Orthogonality (mathematics)
গণিতে, অর্থোগোনালিটি হল দ্বিমাত্রিক রূপের রৈখিক বীজগণিতে লম্বতার জ্যামিতিক ধারণার সাধারণীকরণ। একটি ভেক্টর স্পেসের দুটি উপাদান u এবং v দ্বিমাত্রিক ফর্ম B সহ অর্থোগোনাল হয় যখন। দ্বিমাত্রিক রূপের উপর নির্ভর করে, ভেক্টর স্পেসে অ-শূন্য স্ব-অর্থোগোনাল ভেক্টর থাকতে পারে। ফাংশন স্পেসের ক্ষেত্রে, অর্থোগোনাল ফাংশনের পরিবারগুলি একটি ভিত্তি তৈরি করতে ব্যবহৃত হয়। ধারণাটি অর্থোগোনাল ফাংশন, অর্থোগোনাল পলিনোমিয়াল এবং কম্বিনেটরিক্সের প্রসঙ্গে ব্যবহৃত হয়েছে। সংজ্ঞাসমূহ জ্যামিতিতে, দুটি ইউক্লিডীয় ভেক্টর লম্ব হলে অর্থোগোনাল হয়, অর্থাৎ, তারা একটি সমকোণ গঠন করে। একটি অভ্যন্তরীণ গুণফল স্থান V-এ দুটি ভেক্টর x এবং y অর্থোগোনাল হয় যদি তাদের অভ্যন্তরীণ গুণফল শূন্য হয়। এই সম্পর্ককে বোঝানো হয়। একটি অর্থোগোনাল ম্যাট্রিক্স হল এমন একটি ম্যাট্রিক্স যার কলাম ভেক্টরগুলি একে অপরের সাথে অর্থোনরমাল। একটি অর্থোনরমাল ভিত্তি হল এমন একটি ভিত্তি যার ভেক্টর উভয়ই অর্থোগোনাল এবং স্বাভাবিক (তারা একক ভেক্টর)। একটি সামঞ্জস্যপূর্ণ রৈখিক রূপান্তর কোণ এবং দূরত্বের অনুপাত সংরক্ষণ করে, যার অর্থ হল যে একই সামঞ্জস্যপূর্ণ রৈখিক রূপান্তর দ্বারা অর্থোগোনাল ভেক্টরগুলিকে রূপান্তর করা সেই ভেক্টরগুলিকে অর্থোগোনাল রাখবে। একটি অভ্যন্তরীণ গুণফল স্থান V-এর দুটি ভেক্টর সাবস্পেস A এবং B-কে অর্থোগোনাল সাবস্পেস বলা হয় যদি A-এর প্রতিটি ভেক্টর B-এর প্রতিটি ভেক্টরের অর্থোগোনাল হয়। একটি প্রদত্ত সাবস্পেসের অর্থোগোনাল V-এর বৃহত্তম সাবস্পেস হল এর অর্থোগোনাল পরিপূরক। একটি মডিউল এম এবং এর দ্বৈত এম ি঱ দেওয়া হলে, এম ি঱ের একটি উপাদান এম ′ এবং এম এর একটি উপাদান এম অর্থোগোনাল হয় যদি তাদের প্রাকৃতিক জুটি শূন্য হয়, অর্থাৎ। দুটি সেট এবং অর্থোগোনাল হয় যদি S′ এর প্রতিটি উপাদান S এর প্রতিটি উপাদানের অর্থোগোনাল হয়। একটি শব্দ পুনর্লিখন ব্যবস্থা অর্থোগোনাল বলা হয় যদি এটি বাম-রৈখিক হয় এবং দ্ব্যর্থহীন হয়। অর্থোগোনাল শব্দ পুনর্লিখন পদ্ধতিগুলি সমৃদ্ধ। একটি অভ্যন্তরীণ পণ্য স্থানে ভেক্টরের একটি সেটকে জোড়া ভিত্তিক অর্থোগোনাল বলা হয় যদি তাদের প্রতিটি জোড়া অর্থোগোনাল হয়। এই ধরনের সেটকে অর্থোগোনাল সেট বলা হয়। কিছু ক্ষেত্রে, স্বাভাবিক শব্দটি অর্থোগোনাল বোঝাতে ব্যবহৃত হয়, বিশেষত জ্যামিতিক অর্থে যেমন কোনও পৃষ্ঠের