Ex-tangential quadrilateral
ইউক্লিডীয় জ্যামিতিতে, একটি এক্স-ট্যাঞ্জেন্সিয়াল চতুর্ভুজ হল একটি উত্তল চতুর্ভুজ যেখানে চারটি পক্ষের সম্প্রসারণ চতুর্ভুজের বাইরে একটি বৃত্তের স্পর্শক হয়। এটিকে একটি বর্ণানুক্রমিক চতুর্ভুজও বলা হয়। বৃত্তটিকে বলা হয় এর বহিঃবৃত্ত, এর ব্যাসার্ধকে বলা হয় বহিঃবৃত্ত এবং এর কেন্দ্রকে বলা হয় কেন্দ্র (চিত্রে)। কেন্দ্রটি ছয় কোণের দ্বিখণ্ডকের ছেদস্থলে অবস্থিত। এগুলি হল দুটি বিপরীত শীর্ষ কোণে অভ্যন্তরীণ কোণ দ্বিখণ্ডক, অন্য দুটি শীর্ষ কোণে বাহ্যিক কোণ দ্বিখণ্ডক (সম্পূরক কোণ দ্বিখণ্ডক) এবং যেখানে বিপরীত দিকের সম্প্রসারণগুলি ছেদ করে সেখানে গঠিত কোণগুলিতে বাহ্যিক কোণ দ্বিখণ্ডক (ডানদিকে চিত্রটি দেখুন, যেখানে এই ছয়টির মধ্যে চারটি বিন্দুযুক্ত রেখা বিভাগ)। প্রাক-স্পর্শক চতুর্ভুজ স্পর্শক চতুর্ভুজের সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত (যেখানে চারটি দিক একটি বৃত্তের স্পর্শক)। একটি বহির্বৃত্তের আরেকটি নাম হল একটি নির্দিষ্ট বৃত্ত, তবে এই নামটি একটি উত্তল চতুর্ভুজের একপাশে একটি বৃত্তের স্পর্শক এবং সংলগ্ন দুটি পক্ষের সম্প্রসারণের জন্যও ব্যবহৃত হয়েছে। সেই প্রসঙ্গে সমস্ত উত্তল চতুর্ভুজের চারটি নির্দিষ্ট বৃত্ত থাকে, তবে তাদের সর্বাধিক একটি বহির্বৃত্ত থাকতে পারে। বিশেষ ক্ষেত্রে ঘুড়ি হল এক্স-ট্যাঞ্জেন্সিয়াল চতুর্ভুজের উদাহরণ। সমান্তরাল চতুর্ভুজগুলিকে (যার মধ্যে বর্গ, রম্বি এবং আয়তক্ষেত্র রয়েছে) অসীম বহির্মুখী সহ প্রাক-স্পর্শক চতুর্ভুজ হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে কারণ তারা পরবর্তী বিভাগে বৈশিষ্ট্যগুলি সন্তুষ্ট করে, তবে বহির্বৃত্তটি বিপরীত দিকের সম্প্রসারণের উভয় জোড়ার স্পর্শক হতে পারে না (যেহেতু তারা সমান্তরাল)। উত্তল চতুর্ভুজ যার পার্শ্ব দৈর্ঘ্য একটি গাণিতিক অগ্রগতি গঠন করে তারা সর্বদা প্রাক-স্পর্শক হয় কারণ তারা সংলগ্ন পার্শ্ব দৈর্ঘ্যের জন্য নীচের বৈশিষ্ট্যকে সন্তুষ্ট করে। একটি উত্তল চতুর্ভুজ এক্স-ট্যাঞ্জেন্সিয়াল হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি ছয়টি সমবর্তী কোণ দ্বিখণ্ডক থাকে। এগুলি হল দুটি বিপরীত শীর্ষ কোণে অভ্যন্তরীণ কোণ দ্বিখণ্ডক, অন্য দুটি শীর্ষ কোণে বাহ্যিক কোণ দ্বিখণ্ডক এবং যেখানে বিপরীত দিকের সম্প্রসারণগুলি ছেদ করে সেখানে গঠিত কোণগুলিতে বাহ্যিক কোণ দ্বিখণ্ডক। গণনার উদ্দেশ্যে, একটি আরও কার্যকর বৈশিষ্ট্য হ 'ল ধারাবাহিক দিক সহ একটি উত্তল চতুর্ভুজ প্রাক-স্পর্শক হয় যদি এবং কেবলমাত্র যদি দুটি সংলগ্ন পক্ষের যোগফল অন্য দুটি পক্ষের যোগফলের সমান হয়। এটি দুটি ভিন্ন উপায়ে সম্ভবঃ অথবা এটি 1846 সালে জ্যাকব স্টেইনার দ্বারা প্রমাণিত হয়েছিল। প্রথম ক্ষেত্রে, অগ্রবৃত্তটি সবচেয়ে বড় শীর্ষগুলির বাইরে থাকে বা, দ্বিতীয় ক্ষেত্রে এটি সবচেয়ে বড় শীর্ষগুলির বাইরে থাকে বা, তবে শর্ত থাকে যে চতুর্ভুজের দিকগুলি পার্শ্ব সম্পর্কিত এই বৈশিষ্ট্যগুলির সংমিশ্রণের একটি উপায় হল যে বিপরীত পক্ষের মধ্যে পার্থক্যের পরম মানগুলি বিপরীত পক্ষের দুটি জোড়ার জন্য সমান, এই সমীকরণগুলি স্পর্শক চতুর্ভুজের জন্য পিটোট উপপাদ্যের সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত, যেখানে বিপরীত পক্ষের যোগফল বিপরীত পক্ষের দুটি জোড়ার জন্য সমান। উরকুহার্টের উপপাদ্যটি