Hadamard space
জ্যামিতিতে, জ্যাক হ্যাডামার্ডের নামে নামকরণ করা একটি হ্যাডামার্ড স্থান হল হিলবার্ট স্থানের একটি অ-রৈখিক সাধারণীকরণ। সাহিত্যে এগুলিকে সম্পূর্ণ সিএটি (0) স্পেস হিসাবেও সমতুল্যভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে। একটি হ্যাডামার্ড স্থানকে একটি খালি না হওয়া সম্পূর্ণ মেট্রিক স্থান হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় যাতে, যে কোনও বিন্দু দেওয়া হলে এবং এমন একটি বিন্দু বিদ্যমান থাকে যে প্রতিটি বিন্দুর জন্য বিন্দুটি তখন এর মধ্যবিন্দু হয় এবং হিলবার্ট স্পেসে, উপরের বৈষম্যটি হল সমতা (সহ), এবং সাধারণভাবে একটি হ্যাডামার্ড স্থানকে বলা হয় যদি উপরের বৈষম্যটি সমতা হয়। একটি সমতল হ্যাডামার্ড স্থান হিলবার্ট স্থানের একটি বদ্ধ উত্তল উপসেটের সমরূপ। বিশেষত, একটি আদর্শ স্থান হল একটি হ্যাডামার্ড স্থান যদি এবং শুধুমাত্র যদি এটি একটি হিলবার্ট স্থান হয়। হ্যাডামার্ড স্পেসের জ্যামিতি হিলবার্ট স্পেসের মতো, যা এটিকে অনমনীয়তা উপপাদ্য অধ্যয়নের জন্য একটি প্রাকৃতিক সেটিং করে তোলে। একটি হ্যাডামার্ড স্পেসে, যে কোনও দুটি বিন্দুকে তাদের মধ্যে একটি অনন্য ভূগণিত দ্বারা যুক্ত করা যেতে পারে; বিশেষত, এটি সঙ্কুচিত। বেশ সাধারণভাবে, যদি একটি মেট্রিক স্থানের একটি আবদ্ধ উপসেট হয়, তবে এটি ধারণকারী ন্যূনতম ব্যাসার্ধের বদ্ধ বলের কেন্দ্রকে বলা হয় একটি হাদামার্ড স্থানের প্রতিটি আবদ্ধ উপসেট ক্ষুদ্রতম বদ্ধ বলের মধ্যে থাকে (যা তার উত্তল হুলের বন্ধের সমান)। যদি একটি হাদামার্ড স্থানের আইসোমেট্রিগুলির গ্রুপ অপরিবর্তনীয় থাকে তবে এর (ব্রুহাত-টিটস স্থির বিন্দু উপপাদ্য) পরিধি নির্ধারণ করে। একটি অ-ধনাত্মক বক্র বহুগুণের মৌলিক ফলাফল হল কার্টান-হ্যাডামার্ড উপপাদ্য। এনালগ একটি হ্যাডামার্ড স্থান ধারণ করেঃ একটি সম্পূর্ণ, সংযুক্ত মেট্রিক স্থান যা একটি হ্যাডামার্ড স্থানের স্থানীয়ভাবে আইসোমেট্রিক, তার সর্বজনীন আবরণ হিসাবে একটি হ্যাডামার্ড স্থান রয়েছে। এর বৈকল্পিক অ-ইতিবাচকভাবে বাঁকা অরবিফোল্ডের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য। (সিএফ। লুরি।) হ্যাডামার্ড স্পেসের উদাহরণ হল হিলবার্ট স্পেস, পয়েনকারে ডিস্ক, সম্পূর্ণ বাস্তব গাছ (উদাহরণস্বরূপ, সম্পূর্ণ ব্রুহাত-টিটস বিল্ডিং),-স্পেস উইথ অ্যান্ড এবং হ্যাডামার্ড ম্যানিফোল্ড, অর্থাৎ অ-ইতিবাচক বিভাগীয় বক্রতার সম্পূর্ণ সহজ-সংযুক্ত রিম্যানিয়ান ম্যানিফোল্ড। হ্যাডামার্ড ম্যানিফোল্ডের গুরুত্বপূর্ণ উদাহরণগুলি কেবল অ-ধনাত্মকভাবে বাঁকা প্রতিসম স্থানগুলির সাথে সংযুক্ত। হ্যাডামার্ড স্পেসের প্রয়োগ জ্যামিতিতে সীমাবদ্ধ নয়। 1998 সালে, দিমিত্রি বুরাগো এবং সার্জ ফার্লেগার গতিশীল বিলিয়ার্ডের একটি সমস্যা সমাধানের জন্য সিএটি (0) জ্যামিতি ব্যবহার করেছিলেনঃ শক্ত বলের একটি গ্যাসে, সংঘর্ষের সংখ্যার উপর কি একটি ইউনিফর্ম আবদ্ধ থাকে? সমাধানটি গতিশীল সিস্টেমের জন্য একটি কনফিগারেশন স্পেস তৈরি করে শুরু হয়, যা সংশ্লিষ্ট বিলিয়ার্ড টেবিলের অনুলিপিগুলি একত্রিত করে প্রাপ্ত হয়, যা একটি হ্যাডামার্ড স্পেস হিসাবে পরিণত হয়। আরও দেখুন রেফারেন্স বুরাগো, দিমিত্রি; ইউরি বুরাগো এবং সের্গেই ইভানোভ। মেট্রিক জ্যামিতিতে একটি কোর্স। আমেরিকান ম্যাথমেটিকাল সোসাইটি। (1984) জ্যাকব লুরিঃ নোটস অন দ্য থিওরি অফ হ্যাডামার্ড স্পেস আলেকজান্ডার এস, কপোভিচ ভি, পেত্রুনিন এ। আলেকজান্দ্রোভ জ্যামিতি কার্যকরী বিশ্লেষণের উপর মন্তব্য জ্যামিতিক টপোলজি হিলবার্ট স্পেস মেট্রিক স্পেস