Van Cittert–Zernike theorem
পদার্থবিজ্ঞানী পিটার হেন্ড্রিক ভ্যান সিটার্ট এবং ফ্রিটস জার্নাইকের নামে নামকরণ করা ভ্যান সিটার্ট-জার্নাইক উপপাদ্যটি সঙ্গতি তত্ত্বের একটি সূত্র যা বলে যে নির্দিষ্ট পরিস্থিতিতে একটি দূরবর্তী, অসঙ্গত উৎসের তীব্রতা বিতরণ ফাংশনের ফুরিয়ার রূপান্তর তার জটিল দৃশ্যমানতার সমান। এর থেকে বোঝা যায় যে, একটি অসঙ্গতিপূর্ণ উৎস থেকে আগত তরঙ্গমুখ বড় দূরত্বে বেশিরভাগ ক্ষেত্রেই সুসঙ্গত দেখাবে। স্বজ্ঞাতভাবে, দুটি অসঙ্গতিপূর্ণ উৎস দ্বারা তৈরি তরঙ্গমুখ বিবেচনা করে এটি বোঝা যেতে পারে। যদি আমরা কোনও একটি উৎসের সামনে অবিলম্বে তরঙ্গমুখ পরিমাপ করি, তবে আমাদের পরিমাপ নিকটবর্তী উৎস দ্বারা প্রভাবিত হবে। যদি আমরা একই পরিমাপ উৎস থেকে দূরে করি, তবে আমাদের পরিমাপ আর কোনও একক উৎস দ্বারা প্রভাবিত হবে না; উভয় উৎসই বিশাল দূরত্বে তরঙ্গপ্রবাহে প্রায় সমানভাবে অবদান রাখবে। একটি শান্ত পুকুরের মাঝখানে দুটি পাথর ফেলে এই যুক্তি সহজেই কল্পনা করা যায়। পুকুরের কেন্দ্রের কাছে, দুটি পাথরের দ্বারা সৃষ্ট বিশৃঙ্খলা খুব জটিল হবে। ঝঞ্ঝাটি পুকুরের প্রান্তের দিকে প্রসারিত হওয়ার সাথে সাথে, তরঙ্গগুলি মসৃণ হয়ে যাবে এবং প্রায় বৃত্তাকার বলে মনে হবে। রেডিও জ্যোতির্বিজ্ঞানের ক্ষেত্রে ভ্যান সিটার্ট-জার্নাইক উপপাদ্যের গুরুত্বপূর্ণ প্রভাব রয়েছে। পালসার এবং মেসার ব্যতীত, সমস্ত জ্যোতির্বিদ্যার উৎস স্থানিকভাবে অসঙ্গতিপূর্ণ। তা সত্ত্বেও, যেহেতু এগুলি ভ্যান সিটার্ট-জার্নাইক উপপাদ্যকে সন্তুষ্ট করার জন্য যথেষ্ট দূরত্বে পর্যবেক্ষণ করা হয়, তাই এই বস্তুগুলি ইমেজিং সমতলের বিভিন্ন বিন্দুতে অ-শূন্য মাত্রার সঙ্গতি প্রদর্শন করে। কোনও জ্যোতির্বৈজ্ঞানিক বস্তুর ইমেজিং সমতলে (তথাকথিত "দৃশ্যমানতা ফাংশন") বিভিন্ন বিন্দুতে সঙ্গতির মাত্রা পরিমাপ করে, একজন রেডিও জ্যোতির্বিজ্ঞানী এর মাধ্যমে উৎসের উজ্জ্বলতার বন্টন পুনর্গঠন করতে পারেন এবং উৎসের চেহারার একটি দ্বি-মাত্রিক মানচিত্র তৈরি করতে পারেন। উপপাদ্যের বিবৃতি দুটি খুব দূরবর্তী সমান্তরাল সমতল বিবেচনা করুন, উভয়ই দৃষ্টির রেখার লম্ব, এবং আসুন তাদের সোর্স প্লেন এবং পর্যবেক্ষণ সমতল বলি; যদি পর্যবেক্ষণ সমতলে দুটি বিন্দুর