Ddbar lemma
জটিল জ্যামিতিতে, লেম্মা (উচ্চারিত ডিডিবার লেম্মা) একটি জটিল ডিফারেনশিয়াল ফর্মের ডি রাম কোহোমোলজি ক্লাস সম্পর্কে একটি গাণিতিক লেমা। - লেম্মা হ 'ল হজ তত্ত্ব এবং একটি কম্প্যাক্ট কেলার ম্যানিফোল্ডের উপর কেলার পরিচয়ের ফলাফল। কখনও কখনও এটি-লেম্মা নামেও পরিচিত, একটি সম্পর্কিত অপারেটরের ব্যবহারের কারণে, দুটি অপারেটরের মধ্যে সম্পর্ক এবং তাই। বিবৃতি লেম্মা দাবি করে যে যদি একটি কম্প্যাক্ট কেলার ম্যানিফোল্ড হয় এবং বাইডিগ্রী (পি, কিউ) (সহ) এর একটি জটিল ডিফারেনশিয়াল রূপ হয় যার শ্রেণী ডি রাম কোহোমোলজিতে শূন্য হয়, তবে বাইডিগ্রী (পি-1, কিউ-1) এর একটি রূপ রয়েছে যাতে জটিল ম্যানিফোল্ডের ডলবিউল্ট অপারেটরগুলি কোথায় এবং কোথায়। ডি. ডি. বার সম্ভাব্যতা এই রূপটিকে-সম্ভাব্যতা বলা হয়। ফ্যাক্টরের অন্তর্ভুক্তি নিশ্চিত করে যে এটি একটি বাস্তব ডিফারেনশিয়াল অপারেটর, অর্থাৎ যদি বাস্তব সহগগুলির সাথে একটি ডিফারেনশিয়াল ফর্ম হয়, তবে তাই হয়। এই লেম্মাকে ডি রাম কোহোমোলজির একটি সঠিক ডিফারেনশিয়াল ফর্মের ধারণার সাথে তুলনা করা উচিত। বিশেষত যদি একটি বদ্ধ ডিফারেনশিয়াল কে-ফর্ম (যে কোনও মসৃণ ম্যানিফোল্ডে) হয় যার শ্রেণী ডি রাম কোহোমোলজিতে শূন্য হয়, তবে কিছু ডিফারেনশিয়াল (কে-1)-ফর্মের জন্য যা-সম্ভাব্যতা (বা কেবল সম্ভাব্যতা) নামে পরিচিত, বাহ্যিক ডেরিভেটিভ কোথায়। প্রকৃতপক্ষে, যেহেতু ডলবিওল্ট অপারেটররা যোগফলকে বাহ্যিক অন্তরজ এবং শূন্য দেওয়ার জন্য বর্গ দেয়, তাই-লেম্মা বোঝায় যে, কম্প্যাক্ট কেলার ম্যানিফোল্ডের সেটিংয়ে-সম্ভাব্যতাকে-সম্ভাব্যতায় পরিমার্জন করে। প্রমাণ-লেমা হ 'ল হজ তত্ত্বের একটি পরিণতি যা একটি কম্প্যাক্ট কেলার ম্যানিফোল্ডে প্রয়োগ করা হয়। একটি উপবৃত্তাকার জটিলতার জন্য হজ উপপাদ্যটি যে কোনও অপারেটরের ক্ষেত্রে এবং যথাক্রমে তাদের ল্যাপ্লাস অপারেটরদের ক্ষেত্রে প্রয়োগ করা যেতে পারে। এই অপারেটরদের কাছে কার্নেল দ্বারা প্রদত্ত সুরেলা ডিফারেনশিয়াল ফর্মগুলির স্পেসগুলি সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারেঃ হজ ডিকম্পোসিশন উপপাদ্যটি দাবি করে যে সুরেলা ফর্মগুলির এই স্পেসগুলির সাথে সম্পর্কিত তিনটি অর্থোগোনাল ডিকম্পোসিশন রয়েছে, যা যথাক্রমে কেলার ম্যানিফোল্ডের রিম্যানিয়ান মেট্রিকের সাথে সম্পর্কিত আনুষ্ঠানিক সংলগ্ন স্থানগুলির দ্বারা দেওয়া হয়। এই পচনগুলি যে কোনও সংহত জটিল বহুগুণের উপর পৃথকভাবে ধরে রাখে। ম্যানিফোল্ড কহলার হওয়ার গুরুত্ব হল উপরের অর্থোগোনাল ডিকম্পোসিশনের ল্যাপলেসিয়ানদের মধ্যে একটি সম্পর্ক রয়েছে। বিশেষত একটি কম্প্যাক্ট কেলার ম্যানিফোল্ডের উপর যা একটি অর্থোগোনাল পচন বোঝায় যেখানে স্পেস এবং-হারমোনিক ফর্ম সম্পর্কিত আরও সম্পর্ক রয়েছে। উপরের পচনগুলির ফলস্বরূপ, নিম্নলিখিত সংজ্ঞাটি প্রমাণ করা যেতে পারে। প্রমাণ নিম্নরূপ। একটি কম্প্যাক্ট কেলার ম্যানিফোল্ডের উপর একটি বদ্ধ (পি, কিউ)-ফর্ম হতে দিন। এটি দ্রুত অনুসরণ করে যে (ঘ) বোঝায় (ক), (খ), এবং (গ)। উপরন্তু, উপরের অর্থোগোনাল পচনগুলি বোঝায় যে (এ), (বি), বা (সি) এর যে কোনও একটি (ই) বোঝায়। অতএব, প্রধান অসুবিধা হল দেখানো যে (ই) বোঝায় (ডি)। সেই লক্ষ্যে, ধরুন এটি সাবস্পেসের অর্থোগোনাল। তারপর। যেহেতু-বন্ধ এবং, এটি-বন্ধ (অর্থাৎ)। যদি কোথায় এবং সেখানে থাকে তবে যেহেতু এই যোগফলটি রিম্যানিয়ান মেট্রিক দ্বারা প্ররোচিত অভ্যন্তরীণ গুণফলের সাপেক্ষে একটি অর্থোগোনাল পচন থেকে, অথবা অন্য কথায় এবং। এইভাবে ঘটনাটা ঘটে। এটি আমাদের কিছু ডিফারেনশিয়াল আকারে লেখার সুযোগ করে দেয়। এর জন্য হজ পচন প্রয়োগ করা, যেখানে-হারমোনিক, এবং। সমতা বোঝায় যে এটিও-সুরেলা এবং তাই। এইভাবে। তবে, যেহেতু এটি বন্ধ, তাই এটিও বন্ধ। তারপর উপরের মত একটি অনুরূপ কৌশল ব্যবহার করে, এছাড়াও কেলার পরিচয় প্রয়োগ করে। এইভাবে এবং সেটিং-সম্ভাব্যতা তৈরি করে। স্থানীয় সংস্করণ-লেম্মার একটি স্থানীয় সংস্করণ রয়েছে এবং হজ ডিকম্পোসিশন উপপাদ্যের কাছে আবেদন করার প্রয়োজন ছাড়াই প্রমাণিত হতে পারে। এটি অপারেটরের জন্য পয়েনকারে লেম্মা বা ডলবিওল্ট-গ্রোথেন্ডিয়াক লেমার অনুরূপ। স্থানীয়-লেম্মা যে কোনও ক্ষেত্রের উপর অধিষ্ঠিত যার উপর পূর্বোক্ত লেম্মা ধারণ করে। প্রমাণটি পূর্বোক্ত লেম্মাগুলির থেকে দ্রুত অনুসরণ করে। প্রথমত লক্ষ্য করুন যে যদি স্থানীয়ভাবে কারো জন্য রূপ হয় তবে কারণ, এবং। অন্যদিকে, ধরুন-বন্ধ। তারপর পয়েনকারে লেম্মার দ্বারা যে কোনও বিন্দুর একটি উন্মুক্ত প্রতিবেশী এবং এমন একটি রূপ বিদ্যমান। এখন এর জন্য লেখা এবং নোট করুন যে এবং ফর্মগুলির দ্বিগুণ তুলনা করা বোঝায় যে এবং এবং সেটি। সম্ভবত উন্মুক্ত পাড়ার আকার সঙ্কুচিত হওয়ার পরে, ডলবিওল্ট-গ্রোথেন্ডিয়াক লেম্মা প্রয়োগ করা যেতে পারে এবং (পরেরটি কারণ) স্থানীয় রূপগুলি পেতে যেমন এবং। তারপর লক্ষ্য করুন যে এটি কোথায় প্রমাণটি সম্পূর্ণ করে। বট-চের্ন কোহোমোলজি হল কম্প্যাক্ট কমপ্লেক্স ম্যানিফোল্ডের জন্য একটি কোহোমোলজি তত্ত্ব যা অপারেটরদের উপর নির্ভর করে এবং-লেমা কতটা ধরে রাখতে ব্যর্থ হয় তা পরিমাপ করে। বিশেষত যখন একটি কম্প্যাক্ট কমপ্লেক্স ম্যানিফোল্ড একটি কেলার ম্যানিফোল্ড হয়, তখন বট-চের্ন কোহোমোলজি ডলবিওল্ট কোহোমোলজির সমতুল্য হয়, তবে সাধারণভাবে এতে আরও তথ্য থাকে। একটি কম্প্যাক্ট কমপ্লেক্স ম্যানিফোল্ডের বট-চের্ন কোহোমোলজি গ্রুপগুলি দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয় যেহেতু একটি