Berry connection and curvature
পদার্থবিজ্ঞানে, বেরি সংযোগ এবং বেরি বক্রতা সম্পর্কিত ধারণাগুলি যথাক্রমে বেরি পর্যায় বা জ্যামিতিক পর্যায়ের সাথে সম্পর্কিত স্থানীয় গেজ সম্ভাব্যতা এবং গেজ ক্ষেত্র হিসাবে দেখা যেতে পারে। এই ধারণাটি প্রথম এস. পঞ্চরত্নম জ্যামিতিক পর্যায় হিসাবে প্রবর্তন করেছিলেন এবং পরে 1984 সালে প্রকাশিত একটি গবেষণাপত্রে মাইকেল বেরি বিশদভাবে ব্যাখ্যা ও জনপ্রিয় করেছিলেন যে কীভাবে জ্যামিতিক পর্যায়গুলি শাস্ত্রীয় এবং কোয়ান্টাম পদার্থবিজ্ঞানের বিভিন্ন শাখায় একটি শক্তিশালী ঐক্যবদ্ধ ধারণা প্রদান করে। বেরি পর্যায় এবং চক্রীয় অ্যাডিয়াব্যাটিক বিবর্তন কোয়ান্টাম বলবিজ্ঞানে, বেরি পর্যায় একটি চক্রীয় অ্যাডিয়াব্যাটিক বিবর্তনে উদ্ভূত হয়। কোয়ান্টাম অ্যাডিয়াব্যাটিক উপপাদ্যটি এমন একটি ব্যবস্থার ক্ষেত্রে প্রযোজ্য যার হ্যামিল্টনিয়ান একটি (ভেক্টর) পরামিতি নির্ভর করে যা সময়ের সাথে পরিবর্তিত হয়। যদি 'তম আইগেনভ্যালু পথের সর্বত্র অ-অবক্ষয়শীল থাকে এবং সময় t-এর সাথে বৈচিত্র্য যথেষ্ট ধীর হয়, তবে প্রাথমিকভাবে স্বাভাবিক আইগেনস্টেটের একটি সিস্টেম পুরো প্রক্রিয়া জুড়ে একটি পর্যায় পর্যন্ত হ্যামিল্টনিয়ানের একটি তাৎক্ষণিক আইগেনস্টেটের মধ্যে থাকবে। পর্যায় সম্পর্কে, সময় t-এর অবস্থাকে এমনভাবে লেখা যেতে পারে যেখানে দ্বিতীয় সূচকীয় পদটি হল "গতিশীল পর্যায় ফ্যাক্টর"। প্রথম সূচকীয় পদটি হল জ্যামিতিক পদ, যা বেরি পর্যায়। সময়-নির্ভর শ্রোডিঙ্গার সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে এমন প্রয়োজনীয়তা থেকে, এটি দেখানো যেতে পারে যে বেরি পর্যায়টি কেবলমাত্র পরামিতি স্থানের পথের উপর নির্ভর করে, পথটি যে হারে অতিক্রম করা হয় তার উপর নয়। একটি বদ্ধ পথের চারপাশে একটি চক্রাকার বিবর্তনের ক্ষেত্রে, বন্ধ-পথ বেরি পর্যায় হল ভৌত ব্যবস্থার একটি উদাহরণ যেখানে একটি ইলেক্ট্রন একটি বন্ধ পথ ধরে চলে তা হল সাইক্লোট্রন গতি (বিস্তারিত বেরি পর্যায়ের পৃষ্ঠায় দেওয়া হয়েছে)। সঠিক পরিমাণ নির্ধারণের শর্ত পেতে বেরি পর্যায়কে অবশ্যই বিবেচনা করতে হবে। গেজ রূপান্তর একটি গেজ রূপান্তর একটি নতুন সেটের অবস্থার মধ্যে সঞ্চালিত করা যেতে পারে যা শুধুমাত্র একটি নির্ভরশীল ফেজ ফ্যাক্টর দ্বারা মূলগুলির থেকে আলাদা। এটি ওপেন-পাথ বেরি পর্যায়কে পরিবর্তন করে। একটি বদ্ধ পথের জন্য, ধারাবাহিকতার জন্য (একটি পূর্ণসংখ্যা) প্রয়োজন, এবং এটি একটি নির্বিচারে গেজ রূপান্তরের অধীনে অপরিবর্তনীয়, মডুলো অনুসরণ করে। বেরি সংযোগ উপরে সংজ্ঞায়িত বদ্ধ-পথ বেরি পর্যায়টি বেরি সংযোগ (বা বেরি সম্ভাব্যতা) নামে পরিচিত একটি ভেক্টর-মূল্যবান ফাংশন হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে। বেরি সংযোগ গেজ-নির্ভর, হিসাবে রূপান্তরিত হয়। তাই স্থানীয় বেরি সংযোগটি কখনই শারীরিকভাবে পর্যবেক্ষণযোগ্য হতে পারে না। যাইহোক, একটি বদ্ধ পথ বরাবর এর অবিচ্ছেদ্য, বেরি পর্যায়, এর একটি পূর্ণসংখ্যা গুণিতক পর্যন্ত গেজ-অপরিবর্তনীয়। সুতরাং, এটি সম্পূর্ণরূপে গেজ-অপরিবর্তনীয়, এবং শারীরিক পর্যবেক্ষণযোগ্যগুলির সাথে সম্পর্কিত হতে পারে। বেরি বক্রতা বেরি বক্রতা একটি অ্যান্টি-সিমেট্রিক দ্বিতীয়-র্যাঙ্কের টেনসর যা বেরি সংযোগ থেকে উদ্ভূত হয় একটি ত্রিমাত্রিক পরামিতি স্পেসে বেরি বক্রতা সিউডোভেক্টর আকারে লেখা যেতে পারে বেরি বক্রতার টেনসর এবং সিউডোভেক্টর রূপগুলি লেভি-সিভিটা অ্যান্টি-সিমেট্রিক টেনসরের মাধ্যমে একে অপরের সাথে সম্পর্কিত। বেরি সংযোগের বিপরীতে, যা শুধুমাত্র একটি বদ্ধ পথের চারপাশে একীভূত হওয়ার পরে শারীরিক হয়, বেরি বক্রতা প্যারামিটার স্পেসে তরঙ্গ ক্রিয়াকলাপের জ্যামিতিক বৈশিষ্ট্যগুলির একটি গেজ-অপরিবর্তনীয় স্থানীয় প্রকাশ এবং বিভিন্ন বৈদ্যুতিন বৈশিষ্ট্য বোঝার জন্য একটি প্রয়োজনীয় শারীরিক উপাদান হিসাবে প্রমাণিত হয়েছে। একটি বদ্ধ পথের জন্য যা একটি পৃষ্ঠের সীমানা গঠন করে, বদ্ধ-পথ বেরি পর্যায়টি স্টোকসের উপপাদ্য ব্যবহার করে পুনর্লিখন করা যেতে পারে যেমন যদি পৃষ্ঠটি একটি বদ্ধ বহুগুণ হয়, তবে সীমানা শব্দটি অদৃশ্য হয়ে যায়, তবে সীমানা শব্দ মডুলোর অনিশ্চয়তা চেরন উপপাদ্যতে নিজেকে প্রকাশ করে, যা বলে যে একটি বদ্ধ বহুগুণের উপর বেরি বক্রতার অবিচ্ছেদ্য অংশটি এর এককে পরিমাপ করা হয়। এই সংখ্যাটি তথাকথিত চেরন সংখ্যা, এবং বিভিন্ন পরিমাণগত প্রভাব বোঝার জন্য অপরিহার্য। পরিশেষে, লক্ষ্য করুন যে বেরি বক্রতা অন্যান্য সমস্ত আইগেনস্টেটের সমষ্টি হিসাবেও লেখা যেতে পারে উদাহরণস্বরূপঃ চৌম্বক ক্ষেত্রে স্পিনোর চৌম্বক ক্ষেত্রে একটি ঘূর্ণন-1/2 কণার হ্যামিল্টনিয়ানকে এমনভাবে লেখা যেতে পারে যেখানে পাউলি ম্যাট্রিক্সকে বোঝানো হয়, এটি চৌম্বক মুহূর্ত এবং বি হল চৌম্বক ক্ষেত্র। তিনটি মাত্রায়, আইগেনস্টেটগুলির শক্তি রয়েছে এবং তাদের আইগেনভেক্টরগুলি এখন অবস্থা বিবেচনা করে। এর বেরি সংযোগ হিসাবে গণনা করা যেতে পারে, এবং বেরি বক্রতা হল যদি আমরা (বা অন্য কোনও পর্যায়) দ্বারা গুণ করে একটি নতুন গেজ বেছে নিই, বেরি সংযোগগুলি হল এবং, যখন বেরি বক্রতা একই থাকে। এটি এই সিদ্ধান্তের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ যে বেরি সংযোগ গেজ-নির্ভর, যেখানে বেরি বক্রতা নয়। প্রতি কঠিন কোণে বেরি বক্রতা দ্বারা দেওয়া হয়। এই ক্ষেত্রে, চৌম্বক ক্ষেত্রের স্থানে একক গোলকের যে কোনও প্রদত্ত পথের সাথে সম্পর্কিত বেরি পর্যায়টি পথ দ্বারা নিক্ষিপ্ত কঠিন কোণের মাত্র অর্ধেক। সমগ্র গোলকের উপর বেরি বক্রতার অবিচ্ছেদ্য অংশটি তাই ঠিক, যাতে চেরন সংখ্যাটি চেরন উপপাদ্যের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ। স্ফটিকগুলিতে প্রয়োগ স্ফটিকের কঠিন পদার্থের বৈদ্যুতিন বৈশিষ্ট্যের আধুনিক তদন্তে এবং কোয়ান্টাম হল প্রভাবের তত্ত্বে বেরি পর্যায় গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে। স্ফটিকীয় সম্ভাবনার পর্যায়ক্রমিকতা ব্লচ উপপাদ্যের প্রয়োগের অনুমতি দেয়, যেখানে বলা হয়েছে যে হ্যামিল্টনিয়ান আইগেনস্টেটগুলি একটি ব্যান্ড সূচকের রূপ নেয়, পারস্পরিক-স্থানের (ব্রিলউইন অঞ্চল) একটি তরঙ্গ-পরিবাহক, এবং এর একটি পর্যায়ক্রমিক ফাংশন। তারপর, প্যারামিটারের ভূমিকা পালন করতে দিলে, পারস্পরিক স্থানে বেরি পর্যায়, সংযোগ এবং বক্রতা সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, পারস্পরিক স্থানে বেরি সংযোগটি হল কারণ ব্লচ উপপাদ্যটিও বোঝায় যে পারস্পরিক স্থানটি নিজেই বন্ধ, ব্রিলউইন জোনে তিনটি মাত্রায় 3-টরসের টপোলজি রয়েছে, একটি বদ্ধ লুপে একীকরণের প্রয়োজনীয়তা বা বহুগুণ সহজেই সন্তুষ্ট করা যেতে পারে। এইভাবে, বৈদ্যুতিক মেরুকরণ, কক্ষীয় চুম্বকায়ন, ব্যতিক্রমী হল পরিবাহিতা এবং কক্ষীয় চৌম্বকীয় সংযোগের মতো বৈশিষ্ট্যগুলি বেরি পর্যায়, সংযোগ এবং বক্রতার পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করা যেতে পারে। তথ্যসূত্র বাহ্যিক সংযোগ কোয়ান্টাম পর্যায়, পাঁচ বছর পর। লিখেছেন এম. বেরি। বৈদ্যুতিন কাঠামো তত্ত্বে বেরি পর্যায় এবং বক্রতা ডি. ভ্যান্ডারবিল্টের একটি বক্তৃতা। বেরি-লজি, অরবিটাল ম্যাগনেটইলেক্ট্রিক এফেক্টস, এবং টপোলজিকাল ইনসুলেটর-ডি. ভ্যান্ডারবিল্টের একটি বক্তৃতা। ধ্রুপদী বলবিজ্ঞান কোয়ান্টাম পর্যায়