Nichols algebra
বীজগণিতে, ব্রেইডেড ভেক্টর স্পেসের নিকোলাস বীজগণিত হল একটি ব্রেইডেড হপফ বীজগণিত যা গণিতবিদ ওয়ারেন নিকোলস দ্বারা চিহ্নিত এবং তাঁর নামে নামকরণ করা হয়। এটি একটি বিন্দুযুক্ত হপফ বীজগণিতে কোয়ান্টাম বোরেল অংশের ভূমিকা গ্রহণ করে যেমন একটি কোয়ান্টাম গ্রুপ এবং তাদের সুপরিচিত সসীম-মাত্রিক ছাঁটাই। নিকোলাস অ্যালজেব্রা অবিলম্বে র্যাডফোর্ড বাইপ্রডাক্ট ব্যবহার করে এই ধরনের নতুন কোয়ান্টাম গ্রুপ লিখতে ব্যবহার করা যেতে পারে। এই জাতীয় সমস্ত নিকোলস অ্যালজেব্রা এবং এমনকি সমস্ত সম্পর্কিত কোয়ান্টাম গোষ্ঠীর শ্রেণিবিন্যাস (অ্যাপ্লিকেশন দেখুন) দ্রুত এগিয়ে চলেছে, যদিও এখনও অনেক কিছু খোলা রয়েছেঃ একটি আবেলিয়ান গোষ্ঠীর ক্ষেত্রে 2005 সালে সমাধান করা হয়েছিল, তবে অন্যথায় এই ঘটনাটি খুব বিরল বলে মনে হয়, একটি মুষ্টিমেয় উদাহরণ সহ পরিচিত এবং শক্তিশালী নেতিবাচক মানদণ্ড প্রতিষ্ঠিত (নীচে দেখুন)। এছাড়াও এই সসীম-মাত্রিক নিকোলাস অ্যালজেব্রার তালিকাটি দেখুন। সীমাবদ্ধ-মাত্রিক তত্ত্বটি মূলত মূল পদ্ধতি এবং ডাইঙ্কিন রেখাচিত্রের একটি তত্ত্ব দ্বারা পরিচালিত হয়, যা লক্ষণীয়ভাবে আধা-সরল লাই অ্যালজেব্রার মত। হেকেনবার্গারের বক্তৃতায় একটি বিস্তৃত ভূমিকা পাওয়া যায়। সংজ্ঞা ইয়েটার-ড্রিনফেল্ড বিভাগে একটি ইয়েটার-ড্রিনফেল্ড মডিউল ভি বিবেচনা করুন। এটি বিশেষত একটি ব্রেইডেড ভেক্টরস্পেস, ব্রেইডেড মনোইডাল বিভাগ দেখুন। একটি ইয়েটার-ড্রিনফেল্ড মডিউলের টেনসর বীজগণিত সর্বদা একটি ব্রেইডেড হপফ বীজগণিত। নিকোলাস বীজগণিতকে বিভিন্ন সমতুল্য বৈশিষ্ট্য দ্বারা অনন্যভাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে, যার মধ্যে কয়েকটি হপফ বীজগণিত কাঠামোর উপর দৃষ্টি নিবদ্ধ করে এবং কিছু আরও সংমিশ্রণমূলক। যাই হোক না কেন, নিকোলাস বীজগণিত স্পষ্টভাবে নির্ধারণ করা (এমনকি এটি সীমাবদ্ধ-মাত্রিক কিনা তা নির্ধারণ করা) খুব কঠিন হতে পারে এবং বেশ কয়েকটি সুনির্দিষ্ট ক্ষেত্রে উন্মুক্ত (নীচে দেখুন)। সংজ্ঞা I: সংমিশ্রণ সূত্র ধরা যাক একটি বিনুনি ভেক্টর স্থান, এর অর্থ হল যে কোনওটির জন্য বিনুনি গোষ্ঠীর একটি ক্রিয়া রয়েছে, যেখানে স্থানান্তর হিসাবে কাজ করে। স্পষ্টতই প্রতিসম গোষ্ঠীর একটি সমরূপতা রয়েছে তবে এটি কোনও বিভাগকে স্বীকার করে না, বা সাধারণভাবে ক্রিয়াটি এটির উপর ফ্যাক্টরাইজ করে না। তবুও একটি সেট-তাত্ত্বিক বিভাগ বিবেচনা করুন যা কোনও হ্রাসকৃত অভিব্যক্তির মাধ্যমে স্থানান্তর এবং নির্বিচারে উপাদানগুলিতে স্থানান্তর প্রেরণ করে। এটি কোনও গোষ্ঠী সমরূপতা নয়, তবে মাতসুমোটোর উপপাদ্য (গোষ্ঠী তত্ত্ব) আমাদের বলে যে কোনও অন-এর ক্রিয়া একটি হ্রাসকৃত অভিব্যক্তি