Monoidal t-norm logic
গাণিতিক যুক্তিতে, মনোয়ডাল টি-নর্ম ভিত্তিক যুক্তি (বা সংক্ষেপে এমটিএল), বাম-ধারাবাহিক টি-নর্মের যুক্তি, টি-নর্ম ফাজি লজিক্সের মধ্যে একটি। এটি সাবস্ট্রাকচারাল লজিক্স বা অবশিষ্ট ল্যাটিসের লজিক্সের বিস্তৃত শ্রেণীর অন্তর্গত; এটি প্রিলিনিয়ারিটির স্বতঃসিদ্ধ দ্বারা কমিউটেটিভ বাউন্ডেড ইন্টিগ্রাল রেসিডুয়েটেড ল্যাটিসের (হোহলের মনোইডাল লজিক, ওনোর ফ্লু, বা সংকোচন ছাড়াই স্বজ্ঞাত যুক্তি হিসাবে পরিচিত) যুক্তি প্রসারিত করে। অনুপ্রেরণা অস্পষ্ট যুক্তিতে, বিবৃতিগুলিকে সত্য বা মিথ্যা হিসাবে বিবেচনা করার পরিবর্তে, আমরা প্রতিটি বিবৃতিটিকে সেই বিবৃতির একটি সংখ্যাসূচক আস্থার সাথে যুক্ত করি। প্রচলিত নিয়মে একক ব্যবধানের উপর নির্ভরযোগ্যতার পরিসীমা থাকে, যেখানে সর্বাধিক আত্মবিশ্বাস সত্যের ধ্রুপদী ধারণার সাথে মিলে যায় এবং ন্যূনতম আত্মবিশ্বাস মিথ্যার ধ্রুপদী ধারণার সাথে মিলে যায়। টি-নর্মগুলি বাস্তব একক ব্যবধানের বাইনারি ফাংশন [0,1], যা অস্পষ্ট যুক্তিতে প্রায়শই একটি সংযোগ সংযোগের প্রতিনিধিত্ব করতে ব্যবহৃত হয়; যদি আমরা বিবৃতিগুলির সাথে এবং যথাক্রমে যে আত্মবিশ্বাসগুলি উল্লেখ করি, তবে যৌগিক বিবৃতি 'এবং'-এর সাথে সম্পর্কিত আত্মবিশ্বাস গণনা করতে একটি টি-নর্ম ব্যবহার করা হয়। একটি টি-নর্মকে কমিউটেটিভিটি, অ্যাসোসিয়েটিভিটি, মনোটোনিসিটি-যদি এবং তারপর, এবং আইডেন্টিটি উপাদান হিসাবে 1 থাকার বৈশিষ্ট্যগুলি সন্তুষ্ট করতে হবে। এই তালিকা থেকে উল্লেখযোগ্যভাবে অনুপস্থিত হ 'ল দক্ষতার বৈশিষ্ট্য; সবচেয়ে কাছেরটি হ' ল এটি। ন্যায়ের তুলনায় 'এবং'-এর প্রতি কম আত্মবিশ্বাসী হওয়া অদ্ভুত বলে মনে হতে পারে, তবে আমরা সাধারণত একটি সম্মিলিত 'এবং' আত্মবিশ্বাস এবং আত্মবিশ্বাস উভয়ের চেয়ে কম হওয়ার আত্মবিশ্বাসকে অনুমতি দিতে চাই, এবং তারপরে একঘেয়েমি দ্বারা ক্রমবদ্ধকরণের প্রয়োজন। এটি বলার আরেকটি উপায় হল যে টি-নর্ম শুধুমাত্র সংখ্যা হিসাবে আত্মবিশ্বাসীদের বিবেচনা করতে পারে, সেই আত্মবিশ্বাসীদের দায়ী করার পিছনে যে কারণগুলি থাকতে পারে তা নয়; সুতরাং এটি 'এবং' এর থেকে আলাদা 'এবং যেখানে আমরা উভয়ের প্রতি সমানভাবে আত্মবিশ্বাসী তা বিবেচনা করতে পারে না। যেহেতু