Spectral element method
আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সংখ্যাসূচক সমাধানে, গণিতের একটি বিষয়, বর্ণালী উপাদান পদ্ধতি (এস. ই. এম) হল সসীম উপাদান পদ্ধতির (এফ. ই. এম) একটি সূত্র যা উচ্চ মাত্রার পিসওয়াইজ পলিনোমিয়ালগুলিকে বেসিস ফাংশন হিসাবে ব্যবহার করে। বর্ণালী উপাদান পদ্ধতিটি 1984 সালের একটি গবেষণাপত্রে এ. টি. পাতেরা দ্বারা চালু করা হয়েছিল। যদিও পাতেরাকে এই পদ্ধতির বিকাশের জন্য কৃতিত্ব দেওয়া হয়, তবে তাঁর কাজ ছিল একটি বিদ্যমান পদ্ধতির পুনর্বিবেচনা (উন্নয়ন ইতিহাস দেখুন) আলোচনা বর্ণালী পদ্ধতিটি ত্রিকোণমিতিক সিরিজে সমাধানকে প্রসারিত করে, একটি প্রধান সুবিধা হল যে ফলস্বরূপ পদ্ধতিটি খুব উচ্চ ক্রমের। এই পদ্ধতিটি এই সত্যের উপর নির্ভর করে যে ত্রিকোণমিতিক বহুপদগুলি একটি অর্থোনর্মাল ভিত্তি। বর্ণালী উপাদান পদ্ধতি পরিবর্তে একটি উচ্চ ডিগ্রি পিসওয়াইজ পলিনোমিয়াল বেসিস ফাংশন বেছে নেয়, যা নির্ভুলতার একটি খুব উচ্চ ক্রমও অর্জন করে। এই ধরনের পলিনোমিয়ালগুলি সাধারণত অর্থোগোনাল চেবিশেভ পলিনোমিয়াল বা খুব উচ্চ ক্রমের ল্যাগ্রাঞ্জ পলিনোমিয়াল যা অ-অভিন্ন ব্যবধানযুক্ত নোডের উপর থাকে। এস. ই. এম-এ আনুমানিক বহুপদী বৃদ্ধির ক্রমের সাথে সাথে গণনামূলক ত্রুটি দ্রুত হ্রাস পায়, তাই এফ. ই. এম-এর তুলনায় কাঠামোর স্বাধীনতার কম মাত্রার সাথে সঠিক সমাধানের দ্রুত অভিসরণ উপলব্ধি করা হয়। কাঠামোগত স্বাস্থ্য পর্যবেক্ষণে, একটি কাঠামোর বড় ত্রুটিগুলি সনাক্ত করার জন্য এফইএম ব্যবহার করা যেতে পারে, তবে ত্রুটির আকার হ্রাস পাওয়ার সাথে সাথে একটি উচ্চ-ফ্রিকোয়েন্সি তরঙ্গ ব্যবহার করার প্রয়োজন হয়। একটি উচ্চ-ফ্রিকোয়েন্সি তরঙ্গের প্রসারণ অনুকরণ করার জন্য, প্রয়োজনীয় এফ. ই. এম জাল খুব সূক্ষ্ম যার ফলে গণনামূলক সময় বৃদ্ধি পায়। অন্যদিকে, এস. ই. এম কম মাত্রার স্বাধীনতার সাথে ভাল নির্ভুলতা প্রদান করে। নোডের অসঙ্গতি ভর ম্যাট্রিক্সকে তির্যক করতে সাহায্য করে, যা সময় এবং স্মৃতি সাশ্রয় করে এবং একটি কেন্দ্রীয় পার্থক্য পদ্ধতি (সি. ডি. এম) গ্রহণের জন্যও কার্যকর। এস. ই. এম-এর অসুবিধাগুলির মধ্যে রয়েছে