Shimura variety
সংখ্যা তত্ত্বে, একটি শিমুরা বৈচিত্র্য হল একটি মডুলার বক্ররেখার একটি উচ্চ-মাত্রিক সাদৃশ্য যা কিউ-এর উপর সংজ্ঞায়িত একটি হ্রাসকারী বীজগাণিতিক গোষ্ঠীর একটি সঙ্গতিপূর্ণ উপগোষ্ঠী দ্বারা একটি হার্মিসিয়ান প্রতিসম স্থানের ভাগফল বৈচিত্র্য হিসাবে উদ্ভূত হয়। শিমুরা বৈচিত্র্য বীজগাণিতিক বৈচিত্র্য নয় বরং বীজগাণিতিক বৈচিত্র্যের পরিবার। শিমুরা বক্ররেখা হল এক-মাত্রিক শিমুরা প্রজাতি। হিলবার্ট মডুলার সারফেস এবং সিগেল মডুলার জাতগুলি শিমুরা জাতের সর্বাধিক পরিচিত শ্রেণীর মধ্যে রয়েছে। গোরো শিমুরা তাঁর জটিল গুণন তত্ত্বের সাধারণীকরণের সময় শিমুরা জাতের বিশেষ উদাহরণগুলি প্রবর্তন করেছিলেন। শিমুরা দেখিয়েছেন যে প্রাথমিকভাবে বিশ্লেষণাত্মকভাবে সংজ্ঞায়িত করা হলেও, তারা গাণিতিক বস্তু, এই অর্থে যে তারা একটি সংখ্যা ক্ষেত্রের উপর সংজ্ঞায়িত মডেলগুলি গ্রহণ করে, শিমুরা বৈচিত্র্যের প্রতিফলন ক্ষেত্র। 1970-এর দশকে পিয়েরে ডেলিগনে শিমুরার কাজের জন্য একটি স্বতঃসিদ্ধ কাঠামো তৈরি করেছিলেন। 1979 সালে, রবার্ট ল্যাংল্যান্ডস মন্তব্য করেছিলেন যে শিমুরার জাতগুলি উদাহরণের একটি প্রাকৃতিক ক্ষেত্র গঠন করে যার জন্য ল্যাংল্যান্ডস প্রোগ্রামে অনুমান করা অনুপ্রেরণামূলক এবং স্বয়ংক্রিয় এল-ফাংশনগুলির মধ্যে সমতা পরীক্ষা করা যেতে পারে। শিমুরা জাতের কোহোমোলজিতে অনুধাবন করা অটোমর্ফিক রূপগুলি সাধারণ অটোমর্ফিক রূপগুলির তুলনায় অধ্যয়নের জন্য আরও সহজ; বিশেষত, তাদের সাথে গ্যালোইস উপস্থাপনা সংযুক্ত করার জন্য একটি নির্মাণ রয়েছে। সংজ্ঞা শিমুরা দাতুম ধরা যাক S = ResC/R Gm জটিল সংখ্যা থেকে বাস্তব সংখ্যায় গুণক গোষ্ঠীর ওয়েল সীমাবদ্ধতা। এটি একটি বাস্তব বীজগাণিতিক গ্রুপ, যার আর-পয়েন্টের গ্রুপ, এস (আর) হল সি * এবং সি-পয়েন্টের গ্রুপ হল সি * × সি *। শিমুরা ডেটাম হল একটি জোড়া (জি, এক্স) যা যুক্তিসঙ্গত সংখ্যার কিউ ক্ষেত্রের উপর সংজ্ঞায়িত একটি (সংযুক্ত) হ্রাসকারী বীজগাণিতিক গোষ্ঠী জি এবং সমরূপতার একটি জি (আর)-সংমিশ্রণ শ্রেণী এক্স নিয়ে গঠিত এইচঃ এস → জিআর নিম্নলিখিত স্বতঃসিদ্ধগুলি সন্তুষ্ট করেঃ এক্স-এর যে কোনও এইচ-এর জন্য, শুধুমাত্র ওজন (0,0), (1,-1), (-1,1) জিসি-তে ঘটতে পারে, অর্থাৎ। জি-এর জটিল লাই বীজগণিত একটি সরাসরি যোগফলের মধ্যে বিভাজিত হয় যেখানে যে কোনও z ω এস-এর জন্য, এইচ (জেড) প্রথম যোগফলের উপর তুচ্ছভাবে এবং দ্বিতীয় (যথাক্রমে, তৃতীয়) যোগফলের উপর (যথাক্রমে,) কাজ করে। এইচ (আই)-এর সংলগ্ন ক্রিয়া জিআর-এর সংলগ্ন গোষ্ঠীর উপর একটি কার্টান ইনভোলুশনকে প্ররোচিত করে। জিআর-এর সংলগ্ন গোষ্ঠীটি কিউ-এর উপর সংজ্ঞায়িত এইচ-এর একটি গুণককে এমনভাবে গ্রহণ করে না যাতে এইচ-এর উপর এইচ-এর অভিক্ষেপ তুচ্ছ হয়। এই স্বতঃসিদ্ধগুলি থেকে জানা যায় যে, এক্স-এর একটি জটিল বহুগুণের (সম্ভবত, সংযোগ বিচ্ছিন্ন) একটি অনন্য কাঠামো রয়েছে যাতে প্রতিটি উপস্থাপনার জন্য ρ: GR → GL (V), পরিবারটি (V, ρ ⋅h) হজ কাঠামোর একটি হোলোমর্ফিক পরিবার; উপরন্তু, এটি হজ কাঠামোর একটি বৈচিত্র্য গঠন করে এবং এক্স হর্মিসিয়ান প্রতিসম ডোমেনের একটি সীমাবদ্ধ বিচ্ছিন্ন মিলন। শিমুরার বৈচিত্র্য ধরা যাক, এ. এফ হল কিউ-এর সসীম অ্যাডেলের বলয়। জি (এ. এফ)-এর প্রতিটি যথেষ্ট ছোট কম্প্যাক্ট ওপেন সাবগ্রুপ কে-এর জন্য, ডাবল কোসেট স্পেস হল ফর্মের স্থানীয়ভাবে প্রতিসম বৈচিত্র্যের একটি সীমাবদ্ধ বিচ্ছিন্ন ইউনিয়ন, যেখানে প্লাস সুপারস্ক্রিপ্ট একটি সংযুক্ত উপাদানকে নির্দেশ করে। এস. এইচ. কে (জি, এক্স) প্রজাতিগুলি জটিল বীজগাণিতিক প্রজাতি এবং এগুলি পর্যাপ্ত পরিমাণে ছোট ছোট কম্প্যাক্ট ওপেন সাবগ্রুপ কে-এর উপর একটি বিপরীত ব্যবস্থা গঠন করে। এই বিপরীত ব্যবস্থাটি জি (এ. এফ)-এর একটি প্রাকৃতিক সঠিক ক্রিয়া স্বীকার করে। এটিকে শিমুরা জাত বলা হয় যা শিমুরা দাতুম (জি, এক্স)-এর সঙ্গে যুক্ত এবং এস. এইচ (জি, এক্স) হিসাবে চিহ্নিত করা হয়। 1960-এর দশকে গোরো শিমুরার একাধিক গবেষণাপত্রে বিশেষ ধরনের হার্মিটিয়ান প্রতিসম ক্ষেত্র এবং সঙ্গতিপূর্ণ উপগোষ্ঠীর জন্য বীজগাণিতিক বৈচিত্র্য γ\X = ShK (G, X) এবং তাদের সংহতকরণ প্রবর্তন করা হয়েছিল। শিমুরার দৃষ্টিভঙ্গি, যা পরে তাঁর মনোগ্রাফ-এ উপস্থাপিত হয়েছিল, মূলত ঘটনাপ্রবণ ছিল, জটিল গুণন তত্ত্বের পারস্পরিক সূত্র গঠনের বিস্তৃত সাধারণীকরণ অনুসরণ করে। পূর্ববর্তী পর্যবেক্ষণে, "শিমুরা বৈচিত্র্য" নামটি ডেলিগনে দ্বারা প্রবর্তিত হয়েছিল, যিনি শিমুরার তত্ত্বে ভূমিকা পালনকারী বিমূর্ত বৈশিষ্ট্যগুলিকে বিচ্ছিন্ন করতে এগিয়ে গিয়েছিলেন। ডেলিনের গঠনে, শিমুরার জাতগুলি নির্দিষ্ট ধরনের হজ কাঠামোর পরামিতি স্থান। এইভাবে তারা স্তর কাঠামো সহ উপবৃত্তাকার বক্ররেখার মডুলি স্পেস হিসাবে দেখা মডুলার বক্ররেখার একটি প্রাকৃতিক উচ্চ-মাত্রিক সাধারণীকরণ গঠন করে। অনেক ক্ষেত্রে, শিমুরার যে মডুলি সমস্যাগুলির সমাধান রয়েছে সেগুলিও একইভাবে চিহ্নিত করা