জাল তত্ত্বের ব্যবহারের মাধ্যমে প্রতীকটি আইডেম্পোটেনস বৈশিষ্ট্যের সাথে খুব ঘনিষ্ঠভাবে যুক্ত, তাই সংযোগের জন্য একটি ভিন্ন প্রতীকে স্যুইচ করা দরকারী হতে পারে যা অগত্যা আইডেম্পোটেনট নয়। অস্পষ্ট যুক্তি ঐতিহ্যে কেউ কখনও এই "শক্তিশালী" সংযোগের জন্য ব্যবহার করে, তবে এই নিবন্ধটি শক্তিশালী সংযোগের জন্য ব্যবহার করার সাবস্ট্রাকচারাল লজিক ঐতিহ্য অনুসরণ করে; এইভাবে আমরা বিবৃতিটির প্রতি আস্থা রাখি (এখনও 'এবং' পড়ুন, সম্ভবত 'এবং' এর যোগ্যতা হিসাবে 'শক্তিশালী' বা 'গুণিতক' সহ)। আনুষ্ঠানিক সংযোগ থাকার ফলে, একজন অন্য সংযোগগুলির সাথে চালিয়ে যেতে চায়। এটি করার একটি পদ্ধতি হল অর্ডার-রিভার্সিং মানচিত্র হিসাবে নেতিবাচকতা প্রবর্তন করা, তারপরে ডি মরগানের আইন, উপাদানগত প্রভাব এবং এর মতো ব্যবহার করে অবশিষ্ট সংযোগগুলি সংজ্ঞায়িত করা। এটি করার ক্ষেত্রে একটি সমস্যা হল যে ফলস্বরূপ যুক্তির অবাঞ্ছিত বৈশিষ্ট্য থাকতে পারেঃ এগুলি শাস্ত্রীয় যুক্তির খুব কাছাকাছি হতে পারে, অথবা বিপরীতভাবে প্রত্যাশিত অনুমানের নিয়মগুলিকে সমর্থন না করলেও। একটি বিকল্প যা বিভিন্ন পছন্দের পরিণতিগুলিকে আরও অনুমানযোগ্য করে তোলে তার পরিবর্তে দ্বিতীয় সংযোগকারী হিসাবে নিহিতার্থের সাথে চালিয়ে যাওয়া হয়ঃ এটি সামগ্রিকভাবে যুক্তির স্বতঃসিদ্ধকরণে সবচেয়ে সাধারণ সংযোগকারী, এবং এটি বেশিরভাগ অন্যান্য সংযোগকারীদের তুলনায় যুক্তির অবরোহী দিকগুলির সাথে ঘনিষ্ঠ সম্পর্ক রয়েছে। ইমপ্লিকেশন কানেক্টিভের একটি কনফিডেন্স প্রতিরূপকে প্রকৃতপক্ষে সরাসরি টি-নর্মের অবশিষ্টাংশ হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। সংযোগ এবং প্রভাবের মধ্যে যৌক্তিক যোগসূত্রটি অনুমানের নিয়ম মোডাস পোনেন্সের মতো মৌলিক কিছু দ্বারা সরবরাহ করা হয়ঃ থেকে এবং অনুসরণ করে। অস্পষ্ট যুক্তির ক্ষেত্রে যা আরও কঠোরভাবে লেখা হয়, কারণ এটি স্পষ্ট করে দেয় যে এখানে ভিত্তির (গুলি) জন্য আমাদের আস্থা হল যে, ভিতরে এবং আলাদাভাবে নয়। সুতরাং যদি এবং যথাক্রমে আমাদের আস্থা থাকে, তবে তা হল প্রত্যাশিত আস্থা, এবং তা হল সম্মিলিত আস্থা। যেহেতু আমাদের আত্মবিশ্বাস যুক্তিসঙ্গতভাবে যে বিবৃতি থেকে আসে তার প্রতি আমাদের আত্মবিশ্বাসের চেয়ে কম