Eigenvalue perturbation
গণিতে, একটি আইগেনভ্যালু বিশৃঙ্খলা সমস্যা হল একটি সিস্টেমের আইগেনভেক্টর এবং আইগেনভ্যালু খুঁজে বের করা যা পরিচিত আইগেনভেক্টর এবং আইগেনভ্যালু সহ একটি থেকে বিভ্রান্ত হয়। মূল সিস্টেমের আইগেনভেক্টর এবং আইগেনভ্যালু সিস্টেমের পরিবর্তনের প্রতি কতটা সংবেদনশীল তা অধ্যয়নের জন্য এটি কার্যকর। এই ধরনের বিশ্লেষণ লর্ড রেলে দ্বারা জনপ্রিয় করা হয়েছিল, ছোট অসমতা দ্বারা বিক্ষিপ্ত একটি স্ট্রিংয়ের সুরেলা কম্পনগুলির তদন্তে। এই নিবন্ধের উৎপত্তিগুলি মূলত স্বয়ংসম্পূর্ণ এবং সংখ্যাসূচক রৈখিক বীজগণিত বা সংখ্যাসূচক কার্যকরী বিশ্লেষণের অনেক গ্রন্থে পাওয়া যায়। এই নিবন্ধটি একটি সাধারণ আইগেনভ্যালুতে বিশৃঙ্খলার ক্ষেত্রে দৃষ্টি নিবদ্ধ করে (আইগেনভ্যালুগুলির বহুগুণে দেখুন)। কেন সাধারণীকৃত আইগেনভ্যালু? আইগেনভ্যালু এবং আইগেনভেক্টরের প্রবেশ প্রয়োগগুলিতে আমরা অসংখ্য বৈজ্ঞানিক ক্ষেত্র খুঁজে পাই যেখানে সমাধান পেতে আইগেনভ্যালু ব্যবহার করা হয়। সাধারণীকৃত আইগেনভ্যালু সমস্যাগুলি কম বিস্তৃত তবে কম্পন অধ্যয়নের একটি মূল বিষয়। এগুলি কার্যকর হয় যখন আমরা গ্যালারকিন পদ্ধতি বা রেলে-রিটজ পদ্ধতি ব্যবহার করি আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের আনুমানিক সমাধান খুঁজে বের করার জন্য যা স্ট্রিং এবং প্লেটের মতো কাঠামোর কম্পনের মডেলিং করে; কোরান্টের কাগজ (1943) মৌলিক। সীমাবদ্ধ উপাদান পদ্ধতি একটি বিস্তৃত বিশেষ কেস। ধ্রুপদী বলবিজ্ঞানে, আমরা সাধারণ আইগেনভ্যালু খুঁজে পেতে পারি যখন আমরা ভারসাম্যের কাছাকাছি একাধিক ডিগ্রি স্বাধীনতা ব্যবস্থার কম্পনগুলি সন্ধান করি; গতিশক্তি ভর ম্যাট্রিক্স সরবরাহ করে, সম্ভাব্য স্ট্রেন শক্তি অনমনীয়তা ম্যাট্রিক্স সরবরাহ করে। বিশদ বিবরণ পেতে, উদাহরণস্বরূপ ওয়েইনস্টাইনের এই নিবন্ধের প্রথম বিভাগটি দেখুন (1941, ফরাসি ভাষায়) উভয় পদ্ধতির সাহায্যে, আমরা ভর ম্যাট্রিক্স, ড্যাম্পিং ম্যাট্রিক্স এবং অনমনীয়তা ম্যাট্রিক্সের সাথে ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ বা ম্যাট্রিক্স ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একটি পদ্ধতি পাই। যদি আমরা ড্যাম্পিং প্রভাবকে অবহেলা করি, আমরা ব্যবহার করি, আমরা নিম্নলিখিত