N = 1 supersymmetric Yang–Mills theory
তাত্ত্বিক পদার্থবিজ্ঞানে, আরও নির্দিষ্টভাবে কোয়ান্টাম ক্ষেত্র তত্ত্ব এবং সুপারসিমেট্রি-তে, সুপারসিমেট্রিক ইয়াং-মিলস, যা সুপার ইয়াং-মিলস নামেও পরিচিত এবং সংক্ষেপে এসওয়াইএম, ইয়াং-মিলস তত্ত্বের একটি সুপারসিমেট্রিক সাধারণীকরণ, যা একটি গেজ তত্ত্ব যা কণা পদার্থবিজ্ঞানে বলের গাণিতিক গঠনে গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে। সুপার ইয়াং-মিলস জুলিয়াস ওয়েস এবং ব্রুনো জুমিনো দ্বারা অধ্যয়ন করা হয়েছিল যেখানে তারা তত্ত্বের সুপারগেজ-বৈপরীত্য প্রদর্শন করেছিল এবং ওয়েস-জুমিনো মডেলের ক্রিয়ার পাশাপাশি এর ক্রিয়া লিখেছিল, আরেকটি প্রাথমিক সুপারসিমেট্রিক ক্ষেত্র তত্ত্ব। এই নিবন্ধের আলোচনাটি মূলত ফিগুয়েরোয়া-ও 'ফারিলের সুপারসিমেট্রি এবং টং-এর উপর বক্তৃতার অনুসরণ করে। যদিও এন = 4 সুপারসিমেট্রিক ইয়াং-মিলস তত্ত্বটিও একটি সুপারসিমেট্রিক ইয়াং-মিলস তত্ত্ব, তবে এর সুপারসিমেট্রিক ইয়াং-মিলস তত্ত্বের থেকে খুব আলাদা বৈশিষ্ট্য রয়েছে, যা এই নিবন্ধে আলোচিত তত্ত্ব। সুপারসিমেট্রিক ইয়াং-মিলস তত্ত্বটি সাইবার্গ-উইটেন তত্ত্বে সাইবার্গ এবং উইটেন দ্বারা অধ্যয়ন করা হয়েছিল। তিনটি তত্ত্বই সুপার মিনকোভস্কি স্পেসের উপর ভিত্তি করে তৈরি। সুপারসিমেট্রিক ইয়াং-মিলস অ্যাকশন প্রিলিমিনারি ট্রিটমেন্ট একটি প্রথম ট্রিটমেন্ট সুপারস্পেস সংজ্ঞায়িত না করেই করা যেতে পারে, পরিবর্তে নন-সুপারসিমেট্রিক কোয়ান্টাম ফিল্ড তত্ত্বের পরিচিত ক্ষেত্রগুলির পরিপ্রেক্ষিতে তত্ত্বটিকে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। স্থানকাল এবং পদার্থের বিষয়বস্তু মূল স্থানকাল হল সমতল স্থানকাল (মিনকোভস্কি স্থান)। এসওয়াইএম একটি গেজ তত্ত্ব, এবং এই তত্ত্বের সাথে একটি সম্পর্কিত গেজ গ্রুপ রয়েছে। গেজ গ্রুপটি লাই বীজগণিতকে যুক্ত করেছে। ক্ষেত্রের বিষয়বস্তু তখন একটি-মূল্যবান গেজ ক্ষেত্র একটি-মূল্যবান মাজোরানা স্পিনোর ক্ষেত্র (একটি সংলগ্ন-মূল্যবান স্পিনোর) নিয়ে গঠিত, যা 'গেজিনো' এ-মূল্যবান সহায়ক স্কেলার ক্ষেত্র হিসাবে পরিচিত। গেজ-বৈপরীত্যের জন্য, গেজ ক্ষেত্রটি অপরিহার্যভাবে ভরহীন। এর অর্থ হল যদি সুপারসিমেট্রি ধরে রাখতে হয় তবে এর সুপারপার্টনারও ভরহীন। অতএব দুটি ওয়েল স্পিনারের পরিপ্রেক্ষিতে লেখা যেতে পারে যা একে অপরের সাথে সংযুক্তঃ, এবং তত্ত্বটি পরিবর্তে ওয়েল