Multivariate stable distribution
মাল্টিভ্যারিয়েট স্টেবল ডিস্ট্রিবিউশন হল একটি মাল্টিভ্যারিয়েট সম্ভাব্যতা ডিস্ট্রিবিউশন যা ইউনিভ্যারিয়েট স্টেবল ডিস্ট্রিবিউশনের একটি মাল্টিভ্যারিয়েট সাধারণীকরণ। মাল্টিভ্যারিয়েট স্থিতিশীল বন্টন স্থিতিশীল বন্টন প্রান্তিকগুলির মধ্যে রৈখিক সম্পর্ককে সংজ্ঞায়িত করে। অভিন্ন ক্ষেত্রে যেমন হয়, তেমনই বন্টনকে তার চরিত্রগত কার্যকারিতার পরিপ্রেক্ষিতে সংজ্ঞায়িত করা হয়। মাল্টিভ্যারিয়েট স্থিতিশীল বিতরণকে মাল্টিভ্যারিয়েট স্বাভাবিক বিতরণের সম্প্রসারণ হিসাবেও ভাবা যেতে পারে। এটির পরামিতি, α রয়েছে, যা 0 <α ≤ 2 পরিসরে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে এবং যেখানে α = 2 কেসটি মাল্টিভ্যারিয়েট স্বাভাবিক বিতরণের সমতুল্য। এটিতে একটি অতিরিক্ত তির্যক পরামিতি রয়েছে যা অ-প্রতিসম বিতরণের অনুমতি দেয়, যেখানে মাল্টিভ্যারিয়েট স্বাভাবিক বিতরণ প্রতিসম হয়। সংজ্ঞা ধরা যাক একক গোলক। একটি র্যান্ডম ভেক্টরের একটি মাল্টিভ্যারিয়েট স্থিতিশীল বন্টন থাকে-যা-হিসাবে চিহ্নিত করা হয়, যদি এর যৌথ বৈশিষ্ট্যমূলক ফাংশন 0 <α <2 হয়, এবং এর জন্য এটি মূলত ফেল্ডহেইমের ফলাফল, যে কোনও স্থিতিশীল র্যান্ডম ভেক্টরকে একটি বর্ণালী পরিমাপ (একটি সীমাবদ্ধ পরিমাপ) এবং একটি শিফট ভেক্টর দ্বারা চিহ্নিত করা যেতে পারে। প্রজেকশন ব্যবহার করে প্যারামিট্রাইজেশন একটি স্থিতিশীল র্যান্ডম ভেক্টর বর্ণনা করার আরেকটি উপায় হল প্রজেকশনের ক্ষেত্রে। যে কোনও ভেক্টরের জন্য, অভিক্ষেপটি কিছু তির্যকতা, স্কেল এবং কিছু স্থানান্তর সহ অভিন্ন স্থিতিশীল। প্রতিটি শব্দের জন্য যদি এক্স স্থিতিশীল হয় তবে স্বরলিপিটি ব্যবহার করা হয়। একে প্রজেকশন প্যারামিটারাইজেশন বলা হয়। বর্ণালী পরিমাপ অভিক্ষেপ পরামিতি ফাংশন নির্ধারণ করেঃ বিশেষ ক্ষেত্রে এমন বিশেষ ক্ষেত্রে রয়েছে যেখানে মাল্টিভ্যারিয়েট বৈশিষ্ট্যমূলক ফাংশন একটি সহজ রূপ নেয়। একটি স্থিতিশীল প্রান্তিকের বৈশিষ্ট্যমূলক ক্রিয়াকে আইসোট্রপিক মাল্টিভ্যারিয়েট স্থিতিশীল বন্টন হিসাবে সংজ্ঞায়িত করুন বৈশিষ্ট্যমূলক ক্রিয়া হল বর্ণালী পরিমাপ অবিচ্ছিন্ন এবং অভিন্ন, যা রেডিয়াল/আইসোট্রপিক প্রতিসাম্যের দিকে পরিচালিত করে। বহুমাত্রিক ক্ষেত্রে, এটি স্বাধীন উপাদানগুলির সাথে মিলে যায়, তবে কখন হয় তা নয়। আইসোট্রপি হল উপবৃত্তাকারতার একটি বিশেষ ক্ষেত্রে (পরবর্তী অনুচ্ছেদটি দেখুন)-শুধুমাত্র আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্সের একটি গুণিতক হিসাবে গ্রহণ করুন। উপবৃত্তাকারভাবে কনট্যুরড মাল্টিভ্যারিয়েট স্থিতিশীল বন্টন উপবৃত্তাকারভাবে কনট্যুরড মাল্টিভ্যারিয়েট স্থিতিশীল বন্টন