Infinity Laplacian
গণিতে, ইনফিনিটি ল্যাপ্লাস (বা-ল্যাপ্লাস) অপারেটর হল একটি 2য়-ক্রমের আংশিক ডিফারেনশিয়াল অপারেটর, যা সাধারণত সংক্ষিপ্ত করা হয়। এটি পর্যায়ক্রমে দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয় বা প্রথম সংস্করণটি এককত্বকে এড়িয়ে চলে যা ঘটে যখন গ্রেডিয়েন্ট অদৃশ্য হয়ে যায়, যখন দ্বিতীয় সংস্করণটি গ্রেডিয়েন্টে শূন্য ক্রমের সমজাতীয় হয়। মৌখিকভাবে, দ্বিতীয় সংস্করণটি গ্রেডিয়েন্টের দিকে দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ। অনন্ত ল্যাপ্লাস সমীকরণের ক্ষেত্রে, দুটি সংজ্ঞা সমতুল্য। যদিও সমীকরণটিতে দ্বিতীয় ব্যুৎপত্তি জড়িত থাকে, সাধারণত (সাধারণীকৃত) সমাধানগুলি দ্বিগুণ ডিফারেনশিয়েবল হয় না, যা সুপরিচিত অ্যারোনসন সমাধান দ্বারা প্রমাণিত হয়। এই কারণে সমাধানের সঠিক ধারণাটি হল সান্দ্রতা সমাধান দ্বারা প্রদত্ত। সমীকরণের স্নিগ্ধতা সমাধানগুলি অনন্ত হারমোনিক ফাংশন নামেও পরিচিত। এই পরিভাষাটি এই সত্য থেকে উদ্ভূত হয়েছে যে অসীম ল্যাপ্লাস অপারেটর প্রথম পরম মিনিমাইজারের অধ্যয়নে উদ্ভূত হয়েছিল এবং এটি একটি নির্দিষ্ট অর্থে পি-ল্যাপ্লাসিয়ানের সীমা হিসাবে দেখা যেতে পারে। আরও সম্প্রতি, অসীম ল্যাপ্লাস সমীকরণের সান্দ্রতা সমাধানগুলি র্যান্ডমাইজড টাগ-অফ-ওয়ার গেমগুলির পেঅফ ফাংশনের সাথে চিহ্নিত করা হয়েছে। গেম থিওরি দৃষ্টিকোণটি আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের বোঝার ক্ষেত্রে উল্লেখযোগ্যভাবে উন্নতি করেছে। বিচ্ছিন্ন সংস্করণ এবং গেম তত্ত্ব সাধারণ-হারমোনিক ফাংশনের একটি সংজ্ঞায়িত বৈশিষ্ট্য হল গড় মূল্য বৈশিষ্ট্য। এর একটি প্রাকৃতিক এবং গুরুত্বপূর্ণ বিচ্ছিন্ন সংস্করণ রয়েছেঃ একটি সসীম বা অসীম গ্রাফের উপর একটি বাস্তব-মূল্যবান ফাংশন একটি উপসেটে বিচ্ছিন্ন সুরেলা হয়। একইভাবে, গ্রেডিয়েন্টের দিকে অদৃশ্য হয়ে যাওয়া দ্বিতীয় ডেরিভেটিভের একটি প্রাকৃতিক বিচ্ছিন্ন সংস্করণ রয়েছেঃ এই সমীকরণে, আমরা ম্যাক্স এবং মিনিটের পরিবর্তে সুপার এবং ইনফ ব্যবহার করেছি কারণ গ্রাফটি স্থানীয়ভাবে সীমাবদ্ধ হতে হবে না (অর্থাৎ, সীমাবদ্ধ ডিগ্রি থাকার জন্য): একটি মূল উদাহরণ হল কখন একটি ডোমেনে পয়েন্টের সেট হয়, এবং যদি তাদের ইউক্লিডীয় দূরত্ব সর্বাধিক হয়। এই উদাহরণের গুরুত্ব নিম্নরূপ। মসৃণ সীমানা এবং একটি অবিচ্ছিন্ন ফাংশন সহ একটি আবদ্ধ খোলা সেট বিবেচনা করুন। - ক্ষেত্রে, f থেকে D-এর সুরেলা সম্প্রসারণের একটি আনুমানিক অনুমান দেওয়া হয় ছোট জাল আকারের একটি জাল নিয়ে, 2d-এর চেয়ে কম ডিগ্রি সহ শীর্ষগুলির সেট হতে দেওয়া হয়, একটি প্রাকৃতিক আনুমানিক গ্রহণ করা হয় এবং তারপরে V-এর অনন্য পৃথক সুরেলা সম্প্রসারণ নেওয়া হয়। তবে, উদাহরণ দ্বারা এটি সহজেই দেখা যায় যে এটি-ক্ষেত্রে কাজ করে না। পরিবর্তে, যেমনটি দেখা যাচ্ছে, উপরে উল্লিখিত দৈর্ঘ্যের সমস্ত প্রান্ত সহ ধারাবাহিক গ্রাফটি নেওয়া উচিত। এখন, ফ্রম টু-এর-হারমোনিক এক্সটেনশনটি দেখার একটি সম্ভাব্য উপায় হল, যেখানে সাধারণ র্যান্ডম ওয়াক শুরু হয়, এবং এটি আঘাত করার সময়। - কেসের জন্য, আমাদের গেম থিওরি প্রয়োজন। একটি টোকেন অবস্থান থেকে শুরু করা হয় এবং দেওয়া হয়। দুজন খেলোয়াড় থাকে, প্রতিটি পালাক্রমে তারা একটি ন্যায্য মুদ্রা উল্টায় এবং বিজয়ী বর্তমান অবস্থানের যে কোনও প্রতিবেশীকে টোকেনটি সরিয়ে দিতে পারে। খেলাটি শেষ হয় যখন টোকেনটি কোনও সময় এবং স্থানে পৌঁছায়, যে সময়ে প্রথম খেলোয়াড় দ্বিতীয় খেলোয়াড়ের কাছ থেকে অর্থ পায়। অতএব, প্রথম খেলোয়াড় সর্বাধিক করতে চায়, অন্যদিকে দ্বিতীয় খেলোয়াড় এটিকে হ্রাস করতে চায়। যদি উভয় খেলোয়াড়ই সর্বোত্তমভাবে খেলে (যার গেম তত্ত্বে একটি সুনির্দিষ্ট অর্থ রয়েছে), তবে প্রথম খেলোয়াড়ের জন্য প্রত্যাশিত অর্থ প্রদান একটি পৃথক অনন্ত সুরেলা ফাংশন, যেমন উপরে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে। পি-ল্যাপলেসিয়ানের একটি গেম থিওরি পদ্ধতিও রয়েছে, যা সাধারণ র্যান্ডম ওয়াক এবং উপরের র্যান্ডম টাগ-অফ-ওয়ার গেমের মধ্যে অন্তর্বর্তী হয়। সূত্র. ডিফারেনশিয়াল অপারেটর উপবৃত্তাকার আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