স্পিনোর ক্ষেত্রের পরিপ্রেক্ষিতে প্রণয়ন করা যেতে পারে। সুপারসিমেট্রিক বিশুদ্ধ তড়িৎচুম্বকীয় তত্ত্ব যখন, ধারণাগত অসুবিধাগুলি কিছুটা সহজতর হয়, এবং এটি কিছু অর্থে সহজতম পরিমাপ তত্ত্ব। ক্ষেত্রের বিষয়বস্তু কেবল একটি (সহ-) ভেক্টর ক্ষেত্র, একটি মজোরানা স্পিনোর এবং একটি সহায়ক বাস্তব স্কেলার ক্ষেত্র। ক্ষেত্রের শক্তি টেনসর যথারীতি সংজ্ঞায়িত করা হয়। ওয়েস এবং জুমিনো দ্বারা লিখিত ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান তারপর হয় এটি একটি কাপলিং ধ্রুবক অন্তর্ভুক্ত করার জন্য সাধারণীকরণ করা যেতে পারে, এবং থিটা শব্দ, যেখানে দ্বৈত ক্ষেত্র শক্তি টেনসর এবং বিকল্প টেনসর বা সম্পূর্ণ অ্যান্টিসিমেট্রিক টেনসর। যদি আমরা ক্ষেত্রটিকে ওয়েইল স্পিনোর দিয়ে প্রতিস্থাপন করি, তবে একটি সুপারসিমেট্রিক ক্রিয়া হিসাবে লেখা যেতে পারে এটি একটি বিশুদ্ধ গেজ তত্ত্বের সুপারসিমেট্রিক সাধারণীকরণ হিসাবে দেখা যেতে পারে, যা ম্যাক্সওয়েল তত্ত্ব বা বিশুদ্ধ বৈদ্যুতিন চৌম্বকীয় তত্ত্ব নামেও পরিচিত। সুপারসিমেট্রিক ইয়াং-মিলস তত্ত্ব (প্রাথমিক চিকিৎসা) সম্পূর্ণ সাধারণতায়, আমাদের অবশ্যই গ্লুওন ক্ষেত্রের শক্তি টেনসর এবং সংলগ্ন ওয়েইল স্পিনরের কোভ্যারিয়েন্ট ডেরিভেটিভকে সংজ্ঞায়িত করতে হবে, ক্রিয়াটি লেখার জন্য, একটি অপরিবর্তনীয় অভ্যন্তরীণ পণ্য প্রয়োজনঃ কিলিং ফর্মটি এমন একটি অভ্যন্তরীণ পণ্য, এবং স্বরলিপির একটি সাধারণ অপব্যবহারের ক্ষেত্রে আমরা কেবল এইভাবে লিখি যে, অপরিবর্তনীয় অভ্যন্তরীণ পণ্যটি এর কিছু উপস্থাপনায় ট্রেস হিসাবে উদ্ভূত হয়। সুপারসিমেট্রিক ইয়াং-মিলস তারপর সহজেই সুপারসিমেট্রিক ম্যাক্সওয়েল তত্ত্ব থেকে সাধারণীকরণ করে। একটি সহজ সংস্করণ হল যখন একটি আরও সাধারণ সংস্করণ সুপারস্পেস ট্রিটমেন্ট সুপারস্পেস এবং সুপারফিল্ড বিষয়বস্তু দ্বারা দেওয়া হয় বেস সুপারস্পেস হল সুপার মিনকোভস্কি স্থান। তত্ত্বটি একটি একক সংলগ্ন-মূল্যবান বাস্তব সুপারফিল্ডের পরিপ্রেক্ষিতে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে, যা ওয়েস-জুমিনো গেজে স্থির করা হয়েছে। সুপারস্পেসের উপর সুপারসিমেট্রিক ম্যাক্সওয়েল তত্ত্বটি একটি সুপারফিল্ডের পরিপ্রেক্ষিতে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে যা এর কোভ্যারিয়েন্ট ডেরিভেটিভ গ্রহণ থেকে উদ্ভূত হয়ঃ সুপারসিমেট্রিক ক্রিয়াটি তারপর একটি জটিল