Free boundary problem
গণিতে, একটি মুক্ত সীমানা সমস্যা (এফবি সমস্যা) একটি আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ যা একটি অজানা ফাংশন এবং একটি অজানা ডোমেন উভয়ের জন্যই সমাধান করা হয়। যে সীমানার অংশটি সমস্যার শুরুতে জানা যায় না তা হল মুক্ত সীমানা। এফবিগুলি বিভিন্ন গাণিতিক মডেলগুলিতে উদ্ভূত হয় যা প্রয়োগগুলিকে অন্তর্ভুক্ত করে যা শারীরিক থেকে অর্থনৈতিক, আর্থিক এবং জৈবিক ঘটনা পর্যন্ত বিস্তৃত, যেখানে মাধ্যমের একটি অতিরিক্ত প্রভাব রয়েছে। এই প্রভাবটি সাধারণভাবে মাধ্যমের একটি গুণগত পরিবর্তন এবং তাই একটি পর্যায় পরিবর্তনের চেহারাঃ বরফ থেকে জলে, তরল থেকে স্ফটিক, ক্রয় থেকে বিক্রয় (সম্পদ), সক্রিয় থেকে নিষ্ক্রিয় (জীববিজ্ঞান), নীল থেকে লাল (রঙিন খেলা), অসংগঠিত থেকে সংগঠিত (স্ব-সংগঠিত সমালোচনা)। এই ধরনের সমালোচনামূলকতার একটি আকর্ষণীয় দিক হল তথাকথিত স্যান্ডপাইল ডাইনামিক (বা অভ্যন্তরীণ ডি. এল. এ)। সবচেয়ে ধ্রুপদী উদাহরণ হল বরফের গলনঃ বরফের একটি ব্লক দেওয়া হলে, তার তাপমাত্রা নির্ধারণের জন্য উপযুক্ত প্রাথমিক এবং সীমানা শর্ত দেওয়া তাপ সমীকরণটি সমাধান করা যেতে পারে। তবে, যদি কোনও অঞ্চলে তাপমাত্রা বরফের গলনাঙ্কের চেয়ে বেশি হয়, তবে এই অঞ্চলটি পরিবর্তে তরল জল দ্বারা দখল করা হবে। বরফ/তরল ইন্টারফেস থেকে গঠিত সীমানা পি. ডি. ই-এর সমাধান দ্বারা গতিশীলভাবে নিয়ন্ত্রিত হয়। দুই-পর্যায়ের স্টেফান সমস্যা তাপমাত্রা ক্ষেত্রের জন্য বরফ গলানো একটি স্টেফান সমস্যা, যা নিম্নরূপ প্রণয়ন করা হয়েছে। দুটি পর্যায় নিয়ে গঠিত একটি অঞ্চল দখল করা একটি মাধ্যমের কথা বিবেচনা করুন, প্রথম পর্যায় যা কখন উপস্থিত থাকে এবং দ্বিতীয় পর্যায় যা কখন উপস্থিত থাকে। ধরা যাক দুটি পর্যায়ে তাপীয় বিচ্ছুরণ রয়েছে এবং। উদাহরণস্বরূপ, জলের তাপীয় বিচ্ছুরণশীলতা 1.4 × 10−7 মি2/সে এবং বরফের বিচ্ছুরণশীলতা 1.335 × 10−6 মি2/সে। শুধুমাত্র একটি পর্যায় নিয়ে গঠিত অঞ্চলগুলিতে, তাপমাত্রা তাপ সমীকরণ দ্বারা নির্ধারিত হয়ঃ এই অঞ্চলে, যেখানে এই অঞ্চলে, এটি তাপের উৎস বা ডুবকে প্রতিনিধিত্ব করে; এর (পরিচিত) সীমানায় উপযুক্ত অবস্থার সাপেক্ষে। ধরা যাক পৃষ্ঠটি যেখানে সময়ে; এই পৃষ্ঠটি দুটি পর্যায়ের মধ্যে ইন্টারফেস। দ্বিতীয় (কঠিন) পর্যায়ে বাহ্যিক স্বাভাবিক ভেক্টরকে একক হিসাবে চিহ্নিত করা যাক। স্টেফান অবস্থাটি মুক্ত পৃষ্ঠের বেগ নিয়ন্ত্রণকারী একটি