Bernstein–von Mises theorem
বায়েসিয়ান অনুমানে, বার্নস্টাইন-ভন মিসেস উপপাদ্য প্যারামেট্রিক মডেলগুলিতে আস্থা বিবৃতির জন্য বায়েসিয়ান বিশ্বাসযোগ্য সেট ব্যবহার করার ভিত্তি প্রদান করে। এটি বলে যে কিছু পরিস্থিতিতে, একটি পশ্চাৎ বণ্টন অসীম তথ্যের সীমার মধ্যে একত্রিত হয়ে সর্বাধিক সম্ভাব্যতা প্রাক্কলনকারীকে কেন্দ্র করে একটি বহুমাত্রিক স্বাভাবিক বন্টনের সাথে মিলিত হয়, যেখানে প্রকৃত জনসংখ্যার পরামিতি এবং প্রকৃত জনসংখ্যার পরামিতি মানের ফিশার তথ্য ম্যাট্রিক্সঃ বার্নস্টাইন-ভন মিসেস উপপাদ্য বায়েসিয়ান অনুমানকে ঘন ঘন অনুমানের সাথে সংযুক্ত করে। এটি ধরে নেয় যে কিছু সত্যিকারের সম্ভাবনাময় প্রক্রিয়া রয়েছে যা পর্যবেক্ষণগুলি তৈরি করে, যেমন ফ্রিকোয়েন্সিজম, এবং তারপরে সেই প্রক্রিয়াটি পুনরুদ্ধারের জন্য বায়েসিয়ান পদ্ধতির গুণমান অধ্যয়ন করে এবং সেই প্রক্রিয়া সম্পর্কে অনিশ্চয়তার বিবৃতি দেয়। বিশেষত, এটি বলে যে একটি নির্দিষ্ট বিশ্বাসযোগ্যতা স্তরের বায়েসিয়ান বিশ্বাসযোগ্য সেটগুলি লক্ষণবিহীনভাবে আত্মবিশ্বাস স্তরের আত্মবিশ্বাস সেট হবে, যা বায়েসিয়ান বিশ্বাসযোগ্য সেটগুলির ব্যাখ্যার অনুমতি দেয়। অনুসন্ধানমূলক বিবৃতি একটি মডেলে, নির্দিষ্ট নিয়মিততার অবস্থার অধীনে (সীমাবদ্ধ-মাত্রিক, সুনির্দিষ্ট, মসৃণ, পরীক্ষার অস্তিত্ব), যদি পূর্ববর্তী বন্টনের লেবস্গু পরিমাপের সাপেক্ষে ঘনত্ব থাকে যা যথেষ্ট মসৃণ (শূন্য থেকে দূরে সীমাবদ্ধ), পুনরুদ্ধার করা পশ্চাৎ বন্টনের মধ্যে মোট বৈচিত্র্য দূরত্ব (কেন্দ্রিক এবং পুনর্বিন্যাস দ্বারা) এবং কোনও দক্ষ প্রাক্কলনকারীকে কেন্দ্র করে একটি গাউসিয়ান বন্টনের সাথে এবং বিপরীত ফিশার তথ্যের সাথে বৈকল্পিকতা হিসাবে সম্ভাবনা শূন্যে একত্রিত হবে। সর্বাধিক সম্ভাব্যতা প্রাক্কলনকারী যদি একজন দক্ষ প্রাক্কলনকারী হন, তাহলে আমরা এটিকে যুক্ত করতে পারি এবং বার্নস্টাইন-ভন মিসেস উপপাদ্যের একটি সাধারণ, আরও নির্দিষ্ট সংস্করণ পুনরুদ্ধার করতে পারি। প্রভাব বার্নস্টাইন-ভন মিসেস উপপাদ্যের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ তাৎপর্য হল যে বায়েসিয়ান অনুমানটি একটি ঘনত্ববাদী দৃষ্টিকোণ থেকে উপসর্গহীনভাবে সঠিক। এর মানে হল যে প্রচুর পরিমাণে তথ্যের জন্য, অনুমান এবং অনিশ্চয়তা সম্পর্কে বৈধ বিবৃতি তৈরি করতে, একটি ঘন ঘন দৃষ্টিকোণ থেকে, পোস্টেরিয়র ডিস্ট্রিবিউশন ব্যবহার করা যেতে পারে। ইতিহাস এই উপপাদ্যটি রিচার্ড ভন মিসেস এবং এস. এন. বার্নস্টাইনের নামে নামকরণ করা হয়েছে, যদিও 1949 সালে