Automorphic L-function
গণিতে, একটি স্বয়ংক্রিয় এল-ফাংশন হল একটি জটিল পরিবর্তনশীল এস-এর একটি ফাংশন এল (এস, π, আর), যা একটি বৈশ্বিক ক্ষেত্রের উপর একটি হ্রাসকারী গ্রুপ জি-এর একটি স্বয়ংক্রিয় উপস্থাপনা এবং জি-এর ল্যাংল্যান্ডস দ্বৈত গ্রুপ এলজি-এর একটি সীমাবদ্ধ-মাত্রিক জটিল উপস্থাপনা আর-এর সাথে যুক্ত, যা একটি ডিরিচলেট অক্ষরের ডিরিচলেট এল-সিরিজ এবং একটি মডুলার ফর্মের মেলিন রূপান্তরকে সাধারণীকরণ করে। তাঁদের পরিচয় করিয়ে দেওয়া হয়। এবং অটোমরফিক এল-ফাংশনগুলির সমীক্ষা দিয়েছেন। অটোমর্ফিক-ফাংশনগুলির নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্যগুলি থাকা উচিত (যা কিছু ক্ষেত্রে প্রমাণিত হয়েছে তবে অন্যান্য ক্ষেত্রে এখনও অনুমানমূলক)। এল-ফাংশন স্থানীয় ফাংশনের স্থানগুলির উপর একটি পণ্য হওয়া উচিত। এখানে স্বয়ংক্রিয় উপস্থাপনা হল স্থানীয় গোষ্ঠীর উপস্থাপনাগুলির একটি টেনসর পণ্য। এল-ফাংশনটি সমস্ত জটিলের একটি মেরোমর্ফিক ফাংশন হিসাবে একটি বিশ্লেষণাত্মক ধারাবাহিকতা থাকবে বলে আশা করা হয় এবং একটি কার্যকরী সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে যেখানে ফ্যাক্টরটি "স্থানীয় ধ্রুবক"-এর একটি গুণফল যার প্রায় সবগুলিই 1। সাধারণ রৈখিক গোষ্ঠীগুলি টেটের গবেষণাপত্রে পদ্ধতির সাধারণীকরণ ব্যবহার করে সাধারণ রৈখিক গোষ্ঠীগুলির জন্য স্ট্যান্ডার্ড উপস্থাপনা (তথাকথিত স্ট্যান্ডার্ড এল-ফাংশন) এবং যাচাইকৃত বিশ্লেষণাত্মক ধারাবাহিকতা এবং কার্যকরী সমীকরণ সহ স্বয়ংক্রিয় এল-ফাংশন তৈরি করেছিল। ল্যাংল্যান্ডস প্রোগ্রামে সর্বব্যাপী রয়েছে জিএল (এম) এবং জিএল (এন)-এর প্রতিনিধিত্বের র্যাঙ্কিন-সেলবার্গ পণ্য। ফলস্বরূপ র্যাঙ্কিন-সেলবার্গ এল-ফাংশনগুলি বেশ কয়েকটি বিশ্লেষণাত্মক বৈশিষ্ট্যকে সন্তুষ্ট করে, তাদের কার্যকরী সমীকরণটি প্রথমে ল্যাংল্যান্ডস-শাহিদি পদ্ধতির মাধ্যমে প্রমাণিত হয়। সাধারণভাবে, ল্যাংল্যান্ডস ফাংক্টোরিয়ালিটি অনুমানগুলি বোঝায় যে একটি সংযুক্ত হ্রাসকারী গোষ্ঠীর স্বয়ংক্রিয় এল-ফাংশনগুলি সাধারণ রৈখিক গোষ্ঠীর স্বয়ংক্রিয় এল-ফাংশনগুলির পণ্যগুলির সমান। ল্যাংল্যান্ডের কার্যকারিতার একটি প্রমাণ অটোমরফিক এল-ফাংশনগুলির বিশ্লেষণাত্মক বৈশিষ্ট্যগুলি সম্পর্কে পুঙ্খানুপুঙ্খ বোঝার দিকেও পরিচালিত করবে। তথ্যসূত্র অটোমর্ফিক ফর্ম জিটা এবং এল-ফাংশন ল্যাংল্যান্ডস প্রোগ্রাম