Singular submodule
বিমূর্ত বীজগণিতের শাখাগুলিতে যা রিং তত্ত্ব এবং মডিউল তত্ত্ব নামে পরিচিত, প্রতিটি ডান (রেসপ)। বাম) আর-মডিউল এম-এর একটি একক উপ-মডিউল রয়েছে যা উপাদানগুলির সমন্বয়ে গঠিত যার অ্যানিহিলেটরগুলি অপরিহার্য ডান (রেসপ)। বাম) R-এ আদর্শ। সেট স্বরলিপিতে এটি সাধারণত হিসাবে চিহ্নিত করা হয়। সাধারণ বলয়ের জন্য, টর্জন সাব-মডিউল টরস (এম)-এর একটি ভাল সাধারণীকরণ যা প্রায়শই ডোমেনের জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয়। যে ক্ষেত্রে R একটি বিনিময়যোগ্য ক্ষেত্র,। যদি R কোনও বলয় হয়, তবে R-কে একটি ডান মডিউল হিসাবে বিবেচনা করে সংজ্ঞায়িত করা হয় এবং এই ক্ষেত্রে R-এর একটি দ্বিমুখী আদর্শকে R-এর ডান একবচন আদর্শ বলা হয়। এর জন্য সম্ভব। সংজ্ঞা এখানে সিঙ্গুলার সাব-মডিউল এবং সিঙ্গুলার আদর্শ অধ্যয়নের সময় ব্যবহৃত বেশ কয়েকটি সংজ্ঞা রয়েছে। নিম্নলিখিত ক্ষেত্রে, এম একটি আর-মডিউলঃ এম-কে একবচন মডিউল বলা হয় যদি। এম-কে ননসিঙ্গুলার মডিউল বলা হয় যদি। আর কে ডান ননসিঙ্গুলার বলা হয় যদি। একটি বাম অ-সিঙ্গুলার বলয় একইভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়, বাম একবচন আদর্শ ব্যবহার করে, এবং একটি বলয়ের জন্য ডান-কিন্তু-বাম নয় অ-সিঙ্গুলার হওয়া সম্পূর্ণরূপে সম্ভব। ঐক্যযুক্ত বলয়গুলিতে এটি সর্বদা হয় যে, এবং তাই "ডান একবচন বলয়" সাধারণত একবচন মডিউলগুলির মতো একইভাবে সংজ্ঞায়িত হয় না। কিছু লেখক "সিঙ্গুলার রিং" ব্যবহার করেছেন যার অর্থ "একটি ননজিরো সিঙ্গুলার আইডিয়াল রয়েছে", তবে এই ব্যবহারটি মডিউলগুলির জন্য বিশেষণগুলির ব্যবহারের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ নয়। একক উপ-মডিউলটির কিছু সাধারণ বৈশিষ্ট্যের মধ্যে রয়েছেঃ যেখানে এম-এর সকলকে বোঝায়। যদি এফ এম থেকে এন পর্যন্ত আর-মডিউলগুলির সমরূপতা হয়, তবে। যদি এন এম-এর একটি উপ-মডিউল হয়, তাহলে। "সিঙ্গুলার" এবং "ননসিঙ্গুলার" বৈশিষ্ট্যগুলি হল মোরিটা অপরিবর্তনীয় বৈশিষ্ট্য। একটি বলয়ের একক আদর্শগুলিতে বলয়ের কেন্দ্রীয় নিলপোটেন্ট উপাদান থাকে। ফলস্বরূপ, একটি বিনিময়যোগ্য বলয়ের একক আদর্শ বলয়ের নিল্রাডিকাল ধারণ করে। টর্জন সাব-মডিউলের একটি সাধারণ বৈশিষ্ট্য হল যে, তবে এটি অগত্যা একক সাব-মডিউলের জন্য প্রযোজ্য নয়। যাইহোক, যদি R একটি ডান ননসিঙ্গুলার বলয় হয়, তাহলে। যদি এন এম-এর (উভয় সঠিক মডিউল) একটি অপরিহার্য উপ-মডিউল হয় তবে এম/এন একবচন। যদি এম একটি মুক্ত মডিউল হয়, অথবা যদি আর সঠিক ননসিঙ্গুলার হয়, তবে বিপরীতটি সত্য। একটি আধা-সরল মডিউল অ-সিঙ্গুলার হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি এটি একটি প্রজেক্টিভ মডিউল হয়। যদি আর একটি ডান স্ব-ইনজেকটিভ বলয় হয়, তাহলে যেখানে জে (আর) হল আর-এর জ্যাকবসন র্যাডিকেল। উদাহরণস্বরূপ ডান ননসিঙ্গুলার বলয়গুলি একটি খুব বিস্তৃত শ্রেণী, যার মধ্যে রয়েছে হ্রাসকৃত বলয়, ডান (আধা) বংশগত বলয়, ভন নিউম্যান নিয়মিত বলয়, ক্ষেত্র, আধা-সরল বলয়, বেয়ার বলয় এবং ডান রিকার্ট বলয়। বিনিময়যোগ্য বলয়ের ক্ষেত্রে, অ-সিঙ্গুলার হওয়া একটি হ্রাসকৃত বলয়ের সমতুল্য। গুরুত্বপূর্ণ উপপাদ্য জনসনের উপপাদ্য (আর. ই. জনসনের কারণে) বেশ কয়েকটি গুরুত্বপূর্ণ সমতুল্য রয়েছে। যেকোনও বলয় আর-এর জন্য, নিম্নলিখিতগুলি সমতুল্যঃ আর হল সঠিক ননসিঙ্গুলার। ইনজেকটিভ হুল ই (আরআর) একটি ননসিঙ্গুলার রাইট আর-মডিউল। এন্ডোমর্ফিজম রিং হল একটি সেমিপ্রিমিটিভ রিং (অর্থাৎ,)। ভাগফলের সর্বাধিক ডানদিকের বলয়টি হল ভন নিউম্যান রেগুলার। ডান ননসিঙ্গুলারিটির ডান স্ব-ইনজেকটিভ রিংয়ের সাথেও একটি শক্তিশালী মিথস্ক্রিয়া রয়েছে। উপপাদ্যঃ যদি আর একটি ডান স্ব-ইনজেকটিভ রিং হয়, তবে আর-এর উপর নিম্নলিখিত শর্তগুলি সমতুল্যঃ ডান ননসিঙ্গুলার, ভন নিউম্যান নিয়মিত, ডান অর্ধ-বংশগত, ডান রিকার্ট, বেয়ার, অর্ধ-বৈষম্যমূলক। কাগজটি রিংয়ের শ্রেণিকে চিহ্নিত করতে ননসিঙ্গুলার মডিউল ব্যবহার করেছিল যার কোটিয়েন্টের সর্বাধিক ডান রিংয়ের একটি নির্দিষ্ট কাঠামো রয়েছে। উপপাদ্যঃ যদি R একটি বলয় হয়, তবে একটি ডান পূর্ণ রৈখিক বলয় হবে যদি এবং শুধুমাত্র যদি R-এর একটি অ-একক, বিশ্বস্ত, অভিন্ন মডিউল থাকে। উপরন্তু, পূর্ণ রৈখিক বলয়ের একটি সসীম প্রত্যক্ষ গুণফল হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি R-এর একটি অসঙ্গত, সসীম অভিন্ন মাত্রা সহ বিশ্বস্ত মডিউল থাকে। পাঠ্যপুস্তক প্রাথমিক উৎস মডিউল তত্ত্ব রিং তত্ত্ব