Cavalieri's quadrature formula
ক্যালকুলাসে, 17 শতকের ইতালীয় গণিতবিদ বোনাভেন্তুরা ক্যাভালিয়েরির নামে নামকরণ করা ক্যাভালিয়েরির চতুর্ভুজ সূত্রটি তার অবিচ্ছেদ্য এবং সাধারণীকরণ। এটি নির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য রূপ; অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য রূপটি হলঃ নীচে তালিকাভুক্ত অতিরিক্ত রূপ রয়েছে। ইন্টিগ্রালের রৈখিকতা সহ, এই সূত্রটি সমস্ত বহুপদের ইন্টিগ্রাল গণনা করার অনুমতি দেয়। "চতুর্ভুজ" শব্দটি ক্ষেত্রফলের জন্য একটি ঐতিহ্যবাহী শব্দ; ইন্টিগ্রাল জ্যামিতিকভাবে y = xn বক্ররেখার অধীনে এলাকা হিসাবে ব্যাখ্যা করা হয়। ঐতিহ্যগতভাবে গুরুত্বপূর্ণ ঘটনাগুলি হল y = x2, প্যারাবোলার চতুর্ভুজ, যা প্রাচীনকালে পরিচিত, এবং y = 1/x, হাইপারবোলার চতুর্ভুজ, যার মান একটি লগারিদম। ফর্ম ঋণাত্মক n n-এর ঋণাত্মক মানগুলির জন্য (x-এর ঋণাত্মক শক্তি), x = 0-এ একটি এককত্ব রয়েছে, এবং এইভাবে নির্দিষ্ট ইন্টিগ্রালটি 0-এর পরিবর্তে 1-এর উপর ভিত্তি করে তৈরি করা হয়, যা প্রদান করেঃ আরও, n-এর ঋণাত্মক ভগ্নাংশ (অ-পূর্ণসংখ্যা) মানগুলির জন্য, ঘাত xn ভালভাবে সংজ্ঞায়িত নয়, তাই অনির্দিষ্ট ইন্টিগ্রাল শুধুমাত্র ধনাত্মক x-এর জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয়। যাইহোক, n একটি ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যার জন্য ঘাত xn সমস্ত অ-শূন্য x-এর জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয়, এবং অনির্দিষ্ট ইন্টিগ্রাল এবং নির্দিষ্ট ইন্টিগ্রালগুলি সংজ্ঞায়িত করা হয়, এবং একটি প্রতিসাম্য যুক্তির মাধ্যমে গণনা করা যেতে পারে, x কে −x দ্বারা প্রতিস্থাপন করে, এবং ঋণাত্মক নির্দিষ্ট ইন্টিগ্রালকে −1-এ ভিত্তি করে। জটিল সংখ্যার উপর নির্দিষ্ট ইন্টিগ্রাল (n এবং x এর ঋণাত্মক মানের জন্য) কনট্যুর ইন্টিগ্রেশনের মাধ্যমে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে, কিন্তু তারপর পথের পছন্দের উপর নির্ভর করে, বিশেষ করে ঘূর্ণায়মান সংখ্যা-জ্যামিতিক সমস্যা হল যে ফাংশনটি 0 এ এককত্ব সহ একটি আচ্ছাদন স্থানকে সংজ্ঞায়িত করে। e = 2.71828.) ভিত্তির লগারিদম। অনুপযুক্ত ইন্টিগ্রাল প্রায়শই প্রচলিত পছন্দের মাধ্যমে x-এর ঋণাত্মক মানগুলিতে প্রসারিত হয়ঃ অনির্দিষ্ট ইন্টিগ্রালে পরম মানের ব্যবহার লক্ষ্য করুন; এটি ইন্টিগ্রালের জন্য একটি একীভূত রূপ প্রদান করে এবং এর অর্থ হল যে এই বিজোড় ফাংশনের ইন্টিগ্রাল একটি জোড় ফাংশন, যদিও লগারিদম শুধুমাত্র ধনাত্মক ইনপুটগুলির জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয় এবং প্রকৃতপক্ষে, C-এর বিভিন্ন ধ্রুবক মানগুলি 0-এর উভয় পাশে বেছে নেওয়া যেতে পারে, কারণ এগুলি ডেরিভেটিভ পরিবর্তন করে না। আরও সাধারণ রূপটি এইরকমঃ জটিল সংখ্যার উপরে 