Continuous geometry
গণিতে, অবিচ্ছিন্ন জ্যামিতি হল জটিল প্রজেক্টিভ জ্যামিতির একটি এনালগ যা দ্বারা প্রবর্তিত হয়, যেখানে একটি সাবস্পেসের মাত্রা একটি বিচ্ছিন্ন সেটের পরিবর্তে, এটি একক ব্যবধানের একটি উপাদান হতে পারে। ভন নিউম্যান ক্রমাগত মাত্রার পরিসীমা গ্রহণকারী একটি মাত্রার ফাংশন সহ ভন নিউম্যান অ্যালজেব্রার আবিষ্কার দ্বারা অনুপ্রাণিত হয়েছিলেন এবং প্রজেক্টিভ স্পেস ব্যতীত একটি অবিচ্ছিন্ন জ্যামিতির প্রথম উদাহরণ ছিল হাইপারফাইনাইট টাইপ II ফ্যাক্টরের অনুমান। সংজ্ঞা মেঙ্গার এবং বারখফ প্রজেক্টিভ স্পেসের রৈখিক সাবস্পেসের জালের পরিপ্রেক্ষিতে প্রজেক্টিভ জ্যামিতির জন্য স্বতঃসিদ্ধ দিয়েছেন। অবিচ্ছিন্ন জ্যামিতির জন্য ভন নিউম্যানের স্বতঃসিদ্ধগুলি এই স্বতঃসিদ্ধগুলির একটি দুর্বল রূপ। একটি অবিচ্ছিন্ন জ্যামিতি হল একটি জাল এল যার নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্যগুলি হল এল মডুলার। এল সম্পূর্ণ। জালের ক্রিয়াকলাপগুলি একটি নির্দিষ্ট ধারাবাহিকতা বৈশিষ্ট্যকে সন্তুষ্ট করে, যেখানে A একটি নির্দেশিত সেট এবং যদি তাই হয়, এবং একই শর্তের সাথে বিপরীত হয়। এল-এর প্রতিটি উপাদানের একটি পরিপূরক রয়েছে (অপরিহার্যভাবে অনন্য নয়)। একটি উপাদান a-এর পরিপূরক হল একটি উপাদান b, যেখানে 0 এবং 1 হল L-এর ন্যূনতম এবং সর্বাধিক উপাদান। উদাহরণস্বরূপ, পরিমিত-মাত্রিক জটিল প্রজেক্টিভ স্পেস, বা বরং এর রৈখিক সাবস্পেসগুলির সেট হল একটি অবিচ্ছিন্ন জ্যামিতি, যার মাত্রা পৃথক সেটের মধ্যে মান গ্রহণ করে। একটি সীমাবদ্ধ প্রকারের II ভন নিউম্যান বীজগণিতের অনুমানগুলি একক বিরতিতে মান গ্রহণ করে একটি অবিচ্ছিন্ন জ্যামিতি গঠন করে। দেখিয়েছেন যে কোনও অর্থোকম্প্লিমেন্টড সম্পূর্ণ মডুলার ল্যাটিস একটি অবিচ্ছিন্ন জ্যামিতি। যদি V একটি ক্ষেত্রের (বা বিভাজন বলয়) F-এর উপর একটি ভেক্টর স্থান হয়, তবে V-এর সাবস্পেসের ল্যাটিস পিজি (V) থেকে একটি প্রাকৃতিক মানচিত্র রয়েছে যা 2 দ্বারা গুণিত মাত্রার সাবস্পেসের ল্যাটিস পর্যন্ত। সুতরাং আমরা এর একটি সরাসরি সীমা নিতে পারি এর একটি ডাইমেনশন ফাংশন রয়েছে যা 0 এবং 1 এর মধ্যে সমস্ত ডায়্যাডিক মূলদ মান গ্রহণ করে। এর সমাপ্তি একটি অবিচ্ছিন্ন জ্যামিতি যা প্রতিটি মাত্রার উপাদান ধারণ করে। এই জ্যামিতি দ্বারা নির্মিত হয়েছিল, এবং এটিকে এফ মাত্রার উপর অবিচ্ছিন্ন জ্যামিতি বলা হয় এই বিভাগটি এর কিছু ফলাফলের সংক্ষিপ্তসার দেয়। এই ফলাফলগুলি ভন নিউম্যান অ্যালজেব্রাগুলিতে অনুমানের উপর ভন নিউম্যানের কাজের অনুরূপ এবং অনুপ্রাণিত হয়েছিল। এল-এর দুটি উপাদান এ এবং বি-কে দৃষ্টিকোণ বলা হয়, লিখিত, যদি তাদের একটি সাধারণ পরিপূরক থাকে। এটি এল-এর একটি সমতুল্য সম্পর্ক; এটি যে ক্ষণস্থায়ী তার প্রমাণ বেশ কঠিন। সমতুল্য শ্রেণী 'এ', 'বি', 'এল'-এর উপর একটি মোট ক্রম রয়েছে যার দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয় যদি 'এ'-তে কিছু 'এ' এবং 'বি'-তে কিছু 'বি' থাকে। (এটি এ-তে এ এবং বি-তে বি-এর জন্য প্রযোজ্য নয়।) L থেকে একক ব্যবধান পর্যন্ত ডাইমেনশন ফাংশন D নিম্নরূপ সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে। যদি সমতুল্য শ্রেণী এ এবং বি-তে উপাদান এ এবং বি থাকে তবে তাদের যোগফলকে সমতুল্য শ্রেণী হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। অন্যথায় যোগফল নির্ধারণ করা হয় না। একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা n-এর জন্য, গুণফল