Inverse problem for Lagrangian mechanics
গণিতে, ল্যাগ্রেঞ্জিয়ান বলবিজ্ঞানের বিপরীত সমস্যা হল সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একটি প্রদত্ত পদ্ধতি কিছু ল্যাগ্রেঞ্জিয়ান ফাংশনের জন্য ইউলার-ল্যাগ্রেঞ্জ সমীকরণ হিসাবে উদ্ভূত হতে পারে কিনা তা নির্ধারণের সমস্যা। বিংশ শতাব্দীর গোড়ার দিক থেকে এই সমস্যা নিয়ে প্রচুর গবেষণা হয়েছে। এই ক্ষেত্রে একটি উল্লেখযোগ্য অগ্রগতি ছিল আমেরিকান গণিতবিদ জেসি ডগলাসের 1941 সালের একটি গবেষণাপত্র, যেখানে তিনি সমস্যার সমাধানের জন্য প্রয়োজনীয় এবং পর্যাপ্ত শর্ত সরবরাহ করেছিলেন; জার্মান পদার্থবিজ্ঞানী হারমান ভন হেল্মহোল্টজের পরে এই শর্তগুলি এখন হেল্মহোল্টজ শর্ত হিসাবে পরিচিত। সমস্যার পটভূমি এবং বিবৃতি এন-ডাইমেনশনাল ইউক্লিডিয়ান স্পেস আরএন-এ ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান মেকানিক্সের সাধারণ সেট-আপ নিম্নরূপ। একটি পার্থক্যযোগ্য পথ u বিবেচনা করুনঃ [0, T] → Rn। ইউ পথের ক্রিয়া, যা এস (ইউ) দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, যেখানে এল হল সময়, অবস্থান এবং বেগের একটি ফাংশন যা ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান নামে পরিচিত। ন্যূনতম ক্রিয়ার নীতিতে বলা হয়েছে যে, একটি প্রাথমিক অবস্থা x0 এবং Rn-এ একটি চূড়ান্ত অবস্থা x1 দেওয়া হলে, L দ্বারা নির্ধারিত সিস্টেমটি আসলে যে ক্রিয়া ক্রিয়া অনুসরণ করবে তা অবশ্যই ক্রিয়া কার্যকরী S-এর একটি মিনিমাইজার হতে হবে যা u (0) = x0, u (T) = x1 সীমানা শর্তগুলি সন্তুষ্ট করে। উপরন্তু, S-এর সমালোচনামূলক বিন্দুগুলি (এবং তাই মিনিমাইজারগুলি) অবশ্যই S-এর জন্য অয়লার-ল্যাগ্রাঞ্জ সমীকরণগুলিকে সন্তুষ্ট করতে হবেঃ যেখানে উপরের সূচকগুলি i, u = (u1,., un)-এর উপাদানগুলিকে নির্দেশ করে। ধ্রুপদী ক্ষেত্রে অয়লার-ল্যাগ্রাঞ্জ সমীকরণগুলি হল দ্বিতীয়-ক্রমের সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ যা নিউটনের গতির নিয়ম হিসাবে বেশি পরিচিতঃ ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান বলবিজ্ঞানের বিপরীত সমস্যাটি নিম্নরূপঃ দ্বিতীয়-ক্রমের সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলির একটি সিস্টেম যা 0 ≤ t ≤ T বার ধরে রাখে, সেখানে কি একটি ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান L রয়েছেঃ [0, T] × Rn × Rn → R যার জন্য এই সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলি (E) অয়লার-ল্যাগ্রাঞ্জ সমীকরণ? সাধারণভাবে, এই সমস্যাটি ইউক্লিডীয় স্থান Rn-এর উপর নয়, বরং একটি n-মাত্রিক ম্যানিফোল্ড M-এর উপর উত্থাপিত হয়, এবং ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান একটি ফাংশন L: [0, T] × TM → R, যেখানে TM, M. ডগলাসের উপপাদ্য এবং হেল্মহোল্টজ শর্তাবলীর স্পর্শক বান্ডিলকে বোঝায়। (ডগলাস 1941) একটি ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান L: [0, T] × TM → R রয়েছে যাতে সমীকরণগুলি (E) তার অয়লার-ল্যাগ্রাঞ্জ সমীকরণ হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি একটি অ-একক প্রতিসম ম্যাট্রিক্স g থাকে যা u এবং v উভয়ের উপর নির্ভর করে নিম্নলিখিত তিনটি হেল্মহোল্টজ শর্ত পূরণ করেঃ (আইনস্টাইন যোগসূত্র প্রথা পুনরাবৃত্ত সূচকগুলির জন্য ব্যবহৃত হয়।) ডগলাসের উপপাদ্য প্রয়োগ করা প্রথম নজরে, হেল্মহোল্টজ সমীকরণ (এইচ1)-(এইচ3) সমাধান