Cyclotomic field
সংখ্যা তত্ত্বে, একটি সাইক্লোটোমিক ক্ষেত্র হল একটি সংখ্যা ক্ষেত্র যা যুক্তিসঙ্গত সংখ্যার ক্ষেত্রের সাথে এককের একটি জটিল মূলকে সংযুক্ত করে প্রাপ্ত হয়। আধুনিক বীজগণিত এবং সংখ্যা তত্ত্বের বিকাশে সাইক্লোটোমিক ক্ষেত্রগুলি ফার্ম্যাটের শেষ উপপাদ্যের সাথে তাদের সম্পর্কের কারণে গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করেছিল। এই ক্ষেত্রগুলির গাণিতিক গভীর অনুসন্ধানের প্রক্রিয়ায় (মৌলিকের জন্য)-এবং আরও সুনির্দিষ্টভাবে বলতে গেলে, তাদের পূর্ণসংখ্যার বলয়গুলিতে অনন্য উৎপাদককরণের ব্যর্থতার কারণে-আর্নস্ট কামার প্রথম একটি আদর্শ সংখ্যার ধারণা প্রবর্তন করেছিলেন এবং তাঁর বিখ্যাত সঙ্গতি প্রমাণ করেছিলেন। জন্য সংজ্ঞা, যাক; এটি ঐক্যের একটি আদিম মূল। তারপর তম সাইক্লোটোমিক ক্ষেত্রটি দ্বারা উত্পন্ন সম্প্রসারণ। বৈশিষ্ট্য th সাইক্লোটোমিক পলিনোমিয়াল অপরিবর্তনীয়, তাই এটি ওভারের ন্যূনতম পলিনোমিয়াল। ইন-এর কনজুগেটগুলি তাই ঐক্যের অন্যান্য আদিম মূলঃ সহ। এর ডিগ্রি তাই, ইউলারের টোটিয়েন্ট ফাংশন কোথায়। এর মূলগুলি হল এর শক্তি, তাই এর (বা এর) বিভাজন ক্ষেত্রও। অতএব এটি একটি গ্যালোইস এক্সটেনশন। গ্যালোয়া গোষ্ঠীটি স্বাভাবিকভাবেই গুণিতক গোষ্ঠীর সমরূপ, যা বিপরীতমুখী অবশিষ্টাংশ মডুলো নিয়ে গঠিত, যা এবং সহ অবশিষ্টাংশ। সমরূপতা প্রতিটি পাঠায়, যেখানে এমন একটি পূর্ণসংখ্যা রয়েছে। পূর্ণসংখ্যার বলয় হল। কারণ, এক্সটেনশনের ডিস্ক্রিমিন্যান্ট হল বিশেষত, প্রতিটি মৌলিকের উপরে আনরামাইফাইড যা বিভাজিত হয় না। যদি একটি মৌলিক শক্তির ঘাত হয়, তবে সম্পূর্ণরূপে উপরে শ্রেণীবদ্ধ করা হয়। যদি একটি মৌলিক সংখ্যা বিভাজিত না হয়, তবে ফ্রোবেনিয়াস উপাদানটি ইন-এর অবশিষ্টাংশের সাথে মিলে যায়। ঐক্যের মূলগুলির গোষ্ঠীর ক্রম আছে বা, জোড় বা বিজোড় কিনা তার উপর নির্ভর করে। একক গোষ্ঠী হল ডিরিচলেট একক উপপাদ্য দ্বারা, যে কোনও জন্য, র্যাঙ্কের একটি সীমাবদ্ধভাবে উত্পন্ন আবেলিয়ান গোষ্ঠী। বিশেষ করে, শুধুমাত্র}-এর জন্য সীমাবদ্ধ। এর টর্জন উপগোষ্ঠী হল ঐক্যের শিকড়ের গোষ্ঠী, যা পূর্ববর্তী আইটেমটিতে বর্ণনা করা