Dirac–Kähler equation
তাত্ত্বিক পদার্থবিজ্ঞানে, ডিরাক-কহলার সমীকরণ, যা ইভানেঙ্কো-ল্যান্ডাউ-কহলার সমীকরণ নামেও পরিচিত, ডিরাক সমীকরণের জ্যামিতিক সাদৃশ্য যা ল্যাপ্লাস-ডি রাম অপারেটর ব্যবহার করে যে কোনও ছদ্ম-রিম্যানিয়ান বহুবর্ণের উপর সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। চার-মাত্রিক সমতল স্থানকালে, এটি ডিরাক সমীকরণের চারটি অনুলিপির সমতুল্য যা লরেঞ্জ রূপান্তরের অধীনে একে অপরের মধ্যে রূপান্তরিত হয়, যদিও এটি বক্র স্থানকালে আর সত্য নয়। জ্যামিতিক কাঠামো সমীকরণটিকে একটি প্রাকৃতিক বিচ্যুতি প্রদান করে যা জাল ক্ষেত্র তত্ত্বের স্তম্ভিত ফার্মিয়ন আনুষ্ঠানিকতার সমতুল্য, যা ডিরাক-কহলার ফার্মিয়নকে স্তম্ভিত ফার্মিয়নের আনুষ্ঠানিক ধারাবাহিকতা সীমা তৈরি করে। 1928 সালে দিমিত্রি ইভানেঙ্কো এবং লেভ ল্যান্ডাউ এই সমীকরণটি আবিষ্কার করেন এবং পরে 1962 সালে এরিক কালার এটি পুনরায় আবিষ্কার করেন। গাণিতিক সংক্ষিপ্ত বিবরণ চার মাত্রিক ইউক্লিডীয় স্থানকালে ডিফারেনশিয়াল ফর্মগুলির একটি জেনেরিক ক্ষেত্রগুলি দ্বারা সূচীভুক্ত ষোলটি বেসিস ফর্মের রৈখিক সংমিশ্রণ হিসাবে লেখা হয়, যা সূচকগুলির ষোলটি ক্রমযুক্ত সংমিশ্রণের উপর চলে। প্রতিটি সূচক এক থেকে চার পর্যন্ত হয়। এখানে অ্যান্টিসিমেট্রিক টেনসর ক্ষেত্র রয়েছে যেখানে সংশ্লিষ্ট ডিফারেনশিয়াল ফর্ম ভিত্তিক উপাদানগুলি হজ স্টার অপারেটর ব্যবহার করে, বাহ্যিক ডেরিভেটিভ কোড ডিফারেনশিয়ালের সাথে সম্পর্কিত। এগুলি ল্যাপলেস-ডি রাম অপারেটর গঠন করে যা ল্যাপলেসিয়ান অপারেটরের বর্গমূল হিসাবে দেখা যেতে পারে। এই সমীকরণটি সাধারণ ডিরাক সমীকরণের সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত, একটি সংযোগ যা ডিফারেনশিয়াল ফর্মের বাহ্যিক বীজগণিত এবং ক্লিফোর্ড বীজগণিতের মধ্যে ঘনিষ্ঠ সম্পর্ক থেকে উদ্ভূত হয় যার মধ্যে ডিরাক স্পিনারগুলি অপরিবর্তনীয় উপস্থাপনা। ক্লিফোর্ড বীজগণিতকে সন্তুষ্ট করার জন্য ভিত্তি উপাদানগুলির জন্য, একটি নতুন ক্লিফোর্ড পণ্য প্রবর্তন করা প্রয়োজন যা ভিত্তি উপাদানগুলির উপর কাজ করে যেমন এই পণ্যটি ব্যবহার করে, লাপ্লাস-ডি রাম অপারেটরের ক্রিয়াটি ডিফারেনশিয়াল ফর্মের ভিত্তিতে উপাদানগুলির উপর লেখা হয় ডায়রাক সমীকরণ অর্জন করতে, ভিত্তির একটি