Elliptic boundary value problem
গণিতে, একটি উপবৃত্তাকার সীমানা মান সমস্যা হল একটি বিশেষ ধরনের সীমানা মান সমস্যা যা একটি বিবর্তন সমস্যার স্থিতিশীল অবস্থা হিসাবে বিবেচিত হতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, ল্যাপলেসিয়ানের জন্য ডিরিচলেট সমস্যা গরম করার কয়েক ঘন্টা পরে একটি ঘরে তাপের চূড়ান্ত বিতরণ দেয়। ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলি প্রাকৃতিক ঘটনাগুলির একটি বড় শ্রেণীকে বর্ণনা করে, একটি ধাতব প্লেটে (উদাহরণস্বরূপ) তাপের বিবর্তন বর্ণনাকারী তাপ সমীকরণ থেকে শুরু করে তরলের গতিবিধি বর্ণনাকারী নেভিয়ার-স্টোকস সমীকরণ পর্যন্ত, যার মধ্যে আইনস্টাইনের সমীকরণগুলি একটি আপেক্ষিক উপায়ে ভৌত মহাবিশ্বকে বর্ণনা করে। যদিও এই সমস্ত সমীকরণগুলি সীমানা মূল্য সমস্যা, তবে এগুলি আরও বিভাগে বিভক্ত। এটি প্রয়োজনীয় কারণ প্রতিটি বিভাগকে অবশ্যই বিভিন্ন কৌশল ব্যবহার করে বিশ্লেষণ করতে হবে। বর্তমান নিবন্ধটি রৈখিক উপবৃত্তাকার সমস্যা হিসাবে পরিচিত সীমানা মান সমস্যার বিভাগ নিয়ে আলোচনা করে। সীমানা মান সমস্যা এবং আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ দুই বা ততোধিক পরিমাণের মধ্যে সম্পর্ক নির্দিষ্ট করে। উদাহরণস্বরূপ, তাপ সমীকরণে, একটি বিন্দুতে তাপমাত্রার পরিবর্তনের হার সেই বিন্দু এবং নিকটবর্তী বিন্দুর মধ্যে তাপমাত্রার পার্থক্যের সাথে সম্পর্কিত যাতে সময়ের সাথে সাথে তাপ গরম বিন্দু থেকে শীতল বিন্দুতে প্রবাহিত হয়। সীমানা মান সমস্যাগুলি স্থান, সময় এবং অন্যান্য পরিমাণ যেমন তাপমাত্রা, বেগ, চাপ, চৌম্বক ক্ষেত্র ইত্যাদি জড়িত থাকতে পারে। কিছু সমস্যায় সময় লাগে না। উদাহরণস্বরূপ, যদি কেউ বাড়ি এবং একটি গাছের মধ্যে একটি জামাকাপড়ের রেখা ঝুলিয়ে রাখে, তবে বাতাসের অভাবে, জামাকাপড়ের রেখাটি সরবে না এবং ক্যাটেনারি নামে পরিচিত একটি মৃদু ঝুলন্ত বাঁকা আকৃতি গ্রহণ করবে। এই বাঁকানো আকৃতিটি অবস্থান, টান, কোণ এবং মাধ্যাকর্ষণ সম্পর্কিত একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সমাধান হিসাবে গণনা করা যেতে পারে, তবে যেহেতু সময়ের সাথে সাথে আকৃতিটি পরিবর্তিত হয় না, তাই কোনও সময় পরিবর্তনশীল নেই। উপবৃত্তাকার সীমানা মান সমস্যা হল সমস্যার একটি শ্রেণী যা সময় পরিবর্তনশীলকে জড়িত করে না এবং পরিবর্তে শুধুমাত্র স্থান পরিবর্তনশীলের উপর নির্ভর করে। প্রধান উদাহরণ দুটি মাত্রায়, স্থানাঙ্কগুলি ধরা যাক। আমরা এর সাপেক্ষে প্রথম এবং দ্বিতীয় আংশিক ব্যুৎপত্তিগুলির জন্য স্বরলিপি ব্যবহার করব এবং এর জন্য একটি অনুরূপ স্বরলিপি ব্যবহার করব। আমরা চিহ্নগুলি