Line integral convolution
বৈজ্ঞানিক দৃশ্যায়নে, লাইন ইন্টিগ্রাল কনভোলিউশন (এল. আই. সি) হল একটি ভেক্টর ক্ষেত্র কল্পনা করার একটি পদ্ধতি, যেমন তরল গতি। বৈশ্বিক পদ্ধতি ইন্টিগ্রেশন-ভিত্তিক পদ্ধতি টেক্সচার-ভিত্তিক পদ্ধতি কনভোলিউশন সংকেত প্রক্রিয়াকরণে এই প্রক্রিয়াটি বিচ্ছিন্ন কনভোলিউশন হিসাবে পরিচিত। সংহতকরণ-ভিত্তিক পদ্ধতি এটি সংহতকরণ-ভিত্তিক পদ্ধতি (কৌশল)। আরও সুনির্দিষ্টভাবে এটি অভিন্ন গ্রিডের বিচ্ছিন্ন রেখা অবিচ্ছেদ্যের উপর ভিত্তি করে। বিচ্ছিন্ন সংখ্যাসূচক সংহতকরণ একটি রেখা বরাবর সঞ্চালিত হয় (আরও সুনির্দিষ্টভাবে বক্ররেখা)। এখানে রেখা মানে ভেক্টর ক্ষেত্রের ক্ষেত্র রেখা। গ্লোবাল পদ্ধতি অন্যান্য ইন্টিগ্রেশন-ভিত্তিক কৌশলগুলির তুলনায় যা ইনপুট ভেক্টর ক্ষেত্রের ক্ষেত্র রেখা গণনা করে, এলআইসি-র সুবিধা হল যে ভেক্টর ক্ষেত্রের সমস্ত কাঠামোগত বৈশিষ্ট্য প্রদর্শিত হয়, ক্ষেত্র রেখার শুরু এবং শেষ বিন্দুগুলিকে নির্দিষ্ট ভেক্টর ক্ষেত্রের সাথে খাপ খাইয়ে নেওয়ার প্রয়োজন ছাড়াই। অন্য কথায়, আই. টি. আর ভেক্টর ক্ষেত্রের টপোলজি দেখায়। ব্যবহারকারীর পরীক্ষায়, এলআইসি গুরুত্বপূর্ণ বিষয়গুলি চিহ্নিত করার জন্য বিশেষভাবে ভাল বলে প্রমাণিত হয়েছে। অন্যান্য উচ্চ-কার্যকারিতা জিপিইউ-ভিত্তিক বাস্তবায়নের উপলব্ধতার সাথে, সীমিত ইন্টারঅ্যাক্টিভিটির পূর্ববর্তী অসুবিধা আর উপস্থিত নেই। টেক্সচার-ভিত্তিক পদ্ধতি এলআইসি টেক্সচারকে একটি ইনপুট হিসাবে গ্রহণ করে এবং টেক্সচার (আউটপুট) দেয়। সুতরাং এটি টেক্সচার সংশ্লেষণ। ইতিহাস এলআইসি কৌশলটি ব্রায়ান ক্যাব্রাল এবং লেইথ কেসি লিডম অ্যালগরিদম অনানুষ্ঠানিক বর্ণনা নীতি দ্বারা প্রস্তাবিত হয়েছিলঃ ক্ষেত্রের রেখা বরাবর পিক্সেলের মানগুলি দৃঢ়ভাবে সম্পর্কযুক্ত, তবে অর্থোগোনালভাবে তাদের সাথে প্রায় সম্পর্কহীন। ফলস্বরূপ, মাঠের রেখাগুলি পটভূমি থেকে দৃশ্যমানভাবে আলাদা হয়ে যায় এবং দৃশ্যমান হয়ে ওঠে। অন্তর্দৃষ্টিঃ এলোমেলোভাবে বিতরণ করা লোহার ফাইলিং ব্যবহার করে চৌম্বক ক্ষেত্রের রেখাগুলির একটি নদীর ভিজ্যুয়ালাইজেশনে পেইন্ট নিক্ষেপ করা "যখন ভরহীন সূক্ষ্ম বালির একটি আয়তক্ষেত্রাকার অঞ্চল শক্তিশালী বাতাসের দ্বারা প্রবাহিত হয় তখন কী ঘটে তা অনুকরণ করে" স্বজ্ঞাতভাবে, কিছু ডোমেনে একটি ভেক্টর ক্ষেত্রের প্রবাহ অন্ধকার এবং হালকা রঙের উত্সগুলির একটি স্থির এলোমেলো প্যাটার্ন যুক্ত করে দৃশ্যমান হয়। প্রবাহটি উৎসগুলির পাশ দিয়ে যাওয়ার সাথে সাথে, তরলের প্রতিটি পার্সেল উৎসের কিছু রঙ তুলে নেয়, এটি ইতিমধ্যে যে রঙ অর্জন করেছে তার সাথে গড় করে একটি নদীতে রং নিক্ষেপ করার মতো পদ্ধতিতে। ফলাফলটি একটি এলোমেলো ডোরাকাটা টেক্সচার যেখানে একই স্ট্রিমলাইন বরাবর পয়েন্টগুলির একই রঙের প্রবণতা থাকে। আনুষ্ঠানিক গাণিতিক বিবরণ যদিও ইনপুট ভেক্টর ক্ষেত্র এবং ফলাফলের চিত্রটি পৃথক করা হয়েছে, তবে এটি একটি অবিচ্ছিন্ন দৃষ্টিকোণ থেকে দেখার জন্য অর্থ প্রদান করে। কোনও ডোমেনে দেওয়া ভেক্টর ক্ষেত্রটি ধরা যাক। যদিও ইনপুট ভেক্টর ক্ষেত্রটি সাধারণত বিচ্ছিন্ন করা হয়, আমরা ক্ষেত্রটিকে প্রতিটি বিন্দুতে সংজ্ঞায়িত হিসাবে বিবেচনা করি, অর্থাৎ। আমরা একটি ইন্টারপোলেশন অনুমান করি। স্ট্রিমলাইন বা আরও সাধারণভাবে ক্ষেত্রের রেখাগুলি প্রতিটি বিন্দুর ভেক্টর ক্ষেত্রের স্পর্শক। এগুলি সীমানায় বা সমালোচনামূলক বিন্দুতে শেষ হয়। সরলতার জন্য, নিম্নলিখিত সমালোচনামূলক পয়েন্ট এবং সীমানা উপেক্ষা করা হয়। চাপের দৈর্ঘ্য দ্বারা প্যারামিট্রাইজ করা একটি ক্ষেত্র রেখা হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। ধরা যাক যে ক্ষেত্রের রেখাটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে যায়। তারপর ছবির ধূসর মান সেট করা হয় যেখানে কনভোলিউশন কার্নেল, শব্দ চিত্র, এবং ক্ষেত্র রেখা বিভাগের দৈর্ঘ্য যা অনুসরণ করা হয়। এলআইসি ইমেজের প্রতিটি পিক্সেলের জন্য গণনা করতে হবে। যদি সরলভাবে করা হয়, তবে এটি বেশ ব্যয়বহুল। প্রথমে, রঞ্জ-কুট্টা পদ্ধতির মতো সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলি সমাধান করার জন্য একটি সংখ্যাসূচক পদ্ধতি ব্যবহার করে ফিল্ড লাইনগুলি গণনা করতে হবে এবং তারপরে প্রতিটি পিক্সেলের জন্য একটি ফিল্ড লাইন বিভাগ বরাবর কনভোলিউশন গণনা করতে হবে। আউটপুট চিত্রটি সাধারণত কোনও না কোনওভাবে রঙিন হবে। সাধারণত ভেক্টর দৈর্ঘ্যের মতো কিছু স্কেলার ক্ষেত্র ব্যবহার করা হয় রঙ নির্ধারণ করতে, যেখানে ধূসর-স্কেল এলআইসি চিত্র রঙের উজ্জ্বলতা নির্ধারণ করে। কনভোলিউশন কার্নেল এবং এলোমেলো শব্দের বিভিন্ন পছন্দ বিভিন্ন টেক্সচার তৈরি করেঃ উদাহরণস্বরূপ গোলাপী শব্দ একটি মেঘলা প্যাটার্ন তৈরি করে যেখানে উচ্চ প্রবাহের অঞ্চলগুলি স্মিয়ারিং হিসাবে দাঁড়িয়ে থাকে, যা আবহাওয়ার দৃশ্যায়নের জন্য উপযুক্ত। কনভোলিউশনে আরও পরিমার্জন চিত্রের গুণমান উন্নত করতে পারে। প্রোগ্রামারদের জন্য বর্ণনা অ্যালগরিদমিকভাবে, কৌশলটি ভেক্টর ক্ষেত্রের ডোমেনে পছন্দসই আউটপুট রেজোলিউশনে একটি এলোমেলো ধূসর স্তরের চিত্র তৈরি