Pickands–Balkema–De Haan theorem
পিক্যান্ডস-বালকেমা-ডি হান উপপাদ্যটি একটি এলোমেলো চলকের অ্যাসিম্পটোটিক লেজ বন্টন দেয়, যখন এর প্রকৃত বন্টন অজানা থাকে। চরম মূল্য তত্ত্বে এটিকে প্রায়শই দ্বিতীয় উপপাদ্য বলা হয়। প্রথম উপপাদ্যের (ফিশার-টিপেট-গেনেডেনকো উপপাদ্য) বিপরীতে, যা একটি নমুনার সর্বাধিকের সাথে সম্পর্কিত, পিক্যান্ডস-বালকেমা-ডি হান উপপাদ্যটি একটি প্রান্তিকের উপরের মানগুলি বর্ণনা করে। এই উপপাদ্যটির নাম গণিতবিদ জেমস পিক্যান্ডস, গুস বালকেমা এবং লরেন্স ডি হানের নামে রাখা হয়েছে। শর্তসাপেক্ষ অতিরিক্ত বন্টন ফাংশন একটি এলোমেলো চলকের একটি অজানা বন্টন ফাংশনের জন্য, পিক্যান্ডস-বালকেমা-ডি হান উপপাদ্য একটি নির্দিষ্ট সীমার উপরে চলকের শর্তসাপেক্ষ বন্টন ফাংশন বর্ণনা করে। এটি তথাকথিত শর্তাধীন অতিরিক্ত বিতরণ ফাংশন, যার জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে, যেখানে অন্তর্নিহিত বিতরণের সীমাবদ্ধ বা অসীম সঠিক শেষ বিন্দু। ফাংশনটি একটি থ্রেশহোল্ডের উপর অতিরিক্ত মানের বিতরণ বর্ণনা করে, প্রদত্ত যে থ্রেশহোল্ড অতিক্রম করেছে। বিবৃতি শর্তসাপেক্ষ অতিরিক্ত বিতরণ ফাংশন হতে দিন। পিক্যান্ডস, বালকেমা এবং ডি হান বলেন যে অন্তর্নিহিত বিতরণ ক্রিয়াকলাপের একটি বড় শ্রেণীর জন্য, এবং বৃহত্তর, নিম্নলিখিত অর্থে সাধারণীকৃত পেরেটো বিতরণ দ্বারা ভালভাবে অনুমান করা হয়। মনে করুন যে এমন কোনও ফাংশন রয়েছে, যার সাথে একটি অ-অবক্ষয় বিতরণে একত্রিত হয়, তবে এই সীমাটি সাধারণীকৃত পারেটো বিতরণের সমানঃ, যেখানে, যদি, যদি এখানে σ> 0 হয়, এবং y ≤ 0 যখন k ≤ 0 এবং 0 ≤ y ≤ − σ/k যখন k <0 হয়। এই বিশেষ ক্ষেত্রেগুলি এক্সপোনেনশিয়াল ডিস্ট্রিবিউশন নামেও পরিচিত, যার গড়, যদি k = 0 হয়, ইউনিফর্ম ডিস্ট্রিবিউশন, যদি k =-1 হয়, পারেটো ডিস্ট্রিবিউশন, যদি k> 0 হয়। অন্তর্নিহিত বন্টন ফাংশনের শ্রেণীটি ফিশার-টিপেট-গেনেডেনকো উপপাদ্যকে সন্তুষ্ট করে এমন বন্টন ফাংশনের শ্রেণীর সাথে সম্পর্কিত। যেহেতু সাধারণীকৃত পেরেটো বণ্টনের একটি বিশেষ ক্ষেত্রে একটি শক্তি-আইন রয়েছে, তাই পিক্যান্ডস-বালকেমা-ডি হান উপপাদ্যটি কখনও কখনও চরম ঘটনাগুলির মডেলিংয়ের জন্য একটি শক্তি-আইন ব্যবহারের ন্যায্যতা প্রমাণ করতে ব্যবহৃত হয়। এই উপপাদ্যটি বিস্তৃত পরিসরের বিতরণ অন্তর্ভুক্ত করার জন্য প্রসারিত করা হয়েছে। যদিও বর্ধিত সংস্করণগুলি অন্তর্ভুক্ত করে, উদাহরণস্বরূপ স্বাভাবিক এবং লগ-স্বাভাবিক বিতরণ, তবুও অবিচ্ছিন্ন বিতরণ বিদ্যমান যা অন্তর্ভুক্ত নয়। আরও দেখুন স্থিতিশীল বন্টন রেফারেন্স সম্ভাব্যতা উপপাদ্য চরম মূল্য তথ্য সম্ভাব্যতা বন্টনের লেজ