Ordinal Pareto efficiency
অর্ডিনাল পেরেটো দক্ষতা বলতে পারেটো-দক্ষতার ধারণার বেশ কয়েকটি অভিযোজনকে বোঝায় যেখানে এজেন্টরা কেবল আইটেমের উপর অর্ডিনাল ইউটিলিটি প্রকাশ করে, তবে বান্ডিলের উপর নয়। অর্থাৎ, এজেন্টরা আইটেমগুলিকে সেরা থেকে খারাপ পর্যন্ত র্যাঙ্ক করে, তবে তারা আইটেমগুলির উপসেটগুলিকে র্যাঙ্ক করে না। বিশেষ করে, তারা প্রতিটি আইটেমের জন্য একটি সংখ্যাসূচক মান নির্দিষ্ট করে না। এটি নির্দিষ্ট বরাদ্দগুলি পারেটো-দক্ষ কিনা সে সম্পর্কে একটি অস্পষ্টতা সৃষ্টি করতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, তিনটি বস্তু এবং দুটি প্রতিনিধি সহ একটি অর্থনীতির কথা বিবেচনা করুন, যার নিম্নলিখিত র্যাঙ্কিং রয়েছেঃ অ্যালিসঃ x> y> z। জর্জঃ x> z> y। বরাদ্দ বিবেচনা করুন [অ্যালিসঃ x, জর্জঃ y, z]। এই বরাদ্দ পেরেটো-দক্ষ কিনা তা এজেন্টদের সংখ্যাসূচক মূল্যায়নের উপর নির্ভর করে। উদাহরণস্বরূপঃ এটা সম্ভব যে অ্যালিস {x, z} এর চেয়ে {y, z} পছন্দ করে এবং জর্জ {y, z} এর চেয়ে {x} পছন্দ করে (উদাহরণস্বরূপঃ x, y, z এর জন্য অ্যালিসের মূল্যায়ন 8,7,6 এবং জর্জের মূল্যায়ন 7,1,2, তাই ইউটিলিটি প্রোফাইল 8,3)। তারপরে বরাদ্দটি পারেটো-দক্ষ নয়, কারণ অ্যালিস এবং জর্জ উভয়ই তাদের বান্ডিলগুলি বিনিময় করে আরও ভাল হবে (ইউটিলিটি প্রোফাইল 13,7 হবে)। এর বিপরীতে, এটা সম্ভব যে অ্যালিস {y, z} এর চেয়ে {x} পছন্দ করে এবং জর্জ {y, z} থেকে {x} পছন্দ করে (উদাহরণস্বরূপঃ অ্যালিসের মূল্যায়ন হল 12,4,2 এবং জর্জের মূল্যায়ন হল 6,3,4)। তারপরে বরাদ্দটি পারেটো-দক্ষঃ অন্য যে কোনও বরাদ্দে, যদি অ্যালিস এখনও x পায়, তবে জর্জের উপযোগিতা কম হয়; যদি অ্যালিস x না পায়, তবে অ্যালিসের উপযোগিতা কম হয়। উপরন্তু, বরাদ্দটি পারেটো-দক্ষ, এমনকি যদি জিনিসগুলি বিভাজ্য হয় (অর্থাৎ, এটি আংশিকভাবে পারেটো দক্ষ): যদি অ্যালিস জর্জকে যে কোনও পরিমাণ x দেয়, তবে জর্জকে তার উপযোগিতা একই স্তরে রাখার জন্য তাকে কমপক্ষে 3r y বা 6r z দিতে হবে। কিন্তু তারপর জর্জের উপযোগিতা 6 আর-9 আর বা 6 আর-24 আর দ্বারা পরিবর্তিত হবে, যা নেতিবাচক। যেহেতু বরাদ্দের পেরেটো-দক্ষতা বান্ডিলগুলির র্যাঙ্কিংয়ের উপর নির্ভর করে, তাই যখন কেবল আইটেমগুলির র্যাঙ্কিং দেওয়া হয় তখন বরাদ্দের দক্ষতা কীভাবে নির্ধারণ করা যায় তা স্পষ্ট নয়। সংজ্ঞা একটি বরাদ্দ X = (X1,., Xn) পারেটো আরেকটি বরাদ্দ Y = (Y1,., Yn)-কে প্রাধান্য দেয়, যদি প্রতিটি এজেন্ট i দুর্বলভাবে বান্ডিল Yi-এর চেয়ে বান্ডিল Xi পছন্দ করে এবং কমপক্ষে একজন এজেন্ট J কঠোরভাবে Yj-এর পরিবর্তে Xj পছন্দ করে। একটি বরাদ্দ এক্স পারেটো-দক্ষ যদি অন্য কোনও বরাদ্দ পারেটো-প্রভাবিত না করে। কখনও কখনও, পৃথক-পেরেটো-দক্ষতার মধ্যে একটি পার্থক্য করা হয়, যার অর্থ একটি বরাদ্দ একটি পৃথক বরাদ্দের দ্বারা প্রভাবিত হয় না এবং ভগ্নাংশ পেরেটো দক্ষতার শক্তিশালী ধারণা, যার অর্থ একটি বরাদ্দ এমনকি একটি ভগ্নাংশ বরাদ্দের দ্বারাও প্রভাবিত হয় না। উপরের সংজ্ঞাগুলি এজেন্টদের বান্ডিলের (আইটেমের সেট) র্যাঙ্কিংয়ের উপর নির্ভর করে। আমাদের সেটিংসে, এজেন্টরা শুধুমাত্র তাদের পণ্যের র্যাঙ্কিং রিপোর্ট করে। একটি বান্ডিল র্যাঙ্কিংকে একটি আইটেম র্যাঙ্কিংয়ের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ বলা হয় যদি এটি সিঙ্গলটন বান্ডিলগুলিকে তাদের মধ্যে থাকা আইটেমগুলির মতো একই ক্রমে স্থান দেয়। উদাহরণস্বরূপ, যদি অ্যালিসের র্যাঙ্কিং হয়, তবে যে কোনও সামঞ্জস্যপূর্ণ বান্ডিল র্যাঙ্কিং অবশ্যই {w} <{x} <{y} <{z] থাকতে হবে। প্রায়শই, অনুমোদিত বান্ডিল র্যাঙ্কিংয়ের সেটের উপর অতিরিক্ত অনুমান করা হয়, যা ধারাবাহিকতার উপর অতিরিক্ত বিধিনিষেধ আরোপ করে। উদাহরণস্বরূপ অনুমানগুলি হলঃ একঘেয়েমিঃ একটি বান্ডিলে একটি জিনিস যোগ করা সর্বদা বান্ডিলের উন্নতি করে। এটি এই ধারণার সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ যে সমস্ত আইটেম ভাল। সুতরাং, অ্যালিসের বান্ডিল র্যাঙ্কিং অবশ্যই থাকতে হবে। {y} <{y, x}। প্রতিক্রিয়াশীলতাঃ একটি জিনিসের পরিবর্তে আরও ভাল জিনিস প্রতিস্থাপন করা সবসময় বান্ডিলের উন্নতি ঘটায়। সুতরাং, অ্যালিসের বান্ডিল র্যাঙ্কিং অবশ্যই থাকতে হবে। {w, x} <{w, y} <{x, y} <{x, z}। এটি ধারাবাহিকতার চেয়ে শক্তিশালী। অ্যাডিটিভিটিঃ এজেন্ট প্রতিটি আইটেমের জন্য একটি মান নির্ধারণ করে এবং প্রতিটি বান্ডিলকে তার বিষয়বস্তুর সমষ্টি অনুসারে মূল্য দেয়। এই অনুমান প্রতিক্রিয়াশীলতার চেয়ে শক্তিশালী। উদাহরণস্বরূপ, যদি অ্যালিস {x, y} <{z} র্যাঙ্ক করে তবে তাকে অবশ্যই {w, x, y} <{w, z} র্যাঙ্ক করতে হবে। লেক্সিকোগ্রাফিকঃ এজেন্ট সর্বদা এমন একটি বান্ডিলকে স্থান দেয় যাতে কোনও বান্ডিলের উপরে কিছু আইটেম x থাকে যেখানে কেবল x এর চেয়ে কম স্থানের আইটেম থাকে। উপরের উদাহরণে, অ্যালিসকে