Random polytope
গণিতে, একটি র্যান্ডম পলিটোপ হল একটি কাঠামো যা সাধারণত উত্তল বিশ্লেষণ এবং ডি-ডাইমেনশনাল ইউক্লিডিয়ান স্পেসে রৈখিক প্রোগ্রামগুলির বিশ্লেষণে ব্যবহৃত হয়। নির্মাণ এবং সংজ্ঞার উপর নির্ভর করে, এলোমেলো পলিটোপগুলি ভিন্ন হতে পারে। সংজ্ঞা র্যান্ডম পলিটোপ-এর একাধিক সমতুল্য নয় এমন সংজ্ঞা রয়েছে। নিম্নলিখিত সংজ্ঞাগুলির জন্য। K কে ইউক্লিডীয় স্থানে একটি আবদ্ধ উত্তল সেট হিসাবে ধরা যাকঃ K-এর অভ্যন্তরে অভিন্ন বণ্টনের সাপেক্ষে নির্বাচিত এলোমেলো বিন্দুর উত্তল কাঠামো। নিম্নলিখিত প্যারামিটারাইজেশন ব্যবহার করা হয়েছেঃ (দ্রষ্টব্যঃ এই পলিটোপগুলি খালি হতে পারে)। বৈশিষ্ট্যের সংজ্ঞা 1 ধরা যাক উত্তল বস্তুর সমষ্টি। অনুমান করুন এবং অভিন্নভাবে বিতরণ করা পয়েন্টগুলির একটি সেট বিবেচনা করুন। এই বিন্দুগুলির উত্তল কাঠামোকে র্যান্ডম পলিটোপ বলা হয়। যেখানে সেটটি সেটের উত্তল কাঠামোকে বোঝায়। আমরা এর প্রত্যাশিত আয়তন হিসাবে সংজ্ঞায়িত করি। যথেষ্ট বড় এবং প্রদত্ত। ভলিউম ভলিউম নোটঃ আর্দ্র অংশের আয়তন নির্ধারণ করার পরিবর্তে, এর মাত্রার ক্রম পেতে পারে। একক বলের জন্য, ভেজা অংশটি হল অ্যানুলাস যেখানে এইচ ক্রমানুসারেঃ ভলিউম প্রদত্ত আমাদের কাছে রয়েছে একটি ছোট ক্যাপের আয়তন যা অ্যাফ দ্বারা কাটা হয়, এবং এটি একটি দিক যদি এবং শুধুমাত্র যদি সমস্ত অ্যাফের একপাশে থাকে। । দ্রষ্টব্যঃ যদি (একটি ফাংশন যা ডি-1 মাত্রিক মুখের পরিমাণ প্রদান করে), তবে এবং সূত্রটি মসৃণ উত্তল সেট এবং সমতলে বহুভুজের জন্য মূল্যায়ন করা যেতে পারে। বৈশিষ্ট্যের সংজ্ঞা 2 ধরে নিন যে আমাদের একটি মাল্টিভ্যারিয়েট সম্ভাব্যতা বন্টন দেওয়া হয়েছে যা লেবস্গু পরিমাপের ক্ষেত্রে একেবারে অবিচ্ছিন্ন। প্রতিটির সম্ভাব্যতা সহ s-এর জন্য 0 বা 1 উৎপন্ন করে। খালি পলিটোপগুলির সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ উপাদানগুলির সেটকে 0 এর একটি পরিমাপ বরাদ্দ করুন। এই বন্টন এবং আমাদের অনুমানের পরিপ্রেক্ষিতে, নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্যগুলি ধারণ করেঃ একটি পলিটোপে সীমাবদ্ধতার সাথে প্রত্যাশিত সংখ্যার মাত্রিক মুখের জন্য একটি সূত্র উদ্ভূত হয়ঃ (দ্রষ্টব্যঃ কোথায়)। সীমাবদ্ধতার সাথে শীর্ষগুলির সংখ্যার জন্য উপরের সীমা, বা সবচেয়ে খারাপ ক্ষেত্রে, অনেক বড়ঃ একটি নতুন সীমাবদ্ধতা অপ্রয়োজনীয় হওয়ার সম্ভাবনা হলঃ (দ্রষ্টব্যঃ, এবং আমরা আরও সীমাবদ্ধতা যোগ করার সাথে সাথে, একটি নতুন সীমাবদ্ধতা অপ্রয়োজনীয় হওয়ার সম্ভাবনা 100%)। অপ্রয়োজনীয় সীমাবদ্ধতার প্রত্যাশিত সংখ্যা হলঃ (দ্রষ্টব্যঃ)। উদাহরণ ন্যূনতম ক্যাপ ব্যবহার করে ম্যাকবিথ অঞ্চল আনুমানিক (উত্তল বস্তুর আনুমানিক সংজ্ঞা 1-এর বৈশিষ্ট্যগুলি দেখুন) অর্থনৈতিক ক্যাপ আচ্ছাদন উপপাদ্য (সংজ্ঞা 1-এর বৈশিষ্ট্যগুলি থেকে ভাসমান বস্তুর সাথে সম্পর্ক দেখুন) রেফারেন্স মেট্রিক জ্যামিতি কনভেক্স বিশ্লেষণ গণনামূলক জ্যামিতি