Alexiewicz norm
গণিতে-বিশেষত, ইন্টিগ্রেশন তত্ত্বে-অ্যালেক্সিভিচ আদর্শ হেনস্টক-কুর্জওয়েল ইন্টিগ্রালের সাথে যুক্ত একটি অবিচ্ছেদ্য আদর্শ। অ্যালেক্সিভিচ আদর্শ হেনস্টক-কুর্জওয়েল ইন্টিগ্রেবল ফাংশনের স্থানটিকে একটি টপোলজিকাল ভেক্টর স্পেসে পরিণত করে যা ব্যারেলযুক্ত কিন্তু সম্পূর্ণ নয়। আলেক্সিভিচ আদর্শের নামকরণ করা হয়েছে পোলিশ গণিতবিদ আন্দ্রেজ আলেক্সিভিচের নামে, যিনি 1948 সালে এটি প্রবর্তন করেছিলেন। সংজ্ঞা HK (R)-কে সমস্ত ফাংশনের স্থান নির্দেশ করা যাক f: R → R যার সসীম হেনস্টক-কুর্জওয়েল ইন্টিগ্রাল রয়েছে। এটি এইচকে (আর)-এর উপর একটি আধা-আদর্শকে সংজ্ঞায়িত করে; যদি প্রায় সর্বত্র সমান লেবসগ-সমান ফাংশনগুলি চিহ্নিত করা হয়, তবে এই পদ্ধতিটি প্রায় সর্বত্র সমতার সমতুল্য সম্পর্ক দ্বারা এইচকে (আর)-এর ভাগফলের উপর একটি যথার্থ আদর্শকে সংজ্ঞায়িত করে। (লক্ষ্য করুন যে একমাত্র ধ্রুবক ফাংশন f: R → R যা ইন্টিগ্রেবল তা হল ধ্রুবক মান শূন্য।) বৈশিষ্ট্য অ্যালেক্সিভিচ আদর্শ এইচকে (আর)-কে এমন একটি টপোলজি প্রদান করে যা ব্যারেলযুক্ত কিন্তু অসম্পূর্ণ। উপরে সংজ্ঞায়িত অ্যালেক্সিভিচ আদর্শটি দ্বারা সংজ্ঞায়িত আদর্শের সমতুল্য অ্যালেক্সিভিচ আদর্শের সাপেক্ষে এইচকে (আর)-এর সমাপ্তিকে প্রায়শই এ (আর) হিসাবে চিহ্নিত করা হয় এবং এটি টেম্পার্ড ডিস্ট্রিবিউশনের স্থানের একটি সাবস্পেস, যা শোয়ার্জ স্থানের দ্বৈত। আরও সুনির্দিষ্টভাবে বলতে গেলে, A (R) সেই টেম্পারড ডিস্ট্রিবিউশনগুলি নিয়ে গঠিত যা সংগ্রহে ফাংশনের ডিস্ট্রিবিউশনাল ডেরিভেটিভ। অতএব, যদি f ωA (R) হয়, তবে f একটি টেম্পারড ডিস্ট্রিবিউশন এবং উপরের সংগ্রহে একটি অবিচ্ছিন্ন ফাংশন F রয়েছে যাতে প্রতিটি কম্প্যাক্টলি সমর্থিত C ω টেস্ট ফাংশন φ: R → R-এর জন্য। এই ক্ষেত্রে, এটি ধরে রাখে যে ট্রান্সলেশন অপারেটর অ্যালেক্সিভিজ আদর্শের সাপেক্ষে অবিচ্ছিন্ন। অর্থাৎ, যদি f ω HK (R) এবং x ω R-এর জন্য f বাই x-এর Txf অনুবাদটি রেফারেন্স নর্মস (গণিত) দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়।