Coxeter notation
জ্যামিতিতে, কক্সেটার স্বরলিপি (এছাড়াও কক্সেটার প্রতীক) হল প্রতিসাম্য গোষ্ঠীগুলিকে শ্রেণীবদ্ধ করার একটি ব্যবস্থা, যা একটি কক্সেটার-ডাইঙ্কিন চিত্রের কাঠামো প্রকাশ করে একটি বন্ধনীযুক্ত স্বরলিপিতে একটি কক্সেটার গোষ্ঠীর মৌলিক প্রতিফলনের মধ্যে কোণগুলি বর্ণনা করে, নির্দিষ্ট উপগোষ্ঠী নির্দেশ করার জন্য সংশোধনকারী সহ। স্বরলিপিটি এইচ. এস. এম. কক্সেটারের নামে নামকরণ করা হয়েছে এবং নরম্যান জনসন দ্বারা আরও ব্যাপকভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে। বিশুদ্ধ প্রতিফলন দ্বারা সংজ্ঞায়িত কক্সেটার গোষ্ঠীর জন্য, বন্ধনী স্বরলিপি এবং কক্সেটার-ডাইঙ্কিন রেখাচিত্রের মধ্যে একটি সরাসরি যোগাযোগ রয়েছে। বন্ধনী স্বরলিপির সংখ্যাগুলি কক্সেটার চিত্রের শাখাগুলিতে আয়না প্রতিফলনের ক্রমকে উপস্থাপন করে। এটি একই সরলীকরণ ব্যবহার করে, অর্থোগোনাল আয়নার মধ্যে 2s দমন করে। রৈখিক চিত্রের জন্য একটি সারিতে শাখার সংখ্যা প্রতিনিধিত্ব করার জন্য কক্সেটার স্বরলিপিটি সূচকগুলির সাথে সরলীকৃত করা হয়েছে। সুতরাং এন গ্রুপটি [3n−1] দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়, যা এন-1 অর্ডার-3 শাখা দ্বারা সংযুক্ত এন নোডগুলিকে বোঝায়। উদাহরণ A2 = [3,3] = [32] অথবা [31,1] রেখাচিত্রের প্রতিনিধিত্ব করে। কক্সেটার প্রাথমিকভাবে সংখ্যার উল্লম্ব অবস্থানের সাথে দ্বিখণ্ডিত চিত্রগুলির প্রতিনিধিত্ব করেছিলেন, তবে পরে [., 3p, q] বা [3p, q, r], [31,1,1] বা [3,31,1] = বা D4 দিয়ে শুরু করে একটি সূচক স্বরলিপি দিয়ে সংক্ষিপ্ত করা হয়েছিল। কক্সেটার একটি পরিবারের সাথে খাপ খাইয়ে নেওয়ার জন্য বিশেষ ক্ষেত্রে শূন্যের অনুমতি দিয়েছিলেন, যেমন A3 = [3,3,3,3] = [34,0,0] = [34,0] = [33,1] = [32,2], যেমন = =। চক্রাকার রেখাচিত্র দ্বারা গঠিত কক্সেটার গোষ্ঠীগুলি বন্ধনীর অভ্যন্তরে বন্ধনী দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়, যেমন [(p, q, r)] = ত্রিভুজ গোষ্ঠীর জন্য (p q r)। যদি শাখার ক্রমগুলি সমান হয়, তবে তাদের বন্ধনীতে চক্রের দৈর্ঘ্য হিসাবে একটি সূচক হিসাবে গোষ্ঠীভুক্ত করা যেতে পারে, যেমন [(3,3,3,3)] = [3 [4], যা কক্সেটার রেখাচিত্রের প্রতিনিধিত্ব করে বা। [3, (3,3,3)] অথবা [3,3 [3] হিসাবে প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে। আরও জটিল লুপিং রেখাচিত্রগুলিও যত্ন সহকারে প্রকাশ করা যেতে পারে। প্যারাকম্প্যাক্ট কক্সেটার গ্রুপকে কক্সেটার স্বরলিপি [(3,3, (3), 3,3)] দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে, নেস্টেড/ওভারল্যাপিং বন্ধনী দুটি সংলগ্ন [(3,3,3)] লুপ দেখায় এবং আরও সংক্ষিপ্তভাবে [3 [] × [] হিসাবে প্রতিনিধিত্ব করা হয়, যা কক্সেটার চিত্রের রম্বিক প্রতিসাম্যকে উপস্থাপন করে। প্যারাকম্প্যাক্ট সম্পূর্ণ গ্রাফ রেখাচিত্র বা, তার নিয়মিত টেট্রাহেড্রন কোক্সিটার রেখাচিত্রের প্রতিসাম্য হিসাবে সুপারস্ক্রিপ্ট [3,3] সহ [3,3] হিসাবে উপস্থাপিত হয়। অ্যাফিন এবং হাইপারবোলিক গ্রুপের জন্য, সাবস্ক্রিপ্ট প্রতিটি ক্ষেত্রে নোডের সংখ্যার চেয়ে এক কম, কারণ এই গ্রুপগুলির প্রতিটি একটি সীমাবদ্ধ গ্রুপের রেখাচিত্রে একটি নোড যোগ করে প্রাপ্ত হয়েছিল। সংযোগহীন গোষ্ঠী কক্সেটার রেখাচিত্র সাধারণত ক্রম-2 টি শাখা বাদ দেয়, তবে বন্ধনী স্বরলিপিতে সাবগ্রাফগুলিকে সংযুক্ত করার জন্য একটি স্পষ্ট 2 অন্তর্ভুক্ত থাকে। সুতরাং কক্সেটার রেখাচিত্র = A2 × A2 = 2A2 কে [3] × [3] = [3] 2 = [3,2,3] দ্বারা উপস্থাপন করা যেতে পারে। কখনও কখনও স্পষ্ট 2-শাখা 2টি লেবেলের সাথে বা ফাঁক সহ একটি লাইন সহ অন্তর্ভুক্ত করা যেতে পারেঃ অথবা, [3,2,3] হিসাবে অভিন্ন উপস্থাপনা হিসাবে। র্যাঙ্ক এবং মাত্রা কক্সেটার পয়েন্ট গ্রুপ র্যাঙ্ক নোডের সংখ্যার সমান যা মাত্রার সমান। একটি একক আয়না 1-মাত্রায় বিদ্যমান, [], যেখানে 2-মাত্রায় [1], বা [] × [] +। 1 একটি স্থান-ধারক, প্রকৃত শাখা ক্রম নয়, তবে একটি অর্থোগোনাল নিষ্ক্রিয় আয়নার জন্য একটি চিহ্নিতকারী। স্বরলিপি [n, 1], একটি র্যাঙ্ক 3 গ্রুপকে [n] × [] + বা হিসাবে উপস্থাপন করে। একইভাবে, [1,1] হিসাবে [] × [] + × [] + বা ক্রম 2 এবং [1,1] + হিসাবে [] + × [] + × [] + বা, ক্রম 1! উপগোষ্ঠী কক্সেটারের স্বরলিপি বন্ধনীর বাইরে একটি + সুপারস্ক্রিপ্ট অপারেটর যোগ করে ঘূর্ণন/অনুবাদমূলক প্রতিসাম্যকে উপস্থাপন করে, [X] + যা [X] গোষ্ঠীর ক্রমকে অর্ধেকে কেটে দেয়, এইভাবে একটি সূচক 2 উপগোষ্ঠী। এই অপারেটরটি বোঝায় যে জোড় সংখ্যক অপারেটর অবশ্যই প্রয়োগ করতে হবে, আবর্তন (বা অনুবাদ) দিয়ে প্রতিফলন প্রতিস্থাপন করতে হবে। যখন একটি কক্সেটার গ্রুপে প্রয়োগ করা হয়, তখন এটিকে একটি ডাইরেক্ট সাবগ্রুপ বলা হয় কারণ যা অবশিষ্ট থাকে তা প্রতিফলিত প্রতিসাম্য ছাড়াই কেবল সরাসরি আইসোমেট্রি। + অপারেটরগুলি বন্ধনীর ভিতরেও প্রয়োগ করা যেতে পারে, যেমন [এক্স, ওয়াই +] বা [এক্স, (ওয়াই, জেড) +], এবং "সেমিডাইরেক্ট" উপগোষ্ঠী তৈরি করে যা প্রতিফলিত এবং অ-প্রতিফলিত জেনারেটর উভয়ই অন্তর্ভুক্ত করতে পারে। সেমিডাইরেক্ট সাবগ্রুপগুলি শুধুমাত্র কক্সেটার গ্রুপ সাবগ্রুপের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য হতে পারে যার সংলগ্ন শাখা অর্ডারও রয়েছে। একটি কক্সেটার গ্রুপের অভ্যন্তরে বন্ধনী দ্বারা উপাদানগুলিকে একটি + সুপারস্ক্রিপ্ট অপারেটর দেওয়া যেতে পারে, যা সংলগ্ন ক্রমযুক্ত শাখাগুলিকে অর্ধ ক্রমে বিভক্ত করার প্রভাব রাখে, সুতরাং সাধারণত শুধুমাত্র জোড় সংখ্যার সাথে প্রয়োগ করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, [4,3 +] এবং [4, (3,3) +] ()। যদি সংলগ্ন বিজোড় শাখার সাথে প্রয়োগ করা হয়, তবে এটি সূচক 2-এর একটি