করে শুরু হয়। তারপর, এই ছবির প্রতিটি পিক্সেলের জন্য, একটি নির্দিষ্ট চাপ দৈর্ঘ্যের সামনের এবং পিছনের স্ট্রিমলাইন গণনা করা হয়। বর্তমান পিক্সেলের জন্য নির্ধারিত মানটি এই স্ট্রিমলাইনের একটি অংশে থাকা সমস্ত পিক্সেলের ধূসর স্তর সহ একটি উপযুক্ত কনভোলিউশন কার্নেলের কনভোলিউশন দ্বারা গণনা করা হয়। এটি একটি ধূসর স্তরের এলআইসি চিত্র তৈরি করে। সমস্যা একটি 2ডি স্থির ভেক্টর ক্ষেত্রের ক্ষেত্রের রেখা এবং এককত্ব কল্পনা করুন (2ডি স্থির প্রবাহের প্রবাহ রেখা) ইনপুট ভেক্টর ক্ষেত্রঃ 2ডি স্থির ভেক্টর ক্ষেত্রের গোলমালঃ স্থির সাদা গোলমাল (স্কেলার ক্ষেত্র = গঠন) আউটপুট ফলাফল (আউটপুট চিত্র) = ইনপুট ভেক্টর ক্ষেত্রের চূড়ান্ত এলআইসি চিত্র। যদিও এই ধরনের এল. আই. সি চিত্র ক্ষেত্র ভেক্টরগুলির অভিমুখ নির্দেশ করে, এটি তাদের দিক নির্দেশ করে না; স্থির ক্ষেত্রগুলির জন্য, এটি অ্যানিমেশন দ্বারা প্রতিকার করা যেতে পারে। মৌলিক এল. আই. সি চিত্রগুলি ভেক্টরের দৈর্ঘ্য (বা ক্ষেত্রের শক্তি) দেখায় না। ভেক্টরের দৈর্ঘ্য (বা ক্ষেত্রের শক্তি) সাধারণত রঙে কোড করা হয়; বিকল্পভাবে, অ্যানিমেশন ব্যবহার করা যেতে পারে। সময়ের সাথে পরিবর্তিত একটি কার্নেল ব্যবহার করে অ্যানিমেটেড সংস্করণ এলআইসি চিত্রগুলি অ্যানিমেটেড করা যেতে পারে। স্ট্রিমলাইন থেকে একটি ধ্রুবক সময়ে নমুনাগুলি এখনও ব্যবহার করা হবে, তবে একটি স্থির কার্নেল সহ একটি স্ট্রিমলাইনে সমস্ত পিক্সেলের গড়ের পরিবর্তে, একটি পর্যায়ক্রমিক ফাংশন থেকে নির্মিত একটি তরঙ্গের মতো কার্নেল একটি উইন্ডো হিসাবে কাজ করে হ্যান ফাংশন দ্বারা গুণিত হয় (নিদর্শনগুলি প্রতিরোধ করার জন্য) ব্যবহার করা হয়। পর্যায়ক্রমিক ফাংশন তারপর একটি অ্যানিমেশন তৈরি করার জন্য সময়কাল বরাবর স্থানান্তরিত হয়। এফ. এল. আই. সি ফাস্ট এল. আই. সি (এফ. এল. আই. সি) ইতিমধ্যেই গণনা করা ফিল্ড লাইনের অংশগুলি পুনরায় ব্যবহার করে, কনভোলিউশন কার্নেল হিসাবে একটি বক্স ফাংশনে বিশেষীকরণ করে এবং কনভোলিউশনের সময় অপ্রয়োজনীয় গণনা এড়ানোর মাধ্যমে গণনাকে উল্লেখযোগ্যভাবে ত্বরান্বিত করা যেতে পারে। ফলস্বরূপ দ্রুত এল. আই. সি পদ্ধতিটি কনভোলিউশন কার্নেলগুলিতে সাধারণীকরণ করা যেতে পারে যা নির্বিচারে বহুপদী। ওএলআইসি ওরিয়েন্টেড লাইন ইন্টিগ্রাল কনভোলিউশন (ওএলআইসি) ওরিয়েন্টেড লাইন ইন্টিগ্রাল কনভোলিউশনের দ্রুত রেন্ডারিং (এফআরওএলআইসি) ইউএফএলআইসি সময়-নির্ভর ভেক্টর ক্ষেত্রের (অস্থির প্রবাহ) জন্য একটি বৈকল্পিক (ইউএফএলআইসি = অস্থির