Boussinesq approximation (water waves)
তরল গতিবিদ্যায়, জল তরঙ্গের জন্য বুসিনেস্ক আনুমানিক দুর্বল অ-রৈখিক এবং মোটামুটি দীর্ঘ তরঙ্গের জন্য বৈধ একটি আনুমানিক। আনুমানিকটি জোসেফ বুসিনেস্কের নামে নামকরণ করা হয়েছে, যিনি অনুবাদের তরঙ্গ সম্পর্কে জন স্কট রাসেলের পর্যবেক্ষণের প্রতিক্রিয়ায় প্রথম এগুলি উদ্ভূত করেছিলেন (একক তরঙ্গ বা সলিটন নামেও পরিচিত)। 1872 সালের বুসিনেস্কের গবেষণাপত্রে বর্তমানে বুসিনেস্ক সমীকরণ নামে পরিচিত সমীকরণগুলি প্রবর্তন করা হয়েছে। জলের তরঙ্গের জন্য বাউসিনেস্ক আনুমানিক অনুভূমিক এবং উল্লম্ব প্রবাহের বেগের উল্লম্ব কাঠামোকে বিবেচনা করে। এর ফলে অ-রৈখিক আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ তৈরি হয়, যাকে বৌসিনেস্ক-টাইপ সমীকরণ বলা হয়, যা ফ্রিকোয়েন্সি বিচ্ছুরণকে অন্তর্ভুক্ত করে (অগভীর জল সমীকরণের বিপরীতে, যা ফ্রিকোয়েন্সি-বিচ্ছুরণশীল নয়)। উপকূলীয় প্রকৌশল ক্ষেত্রে, অগভীর সমুদ্র এবং বন্দরে জলের তরঙ্গের অনুকরণের জন্য কম্পিউটার মডেলে বুসিনেস্ক-ধরনের সমীকরণগুলি প্রায়শই ব্যবহৃত হয়। যদিও বুসিনেস্ক অনুমান মোটামুটি দীর্ঘ তরঙ্গের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য-অর্থাৎ, যখন তরঙ্গদৈর্ঘ্য জলের গভীরতার তুলনায় বড় হয়-স্টোকস সম্প্রসারণ ছোট তরঙ্গের জন্য আরও উপযুক্ত (যখন তরঙ্গদৈর্ঘ্য জলের গভীরতার সমান ক্রমের হয়, বা ছোট হয়)। বোউসিনেস্ক আনুমানিককরণ বোউসিনেস্ক আনুমানিককরণের অপরিহার্য ধারণা হল প্রবাহের সমীকরণ থেকে উল্লম্ব স্থানাঙ্কের অপসারণ, এবং জলের তরঙ্গের নিচে প্রবাহের উল্লম্ব কাঠামোর কিছু প্রভাব ধরে রাখা। এটি কার্যকর কারণ তরঙ্গগুলি অনুভূমিক সমতলে ছড়িয়ে পড়ে এবং উল্লম্ব দিকে একটি ভিন্ন (তরঙ্গের মতো নয়) আচরণ করে। প্রায়শই, যেমন বুসিনেস্কের ক্ষেত্রে, আগ্রহ মূলত তরঙ্গ প্রসারে হয়। উল্লম্ব স্থানাঙ্কের এই অপসারণটি প্রথম 1871 সালে জোসেফ বুসিনেস্ক একক তরঙ্গের (বা অনুবাদের তরঙ্গ) আনুমানিক সমাধান তৈরি করার জন্য করেছিলেন। পরবর্তীকালে, 1872 সালে, বুসিনেস্ক সমীকরণগুলি উদ্ভূত করেন যা বর্তমানে বুসিনেস্ক সমীকরণ নামে পরিচিত। বুসিনেস্ক আনুমানিক ধাপগুলি হলঃ একটি নির্দিষ্ট উচ্চতার চারপাশে অনুভূমিক এবং উল্লম্ব প্রবাহের বেগ (বা বেগ সম্ভাব্যতা) দিয়ে একটি টেলর সম্প্রসারণ তৈরি করা হয়, এই টেলর সম্প্রসারণটি