Paradoxes of set theory
এই নিবন্ধে সেট তত্ত্বের বৈপরীত্য নিয়ে আলোচনা করা হয়েছে। বেশিরভাগ গাণিতিক প্যারাডক্সের মতো, তারা সাধারণত আধুনিক স্বতঃসিদ্ধ সেট তত্ত্বের মধ্যে প্রকৃত যৌক্তিক দ্বন্দ্বের পরিবর্তে বিস্ময়কর এবং বিপরীত-স্বজ্ঞাত গাণিতিক ফলাফল প্রকাশ করে। মূল বিষয়গুলি কার্ডিনাল সংখ্যা সেট তত্ত্ব যা জর্জ ক্যান্টর কল্পনা করেছিলেন তা অসীম সেটের অস্তিত্ব অনুমান করে। যেহেতু এই অনুমানটি প্রথম নীতিগুলি থেকে প্রমাণ করা যায় না, তাই এটি অসীমের স্বতঃসিদ্ধ দ্বারা স্বতঃসিদ্ধ সেট তত্ত্বে প্রবর্তিত হয়েছে, যা প্রাকৃতিক সংখ্যার সেট এন-এর অস্তিত্বকে দাবি করে। প্রাকৃতিক সংখ্যা দ্বারা গণনা করা যেতে পারে এমন প্রতিটি অসীম সেটের আকার (কার্ডিনালিটি) এন-এর সমান এবং এটিকে গণনাযোগ্য বলা হয়। গণনাযোগ্য অসীম সেটের উদাহরণ হল স্বাভাবিক সংখ্যা, জোড় সংখ্যা, মৌলিক সংখ্যা এবং সমস্ত মূলদ সংখ্যা, অর্থাৎ ভগ্নাংশ। এই সেটগুলির সাধারণ কার্ডিনাল সংখ্যা |N। = (আলেফ-নট) রয়েছে, যা প্রতিটি প্রাকৃতিক সংখ্যার চেয়ে বড় একটি সংখ্যা। কার্ডিনাল সংখ্যা নিম্নরূপ সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। একই আকারের জন্য দুটি সেটকে সংজ্ঞায়িত করুনঃ দুটি সেটের মধ্যে একটি বাইজেকশন রয়েছে (উপাদানগুলির মধ্যে এক-থেকে-এক যোগাযোগ)। তারপর একটি মূল সংখ্যা হল, সংজ্ঞা অনুসারে, একটি শ্রেণী যা একই আকারের সমস্ত সেট নিয়ে গঠিত। একই আকার থাকা একটি সমতুল্য সম্পর্ক, এবং মূল সংখ্যাগুলি সমতুল্য শ্রেণী। অর্ডিনাল সংখ্যা কার্ডিনালিটি ছাড়াও, যা একটি সেটের আকার বর্ণনা করে, অর্ডার করা সেটগুলিও সেট তত্ত্বের একটি বিষয় গঠন করে। পছন্দের স্বতঃসিদ্ধ গ্যারান্টি দেয় যে প্রতিটি সেট ভালভাবে অর্ডার করা যেতে পারে, যার অর্থ হল এর উপাদানগুলির উপর একটি মোট ক্রম আরোপ করা যেতে পারে যাতে প্রতিটি নন-এম্প্টি উপসেটের সেই ক্রমের সাথে সম্পর্কিত একটি প্রথম উপাদান থাকে। একটি সুশৃঙ্খল সেটের ক্রম একটি ক্রমিক সংখ্যা দ্বারা বর্ণনা করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, 3 হল সাধারণ ক্রম 0 <1 <2 সহ সেট {0,1,2}-এর ক্রমিক সংখ্যা; এবং ω হল স্বাভাবিক পদ্ধতিতে ক্রমবদ্ধ সমস্ত প্রাকৃতিক সংখ্যার সেটের ক্রমিক সংখ্যা। ক্রমটিকে উপেক্ষা করে, আমাদের কাছে