প্রবাহ এলআইসি) ডিজাইন করা হয়েছে যা প্রবাহ অ্যানিমেশনের সঙ্গতি বজায় রাখে। সমান্তরাল সংস্করণ যেহেতু একটি এলআইসি চিত্রের গণনা ব্যয়বহুল কিন্তু সহজাতভাবে সমান্তরাল, তাই এটি সমান্তরাল করা হয়েছে এবং জিপিইউ-ভিত্তিক বাস্তবায়নের উপলব্ধতার সাথে এটি পিসিতে ইন্টারেক্টিভ হয়ে উঠেছে। এছাড়াও ইউএফএলআইসি-র জন্য একটি ইন্টারেক্টিভ জিপিইউ-ভিত্তিক বাস্তবায়ন উপস্থাপন করা হয়েছে। বহুমাত্রিক লক্ষ্য করুন যে ডোমেনটি 2ডি ডোমেন হতে হবে নাঃ পদ্ধতিটি বহুমাত্রিক গোলমাল ক্ষেত্র ব্যবহার করে উচ্চ মাত্রিক ডোমেনের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য। যাইহোক, উচ্চ-মাত্রিক এলআইসি টেক্সচারের ভিজ্যুয়ালাইজেশন সমস্যাযুক্ত; একটি উপায় হল 2ডি স্লাইসের সাথে ইন্টারেক্টিভ এক্সপ্লোরেশন ব্যবহার করা যা ম্যানুয়ালি অবস্থান এবং ঘোরানো হয়। ডোমেনটি সমতলও হতে হবে না; 3ডি স্পেসে নির্বিচারে আকৃতির 2ডি পৃষ্ঠের জন্যও এলআইসি টেক্সচার গণনা করা যেতে পারে। প্রয়োগ 1993 সালে প্রথম প্রকাশিত হওয়ার পর থেকে এই কৌশলটি বিভিন্ন সমস্যার ক্ষেত্রে প্রয়োগ করা হয়েছে। প্রয়োগঃ স্থির (সময় স্বাধীন) প্রবাহের জন্য ইনপুট ভেক্টর ক্ষেত্রের প্রবাহ-ভিজ্যুয়ালাইজেশন পদ্ধতির একটি ক্ষেত্র রেখার আনুমানিক দ্বারা ভেক্টর ক্ষেত্রের প্রতিনিধিত্ব করা। এখানে ক্ষেত্রের লাইনগুলিকে স্ট্রিমলাইন বলা হয় 2ডি স্বায়ত্তশাসিত গতিশীল ব্যবস্থার ভিজ্যুয়াল এক্সপ্লোরেশন বাতাসের মানচিত্রগুলি এলআইসি পেন্সিল ফিল্টার ব্যবহার করে অভিনব চিত্র তৈরি করতে জলের দিকনির্দেশের শৈল্পিক প্রভাবগুলি পেন্সিল অঙ্কন স্বয়ংক্রিয় পেন্সিল অঙ্কন প্রজন্মের কৌশলটি মার্বেলিং টেক্সচার তৈরি করে চুলের টেক্সচারের স্বয়ংক্রিয় প্রজন্ম টেরেন সাধারণীকরণঃ রেমন্ড ম্যাকগুইয়ার প্যারাভিউ দ্বারা সাধারণীকৃত ছায়াযুক্ত ত্রাণ বাস্তবায়ন জিপিইউ ভিত্তিক চিত্র প্রক্রিয়াকরণ সরঞ্জাম তৈরি করাঃ লাইন ইন্টিগ্রাল কনভোলিউশন এলআইসি এবং আর কে 4-এর উপর ভিত্তি করে একটি 2ডি ফ্লো ভিজ্যুয়ালাইজেশন সরঞ্জাম। সি + + এবং ভিটিকে ব্যবহার করে তৈরি করা হয়েছে। আন্দ্রেস বেজারানো ওল্ফ্রাম রিসার্চ (2008), লাইনইন্টেগ্রাল কনভোলিউশনপ্লট, ওল্ফ্রাম ল্যাঙ্গুয়েজ ফাংশন, https://reference.wolfram.com/language/ref/LineIntegralConvolutionPlot.html (আপডেট 2014)। আরও দেখুন ওজনযুক্ত গাণিতিক গড় বা ওজনযুক্ত গড় রেফারেন্স সংখ্যাসূচক ফাংশন অঙ্কন ভেক্টর ক্যালকুলাস তরল গতিবিদ্যা জটিল বিশ্লেষণ কম্পিউটার গ্রাফিক্স