Cauchy–Rassias stability
কার্যকরী সমীকরণের তত্ত্বে স্ট্যানিস্লা উলামের একটি ধ্রুপদী সমস্যা নিম্নরূপঃ এটি কখন সত্য যে একটি ফাংশন যা প্রায় একটি কার্যকরী সমীকরণ E-কে সন্তুষ্ট করে তা অবশ্যই E-এর সঠিক সমাধানের কাছাকাছি হতে হবে? 1941 সালে, ডোনাল্ড এইচ হায়ার্স বানাচ স্পেসের প্রসঙ্গে এই প্রশ্নের আংশিক ইতিবাচক উত্তর দিয়েছিলেন। এটি ছিল গবেষণার এই ক্ষেত্রে প্রথম উল্লেখযোগ্য অগ্রগতি এবং আরও গবেষণার দিকে একটি পদক্ষেপ। তারপর থেকে, উলামের সমস্যা এবং হায়ার্সের উপপাদ্যের বিভিন্ন সাধারণীকরণের সাথে সম্পর্কিত প্রচুর সংখ্যক গবেষণাপত্র প্রকাশিত হয়েছে। 1978 সালে, থেমিস্টোক্লিস এম. রাসিয়াস একটি সীমাহীন কচি পার্থক্য বিবেচনা করে হায়ার্সের উপপাদ্য প্রসারিত করতে সফল হন। তিনিই প্রথম বানাচ স্থানে রৈখিক মানচিত্রের স্থায়িত্ব প্রমাণ করেন। 1950 সালে, টি. আওকি রাসিয়াসের ফলাফলের একটি বিশেষ ক্ষেত্রে প্রমাণ দিয়েছিলেন যখন প্রদত্ত ফাংশনটি যোগাত্মক হয়। উলামের সমস্যার প্রেক্ষাপটে কার্যকরী সমীকরণের স্থিতিশীলতার একটি বিস্তৃত উপস্থাপনার জন্য, আগ্রহী পাঠককে স্প্রিঙ্গার, নিউ ইয়র্ক, 2011 দ্বারা প্রকাশিত এস. এম. জং-এর সাম্প্রতিক বইটি উল্লেখ করা হয়েছে (নীচে রেফারেন্স দেখুন)। টি. এম. রাসিয়াসের উপপাদ্যটি বেশ কয়েকজন গণিতবিদকে আকৃষ্ট করেছিল যারা কার্যকরী সমীকরণের স্থায়িত্ব তত্ত্ব নিয়ে গবেষণা করতে উদ্বুদ্ধ হতে শুরু করেছিলেন। এস. এম. উলাম, ডি. এইচ. হায়ার্স এবং টি. এইচ-এর বিশাল প্রভাব সম্পর্কে। এম. রাসিয়াস কার্যকরী সমীকরণের স্থায়িত্ব সমস্যা অধ্যয়নের উপর, এই ধারণাকে হায়ার্স-উলাম-রাসিয়াস স্থায়িত্ব বলা হয়। বিশেষ ক্ষেত্রে যখন উলামের সমস্যাটি কাউচির কার্যকরী সমীকরণ f (x + y) = f (x) + f (y)-এর জন্য একটি সমাধান গ্রহণ করে, তখন সমীকরণ E-কে কাউচি-রাসিয়াসের স্থায়িত্বকে সন্তুষ্ট করে বলে মনে করা হয়। নামটি অগাস্টিন-লুই কাউচি এবং থেমিস্টোক্লিস এম রাসিয়াস হিসাবে উল্লেখ করা হয়। রেফারেন্স পি. এম. পারদালোস, পি. জি. জর্জিয়েভ এবং এইচ. এম. শ্রীবাস্তব (সংস্করণ। ), অরৈখিক বিশ্লেষণ। স্থিতিশীলতা, আনুমানিক এবং অসমতা। থেমিস্টোক্লিস এম. রাসিয়াসের 60তম জন্মদিন উপলক্ষে, স্প্রিঙ্গার, নিউ ইয়র্ক, 2012। ডি. এইচ. হায়ার্স, রৈখিক কার্যকরী সমীকরণের স্থায়িত্বের উপর, প্রোক। নাটাল। অ্যাকাডেমিক। বিজ্ঞান। ইউএসএ, 27 (1941), 222-224। টি. এম. রাসিয়াস, বানচ স্পেসে রৈখিক ম্যাপিংয়ের স্থায়িত্বের উপর, আমেরিকান ম্যাথমেটিকাল সোসাইটির কার্যধারা 72 (1978), 297-300। [চীনা ভাষায় অনুবাদিত এবংঃ ম্যাথমেটিকাল অ্যাডভান্স ইন ট্রান্সলেশন, চাইনিজ অ্যাকাডেমি অফ সায়েন্সেস 4 (2009), 382-384-এ প্রকাশিত।] টি. এম. রাসিয়াস, অন দ্য স্টেবিলিটি অফ ফাংশনাল ইকুয়েশনস অ্যান্ড অ্যা প্রবলেম অফ উলাম, অ্যাক্টা অ্যাপ্লিকেশনডে ম্যাথমেটিকা, 62 (1) (2000), 23-130। এস. এম. জং, হায়ার্স-উলাম-রাসিয়াস স্ট্যাবিলিটি অফ ফাংশনাল ইকুয়েশনস ইন ননলাইনিয়ার অ্যানালাইসিস, স্প্রিংগার, নিউ ইয়র্ক, 2011। টি. আওকি, বানাচ স্পেসে রৈখিক রূপান্তরের স্থায়িত্ব সম্পর্কে, জে। গণিত। সোস। জেপিএন., 2 (1950), 64-66। সি. জি. পার্ক, বিভিন্ন চলকের মধ্যে সাধারণ চতুর্ভুজ ম্যাপিং, অরৈখিক অ্যানাল, 57 (2004), 713-722। জে. আর. লি এবং ডি. ওয়াই। শিন, একটি সাধারণীকৃত যোগাত্মক কার্যকরী সমীকরণের কচি-রাসিয়াস স্থায়িত্বের উপর, জে। গণিত। অ্যানাল। অ্যাপল। 339 (1) (2008), 372-383। সি বাক, কাউচি-বানাচ স্পেসে কাউচি-জেনসন অ্যাডিটিভ ম্যাপিংয়ের রাসিয়াস স্থায়িত্ব, অ্যাক্টা মঠ। সিনিকা (ইংরেজি সিরিজ), 15 (1) (1999), 1-11। সি. জি. পার্ক, লাই জে. সি *-অ্যালজেব্রা এবং কচি-লাই জে. সি *-অ্যালজেব্রা ব্যুৎপত্তির রাসিয়াস স্থায়িত্বের মধ্যে সমরূপতা, জে। মিথ্যা তত্ত্ব, 15 (2005), 393-414। জে. আর. লি, ডি. ওয়াই। শিন, সি *-অ্যালজেব্রাতে ট্রিফ কার্যকরী সমীকরণের কচি-রাসিয়াস স্থায়িত্বের উপর। জে। গণিত। অ্যানাল। অ্যাপল। 296 (1) (2004), 351-363। সি. বাক, এইচ. ওয়াই. চু এবং এম. এস. মোসলেহিয়ান, অন দ্য কচি-রাসিয়াস ইনইকুয়ালিটি অ্যান্ড লিনিয়ার এন-ইনার প্রোডাক্ট প্রিজারভেশন ম্যাপিং, ম্যাথ। অসমতা। অ্যাপল। 9 (3) (2006), 453-464। সি. জি. পার্ক, এম. এশাঘি গর্ডজি এবং এইচ. খোদাই, সাধারণ জেনসেন ধরনের চতুর্ভুজ-চতুর্ভুজ ম্যাপিং, বুলের কচি-রাসিয়াসের স্থিতিশীলতার একটি নির্দিষ্ট বিন্দু পদ্ধতি। কোরিয়ান গণিত। সোস। 47 (2010), নং। 5, 987-996 এ. নাজাতি, পেক্সিডারিজড কচি-জেনসেন ধরনের কার্যকরী সমীকরণের সাথে যুক্ত সমরূপতার কচি-রাসিয়াস স্থায়িত্ব, জে। গণিত। অসমতা। 3 (2) (2009), 257-265। সি. জি. পার্ক এবং এস. ওয়াই. জাং, বানাচ মডিউলে সেস্কিলিনিয়ার এন-কোয়াড্রাটিক ম্যাপিংয়ের কচি-রাসিয়াস স্থায়িত্ব, রকি মাউন্টেন জে। গণিত। 39 (6) (2009), 2015-2027। পিএল। কান্নাপ্পান, ফাংশনাল ইকুয়েশনস অ্যান্ড ইনইকুয়ালিটিজ উইথ অ্যাপ্লিকেশনস, স্প্রিঙ্গার, নিউ ইয়র্ক, 2009। পি. কে. সাহু এবং পিএল। কান্নাপ্পান, ইন্ট্রোডাকশন টু ফাংশনাল ইকুয়েশন, সিআরসি প্রেস, চ্যাপম্যান অ্যান্ড হল বুক, ফ্লোরিডা, 2011। টি. এম. রাসিয়াস এবং জে. ব্রাজডেক (সংস্করণ। ), গাণিতিক বিশ্লেষণে কার্যকরী সমীকরণ, স্প্রিঙ্গার, নিউ ইয়র্ক, 2012,। গাণিতিক বিশ্লেষণ কার্যকরী বিশ্লেষণ কার্যকরী সমীকরণ