Papoulis-Marks-Cheung Approach
পাপুলিস-মার্কস-চেউং পদ্ধতিটি বহুমাত্রিক শ্যানন স্যাম্পলিং তত্ত্বের একটি উপপাদ্য যা দেখায় যে একটি দ্বি-মাত্রিক ব্যান্ড-সীমাবদ্ধ ফাংশনের স্যাম্পলিং ঘনত্ব ফাংশনের ফুরিয়ার রূপান্তরের সমর্থনে হ্রাস করা যেতে পারে। অ্যাথানাসিওস পাপুলিসের একটি উপপাদ্যের বহুমাত্রিক সাধারণীকরণ প্রয়োগ করে, পদ্ধতিটি প্রথম রবার্ট জে দ্বারা প্রস্তাবিত হয়েছিল। দ্বিতীয় মার্কস এবং কোয়াং ফাই চেউং। এই পদ্ধতিকে "মার্জিত", "উল্লেখযোগ্যভাবে" বন্ধ এবং "আকর্ষণীয়" বলা হয়েছে। উপপাদ্য একটি ফাংশনের দ্বিমাত্রিক ফুরিয়ার রূপান্তর বা ফ্রিকোয়েন্সি বর্ণালী হল যেখানে এবং এর সাথে সম্পর্কিত স্থানিক ফ্রিকোয়েন্সি। কখন এবং কখন দৈর্ঘ্য হয়, স্থানিক কম্পাঙ্কের প্রতি একক দৈর্ঘ্যে চক্রের একক থাকে। প্রিলি এবং নিউহফ পপুলিস-মার্কস-চেউং পদ্ধতির বর্ণনা নিম্নরূপ। তাদের ফলাফল অর্জনে, মার্কস এবং চেউং পাপুলিসের সাধারণীকৃত নমুনা সম্প্রসারণের উপর নির্ভর করেছিলেন। ব্যাখ্যা পাপুলিস-মার্কস-চেউং পদ্ধতিটি উদাহরণের মাধ্যমে সর্বোত্তমভাবে ব্যাখ্যা করা হয়েছে। চিত্র 1 থেকে ডান অর্ধ সমতলে দেখানো অর্ধ বৃত্তটি বিবেচনা করুন। একটি সংকেতের বর্ণালী, অর্ধ বৃত্তের বাইরে শূন্য। বৃত্তের ভিতরে, 'বর্ণালী' স্বেচ্ছাচারী তবে ভাল আচরণ করে। একক ব্যাসার্ধ সহ অর্ধবৃত্তটির আয়তন (একক দৈর্ঘ্যে চক্র) বর্গাকার। পাপুলিস-মার্কস-চেউং পদ্ধতি অনুসারে, চিত্রের নমুনা ঘনত্ব প্রতি একক এলাকার নমুনায় হ্রাস করা যেতে পারে। পাপুলিস-মার্কস-চেউং পদ্ধতিটি কীভাবে এটি করা যায় তা জানায়। চিত্র 1-এর ডানদিকে অর্ধ বৃত্তের একটি আয়তক্ষেত্রাকার প্রতিলিপি চিত্রিত করা হয়েছে যা চিত্র 2-এ দেখানো স্থানিক অবস্থানে দ্বি-মাত্রিক ফাংশনের নমুনা নেওয়ার সময় ঘটে। এই প্রতিলিপিটি বহুমাত্রিক নমুনা উপপাদ্যের একটি পরিণতি যা দেখায় যে স্থানিক ডোমেনে একটি দ্বি-মাত্রিক সংকেতের নমুনা ফলস্বরূপ ফুরিয়ার ডোমেনে বর্ণালী প্রতিলিপি তৈরি হয়। যদি ইউনিফর্ম স্যাম্পলিং ঘনত্ব কম হয়, তবে প্রতিলিপিগুলি ওভারল্যাপ হবে এবং মূল ফাংশনের পুনর্গঠনের প্রচেষ্টার ফলে চিত্রের আলিয়াজিং হবে। এটি অর্জনের জন্য নমুনা ঘনত্ব বর্ণালী প্রতিলিপির আয়তক্ষেত্রাকার জাল কোষের ক্ষেত্রফলের সমান। প্রতিলিপিতে ব্যবহৃত আয়তক্ষেত্রের সংশ্লিষ্ট ক্ষেত্রফল (প্রতি একক দৈর্ঘ্যের চক্র) বর্গের সমান। চিত্র 2 দ্বারা নিশ্চিত করা হয়েছে, বর্ণালী প্রতিলিপি অর্জনের জন্য প্রয়োজনীয় নমুনা ঘনত্ব তাই প্রতি একক