মধ্যে পারস্পরিক সঙ্গতি ফাংশন হয়, তবে উৎস সমতলে একটি দূরবর্তী উৎসে একটি বিন্দুর দিকের কোসাইনগুলি কোথায় এবং কোথায়, এবং যথাক্রমে তরঙ্গদৈর্ঘ্যের এককে পর্যবেক্ষণ সমতলে দুটি পর্যবেক্ষণ বিন্দুর মধ্যে x-দূরত্ব এবং y-দূরত্ব এবং এটি উৎসের তীব্রতা। এই উপপাদ্যটি প্রথম 1934 সালে পিটার হেন্ড্রিক ভ্যান সিটার্ট দ্বারা উদ্ভূত হয়েছিল এবং 1938 সালে ফ্রিটস জারনিকে দ্বারা প্রদত্ত একটি সহজ প্রমাণ ছিল। এই উপপাদ্যটি কিছু প্রকৌশলী বা বিজ্ঞানীদের কাছে বিভ্রান্তিকর থাকবে কারণ এর পরিসংখ্যানগত প্রকৃতি এবং সহজ পারস্পরিক সম্পর্ক বা এমনকি কোভ্যারিয়েন্স প্রক্রিয়াকরণ পদ্ধতি থেকে পার্থক্য রয়েছে। একটি ভাল রেফারেন্স (যা এখনও কিছু ব্যবহারকারীর জন্য সমস্যাটি স্পষ্ট নাও করতে পারে, তবে পদ্ধতিটি বাড়িতে নিয়ে যাওয়ার জন্য একটি দুর্দান্ত স্কেচ রয়েছে) গুডম্যান, যা 207 পৃষ্ঠায় শুরু হয়। পারস্পরিক সঙ্গতি ফাংশন পর্যবেক্ষণের সমতলে দুটি বিন্দুতে পরিমাপ করা কিছু বৈদ্যুতিক ক্ষেত্রের পারস্পরিক সঙ্গতি ফাংশন (তাদের 1 এবং 2 বলুন), যেখানে পর্যবেক্ষণ বিন্দু 1 এবং 2 এর পরিমাপের মধ্যে সময় অফসেট হয় তা হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। দুটি বিন্দুতে ক্ষেত্রের পারস্পরিক সঙ্গতিকে সময় দ্বারা পৃথক দুটি বিন্দুতে বৈদ্যুতিক ক্ষেত্রের মধ্যে সময়-গড় আন্তঃসম্পর্ক হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে। সুতরাং, আমরা যদি দুটি সম্পূর্ণ অসঙ্গতিপূর্ণ উৎস পর্যবেক্ষণ করি তবে আমাদের পর্যবেক্ষণ সমতলে দুটি এলোমেলো বিন্দুর মধ্যে পারস্পরিক সঙ্গতি ফাংশন তুলনামূলকভাবে ছোট হবে বলে আশা করা উচিত, কারণ উৎসগুলি ধ্বংসাত্মক পাশাপাশি গঠনমূলকভাবে হস্তক্ষেপ করবে। তবে, উৎস থেকে অনেক দূরে, আমাদের পারস্পরিক সঙ্গতি ফাংশন তুলনামূলকভাবে বড় হবে বলে আশা করা উচিত কারণ যে কোনও দুটি বিন্দুতে পর্যবেক্ষিত ক্ষেত্রের যোগফল প্রায় একই হবে। দুটি বৈদ্যুতিক ক্ষেত্রের তীব্রতার বর্গমূলের গুণফলের সাথে পারস্পরিক সঙ্গতি ফাংশনের স্বাভাবিককরণ জটিল ডিগ্রি (দ্বিতীয় ক্রম) সঙ্গতি (পারস্পরিক সম্পর্ক সহগ ফাংশন) প্রদান করেঃ উপপাদ্যের প্রমাণ যথাক্রমে উৎস সমতল এবং পর্যবেক্ষণ সমতলের কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্ক হতে হবে। ধরুন উৎস সমতলে উৎস থেকে কিছু বিন্দুর কারণে বৈদ্যুতিক ক্ষেত্র দুটি বিন্দুতে পরিমাপ করা হয়, এবং, পর্যবেক্ষণ সমতলে। উৎসে একটি বিন্দুর অবস্থান তার দিকের কোসাইন দ্বারা উল্লেখ করা যেতে পারে। (যেহেতু উৎসটি দূরবর্তী, তাই এর দিক বরাবরের মতোই হওয়া উচিত।) পরিমাপ করা বৈদ্যুতিক ক্ষেত্রটি তখন ফেজার ব্যবহার করে লেখা যেতে পারেঃ যেখানে উৎস থেকে দূরত্ব, আলোর কৌণিক ফ্রিকোয়েন্সি, এবং বৈদ্যুতিক ক্ষেত্রের জটিল প্রশস্ততা। একইভাবে, পরিমাপ করা বৈদ্যুতিক ক্ষেত্রটিকে এইভাবে লেখা যেতে পারেঃ আসুন এখন এবং-এ বৈদ্যুতিক ক্ষেত্রের মধ্যে সময়-গড় ক্রস-কোরিলেশন গণনা করা যাকঃ যেহেতু কোণ বন্ধনীগুলির পরিমাণ সময়-গড়, তাই উভয় ক্ষেত্রে একই অফসেট যোগ করা পর্যন্ত প্রশস্ততার সাময়িক মেয়াদে একটি নির্বিচারে অফসেট যোগ করা যেতে পারে। আসুন এখন উভয় প্রশস্ততার সাময়িক পদ যোগ করা যাক। দুটি বিন্দুতে বৈদ্যুতিক ক্ষেত্রের সময়-গড় আন্তঃসম্পর্ক তাই সহজতর হয় তবে উৎসটি যদি দূরবর্তী ক্ষেত্রে থাকে তবে আলোর সময় ভ্রমণের দূরত্বের তুলনায় এবং এর মধ্যে পার্থক্য ছোট হবে। (বিপরীত ব্যান্ডউইথের মতো একই ক্রমে রয়েছে।) এই ছোট সংশোধনটি তাই অবহেলা করা যেতে পারে, বৈদ্যুতিক ক্ষেত্রের এবং এর সাথে আন্তঃসম্পর্কের জন্য আমাদের অভিব্যক্তিটিকে আরও সহজ করে তোলে। সুতরাং ক্রস-কোরিলেশনের জন্য আমাদের অভিব্যক্তিটি আরও সহজতর করে এই অভিব্যক্তি থেকে পারস্পরিক সঙ্গতি ফাংশন গণনা করতে, কেবল পুরো উৎসের উপর সংহত করুন। লক্ষ্য করুন যে উৎসটি অসঙ্গতিপূর্ণ এই ধারণার কারণে ফর্মটির ক্রস পদগুলি অন্তর্ভুক্ত করা হয়নি। সুতরাং উৎস থেকে দুটি ভিন্ন বিন্দুর মধ্যে সময়-গড় পারস্পরিক সম্পর্ক শূন্য হবে। এরপর 'এবং' ব্যবহার করে শব্দটি পুনর্লিখন করুন। এটি করার জন্য, এবং। এটি পর্যবেক্ষণ সমতলের কেন্দ্র এবং উৎসের কেন্দ্রের মধ্যে দূরত্ব নির্দেশ করে। কিন্তু যেহেতু এবং সবগুলিই এর চেয়ে অনেক কম, তাই বর্গমূলগুলি টেলর প্রসারিত হতে পারে, প্রথম ক্রমে, যা, কিছু বীজগাণিতিক কারসাজির পরে, সহজতর হয়। একইভাবে,। উপরন্তু, মনে রাখবেন যে এবং এর মধ্যে-অক্ষ বরাবর তরঙ্গদৈর্ঘ্যের সংখ্যা হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছিল। সুতরাং একইভাবে,-অক্ষের মধ্যে এবং বরাবর তরঙ্গদৈর্ঘ্যের সংখ্যা, তাই কারণ এবং সবগুলিই এর চেয়ে অনেক কম। ডিফারেনশিয়াল এরিয়া উপাদান, তারপর এর কঠিন কোণের ডিফারেনশিয়াল উপাদান হিসাবে লেখা যেতে পারে। পারস্পরিক সঙ্গতি ফাংশনের জন্য আমাদের অভিব্যক্তি হয়ে ওঠে যা কমে যায় তবে এই দুটি ইন্টিগ্রালের সীমা উৎসের পুরো সমতলকে আচ্ছাদন করার জন্য প্রসারিত করা যেতে পারে যতক্ষণ না এই অঞ্চলে উৎসের তীব্রতা ফাংশন শূন্য হিসাবে সেট করা থাকে। সুতরাং, যা তীব্রতা ফাংশনের দ্বিমাত্রিক ফুরিয়ার রূপান্তর। এটি প্রমাণ সম্পূর্ণ করে। উপপাদ্যটির অনুমান ভ্যান সিটার্ট-জার্নাইক উপপাদ্যটি বেশ কয়েকটি অনুমানের উপর নির্ভর করে, যার সবগুলিই প্রায় সমস্ত জ্যোতির্বৈজ্ঞানিক উৎসের জন্য প্রায় সত্য। উপপাদ্যটির সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ অনুমান এবং জ্যোতির্বিজ্ঞানের উৎসগুলির সাথে তাদের প্রাসঙ্গিকতা এখানে আলোচনা করা হয়েছে। উৎসের অসঙ্গতি একটি স্থানিকভাবে সুসঙ্গত উৎস ভ্যান সিটার্ট-জার্নাইক উপপাদ্য মেনে চলে না। এটি কেন হয় তা দেখার জন্য, ধরুন আমরা দুটি বিন্দু নিয়ে গঠিত একটি উৎস পর্যবেক্ষণ করি, এবং। আসুন পর্যবেক্ষণের সমতলে এবং এর মধ্যে পারস্পরিক সঙ্গতি ফাংশন গণনা করা যাক। সুপারপজিশন নীতি থেকে, বৈদ্যুতিক ক্ষেত্রটি হল এবং হল তাই পারস্পরিক সঙ্গতি ফাংশন যা হয়ে যায় যদি বিন্দু এবং সুসঙ্গত হয় তবে উপরের সমীকরণের ক্রস পদগুলি অদৃশ্য হয় না। এই ক্ষেত্রে, যখন আমরা একটি বর্ধিত সুসঙ্গত উৎসের জন্য পারস্পরিক সুসঙ্গত ফাংশন গণনা করি, তখন আমরা কেবল উৎসের তীব্রতা ফাংশনের উপর সংহত করতে সক্ষম হব না; অ-শূন্য ক্রস পদগুলির উপস্থিতি পারস্পরিক সুসঙ্গত ফাংশনকে কোনও সহজ রূপ দেবে না। এই অনুমান বেশিরভাগ জ্যোতির্বৈজ্ঞানিক উৎসের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য। পালসার এবং মেসার হল একমাত্র জ্যোতির্বিদ্যার উৎস যা সঙ্গতি প্রদর্শন করে। উৎসে দূরত্ব উপপাদ্যের প্রমাণ হিসাবে আমরা ধরে নিই যে এবং। অর্থাৎ, আমরা ধরে নিই যে উৎসের দূরত্ব পর্যবেক্ষণ এলাকার আকারের তুলনায় অনেক বেশি। আরও সুনির্দিষ্টভাবে