Orthogonal polynomials
গণিতে, একটি অর্থোগোনাল পলিনোমিয়াল সিকোয়েন্স হল পলিনোমিয়ালের একটি পরিবার যাতে কোনও অভ্যন্তরীণ গুণফলের অধীনে ক্রমের যে কোনও দুটি ভিন্ন পলিনোমিয়াল একে অপরের সাথে অর্থোগোনাল হয়। সর্বাধিক ব্যবহৃত অর্থোগোনাল বহুপদগুলি হল ধ্রুপদী অর্থোগোনাল বহুপদগুলি, যা হারমাইট বহুপদগুলি, ল্যাগুয়ের বহুপদগুলি এবং জ্যাকোবি বহুপদগুলি নিয়ে গঠিত। গেগেনবাওয়ার বহুপদগুলি জ্যাকোবি বহুপদগুলির সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ শ্রেণী গঠন করে; তাদের মধ্যে চেবিশেভ বহুপদ এবং বিশেষ ক্ষেত্রে লেজেন্ড্রে বহুপদ অন্তর্ভুক্ত রয়েছে। 19 শতকের শেষের দিকে পি. এল. চেবিশেভের অব্যাহত ভগ্নাংশের অধ্যয়ন থেকে অর্থোগোনাল বহুপদের ক্ষেত্রটি বিকশিত হয়েছিল এবং এ দ্বারা অনুসরণ করা হয়েছিল। এ. মার্কভ এবং টি. জে. স্টিল্টজেস। এগুলি বিভিন্ন ক্ষেত্রে দেখা যায়ঃ সংখ্যাসূচক বিশ্লেষণ (চতুর্ভুজ নিয়ম), সম্ভাব্যতা তত্ত্ব, উপস্থাপনা তত্ত্ব (মিথ্যা গোষ্ঠী, কোয়ান্টাম গোষ্ঠী এবং সম্পর্কিত বস্তুর), গণনামূলক সমন্বয়বিদ্যা, বীজগাণিতিক সংযোজনবিদ্যা, গাণিতিক পদার্থবিজ্ঞান (এলোমেলো ম্যাট্রিক্সের তত্ত্ব, ইন্টিগ্রেবল সিস্টেম ইত্যাদি)। ), এবং সংখ্যা তত্ত্ব। অর্থোগোনাল বহুপদী নিয়ে কাজ করেছেন এমন কয়েকজন গণিতবিদের মধ্যে রয়েছেন গাবোর সেজেগো, সের্গেই বার্নস্টাইন, নাওম আখিয়েজার, আর্থার এরদেলি, ইয়াকভ জেরোনিমাস, ওল্ফগ্যাং হান, থিওডোর সেইও চিহারা, মুরাদ ইসমাইল, ওয়ালিদ আল-সালাম, রিচার্ড আসকি এবং রেহুয়েল লোবাটো। বাস্তব পরিমাপের জন্য 1-ভেরিয়েবল কেসের সংজ্ঞা বাস্তব সংখ্যার উপর যে কোনও অ-হ্রাসকারী ফাংশন দেওয়া হলে, আমরা f ফাংশনের লেবেস্গু-স্টিল্টজেস ইন্টিগ্রালকে সংজ্ঞায়িত করতে পারি। যদি এই ইন্টিগ্রালটি সমস্ত বহুপদী f-এর জন্য সীমাবদ্ধ হয়, তবে আমরা f এবং g-এর জোড়ার উপর একটি অভ্যন্তরীণ গুণফলকে সংজ্ঞায়িত করতে পারি। এটি স্বাভাবিক উপায়ে অর্থোগোনালিটির একটি ধারণাকে প্ররোচিত করে, অর্থাৎ দুটি বহুপদী অর্থোগোনাল হয় যদি তাদের অভ্যন্তরীণ গুণফল শূন্য হয়। তারপর অর্থোগোনাল পলিনোমিয়ালগুলির ক্রম সম্পর্ক দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয় অন্য কথায়, ক্রমটি 