পছন্দের থেকে স্বাধীনভাবে সু-সংজ্ঞায়িত। পরিশেষে নিকোলসের বীজগণিত হল এই সংজ্ঞাটি পরে (তবে স্বাধীনভাবে) ওরোনোভিচ দিয়েছিলেন। বীজগাণিতিক প্রমাণগুলিতে এটি খুব কমই কার্যকর হওয়ার অসুবিধা রয়েছে তবে এটি তার নিজস্ব অধিকারে একটি অন্তর্দৃষ্টির প্রতিনিধিত্ব করে এবং এটি হপফ বীজগণিতের স্বরলিপি থেকে খুব স্পষ্ট এবং স্বাধীন হওয়ার উপদেশমূলক সুবিধা রয়েছে। দ্বিতীয় সংজ্ঞাঃ নির্ধারিত আদিম নিকোলাস বীজগণিত হল প্রদত্ত বিনুনি দ্বারা সৃষ্ট বিনুনি বিভাগের অনন্য হপফ বীজগণিত, যা একমাত্র আদিম উপাদান। নিকোলসের কারণে এটি মূল সংজ্ঞা এবং এটি হপফ অ্যালজেব্রার শ্রেণিবিন্যাসে মৌলিক ধারণা হিসাবে নিকোলাস বীজগণিতের ভূমিকাকে খুব স্বচ্ছ করে তোলে। সংজ্ঞা III: সার্বজনীন ভাগফল ধরা যাক। নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্যগুলির সাথে একটি বৃহত্তম আদর্শ বিদ্যমান রয়েছেঃ (এটি স্বয়ংক্রিয়) নিকোলাস বীজগণিত হল সংজ্ঞা IV: ননডিজেনারেট পেয়ারিং অনন্য হপফ পেয়ারিং একটি ননডিজেনারেট হপফ পেয়ারিং-এর মধ্যে ফ্যাক্টরাইজ করে এবং এই সত্যটি নিকোলাস বীজগণিতকে অনন্যভাবে চিহ্নিত করে। এই তাত্ত্বিকভাবে খুব সহায়ক চরিত্রায়ন লুস্টিগের কারণে। সংজ্ঞা ভিঃ স্ক্যু ডেরিভেটিভস এটি পূর্ববর্তী সংজ্ঞার কিছুটা স্পষ্ট রূপঃ একটি সমজাতীয় ভিত্তি বেছে নেওয়া (অর্থাৎ। কোঅ্যাকশন/গ্র্যাজুয়েশন) টেনসর বীজগণিতের সর্বজনীন বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করে তির্যক ব্যুৎপত্তি সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারেঃ তারপর নিকোলাস বীজগণিত হল বৃহত্তম সমজাতীয় আদর্শের ভাগফল যার কোনও ধ্রুবক নেই এবং সমস্ত ব্যুৎপত্তিগুলির অধীনে অপরিবর্তনীয়। মোটামুটিভাবে বললে, কেউ সমস্ত তির্যক-উৎপত্তির কার্নেলের উপাদানগুলি সন্ধান করতে পারে এবং এগুলি ভাগ করতে পারে; তারপরে সমস্ত তির্যক-উৎপত্তির কার্নেলে এখন যে সমস্ত উপাদান রয়েছে সেগুলি আবার সন্ধান করুন এবং সেগুলিকেও ভাগ করুন ইত্যাদি। উদাহরণ আমরা সসীম-মাত্রিক নিকোলস্ অ্যালজেব্রার উদাহরণ দিচ্ছি। বৈশিষ্ট্যযুক্ত পি-এর উপর, এই প্রভাবটি ইতিমধ্যেই নন-ব্রেইডেড পরিস্থিতিতে দেখা দিতে পারে, যথা পি-সীমাবদ্ধ লাই অ্যালজেব্রার কাটা সর্বজনীন আবরণ। চরিত্রগত শূন্যে এবং একটি আবেলিয়ান গোষ্ঠী থেকে আসা একটি বেণীর সাথে, এটি একই রকম ঘন ঘন ঘটনা বলে মনে হয় (যদিও আরও বেশি জড়িত, শ্রেণীবিভাগ দেখুন)। অন্যদিকে জি ননবেলিয়ানের জন্য, এখন পর্যন্ত খুব কম উদাহরণই জানা গেছে, এবং শক্তিশালী নেতিবাচক মানদণ্ড অনেক গোষ্ঠীকে একেবারেই বাদ দেয় (শ্রেণীবিভাগ দেখুন)। 