Spherical mean
গণিতে, একটি বিন্দুর চারপাশে একটি ফাংশনের গোলাকার গড় হল সেই বিন্দুতে কেন্দ্রীভূত প্রদত্ত ব্যাসার্ধের একটি গোলকের উপর সেই ফাংশনের সমস্ত মানের গড়। সংজ্ঞা ইউক্লিডীয় স্থান আরএন-এ একটি উন্মুক্ত সেট ইউ এবং বাস্তব বা জটিল মান সহ ইউ-তে সংজ্ঞায়িত একটি অবিচ্ছিন্ন ফাংশন ইউ বিবেচনা করুন। ধরা যাক, U-তে x একটি বিন্দু এবং r> 0 এমন হবে যাতে x-এর কেন্দ্র এবং r ব্যাসার্ধের বদ্ধ বল B (x, r) U-তে থাকে। x-কে কেন্দ্র করে r ব্যাসার্ধের গোলকের উপর গোলাকার গড়কে সংজ্ঞায়িত করা হয় যেখানে B (x, r)-এর সীমানা গঠনকারী (n−1)-গোলক হল, dS গোলাকার পরিমাপের সাপেক্ষে একীকরণকে বোঝায় এবং ωn−1 (r) হল এই (n−1)-গোলকের "পৃষ্ঠ এলাকা"। সমতুল্যভাবে, গোলাকার গড়টি দেওয়া হয় যেখানে ωn−1 হল 1 ব্যাসার্ধের (n−1)-গোলকের ক্ষেত্রফল। গোলাকার গড়কে প্রায়শই হিসাবে চিহ্নিত করা হয় গোলাকার গড়কে প্রাকৃতিক পদ্ধতিতে রিমানিয়ান ম্যানিফোল্ডের জন্যও সংজ্ঞায়িত করা হয়। বৈশিষ্ট্য এবং ব্যবহার এর ধারাবাহিকতা থেকে দেখা যায় যে ফাংশনটি অবিচ্ছিন্ন, এবং এর সীমাটি গোলাকার উপায়ে অযুগ্ম স্থান মাত্রায় তরঙ্গ সমীকরণের জন্য কাউচি সমস্যা সমাধান করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। ফলাফলটি, যা কির্চফের সূত্র নামে পরিচিত, তরঙ্গ সমীকরণে (বিজোড়ের জন্য) তরঙ্গ সমীকরণকে হ্রাস করার জন্য গোলাকার উপায় ব্যবহার করে এবং তারপর ডি 'আলেমবার্টের সূত্র ব্যবহার করে উদ্ভূত হয়। এই অভিব্যক্তিটি তরঙ্গ সমীকরণ নিবন্ধে উপস্থাপন করা হয়েছে। যদি একটি ওপেন সেট ইন হয় এবং একটি সি2 ফাংশন সংজ্ঞায়িত করা হয়, তবে এটি সুরেলা হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি সমস্ত ইন এবং এমন সমস্ত যে বন্ধ বলটি একটিতে থাকে এই ফলাফলটি সুরেলা ফাংশনের জন্য সর্বাধিক নীতি প্রমাণ করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। তথ্যসূত্র বাহ্যিক সংযোগ আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ মানে