Reversible cellular automaton
একটি বিপরীতমুখী সেলুলার অটোমেটন হল একটি সেলুলার অটোমেটন যেখানে প্রতিটি কনফিগারেশনের একটি অনন্য পূর্বসূরি থাকে। অর্থাৎ, এটি কোষের একটি নিয়মিত গ্রিড, যার প্রত্যেকটিতে সীমাবদ্ধ অবস্থার সেট থেকে আঁকা একটি অবস্থা রয়েছে, যার সাথে তাদের প্রতিবেশীদের অবস্থার উপর ভিত্তি করে সমস্ত কোষকে একযোগে আপডেট করার নিয়ম রয়েছে, যাতে কোনও আপডেটের আগে যে কোনও কোষের পূর্ববর্তী অবস্থা সমস্ত কোষের আপডেট অবস্থা থেকে অনন্যভাবে নির্ধারণ করা যায়। একটি বিপরীতমুখী সেলুলার অটোমেটন-এর সময়-বিপরীত গতিবিদ্যা সর্বদা অন্য সেলুলার অটোমেটন নিয়ম দ্বারা বর্ণনা করা যেতে পারে, সম্ভবত অনেক বড় পাড়ায়। বিপরীতমুখী সেলুলার অটোমেটা নিয়মগুলি সংজ্ঞায়িত করার জন্য বেশ কয়েকটি পদ্ধতি পরিচিত; এর মধ্যে রয়েছে ব্লক সেলুলার অটোমেটন পদ্ধতি, যেখানে প্রতিটি আপডেট কোষগুলিকে ব্লকে বিভক্ত করে এবং প্রতিটি ব্লকে আলাদাভাবে একটি বিপরীতমুখী ফাংশন প্রয়োগ করে এবং দ্বিতীয়-ক্রমের সেলুলার অটোমেটন পদ্ধতি, যেখানে আপডেট নিয়মটি অটোমেটন-এর আগের দুটি ধাপ থেকে রাজ্যগুলিকে একত্রিত করে। যখন কোনও অটোমেটনকে এই পদ্ধতিগুলির মধ্যে একটির দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয় না, পরিবর্তে একটি নিয়ম সারণী হিসাবে দেওয়া হয়, তখন এটি বিপরীতমুখী কিনা তা পরীক্ষা করার সমস্যাটি ব্লক সেলুলার অটোমাটা এবং এক-মাত্রিক সেলুলার অটোমাটার জন্য সমাধানযোগ্য, তবে অন্যান্য ধরণের সেলুলার অটোমাটার জন্য অনিবার্য। রিভার্সিবল সেলুলার অটোমাটা রিভার্সিবল কম্পিউটিংয়ের একটি প্রাকৃতিক মডেল গঠন করে, এমন একটি প্রযুক্তি যা আল্ট্রা-লো-পাওয়ার কম্পিউটিং ডিভাইসের দিকে নিয়ে যেতে পারে। কোয়ান্টাম সেলুলার অটোমাটা, কোয়ান্টাম মেকানিক্সের নীতিগুলি ব্যবহার করে গণনা সম্পাদনের একটি উপায়, প্রায়শই বিপরীতমুখী হতে হয়। উপরন্তু, শারীরিক মডেলিংয়ের অনেক সমস্যা, যেমন একটি আদর্শ গ্যাসে কণাগুলির গতি বা চৌম্বকীয় চার্জের সারিবদ্ধকরণের আইসিং মডেল, স্বাভাবিকভাবেই বিপরীতমুখী এবং বিপরীতমুখী সেলুলার অটোমাটা দ্বারা অনুকরণ করা যেতে পারে। বিপরীতমুখীতা সম্পর্কিত বৈশিষ্ট্যগুলি সেলুলার অটোমাটা অধ্যয়নের জন্যও ব্যবহার করা যেতে পারে যা তাদের পুরো কনফিগারেশন স্পেসে বিপরীতমুখী নয়, তবে একটি আকর্ষণীয় হিসাবে কনফিগারেশন স্পেসের একটি উপসেট রয়েছে যা প্রাথমিকভাবে সমস্ত এলোমেলো কনফিগারেশনের দিকে একত্রিত হয়। যেমন স্টিফেন ওল্ফ্রাম লিখেছেন, "একবার আকর্ষণীয় হলে, যে কোনও ব্যবস্থা-এমনকি এর বিপরীতমুখী অন্তর্নিহিত নিয়ম না থাকলেও-অবশ্যই কিছু অর্থে আনুমানিক বিপরীতমুখীতা দেখাতে হবে।" উদাহরণস্বরূপ এক-মাত্রিক অটোমেটা একটি সেলুলার অটোমেটন তার কোষ দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয় (প্রায়শই একটি এক-বা দ্বি-মাত্রিক অ্যারে), প্রতিটি কোষে যেতে পারে এমন মান বা অবস্থার একটি সীমাবদ্ধ সেট, প্রতিটি কোষকে নিকটবর্তী কোষের একটি সীমাবদ্ধ সেটের সাথে সংযুক্ত করে এমন একটি প্রতিবেশী, এবং একটি আপডেট নিয়ম যা অনুসারে সমস্ত কোষের মানগুলি তাদের প্রতিবেশী কোষের মানগুলির একটি ফাংশন হিসাবে একই সাথে আপডেট করা হয়। সবচেয়ে সহজ সম্ভাব্য সেলুলার অটোমাটার কোষের একটি এক-মাত্রিক বিন্যাস থাকে, যার প্রত্যেকটির একটি বাইনারি মান (0 বা 1) থাকতে পারে, প্রতিটি কোষের একটি প্রতিবেশী থাকে যা কেবল এটির সমন্বয়ে গঠিত এবং এর উভয় পাশে দুটি নিকটতম কোষ থাকে; এগুলিকে প্রাথমিক সেলুলার অটোমাটা বলা হয়। যদি এই ধরনের অটোমেটন-এর জন্য আপডেট নিয়ম প্রতিটি কোষকে সর্বদা একই অবস্থায় রাখে, তবে অটোমেটনটি বিপরীতমুখীঃ সমস্ত কোষের পূর্ববর্তী অবস্থা তাদের বর্তমান অবস্থা থেকে পুনরুদ্ধার করা যেতে পারে, কারণ প্রতিটি কোষের জন্য পূর্ববর্তী এবং বর্তমান অবস্থা একই। একইভাবে, যদি আপডেট নিয়ম প্রতিটি কোষকে তার অবস্থা 0 থেকে 1 এবং তদ্বিপরীত পরিবর্তন করতে বাধ্য করে, অথবা যদি এটি একটি নির্দিষ্ট প্রতিবেশী কোষ থেকে একটি কোষকে অবস্থা অনুলিপি করতে বাধ্য করে, অথবা যদি এটি একটি অবস্থা অনুলিপি করে এবং তারপর তার মান বিপরীত করে, তবে এটি অবশ্যই বিপরীতমুখী। এই ধরনের বিপরীতমুখী সেলুলার অটোমাটা কল করুন, যেখানে প্রতিটি কোষের অবস্থা শুধুমাত্র একটি প্রতিবেশী কোষের পূর্ববর্তী অবস্থার উপর নির্ভর করে, "তুচ্ছ"। এর সরলতা সত্ত্বেও, আপডেট নিয়ম যা প্রতিটি কোষকে প্রতিবেশী কোষের অবস্থা অনুলিপি করতে বাধ্য করে তা প্রতীকী গতিবিদ্যার তত্ত্বে গুরুত্বপূর্ণ, যেখানে এটি স্থানান্তর মানচিত্র হিসাবে পরিচিত। সামান্য কম তুচ্ছভাবে, ধরুন যে কোষগুলি আবার একটি এক-মাত্রিক অ্যারে গঠন করে, তবে প্রতিটি অবস্থা একটি ক্রমযুক্ত জোড়া (l, r) যা একটি বাম অংশ l এবং একটি ডান অংশ r নিয়ে গঠিত, প্রতিটি সম্ভাব্য মানগুলির একটি সীমাবদ্ধ সেট থেকে আঁকা। একটি রূপান্তর ক্রিয়াকে সংজ্ঞায়িত করুন যা একটি কোষের বাম অংশকে তার বাম পাড়ার বাম অংশ এবং একটি কোষের ডান অংশকে তার ডান পাড়ার ডান অংশ হিসাবে নির্ধারণ করে। অর্থাৎ, যদি বাম প্রতিবেশীটির অবস্থা হয় এবং ডান প্রতিবেশীটির অবস্থা হয়, তবে একটি কোষের নতুন অবস্থা হল সমীকরণ দ্বারা সংজ্ঞায়িত জোড়ার ক্রিয়া ব্যবহার করে এই অবস্থাগুলির সংমিশ্রণের ফলাফল। এই নির্মাণের একটি উদাহরণ দৃষ্টান্তে দেওয়া হয়েছে, যেখানে বাম অংশটিকে একটি আকৃতি হিসাবে গ্রাফিকভাবে উপস্থাপন করা হয়েছে এবং ডান অংশটিকে একটি রঙ হিসাবে উপস্থাপন করা হয়েছে; এই উদাহরণে, প্রতিটি কোষকে তার বাম পাড়ার আকার এবং তার ডান পাড়ার রঙের সাথে আপডেট করা হয়েছে। তারপর এই অটোমেটনটি বিপরীতমুখীঃ প্রতিটি জোড়ের বাম দিকের মানগুলি ডান দিকে স্থানান্তরিত হয় এবং ডান দিকের মানগুলি বাম দিকে স্থানান্তরিত হয়, তাই প্রতিটি কোষের পূর্ববর্তী অবস্থা পার্শ্ববর্তী কোষে এই মানগুলি অনুসন্ধান করে পুনরুদ্ধার করা যেতে পারে। এই অটোমেটন-এ দুই জোড়া অবস্থাকে একত্রিত করার জন্য ব্যবহৃত ক্রিয়াটি একটি বীজগাণিতিক কাঠামো গঠন করে যা আয়তক্ষেত্রাকার ব্যান্ড নামে পরিচিত। দশমিক