Harmonic tensors
এই নিবন্ধে গোলাকার ফাংশনগুলি বহুপদ দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয় যা ম্যাক্সওয়েলের সময় থেকে স্থির বিদ্যুতে সুপরিচিত এবং বহুধ্রুবী মুহুর্তের সাথে যুক্ত। পদার্থবিজ্ঞানে, দ্বিমেরু এবং চতুর্ভুজ মুহুর্তগুলি সাধারণত প্রদর্শিত হয় কারণ পদার্থবিজ্ঞানের মৌলিক ধারণাগুলি তাদের সাথে সুনির্দিষ্টভাবে যুক্ত। দ্বিমেরু এবং চতুর্ভুজ মুহুর্তগুলি হলঃ, যেখানে আধানের ঘনত্ব (বা অন্যান্য পরিমাণ)। অক্টোপোল মুহূর্ত খুব কমই ব্যবহার করা হয়। একটি নিয়ম হিসাবে, উচ্চ-পদমর্যাদার মুহুর্তগুলি গোলাকার ফাংশনের সাহায্যে গণনা করা হয়। বিচ্ছুরণ সমস্যাগুলির ক্ষেত্রে গোলাকার ফাংশনগুলি সুবিধাজনক। ডিফারেনশিয়াল অপারেটরের সাথে গণনায় বহুপদীগুলি অগ্রাধিকারযোগ্য। এখানে, উচ্চ-পদমর্যাদার মুহুর্তগুলি সহ টেনসরগুলির বৈশিষ্ট্যগুলি মূলত কঠিন গোলাকার ফাংশনের বৈশিষ্ট্যগুলির পুনরাবৃত্তি হিসাবে বিবেচিত হয় তবে তাদের নিজস্ব সুনির্দিষ্ট বৈশিষ্ট্য রয়েছে। কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্কে অপরিবর্তনীয় বহুপদী টেনসরের ব্যবহার, যেমন সাম্প্রতিক বেশ কয়েকটি গবেষণায় দেখানো হয়েছে, অগ্রাধিকারযোগ্য এবং গণনার মৌলিক পরিকল্পনাকে সহজতর করে। গোলাকার স্থানাঙ্কগুলি এখানে জড়িত নয়। হারমোনিক প্রতিসম টেনসর ব্যবহারের নিয়মগুলি প্রদর্শিত হয় যা সরাসরি তাদের বৈশিষ্ট্যগুলি থেকে অনুসরণ করে। এই নিয়মগুলি স্বাভাবিকভাবেই বিশেষ ফাংশনের তত্ত্বে প্রতিফলিত হয়, তবে গোষ্ঠী বৈশিষ্ট্যগুলি সাধারণ হলেও সবসময় সুস্পষ্ট হয় না। যাই হোক না কেন, আসুন আমরা হারমোনিক টেনসরের প্রধান বৈশিষ্ট্যটি স্মরণ করিঃ যে কোনও জোড়া সূচকের উপরের ট্রেস অদৃশ্য হয়ে যায়। এখানে, টেনসরের সেই বৈশিষ্ট্যগুলি নির্বাচন করা হয়েছে যা কেবল বিশ্লেষণাত্মক গণনাগুলিকে আরও সংক্ষিপ্ত করে তোলে না এবং 'ফ্যাক্টরিয়ালের সংখ্যা' হ্রাস করে না, তবে তাত্ত্বিক পদার্থবিজ্ঞানের কিছু মৌলিক প্রশ্ন সঠিকভাবে গঠনের অনুমতি দেয়। সাধারণ বৈশিষ্ট্য প্রতিসম টেনসরের চারটি বৈশিষ্ট্য পদার্থবিজ্ঞানে এর ব্যবহারের দিকে পরিচালিত করে। উ. টেনসর হল সমজাতীয় বহুপদীঃ, যেখানে সূচকের সংখ্যা, অর্থাৎ টেনসর র্যাঙ্ক; বি. টেনসর সূচকের সাপেক্ষে প্রতিসম; সি. টেনসর হল হারমোনিক, অর্থাৎ, এটি ল্যাপ্লাস সমীকরণের একটি সমাধানঃ; ডি. যে কোনও দুটি সূচকের উপর ট্রেস অদৃশ্য হয়ে যায়ঃ, যেখানে প্রতীক সমীকরণের পরে অবশিষ্ট সূচকগুলিকে বোঝায়। টেনসরের উপাদানগুলি হল কঠিন গোলাকার ফাংশন। গোলাকার ফাংশনের আকারে উপাদান অর্জনের জন্য টেনসরকে ফ্যাক্টর দ্বারা ভাগ করা যেতে পারে। তড়িৎবিন্যাসে মাল্টিপোল টেনসর মাল্টিপোল সম্ভাব্যতা দেখা দেয় যখন একটি বিন্দু চার্জের সম্ভাব্যতা ব্যাসার্ধ ভেক্টরের ('ম্যাক্সওয়েল মেরু') স্থানাঙ্কের শক্তিতে প্রসারিত হয়। সম্ভাবনার জন্য, একটি সুপরিচিত সূত্র রয়েছেঃ, যেখানে নিম্নলিখিত স্বরলিপি ব্যবহার করা হয়। ব্যাসার্ধ ভেক্টরের তম টেনসর শক্তির জন্য, এবং র্যাঙ্কের একটি প্রতিসম হারমোনিক টেনসরের জন্য,। টেনসর হল একটি সমজাতীয় সুরেলা বহুপদী যার সাধারণ বৈশিষ্ট্যগুলি বর্ণনা করা হয়েছে। যে কোনও দুটি সূচকের উপর সংকোচন (যখন দুটি গ্রেডিয়েন্ট অপারেটর হয়ে যায়) শূন্য হয়। যদি টেনসরকে ভাগ করা হয়, তবে একটি মাল্টিপোল হারমোনিক টেনসর উদ্ভূত হয়, যা সমজাতীয় ডিগ্রি সহ একটি সমজাতীয় হারমোনিক ফাংশনও। সম্ভাবনার সূত্রটি অনুসরণ করে, যা একটি মই অপারেটর তৈরি করার অনুমতি দেয়। স্থির বিদ্যুতে শক্তি-সূত্র সমতুল্য মুহুর্তের উপপাদ্য সংকোচনের একটি সুস্পষ্ট বৈশিষ্ট্য রয়েছে, যা তাত্ত্বিক পদার্থবিজ্ঞানে মুহুর্তের গণনাকে মূলত সহজতর করে একটি উপপাদ্যের জন্ম দেয়। উপপাদ্যটি আধানের একটি বন্টন বলে ধরা যাক। একটি মাল্টিপোল সম্ভাব্যতা গণনা করার সময়, হারমোনিক টেনসরের পরিবর্তে (অথবা গোলাকার ফাংশনের পরিবর্তে) পাওয়ার-ল মুহুর্ত ব্যবহার করা যেতে পারেঃ গোলাকার ফাংশন ব্যবহারের সঙ্গে তুলনা করার ক্ষেত্রে এটি একটি সুবিধা। উদাহরণ 1। চতুর্ভুজ মুহুর্তের জন্য, ইন্টিগ্রালের পরিবর্তে, 'শর্ট' ইন্টিগ্রাল ব্যবহার করা যেতে পারে। মুহূর্তগুলি ভিন্ন তবে সম্ভাবনাগুলি একে অপরের সমান। একটি ল্যাডার অপারেটর ব্যবহার করে টেনসরের জন্য একটি সুরেলা টেনসর সূত্রের সূত্র বিবেচনা করা হয়েছিল। এটি ল্যাপ্লাস অপারেটর ব্যবহার করে বের করা যেতে পারে। বিশেষ ফাংশন তত্ত্বের ক্ষেত্রেও অনুরূপ পদ্ধতি