Cerf theory
গণিতে, এককত্ব তত্ত্ব এবং ডিফারেনশিয়াল টপোলজির সংযোগস্থলে, সার্ফ তত্ত্ব হল একটি মসৃণ বহুগুণের উপর মসৃণ বাস্তব-মূল্যবান ফাংশনের পরিবারগুলির অধ্যয়ন, তাদের সাধারণ এককত্ব এবং উপস্থানগুলির টপোলজি এই এককত্বগুলি ফাংশন স্পেসের সাবস্পেস হিসাবে সংজ্ঞায়িত করে। তত্ত্বটির নামকরণ করা হয়েছে জিন সার্ফের নামে, যিনি 1960-এর দশকের শেষের দিকে এটি শুরু করেছিলেন। মার্স্টন মোর্সের একটি উদাহরণ প্রমাণ করেছে যে, যে কোনও মসৃণ ফাংশনকে মোর্স ফাংশন দ্বারা আনুমানিক করা যেতে পারে। সুতরাং, অনেক উদ্দেশ্যে, কেউ মোর্স ফাংশন দ্বারা নির্বিচারে ফাংশন প্রতিস্থাপন করতে পারে। পরবর্তী পদক্ষেপ হিসাবে, কেউ জিজ্ঞাসা করতে পারে, 'যদি আপনার ফাংশনের একটি একক-পরামিতি পরিবার থাকে যা মোর্স ফাংশনে শুরু হয় এবং শেষ হয়, আপনি কি ধরে নিতে পারেন যে পুরো পরিবারটি মোর্স?' সাধারণভাবে, উত্তরটি হল না। উদাহরণস্বরূপ, সময় দ্বারা প্রদত্ত ফাংশনের এক-পরামিতি পরিবারের কথা বিবেচনা করুন, এটির কোনও সমালোচনামূলক বিন্দু নেই, তবে সময়ে, এটি দুটি সমালোচনামূলক বিন্দু সহ একটি মোর্স ফাংশন। সার্ফ দেখিয়েছেন যে দুটি মোর্স ফাংশনের মধ্যে ফাংশনের একটি একক-পরামিতি পরিবারকে মোর্স দ্বারা আনুমানিকভাবে অনুমান করা যেতে পারে তবে সীমাবদ্ধভাবে অনেকগুলি অবনমিত সময়। অবক্ষয়গুলি সমালোচনামূলক পয়েন্টগুলির জন্ম/মৃত্যুর রূপান্তরের সাথে জড়িত, যেমন উপরের উদাহরণে যখন, একটি সূচক 0 এবং সূচক 1 সমালোচনামূলক বিন্দু বৃদ্ধি হিসাবে তৈরি করা হয়। একটি অসীম-মাত্রিক স্থানের স্তরবিন্যাস সাধারণ ক্ষেত্রে ফিরে আসা যেখানে একটি কম্প্যাক্ট ম্যানিফোল্ড, আসুন মোর্স ফাংশনের স্থান এবং বাস্তব-মূল্যবান মসৃণ ফাংশনের স্থান নির্দেশ করি। মোর্স প্রমাণ করেছেন যে এটি টপোলজিতে একটি উন্মুক্ত এবং ঘন উপসেট। অন্তর্দৃষ্টির উদ্দেশ্যে, এখানে একটি উপমা রয়েছে। মোর্স ফাংশনগুলিকে একটি স্তরবিন্যাসে শীর্ষ-মাত্রিক উন্মুক্ত স্তর হিসাবে ভাবুন (আমরা এই ধরনের স্তরবিন্যাসের অস্তিত্বের কোনও দাবি করি না, তবে ধরুন কেউ তা করে)। লক্ষ্য করুন যে স্তরীভূত জায়গাগুলিতে, সহ-মাত্রা 0 খোলা স্তরটি খোলা এবং ঘন। স্বরলিপির উদ্দেশ্যে, একটি স্তরবদ্ধ স্থানে স্তরবিন্যাসের জন্য প্রচলিত নিয়মগুলিকে বিপরীত করুন এবং খোলা স্তরগুলিকে তাদের মাত্রা দ্বারা নয়, বরং তাদের সহ-মাত্রা দ্বারা সূচিবদ্ধ করুন। এটি সুবিধাজনক কারণ এটি একটি সসীম সেট না হলে অসীম-মাত্রিক। অনুমান অনুসারে, খোলা সহ-মাত্রা 0 এর স্তর হল, অর্থাৎ। :। একটি স্তরযুক্ত স্থানে, প্রায়শই সংযোগ বিচ্ছিন্ন হয়ে যায়। সহ-মাত্রা 1 স্তরটির অপরিহার্য বৈশিষ্ট্য হল যে কোনও পথ যেখানে শুরু হয় এবং শেষ হয় তা এমন একটি পথ দ্বারা আনুমানিক করা যেতে পারে যা সীমাবদ্ধভাবে অনেক পয়েন্টে আড়াআড়িভাবে ছেদ করে এবং কোনওটির জন্য ছেদ করে না। এইভাবে সার্ফ তত্ত্ব হল ধনাত্মক সহ-মাত্রিক স্তরগুলির অধ্যয়ন, অর্থাৎ। : জন্য। এর ক্ষেত্রে, শুধুমাত্র ফাংশনের জন্য মোর্স