Non-convexity (economics)
অর্থনীতিতে, অ-উত্তলতা প্রাথমিক অর্থনীতির উত্তল অনুমানের লঙ্ঘনকে বোঝায়। মৌলিক অর্থনীতির পাঠ্যপুস্তকগুলি উত্তল পছন্দের ভোক্তাদের (যারা মূল্যবোধের মধ্যে চরম সীমা পছন্দ করে না) এবং উত্তল বাজেট সেট এবং উত্তল উৎপাদন সেট সহ প্রযোজকদের উপর মনোনিবেশ করে; উত্তল মডেলের জন্য, পূর্বাভাসকৃত অর্থনৈতিক আচরণ ভালভাবে বোঝা যায়। যখন উত্তল অনুমান লঙ্ঘন করা হয়, তখন প্রতিযোগিতামূলক বাজারের অনেক ভাল বৈশিষ্ট্য ধরে রাখার প্রয়োজন হয় নাঃ সুতরাং, অ-উত্তলতা বাজারের ব্যর্থতার সাথে যুক্ত, যেখানে সরবরাহ এবং চাহিদা আলাদা হয় বা যেখানে বাজারের ভারসাম্য অকার্যকর হতে পারে। অ-উত্তল অর্থনীতিগুলি অ-মসৃণ বিশ্লেষণের মাধ্যমে অধ্যয়ন করা হয়, যা উত্তল বিশ্লেষণের একটি সাধারণীকরণ। অনেক গ্রাহকের কাছে চাহিদা যদি একটি পছন্দের সেট অ-উত্তল হয়, তবে কিছু দাম একটি বাজেট-লাইন নির্ধারণ করে যা দুটি পৃথক অনুকূল-বাস্কেটকে সমর্থন করে। উদাহরণস্বরূপ, আমরা কল্পনা করতে পারি যে, চিড়িয়াখানার জন্য একটি সিংহের দাম একটি ঈগলের সমান, এবং আরও যে একটি চিড়িয়াখানার বাজেট একটি ঈগল বা একটি সিংহের জন্য যথেষ্ট। আমরা এটাও অনুমান করতে পারি যে, একজন চিড়িয়াখানা-রক্ষক উভয় প্রাণীকেই সমানভাবে মূল্যবান বলে মনে করেন। এই ক্ষেত্রে, চিড়িয়াখানা একটি সিংহ বা একটি ঈগল কিনবে। অবশ্যই, একজন সমসাময়িক চিড়িয়াখানা-রক্ষক অর্ধেক ঈগল এবং অর্ধেক সিংহ কিনতে চান না। সুতরাং, চিড়িয়াখানা-রক্ষকের পছন্দ হল অ-উত্তলঃ চিড়িয়াখানা-রক্ষক উভয়ের যে কোনও কঠোরভাবে উত্তল সংমিশ্রণের চেয়ে যে কোনও একটি প্রাণী থাকা পছন্দ করেন। যখন ভোক্তার পছন্দের সেটটি অ-উত্তল হয়, তখন (কিছু দামের জন্য) ভোক্তার চাহিদা সংযুক্ত থাকে না; একটি বিচ্ছিন্ন চাহিদা ভোক্তার দ্বারা কিছু বিচ্ছিন্ন আচরণকে বোঝায়, যেমন হ্যারল্ড হোটেলিং আলোচনা করেছেনঃ যদি ক্রয়ের জন্য উদাসীনতা বক্ররেখা একটি তরঙ্গায়িত চরিত্র ধারণ করে বলে মনে করা হয়, যা কিছু অঞ্চলে উৎপত্তির সাথে উত্তল এবং অন্যদের মধ্যে অবতল হয়, তবে আমরা এই সিদ্ধান্তে আসতে বাধ্য হই যে এটি কেবলমাত্র উৎপত্তির উত্তল অংশ যা কোনও গুরুত্ব বহন করে বলে মনে করা যেতে পারে, কারণ অন্যগুলি মূলত অবলোকনযোগ্য। এগুলি কেবলমাত্র মূল্য-অনুপাতের তারতম্যের সাথে চাহিদার মধ্যে ঘটতে পারে এমন বিচ্ছিন্নতা দ্বারা সনাক্ত করা যেতে পারে, যার ফলে সরলরেখা ঘোরানো হলে একটি ফাটল জুড়ে একটি স্পর্শক বিন্দু হঠাৎ লাফিয়ে ওঠে। কিন্তু, যদিও এই ধরনের বিচ্ছিন্নতা ফাটলের অস্তিত্ব প্রকাশ করতে পারে, তারা কখনই তাদের গভীরতা