Virtually
গণিতে, বিশেষত বিমূর্ত বীজগণিতের ক্ষেত্রে যা অসীম গোষ্ঠী অধ্যয়ন করে, ক্রিয়াপদটি কার্যত একটি বৈশিষ্ট্য সংশোধন করতে ব্যবহৃত হয় যাতে এটি কেবল সীমাবদ্ধ সূচকের একটি উপগোষ্ঠীর জন্য ধরে রাখতে হয়। একটি বৈশিষ্ট্য পি দেওয়া হলে, গ্রুপ জি কার্যত পি বলা হয় যদি একটি সীমাবদ্ধ সূচক উপগোষ্ঠী থাকে যেমন এইচ এর বৈশিষ্ট্য পি থাকে। এর জন্য সাধারণ ব্যবহার হবে যখন পি আবেলিয়ান, নিলপোটেন্ট, সমাধানযোগ্য বা মুক্ত হয়। উদাহরণস্বরূপ, কার্যত সমাধানযোগ্য গোষ্ঠীগুলি টিটস বিকল্পের দুটি বিকল্পের মধ্যে একটি, যেখানে গ্রোমভের উপপাদ্য বলে যে বহুপদী বৃদ্ধির সাথে সীমাবদ্ধভাবে উত্পন্ন গোষ্ঠীগুলি সুনির্দিষ্টভাবে চূড়ান্তভাবে উত্পন্ন কার্যত নিলপোটেন্ট গোষ্ঠী। এই পরিভাষাটি তখনও ব্যবহৃত হয় যখন পি কেবল অন্য একটি গ্রুপ। অর্থাৎ, যদি জি এবং এইচ গ্রুপ হয় তবে জি কার্যত এইচ হয় যদি জি-তে সীমাবদ্ধ সূচকের একটি উপগোষ্ঠী কে থাকে যাতে কে এইচ-এর সমতুল্য হয়। বিশেষত, একটি গ্রুপ কার্যত তুচ্ছ হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি এটি সীমাবদ্ধ হয়। দুটি গোষ্ঠী কার্যত সমান হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি তারা সামঞ্জস্যপূর্ণ হয়। উদাহরণ কার্যত আবেলিয়ান নিম্নলিখিত গোষ্ঠীগুলি কার্যত আবেলিয়ান। যেকোনও আবেলিয়ান দল। যেকোনও আধা-পরোক্ষ গুণফল যেখানে N আবেলিয়ান এবং H সসীম। (উদাহরণস্বরূপ, যে কোনও সাধারণীকৃত ডাইহেড্রাল গ্রুপ।) যেকোনও আধা-পরোক্ষ গুণফল যেখানে N সসীম এবং H আবেলিয়ান। যে কোনও সসীম গোষ্ঠী (যেহেতু তুচ্ছ উপগোষ্ঠীটি আবেলিয়ান)। কার্যত নিলপোটেন্ট যে কোনও গোষ্ঠী যা কার্যত আবেলিয়ান। যেকোনও নিলপোটেন্ট গ্রুপ। যে কোনও আধা-পরোক্ষ গুণফল যেখানে N নিলপোটেন্ট এবং H সসীম। যেকোনও আধা-পরোক্ষ গুণফল যেখানে N সসীম এবং H নিলপোটেন্ট। গ্রোমভের উপপাদ্য বলে যে একটি সীমিতভাবে উৎপন্ন গ্রুপ কার্যত নিলপোটেন্ট হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি এটির বহুপদী বৃদ্ধি থাকে। কার্যত পলিসাইক্লিক মুক্ত যে কোনও মুক্ত গোষ্ঠী। যে কোনও কার্যত চক্রীয় গোষ্ঠী। যেকোনও আধা-পরোক্ষ গুণফল যেখানে N মুক্ত এবং H সীমাবদ্ধ। যেকোনও আধা-পরোক্ষ গুণফল যেখানে N সসীম এবং H মুক্ত। যে কোনও মুক্ত পণ্য, যেখানে এইচ এবং কে উভয়ই সীমাবদ্ধ। (উদাহরণস্বরূপ, মডুলার গ্রুপ।) এটি স্টলিং-এর উপপাদ্য থেকে পাওয়া যায় যে কোনও টর্জন-মুক্ত কার্যত মুক্ত গোষ্ঠী মুক্ত। অন্যান্য 2টি জেনারেটরের মুক্ত গ্রুপ কার্যত নিলসেন-শ্রেয়ার উপপাদ্য এবং শ্রেয়ার সূচক সূত্রের ফলস্বরূপ যে কোনওটির জন্য। গ্রুপটি কার্যত সংযুক্ত কারণ এতে সূচক 2 রয়েছে। তথ্যসূত্র গোষ্ঠী তত্ত্ব