Christopher Deninger
ক্রিস্টোফার ডেনিঙ্গার (জন্ম 8ই এপ্রিল 1958) হলেন মুনস্টার বিশ্ববিদ্যালয়ের একজন জার্মান গণিতবিদ। ডেনিঞ্জারের গবেষণা এল-ফাংশনগুলির প্রয়োগ সহ গাণিতিক জ্যামিতির উপর দৃষ্টি নিবদ্ধ করে। ক্যারিয়ার ডেনিঙ্গার 1982 সালে কার্ট মায়ারের তত্ত্বাবধানে কোলোন বিশ্ববিদ্যালয় থেকে ডক্টরেট ডিগ্রি অর্জন করেন। 1992 সালে তিনি মাইকেল রাপোপর্ট, পিটার স্নাইডার এবং থমাস জিঙ্কের সাথে গটফ্রিড উইলহেলম লাইবনিজ পুরস্কার ভাগ করে নেন। 1998 সালে তিনি বার্লিনে গণিতবিদদের আন্তর্জাতিক কংগ্রেসে পূর্ণাঙ্গ বক্তা ছিলেন। 2012 সালে তিনি আমেরিকান ম্যাথমেটিকাল সোসাইটির ফেলো হন। গাণিতিক কাজ আর্টিন-ভার্ডিয়ার দ্বৈততা 1984 থেকে 1987 সালের মধ্যে একাধিক গবেষণাপত্রে ডেনিঙ্গার আর্টিন-ভার্ডিয়ার দ্বৈততার সম্প্রসারণ নিয়ে গবেষণা করেন। বিস্তৃতভাবে বলতে গেলে, আর্টিন-ভার্ডিয়ার দ্বৈততা, শ্রেণী ক্ষেত্র তত্ত্বের একটি পরিণতি, পয়েনকারে দ্বৈততার একটি গাণিতিক সাদৃশ্য, একটি কম্প্যাক্ট ম্যানিফোল্ডের উপর শেফ কোহোমোলজির জন্য একটি দ্বৈততা। এই সমান্তরালে, একটি সংখ্যার ক্ষেত্রে পূর্ণসংখ্যার (বর্ণালী) বলয়টি 3-গুণের সাথে মিলে যায়। মাজুরের কাজ অনুসরণ করে, ডেনিঙ্গার (1984) আর্টিন-ভার্ডিয়ার দ্বৈততাকে কার্যকরী ক্ষেত্রে প্রসারিত করেন। ডেনিঙ্গার তখন এই ফলাফলগুলি বিভিন্ন দিকে প্রসারিত করেছিলেন, যেমন অ-টর্জন শেভ (1986), গাণিতিক পৃষ্ঠতল (1987), পাশাপাশি উচ্চ-মাত্রিক স্থানীয় ক্ষেত্র (উইংবার্গ, 1986)। পরবর্তী গবেষণাপত্রে বিবেচনা করা ব্লচের অনুপ্রেরণামূলক জটিলতার উপস্থিতি বেশ কয়েকজন লেখকের কাজকে প্রভাবিত করেছিল, যাদের মধ্যে ব্লচের জটিলতাগুলি উচ্চ-মাত্রিক পরিকল্পনার উপর দ্বৈতকরণ জটিল হিসাবে চিহ্নিত করেছিলেন। ডেনিঞ্জারের গবেষণাপত্রের আরেকটি গোষ্ঠী এল-ফাংশন এবং তাদের বিশেষ মান নিয়ে গবেষণা করে। একটি এল-ফাংশনের একটি ধ্রুপদী উদাহরণ হল রিমান জিটা ফাংশন ζ (s), যার জন্য ζ (2) = π2/6 এর মতো সূত্রগুলি অয়লার থেকে জানা যায়। একটি যুগান্তকারী গবেষণাপত্রে, এল-ফাংশনের বিশেষ মানগুলি, অর্থাৎ পূর্ণসংখ্যায় এল-ফাংশনের মানগুলি বর্ণনা করে সুদূরপ্রসারী অনুমানের একটি সেট প্রস্তাব করা হয়েছিল। খুব মোটামুটি ভাষায়, বেইলিনসনের