Λ-ring
বীজগণিতে, একটি λ-রিং বা ল্যাম্বডা রিং হল একটি বিনিময়যোগ্য রিং যার উপর কিছু অপারেশন λn থাকে যা ভেক্টর স্পেসের বাহ্যিক শক্তির মতো আচরণ করে। কে-তত্ত্বে বিবেচিত অনেক বলয় একটি প্রাকৃতিক λ-বলয় কাঠামো বহন করে। λ-রিং বহুপদ বলয়ের উপর প্রতিসম ফাংশনের একটি ক্রিয়া অধ্যয়নের জন্য একটি শক্তিশালী আনুষ্ঠানিকতা প্রদান করে, অনেক শাস্ত্রীয় ফলাফল পুনরুদ্ধার এবং প্রসারিত করে। দ্বারা λ-রিং চালু করা হয়েছিল। λ-রিং সম্পর্কে আরও জানতে দেখুন, এবং। অভিপ্রেরণা যদি V এবং W একটি ক্ষেত্র k-এর উপর সীমাবদ্ধ-মাত্রিক ভেক্টর স্পেস হয়, তাহলে আমরা সরাসরি যোগফল V ≤ W, টেনসর গুণফল V ≤ W, এবং V-এর n-তম বাহ্যিক শক্তি, λn (V) গঠন করতে পারি। এগুলি আবার k-এর উপর সীমাবদ্ধ-মাত্রিক ভেক্টর স্পেস। একটি সীমাবদ্ধ গোষ্ঠীর k-রৈখিক উপস্থাপনার সাথে কাজ করার সময়, কিছু টপোলজিকাল স্থানের উপর ভেক্টর বান্ডিলগুলির সাথে কাজ করার সময় এবং আরও সাধারণ পরিস্থিতিতে সরাসরি যোগফল, টেনসর পণ্য এবং বাহ্যিক শক্তির একই তিনটি ক্রিয়াকলাপ পাওয়া যায়। λ-রিং এই তিনটি ক্রিয়াকলাপের সাধারণ বীজগাণিতিক বৈশিষ্ট্যগুলি বিমূর্ত করার জন্য ডিজাইন করা হয়েছে, যেখানে আমরা সরাসরি যোগফল ক্রিয়াকলাপের ক্ষেত্রে আনুষ্ঠানিক বিপরীতগুলির জন্যও অনুমতি দিই। (এই আনুষ্ঠানিক বিপরীতগুলি গ্রোথেন্ডিয়াক গোষ্ঠীগুলিতেও প্রদর্শিত হয়, যে কারণে বেশিরভাগ λ-রিংয়ের অন্তর্নিহিত যোগাত্মক গোষ্ঠীগুলি গ্রোথেন্ডিয়াক গোষ্ঠী।) রিংয়ের যোগ সরাসরি যোগফলের সাথে মিলে যায়, রিংয়ের গুণন টেনসর পণ্যের সাথে মিলে যায় এবং λ-ক্রিয়াকলাপগুলি বাহ্যিক শক্তির সাথে মিলে যায়। উদাহরণস্বরূপ, সমরূপতা সমস্ত λ-রিংয়ে বৈধ সূত্রের সাথে মিলে যায় এবং সমরূপতা সমস্ত λ-রিংয়ে বৈধ সূত্রের সাথে মিলে যায়। অনুরূপ কিন্তু (অনেক) আরও জটিল সূত্রগুলি উচ্চতর ক্রমের λ-অপারেটরগুলিকে পরিচালনা করে। ভেক্টর বান্ডিলগুলির সাথে অনুপ্রেরণা যদি আমাদের একটি মসৃণ পরিকল্পনার উপর ভেক্টর বান্ডিলগুলির একটি সংক্ষিপ্ত সঠিক ক্রম থাকে তবে স্থানীয়ভাবে, একটি ছোট যথেষ্ট খোলা পাড়ার জন্য আমাদের আইসোমরফিজম রয়েছে। সুতরাং একটি λ-রিং-এ মৌলিক সম্পর্ক প্রদর্শন করে, যে সংজ্ঞা A λ-রিং হল একটি বিনিময়যোগ্য বলয় R এবং প্রতিটি অ-ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা n-এর জন্য λn: R → R। এই ক্রিয়াকলাপগুলির জন্য সমস্ত x, R-এ y এবং সমস্ত n-এর জন্য নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্যগুলি বৈধ থাকতে হবে, m ≤ 0: λ0 (x) = 1 λ1 (x) = x λn (1) = 0 যদি n ≤ 2 λn (x + y) = σi + j = n λi (x) λj (y) λn (xy) = Pn (λ1 (x), λn (λn)। এই বহুপদগুলিকে নিম্নরূপ সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। ধরা যাক, x1,.., xmn চলকের মধ্যে e1,., emn হল প্রাথমিক প্রতিসম বহুপদী। তারপর Pn, m হল nm চলকের অনন্য বহুপদী যার পূর্ণসংখ্যা সহগ যেমন Pn, m (e1,., emn) হল অভিব্যক্তিতে tn-এর সহগ (এই ধরনের একটি বহুপদ বিদ্যমান, কারণ অভিব্যক্তিটি xi-তে প্রতিসম এবং প্রাথমিক প্রতিসম বহুপদগুলি সমস্ত প্রতিসম বহুপদ তৈরি করে।) এখন ধরা যাক x1,.., xn এবং f1,.., fn চলকের