Tangential and normal components
গণিতে, একটি বক্ররেখার একটি বিন্দুতে একটি ভেক্টর দেওয়া হলে, সেই ভেক্টরকে দুটি ভেক্টরের সমষ্টি হিসাবে অনন্যভাবে বিচ্ছিন্ন করা যেতে পারে, একটি বক্ররেখার স্পর্শক, যাকে ভেক্টরের স্পর্শক উপাদান বলা হয় এবং অন্যটি বক্ররেখার লম্ব, যাকে ভেক্টরের স্বাভাবিক উপাদান বলা হয়। একইভাবে, একটি পৃষ্ঠের একটি বিন্দুতে একটি ভেক্টরকে একইভাবে ভেঙে ফেলা যেতে পারে। আরও সাধারণভাবে, একটি ম্যানিফোল্ড এম-এর একটি সাবম্যানিফোল্ড এন এবং এন-এর একটি বিন্দুতে এম-এর স্পর্শক স্থানে একটি ভেক্টর দেওয়া হলে, এটি এন-এর স্পর্শক উপাদান এবং এন-এর স্বাভাবিক উপাদান হিসাবে বিচ্ছিন্ন হতে পারে। আনুষ্ঠানিক সংজ্ঞা পৃষ্ঠ আরও আনুষ্ঠানিকভাবে, একটি পৃষ্ঠ হতে দিন, এবং পৃষ্ঠের একটি বিন্দু হতে দিন। তারপর কেউ একটি যোগফল হিসাবে অনন্যভাবে লিখতে পারে যেখানে যোগফলের প্রথম ভেক্টরটি স্পর্শক উপাদান এবং দ্বিতীয়টি স্বাভাবিক উপাদান। এটি অবিলম্বে অনুসরণ করে যে এই দুটি ভেক্টর একে অপরের সাথে লম্ব। স্পর্শক এবং স্বাভাবিক উপাদানগুলি গণনা করার জন্য, পৃষ্ঠের একটি একককে স্বাভাবিক বিবেচনা করুন, অর্থাৎ, তারপরের দিকে লম্বভাবে একটি একক ভেক্টর, এবং এইভাবে যেখানে "" বিন্দু গুণফলকে বোঝায়। স্পর্শক উপাদানটির আরেকটি সূত্র হল যেখানে "ক্রস পণ্যকে বোঝায়। লক্ষ্য করুন যে এই সূত্রগুলি ব্যবহৃত নির্দিষ্ট একক স্বাভাবিকের উপর নির্ভর করে না (একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে যে কোনও পৃষ্ঠে দুটি একক স্বাভাবিক রয়েছে, যা বিপরীত দিকে নির্দেশ করে, তাই একক স্বাভাবিকগুলির মধ্যে একটি অন্যটির ঋণাত্মক)। সাবমানিফোল্ড আরও সাধারণভাবে, একটি ম্যানিফোল্ড এম-এর একটি সাবমানিফোল্ড এন এবং একটি বিন্দু দেওয়া হলে, আমরা স্পর্শক স্থানগুলির সাথে জড়িত একটি সংক্ষিপ্ত সঠিক ক্রম পাইঃ ভাগফল স্থানটি স্বাভাবিক ভেক্টরগুলির একটি সাধারণীকৃত স্থান। যদি এম একটি রিম্যানিয়ান ম্যানিফোল্ড হয়, তবে উপরের ক্রমটি বিভক্ত হয় এবং পি-তে এম-এর স্পর্শক স্থানটি এন-এর সাথে স্পর্শক উপাদান এবং এন-এর সাথে স্বাভাবিক উপাদানের সরাসরি যোগফল হিসাবে বিচ্ছিন্ন হয়ঃ সুতরাং প্রতিটি স্পর্শক ভেক্টর যেখানে এবং হিসাবে বিভক্ত হয়। গণনা ধরুন এন অ-অবক্ষয় সমীকরণ দ্বারা দেওয়া হয়। যদি প্যারামেট্রিক সমীকরণের মাধ্যমে (যেমন একটি প্যারামেট্রিক বক্ররেখা) এন স্পষ্টভাবে দেওয়া হয়, তবে ডেরিভেটিভটি স্পর্শক বান্ডিলের জন্য একটি স্প্যানিং সেট দেয় (এটি একটি ভিত্তি যদি এবং শুধুমাত্র যদি প্যারামিট্রাইজেশন একটি নিমজ্জন হয়)। যদি N একটি স্তর সেট বা স্তর পৃষ্ঠের ছেদ হিসাবে অন্তর্নিহিতভাবে (একটি পৃষ্ঠের উপরের বর্ণনার মতো, (বা আরও সাধারণভাবে) একটি হাইপারসার্ফেস হিসাবে) দেওয়া হয়, তবে স্বাভাবিক স্থানের বিস্তারের গ্রেডিয়েন্টগুলি। উভয় ক্ষেত্রেই, আমরা আবার বিন্দু পণ্য ব্যবহার করে গণনা করতে পারি; তবে ক্রস পণ্যটি 3 মাত্রার জন্য বিশেষ। প্রয়োগ ল্যাগ্রাঞ্জ মাল্টিপ্লায়ারঃ সীমাবদ্ধ সমালোচনামূলক বিন্দুগুলি হল যেখানে মোট ডেরিভেটিভের স্পর্শক উপাদান অদৃশ্য হয়ে যায়। পৃষ্ঠতলের সাধারণ ফ্রেনেট-সেরেট সূত্র তথ্যসূত্র ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতি