Metaplectic structure
ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতিতে, একটি মেটাপ্লেক্টিক কাঠামো হল ওরিয়েন্টেবল রিমানিয়ান ম্যানিফোল্ডের উপর ঘূর্ণন কাঠামোর সিমপ্লেক্টিক এনালগ। একটি সিমপ্লেক্টিক ম্যানিফোল্ডের একটি মেটাপ্লেক্টিক কাঠামো একজনকে সিমপ্লেক্টিক স্পিনোর বান্ডিল সংজ্ঞায়িত করার অনুমতি দেয়, যা মেটাপ্লেক্টিক উপস্থাপনার মাধ্যমে মেটাপ্লেক্টিক কাঠামোর সাথে যুক্ত হিলবার্ট স্পেস বান্ডিল, যা ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতিতে একটি সিমপ্লেক্টিক স্পিনোর ক্ষেত্রের ধারণার জন্ম দেয়। প্রতীকী ঘূর্ণন কাঠামোর গাণিতিক পদার্থবিজ্ঞানে ব্যাপক প্রয়োগ রয়েছে, বিশেষত কোয়ান্টাম ক্ষেত্র তত্ত্বের ক্ষেত্রে যেখানে তারা এই ধারণা প্রতিষ্ঠায় একটি অপরিহার্য উপাদান যে প্রতীকী ঘূর্ণন জ্যামিতি এবং প্রতীকী ডিরাক অপারেটররা প্রতীকী জ্যামিতি এবং প্রতীকী টপোলজিতে মূল্যবান সরঞ্জাম দিতে পারে। ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতি, বীজগাণিতিক টপোলজি এবং কে তত্ত্বের ক্ষেত্রেও এগুলির বিশুদ্ধ গাণিতিক আগ্রহ রয়েছে। এগুলি সিমপ্লেক্টিক স্পিন জ্যামিতির ভিত্তি গঠন করে। আনুষ্ঠানিক সংজ্ঞা একটি সিমপ্লেক্টিক ম্যানিফোল্ডের উপর একটি মেটাপ্লেক্টিক কাঠামো হল দ্বৈত আবরণের সাপেক্ষে সিমপ্লেক্টিক ফ্রেম বান্ডিলের একটি সমতুল্য উত্তোলন। অন্য কথায়, একটি জোড়া হল প্রধান বান্ডিলের উপর একটি মেটাপ্লেক্টিক কাঠামো যখন a) একটি প্রধান-বান্ডিল, b) একটি সমতুল্য-ভাঁজ আবরণ মানচিত্র যেমন এবং সকলের জন্য এবং প্রধান বান্ডিলটিকে মেটাপ্লেক্টিক ফ্রেমগুলির বান্ডিলও বলা হয়। দুটি মেটাপ্লেক্টিক কাঠামো এবং একই সিমপ্লেক্টিক ম্যানিফোল্ডকে সমতুল্য বলা হয় যদি এমন একটি-সমতুল্য মানচিত্র বিদ্যমান থাকে যা এবং সকলের জন্য এবং অবশ্যই, এই ক্ষেত্রে এবং প্রদত্ত সিমপ্লেক্টিক ম্যানিফোল্ডের সিমপ্লেক্টিক ফ্রেম-বান্ডেলের দুটি সমতুল্য দ্বৈত আবরণ। যেহেতু প্রতিটি সিমপ্লেক্টিক ম্যানিফোল্ড অপরিহার্যভাবে জোড় মাত্রার এবং অভিমুখী, তাই কেউ প্রমাণ করতে পারে যে মেটাপ্লেক্টিক কাঠামোর অস্তিত্বের জন্য টপোলজিক্যাল বাধা ঠিক রিম্যানিয়ান স্পিন জ্যামিতির মতোই। অন্য কথায়, একটি সিমপ্লেক্টিক ম্যানিফোল্ড একটি মেটাপ্লেক্টিক কাঠামো স্বীকার করে যদি এবং শুধুমাত্র যদি দ্বিতীয় স্টিফেল-হুইটনি শ্রেণী অদৃশ্য হয়ে যায়। প্রকৃতপক্ষে, প্রথম চেরন শ্রেণীর মডুলো হ্রাস দ্বিতীয় স্টিফেল-হুইটনি শ্রেণী। অতএব, মেটাপ্লেক্টিক কাঠামো স্বীকার করে যদি এবং শুধুমাত্র যদি জোড় হয়, অর্থাৎ, যদি এবং শুধুমাত্র যদি শূন্য হয়। যদি এটি হয়, তবে মেটাপ্লেক্টিক কাঠামোর আইসোমর্ফি শ্রেণীগুলি-সহগগুলির সাথে প্রথম কোহোমোলজি গ্রুপ দ্বারা শ্রেণীবদ্ধ করা হয়। যেহেতু ম্যানিফোল্ডটি ওরিয়েন্টেড বলে মনে করা হয়, প্রথম স্টিফেল-হুইটনি শ্রেণীটিও অদৃশ্য হয়ে যায়। উদাহরণগুলি একটি মেটাপ্লেক্টিক কাঠামোকে স্বীকার করে যে কোনও ওরিয়েন্টেবল ম্যানিফোল্ডকে ফেজ স্পেস দেয়। জটিল প্রজেক্টিভ স্পেস যেহেতু সহজভাবে সংযুক্ত, তাই এই ধরনের কাঠামোকে অনন্য হতে হবে। গ্রাসম্যানিয়ান ইত্যাদি। আরও দেখুন মেটাপ্লেক্টিক গ্রুপ সিমপ্লেক্টিক ফ্রেম বান্ডিল সিমপ্লেক্টিক গ্রুপ সিমপ্লেক্টিক স্পিনোর বান্ডিল নোটস রেফারেন্স সিমপ্লেক্টিক জ্যামিতি বহুবিধ বীজগাণিতিক টপোলজির উপর কাঠামো