Subcountability
গঠনমূলক গণিতে, একটি সংগ্রহ উপগণনাযোগ্য হয় যদি তার উপর প্রাকৃতিক সংখ্যা থেকে আংশিক উদ্গমন বিদ্যমান থাকে। এটি এমনভাবে প্রকাশ করা যেতে পারে যেখানে এটি a থেকে একটি সার্জেক্টিভ ফাংশনকে বোঝায়। সার্জেকশন একটি সদস্য এবং এখানে এর সাবক্লাসটি একটি সেট হতে হবে। অন্য কথায়, একটি উপগণনাযোগ্য সংগ্রহের সমস্ত উপাদান কার্যকরীভাবে গণনা সংখ্যার একটি সূচক সেটের প্রতিচ্ছবিতে থাকে এবং এইভাবে সেটটিকে গণনাযোগ্য সেট দ্বারা প্রভাবিত হিসাবে বোঝা যেতে পারে। আলোচনা নামকরণ লক্ষ্য করুন যে গণনাযোগ্যতা এবং সীমাবদ্ধতার বৈশিষ্ট্যগুলির নামকরণ উল্লেখযোগ্যভাবে পরিবর্তিত হয়-আংশিকভাবে কারণ এগুলির মধ্যে অনেকগুলি বাদ দেওয়া মাঝখানে ধরে নেওয়ার সময় মিলে যায়। পুনরাবৃত্তি করার জন্য, এখানে আলোচনাটি বৈশিষ্ট্যযুক্ত সেটের উপর উদ্বৃত্তের পরিপ্রেক্ষিতে সংজ্ঞায়িত বৈশিষ্ট্য সম্পর্কিত। গঠনমূলক সেট তত্ত্বের গ্রন্থে এখানে ভাষাটি প্রচলিত, তবে উপগণনাযোগ্য নামটি অন্যথায় বৈশিষ্ট্যযুক্ত সেটের বাইরে ইনজেকশনের ক্ষেত্রেও দেওয়া হয়েছে। সংজ্ঞার সেটটিকে বিমূর্তও করা যেতে পারে এবং আরও সাধারণ ধারণার পরিপ্রেক্ষিতে এর একটি উপাংশ বলা যেতে পারে। উদাহরণ গুরুত্বপূর্ণ ক্ষেত্রে যেখানে প্রশ্নযুক্ত সেটটি গণনাযোগ্যতা তত্ত্বে অধ্যয়ন করা বৃহত্তর শ্রেণীর ফাংশনের কিছু উপশ্রেণী। মোট গণনাযোগ্য ফাংশনের সেট থেকে গণনাযোগ্য সারজেকশন হতে পারে না, যেমনটি তির্যক গঠন থেকে ফাংশনের মাধ্যমে প্রদর্শিত হয়, যা কখনও এই ধরনের সারজেকশন ইমেজে থাকতে পারে না। যাইহোক, সমস্ত সম্ভাব্য আংশিক গণনাযোগ্য ফাংশনের কোডের মাধ্যমে, যা অ-সমাপ্তি প্রোগ্রামগুলিকেও অনুমতি দেয়, এই ধরনের ফাংশনের উপসেট, যেমন মোট ফাংশন, উপগণনাযোগ্য সেট হিসাবে দেখা যায়ঃ মোট ফাংশনগুলি প্রাকৃতিক সংখ্যার কিছু কঠোর উপসেটের পরিসীমা। একটি অসম্পূর্ণ, এবং তাই গঠনমূলকভাবে অগণিত, সংখ্যার সেট দ্বারা প্রভাবিত হওয়ার কারণে, উপগণনাযোগ্য নামটি এইভাবে বোঝায় যে গঠনমূলকভাবে অগণিত সেটটি এর চেয়ে বড় নয়। লক্ষ্য করুন যে সমস্ত গণনা সংখ্যা এবং সীমাহীন এবং অসীম সূচক সেটের মধ্যে কোনও কার্যকর মানচিত্র এখানে জোর দেওয়া হয়নি, কেবল উপসেট সম্পর্ক। মোট হওয়া কোনও নির্ণায়ক সম্পত্তি নয়। সূচক সেটের