একটি সীমাবদ্ধ সংখ্যক পদে কাটা হয়, একটি অসংকুচিত প্রবাহের জন্য ভর সংরক্ষণ (ধারাবাহিকতা সমীকরণ দেখুন) এবং একটি ঘূর্ণনহীন প্রবাহের জন্য শূন্য-কার্ল শর্ত ব্যবহার করা হয়, যাতে টেলর সম্প্রসারণে পরিমাণের উল্লম্ব আংশিক ব্যুৎপত্তিগুলিকে অনুভূমিক আংশিক ব্যুৎপত্তি দিয়ে প্রতিস্থাপন করা যায়। এরপরে, উল্লম্ব স্থানাঙ্কের উপর নির্ভরতা দূর করার জন্য অবশিষ্ট প্রবাহ সমীকরণগুলিতে বাউসিনেস্ক আনুমানিক প্রয়োগ করা হয়। ফলস্বরূপ, ফলস্বরূপ আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলি অনুভূমিক স্থানাঙ্কের (এবং সময়) ফাংশনের পরিপ্রেক্ষিতে হয়। উদাহরণস্বরূপ, সমতলের একটি অনুভূমিক তলের উপর সম্ভাব্য প্রবাহ বিবেচনা করুন, অনুভূমিক এবং উল্লম্ব স্থানাঙ্ক সহ। বিছানাটি অবস্থিত, যেখানে জলের গড় গভীরতা রয়েছে। একটি টেলর সম্প্রসারণ বিছানা স্তরের চারপাশে বেগ সম্ভাব্যতা দিয়ে তৈরি করা হয়ঃ বিছানায় বেগ সম্ভাব্যতা কোথায়। অসম্পীডিত প্রবাহের জন্য বৈধ হিসাবে ল্যাপলেসের সমীকরণটি আহ্বান করলে পাওয়া যায়ঃ যেহেতু-অভেদ্য-অনুভূমিক তলদেশে উল্লম্ব বেগ শূন্য। এই সিরিজটি পরবর্তীকালে সীমিত সংখ্যক পদগুলিতে কাটা যেতে পারে। মূল বাউসিনেস্ক সমীকরণ উৎপত্তি সমতলে একটি অসংকুচিত তরল এবং ঘূর্ণনশীল প্রবাহের উপর জলের তরঙ্গের জন্য, মুক্ত পৃষ্ঠের উচ্চতায় সীমানা শর্তগুলি হলঃ যেখানেঃ অনুভূমিক প্রবাহের বেগ উপাদানঃ, উল্লম্ব প্রবাহের বেগ উপাদানঃ, মাধ্যাকর্ষণ দ্বারা ত্বরণ। এখন উপরে দেওয়া বেগ সম্ভাবনার জন্য বাউসিনেস্ক আনুমানিক এই সীমানা পরিস্থিতিতে প্রয়োগ করা হয়। উপরন্তু, ফলস্বরূপ সমীকরণগুলিতে শুধুমাত্র এবং এর সাপেক্ষে রৈখিক এবং দ্বিঘাত পদগুলি ধরে রাখা হয় (বিছানায় অনুভূমিক বেগ সহ)। ঘন এবং উচ্চতর ক্রমের পদগুলি নগণ্য বলে মনে করা হয়। তারপর, নিম্নলিখিত আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলি পাওয়া যায়ঃ সেট এ-বুসিনেস্ক (1872), সমীকরণ (25) সমীকরণের এই সেটটি একটি সমতল অনুভূমিক বিছানার জন্য উদ্ভূত হয়েছে, অর্থাৎ। গড় গভীরতা অবস্থান থেকে স্বাধীন একটি ধ্রুবক। উপরের সমীকরণগুলির ডান দিকগুলি যখন শূন্যে সেট করা হয়, তখন সেগুলি অগভীর জল সমীকরণে পরিণত হয়। কিছু অতিরিক্ত অনুমানের অধীনে, কিন্তু নির্ভুলতার একই ক্রমে, উপরের সেট এ-কে মুক্ত পৃষ্ঠের উচ্চতার জন্য একক আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণে হ্রাস করা যেতে পারেঃ সেট বি-বুসিনেস্ক (1872), সমীকরণ (26) বন্ধনীগুলির মধ্যে পদগুলি থেকে, সমীকরণের অরৈখিকতা গুরুত্ব উরসেল সংখ্যার পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করা যেতে পারে। মাত্রাবিহীন পরিমাণে, অ-মাত্রিককরণের জন্য জলের গভীরতা এবং মহাকর্ষীয় ত্বরণ ব্যবহার করে, এই সমীকরণটি স্বাভাবিককরণের পরে পড়েঃ সহঃ রৈখিক ফ্রিকোয়েন্সি বিচ্ছুরণ বিভিন্ন তরঙ্গ দৈর্ঘ্যের জল তরঙ্গ বিভিন্ন পর্যায়ের গতিতে ভ্রমণ করে, যা ফ্রিকোয়েন্সি বিচ্ছুরণ নামে পরিচিত একটি ঘটনা। অসীম তরঙ্গ বিস্তারের ক্ষেত্রে, পরিভাষাটি হল রৈখিক ফ্রিকোয়েন্সি বিচ্ছুরণ। একটি বাউসিনেস্ক-ধরনের সমীকরণের ফ্রিকোয়েন্সি বিচ্ছুরণ বৈশিষ্ট্যগুলি তরঙ্গ দৈর্ঘ্যের পরিসীমা নির্ধারণ করতে ব্যবহার করা যেতে পারে, যার জন্য এটি একটি বৈধ অনুমান। সমীকরণের উপরের সেট এ-এর জন্য রৈখিক ফ্রিকোয়েন্সি বিচ্ছুরণ বৈশিষ্ট্যগুলি হলঃ সঙ্গেঃ পর্যায়ের গতি, তরঙ্গ সংখ্যা (, তরঙ্গ দৈর্ঘ্যের সাথে)। সেট এ-এর পর্যায় গতিতে আপেক্ষিক ত্রুটি, জল তরঙ্গের রৈখিক তত্ত্বের তুলনায়, একটি আপেক্ষিক তরঙ্গ সংখ্যার জন্য 4 শতাংশেরও কম। সুতরাং, ইঞ্জিনিয়ারিং অ্যাপ্লিকেশনগুলিতে, সেট এ জলের গভীরতার 4 গুণের বেশি তরঙ্গদৈর্ঘ্যের জন্য বৈধ। সমীকরণ বি-এর রৈখিক কম্পাঙ্ক বিচ্ছুরণ বৈশিষ্ট্যগুলি হলঃ সমীকরণ বি-এর পর্যায় গতিতে আপেক্ষিক ত্রুটি 4 শতাংশের কম, যা জলের গভীরতার 7 গুণের বেশি তরঙ্গ দৈর্ঘ্যের সমতুল্য, যাকে মোটামুটি দীর্ঘ তরঙ্গ বলা হয়। সমীকরণ বি সহ সংক্ষিপ্ত তরঙ্গগুলি শারীরিকভাবে অর্থহীন হয়ে যায়, কারণ পর্বের গতির আর কোনও বাস্তব-মূল্যবান সমাধান নেই। দুটি আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের মূল সেটের (বৌসিনেস্ক, 1872, সমীকরণ 25, উপরের সেট এ দেখুন) এই ঘাটতি নেই। জলের গভীরতার 13 গুণের বেশি তরঙ্গ দৈর্ঘ্যের জন্য অগভীর জলের সমীকরণগুলির পর্যায় গতিতে আপেক্ষিক ত্রুটি রয়েছে যা 4 শতাংশের কম। বোউসিনেস্ক-ধরনের সমীকরণ এবং সম্প্রসারণ প্রচুর সংখ্যক গাণিতিক মডেল রয়েছে যা বোউসিনেস্ক সমীকরণ হিসাবে উল্লেখ করা হয়। এটি সহজেই বিভ্রান্তির সৃষ্টি করতে পারে, কারণ প্রায়শই এগুলিকে বুসিনেস্ক সমীকরণ হিসাবে উল্লেখ করা হয়, যদিও প্রকৃতপক্ষে এর একটি রূপ বিবেচনা করা হয়। তাই এগুলিকে