উপগোষ্ঠী তৈরি করে না, বরং এর পরিবর্তে ওভারল্যাপিং মৌলিক ডোমেন তৈরি করে, যেমন [5,1 +] = [5/2], যা পেন্টাগ্রামের মতো দ্বিগুণ মোড়ানো বহুভুজকে সংজ্ঞায়িত করতে পারে, {5/2}, এবং [5,3 +] শোয়ার্জ ত্রিভুজ [5/2,3], ঘনত্ব 2-এর সাথে সম্পর্কিত। অভিন্ন পলিটোপগুলির জন্য পার্শ্ববর্তী + উপাদানবিহীন গোষ্ঠীগুলি রিংযুক্ত নোডগুলিতে দেখা যায় এবং মধুচক্র + উপাদানগুলির চারপাশে গর্ত নোডের সাথে সম্পর্কিত, বিকল্প নোডগুলি সরানো সহ খালি বৃত্ত। সুতরাং স্নব কিউব, এর প্রতিসাম্য রয়েছে [4,3] + (), এবং স্নব টেট্রাহেড্রনের প্রতিসাম্য রয়েছে [4,3 +] (), এবং একটি ডেমিকুব, এইচ {4,3} = {3,3} (বা =) এর প্রতিসাম্য রয়েছে [1 +, 4,3] = [3,3] (বা = =)। দ্রষ্টব্যঃ পাইরিটোহেড্রাল প্রতিসাম্যকে লেখা যেতে পারে, স্বচ্ছতার জন্য ফাঁকগুলির সাথে গ্রাফকে পৃথক করে, কক্সেটার গ্রুপ থেকে জেনারেটরের সাথে, পাইরিটোহেড্রাল জেনারেটর {0,12}, একটি প্রতিফলন এবং 3-ভাঁজ ঘূর্ণন তৈরি করে। এবং কাইরাল টেট্রাহেড্রাল প্রতিসাম্যকে জেনারেটর {12,0120} সহ অথবা, [1 +, 4,3 +] = [3,3] + হিসাবে লেখা যেতে পারে। অর্ধেক উপগোষ্ঠী এবং বর্ধিত গোষ্ঠী জনসন + অপারেটরকে একটি স্থানধারক 1 + নোডের সাথে কাজ করার জন্য প্রসারিত করে, যা আয়না সরিয়ে দেয়, মৌলিক ডোমেনের আকার দ্বিগুণ করে এবং গ্রুপের ক্রমকে অর্ধেক করে দেয়। সাধারণভাবে এই ক্রিয়াটি শুধুমাত্র জোড়-ক্রম শাখা দ্বারা আবদ্ধ পৃথক আয়নার ক্ষেত্রে প্রযোজ্য। 1 একটি আয়নার প্রতিনিধিত্ব করে তাই [2p] কে [2p, 1], [1,2p], বা [1,2p, 1] হিসাবে দেখা যেতে পারে, চিত্রের মতো বা, একটি ক্রম-2p ডাইহেড্রাল কোণ দ্বারা সম্পর্কিত 2টি আয়না সহ। আয়না অপসারণের প্রভাব হল সংযোগকারী নোডগুলির প্রতিলিপি তৈরি করা, যা কক্সেটার চিত্রগুলিতে দেখা যায়ঃ =, অথবা বন্ধনী স্বরলিপিতেঃ [1 +, 2p, 1] = [1, p, 1] = [p]। এই আয়নাগুলির প্রত্যেকটি অপসারণ করা যেতে পারে তাই h [2p] = [1 +, 2p, 1] = [1,2p, 1 +] = [p], একটি প্রতিফলিত উপগোষ্ঠী সূচক 2। এটি একটি কক্সেটার রেখাচিত্রে নোডের উপরে একটি + চিহ্ন যোগ করে দেখানো যেতে পারেঃ = =। যদি উভয় আয়না সরিয়ে ফেলা হয়, এক চতুর্থাংশ উপগোষ্ঠী তৈরি করা হয়, শাখা ক্রমটি অর্ধেক ক্রমের একটি জাইরেশন বিন্দুতে পরিণত হয়ঃ q [2p] = [1 +, 2p, 1 +] = [p] +, সূচক 4-এর একটি ঘূর্ণন উপগোষ্ঠী। = = = = =। উদাহরণস্বরূপ, (p = 2 সহ): [4,1 +] = [1 +, 4] = [2] = [] × [], ক্রম 4। [1 +, 4,1 +] = [2] +, ক্রম 2। অর্ধেকের বিপরীত হল দ্বিগুণ করা যা একটি আয়না যোগ করে, একটি মৌলিক ক্ষেত্রকে দ্বিখণ্ডিত করে এবং গোষ্ঠী ক্রমকে দ্বিগুণ করে। = [2p] অর্ধেক ক্রিয়াকলাপ উচ্চতর র্যাঙ্ক গ্রুপের জন্য প্রযোজ্য, যেমন টেট্রাহেড্রাল প্রতিসাম্য অষ্টতল গোষ্ঠীর একটি অর্ধ গোষ্ঠীঃ এইচ [4,3] = [1 +, 4,3] = [3,3], 4-শাখায় অর্ধেক আয়না অপসারণ করে। আয়না অপসারণের প্রভাব হল সমস্ত সংযোগকারী নোডের প্রতিলিপি তৈরি করা, যা কক্সেটার রেখাচিত্রে দেখা যায়ঃ =, এইচ [2পি, 3] = [1 +, 2পি, 3] = [(পি, 3,3)]। যদি নোডগুলি সূচীভুক্ত করা হয়, তবে অর্ধেক উপগোষ্ঠীগুলিকে সংমিশ্রণ হিসাবে নতুন আয়না দিয়ে লেবেল করা যেতে পারে। যেমন, জেনারেটর {0,1}-এর উপগোষ্ঠী =, জেনারেটর {1,010} রয়েছে, যেখানে আয়না 0 সরানো হয় এবং আয়না 0 জুড়ে প্রতিফলিত আয়না 1-এর একটি অনুলিপি দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়। এছাড়াও দেওয়া হয়েছে, জেনারেটর {0,1,2}, এটির অর্ধেক গ্রুপ =, জেনারেটর {1,2,010} রয়েছে। একটি আয়না যোগ করে দ্বিগুণ করা অর্ধেক ক্রিয়াটি বিপরীত করার ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য হয়ঃ = [4,3], বা আরও সাধারণভাবে = [2p, q]। র্যাডিক্যাল উপগোষ্ঠী জনসন "র্যাডিক্যাল" উপগোষ্ঠীর জন্য একটি তারকাচিহ্ন বা স্টার * অপারেটরও যুক্ত করেছেন, যা + অপারেটরের মতো কাজ করে, তবে ঘূর্ণন সমমিতি সরিয়ে দেয়। র্যাডিকেল উপগোষ্ঠীর সূচক হল অপসারিত উপাদানটির ক্রম। উদাহরণস্বরূপ, [4,3 *] [2,2]। অপসারিত [3] উপগোষ্ঠীটি ক্রম 6 তাই [2,2] একটি সূচক 6 উপগোষ্ঠী [4,3]। র্যাডিকেল উপগোষ্ঠীগুলি একটি বর্ধিত প্রতিসাম্য ক্রিয়াকলাপের বিপরীত ক্রিয়াকলাপের প্রতিনিধিত্ব করে। উদাহরণস্বরূপ, [4,3 *] [2,2], এবং বিপরীত [2,2] কে [3 [2,2]] [4,3] হিসাবে বাড়ানো যেতে পারে। উপগোষ্ঠীগুলিকে কক্সেটার রেখাচিত্র হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারেঃ অথবা। সরানো নোড (আয়না) সংলগ্ন আয়না ভার্চুয়াল আয়নাকে আসল আয়নাতে পরিণত করে। যদি [4,3]-এর জেনারেটর থাকে {0,1,2}, [4,3 +], সূচক 2-এর জেনারেটর থাকে {0,12}; [1 +, 4,3] [3,3], সূচক 2-এর জেনারেটর থাকে {010,1,2}; যেখানে র্যাডিক্যাল সাবগ্রুপ [4,3 *] [2,2], সূচক 6-এর জেনারেটর থাকে {01210,2, (012) 3}; এবং পরিশেষে [1 +, 4,3 *], সূচক 12-এর জেনারেটর থাকে {0 (12) 20, (012) 201]। ট্রাইওনিক উপগোষ্ঠী একটি ট্রাইওনিক উপগোষ্ঠী হল একটি সূচক 3 উপগোষ্ঠী। জনসন অপারেটর, সূচক 3 সহ একটি ট্রাইওনিক উপগোষ্ঠীকে সংজ্ঞায়িত করেন। র্যাঙ্ক 2 কক্সেটার গ্রুপের জন্য, [3], ট্রায়োনিক উপগোষ্ঠী, [3] হল [], একটি একক আয়না। এবং [3p]-এর জন্য, ট্রায়োনিক উপগোষ্ঠী হল [3p] [p]। প্রদত্ত, জেনারেটরের সঙ্গে {0,1}, 3টি ট্রাইওনিক উপগোষ্ঠী রয়েছে। সরিয়ে ফেলার জন্য আয়না জেনারেটরের পাশে বা উভয়ের জন্য একটি শাখায় [3p, 1] = =, =, এবং [3p] = = জেনারেটরের সাথে {0,10101}, {01010,1}, বা {101,010} চিহ্ন রেখে এগুলিকে আলাদা করা যেতে পারে। টেট্রাহেড্রাল প্রতিসাম্যের ট্রায়োনিক উপগোষ্ঠীঃ নিয়মিত টেট্রাহেড্রন এবং টেট্রাগোনাল ডিসফেনয়েডের প্রতিসাম্য সম্পর্কিত। র্যাঙ্ক 3 কক্সেটার গ্রুপের