Kähler identities
জটিল জ্যামিতিতে, কেলার পরিচয় হল ডলবিউল্ট অপারেটর এবং তাদের সংলগ্ন, কেলার ফর্মের সংকোচন এবং ওয়েজ অপারেটর এবং কেলার মেট্রিকের ল্যাপলেসিয়ানদের সাথে সম্পর্কিত একটি কেলার ম্যানিফোল্ডের অপারেটরদের মধ্যে পরিচয়ের একটি সংগ্রহ। কেহলার পরিচয়গুলি হজ তত্ত্বের ফলাফলের সাথে একত্রিত হয়ে কমপ্যাক্ট কেহলার ম্যানিফোল্ডের ডি রাম এবং ডলবিওল্ট কোহোমোলজির উপর বেশ কয়েকটি সম্পর্ক তৈরি করে, যেমন লেফচেটজ হাইপারপ্লেন উপপাদ্য, হার্ড লেফচেটজ উপপাদ্য, হজ-রিম্যান দ্বিমাত্রিক সম্পর্ক এবং হজ সূচক উপপাদ্য। এগুলি আবার হজ তত্ত্বের সাথে মিলিত হয়, যা কেলার ম্যানিফোল্ডের উপর মৌলিক বিশ্লেষণাত্মক ফলাফল প্রমাণ করার ক্ষেত্রে গুরুত্বপূর্ণ, যেমন-লেম্মা, নাকানো বৈষম্য এবং কোডাইরা ভ্যানিশিং উপপাদ্য। 1941 সালে ডব্লিউ. ভি. ডি. হজ তাঁর হারমোনিক ইন্টিগ্রাল বইয়ে কাহলারের পরিচয় প্রথম প্রমাণ করেন। কেহলার জ্যামিতির প্রথম পাঠ্যপুস্তকে আন্দ্রে ওয়েইল এর আধুনিক স্বরলিপি প্রবর্তন করেছিলেন, ইন্ট্রোডাকশন এ ল 'ইট্যুড ডেস ভ্যারিয়েটস কেহলেরিয়েনেস। অপারেটর এ কহলার ম্যানিফোল্ড তার বীজগণিতে মসৃণ কাঠামো (এস), জটিল কাঠামো (সি) এবং রিম্যানিয়ান কাঠামো (আর) থেকে নির্মিত জটিল ডিফারেনশিয়াল ফর্মগুলির একটি বড় সংখ্যক অপারেটরকে স্বীকার করে। জটিল ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতির সাহিত্যে এই অপারেটরগুলির নির্মাণ মানসম্মত। নিম্নলিখিত বন্ধনীতে গাঢ় অক্ষরগুলি নির্দেশ করে যে অপারেটরকে সংজ্ঞায়িত করার জন্য কোন কাঠামোর প্রয়োজন। ডিফারেনশিয়াল অপারেটর নিম্নলিখিত অপারেটরগুলি ডিফারেনশিয়াল অপারেটর এবং বাহ্যিক ডেরিভেটিভের মসৃণ এবং জটিল কাঠামো থেকে উদ্ভূত হয়। (এস),-ডলবিওল্ট অপারেটর। (গ),-ডলবিউল্ট অপারেটর। (গ) ডলবিয়ল্ট অপারেটরগুলি সূত্র দ্বারা সরাসরি বাহ্যিক অন্তরজের সাথে সম্পর্কিত। বাহ্যিক ডেরিভেটিভের চরিত্রগত বৈশিষ্ট্য যা তখন বোঝায় এবং। কিছু সূত্র নিম্নলিখিত অপারেটরকে কেলার পরিচয়ের বাক্যাংশের জন্য ব্যবহার করে। । (গ) এই অপারেটরটি কার্যকর কারণ কেহলার পরিচয়গুলি দ্বিগুণের তুলনা করে আরও সংক্ষিপ্তভাবে শব্দযুক্ত পরিচয় থেকে অনুমান করা যেতে পারে। এটি সেই সম্পত্তির জন্যও দরকারী। এটি টেনসোরিয়াল অপারেটর সূত্র দ্বারা জটিল কাঠামোর পরিপ্রেক্ষিতে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে