Wallis' integrals
গণিতে, এবং আরও সুনির্দিষ্টভাবে বিশ্লেষণে, ওয়ালিস ইন্টিগ্রালগুলি জন ওয়ালিস দ্বারা প্রবর্তিত ইন্টিগ্রালের একটি পরিবার গঠন করে। সংজ্ঞা, মৌলিক বৈশিষ্ট্য ওয়ালিস ইন্টিগ্রালগুলি হল ক্রমের পদগুলি যা দ্বারা বা সমতুল্যভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়, এই ক্রমের প্রথম কয়েকটি পদ হলঃ ক্রমটি হ্রাস পাচ্ছে এবং এর ধনাত্মক পদ রয়েছে। প্রকৃতপক্ষে, সকলের জন্য কারণ এটি একটি অ-ঋণাত্মক অবিচ্ছিন্ন ফাংশনের একটি অবিচ্ছেদ্য অংশ যা অভিন্নভাবে শূন্য নয়; আবার কারণ শেষ অবিচ্ছেদ্য অংশটি একটি অ-ঋণাত্মক অবিচ্ছিন্ন ফাংশনের। যেহেতু ক্রমটি হ্রাস পাচ্ছে এবং 0 দ্বারা নিচে আবদ্ধ, তাই এটি একটি অ-নেতিবাচক সীমাতে একত্রিত হয়। প্রকৃতপক্ষে, সীমাটি শূন্য (নীচে দেখুন)। পুনরাবৃত্তি সম্পর্ক অংশ দ্বারা একীকরণের মাধ্যমে, একটি হ্রাস সূত্র পাওয়া যেতে পারে। আইডেন্টিটি ব্যবহার করে, আমাদের সকলের জন্য রয়েছে, দ্বিতীয় ইন্টিগ্রালটিকে অংশ দ্বারা সংহত করা, যার সাথেঃ, যার অ্যান্টি-ডেরিভেটিভ হল, যার ডেরিভেটিভ আমাদের আছেঃ এই ফলাফলটিকে সমীকরণে (1) প্রতিস্থাপন করলে পাওয়া যায় এবং এইভাবে সকলের জন্য এটি একটি পুনরাবৃত্তির সম্পর্ক যা এর পরিপ্রেক্ষিতে প্রদান করে। এটি, এর মানগুলির সাথে একত্রে এবং আমাদের ক্রমের পদগুলির জন্য দুটি সেট সূত্র দেয়, যা বিজোড় বা জোড় কিনা তার উপর নির্ভর করেঃ ওয়ালিসের ইন্টিগ্রালগুলি মূল্যায়নের জন্য আরেকটি সম্পর্ক ওয়ালিসের ইন্টিগ্রালগুলি ইউলার ইন্টিগ্রালগুলি ব্যবহার করে মূল্যায়ন করা যেতে পারেঃ প্রথম ধরনের ইউলার ইন্টিগ্রালঃ বিটা ফাংশনঃ দ্বিতীয় ধরনের ইউলার ইন্টিগ্রালের জন্যঃ গামা ফাংশনঃ জন্য। যদি আমরা বিটা ফাংশনের মধ্যে নিম্নলিখিত প্রতিস্থাপন করিঃ আমরা পাইঃ সুতরাং এটি আমাদের ওয়ালিস ইন্টিগ্রালগুলি মূল্যায়নের জন্য নিম্নলিখিত সম্পর্ক দেয়ঃ সুতরাং, বিজোড়, লেখার জন্য, আমাদের আছেঃ যেখানে জোড়ের জন্য, লেখা এবং এটি জেনে আমরা পাইঃ সমতুল্যতা উপরের পুনরাবৃত্তির সূত্র থেকে, আমরা এটি (দুটি ক্রমের সমতুল্যতা) অনুমান করতে পারি। প্রকৃতপক্ষে, সকলের জন্যঃ (যেহেতু ক্রম হ্রাস পাচ্ছে) (যেহেতু) (সমীকরণ দ্বারা)। স্যান্ডউইচ উপপাদ্য অনুসারে, আমরা এই উপসংহারে পৌঁছেছি যে, এবং তাই। পরীক্ষা করে, একজন নিম্নলিখিত সমতুল্যতা অর্জন করেঃ (এবং ফলস্বরূপ)। স্টার্লিংয়ের সূত্রটি নির্ধারণ করা যাক যে আমাদের নিম্নলিখিত সমতুল্যতা রয়েছে (স্টার্লিংয়ের সূত্র হিসাবে পরিচিত): কিছু ধ্রুবকের জন্য যা আমরা নির্ধারণ করতে চাই। উপর থেকে, আমাদের আছে (সমীকরণ (3)) ফ্যাক্টরিয়ালগুলির জন্য উপরের সূত্রটি প্রসারিত এবং ব্যবহার করে, আমরা পাই (3) এবং (4) থেকে, আমরা ট্রানজিটিভিটি দ্বারা পাইঃ দেয়গুলির জন্য সমাধান করা অন্য কথায়, ডাবল ফ্যাক্টরিয়াল অনুপাত হ্রাস করা একইভাবে, উপর থেকে, আমাদের রয়েছেঃ ডাবল ফ্যাক্টরিয়ালগুলির জন্য উপরের সূত্রটি প্রসারিত এবং ব্যবহার করে, আমরা পাইঃ সরলীকরণ, আমরা অর্জন করিঃ বা গাউসিয়ান ইন্টিগ্রাল মূল্যায়ন করা গাউসিয়ান ইন্টিগ্রাল ওয়ালিসের ইন্টিগ্রাল ব্যবহারের মাধ্যমে মূল্যায়ন করা যেতে পারে। আমরা প্রথমে নিম্নলিখিত বৈষম্যগুলি প্রমাণ করিঃ প্রকৃতপক্ষে, প্রথম বৈষম্য (যার মধ্যে) সমতুল্য; যেখানে দ্বিতীয় বৈষম্য হ্রাস পায়, যা হয়ে যায়। এই 2টি অসমতা এক্সপোনেনশিয়াল ফাংশনের উত্তলতা (বা ফাংশনের বিশ্লেষণ থেকে) থেকে অনুসরণ করা হয়। অনুপযুক্ত ইন্টিগ্রালের মৌলিক বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যবহার করে (ইন্টিগ্রালগুলির অভিসরণ সুস্পষ্ট), আমরা অসমতা অর্জন করিঃ স্যান্ডউইচ উপপাদ্য (এ. এস)-এর সাথে ব্যবহারের জন্য। ওয়ালিসের ইন্টিগ্রালগুলি ব্যবহার করে প্রথম এবং শেষ ইন্টিগ্রালগুলি সহজেই মূল্যায়ন করা যেতে পারে। প্রথমটির জন্য, ধরা যাক (টি 0 থেকে পরিবর্তিত হচ্ছে)। তারপর, ইন্টিগ্রাল হয়ে যায়। শেষ ইন্টিগ্রালের জন্য, ধরা যাক (টি থেকে পরিবর্তিত হয়)। তারপর তা হয়ে ওঠে। যেমনটা আমরা আগেই দেখিয়েছি। সুতরাং, এটি অনুসরণ করে। মন্তব্যঃ গাউসিয়ান ইন্টিগ্রাল মূল্যায়নের অন্যান্য পদ্ধতি রয়েছে। এর মধ্যে কয়েকটি বেশি প্রত্যক্ষ। লক্ষ্য করুন একই বৈশিষ্ট্যগুলি ওয়ালিস পণ্যের দিকে পরিচালিত করে, যা একটি অসীম পণ্যের আকারে প্রকাশ করে (দেখুন)। বাহ্যিক সংযোগগুলি প্যাসকেল সেবাহ এবং জেভিয়ার গুরডন। গামা ফাংশনের পরিচিতি। পোস্টস্ক্রিপ্ট এবং এইচটিএমএল ফরম্যাটে। ইন্টিগ্রালগুলি