Hecke algebra of a locally compact group
গণিতে, একটি স্থানীয়ভাবে কম্প্যাক্ট গ্রুপের একটি হেক বীজগণিত হল কনভোলিউশনের অধীনে দ্বি-অপরিবর্তনীয় পরিমাপের একটি বীজগণিত। সংজ্ঞা ধরা যাক (জি, কে) একটি একক স্থানীয়ভাবে কম্প্যাক্ট টপোলজিকাল গ্রুপ জি এবং জি এর একটি বদ্ধ উপগোষ্ঠী কে নিয়ে গঠিত একটি জোড়া। তারপর কম্প্যাক্ট সাপোর্ট সি-এর দ্বি-কে-অপরিবর্তনীয় অবিচ্ছিন্ন ফাংশনের স্থান [কে/জি/কে] কনভোলিউশনের ক্রিয়াকলাপের অধীনে একটি সহযোগী বীজগণিতের কাঠামো দিয়ে সম্পন্ন করা যেতে পারে। এই বীজগণিতকে এইচ (জি/কে) হিসাবে চিহ্নিত করা হয় এবং এই জুটির (জি, কে) হেক বলয় বলা হয়। যদি আমরা একটি গেলফ্যান্ড জোড়া দিয়ে শুরু করি তবে ফলস্বরূপ বীজগণিতটি বিনিময়যোগ্য বলে প্রমাণিত হয়। বিশেষ করে এস. এল (2)-এর উদাহরণ হল, যখন জি = এস. এল. এন (কিউ. পি) এবং কে = এস. এল. এন (জেড. পি) এবং সংশ্লিষ্ট বিনিময়যোগ্য হেক বলয়ের উপস্থাপনা ইয়ান জি. ম্যাকডোনাল্ড দ্বারা অধ্যয়ন করা হয়েছিল। অন্যদিকে, G = GL2 (Q) এবং K = GL2 (Z)-এর ক্ষেত্রে আমাদের কাছে ধ্রুপদী হেক বীজগণিত রয়েছে, যা মডুলার ফর্মের তত্ত্বে হেক অপারেটরদের বিনিময়যোগ্য বলয়। আইওয়াহোরি একটি সসীম ওয়েইল গোষ্ঠীর আইওয়াহোরি-হেকে বীজগণিতে যাওয়ার ক্ষেত্রে হল যখন জি একটি সসীম ক্ষেত্রের উপর সসীম শেভালি গ্রুপ যেখানে পিকে উপাদান রয়েছে এবং বি হল এর বোরেল উপগোষ্ঠী। ইওয়াহোরি দেখিয়েছেন যে, হেকের বলয় এইচ (জি// বি) পাওয়া যায় জি-এর ওয়েল গ্রুপ ডব্লিউ-এর জেনেরিক হেকের বীজগণিত এইচকিউ থেকে। জর্জ লুস্টিগ 1984 সালে মন্তব্য করেছিলেন (একটি সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের উপর হ্রাসকারী গোষ্ঠীগুলির অক্ষর, xi, পাদটীকা): ইওয়াহোরি এবং মাতসুমোটো (1965) এই ক্ষেত্রে বিবেচনা করেছিলেন যখন জি একটি অ-আর্কিমিডিয়ান স্থানীয় ক্ষেত্র এফ-এর উপর একটি হ্রাসকারী বীজগাণিতিক গোষ্ঠীর পয়েন্টগুলির একটি গ্রুপ, যেমন কিউপি, এবং কে এখন জি-এর একটি ইওয়াহোরি উপগোষ্ঠী বলা হয়। ফলস্বরূপ হেক বলয়টি জি-এর অ্যাফিন ওয়েইল গ্রুপের হেক বীজগণিতে সমরূপ, বা অ্যাফিন হেক বীজগণিতে, যেখানে অনির্ধারিত কিউ এফ-এর অবশিষ্টাংশ ক্ষেত্রের কার্ডিনালিটির জন্য বিশেষায়িত হয়েছে। স্থানীয়ভাবে সংক্ষিপ্ত গ্রুপ রেফারেন্সের গ্রুপ বীজগণিতও দেখুন।