Gaudin model
পদার্থবিজ্ঞানে, গাউদিন মডেল, যা কখনও কখনও কোয়ান্টাম গাউদিন মডেল নামে পরিচিত, হল একটি মডেল বা মডেলের একটি বড় শ্রেণী, যা পরিসংখ্যানগত বলবিজ্ঞানে মিশেল গাউদিন তার সহজতম ক্ষেত্রে প্রথম বর্ণনা করেছিলেন। এগুলি ঠিক সমাধানযোগ্য মডেল এবং কোয়ান্টাম স্পিন চেইনেরও উদাহরণ। ইতিহাস 1976 সালে মিশেল গাউদিন প্রথম সহজতম কেসটি বর্ণনা করেছিলেন, যার সাথে সম্পর্কিত লাই বীজগণিতকে দ্বিমাত্রিক বিশেষ রৈখিক গোষ্ঠী হিসাবে নেওয়া হয়েছিল। গাণিতিক সূত্র ধরা যাক সসীম মাত্রার একটি আধা-সহজ লাই বীজগণিত। একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা ধরা যাক। জটিল সমতলে, বিভিন্ন বিন্দু নির্বাচন করুন। প্রভাবশালী অবিচ্ছেদ্য উপাদানের সাথে সম্পর্কিত সীমাবদ্ধ-মাত্রিক অপরিবর্তনীয় উপস্থাপনা দ্বারা চিহ্নিত করুন। এর প্রভাবশালী অবিচ্ছেদ্য ওজনের একটি সেট হতে দিন। টেনসর পণ্যের সংজ্ঞা দিন। মডেলটি তখন গাউদিন হ্যামিল্টনিয়ান নামে পরিচিত অপারেটরদের একটি সেট দ্বারা নির্দিষ্ট করা হয়। এগুলি নিম্নরূপ বর্ণনা করা হয়েছে। অপরিবর্তনীয় স্কেলার পণ্য দ্বারা চিহ্নিত করুন (এটি প্রায়শই কিলিং ফর্ম হিসাবে নেওয়া হয়)। স্কেলার পণ্যের মাধ্যমে প্রদত্ত একটি ভিত্তি এবং দ্বৈত ভিত্তি হতে দিন। একটি উপাদানের জন্য, অপারেটর দ্বারা চিহ্নিত করুন যা অন্যান্য কারণগুলির উপর তম ফ্যাক্টর এবং পরিচয় হিসাবে কাজ করে। তারপর এই অপারেটররা পারস্পরিক যাতায়াত করছে। গাউদিন মডেলের তত্ত্বে আগ্রহের একটি সমস্যা হল এই অপারেটরগুলির একযোগে আইগেনভেক্টর এবং আইগেনভ্যালু খুঁজে পাওয়া। একাধিক গাউদিন হ্যামিল্টনিয়ানদের সাথে কাজ করার পরিবর্তে, অন্য একটি অপারেটর রয়েছে, যাকে কখনও কখনও গাউদিন হ্যামিল্টনিয়ান হিসাবে উল্লেখ করা হয়। এটি একটি জটিল পরামিতি এবং চতুর্ভুজ কাসিমিরের উপরও নির্ভর করে, যা সর্বজনীন আবরণ বীজগণিতের একটি উপাদান, যা হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে এটি প্রতিনিধিত্বের উপর নির্ভরশীল একটি সংখ্যা দ্বারা গুণ করে উপস্থাপনের উপর কাজ করে, চিহ্নিত। এটিকে কখনও কখনও উপস্থাপনার সূচক হিসাবে উল্লেখ করা হয়। গাউদিন হ্যামিল্টনিয়ানকে তারপর এর বিনিময়যোগ্যতা থেকে নিম্নলিখিত বিভিন্ন মানের বিনিময়যোগ্যতা হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। উচ্চতর গাউদিন হ্যামিল্টনিয়ানরা যখন 1 এর চেয়ে বেশি র্যাঙ্ক থাকে, তখন গাউদিন হ্যামিল্টনিয়ানদের দ্বারা বিস্তৃত যাতায়াত বীজগণিত এবং পরিচয়টি একটি বৃহত্তর যাতায়াত বীজগণিতে প্রসারিত করা যেতে পারে, যা গাউদিন বীজগণিত নামে পরিচিত। একইভাবে হরিশ-চন্দ্র সমরূপতার সাথে, এই