Higher local field
গণিতে, একটি উচ্চতর (-মাত্রিক) স্থানীয় ক্ষেত্র একটি সম্পূর্ণ বিচ্ছিন্ন মূল্যায়ন ক্ষেত্রের একটি গুরুত্বপূর্ণ উদাহরণ। এই ক্ষেত্রগুলিকে কখনও কখনও বহুমাত্রিক স্থানীয় ক্ষেত্রও বলা হয়। সাধারণ স্থানীয় ক্ষেত্রগুলিতে (সাধারণত সংখ্যা ক্ষেত্রের সম্পূর্ণতা বা বীজগাণিতিক বক্ররেখার স্থানীয় বলয়ের ভাগফল ক্ষেত্র) ক্ষেত্রগুলির একটি স্থানীয় পরামিতি নির্বাচনের সাথে সম্পর্কিত একটি অনন্য সার্জেক্টিভ বিচ্ছিন্ন মূল্যায়ন (র্যাঙ্ক 1) থাকে, যদি না সেগুলি বাস্তব সংখ্যা এবং জটিল সংখ্যার মতো আর্কিমিডিয়ান স্থানীয় ক্ষেত্র হয়। একইভাবে, প্রায় সমস্ত এন-মাত্রিক স্থানীয় ক্ষেত্রে র্যাঙ্ক এন-এর একটি পৃথক মূল্যায়ন রয়েছে, যা ক্ষেত্রের এন স্থানীয় পরামিতিগুলির একটি পছন্দের সাথে যুক্ত। এক-মাত্রিক স্থানীয় ক্ষেত্রের বিপরীতে, উচ্চতর স্থানীয় ক্ষেত্রগুলিতে অবশিষ্টাংশ ক্ষেত্রের একটি ক্রম থাকে। উচ্চতর স্থানীয় ক্ষেত্রগুলিতে বিভিন্ন অবিচ্ছেদ্য কাঠামো রয়েছে, যা নির্ভর করে যে কতগুলি অবশিষ্ট ক্ষেত্রের তথ্য কেউ বিবেচনায় নিতে চায়। জ্যামিতিকভাবে, উচ্চতর স্থানীয় ক্ষেত্রগুলি স্থানীয়করণ এবং উচ্চ মাত্রিক পরিকল্পনার স্থানীয় বলয়ের সমাপ্তির প্রক্রিয়ার মাধ্যমে প্রদর্শিত হয়। উচ্চতর স্থানীয় ক্ষেত্রগুলি উচ্চ মাত্রিক সংখ্যা তত্ত্বের একটি গুরুত্বপূর্ণ অংশ, যা স্থানীয় বিবেচনার জন্য বস্তুর উপযুক্ত সংগ্রহ গঠন করে। সংজ্ঞা সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রগুলির মাত্রা 0 এবং সীমাবদ্ধ অবশিষ্টাংশ ক্ষেত্র সহ সম্পূর্ণ বিচ্ছিন্ন মূল্যায়ন ক্ষেত্রগুলির মাত্রা এক থাকে (আর বা সি-এর মতো আর্কিমিডিয়ান স্থানীয় ক্ষেত্রগুলিকে মাত্রা 1 হিসাবে সংজ্ঞায়িত করাও স্বাভাবিক), তাহলে আমরা বলি যে একটি সম্পূর্ণ বিচ্ছিন্ন মূল্যায়ন ক্ষেত্রের মাত্রা এন থাকে যদি তার অবশিষ্টাংশ ক্ষেত্রের মাত্রা এন-1 থাকে। উচ্চতর স্থানীয় ক্ষেত্রগুলি হল একের চেয়ে বড় মাত্রার ক্ষেত্র, যেখানে এক-মাত্রিক স্থানীয় ক্ষেত্রগুলি হল ঐতিহ্যবাহী স্থানীয় ক্ষেত্র। আমরা একটি সসীম-মাত্রিক উচ্চতর স্থানীয় ক্ষেত্রের অবশিষ্টাংশ ক্ষেত্রকে 'প্রথম' অবশিষ্টাংশ ক্ষেত্র বলি, এর অবশিষ্টাংশ ক্ষেত্রটি তারপর দ্বিতীয় অবশিষ্টাংশ ক্ষেত্র হয় এবং আমরা একটি সসীম ক্ষেত্রে না পৌঁছানো পর্যন্ত প্যাটার্নটি চলতে থাকে। উদাহরণস্বরূপ, দ্বি-মাত্রিক স্থানীয় ক্ষেত্রগুলি নিম্নলিখিত শ্রেণীতে বিভক্ত করা হয়েছেঃ ধনাত্মক বৈশিষ্ট্যযুক্ত ক্ষেত্রগুলি, এগুলি এক-মাত্রিক স্থানীয় ক্ষেত্রের উপর পরিবর্তনশীল টি-তে আনুষ্ঠানিক শক্তি সিরিজ, অর্থাৎ। এফকিউ ((ইউ)) ((টি))। বৈশিষ্ট্য শূন্যের সমতুল্য ক্ষেত্রগুলি, এগুলি বৈশিষ্ট্য