Plane-based Geometric Algebra
প্লেন-ভিত্তিক জ্যামিতিক বীজগণিত হল প্লেন, লাইন, পয়েন্ট এবং অনমনীয় রূপান্তরগুলির মডেলিংয়ে ক্লিফোর্ড বীজগণিতের একটি প্রয়োগ। সাধারণত এই উপাদানগুলি এবং তাদের ছেদ, অনুমান এবং থ্রিডি স্পেসে একে অপরের থেকে তাদের কোণের সাথে জড়িত ইঞ্জিনিয়ারিং সমস্যাগুলি সমাধান করার লক্ষ্য নিয়ে এটি করা হয়। মূলত স্পিন গোষ্ঠীগুলির উপর গবেষণা থেকে ক্রমবর্ধমান, এটি রোবোটিক্সের প্রয়োগগুলি মাথায় রেখে তৈরি করা হয়েছিল। এর পর থেকে এটি মেশিন লার্নিং, রিজিড বডি ডায়নামিক্স এবং কম্পিউটার সায়েন্সে, বিশেষ করে কম্পিউটার গ্রাফিক্সের ক্ষেত্রে প্রয়োগ করা হয়েছে। এটি সাধারণত "প্রজেক্টিভ জ্যামিতিক বীজগণিত" নামে পরিচিত একটি সিস্টেমে দ্বৈত ক্রিয়াকলাপের সাথে মিলিত হয়, নীচে দেখুন। প্লেন-ভিত্তিক জ্যামিতিক বীজগণিত সমতলীয় প্রতিফলনকে মৌলিক উপাদান হিসাবে গ্রহণ করে এবং তাদের থেকে অন্যান্য সমস্ত রূপান্তর এবং জ্যামিতিক বস্তু তৈরি করে। প্রযুক্তিগত ভাষায়ঃ এটি ক্লিফোর্ড বীজগণিতের গ্রেড-1 উপাদানগুলির সাথে সমতলীয় প্রতিফলনকে চিহ্নিত করে, অর্থাৎ, যে উপাদানগুলি একটি একক সাবস্ক্রিপ্ট দিয়ে লেখা হয় যেমন "। নীচে বর্ণিত কিছু বিরল ব্যতিক্রম ছাড়া, বীজগণিত প্রায় সর্বদা থাকে, যার অর্থ এটির তিনটি ভিত্তি গ্রেড-1 উপাদান রয়েছে যার বর্গ এবং একটি একক ভিত্তি উপাদান রয়েছে যার বর্গ। বিমান-ভিত্তিক জি. এ প্রকৌশলের ক্ষেত্রে প্রয়োগ করা বিপুল সংখ্যক বীজগাণিতিক গঠনকে অন্তর্ভুক্ত করে, যার মধ্যে ঘূর্ণনের অক্ষ-কোণ উপস্থাপনা, ঘূর্ণন এবং অনুবাদের চতুর্ভুজ এবং দ্বৈত চতুর্ভুজ উপস্থাপনা, রেখার প্লাকার উপস্থাপনা, সমতলের বিন্দু স্বাভাবিক উপস্থাপনা এবং বিন্দুর সমজাতীয় উপস্থাপনা রয়েছে। দ্বৈত কোয়াটারনিয়নগুলি তখন শাস্ত্রীয় বলবিজ্ঞানের স্ক্রু, টুইস্ট এবং রেঞ্চ মডেল তৈরি করার অনুমতি দেয়। জ্যামিতির সমতল-ভিত্তিক পদ্ধতিটি ক্রস প্রোডাক্ট ব্যবহার করে এমন পদ্ধতির সাথে বিপরীত হতে পারে, যেখানে পয়েন্ট, অনুবাদ, ঘূর্ণন অক্ষ এবং সমতল নর্মালগুলি সবই "ভেক্টর" হিসাবে মডেল করা হয়। যাইহোক, উন্নত প্রকৌশল সমস্যায় ভেক্টরের ব্যবহারের জন্য প্রায়শই গিবস ভেক্টর, সিউডোভেক্টর এবং বিপরীতমুখী ভেক্টর সহ বিভিন্ন ধরনের ভেক্টরের মধ্যে সূক্ষ্ম পার্থক্যের প্রয়োজন হয়। এই দুটির পরেরটি, সমতল-ভিত্তিক জি. এ-তে, "ঘূর্ণন অক্ষ" এবং "বিন্দু" ধারণার মানচিত্র তৈরি করে, যার মধ্যে পার্থক্যটি স্বরলিপি দ্বারা স্পষ্ট করা হয়ঃ ঘূর্ণন অক্ষ যেমন (দুটি নিম্ন সূচক) সর্বদা ভিন্নভাবে চিহ্নিত করা হয় (তিনটি নিম্ন সূচক)। নীচে বিবেচিত সমস্ত বস্তু এখনও প্রযুক্তিগত অর্থে "ভেক্টর" যে তারা ভেক্টর স্পেসের উপাদান; তবে তারা (সাধারণত) ভেক্টর নয় এই অর্থে যে কেউ তাদের ক্রস পণ্যটি অর্থপূর্ণভাবে নিতে পারে-তাই তাদের তীর হিসাবে কল্পনা করা তথ্যমূলক নয়। 