Square packing
বর্গাকার প্যাকিং হল একটি প্যাকিং সমস্যা যেখানে উদ্দেশ্য হল কতগুলি সর্বসম বর্গক্ষেত্রকে কোনও বৃহত্তর আকারে, প্রায়শই একটি বর্গক্ষেত্র বা বৃত্তে প্যাক করা যেতে পারে তা নির্ধারণ করা। একটি বর্গক্ষেত্রের বর্গক্ষেত্র প্যাকিং-এ বর্গক্ষেত্র প্যাকিং হল একক বর্গক্ষেত্রের সর্বাধিক সংখ্যা (পার্শ্ব দৈর্ঘ্যের এক বর্গক্ষেত্র) নির্ধারণের সমস্যা যা পার্শ্ব দৈর্ঘ্যের বৃহত্তর বর্গক্ষেত্রের মধ্যে প্যাক করা যেতে পারে। যদি একটি পূর্ণসংখ্যা হয়, তবে উত্তরটি হ 'ল একটি নির্বিচারে অ-পূর্ণসংখ্যার জন্য নিখুঁত-বা এমনকি অ্যাসিম্পটোটিক-খালি জায়গার পরিমাণ একটি খোলা প্রশ্ন। এর ক্ষুদ্রতম মানটি একক বর্গক্ষেত্রের প্যাকিংয়ের অনুমতি দেয় যখন একটি নিখুঁত বর্গক্ষেত্র (যে ক্ষেত্রে এটি হয়), সেইসাথে 2,3,5,6,7,8,10,13,14,15,24,34,35,46,47 এবং 48 এর জন্য জানা যায়। এই সংখ্যাগুলির বেশিরভাগের জন্য (শুধুমাত্র 5 এবং 10 বাদে), প্যাকিংটি অক্ষ-সারিবদ্ধ বর্গক্ষেত্র সহ প্রাকৃতিক এবং সিলিং (বৃত্তাকার) ফাংশনটি কোথায়। চিত্রটি 5 এবং 10 বর্গক্ষেত্রের জন্য সর্বোত্তম প্যাকিং দেখায়, দুটি ক্ষুদ্রতম সংখ্যক বর্গক্ষেত্র যার জন্য সর্বোত্তম প্যাকিংটি হেলানো বর্গক্ষেত্রের সাথে জড়িত। সবচেয়ে ছোট অমীমাংসিত ক্ষেত্রে 11টি একক বর্গক্ষেত্রকে একটি বৃহত্তর বর্গক্ষেত্রে প্যাক করা হয়। 11 একক বর্গক্ষেত্র পার্শ্ব দৈর্ঘ্যের একটি বর্গক্ষেত্রের মধ্যে প্যাক করা যাবে না। বিপরীতে, 11টি বর্গক্ষেত্রের সবচেয়ে শক্ত প্যাকিং ওয়াল্টার ট্রাম্প দ্বারা পাওয়া প্রায় 3.877084 পার্শ্ব দৈর্ঘ্যের একটি বর্গক্ষেত্রের মধ্যে রয়েছে। উপসর্গহীন ফলাফল পার্শ্ব দৈর্ঘ্যের বৃহত্তর মানগুলির জন্য, একটি বর্গক্ষেত্রকে একত্রিত করতে পারে এমন একক বর্গক্ষেত্রের সঠিক সংখ্যা অজানা থেকে যায়। অক্ষ-সারিবদ্ধ একক বর্গক্ষেত্রের একটি গ্রিড প্যাক করা সর্বদা সম্ভব, তবে এটি একটি বিশাল এলাকা, প্রায়, অনাবৃত এবং নষ্ট করে দিতে পারে। পরিবর্তে, পল এরদোস এবং রোনাল্ড গ্রাহাম দেখিয়েছিলেন যে নমনীয় একক বর্গ দ্বারা একটি ভিন্ন প্যাকিংয়ের জন্য, নষ্ট স্থানটি উল্লেখযোগ্যভাবে হ্রাস করা যেতে পারে (এখানে সামান্য o স্বরলিপিতে লেখা হয়েছে)। পরে, গ্রাহাম এবং ফ্যান চুং বর্জ্য স্থানটিকে আরও কমিয়ে দেন। যাইহোক, ক্লাউস রথ এবং বব ভন যেমন প্রমাণ করেছেন, সমস্ত সমাধানের অন্তত জায়গা নষ্ট করা উচিত। বিশেষত, যখন একটি অর্ধ-পূর্ণসংখ্যা হয়, তখন নষ্ট স্থানটি তার বর্গমূলের সাথে কমপক্ষে আনুপাতিক হয়। নষ্ট জায়গার সুনির্দিষ্ট অ্যাসিম্পটোটিক বৃদ্ধির হার, এমনকি অর্ধ-পূর্ণসংখ্যা পার্শ্ব দৈর্ঘ্যের জন্যও, একটি উন্মুক্ত সমস্যা হিসাবে রয়ে গেছে। কিছু সংখ্যক একক বর্গক্ষেত্র কখনই একটি প্যাকিং-এ সর্বোত্তম সংখ্যা নয়। বিশেষত, যদি একটি বর্গক্ষেত্র একক বর্গক্ষেত্রের প্যাকিংয়ের অনুমতি দেয়, তবে এটি অবশ্যই হতে হবে এবং একক বর্গক্ষেত্রের প্যাকিংও সম্ভব। একটি বৃত্তের মধ্যে বর্গাকার প্যাকিং একটি বৃত্তের মধ্যে বর্গাকার প্যাকিং হল যতটা সম্ভব ছোট ব্যাসার্ধ সহ একটি বৃত্তে একক বর্গক্ষেত্র প্যাকিংয়ের একটি সম্পর্কিত সমস্যা। এই সমস্যার জন্য, ভাল সমাধানগুলি 35 পর্যন্ত n-এর জন্য পরিচিত। এখানে n থেকে 12 পর্যন্ত ন্যূনতম সমাধান রয়েছেঃ এছাড়াও দেখুন বর্গক্ষেত্রের বৃত্তাকার প্যাকিং বর্গক্ষেত্র আয়তক্ষেত্রাকার প্যাকিং চলমান সোফা সমস্যা রেফারেন্স বহিরাগত লিঙ্ক জ্যামিতিতে প্যাকিং সমস্যা অমীমাংসিত সমস্যা