Mittag-Leffler polynomials
গণিতে, মিট্টাগ-লেফলার বহুপদগুলি হল বহুপদ gn (x) বা Mn (x)। এমএন (এক্স) হল বি = 0, সি =-1-এ মিক্সনার বহুপদী এমএন (এক্স; বি, সি)-এর একটি বিশেষ কেস। সংজ্ঞা এবং উদাহরণ জেনারেটিং ফাংশন মিট্যাগ-লেফলার পলিনোমিয়ালগুলি যথাক্রমে জেনারেটিং ফাংশন দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয় এবং তাদের বাইভ্যারিয়েট জেনারেটিং ফাংশনও রয়েছে উদাহরণস্বরূপ প্রথম কয়েকটি পলিনোমিয়াল নিম্নলিখিত টেবিলে দেওয়া হয়েছে। এর সংখ্যাসূচকগুলির সহগগুলি ও. ই. আই. এস-এ পাওয়া যেতে পারে, যদিও কোনও রেফারেন্স ছাড়াই, এবং এর সহগগুলি ও. ই. আই. এস-এও রয়েছে। {। শ্রেণী = "উইকিটেবল"! এন! ! জিএন (এক্স)! ! Mn (x)।-। 0।।।।।-।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।। এছাড়াও। সুস্পষ্ট সূত্রগুলি হল (শেষেরটি অবিলম্বে দেখায়, এক ধরনের প্রতিফলন সূত্র), এবং, যা এইভাবেও লেখা যেতে পারে, যেখানে পতনের ফ্যাক্টোরিয়ালকে বোঝায়। গাউসিয়ান হাইপারজিওমেট্রিক ফাংশনের পরিপ্রেক্ষিতে, আমাদের প্রতিফলন সূত্র রয়েছে যেমন উপরে বলা হয়েছে, কারণ, আমাদের প্রতিফলন সূত্র রয়েছে। পুনরাবৃত্তির সূত্র বহুপদগুলিকে পুনরাবৃত্তিমূলকভাবে এবং দিয়ে শুরু করে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। আরেকটি পুনরাবৃত্তির সূত্র, যা পূর্ববর্তী জোড়গুলির থেকে একটি বিজোড় সূত্র তৈরি করে এবং তদ্বিপরীত, আবার এই সূত্র দিয়ে শুরু হয়। আমাদের বেশ কয়েকটি ভিন্ন পুনরাবৃত্তির সূত্র রয়েছেঃ পুনরাবৃত্তির সূত্র (3) সম্পর্কে, বহুপদী হল পার্থক্য সমীকরণের অনন্য বহুপদী সমাধান, যাতে স্বাভাবিক করা হয়। আরও লক্ষ্য করুন যে (2) এবং (3) একে অপরের সাথে এই অর্থে দ্বৈত যে, আমরা প্রতিফলন সূত্রটি একটি পরিচয়ে প্রয়োগ করতে পারি এবং তারপরে অদলবদল করতে পারি এবং অন্যটি পেতে পারি। (যেহেতু এগুলি বহুপদী, তাই এর বৈধতা প্রাকৃতিক থেকে সমস্ত বাস্তব মান পর্যন্ত বিস্তৃত।) প্রাথমিক মানগুলির তালিকা (এই মানগুলিকে ও. ই. আই. এস-এ "এন-ডাইমেনশনাল ক্রস পলিটোপগুলির জন্য ফিগারেট নম্বর" ও বলা হয়) পুনরাবৃত্তি সূত্র (1) চিত্রিত করতে পারে, যার অর্থ এই যে প্রতিটি এন্ট্রি তিনটি প্রতিবেশী এন্ট্রির যোগফলঃ এর বাম দিকে, উপরে এবং উপরে, যেমন। । এটি প্রধান তির্যকের সাপেক্ষে প্রতিফলন সূত্রকেও চিত্রিত করে, যেমন। । {। শ্রেণী = "উইকিটেবল"! ! ! 1!! 2! ! 3! ! 4! ! 5! ! 6! ! 7! ! 8! ! 9! ! 10।-! 