Schwarzschild coordinates
লরেঞ্জিয়ান ম্যানিফোল্ডের তত্ত্বে, গোলাকারভাবে প্রতিসম স্থানকাল নেস্টেড গোলাকার গোলকের একটি পরিবারকে স্বীকার করে। এই ধরনের স্থানকালে, একটি বিশেষ গুরুত্বপূর্ণ ধরনের স্থানাঙ্ক চার্ট হল শোয়ার্জসচাইল্ড চার্ট, যা একটি স্থির এবং গোলাকার প্রতিসম স্থানকালের উপর এক ধরনের মেরু গোলাকার স্থানাঙ্ক চার্ট, যা এই নেস্টেড বৃত্তাকার গোলকের সাথে খাপ খাইয়ে নেওয়া হয়। শোয়ার্জসচাইল্ড চার্টের সংজ্ঞায়িত বৈশিষ্ট্য হল যে রেডিয়াল স্থানাঙ্ক পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল এবং প্রতিটি গোলকের গাউসিয়ান বক্রতার পরিপ্রেক্ষিতে একটি প্রাকৃতিক জ্যামিতিক ব্যাখ্যা ধারণ করে। তবে, রেডিয়াল দূরত্ব এবং কোণগুলি সঠিকভাবে উপস্থাপন করা হয় না। এই চার্টগুলির সাধারণ আপেক্ষিকতার মতো মহাকর্ষের মেট্রিক তত্ত্বগুলিতে অনেক প্রয়োগ রয়েছে। এগুলি প্রায়শই স্থির গোলাকার প্রতিসম স্থানগুলিতে ব্যবহৃত হয়। সাধারণ আপেক্ষিকতার ক্ষেত্রে, বারখফের উপপাদ্য বলে যে আইনস্টাইন ক্ষেত্র সমীকরণের প্রতিটি বিচ্ছিন্ন গোলাকার প্রতিসম ভ্যাকুয়াম বা বৈদ্যুতিন ভ্যাকুয়াম সমাধান স্থির, তবে এটি নিখুঁত তরলের ক্ষেত্রে অবশ্যই সত্য নয়। একটি গোলাকার প্রতিসম কৃষ্ণগহ্বরের ঘটনা দিগন্তের ভিতরে শোয়ার্জসচাইল্ড ভ্যাকুয়াম সলিউশনের বাহ্যিক অঞ্চলের সম্প্রসারণ দিগন্তের ভিতরে স্থির নয় এবং (স্পেসেলাইক) নেস্টেড গোলকের পরিবার দিগন্তের ভিতরে প্রসারিত করা যায় না, তাই এই সমাধানের জন্য শোয়ার্জসচাইল্ড চার্ট অবশ্যই দিগন্তে ভেঙে যায়। সংজ্ঞা একটি মেট্রিক টেনসর নির্দিষ্ট করা যে কোনও লরেঞ্জিয়ান ম্যানিফোল্ডের সংজ্ঞার অংশ। এই টেনসরকে সংজ্ঞায়িত করার সবচেয়ে সহজ উপায় হল এটিকে সামঞ্জস্যপূর্ণ স্থানীয় স্থানাঙ্ক চার্টে সংজ্ঞায়িত করা এবং যাচাই করা যে একই টেনসর চার্টের ডোমেনের ওভারল্যাপে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে। এই নিবন্ধে, আমরা শুধুমাত্র একটি চার্টের ডোমেনে মেট্রিক টেনসর সংজ্ঞায়িত করার চেষ্টা করব। একটি শোয়ার্জসচাইল্ড চার্টে (একটি স্থির গোলাকার প্রতিসম স্থানকালে), রেখা উপাদানটি এই রূপ নেয় যেখানে আদর্শ গোলাকার স্থানাঙ্ক এবং একক 2-গোলকের মানক মেট্রিক। এই অভিব্যক্তিটির আরও বিস্তারিত ব্যুৎপত্তির জন্য স্বার্জসচাইল্ড সমাধান বের করা দেখুন। প্রসঙ্গের উপর নির্ভর করে, a এবং b কে রেডিয়াল স্থানাঙ্কের অনির্ধারিত ফাংশন হিসাবে