Bounded type (mathematics)
গণিতে, জটিল সমতলে একটি অঞ্চলে সংজ্ঞায়িত একটি ফাংশনকে সীমাবদ্ধ প্রকারের বলা হয় যদি এটি সেই অঞ্চলে আবদ্ধ দুটি বিশ্লেষণাত্মক ফাংশনের অনুপাতের সমান হয়। তবে আরও সাধারণভাবে, একটি ফাংশন একটি অঞ্চলে সীমাবদ্ধ ধরনের হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি বিশ্লেষণাত্মক হয় এবং কোথায় একটি সুরেলা প্রধান থাকে। দুটি আবদ্ধ বিশ্লেষণাত্মক ফাংশনের অনুপাত হওয়া একটি ফাংশনের সীমাবদ্ধ প্রকারের (একটি সুরেলা প্রধানের পরিপ্রেক্ষিতে সংজ্ঞায়িত) হওয়ার জন্য যথেষ্ট শর্ত, এবং যদি কেবল সংযুক্ত থাকে তবে শর্তটিও প্রয়োজনীয়। এই ধরনের সকলের শ্রেণীকে সাধারণত চিহ্নিত করা হয় এবং কখনও কখনও এর জন্য নেভানলিনা শ্রেণী বলা হয়। নেভানলিনা শ্রেণীতে সমস্ত হার্ডি শ্রেণী অন্তর্ভুক্ত রয়েছে। সীমাবদ্ধ প্রকারের ফাংশনগুলি অগত্যা সীমাবদ্ধ নয়, এবং তাদের "প্রকার" নামে একটি বৈশিষ্ট্যও নেই যা আবদ্ধ। নামটির কারণ সম্ভবত একটি ডিস্কে সংজ্ঞায়িত করা হলে, নেভানলিনা বৈশিষ্ট্য (ডিস্কের কেন্দ্র থেকে দূরত্বের একটি ফাংশন) সীমাবদ্ধ থাকে। স্পষ্টতই, যদি একটি ফাংশন দুটি সীমাবদ্ধ ফাংশনের অনুপাত হয়, তবে এটি দুটি ফাংশনের অনুপাত হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে যা 1 দ্বারা আবদ্ধঃ এবং এর লগারিদমগুলি এই অঞ্চলে অ-নেতিবাচক, তাই পরেরটি একটি বিশ্লেষণাত্মক ফাংশনের আসল অংশ এবং তাই সুরেলা, যা দেখায় যে এর উপর একটি সুরেলা প্রধান রয়েছে। একটি প্রদত্ত অঞ্চলের জন্য, সমষ্টি, পার্থক্য এবং সীমাবদ্ধ প্রকারের ফাংশনের গুণফলগুলি সীমাবদ্ধ প্রকারের হয়, যেমন দুটি ফাংশনের ভাগফল যতক্ষণ পর্যন্ত হরটি অভিন্নভাবে শূন্য না হয়। উদাহরণস্বরূপ, যে কোনও সীমাবদ্ধ অঞ্চলে বহুপদগুলি সীমাবদ্ধ ধরনের হয়। উপরের অর্ধ-সমতলেও (ইউ. এইচ. পি) এগুলি সীমাবদ্ধ প্রকারের, কারণ ডিগ্রি এন-এর একটি বহুপদকে ইউ. এইচ. পি-তে আবদ্ধ দুটি বিশ্লেষণাত্মক ফাংশনের অনুপাত হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারেঃ একটি বহুপদের বিপরীতটিও একটি অঞ্চলে সীমাবদ্ধ প্রকারের হয়, যেমন যে কোনও যুক্তিসঙ্গত ফাংশন। ফাংশনটি ইউ. এইচ. পি-তে সীমাবদ্ধ ধরনের হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি a বাস্তব হয়। যদি a ধনাত্মক হয় তবে ফাংশনটি নিজেই ইউএইচপি-তে আবদ্ধ থাকে (তাই আমরা ব্যবহার করতে পারি), এবং যদি a ঋণাত্মক হয় তবে ফাংশনটি 1/Q (z) এর সমান। ইউ. এইচ. পি-তে সাইন এবং কোসাইন সীমাবদ্ধ ধরনের হয়। প্রকৃতপক্ষে, যার সাথে উভয়ই ইউএইচপি-তে আবদ্ধ। উপরের সমস্ত উদাহরণগুলি নিম্ন অর্ধ-সমতলেও বিভিন্ন পি এবং কিউ ফাংশন ব্যবহার করে সীমাবদ্ধ ধরনের। কিন্তু "বাউন্ডেড টাইপ" শব্দটির সংজ্ঞায় উল্লিখিত অঞ্চলটি সম্পূর্ণ জটিল সমতল হতে পারে না যদি না ফাংশনটি ধ্রুবক হয় কারণ একজনকে অবশ্যই পুরো অঞ্চলে একই পি এবং কিউ ব্যবহার করতে হবে এবং লিউভিলের উপপাদ্য দ্বারা সীমাবদ্ধ একমাত্র সমগ্র ফাংশনগুলি (অর্থাৎ পুরো জটিল সমতলে বিশ্লেষণাত্মক) ধ্রুবক। উপরের অর্ধ-সমতলে আরেকটি উদাহরণ হল "নেভানলিনা ফাংশন", অর্থাৎ একটি বিশ্লেষণাত্মক ফাংশন যা ইউএইচপি-কে বদ্ধ ইউএইচপি-তে ম্যাপ করে। যদি f (z) এই ধরনের হয়, তবে যেখানে P এবং Q সীমাবদ্ধ ফাংশনঃ (এটি স্পষ্টতই সেইসাথে প্রযোজ্য, অর্থাৎ, এমন একটি ফাংশন যার আসল অংশ ইউএইচপি-তে অ-নেতিবাচক)। একটি প্রদত্ত অঞ্চলের জন্য, আবদ্ধ ধরনের দুটি (নন-নাল) ফাংশনের যোগফল, গুণফল বা ভাগফলও সীমাবদ্ধ ধরনের হয়। সীমাবদ্ধ ধরনের ফাংশনের সেট হল জটিল সংখ্যার উপর একটি বীজগণিত এবং প্রকৃতপক্ষে এটি একটি ক্ষেত্র। উপরের অর্ধ-সমতলে সীমাবদ্ধ প্রকারের যে কোনও ফাংশনকে (0-এর কোনও পাড়ায় সীমিত সংখ্যক শিকড় সহ) একটি ব্লাস্ক পণ্য (একটি বিশ্লেষণাত্মক ফাংশন, যা অঞ্চলে সীমাবদ্ধ, যা শূন্যকে ফ্যাক্টর করে) হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে যেখানে ভাগফলকে গুণ করে এবং 1 দ্বারা আবদ্ধ এবং ইউএইচপি-তে কোনও শূন্য নেই। তারপরে কেউ এই ভাগফলটি প্রকাশ করতে পারে যে ইউএইচপি-তে অ-নেতিবাচক বাস্তব অংশ সহ বিশ্লেষণাত্মক ফাংশনগুলি কোথায় এবং কোথায়। এগুলির প্রত্যেকটিকে একটি পয়সন উপস্থাপনা দ্বারা প্রকাশ করা যেতে পারে (নেভানলিনা ফাংশন দেখুন): যেখানে c এবং d কাল্পনিক ধ্রুবক, p এবং q অ-ঋণাত্মক বাস্তব ধ্রুবক, এবং μ এবং ν একটি বাস্তব চলকের অ-হ্রাসকারী ফাংশন (ভাল আচরণ করে যাতে ইন্টিগ্রালগুলি একত্রিত হয়)। লুই ডি ব্র্যাঞ্জেস q − p পার্থক্যটিকে "গড় প্রকার" নাম দিয়েছেন এবং কাল্পনিক অক্ষ বরাবর ফাংশনের বৃদ্ধি বা ক্ষয় বর্ণনা করেছেনঃ উপরের অর্ধ-সমতলে গড় প্রকারটি হল ফাংশনের পরম মানের লগারিদমের একটি ওজনযুক্ত গড়ের সীমা যা শূন্য থেকে দূরত্ব দ্বারা ভাগ করা হয়, এমনভাবে স্বাভাবিক করা হয় যে এর মান 1 হয়ঃ যদি একটি সম্পূর্ণ ফাংশন উপরের এবং নীচের উভয় অর্ধ-সমতলে সীমাবদ্ধ প্রকারের হয় তবে এটি দুটি সংশ্লিষ্ট "গড় প্রকারের" উচ্চতর সমান সূচকীয় প্রকারের হয় (এবং উচ্চতরটি অ-নেতিবাচক হবে)। 1-এর চেয়ে বড় ক্রমের একটি সম্পূর্ণ ফাংশন (যার অর্থ হল যে কোনও দিকে এটি সূচকীয় প্রকারের ফাংশনের চেয়ে দ্রুত বৃদ্ধি পায়) কোনও অর্ধ-সমতলে সীমাবদ্ধ ধরনের হতে পারে না। এইভাবে আমরা z-এর একটি উপযুক্ত সূচকীয় এবং নির্বিচারে নেভানলিনা ফাংশনের সূচকীয়গুলিকে i দ্বারা গুণ করে একটি সীমাবদ্ধ ধরনের ফাংশন তৈরি করতে পারি, উদাহরণস্বরূপঃ উপরে দেওয়া উদাহরণগুলির ক্ষেত্রে, বহুপদের গড় প্রকার বা তাদের বিপরীতগুলি শূন্য। উপরের অর্ধ-সমতলে এর গড় প্রকার হল-a, এবং নীচের অর্ধ-সমতলে এটি হল a। উভয় অর্ধ-সমতলে গড় প্রকার হল 1। অ-ধনাত্মক গড় প্রকারের সাথে উপরের অর্ধ-সমতলে আবদ্ধ প্রকারের ফাংশন এবং বাস্তব অক্ষের সাথে অবিচ্ছিন্ন, বর্গ-অবিচ্ছেদ্য সম্প্রসারণের আকর্ষণীয় বৈশিষ্ট্য রয়েছে (প্রয়োগগুলিতে দরকারী) যে অবিচ্ছেদ্য (বাস্তব অক্ষ বরাবর) সমান যদি z উপরের অর্ধ-সমতলে থাকে এবং শূন্য যদি z নীচের অর্ধ-সমতলে থাকে। এটিকে উপরের অর্ধ-তলের জন্য কচি সূত্র বলা যেতে পারে। আরও দেখুন ডি ব্র্যাঞ্জেস স্পেস রোল্ফ নেভানলিনা রেফারেন্স কমপ্লেক্স বিশ্লেষণ বিশেষ ফাংশনের প্রকার