Double centralizer theorem
বিমূর্ত বীজগণিতের শাখায় যাকে রিং তত্ত্ব বলা হয়, ডাবল সেন্ট্রালাইজার উপপাদ্যটি বেশ কয়েকটি অনুরূপ ফলাফলের যে কোনও একটিকে বোঝাতে পারে। এই ফলাফলগুলি একটি রিং আর-এর একটি সাব রিং এস-এর সেন্ট্রালাইজারের সাথে সম্পর্কিত, যা এই নিবন্ধে সিআর (এস) হিসাবে চিহ্নিত করা হয়েছে। এটা সবসময়ই হয় যে সিআর (সিআর (এস))-এ এস থাকে, এবং একটি ডাবল সেন্ট্রালাইজার উপপাদ্য আর এবং এস-এর উপর শর্ত দেয় যা গ্যারান্টি দেয় যে সিআর (সিআর (এস)) এস-এর সমান। অনুপ্রেরণা উপপাদ্যের বিবৃতি আর-এর একটি সাব-রিং এস-এর সেন্ট্রালাইজার স্পষ্টভাবে সিআর (সিআর (এস)) এস দ্বারা দেওয়া হয়, তবে এটি সর্বদা এমন নয় যে কেউ বলতে পারে যে দুটি সেট সমান। দ্বৈত কেন্দ্রীকরণ উপপাদ্যগুলি এমন শর্ত দেয় যার অধীনে কেউ এই উপসংহারে আসতে পারে যে সমতা ঘটে। আরও একটি বিশেষ আগ্রহের বিষয় রয়েছে। ধরা যাক এম একটি ডান আর মডিউল এবং এমকে প্রাকৃতিক বাম ই-মডিউল কাঠামো দিন, যেখানে ই হল শেষ (এম), আবেলিয়ান গ্রুপ এম-এর এন্ডোমর্ফিজমের বলয়। এমআর (এক্স) = এক্সআর দ্বারা প্রদত্ত প্রতিটি মানচিত্র এমআর এম-এর একটি যোগাত্মক এন্ডোমর্ফিজম তৈরি করে, অর্থাৎ ই-এর একটি উপাদান। মানচিত্র আর → এমআর হল রিং ই-এর মধ্যে আর-এর একটি রিং সমরূপতা, এবং আমরা আরএম দ্বারা ই-এর অভ্যন্তরে আর-এর চিত্রকে নির্দেশ করি। এটি পরীক্ষা করা যেতে পারে যে এই ক্যানোনিকাল মানচিত্রের কার্নেলটি অ্যানহিলেটর অ্যান (এমআর)। অতএব, বলয়ের জন্য একটি সমরূপতা উপপাদ্য অনুসারে, আরএম ভাগফল বলয় আর/অ্যান (এমআর)-এর সমরূপ। স্পষ্টতই যখন এম একটি বিশ্বস্ত মডিউল, তখন আর এবং আরএম আইসোমরফিক রিং হয়। সুতরাং এখন ই একটি রিং যার আরএম একটি সাব রিং হিসাবে রয়েছে এবং সিই (আরএম) গঠিত হতে পারে। সংজ্ঞা অনুসারে কেউ পরীক্ষা করতে পারে যে সিই (আরএম) = শেষ (এমআর), এম এর আর মডিউল এন্ডোমর্ফিজমের বলয়। সুতরাং যদি এটি ঘটে যে সিই (সিই (আরএম)) = আরএম, এটি সিই (শেষ (এমআর)) = আরএম বলার মতো একই জিনিস। কেন্দ্রীয় সরল বীজগণিত সম্ভবত সবচেয়ে সাধারণ সংস্করণ হল কেন্দ্রীয় সরল বীজগণিতের সংস্করণ, যেমনটি এতে দেখা যায়ঃ উপপাদ্যঃ যদি A একটি ক্ষেত্রের উপর একটি সীমাবদ্ধ-মাত্রিক কেন্দ্রীয় সহজ বীজগণিত হয় এবং B একটি ক্ষেত্রের উপর একটি সহজ উপ-বীজগণিত হয়, তাহলে CA (CA (B)) = B, এবং উপরন্তু মাত্রা আর্টিনিয়ান বলয়গুলিকে সন্তুষ্ট করে। একটি সাধারণ আর মডিউল ইউআর দেওয়া হলে, আমরা আরইউ এবং ই = এন্ড (ইউ) সহ উপরের অনুপ্রেরণা বিভাগ থেকে স্বরলিপি ধার করব। উপরন্তু, আমরা আর-সমরূপতা সমন্বিত ই-এর সাব রিংয়ের জন্য ডি = এন্ড (ইউআর) লিখব। শুর-এর লেম্মা অনুসারে, ডি হল একটি বিভাজক বলয়। উপপাদ্যঃ ধরা যাক R একটি সরল ডান মডিউল UR সহ একটি ডান আর্টীনীয় বলয়, এবং RU, D এবং E পূর্ববর্তী অনুচ্ছেদের মতো দেওয়া হয়েছে। তারপর। মন্তব্য এই সংস্করণে, জ্যাকবসন ঘনত্ব উপপাদ্য প্রমাণ করার অভিপ্রায় নিয়ে বলয়গুলি বেছে নেওয়া হয়েছে। লক্ষ্য করুন যে এটি শুধুমাত্র এই উপসংহারে পৌঁছেছে যে কেন্দ্রীয় সরল বীজগণিত সংস্করণের বিপরীতে একটি নির্দিষ্ট সাব রিংয়ের সেন্ট্রালাইজার বৈশিষ্ট্য রয়েছে। যেহেতু অ্যালজেব্রা সাধারণত বিনিময়যোগ্য বলয়ের উপর সংজ্ঞায়িত করা হয়, এবং উপরের সমস্ত জড়িত বলয়গুলি বিনিময়হীন হতে পারে, এটি স্পষ্ট যে অ্যালজেব্রা অপরিহার্যভাবে জড়িত নয়। যদি U অতিরিক্তভাবে একটি বিশ্বস্ত মডিউল হয়, যাতে R একটি ডান আদিম বলয় হয়, তাহলে RU হল R-এর সমরূপ বলয়। বহুপদী পরিচয় বলয়ের মধ্যে, বহুপদী পরিচয় বলয়ের জন্য একটি সংস্করণ দেওয়া হয়। একটি বলয়ের কেন্দ্র চিহ্নিত করতে Z (R) চিহ্নটি ব্যবহার করা হবে। উপপাদ্যঃ যদি R একটি সরল বহুপদী পরিচিতি বলয় হয় এবং A হল R-এর একটি সাধারণ Z (R) উপ-বীজগণিত হয়, তাহলে CR (CR (A)) = A। মন্তব্য এই সংস্করণটিকে কেন্দ্রীয় সরল বীজগণিত সংস্করণ এবং আর্টিনিয়ান রিং সংস্করণের মধ্যে বিবেচনা করা যেতে পারে। এর কারণ হল সরল বহুপদী পরিচয়ের বলয়গুলি আর্টিনিয়ান, কিন্তু আর্টিনিয়ান সংস্করণের বিপরীতে, উপসংহারটি এখনও আর. ভন নিউম্যান আলজেব্রাসের সমস্ত কেন্দ্রীয় সহজ সাব-রিংকে বোঝায়। ভন নিউম্যান বাইকম্যুটেন্ট উপপাদ্যটি বলে যে হিলবার্ট স্পেস এইচ-এ আবদ্ধ অপারেটর বি (এইচ)-এর বীজগণিতের একটি *-সাব-অ্যালজেব্রা একটি ভন নিউম্যান বীজগণিত (অর্থাৎ। দুর্বলভাবে বন্ধ করা হয়) যদি এবং শুধুমাত্র যদি এ = সিবি (এইচ) সিবি (এইচ) (এ)। ডাবল সেন্ট্রালাইজার বৈশিষ্ট্য একটি মডিউল এম-এর ডাবল সেন্ট্রালাইজার বৈশিষ্ট্য রয়েছে বা একটি ভারসাম্যপূর্ণ মডিউল বলা হয় যদি সিই (সিই (আরএম)) = আরএম, যেখানে ই = শেষ (এম) এবং আরএম অনুপ্রেরণা বিভাগে দেওয়া হয়। এই পরিভাষায়, ডাবল সেন্ট্রালাইজার উপপাদ্যের আর্টিনিয়ান রিং সংস্করণে বলা হয়েছে যে ডান আর্টিনিয়ান রিংয়ের জন্য সহজ ডান মডিউলগুলি ভারসাম্যপূর্ণ মডিউল। উদ্ধৃতি রিং তত্ত্বের 1994 সালের মূল উপপাদ্যগুলির পুনঃমুদ্রণ