অনুমানগুলি দাবি করে যে, কিউ-এর উপর একটি মসৃণ প্রজেক্টিভ বীজগাণিতিক বৈচিত্র্য এক্স-এর জন্য, এক্স-এর অনুপ্রেরণামূলক কোহোমোলজি এক্স-এর ডেলিগনে কোহোমোলজির সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত হওয়া উচিত। উপরন্তু, বেইলিনসনের অনুমান অনুসারে, এই দুটি সমস্থানিক তত্ত্বের মধ্যে সম্পর্ক ব্যাখ্যা করা উচিত, পূর্ণসংখ্যা s-এ মেরু ক্রম এবং L (hn (X), s)-এর মান। ব্লক এবং বেইলিনসন এই অনুমানের অপরিহার্য অংশগুলি প্রমাণ করেছেন h1 (X)-এর ক্ষেত্রে যেখানে X জটিল গুণন এবং s = 2 সহ একটি উপবৃত্তাকার বক্ররেখা। 1988 সালে, ডেনিঙ্গার ও উইংবার্গ সেই ফলাফলের একটি ব্যাখ্যা দেন। 1989 এবং 1990 সালে, ডেনিঙ্গার এই ফলাফলটি শিমুরার দ্বারা বিবেচিত কিছু উপবৃত্তাকার বক্ররেখার মধ্যে প্রসারিত করেছিলেন, সব মিলিয়ে 2। ডেনিঞ্জার এবং নর্ট (1995) বেইলিনসনের অনুমানের একটি মূল উপাদান উচ্চতা জুটিকে একটি নির্দিষ্ট বিভাগের উদ্দেশ্যের মধ্যে এক্স-গ্রুপগুলির একটি প্রাকৃতিক জুটি হিসাবে প্রকাশ করেছেন। 1995 সালে, ডেনিঙ্গার ডেলিগনে কোহোমোলজিতে ম্যাসি পণ্যগুলি অধ্যয়ন করেন এবং সেখান থেকে s = 3 এ একটি উপবৃত্তাকার বক্ররেখার L-ফাংশনের বিশেষ মানের জন্য একটি সূত্র অনুমান করেন, যা পরবর্তীকালে দ্বারা নিশ্চিত করা হয়েছিল। 2018 সালের হিসাবে, বেইলিনসনের অনুমান এখনও ব্যাপকভাবে উন্মুক্ত, এবং বেইলিনসনের অনুমান সফলভাবে আক্রমণ করা হয়েছে এমন কয়েকটি ক্ষেত্রে ডেনিঞ্জারের অবদান রয়ে গেছে (এই বিষয়ে সমীক্ষার মধ্যে রয়েছে ডেনিঞ্জার অ্যান্ড শোল (1991),)। নিয়মিত নির্ণায়কের মাধ্যমে এল-ফাংশন প্রতিটি মৌলিক সংখ্যা পি-এর জন্য অয়লার ফ্যাক্টরের গুণফল ব্যবহার করে রিম্যান ζ-ফাংশনকে সংজ্ঞায়িত করা হয়। ζ (গুলি)-এর জন্য একটি কার্যকরী সমীকরণ পাওয়ার জন্য, গামা ফাংশন জড়িত একটি অতিরিক্ত শব্দ দিয়ে তাদের গুণ করতে হবেঃ আরও সাধারণ এল-ফাংশনগুলি অয়লার পণ্য দ্বারাও সংজ্ঞায়িত করা হয়, যার মধ্যে প্রতিটি সীমাবদ্ধ স্থানে, ফ্রোবেনিয়াস এন্ডোমর্ফিজমের নির্ধারক কিছু বৈচিত্র্য এক্স/কিউ-এর এল-অ্যাডিক কোহোমোলজির উপর কাজ করে, যেখানে অসীম স্থানের জন্য অয়লার ফ্যাক্টর, সেরের অনুসারে, এক্স/কিউ-এর সাথে সংযুক্ত হজ কাঠামোর উপর নির্ভর