Picard–Vessiot theory
ডিফারেনশিয়াল বীজগণিতে, পিকার্ড-ভেসিওট তত্ত্ব হল ক্ষেত্র সম্প্রসারণের ডিফারেনশিয়াল গ্যালোইস গ্রুপ ব্যবহার করে একটি রৈখিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সমাধান দ্বারা উত্পন্ন ডিফারেনশিয়াল ক্ষেত্র সম্প্রসারণের অধ্যয়ন। একটি প্রধান লক্ষ্য হল বর্ণনা করা যে কখন ডিফারেনশিয়াল সমীকরণটি ডিফারেনশিয়াল গ্যালোইস গ্রুপের বৈশিষ্ট্যের পরিপ্রেক্ষিতে চতুর্ভুজ দ্বারা সমাধান করা যেতে পারে। এই তত্ত্বটি 1883 থেকে 1904 সাল পর্যন্ত এমিল পিকার্ড এবং আর্নেস্ট ভেসিওট দ্বারা প্রবর্তিত হয়েছিল এবং পিকার্ড-ভেসিওট তত্ত্বের বিস্তারিত বিবরণ দেয়। পিকার্ড-ভেসিওট তত্ত্বের ইতিহাস নিয়ে আলোচনা করেছেন। পিকার্ড-ভেসিওট তত্ত্ব 1883 থেকে 1898 সালের মধ্যে পিকার্ড এবং 1892 থেকে 1904 সাল পর্যন্ত ভেসিওট দ্বারা বিকশিত হয়েছিল। তাদের তত্ত্বের মূল ফলাফল খুব মোটামুটিভাবে বলে যে একটি রৈখিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ চতুর্ভুজ দ্বারা সমাধান করা যেতে পারে যদি এবং শুধুমাত্র যদি তার ডিফারেনশিয়াল গ্যালোইস গ্রুপ সংযুক্ত এবং সমাধানযোগ্য হয়। দুর্ভাগ্যবশত তারা ঠিক কী প্রমাণ করেছে তা বলা কঠিন কারণ "চতুর্ভুজ দ্বারা সমাধানযোগ্য" হওয়ার ধারণাটি সঠিকভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়নি বা তাদের গবেষণাপত্রে ধারাবাহিকভাবে ব্যবহৃত হয়নি। প্রয়োজনীয় ধারণাগুলির সুনির্দিষ্ট সংজ্ঞা দিয়েছেন এবং এই উপপাদ্যটির একটি কঠোর সংস্করণ প্রমাণ করেছেন। পিকার্ড-ভেসিওট তত্ত্বকে আংশিক ডিফারেনশিয়াল ক্ষেত্রগুলিতে প্রসারিত করা হয়েছে (বেশ কয়েকটি যাতায়াতের ব্যুৎপত্তি সহ)। দ্বিতীয় ক্রমের সমজাতীয় রৈখিক সমীকরণগুলি চতুর্ভুজ দ্বারা সমাধান করা যেতে পারে কিনা তা নির্ধারণের জন্য একটি অ্যালগরিদম বর্ণনা করেছেন, যা কোভাসিকের অ্যালগরিদম নামে পরিচিত। পিকার্ড-ভেসিওট এক্সটেনশন এবং রিং ডিফারেনশিয়াল ক্ষেত্রের একটি এক্সটেনশন এফ-কে পিকার্ড-ভেসিওট এক্সটেনশন বলা হয় যদি সমস্ত ধ্রুবক এফ-এ থাকে এবং কে একটি সমজাতীয় রৈখিক সাধারণ ডিফারেনশিয়াল বহুপদীর সমাধানগুলি সংলগ্ন করে তৈরি করা যেতে পারে। ডিফারেনশিয়াল ক্ষেত্র F-এর উপর একটি পিকার্ড-ভেসিওট বলয় R হল F-এর উপর একটি ডিফারেনশিয়াল বলয় যা সরল (0 এবং R ছাড়া অন্য কোনও ডিফারেনশিয়াল আদর্শ নয়) এবং A এবং 1/ডেট (A)-এর সহগ দ্বারা k-বীজগণিত হিসাবে উৎপন্ন হয়, যেখানে A হল F-এর উপর একটি বিপরীতমুখী ম্যাট্রিক্স যাতে B =/A-এর F-এ সহগ থাকে। (সুতরাং A হল ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ = by-এর জন্য একটি মৌলিক ম্যাট্রিক্স।) লিউভিলিয়ান এক্সটেনশন ডিফারেনশিয়াল ক্ষেত্রের একটি এক্সটেনশন এফ-কে লিউভিলিয়ান বলা হয় যদি সমস্ত ধ্রুবক এফ-এ থাকে এবং কে সীমাবদ্ধ সংখ্যক ইন্টিগ্রাল, ইন্টিগ্রালের এক্সপোনেনশিয়াল এবং বীজগাণিতিক ফাংশন সংলগ্ন করে তৈরি করা যেতে পারে। এখানে, একটি উপাদান a-এর একটি ইন্টিগ্রালকে = a-এর যে কোনও সমাধান হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় এবং a-এর একটি ইন্টিগ্রালের এক্সপোনেনশিয়ালকে = ay-এর যে কোনও সমাধান হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। একটি পিকার্ড-ভেসিওট এক্সটেনশন লিউভিলিয়ান হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি তার ডিফারেনশিয়াল গ্যালোইস গ্রুপের পরিচয় উপাদান সমাধানযোগ্য হয় (,)। আরও সুনির্দিষ্টভাবে বলতে গেলে, বীজগাণিতিক ফাংশন দ্বারা এক্সটেনশনগুলি সসীম ডিফারেনশিয়াল গ্যালোইস গ্রুপের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ, ইন্টিগ্রাল দ্বারা এক্সটেনশনগুলি ডিফারেনশিয়াল গ্যালোইস গ্রুপের সাবকোয়েন্টগুলির সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ যা 1-মাত্রিক এবং একক ক্ষমতা সম্পন্ন, এবং ইন্টিগ্রালগুলির এক্সপোনেনশিয়াল দ্বারা এক্সটেনশনগুলি ডিফারেনশিয়াল গ্যালোইস গ্রুপের সাবকোয়েন্টগুলির সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ যা 1-মাত্রিক এবং হ্রাসকারী (টোরি)। উৎস বাহ্যিক যোগসূত্র ডিফারেনশিয়াল বীজগণিত