নিম্নলিখিত অপারেটরগুলি টেনসোরিয়াল প্রকৃতির, অর্থাৎ তারা এমন অপারেটর যা শুধুমাত্র একটি বিন্দুতে জটিল ডিফারেনশিয়াল ফর্মের মানের উপর নির্ভর করে। বিশেষত তাদের প্রত্যেককে পৃথকভাবে প্রতিটি বিন্দুতে ফর্মের ভেক্টর স্পেসের মধ্যে অপারেটর হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। , জটিল কনজুগেট অপারেটর। (গ), লেফশেট্জ অপারেটরটি কেলার ফর্মটি কোথায় দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়। (সিআর), হজ স্টার অপারেটর। (আর) জটিল ডিফারেনশিয়াল ফর্মগুলির বাইডিগ্রী (পি, কিউ)-এর সরাসরি সমষ্টি পচন বেশ কয়েকটি প্রজেকশন অপারেটরকে প্রকাশ করে। , ডিগ্রি k. (S)-এর অংশে অভিক্ষেপ, বাইডিগ্রী (p, q)-এর অংশে অভিক্ষেপ। (গ) গণনাকারী হিসাবে পরিচিত। (এস), জটিল ভেক্টর স্থানের জটিল কাঠামো অপারেটর। (গ) লক্ষ্য করুন যে শেষ অপারেটরটি কেলার ম্যানিফোল্ডের প্রায় জটিল কাঠামোর সম্প্রসারণ থেকে উচ্চতর ডিগ্রি জটিল ডিফারেনশিয়াল ফর্ম, যেখানে কেউ মনে রাখে যে একটি-ফর্ম এবং একটি-ফর্মের জন্য, তাই একটি-ফর্মের ফ্যাক্টরের সাথে কাজ করে। উপরের ডিফারেনশিয়াল এবং টেনসোরিয়াল অপারেটরগুলির আনুষ্ঠানিক সংযোজনগুলি সংজ্ঞায়িত করতে জটিল কাঠামো থেকে উদ্ভূত রিম্যানিয়ান মেট্রিকের পাশাপাশি এর প্রাকৃতিক অভিযোজন ব্যবহার করা যেতে পারে। এই সংলগ্নগুলি অংশ দ্বারা একীকরণের মাধ্যমে বা হজ স্টার অপারেটর ব্যবহার করে স্পষ্ট সূত্র দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। ইন্টিগ্রেশন দ্বারা সংলগ্নগুলিকে সংজ্ঞায়িত করতে, লক্ষ্য করুন যে রিমানিয়ান মেট্রিক অন, সূত্র অনুসারে একটি-ইনার পণ্যকে সংজ্ঞায়িত করে যেখানে রিমানিয়ান মেট্রিক দ্বারা প্ররোচিত কোট্যাঞ্জেন্ট স্পেসের বাহ্যিক পণ্যগুলির উপর অভ্যন্তরীণ পণ্য। এই-ইনার পণ্যটি ব্যবহার করে, উপরের যে কোনও অপারেটরের আনুষ্ঠানিক সংযোজনগুলি (দ্বারা চিহ্নিত) সূত্র দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে যখন কেলার ম্যানিফোল্ডটি অ-কম্প্যাক্ট হয়, তখন-ইনার পণ্যটি আনুষ্ঠানিক অর্থবোধ করে যদি কমপক্ষে একটি কম্প্যাক্টলি সমর্থিত ডিফারেনশিয়াল ফর্ম থাকে। বিশেষ করে উপরের ডিফারেনশিয়াল এবং টেনসোরিয়াল অপারেটরগুলির নিম্নলিখিত আনুষ্ঠানিক অ্যাডজয়েন্ট অপারেটরগুলি পাওয়া যায়। হজ স্টার অপারেটরের পরিপ্রেক্ষিতে এই সংলগ্নগুলির জন্য সুস্পষ্ট সূত্র অন্তর্ভুক্ত