Standard probability space
সম্ভাব্যতা তত্ত্বে, একটি আদর্শ সম্ভাব্যতা স্থান, যাকে লেবেস্গু-রোকলিন সম্ভাব্যতা স্থান বা কেবল লেবেস্গু স্থানও বলা হয় (পরবর্তী শব্দটি অস্পষ্ট) 1940 সালে ভ্লাদিমির রোকলিন দ্বারা প্রবর্তিত কিছু অনুমানকে সন্তুষ্ট করে এমন একটি সম্ভাব্যতা স্থান। অনানুষ্ঠানিকভাবে, এটি একটি সম্ভাব্যতা স্থান যা একটি ব্যবধান এবং/অথবা সীমাবদ্ধ বা গণনাযোগ্য সংখ্যক পরমাণু নিয়ে গঠিত। স্ট্যান্ডার্ড সম্ভাব্যতা স্থানের তত্ত্বটি 1932 সালে ভন নিউম্যান দ্বারা শুরু হয়েছিল এবং 1940 সালে ভ্লাদিমির রোকলিন দ্বারা রূপায়িত হয়েছিল। রোকলিন দেখিয়েছেন যে লেবস্গু পরিমাপের সাথে প্রদত্ত একক ব্যবধানের সাধারণ সম্ভাব্যতা স্থানগুলির তুলনায় গুরুত্বপূর্ণ সুবিধা রয়েছে, তবুও সম্ভাব্যতা তত্ত্বে এগুলির অনেকগুলির জন্য কার্যকরভাবে প্রতিস্থাপন করা যেতে পারে। একক ব্যবধানের মাত্রা কোনও বাধা নয়, যা নরবার্ট উইনারের কাছে ইতিমধ্যেই স্পষ্ট ছিল। তিনি একক ব্যবধান থেকে অবিচ্ছিন্ন ফাংশনের স্থান পর্যন্ত পরিমাপযোগ্য মানচিত্রের আকারে উইনার প্রক্রিয়া (ব্রাউনিয়ান গতি নামেও পরিচিত) তৈরি করেছিলেন। সংক্ষিপ্ত ইতিহাস স্ট্যান্ডার্ড সম্ভাব্যতা স্থানের তত্ত্ব 1932 সালে ভন নিউম্যান দ্বারা শুরু হয়েছিল এবং 1940 সালে ভ্লাদিমির রোকলিন দ্বারা রূপায়িত হয়েছিল। আধুনিক উপস্থাপনার জন্য দেখুন, এবং। আজকাল স্ট্যান্ডার্ড সম্ভাব্যতা স্থানগুলি বর্ণনামূলক সেট তত্ত্বের কাঠামোর মধ্যে চিকিত্সা করা যেতে পারে (এবং প্রায়শই করা হয়), স্ট্যান্ডার্ড বোরেল স্পেসের মাধ্যমে, উদাহরণস্বরূপ দেখুন। এই পদ্ধতিটি স্ট্যান্ডার্ড বোরেল স্পেসের আইসোমরফিজম উপপাদ্যের উপর ভিত্তি করে তৈরি। পরিমাপ তত্ত্বের উপর ভিত্তি করে রোকলিনের একটি বিকল্প পদ্ধতি, বর্ণনামূলক সেট তত্ত্বের বিপরীতে নাল সেটগুলিকে অবহেলা করে। এরগোডিক তত্ত্বে স্ট্যান্ডার্ড সম্ভাব্যতা স্থানগুলি নিয়মিতভাবে ব্যবহৃত হয়। সংজ্ঞা মানসম্মততার বেশ কয়েকটি সুপরিচিত সমতুল্য সংজ্ঞার মধ্যে একটি কিছু প্রস্তুতির পরে নীচে দেওয়া হয়েছে। সমস্ত সম্ভাব্যতা স্থান সম্পূর্ণ বলে ধরে নেওয়া হয়। সমরূপতা দুটি সম্ভাব্যতা স্থানের মধ্যে একটি সমরূপতা, একটি বিপরীতমুখী মানচিত্র যা এবং উভয়ই (পরিমাপযোগ্য এবং) পরিমাপ সংরক্ষিত মানচিত্র। দুটি সম্ভাব্যতা স্থান আইসোমরফিক হয় যদি