হওয়া উচিত নয়। এটি কাঙ্ক্ষিত আত্মবিশ্বাসকে সীমাবদ্ধ করে এবং একটি বাইনারি অপারেশনে পরিণত হওয়ার একটি পদ্ধতি হল এই সীমাবদ্ধতাকে সম্মান করার সময় এটিকে যতটা সম্ভব বড় করাঃ গ্রহণ দেয়, তাই সর্বোচ্চ সর্বদা একটি অ-খালি আবদ্ধ সেটের হয় এবং এইভাবে ভালভাবে সংজ্ঞায়িত হয়। একটি সাধারণ টি-নর্মের জন্য একটি লাফ বিচ্ছিন্নতা থাকার সম্ভাবনা রয়েছে, যে ক্ষেত্রে এস সন্তোষজনকের সর্বনিম্ন উপরের সীমা হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হলেও কঠোরভাবে বড় হতে পারে; এটি প্রতিরোধ করতে এবং প্রত্যাশিত হিসাবে নির্মাণ কাজ করার জন্য, আমাদের প্রয়োজন যে টি-নর্মটি বাম-ধারাবাহিক। বাম-ধারাবাহিক টি-নর্মের অবশিষ্টাংশকে এইভাবে দুর্বলতম ফাংশন হিসাবে চিহ্নিত করা যেতে পারে যা ফাজি মোডাস পোনেনকে বৈধ করে তোলে, যা এটিকে ফাজি লজিকের প্রভাবের জন্য উপযুক্ত সত্য ফাংশন করে তোলে। আরও বীজগাণিতিকভাবে, আমরা বলি যে একটি অপারেশন হল একটি টি-নর্মের অবশিষ্টাংশ যদি সবকিছুর জন্য হয়, এবং এটি সন্তুষ্ট হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি। সংখ্যাসূচক তুলনার এই সমতুল্যতা অন্তর্ভুক্তির সমতুল্যতাকে প্রতিফলিত করে যদি এবং শুধুমাত্র যদি এটি বিদ্যমান থাকে কারণ ভিত্তি থেকে যে কোনও প্রমাণ একটি অতিরিক্ত অন্তর্নিহিত ভূমিকা পদক্ষেপ করে ভিত্তি থেকে প্রমাণ হিসাবে রূপান্তরিত করা যেতে পারে এবং বিপরীতভাবে ভিত্তি থেকে যে কোনও প্রমাণ একটি অতিরিক্ত অন্তর্নিহিত নির্মূল পদক্ষেপ করে ভিত্তি থেকে প্রমাণ হিসাবে রূপান্তরিত করা যেতে পারে। টি-নর্মের বাম-ধারাবাহিকতা একটি টি-নর্ম সংযোগ এবং ধরে রাখার জন্য এর অবশিষ্ট প্রভাবের মধ্যে এই সম্পর্কের জন্য প্রয়োজনীয় এবং পর্যাপ্ত শর্ত। আরও প্রস্তাবনামূলক সংযোগগুলির সত্য ফাংশনগুলি টি-নর্ম এবং এর অবশিষ্টাংশের মাধ্যমে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে, উদাহরণস্বরূপ অবশিষ্টাংশ নেতিবাচক এইভাবে, বাম-ধারাবাহিক টি-নর্ম, এর অবশিষ্টাংশ এবং অতিরিক্ত প্রস্তাবনামূলক সংযোগগুলির সত্য ফাংশন (নীচের স্ট্যান্ডার্ড শব্দার্থবিজ্ঞান বিভাগটি দেখুন) [0,1]-এ জটিল প্রস্তাবমূলক সূত্রের সত্য মান নির্ধারণ করে। যে সূত্রগুলি সর্বদা 1-এ মূল্যায়ন