এফ. ই. এম-এর নমনীয়তার তুলনায় জটিল জ্যামিতি মডেলিংয়ে অসুবিধা। যদিও পদ্ধতিটি একটি মোডাল পিসওয়াইজ অর্থোগোনাল পলিনোমিয়াল ভিত্তিতে প্রয়োগ করা যেতে পারে, এটি প্রায়শই একটি নোডাল টেনসর প্রোডাক্ট ল্যাগ্রাঞ্জ ভিত্তিতে প্রয়োগ করা হয়। পদ্ধতিটি লেজেন্ড্রে-গাউস-লোবাটো (এলজিএল) পয়েন্টে নোডাল পয়েন্ট স্থাপন করে এবং একই নোড ব্যবহার করে একটি হ্রাসপ্রাপ্ত গাউস-লোবাটো চতুর্ভুজের সাথে গ্যালারকিন পদ্ধতির সংহতকরণ সম্পাদন করে তার দক্ষতা অর্জন করে। এই সংমিশ্রণের ফলে, সরলীকরণের ফলে সমস্ত নোডে ভর লাম্পিং ঘটে এবং অভ্যন্তরীণ বিন্দুতে একটি সংযোগ পদ্ধতির ফলাফল হয়। এই পদ্ধতির সবচেয়ে জনপ্রিয় প্রয়োগগুলি হল গণনামূলক তরল গতিবিদ্যা এবং ভূকম্পীয় তরঙ্গ প্রসারণের মডেলিং। গ্যালারকিন পদ্ধতি এবং সিএর লেম্মার ক্লাসিক বিশ্লেষণ এখানে ধারণ করে এবং এটি দেখানো যেতে পারে যে, যদি দুর্বল সমীকরণের সমাধান হয় তবে আনুমানিক সমাধান এবংঃ যেখানে ডোমেনের বিচক্ষণতার সাথে সম্পর্কিত (অর্থাৎ। উপাদান দৈর্ঘ্য), থেকে স্বাধীন, এবং পিসওয়াইজ পলিনোমিয়াল ভিত্তির ডিগ্রির চেয়ে বড় নয়। শক্তিশালী টপোলজিতে ত্রুটিকে আবদ্ধ করার জন্য অনুরূপ ফলাফল পাওয়া যেতে পারে। যদি আমরা বাড়াই, তাহলে আমরা বেসিস ফাংশনের মাত্রাও বাড়াতে পারি। এই ক্ষেত্রে, যদি একটি বিশ্লেষণাত্মক ফাংশনঃ যেখানে শুধুমাত্র উপর নির্ভর করে। হাইব্রিড-কোলোকেশন-গ্যালারকিনের কিছু সুপারকনভার্জেন্স বৈশিষ্ট্য রয়েছে। এসইএম-এর এলজিএল ফর্ম সমতুল্য, তাই এটি একই সুপারকনভার্জেন্স বৈশিষ্ট্য অর্জন করে। এই পদ্ধতির সবচেয়ে জনপ্রিয় এলজিএল রূপের বিকাশের জন্য সাধারণত ম্যাডে এবং পাতেরাকে দায়ী করা হয়। তবে, এটি এক দশকেরও বেশি আগে তৈরি করা হয়েছিল। প্রথমত, হাইব্রিড-কোলোকেশন-গ্যালারকিন পদ্ধতি (এইচসিজিএম) রয়েছে, যা অভ্যন্তরীণ লোবাটো পয়েন্টগুলিতে কোলোকেশন প্রয়োগ করে এবং উপাদান ইন্টারফেসে গ্যালারকিনের মতো অবিচ্ছেদ্য পদ্ধতি ব্যবহার করে। ইয়াং দ্বারা বর্ণিত লোবাটো-গ্যালারকিন পদ্ধতিটি এসইএম-এর অনুরূপ, যেখানে এইচসিজিএম এই পদ্ধতির সমতুল্য। এই পূর্ববর্তী কাজটি বর্ণালী সাহিত্যে উপেক্ষা করা