Ideal lattice
বিচ্ছিন্ন গণিতে, আদর্শ জাল হল জালের একটি বিশেষ শ্রেণী এবং চক্রীয় জালের একটি সাধারণীকরণ। আদর্শ জালগুলি স্বাভাবিকভাবেই সংখ্যা তত্ত্বের অনেক অংশে, তবে অন্যান্য ক্ষেত্রেও ঘটে। বিশেষ করে, ক্রিপ্টোগ্রাফিতে তাদের একটি উল্লেখযোগ্য স্থান রয়েছে। মাইকিয়ানসিও আদর্শ জাল হিসাবে চক্রাকার জালগুলির একটি সাধারণীকরণকে সংজ্ঞায়িত করেছেন। এগুলি ক্রিপ্টোসিস্টেমগুলিতে একটি জাল বর্ণনা করার জন্য প্রয়োজনীয় পরামিতিগুলির সংখ্যা বর্গমূল দ্বারা হ্রাস করতে ব্যবহার করা যেতে পারে, যা তাদের আরও দক্ষ করে তোলে। আদর্শ জাল একটি নতুন ধারণা, তবে অনুরূপ জালের শ্রেণী দীর্ঘকাল ধরে ব্যবহৃত হয়ে আসছে। উদাহরণস্বরূপ, এন. টি. আর. ইউ. এনক্রিপ্ট এবং এন. টি. আর. ইউ. সাইন-এ আদর্শ ল্যাটিসের একটি বিশেষ কেস, সাইক্লিক ল্যাটিস ব্যবহার করা হয়। রিং লার্নিং উইথ এররস-এর উপর ভিত্তি করে কোয়ান্টাম কম্পিউটার আক্রমণ প্রতিরোধী ক্রিপ্টোগ্রাফির ভিত্তি তৈরি করে আদর্শ জাল। এই ক্রিপ্টোসিস্টেমগুলি এই ধারণার অধীনে প্রমাণযোগ্যভাবে নিরাপদ যে এই আদর্শ জালগুলিতে সংক্ষিপ্ততম ভেক্টর সমস্যা (এসভিপি) কঠিন। ভূমিকা সাধারণভাবে, আদর্শ জালগুলি হল ডিগ্রির কিছু অপরিবর্তনীয় বহুপদের জন্য আকৃতির বলয়ের আদর্শের সাথে সম্পর্কিত জাল। পূর্ববর্তী কাজ থেকে আদর্শ জালকের সমস্ত সংজ্ঞা নিম্নলিখিত সাধারণ ধারণার উদাহরণস্বরূপঃ ধরা যাক একটি বলয় যার যোগাত্মক গোষ্ঠী সমরূপ (অর্থাৎ, এটি র্যাঙ্কের একটি মুক্ত-মডিউল), এবং একটি-মাত্রিক বাস্তব ভেক্টর স্পেসে (যেমন,) কিছু জালের জন্য একটি যোগাত্মক সমরূপতা ম্যাপিং হতে পারে। এম্বেডিংয়ের নীচে রিংয়ের জন্য আদর্শ ল্যাটিসের পরিবার হল সমস্ত ল্যাটিসের সেট, যেখানে সংজ্ঞা নোটেশনে একটি আদর্শ ধরা যাক ডিগ্রির একটি মনিক বহুপদী, এবং ভাগফল রিং বিবেচনা করুন। প্রতিনিধিদের আদর্শ সেট ব্যবহার করে, এবং ভেক্টরের সাথে বহুপদগুলির সনাক্তকরণ ব্যবহার করে, ভাগফল বলয়টি পূর্ণসংখ্যা জালকের সমরূপ (একটি যোগাত্মক গোষ্ঠী হিসাবে), এবং যে কোনও আদর্শ একটি সংশ্লিষ্ট পূর্ণসংখ্যা সাবল্যাটিসকে সংজ্ঞায়িত করে। একটি আদর্শ জাল হল একটি পূর্ণসংখ্যা জাল যা ডিগ্রি এবং আদর্শের কিছু মনিক পলিনোমিয়ালের জন্য। সম্পর্কিত বৈশিষ্ট্যগুলি দেখা যাচ্ছে যে সংঘর্ষ প্রতিরোধী হওয়ার জন্য ফলস্বরূপ ফাংশনের প্রাসঙ্গিক বৈশিষ্ট্যগুলি হলঃ অপরিবর্তনীয় হওয়া উচিত। পরিমাণগত অর্থে, যে কোনও বহুপদের তুলনায় রিং আদর্শ খুব বেশি বড় নয়। প্রথম বৈশিষ্ট্যটি বোঝায় যে রিংয়ের প্রতিটি আদর্শ একটি পূর্ণ-র্যাঙ্কের জালকে সংজ্ঞায়িত করে এবং প্রমাণগুলিতে একটি মৌলিক ভূমিকা পালন করে। লেমাঃ প্রতিটি আদর্শ, যেখানে ডিগ্রির একটি মনিক, অপরিবর্তনীয় পূর্ণসংখ্যা বহুপদী, একটি পূর্ণ-পদমর্যাদার জালকের সমতুল্য। ডিং এবং লিন্ডনার প্রমাণ দিয়েছিলেন যে সাধারণ জাল থেকে আদর্শ জালকে আলাদা করা বহুপদী সময়ে করা যেতে পারে এবং দেখিয়েছিলেন যে বাস্তবে