André–Oort conjecture
গণিতে, আন্দ্রে-ওর্ট অনুমান ডায়োফ্যান্টাইন জ্যামিতির একটি সমস্যা, যা সংখ্যা তত্ত্বের একটি শাখা, যা ম্যানিন-মামফোর্ড অনুমানের একটি অ-অ্যাবেলিয়ান অ্যানালগ হিসাবে দেখা যেতে পারে, যা এখন একটি উপপাদ্য (বিভিন্ন উপায়ে প্রমাণিত)। অনুমানটি শিমুরা জাতের বিশেষ বিন্দুর সেটের জারিস্কি বন্ধের একটি বৈশিষ্ট্যের সাথে সম্পর্কিত। 1989 সালে ইভস আন্দ্রে এই অনুমানের একটি বিশেষ উদাহরণ দিয়েছিলেন এবং 1995 সালে ফ্রান্স উর্ট আরও একটি সাধারণ বিবৃতি (যদিও শিমুরার জাতের উপর সীমাবদ্ধতা সহ) অনুমান করেছিলেন। আধুনিক সংস্করণটি এই দুটি অনুমানের একটি স্বাভাবিক সাধারণীকরণ। বিবৃতি আধুনিক রূপে অনুমানটি নিম্নরূপ। জারিস্কি বন্ধের প্রতিটি অপরিবর্তনীয় উপাদান একটি শিমুরা জাতের বিশেষ বিন্দুর একটি সেট একটি বিশেষ উপ-বৈচিত্র্য। আন্দ্রে-এর অনুমানের প্রথম সংস্করণটি কেবলমাত্র এক মাত্রিক অপরিবর্তনীয় উপাদানগুলির জন্য ছিল, যেখানে উর্ট প্রস্তাব করেছিলেন যে এটি মূলত মেরুকৃত আবেলিয়ান ধরনের মাত্রার জি-এর মডুলি স্পেসে নির্বিচারে মাত্রার অপরিবর্তনীয় উপাদানগুলির জন্য সত্য হওয়া উচিত। মনে হয় যে আন্দ্রে ট্রান্সসেন্ডেন্স তত্ত্বের প্রয়োগ দ্বারা অনুপ্রাণিত হয়েছিল এবং উর্ট ম্যানিন-মামফোর্ড অনুমানের সাথে সাদৃশ্য দ্বারা অনুপ্রাণিত হয়েছিল। আংশিক ফলাফল বেন মুনেন, ইভস আন্দ্রে, আন্দ্রেই ইয়াফেভ, বাস এডিক্সহোভেন, লরেন্ট ক্লোজেল, ব্রুনো ক্লিংলার এবং ইমানুয়েল উলমো দ্বারা সম্পূর্ণ অনুমানের দিকে বিভিন্ন ফলাফল প্রতিষ্ঠিত হয়েছে। এই ফলাফলগুলির মধ্যে কিছু শর্তাধীন ছিল সাধারণীকৃত রিমান হাইপোথিসিস (জিআরএইচ) সত্য হওয়ার উপর। প্রকৃতপক্ষে, জিআরএইচ-এর অধীনে সম্পূর্ণ অনুমানের প্রমাণ ব্রুনো ক্লিংলার, ইমানুয়েল উলমো এবং আন্দ্রেই ইয়াফেভ 2014 সালে অ্যানালস অফ ম্যাথমেটিক্সে প্রকাশ করেছিলেন। 2006 সালে, উম্বের্তো জ্যানিয়ার এবং জোনাথন পিলা মানিন-মামফোর্ড-আন্দ্রে-ওর্ট ধরনের সমস্যার একটি পদ্ধতির বিকাশের জন্য ও-ন্যূনতম জ্যামিতি এবং অতীন্দ্রিয় সংখ্যা তত্ত্ব থেকে কৌশলগুলি ব্যবহার করেছিলেন। 2009 সালে, জোনাথন পিলা মডুলার বক্ররেখার নির্বিচারে পণ্যগুলির জন্য আন্দ্রে-ওর্ট অনুমানকে নিঃশর্তভাবে প্রমাণ করেছিলেন, যার ফলস্বরূপ তিনি 2011 ক্লে রিসার্চ অ্যাওয়ার্ড অর্জন করেছিলেন। ব্রুনো ক্লিংলার, ইমানুয়েল উলমো এবং আন্দ্রেই ইয়াফেভ 2014 সালে সাধারণ পিলা-জ্যানিয়ার পদ্ধতির জন্য প্রয়োজনীয় কার্যকরী অগ্রগতির ফলাফল প্রমাণ করেছিলেন এবং ইমানুয়েল উলমো এটি থেকে কৌশলটির অন্তর্ভুক্তির পদক্ষেপের জন্য প্রয়োজনীয় একটি প্রযুক্তিগত ফলাফল অনুমান করেছেন। অবশিষ্ট