নয়, এবং জন্ম/মৃত্যু রূপান্তরের সাথে সম্পর্কিত একটি ঘন অবক্ষয়মূলক সমালোচনামূলক বিন্দু রয়েছে। একটি একক সময় পরামিতি, উপপাদ্যের বিবৃতি মোর্স উপপাদ্য দাবি করে যে যদি একটি মোর্স ফাংশন হয়, তবে একটি সমালোচনামূলক বিন্দুর কাছাকাছি এটি যেখানে ফর্মের একটি ফাংশনের সাথে সংযুক্ত হয়। সার্ফের এক-পরামিতি উপপাদ্যটি সহ-মাত্রার এক স্তরের অপরিহার্য বৈশিষ্ট্যকে জোর দেয়। সুনির্দিষ্টভাবে, যদি মসৃণ ফাংশনের এক-পরামিতি পরিবার অন, এবং মোর্স হয়, তবে একটি মসৃণ এক-পরামিতি পরিবার বিদ্যমান যেমন, ফাংশনের উপর-টপোলজির সমানভাবে কাছাকাছি। উপরন্তু, মোর্স একেবারেই কিন্তু সীমিতভাবে অনেকবার। একটি অ-মরস সময়ে ফাংশনের শুধুমাত্র একটি অবক্ষয়মূলক সমালোচনামূলক বিন্দু থাকে এবং সেই বিন্দুর কাছাকাছি পরিবারটি পরিবারের সাথে সংযুক্ত থাকে। যদি এটি ফাংশনের এক-পরামিতি পরিবার হয় যেখানে দুটি সমালোচনামূলক বিন্দু তৈরি হয় (বৃদ্ধি হিসাবে), এবং এর জন্য ফাংশনের এক-পরামিতি পরিবার যেখানে দুটি সমালোচনামূলক বিন্দু ধ্বংস হয়। 1924 সালে জে. ডব্লিউ. আলেকজান্ডার পিএল-স্কোনফ্লাইস সমস্যার সমাধান করেন। তাঁর প্রমাণ মোর্স এবং এমিলিও বাইয়াদা মসৃণ মামলার সাথে খাপ খাইয়ে নিয়েছিলেন। সেরফ প্রয়োজনীয় বৈশিষ্ট্যটি ব্যবহার করেছিলেন প্রমাণ করার জন্য যে এর প্রতিটি অভিযোজন-সংরক্ষণকারী ডিফিয়োমোর্ফিজম আইডেন্টিটির সমস্থানিক, যা স্কোনফ্লাইস উপপাদ্যের এক-পরামিতি সম্প্রসারণ হিসাবে দেখা হয়। ডিফারেনশিয়াল টপোলজিতে সেই সময়ের ফলের ব্যাপক প্রভাব ছিল। অপরিহার্য বৈশিষ্ট্যটি পরে সার্ফ দ্বারা উচ্চ-মাত্রিক সহজ-সংযুক্ত ম্যানিফোল্ডগুলির জন্য ছদ্ম-আইসোটোপি উপপাদ্য প্রমাণ করতে ব্যবহৃত হয়েছিল। প্রমাণটি স্টিফেন স্মেলের এইচ-কোবোর্ডিজম উপপাদ্যের প্রমাণের এক-পরামিতি সম্প্রসারণ (কার্যকরী কাঠামোর মধ্যে স্মেলের প্রমাণের পুনর্লিখন মোর্স এবং জন মিলনর এবং সার্ফ, আন্দ্রে গ্রামাইন এবং বার্নার্ড মরিন দ্বারা রেনে থমের পরামর্শ অনুসরণ করে করা হয়েছিল)। সেরফের প্রমাণ থম এবং জন ম্যাথারের কাজের উপর নির্মিত। সেই সময় থেকে থম এবং ম্যাথারের কাজের একটি দরকারী আধুনিক সারসংক্ষেপ হল মার্টি গোলুবিটস্কি এবং ভিক্টর গুইলেমিনের বই। প্রয়োগগুলি উপরে উল্লিখিত প্রয়োগগুলির পাশাপাশি, রবিওন কার্বি কার্বি ক্যালকুলাসকে ন্যায্যতা দেওয়ার ক্ষেত্রে একটি মূল পদক্ষেপ হিসাবে সার্ফ তত্ত্বকে ব্যবহার করেছিলেন। সাধারণীকরণ মসৃণ মানচিত্রের স্থানের একটি অসীম সহ-মাত্রার সাবস্পেসের পরিপূরকের একটি স্তরবিন্যাস অবশেষে ফ্রান্সিস সার্জেরার্ট দ্বারা তৈরি করা হয়েছিল। সত্তরের দশকে, অ-সরলভাবে সংযুক্ত ম্যানিফোল্ডগুলির ছদ্ম-সমস্থানিকগুলির জন্য শ্রেণিবিন্যাস সমস্যাটি অ্যালেন হ্যাচার এবং জন ওয়াগনার দ্বারা সমাধান করা হয়েছিল, () এবং ()-এর উপর বীজগাণিতিক-বাধা আবিষ্কার করে এবং কিয়োশি ইগুসা দ্বারা, ()-এর উপর অনুরূপ প্রকৃতির বাধা আবিষ্কার করে। তথ্যসূত্র ডিফারেনশিয়াল টপোলজি সিঙ্গুলারিটি তত্ত্ব