এলোমেলোভাবে নির্বাচিত জালগুলি কখনই আদর্শ নয়। তারা কেবল সেই ক্ষেত্রে বিবেচনা করেছিল যেখানে জালটির পূর্ণ পদমর্যাদা রয়েছে, অর্থাৎ। ভিত্তি রৈখিক স্বাধীন ভেক্টর নিয়ে গঠিত। এটি কোনও মৌলিক সীমাবদ্ধতা নয় কারণ লিউবাশেভস্কি এবং মাইকিয়ানসিও দেখিয়েছেন যে একটি অপরিবর্তনীয় মনিক বহুপদের ক্ষেত্রে যদি একটি জাল আদর্শ হয়, তবে উপরের লেম্মাতে দেওয়া হিসাবে এটির পূর্ণ র্যাঙ্ক রয়েছে। অ্যালগরিদমঃ পূর্ণ পদমর্যাদার ভিত্তি সহ আদর্শ জাল সনাক্তকরণ তথ্যঃ একটি পূর্ণ-পদমর্যাদার ভিত্তি ফলাফলঃ সত্য এবং, যদি এর ক্ষেত্রে একটি আদর্শ জাল বিস্তৃত থাকে, অন্যথায় মিথ্যা। এইচ. এন. এফ গণনায় রূপান্তরিত করুন, এবং পণ্যটি গণনা করুন যদি শুধুমাত্র পি-এর শেষ কলামটি অ-শূন্য হয় তবে এই কলামের সমান সেট করুন অন্যথায় মিথ্যা ফেরত দিন যদি তারপর খুঁজে বের করার জন্য সি. আর. টি ব্যবহার করুন এবং অন্যথায় মিথ্যা ফেরত দিন যদি তারপর সত্য ফিরে আসে, অন্যথায় মিথ্যা ফেরত দিন যেখানে ম্যাট্রিক্স এম এই অ্যালগরিদমটি ব্যবহার করে, এটি দেখা যায় যে অনেক জাল আদর্শ জাল নয়। উদাহরণস্বরূপ, আসুন এবং, তারপর আদর্শ, কিন্তু নয়। এর একটি উদাহরণ দিয়েছেন লিউবাশেভস্কি এবং মিকসিয়ানসিও। এটির উপর অ্যালগরিদম সম্পাদন করা এবং ভিত্তিটিকে বি হিসাবে উল্লেখ করা, ম্যাট্রিক্স বি ইতিমধ্যে হার্মাইট স্বাভাবিক আকারে রয়েছে তাই প্রথম ধাপের প্রয়োজন হয় না। নির্ধারক হল, অ্যাডজুগেট ম্যাট্রিক্স এবং পরিশেষে, গুণফল হল এই মুহুর্তে অ্যালগরিদমটি থেমে যায়, কারণ একটি আদর্শ জালের বিস্তার ঘটলে এর শেষ কলামটি ছাড়া বাকি সবগুলি শূন্য হতে হবে। ক্রিপ্টোগ্রাফিতে ব্যবহার মাইকিয়ানসিও কাঠামোগত চক্রাকার জালকের শ্রেণী প্রবর্তন করেছিলেন, যা বহুপদী বলয়ের আদর্শের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ এবং চক্রাকার জালগুলিতে পলি (এন)-এসভিপি-এর সীমাবদ্ধতার সবচেয়ে খারাপ-কেস কঠোরতার উপর ভিত্তি করে প্রথম প্রমাণিত নিরাপদ একমুখী ফাংশন উপস্থাপন করেছিলেন। (γ-SVP সমস্যাটি একটি প্রদত্ত জালকের একটি অ-শূন্য ভেক্টর গণনা করার মধ্যে রয়েছে, যার আদর্শটি একটি সংক্ষিপ্ততম অ-শূন্য জাল ভেক্টরের আদর্শের চেয়ে γ গুণ বেশি বড় নয়।) একই সময়ে, তার বীজগাণিতিক কাঠামোর জন্য ধন্যবাদ, এই একমুখী ফাংশনটি এনটিআরইউ প্রকল্পের মূল্যায়ন সময় এবং সঞ্চয় ব্যয়ের সাথে তুলনীয় উচ্চ দক্ষতা উপভোগ করে)। পরবর্তীকালে, লিউবাশেভস্কি এবং মিসিয়ানসিও এবং স্বাধীনভাবে পেইকার্ট এবং রোজেন দেখিয়েছিলেন যে কীভাবে একটি দক্ষ এবং প্রমাণযোগ্যভাবে নিরাপদ সংঘর্ষ প্রতিরোধী হ্যাশ ফাংশন তৈরি করতে মিসিয়ানসিওর ফাংশনকে সংশোধন করা যায়। এর জন্য, তারা আদর্শ জালকের আরও সাধারণ শ্রেণীর প্রবর্তন করেছিল, যা বহুপদী বলয়ের আদর্শের সাথে মিলে যায়। সংঘর্ষ প্রতিরোধ ক্ষমতা নির্ভর করে পলি (এন)-এসভিপি থেকে আদর্শ জালের সীমাবদ্ধতার কঠোরতার উপর (যাকে পলি (এন)-আইডিয়াল-এসভিপি বলা