প্রযুক্তিগত উপাদানটি ছিল বিশেষ বিন্দুর গ্যালোইস ডিগ্রির নিচে সীমাবদ্ধতার সমস্যা। সিগেল মডুলার বৈচিত্র্যের ক্ষেত্রে, এই সীমাটি 2015 সালে জ্যাকব সিমারম্যান গড় কলমেজ অনুমান এবং ম্যাসার-উস্টহোল্টজ আইসোজেনি অনুমান থেকে অনুমান করেছিলেন। গড় কলমেজ অনুমানটি জিনই ইউয়ান এবং শৌ-উ ঝাং এবং স্বাধীনভাবে আন্দ্রেতা, গোরেন, হাওয়ার্ড এবং মাদাপুসি-পেরা দ্বারা প্রমাণিত হয়েছিল। 2019-2020-এ, গ্যাল বিনিয়ামিনি, হ্যারি শ্মিট এবং আন্দ্রেই ইয়াফেভ, টোরি এবং আবেলিয়ান জাতের টর্জন পয়েন্টের উপর হ্যারি শ্মিটের পূর্ববর্তী কাজ এবং ধারণার উপর ভিত্তি করে এবং গ্যাল বিনিয়ামিনির পয়েন্ট গণনার ফলাফলগুলি, বিশেষ পয়েন্টের উচ্চতার সীমার উপর একটি অনুমান তৈরি করেছে এবং এর বৈধতা থেকে সম্পূর্ণ আন্দ্রে-ওর্ট অনুমানের প্রমাণের জন্য প্রয়োজনীয় বিশেষ পয়েন্টের গ্যালোইস ডিগ্রির সীমা নির্ধারণ করেছে। 2021 সালের সেপ্টেম্বরে, জোনাথন পিলা, অনন্ত শঙ্কর এবং জ্যাকব সিমারম্যান একটি গবেষণাপত্রে (হেলেন এসনল্ট এবং মাইকেল গ্রোচেনিগের লেখা একটি পরিশিষ্ট সমন্বিত) বিনিয়ামিনি-শ্মিট-ইয়াফেভ উচ্চতা অনুমানের প্রমাণ দাবি করেন, এইভাবে পিলা-জ্যানিয়ার কৌশল ব্যবহার করে আন্দ্রে-ওর্ট অনুমানের প্রমাণ সম্পূর্ণ করেন। কোলম্যান-ওর্ট অনুমান একটি সম্পর্কিত অনুমান যার দুটি রূপ রয়েছে, সমতুল্য যদি আন্দ্রে-ওর্ট অনুমানটি ধরে নেওয়া হয়, তা হল কোলম্যান-ওর্ট অনুমান। রবার্ট কোলম্যান অনুমান করেছিলেন যে পর্যাপ্ত পরিমাণে বড় জি-এর জন্য, জি গণের কেবলমাত্র সীমিতভাবে অনেক মসৃণ প্রজেক্টিভ বক্ররেখা সি রয়েছে, যেমন জ্যাকোবিয়ান জাত জে (সি) সিএম-প্রকারের একটি আবেলিয়ান জাত। উর্ট তখন অনুমান করেছিলেন যে টোরেলি লোকাস-আয়তনের জি-এর আবেলিয়ান জাতের মডুলি স্থানের-যথেষ্ট বড় জি-এর জন্য> 0 মাত্রার কোনও বিশেষ উপ-বৈচিত্র্য নেই যা টোরেলি ম্যাপিংয়ের চিত্রটিকে একটি ঘন খোলা উপসেটে ছেদ করে। সাধারণীকরণ মানিন-মামফোর্ড এবং আন্দ্রে-ওর্ট অনুমানগুলি অনেক দিক থেকে সাধারণীকরণ করা যেতে পারে, উদাহরণস্বরূপ পয়েন্টগুলির বৈশিষ্ট্যগুলিকে 'বিশেষ' বলে শিথিল করে (এবং পরিবর্তে তথাকথিত 'অসম্ভব লোকাস' বিবেচনা করে) বা আরও সাধারণ পরিবেষ্টনের জাতগুলি দেখেঃ আবেলিয়ান বা আধা-আবেলিয়ান স্কিম, মিশ্র শিমুরা জাত ইত্যাদি। এই সাধারণীকরণগুলি কথ্য ভাষায় জিলবার-গোলাপী অনুমান হিসাবে পরিচিত কারণ এই ধরনের সমস্যাগুলি রিচার্ড পিঙ্ক এবং বরিস জিলবার দ্বারা প্রস্তাবিত হয়েছিল। এই প্রশ্নগুলির বেশিরভাগই উন্মুক্ত এবং বর্তমান সক্রিয় গবেষণার বিষয়। আরও দেখুন জিলবার-গোলাপী অনুমান রেফারেন্স আরও পড়া ডায়োফ্যান্টাইন জ্যামিতি অনুমান