Silver's dichotomy
বর্ণনামূলক সেট তত্ত্বে, গণিতের একটি শাখা, সিলভারের দ্বৈতবিদ্যা (সিলভারের উপপাদ্য নামেও পরিচিত) হল জ্যাক সিলভারের নামে নামকরণ করা সমতুল্য সম্পর্ক সম্পর্কে একটি বিবৃতি। বিবৃতি এবং ইতিহাস একটি সম্পর্ককে সহ-বিশ্লেষণাত্মক বলা হয় যদি এর পরিপূরক একটি বিশ্লেষণাত্মক সেট হয়। সিলভার 'স ডাইকোটমি হল একটি সহ-বিশ্লেষণমূলক সমতুল্য সম্পর্কের সমতুল্য শ্রেণী সম্পর্কে একটি বিবৃতি, যেখানে বলা হয়েছে যে কোনও সহ-বিশ্লেষণাত্মক সমতুল্য সম্পর্কের হয় গণনাযোগ্যভাবে অনেক সমতুল্য শ্রেণী রয়েছে, অথবা অন্যথায় বাস্তবতার একটি নিখুঁত সেট রয়েছে যা একে অপরের সাথে অতুলনীয়। পরের ক্ষেত্রে, অবশ্যই সম্পর্কের অগণিত অনেক সমতুল্য শ্রেণী থাকতে হবে। সিলভারের দ্বৈততার প্রথম প্রকাশিত প্রমাণ ছিল জ্যাক সিলভার দ্বারা, হার্ভে ফ্রিডম্যানের উত্থাপিত একটি প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্য 1980 সালে উপস্থিত হয়েছিল। রিকার্সিভ সেট তত্ত্বে সিলভার ডাইকোটমির একটি প্রয়োগ হল যেহেতু একটি সেটের মধ্যে সীমাবদ্ধ সমতা সহ-বিশ্লেষণাত্মক, তাই বোরেল-হ্রাসযোগ্যতা বোঝায় এমন কোনও বোরেল সমতুল্য সম্পর্ক নেই। সিলভারের দ্বৈতবিদ্যা দ্বারা অনুপ্রাণিত কিছু পরবর্তী ফলাফল অপরিবর্তনীয় বর্ণনামূলক সেট তত্ত্ব নামে পরিচিত একটি নতুন ক্ষেত্র প্রতিষ্ঠা করে, যা সংজ্ঞায়িত সমতুল্য সম্পর্ক অধ্যয়ন করে। সিলভারের দ্বৈতবিদ্যা বেশ কয়েকটি দুর্বল পুনরাবৃত্তিমূলক সংস্করণকেও স্বীকার করে, যা বিপরীত গণিত থেকে দ্বিতীয় ক্রমের গাণিতিক উপ-ব্যবস্থার সাথে শক্তিতে তুলনা করা হয়েছে, যেখানে সিলভারের দ্বৈতবিদ্যা নিজেই ওভারের সমতুল্য। রেফারেন্স সেট তত্ত্ব