Algebraic interior
কার্যকরী বিশ্লেষণে, গণিতের একটি শাখা, ভেক্টর স্পেসের একটি উপসেটের বীজগাণিতিক অভ্যন্তরীণ বা রেডিয়াল কার্নেল হল অভ্যন্তরের ধারণার একটি পরিমার্জন। সংজ্ঞা ধরে নিন যে এটি একটি ভেক্টর স্পেসের একটি উপসেট এর সাপেক্ষে বীজগাণিতিক অভ্যন্তর (বা রেডিয়াল কার্নেল) হল সমস্ত বিন্দুর সেট যেখানে একটি রেডিয়াল সেট রয়েছে। এই শেষ শর্তটি এমনভাবেও লেখা যেতে পারে যেখানে সেটটি লাইন সেগমেন্ট (বা ক্লোজড ইন্টারভ্যাল) যা এই লাইন সেগমেন্ট থেকে শুরু হয় এবং শেষ হয় যার একটি উপসেট হল দিক থেকে উদ্ভূত (অর্থাৎ, সমান্তরাল/এর অনুবাদ)। সুতরাং জ্যামিতিকভাবে, একটি উপসেট-এর একটি অভ্যন্তরীণ বিন্দু হল এমন একটি বিন্দু যার বৈশিষ্ট্য হল যে প্রতিটি সম্ভাব্য দিকে (ভেক্টর) কিছু (অ-অবনমিত) রেখা বিভাগ থাকে যা সেই দিক থেকে শুরু হয় এবং সেই দিকে অগ্রসর হয় (অর্থাৎ। রশ্মির একটি উপসেট)। (সাপেক্ষে) এর বীজগাণিতিক অভ্যন্তর হল এই ধরনের সমস্ত বিন্দুর সমষ্টি। অর্থাৎ, এটি একটি প্রদত্ত সেটের মধ্যে থাকা পয়েন্টগুলির উপসেট যার সাপেক্ষে এটি সেটের রেডিয়াল পয়েন্ট। যদি একটি রৈখিক সাবস্পেস হয় এবং তারপর এই সংজ্ঞাটিকে বীজগাণিতিক অভ্যন্তরের সাপেক্ষে সাধারণীকরণ করা যেতে পারেঃ যেখানে সর্বদা ধরে থাকে এবং যদি থাকে তবে অ্যাফিন হুল কোথায় (যা সমান)। বীজগাণিতিক বন্ধ একটি বিন্দুকে একটি উপসেট থেকে বলা হয় যদি এমন কিছু থাকে যার মধ্যে রেখা বিভাগটি থাকে, যার দ্বারা চিহ্নিত করা হয় এবং সমস্ত বিন্দু যা বীজগাণিতিক অভ্যন্তর (কোর) থেকে রৈখিকভাবে অ্যাক্সেসযোগ্য হয় বিশেষ ক্ষেত্রে যেখানে সেটটিকে বলা হয় বা এর এবং এটি দ্বারা চিহ্নিত করা হয় বা আনুষ্ঠানিকভাবে, যদি একটি ভেক্টর স্থান হয় তবে এর বীজগাণিতিক অভ্যন্তরটি হয় যদি খালি না হয়, তবে এই অতিরিক্ত উপসেটগুলি উত্তল কার্যকরী বিশ্লেষণের অনেক উপপাদ্যের বিবৃতির জন্যও কার্যকর (যেমন উরসেস্কু উপপাদ্য): যদি একটি ফ্রেচেট স্থান হয়, উত্তল হয় এবং তখন বন্ধ থাকে তবে সাধারণভাবে শূন্য থাকাকালীন থাকা সম্ভব। উদাহরণস্বরূপ যদি তবে কিন্তু এবং মূলের বৈশিষ্ট্যগুলি মনে করুন সাধারণভাবে, তবে যদি একটি উত্তল সেট হয় তবেঃ এবং সকলের জন্য তখন একটি বাস্তব ভেক্টর স্থানের একটি শোষণকারী উপসেট হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি একটি উত্তল সেটের মূল এবং বীজগাণিতিক বন্ধ উভয়ই আবার উত্তল হয়। যদি উত্তল হয়, এবং তারপর রেখার অংশটি টপোলজিক্যাল অভ্যন্তরের সাথে সম্পর্কিত হয়, তাহলে ধরা যাক একটি টপোলজিক্যাল ভেক্টর স্পেস, যা অভ্যন্তরের অপারেটরকে নির্দেশ করে, এবং তারপরঃ যদি অ-খালি উত্তল হয় এবং সীমাবদ্ধ-মাত্রিক হয়, তবে যদি অ-খালি অভ্যন্তরের সাথে উত্তল হয়, তবে আপেক্ষিক বীজগাণিতিক অভ্যন্তর যদি একটি বদ্ধ উত্তল সেট হয় এবং এটি একটি সম্পূর্ণ মেট্রিক স্পেস হয়, তবে আপেক্ষিক বীজগাণিতিক অভ্যন্তর যদি সেটটি দ্বারা চিহ্নিত করা হয় এবং এটিকে আপেক্ষিক বীজগাণিতিক অভ্যন্তর বলা হয় তবে এই নামটি এই সত্য থেকে উদ্ভূত হয় যে যদি এবং শুধুমাত্র যদি এবং (যেখানে যদি এবং শুধুমাত্র যদি)। আপেক্ষিক অভ্যন্তর যদি একটি টপোলজিকাল ভেক্টর স্পেসের একটি উপসেট হয় তবে এর আপেক্ষিক অভ্যন্তরটি সেট হয় অর্থাৎ, এটি A এর টপোলজিকাল অভ্যন্তর যা ধারণকারী ক্ষুদ্রতম অ্যাফিন রৈখিক সাবস্পেস নিম্নলিখিত সেটটিও কার্যকরঃ আধা আপেক্ষিক অভ্যন্তর যদি একটি টপোলজিকাল ভেক্টর স্পেসের একটি উপসেট হয় তবে এর আধা আপেক্ষিক অভ্যন্তরটি সেট হয়।