Subgroup distortion
জ্যামিতিক গোষ্ঠী তত্ত্বে, গণিতের একটি শাখায়, উপগোষ্ঠী বিকৃতি পরিমাপ করে যে একটি ওভারগ্রুপ কোনও গোষ্ঠীর শব্দ সমস্যার জটিলতা কতটা হ্রাস করতে পারে। বেশিরভাগ জ্যামিতিক গোষ্ঠী তত্ত্বের মতো, ধারণাটি মিশা গ্রোমভের কারণে, যিনি 1993 সালে এটি চালু করেছিলেন। আনুষ্ঠানিকভাবে, গ্রুপ তৈরি করা যাক, এবং দ্বারা তৈরি করার জন্য একটি ওভারগ্রুপ হতে দিন। তারপর প্রতিটি জেনারেটিং সেট সংশ্লিষ্ট গ্রুপের উপর একটি শব্দ মেট্রিক সংজ্ঞায়িত করে; ইন এর বিকৃতি হল ফাংশনের অ্যাসিম্পটোটিক ইকুইভ্যালেন্স ক্লাস যেখানে ব্যাসার্ধের বলটি কেন্দ্রের কাছাকাছি এবং এর ব্যাস। ধ্রুবক বিকৃতি সহ উপগোষ্ঠীগুলিকে কোয়াসিকোভেক্স বলা হয়। উদাহরণস্বরূপ, বাউমস্লাগ-সোলিটার গোষ্ঠীর একটি স্বাভাবিক উপগোষ্ঠী হিসাবে এম্বেড করা অসীম চক্রাকার গোষ্ঠীটি বিবেচনা করুন। তারপর মূল থেকে দূরত্ব, কিন্তু মূল থেকে দূরত্ব। বিশেষ করে, অন্তত ক্ষার দিয়ে সূচকীয়ভাবে বিকৃত করা হয়। একইভাবে, দুটি জেনারেটরের উপর মুক্ত আবেলিয়ান গ্রুপে এম্বেড করা একই অসীম চক্রাকার গ্রুপের রৈখিক বিকৃতি রয়েছে; এম্বেডিং নিজেই কেবল ধ্রুবক বিকৃতি তৈরি করে। প্রাথমিক বৈশিষ্ট্য গোষ্ঠীগুলির একটি টাওয়ারে, ইন-এর বিকৃতি অন্তত ইন-এর বিকৃতি। একটি সাধারণ আবেলিয়ান উপগোষ্ঠীর বিকৃতি কনজুগেশন ওভারগ্রুপ উপস্থাপনার আইগেনভ্যালু দ্বারা নির্ধারিত হয়; আনুষ্ঠানিকভাবে, যদি আইগেনভ্যালু দিয়ে কাজ করা হয়, তবে অন্তত ক্ষার দিয়ে সূচকীয়ভাবে বিকৃত হয়। অনেক অ-স্বাভাবিক কিন্তু এখনও আবেলিয়ান উপগোষ্ঠীর জন্য, স্বাভাবিক মূলের বিকৃতি একটি শক্তিশালী নিম্ন সীমা দেয়। জ্ঞাত মান সর্বাধিক সূচকীয় বৃদ্ধি সহ প্রতিটি গণনাযোগ্য ফাংশন একটি উপগোষ্ঠী বিকৃতি হতে পারে, তবে একটি নিলপোটেন্ট লাই গ্রুপের লাই উপগোষ্ঠীগুলিতে সর্বদা কিছু যুক্তিসঙ্গত জন্য বিকৃতি থাকে। সংজ্ঞায় হরটি সর্বদা থাকে; এই কারণে, এটি প্রায়শই বাদ দেওয়া হয়। সেক্ষেত্রে, একটি উপগোষ্ঠী যা স্থানীয়ভাবে সীমাবদ্ধ নয় তার সুপারঅ্যাডিটিভ বিকৃতি রয়েছে; বিপরীতভাবে প্রতিটি সুপারঅ্যাডিটিভ ফাংশন (অ্যাসিম্পটোটিক ইকুইভ্যালেন্স পর্যন্ত) এইভাবে পাওয়া যেতে পারে। ক্রিপ্টোগ্রাফিতে উপগোষ্ঠী বিকৃতি দ্বারা প্ররোচিত একটি শব্দ সমস্যার সরলীকরণ একটি ক্রিপ্টোসিস্টেম, গোপন বার্তাগুলির এনকোডিং এবং ডিকোডিংয়ের জন্য অ্যালগরিদম তৈরি করার জন্য যথেষ্ট। আনুষ্ঠানিকভাবে, প্লেইনটেক্সট বার্তা হল যে কোনও বস্তু (যেমন পাঠ্য, চিত্র বা সংখ্যা) যা একটি সংখ্যা হিসাবে এনকোড করা যেতে পারে। ট্রান্সমিটার তারপর শব্দের দৈর্ঘ্য সহ একটি উপাদান হিসাবে এনকোড করে। সেই বিকৃতির সাথে একটি পাবলিক ওভারগ্রুপে, উপাদানটির অনেক ছোট দৈর্ঘ্যের একটি শব্দ থাকে, যা পরে গোপন উপগোষ্ঠীকে অস্পষ্ট করার জন্য বেশ কয়েকটি "ডিকয়" সহ রিসিভারের কাছে প্রেরণ করা হয়। রিসিভার তারপর এর উপাদানটি বেছে নেয়, এর জেনারেটরের পরিপ্রেক্ষিতে শব্দটি পুনরায় প্রকাশ করে এবং পুনরুদ্ধার করে। তথ্যসূত্র জ্যামিতিক গোষ্ঠী তত্ত্ব নিম্ন-মাত্রিক টপোলজি