অবশ্যই {w, x, y} <{z} র্যাঙ্ক করতে হবে। প্রয়োজনীয় পেরেটো-দক্ষতা ব্রামস, এডলম্যান এবং ফিশবার্ন একটি বরাদ্দকে পেরেটো-নিশ্চিত করে যদি এটি এজেন্টদের আইটেম র্যাঙ্কিংয়ের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ সমস্ত বান্ডিল র্যাঙ্কিংয়ের জন্য পেরেটো-দক্ষ হয় (তারা সমস্ত একঘেয়ে এবং প্রতিক্রিয়াশীল বান্ডিল র্যাঙ্কিংয়ের অনুমতি দেয়)। উদাহরণস্বরূপঃ যদি এজেন্টদের মূল্যায়ন ইতিবাচক বলে ধরে নেওয়া হয়, তবে একক এজেন্টকে সমস্ত আইটেম দেওয়ার প্রতিটি বরাদ্দ পারেটো-নিশ্চিতকারী। যদি অ্যালিসের র্যাঙ্কিং x> y হয় এবং জর্জের র্যাঙ্কিং y> x হয়, তবে বরাদ্দ [অ্যালিসঃ x, জর্জঃ y] পারেটো-নিশ্চিতকারী। যদি অ্যালিসের র্যাঙ্কিং x> y> z হয় এবং জর্জের র্যাঙ্কিং x> z> y হয় এবং বরাদ্দগুলি অবশ্যই বিচ্ছিন্ন হতে হবে, তবে বরাদ্দ [অ্যালিসঃ x, y; জর্জঃ z] পারেটো-নিশ্চিতকারী। উপরের র্যাঙ্কিংয়ের সাথে, বরাদ্দ [অ্যালিসঃ x, জর্জঃ y, z] পারেটো-নিশ্চিতকারী নয়। ভূমিকায় যেমন ব্যাখ্যা করা হয়েছে, এটি পারেটো-দক্ষ নয় যেমন। যখন x, y, z-এর জন্য অ্যালিসের মূল্যায়ন 8,7,6 এবং জর্জের মূল্যায়ন 7,1,2 হয়। মনে রাখবেন যে এই দুটি মূল্যায়নই এজেন্টদের র্যাঙ্কিংয়ের সঙ্গে সামঞ্জস্যপূর্ণ। বুভেরেট, এন্ড্রিস এবং ল্যাং। একটি সমতুল্য সংজ্ঞা ব্যবহার করুন। তারা বলে যে একটি বরাদ্দ এক্স সম্ভবত পারেটো-একটি বরাদ্দ ওয়াই-কে প্রভাবিত করে যদি এজেন্টদের আইটেম র্যাঙ্কিংয়ের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ কিছু বান্ডিল র্যাঙ্কিং থাকে, যার জন্য এক্স পারেটো-ওয়াই-কে প্রভাবিত করে। একটি বরাদ্দকে বলা হয় প্রয়োজনীয়-পেরেটো-দক্ষ (এনইসিপিই) যদি অন্য কোনও বরাদ্দ সম্ভবত-পেরেটো-প্রভাবিত না করে। দুটি সংজ্ঞা যৌক্তিকভাবে সমতুল্যঃ "এক্স হল পারেতো-নিশ্চিতকরণ" হল "প্রতিটি সামঞ্জস্যপূর্ণ বান্ডিল র্যাঙ্কিংয়ের জন্য, প্রতিটি অন্যান্য বরাদ্দের জন্য ওয়াই, ওয়াই পারেতো-আধিপত্য করে না এক্স"-এর সমতুল্য। "এক্স হল এনইসিপিই" সমতুল্য হল "প্রতিটি অন্যান্য বরাদ্দের জন্য ওয়াই, প্রতিটি সামঞ্জস্যপূর্ণ বান্ডিল র্যাঙ্কিংয়ের জন্য, ওয়াই এক্স-কে পারেটো-আধিপত্য করে না"। "সকলের জন্য" পরিমাপের ক্রম বিনিময় করলে যৌক্তিক অর্থ পরিবর্তন হয় না। আমরা সমস্ত অ্যাডিটিভ বান্ডিল র্যাঙ্কিংয়ের অনুমতি দিই, বা আমরা কেবল এমন র্যাঙ্কিংয়ের অনুমতি