Atkinson's theorem
অপারেটর তত্ত্বে, অ্যাটকিনসনের উপপাদ্য (ফ্রেডরিক ভ্যালেন্টাইন অ্যাটকিনসনের নামে নামকরণ করা হয়েছে) ফ্রেডহোম অপারেটরদের একটি বৈশিষ্ট্য প্রদান করে। এই উপপাদ্যটি H-কে একটি হিলবার্ট স্থান এবং L (H)-কে H-এর উপর আবদ্ধ অপারেটরের সেট হিসাবে ধরা যাক। নিম্নলিখিতটি একটি ফ্রেডহোম অপারেটরের ধ্রুপদী সংজ্ঞাঃ একটি অপারেটর T ω L (H)-কে ফ্রেডহোম অপারেটর বলা হয় যদি কার্নেল কের (T) সীমাবদ্ধ-মাত্রিক হয়, কের (T *) সীমাবদ্ধ-মাত্রিক হয় (যেখানে T * টি-এর সংলগ্নকে বোঝায়), এবং রান (T) পরিসীমা বন্ধ থাকে। অ্যাটকিনসনের উপপাদ্য বলেঃ একটি টি ω এল (এইচ) একটি ফ্রেডহোম অপারেটর যদি এবং শুধুমাত্র যদি টি বিপরীতমুখী মডুলো কম্প্যাক্ট বিশৃঙ্খলা হয়, অর্থাৎ। টি. এস = আই + সি1 এবং এস. টি = আই + সি2 কিছু আবদ্ধ অপারেটর এস এবং কম্প্যাক্ট অপারেটর সি1 এবং সি2-এর জন্য। অন্য কথায়, একটি অপারেটর T ω L (H) হল ফ্রেডহোম, শাস্ত্রীয় অর্থে, যদি এবং শুধুমাত্র যদি কালকিন বীজগণিতে এর অভিক্ষেপ বিপরীতমুখী হয়। প্রমাণের রেখাচিত্র একটি প্রমাণের রূপরেখা নিম্নরূপ। রেস্ট্রিকশন টিঃ কের (টি) ডি. ডি. ও. আর. এন (টি) হল একটি বাইজেকশন, এবং তাই ওপেন ম্যাপিং উপপাদ্য দ্বারা বিপরীতমুখী। এই বিপরীতটি 0 দ্বারা প্রসারিত করুন রান (টি) ডিডি = কের (টি *)-এর উপর একটি অপারেটর এস-এর কাছে যা সমস্ত এইচ-এর উপর সংজ্ঞায়িত। তারপর আই-টিএস হল কের (টি *)-এর উপর সীমাবদ্ধ-র্যাঙ্ক অভিক্ষেপ, এবং আই-এসটি হল কের (টি)-এর উপর অভিক্ষেপ। এটি উপপাদ্যের একমাত্র অংশ হিসাবে প্রমাণিত হয়। বিপরীতটির জন্য, ধরুন এখন কোনও কম্প্যাক্ট অপারেটর C2-এর জন্য ST = I + C2। যদি x bul কের (T) হয়, তাহলে STx = x + C2x = 0 হবে। সুতরাং কের (টি) সি2-এর একটি আইগেনস্পেসে রয়েছে, যা সসীম-মাত্রিক (কম্প্যাক্ট অপারেটরের বর্ণালী তত্ত্ব দেখুন)। অতএব, কের (টি) ও সসীম-মাত্রিক। একই যুক্তি দেখায় যে কের (টি *) ও সসীম-মাত্রিক। রান (টি) বন্ধ রয়েছে তা প্রমাণ করার জন্য, আমরা আনুমানিক বৈশিষ্ট্যটি ব্যবহার করিঃ ধরা যাক এফ একটি সীমাবদ্ধ-র্যাঙ্কের অপারেটর যাতে। |F −সি2।। <আর। তারপর কের (এফ)-এর প্রতিটি এক্স-এর জন্য,। |S।।। |Tx।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।। এইভাবে টি কের (এফ)-এর নিচে আবদ্ধ, যা বোঝায় যে টি (কের (এফ)) বন্ধ। অন্যদিকে, টি (কের (এফ) ডিডি) সসীম-মাত্রিক, যেহেতু কের (এফ) ডিডি = রান (এফ *) সসীম-মাত্রিক। অতএব, রান (টি) = টি (কের (এফ)) + টি (কের (এফ) ডি) বন্ধ, এবং এটি উপপাদ্যটি প্রমাণ করে। অ্যাটকিনসনের উপপাদ্যের আরও একটি সম্পূর্ণ চিকিৎসা আর্ভেসনের রেফারেন্সের মধ্যে রয়েছেঃ এটি দেখায় যে যদি 'বি' একটি বানাচ স্পেস হয়, তবে একটি অপারেটর হল ফ্রেডহোম যদি এটি একটি সীমাবদ্ধ র্যাঙ্ক অপারেটর হয় (এবং পরেরটি একটি কম্প্যাক্ট অপারেটর হিসাবে ইনভার্টিবল মডুলোর সমতুল্য, যা এনফ্লো-এর কম্প্যাক্ট অপারেটরগুলির সাথে পৃথকযোগ্য, রিফ্লেক্সিভ বানাচ স্পেসের উদাহরণের পরিপ্রেক্ষিতে উল্লেখযোগ্য যা সীমাবদ্ধ র্যাঙ্ক অপারেটরদের আদর্শ-সীমা নয়)। বানাচ স্পেসের জন্য, একটি ফ্রেডহোম অপারেটর হ 'ল সসীম মাত্রিক কার্নেল এবং সসীম কোডিমেনশনের পরিসীমা (তার সংলগ্ন কার্নেলের সসীম মাত্রিক হওয়ার সমতুল্য)। লক্ষ্য করুন যে, রান (টি) বন্ধ হওয়ার অনুমানটি অপ্রয়োজনীয় কারণ একটি সীমাবদ্ধ কোডিমেনশনের স্থান যা একটি সীমাবদ্ধ অপারেটরের পরিসীমাও সর্বদা বন্ধ থাকে (নীচে আর্ভেসন রেফারেন্স দেখুন); এটি ওপেন-ম্যাপিং উপপাদ্যের একটি পরিণতি (এবং যদি স্থানটি একটি সীমাবদ্ধ অপারেটরের পরিসীমা না হয় তবে সত্য নয়, উদাহরণস্বরূপ একটি বিচ্ছিন্ন রৈখিক কার্যকারিতার কার্নেল)। রেফারেন্স আর্ভেসন, উইলিয়াম বি., এ শর্ট কোর্স অন স্পেকট্রাল থিওরি, স্প্রিঙ্গার গ্র্যাজুয়েট টেক্সটস ইন ম্যাথমেটিক্স, ভলিউম 209,2002, ফ্রেডহোম থিওরি থিওরেমস ইন ফাংশনাল অ্যানালাইসিস