বলতে গেলে, ভ্যান সিটার্ট-জার্নাইক উপপাদ্যের জন্য প্রয়োজন যে আমরা তথাকথিত সুদূর ক্ষেত্রে উৎসটি পর্যবেক্ষণ করব। সুতরাং যদি পর্যবেক্ষণ ক্ষেত্রের বৈশিষ্ট্যগত আকার হয় (যেমন। একটি দ্বি-ডিশ রেডিও টেলিস্কোপের ক্ষেত্রে, দুটি টেলিস্কোপের মধ্যে বেসলাইনের দৈর্ঘ্য) তারপর 1 সেন্টিমিটার তরঙ্গদৈর্ঘ্যে খুব বড় অ্যারের জন্য 20 কিলোমিটার যুক্তিসঙ্গত বেসলাইন ব্যবহার করে, দূরবর্তী ক্ষেত্রের দূরত্ব ক্রম মি। অতএব একটি পার্সেকের চেয়ে দূরে যে কোনও জ্যোতির্বৈজ্ঞানিক বস্তু দূরবর্তী ক্ষেত্রে থাকে। সৌরজগতের বস্তুগুলি অবশ্য দূরবর্তী ক্ষেত্রে নয়, এবং তাই ভ্যান সিটার্ট-জার্নাইক উপপাদ্য তাদের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য নয়। উৎসের কৌণিক আকার ভ্যান সিটার্ট-জার্নাইক উপপাদ্য থেকে উদ্ভূত আমরা কোসাইনগুলির দিক এবং এবং হিসাবে লিখি। যাইহোক, একটি তৃতীয় দিকের কোসাইন রয়েছে যা এবং থেকে অবহেলিত; এই অনুমানের অধীনে এটি ঐক্যের খুব কাছাকাছি। কিন্তু যদি উৎসটির একটি বড় কৌণিক ব্যাপ্তি থাকে, তাহলে আমরা এই তৃতীয় দিকের কোসাইনকে অবহেলা করতে পারি না এবং ভ্যান সিটার্ট-জার্নাইক উপপাদ্যটি আর ধারণ করে না। যেহেতু বেশিরভাগ জ্যোতির্বিজ্ঞানের উৎসগুলি আকাশে খুব ছোট কোণ (সাধারণত একটি ডিগ্রির চেয়ে অনেক কম) প্রসারিত করে, তাই উপপাদ্যটির এই অনুমানটি রেডিও জ্যোতির্বিজ্ঞানের ক্ষেত্রে সহজেই পূরণ হয়। অর্ধ-একবর্ণ তরঙ্গ ভ্যান সিটার্ট-জার্নাইক উপপাদ্য অনুমান করে যে উৎসটি অর্ধ-একবর্ণ। অর্থাৎ, যদি উৎসটি গড় ফ্রিকোয়েন্সি সহ ফ্রিকোয়েন্সিগুলির একটি পরিসরে আলো নির্গত করে, তবে এটি সন্তুষ্ট করা উচিত। এই অনুমান ছাড়া, আমরা এর তুলনায় অবহেলা করতে পারি না এই প্রয়োজনীয়তা বোঝায় যে একজন রেডিও জ্যোতির্বিজ্ঞানীকে অবশ্যই একটি ব্যান্ডপাস ফিল্টারের মাধ্যমে সংকেত সীমাবদ্ধ করতে হবে। যেহেতু বেতার টেলিস্কোপগুলি প্রায় সবসময় একটি তুলনামূলকভাবে সংকীর্ণ ব্যান্ডপাস ফিল্টারের মাধ্যমে সংকেতটি পাস করে, তাই এই ধারণাটি সাধারণত বাস্তবে সন্তুষ্ট হয়। দ্বিমাত্রিক উৎস আমরা ধরে নিই যে আমাদের উৎস একটি দ্বিমাত্রিক সমতলে অবস্থিত। বাস্তবে, জ্যোতির্বিদ্যার উৎসগুলি ত্রিমাত্রিক। যাইহোক, যেহেতু