Matsubara frequency
তাপীয় কোয়ান্টাম ক্ষেত্র তত্ত্বে, মাতসুবারা ফ্রিকোয়েন্সি যোগফল (টেকো মাতসুবারার নামে নামকরণ করা হয়েছে) হল বিচ্ছিন্ন কাল্পনিক ফ্রিকোয়েন্সিগুলির উপর যোগফল। এটি নিম্নলিখিত রূপ নেয় যেখানে বিপরীত তাপমাত্রা এবং ফ্রিকোয়েন্সিগুলি সাধারণত নিম্নলিখিত দুটি সেটের (সহ) যে কোনও একটি থেকে নেওয়া হয়ঃ বোসনিক ফ্রিকোয়েন্সিঃ ফার্মিওনিক ফ্রিকোয়েন্সিঃ যদি সীমার মধ্যে 0-এর দিকে প্রবণতা থাকে তবে যোগফলটি একত্রিত হবে। বোসনিক ফ্রিকোয়েন্সিগুলির উপর যোগফলকে (সহ) হিসাবে চিহ্নিত করা হয়, যেখানে ফার্মিয়নিক ফ্রিকোয়েন্সিগুলির উপর যোগফলকে (সহ) হিসাবে চিহ্নিত করা হয়। এটি পরিসংখ্যানগত চিহ্ন। তাপীয় কোয়ান্টাম ক্ষেত্র তত্ত্ব ছাড়াও, মাৎসুবারা ফ্রিকোয়েন্সি সমষ্টি পদ্ধতি কঠিন-অবস্থা পদার্থবিজ্ঞানের চিত্রগত পদ্ধতির ক্ষেত্রেও একটি গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে, যথা, যদি কেউ সীমাবদ্ধ তাপমাত্রায় চিত্রগুলি বিবেচনা করে। সাধারণভাবে বলতে গেলে, যদি একটি নির্দিষ্ট ফাইনম্যান রেখাচিত্র একটি অবিচ্ছেদ্য দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়, তবে সীমাবদ্ধ তাপমাত্রায় এটি যোগফল দ্বারা দেওয়া হয়। সংক্ষিপ্তসার আনুষ্ঠানিকতা সাধারণ আনুষ্ঠানিকতা মাতসুবারা ফ্রিকোয়েন্সি যোগফল মূল্যায়নের কৌশল হল একটি মাতসুবারা ওজন ফাংশন এইচ. ই. (জেড) ব্যবহার করা যার সহজ মেরু ঠিক এখানে অবস্থিত। বোসন ক্ষেত্রে η = + 1 এবং ফার্মিয়ন ক্ষেত্রে η = −1-এর ওজন ফাংশনগুলি পৃথক হয়। ওয়েটিং ফাংশনের পছন্দ নিয়ে পরে আলোচনা করা হবে। ওজন ফাংশন দিয়ে, যোগফলটি কাল্পনিক অক্ষকে ঘিরে একটি কনট্যুর ইন্টিগ্রাল দ্বারা প্রতিস্থাপিত করা যেতে পারে। চিত্রের মতো। 1, ওজন ফাংশন কাল্পনিক অক্ষের উপর খুঁটি (লাল ক্রস) তৈরি করে। কনট্যুর ইন্টিগ্রাল এই মেরুগুলির অবশিষ্টাংশ তুলে নেয়, যা যোগফলের সমতুল্য। এই পদ্ধতিকে কখনও কখনও সমারফেল্ড-ওয়াটসন রূপান্তর বলা হয়। জি (জেড)-এর মেরুগুলিকে আবদ্ধ করার জন্য কনট্যুর লাইনের বিকৃতি দ্বারা (চিত্রে সবুজ ক্রস। 