Erdős distinct distances problem
বিচ্ছিন্ন জ্যামিতিতে, এরদোসের স্বতন্ত্র দূরত্ব সমস্যাটি বলে যে সমতলের প্রতিটি বিন্দুর প্রায়-রৈখিক সংখ্যক স্বতন্ত্র দূরত্ব রয়েছে। এটি 1946 সালে পল এরদোস দ্বারা উপস্থাপিত হয়েছিল এবং 2015 সালে ল্যারি গুথ এবং নেটস কাটজ দ্বারা প্রায় প্রমাণিত হয়েছিল। অনুমানটি নিম্নরূপ যা সমতলের বিন্দুগুলির মধ্যে স্বতন্ত্র দূরত্বের ন্যূনতম সংখ্যা বা সমতুল্যভাবে তাদের দূরত্ব সেটের ক্ষুদ্রতম সম্ভাব্য কার্ডিনালিটি নির্দেশ করে। তার 1946 সালের গবেষণাপত্রে, এরদোস কিছু ধ্রুবকের জন্য অনুমান প্রমাণ করেছিলেন। নীচের সীমাটি একটি সহজ যুক্তি দ্বারা দেওয়া হয়েছিল। উপরের সীমাটি একটি বর্গাকার গ্রিড দ্বারা দেওয়া হয়। এই ধরনের গ্রিডের জন্য, n-এর নিচে দুটি বর্গের যোগফলের সংখ্যা রয়েছে, যা বড় O স্বরলিপিতে প্রকাশ করা হয়েছে; ল্যান্ডাউ-রামানুজন ধ্রুবক দেখুন। এরদোস অনুমান করেছিলেন যে উপরের সীমাটি g (n) এর প্রকৃত মানের কাছাকাছি ছিল এবং বিশেষত (বড় Omega স্বরলিপি ব্যবহার করে) প্রত্যেকের জন্য ধারণ করে। আংশিক ফলাফল পল এরদোসের 1946 সালের নিম্ন সীমা পর্যায়ক্রমে উন্নত হয়েছিলঃ 1952 সালে লিও মোজার দ্বারা, 1984 সালে ফ্যান চুং দ্বারা, ফ্যান চুং, এন্ড্রে স্জেমেরিডি এবং উইলিয়াম টি ট্রটার দ্বারা 1992 সালে, লাস্লো এ. স্জেকলি দ্বারা 1993 সালে, জোজেফ সোলিমোসি এবং সাবা ডি. টোথ দ্বারা 2001 সালে, গাবোর টার্ডোস দ্বারা 2003 সালে, নেটস কাটজ এবং গাবোর টার্ডোস দ্বারা 2004 সালে, ল্যারি গুথ এবং নেটস কাটজ দ্বারা 2015 সালে। উচ্চ মাত্রার এরদোস সমস্যার উচ্চ-মাত্রিক বৈকল্পিককেও বিবেচনা করেছেনঃ কারণ-মাত্রিক ইউক্লিডীয় স্থানের বিন্দুগুলির মধ্যে স্বতন্ত্র দূরত্বের ন্যূনতম সম্ভাব্য সংখ্যাকে নির্দেশ করা যাক। তিনি তা প্রমাণ করেছিলেন এবং অনুমান করেছিলেন যে উপরের সীমাটি আসলে তীক্ষ্ণ, অর্থাৎ। জোজেফ সোলিমোসি এবং ভ্যান এইচ. ভু 2008 সালে নিম্ন সীমা অর্জন করেন। আরও দেখুন ফ্যালকনারের অনুমান এরদোস একক দূরত্ব সমস্যা রেফারেন্স বাহ্যিক লিঙ্ক উইলিয়াম গ্যাসার্কের সমস্যা সম্পর্কিত পৃষ্ঠা অনুমান পল এরদোস বিচ্ছিন্ন জ্যামিতি