Countable Borel relation
বর্ণনামূলক সেট তত্ত্বে, বিশেষত অপরিবর্তনীয় বর্ণনামূলক সেট তত্ত্ব, গণনাযোগ্য বোরেল সম্পর্ক হল আদর্শ বোরেল স্থানের মধ্যে সম্পর্কের একটি শ্রেণী যা বিশেষভাবে ভাল আচরণ করে। এই ধারণাটি আরও বিভিন্ন নির্দিষ্ট ধারণাকে অন্তর্ভুক্ত করে, যেমন একটি হাইপারফাইনাইট সমতুল্য সম্পর্ক, তবে এটি নিজের মধ্যে এবং নিজের মধ্যে আগ্রহের বিষয়। অনুপ্রেরণা অপরিবর্তনীয় বর্ণনামূলক সেট তত্ত্বের অধ্যয়নের একটি প্রধান ক্ষেত্র হল সমতুল্য সম্পর্কের আপেক্ষিক জটিলতা। একটি সেটের সমতুল্য সম্পর্ককে একটি সেটের সমতুল্য সম্পর্কের চেয়ে আরও জটিল বলে মনে করা হয় যদি কেউ "ব্যবহার করে গণনা" করতে পারে-আনুষ্ঠানিকভাবে, যদি এমন কোনও ফাংশন থাকে যা কোনও অর্থে ভাল আচরণ করে (উদাহরণস্বরূপ, একজনের প্রায়শই বোরেল পরিমাপযোগ্য প্রয়োজন হয়)। এই ধরনের একটি ফাংশন যদি এটি উভয় দিকেই থাকে, তবে যে কেউ "ব্যবহার করে গণনা" এবং "ব্যবহার করে গণনা" উভয়ই করতে পারে এবং একই স্তরের জটিলতা থাকতে পারে। যখন কেউ বোরেল সমতুল্য সম্পর্কের কথা বলে এবং বোরেল পরিমাপযোগ্য হতে হয়, তখন এটি প্রায়শই দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। গণনাযোগ্য বোরেল সমতুল্য সম্পর্ক এবং উপরে বর্ণিত অর্থে অনুরূপ জটিলতার সম্পর্ক গণিতের বিভিন্ন জায়গায় দেখা যায় (নীচের উদাহরণগুলি দেখুন এবং আরও দেখুন)। বিশেষত, নীচে বর্ণিত ফেল্ডম্যান-মুর উপপাদ্যটি কিছু ভন নিউম্যান অ্যালজেব্রার গবেষণায় কার্যকর প্রমাণিত হয়েছে (দেখুন)। সংজ্ঞা ধরা যাক এবং আদর্শ বোরেল স্পেস হতে হবে। এবং-এর মধ্যে একটি গণনাযোগ্য বোরেল সম্পর্ক হল কার্টেসিয়ান পণ্যের একটি উপসেট যা একটি বোরেল সেট (পণ্য টপোলজির একটি উপসেট হিসাবে) এবং সন্তুষ্ট করে যে যে কোনও সেটের জন্য, সেটটি গণনাযোগ্য। লক্ষ্য করুন যে এই সংজ্ঞাটি এবং-এ প্রতিসম নয়, এবং এইভাবে এটি সম্ভব যে একটি সম্পর্ক হল এবং-এর মধ্যে একটি গণনাযোগ্য বোরেল সম্পর্ক কিন্তু বিপরীত সম্পর্কটি এবং-এর মধ্যে গণনাযোগ্য বোরেল সম্পর্ক নয়। উদাহরণস্বরূপ, গণনাযোগ্য বোরেল সম্পর্কের একটি গণনাযোগ্য মিলনও একটি গণনাযোগ্য বোরেল