Optimal facility location
সুবিধা অবস্থান সমস্যা (এফএলপি) অধ্যয়ন, যা অবস্থান বিশ্লেষণ নামেও পরিচিত, অপারেশন গবেষণা এবং গণনামূলক জ্যামিতির একটি শাখা যা আবাসন এবং প্রতিযোগীদের সুবিধার কাছাকাছি বিপজ্জনক উপকরণ স্থাপন এড়ানোর মতো বিষয়গুলি বিবেচনা করার সময় পরিবহন ব্যয় হ্রাস করার জন্য সুবিধাগুলির সর্বোত্তম স্থাপনার সাথে সম্পর্কিত। কৌশলগুলি গুচ্ছ বিশ্লেষণের ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য। ন্যূনতম সুবিধার অবস্থান একটি সহজ সুবিধার অবস্থান সমস্যা হল ওয়েবার সমস্যা, যেখানে একটি একক সুবিধা স্থাপন করতে হবে, একমাত্র অপ্টিমাইজেশনের মানদণ্ড হল প্রদত্ত পয়েন্ট সাইটগুলির সেট থেকে দূরত্বের ওজনযুক্ত যোগফলের ন্যূনতমকরণ। এই শাখায় বিবেচনা করা আরও জটিল সমস্যাগুলির মধ্যে রয়েছে একাধিক সুবিধার স্থাপন, সুবিধার অবস্থানের উপর সীমাবদ্ধতা এবং আরও জটিল অপ্টিমাইজেশনের মানদণ্ড। একটি মৌলিক গঠনে, সুবিধার অবস্থান সমস্যাটি সম্ভাব্য সুবিধার সাইট এল-এর একটি সেট নিয়ে গঠিত যেখানে একটি সুবিধা খোলা যেতে পারে এবং চাহিদা পয়েন্ট ডি-এর একটি সেট যা অবশ্যই সার্ভিস করা উচিত। লক্ষ্য হল খোলার জন্য সুবিধাগুলির একটি উপসেট এফ বেছে নেওয়া, যাতে প্রতিটি চাহিদা বিন্দু থেকে তার নিকটতম সুবিধা পর্যন্ত দূরত্বের যোগফল এবং সুবিধাগুলির খোলার খরচের যোগফল হ্রাস করা যায়। সেট কভার সমস্যা থেকে (উদাহরণস্বরূপ) হ্রাস করে সাধারণ গ্রাফগুলিতে সুবিধার অবস্থান সমস্যাটি সর্বোত্তমভাবে সমাধান করা এনপি-কঠিন। সুবিধার অবস্থান সমস্যা এবং এর অনেকগুলি রূপের জন্য বেশ কয়েকটি আনুমানিক অ্যালগরিদম তৈরি করা হয়েছে। ক্লায়েন্ট এবং সাইটগুলির মধ্যে দূরত্বের সেটের অনুমান ছাড়াই (বিশেষত, দূরত্বগুলি ত্রিভুজ বৈষম্যকে সন্তুষ্ট করে বলে ধরে না নিয়ে), সমস্যাটি অ-মেট্রিক সুবিধা অবস্থান হিসাবে পরিচিত এবং একটি ফ্যাক্টর ও (লগ এন) এর মধ্যে আনুমানিক হতে পারে। সেট কভার সমস্যা থেকে আনুমানিক-সংরক্ষণ হ্রাসের মাধ্যমে এই ফ্যাক্টরটি শক্ত। যদি আমরা ধরে নিই যে ক্লায়েন্ট এবং সাইটগুলির মধ্যে দূরত্ব অনির্দিষ্ট এবং ত্রিভুজ বৈষম্যকে সন্তুষ্ট করে, আমরা একটি মেট্রিক সুবিধা অবস্থান (এম. এফ. এল) সমস্যা সম্পর্কে কথা বলছি। এম. এফ. এল এখনও এন. পি-শক্ত