শূন্যের এক-মাত্রিক স্থানীয় ক্ষেত্র এফ-এর উপর আনুষ্ঠানিক শক্তি সিরিজ এফ ((টি))। মিশ্র-বৈশিষ্ট্যযুক্ত ক্ষেত্রগুলি, এগুলি F {{t}} প্রকারের ক্ষেত্রগুলির সীমাবদ্ধ সম্প্রসারণ, F হল বৈশিষ্ট্য শূন্যের এক-মাত্রিক স্থানীয় ক্ষেত্র। এই ক্ষেত্রটিকে ফর্মাল পাওয়ার সিরিজের সেট হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়, উভয় দিকেই অসীম, F থেকে সহগগুলির সাথে এমনভাবে যে সহগগুলির মূল্যায়নের সর্বনিম্ন একটি পূর্ণসংখ্যা, এবং এমনভাবে যে সহগগুলির মূল্যায়ন শূন্য হতে থাকে কারণ তাদের সূচক বিয়োগ অনন্তের দিকে যায়। আর্কিমিডিয়ান দ্বি-মাত্রিক স্থানীয় ক্ষেত্র, যা বাস্তব সংখ্যা আর বা জটিল সংখ্যা সি এর উপর আনুষ্ঠানিক শক্তি সিরিজ। নির্মাণ উচ্চতর স্থানীয় ক্ষেত্রগুলি বিভিন্ন প্রসঙ্গে প্রদর্শিত হয়। একটি জ্যামিতিক উদাহরণ নিম্নরূপ। বৈশিষ্ট্যযুক্ত p-এর একটি সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের উপর একটি পৃষ্ঠ দেওয়া হলে, পৃষ্ঠের উপর একটি বক্ররেখা এবং বক্ররেখার উপর একটি বিন্দু, বিন্দুতে স্থানীয় বলয়টি নিন। তারপর, এই বলয়টি সম্পূর্ণ করুন, এটি বক্ররেখায় স্থানীয়করণ করুন এবং ফলস্বরূপ বলয়টি সম্পূর্ণ করুন। সবশেষে, ভাগফল ক্ষেত্রটি নিন। ফলাফল হল একটি সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের উপর একটি দ্বিমাত্রিক স্থানীয় ক্ষেত্র। বিনিময়যোগ্য বীজগণিত ব্যবহার করে একটি নির্মাণও রয়েছে, যা অ-নিয়মিত বলয়ের জন্য প্রযুক্তিগত হয়ে ওঠে। প্রারম্ভিক বিন্দু হল একটি নোথেরিয়ান, নিয়মিত, এন-মাত্রিক বলয় এবং মৌলিক আদর্শের একটি পূর্ণ পতাকা যাতে তাদের সংশ্লিষ্ট ভাগফল বলয় নিয়মিত হয়। একটি এন-ডাইমেনশনাল স্থানীয় ক্ষেত্রে না পৌঁছানো পর্যন্ত উপরের মতো ধারাবাহিকভাবে সম্পূর্ণতা এবং স্থানীয়করণ ঘটে। উচ্চ স্থানীয় ক্ষেত্রের এক-মাত্রিক স্থানীয় ক্ষেত্রের টপোলজিগুলি সাধারণত মূল্যায়ন টপোলজিতে বিবেচনা করা হয়, যেখানে উন্মুক্ত সেটগুলি সংজ্ঞায়িত করতে পৃথক মূল্যায়ন ব্যবহার করা হয়। এটি উচ্চ মাত্রিক স্থানীয় ক্ষেত্রের জন্য যথেষ্ট হবে না, কারণ অবশিষ্টাংশের স্তরেও টপোলজি বিবেচনা করা প্রয়োজন। উচ্চতর স্থানীয় ক্ষেত্রগুলিকে উপযুক্ত টপোলজি (অনন্যভাবে সংজ্ঞায়িত নয়) দিয়ে সমৃদ্ধ করা যেতে পারে যা এই সমস্যার সমাধান করে। এই ধরনের টপোলজিগুলি র্যাঙ্ক এন-এর পৃথক মূল্যায়নের সাথে যুক্ত টপোলজি নয়, যদি n> 1 হয়। দ্বিতীয় এবং উচ্চতর মাত্রায় ক্ষেত্রের যোগাত্মক গোষ্ঠীটি একটি টপোলজিকাল গ্রুপে পরিণত হয় যা স্থানীয়ভাবে সংক্ষিপ্ত নয় এবং টপোলজির ভিত্তি গণনাযোগ্য নয়। সবচেয়ে বিস্ময়কর বিষয় হল যে গুণটি অবিচ্ছিন্ন নয়; তবে, এটি ক্রমানুসারে অবিচ্ছিন্ন, যা