জোসেফ এল. ডুব সীমাবদ্ধ সম্ভাব্যতা স্থান সহ র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য প্রথম যথাযথ প্রমাণ দিয়েছিলেন। পরে লুসিয়েন লে ক্যাম, তাঁর পিএইচডি ছাত্র লরেন শোয়ার্জ, ডেভিড এ ফ্রিডম্যান এবং পার্সি ডায়াকোনিস আরও সাধারণ অনুমানের অধীনে প্রমাণটি প্রসারিত করেছিলেন। সীমাবদ্ধতা একটি ভুল নির্দিষ্ট মডেলের ক্ষেত্রে, পোস্টেরিয়র ডিস্ট্রিবিউশনও একটি সঠিক গড় সহ অ্যাসিম্পটোটিক্যালি গাউসিয়ান হয়ে উঠবে, তবে ফিশার তথ্যের সাথে বৈচিত্র্য হিসাবে আবশ্যক নয়। এর থেকে বোঝা যায় যে বায়েসিয়ান স্তরের বিশ্বাসযোগ্য সেটগুলিকে স্তরের আত্মবিশ্বাসের সেট হিসাবে ব্যাখ্যা করা যায় না। ননপ্যারামেট্রিক পরিসংখ্যানের ক্ষেত্রে, বার্নস্টাইন-ভন মিসেস উপপাদ্যটি সাধারণত ডিরিচলেট প্রক্রিয়ার একটি উল্লেখযোগ্য ব্যতিক্রম ছাড়া ধরে রাখতে ব্যর্থ হয়। 1965 সালে ফ্রিডম্যান একটি উল্লেখযোগ্য ফলাফল খুঁজে পেয়েছিলেনঃ বার্নস্টাইন-ভন মিসেস উপপাদ্যটি প্রায় নিশ্চিতভাবে ধরে রাখে না যদি এলোমেলো চলকের একটি অসীম গণনাযোগ্য সম্ভাব্যতা স্থান থাকে; তবে, এটি সম্ভাব্য অগ্রাধিকারগুলির একটি খুব বিস্তৃত পরিসরের অনুমতি দেওয়ার উপর নির্ভর করে। বাস্তবে, গবেষণায় সাধারণত ব্যবহৃত অগ্রাধিকারগুলির একটি অসীম গণনাযোগ্য সম্ভাব্যতা স্থান থাকা সত্ত্বেও কাঙ্ক্ষিত বৈশিষ্ট্য রয়েছে। বিভিন্ন সংক্ষিপ্ত পরিসংখ্যান যেমন মোড এবং মিন পোস্টেরিয়র ডিস্ট্রিবিউশনে ভিন্নভাবে আচরণ করতে পারে। ফ্রিডম্যানের উদাহরণে, পশ্চাৎ ঘনত্ব এবং এর গড় ভুল ফলাফলের উপর একত্রিত হতে পারে, তবে পশ্চাৎ মোড সামঞ্জস্যপূর্ণ এবং সঠিক ফলাফলের উপর একত্রিত হবে। নোটস রেফারেন্স ডুব, জোসেফ এল. (1949), মার্টিঙ্গেলস তত্ত্বের প্রয়োগ। কলোক। ইন্টার্ন। ডু C.N.R.S (প্যারিস), নং। 13, পৃ. 23-27। ফ্রিডম্যান, ডেভিড এ। (1963)। বায়েসের অ্যাসিম্পটোটিক আচরণের উপর পৃথক ক্ষেত্রে অনুমান I। দ্য অ্যানালস অফ ম্যাথমেটিকাল স্ট্যাটিস্টিক্স, খণ্ড। 34, পৃ. 1386-1403। ফ্রিডম্যান, ডেভিড এ। (1965)। বায়েসের অ্যাসিম্পটোটিক আচরণের উপর দ্বিতীয় বিচ্ছিন্ন ক্ষেত্রে অনুমান করা হয়। দ্য অ্যানালস অফ ম্যাথমেটিকাল স্ট্যাটিস্টিক্স, খণ্ড। 36, পৃ. 454-456। লে ক্যাম, লুসিয়েন (1986)। অ্যাসিম্পটোটিক মেথডস ইন স্ট্যাটিস্টিক্যাল ডিসিশন থিওরি, স্প্রিঙ্গার। (পৃষ্ঠা 336 এবং 618-621)। লোরেন শোয়ার্জ (1965)। বায়েস পদ্ধতির উপর। জেড. ওয়াহরশেইনলিচকেইটথিয়োরি, নং। 4, পৃ. 10-26। পরিসংখ্যানে বায়েসিয়ান অনুমান উপপাদ্য