McShane integral
ইন্টিগ্রেশন থিওরি নামে পরিচিত গণিতের শাখায়, এডওয়ার্ড জে ম্যাকশেন দ্বারা নির্মিত ম্যাকশেন ইন্টিগ্রাল হল হেনস্টক-কুর্জওয়েল ইন্টিগ্রালের একটি পরিবর্তন। ম্যাকশেন ইন্টিগ্রালটি লেবস্গু ইন্টিগ্রালের সমতুল্য। সংজ্ঞা ফ্রি ট্যাগ করা পার্টিশন বাস্তব লাইনের একটি বদ্ধ ব্যবধান দেওয়া হলে, এর একটি ফ্রি ট্যাগ করা পার্টিশন হল একটি সেট যেখানে এবং প্রতিটি ট্যাগ। ট্যাগগুলি উপ-ব্যবধানের বাইরে থাকার অনুমতি দেওয়া হয়, এই কারণেই বিভাজনটিকে মুক্ত বলা হয়। হেনস্টক-কুর্জওয়েল ইন্টিগ্রাল এবং ম্যাকশেন ইন্টিগ্রালের সংজ্ঞাগুলির মধ্যে এটিই একমাত্র পার্থক্য। একটি ফাংশন এবং একটি ফ্রি ট্যাগ করা পার্টিশনের জন্য, গেজ সংজ্ঞায়িত করুন এই প্রসঙ্গে একটি পজিটিভ ফাংশনকে গেজ বলা হয়। আমরা বলি যে একটি ফ্রি ট্যাগ করা পার্টিশন-ফাইন হয় যদি সমস্ত স্বজ্ঞাতভাবে, গেজ উপ-ব্যবধানের প্রস্থ নিয়ন্ত্রণ করে। হেনস্টক-কুর্জওয়েল ইন্টিগ্রালের মতো, এটি নমনীয়তা প্রদান করে (বিশেষত সমস্যাযুক্ত পয়েন্টের কাছাকাছি) যা রিমান ইন্টিগ্রাল দ্বারা দেওয়া হয় না। ম্যাক্শেন ইন্টিগ্রাল মান হল ম্যাক্শেন ইন্টিগ্রাল যদি প্রত্যেকটির জন্য আমরা এমন একটি গেজ খুঁজে পেতে পারি যা ম্যাক্শেনের সংজ্ঞা অনুযায়ী যদি কোনও ফাংশন ইন্টিগ্রেবল হয়, তবে এটিও হেনস্টক-কুর্জওয়েল ইন্টিগ্রেবল। উভয় ইন্টিগ্রালই এর স্বতন্ত্রতার ক্ষেত্রে মিলে যায়। উপরের সংজ্ঞাটি ব্যাখ্যা করার জন্য আমরা নিম্নলিখিত উদাহরণগুলিতে বর্ণিত ফাংশনগুলির ম্যাকশেন ইন্টিগ্রেবিলিটি বিশ্লেষণ করি, যা ইতিমধ্যে হেনস্টক-কুর্জওয়েল ইন্টিগ্রেবল নামে পরিচিত (এই উইকিপিডিয়ার সাইটের অনুচ্ছেদ 3 দেখুন "হেনস্টক-কুর্জওয়েল ইন্টিগ্রাল")। উদাহরণ 1 আসুন এমন হতে দিন এবং যদি সর্বজনবিদিত হয়, এই ফাংশনটি রিম্যান ইন্টিগ্রেবল এবং করেসপন্ডেন্ট ইন্টিগ্রাল সমান। সেই উদ্দেশ্যে, একটি প্রদত্ত অংশের জন্য, আসুন গেজটি এমনভাবে বেছে নেওয়া যাক যাতে এবং যদি কোনও ফ্রি ট্যাগ করা পার্টিশনের জন্য, জন্য, জন্য, এবং, যেখানে, এইভাবে, আমাদের কাছে রিমান যোগফল এবং ফলস্বরূপ থাকে। যেহেতু এই ব্যবধানগুলির প্রত্যেকটি অবশিষ্ট সমস্তটির অভ্যন্তরভাগকে ওভারল্যাপ করে না, তাই আমরা পাই এইভাবে ম্যাকশেন ইন্টিগ্রেবল এবং পরবর্তী উদাহরণটি রিম্যান এবং ম্যাকশেন ইন্টিগ্রালের মধ্যে পার্থক্যের অস্তিত্ব প্রমাণ করে। উদাহরণ 2 সুপরিচিত ডিরিচলেটের ফাংশনটি দেওয়া যাক যার দ্বারা কেউ রিমান ইন্টিগ্রেবল নয় বলে জানে। আমরা দেখাব যে এটি ম্যাকশেন অর্থে ইন্টিগ্রেবল এবং এর ইন্টিগ্রাল শূন্য। ব্যবধানের সমস্ত যুক্তিসঙ্গত সংখ্যার সেট দ্বারা চিহ্নিত করে, যে কোনওটির