Free-by-cyclic group
গোষ্ঠী তত্ত্বে, বিশেষত, জ্যামিতিক গোষ্ঠী তত্ত্বে, গুরুত্বপূর্ণ উদাহরণ হিসাবে মুক্ত-দ্বারা-চক্রাকার গোষ্ঠীর শ্রেণীকে গভীরভাবে অধ্যয়ন করা হয়েছে। একটি গোষ্ঠীকে মুক্ত-দ্বারা-চক্রীয় বলা হয় যদি এর একটি মুক্ত স্বাভাবিক উপগোষ্ঠী থাকে যেমন ভাগফল গোষ্ঠীটি চক্রীয় হয়। অন্য কথায়, ফ্রি-বাই-সাইক্লিক হয় যদি এটি একটি সাইক্লিক গ্রুপ দ্বারা একটি ফ্রি গ্রুপের গ্রুপ এক্সটেনশন হিসাবে প্রকাশ করা যায় (এনবি 'বাই' এর জন্য দুটি কনভেনশন রয়েছে)। সাধারণত, আমরা ধরে নিই যে এটি সীমাবদ্ধভাবে উৎপন্ন হয়েছে এবং ভাগফলটি একটি অসীম চক্রাকার গোষ্ঠী। সমতুল্যভাবে, আমরা একটি মুক্ত-দ্বারা-চক্রীয় গোষ্ঠীকে গঠনমূলকভাবে সংজ্ঞায়িত করতে পারিঃ যদি একটি স্বয়ংক্রিয়তা হয়, তবে অর্ধ-পরোক্ষ পণ্যটি একটি মুক্ত-দ্বারা-চক্রীয় গোষ্ঠী। একটি মুক্ত-বাই-সাইক্লিক গ্রুপের একটি আইসোমরফিজম শ্রেণী একটি বাইরের অটোমরফিজম দ্বারা নির্ধারিত হয়। যদি দুটি অটোমরফিজম একই বাইরের অটোমরফিজমের প্রতিনিধিত্ব করে, অর্থাৎ কিছু অভ্যন্তরীণ অটোমরফিজমের জন্য, মুক্ত-বাই-সাইক্লিক গ্রুপ এবং আইসোমরফিক হয়। উদাহরণস্বরূপ, মুক্ত-দ্বারা-চক্রীয় গোষ্ঠীগুলির শ্রেণীতে নিম্নরূপ বিভিন্ন গোষ্ঠী রয়েছেঃ একটি মুক্ত-দ্বারা-চক্রীয় গোষ্ঠী হাইপারবোলিক হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি সংযুক্ত মানচিত্রটি অ্যাটোরয়েডাল হয়। কিছু ফ্রি-বাই-সাইক্লিক গ্রুপ ফ্রি-অ্যাবেলিয়ান উপগোষ্ঠীর তুলনায় হাইপারবোলিক। আরও সাধারণভাবে, সমস্ত মুক্ত-দ্বারা-চক্রীয় গোষ্ঠীগুলি বহুপদী বৃদ্ধির একটি স্বয়ংক্রিয়তার জন্য মুক্ত-দ্বারা-চক্রীয় উপগোষ্ঠীর সংগ্রহের তুলনায় হাইপারবোলিক। উল্লেখযোগ্যভাবে, একটি নন-সিএটি (0) ফ্রি-বাই-সাইক্লিক গ্রুপ রয়েছে। রেফারেন্স এ. মার্টিনো এবং ই. ভেনচুরা (2004), দ্য কনজুগেসি প্রবলেম ফর ফ্রি-বাই-সাইক্লিক গ্রুপ। স্পেনের কাতালোনিয়ার বার্সেলোনার সেন্টার ডি রেসারকা মাতেমাতিকা থেকে প্রি-প্রিন্ট। ফেইন, মার্ক; হ্যান্ডেল, মাইকেল ম্যাপিং টোরি ফ্রি গ্রুপ অটোমরফিজমগুলি সুসঙ্গত, অ্যান। গণিত, খণ্ড 149 (1999) নং। 3 ঘোষ, পি. (2023)। ফ্রি-বাই-সাইক্লিক এক্সটেনশনের আপেক্ষিক হাইপারবোলিসিটি। কম্পোজিটিও ম্যাথমেটিকা, 159 (1), 153-183। এফ. দাহমানি এবং আর. লি, রিলেটিভ হাইপারবোলিসিটি ফর অটোমরফিজমস অফ ফ্রি প্রোডাক্টস অ্যান্ড ফ্রি গ্রুপস, জার্নাল অফ টপোলজি অ্যান্ড অ্যানালাইসিসভোল। 14, নং। 1, পিপি। 55-92 (2022) অসীম গোষ্ঠী তত্ত্ব গোষ্ঠীগুলির বৈশিষ্ট্য