সংখ্যাকে দুই বা পাঁচ দ্বারা গুণ করলে প্রতি কোষে দশটি অবস্থা (দশ দশমিক সংখ্যা) সহ এক-মাত্রিক বিপরীতমুখী সেলুলার অটোমেটন দ্বারা সম্পন্ন করা যেতে পারে। পণ্যের প্রতিটি অঙ্ক শুধুমাত্র প্রদত্ত সংখ্যার দুটি সংখ্যার আশেপাশের উপর নির্ভর করেঃ একই অবস্থানে অঙ্ক এবং ডানদিকে একটি অবস্থানের অঙ্ক। আরও সাধারণভাবে, যে কোনও মূলে দ্বিগুণ অসীম অঙ্কের ক্রমের গুণ বা বিভাজন, একটি গুণক বা বিভাজক দ্বারা, যার সমস্ত প্রধান কারণগুলিও প্রধান কারণ, এমন একটি ক্রিয়া যা একটি সেলুলার অটোমেটন গঠন করে কারণ এটি কেবল নিকটবর্তী সংখ্যার সীমাবদ্ধ সংখ্যার উপর নির্ভর করে এবং গুণিতক বিপরীতের অস্তিত্বের কারণে বিপরীতমুখী। অন্যান্য মান দ্বারা গুণন (উদাহরণস্বরূপ, দশমিক সংখ্যাকে তিন দ্বারা গুণন) বিপরীতমুখী থাকে, তবে একটি সেলুলার অটোমেটনকে সংজ্ঞায়িত করে না, কারণ প্রাথমিক মানের সংখ্যার উপর কোনও নির্দিষ্ট সীমা নেই যা ফলাফলের একক সংখ্যা নির্ধারণের জন্য প্রয়োজন। কোনও নন-ট্রিভিয়াল রিভারসিবল এলিমেন্টারি সেলুলার অটোমাটা নেই। যাইহোক, একচেটিয়া বা ফাংশনের উপর ভিত্তি করে নিয়ম 90 এবং অন্যান্য প্রাথমিক সেলুলার অটোমাটা দ্বারা একটি নিয়ার-মিস সরবরাহ করা হয়। নিয়ম 90-এ, প্রতিটি কোষের অবস্থা একচেটিয়া বা তার দুই প্রতিবেশীদের পূর্ববর্তী অবস্থার। একচেটিয়া এই ব্যবহার বা ট্রানজিশন নিয়মকে স্থানীয়ভাবে বিপরীতমুখী করে তোলে, এই অর্থে যে এই নিয়ম দ্বারা রাজ্যের যে কোনও সংলগ্ন ধারাবাহিকতা তৈরি করা যেতে পারে। নিয়ম 90 একটি বিপরীতমুখী সেলুলার অটোমেটন নিয়ম নয়, কারণ নিয়ম 90-এ কোষের সম্পূর্ণ বিন্যাসে অবস্থার প্রতিটি বরাদ্দকরণের ঠিক চারটি সম্ভাব্য পূর্বসূরী রয়েছে, যেখানে বিপরীতমুখী নিয়মগুলির প্রতি বিন্যাসে ঠিক একটি পূর্বসূরী থাকা প্রয়োজন। ক্রিটার্সের নিয়ম কনওয়ের গেম অফ লাইফ, সবচেয়ে বিখ্যাত সেলুলার অটোমেটন নিয়মগুলির মধ্যে একটি, বিপরীতমুখী নয়ঃ উদাহরণস্বরূপ, এর অনেকগুলি নিদর্শন রয়েছে যা সম্পূর্ণরূপে শেষ হয়ে যায়, তাই যে বিন্যাসে সমস্ত কোষ মৃত তার অনেক পূর্বসূরি রয়েছে এবং এটিতে গার্ডেন অফ ইডেন নিদর্শনও রয়েছে যার কোনও পূর্বসূরি নেই। যাইহোক, এর উদ্ভাবক টমাসো টফোলি এবং নরম্যান মার্গোলাস দ্বারা "ক্রিটারস" নামে আরেকটি নিয়ম বিপরীতমুখী এবং জীবনের অনুরূপ গতিশীল আচরণ রয়েছে। ক্রিটারস নিয়ম হল একটি ব্লক সেলুলার অটোমেটন যেখানে, প্রতিটি ধাপে, অটোমেটনটির কোষগুলি 2×2 ব্লকে বিভক্ত করা হয় এবং প্রতিটি ব্লক অন্যান্য ব্লক থেকে স্বাধীনভাবে আপডেট করা হয়। এর ট্রানজিশন ফাংশন একটি ব্লকের প্রতিটি কোষের অবস্থাকে উল্টে দেয় যার ঠিক দুটি জীবন্ত কোষ নেই এবং উপরন্তু ঠিক তিনটি জীবন্ত কোষের সাথে 180° ব্লক দ্বারা আবর্তিত হয়। যেহেতু এই ফাংশনটি বিপরীতমুখী, তাই এই নিয়মগুলি দ্বারা সংজ্ঞায়িত অটোমেটনটি একটি বিপরীতমুখী সেলুলার অটোমেটন। যখন মৃত কোষের একটি বৃহত্তর অঞ্চলের মধ্যে কেন্দ্রীভূত এলোমেলো কোষের একটি ছোট ক্ষেত্র দিয়ে শুরু করা হয়, তখন লাইফের গ্লাইডারের মতো অনেক ছোট নিদর্শন কেন্দ্রীয় এলোমেলো অঞ্চল থেকে বেরিয়ে আসে এবং একে অপরের সাথে যোগাযোগ করে। ক্রিটারের নিয়মটি বিভিন্ন গতির আরও জটিল মহাকাশযানগুলির পাশাপাশি অসীম সংখ্যক বিভিন্ন সময়ের দোলকগুলিকেও সমর্থন করতে পারে। নির্মাণ সেলুলার অটোমেটন নিয়ম তৈরির জন্য বেশ কয়েকটি সাধারণ পদ্ধতি পরিচিত যা স্বয়ংক্রিয়ভাবে বিপরীতমুখী। ব্লক সেলুলার অটোমেটন হল একটি অটোমেটন যেখানে, প্রতিটি সময় ধাপে, অটোমেটনটির কোষগুলি সর্বব্যাপী উপসেটে (ব্লক নামে পরিচিত) বিভক্ত করা হয় এবং প্রতিটি ব্লকে স্বাধীনভাবে একই রূপান্তর প্রয়োগ করা হয়। সাধারণত, এই ধরনের অটোমেটন ব্লকগুলিতে একাধিক পার্টিশন ব্যবহার করবে এবং সিস্টেমের বিভিন্ন সময় ধাপে এই পার্টিশনগুলির মধ্যে আবর্তিত হবে। এই নকশার প্রায়শই ব্যবহৃত আকারে, যাকে মার্গোলাস নেবারহুড বলা হয়, অটোমেটনের কোষগুলি একটি বর্গাকার গ্রিড গঠন করে এবং প্রতিটি ধাপে বৃহত্তর 2 × 2 বর্গ ব্লকে বিভক্ত হয়। এক সময়ের ধাপে একটি ব্লকের কেন্দ্র পরবর্তী সময়ের ধাপে চারটি ব্লকের কোণে পরিণত হয় এবং তদ্বিপরীত; এইভাবে, প্রতিটি 2×2-এর চারটি কোষ পূর্ববর্তী বিভাজনের চারটি ভিন্ন 2×2 বর্গক্ষেত্রের অন্তর্গত। উপরে আলোচিত ক্রিটারের নিয়মটি এই ধরনের অটোমেটন-এর একটি উদাহরণ। ব্লক সেলুলার অটোমাটার জন্য বিপরীতমুখী নিয়ম তৈরি করা এবং প্রদত্ত নিয়মটি বিপরীতমুখী কিনা তা নির্ধারণ করা সহজঃ একটি ব্লক সেলুলার অটোমেটন বিপরীতমুখী হওয়ার জন্য এটি প্রয়োজনীয় এবং যথেষ্ট যে অটোমেটনটির প্রতিটি ধাপে পৃথক পৃথক ব্লকে প্রয়োগ করা রূপান্তরটি নিজেই বিপরীতমুখী। যখন একটি ব্লক সেলুলার অটোমেটন বিপরীতমুখী হয়, তখন তার গতিবিদ্যার সময়-বিপরীত সংস্করণটিকে একই ব্লক কাঠামো সহ একটি ব্লক সেলুলার অটোমেটন হিসাবে বর্ণনা করা যেতে পারে, ব্লকগুলিতে কোষের বিভাজনের সময়-বিপরীত ক্রম ব্যবহার করে এবং প্রতিটি ব্লকের জন্য রূপান্তর ফাংশনটি মূল নিয়মের বিপরীত ফাংশন। অপরিবর্তনীয় স্বয়ংক্রিয়তার অনুকরণ দেখায় যে কীভাবে কোনও অপরিবর্তনীয়-মাত্রিক সেলুলার স্বয়ংক্রিয় নিয়মকে একটি বিপরীতমুখী-মাত্রিক নিয়মে এম্বেড করা যায়। নতুন বিপরীতমুখী নিয়মের প্রতিটি-মাত্রিক অংশ মূল নিয়মের একটি একক সময় ধাপ অনুকরণ করে। এইভাবে, টফোলি দেখিয়েছেন যে অপরিবর্তনীয় সেলুলার অটোমাটার অনেক বৈশিষ্ট্য, যেমন নির্বিচারে টুরিং মেশিন অনুকরণ করার ক্ষমতা, বিপরীতমুখী সেলুলার অটোমাটায়ও প্রসারিত করা যেতে পারে। টফোলি যেমন অনুমান করেছিলেন এবং প্রমাণ করেছিলেন, টফলির পদ্ধতির দ্বারা আয়তনের বৃদ্ধি তার সাধারণতার জন্য একটি প্রয়োজনীয় অর্থ প্রদানঃ হালকা অনুমানের অধীনে (যেমন এম্বেডিংয়ের অনুবাদ-বৈপরীত্য), একটি সেলুলার অটোমেটন যার একটি গার্ডেন অফ ইডেন রয়েছে তার যে কোনও এম্বেডিং একটি বিপরীতমুখী সেলুলার অটোমেটনকে অবশ্যই মাত্রা বাড়াতে হবে। অন্য ধরনের অনুকরণ বর্ণনা করে যা হার্টলিংয়ের অনুমান মেনে চলে না এবং মাত্রা পরিবর্তন করে না। মোরিটার পদ্ধতিটি যে কোনও অপরিবর্তনীয় স্বয়ংক্রিয় যন্ত্রের সীমাবদ্ধ বিন্যাস অনুকরণ করতে পারে যেখানে একটি "শান্ত" বা "মৃত" অবস্থা থাকে, যেমন একটি কোষ এবং তার সমস্ত প্রতিবেশী যদি শান্ত থাকে তবে পরবর্তী ধাপে কোষটি শান্ত থাকে। সিমুলেশনটি মূল অপরিবর্তনীয় অটোমেটন হিসাবে একই মাত্রার একটি বিপরীতমুখী ব্লক সেলুলার অটোমেটন ব্যবহার করে। সিমুলেটেড অটোমেটন-এর অপরিবর্তনীয় ধাপগুলির দ্বারা যে তথ্যগুলি ধ্বংস হয়ে যাবে তা পরিবর্তে সিমুলেটেড অটোমেটন-এর অসীম শান্ত অঞ্চলে কনফিগারেশন থেকে দূরে পাঠানো হয়। এই সিমুলেশনটি সিমুলেটেড অটোমেটনের সমস্ত কোষকে একযোগে আপডেট করে না; বরং, একটি একক ধাপ অনুকরণ করার সময়টি সিমুলেটেড কনফিগারেশনের আকারের সাথে আনুপাতিক। তবুও, সিমুলেশনটি সিমুলেটেড অটোমেটনটির আচরণ সঠিকভাবে সংরক্ষণ করে, যেন এর সমস্ত কোষ একই সাথে আপডেট করা হচ্ছে। এই পদ্ধতি ব্যবহার করে এটা দেখানো সম্ভব যে এক-মাত্রিক বিপরীতমুখী সেলুলার অটোমাটাও সর্বজনীন গণনায় সক্ষম। দ্বিতীয়-ক্রমের সেলুলার অটোমেটন কৌশল হল যে কোনও সেলুলার অটোমেটনকে বিপরীতমুখী সেলুলার অটোমেটে রূপান্তরিত করার একটি পদ্ধতি, যা এডওয়ার্ড ফ্রেডকিন উদ্ভাবন করেছিলেন এবং 1984 সালে অন্যান্য বেশ কয়েকজন লেখক দ্বারা প্রথম প্রকাশিত হয়েছিল। এই কৌশলে, স্বয়ংক্রিয় যন্ত্রের প্রতিটি কোষের অবস্থা সময়ে তার প্রতিবেশী এবং সময়ে তার নিজস্ব অবস্থা উভয়ই একটি ফাংশন। বিশেষত, অটোমেটনের ট্রানজিশন ফাংশন প্রতিটি পাড়াকে পর্যায়ক্রমে অবস্থার সেটের একটি বিন্যাসে ম্যাপ করে এবং তারপরে সেই বিন্যাসটি সময়ে রাজ্যে প্রয়োগ করে। অটোমেটনের বিপরীত গতিবিদ্যা গণনা করা যেতে পারে প্রতিটি পাড়াকে বিপরীত বিন্যাসে ম্যাপ করে এবং একইভাবে এগিয়ে গিয়ে। বাইনারি-মূল্যবান অবস্থা (শূন্য বা এক) সহ স্বয়ংক্রিয়তার ক্ষেত্রে, অবস্থার উপর কেবল দুটি সম্ভাব্য বিন্যাস রয়েছে (পরিচয় বিন্যাস এবং বিন্যাস যা দুটি অবস্থাকে অদলবদল করে), যা নিজেরাই একচেটিয়া বা বাইনারি মান সহ একটি অবস্থার হিসাবে প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে। এইভাবে, যে কোনও প্রচলিত দ্বি-মূল্যবান সেলুলার অটোমেটনকে একটি দ্বিতীয়-ক্রমের সেলুলার অটোমেটন নিয়মে রূপান্তরিত করা যেতে পারে প্রচলিত অটোমেটন ট্রানজিশন ফাংশন ব্যবহার করে এবং তারপরে একচেটিয়া বা এই রাজ্যগুলির গণনা করে নির্দিষ্ট সময়ে অবস্থা নির্ধারণ করা যেতে পারে। যাইহোক, এইভাবে নির্ধারিত বিপরীতমুখী সেলুলার অটোমেটনের আচরণ সেলুলার অটোমেটনের আচরণের সাথে কোনও সাদৃশ্য বহন করতে পারে না যা থেকে এটি সংজ্ঞায়িত করা হয়েছিল। যে কোনও দ্বিতীয়-ক্রমের অটোমেটনকে একটি প্রচলিত সেলুলার অটোমেটন-এ রূপান্তরিত করা যেতে পারে, যেখানে ট্রানজিশন ফাংশনটি কেবলমাত্র পূর্ববর্তী একক সময় ধাপের উপর নির্ভর করে, দ্বিতীয়-ক্রমের অটোমেটন-এর ধারাবাহিক সময় ধাপ থেকে জোড়াগুলিকে একটি প্রচলিত সেলুলার অটোমেটন-এর একক অবস্থায় একত্রিত করে। সংরক্ষিত প্রাকৃতিক দৃশ্য একটি এক-মাত্রিক সেলুলার অটোমেটন যা চারটি সংলগ্ন কোষের সমন্বয়ে গঠিত একটি প্রতিবেশী ব্যবহার করে পাওয়া যায়। এই অটোম্যাটনে, একটি কোষ যখনই "?" দখল করে তখন তার অবস্থা উল্টে যায়। "0? 10" প্যাটার্নে অবস্থান। এই ধরনের কোনও দুটি নিদর্শন ওভারল্যাপ করতে পারে না, তাই রূপান্তরের পরেও উল্টানো কোষের চারপাশে একই "প্রাকৃতিক দৃশ্য" উপস্থিত থাকে। পরবর্তী ধাপে, কোষটি একই "?" অবস্থানটি আবার তার মূল অবস্থায় ফিরে যাবে। অতএব, এই অটোমেটনটি তার নিজস্ব বিপরীত, এবং বিপরীতমুখী। প্যাট ছোট আশেপাশের সমস্ত দ্বি-রাষ্ট্র এক-মাত্রিক সেলুলার অটোমেটার একটি ব্রুট ফোর্স অনুসন্ধান করেছিলেন; এই অনুসন্ধানটি এই অটোমেটন আবিষ্কারের দিকে পরিচালিত করেছিল এবং দেখিয়েছিল যে এটি সবচেয়ে সহজ সম্ভাব্য অ-তুচ্ছ এক-মাত্রিক দ্বি-রাষ্ট্র বিপরীতমুখী সেলুলার অটোমেটন ছিল। থ্রি-সেল নেবারহুড সহ কোনও নন-ট্রিভিয়াল রিভারসিবল টু-স্টেট অটোমাটা নেই এবং চার-সেল নেবারহুড সহ সমস্ত টু-স্টেট রিভারসিবল অটোমাটা প্যাটের অটোম্যাটনের সহজ রূপ। প্যাটের অটোমেটনকে বিপরীতমুখী সেলুলার অটোমাটা ডিজাইনের জন্য "সংরক্ষিত ল্যান্ডস্কেপ" কৌশলের একটি উদাহরণ হিসাবে দেখা যেতে পারে। এই কৌশলে, একটি কোষের অবস্থার পরিবর্তন প্রতিবেশীদের একটি সেটের মধ্যে একটি প্যাটার্ন দ্বারা শুরু হয় যা নিজেরাই অবস্থা পরিবর্তন করে না। এইভাবে, একই প্যাটার্নের অস্তিত্ব অটোমেটন-এর সময়-বিপরীত গতিশীলতার বিপরীত পরিবর্তনকে ট্রিগার করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। প্যাটের অটোম্যাটনের খুব সহজ গতিবিদ্যা রয়েছে (কনফিগারেশনের সমস্ত চক্রীয় ক্রমের দৈর্ঘ্য দুই), তবে একাধিক ট্রিগার প্যাটার্নের সাথে একই সংরক্ষিত ল্যান্ডস্কেপ কৌশল ব্যবহার করে অটোমাটা আরও জটিল আচরণ করতে সক্ষম। বিশেষ করে তারা যে কোনও দ্বিতীয়-ক্রমের সেলুলার অটোমেটন অনুকরণ করতে পারে। এস. এ. এল. টি মডেলটি সংরক্ষিত প্রাকৃতিক দৃশ্য কৌশলের একটি বিশেষ উদাহরণ। এই মডেলে, একটি পূর্ণসংখ্যা গ্রিডের কোষগুলি জোড় এবং বিজোড় উপসেটে বিভক্ত করা হয়। প্রতিটি সময় ধাপে একটি সমতার নির্দিষ্ট জোড়া কোষ অদলবদল করা হয়, অন্য সমতার নিকটবর্তী কোষের বিন্যাসের উপর ভিত্তি করে। এই মডেল ব্যবহার করে নিয়মগুলি বিলিয়ার্ড বল কম্পিউটারকে অনুকরণ করতে পারে, অথবা জীবন্ত কোষের দীর্ঘ স্ট্রিংকে সমর্থন করতে পারে যা বিভিন্ন গতিতে চলতে পারে বা বিভিন্ন ফ্রিকোয়েন্সিতে কম্পন করতে পারে। তত্ত্ব একটি সেলুলার অটোমেটন কোষের একটি বিন্যাস নিয়ে গঠিত, যার প্রত্যেকটির একটি সীমাবদ্ধ সংখ্যক সম্ভাব্য অবস্থা রয়েছে, একসাথে শুধুমাত্র প্রতিবেশী কোষের অবস্থার উপর ভিত্তি করে সমস্ত কোষকে একযোগে আপডেট করার নিয়ম রয়েছে। একটি সেলুলার অটোমেটন কনফিগারেশন হল অটোমেটন-এর প্রতিটি কোষে একটি অবস্থার বরাদ্দ; একটি সেলুলার অটোমেটন-এর আপডেট নিয়ম কনফিগারেশন থেকে কনফিগারেশন পর্যন্ত একটি ফাংশন গঠন করে, এই প্রয়োজনীয়তার সাথে যে কোনও কোষের আপডেট মান কেবলমাত্র কোষের কিছু সীমাবদ্ধ পাড়ার উপর নির্ভর করে এবং যে ফাংশনটি ইনপুট