এবং 1.463-এর চেয়ে ভাল ফ্যাক্টরের মধ্যে আনুমানিক অনুমান করা কঠিন। বর্তমানে সর্বাধিক পরিচিত আনুমানিক অ্যালগরিদম 1.488 এর আনুমানিক অনুপাত অর্জন করে। মিনিম্যাক্স সুবিধার অবস্থান মিনিম্যাক্স সুবিধার অবস্থান সমস্যা এমন একটি অবস্থান চায় যা সাইটগুলির সর্বাধিক দূরত্বকে সর্বনিম্ন করে, যেখানে এক বিন্দু থেকে সাইটগুলির দূরত্ব হল পয়েন্ট থেকে তার নিকটতম সাইটের দূরত্ব। একটি আনুষ্ঠানিক সংজ্ঞা নিম্নরূপঃ একটি বিন্দু বিন্যাস P′Rd দেওয়া হলে, একটি বিন্দু বিন্যাস S′Rd, |S। = k খুঁজে বের করুন, যাতে ম্যাক্সপি ωP (মিনকিউ ωS (d (p, q))) ন্যূনতম হয়। কে = 1-এর জন্য ইউক্লিডীয় মেট্রিকের ক্ষেত্রে, এটি ক্ষুদ্রতম আবদ্ধ গোলক সমস্যা বা 1-কেন্দ্রের সমস্যা হিসাবে পরিচিত। এর গবেষণায় অন্তত 1860 সালের সন্ধান পাওয়া গেছে. আরও বিশদ বিবরণের জন্য ক্ষুদ্রতম বেষ্টিত বৃত্ত এবং সীমানা গোলক দেখুন। এনপি কঠোরতা এটি প্রমাণিত হয়েছে যে কে-সেন্টার সমস্যার সঠিক সমাধান এনপি হার্ড। ত্রুটিটি ছোট হলে সমস্যাটির আনুমানিক এন. পি কঠিন বলে মনে করা হয়। আনুমানিক অ্যালগরিদমের ত্রুটি স্তরটি একটি আনুমানিক ফ্যাক্টর হিসাবে পরিমাপ করা হয়, যা আনুমানিক এবং সর্বোত্তমের মধ্যে অনুপাত হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। এটি প্রমাণিত হয়েছে যে কে-সেন্টার সমস্যার আনুমানিক এনপি কঠিন যখন আনুমানিক ফ্যাক্টর 1.822 (মাত্রা = 2) বা 2 (মাত্রা> 2) এর চেয়ে কম হয়। অ্যালগরিদম সঠিক সমাধানকারী এই সমস্যার সঠিক সমাধান তৈরি করার জন্য অ্যালগরিদম রয়েছে। একটি সঠিক সমাধানকারী সময়মতো চলে। 1 + ε আনুমানিককরণ 1 + ε আনুমানিককরণ হল এমন একটি সমাধান খুঁজে বের করা যার আনুমানিক গুণক 1 + ε এর চেয়ে বেশি নয়। এই আনুমানিক NP কঠিন কারণ ε স্বেচ্ছাচারী। কোরসেট ধারণার উপর ভিত্তি করে একটি পদ্ধতি এক্সিকিউশন জটিলতার সাথে প্রস্তাবিত হয়। বিকল্প হিসাবে, মূল সেটগুলির উপর ভিত্তি করে আরেকটি অ্যালগরিদমও পাওয়া যায়। এটি ভিতরে ঢুকে যায়। লেখক দাবি করেছেন যে চলমান সময় সবচেয়ে খারাপ ক্ষেত্রে তুলনায় অনেক কম এবং এইভাবে যখন কে ছোট হয় তখন কিছু সমস্যা সমাধান করা সম্ভব (ধরুন কে <5)। দূরতম-বিন্দু ক্লাস্টারিং সমস্যার কঠোরতার জন্য, একটি সঠিক সমাধান বা