হয়েছিল। সাইক্লোটোমিক ইউনিটগুলি একটি স্পষ্ট সীমাবদ্ধ-সূচক উপগোষ্ঠী গঠন করে। ক্রোনেকার-ওয়েবার উপপাদ্য বলে যে ইন-এর প্রতিটি সসীম আবেলিয়ান সম্প্রসারণ কিছু ক্ষেত্রে রয়েছে। সমতুল্যভাবে, সমস্ত সাইক্লোটোমিক ক্ষেত্রের মিলন হল এর সর্বাধিক আবেলিয়ান এক্সটেনশন। নিয়মিত বহুভুজের সঙ্গে গাউসের সম্পর্ক সাইক্লোটোমিক ক্ষেত্রের তত্ত্বের প্রথম দিকে প্রবেশ করেছিল, একটি কম্পাস এবং সোজা প্রান্তের সাথে একটি নিয়মিত-গন নির্মাণের সমস্যার সাথে সম্পর্কিত। তাঁর বিস্ময়কর ফলাফল যা তাঁর পূর্বসূরীদের থেকে রক্ষা পেয়েছিল তা হল একটি নিয়মিত 17-গন্ তৈরি করা যেতে পারে। আরও সাধারণভাবে, যে কোনও পূর্ণসংখ্যার জন্য, নিম্নলিখিতগুলি সমতুল্যঃ একটি নিয়মিত-গন গঠনযোগ্য; ক্ষেত্রগুলির একটি ক্রম রয়েছে, যা দিয়ে শুরু হয় এবং শেষ হয়, যেমন প্রতিটি পূর্ববর্তী ক্ষেত্রের একটি দ্বিঘাত সম্প্রসারণ; 2 এর একটি শক্তি; কিছু পূর্ণসংখ্যা এবং ফার্মাট মৌলিক সংখ্যার জন্য। (একটি ফার্মাট মৌলিক সংখ্যা হল একটি বিজোড় মৌলিক সংখ্যা যার ঘাত 2। পরিচিত ফার্মাট মৌলিক সংখ্যাগুলি হল 3,5,17,257,65537, এবং সম্ভবত অন্য কোনও মৌলিক সংখ্যা নেই।) ছোট উদাহরণ এবংঃ সমীকরণগুলি এবং এটি দেখায়, যা এর একটি দ্বিঘাত সম্প্রসারণ। তদনুসারে, একটি নিয়মিত 3-গন এবং একটি নিয়মিত 6-গন গঠনযোগ্য। : একইভাবে, সুতরাং, এবং একটি নিয়মিত 4-গন গঠনযোগ্য। : ক্ষেত্রটি একটি দ্বিঘাত সম্প্রসারণ নয়, তবে এটি দ্বিঘাত সম্প্রসারণের একটি দ্বিঘাত সম্প্রসারণ, তাই একটি নিয়মিত 5-গন গঠনযোগ্য। ফার্মার শেষ উপপাদ্যের সাথে সম্পর্ক ফার্মার শেষ উপপাদ্য প্রমাণ করার একটি স্বাভাবিক পদ্ধতি হল দ্বিপদীকে ফ্যাক্টর করা, যেখানে একটি বিজোড় মৌলিক সংখ্যা, যা ফার্মার সমীকরণের একপাশে নিম্নরূপ প্রদর্শিত হয়ঃ এখানে এবং সাধারণ পূর্ণসংখ্যা, যেখানে কারণগুলি সাইক্লোটোমিক ক্ষেত্রে বীজগাণিতিক পূর্ণসংখ্যা। যদি সাইক্লোটোমিক পূর্ণসংখ্যায় অনন্য ফ্যাক্টরাইজেশন থাকে, তবে এটি ফার্ম্যাটের সমীকরণের অ-তুচ্ছ সমাধানের অস্তিত্বকে বাতিল করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। ফার্মাটের শেষ উপপাদ্যকে মোকাবেলা করার