তাদের মধ্যে একটি আইসোমরফিজম থাকে। আইসোমরফিজম মডুলো শূন্য দুটি সম্ভাব্যতা স্থান, আইসোমরফিক হয় যদি শূন্য সেট বিদ্যমান থাকে, যেমন সম্ভাব্যতা স্থানগুলি আইসোমরফিক হয় (সিগমা-ক্ষেত্র এবং সম্ভাব্যতা পরিমাপের সাথে প্রাকৃতিকভাবে সম্পন্ন)। স্ট্যান্ডার্ড সম্ভাব্যতা স্থান একটি সম্ভাব্যতা স্থান স্ট্যান্ডার্ড, যদি এটি লেবেস্গু পরিমাপের সাথে একটি ব্যবধানের সমতুল্য হয়, পরমাণুর একটি সীমাবদ্ধ বা গণনাযোগ্য সেট, বা উভয়ের সংমিশ্রণ (বিচ্ছিন্ন ইউনিয়ন)। দেখুন, এবং। আরও দেখুন, এবং। পরিমাপে সীমাবদ্ধ বলে ধরে নেওয়া হয়, অগত্যা সম্ভাবনাময় নয়। পরমাণুতে অনুমোদিত নয়। অ-মানক সম্ভাব্যতা স্থানের উদাহরণ একটি সরল সাদা গোলমাল সমস্ত ফাংশনের স্থানকে বাস্তব রেখার অনুলিপিগুলির ধারাবাহিকতার গুণফল হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে। কেউ একটি সম্ভাব্যতা পরিমাপ প্রদান করতে পারে, ধরুন, আদর্শ স্বাভাবিক বন্টন, এবং ফাংশনের স্থানটিকে অভিন্ন সম্ভাব্যতা স্থানের ধারাবাহিকতার গুণফল হিসাবে বিবেচনা করতে পারে। পণ্য পরিমাপ একটি সম্ভাব্যতা পরিমাপ। আপাতদৃষ্টিতে এটি সাদা গোলমালের বর্ণনা বলে মনে হতে পারে। যাইহোক, 0 থেকে 1 পর্যন্ত একটি সাদা গোলমাল ফাংশনের ইন্টিগ্রাল একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল ডিস্ট্রিবিউটেড এন (0,1) হওয়া উচিত। এর বিপরীতে, এর ইন্টিগ্রাল (0 থেকে 1 পর্যন্ত) অনির্ধারিত। এছাড়াও f প্রায় নিশ্চিতভাবে পরিমাপযোগ্য হতে ব্যর্থ হয় এবং f পরিমাপযোগ্য হওয়ার সম্ভাবনা অনির্ধারিত। প্রকৃতপক্ষে, যদি X একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল হয় যা (0,1)-এর উপর সমানভাবে বিতরণ করা হয় (ধরুন) এবং f-এর থেকে স্বাধীন হয়, তাহলে f (X) কোনও র্যান্ডম ভেরিয়েবল নয় (এতে পরিমাপের অভাব রয়েছে)। একটি ছিদ্রযুক্ত ব্যবধান ধরা যাক এমন একটি সেট যার অভ্যন্তরীণ লেবস্গু পরিমাপ 0 এর সমান, তবে বাইরের লেবস্গু পরিমাপ 1 এর সমান (সুতরাং, চরম থেকে অপরিমেয়)। একটি সম্ভাব্যতা পরিমাপ রয়েছে যা প্রতিটি লেবস্গুয়ের জন্য পরিমাপযোগ্য। (এখানে লেবস্গু পরিমাপ রয়েছে।) সম্ভাব্যতা স্থানের ঘটনা এবং র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলি (চিকিত্সা করা) সম্ভাব্যতা স্থানের ঘটনা এবং র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলির সাথে একটি প্রাকৃতিক এক-থেকে-এক যোগাযোগে থাকে। মনে হতে পারে যে সম্ভাব্যতা স্থানটি ততটাই ভাল। যদিও তা হয় না। দ্বারা সংজ্ঞায়িত একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল সমানভাবে বিতরণ করা হয়। শর্তসাপেক্ষ পরিমাপ, প্রদত্ত, শুধুমাত্র একটি একক পরমাণু (এ. টি), যদি তা অন্তর্নিহিত সম্ভাব্যতা স্থান হয়। যাইহোক, যদি পরিবর্তে ব্যবহার করা হয়, তবে শর্তাধীন পরিমাপ কখন বিদ্যমান থাকে না। একটি ছিদ্রযুক্ত বৃত্ত একইভাবে নির্মিত হয়। এর ইভেন্ট এবং র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলি স্বাভাবিক বৃত্তের মতোই। আবর্তনের গোষ্ঠী তাদের উপর স্বাভাবিকভাবে কাজ করে। তবে, এটি ছিদ্রযুক্ত বৃত্তের উপর কাজ করতে ব্যর্থ হয়। আরও দেখুন। একটি অপ্রয়োজনীয় পরিমাপযোগ্য সেট পূর্ববর্তী উদাহরণের মতো হতে দিন। ফর্মের সেট যেখানে এবং নির্বিচারে লেবস্গু পরিমাপযোগ্য সেট, একটি σ-বীজগণিত এতে লেবস্গু σ-বীজগণিত রয়েছে এবং সূত্রটি একটি সম্ভাব্যতা পরিমাপের সাধারণ রূপ দেয় যা লেবস্গু পরিমাপকে প্রসারিত করে; এখানে একটি পরামিতি রয়েছে। সুনির্দিষ্টভাবে বলতে গেলে, আমরা এটি বেছে নিই যে লেবস্গু পরিমাপের এই ধরনের সম্প্রসারণ অন্তত ক্ষতিকারক নয় বলে মনে হতে পারে। যাইহোক, এটি ছদ্মবেশে ছিদ্রযুক্ত ব্যবধান। মানচিত্রটি সেটের সাথে সম্পর্কিত ছিদ্রযুক্ত ব্যবধানের মধ্যে একটি সমরূপতা যা অভ্যন্তরীণ লেবস্গু পরিমাপের আরেকটি সেট 0 কিন্তু বাইরের লেবস্গু পরিমাপ 1। আরও দেখুন। মানসম্মততার একটি মানদণ্ড প্রদত্ত সম্ভাব্যতা স্থানের মানসম্মততা একটি পরিমাপযোগ্য স্থান থেকে পরিমাপযোগ্য মানচিত্রের একটি নির্দিষ্ট বৈশিষ্ট্যের সমতুল্য উত্তর (মান, বা না) এবং এর পছন্দের উপর নির্ভর করে না। এই সত্যটি বেশ কার্যকর; একজন প্রদত্ত সমস্ত ক্ষেত্রে পরীক্ষা করার প্রয়োজন নেই এবং পছন্দের সাথে খাপ খাইয়ে নিতে পারে। একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল-একটি র্যান্ডম ভেক্টর-একটি র্যান্ডম সিকোয়েন্স বা দুই-মূল্যবান র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সিকোয়েন্স হিসাবে বিবেচিত ঘটনাগুলির সিকোয়েন্স পরীক্ষা করা সুবিধাজনক হতে পারে, দুটি শর্ত আরোপ করা হবে (ইনজেকটিভ এবং জেনারেটিং)। নীচে এটি অনুমান করা হয় যে এটি দেওয়া হয়েছে। এর অস্তিত্বের প্রশ্নটি