Wilks' theorem
পরিসংখ্যানে উইল্কসের উপপাদ্যটি লগ-লাইকিহুড অনুপাত পরিসংখ্যানের একটি অ্যাসিম্পটোটিক বন্টন প্রদান করে, যা সর্বাধিক-লাইকিহুড অনুমানের জন্য আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান তৈরি করতে বা সম্ভাব্যতা-অনুপাত পরীক্ষা সম্পাদনের জন্য একটি পরীক্ষার পরিসংখ্যান হিসাবে ব্যবহার করা যেতে পারে। পরিসংখ্যানগত পরীক্ষায় (যেমন অনুমান পরীক্ষা) সাধারণত পরীক্ষার পরিসংখ্যানের সম্ভাব্যতা বিতরণ সম্পর্কে জ্ঞানের প্রয়োজন হয়। এটি প্রায়শই সম্ভাব্যতা অনুপাতের জন্য একটি সমস্যা, যেখানে সম্ভাব্যতা বিতরণ নির্ধারণ করা খুব কঠিন হতে পারে। স্যামুয়েল এস. উইল্কসের একটি সুবিধাজনক ফলাফল বলে যে, নমুনার আকার যত এগিয়ে আসছে, পরীক্ষার পরিসংখ্যানগত বন্টন অসিম্পটোটিকভাবে শূন্য অনুমানের অধীনে চি-বর্গ () বন্টনের কাছে পৌঁছেছে। এখানে, সম্ভাব্যতা অনুপাত নির্দেশ করে, এবং বন্টনের ডিগ্রি অফ ফ্রিডম এবং এর মাত্রার পার্থক্যের সমান, যেখানে পূর্ণ পরামিতি স্থান এবং এর সাথে যুক্ত পরামিতি স্থানের উপসেট। এই ফলাফলের অর্থ হল যে বড় নমুনা এবং বিভিন্ন ধরনের অনুমানের জন্য, একজন অনুশীলনকারী তথ্যের সম্ভাব্যতা অনুপাত গণনা করতে পারেন এবং আনুমানিক পরিসংখ্যানগত পরীক্ষা হিসাবে কাঙ্ক্ষিত পরিসংখ্যানগত তাৎপর্যের সাথে সম্পর্কিত মানের সাথে তুলনা করতে পারেন। যখন প্যারামিটারের প্রকৃত মান প্যারামিটার স্পেসের সীমানায় থাকে তখন উপপাদ্যটি আর প্রযোজ্য হয় নাঃ উইল্কসের উপপাদ্যটি ধরে নেয় যে আনুমানিক প্যারামিটারগুলির 'সত্য' কিন্তু অজানা মানগুলি সমর্থিত প্যারামিটার স্পেসের অভ্যন্তরে থাকে। বাস্তবে, কেউ সমস্যাটি লক্ষ্য করবে যদি অনুমানটি সেই সীমানায় থাকে। সেই ক্ষেত্রে, সম্ভাব্যতা পরীক্ষাটি এখনও একটি বোধগম্য পরীক্ষার পরিসংখ্যান এবং এমনকি কিছু অ্যাসিম্পটোটিক অপ্টিমালিটি বৈশিষ্ট্য ধারণ করে, তবে উইল্কস দ্বারা নির্ধারিত ডিগ্রি অফ ফ্রিডমের সংখ্যা সহ চি-বর্গ বিতরণ ব্যবহার করে তাৎপর্য (-মান) নির্ভরযোগ্যভাবে অনুমান করা যায় না। কিছু ক্ষেত্রে, পরিসংখ্যানের অ্যাসিম্পটোটিক নাল-হাইপোথিসিস ডিস্ট্রিবিউশন হল বিভিন্ন সংখ্যক ডিগ্রি অফ ফ্রিডম সহ চি-বর্গ বিতরণের মিশ্রণ। দুটি প্রতিদ্বন্দ্বী মডেলের প্রত্যেকটি ব্যবহার করুন, নাল মডেল এবং বিকল্প মডেল, পৃথকভাবে ডেটা এবং রেকর্ড করা লগ-লাইক্লিহুডের সাথে লাগানো। পরীক্ষার পরিসংখ্যান (প্রায়শই দ্বারা চিহ্নিত) সম্ভাব্যতা অনুপাতের দ্বিগুণ, অর্থাৎ, এটি লগ-লাইকিহুডগুলির মধ্যে দ্বিগুণ পার্থক্যঃ আরও পরামিতি সহ মডেলটি (এখানে বিকল্প) সর্বদা কমপক্ষে ফিট করবে-অর্থাৎ, কম পরামিতি সহ মডেলের তুলনায় একই বা বৃহত্তর লগ-লাইকিহুড থাকবে (এখানে শূন্য)। যদি কম প্যারামিটারযুক্ত মডেলটি সত্য হয়, তবে শুধুমাত্র