Tilting theory
গণিতে, বিশেষভাবে উপস্থাপনা তত্ত্ব, টিল্টিং তত্ত্ব তথাকথিত টিল্টিং মডিউল এবং সংশ্লিষ্ট টিল্টিং ফাংক্টর ব্যবহার করে দুটি অ্যালজেব্রার মডিউল বিভাগগুলিকে সম্পর্কিত করার একটি উপায় বর্ণনা করে। এখানে, দ্বিতীয় বীজগণিত হল প্রথম বীজগণিতের উপর একটি টিল্টিং মডিউলের এন্ডোমর্ফিজম বীজগণিত। টিল্টিং তত্ত্বটি দ্বারা প্রতিফলন ফাংক্টরগুলির প্রবর্তন দ্বারা অনুপ্রাণিত হয়েছিল; এই ফাংক্টরগুলি দুটি কম্পনের উপস্থাপনা সম্পর্কিত করতে ব্যবহৃত হয়েছিল। এই ফাংক্টরগুলি দ্বারা সংস্কার করা হয়েছিল, এবং সাধারণকরণ করা হয়েছিল যারা টিল্টিং ফাংক্টর প্রবর্তন করেছিল। এর আরও সাধারণীকরণ হিসাবে টিল্টেড অ্যালজেব্রা এবং টিল্টিং মডিউলগুলি সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে। সংজ্ঞাগুলি ধরুন যে A হল কোনও ক্ষেত্রের উপর একটি সসীম-মাত্রিক একক সহযোগী বীজগণিত। একটি চূড়ান্তভাবে তৈরি ডানদিকের এ-মডিউল টি-কে টিল্টিং মডিউল বলা হয় যদি এর নিম্নলিখিত তিনটি বৈশিষ্ট্য থাকেঃ টি-এর সর্বাধিক 1 প্রজেক্টিভ মাত্রা থাকে, অন্য কথায় এটি একটি প্রজেক্টিভ সাব-মডিউল দ্বারা প্রজেক্টিভ মডিউলের একটি ভাগফল। এক্সটেনশন (টি, টি) = 0। ডানদিকের এ-মডিউল এ হল টি-এর সরাসরি যোগফলের সীমাবদ্ধ সরাসরি যোগফলের মধ্যে একটি সারজেক্টিভ মরফিজমের কার্নেল। এই ধরনের একটি টিল্টিং মডিউল দেওয়া হলে, আমরা এন্ডোমর্ফিজম বীজগণিত বি = এন্ডএ (টি) সংজ্ঞায়িত করি। এটি আরেকটি সসীম-মাত্রিক বীজগণিত, এবং টি একটি সীমাবদ্ধভাবে উৎপন্ন বাম বি-মডিউল। টিল্টিং ফাংক্টর হোমএ (টি,-), এক্সট (টি,-),-বি. টি এবং টর (-, টি) ফাইনাইটলী-জেনারেটেড রাইট এ-মডিউলগুলির মোড-এ বিভাগকে ফাইনাইটলী-জেনারেটেড রাইট বি-মডিউলগুলির মোড-বি বিভাগের সাথে সম্পর্কিত করে। বাস্তবে প্রায়শই বংশগত সীমাবদ্ধ-মাত্রিক অ্যালজেব্রা এ বিবেচনা করা হয় কারণ এই ধরনের অ্যালজেব্রাগুলির উপর মডিউল বিভাগগুলি মোটামুটি ভালভাবে বোঝা যায়। একটি বংশগত সসীম-মাত্রিক বীজগণিতের উপর একটি টিল্টিং মডিউলের এন্ডোমর্ফিজম বীজগণিতকে টিল্টেড বীজগণিত বলা হয়। বাস্তবতা ধরুন, এ একটি সসীম-মাত্রিক বীজগণিত, টি হল এ-এর উপর একটি টিল্টিং মডিউল এবং বি = এন্ডএ (টি)। F = HomA (T, −), F′ = Ext (T, −), G = − ′BT, এবং G′ = টর (−, T) লিখুন। F হল G এর ঠিক পাশে এবং F′ হল G′ এর ঠিক পাশে। দেখিয়েছেন যে টিল্টিং ফাংক্টরগুলি মোড-এ এবং মোড-বি-এর নির্দিষ্ট উপবিভাগগুলির মধ্যে সমতা দেয়। বিশেষত, যদি আমরা দুটি উপবিভাগ এবং এ-মোড, এবং দুটি উপবিভাগ এবং বি-মোড সংজ্ঞায়িত করি, তবে এটি এ-মোডের একটি টর্জন জোড়া (অর্থাৎ। এবং বৈশিষ্ট্যের সাথে সর্বাধিক উপবিভাগ; এটি বোঝায় যে এ-মোডের প্রতিটি এম ইউ ইন এবং ভি ইন সহ একটি প্রাকৃতিক সংক্ষিপ্ত সঠিক ক্রম স্বীকার করে) এবং বি-মোডের একটি টর্জন জোড়া। উপরন্তু, ফাংক্টর F এবং G-এর সীমাবদ্ধতা এবং-এর মধ্যে বিপরীত সমতুল্য দেয়, যেখানে F′ এবং G′-এর সীমাবদ্ধতা এবং-এর মধ্যে বিপরীত সমতুল্য দেয়। (লক্ষ্য করুন যে এই সমতুল্যগুলি টর্জন জোড়ার ক্রম পরিবর্তন করে এবং।) টিল্টিং তত্ত্বকে মোরিটা সমতুল্যতার সাধারণীকরণ হিসাবে দেখা যেতে পারে যা পুনরুদ্ধার করা হয় যদি টি একটি প্রজেক্টিভ জেনারেটর হয়; সেই