সমীকরণ দিয়ে পৃষ্ঠের বিবর্তন নির্ধারণ করে, বিশেষ করে যেখানে গলনের সুপ্ত তাপ রয়েছে। আমরা অঞ্চল থেকে আসা ঢালটির সীমা বোঝাতে চাইছি, এবং আমরা অঞ্চল থেকে আসা ঢালটির সীমা বোঝাতে চাইছি। এই সমস্যায়, আমরা পুরো অঞ্চলটি আগে থেকেই জানি তবে আমরা কেবল বরফ-তরল ইন্টারফেসটি জানি। স্টেফান সমস্যা সমাধানের জন্য আমাদের কেবল প্রতিটি অঞ্চলের তাপ সমীকরণ সমাধান করতে হবে না, আমাদের অবশ্যই মুক্ত সীমানাও অনুসরণ করতে হবে। এক-পর্যায়ের স্টেফান সমস্যাটি শূন্য বা শূন্য নেওয়ার সাথে মিলে যায়; এটি দুই-পর্যায়ের সমস্যার একটি বিশেষ ক্ষেত্রে। বৃহত্তর জটিলতার দিকে আমরা নির্বিচারে সংখ্যক পর্যায় সহ সমস্যাগুলিও বিবেচনা করতে পারি। বাধা সমস্যা আরেকটি বিখ্যাত মুক্ত-সীমানা সমস্যা হল বাধা সমস্যা, যা ধ্রুপদী পয়সন সমীকরণের সাথে ঘনিষ্ঠ সংযোগ বহন করে। ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সমাধানগুলি একটি পরিবর্তনশীল নীতিকে সন্তুষ্ট করে, অর্থাৎ তারা সীমানার মান গ্রহণ করে সমস্ত ফাংশনের উপর কার্যকারিতা হ্রাস করে। বাধা সমস্যায়, আমরা একটি অতিরিক্ত সীমাবদ্ধতা আরোপ করিঃ আমরা কিছু প্রদত্ত ফাংশনের জন্য কার্যকরী বিষয়টিকে শর্তে কমিয়ে দিই। কাকতালীয় সেট সি-কে সেই অঞ্চল হিসাবে সংজ্ঞায়িত করুন যেখানে। উপরন্তু, অ-সংযোগ সেটকে সেই অঞ্চল হিসাবে সংজ্ঞায়িত করুন যেখানে সমান নয়, এবং মুক্ত সীমানা দুটির মধ্যে ইন্টারফেস হিসাবে। তারপর এর সীমানায় মুক্ত সীমানা সমস্যাকে সন্তুষ্ট করে এবং লক্ষ্য করুন যে সমস্ত ফাংশনের সেট যেমন উত্তল। যেখানে পয়সন সমস্যাটি ফাংশনের একটি রৈখিক সাবস্পেসের উপর একটি চতুর্ভুজ কার্যকারিতার ন্যূনতমকরণের সাথে মিলে যায়, সেখানে মুক্ত সীমানা সমস্যাটি একটি উত্তল সেটের উপর ন্যূনতমকরণের সাথে মিলে যায়। বৈচিত্র্যময় বৈষম্যের সঙ্গে সংযোগ অনেক মুক্ত সীমানা সমস্যাকে বিশ্লেষণের স্বার্থে বৈচিত্র্যময় বৈষম্য হিসাবে দেখা যেতে পারে। এই বিন্দুটি ব্যাখ্যা করার জন্য, আমরা প্রথমে একটি উত্তল সেটের উপর বাস্তব চলকগুলির একটি ফাংশনের ন্যূনতমকরণের দিকে ফিরে যাই; মিনিমাইজারটি শর্ত দ্বারা চিহ্নিত করা হয় যদি এর অভ্যন্তরে থাকে, তবে এর গ্রেডিয়েন্ট অবশ্যই শূন্য হতে হবে; যদি এর সীমানায় থাকে, তবে এটের গ্রেডিয়েন্ট অবশ্যই সীমানার লম্ব হতে হবে। একই ধারণা হিলবার্ট স্পেসের একটি উত্তল উপসেটে একটি ডিফারেনশিয়েবল কার্যকারিতার