হয়েছে। উদাহরণস্বরূপ ধরা যাক F একটি সম্পূর্ণ বাস্তব সংখ্যার ক্ষেত্র এবং D একটি চতুর্ভুজ বিভাজনের বীজগণিত। গুণিতক গোষ্ঠী D × একটি ক্যানোনিকাল শিমুরা বৈচিত্র্যের জন্ম দেয়। এর মাত্রা হল অসীম স্থানের সংখ্যা যার উপর ডি বিভক্ত হয়। বিশেষত, যদি d = 1 হয় (উদাহরণস্বরূপ, যদি F = Q এবং D = R (R) হয়), D × এর একটি যথেষ্ট ছোট গাণিতিক উপগোষ্ঠী স্থির করে, তাহলে একটি শিমুরা বক্ররেখা পাওয়া যায়, এবং এই গঠন থেকে উদ্ভূত বক্ররেখা ইতিমধ্যে কম্প্যাক্ট হয় (অর্থাৎ। প্রজেক্টিভ)। স্পষ্টভাবে পরিচিত সমীকরণ সহ শিমুরা বক্ররেখার কিছু উদাহরণ নিম্ন বংশের হারউইৎজ বক্ররেখা দ্বারা দেওয়া হয়েছেঃ ক্লেইন কোয়ার্টিক (জেনাস 3) ম্যাকবিথ পৃষ্ঠ (জেনাস 7) ফার্স্ট হারউইৎজ ট্রিপলেট (জেনাস 14) এবং ডিগ্রি 7-এর ফার্মাট বক্ররেখা দ্বারা। শিমুরা জাতের অন্যান্য উদাহরণের মধ্যে রয়েছে পিকার্ড মডুলার সারফেস এবং হিলবার্ট মডুলার সারফেস, যা হিলবার্ট-ব্লুমেন্থাল জাত নামেও পরিচিত। ক্যানোনিকাল মডেল এবং বিশেষ পয়েন্ট প্রতিটি শিমুরার বৈচিত্র্যকে একটি ক্যানোনিকাল নম্বর ফিল্ড E-এর উপর সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে যাকে রিফ্লেক্স ফিল্ড বলা হয়। শিমুরার কারণে এই গুরুত্বপূর্ণ ফলাফলটি দেখায় যে শিমুরার জাতগুলি, যা একটি অগ্রাধিকার শুধুমাত্র জটিল বহুগুণ, সংজ্ঞার একটি বীজগাণিতিক ক্ষেত্র রয়েছে এবং তাই গাণিতিক তাৎপর্য রয়েছে। এটি তাঁর পারস্পরিকতা সূত্র গঠনের সূচনা বিন্দু গঠন করে, যেখানে নির্দিষ্ট গাণিতিকভাবে সংজ্ঞায়িত বিশেষ বিন্দু দ্বারা একটি গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করা হয়। একটি শিমুরা জাতের উপর বিশেষ বিন্দুর সেটের জারিস্কি বন্ধের গুণগত প্রকৃতি আন্দ্রে-ওর্ট অনুমান দ্বারা বর্ণনা করা হয়েছে। একটি সাধারণ রিম্যান অনুমান ধরে নিয়ে এই অনুমানের উপর শর্তসাপেক্ষ ফলাফল পাওয়া গেছে। ল্যাংল্যান্ডস প্রোগ্রামে শিমুরা জাতের ভূমিকা ল্যাংল্যান্ডস প্রোগ্রামে একটি অসামান্য ভূমিকা পালন করে। প্রোটোটাইপিক্যাল উপপাদ্য, আইকলার-শিমুরা কংগ্রুয়েন্স সম্পর্ক, বোঝায় যে একটি মডুলার বক্ররেখার হাস-ওয়েইল জিটা ফাংশন হল ওজন 2-এর স্পষ্টভাবে নির্ধারিত মডুলার ফর্মগুলির সাথে যুক্ত এল-ফাংশনগুলির একটি গুণফল। প্রকৃতপক্ষে, এই উপপাদ্যের সাধারণীকরণের প্রক্রিয়ায়ই গোরো শিমুরা তাঁর বৈচিত্র্য প্রবর্তন করেছিলেন এবং তাঁর পারস্পরিকতার সূত্র প্রমাণ করেছিলেন। অন্যান্য সংখ্যা