Quantum pendulum
রসায়নে বাধাগ্রস্ত অভ্যন্তরীণ ঘূর্ণন, বিচ্ছুরণ পরমাণুর কোয়ান্টাম বৈশিষ্ট্য, পাশাপাশি অন্যান্য অসংখ্য কোয়ান্টাম ঘটনা বোঝার জন্য কোয়ান্টাম পেন্ডুলাম মৌলিক। যদিও ক্ষুদ্র-কোণ আনুমানিকতার সাপেক্ষে নয় এমন একটি পেন্ডুলামের একটি সহজাত অরৈখিকতা রয়েছে, তবে কোয়ান্টাইজড সিস্টেমের জন্য শ্রোডিঞ্জার সমীকরণ তুলনামূলকভাবে সহজেই সমাধান করা যেতে পারে। শাস্ত্রীয় বলবিজ্ঞান থেকে ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান বলবিজ্ঞান ব্যবহার করে, সিস্টেমের জন্য একটি হ্যামিল্টনিয়ান তৈরি করা যেতে পারে। একটি সাধারণ পেন্ডুলামে একটি সাধারণীকৃত স্থানাঙ্ক (কৌণিক স্থানচ্যুতি) এবং দুটি সীমাবদ্ধতা (স্ট্রিংয়ের দৈর্ঘ্য এবং গতির সমতল) থাকে। সিস্টেমের গতিবিদ্যা এবং সম্ভাব্য শক্তি পাওয়া যেতে পারে হ্যামিল্টনিয়ান এই ফলাফলটি সিস্টেমের জন্য সময়-নির্ভর শ্রোডিঙ্গার সমীকরণটি হল শক্তির স্তর এবং সংশ্লিষ্ট আইগেনস্টেটগুলি খুঁজে বের করার জন্য একজনকে অবশ্যই সময়-স্বাধীন শ্রোডিঙ্গার সমীকরণটি সমাধান করতে হবে। স্বাধীন চলককে নিম্নরূপ পরিবর্তন করে এটি সর্বোত্তমভাবে সম্পন্ন করা হয়ঃ এটি কেবল ম্যাথিউ-এর ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ যার সমাধান ম্যাথিউ ফাংশন। সমাধান শক্তি প্রদত্ত, অনেকগুলি বিশেষ মানের জন্য, যাকে চরিত্রগত মান বলা হয়, ম্যাথিউ সমীকরণ এমন সমাধান গ্রহণ করে যা পর্যায়ক্রমিক। ম্যাথিউ কোসাইন, সাইন ফাংশনের চরিত্রগত মানগুলি যথাক্রমে লেখা হয়, যেখানে একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা। ম্যাথিউ কোসাইন এবং সাইন ফাংশনের পর্যায়ক্রমিক বিশেষ কেসগুলি প্রায়শই যথাক্রমে লেখা হয়, যদিও তাদের ঐতিহ্যগতভাবে একটি ভিন্ন স্বাভাবিকীকরণ দেওয়া হয় (যথা, তাদের আদর্শ সমান)। কোয়ান্টাম পেন্ডুলামের সীমানা শর্তগুলি বোঝায় যে একটি প্রদত্ত পদ্ধতির জন্য নিম্নরূপঃ ম্যাথিউ সমীকরণ সমাধানের মাধ্যমে পাওয়া চরিত্রগত মানগুলির উপর ভিত্তি করে যথাক্রমে জোড়/বিজোড় সমাধানের জন্য সিস্টেমের শক্তিগুলি পরিমাপ করা হয়। কার্যকর সম্ভাব্য গভীরতাকে একটি গভীর সম্ভাব্যতা হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে যা একটি স্বাধীন সম্ভাব্যতায় একটি কণার গতিবিদ্যা প্রদান করে। এর বিপরীতে, একটি অগভীর সম্ভাব্যতায়, ব্লচ তরঙ্গ, পাশাপাশি কোয়ান্টাম টানেলিং, গুরুত্বপূর্ণ হয়ে ওঠে। সাধারণ সমাধান a এবং q এর প্রদত্ত মানের জন্য উপরোক্ত অবকল সমীকরণের সাধারণ সমাধান হল রৈখিকভাবে স্বাধীন ম্যাথিউ কোসাইন এবং ম্যাথিউ সাইনগুলির একটি সেট, যা যথাক্রমে জোড় এবং বিজোড় সমাধান। সাধারণভাবে, ম্যাথিউ ফাংশনগুলি এপেরিওডিক; যাইহোক, এর চরিত্রগত মানগুলির জন্য, ম্যাথিউ কোসাইন এবং সাইন একটি সময়ের সাথে পর্যায়ক্রমিক হয়ে যায়। আইগেনস্টেট q-এর ধনাত্মক মানগুলির জন্য, নিম্নলিখিতগুলি সত্যঃ এখানে প্রথম কয়েকটি পর্যায়ক্রমিক ম্যাথিউ কোসাইন ফাংশন রয়েছে। লক্ষ্য করুন যে, উদাহরণস্বরূপ, (সবুজ) একটি কোসাইন ফাংশনের অনুরূপ, তবে সমতল পাহাড় এবং অগভীর উপত্যকার সাথে। আরও দেখুন কোয়ান্টাম হারমোনিক অসিলেটর গ্রন্থপঞ্জি মুহম্মদ আইয়ুব, অ্যাটম অপটিক্স কোয়ান্টাম পেন্ডুলাম, 2011, ইসলামাবাদ, পাকিস্তান।, https://arxiv.org/abs/1012.6011 কোয়ান্টাম মডেল পেন্ডুলামস