জন্য, [পি, 3], একটি ট্রাইওনিক উপগোষ্ঠী রয়েছে [পি, 3] [পি/2, পি], বা =। উদাহরণস্বরূপ, সসীম গোষ্ঠী [4,3], এবং ইউক্লিডীয় গোষ্ঠী [6,3], এবং হাইপারবোলিক গোষ্ঠী [8,3], [4,8]। একটি বিজোড়-ক্রম সংলগ্ন শাখা, পি, গোষ্ঠী ক্রমকে কম করবে না, তবে ওভারল্যাপিং মৌলিক ডোমেন তৈরি করবে। গ্রুপ অর্ডার একই থাকে, যখন ঘনত্ব বৃদ্ধি পায়। উদাহরণস্বরূপ, নিয়মিত পলিহেড্রা আইকোসাহেড্রনের আইকোসাহেড্রাল প্রতিসাম্য, [5,3] হয়ে যায় [5/2,5], যা 2টি নিয়মিত তারা পলিহেড্রার প্রতিসাম্য। এটি হাইপারবোলিক টিলিং {p, 3}, এবং স্টার হাইপারবোলিক টিলিং {p/2, p} র্যাঙ্ক 4 এর জন্য, [q, 2p, 3] = [2p, ((p, q, q))], = সম্পর্কিত। উদাহরণস্বরূপ, [3,4,3] = [4,3,3], অথবা =, জেনারেটর {0,1,2,3} [3,4,3] ট্রায়োনিক সাবগ্রুপ [4,3,3] জেনারেটরের সাথে। হাইপারবোলিক গ্রুপের জন্য, [3,6,3] = [6,3 [3], এবং [4,4,3] = [4,4,4]। টেট্রাহেড্রাল প্রতিসাম্যের ট্রায়োনিক উপগোষ্ঠী] জনসন [3,3]-এর দুটি নির্দিষ্ট ট্রায়োনিক উপগোষ্ঠী চিহ্নিত করেছেন, প্রথমে একটি সূচক 3 উপগোষ্ঠী [3,3] [2 +, 4], [3,3] (= =) জেনারেটরের সাথে। এটির জেনারেটর {02,1}-এর অনুস্মারক হিসাবে এটিকে [(3,3,2)] () হিসাবেও লেখা যেতে পারে। এই প্রতিসাম্য হ্রাস হল নিয়মিত টেট্রাহেড্রন এবং টেট্রাগোনাল ডিসফেনয়েডের মধ্যে সম্পর্ক, যা দুটি বিপরীত প্রান্তে একটি টেট্রাহেড্রন লম্বভাবে প্রসারিত হওয়ার প্রতিনিধিত্ব করে। দ্বিতীয়ত, তিনি একটি সম্পর্কিত সূচক 6 উপগোষ্ঠী [3,3] α বা [(3,3,2)] + (), [3,3] + [2,2] + থেকে সূচক 3, জেনারেটর {02,1021}, [3,3] থেকে এবং এর জেনারেটর {0,1,2} চিহ্নিত করেন। এই উপগোষ্ঠীগুলি [3,3] উপগোষ্ঠী সহ বৃহত্তর কক্সেটার গোষ্ঠীর মধ্যেও প্রযোজ্য এবং পার্শ্ববর্তী শাখাগুলি সমস্ত সমান ক্রমে রয়েছে।] উদাহরণস্বরূপ, [(3,3) +, 4], [(3,3)], 4], এবং [(3,3), 4] যথাক্রমে [3,3,4], সূচক 2,3 এবং 6-এর উপগোষ্ঠী। [(3,3), 4], [8,2 +, 8], ক্রম 128-এর জেনারেটরগুলি হল [3,3,4] জেনারেটর {0,1,2,3} থেকে প্রাপ্ত {02,1,3}। এবং [(3,3) α, 4] α, অর্ডার 64, এর জেনারেটর {02,1021,3} রয়েছে। পাশাপাশি, [3], 4,3], 4]। এছাড়াও সম্পর্কিত [31,1,1] = [3,3,4,1 +]-এর ত্রয়ী উপগোষ্ঠী রয়েছেঃ [31,1,1] ′ = [(3,3) ′, 4,1 +], ক্রম 64, এবং 1 = [31,1,1] ′ = [(3,3) ′, 4,1 +] ′ [[4,2 +, 4]] +, ক্রম 32। সেন্ট্রাল ইনভার্সন একটি সেন্ট্রাল ইনভার্সন, অর্ডার 2, মাত্রার দিক থেকে কার্যকরীভাবে ভিন্ন। গ্রুপ [] n = [2n−1] n-মাত্রিক স্থানে n অর্থোগোনাল আয়না বা উচ্চতর মাত্রিক স্থানের একটি n-ফ্ল্যাট সাবস্পেসকে উপস্থাপন করে। গোষ্ঠীর আয়নাগুলি [2n−1] সংখ্যাযুক্ত। বিপরীতমুখী হওয়ার ক্ষেত্রে আয়নার ক্রম কোনও ব্যাপারই নয়। একটি কেন্দ্রীয় বিপরীতকরণের ম্যাট্রিক্স হল, তির্যকের উপর ঋণাত্মক সহ আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্স। সেই ভিত্তি থেকে, কেন্দ্রীয় বিপরীতমুখী সমস্ত অর্থোগোনাল আয়নার গুণফল হিসাবে একটি জেনারেটর রয়েছে। কক্সেটার স্বরলিপিতে এই বিপরীত গ্রুপটি প্রতিটি 2 টি শাখায় একটি বিকল্প + যোগ করে প্রকাশ করা হয়। বিকল্প প্রতিসাম্যটি কক্সেটার ডায়াগ্রাম নোডগুলিতে খোলা নোড হিসাবে চিহ্নিত করা হয়। একটি কক্সেটার-ডাইঙ্কিন রেখাচিত্র স্পষ্ট 2টি শাখা দিয়ে চিহ্নিত করা যেতে পারে যা প্রতিফলন জেনারেটরের শৃঙ্খল দেখানোর জন্য আয়না, ওপেন-নোড এবং ভাগ করা ডাবল-ওপেন নোডের একটি রৈখিক ক্রমকে সংজ্ঞায়িত করে। উদাহরণস্বরূপ, [2 +, 2] এবং [2,2 +] হল [2,2]-এর উপগোষ্ঠী সূচক 2, এবং জেনারেটরের সাথে যথাক্রমে (বা) এবং (বা) হিসাবে প্রতিনিধিত্ব করা হয়। তাদের সাধারণ উপগোষ্ঠী সূচক 4 হল [2 +, 2 +], এবং (বা) দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়, ডাবল-ওপেন দুটি পরিবর্তনে একটি ভাগ করা নোড চিহ্নিত করে এবং একটি একক ঘূর্ণন প্রতিফলন জেনারেটর {012}। ঘূর্ণন এবং ঘূর্ণমান প্রতিফলন একটি প্রিজম্যাটিক গ্রুপের সমস্ত প্রতিফলনের একক একক-উৎপাদক গুণফল দ্বারা ঘূর্ণন এবং ঘূর্ণমান প্রতিফলন তৈরি করা হয়, [2p] × [2q] × যেখানে gcd (p, q,.) = 1, এগুলি n = 2pq ক্রমের বিমূর্ত চক্রাকার গ্রুপ Zn-এর সমরূপ। 4-মাত্রিক দ্বৈত ঘূর্ণন, [2p +, 2 +, 2q +] (gcd (p, q) = 1 সহ), যা একটি কেন্দ্রীয় গোষ্ঠীকে অন্তর্ভুক্ত করে এবং কনওয়ে দ্বারা ± [Cp × Cq], ক্রম 2pq হিসাবে প্রকাশ করা হয়। কক্সেটার রেখাচিত্র থেকে, জেনারেটর {0,1,2,3}-এর জন্য {2p +, 2 +, 2q +], {0123,0132} হিসাবে দুটি জেনারেটর প্রয়োজন। কনওয়ে দ্বারা প্রকাশিত অর্ধ গোষ্ঠী, [2p +, 2 +, 2q +] +, বা চক্রাকার গ্রাফ, [(2p +, 2 +, 2q +, 2 +)] হল [Cp × Cq], ক্রম pq, একটি জেনারেটর সহ, যেমন {0123}। যদি একটি সাধারণ ফ্যাক্টর f থাকে, তবে দ্বৈত ঘূর্ণনকে [2pf +, 2 +, 2qf +] (gcd (p, q) = 1 সহ), জেনারেটর {0123,0132}, ক্রম 2pqf হিসাবে লেখা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, p = q = 1, f = 2, [4 +, 2 +, 4 +] হল ক্রম 4। এবং [2pf +, 2 +, 2qf +] +, জেনারেটর {0123} হল অর্ডার pqf। উদাহরণস্বরূপ, [4 +, 2 +, 4 +] + হল ক্রম 2, একটি কেন্দ্রীয় বিপরীত। সাধারণভাবে একটি এন-ঘূর্ণন গোষ্ঠী, [2p1 +, 2,2p2 +, 2,., pn +]-এর জন্য সমস্ত আয়নার গুণফল হিসাবে n জেনারেটরের প্রয়োজন হতে পারে যদি gcd (p1,., pn)> 1 হয়, এবং তারপর ক্রমিক জোড়া অদলবদল করা হয়। অর্ধ গোষ্ঠী, [2p1 +, 2,2p2 +, 2,., pn +] +-এর জেনারেটর বর্গাকার। এন-ঘূর্ণমান প্রতিফলন একই রকম। কমিউটেটর উপগোষ্ঠী শুধুমাত্র বিজোড়-ক্রম শাখা উপাদান সহ সাধারণ গোষ্ঠীগুলির ক্রম 2-এর শুধুমাত্র একটি ঘূর্ণন/অনুবাদমূলক উপগোষ্ঠী থাকে, যা কমিউটেটর উপগোষ্ঠী, উদাহরণস্বরূপ [3,3] +, [3,5] +, [3,3,3] +, [3,3,5] +। জোড়-ক্রম শাখা সহ অন্যান্য কক্সেটার গোষ্ঠীর জন্য, কমিউটেটর উপগোষ্ঠীর সূচক 2সি থাকে, যেখানে সি হল সংযোগ বিচ্ছিন্ন উপ-গ্রাফের সংখ্যা যখন সমস্ত জোড়-ক্রম শাখা অপসারণ করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, যখন 4s অপসারণ করা হয় তখন কক্সেটার রেখাচিত্রে [4,4]-এর তিনটি স্বাধীন নোড থাকে, তাই এর কমিউটেটর উপগোষ্ঠী সূচক 23, এবং তিনটি + অপারেটর সহ বিভিন্ন উপস্থাপনা থাকতে পারেঃ [4 +, 4 +] +, [1 +, 4,1 +, 4,1 +], [1 +, 4,4,1 +] +, বা [(4 +, 4 +, 2 +)]। একটি সাধারণ স্বরলিপি ব্যবহার করা যেতে পারে + সি সহ একটি গ্রুপ সূচক হিসাবে, যেমন [4,4] + 3। উদাহরণ উপগোষ্ঠী র্যাঙ্ক 2 উদাহরণ উপগোষ্ঠী জোড়-ক্রম সহ ডাইহেড্রাল প্রতিসাম্য গোষ্ঠীগুলির বেশ কয়েকটি উপগোষ্ঠী রয়েছে। এই উদাহরণটি লাল এবং সবুজ রঙে [4] দুটি জেনারেটর আয়না দেখায় এবং সমস্ত উপগোষ্ঠীকে অর্ধেক, র্যাঙ্ক-হ্রাস এবং তাদের সরাসরি উপগোষ্ঠী দ্বারা দেখে। গ্রুপটিতে [4], দুটি মিরর জেনারেটর 0 এবং 1 রয়েছে। প্রতিটি অপরটির প্রতিচ্ছবি দ্বারা দুটি ভার্চুয়াল আয়না 101 এবং 010 তৈরি করে। র্যাঙ্ক 3 ইউক্লিডীয় উদাহরণ উপগোষ্ঠী [4,4] গোষ্ঠীর 15টি ছোট সূচক উপগোষ্ঠী রয়েছে। এই টেবিলটি তাদের সকলকে দেখায়, বিশুদ্ধ প্রতিফলিত গোষ্ঠীর জন্য একটি হলুদ মৌলিক ডোমেন সহ, এবং পর্যায়ক্রমে সাদা এবং নীল ডোমেন যা ঘূর্ণনশীল ডোমেন তৈরি করার জন্য যুক্ত করা হয়। সায়ান, লাল এবং সবুজ আয়না রেখা কক্সেটার চিত্রের একই রঙিন নোডের সাথে মিলে যায়। সাবগ্রুপ জেনারেটরগুলি মৌলিক ডোমেনের মূল 3টি আয়নার পণ্য হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে, {0,1,2}, যা কক্সেটার চিত্রের 3টি নোডের সাথে সম্পর্কিত। দুটি ছেদকারী প্রতিফলন রেখার গুণফল একটি ঘূর্ণন করে, যেমন {012}, {12}, বা {02}। একটি আয়না অপসারণের ফলে সরিয়ে ফেলা আয়না জুড়ে পার্শ্ববর্তী আয়নাগুলির দুটি অনুলিপি তৈরি হয়, যেমন {010}, এবং {212}। সিরিজের দুটি ঘূর্ণন ঘূর্ণন ক্রমকে অর্ধেক করে দেয়, যেমন {0101} বা {(01) 2}, {1212} বা {(02) 2}। তিনটি আয়নার একটি গুণফল একটি প্রতিফলন তৈরি করে, যেমন {012} বা {120}। হাইপারবোলিক উদাহরণ উপগোষ্ঠী সমস্ত ত্রিভুজ গোষ্ঠীতে 15টি ছোট উপগোষ্ঠীর একই সেট বিদ্যমান, যেমন হাইপারবোলিক সমতলে [6,4]: প্যারাবলিক উপগোষ্ঠী একটি কক্সেটার গোষ্ঠীর একটি প্যারাবলিক উপগোষ্ঠী একটি কক্সেটার চিত্রের সাথে প্রতিনিধিত্ব করা এক বা একাধিক জেনারেটর আয়না সরিয়ে চিহ্নিত করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, অষ্টতলকীয় গোষ্ঠীর প্যারাবলিক উপগোষ্ঠী রয়েছে,,,,। বন্ধনী স্বরলিপিতে [4,3] প্যারাবলিক উপগোষ্ঠী [4], [2], [3], এবং একটি একক আয়না [] রয়েছে। উপগোষ্ঠীর ক্রম জানা যায়, এবং সর্বদা একটি পূর্ণসংখ্যা বিভাজক গোষ্ঠী ক্রম বা সূচক। প্যারাবলিক উপগোষ্ঠীগুলি x নোড দিয়েও লেখা যেতে পারে, যেমন = [4,3] উপগোষ্ঠী দ্বিতীয় আয়না সরিয়েঃ বা = = [4,1 ×, 3] = [2]। পেট্রি উপগোষ্ঠী একটি অপরিবর্তনীয় কোক্সটার গোষ্ঠীর একটি পেট্রি উপগোষ্ঠী সমস্ত জেনারেটরের পণ্য দ্বারা তৈরি করা যেতে পারে। এটি একটি নিয়মিত পলিটোপের তির্যক নিয়মিত পেট্রি বহুভুজে দেখা যায়। নতুন গ্রুপের ক্রমকে মূল কক্সেটার গ্রুপের কক্সেটার নম্বর বলা হয়। একটি কক্সেটার গ্রুপের কক্সেটার সংখ্যা হল 2 মি/এন, যেখানে এন হল র্যাঙ্ক এবং এম হল প্রতিফলনের সংখ্যা। একটি পেট্রি উপগোষ্ঠী একটি সুপারস্ক্রিপ্ট দিয়ে লেখা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, [3,3] একটি টেট্রাহেড্রাল গ্রুপের পেট্রি উপগোষ্ঠী, চক্রাকার গোষ্ঠী ক্রম 4, একটি ঘূর্ণন প্রতিফলন দ্বারা উত্পন্ন। একটি র্যাঙ্ক 4 কক্সেটার গ্রুপের একটি ডাবল রোটেশন জেনারেটর থাকবে, যেমন [4,3,3] হল অর্ডার 8। বর্ধিত প্রতিসাম্য কক্সেটারের স্বরলিপির মধ্যে স্বয়ংক্রিয় প্রতিসাম্য প্রকাশ করার জন্য ডাবল বর্গাকার বন্ধনী স্বরলিপির অন্তর্ভুক্ত। জনসন অ্যাঙ্গেল-ব্র্যাকেট <[এক্স]> দ্বারা বিকল্প দ্বিগুণ যোগ করেছেন। জনসন একটি উপসর্গ প্রতিসাম্য পরিবর্তনকারী [Y [X]] যোগ করেছেন, যেখানে Y হয় [X]-এর কক্সেটার চিত্রের প্রতিসাম্য বা [X]-এর মৌলিক ডোমেনের প্রতিসাম্য উপস্থাপন করতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, 3ডি-তে এই সমতুল্য আয়তক্ষেত্র এবং রম্বিক জ্যামিতি রেখাচিত্রগুলিঃ এবং, প্রথমটি বর্গাকার বন্ধনী দিয়ে দ্বিগুণ হয়েছে, বা দ্বিগুণ হয়েছে [2 [3 [4]], [2] দিয়ে, ক্রম 4 উচ্চতর প্রতিসাম্য। দ্বিতীয়টিকে আলাদা করার জন্য, কোণযুক্ত বন্ধনীগুলি দ্বিগুণ করার জন্য ব্যবহার করা হয়, <[3 [4]]> এবং <2 [3 [4]]> হিসাবে দ্বিগুণ করা হয়, এছাড়াও একটি ভিন্ন [2], ক্রম 4 প্রতিসাম্য সহ। পরিশেষে একটি পূর্ণ প্রতিসাম্য যেখানে সমস্ত 4টি নোড সমতুল্য, [4 [3 [4]] দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে, বর্গের ক্রম 8, [4] প্রতিসাম্য সহ। কিন্তু টেট্রাগোনাল ডিসফেনয়েড মৌলিক ক্ষেত্র বিবেচনা করে বর্গ গ্রাফের বর্ধিত প্রতিসাম্যকে আরও স্পষ্টভাবে [(2 +, 4) [3 [4]] অথবা [2 +, 4 [3 [4]] হিসাবে চিহ্নিত করা যেতে পারে। আরও প্রতিসাম্য চক্রাকার এবং শাখা, এবং রেখাচিত্রে বিদ্যমান। একটি নিয়মিত n-গনের ক্রম 2n প্রতিসাম্য রয়েছে, {n}, এবং [n [3 [n]] দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়। এবং যথাক্রমে [3 [31,1,1] = [3,4,3] এবং [3 [32,2,2] দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয় যখন [(3,3) [31,1,1,1] = [3,3,4,3], নিয়মিত টেট্রাহেড্রনের ক্রম 24 প্রতিসাম্য ধারণকারী চিত্র সহ, {3,3}। প্যারাকম্প্যাক্ট হাইপারবোলিক গ্রুপ = [31,1,1,1,1], একটি 5-কোষের