Mixed volume
গণিতে, আরও সুনির্দিষ্টভাবে, উত্তল জ্যামিতিতে, মিশ্র আয়তন হল একটি অ-ঋণাত্মক সংখ্যাকে উত্তল বস্তুর একটি টিউপলের সাথে যুক্ত করার একটি উপায়। এই সংখ্যাটি দেহগুলির আকার ও আকৃতি এবং একে অপরের সাথে তাদের আপেক্ষিক অভিযোজনের উপর নির্ভর করে। সংজ্ঞা আসুন উত্তল বস্তু হতে দিন এবং ফাংশনটি বিবেচনা করুন যেখানে-মাত্রিক আয়তনের জন্য দাঁড়িয়েছে এবং এর যুক্তি হল স্কেল করা উত্তল বস্তুর মিনকোভস্কি যোগফল। কেউ দেখাতে পারে যে এটি ডিগ্রির একটি সমজাতীয় বহুপদী, তাই যেখানে ফাংশনগুলি প্রতিসম হয় সেখানে লেখা যেতে পারে। একটি নির্দিষ্ট সূচক ফাংশনের জন্য, সহগকে এর মিশ্র আয়তন বলা হয়। মিশ্র আয়তন অনন্যভাবে নিম্নলিখিত তিনটি বৈশিষ্ট্য দ্বারা নির্ধারিত হয়ঃ; তার আর্গুমেন্টে প্রতিসম; বহু-রৈখিকঃ জন্য। মিশ্র আয়তন অ-ঋণাত্মক এবং প্রতিটি চলকের মধ্যে একঘেয়েভাবে বৃদ্ধি পাচ্ছেঃ জন্য। আলেকজান্ডার ড্যানিলোভিচ আলেকজান্ডারভ এবং ওয়ার্নার ফেনচেল দ্বারা আবিষ্কৃত আলেকজান্ডারভ-ফেনচেল বৈষম্যঃ অসংখ্য জ্যামিতিক বৈষম্য, যেমন উত্তল বস্তুর জন্য ব্রুন-মিনকোভস্কি বৈষম্য এবং মিনকোভস্কির প্রথম বৈষম্য, আলেকজান্ডারভ-ফেনচেল বৈষম্যের বিশেষ উদাহরণ। Quermassintegrals ধরা যাক একটি উত্তল বস্তু এবং একক ব্যাসার্ধের ইউক্লিডীয় বল। মিশ্র আয়তনকে বলা হয় এর জে-থ কোয়ারমাসিনটেগ্রাল। মিশ্র আয়তনের সংজ্ঞায় স্টেইনার সূত্র পাওয়া যায় (জ্যাকব স্টেইনারের নামে নামকরণ করা হয়েছে): অভ্যন্তরীণ আয়তন এর জে-তম অভ্যন্তরীণ আয়তন হল কোয়ারমাসিনটেগ্রালের একটি ভিন্ন স্বাভাবিককরণ, যা দ্বারা বা অন্য কথায় সংজ্ঞায়িত করা হয় যেখানে-মাত্রিক একক বলের আয়তন। হ্যাডউইগারের চরিত্রায়ন উপপাদ্য হ্যাডউইগারের উপপাদ্য দাবি করে যে উত্তল বস্তুর উপর প্রতিটি মূল্যায়ন অবিচ্ছিন্ন এবং এর অনমনীয় গতির অধীনে অপরিবর্তনীয় হল কোয়ারমাসিন্টেগ্রালগুলির (বা, সমতুল্যভাবে, অভ্যন্তরীণ ভলিউমের) একটি রৈখিক সংমিশ্রণ। নোট বাইরের লিঙ্ক কনভেক্স জ্যামিতি ইন্টিগ্রাল জ্যামিতি