দিই যা হ্রাসমান পার্থক্যের সাথে অ্যাডিটিভ মূল্যায়নের উপর ভিত্তি করে। অস্তিত্বের এনইসিপিই একটি অত্যন্ত শক্তিশালী প্রয়োজনীয়তা, যা প্রায়শই পূরণ করা যায় না। উদাহরণস্বরূপ, ধরুন দুটি এজেন্টের একই আইটেম র্যাঙ্কিং রয়েছে। অ্যালিস বলে, তাদের মধ্যে একজন অবশ্যই সর্বনিম্ন র্যাঙ্কের আইটেমটি পায়। সামঞ্জস্যপূর্ণ অ্যাডিটিভ বান্ডিল-র্যাঙ্কিং রয়েছে যেখানে অ্যালিসেস এই আইটেমটিকে 0 তে মান দেয় যেখানে জর্জ এটিকে 1 এ মান দেয়। অতএব, এটি অ্যালিসকে দেওয়া পেরেটো-দক্ষ নয়। যদি আমরা চাই যে সমস্ত আইটেমের একটি কঠোরভাবে ইতিবাচক মূল্য রয়েছে, তবে সমস্ত আইটেম একটি একক এজেন্টকে দেওয়া তুচ্ছভাবে এনইসিপিই, তবে এটি খুব অন্যায়। যদি ভগ্নাংশ বরাদ্দের অনুমতি দেওয়া হয়, তবে কোনও এনইসিপিই বরাদ্দের সম্ভাবনা নেই যা উভয় এজেন্টকে একটি ইতিবাচক মান দেয়। উদাহরণস্বরূপ, ধরুন অ্যালিস এবং জর্জ উভয়েরই x> y র্যাঙ্কিং রয়েছে। যদি উভয়ই একটি ধনাত্মক মান পায়, তবে হয় অ্যালিস কিছু x পায় এবং জর্জ কিছু y পায়, অথবা তদ্বিপরীত। আগের ক্ষেত্রে, এটি সম্ভব যে অ্যালিসের মূল্যায়নগুলি উদাহরণস্বরূপ। 4, 2 এবং জর্জের মূল্যায়ন 8,1, তাই অ্যালিস একটি ছোট পরিমাণ x-এর r-কে y-এর 3r-এর সাথে বিনিময় করতে পারে। অ্যালিস 6r-4r লাভ করে এবং জর্জ 8r-3r লাভ করে, তাই উভয় লাভই ধনাত্মক। পরের ক্ষেত্রে, একটি অনুরূপ যুক্তি রয়েছে। সম্ভাব্য পেরেটো-দক্ষতা ব্রামস, এডলম্যান এবং ফিশবার্ন একটি বরাদ্দকে পারেটো-সম্ভাব্য বলে অভিহিত করেন যদি এটি এজেন্টদের আইটেম র্যাঙ্কিংয়ের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ কিছু বান্ডিল র্যাঙ্কিংয়ের জন্য পারেটো-দক্ষ হয়। স্পষ্টতই, প্রতিটি পারেতো-নিশ্চিতকরণ বরাদ্দ পারেতো-সম্ভব। উপরন্তুঃ যদি অ্যালিসের র্যাঙ্কিং x> y> z হয় এবং জর্জের র্যাঙ্কিং x> z> y হয়, তবে বরাদ্দ [অ্যালিসঃ x, জর্জঃ y, z] পারেটো-সম্ভাব্য। ভূমিকায় যেমন ব্যাখ্যা করা হয়েছে, এটি পারেটো-দক্ষ যেমন। যখন x, y, z-এর জন্য অ্যালিসের মূল্যায়ন 12,4,2 এবং জর্জের মূল্যায়ন 6,3,4 হয়। মনে রাখবেন যে এই দুটি মূল্যায়নই এজেন্টদের র্যাঙ্কিংয়ের সঙ্গে সামঞ্জস্যপূর্ণ। যদি অ্যালিসের র্যাঙ্কিং x> y হয় এবং জর্জের র্যাঙ্কিং y> x হয়, তবে বরাদ্দ [অ্যালিসঃ y, জর্জঃ x] পারেটো-সম্ভব নয়, কারণ এটি সর্বদা বরাদ্দ [অ্যালিসঃ x, জর্জঃ y] দ্বারা পারেটো-প্রভাবিত