বুসিনেস্ক-ধরনের সমীকরণ বলা আরও উপযুক্ত। কঠোরভাবে বলতে গেলে, বুসিনেস্ক সমীকরণগুলি উপরে উল্লিখিত সেট বি, কারণ এটি তাঁর 1872 সালের গবেষণাপত্রের অবশিষ্ট অংশে বিশ্লেষণে ব্যবহৃত হয়েছে। কিছু দিক, যার মধ্যে বুসিনেস্ক সমীকরণগুলি প্রসারিত করা হয়েছে, সেগুলি হলঃ বিভিন্ন ব্যাথিমেট্রি, উন্নত ফ্রিকোয়েন্সি বিচ্ছুরণ, উন্নত অ-রৈখিক আচরণ, বিভিন্ন উল্লম্ব উচ্চতার চারপাশে একটি টেলর সম্প্রসারণ তৈরি করা, স্তরগুলিতে তরল ডোমেনকে বিভক্ত করা এবং প্রতিটি স্তরে বুসিনেস্ক আনুমানিক প্রয়োগ করা, তরঙ্গ ভাঙার অন্তর্ভুক্তি, পৃষ্ঠের টান অন্তর্ভুক্ত করা, বিভিন্ন ভর ঘনত্বের তরল ডোমেনের মধ্যে একটি ইন্টারফেসে অভ্যন্তরীণ তরঙ্গের সম্প্রসারণ, একটি বৈচিত্র্যমূলক নীতি থেকে উদ্ভূত। একমুখী তরঙ্গ প্রসারণের জন্য আরও অনুমান যদিও বুসিনেস্ক সমীকরণগুলি তরঙ্গগুলিকে বিপরীত দিকে একযোগে ভ্রমণ করার অনুমতি দেয়, তবে প্রায়শই কেবল এক দিকে ভ্রমণকারী তরঙ্গগুলি বিবেচনা করা সুবিধাজনক। ছোট অতিরিক্ত অনুমানের অধীনে, বুসিনেস্ক সমীকরণগুলি হ্রাস পায়ঃ একটি অনুভূমিক মাত্রায় তরঙ্গ প্রসারণের জন্য কর্টেওয়েগ-ডি ভ্রিস সমীকরণ, দুটি অনুভূমিক মাত্রায় (এক-দিকের কাছাকাছি) তরঙ্গ প্রসারণের জন্য কাদোমৎসেভ-পেটভিয়াশভিলি সমীকরণ, সংকীর্ণ তরঙ্গের জটিল-মূল্যবান প্রশস্ততার জন্য অরৈখিক শ্রোডিঙ্গার সমীকরণ (এন. এল. এস সমীকরণ)। একক তরঙ্গ সমাধান ছাড়াও, কর্টেওয়েগ-ডি ভ্রিস সমীকরণের পর্যায়ক্রমিক এবং সঠিক সমাধানও রয়েছে, যাকে কনোইডাল তরঙ্গ বলা হয়। এগুলি বুসিনেস্ক সমীকরণের আনুমানিক সমাধান। সংখ্যাসূচক মডেল উপকূল এবং বন্দরের কাছাকাছি তরঙ্গ গতির অনুকরণের জন্য, সংখ্যাসূচক মডেল-বাণিজ্যিক এবং একাডেমিক উভয়-বুসিনেস্ক-ধরনের সমীকরণ ব্যবহার করে বিদ্যমান। কিছু বাণিজ্যিক উদাহরণ হল মাইক 21 এবং এস. এম. এস-এ বুসিনেস্ক-টাইপ তরঙ্গ মডিউল। কিছু বিনামূল্যে বুসিনেস্ক মডেল হল সেলেরিস, কুলওয়েভ এবং ফানওয়েভ। বেশিরভাগ সংখ্যাসূচক মডেল মডেল সমীকরণের বিচক্ষণতার জন্য সসীম-পার্থক্য, সসীম-ভলিউম বা সসীম উপাদান কৌশল ব্যবহার করে। বৈজ্ঞানিক পর্যালোচনা এবং বেশ কয়েকটি বুসিনেস্ক-ধরনের সমীকরণের আন্তঃসাম্প্রতিকতা, তাদের সংখ্যাসূচক অনুমান এবং কার্যকারিতা উদাহরণস্বরূপ। , এবং। বিবরণের 2য় অংশ, 5ম অধ্যায় দেখুন। তরল গতিবিদ্যা জল তরঙ্গ তরল গতিবিদ্যার সমীকরণ