জন্য আসুন নিম্নলিখিত গেজটি তৈরি করি যে কোনও-ফাইন ফ্রি ট্যাগ করা পার্টিশনের জন্য এর রিমান যোগফল বিবেচনা করুন। যখনই অযৌক্তিক হয়, তখন আমরা ক্রমবদ্ধ জোড়াগুলির ক্রমানুসারে বাদ দিতে পারি, যেখানে জোড়াগুলি অযৌক্তিক। অবশিষ্টাংশগুলি এই ধরনের ধারাবাহিকতা যে, যেহেতু এই ব্যবধানগুলির প্রত্যেকটি অবশিষ্টাংশের অভ্যন্তরভাগকে ওভারল্যাপ করে না, তাই এই ক্রমগুলির প্রত্যেকটিই রিমান যোগফলকে এই ধরনের উপসমগুলিতে জন্ম দেয়। সুতরাং, যা প্রমাণ করে যে ডিরিচলেটের ফাংশনটি ম্যাকশেন ইন্টিগ্রেবল এবং ডেরিভেটিভের সাথে সেই সম্পর্ক একটি ব্যবধানের উপর সংজ্ঞায়িত বাস্তব ফাংশনের জন্য, হেনস্টক-কুর্জওয়েল এবং ম্যাকশেন ইন্টিগ্রাল উভয়ই নীচে বর্ণিত প্রাথমিক বৈশিষ্ট্যগুলিকে সন্তুষ্ট করে, যেখানে আমরা সেই ইনটেগ্রালগুলির যে কোনওটির মানকে অস্পষ্টভাবে নির্দেশ করি। যদি ইন্টিগ্রেবল হয় তবে প্রতিটি সাব-ইন্টারভ্যালে ইন্টিগ্রেবল হয়। যদি ইন্টিগ্রেবল হয় এবং তারপর ইন্টিগ্রেবল হয় এবং। যদি কন্টিনিউয়াস অন থাকে তবে ইন্টিগ্রেবল। যদি একঘেয়ে হয় তবে ইন্টিগ্রেবল। একটি ডিফারেনশিয়েবল এবং কঠোরভাবে একঘেয়ে ফাংশন হতে দিন। তারপর যদি এবং শুধুমাত্র যদি ইন্টিগ্রেবল হয় তবেই ইন্টিগ্রেবল। এই রকম ক্ষেত্রে। যদি ইন্টিগ্রেবল হয় তবে প্রত্যেকের জন্য ইন্টিগ্রেবল হয়। আসুন এবং ইন্টিগ্রেবল হোন। তারপরঃ এবং এর উপর ইন্টিগ্রেবল। তাদের। উপরে উল্লিখিত ইন্টিগ্রালগুলির ক্ষেত্রে, সংবাদদাতা সংজ্ঞাগুলির পার্থক্যের সাথে অন্তর্নিহিত সামান্য বৈচিত্র্য ব্যতীত এই বৈশিষ্ট্যগুলির প্রমাণগুলি অভিন্ন (দেখুন ওয়াশেক ফেফার [সেক। 6. 1])। এইভাবে দুটি ইন্টিগ্রালের মধ্যে একটি নির্দিষ্ট সমান্তরালতা লক্ষ্য করা যায়। তবে একটি অদৃশ্য ফাটল ঘটে যখন অন্যান্য বৈশিষ্ট্যগুলি বিশ্লেষণ করা হয়, যেমন পরম ইন্টিগ্রেবিলিটি এবং ইন্টিগ্রেবল ডিফারেনশিয়েবল ফাংশনের ডেরিভেটিভের ইন্টিগ্রেবিলিটি। এই বিষয়ে নিম্নলিখিত উপপাদ্যগুলি ধারণ করে (দেখুন [Prop.2.2.3 e Th। 6.1.2])। উপপাদ্য 1 (ম্যাকশেন ইন্টিগ্রালের পরম ইন্টিগ্রেবিলিটির উপর) যদি ম্যাকশেন ইন্টিগ্রেবল হয় তবে ম্যাকশেনও এবং এর উপর ইন্টিগ্রেবল। উপপাদ্য 2 (হেনস্টক-কুর্জওয়েল ইন্টিগ্রালের মৌলিক উপপাদ্য) যদি এর উপর ডিফারেনশিয়েবল হয়, তবে হেনস্টক-কুর্জওয়েল এবং এর উপর ইন্টিগ্রেবল। এই উপপাদ্যগুলি ব্যাখ্যা করার জন্য আমরা উদাহরণ 2.4.12-এর উপর ভিত্তি করে নিম্নলিখিত উদাহরণটি বিশ্লেষণ করি। উদাহরণ 3 আসুন ফাংশনটি বিবেচনা করা যাকঃ স্পষ্টতই যে কোনও ক্ষেত্রে ডিফারেনশিয়েবল এবং ডিফারেনশিয়েবল, পাশাপাশি, এ, যেহেতু। অধিকন্তু যেহেতু ফাংশনটি অবিচ্ছিন্ন এবং, উপপাদ্য 