হল মাল্টিভ্যারিয়েট স্থিতিশীল বন্টনের একটি বিশেষ প্রতিসম কেস। যদি এক্স α-স্থিতিশীল এবং উপবৃত্তাকারভাবে কনট্যুরড হয়, তবে এর কিছু স্থানান্তর ভেক্টরের জন্য যৌথ বৈশিষ্ট্যমূলক ফাংশন রয়েছে (যখন এটি বিদ্যমান থাকে তখন গড়ের সমান) এবং কিছু ধনাত্মক নির্দিষ্ট ম্যাট্রিক্স (একটি পারস্পরিক সম্পর্ক ম্যাট্রিক্সের অনুরূপ, যদিও পারস্পরিক সম্পর্কের স্বাভাবিক সংজ্ঞাটি অর্থপূর্ণ হতে ব্যর্থ হয়)। মাল্টিভ্যারিয়েট স্বাভাবিক বণ্টনের বৈশিষ্ট্যমূলক ফাংশনের সাথে সম্পর্কটি লক্ষ্য করুনঃ যখন α = 2 পাওয়া যায়। স্বাধীন উপাদানগুলি প্রান্তিকগুলির সাথে স্বাধীন, তারপর বৈশিষ্ট্যমূলক ফাংশনটি লক্ষ্য করুন যে যখন α = 2 এটি আবার মাল্টিভ্যারিয়েট নর্মালে হ্রাস পায়; মনে রাখবেন যে α <2 হলে আই. আই. ডি কেস এবং আইসোট্রপিক কেস মিলে যায় না। স্বতন্ত্র উপাদানগুলি পৃথক বর্ণালী পরিমাপের একটি বিশেষ ক্ষেত্রে (পরবর্তী অনুচ্ছেদ দেখুন), মানক একক ভেক্টর দ্বারা সমর্থিত বর্ণালী পরিমাপ সহ। যদি বর্ণালী পরিমাপটি বৈশিষ্ট্যমূলক ফাংশনে ভরের সাথে বিচ্ছিন্ন হয় তবে রৈখিক বৈশিষ্ট্য হয় যদি ডি-মাত্রিক হয় তবে এ একটি এম এক্স ডি ম্যাট্রিক্স, এবং তারপরে এএক্স + বি স্কেল ফাংশন স্ক্যুনেস ফাংশন এবং অবস্থান ফাংশন সহ এম-মাত্রিক-স্থিতিশীল স্বাধীন উপাদান মডেলে অনুমান সম্প্রতি এটি দেখানো হয়েছিল যে কীভাবে একটি রৈখিক মডেলে (বা সমতুল্য একটি ফ্যাক্টর বিশ্লেষণ মডেল) বদ্ধ আকারে অনুমান গণনা করা যায়, যা স্বাধীন উপাদান মডেলগুলিকে জড়িত করে। আরও সুনির্দিষ্টভাবে, আই. আই. ডি-র একটি সেট হতে দিন। একটি স্থিতিশীল বন্টন থেকে টানা অবলোকন করা অভিন্ন। আকারের একটি পরিচিত রৈখিক সম্পর্ক ম্যাট্রিক্স এ দেওয়া হলে, পর্যবেক্ষণটি লুকানো কারণগুলির একটি কনভোলিউশন হিসাবে বিতরণ করা হয়েছে বলে মনে করা হয়। । অনুমানের কাজটি হল রৈখিক সম্পর্ক ম্যাট্রিক্স এ এবং পর্যবেক্ষণের পরিপ্রেক্ষিতে সবচেয়ে সম্ভাব্য গণনা করা। এই কাজটি বন্ধ আকারে ও (এন3)-তে গণনা করা যেতে পারে। এই নির্মাণের জন্য একটি প্রয়োগ হল স্থিতিশীল, অ-গাউসীয় গোলমাল সহ বহু-ব্যবহারকারী সনাক্তকরণ। আরও দেখুন মাল্টিভ্যারিয়েট কচি ডিস্ট্রিবিউশন মাল্টিভ্যারিয়েট নরমাল ডিস্ট্রিবিউশন রিসোর্স মার্ক ভেইলেটের স্থিতিশীল ডিস্ট্রিবিউশন ম্যাটল্যাব প্যাকেজ http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/37514 এই পৃষ্ঠার প্লটগুলি যেখানে রৈখিক-স্থিতিশীল মডেল ম্যাটল্যাব প্যাকেজে ড্যানি বিকসনের অনুমান ব্যবহার করে প্লট করা হয়েছেঃ https://www.cs.cmu.edu ~ বিকসন/স্থিতিশীল নোট মাল্টিভ্যারিয়েট অবিচ্ছিন্ন বিতরণ অসীম বৈচিত্র্যের সাথে সম্ভাব্যতা বিতরণ