Lagrange multipliers on Banach spaces
গণিতের বৈচিত্র্যের গণনার ক্ষেত্রে, বানাচ স্পেসে ল্যাগ্রাঞ্জ মাল্টিপ্লায়ার পদ্ধতিটি নির্দিষ্ট অসীম-মাত্রিক সীমাবদ্ধ অপ্টিমাইজেশান সমস্যা সমাধানের জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে। পদ্ধতিটি ল্যাগ্রাঞ্জ মাল্টিপ্লায়ারগুলির শাস্ত্রীয় পদ্ধতির একটি সাধারণীকরণ যা সীমাবদ্ধভাবে অনেকগুলি ভেরিয়েবলের একটি ফাংশনের চূড়ান্ততা খুঁজে বের করতে ব্যবহৃত হয়। বানাচ স্পেসের জন্য ল্যাগ্রাঞ্জ মাল্টিপ্লায়ার উপপাদ্য ধরা যাক এক্স এবং ওয়াই আসল বানাচ স্পেস। ধরা যাক U হল X-এর একটি উন্মুক্ত উপসেট এবং ধরা যাক f: U → R একটি অবিচ্ছিন্নভাবে পৃথকীকরণযোগ্য ফাংশন। ধরা যাক g: U → Y আরেকটি অবিচ্ছিন্নভাবে পৃথকীকরণযোগ্য ফাংশন, সীমাবদ্ধতাঃ উদ্দেশ্য হল f-এর চূড়ান্ত বিন্দুগুলি (সর্বাধিক বা ন্যূনতম) খুঁজে বের করা, এই সীমাবদ্ধতার সাপেক্ষে যে g শূন্য। ধরুন যে u0 হল f-এর একটি সীমাবদ্ধ প্রান্ত, অর্থাৎ। মনে করুন যে ফ্রেচেট ডেরিভেটিভ Dg (u0): X → Y হল একটি সার্জেক্টিভ রৈখিক মানচিত্র। তারপর একটি ল্যাগ্রেঞ্জ গুণক রয়েছে λ: Y → R, যা Y-এর দ্বৈত স্থান, যেমন Df (u0) যেহেতু দ্বৈত স্থান X ≤-এর একটি উপাদান, তাই সমীকরণ (L)-কে এমনভাবেও লেখা যেতে পারে যেখানে (Dg (u0)) ≤ (λ) হল λ/Dg (u0)-এর পুলব্যাক, অর্থাৎ। সীমাবদ্ধ-মাত্রিক ক্ষেত্রে সংযোগ দ্বারা সংজ্ঞায়িত হিসাবে λ-এর উপর সংলগ্ন মানচিত্রের (Dg (u0)) ক্রিয়া, X এবং Y উভয়ই সীমাবদ্ধ-মাত্রিক (অর্থাৎ। কিছু স্বাভাবিক সংখ্যা m এবং n-এর জন্য রৈখিকভাবে Rm এবং Rn-এর সমরূপ) তারপর ম্যাট্রিক্স আকারে সমীকরণ (L) লিখে দেখা যায় যে λ হল স্বাভাবিক ল্যাগ্রাঞ্জ গুণক ভেক্টর; n = 1-এর ক্ষেত্রে, λ হল স্বাভাবিক ল্যাগ্রাঞ্জ গুণক, একটি বাস্তব সংখ্যা। প্রয়োগ অনেক অপ্টিমাইজেশান সমস্যায়, কেউ বানাচ স্পেসের মতো একটি অসীম-মাত্রিক স্থানের উপর সংজ্ঞায়িত একটি কার্যকরীকে হ্রাস করতে চায়। উদাহরণস্বরূপ, সোবোলেভ স্থান এবং দ্বারা প্রদত্ত কার্যকারিতার কথা বিবেচনা করুন, কোনও বাধা ছাড়াই, f-এর ন্যূনতম মান হবে 0, যা −1 এবং + 1-এর মধ্যে সমস্ত x-এর জন্য u0 (x) = 0 দ্বারা প্রাপ্ত হবে। সীমাবদ্ধ অপ্টিমাইজেশান সমস্যাটিও বিবেচনা করা যেতে পারে, যাতে সমস্ত u ωX-এর মধ্যে f-কে এমনভাবে হ্রাস করা যায় যাতে u-এর গড় মান + 1 হয়। উপরের উপপাদ্যের পরিপ্রেক্ষিতে, সীমাবদ্ধতা g দ্বারা দেওয়া হবে তবে এই সমস্যাটি সীমাবদ্ধ মাত্রিক ক্ষেত্রে যেমন সমাধান করা যেতে পারে যেহেতু ল্যাগ্রাঞ্জ গুণক কেবল একটি স্কেলার। আরও দেখুন পন্ট্রিয়াজিনের ন্যূনতম নীতি, ভিন্নতার গণনায় হ্যামিল্টনিয়ান পদ্ধতি রেফারেন্স (বিভাগ 4.14, pp.270-271 দেখুন।) বৈচিত্র্যের হিসাব