Permutationally invariant quantum state tomography
পারমুটেশনালি ইনভ্যারিয়েন্ট কোয়ান্টাম স্টেট টমোগ্রাফি (পিআই কোয়ান্টাম স্টেট টমোগ্রাফি) হল অনেকগুলি সাবসিস্টেমের সমন্বয়ে গঠিত একটি কোয়ান্টাম সিস্টেমের অবস্থার আংশিক নির্ধারণের একটি পদ্ধতি। সাধারণভাবে, সাবসিস্টেমগুলির সমন্বয়ে গঠিত একটি সিস্টেমের কোয়ান্টাম যান্ত্রিক অবস্থা বর্ণনা করার জন্য প্রয়োজনীয় পরামিতিগুলির সংখ্যা দ্রুত বৃদ্ধি পাচ্ছে। কিউবিটগুলির সমন্বয়ে গঠিত একটি সিস্টেমের ক্ষেত্রে, যা সম্ভবত সবচেয়ে প্রাসঙ্গিক ক্ষেত্রে, একটি বিশুদ্ধ অবস্থার স্টেট ভেক্টর বর্ণনা করার জন্য বাস্তব পরামিতিগুলির প্রয়োজন হয়, অথবা একটি মিশ্র অবস্থার ঘনত্ব ম্যাট্রিক্স বর্ণনা করার জন্য বাস্তব পরামিতিগুলির প্রয়োজন হয়। কোয়ান্টাম স্টেট টমোগ্রাফি হল অনেক স্বাধীন এবং অভিন্নভাবে প্রস্তুত সিস্টেমে পরিমাপের একটি সিরিজ থেকে এই সমস্ত পরামিতি নির্ধারণ করার একটি পদ্ধতি। সুতরাং, পূর্ণ কোয়ান্টাম অবস্থা টোমোগ্রাফির ক্ষেত্রে, পরিমাপের সংখ্যা কণা বা কিউবিটের সংখ্যার সাথে সূচকীয়ভাবে স্কেলের প্রয়োজন হয়। বড় সিস্টেমের ক্ষেত্রে, পুরো কোয়ান্টাম অবস্থা নির্ধারণ আর বাস্তবে সম্ভব নয় এবং কেউ এমন পদ্ধতিতে আগ্রহী যা কোয়ান্টাম অবস্থা চিহ্নিত করার জন্য প্রয়োজনীয় পরামিতিগুলির একটি উপসেট নির্ধারণ করে যা এখনও অবস্থা সম্পর্কে গুরুত্বপূর্ণ তথ্য ধারণ করে। পারমুটেশনালি ইনভ্যারিয়েন্ট কোয়ান্টাম টমোগ্রাফি এমন একটি পদ্ধতি যার জন্য স্টেট টমোগ্রাফির চেয়ে কম পরিমাপের প্রয়োজন হয়। পিআই কোয়ান্টাম টমোগ্রাফি শুধুমাত্র ঘনত্ব ম্যাট্রিক্সের পারমুটেশনালি অপরিবর্তনীয় অংশ পরিমাপ করে। পদ্ধতির জন্য, সাবসিস্টেমগুলিতে স্থানীয় পরিমাপ পরিচালনা করা যথেষ্ট। যদি অবস্থাটি ক্রমানুসারে অপরিবর্তনীয় হওয়ার কাছাকাছি থাকে, যা অনেক ব্যবহারিক পরিস্থিতিতে হয়, তবে সিস্টেমের ঘনত্ব ম্যাট্রিক্সের কাছাকাছি থাকে। এমনকি যদি অবস্থাটি ক্রমবর্ধমানভাবে অপরিবর্তনীয় না হয়, তবুও জড়িত সনাক্তকরণ এবং প্রাসঙ্গিক অপারেটরের প্রত্যাশার মান গণনা করার জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে। সুতরাং, পদ্ধতিটি কোয়ান্টাম অবস্থার পারমুটেশনালি ইনভ্যারিয়েন্স অনুমান করে না। কিউবিট স্কেলের জন্য স্বাধীন বাস্তব পরামিতিগুলির সংখ্যা স্থানীয় পরিমাপ সেটিংসের সংখ্যা হিসাবে স্কেল করা হয় সুতরাং, ক্রমবর্ধমানভাবে অপরিবর্তনীয় কোয়ান্টাম টমোগ্রাফি এমনকি বড় ক্ষেত্রেও পরিচালনাযোগ্য বলে মনে করা হয়। অন্য কথায়, ক্রমানুসারে অপরিবর্তনীয় কোয়ান্টাম টমোগ্রাফি পরিমাপযোগ্য বলে মনে করা হয়। পদ্ধতিটি ব্যবহার করা যেতে পারে, উদাহরণস্বরূপ, 10 টিরও বেশি কণা সহ সিস্টেমের ঘনত্ব ম্যাট্রিক্সের পুনর্গঠনের জন্য, ফোটোনিক