Adequality
সমতুল্যতা হল একটি কৌশল যা পিয়েরে ডি ফার্মাট তাঁর গ্রন্থ মেথডাস অ্যাড ডিসকুইরেন্ডাম ম্যাক্সিমাম এট মিনিমাম (ফ্রান্সে 1636 খ্রিষ্টাব্দে প্রচারিত একটি ল্যাটিন গ্রন্থ)-এ বিকশিত করেছিলেন যাতে ফাংশনের ম্যাক্সিমা এবং মিনিমা, বক্ররেখার স্পর্শক, ক্ষেত্রফল, ভরের কেন্দ্র, ন্যূনতম ক্রিয়া এবং ক্যালকুলাসের অন্যান্য সমস্যা গণনা করা যায়। আন্দ্রে ওয়েইলের মতে, ফার্মাট "প্রযুক্তিগত শব্দ অ্যাডেকুয়ালিতাস, অ্যাডেকুয়ার ইত্যাদি প্রবর্তন করেছেন, যা তিনি বলেছেন যে তিনি ডায়োফান্টাসের কাছ থেকে ধার করেছেন। ডায়োফান্টাস ভি. 11 যেমন দেখায়, এর অর্থ একটি আনুমানিক সমতা, এবং প্রকৃতপক্ষে ফার্মাট তাঁর পরবর্তী একটি লেখায় এই শব্দটি এভাবেই ব্যাখ্যা করেছেন। (ওয়েল 1973)। ডায়োফান্টাস আনুমানিক সমতা বোঝাতে παρισοτης (প্যারিসোটেস) শব্দটি তৈরি করেছিলেন। ক্লড গ্যাস্পার্ড ব্যাচেট ডি মেজিরিয়াক ডায়োফান্টাসের গ্রীক শব্দটিকে ল্যাটিন ভাষায় অ্যাডেকুয়ালিতাস হিসাবে অনুবাদ করেছেন। ম্যাক্সিমা এবং মিনিমার উপর ফরমাটের ল্যাটিন গ্রন্থগুলির পল ট্যানারির ফরাসি অনুবাদে অ্যাডেকশন এবং অ্যাডেগালার শব্দগুলি ব্যবহার করা হয়েছে। ফার্মাটের পদ্ধতি ফার্মাট প্রথমে ফাংশনের সর্বাধিকতা খুঁজে বের করার জন্য পর্যাপ্ততা ব্যবহার করে এবং তারপরে বক্ররেখার সাথে স্পর্শক রেখা খুঁজে বের করার জন্য এটি অভিযোজিত করে। একটি শব্দের সর্বাধিক সমান (বা আরও সুনির্দিষ্টভাবে পর্যাপ্ত) খুঁজে বের করার জন্য এবং বীজগণিত করার পরে তিনি এর একটি গুণক বাতিল করতে পারেন এবং তারপরে এর সাথে জড়িত যে কোনও অবশিষ্ট পদ বাতিল করতে পারেন। ফার্ম্যাটের নিজস্ব উদাহরণ দিয়ে পদ্ধতিটি ব্যাখ্যা করার জন্য, সর্বাধিক খুঁজে বের করার সমস্যাটি বিবেচনা করুন (ফার্ম্যাটের কথায়, এটি একটি বিন্দুতে দৈর্ঘ্যের একটি রেখা ভাগ করা, যাতে দুটি ফলাফলের অংশের গুণফল সর্বাধিক হয়)। সঙ্গে পর্যাপ্ত ফার্মাট। অর্থাৎ (পল ট্যানারি দ্বারা প্রবর্তিত পর্যাপ্ততা বোঝাতে স্বরলিপি ব্যবহার করে): শর্তাবলী বাতিল করা এবং ফার্মাট দ্বারা ভাগ করার ফলে ফার্মাটযুক্ত শর্তাবলী অপসারণ কাঙ্ক্ষিত ফলাফলে পৌঁছেছে যে সর্বাধিক কখন ঘটেছিল। ফার্মাট তাঁর নীতিটি ব্যবহার করে স্নেলের প্রতিসরণের সূত্রগুলির একটি গাণিতিক ব্যুৎপত্তি সরাসরি এই নীতি থেকে দিয়েছিলেন যে আলো দ্রুততম পথ গ্রহণ করে। ডেসকার্টেসের সমালোচনা ফার্মাটের পদ্ধতি তার সমসাময়িকদের, বিশেষ করে ডেসকার্টেস দ্বারা অত্যন্ত সমালোচিত হয়েছিল। ভিক্টর কাটজ মনে