কার্ডিনাল নম্বর |N। = |ω। = থাকে। কার্ডিনাল সংখ্যার জন্য ব্যবহৃত একই পদ্ধতিতে অর্ডিনাল সংখ্যাকে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। একই অর্ডার টাইপের জন্য দুটি সুশৃঙ্খল সেটকে সংজ্ঞায়িত করুনঃ অর্ডারের সাপেক্ষে দুটি সেটের মধ্যে একটি বাইজেকশন রয়েছেঃ ছোট উপাদানগুলি ছোট উপাদানগুলিতে ম্যাপ করা হয়। তারপর একটি ক্রমিক সংখ্যা হল, সংজ্ঞা অনুসারে, একটি শ্রেণী যা একই ক্রমের সমস্ত সুশৃঙ্খল সেট নিয়ে গঠিত। একই ক্রমের ধরন থাকা হল সুশৃঙ্খল সেটের শ্রেণীতে একটি সমতুল্য সম্পর্ক, এবং ক্রমিক সংখ্যাগুলি হল সমতুল্য শ্রেণী। একই অর্ডার টাইপের দুটি সেটের একই কার্ডিনালিটি রয়েছে। বিপরীতটি অসীম সেটগুলির জন্য সাধারণভাবে সত্য নয়ঃ প্রাকৃতিক সংখ্যার সেটের উপর বিভিন্ন সুশৃঙ্খল ক্রম আরোপ করা সম্ভব যা বিভিন্ন ক্রমিক সংখ্যার জন্ম দেয়। অর্ডিনালগুলিতে একটি স্বাভাবিক অর্ডার রয়েছে, যা নিজেই একটি ভাল অর্ডারিং। যে কোনও অর্ডিনাল α দেওয়া হলে, α এর চেয়ে কম সমস্ত অর্ডিনালের সেট বিবেচনা করা যেতে পারে। এই সেটটিতে ক্রমিক সংখ্যা α রয়েছে। এই পর্যবেক্ষণটি অর্ডিনাল প্রবর্তনের একটি ভিন্ন পদ্ধতির জন্য ব্যবহৃত হয়, যেখানে একটি অর্ডিনালকে সমস্ত ছোট অর্ডিনালের সেটের সাথে সমান করা হয়। এইভাবে ক্রমিক সংখ্যার এই রূপটি সমতুল্য শ্রেণীর পূর্ববর্তী রূপের একটি প্রামাণিক প্রতিনিধি। একটি সেট এস-এর সমস্ত উপসেট তৈরি করে (এর উপাদানগুলির সমস্ত সম্ভাব্য পছন্দ), আমরা পাওয়ার সেট পি (এস) পাই। জর্জ ক্যান্টর প্রমাণ করেছেন যে পাওয়ার সেটটি সর্বদা সেটের চেয়ে বড় হয়, অর্থাৎ, |P (S)।> |S। ক্যান্টরের উপপাদ্যের একটি বিশেষ উদাহরণ প্রমাণ করে যে সমস্ত বাস্তব সংখ্যা আর-এর সেট প্রাকৃতিক সংখ্যা দ্বারা গণনা করা যায় না। আর অগণিত হয়ঃ |R।> |N।। অসীম সেটগুলির প্যারাডক্সগুলি "যা বড় করা যায় না" বা "সীমা ছাড়াই বৃদ্ধি" এর মতো দ্ব্যর্থহীন বর্ণনার উপর নির্ভর করার পরিবর্তে, সেট তত্ত্ব অসীম সেট শব্দটির সংজ্ঞা প্রদান করে যা "সমস্ত প্রাকৃতিক সংখ্যার সেট অসীম" এর মতো বাক্যাংশগুলিকে একটি দ্ব্যর্থহীন অর্থ দেয়। সসীম সেটগুলির মতো, তত্ত্বটি আরও সংজ্ঞা তৈরি করে যা আমাদের ধারাবাহিকভাবে দুটি অসীম সেটের তুলনা করার অনুমতি দেয় যে একটি সেট "বড়", "ছোট", বা "একই