Moreau envelope
সঠিক নিম্ন আধা-ধারাবাহিক উত্তল ফাংশনের মোরেউ খাম (বা মোরেউ-ইয়োসিডা নিয়মিতকরণ) এর একটি মসৃণ সংস্করণ। 1965 সালে জিন-জ্যাক মোরেউ এটি প্রস্তাব করেছিলেন। গাণিতিক অপ্টিমাইজেশনে মোরেউ খামের গুরুত্বপূর্ণ প্রয়োগ রয়েছেঃ মিনিমাইজিং ওভার এবং মিনিমাইজিং ওভার এই অর্থে সমতুল্য সমস্যা যে মিনিমাইজারের সেট এবং একই। যাইহোক, ফার্স্ট-অর্ডার অপ্টিমাইজেশন অ্যালগরিদমগুলি সরাসরি প্রয়োগ করা যেতে পারে, যেহেতু সর্বদা অবিচ্ছিন্নভাবে ডিফারেনশিয়াল হলেও অ-ডিফারেনশিয়াল হতে পারে। প্রকৃতপক্ষে, অনেক প্রক্সিমাল গ্রেডিয়েন্ট পদ্ধতি একটি গ্রেডিয়েন্ট ডিসেন্ট পদ্ধতি হিসাবে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে। সংজ্ঞা একটি হিলবার্ট স্থান থেকে একটি যথাযথ নিম্ন আধা-ধারাবাহিক উত্তল ফাংশনের মোরেউ খামটি হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় একটি পরামিতি দেওয়া, মোরেউ খামটিকে প্যারামিটারের সাথে মোরেউ খাম হিসাবেও বলা হয়। বৈশিষ্ট্য মোরেউ খামটিকে এবং এর মধ্যে অসীম সংমিশ্রণ হিসাবেও দেখা যেতে পারে। একটি ফাংশনের প্রক্সিমাল অপারেটর নিম্নলিখিত পরিচয় দ্বারা মোরেউ খামের গ্রেডিয়েন্টের সাথে সম্পর্কিত। ক্রমটি সংজ্ঞায়িত করে এবং উপরের পরিচয়টি ব্যবহার করে, আমরা প্রক্সিমাল অপারেটরকে মোরেউ খামের উপর একটি গ্রেডিয়েন্ট ডিসেন্ট অ্যালগরিদম হিসাবে ব্যাখ্যা করতে পারি। ফেঞ্চেলের দ্বৈততা উপপাদ্য ব্যবহার করে, কেউ মোরেউ খামের নিম্নলিখিত দ্বৈত সূত্রটি পেতে পারেনঃ যেখানে এর উত্তল সংমিশ্রণকে বোঝায়। যেহেতু হিলবার্ট স্পেসে একটি যথাযথ, উত্তল, নিম্ন অর্ধ-ধ্রুবক ফাংশনের সাবডিফারেন্সিয়াল তার উত্তল কনজুগেটের সাবডিফারেন্সিয়ালের বিপরীত, তাই আমরা এই উপসংহারে আসতে পারি যে যদি উপরের অভিব্যক্তিটির সর্বাধিককারী হয়, তবে প্রাথমিক গঠনে মিনিমাইজার এবং তদ্বিপরীত। হপফ-ল্যাক্স সূত্র অনুসারে, মোরৌ খাম হ্যামিল্টন-জ্যাকোবি সমীকরণের একটি সান্দ্রতা সমাধান। স্ট্যানলি ওশার এবং সহ-লেখকরা এই বৈশিষ্ট্য এবং কোল-হপ রূপান্তর ব্যবহার করে একটি ফাংশনের প্রক্সিমাল অপারেটরের আনুমানিক গণনা করার জন্য একটি অ্যালগরিদম তৈরি করেছিলেন। আরও দেখুন প্রক্সিমাল অপারেটর প্রক্সিমাল গ্রেডিয়েন্ট পদ্ধতি রেফারেন্স বাহ্যিক লিঙ্ক একটি হ্যামিল্টন-জ্যাকোবি-ভিত্তিক প্রক্সিমাল অপারেটরঃ একটি ইউটিউব ভিডিও যা প্রক্সিমাল অপারেটর গাণিতিক অপ্টিমাইজেশনের আনুমানিক অ্যালগরিদম ব্যাখ্যা করছে।