ক্ষেত্র এবং এর অভ্যন্তরীণ রূপগুলির উপর জিএল2 গোষ্ঠীর সাথে যুক্ত শিমুরা জাতের জিটা ফাংশন (অর্থাৎ। আইকলার, শিমুরা, কুগা, সাটো এবং ইহারা কোয়াটারনিয়ন অ্যালজেব্রার গুণিতক গোষ্ঠী নিয়ে গবেষণা করেছিলেন। তাদের ফলাফলের ভিত্তিতে, রবার্ট ল্যাংল্যান্ডস একটি ভবিষ্যদ্বাণী করেছিলেন যে একটি সংখ্যা ক্ষেত্রের উপর সংজ্ঞায়িত যে কোনও বীজগাণিতিক বৈচিত্র্য W-এর হাস-ওয়েইল জিটা ফাংশন স্বয়ংক্রিয় এল-ফাংশনগুলির ধনাত্মক এবং ঋণাত্মক শক্তির গুণফল হবে, অর্থাৎ। এটি স্বয়ংক্রিয় উপস্থাপনাগুলির একটি সংগ্রহ থেকে উদ্ভূত হওয়া উচিত। যদিও দার্শনিকভাবে এই ধরনের বর্ণনা আশা করা স্বাভাবিক, এই ধরনের বিবৃতি তখনই প্রমাণিত হয়েছে যখন W একটি শিমুরা প্রজাতি। ল্যাংল্যান্ডসের ভাষায়ঃ নোটস রেফারেন্স জেমস আর্থার, ডেভিড এলউড এবং রবার্ট কোটউইটস (সংস্করণ) হারমোনিক অ্যানালাইসিস, দ্য ট্রেস ফর্মুলা অ্যান্ড শিমুরা ভ্যারাইটিজ, ক্লে ম্যাথমেটিক্স প্রসিডিংস, ভলিউম 4, এএমএস, 2005 পিয়েরে ডেলিগনে, ট্রাভাক্স ডি শিমুরা। সেমিনাইর বোরবাকি, 23তম বছর (1970/71), এক্সপ। না। 389, পৃ. 123-165। লেকচার নোটস ইন ম্যাথ, খণ্ড। 244, স্প্রিঙ্গার, বার্লিন, 1971., নামডাম পিয়ের ডেলিগনে, ভ্যারিয়েটস ডি শিমুরাঃ ইন্টারপ্রেটেশন মডুলায়ার, এট টেকনিকস ডি কনস্ট্রাকশন ডি মডেলস ক্যানোনিকস, অটোমর্ফিক ফর্ম, উপস্থাপনা এবং এল-ফাংশন, প্রোক। সিম্পোস। বিশুদ্ধ গণিত, XXXIII (করভালিস, OR, 1977), পার্ট 2, পৃ। 247-289, আমের। গণিত। , প্রভিডেন্স, আর. আই., 1979। পিয়েরে ডেলিগনে, জেমস এস. মিল্নে, আর্থার ওগাস, কুয়াং-ইয়েন শি, হজ চক্র, উদ্দেশ্য এবং শিমুরার প্রকারভেদ। গণিতের লেকচার নোটস, 900। স্প্রিঙ্গার-ভার্লাগ, বার্লিন-নিউ ইয়র্ক, 1982.2 + 414 পিপি। জে. মিল্নে, ইউ. জ্যানসেন, এস. ক্লেইম্যান-এ শিমুরার বৈচিত্র্য এবং উদ্দেশ্য। জে. পি. সেরে (সংস্করণ। ), মোটিভস, প্রোক। সিম্প। পিওর ম্যাথ, 55ঃ2, আমের। গণিত। সোস। (1994), পৃ. 447-523 জে. এস. মিল্নে, আর্থার, এলউড এবং কোটউইট্জ-এ শিমুরা জাতের ভূমিকা (2005) হ্যারি রেইম্যান, দ্য সেমি-সিম্পল জিটা ফাংশন অফ কোয়াটারনিওনিক শিমুরা জাত, লেকচার নোটস ইন ম্যাথমেটিক্স, 1657, স্প্রিংগার, 1997 গোরো শিমুরা, দ্য কালেক্টেড ওয়ার্কস অফ গোরো শিমুরা (2003), খণ্ড 1-5 গোরো শিমুরা ইন্ট্রোডাকশন টু অ্যারিথমেটিক থিওরি অফ অটোমর্ফিক ফাংশনস অ্যালজেব্রিক জ্যামিতি জিটা এবং এল-ফাংশনস অটোমর্ফিক ফর্ম