Locally profinite group
গণিতে, একটি স্থানীয়ভাবে প্রফাইনাইট গ্রুপ হল একটি হাউজডর্ফ টপোলজিকাল গ্রুপ যেখানে পরিচয় উপাদানের প্রতিটি পাড়ায় একটি কম্প্যাক্ট ওপেন সাবগ্রুপ থাকে। সমতুল্যভাবে, একটি স্থানীয়ভাবে প্রফাইনাইট গ্রুপ হল একটি টপোলজিকাল গ্রুপ যা হাউজডর্ফ, স্থানীয়ভাবে কম্প্যাক্ট এবং সম্পূর্ণ বিচ্ছিন্ন। উপরন্তু, একটি স্থানীয়ভাবে প্রফাইনাইট গ্রুপ সংক্ষিপ্ত হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি এটি প্রফাইনাইট হয়; এটি পরিভাষাটি ব্যাখ্যা করে। স্থানীয়ভাবে অসীম গোষ্ঠীর মৌলিক উদাহরণ হল বিচ্ছিন্ন গোষ্ঠী এবং পি-অ্যাডিক লাই গোষ্ঠী। অ-উদাহরণগুলি হল আসল লাই গ্রুপ, যার কোনও ছোট উপগোষ্ঠীর বৈশিষ্ট্য নেই। একটি স্থানীয়ভাবে প্রোফাইনাইট গোষ্ঠীতে, একটি বদ্ধ উপগোষ্ঠী স্থানীয়ভাবে প্রোফাইনাইট হয় এবং প্রতিটি কম্প্যাক্ট উপগোষ্ঠী একটি উন্মুক্ত কম্প্যাক্ট উপগোষ্ঠীতে থাকে। উদাহরণস্বরূপ, বীজগাণিতিক সংখ্যা তত্ত্ব থেকে স্থানীয়ভাবে অসীম গোষ্ঠীর গুরুত্বপূর্ণ উদাহরণ পাওয়া যায়। ধরা যাক F একটি অ-আর্কিমিডিয়ান স্থানীয় ক্ষেত্র। তারপর উভয়ই এফ এবং স্থানীয়ভাবে অসীম। আরও সাধারণভাবে, ম্যাট্রিক্স বলয় এবং সাধারণ রৈখিক গোষ্ঠী স্থানীয়ভাবে অসীম। স্থানীয়ভাবে প্রফাইনাইট গ্রুপের আরেকটি উদাহরণ হল একটি অ-আর্কিমিডিয়ান স্থানীয় ক্ষেত্রের পরম ওয়েইল গ্রুপঃ এটি এই সত্যের বিপরীতে যে এই ধরনের পরম গ্যালোইস গ্রুপটি প্রফাইনাইট (বিশেষ করে কম্প্যাক্ট)। একটি স্থানীয়ভাবে প্রফাইনাইট গ্রুপের প্রতিনিধিত্ব ধরা যাক জি একটি স্থানীয়ভাবে প্রফাইনাইট গ্রুপ। তারপর একটি গ্রুপ সমরূপতা অবিচ্ছিন্ন হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি এটির খোলা কার্নেল থাকে। G-এর একটি জটিল উপস্থাপনা ধরা যাক। এটিকে মসৃণ বলা হয় যদি V একটি ইউনিয়ন হয় যেখানে K সমস্ত খোলা কম্প্যাক্ট উপগোষ্ঠীর উপর চলে K-কে গ্রহণযোগ্য বলা হয় যদি এটি মসৃণ হয় এবং যে কোনও খোলা কম্প্যাক্ট উপগোষ্ঠী K-এর জন্য সীমাবদ্ধ-মাত্রিক হয়। আমরা এখন একটি কম্বল অনুমান করি যা সমস্ত খোলা কম্প্যাক্ট উপগোষ্ঠী K-এর জন্য সর্বাধিক গণনাযোগ্য। দ্বৈত স্থানটি দ্বারা প্রদত্ত G-এর ক্রিয়া বহন করে। সাধারণভাবে, মসৃণ নয়। এইভাবে, আমরা কোথায় কাজ করছি তা নির্ধারণ করি এবং সেট করি। মসৃণ উপস্থাপনাকে তখন কন্ট্রাগ্রিডিয়েন্ট বা মসৃণ দ্বৈত বলা হয়। জি-এর মসৃণ উপস্থাপনার বিভাগ থেকে বিপরীতমুখী ফাংক্টর নিজেই সঠিক। উপরন্তু, নিম্নলিখিতগুলি সমতুল্য। গ্রহণযোগ্য। গ্রহণযোগ্য। ক্যানোনিকাল জি-মডিউল মানচিত্রটি একটি সমরূপতা। কখন গ্রহণযোগ্য, অপরিবর্তনীয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি অপরিবর্তনীয় হয়। শুরুতে গণনাযোগ্যতা অনুমান সত্যিই প্রয়োজনীয়, কারণ স্থানীয়ভাবে একটি অসীম গোষ্ঠী রয়েছে যা একটি অপরিবর্তনীয় মসৃণ উপস্থাপনা স্বীকার করে যা অপরিবর্তনীয় নয়। একটি স্থানীয়ভাবে অসীম গোষ্ঠীর হেক বীজগণিত ধরা যাক একটি একক স্থানীয়ভাবে অসীম গোষ্ঠী যা সমস্ত উন্মুক্ত কম্প্যাক্ট উপগোষ্ঠী K-এর জন্য সর্বাধিক গণনাযোগ্য, এবং একটি বাম হার পরিমাপ। আসুন কম্প্যাক্ট সাপোর্ট সহ স্থানীয়ভাবে ধ্রুবক ফাংশনের স্থান নির্দেশ করি। দ্বারা প্রদত্ত গুণিতক কাঠামোর সাথে অপরিহার্যভাবে একক সহযোগী-বীজগণিত হয়ে ওঠে না। এটিকে জি-এর হেক বীজগণিত বলা হয় এবং দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। বীজগণিত স্থানীয়ভাবে অসীম গোষ্ঠীগুলির মসৃণ উপস্থাপনা অধ্যয়নে গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে। প্রকৃতপক্ষে, একজনের নিম্নলিখিতগুলি রয়েছেঃ জি-এর মসৃণ উপস্থাপনা দেওয়া হলে, আমরা ভি-এর উপর একটি নতুন ক্রিয়াকে সংজ্ঞায়িত করিঃ সুতরাং, আমাদের মসৃণ উপস্থাপনা বিভাগ থেকে অ-অবক্ষয়-মডিউল বিভাগ পর্যন্ত ফাংক্টর রয়েছে। এখানে, "নন-ডিজেনারেট" মানে। তারপর বাস্তবতা হল যে ফাংক্টর একটি সমতুল্য। উদ্ধৃতি কোরিন ব্লন্ডেল, হ্রাসকারী পি-অ্যাডিক গোষ্ঠীর মৌলিক উপস্থাপনা তত্ত্ব টপোলজিকাল গ্রুপ