হয়)। গড়-কেস সংঘর্ষ-সন্ধান সমস্যাটি আইডিয়াল-এসআইএস নামে একটি প্রাকৃতিক গণনামূলক সমস্যা, যা আইডিয়াল-এসভিপি-র সবচেয়ে খারাপ-কেস দৃষ্টান্তের মতোই কঠিন বলে প্রমাণিত হয়েছে। আদর্শ জাল থেকে নিশ্চিতভাবে নিরাপদ দক্ষ স্বাক্ষর পরিকল্পনাও প্রস্তাব করা হয়েছে, তবে আদর্শ জাল থেকে দক্ষভাবে সুরক্ষিত পাবলিক কী এনক্রিপশন তৈরি করা একটি আকর্ষণীয় উন্মুক্ত সমস্যা ছিল। মূল বিনিময়ের জন্য এলডাব্লুই এবং রিং এলডাব্লুই ব্যবহার করার মৌলিক ধারণাটি 2011 সালে সিনসিনাটি বিশ্ববিদ্যালয়ে জিনতাই ডিং দ্বারা প্রস্তাবিত এবং দায়ের করা হয়েছিল এবং রিং এলডাব্লুই ব্যবহার করে একটি কোয়ান্টাম প্রতিরোধী কী বিনিময়ের একটি অত্যাধুনিক বিবরণ সরবরাহ করেছিল। 2012 সালে একটি অস্থায়ী পেটেন্ট আবেদন দায়ের করার পর 2012 সালে কাগজটি প্রকাশিত হয়। 2014 সালে, পেইকার্ট ডিং-এর একই মৌলিক ধারণা অনুসরণ করে একটি মূল পরিবহন প্রকল্প উপস্থাপন করেন, যেখানে ডিং-এর নির্মাণে বৃত্তাকার করার জন্য অতিরিক্ত সংকেত পাঠানোর নতুন ধারণাটিও ব্যবহার করা হয়। একই ধারণা ব্যবহার করে একটি ডিজিটাল স্বাক্ষর বেশ কয়েক বছর আগে ভাদিম লিউবাশেভস্কি দ্বারা "ট্র্যাপডোর ছাড়া জাল স্বাক্ষর"-এ করা হয়েছিল। পেইকার্ট এবং লিউবাশেভস্কির কাজ একই নিরাপত্তা হ্রাস সহ রিং-এলডাব্লুই ভিত্তিক কোয়ান্টাম আক্রমণ প্রতিরোধী অ্যালগরিদমগুলির একটি স্যুট সরবরাহ করে। দক্ষ সংঘর্ষ প্রতিরোধী হ্যাশ ফাংশন ক্রিপ্টোগ্রাফিতে আদর্শ ল্যাটিসগুলির প্রধান উপযোগিতা এই সত্য থেকে উদ্ভূত যে এই ধরনের ল্যাটিসগুলিতে আনুমানিক সংক্ষিপ্ততম ভেক্টর খুঁজে পাওয়ার কঠোরতার উপর ভিত্তি করে অত্যন্ত দক্ষ এবং ব্যবহারিক সংঘর্ষ প্রতিরোধী হ্যাশ ফাংশন তৈরি করা যেতে পারে। পেইকার্ট এবং রোজেন, সেইসাথে লিউবাশেভস্কি এবং মাইকিয়ানসিও দ্বারা স্বাধীনভাবে নির্মিত সংঘর্ষ প্রতিরোধী হ্যাশ ফাংশন, আদর্শ ল্যাটিসের (চক্রীয় ল্যাটিসের একটি সাধারণীকরণ) উপর ভিত্তি করে, এবং একটি দ্রুত এবং ব্যবহারিক বাস্তবায়ন প্রদান করে। এই ফলাফলগুলি সনাক্তকরণ পরিকল্পনা এবং স্বাক্ষর সহ অন্যান্য দক্ষ ক্রিপ্টোগ্রাফিক নির্মাণের পথ প্রশস্ত করেছে। লিউবাশেভস্কি এবং মাইকিয়ানসিও দক্ষ সংঘর্ষ প্রতিরোধী হ্যাশ ফাংশনের নির্মাণ দিয়েছেন যা আদর্শ জালের জন্য সংক্ষিপ্ততম ভেক্টর সমস্যার সবচেয়ে খারাপ ক্ষেত্রে কঠোরতার উপর ভিত্তি করে নিরাপদ প্রমাণিত হতে পারে। তারা হ্যাশ ফাংশন পরিবারগুলিকে সংজ্ঞায়িত করেছেনঃ একটি বলয় দেওয়া হলে, যেখানে একটি মনিক, ডিগ্রির অপরিবর্তনীয় বহুপদী এবং মোটামুটিভাবে ক্রমের একটি পূর্ণসংখ্যা, এলোমেলো উপাদান তৈরি করে, যেখানে একটি ধ্রুবক। অর্ডার করা-টুপল হ্যাশ ফাংশন নির্ধারণ করে। এটি উপাদানগুলির মানচিত্র তৈরি করবে, যেখানে কৌশলগতভাবে একটি নির্বাচিত উপসেট রয়েছে। একটি উপাদানের জন্য, হ্যাশ হল। এখানে কী (হ্যাশ ফাংশন)-এর আকার হল, এবং পলিনোমিয়ালের যথাযথ পছন্দের জন্য ফাস্ট ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম (এফএফটি) ব্যবহার করে সময়মতো অপারেশন করা যেতে পারে। যেহেতু এটি একটি ধ্রুবক, হ্যাশিংয়ের জন্য সময় প্রয়োজন। তারা প্রমাণ করেছেন যে হ্যাশ ফাংশন পরিবারটি সংঘর্ষ প্রতিরোধী, এটি দেখিয়ে যে যদি একটি বহুপদী-সময় অ্যালগরিদম থাকে যা এমনভাবে খুঁজে বের করার ক্ষেত্রে অ-নগণ্য সম্ভাবনার সাথে সফল হয় যে, এলোমেলোভাবে নির্বাচিত হ্যাশ ফাংশনের জন্য, "সংক্ষিপ্ততম ভেক্টর সমস্যা" নামে একটি নির্দিষ্ট সমস্যা রিংয়ের প্রতিটি আদর্শের জন্য বহুপদী সময়ে সমাধানযোগ্য। 2006 সালে লিউবাশেভস্কি এবং মাইকিয়ানসিওর কাজের উপর ভিত্তি করে, মাইকিয়ানসিও এবং রেগেভ আদর্শ ল্যাটিসের উপর ভিত্তি করে হ্যাশ ফাংশনের নিম্নলিখিত অ্যালগরিদমটি সংজ্ঞায়িত করেছেনঃ প্যারামিটারঃ ইন্টিজার সহ, এবং ভেক্টর এফ। কীঃ ভেক্টরগুলি এলোমেলোভাবে স্বাধীনভাবে এবং অভিন্নভাবে নির্বাচিত হয়। হ্যাশ ফাংশনঃ দ্বারা প্রদত্ত। এখানে প্যারামিটারগুলি রয়েছে, f একটি ভেক্টর এবং কাঠামোগত ব্লক সহ একটি ব্লক-ম্যাট্রিক্স। গড় হিসাবে ছোট ভেক্টর খুঁজে বের করা (এমনকি কেবল বিপরীত বহুপদী সম্ভাব্যতা সহ) আদর্শ ল্যাটিসের তুলনায় সবচেয়ে খারাপ ক্ষেত্রে বিভিন্ন ল্যাটিস সমস্যা (যেমন আনুমানিক এসভিপি এবং এসআইভিপি) সমাধান করার মতোই কঠিন, তবে শর্ত থাকে যে ভেক্টর এফ নিম্নলিখিত দুটি বৈশিষ্ট্যকে সন্তুষ্ট করেঃ যে কোনও দুটি একক ভেক্টরের জন্য u, v, ভেক্টর [F ≤ u] v এর ছোট (ধরুন, বহুপদী, সাধারণত আদর্শ) থাকে। বহুপদটি পূর্ণসংখ্যার উপর অপরিবর্তনীয়, অর্থাৎ, এটি ছোট মাত্রার পূর্ণসংখ্যা বহুপদের গুণফলের মধ্যে ফ্যাক্টর করে না। প্রথম বৈশিষ্ট্যটি বৃত্তাকার ম্যাট্রিক্সের সাথে সম্পর্কিত ভেক্টর দ্বারা সন্তুষ্ট হয়, কারণ [F ≤u] v এর সমস্ত স্থানাঙ্ক 1 দ্বারা আবদ্ধ, এবং তাই। যাইহোক, সংশ্লিষ্ট পলিনোমিয়ালটি অপরিবর্তনীয় নয় কারণ এটি ফ্যাক্টর করে এবং এই কারণেই সংঘর্ষগুলি দক্ষতার সাথে খুঁজে পাওয়া যায়। সুতরাং, সংঘর্ষ প্রতিরোধী হ্যাশ ফাংশন পাওয়ার জন্য এটি একটি ভাল পছন্দ নয়, তবে অন্যান্য অনেক পছন্দ সম্ভব। উদাহরণস্বরূপ, f-এর কিছু পছন্দ যার জন্য উভয় বৈশিষ্ট্যই সন্তুষ্ট (এবং তাই, সবচেয়ে খারাপ ক্ষেত্রে নিরাপত্তা গ্যারান্টি সহ সংঘর্ষ প্রতিরোধী হ্যাশ ফাংশনের ফলস্বরূপ) যেখানে মৌলিক, এবং 2-এর শক্তির সমান। ডিজিটাল স্বাক্ষর প্রকল্পগুলি সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ ক্রিপ্টোগ্রাফিক আদিমগুলির মধ্যে অন্যতম। জাল সমস্যার সবচেয়ে খারাপ ক্ষেত্রে কঠোরতার উপর ভিত্তি করে একমুখী ফাংশন ব্যবহার করে এগুলি পাওয়া যেতে পারে। যাইহোক, তারা অবাস্তব। ত্রুটি সহ শেখা, ত্রুটি সহ রিং লার্নিং এবং ট্র্যাপডোর ল্যাটিসের উপর ভিত্তি করে বেশ কয়েকটি নতুন ডিজিটাল স্বাক্ষর প্রকল্প তৈরি করা হয়েছে যেহেতু ত্রুটি সহ শেখার সমস্যাটি একটি ক্রিপ্টোগ্রাফিক প্রসঙ্গে প্রয়োগ করা হয়েছিল। আদর্শ (যেমন, চক্রীয়) জালগুলিতে