উপর রাইসের উপপাদ্য অনুসারে, সূচকের বেশিরভাগ ক্ষেত্র আসলে গণনাযোগ্য সেট নয়। উপগণনাযোগ্য প্রদর্শনটি আরও বোঝায় যে এটি শাস্ত্রীয়ভাবে (অ-গঠনমূলকভাবে) আনুষ্ঠানিকভাবে গণনাযোগ্য, তবে এটি কোনও কার্যকর গণনাযোগ্যতা প্রতিফলিত করে না। অন্য কথায়, সমস্ত মোট ফাংশনকে ক্রমানুসারে তালিকাভুক্ত করার একটি অ্যালগরিদম সেট এবং ফাংশন অস্তিত্ব সম্পর্কিত শাস্ত্রীয় স্বতঃসিদ্ধ দ্বারা ধরা যায় না। আমরা দেখতে পাই যে, একটি তত্ত্বের স্বতঃসিদ্ধতার উপর নির্ভর করে, উপগণনাযোগ্যতা গণনার চেয়ে প্রমাণযোগ্য হওয়ার সম্ভাবনা বেশি হতে পারে। গঠনমূলক যুক্তি এবং সেট তত্ত্বগুলি অসীম (অ-অসীম) সেটগুলির মধ্যে একটি ফাংশনের অস্তিত্বকে নির্ণয়যোগ্যতা এবং সম্ভবত কার্যকারিতার প্রশ্নের সাথে সংযুক্ত করে। সেখানে, সাবকাউন্টেবিলিটি প্রপার্টি কাউন্টেবিলিটি থেকে বিভক্ত হয়ে যায় এবং তাই এটি কোনও অপ্রয়োজনীয় ধারণা নয়। প্রাকৃতিক সংখ্যার সূচীকরণ সেটটি বিদ্যমান থাকতে পারে, যেমন। পৃথকীকরণ স্বতঃসিদ্ধ পরিকল্পনার মতো সেট তাত্ত্বিক স্বতঃসিদ্ধের মাধ্যমে একটি উপসেট হিসাবে। তারপর সংজ্ঞা অনুসারে, কিন্তু এই সেটটি তখনও বিচ্ছিন্ন হতে ব্যর্থ হতে পারে, এই অর্থে যে এটি একটি স্বতঃসিদ্ধ হিসাবে ধরে না নিয়ে প্রমাণযোগ্য নাও হতে পারে। এই কারণে, উপগণনাযোগ্য সেটটি কার্যকরভাবে গণনা করতে ব্যর্থ হতে পারে যদি কেউ সূচক সেটের মধ্যে গণনা সংখ্যার মানচিত্র তৈরি করতে ব্যর্থ হয়। গণনাযোগ্য হওয়ার অর্থ হল উপগণনাযোগ্য হওয়া। মার্কভের নীতির উপযুক্ত প্রসঙ্গে, বিপরীতটি বাদ দেওয়া মধ্যের আইনের সমতুল্য, অর্থাৎ। এটি সমস্ত প্রস্তাবের জন্য প্রযোজ্য। বিশেষত, গঠনমূলকভাবে এই বিপরীত দিকটি সাধারণত ধরে রাখে না। ধ্রুপদী গণিতে ধ্রুপদী যুক্তির সমস্ত নিয়ম জোর দিয়ে, উপরে আলোচিত বিভেদমূলক বৈশিষ্ট্য প্রকৃতপক্ষে সমস্ত সেটের জন্য প্রযোজ্য। তারপরে, অ-শূন্যতার জন্য, সংখ্যাসূচক বৈশিষ্ট্যগুলি (যার অর্থ এখানে প্রবেশ করানো হবে), গণনাযোগ্য (তার পরিসীমা হিসাবে রয়েছে), উপ-গণনাযোগ্য (সারজেক্টগুলির একটি উপসেট) এবং অ-উত্পাদনশীল (একটি গণনাযোগ্য বৈশিষ্ট্য যা মূলত উপসেটগুলির পরিপ্রেক্ষিতে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে) সবই সমতুল্য এবং প্রকাশ করে যে একটি সেট