Subdivision (simplicial complex)
একটি সরল জটিলতার একটি উপবিভাগ (যাকে পরিশোধনও বলা হয়) হল আরেকটি সরল জটিল, যেখানে স্বজ্ঞাতভাবে, মূল জটিলতার এক বা একাধিক সরলীকরণকে ছোট সরলতায় ভাগ করা হয়েছে। সর্বাধিক ব্যবহৃত উপবিভাগটি হল ব্যারি-সেন্ট্রিক উপবিভাগ, তবে শব্দটি আরও সাধারণ। বিভিন্ন প্রসঙ্গে উপবিভাগটিকে সামান্য ভিন্নভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। জ্যামিতিক সরল জটিলতায় K কে একটি জ্যামিতিক সরল জটিল (জি. এস. সি) হিসাবে ধরা যাক। কে-এর একটি উপবিভাগ হল একটি জি. এস. সি. এল যাতেঃ <আই. ডি. 2>। = <আই. ডি. 1>।, অর্থাৎ, কে-তে সরলীকরণের মিলন এল-এ সরলীকরণের মিলনের সমান (তারা স্থানের একই অঞ্চল জুড়ে থাকে)। উদাহরণস্বরূপ, ধরা যাক K একটি একক ত্রিভুজ {A, B, C} (এর সমস্ত মুখ এবং শীর্ষ সহ) ধারণকারী একটি GSC। ধরা যাক AB মুখের উপর D একটি বিন্দু। ধরা যাক L হল দুটি ত্রিভুজ {A, D, C} এবং {B, D, C} (তাদের সমস্ত মুখ এবং শীর্ষ সহ) ধারণকারী জটিল। তারপর L হল K-এর একটি উপবিভাগ, যেহেতু দুটি ত্রিভুজ {A, D, C} এবং {B, D, C} উভয়ই {A, B, C}-তে রয়েছে এবং একইভাবে {A, D}, {D, B} মুখগুলি {A, B} মুখে রয়েছে এবং মুখটি {D, C} {A, B, C}-তে রয়েছে। K-এর একটি উপবিভাগ পাওয়ার একটি উপায় হল |K।-এ একটি স্বেচ্ছাচারী বিন্দু x বেছে নেওয়া, K-এর প্রতিটি সিম্প্লেক্স s সরিয়ে ফেলুন যাতে x রয়েছে এবং এটিকে নিম্নলিখিত সরল সেটের সমাপ্তি দিয়ে প্রতিস্থাপন করুনঃ x বিন্দু এবং মুখ t-এর সংযোগ কোথায়। এই প্রক্রিয়াটিকে x-এ স্টারিং বলা হয়। একটি নাক্ষত্রিক উপবিভাগ হল একটি উপবিভাগ যা বিভিন্ন বিন্দুতে ক্রমানুসারে স্টারিং দ্বারা প্রাপ্ত হয়। একটি উদ্ভূত মহকুমা হল নিম্নলিখিত ইন্ডাক্টিভ প্রক্রিয়া দ্বারা প্রাপ্ত একটি মহকুমা। প্রতিটি 1-মাত্রিক সিম্প্লেক্সকে (একটি বিভাগ) কোনও অভ্যন্তরীণ বিন্দুতে স্টার করুন; প্রতিটি 2-মাত্রিক সিম্প্লেক্সকে কোনও অভ্যন্তরীণ বিন্দুতে, 1-মাত্রিক সরলীকরণের উপবিভাগের উপর স্টার করুন; প্রতিটি কে-মাত্রিক সিম্প্লেক্সকে (কে-1)-মাত্রিক সরলীকরণের উপবিভাগের উপর কোনও অভ্যন্তরীণ বিন্দুতে স্টার করুন। ব্যারি-সেন্ট্রিক মহকুমাটি একটি উদ্ভূত মহকুমা যেখানে স্টারিংয়ের জন্য ব্যবহৃত পয়েন্টগুলি সর্বদা সরলতার ব্যারি-সেন্টার হয়। উদাহরণস্বরূপ, যদি D, E, F, G যথাক্রমে {A, B}, {A, C}, {B, C}, {A, B, C}-এর ব্যারিসেন্টার হয়, তবে {A, B, C}-এর প্রথম ব্যারিসেন্ট্রিক মহকুমা হল {A, D, G}, {B, D, G}, {A, E, G}, {C, E, G}, {B, F, G}, {C, F, G}-এর ক্লোজার। একটি প্রদত্ত পলিহেড্রনের নির্বিচারে সূক্ষ্ম ত্রিভুজ অর্জন করতে পুনরাবৃত্ত উপবিভাগগুলি ব্যবহার করা যেতে পারে। বিমূর্ত সরল জটিলতায় K কে একটি বিমূর্ত সরল জটিল (ASC) হিসাবে ধরা যাক। কে-এর মুখের অবস্থান হল কে-এর সমস্ত অ-খালি সরলতা দিয়ে তৈরি একটি অবস্থান, যা অন্তর্ভুক্তি দ্বারা ক্রমবদ্ধ (যা একটি আংশিক ক্রম)। উদাহরণস্বরূপ, {A, B, C} বন্ধ করার ফেস-পজিট হল নিম্নলিখিত চেইনগুলির সাথে পজিটঃ {A} <{A, B, C} <{A, B, C} <{A, C} <{A, B, C} {B} <{A, B, C} <{A, B, C} <{A, C} <{A, C} <{A, C} <{A, C} <{A, B, C} <{A, C} <{A, B, C} <{A, B, C} <{A, B, C} <{A, B, C, C} একটি পজিটের অর্ডার কমপ্লেক্স হল একটি ASC যার শীর্ষগুলি হল P-এর উপাদান এবং যার সরলীকরণগুলি হল চেইন। উপরের পজিটের অর্ডার কমপ্লেক্সটি হল নিম্নলিখিত সরলতাগুলির সমাপ্তিঃ {{A}, {A, B, C}, {A, C}, {A, C}, {A, B, C}, {{B}, {A, B, C}, {{B, C}, {{A, B, C}, {{C}, {A, C}, {A, C}, {A, C}, {A, B, C}, {{C}, {B, C}, {A, C}, {A, C}, {A, B, C}, {A, B, C, C}} লক্ষ্য করুন যে এই ASC হল ASC {A, D, G}, {B, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, কে-এর উপবিভাগের জ্যামিতিক উপলব্ধি সর্বদা কে-এর জ্যামিতিক উপলব্ধির সমরূপ।