Relaxation (iterative method)
সংখ্যাসূচক গণিতে, শিথিলকরণ পদ্ধতি হল অরৈখিক পদ্ধতি সহ সমীকরণের পদ্ধতি সমাধানের জন্য পুনরাবৃত্তিমূলক পদ্ধতি। বড় বিরল রৈখিক ব্যবস্থা সমাধানের জন্য শিথিলকরণ পদ্ধতি তৈরি করা হয়েছিল, যা ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সীমাবদ্ধ-পার্থক্য বিচ্যুতি হিসাবে উদ্ভূত হয়েছিল। এগুলি রৈখিক ন্যূনতম-বর্গ সমস্যার জন্য রৈখিক সমীকরণের সমাধানের জন্য এবং রৈখিক প্রোগ্রামিং-এ উদ্ভূত রৈখিক বৈষম্যের ব্যবস্থার জন্যও ব্যবহৃত হয়। সমীকরণের অরৈখিক পদ্ধতি সমাধানের জন্যও এগুলি তৈরি করা হয়েছে। শিথিলকরণ পদ্ধতিগুলি বিশেষত উপবৃত্তাকার আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের মডেল তৈরি করতে ব্যবহৃত রৈখিক ব্যবস্থার সমাধানে গুরুত্বপূর্ণ, যেমন ল্যাপলেসের সমীকরণ এবং এর সাধারণীকরণ, পয়সনের সমীকরণ। এই সমীকরণগুলি সীমানা-মান সমস্যাগুলি বর্ণনা করে, যেখানে সমাধান-ফাংশনের মানগুলি একটি ডোমেনের সীমানায় নির্দিষ্ট করা হয়; সমস্যাটি হল তার অভ্যন্তরেও একটি সমাধান গণনা করা। শিথিলকরণ পদ্ধতিগুলি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের বিচ্ছিন্নকরণের ফলে রৈখিক সমীকরণগুলি সমাধান করতে ব্যবহৃত হয়, উদাহরণস্বরূপ সীমাবদ্ধ পার্থক্য দ্বারা। সমাধানগুলির পুনরাবৃত্তিমূলক শিথিলকরণকে সাধারণত মসৃণকরণ বলা হয় কারণ ল্যাপ্লাসের সমীকরণের মতো নির্দিষ্ট সমীকরণগুলির সাথে এটি সমাধান ভেক্টরের স্থানীয় মসৃণকরণ ফিল্টারের পুনরাবৃত্ত প্রয়োগের অনুরূপ। এগুলিকে গাণিতিক অপ্টিমাইজেশনের শিথিলকরণ পদ্ধতির সাথে বিভ্রান্ত করা উচিত নয়, যা একটি সহজ সমস্যা দ্বারা একটি কঠিন সমস্যার আনুমানিক অনুমান করে যার "শিথিল" সমাধান মূল সমস্যার সমাধান সম্পর্কে তথ্য সরবরাহ করে। সম্ভাব্য তত্ত্বের মডেল সমস্যা যখন বাস্তব সংখ্যার উপর φ একটি মসৃণ বাস্তব-মূল্যবান ফাংশন হয়, তখন এর দ্বিতীয় অন্তরজকে আনুমানিকভাবে এইভাবে অনুমান করা যেতে পারেঃ বিন্দুতে (x, y) দুটি আর্গুমেন্টের একটি ফাংশন φ-এর জন্য উভয় মাত্রায় এটি ব্যবহার করা এবং φ (x, y)-এর জন্য সমাধান করা, ফলস্বরূপঃ পয়সন সমীকরণের সমাধান আনুমানিক করতেঃ গ্রিড ব্যবধান h সহ একটি দ্বি-মাত্রিক গ্রিডে, শিথিলকরণ পদ্ধতি প্রদত্ত ফাংশন φ-এর মানগুলি সীমানার কাছাকাছি গ্রিড পয়েন্টগুলিতে এবং অভ্যন্তরীণ গ্রিড পয়েন্টগুলিতে নির্বিচারে মানগুলি বরাদ্দ করে এবং তারপরে বারবার অভ্যন্তরীণ পয়েন্টগুলিতে φ: = φ * অ্যাসাইনমেন্টটি সম্পাদন করে, যেখানে φ * দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়ঃ অভিসরণ না হওয়া পর্যন্ত। পদ্ধতিটি সহজেই অন্যান্য সংখ্যার