কাপলিং ধ্রুবক সহ লেখা হয়, যেখানে এইচ. সি পূর্ববর্তী পদের হার্মিটিয়ান কনজুগেটকে নির্দেশ করে। সুপারস্পেসের উপর সুপারসিমেট্রিক ইয়াং-মিলস নন-অ্যাবেলিয়ান গেজ তত্ত্বের জন্য, পরিবর্তে এবং সংজ্ঞায়িত করুন। তারপর ক্রিয়াটি হল ক্রিয়ার সমমিতি সুপারসিমেট্রি মিনকোভস্কি স্পেসে সরলীকৃত ইয়াং-মিল ক্রিয়ার জন্য (সুপারস্পেসে নয়), সুপারসিমেট্রি রূপান্তরগুলি যেখানে রয়েছে। সুপারস্পেসে ইয়াং-মিলসের ক্রিয়ার জন্য, যেহেতু এটি কাইরাল, তাই ক্ষেত্রগুলি থেকে নির্মিত হয়। তারপর সুপারস্পেসের অর্ধেকের বেশি সংহত করলে, একটি সুপারসিমেট্রিক ক্রিয়া পাওয়া যায়। একটি গুরুত্বপূর্ণ পর্যবেক্ষণ হল যে ওয়েস-জুমিনো গেজ একটি সুপারসিমেট্রিক গেজ নয়, অর্থাৎ এটি সুপারসিমেট্রি দ্বারা সংরক্ষিত নয়। যাইহোক, ওয়েস-জুমিনো গেজে ফিরে আসার জন্য একটি ক্ষতিপূরণ গেজ রূপান্তর করা সম্ভব। তারপর, একটি সুপারসিমেট্রি রূপান্তর এবং ক্ষতিপূরণ গেজ রূপান্তরের পরে, সুপারফিল্ডগুলি গেজ প্রতিসাম্য হিসাবে রূপান্তরিত হয় স্পেসটাইমে সংজ্ঞায়িত প্রাথমিক তত্ত্বটি স্পষ্টভাবে গেজ অপরিবর্তনীয় কারণ এটি অ-সুপারসিমেট্রিক গেজ তত্ত্বে অধ্যয়ন করা পদগুলি থেকে তৈরি করা হয়েছে যা গেজ অপরিবর্তনীয়। সুপারফিল্ড গঠনের জন্য সাধারণীকৃত গেজ রূপান্তরের একটি তত্ত্ব প্রয়োজন। (সুপারগেজ রূপান্তর নয়, যা স্থানীয় সুপারসিমেট্রি সহ একটি তত্ত্বের রূপান্তর হবে)। সাধারণীকৃত আবেলিয়ান গেজ রূপান্তর এই ধরনের রূপান্তর একটি কাইরাল সুপারফিল্ড দ্বারা প্যারামিট্রাইজ করা হয়, যার অধীনে প্রকৃত সুপারফিল্ডটি বিশেষত, প্রসারিত হওয়ার পরে এবং যথাযথভাবে উপাদান সুপারফিল্ডে রূপান্তরিত হয়, তারপরে একটি ভেক্টর সুপারফিল্ড থাকে যেখানে একটি স্কেলার সুপারফিল্ড থাকে, যেমন ক্রিয়াটি সংজ্ঞায়িত করতে ব্যবহৃত কাইরাল সুপারফিল্ডটি গেজ অপরিবর্তনীয়। সাধারণীকৃত অ-আবেলিয়ান গেজ রূপান্তর কাইরাল সুপারফিল্ড সংলগ্নভাবে মূল্যবান। এর রূপান্তর দ্বারা নির্ধারিত হয়, যা থেকে বেকার-ক্যাম্পবেল-হাউসডর্ফ সূত্র ব্যবহার করে রূপান্তরটি উদ্ভূত করা যেতে পারে। কাইরাল সুপারফিল্ড অপরিবর্তনীয় নয় তবে সংমিশ্রণ দ্বারা রূপান্তরিত হয়ঃ, যাতে ক্রিয়ায় ট্রেস করার পরে ক্রিয়াটি গেজ-অপরিবর্তনীয় হয়। অতি-ধ্রুপদী প্রতিসাম্য অতি-সঙ্গতিপূর্ণ প্রতিসাম্য একটি ধ্রুপদী তত্ত্ব হিসাবে, অতি-প্রতিসাম্য ইয়াং-মিলস তত্ত্ব