সম্পর্ক। যে কোনও বোরেল উপসেটের সাথে একটি গণনাযোগ্য বোরেল সম্পর্কের ছেদ একটি গণনাযোগ্য বোরেল সম্পর্ক। যদি স্ট্যান্ডার্ড বোরেল স্পেসের মধ্যে একটি ফাংশন হয়, তবে ফাংশনের গ্রাফটি এবং যদি এবং শুধুমাত্র যদি বোরেল পরিমাপযোগ্য হয় তার মধ্যে একটি গণনাযোগ্য বোরেল সম্পর্ক (এটি লুজিন-সুসলিন উপপাদ্য এবং এই সত্যের একটি পরিণতি)। গ্রাফের বিপরীত সম্পর্ক,, একটি গণনাযোগ্য বোরেল সম্পর্ক যদি এবং শুধুমাত্র যদি বোরেল পরিমাপযোগ্য হয় এবং গণনাযোগ্য তন্তু থাকে। যদি একটি সমতুল্য সম্পর্ক হয়, তবে এটি একটি গণনাযোগ্য বোরেল সম্পর্ক যদি এবং শুধুমাত্র যদি এটি একটি বোরেল সেট হয় এবং সমস্ত সমতুল্য শ্রেণী গণনাযোগ্য হয়। বিশেষত হাইপারফাইনাইট ইকুইভ্যালেন্স সম্পর্কগুলি গণনাযোগ্য বোরেল সম্পর্ক। একটি গণনাযোগ্য গোষ্ঠীর অবিচ্ছিন্ন ক্রিয়া দ্বারা প্ররোচিত সমতুল্য সম্পর্ক হল একটি গণনাযোগ্য বোরেল সম্পর্ক। একটি সুনির্দিষ্ট উদাহরণ হিসাবে, আসুন র্যাঙ্ক 2-এর মুক্ত গোষ্ঠীর উপগোষ্ঠীর সেট হতে দিন, যার মধ্যে ফর্মের মৌলিক উন্মুক্ত সেট দ্বারা উত্পন্ন টপোলজি রয়েছে এবং কিছু (এটি পণ্য টপোলজি)। সমতুল্য সম্পর্কটি তখন একটি গণনাযোগ্য বোরেল সম্পর্ক। প্রাকৃতিক উপসেটগুলির স্থানটি আবার পণ্য টপোলজির সাথে ধরা যাক (একটি মৌলিক উন্মুক্ত সেট ফর্ম বা)-এটি ক্যান্টর স্পেস হিসাবে পরিচিত। টুরিং সমতুল্যতার সমতুল্য সম্পর্ক একটি গণনাযোগ্য বোরেল সমতুল্য সম্পর্ক। বিভিন্ন শ্রেণীর মডেলের মধ্যে সমরূপতা সমতুল্য সম্পর্ক, যদিও গণনাযোগ্য বোরেল সমতুল্য সম্পর্ক নয়, উপরে বর্ণিত অর্থে বোরেল সমতুল্য সম্পর্কের অনুরূপ জটিলতা রয়েছে। উদাহরণগুলির মধ্যে রয়েছেঃ গণনাযোগ্য গ্রাফের শ্রেণী যেখানে প্রতিটি শীর্ষের মাত্রা সীমাবদ্ধ। যুক্তিসঙ্গতগুলির উপর সীমাবদ্ধ উত্তরণ ডিগ্রির শ্রেণী ক্ষেত্রের সম্প্রসারণ। লুজিন-নোভিকভ উপপাদ্য নিকোলাই লুজিন এবং তাঁর ডক্টরাল ছাত্র পিয়োটার নোভিকভের নামে নামকরণ করা এই উপপাদ্যটি একটি গুরুত্বপূর্ণ ফলাফল যা গণনাযোগ্য বোরেল সম্পর্কের অনেক প্রমাণ। উপপাদ্য। ধরুন এবং স্ট্যান্ডার্ড বোরেল স্পেস এবং এবং এর মধ্যে একটি গণনাযোগ্য বোরেল