1, x, x2, এর ক্রম থেকে পাওয়া যায়. এই অভ্যন্তরীণ গুণফলের সাপেক্ষে গ্রাম-শ্মিট প্রক্রিয়া দ্বারা। সাধারণত ক্রমটি অর্থোনরমাল হতে হয়, তবে, অন্যান্য স্বাভাবিকীকরণ কখনও কখনও ব্যবহার করা হয়। একেবারে অবিচ্ছিন্ন ক্ষেত্রে কখনও কখনও আমাদের বাস্তব লাইনের কিছু বিরতিতে সমর্থন সহ একটি অ-নেতিবাচক ফাংশন থাকে (যেখানে এবং অনুমোদিত)। এই ধরনের একটি ওজন ফাংশন বলা হয়। তবে, অর্থোগোনাল পলিনোমিয়ালের অনেক উদাহরণ রয়েছে যেখানে পরিমাপের অ-শূন্য পরিমাপের সাথে পয়েন্ট রয়েছে যেখানে ফাংশনটি বিচ্ছিন্ন, তাই উপরের মতো ওজন ফাংশন দ্বারা দেওয়া যায় না। অর্থোগোনাল পলিনোমিয়ালের উদাহরণ সর্বাধিক ব্যবহৃত অর্থোগোনাল পলিনোমিয়ালগুলি একটি বাস্তব ব্যবধানের সমর্থন সহ একটি পরিমাপের জন্য অর্থোগোনাল। এর মধ্যে রয়েছেঃ ধ্রুপদী অর্থোগোনাল বহুপদী (জ্যাকোবি বহুপদী, ল্যাগুয়ের বহুপদী, হার্মাইট বহুপদী এবং তাদের বিশেষ ক্ষেত্রে গেগেনবাউয়ার বহুপদী, চেবিশেভ বহুপদী এবং কিংবদন্তি বহুপদী)। উইলসন বহুপদী, যা জ্যাকোবি বহুপদীগুলিকে সাধারণীকরণ করে। এগুলিতে বিশেষ ক্ষেত্রে অনেক অর্থোগোনাল বহুপদী অন্তর্ভুক্ত রয়েছে, যেমন মিক্সনার-পোলাক্জেক বহুপদী, অবিচ্ছিন্ন হান বহুপদী, অবিচ্ছিন্ন দ্বৈত হান বহুপদী এবং অ্যাস্কি স্কিম দ্বারা বর্ণিত শাস্ত্রীয় বহুপদী। বিচ্ছিন্ন অর্থোগোনাল বহুপদগুলি কিছু পৃথক পরিমাপের সাপেক্ষে অর্থোগোনাল হয়। কখনও কখনও পরিমাপের সসীম সমর্থন থাকে, যে ক্ষেত্রে অর্থোগোনাল বহুপদের পরিবার একটি অসীম ক্রমের পরিবর্তে সসীম হয়। রাকাহ পলিনোমিয়ালগুলি পৃথক অর্থোগোনাল পলিনোমিয়ালের উদাহরণ, এবং বিশেষ ক্ষেত্রে হান পলিনোমিয়াল এবং দ্বৈত হান পলিনোমিয়াল অন্তর্ভুক্ত করে, যা বিশেষ ক্ষেত্রে মিক্সনার পলিনোমিয়াল, ক্রাউটচুক পলিনোমিয়াল এবং চার্লিয়ার পলিনোমিয়াল অন্তর্ভুক্ত করে। মিক্সনার সমস্ত অর্থোগোনাল শেফার ক্রমকে শ্রেণীবদ্ধ করেছেনঃ শুধুমাত্র হারমাইট, ল্যাগুয়েরে, চার্লিয়ার, মিক্সনার এবং মিক্সনার-পোলাক্জেক রয়েছে। কিছু অর্থে ক্রোটচুকও এই তালিকায় থাকা উচিত, তবে এগুলি একটি সীমাবদ্ধ ক্রম। এই ছয়টি পরিবার এনইএফ-কিউভিএফ-এর সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ এবং নির্দিষ্ট লেভি