সুনির্দিষ্ট অনুমান পাওয়া অবাস্তব। পরিবর্তে, ফ্যাক্টর = 2 সহ একটি আনুমানিক বড় k ক্ষেত্রে ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়। আনুমানিককে সবচেয়ে দূরবর্তী-বিন্দু ক্লাস্টারিং (এফপিসি) অ্যালগরিদম বা সবচেয়ে দূরবর্তী-প্রথম ট্র্যাভার্সাল হিসাবে উল্লেখ করা হয়। অ্যালগরিদমটি বেশ সহজঃ একটি কেন্দ্র হিসাবে সেট থেকে যে কোনও বিন্দু বেছে নিন; অন্য কেন্দ্র হিসাবে সেট থেকে সবচেয়ে দূরবর্তী বিন্দুটি অনুসন্ধান করুন; k কেন্দ্রগুলি না পাওয়া পর্যন্ত প্রক্রিয়াটি পুনরাবৃত্তি করুন। এটা সহজেই দেখা যায় যে এই অ্যালগরিদম রৈখিক সময়ে চলে। যেহেতু 2-এর কম ফ্যাক্টরের সাথে আনুমানিক এন. পি কঠিন প্রমাণিত হয়, তাই এফ. পি. সি-কে সর্বোত্তম আনুমানিক হিসাবে বিবেচনা করা হয়। কার্যকরকরণের কার্যকারিতা অনুসারে, সময় জটিলতা পরে বাক্স পচন কৌশলের সাহায্যে ও (এন লগ কে)-তে উন্নত করা হয়। ম্যাক্সমিন সুবিধার অবস্থান ম্যাক্সমিন সুবিধার অবস্থান বা বিরক্তিকর সুবিধার অবস্থান সমস্যা এমন একটি অবস্থান চায় যা সাইটগুলিতে ন্যূনতম দূরত্বকে সর্বাধিক করে তোলে। ইউক্লিডীয় মেট্রিকের ক্ষেত্রে, এটি বৃহত্তম শূন্য গোলক সমস্যা হিসাবে পরিচিত। প্ল্যানার কেস (বৃহত্তম খালি বৃত্ত সমস্যা) সর্বোত্তম সময় θ (এন লগ এন)-এ সমাধান করা যেতে পারে। পূর্ণসংখ্যা প্রোগ্রামিং সূত্র সুবিধা অবস্থান সমস্যাগুলি প্রায়শই পূর্ণসংখ্যা প্রোগ্রাম হিসাবে সমাধান করা হয়। এই প্রসঙ্গে, সুবিধার অবস্থানের সমস্যাগুলি প্রায়শই নিম্নরূপ উত্থাপিত হয়ঃ ধরুন সেখানে সুবিধা এবং গ্রাহক রয়েছে। ন্যূনতম ব্যয়ে কিছু নির্দিষ্ট চাহিদা মেটানোর জন্য আমরা বেছে নিতে চাই (1) কোন সুবিধাটি খুলতে হবে এবং (2) গ্রাহকদের সরবরাহের জন্য কোন (খোলা) সুবিধাটি ব্যবহার করতে হবে। আমরা নিম্নলিখিত স্বরলিপিটি উপস্থাপন করছিঃ এর জন্য খোলার সুবিধার (নির্দিষ্ট) খরচ নির্দেশ করা যাক। সুবিধা থেকে গ্রাহকের কাছে এবং-এর জন্য একটি পণ্য পাঠানোর খরচ নির্দেশ করা যাক। গ্রাহকের চাহিদা নির্দেশ করা যাক। আরও ধরুন যে প্রতিটি সুবিধার সর্বাধিক আউটপুট রয়েছে। সুবিধা দ্বারা উৎপাদিত পণ্যের সর্বাধিক পরিমাণকে বোঝানো যাক, অর্থাৎ, সুবিধার ক্ষমতাকে বোঝানো যাক। এই বিভাগের অবশিষ্টাংশ ক্যাপাসিটেড সুবিধার