Semifield
গণিতে, একটি সেমিফিল্ড হল একটি বীজগাণিতিক কাঠামো যার দুটি বাইনারি অপারেশন, যোগ এবং গুণন, যা একটি ক্ষেত্রের অনুরূপ, তবে কিছু স্বতঃসিদ্ধ শিথিল। সংক্ষিপ্ত বিবরণ সেমিফিল্ড শব্দের দুটি পরস্পরবিরোধী অর্থ রয়েছে, উভয় ক্ষেত্রেই ক্ষেত্রগুলি একটি বিশেষ ক্ষেত্রে অন্তর্ভুক্ত রয়েছে। প্রজেক্টিভ জ্যামিতি এবং সসীম জ্যামিতিতে (এম. এস. সি 51এ, 51ই, 12কে10), একটি সেমিফিল্ড হল একটি অ-সম্পর্কিত বিভাজন বলয় যার গুণিতক পরিচয় উপাদান রয়েছে। আরও সুনির্দিষ্টভাবে বলতে গেলে, এটি একটি অসংলগ্ন বলয় যার শূন্যেতর উপাদানগুলি গুণনের অধীনে একটি লুপ গঠন করে। অন্য কথায়, একটি সেমিফিল্ড হল দুটি ক্রিয়াকলাপ + (যোগ) এবং · (গুণ) সহ একটি সেট S, যেমন (S, +) একটি আবেলিয়ান গ্রুপ, গুণ বাম এবং ডান উভয় দিকেই বিতরণমূলক, একটি গুণক পরিচয় উপাদান রয়েছে এবং বিভাজন সর্বদা সম্ভবঃ S-এ প্রতিটি a এবং প্রতিটি অ-শূন্য b-এর জন্য, S-এ অনন্য x এবং y রয়েছে যার জন্য b·x = a এবং y·b = a। বিশেষ করে লক্ষ্য করুন যে গুণটি বিনিময়যোগ্য বা সহযোগী বলে ধরে নেওয়া হয় না। একটি সেমিফিল্ড যা সহযোগী একটি বিভাজন বলয়, এবং যেটি সহযোগী এবং বিনিময়যোগ্য উভয়ই একটি ক্ষেত্র। এই সংজ্ঞা অনুসারে একটি সেমিফিল্ড একটি কোয়াসিফিল্ডের একটি বিশেষ কেস। যদি S সসীম হয়, তবে উপরের সংজ্ঞার শেষ স্বতঃসিদ্ধটিকে এই অনুমানের সাথে প্রতিস্থাপন করা যেতে পারে যে কোনও শূন্য বিভাজক নেই, যাতে a·b = 0 বোঝায় যে a = 0 বা b = 0। লক্ষ্য করুন যে সহযোগীতার অভাবের কারণে, শেষ স্বতঃসিদ্ধটি এই ধারণার সমতুল্য নয় যে প্রতিটি অ-শূন্য উপাদানের একটি গুণিতক বিপরীত থাকে, যা সাধারণত ক্ষেত্র এবং বিভাজন বলয়ের সংজ্ঞায় পাওয়া যায়। রিং তত্ত্ব, কম্বিনেটরিক্স, কার্যকরী বিশ্লেষণ এবং তাত্ত্বিক কম্পিউটার বিজ্ঞানে (এম. এস. সি. 16ওয়াই. 60), একটি সেমিফিল্ড হল একটি সেমিয়ারিং (এস, +, ·) যেখানে সমস্ত অ-শূন্য উপাদানের গুণিতক বিপরীত থাকে। এই বস্তুগুলিকে যথাযথ সেমিফিল্ডও বলা হয়। এই সংজ্ঞার একটি বৈচিত্র্য দেখা দেয় যদি এস-এ একটি শোষণকারী শূন্য থাকে যা গুণিতক একক ই-এর থেকে আলাদা, তবে অ-শূন্য উপাদানগুলি বিপরীতমুখী হতে হবে এবং a·0 = 0·a = 0। যেহেতু গুণন সহযোগী, তাই একটি অর্ধক্ষেত্রের (অ-শূন্য) উপাদানগুলি একটি গোষ্ঠী গঠন করে। যাইহোক, জোড়া (এস, +) শুধুমাত্র একটি সেমিগ্রুপ, অর্থাৎ। যোগাত্মক বিপরীত অস্তিত্বের প্রয়োজন নেই, অথবা, কথোপকথনে, 'কোনও বিয়োগ নেই'। কখনও কখনও, এটি ধরে নেওয়া হয় না যে গুণটি সহযোগী। সেমিফিল্ডের আদিমত্ব এ সেমিফিল্ড ডি-কে ডান (রেসপ) বলা হয়। বাম) আদিম যদি এটির এমন একটি উপাদান থাকে যাতে ডি * এর অ-শূন্য উপাদানগুলির সেট সমস্ত ডান (রেসপ) এর সেটের সমান হয়। বাম) ডাব্লু-এর প্রধান ক্ষমতা। উদাহরণ আমরা দ্বিতীয় অর্থে কেবল সেমিফিল্ডের উদাহরণ দিই, অর্থাৎ। বিতরণমূলক গুণন সহ যোগাত্মক সেমিগ্রুপ। অধিকন্তু, যোগ হল বিনিময়যোগ্য এবং গুণন আমাদের উদাহরণগুলিতে সহযোগী। স্বাভাবিক যোগ এবং গুণ সহ ধনাত্মক মূলদ সংখ্যা একটি বিনিময়যোগ্য অর্ধক্ষেত্র গঠন করে। এটি একটি শোষণকারী 0 দ্বারা প্রসারিত করা যেতে পারে। স্বাভাবিক যোগ এবং গুণ সহ ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যা একটি বিনিময়যোগ্য অর্ধক্ষেত্র গঠন করে। এটি একটি শোষণকারী 0 দ্বারা প্রসারিত করা যেতে পারে, যা সম্ভাব্যতা সেমিয়ারিং গঠন করে, যা লগ সেমিয়ারিংয়ের সমতুল্য। f/g ফর্মের যুক্তিসঙ্গত ফাংশন, যেখানে f এবং g ধনাত্মক সহগ সহ একটি চলকের বহুপদী, একটি বিনিময়যোগ্য অর্ধক্ষেত্র গঠন করে। এটি 0 অন্তর্ভুক্ত করার জন্য প্রসারিত করা যেতে পারে। বাস্তব সংখ্যা আর-কে একটি অর্ধক্ষেত্র হিসাবে দেখা যেতে পারে যেখানে দুটি উপাদানের যোগফলকে তাদের সর্বাধিক এবং গুণফলকে তাদের সাধারণ যোগফল হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়; এই অর্ধক্ষেত্রটিকে আরও সংক্ষিপ্তভাবে চিহ্নিত করা হয় (আর, সর্বোচ্চ, +)। একইভাবে (আর, মিনিট, +) একটি সেমিফিল্ড। এগুলিকে ক্রান্তীয় সেমিয়ারিং বলা হয়। এটি − ν (একটি শোষণকারী 0) দ্বারা প্রসারিত করা যেতে পারে; এটি লগ সেমিয়ারিংয়ের সীমা (ক্রান্তীয়করণ) কারণ বেসটি অনন্তের দিকে যায়। পূর্ববর্তী উদাহরণটিকে সাধারণীকরণ করলে, যদি (A, ·, ≤) একটি জাল-নির্দেশিত গ্রুপ হয় তবে (A, +, ·) একটি যোগাত্মকভাবে আদর্শ অর্ধক্ষেত্র যার অর্ধক্ষেত্র যোগফল দুটি উপাদানের সর্বোচ্চ হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। বিপরীতভাবে, যেকোনও যোগাত্মক আইডেম্পোটেন্ট সেমিফিল্ড (A, +, ·) একটি জাল-নির্দেশিত গোষ্ঠীকে (A, ·, ≤) সংজ্ঞায়িত করে, যেখানে a ≤ b যদি এবং শুধুমাত্র যদি a + b = b হয়। বুলিয়ান সেমিফিল্ড B = {0,1} যৌক্তিক বা দ্বারা সংজ্ঞায়িত যোগ এবং যৌক্তিক এবং দ্বারা সংজ্ঞায়িত গুণ। আরও দেখুন প্ল্যানার টার্নারি রিং (ফার্স্ট সেন্স) রেফারেন্স বীজগাণিতিক কাঠামো রিং তত্ত্ব