Extrinsic Geometric Flows
বাহ্যিক জ্যামিতিক প্রবাহ হল একটি উন্নত গণিতের পাঠ্যপুস্তক যা জ্যামিতিক প্রবাহ, গাণিতিক সমস্যাগুলির সংক্ষিপ্ত বিবরণ দেয় যেখানে কোনও বক্ররেখা বা পৃষ্ঠ কোনও নিয়ম অনুসারে অবিচ্ছিন্নভাবে চলাচল করে। এটি বাহ্যিক প্রবাহের উপর দৃষ্টি নিবদ্ধ করে, যেখানে নিয়মটি রিক্কি প্রবাহের মতো অভ্যন্তরীণ প্রবাহের পরিবর্তে মহাকাশে একটি পৃষ্ঠের এম্বেডিংয়ের উপর নির্ভর করে যা পৃষ্ঠের অভ্যন্তরীণ জ্যামিতির উপর নির্ভর করে এবং একটি এম্বেডিংয়ের সম্মান ছাড়াই সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। বেন অ্যান্ড্রুজ, বেনেট চাউ, ক্রিস্টিন গুয়েন্টার এবং ম্যাট ল্যাংফোর্ড দ্বারা লিখিত এবং 2020 সালে আমেরিকান ম্যাথমেটিকাল সোসাইটির একটি বই সিরিজ গ্র্যাজুয়েট স্টাডিজ ইন ম্যাথমেটিক্সের খণ্ড 206 হিসাবে প্রকাশিত হয়েছিল। বিষয় বইটি চারটি অধ্যায় নিয়ে গঠিত, যা মোটামুটিভাবে চারটি বিভাগে বিভক্তঃ 1 থেকে 4 অধ্যায় তাপ সমীকরণ এবং এটি থেকে সংজ্ঞায়িত বক্ররেখা-সংক্ষিপ্ত প্রবাহ নিয়ে উদ্বেগ প্রকাশ করে, যেখানে একটি বক্ররেখা ইউক্লিডীয় সমতলে তার বক্রতার আনুপাতিক গতিতে লম্বভাবে চলে। এর মধ্যে এমন বক্ররেখার উপাদান রয়েছে যা প্রবাহিত হওয়ার সাথে সাথে স্ব-অনুরূপ থাকে, যেমন বৃত্ত এবং গ্রিম রিপার বক্ররেখা, গেজ-হ্যামিল্টন-গ্রেসন উপপাদ্য যা অনুসারে প্রতিটি সাধারণ বদ্ধ বক্ররেখা একটি বৃত্তে একত্রিত হয় যতক্ষণ না শেষ পর্যন্ত একটি বিন্দুতে ভেঙে যায়, কখনও স্ব-ছেদ ছাড়াই, এবং প্রবাহের প্রাচীন সমাধানগুলির শ্রেণিবিন্যাস। 5 থেকে 14 অধ্যায় গড় বক্রতা প্রবাহের সাথে সম্পর্কিত, বক্রতা-সংক্ষিপ্ত প্রবাহের একটি উচ্চতর মাত্রিক সাধারণীকরণ যা তার লম্ব গতির গতি নিয়ন্ত্রণ করতে একটি পৃষ্ঠের গড় বক্রতা ব্যবহার করে। হাইপারসার্ফেসগুলির জ্যামিতির উপর একটি প্রারম্ভিক অধ্যায়ের পরে, এতে "স্থানীয়ভাবে লিপস্কিটজ সমগ্র গ্রাফ" সম্পর্কিত একার এবং হুইস্কেন-এর ফলাফল এবং হুইস্কেন-এর উপপাদ্য অন্তর্ভুক্ত রয়েছে যে অভিন্নভাবে উত্তল পৃষ্ঠগুলি মসৃণ এবং উত্তল থাকে, একটি বিন্দুতে পতনের আগে একটি গোলকে রূপান্তরিত হয়। হুইস্কেন এর একঘেয়েমি সূত্রটি আচ্ছাদিত করা হয়েছে, যেমন ব্রেক এবং হোয়াইটের নিয়মিততা উপপাদ্য যা অনুযায়ী প্রবাহ প্রায়-সর্বত্র মসৃণ। এই বিভাগের বেশ কয়েকটি অধ্যায় এই প্রবাহে বিকশিত হতে পারে এমন এককত্বের পাশাপাশি যে পৃষ্ঠগুলি প্রবাহিত হওয়ার সাথে সাথে স্ব-অনুরূপ থাকে সেগুলি নিয়ে উদ্বেগ প্রকাশ করে। 15 থেকে 17 অধ্যায় গাউস বক্রতা প্রবাহ নিয়ে উদ্বেগ প্রকাশ করে, গড় বক্রতার পরিবর্তে গাউসিয়ান বক্রতা ব্যবহার করে বক্রতা-সংক্ষিপ্ত প্রবাহকে উচ্চতর মাত্রায় সাধারণীকরণের একটি ভিন্ন উপায়। যদিও গাউসিয়ান বক্রতা অভ্যন্তরীণ, গড় বক্রতার বিপরীতে, গাউস বক্রতা প্রবাহ বাহ্যিক, কারণ এটি একটি এম্বেডেড পৃষ্ঠের গতির সাথে জড়িত। এখানে, প্রবাহের বৈচিত্র্যের মধ্যে রয়েছে বক্রতার পরিবর্তে বক্রতার একটি শক্তি ব্যবহার করে প্রবাহের গতি নির্ধারণ করা, এবং