Orthodiagonal quadrilateral
ইউক্লিডীয় জ্যামিতিতে, একটি অর্থোডায়াগোনাল চতুর্ভুজ হল একটি চতুর্ভুজ যেখানে তির্যকগুলি সমকোণে অতিক্রম করে। অন্য কথায়, এটি একটি চার-পার্শ্বযুক্ত চিত্র যেখানে অ-সংলগ্ন শীর্ষগুলির মধ্যে রেখাখন্ডগুলি একে অপরের সাথে অর্থোগোনাল (লম্ব) হয়। বিশেষ ক্ষেত্রে একটি ঘুড়ি একটি অর্থোডায়াগোনাল চতুর্ভুজ যেখানে একটি তির্যক প্রতিসাম্যের একটি রেখা। ঘুড়িগুলি ঠিক অর্থোডায়াগোনাল চতুর্ভুজ যা তাদের চারটি দিকের জন্য একটি বৃত্তাকার স্পর্শক ধারণ করে; অর্থাৎ, ঘুড়িগুলি স্পর্শক অর্থোডায়াগোনাল চতুর্ভুজ। রম্বাস হল একটি অর্থোডায়াগোনাল চতুর্ভুজ যার দুটি জোড়া সমান্তরাল দিক রয়েছে (অর্থাৎ, একটি অর্থোডায়াগোনাল চতুর্ভুজ যা একটি সমান্তরাল চতুর্ভুজও)। একটি বর্গাকার হল ঘুড়ি এবং রম্বাস উভয়েরই একটি সীমাবদ্ধ কেস। অর্থোডায়াগোনাল ইকুইডায়াগোনাল চতুর্ভুজ যেখানে ত্রিভুজগুলি কমপক্ষে চতুর্ভুজের সমস্ত পক্ষের মতো দীর্ঘ, সমস্ত চতুর্ভুজের মধ্যে তাদের ব্যাসের জন্য সর্বাধিক এলাকা রয়েছে, যা বৃহত্তম ছোট বহুভুজ সমস্যার n = 4 কেস সমাধান করে। বর্গক্ষেত্রটি এমনই একটি চতুর্ভুজ, তবে আরও অসীম সংখ্যক রয়েছে। একটি অর্থোডায়াগোনাল চতুর্ভুজ যা সমকোণও হয় একটি মধ্য বর্গ চতুর্ভুজ কারণ এর ভ্যারিনন সমান্তরাল চতুর্ভুজ একটি বর্গক্ষেত্র। এর আয়তন সম্পূর্ণরূপে এর পার্শ্বের পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করা যেতে পারে। যে কোনও অর্থোডায়াগোনাল চতুর্ভুজের জন্য, দুটি বিপরীত পক্ষের বর্গের যোগফল অন্য দুটি বিপরীত পক্ষের সমানঃ ধারাবাহিক পক্ষের জন্য a, b, c, এবং d, আমাদের কাছে রয়েছে এটি পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্য থেকে অনুসরণ করা হয়, যার দ্বারা দুটি বর্গের এই দুটি যোগফলের মধ্যে যে কোনও একটি চতুর্ভুজের শীর্ষগুলি থেকে চারটি বর্গ দূরত্বের যোগফলের সমান প্রসারিত করা যেতে পারে যেখানে তির্যকগুলি ছেদ করে। বিপরীতভাবে, যে কোনও চতুর্ভুজ যেখানে a2 + c2 = b2 + d2 অবশ্যই অর্থোডায়াগোনাল হতে হবে। কোসাইন, ভেক্টর, একটি পরোক্ষ প্রমাণ এবং জটিল সংখ্যার সূত্র ব্যবহার সহ এটি বেশ কয়েকটি উপায়ে প্রমাণিত হতে পারে। একটি উত্তল চতুর্ভুজের তির্যকগুলি লম্ব হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি দুটি দ্বি-মধ্যমা সমান দৈর্ঘ্যের হয়। আরেকটি বৈশিষ্ট্য অনুসারে, একটি উত্তল চতুর্ভুজ এ. বি. সি. ডি-র তির্যকগুলি লম্ব হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি যেখানে পি তির্যকগুলির ছেদ বিন্দু হয়। এই সমীকরণ থেকে এটি প্রায় অবিলম্বে অনুসরণ করা হয় যে একটি উত্তল চতুর্ভুজের তির্যকগুলি লম্ব হয় যদি এবং কেবলমাত্র চতুর্ভুজের পাশে তির্যক ছেদগুলির অনুমানগুলি একটি চক্রীয় চতুর্ভুজের শীর্ষবিন্দু হয়। একটি উত্তল চতুর্ভুজ অর্থোডায়াগোনাল হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি তার ভ্যারিনন সমান্তরাল চতুর্ভুজ (যার