হয়। বুভেরেট, এন্ড্রিস এবং ল্যাং। একটি ভিন্ন সংজ্ঞা ব্যবহার করুন। তারা বলে যে একটি বরাদ্দ এক্স অপরিহার্যভাবে একটি বরাদ্দ ওয়াই-কে প্রভাবিত করে যদি এজেন্টদের আইটেম র্যাঙ্কিংয়ের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ সমস্ত বান্ডিল র্যাঙ্কিংয়ের জন্য, এক্স প্যারেটো ওয়াই-কে প্রভাবিত করে। একটি বরাদ্দকে বলা হয় সম্ভাব্য-পেরেটো-দক্ষ (পি. ও. এস. পি. ই) যদি অন্য কোনও বরাদ্দ অপরিহার্যভাবে-পেরেটো-প্রভাবিত না করে। দুটি সংজ্ঞা যৌক্তিকভাবে সমতুল্য নয়ঃ "এক্স হল পারেটো-সম্ভাব্য" এর সমতুল্য হল "একটি সামঞ্জস্যপূর্ণ বান্ডিল র্যাঙ্কিং রয়েছে যার জন্য, প্রতিটি অন্যান্য বরাদ্দের জন্য ওয়াই, ওয়াই এক্সকে প্রভাবিত করে না"। অন্যান্য সমস্ত বরাদ্দ Y-এর জন্য এটি অবশ্যই একই বান্ডিল র্যাঙ্কিং হতে হবে। "এক্স হল পস্পিই" সমতুল্য "প্রতিটি অন্যান্য বরাদ্দের জন্য ওয়াই, একটি সামঞ্জস্যপূর্ণ বান্ডিল র্যাঙ্কিং রয়েছে, যার জন্য ওয়াই এক্স-এর উপর আধিপত্য বিস্তার করে না"। প্রতিটি অন্যান্য বরাদ্দ Y-এর জন্য একটি ভিন্ন বান্ডিল র্যাঙ্কিং থাকতে পারে। যদি এক্স পারেটো-সম্ভাব্য হয় তবে এটি পস্পিই, তবে অন্য ইঙ্গিতটি (যৌক্তিকভাবে) সত্য নয়। আমরা সমস্ত অ্যাডিটিভ বান্ডিল র্যাঙ্কিংয়ের অনুমতি দিই, বা আমরা কেবল এমন র্যাঙ্কিংয়ের অনুমতি দিই যা হ্রাসমান পার্থক্য সহ অ্যাডিটিভ মূল্যায়নের উপর ভিত্তি করে। স্টোকাস্টিক-আধিপত্য পারেটো-দক্ষতা বোগোমোলনিয়া এবং মৌলিন ন্যায্য র্যান্ডম অ্যাসাইনমেন্ট স্থাপনের জন্য একটি দক্ষতা ধারণা উপস্থাপন করেছেন (যেখানে বান্ডিল র্যাঙ্কিং যোগাত্মক, বরাদ্দগুলি ভগ্নাংশ, এবং প্রতিটি এজেন্টকে দেওয়া ভগ্নাংশের যোগফল অবশ্যই সর্বাধিক 1 হতে হবে)। এটি স্টোকাস্টিক আধিপত্যের ধারণার উপর ভিত্তি করে। প্রতিটি এজেন্টের জন্য i, একটি বান্ডিল xi একটি বান্ডিল yi-তে দুর্বলভাবে আধিপত্য বিস্তার করে (ডাব্লুএসডি) যদি প্রতিটি আইটেম z-এর জন্য, xi-তে z-এর চেয়ে ভাল আইটেমগুলির মোট ভগ্নাংশ কমপক্ষে y-এর মতো বড় হয় (যদি বরাদ্দগুলি বিচ্ছিন্ন হয়, তবে xi sd yi মানে প্রতিটি আইটেম z-এর জন্য, xi-তে z-এর চেয়ে ভাল আইটেমগুলির সংখ্যা কমপক্ষে y-এর মতো বড়)। এসডি সম্পর্কের বেশ কয়েকটি সমতুল্য সংজ্ঞা রয়েছে; প্রতিক্রিয়াশীল সেট এক্সটেনশন দেখুন। বিশেষত, জি এস ডি ই যদি-এবং-শুধুমাত্র-যদি, আইটেম র্যাঙ্কিংয়ের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ প্রতিটি বান্ডিল র্যাঙ্কিংয়ের জন্য, জি কমপক্ষে ই-এর মতোই ভাল। একটি বান্ডিল সি কঠোরভাবে-অসঙ্গতভাবে একটি বান্ডিল ই-তে আধিপত্য বিস্তার করে (এসএসডি) যদি সি ডাব্লুএসডি ই এবং সি ইভি। সমতুল্যভাবে, কমপক্ষে একটি আইটেম জেড-এর জন্য, "কমপক্ষে ই-এর মতো বড়" "ই-এর তুলনায় কঠোরভাবে বড়" হয়ে যায়। এস. এস. ডি রিলেশনে "জি>> ই" লেখা হয়। একটি বরাদ্দ X = (X1,., Xn) অন্য বরাদ্দ Y = (Y1,., Yn)-এর উপর আধিপত্য বিস্তার করে, যদি প্রতিটি এজেন্টের জন্য i: Xi wsd Yi, এবং Y ষ্ণ X (সমতুল্যঃ কমপক্ষে একটি এজেন্টের জন্য i, Xi ssd Yi)। স্টোকাস্টিক আধিপত্যে বরাদ্দের মধ্যে সম্পর্ককে "এক্স>> ওয়াই" হিসাবেও লেখা হয়। এটি প্রয়োজনীয় পেরেটো-ডোমিনেশনের সমতুল্য। একটি বরাদ্দকে এসডি-দক্ষ বলা হয় (আরও বলা হয়ঃ সাধারণভাবে দক্ষ বা ও-দক্ষ) যদি এমন কোনও বরাদ্দ না থাকে যা এটির উপর আধিপত্য বিস্তার করে। এটি পি. এস. পি. ই-এর অনুরূপ, তবে জোর দেয় যে বান্ডিল র্যাঙ্কিং অবশ্যই অ্যাডিটিভ ইউটিলিটি ফাংশনের উপর ভিত্তি করে হতে হবে এবং বরাদ্দগুলি ভগ্নাংশ হতে পারে। সমতুল্যতা যেমন উপরে উল্লেখ করা হয়েছে, পেরেটো-সম্ভাব্য বোঝায় পি. ও. এস. পি. ই, কিন্তু অন্য দিকটি যৌক্তিকভাবে সত্য নয়। ম্যাকলেনান প্রমাণ করেছেন যে তারা ন্যায্য র্যান্ডম অ্যাসাইনমেন্ট সমস্যায় (কঠোর বা দুর্বল আইটেম র্যাঙ্কিং সহ) সমতুল্য। বিশেষত, তিনি প্রমাণ করেন যে নিম্নলিখিতগুলি সমতুল্যঃ (ক) এক্স হল এসডি-দক্ষ (অর্থাৎ, এক্স হল পিওএসপিই); (খ) এজেন্টদের আইটেম-র্যাঙ্কিংয়ের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ অ্যাডিটিভ বান্ডেল-র্যাঙ্কিং রয়েছে যার জন্য এক্স ভগ্নাংশ-পেরেটো-দক্ষ (অর্থাৎ, এক্স হল পেরেটো-সম্ভাব্য); (গ) এজেন্টদের আইটেম-র্যাঙ্কিংয়ের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ অ্যাডিটিভ বান্ডেল-র্যাঙ্কিং রয়েছে যার জন্য এক্স এজেন্টদের উপযোগিতার সমষ্টি সর্বাধিক করে। প্রভাবগুলি (সি) → (বি) → (এ) সহজ; চ্যালেঞ্জিং অংশটি হল প্রমাণ করা যে (এ) → (সি)। ম্যাকলেনান পলিহেড্রাল পৃথকীকরণ হাইপারপ্লেন উপপাদ্য ব্যবহার করে এটি প্রমাণ করেছেন। বোগোমোলেনিয়া এবং মৌলিন এসডি-দক্ষতার আরেকটি দরকারী বৈশিষ্ট্য প্রমাণ করে, একই ন্যায্য র্যান্ডম অ্যাসাইনমেন্ট সেটিংয়ের জন্য তবে কঠোর আইটেম র্যাঙ্কিংয়ের সাথে। একটি প্রদত্ত ভগ্নাংশ বরাদ্দের