সমস্ত যুক্তিসঙ্গত গাণিতিক উদ্দেশ্যে যথেষ্ট। আরও আনুষ্ঠানিক বিবেচনা দ্বারা টপোলজিকাল বিবেচনার প্রতিস্থাপনের জন্য পুনরাবৃত্ত ইন্ড-প্রো পদ্ধতিও রয়েছে। উচ্চ স্থানীয় ক্ষেত্রগুলিতে পরিমাপ, সংহতকরণ এবং সুরেলা বিশ্লেষণ দ্বি-মাত্রিক স্থানীয় ক্ষেত্রগুলিতে কোনও অনুবাদ অপরিবর্তনীয় পরিমাপ নেই। পরিবর্তে, মাঠের দ্বিমাত্রিক বিচ্ছিন্ন মূল্যায়নের সাপেক্ষে বদ্ধ বল দ্বারা উত্পন্ন সেটের বলের উপর একটি সীমাবদ্ধ সংযোজনমূলক অনুবাদ অপরিবর্তনীয় পরিমাপ সংজ্ঞায়িত করা হয় এবং আসলগুলির উপর আনুষ্ঠানিক শক্তি সিরিজ আর (এক্স)-এ মান গ্রহণ করা হয়। এই পরিমাপ একটি নির্দিষ্ট পরিমার্জিত অর্থে গণনাযোগ্য যোগাত্মক। এটি উচ্চতর স্থানীয় ক্ষেত্রগুলিতে উচ্চতর হার পরিমাপ হিসাবে দেখা যেতে পারে। প্রতিটি উচ্চতর স্থানীয় ক্ষেত্রের যোগাত্মক গোষ্ঠীটি অ-প্রামাণিকভাবে স্ব-দ্বৈত, এবং উপযুক্ত ফাংশনে উচ্চতর ফুরিয়ার রূপান্তরকে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। এটি উচ্চতর সুরেলা বিশ্লেষণের দিকে পরিচালিত করে। উচ্চ স্থানীয় শ্রেণী ক্ষেত্র তত্ত্ব প্রথম মাত্রায় স্থানীয় শ্রেণী ক্ষেত্র তত্ত্বের উচ্চতর মাত্রায় সাদৃশ্য রয়েছে। গুণক গোষ্ঠীর উপযুক্ত প্রতিস্থাপনটি nতম মিলনর কে-গ্রুপে পরিণত হয়, যেখানে n হল ক্ষেত্রের মাত্রা, যা তখন ক্ষেত্রের উপর সর্বাধিক আবেলিয়ান সম্প্রসারণের গ্যালোইস গোষ্ঠীর পারস্পরিক মানচিত্রের ক্ষেত্র হিসাবে প্রদর্শিত হয়। প্রতিটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য উপাদানগুলির উপগোষ্ঠী দ্বারা nতম মিলনর কে-গোষ্ঠীর ভাগফল নিয়ে কাজ করা আরও ভাল। ফেসেনকো উপপাদ্যের কারণে, এই ভাগফলকে উপযুক্ত উচ্চতর মাত্রিক টপোলজিতে সমৃদ্ধ কে-গ্রুপের সর্বাধিক পৃথক টপোলজিকাল ভাগফল হিসাবেও দেখা যেতে পারে। nতম মিলনর কে-গোষ্ঠীর এই ভাগফল থেকে উচ্চতর স্থানীয় ক্ষেত্রের সর্বাধিক আবেলিয়ান সম্প্রসারণের গ্যালোইস গোষ্ঠীতে উচ্চতর স্থানীয় পারস্পরিক সমরূপতার এক-মাত্রিক স্থানীয় শ্রেণী ক্ষেত্র তত্ত্বের মতো অনেক বৈশিষ্ট্য রয়েছে। উচ্চতর স্থানীয় শ্রেণী ক্ষেত্র তত্ত্ব অবশিষ্ট ক্ষেত্র স্তরে শ্রেণী ক্ষেত্র তত্ত্বের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ, মিলনর কে-তত্ত্বের সীমানা মানচিত্র ব্যবহার করে ক্ষেত্র এবং অবশিষ্ট ক্ষেত্রের স্তরে পারস্পরিক মানচিত্রের সাথে জড়িত একটি বিনিময়যোগ্য চিত্র তৈরি করে। কাজুয়া কাটো এবং ইভান ফেসেনকো সাধারণ উচ্চতর স্থানীয় শ্রেণী ক্ষেত্র তত্ত্ব তৈরি করেছিলেন। আলেক্সেই পার্শিন ইতিবাচক বৈশিষ্ট্যের ক্ষেত্রে উচ্চতর স্থানীয় শ্রেণী ক্ষেত্র তত্ত্বের প্রস্তাব করেছিলেন। বিবরণ ক্ষেত্র (গণিত) বীজগাণিতিক সংখ্যা তত্ত্ব হারমোনিক বিশ্লেষণ