Hochschild homology
গণিতে, হক্সচাইল্ড হোমোলজি (এবং কোহোমোলজি) হল রিংয়ের উপর সহযোগী অ্যালজেব্রার জন্য একটি হোমোলজি তত্ত্ব। নির্দিষ্ট ফাংক্টরের হোচসচাইল্ড সমতাত্ত্বিকতার জন্যও একটি তত্ত্ব রয়েছে। হক্সচাইল্ড কোহোমোলজি একটি ক্ষেত্রের উপর বীজগণিতের জন্য প্রবর্তিত হয়েছিল এবং দ্বারা আরও সাধারণ বলয়ের উপর বীজগণিত পর্যন্ত প্রসারিত হয়েছিল। আলজেব্রার হোচসচাইল্ড সমসংস্থানের সংজ্ঞা ধরা যাক k একটি ক্ষেত্র, A একটি সহযোগী k-বীজগণিত এবং M একটি A-দ্বিমাত্র। এ-এর পরিবেষ্টিত বীজগণিত হল বিপরীত বীজগণিত সহ এ-এর টেনসর গুণফল। এ-এর উপর বাইমডিউলগুলি মূলত এ-এর আবরণ বীজগণিতে মডিউলগুলির মতো, তাই বিশেষ করে এ এবং এম-কে এ-মডিউল হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে। হোচচাইল্ড কমপ্লেক্স দ্বারা টোর ফাঙ্কটর এবং এক্সট ফাঙ্কটরের পরিপ্রেক্ষিতে এম-এ সহগগুলির সাথে এ-এর হোচচচাইল্ড সমসংস্থান এবং সমস্থানিক গোষ্ঠীকে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে। ধরা যাক, কে একটি বলয়, এ একটি সহযোগী কে-বীজগণিত যা একটি প্রজেক্টিভ কে-মডিউল এবং এম একটি এ-বিমুডল। আমরা A ওভার k-এর n-ভাঁজ টেনসর পণ্যের জন্য লিখব। চেইন কমপ্লেক্স যা হচসচাইল্ড সমতাত্ত্বিকতার জন্ম দেয় তা সীমানা অপারেটর দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয় যেখানে A-তে সকলের জন্য এবং। যদি আমরা তা হতে দিই, তাহলে হোচসচাইল্ড কমপ্লেক্স নামে একটি চেইন কমপ্লেক্সও আছে, এবং এর সমরূপতা হল এম-এর সহগ সহ এ-এর হোচসচাইল্ড সমরূপতা। মন্তব্য মানচিত্রগুলি হল মুখের মানচিত্র যা মডিউলগুলির পরিবারকে কে-মডিউলগুলির বিভাগে একটি সহজ বস্তু করে তোলে, অর্থাৎ, একটি ফাংক্টর কে-মোড, যেখানে কে-মোড হল সিম্প্লেক্স বিভাগ এবং কে-মোড হল কে-মডিউলগুলির বিভাগ। এখানে α হল α এর বিপরীত বিভাগ। ডিজেনেরেসি মানচিত্রগুলি হচসচাইল্ড হোমোলজি দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয় যা এই সরল মডিউলের সমবিজ্ঞান। বার কমপ্লেক্সের সাথে সম্পর্ক বার কমপ্লেক্স নামে একটি অনুরূপ চেহারার কমপ্লেক্স রয়েছে যা আনুষ্ঠানিকভাবে হোচসচাইল্ড কমপ্লেক্সের সাথে খুব মিল দেখায়। প্রকৃতপক্ষে, হোচসচাইল্ড কমপ্লেক্সটি বার কমপ্লেক্স থেকে পুনরুদ্ধার করা যেতে পারে যা একটি স্পষ্ট সমরূপতা প্রদান করে। একটি উদ্ভূত স্ব-ছেদ হিসাবে বিনিময়যোগ্য বলয়ের ক্ষেত্রে হোচসচাইল্ড কমপ্লেক্সের আরেকটি দরকারী ব্যাখ্যা রয়েছে, এবং আরও সাধারণভাবে, বিনিময়যোগ্য বলয়ের ছিদ্রগুলির জন্যঃ এটি কোনও বেস স্কিমের উপর একটি স্কিমের (বা এমনকি উদ্ভূত স্কিম) উদ্ভূত স্ব-ছেদ থেকে নির্মিত হয়। উদাহরণস্বরূপ, আমরা উদ্ভূত ফাইবার পণ্য গঠন করতে পারি যার মধ্যে উদ্ভূত বলয়ের শিফ রয়েছে। তারপরে, যদি তির্যক মানচিত্রের সাথে এম্বেড করা হয় তবে হকসচাইল্ড কমপ্লেক্সটি তির্যক পণ্য পরিকল্পনায় তির্যকের উদ্ভূত স্ব-ছেদনের পুলব্যাক হিসাবে নির্মিত হয় এই ব্যাখ্যা থেকে, এটি স্পষ্ট হওয়া উচিত যে হকসচাইল্ড সমতাত্ত্বিকতার কেলার পার্থক্যগুলির সাথে কিছু সম্পর্ক থাকা উচিত কারণ কেলার পার্থক্যগুলি তির্যক থেকে একটি স্ব-ছেদ ব্যবহার করে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে, বা আরও সাধারণভাবে, কোট্যাঞ্জেন্ট কমপ্লেক্স যেহেতু এটি কেলার পার্থক্যগুলির জন্য উদ্ভূত প্রতিস্থাপন। আমরা একটি বিনিময়যোগ্য-বীজগণিতের হচসচাইল্ড জটিলতার মূল সংজ্ঞাটি সেটিং করে পুনরুদ্ধার করতে পারি এবং তারপর, হচসচাইল্ড জটিলটি অর্ধ-সমরূপ, যদি একটি সমতল-বীজগণিত হয়, তবে আইসোমরফিজমের একটি চেইন রয়েছে যা হচসচাইল্ড জটিলতার একটি বিকল্প কিন্তু সমতুল্য উপস্থাপনা দেয়। ফাংশনের হোচসচাইল্ড সমরূপতা সরল বৃত্তটি সসীম পয়েন্টযুক্ত সেটের বিভাগে একটি সরল বস্তু, অর্থাৎ একটি ফাংশানকারী সুতরাং, যদি এফ একটি ফাংশান হয়, আমরা এফ দিয়ে রচনা করে একটি সরল মডিউল পাই। এই সরল মডিউলটির সমরূপতা হল ফাংক্টর এফ-এর হক্সচাইল্ড সমরূপতা। কমিউটেটিভ অ্যালজেব্রার হক্সচাইল্ড সমরূপতার উপরের সংজ্ঞাটি হল বিশেষ ক্ষেত্রে যেখানে এফ হল লোডে ফাংক্টর। লোডে ফাংক্টর সীমাবদ্ধ পয়েন্টযুক্ত সেটের বিভাগের জন্য একটি কঙ্কাল বস্তু দ্বারা দেওয়া হয় যেখানে 0 হল বেসপয়েন্ট, এবং মরফিজমগুলি বেসপয়েন্ট সংরক্ষিত সেট মানচিত্র। ধরা যাক A একটি বিনিময়যোগ্য k-বীজগণিত এবং M একটি প্রতিসম A-দ্বিমাত্রিক। লোডে ফাংক্টরটি বস্তুর উপর দেওয়া হয় একটি মরফিজম দ্বারা প্রদত্ত মরফিজমে পাঠানো হয় যেখানে অ্যালজেব্রার হক্সচাইল্ড হোমোলজির আরেকটি বিবরণ একটি প্রতিসম এ-বিমোডিউল এম-এর সহগ সহ একটি বিনিময়যোগ্য বীজগণিত এ-এর হক্সচাইল্ড হোমোলজি হল রচনার সাথে সম্পর্কিত হোমোলজি এবং এই সংজ্ঞাটি উপরেরটির সাথে একমত। উদাহরণ হকসচাইল্ড হোমোলজি গণনার উদাহরণগুলি বেশ কয়েকটি স্বতন্ত্র ক্ষেত্রে স্তরীভূত করা যেতে পারে যার মধ্যে মোটামুটি সাধারণ উপপাদ্যগুলি হোমোলজি গ্রুপের কাঠামো এবং একটি সহযোগী বীজগণিতের জন্য হোমোলজি রিং বর্ণনা করে। কমিউটেটিভ অ্যালজেব্রার ক্ষেত্রে, বৈশিষ্ট্য 0-এর উপর গণনার বর্ণনা দেওয়ার জন্য বেশ কয়েকটি উপপাদ্য রয়েছে যা সমবিজ্ঞান এবং কোহোমোলজি কী গণনা করে তার একটি সহজবোধ্য ধারণা দেয়। কমিউটেটিভ বৈশিষ্ট্য 0 ক্ষেত্রে কমিউটেটিভ অ্যালজেব্রার