স্বাভাবিক। উদাহরণস্বরূপ, y-অক্ষটি উৎপত্তির বক্ররেখার সাথে স্বাভাবিক। তবে, স্বাভাবিক একটি ভেক্টরের মাত্রাকেও বোঝাতে পারে। বিশেষ করে, একটি সেটকে অর্থোনরমাল (অর্থোগোনাল প্লাস নর্মাল) বলা হয় যদি এটি একক ভেক্টরের একটি অর্থোগোনাল সেট হয়। ফলস্বরূপ, "অর্থোগোনাল" বোঝাতে স্বাভাবিক শব্দটির ব্যবহার প্রায়শই এড়ানো হয়। সম্ভাবনা এবং পরিসংখ্যানেও "স্বাভাবিক" শব্দের একটি ভিন্ন অর্থ রয়েছে। দ্বিমাত্রিক আকারের একটি ভেক্টর স্থান একটি অভ্যন্তরীণ পণ্যের ক্ষেত্রে সাধারণীকরণ করে। যখন দুটি ভেক্টরের উপর দ্বিমাত্রিক রূপ প্রয়োগ করা হয় যার ফলাফল শূন্য হয়, তখন সেগুলি অর্থোগোনাল হয়। ছদ্ম-ইউক্লিডীয় সমতলে হাইপারবোলিক অর্থোগোনালিটি শব্দটি ব্যবহার করা হয়। রেখাচিত্রে, যে কোনও প্রদত্ত φ-এর জন্য x′ এবং t′ অক্ষগুলি হাইপারবোলিক-অর্থোগোনাল। ইউক্লিডীয় ভেক্টর স্পেস ইউক্লিডীয় স্পেসে, দুটি ভেক্টর অর্থোগোনাল হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি তাদের বিন্দু গুণফল শূন্য হয়, অর্থাৎ। তারা 90° (π/2 রেডিয়ান) কোণ তৈরি করে, অথবা ভেক্টরগুলির মধ্যে একটি শূন্য হয়। তাই ভেক্টরের অর্থোগোনালিটি হল যে কোনও মাত্রার স্পেসে লম্ব ভেক্টরের ধারণার একটি সম্প্রসারণ। একটি সাবস্পেসের অর্থোগোনাল পরিপূরক হল সমস্ত ভেক্টরের স্থান যা সাবস্পেসের প্রতিটি ভেক্টরের অর্থোগোনাল। একটি ত্রিমাত্রিক ইউক্লিডীয় ভেক্টর স্পেসে, উৎপত্তির মধ্য দিয়ে একটি রেখার অর্থোগোনাল পরিপূরক হল তার উৎপত্তির মধ্য দিয়ে লম্ব সমতল, এবং তদ্বিপরীত। লক্ষ্য করুন যে দুটি সমতল লম্ব হওয়ার জ্যামিতিক ধারণাটি অর্থোগোনাল পরিপূরকের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ নয়, কারণ তিন মাত্রায় এক জোড়া ভেক্টর, লম্ব সমতলের প্রতিটি জোড়া থেকে একটি করে, যে কোনও কোণে মিলিত হতে পারে। চার-মাত্রিক ইউক্লিডীয় স্থানে, একটি রেখার অর্থোগোনাল পরিপূরক একটি হাইপারপ্লেন এবং তদ্বিপরীত, এবং একটি সমতল একটি সমতল। অর্থোগোনাল ফাংশন অবিচ্ছেদ্য ক্যালকুলাস ব্যবহার করে, একটি বিরতির মধ্যে একটি অ-ঋণাত্মক ওজন ফাংশনের সাপেক্ষে f এবং g দুটি ফাংশনের অভ্যন্তরীণ গুণফল সংজ্ঞায়িত করতে নিম্নলিখিতগুলি ব্যবহার করা সাধারণঃ আমরা বলি যে f এবং g ফাংশনগুলি অর্থোগোনাল হয় যদি তাদের অভ্যন্তরীণ গুণফল (সমতুল্যভাবে, এই ইন্টিগ্রালের মান) শূন্য হয়ঃ একটি অভ্যন্তরীণ গুণফলের সাপেক্ষে দুটি ফাংশনের অর্থোগোনালিটি