সীমাবদ্ধ বা গণনাযোগ্যভাবে অসীম। অ-ধ্রুপদী দাবি বাদ দেওয়া মধ্যমের আইন ছাড়া, ধ্রুপদীভাবে সেটগুলির উপগণনাযোগ্যতা দাবি করা সামঞ্জস্যপূর্ণ হতে পারে (অর্থাৎ। অ-গঠনমূলকভাবে) প্রাকৃতিক সংখ্যার মৌলিকতা অতিক্রম করে। লক্ষ্য করুন যে একটি গঠনমূলক সেটিং-এ, সম্পূর্ণ সেটের বাইরে ফাংশন স্পেস সম্পর্কে একটি গণনাযোগ্যতা দাবি, যেমন, অপ্রমাণিত হতে পারে। কিন্তু একটি সেট দ্বারা একটি অগণিত সেটের উপগণনার অনুমতি দেওয়া যেতে পারে যা থেকে কার্যকরভাবে বিচ্ছিন্ন করা যায় না। যেমন অগণিত এবং শাস্ত্রীয়ভাবে প্রমাণিতভাবে উপগণনাযোগ্য নয়, তার বিশাল ফাংশন স্পেস সহ শাস্ত্রীয় কাঠামো গঠনমূলক চার্চের থিসিসের সাথে অসঙ্গতিপূর্ণ, যা রাশিয়ান গঠনবাদের একটি স্বতঃসিদ্ধ। উপগণনাযোগ্য এবং ω-উৎপাদনশীল পারস্পরিক একচেটিয়া একটি সেটকে-উৎপাদনশীল বলা হবে যদি, যখনই এর কোনও উপসেট কোনও আংশিক ফাংশনের পরিসীমা হয়, সর্বদা এমন একটি উপাদান বিদ্যমান থাকে যা সেই পরিসরের পরিপূরকে থাকে। যদি কোনও কিছুর উপর কোনও উদ্বৃত্ত থাকে, তবে বর্ণিত হিসাবে এর সংশ্লিষ্ট পরিপূরক খালি সেটের সমান হবে, এবং তাই একটি উপগণনাযোগ্য সেট কখনই উৎপাদনশীল হয় না। উপরে যেমন সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে,-উৎপাদনশীল হওয়ার বৈশিষ্ট্যটি যে কোনও আংশিক ফাংশনের পরিসরকে একটি নির্দিষ্ট মানের সাথে যুক্ত করে যা ফাংশনের সীমার মধ্যে নেই। এইভাবে, একটি উৎপাদনশীল সেট বলতে পারে যে এর সমস্ত উপাদান তৈরি করা কতটা কঠিনঃ একটি একক ফাংশন ব্যবহার করে সেগুলি প্রাকৃতিক থেকে তৈরি করা যায় না। উৎপাদনশীলতার বৈশিষ্ট্যটি উপগণনার ক্ষেত্রে একটি বাধা গঠন করে। যেহেতু এটি অগণিততাকেও বোঝায়, তির্যক যুক্তিগুলি প্রায়শই এই ধারণাকে জড়িত করে, স্পষ্টভাবে সত্তরের দশকের শেষের দিক থেকে। কেবলমাত্র গণনাযোগ্যভাবে গণনাযোগ্য উপসেটগুলি বিবেচনা করে গণনাযোগ্য গণনার অসম্ভবতা প্রতিষ্ঠা করা যেতে পারে এবং সমস্ত বাধাগুলির সেটকে মোট পুনরাবৃত্তিমূলক তথাকথিত উৎপাদন ফাংশনের চিত্র হিসাবে প্রয়োজন হতে পারে। সেট তত্ত্বে, যেখানে আংশিক ফাংশনগুলিকে জোড়ার সংগ্রহ হিসাবে মডেল করা হয়, সেখানে প্রদত্ত স্থানটি ঠিক সমস্ত আংশিক ফাংশন ধারণ করে, তাদের পরিসীমা হিসাবে, শুধুমাত্র এর উপসেট