1/x-এর জন্য কোনও গ্লোবাল অ্যান্টিডেরিভেটিভ নেই, কারণ এই ফাংশনটি একটি অ-তুচ্ছ আচ্ছাদন স্থানকে সংজ্ঞায়িত করে; এই রূপটি বাস্তব সংখ্যার জন্য বিশেষ। লক্ষ্য করুন যে, 1 থেকে শুরু হওয়া নির্দিষ্ট ইন্টিগ্রালটি a-এর ঋণাত্মক মানগুলির জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয় না, যেহেতু এটি একটি সিঙ্গুলারিটির মধ্য দিয়ে যায়, যদিও 1/x একটি বিজোড় ফাংশন, তাই ঋণাত্মক শক্তির জন্য নির্দিষ্ট ইন্টিগ্রালকে −1-এ ভিত্তি করা যেতে পারে। যদি কেউ অনুপযুক্ত ইন্টিগ্রাল ব্যবহার করতে এবং কচি মূল মান গণনা করতে ইচ্ছুক হয়, তবে কেউ তা অর্জন করে যা প্রতিসাম্য দ্বারাও যুক্তি দেওয়া যেতে পারে (যেহেতু লগারিদম বিজোড়), তাই নির্দিষ্ট ইন্টিগ্রালটি 1 বা-1 ভিত্তিক হলে এটি কোনও পার্থক্য করে না। অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্যের মতো, এটি বাস্তব সংখ্যার জন্য বিশেষ, এবং জটিল সংখ্যার উপর প্রসারিত হয় না। বিকল্প রূপগুলি ইন্টিগ্রালকে স্থানান্তরিত সূচকগুলির সাথেও লেখা যেতে পারে, যা ফলাফলকে সহজতর করে এবং এন-মাত্রিক পার্থক্য এবং এন-কিউব-এর সাথে সম্পর্ককে আরও স্পষ্ট করেঃ আরও সাধারণভাবে, এই সূত্রগুলি এইভাবে দেওয়া যেতে পারেঃ আরও সাধারণভাবেঃ প্রমাণ আধুনিক প্রমাণ হল একটি অ্যান্টিডেরিভেটিভ ব্যবহার করাঃ অ-নেতিবাচক পূর্ণসংখ্যার জন্য xn-এর ডেরিভেটিভকে nxn−1 হিসাবে দেখানো হয়। এটি দ্বিপদী সূত্র এবং ডেরিভেটিভের সংজ্ঞা থেকে দেখানো হয়েছে-এবং এইভাবে ক্যালকুলাসের মৌলিক উপপাদ্য দ্বারা এন্টিডেরিভেটিভ হল ইন্টিগ্রাল। এই পদ্ধতিটি ব্যর্থ হয় কারণ প্রার্থী অ্যান্টিডেরিভেটিভ হল, যা শূন্য দ্বারা বিভাজনের কারণে অনির্ধারিত। লগারিদম ফাংশন, যা 1/x এর প্রকৃত অ্যান্টিডেরিভেটিভ, অবশ্যই আলাদাভাবে প্রবর্তন এবং পরীক্ষা করা উচিত। ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার ক্ষেত্রে, এই প্রমাণটি জ্যামিতিক করা যেতে পারেঃ যদি কেউ xn পরিমাণকে n-ঘনক্ষেত্রের আয়তন (n মাত্রায় হাইপারকিউব) হিসাবে বিবেচনা করে, তবে ব্যুৎপত্তিটি হল পার্শ্ব দৈর্ঘ্য পরিবর্তিত হওয়ার সাথে সাথে আয়তনের পরিবর্তন-এটি xn−1, যা n মুখের ক্ষেত্রফল হিসাবে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে, প্রতিটি মাত্রা n−1 (উৎসে একটি শীর্ষ স্থির করে, এগুলি n মুখগুলি শীর্ষকে স্পর্শ করে না), এই মুখগুলির দিকে বেড়ে ঘনক্ষেত্রের আকারের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ-ত্রিমাত্রিক ক্ষেত্রে, এই মুখগুলির প্রত্যেকটিতে 3 অসীমভাবে পাতলা বর্গ যোগ করে। বিপরীতভাবে, ক্যালকুলাসের মৌলিক উপপাদ্যকে জ্যামিতি করে, এই অসীম (এন-1) কিউবগুলিকে একত্রিত করলে একটি (হাইপার)-পিরামিড পাওয়া যায় এবং এই পিরামিডের মধ্যে এন-কিউব গঠন করে, যা সূত্রটি দেয়। উপরন্তু, এই