2), g (z)-এর সমস্ত মেরুর উপর g (z) hη (z)-এর অবশিষ্টাংশের যোগফল দিয়ে যোগফলটি আনুষ্ঠানিকভাবে সম্পন্ন করা যেতে পারে, লক্ষ্য করুন যে একটি বিয়োগ চিহ্ন তৈরি হয়, কারণ কনট্যুরটি ঘড়ির কাঁটার দিকে মেরুগুলি আবদ্ধ করার জন্য বিকৃত হয়, যার ফলে ঋণাত্মক অবশিষ্টাংশ তৈরি হয়। মাৎসুবারা ওজন ক্রিয়াকলাপের পছন্দ বোসন ফ্রিকোয়েন্সিগুলিতে সাধারণ খুঁটি তৈরি করতে, কোন অর্ধ সমতলে অভিসরণ নিয়ন্ত্রণ করতে হবে তার উপর নির্ভর করে নিম্নলিখিত দুই ধরনের মাৎসুবারা ওজন ক্রিয়াকলাপের মধ্যে যে কোনও একটি বেছে নেওয়া যেতে পারে। বাম অর্ধ সমতলে (Re z <0) অভিসরণ নিয়ন্ত্রণ করে, যখন ডান অর্ধ সমতলে (Re z> 0) অভিসরণ নিয়ন্ত্রণ করে। এখানে বোস-আইনস্টাইন ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশন। ফার্মিয়ন ফ্রিকোয়েন্সিগুলির ক্ষেত্রেও একই অবস্থা। এছাড়াও দুই ধরনের মাতসুবারা ওজন ফাংশন রয়েছে যা বাম অর্ধ সমতলে (Re z <0) অভিসরণ নিয়ন্ত্রণে সহজ মেরু তৈরি করে, যখন ডান অর্ধ সমতলে (Re z> 0) অভিসরণ নিয়ন্ত্রণ করে। এখানে ফার্মি-ডিরাক ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশন রয়েছে। গ্রীনের ফাংশন গণনার প্রয়োগে, g (z)-এর সর্বদা সেই কাঠামো থাকে যা 0 <τ <β দেওয়া বাম অর্ধ সমতলে বিচ্ছিন্ন হয়। অভিসরণ নিয়ন্ত্রণ করার জন্য, প্রথম প্রকারের ওজন ফাংশনটি সর্বদা বেছে নেওয়া হয়। যাইহোক, যদি মাতসুবারা যোগফল বিচ্ছিন্ন না হয় তবে অভিসরণ নিয়ন্ত্রণ করার কোনও প্রয়োজন নেই, সেক্ষেত্রে মাতসুবারা ওজন ফাংশনের যে কোনও পছন্দ একই ফলাফলের দিকে পরিচালিত করবে। মাতসুবারা ফ্রিকোয়েন্সি যোগফলের সারণি নিম্নলিখিত সারণিতে কিছু সহজ যুক্তিসঙ্গত ফাংশন g (z) রয়েছে। η = ±1 চিহ্নটি হল পরিসংখ্যানগত চিহ্ন, বোসোনের জন্য + 1 এবং ফার্মিয়নের জন্য-1। [1] যেহেতু যোগফলটি একত্রিত হয় না, তাই মাৎসুবারা ওজন ফাংশনের বিভিন্ন পছন্দের উপর ফলাফল ভিন্ন হতে পারে। [2] (1 * 2) আগের মত একই অভিব্যক্তি বোঝায় কিন্তু সূচক 1 এবং 2 বিনিময় সহ। পদার্থবিজ্ঞানে প্রয়োগ শূন্য তাপমাত্রার সীমা এই সীমাতে, মাতসুবারা ফ্রিকোয়েন্সি সমষ্টি কাল্পনিক অক্ষের উপর কাল্পনিক ফ্রিকোয়েন্সির একীকরণের সমতুল্য। কিছু ইন্টিগ্রাল একত্রিত হয় না। ফ্রিকোয়েন্সি কাটঅফ প্রবর্তন করে এবং তারপরে সীমা নেওয়ার আগে ইন্টিগ্রাল থেকে ডাইভারজেন্ট