যাতায়াতকারী উপাদানগুলির সম্পর্কিত ডিগ্রি রয়েছে এবং বিশেষত গাউদিন হ্যামিল্টনিয়ানরা বীজগণিতের ডিগ্রি 2 অংশ গঠন করে। কারণ, গাউদিন হ্যামিল্টনিয়ান এবং পরিচয় গাউদিন বীজগণিতে বিস্তৃত। আরেকটি যাতায়াতকারী বীজগণিত রয়েছে যা 'সার্বজনীন', যে কোনও পছন্দের স্থান এবং ওজনের জন্য গাউদিন বীজগণিতের অন্তর্নিহিত, যাকে ফেইগিন-ফ্রেঙ্কেল কেন্দ্র বলা হয়। এখানে দেখুন। তারপর গাউদিন বীজগণিতে আইগেনভেক্টর বীজগণিতে রৈখিক কার্যকারিতা সংজ্ঞায়িত করে। যদি গাউদিন বীজগণিতের একটি উপাদান এবং গাউদিন বীজগণিতের একটি আইগেনভেক্টর হয়, তবে কেউ একটি রৈখিক কার্যকারিতা অর্জন করে। বর্ণালী সমস্যা, অর্থাৎ, গাউদিন বীজগণিতে আইগেনভ্যালু এবং যুগপৎ আইগেনভেক্টর নির্ধারণ করা, তারপর গাউদিন বীজগণিতে অক্ষর নির্ধারণের বিষয় হয়ে ওঠে। সমাধান একটি গাউদিন মডেলের সমাধানের অর্থ প্রায়শই গাউদিন হ্যামিল্টনিয়ান বা গাউদিন হ্যামিল্টনিয়ানদের বর্ণালী নির্ধারণ করা। সমাধানের বেশ কয়েকটি পদ্ধতি রয়েছে, যার মধ্যে রয়েছে বীজগাণিতিক বেথে আনস্যাটজ, যা ব্যবহার করে গাউদিন ভেরিয়েবলের পৃথকীকরণ, যা ব্যবহার করে স্ক্লিয়নিন কোরিলেশন ফাংশন/অপারস, যা ব্যবহার করে ফিগিন, ফ্রেঙ্কেল এবং রেশেতিখিন দ্বারা বর্ণিত একটি পদ্ধতি ব্যবহার করে। বীজগাণিতিক বেথে আনসাটজ এসএল2-এর জন্য, ধরা যাক আদর্শ ভিত্তি। যে কোনও ক্ষেত্রে, অপারেটর-মূল্যবান মেরোমর্ফিক ফাংশনকে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে যার অবশিষ্টাংশ হল, যেখানে 'পূর্ণ' টেনসর উপস্থাপনা। এবং বেশ কয়েকটি দরকারী বৈশিষ্ট্যকে সন্তুষ্ট করে কিন্তু একটি উপস্থাপনা গঠন করেঃ তৃতীয় বৈশিষ্ট্যটি দরকারী কারণ এটি আমাদের সাপেক্ষে তির্যককরণ করতে দেয়, যার জন্য একটি তির্যক (কিন্তু অধঃপতিত) ভিত্তি জানা যায়। সাইট এবং ওজন দ্বারা নির্দিষ্ট একটি গাউদিন মডেলের জন্য, ভ্যাকুয়াম ভেক্টরকে প্রতিটি উপস্থাপনা থেকে সর্বোচ্চ ওজনের অবস্থার টেনসর গুণফল হিসাবে সংজ্ঞায়িত করুনঃ একটি বেথ ভেক্টর (ঘূর্ণন বিচ্যুতির) এর জন্য ফর্মের একটি ভেক্টর। বেথ ভেক্টরের আকারের আইগেনভেক্টর অনুমান করা হল বেথ আনস্যাটজ। এটি দেখানো যেতে পারে যে একটি বেথ ভেক্টর গাউদিন হ্যামিল্টনিয়ানদের একটি আইগেনভেক্টর যদি সমীকরণের সেট 1 এবং 1 এর মধ্যে থাকে। স্পিন বিচ্যুতির জন্য এগুলি হল বেথ আনস্যাটজ সমীকরণ। কারণ, এটি সম্পূর্ণতায় হ্রাস পায় তত্ত্বগতভাবে, বেথ আনস্যাটজ সমীকরণগুলি সমাধান করে গাউদিন হ্যামিল্টনিয়ানের আইগেনভেক্টর এবং আইগেনভ্যালু দেওয়া যেতে পারে। বাস্তবে, যদি সমীকরণগুলি বর্ণালী সমস্যাটি সম্পূর্ণরূপে সমাধান করতে হয়, তবে একজনকে অবশ্যই পরীক্ষা