Arnold conjecture
গণিতবিদ ভ্লাদিমির আর্নল্ডের নামে নামকরণ করা আর্নল্ড অনুমান, প্রতিসম জ্যামিতির ক্ষেত্রে একটি গাণিতিক অনুমান, যা ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতির একটি শাখা। বিবৃতি একটি কম্প্যাক্ট সিমপ্লেক্টিক ম্যানিফোল্ড হতে দিন। যে কোনও মসৃণ ফাংশনের জন্য, সিমপ্লেক্টিক ফর্মটি একটি হ্যামিল্টনিয়ান ভেক্টর ক্ষেত্রকে প্ররোচিত করে, যা পরিচয় দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়ঃ ফাংশনটিকে হ্যামিল্টনিয়ান ফাংশন বলা হয়। ধরুন হ্যামিল্টনিয়ান ফাংশনের একটি 1-পরামিতি পরিবার রয়েছে, যা হ্যামিল্টনিয়ান ভেক্টর ক্ষেত্রের একটি 1-পরামিতি পরিবারকে প্ররোচিত করে। ভেক্টর ক্ষেত্রের পরিবারটি ডিফিয়োমরফিজমের একটি 1-পরামিতি পরিবারের সাথে একীভূত হয়। প্রতিটি ব্যক্তি হ্যামিল্টনিয়ান ডিফিয়োমরফিজম। আর্নল্ড অনুমান বলে যে, প্রতিটি হ্যামিল্টনিয়ান ডিফিয়োমোর্ফিজমের জন্য, এটির অন্তত ততগুলি স্থির বিন্দু থাকে যতগুলি একটি মসৃণ ফাংশন গুরুত্বপূর্ণ বিন্দু ধারণ করে। ননডিজেনারেট হ্যামিল্টনিয়ান এবং দুর্বল আর্নল্ড অনুমান একটি হ্যামিল্টনিয়ান ডিফিয়োমরফিজমকে ননডিজেনারেট বলা হয় যদি এর গ্রাফটি আড়াআড়িভাবে তির্যককে ছেদ করে। ননডিজেনারেট হ্যামিল্টনিয়ান ডিফিয়োমোর্ফিজমের জন্য, আর্নল্ড অনুমানের একটি বৈকল্পিক বলে যে স্থির বিন্দুর সংখ্যা কমপক্ষে একটি মোর্স ফাংশনের ন্যূনতম সংখ্যক সমালোচনামূলক বিন্দুর সমান, যাকে মোর্স সংখ্যা বলা হয়। মোর্স বৈষম্যের পরিপ্রেক্ষিতে, মোর্স সংখ্যাটি একটি সমতাত্ত্বিক অপরিবর্তনীয়ের চেয়েও বড় বা সমান, উদাহরণস্বরূপ, একটি ক্ষেত্রের উপর বেটি সংখ্যার যোগফলঃ দুর্বল আর্নল্ড অনুমান বলে যে উপরের পূর্ণসংখ্যায় একটি ননডিজেনারেট হ্যামিল্টনিয়ান ডিফিয়োমোর্ফিজমের জন্য তার স্থির বিন্দুর সংখ্যার একটি নিম্ন সীমা। আরও দেখুন আর্নল্ড-গিভেন্টাল অনুমান রেফারেন্স প্রতীকী জ্যামিতি অনুমান