করেন যে এর কারণ হল ডেসকার্টেস স্বাধীনভাবে একই নতুন গণিত আবিষ্কার করেছিলেন, যা তাঁর স্বাভাবিক পদ্ধতি হিসাবে পরিচিত এবং ডেসকার্টেস তাঁর আবিষ্কারের জন্য বেশ গর্বিত ছিলেন। কাটজ আরও উল্লেখ করেছেন যে ফার্মাটের পদ্ধতিগুলি ক্যালকুলাসের ভবিষ্যতের বিকাশের কাছাকাছি থাকলেও ডেসকার্টেসের পদ্ধতিগুলি বিকাশের উপর আরও তাৎক্ষণিক প্রভাব ফেলেছিল। পণ্ডিত বিতর্ক নিউটন এবং লাইবনিজ উভয়ই ফারমাটের কাজকে অসীম ক্যালকুলাসের পূর্ববর্তী হিসাবে উল্লেখ করেছেন। তা সত্ত্বেও, ফার্মাটের পর্যাপ্ততার সঠিক অর্থ সম্পর্কে আধুনিক পণ্ডিতদের মধ্যে মতবিরোধ রয়েছে। বেশ কয়েকটি পাণ্ডিত্যপূর্ণ গবেষণায় ফার্মাটের পর্যাপ্ততা বিশ্লেষণ করা হয়েছিল। 1896 সালে পল ট্যানারি ম্যাক্সিমা এবং মিনিমার উপর ফার্মাটের ল্যাটিন গ্রন্থগুলির একটি ফরাসি অনুবাদ প্রকাশ করেন। III, পৃ. 121-156)। ট্যানারি ফার্মাটের শব্দটিকে "অ্যাডেগালার" হিসাবে অনুবাদ করেন এবং ফার্মাটের "অ্যাডেকশন" গ্রহণ করেন। ট্যানারি গাণিতিক সূত্রে পর্যাপ্ততার প্রতীকও প্রবর্তন করেছিলেন। হেনরিচ উইলেইটনার (1929) লিখেছেনঃ ফার্মাট এ-কে এ + ই দিয়ে প্রতিস্থাপন করে। তারপর তিনি নতুন অভিব্যক্তিটি মোটামুটি পুরানোটির সমান (অ্যাঞ্জেনাহার্ট গ্লিইচ) সেট করেন, উভয় পক্ষের সমান পদগুলি বাতিল করেন এবং ই-এর সর্বোচ্চ সম্ভাব্য শক্তি দ্বারা ভাগ করেন। তারপরে তিনি ই ধারণকারী সমস্ত পদগুলি বাতিল করেন এবং একে অপরের সমান থাকা পদগুলি সেট করেন। সেখান থেকে [প্রয়োজনীয়] একটি ফলাফল পাওয়া যায়। ই যতটা সম্ভব ছোট হওয়া উচিত তা কোথাও বলা হয়নি এবং "অ্যাডেকুয়ালিতাস" শব্দটি দ্বারা সর্বোত্তমভাবে প্রকাশ করা হয়েছে। (উইলেইটনার প্রতীকটি ব্যবহার করেন।) ম্যাক্স মিলার (1934) লিখেছেনঃ এরপরে একজনকে উভয় পদই রাখা উচিত, যা ডায়োফান্টাস যেমন বলেছেন, সর্বাধিক এবং সর্বনিম্ন, প্রায় সমান (নাহেরুংসুইজ গ্লিইচ) প্রকাশ করে। (মিলার প্রতীকটি ব্যবহার করেন।) জিন ইটার্ড (1948) লিখেছেনঃ কেউ জানেন যে "অ্যাডেগালার" অভিব্যক্তিটি ডায়োফান্টাস থেকে ফার্মাট গ্রহণ করেছেন, জাইল্যান্ডার এবং ব্যাচেট দ্বারা অনুবাদ করেছেন। এটি একটি আনুমানিক সমতা (আনুমানিক সমতা) সম্পর্কে। (ইটার্ড প্রতীকটি ব্যবহার করে।) জোসেফ এহরেনফ্রিড হফম্যান (1963) লিখেছেনঃ ফার্মাট একটি পরিমাণ এইচ বেছে নেয়, যা যথেষ্ট ছোট বলে মনে করা হয় এবং এফ (এক্স + এইচ) কে মোটামুটিভাবে এফ (এক্স) এর সমান রাখে। তার প্রযুক্তিগত শব্দ হল অ্যাডেকুয়ার। (হফম্যান প্রতীকটি ব্যবহার