করতে হবে বেথ সমীকরণ দ্বারা পূর্বাভাস দেওয়া সমাধানের সংখ্যা সমাধানের বহুগুণ যদি, সাইট এবং ওজনের একটি নির্দিষ্ট বিন্যাসের জন্য, বেথ আনস্যাটজ সমস্ত আইগেনভেক্টর তৈরি করে, তবে এটি গাউডিন মডেলের সেই বিন্যাসের জন্য সম্পূর্ণ বলে মনে করা হয়। অসম্পূর্ণ গাউদিন মডেলের উদাহরণ তৈরি করা সম্ভব। গাউদিন মডেল তত্ত্বের একটি সমস্যা হল একটি প্রদত্ত বিন্যাস কখন সম্পূর্ণ হয় বা না হয় তা নির্ধারণ করা, অথবা অন্তত 'মডেলের স্থান' চিহ্নিত করা যার জন্য বেথ আনসাটজ সম্পূর্ণ। সাধারণ জটিল সরল জি-এর জন্য বেথ আনস্যাটজ সমীকরণের সমতুল্য উচ্চতর পদমর্যাদার লাই অ্যালজেব্রার জন্য উদ্ভূত করা যেতে পারে। যাইহোক, এগুলি মামলার চেয়ে উদ্ভূত করা এবং সমাধান করা অনেক বেশি কঠিন। উপরন্তু, 1 এর চেয়ে বড় পদমর্যাদার জন্য, অর্থাৎ, অন্য সবাই ছাড়াও, উচ্চতর গাউদিন হ্যামিল্টনিয়ান রয়েছে, যার জন্য বেথ আনসাটজকে কীভাবে সাধারণীকরণ করা যায় তা অজানা। ODE/IM সমরূপতা গাউদিন বীজগণিতের (বা সর্বজনীন ফেইগিন-ফ্রেঙ্কেল কেন্দ্র) মধ্যে একটি ODE/IM সমরূপতা রয়েছে, যা তত্ত্বের জন্য 'গতির ইন্টিগ্রাল' এবং ওপার্স, যা সাধারণ ডিফারেনশিয়াল অপারেটর, এই ক্ষেত্রে। সাধারণীকরণ একটি কঠোরভাবে আধা-সহজ লাই বীজগণিত হওয়ার সীমাবদ্ধতাকে দুর্বল করার ফলে উদ্ভূত সাধারণীকরণ রয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, যখন একটি অ্যাফিন লাই বীজগণিত হতে দেওয়া হয়, তখন মডেলটিকে অ্যাফিন গাউদিন মডেল বলা হয়। সাধারণীকরণের একটি ভিন্ন উপায় হল একটি নির্দিষ্ট লাই বীজগণিতের একটি পছন্দসই অটোমরফিজম বেছে নেওয়া। তারপরে হ্যামিল্টনিয়ানদের সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে যা অটোমরফিজমের ক্রিয়ার অধীনে সুন্দরভাবে রূপান্তরিত হয়। এই ধরনের মডেলগুলির একটি শ্রেণী হল সাইক্লোটোমিক গাউদিন মডেল। ধ্রুপদী গাউদিন মডেলের একটি ধারণাও রয়েছে। ঐতিহাসিকভাবে, কোয়ান্টাম গাউদিন মডেলটি বেশিরভাগ ভৌত ব্যবস্থার বিপরীতে প্রথমে সংজ্ঞায়িত এবং অধ্যয়ন করা হয়েছিল। কিছু ধ্রুপদী সমন্বিত ক্ষেত্র তত্ত্বকে ধ্রুপদী ডাইহেড্রাল অ্যাফিন গাউদিন মডেল হিসাবে দেখা যেতে পারে। অতএব, কোয়ান্টাম অ্যাফিন গাউদিন মডেলগুলি বোঝার ফলে কোয়ান্টাম ইন্টিগ্রেবল ফিল্ড তত্ত্বগুলির ইন্টিগ্রেবল কাঠামো বোঝার সুযোগ হতে পারে। এই ধরনের ধ্রুপদী ক্ষেত্র তত্ত্বগুলির মধ্যে রয়েছে প্রধান কাইরাল মডেল, কোসেট সিগমা মডেল এবং অ্যাফিন টোডা ক্ষেত্র তত্ত্ব। রেফারেন্স এনল্যাবে গাউদিন ইন্টিগ্রেবল মডেলের বাহ্যিক লিঙ্ক (ভিডিওতে 8ঃ40 থেকে 15:14 দেখুন।) স্পিন মডেল কোয়ান্টাম ল্যাটিস মডেল কোয়ান্টাম চুম্বকত্ব