Integral of the secant function
ক্যালকুলাসে, সেক্যান্ট ফাংশনের ইন্টিগ্রাল বিভিন্ন পদ্ধতি ব্যবহার করে মূল্যায়ন করা যেতে পারে এবং অ্যান্টিডেরিভেটিভ প্রকাশের একাধিক উপায় রয়েছে, যার সবগুলিই ত্রিকোণমিতিক পরিচয়ের মাধ্যমে সমতুল্য হিসাবে দেখানো যেতে পারে, এই সূত্রটি বিভিন্ন ত্রিকোণমিতিক ইন্টিগ্রাল মূল্যায়নের জন্য কার্যকর। বিশেষত, এটি সিক্যান্ট কিউবডের অবিচ্ছেদ্য মূল্যায়ন করতে ব্যবহার করা যেতে পারে, যা আপাতদৃষ্টিতে বিশেষ হলেও, প্রয়োগগুলিতে প্রায়শই আসে। থেকে শুরু হওয়া সেক্যান্ট ফাংশনের নির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য হ 'ল বিপরীত গুডারম্যানিয়ান ফাংশন, সংখ্যাসূচক প্রয়োগের জন্য, উপরের সমস্ত অভিব্যক্তি কিছু যুক্তির জন্য তাৎপর্য হারায়। বিপরীত হাইপারবোলিক সাইন-এর পরিপ্রেক্ষিতে একটি বিকল্প অভিব্যক্তি বাস্তব আর্গুমেন্টের জন্য সংখ্যাসূচকভাবে ভাল আচরণ করা হয়। ইন্টিগ্রাল ক্যালকুলাসের বেশিরভাগ বিকাশের আগে, সিক্যান্ট ফাংশনের ইন্টিগ্রাল ঐতিহাসিকভাবে তার ধরনের প্রথম ইন্টিগ্রালগুলির মধ্যে একটি ছিল। এটি গুরুত্বপূর্ণ কারণ এটি মার্কেটর প্রজেকশনের উল্লম্ব স্থানাঙ্ক, যা ধ্রুবক কম্পাস বিয়ারিং সহ সামুদ্রিক নেভিগেশনের জন্য ব্যবহৃত হয়। প্রমাণ যে বিভিন্ন অ্যান্টিডেরিভেটিভ সমতুল্য ত্রিকোণমিতি রূপ, সেক্যান্টের ইন্টিগ্রালের জন্য তিনটি সাধারণ অভিব্যক্তি সমতুল্য কারণ প্রমাণঃ আমরা তিনটি রূপের প্রত্যেকটিতে পৃথকভাবে স্পর্শক অর্ধ-কোণ প্রতিস্থাপন প্রয়োগ করতে পারি এবং তাদের সমতুল্য দেখাতে পারি। মার্কেটর প্রজেকশন অর্ডিনেটের প্রচলিত সমাধানটি পরম মান চিহ্ন ছাড়াই লেখা যেতে পারে কারণ অক্ষাংশ এবং হাইপারবোলিক ফর্মের মধ্যে অবস্থিত, অতএব, ইতিহাস সেকেন্ট ফাংশনের অবিচ্ছেদ্য অংশটি "সপ্তদশ শতাব্দীর মাঝামাঝি সময়ের অসামান্য উন্মুক্ত সমস্যাগুলির" মধ্যে একটি ছিল, যা জেমস গ্রেগরি 1668 সালে সমাধান করেছিলেন। তিনি তার ফলাফলটি নটিক্যাল টেবিল সম্পর্কিত একটি সমস্যায় প্রয়োগ করেছিলেন। 1599 সালে, এডওয়ার্ড রাইট সংখ্যাসূচক পদ্ধতি দ্বারা অবিচ্ছেদ্য মূল্যায়ন করেছিলেন-যাকে আজ আমরা রিম্যান যোগফল বলব। তিনি মানচিত্রাঙ্কনবিদ্যার উদ্দেশ্যে সমাধান চেয়েছিলেন-বিশেষ করে একটি সঠিক মার্কেটর অভিক্ষেপ নির্মাণের জন্য। 