আকার" অন্যটির সাথে। কিন্তু সসীম সেটের আকার সম্পর্কিত প্রতিটি অন্তর্দৃষ্টি অসীম সেটের আকারের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য নয়, যা গণনা, আকার, পরিমাপ এবং ক্রম সম্পর্কিত বিভিন্ন আপাতদৃষ্টিতে বৈপরীত্যপূর্ণ ফলাফলের দিকে পরিচালিত করে। গণনার প্যারাডক্স সেট তত্ত্ব প্রবর্তনের আগে, একটি সেটের আকারের ধারণা সমস্যাযুক্ত ছিল। গ্যালিলিও গ্যালিলি এবং বার্নার্ড বলজানো অন্যদের মধ্যে এটি নিয়ে আলোচনা করেছিলেন। গণনার পদ্ধতি দ্বারা পরিমাপ করলে প্রাকৃতিক সংখ্যার বর্গের সমান প্রাকৃতিক সংখ্যা কি থাকে? উত্তরটি হ্যাঁ, কারণ প্রতিটি স্বাভাবিক সংখ্যা n-এর জন্য একটি বর্গ সংখ্যা n2 রয়েছে, এবং একইভাবে বিপরীত দিকে। উত্তর হল না, কারণ বর্গগুলি প্রাকৃতিক সংখ্যার একটি যথাযথ উপসেটঃ প্রতিটি বর্গ একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা কিন্তু 2-এর মতো প্রাকৃতিক সংখ্যা রয়েছে, যা প্রাকৃতিক সংখ্যার বর্গ নয়। একটি সেটের আকারের ধারণাকে তার প্রধানত্বের পরিপ্রেক্ষিতে সংজ্ঞায়িত করে, সমস্যাটি নিষ্পত্তি করা যেতে পারে। যেহেতু জড়িত দুটি সেটের মধ্যে একটি বাইজেকশন রয়েছে, এটি আসলে একটি সেটের কার্ডিনালিটির সংজ্ঞা থেকে সরাসরি অনুসরণ করে। গণনার প্যারাডক্স সম্পর্কে আরও জানতে হিলবার্টের প্যারাডক্স অফ দ্য গ্র্যান্ড হোটেল দেখুন। "আমি এটা দেখতে পাচ্ছি কিন্তু আমি বিশ্বাস করি না", ক্যান্টর রিচার্ড ডেডেকিন্ডকে লিখেছিলেন প্রমাণ করার পরে যে একটি বর্গক্ষেত্রের বিন্দুর সেটের বর্গক্ষেত্রের কেবল একটি প্রান্তের পয়েন্টগুলির মতো একই কার্ডিনালিটি রয়েছেঃ ধারাবাহিকতার কার্ডিনালিটি। এটি দেখায় যে শুধুমাত্র কার্ডিনালিটি দ্বারা সংজ্ঞায়িত সেটগুলির "আকার" সেটগুলির তুলনা করার একমাত্র কার্যকর উপায় নয়। পরিমাপ তত্ত্ব আকারের একটি আরও সূক্ষ্ম তত্ত্ব প্রদান করে যা আমাদের অন্তর্দৃষ্টির সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ যে দৈর্ঘ্য এবং এলাকা আকারের অসঙ্গতিপূর্ণ পরিমাপ। প্রমাণগুলি দৃঢ়ভাবে ইঙ্গিত করে যে ক্যান্টর ফলাফলের প্রতি বেশ আত্মবিশ্বাসী ছিলেন এবং ডেডেকিন্ডের কাছে তাঁর মন্তব্য তার প্রমাণের বৈধতা সম্পর্কে তাঁর তৎকালীন-এখনও-অস্পষ্ট উদ্বেগের দিকে ইঙ্গিত করে। তা সত্ত্বেও, ক্যান্টরের মন্তব্যটি বিস্ময় প্রকাশ করার জন্যও ভাল কাজ করবে যে তাঁর পরে অনেক গণিতবিদ প্রথমবার এমন একটি ফলাফলের মুখোমুখি হয়েছেন যা এতটাই বিপরীত-স্বজ্ঞাত। 