এবং আংশিক ডিফারেনশিয়াল অপারেটরগুলির জন্য এবং ব্যবহার করব। দ্বিতীয় পার্শিয়াল ডেরিভেটিভগুলি চিহ্নিত করা হবে এবং। আমরা গ্রেডিয়েন্ট, ল্যাপ্লাস অপারেটর এবং ডাইভারজেন্সকেও সংজ্ঞায়িত করি। সংজ্ঞা থেকে লক্ষ্য করুন যে। সীমানা মান সমস্যার প্রধান উদাহরণ হল ল্যাপ্লাস অপারেটর, যেখানে সমতলের একটি অঞ্চল এবং সেই অঞ্চলের সীমানা। ফাংশনটি হল জ্ঞাত তথ্য এবং সমাধানটি হল যা গণনা করা আবশ্যক। এই উদাহরণে অন্যান্য সমস্ত উপবৃত্তাকার সীমানা মান সমস্যার মতো একই প্রয়োজনীয় বৈশিষ্ট্য রয়েছে। সমাধানটিকে একটি ধাতব প্লেটে তাপের স্থির বা সীমিত বন্টন হিসাবে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে, যদি এই ধাতব প্লেটটির সীমানা বরফের সংলগ্ন থাকে (যা শূন্য মাত্রায় রাখা হয়, সুতরাং ডিরিচলেট সীমানা অবস্থা)। ফাংশনটি প্লেটের প্রতিটি বিন্দুতে তাপ উৎপাদনের তীব্রতার প্রতিনিধিত্ব করে (সম্ভবত ধাতব প্লেটের উপর একটি বৈদ্যুতিক হিটার রয়েছে, যা হারে প্লেটের মধ্যে তাপ পাম্প করে, যা সময়ের সাথে পরিবর্তিত হয় না, তবে ধাতব প্লেটের জায়গায় অভিন্ন নাও হতে পারে)। দীর্ঘ সময় অপেক্ষা করার পর ধাতব প্লেটে তাপমাত্রার বন্টন কাছাকাছি চলে আসবে। নামকরণ ধরা যাক কোথায় এবং কোথায় স্থির। একে সেকেন্ড অর্ডার ডিফারেনশিয়াল অপারেটর বলা হয়। যদি আমরা আনুষ্ঠানিকভাবে ডেরিভেটিভগুলি দ্বারা এবং দ্বারা প্রতিস্থাপন করি, আমরা অভিব্যক্তিটি পাই। যদি আমরা এই অভিব্যক্তিটিকে কিছু ধ্রুবকের সমান রাখি, তবে আমরা একটি উপবৃত্ত (যদি সমস্ত একই চিহ্ন হয়) বা একটি হাইপারবোলা (যদি এবং বিপরীত চিহ্নের হয়) পাই। সেই কারণে, কখন উপবৃত্তাকার এবং যদি হাইপারবোলিক বলা হয়। একইভাবে, অপারেটর একটি প্যারাবোলার দিকে নিয়ে যায়, এবং তাই এটিকে প্যারাবোলিক বলা হয়। আমরা এখন উপবৃত্তাকার ধারণার সাধারণীকরণ করছি। যদিও এটি স্পষ্ট নাও হতে পারে যে আমাদের সাধারণীকরণ সঠিক, তবে দেখা যাচ্ছে যে এটি বিশ্লেষণের উদ্দেশ্যে বেশিরভাগ প্রয়োজনীয় বৈশিষ্ট্য সংরক্ষণ করে। দ্বিতীয় ডিগ্রির সাধারণ রৈখিক উপবৃত্তাকার সীমানা মান সমস্যাগুলি স্পেস ভেরিয়েবল হিসাবে ধরা যাক। এর প্রকৃত মূল্যবান ফাংশন হতে দিন। ধরা যাক একটি সেকেন্ড ডিগ্রি লিনিয়ার অপারেটর। অর্থাৎ, (বিচ্যুতি রূপ)। (ননডিভারজেন্স ফর্ম) আমরা স্পেস ভেরিয়েবলের সাপেক্ষে আংশিক ডেরিভেটিভ বোঝাতে সাবস্ক্রিপ্ট ব্যবহার করেছি। দুটি সূত্র সমতুল্য, যদি তা হয়। ম্যাট্রিক্স নোটেশনে, আমরা একটি ম্যাট্রিক্স মূল্যবান ফাংশন হতে পারি এবং একটি-মাত্রিক কলাম ভেক্টর-মূল্যবান ফাংশন হতে পারি, এবং তারপর আমরা লিখতে পারি (ডাইভারজেন্স