বিনিময় গ্রাফকে একটি নির্দেশিত গ্রাফ হিসাবে সংজ্ঞায়িত করুন যেখানে নোডগুলি আইটেম, এবং একটি চাপ x → y আছে যদি একটি এজেন্ট i বিদ্যমান থাকে যা x পছন্দ করে এবং y এর একটি ধনাত্মক ভগ্নাংশ গ্রহণ করে। একটি বরাদ্দকে অ্যাসাইক্লিক হিসাবে সংজ্ঞায়িত করুন যদি তার বিনিময় গ্রাফের কোনও নির্দেশিত চক্র না থাকে। তারপর, একটি বরাদ্দ এসডি-দক্ষ আইএফএফ এটি অ্যাসাইক্লিক। ফিশবার্ন প্রতিক্রিয়াশীল বান্ডিল র্যাঙ্কিং সহ বিচ্ছিন্ন বান্ডিলগুলির আধিপত্য সম্পর্কের ক্ষেত্রে নিম্নলিখিত সমতুল্যতা প্রমাণ করেছেনঃ যদি xi>> yi (অর্থাৎঃ xi  ঒ত্ত Yi, এবং প্রতিটি আইটেমের জন্য z, xi-এর কমপক্ষে যতগুলি আইটেম থাকে যা কমপক্ষে z-এর মতো ভাল), তবে প্রতিটি প্রতিক্রিয়াশীল বান্ডিল-র্যাঙ্কিংয়ের জন্য আইটেম-র্যাঙ্কিংয়ের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ, xi> y। যদি জি>> ই না হয়, তবে আইটেম-র্যাঙ্কিংয়ের সাথে সামঞ্জস্য রেখে কমপক্ষে একটি প্রতিক্রিয়াশীল বান্ডিল-র্যাঙ্কিং বিদ্যমান, যার জন্য জি <ই। অতএব, পৃথক বরাদ্দের আধিপত্য সম্পর্কের জন্য নিম্নলিখিত ধারণাগুলি রয়েছেঃ এক্স>> ওয়াই যদি এক্স অপরিহার্যভাবে ওয়াই-কে পারেটো-আধিপত্য করে। বৈশিষ্ট্য যদি xi ডাব্লুএসডি ইয়ি হয়, তাহলে xi-তে বস্তুর মোট পরিমাণ (বিচ্ছিন্ন বা ভগ্নাংশ) কমপক্ষে yi-এর মতো বড় হতে হবে। এর কারণ হল, যদি |Xi। <|Yi। হয়, তবে মূল্যায়নের জন্য যা সমস্ত আইটেমের জন্য প্রায় একই মান বরাদ্দ করে, v (xi) <v (yi)। এর অর্থ হল, যদি এক্স ডাব্লুএসডি ওয়াই এবং এক্স এবং ওয়াই উভয়ই সম্পূর্ণ বরাদ্দ হয় (সমস্ত বস্তু বরাদ্দ করা হয়), তবে অগত্যা সমস্ত এজেন্টের জন্য |Xi। = |Yi। অন্য কথায়, একটি সম্পূর্ণ বরাদ্দ X অপরিহার্যভাবে শুধুমাত্র একটি বরাদ্দ Y দ্বারা প্রভাবিত হতে পারে যা প্রতিটি এজেন্টকে X-এর সমান পরিমাণ বরাদ্দ করে। এর মানে হল যে, বিশেষ করে, যদি এক্স সমস্ত বরাদ্দের সেটে এসডি-দক্ষ হয় যা প্রতিটি এজেন্টকে ঠিক 1 ইউনিট দেয়, তবে এক্স সাধারণভাবে এসডি-দক্ষ। লেক্সিকোগ্রাফিক-প্রভাব পারেটো-দক্ষতা চো লেক্সিকোগ্রাফিক আধিপত্যের উপর ভিত্তি করে ন্যায্য র্যান্ডম অ্যাসাইনমেন্ট স্থাপনের জন্য আরও দুটি দক্ষতা ধারণা উপস্থাপন করে। একটি বরাদ্দ X = (X1,., Xn) নিম্নমুখী-আলেক্সিকোগ্রাফিকভাবে (dl) অন্য বরাদ্দ Y = (Y1,., Yn)-কে প্রভাবিত করে, যদি প্রতিটি প্রতিনিধি i-এর জন্য, xi