করে গামা ফাংশনের পণ্য। উদাহরণস্বরূপ, রিম্যান জিটা-ফাংশনের অয়লার ফ্যাক্টরগুলির জন্য এই অভিন্ন বর্ণনাটি পড়ে এখানে p হয় একটি মৌলিক সংখ্যা বা অনন্ত, যা যথাক্রমে অ-আর্কিমিডিয়ান অয়লার ফ্যাক্টর এবং আর্কিমিডিয়ান অয়লার ফ্যাক্টরের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ, এবং Rp হল একটি মৌলিক সংখ্যা p-এর জন্য R/log (p) Z-এর উপর সসীম বাস্তব মূল্যবান ফুরিয়ার সিরিজের স্থান, এবং R ≤ = R [exp (−2y)]। পরিশেষে, এই ধরনের ফাংশন স্থানান্তরের মাধ্যমে প্রদত্ত R-ক্রিয়ার ব্যুৎপত্তি হল θ। ডেনিঞ্জার (1994) ε-ফ্যাক্টরগুলির জন্যও অনুরূপ একীকরণ পদ্ধতি প্রদর্শন করেছিলেন (যা s এবং 1−s এ সম্পূর্ণ L-ফাংশনগুলির মধ্যে অনুপাত প্রকাশ করে)। গাণিতিক সাইট এই ফলাফলগুলি ডেনিঙ্গারকে স্পেক জেড-এর কম্প্যাক্টিফিকেশনের সাথে যুক্ত একটি "গাণিতিক সাইট" ওয়াই-এর অস্তিত্ব সম্পর্কিত একটি প্রোগ্রাম প্রস্তাব করতে পরিচালিত করেছিল। অন্যান্য বৈশিষ্ট্যের মধ্যে, এই স্থানটি আর-এর ক্রিয়ায় সজ্জিত হবে এবং প্রতিটি মৌলিক সংখ্যা পি দৈর্ঘ্যের লগ (পি)-এর আর-ক্রিয়ার একটি বদ্ধ কক্ষপথের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ হবে। উপরন্তু, বিশ্লেষণাত্মক সংখ্যা তত্ত্বের সূত্র এবং পাতাযুক্ত স্থানগুলির গতিবিদ্যার মধ্যে সাদৃশ্য ডেনিঙ্গারকে এই সাইটে একটি ফোলিয়েশনের অস্তিত্ব অনুমান করতে পরিচালিত করে। উপরন্তু, এই সাইটটি একটি অসীম-মাত্রিক সমস্থানিক তত্ত্ব দ্বারা সমৃদ্ধ বলে মনে করা হয় যাতে একটি মোটিভ এম-এর এল-ফাংশন এখানে এম দ্বারা দেওয়া হয়, যেমন বেইলিনসনের অনুমানের মধ্যে ঘটে যাওয়া মোটিভ এইচএন (এক্স), এবং এফ (এম) কে মোটিভ এম-এর সাথে সংযুক্ত ওয়াই-এর শিফ হিসাবে বিবেচনা করা হয়। অপারেটরটি আর-অ্যাকশন দ্বারা প্রদত্ত প্রবাহের অসীম জেনারেটর। এই প্রোগ্রাম অনুসারে, রিমান অনুমানটি হজ তত্ত্বের ছেদ জুটির ইতিবাচকতার সমান্তরাল বৈশিষ্ট্যগুলির একটি পরিণতি হবে। এই সাইটে লেফশেৎজ ট্রেস সূত্রের একটি সংস্করণ, যা এই অনুমানমূলক সেটআপের অংশ হবে, ডেনিঙ্গার (1993) দ্বারা অন্য উপায়ে প্রমাণিত হয়েছে। 2010 সালে, ডেনিঙ্গার প্রমাণ করেছিলেন যে বীজগাণিতিক চক্রের ছেদ তত্ত্ব সম্পর্কিত বেইলিনসন এবং ব্লচের শাস্ত্রীয় অনুমানগুলি তাঁর প্রোগ্রামের আরও পরিণতি হবে। 