প্রাথমিক প্রতিসম বহুপদগুলি y1,.., yn চলকের প্রাথমিক প্রতিসম বহুপদ। তারপর Pn হল পূর্ণসংখ্যা সহগ সহ 2n ভেরিয়েবলের অনন্য বহুপদী যা অভিব্যক্তি বৈচিত্র্যে tn-এর সহগ। উপরে সংজ্ঞায়িত λ-রিংগুলিকে কিছু লেখক "বিশেষ λ-রিং" বলে অভিহিত করেন, যারা আরও সাধারণ ধারণার জন্য "λ-রিং" শব্দটি ব্যবহার করেন যেখানে λn (1), λn (xy) এবং λm (λn (x))-এর শর্তগুলি বাদ দেওয়া হয়। উদাহরণ পূর্ণসংখ্যার রিং Z, দ্বিপদী সহগগুলির সাথে অপারেশন হিসাবে (যা ঋণাত্মক x-এর জন্যও সংজ্ঞায়িত করা হয়) একটি λ-রিং। প্রকৃতপক্ষে, এটি Z-এর উপর একমাত্র λ-কাঠামো। এই উদাহরণটি উপরের অনুপ্রেরণা বিভাগে উল্লিখিত সীমাবদ্ধ-মাত্রিক ভেক্টর স্পেসের ক্ষেত্রে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত, প্রতিটি ভেক্টর স্পেসকে তার মাত্রা দিয়ে চিহ্নিত করে এবং এটি মনে রাখে। আরও সাধারণভাবে, যে কোনও দ্বিপদী বলয় একটি λ-রিং হয়ে ওঠে যদি আমরা λ-ক্রিয়াকলাপগুলিকে দ্বিপদী সহগ হিসাবে সংজ্ঞায়িত করি, λn (x) = ()। এই λ-রিংগুলিতে, সমস্ত অ্যাডামস অপারেশন হল পরিচয়। একটি টপোলজিকাল স্পেস এক্স-এর কে-তত্ত্ব কে (এক্স) একটি λ-রিং, যেখানে একটি ভেক্টর বান্ডিলের বাহ্যিক শক্তি গ্রহণ করে ল্যাম্বডা অপারেশনগুলি প্ররোচিত হয়। একটি গ্রুপ জি এবং একটি বেস ফিল্ড কে দেওয়া হলে, উপস্থাপনা রিং আর (জি) একটি λ-রিং হয়; λ-ক্রিয়াকলাপগুলি গ্রুপ জি-এর কে-রৈখিক উপস্থাপনার বাহ্যিক শক্তি দ্বারা প্ররোচিত হয়। পূর্ণসংখ্যা সহগগুলির উপর λ-ক্রিয়াকলাপগুলি উপরের মতো দ্বিপদী সহগ দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয় এবং যদি e1, e2,. প্রাথমিক প্রতিসম ফাংশনগুলিকে নির্দেশ করে তবে আমরা λn (e1) = en সেট করি। λ-ক্রিয়াকলাপের জন্য স্বতঃসিদ্ধ ব্যবহার করে, এবং এক ফাংশনগুলি বীজগাণিতিকভাবে স্বাধীন এবং λZ রিং তৈরি করে, এই সংজ্ঞাটি একটি অনন্য পদ্ধতিতে প্রসারিত করা যেতে পারে যাতে λZ কে λ-রিংয়ে পরিণত করা যায়। প্রকৃতপক্ষে, এটি একটি জেনারেটরের মুক্ত λ-রিং, জেনারেটরটি হল e1। ()। আরও বৈশিষ্ট্য এবং সংজ্ঞা প্রতিটি λ-রিং-এর বৈশিষ্ট্য 0 রয়েছে এবং λ-রিং Z-কে λ-সাবিং হিসাবে ধারণ করে। বিনিময়যোগ্য বীজগণিতের অনেক ধারণাকে λ-রিং পর্যন্ত প্রসারিত করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, λ-রিং R এবং S-এর মধ্যে একটি λ-সমরূপতা হল একটি রিং সমরূপতা f: R → S যাতে f (λn (x)) = λn (f (x)) R-এর সমস্ত x এবং সমস্ত n ≤ 0-এর জন্য। λ-রিং R-এ একটি λ-আদর্শ হল R-এ এমন একটি আদর্শ I যা R-এ সমস্ত x এবং সমস্ত n ≤ 1-এর জন্য λn (x) εI। যদি x একটি λ-রিংয়ের একটি উপাদান হয় এবং m একটি অ-ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা হয় যেমন λm (x)  ঒ত্ত 0 এবং λn (x) = 0 সমস্ত n> m এর জন্য, আমরা ডিম (x) = m লিখি এবং উপাদানটিকে x সীমাবদ্ধ-মাত্রিক বলি। সমস্ত উপাদানকে সীমাবদ্ধ-মাত্রিক হওয়ার প্রয়োজন নেই। আমাদের ডিম (x + y) ≤ ডিম (x) + ডিম (y) আছে এবং উপাদানগুলির গুণফল হল। আরও দেখুন চেরন ক্লাস সিমেট্রিক ফাংশন কে-তত্ত্ব অ্যাডামস অপারেশন প্লিথিস্টিক এক্সপোনেনশিয়াল রেফারেন্স এক্সপো 0 এবং রিং তত্ত্ব কে-তত্ত্বের ভি