1-মাত্রিক উদাহরণ প্রথম উদাহরণ হিসাবে, গ্রুপ হপফ বীজগণিত H = k [Z/2Z]-এর উপর 1-মাত্রিক ইয়েটার-ড্রিনফেল্ড মডিউলটি বিবেচনা করুন, যেখানে চক্রাকার গোষ্ঠীকে গুণগতভাবে (বীজগণিতে যথারীতি) চিহ্নিত করা হয় এবং কিছু g দ্বারা উৎপন্ন করা হয়। জেড/2জেড-গ্র্যাজুয়েশন) অনঃ এইচ-অ্যাকশন (রেসপ। Z/2Z-অ্যাকশন) অনঃ এইভাবে ব্রেডিং হয় তারপর, সাইন পছন্দের উপর নির্ভর করে, নিকোলাস অ্যালজেব্রা হয়ঃ লক্ষ্য করুন যে প্রথমটি প্রত্যাশিত (নন-ব্রেইডেড কেস), এবং দ্বিতীয়টি এই বিন্দুতে কাটা হয়েছে যে এটি সীমাবদ্ধ-মাত্রিক! একইভাবে, k তে কিছু q দ্বারা g ক্রিয়াশীল একটি উচ্চতর চক্রাকার গোষ্ঠীর উপর Vq-এর নিকোলাস বীজগণিত রয়েছে যদি q ষ্ণ 1 একতার একটি আদিম n-তম মূল হয়, এবং অন্যথায়। (ভৌত দৃষ্টিকোণ থেকে, ভি + একটি বোসোনের সাথে মিলে যায়, যেখানে ভি-পাউলি বর্জন নীতি দ্বারা সীমাবদ্ধ একটি ফার্মিয়নের প্রতিনিধিত্ব করে; একটি উপমা যা ব্রেইডেড কমিউটেটর বিবেচনা করার সময় পুনরাবৃত্তি করে, এই ক্ষেত্রে (বিরোধী) কমিউটেটর হওয়ায়, একটি কোয়ান্টাম গ্রুপ এবং আলোচনা হিসাবে সুপারসিমেট্রি দেখুন) জি আবেলিয়ানের উপর উচ্চতর-র্যাঙ্কের উদাহরণগুলিঃ ব্রেইডেড কমিউটেটর পরবর্তী উদাহরণগুলি দুটি ভিত্তি উপাদানের মিথস্ক্রিয়া দেখায়ঃ দ্বিমাত্রিক ইয়েটার-ড্রিনফেল্ড মডিউল ভি01 = কেএক্স কাই বিবেচনা করুন হপফ বীজগণিত এইচ = কে [জেড/2জেড × জেড/2জেড] গ্রুপের সাথে ক্লেইন চার গ্রুপের গুণিতকভাবে কিছু জি, এইচ দ্বারা চিহ্নিত এবং উত্পন্ন। ভি01-এ এইচ-কোয়েশন/গ্র্যাজুয়েশন হিসাবে নিন এবং এইচ-অ্যাকশন হিসাবে নিন (রেসপ। Z/2Z-ক্রিয়া) V0,1-এর উপরঃ V0-এর জন্য "+" (প্রতিসম) এবং V1-এর জন্য "-" (অসমমিত) এইভাবে ব্রেডিং হয় তারপর, সাইন পছন্দের উপর নির্ভর করে, নিকোলস অ্যালজেব্রা 4 এবং 8 মাত্রার হয় (তারা নীচের শ্রেণিবিন্যাসে উপস্থিত হয়): সেখানে কেউ সেমিসিম্পল লাই অ্যালজেব্রার সাথে আকর্ষণীয় সাদৃশ্য দেখতে পাবেঃ প্রথম ক্ষেত্রে, ব্রেইডেড কমিউটেটর [x, y] (এখানেঃ অ্যান্টিকমিউটেটর) শূন্য, এবং দ্বিতীয়টিতে, মূল স্ট্রিংটি দীর্ঘ [x, [x, y]] = 0। তাই এই দুটি ডায়ানকিন রেখাচিত্র এবং এ2-এর অন্তর্গত। একটি আরও দীর্ঘ মূল স্ট্রিং V2, V3 সহ উদাহরণ তৈরি করে যা ডাইনকিন চিত্র B2, G2-এর সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ (তবে উচ্চতরও নয়)। লাই অ্যালজেব্রা, কোয়ান্টাম গ্রুপ নিকোলাস অ্যালজেব্রা সম্ভবত কোয়ান্টাম গ্রুপের বোরেল অংশ এবং তাদের সাধারণীকরণের জন্য সবচেয়ে বেশি পরিচিত। আরও সুনির্দিষ্টভাবে ধরা যাক একটি আবেলিয়ান গোষ্ঠীর উপর তির্যক ইয়েটার-ড্রিনফেল্ড মডিউল যেখানে একটি অর্ধ-সরল (সীমাবদ্ধ-মাত্রিক) লাই বীজগণিতের কিলিং ফর্ম, তারপর নিকোলাস বীজগণিত লুস্টিগের ছোট