প্রতিসাম্য ধারণ করে, {3,3,3}, এবং এইভাবে [(3,3,3) [31,1,1,1,1] = [3,4,3,3,3] দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়। একটি তারকাচিহ্ন * সুপারস্ক্রিপ্ট কার্যকরভাবে একটি বিপরীত ক্রিয়াকলাপ, যা বিজোড়-আদেশযুক্ত আয়নাগুলির সংযুক্ত অপসারণ করে র্যাডিক্যাল উপগোষ্ঠী তৈরি করে। উদাহরণস্বরূপঃ জেনারেটরের দিকে তাকালে, দ্বৈত প্রতিসাম্যকে একটি নতুন অপারেটর যোগ করা হিসাবে দেখা যায় যা কক্সেটার রেখাচিত্রে প্রতিসম অবস্থানের মানচিত্র তৈরি করে, যা কিছু মূল জেনারেটরকে অপ্রয়োজনীয় করে তোলে। থ্রিডি স্পেস গ্রুপ এবং ফোরডি পয়েন্ট গ্রুপের জন্য, কক্সেটার একটি সূচক দুই উপগোষ্ঠীকে সংজ্ঞায়িত করে, যা তিনি দ্বিগুণ জেনারেটর দ্বারা [এক্স] এর মূল জেনারেটরের গুণফল হিসাবে সংজ্ঞায়িত করেন। এটি দেখতে + এর অনুরূপ, যা এর কাইরাল উপগোষ্ঠী। সুতরাং উদাহরণস্বরূপ 3ডি স্পেস গ্রুপ + (আই 432,211) এবং (পি. এম. এন, 223) হল (ইম, 229)-এর স্বতন্ত্র উপগোষ্ঠী। একটি মাত্রায়, দ্বিপক্ষীয় গোষ্ঠী [] একটি একক আয়না প্রতিসাম্য, বিমূর্ত ডিহ1 বা জেড2, প্রতিসাম্য ক্রম 2-এর প্রতিনিধিত্ব করে। এটি একটি একক নোড সহ কক্সেটার-ডাইঙ্কিন রেখাচিত্র হিসাবে উপস্থাপিত হয়। পরিচয় গোষ্ঠী হল সরাসরি উপগোষ্ঠী [] +, Z1, প্রতিসাম্য ক্রম 1। + সুপারস্ক্রিপ্টটি সহজভাবে বোঝায় যে বিকল্প আয়না প্রতিফলনগুলি উপেক্ষা করা হয়, এই সহজতম ক্ষেত্রে পরিচয় গোষ্ঠীটি ছেড়ে দেওয়া হয়। কক্সেটার একটি বিকল্পের প্রতিনিধিত্ব করার জন্য একটি একক খোলা নোড ব্যবহার করেছিলেন। দুটি গ্রুপকে স্থান দিন দুটি মাত্রায়, আয়তক্ষেত্রাকার গ্রুপ [2], বিমূর্ত D22 বা D4, একটি সরাসরি গুণফল [] × [] হিসাবেও প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে, দুটি দ্বিপক্ষীয় গ্রুপের গুণফল হওয়ায়, দুটি অর্থোগোনাল আয়নাকে প্রতিনিধিত্ব করে, কক্সেটার চিত্র সহ, ক্রম 4 সহ। 2 ইন [2] স্পষ্ট শাখা ক্রম 2-এর মতো কক্সেটার রেখাচিত্রে অর্থোগোনাল সাবগ্রাফগুলির রৈখিককরণ থেকে আসে। রম্বিক গ্রুপ, [2] + (বা), আয়তক্ষেত্রাকার গ্রুপের অর্ধেক, বিন্দু প্রতিফলন প্রতিসাম্য, Z2, ক্রম 2। নিম্ন পদমর্যাদার গোষ্ঠীগুলির জন্য 1 স্থান-ধারককে অনুমতি দেওয়ার জন্য কক্সেটার স্বরলিপি, তাই [1] একই [], এবং [1 +] বা [1] + একই [] + এবং কক্সেটার চিত্রের মতো। পূর্ণ পি-গনাল গ্রুপ [পি], বিমূর্ত ডাইহেড্রাল গ্রুপ ডি2পি, (পি> 2-এর জন্য ননবেলিয়ান), 2পি ক্রমের, দুটি আয়না দ্বারা π/পি কোণে উৎপন্ন হয়, যা কক্সেটার রেখাচিত্র দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করে। পি-জোনাল উপগোষ্ঠী [পি] +, চক্রাকার গ্রুপ জেডপি, ক্রম পি, π/p এর ঘূর্ণন কোণ দ্বারা উত্পন্ন। কক্সেটার নোটেশন মৌলিক ডোমেনে একটি দ্বিখণ্ডিত আয়না যোগ করে প্রতিসাম্যের একটি স্বয়ংক্রিয় দ্বিগুণ প্রতিনিধিত্ব করতে ডাবল-ব্র্যাকিং ব্যবহার করে। উদাহরণস্বরূপ, [[p]] একটি দ্বিখণ্ডিত আয়না যোগ করে [p], এবং [2p] এর সমতুল্য। সীমাতে, একটি মাত্রায় নেমে গেলে, কোণটি শূন্যের দিকে গেলে পূর্ণ এপিরোগোনাল গ্রুপ পাওয়া যায়, তাই [φ], বিমূর্তভাবে অসীম ডাইহেড্রাল গ্রুপ D φ, দুটি সমান্তরাল আয়নাকে উপস্থাপন করে এবং একটি কক্সেটার রেখাচিত্র রয়েছে। এপিরোগোনাল গ্রুপ [≤] +, বিমূর্তভাবে অসীম চক্রাকার গ্রুপ Z ≤, পূর্ণসংখ্যার যোগাত্মক গ্রুপের সমরূপ, একটি একক অ-শূন্য অনুবাদ দ্বারা উত্পন্ন হয়। হাইপারবোলিক সমতলে একটি পূর্ণ সিউডোগোনাল গ্রুপ [iπ/λ] এবং সিউডোগোনাল সাবগ্রুপ [iπ/λ] + রয়েছে। এই গোষ্ঠীগুলি প্রান্তের দৈর্ঘ্য λ সহ নিয়মিত অসীম-পার্শ্বযুক্ত বহুভুজে বিদ্যমান। আয়নাগুলি সবগুলিই একটি মাত্র রেখার অর্থোগোনাল। র্যাঙ্ক থ্রি গ্রুপ 3 মাত্রায় পয়েন্ট গ্রুপগুলি র্যাঙ্ক 3 কক্সেটার গ্রুপের সাথে সম্পর্কিত বন্ধনী স্বরলিপিতে প্রকাশ করা যেতে পারেঃ তিনটি মাত্রায়, পূর্ণ অর্থোরম্বিক গ্রুপ বা অর্থোরেক্টাংগুলার [2,2], বিমূর্তভাবে Z23, অর্ডার 8, তিনটি অর্থোগোনাল আয়নাকে উপস্থাপন করে, (এছাড়াও তিনটি পৃথক বিন্দু হিসাবে কক্সেটার রেখাচিত্র দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়)। এটিকে একটি সরাসরি গুণফল [] × [] × [] হিসাবেও উপস্থাপন করা যেতে পারে, তবে [2,2] অভিব্যক্তিটি উপগোষ্ঠীগুলিকে সংজ্ঞায়িত করার অনুমতি দেয়ঃ প্রথমে একটি "সেমিডাইরেক্ট" উপগোষ্ঠী রয়েছে, অর্থোরম্বিক গোষ্ঠী, [2,2 +] (বা), বিমূর্তভাবে Z2 × Z2, ক্রম 4 এর। যখন + সুপারস্ক্রিপ্টটি বন্ধনীর ভিতরে দেওয়া হয়, তখন এর অর্থ হল শুধুমাত্র সংলগ্ন আয়না থেকে উত্পন্ন প্রতিফলনগুলি (কক্সেটার রেখাচিত্র দ্বারা সংজ্ঞায়িত) পরিবর্তিত হয়। সাধারণভাবে, + নোডের পার্শ্ববর্তী শাখার অর্ডারগুলি অবশ্যই জোড় হতে হবে। এই ক্ষেত্রে [2,2 +] এবং [2 +, 2] দুটি সমরূপ উপগোষ্ঠীকে উপস্থাপন করে যা জ্যামিতিকভাবে স্বতন্ত্র। অন্যান্য উপগোষ্ঠীগুলি হল প্যারারম্বিক গ্রুপ [2,2] + (বা), এছাড়াও অর্ডার 4, এবং পরিশেষে অর্ডার 2-এর কেন্দ্রীয় গ্রুপ [2 +, 2 +] (বা)। এরপরে পূর্ণ অর্থো-পি-গনাল গ্রুপ রয়েছে, [2, পি] (), বিমূর্তভাবে Z2 × D2p, 4p ক্রমের, একটি ডাইহেড্রাল কোণে দুটি আয়নাকে উপস্থাপন করে π/p, এবং উভয়ই তৃতীয় আয়নার অর্থোগোনাল। এটি কক্সেটার রেখাচিত্র দ্বারাও প্রতিনিধিত্ব করা হয়। সরাসরি উপগোষ্ঠীকে প্যারা-পি-গোনাল গ্রুপ বলা হয়, [2, পি] + (বা), বিমূর্তভাবে ডি2পি, 2পি ক্রমের, এবং অন্য উপগোষ্ঠীটি [2, পি +] () বিমূর্তভাবে জেড2 × জেডপি, এছাড়াও 2পি ক্রমের। সম্পূর্ণ জাইরো-পি-গোনাল গ্রুপ, [2 +, 2পি] (বা), বিমূর্তভাবে ডি4পি, 4পি ক্রমের। জাইরো-পি-গোনাল গ্রুপ, [2 +, 2পি +] (বা), বিমূর্তভাবে 2পি ক্রমের জেড2পি হল [2 +, 2পি] এবং [2,2পি +] উভয়েরই একটি