'ভেক্টর' শব্দ থেকে আসা বিভিন্ন বীজগাণিতিক এবং চাক্ষুষ অর্থ নিয়ে দ্বন্দ্ব এড়াতে, এই নিবন্ধটি শব্দের ব্যবহার এড়াবে। নির্মাণ প্লেন-ভিত্তিক জ্যামিতিক বীজগণিত প্লেন দিয়ে শুরু হয় এবং তারপর প্লেনগুলির ছেদ নিয়ে লাইন এবং পয়েন্ট তৈরি করে। এর ক্যানোনিকাল ভিত্তি সমতল নিয়ে গঠিত, যা লেবেলযুক্ত, যা লেবেলযুক্ত, এবং সমতল,। অন্যান্য তলগুলি ভিত্তি তলগুলির ওজনযুক্ত যোগফল হিসাবে পাওয়া যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, y-এবং z-সমতলের মাঝামাঝি সমতল হবে। সাধারণভাবে, সমতল-ভিত্তিক জি. এ-তে দুটি জ্যামিতিক বস্তুর সংমিশ্রণ সর্বদা তাদের একটি ওজনযুক্ত গড় হিসাবে থাকবে-পয়েন্টগুলির সংমিশ্রণ তাদের মধ্যে একটি বিন্দু দেবে, যেমন রেখা এবং প্রকৃতপক্ষে ঘূর্ণনের সংমিশ্রণ হবে। যে কোনও জোড়া উপাদানের জন্য এবং, তাদের জ্যামিতিক গুণফল হল রূপান্তরের পরে রূপান্তর। এর ফলাফল সাধারণভাবে এবং-এর মতো একই ধরনের বস্তু হবে না, তবে এটি সমতল-ভিত্তিক জি. এ-র মধ্যেও একটি বস্তু হবে। উদাহরণস্বরূপঃ এই সমীকরণটিকে জ্যামিতিকভাবে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে যে, আমরা যদি (যা সমতলে একটি সমতলীয় প্রতিফলন) এবং (যা x-অক্ষের চারপাশে 180 ডিগ্রি ঘূর্ণন) গ্রহণ করি এবং তাদের জ্যামিতিক গুণফল গ্রহণ করি, তাহলে আমরা পাই, যা উৎপত্তির একটি বিন্দু প্রতিফলন। ট্রান্সফর্ম কম্পোজিশন-জ্যামিতিক পণ্য-ট্রান্সফর্ম অ্যাপ্লিকেশনের সাথে বিভ্রান্ত হওয়া উচিত নয়, যা স্যান্ডউইচ পণ্যের সাথে প্রয়োগ করা হয়, নীচে দেখুন। এই জ্যামিতিক ব্যাখ্যাটি সাধারণত নিম্নলিখিত দাবির সাথে মিলিত হয়ঃ প্রথম তিনটি সংজ্ঞায়িত সমীকরণের জ্যামিতিক ব্যাখ্যাটি হল যে আমরা যদি একই সমতলীয় প্রতিফলন দুবার সম্পাদন করি তবে আমরা যেখানে শুরু করেছিলাম সেখানে ফিরে যাব; যেমন। একটি গ্রেড-1 উপাদান (সমতল) নিজের দ্বারা গুণ করলে আইডেন্টিটি ফাংশন হয়, "। যে বিবৃতিটি আরও সূক্ষ্ম। অসীমের উপাদান বীজগাণিতিক উপাদান অসীমের সমতলে প্রতিনিধিত্ব করে। এটি অন্য যে কোনও সমতল থেকে আলাদাভাবে আচরণ করে-স্বজ্ঞাতভাবে, এটি "কাছে পৌঁছানো যেতে পারে কিন্তু কখনই পৌঁছানো যায় না"। 