Zwanzig projection operator
জোয়ানজিগ প্রজেকশন অপারেটর হল একটি গাণিতিক যন্ত্র যা পরিসংখ্যানগত বলবিজ্ঞানে ব্যবহৃত হয়। এটি "ধীর" ফেজ স্পেস ফাংশনের রৈখিক সাবস্পেসে ফেজ স্পেস ফাংশন এবং প্রকল্পগুলির রৈখিক স্থানে কাজ করে। রবার্ট জোয়ানজিগ একটি সাধারণ প্রধান সমীকরণ বের করার জন্য এটি প্রবর্তন করেছিলেন। এটি বেশিরভাগই এই বা অনুরূপ প্রসঙ্গে কিছু "ধীর" সমষ্টিগত চলকের জন্য গতির সমীকরণ অর্জনের জন্য একটি আনুষ্ঠানিক উপায়ে ব্যবহৃত হয়। ধীর চলক এবং স্কেলার পণ্য জোয়ানজিগ প্রজেকশন অপারেটর স্থানাঙ্ক এবং মোমেন্টা সহ বিন্দু কণাগুলির-মাত্রিক পর্যায়ের স্থানের ফাংশনের উপর কাজ করে। এই ফাংশনগুলির একটি বিশেষ উপসেট হল "ধীর চলক"-এর একটি গণনাযোগ্য সেট। এই ভেরিয়েবলগুলির মধ্যে কয়েকটির জন্য প্রার্থী হতে পারে ভর ঘনত্বের দীর্ঘ-তরঙ্গদৈর্ঘ্য ফুরিয়ার উপাদান এবং তরঙ্গ ভেক্টরের সাথে চিহ্নিত ভরবেগের ঘনত্বের দীর্ঘ-তরঙ্গদৈর্ঘ্য ফুরিয়ার উপাদান। জোয়ানজিগ প্রজেকশন অপারেটর এই ফাংশনগুলির উপর নির্ভর করে তবে প্রদত্ত হ্যামিল্টনিয়ানের ধীর চলকগুলি কীভাবে খুঁজে বের করতে হয় তা বলে না। দুটি নির্বিচারে ফেজ স্পেস ফাংশনের মধ্যে একটি স্কেলার পণ্য এবং ভারসাম্য পারস্পরিক সম্পর্ক দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয় যেখানে মাইক্রোক্যানোনিকাল ভারসাম্য বিতরণকে বোঝায়। সংজ্ঞা অনুসারে, "দ্রুত" চলকগুলি এই স্কেলার পণ্যের অধীনে সমস্ত ফাংশনের জন্য অর্থোগোনাল। এই সংজ্ঞায় বলা হয়েছে যে দ্রুত এবং ধীর চলকের ওঠানামা সম্পর্কহীন, এবং এরগোডিক অনুমান অনুসারে এটি সময়ের গড়ের ক্ষেত্রেও সত্য। যদি একটি জেনেরিক ফাংশন কিছু ধীর চলকের সাথে সম্পর্কযুক্ত হয়, তবে কেউ ধীর চলকের ফাংশনগুলি বিয়োগ করতে পারে যতক্ষণ না এর অসম্পর্কিত দ্রুত অংশটি থাকে। একটি ধীর এবং দ্রুত পরিবর্তনশীলের গুণফল হল একটি দ্রুত পরিবর্তনশীল। প্রজেকশন অপারেটর ধ্রুবক সহ ফাংশনগুলির অবিচ্ছিন্ন সেট বিবেচনা করুন। যে কোনও ফেজ স্পেস ফাংশন শুধুমাত্র মাধ্যমে নির্ভর করে একটি ফাংশন, যথা একটি জেনেরিক ফেজ স্পেস ফাংশন যেখানে দ্রুত অংশ তার উপর নির্ভর করে বিচ্ছিন্ন হয়। ধীর ফাংশন সহ স্কেলার পণ্যটি নেওয়ার ধীর অংশের জন্য একটি অভিব্যক্তি পেতে, এটি একটি অভিব্যক্তি দেয়, এবং এইভাবে অপারেটরের জন্য তার "ধীর" অংশে একটি নির্বিচারে ফাংশনটি কেবলমাত্র মাধ্যমে নির্ভর করে, এই অভিব্যক্তিটি জোয়ানজিগ দ্বারা প্রদত্ত অভিব্যক্তিটির সাথে একমত, তবে জোয়ানজিগ ধীর চলকগুলিতে অন্তর্ভুক্ত হয়। জোয়ানজিগ প্রজেকশন অপারেটর পূরণ করে এবং। এর দ্রুত অংশটি হল। ধীর চলকের ফাংশন এবং বিশেষত ধীর চলকের পণ্যগুলি ধীর চলক। এইভাবে ধীর চলকের স্থান একটি বীজগণিত। হ্যামিল্টনিয়ান সহ পয়সন বন্ধনী সহ সাধারণভাবে বীজগণিত পয়সন বন্ধনীর অধীনে বন্ধ থাকে না। লিউভিল এবং মাস্টার সমীকরণের সাথে সংযোগ উপরে দেওয়া হিসাবে এর সংজ্ঞার চূড়ান্ত যৌক্তিকতা হল যে এটি ধীর চলকগুলির (বা ধীর চলকগুলির জন্য ল্যাঞ্জভিন সমীকরণ) সময় নির্ভর সম্ভাব্যতা বিতরণের জন্য একটি প্রধান সমীকরণ বের করার অনুমতি দেয়। সাধারণ ধাপগুলি স্কেচ করার জন্য, পর্যায় স্থানে সময়-নির্ভর সম্ভাব্যতা বিতরণকে নির্দেশ করা যাক। পর্যায় স্থান ঘনত্ব (পাশাপাশি) হল লিউভিল সমীকরণের একটি সমাধান তারপর গুরুত্বপূর্ণ পদক্ষেপটি হল লেখা, এবং লিউভিল সমীকরণটিকে ধীর এবং দ্রুত সাবস্পেসে প্রজেক্ট করা, দ্বিতীয় সমীকরণটি সমাধান করা এবং প্রথম সমীকরণে অন্তর্ভুক্ত করা এর জন্য একটি বদ্ধ সমীকরণ দেয় (নাকাজিমা-জোয়ানজিগ সমীকরণ দেখুন)। পরের সমীকরণটি অবশেষে একটি সমীকরণ দেয় যেখানে ধীর চলকগুলির ভারসাম্য বন্টনকে বোঝায়। অ-রৈখিক ল্যাঙ্গেভিন সমীকরণ ল্যাঙ্গেভিন সমীকরণের আদর্শ ব্যুৎপত্তির সূচনা বিন্দু হল পরিচয়, যেখানে দ্রুত সাবস্পেসে প্রজেক্ট করা হয়। বিবর্তন অপারেটরের সাথে পৃথক ছোট সময়ের ধাপগুলি বিবেচনা করুন, যেখানে লিউভিল অপারেটর রয়েছে। লক্ষ্য হল এবং-এর পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করা। অনুপ্রেরণা হল এটি ধীর চলকগুলির একটি কার্যকরী এবং এটি এমন অভিব্যক্তি তৈরি করে যা প্রতিটি সময় ধাপে দ্রুত চলক হয়। প্রত্যাশা হল যে এইভাবে বিচ্ছিন্ন দ্রুত চলকগুলি কিছু মডেল ডেটা দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে, উদাহরণস্বরূপ একটি গাউসিয়ান সাদা শব্দ দ্বারা। শেষ পদটি ছাড়া, যা দিয়ে গুণ করা হয়, বাম থেকে গুণ করে পচন অর্জন করা হয়। পুনরাবৃত্তি দেয় শেষ লাইনটি আনয়ন দ্বারাও প্রমাণ করা যেতে পারে। সীমাটি ধরে নেওয়া এবং সম্পাদন করা সরাসরি কাওয়াসাকির অপারেটর পরিচয়ের দিকে পরিচালিত করে একটি সাধারণ ল্যাঙ্গেভিন সমীকরণ একটি ধীর চলকের সময় অন্তরজ এই সমীকরণটি প্রয়োগ করে প্রাপ্ত হয়, এখানে ওঠানামা বল (এটি শুধুমাত্র দ্রুত চলকের উপর নির্ভর করে)। মোড কাপলিং টার্ম এবং ড্যাম্পিং টার্ম হল এবং এর কার্যকারিতা এবং এটিকে যথেষ্ট সরলীকৃত করা যেতে পারে। ফাংশনের বিচ্ছিন্ন সেট, মোরি প্রজেকশন অপারেটরের সাথে সম্পর্ক, ফাংশনগুলির অবিচ্ছিন্ন সেটের ধীর অংশটি প্রসারিত করার পরিবর্তে কেউ কিছু গণনাযোগ্য সেট ফাংশনও ব্যবহার করতে পারে। যদি এই ফাংশনগুলি একটি সম্পূর্ণ অর্থোনর্মাল ফাংশন সেট গঠন করে তবে প্রজেকশন অপারেটর কেবল ধীর চলকগুলির অর্থোনর্মালাইজড রৈখিক সংমিশ্রণগুলির জন্য একটি বিশেষ পছন্দ পড়ে। এটি মোরি প্রজেকশন অপারেটরের দিকে নিয়ে যায়। যাইহোক, রৈখিক ফাংশনের সেট সম্পূর্ণ নয়, এবং অ-রৈখিকতা কার্যকর হলে অর্থোগোনাল ভেরিয়েবলগুলি দ্রুত বা এলোমেলো হয় না। আরও দেখুন মোরি-জোয়ানজিগ আনুষ্ঠানিকতা তথ্যসূত্র পরিসংখ্যানগত বলবিজ্ঞান