প্রক্রিয়াগুলির জন্য মার্শাল বহুপদী। সিভড অর্থোগোনাল পলিনোমিয়াল, যেমন সিভড আল্ট্রাসফেরিকাল পলিনোমিয়াল, সিভড জ্যাকোবি পলিনোমিয়াল এবং সিভড পোলাক্জেক পলিনোমিয়ালগুলির পুনরাবৃত্তির সম্পর্ক পরিবর্তিত হয়েছে। জটিল সমতলে কিছু বক্ররেখার জন্য অর্থোগোনাল বহুপদীও বিবেচনা করা যেতে পারে। সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ ক্ষেত্রে (বাস্তব ব্যবধান ব্যতীত) হল যখন বক্ররেখাটি একক বৃত্ত হয়, যা একক বৃত্তে অর্থোগোনাল বহুপদী প্রদান করে, যেমন রজার্স-সেগো বহুপদী। অর্থোগোনাল পলিনোমিয়ালের কিছু পরিবার রয়েছে যা ত্রিভুজ বা ডিস্কের মতো সমতল অঞ্চলে অর্থোগোনাল। এগুলি কখনও কখনও জ্যাকোবি বহুপদীর পরিপ্রেক্ষিতে লেখা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, জার্নাইক বহুপদগুলি একক ডিস্কে অর্থোগোনাল। সাধারণ ফ্রিকোয়েন্সি বিভাগ মাল্টিপ্লেক্সিং (জি. এফ. ডি. এম) কাঠামোর ক্ষেত্রে হারমাইট বহুপদীর বিভিন্ন ক্রমের মধ্যে অর্থোগোনালিটির সুবিধা প্রয়োগ করা হয়। সময়-ফ্রিকোয়েন্সি জালের প্রতিটি গ্রিডে একাধিক প্রতীক বহন করা যেতে পারে। বাস্তব রেখার একটি অ-ঋণাত্মক পরিমাপ দ্বারা সংজ্ঞায়িত একটি চলকের অর্থোগোনাল বহুপদের নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্য রয়েছে। মুহুর্তের সাথে সম্পর্ক অর্থোগোনাল বহুপদী পিএন নিম্নলিখিত মুহুর্তের পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করা যেতে পারেঃ যেখানে ধ্রুবক সিএন নির্বিচারে (পিএন-এর স্বাভাবিকীকরণের উপর নির্ভর করে)। এটি সরাসরি মনোমিয়ালগুলিতে গ্রাম-শ্মিট প্রক্রিয়া প্রয়োগ করার মাধ্যমে আসে, প্রতিটি পলিনোমিয়ালকে পূর্ববর্তীগুলির সাপেক্ষে অর্থোগোনাল হতে বাধ্য করে। উদাহরণস্বরূপ, প্রিস্ক্রাইব সহ অর্থোগোনালিটি যার অবশ্যই ফর্ম থাকতে হবে যা নির্ধারকের সাথে পূর্বে প্রদত্ত অভিব্যক্তির সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ বলে মনে করা যেতে পারে। পুনরাবৃত্তির সম্পর্ক পলিনোমিয়াল পিএন সেই ফর্মের পুনরাবৃত্তির সম্পর্ককে সন্তুষ্ট করে যেখানে এন 0 নয়। বিপরীতটিও সত্য; ফেভার্ডের উপপাদ্য দেখুন। ক্রিস্টোফেল-ডারবাক্স সূত্র শূন্য যদি পরিমাপ dα একটি ব্যবধান [a, b]-এ সমর্থিত হয়, তবে Pn-এর সমস্ত শূন্য [a, b]-এ থাকে। অধিকন্তু, শূন্যগুলির নিম্নলিখিত আন্তঃবিন্যাস বৈশিষ্ট্য রয়েছেঃ যদি m <n হয়, তবে Pm-এর যে কোনও দুটি শূন্যের মধ্যে Pn-এর একটি শূন্য থাকে। শূন্যের ইলেক্ট্রোস্ট্যাটিক ব্যাখ্যা দেওয়া যেতে পারে। 