3 মাত্রায়, আকাশ হিসাবে কল্পনা করা যেতে পারে। এর মধ্যে থাকা বিন্দুগুলিকে "অদৃশ্য বিন্দু" বা বিকল্পভাবে "আদর্শ বিন্দু" বা "অনন্ত বিন্দু" বলা হয়। এই বিন্দুগুলিতে সমান্তরাল রেখাগুলি একে অপরের সাথে মিলিত হয়। অনন্তের রেখাগুলিও বিদ্যমান; দিগন্ত রেখাটি এই ধরনের একটি রেখার একটি উদাহরণ। একটি সমতলে দাঁড়িয়ে থাকা একজন পর্যবেক্ষকের জন্য, তারা যে সমতলে দাঁড়িয়ে আছে তার সমান্তরাল সমস্ত সমতল দিগন্ত রেখায় একে অপরের সাথে মিলিত হয়। বীজগাণিতিকভাবে, যদি আমরা মাটি হিসাবে গ্রহণ করি, তবে মাটির সমান্তরাল একটি সমতল হবে। এই দুটি সমান্তরাল সমতল অসীম রেখায় একে অপরের সাথে মিলিত হয়। উদাহরণস্বরূপ, বেশিরভাগ রেখা আবর্তনের জন্য অক্ষ হিসাবে কাজ করতে পারে; প্রকৃতপক্ষে এগুলিকে কাল্পনিক চতুর্ভুজ হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে। কিন্তু সমতল-এ-অনন্তের মধ্যে অবস্থিত রেখাগুলি, যেমন রেখাটি, একটি "ঘূর্ণন"-এর জন্য অক্ষ হিসাবে কাজ করতে পারে না। পরিবর্তে, এগুলি অনুবাদের জন্য অক্ষ, এবং জটিল সংখ্যা বা চতুর্ভুজের অনুরূপ বীজগণিত থাকার পরিবর্তে, তাদের বীজগাণিতিক আচরণ দ্বৈত সংখ্যার মতোই, কারণ তারা 0-এর বর্গক্ষেত্র। তিনটি বেসিস লাইন-থ্রু-দ্য-অরিজিনের সংমিশ্রণে, যা অসীমের তিনটি বেসিস লাইনের সাথে বর্গাকার, দ্বৈত কোয়াটারনিয়নের জন্য প্রয়োজনীয় উপাদান দেয়। জ্যামিতিক পণ্য থেকে অন্যান্য ক্রিয়াকলাপের উৎপত্তি জ্যামিতিক পণ্য থেকে বেশ কয়েকটি দরকারী পণ্য বের করা যেতে পারে, যেমন কোয়াটারনিয়ন পণ্য থেকে বিন্দু পণ্য এবং ক্রস পণ্য বের করা হয়েছিল। এর মধ্যে রয়েছেঃ দিক থেকে রূপান্তরটি হল, এবং আবার বিন্দু, রেখা বা সমতল; এখানে, বিপরীত (মূলত বিপরীত)। রূপান্তরটি এবং-এর মধ্যে কোণ বা দূরত্বের দ্বিগুণ হবে; যদি সঠিক দূরত্ব বা কোণ দ্বারা রূপান্তর প্রয়োজন হয়, তবে এটি দ্বৈত চতুর্ভুজ সূচকীয় এবং লগারিদম দিয়ে প্রাপ্ত করা যেতে পারে। মিট (বা "ওয়েজ প্রোডাক্ট"), যা বস্তুর ছেদ নেওয়ার জন্য দরকারী; উদাহরণস্বরূপ, রেখার সাথে সমতলের ছেদ হল বিন্দু। অভ্যন্তরীণ পণ্য, যা অন্যান্য বস্তুর উপর বস্তুর অভিক্ষেপ নেওয়ার জন্য দরকারী; এর অভিক্ষেপ হল-এই সূত্রটি ধরে রাখে যে বস্তুগুলি বিন্দু, রেখা বা সমতল কিনা। এটি ডট প্রোডাক্টের একটি সাধারণীকরণ। এর আদর্শ হল এবং চিহ্নিত করা হয়। এটি বেশিরভাগ বস্তুর মধ্যে কোণ নিতে ব্যবহার করা যেতে পারেঃ এবং এর মধ্যে কোণ, তারা রেখা বা সমতল যাই হোক না কেন। এটি ধরে নেয় যে এবং উভয়েরই আদর্শ রয়েছে, যেমন। বিন্দু, রেখা, সমতল এবং প্রকৃতপক্ষে অন্যান্য অনমনীয় রূপান্তর সহ যে কোনও বস্তুর যে কোনও অনমনীয় রূপান্তর (দ্বৈত চতুর্ভুজ) বা