হয়। সম্পর্কিত পদ্ধতি জি-এনআই বা এসইএম-এনআই হল সর্বাধিক ব্যবহৃত বর্ণালী পদ্ধতি। যথাক্রমে জি-এনআই বা এসইএম-এনআই-এর জন্য বর্ণালী পদ্ধতি বা বর্ণালী উপাদান পদ্ধতির গ্যালারকিন গঠন সংশোধন করা হয় এবং দ্বিমাত্রিক রূপের সংজ্ঞায় এবং কার্যকারিতায় ইন্টিগ্রালের পরিবর্তে গাউস-লোব্যাটো ইন্টিগ্রেশন ব্যবহার করা হয়। তাদের সংমিশ্রণ স্ট্র্যাং-এর লেম্মার ফল। এস. ই. এম হল গ্যালারকিন ভিত্তিক এফ. ই. এম (সীমাবদ্ধ উপাদান পদ্ধতি) যার ল্যাগ্রাঞ্জ ভিত্তি (আকৃতি) ফাংশন রয়েছে এবং একই নোড ব্যবহার করে লোবাটো চতুর্ভুজ দ্বারা সংখ্যাসূচক একীকরণ হ্রাস করা হয়েছে। সিউডোস্পেকট্রাল পদ্ধতি, অর্থোগোনাল কোলোকেশন, ডিফারেনশিয়াল চতুর্ভুজ পদ্ধতি এবং জি-এনআই একই পদ্ধতির বিভিন্ন নাম। এই পদ্ধতিগুলি পিসওয়াইজ পলিনোমিয়াল বেসিস ফাংশনের পরিবর্তে গ্লোবাল ব্যবহার করে। একটি পিসওয়াইজ এফ. ই. এম বা এস. ই. এম ভিত্তিতে সম্প্রসারণ প্রায় তুচ্ছ। বর্ণালী উপাদান পদ্ধতিটি গাউস-লোবাটো বিন্দুর সাথে যুক্ত নোডাল বেসিস ফাংশন দ্বারা বিস্তৃত একটি টেনসর পণ্য স্থান ব্যবহার করে। এর বিপরীতে, পি-সংস্করণ সীমাবদ্ধ উপাদান পদ্ধতিটি নোডলেস বেসিস ফাংশন দ্বারা উচ্চ ক্রমের পলিনোমিয়ালগুলির একটি স্থান বিস্তৃত করে, যা সংখ্যাসূচক স্থায়িত্বের জন্য প্রায় অর্থোগোনাল নির্বাচিত হয়। যেহেতু সমস্ত অভ্যন্তরীণ ভিত্তি ফাংশন উপস্থিত থাকার প্রয়োজন হয় না, তাই পি-সংস্করণ সসীম উপাদান পদ্ধতি এমন একটি স্থান তৈরি করতে পারে যা একটি নির্দিষ্ট ডিগ্রি পর্যন্ত সমস্ত বহুপদকে কম ডিগ্রি অফ ফ্রিডম সহ ধারণ করে। যাইহোক, তাদের টেনসর-প্রোডাক্ট চরিত্রের কারণে বর্ণালী পদ্ধতিতে সম্ভাব্য কিছু স্পিডআপ কৌশল আর উপলব্ধ নেই। পি-সংস্করণ নামের অর্থ হল জালের আকার হ্রাস করার পরিবর্তে আনুমানিক বহুপদীর ক্রম (এইভাবে, পি) বৃদ্ধি করে নির্ভুলতা বৃদ্ধি করা হয়, এইচ। এইচপি সীমাবদ্ধ উপাদান পদ্ধতি (এইচপি-এফইএম) সূচকীয় অভিসারের হার অর্জনের জন্য এইচ এবং পি পরিশোধনগুলির সুবিধাগুলি একত্রিত করে। সংখ্যাসূচক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ গণনামূলক তরল গতিবিদ্যা সীমাবদ্ধ উপাদান পদ্ধতি