Differentially closed field
গণিতে, একটি ডিফারেনশিয়াল ক্ষেত্র K-কে ডিফারেনশিয়ালভাবে বন্ধ করা হয় যদি K-কে প্রসারিত করে এমন কোনও ডিফারেনশিয়াল ক্ষেত্রে সমাধান সহ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের প্রতিটি সসীম ব্যবস্থার ইতিমধ্যে K-তে একটি সমাধান থাকে। ভিন্নভাবে বদ্ধ ক্ষেত্রগুলি বহুপদী সমীকরণের জন্য বীজগাণিতিকভাবে বদ্ধ ক্ষেত্রগুলির ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের অনুরূপ। ডিফারেনশিয়ালভাবে বন্ধ ক্ষেত্রের তত্ত্ব আমরা স্মরণ করি যে একটি ডিফারেনশিয়াল ক্ষেত্র একটি ডেরিভেশন অপারেটর দিয়ে সজ্জিত একটি ক্ষেত্র। ধরা যাক K একটি ডিফারেনশিয়াল ক্ষেত্র যার ডেরিভেশন অপারেটর ষ্ণ। x-এ একটি ডিফারেনশিয়াল পলিনোমিয়াল হল আনুষ্ঠানিক অভিব্যক্তি x, ≤x, ≤2x-এ একটি পলিনোমিয়াল. K-তে সহগ সহ। x-এ একটি অ-শূন্য ডিফারেনশিয়াল পলিনোমিয়ালের ক্রম হল বৃহত্তম n যাতে ≤nx ঘটে, অথবা −1 যদি ডিফারেনশিয়াল পলিনোমিয়ালটি একটি ধ্রুবক হয়। n ≤ 0 ক্রমের একটি ডিফারেনশিয়াল পলিনোমিয়ালের বিভাজক Sf হল ষ্ণ x-এর সাপেক্ষে f-এর ডেরিভেটিভ। K-এর ধ্রুবকের ক্ষেত্র হল a-এর উপক্ষেত্র, যার উপাদান ষ্ণুল = 0। শূন্যেতর বৈশিষ্ট্যযুক্ত p-এর একটি ডিফারেনশিয়াল ক্ষেত্র K-তে, সমস্ত pth শক্তি ধ্রুবক। এটি অনুসরণ করে যে K বা তার ধ্রুবকের ক্ষেত্রটি নিখুঁত নয়, যদি না su তুচ্ছ হয়। একটি পৃথকভাবে বন্ধ ক্ষেত্র হল একটি পৃথকভাবে নিখুঁত ডিফারেনশিয়াল ক্ষেত্র যাতে f এবং g যদি ডিফারেনশিয়াল বহুপদী হয় যেমন Sf ষ্ণুত 0 এবং g ষ্ণুত 0 এবং f-এর ক্রম g-এর চেয়ে বড় হয়, তাহলে K-তে f (x) = 0 এবং g (x) ষ্ণুত 0 সহ কিছু x থাকে। (কিছু লেখক এই শর্তটি যোগ করেছেন যে K-এর বৈশিষ্ট্য 0 রয়েছে, এই ক্ষেত্রে Sf স্বয়ংক্রিয়ভাবে অ-শূন্য এবং K স্বয়ংক্রিয়ভাবে নিখুঁত।) ডিসিএফপি হল বৈশিষ্ট্যযুক্ত পি-এর পৃথকভাবে বন্ধ ক্ষেত্রের তত্ত্ব (যেখানে পি হল 0 বা একটি মৌলিক সংখ্যা)। g = 1 এবং f যেকোনও সাধারণ পৃথকীকৃত বহুপদী গ্রহণ করলে দেখা যায় যে, যেকোনও পৃথকীকৃত বন্ধ ক্ষেত্র পৃথকভাবে