দুর্বলভাবে-dl-y-কে প্রভাবিত করে, এবং কমপক্ষে একজন প্রতিনিধি j-এর জন্য, Xj কঠোরভাবে-dl-yj-কে প্রভাবিত করে। একটি বরাদ্দকে ডিএল-দক্ষ বলা হয় যদি অন্য কোনও বরাদ্দ না থাকে যা এটিকে ডিএল-প্রভাবিত করে। একইভাবে, ঊর্ধ্বমুখী-লেক্সিকোগ্রাফিক (উল) আধিপত্যের ধারণার উপর ভিত্তি করে, একটি বরাদ্দকে উল-দক্ষ বলা হয় যদি অন্য কোনও বরাদ্দ না থাকে যা এটিকে উল-প্রভাবিত করে। সাধারণভাবে, এসডি-ডোমিনেশন মানে ডিএল-ডোমিনেশন এবং উল-ডোমিনেশন। অতএব, ডিএল-দক্ষতা এবং আল-দক্ষতা এসডি-দক্ষতা বোঝায়। সমতা ন্যায্য র্যান্ডম অ্যাসাইনমেন্ট সেটিং বিবেচনা করুন (বান্ডিল র্যাঙ্কিং যোগাত্মক, বরাদ্দ ভগ্নাংশ হতে পারে এবং প্রতিটি এজেন্টকে দেওয়া মোট ভগ্নাংশ অবশ্যই 1 হতে হবে), কঠোর আইটেম র্যাঙ্কিং সহ, যেখানে এজেন্টের চেয়ে বেশি আইটেম থাকতে পারে (তাই কিছু আইটেম বরাদ্দহীন থাকতে পারে)। চো এবং দোগান প্রমাণ করেছেন যে, এই বিশেষ ক্ষেত্রে, ডিএল-দক্ষতা এবং আল-দক্ষতা এসডি-দক্ষতার সমতুল্য। বিশেষত, তারা প্রমাণ করে যে যদি একটি বরাদ্দ এক্স এসডি/এলডি/উল দক্ষ হয়, তবেঃ এক্স-এর বিনিময় গ্রাফটি অ্যাসাইক্লিক এবং-এক্স অ-অপচয়যোগ্য ("অপচয়" মানে যে কোনও এজেন্ট আই, যিনি একটি আইটেম এক্স-এর ধনাত্মক ভগ্নাংশ গ্রহণ করেন, অন্য আইটেম ওয়াই পছন্দ করেন যা সম্পূর্ণরূপে বরাদ্দ করা হয় না)। বণ্টনের সীমাবদ্ধতা থাকলে সমতা বজায় থাকে নাঃ এমন বরাদ্দ রয়েছে যা এসডি-দক্ষ তবে ডিএল-দক্ষ নয়। আজিজ, গ্যাস্পার্স, ম্যাকেঞ্জি এবং ওয়ালশ অর্ডিনাল ফেয়ারনেস ধারণাগুলির সাথে সম্পর্কিত গণনামূলক বিষয়গুলি অধ্যয়ন করেন। 7ম বিভাগে তারা সংক্ষেপে এসডি-পেরেটো-দক্ষতা অধ্যয়ন করে। ডোগান, দোগান এবং ইলডিজ বরাদ্দের মধ্যে একটি ভিন্ন আধিপত্যের সম্পর্ক অধ্যয়ন করেনঃ একটি বরাদ্দের এক্স একটি বরাদ্দের ওয়াই-কে প্রভাবিত করে যদি এটি আইটেম র্যাঙ্কিংয়ের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ বান্ডিল-র্যাঙ্কিংয়ের একটি বৃহত্তর সেটের জন্য পারেটো-দক্ষ হয়। আব্দুলকাদিরোআলু এবং সনমেজ এসডি-দক্ষতা এবং প্রাক্তন-পরবর্তী পারেটো-দক্ষতার মধ্যে সম্পর্ক (এলোমেলো নিয়োগের প্রসঙ্গে) তদন্ত করেন। তারা অ্যাসাইনমেন্টের সেটগুলির জন্য আধিপত্যের একটি নতুন ধারণা প্রবর্তন করে এবং দেখায় যে একটি লটারি এসডি-দক্ষ যদি লটারির সমর্থনের প্রতিটি উপসেট অনির্দিষ্ট হয়। রেফারেন্স পারেটো দক্ষতা এলোমেলো পরিবর্তনশীল ক্রম