শীর্ষগুলি তার দিকগুলির মধ্যবিন্দু হয়) একটি আয়তক্ষেত্র হয়। একটি সম্পর্কিত বৈশিষ্ট্যে বলা হয়েছে যে একটি উত্তল চতুর্ভুজ অর্থোডায়াগোনাল হয় যদি এবং কেবলমাত্র চারটি মাল্টিট্যুডের পার্শ্ব এবং পায়ের মধ্যবিন্দু আটটি কনসাইক্লিক পয়েন্ট হয়; আটটি বিন্দু বৃত্ত। এই বৃত্তের কেন্দ্র হল চতুর্ভুজের কেন্দ্রবিন্দু। মাল্টিট্যুডের পাদ দ্বারা গঠিত চতুর্ভুজকে প্রধান অর্থিক চতুর্ভুজ বলা হয়। যদি তির্যক ছেদ দিয়ে একটি উত্তল চতুর্ভুজ এ. বি. সি. ডি-র পার্শ্বের স্বাভাবিকগুলি আর, এস, টি, ইউ এবং কে, এল, এম, এন-এর বিপরীত দিকগুলিকে ছেদ করে, তবে এ. বি. সি. ডি অর্থোডায়াগোনাল হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি আটটি বিন্দু কে, এল, এম, এন, আর, এস, টি এবং ইউ চক্রাকার হয়; দ্বিতীয় আটটি বিন্দু বৃত্ত। একটি সম্পর্কিত বৈশিষ্ট্যে বলা হয়েছে যে একটি উত্তল চতুর্ভুজ অর্থোডায়াগোনাল হয় যদি এবং শুধুমাত্র আর. এস. টি. ইউ একটি আয়তক্ষেত্র হয় যার দিকগুলি এ. বি. সি. ডি-র তির্যকগুলির সমান্তরাল হয়। তির্যক ছেদ পি এবং একটি উত্তল চতুর্ভুজ এ. বি. সি. ডি-এর শীর্ষ দ্বারা গঠিত চারটি ত্রিভুজ সম্পর্কে বেশ কয়েকটি মেট্রিক বৈশিষ্ট্য রয়েছে। এ. বি. পি, বি. সি. পি, সি. ডি. পি, ডি. এ. পি ত্রিভুজের মধ্যবর্তীগুলিকে যথাক্রমে পি থেকে এবি, বিসি, সিডি, ডি. এ পর্যন্ত যথাক্রমে এম1, এম2, এম3, এম4 দ্বারা চিহ্নিত করুন। যদি আর1, আর2, আর3, আর4 এবং এইচ1, এইচ2, এইচ3, এইচ4 এই ত্রিভুজগুলির বৃত্তের ব্যাসার্ধ এবং উচ্চতা যথাক্রমে নির্দেশ করে, তবে চতুর্ভুজ এ. বি. সি. ডি অর্থোডায়াগোনাল হয় যদি এবং কেবলমাত্র যদি নিম্নলিখিত সমতার মধ্যে কোনও একটি থাকেঃ উপরন্তু, ত্রিভুজগুলির ছেদ পি সহ একটি চতুর্ভুজ এ. বি. সি. ডি অর্থোডায়াগোনাল হয় যদি এবং কেবলমাত্র যদি ত্রিভুজগুলির পরিধি এ. বি. পি, বি. সি. পি, সি. ডি. পি এবং ডি. এ. পি চতুর্ভুজের পার্শ্বগুলির মধ্যবিন্দু হয়। একটি স্পর্শক চতুর্ভুজের সাথে তুলনা স্পর্শক চতুর্ভুজের কয়েকটি মেট্রিক বৈশিষ্ট্য এবং অর্থোডায়াগোনাল চতুর্ভুজের চেহারায় খুব মিল রয়েছে, যা এই টেবিলে দেখা যায়। উভয় ধরনের চতুর্ভুজের ক্ষেত্রে a, b, c, d, পরিধি R1, R2, R3, R4 এবং উচ্চতা h1, h2, h3, h4-এর স্বরলিপিগুলি উপরের মত একই। আয়তন একটি অর্থোডায়াগোনাল চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল K তির্যক p এবং q-এর দৈর্ঘ্যের গুণফলের অর্ধেকের সমানঃ বিপরীতভাবে, যে কোনও উত্তল চতুর্ভুজ যেখানে এই সূত্র দিয়ে ক্ষেত্রফল গণনা করা যেতে পারে তা অবশ্যই অর্থোডায়াগোনাল হতে হবে। প্রদত্ত তির্যক সহ সমস্ত উত্তল চতুর্ভুজের মধ্যে অর্থোডায়াগোনাল চতুর্ভুজের আয়তন সবচেয়ে বেশি। অন্যান্য বৈশিষ্ট্যগুলি হল অর্থোডায়াগোনাল চতুর্ভুজগুলি হল একমাত্র চতুর্ভুজ যার জন্য তির্যক দ্বারা গঠিত দিক এবং কোণ অনন্যভাবে এলাকা নির্ধারণ করে না। উদাহরণস্বরূপ, দুটি রম্বির উভয়েরই সাধারণ দিক a রয়েছে (এবং, সমস্ত