Hopfian object
গণিতের বিভাগ তত্ত্ব নামে পরিচিত শাখায়, একটি হপফিয়ান বস্তু হল এমন একটি বস্তু যা এ-এর উপর এ-এর যে কোনও রূপান্তর অপরিহার্যভাবে একটি অটোমরফিজম। দ্বৈত ধারণাটি একটি কোফফিয়ান বস্তুর, যা একটি বস্তু বি এমন যে বি থেকে বি-তে প্রতিটি মনোমরফিজম অপরিহার্যভাবে একটি অটোমরফিজম। দুটি শর্ত গোষ্ঠী, বলয়, মডিউল এবং টপোলজিকাল স্পেসের বিভাগে অধ্যয়ন করা হয়েছে। "হপফিয়ান" এবং "কোফফিয়ান" শব্দগুলি 1960-এর দশক থেকে উদ্ভূত হয়েছে এবং বলা হয় যে হাইঞ্জ হপফ এবং পৃষ্ঠের মৌলিক গোষ্ঠীগুলির উপর তাঁর কাজে হপফিয়ান গোষ্ঠীর ধারণার ব্যবহারের সম্মানে। বৈশিষ্ট্য উভয় শর্তকেই তাদের বিভাগে সীমাবদ্ধতার শর্তের প্রকার হিসাবে দেখা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, পছন্দের স্বতঃসিদ্ধের সাথে জার্মেলো-ফ্রেঙ্কেল সেট তত্ত্ব ধরে নেওয়া এবং সেটের বিভাগে কাজ করা, হপফিয়ান এবং কোফফিয়ান বস্তুগুলি সঠিকভাবে সীমাবদ্ধ সেট। এর থেকে সহজেই দেখা যায় যে সমস্ত সসীম গোষ্ঠী, সসীম মডিউল এবং সসীম বলয় তাদের বিভাগে হপফিয়ান এবং কোফফিয়ান। হপফিয়ান বস্তু এবং হপফিয়ান বস্তুর প্রজেক্টিভ বস্তু এবং ইনজেকটিভ বস্তুর সাথে প্রাথমিক মিথস্ক্রিয়া রয়েছে। দুটি ফলাফল হলঃ একটি ইনজেকটিভ হপফিয়ান বস্তু হ 'ল কোফফিয়ান। একটি প্রজেক্টিভ কোফিয়ান বস্তু হল হপফিয়ান। প্রথম বিবৃতির প্রমাণ সংক্ষিপ্তঃ ধরা যাক এ একটি ইনজেকটিভ হপফিয়ান বস্তু, এবং ধরা যাক এফ এ থেকে এ পর্যন্ত একটি ইনজেকটিভ মরফিজম। ইনজেক্টিভিটি দ্বারা, পরিচয় মানচিত্রের মাধ্যমে এফ ফ্যাক্টরগুলি এ-তে আইএ দেয়, যার ফলে একটি মরফিজম জি পাওয়া যায় যেমন জিএফ = আইএ। ফলস্বরূপ, g একটি সার্জেক্টিভ মরফিজম এবং তাই একটি অটোমরফিজম, এবং তারপর f অবশ্যই g এর বিপরীত অটোমরফিজম। দ্বিতীয় বিবৃতিটি প্রমাণ করার জন্য এই প্রমাণটিকে দ্বৈত করা যেতে পারে। হপফিয়ান এবং কোফফিয়ান গ্রুপ হপফিয়ান এবং কোফফিয়ান মডিউল এখানে মডিউল বিভাগের বেশ কয়েকটি মৌলিক ফলাফল রয়েছে। এটি মনে রাখা বিশেষভাবে গুরুত্বপূর্ণ যে আরআর একটি মডিউল হিসাবে হপফিয়ান বা কোফফিয়ান হওয়া আর হপফিয়ান বা কোফফিয়ান হওয়ার থেকে আলাদা। একটি নোথেরিয়ান মডিউল হপফিয়ান এবং একটি আর্টিনিয়ান মডিউল হপফিয়ান। আরআর মডিউলটি হপফিয়ান হয় যদি আর সরাসরি একটি সীমাবদ্ধ বলয় হয়। প্রতিসাম্যগতভাবে, এই দুটি আরআর মডিউল হপফিয়ান হওয়ার সমতুল্য। উপরেরগুলির বিপরীতে, আরআর বা আরআর মডিউলগুলি