Van den Berg–Kesten inequality
সম্ভাব্যতা তত্ত্বে, ভ্যান ডেন বার্গ-কেস্টেন (বি. কে.) অসমতা বা ভ্যান ডেন বার্গ-কেস্টেন-রেইমার (বি. কে. আর.) অসমতা বলে যে দুটি এলোমেলো ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা, এবং একই সময়ে কেউ "বিচ্ছিন্ন শংসাপত্র" খুঁজে পেতে পারে যা দেখায় যে তারা উভয়ই ঘটে, সর্বাধিক তাদের পৃথক সম্ভাবনার পণ্য। দুটি একক স্বরের ঘটনার বিশেষ উদাহরণ (এফ. কে. জি বৈষম্যের ক্ষেত্রে ব্যবহৃত ধারণাটি) 1985 সালে ভ্যান ডেন বার্গ এবং কেস্টেন প্রথম প্রমাণ করেছিলেন, যারা আরও অনুমান করেছিলেন যে এই বৈষম্য সাধারণভাবে রয়েছে, একঘেয়েমির প্রয়োজন নেই। পরে এই অনুমান প্রমাণিত হয়। অসমতা একটি পণ্য কাঠামো সহ সম্ভাব্যতা স্থানগুলিতে প্রয়োগ করা হয়, যেমন পারকোলেশন সমস্যা। বিবৃতি সম্ভাব্যতা স্পেস হতে দিন, প্রতিটি সীমাবদ্ধভাবে অনেক উপাদানের। অসমতা পণ্য পরিমাপের সাথে সজ্জিত ফর্মের জায়গাগুলিতে প্রযোজ্য, যাতে প্রতিটি উপাদানকে সম্ভাবনা দেওয়া হয় দুটি ঘটনার জন্য, তাদের বিচ্ছিন্ন ঘটনাকে এমন কনফিগারেশনগুলির সমন্বয়ে গঠিত ঘটনা হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় যার সদস্যপদগুলি সূচকগুলির বিচ্ছিন্ন উপসেটগুলিতে যাচাই করা যেতে পারে। আনুষ্ঠানিকভাবে, যদি এমন উপসেট বিদ্যমান থাকে যেঃ (অন্য কথায়,) এর সাথে একমত হওয়া সকলের জন্যও রয়েছে এবং একইভাবে প্রত্যেকে যার সাথে একমত তা অসমতা দাবি করে যেঃ প্রতিটি জোড়া ঘটনা এবং উদাহরণের জন্য মুদ্রা টস হয় যদি একটি ন্যায্য মুদ্রা বার টস করার সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ হয়, তবে প্রতিটি দুটি সম্ভাব্য ফলাফল, মাথা বা লেজ নিয়ে গঠিত, সমান সম্ভাব্যতা সহ। এই ঘটনাটির কথা বিবেচনা করুন যে, পরপর 3টি হেড রয়েছে এবং এই ইভেন্টে মোট কমপক্ষে 5টি হেড রয়েছে। তারপরে নিম্নলিখিত ঘটনাটি ঘটবেঃ পরপর 3টি মাথা রয়েছে এবং সেগুলি ফেলে দেওয়ার পরে আরও 5টি মাথা বাকি রয়েছে। এই ইভেন্টের সর্বাধিক সম্ভাবনা রয়েছে যা একে অপরের থেকে স্বাধীনভাবে 10টি টস পাওয়ার এবং আরও 10টি টস পাওয়ার সম্ভাবনা বলে মনে করা হয়। সংখ্যাসূচকভাবে, এবং তাদের বিচ্ছিন্ন ঘটনা কমপক্ষে 8 টি হেড বোঝায়, তাই একটি গ্রাফের (বার্নৌলি) বন্ড পারকোলেশনে, 'গুলি প্রান্ত দ্বারা সূচীভুক্ত করা হয়। প্রতিটি প্রান্ত কিছু