1। স্টাইল = "টেক্সট-অ্যালাইনঃ ডান"; |1।। স্টাইল = "টেক্সট-অ্যালাইনঃ ডান"; |1। স্টাইল = "টেক্সট-অ্যালাইনঃ ডান"; |1। স্টাইল = "টেক্সট-অ্যালাইনঃ ডান"; |1। স্টাইল = "টেক্সট-অ্যালাইনঃ ডান"; |1।। স্টাইল = "টেক্সট-অ্যালাইনঃ ডান"; |1।। স্টাইল = "টেক্সট-অ্যালাইনঃ ডান"; |1। স্টাইল = "টেক্সট-অ্যালাইনঃ ডান"; |1। স্টাইল = "টেক্সট-অ্যালাইনঃ ডান"; |1। স্টাইল = "টেক্সট-অ্যালাইনঃ ডান" 2। শৈলী = "টেক্সট-অ্যালাইনঃ ডান"; |2। স্টাইল = "টেক্সট-অ্যালাইনঃ ডান"; |4। স্টাইল = "টেক্সট-অ্যালাইনঃ ডান"; |6। স্টাইল = "টেক্সট-অ্যালাইনঃ ডান"; |8। স্টাইল = "টেক্সট-অ্যালাইনঃ ডান"; |10।। স্টাইল = "টেক্সট-অ্যালাইনঃ ডান"; |12। স্টাইল = "টেক্সট-অ্যালাইনঃ ডান"; |14। স্টাইল = "টেক্সট-অ্যালাইনঃ ডান"; |16। স্টাইল = "টেক্সট-অ্যালাইনঃ ডান"; |18। স্টাইল = "টেক্সট-অ্যালাইনঃ ডান" 3। স্টাইল = "টেক্সট-অ্যালাইনঃ ডান"; |3।। স্টাইল = "টেক্সট-অ্যালাইনঃ ডান"; |9। স্টাইল = "টেক্সট-অ্যালাইনঃ ডান"; |19।। স্টাইল = "টেক্সট-অ্যালাইনঃ ডান"; |3 3।। স্টাইল = "টেক্সট-অ্যালাইনঃ ডান"; |51।। স্টাইল = "টেক্সট-অ্যালাইনঃ ডান"; |73। স্টাইল = "টেক্সট-অ্যালাইনঃ ডান"; |9 9।। স্টাইল = "টেক্সট-অ্যালাইনঃ ডান"; |129। স্টাইল = "টেক্সট-অ্যালাইনঃ ডান";। 4। স্টাইল = "টেক্সট-অ্যালাইনঃ ডান"; |4।। স্টাইল = "টেক্সট-অ্যালাইনঃ ডান"; "|16। স্টাইল =" টেক্সট-অ্যালাইনঃ ডান ";" |4 4।। স্টাইল = "টেক্সট-অ্যালাইনঃ ডান"; "|96।। স্টাইল =" টেক্সট-অ্যালাইনঃ ডান ";" |180।। স্টাইল = "টেক্সট-অ্যালাইনঃ ডান"; "|304। স্টাইল =" টেক্সট-অ্যালাইনঃ ডান ";" |476। স্টাইল = "টেক্সট-অ্যালাইনঃ ডান"; "। স্টাইল =" টেক্সট-অ্যালাইনঃ ডান ";"। 5। স্টাইল = "টেক্সট-অ্যালাইনঃ ডান"; |5।। স্টাইল = "টেক্সট-অ্যালাইনঃ ডান"; "|25।। স্টাইল =" টেক্সট-অ্যালাইনঃ ডান ";" |85।। স্টাইল = "টেক্সট-অ্যালাইনঃ ডান"; "|225। স্টাইল =" টেক্সট-অ্যালাইনঃ ডান ";" |5 01।। স্টাইল = "টেক্সট-অ্যালাইনঃ ডান"; "|985। স্টাইল =" টেক্সট-অ্যালাইনঃ ডান ";"।। স্টাইল = "টেক্সট-অ্যালাইনঃ ডান"; "।। স্টাইল =" টেক্সট-অ্যালাইনঃ ডান ";"। 6। স্টাইল = "টেক্সট-অ্যালাইনঃ ডান"; |6। স্টাইল = "টেক্সট-অ্যালাইনঃ ডান"; "|36। স্টাইল =" টেক্সট-অ্যালাইনঃ ডান ";" |146। স্টাইল = "টেক্সট-অ্যালাইনঃ ডান"; "|456। স্টাইল =" টেক্সট-অ্যালাইনঃ ডান ";" |1182।। স্টাইল = "টেক্সট-অ্যালাইনঃ ডান";।। স্টাইল = "টেক্সট-অ্যালাইনঃ ডান";।। স্টাইল = "টেক্সট-অ্যালাইনঃ ডান";।। স্টাইল = "টেক্সট-অ্যালাইনঃ ডান";।। স্টাইল = "টেক্সট-অ্যালাইনঃ ডান";। 