তারা দূরবর্তী ক্ষেত্রে রয়েছে, তাদের কৌণিক বন্টন দূরত্বের সাথে পরিবর্তিত হয় না। অতএব, যখন আমরা একটি জ্যোতির্বৈজ্ঞানিক উৎস পরিমাপ করি, তখন তার ত্রিমাত্রিক কাঠামো একটি দ্বিমাত্রিক সমতলে অভিক্ষিপ্ত হয়। এর মানে হল যে ভ্যান সিটার্ট-জার্নাইক উপপাদ্যটি জ্যোতির্বিজ্ঞানের উৎসগুলির পরিমাপের ক্ষেত্রে প্রয়োগ করা যেতে পারে, তবে আমরা এই পরিমাপের মাধ্যমে দৃষ্টির রেখা বরাবর কাঠামো নির্ধারণ করতে পারি না। মাধ্যমের সমরূপতা ভ্যান সিটার্ট-জার্নাইক উপপাদ্যটি ধরে নেয় যে উৎস এবং ইমেজিং সমতলের মধ্যবর্তী মাধ্যমটি সমজাতীয়। যদি মাধ্যমটি সমজাতীয় না হয় তবে মাধ্যমের মধ্য দিয়ে আলোর ভ্রমণের সময়ের পার্থক্যের কারণে উৎসের একটি অঞ্চল থেকে আসা আলো উৎসের অন্যান্য অঞ্চলের তুলনায় ভিন্নভাবে প্রতিসরণিত হবে। একটি ভিন্নধর্মী মাধ্যমের ক্ষেত্রে হপকিন্সের সূত্র নামে পরিচিত ভ্যান সিটার্ট-জার্নাইক উপপাদ্যের একটি সাধারণীকরণ ব্যবহার করতে হবে। যেহেতু তরঙ্গমুখটি একটি সম্পূর্ণ অভিন্ন মাধ্যমের মধ্য দিয়ে যায় না কারণ এটি আন্তঃনাক্ষত্রিক (এবং সম্ভবত আন্তঃগ্যালাক্টিক) মাধ্যমের মধ্য দিয়ে এবং পৃথিবীর বায়ুমণ্ডলে ভ্রমণ করে, তাই ভ্যান সিটার্ট-জার্নাইক উপপাদ্যটি জ্যোতির্বিজ্ঞানের উৎসগুলির জন্য ঠিক সত্য নয়। বাস্তবে, তবে, আন্তঃনাক্ষত্রিক এবং আন্তঃগ্যালাক্টিক মাধ্যম এবং পৃথিবীর বায়ুমণ্ডলের প্রতিসরাঙ্কের বৈচিত্র্য এতটাই ছোট যে কোনও যুক্তিসঙ্গত পরীক্ষামূলক ত্রুটির মধ্যে উপপাদ্যটি প্রায় সত্য। মাধ্যমের প্রতিসরাঙ্কের এই ধরনের পরিবর্তনের ফলে একটি সমজাতীয় মাধ্যমের মধ্য দিয়ে ভ্রমণকারী তরঙ্গমুখের ক্ষেত্রে সামান্য বিশৃঙ্খলা দেখা দেয়। হপকিন্সের সূত্র ধরুন, যখন ভ্যান সিটার্ট-জার্নাইক উপপাদ্যটি উদ্ভূত হয়েছিল, তখনকার মতো একটি পরিস্থিতি আমাদের রয়েছে, তবে মাধ্যমটি এখন ভিন্নধর্মী। তাই আমরা মাধ্যমের ট্রান্সমিশন ফাংশন প্রবর্তন করি। আগের মতো একটি অনুরূপ ব্যুৎপত্তি অনুসরণ করে, আমরা দেখতে পাই যে যদি আমরা সংজ্ঞায়িত করি তবে পারস্পরিক সঙ্গতি ফাংশন হয়ে যায় যা হপকিন্সের ভ্যান সিটার্ট-জার্নাইক উপপাদ্যের সাধারণীকরণ। একটি সমজাতীয় মাধ্যমের বিশেষ ক্ষেত্রে, সংক্রমণ ফাংশনটি হয়ে যায় যে