পরিমাপ করতে পারে না। উদাসীনতা বক্ররেখার অবতল অংশ এবং তাদের বহুমাত্রিক সাধারণীকরণগুলি যদি বিদ্যমান থাকে তবে অবশ্যই চিরকাল অপরিমেয় অস্পষ্টতায় থাকতে হবে। নন-কনভেক্স পছন্দগুলি অধ্যয়নের অসুবিধাগুলি হারম্যান ওল্ড এবং আবার পল স্যামুয়েলসন দ্বারা জোর দেওয়া হয়েছিল, যিনি লিখেছিলেন যে নন-কনভেক্সিটিগুলি "ডিউয়ার্টের মতে চিরন্তনভাবে আবৃত। যখন উত্তল অনুমান লঙ্ঘন করা হয়, তখন প্রতিযোগিতামূলক বাজারের অনেক ভাল বৈশিষ্ট্য ধরে রাখার প্রয়োজন হয় নাঃ সুতরাং, অ-উত্তলতা বাজারের ব্যর্থতার সাথে যুক্ত, যেখানে সরবরাহ এবং চাহিদা আলাদা হয় বা যেখানে বাজারের ভারসাম্য অকার্যকর হতে পারে। 1959 থেকে 1961 সাল পর্যন্ত দ্য জার্নাল অফ পলিটিক্যাল ইকোনমি (জে. পি. ই)-তে একাধিক গবেষণাপত্রের মাধ্যমে অ-উত্তল পছন্দগুলি আলোকিত করা হয়েছিল। প্রধান অবদানকারীরা ছিলেন মাইকেল ফ্যারেল, ফ্রান্সিস ব্যাটর, টিজলিং কুপম্যানস এবং জেরোম রোথেনবার্গ। বিশেষ করে, রোথেনবার্গের গবেষণাপত্রে অ-উত্তল সেটের যোগফলের আনুমানিক উত্তলতা নিয়ে আলোচনা করা হয়েছে। এই জেপিই-গবেষণাপত্রগুলি লয়েড শ্যাপলি এবং মার্টিন শুবিকের একটি গবেষণাপত্রকে উদ্দীপিত করেছিল, যা উত্তল ভোক্তা-পছন্দগুলি বিবেচনা করেছিল এবং একটি "আনুমানিক ভারসাম্য" ধারণাটি প্রবর্তন করেছিল। রবার্ট অউমানের কারণে জে. পি. ই-কাগজপত্র এবং শ্যাপলি-শুবিক কাগজ "আধা-ভারসাম্য"-এর আরেকটি ধারণাকে প্রভাবিত করেছিল। অ-উত্তল পছন্দগুলির উত্তল কাঠামো নিয়ে আগে এবং পরে আলোচনা করা হয়েছিল। সাধারণ অর্থনৈতিক ভারসাম্য তত্ত্বগুলিতে অ-উত্তল সেটগুলি অন্তর্ভুক্ত করা হয়েছে। <রেফ> পৃষ্ঠাগুলি 392-399 এবং পৃষ্ঠা 188: </পি> পৃষ্ঠাগুলি 52-55 145-146,152-153, এবং 274-275 পৃষ্ঠাগুলিতে অ্যাপ্লিকেশন সহঃ 37 পৃষ্ঠায় উপপাদ্য সি (6) এবং 115-116,122 পৃষ্ঠায় অ্যাপ্লিকেশন শ্যাপলি-ফকম্যান লেম্মা প্রতিষ্ঠিত করে যে অ-যোগাযোগ অনেক গ্রাহকের সাথে বাজারে আনুমানিক ভারসাম্যের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ; এই ফলাফলগুলি অনেক ছোট সংস্থার সাথে উৎপাদন অর্থনীতির ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য। অল্প সংখ্যক উৎপাদকের সঙ্গে সরবরাহ অলিগোপলি এবং বিশেষ করে একচেটিয়া আধিপত্যের অধীনে নন-কনভেক্সিটি গুরুত্বপূর্ণ। বড় উৎপাদকদের সাথে বাজারের শক্তি শোষণের উদ্বেগের ফলে নন-কনভেক্স সেটগুলিতে সাহিত্যের সূচনা হয়েছিল, যখন পিয়েরো স্রাফা 1926 সালে ক্রমবর্ধমান রিটার্ন স্কেল সহ সংস্থাগুলির বিষয়ে লিখেছিলেন, যার পরে হ্যারল্ড হোটেলিং 1938 সালে প্রান্তিক মূল্য নির্ধারণ সম্পর্কে লিখেছিলেন। স্রাফা এবং হোটেলিং উভয়ই প্রতিযোগীবিহীন উৎপাদকদের বাজার শক্তিকে আলোকিত করেছিল, স্পষ্টভাবে অর্থনীতির সরবরাহ-দিকের একটি সাহিত্যকে উদ্দীপিত করেছিল। সমসাময়িক অর্থনীতি অর্থনীতিতে সাম্প্রতিক গবেষণা অর্থনীতির নতুন ক্ষেত্রে অ-পরিবাহিতাকে স্বীকৃতি দিয়েছে। এই ক্ষেত্রগুলিতে, অ-পরিবাহীতা বাজারের ব্যর্থতার সাথে যুক্ত, যেখানে ভারসাম্য দক্ষ হওয়ার প্রয়োজন নেই বা যেখানে সরবরাহ এবং চাহিদা ভিন্ন হওয়ার কারণে কোনও প্রতিযোগিতামূলক ভারসাম্য বিদ্যমান নেই। অ-উত্তল সেটগুলি পরিবেশগত পণ্য (এবং অন্যান্য বহিরাগত) এবং বাজারের ব্যর্থতা এবং জনসাধারণের অর্থনীতির সাথেও উদ্ভূত হয়। অ-যোগাযোগ তথ্য অর্থনীতি এবং শেয়ার বাজারের (এবং অন্যান্য অসম্পূর্ণ বাজার) ক্ষেত্রেও ঘটে। এই ধরনের প্রয়োগগুলি অর্থনীতিবিদদের নন-কনভেক্স সেটগুলি অধ্যয়ন করতে অনুপ্রাণিত করে। কিছু ক্ষেত্রে, অ-রৈখিক মূল্য নির্ধারণ বা দর কষাকষি প্রতিযোগিতামূলক মূল্য নির্ধারণের মাধ্যমে বাজারের ব্যর্থতা কাটিয়ে উঠতে পারে; অন্য ক্ষেত্রে, নিয়ন্ত্রণ ন্যায়সঙ্গত হতে পারে। সময়ের সাথে সাথে অপ্টিমাইজেশন পূর্বে উল্লিখিত অ্যাপ্লিকেশনগুলি সীমাবদ্ধ-মাত্রিক ভেক্টর স্পেসে অ-পরিবাহিতা সম্পর্কিত, যেখানে পয়েন্টগুলি পণ্যের বান্ডিলগুলি উপস্থাপন করে। যাইহোক, অর্থনীতিবিদরা সময়ের সাথে সাথে ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ, গতিশীল সিস্টেম, স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়া এবং কার্যকরী বিশ্লেষণের তত্ত্বগুলি ব্যবহার করে অপ্টিমাইজেশনের গতিশীল সমস্যাগুলিও বিবেচনা করেনঃ অর্থনীতিবিদরা নিম্নলিখিত অপ্টিমাইজেশন পদ্ধতিগুলি ব্যবহার করেনঃ ফ্র্যাঙ্ক পি. রামসে এবং হ্যারল্ড হোটেলিং অনুসরণ করে বৈচিত্র্যের ক্যালকুলাস; রিচার্ড বেলম্যান এবং রোনাল্ড হাওয়ার্ড অনুসরণ করে গতিশীল প্রোগ্রামিং; এবং নিয়ন্ত্রণ তত্ত্ব। এই তত্ত্বগুলিতে, নিয়মিত সমস্যাগুলি উত্তল ডোমেনে সংজ্ঞায়িত উত্তল ফাংশনগুলির সাথে জড়িত এবং এই উত্তলতা কৌশলগুলির সরলীকরণ এবং ফলাফলগুলির অর্থনৈতিক অর্থপূর্ণ ব্যাখ্যার অনুমতি দেয়। অর্থনীতিতে, মার্টিন বেকম্যান এবং রিচার্ড এফ. মুথ ইনভেন্টরি তত্ত্ব এবং খরচ তত্ত্বের উপর কাজের জন্য গতিশীল প্রোগ্রামিং ব্যবহার করেছিলেন। রবার্ট সি. মার্টন 1973 সালে ইন্টারটেম্পোরাল ক্যাপিটাল অ্যাসেট প্রাইসিং মডেলের উপর তাঁর নিবন্ধে ডায়নামিক প্রোগ্রামিং ব্যবহার করেছিলেন। (আরও দেখুন মার্টন-এর পোর্টফোলিও সমস্যা)। মার্টনের মডেলে, বিনিয়োগকারীরা বর্তমান আয় এবং ভবিষ্যতের আয় বা মূলধন লাভের