1904 সালে আর্নস্ট জেরমেলো পছন্দের স্বতঃসিদ্ধির মাধ্যমে প্রমাণ করেছিলেন যে প্রতিটি সেটকে ভালভাবে অর্ডার করা যেতে পারে। 1963 সালে পল জে কোহেন দেখিয়েছিলেন যে জার্মেলো-ফ্রেঙ্কেল সেট তত্ত্বে পছন্দের স্বতঃসিদ্ধ ছাড়া বাস্তব সংখ্যার একটি সুশৃঙ্খল ক্রমের অস্তিত্ব প্রমাণ করা সম্ভব নয়। যাইহোক, যে কোনও সেটকে ভালভাবে অর্ডার করার ক্ষমতা নির্দিষ্ট কিছু নির্মাণ সম্পাদন করার অনুমতি দেয় যাকে প্যারাডক্সিকাল বলা হয়। একটি উদাহরণ হল বানাচ-টারস্কি প্যারাডক্স, একটি উপপাদ্য যা ব্যাপকভাবে অ-স্বজ্ঞাত হিসাবে বিবেচিত হয়। এতে বলা হয়েছে যে একটি নির্দিষ্ট ব্যাসার্ধের বলকে সীমিত সংখ্যক টুকরোতে বিভক্ত করা এবং তারপরে একটি মূল অনুলিপি থেকে দুটি অনুলিপি পাওয়ার জন্য সাধারণ অনুবাদ এবং আবর্তনের মাধ্যমে (কোনও স্কেলিং ছাড়াই) সেই টুকরোগুলি সরানো এবং পুনরায় একত্রিত করা সম্ভব। এই টুকরোগুলির নির্মাণের জন্য পছন্দের স্বতঃসিদ্ধ প্রয়োজন; টুকরোগুলি বলের সহজ অঞ্চল নয়, বরং জটিল উপসেট। সুপারটাস্কের প্যারাডক্স সেট তত্ত্বে, একটি অসীম সেটকে কোনও গাণিতিক প্রক্রিয়া দ্বারা তৈরি বলে মনে করা হয় না যেমন "একটি উপাদান যোগ করা" যা পরে "অসীম সংখ্যক বার" করা হয়। পরিবর্তে, একটি নির্দিষ্ট অসীম সেট (যেমন সমস্ত প্রাকৃতিক সংখ্যার সেট) একটি অনুমান বা স্বতঃসিদ্ধ হিসাবে "ফিয়াট দ্বারা" ইতিমধ্যে বিদ্যমান বলে মনে করা হয়। এই অসীম সেটটি দেওয়া হলে, অন্যান্য অসীম সেটগুলিও একটি যৌক্তিক পরিণতি হিসাবে বিদ্যমান বলে প্রমাণিত হয়। কিন্তু এখনও এমন কিছু শারীরিক ক্রিয়া নিয়ে চিন্তা করা একটি স্বাভাবিক দার্শনিক প্রশ্ন যা প্রকৃতপক্ষে অসীম সংখ্যক বিচ্ছিন্ন পদক্ষেপের পরে সম্পন্ন হয়; এবং সেট তত্ত্ব ব্যবহার করে এই প্রশ্নের ব্যাখ্যা সুপারটাস্কের বৈপরীত্যের জন্ম দেয়। লরেন্স স্টার্নের একটি উপন্যাসের নায়ক ত্রিস্ট্রাম শ্যান্ডি ত্রিস্ট্রাম শ্যান্ডির ডায়েরি তাঁর আত্মজীবনী এতটাই বিবেকবুদ্ধির সঙ্গে লেখে যে, একদিনের ঘটনাগুলি তুলে ধরতে তাঁর এক বছর সময় লাগে। তিনি যদি মরণশীল হন তবে তিনি কখনই অবসান ঘটাতে পারবেন না; কিন্তু তিনি যদি চিরকাল বেঁচে থাকেন তবে তাঁর ডায়েরির কোনও অংশই অলিখিত থাকবে না, কারণ তাঁর জীবনের প্রতিটি দিন সেই দিনের বর্ণনার সাথে নিবেদিত একটি বছর মিলবে। রস-লিটলউড প্যারাডক্স এই ধরনের প্যারাডক্সের একটি বর্ধিত সংস্করণ অসীম দূরবর্তী সমাপ্তিকে একটি সীমাবদ্ধ সময়ে স্থানান্তরিত করে। 