1640-এর দশকে, নেভিগেশন, জরিপ এবং অন্যান্য গাণিতিক বিষয়ের শিক্ষক হেনরি বন্ড, রাইটের সংখ্যাসূচকভাবে গণনা করা সেক্যান্টের ইন্টিগ্রালের মানগুলির সারণিকে স্পর্শক ফাংশনের লগারিদমের সারণির সাথে তুলনা করেছিলেন এবং ফলস্বরূপ অনুমান করেছিলেন যে এই অনুমানটি ব্যাপকভাবে পরিচিত হয়ে ওঠে এবং 1665 সালে আইজাক নিউটন এটি সম্পর্কে সচেতন ছিলেন। মূল্যায়ন একটি আদর্শ প্রতিস্থাপন দ্বারা (গ্রেগরির দৃষ্টিভঙ্গি) বিভিন্ন রেফারেন্সগুলিতে উপস্থাপিত সেক্যান্ট ইন্টিগ্রাল মূল্যায়নের একটি আদর্শ পদ্ধতিতে অংশ এবং হরকে গুণ করা এবং তারপরে প্রতিস্থাপন ব্যবহার করা জড়িত। এই প্রতিস্থাপনটি একত্র যোগ করা সেক্যান্ট এবং স্পর্শকের ডেরিভেটিভ থেকে পাওয়া যেতে পারে, যার একটি সাধারণ ফ্যাক্টর হিসাবে সেক্যান্ট রয়েছে। এগুলি যোগ করে শুরু করলে পাওয়া যায় যোগফলের অন্তরজ এইভাবে গুণিত যোগফলের সমান। এটি সংখ্যা এবং হর দ্বারা গুণ করতে এবং নিম্নলিখিত প্রতিস্থাপনগুলি সম্পাদন করতে সক্ষম করেঃ অবিচ্ছেদ্য নিম্নরূপ মূল্যায়ন করা হয়ঃ যেমন দাবি করা হয়েছে। এই সূত্রটি জেমস গ্রেগরি আবিষ্কার করেছিলেন। আংশিক ভগ্নাংশ এবং প্রতিস্থাপনের মাধ্যমে (ব্যারো 'র দৃষ্টিভঙ্গি) যদিও গ্রেগরি 1668 সালে তাঁর এক্সারসাইটেশনস জিওমেট্রি-তে অনুমানটি প্রমাণ করেছিলেন, তবে প্রমাণটি এমন একটি আকারে উপস্থাপন করা হয়েছিল যা আধুনিক পাঠকদের পক্ষে এটি বোঝা প্রায় অসম্ভব করে তোলে; আইজাক ব্যারো, 1670 সালের তাঁর লেকশনস জিওমেট্রি-তে, প্রথম "বোধগম্য" প্রমাণ দিয়েছিলেন, যদিও সেটিও "সেই সময়ের জ্যামিতিক প্রবাদে আবদ্ধ" ছিল। ব্যারো এর ফলাফলের প্রমাণ ছিল সংহতকরণে আংশিক ভগ্নাংশের প্রথম ব্যবহার। আধুনিক স্বরলিপিতে অভিযোজিত, ব্যারো 'র প্রমাণ নিম্নরূপ শুরু হয়েছিলঃ প্রতিস্থাপন,, প্রত্যাশিত হিসাবে, অতএব অবিচ্ছেদ্যকে হ্রাস করে। পরম মান নেওয়ার প্রয়োজন নেই কারণ এবং স্পর্শক অর্ধ-কোণ প্রতিস্থাপনের অধীনে স্ট্যান্ডার্ড দ্বারা বাস্তব মানগুলির জন্য সর্বদা অ-ঋণাত্মক হয়। নন-স্ট্যান্ডার্ড ইন্টিগ্রালটি স্পর্শক অর্ধ-কোণ প্রতিস্থাপনের কিছুটা অ-মানক সংস্করণ ব্যবহার করেও উদ্ভূত করা যেতে পারে, যা 2013 সালে প্রকাশিত এই নির্দিষ্ট ইন্টিগ্রালের ক্ষেত্রে সহজতর, নিম্নরূপঃ প্রতিস্থাপনঃ দুটি ধারাবাহিক প্রতিস্থাপন দ্বারা ইন্টিগ্রালটিকে ম্যানিপুলেট করে এবং দুবার প্রতিস্থাপনের মাধ্যমেও সমাধান করা যেতে পারে। সংজ্ঞা এবং পরিচয় ব্যবহার করে, ইন্টিগ্রালটিকে প্রতিস্থাপন হিসাবে পুনর্লিখন করা যেতে পারে, ইন্টিগ্রালকে হ্রাস করা যেতে পারে হ্রাসকৃত ইন্টিগ্রালটি প্রতিস্থাপনের মাধ্যমে মূল্যায়ন করা যেতে পারে, এবং তারপরে আইডেন্টিটি ব্যবহার করা যেতে পারে। ইন্টিগ্রালটি এখন একটি সহজ ইন্টিগ্রালে হ্রাস পেয়েছে এবং ব্যাক-প্রতিস্থাপন দেয় যা ইন্টিগ্রালের হাইপারবোলিক রূপগুলির মধ্যে একটি। কোসেক্যান্ট, হাইপারবোলিক সেক্যান্ট এবং হাইপারবোলিক কোসেক্যান্ট ফাংশনগুলিকে সংহত করার জন্য একটি অনুরূপ কৌশল ব্যবহার করা যেতে পারে। অন্যান্য হাইপারবোলিক রূপগুলি আবার একটি সুবিধাজনক শব্দ দ্বারা গুণ এবং ভাগ করে সরাসরি অন্য দুটি হাইপারবোলিক রূপ খুঁজে পাওয়া সম্ভবঃ যেখানে প্রতিস্থাপনের অর্থ, একটি স্ট্যান্ডার্ড ইন্টিগ্রালে হ্রাস পায়ঃ সাইন ফাংশন কোথায়। একইভাবেঃ প্রতিস্থাপন,, একটি স্ট্যান্ডার্ড ইন্টিগ্রালে হ্রাস করেঃ জটিল সূচকীয় ফর্ম ব্যবহার করে প্রতিস্থাপনের অধীনে সুতরাং ইন্টিগ্রালটি এইভাবে সমাধান করা যেতে পারেঃ যেহেতু ইন্টিগ্রেশনের ধ্রুবক যে কোনও কিছু হতে পারে, তাই অতিরিক্ত ধ্রুবক পদটি এতে শোষিত হতে পারে। পরিশেষে, যদি থিটা বাস্তব-মূল্যবান হয়, তবে আমরা সমীকরণটিকে তার সবচেয়ে পরিচিত আকারে পেতে পরম মান বন্ধনী দিয়ে এটি নির্দেশ করতে পারিঃ গুডারম্যানিয়ান এবং ল্যাম্বার্টিয়ান হাইপারবোলিক সেক্যান্ট ফাংশনের ইন্টিগ্রাল গুডারম্যানিয়ান ফাংশনকে সংজ্ঞায়িত করেঃ সিক্যান্ট ফাংশনের ইন্টিগ্রাল ল্যাম্বার্টিয়ান ফাংশনকে সংজ্ঞায়িত করে, যা গুডারম্যানিয়ান ফাংশনের বিপরীতঃ এই ফাংশনগুলি মানচিত্রের অনুমানের তত্ত্বে সম্মুখীন হয়ঃ দ্রাঘিমাংশ এবং অক্ষাংশ সহ গোলকের একটি বিন্দুর মার্কেটর অভিক্ষেপকে এইভাবে লেখা যেতে পারেঃ সিক্যান্ট কিউবড রেফারেন্সের ইন্টিগ্রাল দেখুন ইন্টিগ্রাল ক্যালকুলাস