Viviani's theorem
ভিনসেনজো ভিভিয়ানির নামে নামকরণ করা ভিভিয়ানির উপপাদ্যটি বলে যে কোনও অভ্যন্তরীণ বিন্দু থেকে একটি সমবাহু ত্রিভুজের পাশ পর্যন্ত দূরত্বের যোগফল ত্রিভুজের উচ্চতার দৈর্ঘ্যের সমান। এটি একটি উপপাদ্য যা সাধারণত বিভিন্ন গণিত প্রতিযোগিতা, মাধ্যমিক বিদ্যালয়ের গণিত পরীক্ষায় ব্যবহৃত হয় এবং বাস্তব বিশ্বের অনেক সমস্যার ক্ষেত্রে এর ব্যাপক প্রয়োগ রয়েছে। প্রমাণ এই প্রমাণটি সহজেই প্রমাণিত প্রস্তাবের উপর নির্ভর করে যে একটি ত্রিভুজের আয়তন তার ভিত্তির অর্ধেক গুণ উচ্চতা-অর্থাৎ সেই দিক থেকে উচ্চতা সহ এক পক্ষের অর্ধেক গুণফল। ধরা যাক, ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ যার উচ্চতা হল h এবং যার পাশ হল a। ধরা যাক পি ত্রিভুজের অভ্যন্তরে যে কোনও বিন্দু, এবং ইউ, এস, টি দিক থেকে পি-এর দূরত্ব। তিনটি ত্রিভুজ পিএবি, পিবিসি এবং পিসিএ গঠন করে পি থেকে এ, বি এবং সি-এর প্রত্যেকটিতে একটি করে রেখা আঁকুন। এখন, এই ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল হল, এবং। তারা ঠিক পরিবেষ্টিত ত্রিভুজটি পূরণ করে, তাই এই ক্ষেত্রগুলির যোগফল পরিবেষ্টিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের সমান। তাই আমরা লিখতে পারিঃ এবং এইভাবে কিউ. ই. ডি। বিপরীতটিও ধারণ করেঃ যদি একটি ত্রিভুজের অভ্যন্তর বিন্দু থেকে পার্শ্ব পর্যন্ত দূরত্বের সমষ্টি বিন্দুর অবস্থান থেকে স্বাধীন হয়, তবে ত্রিভুজটি সমবাহু। ভিভিয়ানির উপপাদ্যের প্রয়োগের অর্থ হল একটি সমবাহু ত্রিভুজের পার্শ্বগুলির সমান্তরাল রেখাগুলি ত্রয়ী প্লট তৈরির জন্য স্থানাঙ্ক দেয়, যেমন দাহ্য চিত্র। আরও সাধারণভাবে, তারা একইভাবে একটি নিয়মিত সিম্পলেক্সে স্থানাঙ্ক দেওয়ার অনুমতি দেয়। সমান্তরাল চতুর্ভুজ একটি সমান্তরাল চতুর্ভুজের যে কোনও অভ্যন্তরীণ বিন্দু থেকে পার্শ্বে দূরত্বের সমষ্টি বিন্দুর অবস্থান থেকে স্বাধীন। বিপরীতটিও ধারণ করেঃ যদি একটি চতুর্ভুজের অভ্যন্তরের একটি বিন্দু থেকে পার্শ্বের দূরত্বের সমষ্টি বিন্দুর অবস্থান থেকে স্বাধীন হয়, তবে চতুর্ভুজটি একটি সমান্তরাল চতুর্ভুজ। ফলাফলটি বিপরীত দিক সমান্তরাল যে কোনও 2n-গনকে সাধারণীকরণ করে। যেহেতু বিপরীত সমান্তরাল পক্ষের যে কোনও জুটির মধ্যে দূরত্বের যোগফল ধ্রুবক, তাই সমান্তরাল পক্ষের জোড়াগুলির মধ্যে সমস্ত জোড়ার যোগফলও ধ্রুবক। সাধারণভাবে বিপরীতটি সত্য নয়, কারণ ফলাফলটি একটি সমবাহু ষড়ভুজের জন্য প্রযোজ্য, যার বিপরীত দিকগুলি সমান্তরাল থাকে না। নিয়মিত বহুভুজ যদি একটি বহুভুজ নিয়মিত হয় (সমকোণী এবং সমবাহু উভয়), তবে একটি অভ্যন্তরীণ বিন্দু থেকে পার্শ্বের দূরত্বের যোগফল বিন্দুটির অবস্থান থেকে স্বাধীন। বিশেষত, এটি অ্যাপোথেমের n গুণের সমান, যেখানে n হল দিকের সংখ্যা এবং অ্যাপোথেম হল কেন্দ্র থেকে একটি দিকে দূরত্ব। যাইহোক, বিপরীতটি ধরে রাখে না; অ-বর্গ সমান্তরাল চতুর্ভুজ একটি বিপরীত উদাহরণ। সমকোণীয় বহুভুজ একটি সমকোণীয় বহুভুজের অভ্যন্তর বিন্দু থেকে পার্শ্ব পর্যন্ত দূরত্বের সমষ্টি বিন্দুটির অবস্থানের উপর নির্ভর করে না। একটি উত্তল বহুভুজ যে কোনও অভ্যন্তরীণ বিন্দু থেকে পার্শ্বে দূরত্বের ধ্রুবক যোগফলের জন্য প্রয়োজনীয় এবং পর্যাপ্ত শর্ত হল যে সমান দূরত্বের সমষ্টি সহ তিনটি অ-সমরেখীয অভ্যন্তরীণ বিন্দু রয়েছে। নিয়মিত পলিহেড্রন একটি নিয়মিত পলিহেড্রনের অভ্যন্তরের যে কোনও বিন্দু থেকে পার্শ্বে দূরত্বের সমষ্টি বিন্দুর অবস্থান থেকে স্বাধীন। যাইহোক, বিপরীতটি ধরে রাখে না, এমনকি টেট্রাহেড্রার ক্ষেত্রেও নয়। আরও পড়ার রেফারেন্সগুলি লি ঝোউ, ভিভিয়ানি পলিটোপ এবং কাট দ্য গিঁটের ফার্মাট পয়েন্টগুলির সাথে বাহ্যিক সংযোগ স্থাপন করে। ওল্ফ্রাম প্রদর্শনী প্রকল্প। ডায়নামিক জ্যামিতি স্কেচ, একটি ইন্টারেক্টিভ ডায়নামিক জ্যামিতি স্কেচ। সমবাহু ত্রিভুজ সম্পর্কে উপপাদ্য প্রমাণ সম্বলিত নিবন্ধ