Geometric analysis
জ্যামিতিক বিশ্লেষণ একটি গাণিতিক শাখা যেখানে ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতি এবং ডিফারেনশিয়াল টপোলজিতে নতুন ফলাফল প্রতিষ্ঠার জন্য ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ, বিশেষ করে উপবৃত্তাকার আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ (পি. ডি. ই)-এর সরঞ্জাম ব্যবহার করা হয়। রৈখিক উপবৃত্তাকার পি. ডি. ই-র ব্যবহার অন্তত হজ তত্ত্বের সময়কার। আরও সম্প্রতি, এটি মূলত ইউক্লিডীয় স্থানের সাবম্যানিফোল্ড, রিম্যানিয়ান ম্যানিফোল্ড এবং সিমপ্লেক্টিক ম্যানিফোল্ডের মতো স্থানগুলির জ্যামিতিক এবং টপোলজিকাল বৈশিষ্ট্য অধ্যয়নের জন্য অরৈখিক আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের ব্যবহারকে বোঝায়। এই পদ্ধতিটি টিবোর রাডো এবং জেসি ডগলাসের ন্যূনতম পৃষ্ঠের উপর, জন ফোর্বস ন্যাশ জুনিয়রের ইউক্লিডিয়ান স্পেসে রিম্যানিয়ান ম্যানিফোল্ডের আইসোমেট্রিক এম্বেডিংয়ের উপর, লুই নিরেনবার্গের মিনকোভস্কি সমস্যা এবং ওয়েইল সমস্যার উপর কাজ এবং আলেকজান্ডার ড্যানিলোভিচ আলেকজান্ডারভ এবং আলেক্সি পোগোরলভের উত্তল হাইপারসার্ফেসগুলির উপর কাজ থেকে শুরু হয়। 1980-এর দশকে কারেন উহলেনবেক, ক্লিফোর্ড টাউবেস, শিং-টুং ইয়াউ, রিচার্ড শোয়েন এবং রিচার্ড হ্যামিল্টনের মৌলিক অবদান জ্যামিতিক বিশ্লেষণের একটি বিশেষভাবে উত্তেজনাপূর্ণ এবং উৎপাদনশীল যুগের সূচনা করে যা আজও অব্যাহত রয়েছে। একটি উদযাপিত অর্জন ছিল গ্রিগরি পেরেলম্যানের পয়েনকারে অনুমানের সমাধান, যা রিচার্ড হ্যামিল্টন দ্বারা শুরু করা এবং মূলত পরিচালিত একটি প্রোগ্রাম সম্পূর্ণ করে। জ্যামিতিক বিশ্লেষণের ক্ষেত্রে আংশিক অবকল সমীকরণের অধ্যয়নে জ্যামিতিক পদ্ধতির ব্যবহার (যখন এটি "জ্যামিতিক পি. ডি. ই" নামেও পরিচিত) এবং জ্যামিতিতে আংশিক অবকল সমীকরণের তত্ত্বের প্রয়োগ উভয়ই অন্তর্ভুক্ত। এটি বক্ররেখা এবং পৃষ্ঠতল, বা বাঁকা সীমানা সহ ডোমেনগুলির সাথে জড়িত সমস্যাগুলিকে অন্তর্ভুক্ত করে, তবে নির্বিচারে মাত্রায় রিমানিয়ান ম্যানিফোল্ডগুলির অধ্যয়নও করে। বৈচিত্র্যের ক্যালকুলাসকে কখনও কখনও জ্যামিতিক বিশ্লেষণের অংশ হিসাবে বিবেচনা করা হয়, কারণ বৈচিত্র্যমূলক নীতিগুলি থেকে উদ্ভূত ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলির একটি শক্তিশালী জ্যামিতিক বিষয়বস্তু থাকে। জ্যামিতিক বিশ্লেষণে বৈশ্বিক বিশ্লেষণও অন্তর্ভুক্ত রয়েছে, যা বহুগুণের উপর ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের অধ্যয়ন এবং ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ এবং টপোলজির মধ্যে সম্পর্ক নিয়ে উদ্বেগ প্রকাশ করে। জ্যামিতিক বিশ্লেষণের মধ্যে প্রধান বিষয়গুলির একটি আংশিক তালিকা নিম্নরূপঃ গেজ তত্ত্ব হারমনিক মানচিত্র কেলার-আইনস্টাইন মেট্রিক্স গড় বক্রতা প্রবাহ ন্যূনতম সাবম্যানিফোল্ড ইতিবাচক শক্তি উপপাদ্য সিউডোহোলোমর্ফিক বক্ররেখা রিচি প্রবাহ ইয়ামাবে সমস্যা ইয়াং-মিলস সমীকরণ রেফারেন্স আরও পড়া বৈচিত্র্যের ক্যালকুলাস পার্থক্যমূলক সমীকরণ