Riemannian submersion
ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতিতে, গণিতের একটি শাখা, একটি রিম্যানিয়ান নিমজ্জন হল একটি রিম্যানিয়ান ম্যানিফোল্ড থেকে অন্যটিতে নিমজ্জন যা মেট্রিক্সকে সম্মান করে, যার অর্থ এটি স্পর্শক স্থানের উপর একটি অর্থোগোনাল অভিক্ষেপ। আনুষ্ঠানিক সংজ্ঞা ধরা যাক (এম, জি) এবং (এন, এইচ) দুটি রিম্যানিয়ান ম্যানিফোল্ড এবং একটি (সার্জেক্টিভ) নিমজ্জন, অর্থাৎ একটি ফাইবারযুক্ত ম্যানিফোল্ড। অনুভূমিক বন্টন হল স্পর্শক বান্ডিলের একটি উপ-বান্ডিল যা অভিক্ষেপ এবং মেট্রিক উভয়ের উপর নির্ভর করে। তারপর, f কে রিমানিয়ান নিমজ্জন বলা হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি, সকলের জন্য, ভেক্টর স্পেস আইসোমরফিজম আইসোমেট্রিক হয়, অর্থাৎ, দৈর্ঘ্য-সংরক্ষণ। উদাহরণস্বরূপ, রিম্যানিয়ান ডুবোজাহাজের একটি উদাহরণ দেখা যায় যখন একটি লাই গ্রুপ রিম্যানিয়ান ম্যানিফোল্ডের উপর আইসোমেট্রিকভাবে, অবাধে এবং সঠিকভাবে কাজ করে। ভাগফল মেট্রিক দিয়ে সজ্জিত ভাগফল স্থানের অভিক্ষেপ হল একটি রিম্যানিয়ান নিমজ্জন। উদাহরণস্বরূপ, একক জটিল সংখ্যার গোষ্ঠী দ্বারা উপাদান-ভিত্তিক গুণ করলে হপফ ফাইব্রেশন পাওয়া যায়। বৈশিষ্ট্য একটি রিম্যানিয়ান নিমজ্জনের লক্ষ্য স্থানের বিভাগীয় বক্রতা বেরেট ও 'নিলের নামে নামকরণ করা ও' নিলের সূত্র দ্বারা মোট স্থানের বক্রতা থেকে গণনা করা যেতে পারেঃ যেখানে অর্থোনর্মাল ভেক্টর ক্ষেত্রগুলি রয়েছে, তাদের অনুভূমিক উত্তোলন, ভেক্টর ক্ষেত্রের লাই বন্ধনী এবং উল্লম্ব বিতরণে ভেক্টর ক্ষেত্রের অভিক্ষেপ। বিশেষত এর বিভাগীয় বক্রতার জন্য নিম্ন সীমাটি কমপক্ষে এর বিভাগীয় বক্রতার জন্য নিম্ন সীমার মতো বড়। সাধারণীকরণ এবং বৈচিত্র্য ফাইবার বান্ডিল সাবমেট্রি কো-লিপশিটজ মানচিত্র আরও দেখুন ফাইবারড ম্যানিফোল্ড জ্যামিতিক টপোলজি ম্যানিফোল্ড নোট রেফারেন্স। ব্যারেট ও 'নিল। একটি নিমজ্জনের মৌলিক সমীকরণ। মিশিগান গণিত। জে। 13 (1966), 459-469। রিমানীয় জ্যামিতি বহুগুণের মানচিত্র