Vaughan's identity
গণিত এবং বিশ্লেষণাত্মক সংখ্যা তত্ত্বে, ভন-এর পরিচয় এমন একটি পরিচয় যা ত্রিকোণমিতি যোগফলের উপর ভিনোগ্রাদভের কাজকে সহজতর করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। এটি সেই ফর্মের সংক্ষিপ্ত ফাংশনগুলি অনুমান করতে ব্যবহার করা যেতে পারে যেখানে f হল প্রাকৃতিক পূর্ণসংখ্যা n-এর কিছু গাণিতিক ফাংশন, যার প্রয়োগগুলিতে মানগুলি প্রায়শই ঐক্যের মূল এবং λ হল ভন ম্যাঙ্গোল্ট ফাংশন। পদ্ধতিটি প্রয়োগের পদ্ধতি ডেভেনপোর্টে 24 নং অধ্যায়ের শুরুতে ভন তার পরিচয় গঠনের অনুপ্রেরণা সম্পর্কে সংক্ষেপে আলোচনা করা হয়েছে। আপাতত, আমরা অ্যাপ্লিকেশনগুলিতে পরিচয় এবং এর ব্যবহারকে অনুপ্রাণিত করে বেশিরভাগ প্রযুক্তিগত বিবরণ এড়িয়ে যাব এবং পরিবর্তে যন্ত্রাংশ দ্বারা এর নির্মাণের সেটআপের দিকে মনোনিবেশ করব। রেফারেন্স অনুসরণ করে, আমরা ফাংশনের পরিপ্রেক্ষিতে রিমান জিটা ফাংশনের লগারিদমিক ডেরিভেটিভের সম্প্রসারণের উপর ভিত্তি করে চারটি স্বতন্ত্র যোগফল তৈরি করি যা যথাক্রমে এবং এর উপরের সীমানায় কাটা আংশিক ডিরিচলেট সিরিজ। আরও সুনির্দিষ্টভাবে, আমরা সংজ্ঞায়িত করি এবং, যা আমাদের সঠিক পরিচয়ের দিকে নিয়ে যায় যে এই শেষ সম্প্রসারণটি বোঝায় যে আমরা লিখতে পারি যেখানে উপাদান ফাংশনগুলি সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে। আমরা তারপর সংশ্লিষ্ট সংক্ষিপ্ত ফাংশনগুলিকে সংজ্ঞায়িত করি যাতে আমরা লিখতে পারি। অবশেষে, প্রযুক্তিগত একটি বহু-পৃষ্ঠার যুক্তির উপসংহারে এবং কখনও কখনও এই যোগফলগুলির সূক্ষ্ম অনুমানের শেষে, আমরা যখন ধরে নিই তখন আমরা ভন-এর পরিচয়ের নিম্নলিখিত রূপটি পাই, এবংঃ এটি মন্তব্য করা হয় যে কিছু ক্ষেত্রে উপাদান যোগফলকে আরও যত্ন সহকারে ব্যবহার করে ভন-এর পরিচয় থেকে আরও তীক্ষ্ণ অনুমান পাওয়া যেতে পারে। একাধিক লেখক দ্বারা বিবেচিত যথাক্রমে বিভিন্ন প্রসঙ্গে উদ্ভূত নির্দিষ্ট উদাহরণের জন্য পরবর্তী বিভাগে উদ্ধৃত প্রয়োগগুলি দেখুন। বম্বিয়েরি-ভিনোগ্রাদভ উপপাদ্যের প্রমাণকে সহজতর করতে এবং কুমের যোগফল অধ্যয়ন করতে ভন-এর পরিচয় ব্যবহার করা হয়েছে (নীচের রেফারেন্স এবং বাহ্যিক লিঙ্কগুলি দেখুন)। ডেভেনপোর্টের 25তম অধ্যায়ে, ভন-এর পরিচয়ের একটি প্রয়োগ হল ভিনোগ্রাদভের একটি গুরুত্বপূর্ণ মৌলিক-সম্পর্কিত সূচকীয় যোগফল অনুমান করা যা দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে। বিশেষত, আমরা এই যোগফলগুলির জন্য একটি অ্যাসিম্পটোটিক উচ্চ সীমা পাই (সাধারণত অযৌক্তিকভাবে মূল্যায়ন করা হয়) যার যুক্তিসঙ্গত অনুমানগুলি ফর্মটিকে সন্তুষ্ট করে। এই অনুমানের জন্য যুক্তিটি কিছুটা জটিল যুক্তি দ্বারা প্রমাণ করে ভন-এর পরিচয় থেকে অনুসরণ করে যে এবং তারপরে কখন এবং কখন অ-তুচ্ছ ক্ষেত্রে উপরের প্রথম সূত্রটি অনুমান করে। ভন-এর পরিচয়ের আরেকটি প্রয়োগ ডেভেনপোর্টের 26 নং অধ্যায়ে পাওয়া যায় যেখানে তিনটি মৌলিক সংখ্যার যোগফলের (সূচকীয় যোগফল) অনুমান করার জন্য পদ্ধতিটি ব্যবহার করা হয়। বাস্তবে ভন-এর পরিচয়ের উদাহরণ এই তথ্যমূলক পোস্টে নিম্নলিখিত রেফারেন্স/উদ্ধৃতি হিসাবে দেওয়া হয়েছেঃ সাধারণীকরণ ভন এর পরিচয় দ্বারা সাধারণীকরণ করা হয়েছিল। উদ্ধৃতি রেফারেন্স বাহ্যিক লিঙ্ক প্রুফ উইকি অন ভন 'স আইডেন্টিটি জোনির ম্যাথ নোটস (খুব বিস্তারিত ব্যাখ্যা) এনসাইক্লোপিডিয়া অফ ম্যাথমেটিক্স টেরি তাও' স ব্লগ অন দ্য লার্জ সিভ অ্যান্ড দ্য বোম্বিয়েরি-ভিনোগ্রাদভ থিওরেম থিওরেমস ইন অ্যানালিটিক্যাল নম্বর থিওরি ম্যাথমেটিকাল আইডেন্টিটি