nA-কে A-এর n অনুলিপির যোগফল হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়, যদি এই যোগফলটি সংজ্ঞায়িত করা হয়। সমতুল্য শ্রেণী A এবং B-এর জন্য A নয় {0} সহ পূর্ণসংখ্যাটিকে অনন্য পূর্ণসংখ্যা হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। সমতুল্য শ্রেণী এ এবং বি-এর জন্য, যেখানে এ-এর মান {0} নয়, প্রকৃত সংখ্যাটিকে সীমা হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় কারণ সি একটি ন্যূনতম ক্রমের মধ্য দিয়ে চলেঃ এর অর্থ হল যে সি-তে একটি ন্যূনতম অ-শূন্য উপাদান রয়েছে, অথবা অ-শূন্য উপাদানগুলির একটি অসীম ক্রম রয়েছে যার প্রতিটি পূর্ববর্তীটির সর্বাধিক অর্ধেক। D (a) কে সংজ্ঞায়িত করা হয়, যেখানে {a} এবং {1} হল a এবং 1 ধারণকারী সমতুল্য শ্রেণী। D-এর চিত্রটি সম্পূর্ণ একক ব্যবধান হতে পারে, বা কিছু ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা n-এর জন্য সংখ্যার সেট হতে পারে। L-এর দুটি উপাদানের D-এর অধীনে একই চিত্র থাকে যদি এবং শুধুমাত্র যদি তারা দৃষ্টিকোণ হয়, তাই এটি সমতুল্য শ্রেণী থেকে একক ব্যবধানের একটি উপসেটে একটি ইনজেকশন দেয়। ডাইমেনশন ফাংশন D-এর বৈশিষ্ট্যগুলি হল-যদি D (a * b) + D (a * b) = D (a) + D (b) হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি, এবং যদি এবং শুধুমাত্র যদি কোঅর্ডিনেটাইজেশন উপপাদ্য থাকে। প্রজেক্টিভ জ্যামিতিতে, ভেব্লেন-ইয়ং উপপাদ্যটি বলে যে কমপক্ষে 3 মাত্রার একটি প্রজেক্টিভ জ্যামিতি একটি ডিভিশন রিংয়ের উপর ভেক্টর স্পেসের প্রজেক্টিভ জ্যামিতির সমতুল্য। এটিকে এই বলে পুনরাবৃত্তি করা যেতে পারে যে প্রজেক্টিভ জ্যামিতির সাবস্পেসগুলি একটি বিভাজন বলয়ের উপর একটি ম্যাট্রিক্স বীজগণিতের প্রধান সঠিক আদর্শের সাথে মিলে যায়। নিউম্যান এটিকে অবিচ্ছিন্ন জ্যামিতিতে এবং আরও সাধারণভাবে পরিপূরক মডুলার ল্যাটিসগুলিতে সাধারণীকরণ করেছেন, নিম্নরূপ। তাঁর উপপাদ্য বলে যে, যদি একটি পরিপূরক মডুলার ল্যাটিস এল-এর ক্রম কমপক্ষে 4 হয়, তবে এল-এর উপাদানগুলি একটি ভন নিউম্যান নিয়মিত বলয়ের প্রধান ডান আদর্শের সাথে মিলে যায়। আরও সুনির্দিষ্টভাবে যদি জালকের ক্রম n থাকে তবে ভন নিউম্যান নিয়মিত বলয়টিকে অন্য ভন নিউম্যান নিয়মিত বলয় R-এর উপর একটি n দ্বারা n ম্যাট্রিক্স রিং Mn (R) হিসাবে নেওয়া যেতে পারে। এখানে একটি পরিপূরক মডুলার জালকের ক্রম n থাকে যদি এটির n উপাদানগুলির একটি সমজাতীয় ভিত্তি থাকে, যেখানে একটি ভিত্তি হল n উপাদান a1,, এমন একটি যে যদি, এবং, এবং একটি ভিত্তিকে সমজাতীয় বলা হয় যদি কোনও দুটি উপাদান দৃষ্টিকোণ হয়। একটি জালের ক্রম অনন্য হওয়ার প্রয়োজন নেই; উদাহরণস্বরূপ, যে কোনও জালের ক্রম 1 থাকে। জালটির ক্রম কমপক্ষে 4 হওয়ার শর্তটি এই শর্তের সাথে মিলে যায় যে ভেব্লেন-ইয়ং উপপাদ্যতে মাত্রাটি কমপক্ষে 3 হবে, কারণ একটি প্রজেক্টিভ স্পেসের মাত্রা কমপক্ষে 3 হবে যদি এবং শুধুমাত্র যদি এটির কমপক্ষে 4 টি স্বাধীন বিন্দুর সেট থাকে। বিপরীতভাবে, একটি ভন নিউম্যান নিয়মিত বলয়ের প্রধান ডান আদর্শগুলি একটি পরিপূরক মডুলার জাল গঠন করে। ধরুন যে R একটি ভন নিউম্যান নিয়মিত বলয় এবং L এর প্রধান ডান আদর্শের জাল, যাতে L একটি পরিপূরক মডুলার জাল। নিউম্যান দেখিয়েছেন যে এল একটি অবিচ্ছিন্ন জ্যামিতি যদি এবং শুধুমাত্র যদি আর একটি অপরিবর্তনীয় সম্পূর্ণ র্যাঙ্ক রিং হয়। তথ্যসূত্র প্রজেক্টিভ জ্যামিতি ভন নিউম্যান অ্যালজেব্রা ল্যাটিস তত্ত্ব