Roberts's triangle theorem
রবার্টসের ত্রিভুজ উপপাদ্য, যা বিচ্ছিন্ন জ্যামিতির একটি ফলাফল, বলে যে রেখার প্রতিটি সহজ বিন্যাসে কমপক্ষে ত্রিভুজাকার মুখ থাকে। এইভাবে, তিনটি রেখা একটি ত্রিভুজ গঠন করে, চারটি রেখা কমপক্ষে দুটি ত্রিভুজ গঠন করে, পাঁচটি রেখা কমপক্ষে তিনটি ত্রিভুজ গঠন করে ইত্যাদি। এটি ব্রিটিশ গণিতবিদ স্যামুয়েল রবার্টসের নামে নামকরণ করা হয়েছে, যিনি 1889 সালে এটি প্রকাশ করেছিলেন। বিবৃতি এবং উদাহরণ উপপাদ্যটি বলে যে ইউক্লিডীয় সমতলে রেখার প্রতিটি সহজ বিন্যাসে কমপক্ষে ত্রিভুজাকার মুখ থাকে। এখানে, একটি বিন্যাস সহজ হয় যখন এর দুটি সমান্তরাল রেখা থাকে না এবং একই বিন্দু দিয়ে তিনটি রেখা থাকে না। ঠিক ত্রিভুজাকার মুখ সহ রেখাগুলির একটি বিন্যাস গঠনের একটি উপায় হল একটি অর্ধবৃত্তের স্পর্শক হিসাবে রেখাগুলি বেছে নেওয়া। এইভাবে সাজানো রেখাগুলির জন্য, একমাত্র ত্রিভুজ হল তিনটি রেখা দ্বারা গঠিত যা পরপর স্পর্শক বিন্দু সহ গঠিত হয়। যেহেতু রেখাগুলির পরপর ত্রিভুজ রয়েছে, তাই তাদেরও ত্রিভুজ রয়েছে। প্রুফ ব্র্যাঙ্কো গ্রুনবাম রবার্টসের মূল গবেষণাপত্রে "অবিশ্বাস্য" প্রমাণ খুঁজে পেয়েছেন এবং 1979 সালে রবার্ট ডব্লিউ শ্যাননকে রবার্টের উপপাদ্যের প্রথম সঠিক প্রমাণের কৃতিত্ব দিয়েছেন। পরিবর্তে তিনি নিম্নলিখিত আরও প্রাথমিক যুক্তি উপস্থাপন করেছেন, যা প্রথম রাশিয়ান ভাষায় আলেক্সেই বেলভ দ্বারা প্রকাশিত হয়েছিল। এটি অন্তর্নিহিতভাবে একই উপপাদ্যের একটি সহজ সংস্করণের উপর নির্ভর করে, যা অনুসারে তিন বা ততোধিক রেখার প্রতিটি সহজ বিন্যাসে কমপক্ষে একটি ত্রিভুজাকার মুখ থাকে। একটি বিন্যাসে একটি রেখা যোগ করা ত্রিভুজাকার মুখের সংখ্যা হ্রাস করতে পারে নাঃ যদি রেখাটি একটি বিদ্যমান ত্রিভুজকে কেটে দেয়, ফলস্বরূপ দুটি টুকরোর মধ্যে একটি আবার একটি ত্রিভুজ হয়। অন্যদিকে, যদিও রবার্টসের উপপাদ্যের সীমা প্রতিটি যুক্ত রেখার সাথে বৃদ্ধি পায়, তবে কোনও নির্দিষ্ট বিন্যাসে ত্রিভুজের সংখ্যা কখনও কখনও অপরিবর্তিত থাকতে পারে। যদি প্রদত্ত রেখাগুলি তাদের ঢাল পরিবর্তন না করে সরানো হয়, তবে তাদের নতুন অবস্থানগুলি বাস্তব সংখ্যার একটি পদ্ধতি দ্বারা বর্ণনা করা যেতে পারে, প্রতিটি লাইনের অফসেটগুলি তার মূল অবস্থান থেকে। প্রতিটি ত্রিভুজাকার মুখের জন্য, এর তিনটি রেখার অফসেটে একটি রৈখিক সমীকরণ রয়েছে যা সন্তুষ্ট হলে মুখটি তার মূল এলাকা ধরে রাখে। যদি ত্রিভুজের চেয়ে কম ত্রিভুজ থাকতে পারে, তবে (কারণ তাদের সীমাবদ্ধ সমীকরণের চেয়ে বেশি পরিবর্তনশীল থাকবে) দুটি রেখা ঠিক করা সম্ভব হবে এবং সমস্ত অবশিষ্ট রেখার একযোগে রৈখিক গতি খুঁজে পাওয়া সম্ভব হবে, তাদের ঢাল স্থির রেখে, যা সমস্ত ত্রিভুজ এলাকা সংরক্ষণ করে। এই ধরনের গতি অবশ্যই এমন ব্যবস্থার মধ্য দিয়ে যেতে হবে যা সহজ নয়, উদাহরণস্বরূপ যখন চলন্ত রেখাগুলির মধ্যে একটি দুটি স্থির রেখার ক্রসিং পয়েন্ট অতিক্রম করে। যখন চলন্ত রেখাগুলি প্রথমে একটি অ-সহজ বিন্যাস তৈরি করে, তখন তিন বা ততোধিক রেখা একটি বিন্দুতে মিলিত হয়। এই রেখাগুলি মিলিত হওয়ার ঠিক আগে, রেখাগুলির এই উপসেটটির একটি ত্রিভুজাকার মুখ থাকবে (মূল বিন্যাসেও উপস্থিত) যার ক্ষেত্রফল শূন্যের কাছাকাছি। কিন্তু এটি মুখের অঞ্চলগুলির অপরিবর্তনীয়তার বিরোধিতা করে। দ্বন্দ্বটি দেখায় যে ত্রিভুজের চেয়ে কম রয়েছে এই ধারণাটি সত্য হতে পারে না। সম্পর্কিত ফলাফল যেখানে রবার্টসের উপপাদ্যটি প্রদত্ত সংখ্যক রেখা দ্বারা তৈরি সম্ভাব্য ত্রিভুজগুলির সংখ্যা নিয়ে উদ্বেগ প্রকাশ করে, সেখানে সম্পর্কিত কোবন ত্রিভুজ সমস্যাটি সম্ভাব্য বৃহত্তম সংখ্যা নিয়ে উদ্বেগ প্রকাশ করে। দুটি সমস্যা ইতিমধ্যে ভিন্ন, যেখানে রবার্টসের উপপাদ্য গ্যারান্টি দেয় যে তিনটি ত্রিভুজ বিদ্যমান থাকবে, তবে কোবন ত্রিভুজ সমস্যার সমাধানে পাঁচটি ত্রিভুজ রয়েছে। রবার্টসের উপপাদ্যকে সাধারণ রেখা বিন্যাস থেকে শুরু করে কিছু অ-সহজ বিন্যাস, ইউক্লিডীয় সমতলের পরিবর্তে প্রজেক্টিভ সমতলে বিন্যাস এবং উচ্চ-মাত্রিক স্থানে হাইপারপ্লেনের বিন্যাস পর্যন্ত সাধারণীকরণ করা যেতে পারে। রেখা বিন্যাসের বাইরে, রবার্টসের উপপাদ্যের মতো একই সীমা সিউডোলাইনের বিন্যাসের জন্য রয়েছে। তথ্যসূত্র বিচ্ছিন্ন জ্যামিতি ত্রিভুজ