পিরামিডগুলির তির্যক চক্রের চারপাশে এন-কিউব-এর একটি এন-ভাঁজ চক্রাকার প্রতিসাম্য রয়েছে (যার জন্য একটি পিরামিড একটি মৌলিক ক্ষেত্র)। কিউব (3-কিউব)-এর ক্ষেত্রে, এইভাবে একটি পিরামিডের আয়তন মূলত কঠোরভাবে প্রতিষ্ঠিত হয়েছিলঃ কিউবটির 3-গুণ প্রতিসাম্য রয়েছে, মৌলিক ডোমেন একটি পিরামিডের সাথে, কিউবকে 3 পিরামিডে বিভক্ত করে, এই সত্যের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ যে একটি পিরামিডের আয়তন বেস গুণ উচ্চতার এক তৃতীয়াংশ। এটি জ্যামিতিকভাবে প্যারাবোলার চতুর্ভুজ এবং একটি পিরামিডের আয়তনের মধ্যে সমতুল্যতার চিত্র তুলে ধরে, যা বিভিন্ন উপায়ে ধ্রুপদীভাবে গণনা করা হয়েছিল। বিকল্প প্রমাণ বিদ্যমান-উদাহরণস্বরূপ, ফার্ম্যাট ক্ষেত্রটিকে অসম দৈর্ঘ্যের নির্দিষ্ট বিরতিতে বিভক্ত করার একটি বীজগাণিতিক কৌশলের মাধ্যমে গণনা করে; বিকল্পভাবে, অসম বিস্তারের অধীনে y = xn গ্রাফের প্রতিসাম্য (x দিকে d দ্বারা এবং y দিকে dn দ্বারা, y দিকের n মাত্রাগুলিকে বীজগাণিতিক করে), বা n =-1 এর ফলাফল প্রসারিত করে এবং সহগগুলির তুলনা করে সমস্ত পূর্ণসংখ্যার মানগুলির জন্য সূত্র বের করে এটি প্রমাণ করা যেতে পারে। মূল উৎস সহ ইতিহাসের একটি বিস্তারিত আলোচনা দেওয়া হয়েছে; এছাড়াও ক্যালকুলাসের ইতিহাস এবং একীকরণের ইতিহাস দেখুন। প্রাচীন গ্রীক গণিতবিদ আর্কিমিডিস তাঁর দ্য কোয়াড্রেচার অফ দ্য প্যারাবোলা (খ্রিস্টপূর্ব 3য় শতাব্দী) গ্রন্থে ক্লান্তির পদ্ধতির মাধ্যমে প্যারাবোলার বিষয়টি প্রাচীনকালে প্রমাণ করেছিলেন। লক্ষণীয় বিষয় হল যে আর্কিমিডিস একটি প্যারাবোলা-একটি তথাকথিত "প্যারাবলিক সেগমেন্ট"-এর অভ্যন্তরে এলাকা গণনা করেছিলেন, যা y = x2 গ্রাফের অধীনে এলাকার পরিবর্তে, যা কার্টেসিয়ান জ্যামিতির দৃষ্টিকোণ। এগুলি সমতুল্য গণনা, তবে দৃষ্টিভঙ্গির পার্থক্য প্রতিফলিত করে। প্রাচীন গ্রীকরা, অন্যদের মধ্যে, একটি পিরামিড বা শঙ্কু আয়তনও গণনা করেছিল, যা গাণিতিকভাবে সমতুল্য। একাদশ শতাব্দীতে ইসলামী গণিতবিদ ইব্ন আল-হায়থাম (ইউরোপে আলহাজেন নামে পরিচিত) তাঁর বুক অফ অপটিক্স-এ গাণিতিক প্রবর্তনের মাধ্যমে কিউবিক এবং কোয়ার্টিকের (ডিগ্রি তিন এবং চার) ইন্টিগ্রাল গণনা করেছিলেন। উচ্চ পূর্ণসংখ্যার ক্ষেত্রে ক্যাভালিয়েরি তার অবিভাজ্য পদ্ধতি (ক্যাভালিয়েরির নীতি) ব্যবহার করে n থেকে 9 পর্যন্ত গণনা করেছিলেন। তিনি এগুলিকে উচ্চতর-মাত্রিক ভলিউম গণনা হিসাবে উচ্চতর ইন্টিগ্রাল হিসাবে ব্যাখ্যা করেছিলেন, যদিও কেবল অনানুষ্ঠানিকভাবে, কারণ উচ্চ-মাত্রিক বস্তুগুলি এখনও অপরিচিত ছিল। চতুর্ভুজের এই পদ্ধতিটি ইতালীয় গণিতবিদ ইভানজেলিস্টা টোরিসেলি দ্বারা সাইক্লয়েডের মতো অন্যান্য বক্ররেখার মধ্যে প্রসারিত করা হয়েছিল, তারপরে ইংরেজ গণিতবিদ জন ওয়ালিস তাঁর অ্যারিথমেটিকা ইনফিনিটোরাম (1656)-এ এই