ক্ষেত্রে পারস্পরিক সঙ্গতি ফাংশনটি উৎসের উজ্জ্বলতা বিতরণের ফুরিয়ার রূপান্তরটিতে হ্রাস পায়। হপকিন্সের সূত্রের প্রাথমিক সুবিধা হল যে কোনও উৎসের উজ্জ্বলতার বন্টন পরিমাপ করে পরোক্ষভাবে তার পারস্পরিক সঙ্গতিমূলক ক্রিয়া গণনা করা যেতে পারে। অ্যাপারচার সংশ্লেষণ উপপাদ্যের প্রয়োগ একটি উৎসের উজ্জ্বলতার বন্টন পরিমাপের জন্য ভ্যান সিটার্ট-জার্নাইক উপপাদ্য অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ। দুটি টেলিস্কোপের সাহায্যে, একজন বেতার জ্যোতির্বিজ্ঞানী (বা একজন ইনফ্রারেড বা সাবমিলিমিটার জ্যোতির্বিজ্ঞানী) উৎস থেকে কিছু বিন্দুর কারণে দুটি পাত্রে বৈদ্যুতিক ক্ষেত্রের মধ্যে পারস্পরিক সম্পর্ক পরিমাপ করতে পারেন। উৎসের অনেক বিন্দুর জন্য এই পারস্পরিক সম্পর্ক পরিমাপ করে, জ্যোতির্বিজ্ঞানী উৎসের দৃশ্যমানতা ফাংশন পুনর্গঠন করতে পারেন। ভ্যান সিটার্ট-জারনাইক উপপাদ্য প্রয়োগ করে, জ্যোতির্বিজ্ঞানী তখন উৎসের উজ্জ্বলতার বন্টন আবিষ্কার করতে দৃশ্যমানতা ফাংশনের বিপরীত ফুরিয়ার রূপান্তর নিতে পারেন। এই কৌশলটি অ্যাপারচার সিন্থেসিস বা সিন্থেসিস ইমেজিং নামে পরিচিত। বাস্তবে, বেতার জ্যোতির্বিজ্ঞানীরা একটি পরিমাপ করা দৃশ্যমানতা ফাংশনের সরাসরি বিপরীত ফুরিয়ার রূপান্তর গ্রহণ করে খুব কমই কোনও উৎসের উজ্জ্বলতার বন্টন পুনরুদ্ধার করেন। এই ধরনের প্রক্রিয়ার জন্য নাইকুইস্ট স্যাম্পলিং উপপাদ্যকে সন্তুষ্ট করার জন্য পর্যাপ্ত সংখ্যক নমুনার প্রয়োজন হবে; এটি উৎসের উজ্জ্বলতার বন্টনকে প্রায় পুনর্গঠনের জন্য প্রয়োজনীয় পর্যবেক্ষণের চেয়ে অনেক বেশি। জ্যোতির্বিজ্ঞানীরা তাই জ্যোতির্বিজ্ঞানের উৎসগুলির উজ্জ্বলতা বণ্টনের উপর শারীরিক সীমাবদ্ধতার সুযোগ নেন যাতে পর্যবেক্ষণের সংখ্যা হ্রাস করা যায় যা অবশ্যই করা উচিত। যেহেতু উজ্জ্বলতার বন্টন অবশ্যই সর্বত্র বাস্তব এবং ইতিবাচক হতে হবে, তাই দৃশ্যমানতা ফাংশনটি নমুনাবিহীন অঞ্চলে নির্বিচারে মান গ্রহণ করতে পারে না। সুতরাং, ক্লিন বা ম্যাক্সিমাম এনট্রপির মতো একটি অ-রৈখিক ডিকনভোলিউশন অ্যালগরিদম সীমিত সংখ্যক পর্যবেক্ষণ থেকে উৎসের উজ্জ্বলতা বিতরণকে প্রায় পুনর্গঠন করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। অভিযোজিত