অ্যারের অনুবাদের অধীনে অপরিবর্তনীয়। এই সংজ্ঞাগুলির সাথে, একটি সেলুলার অটোমেটন বিপরীতমুখী হয় যখন এটি নিম্নলিখিত শর্তগুলির মধ্যে যে কোনও একটিকে সন্তুষ্ট করে, যার সবগুলিই গাণিতিকভাবে একে অপরের সমতুল্যঃ অটোমেটনটির প্রতিটি কনফিগারেশনের একটি অনন্য পূর্বসূরি থাকে যা আপডেট নিয়ম দ্বারা এটির সাথে ম্যাপ করা হয়। অটোম্যাটনের আপডেট নিয়ম হল একটি বাইজেকশন; অর্থাৎ, এমন একটি ফাংশন যা ওয়ান-টু-ওয়ান এবং অনটু উভয়ই। আপডেটের নিয়মটি একটি ইনজেকটিভ ফাংশন, অর্থাৎ, এমন কোনও দুটি কনফিগারেশন নেই যা উভয়ই একই সাধারণ কনফিগারেশনে ম্যাপ করে। এই শর্তটি স্পষ্টতই এই অনুমান দ্বারা বোঝানো হয়েছে যে আপডেটের নিয়মটি একটি বাইজেকশন। অন্য দিকে, সেলুলার অটোমাটার জন্য গার্ডেন অফ ইডেন উপপাদ্যটি বোঝায় যে প্রতিটি ইনজেকটিভ আপডেট নিয়মটি বাইজেক্টিভ। অটোমেটনটির সময়-বিপরীত গতিবিদ্যা অন্য একটি সেলুলার অটোমেটন দ্বারা বর্ণনা করা যেতে পারে। স্পষ্টতই, এটি সম্ভব হওয়ার জন্য, আপডেটের নিয়মটি অবশ্যই পক্ষপাতমূলক হতে হবে। অন্য দিকে, যদি আপডেটের নিয়মটি বাইজেক্টিভ হয়, তবে এর একটি বিপরীত ফাংশন রয়েছে যা বাইজেক্টিভও। এই বিপরীত ফাংশনটি অবশ্যই একটি সেলুলার অটোমেটন নিয়ম হতে হবে। এই সত্যের প্রমাণ কার্টিস-হেডলন্ড-লিন্ডন উপপাদ্য ব্যবহার করে, যা সেলুলার অটোমাটা নিয়মগুলির একটি টপোলজিকাল বৈশিষ্ট্য যা রূপান্তর-অপরিবর্তনীয় ফাংশন হিসাবে যা কনফিগারেশনের ক্ষেত্রে ক্যান্টর টপোলজির সাপেক্ষে অবিচ্ছিন্ন। অটোমেটনের হালনাগাদ নিয়ম হল স্থিতি স্থান এবং কোষের জালের অনুবাদ দ্বারা সংজ্ঞায়িত স্থানান্তর গতিশীল ব্যবস্থার একটি অটোমরফিজম। অর্থাৎ, এটি একটি সমরূপতা যা স্থানান্তর মানচিত্রের সাথে বিনিময় করে, যেমন কার্টিস-হেডলান্ড-লিন্ডন উপপাদ্যটি বোঝায়। সেলুলার অটোমাটার জন্য বিপরীতমুখীতার বেশ কয়েকটি বিকল্প সংজ্ঞা বিশ্লেষণ করুন। এগুলির বেশিরভাগই হয় ইনজেক্টিভিটি বা অটোমেটনের ট্রানজিশন ফাংশনের সার্জেক্টিভিটির সমতুল্য বলে প্রমাণিত হয়; তবে, আরও একটি বিকল্প রয়েছে যা এই দুটি সংজ্ঞার সাথে মেলে না। এটি গেম অফ লাইফের মতো অটোম্যাটার ক্ষেত্রে প্রযোজ্য যার একটি শান্ত বা মৃত অবস্থা রয়েছে। এই ধরনের অটোমেটন-এ, একটি কনফিগারেশনকে "সীমাবদ্ধ" হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে যদি এটিতে কেবলমাত্র সীমিতভাবে অনেকগুলি অ-শান্ত কোষ থাকে এবং অটোমাটার শ্রেণী বিবেচনা করা যেতে পারে যার জন্য প্রতিটি সীমাবদ্ধ কনফিগারেশনে কমপক্ষে একটি সীমাবদ্ধ পূর্বসূরি থাকে। এই শ্রেণীটি সার্জেক্টিভ এবং ইনজেকটিভ অটোমাটা উভয়ের থেকে আলাদা বলে প্রমাণিত হয়েছে এবং পরবর্তী কিছু গবেষণায়, এই বৈশিষ্ট্যযুক্ত অটোমাটাকে ইনভার্টিবল ফাইনাইট অটোমাটা বলা হয়েছে। পরীক্ষার বিপরীতমুখীতা এটি প্রথম দেখানো হয়েছিল যে প্রদত্ত এক-মাত্রিক সেলুলার অটোমেটনের বিপরীতমুখীতা পরীক্ষার সমস্যার একটি অ্যালগরিদমিক সমাধান রয়েছে। অটোমাটা তত্ত্ব এবং ডি ব্রুইন গ্রাফের উপর ভিত্তি করে বিকল্প অ্যালগরিদমগুলি যথাক্রমে এবং দ্বারা দেওয়া হয়েছিল। কুলিক এই পর্যবেক্ষণ দিয়ে শুরু করে যে একটি সেলুলার অটোমেটন একটি ইনজেক্টিভ ট্রানজিশন ফাংশন থাকে যদি এবং শুধুমাত্র যদি ট্রানজিশন ফাংশনটি পর্যায়ক্রমিক কনফিগারেশনের উপসেটগুলিতে ইনজেক্টিভ হয় (একই সাবস্ট্রিংটি অসীমভাবে উভয় দিকেই পুনরাবৃত্তি করে)। তিনি একটি অনির্ধারিত সসীম-অবস্থা ট্রান্সডিউসারকে সংজ্ঞায়িত করেন যা পর্যায়ক্রমিক স্ট্রিংয়ে অটোমেটনটির রূপান্তর নিয়ম সম্পাদন করে। এই ট্রান্সডিউসার স্ট্রিংয়ের শুরুতে অটোমেটনটির আশেপাশের অংশকে মনে রেখে কাজ করে এবং একটি গ্রহণযোগ্য অবস্থায় প্রবেশ করে যখন সেই প্রতিবেশীটি ইনপুটের শেষে একত্রিত হয়ে তার অনির্ধারিতভাবে নির্বাচিত রূপান্তরগুলি সঠিক হতে পারে। কুলিক তারপর ট্রান্সডিউসারের ইনপুট এবং আউটপুট অদলবদল করে। এই অদলবদল থেকে উদ্ভূত ট্রান্সডিউসার প্রদত্ত অটোমেটনটির বিপরীত গতিবিদ্যার অনুকরণ করে। পরিশেষে, কুলিক পূর্বে পরিচিত অ্যালগরিদম প্রয়োগ করে পরীক্ষা করে যে ফলস্বরূপ অদলবদল করা ট্রান্সডিউসার প্রতিটি ইনপুটকে একটি একক আউটপুটে ম্যাপ করে কিনা। সাটনার একটি নির্দেশিত গ্রাফ (এক ধরনের ডি ব্রুইন গ্রাফ) সংজ্ঞায়িত করেন যেখানে প্রতিটি শীর্ষ কোষের সংলগ্ন ক্রমে কোষের জন্য অবস্থার একটি জোড়া অ্যাসাইনমেন্টকে উপস্থাপন করে। এই ক্রমের দৈর্ঘ্য অটোমেটনটির আশেপাশের আকারের চেয়ে এক কম হতে বেছে নেওয়া হয়। সাটনারের গ্রাফের একটি প্রান্ত কোষের এক জোড়া ক্রমকে উপস্থাপন করে যা একটি কোষ ব্যতীত সমস্ত কোষে ওভারল্যাপ করে, যাতে ক্রমগুলির মিলন সেলুলার অটোম্যাটনের একটি সম্পূর্ণ প্রতিবেশী হয়। এই ধরনের প্রতিটি প্রান্ত বাম দিকের ওভারল্যাপিং পরবর্তী অংশ থেকে ডান দিকের পরবর্তী অংশ পর্যন্ত পরিচালিত হয়। প্রান্তগুলি কেবল তখনই গ্রাফে অন্তর্ভুক্ত করা হয় যখন তারা তাদের কোষের ক্রমের ওভারল্যাপিং অংশে সামঞ্জস্যপূর্ণ অবস্থা অ্যাসাইনমেন্টের প্রতিনিধিত্ব করে এবং যখন স্বয়ংক্রিয় নিয়ম (সম্ভাব্য প্রান্ত দ্বারা নির্ধারিত পাড়ায় প্রয়োগ করা হয়) অবস্থার উভয় অ্যাসাইনমেন্টের জন্য একই ফলাফল দেয়। এই গ্রাফের একটি রৈখিক-সময়ের শক্তিশালী সংযোগ বিশ্লেষণ করে, এর কোন শীর্ষগুলি চক্রের অন্তর্গত তা নির্ধারণ করা সম্ভব। ট্রানজিশন নিয়মটি অ-ইনজেকটিভ হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি এই গ্রাফে একটি নির্দেশিত চক্র থাকে যেখানে কমপক্ষে একটি শীর্ষে দুটি ভিন্ন অবস্থার অ্যাসাইনমেন্ট থাকে। এই পদ্ধতিগুলি বহুপদী সময় নেয়, যা ইনপুট অটোমেটন-এর স্টেট ট্রানজিশন টেবিলের আকারের বর্গক্ষেত্রের সমানুপাতিক। একটি সম্পর্কিত অ্যালগরিদম নির্ধারণ করে যে প্রদত্ত নিয়মটি পর্যায়ক্রমিক সীমানা শর্তযুক্ত কোষের সীমাবদ্ধ-দৈর্ঘ্যের অ্যারেতে প্রয়োগ করা হলে সার্জেক্টিভ হয় কিনা এবং যদি তা হয় তবে কোন দৈর্ঘ্যের জন্য। একটি ব্লক সেলুলার অটোমেটন-এর জন্য, পরীক্ষার বিপরীতমুখীতাও সহজঃ অটোমেটনটি বিপরীতমুখী হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি অটোমেটন-এর ব্লকগুলিতে ট্রানজিশন ফাংশনটি বিপরীতমুখী হয় এবং এই ক্ষেত্রে বিপরীত অটোমেটনটির বিপরীত ট্রানজিশন ফাংশনের সাথে একই ব্লক কাঠামো থাকে। যাইহোক, দুই বা ততোধিক মাত্রায় অন্যান্য পাড়াগুলির সাথে সেলুলার অটোমাটার জন্য, পরীক্ষার বিপরীতমুখীতার সমস্যাটি অনিবার্য, যার অর্থ এমন কোনও অ্যালগরিদম বিদ্যমান থাকতে পারে না যা সর্বদা থামায় এবং সর্বদা সমস্যার সঠিক উত্তর দেয়। এই সত্যের প্রমাণ ওয়াং টাইলস দ্বারা সমতল টাইলিংয়ের পূর্বে পরিচিত সিদ্ধান্তহীনতার উপর ভিত্তি করে, তাদের প্রান্তে চিহ্ন সহ বর্গাকার টাইলের সেট যা কোন জোড়া টাইল প্রান্ত থেকে প্রান্ত পর্যন্ত ফিট করতে পারে তা সীমাবদ্ধ করে। কারি ওয়াং টাইলের একটি সেট থেকে একটি সেলুলার অটোমেটনকে এমনভাবে সংজ্ঞায়িত করে যে, যদি এবং শুধুমাত্র যদি প্রদত্ত টাইল সেটটি পুরো সমতলকে টাইল করতে পারে তবে অটোমেটনটি ইনজেকটিভ হতে ব্যর্থ হয়। তাঁর নির্মাণে ভন নিউম্যান পাড়া এবং বিপুল সংখ্যক রাজ্য সহ কক্ষ ব্যবহার করা হয়েছে। একই গবেষণাপত্রে কারি আরও দেখিয়েছেন যে, দুই বা ততোধিক মাত্রার প্রদত্ত সেলুলার অটোমেটন নিয়মটি সার্জেক্টিভ (অর্থাৎ, এটিতে ইডেন গার্ডেন আছে কিনা) কিনা তা পরীক্ষা করা অনিশ্চিত। বিপরীত পার্শ্ববর্তী আকার প্রতি কোষের অবস্থা সহ এক-মাত্রিক বিপরীতমুখী সেলুলার অটোম্যাটনে, যেখানে একটি কোষের পার্শ্ববর্তী অংশটি কোষের একটি ব্যবধান, বিপরীত গতিবিদ্যার প্রতিনিধিত্বকারী অটোম্যাটনের এমন পার্শ্ববর্তী অঞ্চল রয়েছে যা বেশিরভাগ কোষ নিয়ে গঠিত। এই সীমাটি আঁটসাঁট বলে জানা যায়ঃ দুই-কোষের আশেপাশের অঞ্চলগুলির সাথে-রাষ্ট্র বিপরীতমুখী সেলুলার অটোমাটা রয়েছে যার সময়-বিপরীত গতিবিদ্যা ঠিক আশেপাশের আকারের সাথে একটি সেলুলার অটোমেটন গঠন করে। যে কোনও পূর্ণসংখ্যার জন্য ভন নিউম্যান নেবারহুডের সাথে কেবলমাত্র সীমিতভাবে অনেকগুলি দ্বি-মাত্রিক বিপরীতমুখী-অবস্থা সেলুলার অটোমাটা রয়েছে। অতএব, একটি সুনির্দিষ্ট ফাংশন রয়েছে যাতে ভন নিউম্যান পাড়ার সাথে-স্টেট সেলুলার অটোমাটার সমস্ত বিপরীত সর্বাধিক ব্যাসার্ধ সহ একটি পাড়ার ব্যবহার করেঃ সীমাবদ্ধভাবে অনেকগুলি বিপরীতমুখী-স্টেট সেলুলার অটোমাটার মধ্যে, অটোমেটনটির সময়-বিপরীত গতিশীলতার প্রতিনিধিত্ব করার জন্য প্রয়োজনীয় পাড়ার আকারের সর্বাধিক হতে দিন। যাইহোক, কারির অনিশ্চিত ফলাফলের কারণে, গণনার জন্য কোনও অ্যালগরিদম নেই এবং এই ফাংশনের মানগুলি অবশ্যই খুব দ্রুত বৃদ্ধি করতে হবে, যে কোনও গণনাযোগ্য ফাংশনের চেয়ে আরও দ্রুত। ওল্ফ্রামের শ্রেণীবিভাগ স্টিফেন ওল্ফ্রামের সেলুলার অটোমাটার একটি সুপরিচিত শ্রেণীবিভাগ এলোমেলো প্রাথমিক অবস্থার উপর তাদের আচরণ অধ্যয়ন করে। একটি বিপরীতমুখী সেলুলার অটোমেটন-এর জন্য, যদি সমস্ত সম্ভাব্য কনফিগারেশনের মধ্যে প্রাথমিক কনফিগারেশনটি এলোমেলোভাবে সমানভাবে বেছে নেওয়া হয়, তবে পরবর্তী সমস্ত অবস্থার জন্য একই অভিন্ন এলোমেলোতা বজায় থাকে। এইভাবে দেখা যায় যে বেশিরভাগ বিপরীতমুখী সেলুলার অটোমাটা ওল্ফ্রামের ক্লাস 3: অটোমাটার, যেখানে প্রায় সমস্ত প্রাথমিক কনফিগারেশন ছদ্ম-এলোমেলোভাবে বা বিশৃঙ্খলভাবে বিকশিত হয়। যাইহোক, অটোমেটনের আচরণের উপর স্থানীয় বিশৃঙ্খলার প্রভাব বিশ্লেষণ করে বিভিন্ন বিপরীতমুখী সেলুলার অটোমাটার মধ্যে পার্থক্য করা এখনও সম্ভব। একটি বিপরীতমুখী সেলুলার অটোমেটন প্রাথমিক অবস্থায় পরিবর্তন করলে পরবর্তী অবস্থার পরিবর্তনগুলি শুধুমাত্র একটি সীমাবদ্ধ অঞ্চলের মধ্যে থেকে যেতে পারে, অনিয়মিতভাবে কিন্তু সীমাহীনভাবে প্রচার করতে পারে, অথবা দ্রুত ছড়িয়ে পড়তে পারে, এবং এই তিন ধরনের আচরণ প্রদর্শনকারী এক-মাত্রিক বিপরীতমুখী সেলুলার অটোমেটন নিয়মগুলি তালিকাভুক্ত করতে পারে। ওলফ্রামের পরবর্তী কাজ এক-মাত্রিক নিয়ম 37আর অটোমেটনকে এই ক্ষেত্রে বিশেষভাবে আকর্ষণীয় বলে চিহ্নিত করে। পর্যায়ক্রমিক সীমানা শর্ত সহ কোষের একটি সীমাবদ্ধ বিন্যাসে চললে, একটি বৃহত্তর খালি পাড়াকে কেন্দ্র করে এলোমেলো কোষের একটি ছোট বীজ থেকে শুরু করে, এটি ক্রমবদ্ধ এবং বিশৃঙ্খল অবস্থার মধ্যে ওঠানামা করে। যাইহোক, একটি সীমাহীন কোষের সেটের উপর একই প্রাথমিক অবস্থার সাথে এর বিন্যাসগুলি বিভিন্ন ধরণের সহজ চলমান কণায় সংগঠিত হতে থাকে। বিমূর্ত বীজগণিত বিপরীতমুখী কোষীয় স্বয়ংক্রিয়তাকে আনুষ্ঠানিক করার আরেকটি উপায় হল বিমূর্ত বীজগণিত, এবং এই আনুষ্ঠানিকতা বিপরীতমুখী কোষীয় স্বয়ংক্রিয় নিয়মের জন্য কম্পিউটারাইজড অনুসন্ধানের বিকাশে কার্যকর হয়েছে। একটি অর্ধকেন্দ্রিক বিগগ্রুপয়েডকে একটি বীজগাণিতিক কাঠামো হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে যা উপাদানগুলির একটি সেট এবং দুটি ক্রিয়াকলাপ এবং উপাদানগুলির জোড়ার উপর গঠিত, যা দুটি সমতুল্য স্বতঃসিদ্ধকে সন্তুষ্ট করেঃ সমস্ত উপাদানের জন্য, এবং, এবং সমস্ত উপাদানের জন্য, এবং,। উদাহরণস্বরূপ, এটি দুটি ক্রিয়াকলাপের ক্ষেত্রে সত্য যেখানে ক্রিয়াকলাপ তার ডান যুক্তি প্রদান করে এবং ক্রিয়াকলাপ তার বাম যুক্তি প্রদান করে। বয়কেট যেমন যুক্তি দেখান যে, যে কোনও এক-মাত্রিক বিপরীতমুখী সেলুলার অটোমেটন আয়তক্ষেত্রাকার আকারে একটি অটোমেটন-এর সমতুল্য, যেখানে কোষগুলি প্রতিটি সময় ধাপে একটি অর্ধ ইউনিট অফসেট করা হয় এবং যেখানে অটোমেটন-এর সামনের এবং বিপরীত বিবর্তন উভয়েরই মাত্র দুটি কোষের আশেপাশে থাকে, প্রতিটি দিকে কোষগুলি অর্ধ ইউনিট দূরে থাকে। যদি একটি বিপরীতমুখী স্বয়ংক্রিয় যান্ত্রিক যান্ত্রিক যান্ত্রিক যান্ত্রিক যান্ত্রিক যান্ত্রিক যান্ত্রিক যান্ত্রিক যান্ত্রিক যান্ত্রিক যান্ত্রিক যান্ত্রিক যান্ত্রিক যান্ত্রিক যান্ত্রিক যান্ত্রিক যান্ত্রিক যান্ত্রিক যান্ত্রিক যান্ত্রিক যান্ত্রিক যান্ত্রিক যান্ত্রিক যান্ত্রিক যান্ত্রিক যান্ত্রিক যান্ত্রিক যান্ত্রিক যান্ত্রিক যান্ত্রিক যান্ত্রিক যান্ত্রিক যান্ত্রিক যান্ত্রিক যান্ত্রিক যান্ত্রিক যান্ত্রিক যান্ত্রিক যান্ত্রিক যান্ত্রিক যান্ত্রিক যান্ত্রিক যান্ত্রিক যান্ত্রিক যান্ত্রিক যান্ত্রিক যান্ত্রিক যান্ত্রিক যান্ত্রিক যান্ত্রিক যান্ত্রিক