ফর্মের একটি সমাধান খুঁজতে পারি; আমরা এটি অর্জন করি এবং সাধারণীকৃত আইগেনভ্যালু সমস্যার সমাধান করি একটি সাধারণীকৃত আইগেনভ্যালু সমস্যার জন্য বিশৃঙ্খলা সেটিং মনে করুন আমাদের কাছে সাধারণীকৃত আইগেনভ্যালু সমস্যার সমাধান রয়েছে, যেখানে এবং ম্যাট্রিক্স। অর্থাৎ, আমরা এর জন্য আইগেনভ্যালু এবং আইগেনভেক্টর জানি। এটিও প্রয়োজন যে আইগেনভ্যালুগুলি স্বতন্ত্র। এখন ধরুন আমরা ম্যাট্রিক্সগুলি অল্প পরিমাণে পরিবর্তন করতে চাই। অর্থাৎ, আমরা যেখানে বিশৃঙ্খলা রয়েছে তার আইগেনভ্যালু এবং আইগেনভেক্টর খুঁজে বের করতে চাই এবং যথাক্রমে তার চেয়ে অনেক ছোট। তারপরে আমরা আশা করি যে নতুন আইগেনভ্যালু এবং আইগেনভেক্টরগুলি মূল, প্লাস ছোট বিশৃঙ্খলার অনুরূপ হবেঃ ধাপগুলি আমরা ধরে নিই যে ম্যাট্রিক্সগুলি প্রতিসম এবং ধনাত্মক নির্দিষ্ট, এবং ধরে নিই যে আমরা আইগেনভেক্টরগুলিকে এমনভাবে স্কেল করেছি যে ক্রোনেকার ব-দ্বীপটি কোথায়। এখন আমরা সমীকরণটি সমাধান করতে চাই এই নিবন্ধে আমরা অধ্যয়নটিকে প্রথম ক্রমের বিশৃঙ্খলার মধ্যে সীমাবদ্ধ রাখি। সমীকরণের প্রথম ক্রম সম্প্রসারণ (1) প্রতিস্থাপন করলে, আমরা পাই যা (0) () থেকে বাতিল করার জন্য প্রসারিত হয় উচ্চ-ক্রমের পদগুলি সরিয়ে, এটি সহজতর হয়। যেহেতু ম্যাট্রিক্সটি প্রতিসম, তাই অপ্রচলিত আইগেনভেক্টরগুলি অর্থোগোনাল এবং তাই আমরা তাদের বিশৃঙ্খল আইগেনভেক্টরগুলির ভিত্তি হিসাবে ব্যবহার করি। অর্থাৎ, আমরা গঠন করতে চাই, যেখানে ছোট ধ্রুবকগুলি নির্ধারণ করতে হবে। একইভাবে, (2) প্রতিস্থাপন করে, এবং উচ্চতর ক্রমের পদগুলি সরিয়ে, আমরা পাই। প্রথম কাঁটাচামচঃ প্রথম আইগেনভ্যালু বিশৃঙ্খলা পান আইগেনভ্যালু বিশৃঙ্খলা আমরা (3) দিয়ে শুরু করি আমরা দিয়ে গুণ করি এবং ব্যবহার করি (2) পাশাপাশি তার প্রথম ক্রমের প্রকরণ (5); আমরা পাই বা লক্ষ্য করি যে এটি স্থির সহ সাধারণীকৃত রেলে ভাগফলের প্রথম ক্রমের বিশৃঙ্খলাঃ উপরন্তু, সূত্রটিকে বাউয়ার-ফাইক উপপাদ্যের সাথে তুলনা করা উচিত যা আইগেনভ্যালু বিশৃঙ্খলার জন্য একটি সীমা প্রদান করে। আইগেনভেক্টর বিশৃঙ্খলা আমরা রেখেছি গুণ (3) এর সাথে এবং আমরা এর জন্য ব্যবহার করি। অথবা যেমন আইগেনভ্যালুগুলি সহজ বলে ধরে নেওয়া হয়, কারণ অধিকন্তু (5) ((2)-এর প্রথম ক্রমের