ক্ষেত্রে যেখানে, হোচসচাইল্ড হোমোলজির মসৃণ অ্যালজেব্রা সম্পর্কিত দুটি প্রধান উপপাদ্য রয়েছে এবং আরও সাধারণ নন-ফ্ল্যাট অ্যালজেব্রা রয়েছে; তবে, দ্বিতীয়টি প্রথমটির সরাসরি সাধারণীকরণ। মসৃণ ক্ষেত্রে, অর্থাৎ। একটি মসৃণ বীজগণিতের জন্য, হোচসচাইল্ড-কোস্ট্যান্ট-রোজেনবার্গ উপপাদ্য 43-44 বলে যে প্রত্যেকটির জন্য একটি সমরূপতা রয়েছে। এই সমরূপতা স্পষ্টভাবে অ্যান্টি-সিমেট্রিজেশন মানচিত্র ব্যবহার করে বর্ণনা করা যেতে পারে। অর্থাৎ, একটি ডিফারেনশিয়াল-ফর্মের মানচিত্র থাকে যদি বীজগণিত মসৃণ বা এমনকি সমতল না হয়, তবে কোট্যাঞ্জেন্ট কমপ্লেক্স ব্যবহার করে একটি অনুরূপ উপপাদ্য রয়েছে। একটি সহজ সমাধানের জন্য, আমরা সেট করি। তারপরে, একটি অবরোহী-পরিস্রাবণ বিদ্যমান যার শ্রেণীবদ্ধ টুকরোগুলির উপর সমরূপতা রয়েছে লক্ষ্য করুন এই উপপাদ্যটি হক্সচাইল্ড সমরূপতা গণনা করা কেবল মসৃণ বীজগণিতের জন্যই নয়, স্থানীয় সম্পূর্ণ ছেদ বীজগণিতের জন্যও অ্যাক্সেসযোগ্য করে তোলে। এই ক্ষেত্রে, একটি উপস্থাপনা দেওয়া হলে, কোট্যাঞ্জেন্ট কমপ্লেক্স হল দ্বি-মেয়াদী জটিল। যুক্তিসঙ্গতগুলির উপর বহুপদী বলয় একটি সহজ উদাহরণ হল-জেনারেটর সহ একটি বহুপদী বলয়ের হোচসচাইল্ড সমরূপতা গণনা করা। এইচ. কে. আর উপপাদ্যটি সমরূপতা প্রদান করে যেখানে বীজগণিতটি-জেনারেটরের উপর মুক্ত প্রতিসম বীজগণিত। এর পণ্য কাঠামো ভেক্টরের ওয়েজ পণ্য দ্বারা দেওয়া হয়, তাই এর জন্য। চরিত্রগত পি ক্ষেত্রে, হচসচাইল্ড-কোস্ট্যান্ট-রোজেনবার্গ উপপাদ্যের একটি ব্যবহারিক পাল্টা উদাহরণ রয়েছে যা হচসচাইল্ড সমসংস্থান সংজ্ঞায়িত করার জন্য সরল বীজগণিতের বাইরে একটি তত্ত্বের প্রয়োজনীয়তার জন্য ব্যাখ্যা করে। - বীজগণিত বিবেচনা করুন। আমরা মুক্ত ডিফারেনশিয়াল গ্রেডেড অ্যালজেব্রাস হিসাবে একটি রেজোলিউশন গণনা করতে পারি যেখানে এবং ডিফারেনশিয়ালটি শূন্য মানচিত্র। এর কারণ হল আমরা উপরের জটিলটিকে কেবল দ্বারা টেনসর করি, যা একটি বর্গাকার ডিগ্রির জেনারেটর সহ একটি আনুষ্ঠানিক জটিল দেয়। তারপর, হোচসচাইল্ড কমপ্লেক্সটি দ্বারা দেওয়া হয়এটি গণনা করার জন্য, আমাদের অবশ্যই একটি-বীজগণিত হিসাবে সমাধান করতে হবে। লক্ষ্য করুন যে বীজগণিত কাঠামো বল প্রয়োগ করে। এটি কমপ্লেক্সের ডিগ্রি শূন্য পদ দেয়। তারপরে, কারণ আমাদের কার্নেলটি সমাধান করতে হবে, আমরা ডিগ্রিতে স্থানান্তরিত একটি অনুলিপি নিতে পারি এবং এটির মানচিত্র তৈরি করতে পারি, ডিগ্রিতে কার্নেল সহ আমরা বিভক্ত পাওয়ার অ্যালজেব্রাউইথের অন্তর্নিহিত মডিউলটি পেতে এটি পুনরাবৃত্তভাবে সম্পাদন করতে পারি এবং এর ডিগ্রি, যথা। এই বীজগণিতে