Falkner–Skan boundary layer
তরল গতিবিদ্যায়, ফক্নার-স্ক্যান সীমানা স্তর (ভি. এম. ফক্নার এবং সিলভিয়া ডব্লিউ. স্ক্যানের নামে নামকরণ করা হয়েছে) স্থির দ্বিমাত্রিক ল্যামিনার সীমানা স্তরকে বর্ণনা করে যা একটি পাঁজরের উপর গঠিত হয়, অর্থাৎ। যে প্রবাহে প্লেটটি প্রবাহের সমান্তরাল নয়। এটি প্লেটের দৈর্ঘ্য বরাবর চাপের ঢাল সহ একটি সমতল প্লেটে প্রবাহের প্রতিনিধিত্ব করে, যা প্রায়শই বায়ু সুড়ঙ্গ প্রবাহের সম্মুখীন হয়। এটি সমতল প্লেট ব্লাসিয়াস সীমানা স্তরের একটি সাধারণীকরণ যেখানে প্লেট বরাবর চাপের ঢাল শূন্য। প্রান্টলের সীমানা স্তর সমীকরণ ফকনার-স্কান পদ্ধতির ভিত্তি হল প্রান্টলের সীমানা স্তর সমীকরণ। লুডভিগ প্রান্টল একটি প্রাচীর (ওয়েজ) বরাবর প্রবাহিত তরলের সমীকরণকে দুটি অঞ্চলে বিভক্ত করে সরল করেছেনঃ একটি সান্দ্রতা দ্বারা প্রভাবিত প্রাচীরের কাছাকাছি এবং একটি এই নিকট-প্রাচীর সীমানা স্তর অঞ্চলের বাইরে যেখানে সান্দ্রতা উপেক্ষা করা যেতে পারে সমাধানের উপর উল্লেখযোগ্য প্রভাব ছাড়াই। এর মানে হল যে নেভিয়ার-স্টোকস সমীকরণের প্রায় অর্ধেক পদ প্রাচীরের কাছাকাছি সীমানা স্তর প্রবাহে নগণ্য (প্লেটের সামনের প্রান্তের কাছাকাছি একটি ছোট অঞ্চল ব্যতীত)। সমীকরণের এই হ্রাসকৃত সেটটি প্রান্টল সীমানা স্তর সমীকরণ হিসাবে পরিচিত। ধ্রুবক সান্দ্রতা এবং ঘনত্বের সাথে স্থির অসংকুচিত প্রবাহের জন্য, এগুলি পড়েঃ ভর ধারাবাহিকতাঃ-গতিঃ-গতিঃ এখানে স্থানাঙ্ক ব্যবস্থাটি প্রবাহের দিকে প্লেটের সমান্তরালে নির্দেশ করে বেছে নেওয়া হয় এবং স্থানাঙ্কটি মুক্ত প্রবাহের দিকে নির্দেশ করে এবং বেগ উপাদান, চাপ, ঘনত্ব এবং গতিবেগ সান্দ্রতা। বিভিন্ন ধরনের প্রবাহের জন্য এই সমীকরণগুলির বেশ কয়েকটি সাদৃশ্য সমাধান পাওয়া গেছে। ফকনার এবং স্কান 1930 সালে একটি পাঁজর বরাবর ল্যামিনার প্রবাহের ক্ষেত্রে সাদৃশ্য সমাধান তৈরি করেছিলেন। সাদৃশ্য শব্দটি সেই বৈশিষ্ট্যকে বোঝায় যে প্রবাহের বিভিন্ন অবস্থানে বেগ প্রোফাইলগুলি সীমানা স্তরের পুরুত্বের স্কেলিং ফ্যাক্টর এবং একটি বৈশিষ্ট্যযুক্ত সীমানা স্তরের বেগ ছাড়াও একই রকম দেখায়। এই স্কেলিং ফ্যাক্টরগুলি আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলিকে তুলনামূলকভাবে সহজে সমাধান করা সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একটি সেটে হ্রাস করে। ফক্নার-স্কান সমীকরণ-প্রথম ক্রমের সীমানা স্তর ফক্নার এবং স্কান কিছু অভিন্ন বেগ ক্ষেত্র থেকে কোণ সহ একটি পাঁজর বিবেচনা করে ব্লাসিয়াস সীমানা স্তরকে সাধারণীকরণ করেছিলেন। ফকনার এবং স্ক্যানের প্রথম মূল ধারণা ছিল যে প্র্যান্ডটল এক্স-মোমেন্টাম সমীকরণে চাপের গ্রেডিয়েন্ট শব্দটি উচ্চ রেনল্ডস সংখ্যা সীমার বার্নৌলি সমীকরণের ডিফারেনশিয়াল ফর্ম দ্বারা প্রতিস্থাপিত হতে পারে। সুতরাংঃ এখানে সীমানা স্তরের প্রান্তে এর বেগ এবং বাইরের অঞ্চলে অয়লার সমীকরণের (তরল গতিবিদ্যা) সমাধান। বার্নৌলি সমীকরণের প্রতিস্থাপন করার পর, ফকনার এবং স্ক্যান উল্লেখ করেন যে, সাদৃশ্য সমাধান তখনই পাওয়া যায় যখন সীমানা স্তরের পুরুত্ব এবং বেগ স্কেলিং ফ্যাক্টরগুলি x-এর সহজ পাওয়ার ফাংশন বলে ধরে নেওয়া হয়। অর্থাৎ, তারা ধরে নিয়েছিল যে বেগ সাদৃশ্য স্কেলিং ফ্যাক্টরটি দ্বারা দেওয়া হয়েছেঃ যেখানে পাঁজরের দৈর্ঘ্য এবং m একটি মাত্রাবিহীন ধ্রুবক। ফকনার এবং স্ক্যান আরও ধরে নিয়েছিলেন যে সীমানা স্তরের পুরুত্ব স্কেলিং ফ্যাক্টরটি পোর্পোশনালঃ প্র্যান্ডটল গতিবেগ সীমানা স্তর সমীকরণগুলি একটি স্ট্রিম ফাংশন পদ্ধতির ব্যবহার করে সমাধান করা হলে ভর সংরক্ষণ স্বয়ংক্রিয়ভাবে নিশ্চিত হয়। স্কেলিং ফ্যাক্টরগুলির পরিপ্রেক্ষিতে স্ট্রিম ফাংশনটি দেওয়া হয়ঃ কোথায় এবং বেগগুলি দ্বারা দেওয়া হয়ঃ এর অর্থ হল অ-মাত্রিক প্র্যান্ডটল এক্স-মোমেন্টাম সমীকরণটি স্ট্রিম ফাংশন ভিত্তিক বেগগুলির সাথে মিল দৈর্ঘ্য এবং বেগ স্কেলিং ফ্যাক্টরগুলি ব্যবহার করে ফলস্বরূপ ফকনার-স্ক্যান সমীকরণ নামে পরিচিত একটি সমীকরণে পরিণত হয় এবং এটি দ্বারা দেওয়া হয়ঃ যেখানে প্রতিটি ড্যাশ এর সাপেক্ষে পার্থক্যকে উপস্থাপন করে (লক্ষ্য করুন যে একটি ভিন্ন জড়িত অন্য সমতুল্য সমীকরণ কখনও কখনও ব্যবহৃত হয়। এটি f এবং এর ডেরিভেটিভগুলি পরিবর্তন করে তবে শেষ পর্যন্ত একই ব্যাক-আউট এবং সমাধানের ফলাফল দেয়)। এই সমীকরণটি সীমানা শর্ত সহ একটি ODE হিসাবে নির্দিষ্টভাবে সমাধান করা যেতে পারেঃ কিছু কারসাজির পরে, ওয়েজ কোণটি দেওয়া হয়ঃ কেসটি ব্লাসিয়াস সীমানা স্তর সমাধানের সাথে মিলে যায়। কখন, সমস্যাটি হাইমেনজ প্রবাহে হ্রাস পায়। এখানে, m <0 একটি প্রতিকূল চাপের গ্রেডিয়েন্টের সাথে মিলে যায় (প্রায়শই সীমানা স্তর পৃথকীকরণের ফলে) যেখানে m> 0 একটি অনুকূল চাপের গ্রেডিয়েন্টকে উপস্থাপন করে। 