অবস্থান অনুসরণ করে আমাদের প্রাথমিক গঠনে, একটি বাইনারি পরিবর্তনশীল প্রবর্তন করুন, যেখানে যদি সুবিধা খোলা থাকে, এবং অন্যথায়। আরও পরিবর্তনশীল প্রবর্তন করুন এবং যা সুবিধা দ্বারা পূরণ করা চাহিদার ভগ্নাংশকে উপস্থাপন করে। তথাকথিত ক্যাপাসিটেড সুবিধা অবস্থান সমস্যাটি নোট দ্বারা দেওয়া হয় যে সীমাবদ্ধতার দ্বিতীয় সেটটি নিশ্চিত করে যে, যদি, অর্থাৎ, সুবিধাটি খোলা না থাকে, তবে সকলের জন্য, অর্থাৎ কোনও গ্রাহকের কোনও চাহিদা সুবিধা থেকে পূরণ করা যাবে না। অপ্রচলিত সুবিধার অবস্থান উপরের ক্যাপাসিটেড সুবিধার অবস্থান সমস্যার একটি সাধারণ ক্ষেত্রে যখন সকলের ক্ষেত্রে হয়। এই ক্ষেত্রে, নিকটতম উন্মুক্ত সুবিধা থেকে গ্রাহকের সমস্ত চাহিদা পূরণ করা সর্বদা সর্বোত্তম। এই কারণে, আমরা উপর থেকে অবিচ্ছিন্ন চলকগুলিকে বাইনারি চলক দিয়ে প্রতিস্থাপন করতে পারি, যেখানে যদি গ্রাহককে সুবিধা দ্বারা সরবরাহ করা হয়, এবং অন্যথায়। অপ্রচলিত সুবিধার অবস্থান সমস্যাটি তখন দেওয়া হয় যেখানে একটি ধ্রুবক উপযুক্তভাবে বড় হতে বেছে নেওয়া হয়। এর পছন্দটি গণনার ফলাফলকে প্রভাবিত করতে পারে-এই ক্ষেত্রে সর্বোত্তম পছন্দটি সুস্পষ্টঃ গ্রহণ করুন। তারপর, যদি, এর যে কোনও পছন্দ সীমাবদ্ধতার দ্বিতীয় সেটকে সন্তুষ্ট করবে। অপ্রচলিত সুবিধার অবস্থান সমস্যার জন্য আরেকটি গঠনের সম্ভাবনা হল ক্ষমতার সীমাবদ্ধতাগুলি (বড়-সীমাবদ্ধতাগুলি) পৃথক করা। অর্থাৎ, সীমাবদ্ধতাগুলি সীমাবদ্ধতার সাথে প্রতিস্থাপন করুন বাস্তবে, এই নতুন সূত্রটি উল্লেখযোগ্যভাবে ভাল কাজ করে, এই অর্থে যে এটির প্রথম গঠনের তুলনায় একটি শক্ত রৈখিক প্রোগ্রামিং শিথিলতা রয়েছে। লক্ষ্য করুন যে নতুন সীমাবদ্ধতাগুলিকে একত্রিত করলে মূল বড় সীমাবদ্ধতাগুলি পাওয়া যায়। ক্যাপাসিটেড ক্ষেত্রে, এই ফর্মুলেশনগুলি সমতুল্য নয়। অপ্রচলিত সুবিধার অবস্থান সমস্যা সম্পর্কে আরও তথ্য "বিচ্ছিন্ন অবস্থান তত্ত্ব"-এর 3য় অধ্যায়ে পাওয়া যাবে। অ্যাপ্লিকেশন স্বাস্থ্যসেবা স্বাস্থ্যসেবায়, সুবিধার ভুল অবস্থানের সিদ্ধান্তগুলি সাধারণ খরচ এবং পরিষেবা পরিমাপের বাইরে সম্প্রদায়ের উপর গুরুতর প্রভাব ফেলে; উদাহরণস্বরূপ, স্বাস্থ্যসেবা সুবিধাগুলি অ্যাক্সেস করা কঠিনতার সাথে বর্ধিত অসুস্থতা এবং মৃত্যুর সাথে যুক্ত