Carathéodory function
গাণিতিক বিশ্লেষণে, একটি ক্যারাথিওডোরি ফাংশন (বা ক্যারাথিওডোরি ইন্টিগ্র্যান্ড) একটি বহু-পরিবর্তনশীল ফাংশন যা আমাদের নিম্নলিখিত সমস্যাটি কার্যকরভাবে সমাধান করতে দেয়ঃ দুটি লেবস্গু-পরিমাপযোগ্য ফাংশনের একটি গঠনও লেবস্গু-পরিমাপযোগ্য হতে হবে না। তবুও, একটি অবিচ্ছিন্ন ফাংশন সহ একটি পরিমাপযোগ্য ফাংশনের গঠন প্রকৃতপক্ষে লেবস্গু-পরিমাপযোগ্য, তবে অনেক পরিস্থিতিতে, ধারাবাহিকতা একটি খুব সীমাবদ্ধ অনুমান। ক্যারাথিওডোরি ফাংশনগুলি অবিচ্ছিন্ন ফাংশনের চেয়ে বেশি সাধারণ, তবে এখনও লেবসগ-পরিমাপযোগ্য ফাংশন সহ একটি রচনাকে পরিমাপযোগ্য হতে দেয়। বৈচিত্র্যের গণনায় ক্যারাথিওডরি ফাংশনগুলি গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে এবং গ্রীক গণিতবিদ কনস্ট্যান্টিন ক্যারাথিওডোরির নামে এর নামকরণ করা হয়েছে। লেবসগ পরিমাপের সাথে প্রদত্ত সংজ্ঞাটি একটি ক্যারাথিওডরি ফাংশন যদিঃ 1। ম্যাপিংটি প্রত্যেকের জন্য লেবস্গু-পরিমাপযোগ্য। 2. ম্যাপিং প্রায় প্রত্যেকটির জন্য অবিচ্ছিন্ন। ক্যারাথিওডরি ফাংশনের প্রধান গুণটি নিম্নরূপঃ যদি একটি ক্যারাথিওডরি ফাংশন হয় এবং লেবসগ-পরিমাপযোগ্য হয়, তবে রচনাটি লেবসগ-পরিমাপযোগ্য। উদাহরণ বৈচিত্র্যের ক্যালকুলাসের অনেক সমস্যা নিম্নলিখিত উপায়ে প্রণয়ন করা হয়ঃ কার্যকারিতার মিনিমাইজারটি খুঁজে বের করুন যেখানে সোবোলেভ স্পেস, দুর্বলভাবে ডিফারেনশিয়েবল সমস্ত ফাংশনের সমন্বয়ে গঠিত স্থান এবং যে ফাংশনটি নিজেই এবং তার সমস্ত প্রথম ক্রমের ডেরিভেটিভ রয়েছে; এবং যেখানে কারো কারো জন্য, একটি ক্যারাথিওডরি ফাংশন। সত্য যে একটি ক্যারাথিওডোরি ফাংশন আমাদের নিশ্চিত করে যে এটি সু-সংজ্ঞায়িত। পি-বৃদ্ধি যদি ক্যারাথিওডরি হয় এবং কারো কারো জন্য সন্তোষজনক হয় (এই অবস্থাকে "পি-বৃদ্ধি" বলা হয়), তাহলে শক্তিশালী টপোলজিতে কোথায় সীমাবদ্ধ এবং অবিচ্ছিন্ন (অর্থাৎ। নিয়মে) এর। তথ্যসূত্র বৈচিত্র্যের গণনা