Riemann–Hilbert correspondence
গণিতে, রিম্যান-হিলবার্ট চিঠিপত্র শব্দটি বীজগাণিতিক ভেক্টর বান্ডিলগুলির উপর নিয়মিত একক সমতল সংযোগ এবং মৌলিক গোষ্ঠীর উপস্থাপনা এবং আরও সাধারণভাবে এর বেশ কয়েকটি সাধারণীকরণের মধ্যে একটির মধ্যে চিঠিপত্রকে বোঝায়। হিলবার্টের একুশতম সমস্যায় প্রদর্শিত মূল সেটিংটি রিম্যান গোলকের জন্য ছিল, যেখানে এটি নির্ধারিত মনোড্রোমি উপস্থাপনা সহ রৈখিক নিয়মিত ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সিস্টেমের অস্তিত্ব সম্পর্কে ছিল। প্রথমে রিম্যান গোলকটি একটি নির্বিচারে রিম্যান পৃষ্ঠ দ্বারা প্রতিস্থাপিত হতে পারে এবং তারপরে, উচ্চতর মাত্রায়, রিম্যান পৃষ্ঠগুলি> 1 মাত্রার জটিল ম্যানিফোল্ড দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়। আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের নির্দিষ্ট কিছু পদ্ধতি (রৈখিক এবং তাদের সমাধানের জন্য খুব বিশেষ বৈশিষ্ট্য রয়েছে) এবং তাদের সমাধানের সম্ভাব্য মনোড্রোমির মধ্যে একটি যোগাযোগ রয়েছে। নিয়মিত এককত্বের সাথে বীজগাণিতিক সংযোগের জন্য এই ধরনের ফলাফল পিয়েরে ডেলিগনে (1970, রিম্যান পৃষ্ঠের ক্ষেত্রে বিদ্যমান কাজের সাধারণীকরণ) এবং আরও সাধারণভাবে নিয়মিত হোলোনমিক ডি-মডিউলের জন্য মাসাকি কাশীওয়ারা (1980,1984) এবং জোঘমান মেবখৌত (1980,1984) স্বাধীনভাবে প্রমাণ করেছিলেন। নন-অ্যাবেলিয়ান হজ তত্ত্বের প্রেক্ষাপটে, রিমান-হিলবার্ট চিঠিপত্র মডুলি স্পেসে তিনটি প্রাকৃতিক বীজগাণিতিক কাঠামোর মধ্যে দুটির মধ্যে একটি জটিল বিশ্লেষণাত্মক সমরূপতা প্রদান করে এবং তাই স্বাভাবিকভাবেই ডি রাম কোহোমোলজি এবং সিঙ্গুলার/বেটি কোহোমোলজির মধ্যে তুলনা সমরূপতার একটি নন-অ্যাবেলিয়ান অ্যানালগ হিসাবে দেখা হয়। বিবৃতি ধরুন যে এক্স একটি মসৃণ জটিল বীজগাণিতিক বৈচিত্র্য। রিম্যান-হিলবার্ট চিঠিপত্র (নিয়মিত একক সংযোগের জন্য): স্থানীয় সমাধান ফাংক্টর নামে একটি ফাংক্টর সোল রয়েছে, যা এক্স-এর উপর সীমাবদ্ধ-মাত্রিক জটিল ভেক্টর স্পেসের স্থানীয় সিস্টেমের বিভাগের সাথে নিয়মিত এককত্ব সহ এক্স-এর উপর বীজগাণিতিক ভেক্টর বান্ডিলগুলির সমতল সংযোগের বিভাগ থেকে একটি সমতুল্য। সংযুক্ত এক্স-এর জন্য, স্থানীয় ব্যবস্থার বিভাগটিও এক্স-এর মৌলিক গোষ্ঠীর জটিল উপস্থাপনার বিভাগের সমতুল্য। এইভাবে এই ধরনের সংযোগগুলি টপোলজিকাল মৌলিক গোষ্ঠীর সীমাবদ্ধ মাত্রিক উপস্থাপনাগুলি