যান্ত্রিক যান্ত্রিক যান্ত্রিক যান্ত্রিক যান্ত্রিক যান্ত্রিক যান্ত্রিক যান্ত্রিক যান্ত্রিক যান্ত্রিক যান্ত্রিক যান্ত্রিক যান্ত্রিক যান্ত্রিক যান্ত্রিক যান্ত্রিক যান্ত্রিক যান্ত্রিক যান্ত্রিক যান্ত্রিক যান্ত্রিক যান্ত্রিক যান্ত্রিক যান্ত্রিক যান্ত্রিক যান্ত্রিক যান্ত্রিক যান্ত্রিক যান্ত্রিক যান্ত্রিক যান্ত্রিক যান্ত্রিক যান্ত্রিক যান্ত্রিক যান্ত্রিক যান্ত্রিক যান্ত্রিক যান্ত্রিক যান্ত্রিক যান্ত্রিক যান্ত্রিক যান্ত্রিক যান্ত্রিক যান্ত্রিক যান্ত্রিক যান্ত্রিক একটি অর্ধকেন্দ্রিক বিগগ্রুপয়েডের দুটি স্বতঃসিদ্ধ হল এই দুই-কোষের আশেপাশের সামনের এবং বিপরীত ট্রানজিশন ফাংশনের জন্য একে অপরের বিপরীত হওয়ার জন্য প্রয়োজনীয় শর্ত। অর্থাৎ, প্রতিটি অর্ধকেন্দ্রিক বিগগ্রুপয়েড আয়তক্ষেত্রাকার আকারে একটি বিপরীতমুখী সেলুলার অটোমেটনকে সংজ্ঞায়িত করে, যেখানে অটোমেটনটির ট্রানজিশন ফাংশন তার আশেপাশের দুটি কোষকে একত্রিত করার জন্য অপারেশনটি ব্যবহার করে এবং যেখানে অপারেশনটি একইভাবে অটোমেটনটির বিপরীত গতিশীলতাকে সংজ্ঞায়িত করে। প্রতিটি এক-মাত্রিক বিপরীতমুখী সেলুলার অটোমেটন এই আকারে একটির সমতুল্য। বয়কেট এই বীজগাণিতিক গঠনকে অ্যালগরিদমের ভিত্তি হিসাবে ব্যবহার করেছিলেন যা সমস্ত সম্ভাব্য অসম বিপরীতমুখী সেলুলার অটোমাটার সম্পূর্ণ তালিকা তৈরি করে। সংরক্ষণ আইন যখন গবেষকরা ভৌত ব্যবস্থার অনুকরণের জন্য বিপরীতমুখী সেলুলার অটোমাটা ডিজাইন করেন, তখন তারা সাধারণত ব্যবস্থার সংরক্ষণ আইনগুলিকে নকশায় অন্তর্ভুক্ত করেন; উদাহরণস্বরূপ, একটি সেলুলার অটোমেটন যা একটি আদর্শ গ্যাস অনুকরণ করে তা গ্যাস কণার সংখ্যা এবং তাদের মোট গতিবেগ সংরক্ষণ করা উচিত, অন্যথায় এটি একটি সঠিক অনুকরণ প্রদান করবে না। যাইহোক, সংরক্ষণ আইন সম্পর্কে কিছু গবেষণাও হয়েছে যা বিপরীতমুখী সেলুলার অটোমাটা যে কোনও ইচ্ছাকৃত নকশা থেকে স্বাধীন হতে পারে। এই গবেষণাগুলিতে পরিমাপ করা সংরক্ষিত পরিমাণের সাধারণ ধরণটি স্বয়ংক্রিয় কোষের সমস্ত সংলগ্ন উপসেটগুলির উপর প্রতিটি উপসেটে কোষের অবস্থার কিছু সংখ্যাসূচক ফাংশনের যোগফলের রূপ নেয়। এই পরিমাণটি সংরক্ষণ করা হয় যদি, যখনই এটি একটি সীমাবদ্ধ মান নেয়, সেই মানটি স্বয়ংক্রিয়ভাবে অটোমেটনটির প্রতিটি সময় ধাপে স্থির থাকে এবং এই ক্ষেত্রে এটিকে অটোমেটনটির একটি থ-অর্ডার অপরিবর্তনীয় বলা হয়। উদাহরণস্বরূপ, একটি আয়তক্ষেত্রাকার ব্যান্ড থেকে একটি উদাহরণ হিসাবে সংজ্ঞায়িত এক-মাত্রিক সেলুলার অটোমেটনটি স্মরণ করুন, যেখানে কোষের অবস্থা সেট এবং বাম মান এবং ডান মান থেকে টানা মানগুলির জোড়া (এল, আর) হয়, প্রতিটি কোষের বাম মান প্রতিটি সময় ধাপে ডান দিকে চলে যায় এবং প্রতিটি কোষের ডান মান বাম দিকে চলে যায়। এই ক্ষেত্রে, ব্যান্ডের প্রতিটি বাম বা ডান মানের জন্য, একটি সংরক্ষিত পরিমাণ নির্ধারণ করা যেতে পারে, সেই মানযুক্ত কোষের মোট সংখ্যা। যদি বাম মান এবং সঠিক মান থাকে, তবে স্বাধীন প্রথম-ক্রম-অপরিবর্তনীয় রয়েছে এবং যে কোনও প্রথম-ক্রম অপরিবর্তনীয়কে এই মৌলিকগুলির রৈখিক সংমিশ্রণ হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে। বাম মানের সঙ্গে যুক্ত সংরক্ষিত পরিমাণগুলি স্থির হারে ডানদিকে অভিন্নভাবে প্রবাহিত হয়ঃ অর্থাৎ, যদি রেখার কিছু অঞ্চলের মধ্যে সমান বাম মানের সংখ্যা সময়ে একটি নির্দিষ্ট মান নেয়, তবে এটি স্থানান্তরিত অঞ্চলের জন্য একই মান নেবে। একইভাবে, সঠিক মানের সঙ্গে যুক্ত সংরক্ষিত পরিমাণগুলি বাম দিকে সমানভাবে প্রবাহিত হয়। যে কোনও এক-মাত্রিক বিপরীতমুখী সেলুলার অটোমেটনকে আয়তক্ষেত্রাকার আকারে স্থাপন করা যেতে পারে, যার পরে এর রূপান্তর নিয়মটি একটি আইডেম্পোটেন্ট অর্ধকেন্দ্রিক বিগগ্রুপয়েডের (একটি বিপরীতমুখী নিয়ম যার জন্য একক অবস্থার মান সহ কোষের অঞ্চলগুলি কেবল তাদের সীমানায় পরিবর্তিত হয়) ক্রিয়ায় ফ্যাক্টর করা যেতে পারে। অটোমেটন নিয়মের আইডেম্পোটেন্ট উত্তোলনের জন্য প্রথম-ক্রমের অপরিবর্তনীয়গুলি (ক্রমবিন্যাস বাদ দিয়ে গঠিত পরিবর্তিত নিয়ম) অবশ্যই একটি আয়তক্ষেত্রাকার ব্যান্ডের মতো আচরণ করেঃ তাদের অপরিবর্তনীয়গুলির একটি ভিত্তি রয়েছে যা কোনও মিথস্ক্রিয়া ছাড়াই স্থির হারে বাম দিকে বা ডান দিকে প্রবাহিত হয়। সামগ্রিক অটোম্যাটনের জন্য প্রথম-ক্রমের অপরিবর্তনীয়গুলি তখন আইডেম্পোটেন্ট উত্তোলনের জন্য ঠিক অপরিবর্তনীয় যা বিন্যাসের একই কক্ষপথের অন্তর্গত প্রতিটি জোড়া অবস্থাকে সমান ওজন দেয়। যাইহোক, নিয়মে অবস্থার বিন্যাস এই অপরিবর্তনীয়দের আইডেম্পোটেন্ট উত্তোলনের থেকে আলাদা আচরণ করতে পারে, যা অভিন্নভাবে এবং মিথস্ক্রিয়ার সাথে প্রবাহিত হয়। ভৌত ব্যবস্থায়, নোইথারের উপপাদ্য সংরক্ষণ আইন এবং ব্যবস্থার প্রতিসাম্যের মধ্যে একটি সমতা প্রদান করে। যাইহোক, সেলুলার অটোমাটার জন্য এই উপপাদ্যটি সরাসরি প্রযোজ্য নয়, কারণ সিস্টেমের শক্তি দ্বারা পরিচালিত হওয়ার পরিবর্তে অটোমেটনটির আচরণ তার নিয়মগুলিতে এনকোড করা হয় এবং অটোমেটন যে কোনও সংরক্ষণ আইন নির্বিশেষে নির্দিষ্ট প্রতিসাম্য (স্থান এবং সময় উভয় ক্ষেত্রে অনুবাদের অপরিবর্তিতা) মেনে চলার নিশ্চয়তা দেয়। তা সত্ত্বেও, নির্দিষ্ট কিছু বিপরীতমুখী পদ্ধতির সংরক্ষিত পরিমাণ কিছু ক্ষেত্রে শক্তির অনুরূপ আচরণ করে। উদাহরণস্বরূপ, যদি স্বয়ংক্রিয় যন্ত্রের বিভিন্ন অঞ্চলে কিছু সংরক্ষিত পরিমাণের বিভিন্ন গড় মান থাকে, তবে স্বয়ংক্রিয় যন্ত্রের নিয়মগুলি এই পরিমাণকে বিলুপ্ত করতে পারে, যাতে পরবর্তী অবস্থাগুলিতে পরিমাণের বিতরণ আরও অভিন্ন হয়। সিস্টেমের শক্তির জন্য স্ট্যান্ড-ইন হিসাবে এই সংরক্ষিত পরিমাণগুলি ব্যবহার করে শাস্ত্রীয় পদার্থবিজ্ঞানের পদ্ধতিগুলি ব্যবহার করে এটি বিশ্লেষণ করার অনুমতি দেওয়া যেতে পারে। ল্যাটিস গ্যাস অটোমেটন একটি সেলুলার অটোমেটন যা একটি তরল বা একটি আদর্শ গ্যাসে কণাগুলির গতি অনুকরণ করার জন্য ডিজাইন করা হয়েছে। এই ধরনের ব্যবস্থায়, গ্যাসের কণাগুলি স্থির গতিতে সরলরেখায় চলাচল করে, যতক্ষণ না অন্যান্য কণাগুলির সাথে স্থিতিস্থাপক সংঘর্ষ হয়। ল্যাটিস গ্যাস অটোমাটা