বৈচিত্র্য) ফলন আমরা এর সমস্ত উপাদান অর্জন করেছি। দ্বিতীয় কাঁটাচামচঃ সোজাসুজি ম্যানিপুলেশন (4) কে (3)-এ প্রতিস্থাপন করলে এবং পুনর্বিন্যাস করলে পাওয়া যায়, কারণ ধনাত্মক নির্দিষ্ট হলে আইগেনভেক্টরগুলি-অর্থোগোনাল হয়, তাই আমরা বাম-গুণ করে যোগফলগুলি সরাতে পারিঃ সমীকরণ (1) ব্যবহার করে আবারঃ দুটি পদ সমান কারণ বাম-গুণ করলে (1) দিয়ে সেই পদগুলি বাতিল করলে (6) দিয়ে পুনরায় বিন্যাস করলে পাওয়া যায়। সুতরাং, বাম-গুণ সমীকরণ (5) দ্বারাঃ অথবা সূচকগুলির নাম পরিবর্তন করেঃ খুঁজে বের করার জন্য, এই সত্যটি ব্যবহার করুন যেঃ বোঝায়ঃ প্রথম ক্রমের বিশৃঙ্খলার ফলাফলের সারসংক্ষেপ যেখানে সমস্ত ম্যাট্রিক্স হারমিশিয়ান পজিটিভ নির্দিষ্ট এবং সমস্ত আইগেনভ্যালু স্বতন্ত্র, অসীমের জন্য এবং ((3)-এ উচ্চতর ক্রমের পদগুলি অবহেলিত)। এখনও অবধি, আমরা প্রমাণ করতে পারি নি যে এই উচ্চতর অর্ডারের শর্তগুলি অবহেলিত হতে পারে। এই বিন্দুটি অন্তর্নিহিত ফাংশন উপপাদ্য ব্যবহার করে উদ্ভূত হতে পারে; পরবর্তী বিভাগে, আমরা প্রথম ক্রম সম্প্রসারণ পাওয়ার জন্য এই উপপাদ্যটির ব্যবহারের সংক্ষিপ্তসার করি। একটি অন্তর্নিহিত ফাংশনের তাত্ত্বিক উৎপত্তি বিশৃঙ্খলা। পরবর্তী অনুচ্ছেদে, আমরা ইমপ্লিসিট ফাংশন উপপাদ্য (উপপাদ্যের বিবৃতি) ব্যবহার করব; আমরা লক্ষ্য করব যে একটি অবিচ্ছিন্নভাবে ডিফারেনশিয়াল ফাংশনের জন্য, একটি ইনভার্টিবল জ্যাকোবিয়ান ম্যাট্রিক্স সহ, একটি বিন্দু সমাধান থেকে, আমরা কাছাকাছি সমাধান পাই যেখানে একটি অবিচ্ছিন্নভাবে ডিফারেনশিয়াল ফাংশন; উপরন্তু জ্যাকোবিয়ান মেরিক্স রৈখিক সিস্টেম দ্বারা সরবরাহ করা হয়। যত তাড়াতাড়ি উপপাদ্যটির অনুমানটি সন্তুষ্ট হয়, জ্যাকোবিয়ান ম্যাট্রিক্সটি প্রথম ক্রম সম্প্রসারণের সাথে গণনা করা যেতে পারে, আমরা পাই; যেমন, এটি সমীকরণের সমতুল্য। আইগেনভ্যালু বিশৃঙ্খলাঃ একটি তাত্ত্বিক ভিত্তি। আমরা পূর্ববর্তী অনুচ্ছেদটি (একটি অন্তর্নিহিত ফাংশনের বিশৃঙ্খলা) আইগেনভ্যালু বিশৃঙ্খলার জন্য উপযুক্ত কিছুটা ভিন্ন স্বরলিপি সহ ব্যবহার করি। ইমপ্লিসিট ফাংশন উপপাদ্য ব্যবহার করার জন্য, আমরা জ্যাকোবিয়ানের ইনভার্টিবিলিটি নিয়ে অধ্যয়ন করি। প্রকৃতপক্ষে, এর সমাধানটি সম্প্রসারণের উৎপত্তির অনুরূপ গণনার মাধ্যমে