Quasitoric manifold
গণিতে, একটি কোয়াসিটোরিক ম্যানিফোল্ড হল বীজগাণিতিক জ্যামিতির ননসিঙ্গুলার প্রজেক্টিভ টরিক বৈচিত্র্যের একটি টপোলজিকাল অ্যানালগ। একটি মসৃণ-মাত্রিক ম্যানিফোল্ড একটি কোয়াসিটোরিক ম্যানিফোল্ড হয় যদি এটি একটি-মাত্রিক টরাসের একটি মসৃণ, স্থানীয়ভাবে মানসম্মত ক্রিয়া গ্রহণ করে, কক্ষপথের স্থান একটি-মাত্রিক সরল উত্তল পলিটোপ সহ। 1991 সালে এম. ডেভিস এবং টি. জানুসকিউইজ কোয়াসিটোরিক ম্যানিফোল্ড প্রবর্তন করেন, যারা তাদের "টরিক ম্যানিফোল্ড" বলে অভিহিত করেন। যাইহোক, "কোয়াসিটোরিক ম্যানিফোল্ড" শব্দটি অবশেষে গ্রহণ করা হয়েছিল কম্প্যাক্ট মসৃণ টরিক জাতের শ্রেণীর সাথে বিভ্রান্তি এড়াতে, যা বীজগাণিতিক জ্যামিতিগুলিতে টরিক ম্যানিফোল্ড হিসাবে পরিচিত। কোয়াসিটোরিক ম্যানিফোল্ডগুলি বীজগাণিতিক টপোলজির বিভিন্ন প্রসঙ্গে অধ্যয়ন করা হয়, যেমন জটিল কোবোর্ডিজম তত্ত্ব এবং অন্যান্য ভিত্তিক কোহোমোলজি তত্ত্ব। সংজ্ঞাগুলি-টরাসের-তম উপবৃত্তকে এভাবে নির্দেশ করে। তারপর অন-এর স্থানাঙ্ক-ভিত্তিক গুণনকে স্ট্যান্ডার্ড উপস্থাপনা বলা হয়। ভিতরে এবং ভিতরে খোলা সেট দেওয়া, যা ক্রিয়ার অধীনে বন্ধ থাকে, একটি-অ্যাকশন অনকে স্ট্যান্ডার্ড উপস্থাপনার জন্য স্থানীয়ভাবে আইসোমরফিক হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় যদি, সকলের জন্য, ইন, যেখানে একটি হোমিওমরফিজম হয় এবং এর একটি অটোমরফিজম হয়। দিক সহ একটি সাধারণ উত্তল পলিটোপ দেওয়া হলে, a-ম্যানিফোল্ড একটি কোয়াসিটোরিক ম্যানিফোল্ড, যদি-ক্রিয়াটি স্ট্যান্ডার্ড উপস্থাপনার জন্য স্থানীয়ভাবে আইসোমরফিক হয়, তবে একটি অভিক্ষেপ থাকে যা প্রতিটি-মাত্রিক কক্ষপথকে একটি-মাত্রিক মুখের অভ্যন্তরের একটি বিন্দুতে ম্যাপ করে। সংজ্ঞাটি বোঝায় যে-অ্যাকশনের অধীনে নির্দিষ্ট পয়েন্টগুলি বাই-এর শীর্ষে ম্যাপ করা হয়, যেখানে পয়েন্টগুলি যেখানে অ্যাকশনটি পলিটোপের অভ্যন্তরে মুক্ত প্রজেক্ট হয়। ডাই-ক্যারেকটেরিস্টিক ফাংশন একটি কোয়াসিটোরিক ম্যানিফোল্ডকে একটি ডাই-ক্যারেকটেরিস্টিক ফাংশন এবং একটি সম্পর্কিত ডাই-ক্যারেকটেরিস্টিক ম্যাট্রিক্সের পরিপ্রেক্ষিতে বর্ণনা করা যেতে পারে। এই বিন্যাসে এটি ধরে নেওয়া দরকারী যে এর দিকগুলি এমনভাবে সাজানো হয়েছে যাতে ছেদটি এর একটি শীর্ষ হয়, যাকে প্রাথমিক শীর্ষ বলা হয়। একটি দ্বিরূপক ফাংশন হল একটি সমরূপতা, যেমন যদি একটি কোডিমেনশন-ফেস হয়, তবে এটি একটি মনোমরফিজম যা সাবটোরাসের সীমাবদ্ধতার উপর নির্ভর করে। প্রাথমিক শীর্ষের সাথে সম্পর্কিত সাবটোরাসে λ-এর সীমাবদ্ধতা একটি সমরূপতা, এবং তাই এর লাই বীজগণিতের ভিত্তি হিসাবে নেওয়া যেতে পারে। λ-এর সাথে যুক্ত লাই অ্যালজেব্রাগুলির এপিমরফিজমকে একটি রৈখিক রূপান্তর হিসাবে বর্ণনা করা যেতে পারে, যা দ্বারা প্রদত্ত ডাইকার্যাকটেরিস্টিক ম্যাট্রিক্স দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়। যেহেতু প্রতিটি দিক ভেক্টর আদিম, যখনই দিকগুলি একটি শীর্ষে মিলিত হয়, তখন সংশ্লিষ্ট কলামগুলি একটি ভিত্তি গঠন করে, যার নির্ণায়ক সমান। প্রতিটি দিকের সাথে যুক্ত আইসোট্রপি উপগোষ্ঠীটি কিছু দ্বারা বর্ণনা করা হয়েছে। কোয়াসিটোরিক ম্যানিফোল্ডের মূল চিকিৎসায়, ডেভিস এবং জানুস্কিভিচ একটি চরিত্রগত ফাংশনের ধারণা প্রবর্তন করেছিলেন যা পলিটোপের প্রতিটি দিককে একটি ভেক্টরের সাথে ম্যাপ করে দিকের আইসোট্রপি উপগোষ্ঠী নির্ধারণ করে, তবে এটি কেবল সাইন পর্যন্ত সংজ্ঞায়িত করা হয়। কোয়াসিটোরিক ম্যানিফোল্ডের আরও সাম্প্রতিক গবেষণায়, এই অস্পষ্টতাটি ডাইকার্যাকটেরিস্টিক ফাংশনের প্রবর্তন এবং প্রতিটি বৃত্তকে ওরিয়েন্টেড হওয়ার জন্য জোর দিয়ে প্রতিটি ভেক্টরের জন্য একটি চিহ্ন বেছে নিতে বাধ্য করে অপসারণ করা হয়েছে। জটিল কোবোর্ডিজম তত্ত্বে কোয়াসিটোরিক ম্যানিফোল্ডের অধ্যয়নকে সক্ষম করার জন্য ডাইকার্যাকটেরিস্টিক ফাংশনের ধারণাটি মূলত ভি. বুচস্ট্যাবার এবং এন. রে চালু করেছিলেন। প্রাথমিক শীর্ষকে সংজ্ঞায়িত করার জন্য পলিটোপের দিকগুলির ক্রম প্রবর্তন করে এটি আরও পরিমার্জন করা হয়েছিল, যা শেষ পর্যন্ত ডাইকার্যাকটেরিস্টিক ম্যাট্রিক্সের উপরের পরিচ্ছন্ন উপস্থাপনার দিকে পরিচালিত করে, যেখানে আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্স এবং এটি একটি সাবম্যাট্রিক্স। মোমেন্ট-অ্যাঙ্গেল কমপ্লেক্সের সাথে সম্পর্ক ডাইকার্যাকটেরিস্টিক ফাংশনের কার্নেল মোমেন্ট অ্যাঙ্গেল কমপ্লেক্সে অবাধে কাজ করে এবং ফলস্বরূপ ভাগফল স্থানের উপর একটি প্রধান-বান্ডিলকে সংজ্ঞায়িত করে। এই ভাগফল স্থানটিকে দেখা যেতে পারে যেখানে জোড়াগুলি চিহ্নিত করা হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি এবং কিছু লোকের জন্য, বিন্দু ধারণের অনন্য মুখের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ সাবটোরাসের সীমাবদ্ধতার প্রতিচ্ছবিতে থাকে। এটি দেখানো যেতে পারে যে উপরের ভাগফলের যে কোনও কোয়াসিটোরিক ম্যানিফোল্ড উপরের ভাগফলের আকারের কোয়াসিটোরিক ম্যানিফোল্ডের সমতুল্যভাবে ডিফিয়োমরফিক। উদাহরণ-মাত্রিক জটিল প্রজেক্টিভ স্পেস হল-সিম্প্লেক্সের উপর একটি কোয়াসিটোরিক ম্যানিফোল্ড। যদি মূলটি প্রাথমিক শীর্ষবিন্দুতে এম্বেড করা হয়, তবে একটি ডাইকার্যাকটেরিস্টিক ফাংশন বেছে নেওয়া যেতে পারে যাতে সম্পর্কিত ডাইকার্যাকটেরিস্টিক ম্যাট্রিক্স হয় মোমেন্ট অ্যাঙ্গেল কমপ্লেক্স হল-গোলক, কার্নেল হল তির্যক উপগোষ্ঠী, তাই এর ক্রিয়ার অধীনে ভাগফল হল। বট ম্যানিফোল্ডগুলি যা একটি বট টাওয়ারে পর্যায়গুলি গঠন করে সেগুলি-কিউবগুলির উপর কোয়াসিটোরিক ম্যানিফোল্ড হয়। - কিউবটি এমবেডেড করা হয় যাতে মূলটি প্রাথমিক শীর্ষবিন্দু হয় এবং একটি ডাইকার্যাকটেরিস্টিক ফাংশন বেছে নেওয়া হয় যাতে সংশ্লিষ্ট ডাইকার্যাকটেরিস্টিক ম্যাট্রিক্স পূর্ণসংখ্যার জন্য দেওয়া হয়। মোমেন্ট অ্যাঙ্গেল কমপ্লেক্সটি 3-গোলকের অনুলিপিগুলির একটি গুণফল, কার্নেলটি দ্বারা দেওয়া হয়, যাতে এর ক্রিয়ার অধীনে ভাগফল একটি বট টাওয়ারের-তম পর্যায় হয়। পূর্ণসংখ্যার মানগুলি হল লাইন বান্ডিলগুলির টেনসর শক্তি যার পণ্যটি বট টাওয়ারের পুনরাবৃত্ত গোলক-বান্ডিল নির্মাণে ব্যবহৃত হয়। একটি কোয়াসিটোরিক ম্যানিফোল্ড ক্যানোনিকাল জটিল লাইনের বান্ডিলগুলির কোহোমোলজি রিং দ্বারা প্রদত্ত, প্রতিটি দিকের সাথে যুক্ত করা যেতে পারে, যেখানে, ভিতরে এম্বেড করা-তম উপবৃত্তের সীমাবদ্ধতা দ্বারা কাজ করে। এই বান্ডিলগুলি কোয়াসিটোরিক ম্যানিফোল্ডের সাথে যুক্ত মুখের বান্ডিল হিসাবে পরিচিত। এর সংজ্ঞা অনুসারে, একটি দিকের প্রিমেজ হল একটি-মাত্রিক কোয়াসিটোরিক ফেসিয়াল সাবম্যানিফোল্ড, যার আইসোট্রপি সাবগ্রুপ হল এর সাবসর্কিলের সীমাবদ্ধতা। এর সীমাবদ্ধতা ইন এম্বেডিংয়ের স্বাভাবিক 2-প্লেন বান্ডিল দেয়। এর প্রথম চেরন শ্রেণীকে বোঝানো যাক। ইন্টিগ্রাল কোহোমোলজি রিং দুটি সেট সম্পর্কের সাপেক্ষে, জন্য দ্বারা উত্পন্ন হয়। প্রথমটি হল স্ট্যানলি-রেইজনার আদর্শ দ্বারা সৃষ্ট সম্পর্ক; দ্বিকক্ষরসাত্মক ফাংশন দ্বারা নির্ধারিত রৈখিক সম্পর্কগুলি দ্বিতীয় সেটটি নিয়ে গঠিতঃ অতএব শুধুমাত্র গুণগতভাবে উৎপাদনের প্রয়োজন হয়। টরিক ম্যানিফোল্ডের সাথে তুলনা যে কোনও প্রজেক্টিভ টরিক ম্যানিফোল্ড একটি কোয়াসিটোরিক ম্যানিফোল্ড এবং কিছু ক্ষেত্রে নন-প্রজেক্টিভ টরিক ম্যানিফোল্ডও কোয়াসিটোরিক ম্যানিফোল্ড হয়। সমস্ত কোয়াসিটোরিক ম্যানিফোল্ড টরিক ম্যানিফোল্ড নয়। উদাহরণস্বরূপ, সংযুক্ত যোগফলটি একটি কোয়াসিটোরিক ম্যানিফোল্ড হিসাবে তৈরি করা যেতে পারে, তবে এটি একটি টরিক ম্যানিফোল্ড নয়। বিবরণ বীজগাণিতিক টপোলজি টপোলজি ম্যানিফোল্ড