Kardar–Parisi–Zhang equation
গণিতে, কারদার-প্যারিসি-ঝাং (কেপিজেড) সমীকরণ হল একটি অ-রৈখিক আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ, যা 1986 সালে মেহরান কারদার, জর্জিও প্যারিসি এবং ই-চেং ঝাং দ্বারা প্রবর্তিত হয়। এটি স্থানিক স্থানাঙ্ক এবং সময় স্থানাঙ্ক সহ একটি উচ্চতা ক্ষেত্রের সাময়িক পরিবর্তন বর্ণনা করেঃ এখানে, গড় এবং দ্বিতীয় মুহূর্ত সহ সাদা গাউসিয়ান শব্দ, এবং মডেলের পরামিতি, এবং মাত্রা। একটি স্থানিক মাত্রায়, কে. পি. জেড সমীকরণ প্রতিস্থাপনের মাধ্যমে ক্ষেত্রের সাথে বার্গারের সমীকরণের একটি স্টোকাস্টিক সংস্করণের সাথে মিলে যায়। পুনর্নবীকরণ গোষ্ঠীর মাধ্যমে, কে. পি. জেড সমীকরণকে অনেক পৃষ্ঠ বৃদ্ধির মডেলের ক্ষেত্র তত্ত্ব হিসাবে অনুমান করা হয়, যেমন ইডেন মডেল, ব্যালিস্টিক জমা এবং কঠিন প্রক্রিয়া (এস. ও. এস) মডেলের উপর দুর্বলভাবে অসম একক ধাপ কঠিন। এস. ও. এস মডেলের ক্ষেত্রে বার্টিনি এবং গিয়াকোমিন একটি কঠোর প্রমাণ দিয়েছেন। কে. পি. জেড সার্বজনীনতা শ্রেণী অনেক আন্তঃক্রিয়াশীল কণা ব্যবস্থা, যেমন সম্পূর্ণ অসম সরল বর্জন প্রক্রিয়া, কে. পি. জেড সার্বজনীনতা শ্রেণীতে রয়েছে। এই শ্রেণীটি একটি স্থানিক মাত্রায় (1 + 1 মাত্রা) নিম্নলিখিত সমালোচনামূলক সূচক দ্বারা চিহ্নিত করা হয়ঃ রুক্ষতা সূচক, বৃদ্ধি সূচক এবং গতিশীল সূচক। একটি বৃদ্ধির মডেল কেপিজেড শ্রেণীর মধ্যে রয়েছে কিনা তা পরীক্ষা করার জন্য, পৃষ্ঠের প্রস্থ গণনা করা যেতে পারেঃ সময়ে গড় পৃষ্ঠের উচ্চতা কোথায় এবং সিস্টেমের আকার কোথায়। কেপিজেড শ্রেণীর মডেলগুলির জন্য, পৃষ্ঠের প্রধান বৈশিষ্ট্যগুলি একটি সন্তোষজনক স্কেলিং ফাংশন সহ রুক্ষতার পারিবারিক-ভিসেক স্কেলিং সম্পর্ক দ্বারা চিহ্নিত করা যেতে পারে 2014 সালে, হেয়ারার এবং কোয়াস্টেল দেখিয়েছিলেন যে আরও সাধারণভাবে, নিম্নলিখিত কেপিজেড-সদৃশ সমীকরণগুলি কেপিজেড সার্বজনীনতা শ্রেণীর মধ্যে রয়েছেঃ যেখানে কোনও জোড়-ডিগ্রি বহুপদী রয়েছে। (1 + 1) কেপিজেড সার্বজনীনতা শ্রেণীতে সর্বজনীন সীমা হিসাবে অনুমান করা হয় এবং দীর্ঘ সময়ের ওঠানামা পরিচালনা করে এমন প্রক্রিয়াগুলির একটি পরিবার হ 'ল এয়ার প্রক্রিয়া। কে. পি. জেড সমীকরণের সমাধান সমীকরণে অরৈখিকতা এবং স্থান-সময় সাদা শব্দের উপস্থিতির কারণে, কে. পি. জেড সমীকরণের সমাধান মসৃণ বা নিয়মিত নয়, বরং 'ফ্র্যাক্টাল' বা 'রুক্ষ' বলে পরিচিত। এমনকি অরৈখিক পদ ছাড়াই, সমীকরণটি স্টোকাস্টিক তাপ সমীকরণে পরিণত হয়, যার সমাধান স্পেস ভেরিয়েবলে ডিফারেনশিয়েবল নয়, তবে 1/2-এর কম সূচক সহ একটি হল্ডার শর্তকে সন্তুষ্ট করে। সুতরাং, অরৈখিক শব্দটি শাস্ত্রীয় অর্থে অ-সংজ্ঞায়িত। 2013 সালে, মার্টিন হেয়ারার কোল-হপ রূপান্তরের সম্প্রসারণ এবং ফাইনম্যান রেখাচিত্র ব্যবহার করে আনুমানিক গঠন করে কেপিজেড সমীকরণ সমাধানে একটি যুগান্তকারী সাফল্য অর্জন করেন। 