অ্যাক্সেস করার জন্য একটি বিশুদ্ধ বীজগাণিতিক উপায় দেয়। নিয়মিত এককত্বের শর্তের অর্থ হল যে বান্ডিলের স্থানীয়ভাবে ধ্রুবক অংশগুলির (সমতল সংযোগের সাপেক্ষে) Y − X বিন্দুতে মাঝারি বৃদ্ধি রয়েছে, যেখানে Y হল X-এর একটি বীজগাণিতিক সংকোচন। বিশেষ করে, যখন এক্স কম্প্যাক্ট হয়, তখন নিয়মিত এককত্বের শর্ত শূন্য হয়। আরও সাধারণভাবে রিমান-হিলবার্ট চিঠিপত্র রয়েছে (নিয়মিত হোলোনমিক ডি-মডিউলগুলির জন্য): ডি রাম ফাংক্টর নামে একটি ফাংক্টর ড. আর রয়েছে, যা এক্স-এর উপর হোলোনমিক ডি-মডিউলগুলির বিভাগ থেকে একটি সমতুল্য যা নিয়মিত এককত্ব সহ এক্স-এর উপর বিকৃত শেভের বিভাগের সাথে। প্রতিটি বিভাগের অপরিবর্তনীয় উপাদানগুলি বিবেচনা করে, এটি নিয়মিত এককত্ব সহ এক্স-এর অপরিবর্তনীয় হোলোনমিক ডি-মডিউলগুলির আইসোমরফিজম শ্রেণীর মধ্যে এবং অপরিবর্তনীয় স্থানীয় ব্যবস্থায় সহগগুলির সাথে এক্স-এর অপরিবর্তনীয় বদ্ধ উপ-বৈচিত্র্যের ছেদ সমসংস্থান কমপ্লেক্সগুলির মধ্যে 1:1 মিল দেয়। একটি ডি-মডিউল হল এক্স-এর উপর ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একটি সিস্টেমের মতো কিছু, এবং একটি উপ-বৈচিত্র্যের উপর একটি স্থানীয় সিস্টেম সম্ভাব্য মনোড্রোমির বর্ণনার মতো কিছু, তাই এই চিঠিপত্রটিকে তাদের সমাধানের মনোড্রোমির পরিপ্রেক্ষিতে ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের নির্দিষ্ট সিস্টেমের বর্ণনা হিসাবে ভাবা যেতে পারে। যদি এক্স-এর মাত্রা এক (একটি জটিল বীজগাণিতিক বক্ররেখা) থাকে, তাহলে মালগ্রাঞ্জে (1991) বর্ণিত রিম্যান-হিলবার্ট-বারখফ চিঠিতে কোনও নিয়মিত অনুমান ছাড়াই (বা কোনও নিয়মিত অনুমান ছাড়াই হোলোনমিক ডি-মডিউলগুলির জন্য) বীজগাণিতিক সংযোগের জন্য আরও সাধারণ রিম্যান-হিলবার্ট চিঠিপত্র রয়েছে। উদাহরণ একটি উদাহরণ যেখানে উপপাদ্যটি প্রযোজ্য তা হল পঞ্চারযুক্ত অ্যাফিন রেখা A1 − {0} (অর্থাৎ, অ-শূন্য জটিল সংখ্যা C − {0}-এর উপর)-এর ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ। এখানে a একটি স্থির জটিল সংখ্যা। প্রজেক্টিভ লাইন পি1-এ এই সমীকরণের নিয়মিত এককত্ব রয়েছে 0 এবং φ-তে। সমীকরণের স্থানীয় সমাধানগুলি c স্থিরাংশের জন্য cza আকারে হয়। যদি a একটি পূর্ণসংখ্যা না হয়, তবে za ফাংশনটিকে সমস্ত C − {0}-এর উপর ভালভাবে সংজ্ঞায়িত করা যায় না। তার মানে হল যে সমীকরণটিতে নন-ট্রিভিয়াল মনোড্রোমি