1937 সালে ডগলাস হার্ট্রি দেখিয়েছিলেন যে ফকনার-স্কান সমীকরণের ভৌত সমাধান শুধুমাত্র সীমার মধ্যে বিদ্যমান। m-এর আরও ঋণাত্মক মানগুলির জন্য, অর্থাৎ, শক্তিশালী প্রতিকূল চাপের গ্রেডিয়েন্টগুলির জন্য, η = 0-এ সীমানা শর্তগুলি সন্তুষ্ট করে এমন সমস্ত সমাধানের বৈশিষ্ট্য রয়েছে যে η-এর মানগুলির একটি পরিসরের জন্য f (η)> 1। এটি শারীরিকভাবে অগ্রহণযোগ্য কারণ এটি বোঝায় যে সীমানা স্তরের বেগ মূল প্রবাহের চেয়ে বেশি। আরও বিস্তারিত তথ্য উইলকক্স (2007)-এ পাওয়া যেতে পারে। হাতে f এবং তার ব্যুৎপত্তিগুলির সমাধানের সাথে, ফকনার এবং স্ক্যান বেগগুলি হয়ে যায়ঃ এবং প্র্যান্ডটল-মোমেন্টাম সমীকরণটি-চাপের গ্রেডিয়েন্ট,/, পাওয়ার জন্য পুনর্বিন্যাস করা যেতে পারে, (এটি = 1 এবং = 2 মি/(মি + 1) ক্ষেত্রে উপযুক্ত সূত্র) যেখানে ফকনার-স্ক্যান প্রোফাইলের জন্য স্থানচ্যুতির পুরুত্ব দেওয়া হয়ঃ এবং ওয়েজে কাজ করা শিয়ার স্ট্রেসটি কম্প্রেসিবল ফকনার-স্ক্যান সীমানা স্তর দ্বারা দেওয়া হয় এখানে দেয়ালে একটি নির্দিষ্ট নির্দিষ্ট এনথালপি সহ ফকনার-স্ক্যান সীমানা স্তর অধ্যয়ন করা হয়। এখানে ঘনত্ব, সান্দ্রতা এবং তাপ পরিবাহিতা আর স্থির থাকে না। নিম্ন ম্যাকের আনুমানিক সংখ্যায়, ভর, ভরবেগ এবং শক্তি সংরক্ষণের সমীকরণটি হয়ে যায় যেখানে অনন্ততায় মূল্যায়িত বৈশিষ্ট্যগুলির প্রতিনিধিত্বকারী প্রত্যয় সহ প্রান্টল সংখ্যা। সীমানা শর্তগুলি হয়ে যায়। অসংকুচিত সীমানা স্তরের বিপরীতে, সাদৃশ্য সমাধান কেবল তখনই বিদ্যমান থাকতে পারে যদি রূপান্তরটি ধরে থাকে এবং এটি কেবল তখনই সম্ভব যদি। হাওয়ার্থ রূপান্তর হাওয়ার্থ-ডরোডনিৎসিন রূপান্তর ব্যবহার করে স্ব-সমতুল্য চলকগুলির পরিচয় দেওয়া সমীকরণগুলি হ্রাস করে সমীকরণগুলিতে পরিণত করা হয় একবার নির্দিষ্ট করা হলে সমীকরণটি সমাধান করা যেতে পারে। সীমানা শর্তগুলি হল বাতাসের জন্য সাধারণত ব্যবহৃত অভিব্যক্তিগুলি হল। যদি স্থির থাকে, তাহলে। আরও দেখুন ব্লাসিয়াস সীমানা স্তর রেফারেন্স সীমানা স্তর তরল গতিবিদ্যা