জানা যায়। সূত্রের প্রথম পদটি, যা একটি বিন্দু আধান সম্ভাবনার সম্প্রসারণ থেকে সহজেই দেখা যায়, সমান। ল্যাপ্লাস অপারেটর বারবার প্রয়োগ করে এবং মডুলাসের জোড় শক্তি দ্বারা গুণ করে অবশিষ্ট পদগুলি পাওয়া যেতে পারে। ল্যাপ্লাস সমীকরণে সম্প্রসারণ প্রতিস্থাপনের মাধ্যমে সহগগুলি নির্ধারণ করা সহজ। ফলস্বরূপ, সূত্রটি নিম্নরূপঃ এই ফর্মটি কোয়ান্টাম মেকানিক্স এবং ইলেক্ট্রোস্ট্যাটিক্সের ডিফারেনশিয়াল অপারেটর প্রয়োগের জন্য দরকারী। পার্থক্য ক্রোনেকার প্রতীকগুলির পণ্য তৈরি করে। উদাহরণ 2,। সংকোচন ব্যবহার করে শেষ গুণটি যাচাই করা যেতে পারে। প্রতিসাম্য ক্রিয়াকলাপের পরিপ্রেক্ষিতে পৃথকীকরণ সূত্রটি লেখা সুবিধাজনক। সূচকগুলির সমস্ত স্বাধীন বিন্যাসের উপর নেওয়া যোগফলের সাহায্যে এর জন্য একটি প্রতীক প্রস্তাব করা হয়েছিলঃ ফলস্বরূপ, নিম্নলিখিত সূত্রটি পাওয়া যায়ঃ, যেখানে প্রতীকটি ক্রোনেকার প্রতীকের একটি টেনসর শক্তির জন্য ব্যবহৃত হয় এবং প্রচলিত প্রতীক [.] দুটি সাবস্ক্রিপ্টের জন্য ব্যবহৃত হয় যা প্রতিসাম্যকরণের অধীনে পরিবর্তিত হচ্ছে। নিম্নলিখিত কেউ টেনসর এবং কঠিন গোলাকার ফাংশনের মধ্যে সম্পর্ক খুঁজে পেতে পারেন। দুটি একক ভেক্টর প্রয়োজনঃ-অক্ষ বরাবর নির্দেশিত ভেক্টর এবং জটিল ভেক্টর। তাদের শক্তির সাথে সংকোচন প্রয়োজনীয় সম্পর্ক দেয়, যেখানে একটি লেজেন্ড্রে বহুপদী। বিশেষ সংকোচন বিশৃঙ্খলা তত্ত্বে, গোলাকার ফাংশনের পরিপ্রেক্ষিতে উৎসকে প্রসারিত করা প্রয়োজন। উদাহরণস্বরূপ, যদি উৎসটি একটি বহুপদী হয়, স্টার্ক প্রভাব গণনা করার সময়, তবে ইন্টিগ্রালগুলি আদর্শ, তবে জটিল। অপরিবর্তনীয় টেনসরের সাহায্যে গণনা করার সময়, সম্প্রসারণ সহগগুলি সরলীকৃত হয় এবং তারপর ইন্টিগ্রালের প্রয়োজন হয় না। এটি যথেষ্ট, যেমন দেখানো হয়েছে, সংকোচন গণনা করার জন্য যা বিবেচনাধীন টেনসরের র্যাঙ্ককে কমিয়ে দেয়। ইন্টিগ্রালের পরিবর্তে, দুটি সূচকের উপর একটি টেনসরের ট্রেস গণনা করার ক্রিয়া ব্যবহার করা হয়। নিম্নলিখিত র্যাঙ্ক হ্রাস সূত্রটি কার্যকরঃ, যেখানে প্রতীক [মি] সমস্ত বাম (এল-2) সূচককে বোঝায়। যদি বন্ধনীগুলিতে ক্রোনেকার ব-দ্বীপের সাথে বেশ কয়েকটি উপাদান থাকে, তবে নিম্নলিখিত সম্পর্ক