Convergence proof techniques
কনভার্জেন্স প্রুফ কৌশলগুলি গাণিতিক প্রমাণের ক্যানোনিকাল উপাদান যা সিকোয়েন্স বা ফাংশনগুলি একটি সীমাবদ্ধ সীমাতে একত্রিত হয় যখন যুক্তিটি অনন্তের দিকে যায়। বিভিন্ন ধরনের সিরিজ এবং কনভারজেন্সের পদ্ধতি রয়েছে যার জন্য বিভিন্ন কৌশল প্রয়োজন। নীচে আরও কিছু সাধারণ উদাহরণ দেওয়া হল। এই নিবন্ধটি অনুশীলনকারীদের উপযুক্ত কৌশলগুলি অন্বেষণ করতে সহায়তা করার লক্ষ্যে একটি ভূমিকা হিসাবে তৈরি করা হয়েছে। নীচের লিঙ্কগুলি আরও বিমূর্ত সেটিংসে প্রয়োজনীয় শর্ত এবং সাধারণীকরণের বিশদ বিবরণ দেয়। কনভারজেন্স পরীক্ষার নিবন্ধে সিরিজের কনভারজেন্স ইতিমধ্যেই অন্তর্ভুক্ত করা হয়েছে। আরএন-এ অভিসরণ একটি ক্রম বা ফাংশনের অভিসরণ প্রমাণ করা সাধারণ, যেখানে প্রাকৃতিক সংখ্যা এবং বাস্তব সংখ্যাকে বোঝানো হয় এবং অভিসরণ ইউক্লিডীয় আদর্শের সাপেক্ষে হয়। এর জন্য দরকারী পদ্ধতিগুলি নিম্নরূপ। প্রথম নীতিগুলি একটি সীমার সম্মিলনের বিশ্লেষণাত্মক সংজ্ঞাটি হল যে সকলের জন্য এমন একটি বিদ্যমান,। সবচেয়ে মৌলিক প্রমাণ কৌশল হল এই ধরনের প্রমাণ খুঁজে বের করা এবং প্রয়োজনীয় বৈষম্য প্রমাণ করা। যদি এর মান আগে থেকে জানা না থাকে, তবে নীচের কৌশলগুলি কার্যকর হতে পারে। সংকোচন ম্যাপিং অনেক ক্ষেত্রে, যে ফাংশনের অভিসরণ আগ্রহের হয় তার কিছু রূপান্তরের রূপ থাকে। উদাহরণস্বরূপ, কিছু সঙ্গতিপূর্ণ ম্যাট্রিক্সের জন্য মানচিত্র তৈরি করা যেতে পারে। বিকল্পভাবে, একটি উপাদান-ভিত্তিক অপারেশন হতে পারে, যেমন এর প্রতিটি উপাদানকে তার মাত্রার বর্গমূল দ্বারা প্রতিস্থাপন করা। এই জাতীয় ক্ষেত্রে, যদি সমস্যাটি বানাচ স্থির-বিন্দু উপপাদ্যের শর্তগুলি সন্তুষ্ট করে (ডোমেনটি একটি অ-খালি সম্পূর্ণ মেট্রিক স্থান) তবে এটি প্রমাণ করার জন্য যথেষ্ট যে কিছু ধ্রুবক যা সকলের জন্য স্থির এবং। এই ধরনের একটি সংকোচন ম্যাপিং বলা হয়। উদাহরণ এই পদ্ধতির ব্যবহারের বিখ্যাত উদাহরণের মধ্যে রয়েছে যদি কিছু ম্যাট্রিক্সের জন্য ফর্ম থাকে এবং তারপরে সমস্ত আইগেনভ্যালুগুলির মাত্রা 1 এর চেয়ে কম হলে অভিসরণ ঘটে। বলজানো-ওয়েইয়ারস্ট্রাস উপপাদ্য অনুসারে, প্রতিটি সীমাবদ্ধ ক্রমের একটি অভিসারী ধারাবাহিকতা রয়েছে। যদি এই সমস্তগুলির একই সীমা থাকে, তবে মূল ক্রমটি সেই সীমাতে একত্রিত হয়। যদি এটি দেখানো যায় যে সমস্ত পরবর্তী পর্বের একই সীমা রয়েছে, যেমন রূপান্তরের একটি অনন্য নির্দিষ্ট বিন্দু রয়েছে তা দেখিয়ে, তবে প্রাথমিক ক্রমটিও সেই সীমাতে একত্রিত হতে হবে। মনোটোনিসিটি (লিয়াপুনভ ফাংশন) প্রতিটি সীমাবদ্ধ মনোটোনিক ক্রম একটি সীমাতে একত্রিত হয়। এই পদ্ধতিটি এমন ক্রমগুলিতেও প্রয়োগ করা যেতে পারে যা একঘেয়ে নয়। পরিবর্তে, এমন একটি ফাংশনকে সংজ্ঞায়িত করা সম্ভব যা একঘেয়ে। যদি একটি লিয়াপুনভ ফাংশন হওয়ার শর্তগুলি সন্তুষ্ট করে তবে এটি অভিসারী। লিয়াপুনভের উপপাদ্যটি সাধারণত সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের জন্য বলা হয়, তবে বিচ্ছিন্ন পার্থক্যের সাথে ডেরিভেটিভ প্রতিস্থাপন করে পুনরাবৃত্তির ক্রমগুলিতেও প্রয়োগ করা যেতে পারে। মৌলিক প্রয়োজনীয়তাগুলি হল সকলের জন্য এবং (বা জন্য) এবং "রেডিয়ালভাবে সীমাহীন" হওয়া, যাতে যে কোনও ক্রমের জন্য যা অসীমের দিকে যায়। অনেক ক্ষেত্রে, রূপটির একটি লিয়াপুনভ ফাংশন পাওয়া যায়, যদিও আরও জটিল রূপগুলিও ব্যবহার করা হয়। বিলম্ব ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের ক্ষেত্রে, লিয়াপুনভ ফাংশনের ক্ষেত্রে একটি অনুরূপ পদ্ধতি প্রযোজ্য যা লিয়াপুনভ ফাংশনাল দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয় যাকে লিয়াপুনভ-ক্রাসোভস্কি ফাংশনালও বলা হয়। যদি 1 নম্বর অবস্থার অসমতা দুর্বল হয়, তাহলে লাসালের অপরিবর্তনীয় নীতি ব্যবহার করা যেতে পারে। ফাংশনের ক্রমের সংমিশ্রণ ফাংশনের ক্রমের সংমিশ্রণ বিবেচনা করার জন্য, ইউক্লিডীয় আদর্শ প্রতিস্থাপনের জন্য ফাংশনের মধ্যে একটি দূরত্ব নির্ধারণ করা প্রয়োজন। এগুলির মধ্যে প্রায়শই আদর্শের মধ্যে অভিসরণ (শক্তিশালী অভিসরণ) অন্তর্ভুক্ত থাকে-একটি ফাংশন আদর্শ, যেমন সংজ্ঞায়িত করা হয়, এবং যদি অভিসরণ ঘটে। এই ক্ষেত্রে, উপরের সমস্ত কৌশল এই ফাংশন আদর্শের সাথে প্রয়োগ করা যেতে পারে। পয়েন্টওয়াইজ কনভারজেন্স-- কনভারজেন্স ঘটে যদি প্রতিটির জন্য,। এই ক্ষেত্রে, উপরের কৌশলগুলি প্রতিটি পয়েন্টের জন্য উপযুক্ত আদর্শের সাথে প্রয়োগ করা যেতে পারে। অভিন্ন অভিসরণ-পয়েন্টওয়াইজ অভিসারে, কিছু (উন্মুক্ত) অঞ্চল নির্বিচারে ধীরে ধীরে একত্রিত হতে পারে। অভিন্ন একত্রীকরণের ক্ষেত্রে, একটি নির্দিষ্ট একত্রীকরণ হার থাকে যাতে সমস্ত বিন্দু অন্তত তত দ্রুত একত্রিত হয়। আনুষ্ঠানিকভাবে, প্রত্যেকের ডোমেইন কোথায়। আরও দেখুন ফুরিয়ার সিরিজের কনভারজেন্স র্যান্ডম ভেরিয়েবলের কনভারজেন্স র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সহজ উপাদানগুলির তুলনায় আরও জটিল। (আনুষ্ঠানিকভাবে, একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল হল একটি ইভেন্ট স্পেস থেকে একটি মান স্পেসে ম্যাপিং। মান স্থান হতে পারে, যেমন একটি পাশার রোল, এবং এই ধরনের একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলকে প্রায়শই অনানুষ্ঠানিকভাবে বলা হয় যে এটি ভিতরে রয়েছে, তবে র্যান্ডম ভেরিয়েবলের ক্রমের কনভারজেন্স ফাংশনের ক্রমের কনভারজেন্স বা ডিস্ট্রিবিউশনের সাথে মিলে যায়, মানের ক্রমের পরিবর্তে।) ফাংশনের মধ্যে দূরত্ব কীভাবে পরিমাপ করা হয় তার উপর নির্ভর করে একাধিক ধরনের অভিসরণ রয়েছে। বণ্টনে অভিসরণ-র্যান্ডম ভেরিয়েবলের বন্টন ফাংশনের পয়েন্টওয়াইজ অভিসরণ সীমাবদ্ধতার সাথে সম্ভাবনায় অভিসরণ প্রায় নিশ্চিত অভিসরণ-সীমাতে ম্যাপিংয়ের পয়েন্টওয়াইজ অভিসরণ, সীমার মধ্যে পরিমাপ 0 সহ একটি সেট ব্যতীত। গড়ের মধ্যে সমন্বয় প্রত্যেকটির নিজস্ব প্রমাণ কৌশল রয়েছে, যা এই নিবন্ধের বর্তমান ক্ষেত্রের বাইরে। আরও দেখুন ডোমিনেটেড কনভারজেন্স কার্লসনের উপপাদ্যটি প্রায় সর্বত্র এল2 ফাংশনের ফুরিয়ার সিরিজের পয়েন্টওয়াইজ (লেবস্গু) কনভারজেন্স প্রতিষ্ঠা করে ডুবের মার্টিঙ্গেল কনভারজেন্স উপপাদ্যটি মনোটোন কনভারজেন্স উপপাদ্য টপোলজিকাল কনভারজেন্সের একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল অ্যানালগ উপরের সমস্ত কৌশলের জন্য, কিছু উপরের কনভারজেন্সের মৌলিক বিশ্লেষণাত্মক সংজ্ঞা প্রয়োগ করে। যাইহোক, টপোলজির অভিসারের নিজস্ব সংজ্ঞা রয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, একটি নন-হাউজডর্ফ স্পেসে, একটি ক্রম একাধিক ভিন্ন সীমাতে একত্রিত হওয়া সম্ভব। তথ্যসূত্র গাণিতিক বিশ্লেষণ