করা একটি অত্যন্ত কঠিন কাজ বলে মনে হয়। শর্তটি (এইচ1) সমাধান করা সবচেয়ে সহজঃ এমন একটি জি খুঁজে পাওয়া সর্বদা সম্ভব যা সন্তুষ্ট করে (এইচ1), এবং এটি একা বোঝায় না যে ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান একবচন। সমীকরণ (H2) হল সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একটি পদ্ধতিঃ সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সমাধানের অস্তিত্ব এবং স্বতন্ত্রতা সম্পর্কিত সাধারণ উপপাদ্যগুলি বোঝায় যে নীতিগতভাবে, সমাধান করা সম্ভব (H2)। ইন্টিগ্রেশন অতিরিক্ত ধ্রুবক প্রদান করে না বরং পরিবর্তে সিস্টেমের প্রথম ইন্টিগ্রাল (ই) প্রদান করে, তাই এই ধাপটি অনুশীলনে কঠিন হয়ে যায় যদি না (ই) যথেষ্ট স্পষ্ট প্রথম ইন্টিগ্রাল না থাকে। কিছু ভাল আচরণের ক্ষেত্রে (যেমন। একটি লাই গ্রুপের উপর ক্যানোনিকাল সংযোগের জন্য জিওডেসিক প্রবাহ), এই শর্তটি সন্তুষ্ট হয়। চূড়ান্ত এবং সবচেয়ে কঠিন পদক্ষেপ হল সমীকরণ (H3) সমাধান করা, যাকে ক্লোজার কন্ডিশন বলা হয় কারণ (H3) হল শর্ত যে ডিফারেনশিয়াল 1-ফর্ম জিআই প্রতিটি আই-এর জন্য একটি ক্লোজড ফর্ম। এটি এতটাই ভয়ঙ্কর হওয়ার কারণ হল যে (H3) মিলিত আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একটি বড় ব্যবস্থা গঠন করেঃ n ডিগ্রি অফ ফ্রিডমের জন্য, (H3) 2n স্বাধীন চলকের মধ্যে আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একটি ব্যবস্থা গঠন করে যা g এর gij উপাদান, যেখানে দ্বিপদী সহগ বোঝায়। সবচেয়ে সাধারণ সম্ভাব্য ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান তৈরি করার জন্য, একজনকে অবশ্যই এই বিশাল সিস্টেমটি সমাধান করতে হবে! সৌভাগ্যবশত, হেল্মহোল্টজ অবস্থার সমাধানে সাহায্য করার জন্য কিছু সহায়ক শর্ত আরোপ করা যেতে পারে। প্রথমত, (H1) হল অজানা ম্যাট্রিক্স g-এর উপর একটি বিশুদ্ধ বীজগাণিতিক শর্ত। g-এর উপর সহায়ক বীজগাণিতিক শর্তগুলি নিম্নরূপ দেওয়া যেতে পারেঃ g-এর উপর সহায়ক শর্তটি হল, g-এর উপর সহায়ক শর্তটি হল, প্রকৃতপক্ষে, সমীকরণগুলি (H2) এবং (A) হল অনুরূপ বীজগাণিতিক অবস্থার অসীম শ্রেণিবিন্যাসের মধ্যে প্রথমটি। সমান্তরাল সংযোগের ক্ষেত্রে (যেমন একটি লাই গ্রুপের ক্যানোনিকাল সংযোগ), উচ্চতর ক্রমের শর্তগুলি সর্বদা সন্তুষ্ট হয়, তাই শুধুমাত্র (এইচ2) এবং (এ) আগ্রহের বিষয়। মনে রাখবেন যে (এ) শর্ত নিয়ে গঠিত যেখানে (এইচ1) শর্ত নিয়ে গঠিত। সুতরাং, এটা সম্ভব যে (H1) এবং (A) একসঙ্গে বোঝায় যে ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান ফাংশনটি একবচন। 2006 সালের হিসাবে, নির্বিচারে মাত্রায় এই অসুবিধাকে এড়ানোর জন্য কোনও সাধারণ উপপাদ্য নেই, যদিও কিছু বিশেষ ক্ষেত্রে সমাধান করা হয়েছে। আক্রমণের দ্বিতীয় উপায় হল সিস্টেম (ই) একটি নিম্ন-মাত্রিক সিস্টেমে একটি নিমজ্জন স্বীকার করে কিনা তা দেখা এবং নিম্ন-মাত্রিক সিস্টেমের জন্য একটি ল্যাগ্রাঞ্জিয়ানকে উচ্চ-মাত্রিক পর্যন্ত "উত্তোলন" করার চেষ্টা করা। এটি আসলে হেল্মহোল্টজ শর্তগুলি সমাধান করার কোনও প্রচেষ্টা নয় যতটা এটি একটি ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান তৈরি করার একটি প্রচেষ্টা এবং তারপরে দেখায় যে এর ইউলার-ল্যাগ্রাঞ্জ সমীকরণগুলি প্রকৃতপক্ষে সিস্টেম (ই)। তথ্যসূত্র কালকুলাস অফ ভ্যারিয়েশন ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান মেকানিক্স বিপরীত সমস্যা