করা হয়েছে। দ্বারা স্পষ্টভাবে প্রদত্ত। (এস. আর) স্পষ্টভাবে দ্বারা প্রদত্ত। (সিআর) স্পষ্টভাবে দ্বারা প্রদত্ত। (সিআর) স্পষ্টভাবে দ্বারা প্রদত্ত। (সিআর) স্পষ্টভাবে দ্বারা প্রদত্ত। (সিআর) শেষ অপারেটর, লেফশেটস অপারেটরের সংলগ্ন, কহলার ফর্মের সাথে সংকোচন অপারেটর হিসাবে পরিচিত, এবং সাধারণত দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। অপারেটর এবং তাদের আনুষ্ঠানিক সংলগ্ন থেকে তৈরি ল্যাপলেসিয়ানরা এবংঃ এর সাথে সম্পর্কিত বেশ কয়েকটি ল্যাপলেস অপারেটর, অন্যথায় ল্যাপলেস-ডি রাম অপারেটর হিসাবে পরিচিত। (এসআর)। (সিআর)। (সি. আর) উপরের প্রতিটি ল্যাপলেসিয়ান স্ব-সংযুক্ত অপারেটর। বাস্তব এবং জটিল অপারেটর এমনকি যদি উপরের অপারেটরগুলিকে সংজ্ঞায়িত করার জন্য জটিল কাঠামো (সি) প্রয়োজন হয়, তবুও তারা বাস্তব ডিফারেনশিয়াল ফর্মগুলিতে প্রয়োগ করা যেতে পারে। যখন ফলস্বরূপ ফর্মটিতে বাস্তব সহগ থাকে, তখন অপারেটরকে একটি বাস্তব অপারেটর বলা হয়। এটিকে আরও দুটি উপায়ে চিহ্নিত করা যেতে পারেঃ যদি অপারেটরের জটিল কনজুগেট নিজেই হয়, অথবা যদি অপারেটর জটিল ডিফারেনশিয়াল ফর্মগুলিতে কাজ করা প্রায়-জটিল কাঠামোর সাথে যাতায়াত করে। দুটি প্রকৃত অপারেটরের গঠন বাস্তব। উপরের অপারেটরগুলির জটিল সংমিশ্রণ নিম্নরূপঃ এবং। এবং একইভাবে এবং এর জন্য। এবং। । । এবং। । । । এইভাবে এবং সকলেই প্রকৃত অপারেটর। বিশেষত যদি এই অপারেটরগুলির মধ্যে কোনওটিকে দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, তবে কমিউটেটর যেখানে উপরের জটিল কাঠামো অপারেটর। পরিচয় কেলার পরিচয় হল উপরের অপারেটরদের মধ্যে বিনিময়কারী সম্পর্কের একটি তালিকা। স্পষ্টভাবে আমরা অপারেটর দ্বারা উপরোক্ত অপারেটরগুলির গঠনের মাধ্যমে প্রাপ্ত বিভিন্ন মাত্রায় নির্দেশ করি। কেলার পরিচয়গুলি মূলত কেলার ম্যানিফোল্ডের স্থানীয় পরিচয়, এবং এমনকি অ-সংক্ষিপ্ত ক্ষেত্রেও ধরে রাখে। প্রকৃতপক্ষে এগুলি একটি কেলার মেট্রিকের মডেলের ক্ষেত্রে প্রমাণ করা যেতে পারে এবং মূল বৈশিষ্ট্যটি ব্যবহার করে যে কোনও কেলার ম্যানিফোল্ডে স্থানান্তরিত করা যেতে পারে যা কেলার শর্তটি বোঝায় যে কেলার মেট্রিক দ্বিতীয় ক্রম পর্যন্ত স্ট্যান্ডার্ড ফর্মটি নেয়। যেহেতু কেলার পরিচয়গুলি কেলার মেট্রিকের প্রথম ক্রমের পরিচয়, তাই সংশ্লিষ্ট বিনিময়কারী সম্পর্কগুলি যে কোনও কেলার ম্যানিফোল্ডে স্থানীয়ভাবে