আলোকবিজ্ঞান ভ্যান সিটার্ট-জার্নাইক উপপাদ্য একটি অভিযোজিত আলোকবিজ্ঞান ব্যবস্থার সংবেদনশীলতার উপরও সীমাবদ্ধতা স্থাপন করে। একটি অভিযোজিত আলোকবিদ্যা (এ. ও) ব্যবস্থায়, একটি বিকৃত তরঙ্গমুখ সরবরাহ করা হয় এবং অবশ্যই একটি বিকৃতি-মুক্ত তরঙ্গমুখে রূপান্তরিত হতে হবে। তরঙ্গমুখ থেকে বিকৃতিগুলি অপসারণ করতে একটি এও সিস্টেমকে অবশ্যই বিভিন্ন সংশোধন করতে হবে। এই ধরনের একটি সংশোধনের মধ্যে রয়েছে তরঙ্গমুখকে দুটি অভিন্ন তরঙ্গমুখের মধ্যে বিভক্ত করা এবং তরঙ্গমুখের সমতলে কিছু শারীরিক দূরত্বের দ্বারা একটিকে স্থানান্তরিত করা। দুটি তরঙ্গমুখ তারপর সুপারইম্পোজ করা হয়, একটি ফ্রিঞ্জ প্যাটার্ন তৈরি করে। প্রান্তগুলির আকার এবং পৃথকীকরণ পরিমাপ করে, এও সিস্টেম তরঙ্গফ্রন্ট বরাবর পর্যায়ের পার্থক্য নির্ধারণ করতে পারে। এই কৌশলটি "শিয়ারিং" নামে পরিচিত। এই কৌশলটির সংবেদনশীলতা ভ্যান সিটার্ট-জার্নাইক উপপাদ্য দ্বারা সীমাবদ্ধ। যদি একটি বর্ধিত উৎসের ছবি তোলা হয়, তবে প্রান্তগুলির মধ্যে বৈসাদৃশ্য উৎসের উজ্জ্বলতা বিতরণের ফুরিয়ার রূপান্তরের আনুপাতিক একটি ফ্যাক্টর দ্বারা হ্রাস পাবে। ভ্যান সিটার্ট-জার্নাইক উপপাদ্যটি বোঝায় যে একটি এও সিস্টেম দ্বারা চিত্রিত একটি বর্ধিত উৎসের পারস্পরিক সঙ্গতি তার উজ্জ্বলতা বিতরণের ফুরিয়ার রূপান্তর হবে। একটি বর্ধিত উৎস তাই প্রান্তগুলির পারস্পরিক সঙ্গতি পরিবর্তন করবে, তাদের বৈপরীত্য হ্রাস করবে। মুক্ত-ইলেকট্রন লেজার মুক্ত-ইলেকট্রন লেজার থেকে বিকিরণের আংশিক স্থানিক সঙ্গতি গণনা করতে ভ্যান সিটার্ট-জার্নাইক উপপাদ্য ব্যবহার করা যেতে পারে। আরও দেখুন ডিগ্রি অফ কোহেরেন্স থিওরি ভিজিবিলিটি হ্যানবারি ব্রাউন অ্যান্ড টুইস ইফেক্ট বোস-আইনস্টাইন কোরিলেশনস রেফারেন্স বিব্লিওগ্রাফিঃ প্রিন্সিপলস অফ অপটিক্স, পারগ্যামন প্রেস, অক্সফোর্ড, 1987, পৃ. 510: অপটিক্স, জন উইলি অ্যান্ড সন্স, নিউ ইয়র্ক, 1986,2য় সংস্করণ, পৃ. 544-545 অ্যাপ্লিকেশন সহ ভ্যান সিটার্ট-জার্নিকে-উপপাদ্যের উপর বাহ্যিক লিঙ্ক বক্তৃতা। বার্কলে বিশ্ববিদ্যালয়ের অধ্যাপক ডেভিড টি. অ্যাটউড ইউটিউবে (এ. এস. টি 210/ই. ই. 233 বক্তৃতা 23)] ভৌত আলোকবিদ্যা জ্যোতির্বিদ্যার রেডিও জ্যোতির্বিজ্ঞান সমীকরণ