1 থেকে 10 নম্বর দ্বারা গণনা করা বল দিয়ে একটি বিশাল জলাধার পূরণ করুন এবং 1 নম্বর বলটি তুলে নিন। তারপর 11 থেকে 20 নম্বর দ্বারা গণনা করা বলগুলি যোগ করুন এবং 2 নম্বরটি তুলে নিন। 10n-9 থেকে 10n সংখ্যা দ্বারা গণনা করা বল যোগ করতে থাকুন এবং সমস্ত প্রাকৃতিক সংখ্যা n = 3,4,5 এর জন্য বল নম্বর n সরিয়ে ফেলুন। প্রথম লেনদেনটি আধ ঘন্টা স্থায়ী হোক, দ্বিতীয় লেনদেনটি এক ঘন্টা চতুর্থাংশ স্থায়ী হোক, এবং আরও অনেক কিছু, যাতে সমস্ত লেনদেন এক ঘন্টা পরে শেষ হয়। স্পষ্টতই জলাশয়ে বলের সেট কোনও বাঁধা ছাড়াই বৃদ্ধি পায়। তা সত্ত্বেও, এক ঘন্টা পরে জলাধারটি খালি থাকে কারণ প্রতিটি বলের জন্য অপসারণের সময় জানা থাকে। অপসারণ ক্রমের তাৎপর্য দ্বারা প্যারাডক্স আরও বৃদ্ধি পায়। যদি বলগুলি 1,2,3 ক্রমানুসারে না সরানো হয়, তবে 1,11,21 ক্রমানুসারে... এক ঘন্টা পরে অসীম সংখ্যক বল জলাধারকে জনবহুল করে তোলে, যদিও আগের মতো একই পরিমাণ উপাদান সরানো হয়েছে। প্রমাণ এবং নির্দিষ্টকরণের বৈপরীত্য অসীম সেট সম্পর্কিত প্রশ্ন সমাধানে এর সমস্ত উপযোগিতার জন্য, সরল সেট তত্ত্বের কিছু মারাত্মক ত্রুটি রয়েছে। বিশেষত, এটি রাসেলের প্যারাডক্স দ্বারা প্রকাশিত যৌক্তিক প্যারাডক্সের শিকার। এই প্যারাডক্সগুলির আবিষ্কার থেকে জানা যায় যে সরল সেট তত্ত্বের ভাষায় বর্ণনা করা যেতে পারে এমন সমস্ত সেটকে আসলে কোনও দ্বন্দ্ব তৈরি না করে বিদ্যমান বলা যায় না। বিংশ শতাব্দী আজ সাধারণ ব্যবহারে জেডএফসি এবং এনবিজির মতো সেট তত্ত্বগুলির বিভিন্ন স্বতঃসিদ্ধকরণের বিকাশে এই প্যারাডক্সগুলির একটি সমাধান দেখেছিল। যাইহোক, এই তত্ত্বগুলির খুব আনুষ্ঠানিক এবং প্রতীকী ভাষার মধ্যে ব্যবধান এবং আমাদের গাণিতিক ভাষার সাধারণ অনানুষ্ঠানিক ব্যবহারের ফলে বিভিন্ন বৈপরীত্যপূর্ণ পরিস্থিতি তৈরি হয়, পাশাপাশি এই ধরনের আনুষ্ঠানিক ব্যবস্থাগুলি আসলে কী নিয়ে কথা বলার প্রস্তাব দেয় তার দার্শনিক প্রশ্নও তৈরি হয়। প্রারম্ভিক প্যারাডক্সঃ সমস্ত