Auslander–Reiten theory
বীজগণিতে, আউসল্যান্ডার-রেইটেন তত্ত্ব আউসল্যান্ডার-রেইটেন সিকোয়েন্স (প্রায় বিভক্ত সিকোয়েন্সও বলা হয়) এবং আউসল্যান্ডার-রেইটেন কুইভার্সের মতো কৌশল ব্যবহার করে আর্টিনিয়ান বলয়ের উপস্থাপনা তত্ত্ব অধ্যয়ন করে। আউসল্যান্ডার-রেইটেন তত্ত্বটি পরবর্তী বেশ কয়েকটি গবেষণাপত্রে তাদের দ্বারা প্রবর্তিত এবং বিকশিত হয়েছিল। আউসল্যান্ডার-রেইটেন তত্ত্বের উপর জরিপ নিবন্ধের জন্য, এবং বইটি দেখুন। আউসল্যান্ডার-রেইটেন তত্ত্বের উপর অনেকগুলি মূল গবেষণাপত্র পুনরায় মুদ্রিত হয়েছে। প্রায়-বিভক্ত ক্রম ধরুন যে আর একটি আর্টিন বীজগণিত। আর-এর উপর সীমিতভাবে উত্পন্ন বাম মডিউলগুলির একটি ক্রম 0 → এ → বি → সি → 0 কে প্রায়-বিভক্ত ক্রম (বা আউসল্যান্ডার-রেইটেন ক্রম) বলা হয় যদি এর নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্যগুলি থাকেঃ ক্রমটি বিভক্ত না হয় সি অনির্বচনীয় এবং একটি অনির্বচনীয় মডিউল থেকে সি-তে যে কোনও সমরূপতা যা বি-এর মাধ্যমে সমরূপতা ফ্যাক্টর নয়। A হল অবিন্যস্ত এবং A থেকে একটি অবিন্যস্ত মডিউলে যে কোনও সমরূপতা যা B এর মাধ্যমে সমরূপতা ফ্যাক্টর নয়। যে কোনও সীমাবদ্ধভাবে উত্পন্ন বাম মডিউল সি-এর জন্য যা অবিন্যস্ত কিন্তু প্রজেক্টিভ নয়, উপরের মতো একটি প্রায়-বিভক্ত ক্রম রয়েছে, যা আইসোমরফিজম পর্যন্ত অনন্য। একইভাবে যে কোনও সীমাবদ্ধভাবে উত্পন্ন বাম মডিউল এ-এর জন্য যা অনির্বচনীয় কিন্তু ইনজেকটিভ নয়, উপরের মতো একটি প্রায়-বিভক্ত ক্রম রয়েছে, যা আইসোমরফিজম পর্যন্ত অনন্য। প্রায় বিভক্ত অনুক্রমের মডিউল এ হল ডি. ট্র. সি-এর সমতুল্য, যা সি-এর ট্রান্সপোজের দ্বৈত। উদাহরণস্বরূপ মনে করুন যে, আর হল একটি ক্ষেত্র k-এর জন্য k [x]/(xn) বলয় এবং একটি পূর্ণসংখ্যা n ≤ 1। অপরিবর্তনীয় মডিউলগুলি 1 ≤ m ≤ n-এর জন্য k [x]/(xm)-এর একটির সমরূপ, এবং একমাত্র প্রজেক্টিভের m = n রয়েছে। প্রায় বিভক্ত ক্রমগুলি 1 ≤ m <n-এর জন্য সমরূপ। প্রথম অঙ্গবিন্যাস a-কে (xa, a) এবং দ্বিতীয়টি (b, c)-কে b − xc-তে নিয়ে যায়। একটি আর্টিন বীজগণিতে অস্ল্যান্ডার-রেইটেন কুইভারের প্রতিটি অপরিবর্তনীয় মডিউলের জন্য একটি শীর্ষ থাকে এবং সংশ্লিষ্ট মডিউলগুলির মধ্যে যদি একটি অপরিবর্তনীয় অঙ্গসংস্থান থাকে তবে শীর্ষগুলির মধ্যে একটি তীর থাকে। এটির একটি মানচিত্র রয়েছে τ = D Tr যাকে অ-অভিক্ষেপমূলক শীর্ষগুলি থেকে অ-ইনজেকটিভ শীর্ষগুলিতে অনুবাদ বলা হয়, যেখানে D হল দ্বৈত এবং Tr হল ট্রান্সপোজ। তথ্যসূত্র বাহ্যিক যোগসূত্র প্রতিনিধিত্ব তত্ত্ব