বন্ধ থাকে। বৈশিষ্ট্য 0-এ এটি বোঝায় যে এটি বীজগাণিতিকভাবে বন্ধ, তবে বৈশিষ্ট্য p> 0-এ ভিন্নভাবে বন্ধ ক্ষেত্রগুলি কখনই বীজগাণিতিকভাবে বন্ধ হয় না। বীজগাণিতিকভাবে বদ্ধ ক্ষেত্রের তত্ত্বের জটিল সংখ্যার বিপরীতে, একটি ভিন্নভাবে বদ্ধ ক্ষেত্রের কোনও প্রাকৃতিক উদাহরণ নেই। যে কোনও ডিফারেনশিয়াল নিখুঁত ক্ষেত্র K-এর একটি ডিফারেনশিয়াল ক্লোজার, একটি প্রাইম মডেল এক্সটেনশন রয়েছে, যা ডিফারেনশিয়ালভাবে ক্লোজ করা থাকে। শেলাহ দেখিয়েছেন যে ডিফারেনশিয়াল ক্লোজারটি কে-এর সমরূপতা পর্যন্ত অনন্য। শেলাহ আরও দেখিয়েছেন যে চরিত্রগত 0-এর মৌলিক ডিফারেনশিয়াল ক্লোজড ক্ষেত্রটি ন্যূনতম নয়; এটি বরং একটি বিস্ময়কর ফলাফল ছিল, কারণ বীজগাণিতিকভাবে ক্লোজড ক্ষেত্রগুলির সাথে সাদৃশ্য দ্বারা কেউ যা আশা করবে তা নয়। ডিসিএফপি-র তত্ত্বটি সম্পূর্ণ এবং মডেলটি সম্পূর্ণ (পি = 0-এর জন্য এটি রবিনসন এবং পি> 0 বাই-এর জন্য দেখানো হয়েছিল)। ডিসিএফপি তত্ত্বটি বৈশিষ্ট্যযুক্ত পি-এর ডিফারেনশিয়াল ক্ষেত্রের তত্ত্বের মডেল সহচর। এটি বৈশিষ্ট্যযুক্ত পি-এর ডিফারেনশিয়াল নিখুঁত ক্ষেত্রের তত্ত্বের মডেল সমাপ্তি যদি কেউ ভাষায় একটি প্রতীক যোগ করে যা পি> 0 হলে ধ্রুবকের পি-তম মূল দেয়। বৈশিষ্ট্যযুক্ত পি> 0-এর ডিফারেনশিয়াল ক্ষেত্রের তত্ত্বের কোনও মডেল সমাপ্তি নেই এবং বৈশিষ্ট্যযুক্ত পি = 0 ডিফারেনশিয়াল নিখুঁত ক্ষেত্রের তত্ত্বের মতোই তাই এর মডেল সমাপ্তি হিসাবে ডিসিএফ0 রয়েছে। কিছু অসীম কার্ডিনালিটির পৃথকভাবে বন্ধ ক্ষেত্রের সংখ্যা κ হল 2κ; κ অগণিতের জন্য এটি দ্বারা প্রমাণিত হয়েছিল, এবং κ এর জন্য হ্রুশোভস্কি এবং সোকোলোভিচ দ্বারা গণনাযোগ্য। কোলচিন টপোলজি K মি-এর উপর কোলচিন টপোলজিকে মৌলিক বদ্ধ সেট হিসাবে m চলকের K-এর উপর ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের সেট গ্রহণ করে সংজ্ঞায়িত করা হয়। জারিস্কি টপোলজির মতো, কোলচিন টপোলজি হল নোথেরিয়ান। একটি ডি-গঠনযোগ্য সেট হল কোলচিন টপোলজিতে বদ্ধ এবং খোলা সেটগুলির একটি সসীম মিলন। সমতুল্যভাবে, একটি ডি-গঠনযোগ্য সেট হল একটি