বিবেচনা করা উপযুক্ত হতে পারে (উদাহরণস্বরূপ, আইনস্টাইন ক্ষেত্র সমীকরণের একটি সঠিক স্থির গোলাকার প্রতিসম সমাধান বের করার ক্ষেত্রে)। বিকল্পভাবে, আমরা একটি নির্দিষ্ট লরেঞ্জিয়ান স্পেসটাইমে একটি শোয়ার্জসচাইল্ড স্থানাঙ্ক চার্ট পেতে নির্দিষ্ট ফাংশনগুলি (সম্ভবত কিছু পরামিতিগুলির উপর নির্ভর করে) প্লাগ ইন করতে পারি। যদি এটি একটি চাপ-শক্তি টেনসরকে এমনভাবে গ্রহণ করে যে ফলস্বরূপ মডেলটি আইনস্টাইন ক্ষেত্র সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে (ধরুন, উপযুক্ত শক্তির শর্ত এবং যুক্তিসঙ্গত নিখুঁত তরলের প্রত্যাশিত অন্যান্য বৈশিষ্ট্যগুলি মেনে চলা একটি স্থির গোলাকার প্রতিসম নিখুঁত তরলের জন্য), তবে, উপযুক্ত টেনসর ক্ষেত্রগুলি পদার্থ এবং ভরবেগের ঘনত্বের মতো শারীরিক পরিমাণের প্রতিনিধিত্ব করে, আমাদের সম্ভবত বৃহত্তর স্থানকালের একটি অংশ রয়েছে; এমন একটি অংশ যা আইনস্টাইন ক্ষেত্র সমীকরণের স্থানীয় সমাধান হিসাবে বিবেচিত হতে পারে। শ্বার্জসচাইল্ড চার্টের সাপেক্ষে, কিলিং ভেক্টর ক্ষেত্রের লাই বীজগণিত টাইমলাইক ইর্রোটেশনাল কিলিং ভেক্টর ক্ষেত্র এবং তিনটি স্পেসলাইক কিলিং ভেক্টর ক্ষেত্র দ্বারা তৈরি হয়। আমাদের স্থানকাল যে একটি ঘূর্ণনশীল টাইমলাইক কিলিং ভেক্টর ক্ষেত্রকে স্বীকার করে তা আসলে একটি স্থির স্থানকালের সংজ্ঞায়িত বৈশিষ্ট্য। একটি তাৎক্ষণিক পরিণতি হল যে ধ্রুবক সময় স্থানাঙ্ক পৃষ্ঠগুলি (আইসোমেট্রিক) স্থানিক হাইপারস্লিসের একটি পরিবার গঠন করে। (এটি উদাহরণস্বরূপ কের ভ্যাকুয়ামের বাইরের অঞ্চলের জন্য বোয়ার-লিন্ডকুইস্ট চার্টে সত্য নয়, যেখানে টাইমলাইক স্থানাঙ্ক ভেক্টর হাইপারসার্ফেস অর্থোগোনাল নয়।) লক্ষ্য করুন, স্থানাঙ্ক রূপান্তরের অধীনে শেষ দুটি ক্ষেত্র হল এক-অপরের ঘূর্ণন। ভেক্টর ক্ষেত্র হত্যা সম্পর্কিত নিবন্ধটি তিনটি স্থান-সদৃশ ক্ষেত্রের একটি বিস্তারিত উৎপত্তি এবং আলোচনা প্রদান করে। স্থিতিশীল নেস্টেড গোলকের একটি পরিবার শোয়ার্জসচাইল্ড চার্টে, পৃষ্ঠগুলি গোলাকার গোলক হিসাবে প্রদর্শিত হয় (যখন আমরা মেরু গোলাকার পদ্ধতিতে লোকিকে অঙ্কন করি), এবং এর রূপ থেকে আমরা দেখতে পাই যে শোয়ার্জসচাইল্ড মেট্রিক এই পৃষ্ঠগুলির যে কোনও একটিতে সীমাবদ্ধ ধনাত্মক নির্দিষ্ট এবং দ্বারা প্রদত্ত হয় যেখানে একক ব্যাসার্ধ 2-গোলকের স্ট্যান্ডার্ড রিম্যানিয়ান মেট্রিক। অর্থাৎ, এই নেস্টেড স্থানাঙ্ক গোলকগুলি প্রকৃতপক্ষে পৃষ্ঠতলের আয়তন গাউসিয়ান বক্রতা সহ জ্যামিতিক গোলকগুলির প্রতিনিধিত্ব করে। উপরন্তু, কৌণিক স্থানাঙ্কগুলি ঠিক সাধারণ মেরু গোলাকার কৌণিক স্থানাঙ্কঃ কখনও কখনও অক্ষাংশ বলা হয় এবং সাধারণত দ্রাঘিমাংশ বলা হয়। এটি মূলত শোয়ার্জসচাইল্ড চার্টের সংজ্ঞায়িত জ্যামিতিক বৈশিষ্ট্য। এটি যোগ করতে সাহায্য করতে পারে যে উপরে দেওয়া চারটি কিলিং ক্ষেত্র, যা আমাদের লরেঞ্জিয়ান ম্যানিফোল্ডের বিমূর্ত ভেক্টর ক্ষেত্র হিসাবে বিবেচিত হয়, একটি স্থির গোলাকার প্রতিসম স্থানকালের উভয় প্রতিসাম্যের সত্যিকারের অভিব্যক্তি দেয়, যেখানে নির্দিষ্ট ত্রিকোণমিতিক রূপ যা তারা আমাদের চার্টে গ্রহণ করে তা শোয়ার্জসচাইল্ড চার্ট শব্দটির অর্থের সত্যিকারের অভিব্যক্তি। বিশেষত, তিনটি স্থানিক কিলিং ভেক্টর ক্ষেত্রের E3-এর উপর একটি গোলাকার প্রতিসম চার্টে তিনটি অ-অনুবাদমূলক কিলিং ভেক্টর ক্ষেত্রের মতো ঠিক একই রূপ রয়েছে; অর্থাৎ, তারা উৎপত্তি বা গোলাকার প্রতিসাম্য সম্পর্কে নির্বিচারে ইউক্লিডীয় ঘূর্ণনের ধারণা প্রদর্শন করে। যাইহোক, ভালভাবে লক্ষ্য করুনঃ সাধারণভাবে, শোয়ার্জসচাইল্ড রেডিয়াল স্থানাঙ্ক সঠিকভাবে রেডিয়াল দূরত্বের প্রতিনিধিত্ব করে না, অর্থাৎ। স্পেসেলিক জিওডেসিক কংগ্রুয়েন্স বরাবর নেওয়া দূরত্ব যা এর অবিচ্ছেদ্য বক্ররেখা হিসাবে উদ্ভূত হয়। বরং, আমাদের দুটি নেস্টেড গোলকের মধ্যে 'স্থানিক দূরত্ব' সম্পর্কে একটি উপযুক্ত ধারণা খুঁজে বের করার জন্য, আমাদের মূল থেকে কিছু স্থানাঙ্ক রশ্মি বরাবর সংহত করা উচিতঃ একইভাবে, আমরা প্রতিটি গোলককে আদর্শ পর্যবেক্ষকদের একটি গোলাকার মেঘের স্থান হিসাবে বিবেচনা করতে পারি, যাদের অবশ্যই (সাধারণভাবে) রকেট ইঞ্জিন ব্যবহার করে তাদের অবস্থান বজায় রাখার জন্য রেডিয়ালভাবে বাইরের দিকে ত্বরান্বিত করতে হবে। এগুলি স্থির পর্যবেক্ষক, এবং এগুলির রূপের বিশ্বরেখা রয়েছে, যা অবশ্যই শোয়ার্জসচাইল্ড চার্টে উল্লম্ব স্থানাঙ্ক রেখার মতো রয়েছে। এই পর্যবেক্ষকদের মধ্যে একজনের বিশ্বরেখার দুটি ঘটনার মধ্যে সঠিক সময়ের ব্যবধান গণনা করার জন্য, আমাদের অবশ্যই উপযুক্ত স্থানাঙ্ক রেখা বরাবর সংহত করতে হবেঃ এককত্বের সমন্বয় করুন উপরের স্থানাঙ্ক পরিসরের দিকে ফিরে তাকালে, লক্ষ্য করুন যে স্থানাঙ্ক এককত্ব আমাদের স্থির নেস্টেড গোলকের উত্তর মেরুর অবস্থান চিহ্নিত করে, যখন দক্ষিণ মেরুর অবস্থান চিহ্নিত করে। ঠিক যেমন E3-এর উপর একটি সাধারণ মেরু গোলাকার চার্টের জন্য, টপোলজিক্যাল কারণে আমরা পুরো গোলকের