প্রতিফলনের প্রয়োগ, যেখানে রূপান্তরিত হতে হবে; এটি হল "স্যান্ডউইচ পণ্য"। লাইনের জন্য সংজ্ঞায়িত কমিউটেটর পণ্যটি অনন্য লাইন দেবে যা উভয়ের জন্য অর্থোগোনাল। উদাহরণস্বরূপ, মনে রাখবেন যে এটি একটি সমতল। তাদের জ্যামিতিক গুণফল হল তাদের "প্রতিফলন গঠন"-একটি প্রতিফলন যার পরে একটি প্রতিফলন হয়, যার ফলে দ্বৈত চতুর্ভুজ হয়। কিন্তু এটি কাঙ্ক্ষিতের চেয়ে বেশি হতে পারে; যদি আমরা দুটি সমতলের শুধুমাত্র ছেদ রেখাটি নিতে চাই, তাহলে আমাদের কেবল এই ফলাফলের "গ্রেড-2 অংশ"-এর দিকে নজর দিতে হবে, যেমন। দুটি নিম্ন সূচক সহ অংশ। ছেদ রেখাটি দুটি সমতলের রূপান্তর গঠনের ভিতরে রয়েছে তা নির্দিষ্ট করার জন্য প্রয়োজনীয় তথ্য, কারণ এক জোড়া সমতলে প্রতিফলনের ফলে তাদের ছেদ রেখার চারপাশে ঘূর্ণন ঘটবে। প্রতিফলনের বীজগণিত হিসাবে ব্যাখ্যা 3ডি-তে সমস্ত দূরত্ব-সংরক্ষণকারী রূপান্তরের (মূলত, অনমনীয় রূপান্তর এবং প্রতিফলন) বীজগণিতকে ইউক্লিডীয় গোষ্ঠী বলা হয়। কার্টান-ডিউডোন উপপাদ্য অনুসারে, এর যে কোনও উপাদানকে সমতলে প্রতিফলনের একটি সিরিজ হিসাবে লেখা যেতে পারে। সমতল-ভিত্তিক জি. এ-তে, মূলত সমস্ত জ্যামিতিক বস্তুকে একটি রূপান্তর হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে। প্লেন যেমন সমতলীয় প্রতিফলন, বিন্দু যেমন বিন্দু প্রতিফলন, এবং রেখা যেমন রেখা প্রতিফলন-যা 3D-তে 180-ডিগ্রি ঘূর্ণনের মতো একই জিনিস। পরিচয় রূপান্তর হল অনন্য বস্তু যা শূন্য প্রতিফলন থেকে নির্মিত হয়। এই সবগুলোই তার উপাদান। কিছু উপাদান, উদাহরণস্বরূপ, যে কোনও কোণ দ্বারা ঘূর্ণন যা 180 ডিগ্রি নয়, তাদের একটি নির্দিষ্ট জ্যামিতিক বস্তু নেই যা তাদের কল্পনা করতে ব্যবহৃত হয়; তবুও, তাদের সর্বদা প্রতিফলন দ্বারা গঠিত বলে মনে করা যেতে পারে এবং সর্বদা সমতল-ভিত্তিক জ্যামিতিক বীজগণিতে বস্তুর কিছু উপাদানের রৈখিক সংমিশ্রণ হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, অক্ষের চারপাশে একটি সামান্য ঘূর্ণন, এবং এটি এবং এর একটি জ্যামিতিক গুণফল (একটি রূপান্তর রচনা) হিসাবে লেখা যেতে পারে, যা উভয়ই রেখায় ছেদকারী সমতলীয় প্রতিফলন। প্রকৃতপক্ষে, যে কোনও ঘূর্ণনকে দুটি সমতলীয় প্রতিফলনের সংমিশ্রণ হিসাবে লেখা যেতে পারে যা তার অক্ষের মধ্য দিয়ে যায়; সুতরাং এটিকে 2-প্রতিফলন বলা যেতে পারে। ঘূর্ণন প্রতিফলন, গ্লাইড প্রতিফলন এবং বিন্দু প্রতিফলনগুলি সর্বদা 3টি সমতলীয় প্রতিফলনের রচনা হিসাবে লেখা যেতে পারে এবং তাই এগুলিকে 3-প্রতিফলন বলা হয়। 