রম্বির ক্ষেত্রে, উভয়েরই তির্যকগুলির মধ্যে একটি সমকোণ রয়েছে), তবে একটির অন্যটির তুলনায় ছোট তীব্র কোণ রয়েছে, যার বিভিন্ন এলাকা রয়েছে (তীব্র কোণ শূন্যের কাছাকাছি আসার সাথে সাথে শূন্যের দিকে এগিয়ে যাওয়া)। যদি কোনও চতুর্ভুজের (উত্তল, অবতল বা অতিক্রমিত) বাইরের দিকে বর্গক্ষেত্রগুলি স্থাপন করা হয়, তবে তাদের কেন্দ্রগুলি (কেন্দ্রবিন্দু) একটি অর্থোডায়াগোনাল চতুর্ভুজের শীর্ষ যা সমকোণ (অর্থাৎ সমান দৈর্ঘ্যের তির্যক)। একে ভ্যান অবেলের উপপাদ্য বলা হয়। একটি অর্থোডায়াগোনাল চতুর্ভুজের প্রতিটি পাশের প্যাসকেল পয়েন্ট বৃত্তের সাথে কমপক্ষে একটি সাধারণ বিন্দু থাকে। একটি চক্রাকার অর্থোডায়াগোনাল চতুর্ভুজের জন্য (যা একটি বৃত্তে খোদাই করা যেতে পারে), ধরুন তির্যকগুলির ছেদ একটি তির্যককে p1 এবং p2 দৈর্ঘ্যের অংশে বিভক্ত করে এবং অন্য তির্যককে q1 এবং q2 দৈর্ঘ্যের অংশে বিভক্ত করে। তারপর (প্রথম সমতা হল আর্কিমিডিসের বুক অফ লেমাসের প্রস্তাবনা 11) যেখানে ডি হল বৃত্তের ব্যাস। এটি ধারণ করে কারণ তির্যকগুলি একটি বৃত্তের লম্ব কর্ড। এই সমীকরণগুলি বৃত্তাকার অভিব্যক্তি বা চতুর্ভুজের দিকগুলির পরিপ্রেক্ষিতে সূত্র দেয়, যেমন এটি আরও অনুসরণ করে যে সুতরাং, অয়লারের চতুর্ভুজ উপপাদ্য অনুসারে, বৃত্তাকারকে তির্যক p এবং q-এর পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করা যেতে পারে, এবং ত্রিভুজগুলির মধ্যবিন্দুগুলির মধ্যে x দূরত্বকে একটি সূত্র হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে যা টলেমির উপপাদ্য এবং একটি অর্থোডায়াগোনাল চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফলের সূত্রকে একত্রিত করার সময় চারটি দিকের পরিপ্রেক্ষিতে একটি চক্রাকার অর্থোডায়াগোনাল চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফলের জন্য সরাসরি প্রাপ্ত হয়। ফলাফল হল অন্যান্য বৈশিষ্ট্য একটি চক্রাকার অর্থোডায়াগোনাল চতুর্ভুজে, অ্যান্টিসেন্টারটি সেই বিন্দুর সাথে মিলে যায় যেখানে তির্যকগুলি ছেদ করে। ব্রহ্মগুপ্তের উপপাদ্য বলে যে একটি চক্রাকার অর্থোডায়াগোনাল চতুর্ভুজের জন্য, তির্যকগুলির ছেদ বিন্দুর মধ্য দিয়ে যে কোনও দিক থেকে লম্ব বিপরীত দিককে দ্বিখণ্ডিত করে। যদি একটি অর্থোডায়াগোনাল চতুর্ভুজও চক্রীয় হয়, তবে পরিধি কেন্দ্র (পরিবেষ্টিত বৃত্তের কেন্দ্র) থেকে যে কোনও দিকের দূরত্ব বিপরীত দিকের দৈর্ঘ্যের অর্ধেকের সমান। একটি চক্রাকার অর্থোডায়াগোনাল চতুর্ভুজে, তির্যকগুলির মধ্যবিন্দুগুলির মধ্যে দূরত্ব পরিধি কেন্দ্র এবং যেখানে তির্যকগুলি ছেদ করে সেই বিন্দুর মধ্যে দূরত্বের সমান। খোদাই করা আয়তক্ষেত্রের অসীম সেট প্রতিটি অর্থোডায়াগোনাল চতুর্ভুজের জন্য, আমরা আয়তক্ষেত্রের দুটি অসীম সেট লিখতে পারিঃ (i) আয়তক্ষেত্রের একটি সেট যার দিকগুলি চতুর্ভুজের তির্যকগুলির সমান্তরাল (ii) প্যাসকেল-পয়েন্ট বৃত্ত দ্বারা সংজ্ঞায়িত আয়তক্ষেত্রের একটি সেট। তথ্যসূত্র চতুর্ভুজের প্রকার