কোয়ান্টিফায়ার-মুক্ত বা পারমাণবিক সূত্রের সমাধানের সেট, যার কে-তে প্যারামিটার রয়েছে। কোয়ান্টিফায়ার নির্মূল। বীজগাণিতিকভাবে বন্ধ ক্ষেত্রের তত্ত্বের মতো, বৈশিষ্ট্য 0-এর ডিফারেনশিয়ালভাবে বন্ধ ক্ষেত্রের ডিসিএফ0 তত্ত্ব কোয়ান্টিফায়ারগুলিকে সরিয়ে দেয়। এই বিবৃতির জ্যামিতিক বিষয়বস্তু হল যে একটি ডি-গঠনযোগ্য সেটের অভিক্ষেপ ডি-গঠনযোগ্য। এটি কল্পনাগুলিকেও সরিয়ে দেয়, সম্পূর্ণ এবং মডেল সম্পূর্ণ। বৈশিষ্ট্য p> 0-এ, ডিসিএফপি তত্ত্বটি ডিফারেনশিয়াল ক্ষেত্রের ভাষায় একটি ইউনারি ফাংশন r যুক্ত করে কোয়ান্টিফায়ারগুলি সরিয়ে দেয় যা সমস্ত ধ্রুবকের pth মূল, এবং ধ্রুবক নয় এমন উপাদানগুলির উপর 0। ডিফারেনশিয়াল নলস্টেলেনস্যাটজ হিলবার্টের নলস্টেলেনস্যাটজের ডিফারেনশিয়াল বীজগণিতে ডিফারেনশিয়াল নলস্টেলেনস্যাটজ হল অ্যানালগ। একটি ডিফারেনশিয়াল আইডিয়াল বা ষ্ণ-আইডিয়াল হল একটি আইডিয়াল যা ষ্ণ-এর অধীনে বন্ধ থাকে। একটি আদর্শকে র্যাডিকাল বলা হয় যদি এতে তার উপাদানগুলির সমস্ত মূল থাকে। মনে করুন যে, কে হল 0-এর বৈশিষ্ট্যযুক্ত একটি ডিফারেনশিয়াল ক্লোজড ফিল্ড। তারপর সেইডেনবার্গের ডিফারেনশিয়াল নালস্টেলেনস্যাটজ বলে যে n ভেরিয়েবলের ডিফারেনশিয়াল পলিনোমিয়ালের রিংয়ে র্যাডিকাল ডিফারেনশিয়াল আদর্শ এবং Kn-এর ষ্ণ-বদ্ধ উপসেটগুলির মধ্যে একটি বাইজেকশন রয়েছে। এই চিঠিপত্রটি একটি ষ্ণ-বদ্ধ উপসেটকে তার উপর অদৃশ্য হয়ে যাওয়া উপাদানগুলির আদর্শের সাথে ম্যাপ করে এবং তার শূন্যের সেটের সাথে একটি আদর্শ ম্যাপ করে। বৈশিষ্ট্য 0 ব্লামে দেখা গেছে যে ডিফারেনশিয়াল ক্লোজড ফিল্ডের তত্ত্বটি ω-স্থিতিশীল এবং এর মর্লি র্যাঙ্ক ω রয়েছে। অ-শূন্য বৈশিষ্ট্যে দেখা গেছে যে ডিফারেনশিয়াল ক্লোজড ক্ষেত্রের তত্ত্ব ω-স্থিতিশীল নয়, এবং আরও সুনির্দিষ্টভাবে দেখানো হয়েছে যে এটি স্থিতিশীল কিন্তু সুপারস্ট্যাবল নয়। সংজ্ঞায়িত সেটগুলির কাঠামোঃ জিলবারের ট্রাইকোটমি নির্ণয়যোগ্যতা সমস্যা মানিন কার্নেল অ্যাপ্লিকেশন আরও দেখুন ডিফারেনশিয়াল গ্যালোইস তত্ত্ব রেফারেন্স ডিফারেনশিয়াল বীজগণিত মডেল তত্ত্ব