Affine root system
গণিতে, একটি অ্যাফিন মূল ব্যবস্থা হল ইউক্লিডীয় স্থানে অ্যাফিন-রৈখিক ফাংশনের একটি মূল ব্যবস্থা। এগুলি অ্যাফিন লাই অ্যালজেব্রা এবং সুপারএলজেব্রা এবং আধা-সহজ পি-অ্যাডিক বীজগাণিতিক গোষ্ঠীর শ্রেণিবিন্যাসে ব্যবহৃত হয় এবং ম্যাকডোনাল্ড বহুপদের পরিবারের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ। ক্যাক এবং মুডি ক্যাক-মুডি অ্যালজেব্রার উপর তাদের কাজে হ্রাসকৃত অ্যাফিন মূল ব্যবস্থা ব্যবহার করেছিলেন। সম্ভবত অ-হ্রাসকৃত অ্যাফিন রুট সিস্টেমগুলি এবং দ্বারা প্রবর্তিত এবং শ্রেণীবদ্ধ করা হয়েছিল (ব্যতীত এই উভয় গবেষণাপত্র দুর্ঘটনাক্রমে ডাইনকিন রেখাচিত্রটি বাদ দিয়েছে)। সংজ্ঞা E কে একটি অ্যাফিন স্পেস এবং V কে এর অনুবাদের ভেক্টর স্পেস হিসাবে ধরা যাক। মনে রাখবেন যে, V, E-এর উপর বিশ্বস্তভাবে এবং ক্ষণস্থায়ীভাবে কাজ করে। বিশেষত, যদি, এটি V-এর একটি উপাদানকে ভালভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় যা একমাত্র উপাদান যা এমনভাবে চিহ্নিত করা হয়। এখন ধরুন আমাদের V-এর উপর একটি স্কেলার গুণফল রয়েছে। এটি E-এর উপর একটি মেট্রিককে এইভাবে সংজ্ঞায়িত করে। অ্যাফিন-লিনিয়ার ফাংশনের ভেক্টর স্পেস F বিবেচনা করুন। a স্থির করার পরে, F-এর প্রতিটি উপাদানকে V-এর উপর একটি রৈখিক ফাংশন হিসাবে লেখা যেতে পারে যা এর পছন্দের উপর নির্ভর করে না। এখন নির্বাচিত স্কেলার পণ্যের জন্য ভি-এর দ্বৈতকে ভি-এর সাথে চিহ্নিত করা যেতে পারে এবং আমরা এফ-এর উপর একটি পণ্যকে সংজ্ঞায়িত করতে পারি। সেট করুন এবং যে কোনও এবং যথাক্রমে। সনাক্তকরণটি আসুন আমরা নিম্নলিখিত উপায়ে ই-এর উপর একটি প্রতিফলনকে সংজ্ঞায়িত করিঃ স্থানান্তর দ্বারা এফ-এর উপরও কাজ করে একটি অ্যাফিন মূল ব্যবস্থা এমন একটি উপসেট যাঃ এস-এর উপাদানগুলিকে অ্যাফিন মূল বলা হয়। সঙ্গে দ্বারা উত্পন্ন গ্রুপের সাথে চিহ্নিত করুন। আমরা আরও জিজ্ঞাসা করি এর অর্থ হল যে কোনও দুটি কম্প্যাক্টের জন্য উপাদানগুলি একটি সসীম সংখ্যা। শ্রেণিবিন্যাস অ্যাফিন শিকড় পদ্ধতি A1 = B1 = B = C1 = C একই, যেমন জোড়া B2 = C2, B = C, এবং A3 = D3 সারণিতে প্রদত্ত কক্ষপথের সংখ্যা হল ওয়েইল গোষ্ঠীর অধীনে সরল শিকড়ের কক্ষপথের সংখ্যা। ডাইঙ্কিন রেখাচিত্রে, অ-হ্রাসকৃত সহজ মূল α (2α একটি মূল সহ) সবুজ রঙের হয়। একটি সিরিজের প্রথম ডাইনকিন রেখাচিত্র কখনও কখনও অন্যদের মতো একই নিয়ম অনুসরণ করে না। র্যাঙ্ক 1 দ্বারা অপরিবর্তনীয় অ্যাফিন মূল ব্যবস্থাঃ এ1, বিসি1, (বিসি1, সি1), (সি, বিসি1), (সি, সি1)। 2য় স্থানঃ এ2, সি2, সি, বিসি2, (বিসি2, সি2), (সি, বিসি2), (বি2, বি), (সি, সি2), জি2, জি। 3য় স্থানঃ এ3, বি3, বি, সি3, সি, বিসি3, (বিসি3, সি3), (সি, বিসি3), (বি3, বি), (সি, সি3)। 4র্থ স্থানঃ এ4, বি4, বি, সি4, সি, বিসি4, (বিসি4, সি4), (সি, বিসি4), (বি4, বি), (সি, সি4), ডি4, এফ4, এফ। 5ম স্থানঃ এ5, বি5, বি, সি5, সি, বিসি5, (বিসি5, সি5), (সি, বিসি5), (বি5, বি), (সি, সি5), ডি5। র্যাঙ্ক 6: এ6, বি6, বি, সি6, সি6, বিসি6, (বিসি6, সি6), (সি, বিসি6), (বি6, বি), (সি, সি6), ডি6, ই6, র্যাঙ্ক 7: এ7, বি7, বি, সি7, সি, বিসি7, (বিসি7, সি7), (সি, বিসি7), (বি7, বি), (সি, সি7), ডি7, ই7, র্যাঙ্ক 8: এ8, বি8, বি, সি8, সি, বিসি8, (বিসি8, সি8), (সি, বিসি8), (বি8, বি), (সি, সি8), ডি। প্রয়োগগুলি দেখায় যে অ্যাফিন রুট সিস্টেম সূচক ম্যাকডোনাল্ড পরিচয়গুলি পি-অ্যাডিক বীজগাণিতিক গোষ্ঠীগুলি অধ্যয়নের জন্য অ্যাফিন রুট সিস্টেম ব্যবহার করে। হ্রাসকৃত অ্যাফিন মূল ব্যবস্থাগুলি অ্যাফিন ক্যাক-মুডি অ্যালজেব্রাগুলিকে শ্রেণীবদ্ধ করে, যেখানে অ-হ্রাসকৃত অ্যাফিন মূল ব্যবস্থাগুলি অ্যাফিন লাই সুপারঅ্যালজেব্রাগুলির সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ। দেখিয়েছেন যে অ্যাফাইন রুট সিস্টেমগুলি ম্যাকডোনাল্ড পলিনোমিয়ালগুলির সূচক পরিবার। তথ্যসূত্র বিচ্ছিন্ন গোষ্ঠী লাই অ্যালজেব্রা অর্থোগোনাল বহুপদী