ডিফারেনশিয়াল ফর্ম যা উভয়ই এবং-ক্লোজড-ক্লোজড, বট-চের্ন কোহোমোলজি গ্রুপ থেকে ডি রাম কোহোমোলজি গ্রুপ পর্যন্ত একটি প্রাকৃতিক মানচিত্র রয়েছে। এছাড়াও এবং ডলবিওল্ট কোহোমোলজি গ্রুপের মানচিত্র রয়েছে। যখন ম্যানিফোল্ডটি-লেম্মাকে সন্তুষ্ট করে, উদাহরণস্বরূপ যদি এটি একটি কম্প্যাক্ট কেলার ম্যানিফোল্ড হয়, তবে বট-চের্ন কোহোমোলজি থেকে ডলবিওল্ট কোহোমোলজি পর্যন্ত উপরের মানচিত্রগুলি আইসোমরফিজম, এবং এছাড়াও বট-চের্ন কোহোমোলজি থেকে ডি রাম কোহোমোলজি পর্যন্ত মানচিত্রটি ইনজেকটিভ। ফলস্বরূপ, যখনই-লেম্মাকে সন্তুষ্ট করে তখন একটি সমরূপতা থাকে। এইভাবে, উপরের মানচিত্রের কার্নেলটি লেম্মাকে সন্তুষ্ট করতে ম্যানিফোল্ডের ব্যর্থতা পরিমাপ করে এবং বিশেষভাবে কেলার ম্যানিফোল্ড হওয়ার ব্যর্থতা পরিমাপ করে। বাইডগ্রীন (1,1)-লেমার সবচেয়ে উল্লেখযোগ্য পরিণতি ঘটে যখন জটিল ডিফারেনশিয়াল ফর্মের বাইডগ্রীন (1,1) থাকে। এই ক্ষেত্রে লেম্মা বলে যে একটি সঠিক ডিফারেনশিয়াল ফর্মের একটি মসৃণ ফাংশন দ্বারা প্রদত্ত একটি-সম্ভাব্যতা রয়েছেঃ বিশেষত এটি এমন ক্ষেত্রে ঘটে যেখানে একটি কেলার ফর্ম একটি কেলার ম্যানিফোল্ডের একটি ছোট খোলা উপসেটে সীমাবদ্ধ থাকে (এই ক্ষেত্রে লেম্মার স্থানীয় সংস্করণ থেকে অনুসরণ করা হয়), যেখানে পূর্বোক্ত পয়েনকারে লেম্মা নিশ্চিত করে যে এটি একটি সঠিক ডিফারেনশিয়াল ফর্ম। এটি একটি কেলার সম্ভাবনার ধারণার দিকে পরিচালিত করে, একটি স্থানীয়ভাবে সংজ্ঞায়িত ফাংশন যা সম্পূর্ণরূপে কেলার রূপকে নির্দিষ্ট করে। আরেকটি গুরুত্বপূর্ণ ক্ষেত্রে দুটি কেলার ফর্মের পার্থক্য কখন হয় যা একই ডি রাম কোহোমোলজি শ্রেণীতে রয়েছে। এই ক্ষেত্রে ডি রাম কোহোমোলজিতে তাই-লেমা প্রযোজ্য। একটি একক ফাংশন ব্যবহার করে কাহলার ফর্মগুলিকে (পার্থক্য) সম্পূর্ণরূপে বর্ণনা করার অনুমতি দিয়ে, যা স্বয়ংক্রিয়ভাবে একটি প্লুরিসুফার্মোনিক ফাংশন, প্লুরিপোটেনশিয়াল তত্ত্বের কৌশল ব্যবহার করে কম্প্যাক্ট কাহলার ম্যানিফোল্ডের অধ্যয়ন করা যেতে পারে, যার জন্য অনেক বিশ্লেষণাত্মক সরঞ্জাম উপলব্ধ। উদাহরণস্বরূপ,-লেম্মা ব্যবহার করা হয় কেলার-আইনস্টাইন সমীকরণকে সম্ভাবনার পরিপ্রেক্ষিতে পুনর্বিবেচনা করতে, এটিকে কেলার সম্ভাবনার জন্য একটি জটিল মঙ্গে-অ্যাম্পিয়ার সমীকরণে রূপান্তরিত করতে। ডি. ডি. বার ম্যানিফোল্ড জটিল ম্যানিফোল্ড যা অগত্যা কেলার নয় তবে এখনও-লেম্মাকে সন্তুষ্ট করার জন্য ঘটে যা-ম্যানিফোল্ড হিসাবে পরিচিত। উদাহরণস্বরূপ, কম্প্যাক্ট কমপ্লেক্স ম্যানিফোল্ডগুলি যা ফুজিকি ক্লাস সি-লেমাকে সন্তুষ্ট করে তবে অগত্যা কেলার নয়। আরও দেখুন পয়েনকারে লেম্মা ডলবিওল্ট-গ্রোথেন্ডিয়েক লেম্মা রেফারেন্স বাহ্যিক লিঙ্ক হজ তত্ত্ব জটিল ম্যানিফোল্ড