Amitsur–Levitzki theorem
বীজগণিতে, আমিতসুর-লেভিৎস্কি উপপাদ্য বলে যে, একটি বিনিময়যোগ্য বলয়ের উপর n × n ম্যাট্রিক্সের বীজগণিত 2n মাত্রার একটি নির্দিষ্ট পরিচয়কে সন্তুষ্ট করে। দ্বারা প্রমাণিত হয়। বিশেষত ম্যাট্রিক্স বলয়গুলি বহুপদী পরিচয় বলয় যাতে তারা যে ক্ষুদ্রতম পরিচয়কে সন্তুষ্ট করে তার ঠিক 2n ডিগ্রি থাকে। বিবৃতি ডিগ্রি এন-এর স্ট্যান্ডার্ড পলিনোমিয়ালটি নন-কমিউটিং ভেরিয়েবল x1,., xn-এ থাকে, যেখানে যোগফলটি সমস্ত n-এর উপর নেওয়া হয়! প্রতিসম গোষ্ঠীর উপাদান Sn। অ্যামিতসুর-লেভিৎস্কি উপপাদ্য বলে যে, n × n ম্যাট্রিক্সের জন্য A1,., A2n যার এন্ট্রিগুলি একটি বিনিময়যোগ্য বলয় থেকে নেওয়া হয়, তারপর প্রুফস প্রথম প্রমাণ দেয়। লাই অ্যালজেব্রার আদিম কোহোমোলজি সম্পর্কে কোসজুল-স্যামেলসন উপপাদ্য থেকে আমিতসুর-লেভিৎস্কি উপপাদ্যটি অনুমান করা হয়েছে। এবং নিম্নরূপ একটি সহজ সমন্বিত প্রমাণ দিয়েছেন। রৈখিকতা দ্বারা এটি উপপাদ্য প্রমাণ করার জন্য যথেষ্ট যখন প্রতিটি ম্যাট্রিক্সের শুধুমাত্র একটি অ-শূন্য এন্ট্রি থাকে, যা 1। এই ক্ষেত্রে প্রতিটি ম্যাট্রিক্সকে n শীর্ষ সহ একটি গ্রাফের নির্দেশিত প্রান্ত হিসাবে এনকোড করা যেতে পারে। সুতরাং সমস্ত ম্যাট্রিক্স একসাথে 2n নির্দেশিত প্রান্ত সহ n শীর্ষে একটি গ্রাফ দেয়। এই পরিচয়ে বলা হয়েছে যে, গ্রাফের যে কোনও দুটি শীর্ষ A এবং B-এর জন্য, A থেকে B পর্যন্ত বিজোড় ইউলারিয়ান পথের সংখ্যা জোড়ের সংখ্যার সমান। (এখানে একটি পথকে বিজোড় বলা হয় বা তার প্রান্তগুলি 2n প্রান্তের একটি বিজোড় বা জোড় বিন্যাস দেয় কিনা তার উপর নির্ভর করে।) রাজহাঁস দেখিয়েছিল যে এই ক্ষেত্রে যদি গ্রাফের প্রান্তের সংখ্যা কমপক্ষে 2n হয়, এইভাবে আমিতসুর-লেভিৎস্কি উপপাদ্য প্রমাণ করে। তিনি কাইলি-হ্যামিল্টন উপপাদ্য সম্পর্কিত একটি প্রমাণ দিয়েছেন। 2n মাত্রার ভেক্টর স্থানের বাহ্যিক বীজগণিত ব্যবহার করে একটি সংক্ষিপ্ত প্রমাণ দিয়েছেন। আরেকটি প্রমাণ দিয়েছেন, যা দেখায় যে অ্যামিতসুর-লেভিৎস্কি উপপাদ্যটি জেনেরিক গ্রাসম্যান ম্যাট্রিক্সের জন্য কাইলি-হ্যামিল্টন পরিচয়। রেফারেন্স বীজগণিতে রৈখিক বীজগণিত উপপাদ্য ম্যাট্রিক্স তত্ত্ব