কেলার পরিচয়কে বোঝায়। যখন কেলার ম্যানিফোল্ডটি কম্প্যাক্ট হয় তখন পরিচয়গুলি হজ তত্ত্বের সাথে মিলিত হয়ে ম্যানিফোল্ডের কোহোমোলজি সম্পর্কে অনেক ফলাফল উপসংহারে আসতে পারে। উপরের কেলার পরিচয়গুলি এমন ক্ষেত্রে উন্নীত করা যেতে পারে যেখানে ডিফারেনশিয়াল অপারেটরগুলি একটি হোলোমর্ফিক ভেক্টর বান্ডেলে একটি চেরন সংযোগের সাথে যুক্ত করা হয়। যদি একটি হার্মিশিয়ান মেট্রিক চালু থাকে এবং এর হলমর্ফিক কাঠামোকে সংজ্ঞায়িত করে এমন একটি ডলবিওল্ট অপারেটর হয়, তবে অনন্য সামঞ্জস্যপূর্ণ চেরন সংযোগ এবং এর-অংশটি সন্তুষ্ট করে। চেরন সংযোগের বক্রতা রূপটি দ্বারা চিহ্নিত করুন। আনুষ্ঠানিক সংলগ্নগুলিকে উপরের মতো একটি-ইনার পণ্য ব্যবহার করে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে যেখানে হার্মিশিয়ান মেট্রিক ফর্মের অভ্যন্তরীণ পণ্যের সাথে মিলিত হয়। এই ক্ষেত্রে সমস্ত কেলার পরিচয়, যাকে কখনও কখনও নাকানো পরিচয় বলা হয়, নিম্নলিখিতগুলি ব্যতীত কোনও পরিবর্তন ছাড়াই ধরে রাখেঃ । । , বোচনার-কোডাইরা-নাকানো পরিচয় হিসাবে পরিচিত। বিশেষভাবে মনে রাখবেন যে যখন চেরন সংযোগটি একটি সমতল সংযোগ, যাতে বক্রতা, তখনও সেই সম্পর্কটি অর্জন করে। প্রিমিটিভ কোহোমোলজি এবং এসএল (2, সি)-এর উপস্থাপনা কেলার পরিচয়ে অন্তর্ভুক্ত বিনিময় সম্পর্ক ছাড়াও, উপরের কিছু অপারেটর অন্যান্য আকর্ষণীয় বিনিময় সম্পর্ককে সন্তুষ্ট করে। বিশেষ করে লেফশেটস অপারেটর, সংকোচন অপারেটর এবং উপরের গণনা অপারেটরকে স্মরণ করুন। তারপর নিম্নলিখিত বিনিময় সম্পর্কগুলি দেখানো যেতে পারেঃ । । লাই বীজগণিতের সাথে তুলনা করলে দেখা যায় যে এটি একটি এসএল2-ট্রিপল গঠন করে এবং তাই একটি কেলার ম্যানিফোল্ডের জটিল ডিফারেনশিয়াল ফর্মগুলির বীজগণিত এর প্রতিনিধিত্ব হয়ে ওঠে। কহলার পরিচয়গুলি বোঝায় যে অপারেটররা সমস্ত যাতায়াত করে এবং তাই ভিতরে সুরেলা রূপগুলি সংরক্ষণ করে। বিশেষত যখন কেলার ম্যানিফোল্ড কম্প্যাক্ট হয়, হজ ডিকম্পোসিশন প্রয়োগ করে তিনগুণ অপারেটর নেমে এসে এক্স-এর ডি রাম কোহোমোলজিতে একটি এসএল2-ট্রিপল দেয়। প্রতিনিধিত্ব তত্ত্বের ভাষায়, অপারেটর হল উত্থাপনকারী অপারেটর এবং নিম্নগামী অপারেটর। যখন কম্প্যাক্ট হয়, এটি হজ তত্ত্বের একটি পরিণতি যে কোহোমোলজি গ্রুপগুলি সীমাবদ্ধ-মাত্রিক। অতএব কোহোমোলজি একটি সরাসরি সমষ্টি পচনকে অপরিবর্তনীয় সীমাবদ্ধ-মাত্রিক উপস্থাপনায় গ্রহণ করে। এই ধরনের যে কোনও অপরিবর্তনীয় উপস্থাপনা একটি আদিম উপাদান নিয়ে আসে, যা এমন একটি উপাদান। এর প্রিমিটিভ কোহোমোলজি দ্বারা দেওয়া হয়েছে প্রিমিটিভ কোহোমোলজি এছাড়াও একটি সরাসরি যোগফল বিভাজন স্বীকার করে হার্ড লেফশেটস পচন এর উপস্থাপনা তত্ত্ব তার প্রিমিটিভ উপাদানের পরিপ্রেক্ষিতে সম্পূর্ণরূপে একটি অপরিবর্তনীয় উপস্থাপনা বর্ণনা করে। যদি একটি অ-শূন্য আদিম উপাদান হয়, তবে যেহেতু ডিফারেনশিয়াল ফর্মগুলি মাত্রার উপরে অদৃশ্য হয়ে যায়, তাই চেইনটি শেষ পর্যন্ত সীমাবদ্ধভাবে অনেক পাওয়ারের পরে শেষ হয়। এটি একটি সীমাবদ্ধ-মাত্রিক ভেক্টর স্থানকে সংজ্ঞায়িত করে যার ত্রিগুণ থেকে একটি-ক্রিয়া প্ররোচিত হয়। এটি এর সাথে সম্পর্কিত অপরিবর্তনীয় উপস্থাপনা। প্রতিটি আদিম কোহোমোলজি গ্রুপে একযোগে এটি প্রয়োগ করে, কোহোমোলজিকে তার অপরিবর্তনীয় উপস্থাপনায় বিভক্ত করা কম্প্যাক্ট কেলার ম্যানিফোল্ডের হার্ড লেফশেটস পচন হিসাবে পরিচিত হয়। একটি হোলোমর্ফিক ভেক্টর বান্ডিলের সাথে যুক্ত কেলার পরিচয় দ্বারা, যেখানে হোলোমর্ফিক বান্ডিলটি সমতল হয় সেখানে হজ পচনটি বাঁকানো ডি রাম কোহোমোলজি গ্রুপ এবং ডলবিওল্ট কোহোমোলজি গ্রুপগুলিতে প্রসারিত হয়। ট্রিপল এখনও বান্ডিল-মূল্যবান কোহোমোলজিতে একটি এসএল2-ট্রিপল হিসাবে কাজ করে এবং হার্ড লেফশেটস পচনের একটি সংস্করণ এই ক্ষেত্রে ধরে রাখে। নাকানো অসমতা নাকানো অসমতা হল সামঞ্জস্যপূর্ণ ডিফারেনশিয়াল ফর্মের অভ্যন্তরীণ পণ্যগুলির সাথে সম্পর্কিত এক জোড়া অসমতা যা একটি কমপ্যাক্ট কেলার ম্যানিফোল্ডের উপর একটি হোলোমরফিক ভেক্টর বান্ডেলের উপর একটি চেরন সংযোগের বক্রতা সহ। বিশেষ করে একটি কম্প্যাক্ট কেলার ম্যানিফোল্ডের উপর একটি হার্মিশিয়ান হোলোমর্ফিক ভেক্টর বান্ডিল করা যাক, এবং সংশ্লিষ্ট চেরন সংযোগের বক্রতা নির্দেশ করা যাক। নাকানো বৈষম্যগুলি বলে যে যদি সুরেলা হয়, অর্থাৎ, তারপর, এবং। এই বৈষম্যগুলি উপরে বর্ণিত হোলমর্ফিক ভেক্টর বান্ডিলের সাথে মিলিত কেলার পরিচয় প্রয়োগ করে প্রমাণিত হতে পারে। যদি একটি পর্যাপ্ত লাইন বান্ডিল থাকে, চেরন বক্রতা নিজেই একটি কেলার মেট্রিক হয়। এই ক্ষেত্রে নাকানো বৈষম্য প্রয়োগ করা কম্প্যাক্ট কহলার ম্যানিফোল্ডের জন্য কোডাইরা-নাকানো বিলুপ্তির উপপাদ্য প্রমাণ করে। নোটস রেফারেন্স কমপ্লেক্স ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতিকে বহুগুণিত করে