সিস্টেমের জন্য, আটকে থাকা ঠান্ডা আয়ন বা ঠান্ডা পরমাণুতে সিস্টেমের জন্য। ঘনত্ব ম্যাট্রিক্স পিআই স্টেট টমোগ্রাফির পারমুটেশনালি অপরিবর্তনীয় অংশটি ঘনত্ব ম্যাট্রিক্সের পারমুটেশনালি অপরিবর্তনীয় অংশটিকে পুনর্গঠন করে, যা সমস্ত সম্ভাব্য উপায়ে কণাগুলিকে পারমুটেশন করার পরে প্রাপ্ত কোয়ান্টাম অবস্থার সমান মিশ্রণ হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় যেখানে kth পারমুটেশন বোঝায়। উদাহরণস্বরূপ, আমাদের দুটি বিন্যাস রয়েছে। দুটি কণার ক্রম অপরিবর্তিত রাখে। দুটি কণা বিনিময় করে। সাধারণভাবে, কণাগুলির জন্য, আমাদের বিন্যাস রয়েছে। কণাগুলির ক্রম বিবেচনা না করা হলে যে ঘনত্ব ম্যাট্রিক্সটি পাওয়া যায় তা সহজেই দেখা যায়। এটি একটি পরীক্ষার সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ যেখানে একটি বৃহত্তর সমষ্টি থেকে কণাগুলির একটি উপসেট এলোমেলোভাবে নির্বাচন করা হয়। এই ছোট গোষ্ঠীর অবস্থা অবশ্যই ক্রমবর্ধমানভাবে অপরিবর্তনীয়। কণার সংখ্যার সাথে বহুপদীভাবে স্কেলের স্বাধীনতার মাত্রার সংখ্যা। কিউবিট (স্পিন-কণা) ব্যবস্থার জন্য স্বাধীনতার প্রকৃত মাত্রার সংখ্যা হল ঘনত্ব ম্যাট্রিক্সের ক্রমবর্ধমানভাবে অপরিবর্তনীয় অংশ নির্ধারণের জন্য প্রয়োজনীয় পরিমাপ এই স্বাধীনতার মাত্রাগুলি নির্ধারণ করতে, স্থানীয় পরিমাপের সেটিংস প্রয়োজন। এখানে, একটি স্থানীয় পরিমাপ সেটিংসের অর্থ হল অপারেটরকে প্রতিটি কণার উপর পরিমাপ করতে হবে। পরিমাপের পুনরাবৃত্তি এবং পর্যাপ্ত তথ্য সংগ্রহের মাধ্যমে, সমস্ত দুই-বিন্দু, তিন-বিন্দু এবং উচ্চতর ক্রমের পারস্পরিক সম্পর্ক নির্ধারণ করা যেতে পারে। একটি ভৌত অবস্থার দক্ষ নির্ধারণ এখন পর্যন্ত আমরা আলোচনা করেছি যে পরিমাপের সংখ্যা কিউবিটের সংখ্যার সাথে বহুপদীভাবে স্কেল করে। পুরো টমোগ্রাফিক পদ্ধতিটি পরিমাপযোগ্য হওয়ার জন্য, আমাদের প্রয়োজন যে আমরা একটি পরিমাপযোগ্য উপায়ে কম্পিউটারে অবস্থাটি সংরক্ষণ করি। স্পষ্টতই, ঘনত্ব ম্যাট্রিক্সে-কিউবিট অবস্থা সংরক্ষণের সরল উপায়টি পরিমাপযোগ্য নয়। যাইহোক, এটি তার পারমুটেশনাল ইনভেরিয়েন্সের কারণে একটি ব্লকডায়াগোনাল ম্যাট্রিক্স এবং এইভাবে এটি অনেক বেশি দক্ষতার সাথে সংরক্ষণ করা যেতে পারে। উপরন্তু, এটি সর্বজনবিদিত যে পরিসংখ্যানগত ওঠানামা এবং নিয়মতান্ত্রিক ত্রুটির কারণে রৈখিক বিপরীত দ্বারা পরিমাপ করা অবস্থা থেকে প্রাপ্ত ঘনত্ব ম্যাট্রিক্স ধনাত্মক সেমিডিফাইনাইট নয় এবং এর কিছু ঋণাত্মক আইগেনভ্যালু রয়েছে। একটি সাধারণ টমোগ্রাফির একটি গুরুত্বপূর্ণ ধাপ হল টমোগ্রাফিক তথ্যের উপর একটি ভৌত, অর্থাৎ, ধনাত্মক সেমিডিফাইনাইট ঘনত্ব ম্যাট্রিক্স বসানো। এই পদক্ষেপটি প্রায়শই পূর্ণ অবস্থার টোমোগ্রাফির সামগ্রিক প্রক্রিয়ায় একটি প্রতিবন্ধকতার প্রতিনিধিত্ব