ফর্ম)। সাধারণতা না হারিয়ে কেউ ধরে নিতে পারে যে ম্যাট্রিক্সটি প্রতিসম (অর্থাৎ, সকলের জন্য)। এই নিবন্ধের বাকি অংশে আমরা এই অনুমানটি করি। আমরা বলি যে অপারেটরটি উপবৃত্তাকার হয় যদি, কিছু ধ্রুবকের জন্য, নিম্নলিখিত সমতুল্য শর্তগুলির মধ্যে যে কোনও একটি থাকেঃ (আইগেনভ্যালু দেখুন)। । । একটি উপবৃত্তাকার সীমানা মান সমস্যা হল সমীকরণের একটি পদ্ধতি যেমন (পি. ডি. ই) এবং (সীমানা মান)। এই বিশেষ উদাহরণটি হল ডিরিচলেট সমস্যা। নিউম্যান সমস্যাটি হল এবং এর বাইরের দিকে নির্দেশিত স্বাভাবিকের দিকের ডেরিভেটিভ কোথায়। সাধারণভাবে, যদি কোনও ট্রেস অপারেটর হয়, তবে কেউ সীমানা মান সমস্যা তৈরি করতে পারে এবং। এই নিবন্ধের বাকি অংশে, আমরা ধরে নিই যে এটি উপবৃত্তাকার এবং সীমানা শর্তটি ডিরিচলেট শর্ত। সোবোলেভ স্পেস উপবৃত্তাকার সীমানা মান সমস্যার বিশ্লেষণের জন্য কার্যকরী বিশ্লেষণের কিছু মোটামুটি পরিশীলিত সরঞ্জাম প্রয়োজন। আমাদের স্পেস প্রয়োজন, "একবার-ডিফারেনশিয়াল" ফাংশনের সোবোলেভ স্পেস, যাতে ফাংশন এবং এর আংশিক ডেরিভেটিভ উভয়ই বর্গাকার ইন্টিগ্রেবল হয়। এখানে একটি সূক্ষ্মতা রয়েছে যে আংশিক ব্যুৎপত্তিগুলিকে অবশ্যই "দুর্বল অর্থে" সংজ্ঞায়িত করতে হবে (বিস্তারিত জানার জন্য সোবোলেভ স্পেসের নিবন্ধটি দেখুন।) স্থানটি একটি হিলবার্ট স্থান, যা এই সমস্যাগুলি বিশ্লেষণ করার বেশিরভাগ স্বাচ্ছন্দ্যের জন্য দায়ী। সোবোলেভ স্থানগুলির বিশদ আলোচনা এই নিবন্ধের আওতার বাইরে, তবে আমরা প্রয়োজনীয় ফলাফলগুলি উদ্ধৃত করব। অন্যথায় উল্লেখ না করা হলে, এই নিবন্ধের সমস্ত ব্যুৎপত্তিগুলি দুর্বল, সোবোলেভ অর্থে ব্যাখ্যা করতে হবে। আমরা ক্যালকুলাসের ধ্রুপদী ব্যুৎপত্তি বোঝাতে "শক্তিশালী ব্যুৎপত্তি" শব্দটি ব্যবহার করি। আমরা আরও নির্দিষ্ট করি যে স্পেসগুলি এমন ফাংশন নিয়ে গঠিত যা বার দৃঢ়ভাবে ডিফারেন্সিয়ালযোগ্য এবং যে তম ডেরিভেটিভ অবিচ্ছিন্ন। দুর্বল বা বৈচিত্র্যময় গঠন সোবোলেভ স্পেসের ভাষার মতো সীমানা মান সমস্যাটি নিক্ষেপ করার প্রথম পদক্ষেপটি হল এটিকে তার দুর্বল আকারে পুনরায় উচ্চারণ করা। ল্যাপলেস সমস্যার কথা বিবেচনা করুন। সমীকরণের প্রতিটি দিককে একটি "টেস্ট ফাংশন" দ্বারা গুণ করুন এবং পাওয়ার জন্য গ্রীনের উপপাদ্য ব্যবহার করে অংশ দ্বারা সংহত করুন। আমরা ডিরিচলেট সমস্যার সমাধান করব, যাতে। প্রযুক্তিগত কারণে, এটি ধরে নেওয়া দরকারী যে এটি ফাংশনের একই স্থান থেকে নেওয়া হয়েছে তাই আমরাও এটি ধরে নিই। এটি শব্দটি থেকে মুক্তি পায়, যেখানে (*) এবং যেখানে। যদি একটি সাধারণ উপবৃত্তাকার অপারেটর হয়, তবে একই যুক্তি দ্বিমাত্রিক রূপের দিকে পরিচালিত করে। আমরা