শুধুমাত্র স্থির সংখ্যক বেগ (সাধারণত, শুধুমাত্র একটি গতি এবং গতির চার বা ছয়টি দিক) অনুমতি দিয়ে এবং সম্ভাব্য সংঘর্ষের ধরনগুলিকে সহজ করে এই মডেলগুলিকে সহজতর করে। বিশেষত, এইচপিপি জাল গ্যাস মডেলটি চারটি অক্ষ-সমান্তরাল দিকে একক গতিতে চলমান কণা নিয়ে গঠিত। দুটি কণা যখন একই রেখায় বিপরীত দিকে মিলিত হয়, তখন তাদের সংঘর্ষ হয় এবং লম্ব রেখার সংঘর্ষ বিন্দু থেকে বাইরের দিকে পাঠানো হয়। এই সিস্টেমটি ভৌত গ্যাসগুলির সংরক্ষণ আইন মেনে চলে এবং এমন সিমুলেশন তৈরি করে যার চেহারা ভৌত গ্যাসগুলির আচরণের সাথে সাদৃশ্যপূর্ণ। তবে, এটি অবাস্তব অতিরিক্ত সংরক্ষণ আইন মেনে চলে বলে দেখা গেছে। উদাহরণস্বরূপ, যে কোনও একক রেখার মধ্যে মোট ভরবেগ সংরক্ষিত থাকে। এছাড়াও, এই মডেলে (এর অ্যানিসোট্রপি) অক্ষ-সমান্তরাল এবং অ-অক্ষ-সমান্তরাল দিকগুলির মধ্যে পার্থক্য অনিবার্যভাবে বেশি। এফ. এইচ. পি ল্যাটিস গ্যাস মডেলটি এইচ. পি. পি মডেলের উন্নতি ঘটায় যাতে কণা চারটি দিকের পরিবর্তে একে অপরের সাথে 60 ডিগ্রি কোণে ছয়টি ভিন্ন দিকে চলে। যে কোনও মুখোমুখি সংঘর্ষে, দুটি বহির্গামী কণা দুটি আগত কণা থেকে 60 ডিগ্রি কোণে বিপথগামী হয়। এফ. এইচ. পি মডেলে ত্রিমুখী সংঘর্ষও সম্ভব এবং এগুলি এমনভাবে পরিচালনা করা হয় যাতে উভয়ই মোট গতিবেগ সংরক্ষণ করে এবং এইচ. পি. পি মডেলের অযৌক্তিক যুক্ত সংরক্ষণ আইনগুলি এড়িয়ে চলে। যেহেতু এই ব্যবস্থাগুলিতে কণাগুলির গতি বিপরীতমুখী, সেগুলি সাধারণত বিপরীতমুখী সেলুলার অটোমাটার মাধ্যমে প্রয়োগ করা হয়। বিশেষত, এইচপিপি এবং এফএইচপি ল্যাটিস গ্যাস অটোমাটা উভয়ই মারগোলাস নেবারহুড ব্যবহার করে দ্বি-রাষ্ট্র ব্লক সেলুলার অটোমেটন দিয়ে প্রয়োগ করা যেতে পারে। আইসিং মডেল চৌম্বকীয় ব্যবস্থার আচরণের মডেল তৈরি করতে আইসিং মডেল ব্যবহার করা হয়। এটি কোষের একটি বিন্যাস নিয়ে গঠিত, যার প্রত্যেকটির অবস্থা উপরের বা নীচের দিকে একটি ঘূর্ণনের প্রতিনিধিত্ব করে। সিস্টেমের শক্তি এমন একটি ফাংশন দ্বারা পরিমাপ করা হয় যা একে অপরের মতো একই ঘূর্ণনযুক্ত পার্শ্ববর্তী জোড়া কোষের সংখ্যার উপর নির্ভর করে। অতএব, যদি একটি কোষের দুটি অবস্থায় সমান সংখ্যক প্রতিবেশী থাকে, তবে এটি মোট শক্তির পরিবর্তন না করেই তার নিজস্ব অবস্থাকে ঘুরিয়ে দিতে পারে। যাইহোক, এই ধরনের উল্টানো কেবল তখনই শক্তি-সংরক্ষণ করে যখন কোনও দুটি সংলগ্ন কোষ একই সময়ে উল্টে না যায়। এই ব্যবস্থার সেলুলার অটোমেটন মডেলগুলি বর্গাকার জালটিকে দুটি বিকল্প উপসেটে বিভক্ত করে এবং একবারে দুটি উপসেটের মধ্যে একটিতে আপডেট সম্পাদন করে। প্রতিটি আপডেটে, প্রতিটি সেল যা উল্টাতে পারে তা করে। এটি একটি বিপরীতমুখী সেলুলার অটোমেটনকে সংজ্ঞায়িত করে যা আইসিং মডেলটি তদন্ত করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। বিলিয়ার্ড-বল গণনা এবং লো-পাওয়ার কম্পিউটিং বিলিয়ার্ড-বল কম্পিউটারকে তাদের রিভার্সিবল কম্পিউটিং তদন্তের অংশ হিসাবে প্রস্তাব করেছিল। একটি বিলিয়ার্ড-বল কম্পিউটার সিঙ্ক্রোনাইজড কণাগুলির (বিলিয়ার্ড বল) একটি সিস্টেম নিয়ে গঠিত যা ট্র্যাকগুলিতে চলাচল করে এবং একটি নির্দিষ্ট সেট বাধা দ্বারা পরিচালিত হয়। যখন কণাগুলি একে অপরের সাথে বা বাধাগুলির সাথে সংঘর্ষ করে, তখন তারা প্রকৃত বিলিয়ার্ড বলগুলির মতো একটি স্থিতিস্থাপক সংঘর্ষের মধ্য দিয়ে যায়। কম্পিউটারে ইনপুট নির্দিষ্ট ইনপুট ট্র্যাকগুলিতে কণাগুলির উপস্থিতি বা অনুপস্থিতি ব্যবহার করে এনকোড করা হয় এবং আউটপুট ট্র্যাকগুলিতে কণাগুলির উপস্থিতি বা অনুপস্থিতি ব্যবহার করে এর আউটপুট একইভাবে এনকোড করা হয়। ট্র্যাকগুলি নিজেরাই তার হিসাবে কল্পনা করা যেতে পারে এবং কণাগুলি সেই তারের উপর বুলিয়ান সংকেত হিসাবে পরিবহন করা হয়। যখন কোনও কণা কোনও বাধায় আঘাত করে, তখন তা সেখান থেকে প্রতিফলিত হয়। এই প্রতিফলনকে কণাটি যে তারের দিক অনুসরণ করছে তারের দিক পরিবর্তন হিসাবে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে। বিভিন্ন ট্র্যাকের দুটি কণার সংঘর্ষ হতে পারে, যা তাদের সংঘর্ষের বিন্দুতে একটি লজিক গেট তৈরি করে। যেমনটি দেখানো হয়েছে, বিলিয়ার্ড-বল কম্পিউটারগুলি মার্গোলাস পাড়ার সাথে দ্বি-অবস্থা বিপরীতমুখী ব্লক সেলুলার অটোমেটন ব্যবহার করে সিমুলেট করা যেতে পারে। এই অটোমেটন আপডেট নিয়মে, ঠিক একটি জীবন্ত কোষের ব্লক 180° ঘোরায়, দুটি তির্যক বিপরীত জীবন্ত কোষের ব্লক 90° ঘোরায় এবং অন্যান্য সমস্ত ব্লক অপরিবর্তিত থাকে। এই নিয়মগুলি বিচ্ছিন্ন জীবন্ত কোষগুলিকে বিলিয়ার্ড বলের মতো আচরণ করতে বাধ্য করে, যা তির্যক গতিপথের উপর চলে। একাধিক জীবন্ত কোষের সংযুক্ত গোষ্ঠী বিলিয়ার্ড-বল কম্পিউটারের নির্দিষ্ট বাধাগুলির মতো আচরণ করে। একটি পরিশিষ্টে, মার্গোলাস আরও দেখিয়েছেন যে দ্বি-মাত্রিক মুর পাড় ব্যবহার করে একটি তিন-রাষ্ট্রের দ্বিতীয়-ক্রমের সেলুলার অটোমেটন বিলিয়ার্ড-বল কম্পিউটার অনুকরণ করতে পারে। বিলিয়ার্ড-বল মডেলের মতো গণনার বিপরীতমুখী সার্বজনীন মডেলগুলি অধ্যয়নের একটি কারণ হল যে তারা তাত্ত্বিকভাবে প্রকৃত কম্পিউটার ব্যবস্থার দিকে পরিচালিত করতে পারে যা খুব কম পরিমাণে শক্তি খরচ করে। ল্যান্ডাউয়ারের নীতি অনুসারে, অপরিবর্তনীয় গণনামূলক পদক্ষেপের জন্য প্রতি পদক্ষেপে একটি নির্দিষ্ট ন্যূনতম পরিমাণ শক্তির প্রয়োজন হয়, তবে প্রতি পদক্ষেপে শক্তির পরিমাণের সাথে বিপরীতমুখী পদক্ষেপগুলি সম্পাদন করা যেতে পারে যা নির্বিচারে শূন্যের কাছাকাছি। যাইহোক, ল্যান্ডাউয়ারের বাউন্ডের তুলনায় কম শক্তি ব্যবহার করে গণনা সম্পাদনের জন্য, একটি সেলুলার অটোমেটন-এর জন্য এমন একটি ট্রানজিশন ফাংশন থাকা যথেষ্ট নয় যা বিশ্বব্যাপী বিপরীতমুখীঃ যা প্রয়োজন তা হল ট্রানজিশন ফাংশনের স্থানীয় গণনাও বিপরীতমুখী উপায়ে করা উচিত। উদাহরণস্বরূপ, বিপরীতমুখী ব্লক সেলুলার অটোমাটা সর্বদা স্থানীয়ভাবে বিপরীতমুখীঃ প্রতিটি পৃথক ব্লকের আচরণে সীমাবদ্ধভাবে অনেক ইনপুট এবং আউটপুট সহ একটি বিপরীতমুখী ফাংশনের প্রয়োগ জড়িত। প্রত্যেকটি বিপরীতমুখী সেলুলার অটোমেটন-এর স্থানীয়ভাবে বিপরীতমুখী আপডেটের