Mixed Hodge module
গণিতে, মিশ্র হজ মডিউলগুলি হজ তত্ত্ব, মিশ্র হজ কাঠামো, ছেদ কোহোমোলজি এবং পচন উপপাদ্যের চূড়ান্ত রূপ যা ছয়টি ফাংক্টর ফর্মালিজমের মাধ্যমে অবক্ষয়কারী মিশ্র হজ কাঠামোর বৈচিত্র্য নিয়ে আলোচনার জন্য একটি সুসঙ্গত কাঠামো প্রদান করে। মূলত, এই বস্তুগুলি ফিল্টার করা ডি-মডিউলের একটি জোড়া, যার সাথে একটি বিকৃত শেফ রয়েছে যা রিমান-হিলবার্ট চিঠিপত্রের ফাংক্টর পাঠায়। এটি ছেদ কোহোমোলজির উপর একটি হজ কাঠামো তৈরি করা সম্ভব করে তোলে, যখন বিষয়টি আবিষ্কৃত হয়েছিল তখন এটি অন্যতম প্রধান সমস্যা ছিল। এটি মোরিহিকো সাইতো দ্বারা সমাধান করা হয়েছিল যিনি হজ কাঠামোর জন্য হজ পরিস্রাবণের একটি এনালগ হিসাবে একটি সুসঙ্গত ডি-মডিউলে পরিস্রাবণ ব্যবহার করার একটি উপায় খুঁজে পেয়েছিলেন। এর ফলে একটি ছেদ কোহোমোলজি শেফের উপর একটি হজ কাঠামো দেওয়া সম্ভব হয়েছিল, যা বিকৃত শেভের আবেলিয়ান বিভাগের সহজ বস্তু। বিমূর্ত কাঠামো মিশ্র হজ মডিউলগুলি সংজ্ঞায়িত করার সূক্ষ্ম বিবরণগুলিতে যাওয়ার আগে, যা বেশ বিস্তৃত, মিশ্র হজ মডিউলগুলির বিভাগটি আসলে কী সরবরাহ করে তা বোঝা দরকারী। একটি জটিল বীজগাণিতিক বৈচিত্র্যের পরিপ্রেক্ষিতে নিম্নলিখিত ফাংক্টোরিয়াল বৈশিষ্ট্য সহ একটি আবেলিয়ান বিভাগ পি. জি 339 রয়েছে যুক্তিসঙ্গতকরণ ফাংক্টর নামে একজন বিশ্বস্ত ফাংক্টর রয়েছে। এটি একটি মিশ্র হজ মডিউলের অন্তর্নিহিত যুক্তিসঙ্গত বিকৃত শিফ দেয়। একজন বিশ্বস্ত ফাংক্টর তার অন্তর্নিহিত ডি-মডিউলে একটি মিশ্র হজ মডিউল পাঠাচ্ছেন এই ফাংক্টরগুলি রিম্যান-হিলবার্ট চিঠিপত্রের ক্ষেত্রে ভাল আচরণ করে, যার অর্থ প্রতিটি মিশ্র হজ মডিউলের জন্য একটি সমরূপতা রয়েছে। উপরন্তু, নিম্নলিখিত শ্রেণীগত বৈশিষ্ট্যগুলি রয়েছে একটি বিন্দুর উপর মিশ্র হজ মডিউলগুলির বিভাগটি মিশ্র হজ কাঠামোর বিভাগের সমরূপ, প্রতিটি বস্তু একটি ওজন পরিস্রাবণ স্বীকার করে যাতে প্রতিটি অঙ্গবিন্যাস ওজন পরিস্রাবণ কঠোরভাবে সংরক্ষণ করে, সম্পর্কিত শ্রেণীবদ্ধ বস্তুগুলি আধা-সহজ, এবং একটি বিন্দুর উপর মিশ্র হজ মডিউলগুলির বিভাগে, এটি একটি মিশ্র হজ কাঠামোর ওজন পরিস্রাবণের সাথে মিলে যায়। ভার্ডিয়ার ডুয়ালাইজিং ফাঙ্কটর উত্তোলনকারী একটি ডুয়ালাইজিং ফাঙ্কটর রয়েছে যার উপর একটি ইনভোলুশন রয়েছে। বীজগাণিতিক বৈচিত্র্যের একটি অঙ্গসংস্থানের জন্য, সংশ্লিষ্ট ছয়টি ফাংক্টরের উপর এবং নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্যগুলি মিশ্র হজ মডিউলগুলির একটি জটিলতার ওজন বাড়ায় না। মিশ্র হজ মডিউলগুলির একটি কমপ্লেক্সের ওজন হ্রাস করবেন না। উদ্ভূত বিভাগগুলির মধ্যে সম্পর্ক মিশ্র হজ মডিউলগুলির উদ্ভূত বিভাগটি গঠনযোগ্য শেভগুলির উদ্ভূত বিভাগের সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত যা বিকৃত শেভগুলির উদ্ভূত বিভাগের সমতুল্য। এর কারণ হল যৌক্তিককরণ ফাংক্টরটি মিশ্র হজ মডিউলগুলির একটি জটিলতার কোহোমোলজি ফাংক্টরের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ। যুক্তিসঙ্গতকরণ গ্রহণ করার সময়, মধ্য বিকৃতিটির জন্য একটি সমরূপতা থাকে। নোটপিজি 310 এটি হল পাঠানোর ফাংশন, যা সিউডোমানিফোল্ডের ক্ষেত্রে থেকে আলাদা যেখানে বিকৃতি একটি ফাংশন যেখানে। মনে রাখবেন এটি শিফট ফাঙ্কটরের সাথে বিপরীত ছাঁটাইয়ের সংমিশ্রণ গ্রহণ হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়, এস. ও. পি. জি 341 এই ধরনের সেটআপ উদ্ভূত ধাক্কা এবং টান ফাঙ্কটরগুলিতেও প্রতিফলিত হয় এবং নিকটবর্তী এবং অদৃশ্য চক্রের সাথে যুক্তিসঙ্গতকরণ ফাঙ্কটর এগুলিকে তাদের অনুরূপ বিপরীত ফাঙ্কটরগুলিতে নিয়ে যায়। টেট মডিউল এবং কোহোমোলজি এখানে আমরা ক্যানোনিকাল প্রজেকশনকে একটি বিন্দু দ্বারা নির্দেশ করি। উপলব্ধ প্রথম মিশ্র হজ মডিউলগুলির মধ্যে একটি হল ওজন 0 টেট অবজেক্ট, যা চিহ্নিত করা হয় যা তার সংশ্লিষ্ট বস্তুর পুলব্যাক হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়, তাই এর ওজন শূন্য, তাই মিশ্র হজ কাঠামোর বিভাগে ওজন 0 টেট বস্তুর সাথে মিলে যায়। এই বস্তুটি কার্যকর কারণ এটি সিক্স ফাঙ্কটর ফর্মালিজমের মাধ্যমে বিভিন্ন কোহোমোলজি গণনা করতে এবং তাদের একটি মিশ্র হজ কাঠামো দিতে ব্যবহার করা যেতে পারে। এগুলিকে টেবিলের সাথে সংক্ষিপ্ত করা যেতে পারেমোরেওভার, একটি বদ্ধ এম্বেডিং দেওয়া হয়েছে যেখানে স্থানীয় কোহোমোলজি গ্রুপ রয়েছে মিশ্র হজ কাঠামোর বৈচিত্র্য বিভিন্নতার জন্য পুশ ফরোয়ার্ড মানচিত্র এবং মিশ্র হজ কাঠামোর অবক্ষয়কারী বৈচিত্র দেয়। এই বৈচিত্র্যগুলি আরও ভালভাবে বোঝার জন্য, পচন উপপাদ্য এবং ছেদ সমসংস্থান প্রয়োজন। ইন্টারসেকশন কোহোমোলজি মিশ্র হজ মডিউলগুলির বিভাগের সংজ্ঞায়িত বৈশিষ্ট্যগুলির মধ্যে একটি হল সত্য যে ইন্টারসেকশন কোহোমোলজি তার ভাষায় শব্দ করা যেতে পারে। এটি বৈচিত্র্যের মানচিত্রের জন্য পচন উপপাদ্য ব্যবহার করা সম্ভব করে তোলে। ছেদ জটিল সংজ্ঞায়িত করতে, একটি বৈচিত্র্যের খোলা মসৃণ অংশ হতে দিন। তারপর এর ছেদ জটিলটিকে বিপরীত শেভস্পিগ 311 দিয়ে কোথাও হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। বিশেষত, এই সেটআপটি ছেদ কোহোমোলজি গ্রুপকে একটি বিশুদ্ধ ওজন হজ কাঠামো দেখানোর জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে। আরও দেখুন মিশ্র উদ্দেশ্য (গণিত) ডিলিগনে কোহোমোলজি রেফারেন্স মিশ্র হজ মডিউলগুলির জন্য একটি তরুণ ব্যক্তির গাইড বীজগাণিতিক জ্যামিতি সাধারণীকৃত বহুগুণিত সমজাতীয় বীজগণিত হজ তত্ত্ব