বেশ কয়েকটি প্রচেষ্টা এই লাইন ধরে এগিয়ে যায় এবং ফার্মারের প্রমাণ এবং অয়লারের প্রমাণ উভয়ই এই পদগুলিতে পুনর্বিন্যাস করা যেতে পারে। যার সম্পূর্ণ তালিকায় রয়েছে 1 থেকে 22,24,25,26,27,28,30,32,33,34,35,36,38,40,42,44,45,48,50,54,60,66,70,84,90। কুমার অনন্য ফ্যাক্টরাইজেশনের ব্যর্থতা মোকাবেলা করার একটি উপায় খুঁজে পেয়েছেন। তিনি সাইক্লোটোমিক পূর্ণসংখ্যায় মৌলিক সংখ্যার জন্য একটি প্রতিস্থাপন প্রবর্তন করেছিলেন, শ্রেণী সংখ্যার মাধ্যমে অনন্য ফ্যাক্টরাইজেশনের ব্যর্থতা পরিমাপ করেছিলেন এবং প্রমাণ করেছিলেন যে যদি কোনও মৌলিক সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য না হয় (যেমন নিয়মিত মৌলিক সংখ্যা বলা হয়) তবে ফারমাটের উপপাদ্যটি সূচকের জন্য সত্য। উপরন্তু, তিনি কোন মৌলিক সংখ্যা নিয়মিত তা নির্ধারণের জন্য একটি মানদণ্ড দিয়েছিলেন এবং অনিয়মিত মৌলিক সংখ্যা 37,59 এবং 67 ব্যতীত 100-এর কম সমস্ত মৌলিক সূচকের জন্য ফার্মাটের উপপাদ্য প্রতিষ্ঠা করেছিলেন। বিংশ শতাব্দীতে ইওয়াসাওয়া তত্ত্ব এবং কুবোটা ও লিওপোল্ট তাদের পি-অ্যাডিক জিটা ফাংশনের তত্ত্বে সাইক্লোটোমিক ক্ষেত্রের শ্রেণী সংখ্যার সমন্বয়ের উপর কুমারের কাজকে সাধারণীকরণ করেছিলেন। সাইক্লোটোমিক ক্ষেত্রের শ্রেণী সংখ্যার তালিকা, অথবা-অংশের জন্য (মৌলিক n-এর জন্য) আরও দেখুন ক্রোনেকার-ওয়েবার উপপাদ্য সাইক্লোটোমিক বহুপদী রেফারেন্স সূত্র ব্রায়ান বার্চ, জে. ডব্লিউ. এস-এ "সাইক্লোটোমিক ক্ষেত্র এবং কামার এক্সটেনশন"। ক্যাসেলস এবং এ. ফ্রোলিচ (এডি), বীজগাণিতিক সংখ্যা তত্ত্ব, একাডেমিক প্রেস, 1973। Chap.III, pp. 45-93। ড্যানিয়েল এ. মার্কাস, নম্বর ফিল্ডস, প্রথম সংস্করণ, স্প্রিংগার-ভার্লাগ, 1977 সার্জ ল্যাং, সাইক্লোটোমিক ফিল্ডস I এবং II, সম্মিলিত দ্বিতীয় সংস্করণ। কার্ল রুবিনের একটি অ্যাপেণ্ডিক্স সহ। গণিতে স্নাতক পাঠ্য, 121। স্প্রিঙ্গার-ভার্লাগ, নিউ ইয়র্ক, 1990। আরও পড়ুন বাস্তব সাইক্লোটোমিক ক্ষেত্রের পূর্ণসংখ্যার বলয় সম্পর্কে। কোজি ইয়ামাগাতা এবং মাসাকাজু ইয়ামাগিশিঃ প্রোক, জাপান একাডেমি, 92। Ser a (2016) বীজগাণিতিক সংখ্যা তত্ত্ব