1992 সালে গণিতবিদদের ইউরোপীয় কংগ্রেসে, 1998 সালে গণিতবিদদের আন্তর্জাতিক কংগ্রেসে এবং গণিতবিদদের আন্তর্জাতিক কংগ্রেসে ডেনিঙ্গার তাঁর বক্তৃতায় এই কর্মসূচীর সমীক্ষা করেছিলেন। 2002 সালে, ডেনিঙ্গার একটি পাতাযুক্ত স্থান তৈরি করেছিলেন যা একটি সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের উপর একটি উপবৃত্তাকার বক্ররেখার সাথে মিলে যায় এবং দেখিয়েছিলেন যে এফপি-র উপর একটি মসৃণ সঠিক বৈচিত্র্যের হাস-ওয়েইল জিটা-ফাংশন টপোলজিকাল হচসচাইল্ড সমতাত্ত্বিকতার সাথে জড়িত নিয়মিত নির্ধারক ব্যবহার করে প্রকাশ করা যেতে পারে। উপরন্তু, গাণিতিক টপোলজিতে নট এবং মৌলিক সংখ্যার মধ্যে সাদৃশ্য ফলপ্রসূভাবে অধ্যয়ন করা হয়েছে। যাইহোক, 2018 সালের হিসাবে, স্পেক জেড-এর সাথে সম্পর্কিত একটি পাতাযুক্ত স্থানের নির্মাণ অধরা রয়ে গেছে। পি-অ্যাডিক বক্ররেখার উপর ভেক্টর বান্ডিল অ্যানেট ওয়ার্নারের সাথে যৌথ কাগজপত্রের একটি সিরিজ পি-অ্যাডিক বক্ররেখার উপর ভেক্টর বান্ডিলগুলি পরীক্ষা করে। এই অধ্যয়নকে অনুপ্রাণিত করার একটি ধ্রুপদী ফলাফল হল নরসিমহন-শেষাদ্রি উপপাদ্য, যা সিম্পসন চিঠিপত্রের একটি ভিত্তি। এটি দাবি করে যে একটি কম্প্যাক্ট রিমান পৃষ্ঠ X-এর উপর একটি ভেক্টর বান্ডিল স্থিতিশীল যদি এটি মৌলিক গ্রুপ π1 (X)-এর একক উপস্থাপনা থেকে উদ্ভূত হয়। ডেনিঞ্জার অ্যান্ড ওয়ার্নার (2005)-এ এর একটি পি-এডিক এনালগ প্রতিষ্ঠা করা হয়ঃ সিপি-র উপর একটি মসৃণ প্রজেক্টিভ বীজগাণিতিক বক্ররেখার জন্য, যা থেকে বেস পরিবর্তন দ্বারা প্রাপ্ত হয়, তারা নির্দিষ্ট ভেক্টর বান্ডিলের উপর ইথেল মৌলিক গ্রুপ π1 (এক্স)-এর একটি ক্রিয়া তৈরি করে, যার মধ্যে ডিগ্রি 0 এবং সম্ভাব্য দৃঢ়ভাবে সেমিষ্টেবল হ্রাস রয়েছে। 2005 সালের আরেকটি গবেষণাপত্রে, তারা এক্স-এর জ্যাকোবিয়ান বৈচিত্র্যের টেট মডিউলের উপস্থাপনার সাথে বক্ররেখা এক্স-এর মৌলিক গোষ্ঠীর ফলাফলের উপস্থাপনাকে সম্পর্কিত করেছে। 