3ডি-র জন্য এর উপরের সীমা হল একটি স্ক্রু গতি, যা একটি 4-প্রতিফলন। এই কারণে, স্ক্রু গতি বিবেচনা করার সময়, 3D সমতল-ভিত্তিক GA-এর গ্রেড-4 উপাদান ব্যবহার করা প্রয়োজন, যা সর্বোচ্চ-গ্রেড উপাদান। জ্যামিতিক পণ্যের জ্যামিতিক ব্যাখ্যা প্রতিফলনকে "বাতিল করা" হিসাবে প্রতিফলন একটি সমতলে প্রতিফলনের পরে একই সমতলে প্রতিফলনের ফলে কোনও পরিবর্তন হয় না। এই জ্যামিতির বীজগাণিতিক ব্যাখ্যা হল যে গ্রেড-1 উপাদান যেমন বর্গ থেকে। এই সহজ সত্যটি জ্যামিতিক পণ্যের সাধারণ আচরণের জন্য একটি জ্যামিতিক ব্যাখ্যা দিতে ব্যবহার করা যেতে পারে এমন একটি যন্ত্র হিসাবে যা "আয়না বাতিল" করে জ্যামিতিক সমস্যা সমাধান করে। এর কার্যকারিতার একটি উদাহরণ দেওয়ার জন্য, ধরুন আমরা একটি নির্দিষ্ট বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া 3ডি-তে একটি নির্দিষ্ট রেখার সমতল অর্থোগোনাল খুঁজে পেতে চাই। এটি একটি 2-প্রতিফলন এবং এটি একটি 3-প্রতিফলন, তাই কোনও অর্থে তাদের জ্যামিতিক গুণফল গ্রহণ করলে একটি 5-প্রতিফলন তৈরি হয়; যাইহোক, নীচের ছবির মতো, এই প্রতিফলনগুলির মধ্যে দুটি বাতিল হয়ে যায়, 3-প্রতিফলন রেখে যায় (কখনও কখনও ঘূর্ণন প্রতিফলন হিসাবে পরিচিত)। সমতল-ভিত্তিক জ্যামিতিক বীজগণিত স্বরলিপিতে, এই ঘূর্ণন প্রতিফলনকে একটি বিন্দু প্রতিফলনে "যুক্ত" সমতলীয় প্রতিফলন হিসাবে ভাবা যেতে পারে। এই ঘূর্ণন প্রতিফলনের সমতল অংশটি হল সমতল যা রেখা এবং মূল বিন্দুর সাথে অর্থোগোনাল। একটি সমতলের সাথে অর্থোগোনাল রেখাটি খুঁজে বের করার জন্য এবং একটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়ার জন্য, বা একটি রেখা ও সমতলের ছেদ বা অন্য সমতলের সাথে একটি সমতলের ছেদ রেখা খুঁজে বের করার জন্য অনুরূপ পদ্ধতি ব্যবহার করা যেতে পারে। ঘূর্ণন এবং অনুবাদগুলি এমনকি উপ-বীজগণিত ঘূর্ণন এবং অনুবাদগুলি এমন রূপান্তর যা দূরত্ব এবং হস্ততা (কাইরালিটি) সংরক্ষণ করে, যেমন। যখন এগুলি বস্তুর সেটগুলিতে প্রয়োগ করা হয়, তখন সেই বস্তুর মধ্যে আপেক্ষিক দূরত্ব পরিবর্তিত হয় না; না তাদের হাতের, অর্থাৎ ডান হাতের গ্লাভস বাম হাতের গ্লাভসে পরিণত হয় না। 3ডি ইউক্লিডীয় সমতল-ভিত্তিক জ্যামিতিক বীজগণিতে সমস্ত রূপান্তর দূরত্ব বজায় রাখে, তবে প্রতিফলন, ঘূর্ণন প্রতিফলন এবং রূপান্তর হস্ততা বজায় রাখে না। ঘূর্ণন এবং অনুবাদগুলি হস্ততা বজায় রাখে, যা থ্রিডি প্লেন-ভিত্তিক জি. এ-তে বোঝায় যে এগুলি জোড় সংখ্যক প্রতিফলনের সংমিশ্রণ হিসাবে লেখা যেতে পারে। একটি ঘূর্ণনকে একটি সমতলে প্রতিফলন হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে যার পরে অন্য সমতলে প্রতিফলন হয় যা