কোয়ান্টাম গ্রুপের ইতিবাচক অংশ সুপার-লাই অ্যালজেব্রা অন্তর্ভুক্ত হেকেনবার্গের তালিকায় লাই অ্যালজেব্রার চেয়ে বেশি তির্যক নিকোলাস অ্যালজেব্রা রয়েছে এবং রুট সিস্টেম তত্ত্বটি নিয়মতান্ত্রিক, তবে আরও জটিল (নীচে দেখুন)। বিশেষত এতে সুপার-লাই-আলজেব্রার শ্রেণীবিভাগও রয়েছে (নীচের উদাহরণ) পাশাপাশি নির্দিষ্ট কিছু লাই আলজেব্রা এবং সুপার-লাই-আলজেব্রা রয়েছে যা শুধুমাত্র একটি নির্দিষ্ট সীমাবদ্ধ বৈশিষ্ট্যের মধ্যে উপস্থিত হয়। এইভাবে নিকোলসের বীজগণিত তত্ত্ব এবং মূল পদ্ধতি তত্ত্ব এই ধারণাগুলির জন্য একটি সমন্বিত কাঠামো প্রদান করে। নন-ডায়াগোনাল ব্রেডিং, নন-অ্যাবেলিয়ান গ্রুপগুলি k = C-এর উপরে কেবলমাত্র কয়েকটি সীমিত-মাত্রিক নিকোলস অ্যালজেব্রা এখনও পর্যন্ত জানা গেছে। এটি জানা যায় যে এই ক্ষেত্রে প্রতিটি অপরিবর্তনীয় ইয়েটার-ড্রিনফেল্ড মডিউল গ্রুপের কনজুগেসি শ্রেণীর সাথে মিলে যায় (জি-এর সেন্ট্রালাইজারের একটি অপরিবর্তনীয় উপস্থাপনা সহ)। একটি নির্বিচারে ইয়েটার-ড্রিনফেল্ড মডিউল এই ধরনের একটি সরাসরি যোগফল, যোগফলের সংখ্যাকে র্যাঙ্ক বলা হয়; প্রতিটি যোগফল ডাইনকিন রেখাচিত্রের আনোডের সাথে মিলে যায় (নীচে দেখুন)। লক্ষ্য করুন যে উপরের আবেলিয়ান গোষ্ঠীগুলির জন্য, অপরিবর্তনীয় যোগফলগুলি 1-মাত্রিক, তাই র্যাঙ্ক এবং মাত্রা মিলে যায়। বিশেষ উদাহরণগুলির মধ্যে রয়েছে নিকোলাস বীজগণিত যা একটি কক্সেটার গোষ্ঠীর প্রতিফলনের সংমিশ্রণ শ্রেণীর (এস) সাথে সম্পর্কিত, তারা ফোমিন কিরিলভ অ্যালজেব্রার সাথে সম্পর্কিত। এটি জানা যায় যে এই নিকোলাস অ্যালজেব্রা সীমাবদ্ধ মাত্রিক তবে ইতিমধ্যে কেসটি 2000 সাল থেকে খোলা রয়েছে। আরেকটি শ্রেণীর উদাহরণ আবেলিয়ান কেস থেকে ডায়াগ্রাম অটোমরফিজমের মাধ্যমে ভাঁজ করে তৈরি করা যেতে পারে। আমাদের জ্ঞানের পরিমাণ অনুযায়ী সসীম-মাত্রিক নিকোলস্ অ্যালজেব্রার একটি তালিকার জন্য এখানে দেখুন। মূল পদ্ধতি একটি অত্যন্ত উল্লেখযোগ্য বৈশিষ্ট্য হল যে প্রতিটি নিকোল বীজগণিতের জন্য (পর্যাপ্ত সীমাবদ্ধতার শর্তে) মূলগুলির একটি সেট সহ একটি সাধারণীকৃত মূল ব্যবস্থা বিদ্যমান, যা নিকোল বীজগণিতকে নিয়ন্ত্রণ করে। এটি দ্বি-অক্ষরের পরিপ্রেক্ষিতে তির্যক নিকোলস্ বীজগণিতে এবং সাধারণ অর্ধ-সরল নিকোলস্ বীজগণিতে আবিষ্কৃত হয়েছে। লাই অ্যালজেব্রা থেকে জানা সাধারণ স্ফটিকগত মূল ব্যবস্থার বিপরীতে, একই সাধারণীকৃত মূল ব্যবস্থায় বেশ কয়েকটি ভিন্ন ওয়েইল চেম্বার থাকতে পারে, যা ধনাত্মক মূল এবং সাধারণ ধনাত্মক মূলের সেটগুলির অ-সমতুল্য পছন্দগুলির সাথে সম্পর্কিত, যার বিভিন্ন কার্টান ম্যাট্রিক্স এবং বিভিন্ন ডাইঙ্কিন রেখাচিত্র রয়েছে। বিভিন্ন ওয়েল চেম্বার প্রকৃতপক্ষে