যদি একটি উত্তল চতুর্ভুজের বিপরীত দিকগুলি এবং-এ ছেদ করে, তবে ডানদিকের প্রভাবটি এল. এম. উরকুহার্টের (1902-1966) নামে নামকরণ করা হয়েছে, যদিও এটি 1841 সালে অগাস্টাস ডি মরগান দ্বারা অনেক আগে প্রমাণিত হয়েছিল। ড্যানিয়েল পেডো এটিকে ইউক্লিডীয় জ্যামিতির সবচেয়ে প্রাথমিক উপপাদ্য বলে অভিহিত করেছেন কারণ এটি শুধুমাত্র সরলরেখা এবং দূরত্বের সাথে সম্পর্কিত। প্রকৃতপক্ষে একটি সমতা রয়েছে যা মোয়াফাক হাজ্জার দ্বারা প্রমাণিত হয়েছিল, যা একটি চতুর্ভুজকে প্রাক-স্পর্শক হওয়ার জন্য ডান দিকের সমতাকে আরেকটি প্রয়োজনীয় এবং পর্যাপ্ত শর্ত করে তোলে। একটি স্পর্শক চতুর্ভুজের সাথে তুলনা স্পর্শক চতুর্ভুজের (টেবিলের বাম কলাম) কয়েকটি মেট্রিক বৈশিষ্ট্যের প্রাক্তন-স্পর্শক চতুর্ভুজের (টেবিলের মধ্য এবং ডান কলাম) জন্য খুব অনুরূপ প্রতিরূপ রয়েছে, যা নীচের সারণিতে দেখা যায়। সুতরাং একটি উত্তল চতুর্ভুজের উপযুক্ত শীর্ষের বাইরে (কলামের উপর নির্ভর করে) একটি অন্তঃবৃত্ত বা বহির্বৃত্ত থাকে যদি এবং শুধুমাত্র যদি নীচের পাঁচটি প্রয়োজনীয় এবং পর্যাপ্ত শর্তের মধ্যে যে কোনও একটি সন্তুষ্ট হয়। এই টেবিলের স্বরলিপিগুলি নিম্নরূপঃ একটি উত্তল চতুর্ভুজে, তির্যকগুলি এখানে ছেদ করে। ত্রিভুজের পরিধিগুলি হল; একই চারটি ত্রিভুজের যথাক্রমে পাশ থেকে উচ্চতা; যথাক্রমে শীর্ষগুলি থেকে দূরত্ব; যথাক্রমে কোণগুলি; এবং বৃত্তের ব্যাসার্ধগুলি যথাক্রমে পার্শ্বগুলির সাথে বাহ্যিকভাবে স্পর্শক এবং প্রতিটি পক্ষের জন্য সংলগ্ন দুটি পক্ষের সম্প্রসারণ। ক্ষেত্রফল পার্শ্বযুক্ত একটি প্রাক-স্পর্শক চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল লক্ষ্য করুন যে এটি একটি স্পর্শক চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফলের জন্য একই সূত্র এবং এটি একইভাবে ব্রেটশ্নাইডারের সূত্র থেকেও উদ্ভূত হয়েছে। এক্স-ট্যানজেনশিয়াল চতুর্ভুজের এক্স-ট্যানজেনশিয়াল চতুর্ভুজের জন্য এক্স-রেডিয়াসটি চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফলের দ্বারা দেওয়া হয়। প্রদত্ত পার্শ্বযুক্ত একটি এক্স-ট্যাঞ্জেন্সিয়াল চতুর্ভুজের জন্য, এক্স-রেডিয়াস সর্বাধিক হয় যখন চতুর্ভুজটিও চক্রীয় হয় (এবং তাই একটি এক্স-বাইসেন্ট্রিক চতুর্ভুজ)। এই সূত্রগুলি ব্যাখ্যা করে যে কেন সমস্ত সমান্তরাল চতুর্ভুজের অসীম বহিঃক্ষেত্র থাকে। এক্স-বাইসেন্ট্রিক চতুর্ভুজ যদি কোনও এক্স-ট্যাঞ্জেন্সিয়াল চতুর্ভুজেরও একটি বৃত্ত থাকে, তবে এটিকে এক্স-বাইসেন্ট্রিক চতুর্ভুজ বলা হয়। তারপর, যেহেতু এর দুটি বিপরীত পরিপূরক কোণ রয়েছে, তাই এর ক্ষেত্রফল দেওয়া হয় যা একটি দ্বি-কেন্দ্রিক চতুর্ভুজের সমান। যদি পরিধি কেন্দ্র এবং কেন্দ্রের মধ্যে দূরত্ব হয়, তবে যথাক্রমে পরিধি এবং বহিঃক্ষেত্র কোথায়। এটি একটি দ্বি-কেন্দ্রিক চতুর্ভুজের জন্য ফাসের উপপাদ্যের মতো একই সমীকরণ। কিন্তু সমাধান করার সময়, আমাদের অবশ্যই দ্বি-কেন্দ্রিক সমীকরণের তুলনায় প্রাক্তন-দ্বি-কেন্দ্রিক চতুর্ভুজের জন্য দ্বি-কেন্দ্রিক সমীকরণের অন্য মূলটি বেছে নিতে হবে। অতএব, আমাদের কাছে এক্স-বাইসেন্ট্রিকের জন্য রয়েছে এই সূত্র থেকে এটি অনুসরণ করে যার অর্থ হল যে বৃত্ত এবং এক্সকার্কল কখনই একে অপরকে ছেদ করতে পারে না। আরও দেখুন সম্পূর্ণ চতুর্ভুজ চক্রাকার চতুর্ভুজ রেফারেন্স চতুর্ভুজের প্রকার