সংক্ষিপ্ততম ভেক্টরের আনুমানিক জটিলতার উপর ভিত্তি করে ডিজিটাল স্বাক্ষরগুলির সরাসরি নির্মাণ। লিউবাশেভস্কি এবং মিকসিয়ানসিওর পরিকল্পনায় আদর্শ জালের উপর ভিত্তি করে সবচেয়ে খারাপ নিরাপত্তা গ্যারান্টি রয়েছে এবং এটি আজ অবধি পরিচিত সবচেয়ে অ্যাসিম্পটোটিকভাবে দক্ষ নির্মাণ, যা স্বাক্ষর উৎপাদন এবং যাচাইকরণ অ্যালগরিদম প্রদান করে যা প্রায় রৈখিক সময়ে চলে। তাদের কাজের দ্বারা উত্থাপিত প্রধান উন্মুক্ত সমস্যাগুলির মধ্যে একটি হল অনুরূপ দক্ষতার সাথে এককালীন স্বাক্ষর তৈরি করা, তবে দুর্বল কঠোরতার অনুমানের উপর ভিত্তি করে। উদাহরণস্বরূপ, স্বল্পতম ভেক্টর সমস্যা (এস. ভি. পি) (আদর্শ ল্যাটিসগুলিতে)-কে একটি ফ্যাক্টরের মধ্যে আনুমানিক করার কঠোরতার উপর ভিত্তি করে সুরক্ষার সাথে এককালীন স্বাক্ষর প্রদান করা দুর্দান্ত হবে। তাদের নির্মাণ এককালীন স্বাক্ষর থেকে একটি মানক রূপান্তরের উপর ভিত্তি করে (অর্থাৎ। স্বাক্ষর যা একটি একক বার্তায় নিরাপদে স্বাক্ষর করার অনুমতি দেয়) সাধারণ স্বাক্ষর প্রকল্পে, একসাথে একটি জাল ভিত্তিক এককালীন স্বাক্ষরের একটি অভিনব নির্মাণের সাথে যার সুরক্ষা শেষ পর্যন্ত কোনও অপরিবর্তনীয় বহুপদীর জন্য রিংয়ের আদর্শের সাথে সম্পর্কিত সমস্ত জালগুলিতে সংক্ষিপ্ততম ভেক্টরকে আনুমানিক করার সবচেয়ে খারাপ-কেস কঠোরতার উপর ভিত্তি করে। কী-জেনারেশন অ্যালগরিদমঃ ইনপুটঃ, ডিগ্রির অপরিবর্তনীয় বহুপদী। সেট করুন,, সমস্ত পজিটিভের জন্য, সেটগুলিকে এইভাবে সংজ্ঞায়িত করুনঃ যেমন যে সমানভাবে র্যান্ডম নির্বাচন করুন একটি সমানভাবে র্যান্ডম স্ট্রিং বেছে নিন যদি তারপর অন্য সেট করুন স্ট্রিং প্রান্তে প্রথম 1-এর অবস্থানে সেট করুন যদি স্বাধীনভাবে এবং সমানভাবে র্যান্ডমভাবে বেছে নিন এবং যথাক্রমে সাইনিং কীঃ। ভেরিফিকেশন কীঃ অ্যালগরিদম সাইন করাঃ ইনপুটঃ বার্তা এমনভাবে সাইন করা কী আউটপুটঃ ভেরিফিকেশন অ্যালগরিদমঃ ইনপুটঃ বার্তা; স্বাক্ষর; ভেরিফিকেশন কী আউটপুটঃ "গ্রহণ করুন", যদি এবং "বাতিল করুন", অন্যথায়। এস. ডব্লিউ. আই. এফ. এফ. টি হ্যাশ ফাংশন হ্যাশ ফাংশনটি বেশ দক্ষ এবং জটিল সংখ্যার উপর দ্রুত ফুরিয়ার রূপান্তর (এফ. এফ. টি) ব্যবহার করে সময়মতো অ্যাসিম্পটোটিকভাবে গণনা করা যেতে পারে। যাইহোক, বাস্তবে, এটি একটি উল্লেখযোগ্য ওভারহেড বহন করে। মাইকিয়ানসিও এবং রেগেভ দ্বারা সংজ্ঞায়িত হ্যাশ ফাংশনের সুইফফ পরিবার মূলত (এফএফটি) ব্যবহার করে উপরের হ্যাশ ফাংশনের একটি অত্যন্ত অনুকূলিত রূপ। ভেক্টর f কে 2 এর শক্তির সমান হিসাবে সেট করা হয়, যাতে সংশ্লিষ্ট বহুপদীটি অপরিবর্তনীয় হয়। ধরা যাক একটি মৌলিক সংখ্যা যা ভাগ করে এবং একটি বিপরীতমুখী ম্যাট্রিক্স যা পরে বেছে নেওয়া হবে। এস. ডব্লিউ. আই. এফ. এফ. টি হ্যাশ ফাংশন একটি কী-কে ম্যাপ করে যা থেকে অভিন্নভাবে নির্বাচিত ভেক্টর এবং আগের মতো যেখানে আছে সেখানে একটি ইনপুট নিয়ে গঠিত। ইনভার্টিবল ম্যাট্রিক্স দ্বারা গুণন একটি ইউনিফর্মলি নির্বাচিত থেকে