পরে সমাধান করা হবে। সম্ভাব্যতা স্থানটি সম্পূর্ণ বলে ধরে নেওয়া হয় (অন্যথায় এটি আদর্শ হতে পারে না)। একটি একক র্যান্ডম ভেরিয়েবল একটি পরিমাপযোগ্য ফাংশন একটি পুশ ফরোয়ার্ড পরিমাপকে প্ররোচিত করে,-বোরেল সেটগুলির জন্য সংজ্ঞায়িত সম্ভাব্যতা পরিমাপ অর্থাৎ। এলোমেলো পরিবর্তনশীলের বিতরণ। চিত্রটি সর্বদা সম্পূর্ণ বাহ্যিক পরিমাপের একটি সেট, তবে এর অভ্যন্তরীণ পরিমাপ ভিন্ন হতে পারে (একটি ছিদ্রযুক্ত ব্যবধান দেখুন)। অন্য কথায়, পূর্ণ পরিমাপের একটি সেট হওয়ার প্রয়োজন নেই একটি পরিমাপযোগ্য ফাংশনকে জেনারেটিং বলা হয় যদি বিপরীত চিত্রের σ-বীজগণিতের সাপেক্ষে সমাপ্তি হয় যেখানে সমস্ত বোরেল সেটের উপর চলে। সতর্কতা অবলম্বন করুন। নিম্নলিখিত শর্তটি উৎপন্ন করার জন্য যথেষ্ট নয়ঃ প্রত্যেকটির জন্য একটি বোরেল সেট রয়েছে যেমন (অর্থাৎ প্রতিসম পার্থক্য)। উপপাদ্য। একটি পরিমাপযোগ্য ফাংশনকে ইনজেকটিভ এবং জেনারেটিং হতে দিন, তাহলে নিম্নলিখিত দুটি শর্ত সমতুল্যঃ (অর্থাৎ। অভ্যন্তরীণ পরিমাপেরও সম্পূর্ণ পরিমাপ রয়েছে, এবং চিত্রটি সমাপ্তির সাপেক্ষে পরিমাপযোগ্য); এটি একটি আদর্শ সম্ভাব্যতা স্থান। আরও দেখুন। একটি র্যান্ডম ভেক্টর একই উপপাদ্য যে কোনও (এর পরিবর্তে) এর জন্য ধারণ করে। একটি পরিমাপযোগ্য ফাংশনকে র্যান্ডম ভেরিয়েবলের একটি সীমাবদ্ধ ক্রম হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে এবং এটি তখনই উৎপন্ন হয় যখন একটি র্যান্ডম ক্রম দ্বারা উত্পন্ন σ-বীজগণিতের সমাপ্তি হয়। একটি পরিমাপযোগ্য ফাংশনকে এলোমেলো চলকের একটি অসীম ক্রম হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে এবং এটি তখনই উৎপন্ন হয় যখন ঘটনাগুলির একটি ক্রম দ্বারা উত্পন্ন σ-বীজগণিতের সমাপ্তি হয়। বিশেষত, যদি এলোমেলো চলকগুলি কেবল দুটি মান 0 এবং 1 গ্রহণ করে তবে আমরা একটি পরিমাপযোগ্য ফাংশন এবং সেটগুলির একটি ক্রম নিয়ে কাজ করি। একটি বেসিসকে বলা হয় সম্পূর্ণ মোড 0, যদি সম্পূর্ণ পরিমাপের হয় তবে দেখুন। একই বিভাগে রোকলিন প্রমাণ করেছেন যে কোনও সম্ভাব্যতা স্থান যদি কোনও ভিত্তির সাপেক্ষে সম্পূর্ণ মড 0 হয়, তবে এটি অন্য প্রতিটি ভিত্তির সাপেক্ষে সম্পূর্ণ মোড 0 হয় এবং এই সম্পূর্ণতা বৈশিষ্ট্য দ্বারা লেবসগ স্পেসকে সংজ্ঞায়িত করে। আরও দেখুন এবং। অতিরিক্ত মন্তব্য উপরে বর্ণিত চারটি কেস পারস্পরিক