অংশ (-নির্ভর) বিয়োগ করে এগুলি নিয়মিত করা উচিত। উদাহরণস্বরূপ, মুক্ত শক্তি লগারিদমের অবিচ্ছেদ্য দ্বারা প্রাপ্ত হয়, যার অর্থ শূন্য তাপমাত্রায়, মুক্ত শক্তি কেবল রাসায়নিক সম্ভাবনার নিচে অভ্যন্তরীণ শক্তির সাথে সম্পর্কিত। এছাড়াও ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশনটি নিম্নলিখিত ইন্টিগ্রাল দ্বারা প্রাপ্ত হয় যা শূন্য তাপমাত্রায় স্টেপ ফাংশন আচরণ দেখায়। কাল্পনিক সময়ের ব্যবধান (0, β)-এর উপর সংজ্ঞায়িত একটি ফাংশন G (τ) বিবেচনা করুন। এটি ফুরিয়ার সিরিজের পরিপ্রেক্ষিতে দেওয়া যেতে পারে, যেখানে ফ্রিকোয়েন্সি শুধুমাত্র 2/β দ্বারা বিচ্ছিন্ন মান গ্রহণ করে। ফ্রিকোয়েন্সির নির্দিষ্ট পছন্দ জি (τ) ফাংশনের সীমানা অবস্থার উপর নির্ভর করে। পদার্থবিজ্ঞানে, জি (τ) মানে সবুজ ফাংশনের কাল্পনিক সময় উপস্থাপনা এটি একটি বোসন ক্ষেত্রের জন্য পর্যায়ক্রমিক সীমানা শর্ত জি (τ + β) = জি (τ) সন্তুষ্ট করে। যেখানে একটি ফার্মিয়ন ক্ষেত্রের জন্য সীমানা শর্ত হল অ্যান্টি-পেরিওডিক জি (τ + β) = − জি (τ)। ফ্রিকোয়েন্সি ডোমেনে গ্রীনের ফাংশন G (iω) দেওয়া হলে, এর কাল্পনিক সময় উপস্থাপনা G (τ)-কে মাতসুবারা ফ্রিকোয়েন্সি যোগফল দ্বারা মূল্যায়ন করা যেতে পারে। বোসন বা ফার্মিয়ন ফ্রিকোয়েন্সিগুলির উপর নির্ভর করে যার উপর যোগ করা হবে, ফলস্বরূপ জি (τ) ভিন্ন হতে পারে। পার্থক্য করার জন্য, নোট দিয়ে সংজ্ঞায়িত করুন যে τ মূল ব্যবধান (0, β)-এ সীমাবদ্ধ। সীমানা শর্তটি প্রধান ব্যবধানের বাইরে জি (τ) প্রসারিত করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। কিছু প্রায়শই ব্যবহৃত ফলাফল নিম্নলিখিত সারণিতে শেষ করা হয়েছে। অপারেটর স্যুইচিং এফেক্ট ছোট কাল্পনিক সময় এখানে একটি গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে। যদি ছোট কাল্পনিক সময় চিহ্ন পরিবর্তন করে তবে অপারেটরদের ক্রম পরিবর্তিত হবে। ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশন τ = 0-এ গ্রীনের ফাংশন G (τ)-এর বিচ্ছিন্নতার কারণে ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশনের মূল্যায়ন জটিল হয়ে ওঠে। যোগফল মূল্যায়নের জন্য ওজন ফাংশনের উভয় পছন্দই গ্রহণযোগ্য, তবে ফলাফলগুলি ভিন্ন। এটি বোঝা যায় যদি আমরা G (τ) কে τ = 0 থেকে একটু দূরে ঠেলে দিই, তাহলে অভিসরণ নিয়ন্ত্রণ করতে, আমাদের অবশ্যই এর জন্য এবং এর জন্য ওজন ফাংশন হিসাবে নিতে হবে। বোসন ফার্মিওন মুক্ত শক্তি বোসন ফার্মিওন রেখাচিত্র মূল্যায়ন প্রায়শই সম্মুখীন হওয়া চিত্রগুলি এখানে একক মোড সেটিং দিয়ে মূল্যায়ন করা হয়। একাধিক মোড সমস্যা একটি বর্ণালী ফাংশন অবিচ্ছেদ্য দ্বারা যোগাযোগ করা যেতে পারে। ফার্মিওন স্বশক্তি কণা-ছিদ্র বুদ্বুদ কণা-কণা বুদ্বুদ পরিশিষ্টঃ বন্টন ক্রিয়াকলাপের বৈশিষ্ট্য বন্টন ক্রিয়াকলাপ সাধারণ স্বরলিপি বোঝায় বোস (η = + 1) বা ফার্মি (η = − 1) বন্টন ক্রিয়াকলাপ যদি প্রয়োজন হয়, নির্দিষ্ট স্বরলিপি nB এবং nF যথাক্রমে বোস এবং ফার্মি বন্টন ক্রিয়াকলাপ নির্দেশ করতে ব্যবহৃত হয় হাইপারবোলিক ক্রিয়াকলাপের সাথে সম্পর্ক বোস বন্টন ক্রিয়াকলাপ হাইপারবোলিক কোট্যাঞ্জেন্ট ক্রিয়াকলাপের সাথে সম্পর্কিত। বোস-ফার্মি রূপান্তর বোস এবং ফার্মি বিতরণ ফাংশনগুলি ফার্মিওনিক ফ্রিকোয়েন্সি দ্বারা চলকের পরিবর্তনের অধীনে রূপান্তরিত হয়, তবে বোসনিক ফ্রিকোয়েন্সি দ্বারা স্থানান্তর কোনও পার্থক্য করে না। ডেরিভেটিভস ফার্স্ট অর্ডার পণ্যের পরিপ্রেক্ষিতেঃ শূন্য তাপমাত্রার সীমাতেঃ পার্থক্যের দ্বিতীয় ক্রম সূত্র কেস a = 0 কেস a → 0 কেস b → 0 ফাংশন cη সংজ্ঞাঃ বোস এবং ফার্মি প্রকারের জন্যঃ হাইপারবোলিক ফাংশনের সাথে সম্পর্ক এটি স্পষ্ট যে এটি ধনাত্মক নির্দিষ্ট। সংখ্যাসূচক গণনায় অতিরিক্ত প্রবাহ এড়াতে, তানহ এবং কোথ ফাংশন ব্যবহার করা হয় কেস a = 0 কেস b = 0 নিম্ন তাপমাত্রা সীমা a = 0 এর জন্যঃ b = 0 এর জন্যঃ সাধারণভাবে, আরও দেখুন ইমাজিনারি টাইম থার্মাল কোয়ান্টাম ফিল্ড থিওরি এক্সটার্নাল লিঙ্ক অগাস্টিন নিয়েটোঃ মাতসুবারা ফ্রিকোয়েন্সিগুলির উপর যোগফল মূল্যায়ন করা। arXiv: হেপ-ফ/9311210 গিথুব সংগ্রহস্থলঃ মাতসুবারাসাম মাতসুবারার ফ্রিকোয়েন্সি যোগফলের জন্য একটি গাণিতিক প্যাকেজ। এ. তাহেরিদেহকোর্দি, এস. কার্নো, জে. পি. এফ। লেব্লাঙ্কঃ হাবার্ড-সদৃশ মডেলের জন্য অ্যালগরিদমিক মাতসুবারা ইন্টিগ্রেশন। আরএক্সআইভিঃ কনড-ম্যাট/1808.05188 রেফারেন্স কোয়ান্টাম ক্ষেত্র তত্ত্ব