উপগোষ্ঠী। পলিহেড্রাল গোষ্ঠীগুলি প্লেটোনিক কঠিন পদার্থের প্রতিসাম্যের উপর ভিত্তি করেঃ টেট্রাহেড্রন, অক্টেহেড্রন, কিউব, আইকোসাহেড্রন এবং ডোডেকাহেড্রন, যার যথাক্রমে শ্লাফলি চিহ্ন {3,3}, {3,4}, {4,3}, {3,5}, এবং {5,3} রয়েছে। এগুলির জন্য কক্সেটার গোষ্ঠীগুলি হলঃ [3,3] (), [3,4] (), [3,5] () যাকে পূর্ণ টেট্রাহেড্রাল প্রতিসাম্য, অষ্টতলকীয় প্রতিসাম্য এবং 24,48 এবং 120 ক্রম সহ আইকোসাহেড্রাল প্রতিসাম্য বলা হয়। এই সমস্ত প্রতিসাম্যগুলিতে, 12,24 এবং 60 ক্রমের ঘূর্ণনশীল টেট্রাহেড্রাল [3,3] + (), অষ্টতল [3,4] + (), এবং আইকোসাহেড্রাল [3,5] + () গোষ্ঠী তৈরি করে বিকল্প প্রতিফলনগুলি অপসারণ করা যেতে পারে। অষ্টতলকীয় গোষ্ঠীর একটি অনন্য সূচক 2 উপগোষ্ঠীও রয়েছে যা আবর্তনীয় এবং প্রতিফলিত প্রতিসাম্যের মিশ্রণ সহ 12 ক্রমের পাইরিটোহেড্রাল প্রতিসাম্য গোষ্ঠী, [3 +, 4] (বা) নামে পরিচিত। পাইরিটোহেড্রাল প্রতিসাম্যও আইকোসাহেড্রাল প্রতিসাম্যের একটি সূচক 5 উপগোষ্ঠীঃ-->, 0, {010}, এবং 3-ভাঁজ ঘূর্ণন {12} জুড়ে ভার্চুয়াল আয়না 1 সহ। টেট্রাহেড্রাল গ্রুপ, [3,3] (), একটি দ্বিগুণ (যা রঙিন নোড দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে), একে অপরের উপর প্রথম এবং শেষ আয়না ম্যাপিং, এবং এটি [3,4] (বা) গ্রুপ তৈরি করে। উপগোষ্ঠী [3,4,1 +] (বা) একই [3,3], এবং [3 +, 4,1 +] (বা) একই [3,3] +। ইউক্লিডীয় সমতলে 3টি আয়না দ্বারা উৎপন্ন 3টি মৌলিক প্রতিফলিত গোষ্ঠী রয়েছে, যা কক্সেটার রেখাচিত্র দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করে, এবং কক্সেটারকে [4,4], [6,3], এবং [(3,3,3)] হিসাবে চিহ্নিত করা হয়। শেষ গ্রুপের বন্ধনীগুলি রেখাচিত্র চক্রকে বোঝায় এবং একটি শর্টহ্যান্ড স্বরলিপিও রয়েছে [3]। [4,4] গোষ্ঠীর দ্বিগুণ হওয়ার ফলে মূল আয়নার সেট থেকে π/4 ঘোরানো একই প্রতিসাম্য তৈরি হয়। ঘূর্ণন প্রতিসাম্যের সরাসরি উপগোষ্ঠীগুলি হলঃ [4,4] +, [6,3] +, এবং [(3,3,3)] +। [4 +, 4] এবং [6,3 +] হল অর্ধ-পরোক্ষ উপগোষ্ঠী। কক্সেটার নোটেশনে (অরবিফোল্ড নোটেশন) দেওয়া হয়েছে, কিছু নিম্ন সূচক অ্যাফিন উপগোষ্ঠী হলঃ র্যাঙ্ক ফোর গ্রুপ পয়েন্ট গ্রুপ র্যাঙ্ক ফোর গ্রুপ 4-মাত্রিক বিন্দু গোষ্ঠীকে সংজ্ঞায়িত করেছেঃ সাবগ্রুপ স্পেস গ্রুপ লাইন গ্রুপ র্যাঙ্ক ফোর গ্রুপ 3-মাত্রিক রেখা গোষ্ঠীকেও সংজ্ঞায়িত করেছেঃ ডুওপ্রিজম্যাটিক গ্রুপ র্যাঙ্ক ফোর গ্রুপ 4-মাত্রিক ডুওপ্রিজম্যাটিক গোষ্ঠীকে সংজ্ঞায়িত করেছে। সীমাতে p এবং q যেমন অনন্ততায় যায়, তারা 2 মাত্রায় এবং ওয়ালপেপার গোষ্ঠীতে পতিত হয়। ওয়ালপেপার গ্রুপ র্যাঙ্ক ফোর গ্রুপ কিছু দ্বিমাত্রিক ওয়ালপেপার গ্রুপকেও সংজ্ঞায়িত করেছে, চার-মাত্রিক ডুওপ্রিজম গ্রুপের সীমিত ক্ষেত্রেঃ [φ, 2, φ], (* 2222) এর উপগোষ্ঠীগুলি তার সূচক 16 কমিউটেটর উপগোষ্ঠীতে প্রকাশ করা যেতে পারেঃ জটিল প্রতিফলন কক্সেটার স্বরলিপি জটিল স্থান, সিএন-এ প্রসারিত করা হয়েছে যেখানে নোডগুলি 2 বা তার বেশি সময়ের একক প্রতিফলন। নোডগুলি একটি সূচক দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, যদি চেপে রাখা হয় তবে সাধারণ বাস্তব প্রতিফলনের জন্য 2 বলে ধরে নেওয়া হয়। জটিল প্রতিফলন গোষ্ঠীগুলিকে কক্সেটার গোষ্ঠীর পরিবর্তে শেফার্ড গোষ্ঠী বলা হয় এবং জটিল পলিটোপ তৈরিতে ব্যবহার করা যেতে পারে। একটি র্যাঙ্ক 1 শেফার্ড গ্রুপ, অর্ডার পি, পি [], [] পি বা] পি [হিসাবে প্রতিনিধিত্ব করা হয়। এটির একটি একক জেনারেটর রয়েছে, যা জটিল সমতলে 2π/p রেডিয়ান আবর্তনের প্রতিনিধিত্ব করেঃ কক্সেটার র্যাঙ্ক 2 জটিল গ্রুপটি লেখেন, p [q] r কক্সেটার রেখাচিত্রকে উপস্থাপন করে। পি এবং আর কেবল তখনই দমন করা উচিত যদি উভয়ই 2 হয়, যা আসল ক্ষেত্রে [q]। একটি র্যাঙ্ক 2 গ্রুপ p [q] r-এর ক্রম হল। র্যাঙ্ক 2 সমাধানগুলি যা জটিল বহুভুজ তৈরি করেঃ p [4] 2 (p হল 2,3,4,), 3 [3] 3 [6] 2,3 [4] 3,4 [3] 4,3 [8] 2,4 [6] 2,4 [4] 3,3 [5] 3,5 [3] 5,3 [10] 2,5 [6] 2, এবং 5 [4] 3 কক্সেটার চিত্র সহ,,,,,,,,,,,। অসীম গোষ্ঠীগুলি হল 3 [12] 2,4 [8] 2,6 [6] 2,3 [6] 3,6 [4] 3,4 [4] 4, এবং 6 [3] 6 বা,,,,,,। একটি বাস্তব প্রতিফলন অপসারণের মাধ্যমে সূচক 2 উপগোষ্ঠী বিদ্যমান থাকেঃ p [2q] 2 → p [q] p। এছাড়াও 4টি শাখার জন্য সূচক r উপগোষ্ঠী রয়েছেঃ p [4] r → p [r] p। অসীম পরিবারের জন্য p [4] 2, যে কোনও p = 2,3,4, এর জন্য, দুটি উপগোষ্ঠী রয়েছেঃ p [4] 2 → [p], সূচক p, এবং p [4] 2 → p [] × p [], সূচক 2। প্রতিসাম্য জেনারেটর হিসাবে প্রতিফলন ম্যাট্রিক্সের সাথে গণনা একটি কক্সেটার গ্রুপ, যা কক্সেটার রেখাচিত্র দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়, শাখা ক্রমের জন্য কক্সেটার স্বরলিপি [পি, কিউ] দেওয়া হয়। কক্সেটার চিত্রের প্রতিটি নোড একটি আয়নার প্রতিনিধিত্ব করে, যা প্রচলিত নিয়ম অনুসারে ρi (এবং ম্যাট্রিক্স Ri) নামে পরিচিত। এই গোষ্ঠীর জেনারেটরগুলি [p, q] হল প্রতিফলনঃ ρ0, ρ1, এবং ρ2। ঘূর্ণন উপসমমিতি প্রতিফলনের গুণফল হিসাবে দেওয়া হয়ঃ প্রচলিত নিয়ম অনুসারে, σ0,1 (এবং ম্যাট্রিক্স S0,1) = ρ0ρ1 কোণ π/p-এর ঘূর্ণন নির্দেশ করে এবং σ1,2 = ρ1ρ2 কোণ π/q-এর ঘূর্ণন নির্দেশ করে, এবং σ0,2 = ρ0ρ2 কোণ π/2-এর ঘূর্ণন নির্দেশ করে। [p, q] +, একটি সূচক 2 উপগোষ্ঠী যা দুটি ঘূর্ণন উৎপাদক দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়, প্রতিটি দুটি প্রতিফলনের গুণফলঃ σ0,1, σ1,2, এবং যথাক্রমে π/p, এবং π/q কোণের ঘূর্ণন প্রতিনিধিত্ব করে। একটি জোড় শাখার সাথে, [p +, 2q], বা, সূচক 2-এর আরেকটি উপগোষ্ঠী, যা ঘূর্ণন উৎপাদক σ0,1 এবং প্রতিফলিত ρ2 দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করে। জোড় শাখাগুলির