Order of integration (calculus)
ক্যালকুলাসে, ইন্টিগ্রেশনের ক্রমের বিনিময় এমন একটি পদ্ধতি যা ইন্টিগ্রেশনগুলি সঞ্চালিত হয় এমন ক্রম পরিবর্তন করে ফাংশনের পুনরাবৃত্ত ইন্টিগ্রালগুলিকে (বা ফুবিনির উপপাদ্য ব্যবহারের মাধ্যমে একাধিক ইন্টিগ্রাল) অন্যান্য, আশা করা যায় সহজ, ইন্টিগ্রালে রূপান্তরিত করে। কিছু ক্ষেত্রে, ইন্টিগ্রেশনের ক্রম বৈধভাবে বিনিময় করা যেতে পারে; অন্যদের ক্ষেত্রে এটি হতে পারে না। সমস্যা বিবৃতি পরীক্ষার জন্য সমস্যা হল ফর্মের একটি অবিচ্ছেদ্য মূল্যায়ন যেখানে ডি xy-সমতলে কিছু দ্বি-মাত্রিক এলাকা। কিছু ফাংশনের জন্য এফ সোজাসুজি ইন্টিগ্রেশন সম্ভব, কিন্তু যেখানে এটি সত্য নয়, ইন্টিগ্রালের ক্রম পরিবর্তন করে ইন্টিগ্রালকে কখনও কখনও সহজ আকারে হ্রাস করা যেতে পারে। এই ইন্টারচেঞ্জের অসুবিধা হল ডোমেন ডি-এর বর্ণনার পরিবর্তন নির্ধারণ করা। পদ্ধতিটি অন্যান্য একাধিক ইন্টিগ্রালের ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য। কখনও কখনও, যদিও একটি সম্পূর্ণ মূল্যায়ন কঠিন, বা সম্ভবত একটি সংখ্যাসূচক ইন্টিগ্রেশন প্রয়োজন, একটি ডবল ইন্টিগ্রাল একটি একক ইন্টিগ্রেশনে হ্রাস করা যেতে পারে, যেমন পরবর্তী চিত্রিত। একক সংহতকরণে হ্রাস একটি সংখ্যাসূচক মূল্যায়নকে অনেক সহজ এবং আরও দক্ষ করে তোলে। অংশ দ্বারা ইন্টিগ্রেশনের সম্পর্ক পুনরাবৃত্ত ইন্টিগ্রাল বিবেচনা করুন যা আমরা পদার্থবিজ্ঞানে সাধারণত দেখা উপসর্গ স্বরলিপি ব্যবহার করে লিখবোঃ এই অভিব্যক্তিতে, দ্বিতীয় ইন্টিগ্রালটি প্রথমে y-এর সাপেক্ষে গণনা করা হয় এবং x স্থির থাকে-প্রস্থের একটি স্ট্রিপ dx প্রথমে y-দিকের উপর ইন্টিগ্রেট করা হয় (x দিকে প্রস্থের একটি স্ট্রিপ dx y দিক জুড়ে y চলকের সাপেক্ষে ইন্টিগ্রেট করা হয়), y-অক্ষ বরাবর প্রস্থ dy-এর আয়তক্ষেত্রের একটি অসীম পরিমাণ যোগ করে। এটি x-অক্ষ বরাবর y = a থেকে y = x পর্যন্ত y-অক্ষ বরাবর এবং z দিকে z = h (y) বরাবর একটি ত্রিমাত্রিক টুকরো তৈরি করে। লক্ষ্য করুন যে, যদি dx এর পুরুত্ব অসীম হয়, তবে x শুধুমাত্র স্লাইসে অসীমভাবে পরিবর্তিত হয়। আমরা ধরে নিতে পারি যে x ধ্রুবক। এই ইন্টিগ্রেশনটি চিত্র 1-এর বাম প্যানেলে দেখানো হয়েছে, তবে বিশেষত যখন h (y) ফাংশনটি সহজেই ইন্টিগ্রেট করা হয় না তখন এটি অসুবিধাজনক। চিত্রের ডান প্যানেলে যেমন দেখানো হয়েছে, ইন্টিগ্রেশনের ক্রমটি বিপরীত করে ইন্টিগ্রালটিকে একক ইন্টিগ্রেশনে হ্রাস করা যেতে পারে। চলকের এই বিনিময় সম্পন্ন করার জন্য, প্রস্থ dy-এর স্ট্রিপটি প্রথমে x = y রেখা থেকে x = z সীমার সাথে একীভূত করা হয় এবং তারপরে ফলাফলটি y = a থেকে y = z-এ একীভূত করা হয়, যার ফলস্বরূপঃ এই ফলাফলটি অংশ দ্বারা একীকরণের সূত্রের একটি উদাহরণ হিসাবে দেখা যেতে পারে, যা নীচে বর্ণিত হয়েছেঃ বিকল্পঃ যা ফলাফল দেয়। প্রধান-মান ইন্টিগ্রালের প্রয়োগের জন্য, দেখুন হুইটটেকার এবং ওয়াটসন, গাখভ, লু, বা জুয়িলিঙ্গার। ওবোলাশভিলিতে পয়েনকারে-বার্ট্রান্ড রূপান্তরের আলোচনাটিও দেখুন। একটি উদাহরণ যেখানে সংহতকরণের ক্রম বিনিময় করা যায় না তা কানওয়াল দিয়েছেনঃ অন্যদিকেঃ দ্বিতীয় রূপটি আংশিক ভগ্নাংশ সম্প্রসারণ এবং সোখোৎস্কি-প্লেমেলজ সূত্র ব্যবহার করে মূল্যায়ন করা হয়ঃ স্বরলিপিটি একটি কাউচি মূল মান নির্দেশ করে। কানওয়ালকে দেখুন। মৌলিক উপপাদ্য সংহতকরণের ক্রমকে বিপরীত করার ভিত্তি নিয়ে আলোচনা টি. ডব্লিউ-এর ফুরিয়ার অ্যানালাইসিস বইয়ে পাওয়া যায়। কর্নার। তিনি একটি উদাহরণ দিয়ে তাঁর আলোচনার পরিচয় দেন যেখানে একীকরণের বিনিময় দুটি ভিন্ন উত্তরের দিকে পরিচালিত করে কারণ নীচের দ্বিতীয় উপপাদ্যের শর্তগুলি সন্তুষ্ট নয়। এখানে উদাহরণ দেওয়া হয়েছেঃ ইন্টারচেঞ্জের গ্রহণযোগ্যতা নিয়ন্ত্রণকারী দুটি মৌলিক উপপাদ্য নীচে চৌধুরী এবং জুবায়ের থেকে উদ্ধৃত করা হয়েছেঃ প্রয়োগগুলির জন্য সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ উপপাদ্য প্রোটার এবং মোরি থেকে উদ্ধৃত করা হয়েছেঃ আরও দেখুন ফুবিনির উপপাদ্য রেফারেন্স এবং নোট পলের অনলাইন গণিতের বাহ্যিক লিঙ্কঃ ক্যালকুলাস III ওরেগন স্টেট ইউনিভার্সিটির গণিত বিভাগের পুনরাবৃত্ত ইন্টিগ্রাল ব্যবহার করে "ডাবল ইন্টিগ্রাল"-এর গণনা দেখানো ভাল 3ডি চিত্র। রন মিচের ইউ. সি. এল. এ ক্যালকুলাস সমস্যা একীকরণের ক্রম পরিবর্তনের আরও জটিল উদাহরণ (সমস্যা 33,35,37,39,41 এবং 43 দেখুন) ডুয়েন নাইক্যাম্পের মিনেসোটা বিশ্ববিদ্যালয়ের ওয়েবসাইট ইন্টিগ্রাল ক্যালকুলাস