রয়েছে। একটি-উৎপাদনশীল সেটের জন্য যে কেউ গঠনমূলকভাবে রিড খুঁজে পায়, এটি যে কোনও আংশিক ফাংশনকে এমন একটি উপাদানের সাথে যুক্ত করে যা সেই ফাংশন সীমার মধ্যে নেই। এই বৈশিষ্ট্যটি কোনও সার্জেক্টিভ (সম্ভবত আংশিক) ফাংশনের সাথে একটি-উৎপাদনশীল সেটের অসামঞ্জস্যতার উপর জোর দেয়। নিচে এটি উপগণনাযোগ্য অনুমানের অধ্যয়নে প্রয়োগ করা হয়েছে। প্রকৃতিগত উপসেটগুলির উপর তত্ত্বগুলি নির্ধারণ করুন রেফারেন্স তত্ত্ব হিসাবে আমরা গঠনমূলক সেট তত্ত্ব সিজেডএফ-এর দিকে নজর রাখি, যার প্রতিস্থাপন, সীমাবদ্ধ পৃথকীকরণ, শক্তিশালী অনন্ততা রয়েছে, যা শক্তি সেটগুলির অস্তিত্বের প্রতি অজ্ঞেয়বাদী, তবে যে কোনও ফাংশন স্থান সেট করা হয়েছে বলে দাবি করে এমন স্বতঃসিদ্ধ অন্তর্ভুক্ত রয়েছে, দেওয়া সেটগুলিও। এই তত্ত্বে, প্রতিটি সেট উপগণনাযোগ্য বলে দাবি করা সুসংগত। গণনা সংখ্যার একটি অসীম সেটের উপর সম্ভাব্য উদ্বৃত্তের মাধ্যমে এই বিভাগে আরও বিভিন্ন স্বতঃসিদ্ধের সামঞ্জস্য নিয়ে আলোচনা করা হয়েছে। এখানে আদর্শ প্রাকৃতিক সংখ্যার একটি মডেলকে বোঝানো হবে। মনে রাখবেন যে, ফাংশনের জন্য, মোট কার্যকারিতার সংজ্ঞা অনুসারে, ডোমেনের সমস্ত মানের জন্য একটি অনন্য রিটার্ন মান রয়েছে এবং একটি উপগণনাযোগ্য সেটের জন্য, সারজেকশন এখনও এর একটি উপসেটে মোট। গঠনমূলকভাবে, এই ধরনের অস্তিত্বগত দাবি ধ্রুপদী তুলনায় কম প্রমাণযোগ্য হবে। নীচে আলোচিত পরিস্থিতিগুলি-পাওয়ার ক্লাস বনাম ফাংশন স্পেসের মধ্যে-একে অপরের থেকে আলাদাঃ সাধারণ সাবক্লাস সংজ্ঞায়িত ভবিষ্যদ্বাণী এবং তাদের সত্য মানগুলির বিরোধিতা করে (অগত্যা প্রমাণযোগ্যভাবে কেবল সত্য এবং মিথ্যা নয়), একটি ফাংশন (যা প্রোগ্রামিংয়ের পরিভাষায় শেষ হচ্ছে) তার সমস্ত সাবডোমেনের (এর উপসেট) জন্য ডেটা সম্পর্কে অ্যাক্সেসযোগ্য তথ্য তৈরি করে। যখন তাদের উপসেটগুলির জন্য চরিত্রগত ফাংশন হিসাবে, ফাংশনগুলি, তাদের রিটার্ন মানগুলির মাধ্যমে, উপসেট সদস্যপদ নির্ধারণ করে। যেহেতু একটি সাধারণভাবে সংজ্ঞায়িত সেটের সদস্যপদ অগত্যা নির্ণয়যোগ্য নয়, তাই (মোট) ফাংশনগুলি স্বয়ংক্রিয়ভাবে এর সমস্ত উপসেটগুলির সাথে বাইজেকশনে থাকে না। সুতরাং গঠনমূলকভাবে, উপসেটগুলি চরিত্রগত ফাংশনের চেয়ে আরও বিস্তৃত ধারণা। প্রকৃতপক্ষে, সিজেডএফ-এর উপরে কিছু অ-ধ্রুপদী