উপর অবিচ্ছিন্ন স্থানাঙ্ক পেতে পারি না; আমাদের অবশ্যই কিছু দ্রাঘিমাংশ (একটি বড় বৃত্ত) বেছে নিতে হবে যা প্রধান মেরিডিয়ান হিসাবে কাজ করে এবং এটিকে চার্ট থেকে কেটে দেয়। ফলস্বরূপ, আমরা সেই অক্ষ থেকে প্রসারিত অক্ষ এবং অর্ধ সমতল সহ প্রতিটি স্থানিক হাইপারস্লাইস থেকে একটি বদ্ধ অর্ধ সমতল কেটে ফেলি। যখন আমরা উপরে বলেছিলাম যে এটি একটি কিলিং ভেক্টর ক্ষেত্র, তখন আমরা পাণ্ডিত্যপূর্ণ কিন্তু গুরুত্বপূর্ণ যোগ্যতা বাদ দিয়েছিলাম যা আমরা একটি চক্রাকার স্থানাঙ্ক হিসাবে ভাবছি, এবং প্রকৃতপক্ষে আমাদের তিনটি স্থানের মতো কিলিং ভেক্টরকে বৃত্তাকার গোলকের উপর কাজ করার কথা ভাবছি। সম্ভবত, অবশ্যই, বা, এই ক্ষেত্রে আমাদের অবশ্যই আমাদের চার্টের ডোমেন থেকে কোনও বলের বাইরের বা কোনও বলের ভিতরের অঞ্চলটি এক্সাইজ করতে হবে। এটি ঘটে যখনই এফ বা জি শোয়ার্জসচাইল্ড রেডিয়াল স্থানাঙ্কের কোনও মূল্যে বিস্ফোরিত হয়। স্থির হাইপারস্লিক্সগুলি দৃশ্যমান করা শোয়ার্জসচাইল্ড রেডিয়াল স্থানাঙ্কের তাৎপর্য আরও ভালভাবে বোঝার জন্য, এটি একটি সমতল ইউক্লিডিয়ান স্পেসে স্থানিক হাইপারস্লিক্সগুলির মধ্যে একটি (তারা অবশ্যই একে অপরের সাথে সমস্ত আইসোমেট্রিক) এম্বেড করতে সহায়তা করতে পারে। যাদের চার-মাত্রিক ইউক্লিডীয় স্থান কল্পনা করা কঠিন বলে মনে হয় তারা এটা দেখে খুশি হবে যে আমরা একটি স্থানাঙ্ক দমন করতে গোলাকার প্রতিসাম্যের সুবিধা নিতে পারি। সেটিং-এর মাধ্যমে এটি সুবিধামত অর্জন করা যেতে পারে। এখন আমাদের কাছে একটি স্থানীয় রেডিয়াল স্থানাঙ্ক চার্ট সহ একটি দ্বি-মাত্রিক রিম্যানিয়ান ম্যানিফোল্ড রয়েছে, E3-তে এই পৃষ্ঠটি (বা একটি বলয়াকার বলয়ে) এম্বেড করার জন্য, আমরা E3-তে একটি ফ্রেম ক্ষেত্র গ্রহণ করি যা একটি প্যারামিটারাইজড পৃষ্ঠের উপর সংজ্ঞায়িত করা হয়, যা এম্বেডিং স্পেস থেকে পছন্দসই মেট্রিক উত্তরাধিকার সূত্রে পাবে, আমাদের রেডিয়াল চার্টে অভিযোজিত হয়, একটি অনির্ধারিত ফাংশন বৈশিষ্ট্যযুক্ত। বোঝার জন্য, প্যারামিটারাইজড পৃষ্ঠ বিবেচনা করুন এই পৃষ্ঠের স্থানাঙ্ক ভেক্টর ক্ষেত্রগুলি হল উত্তরাধিকারসূত্রে প্রাপ্ত মেট্রিক যখন আমরা E3-এর ইউক্লিডীয় মেট্রিককে আমাদের প্যারামিটারাইজড পৃষ্ঠের মধ্যে সীমাবদ্ধ রাখি। এটি এমন পৃষ্ঠগুলির জন্য কাজ করে যেখানে দুটি রেডিয়ালভাবে পৃথক বিন্দুর মধ্যে প্রকৃত দূরত্ব তাদের রেডিয়াল স্থানাঙ্কের মধ্যে পার্থক্যের চেয়ে বড়। যদি প্রকৃত দূরত্ব কম