প্রথমটির সমান্তরাল নয় (কোয়াটারনিয়নগুলি, যা উপরের পিজিএ প্রসঙ্গে সেট করা হয়েছে)। যদি সমতলগুলি সমান্তরাল হয়, তবে তাদের প্রতিফলনগুলি রচনা করা একটি অনুবাদ দেবে। ঘূর্ণন এবং অনুবাদ উভয়ই স্ক্রু গতির বিশেষ ক্ষেত্রে, যেমন। স্থানের একটি রেখার চারপাশে একটি ঘূর্ণন এবং তারপরে একই রেখা বরাবর একটি অনুবাদ। এই গোষ্ঠীটিকে সাধারণত এসই (3) বলা হয়, যা 3 মাত্রায় বিশেষ (হস্ত-সংরক্ষণ) ইউক্লিডীয় (দূরত্ব-সংরক্ষণ) রূপান্তরের গোষ্ঠী। এই গোষ্ঠীর দুটি সাধারণভাবে ব্যবহৃত উপস্থাপনা রয়েছে যা তাদের বীজগণিত এবং গণনায় ব্যবহার করার অনুমতি দেয়, একটি হল বাস্তব সংখ্যার 4 × 4 ম্যাট্রিক্স এবং অন্যটি হল দ্বৈত চতুর্ভুজ। দ্বৈত কোয়াটারনিয়ন উপস্থাপনা (সাধারণ কোয়াটারনিয়নগুলির মতো) আসলে এসই (3) এর একটি দ্বৈত আবরণ। যেহেতু দ্বৈত কোয়াটারনিয়নগুলি বীজগাণিতিকভাবে বন্ধ এবং জোড় সংখ্যক ভিত্তি উপাদান থেকে তৈরি, তাই এগুলিকে 3ডি ইউক্লিডীয় সমতল-ভিত্তিক জ্যামিতিক বীজগণিতর জোড় উপ-বীজগণিত বলা হয়। 'স্পিনোর' শব্দটি কখনও কখনও এই উপ-বীজগণিতকে বর্ণনা করতে ব্যবহৃত হয়। বিমান ব্যবহার করে কঠোর রূপান্তর বর্ণনা করা ক্যামিল জর্ডানের কাজের একটি প্রধান লক্ষ্য ছিল। এবং মিশেল চ্যাসেলস যেহেতু এটি চিকিৎসাকে মাত্রা-স্বাধীন হতে দেয়। সাধারণীকরণ বিপরীতমুখী জ্যামিতি বিপরীতমুখী জ্যামিতি হল বৃত্ত এবং গোলকের বিপরীতমুখী দ্বারা সৃষ্ট জ্যামিতিক বস্তু এবং আচরণের অধ্যয়ন। সমতলে প্রতিফলন গোলকের বিপরীতমুখী একটি বিশেষ ঘটনা, কারণ একটি সমতল অসীম ব্যাসার্ধের একটি গোলক। যেহেতু সমতল-ভিত্তিক জ্যামিতিক বীজগণিত প্রতিফলনের গঠন দ্বারা উৎপন্ন হয়, তাই এটি বিপরীতমুখী জ্যামিতির একটি বিশেষ ক্ষেত্রে। বিপরীতমুখী জ্যামিতি নিজেই কনফর্মাল জ্যামিতিক বীজগণিত (সিজিএ) নামে পরিচিত বৃহত্তর সিস্টেমের সাথে সঞ্চালিত হতে পারে, যার মধ্যে প্লেন-ভিত্তিক জিএ একটি উপ-বীজগণিত। সিজিএ সাধারণত থ্রিডি স্পেসেও প্রয়োগ করা হয় এবং সাধারণ গোলক, বৃত্ত এবং কনফরমাল (কোণ-সংরক্ষণ) রূপান্তরগুলির মডেল তৈরি করতে সক্ষম, যার মধ্যে পয়েনকেয়ার ডিস্কে দেখা রূপান্তরগুলি অন্তর্ভুক্ত রয়েছে। পিজিএ এবং সিজিএ-র মধ্যে সংযোগ দেখা কঠিন হতে পারে, যেহেতু সিজিএ প্রায়শই "পয়েন্ট ভিত্তিক", যদিও কিছু লেখক সিজিএ-তে একটি সমতল-ভিত্তিক পদ্ধতি গ্রহণ করেন যা প্লেন-ভিত্তিক জিএ এবং সিজিএ-র জন্য স্বরলিপিগুলিকে অভিন্ন করে তোলে। প্রজেক্টিভ জ্যামিতিক বীজগণিত প্লেন-ভিত্তিক জ্যামিতিক বীজগণিত সমস্ত ইউক্লিডীয় রূপান্তরের প্রতিনিধিত্ব করতে সক্ষম, তবে বাস্তবে