Favard's theorem
গণিতে, ফাভার্ডের উপপাদ্য, যাকে শোহাত-ফাভার্ড উপপাদ্যও বলা হয়, বলে যে একটি উপযুক্ত 3-মেয়াদী পুনরাবৃত্তির সম্পর্ককে সন্তুষ্ট করে এমন পলিনোমিয়ালগুলির একটি ক্রম হল অর্থোগোনাল পলিনোমিয়ালগুলির একটি ক্রম। এই উপপাদ্যটি অর্থোগোনাল পলিনোমিয়ালের তত্ত্বে এবং দ্বারা প্রবর্তিত হয়েছিল, যদিও মূলত একই উপপাদ্যটি স্টিল্টজেস দ্বারা ফাভার্ডের গবেষণাপত্রের অনেক বছর আগে অব্যাহত ভগ্নাংশের তত্ত্বে ব্যবহার করা হয়েছিল এবং ফাভার্ডের কাজের আগে অন্যান্য লেখকদের দ্বারা বেশ কয়েকবার পুনরায় আবিষ্কৃত হয়েছিল। বিবৃতি ধরুন যে, y0 = 1, y1,. বহুপদগুলির একটি ক্রম যেখানে yn-এর ডিগ্রি n থাকে। যদি এটি কিছু ধনাত্মক ওজনের ফাংশনের জন্য অর্থোগোনাল বহুপদগুলির একটি ক্রম হয় তবে এটি একটি 3-মেয়াদী পুনরাবৃত্তির সম্পর্ককে সন্তুষ্ট করে। ফেভার্ডের উপপাদ্যটি মোটামুটিভাবে এর বিপরীত, এবং বলে যে যদি এই বহুপদগুলি কিছু সংখ্যা cn এবং dn-এর জন্য ফর্মের 3-মেয়াদী পুনরাবৃত্তির সম্পর্ককে সন্তুষ্ট করে, তবে বহুপদগুলি λ (1) = 1 সহ কিছু রৈখিক কার্যকরী λ-এর জন্য একটি অর্থোগোনাল ক্রম গঠন করে; অন্য কথায় λ (ymyn) = 0 যদি m ষ্ণ হয়। রৈখিক কার্যকরী λ অনন্য, এবং λ (1) = 1, λ (yn) = 0 যদি n> 0 দ্বারা দেওয়া হয়। কার্যকরী λ সন্তুষ্ট করে λ (y) = dnλ (y), যা বোঝায় যে λ ধনাত্মক নির্দিষ্ট যদি (এবং শুধুমাত্র যদি) সংখ্যা cn বাস্তব হয় এবং সংখ্যা dn ধনাত্মক হয়। আরও দেখুন জ্যাকোবি অপারেটর জেমস আলেকজান্ডার শোহাট রেফারেন্সস রিপ্রিন্টেড বাই ডোভার 2011, অর্থোগোনাল পলিনোমিয়ালস থিওরেমস ইন এপ্রোক্সিমেশন থিওরি