Reflection principle (Wiener process)
স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়াগুলির সম্ভাব্যতা তত্ত্বে, একটি উইনার প্রক্রিয়ার প্রতিফলন নীতিতে বলা হয়েছে যে যদি একটি উইনার প্রক্রিয়ার পথ f (t) সময় t = s এ f (s) = a মান পৌঁছায়, তবে সময় s এর পরে পরবর্তী পথের সমান বন্টন রয়েছে a মান সম্পর্কে পরবর্তী পথের প্রতিফলন হিসাবে। আরও আনুষ্ঠানিকভাবে, প্রতিফলন নীতিটি উইনার প্রক্রিয়া বা ব্রাউনিয়ান গতির সর্বোচ্চ বিতরণ সম্পর্কিত একটি লেম্মাকে বোঝায়। ফলাফলটি সময় টি পর্যন্ত ব্রাউনীয় গতির সর্বোচ্চতার বণ্টনের সাথে সময় টি-তে প্রক্রিয়াটির বণ্টনের সাথে সম্পর্কিত। এটি ব্রাউনীয় গতির শক্তিশালী মার্কভ বৈশিষ্ট্যের একটি উপসংহার। বিবৃতি যদি একটি উইনার প্রক্রিয়া হয়, এবং এটি একটি সীমা (যাকে ক্রসিং পয়েন্টও বলা হয়) হয়, তবে লেমা বলেঃ উইনার প্রক্রিয়াগুলির ধারাবাহিকতার কারণে ধরে নেওয়া যাক, উইনার প্রক্রিয়ার প্রতিটি পথ (একটি নমুনা উপলব্ধি) যার উপর মান/স্তর/সীমা/ক্রসিং পয়েন্টে শেষ হয় এবং সময় () অবশ্যই প্রথমবার কোনও পূর্ববর্তী সময়ে একটি সীমা () অতিক্রম করেছে (পৌঁছেছে)। (এটি বিরতিতে একাধিকবার স্তর অতিক্রম করতে পারে, আমরা প্রথমটি নিই।) এই ধরনের প্রতিটি পথের জন্য, আপনি অন্য একটি পথ নির্ধারণ করতে পারেন যা মূল পথ থেকে স্তরের চারপাশে প্রতিসমভাবে প্রতিফলিত বা উল্লম্বভাবে উল্টানো হয়। এই প্রতিফলিত পথগুলিও উইনার প্রক্রিয়ার নমুনা যা ব্যবধানের মান পৌঁছায়, কিন্তু নীচে শেষ হয়। সুতরাং, বিরতিতে পৌঁছানো সমস্ত পথের মধ্যে অর্ধেক নিচে শেষ হবে এবং অর্ধেক উপরে শেষ হবে। অতএব, উপরে শেষ করার সম্ভাবনা পৌঁছানোর অর্ধেক। একটি শক্তিশালী আকারে, প্রতিফলন নীতি বলে যে যদি একটি থামার সময় হয় তবে উইনার প্রক্রিয়াটির প্রতিফলন শুরু হয়, চিহ্নিত করা হয়, এটিও একটি উইনার প্রক্রিয়া, যেখানেঃ এবং সূচক ফাংশন এবং একইভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। শক্তিশালী রূপটি বেছে নেওয়ার মাধ্যমে মূল লেম্মাকে বোঝায়। প্রমাণ ক্রসিং পয়েন্ট এ পৌঁছানোর জন্য প্রাচীনতম বিরতির সময় প্রায় নিশ্চিতভাবে একটি সীমাবদ্ধ বিরতির সময়। তারপর আমরা শক্তিশালী মার্কভ বৈশিষ্ট্য প্রয়োগ করে অনুমান করতে পারি যে, দ্বারা প্রদত্ত একটি আপেক্ষিক পথও সাধারণ ব্রাউনিয়ান গতি থেকে স্বাধীন। তারপর শেষবারের জন্য সম্ভাব্যতা বন্টনটি সময়ের ব্যবধানে প্রান্তিকে বা তার উপরে থাকে যেমন বিচ্ছিন্ন করা যেতে পারে। শর্তাধীন প্রত্যাশার জন্য টাওয়ার সম্পত্তি দ্বারা, দ্বিতীয় পদটি হ্রাস করেঃ যেহেতু এটি একটি স্ট্যান্ডার্ড ব্রাউনিয়ান গতি যা স্বাধীন এবং এর চেয়ে কম হওয়ার সম্ভাবনা রয়েছে। লেম্মার প্রমাণটি প্রথম সমীকরণের দ্বিতীয় লাইনে প্রতিস্থাপিত করে সম্পন্ন করা হয়। । প্রতিফলন নীতিটি প্রায়শই ব্রাউনিয়ান গতির বন্টনগত বৈশিষ্ট্যগুলিকে সহজতর করতে ব্যবহৃত হয়। সীমাবদ্ধ ব্যবধানের উপর ব্রাউনিয়ান গতি বিবেচনা করে প্রতিফলন নীতিটি আমাদের প্রমাণ করতে দেয় যে ম্যাক্সিমার অবস্থান সন্তোষজনক, আর্কসাইন বিতরণ রয়েছে। এটি লেভি আর্ক্সাইন আইনগুলির মধ্যে একটি। তথ্যসূত্র স্টোকাস্টিক ক্যালকুলাস সম্ভাব্যতা উপপাদ্য