সাথে, [2p +, 2q +], দুটি জেনারেটর সহ সূচক 4-এর একটি উপগোষ্ঠী, যা তিনটি প্রতিফলন ম্যাট্রিক্সের গুণফল হিসাবে নির্মিতঃ কনভেনশন অনুসারেঃ π 0,1,2 এবং π 1,2,0, যা ঘূর্ণমান প্রতিফলন, যা প্রতিফলন এবং ঘূর্ণন বা প্রতিফলনের প্রতিনিধিত্ব করে। অ্যাফিন কক্সেটার গোষ্ঠীর ক্ষেত্রে, বা, একটি আয়না, সাধারণত শেষটি, উৎস থেকে অনুবাদ করা হয়। একটি ট্রান্সলেশন জেনারেটর τ0,1 (এবং ম্যাট্রিক্স T0,1) অ্যাফিন প্রতিফলন সহ দুটি (বা জোড় সংখ্যক) প্রতিফলনের গুণফল হিসাবে নির্মিত হয়। একটি প্রতিফলন (প্রতিফলন এবং একটি অনুবাদ) বিজোড় সংখ্যক প্রতিফলন φ 0,1,2 (এবং ম্যাট্রিক্স V 0,1,2)-এর গুণফল হতে পারে, যেমন সূচক 4 উপগোষ্ঠীঃ [4 +, 4 +] =। আরেকটি যৌগিক জেনারেটর, প্রচলিতভাবে ζ (এবং ম্যাট্রিক্স Z) হিসাবে, বিপরীতকে উপস্থাপন করে, একটি বিন্দুকে তার বিপরীত দিকে ম্যাপ করে। [4,3] এবং [5,3] এর জন্য, ζ = (ρ0ρ1ρ2) h/2, যেখানে h যথাক্রমে 6 এবং 10, প্রতিটি পরিবারের জন্য কক্সেটার সংখ্যা। 3ডি কক্সেটার গ্রুপের জন্য [পি, কিউ] (), এই উপগোষ্ঠীটি একটি ঘূর্ণমান প্রতিফলন [2 +, এইচ +]। কক্সেটার-ডাইঙ্কিন রেখাচিত্রে নোডের সংখ্যা হিসাবে কক্সেটার গোষ্ঠীগুলিকে তাদের র্যাঙ্ক অনুসারে শ্রেণীবদ্ধ করা হয়। গোষ্ঠীগুলির কাঠামো তাদের বিমূর্ত গোষ্ঠী প্রকারের সাথেও দেওয়া হয়েছেঃ এই নিবন্ধে, বিমূর্ত ডাইহেড্রাল গোষ্ঠীগুলিকে ডিহ্ন হিসাবে উপস্থাপন করা হয়েছে, এবং চক্রাকার গোষ্ঠীগুলিকে জেডএন দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়েছে, ডিহ 1 = জেড 2 সহ। উদাহরণস্বরূপ, 2ডি-তে, কক্সেটার গ্রুপ [পি] () দুটি প্রতিফলন ম্যাট্রিক্স আর0 এবং আর1 দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়, চক্রাকার প্রতিসাম্য [পি] + () ম্যাট্রিক্স এস0,1-এর ঘূর্ণন জেনারেটর দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়। র্যাঙ্ক 3 সসীম র্যাঙ্ক 3 কক্সেটার গ্রুপ হল [1, পি], [2, পি], [3,3], [3,4], এবং [3,5]। একটি সমতলের মধ্য দিয়ে একটি বিন্দু প্রতিফলিত করতে (যা উৎপত্তির মধ্য দিয়ে যায়), একজন ব্যবহার করতে পারেন, যেখানে 3 × 3 আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্স এবং সমতলের ভেক্টর নর্মালের জন্য ত্রিমাত্রিক একক ভেক্টর। যদি L2 আদর্শ এবং একক হয়, তবে রূপান্তর ম্যাট্রিক্সটি এইভাবে প্রকাশ করা যেতে পারেঃ [p, 2] হ্রাসযোগ্য 3-মাত্রিক সীমাবদ্ধ প্রতিফলিত গ্রুপটি ডাইহেড্রাল প্রতিসাম্য, [p, 2], ক্রম 4p,। প্রতিফলন উৎপাদকগুলি হল ম্যাট্রিক্স R0, R1, R2। R02 = R12 = R22 = (R0 × R1) 3 = (R1 × R2) 3 = (R0 × R2) 2 = পরিচয়। [p, 2] + () তিনটি ঘূর্ণনের মধ্যে 2টি দ্বারা উৎপন্ন হয়ঃ S0,1, S1,2, এবং S0,2। একটি ক্রম p ঘূর্ণন প্রতিফলন V 0,1,2 দ্বারা উৎপন্ন হয়, যা সমস্ত 3টি প্রতিফলনের গুণফল। [3] সবচেয়ে সহজ অপরিবর্তনীয় ত্রিমাত্রিক সসীম প্রতিফলিত গোষ্ঠী হল টেট্রাহেড্রাল প্রতিসাম্য, [3,3], ক্রম 24,। একটি D3 = A3 গঠন থেকে প্রতিফলন উৎপাদকগুলি হল ম্যাট্রিক্স R0, R1, R2। R02 = R12 = R22 = (R0 × R1) 3 = (R1 × R2) 3 = (R0 × R2) 2 = পরিচয়। [3,3] + () 3টির মধ্যে 2টি ঘূর্ণন দ্বারা উৎপন্ন হয়ঃ S0,1, S1,2, এবং S0,2। একটি ত্রয়ী উপগোষ্ঠী, [2 +, 4], ক্রম 8-এর সমরূপ, S0,2 এবং R1 দ্বারা উৎপন্ন হয়। একটি ক্রম 4 ঘূর্ণন প্রতিফলন V 0,1,2 দ্বারা উৎপন্ন হয়, যা সমস্ত 3টি প্রতিফলনের গুণফল। [4,3] আরেকটি অপরিবর্তনীয় ত্রিমাত্রিক সসীম প্রতিফলিত গোষ্ঠী হল অষ্টতল সমমিতি, [4,3], ক্রম 48,। প্রতিফলন জেনারেটরের ম্যাট্রিক্সগুলি হল আর0, আর1, আর2। R02 = R12 = R22 = (R0 × R1) 4 = (R1 × R2) 3 = (R0 × R2) 2 = পরিচয়। চিরাল অষ্টতল সমমিতি, [4,3] +, () 3টির মধ্যে 2টি ঘূর্ণন দ্বারা উৎপন্ন হয়ঃ S0,1, S1,2, এবং S0,2। পাইরিটোহেড্রাল প্রতিসাম্য [4,3 +], () প্রতিফলন R0 এবং ঘূর্ণন S1,2 দ্বারা উৎপন্ন হয়। একটি 6-গুণ ঘূর্ণন প্রতিফলন V 0,1,2 দ্বারা উৎপন্ন হয়, যা সমস্ত 3টি প্রতিফলনের গুণফল। [5,3] একটি চূড়ান্ত অপরিবর্তনীয় ত্রিমাত্রিক সসীম প্রতিফলিত গোষ্ঠী হল আইকোসাহেড্রাল প্রতিসাম্য, [5,3], ক্রম 120,। প্রতিফলন জেনারেটরের ম্যাট্রিক্সগুলি হল আর0, আর1, আর2। R02 = R12 = R22 = (R0 × R1) 5 = (R1 × R2) 3 = (R0 × R2) 2 = পরিচয়। [5,3] + () 3টির মধ্যে 2টি ঘূর্ণন দ্বারা উৎপন্ন হয়ঃ S0,1, S1,2, এবং S0,2। একটি 10-গুণ ঘূর্ণন প্রতিফলন V 0,1,2 দ্বারা উৎপন্ন হয়, যা সমস্ত 3টি প্রতিফলনের গুণফল। র্যাঙ্ক 4 চারটি মাত্রায় 4টি অপরিবর্তনীয় কক্সেটার গ্রুপ রয়েছেঃ [3,3,3], [4,3,3], [31,1,1], [3,4,4], [5,3,3], পাশাপাশি ডুওপ্রিজম্যাটিক গ্রুপের একটি অসীম পরিবার [p, 2, q]। [p, 2, q] দ্বৈতবাদী গোষ্ঠী, [p, 2, q]-এর ক্রম 4pq। [[পি, 2, পি]] ডুওপ্রিসম্যাটিক গ্রুপ দুটি সমতলের মধ্যে 2-গুণ আবর্তনের সাথে ক্রমানুসারে 8পি2-এ দ্বিগুণ হতে পারে। [3,3,3] হাইপারটেট্রাহেড্রাল প্রতিসাম্য, [3,3,3], অর্ডার 120,5-মাত্রায় 4টি আয়না দিয়ে [4,3,3,3]-এর একটি উপগোষ্ঠী হিসাবে উপস্থাপন করা সবচেয়ে সহজ। [[3,3,3] বর্ধিত গ্রুপ [[3,3,3]], ক্রম 240, একটি 2-ভাঁজ ঘূর্ণন ম্যাট্রিক্স টি দ্বারা দ্বিগুণ করা হয়, এখানে স্থানাঙ্ক ক্রম এবং চিহ্ন বিপরীতঃ 3 টি জেনারেটর রয়েছে {T, R0, R1}। যেহেতু T হল স্ব-পারস্পরিক R3 = TR0T, এবং R2 = TR1T। [4,3,3] একটি অপরিবর্তনীয় 4-মাত্রিক সসীম প্রতিফলিত গ্রুপ হল হাইপারঅক্টাহেড্রাল গ্রুপ (বা হেক্সাডেকাকোরিক গ্রুপ (16-কোষের জন্য), B4 = [4,3,3], ক্রম 384,। প্রতিফলন জেনারেটরের ম্যাট্রিক্সগুলি হল আর0, আর1, আর2, আর3। R02 = R12 = R22 = R32 = (R0 × R1) 4 = (R1 × R2) 3 = (R2 × R3) 3 = (R0 × R2) 2 = (R1 × R3) 