কাকতালীয়ভাবে এই ধরনের পার্থক্য পর্যবেক্ষণ করার সম্ভাবনা কতটা (-মান) তা নির্ধারণ করে ফিটটি উল্লেখযোগ্যভাবে ভাল এবং এইভাবে পছন্দ করা উচিত কিনা তা নির্ধারণ করা হয়। যেখানে নাল হাইপোথিসিস বিকল্প হাইপোথিসিসের একটি বিশেষ ক্ষেত্রে প্রতিনিধিত্ব করে, সেখানে পরীক্ষার পরিসংখ্যানের সম্ভাব্যতা বন্টন প্রায় একটি কাই-বর্গাকার বন্টন, যা যথাক্রমে বিকল্প এবং নাল মডেলের মুক্ত পরামিতিগুলির সংখ্যার সমান। উদাহরণস্বরূপঃ যদি নাল মডেলের 1টি প্যারামিটার এবং-8024-এর লগ-লাইকিহুড থাকে এবং বিকল্প মডেলের 3টি প্যারামিটার এবং-8012-এর লগ-লাইকিহুড থাকে, তবে এই পার্থক্যের সম্ভাবনা হল ডিগ্রি অফ ফ্রিডমের সাথে কাই-বর্গ মান, এবং এর সমান। একটি কাই-বর্গ বিতরণ অনুসরণ করার জন্য পরিসংখ্যানটির জন্য কিছু অনুমান অবশ্যই পূরণ করতে হবে, তবে সেই শর্তগুলি পূরণ না করা হলে অভিজ্ঞতাগত-মানগুলিও গণনা করা যেতে পারে। উদাহরণ মুদ্রা নিক্ষেপ পিয়ারসনের পরীক্ষার একটি উদাহরণ হল দুটি মুদ্রার তুলনা যা নির্ধারণ করে যে তাদের মাথা উপরে ওঠার একই সম্ভাবনা আছে কিনা। পর্যবেক্ষণগুলি একটি আকস্মিক টেবিলে রাখা যেতে পারে যেখানে মুদ্রার সাথে সম্পর্কিত সারি এবং মাথা বা লেজের সাথে সম্পর্কিত কলাম থাকে। কন্টিনজেন্সি টেবিলের উপাদানগুলি হবে প্রতিটি মুদ্রার মাথা বা লেজ কতবার উঠে এসেছে। এই টেবিলের বিষয়বস্তু আমাদের পর্যবেক্ষণ। এখানে প্যারামিটারগুলির মানগুলির সম্ভাব্য সংমিশ্রণ রয়েছে, এবং, যা 1 এবং 2 মুদ্রার মাথা বা লেজ আসার সম্ভাবনা। যা অনুসরণ করা হয়, এবং। হাইপোথিসিস স্পেস একটি সম্ভাব্যতা বিতরণের উপর স্বাভাবিক সীমাবদ্ধতা দ্বারা সীমাবদ্ধ, এবং। নাল হাইপোথিসিসের স্থান হল সাবস্পেস যেখানে। পূর্ণ পরামিতি স্থানের মাত্রা হল 2 (অনুমানের অধীনে মুক্ত পরামিতি হিসাবে বিবেচিত হতে পারে এবং এর মধ্যে যে কোনও একটি), এবং এর মাত্রা হল 1 (শূন্য অনুমানের অধীনে শুধুমাত্র একটি মুক্ত পরামিতি হিসাবে বিবেচিত হতে পারে)। অনুমানের অধীনে সর্বোত্তম অনুমানের জন্য লেখা, সর্বাধিক সম্ভাব্যতা অনুমান দ্বারা দেওয়া হয় একইভাবে, নাল অনুমানের অধীনে সর্বাধিক সম্ভাব্যতা অনুমান দেওয়া হয় যার দ্বারা মুদ্রার উপর নির্ভর করে না। হাইপোথিসিস এবং নাল হাইপোথিসিসকে সামান্য পুনর্লিখন করা যেতে পারে যাতে তারা পছন্দসই বণ্টনের জন্য সম্ভাব্যতা অনুপাতের লগারিদমের সীমাবদ্ধতাগুলি পূরণ করে। যেহেতু সীমাবদ্ধতা দ্বিমাত্রিককে এক-মাত্রায় হ্রাস করে, তাই পরীক্ষার জন্য অ্যাসিম্পটোটিক বন্টন হবে, এক ডিগ্রি স্বাধীনতার সাথে বন্টন। সাধারণ কন্টিনজেন্সি টেবিলের জন্য, আমরা লগ-লাইকিহুড অনুপাতের পরিসংখ্যান লিখতে পারি যে এলোমেলো বা মিশ্র প্রভাবের মডেলগুলির জন্য অবৈধতা উইল্কসের উপপাদ্য ধরে নেয় যে আনুমানিক পরামিতিগুলির সত্য