Permutation codes
ক্রমাঙ্কন কোডগুলি ত্রুটি সংশোধন কোডগুলির একটি পরিবার যা 1965 সালে স্লেপিয়ান দ্বারা প্রথম চালু করা হয়েছিল. এবং ফ্ল্যাশ মেমরি এবং পাওয়ার-লাইন যোগাযোগ সম্পর্কিত তাদের প্রয়োগের কারণে কম্বিনেটরিক্স এবং তথ্য তত্ত্ব উভয় ক্ষেত্রেই ব্যাপকভাবে অধ্যয়ন করা হয়েছে। সংজ্ঞা এবং বৈশিষ্ট্য একটি ক্রমবিকাশ কোডকে দৈর্ঘ্যের স্ট্রিংয়ের মধ্যে স্বাভাবিক হ্যামিং দূরত্ব সহ সিমেট্রিক গ্রুপের একটি উপসেট হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। আরও সুনির্দিষ্টভাবে, যদি বিন্যাস হয়, তবে একটি বিন্যাস কোডের ন্যূনতম দূরত্বকে ন্যূনতম ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় যাতে বিদ্যমান, স্বতন্ত্র, যেমন। নির্দিষ্ট চ্যানেলের জন্য ক্রমবিকাশ কোডগুলি উপযুক্ত হওয়ার একটি কারণ হল যে বর্ণমালার প্রতীকগুলি প্রতিটি কোডওয়ার্ডে কেবল একবার উপস্থিত হয়, যা উদাহরণস্বরূপ পাওয়ারলাইন যোগাযোগের প্রসঙ্গে ঘটে যাওয়া ত্রুটিগুলিকে কোডওয়ার্ড গিলবার্ট-ভার্শামভ আবদ্ধের উপর কম প্রভাবশালী করে তোলে। ছোট দৈর্ঘ্য ছাড়া এর জন্য খুব কম অগ্রগতি হয়েছে। আমরা সমস্ত বিন্যাসের সেটকে বোঝাতে পারি যার মধ্যে পরিচয় থেকে ঠিক দূরত্ব রয়েছে। ধরা যাক, শৃঙ্খলার বিচ্যুতির সংখ্যা কোথায়? গিলবার্ট-ভার্শামভ সীমা একটি খুব সুপরিচিত উপরের সীমা, এবং এখনও পর্যন্ত এর ছোট মানের জন্য অন্যান্য সীমাকে ছাড়িয়ে গেছে। উপপাদ্য 1: পরবর্তী উপপাদ্যটি দেখায় যে ক্ষেত্রে এটির উন্নতি হয়েছে। উপপাদ্য 2: যদি কিছু পূর্ণসংখ্যার জন্য, তাহলে। এবং এর ছোট মানগুলির জন্য, গবেষকরা কিছু নির্ধারিত অটোমরফিজম সহ সরাসরি ক্রমবর্ধমান কোডগুলি সন্ধান করার জন্য বিভিন্ন কম্পিউটার অনুসন্ধান কৌশল তৈরি করেছেন অন্যান্য সীমা ক্রমবর্ধমান কোডগুলির উপর অসংখ্য সীমা রয়েছে, আমরা এখানে দুটি তালিকাভুক্ত করি গিলবার্ট-ভার্শামভ বাউন্ড ইমপ্রুভমেন্ট একটি উন্নতি গিলবার্ট-ভার্শামভ বাউন্ডের জন্য করা হয়েছে যা ইতিমধ্যে উপরে আলোচনা করা হয়েছে। নির্দিষ্ট গ্রাফগুলিতে ক্রমাঙ্কন কোড এবং স্বাধীন সেটগুলির মধ্যে সংযোগ ব্যবহার করে কেউ গিলবার্ট-ভার্শামভকে একটি ফ্যাক্টর দ্বারা অ্যাসিম্পটোটিকভাবে আবদ্ধ করতে পারে, যখন কোডের দৈর্ঘ্য অনন্তের দিকে যায়। কেইলি গ্রাফ এবং মধ্যে পরিচয়ের প্রতিবেশী দ্বারা প্ররোচিত উপগ্রাফকে বোঝানো যাক। আসুন উপপাদ্য 3-এ সর্বাধিক ডিগ্রী বোঝাইঃ ধরা যাক এবং তারপর, কোথায়। গিলবার্ট-ভার্শামভ সীমা হল, উপপাদ্য 4: যখন স্থির করা হয় এবং অনন্ত হয়, তখন রৈখিক কোড ব্যবহার করে আমাদের নিম্ন সীমা থাকে একটি রৈখিক ব্লক কোড ব্যবহার করে, কেউ প্রমাণ করতে পারে যে ডিগ্রির প্রতিসম গোষ্ঠীতে একটি বিন্যাস কোড রয়েছে, যার ন্যূনতম দূরত্ব এবং বড় কার্ডিনালিটি রয়েছে। ক্রমবিন্যাস কোডের জন্য একটি নিম্ন সীমা যা ক্রমবিন্যাস কোডের দৈর্ঘ্য এবং দূরত্বের নির্দিষ্ট ব্যবস্থায় অ্যাসিম্পটোটিক উন্নতি প্রদান করে তা নীচে আলোচনা করা হয়েছে। প্রতিসম গোষ্ঠীর একটি প্রদত্ত উপসেটের জন্য, আমরা ন্যূনতম দূরত্বের একটি ক্রমবিকাশ কোডের সর্বাধিক কার্ডিনালিটি দ্বারা চিহ্নিত করি, যা কমপক্ষে সম্পূর্ণরূপে অন্তর্ভুক্ত, অর্থাৎ। । উপপাদ্য 5: ধরা যাক পূর্ণসংখ্যা এমন যে এবং। অধিকন্তু একটি মৌলিক শক্তি হতে দিন এবং ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা হতে দিন যেমন এবং। যদি এমন কোনও কোড থাকে যার হ্যামিং ওজনের একটি কোডওয়ার্ড থাকে, তবে যেখানে করোলারি 1: প্রতিটি মৌলিক শক্তির জন্য, প্রত্যেকের জন্য। করোলারি 2: প্রতিটি মৌলিক শক্তির জন্য, প্রত্যেকের জন্য। তথ্যসূত্র ত্রুটি সনাক্তকরণ এবং সংশোধন