Parabolic geometry (differential geometry)
ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতি এবং লাই গ্রুপ অধ্যয়নে, একটি প্যারাবলিক জ্যামিতি হল একটি সমজাতীয় স্থান জি/পি যা একটি প্যারাবলিক উপগোষ্ঠী পি দ্বারা একটি অর্ধ-সহজ লাই গ্রুপ জি-এর ভাগফল। আরও সাধারণভাবে, এই অর্থে একটি প্যারাবলিক জ্যামিতির বাঁকা সাদৃশ্যগুলিকে প্যারাবলিক জ্যামিতিও বলা হয়ঃ যে কোনও জ্যামিতি যা একটি কার্টান সংযোগের মাধ্যমে এই ধরনের স্থানের উপর মডেল করা হয়। উদাহরণ প্রজেক্টিভ স্পেস পিএন একটি উদাহরণ। এটি সমজাতীয় স্থান পি. জি. এল (এন + 1)/এইচ যেখানে এইচ হল একটি রেখার আইসোট্রপি গ্রুপ। এই জ্যামিতিক স্থানে, একটি সরলরেখার ধারণা অর্থপূর্ণ, তবে রেখা বরাবর কোনও পছন্দসই ("অ্যাফিন") পরামিতি নেই। প্রজেক্টিভ স্পেসের বাঁকা এনালগ একটি বহুগুণ যেখানে একটি জিওডেসিকের ধারণাটি অর্থপূর্ণ, তবে যার জন্য সেই জিওডেসিকগুলিতে কোনও পছন্দসই প্যারামিট্রাইজেশন নেই। একটি প্রজেক্টিভ সংযোগ হল প্রাসঙ্গিক কার্টান সংযোগ যা বেস ম্যানিফোল্ডের স্পর্শক স্থানগুলিতে প্রজেক্টিভ স্পেসের অনুলিপিগুলিকে আঠালো করে একটি প্রজেক্টিভ জ্যামিতি বর্ণনা করার একটি উপায় দেয়। বিস্তৃতভাবে বলতে গেলে, প্রজেক্টিভ জ্যামিতি এই ধরনের সংযোগের সাথে বহুগুণের অধ্যয়নকে বোঝায়। আরেকটি উদাহরণ হল কনফরমাল গোলক। টপোলজিক্যালি, এটি এন-গোলক, তবে এটিতে দৈর্ঘ্যের কোনও ধারণা নেই, কেবল বক্ররেখার মধ্যে কোণ। সমতুল্যভাবে, এই জ্যামিতিকে গোলকের উপর রিমানীয় পরিমাপের সমতুল্য শ্রেণী হিসাবে বর্ণনা করা হয় (যাকে কনফরমাল শ্রেণী বলা হয়)। গোলকের কোণগুলি সংরক্ষণকারী রূপান্তরগুলির গোষ্ঠী হল লরেঞ্জ গ্রুপ ও (এন + 1,1), এবং তাই এস. এন = ও (এন + 1,1)/পি। কনফরমাল জ্যামিতি হল, আরও বিস্তৃতভাবে, রিমানিয়ান মেট্রিকের একটি কনফরমাল ইকুইভ্যালেন্স ক্লাসের সাথে ম্যানিফোল্ডের অধ্যয়ন, অর্থাৎ, কনফরমাল গোলকের উপর মডেল করা ম্যানিফোল্ড। এখানে সংশ্লিষ্ট কার্টান সংযোগটি হল কনফরমাল সংযোগ। অন্যান্য উদাহরণগুলির মধ্যে রয়েছেঃ সি. আর জ্যামিতি, একটি বাস্তব হাইপারকোয়াড্রিকের উপর মডেল করা ম্যানিফোল্ডগুলির অধ্যয়ন, যেখানে একটি আইসোট্রপিক লাইনের স্থিতিশীল (সি. আর ম্যানিফোল্ড দেখুন) যোগাযোগের প্রজেক্টিভ জ্যামিতি, ম্যানিফোল্ডগুলির অধ্যয়ন যেখানে প্রথম স্ট্যান্ডার্ড বেসিস ভেক্টর দ্বারা উত্পন্ন লাইনকে স্থিতিশীল করে সিমপ্লেক্টিক গ্রুপের উপগোষ্ঠীটি কোথায় রয়েছে তার উপর মডেল করা হয়েছে রেফারেন্স স্লোভাক, জে। প্যারাবলিক জ্যামিতি, গবেষণা বক্তৃতা নোটস, ড. এস. সি-ডিসারটেশনের অংশ, মাসারিক বিশ্ববিদ্যালয়, 1997,70 পিপি, আইজিএ প্রিপ্রিন্ট 97/11 (অ্যাডিলেড বিশ্ববিদ্যালয়) ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতি সমজাতীয় স্থান