এটি সীমাবদ্ধ সময়ের ব্যবধানে প্রবাহের অস্তিত্ব, স্ব-অনুরূপ সমাধানের অস্তিত্ব এবং সীমিত আকার সম্পর্কিত প্রশ্ন উত্থাপন করে। বক্রতার সূচকটি এখানে গুরুত্বপূর্ণ, উত্তল পৃষ্ঠগুলি সূচকে একটি উপবৃত্তাকার (অ্যাফিন বক্ররেখা-সংক্ষিপ্ত প্রবাহ উৎপন্ন করে) এবং বৃহত্তর সূচকগুলির জন্য একটি বৃত্তাকার গোলকে রূপান্তরিত হয়। অধ্যায়গুলি 18-20 অরৈখিক জ্যামিতিক প্রবাহের একটি বিস্তৃত প্যানোরামা প্রদান করে। প্রতিটি অধ্যায়ের বিষয়বস্তুতে অধ্যায়ে আলোচিত ফলাফলের প্রমাণ এবং গণিত সাহিত্যের উল্লেখ উভয়ই রয়েছে; প্রতিটি অধ্যায়ের শেষে একটি ভাষ্য বিভাগে অতিরিক্ত উল্লেখ দেওয়া হয়েছে, যা অতিরিক্ত অন্তর্দৃষ্টি এবং উন্মুক্ত সমস্যার বিবরণের পাশাপাশি একই ক্ষেত্রে অতিরিক্ত ফলাফলের সংক্ষিপ্ত বিবরণও সরবরাহ করে। অনেক পরিসংখ্যানের সাথে আলোচনার অধীনে থাকা গণিতকে চিত্রিত করার পাশাপাশি, এটি অনেক গণিতবিদের ছবি সরবরাহ করে বিষয়বস্তুকে মানবিক করে তোলে যা এটি উল্লেখ করে। অধ্যায়গুলিতে অনুশীলন অন্তর্ভুক্ত রয়েছে, যা এই বইটিকে স্নাতক পাঠ্যপুস্তক হিসাবে উপযুক্ত করে তোলে। দর্শক এবং অভ্যর্থনা যদিও গ্রিগরি পেরেলম্যান দ্বারা পয়েনকারে অনুমান এবং জ্যামিতি অনুমান উভয়ই সমাধান করার জন্য তাদের ব্যবহারের পরে গণিতে অভ্যন্তরীণ প্রবাহগুলি অনেক সাম্প্রতিক মনোযোগের বিষয় হয়ে দাঁড়িয়েছে, তবে গণিতের গুরুত্বপূর্ণ প্রয়োগগুলির একটি দীর্ঘ ইতিহাসও রয়েছে, যা আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সমাধানের সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত। তাদের ব্যবহারের মধ্যে রয়েছে জৈবিক কোষের বৃদ্ধি, ধাতব স্ফটিক দানা, ফেনাতে বুদ্বুদ এবং এমনকি "সৈকতে ঘূর্ণায়মান পাথরের বিকৃতি" মডেলিং। বইটির প্রমাণগুলি প্রায়শই গবেষণা সাহিত্যের প্রমাণগুলির সরলীকরণ, তবে তবুও এটি বেশ প্রযুক্তিগত, জ্যামিতিক বিশ্লেষণে স্নাতক শিক্ষার্থী এবং গবেষকদের লক্ষ্য করে। পাঠকরা ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতি এবং আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের মূল বিষয়গুলির সাথে পরিচিত হবেন বলে আশা করা হচ্ছে। বইটিতে একটি একক কোর্সে অন্তর্ভুক্ত করা যেতে পারে তার চেয়ে বেশি উপাদান রয়েছে, তবে এটি একটি বহু-কোর্স ক্রম বা একটি বিষয় কোর্সের ভিত্তি তৈরি করতে পারে যা কেবল তার কিছু উপাদান বেছে নেয়। একটি পাঠ্যপুস্তক হওয়ার পাশাপাশি, বহিরাগত জ্যামিতিক প্রবাহ এই অঞ্চলের বিশেষজ্ঞদের জন্য প্রবাহের উপর রেফারেন্স উপাদান হিসাবে কাজ করতে পারে। সম্পর্কিত কাজ জ্যামিতিক প্রবাহের উপর এটিই প্রথম বই নয়। অন্যান্যগুলির মধ্যে রয়েছেঃ যদিও বাহ্যিক জ্যামিতিক প্রবাহগুলি এই কাজগুলির তুলনায় আরও বিস্তৃত এবং আপ-টু-ডেট, তবে এটি তাদের কিছু বিষয় বাদ দেয়, যার মধ্যে রয়েছে বক্ররেখার অ্যানিসোট্রপিক প্রবাহ, আপেক্ষিকতার তত্ত্বের প্রয়োগ এবং এর স্তর-সেট পদ্ধতি। তথ্যসূত্র জ্যামিতিক প্রবাহ গণিতের পাঠ্যপুস্তক 2020 অ-কথাসাহিত্য বই প্রকাশনা আমেরিকান গাণিতিক সমাজের