ক্ষেত্রে এবং। যদি এ-এর সীমাবদ্ধ বৈশ্বিক মাত্রা থাকে, তবে বি-এরও সীমাবদ্ধ বৈশ্বিক মাত্রা রয়েছে এবং এফ ও এফ-এর পার্থক্য গ্রোথেন্ডিক গোষ্ঠী কে0 (এ) ও কে0 (বি)-এর মধ্যে একটি আইসোমেট্রি প্ররোচিত করে। যদি 'ক' বংশগত হয় (অর্থাৎ। বি একটি হেলানো বীজগণিত), বি এর বৈশ্বিক মাত্রা সর্বাধিক 2, এবং টর্জন জোড়া বিভক্ত, অর্থাৎ। বি-মোডের প্রতিটি অপরিবর্তনীয় বস্তু হয় ভিতরে বা ভিতরে থাকে। এবং দেখিয়েছেন যে সাধারণভাবে এ এবং বি সমতুল্য (অর্থাৎ। উদ্ভূত বিভাগগুলি ডিবি (এ-মোড) এবং ডিবি (বি-মোড) ত্রিভুজ বিভাগের সমতুল্য। সাধারণীকরণ এবং সম্প্রসারণ সীমাবদ্ধ-মাত্রিক বীজগণিত এ-এর উপর একটি সাধারণীকৃত টিল্টিং মডিউল হল একটি ডান এ-মডিউল টি যার নিম্নলিখিত তিনটি বৈশিষ্ট্য রয়েছেঃ টি-এর সীমাবদ্ধ প্রজেক্টিভ মাত্রা রয়েছে। সমস্ত i> 0-এর জন্য এক্সটেনশন (T, T) = 0। একটি সঠিক ক্রম রয়েছে যেখানে টিআই টি-এর সরাসরি যোগফলের সীমাবদ্ধ সরাসরি যোগফল। এই সাধারণীকৃত টিল্টিং মডিউলগুলি এ এবং বি-এর মধ্যে প্রাপ্ত সমতুল্যও দেয়, যেখানে বি = এন্ডএ (টি)। দুটি সসীম-মাত্রিক অ্যালজেব্রা আর এবং এস-এর সমতুল্য হওয়ার প্রমাণ দিয়ে প্রাপ্ত সমতুল্যতার উপর ফলাফলগুলি প্রসারিত করা হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি এস আর-এর উপর একটি "টিল্টিং কমপ্লেক্স"-এর এন্ডোমর্ফিজম বীজগণিত হয়। টিল্টিং কমপ্লেক্সগুলি সাধারণীকৃত টিল্টিং মডিউলগুলির সাধারণীকরণ হয়। এই উপপাদ্যের একটি সংস্করণ স্বেচ্ছাচারী বলয় আর এবং এস-এর জন্য বৈধ. বংশগত আবেলিয়ান বিভাগে সংজ্ঞায়িত টিল্টিং বস্তু যেখানে সমস্ত হোম-এবং এক্সট-স্পেস কিছু বীজগাণিতিকভাবে বন্ধ ক্ষেত্র কে-এর উপর সীমাবদ্ধ-মাত্রিক। এই টিল্টিং বস্তুর এন্ডোমর্ফিজম অ্যালজেব্রা হল আধা-টিল্টড অ্যালজেব্রা, যা টিল্টড অ্যালজেব্রার একটি সাধারণীকরণ। k-এর উপর আধা-টিল্টেড অ্যালজেব্রা হল সুনির্দিষ্টভাবে গ্লোবাল ডাইমেনশন ≤2-এর k-এর উপর সীমাবদ্ধ-মাত্রিক অ্যালজেব্রা যাতে প্রতিটি অপরিবর্তনীয় মডিউলের হয় প্রজেক্টিভ ডাইমেনশন ≤1 বা ইনজেকটিভ ডাইমেনশন ≤1 থাকে। বংশগত আবেলিয়ান বিভাগগুলিকে শ্রেণীবদ্ধ করে যা উপরের গঠনে প্রদর্শিত হতে পারে। একটি স্বেচ্ছাচারী আবেলিয়ান বিভাগ সি-তে টিল্টিং অবজেক্ট টি সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে; তাদের সংজ্ঞার জন্য প্রয়োজন যে সি-তে টি-এর অনুলিপিগুলির স্বেচ্ছাচারী (সম্ভবত অসীম) সংখ্যার সরাসরি যোগফল রয়েছে, তাই এটি উপরে বিবেচিত সীমাবদ্ধ-মাত্রিক পরিস্থিতির সরাসরি সাধারণীকরণ নয়। এন্ডোমর্ফিজম রিং আর সহ এমন একটি টিল্টিং বস্তুর পরিপ্রেক্ষিতে, তারা টিল্টিং ফাংক্টর স্থাপন করে যা সি-তে একটি টর্জন জোড়া এবং সমস্ত আর-মডিউলের বিভাগ আর-মড-এ একটি টর্জন জুটির মধ্যে সমতা প্রদান করে। ক্লাস্টার অ্যালজেব্রা তত্ত্ব থেকে বংশগত বীজগণিত এ-এর সঙ্গে যুক্ত ক্লাস্টার বিভাগ (থেকে) এবং ক্লাস্টার হেলানো বীজগণিতের সংজ্ঞা এসেছে। একটি ক্লাস্টার হেলানো বীজগণিত একটি নির্দিষ্ট আধা-পরোক্ষ গুণফল হিসাবে একটি হেলানো বীজগণিত থেকে উদ্ভূত হয় এবং 'এ'-এর ক্লাস্টার বিভাগটি 'এ' থেকে উদ্ভূত ক্লাস্টার হেলানো বীজগণিতের সমস্ত মডিউল বিভাগকে সংক্ষিপ্ত করে। তথ্যসূত্র উপস্থাপনা তত্ত্ব