপপাদ্যটি R8-এ প্রসারিত হয়েছে। তিনি আরও দেখিয়েছিলেন যে দ্বারা সংজ্ঞায়িত পৃষ্ঠটি আর8-এ একটি স্থানীয়ভাবে স্থিতিশীল শঙ্কু, এবং জিজ্ঞাসা করেছিলেন যে এটি বিশ্বব্যাপী এলাকা-হ্রাস করছে কিনা। দেখিয়েছেন যে সাইমন্সের শঙ্কু প্রকৃতপক্ষে বিশ্বব্যাপী ন্যূনতম হচ্ছে, এবং আরএন-এ এনওআর 9-এর জন্য এমন গ্রাফ রয়েছে যা ন্যূনতম, তবে হাইপারপ্লেন নয়। সাইমন্সের ফলাফলের সাথে মিলিত হয়ে, এটি দেখায় যে বার্নস্টাইনের উপপাদ্যের সাদৃশ্যটি n ≤ 8-এর জন্য Rn-এ সত্য এবং উচ্চতর মাত্রায় মিথ্যা। রেফারেন্স জার্মান অনুবাদ বাইরের লিঙ্ক গণিতের বিশ্বকোষ বার্নস্টাইন উপপাদ্যের উপর নিবন্ধ ন্যূনতম পৃষ্ঠতল ফাংশন এবং ম্যাপিং ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতিতে মাত্রা উপপাদ্য