বিভিন্ন অ-আইসোমরফিক নিকোলাস অ্যালজেব্রার সাথে মিলে যায় যাকে ওয়েল-সমতুল্য বলা হয়। কোয়ান্টাম গ্রুপগুলি এই সত্যের ক্ষেত্রে খুব বিশেষ যে এখানে সমস্ত বোরেল অংশ আইসোমরফিক; তবুও এই ক্ষেত্রেও লুস্টিগের প্রতিফলন অপারেটর আবার হপফ বীজগণিত আইসোমরফিজম নয়! ওয়েল গ্রুপয়েড এবং জেনারেলাইজড রুট সিস্টেমের সংজ্ঞা আনুষ্ঠানিক ভিত্তিতে র্যাঙ্ক কোথায়। আমরা প্রথমে সাধারণীকৃত কার্টান গ্রাফগুলি নিয়ে আলোচনা করি যেমনঃ একটি সাধারণীকৃত কার্টান ম্যাট্রিক্স হল একটি অবিচ্ছেদ্য ম্যাট্রিক্স যেমন একটি কার্টান গ্রাফ হল এই ধরনের কার্টান ম্যাট্রিক্সগুলির একটি সেট যা বস্তু/চেম্বারগুলির একটি সেট দ্বারা প্যারামিট্রাইজ করা হয়, একসাথে (বস্তু পরিবর্তন) মরফিজমের সাথে যেমন মানচিত্রগুলি সংজ্ঞায়িত করুন (লক্ষ্য করুন যে লাই বীজগণিত সাহিত্যের জন্য ট্রান্সপোজ কনভেনশনও রয়েছে, যেমন। হামফ্রের বইয়ে) ওয়েল গ্রুপয়েড হল বস্তু এবং মরফিজম সহ বিভাগ যা আনুষ্ঠানিকভাবে দ্বারা উত্পন্ন গোষ্ঠী। প্রকৃত মূলগুলির সেট হল সেট সংজ্ঞায়িত করুন, তারপরে একটি মূল সিস্টেমের ধরন হল একটি সেট যার জন্য ক্রিস্টালোগ্রাফিক হাইপারপ্লেন বিন্যাসের সীমাবদ্ধ সমতুল্যতা রয়েছে। এতে দেখানো হয়েছিল যে ওয়েল গ্রুপয়েডগুলি ক্রিস্টালোগ্রাফিক হাইপারপ্লেন বিন্যাসের সাথে 1:1 মিল রয়েছে। এগুলি স্বাভাবিক ভেক্টরগুলির উৎপত্তি এবং পছন্দগুলির মাধ্যমে হাইপারপ্লেনের একটি সেট যেমন সাধারণ ভেক্টরগুলির সাথে হাইপারপ্লেনের দ্বারা আবদ্ধ প্রতিটি সরল চেম্বারের জন্য অন্যান্য সমস্ত নির্বাচিত স্বাভাবিক ভেক্টরকে এর অবিচ্ছেদ্য রৈখিক সংমিশ্রণ হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে। সমস্ত সীমাবদ্ধ স্ফটিকগত হাইপারপ্লেন বিন্যাসের সেটে (এবং তাই সীমাবদ্ধ ওয়েইল গ্রুপয়েড বা সীমাবদ্ধ সাধারণীকৃত মূল ব্যবস্থা) শ্রেণীবদ্ধ করা হয়েছে। প্রতিফলন ব্যবস্থা ছাড়াও আরও একটি অসীম পরিবার রয়েছে এবং মোট 74টি ব্যতিক্রম রয়েছে। র্যাঙ্ক 3-এর উদাহরণ (একটি সুপার লাই বীজগণিতও) নিম্নরূপ ক্ষুদ্রতম ক্রিস্টালোগ্রাফিক হাইপারপ্লেন বিন্যাস, ওয়েল গ্রুপয়েড, সাধারণীকৃত মূল ব্যবস্থা, যা সাধারণ লাই ধরনের নয়। এটি একটি তির্যক নিকোলস বীজগণিতের জন্য প্রদর্শিত হয়, এমনকি একটি সুপার লাই বীজগণিতের জন্যও। হাইপারপ্লেন বিন্যাসটি একটি কিউবোক্টেহেড্রন (একটি প্লেটোনিক কঠিন) থেকে তৈরি করা যেতে পারেঃ এর শিকড় (রেসপ) রয়েছে। হাইপারপ্লেন, চিত্রগুলিতে সমবাহু ত্রিভুজ রেসপকে আবদ্ধ করে। বর্গক্ষেত্রে তির্যক, সুপার লাই বীজগণিতে বিজোড় রেসপ। এমনকি শিকড়)। এটিতে দৃশ্যমানভাবে বিভিন্ন ধরনের ওয়েইল চেম্বার (সমবাহু ত্রিভুজ রেসপ) রয়েছে। ডান