স্বতঃসিদ্ধির প্রসঙ্গে, এমনকি একটি সিঙ্গলটনের শক্তি শ্রেণী, যেমন। এর সমস্ত উপসেটগুলির শ্রেণীকে একটি যথাযথ শ্রেণী হিসাবে দেখানো হয়েছে। নীচের পাওয়ার ক্লাসগুলিতে, এই সত্যটি ব্যবহার করা হয়েছে যে নেতিবাচক ভূমিকা আইনের বিশেষ ক্ষেত্রে বোঝায় যে এটি পরস্পরবিরোধী। সহজভাবে যুক্তিটির জন্য, ধরে নিন এটি একটি সেট। তারপর একটি উপসেট এবং একটি ফাংশন বিবেচনা করুন। উপরন্তু, শক্তি সেট সম্পর্কে ক্যান্টরের উপপাদ্যের মতো, কোথায় সংজ্ঞায়িত করুন, এটি নির্ভরশীলতায় সংজ্ঞায়িত একটি উপশ্রেণী এবং এটিও লেখা যেতে পারে এটি পৃথকীকরণের মাধ্যমে উপসেট হিসাবে বিদ্যমান। এখন ধরে নেওয়া যায় যে একটি সংখ্যা রয়েছে যার সাথে দ্বন্দ্ব বোঝায় তাই একটি সেট হিসাবে, কেউ খুঁজে পায় যে-উত্পাদনশীল যাতে আমরা যে কোনও প্রদত্ত উদ্বৃত্তের জন্য একটি বাধা সংজ্ঞায়িত করতে পারি। এছাড়াও মনে রাখবেন যে সিজেডএফ-এ প্রতিস্থাপনের মাধ্যমে একটি উদ্বৃত্তের অস্তিত্ব স্বয়ংক্রিয়ভাবে একটি সেট তৈরি করবে এবং তাই এই ফাংশনের অস্তিত্ব নিঃশর্তভাবে অসম্ভব। আমরা উপসংহারে পৌঁছেছি যে উপগণনাযোগ্য স্বতঃসিদ্ধ, সমস্ত সেটকে উপগণনাযোগ্য বলে দাবি করে, একটি সেট হওয়ার সাথে অসঙ্গতিপূর্ণ, যেমন। পাওয়ার সেট স্বতঃসিদ্ধ দ্বারা। উপরের প্রমাণ অনুসরণ করলে এটা স্পষ্ট হয়ে যায় যে, আমরা শুধু দুটোর মধ্যে একটিরও মানচিত্র তৈরি করতে পারি না। সীমাবদ্ধ পৃথকীকরণ প্রকৃতপক্ষে বোঝায় যে কোনও সেটের উপর কোনও মানচিত্র নেই। সম্পর্কিতভাবে, যে কোনও ফাংশনের জন্য, তার পরিসরের উপসেট ব্যবহার করে একটি অনুরূপ বিশ্লেষণ দেখায় যে এটি একটি ইনজেকশন হতে পারে না। ফাংশন স্পেসের জন্য পরিস্থিতি আরও জটিল। পাওয়ারসেট বা তার সমতুল্য ছাড়া ধ্রুপদী জেডএফসি-তে, এটিও সামঞ্জস্যপূর্ণ যে বাস্তব সেটগুলির সমস্ত উপশ্রেণীগুলি উপগণনাযোগ্য। সেই প্রসঙ্গে, এটি এই বিবৃতিতে অনুবাদ করে যে বাস্তব সংখ্যার সমস্ত সেট গণনাযোগ্য। অবশ্যই, সেই তত্ত্বের ফাংশন স্পেস সেট নেই। ফাংশন স্পেসের সংজ্ঞা অনুসারে, সেটটি সেটের সেই উপসেটগুলি ধারণ করে যা মোট এবং কার্যকরী। সমস্ত সেটের অনুমোদিত উপগণনাযোগ্যতা জোর দেওয়া, বিশেষত, একটি উপগণনাযোগ্য সেটে পরিণত হয়। সুতরাং এখানে আমরা একটি সার্জেক্টিভ ফাংশন এবং পৃথকের উপসেটকে