ইউনিফর্মলি নির্বাচিত মানচিত্র তৈরি করে। উপরন্তু, যদি এবং শুধুমাত্র যদি। এই দুটি তথ্য একসঙ্গে প্রমাণ করে যে, এস. ডব্লিউ. আই. এফ. এফ. টি-তে সংঘর্ষ খুঁজে পাওয়া অন্তর্নিহিত আদর্শ জাল ফাংশনে সংঘর্ষ খুঁজে পাওয়ার সমতুল্য, এবং এস. ডব্লিউ. আই. এফ. এফ. টি-র দাবি করা সংঘর্ষ প্রতিরোধের বৈশিষ্ট্যটি আদর্শ জালগুলিতে সবচেয়ে খারাপ ক্ষেত্রে জাল সমস্যার সংযোগ দ্বারা সমর্থিত। এস. ডব্লিউ. আই. এফ. এফ. টি হ্যাশ ফাংশনের অ্যালগরিদমটি হ 'লঃ প্যারামিটারঃ পূর্ণসংখ্যা যেমন 2 এর শক্তি, মৌলিক এবং। কীঃ ভেক্টরগুলি এলোমেলোভাবে স্বাধীনভাবে এবং অভিন্নভাবে নির্বাচিত হয়। ইনপুটঃ ভেক্টর। আউটপুটঃ ভেক্টর, যেখানে উপাদান-ভিত্তিক ভেক্টর পণ্য। লার্নিং উইথ এররস (এলডাব্লুই) রিং-এলডাব্লুই লার্নিং উইথ এররস (এলডাব্লুই) সমস্যাটি সবচেয়ে খারাপ ক্ষেত্রে জাল সমস্যার মতোই কঠিন বলে প্রমাণিত হয়েছে এবং অনেক ক্রিপ্টোগ্রাফিক অ্যাপ্লিকেশনের ভিত্তি হিসাবে কাজ করেছে। যাইহোক, এল. ডব্লিউ. ই-এর ব্যবহারে অন্তর্নিহিত দ্বিঘাত ওভারহেডের কারণে এই প্রয়োগগুলি অকার্যকর। প্রকৃতপক্ষে দক্ষ এলডাব্লুই প্রয়োগগুলি পেতে, লিউবাশেভস্কি, পেইকার্ট এবং রেগেভ একটি বিস্তৃত শ্রেণীর রিংয়ে এলডাব্লুই সমস্যার একটি উপযুক্ত সংস্করণকে সংজ্ঞায়িত করেছিলেন এবং এই রিংয়ের আদর্শ ল্যাটিসগুলিতে সবচেয়ে খারাপ-কেস অনুমানের অধীনে এর কঠোরতা প্রমাণ করেছিলেন। তারা তাদের এলডাব্লুই সংস্করণকে রিং-এলডাব্লুই বলে। ধরা যাক, যেখানে নিরাপত্তা পরামিতিটি 2-এর একটি ঘাত, যা যুক্তিসঙ্গতগুলির উপর অপরিবর্তনীয় করে তোলে। (এই বিশেষটি সাইক্লোটোমিক পলিনোমিয়ালের পরিবার থেকে এসেছে, যা এই কাজে বিশেষ ভূমিকা পালন করে)। ধরা যাক পূর্ণসংখ্যা বহুপদী মডুলোর বলয়। (অর্থাৎ, অবশিষ্টাংশ মডুলো)-এর উপাদানগুলি সাধারণত এর চেয়ে কম মাত্রার পূর্ণসংখ্যা বহুপদী দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়। ধরা যাক একটি যথেষ্ট বড় সর্বজনীন মৌলিক মডুলাস (একটি পলিনোমিয়াল দ্বারা আবদ্ধ), এবং উভয়ই পূর্ণসংখ্যা পলিনোমিয়াল মডুলোর বলয়। এর উপাদানগুলি-এর চেয়ে কম মাত্রার পলিনোমিয়াল দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে যার সহগগুলি থেকে। উপরে বর্ণিত রিংয়ে, আর-এলডাব্লুই সমস্যাটি নিম্নরূপ বর্ণনা করা যেতে পারে। একটি অভিন্ন র্যান্ডম রিং উপাদান হতে দিন, যা গোপন রাখা হয়। স্ট্যান্ডার্ড এল. ডব্লিউ. ই-এর অনুরূপ, আক্রমণকারীর লক্ষ্য হল নির্বিচারে অনেকগুলি (স্বাধীন) 'র্যান্ডম নয়েজি রিং সমীকরণ'-কে সত্যিকারের অভিন্ন সমীকরণ থেকে আলাদা করা। আরও সুনির্দিষ্টভাবে, কোলাহলপূর্ণ সমীকরণগুলি এই ধরনের হয়, যেখানে a অভিন্নভাবে এলোমেলো এবং গুণফলটি একটি নির্দিষ্ট বন্টন থেকে নির্বাচিত কিছু 'ছোট' এলোমেলো ত্রুটি শব্দ দ্বারা বিচলিত হয়। তারা আদর্শ জালের আনুমানিক এসভিপি (সবচেয়ে খারাপ ক্ষেত্রে) থেকে রিং-এলডাব্লুই-এর অনুসন্ধান সংস্করণে একটি পরিমাণ হ্রাস দিয়েছে, যেখানে লক্ষ্য হল নির্বিচারে অনেক কোলাহলপূর্ণ পণ্য থেকে গোপনীয়তা (যে কোনও জন্য উচ্চ সম্ভাবনা সহ) পুনরুদ্ধার করা। এই ফলাফলটি সাধারণ ল্যাটিসগুলির জন্য রেগেভের পুনরাবৃত্তিমূলক কোয়ান্টাম হ্রাসের সাধারণ রূপরেখা অনুসরণ করে, তবে আদর্শ ল্যাটিসগুলি হ্রাসের 'বীজগাণিতিক' এবং 'জ্যামিতিক' উভয় উপাদানগুলিতে বেশ কয়েকটি নতুন প্রযুক্তিগত বাধা প্রবর্তন করে। তারা বীজগাণিতিক সংখ্যা তত্ত্ব ব্যবহার করেছিলেন, বিশেষত, একটি সংখ্যা ক্ষেত্রের ক্যানোনিকাল এম্বেডিং এবং চীনা অবশিষ্ট উপপাদ্য এই বাধাগুলি কাটিয়ে উঠতে। তারা নিম্নলিখিত উপপাদ্যটি পেয়েছিলেনঃ উপপাদ্যটি ধরা যাক একটি স্বেচ্ছাচারী সংখ্যার ডিগ্রি ক্ষেত্র। স্বেচ্ছাচারী হতে দিন, এবং (মূলদ) পূর্ণসংখ্যা মডুলাসটি এমন হতে দিন। একটি সম্ভাব্য বহুপদী-সময় কোয়ান্টাম হ্রাস রয়েছে-থেকে-, যেখানে। 2013 সালে, গুনেসু, লিউবাশেভস্কি এবং পপলম্যান রিং লার্নিং উইথ এররস সমস্যার উপর ভিত্তি করে একটি ডিজিটাল স্বাক্ষর প্রকল্প প্রস্তাব করেছিলেন। 2014 সালে পেইকার্ট তাঁর গবেষণাপত্র "ল্যাটিস ক্রিপ্টোগ্রাফি ফর দ্য ইন্টারনেট"-এ রিং লার্নিং উইথ এররস কী এক্সচেঞ্জ (আরএলডব্লিউই-কেইএক্স) উপস্থাপন করেন। সিংহের কাজের মাধ্যমে এটি আরও উন্নত হয়েছিল। আদর্শ-এলডাব্লুই স্টেহল, স্টেইনফেল্ড, তানাকা এবং জাগোয়া এলডাব্লুই সমস্যার একটি কাঠামোগত রূপকে (আদর্শ-এলডাব্লুই) সংজ্ঞায়িত করেছেন আদর্শ জালিতে আনুমানিক এসভিপি-র সবচেয়ে খারাপ অবস্থার কঠোরতার উপর ভিত্তি করে একটি দক্ষ পাবলিক কী এনক্রিপশন স্কিম বর্ণনা করতে। এটি প্রথম সি. পি. এ-সুরক্ষিত পাবলিক কী এনক্রিপশন স্কিম যার নিরাপত্তা সাবএক্সপোনেনশিয়াল কোয়ান্টাম আক্রমণের বিরুদ্ধে-আইডিয়াল-এস. ভি. পি-এর সবচেয়ে খারাপ উদাহরণের কঠোরতার উপর নির্ভর করে। এটি অ্যাসিম্পটোটিকভাবে সর্বোত্তম দক্ষতা অর্জন করেঃ পাবলিক/প্রাইভেট কী-এর দৈর্ঘ্য বিট এবং ঋণ পরিশোধিত এনক্রিপশন/ডিক্রিপশনের খরচ হল প্রতি বার্তা বিটের বিট অপারেশন (একবারে বিট এনক্রিপ্ট করা, একটি ব্যয়ে)। এখানে নিরাপত্তা অনুমান হল যে-আইডিয়াল-এসভিপি কোনও সাবএক্সপোনেনশিয়াল টাইম কোয়ান্টাম অ্যালগরিদম দ্বারা সমাধান করা যায় না। এটি লক্ষণীয় যে এটি স্ট্যান্ডার্ড পাবলিক কী ক্রিপ্টোগ্রাফি নিরাপত্তা অনুমানের চেয়ে শক্তিশালী। অন্যদিকে, বেশিরভাগ পাবলিক কী ক্রিপ্টোগ্রাফির বিপরীতে, ল্যাটিস-ভিত্তিক ক্রিপ্টোগ্রাফি সাবএক্সপোনেনশিয়াল কোয়ান্টাম আক্রমণের বিরুদ্ধে সুরক্ষার অনুমতি দেয়। সাধারণ জালের উপর ভিত্তি করে বেশিরভাগ ক্রিপ্টোসিস্টেম লার্নিং উইথ এররস (এল. ডব্লিউ. ই)-এর গড়-কেস কঠোরতার উপর নির্ভর করে। তাদের পরিকল্পনা এল. ডব্লিউ. ই-এর একটি কাঠামোগত বৈকল্পিকের উপর ভিত্তি করে, যাকে তারা আদর্শ-এল. ডব্লিউ. ই বলে। আদর্শ জালের সীমাবদ্ধতা থেকে উদ্ভূত দুটি প্রধান সমস্যা এড়ানোর জন্য তাদের কিছু কৌশল প্রবর্তন করতে হয়েছিল। প্রথমত, অসংরচিত জালের