ত্রিভুজ) বিভিন্ন কার্টান ম্যাট্রিক্স সহ যেখানে সহজ মূলের পরিপ্রেক্ষিতে শিকড়গুলি নিম্নরূপঃ ছবিতে সাদা চেম্বার, যেমন ভিত্তি সহ। স্পষ্টতই, এই ধরনের চেম্বারের ডাইনকিন রেখাচিত্রটি একটি সরল-সজ্জিত ত্রিভুজ, প্রতিফলন আমাদের দ্বিতীয় ধরনের চেম্বারে নিয়ে আসে ছবিতে ধূসর চেম্বার, যেমন ভিত্তি সহ। এই ধরনের চেম্বারের ডাইনকিন রেখাচিত্রটি ঠিক (তবে আরও একটি মূল)। এই মূল ব্যবস্থাটি একটি অসীম সিরিজের ক্ষুদ্রতম সদস্য। ছবিগুলি সেখানকার, যেখানে উদাহরণটিও পুঙ্খানুপুঙ্খভাবে আলোচনা করা হয়েছে। আবেলিয়ান গোষ্ঠীগুলির উপর শ্রেণিবিন্যাস (বিবরণ) কে = সি-তে আবেলিয়ান গোষ্ঠীগুলির উপর সীমাবদ্ধ মাত্রার নিকোলাস বীজগণিতগুলি 2004-2005 বছরগুলিতে গাণিতিক মূল ব্যবস্থা এবং সাধারণীকৃত ডাইনকিন রেখাচিত্রগুলিকে শ্রেণীবদ্ধ করে শ্রেণীবদ্ধ করা হয়েছিল; যেখানে ইতিমধ্যে খারচেঙ্কো প্রমাণ করেছিলেন যে তারা পুনরাবৃত্ত (ব্রেইডেড) কমিউটেটরগুলির একটি পয়েনকারে-বারখফ-উইট ভিত্তির অধিকারী। একমাত্র যে তথ্যের প্রয়োজন তা হল ব্রেডিং ম্যাট্রিক্স, যা এই বিন্যাসে তির্যক (উপরের উদাহরণগুলি দেখুন) যদিও বেশিরভাগই শুধুমাত্র ধ্রুপদী কার্টান-কেসগুলি উপস্থিত হয়, তবে ছোট মৌলিক সংখ্যার জন্য বেশ কয়েকটি বহিরাগত চিত্র সম্ভব, যেমন একটি ত্রিভুজ এই ক্ষেত্রে একটি চিত্রের ওয়েল প্রতিফলনগুলি "একই" রেখাচিত্রে নাও আসতে পারে, তবে একটি তথাকথিত ওয়েল সমতুল্য। এটিও সঠিক কারণ, যে এই বহিরাগত ক্ষেত্রে একটি সাধারণ গোষ্ঠীর পরিবর্তে একটি ওয়েইল-গ্রুপয়েড থাকে। নিকোলাস বীজগণিতের উৎপাদক এবং সম্পর্কগুলি মূল পদ্ধতি থেকে সহজেই পাওয়া যায় না। বরং, একজনকে লিনন্ড শব্দ দিয়ে ক্লান্তিকর কাজ করতে হয়। এটি সম্পূর্ণরূপে নেতিবাচক মানদণ্ডে করা হয়েছেঃ বিশেষত অপরিবর্তনীয় ভি-এর জন্য কোনও সাব-মডিউল নেই; তবে কেউ কেবল দুটি অন্তর্ভুক্ত উপাদানের বিনুনি প্রতিফলিত করে সাব-র্যাকের আরও বিমূর্ত ধারণাটি ব্যবহার করতে পারে। বেশ কয়েকটি গবেষণাপত্রে, নিকোলাস আন্দ্রুস্কিভিচ এবং অন্যান্যরা। গোষ্ঠীগুলিকে (অপরিবর্তনীয়) নিকোলাস অ্যালজেব্রার অধিকারী হওয়া থেকে বাদ দিয়ে নেতিবাচক মানদণ্ড দেওয়া হয়েছে। তাদের কৌশলগুলি মোটামুটিভাবে সংক্ষিপ্ত করা যেতে পারে (আরও বিস্তারিত! ): এই আনস্যাটজ কখনও কখনও শক্তিশালী শর্ত রাখে বিশেষ করে যে কোনও জি-গ্রেডেড উপাদান x-এর নিজের সাথে বেণী করার ক্ষেত্রে (যেমন। উপরের প্রথম উদাহরণটি দেখায় q ষ্ণ 1)। লক্ষ্য করুন যে যেহেতু সেন্ট্রালাইজারের মধ্যে জি কেন্দ্রীয়, তাই এটি শুর লেম্মার ফলস্বরূপ একটি স্কেলার দ্বারা অপরিবর্তনীয় উপস্থাপনার উপর কাজ করে; তাই এই সেলফব্রেডিং রেসপ। 