Inverse curve
বিপরীতমুখী জ্যামিতিতে, একটি প্রদত্ত বক্ররেখার বিপরীত বক্ররেখা হল একটি বিপরীত ক্রিয়া প্রয়োগের ফলাফল। বিশেষত, কেন্দ্র এবং ব্যাসার্ধ সহ একটি স্থির বৃত্তের ক্ষেত্রে একটি বিন্দুর বিপরীত হল সেই বিন্দু যার জন্য রশ্মি এবং তার উপর অবস্থিত। বক্ররেখার বিপরীতটি তখন এর লোকাস হিসাবে অতিক্রম করে। এই গঠনের বিন্দুটিকে বলা হয় বিপরীতমুখী কেন্দ্র, বৃত্তটিকে বিপরীতমুখী বৃত্ত এবং বিপরীতমুখী ব্যাসার্ধ। দুইবার প্রয়োগ করা একটি বিপরীত হল পরিচয় রূপান্তর, তাই একই বৃত্তের সাপেক্ষে একটি বিপরীত বক্ররেখার বিপরীত হল মূল বক্ররেখা। বিপরীত বৃত্তের বিন্দুগুলি বিপরীত দ্বারা স্থির করা হয়, তাই এর বিপরীতটি নিজেই। সমীকরণ একক বৃত্তের সাপেক্ষে বিন্দুর বিপরীতটি হল কোথায় বা সমতুল্য। সুতরাং একক বৃত্তের সাপেক্ষে বক্ররেখার বিপরীতটি হল এটি থেকে স্পষ্ট যে, একটি বৃত্তের সাপেক্ষে মাত্রার বীজগাণিতিক বক্ররেখার বিপরীতটি সর্বাধিক মাত্রার একটি বীজগাণিতিক বক্ররেখা তৈরি করে। একইভাবে, একক বৃত্তের সাপেক্ষে সমীকরণ দ্বারা প্যারামেট্রিকভাবে সংজ্ঞায়িত বক্ররেখার বিপরীতটি প্যারামেট্রিকভাবে দেওয়া হয়। আরও সাধারণভাবে, কেন্দ্র এবং ব্যাসার্ধ সহ বৃত্তের সাপেক্ষে নির্ধারিত বক্ররেখার বিপরীতটি হল একই বৃত্তের সাপেক্ষে প্যারামেট্রিকভাবে সংজ্ঞায়িত বক্ররেখার বিপরীতটি প্যারামেট্রিকভাবে দেওয়া হয় মেরু স্থানাঙ্কে, সমীকরণগুলি সহজ হয় যখন বিপরীত বৃত্তটি একক বৃত্ত হয়। একক বৃত্তের সাপেক্ষে বিন্দুর বিপরীত হল যেখানে বক্ররেখার বিপরীত দ্বারা নির্ধারিত হয় এবং বক্ররেখার বিপরীত হয়। ডিগ্রি উপরে উল্লিখিত হিসাবে, একটি ডিগ্রি বক্ররেখার বৃত্তের সাপেক্ষে বিপরীতটির সর্বাধিক ডিগ্রি থাকে। ডিগ্রিটি ঠিক ততক্ষণ পর্যন্ত হয় যতক্ষণ না মূল বক্ররেখাটি বিপরীত বিন্দুর মধ্য দিয়ে যায় বা এটি বৃত্তাকার হয়, যার অর্থ এটি বৃত্তাকার বিন্দু ধারণ করে, যখন জটিল প্রজেক্টিভ সমতলে একটি বক্ররেখা হিসাবে বিবেচিত হয়। সাধারণভাবে, একটি স্বেচ্ছাচারী বক্ররেখার সাপেক্ষে বিপরীতকরণ আনুপাতিকভাবে বৃহত্তর মাত্রার একটি বীজগাণিতিক বক্ররেখা তৈরি করতে পারে। বিশেষত, যদি ডিগ্রির-বৃত্তাকার হয়, এবং যদি বিপরীতমুখী কেন্দ্রটি ক্রমের একক হয়, তবে বিপরীত বক্ররেখাটি ডিগ্রির একটি-বৃত্তাকার বক্ররেখা হবে এবং বিপরীতমুখী কেন্দ্রটি বিপরীত বক্ররেখার ক্রমের একক হবে। এখানে যদি বক্ররেখার বিপরীতমুখী কেন্দ্র না থাকে এবং যদি বিপরীতমুখী কেন্দ্রটি তার উপর একটি অ-একক বিন্দু হয়; একইভাবে বৃত্তাকার বিন্দুগুলি, উপরের ক্রমের এককত্ব। এই সম্পর্কগুলি থেকে মানটি বাদ দেওয়া যেতে পারে যাতে দেখানো যায় যে ডিগ্রির-বৃত্তাকার বক্ররেখার সেট, যেখানে পরিবর্তিত হতে পারে কিন্তু একটি নির্দিষ্ট ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা, বিপরীতের অধীনে অপরিবর্তনীয়। উদাহরণস্বরূপ, বার্নৌলির লেমনিস্কেটের