মধ্যে বেছে নেন এবং তাদের সমাধান ডাইনামিক প্রোগ্রামিংয়ের মাধ্যমে পাওয়া যায়। স্টোকি, লুকাস এবং প্রেস্কট অর্থনৈতিক তত্ত্বের সমস্যাগুলি, স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়াগুলির সাথে জড়িত সমস্যাগুলি সমাধান করতে গতিশীল প্রোগ্রামিং ব্যবহার করে। গতিশীল প্রোগ্রামিং সর্বোত্তম অর্থনৈতিক প্রবৃদ্ধি, সম্পদ উত্তোলন, প্রধান-এজেন্ট সমস্যা, পাবলিক ফিনান্স, ব্যবসায়িক বিনিয়োগ, সম্পদের মূল্য নির্ধারণ, ফ্যাক্টর সরবরাহ এবং শিল্প সংস্থায় ব্যবহৃত হয়েছে। লুঙ্গকভিস্ট এবং সার্জেন্ট আর্থিক নীতি, আর্থিক নীতি, কর, অর্থনৈতিক প্রবৃদ্ধি, অনুসন্ধান তত্ত্ব এবং শ্রম অর্থনীতিতে বিভিন্ন তাত্ত্বিক প্রশ্ন অধ্যয়নের জন্য গতিশীল প্রোগ্রামিং প্রয়োগ করেন। দীক্ষিত ও পিন্ডিক মূলধন বাজেটের জন্য গতিশীল প্রোগ্রামিং ব্যবহার করেছিলেন। গতিশীল সমস্যাগুলির ক্ষেত্রে, অ-পরিবহনগুলিও বাজারের ব্যর্থতার সাথে যুক্ত, ঠিক যেমন সেগুলি নির্দিষ্ট সময়ের সমস্যার ক্ষেত্রে হয়। অ-মসৃণ বিশ্লেষণ অর্থনীতিবিদরা ক্রমবর্ধমানভাবে অ-মসৃণ বিশ্লেষণ সহ অ-মসৃণ সেটগুলি অধ্যয়ন করেছেন, যা মসৃণ বিশ্লেষণকে সাধারণীকরণ করে। কনভেক্স বিশ্লেষণ কনভেক্স সেট এবং কনভেক্স ফাংশনকে কেন্দ্র করে, যার জন্য এটি শক্তিশালী ধারণা এবং স্পষ্ট ফলাফল প্রদান করে, তবে এটি অ-কনভেক্সিটির বিশ্লেষণের জন্য পর্যাপ্ত নয়, যেমন স্কেলে রিটার্ন বৃদ্ধি করা। "উৎপাদন ও ব্যবহার উভয় ক্ষেত্রেই অ-পরিবাহীতা. প্রয়োজনীয় গাণিতিক সরঞ্জামগুলি যা উত্তলতার বাইরে চলে গিয়েছিল এবং আরও বিকাশের জন্য অ-মসৃণ ক্যালকুলাস আবিষ্কারের জন্য অপেক্ষা করতে হয়েছিল": উদাহরণস্বরূপ, লিপস্কিটজ কন্টিনিউয়াস ফাংশনের জন্য ক্লার্কের ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলাস, যা র্যাডেমাচারের উপপাদ্য ব্যবহার করে এবং যা দ্বারা বর্ণনা করা হয়েছে এবং, এবং অনুসারে। লিখেছেন যে "মূল্য নির্ধারণের নিয়মের সাথে সংস্থাগুলির সাধারণ ভারসাম্য বিশ্লেষণে প্রধান পদ্ধতিগত উদ্ভাবন" ছিল "বিশ্বব্যাপী বিশ্লেষণ (ডিফারেনশিয়াল টপোলজি) এবং উত্তল বিশ্লেষণের [সংশ্লেষণ] হিসাবে অ-মসৃণ বিশ্লেষণের পদ্ধতির প্রবর্তন"। এর মতে, "অ-মসৃণ বিশ্লেষণ স্পর্শক তল দ্বারা বহুগুণের স্থানীয় অনুমানকে প্রসারিত করে [এবং] স্পর্শক শঙ্কু দ্বারা উত্তল সেটগুলির অনুরূপ অনুমানকে সেটগুলিতে প্রসারিত করে" যা অ-মসৃণ বা অ-উত্তল হতে পারে। আরও দেখুন অর্থনীতিতে কনভেক্সিটি শাপলি-ফকম্যান লেম্মা নোটস রেফারেন্স বাহ্যিক লিঙ্ক কনভেক্স হালস কনভেক্স জ্যামিতি সাধারণ ভারসাম্য তত্ত্ব কনভেক্স অপ্টিমাইজেশন