Monodromy theorem
জটিল বিশ্লেষণে, মনোড্রোমি উপপাদ্য একটি জটিল-বিশ্লেষণাত্মক ফাংশনের একটি বৃহত্তর সেটের বিশ্লেষণাত্মক ধারাবাহিকতা সম্পর্কে একটি গুরুত্বপূর্ণ ফলাফল। ধারণাটি হল যে কেউ একটি জটিল-বিশ্লেষণাত্মক ফাংশনকে (এখান থেকে কেবল বিশ্লেষণাত্মক ফাংশন বলা হয়) বক্ররেখা বরাবর প্রসারিত করতে পারে যা ফাংশনের মূল ডোমেনে শুরু হয় এবং বৃহত্তর সেটে শেষ হয়। একটি বক্ররেখা কৌশল বরাবর এই বিশ্লেষণাত্মক ধারাবাহিকতার একটি সম্ভাব্য সমস্যা হল সাধারণত অনেকগুলি বক্ররেখা থাকে যা বৃহত্তর সেটের একই বিন্দুতে শেষ হয়। মনোড্রোমি উপপাদ্যটি একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে একই মান দেওয়ার জন্য বিশ্লেষণাত্মক ধারাবাহিকতার জন্য পর্যাপ্ত শর্ত দেয়, সেখানে পৌঁছানোর জন্য ব্যবহৃত বক্ররেখা নির্বিশেষে, যাতে ফলস্বরূপ বর্ধিত বিশ্লেষণাত্মক ফাংশনটি সু-সংজ্ঞায়িত এবং একক-মূল্যবান হয়। এই উপপাদ্যটি বলার আগে একটি বক্ররেখা বরাবর বিশ্লেষণাত্মক ধারাবাহিকতা সংজ্ঞায়িত করা এবং এর বৈশিষ্ট্যগুলি অধ্যয়ন করা প্রয়োজন। একটি বক্ররেখা বরাবর বিশ্লেষণাত্মক ধারাবাহিকতা একটি বক্ররেখা বরাবর বিশ্লেষণাত্মক ধারাবাহিকতার সংজ্ঞাটি কিছুটা প্রযুক্তিগত, তবে মূল ধারণাটি হ 'ল একটি বিন্দুর চারপাশে সংজ্ঞায়িত একটি বিশ্লেষণাত্মক ফাংশন দিয়ে শুরু হয় এবং সেই বক্ররেখাটি আচ্ছাদিত ছোট ওভারল্যাপিং ডিস্কগুলিতে সংজ্ঞায়িত বিশ্লেষণাত্মক ফাংশনের মাধ্যমে সেই ফাংশনটি প্রসারিত করে। আনুষ্ঠানিকভাবে, একটি বক্ররেখা (একটি অবিচ্ছিন্ন ফাংশন) বিবেচনা করুন, ধরা যাক একটি বিশ্লেষণাত্মক ফাংশন যা একটি খোলা ডিস্ককে কেন্দ্র করে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে। প্রত্যেকটির জন্য এমন অস্তিত্ব রয়েছে যে একটির সাথে সকলের জন্য এটি রয়েছে (যা বোঝায় যে এবং একটি খালি ছেদ নেই) এবং ফাংশনগুলি এবং ছেদগুলির সাথে মিলে যায় একটি বক্ররেখা বরাবর বিশ্লেষণাত্মক ধারাবাহিকতার বৈশিষ্ট্যগুলি একটি বক্ররেখা বরাবর বিশ্লেষণাত্মক ধারাবাহিকতা মূলত অনন্য, এই অর্থে যে দুটি বিশ্লেষণাত্মক ধারাবাহিকতা দেওয়া হয়েছে এবং ফাংশনগুলির সাথে এবং অনানুষ্ঠানিকভাবে মিলে যায়, এটি বলে যে সমান্তরালের যে কোনও দুটি বিশ্লেষণাত্মক ধারাবাহিকতা এর আশেপাশে একই মানের সাথে শেষ হবে। মনোড্রোমি উপপাদ্য যেমন আগে উল্লেখ করা হয়েছে, একই বক্ররেখা বরাবর দুটি বিশ্লেষণাত্মক ধারাবাহিকতা বক্ররেখার শেষ বিন্দুতে একই