Skolem–Mahler–Lech theorem
যোগাত্মক এবং বীজগাণিতিক সংখ্যা তত্ত্বে, স্কোলেম-মাহলার-লেক উপপাদ্য বলে যে, যদি সংখ্যার একটি ক্রম একটি রৈখিক পার্থক্য সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে, তবে সীমাবদ্ধভাবে অনেক ব্যতিক্রমের সাথে যে অবস্থানে ক্রমটি শূন্য হয় তা নিয়মিত পুনরাবৃত্তিমূলক প্যাটার্ন গঠন করে। এই ফলাফলের নামকরণ করা হয়েছে থোরালফ স্কোলেম (যিনি মূলদ সংখ্যার ক্রমের জন্য উপপাদ্যটি প্রমাণ করেছিলেন), কার্ট মাহলার (যিনি বীজগাণিতিক সংখ্যার ক্রমের জন্য এটি প্রমাণ করেছিলেন) এবং ক্রিস্টার লেচের (যিনি এমন ক্রমের জন্য এটি প্রমাণ করেছিলেন যার উপাদানগুলি বৈশিষ্ট্য 0-এর যে কোনও ক্ষেত্রের অন্তর্গত) নামে। এর পরিচিত প্রমাণগুলি পি-এডিক বিশ্লেষণ ব্যবহার করে এবং অ-গঠনমূলক। উপপাদ্য বিবৃতি ধরা যাক জটিল সংখ্যার একটি ক্রম যা সকলের জন্য সন্তোষজনক, যেখানে জটিল সংখ্যা ধ্রুবক (অর্থাৎ, ক্রমের একটি ধ্রুবক-পুনরাবৃত্তিমূলক ক্রম)। তারপর শূন্যের সেটটি একটি সীমাবদ্ধ সেট এবং সীমাবদ্ধভাবে অনেক গাণিতিক অগ্রগতির মিলনের সমান। যদি আমাদের থাকে (1,0,0,0, এর মতো ক্রম বাদে), তাহলে প্রকৃতপক্ষে শূন্যের সেটটি একটি সসীম সেট এবং সীমাবদ্ধভাবে অনেক পূর্ণ গাণিতিক অগ্রগতির মিলনের সমান, যেখানে একটি অসীম গাণিতিক অগ্রগতি পূর্ণ হয় যদি পূর্ণসংখ্যা a এবং b বিদ্যমান থাকে যাতে অগ্রগতি b মডুলো a এর সমান সমস্ত ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা নিয়ে গঠিত হয়। উদাহরণ শূন্য এবং ফিবোনাচ্চি সংখ্যার মধ্যে যে ক্রম পরিবর্তিত হয় তা বিবেচনা করুন। এই ক্রমটি F (1) = F (2) = F (4) = 0 এবং F (3) = 1 থেকে শুরু করে রৈখিক পুনরাবৃত্তি সম্পর্ক (ফিবোনাচি পুনরাবৃত্তির একটি পরিবর্তিত রূপ) দ্বারা তৈরি করা যেতে পারে। এই ক্রমের জন্য, F (i) = 0 যদি এবং শুধুমাত্র যদি i হয় এক বা জোড়। সুতরাং, যে অবস্থানে ক্রমটি শূন্য, সেটটিকে একটি সসীম সেট (সিঙ্গেলটন সেট {1}) এবং একটি পূর্ণ গাণিতিক অগ্রগতিতে (ধনাত্মক জোড় সংখ্যা) ভাগ করা যেতে পারে। এই উদাহরণে, শুধুমাত্র একটি গাণিতিক অগ্রগতির প্রয়োজন ছিল, তবে অন্যান্য পুনরাবৃত্তির ক্রমগুলিতে একাধিক গাণিতিক অগ্রগতি গঠনকারী অবস্থানে শূন্য থাকতে পারে। সম্পর্কিত ফলাফল স্কোলেম সমস্যা হল একটি প্রদত্ত পুনরাবৃত্তির ক্রম শূন্য কিনা তা নির্ধারণের সমস্যা। অসীম সংখ্যক শূন্য আছে কিনা তা পরীক্ষা করার জন্য একটি অ্যালগরিদম রয়েছে এবং যদি তা হয় তবে স্কোলেম-মাহলার-লেক উপপাদ্য দ্বারা নিশ্চিত হওয়া পর্যায়ক্রমিক সেটগুলিতে এই শূন্যগুলির পচন খুঁজে বের করার জন্য। যাইহোক, একটি পুনরাবৃত্তি অনুক্রমের কোনও অ-পর্যায়ক্রমিক শূন্য আছে কিনা তা নির্ধারণ করার জন্য কোনও অ্যালগরিদম রয়েছে কিনা তা অজানা। 1953 সালের লেক-এ উদ্ধৃত তথ্যসূত্র, 1953 সালের লেক-এ উদ্ধৃত। । । বাহ্যিক যোগসূত্র সংখ্যা তত্ত্বের উপপাদ্য বীজগাণিতিক সংখ্যা তত্ত্ব যোগাত্মক সংখ্যা তত্ত্ব পুনরাবৃত্তি সম্পর্ক