হয়, তাহলে এর পরিবর্তে আমাদের রিমানিয়ান ম্যানিফোল্ডকে E1,2-এ একটি স্পেসেলাইক পৃষ্ঠ হিসাবে এম্বেড করা উচিত। উদাহরণস্বরূপ, আমাদের থাকতে পারে। কখনও কখনও আমাদের বলয়াকার বলয়ের দুই বা ততোধিক স্থানীয় সংযোজন প্রয়োজন হতে পারে (ধনাত্মক বা ঋণাত্মক গাউসিয়ান বক্রতার অঞ্চলের জন্য)। সাধারণভাবে, আমাদের কোনও একটি সমতল স্থানে (অদৃশ্য হয়ে যাওয়া রিম্যান টেনসর সহ) একটি বিশ্বব্যাপী এম্বেডিং পাওয়ার আশা করা উচিত নয়। মূল কথাটি হল যে রেডিয়াল স্থানাঙ্কের জ্যামিতিক ব্যাখ্যার পরিপ্রেক্ষিতে একটি শোয়ার্জসচাইল্ড চার্টের সংজ্ঞায়িত বৈশিষ্ট্যটি আমাদের (নীতিগতভাবে) স্থানিক হাইপারস্লিক্সের এই ধরনের গোলাকার প্রতিসম এম্বেডিং সম্পাদন করতে হবে। একটি মেট্রিক আনস্যাটজ উপরে প্রদত্ত রেখা উপাদান, যার f, g কে শোয়ার্জসচাইল্ড রেডিয়াল স্থানাঙ্ক r-এর অনির্ধারিত ফাংশন হিসাবে বিবেচনা করা হয়, প্রায়শই সাধারণ আপেক্ষিকতায় (বা মহাকর্ষের অন্যান্য মেট্রিক তত্ত্ব) স্থির গোলাকার প্রতিসম সমাধান পেতে মেট্রিক আনস্যাটজ হিসাবে ব্যবহৃত হয়। একটি দৃষ্টান্ত হিসাবে, আমরা কার্টানের বাহ্যিক ক্যালকুলাস পদ্ধতি ব্যবহার করে কীভাবে সংযোগ এবং বক্রতা গণনা করতে হয় তা নির্দেশ করব। প্রথমত, আমরা লাইন উপাদানটিকে একটি কোফ্রেম ক্ষেত্র বলে মনে করি, যেখানে আমরা এখনও অনির্ধারিত মসৃণ ফাংশনগুলিকে বিবেচনা করি। (আমাদের স্থানকাল এই নির্দিষ্ট ত্রিকোণমিতি আকৃতির একটি কাঠামোকে স্বীকার করে যা একটি স্থির, গোলাকার প্রতিসম লরেঞ্জিয়ান ম্যানিফোল্ডে একটি শোয়ার্জসচাইল্ড চার্টের ধারণার আরেকটি সমতুল্য অভিব্যক্তি)। দ্বিতীয়ত, আমরা এই কোবাসিস এক-রূপের বাহ্যিক ব্যুৎপত্তিগুলি গণনা করিঃ কার্টানের প্রথম কাঠামোগত সমীকরণের (বা বরং এর সংহতকরণের অবস্থা) সাথে তুলনা করে, আমরা সংযোগ এক-রূপের জন্য অভিব্যক্তিগুলি অনুমান করি। (টুপিগুলি আমাদের মনে করিয়ে দেওয়ার জন্য কেবল একটি স্বরলিপি যন্ত্র যে সূচকগুলি আমাদের কোবাসিস এক-রূপকে বোঝায়, সমন্বিত এক-রূপকে নয়।) যদি আমরা স্মরণ করি যে সূচকগুলির কোন জোড়া প্রতিসম (স্থান-সময়) এবং কোন জোড়া প্রতিসম (স্থান-স্থান), তাহলে আমরা নিশ্চিত করতে পারি যে ছয়টি সংযোগ এক-রূপ (এই উদাহরণে, ছয়টির মধ্যে মাত্র চারটি অ-বিলুপ্ত)। আমরা এই এক-ফর্মগুলিকে এক-ফর্মের ম্যাট্রিক্সে সংগ্রহ করতে পারি, বা আরও ভাল একটি এস. ও (1,3)-মূল্যবান এক-ফর্ম। লক্ষ্য করুন যে এক-ফর্মের ফলস্বরূপ ম্যাট্রিক্স