Visual calculus
মামিকন মানাতসাকানিয়ান (মামিকন নামে পরিচিত) দ্বারা উদ্ভাবিত ভিজ্যুয়াল ক্যালকুলাস হল বিভিন্ন অবিচ্ছেদ্য ক্যালকুলাস সমস্যা সমাধানের একটি পদ্ধতি। অনেক সমস্যা যা অন্যথায় গণনার খুব কম লাইন সহ পদ্ধতির জন্য বেশ কঠিন ফলন বলে মনে হয়, প্রায়শই মার্টিন গার্ডনার যাকে "আহা! সমাধান "বা রজার নেলসেন শব্দবিহীন প্রমাণ। মামিকন 1959 সালে স্নাতক হওয়ার সময় তাঁর পদ্ধতিটি উদ্ভাবন করেছিলেন, প্রথমে এটি একটি সুপরিচিত জ্যামিতি সমস্যার ক্ষেত্রে প্রয়োগ করেছিলেনঃ অভ্যন্তরীণ পরিধির সাথে একটি কর্ড স্পর্শকের দৈর্ঘ্য দেওয়া একটি বলয়ের (অ্যানুলাস) এলাকা খুঁজে বের করুন। সম্ভবত আশ্চর্যজনকভাবে, কোনও অতিরিক্ত তথ্যের প্রয়োজন নেই; সমাধানটি রিংয়ের অভ্যন্তরীণ এবং বাইরের মাত্রার উপর নির্ভর করে না। ঐতিহ্যবাহী পদ্ধতির সঙ্গে বীজগণিত এবং পাইথাগোরীয় উপপাদ্যের প্রয়োগ জড়িত। মামিকনের পদ্ধতিটি অবশ্য বলয়ের একটি বিকল্প নির্মাণের কল্পনা করেঃ প্রথমে শুধুমাত্র অভ্যন্তরীণ বৃত্তটি আঁকা হয়, তারপরে একটি ধ্রুবক-দৈর্ঘ্যের স্পর্শক তৈরি করা হয় যাতে এটি তার পরিধি বরাবর ভ্রমণ করে, বলয়টি যাওয়ার সাথে সাথে "সুইপ আউট" করে। এখন যদি বলয়টি নির্মাণে ব্যবহৃত সমস্ত (ধ্রুবক-দৈর্ঘ্য) স্পর্শকগুলি এমনভাবে অনুবাদ করা হয় যাতে তাদের স্পর্শক বিন্দুগুলি মিলে যায়, তবে ফলাফলটি পরিচিত ব্যাসার্ধের (এবং সহজেই গণনা করা এলাকা) একটি বৃত্তাকার ডিস্ক হয়। প্রকৃতপক্ষে, যেহেতু অভ্যন্তরীণ বৃত্তের ব্যাসার্ধ অপ্রাসঙ্গিক, তাই শূন্য ব্যাসার্ধের একটি বৃত্ত (একটি বিন্দু) দিয়ে শুরু করা যেতে পারে-এবং শূন্য ব্যাসার্ধের একটি বৃত্তের চারপাশে একটি বলয়কে ছড়িয়ে দেওয়া কেবল একটি রেখা অংশকে তার একটি প্রান্তবিন্দুতে ঘোরানো এবং একটি ডিস্ককে ছড়িয়ে দেওয়ার থেকে আলাদা করা যায় না। মামিকনের অন্তর্দৃষ্টি ছিল দুটি নির্মাণের সমতুল্যকে স্বীকৃতি দেওয়া; এবং যেহেতু তারা সমতুল্য, তাই তারা সমান এলাকা দেয়। উপরন্তু, যতক্ষণ পর্যন্ত এটি দেওয়া হয় যে স্পর্শকের দৈর্ঘ্য ধ্রুবক, ততক্ষণ পর্যন্ত দুটি প্রারম্ভিক বক্ররেখা বৃত্তাকার হওয়ার প্রয়োজন নেই-একটি সন্ধান যা আরও ঐতিহ্যবাহী জ্যামিতিক পদ্ধতিতে সহজেই প্রমাণিত হয় না। এর ফলে মামিকনের উপপাদ্যটি পাওয়া যায়ঃ মূল বক্ররেখার আকৃতি নির্বিশেষে একটি স্পর্শক সুইপের ক্ষেত্রফল তার স্পর্শক গুচ্ছের ক্ষেত্রফলের সমান। প্রয়োগ একটি সাইক্লয়েডের এলাকা একটি সাইক্লয়েডের এলাকা তার এবং একটি আবদ্ধ আয়তক্ষেত্রের মধ্যবর্তী এলাকা বিবেচনা করে গণনা করা যেতে পারে। এই সমস্ত স্পর্শকগুলিকে একটি বৃত্ত গঠনের জন্য গুচ্ছবদ্ধ করা যেতে পারে। যদি সাইক্লয়েড উৎপন্নকারী বৃত্তের ব্যাসার্ধ থাকে তবে এই বৃত্তের ব্যাসার্ধ এবং এলাকাও রয়েছে। আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হল। অতএব সাইক্লয়েডের আয়তন হলঃ এটি উৎপন্নকারী বৃত্তের আয়তনের 3 গুণ। স্পর্শক গুচ্ছটিকে একটি বৃত্ত হিসাবে দেখা যেতে পারে কারণ সাইক্লয়েডটি একটি বৃত্ত দ্বারা উত্পন্ন হয় এবং সাইক্লয়েডের স্পর্শকটি উৎপন্ন বিন্দু থেকে ঘূর্ণায়মান বিন্দু পর্যন্ত রেখার সমকোণে থাকবে। এইভাবে স্পর্শরেখা এবং স্পর্শ বিন্দুর রেখা উৎপন্নকারী বৃত্তে একটি ডান-কোণযুক্ত ত্রিভুজ গঠন করে। এর মানে হল যে স্পর্শকগুলি একসঙ্গে গুচ্ছবদ্ধ হয়ে উৎপাদক বৃত্তের আকৃতি বর্ণনা করবে। এছাড়াও ক্যাভালিয়েরির নীতি হোডোগ্রাফ দেখুন-এটি একটি সম্পর্কিত গঠন যা একটি মেরু চিত্র ব্যবহার করে একটি বিন্দুর বেগকে ম্যাপ করে। যান্ত্রিক উপপাদ্যের পদ্ধতি পাপ্পাসের সেন্ট্রয়েড উপপাদ্য প্ল্যানিমিটার রেফারেন্স বাহ্যিক লিঙ্ক প্রোজম্যাথ মামিকন প্রুফ উইদাউট ওয়ার্ডস ফ্রম ম্যাথওয়ার্ল্ড ওল্ফ্রাম ইন্টারেক্টিভ ডেমন্সট্রেশন অফ মামিকনের উপপাদ্য ক্যালকুলাস জ্যামিতি ইন্টিগ্রালস প্রুফ উইদাউট ওয়ার্ডস