করেন।) পিয়ার স্ট্রমহোল্ম (1968) লিখেছেনঃ ফারমাটের পদ্ধতির ভিত্তি ছিল দুটি অভিব্যক্তির তুলনা, যা তাদের একই রূপ থাকা সত্ত্বেও ঠিক সমান ছিল না। প্রক্রিয়াটির এই অংশটিকে তিনি "কম্পারেয়ার পার অ্যাডেকুয়ালিটেটেম" বা "কম্পারেয়ার পার অ্যাডেকুয়ালিটেটেম" বলে অভিহিত করেছিলেন এবং এটি বোঝায় যে "সমীকরণ"-এর দুই পক্ষের মধ্যে অন্যথায় কঠোর পরিচয়টি একটি ছোট পরিমাণে পরিবর্তনশীল দ্বারা ধ্বংস হয়েছিলঃ আমি বিশ্বাস করি, এই বৈচিত্র্যের ক্ষুদ্রতার উপর জোর দিয়ে তাঁর ডায়োফান্টোসের π ἀρισον ব্যবহারের আসল তাৎপর্য ছিল এটি। 'অ্যাডেকুয়ালিতাস'-এর সাধারণ অনুবাদটি "আনুমানিক সমতা" বলে মনে হয়, তবে আমি ফার্মাটের চিন্তাভাবনা উপস্থাপন করার জন্য "ছদ্ম-সমতা" পছন্দ করি এই point.He আরও উল্লেখ করে যে "এম1 (পদ্ধতি 1)-এ কখনও ই-এর তারতম্যকে শূন্যের সমান রাখার কোনও প্রশ্ন ছিল না। ই ধারণকারী পদগুলিকে দমন করার প্রক্রিয়াটি প্রকাশ করতে ব্যবহৃত ফার্মাট শব্দগুলি ছিল 'এলিডো', 'ডেলিও' এবং 'এক্সপুঙ্গো' এবং ফরাসি ভাষায় 'আই' এফাস 'এবং' আই 'ওটে'। আমরা খুব কমই বিশ্বাস করতে পারি যে একজন বুদ্ধিমান ব্যক্তি তার অর্থ প্রকাশ করতে এবং শব্দের সন্ধান করতে চাইলে, এই সহজ সত্যটি প্রদানের জন্য ক্রমাগত এমন কষ্টদায়ক উপায়ে আঘাত করবে যে শব্দগুলি অদৃশ্য হয়ে গেছে কারণ ই শূন্য ছিল। 51) ক্লজ জেনসেন (1969) লিখেছেনঃ উপরন্তু, অ্যাডগালিটের ধারণাটি প্রয়োগ করার ক্ষেত্রে-যা ফারমাটের স্পর্শক গঠনের সাধারণ পদ্ধতির ভিত্তি গঠন করে এবং যার দ্বারা দুটি মাত্রার তুলনা বোঝানো হয় যেন তারা সমান ছিল, যদিও তারা আসলে নয় ("তামকুয়াম এসেন্ট ইকুয়ালিয়া, লাইসেট রিভেরা ইকুয়ালিয়া নন সিন্ট")-আমি আজকাল আরও সাধারণ প্রতীকটি ব্যবহার করব। ল্যাটিন উদ্ধৃতিটি ট্যানারির 1891 সংস্করণের ফার্মাট, ভলিউম 1, পৃষ্ঠা 140 থেকে এসেছে। মাইকেল শন মাহোনি (1971) লিখেছেনঃ ফার্মাটের ম্যাক্সিমা এবং মিনিমার পদ্ধতি, যা যে কোনও বহুপদী পি (এক্স)-এর ক্ষেত্রে স্পষ্টভাবে প্রযোজ্য, মূলত বিশুদ্ধভাবে সীমাবদ্ধ বীজগাণিতিক ভিত্তির উপর নির্ভরশীল। এটি ভিয়েতের সমীকরণ তত্ত্ব দ্বারা, সেই মূল এবং বহুপদের একটি সহগের মধ্যে একটি সম্পর্ক নির্ধারণ করার জন্য, বিপরীতভাবে, দুটি সমান মূলের বৈষম্যকে ধরে নিয়েছিল, একটি সম্পর্ক যা সম্পূর্ণ সাধারণ ছিল। এই সম্পর্কটি তখন একটি চরম-মূল্য সমাধানের দিকে পরিচালিত করে যখন ফার্মাট তার বিপরীত বাস্তব ধারণাটি সরিয়ে দেয় এবং মূলগুলিকে সমান করে দেয়। ডায়োফান্টাসের