সূত্রটি ধারণ করেঃ ট্রেস গণনা করলে ক্রোনেকার চিহ্নগুলির সংখ্যা এক দ্বারা হ্রাস পায় এবং সমীকরণের ডানদিকে হারমোনিক টেনসরের র্যাঙ্ক দুই দ্বারা হ্রাস পায়। ট্রেস k বারের গণনার পুনরাবৃত্তি করলে সমস্ত ক্রোনেকার প্রতীক বাদ যায়ঃ হারমোনিক 4ডি টেনসর চার-মাত্রিক 4ডি স্পেসে ল্যাপ্লাস সমীকরণের নিজস্ব সুনির্দিষ্ট বৈশিষ্ট্য রয়েছে। 4ডি স্পেসে একটি বিন্দু চার্জের সম্ভাব্যতা সমান। শক্তির সাপেক্ষে বিন্দু-আধান সম্ভাবনার সম্প্রসারণ থেকে মাল্টিপোল 4ডি সম্ভাব্যতা উদ্ভূত হয়ঃ সংখ্যাসূচকের হারমোনিক টেনসরের কাঠামো 3ডি হারমোনিক টেনসরের অনুরূপ। যে কোনও দুটি সূচকের ক্ষেত্রে এর সংকোচন অবশ্যই বিলুপ্ত হতে হবে। দ্বিমেরু এবং চতুর্ভুজ 4-ডি টেনসরগুলি, এখান থেকে নিম্নরূপ, হিসাবে প্রকাশ করা হয়, সম্প্রসারণের নেতৃস্থানীয় পদ, যেমন দেখা যায়, সমান 3 ডি টেনসরের জন্য বর্ণিত পদ্ধতি, সম্পর্ক দেয়,। ত্রিমাত্রিক টেনসরের তুলনায় চার-মাত্রিক টেনসর কাঠামোগতভাবে সহজ। হারমোনিক ফাংশনের পরিপ্রেক্ষিতে পলিনোমিয়ালগুলির পচন সংকোচন নিয়ম প্রয়োগ করলে হারমোনিকগুলির সাপেক্ষে টেনসরের পচন ঘটতে পারে। বিশৃঙ্খলা তত্ত্বে, এমনকি তৃতীয় অনুমানকেও প্রায়শই ভাল বলে মনে করা হয়। এখানে, l = 6 র্যাঙ্ক পর্যন্ত টেনসর শক্তির পচন উপস্থাপন করা হয়েছেঃ,,,,,,,,:। সূত্রগুলি বের করার জন্য, দুটি সূচকের সাপেক্ষে সংকোচন গণনা করা দরকারী, অর্থাৎ ট্রেস। তারপরের সূত্রটি সূত্রটিকে বোঝায়। ট্রেস প্রয়োগ করে, পূর্ববর্তী বিভাগের নিয়মগুলি ব্যবহার করা সুবিধাজনক। বিশেষত, এর জোড় মানগুলির জন্য সম্পর্কের শেষ পদটির রূপ রয়েছে। সমস্ত সূচকের উপর ঘন ঘন ঘটে যাওয়া সংকোচনও কার্যকর, যা রাজ্যগুলিকে স্বাভাবিক করার সময় দেখা দেয়। 4ডি স্পেসে বহুপদগুলির পচন একটি ভেক্টরের টেনসর শক্তির পচনও চারটি মাত্রায় সংক্ষিপ্ত হয়ঃ,,,,,,,,:। দমন করা সূচকগুলির সাথে টেনসর স্বরলিপি ব্যবহার করার সময়, শেষ সমতা হয়ে যায়,। দুটি সূচকের উপর সংকোচন ব্যবহার করে উচ্চতর শক্তির পচন আরও কঠিন নয়। ল্যাডার অপারেটর ল্যাডার অপারেটরগুলি কমপ্যাক্ট আকারে আইগেন ফাংশনগুলি উপস্থাপন করার জন্য দরকারী। এগুলি সুসঙ্গত অবস্থা গঠনের ভিত্তি। এখানে অপারেটরদের