উদ্ভূত হতে পারে। যখন একটি সাধারণ আইগেনভ্যালু হয়, যেহেতু আইগেনভেক্টরগুলি একটি অর্থোনর্মাল ভিত্তি গঠন করে, যে কোনও ডান দিকের জন্য, আমরা একটি সমাধান পেয়েছি, তাই জ্যাকোবিয়ানটি বিপরীতমুখী। অন্তর্নিহিত ফাংশন উপপাদ্যটি একটি অবিচ্ছিন্নভাবে পৃথকীকরণযোগ্য ফাংশন সরবরাহ করে তাই সামান্য o স্বরলিপি সহ বিস্তারঃ এটি বিশৃঙ্খল আইগেনভ্যালু এবং আইগেনভেক্টরের প্রথম ক্রম সম্প্রসারণ। যা প্রমাণিত। ম্যাট্রিক্সের এন্ট্রিগুলির ক্ষেত্রে সংবেদনশীলতা বিশ্লেষণের ফলাফল ফলাফল এর অর্থ ম্যাট্রিক্সের এন্ট্রিগুলির পরিবর্তনের একটি ফাংশন হিসাবে দক্ষতার সাথে সংবেদনশীলতা বিশ্লেষণ করা সম্ভব। (মনে রাখবেন যে ম্যাট্রিক্সগুলি প্রতিসম এবং তাই পরিবর্তনও পরিবর্তিত হবে, তাই শব্দটি।) একইভাবে আইগেনভ্যালু সংবেদনশীলতা, একটি ছোট উদাহরণ একটি সহজ উদাহরণ; তবে আপনি অনলাইন সরঞ্জামগুলির সাহায্যে আইগেনভ্যালু এবং আইগেনভেক্টর গণনা করতে পারেন যেমন (উইকিপিডিয়া ডব্লিউআইএমএস-এ ভূমিকা দেখুন) বা সেজ সেজমাথ ব্যবহার করে। আপনি সবচেয়ে ছোট আইগেনভ্যালু এবং একটি সুস্পষ্ট গণনা পাবেন; আরও বেশি, একটি সম্পর্কিত আইগেনভেক্টর হল; এটি একটি একক ভেক্টর নয়; সুতরাং; আমরা পাই এবং; অতএব; এই উদাহরণের জন্য, আমরা তা পরীক্ষা করেছি বা। আইগেনভেক্টরের অস্তিত্ব লক্ষ্য করুন যে উপরের উদাহরণে আমরা ধরে নিয়েছিলাম যে অপ্রচলিত এবং বিশৃঙ্খল উভয় ব্যবস্থাই প্রতিসম ম্যাট্রিক্সের সাথে জড়িত, যা রৈখিকভাবে স্বাধীন আইগেনভেক্টরের অস্তিত্বের নিশ্চয়তা দেয়। অ-প্রতিসম ম্যাট্রিক্সের সাথে জড়িত একটি আইগেনভ্যালু সমস্যা রৈখিকভাবে স্বাধীন আইগেনভেক্টর থাকার নিশ্চয়তা দেয় না, যদিও একটি পর্যাপ্ত শর্ত হল যে এবং একই সাথে তির্যক হতে পারে। পুনরাবৃত্ত আইগেনভ্যালুগুলির ক্ষেত্রে আইগেনভ্যালু সমস্যার বিশৃঙ্খলার জন্য রেলিকের একটি প্রযুক্তিগত প্রতিবেদন বেশ কয়েকটি উদাহরণ প্রদান করে। প্রাথমিক উদাহরণগুলি 2য় অধ্যায়ে রয়েছে। প্রতিবেদনটি archive.org থেকে ডাউনলোড করা যেতে পারে। আমরা একটি উদাহরণ দিই যেখানে আইগেনভেক্টরগুলির একটি বাজে আচরণ রয়েছে। উদাহরণ 1 নিম্নলিখিত ম্যাট্রিক্সটি বিবেচনা করুন এবং কারণ, ম্যাট্রিক্সে আইগেনভ্যালুগুলির অন্তর্গত আইগেনভেক্টর রয়েছে। যেহেতু যদি