2007 এবং 2010 সালে তারা এই কাজটি অব্যাহত রেখে দেখিয়েছিল যে এই ধরনের ভেক্টর বান্ডিলগুলি একটি টানাকিয়ান বিভাগ গঠন করে যা ভেক্টর বান্ডিলগুলির এই শ্রেণীকে একটি নির্দিষ্ট গোষ্ঠীর প্রতিনিধিত্বের বিভাগ হিসাবে চিহ্নিত করার সমান। বেশ কয়েকটি যৌথ গবেষণাপত্রে, ডেনিঙ্গার এবং উইলহেলম সিংফ বিভিন্ন দৃষ্টিকোণ থেকে পূর্ণসংখ্যা-মূল্যবান ম্যাট্রিক্স, এক্স = এইচ/জাত সমন্বিত স্ট্যান্ডার্ড ল্যাটিস দ্বারা এন-ডাইমেনশনাল হাইজেনবার্গ গ্রুপ এইচ-এর কোটিয়েন্টগুলি অধ্যয়ন করেছিলেন। 1984 সালে, তারা এক্স-এর ই-ইনভ্যারিয়েন্টকে ζ (−n)-এর পরিপ্রেক্ষিতে গণনা করে, যা নির্বিচারে বড় ক্রমের গোলকের স্থিতিশীল সমস্থানিক গোষ্ঠীতে উপাদানগুলির গঠনের দিকে পরিচালিত করে। 1988 সালে, তারা নিলপোটেন্ট লাই অ্যালজেব্রার কোহোমোলজির মাত্রা সম্পর্কে অনুমান দেওয়ার জন্য বিশ্লেষণাত্মক সংখ্যা তত্ত্বের পদ্ধতি ব্যবহার করেছিল। হজ তত্ত্বের ধ্রুপদী সত্য যে একটি কেলার ম্যানিফোল্ডের উপর যে কোনও কোহোমোলজি শ্রেণী স্বীকার করে যে একটি অনন্য হারমোনিক রিমানিয়ান পাতার দ্বারা সাধারণীকরণ করা হয়েছিল। ডেনিঙ্গার এবং সিংফ (2001) দেখান যে উপরের স্থান এক্স-এর পাতাগুলি, যা সামান্য দুর্বল অবস্থাকে সন্তুষ্ট করে, এই ধরনের হজ তাত্ত্বিক বৈশিষ্ট্যগুলি স্বীকার করে না। 2001 সালের আরেকটি যৌথ গবেষণাপত্রে, তারা একটি গতিশীল লেফশেৎজ ট্রেস সূত্র প্রতিষ্ঠা করেছেঃ এটি বন্ধ কক্ষপথে (একটি আর-অ্যাকশন সহ নির্দিষ্ট পাতাযুক্ত স্থানগুলিতে) উপস্থিত স্থানীয় ট্রেসগুলি সুরেলা আকারে একটি অপারেটরের ট্রেস সম্পর্কিত। এই ফলাফলটি উপরে উল্লিখিত ডেনিঞ্জারের প্রোগ্রামের একটি সমর্থন হিসাবে কাজ করে এই অর্থে যে এটি বিশ্লেষণাত্মক দিক থেকে এই প্রোগ্রাম দ্বারা করা একটি ভবিষ্যদ্বাণী যাচাই করে, অর্থাৎ, পাতাযুক্ত স্থানগুলির গতিবিদ্যা সম্পর্কিত। এনট্রপি এবং মাহলার পরিমাপ করে ডেনিঞ্জারের গবেষণাপত্রের আরেকটি গ্রুপ সেই স্থানের চারপাশে ঘোরে যেখানে একটি বিচ্ছিন্ন গ্রুপ, এফ তার গ্রুপ রিং জেডজেকের একটি উপাদান, এবং টুপি পন্ট্রিয়াগিন দ্বৈতকে বোঝায়। এর জন্য, এবং, দেখিয়েছেন যে এক্সএফ-এর উপর γ-ক্রিয়ার এনট্রপি মাহলার পরিমাপ দ্বারা দেওয়া হয়। উপরন্তু, এটি জানা গিয়েছিল যে নির্দিষ্ট কিছু বহুপদীর মাহলার পরিমাপ নির্দিষ্ট এল-ফাংশনের বিশেষ মানের পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশযোগ্য বলে পরিচিত ছিল। 