কোনও উপাদানের সঙ্গে গুণ করলে তা শূন্য হয়। বীজগণিতের কাঠামোটি বিভক্ত শক্তি বীজগণিত এবং ডিফারেনশিয়াল গ্রেডেড বীজগণিতের সাধারণ তত্ত্ব থেকে এসেছে। লক্ষ্য করুন যে এই গণনাটি একটি প্রযুক্তিগত নিদর্শন হিসাবে দেখা হয় কারণ রিংটি ভাল আচরণ করে না। উদাহরণস্বরূপ,। এই সমস্যার একটি প্রযুক্তিগত প্রতিক্রিয়া হল টপোলজিকাল হোচসচাইল্ড হোমোলজির মাধ্যমে, যেখানে বেস রিংটি গোলক বর্ণালী দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়। টপোলজিক্যাল হচসচাইল্ড সমসংস্থান হচসচাইল্ড কমপ্লেক্সের উপরের নির্মাণটি আরও সাধারণ পরিস্থিতিতে অভিযোজিত হতে পারে, যথা-মডিউলগুলির (কমপ্লেক্স) বিভাগকে একটি φ-বিভাগ (একটি টেনসর পণ্য দিয়ে সজ্জিত) দ্বারা প্রতিস্থাপন করে এবং এই বিভাগের একটি সহযোগী বীজগণিত দ্বারা। বর্ণালী বিভাগে এটি প্রয়োগ করা এবং একটি সাধারণ বলয়ের সাথে যুক্ত আইলেনবার্গ-ম্যাক্লেন বর্ণালী হওয়ার ফলে টপোলজিকাল হক্সচাইল্ড সমরূপতা পাওয়া যায়, যা চিহ্নিত করা হয়। উপরে প্রবর্তিত (অ-ভূতাত্ত্বিক) হোচসচাইল্ড সমতাত্ত্বিকতাকে-মডিউলগুলির উদ্ভূত বিভাগ (একটি φ-বিভাগ হিসাবে) গ্রহণ করে এই লাইনগুলির সাথে পুনরায় ব্যাখ্যা করা যেতে পারে। গোলক বর্ণালীর উপর টেনসর পণ্যগুলিকে টেনসর পণ্য দ্বারা প্রতিস্থাপিত করা (বা আইলেনবার্গ-ম্যাকলেইন-স্পেকট্রাম) একটি প্রাকৃতিক তুলনা মানচিত্রের দিকে পরিচালিত করে। এটি 0,1 এবং 2 মাত্রায় সমস্থানিক গোষ্ঠীগুলির উপর একটি সমরূপতা প্ররোচিত করে। সাধারণভাবে, তবে, তারা ভিন্ন, এবং এইচ. এইচ-এর তুলনায় সহজ গ্রুপ তৈরি করতে থাকে। উদাহরণস্বরূপ, একটি চলকের বিভক্ত শক্তির বলয়ের তুলনায় বহুপদী বলয়টি (2 মাত্রায় x সহ)। দেখিয়েছেন যে একটি মসৃণ সঠিক বৈচিত্র্যের হাস-ওয়েইল জিটা ফাংশন টপোলজিকাল হোচসচাইল্ড সমতাত্ত্বিকতার সাথে জড়িত নিয়মিত নির্ধারক ব্যবহার করে প্রকাশ করা যেতে পারে। আরও দেখুন সাইক্লিক হোমোলজি রেফারেন্স জিন-লুই লোডে, সাইক্লিক হোমোলজি, গ্রান্ডলেহ্রেন ডার ম্যাথমেটিসচেন উইসেনশাফটেন খণ্ড। 301, স্প্রিংগার (1998) রিচার্ড এস. পিয়ার্স, অ্যাসোসিয়েটিভ আলজেব্রাস, গ্র্যাজুয়েট টেক্সটস ইন ম্যাথমেটিক্স (88), স্প্রিঙ্গার, 1982। বাহ্যিক লিঙ্ক প্রারম্ভিক নিবন্ধ ডিলান জি. এল. অ্যালেগ্রেটি, নন-কমিউটেটিভ স্পেসগুলিতে ডিফারেনশিয়াল ফর্ম। অ-বিনিময়যোগ্য জ্যামিতির একটি প্রাথমিক ভূমিকা যা ডিফারেনশিয়াল ফর্মগুলিকে সাধারণীকরণ করতে হোচসচাইল্ড সমবিজ্ঞান ব্যবহার করে)। গাণিতিক জ্যামিতিতে টপোলজিকাল হোচসচাইল্ড হোমোলজি কমিউটেটিভ কেস নন-কমিউটেটিভ কেস রিং তত্ত্ব হোমোলজিকাল বীজগণিত