নিয়ম আছে কিনা তা প্রথম জিজ্ঞাসা করা হয়েছিল। দেখিয়েছেন যে এক-এবং দ্বি-মাত্রিক স্বয়ংক্রিয়তার জন্য উত্তরটি ইতিবাচক, এবং দেখিয়েছেন যে কোনও বিপরীতমুখী সেলুলার অটোমেটন স্থানীয়ভাবে বিপরীতমুখী সেলুলার অটোমেটন দ্বারা অনুকরণ করা যেতে পারে। যাইহোক, প্রতিটি বিপরীতমুখী রূপান্তর ফাংশন স্থানীয়ভাবে বিপরীতমুখী কিনা তা নিয়ে প্রশ্ন দুটির চেয়ে বেশি মাত্রার জন্য উন্মুক্ত থাকে। সিঙ্ক্রোনাইজেশন টফোলি এবং মার্গোলাসের "ট্রন" নিয়ম হল মার্গোলাস পাড়ার সাথে একটি বিপরীতমুখী ব্লক সেলুলার নিয়ম। যখন একটি 2×2 ব্লকের সমস্ত কোষের অবস্থা একই থাকে, তখন ব্লকের সমস্ত কোষের অবস্থা পরিবর্তিত হয়; অন্যান্য সমস্ত ক্ষেত্রে, ব্লকের কোষগুলি অপরিবর্তিত থাকে। টফোলি এবং মার্গোলাস যেমন যুক্তি দেখান, এই নিয়ম দ্বারা সৃষ্ট নিদর্শনগুলির বিবর্তনকে মার্গোলাস পাড়ায় অন্য যে কোনও নিয়মকে সমন্বিত করার জন্য একটি ঘড়ি হিসাবে ব্যবহার করা যেতে পারে। এইভাবে সিঙ্ক্রোনাইজ করা একটি সেলুলার অটোমেটন অ্যাসিঙ্ক্রোনাস সেলুলার অটোমেটন চালানোর সময় স্ট্যান্ডার্ড মার্গোলাস-নেবারহুড নিয়মের মতো একই গতিশীলতা মেনে চলে। এনক্রিপশন সিস্টেম হিসাবে বহুমাত্রিক বিপরীতমুখী সেলুলার অটোমাটা ব্যবহার করে এনক্রিপশন প্রস্তাব করা হয়েছে। কারির প্রস্তাবে, সেলুলার অটোমেটন নিয়মটি এনক্রিপশন কী হবে। নিয়মটিকে এক ধাপ এগিয়ে নিয়ে এনক্রিপশন করা হবে এবং এক ধাপ পিছনে চালিয়ে ডিক্রিপশন করা হবে। কারি পরামর্শ দেন যে এই ধরনের একটি সিস্টেম পাবলিক-কী ক্রিপ্টোসিস্টেম হিসাবে ব্যবহার করা যেতে পারে। নীতিগতভাবে, একজন আক্রমণকারী একটি প্রদত্ত এনক্রিপশন কী (ফরওয়ার্ড নিয়ম) থেকে অ্যালগরিদমিকভাবে ডিক্রিপশন কী (বিপরীত নিয়ম) নির্ধারণ করতে পারেনি কারণ পরীক্ষার বিপরীতমুখীতার সিদ্ধান্তহীনতা, তাই সিস্টেমের সুরক্ষার সাথে আপস না করে ফরওয়ার্ড নিয়মটি জনসমক্ষে প্রকাশ করা যেতে পারে। তবে, কারি এই ধরনের ব্যবস্থার জন্য কোন ধরনের বিপরীতমুখী সেলুলার অটোমেটন ব্যবহার করা উচিত তা নির্দিষ্ট করেননি, অথবা এই পদ্ধতি ব্যবহার করে একটি ক্রিপ্টোসিস্টেম কীভাবে এনক্রিপশন/ডিক্রিপশন কী জোড়া তৈরি করতে সক্ষম হবে তা দেখাননি। একটি বিকল্প এনক্রিপশন সিস্টেমের প্রস্তাব দিয়েছে। তাদের সিস্টেমে, এনক্রিপশন কী একটি এক-মাত্রিক সেলুলার অটোমেটনের প্রতিটি কোষের জন্য স্থানীয় নিয়ম নির্ধারণ করে। সেই নিয়মের উপর ভিত্তি করে একটি দ্বিতীয়-ক্রমের অটোমেটন একটি এনক্রিপ্ট করা আউটপুটে রূপান্তরিত করার জন্য একটি ইনপুটের উপর বেশ কয়েকটি রাউন্ডের জন্য চালানো হয়। অটোমেটনের বিপরীতমুখী বৈশিষ্ট্যটি নিশ্চিত করে যে কোনও এনক্রিপ্ট করা বার্তা বিপরীতভাবে একই সিস্টেম চালানোর মাধ্যমে ডিক্রিপ্ট করা যেতে পারে। এই সিস্টেমে, কীগুলি অবশ্যই গোপন রাখতে হবে, কারণ একই কী এনক্রিপশন এবং ডিক্রিপশন উভয়ের জন্যই ব্যবহৃত হয়। কোয়ান্টাম কম্পিউটিং কোয়ান্টাম সেলুলার অটোমাটা হল অটোমাটার অ্যারে, যার অবস্থা এবং অবস্থার পরিবর্তন কোয়ান্টাম গতিবিদ্যার নিয়ম মেনে চলে। কোয়ান্টাম সেলুলার অটোমাটাকে গণনার একটি মডেল হিসাবে প্রস্তাব করা হয়েছিল এবং প্রথম দ্বারা আনুষ্ঠানিক করা হয়েছিল। এই অটোমাটার বেশ কয়েকটি প্রতিযোগিতামূলক ধারণা গবেষণার অধীনে রয়েছে, যার মধ্যে অনেকগুলির জন্য এইভাবে নির্মিত অটোমাটা বিপরীতমুখী হওয়া প্রয়োজন। শারীরিক সর্বজনীনতা জিজ্ঞাসা করেছিল যে একটি সেলুলার অটোমেটন শারীরিকভাবে সর্বজনীন হওয়া সম্ভব কিনা, যার অর্থ, অটোমেটন কোষের যে কোনও সীমাবদ্ধ অঞ্চলের জন্য, সেই অঞ্চলটিকে এমন কোষ দিয়ে ঘিরে রাখা সম্ভব হওয়া উচিত যার অবস্থা একটি উপযুক্ত সমর্থন স্ক্যাফোল্ডিং গঠন করে যা অটোমেটনকে এই অঞ্চলের মধ্যে অবস্থার সেটগুলিতে কোনও নির্বিচারে রূপান্তর বাস্তবায়িত করে। এই ধরনের অটোমেটন অবশ্যই বিপরীতমুখী হতে হবে, বা অন্তত স্থানীয়ভাবে ইনজেকটিভ হতে হবে, কারণ এই সম্পত্তি ছাড়া অটোমাটাতে গার্ডেন অফ ইডেন প্যাটার্ন রয়েছে এবং এমন কোনও রূপান্তর বাস্তবায়ন করা সম্ভব নয় যা গার্ডেন অফ ইডেন তৈরি করে। একটি বিপরীতমুখী সেলুলার অটোমেটন তৈরি করেছে যা এই অর্থে শারীরিকভাবে সর্বজনীন। শেফারের অটোমেটন একটি ব্লক সেলুলার অটোমেটন যার দুটি রাজ্য এবং মারগোলিস পাড়া রয়েছে, যা বিলিয়ার্ড বল মডেল এবং এইচপিপি ল্যাটিস গ্যাসের জন্য অটোমেটার সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত। যাইহোক, বিলিয়ার্ড বল মডেলটি শারীরিকভাবে সর্বজনীন নয়, কারণ এটি কিছু অঞ্চলের মধ্যে রাজ্যকে পড়া এবং রূপান্তরিত হতে বাধা দেওয়ার জন্য অভেদ্য প্রাচীর তৈরি করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। শেফারের মডেলে, প্রতিটি প্যাটার্ন অবশেষে চার দিকে তির্যকভাবে চলমান কণায় বিভক্ত হয়। সুতরাং, তার অটোমেটন টুরিং সম্পূর্ণ নয়। যাইহোক, শেফার দেখিয়েছেন যে স্ক্যাফোল্ডিং দ্বারা যে কোনও সীমাবদ্ধ কনফিগারেশনকে ঘিরে রাখা সম্ভব যা তার চেয়ে ধীরে ধীরে ক্ষয় হয়। কনফিগারেশনটি কণায় বিভক্ত হওয়ার পরে, স্ক্যাফোল্ডিং সেই কণাগুলিকে বাধা দেয় এবং স্ক্যাফোল্ডিংয়ের মধ্যে নির্মিত বুলিয়ান সার্কিটের সিস্টেমে ইনপুট হিসাবে তাদের ব্যবহার করে। এই সার্কিটগুলি প্রাথমিক বিন্যাসের নির্বিচারে ফাংশন গণনা করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। স্ক্যাফোল্ডিং তারপর সার্কিটের আউটপুটকে আবার চলমান কণাগুলির একটি সিস্টেমে অনুবাদ করে, যা প্রাথমিক অঞ্চলে একত্রিত হয় এবং রূপান্তরিত অবস্থার একটি অনুলিপি তৈরি করতে একে অপরের সাথে সংঘর্ষ করে। এইভাবে, শেফারের সিস্টেমটি স্টেট স্পেসের যে কোনও সীমাবদ্ধ অঞ্চলে যে কোনও ফাংশন প্রয়োগ করতে ব্যবহার করা যেতে পারে, যা দেখায় যে এই স্বয়ংক্রিয় নিয়মটি শারীরিকভাবে সর্বজনীন। উল্লেখগুলি উল্লেখ করুন। । । । । । । । । । । । । । । পুনরায় মুদ্রিত। । । । । । । । । । । । । পুনরায় মুদ্রিত, এবং মধ্যে। । । । । । । । । । পুনরায় মুদ্রিত। । । যেমনটি উল্লেখ করেছেন এবং। । । । । । । । । । । । । । । । সেলুলার অটোমাটা রিভার্সিবল কম্পিউটিং