কোনও স্বাভাবিক আইগেনভেক্টর যথাক্রমে সম্পর্কিত হয় তবে এর জন্য আসল কোথায় এটি সংজ্ঞায়িত করা স্পষ্টতই অসম্ভব, বলুন, এমনভাবে যা একটি সীমার দিকে ঝুঁকে থাকে কারণ এই উদাহরণে নোটের মতো কোনও সীমা নেই যা কেবল অবিচ্ছিন্নই নয়, সমস্ত অর্ডারের অবিচ্ছিন্ন ডেরিভেটিভও রয়েছে। রেলিচ নিম্নলিখিত গুরুত্বপূর্ণ ফলাফলটি আঁকেন। <<যেহেতু সাধারণভাবে পৃথক আইগেনভেক্টরগুলি অপারেটরের উপর অবিচ্ছিন্নভাবে নির্ভর করে না, তবুও একটি আইগেনভেক্টরের সাথে নয়, বরং একই আইগেনভ্যালুয়ের অন্তর্গত সমস্ত আইগেনভেক্টর দ্বারা বিস্তৃত স্থানের সাথে কাজ করা প্রয়োজন। >> উদাহরণ 2 এই উদাহরণটি আগেরটির চেয়ে কম বাজে। ধরুন 2x2 আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্স, যে কোনও ভেক্টর একটি আইগেনভেক্টর; তাহলে একটি সম্ভাব্য আইগেনভেক্টর। কিন্তু যদি কেউ একটি ছোট বিশৃঙ্খলা সৃষ্টি করে, যেমন আইগেনভেক্টরগুলি হল এবং; তারা এর সাপেক্ষে ধ্রুবক তাই এটি ধ্রুবক এবং শূন্যে যায় না। আরও দেখুন পার্টারবেশন তত্ত্ব (কোয়ান্টাম মেকানিক্স) বাওয়ার-ফাইক উপপাদ্য রেফারেন্স। আরও বই পড়া। ভাটিয়া, আর. (1987)। ম্যাট্রিক্স আইগেনভ্যালুগুলির জন্য বিচ্যুতি সীমা। সিয়াম। রিপোর্ট জার্নাল পেপারস সাইমন, বি। (1982)। আইগেনভ্যালু পার্টার্বেশান তত্ত্বের বড় ক্রম এবং সংক্ষিপ্তসারঃ একটি গাণিতিক সংক্ষিপ্ত বিবরণ। ইন্টারন্যাশনাল জার্নাল অফ কোয়ান্টাম কেমিস্ট্রি, 21 (1), 3-25। ক্র্যান্ডাল, এম. জি., এবং রবিনোভিটস, পি. এইচ. (1973)। দ্বিখণ্ডিতকরণ, সহজ আইগেনভ্যালুগুলির বিশৃঙ্খলা এবং রৈখিক স্থিতিশীলতা। আর্কাইভ ফর রেশনাল মেকানিক্স অ্যান্ড অ্যানালাইসিস, 52 (2), 161-180। স্টুয়ার্ট, জি. ডব্লিউ. (1973)। নির্দিষ্ট আইগেনভ্যালু সমস্যার সাথে যুক্ত সাবস্পেসগুলির জন্য ত্রুটি এবং বিশৃঙ্খলা সীমা। সিয়াম পর্যালোচনা, 15 (4), 727-764। লোউদিন, পি. ও। (1962)। বিশৃঙ্খলা তত্ত্বের অধ্যয়ন। চতুর্থ। প্রজেকশন অপারেটর ফর্মালিজম দ্বারা আইগেনভ্যালু সমস্যার সমাধান। জার্নাল অফ ম্যাথমেটিকাল ফিজিক্স, 3 (5), 969-982। বিশৃঙ্খলা তত্ত্ব ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলাস মাল্টিভ্যারিয়েবল ক্যালকুলাস লিনিয়ার বীজগণিত সংখ্যাসূচক লিনিয়ার বীজগণিত