Lift (mathematics)
বিভাগ তত্ত্বে, গণিতের একটি শাখা, একটি অঙ্গসংস্থান f: X → Y এবং একটি অঙ্গসংস্থান g: Z → Y দেওয়া হলে, f কে Z-এ উত্তোলন বা উত্তোলন একটি অঙ্গসংস্থান h: X → Z হয়। আমরা বলি যে এইচ-এর মাধ্যমে এফ ফ্যাক্টর। টপোলজির একটি মৌলিক উদাহরণ হল একটি টপোলজিকাল স্পেসে একটি পথকে একটি আচ্ছাদন স্পেসে একটি পথের দিকে নিয়ে যাওয়া। উদাহরণস্বরূপ, একটি গোলকের বিপরীত বিন্দুগুলিকে একই বিন্দুতে ম্যাপ করার কথা বিবেচনা করুন, প্রজেক্টিভ সমতলকে আচ্ছাদনকারী গোলক থেকে একটি অবিচ্ছিন্ন মানচিত্র। প্রজেক্টিভ সমতলে একটি পথ হল একক ব্যবধান [0,1] থেকে একটি অবিচ্ছিন্ন মানচিত্র। আমরা পথের প্রথম বিন্দুতে ম্যাপিং করা দুটি গোলক বিন্দুর মধ্যে একটি বেছে নিয়ে গোলকের দিকে এই ধরনের একটি পথ উত্তোলন করতে পারি, তারপর ধারাবাহিকতা বজায় রাখতে পারি। এই ক্ষেত্রে, দুটি প্রারম্ভিক বিন্দুর প্রত্যেকটি গোলকের উপর একটি অনন্য পথকে বাধ্য করে, যা প্রজেক্টিভ সমতলে পথের উত্তোলন। এইভাবে অঙ্গসংস্থান হিসাবে অবিচ্ছিন্ন মানচিত্র সহ টপোলজিকাল স্পেসের বিভাগে, আমাদের কাছে লিফ্টগুলি সর্বব্যাপী; উদাহরণস্বরূপ, ফাইব্রেশনগুলির সংজ্ঞা (হোমোটোপি উত্তোলন সম্পত্তি দেখুন) এবং স্কিমগুলির পৃথক এবং সঠিক মানচিত্রের মূল্যবান মানদণ্ড অস্তিত্বের পরিপ্রেক্ষিতে এবং (শেষ ক্ষেত্রে) নির্দিষ্ট লিফটের স্বতন্ত্রতার পরিপ্রেক্ষিতে প্রণয়ন করা হয়। বীজগাণিতিক টপোলজি এবং হোমোলজিকাল বীজগণিতে, টেনসর পণ্য এবং হোম ফাংক্টর সংলগ্ন; তবে, তারা সবসময় একটি সঠিক ক্রমে নাও উঠতে পারে। এটি এক্সট ফাঙ্কটর এবং টর ফাঙ্কটরের সংজ্ঞার দিকে পরিচালিত করে। বীজগাণিতিক যুক্তি প্রথম-ক্রমের প্রেডিকেট লজিকের স্বরলিপিগুলি সুশৃঙ্খল করা হয় যখন কোয়ান্টিফায়ারগুলি প্রতিষ্ঠিত ডোমেন এবং বাইনারি সম্পর্কের পরিসরে অবনমিত হয়। গুন্থার শ্মিট এবং মাইকেল উইন্টার তাদের রিলেশনাল টপোলজি বইয়ে টপোলজির ঐতিহ্যবাহী যৌক্তিক অভিব্যক্তিগুলিকে সম্পর্কের গণনায় তোলার পদ্ধতিটি চিত্রিত করেছেন। তাদের লক্ষ্য হল "ধারণাগুলিকে একটি সম্পর্কগত স্তরে উন্নীত করা যা তাদের পয়েন্ট মুক্ত করার পাশাপাশি কোয়ান্টিফায়ার মুক্ত করে তোলে, এইভাবে তাদের ফার্স্ট অর্ডার প্রেডিকেট লজিকের শৈলী থেকে মুক্ত করে এবং বীজগাণিতিক যুক্তির স্বচ্ছতার কাছে পৌঁছায়।" উদাহরণস্বরূপ, একটি আংশিক ফাংশন এম অন্তর্ভুক্তির সাথে মিলে যায় যেখানে এম-এর পরিসরে পরিচয়ের সম্পর্ককে বোঝায়। "পরিমাপের জন্য স্বরলিপিটি লুকিয়ে থাকে এবং সম্পর্কিত ক্রিয়াকলাপগুলির টাইপিং (এখানে স্থানান্তর এবং গঠন) এবং তাদের নিয়মগুলিতে গভীরভাবে অন্তর্ভুক্ত থাকে।" বৃত্তের মানচিত্র একটি বৃত্তের মানচিত্রের জন্য, বাস্তব রেখায় উত্তোলনের সংজ্ঞা কিছুটা আলাদা (একটি সাধারণ প্রয়োগ হল ঘূর্ণন সংখ্যার গণনা)। একটি বৃত্তের উপর একটি মানচিত্র দেওয়া হলে, একটি উত্তোলন হল, বাস্তব রেখার যে কোনও মানচিত্র, যার জন্য একটি অভিক্ষেপ (বা, আচ্ছাদন মানচিত্র) বিদ্যমান, যেমন। আরও দেখুন কভারিং স্পেস প্রজেক্টিভ মডিউল আনুষ্ঠানিকভাবে মসৃণ মানচিত্র একটি অসীম উত্তোলন বৈশিষ্ট্যকে সন্তুষ্ট করে। মনস্কি-ওয়াশনিটজার কোহোমোলজি বিভাগে সম্পত্তি উত্তোলন পি-অ্যাডিক জাতগুলিকে চরিত্রগত শূন্যে উন্নীত করে। এসবিআই রিং আইডেম্পোটেন্টগুলিকে জ্যাকবসন র্যাডিকেলের উপরে তোলার অনুমতি দেয়। ইকেদা লিফট মিয়াওয়াকি লিফট সিগেল মডুলার ফর্ম সাইতো-কুরোকাওয়া লিফট মডুলার ফর্ম ঘূর্ণন সংখ্যা বাস্তব লাইনে বৃত্তের একটি সমরূপতার উত্তোলন ব্যবহার করে। গাণিতিক জ্যামিতিঃ অ্যান্ড্রু ওয়াইলস (1995) মডুলারিটি উত্তোলন হেনসেলের লেম্মা মোনাড (কার্যকরী প্রোগ্রামিং) সহজ অপারেটরদের মনাডিক আকারে তুলতে মানচিত্র কার্যকরী ব্যবহার করে। তথ্যসূত্র বিভাগ তত্ত্ব