কিন্তু অজানা মানগুলি পরামিতি স্থানের অভ্যন্তরে রয়েছে। এটি সাধারণত এলোমেলো বা মিশ্র প্রভাবের মডেলগুলিতে লঙ্ঘন করা হয়, উদাহরণস্বরূপ, যখন বৈকল্পিক উপাদানগুলির মধ্যে একটি অন্যটির তুলনায় নগণ্য হয়। এই ধরনের কিছু ক্ষেত্রে, একটি বৈচিত্র্য উপাদান কার্যকরভাবে শূন্য হতে পারে, অন্যদের তুলনায়, অথবা অন্য ক্ষেত্রে মডেলগুলি অনুপযুক্তভাবে নেস্ট করা যেতে পারে। স্পষ্ট করে বলতে গেলেঃ উইল্কসের উপপাদ্যের এই সীমাবদ্ধতাগুলি কোনও নির্দিষ্ট সম্ভাব্যতা অনুপাত পরীক্ষার কোনও শক্তি বৈশিষ্ট্যকে অস্বীকার করে না। একমাত্র সমস্যা হল যে কোনও বিতরণ কখনও কখনও ফলাফলের পরিসংখ্যানগত তাৎপর্য অনুমানের জন্য একটি খারাপ পছন্দ। খারাপ উদাহরণ পিনহেইরো এবং বেটস (2000) দেখিয়েছেন যে এই সম্ভাব্যতা অনুপাত চি-বর্গ পরিসংখ্যানের প্রকৃত বন্টন সরল থেকে যথেষ্ট আলাদা হতে পারে-প্রায়শই নাটকীয়ভাবে তাই। সরল অনুমানগুলি তাৎপর্যপূর্ণ সম্ভাব্যতা (-মান) দিতে পারে যা গড়ে, কিছু ক্ষেত্রে অনেক বেশি এবং অন্যদের ক্ষেত্রে অনেক কম। সাধারণভাবে, এলোমেলো প্রভাব পরীক্ষা করার জন্য, তারা সীমাবদ্ধ সর্বাধিক সম্ভাবনা (আরইএমএল) ব্যবহার করার পরামর্শ দেয়। স্থির-প্রভাব পরীক্ষার জন্য, তারা বলে, "আরইএমএল ফিটগুলির জন্য একটি সম্ভাব্যতা অনুপাত পরীক্ষা সম্ভব নয়", কারণ নির্দিষ্ট প্রভাবের নির্দিষ্টকরণ পরিবর্তন করা মিশ্র প্রভাবগুলির অর্থ পরিবর্তন করে এবং সীমাবদ্ধ মডেলটি তাই বৃহত্তর মডেলের মধ্যে নেস্ট করা হয় না। একটি প্রদর্শন হিসাবে, তারা সিমুলেটেড পরীক্ষায় এক বা দুটি এলোমেলো প্রভাবের বৈচিত্র্যকে শূন্যে সেট করে। সেই নির্দিষ্ট উদাহরণগুলিতে, বিধিনিষেধ সহ সিমুলেটেড-মানগুলি এবং এর 50-50 মিশ্রণের সাথে সবচেয়ে ঘনিষ্ঠভাবে মিলে যায়। (সহ, সম্ভাবনা 1 সহ 0। এর মানে হল যে একটি ভাল অনুমান ছিল) পিনহেইরো এবং বেটস বিভিন্ন স্থির প্রভাবের পরীক্ষাও অনুকরণ করেছিলেন। 4টি স্তরের (ডিগ্রি অফ ফ্রিডম = 3) একটি ফ্যাক্টরের একটি পরীক্ষায়, তারা দেখতে পায় যে একটি 50-50 মিশ্রণ এবং সিমুলেশন দ্বারা প্রাপ্ত প্রকৃত-মানগুলির জন্য একটি ভাল মিল ছিল-এবং সরল ব্যবহার করার ত্রুটি "খুব উদ্বেগজনক নাও হতে পারে।" যাইহোক, 15 টি স্তরের একটি ফ্যাক্টরের আরেকটি পরীক্ষায়, তারা একটি যুক্তিসঙ্গত মিল খুঁজে পেয়েছে-উইল্কসের উপপাদ্যের একটি সরল (অনুপযুক্ত) প্রয়োগ থেকে যে 14 টি ডিগ্রি অফ ফ্রিডম পাবে তার চেয়ে 4 টি বেশি ডিগ্রি অফ ফ্রিডম, এবং সিমুলেটেড-মানটি বেশ কয়েকগুণ সরল ছিল। তারা উপসংহারে পৌঁছেছে যে স্থির প্রভাব পরীক্ষার জন্য, "সিমুলেশন ব্যবহার করা বুদ্ধিমানের কাজ।" আরও দেখুন বায়েস ফ্যাক্টর মডেল নির্বাচন সুপার-এলআর পরীক্ষা বিবরণ অন্যান্য উৎস বাহ্যিক লিঙ্ক পরিসংখ্যানগত অনুপাত পরিসংখ্যানগত পরীক্ষা