মিনিমাইজেশনের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য, যেখানে গ্রেডিয়েন্টকে এখন একটি ভেরিয়েশনাল ডেরিভেটিভ হিসাবে ব্যাখ্যা করা হয়। এই ধারণাটি দৃঢ় করার জন্য, আমরা এটিকে বাধা সমস্যার ক্ষেত্রে প্রয়োগ করি, যা এইভাবে লেখা যেতে পারেঃ এই সূত্রটি একটি দুর্বল সমাধানের সংজ্ঞার অনুমতি দেয়ঃ শেষ সমীকরণে অংশ দ্বারা ইন্টিগ্রেশন ব্যবহার করলে পাওয়া যায় যে এই সংজ্ঞাটির জন্য কেবল একটি ডেরিভেটিভের প্রয়োজন, অনেকটা উপবৃত্তাকার সীমানা মান সমস্যার দুর্বল গঠনের মতোই। মুক্ত সীমানার নিয়মিততা উপবৃত্তাকার আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের তত্ত্বে, কিছু কার্যকরী বিশ্লেষণ যুক্তি ব্যবহার করে যুক্তিসঙ্গত স্বাচ্ছন্দ্যের সাথে একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের দুর্বল সমাধানের অস্তিত্ব প্রদর্শন করা হয়। যাইহোক, প্রদর্শিত দুর্বল সমাধানটি একজনের ইচ্ছার চেয়ে কম ডেরিভেটিভ সহ ফাংশনের একটি স্থানের মধ্যে রয়েছে; উদাহরণস্বরূপ, পয়সন সমস্যার জন্য, আমরা সহজেই দাবি করতে পারি যে একটি দুর্বল সমাধান রয়েছে যা ভিতরে রয়েছে, তবে এর দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ নাও থাকতে পারে। তারপরে কিছু ক্যালকুলাস অনুমান প্রয়োগ করে দেখানো হয় যে দুর্বল সমাধানটি আসলে যথেষ্ট নিয়মিত। মুক্ত সীমানা সমস্যার জন্য, এই কাজটি দুটি কারণে আরও কঠিন। প্রথমত, সমাধানগুলি প্রায়শই মুক্ত সীমানা জুড়ে বিচ্ছিন্ন ডেরিভেটিভ প্রদর্শন করে, যখন তারা এর থেকে দূরে যে কোনও পাড়ায় বিশ্লেষণাত্মক হতে পারে। দ্বিতীয়ত, একজনকে অবশ্যই মুক্ত সীমানার নিয়মিততা প্রদর্শন করতে হবে। উদাহরণস্বরূপ, স্টেফান সমস্যার জন্য, মুক্ত সীমানা হল একটি পৃষ্ঠ। বিশুদ্ধ একাডেমিক দৃষ্টিকোণ থেকে মুক্ত সীমানা একটি বৃহত্তর শ্রেণীর সমস্যার অন্তর্গত যা সাধারণত অতিরিক্ত নির্ধারিত সমস্যা হিসাবে উল্লেখ করা হয়, অথবা ডেভিড কিন্ডারলেহরার এবং গুইডো স্ট্যাম্পাচিয়া তাদের বইঃ দ্য প্রবলেম অফ ম্যাচিং কচি ডেটাতে এটি সম্বোধন করেছেন। অন্যান্য সম্পর্কিত এফ. বি. পি যা উল্লেখ করা যেতে পারে তা হল পম্পেইউ সমস্যা, শিফারের অনুমান। নীচের বাহ্যিক লিঙ্কগুলি দেখুন। অনুরূপ সমস্যার মডেল তৈরি করতে ব্যবহৃত আরেকটি পদ্ধতি হল ফেজ-ফিল্ড মডেল। তথ্যসূত্র পি. ডি. ই-তে মিলনের সমস্যা, পম্পেইউ সমস্যা, শিফারের অনুমান, আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সীমানা মান সমস্যা