সম্পর্ক। তারপর সেটটি একটি বোরেল উপসেট। উপরন্তু, একটি বোরেল ফাংশন রয়েছে (যা বোরেল ইউনিফর্মাইজেশন নামে পরিচিত) যেমন এর গ্রাফটি এর একটি উপসেট। পরিশেষে, বোরেল এবং বোরেল ফাংশনের উপসেট রয়েছে যেমন গ্রাফের মিলন, অর্থাৎ। এর কয়েকটি সহজ পরিণতি রয়েছেঃ যদি গণনাযোগ্য তন্তু সহ একটি বোরেল পরিমাপযোগ্য ফাংশন হয়, তবে এর চিত্রটি একটি বোরেল উপসেট (যেহেতু চিত্রটি ঠিক যেখানে গ্রাফের বিপরীত সম্পর্ক)। ধরে নিন একটি স্ট্যান্ডার্ড বোরেল স্পেসে বোরেল সমতুল্য সম্পর্ক যার গণনাযোগ্য সমতুল্য শ্রেণী রয়েছে। ধরে নিন যে এটি একটি বোরেল উপসেট। তারপর একটি বোরেল উপসেটও রয়েছে (যেহেতু এটি ঠিক যেখানে, এবং এটি একটি বোরেল সেট)। নীচে আরও দুটি ফলাফল রয়েছে যা গণনাযোগ্য বোরেল সমতুল্য সম্পর্ক সম্পর্কিত লুজিন-নোভিকভ নোভিকভ উপপাদ্য ব্যবহার করে প্রমাণিত করা যেতে পারেঃ ফেল্ডম্যান-মুর উপপাদ্য জ্যাকব ফেল্ডম্যান এবং ক্যালভিন সি মুরের নামে নামকরণ করা ফেল্ডম্যান-মুর উপপাদ্যটি বলেঃ উপপাদ্য। ধরুন একটি স্ট্যান্ডার্ড বোরেল স্পেসে বোরেল সমতুল্য সম্পর্ক যার গণনাযোগ্য সমতুল্য শ্রেণী রয়েছে। তারপর একটি গণনাযোগ্য গোষ্ঠী এবং ক্রিয়া বিদ্যমান যাতে প্রত্যেক ফাংশনের জন্য বোরেল পরিমাপযোগ্য হয় এবং যে কোনও ফাংশনের জন্য, সমতুল্য শ্রেণীটি ক্রিয়ার অধীনে ঠিক কক্ষপথ। অর্থাৎ, গণনাযোগ্য বোরেল সমতুল্য সম্পর্কগুলি ঠিক সেইগুলি যা গণনাযোগ্য গোষ্ঠী দ্বারা বোরেল ক্রিয়া দ্বারা উত্পন্ন হয়। মার্কার লেমা এই লেমা থিওডোর স্ল্যামান এবং জন আর. স্টিলের কারণে, এবং ফেল্ডম্যান-মুর উপপাদ্যঃ লেমা ব্যবহার করে প্রমাণিত করা যেতে পারে। ধরুন একটি স্ট্যান্ডার্ড বোরেল স্পেসে বোরেল সমতুল্য সম্পর্ক যার গণনাযোগ্য সমতুল্য শ্রেণী রয়েছে। যাক। তারপর একটি হ্রাসমান ক্রম রয়েছে যেমন সকলের জন্য এবং। কম আনুষ্ঠানিকভাবে, লেম্মা বলে যে অসীম সমতুল্য শ্রেণীগুলিকে "নির্বিচারে ছোট" সেট দ্বারা আনুমানিক করা যেতে পারে (উদাহরণস্বরূপ, যদি আমাদের লেম্মাতে বোরেল সম্ভাব্যতা পরিমাপ থাকে তবে তা পরিমাপের ধারাবাহিকতা দ্বারা বোঝায়)। তথ্যসূত্র বর্ণনামূলক সেট তত্ত্ব বাইনারি সম্পর্ক