তির্যক প্রেডিকেট হিসাবে সংজ্ঞায়িত হিসাবে বিবেচনা করি যা আমরা নেতিবাচকতা ছাড়াই বাক্যাংশ করতে পারি কারণ এই সেটটি শাস্ত্রীয়ভাবে প্রমাণযোগ্যভাবে একটি ফাংশন, যা নির্দিষ্ট ইনপুটগুলির জন্য মান নেওয়ার জন্য ডিজাইন করা হয়েছে। এবং এটি ধ্রুপদীভাবে প্রমাণ করতে ব্যবহার করা যেতে পারে যে একটি উদ্বেগের অস্তিত্ব আসলে পরস্পরবিরোধী। যাইহোক, গঠনমূলকভাবে, যদি না এর সংজ্ঞায় প্রস্তাবটি নির্ণায়ক হয় যাতে সেটটি আসলে একটি কার্যকরী অ্যাসাইনমেন্টকে সংজ্ঞায়িত করে, আমরা এই সেটটিকে ফাংশন স্পেসের সদস্য হিসাবে প্রমাণ করতে পারি না। এবং তাই আমরা শাস্ত্রীয় উপসংহার আঁকতে পারি না। এই পদ্ধতিতে, উপগণনার অনুমতি দেওয়া হয়, এবং প্রকৃতপক্ষে তত্ত্বের মডেল বিদ্যমান। তা সত্ত্বেও, সি. জেড. এফ-এর ক্ষেত্রেও, ডোমেন সহ একটি সম্পূর্ণ উদ্বৃত্তের অস্তিত্ব প্রকৃতপক্ষে পরস্পরবিরোধী। এর নির্ণায়ক সদস্যপদ সেটটিকেও গণনাযোগ্য করে তোলে, অর্থাৎ। অগণিত। এই পর্যবেক্ষণগুলি ছাড়াও, আরও লক্ষ্য করুন যে কোনও অ-শূন্য সংখ্যার জন্য, উদ্বৃত্তের সাথে জড়িত ফাংশনগুলি অনুরূপ দ্বন্দ্ব যুক্তি দ্বারা সকলের কাছে প্রসারিত করা যায় না। এটি এই বলে প্রকাশ করা যেতে পারে যে তখন আংশিক ফাংশন রয়েছে যা পূর্ণ ফাংশনে প্রসারিত করা যায় না। লক্ষ্য করুন যে যখন a দেওয়া হয়, তখন কেউ অগত্যা সিদ্ধান্ত নিতে পারে না, এবং তাই কেউ এমনকি সিদ্ধান্ত নিতে পারে না যে একটি সম্ভাব্য ফাংশন এক্সটেনশনের মান ইতিমধ্যে পূর্বের বৈশিষ্ট্যযুক্ত উদ্বৃত্তের জন্য নির্ধারিত হয়েছে কিনা। উপগণনাযোগ্য স্বতঃসিদ্ধ, সমস্ত সেটকে উপগণনাযোগ্য বলে দাবি করে, এলইএম সহ গণনাযোগ্য যে কোনও নতুন স্বতঃসিদ্ধের সাথে অসঙ্গতিপূর্ণ। মডেল উপরের বিশ্লেষণ কোডিং-এর আনুষ্ঠানিক বৈশিষ্ট্যগুলিকে প্রভাবিত করে। উপগণনাযোগ্য স্বীকার্য দ্বারা সিজেডএফ তত্ত্বের অ-ধ্রুপদী সম্প্রসারণের জন্য মডেল তৈরি করা হয়েছে। এই ধরনের অ-গঠনমূলক স্বতঃসিদ্ধগুলিকে পছন্দের নীতি হিসাবে দেখা যেতে পারে যা তত্ত্বগুলির প্রমাণ-তাত্ত্বিক শক্তি খুব বেশি বৃদ্ধি করে না। আই. জেড. এফ-এর মডেল রয়েছে যেখানে বিচ্ছিন্নতা সম্পর্ক সহ সমস্ত সেট উপগণনাযোগ্য। সিজেডএফ-এর একটি মডেল রয়েছে, উদাহরণস্বরূপ, মার্টিন-লোফ টাইপ তত্ত্ব। ধ্রুপদীভাবে অগণিত