1997 সালে, ডেনিঙ্গার পর্যবেক্ষণ করেন যে মাহলার পরিমাপের সংজ্ঞায় ইন্টিগ্র্যান্ডের ডেলিগনে কোহোমোলজির পরিপ্রেক্ষিতে একটি প্রাকৃতিক ব্যাখ্যা রয়েছে। বেইলিনসন অনুমানের পরিচিত উদাহরণগুলি ব্যবহার করে, তিনি অনুমান করেছিলেন যে এম (এফ) হল বেইলিনসন নিয়ন্ত্রকের অধীনে প্রতীক {এফ, টি1,., টিএন}-এর চিত্র, যেখানে বৈচিত্র্যটি এফ-এর শূন্য সেটের এন-মাত্রিক টরাসের পরিপূরক। এটি মাহলার পরিমাপের জন্য পূর্বে উল্লিখিত সূত্রগুলির জন্য একটি ধারণাগত ব্যাখ্যার দিকে পরিচালিত করে। এবং পরে 2009 সালে ডেনিঙ্গার এই ধারণাগুলি পি-অ্যাডিক বিশ্বে নিয়ে যান, বেইলিনসন নিয়ন্ত্রক মানচিত্রকে সিন্টমিক কোহোমোলজির নিয়ন্ত্রক মানচিত্র দ্বারা ডেলিগনে কোহোমোলজিতে প্রতিস্থাপন করে এবং লগারিদম একটি পি-অ্যাডিক লগারিদম দ্বারা এনট্রপির সংজ্ঞায় উপস্থিত হয়। 2006 এবং 2007 সালে, ডেনিঙ্গার এবং ক্লাউস শ্মিট আবেলিয়ান গোষ্ঠীগুলির বাইরে এনট্রপি এবং মাহলার পরিমাপের মধ্যে সমান্তরালকে ধাক্কা দিয়েছিলেন, যথা অবশিষ্ট সীমাবদ্ধ, গণনাযোগ্য বিচ্ছিন্ন উপযুক্ত গোষ্ঠী। তারা দেখিয়েছেন যে, এক্সএফ-এর উপর γ-ক্রিয়াটি বিস্তৃত হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি γ-এর এল1-কনভোলিউশন বীজগণিতে এফ বিপরীতমুখী হয়। উপরন্তু, ভন নিউম্যান বীজগণিতের উপর ফুগলেড-ক্যাডিসন নির্ধারকের লগারিদম এন. কে. কে (যা জেডএন-এর মাহলার পরিমাপকে প্রতিস্থাপন করে) উপরের ক্রিয়ার এনট্রপির সাথে একমত। উইট ভেক্টর জোয়াকিম কান্টজ এবং ডেনিঙ্গার উইট ভেক্টর নিয়ে একসঙ্গে কাজ করেছেন। 2014 সালের দিকে দুটি গবেষণাপত্রে, তারা মনোয়েড বীজগণিত জেডআর-এর সমাপ্তির পরিপ্রেক্ষিতে উইট ভেক্টরের বলয়ের একটি উপস্থাপনা দিয়ে তত্ত্বটিকে সরলীকৃত করে। এই পদ্ধতিটি উইট ভেক্টরের সংযোজনের শাস্ত্রীয় সংজ্ঞায় ব্যবহৃত সর্বজনীন বহুপদগুলিকে এড়িয়ে চলে। নির্বাচিত গ্রন্থপঞ্জি আর্টিন-ভার্ডিয়ার দ্বৈততা এল-ফাংশন এবং বেইলিনসনের অনুমান পি-অ্যাডিক ভেক্টর বান্ডিল হাইজেনবার্গ গ্রুপ, লাই অ্যালজেব্রা এবং পর্ণসমূহ এন্ট্রপি উইট ভেক্টর রেফারেন্স বাহ্যিক লিঙ্কগুলি মনস্টার বিশ্ববিদ্যালয়ের ওয়েবসাইট 1958 সালের জন্ম 20 শতকের জার্মান গণিতবিদ জীবিত মানুষ আমেরিকান ম্যাথমেটিকাল সোসাইটির মুনস্টার বিশ্ববিদ্যালয়ের একাডেমিক কর্মী 21 শতকের জার্মান গণিতবিদ