মাত্রায় সাধারণীকরণ করা হয়। যদিও পদ্ধতিটি সাধারণ পরিস্থিতিতে একত্রিত হয়, এটি সাধারণত প্রতিযোগিতামূলক পদ্ধতির তুলনায় ধীর অগ্রগতি করে। তা সত্ত্বেও, শিথিলকরণ পদ্ধতির অধ্যয়ন রৈখিক বীজগণিতের একটি মূল অংশ হিসাবে রয়ে গেছে, কারণ শিথিলকরণ তত্ত্বের রূপান্তরগুলি নতুন পদ্ধতির জন্য দুর্দান্ত পূর্বশর্ত সরবরাহ করে। প্রকৃতপক্ষে, পুনরাবৃত্তিমূলক পদ্ধতি নির্বাচনের চেয়ে পূর্বশর্তের পছন্দ প্রায়শই বেশি গুরুত্বপূর্ণ। পদ্ধতিগুলিকে ত্বরান্বিত করতে মাল্টিগ্রিড পদ্ধতি ব্যবহার করা যেতে পারে। প্রথমে একটি মোটা গ্রিডে একটি আনুমানিক গণনা করা যেতে পারে-সাধারণত দ্বিগুণ ব্যবধান 2 ঘন্টা-এবং প্রাথমিক অ্যাসাইনমেন্ট হিসাবে অন্যান্য গ্রিড পয়েন্টগুলির জন্য ইন্টারপোলেটেড মান সহ সেই সমাধানটি ব্যবহার করতে পারে। এটি তখন মোটা গণনার জন্য পুনরাবৃত্তিমূলকভাবেও করা যেতে পারে। আরও দেখুন রৈখিক ব্যবস্থায়, শিথিলকরণ পদ্ধতির দুটি প্রধান শ্রেণী হল স্থির পুনরাবৃত্তিমূলক পদ্ধতি এবং আরও সাধারণ ক্রাইলভ সাবস্পেস পদ্ধতি। জ্যাকোবি পদ্ধতি হল একটি সহজ শিথিলকরণ পদ্ধতি। গাউস-সিডেল পদ্ধতিটি জ্যাকোবি পদ্ধতির একটি উন্নতি। সংমিশ্রণের গতি বাড়ানোর জন্য জ্যাকোবি এবং গাউস-সিডেল পদ্ধতির যে কোনও একটিতে ধারাবাহিকভাবে অতিরিক্ত শিথিলতা প্রয়োগ করা যেতে পারে। মাল্টিগ্রিড পদ্ধতি নোট রেফারেন্স আব্রাহাম বারম্যান, রবার্ট জে. প্লেমন্স, নন-নেগেটিভ ম্যাট্রিসেস ইন দ্য ম্যাথমেটিকাল সায়েন্সেস, 1994, সিয়াম। । ইউসেফ সাদ, ইটারেটিভ মেথডস ফর স্পার্স লিনিয়ার সিস্টেমস, 1ম সংস্করণ, পিডব্লিউএস, 1996। রিচার্ড এস. ভারগা 2002 ম্যাট্রিক্স পুনরাবৃত্তিমূলক বিশ্লেষণ, দ্বিতীয় সংস্করণ। (1962 সালের প্রেন্টিস হল সংস্করণ), স্প্রিঙ্গার-ভার্লাগ। ডেভিড এম ইয়াং, জুনিয়র ইটারেটিভ সলিউশন অফ লার্জ লিনিয়ার সিস্টেমস, অ্যাকাডেমিক প্রেস, 1971। (ডোভার দ্বারা পুনঃমুদ্রিত, 2003) সাউথওয়েল, আর. ভি. (1940) ইঞ্জিনিয়ারিং সায়েন্সে শিথিলকরণ পদ্ধতি। অক্সফোর্ড ইউনিভার্সিটি প্রেস, অক্সফোর্ড। সাউথওয়েল, আর. ভি. (1946) তাত্ত্বিক পদার্থবিজ্ঞানে শিথিলকরণ পদ্ধতি। অক্সফোর্ড ইউনিভার্সিটি প্রেস, অক্সফোর্ড। পি. গ্রিভেট, পি. ডব্লিউ। হকস, A.Septier (1972)। ইলেক্ট্রন অপটিক্স, 2য় সংস্করণ। পের্গামন প্রেস। । ডি. ডব্লিউ. ও. হেডল (2000)। ইলেক্ট্রোস্ট্যাটিক লেন্স সিস্টেম, 2য় সংস্করণ। সিআরসি প্রেস। । এরউইন ক্যাসপার (2001)। অ্যাডভান্সস ইন ইমেজিং অ্যান্ড ইলেক্ট্রন ফিজিক্স, খণ্ড। 116, চার্জ করা কণা অপটিক্সের জন্য সংখ্যাসূচক ক্ষেত্র গণনা। একাডেমিক প্রেস। । পুনরাবৃত্তিমূলক পদ্ধতি সংখ্যাসূচক রৈখিক বীজগণিত