করে সেগুলিকে তখন প্রদত্ত বাম-ধারাবাহিক টি-নর্ম বা টাউটোলজির ক্ষেত্রে টাউটোলজি বলা হয়। সমস্ত স্বরলিপির সেটকে টি-নর্মের যুক্তি বলা হয় কারণ এই সূত্রগুলি ফাজি লজিকের (টি-নর্ম দ্বারা নির্ধারিত) আইনগুলিকে উপস্থাপন করে যা পারমাণবিক সূত্রের সত্য মাত্রা নির্বিশেষে (ডিগ্রি 1 পর্যন্ত) ধরে রাখে। কিছু সূত্র হল সমস্ত বাম-অবিচ্ছিন্ন টি-নর্মের ক্ষেত্রে স্বতঃস্ফূর্ততাঃ এগুলি প্রস্তাবনামূলক অস্পষ্ট যুক্তির সাধারণ নিয়মের প্রতিনিধিত্ব করে যা একটি নির্দিষ্ট বাম-অবিচ্ছিন্ন টি-নর্মের পছন্দ থেকে স্বাধীন। এই সূত্রগুলি যুক্তি এম. টি. এল গঠন করে, যা এইভাবে বাম-ধারাবাহিক টি-নিয়মের যুক্তি হিসাবে চিহ্নিত করা যেতে পারে। বাক্যবিন্যাসের ভাষা প্রপোসিশনাল লজিক এম. টি. এল-এর ভাষায় অনেকগুলি প্রপোসিশনাল ভেরিয়েবল এবং নিম্নলিখিত আদিম যৌক্তিক সংযোগ রয়েছেঃ ইমপ্লিকেশন (বাইনারি) স্ট্রং কনজাংশন (বাইনারি)। অস্পষ্ট যুক্তির উপর সাহিত্যে শক্তিশালী সংযোগের জন্য সাইন & একটি আরও ঐতিহ্যবাহী স্বরলিপি, যেখানে স্বরলিপিটি সাবস্ট্রাকচারাল লজিক্সের ঐতিহ্য অনুসরণ করে। দুর্বল সংযোগ (বাইনারি), যাকে ল্যাটিস সংযোগও বলা হয় (যেহেতু এটি সর্বদা বীজগাণিতিক শব্দার্থবিজ্ঞানে মিলিত হওয়ার ল্যাটিস অপারেশন দ্বারা উপলব্ধি করা হয়)। বিএল এবং শক্তিশালী অস্পষ্ট যুক্তির বিপরীতে, দুর্বল সংযোগ এমটিএল-এ সংজ্ঞায়িত করা যায় না এবং এটিকে আদিম সংযোগগুলির মধ্যে অন্তর্ভুক্ত করতে হয়। নীচের অংশ (নালারি-একটি প্রস্তাবনা ধ্রুবক; অথবা সাধারণ বিকল্প টোকেন এবং শূন্য প্রস্তাবনা ধ্রুবকের জন্য একটি সাধারণ বিকল্প নাম (যেমন এম. টি. এল-এ সাবস্ট্রাকচারাল লজিক্সের ধ্রুবক নীচে এবং শূন্য মিলে যায়)। নিম্নরূপ সবচেয়ে সাধারণ সংজ্ঞায়িত যৌক্তিক সংযোগগুলি হলঃ নেতিবাচকতা (ইউনারি), সমতুল্যতা (বাইনারি) হিসাবে সংজ্ঞায়িত, এম. টি. এল-তে সংজ্ঞায়িত, সংজ্ঞাটি (দুর্বল) বিচ্ছিন্নতা (বাইনারি)-এর সমতুল্য, যাকে ল্যাটিস বিচ্ছিন্নতাও বলা হয় (যেমন এটি সর্বদা বীজগাণিতিক শব্দার্থবিজ্ঞানে যোগদানের জাল অপারেশন দ্বারা উপলব্ধি করা হয়), শীর্ষ (নালারি) হিসাবে সংজ্ঞায়িত, যাকে এক বলা হয় এবং দ্বারা চিহ্নিত করা হয় বা (এম. টি. এল-এ সাবস্ট্রাকচারাল লজিক্সের শীর্ষ এবং শূন্য ধ্রুবকগুলি মিলে যায়), এম. টি. এল-এর সু-গঠিত সূত্র হিসাবে সংজ্ঞায়িত প্রস্তাবনা যুক্তিতে যথারীতি সংজ্ঞায়িত করা হয়। বন্ধনীগুলি সংরক্ষণ করার জন্য, অগ্রগতির নিম্নলিখিত ক্রমটি ব্যবহার করা সাধারণঃ ইউনারি সংযোগকারী (সবচেয়ে ঘনিষ্ঠভাবে আবদ্ধ) অন্তর্নিহিত প্রভাব এবং সমতুল্য প্রভাব এবং সমতুল্য (সবচেয়ে আলগাভাবে আবদ্ধ) স্বতঃসিদ্ধ এমটিএল-এর জন্য হিলবার্ট-স্টাইল ডিডাকশন সিস্টেম এস্তেভা এবং গোডো (2001) দ্বারা চালু করা হয়েছে। এর একক উৎপত্তির নিয়ম হল মোডাস পোনেনসঃ থেকে এবং থেকে উদ্ভূত নিম্নলিখিতগুলি হল এর স্বতঃসিদ্ধ স্কিমাটাঃ বাম কলামে দেওয়া স্বতঃসিদ্ধগুলির ঐতিহ্যবাহী সংখ্যা, হাজেকের মৌলিক অস্পষ্ট যুক্তি বিএল-এর স্বতঃসিদ্ধগুলির সংখ্যা থেকে উদ্ভূত হয়। স্বতঃসিদ্ধগুলি (এম. টি. এল. 4এ)-(এম. টি. এল. 4সি) বি. এল-এর বিভাজ্যতার স্বতঃসিদ্ধিকে (বি. এল. 4) প্রতিস্থাপন করে। স্বতঃসিদ্ধ (এম. টি. এল. 5এ) এবং (এম. টি. এল. 5বি) অবশিষ্টাংশের আইন প্রকাশ করে এবং স্বতঃসিদ্ধ (এম. টি. এল. 6) প্রাক-রৈখিকতার শর্তের সাথে মিলে যায়। মূল স্বতঃসিদ্ধ পদ্ধতির স্বতঃসিদ্ধ (এম. টি. এল. 2) এবং (এম. টি. এল. 3) অপ্রয়োজনীয় (চভালভস্কি, 2012) এবং (সিন্টুলা, 2005) হিসাবে দেখানো হয়েছিল। অন্যান্য সমস্ত স্বতঃসিদ্ধগুলি স্বাধীন হিসাবে দেখানো হয়েছিল (চভালভস্কি, 2012)। শব্দার্থবিদ্যা অন্যান্য প্রপোসিশনাল টি-নর্ম ফাজি লজিক্সের মতো, বীজগাণিতিক শব্দার্থবিদ্যা প্রধানত এম. টি. এল-এর জন্য ব্যবহৃত হয়, যার সাথে তিনটি প্রধান শ্রেণীর বীজগণিত রয়েছে যার সাপেক্ষে যুক্তি সম্পূর্ণঃ সাধারণ শব্দার্থবিদ্যা, সমস্ত এম. টি. এল-বীজগণিত দ্বারা গঠিত-অর্থাৎ, সমস্ত বীজগণিত যার জন্য যুক্তিটি সমস্ত রৈখিক এম. টি. এল-বীজগণিত দ্বারা গঠিত, যা সমস্ত রৈখিক এম. টি. এল-বীজগণিত দ্বারা গঠিত-অর্থাৎ, সমস্ত এম. টি. এল-বীজগণিত যার জালিকা ক্রম রৈখিক স্ট্যান্ডার্ড শব্দার্থবিদ্যা, যা সমস্ত স্ট্যান্ডার্ড এম. টি. এল-বীজগণিত দ্বারা গঠিত-অর্থাৎ, সমস্ত এম. টি. এল-বীজগণিত যার জালিকা হ্রাস প্রকৃত একক ব্যবধান [0,1] এগুলিকে প্রীলাইনার কমিউটেটিভ বাউন্ডেড ইন্টিগ্রাল রেসিডুয়েটেড ল্যাটিস হিসাবে চিহ্নিত করা যেতে পারে। আরও বিস্তারিতভাবে বলতে গেলে, একটি বীজগাণিতিক কাঠামো হল একটি এম. টি. এল-বীজগণিত, যদি উপরের উপাদান 0 সহ একটি আবদ্ধ জালিকা হয় এবং নীচের উপাদান 1 একটি বিনিময়যোগ্য মনোয়েড হয় এবং একটি সংলগ্ন জোড়া গঠন করে, অর্থাৎ, যদি এবং শুধুমাত্র যদি সমস্ত x, y এবং z-এর জন্য জালিকা ক্রম কোথায় থাকে, (অবশিষ্টাংশ শর্ত) L-এর সমস্ত x এবং y-এর জন্য ধরে রাখে (প্রাক-রৈখিক অবস্থা) এম. টি. এল বীজগণিতর গুরুত্বপূর্ণ উদাহরণগুলি বাস্তব একক ব্যবধানের [0,1] মানক এম. টি. এল-বীজগণিতা। আরও উদাহরণের মধ্যে রয়েছে সমস্ত বুলিয়ান বীজগণিত, সমস্ত রৈখিক হেইটিং বীজগণিত (উভয় সহ), সমস্ত এমভি-বীজগণিত, সমস্ত বিএল-বীজগণিত ইত্যাদি। যেহেতু অবশিষ্টাংশের অবস্থা সমতুল্যভাবে পরিচয় দ্বারা প্রকাশ করা যেতে পারে, তাই এম. টি. এল-অ্যালজেব্রা একটি বৈচিত্র্য তৈরি করে। এম. টি. এল-বীজগণিতে এম. টি. এল-এর যুক্তির ব্যাখ্যা এম. টি. এল-বীজগণিতে এম. টি. এল-এর সংযোগগুলি নিম্নরূপ ব্যাখ্যা করা হয়ঃ মোনয়েডাল অপারেশন দ্বারা শক্তিশালী সংযোগ অপারেশন দ্বারা প্রভাব (যাকে অবশিষ্টাংশ বলা হয়) দুর্বল সংযোগ এবং ল্যাটিস অপারেশন দ্বারা দুর্বল বিচ্ছিন্নতা এবং যথাক্রমে (সাধারণত সংযোগগুলির মতো একই প্রতীক দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, যদি কোনও বিভ্রান্তি দেখা না যায়) 0 এবং 1 ধ্রুবক দ্বারা সত্য ধ্রুবক শূন্য (উপরে) এবং এক (নীচে) সমতুল্য সংযোগটি হিসাবে সংজ্ঞায়িত অপারেশন দ্বারা ব্যাখ্যা করা হয়। সুতরাং একটি সূত্রকে একটি মূল্যায়নের অধীনে সম্পূর্ণ সত্য বলে মনে করা হয় যদি e (A) = 1 হয়। একটি সূত্র এ-কে এম. টি. এল-বীজগণিতে বৈধ বলা হয় যদি এটি এল-এর সমস্ত মূল্যায়নের অধীনে সম্পূর্ণ সত্য হয়, অর্থাৎ, যদি এল-এর সমস্ত মূল্যায়নের জন্য ই (এ) = 1 হয়। কিছু সূত্র (উদাহরণস্বরূপ, পি-পি) যে কোনও এম. টি. এল-বীজগণিতে বৈধ হয়; এগুলিকে এম. টি. এল-এর স্বরলিপি বলা হয়। এম. টি. এল-এর জন্য বৈশ্বিক এনটেলমেন্ট (বাঃ বৈশ্বিক পরিণতি)-এর ধারণাটি নিম্নরূপ সংজ্ঞায়িত করা হয়েছেঃ সূত্রগুলির একটি সেট এ একটি সূত্রকে অন্তর্ভুক্ত করে (বাঃ এ হ 'ল একটি বৈশ্বিক পরিণতি), যদি কোনও