Convolution of probability distributions
সম্ভাব্যতা তত্ত্ব এবং পরিসংখ্যানে সম্ভাব্যতা বিতরণের সংমিশ্রণ/সমষ্টি উদ্ভূত হয় সম্ভাব্যতা বিতরণের পরিপ্রেক্ষিতে অপারেশন হিসাবে যা স্বাধীন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের যোগের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ এবং সম্প্রসারণ দ্বারা, র্যান্ডম ভেরিয়েবলের রৈখিক সংমিশ্রণ গঠনের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ। এখানে অপারেশনটি সম্ভাব্যতা বিতরণের প্রেক্ষাপটে কনভোলিউশনের একটি বিশেষ ক্ষেত্রে। ভূমিকা দুই বা ততোধিক স্বাধীন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের যোগফলের সম্ভাব্যতা বন্টন হল তাদের পৃথক বণ্টনের কনভোলিউশন। এই শব্দটি এই সত্য দ্বারা অনুপ্রাণিত হয় যে, স্বাধীন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের যোগফলের সম্ভাব্যতা ভর ফাংশন বা সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন হল যথাক্রমে তাদের সংশ্লিষ্ট সম্ভাব্যতা ভর ফাংশন বা সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশনের কনভোলিউশন। অনেক সুপরিচিত ডিস্ট্রিবিউশনের সহজ কনভোলিউশন রয়েছেঃ সম্ভাব্যতা ডিস্ট্রিবিউশনের কনভোলিউশনের তালিকা দেখুন দুটি স্বাধীন পূর্ণসংখ্যা-মূল্যবান (এবং তাই বিচ্ছিন্ন) র্যান্ডম ভেরিয়েবলের যোগফলের সাধারণ সূত্র হল যথাক্রমে সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন (পিডিএফ) এবং ক্রমবর্ধমান ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশন (সিডিএফ) সহ স্বাধীন, অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য, আমাদের কাছে যোগফলের সিডিএফ রয়েছেঃ যদি আমরা র্যান্ডম ভেরিয়েবল দিয়ে শুরু করি এবং তাদের সম্ভাব্য স্বাধীনতা সম্পর্কে কোনও তথ্য না দিয়ে শুরু করি, তবেঃ তবে, যদি এবং স্বাধীন হয়, তবেঃ এবং এই সূত্রটি সম্ভাব্যতা বিতরণের কনভোলিউশনে পরিণত হয়ঃ উদাহরণ ডেরিভেশন সম্ভাব্যতা বিতরণের কনভোলিউশনের জন্য সূত্রগুলি বের করার বিভিন্ন উপায় রয়েছে। প্রায়শই কিছু ধরণের জেনারেটিং ফাংশন ব্যবহার করে ইন্টিগ্রালের হেরফের এড়ানো যেতে পারে। এই ধরনের পদ্ধতিগুলি ফলস্বরূপ বণ্টনের বৈশিষ্ট্যগুলি আহরণ করতেও কার্যকর হতে পারে, যেমন মুহূর্ত, এমনকি যদি বণ্টনের জন্য একটি স্পষ্ট সূত্রও আহরণ করা না যায়। সহজবোধ্য কৌশলগুলির মধ্যে একটি হল চরিত্রগত ফাংশন ব্যবহার করা, যা সর্বদা বিদ্যমান এবং একটি প্রদত্ত বিতরণের জন্য অনন্য। দুটি স্বাধীন অভিন্নভাবে বিতরণকৃত বার্নৌলি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের কনভোলিউশন একটি দ্বিপদী র্যান্ডম ভেরিয়েবল। এছাড়াও, Z একটি সাধারণ দ্বিপদী এলোমেলো পরিবর্তনশীলকে বোঝায়ঃ সম্ভাব্যতা ভর ফাংশনগুলি ব্যবহার করে যেমন স্বাধীন, এখানে, আমরা এই সত্যটি ব্যবহার করেছি যে k> n এর জন্য শেষ কিন্তু তিনটি সমতা, এবং পাস্কেলের নিয়মের দ্বিতীয় শেষ সমতা। বৈশিষ্ট্যমূলক ফাংশন ব্যবহার করা প্রতিটি এবং এর বৈশিষ্ট্যমূলক ফাংশন হল যেখানে টি শূন্যের কিছু পাড়ার মধ্যে থাকে। পণ্যের প্রত্যাশা হল প্রত্যাশার ফল কারণ প্রতিটিই স্বাধীন। যেহেতু এবং তাদের একই বৈশিষ্ট্যমূলক ফাংশন রয়েছে, তাই তাদের অবশ্যই একই বন্টন থাকতে হবে। আরও দেখুন সম্ভাব্যতা বণ্টনের জটিলতার তালিকা তথ্যসূত্র সম্ভাব্যতা বণ্টনের তত্ত্ব