একটি এস. ও (4)-মূল্যবান এক-ফর্মের মতো বেশ প্রতিসম হবে না; এর পরিবর্তে আমাদের লরেঞ্জিয়ান সংলগ্ন থেকে উদ্ভূত ট্রান্সপোজের ধারণাটি ব্যবহার করতে হবে। তৃতীয়ত, আমরা সংযোগের এক-ফর্মের বাহ্যিক ডেরিভেটিভ গণনা করি এবং কার্টেনের দ্বিতীয় কাঠামোগত সমীকরণ ব্যবহার করে বক্রতা দুটি ফর্ম গণনা করি। চতুর্থত, সূত্রটি ব্যবহার করে যেখানে বাখ বারগুলি নির্দেশ করে যে আমাদের কেবল ছয়টি ক্রমবর্ধমান জোড়া সূচকের (i, j) যোগফল করা উচিত, আমরা আমাদের কোফ্রেম এবং এর দ্বৈত ফ্রেম ক্ষেত্রের সাপেক্ষে রিমান টেনসরের রৈখিকভাবে স্বাধীন উপাদানগুলি পড়তে পারি। আমরা পাইঃ পঞ্চমত, আমরা সূচকগুলি হ্রাস করতে পারি এবং উপাদানগুলিকে একটি ম্যাট্রিক্সে সংগঠিত করতে পারি যেখানে ই, এল প্রতিসম (সাধারণভাবে ছয়টি রৈখিকভাবে স্বাধীন উপাদান) এবং বি ট্রেসলেস (সাধারণভাবে আটটি রৈখিকভাবে স্বাধীন উপাদান), যা আমরা দুটি রূপের (প্রতিটি ইভেন্টে) ছয়-মাত্রিক ভেক্টর স্পেসে একটি রৈখিক অপারেটরকে প্রতিনিধিত্ব করে বলে মনে করি। এর থেকে আমরা টাইমলাইক একক ভেক্টর ক্ষেত্রের সাপেক্ষে বেল পচনকে পড়তে পারি। ইলেক্ট্রোগ্রাভিটিক টেনসর হল ম্যাগনেটোগ্রাভিটিক টেনসর একইভাবে অদৃশ্য হয়ে যায়, এবং টপোগ্রাভিটিক টেনসর, যেখান থেকে (যে বিষয়টি ইর্রোটেশনাল) আমরা স্থানিক হাইপারস্লিসের ত্রিমাত্রিক রিমান টেনসর নির্ধারণ করতে পারি, তা হল এটি যে কোনও লরেঞ্জিয়ান ম্যানিফোল্ডের জন্য বৈধ, তবে আমরা লক্ষ্য করি যে সাধারণ আপেক্ষিকতায়, ইলেক্ট্রোগ্রাভিটিক টেনসর ছোট বস্তুর উপর জোয়ারের চাপ নিয়ন্ত্রণ করে, যা আমাদের ফ্রেমের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ পর্যবেক্ষকদের দ্বারা পরিমাপ করা হয় এবং ম্যাগনেটোগ্রাভিটিক টেনসর ঘূর্ণায়মান বস্তুর উপর যে কোনও ঘূর্ণন-ঘূর্ণন শক্তি নিয়ন্ত্রণ করে, যা আমাদের ফ্রেমের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ পর্যবেক্ষকদের দ্বারা পরিমাপ করা হয়। আমাদের কোফ্রেম ক্ষেত্রের দ্বৈত ফ্রেম ক্ষেত্র হল যে ফ্যাক্টরটি এখানে তিনটি অর্থোনর্মাল স্পেসিলাইক ভেক্টর ক্ষেত্রের মধ্যে প্রথমটিকে গুণ করে তার অর্থ হল যে শোয়ার্জসচাইল্ড চার্টগুলি স্থানিকভাবে আইসোট্রপিক নয় (স্থানীয়ভাবে সমতল স্পেসটাইমের তুচ্ছ ক্ষেত্রে ব্যতীত); বরং, হালকা শঙ্কুগুলি প্রদর্শিত হয় (রেডিয়ালভাবে সমতল) বা (রেডিয়ালভাবে প্রসারিত)। এটি অবশ্যই বলার আরেকটি উপায় যে শোয়ার্জসচাইল্ড চার্টগুলি