কোহোফিয়ান হতে পারে বা কোনও সংমিশ্রণে নয়। একদিকে রিং কোহোফিয়ানের উদাহরণ দেওয়া হয়েছিল কিন্তু অন্য দিকে নয়। যাইহোক, যদি এই দুটি মডিউলের মধ্যে যে কোনও একটি কোফফিয়ান হয়, তবে R উভয় পক্ষের হপফিয়ান (যেহেতু R একটি বাম বা ডান মডিউল হিসাবে প্রজেক্টিভ) এবং সরাসরি সীমাবদ্ধ। হপফিয়ান এবং কোফফিয়ান রিং রিং বিভাগের পরিস্থিতি মডিউল বিভাগের থেকে বেশ আলাদা। ঐক্যের সাথে বলয়ের বিভাগে অঙ্গসংস্থানগুলি পরিচয় সংরক্ষণের জন্য প্রয়োজন, অর্থাৎ 1 থেকে 1 পাঠানোর জন্য। যদি R আদর্শের উপর আরোহী শৃঙ্খলের শর্তকে সন্তুষ্ট করে, তবে R হপফিয়ান হয়। এটি নোথেরিয়ান মডিউলগুলির সাথে সাদৃশ্য দ্বারা প্রমাণিত হতে পারে। "কোহোফিয়ান"-এর প্রতিরূপ ধারণাটি অবশ্য বিদ্যমান নেই, কারণ যদি f একটি রিং সমরূপতা হয় যা R গুণিত R থেকে পরিচয় সংরক্ষণ করে এবং f-এর চিত্রটি R না হয়, তবে চিত্রটি অবশ্যই R-এর আদর্শ নয়। যে কোনও সাধারণ বলয় হপফিয়ান হয়, যেহেতু যে কোনও এন্ডোমর্ফিজমের কার্নেল একটি আদর্শ, যা একটি সাধারণ বলয়ে অবশ্যই শূন্য। এর বিপরীতে, একটি অ-মদ্যপায়ী ক্ষেত্রের একটি উদাহরণ দেওয়া হয়েছিল। একটি গণনাযোগ্য মাত্রিক ভেক্টর স্থানের পূর্ণ রৈখিক বলয় এন্ডডি (ভি) হল একটি হপফিয়ান বলয় যা একটি মডিউল হিসাবে হপফিয়ান নয়, কারণ এটির মাত্র তিনটি আদর্শ রয়েছে, তবে এটি সরাসরি সীমাবদ্ধ নয়। কাগজটি একটি কোফিয়ান রিংয়ের উদাহরণও দেয় যা মডিউল হিসাবে কোফিয়ান নয়। এছাড়াও, এটি দেখানো হয়েছে যে একটি বুলিয়ান রিং আর এবং এর সাথে সম্পর্কিত স্টোন স্পেস এক্স-এর জন্য, রিং বিভাগে আর হপফিয়ান হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি টপোলজিকাল স্পেসের বিভাগে এক্স হপফিয়ান হয়, এবং আর একটি রিং হিসাবে হপফিয়ান হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি এক্স একটি টপোলজিকাল স্পেস হিসাবে হপফিয়ান হয়। হপফিয়ান এবং কোফফিয়ান টপোলজিকাল স্পেসগুলিতে, কম্প্যাক্ট ম্যানিফোল্ডের উপর ফলাফলের একটি সিরিজ অন্তর্ভুক্ত করা হয়েছে। প্রথমত, একমাত্র কম্প্যাক্ট ম্যানিফোল্ড যা হপফিয়ান তা হল সীমাবদ্ধ বিচ্ছিন্ন স্থান। দ্বিতীয়ত, সীমানা ছাড়া কম্প্যাক্ট ম্যানিফোল্ডগুলি সর্বদা কোহোফিয়ান হয়। সবশেষে, নন-এম্প্টি বাউন্ডারি সহ কম্প্যাক্ট ম্যানিফোল্ডগুলি কোফফিয়ান নয়। তথ্যসূত্র বাহ্যিক লিঙ্ক হপফিয়ান গ্রুপ সহ-হপফিয়ান গ্রুপ বিভাগ তত্ত্ব গ্রুপ তত্ত্ব মডিউল তত্ত্ব রিং তত্ত্ব