এলাকা প্রতি নমুনা। পাপুলিস-মার্কস-চেউং পদ্ধতি বলে যে, এই নমুনা সংগ্রহের ঘনত্ব অর্ধ বৃত্তের আয়তনে হ্রাস করা যেতে পারে, যথা প্রতি একক আয়তনে নমুনা। এই হ্রাস কীভাবে ঘটে তা দেখতে, চিত্র 3 বিবেচনা করুন যেখানে আয়তক্ষেত্রাকার জাল কোষটি অভিন্ন বর্গক্ষেত্রে বিভক্ত। লক্ষ্য করুন যে এই বর্গগুলির মধ্যে দুটি সম্পূর্ণরূপে এমন একটি অঞ্চলে অবস্থিত যেখানে বর্ণালী প্রতিলিপিটি অভিন্নভাবে শূন্য। এই বর্গক্ষেত্রগুলি হালকা সবুজ ছায়াযুক্ত। প্রতিটি বর্গকে বিভিন্ন দ্বি-মাত্রিক সংকেতের বর্ণালী হিসাবে ভাবুন। হালকা সবুজ অঞ্চলের সাথে সম্পর্কিত সংকেতগুলির জন্য সমস্ত নমুনা শূন্য এবং বিবেচনা করার দরকার নেই। দুটি সবুজ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হল। যেহেতু এই বর্গক্ষেত্রগুলির সঙ্গে সম্পর্কিত নমুনাগুলি বিবেচনা করার প্রয়োজন নেই (সেগুলি সবই শূন্য), তাই সামগ্রিক নমুনার ঘনত্ব প্রতি একক এলাকা প্রতি নমুনা থেকে প্রতি একক এলাকা প্রতি নমুনায় হ্রাস করা হয়। নমুনা সংগ্রহের ঘনত্বের অনুরূপ হ্রাস চিত্র 4-এ দেখানো হয়েছে যেখানে লাল বিন্দুগুলি এমন অবস্থান যেখানে নমুনা নেওয়ার প্রয়োজন নেই। একটি লাল বিন্দু সম্বলিত একটি একক কোষকে ছায়াযুক্ত দেখানো হয়েছে। কোষের ক্ষেত্রফল হল নমুনা সংগ্রহের ঘনত্বের অনুরূপ হ্রাস চিত্র 4-এ দেখানো হয়েছে যেখানে লাল বিন্দুগুলি এমন অবস্থান যেখানে নমুনা নেওয়ার প্রয়োজন নেই। একটি লাল বিন্দু সম্বলিত একটি একক কোষকে ছায়াযুক্ত দেখানো হয়েছে। কোষের ক্ষেত্রফল হল একক। নমুনা সংগ্রহের ঘনত্ব তাই, যেমন চিত্র 3-এ দুটি সবুজ বর্গক্ষেত্রের এলাকা থেকে দেখা যায়, প্রতি একক এলাকায় নমুনা দ্বারা হ্রাস করা হয়। পূর্ববর্তী উদাহরণে, চিত্র 3-এর বর্গগুলিকে নির্বিচারে ছোট করা যেতে পারে এবং সংখ্যায় বৃদ্ধি করা যেতে পারে যাতে, উপসর্গহীনভাবে, শূন্যের সমান সমস্ত এলাকা আচ্ছাদিত করা যায়। সুতরাং, নমুনা ঘনত্বকে বর্ণালীর সমর্থনে হ্রাস করা যেতে পারে, অর্থাৎ, যেখানে বর্ণালীটি অভিন্নভাবে শূন্য নয়। পাপুলিস-মার্কস-চেউং পদ্ধতিকে সরাসরি উচ্চতর মাত্রায় সাধারণীকরণ করা যেতে পারে। এছাড়াও, প্রতিলিপি জ্যামিতি আয়তক্ষেত্রাকার হওয়ার প্রয়োজন নেই তবে এমন কোনও আকৃতি হতে পারে যা পুরো সমতলকে টাইল করবে যেমন সমান্তরাল চতুর্ভুজ এবং ষড়ভুজ। পাপুলিস-মার্কস-চেউং পদ্ধতির আরও বিস্তারিত গাণিতিক বিবরণ মার্কস এবং চেউং এবং তাদের উদ্ভূত কাজের মূল গবেষণাপত্রে পাওয়া যায়। ফুরিয়ার বিশ্লেষণে তথ্যসূত্র উপপাদ্য