2 দ্বারা, ফাংশনটি হেনস্টক-কুর্জওয়েল ইন্টিগ্রেবল তারপর 6 এবং 7 বৈশিষ্ট্য দ্বারা, একই ফাংশনটি ধরে রাখে তবে উল্লিখিত ইন্টিগ্রালের কোনওটির জন্যই ফাংশনটি ইন্টিগ্রেবল নয়। প্রকৃতপক্ষে, অন্যথায়, এই ধরনের যে কোনও ইন্টিগ্রাল দ্বারা চিহ্নিত করা, আমাদের অবশ্যই যে কোনও ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার জন্য থাকা উচিত। তারপর পরিবর্তনশীলের পরিবর্তনের মাধ্যমে, আমাদের 5: বৈশিষ্ট্যটি বিবেচনা করে প্রাপ্ত করা উচিত। যেমন একটি স্বেচ্ছাচারী ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা এবং, আমরা একটি দ্বন্দ্ব পাই। এই উদাহরণ থেকে আমরা নিম্নলিখিত প্রাসঙ্গিক পরিণতির উপসংহারে পৌঁছাতে পারিঃ 1) উপপাদ্য 1 হেনস্টক-কুর্জওয়েল ইন্টিগ্রালের ক্ষেত্রে আর সত্য নয় কারণ এটি হেনস্টক-কুর্জওয়েল ইন্টিগ্রাবল এবং নয়। 2) উপপাদ্য 2 ম্যাক্শেন ইন্টিগ্রালের জন্য প্রযোজ্য নয়। অন্যথায় ম্যাকশেনের পাশাপাশি উপপাদ্য 1 দ্বারা সমন্বিত হওয়া উচিত, যা অযৌক্তিক। III), এইভাবে, একটি হেনস্টক-কুর্জওয়েল ইন্টিগ্রেবল ফাংশনের একটি উদাহরণ যা ম্যাকশেন ইন্টিগ্রেবল নয়। অর্থাৎ, ম্যাকশেন ইন্টিগ্রেবল ফাংশনের শ্রেণী হল হেনস্টক-কুর্জওয়েল ইন্টিগ্রেবল ফাংশনের একটি কঠোর উপশ্রেণী। লেবসগ ইন্টিগ্রালের সাথে সম্পর্ক ম্যাকশেন ইন্টিগ্রালের আরও বিস্ময়কর ফলাফল নিম্নলিখিত উপপাদ্যটিতে বর্ণিত হয়েছে, যা ইতিমধ্যে ভূমিকায় ঘোষণা করা হয়েছে। উপপাদ্য 3 ধরা যাক। তারপর ম্যাকশেন ইন্টিগ্রেবল হল লেবস্গু ইন্টিগ্রেবল। সংবাদদাতা ইন্টিগ্রালগুলি মিলে যায়। এই সত্যটি এই উপসংহারে পৌঁছাতে সক্ষম করে যে ম্যাকশেন ইন্টিগ্রালের সাথে রিমান যোগফলের চারপাশে একীকরণ তত্ত্বের এক ধরনের একীকরণ তৈরি করে, যা সর্বোপরি সেই তত্ত্বের উৎস গঠন করে। এখনও পর্যন্ত এই ধরনের উপপাদ্যের তাৎক্ষণিক প্রমাণ জানা যায়নি। ওয়াশেক ফেফার [Ch. 4] এটি লেবস্গু ইন্টিগ্রালের ইতিমধ্যে পরিচিত বৈশিষ্ট্যগুলির সাথে সম্পর্কিত পরিমাপ তত্ত্ব সহ ম্যাকশেন ইন্টিগ্রাল তত্ত্বের বিকাশের মাধ্যমে বলা হয়েছে। এছাড়াও রাসেল গর্ডনের বইটির প্রতি, এই বিষয়ে আমরা পাঠকের দৃষ্টি আকর্ষণ করছি রবার্ট ম্যাকলাউডের কাজের প্রতিও। 8], [চ। 10] এবং ডগলাস কার্টজ এবং চার্লস সোয়ার্টজ। ম্যাকশেন ইন্টিগ্রালের আরেকটি দৃষ্টিভঙ্গি হল যে এটিকে ফ্রিগিয়েস রিজ এবং বেলা সজের কোর্সের বিকল্প হিসাবে পরিমাপ তত্ত্ব ব্যবহার না করে লেবস্গু ইন্টিগ্রালের নতুন সূত্র হিসাবে দেখা যেতে পারে। ন্যাগি [Ch.II] অথবা সার্জ ল্যাং [Ch. X, §4 পরিশিষ্ট] (আরও দেখুন)। আরও দেখুন হেনস্টক-কুর্জওয়েল ইন্টিগ্রাল রেফারেন্স গাণিতিক ইন্টিগ্রেশনের সংজ্ঞা