Standard conjectures on algebraic cycles
গণিতে, বীজগাণিতিক চক্র সম্পর্কে আদর্শ অনুমানগুলি হল বীজগাণিতিক চক্র এবং ওয়েইল কোহোমোলজি তত্ত্বের সম্পর্ক বর্ণনা করে এমন বেশ কয়েকটি অনুমান। আলেকজান্ডার গ্রোথেন্ডিয়েক দ্বারা পরিকল্পিত এই অনুমানগুলির মূল প্রয়োগগুলির মধ্যে একটি ছিল প্রমাণ করা যে তাঁর বিশুদ্ধ উদ্দেশ্যগুলির নির্মাণ একটি আবেলিয়ান বিভাগ দিয়েছে যা আধা-সহজ। অধিকন্তু, তিনি যেমন উল্লেখ করেছেন, আদর্শ অনুমানগুলি ওয়েইল অনুমানের সবচেয়ে কঠিন অংশকেও বোঝায়, যথা "রিম্যান হাইপোথিসিস" অনুমান যা 1960-এর দশকের শেষের দিকে খোলা ছিল এবং পরে পিয়েরে ডেলিগনে দ্বারা প্রমাণিত হয়েছিল; ওয়েইল এবং আদর্শ অনুমানের মধ্যে যোগসূত্রের বিশদ বিবরণের জন্য, দেখুন। আদর্শ অনুমানগুলি উন্মুক্ত সমস্যা হিসাবে থেকে যায়, যাতে তাদের প্রয়োগ ফলাফলের শুধুমাত্র শর্তাধীন প্রমাণ দেয়। ওয়েইল অনুমান সহ বেশ কয়েকটি ক্ষেত্রে, এই ধরনের ফলাফল নিঃশর্তভাবে প্রমাণ করার জন্য অন্যান্য পদ্ধতি পাওয়া গেছে। আদর্শ অনুমানের ধ্রুপদী সূত্রগুলিতে একটি নির্দিষ্ট ওয়েইল কোহোমোলজি তত্ত্ব জড়িত। সমস্ত অনুমানগুলি "বীজগাণিতিক" কোহোমোলজি শ্রেণীর সাথে সম্পর্কিত, যার অর্থ চক্র শ্রেণীর মানচিত্রের মাধ্যমে পণ্যের উপর যুক্তিসঙ্গত সহগগুলির সাথে একটি বীজগাণিতিক চক্র দ্বারা প্ররোচিত একটি মসৃণ প্রজেক্টিভ বৈচিত্র্যের কোহোমোলজির উপর একটি অঙ্গসংস্থান, যা একটি ওয়েইল কোহোমোলজি তত্ত্বের কাঠামোর অংশ। অনুমান এ হল অনুমান বি-এর সমতুল্য (দেখুন, পৃ. 196), এবং তাই তালিকাভুক্ত নয়। লেফশেটস টাইপ স্ট্যান্ডার্ড কনজেকচার (কনজেকচার বি) ওয়েইল তত্ত্বের একটি স্বতঃসিদ্ধ হল তথাকথিত হার্ড লেফশেটস উপপাদ্য (বা স্বতঃসিদ্ধ): একটি নির্দিষ্ট মসৃণ হাইপারপ্লেন বিভাগ দিয়ে শুরু করুন, যেখানে পরিবেষ্টিত প্রজেক্টিভ স্পেসে একটি প্রদত্ত মসৃণ প্রজেক্টিভ বৈচিত্র্য এবং এটি একটি হাইপারপ্লেন। তারপর, লেফশেট্জ অপারেটর, যা কোহোমোলজি ক্লাসগুলির সাথে ছেদ করে সংজ্ঞায়িত করা হয়, একটি সমরূপতা দেয়। এখন, সংজ্ঞায়িত করার জন্যঃ অনুমানটি বলে যে লেফশেট্জ অপারেটর () একটি বীজগাণিতিক চক্র দ্বারা প্ররোচিত হয়। কুনেথ টাইপ স্ট্যান্ডার্ড কনজেকচার (কনজেকচার সি) অনুমান করা হয় যে প্রজেক্টরগুলি বীজগাণিতিক, অর্থাৎ। যুক্তিসঙ্গত সহগ সহ একটি চক্র দ্বারা প্ররোচিত। এটি বোঝায় যে যে কোনও মসৃণ প্রজেক্টিভ বৈচিত্র্যের (এবং আরও সাধারণভাবে, প্রতিটি বিশুদ্ধ উদ্দেশ্য) উদ্দেশ্য হিসাবে বিচ্ছিন্ন হয় এবং সর্বদা সরাসরি যোগফল হিসাবে বিভক্ত করা যেতে পারে। অনুমানটি তাই অবিলম্বে বক্ররেখার জন্য প্রযোজ্য। এটি দ্বারা পৃষ্ঠতলের জন্য প্রমাণিত হয়েছিল। সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের উপর সংজ্ঞায়িত বীজগাণিতিক বৈচিত্র্যের অনুমানকে নির্বিচারে মাত্রায় দেখানোর জন্য ওয়েইল অনুমানগুলি ব্যবহার করেছেন। আবেলিয়ান জাত এ-এর জন্য কুনেথ পচন প্রমাণ করা হয়েছে। এ-এর চাউ উদ্দেশ্যের একটি কার্যকরী কুনেথ পচন প্রদর্শন করে এই ফলাফলকে পরিমার্জিত করা হয়েছে যাতে আবেলিয়ান