অতি-সঙ্গতিপূর্ণ বীজগণিত দ্বারা বীজগণিত স্তরে বর্ণিত প্রতিসাম্যগুলির একটি বৃহত্তর সেটকে গ্রহণ করে। সুপার পয়েনকারে বীজগণিত যেমন পয়েনকারে বীজগণিতের একটি সুপারসিমেট্রিক এক্সটেনশন, তেমনি সুপারকনফর্মাল বীজগণিত হল কনফরমাল বীজগণিতের একটি সুপারসিমেট্রিক এক্সটেনশন, যাতে কনফরমাল সুপারসিমেট্রি-র একটি স্পিনোরিয়াল জেনারেটরও রয়েছে। কোয়ান্টাম তত্ত্বে ট্রেস এবং কনফরমাল অ্যানোমালি দ্বারা কনফরমাল ইনভ্যারিয়েন্স ভেঙে যায়। কোয়ান্টাম সুপারসিমেট্রিক ইয়াং-মিলস তত্ত্বের সুপারকনফর্মাল প্রতিসাম্য না থাকলেও কোয়ান্টাম এন = 4 সুপারসিমেট্রিক ইয়াং-মিলস তত্ত্বের রয়েছে। আর-প্রতিসাম্য সুপারসিমেট্রি-র জন্য আর-প্রতিসাম্য হল ধ্রুপদী তত্ত্বের একটি প্রতিসাম্য, তবে কোনও অসঙ্গতির কারণে কোয়ান্টাম তত্ত্বের নয়। আবেলিয়ান গেজ ম্যাটারকে ওয়েস-জুমিনো মডেল টাইপ সুপারফিল্ড আকারে যুক্ত করা যেতে পারে। একটি গেজ রূপান্তরের অধীনে, এবং ওয়েস-জুমিনো মডেলের মতো ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান ব্যবহার করার পরিবর্তে, গেজ ইনভেরিয়েন্সের জন্য এটি অবশ্যই প্রতিস্থাপিত করতে হবে এটি কিউইডি-কে একটি সুপারসিমেট্রিক অ্যানালগ দেয়। ক্রিয়াটি লেখা যেতে পারে স্বাদের জন্য, আমাদের পরিবর্তে সুপারফিল্ড রয়েছে এবং ক্রিয়াটি অন্তর্নিহিত যোগফলের সাথে লেখা যেতে পারে। যাইহোক, একটি সুনির্দিষ্ট কোয়ান্টাম তত্ত্বের জন্য, উপরে সংজ্ঞায়িত একটি তত্ত্ব একটি গেজ অসঙ্গতি ভোগ করে। আমরা প্রতিটি কাইরাল সুপারফিল্ডে (সুপার পার্টনারদের ধারণা থেকে আলাদা এবং কনজুগেট সুপারফিল্ড থেকে আলাদা) একটি অংশীদার যুক্ত করতে বাধ্য, যার বিপরীত চার্জ রয়েছে। এটি অ-অ্যাবেলিয়ান গেজ-এর ক্রিয়া দেয় অ-অ্যাবেলিয়ান গেজ-এর জন্য, ম্যাটার কাইরাল সুপারফিল্ডগুলি এখন গেজ গ্রুপের প্রতিনিধিত্বে মূল্যবানঃ ওয়েস-জুমিনো কাইনেটিক শব্দটি অবশ্যই এর সাথে সামঞ্জস্য করতে হবে। তারপর একটি সহজ এসকিউসিডি পদক্ষেপ হবে মৌলিক উপস্থাপনা হিসাবে গ্রহণ করা, এবং ওয়েস-জুমিনো শব্দটি যোগ করাঃ সুপার কিউসিডি কর্মের আরও সাধারণ এবং বিস্তারিত রূপগুলি সেই নিবন্ধে দেওয়া হয়েছে। ফয়েত-ইলিওপোলোস শব্দটি যখন মিথ্যা বীজগণিতের কেন্দ্রটি অ-তুচ্ছ হয়, তখন একটি অতিরিক্ত শব্দ থাকে যা ফয়েত-ইলিওপোলোস শব্দ হিসাবে পরিচিত ক্রিয়ায় যোগ করা যেতে পারে। সুপারসিমেট্রিক কোয়ান্টাম ক্ষেত্র তত্ত্ব