Dense submodule
বিমূর্ত বীজগণিতে, বিশেষত মডিউল তত্ত্বে, একটি মডিউলের একটি ঘন উপ-মডিউল একটি অপরিহার্য উপ-মডিউল ধারণার একটি পরিমার্জন। যদি এন এম-এর একটি ঘন উপ-মডিউল হয়, তবে এটি বিকল্পভাবে বলা যেতে পারে যে "এন এম একটি যুক্তিসঙ্গত সম্প্রসারণ"। অ-বিনিময়যোগ্য বলয় তত্ত্বে ঘন সাব-মডিউলগুলি কোটিয়েন্টের বলয়ের সঙ্গে যুক্ত। এখানে প্রদর্শিত বেশিরভাগ ফলাফল প্রথম প্রতিষ্ঠিত হয়েছিল, এবং। এটি লক্ষ্য করা উচিত যে এই পরিভাষাটি সাধারণ টপোলজিতে একটি ঘন উপসেট ধারণার থেকে আলাদা। একটি ঘন সাব-মডিউল সংজ্ঞায়িত করার জন্য কোনও টপোলজির প্রয়োজন হয় না এবং টপোলজি সহ একটি মডিউলে একটি ঘন সাব-মডিউল টপোলজিক্যালি ঘন হতে পারে বা নাও হতে পারে। সংজ্ঞা এই নিবন্ধটি এবং-এ প্রদর্শিত প্রদর্শনীকে পরিবর্তন করে। ধরা যাক, R একটি বলয় এবং M একটি ডানদিকের R মডিউল যার সঙ্গে একটি উপ-মডিউল N রয়েছে। M-এর একটি উপাদানের জন্য, লক্ষ্য করুন যে, y−1 অভিব্যক্তিটি কেবলমাত্র আনুষ্ঠানিক, কারণ মডিউল-উপাদান y-এর বিপরীতমুখী হওয়ার কথা বলা অর্থবহ নয়, তবে স্বরলিপিটি এই পরামর্শ দিতে সাহায্য করে যে, y−1N সেটটি সর্বদা R-এর সঠিক আদর্শ। M-এর একটি উপ-মডিউল N-কে একটি ঘন সাব-মডিউল বলা হয়, যদি M-এর সমস্ত x এবং y-এর জন্য x §0 সহ, R-এ এমন একটি r বিদ্যমান থাকে যাতে xr ≤ {0} এবং yr N-এ থাকে। অন্য কথায়, প্রবর্তিত স্বরলিপি ব্যবহার করে, সেট এই ক্ষেত্রে। স্পষ্টতই, প্রতিটি ঘন উপ-মডিউল একটি অপরিহার্য উপ-মডিউল। যদি এম একটি ননসিঙ্গুলার মডিউল হয়, তবে এম-এ এন ঘন হয় যদি এবং শুধুমাত্র এম-এ এটি অপরিহার্য হয়। একটি বলয় একটি ডান ননসিঙ্গুলার বলয় হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি তার অপরিহার্য ডান আদর্শগুলি সমস্ত ঘন ডান আদর্শ হয়। যদি 'এন' এবং 'এন' এম-এর ঘন উপ-মডিউল হয়, তাহলে 'এন' ও তাই। যদি N ঘন হয় এবং N-K-M হয়, তাহলে K-ও ঘন হয়। উদাহরণস্বরূপ, যদি R-এর কেন্দ্রে x একটি অ-শূন্য বিভাজক হয়, তবে xR হল R-এর একটি ঘন ডান আদর্শ। যদি I, R-এর দ্বিমুখী আদর্শ হয়, তবে I একটি ডান আদর্শ হিসাবে ঘন হবে যদি এবং শুধুমাত্র যদি I-এর বাম অ্যানিহিলেটর শূন্য হয়, অর্থাৎ। বিশেষত কমিউটেটিভ রিংয়ে, ঘন আদর্শগুলি সঠিকভাবে সেই আদর্শগুলি যা বিশ্বস্ত মডিউল। প্রয়োগ একটি মডিউলের যুক্তিসঙ্গত কাঠামো প্রতিটি ডানদিকের আর মডিউল এম-এর একটি সর্বাধিক প্রয়োজনীয় এক্সটেনশন ই (এম) রয়েছে যা এর ইনজেকটিভ কাঠামো। একটি সর্বাধিক ঘন এক্সটেনশন ব্যবহার করে অনুরূপ নির্মাণের ফলে যুক্তিসঙ্গত হুল (এম) হয় যা ই (এম) এর একটি উপ-মডিউল। যখন কোনও মডিউলের কোনও যথাযথ যুক্তিসঙ্গত এক্সটেনশন থাকে না, যাতে ′ (M) = M হয়, তখন মডিউলটিকে যুক্তিসঙ্গতভাবে সম্পূর্ণ বলা হয়। যদি R সঠিক ননসিঙ্গুলার হয়, তাহলে অবশ্যই ′ (M) = E (M)। ইনজেকটিভ হুলের মধ্যে যুক্তিসঙ্গত হুলটি সহজেই চিহ্নিত করা যায়। ধরা যাক এস = এন্ডআর (ই (এম)) ইনজেকটিভ হুলের এন্ডোমর্ফিজম রিং। তারপর ইনজেক্টিভ হুলের একটি উপাদান x যুক্তিসঙ্গত হুলের মধ্যে থাকে যদি এবং শুধুমাত্র যদি S-এর সমস্ত মানচিত্র দ্বারা x-কে শূন্যে পাঠানো হয় যা M-এর উপর শূন্য হয়। প্রতীকে, সাধারণভাবে, S-এ এমন মানচিত্র থাকতে পারে যা M-এর উপর শূন্য এবং তবুও M-এ নয় এমন কিছু x-এর জন্য অ-শূন্য, এবং এই ধরনের x যুক্তিসঙ্গত হুলের মধ্যে থাকবে না। কোটিয়েন্টের সর্বাধিক ডান বলয় কোটিয়েন্টের সর্বাধিক ডান বলয়কে R-এর ঘন ডান আদর্শের সাথে সম্পর্কিত দুটি উপায়ে বর্ণনা করা যেতে পারে। একটি পদ্ধতিতে, ′ (R) কে একটি নির্দিষ্ট এন্ডোমর্ফিজম বলয়ের মডিউল আইসোমরফিক হিসাবে দেখানো হয়, এবং বলয়ের কাঠামোটি এই আইসোমরফিজম জুড়ে নেওয়া হয় ′ (R) কে একটি বলয়ের কাঠামো দিয়ে অনুপ্রাণিত করার জন্য, যা কোটিয়েন্টের সর্বাধিক ডান বলয়ের। দ্বিতীয় পদ্ধতিতে, কোটিয়েন্টের সর্বাধিক ডান বলয়কে R গুণিত R-এর ঘন ডান আদর্শ থেকে সমরূপতার সমতুল্য শ্রেণীর একটি সেট দিয়ে চিহ্নিত করা হয়। সমতুল্য সম্পর্ক বলে যে দুটি ফাংশন সমতুল্য যদি তারা R-এর ঘন ডান আদর্শের সাথে একমত হয়।