Plethysm
বীজগণিতে, প্লিথিজম হল ডুডলি ই. লিটলউড দ্বারা প্রবর্তিত প্রতিসম ফাংশনের উপর একটি ক্রিয়া, যিনি এটিকে {λ} χ {μ} দ্বারা চিহ্নিত করেছিলেন। এই ক্রিয়াকলাপের জন্য "প্লিথিজম" শব্দটি (গ্রীক শব্দ πληθyσμodς যার অর্থ "গুণন") পরে দ্বারা প্রবর্তিত হয়েছিল, যিনি বলেছিলেন যে নামটি এম. এল. ক্লার্ক দ্বারা প্রস্তাবিত হয়েছিল। যদি প্রতিসম ফাংশনগুলিকে ল্যাম্বডা বলয়ের ক্রিয়াকলাপের সাথে চিহ্নিত করা হয়, তবে প্লিথিজম ক্রিয়াকলাপের গঠনের সাথে মিলে যায়। উপস্থাপনা তত্ত্বে ধরা যাক V জটিল সংখ্যার উপর একটি ভেক্টর স্থান, যা সাধারণ রৈখিক গোষ্ঠী GL (V)-এর প্রতিনিধিত্ব হিসাবে বিবেচিত হয়। প্রতিটি তরুণ রেখাচিত্র λ জিএল (ভি)-উপস্থাপনার বিভাগে একটি শুর ফাংক্টর এলএল (-) এর সাথে মিলে যায়। দুটি তরুণ রেখাচিত্র λ এবং μ দেওয়া হলে, গোষ্ঠীর অপরিবর্তনীয় উপস্থাপনার সরাসরি যোগফলের মধ্যে Lλ (Lμ (V))-এর পচন বিবেচনা করুন। সাধারণ রৈখিক গোষ্ঠীর উপস্থাপনা তত্ত্ব দ্বারা আমরা জানি যে প্রতিটি যোগফল একটি তরুণ চিত্রের সমতুল্য। সুতরাং কিছু অ-ঋণাত্মক গুণের জন্য একটি সমরূপতা রয়েছে (বাইরের) প্লিথিজমের সমস্যা হল গুণের জন্য একটি অভিব্যক্তি খুঁজে বের করা। এই সূত্রটি ধ্রুপদী প্রশ্নের সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত। জিএল (ভি)-উপস্থাপনা এলএল (ভি)-এর চরিত্রটি ডিম (ভি) ভেরিয়েবলের একটি প্রতিসম ফাংশন, যা ইয়ং ডায়াগ্রাম λ-এর সাথে সম্পর্কিত শুর পলিনোমিয়াল এসএল নামে পরিচিত। শুর পলিনোমিয়ালগুলি প্রতিসম ফাংশনের ক্ষেত্রে একটি ভিত্তি গঠন করে। সুতরাং দুটি প্রতিসম ফাংশনের আধিক্য বোঝার জন্য সেই ভিত্তিতে তাদের অভিব্যক্তিগুলি জানা এবং দুটি স্বেচ্ছাচারী শুর বহুপদীর আধিক্যের জন্য একটি অভিব্যক্তি জানা যথেষ্ট হবে। তথ্যের দ্বিতীয় অংশটি সঠিকভাবে Lλ (Lμ (V)) এর চরিত্র। তথ্যসূত্র প্রতিসম ফাংশন