2 = (R0 × R3) 2 = পরিচয়। চিরাল হাইপারঅক্টাহেড্রাল প্রতিসাম্য, [4,3,3] +, () 6টি ঘূর্ণনের মধ্যে 3টি দ্বারা উৎপন্ন হয়ঃ S0,1, S1,2, S2,3, S0,2, S1,3, এবং S0,3। হাইপারপাইরিটোহেড্রাল প্রতিসাম্য [4, (3,3) +], () প্রতিফলন R0 এবং ঘূর্ণন S1,2 এবং S2,3 দ্বারা উৎপন্ন হয়। একটি 8-গুণ দ্বিগুণ ঘূর্ণন W 0,1,2,3 দ্বারা উৎপন্ন হয়, যা সমস্ত 4টি প্রতিফলনের গুণফল। [4,3,3] এর একটি অর্ধ গোষ্ঠী হল [3,31,1], ক্রম 192। এটি [4,3,3] গ্রুপের সাথে 3টি জেনারেটর ভাগ করে নেয়, তবে একটি সংলগ্ন জেনারেটরের দুটি অনুলিপি রয়েছে, একটি অপসারিত আয়না জুড়ে প্রতিফলিত হয়। [3,4,3] একটি অপরিবর্তনীয় 4-মাত্রিক সসীম প্রতিফলিত গ্রুপ হল আইকোসিটেট্রাকোরিক গ্রুপ (24-কোষের জন্য), F4 = [3,4,3], ক্রম 1152,। প্রতিফলন জেনারেটরের ম্যাট্রিক্সগুলি হল আর0, আর1, আর2, আর3। R02 = R12 = R22 = R32 = (R0 × R1) 3 = (R1 × R2) 4 = (R2 × R3) 3 = (R0 × R2) 2 = (R1 × R3) 2 = (R0 × R3) 2 = পরিচয়। চিরাল আইকোসিটেট্রাকোরিক প্রতিসাম্য, [3,4,3] +, () 6টি ঘূর্ণনের মধ্যে 3টি দ্বারা উৎপন্ন হয়ঃ S0,1, S1,2, S2,3, S0,2, S1,3, এবং S0,3। আয়নিক হ্রাসপ্রাপ্ত [3,4,3 +] গ্রুপ, () প্রতিফলন R0 এবং ঘূর্ণন S1,2 এবং S2,3 দ্বারা উৎপন্ন হয়। একটি 12-গুণ দ্বিগুণ ঘূর্ণন W 0,1,2,3 দ্বারা উৎপন্ন হয়, যা সমস্ত 4টি প্রতিফলনের গুণফল। [[3,4,3] গ্রুপটি [[3,4,3] 2-গুণ আবর্তনের মাধ্যমে [3,4,3] প্রসারিত করে, টি, দ্বিগুণ ক্রম 2304 পর্যন্ত। [5,3,3] হাইপার-আইকোসাহেড্রাল প্রতিসাম্য, [5,3,3], অর্ডার 14400,। প্রতিফলন জেনারেটরের ম্যাট্রিক্সগুলি হল আর0, আর1, আর2, আর3। R02 = R12 = R22 = R32 = (R0 × R1) 5 = (R1 × R2) 3 = (R2 × R3) 3 = (R0 × R2) 2 = (R0 × R3) 2 = (R1 × R3) 2 = পরিচয়। [5,3,3] + () তিনটি ঘূর্ণন দ্বারা উৎপন্ন হয়ঃ S0,1 = R0 × R1, S1,2 = R1 × R2, S2,3 = R2 × R3, ইত্যাদি। র্যাঙ্ক 8 [34,2,1] E8 কক্সেটার গ্রুপে, [34,2,1], 8টি মিরর নোড রয়েছে, অর্ডার 696729,600 (192x10!)। E7 এবং E6, [33,2,1], এবং [32,2,1], যথাক্রমে প্রথম আয়না বা প্রথম দুটি আয়না উপেক্ষা করে তৈরি করা যেতে পারে। অ্যাফিন র্যাঙ্ক 2 অ্যাফিন ম্যাট্রিক্সগুলি একটি অতিরিক্ত সারি এবং কলাম যোগ করে প্রতিনিধিত্ব করা হয়, শেষ প্রবেশ 1 ছাড়া শেষ সারিটি শূন্য। শেষ কলামটি একটি অনুবাদ ভেক্টরের প্রতিনিধিত্ব করে। দুটি প্রতিফলন ম্যাট্রিক্স, x = 0 এবং x = 1 দ্বারা অ্যাফিন গ্রুপ [ini] দেওয়া যেতে পারে। অ্যাফিন র্যাঙ্ক 3 [4,4] অ্যাফিন গ্রুপ [4,4],, (p4m), তিনটি প্রতিফলন ম্যাট্রিক্স দ্বারা দেওয়া যেতে পারে, x অক্ষ জুড়ে প্রতিফলন (y = 0), একটি তির্যক (x = y), এবং রেখা জুড়ে অ্যাফিন প্রতিফলন (x = 1)। [4,4] + () (p4) S0,1 S1,2, এবং S0,2 দ্বারা উৎপন্ন হয়। [4 +, 4 +] () (পি. জি. জি) 2-গুণ ঘূর্ণন এস0,2 এবং গ্লাইড প্রতিফলন (প্রতিফলন) ভি <আই. ডি1> দ্বারা উৎপন্ন হয়। [4 +, 4] () (p4g) S0,1 এবং R3 দ্বারা উৎপন্ন হয়। গ্রুপ [(4,4,2 +)] () (সি. এম. এম), 2-গুণ ঘূর্ণন S1,3 এবং প্রতিফলন R2 দ্বারা উত্পন্ন হয়। [3,6] অ্যাফিন গ্রুপ [3,6],, (p6m), তিনটি প্রতিফলন ম্যাট্রিক্স দ্বারা দেওয়া যেতে পারে, x অক্ষ জুড়ে প্রতিফলন (y = 0), রেখা y = (√3/2) x, এবং উল্লম্ব রেখা x = 1। [3 [3]] অ্যাফিন গ্রুপ [3 [3] এর একটি অর্ধ গ্রুপ হিসাবে তৈরি করা যেতে পারে। R2 কে R '2 = R2 × R1 × R2 দ্বারা প্রতিস্থাপিত করা হয়, যা হাইপারপ্লেন দ্বারা উপস্থাপিত হয়ঃ y + (√3/2) x = 2। মৌলিক ক্ষেত্রটি একটি সমবাহু ত্রিভুজ যার প্রান্তের দৈর্ঘ্য 2। অ্যাফিন র্যাঙ্ক 4 [4,3,4] অ্যাফিন গ্রুপ হল [4,3,4] (), চারটি প্রতিফলন ম্যাট্রিক্স দ্বারা দেওয়া যেতে পারে। আয়না R0 কে z = 0 সমতলে রাখা যেতে পারে। আয়না R1 সমতল y = z-এ রাখা যেতে পারে। আয়না R2 কে x = y সমতলে রাখা যেতে পারে। আয়না আর3 x = 1 সমতলে রাখা যেতে পারে। [4,3,4] + () S0,1, S1,2, এবং S2,3 দ্বারা উৎপন্ন হয়। [[4,3,4] বর্ধিত গ্রুপ [[4,3,4]] গ্রুপ অর্ডারকে দ্বিগুণ করে, 2-গুণ ঘূর্ণন ম্যাট্রিক্স টি দিয়ে যোগ করে, পয়েন্টের মাধ্যমে একটি নির্দিষ্ট অক্ষের সাথে (1,1/2,0) এবং (1/2,1 2,1/2)। জেনারেটরগুলি হল {R0, R1, T}। R2 = T × R1 × T এবং R3 = T × R0 × T। [4,31,1] গ্রুপটি [4,3,4] থেকে, [4,3,4,1 +] গণনা করে, R '3 = R3 × R2 × R3 হিসাবে, R3 জুড়ে R2 এর চিত্র হিসাবে নতুন R' 3 সহ তৈরি করা যেতে পারে। [3 [4] প্রথম এবং শেষ আয়না, [1 +, 4,3,4,1 +], R '1 = R0 × R1 × R0 এবং R' 3 = R3 × R2 × R3 সরিয়ে [4,3,4] থেকে গ্রুপ [3 [4] তৈরি করা যেতে পারে। নোটস রেফারেন্স এইচ. এস. এম কক্সেটারঃ ক্যালিডোস্কোপসঃ এইচ. এস. এম-এর নির্বাচিত লেখাসমূহ। কক্সেটার, সম্পাদনা করেছেন এফ. আর্থার শের্ক, পিটার ম্যাকমুলেন, অ্যান্থনি সি. থম্পসন, এশিয়া আইভিক ওয়েইস, উইলি-ইন্টারসায়েন্স পাবলিকেশন, 1995, (পেপার 22) (পেপার 23) (পেপার 24) নরম্যান জনসন ইউনিফর্ম পলিটোপ, ম্যানুস্ক্রিপ্ট (1991) এন. ডব্লিউ। জনসনঃ দ্য থিওরি অফ ইউনিফর্ম পলিটোপস অ্যান্ড হানিকম্বস, পিএইচ. ডি. (1966) নরম্যান ডব্লিউ. জনসন অ্যান্ড এশিয়া আইভিক ওয়েইস কোয়াড্রাটিক ইন্টিজারস অ্যান্ড কক্সেটার গ্রুপস পিডিএফ ক্যান। জে। গণিত। খণ্ড। 51 (6), 1999 পিপি। 1307-1336 এন. ডব্লিউ. জনসনঃ জ্যামিতি এবং রূপান্তর, (2018) পিডিএফ জন এইচ. কনওয়ে এবং ডেরেক এ. স্মিথ, অন কোয়াটারনিয়নস অ্যান্ড অক্টোনিওনস, 2003, দ্য সিমেট্রি অফ থিংস 2008, জন এইচ. কনওয়ে, হেইডি বার্গিয়েল, চেইম গুডম্যান-স্ট্রাস, Ch.22 35টি প্রাইম স্পেস গ্রুপ, ch.25 184টি কম্পোজিট স্পেস গ্রুপ, ch.26 হায়ার স্টিল, 4ডি পয়েন্ট গ্রুপ সিমেট্রি গ্রুপ তত্ত্ব