Freund–Rubin compactification
ফ্রুন্ড-রুবিন কম্প্যাক্টিফিকেশন হল ডাইমেনশনাল হ্রাসের একটি রূপ যেখানে ডি-ডাইমেনশনাল স্পেসটাইমে একটি ক্ষেত্র তত্ত্ব, যার মধ্যে মাধ্যাকর্ষণ থাকে এবং কিছু ক্ষেত্র যার ক্ষেত্রের শক্তি একটি র্যাঙ্ক এস অ্যান্টিসিমেট্রিক টেনসর, 'পছন্দ করে' একটি স্পেসটাইমে হ্রাস করা হয় যার মাত্রা হয় এস বা ডি-এস। একটি অ্যান্টি-সিমেট্রিক টেনসর ক্ষেত্রের উপস্থিতিতে (বাহ্যিক উৎস ছাড়াই), আইনস্টাইন ক্ষেত্র সমীকরণ এবং অ্যান্টি-সিমেট্রিক টেনসরের গতির সমীকরণগুলি হল যেখানে স্ট্রেস-এনার্জি টেনসর একটি র্যাঙ্ক এস অ্যান্টি-সিমেট্রিক টেনসর হওয়ার কারণে, ক্ষেত্রের শক্তির সমাধানের জন্য একটি প্রাকৃতিক আনস্যাটজ থাকে, যা কিছু এস-ডাইমেনশনাল ম্যানিফোল্ডে লেভি-সিভিটা টেনসরের সমানুপাতিক। এখানে, সূচকগুলি পরিবেষ্টিত ডি-মাত্রিক স্থানকালের মাত্রাগুলির এস-এর উপর চলে, এই এস-মাত্রিক সাবস্পেসের মেট্রিকের নির্ধারক, এবং ভর-বর্গাকার (প্রাকৃতিক এককে) মাত্রাগুলির সাথে কিছু ধ্রুবক। যেহেতু ক্ষেত্রের শক্তি শুধুমাত্র একটি এস-মাত্রিক সাব-ম্যানিফোল্ডে অ-শূন্য হয়, তাই মেট্রিকটি স্বাভাবিকভাবেই দুটি অংশে বিভক্ত করা হয়, ব্লক-তির্যক আকারে, এবং ক্ষেত্রের শক্তির মতো একই এস মাত্রায় প্রসারিত, এবং, এবং অবশিষ্ট ডি-এস মাত্রাকে আচ্ছাদন করে। আমাদের ডি-ডাইমেনশনাল স্পেসকে দুটি সাবস্পেসের গুণফলের মধ্যে পৃথক করার পরে, আইনস্টাইনের ক্ষেত্র সমীকরণগুলি আমাদের এই দুটি সাব-ম্যানিফোল্ডের বক্রতার জন্য সমাধান করার অনুমতি দেয় এবং আমরা দেখতে পাই যে আমরা দেখতে পাই যে s-এবং (d-s)-ডাইমেনশনাল সাব-ম্যানিফোল্ডের রিচি বক্রতা অগত্যা চিহ্নের বিপরীত। একটির অবশ্যই ধনাত্মক বক্রতা থাকতে হবে এবং অন্যটির অবশ্যই ঋণাত্মক বক্রতা থাকতে হবে, এবং তাই এই ম্যানিফোল্ডগুলির মধ্যে একটি অবশ্যই সংক্ষিপ্ত হতে হবে। ফলস্বরূপ, কম্প্যাক্ট ম্যানিফোল্ডের তুলনায় উল্লেখযোগ্যভাবে বড় স্কেলে, মহাবিশ্বের অন্তর্নিহিত ডি-এর বিপরীতে এস বা (ডি-এস) মাত্রা রয়েছে বলে মনে হয়। এর একটি গুরুত্বপূর্ণ উদাহরণ হিসাবে, 11ডি-সুপারগ্র্যাভিটিতে 4-ফর্ম ক্ষেত্রের শক্তি সহ একটি 3-ফর্ম অ্যান্টিসিমেট্রিক টেনসর রয়েছে এবং ফলস্বরূপ এর স্থানের মতো মাত্রাগুলির 7 বা 4 টি কম্প্যাক্টিফাই করতে পছন্দ করে, তাই বড় আকারের স্থানকাল অবশ্যই 4 বা 7 মাত্রিক হতে হবে, যার মধ্যে পূর্ববর্তীটি স্ট্রিং তত্ত্ব থেকে একটি ফেনোমেনোলজিকাল দৃষ্টিকোণ থেকে আকর্ষণীয় ফ্রুন্ড-রুবিন কম্প্যাক্টিফিকেশনের কিছু গুরুত্বপূর্ণ উদাহরণ স্ট্রিং তত্ত্বে ব্র্যানগুলির আচরণ দেখে আসে। তড়িৎচুম্বকীয় ক্ষেত্রের সাথে সংযোগ যেভাবে বৈদ্যুতিকভাবে চার্জ করা কণাগুলিকে স্থিতিশীল করে, তার অনুরূপ একটি স্ট্রিং তত্ত্বে বিভিন্ন পদমর্যাদার অ্যান্টিসিমেট্রিক টেনসর ক্ষেত্রের উপস্থিতি বিভিন্ন মাত্রার শাখাগুলিকে স্থিতিশীল করে। ফলস্বরূপ, শাখাগুলির স্ট্যাকের কাছাকাছি স্থানকালের জ্যামিতি এমনভাবে বিকৃত হয়ে যায় যে ফ্রুন্ড-রুবিন কম্প্যাক্টিফিকেশন উপলব্ধি করা হয়। টাইপ II-B স্ট্রিং তত্ত্বে, যার জন্য দশটি স্পেসটাইম মাত্রার প্রয়োজন হয়, একটি পাঁচ-ফর্ম ক্ষেত্রের শক্তি রয়েছে যা ত্রিমাত্রিক ডি-ব্রেনের জন্য অনুমতি দেয় এবং ডি3-ব্রেনের স্ট্যাকের নিকটবর্তী দিগন্ত জ্যামিতি হল পাঁচ-মাত্রিক অ্যান্টি-ডি সিটার স্থান গুণিত একটি পাঁচ-মাত্রিক গোলক, যা পাঁচটি মাত্রায় কম্প্যাক্ট। এই জ্যামিতি অ্যাডএস/সিএফটি চিঠিপত্রের একটি গুরুত্বপূর্ণ অংশ। একইভাবে, এম-তত্ত্ব এবং এর 11ডি-সুপারগ্র্যাভিটির নিম্ন শক্তি সীমাতে 4-ফর্ম ক্ষেত্রের শক্তি থাকে, যা এম2 এবং এম5 শাখাকে স্থিতিশীল করে। এই শাখাগুলির স্ট্যাকগুলির নিকটবর্তী দিগন্ত জ্যামিতি যথাক্রমে এবং। তথ্যসূত্র সাধারণ আপেক্ষিকতা সুপারসিমেট্রি স্ট্রিং তত্ত্ব