Ptolemy's table of chords
2য় শতাব্দীতে মিশরে গ্রীক জ্যোতির্বিজ্ঞানী, জ্যামিতিবিদ এবং ভূগোলবিদ টলেমি দ্বারা তৈরি কর্ডের টেবিল হল টলেমির আলমেজেস্টের 11তম অধ্যায়ের প্রথম বইয়ের একটি ত্রিকোণমিতিক টেবিল, যা গাণিতিক জ্যোতির্বিজ্ঞানের উপর একটি গ্রন্থ। এটি মূলত সাইন ফাংশনের মানগুলির একটি সারণির সমতুল্য। এটি জ্যোতির্বিজ্ঞান সহ অনেক ব্যবহারিক উদ্দেশ্যে যথেষ্ট বিস্তৃত প্রাচীনতম ত্রিকোণমিতি টেবিল ছিল (হিপার্কাসের দ্বারা কর্ডগুলির একটি পূর্ববর্তী টেবিল শুধুমাত্র বৃত্তের জন্য কর্ড দিয়েছিল যা গুণিতক ছিল)। 8ম ও 9ম শতাব্দী থেকে, সাইন এবং অন্যান্য ত্রিকোণমিতি ফাংশনগুলি ইসলামী গণিত এবং জ্যোতির্বিজ্ঞানে ব্যবহার করা হয়েছে, যা সাইন টেবিলের উৎপাদনকে সংস্কার করেছে। খোয়ারিজমি এবং হাবাস আল-হাসিব পরে ত্রিকোণমিতি সারণির একটি সেট তৈরি করেছিলেন। কর্ড ফাংশন এবং টেবিল একটি বৃত্তের একটি কর্ড হল একটি লাইন সেগমেন্ট যার শেষ বিন্দুগুলি বৃত্তের উপর থাকে। টলেমি একটি বৃত্ত ব্যবহার করেছিলেন যার ব্যাস 120 অংশ। তিনি একটি কর্ডের দৈর্ঘ্য সারণীবদ্ধ করেছিলেন যার শেষ বিন্দুগুলি n ডিগ্রির একটি চাপ দ্বারা পৃথক করা হয়, n এর জন্য 180 থেকে বৃদ্ধি দ্বারা। আধুনিক স্বরলিপিতে, θ ডিগ্রির একটি চাপের সাথে সম্পর্কিত কর্ডের দৈর্ঘ্য হল θ 0 থেকে 180 পর্যন্ত গেলে, একটি θ° চাপের কর্ড 0 থেকে 120 পর্যন্ত যায়। ক্ষুদ্র আর্ক্সের জন্য, কর্ডটি 3-এর মতো ডিগ্রিতে চাপের কোণের সাথে থাকে, বা আরও সুনির্দিষ্টভাবে, অনুপাতটি θ-কে যথেষ্ট ছোট করে ≈-এর যতটা ইচ্ছা ততটা কাছাকাছি করা যেতে পারে। সুতরাং, এর চাপের জন্য, কর্ডের দৈর্ঘ্য ডিগ্রিতে চাপ কোণের চেয়ে কিছুটা বেশি। চাপ বাড়ার সাথে সাথে কর্ড এবং চাপের অনুপাত হ্রাস পায়। যখন চাপটি পৌঁছায়, তখন কর্ডের দৈর্ঘ্য ঠিক চাপের ডিগ্রির সংখ্যার সমান হয়, অর্থাৎ। কর্ড 60° = 60 60°-এর বেশি চাপের জন্য, কর্ডটি চাপের চেয়ে কম, যতক্ষণ না 180°-এর একটি চাপ পৌঁছায়, যখন কর্ডটি মাত্র 120 হয়। কর্ড দৈর্ঘ্যের ভগ্নাংশ অংশগুলি সেক্সাজেসিমাল (বেস 60) সংখ্যায় প্রকাশ করা হয়েছিল। উদাহরণস্বরূপ, যেখানে একটি 112° চাপ দ্বারা নিক্ষিপ্ত একটি কর্ডের দৈর্ঘ্য 99.29.5 বলে রিপোর্ট করা হয়, সেখানে এর দৈর্ঘ্য নিকটতম পর্যন্ত বৃত্তাকার হয়। চাপ এবং কর্ডের কলামের