Kuratowski's intersection theorem
গণিতে, কুরাটোভস্কির ছেদ উপপাদ্যটি সাধারণ টপোলজির একটি ফলাফল যা একটি অ-খালি ছেদ করার জন্য সেটগুলির একটি নেস্টেড ক্রমের জন্য পর্যাপ্ত শর্ত দেয়। কুরাটোভস্কির ফলাফল হল ক্যান্টরের ছেদ উপপাদ্যের একটি সাধারণীকরণ। যেখানে ক্যান্টরের ফলাফলের জন্য সেটগুলি কম্প্যাক্ট হওয়া প্রয়োজন, কুরাটোভস্কির ফলাফল তাদের অ-কম্প্যাক্ট হওয়ার অনুমতি দেয়, তবে জোর দিয়ে বলে যে তাদের অ-কম্প্যাক্টনেস যথাযথ অর্থে "শূন্যের দিকে থাকে"। এই উপপাদ্যটি পোলিশ গণিতবিদ কাজিমিয়ের কুরাতোভস্কির নামে নামকরণ করা হয়েছে, যিনি 1930 সালে এটি প্রমাণ করেছিলেন। উপপাদ্যটির বিবৃতি ধরা যাক (এক্স, ডি) একটি সম্পূর্ণ মেট্রিক স্থান। একটি উপসেট এ এক্স দেওয়া হলে, এর অ-কম্প্যাক্টনেসের কুরাটোভস্কি পরিমাপ α (এ) ≤0 দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয় যে, যদি এ নিজেই কম্প্যাক্ট হয়, তবে α (এ) = 0, যেহেতু নির্বিচারে ছোট ব্যাসের খোলা বল দ্বারা এ-এর প্রতিটি আবরণের একটি সীমাবদ্ধ সাবকভার থাকবে। বিপরীতটিও সত্যঃ যদি α (A) = 0 হয়, তবে A অবশ্যই প্রি-কমপ্যাক্ট হতে হবে, এবং যদি A বন্ধ থাকে তবে প্রকৃতপক্ষে কমপ্যাক্ট হতে হবে। এছাড়াও, A যদি B-এর একটি উপসেট হয়, তাহলে α (A) ≤ α (B)। কিছু অর্থে, পরিমাণ α (A) হল "কতটা অ-সংক্ষিপ্ত" সেট A-এর একটি সংখ্যাসূচক বর্ণনা। এখন সেটগুলির একটি ক্রম বিবেচনা করুন একটি এক্স, প্রতিটি প্রাকৃতিক সংখ্যা এন-এর জন্য একটি। কুরাটোভস্কির ছেদ উপপাদ্য দাবি করে যে এই সেটগুলি যদি খালি না হয়, তবে বন্ধ, হ্রাসমান নেস্টেড (অর্থাৎ। প্রতিটি n-এর জন্য an + 1-an, এবং n-এর জন্য α (an) → 0, তারপর তাদের অসীম ছেদ একটি অ-খালি কম্প্যাক্ট সেট। যদি কেউ অ-কম্প্যাক্টনেসের বল পরিমাপ বা অ-কম্প্যাক্টনেসের পৃথকীকরণ পরিমাপের সাথে কাজ করে, কারণ অ-কম্প্যাক্টনেসের এই তিনটি পরিমাপ পারস্পরিকভাবে লিপস্কিটজের সমতুল্য; যদি তাদের মধ্যে কোনও একটি শূন্যের দিকে ঝুঁকে থাকে, তবে অন্য দুটিকেও তাই করতে হবে। রেফারেন্স কম্প্যাক্টনেস উপপাদ্য