Flat topology
গণিতে, সমতল টপোলজি হল একটি গ্রোথেন্ডিক টপোলজি যা বীজগাণিতিক জ্যামিতিতে ব্যবহৃত হয়। এটি ফ্ল্যাট কোহোমোলজি তত্ত্বকে সংজ্ঞায়িত করতে ব্যবহৃত হয়; এটি বংশোদ্ভূত তত্ত্বের (বিশ্বস্তভাবে ফ্ল্যাট বংশোদ্ভূত) একটি মৌলিক ভূমিকা পালন করে। এখানে ফ্ল্যাট শব্দটি ফ্ল্যাট মডিউল থেকে এসেছে। বেশ কয়েকটি সামান্য ভিন্ন সমতল টপোলজি রয়েছে, যার মধ্যে সবচেয়ে সাধারণ হল এফ. পি. পি. এফ টপোলজি এবং এফ. পি. কিউ. সি টপোলজি। এফ. পি. পি. এফ মানে, এবং এই টপোলজিতে, অ্যাফিন স্কিমগুলির একটি মরফিজম একটি আচ্ছাদন মরফিজম যদি এটি বিশ্বস্তভাবে সমতল এবং সীমাবদ্ধ উপস্থাপনার হয়। এফপিকিউসি মানে, এবং এই টপোলজিতে, অ্যাফিন স্কিমগুলির একটি মরফিজম একটি আচ্ছাদন মরফিজম যদি এটি বিশ্বস্তভাবে সমতল হয়। উভয় বিভাগে, একটি আচ্ছাদন পরিবারকে এমন একটি পরিবার হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় যা জারিস্কি উন্মুক্ত উপসেটগুলির একটি আচ্ছাদন। এফপিকিউসি টপোলজিতে, যে কোনও বিশ্বস্তভাবে সমতল এবং আধা-সংক্ষিপ্ত অঙ্গসংস্থান একটি আবরণ। এই টপোলজিগুলি অবতরণের সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত। আধা কম্প্যাক্টনেস বা সীমাবদ্ধ উপস্থাপনার মতো আর কোনও সীমাবদ্ধতার শর্ত ছাড়াই "বিশুদ্ধ" বিশ্বস্তভাবে সমতল টপোলজি খুব বেশি ব্যবহার করা হয় না কারণ এটি সাবক্যানোনিকাল নয়; অন্য কথায়, প্রতিনিধিত্বযোগ্য ফাংক্টরগুলি শেভ হওয়ার দরকার নেই। দুর্ভাগ্যবশত ফ্ল্যাট টপোলজির পরিভাষা মানসম্মত নয়। কিছু লেখক প্রিটোপোলজির জন্য "টপোলজি" শব্দটি ব্যবহার করেন এবং বেশ কয়েকটি সামান্য ভিন্ন প্রিটোপোলজি রয়েছে যা কখনও কখনও এফ. পি. পি. এফ বা এফ. পি. কিউ. সি (প্রি) টপোলজি নামে পরিচিত, যা কখনও কখনও একই টপোলজি দেয়। প্রায় 1960 সালে গ্রোথেন্ডিক ফ্ল্যাট কোহোমোলজি প্রবর্তন করেন। বড় এবং ছোট এফ. পি. পি. এফ সাইটগুলি এক্সকে একটি অ্যাফিন স্কিম হতে দিন। আমরা এক্স-এর একটি এফ. পি. পি. এফ আবরণকে প্রতিটি এক্স. এ অ্যাফিন এবং প্রতিটি φ. এ ফ্ল্যাট সহ একটি সীমাবদ্ধ এবং যৌথভাবে সার্জেক্টিভ পরিবার (φa: Xa → X) হিসাবে সংজ্ঞায়িত করি, যা সূক্ষ্মভাবে উপস্থাপিত হয়। এটি একটি প্রিটোপোলজি তৈরি করেঃ এক্স-এর স্বেচ্ছাচারিতার জন্য, আমরা এক্স-এর একটি এফ. পি. পি. এফ আবরণকে একটি পরিবার (φa: Xa → X) হিসাবে সংজ্ঞায়িত করি যা এক্স-এর একটি উন্মুক্ত অ্যাফিন সাবসিমে বেস পরিবর্তনের পরে একটি এফ. পি. পি. এফ আবরণ। এই প্রিটোপোলজি এফ. পি. পি. এফ টপোলজি নামে একটি টপোলজি তৈরি করে। (এটি আমরা যে টপোলজি পাব তার মতো নয় যদি আমরা নির্বিচারে এক্স এবং এক্সএ দিয়ে শুরু করি এবং আচ্ছাদন পরিবারগুলিকে সমতল, সীমাবদ্ধভাবে উপস্থাপিত মরফিজমের যৌথভাবে সার্জেক্টিভ পরিবার হিসাবে গ্রহণ করি।) আমরা এফ. পি. পি. এফ টপোলজি সহ স্কিমগুলির বিভাগের জন্য এফ. পি. পি. এফ লিখি। এক্স-এর ছোট এফ. পি. পি. এফ সাইট হল বিভাগ ও (এক্স. এফ. পি. পি. এফ) যার বস্তুগুলি একটি নির্দিষ্ট অঙ্গসংস্থান ইউ-এর সাথে ইউ স্কিম যা কিছু আচ্ছাদন পরিবারের অংশ। (এর অর্থ এই নয় যে রূপবাদ সমতল, সীমাবদ্ধভাবে উপস্থাপিত।) মরফিজমগুলি হল এক্স-এর নির্দিষ্ট মানচিত্রের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ স্কিমগুলির মরফিজম। এক্স-এর বড় এফ. পি. পি. এফ সাইট হল এফ. পি. পি. এফ/এক্স বিভাগ, অর্থাৎ এফ. পি. পি. এফ টপোলজির সাথে বিবেচিত এক্স-এর একটি নির্দিষ্ট মানচিত্র সহ স্কিমগুলির বিভাগ। "এফ. পি. পি. এফ" হল "ফিডেলমেন্ট প্লেট ডি প্রিজেন্টেশন ফাইনি"-এর একটি সংক্ষিপ্ত রূপ, অর্থাৎ, "বিশ্বস্তভাবে সমতল এবং সীমাবদ্ধ উপস্থাপনা"। সমতল এবং সীমাবদ্ধভাবে উপস্থাপিত মরফিজমের প্রতিটি সার্জেক্টিভ পরিবার এই টপোলজির জন্য একটি আচ্ছাদন পরিবার, তাই নামটি। এফ. পি. পি. এফ প্রিটোপোলজির সংজ্ঞাটি একটি অতিরিক্ত আধা-সীমাবদ্ধতার শর্তের সাথেও দেওয়া যেতে পারে; এটি ই. জি. এ আই. ভি. 4-এর করোলারি <আই. ডি1> থেকে অনুসরণ করে যে এটি একই টপোলজি দেয়। বড় এবং ছোট এফপিকিউসি সাইটগুলি এক্সকে একটি অ্যাফিন স্কিম হতে দিন। আমরা X-এর একটি fpqc আবরণকে প্রতিটি Xα অ্যাফিন এবং প্রতিটি uα ফ্ল্যাট সহ মরফিজমের একটি সীমাবদ্ধ এবং যৌথভাবে সার্জেক্টিভ পরিবার হিসাবে সংজ্ঞায়িত করি। এটি একটি প্রিটোপোলজি তৈরি করেঃ এক্স নির্বিচারে, আমরা এক্স-এর একটি এফপিকিউসি আবরণকে একটি পরিবার হিসাবে সংজ্ঞায়িত করি যা এক্স-এর একটি উন্মুক্ত অ্যাফিন সাবসিমে বেস পরিবর্তনের পরে একটি এফপিকিউসি আবরণ। এই প্রিটোপোলজি এফপিকিউসি টপোলজি নামে একটি টপোলজি তৈরি করে। (এটি আমরা যে টপোলজি পাব তার মতো নয় যদি আমরা নির্বিচারে এক্স এবং এক্সএ দিয়ে শুরু করি এবং আচ্ছাদন পরিবারগুলিকে ফ্ল্যাট মরফিজমের যৌথভাবে সার্জেক্টিভ পরিবার হিসাবে গ্রহণ করি।) আমরা এফপিকিউসি টপোলজি সহ স্কিমগুলির বিভাগের জন্য এফপিকিউসি লিখি। এক্স-এর ছোট এফ. পি. কিউ. সি সাইট হল বিভাগ ও (এক্স. এফ. পি. কিউ. সি) যার বস্তুগুলি একটি নির্দিষ্ট অঙ্গসংস্থান ইউ-এর সাথে স্কিম ইউ যা কিছু আচ্ছাদন পরিবারের অংশ। মরফিজমগুলি হল এক্স-এর নির্দিষ্ট মানচিত্রের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ স্কিমগুলির মরফিজম। এক্স-এর বড় এফপিকিউসি সাইট হল এফপিকিউসি/এক্স বিভাগ, অর্থাৎ, এফপিকিউসি টপোলজির সাথে বিবেচিত এক্স-এর একটি নির্দিষ্ট মানচিত্র সহ স্কিমগুলির বিভাগ। "এফপিকিউসি" হল "ফিডেলমেন্ট প্লেট কোয়াশি-কমপ্যাক্ট"-এর একটি সংক্ষিপ্ত রূপ, অর্থাৎ "বিশ্বস্তভাবে সমতল এবং কোয়াশি-কমপ্যাক্ট"। ফ্ল্যাট এবং আধা-কম্প্যাক্ট মরফিজমের প্রতিটি সার্জেক্টিভ পরিবার এই টপোলজির জন্য একটি আচ্ছাদন পরিবার, তাই নামটি। ফ্ল্যাট কোহোমোলজি কোহোমোলজি গোষ্ঠীগুলিকে সংজ্ঞায়িত করার পদ্ধতিটি হল একটি আদর্শ পদ্ধতিঃ কোহোমোলজিকে আবেলিয়ান গোষ্ঠীর একটি শিফের বিভাগগুলি গ্রহণকারী ফাংক্টরের উদ্ভূত ফাংক্টরগুলির ক্রম হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। যদিও এই গোষ্ঠীগুলির বেশ কয়েকটি প্রয়োগ রয়েছে, তবে এগুলি গণনা করা সাধারণভাবে সহজ নয়, এমন ক্ষেত্রে ব্যতীত যেখানে তারা অন্যান্য তত্ত্বগুলিতে হ্রাস পায়, যেমন এটেল কোহোমোলজি। উদাহরণ নিম্নলিখিত উদাহরণটি দেখায় যে কেন কোনও সীমাবদ্ধতার শর্ত ছাড়াই "বিশ্বস্তভাবে সমতল টপোলজি" ভাল আচরণ করে না। মনে করুন X হল একটি বীজগাণিতিকভাবে বদ্ধ ক্ষেত্র k-এর উপর সংযুক্ত রেখা। X-এর প্রতিটি বদ্ধ বিন্দু x-এর জন্য আমরা এই বিন্দুতে স্থানীয় বলয় Rx বিবেচনা করতে পারি, যা একটি বিচ্ছিন্ন মূল্যায়ন বলয় যার বর্ণালীর একটি বদ্ধ বিন্দু এবং একটি উন্মুক্ত (সাধারণ) বিন্দু রয়েছে। একটি স্কিম ওয়াই পেতে আমরা এই বর্ণালীগুলিকে তাদের খোলা বিন্দুগুলি চিহ্নিত করে একসঙ্গে আঠালো করি। ওয়াই থেকে এক্স পর্যন্ত একটি প্রাকৃতিক মানচিত্র রয়েছে। এফাইন লাইন এক্স সেট স্পেক (আরএক্স) দ্বারা আচ্ছাদিত যা বিশ্বস্তভাবে সমতল টপোলজিতে খোলা থাকে এবং এই সেটগুলির প্রত্যেকটির ওয়াই-এর একটি প্রাকৃতিক মানচিত্র রয়েছে এবং এই মানচিত্রগুলি ছেদগুলিতে একই। তবে এগুলিকে একত্রিত করে এক্স থেকে ওয়াই পর্যন্ত একটি মানচিত্র দেওয়া যায় না, কারণ এক্স এবং ওয়াই-এর অন্তর্নিহিত স্থানগুলির বিভিন্ন টপোলজি রয়েছে। আরও দেখুন এফপিকিউসি মরফিজম নোটস রেফারেন্স এলিমেন্টস ডি জিওমেট্রি অ্যালজেব্রিক, খণ্ড। চতুর্থ। 2 মিল্নে, জেমস এস. (1980), ইটাল কোহোমোলজি, প্রিন্সটন ইউনিভার্সিটি প্রেস, মাইকেল আর্টিন এবং জে. এস. মিল্নে, "বক্ররেখার সমতল কোহোমোলজিতে দ্বৈততা", ইনভেনশনস ম্যাথমেটিকা, ভলিউম 35, নম্বর 1, ডিসেম্বর, 1976 বাহ্যিক লিঙ্ক গাণিতিক দ্বৈততা উপপাদ্য (পিডিএফ), জেমস মিলনের অনলাইন বই, গ্যালোইস কোহোমোলজির টেট-পাইটু দ্বৈততায় উদ্ভূত সমতল কোহোমোলজি দ্বৈততা উপপাদ্যের স্তরে ব্যাখ্যা করে বীজগাণিতিক জ্যামিতি শেফ তত্ত্ব