সমতুল্য, এবং একত্রিত হতে পারে, যেহেতু পরিমাপযোগ্য স্পেস এবং পারস্পরিক আইসোমরফিক; এগুলি সবই পরিমাপযোগ্য স্ট্যান্ডার্ড স্পেস (অন্য কথায়, স্ট্যান্ডার্ড বোরেল স্পেস)। একটি ইনজেকটিভ পরিমাপযোগ্য ফাংশনের অস্তিত্ব একটি আদর্শ পরিমাপযোগ্য স্থান থেকে বেছে নেওয়ার উপর নির্ভর করে না আমরা সম্পত্তিটি গণনাযোগ্যভাবে পৃথক হিসাবে সুপরিচিত (তবে পৃথকযোগ্য বলা হয়)। একটি উৎপাদনযোগ্য পরিমাপযোগ্য ফাংশনের অস্তিত্ব একটি আদর্শ পরিমাপযোগ্য স্থানের উপরও নির্ভর করে না আমরা যে বৈশিষ্ট্যটি গণনাযোগ্যভাবে উত্পন্ন (মোড 0) হিসাবে সুপরিচিত তা নেওয়ার পছন্দের উপর নির্ভর করে, দেখুন। একটি স্ট্যান্ডার্ড সম্ভাব্যতা স্থান থেকে একটি স্ট্যান্ডার্ড পরিমাপযোগ্য স্থান পর্যন্ত প্রতিটি ইনজেকটিভ পরিমাপযোগ্য ফাংশন তৈরি হচ্ছে। দেখুন,,। এই বৈশিষ্ট্যটি উপরের "একটি অপ্রয়োজনীয় পরিমাপযোগ্য সেট" উপধারায় বর্ণিত অ-মানক সম্ভাব্যতা স্থানের জন্য ধারণ করে না। সতর্কতা অবলম্বন করুন। মড 0 আইসোমরফিজমের অধীনে গণনাযোগ্যভাবে উৎপন্ন হওয়ার বৈশিষ্ট্যটি অপরিবর্তনীয়, তবে গণনাযোগ্যভাবে পৃথক হওয়ার বৈশিষ্ট্যটি নয়। প্রকৃতপক্ষে, একটি আদর্শ সম্ভাব্যতা স্থান গণনাযোগ্যভাবে পৃথক করা হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি এর কার্ডিনালিটি ধারাবাহিকতা অতিক্রম না করে (দেখুন)। একটি স্ট্যান্ডার্ড সম্ভাব্যতা স্থানে যে কোনও কার্ডিনালিটির একটি নাল সেট থাকতে পারে, সুতরাং, এটি গণনাযোগ্যভাবে পৃথক করার প্রয়োজন নেই। যাইহোক, এটি সর্বদা পূর্ণ পরিমাপের একটি গণনাযোগ্যভাবে পৃথক উপসেট ধারণ করে। সমতুল্য সংজ্ঞাগুলি একটি সম্পূর্ণ সম্ভাব্যতা স্থান হতে দিন যাতে এর কার্ডিনালিটি ধারাবাহিকতা অতিক্রম না করে (সাধারণ ক্ষেত্রে এই বিশেষ ক্ষেত্রে হ্রাস করা হয়, উপরের সতর্কতাটি দেখুন)। পরম পরিমাপের সংজ্ঞার মাধ্যমে। এটি মানসম্মত যদি এটি গণনাযোগ্যভাবে পৃথক করা হয়, গণনাযোগ্যভাবে উত্পন্ন হয় এবং একেবারে পরিমাপযোগ্য হয়। দেখুন এবং। "সম্পূর্ণরূপে পরিমাপযোগ্য" মানেঃ প্রতিটি গণনাযোগ্যভাবে পৃথক, গণনাযোগ্যভাবে উত্পন্ন সম্ভাব্যতা স্থানে পরিমাপযোগ্য। নিখুঁততার সংজ্ঞা। যদি এটি গণনাযোগ্যভাবে পৃথক এবং নিখুঁত হয় তবে এটি আদর্শ। দেখুন। "নিখুঁত" মানে হল যে প্রতিটি পরিমাপযোগ্য ফাংশনের জন্য চিত্র পরিমাপ নিয়মিত। (এখানে বোরেল কাঠামো