Real hyperelliptic curve
দুই ধরনের উপবৃত্তাকার বক্ররেখা রয়েছে, যা বীজগাণিতিক বক্ররেখার একটি শ্রেণীঃ বাস্তব উপবৃত্তাকার বক্ররেখা এবং কাল্পনিক উপবৃত্তাকার বক্ররেখা যা অনন্ততায় বিন্দুর সংখ্যা দ্বারা পৃথক হয়। প্রতিটি বংশের জন্য হাইপারেলিপটিক বক্ররেখা বিদ্যমান। একটি সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের উপর হাইপারেলিপটিক বক্ররেখার সাধারণ সূত্রটি দেওয়া হয় যেখানে নির্দিষ্ট শর্তগুলি পূরণ করা হয়। এই পৃষ্ঠায়, আমরা বাস্তব উপবৃত্তাকার বক্ররেখা সম্পর্কে আরও বর্ণনা করি, এগুলি এমন বক্ররেখা যার অনন্ততায় দুটি বিন্দু থাকে এবং কাল্পনিক উপবৃত্তাকার বক্ররেখার অনন্ততায় একটি বিন্দু থাকে। সংজ্ঞা কে-এর উপর জি বংশের একটি প্রকৃত অতিবেগুনী বক্ররেখা এমন একটি সমীকরণ দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয় যেখানে ডিগ্রিটি জি + 1-এর চেয়ে বড় নয় এবং ডিগ্রিটি অবশ্যই 2জি + 1 বা 2জি + 2 হতে হবে। এই বক্ররেখাটি একটি অ-একক বক্ররেখা যেখানে বীজগাণিতিক বন্ধের কোনও বিন্দু বক্ররেখা সমীকরণ এবং উভয় আংশিক ব্যুৎপত্তি সমীকরণকে সন্তুষ্ট করেঃ এবং। সি-এর উপর (সসীম)-যুক্তিসঙ্গত বিন্দুর সেটটি অসীম বিন্দুগুলির সেটটি কোথায় দ্বারা দেওয়া হয়। বাস্তব উপবৃত্তাকার বক্ররেখার জন্য, অনন্ততায় দুটি বিন্দু রয়েছে, এবং। যে কোনও বিন্দুর জন্য, এর বিপরীত বিন্দু দ্বারা দেওয়া হয়; এটি x-সমন্বিত a সহ অন্য বিন্দু যা বক্ররেখার উপর অবস্থিত। উদাহরণ যাক যেখানে শেষ। যেহেতু এবং এর ডিগ্রি 6 রয়েছে, তাই এটি জি = 2 গণের একটি বক্ররেখা। বক্ররেখার সমীকরণের সমজাতীয় সংস্করণটি দেওয়া হয়েছে এর দ্বারা প্রদত্ত অনন্ততায় একটি একক বিন্দু রয়েছে (0:1:0) তবে এই বিন্দুটি একবচন। এর ব্লোআপের অনন্ততায় 2টি ভিন্ন বিন্দু রয়েছে, যা আমরা নির্দেশ করি এবং। তাই এই বক্ররেখাটি একটি বাস্তব অতি উপবৃত্তাকার বক্ররেখার উদাহরণ। সাধারণভাবে, একটি সমীকরণ দ্বারা প্রদত্ত প্রতিটি বক্ররেখার যেখানে f-এর জোড় ডিগ্রি রয়েছে সেখানে অনন্ততায় দুটি বিন্দু থাকে এবং এটি একটি বাস্তব অতিবেগুনী বক্ররেখা যেখানে f-এর বিজোড় ডিগ্রি রয়েছে সেখানে ব্লোআপে কেবল একটি বিন্দু থাকে (0:1:0) এবং এইভাবে কাল্পনিক অতিবেগুনী বক্ররেখা। উভয় ক্ষেত্রেই এটি ধরে নেওয়া হয় যে বক্ররেখার অ্যাফিন অংশটি অ-এককাকার (উপরের ডেরিভেটিভগুলির শর্তগুলি দেখুন) একটি বাস্তব হাইপারেলিপটিক বক্ররেখার গাণিতিক বাস্তব হাইপারেলিপটিক বক্ররেখার ক্ষেত্রে, যোগফল আর উপবৃত্তাকার বক্ররেখার মতো বিন্দুতে সংজ্ঞায়িত করা হয় না, বরং বিভাজক এবং জ্যাকোবিয়ানের উপর সংজ্ঞায়িত করা হয়। ধরা যাক একটি সীমাবদ্ধ ক্ষেত্র K-এর উপর g গণের একটি হাইপারেলিপটিক বক্ররেখা। আমরা কোথায় এবং প্রায় সবার জন্যই লিখি। দ্বারা সংজ্ঞায়িত ডিগ্রি দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয় যদি সমস্ত অটোমরফিজমের জন্য σ ওভার হয়। সংজ্ঞায়িত ওভারের বিভাজকের সেট সংযোজন নিয়মের অধীনে একটি যোগাত্মক আবেলিয়ান গ্রুপ গঠন করে সমস্ত ডিগ্রি শূন্য বিভাজকের সেট হল এর একটি উপগোষ্ঠী। আমরা একটি উদাহরণ নিইঃ এবং। যদি আমরা সেগুলি যোগ করি। এর ডিগ্রি এবং এর ডিগ্রি। তারপর, পলিনোমিয়ালের জন্য, এর বিভাজক দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয় যদি ফাংশনের একটি বিন্দুতে একটি মেরু থাকে তবে এটি অ্যাটের বিলুপ্তির ক্রম। ধরে নিন যে এগুলি বহুপদী; যৌক্তিক ফাংশনের ভাজককে প্রধান ভাজক বলা হয় এবং দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়। আমরা প্রধান বিভাজকের গোষ্ঠীকে, অর্থাৎ, দ্বারা চিহ্নিত করি। জ্যাকোবিয়ান অফ ওভার দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়। ফ্যাক্টর গ্রুপকে ডিভিজার ক্লাস গ্রুপও বলা হয়। যে উপাদানগুলি সংজ্ঞায়িত করা হয় সেগুলি গোষ্ঠী গঠন করে। আমরা ইন-এর শ্রেণী দ্বারা চিহ্নিত করি। বাস্তব হাইপারেলিপটিক বক্ররেখার জন্য বিভাজক শ্রেণীর প্রতিনিধিত্ব করার দুটি ক্যানোনিকাল উপায় রয়েছে যার দুটি বিন্দু অসীম রয়েছে। প্রথমটি হল একটি ডিগ্রি শূন্য বিভাজককে এমনভাবে উপস্থাপন করা যাতে, কোথায়, এবং যদি এর প্রতিনিধিকে সেমি রিডিউসড বলা হয়। যদি অতিরিক্ত শর্তটি পূরণ হয় তবে প্রতিনিধিকে হ্রাস বলা হয়। লক্ষ্য করুন যা কিছু i-এর জন্য অনুমোদিত। এটি অনুসরণ করে যে প্রতিটি ডিগ্রি 0 বিভাজক শ্রেণীতে একটি অনন্য প্রতিনিধি থাকে যেখানে বিভাজক যা এবং, এবং উভয়ের সাথে সহমৌলিক। অন্য উপস্থাপনাটি অনন্ততায় ভারসাম্যপূর্ণ। মনে রাখবেন যে এই বিভাজকটি-যুক্তিসঙ্গত, এমনকি পয়েন্টগুলি স্বাধীনভাবে না হলেও। ক্লাসের প্রতিনিধিকে এইভাবে লিখুন, যেখানে এফাইন অংশ বলা হয় এবং এতে এবং, এবং লেট থাকে না। যদি জোড় হয় তবে যদি বিজোড় হয় তবে উদাহরণস্বরূপ, দুটি ভাজকের সংযুক্ত অংশগুলি দেওয়া যাক এবং তারপরে ভারসাম্যপূর্ণ ভাজকগুলি হল এবং বাস্তব হাইপারেলিপটিক বক্ররেখা থেকে কাল্পনিক হাইপারেলিপটিক বক্ররেখায় রূপান্তর। যদি ডিগ্রি 1-এর একটি র্যামিফাইড মৌলিক বিভাজক বিদ্যমান থাকে তবে আমরা একটি কাল্পনিক দ্বিঘাত বক্ররেখায় একটি জন্মগত রূপান্তর করতে সক্ষম হব। একটি (সসীম বা অসীম) বিন্দুকে রামিফাইড বলা হয় যদি এটি তার নিজের বিপরীতের সমান হয়। এর অর্থ হল, অর্থাৎ। সেটা। যদি র্যামাইফাইড করা হয় তবে এটি একটি র্যামাইফাইড মৌলিক বিভাজক। একটি বিস্তৃত-যুক্তিসঙ্গত সীমাবদ্ধ বিন্দু সহ বংশের প্রকৃত হাইপারেলিপটিক বক্ররেখা বংশানুক্রমিকভাবে বংশের একটি কাল্পনিক মডেলের সমতুল্য, অর্থাৎ। এবং ফাংশন ক্ষেত্রগুলি সমান। এখানেঃ আমাদের উদাহরণে যেখানে, h (x) 0 এর সমান। যে কোনও বিন্দুর জন্য, 0-এর সমান হয় এবং তাই পি-কে ক্রমবদ্ধ করার প্রয়োজনীয়তা হয়ে ওঠে। প্রতিস্থাপন এবং, আমরা পাই, যেখানে, অর্থাৎ। () থেকে আমরা এবং পাই। g = 2 এর জন্য, আমাদের আছে। উদাহরণস্বরূপ, তারপর এবং, আমরা পাই হরগুলি অপসারণ করতে এই অভিব্যক্তিটি দ্বারা গুণ করা হয়, তারপরঃ যেখানে একটি কাল্পনিক দ্বিঘাত বক্ররেখা রয়েছে সেই বক্ররেখাটি ডিগ্রি দেয়। তথ্যসূত্র বীজগাণিতিক বক্ররেখা