উপর ভিত্তি করে পূর্ববর্তী ক্রিপ্টোসিস্টেমগুলি বাউন্ডেড ডিস্টেন্স ডিকোডিং প্রবলেম (বিডিডি) থেকে এলডাব্লুই (এটি এসভিপি থেকে এলডাব্লুই-তে কোয়ান্টাম হ্রাসের শাস্ত্রীয় পদক্ষেপ) থেকে রেগেভের সবচেয়ে খারাপ-কেস থেকে গড়-কেস শাস্ত্রীয় হ্রাস ব্যবহার করে। এই হ্রাস বিবেচিত জালগুলির কাঠামোগত-বৈশিষ্ট্যকে কাজে লাগায় এবং আদর্শ-এলডাব্লুই-এর সাথে জড়িত কাঠামোগত জালগুলিতে বহন করে বলে মনে হয় না। বিশেষত, এল. ডব্লিউ. ই ম্যাট্রিক্সের সারিগুলির সম্ভাব্য স্বাধীনতা একটি একক সারি বিবেচনা করার অনুমতি দেয়। দ্বিতীয়ত, পূর্ববর্তী ক্রিপ্টোসিস্টেমগুলিতে ব্যবহৃত অন্যান্য উপাদান, যথা এলডাব্লুই-এর গণনামূলক রূপ থেকে রেগেভের সিদ্ধান্তমূলক রূপে হ্রাস, আদর্শ-এলডাব্লুই-এর ক্ষেত্রেও ব্যর্থ বলে মনে হয়ঃ এটি এলডাব্লুই ম্যাট্রিক্সের কলামগুলির সম্ভাব্য স্বাধীনতার উপর নির্ভর করে। এই সমস্যাগুলি কাটিয়ে ওঠার জন্য, তারা হ্রাসের ধ্রুপদী পদক্ষেপটি এড়িয়ে চলেন। পরিবর্তে, তারা এস. আই. এস (গড়-কেস সংঘর্ষ-সন্ধান সমস্যা) থেকে এল. ডব্লিউ. ই-তে একটি নতুন কোয়ান্টাম গড়-কেস হ্রাস তৈরি করতে কোয়ান্টাম পদক্ষেপটি ব্যবহার করেছিল। এটি আইডিয়াল-এসআইএস থেকে আইডিয়াল-এলডাব্লুই পর্যন্ত কাজ করে। সবচেয়ে খারাপ-কেস আইডিয়াল-এসভিপি থেকে গড়-কেস আইডিয়াল-এসআইএস-এ হ্রাসের সাথে তারা আইডিয়াল-এসভিপি থেকে আইডিয়াল-এলডাব্লুই-তে একটি পরিমাণ হ্রাস পেয়েছে। এটি আদর্শ-এল. ডব্লিউ. ই-এর গণনামূলক বৈকল্পিকের কঠোরতা দেখায়। যেহেতু তারা সিদ্ধান্তমূলক বৈকল্পিকের কঠোরতা অর্জন করতে পারেনি, তাই তারা এনক্রিপশনের জন্য সিউডোরান্ডম বিটগুলি পেতে একটি জেনেরিক হার্ডক 'র ফাংশন ব্যবহার করেছিল। এই কারণেই তাদের এসভিপি-র সূচকীয় কঠোরতা ধরে নেওয়া প্রয়োজন ছিল। সম্পূর্ণরূপে সমরূপ এনক্রিপশন একটি সম্পূর্ণরূপে সমরূপ এনক্রিপশন (এফ. এইচ. ই) স্কিম যা প্রথমে ডিক্রিপ্ট করার প্রয়োজন ছাড়াই এনক্রিপ্ট করা ডেটার উপর গণনার অনুমতি দেয়। রিভেস্ট, অ্যাডলম্যান এবং শামির দ্বারা আরএসএ আবিষ্কারের পরপরই 1978 সালে রিভেস্ট, অ্যাডলম্যান এবং ডার্টোজোস একটি সম্পূর্ণ সমরূপ এনক্রিপশন প্রকল্প নির্মাণের সমস্যাটি প্রথম সামনে আনেন। একটি এনক্রিপশন স্কিম সার্কিটের জন্য সমরূপ, যদি, কোনও সার্কিটের জন্য, দেওয়া হয়, এবং, এটি ধরে রাখে। সম্পূর্ণরূপে সমরূপ হয় যদি এটি আকারের সমস্ত সার্কিটের জন্য সমরূপ হয় যেখানে স্কিমের নিরাপত্তা পরামিতি রয়েছে। 2009 সালে, জেন্ট্রি একটি সম্পূর্ণ সমরূপ এনক্রিপশন স্কিম নির্মাণের সমস্যার প্রথম সমাধানের প্রস্তাব করেছিলেন। তাঁর পরিকল্পনা আদর্শ জালের উপর ভিত্তি করে ছিল। আরও দেখুন ল্যাটিস-ভিত্তিক ক্রিপ্টোগ্রাফি হোমোমর্ফিক এনক্রিপশন রিং লার্নিং উইথ এররস কী এক্সচেঞ্জ পোস্ট-কোয়ান্টাম ক্রিপ্টোগ্রাফি শর্ট ইন্টিজার সলিউশন প্রবলেম রেফারেন্স নম্বর থিওরি ল্যাটিস-ভিত্তিক ক্রিপ্টোগ্রাফি পোস্ট-কোয়ান্টাম ক্রিপ্টোগ্রাফি