কাছ থেকে একটি শব্দ ধার করে, ফার্মাট এই বিপরীত বাস্তব সমতাটিকে 'পর্যাপ্ততা' বলে অভিহিত করেছেন। (মাহোনি প্রতীকটি ব্যবহার করেন।) পাদটীকা 46-এর শেষে, 164 পৃষ্ঠায়, মাহোনি উল্লেখ করেছেন যে পর্যাপ্ততার একটি অর্থ হল সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রে আনুমানিক সমতা বা সমতা। চার্লস হেনরি এডওয়ার্ডস, জুনিয়র (1979) লিখেছেনঃ উদাহরণস্বরূপ, দৈর্ঘ্যের একটি অংশকে কীভাবে দুটি ভাগে বিভক্ত করা যায় এবং যার গুণফল সর্বাধিক, তা নির্ধারণ করার জন্য, অর্থাৎ সর্বাধিক আয়তনের পরিসীমা সহ আয়তক্ষেত্রটি খুঁজে বের করার জন্য, তিনি [ফার্মাট] নিম্নরূপ অগ্রসর হন। প্রথমে তিনি অজানা x-এর পরিবর্তে (তিনি x, e-এর পরিবর্তে A, E ব্যবহার করেছিলেন) প্রতিস্থাপন করেছিলেন এবং তারপরে মূলটির সাথে ফলাফলের অভিব্যক্তিটির তুলনা করার জন্য নিম্নলিখিত "ছদ্ম-সমতা" লিখেছিলেনঃ পদগুলি বাতিল করার পরে, তিনি e দ্বারা ভাগ করে শেষ পর্যন্ত তিনি e ধারণকারী অবশিষ্ট শব্দটি বাতিল করে দিয়েছিলেন, ছদ্ম-সমতাটিকে সত্যিকারের সমতায় রূপান্তরিত করেছিলেন যা x-এর মান দেয় যা সর্বাধিক করে তোলে। দুর্ভাগ্যবশত, ফার্মাট কখনই এই পদ্ধতির যৌক্তিক ভিত্তি যথেষ্ট স্পষ্টতা বা সম্পূর্ণতার সাথে ব্যাখ্যা করেননি যাতে ঐতিহাসিক পণ্ডিতদের মধ্যে তাঁর উদ্দেশ্য বা উদ্দেশ্য সম্পর্কে মতবিরোধ রোধ করা যায়। কার্স্টি অ্যান্ডারসন (1980) লিখেছেনঃ সর্বাধিক বা ন্যূনতম দুটি অভিব্যক্তি "পর্যাপ্ত" করা হয়েছে, যার অর্থ যতটা সম্ভব প্রায় সমান। (অ্যান্ডারসন প্রতীকটি ব্যবহার করেন।) হারবার্ট ব্রেগার (1994) লিখেছেনঃ আমি আমার অনুমানটি সামনে রাখতে চাইঃ ফার্মাট "সমান রাখা" অর্থে "অ্যাডেকুয়ার" শব্দটি ব্যবহার করেছেন। গাণিতিক প্রেক্ষাপটে, "সমতুল্য" এবং "সমতুল্য"-এর মধ্যে একমাত্র পার্থক্য মনে হয় যে পরবর্তীটি সমতা অর্জনের উপর আরও জোর দেয়। (পৃষ্ঠা 197এফ।) জন স্টিলওয়েল (স্টিলওয়েল 2006 পৃষ্ঠা 91) লিখেছেনঃ ফার্মাট 1630-এর দশকে পর্যাপ্ততার ধারণাটি প্রবর্তন করেছিলেন কিন্তু তিনি তাঁর সময়ের চেয়ে এগিয়ে ছিলেন। তাঁর উত্তরসূরীরা সাধারণ সমীকরণের সুবিধা ত্যাগ করতে রাজি ছিলেন না, পর্যাপ্ততা সঠিকভাবে ব্যবহার করার পরিবর্তে সমতা শিথিলভাবে ব্যবহার করতে পছন্দ করতেন। পর্যাপ্ততার ধারণাটি কেবল বিংশ শতাব্দীতে তথাকথিত অ-মানক বিশ্লেষণে পুনরুজ্জীবিত হয়েছিল। এনরিকো গিউস্টি (2009) মারিন মার্সেনকে লেখা ফার্মাট-এর চিঠির উদ্ধৃতি দিয়েছেন যেখানে ফার্মাট লিখেছেনঃ কেট কম্পারাইজন পার