ফাংশন স্পেস সহ এই গঠনমূলক সেট তত্ত্বে, প্রতিটি সেট উপগণনাযোগ্য বলে উপগণনাযোগ্য স্বতঃসিদ্ধ দাবি করা প্রকৃতপক্ষে সামঞ্জস্যপূর্ণ। যেমন আলোচনা করা হয়েছে, ফলস্বরূপ তত্ত্বটি পাওয়ার সেটের স্বতঃসিদ্ধ এবং বাদ দেওয়া মধ্যের আইনের সাথে সাংঘর্ষিক। আরও শক্তিশালী, ক্রিপকে-প্লাটেক সেট তত্ত্বের কিছু মডেল, ফাংশন স্পেস পোস্টুলেট ছাড়া একটি তত্ত্ব, এমনকি সমস্ত সেট গণনাযোগ্য বলে বৈধ করে। ছোট আকারের বিচার হিসাবে আকারের উপগণনার ধারণাকে ক্যান্টর দ্বারা সংজ্ঞায়িত কার্ডিনালিটি সম্পর্কের মানক গাণিতিক সংজ্ঞার সাথে মিলিত করা হবে না, ছোট কার্ডিনালিটি ইনজেকশন এবং কার্ডিনালিটিগুলির সমতার ক্ষেত্রে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে। গঠনমূলকভাবে, সেটের শ্রেণীতে "প্রি-অর্ডার" নির্ণায়ক এবং প্রতিসম হতে ব্যর্থ হয়। একটি মাঝারি সমৃদ্ধ সেট তত্ত্বে ফাংশন স্পেস (এবং এছাড়াও) সর্বদা ক্যান্টরের তির্যক যুক্তি দ্বারা সীমাবদ্ধ বা বাইজেকশনে পাওয়া যায় না। এর অর্থ অগণিত হওয়া। কিন্তু এই যুক্তি যে সেই সেটের কার্ডিনালিটি কিছু অর্থে প্রাকৃতিক সংখ্যার চেয়ে বেশি হবে তা কেবল ধ্রুপদী আকারের ধারণা এবং কার্ডিনালিটি দ্বারা সেটগুলির প্ররোচিত ক্রমের সীমাবদ্ধতার উপর নির্ভর করে। গণনাযোগ্যতা তত্ত্বে বিবেচিত ফাংশন স্পেসের উদাহরণে যেমন দেখা যায়, অপরিহার্যভাবে প্রতিটি অসীম উপসেট গঠনমূলক বাইজেকশনে থাকে না, এইভাবে গঠনমূলক প্রসঙ্গে অগণিত সেটগুলির মধ্যে আরও পরিমার্জিত পার্থক্যের জন্য জায়গা করে দেয়। উপরের বিভাগগুলি দ্বারা অনুপ্রাণিত হয়ে, অসীম সেটটিকে ক্লাসের চেয়ে "ছোট" হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে। সম্পর্কিত বৈশিষ্ট্য একটি উপগণনাযোগ্য সেটকে বিকল্পভাবে উপগণনাযোগ্য সূচকও বলা হয়। অনুরূপ ধারণাটি বিদ্যমান যেখানে সংজ্ঞায় "" একটি সেটের অস্তিত্ব দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয় যা কিছু সীমাবদ্ধ সেটের একটি উপসেট। এই বৈশিষ্ট্যটিকে বিভিন্নভাবে উপ-চূড়ান্তভাবে সূচীভুক্ত বলা হয়। বিভাগ তত্ত্বে এই সমস্ত ধারণাগুলি উপসম্পাদকীয়। আরও দেখুন ক্যান্টরের তির্যক যুক্তি গণনাযোগ্য ফাংশন গঠনমূলক সেট তত্ত্ব শ্রোডার-বার্নস্টাইন উপপাদ্য মোট ক্রম রেফারেন্স গঠনবাদ (গণিত)