এটি প্রায় সর্বদা কোনও না কোনও ধরনের দ্বৈত ক্রিয়াকলাপের সাথে মিলিত হয়ে "প্রজেক্টিভ জ্যামিতিক বীজগণিত", পিজিএ নামে পরিচিত বৃহত্তর ব্যবস্থা তৈরি করে। অন্যান্য ক্লিফোর্ড এবং গ্রাসম্যান অ্যালজেব্রার মতো দ্বৈততা রিগ্রেসিভ প্রোডাক্টের একটি সংজ্ঞা দেয়। এটি প্রকৌশল প্রয়োগের জন্য অত্যন্ত কার্যকর-সমতল-ভিত্তিক জি. এ-তে, পশ্চাদগামী পণ্যটি একটি বিন্দু থেকে অন্য বিন্দুতে যোগ দিয়ে একটি রেখা পেতে পারে এবং একটি বিন্দু এবং একটি রেখায় যোগ দিয়ে সমতল পেতে পারে। এটির আরও সুবিধা রয়েছে যে যদি কোনও দুটি উপাদানের (বিন্দু, রেখা বা সমতল) আদর্শ সমান হয় (উপরে দেখুন), তবে তাদের পশ্চাদগামী পণ্যের আদর্শ তাদের মধ্যে দূরত্বের সমান। বেশ কয়েকটি বিন্দুর সংযোগ তাদের অ্যাফিন হুল নামেও পরিচিত। দ্বৈততা এবং পরিভাষার বৈচিত্র্য পিজিএ-তে প্রতিগামী পণ্যকে সংজ্ঞায়িত করতে ব্যবহৃত দ্বৈতের জন্য প্রদত্ত সুনির্দিষ্ট সংজ্ঞা সম্পর্কে লেখকদের মধ্যে বৈচিত্র্য রয়েছে। যে সংজ্ঞাই দেওয়া হোক না কেন, রিগ্রেসিভ প্রোডাক্ট ফাংশনগুলি সম্পূর্ণ অভিন্ন আউটপুট দেয়; এই কারণে, দ্বৈতের সুনির্দিষ্ট আলোচনা সাধারণত প্রজেক্টিভ জ্যামিতিক বীজগণিতের প্রারম্ভিক উপাদানগুলিতে অন্তর্ভুক্ত করা হয় না। উল্লেখযোগ্য ধারণাগত এবং দার্শনিক পার্থক্য রয়েছেঃ হজ দ্বৈত সমতল-ভিত্তিক জ্যামিতিক বীজগণিতের উপাদানগুলিকে সমতল ভিত্তিক জ্যামিতিক বীজগণিতের অন্যান্য উপাদানগুলির সাথে সম্পর্কিত করে (যেমন, অন্যান্য ইউক্লিডীয় রূপান্তর); উদাহরণস্বরূপ, একটি সমতলীয় প্রতিফলনের হজ দ্বৈত একটি বিন্দু প্রতিফলন। পিজিএ মূলত হজ ডুয়াল ব্যবহার করে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছিল। প্রজেক্টিভ ডুয়াল সমতলকে বিন্দুতে ম্যাপ করে, তবে এটি এমন নয় যে উভয়ই প্রতিফলন; পরিবর্তে, সমতল-ভিত্তিক জ্যামিতিক বীজগণিত যে স্থানটিতে কাজ করে এবং একটি ভিন্ন, অ-ইউক্লিডীয় স্থানের মধ্যে প্রজেক্টিভ দ্বৈত স্যুইচ, দ্বৈত স্থান দেখুন। উদাহরণস্বরূপ, সমতল-ভিত্তিক জ্যামিতিক বীজগণিতে সমতল, যা সমতলীয় প্রতিফলন সম্পাদন করে, তা দ্বৈত স্থানের বিন্দুতে ম্যাপ করা হয় যা সংমিশ্রণে জড়িত। বিভিন্ন লেখক পিজিএ-র সমতল-ভিত্তিক জিএ অংশকে "ইউক্লিডিয়ান স্পেস" এবং "অ্যান্টিস্পেস" বলে অভিহিত করেছেন। দ্বৈততার এই রূপটি, এই সত্যের সাথে মিলিত যে জ্যামিতিক বস্তুগুলি সমজাতীয়ভাবে প্রতিনিধিত্ব করা হয় (যার অর্থ স্কেলার দ্বারা গুণ করলে সেগুলি পরিবর্তিত হয় না), এই কারণে সিস্টেমটি "প্রজেক্টিভ" জ্যামিতিক বীজগণিত হিসাবে পরিচিত (যদিও এটি সম্পূর্ণ প্রজেক্টিভ গ্রুপ ধারণ করে না, কনফর্মাল জ্যামিতিক বীজগণিতের বিপরীতে, যা সম্পূর্ণ কনফর্মাল গ্রুপ ধারণ করে)। বিকল্পভাবে, সামঞ্জস্যপূর্ণ জ্যামিতিক বীজগণিত ব্যবহার করা যেতে পারে (যেহেতু সমতল-ভিত্তিক জি. এ হল সি. জি. এ-র একটি উপ-বীজগণিত), তবে এর মধ্যে পি. জি. এ রিগ্রেসিভ পণ্যকে সংজ্ঞায়িত করা এই কারণে জটিল যে সি. জি. এ-র নিজস্ব রিগ্রেসিভ পণ্য রয়েছে, যা একটি ভিন্ন পণ্য, অনানুষ্ঠানিকভাবে কারণ সি. জি. এ-তে তিনটি বিন্দুর সংযোগ একটি বৃত্ত, যেখানে পি. জি. এ-তে এটি একটি সমতল। আরেকটি সমস্যা হল যে পিজিএ "পয়েন্ট"-এর সিজিএ পয়েন্টের তুলনায় মৌলিকভাবে ভিন্ন বীজগাণিতিক উপস্থাপনা রয়েছে; দুটি অ্যালজেব্রার তুলনা করার জন্য, পিজিএ পয়েন্টগুলিকে অবশ্যই সিজিএ পয়েন্ট জোড়া হিসাবে স্বীকৃতি দিতে হবে, যেখানে পয়েন্ট জুটির অনন্ততায় একটি বিন্দু থাকে। এই সমস্যাটি কাটিয়ে ওঠার জন্য, কিছু লেখক সিজিএ-তে প্রজেক্টিভ ডুয়ালকে এর মধ্যে দুটি ভিন্ন পিজিএ-আইসোমরফিক সাবঅ্যালজেব্রার বিনিময় হিসাবে সংজ্ঞায়িত করেছেন; সিজিএ-র মধ্যে হজ ডুয়ালকে সংজ্ঞায়িত করাও সম্ভব, তবে সিজিএ উপাদান ব্যবহার করে, যা পিজিএ সিউডোস্কেলার। অ-ইউক্লিডীয় জ্যামিতি এবং ধ্রুপদী লাই-এর প্রজেক্টিভ জ্যামিতিক বীজগণিত 3 মাত্রায় গোষ্ঠী প্রথম অনুমানের জন্য, ভৌত জগৎ ইউক্লিডীয়, অর্থাৎ। বেশিরভাগ রূপান্তরগুলি অনমনীয়; প্রজেক্টিভ জ্যামিতিক বীজগণিত তাই সাধারণত এর উপর ভিত্তি করে, যেহেতু এই বীজগণিতে অনমনীয় রূপান্তরগুলি মডেল করা যেতে পারে। যাইহোক, বীজগণিতে সামান্য পরিবর্তন করে অন্যান্য স্থানের মডেল তৈরি করা সম্ভব। এই ব্যবস্থাগুলিতে, বিন্দু, সমতল এবং রেখাগুলির একই স্থানাঙ্ক রয়েছে যা সমতল-ভিত্তিক জি. এ-তে রয়েছে। কিন্তু ঘূর্ণন এবং প্রতিফলনের মতো রূপান্তরগুলি জ্যামিতির উপর খুব ভিন্ন প্রভাব ফেলবে। নীচের সমস্ত ক্ষেত্রে, বীজগণিতটি স্থানের প্রতিফলন, ঘূর্ণন এবং ঘূর্ণন প্রতিফলনের গোষ্ঠীর একটি দ্বৈত আবরণ। ইউক্লিডীয় কেস থেকে সমস্ত সূত্র এই অন্যান্য জ্যামিতিতে বহন করে-মিট এখনও বস্তুর ছেদ নেওয়ার একটি উপায় হিসাবে কাজ করে; জ্যামিতিক পণ্য এখনও রূপান্তর রচনা করার একটি উপায় হিসাবে কাজ করে; এবং হাইপারবোলিক ক্ষেত্রে অভ্যন্তরীণ পণ্য হাইপারবোলিক কোণ পরিমাপ করতে সক্ষম হয়। তিনটি জোড় সাবঅ্যালজেব্রা হল ধ্রুপদী লাই গ্রুপ (স্কেলার দ্বারা ভাগফল নেওয়ার পরে)। প্রতিটি গ্রুপের জন্য সংশ্লিষ্ট লাই বীজগণিত হল ক্লিফোর্ড বীজগণিতের বাইভেক্টর, যা স্কেলার দ্বারা ভাগফল গ্রহণ করে না। তথ্যসূত্র জ্যামিতিক বীজগণিত