সূত্রটিকে ভগ্নাংশ এবং নেতিবাচক শক্তিতে সাধারণীকরণ করেছিলেন, যা যুক্তিসঙ্গত শক্তির ধারণা এবং স্বরলিপিকেও প্রমিত করেছিল-যদিও ওয়ালিস ব্যতিক্রমী ক্ষেত্রে এন =-1 (হাইপারবোলার চতুর্ভুজ)-কে ভুলভাবে ব্যাখ্যা করেছিলেন-অবশেষে অবিচ্ছেদ্য ক্যালকুলাসের বিকাশের সাথে কঠোর ভিত্তিতে রাখার আগে। ওয়ালিসের ভগ্নাংশ এবং ঋণাত্মক শক্তির আনুষ্ঠানিককরণের আগে, যা স্পষ্ট ফাংশনগুলিকে অনুমতি দেয়, এই বক্ররেখাটি সমীকরণ এবং (পি এবং কিউ সর্বদা ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা) এর মাধ্যমে অন্তর্নিহিতভাবে পরিচালিত হত এবং যথাক্রমে উচ্চতর প্যারাবোলে এবং উচ্চতর হাইপারবোলা (বা "উচ্চতর প্যারাবোলা" এবং "উচ্চতর হাইপারবোলা") হিসাবে উল্লেখ করা হত। পিয়েরে ডি ফার্মাট একটি বীজগাণিতিক কৌশল দ্বারা এই ক্ষেত্রগুলিও গণনা করেছিলেন (−1 ব্যতিক্রমী ক্ষেত্রে ব্যতীত)-তিনি রেখাকে সমান বিরতিতে বিভক্ত করে উচ্চতর হাইপারবোলের চতুর্ভুজ গণনা করেছিলেন এবং তারপরে উচ্চতর প্যারাবোলার চতুর্ভুজ গণনা করেছিলেন অসম বিরতিতে একটি বিভাগ ব্যবহার করে, সম্ভবত হাইপারবোলের জন্য তিনি যে বিভাগগুলি ব্যবহার করেছিলেন তা বিপরীত করে। যাইহোক, তাঁর বাকি কাজের মতো, ফার্ম্যাটের কৌশলগুলি পদ্ধতিগত চিকিৎসার চেয়ে বেশি অ্যাডহক কৌশল ছিল এবং ক্যালকুলাসের পরবর্তী বিকাশে তিনি উল্লেখযোগ্য ভূমিকা পালন করেছিলেন বলে মনে করা হয় না। লক্ষণীয় বিষয় হল যে, ক্যাভালিয়েরি শুধুমাত্র ক্ষেত্রের সঙ্গে ক্ষেত্রের এবং আয়তনের সঙ্গে আয়তনের তুলনা করেন-এগুলির সর্বদা মাত্রা থাকে, যেখানে কোনও ক্ষেত্রকে ক্ষেত্রের একক (একটি আদর্শ একক সম্পর্কিত) হিসাবে বিবেচনা করার ধারণা, তাই এককহীন, ওয়ালিস থেকে উদ্ভূত বলে মনে হয়; ওয়ালিস ভগ্নাংশ এবং ঋণাত্মক শক্তি অধ্যয়ন করেছিলেন, এবং গণনা করা মানগুলিকে এককহীন সংখ্যা হিসাবে বিবেচনা করার বিকল্প ছিল ভগ্নাংশ এবং ঋণাত্মক মাত্রা ব্যাখ্যা করা। - 1 (স্ট্যান্ডার্ড হাইপারবোলা)-এর ব্যতিক্রমী কেসটি গ্রেগোয়ার ডি সেন্ট-ভিনসেন্ট তাঁর ওপাস জ্যামিতিক চতুর্ভুজ সার্কুলি এট সেকশানাম কনি (1647)-তে প্রথম সফলভাবে চিকিত্সা করেছিলেন, যদিও একটি আনুষ্ঠানিক চিকিত্সা প্রাকৃতিক লগারিদমের বিকাশের জন্য অপেক্ষা করতে হয়েছিল, যা নিকোলাস মার্কেটর তাঁর লগারিদমোটেকনিয়া (1668)-তে সম্পন্ন করেছিলেন। তথ্যসূত্র ইতিহাস (পিবিকে)। - ওয়ালেস প্রাথমিকভাবে প্রুফস নিয়ে আলোচনা করেছেনঃ মালিক, এম. এ. (1984) "এ নোট অন ক্যাভালিয়েরি ইন্টিগ্রেশন", ম্যাথমেটিক্স ম্যাগাজিন 57 (3): 154-6 ভি. ফ্রেডরিক রিকি (2011) ফার্মাট 'স ইন্টিগ্রেশন অফ পাওয়ারস, ইন হিস্টরিকাল নোটস ফর ক্যালকুলাস টিচার্স এক্সটার্নাল লিঙ্ক ক্যাভালিয়েরি ইন্টিগ্রেশন ইনফিনিটিমাল ক্যালকুলাস, এনসাইক্লোপিডিয়া অফ ম্যাথমেটিক্স ইন্টিগ্রালস পলিনোমিয়ালস