Triple correlation
বাস্তব লাইনে একটি সাধারণ ফাংশনের ট্রিপল কোরিলেশন হল সেই ফাংশনের গুণফলের অবিচ্ছেদ্য অংশ যার দুটি স্বাধীনভাবে স্থানান্তরিত অনুলিপি রয়েছেঃ ট্রিপল কোরিলেশনের ফুরিয়ার রূপান্তর হল দ্বি-বর্ণালী। ট্রিপল কোরিলেশন স্বয়ংক্রিয় সম্পর্কের ধারণাকে প্রসারিত করে, যা একটি ফাংশনকে তার একক স্থানান্তরিত অনুলিপির সাথে সম্পর্কযুক্ত করে এবং এর ফলে তার সুপ্ত পর্যায়ক্রমিকতা বাড়ায়। ইতিহাস অ-গাউসীয় এলোমেলো প্রক্রিয়াগুলির সঞ্চিত কাঠামো পরীক্ষা করে পরিসংখ্যানবিদরা প্রথম ট্রিপল কোরিলেশন তত্ত্বটি তদন্ত করেছিলেন। এটি লেজার বিমের স্পেকট্রোস্কোপির একটি সরঞ্জাম হিসাবে পদার্থবিজ্ঞানীদের দ্বারা স্বাধীনভাবে অধ্যয়ন করা হয়েছিল। 1963 সালে হিদেয়া গামো একটি লেজার রশ্মির ট্রিপল কোরিলেশন পরিমাপের জন্য একটি যন্ত্রের বর্ণনা দিয়েছিলেন এবং এও দেখিয়েছিলেন যে কীভাবে দ্বি-বর্ণালীর আসল অংশ থেকে পর্যায় তথ্য পুনরুদ্ধার করা যেতে পারে-সাইন রিভার্সাল এবং রৈখিক অফসেট পর্যন্ত। যাইহোক, গামোর পদ্ধতিতে স্পষ্টভাবে ফুরিয়ার রূপান্তরটি কোনও ফ্রিকোয়েন্সিতে কখনই শূন্য হতে হবে না। এই প্রয়োজনীয়তা শিথিল করা হয়েছিল এবং ইয়েলট এবং আইভারসনের (1992) গবেষণা দ্বারা যে শ্রেণীর ফাংশনগুলি তাদের ট্রিপল (এবং উচ্চতর-ক্রম) পারস্পরিক সম্পর্ক দ্বারা অনন্যভাবে চিহ্নিত করা হয় তা উল্লেখযোগ্যভাবে প্রসারিত হয়েছিল। ইয়েলট এবং আইভারসন বেলা জুলস দ্বারা প্রস্তাবিত ট্রিপল কোরিলেশন এবং ভিজ্যুয়াল টেক্সচার বৈষম্য তত্ত্বের মধ্যে সংযোগের দিকেও ইঙ্গিত করেছিলেন। অ্যাপ্লিকেশন যোগাত্মক সাদা গাউসিয়ান গোলমাল দ্বারা দূষিত সংকেতগুলির চিকিত্সার জন্য সংকেত প্রক্রিয়াকরণে ট্রিপল কোরিলেশন পদ্ধতিগুলি প্রায়শই ব্যবহৃত হয়; বিশেষত, ট্রিপল কোরিলেশন কৌশলগুলি উপযুক্ত যখন সংকেতের একাধিক পর্যবেক্ষণ উপলব্ধ থাকে এবং সংকেতটি পর্যবেক্ষণের মধ্যে অনুবাদ করতে পারে, যেমন, কোনও শব্দের পটভূমিতে অনুবাদ করা কোনও বস্তুর চিত্রের ক্রম। এই ধরনের কাজের জন্য ট্রিপল কোরিলেশনকে যা বিশেষভাবে কার্যকর করে তোলে তা হল তিনটি বৈশিষ্ট্যঃ (1) অন্তর্নিহিত সংকেতের অনুবাদের অধীনে এটি অপরিবর্তনীয়; (2) যোগাত্মক গাউসিয়ান শব্দের ক্ষেত্রে এটি নিরপেক্ষ; এবং (3) এটি অন্তর্নিহিত সংকেতের প্রায় সমস্ত