Representation up to homotopy
হোমোটপি পর্যন্ত একটি প্রতিনিধিত্বের বিভিন্ন অর্থ রয়েছে। সীমাবদ্ধ হ্যামিল্টনিয়ান ব্যবস্থার 'ভৌত' প্রসঙ্গে প্রাচীনতমগুলির মধ্যে একটি আবির্ভূত হয়েছিল। অপরিহার্য ধারণাটি হল একটি ভাগফলের উপর একটি অ-প্রতিনিধিত্ব তুলে নেওয়া যা ভাগফলের একটি রেজোলিউশনে শক্তিশালী হোমোটপি পর্যন্ত প্রতিনিধিত্ব করে। ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতিতে একটি ধারণা হিসাবে, এটি লাই বীজগণিত থেকে লাই অ্যালজেব্রয়েড এবং নন-ট্রিভিয়াল ভেক্টর বান্ডিলের প্রতিনিধিত্বের ধারণাকে সাধারণীকরণ করে। এইভাবে, এটি আবাদ এবং ক্রেনিক দ্বারা প্রবর্তিত হয়েছিল। একটি অনুপ্রেরণা হিসাবে একটি নিয়মিত লাই অ্যালজেব্রয়েড (এ, ρ, [.,]) বিবেচনা করুন। (নিয়মিত অর্থ যে নোঙ্গরের ধ্রুবক র্যাঙ্ক রয়েছে) যেখানে আমাদের দুটি প্রাকৃতিক এ-সংযোগ রয়েছে যথাক্রমে জি (এ) = কের আর এবং ν (এ) = টিএম/আইএম আরঃ লাই অ্যালজেব্রয়েড এ-এর বিকৃতি তত্ত্বে একটি দীর্ঘ সঠিক ক্রম রয়েছে এটি পরামর্শ দেয় যে বিকৃতিগুলির জন্য সঠিক কোহোমোলজি (এখানে এইচডিএফ হিসাবে চিহ্নিত) দুটি মডিউল জি (এ) এবং ν (এ) এর সরাসরি যোগফল থেকে আসে এবং এটিকে সংলগ্ন উপস্থাপনা বলা উচিত। তবে লক্ষ্য করুন যে আরও সাধারণ ক্ষেত্রে যেখানে ρ-এর ধ্রুবক র্যাঙ্ক নেই সেখানে আমরা সহজেই g (A) এবং ν (A) উপস্থাপনাগুলি সংজ্ঞায়িত করতে পারি না। পরিবর্তে আমাদের 2-মেয়াদী জটিল A → TM এবং এটির একটি উপস্থাপনা বিবেচনা করা উচিত। এটি এখানে ব্যাখ্যা করা ধারণার দিকে পরিচালিত করে। সংজ্ঞা ধরা যাক (A, ρ, [.,]) একটি মসৃণ ম্যানিফোল্ড এম-এর উপর একটি লাই অ্যালজেব্রয়েড হতে হবে এবং ω (এ) তার লাই অ্যালজেব্রয়েড কমপ্লেক্সকে নির্দেশ করে। আরও ধরা যাক E হল M-এর উপর একটি Z-গ্রেডেড ভেক্টর বান্ডিল এবং ω (A, E) = ω (A) ω (E) হল E-তে মান সহ এর Z-গ্রেডেড A-কোচেইন। D2 = 0। হোমোটপি অপারেটর উপরে যেমন প্রবর্তিত হয়েছে হোমোটপি পর্যন্ত একটি উপস্থাপনা নিম্নলিখিত তথ্যের সমতুল্য একটি ডিগ্রি 1 অপারেটর ষ্ণঃ E → E যা 0-এর সাথে বর্গাকার, E-এর সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ একটি A-সংযোগ, মোট ডিগ্রি 1-এর একটি শেষ (E)-মূল্যবান A-2-ফর্ম ω2, যাতে বক্রতা শেষ (E)-মূল্যবান A-p-ফর্মগুলি পূরণ করে ωp মোট ডিগ্রি 1 যা হোমোটপি সম্পর্কগুলি পূরণ করে। চিঠিপত্রকে সমরূপতা হিসাবে চিহ্নিত করা হয় একই আলজেব্রয়েড এ-এর সমরূপতা (ই, ডিই) এবং (এফ, ডিএফ) পর্যন্ত উপস্থাপনাগুলির মধ্যে একটি সমরূপতা হল একটি ডিগ্রি 0 মানচিত্র ±: ω (এ, ই) → ω (এ, এফ) যা পার্থক্যগুলির সাথে বিনিময় করে, অর্থাৎ। একটি সমরূপতা এখন একটি বিপরীতমুখী সমরূপতা। আমরা সমরূপতার সমতুল্য শ্রেণীর সাথে সমরূপতা পর্যন্ত প্রতিনিধিত্বের সমতুল্য শ্রেণীর বিভাগকে প্রতিনিধিত্ব করি। একটি কোচেইন ম্যাপের মধ্যে ডি-এর উপরের পচন, একটি সংযোগ ρ, এবং উচ্চতর সমস্থানিকগুলির অর্থে, আমরা φ কে φ0 + φ1 + হিসাবে বিচ্ছিন্ন করতে পারি এবং তারপরে সামঞ্জস্যের শর্তটি পড়ে যায় উদাহরণস্বরূপ লাই অ্যালজেব্রয়েড বা আরও নির্দিষ্টভাবে লাই অ্যালজেব্রার সাধারণ উপস্থাপনা, অর্থাৎ। মডিউল। আরেকটি উদাহরণ দেওয়া হয়েছে একটি পি-ফর্ম ωp দ্বারা একসাথে E = M × R [0] ωR [p] এবং অপারেটর D = ρ + ωp যেখানে ρ হল তুচ্ছ বান্ডিল M × R-এর সমতল সংযোগ। হোমোটপি পর্যন্ত একটি উপস্থাপনা দেওয়া হলে D = ষ্ণ + r + ω2 +. আমরা সংযোগের মাধ্যমে হোমোটপি পর্যন্ত একটি নতুন উপস্থাপনা তৈরি করতে পারি, অর্থাৎ। D "'= ষ্ণ − ρ + ω2 − ω3 + −। সংযুক্ত উপস্থাপনা একটি লাই অ্যালজেব্রয়েড দেওয়া হয়েছে (এ, ρ, [.,]) তার ভেক্টর বান্ডেলে একটি সংযোগের সাথে আমরা দুটি সম্পর্কিত এ-সংযোগকে নিম্নরূপ সংজ্ঞায়িত করতে পারি। প্রথম পর্যবেক্ষণটি হল যে এই শব্দটি নোঙ্গর মানচিত্র ρ দিয়ে সজ্জিত, সেই অনুযায়ী, উভয় সংযোগের বক্রতা প্রকাশ করে। দ্বিতীয়ত, আমরা হোমোটপি পর্যন্ত তিনটি উপাদানকে একটি উপস্থাপনার সাথে মেলাতে পারিঃ আরেকটি পর্যবেক্ষণ হল যে হোমোটপি পর্যন্ত ফলাফলের উপস্থাপনা নির্বাচিত সংযোগ ρ থেকে স্বাধীন, মূলত কারণ দুটি A-সংযোগের মধ্যে পার্থক্য হল একটি (A−1-ফর্ম এবং শেষ (E ") এর মান। তথ্যসূত্র আলজেব্রার প্রতিনিধিত্ব তত্ত্ব ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতি