Belinfante–Rosenfeld stress–energy tensor
গাণিতিক পদার্থবিজ্ঞানে, বেলিনফ্যান্ট-রোজেনফেল্ড টেনসর হল শক্তি-ভরবেগ টেনসরের একটি পরিবর্তন যা ক্যানোনিকাল শক্তি-ভরবেগ টেনসর এবং স্পিন কারেন্ট থেকে তৈরি করা হয় যাতে এটি প্রতিসম হলেও এখনও সংরক্ষিত থাকে। একটি ধ্রুপদী বা কোয়ান্টাম স্থানীয় ক্ষেত্র তত্ত্বে, লরেঞ্জ রূপান্তরের উৎপাদককে স্থানীয় প্রবাহের অবিচ্ছেদ্য অংশ হিসাবে লেখা যেতে পারে এখানে ক্যানোনিকাল নোইথার শক্তি-ভরবেগ টেনসর, এবং এটি অভ্যন্তরীণ (ঘূর্ণন) কৌণিক ভরবেগের অবদান। কৌণিক ভরবেগের স্থানীয় সংরক্ষণের জন্য প্রয়োজন যে সুতরাং ঘূর্ণন-স্রোতের একটি উৎস একটি অ-প্রতিসম ক্যানোনিকাল শক্তি-ভরবেগ টেনসরকে বোঝায়। বেলিনফ্যান্ট-রোজেনফেল্ড টেনসর হল শক্তি ভরবেগ টেনসরের একটি পরিবর্তন যা ক্যানোনিকাল শক্তি ভরবেগ টেনসর এবং স্পিন কারেন্ট থেকে নির্মিত হয় যাতে প্রতিসম হয় তবে এখনও সংরক্ষিত থাকে। অংশ দ্বারা একটি ইন্টিগ্রেশন দেখায় যে এবং তাই বেলিনফ্যান্ট টেনসরের একটি শারীরিক ব্যাখ্যা হল যে এটি অভ্যন্তরীণ কৌণিক ভরবেগের গ্রেডিয়েন্টের সাথে যুক্ত "আবদ্ধ ভরবেগ" অন্তর্ভুক্ত করে। অন্য কথায়, যুক্ত শব্দটি চৌম্বককরণ ঘনত্বের সাথে যুক্ত "আবদ্ধ বিদ্যুৎ"-এর একটি অনুরূপ। প্রতিসম এবং এখনও সংরক্ষিত করার জন্য প্রয়োজনীয় ঘূর্ণন-বর্তমান উপাদানগুলির কৌতূহলী সংমিশ্রণ সম্পূর্ণরূপে অস্থায়ী বলে মনে হয়, তবে রোজেনফেল্ড এবং বেলিনফ্যান্ট উভয়ের দ্বারা এটি দেখানো হয়েছিল যে পরিবর্তিত টেনসরটি সঠিকভাবে প্রতিসম হিলবার্ট শক্তি-ভরবেগ টেনসর যা সাধারণ আপেক্ষিকতায় মাধ্যাকর্ষণের উৎস হিসাবে কাজ করে। ঠিক যেমন চৌম্বক ক্ষেত্রের উৎস হিসাবে কাজ করে এমন আবদ্ধ এবং মুক্ত স্রোতের সমষ্টি, তেমনি এটি আবদ্ধ এবং মুক্ত শক্তি-ভরবেগের সমষ্টি যা মাধ্যাকর্ষণের উৎস হিসাবে কাজ করে। বেলিনফ্যান্ট-রোজেনফেল্ড এবং হিলবার্ট এনার্জি-মোমেন্টাম টেনসর হিলবার্ট এনার্জি-মোমেন্টাম টেনসরকে মেট্রিকের সাপেক্ষে কার্যকরী ক্রিয়ার বৈচিত্র্য দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয় (দ্বিতীয় সমীকরণে বিয়োগ চিহ্নটি উদ্ভূত হয় কারণ) আমরা একটি শক্তি-মোমেন্টাম টেনসরকে মিনকোভস্কি-অর্থোনরমাল ভিয়ারবিন পরিবর্তন করে সংজ্ঞায়িত করতে পারি। ভিয়ারবিন বৈচিত্র্যের সাথে প্রতিসম হওয়ার কোনও তাৎক্ষণিক সুস্পষ্ট কারণ নেই। যাইহোক, একটি অসীম স্থানীয় লরেঞ্জ রূপান্তরের অধীনে ক্রিয়া কার্যকরী অপরিবর্তনীয় হওয়া উচিত এবং তাই শূন্য হওয়া উচিত। একটি নির্বিচারে অবস্থান-নির্ভর তির্যক প্রতিসম ম্যাট্রিক্স হিসাবে, আমরা দেখতে পাই যে স্থানীয় লরেঞ্জ এবং ঘূর্ণন অপরিবর্তিতা উভয়েরই প্রয়োজন এবং তা বোঝায়। একবার আমরা জানতে পারি যে এটি প্রতিসম, এটি দেখানো সহজ, এবং তাই ভিয়ারবিন-ভ্যারিয়েশন শক্তি-গতিবেগ টেনসর মেট্রিক-ভ্যারিয়েশন হিলবার্ট টেনসরের সমতুল্য। আমরা এখন নোইথার ক্যানোনিকাল এনার্জি মোমেন্টাম টেনসরের বেলিনফ্যান্ট-রোজেনফেল্ড পরিবর্তনের উৎপত্তি বুঝতে পারি। মেট্রিক সামঞ্জস্যপূর্ণ এবং টর্জন মুক্ত হওয়ার শর্তের মাধ্যমে নির্ধারিত স্পিন সংযোগটি কোথায় তা নির্ধারণ করার জন্য পদক্ষেপ নিন। স্পিন কারেন্ট তারপর উল্লম্ব বারের বৈচিত্র্য দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয় যা নির্দেশ করে যে বৈচিত্র্যের সময় স্থির রাখা হয়। "ক্যানোনিকাল" নোইথার এনার্জি মোমেন্টাম টেনসর হল সেই অংশ যা পরিবর্তন থেকে উদ্ভূত হয় যেখানে আমরা ঘূর্ণন সংযোগ স্থির রাখিঃ তারপর এখন, একটি টর্জন-মুক্ত এবং মেট্রিক-সামঞ্জস্যপূর্ণ সংযোগের জন্য, আমাদের কাছে এটি রয়েছে যেখানে আমরা ঘূর্ণন-সংযোগের প্রকরণ ব্যবহার করে স্বরলিপি ব্যবহার করছি, এবং অংশ দ্বারা সংহতকরণের পরে, আমরা খুঁজে পাই। উদাহরণস্বরূপ, ডিরাক ক্ষেত্রের জন্য ধ্রুপদী ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান বিবেচনা করুন এখানে স্পিনোর কোভ্যারিয়েন্ট ডেরিভেটিভগুলি হল আমরা তাই পাই গতির সমীকরণগুলি ব্যবহার করলে এর থেকে কোনও অবদান নেই, অর্থাৎ। আমরা শেলের উপর আছি। এখন যদি স্বতন্ত্র এবং অন্যথায় শূন্য হয়। ফলস্বরূপ এটি সম্পূর্ণ অ্যান্টি-সিমেট্রিক। এখন, এই ফলাফলটি ব্যবহার করে, এবং আবার গতির সমীকরণগুলি ব্যবহার করে, আমরা দেখতে পাই যে এইভাবে বেলিনফ্যান্ট-রোজেনফেল্ড টেনসর হয়ে যায় ডায়রাক ক্ষেত্রের বেলিনফ্যান্ট-রোজেনফেল্ড টেনসরকে তাই প্রতিসম ক্যানোনিকাল শক্তি-ভরবেগ টেনসর হিসাবে দেখা হয়। ওয়েইনবার্গের সংজ্ঞা স্টিভেন ওয়েইনবার্গ বেলিনফ্যান্ট টেনসরকে সংজ্ঞায়িত করেছেন যেখানে ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান ঘনত্ব রয়েছে, সেটটি হল ল্যাগ্রাঞ্জিয়ানে প্রদর্শিত ক্ষেত্রগুলি, অ-বেলিনফ্যান্ট শক্তি ভরবেগ টেনসর দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয় এবং ম্যাট্রিক্সের একটি সেট যা সমজাতীয় লরেঞ্জ গ্রুপের বীজগণিতকে সন্তুষ্ট করে। রেফারেন্স সাধারণ আপেক্ষিকতায় টেনসর