হতে পারে। এই দৃষ্টিকোণ থেকে, স্বাস্থ্যসেবার জন্য সুবিধার অবস্থান মডেলিং অন্যান্য ক্ষেত্রের জন্য অনুরূপ মডেলিংয়ের চেয়ে বেশি গুরুত্বপূর্ণ। বর্জ্য উৎপাদন বৃদ্ধি এবং বর্জ্য ব্যবস্থাপনার সাথে যুক্ত উচ্চ ব্যয়ের কারণে উন্নয়নশীল দেশগুলির জন্য পৌর কঠিন বর্জ্য ব্যবস্থাপনা এখনও একটি চ্যালেঞ্জ হিসাবে রয়ে গেছে। একটি সুবিধা অবস্থান সমস্যার গঠন এবং সঠিক সমাধানের মাধ্যমে বর্জ্য নিষ্পত্তির জন্য ল্যান্ডফিলের অবস্থানকে অনুকূল করা সম্ভব। ক্লাস্টারিং ক্লাস্টার বিশ্লেষণ সমস্যার একটি নির্দিষ্ট উপসেটকে সুবিধা অবস্থান সমস্যা হিসাবে দেখা যেতে পারে। একটি সেন্ট্রয়েড-ভিত্তিক ক্লাস্টারিং সমস্যায়, উদ্দেশ্য হল ডেটা পয়েন্টগুলিকে (একটি সাধারণ মেট্রিক স্পেসের উপাদানগুলি) সমতুল্য শ্রেণীতে বিভক্ত করা-প্রায়শই রঙ বলা হয়-যাতে একই রঙের পয়েন্টগুলি একে অপরের কাছাকাছি থাকে (সমতুল্যভাবে, যাতে বিভিন্ন রঙের পয়েন্টগুলি একে অপরের থেকে অনেক দূরে থাকে)। একটি সেন্ট্রয়েড-ভিত্তিক ক্লাস্টারিং সমস্যাকে (মেট্রিক) সুবিধা অবস্থান সমস্যা হিসাবে কেউ কীভাবে দেখতে পারে ("রূপান্তর" বা "হ্রাস" পড়ুন) তা দেখতে, পূর্বের প্রতিটি ডেটা পয়েন্টকে পরেরটির চাহিদা বিন্দু হিসাবে দেখুন। ধরুন যে তথ্যগুলি গুচ্ছবদ্ধ করা হবে সেগুলি একটি মেট্রিক স্থানের উপাদান (যেমন। কিছু স্থিরের জন্য-মাত্রিক ইউক্লিডীয় স্থান হতে দিন)। আমরা যে সুবিধার অবস্থান সমস্যাটি তৈরি করছি, আমরা এই মেট্রিক স্থানের মধ্যে যে কোনও সময়ে সুবিধাগুলি স্থাপন করার অনুমতি দিই; এটি অনুমোদিত সুবিধার অবস্থানগুলির সেটকে সংজ্ঞায়িত করে। আমরা খরচকে অবস্থান-চাহিদা বিন্দু জোড়ার মধ্যে যুগ্ম দূরত্ব হিসাবে সংজ্ঞায়িত করি (উদাহরণস্বরূপ, মেট্রিক কে-সেন্টার দেখুন)। একটি সেন্ট্রয়েড-ভিত্তিক ক্লাস্টারিং সমস্যায়, একটি উপাত্তকে সমতুল্য শ্রেণীতে বিভক্ত করে (অর্থাৎ। রঙ) যার প্রত্যেকটির একটি কেন্দ্রবিন্দু রয়েছে। আসুন দেখি কিভাবে আমাদের নির্মিত সুবিধার অবস্থান সমস্যার একটি সমাধানও এই ধরনের একটি বিভাজন অর্জন করে। একটি সম্ভাব্য সমাধান হল অবস্থানগুলির একটি অ-খালি উপসেট। আমাদের সুবিধার অবস্থান সমস্যার এই অবস্থানগুলি আমাদের সেন্ট্রয়েড-ভিত্তিক ক্লাস্টারিং সমস্যার সেন্ট্রয়েডের একটি