1-ডাইম সাব-ইয়েটার-ড্রিনফেল্ড মডিউল/ব্রেইডেড ভেক্টরস্পেস/1-ডাইম সাব-র্যাক হল তির্যক এটি সাধারণত জি বাদ দিতে ব্যবহৃত হয়। বিজোড় ক্রম এবং/অথবা উচ্চ মাত্রার χ হওয়ারঃ যদি g বাস্তব হয় (অর্থাৎ। তার বিপরীতের সাথে সংযুক্ত) তাহলে q =-1 (বিশেষ করে g কে জোড় ক্রমের হতে হবে) যদি g অর্ধ-বাস্তব হয় (অর্থাৎ। কিছু জে-তম শক্তির সাথে সংযুক্ত) তারপর উপরের হিসাবে q =-1 অথবা এবং উপস্থাপনা χ এক-মাত্রিক যার সাথে q = ζ3 একতার একটি আদিম তৃতীয় মূল (বিশেষত g এর ক্রমটি 3 দ্বারা বিভাজ্য) যদি বিপরীত g একটি ইনভোলুশন হয় এবং কিছু কেন্দ্রীভূত h = tgt হয় তবে h (ম্যাট্রিক্স হিসাবে দেখা) এর আইগেনভ্যালুগুলি দৃঢ়ভাবে সীমাবদ্ধ। নন-অ্যাবেলিয়ান গোষ্ঠীগুলির উপর রুট সিস্টেম নন-অ্যাবেলিয়ান ক্ষেত্রেও একটি রুট সিস্টেমের অস্তিত্ব অবিলম্বে নিম্নলিখিত খুব শক্তিশালী প্রভাবগুলি বোঝায়ঃ র্যাঙ্ক 2 নিকোলস অ্যালজেব্রার জন্য তাৎক্ষণিক পরিণতি বোঝানো হয় যা g, h বিচ্ছিন্ন করে; তারপরঃ উপাদানগুলির ব্রেইডেড কমিউটেটর [x, y] সবগুলিই শূন্য নয়। ব্রেইডেড কমিউটেটরের স্থান একটি অপরিবর্তনীয় সাব-ইয়েটার-ড্রিনফেল্ড মডিউল গঠন করে (অর্থাৎ। লাই বীজগণিতের ক্ষেত্রে মূলটি অনন্য) এগুলি "যাতায়াতের কাছাকাছি" এটি মোটামুটিভাবে বোঝায় যে, নন-অ্যাবেলিয়ান গোষ্ঠীগুলির উপর সীমাবদ্ধ-মাত্রিক নিকোলস অ্যালজেব্রা খুব কম পদমর্যাদার (যদি থাকে) হতে হবে বা গোষ্ঠীটি কাছাকাছি হতে হবে-অ্যাবেলিয়ান। নেতিবাচক মানদণ্ডঃ নন-অ্যাবেলিয়ান সাব্র্যাক (টাইপ ডি) যেহেতু অ্যাবেলিয়ান সাব্র্যাকগুলি অ্যাবেলিয়ান গোষ্ঠীর উপর নিকোলাস অ্যালজেব্রার জন্য হেকেনবার্গারের কাঠামোগত শ্রেণিবিন্যাস ব্যবহার করে (উপরে দেখুন) কেউ নন-অ্যাবেলিয়ান সাব্র্যাকগুলিও বিবেচনা করতে পারে। যদি এই ধরনের একটি সাব-র্যাক বেশ কয়েকটি টুকরোতে বিভক্ত হয় (কারণ এখন কনজুগেট করার জন্য কম উপাদান উপস্থিত রয়েছে), তবে রুট সিস্টেমে উপরের ফলাফলগুলি প্রযোজ্য। একটি নির্দিষ্ট ক্ষেত্রে যেখানে এটি অত্যন্ত সফল হয় তা হল টাইপ ডি, অর্থাৎ। আর-এর জন্য, এস উৎপন্ন উপগোষ্ঠীর মধ্যে সংযুক্ত নয়, এই ক্ষেত্রে সাব্র্যাকের নিকোলাস বীজগণিত অসীম-মাত্রিক এবং একইভাবে সমগ্র নিকোলাস বীজগণিতও পরিচিত গোষ্ঠীগুলি সীমাবদ্ধ-মাত্রিক নিকোলাস বীজগণিত গ্রহণ করে না, উপরের উভয় নেতিবাচক কৌশলগুলি সীমাবদ্ধ-মাত্রিক নিকোলাস বীজগণিতকে নেতিবাচক করার জন্য খুব ফলপ্রসূ হয়েছেঃ উদাহরণের একটি সংক্ষিপ্ত তালিকা ব্যতীত প্রতিসম গোষ্ঠীর জন্য বিকল্প গোষ্ঠীগুলির জন্য লাই প্রকারের কিছু গ্রুপ (উৎস, সম্পূর্ণ তালিকা?) সম্ভাবনার একটি সংক্ষিপ্ত তালিকা ছাড়া সমস্ত বিক্ষিপ্ত গোষ্ঠী (রেসপ। এ. টি. এল. এ. এস নোটেশনে কনজুগেসি