Index group
গণিতের একটি শাখা, অপারেটর তত্ত্বে, প্রতিটি বানাচ বীজগণিতকে তার বিমূর্ত সূচক গোষ্ঠী নামে একটি গোষ্ঠীর সাথে যুক্ত করা যেতে পারে। সংজ্ঞা ধরা যাক 'এ' একটি বানাচ বীজগণিত এবং 'জি' হল 'এ'-র বিপরীতমুখী উপাদানের সমষ্টি। সেট জি খোলা এবং একটি টপোলজিকাল গ্রুপ। পরিচয় উপাদান G0 বিবেচনা করুন, অথবা অন্য কথায় A-এর পরিচয় 1 ধারণকারী সংযুক্ত উপাদান; G0 হল G-এর একটি স্বাভাবিক উপগোষ্ঠী। ভাগফল গোষ্ঠী λA = G/G0 হল A-এর বিমূর্ত সূচক গোষ্ঠী। যেহেতু G0, একটি উন্মুক্ত সেটের উপাদান, G-তে খোলা এবং বন্ধ উভয়ই, সূচক গোষ্ঠীটি একটি বিচ্ছিন্ন গোষ্ঠী। উদাহরণস্বরূপ ধরা যাক, এল (এইচ) হিলবার্ট স্পেসে আবদ্ধ অপারেটরের বানাচ বীজগণিত। এল (এইচ)-এ বিপরীতমুখী উপাদানগুলির সেটটি পথ সংযুক্ত। অতএব, λ (H) হল তুচ্ছ গ্রুপ। ধরা যাক T জটিল সমতলে একক বৃত্তকে নির্দেশ করে। টি থেকে জটিল সংখ্যা পর্যন্ত অবিচ্ছিন্ন ফাংশনের বীজগণিত সি (টি) হল একটি বানাচ বীজগণিত, যার টপোলজি অভিন্ন অভিসরণ। সি (টি)-তে একটি ফাংশন ইনভার্টিবল (অর্থাৎ এটির একটি পয়েন্টওয়াইজ মাল্টিপ্লিকেটিভ ইনভার্স রয়েছে, এটি একটি ইনভার্টিবল ফাংশন নয়) যদি এটি টি-এর কোনও উপাদানকে শূন্যে ম্যাপ না করে। গ্রুপ জি0 সমস্থানিক উপাদান নিয়ে গঠিত, জি-তে, জি-তে পরিচয়ের জন্য, ধ্রুবক ফাংশন 1। মানচিত্রের স্বতন্ত্র হোমোটপি শ্রেণীর জি-তে প্রতিনিধি হিসাবে fn (z) = zn ফাংশনগুলি বেছে নেওয়া যেতে পারে। সুতরাং সূচক গোষ্ঠী λC (T) হল হোমোটপি শ্রেণীর সেট, যা তার সদস্যদের ঘূর্ণায়মান সংখ্যা দ্বারা সূচীভুক্ত করা হয়। সুতরাং λC (T) টি-এর মৌলিক গোষ্ঠীর সমরূপ। এটি একটি গণনাযোগ্য বিচ্ছিন্ন গোষ্ঠী। কালকিন বীজগণিত K হল কম্প্যাক্ট অপারেটরের ক্ষেত্রে L (H)-এর ভাগফল C *-বীজগণিত। ধরুন π হল ভাগফলের মানচিত্র। অ্যাটকিনসনের উপপাদ্য অনুসারে, কে-তে একটি বিপরীতমুখী উপাদান π (টি) আকারে থাকে যেখানে টি একটি ফ্রেডহোম অপারেটর। সূচক গোষ্ঠী λK আবার একটি গণনাযোগ্য বিচ্ছিন্ন গোষ্ঠী। প্রকৃতপক্ষে, ফ্রেডহোম সূচকের মাধ্যমে λK পূর্ণসংখ্যা Z-এর যোগাত্মক গোষ্ঠীর সমরূপ। অন্য কথায়, ফ্রেডহোম অপারেটরদের জন্য, সূচকের দুটি ধারণা মিলে যায়। তথ্যসূত্র ঝু, কেহ (1993)। অপারেটর আলজেব্রা, সিআরসি প্রেস, বোকা রেটন, এলএ, অপারেটর তত্ত্ব বানাচ আলজেব্রা বিচ্ছিন্ন গোষ্ঠীর একটি ভূমিকা