প্রতিটি নেস্টেড বৃত্তাকার গোলকের মধ্যে দূরত্বকে সঠিকভাবে উপস্থাপন করে, তবে রেডিয়াল স্থানাঙ্ক বিশ্বস্তভাবে রেডিয়াল সঠিক দূরত্বকে উপস্থাপন করে না। কিছু সঠিক সমাধান যা শোয়ার্জসচাইল্ড চার্ট গ্রহণ করে এইভাবে প্রাপ্ত করা যেতে পারে তার কিছু উদাহরণের মধ্যে রয়েছেঃ রেইসনার-নর্ডস্ট্রম বৈদ্যুতিন ভ্যাকুয়ামের জন্য শোয়ার্জসচাইল্ড ভ্যাকুয়ামের বাইরের অঞ্চল, ডিটো, যা একটি বিশেষ কেস হিসাবে পূর্ববর্তী উদাহরণটি অন্তর্ভুক্ত করে, ডিটো, রেইসনার-নর্ডস্ট্রম-ডি সিটার ইলেক্ট্রোল্যাম্বডাভাকুমের জন্য, যা একটি বিশেষ কেস হিসাবে পূর্ববর্তী উদাহরণটি অন্তর্ভুক্ত করে, জেনিস-নিউম্যান-উইনাকোর সমাধান (যা একটি স্থির গোলাকার প্রতিসম বস্তুর বাইরের মডেল যা একটি ভরহীন ন্যূনতম সংযুক্ত স্কেলার ক্ষেত্র দিয়ে সম্পন্ন), একটি স্থির অভ্যন্তরীণ অঞ্চলের সাথে মিলে প্রাপ্ত নাক্ষত্রিক মডেল যা একটি স্থির গোলাকার প্রতিসম। সাধারণীকরণ অ-স্থির কিন্তু গোলাকার প্রতিসম স্থানকাল বিবেচনা করা স্বাভাবিক, একটি সাধারণীকৃত শোয়ার্জসচাইল্ড চার্টের সাথে যেখানে মেট্রিকটি অন্য দিকে সাধারণীকরণের রূপ নেয়, আমরা আমাদের বৃত্তাকার দুই-গোলকের উপর অন্যান্য স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা ব্যবহার করতে পারি, উদাহরণস্বরূপ একটি স্টেরিওগ্রাফিক শোয়ার্জসচাইল্ড চার্ট যা কখনও কখনও কার্যকরঃ স্ট্যাটিক স্পেসটাইম, গোলাকার প্রতিসম স্থানকাল, স্থির গোলাকার প্রতিসম নিখুঁত তরল, আইসোট্রপিক স্থানাঙ্ক, স্থির গোলাকার প্রতিসম স্থানকালের জন্য আরেকটি জনপ্রিয় চার্ট, গাউসিয়ান মেরু স্থানাঙ্ক, স্থির গোলাকার প্রতিসম স্থানকালের জন্য একটি কম প্রচলিত বিকল্প চার্ট, গুলস্ট্র্যান্ড-পেইনলেভ স্থানাঙ্ক, একটি সাধারণ আপেক্ষিকতায় ফ্রেম ক্ষেত্র, ফ্রেম ক্ষেত্র এবং কোফ্রেম ক্ষেত্র সম্পর্কে আরও তথ্যের জন্য, রিমান টেনসরের বেল পচন, সঙ্গতি (সাধারণ আপেক্ষিকতা), উপরের মতো সঙ্গতি সম্পর্কে আরও তথ্যের জন্য, ক্রুস্কাল-সেকেরেস স্থানাঙ্ক, সর্বাধিক প্রসারিত শোয়ার্জসচাইল্ড সমাধানের সমগ্র স্থানকাল বহুগুণকে আচ্ছাদন করে একটি চার্ট এবং শারীরিক এককত্বের বাইরে সর্বত্র ভাল আচরণ করে, এডিংটন-ফিঙ্কেলস্টাইন স্থানাঙ্ক, স্থির গোলাকার প্রতিসম স্থানকালের জন্য একটি বিকল্প চার্ট, লেমাইট্রে স্থানাঙ্ক, একটি প্রাচীনতম চার্ট যা ইভেন্ট দিগন্তে নিয়মিত। নোটস সাধারণ আপেক্ষিকতায় লরেঞ্জিয়ান ম্যানিফোল্ডের সমন্বিত চার্ট