Tangent half-angle substitution
ইন্টিগ্রাল ক্যালকুলাসে, স্পর্শক অর্ধ-কোণ প্রতিস্থাপন হল ইন্টিগ্রাল মূল্যায়নের জন্য ব্যবহৃত চলকগুলির একটি পরিবর্তন, যা ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের একটি যুক্তিসঙ্গত ফাংশনকে সেটিং দ্বারা একটি সাধারণ যুক্তিসঙ্গত ফাংশনে রূপান্তরিত করে। এটি বাস্তব রেখার উপর কোণ পরিমাপ দ্বারা পরামিতি করা একক বৃত্তের এক-মাত্রিক স্টেরিওগ্রাফিক অভিক্ষেপ। সাধারণ রূপান্তর সূত্রটি হলঃ অর্ধ কোণের স্পর্শক গোলাকার ত্রিকোণমিতিতে গুরুত্বপূর্ণ এবং কখনও কখনও 17 শতকে অর্ধ স্পর্শক বা অর্ধ-স্পর্শক হিসাবে পরিচিত ছিল। লিওনহার্ড অয়লার তাঁর 1768 সালের ইন্টিগ্রাল ক্যালকুলাস পাঠ্যপুস্তকে ইন্টিগ্রাল মূল্যায়নের জন্য এটি ব্যবহার করেছিলেন এবং 1817 সালে অ্যাড্রিয়েন-মেরি লেজেন্ড্রে সাধারণ পদ্ধতিটি বর্ণনা করেছিলেন। 19 শতকের শেষের দিক থেকে বেশিরভাগ অবিচ্ছেদ্য ক্যালকুলাস পাঠ্যপুস্তকে সাধারণত কোনও বিশেষ নাম ছাড়াই প্রতিস্থাপনের বর্ণনা দেওয়া হয়েছে। এটি রাশিয়ায় সর্বজনীন ত্রিকোণমিতিক প্রতিস্থাপন হিসাবে পরিচিত, এবং অর্ধ-স্পর্শক প্রতিস্থাপন বা অর্ধ-কোণ প্রতিস্থাপনের মতো বৈকল্পিক নামেও পরিচিত। এটি কখনও কখনও ওয়েয়ারস্ট্রাস প্রতিস্থাপন হিসাবে ভুলভাবে চিহ্নিত করা হয়। মাইকেল স্পিভাক এটিকে "বিশ্বের সবচেয়ে ছদ্মবেশী বিকল্প" বলে অভিহিত করেছেন। প্রতিস্থাপন একটি নতুন পরিবর্তনশীল সাইন এবং কোসাইনগুলি যুক্তিসঙ্গত ফাংশন হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে এবং এর গুণফল এবং নিম্নলিখিতগুলির একটি যুক্তিসঙ্গত ফাংশন হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারেঃ দ্বিমুখী সূত্রগুলি ব্যবহার করে, পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্যের জন্য একটির সমান হর প্রবর্তন করে এবং তারপরে সংখ্যা এবং হরকে একটির দ্বারা ভাগ করে অবশেষে, যেহেতু, পৃথকীকরণের নিয়মগুলি বোঝায় এবং এইভাবে কোসেক্যান্টের অ্যান্টিডেরিভেটিভ উদাহরণ আমরা কোসেক্যান্ট ইন্টিগ্রালকে গুণ করে এবং প্রতিস্থাপন সম্পাদন করে মূল্যায়ন করার একটি মানক পদ্ধতি ব্যবহার করে উপরের ফলাফলটি নিশ্চিত করতে পারি। এই দুটি উত্তর একই কারণ সেক্যান্ট ইন্টিগ্রাল একইভাবে মূল্যায়ন করা যেতে পারে। একটি নির্দিষ্ট ইন্টিগ্রাল প্রথম লাইনে, কেউ কেবল ইন্টিগ্রেশনের উভয় সীমার বিকল্প হতে পারে না। এট-এর এককত্ব (এই ক্ষেত্রে, একটি উল্লম্ব অ্যাসিম্পটোট) অবশ্যই