করে। যাইহোক, পিআই টমোগ্রাফি, যেমন আমরা সবেমাত্র আলোচনা করেছি, ঘনত্ব ম্যাট্রিক্সকে আরও দক্ষতার সাথে সংরক্ষণ করার অনুমতি দেয়, যা উত্তল অপ্টিমাইজেশান ব্যবহার করে একটি দক্ষ ফিটিংয়েরও অনুমতি দেয়। এটি পুরো প্রক্রিয়াটিকে পরিমাপযোগ্য করে তোলে। উপরন্তু, উত্তল অপ্টিমাইজেশান নিশ্চিত করে যে সমাধানটি একটি বিশ্বব্যাপী সর্বোত্তম। পি. আই. টমোগ্রাফি পদ্ধতির বৈশিষ্ট্যগুলি সাধারণত ক্রমানুসারে অপরিবর্তনীয় অবস্থার সাথে জড়িত পরীক্ষাগুলিতে ব্যবহৃত হয়। পিআই টোমোগ্রাফি দ্বারা প্রাপ্ত ঘনত্ব ম্যাট্রিক্স যদি জড়িয়ে যায়, তবে সিস্টেমের ঘনত্ব ম্যাট্রিক্সও জড়িয়ে যায়। এই কারণে, এনট্যাঙ্গলমেন্ট ভেরিফিকেশনের জন্য সাধারণ পদ্ধতি, যেমন এনট্যাঙ্গলমেন্ট সাক্ষী বা পেরেস-হোরোডেকি মানদণ্ড প্রয়োগ করা যেতে পারে। উল্লেখযোগ্যভাবে, এইভাবে করা এনট্যাঙ্গলমেন্ট সনাক্তকরণ ধরে নেয় না যে কোয়ান্টাম সিস্টেম নিজেই ক্রমানুসারে অপরিবর্তনীয়। উপরন্তু, যে কোনও ক্রমবর্ধমান অপরিবর্তনীয় অপারেটরের প্রত্যাশিত মান একই এবং এই ধরনের অপারেটরের খুব প্রাসঙ্গিক উদাহরণগুলি প্রতিসম অবস্থার প্রজেক্টর, যেমন গ্রিনবার্গার-হর্ন-জেইলিংার অবস্থা, ডাব্লু অবস্থা এবং প্রতিসম ডিকে অবস্থা। এইভাবে, আমরা উপরে উল্লিখিত কোয়ান্টাম অবস্থার সাপেক্ষে বিশ্বস্ততা অর্জন করতে পারি, কারণ সংশ্লিষ্ট প্রজেক্টরগুলির প্রত্যাশিত মান অন্যান্য পদ্ধতির সঙ্গে যুক্ত। যেমনটি আমরা আলোচনা করেছি, পিআই টমোগ্রাফি সাধারণত কোয়ান্টাম অবস্থার জন্য সবচেয়ে কার্যকর যা পারমুশনালি ইনভ্যারিয়েন্ট হওয়ার কাছাকাছি। নিম্ন পদমর্যাদার রাজ্যগুলির জন্য কম্প্রেসড সেন্সিং বিশেষভাবে উপযুক্ত। ম্যাট্রিক্স প্রোডাক্ট স্টেট টমোগ্রাফি স্পিন মডেলের ক্লাস্টার স্টেট এবং গ্রাউন্ড স্টেটের জন্য সবচেয়ে উপযুক্ত। পারমুটেশনালভাবে অপরিবর্তনীয় টমোগ্রাফি সংকুচিত সংবেদনশীলতার সাথে মিলিত হতে পারে। এই ক্ষেত্রে, প্রয়োজনীয় স্থানীয় পরিমাপ সেটিংসের সংখ্যা পারমুটেশনালি ইনভ্যারিয়েন্ট টমোগ্রাফির চেয়েও কম হতে পারে। পরীক্ষামূলকভাবে পারমুটেশনালভাবে অপরিবর্তনীয় টমোগ্রাফি চার-কিউবিট প্রতিসম ডিকে অবস্থার জন্য এবং ফোটনগুলিতে ছয়-কিউবিট প্রতিসম ডিকের জন্য পরীক্ষামূলকভাবে পরীক্ষা করা হয়েছে এবং পূর্ণ অবস্থার টমোগ্রাফি এবং সংকুচিত সংবেদনশীলতার সাথে তুলনা করা হয়েছে। পারমুটেশনালি ইনভ্যারিয়েন্ট টমোগ্রাফির একটি অনুকরণ দেখায় যে পরিমাপ করা ডেটা থেকে 20 কিউবিটের একটি পজিটিভ সেমিডিফাইনাইট ডেনসিটি ম্যাট্রিক্সের পুনর্গঠন একটি স্ট্যান্ডার্ড কম্পিউটারে কয়েক মিনিটের মধ্যে সম্ভব। পারমুটেশনালি ইনভ্যারিয়েন্ট টমোগ্রাফি এবং কম্প্রেসড সেন্সিংয়ের সংমিশ্রণকারী সংকর পদ্ধতিটিও পরীক্ষা করা হয়েছে। তথ্যসূত্র কোয়ান্টাম মেকানিক্স টোমোগ্রাফি