L-semi-inner product
গণিতে আধা-ক্ষুদ্র-পণ্য সম্পর্কে দুটি ভিন্ন ধারণা রয়েছে। প্রথম, এবং আরও সাধারণ, একটি অভ্যন্তরীণ পণ্য যা কঠোরভাবে ইতিবাচক হওয়ার প্রয়োজন নেই। এই নিবন্ধটি দ্বিতীয়টি নিয়ে আলোচনা করবে, যাকে লুমার অর্থে এল-সেমি-ইনার পণ্য বা সেমি-ইনার পণ্য বলা হয়, যা একটি অভ্যন্তরীণ পণ্য যা কনজুগেট প্রতিসাম্য হওয়ার প্রয়োজন হয় না। কার্যকরী বিশ্লেষণে হিলবার্ট স্পেস টাইপ আর্গুমেন্টগুলিকে বানাচ স্পেসে প্রসারিত করার উদ্দেশ্যে গুন্টার লুমার এটি প্রণয়ন করেছিলেন। জাইলস পরে মৌলিক বৈশিষ্ট্যগুলি অন্বেষণ করেছিলেন। সংজ্ঞা আমরা আবার উল্লেখ করছি যে এখানে উপস্থাপিত সংজ্ঞাটি আদর্শ কার্যকরী বিশ্লেষণ পাঠ্যপুস্তকের "সেমি-ইনার প্রোডাক্ট"-এর থেকে আলাদা, যেখানে একটি "সেমি-ইনার প্রোডাক্ট" অভ্যন্তরীণ পণ্যগুলির সমস্ত বৈশিষ্ট্যকে সন্তুষ্ট করে (কনজুগেট প্রতিসাম্য সহ) ব্যতীত এটি কঠোরভাবে ধনাত্মক হওয়ার প্রয়োজন নেই। একটি সেমি-ইনার-প্রোডাক্ট, এল-সেমি-ইনার প্রোডাক্ট, বা জটিল সংখ্যার ক্ষেত্রের উপর একটি রৈখিক ভেক্টর স্থানের জন্য লুমার অর্থে একটি সেমি-ইনার প্রোডাক্ট হল একটি ফাংশন যা সাধারণত দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, যেমন সমস্ত অ-নেতিবাচক-সংজ্ঞার জন্যঃ 1ম যুক্তিতে রৈখিকতা, যার অর্থঃ 1ম যুক্তিতে যোগযোগ্যতাঃ 1ম যুক্তিতে সমরূপতাঃ 2য় যুক্তিতে সংমিশ্রণ সমরূপতাঃ কচি-শোয়ার্জ অসমতাঃ অভ্যন্তরীণ পণ্য থেকে পার্থক্য একটি আধা-ইনার-পণ্য অভ্যন্তরীণ পণ্য থেকে আলাদা কারণ এটি সাধারণত সংমিশ্রণ প্রতিসাম্য নয়, অর্থাৎ, সাধারণত। এটি বলার সমতুল্য যে অন্য কথায়, আধা-নিম্ন-পণ্যগুলি সাধারণত তার দ্বিতীয় চলক সম্পর্কে অরৈখিক হয়। আদর্শ স্থানগুলির জন্য আধা-নিম্ন-পণ্য যদি একটি রৈখিক ভেক্টর স্থানের জন্য একটি আধা-নিম্ন-পণ্য হয় তবে একটি আদর্শ সংজ্ঞায়িত করে। বিপরীতভাবে, যদি আদর্শের সাথে একটি আদর্শ ভেক্টর স্থান হয় তবে সর্বদা একটি (অপরিহার্যভাবে অনন্য নয়) আধা-আন্ডার-পণ্য বিদ্যমান থাকে যা এই অর্থে আদর্শের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ যে উদাহরণস্বরূপ আদর্শের সাথে ইউক্লিডীয় স্থানের সামঞ্জস্যপূর্ণ আধা-আন্ডার-পণ্য রয়েছেঃ যেখানে সাধারণভাবে, একটি পরিমাপ স্থানে-ইন্টিগ্রেবল ফাংশনের স্থান যেখানে আদর্শের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ আধা-আন্ডার-পণ্য থাকেঃ প্রয়োগগুলি লুমারের ধারণা অনুসরণ করে, বানাচ স্থানগুলিতে সীমাবদ্ধ রৈখিক অপারেটর অধ্যয়নের জন্য আধা-আন্ডার-পণ্যগুলি ব্যাপকভাবে প্রয়োগ করা হয়েছিল। 2007 সালে, ডের এবং লি বানাচ স্পেসে বড় মার্জিন শ্রেণিবিন্যাস বিকাশের জন্য আধা-নিম্ন-পণ্য প্রয়োগ করেছিলেন। সম্প্রতি, মেশিন লার্নিংয়ের জন্য কার্নেল বানাচ স্পেস পুনরুত্পাদন করার ধারণা প্রতিষ্ঠার প্রধান হাতিয়ার হিসাবে আধা-নিম্ন-পণ্যগুলি ব্যবহার করা হয়েছে। সেমি-ইনার-প্রোডাক্টগুলি ফ্রেম তত্ত্ব, বানাচ স্পেসের জন্য রিয়েজ বেস প্রতিষ্ঠার জন্যও ব্যবহার করা যেতে পারে। আরও দেখুন রেফারেন্স কার্যকরী বিশ্লেষণ