Minimal coupling
বিশ্লেষণাত্মক বলবিজ্ঞান এবং কোয়ান্টাম ক্ষেত্র তত্ত্বে, ন্যূনতম সংযোগ বলতে এমন ক্ষেত্রগুলির মধ্যে একটি সংযোগকে বোঝায় যা কেবল চার্জ বণ্টনের সাথে জড়িত এবং চার্জ বণ্টনের উচ্চতর বহুধ্রুবী মুহুর্ত নয়। এই ন্যূনতম সংযোগটি, উদাহরণস্বরূপ, পাউলি সংযোগের বিপরীতে, যার মধ্যে সরাসরি ল্যাগ্রাঞ্জিয়ানে একটি ইলেক্ট্রনের চৌম্বকীয় মুহূর্ত অন্তর্ভুক্ত রয়েছে। তড়িৎগতিবিদ্যা তড়িৎগতিবিজ্ঞানে, সমস্ত তড়িৎচুম্বকীয় মিথস্ক্রিয়ার জন্য ন্যূনতম সংযোগ যথেষ্ট। কণাগুলির উচ্চতর মুহুর্তগুলি ন্যূনতম সংযোগ এবং অ-শূন্য ঘূর্ণনের পরিণতি। একটি তড়িৎচুম্বকীয় ক্ষেত্রে অ-আপেক্ষিক আধানযুক্ত কণা কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্কে, একটি তড়িৎচুম্বকীয় ক্ষেত্রে একটি অ-আপেক্ষিক শাস্ত্রীয় কণার ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান হল (এস. আই ইউনিটে): যেখানে কণার বৈদ্যুতিক আধান, বৈদ্যুতিক স্কেলার সম্ভাব্যতা, এবং চৌম্বকীয় ভেক্টর সম্ভাবনার উপাদান যা স্পষ্টভাবে এবং এর উপর নির্ভর করতে পারে। এই ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান, ইউলার-ল্যাগ্রাঞ্জ সমীকরণের সাথে মিলিত হয়ে লরেঞ্জ বল আইন তৈরি করে এবং এটিকে ন্যূনতম সংযোগ বলা হয়। লক্ষ্য করুন যে স্কেলার সম্ভাব্যতা এবং ভেক্টর সম্ভাবনার মানগুলি একটি গেজ রূপান্তরের সময় পরিবর্তিত হবে এবং ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান নিজেই অতিরিক্ত পদগুলিও গ্রহণ করবে, তবে ল্যাগ্রাঞ্জিয়ানের অতিরিক্ত পদগুলি একটি স্কেলার ফাংশনের মোট সময় অন্তরজ পর্যন্ত যোগ করে এবং তাই এখনও একই অয়লার-ল্যাগ্রাঞ্জ সমীকরণ তৈরি করে। ক্যানোনিকাল মোমেন্টা নোট দ্বারা দেওয়া হয় যে ক্যানোনিকাল মোমেন্টা গেজ অপরিবর্তনীয় নয়, এবং শারীরিকভাবে পরিমাপযোগ্য নয়। যাইহোক, কাইনেটিক মোমেন্টা গেজ অপরিবর্তনীয় এবং শারীরিকভাবে পরিমাপযোগ্য। হ্যামিল্টনিয়ান, ল্যাগ্রাঞ্জিয়ানের কিংবদন্তি রূপান্তর হিসাবে, তাই এই সমীকরণটি কোয়ান্টাম বলবিজ্ঞানে প্রায়শই ব্যবহৃত হয়। একটি গেজ রূপান্তরের অধীনে, যেখানে f (r, t) স্থান এবং সময়ের যে কোনও স্কেলার ফাংশন, পূর্বোক্ত ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান, ক্যানোনিকাল মোমেন্টা এবং হ্যামিল্টনিয়ান রূপান্তর যা এখনও একই হ্যামিল্টনের সমীকরণ তৈরি করেঃ কোয়ান্টাম বলবিজ্ঞানে, তরঙ্গ ফাংশনটিও গেজ রূপান্তরের সময় একটি স্থানীয় U (1) গ্রুপ রূপান্তরের মধ্য দিয়ে যাবে, যা বোঝায় যে সমস্ত শারীরিক ফলাফল অবশ্যই স্থানীয় U (1) রূপান্তরের অধীনে অপরিবর্তনীয় হতে হবে। একটি তড়িৎচুম্বকীয় ক্ষেত্রে আপেক্ষিক আধানযুক্ত কণা একটি কণার (অবশিষ্ট ভর এবং আধান) আপেক্ষিক ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান নিম্নরূপ দেওয়া হয়ঃ সুতরাং কণার ক্যানোনিকাল ভরবেগ হল, গতিবেগ এবং সম্ভাব্য ভরবেগের সমষ্টি। এই ফলস্বরূপ বল সমীকরণ (ইউলার-ল্যাগ্রেঞ্জ সমীকরণের সমতুল্য) পাওয়া যায়। উপরের ব্যুৎপত্তিটি ভেক্টর ক্যালকুলাস আইডেন্টিটি ব্যবহার করেঃ রিলেটিভিস্টিক (কাইনেটিক) ভরবেগের ফাংশন হিসাবে হ্যামিল্টনিয়ানের জন্য একটি সমতুল্য অভিব্যক্তি হল, হ্যামিল্টনিয়ান, এর সুবিধা হল যে কাইনেটিক ভরবেগ পরীক্ষামূলকভাবে পরিমাপ করা যেতে পারে, কিন্তু ক্যানোনিকাল ভরবেগ পরিমাপ করা যায় না। লক্ষ্য করুন যে হ্যামিল্টনিয়ান (মোট শক্তি) কে আপেক্ষিক শক্তি (গতিবিদ্যা + বিশ্রাম), যোগ সম্ভাব্য শক্তির যোগফল হিসাবে দেখা যেতে পারে। মহাজাগতিক মুদ্রাস্ফীতির গবেষণায়, একটি স্কেলার ক্ষেত্রের ন্যূনতম সংযোগ সাধারণত মাধ্যাকর্ষণের সাথে ন্যূনতম সংযোগকে বোঝায়। এর মানে হল যে স্ফীত ক্ষেত্রের ক্রিয়া স্কেলার বক্রতার সাথে যুক্ত নয়। মাধ্যাকর্ষণের সাথে এর একমাত্র সংযোগ হ 'ল মেট্রিক (প্ল্যাঙ্ক ইউনিটে) থেকে নির্মিত লরেঞ্জ অপরিবর্তনীয় পরিমাপের সাথে সংযোগঃ যেখানে, এবং গেজ কোভ্যারিয়েন্ট ডেরিভেটিভ ব্যবহার করে। রেফারেন্স গেজ তত্ত্ব হ্যামিল্টনীয় বলবিজ্ঞান ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান বলবিজ্ঞান