অ্যাডগালিট প্রোডাক্ট ডিউক্স টার্মেস ইনগাক্স কুই এনফিন প্রোডিউসেন্ট ল 'ইগালিট (সেলন মা মেথোড) কুই নস ডোনে লা সলিউশন দে লা প্রশ্ন "(" পর্যাপ্ততার দ্বারা এই তুলনা দুটি অসম শব্দ তৈরি করে যা শেষ পর্যন্ত সমতা (আমার পদ্ধতি অনুসরণ করে) তৈরি করে যা আমাদের সমস্যার সমাধান দেয় ")। গিউস্টি একটি পাদটীকায় উল্লেখ করেছেন যে এই চিঠিটি ব্রেগারের নজরে পড়েনি বলে মনে হয়। ক্লাউস বার্নার (2011) দাবি করেন যে, ফার্মাট দুটি ভিন্ন ল্যাটিন শব্দ (একুয়াবিটুর এবং অ্যাডেকুয়াবিটুর) ব্যবহার করে বর্তমানের স্বাভাবিক সমান চিহ্নকে প্রতিস্থাপন করে, একুয়াবিটুর যখন সমীকরণটি দুটি ধ্রুবকের মধ্যে একটি বৈধ পরিচয়ের সাথে সম্পর্কিত, একটি সর্বজনীনভাবে বৈধ (প্রমাণিত) সূত্র, বা একটি শর্তাধীন সমীকরণ, অ্যাডেকুয়াবিটুর, তবে, যখন সমীকরণটি দুটি চলকের মধ্যে একটি সম্পর্ক বর্ণনা করে, যা স্বাধীন নয় (এবং সমীকরণটি কোনও বৈধ সূত্র নয়)। 36 পৃষ্ঠায় বার্নার লিখেছেনঃ "কেন ফার্মাট স্পর্শক পদ্ধতির জন্য তাঁর সমস্ত উদাহরণের জন্য ক্রমাগত তাঁর অসঙ্গতিপূর্ণ পদ্ধতির পুনরাবৃত্তি করেছিলেন? কেন তিনি কখনও সেই সেক্যান্টের কথা উল্লেখ করেননি, যা দিয়ে তিনি প্রকৃতপক্ষে কাজ করতেন? আমি জানি না "। কাটজ, স্ক্যাপস, স্নাইডার (2013) যুক্তি দেখান যে সাইক্লয়েডের মতো অতীন্দ্রিয় বক্ররেখার কৌশলটির ফার্ম্যাটের প্রয়োগ দেখায় যে ফার্ম্যাটের পর্যাপ্ততার কৌশলটি বিশুদ্ধ বীজগাণিতিক অ্যালগরিদমের বাইরে চলে যায় এবং ব্রেগারের ব্যাখ্যার বিপরীতে, ডায়োফান্টাস দ্বারা ব্যবহৃত প্যারিসোটস এবং ফার্ম্যাট দ্বারা ব্যবহৃত অ্যাডেকুয়ালিটাস প্রযুক্তিগত শব্দগুলির অর্থ "আনুমানিক সমতা"। তারা আধুনিক গণিতে আদর্শ অংশ ফাংশন হিসাবে পর্যাপ্ততার ফার্মাটের কৌশলটির একটি আনুষ্ঠানিককরণ বিকাশ করে যা একটি সীমাবদ্ধ হাইপাররিয়াল সংখ্যাকে তার নিকটতম বাস্তব সংখ্যার সাথে বৃত্তাকার করে। আরও দেখুন ফার্মাটের নীতি ট্রান্সসেন্ডেন্টাল ল অফ হোমোজেনিটি রেফারেন্সস বিব্লিওগ্রাফি গিউস্টি, ই. (2009) "লেস মেথোডস ডেস ম্যাক্সিমা এট মিনিমা ডি ফার্মাট", অ্যান। ফেস। বিজ্ঞান. তুলুজ গণিত। (6) 18, ফ্যাসিকুল স্পেশাল, 59-85। স্টিলওয়েল, জে। (2006) অসম্ভবকে আকাঙ্ক্ষা করা। গণিতের বিস্ময়কর সত্য, পৃষ্ঠা 91, এ কে পিটার্স, লিমিটেড, ওয়েলেসলি, এমএ। ওয়েইল, এ., বুক রিভিউঃ দ্য ম্যাথমেটিক্যাল ক্যারিয়ার অফ পিয়েরে ডি ফার্মাট। ষাঁড়। আমের। গণিত। সোস। 79 (1973), নং। 6, 1138-1149। গাণিতিক পরিভাষা ক্যালকুলাসের ইতিহাস