সেটের সেট 1897 সালে ইতালীয় গণিতবিদ সিজার বুরালি-ফোর্টি আবিষ্কার করেছিলেন যে সমস্ত ক্রমিক সংখ্যা সম্বলিত কোনও সেট নেই। যেহেতু প্রতিটি অর্ডিনাল সংখ্যাকে ছোট অর্ডিনাল সংখ্যার একটি সেট দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়, তাই সমস্ত অর্ডিনাল সংখ্যার (যদি এটি বিদ্যমান থাকে) সুশৃঙ্খল সেট ω সংজ্ঞাটির সাথে খাপ খায় এবং এটি নিজেই একটি অর্ডিনাল। অন্যদিকে, কোনও ক্রমিক সংখ্যা নিজেকে ধারণ করতে পারে না, তাই ω একটি ক্রমিক হতে পারে না। অতএব, সমস্ত ক্রমিক সংখ্যার সেট বিদ্যমান থাকতে পারে না। ঊনবিংশ শতাব্দীর শেষের দিকে ক্যান্টর সমস্ত মৌলিক সংখ্যার সেট এবং সমস্ত ক্রমিক সংখ্যার সেটের অস্তিত্ব সম্পর্কে সচেতন ছিলেন। ডেভিড হিলবার্ট এবং রিচার্ড ডেডেকিন্ডকে লেখা চিঠিতে তিনি অসঙ্গতিপূর্ণ সেট সম্পর্কে লিখেছিলেন, যার উপাদানগুলি একসাথে বলে মনে করা যায় না এবং তিনি এই ফলাফলটি প্রমাণ করতে ব্যবহার করেছিলেন যে প্রতিটি সামঞ্জস্যপূর্ণ সেটের একটি মূল সংখ্যা রয়েছে। এই সব কিছুর পরে, 1903 সালে বার্ট্রান্ড রাসেল দ্বারা পরিকল্পিত "সমস্ত সেটের সেট" প্যারাডক্সের সংস্করণ সেট তত্ত্বের ক্ষেত্রে একটি গুরুতর সঙ্কটের সৃষ্টি করে। রাসেল স্বীকার করেছেন যে x = x বিবৃতিটি প্রতিটি সেটের জন্য সত্য, এবং এইভাবে সমস্ত সেটের সেটটি {x। x = x} দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়। 1906 সালে তিনি বেশ কয়েকটি প্যারাডক্স সেট তৈরি করেছিলেন, যার মধ্যে সবচেয়ে বিখ্যাত হল সমস্ত সেটের সেট যা নিজেদের ধারণ করে না। রাসেল নিজেই কিছু সুনির্দিষ্ট ছবির মাধ্যমে এই বিমূর্ত ধারণাটি ব্যাখ্যা করেছিলেন। একটি উদাহরণ, যা নাপিত প্যারাডক্স নামে পরিচিত, বলেঃ যে পুরুষ নাপিত সমস্ত এবং কেবল পুরুষদেরই শেভ করেন যারা নিজেদের শেভ করেন না, কেবল তখনই নিজেকে শেভ করতে হয় যদি তিনি নিজেকে শেভ না করেন। সেট তত্ত্বে রাসেলের প্যারাডক্স এবং গ্রেলিং-নেলসন প্যারাডক্সের মধ্যে ঘনিষ্ঠ মিল রয়েছে, যা প্রাকৃতিক ভাষায় একটি প্যারাডক্স প্রদর্শন করে। ভাষা পরিবর্তনের দ্বারা প্যারাডক্স কনিগের প্যারাডক্স 1905 সালে, হাঙ্গেরিয়ান গণিতবিদ জুলিয়াস কনিগ এই সত্যের উপর ভিত্তি করে একটি প্যারাডক্স প্রকাশ করেছিলেন যে কেবলমাত্র অনেকগুলি সীমাবদ্ধ সংজ্ঞা রয়েছে। যদি