নিউম্যান সমস্যা নিয়ে আলোচনা করি না কিন্তু লক্ষ্য করি যে এটি একইভাবে বিশ্লেষণ করা হয়েছে। অবিচ্ছিন্ন এবং বলপূর্বক দ্বিমাত্রিক রূপ মানচিত্রটি ফাংশনের সোবোলেভ স্থানের উপর সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে যা একসময় সীমানায় ডিফারেনশিয়েবল এবং শূন্য ছিল, যদি আমরা এবং এর উপর কিছু শর্ত আরোপ করি। অনেকগুলি সম্ভাব্য পছন্দ রয়েছে, তবে এই নিবন্ধের উদ্দেশ্যে, আমরা ধরে নেব যে ক্রমাগত ডিফারেনশিয়াল হয় কারণ ক্রমাগত চালু থাকে এবং আবদ্ধ থাকে। পাঠক যাচাই করতে পারেন যে মানচিত্রটি আরও দ্বি-রৈখিক এবং অবিচ্ছিন্ন, এবং মানচিত্রটি রৈখিক এবং অবিচ্ছিন্ন যদি (উদাহরণস্বরূপ) বর্গাকার ইন্টিগ্রেবল হয়। আমরা বলি যে মানচিত্রটি বলপ্রয়োগমূলক যদি সকলের জন্য একটি থাকে, এটি ল্যাপলেসিয়ান (সহ)-এর ক্ষেত্রে তুচ্ছভাবে সত্য এবং যদি আমরা ধরে নিই এবং উপবৃত্তাকার অপারেটরের ক্ষেত্রেও সত্য। (মনে রাখবেন যে কখন উপবৃত্তাকার হয়।) দুর্বল সমাধানের অস্তিত্ব এবং স্বতন্ত্রতা লক্ষ-মিলগ্রাম লেম্মার মাধ্যমে কেউ দেখাতে পারে যে যখনই জোরপূর্বক এবং অবিচ্ছিন্ন হয়, তখন দুর্বল সমস্যার একটি অনন্য সমাধান বিদ্যমান (*)। যদি আরও প্রতিসম হয় (অর্থাৎ,), তবে এর পরিবর্তে রিজ উপস্থাপনা উপপাদ্য ব্যবহার করে একই ফলাফল দেখানো যেতে পারে। এটি এই সত্যের উপর নির্ভর করে যা একটি অভ্যন্তরীণ পণ্য গঠন করে, যা নিজেই পয়েনকারের বৈষম্যের উপর নির্ভর করে। শক্তিশালী সমাধান আমরা দেখিয়েছি যে এমন একটি উপায় রয়েছে যা দুর্বল ব্যবস্থার সমাধান করে, কিন্তু আমরা জানি না যে এটি শক্তিশালী ব্যবস্থার সমাধান করে কিনা। আরও বিরক্তিকর বিষয় হল যে আমরা নিশ্চিত নই যে এটি দ্বিগুণ পার্থক্যযোগ্য, যা অভিব্যক্তিগুলিকে আপাতদৃষ্টিতে অর্থহীন করে তোলে। পরিস্থিতির প্রতিকারের অনেক উপায় রয়েছে, যার মধ্যে প্রধান হল নিয়মিততা। নিয়মানুবর্তিতা দ্বিতীয় ক্রমের একটি রৈখিক উপবৃত্তাকার সীমানা মান সমস্যার জন্য একটি নিয়মানুবর্তিতা উপপাদ্য উপপাদ্য রূপ নেয় যদি (কিছু শর্ত), তবে সমাধানটি "দ্বিগুণ ডিফারেনশিয়েবল" ফাংশনের স্থানের মধ্যে থাকে যার দ্বিতীয় ডেরিভেটিভগুলি বর্গ ইন্টিগ্রেবল। উপপাদ্যটির উপসংহার ধরে রাখার জন্য প্রয়োজনীয় এবং পর্যাপ্ত কোনও পরিচিত সহজ শর্ত নেই, তবে নিম্নলিখিত শর্তগুলি যথেষ্ট বলে জানা যায়ঃ এর সীমানা হল, বা উত্তল। এটি অনুমান করার জন্য প্রলুব্ধ হতে পারে যে যদি টুকরো টুকরো হয় তবে এটি আসলেই রয়েছে, তবে দুর্ভাগ্যবশত এটি মিথ্যা। প্রায় সর্বত্র সমাধান এই ক্ষেত্রে যে দ্বিতীয় ডেরিভেটিভগুলি প্রায় সর্বত্র সংজ্ঞায়িত করা হয়, এবং সেই ক্ষেত্রে প্রায় সর্বত্রই। শক্তিশালী সমাধান আরও প্রমাণ করা যেতে পারে যে, যদি এর সীমানা একটি মসৃণ বহুগুণ হয় এবং দৃঢ় অর্থে অসীমভাবে পৃথকীকরণযোগ্য হয়, তবে দৃঢ় অর্থে অসীমভাবে পৃথকীকরণযোগ্যও হয়। এই ক্ষেত্রে, ডেরিভেটিভের দৃঢ় সংজ্ঞা সহ। এর প্রমাণ একটি উন্নত নিয়মিততা উপপাদ্যের উপর নির্ভর করে যা বলে যে যদি এবং, তাহলে, একটি সোবোলেভ ইমবেডিং উপপাদ্যের সাথে একসাথে বলে যে ফাংশনগুলিও যখনই হয়। সংখ্যাসূচক সমাধান ব্যতিক্রমী পরিস্থিতিতে উপবৃত্তাকার সমস্যাগুলি স্পষ্টভাবে সমাধান করা সম্ভব হলেও, সাধারণভাবে এটি একটি অসম্ভব কাজ। স্বাভাবিক সমাধান হল উপবৃত্তাকার সমস্যাটিকে একটি সহজ সমস্যা দিয়ে আনুমানিক মূল্যায়ন করা এবং কম্পিউটারে এই সহজ সমস্যাটি সমাধান করা। আমরা যে ভাল বৈশিষ্ট্যগুলি গণনা করেছি (পাশাপাশি আমাদের অনেকগুলি নেই), রৈখিক উপবৃত্তাকার সীমানা মান সমস্যার জন্য অত্যন্ত দক্ষ সংখ্যাসূচক সমাধানকারী রয়েছে (উদাহরণের জন্য সীমাবদ্ধ উপাদান পদ্ধতি, সীমাবদ্ধ পার্থক্য পদ্ধতি এবং বর্ণালী পদ্ধতি দেখুন)। আইগেনভ্যালু এবং আইগেনসোলুশন আরেকটি সোবোলেভ অন্তর্নির্মিত উপপাদ্য বলে যে অন্তর্ভুক্তি একটি সংক্ষিপ্ত রৈখিক মানচিত্র। কম্প্যাক্ট লিনিয়ার অপারেটরদের জন্য বর্ণালী উপপাদ্য দিয়ে সজ্জিত, নিম্নলিখিত ফলাফলটি পাওয়া যায়। উপপাদ্যটি ধরে নিন যে এটি বলপ্রয়োগকারী, অবিচ্ছিন্ন এবং প্রতিসম। থেকে থেকে মানচিত্রটি একটি সংক্ষিপ্ত রৈখিক মানচিত্র। এর আইগেনভেক্টর এবং মিলে যাওয়া আইগেনভ্যালুগুলির একটি ভিত্তি রয়েছে যেমন, যখনই এবং সমস্ত সিরিজের সমাধানের জন্য এবং আইগেনসোলুশনের গুরুত্ব যদি কেউ আইগেনভ্যালু এবং আইগেনভেক্টর গণনা করে থাকে, তবে সূত্রটির মাধ্যমে এর "সুস্পষ্ট" সমাধান খুঁজে পেতে পারে যেখানে (ফুরিয়ার সিরিজ দেখুন)। সিরিজটি একত্রিত হয়। সংখ্যাসূচক আনুমানিক ব্যবহার করে একটি কম্পিউটারে প্রয়োগ করা হয়, এটি বর্ণালী পদ্ধতি হিসাবে পরিচিত। একটি উদাহরণ (ডিরিচলেট কন্ডিশন)-এর সমস্যাটি বিবেচনা করুন। পাঠক যাচাই করতে পারেন যে আইগেনভেক্টরগুলি ঠিক, আইগেনভ্যালু সহ ফুরিয়ার সহগগুলি একটি টেবিলে উপরে দেখা যেতে পারে। অতএব, সর্বাধিক নীতির সমাধান প্রদান সর্বাধিক নীতির অনেকগুলি রূপ রয়েছে। আমরা একটি সহজ উপায় দিচ্ছি। উপপাদ্য। (দুর্বল সর্বোচ্চ নীতি।) যাক, এবং ধরে নিই। সেটা ভিতরে বলুন। তারপর। অন্য কথায়, সীমানায় সর্বাধিক অর্জন করা হয়। একটি শক্তিশালী সর্বোচ্চ নীতি এই উপসংহারে পৌঁছাবে যে, যদি না তা স্থির থাকে তবে তা সকলের জন্য। গাণিতিক বিশ্লেষণ আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সীমানা মান সমস্যা