এম. টি. এল-বীজগণিতে কোনও মূল্যায়নের জন্য ই হয়, যখনই ই (বি) = 1 সমস্ত সূত্র বি-এর জন্য, তখন ই (এ) = 1। অনানুষ্ঠানিকভাবে, বৈশ্বিক পরিণতির সম্পর্ক সত্যের মানগুলির যে কোনও এমটিএল-বীজগণিতে পূর্ণ সত্যের সংক্রমণকে উপস্থাপন করে। সাধারণ দৃঢ়তা এবং সম্পূর্ণতা উপপাদ্য সমস্ত এম. টি. এল-অ্যালজেব্রার শ্রেণীর সাপেক্ষে এম. টি. এল-এর যুক্তি সঠিক এবং সম্পূর্ণ (এস্তেভা এবং গোডো, 2001): এম. টি. এল-এ একটি সূত্র প্রমাণযোগ্য যদি এবং শুধুমাত্র যদি এটি সমস্ত এম. টি. এল-অ্যালজেব্রায় বৈধ হয়। এম. টি. এল-বীজগণিতের ধারণাটি আসলে এতটাই সংজ্ঞায়িত যে এম. টি. এল-বীজগণিতগুলি সমস্ত বীজগণিতের শ্রেণী গঠন করে যার জন্য এম. টি. এল যুক্তিটি সঠিক। উপরন্তু, দৃঢ় সম্পূর্ণতা উপপাদ্যটি ধারণ করেঃ একটি সূত্র এ হল এম. টি. এল-এর একটি সমষ্টির একটি বিশ্বব্যাপী পরিণতি, যদি এবং শুধুমাত্র যদি এম. টি. এল-এর মধ্যে এ-কে এম. টি. এল-এর থেকে উদ্ভূত করা যায়। রৈখিক শব্দার্থবিদ্যা অন্যান্য অস্পষ্ট যুক্তিবিদ্যার জন্য বীজগণিতের মতো, এম. টি. এল-বীজগণিতগুলি নিম্নলিখিত রৈখিক সাবডাইরেক্ট পচন বৈশিষ্ট্য উপভোগ করেঃ প্রতিটি এম. টি. এল-বীজগণিত রৈখিকভাবে ক্রমযুক্ত এম. টি. এল-বীজগণিতের একটি সাবডাইরেক্ট পণ্য। (একটি সাবডাইরেক্ট প্রোডাক্ট হল ডাইরেক্ট প্রোডাক্টের একটি সাবঅ্যালজেব্রা যাতে সমস্ত প্রজেকশন ম্যাপ সারজেক্টিভ হয়। একটি এম. টি. এল-বীজগণিত রৈখিকভাবে সাজানো হয় যদি তার জাল ক্রম রৈখিক হয়।) সমস্ত এম. টি. এল-অ্যালজেব্রার রৈখিক উপ-প্রত্যক্ষ পচন বৈশিষ্ট্যের ফলস্বরূপ, রৈখিক এম. টি. এল-অ্যালজেব্রার সাপেক্ষে সম্পূর্ণতা উপপাদ্য (এস্তেভা এবং গোডো, 2001) বলেঃ এম. টি. এল-এ একটি সূত্র প্রমাণযোগ্য যদি এবং শুধুমাত্র যদি এটি সমস্ত রৈখিক এম. টি. এল-অ্যালজেব্রায় বৈধ হয়। একটি সূত্র এ এম. টি. এল-এ সূত্রগুলির একটি সেট থেকে উদ্ভূত হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি এ সমস্ত রৈখিক এম. টি. এল-বীজগণিতে একটি বিশ্বব্যাপী পরিণতি হয়। স্ট্যান্ডার্ড শব্দার্থবিদ্যা স্ট্যান্ডার্ডকে সেই এম. টি. এল-অ্যালজেব্রা বলা হয় যার জাল হ্রাস প্রকৃত একক ব্যবধান [0,1]। এগুলি অনন্যভাবে বাস্তব-মূল্যবান ফাংশন দ্বারা