Distortion problem
গণিতের একটি শাখা, কার্যকরী বিশ্লেষণে, বিকৃতি সমস্যাটি একটি সমতুল্য আদর্শ ব্যবহার করে প্রদত্ত বানাচ স্পেসে একক গোলককে কতটা বিকৃত করতে পারে তার দ্বারা নির্ধারণ করা হয়। বিশেষত, একটি বানাচ স্থান X-কে λ-বিকৃতযোগ্য বলা হয় যদি X-এর উপর এমন একটি সমতুল্য আদর্শ |x। বিদ্যমান থাকে যে, X-এর সমস্ত অসীম-মাত্রিক উপস্থান Y-এর জন্য, (বিকৃতি (গণিত) দেখুন)। মনে রাখবেন যে প্রতিটি বানাচ স্থান তুচ্ছভাবে 1-বিকৃতযোগ্য। একটি বানাচ স্থানকে বিকৃতযোগ্য বলা হয় যদি এটি কিছু λ> 1-এর জন্য λ-বিকৃতযোগ্য হয় এবং যদি এটি কোনও λ-এর জন্য λ-বিকৃতযোগ্য হয় তবে এটিকে নির্বিচারে বিকৃতযোগ্য বলা হয়। 1960-এর দশকে বানাচ স্থানগুলির একটি গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য হিসাবে বিকৃতি প্রথম আবির্ভূত হয়েছিল, যেখানে এটি এবং দ্বারা অধ্যয়ন করা হয়েছিল। জেমস প্রমাণ করেছিলেন যে c0 এবং l1 বিকৃতযোগ্য নয়। মিলম্যান দেখিয়েছেন যে, যদি এক্স একটি বানাচ স্পেস হয় যার মধ্যে c0 বা lp এর সমরূপ অনুলিপি না থাকে (ক্রম স্থান দেখুন), তাহলে এক্স-এর কিছু অসীম-মাত্রিক সাবস্পেস বিকৃতযোগ্য। সুতরাং বিকৃতি সমস্যাটি এখন প্রাথমিকভাবে স্পেস এল. পি-তে আগ্রহের বিষয়, যার সবগুলিই পৃথকযোগ্য এবং অভিন্ন উত্তল। পৃথকীকৃত এবং অভিন্ন উত্তল স্থানগুলিতে, বিকৃতিশীলতাকে সহজেই আপাতদৃষ্টিতে আরও সাধারণ প্রশ্নের সমতুল্য হিসাবে দেখা যায় যে X-এর গোলকের উপর সংজ্ঞায়িত প্রতিটি বাস্তব-মূল্যবান লিপশিটজ ফাংশন f একটি অসীম মাত্রিক সাবস্পেসের গোলকের উপর স্থিতিশীল হয় কিনা, অর্থাৎ, একটি বাস্তব সংখ্যা a ω R আছে কিনা যাতে প্রতিটি δ> 0-এর জন্য X-এর একটি অসীম মাত্রিক সাবস্পেস Y থাকে, যাতে |a −f (y)। <δ, সমস্ত y ω Y-এর জন্য,। |y। = 1 সহ। কিন্তু এর ফলস্বরূপ l1-এ লিপস্কিটজ ফাংশন রয়েছে যা স্থিতিশীল হয় না, যদিও এই স্থানটি দ্বারা বিকৃত হয় না। একটি পৃথকযোগ্য হিলবার্ট স্পেসে, বিকৃতি সমস্যাটি এই প্রশ্নের সমতুল্য যে ধনাত্মক দূরত্ব দ্বারা পৃথক একক গোলকের উপসেট রয়েছে কিনা এবং তবুও প্রতিটি অসীম-মাত্রিক বদ্ধ উপস্থানকে ছেদ করে। বানাচ স্থানগুলির অনেক বৈশিষ্ট্যের বিপরীতে, হিলবার্ট স্থানগুলিতে বিকৃতি সমস্যাটি অন্যান্য বানাচ স্থানগুলির মতোই কঠিন বলে মনে হয়। একটি পৃথক হিলবার্ট স্পেসে, এবং অন্যান্য এল. পি-স্পেসের জন্য, 1 <পি <φ, বিকৃতি সমস্যাটি ইতিবাচকভাবে সমাধান করা হয়েছিল, যিনি দেখিয়েছিলেন যে এল 2 ইচ্ছাকৃতভাবে বিকৃতযোগ্য, প্রথম পরিচিত ইচ্ছাকৃতভাবে বিকৃত স্থানটি ব্যবহার করে। আরও দেখুন সিরেলসন স্পেস বানাচ স্পেস রেফারেন্স। । । । । । কার্যকরী বিশ্লেষণ