7। শৈলী = "টেক্সট-অ্যালাইনঃ ডান"; |7। স্টাইল = "টেক্সট-অ্যালাইনঃ ডান"; |49। স্টাইল = "টেক্সট-অ্যালাইনঃ ডান"; |231। স্টাইল = "টেক্সট-অ্যালাইনঃ ডান"; |833। স্টাইল = "টেক্সট-অ্যালাইনঃ ডান";।। স্টাইল = "টেক্সট-অ্যালাইনঃ ডান";।। স্টাইল = "টেক্সট-অ্যালাইনঃ ডান";।। স্টাইল = "টেক্সট-অ্যালাইনঃ ডান";।। স্টাইল = "টেক্সট-অ্যালাইনঃ ডান";।। স্টাইল = "টেক্সট-অ্যালাইনঃ ডান"; "। স্টাইল =" টেক্সট-অ্যালাইনঃ ডান ";"। 8। স্টাইল = "টেক্সট-অ্যালাইনঃ ডান"; |8।। স্টাইল = "টেক্সট-অ্যালাইনঃ ডান"; "|64। স্টাইল =" টেক্সট-অ্যালাইনঃ ডান ";" |344। স্টাইল = "টেক্সট-অ্যালাইনঃ ডান";।। স্টাইল = "টেক্সট-অ্যালাইনঃ ডান";।। স্টাইল = "টেক্সট-অ্যালাইনঃ ডান";।। স্টাইল = "টেক্সট-অ্যালাইনঃ ডান";।। স্টাইল = "টেক্সট-অ্যালাইনঃ ডান"; "।। স্টাইল =" টেক্সট-অ্যালাইনঃ ডান ";"।। স্টাইল = "টেক্সট-অ্যালাইনঃ ডান"; "।। স্টাইল =" টেক্সট-অ্যালাইনঃ ডান ";"।। স্টাইল = "টেক্সট-অ্যালাইনঃ ডান"; "। 9। স্টাইল = "টেক্সট-অ্যালাইনঃ ডান"; |9।। স্টাইল = "টেক্সট-অ্যালাইনঃ ডান"; "|81। স্টাইল =" টেক্সট-অ্যালাইনঃ ডান ";।। স্টাইল =" টেক্সট-অ্যালাইনঃ ডান ";।। স্টাইল =" টেক্সট-অ্যালাইনঃ ডান ";।। স্টাইল =" টেক্সট-অ্যালাইনঃ ডান ";।। স্টাইল =" টেক্সট-অ্যালাইনঃ ডান ";।। স্টাইল =" টেক্সট-অ্যালাইনঃ ডান ";।। স্টাইল =" টেক্সট-অ্যালাইনঃ ডান ";।। স্টাইল =" টেক্সট-অ্যালাইনঃ ডান ";।। স্টাইল =" টেক্সট-অ্যালাইনঃ ডান ";।। স্টাইল =" টেক্সট-অ্যালাইনঃ ডান ";।। স্টাইল =" টেক্সট-অ্যালাইনঃ ডান ";। 10। শৈলী = "টেক্সট-অ্যালাইনঃ ডান";। 10।। স্টাইল = "টেক্সট-অ্যালাইনঃ ডান";।। স্টাইল = "টেক্সট-অ্যালাইনঃ ডান";।। স্টাইল = "টেক্সট-অ্যালাইনঃ ডান";।। স্টাইল = "টেক্সট-অ্যালাইনঃ ডান";।। স্টাইল = "টেক্সট-অ্যালাইনঃ ডান";।। স্টাইল = "টেক্সট-অ্যালাইনঃ ডান";।। স্টাইল = "টেক্সট-অ্যালাইনঃ ডান";।। স্টাইল = "টেক্সট-অ্যালাইনঃ ডান";।। স্টাইল = "টেক্সট-অ্যালাইনঃ ডান";।। স্টাইল = "টেক্সট-অ্যালাইনঃ ডান";।। স্টাইল = "টেক্সট-অ্যালাইনঃ ডান"; "।।-।" অর্থোগোনালিটি সম্পর্ক নিম্নলিখিত অর্থোগোনালিটি সম্পর্কের জন্য রয়েছেঃ (মনে রাখবেন যে এটি একটি জটিল সম্পর্ক নয়) যেহেতু প্রতিটি একটি জোড় বা একটি বিজোড় বহুপদী, তাই কাল্পনিক আর্গুমেন্টগুলি তাদের সহগের জন্য কেবল পর্যায়ক্রমিক চিহ্ন তৈরি করে। উপরন্তু, যদি এবং ভিন্ন সমতা থাকে, তবে অবিচ্ছেদ্যটি তুচ্ছভাবে অদৃশ্য হয়ে যায়।) দ্বিপদী পরিচয় দ্বিপদী ধরনের একটি শেফার ক্রম হওয়ায়, মিট্টাগ-লেফলার বহুপদীগুলিও দ্বিপদী পরিচয়কে সন্তুষ্ট করে। ইন্টিগ্রাল উপস্থাপনা একটি হাইপারজিওমেট্রিক ফাংশন হিসাবে উপস্থাপনের উপর ভিত্তি করে, সরাসরি ইন্টিগ্রাল হিসাবে প্রতিনিধিত্ব করার বিভিন্ন উপায় রয়েছে, তাদের মধ্যে কিছু এমনকি জটিল জন্য বৈধ, যেমন। । ইন্টিগ্রাল পরিবারের ক্লোজড ফর্ম জিটা মানের পরিপ্রেক্ষিতে ক্লোজড-ফর্ম এক্সপ্রেশন সহ ইন্টিগ্রালের বেশ কয়েকটি পরিবার রয়েছে যেখানে মিট্যাগ-লেফলার বহুপদের সহগগুলি সহগ হিসাবে ঘটে। এই সমস্ত ইন্টিগ্রালগুলি একটি ফ্যাক্টর বা সহ একটি আকারে লেখা যেতে পারে এবং মিট্টাগ-লেফলার বহুপদের মাত্রা পরিবর্তিত হয়। এই ইন্টিগ্রালগুলি বের করার একটি উপায় হল অংশ দ্বারা ইন্টিগ্রেশন ব্যবহার করে মিট্যাগ-লেফলার পলিনোমিয়ালগুলির জন্য সংশ্লিষ্ট পুনরাবৃত্তির সূত্রগুলি প্রাপ্ত করা। 1. উদাহরণস্বরূপ, এই ইন্টিগ্রালগুলির অ্যামব্রাল নোটেশনে ক্লোজড ফর্ম রয়েছে, যার অর্থ হল পলিনোমিয়ালটি প্রসারিত করার পরে, প্রতিটি পাওয়ারকে জিটা মান দ্বারা প্রতিস্থাপিত করতে হবে। ই. জি। থেকে আমরা পাই। 2. একইভাবে অম্ব্রাল নোটেশনে, যেখানে প্রসারিত হওয়ার পরে, ডিরিচলেট ইটা ফাংশন দ্বারা প্রতিস্থাপিত হতে হবে, সেগুলির ক্লোজড ফর্ম রয়েছে। 3. নিম্নলিখিতটি এবং, এবং ধারাবাহিকতা দ্বারা সম্পূর্ণ করার জন্য একই অম্ব্রাল স্বরলিপি ধারণ করে। লক্ষ্য করুন যে, এটি ইন্টিগ্রাল 4-এর জন্য একটি বদ্ধ রূপও প্রদান করে। এর জন্য, সংজ্ঞায়িত করুন। যদি জোড় হয় এবং আমরা সংজ্ঞায়িত করি, আমাদের অম্ব্রাল নোটেশন রয়েছে, অর্থাৎ। দ্বারা প্রতিস্থাপিত, লক্ষ্য করুন যে শুধুমাত্র বিজোড় জিটা মান (বিজোড়) এখানে ঘটে (যদি না হরগুলি জোড় জিটা মান হিসাবে নিক্ষেপ করা হয়), যেমন। 5টি। যদি বিজোড় হয়, তবে একই ইন্টিগ্রাল মূল্যায়নের সাথে অনেক বেশি জড়িত, যার মধ্যে প্রাথমিকটিও রয়েছে। তবুও দেখা যাচ্ছে যে প্যাটার্নটি টিকে থাকে যদি আমরা সমতুল্যভাবে সংজ্ঞায়িত করি। তারপর অম্ব্রাল নোটেশনে নিম্নলিখিত ক্লোজড ফর্মটি থাকে, যার দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়ঃ, যেমন। লক্ষ্য করুন যে ইউলারের প্রতিফলন সূত্র প্রয়োগের পরে নেওয়া রিম্যানের কার্যকরী সমীকরণের লগারিদমিক ডেরিভেটিভের ভিত্তিতে, এই অভিব্যক্তিগুলি এর পরিপ্রেক্ষিতে লেখা যেতে পারে, যেমন। 6টি। কারণ, একই ইন্টিগ্রাল বিচ্ছিন্ন হয়ে যায় কারণ ইন্টিগ্র্যান্ড ফর-এর মতো আচরণ করে। কিন্তু অনুরূপ ডিগ্রি পার্থক্য সহ এই ধরনের দুটি ইন্টিগ্রালের পার্থক্য সু-সংজ্ঞায়িত এবং খুব অনুরূপ নিদর্শন প্রদর্শন করে, যেমন। । আরও দেখুন দ্বিতীয় ধরনের স্টার্লিং পলিনোমিয়ালের বার্নৌলি পলিনোমিয়াল পলি-বার্নৌলি সংখ্যা রেফারেন্স পলিনোমিয়াল