বিবেচনায় নিতে হবে। বিকল্পভাবে, প্রথমে অনির্দিষ্ট ইন্টিগ্রাল মূল্যায়ন করুন, তারপর সীমানা মান প্রয়োগ করুন। প্রতিসাম্য দ্বারা, যা পূর্ববর্তী উত্তরের মতোই। তৃতীয় উদাহরণ হলঃ সাইন এবং কোসাইন উভয়ই যদি জ্যামিতি x পরিবর্তিত হয়, বিন্দু (cos x, sin x) বার বার (0,0) কেন্দ্রিক একক বৃত্তের চারপাশে প্রবাহিত হয়। বিন্দুটি বৃত্তের চারপাশে শুধুমাত্র একবার যায় যখন t − ≤ থেকে + ≤ পর্যন্ত যায়, এবং কখনই বিন্দুতে (−1,0) পৌঁছায় না, যা t ± ≤ এর কাছাকাছি আসার সাথে সাথে একটি সীমা হিসাবে যোগাযোগ করা হয়। যেহেতু t − ini থেকে −1 পর্যন্ত যায়, তাই t দ্বারা নির্ধারিত বিন্দুটি তৃতীয় চতুর্থাংশে বৃত্তের অংশের মধ্য দিয়ে যায়, (−1,0) থেকে (0, −1) পর্যন্ত। যেহেতু t −1 থেকে 0 পর্যন্ত যায়, বিন্দুটি (0, −1) থেকে (1,0) পর্যন্ত চতুর্থ চতুর্থাংশে বৃত্তের অংশকে অনুসরণ করে। যেহেতু t 0 থেকে 1 এ যায়, বিন্দুটি (1,0) থেকে (0,1) পর্যন্ত প্রথম চতুর্থাংশে বৃত্তের অংশটি অনুসরণ করে। পরিশেষে, যেহেতু t 1 থেকে + ν পর্যন্ত যায়, বিন্দুটি দ্বিতীয় চতুর্থাংশে বৃত্তের অংশটিকে (0,1) থেকে (−1,0) পর্যন্ত অনুসরণ করে। এখানে আরেকটি জ্যামিতিক দৃষ্টিভঙ্গি রয়েছে। একক বৃত্তটি আঁকুন, এবং পি-কে বিন্দু হতে দিন। পি-এর মধ্য দিয়ে একটি রেখা (উল্লম্ব রেখা ব্যতীত) তার ঢাল দ্বারা নির্ধারিত হয়। উপরন্তু, প্রতিটি রেখা (উল্লম্ব রেখা ব্যতীত) একক বৃত্তকে ঠিক দুটি বিন্দুতে ছেদ করে, যার মধ্যে একটি হল পি। এটি একক বৃত্তের বিন্দু থেকে ঢাল পর্যন্ত একটি ফাংশন নির্ধারণ করে। ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলি একক বৃত্তের কোণ থেকে বিন্দু পর্যন্ত একটি ফাংশন নির্ধারণ করে এবং এই দুটি ফাংশনকে একত্রিত করে আমাদের কোণ থেকে ঢাল পর্যন্ত একটি ফাংশন রয়েছে। গ্যালারি হাইপারবোলিক ফাংশন ত্রিকোণমিতিক ফাংশন এবং হাইপারবোলিক ফাংশনের মধ্যে ভাগ করা অন্যান্য বৈশিষ্ট্যগুলির মতো, প্রতিস্থাপনের অনুরূপ রূপ তৈরি করতে হাইপারবোলিক পরিচয় ব্যবহার করা সম্ভবঃ জ্যামিতিকভাবে, ভেরিয়েবলগুলির এই পরিবর্তনটি পয়েনকারে ডিস্ক প্রজেকশনের এক-মাত্রিক এনালগ। আরও দেখুন যুক্তিসঙ্গত বক্ররেখা স্টেরিওগ্রাফিক অভিক্ষেপ স্পর্শক অর্ধ-কোণ সূত্র ত্রিকোণমিতি প্রতিস্থাপন অয়লার প্রতিস্থাপন আরও পড়ুন দ্বিতীয় সংস্করণ 1916, পৃ। 52-62 প্ল্যানেটম্যাথ ইন্টিগ্রাল ক্যালকুলাসে নোট এবং রেফারেন্স বাহ্যিক লিঙ্ক ওয়েয়ারস্ট্রাস প্রতিস্থাপন সূত্র