উপরের রূপান্তরটি প্রয়োগ করা আমাদের একটি হাইপারবোলার সমীকরণ দেয়; যেহেতু বিপরীতমুখী একটি জন্মগত রূপান্তর এবং হাইপারবোলা একটি যুক্তিসঙ্গত বক্ররেখা, এটি দেখায় যে লেমিনিস্কেটও একটি যুক্তিসঙ্গত বক্ররেখা, যা শূন্য বংশের বক্ররেখা। যদি আমরা ফার্মাট বক্ররেখার রূপান্তরটি প্রয়োগ করি, যেখানে বিজোড়, আমরা ফার্ম্যাট বক্ররেখার যে কোনও যুক্তিসঙ্গত বিন্দুর এই বক্ররেখার উপর একটি সংশ্লিষ্ট যুক্তিসঙ্গত বিন্দু থাকে, যা ফার্মাট-এর শেষ উপপাদ্যের সমতুল্য সূত্র দেয়। বিশেষ ক্ষেত্রে সরলতার জন্য, নিম্নলিখিত ক্ষেত্রে বিপরীত বৃত্তটি একক বৃত্ত হবে। মূল বক্ররেখার অনুবাদ এবং বিবর্ধন দ্বারা বিপরীতমুখী অন্যান্য বৃত্তের ফলাফল পাওয়া যায়। উৎপত্তির মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি রেখার জন্য, মেরু সমীকরণ হল যেখানে স্থির। এটি বিপরীতের অধীনে অপরিবর্তিত থাকে। উৎপত্তির মধ্য দিয়ে না যাওয়া একটি রেখার মেরু সমীকরণ হল এবং বিপরীত বক্ররেখার সমীকরণ হল যা উৎপত্তির মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি বৃত্তকে সংজ্ঞায়িত করে। আবার ইনভার্সন প্রয়োগ করলে দেখা যায় যে, উৎপত্তির মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি বৃত্তের ইনভার্স একটি রেখা। মেরু স্থানাঙ্কে, একটি বৃত্তের জন্য সাধারণ সমীকরণ যা উৎপত্তির মধ্য দিয়ে যায় না (অন্যান্য ক্ষেত্রে আচ্ছাদিত করা হয়েছে) যেখানে ব্যাসার্ধ এবং কেন্দ্রের মেরু স্থানাঙ্ক। বিপরীত বক্ররেখার সমীকরণটি তখন হয় বা এটি ব্যাসার্ধ এবং কেন্দ্র সহ একটি বৃত্তের সমীকরণ যার মেরু স্থানাঙ্কগুলি ঋণাত্মক হতে পারে। যদি মূল বৃত্তটি একক বৃত্তের সাথে ছেদ করে, তবে দুটি বৃত্তের কেন্দ্র এবং একটি ছেদ বিন্দু বাহু সহ একটি ত্রিভুজ গঠন করে, এটি একটি সমকোণ ত্রিভুজ, অর্থাৎ। তবে উপরের সমীকরণগুলি থেকে, মূল বৃত্তটি ঠিক বিপরীত বৃত্তের মতোই হয় যখন একটি বৃত্তের বিপরীতটি একই বৃত্ত হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি এটি একক বৃত্তটিকে সমকোণে ছেদ করে। এটিকে এবং পূর্ববর্তী অংশটিকে সংক্ষিপ্ত এবং সাধারণীকরণ করার জন্যঃ একটি রেখা বা বৃত্তের বিপরীত হল একটি রেখা বা একটি বৃত্ত। যদি মূল বক্ররেখাটি একটি রেখা হয় তবে বিপরীত বক্ররেখাটি বিপরীত কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে যাবে। যদি মূল বক্ররেখাটি বিপরীতমুখী কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে যায় তবে বিপরীত বক্ররেখাটি একটি রেখা হবে। বিপরীত বক্ররেখাটি মূল বক্ররেখার মতোই হবে ঠিক যখন বক্ররেখাটি বিপরীত বৃত্তটিকে সমকোণে ছেদ করে। শীর্ষে বিপরীতমুখী কেন্দ্র সহ প্যারাবোলাস একটি প্যারাবোলার সমীকরণ, সাদৃশ্য পর্যন্ত, এমনভাবে অনুবাদ করা হয় যাতে শীর্ষটি উৎপত্তিস্থলে থাকে এবং ঘোরানো হয় যাতে অক্ষটি অনুভূমিক হয়। মেরু স্থানাঙ্কে এটি হয়ে যায় বিপরীত বক্ররেখার তারপর সমীকরণ থাকে যা ডায়োক্লিসের সিসয়েড। একটি ফোকাসে বিপরীতমুখী কেন্দ্র সহ শঙ্কু বিভাগ একটি শঙ্কু বিভাগের মেরু সমীকরণ যার উৎপত্তির দিকে একটি ফোকাস থাকে, যেখানে e হল উৎকেন্দ্রিকতা। এই বক্ররেখার বিপরীত হবে যা প্যাসকেলের একটি লিমাকনের সমীকরণ। যখন এটি বিপরীত বৃত্ত। যখন মূল বক্ররেখাটি একটি উপবৃত্তাকার হয় এবং বিপরীতটি একটি সরল বদ্ধ বক্ররেখা যার উৎসে একটি অ্যাক্নোড থাকে। যখন মূল বক্ররেখাটি একটি প্যারাবোলা হয় এবং বিপরীতটি কার্ডিওড হয় যার উৎপত্তিস্থলে একটি কুস্প থাকে। যখন মূল বক্ররেখাটি একটি হাইপারবোলা হয় এবং বিপরীতটি উৎসে একটি ক্রুনোড সহ দুটি লুপ গঠন করে। একটি শীর্ষে বিপরীতমুখী কেন্দ্র সহ উপবৃত্তাকার এবং হাইপারবোলাস একটি উপবৃত্তাকার বা হাইপারবোলার সাধারণ সমীকরণটি এটিকে অনুবাদ করছে যাতে মূলটি শীর্ষগুলির মধ্যে একটি দেয় এবং পুনর্বিন্যাস দেয় বা, ধ্রুবক পরিবর্তন করে, লক্ষ্য করুন যে উপরের প্যারাবোলা এখন এবং রেখে এই পরিকল্পনার সাথে খাপ খায়। বিপরীত সমীকরণটি হল বা এই সমীকরণটি ডি স্লুজের কনকোয়েড নামে পরিচিত বক্ররেখার একটি পরিবারকে বর্ণনা করে। এই পরিবারের মধ্যে রয়েছে, উপরে তালিকাভুক্ত ডায়োক্লিসের সিসয়েড ছাড়াও, ম্যাকলাউরিনের ট্রাইসেক্ট্রিক্স () এবং ডান স্ট্রোফয়েড ()। কেন্দ্রে বিপরীতমুখী কেন্দ্র সহ উপবৃত্তাকার এবং হাইপারবোলাস একটি উপবৃত্তাকার বা হাইপারবোলার সমীকরণকে বিপরীত করলে পাওয়া যায় যা হিপোপিড। যখন এটি বার্নৌলির লেমনিস্কেট। উপরের ডিগ্রি সূত্র প্রয়োগ করে, একটি শঙ্কু (একটি বৃত্ত ব্যতীত) এর বিপরীতটি একটি বৃত্তাকার ঘন হয় যদি বিপরীতের কেন্দ্রটি বক্ররেখার উপর থাকে এবং অন্যথায় একটি দ্বি-বৃত্তাকার চতুষ্কোণ। কনিকগুলি যুক্তিসঙ্গত তাই বিপরীত বক্ররেখাও যুক্তিসঙ্গত। বিপরীতভাবে, যে কোনও যুক্তিসঙ্গত বৃত্তাকার ঘন বা যুক্তিসঙ্গত দ্বি-বৃত্তাকার কোয়ার্টিক একটি শঙ্কু আকৃতির বিপরীত হয়। প্রকৃতপক্ষে, এই ধরনের যে কোনও বক্ররেখার অবশ্যই একটি বাস্তব এককত্ব থাকতে হবে এবং এই বিন্দুটিকে বিপরীতমুখী কেন্দ্র হিসাবে গ্রহণ করলে, বিপরীত বক্ররেখাটি ডিগ্রি সূত্রে একটি শঙ্কু হবে। অ্যানালগম্যাটিক বক্ররেখা একটি অ্যানালগম্যাটিক বক্ররেখা যা নিজের মধ্যে উল্টে যায়। উদাহরণগুলির মধ্যে রয়েছে বৃত্ত, কার্ডিওড, ক্যাসিনির ডিম্বাকৃতি, স্ট্রোফয়েড এবং ম্যাকলাউরিনের ট্রাইসেক্ট্রিক্স। আরও দেখুন বিপরীতমুখী জ্যামিতি বক্ররেখা এবং পৃষ্ঠতলের বিপরীতমুখী (জার্মান) বিশেষ প্লেন বক্ররেখার ভিজ্যুয়াল অভিধানে "বিপরীত ডি 'উন কর্বে পার র্যাপোর্ট এ আন পয়েন্ট" এনসাইক্লোপেডি ডেস ফর্মস ম্যাথমেটিক্স রিমারকুয়েবলস এক্সটার্নাল লিঙ্ক ম্যাকটুটারের বিখ্যাত বক্ররেখা সূচকে সংজ্ঞা। এই সাইটে সূচকের প্রতিটি বক্ররেখার বিপরীত বক্ররেখা অন্বেষণ করার জন্য বিপরীত বক্ররেখার উদাহরণ এবং একটি জাভা অ্যাপলেট রয়েছে। বক্ররেখা প্রজেক্টিভ জ্যামিতি বিপরীত জ্যামিতি