প্রাসঙ্গিক পর্যায়ের তথ্য ধরে রাখে। ট্রিপল কোরিলেশনের বৈশিষ্ট্য (1)-(3) অনেক ক্ষেত্রে একটি স্বেচ্ছাচারী স্থানীয়ভাবে কম্প্যাক্ট গ্রুপের ফাংশনগুলিতে প্রসারিত হয়, বিশেষত কম্পিউটার দৃষ্টি এবং সংকেত প্রক্রিয়াকরণে উদ্ভূত ইউক্লিডিয়ান স্থানের ঘূর্ণন এবং অনমনীয় গতির গোষ্ঠীগুলিতে। গোষ্ঠীগুলিতে সম্প্রসারণ গোষ্ঠীর বাম-অপরিবর্তনীয় হার পরিমাপ ব্যবহার করে যে কোনও স্থানীয়ভাবে সংক্ষিপ্ত গোষ্ঠীর জন্য ট্রিপল কোরিলেশন সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। এটি সহজেই দেখানো যায় যে ফলস্বরূপ বস্তুটি অন্তর্নিহিত ফাংশনের বাম অনুবাদের অধীনে অপরিবর্তনীয় এবং যোগাত্মক গাউসিয়ান গোলমালের ক্ষেত্রে নিরপেক্ষ। অনন্যতার প্রশ্নটি আরও আকর্ষণীয়ঃ যখন দুটি ফাংশনের একই ট্রিপল কোরিলেশন থাকে, তখন ফাংশনগুলি কীভাবে সম্পর্কিত হয়? ব্যবহারিক আগ্রহের অনেক ক্ষেত্রে, একটি বিমূর্ত গোষ্ঠীর উপর একটি ফাংশনের ট্রিপল কোরিলেশন এককভাবে একটি অজানা গ্রুপ ক্রিয়া পর্যন্ত সেই ফাংশনকে চিহ্নিত করে। এই অনন্যতা একটি গাণিতিক ফলাফল যা পন্ট্রিয়াগিন দ্বৈততা উপপাদ্য, তন্নাকা-ক্রেইন দ্বৈততা উপপাদ্য এবং ইওয়াহোরি-সুগিউরা এবং তাতসুমা সম্পর্কিত ফলাফলের উপর নির্ভর করে। ইউক্লিডীয় স্থানে তাদের ট্রিপল পারস্পরিক সম্পর্ক থেকে ব্যান্ড-সীমাবদ্ধ ফাংশন পুনরুদ্ধারের জন্য অ্যালগরিদম রয়েছে, পাশাপাশি দুই এবং তিন মাত্রায় ঘূর্ণন গোষ্ঠী রয়েছে। উইনারের টাউবেরিয়ান উপপাদ্যের সঙ্গেও একটি আকর্ষণীয় যোগসূত্র রয়েছেঃ যে কোনও ফাংশন যার অনুবাদ ঘন, যেখানে স্থানীয়ভাবে একটি কম্প্যাক্ট আবেলিয়ান গ্রুপ রয়েছে, তাও তার ট্রিপল কোরিলেশন দ্বারা অনন্যভাবে চিহ্নিত করা হয়। রেফারেন্স কে. হ্যাসেলম্যান, ডব্লিউ. মুঙ্ক, এবং জি. ম্যাকডোনাল্ড (1963), টাইম সিরিজ অ্যানালাইসিসের "বিস্পেক্ট্রা অফ ওশান ওয়েভস", এম. রোজেনব্ল্যাট, এড., নিউ ইয়র্কঃ উইলি, 125-139। আর. কাকরালা (1992) ট্রিপল কোরিলেশন অন গ্রুপ, পিএইচডি থিসিস, গণিত বিভাগ, ক্যালিফোর্নিয়া বিশ্ববিদ্যালয়, আরভিন। আর. কন্ডোর (2007), "চিত্রের জন্য ঘূর্ণনগত এবং অনুবাদগতভাবে অপরিবর্তনীয় বৈশিষ্ট্যগুলির একটি সম্পূর্ণ সেট", ইন্টিগ্রাল ফুরিয়ার বিশ্লেষণকে রূপান্তরিত করে সংকেত প্রক্রিয়াকরণ সহাবস্থান এবং পারস্পরিক সম্পর্ক