Fuzzy mathematics
অস্পষ্ট গণিত হল গণিতের শাখা যার মধ্যে রয়েছে অস্পষ্ট সেট তত্ত্ব এবং অস্পষ্ট যুক্তি যা একটি বর্ণালীতে উপাদানগুলির আংশিক অন্তর্ভুক্তি নিয়ে কাজ করে, সাধারণ বাইনারি "হ্যাঁ" বা "না" (0 বা 1) অন্তর্ভুক্তির বিপরীতে। এটি 1965 সালে লটফি আসকার জাদেহর মৌলিক কাজ ফাজি সেট প্রকাশের পরে শুরু হয়েছিল। ভাষাবিজ্ঞান এমন একটি ক্ষেত্রের উদাহরণ যা ফাজি সেট তত্ত্ব ব্যবহার করে। সংজ্ঞা একটি সেট X-এর একটি অস্পষ্ট উপসেট A হল একটি ফাংশন A: X → L, যেখানে L হল ব্যবধান [0,1]। এই ফাংশনকে সদস্যপদ ফাংশনও বলা হয়। একটি সদস্যপদ ফাংশন হল L = {0,1}-এর জন্য সংজ্ঞায়িত একটি উপসেটের একটি সূচক ফাংশনের (যাকে একটি চরিত্রগত ফাংশনও বলা হয়) সাধারণীকরণ। আরও সাধারণভাবে, কোনও অস্পষ্ট উপসেট এ-এর সংজ্ঞায় যে কোনও সম্পূর্ণ ল্যাটিস এল ব্যবহার করা যেতে পারে। ফাজিফিকেশন গাণিতিক ধারণাগুলির ফাজিফিকেশনের বিবর্তনকে তিনটি পর্যায়ে বিভক্ত করা যেতে পারেঃ ষাট এবং সত্তরের দশকে সোজা ফাজিফিকেশন, আশির দশকে সাধারণীকরণ প্রক্রিয়ার সম্ভাব্য পছন্দগুলির বিস্ফোরণ, নব্বইয়ের দশকে প্রমিতকরণ, স্বতঃসিদ্ধকরণ এবং এল-ফাজিফিকেশন। সাধারণত, গাণিতিক ধারণাগুলির একটি অস্পষ্টকরণ চরিত্রগত ফাংশন থেকে সদস্যপদ ফাংশন পর্যন্ত এই ধারণাগুলির সাধারণীকরণের উপর ভিত্তি করে। ধরা যাক A এবং B হল X-এর দুটি অস্পষ্ট উপসেট। X-এর সমস্ত x-এর জন্য A θB এবং ইউনিয়ন A θB-কে নিম্নরূপ সংজ্ঞায়িত করা হয়েছেঃ (A θB) (x) = ন্যূনতম (A (x), B (x), (A θB) (x) = সর্বোচ্চ (A (x), B (x)। এবং এর পরিবর্তে যথাক্রমে টি-নর্ম এবং টি-কনরম ব্যবহার করা যেতে পারে; উদাহরণস্বরূপ, ন্যূনতম (এ, বি) গুণন এব দ্বারা প্রতিস্থাপিত হতে পারে। একটি সরল অস্পষ্টকরণ সাধারণত এবং ক্রিয়াকলাপের উপর ভিত্তি করে করা হয় কারণ এই ক্ষেত্রে ঐতিহ্যবাহী গণিতের আরও বৈশিষ্ট্যগুলি অস্পষ্ট ক্ষেত্রে প্রসারিত করা যেতে পারে। বীজগাণিতিক ক্রিয়াকলাপের অস্পষ্টকরণে ব্যবহৃত একটি গুরুত্বপূর্ণ সাধারণীকরণ নীতি হল একটি ক্লোজার প্রপার্টি। ধরা যাক * এক্স-এর উপর একটি বাইনারি অপারেশন। এক্স-এর একটি অস্পষ্ট উপসেট এ-এর ক্লোজার প্রপার্টি হল এক্স-এর সমস্ত এক্স, ওয়াই-এর জন্য, এ (এক্স * ওয়াই) ≤ মিনিট (এ (এক্স), এ (ওয়াই))। ধরা যাক (জি, *) একটি গোষ্ঠী এবং এ হল জি-এর একটি অস্পষ্ট উপগোষ্ঠী। তারপর এ হল জি-এর একটি অস্পষ্ট উপগোষ্ঠী, যদি সমস্ত x-এর জন্য, জি-তে y, এ (x * y−1) ≤ মিনিট (এ (x), এ (y−1)) হয়। উদাহরণস্বরূপ, ট্রানজিটিভিটি প্রপার্টির ফাজিফিকেশনের জন্য একটি অনুরূপ সাধারণীকরণ নীতি ব্যবহার করা হয়। ধরা যাক, X-এর উপর R একটি অস্পষ্ট সম্পর্ক, অর্থাৎ। আর হল এক্স × এক্স-এর একটি অস্পষ্ট উপসেট। তারপর R হল (ফাজি-) সংক্রামিত যদি X-এ x, y, z, R (x, z) ≤ মিনিট (R (x, y), R (y, z)) হয়। 1971 সালে এ রোজেনফেল্ড দ্বারা ফাজি অ্যানালগস ফাজি সাবগ্রুপয়েড এবং ফাজি সাবগ্রুপ চালু করা হয়েছিল। অন্যান্য গাণিতিক বিষয়ের সাদৃশ্যগুলি অস্পষ্ট গণিতে অনুবাদ করা হয়েছে, যেমন অস্পষ্ট ক্ষেত্র তত্ত্ব এবং অস্পষ্ট গ্যালোইস তত্ত্ব, অস্পষ্ট টপোলজি, অস্পষ্ট জ্যামিতি, অস্পষ্ট ক্রম এবং অস্পষ্ট গ্রাফ। আরও দেখুন ফাজি পরিমাপ তত্ত্ব ফাজি সাবঅ্যালজেব্রা মনোয়ডাল টি-নর্ম লজিক সম্ভাব্যতা তত্ত্ব টি-নর্ম রেফারেন্স এক্সটার্নাল লিঙ্ক জাডেহ, এল. এ। ফাজি লজিক-স্কলারপিডিয়া হাজেকের নিবন্ধ, পি. ফাজি লজিক-স্ট্যানফোর্ড এনসাইক্লোপিডিয়া অফ ফিলোসফির নিবন্ধ নাভারা, এম. ট্রায়াঙ্গুলার নর্মস অ্যান্ড কনর্মস-স্কলারপিডিয়া ডুবোইস, ডি., প্র্যাড এইচ. সম্ভাব্যতা তত্ত্ব-স্কলারপিডিয়া সেন্টার ফর ম্যাথমেটিক্স অফ আনসার্টেনিটি ফাজি ম্যাথ রিসার্চ-এর নিবন্ধ-ক্রেইটন ইউনিভার্সিটি সিজিং, আর-এ হোস্ট করা ওয়েব সাইট ফাজি সেটসের গাণিতিক তত্ত্বের ইতিহাস সম্পর্কিত বইঃ সিস্টেমগুলির ফাজিফিকেশন। দ্য জেনেসিস অফ ফাজি সেট থিওরি অ্যান্ড ইটস ইনিশিয়াল অ্যাপ্লিকেশনস-ডেভেলপমেন্টস আপ টু দ্য 1970স (স্টাডিজ ইন ফাজিনেস অ্যান্ড সফট কম্পিউটিং, খণ্ড। 216) বার্লিন, নিউ ইয়র্ক, [ইত্যাদি। ]: স্প্রিঙ্গার 2007। অস্পষ্ট যুক্তি