পরে, একটি তৃতীয় কলামকে "ষাটতম" লেবেল দেওয়া হয়। θ°-এর একটি চাপের জন্য, "ষাটতম" কলামে প্রবেশ হল এটি একটি ইউনিটের ষাটতমের গড় সংখ্যা যা প্রতিবার কোণটি এক মিনিট চাপ দ্বারা বৃদ্ধি পেলে, θ° এবং (θ +) °-এর প্রবেশের মধ্যে অবশ্যই কর্ড (θ°)-এর সাথে যোগ করতে হবে। সুতরাং, এটি রৈখিক ইন্টারপোলেশনের জন্য ব্যবহৃত হয়। গ্লোয়াৎস্কি এবং গোটশে দেখিয়েছেন যে টলেমি অবশ্যই "ষাটতম" কলামে পাওয়া নির্ভুলতার মাত্রা অর্জনের জন্য পাঁচটি যৌনজ স্থানগুলিতে কর্ড গণনা করতে হবে। টলেমি কিভাবে কর্ড গণনা করেছেন আলমেজেস্টের প্রথম বইয়ের 10ম অধ্যায় কর্ড গণনার জন্য ব্যবহৃত জ্যামিতিক উপপাদ্য উপস্থাপন করে। টলেমি ইউক্লিডের উপাদানগুলির ত্রয়োদশ বইয়ের প্রস্তাব 10-এর উপর ভিত্তি করে জ্যামিতিক যুক্তি ব্যবহার করে 72° এবং 36°-এর কর্ড খুঁজে বের করেন। সেই প্রস্তাবে বলা হয়েছে যে, যদি একটি সমবাহু পঞ্চভুজ একটি বৃত্তে খোদাই করা থাকে, তবে পঞ্চভুজের পাশের বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ষড়ভুজটির পাশের বর্গক্ষেত্র এবং একই বৃত্তে খোদাই করা দশভুজটির ক্ষেত্রফলের যোগফলের সমান। তিনি অর্ধ-খিলানের কর্ড, দুটি খিলানের যোগফলের কর্ড এবং দুটি খিলানের পার্থক্যের কর্ডের সূত্র পেতে একটি বৃত্তে খোদাই করা চতুর্ভুজের উপর টলেমির উপপাদ্য ব্যবহার করেছিলেন। উপপাদ্যটি বলে যে একটি বৃত্তে খোদাই করা একটি চতুর্ভুজের জন্য, তির্যকগুলির দৈর্ঘ্যের গুণফল বিপরীত দিকের দৈর্ঘ্যের দুটি জোড়ার গুণফলের যোগফলের সমান। ত্রিকোণমিতিক পরিচয়ের ব্যুৎপত্তিগুলি একটি চক্রাকার চতুর্ভুজের উপর নির্ভর করে যেখানে একটি দিক বৃত্তের ব্যাস। 1° এবং ° এর চাপের কর্ডগুলি খুঁজে বের করার জন্য তিনি অ্যারিস্টার্কাসের বৈষম্যের উপর ভিত্তি করে আনুমানিক ব্যবহার করেছিলেন। অসমতা বলে যে α এবং β বৃত্তের জন্য, যদি 0 <β <α <90° হয়, তাহলে টলেমি দেখান যে 1° এবং ° বৃত্তের জন্য, আনুমানিক সঠিকভাবে পূর্ণসংখ্যা অংশের পরে প্রথম দুটি যৌনস্থান স্থান দেয়। সংখ্যা পদ্ধতি এবং অব্যক্ত সারণির আবির্ভাব-বৃত্তের চাপের দৈর্ঘ্য, মাত্রায়, এবং কর্ড দৈর্ঘ্যের পূর্ণসংখ্যা অংশগুলি, একটি ভিত্তি 10 সংখ্যা পদ্ধতিতে প্রকাশ করা হয়েছিল যা গ্রীক বর্ণমালার 21 টি অক্ষর ব্যবহার করে নিম্নলিখিত সারণিতে দেওয়া অর্থ সহ, এবং একটি