2014 সালে, রুক্ষ পথ তত্ত্ব এবং নিয়মিত কাঠামো সহ কেপিজেড সমীকরণের উপর এই কাজের জন্য তাঁকে ফিল্ডস পদক প্রদান করা হয়। শারীরিক ব্যুৎপত্তি এই ব্যুৎপত্তিটি এবং থেকে। ধরুন আমরা কিছু আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ দ্বারা একটি পৃষ্ঠের বৃদ্ধি বর্ণনা করতে চাই। অবস্থান এবং সময়ে পৃষ্ঠের উচ্চতা উপস্থাপন করা যাক। তাদের মূল্যবোধ নিরন্তর। আমরা আশা করি যে এক ধরনের মসৃণকরণ প্রক্রিয়া থাকবে। তারপর পৃষ্ঠের বৃদ্ধির জন্য সহজতম সমীকরণটি বিচ্ছুরণ সমীকরণ হিসাবে নেওয়া যেতে পারে, তবে এটি একটি নির্ধারক সমীকরণ, যা বোঝায় যে পৃষ্ঠের কোনও এলোমেলো ওঠানামা নেই। ওঠানামা অন্তর্ভুক্ত করার সবচেয়ে সহজ উপায় হল একটি গোলমাল শব্দ যোগ করা। তারপর আমরা গড় শূন্য এবং সহপরিবর্তন সহ গাউসিয়ান সাদা গোলমাল হিসাবে নেওয়া সমীকরণটি ব্যবহার করতে পারি। এটি এডওয়ার্ডস-উইলকিনসন (ই. ডব্লিউ) সমীকরণ বা অ্যাডিটিভ নয়েজ (এস. এইচ. ই) সহ স্টোকাস্টিক তাপ সমীকরণ নামে পরিচিত। যেহেতু এটি একটি রৈখিক সমীকরণ, তাই ফুরিয়ার বিশ্লেষণ ব্যবহার করে এটি ঠিক সমাধান করা যেতে পারে। কিন্তু যেহেতু গোলমালটি গাউসিয়ান এবং সমীকরণটি রৈখিক, তাই এই সমীকরণের জন্য দেখা ওঠানামা এখনও গাউসিয়ান। এর অর্থ হল ই. ডব্লিউ সমীকরণটি সুদের পৃষ্ঠের বৃদ্ধি বর্ণনা করার জন্য যথেষ্ট নয়, তাই আমাদের বৃদ্ধির জন্য একটি অরৈখিক ফাংশন যোগ করতে হবে। অতএব, সময়ের সাথে সাথে পৃষ্ঠের বৃদ্ধির পরিবর্তনের তিনটি অবদান রয়েছে। প্রথম মডেলগুলি ফর্মের একটি অরৈখিক ফাংশন হিসাবে পার্শ্বীয় বৃদ্ধি। দ্বিতীয়টি হল বিচ্ছুরণ শব্দের মাধ্যমে একটি শিথিলকরণ, বা নিয়মিতকরণ, এবং তৃতীয়টি হল সাদা শব্দ বলপ্রয়োগ। অতএব, মূল শব্দটি, বৃদ্ধির নির্ধারক অংশ, শুধুমাত্র ঢালের একটি ফাংশন এবং একটি প্রতিসম ফাংশন বলে ধরে নেওয়া হয়। কারদার, প্যারিসি এবং ঝাং (কেপিজেড)-এর একটি দুর্দান্ত পর্যবেক্ষণ ছিল যে যখন একটি পৃষ্ঠ স্বাভাবিক দিকে (পৃষ্ঠে) বৃদ্ধি পায়, তখন আমরা উচ্চতা অক্ষের উচ্চতা পরিমাপ করছি, যা স্থান অক্ষের লম্ব, এবং তাই এই সহজ জ্যামিতিক প্রভাব থেকে আসা একটি অরৈখিকতা প্রদর্শিত হওয়া উচিত। যখন পৃষ্ঠের ঢাল ছোট হয়, তখন প্রভাবটি রূপ নেয়, তবে এটি আপাতদৃষ্টিতে অপ্রয়োজনীয় সমীকরণের দিকে পরিচালিত করে। এই অসুবিধাটি এড়ানোর জন্য, কেউ একটি সাধারণ গ্রহণ করতে পারে এবং এটিকে একটি টেলর সিরিজ হিসাবে প্রসারিত করতে পারে, প্রথম পদটি একটি সময় পরিবর্তনের মাধ্যমে সমীকরণ থেকে সরানো যেতে পারে, কারণ যদি কেপিজেড সমীকরণটি সমাধান করা হয়, তবে সমাধান করে। আমরা কেপিজেড সমীকরণে পৌঁছেছি আরও দেখুন ফকার-প্ল্যাঙ্ক সমীকরণ ফ্র্যাক্টাল কোয়ান্টাম ক্ষেত্র তত্ত্ব পুনর্নবীকরণ গোষ্ঠী রুক্ষ পথ স্টোকাস্টিক আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ পৃষ্ঠের বৃদ্ধি ট্রেসি-উইডম বিতরণ সার্বজনীনতা (গতিশীল ব্যবস্থা) সূত্র নোট পরিসংখ্যানগত বলবিজ্ঞান স্টোকাস্টিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