Jackson q-Bessel function
গণিতে, জ্যাকসন কিউ-বেসল ফাংশন (বা মৌলিক বেসেল ফাংশন) বেসেল ফাংশনের তিনটি কিউ-অ্যানালগের মধ্যে একটি। তৃতীয় জ্যাকসন কিউ-বেসল ফাংশনটি হান-এক্সটন কিউ-বেসল ফাংশনের মতোই। সংজ্ঞা তিনটি জ্যাকসন কিউ-বেসল ফাংশন কিউ-পোচহ্যামার প্রতীক এবং মৌলিক হাইপারজিওমেট্রিক ফাংশনের পরিপ্রেক্ষিতে দেওয়া হয়েছে। এগুলি অবিচ্ছিন্ন সীমা দ্বারা বেসল ফাংশনে হ্রাস করা যেতে পারেঃ প্রথম এবং দ্বিতীয় জ্যাকসন কিউ-বেসল ফাংশনের মধ্যে একটি সংযোগ সূত্র রয়েছে (): পূর্ণসংখ্যা ক্রমের জন্য, কিউ-বেসল ফাংশনগুলি বৈশিষ্ট্যগুলি নেতিবাচক পূর্ণসংখ্যা ক্রমকে সন্তুষ্ট করে। ইসমাইল প্রমাণ করেছেন যে সমস্ত অ-শূন্য মূলের জন্য বাস্তব ()। q-জাহাজের ক্রিয়াকলাপের অনুপাত ফাংশনটি একটি সম্পূর্ণ একমুখী ফাংশন ()। পুনরাবৃত্তি সম্পর্ক প্রথম এবং দ্বিতীয় জ্যাকসন কিউ-বেসল ফাংশনের নিম্নলিখিত পুনরাবৃত্তি সম্পর্ক রয়েছে (দেখুন এবং): অসমতা যখন, দ্বিতীয় জ্যাকসন কিউ-বেসল ফাংশন সন্তুষ্ট করেঃ (দেখুন।) এর জন্য, (দেখুন।) নিম্নলিখিত সূত্রগুলি বেসেল ফাংশনের জন্য জেনারেটিং ফাংশনের কিউ-অ্যানালগ (দেখুন): এটি কিউ-এক্সপোনেনশিয়াল ফাংশন। বিকল্প প্রতিনিধিত্ব সমন্বিত উপস্থাপনা দ্বিতীয় জ্যাকসন কিউ-বেসল ফাংশনের নিম্নলিখিত অবিচ্ছেদ্য উপস্থাপনা রয়েছে (দেখুন এবং): কিউ-পোচামার প্রতীক কোথায়। এই উপস্থাপনা সীমাতে বেসেল ফাংশনের অবিচ্ছেদ্য উপস্থাপনায় হ্রাস পায়। হাইপারজিওমেট্রিক উপস্থাপনা দ্বিতীয় জ্যাকসন কিউ-বেসল ফাংশনের নিম্নলিখিত হাইপারজিওমেট্রিক উপস্থাপনা রয়েছে (দেখুন,): দ্বিতীয় সূত্রের তাৎক্ষণিক ফলস্বরূপ একটি অ্যাসিম্পটোটিক সম্প্রসারণ পাওয়া যেতে পারে। অন্যান্য হাইপারজিওমেট্রিক উপস্থাপনার জন্য, দেখুন। পরিবর্তিত কিউ-বেসল ফাংশন পরিবর্তিত বেসেল ফাংশনের কিউ-অ্যানালগ জ্যাকসন কিউ-বেসল ফাংশনের সাথে সংজ্ঞায়িত করা হয় (এবং): পরিবর্তিত কিউ-বেসল ফাংশনের মধ্যে একটি সংযোগ সূত্র রয়েছেঃ পুনরাবৃত্তি সম্পর্ক জ্যাকসন কিউ-বেসল ফাংশনের পুনরাবৃত্তি সম্পর্ক এবং পরিবর্তিত কিউ-বেসল ফাংশনের সংজ্ঞা দ্বারা, নিম্নলিখিত পুনরাবৃত্তি সম্পর্ক প্রাপ্ত করা যেতে পারে (একই সম্পর্ককে সন্তুষ্ট করে) (): অন্যান্য পুনরাবৃত্তি সম্পর্কের জন্য, দেখুন। অবিচ্ছিন্ন ভগ্নাংশ উপস্থাপনা পরিবর্তিত q-বেসল ফাংশনের অনুপাত একটি অবিচ্ছিন্ন ভগ্নাংশ গঠন করে (): বিকল্প উপস্থাপনা হাইপারজিওমেট্রিক উপস্থাপনা ফাংশনের নিম্নলিখিত উপস্থাপনা রয়েছে (): ইন্টিগ্রাল উপস্থাপনা পরিবর্তিত q-বেসল ফাংশনের নিম্নলিখিত অবিচ্ছেদ্য উপস্থাপনা রয়েছে (): আরও দেখুন q-বেসল বহুপদী রেফারেন্স বিশেষ ফাংশন Q-এনালগ