প্রতীক, "ά", যার অর্থ এবং একটি উত্থিত বৃত্ত "′" যা একটি ফাঁকা স্থান পূরণ করে (কার্যকরভাবে শূন্যকে উপস্থাপন করে)। নিচের টেবিলে "প্রত্নতাত্ত্বিক" লেবেলযুক্ত তিনটি অক্ষর আলমাজেস্ট লেখার আগে কয়েক শতাব্দী ধরে গ্রীক ভাষায় ব্যবহৃত হয়নি, তবে এখনও সংখ্যা এবং বাদ্যযন্ত্রের নোট হিসাবে ব্যবহৃত হয়েছিল। সুতরাং, উদাহরণস্বরূপ, °-এর একটি চাপকে ρμγ anth′ হিসাবে প্রকাশ করা হয়। (যেহেতু টেবিলটি শুধুমাত্র 180° অবধি পৌঁছায়, তাই 200 এবং তার বেশি গ্রীক সংখ্যা ব্যবহার করা হয় না।) কর্ড দৈর্ঘ্যের ভগ্নাংশ অংশগুলির জন্য প্রচুর নির্ভুলতার প্রয়োজন ছিল এবং টেবিলের দুটি কলামে দেওয়া হয়েছিলঃ প্রথম কলামটি 0-59 পরিসরে একটি পূর্ণসংখ্যা গুণিতক দেয়, দ্বিতীয়টি =-এর একটি পূর্ণসংখ্যা গুণিতক, এছাড়াও 0-59 পরিসরে। এইভাবে হাইবার্গের আলমেজেস্টের সংস্করণে 48-63 পৃষ্ঠাগুলিতে কর্ডের টেবিল সহ, টেবিলের শুরুটি, থেকে থেকে চাপের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ এইরকম দেখায়ঃ পরে টেবিলে, কেউ চাপের পূর্ণসংখ্যা অংশ এবং কর্ডের দৈর্ঘ্য প্রকাশ করে সংখ্যার বেস-10 প্রকৃতি দেখতে পাবে। সুতরাং 85°-এর একটি চাপকে πε (80-এর জন্য π এবং 5-এর জন্য ε) হিসাবে লেখা হয় এবং 60 + 25-এ বিভক্ত করা হয় না। সংশ্লিষ্ট কর্ডের দৈর্ঘ্য হল 81 যোগ একটি ভগ্নাংশ অংশ। পূর্ণসংখ্যা অংশটি πα দিয়ে শুরু হয়, একইভাবে 60 + 21-এ বিভক্ত নয়। কিন্তু ভগ্নাংশ অংশ, +, কলামে 4-এর জন্য δ হিসাবে লেখা হয়, তারপরে কলামে 15-এর জন্য ιε লেখা হয়। টেবিলটিতে আট পৃষ্ঠার প্রতিটিতে মোট 360 লাইনের জন্য 45টি করে লাইন রয়েছে। 1500-এর দশকের শেষের দিকে গ্রীক গণিত মাধবের সাইন টেবিল টলেমি স্কেল অফ কর্ডস ভার্সিন রেফারেন্সস ওলাফ পেডারসেন (1974) এ সার্ভে অফ দ্য আলমেজেস্ট, ওডেন্স ইউনিভার্সিটি প্রেস এক্সটার্নাল লিঙ্ক জে. এল. হেইবার্গ আলমেজেস্ট, পৃষ্ঠাগুলিতে কর্ডের টেবিল 48-63-এ প্রকাশিত আর্যভট্টের সাইন টেবিল এক্সসেন্ট ফান্ডামেন্টাম অ্যাস্ট্রোনোমিয়া, সাইনগুলির সুনির্দিষ্ট গণনার জন্য একটি অ্যালগরিদম স্থাপনকারী একটি বই দেখুন। গ্লেন এলার্ট টলেমির টেবিল অফ কর্ডসঃ গ্রীক ও ফরাসি ভাষায় দ্বিতীয় শতাব্দীতে ত্রিকোণমিতি। ত্রিকোণমিতি ত্রিকোণমিতি জ্যোতির্বিজ্ঞানের ইতিহাস প্রাথমিক বিশেষ ফাংশন টলেমি গাণিতিক সারণি