অন্য অভ্যন্তরীণ গুণফলের সাপেক্ষে অর্থোগোনালিটি বোঝায় না। ক্রোনেকার ব-দ্বীপ কোথায় থাকলে এই ধরনের ফাংশনের সদস্যরা ব্যবধানের উপর w-এর সাপেক্ষে অর্থোগোনাল হয়। অন্য কথায়, তাদের প্রতিটি জোড়া (নিজের সাথে একটি ফাংশনের জোড়া বাদে) অর্থোগোনাল, এবং প্রত্যেকটির আদর্শ হল 1। বিশেষ করে অর্থোগোনাল পলিনোমিয়াল দেখুন। উদাহরণ ভেক্টর (1,3,2) টি, (3, −1,0) টি, (1,3, −5) টি একে অপরের সাথে অর্থোগোনাল, যেহেতু (1) (3) + (3) (−1) + (2) (0) = 0, (3) (1) + (−1) (3) + (0) (−5) = 0, এবং (1) (1) + (3) (3) + (2) (−5) = 0। ভেক্টর (1,0,1,0,) টি এবং (0,1,0,1,) টি একে অপরের সাথে অর্থোগোনাল। এই ভেক্টরগুলির বিন্দু গুণফল হল 0। তারপরে আমরা Z2n-এ ভেক্টরগুলি বিবেচনা করার জন্য সাধারণীকরণ করতে পারিঃ কিছু ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা a-এর জন্য, এবং উদাহরণস্বরূপ, এই ভেক্টরগুলি অর্থোগোনাল। ফাংশনগুলি এবং −1 থেকে 1 পর্যন্ত ব্যবধানের একক ওজন ফাংশনের সাপেক্ষে অর্থোগোনালঃ ফাংশন 1, sin (nx), cos (nx): n = 1,2,3,. অন্তরগুলিতে রিমান ইন্টিগ্রেশনের সাপেক্ষে অর্থোগোনাল, অথবা 2π দৈর্ঘ্যের অন্য কোনও বদ্ধ ব্যবধান। এই সত্যটি ফুরিয়ার সিরিজের একটি কেন্দ্রীয় বিষয়। অর্থোগোনাল বহুপদ অতীতের গণিতবিদদের নামে নামকরণ করা বিভিন্ন বহুপদ ক্রম হল অর্থোগোনাল বহুপদের ক্রম। বিশেষতঃ হারমাইট বহুপদগুলি শূন্য গড় মান সহ গাউসিয়ান বন্টনের সাপেক্ষে অর্থোগোনাল। লেজেন্ড্রে বহুপদগুলি ব্যবধানের অভিন্ন বণ্টনের সাপেক্ষে অর্থোগোনাল। ল্যাগুয়ের বহুপদগুলি সূচকীয় বণ্টনের সাপেক্ষে অর্থোগোনাল। কিছুটা বেশি সাধারণ ল্যাগুয়ের বহুপদী ক্রমগুলি গামা বিতরণের ক্ষেত্রে অর্থোগোনাল। প্রথম ধরনের চেবিশেভ বহুপদগুলি পরিমাপের সাপেক্ষে অর্থোগোনাল দ্বিতীয় ধরনের চেবিশেভ বহুপদগুলি উইগনার অর্ধবৃত্ত বণ্টনের সাপেক্ষে অর্থোগোনাল। সংমিশ্রণে, দুটি এন × এন ল্যাটিন বর্গকে অর্থোগোনাল বলা হয় যদি তাদের সুপারইম্পোজিশন সমস্ত সম্ভাব্য এন 2 সংযোজন প্রদান করে। আরও দেখুন কাল্পনিক সংখ্যা আইসোগোনাল আইসোগোনাল ট্র্যাজেক্টরি অর্থোগোনাল পরিপূরক অর্থোগোনাল গ্রুপ অর্থোগোনাল ম্যাট্রিক্স অর্থোগোনাল পলিনোমিয়াল অর্থোগোনালাইজেশন গ্রাম-শ্মিট প্রক্রিয়া অর্থোগোনাল ভিত্তি অর্থোগোনাল রূপান্তর প্যান-অর্থোগোনাল রূপান্তর কোয়াটারনিয়নে ঘটে রেফারেন্স বিমূর্ত বীজগণিত রৈখিক বীজগণিত অর্থোগোনাল