De Moivre's law
ডি মইভরের আইন হল অ্যাকিউয়ারিয়াল বিজ্ঞানে প্রয়োগ করা একটি বেঁচে থাকার মডেল, যা আব্রাহাম ডি মইভরের নামে নামকরণ করা হয়েছে। এটি একটি রৈখিক বেঁচে থাকার ক্রিয়াকলাপের উপর ভিত্তি করে মৃত্যুর একটি সহজ আইন। সংজ্ঞা ডি মইভরের আইনের একটি একক পরামিতি রয়েছে যাকে চূড়ান্ত বয়স বলা হয়। ডি মইভরের আইনের অধীনে, একটি নবজাতকের বেঁচে থাকার ফাংশন দ্বারা প্রদত্ত কমপক্ষে x বছর বেঁচে থাকার সম্ভাবনা রয়েছে অ্যাকচুয়ারিয়াল নোটেশন (x) এমন একটি অবস্থা বা জীবনকে বোঝায় যা x বছর বয়স পর্যন্ত বেঁচে আছে, এবং T (x) হল (x) এর ভবিষ্যতের জীবনকাল (T (x) একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল)। শর্তাধীন সম্ভাব্যতা যে (x) x + t বয়স পর্যন্ত বেঁচে থাকে তা হল Pr [T (0) ≤ x + t। T (0) ≤ x] = S (x + t)/S (x), যা দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। ডি মইভরের আইনের অধীনে, শর্তসাপেক্ষ সম্ভাবনা যে একটি x বছর বয়সী জীবন কমপক্ষে আরও t বছর বেঁচে থাকে এবং ভবিষ্যতের জীবনকাল এলোমেলো পরিবর্তনশীল টি (x) তাই একটি অভিন্ন বন্টন অনুসরণ করে। ব্যর্থতার শর্তাধীন সম্ভাবনার জন্য অ্যাকচুয়ারিয়াল নোটেশন হল = পিআর [0 ≤ টি (এক্স) ≤ t|T (0) ≤ এক্স]। ডি মইভরের আইনের অধীনে, (x) x + t বয়স পর্যন্ত বেঁচে থাকার সম্ভাবনা হল মৃত্যুর শক্তি (বিপদের হার বা ব্যর্থতার হার) যেখানে f (x) হল সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন। ডি মইভরের আইনের অধীনে, x বছর বয়সী জীবনের জন্য মৃত্যুর শক্তি হল যা বয়সের সাপেক্ষে ক্রমবর্ধমান ব্যর্থতার হারের বৈশিষ্ট্য রাখে। ডি মইভরের সূত্রটি মৃত্যুর একটি সহজ বিশ্লেষণাত্মক সূত্র হিসাবে প্রয়োগ করা হয় এবং রৈখিক অনুমানটি জীবন সারণির মতো বিচ্ছিন্ন বেঁচে থাকার মডেলগুলির জন্য ইন্টারপোলেশনের জন্য একটি মডেল হিসাবেও প্রয়োগ করা হয়। ডি মইভরের আইন তাঁর 1725 সালের অ্যানুইটিস অন লাইভস-এ প্রথম প্রকাশিত হয়, যা একটি অ্যাকচুয়ারিয়াল পাঠ্যপুস্তকের প্রাচীনতম উদাহরণ। এখন এটির নাম দেওয়া সত্ত্বেও, ডি মইভ্রে নিজেই তাঁর আইনকে (তিনি এটিকে একটি "অনুমান" বলে অভিহিত করেছিলেন) মানব মৃত্যুর ধরণটির একটি সত্য বর্ণনা হিসাবে বিবেচনা করেননি। পরিবর্তে, তিনি বার্ষিকী খরচ গণনা করার সময় এটি একটি দরকারী আনুমানিক হিসাবে প্রবর্তন করেছিলেন। তাঁর পাঠ্যে, ডি মইভ্রে উল্লেখ করেছেন যে ". যদিও জীবনের একটি সমতুল্য হ্রাসের ধারণা. [ঠিক] টেবিলের সাথে একমত নয়, তবুও ধারণাটি সফলভাবে বারো বছরের জন্য বার্ষিকী মূল্যের একটি টেবিল তৈরিতে নিযুক্ত করা যেতে পারে।" উপরন্তু, যদিও তাঁর গ্রন্থে একটি বীজগাণিতিক প্রদর্শন ছিল যা সমগ্র প্রত্যাশিত ভবিষ্যতের জীবনকালের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য ছিল, ডি মইভ্রে একটি বীজগাণিতিক প্রদর্শনও সরবরাহ করেছিলেন যা শুধুমাত্র সীমিত সংখ্যক বছরের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য ছিল। এই পরবর্তী ফলাফলটি তাঁর পরবর্তী সংখ্যাসূচক