আমরা বাস্তব সংখ্যাগুলিকে একটি সুশৃঙ্খল সেট হিসাবে কল্পনা করি, তবে সেই বাস্তব সংখ্যাগুলি একটি উপসেট গঠন করে যা সীমাবদ্ধভাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। সুতরাং এই সুশৃঙ্খল ক্রমে একটি প্রথম বাস্তব সংখ্যা থাকা উচিত যা নির্দিষ্টভাবে সংজ্ঞায়িত করা যায় না। এটি বৈপরীত্যপূর্ণ, কারণ এই বাস্তব সংখ্যাটি শেষ বাক্য দ্বারা সীমাবদ্ধভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে। এটি সরল সেট তত্ত্বের মধ্যে একটি দ্বন্দ্বের দিকে পরিচালিত করে। স্বতঃসিদ্ধ সেট তত্ত্বে এই প্যারাডক্স এড়ানো হয়। যদিও একটি সেট সম্পর্কে একটি প্রস্তাবকে একটি সেট হিসাবে উপস্থাপন করা সম্ভব, গোডেল সংখ্যা নামে পরিচিত কোডগুলির একটি সিস্টেম দ্বারা, সেট তত্ত্বের ভাষায় এমন কোনও সূত্র নেই যা ঠিক কখন একটি সেট সম্পর্কে একটি সীমাবদ্ধ প্রস্তাবের জন্য একটি কোড ধারণ করে, একটি সেট, এবং এর জন্য ধারণ করে। এই ফলাফলটি তারস্কির অনির্দিষ্টতা উপপাদ্য হিসাবে পরিচিত; এটি সেট তত্ত্বের সমস্ত সাধারণভাবে অধ্যয়ন করা স্বতঃসিদ্ধকরণ সহ আনুষ্ঠানিক ব্যবস্থার একটি বিস্তৃত শ্রেণীর ক্ষেত্রে প্রযোজ্য। রিচার্ডের প্যারাডক্স একই বছরে ফরাসি গণিতবিদ জুলস রিচার্ড সরল সেট তত্ত্বের আরেকটি দ্বন্দ্ব পেতে ক্যান্টরের তির্যক পদ্ধতির একটি রূপ ব্যবহার করেছিলেন। শব্দের সমস্ত সীমাবদ্ধ সমষ্টির সেট এ বিবেচনা করুন। বাস্তব সংখ্যার সমস্ত সসীম সংজ্ঞার সেট E হল A-এর একটি উপসেট। যেমন A গণনাযোগ্য, তেমনি E. ধরা যাক P হল সেট E দ্বারা সংজ্ঞায়িত nতম বাস্তব সংখ্যার nতম দশমিক; আমরা একটি সংখ্যা N গঠন করি যার অবিচ্ছেদ্য অংশের জন্য শূন্য এবং nতম দশমিকের জন্য p + 1 থাকে যদি p 8 বা 9 এর সমান না হয়, এবং একক যদি p 8 বা 9 এর সমান হয়। এই সংখ্যা N সেট E দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয় না কারণ এটি যে কোনও নির্দিষ্টভাবে সংজ্ঞায়িত বাস্তব সংখ্যা থেকে পৃথক, যথা n তম সংখ্যা দ্বারা n তম সংখ্যা থেকে। কিন্তু এই অনুচ্ছেদে সীমিত সংখ্যক শব্দের দ্বারা এন-কে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে। সুতরাং এটি সেট ই-তে থাকা উচিত। এটি একটি দ্বন্দ্ব। কনিগের প্যারাডক্সের মতো, এই প্যারাডক্সকে স্বতঃসিদ্ধ সেট তত্ত্বে আনুষ্ঠানিক করা যায় না কারণ এর জন্য একটি নির্দিষ্ট সেটের ক্ষেত্রে একটি বর্ণনা প্রযোজ্য কিনা তা বলার ক্ষমতা প্রয়োজন (অথবা, সমতুল্যভাবে, একটি সূত্র আসলে একটি একক সেটের সংজ্ঞা কিনা তা বলার জন্য)। জার্মান গণিতবিদ লিওপোল্ড লোয়েনহেইমের (1915) কাজের উপর ভিত্তি করে নরওয়েজিয়ান যুক্তিবিদ থোরালফ স্কোলেম 1922 সালে দেখিয়েছিলেন যে সেট তত্ত্বের মতো প্রথম-ক্রমের প্রেডিকেট ক্যালকুলাসের প্রতিটি সামঞ্জস্যপূর্ণ তত্ত্বের সর্বাধিক গণনাযোগ্য মডেল রয়েছে। যাইহোক, ক্যান্টরের উপপাদ্য প্রমাণ করে যে অগণিত সেট রয়েছে। এই প্রতীয়মান বৈপরীত্যের মূল হল যে একটি সেটের গণনাযোগ্যতা বা অ-গণনাযোগ্যতা সর্বদা পরম নয়, তবে যে মডেলে কার্ডিনালিটি পরিমাপ করা হয় তার উপর নির্ভর করতে পারে। সেট তত্ত্বের একটি মডেলে একটি সেট অগণিত হতে পারে তবে একটি বৃহত্তর মডেলে গণনাযোগ্য হতে পারে (কারণ গণনাযোগ্যতা প্রতিষ্ঠা করে এমন বাইজেকশনগুলি বৃহত্তর মডেলে থাকে তবে ছোট মডেলে নয়)। আরও দেখুন অসম্ভবতার প্রমাণ বেরি প্যারাডক্স নোটস রেফারেন্স জি. ক্যান্টরঃ গেসামেল্টে আভান্ডলুঙ্গেন ম্যাথমেটিসচেন উন্ড ফিলোসফিশেন ইনহাল্টস, ই. জেরমেলো (এড। ), ওল্মস্, হিল্ডেশেইম 1966। এইচ. মেসচকোভস্কি, ডব্লিউ. নিলসনঃ জর্জ ক্যান্টর-ব্রিফ, স্প্রিঙ্গার, বার্লিন 1991। এ. ফ্রেনকেলঃ 1923 সালে বার্লিনের স্প্রিঙ্গারের মেনগেনলেহরে। এ. এ. ফ্রেনকেল, এ। লেভিঃ অ্যাবস্ট্রাক্ট সেট থিওরি, নর্থ হল্যান্ড, আমস্টারডাম 1976। এফ. হাউসডর্ফঃ গ্রান্ডজুগে ডার মেনগেনলেহর, চেলসি, নিউ ইয়র্ক 1965। বি. রাসেলঃ দ্য প্রিন্সিপলস অফ ম্যাথমেটিক্স I, কেমব্রিজ 1903। বি. রাসেলঃ ট্রান্সফাইনাইট সংখ্যা এবং ক্রমের প্রকারের তত্ত্বের কিছু অসুবিধা সম্পর্কে, প্রোক। লন্ডন গণিত। সোস। (2) 4 (1907) 29-53। পি. জে. কোহেনঃ সেট থিওরি অ্যান্ড দ্য কন্টিনিউম হাইপোথিসিস, বেঞ্জামিন, নিউ ইয়র্ক 1966। এস. ওয়াগনঃ দ্য বানাচ-টারস্কি প্যারাডক্স, কেমব্রিজ ইউনিভার্সিটি প্রেস, কেমব্রিজ 1985। এ. এন. হোয়াইটহেড, বি. রাসেলঃ প্রিন্সিপিয়া ম্যাথমেটিকা 1, কেমব্রিজ বিশ্ববিদ্যালয়। প্রেস, কেমব্রিজ 1910, পৃ. 64। ই. জার্মেইলোঃ ম্যাথ। অ্যান। 65 (1908) পৃ. 107-128। বাহ্যিক যোগসূত্র টিমোথি গাওয়ারের প্রিন্সিপিয়া ম্যাথমেটিকা ডেফিনিবিলিটি প্যারাডক্স সেট থিওরি সেট থিওরি