Jacobi polynomials
গণিতে জ্যাকোবি বহুপদ (মাঝে মাঝে হাইপারজিওমেট্রিক বহুপদ বলা হয়) হল ধ্রুপদী অর্থোগোনাল বহুপদের একটি শ্রেণী। ব্যবধানের ওজনের সাপেক্ষে এগুলি অর্থোগোনাল। গেগেনবাওয়ার বহুপদী, এবং এইভাবে লেজেন্ড্রে, জারনিকে এবং চেবিশেভ বহুপদী, জ্যাকোবি বহুপদীর বিশেষ উদাহরণ। জ্যাকোবি বহুপদী কার্ল গুস্তাভ জ্যাকব জ্যাকোবি দ্বারা প্রবর্তিত হয়েছিল। সংজ্ঞা হাইপারজিওমেট্রিক ফাংশনের মাধ্যমে জ্যাকোবি বহুপদগুলিকে হাইপারজিওমেট্রিক ফাংশনের মাধ্যমে নিম্নরূপ সংজ্ঞায়িত করা হয়ঃ যেখানে পোচহ্যামারের প্রতীক (ক্রমবর্ধমান ফ্যাক্টোরিয়ালের জন্য)। এই ক্ষেত্রে, হাইপারজিওমেট্রিক ফাংশনের জন্য সিরিজটি সীমাবদ্ধ, তাই নিম্নলিখিত সমতুল্য অভিব্যক্তিটি পাওয়া যায়ঃ রদ্রিগেসের সূত্র একটি সমতুল্য সংজ্ঞা রদ্রিগেসের সূত্র দ্বারা দেওয়া হয়েছেঃ যদি, তবে এটি লেজেন্ড্রে পলিনোমিয়ালগুলিতে হ্রাস পায়ঃ বাস্তব যুক্তির জন্য বিকল্প অভিব্যক্তি বাস্তব জন্য জ্যাকোবি পলিনোমিয়ালকে বিকল্পভাবে এবং পূর্ণসংখ্যার জন্য যেখানে গামা ফাংশন হিসাবে লেখা যেতে পারে। বিশেষ ক্ষেত্রে যে চারটি পরিমাণ,,, অ-ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা, জ্যাকোবি পলিনোমিয়ালকে এইভাবে লেখা যেতে পারে যে যোগফল সমস্ত পূর্ণসংখ্যার মানগুলিতে প্রসারিত হয় যার জন্য ফ্যাক্টোরিয়ালগুলির আর্গুমেন্টগুলি অ-ঋণাত্মক। বিশেষ ক্ষেত্রে মৌলিক বৈশিষ্ট্য অর্থোগোনালিটি জ্যাকোবি পলিনোমিয়ালগুলি অর্থোগোনালিটি শর্ত পূরণ করে যেমন সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে, ওজনের ক্ষেত্রে তাদের একক মান নেই। উপরের সমীকরণের ডান দিকের বর্গমূল দ্বারা ভাগ করে এটি সংশোধন করা যেতে পারে, কখন। যদিও এটি একটি অর্থোনর্মাল ভিত্তি প্রদান করে না, তবুও কখনও কখনও এর সরলতার কারণে একটি বিকল্প স্বাভাবিকীকরণ পছন্দ করা হয়ঃ প্রতিসাম্য সম্পর্ক বহুপদগুলির প্রতিসাম্য সম্পর্ক রয়েছে তাই অন্যান্য টার্মিনাল মান হল ডেরিভেটিভস স্পষ্ট অভিব্যক্তিটির th ডেরিভেটিভ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণে নিয়ে যায় জ্যাকোবি বহুপদ দ্বিতীয় ক্রমের রৈখিক সমজাতীয় ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একটি সমাধান পুনরাবৃত্তি সম্পর্ক স্থির জ্যাকোবি বহুপদগুলির জন্য পুনরাবৃত্তি সম্পর্ক হলঃ জন্য। যেহেতু জ্যাকোবি বহুপদগুলিকে হাইপারজিওমেট্রিক ফাংশনের পরিপ্রেক্ষিতে বর্ণনা করা যেতে পারে, তাই হাইপারজিওমেট্রিক ফাংশনের পুনরাবৃত্তি জ্যাকোবি বহুপদের সমতুল্য পুনরাবৃত্তি দেয়। বিশেষত, গাউসের সংলগ্ন সম্পর্কগুলি আইডেন্টিটি জেনারেটিং ফাংশনের সাথে মিলে যায় জ্যাকোবি পলিনোমিয়ালগুলির জেনারেটিং ফাংশনটি কোথায় এবং বর্গমূলের শাখাটি বেছে নেওয়া হয় তার দ্বারা দেওয়া হয়। জ্যাকোবি পলিনোমিয়ালের উপসর্গহীন কারণ এর অভ্যন্তরে, বড়ের জন্য অ্যাসিম্পটোটিক্স ডারবাক্স সূত্র দ্বারা দেওয়া হয় যেখানে এবং "" শব্দটি প্রত্যেকের জন্য ব্যবধানের উপর অভিন্ন। বিন্দুর কাছাকাছি জ্যাকোবি পলিনোমিয়ালগুলির অ্যাসিম্পটোটিক্স মেহলার-হাইন সূত্র দ্বারা দেওয়া হয় যেখানে একটি সীমাবদ্ধ ডোমেনের জন্য সীমা অভিন্ন। বাইরের অ্যাসিম্পটোটিক্স কম স্পষ্ট। অ্যাপ্লিকেশন উইগনার ডি-ম্যাট্রিক্স অভিব্যক্তি () জ্যাকোবি বহুপদীর পরিপ্রেক্ষিতে উইগনার ডি-ম্যাট্রিক্সের (জন্য) অভিব্যক্তিটিকে অনুমতি দেয়ঃ আরও দেখুন অ্যাস্কি-গ্যাস্পার অসমতা বিগ কিউ-জ্যাকোবি বহুপদ অবিচ্ছিন্ন কিউ-জ্যাকোবি বহুপদ ছোট কিউ-জ্যাকোবি বহুপদ ছদ্ম জ্যাকোবি বহুপদ জ্যাকোবি প্রক্রিয়া গেগেনবাউয়ার বহুপদ রোমানোভস্কি বহুপদ নোট আরও পড়া বাহ্যিক লিঙ্ক বিশেষ হাইপারজিওমেট্রিক ফাংশন অর্থোগোনাল বহুপদ