সেট নিয়ে গঠিত। এখন, প্রতিটি ডিমান্ড পয়েন্টকে সেই স্থানে বরাদ্দ করুন যা তার সার্ভিসিং-খরচকে ন্যূনতম করে; অর্থাৎ, ডেটা পয়েন্টটি সেন্ট্রয়েডে বরাদ্দ করুন (নির্বিচারে সম্পর্কগুলি ভেঙে দিন)। এটি পার্টিশনিং অর্জন করে যদি সুবিধা অবস্থান সমস্যার খরচগুলি এমনভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় যে সেগুলি সেন্ট্রয়েড-ভিত্তিক ক্লাস্টারিং সমস্যার দূরত্ব ফাংশনের চিত্র হয়। জনপ্রিয় অ্যালগরিদম পাঠ্যপুস্তক অ্যালগরিদম ডিজাইন একটি সম্পর্কিত সমস্যা-বিবরণ এবং একটি আনুমানিক অ্যালগরিদম সরবরাহ করে। লেখকরা মেট্রিক সুবিধার অবস্থান সমস্যার কথা উল্লেখ করেছেন (অর্থাৎ। কেন্দ্র নির্বাচন সমস্যা হিসাবে সেন্ট্রয়েড-ভিত্তিক ক্লাস্টারিং সমস্যা বা মেট্রিক-সেন্টার সমস্যা), যার ফলে প্রতিশব্দগুলির তালিকা বৃদ্ধি পায়। উপরন্তু, দেখুন যে সুবিধার অবস্থান সমস্যার উপরের সংজ্ঞায় উদ্দেশ্যমূলক ফাংশনটি সাধারণ। নির্দিষ্ট পছন্দগুলি সুবিধা অবস্থান সমস্যার বিভিন্ন রূপ এবং তাই সেন্ট্রয়েড-ভিত্তিক ক্লাস্টারিং সমস্যার বিভিন্ন রূপ দেয়। উদাহরণস্বরূপ, কেউ প্রতিটি অবস্থান থেকে তার নির্ধারিত চাহিদা পয়েন্টগুলির মধ্যে দূরত্বের সমষ্টি হ্রাস করতে বেছে নিতে পারে (এ লা ওয়েবার সমস্যা), অথবা কেউ এই ধরনের সমস্ত দূরত্বের সর্বাধিক হ্রাস করতে বেছে নিতে পারে (এ লা 1-কেন্দ্রের সমস্যা)। গ্রাফ সেন্টার চতুর্ভুজ অ্যাসাইনমেন্ট সমস্যা দেখুন অবস্থান-বরাদ্দ ডিজকস্ট্রার অ্যালগরিদম স্থানিক বিশ্লেষণ সফ্টওয়্যারের তালিকা প্রতিযোগিতামূলক সুবিধা অবস্থান খেলা ভার্টেক্স কে-সেন্টার সমস্যা জ্যামিতিক মধ্যবর্তী রেফারেন্স বাহ্যিক লিঙ্ক অবস্থানগত বিশ্লেষণের উপর ইডব্লিউজিএলএ ইউরো ওয়ার্কিং গ্রুপ। অবস্থান বিশ্লেষণ সম্পর্কিত তথ্য বিভাগ, একটি পেশাদার সমাজ যা সুবিধার অবস্থানের সাথে সম্পর্কিত। 3400 টিরও বেশি নিবন্ধ সহ ট্রেভর হেল দ্বারা সংগৃহীত সুবিধার অবস্থান সম্পর্কিত গ্রন্থপঞ্জি। অবস্থান অ্যালগরিদমের গ্রন্থাগার ওয়েব-ভিত্তিক সুবিধা অবস্থান ইউটিলিটি (একক সুবিধা) সুবিধা অবস্থান অপ্টিমাইজার, সুবিধার অবস্থান সমস্যা সমাধানের জন্য একটি ম্যাটল্যাব-ভিত্তিক সরঞ্জাম। ব্যবসায় গাণিতিক অনুকূলকরণ গ্রাফ তত্ত্বে গণনামূলক সমস্যা সুবিধা অবস্থান