নির্ধারিত হয় যা শক্তিশালী সংযোগকে ব্যাখ্যা করে, যা যে কোনও বাম-ধারাবাহিক টি-নর্ম হতে পারে। বাম-ধারাবাহিক টি-আদর্শ দ্বারা নির্ধারিত আদর্শ এম. টি. এল-বীজগণিতকে সাধারণত নিম্নতম এবং সর্বাধিক দ্বারা যথাক্রমে দুর্বল সংযোগ এবং বিচ্ছিন্নতার অবশিষ্টাংশ দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয় এবং বাস্তব সংখ্যা 0 এবং 1 দ্বারা সত্য ধ্রুবক যথাক্রমে শূন্য এবং এক হয়। স্ট্যান্ডার্ড এম. টি. এল-অ্যালজেব্রার ক্ষেত্রে এম. টি. এল যুক্তি সম্পূর্ণ; এই সত্যটি স্ট্যান্ডার্ড কমপ্লিটনেস থিওরেম (জেনেই এবং মন্টাগনা, 2002) দ্বারা প্রকাশ করা হয়েছেঃ এম. টি. এল-এ একটি সূত্র প্রমাণযোগ্য যদি এবং শুধুমাত্র যদি এটি সমস্ত স্ট্যান্ডার্ড এম. টি. এল-অ্যালজেব্রায় বৈধ হয়। যেহেতু এম. টি. এল স্ট্যান্ডার্ড এম. টি. এল-অ্যালজেব্রার ক্ষেত্রে সম্পূর্ণ, যা বাম-ধারাবাহিক টি-নিয়ম দ্বারা নির্ধারিত হয়, এম. টি. এল-কে প্রায়শই বাম-ধারাবাহিক টি-নিয়মের যুক্তি হিসাবে উল্লেখ করা হয় (একইভাবে বি. এল হল অবিচ্ছিন্ন টি-নিয়মের যুক্তি)। গ্রন্থপঞ্জি হাজেক পি., 1998, মেটামাথেম্যাটিক্স অফ ফাজি লজিক। ডর্ড্রেখ্টঃ ক্লুয়ার। এস্তেভা এফ. এবং গোডো এল., 2001, "মনোইডাল টি-নর্ম ভিত্তিক যুক্তিঃ বাম-ধারাবাহিক টি-নর্মের একটি যুক্তির দিকে"। অস্পষ্ট সেট এবং সিস্টেম 124:271-288। জেনি এস. এবং মন্টাগনা এফ., 2002, "এস্তেভা এবং গোডোর মনোয়ডাল লজিক এমটিএল-এর আদর্শ সম্পূর্ণতার প্রমাণ"। স্টাডিয়া লজিকা 70:184-192। ওনো, এইচ., 2003, "সাবস্ট্রাকচারাল লজিক্স এবং অবশিষ্ট ল্যাটিস-একটি ভূমিকা"। এফ. ভি-তে। হেন্ড্রিক্স, জে. মালিনোভস্কি (সংস্করণ। ): যুক্তির প্রবণতাঃ স্টাডিয়া লজিকার 50 বছর, যুক্তির প্রবণতা 20:177-212। সিন্টুলা পি., 2005, "সংক্ষিপ্ত নোটঃ বিএল এবং এমটিএল-এ স্বতঃসিদ্ধের (এ3) অপ্রয়োজনীয়তা সম্পর্কে"। সফ্ট কম্পিউটিং 9:942। সিন্টুলা পি., 2006, "দুর্বলভাবে অন্তর্নিহিত (অস্পষ্ট) যুক্তি I: মৌলিক বৈশিষ্ট্য"। গাণিতিক লজিক 45-এর জন্য আর্কাইভঃ 673-704। চভালভস্কি কে., 2012, "অন দ্য ইন্ডিপেন্ডেন্স অফ অ্যাক্সিওমস ইন বিএল অ্যান্ড এমটিএল"। ফাজি সেট এবং সিস্টেম 197:123-129,। তথ্যসূত্র অস্পষ্ট যুক্তি