উদাহরণে ব্যবহার করা হয়েছিল। এই উদাহরণগুলি ডি মইভরকে তাঁর অনুমানকে টুকরো টুকরো করে ব্যবহার করতে দেখায়, যেখানে তিনি ধরে নিয়েছিলেন যে মানব মৃত্যুর সামগ্রিক প্যাটার্নটি বেশ কয়েকটি সরলরেখা বিভাগ দ্বারা আনুমানিক হতে পারে (ডানদিকে তাঁর চিত্র দেখুন)। তিনি লিখেছেন যে "যেহেতু জীবনের অবনতিগুলি কোনও যুক্তিসঙ্গত ত্রুটি ছাড়াই, যে কোনও সংক্ষিপ্ত সময়ের জন্য সমান বলে মনে করা যেতে পারে, তাই এটি অনুসরণ করে যে যদি জীবনের পুরো ব্যাপ্তিটি বেশ কয়েকটি সংক্ষিপ্ত বিরতিতে বিভক্ত করা হয়, তবে জীবনের জন্য বার্ষিক বৃত্তির মূল্য সহজেই গণনা করা যেতে পারে. যে কোনও পর্যবেক্ষণের সারির সাথে সামঞ্জস্য রেখে এবং যে কোনও সুদের হারের জন্য"। উভয় উদ্ধৃতির জন্য, ডি মইভরের "টেবিল"-এর উল্লেখ ছিল অ্যাকচুয়ারিয়াল লাইফ টেবিল। আধুনিক লেখকরা মৃত্যু আইনের ইতিহাসে ডি মইভরের ভূমিকা সম্পর্কে তাদের আচরণে সামঞ্জস্যপূর্ণ নন। একদিকে, ডিক লন্ডন ডি মইভরের সূত্রকে মানব বেঁচে থাকার মডেল হিসাবে ব্যবহারের জন্য "প্রস্তাবিত প্রথম অবিচ্ছিন্ন সম্ভাব্যতা বিতরণ" হিসাবে বর্ণনা করেছেন। রবার্ট ব্যাটেনও একই দৃষ্টিভঙ্গি পোষণ করেন এবং যোগ করেন যে, "[ডি মইভরের] অনুমান অবশ্যই অবাস্তব বলে প্রমাণিত হয়েছে।" এর বিপরীতে, স্পিগেলম্যান এবং বেঞ্জামিন দ্বারা বিশ্লেষণাত্মক মানব বেঁচে থাকার মডেলের সমীক্ষায় ডি মইভরের কোনও উল্লেখ নেই (উভয় ক্ষেত্রেই, সমীক্ষাগুলি বেঞ্জামিন গোম্পার্টজের কাজ দিয়ে শুরু হয়)। একচুয়ারিয়াল বিজ্ঞানের ইতিহাস নিয়ে তাঁর প্রবন্ধে স্টিফেন হ্যাবারম্যান ডি মইভরের কথা উল্লেখ করেছেন, তবে "লাইফ ইন্স্যুরেন্স ম্যাথমেটিক্স" বিভাগে উল্লেখ করেছেন, "লাইফ টেবিলস অ্যান্ড সারভাইভাল মডেলস" বিভাগে নয়। সি. ডব্লিউ. জর্ডান তাঁর লাইফ কন্টিঞ্জেন্সিজ-এ ডি মইভ্রে-কে তাঁর "মৃত্যুর কিছু বিখ্যাত আইন" বিভাগে অন্তর্ভুক্ত করেছিলেন, তবে যোগ করেছেন যে "ডি মইভ্রে স্বীকার করেছেন যে এটি একটি খুব মোটামুটি অনুমান ছিল [যার উদ্দেশ্য ছিল] জীবন বার্ষিক মূল্যের গণনা সহজ করার ব্যবহারিক, যা সেই দিনগুলিতে একটি কঠিন কাজ ছিল।" আরেকটি ইঙ্গিত যে ডি মইভ্রে নিজেই তাঁর "অনুমান" কে মানব মৃত্যুর প্রকৃত প্রতিফলন হিসাবে বিবেচনা করেননি তা হল তিনি অ্যানুইটিস অন লাইভস-এ দুটি স্বতন্ত্র অনুমান উপস্থাপন করেছিলেন। যখন তিনি একাধিক জীবনের জন্য প্রদেয় বার্ষিক বৃত্তির মূল্যায়নের প্রশ্নের দিকে মনোনিবেশ করেন, তখন ডি মইভ্রে প্রতিটি বছরে মৃত্যুর সমান সম্ভাবনার অনুমানের পক্ষে সমান সংখ্যক মৃত্যুর (প্রতি বছর) ধারণাটি বাদ দেওয়া সুবিধাজনক বলে মনে করেন (অর্থাৎ, যাকে এখন "মৃত্যুর ধ্রুবক শক্তি" অনুমান বলা হয়)। যদিও ধ্রুবক-শক্তি অনুমানটি আজ মৃত্যুর একটি সাধারণ বিশ্লেষণাত্মক আইন হিসাবেও স্বীকৃত, তবে এটি কখনও "ডি মইভরের দ্বিতীয় সূত্র" বা এই জাতীয় অন্য কোনও নাম হিসাবে পরিচিত হয়নি। নোটস এক্সটার্নাল লিঙ্ক 1725 সংস্করণের অ্যানুইটিস অন লাইভস অ্যাকুয়ারিয়াল সায়েন্স সারভাইভাল অ্যানালাইসিস আব্রাহাম ডি মইভ্রে