বিবেচনা করা হয়েছে, মনি ক্ষেত্রে একটি দোলকের 'সৃষ্টি' এবং 'বিনাশ' অপারেটরদের কাছাকাছি। এফিমভের অপারেটর যা এক দ্বারা র্যাঙ্কের মান বৃদ্ধি করে চালু করা হয়েছিল। এটি পয়েন্ট-চার্জ সম্ভাবনার সম্প্রসারণ থেকে পাওয়া যেতে পারেঃ সমীকরণের বাম দিকে সোজাসুজি পৃথকীকরণ একটি সুরেলা টেনসরের উপর কাজ করা একটি ভেক্টর অপারেটর উৎপন্ন করেঃ, যেখানে অপারেটর সমজাতীয় বহুপদকে সমরূপতার মাত্রা দ্বারা গুণ করে। বিশেষ করে,। একতায় একটি-ভাঁজ প্রয়োগের ফলস্বরূপ, হারমোনিক টেনসর উদ্ভূত হয়ঃ, এখানে বিভিন্ন আকারে লেখা হয়েছে। কৌণিক ভরবেগ অপারেটরের সাথে এই টেনসরের সম্পর্ক নিম্নরূপঃ ভেক্টর আকারে অপারেটরের কিছু দরকারী বৈশিষ্ট্য নীচে দেওয়া হল। স্কেলার পণ্য যে কোনও দুটি সূচকের উপর একটি অদৃশ্য চিহ্ন দেয়। ভেক্টরের স্কেলার গুণফল হল, এবং, তাই, ভেক্টরের সাথে টেনসরের সংকোচনকে এইভাবে প্রকাশ করা যেতে পারে, যেখানে একটি সংখ্যা। গোলকের স্কেলার প্রোডাক্টের কমিউটেটর এককের সমানঃ একটি টেনসরের বিচ্যুতি গণনা করার জন্য, একটি দরকারী সূত্র হল, যেখান থেকে (ডানদিকে একটি সংখ্যা)। চার-মাত্রিক ল্যাডার অপারেটর 4ডি স্পেসে উত্থাপনকারী অপারেটরের মূলত অনুরূপ বৈশিষ্ট্য রয়েছে। এর প্রধান সূত্র হল যেখানে একটি 4ডি ভেক্টর,,, এবং অপারেটর একটি সমজাতীয় বহুপদীকে তার ডিগ্রি দ্বারা গুণ করে। চলককে আলাদা করা শারীরিক সমস্যার জন্য সুবিধাজনকঃ বিশেষ করে,। মই অপারেটরের স্কেলার পণ্য এবং 3D স্থানের মতোই সহজঃ এবং এর স্কেলার পণ্য হল। ল্যাডার অপারেটর এখন কৌণিক গতিবেগ অপারেটর এবং 4 ডি স্পেসে ঘূর্ণনের অতিরিক্ত অপারেটরের সাথে যুক্ত। তারা কৌণিক ভরবেগ এবং ল্যাপ্লাস-রেঞ্জ-লেঞ্জ অপারেটর হিসাবে লাই বীজগণিত সম্পাদন করে। অপারেটরের সহজ রূপ রয়েছে। পৃথকভাবে 3ডি-উপাদান এবং উত্থাপনকারী অপারেটরের চতুর্থ স্থানাঙ্কের জন্য, সূত্রগুলি হল,। আরও দেখুন টেনসর গোলাকার হারমোনিক্স অপারেটর (পদার্থবিজ্ঞান) ল্যাপ্লাস-রানজ-লেনজ ভেক্টর কৌণিক ভরবেগ অপারেটর ল্যাডার অপারেটর মাল্টিপোলার এক্সচেঞ্জ ইন্টারঅ্যাকশন রেফারেন্স বাহ্যিক লিঙ্ক হারমনিক বিশ্লেষণ ঘূর্ণন প্রতিসাম্য কোয়ান্টাম মেকানিক্স অপারেটর তত্ত্ব তাত্ত্বিক পদার্থবিজ্ঞান