ফলাফল দেয়। যাইহোক, একই বিন্দু থেকে দুটি ভিন্ন বক্ররেখা দেওয়া হয়েছে যার চারপাশে একটি বিশ্লেষণাত্মক ফাংশন সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে, বক্ররেখা শেষে পুনরায় সংযুক্ত হওয়ার সাথে, এটি সাধারণভাবে সত্য নয় যে দুটি বক্ররেখা বরাবর সেই ফাংশনের বিশ্লেষণাত্মক ধারাবাহিকতা তাদের সাধারণ শেষ বিন্দুতে একই মান দেবে। প্রকৃতপক্ষে, পূর্ববর্তী বিভাগের মতো, একটি বিন্দুর আশেপাশে সংজ্ঞায়িত জটিল লগারিদম এবং মূল এবং ব্যাসার্ধকে কেন্দ্র করে বৃত্তটি বিবেচনা করা যেতে পারে। তারপর, এই বৃত্তের উপরের অর্ধ-সমতল আর্কে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে এবং নীচের অর্ধ-সমতল আর্কে ঘড়ির কাঁটার দিকে ভ্রমণ করা সম্ভব। এই দুটি চাপ বরাবর বিশ্লেষণাত্মক ধারাবাহিকতা দ্বারা প্রাপ্ত লগারিদমের মানগুলি দ্বারা পৃথক হবে যদি, তবে, প্রারম্ভিক বিন্দু এবং শেষ বিন্দু স্থির রেখে একটি বক্ররেখাকে ক্রমাগত অন্যটিতে বিকৃত করতে পারে এবং প্রতিটি মধ্যবর্তী বক্ররেখায় বিশ্লেষণাত্মক ধারাবাহিকতা সম্ভব হয়, তবে দুটি বক্ররেখা বরাবর বিশ্লেষণাত্মক ধারাবাহিকতা তাদের সাধারণ শেষ বিন্দুতে একই ফলাফল দেবে। একে মনোড্রোমি উপপাদ্য বলা হয় এবং এর বিবৃতিটি নীচে সুনির্দিষ্টভাবে দেওয়া হয়েছে। একটি বিন্দুতে কেন্দ্রীভূত জটিল সমতলে একটি খোলা ডিস্ক হতে দিন এবং একটি জটিল-বিশ্লেষণাত্মক ফাংশন হতে দিন। জটিল সমতলে আরেকটি বিন্দু ধরা যাক। যদি এমন বক্ররেখার একটি পরিবার বিদ্যমান থাকে যার সাথে এবং সমস্ত ফাংশনের জন্য অবিচ্ছিন্ন, এবং প্রত্যেকটির জন্য একটি বিশ্লেষণাত্মক ধারাবাহিকতা করা সম্ভব হয় তবে বিশ্লেষণাত্মক ধারাবাহিকতা বরাবর এবং একই মান প্রদান করবে মনোড্রোমি উপপাদ্যটি একটি বিশ্লেষণাত্মক ফাংশনকে বৃহত্তর সেটের পয়েন্টগুলিতে ফাংশনের মূল ডোমেনের একটি বিন্দুকে সংযুক্ত করে বক্ররেখার মাধ্যমে একটি বৃহত্তর সেটে প্রসারিত করা সম্ভব করে তোলে। নীচের উপপাদ্যটি যা বলে তাকে মনোড্রোমি উপপাদ্যও বলা হয়। একটি বিন্দুতে কেন্দ্রীভূত জটিল সমতলে একটি খোলা ডিস্ক হতে দিন এবং একটি জটিল-বিশ্লেষণাত্মক ফাংশন হতে দিন। যদি একটি খোলা সরলভাবে সংযুক্ত সেট থাকে এবং যে কোনও বক্ররেখার উপর একটি বিশ্লেষণাত্মক ধারাবাহিকতা সম্পাদন করা সম্ভব হয় যার মধ্যে শুরু হয় তখন একটি সরাসরি বিশ্লেষণাত্মক ধারাবাহিকতা স্বীকার করে যার অর্থ একটি জটিল-বিশ্লেষণাত্মক ফাংশন বিদ্যমান যার সীমাবদ্ধতা রয়েছে।