সম্ভাব্যতা সহ রাখা হয় (বা "খোলা") বা অন্যথায় সরানো হয় (বা "বন্ধ"), অন্যান্য প্রান্ত থেকে স্বাধীন, এবং একটি অবশিষ্ট গ্রাফের সংযোগ সম্পর্কে প্রশ্ন অধ্যয়ন করে, উদাহরণস্বরূপ ঘটনা যে দুটি শীর্ষের মধ্যে একটি পথ রয়েছে এবং শুধুমাত্র খোলা প্রান্ত ব্যবহার করে। এই ধরনের ঘটনাগুলির জন্য, বিচ্ছিন্ন ঘটনা হল এমন একটি ঘটনা যেখানে দুটি খোলা পথ বিদ্যমান থাকে যা কোনও প্রান্ত ভাগ করে না (উপসেটগুলির সাথে এবং সংজ্ঞার সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ), যেমন প্রথমটি দ্বারা প্রয়োজনীয় সংযোগ সরবরাহ করে এবং দ্বিতীয়টি অসমতা সাবক্রিটিকাল ব্যবস্থায় সূচকীয় ক্ষয়ের ঘটনার একটি সংস্করণ প্রমাণ করতে ব্যবহার করা যেতে পারে, অর্থাৎ একটি উপযুক্তভাবে সংজ্ঞায়িত সমালোচনামূলক সম্ভাবনার জন্য পূর্ণসংখ্যা জাল গ্রাফের উপর, মূল ধারণকারী সংযুক্ত উপাদানটির ব্যাসার্ধ সূচকীয়ভাবে ছোট লেজের সাথে একটি বিতরণ মেনে চলেঃ কিছু ধ্রুবকের জন্য এখানে এমন শীর্ষগুলি রয়েছে যা এক্সটেনশনগুলিকে সন্তুষ্ট করে একাধিক ইভেন্ট যখন তিন বা ততোধিক ইভেন্ট থাকে, অপারেটর সহযোগী নাও হতে পারে, কারণ সূচকগুলির একটি উপসেট দেওয়া হয়েছে যার উপর হতে পারে উদাহরণস্বরূপ, এমন একটি ঘটনা রয়েছে যে যাইহোক, ঘটনাগুলির-এরি বি. কে. আর ক্রিয়াকলাপকে এমন কনফিগারেশনের সেট হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে যেখানে সূচকগুলির জোড়ার দিক থেকে বিচ্ছিন্ন উপসেট রয়েছে যা সদস্যতার সাক্ষী হয় এই ক্রিয়াকলাপটি সন্তুষ্ট করেঃ যেখান থেকে মূল বি. কে বৈষম্যের পুনরাবৃত্তি ব্যবহার করে। এই বৈষম্য ফ্লোরিডা লটারির বিজয়ী পরিসংখ্যান বিশ্লেষণ করতে এবং গণিত ম্যাগাজিন যাকে "অবিশ্বাস্যভাবে ভাগ্যবান" ব্যক্তি হিসাবে উল্লেখ করেছে তা সনাক্ত করতে ব্যবহৃত একটি কারণ ছিল, যা পরে প্রয়োগকারী তদন্তের মাধ্যমে নিশ্চিত করা হয়েছিল যে আইন লঙ্ঘনের সাথে জড়িত ছিল। বৃহত্তর কার্ডিনালিটির স্থানগুলি যখন অসীম হতে দেওয়া হয়, তখন পরিমাপ তাত্ত্বিক সমস্যা দেখা দেয়। এবং লেবস্গু পরিমাপের জন্য, এমন পরিমাপযোগ্য উপসেট রয়েছে যা পরিমাপযোগ্য নয় (তাই বৈষম্যকে সংজ্ঞায়িত করা হয় না), তবে নিম্নলিখিত উপপাদ্যটি এখনও ধারণ করেঃ যদি লেবস্গু পরিমাপযোগ্য হয়, তবে কিছু বোরেল সেট রয়েছে যাঃ এবং রেফারেন্স পারকোলেশন তত্ত্ব সম্ভাব্য বৈষম্য