1980-এর দশক থেকে, এক্স. জি. ভিয়েনোট, জে. লেবেল, ওয়াই. এন. ইয়ে, ডি. ফোয়াটা এবং অন্যান্যদের কাজের সাথে, সমস্ত ধ্রুপদী অর্থোগোনাল বহুপদীর জন্য সমন্বিত ব্যাখ্যা পাওয়া যায়। অন্যান্য ধরনের অর্থোগোনাল পলিনোমিয়াল মাল্টিভ্যারিয়েট অর্থোগোনাল পলিনোমিয়াল ম্যাকডোনাল্ড পলিনোমিয়ালগুলি একটি অ্যাফিন রুট সিস্টেমের পছন্দের উপর নির্ভর করে বিভিন্ন চলকের অর্থোগোনাল পলিনোমিয়াল। এগুলির মধ্যে জ্যাক পলিনোমিয়াল, হল-লিটলউড পলিনোমিয়াল, হেকম্যান-অপডাম পলিনোমিয়াল এবং কুর্নউইন্ডার পলিনোমিয়াল সহ বিশেষ ক্ষেত্রে মাল্টিভ্যারিয়েবল অর্থোগোনাল পলিনোমিয়ালের আরও অনেক পরিবার অন্তর্ভুক্ত রয়েছে। অ্যাস্কি-উইলসন বহুপদগুলি ম্যাকডোনাল্ড বহুপদগুলির বিশেষ ক্ষেত্রে র্যাঙ্ক 1-এর একটি নির্দিষ্ট অ-হ্রাসকৃত মূল ব্যবস্থার জন্য। একাধিক অর্থোগোনাল পলিনোমিয়াল একাধিক অর্থোগোনাল পলিনোমিয়াল হল একটি চলকের পলিনোমিয়াল যা পরিমাপের একটি সীমাবদ্ধ পরিবারের সাপেক্ষে অর্থোগোনাল। সোবোলেভ অর্থোগোনাল বহুপদ এগুলি একটি সোবোলেভ অভ্যন্তরীণ পণ্যের সাপেক্ষে অর্থোগোনাল বহুপদ, অর্থাৎ। ডেরিভেটিভস সহ একটি অভ্যন্তরীণ পণ্য। ডেরিভেটিভস সহ বহুপদগুলির জন্য বড় পরিণতি রয়েছে, সাধারণভাবে তারা আর শাস্ত্রীয় অর্থোগোনাল বহুপদের কিছু ভাল বৈশিষ্ট্য ভাগ করে না। ম্যাট্রিক্স সহ অর্থোগোনাল পলিনোমিয়ালগুলির ম্যাট্রিক্স সহ অর্থোগোনাল পলিনোমিয়ালগুলির হয় সহগ রয়েছে যা ম্যাট্রিক্স বা অনির্ধারিত একটি ম্যাট্রিক্স। আরও দেখুন অ্যাপেল সিকোয়েন্স অ্যাস্কি স্কিম অফ হাইপারজিওমেট্রিক অর্থোগোনাল পলিনোমিয়ালস ফেভার্ড 'স থিওরেম পলিনোমিয়াল সিকোয়েন্স অফ বাইনোমিয়াল টাইপ বায়োরথোগোনাল পলিনোমিয়ালস জেনারেলাইজড ফুরিয়ার সিরিজ সেকেন্ডারি পরিমাপ শেফার সিকোয়েন্স স্টর্ম-লিউভিল থিওরি আমব্রাল ক্যালকুলাস প্ল্যানচেরেল-রোটাচ অ্যাসিম্পটোটিক্স রেফারেন্স সি চ্যান, এ মিরোনভ, এ মোরোজভ, এ স্লেপটসভ,। প্রমাণ সম্বলিত নিবন্ধ