জাতের উপর এন-গুণন আই-তম যোগফলের মতো কাজ করে। একটি মসৃণ পৃষ্ঠে বিন্দুর হিলবার্ট পরিকল্পনার জন্য কুনেথ পচন প্রমাণিত হয়েছিল। অনুমান ডি (সংখ্যাসূচক সমতুল্য বনাম সমতাত্ত্বিক সমতুল্য) অনুমান ডি বলে যে সংখ্যাসূচক এবং সমতাত্ত্বিক সমতুল্য একমত। (এটি বিশেষভাবে বোঝায় যে পরেরটি ওয়েইল কোহোমোলজি তত্ত্বের পছন্দের উপর নির্ভর করে না)। এই অনুমানটি লেফশেৎজ অনুমানকে বোঝায়। যদি হজ স্ট্যান্ডার্ড অনুমানটি ধরে থাকে, তবে লেফশেটস অনুমান এবং অনুমান ডি সমতুল্য। এই অনুমানটি লিবারম্যান সর্বাধিক 4 মাত্রার বৈচিত্র্যের জন্য এবং আবেলিয়ান বৈচিত্র্যের জন্য দেখিয়েছিলেন। হজ স্ট্যান্ডার্ড অনুমান হজ সূচক উপপাদ্যের উপর ভিত্তি করে তৈরি করা হয়েছে। এটি আদিম বীজগাণিতিক কোহোমোলজি শ্রেণীর কাপ পণ্য জুটির নির্দিষ্টতা (মাত্রা অনুযায়ী ধনাত্মক বা ঋণাত্মক) উল্লেখ করে। যদি এটি ধরে রাখা যায়, তাহলে লেফশেটস অনুমানটি অনুমান ডি বোঝায়। বৈশিষ্ট্য শূন্যের মধ্যে হজ স্ট্যান্ডার্ড অনুমানটি ধরে রাখে, যা হজ তত্ত্বের একটি পরিণতি। ইতিবাচক বৈশিষ্ট্যে হজ স্ট্যান্ডার্ড অনুমান পৃষ্ঠতল () এবং 4 () মাত্রার আবেলিয়ান বৈচিত্র্যের জন্য পরিচিত। হজ স্ট্যান্ডার্ড অনুমানকে হজ অনুমানের সাথে বিভ্রান্ত করা উচিত নয় যা বলে যে মসৃণ প্রজেক্টিভ জাতের জন্য, প্রতিটি যুক্তিসঙ্গত-শ্রেণী বীজগাণিতিক। হজ অনুমানটি বৈশিষ্ট্য শূন্য ক্ষেত্রের উপর বৈচিত্র্যের জন্য লেফশেটস এবং কুনেথ অনুমান এবং অনুমান ডি বোঝায়। টেট অনুমানটি সমস্ত ক্ষেত্রের উপর এল-অ্যাডিক কোহোমোলজির জন্য লেফশেটস, কুনেথ এবং অনুমান ডি বোঝায়। স্ট্যান্ডার্ড অনুমানের স্থায়ী বৈশিষ্ট্য দুটি বীজগাণিতিক জাতের জন্য এক্স এবং ওয়াই, একটি শর্ত চালু করেছে যে ওয়াই এক্স দ্বারা অনুপ্রাণিত হয়। সুনির্দিষ্ট শর্তটি হল যে Y-এর উদ্দেশ্য (আন্দ্রে-এর উদ্দেশ্য বিভাগে) যোগফল, যোগফল এবং পণ্যের মাধ্যমে X-এর উদ্দেশ্য থেকে শুরু করে প্রকাশযোগ্য। উদাহরণস্বরূপ, একটি সার্জেক্টিভ মরফিজম থাকলে Y অনুপ্রাণিত হয়। যদি Y শ্রেণীতে না পাওয়া যায়, তবে সেই প্রসঙ্গে এটি অপ্রণোদিত। মসৃণ প্রজেক্টিভ জটিল বীজগাণিতিক জাত এক্স এবং ওয়াই-এর জন্য, যেমন ওয়াই এক্স দ্বারা অনুপ্রাণিত হয়, স্ট্যান্ডার্ড অনুমান ডি (সমতাত্ত্বিক সমতুল্যতা সংখ্যাসূচক), বি (লেফশেটস), হজ অনুমান এবং সাধারণ হজ অনুমানও ওয়াই-এর জন্য ধরে রাখে যদি তারা এক্স-এর সমস্ত শক্তি ধরে রাখে। এই সত্যটি প্রয়োগ করা যেতে পারে, উদাহরণস্বরূপ, একটি বীজগাণিতিক পৃষ্ঠের বিন্দুগুলির হিলবার্ট পরিকল্পনার জন্য লেফশেটস অনুমান। অন্যান্য অনুমানের সাথে সম্পর্ক দেখায় যে, উদ্দেশ্যগুলির ত্রিভুজ বিভাগের উপর তথাকথিত অনুপ্রেরণামূলক টি-কাঠামোর (অনুমানমূলক) অস্তিত্ব লেফশেট্জ এবং কুনেথ মানক অনুমান বি এবং সি রেফারেন্সকে বোঝায়। । । বাহ্যিক যোগসূত্র বীজগাণিতিক চক্রের মানক অনুমানের অগ্রগতি নির্দিষ্ট অনুমানের সমতুল্য। জে. পি. সেরে (এক্সট্রাইট ডি 'উন লেট্রে এ. ওয়েইল, 9 নভেম্বর 1959) বীজগাণিতিক জ্যামিতি স্ক্যান করেন জ্যামিতিতে অমীমাংসিত সমস্যাগুলি অনুমান করেন