পরিবর্তন অবশ্যই সম্পাদন করতে হবে, যেখানে নতুন ভিত্তিটি ডায়রাক ম্যাট্রিক্স ব্যবহার করে সংজ্ঞায়িত ম্যাট্রিক্সে প্যাকেজ করা যেতে পারে ম্যাট্রিক্সটি সন্তুষ্ট করার জন্য ডিজাইন করা হয়েছে, ক্লিফোর্ড বীজগণিতকে ডায়রাক বীজগণিতের চারটি অপরিবর্তনীয় অনুলিপিতে বিভক্ত করে। এর কারণ হল এই ভিত্তিতে ক্লিফোর্ড পণ্য শুধুমাত্র দ্বারা সূচীভুক্ত কলাম উপাদানগুলিকে মিশ্রিত করে। এই ভিত্তিতে ডিফারেনশিয়াল ফর্মটি লেখা ডিরাক-কহলার সমীকরণকে ডিরাক সমীকরণের চারটি সেটে রূপান্তরিত করে। আবেলিয়ান ক্ষেত্রে, অ-আবেলিয়ান ক্ষেত্রে অতিরিক্ত রঙের সূচক রয়েছে। ডিরাক-কহলার ফার্মিয়ন রঙ সূচকগুলিও তুলে ধরে, এটি আনুষ্ঠানিকভাবে স্থানীয় রঙের স্থানগুলির ভেক্টর বান্ডিলের সাথে ডিফারেনশিয়াল ফর্মগুলির আতিয়া-কহলার বান্ডিলের হুইটনি পণ্যের ক্রস-সেকশনের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ। ডিস্ক্রিটাইজেশন একটি প্রাকৃতিক উপায় রয়েছে যাতে বাইরের বীজগণিত এবং সরল জটিলতার মধ্যে যোগাযোগ ব্যবহার করে ডিরাক-কহলার সমীকরণকে বিচ্ছিন্ন করা যায়। চার মাত্রিক স্থানে একটি জালকে একটি সরল জটিল হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে, যার সিমপ্লেক্সগুলি একটি বেস পয়েন্ট এবং দ্বারা নির্ধারিত একটি অভিযোজন সহ-মাত্রিক হাইপারকিউবের ভিত্তি ব্যবহার করে নির্মিত হয়। তারপর একটি এইচ-চেইন একটি আনুষ্ঠানিক রৈখিক সংমিশ্রণ এইচ-চেইনগুলি এইচ-চেইনের সীমানা গঠনকারী (এইচ-1)-সিম্প্লেক্স হিসাবে সংজ্ঞায়িত একটি সীমানা অপারেটরকে গ্রহণ করে। একটি কোবাউন্ডারি অপারেটরকে একইভাবে একটি (এইচ + 1)-চেইন উৎপাদনের জন্য সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। চেইনের দ্বৈত স্থানটি-কোচেইন নিয়ে গঠিত, যা এইচ-চেইনের উপর কার্যকরী রৈখিক ফাংশন যা তাদের বাস্তব সংখ্যার সাথে ম্যাপিং করে। সীমানা এবং কোবাউন্ডারি অপারেটররা দ্বৈত স্থানে অনুরূপ কাঠামো গ্রহণ করে যাকে দ্বৈত সীমানা এবং দ্বৈত কোবাউন্ডারি বলা হয় যা সন্তুষ্ট করার জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয় বাহ্যিক বীজগণিত এবং সরল জটিলতার মধ্যে চিঠিপত্রের অধীনে, ডিফারেনশিয়াল ফর্মগুলি কোচেইনের সমতুল্য, যেখানে বাহ্যিক ডেরিভেটিভ এবং কোড ডিফারেনশিয়াল যথাক্রমে দ্বৈত