নির্বিশেষে, যে সমস্ত সেটের বিপরীত চিত্রগুলি অন্তর্ভুক্ত রয়েছে সেগুলিতে চিত্র পরিমাপ সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে)। টপোলজি সংজ্ঞার মাধ্যমে। যদি এমন কোনও টপোলজি বিদ্যমান থাকে যার উপর টপোলজিকাল স্পেস পরিমাপযোগ্য হয়; এটি দ্বারা উত্পন্ন σ-বীজগণিতের সমাপ্তি (অর্থাৎ, সমস্ত খোলা সেট দ্বারা); প্রত্যেকের জন্য এমন একটি কম্প্যাক্ট সেট রয়েছে যা দেখুন। মান যাচাই করা স্থানের প্রতিটি সম্ভাব্যতা বন্টন এটিকে একটি আদর্শ সম্ভাব্যতা স্থানে পরিণত করে। (এখানে, সম্ভাব্যতা বণ্টনের অর্থ বোরেল সিগমা-বীজগণিতে প্রাথমিকভাবে সংজ্ঞায়িত এবং সম্পূর্ণ একটি সম্ভাব্যতা পরিমাপ।) প্রতিটি পোলিশ স্থানের ক্ষেত্রেও একই কথা প্রযোজ্য, দেখুন, এবং। উদাহরণস্বরূপ, উইনার পরিমাপ পোলিশ স্থানকে (স্থানীয় অভিন্ন অভিসারের টপোলজিতে সমৃদ্ধ সমস্ত অবিচ্ছিন্ন ফাংশনের) একটি আদর্শ সম্ভাব্যতা স্থানে পরিণত করে। আরেকটি উদাহরণ হলোঃ র্যান্ডম ভেরিয়েবলের প্রতিটি ক্রমের জন্য, তাদের যৌথ বন্টন পোলিশ স্থানকে (ক্রমের; পণ্য টপোলজিতে সমৃদ্ধ) একটি আদর্শ সম্ভাব্যতা স্থানে পরিণত করে। (সুতরাং, আয়তনের ধারণা, টপোলজিকাল স্পেসের জন্য খুব স্বাভাবিক, স্ট্যান্ডার্ড সম্ভাব্যতা স্পেসের জন্য সম্পূর্ণ অনুপযুক্ত।) দুটি আদর্শ সম্ভাব্যতা স্থানের গুণফল হল একটি আদর্শ সম্ভাব্যতা স্থান। গণনাযোগ্যভাবে অনেক জায়গার গুণফলের ক্ষেত্রেও একই কথা প্রযোজ্য, দেখুন, এবং। একটি আদর্শ সম্ভাব্যতা স্থানের পরিমাপযোগ্য উপসেট হল একটি আদর্শ সম্ভাব্যতা স্থান। এটি ধরে নেওয়া হয় যে সেটটি একটি নাল সেট নয়, এবং শর্তাধীন পরিমাপের সাথে সম্পন্ন। দেখুন এবং। একটি আদর্শ বোরেল স্থানের প্রতিটি সম্ভাব্যতা পরিমাপ এটিকে একটি আদর্শ সম্ভাব্যতা স্থানে পরিণত করে। নিয়মিত শর্তাধীন সম্ভাব্যতা ব্যবহার করা পৃথক বিন্যাসে, শর্তাধীন সম্ভাব্যতা আরেকটি সম্ভাব্যতা পরিমাপ, এবং শর্তাধীন প্রত্যাশাকে শর্তাধীন পরিমাপের ক্ষেত্রে (স্বাভাবিক) প্রত্যাশা হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে, শর্তাধীন প্রত্যাশা দেখুন। অ-বিচ্ছিন্ন সেটআপে, কন্ডিশনিং প্রায়শই পরোক্ষভাবে চিকিত্সা করা হয়, যেহেতু অবস্থার সম্ভাবনা 0 থাকতে পারে, শর্তাধীন প্রত্যাশা দেখুন। ফলস্বরূপ, বেশ কয়েকটি সুপরিচিত তথ্যের বিশেষ 'শর্তাধীন' প্রতিরূপ রয়েছে। উদাহরণস্বরূপঃ প্রত্যাশার রৈখিকতা; জেনসেনের অসমতা (শর্তাধীন প্রত্যাশা দেখুন); হল্ডারের অসমতা; মনোটোন কনভারজেন্স উপপাদ্য ইত্যাদি। একটি সম্ভাব্যতা স্থানে একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল দেওয়া হলে, একটি শর্তাধীন পরিমাপ, অর্থাৎ প্রদত্তটির শর্তাধীন বন্টন তৈরি করার চেষ্টা করা স্বাভাবিক। সাধারণভাবে এটি অসম্ভব (দেখুন)। যাইহোক, একটি আদর্শ সম্ভাব্যতা স্থানের জন্য এটি সম্ভব, এবং পরিমাপের ক্যানোনিকাল সিস্টেম হিসাবে সুপরিচিত (দেখুন), যা মূলত শর্তাধীন সম্ভাব্যতা পরিমাপ (দেখুন), পরিমাপের বিচ্ছিন্নতা (দেখুন), এবং নিয়মিত শর্তাধীন সম্ভাব্যতা (দেখুন)। শর্তাধীন জেনসেনের বৈষম্য হল শর্তাধীন পরিমাপের ক্ষেত্রে প্রয়োগ করা জেনসেনের (সাধারণ) বৈষম্য। অন্যান্য অনেক তথ্যের ক্ষেত্রেও একই কথা প্রযোজ্য। দুটি সম্ভাব্যতা স্থান এবং একটি পরিমাপ সংরক্ষণকারী মানচিত্রের পরিপ্রেক্ষিতে, চিত্রটি পুরোটা ঢেকে রাখার প্রয়োজন নেই, এটি একটি নাল সেট মিস করতে পারে। মনে হতে পারে যে এটি 1 এর সমান হতে হবে, কিন্তু তা নয়। এর বাইরের পরিমাপ 1 এর সমান, তবে অভ্যন্তরীণ পরিমাপ ভিন্ন হতে পারে। তবে, সম্ভাব্যতা স্থানগুলি যদি মানসম্মত হয়, তাহলে দেখুন। যদি ওয়ান-টু-ওয়ান হয় তবে প্রত্যেকেই সন্তুষ্ট হয়। অতএব, পরিমাপযোগ্য (এবং পরিমাপ সংরক্ষণ)। দেখুন এবং। আরও দেখুন। "একটি পরিমাপ স্থানে পরিমাপ 0-এর সেটগুলিকে উপেক্ষা করার একটি সুসঙ্গত উপায় রয়েছে"। শূন্য সেট থেকে মুক্তি পাওয়ার জন্য গণিতবিদরা প্রায়শই পরিমাপযোগ্য সেট বা ফাংশনের সমতুল্য শ্রেণী ব্যবহার করেন। একটি সম্ভাব্যতা স্থানের পরিমাপযোগ্য উপসেটগুলির সমতুল্য শ্রেণীগুলি একটি আদর্শ সম্পূর্ণ বুলিয়ান বীজগণিত গঠন করে যাকে পরিমাপ বীজগণিত (বা মেট্রিক কাঠামো) বলা হয়। মানচিত্র সংরক্ষণের প্রতিটি পরিমাপ পরিমাপ আলজেব্রার সমরূপতার দিকে পরিচালিত করে; মূলত, জন্য। মনে হতে পারে যে পরিমাপ অ্যালজেব্রার প্রতিটি সমরূপতাকে কিছু পরিমাপ সংরক্ষণকারী মানচিত্রের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ হতে হবে, তবে তা নয়। যাইহোক, স্ট্যান্ডার্ড সম্ভাব্যতা স্থানগুলির জন্য প্রতিটি কয়েকটির সাথে মিলে যায়। দেখুন,,। নোটস রেফারেন্সও দেখুন। রাশিয়ান থেকে অনুবাদঃ । । । । । । । । । । । পরীক্ষা (সম্ভাব্যতা তত্ত্ব) পরিমাপ তত্ত্ব