রয়েছে। স্পষ্টতই, এই সমীকরণের মনোড্রোমি হল মৌলিক গ্রুপ 1 (A1− {0}) = Z-এর 1-মাত্রিক উপস্থাপনা যেখানে জেনারেটর (উৎপত্তির চারপাশে একটি লুপ) e2ia দ্বারা গুণিত হয়ে কাজ করে। নিয়মিত এককত্বের অনুমানের প্রয়োজনীয়তা দেখতে, অ্যাফিন লাইন A1 (অর্থাৎ, জটিল সংখ্যা C-এর উপর)-এর ডিফারেনশিয়াল সমীকরণটি বিবেচনা করুন। এই সমীকরণটি A1-এর উপর তুচ্ছ বীজগাণিতিক রেখার বান্ডিলের একটি সমতল সংযোগের সাথে মিলে যায়। সমীকরণের সমাধানগুলি c ধ্রুবকের জন্য cez আকারে হয়। যেহেতু এই সমাধানগুলির প্রক্ষিপ্ত রেখা P1-এর বিন্দু φ-এর আশেপাশের কিছু ক্ষেত্রে বহুপদী বৃদ্ধি নেই, তাই সমীকরণটির φ-তে নিয়মিত এককত্ব নেই। (এটি পরিবর্তনশীল w: = 1/z-এর পরিপ্রেক্ষিতে সমীকরণটি পুনর্লিখন করেও দেখা যায়, যেখানে এটি হয়ে যায়। যেহেতু সিইজেড ফাংশনগুলি পুরো অ্যাফাইন লাইন এ1-এ সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে, তাই এই সমতল সংযোগের মনোড্রোমি তুচ্ছ। কিন্তু এই সমতল সংযোগটি A1-এর উপর তুচ্ছ রেখার বান্ডিলের সুস্পষ্ট সমতল সংযোগের সমরূপ নয় (সমতল সংযোগ সহ একটি বীজগাণিতিক ভেক্টর বান্ডিল হিসাবে), কারণ এর সমাধানগুলির φ-তে মাঝারি বৃদ্ধি নেই। এটি রিমান-হিলবার্ট চিঠিপত্রের নিয়মিত এককত্বের সাথে সমতল সংযোগ সীমাবদ্ধ করার প্রয়োজনীয়তা দেখায়। অন্যদিকে, যদি আমরা A1 = C-এর মতো একটি অ-কম্প্যাক্ট জটিল ম্যানিফোল্ডের উপর সমতল সংযোগ সহ হোলোমর্ফিক (বীজগাণিতিক নয়) ভেক্টর বান্ডিল নিয়ে কাজ করি, তবে নিয়মিত এককত্বের ধারণাটি সংজ্ঞায়িত করা হয় না। রিম্যান-হিলবার্ট চিঠিপত্রের তুলনায় অনেক বেশি প্রাথমিক উপপাদ্য বলে যে, হোলোমর্ফিক ভেক্টর বান্ডিলগুলির উপর সমতল সংযোগগুলি তাদের মনোড্রোমি দ্বারা আইসোমরফিজম পর্যন্ত নির্ধারিত হয়। বৈশিষ্ট্যযুক্ত পি-তে বৈশিষ্ট্যযুক্ত পি> 0-এর স্কিমগুলির জন্য, একটি রিম্যান-হিলবার্ট চিঠিপত্র স্থাপন করুন যা বিশেষভাবে দাবি করে যে জেড/পি-সহগগুলির সাথে এটেল শেভের এটেল কোহোমোলজি সুসংগত কোহোমোলজির উপর ফ্রোবেনিয়াস এন্ডোমর্ফিজমের ক্রিয়ার পরিপ্রেক্ষিতে গণনা করা যেতে পারে। আরও দেখুন রিম্যান-হিলবার্ট সমস্যা রেফারেন্স (বিচ্ছিন্ন হাইপারসার্ফেস সিঙ্গুলারিটির মিলনর ফাইবারের জন্য রিম্যান-হিলবার্ট চিঠিপত্রের স্পষ্ট উপস্থাপনা দেয়) ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ প্রতিনিধিত্ব তত্ত্ব বার্নহার্ড রিম্যান