ক্লাস) যেগুলি সবই বাস্তব বা জে = 3-কোয়াসিরিয়ালঃ. ফিশার গ্রুপের জন্য ক্লাসগুলি. বেবি মনস্টার গ্রুপ বি-এর জন্য ক্লাসগুলি. মনস্টার গ্রুপ এম-এর জন্য ক্লাসগুলি সাধারণত প্রচুর পরিমাণে কনজুগেসি ক্লাস টাইপ ডি ("যথেষ্ট বিনিময়যোগ্য নয়"), অন্যরা পর্যাপ্ত আবেলিয়ান সাব্র্যাক ধারণ করে এবং তাদের বিবেচনার দ্বারা বাদ দেওয়া যেতে পারে। বেশ কয়েকটি মামলা হাতে হাতে করতে হয়। লক্ষ্য করুন যে খোলা ক্ষেত্রে খুব ছোট সেন্ট্রালাইজার (সাধারণত চক্রীয়) এবং উপস্থাপনা χ (সাধারণত 1-মাত্রিক চিহ্ন উপস্থাপনা) থাকে। উল্লেখযোগ্য ব্যতিক্রমগুলি হল অর্ডার 16,32-এর কনজুগেসি ক্লাসগুলি 2048 রেসপ অর্ডারের সেন্ট্রালাইজার পি-গ্রুপ হিসাবে রয়েছে। 128 এবং বর্তমানে χ-এর উপর কোনও বিধিনিষেধ নেই। প্রয়োগ নিকোলাস আন্দ্রুস্কিভিচ এবং হান্স-জার্গেন স্নাইডার, বিশেষত কোয়ান্টাম গ্রুপ দ্বারা সীমাবদ্ধ-মাত্রিক বিন্দুযুক্ত হপফ অ্যালজেব্রার (ছোট মৌলিক সংখ্যা ছাড়া) শ্রেণিবিন্যাসে নিকোলাস বীজগণিত কোয়ান্টাম বোরেল অংশ হিসাবে উপস্থিত হয়। উদাহরণস্বরূপ, এবং এককত্বের মূল q-এর জন্য তাদের সুপরিচিত ছাঁটাইগুলি একটি সাধারণ আধা-সরল লাই বীজগণিতের মতো E-এর (বোরেল অংশ), দ্বৈত F-এর এবং K-এর (কার্টান বীজগণিত) মধ্যে বিভক্ত হয়ঃ এখানে, শাস্ত্রীয় তত্ত্বের মতো V হল E-এর দ্বারা বিস্তৃত মাত্রা n (র্যাঙ্ক)-এর একটি ভেক্টরস্পেস, এবং σ (একটি তথাকথিত কোসাইলেস টুইস্ট) E এবং F-এর মধ্যে অ-তুচ্ছ সংযোগ তৈরি করে। লক্ষ্য করুন যে শাস্ত্রীয় তত্ত্বের বিপরীতে, দুটিরও বেশি সংযুক্ত উপাদান উপস্থিত হতে পারে। সিট দেখুন। স্থানীয় "। A3 প্রকারের 4টি অংশ সহ একটি বহিরাগত উদাহরণের জন্য। শ্রেণিবিন্যাস মোটামুটিভাবে একটি প্রদত্ত অনুমানমূলক উদাহরণকে (কোর্যাডিকাল-) গ্রুপ এবং (সংযুক্ত-) অংশের র্যাডফোর্ড বাইপ্রডাক্টে হ্রাস করে, যা নিকোলাস বীজগণিত ধারণ করে, সংশ্লিষ্ট "গ্রেডেড অবজেক্ট" (সমস্ত সংযোগকে হত্যা করে) গ্রহণ করে। উপরের সীমাবদ্ধ-মাত্রিক নিকোলস্ অ্যালজেব্রার শ্রেণিবিন্যাস থেকে প্রাপ্ত জ্ঞানের সাহায্যে, লেখকরা সংযুক্ত অংশে (1ম মাত্রায় প্রজন্ম) উপস্থিত হওয়ার জন্য কোনও অতিরিক্ত উপাদান প্রমাণ করেন না এবং পরিশেষে সাধারণ ডাইঙ্কিন রেখাচিত্রে সমস্ত সম্ভাব্য উত্তোলনকে "বিন্দুযুক্ত রেখা" হিসাবে বর্ণনা করেন। সম্প্রতি, এই চিঠিপত্রটি ওয়েল গোষ্ঠীর সাথে 1ঃ1 চিঠিপত্রের মধ্যে থাকা কিছু তথাকথিত কোয়েডাল সাবঅ্যালজেব্রা চিহ্নিত করার জন্য ব্যাপকভাবে প্রসারিত করা হয়েছে, যা আগে "সংখ্যাসূচক কাকতালীয় ঘটনা" হিসাবে অনুমান করা হয়েছিল এবং কিছু ক্ষেত্রে হাতে-হাতে প্রমাণিত হয়েছিল। তথ্যসূত্র হপফ আলজেব্রা কোয়ান্টাম গ্রুপ