সীমানা এবং দ্বৈত কোবাউন্ডারির সাথে মিলে যায়। অতএব, ডিরাক-কহলার সমীকরণটি সরল জটিলতায় লেখা হয় যার ফলে বিচ্ছিন্ন ডিরাক-কহলার ফার্মিয়ন জাল ক্ষেত্র তত্ত্বে পাওয়া স্তম্ভিত ফার্মিয়নের সমতুল্য, যা ভিত্তির একটি স্পষ্ট পরিবর্তন দ্বারা স্পষ্টভাবে দেখা যায়। এই সমতুল্যতা দেখায় যে ধারাবাহিকতা ডিরাক-কহলার ফার্মিয়ন হল ফার্মিয়ন স্তম্ভিত ফার্মিয়নের আনুষ্ঠানিক ধারাবাহিকতা সীমা। ডিরাক সমীকরণের সাথে সম্পর্ক যেমনটি পূর্বে বর্ণনা করা হয়েছে, সমতলীয় স্থানকালে ডিরাক-কহলার সমীকরণটি ডিরাক সমীকরণের চারটি অনুলিপির সমতুল্য, যদিও এটি প্রতিসামিতিক টেনসর ক্ষেত্রের সমীকরণের একটি সেট। পূর্ণসংখ্যা ঘূর্ণন টেনসর ক্ষেত্রের অর্ধ পূর্ণসংখ্যা ঘূর্ণন ক্ষেত্র বর্ণনা করার ক্ষমতা এই সত্য দ্বারা ব্যাখ্যা করা হয় যে লরেঞ্জ রূপান্তরগুলি অভ্যন্তরীণ ডিরাক-কহলার প্রতিসাম্যের সাথে বিনিময় করে না, এই প্রতিসাম্যের পরামিতিগুলি স্কেলারের পরিবর্তে টেনসর হয়। এর মানে হল যে লরেঞ্জ রূপান্তরগুলি বিভিন্ন স্পিনকে একসাথে মিশ্রিত করে এবং ডায়রাক ফার্মিয়নগুলি ক্লিফোর্ড বীজগণিতের অর্ধ-পূর্ণসংখ্যা ঘূর্ণন উপস্থাপনাকে কঠোরভাবে বলছে না। পরিবর্তে এগুলি ডিফারেনশিয়াল ফর্মগুলির একটি সুসঙ্গত সুপারপজিশনের সাথে মিলে যায়। উচ্চ মাত্রায়, বিশেষ করে মাত্রিক পৃষ্ঠে, ডিরাক-কহলার সমীকরণ ডিরাক সমীকরণের সমতুল্য। বক্র স্থানকালে, ডিরাক-কহলার সমীকরণটি আর চারটি ডিরাক সমীকরণে বিভক্ত হয় না। বরং এটি একটি পরিবর্তিত ডিরাক সমীকরণ যা অর্জিত হয় যদি ডিরাক অপারেটর ল্যাপ্লাস অপারেটরের বর্গমূল থেকে যায়, এমন একটি বৈশিষ্ট্য যা বক্র স্থানকালে ডিরাক সমীকরণ দ্বারা ভাগ করা হয় না। এটি লরেঞ্জ ইনভারিয়েন্সের ব্যয়ে আসে, যদিও এই প্রভাবগুলি প্ল্যাঙ্ক ভরের শক্তি দ্বারা দমন করা হয়। সমীকরণটি আরও পৃথক যে একটি কম্প্যাক্ট ম্যানিফোল্ডে এর শূন্য মোডগুলি সর্বদা অস্তিত্বের নিশ্চয়তা দেয় যখনই কিছু বেট্টি সংখ্যা অদৃশ্য হয়ে যায়, হারমোনিক ফর্ম দ্বারা দেওয়া হয়, ডিরাক সমীকরণের বিপরীতে যার ইতিবাচক বক্রতা সহ ম্যানিফোল্ডে কখনও শূন্য মোড থাকে না। আরও দেখুন ফার্মিয়ন দ্বিগুণকরণ ল্যাটিস কিউসিডি তথ্যসূত্র তাত্ত্বিক পদার্থবিজ্ঞান ডিরাক সমীকরণ ল্যাটিস ক্ষেত্র তত্ত্ব লেভ ল্যান্ডাউ