Holomorph (mathematics)
গণিতে, বিশেষত বীজগণিতের ক্ষেত্রে যা গোষ্ঠী তত্ত্ব নামে পরিচিত, একটি গোষ্ঠীর হলোমর্ফ হল এমন একটি গোষ্ঠী যা একই সাথে গোষ্ঠী এবং তার অটোমরফিজম গোষ্ঠীর (অনুলিপি) ধারণ করে। হোলোমর্ফ গোষ্ঠীগুলির আকর্ষণীয় উদাহরণ সরবরাহ করে এবং গোষ্ঠী উপাদান এবং গোষ্ঠী অটোমরফিজমগুলিকে একটি অভিন্ন প্রসঙ্গে চিকিত্সা করার অনুমতি দেয়। গোষ্ঠী তত্ত্বে, একটি গোষ্ঠীর জন্য, চিহ্নিত হোলমর্ফকে একটি আধা-পরোক্ষ গুণফল বা একটি বিন্যাস গোষ্ঠী হিসাবে বর্ণনা করা যেতে পারে। হোল (জি) একটি আধা-পরোক্ষ পণ্য হিসাবে যদি অটোমরফিজম গ্রুপ হয় যেখানে গুণটি [ইক্যু দ্বারা দেওয়া হয়। 1] সাধারণত, একটি সেমিডাইরেক্ট প্রোডাক্ট এমন আকারে দেওয়া হয় যেখানে এবং তারা গ্রুপ এবং এটি একটি সমরূপতা এবং যেখানে সেমিডাইরেক্ট প্রোডাক্টে উপাদানগুলির গুণন দেওয়া হয় যা ভালভাবে সংজ্ঞায়িত, যেহেতু এবং তাই। হোলোমর্ফের জন্য, এবং এটি পরিচয় মানচিত্র, যেমন আমরা [Eq তে প্রদত্ত গুণনে স্পষ্টভাবে লেখা দমন করি। 1] উপরে। উদাহরণস্বরূপ, ক্রম 3-এর চক্রাকার গোষ্ঠী যেখানে প্রদত্ত গুণের সাথেঃ যেখানে এর সূচকগুলি মোড 3 এবং মোড 2-এর হিসাবে নেওয়া হয়। উদাহরণস্বরূপ, লক্ষ্য করুন এবং এই গ্রুপটি আবেলিয়ান নয়, তাই এটি 6 ক্রমের একটি অ-আবেলিয়ান গ্রুপ, যা মৌলিক গ্রুপ তত্ত্ব অনুসারে, প্রতিসম গ্রুপের সমতুল্য হতে হবে। হোল (জি) একটি ক্রমবর্ধমান গোষ্ঠী হিসাবে একটি গোষ্ঠী জি বাম এবং ডান গুণ দ্বারা স্বাভাবিকভাবে নিজের উপর কাজ করে, প্রতিটি জি-এর অন্তর্নিহিত সেটের উপর জি থেকে প্রতিসম গোষ্ঠীতে একটি সমরূপতার জন্ম দেয়। একটি সমরূপতাকে λ: জি → সিম (জি), (এইচ) = জি·এইচ হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। অর্থাৎ, g কে g দ্বারা প্রতিটি উপাদানকে বাম-গুণ করে প্রাপ্ত বিন্যাসের সাথে ম্যাপ করা হয়। একইভাবে, একটি দ্বিতীয় সমরূপতা ρ: G → সিম (G) কে (h) = h·g−1 দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়, যেখানে বিপরীতটি নিশ্চিত করে যে (k) = ((k))। এই সমরূপতাগুলিকে জি-এর বাম এবং ডান নিয়মিত উপস্থাপনা বলা হয়। প্রতিটি সমরূপতা ইনজেকটিভ, একটি সত্য যা কেলির উপপাদ্য হিসাবে উল্লেখ করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, যদি G = C3 = {1, x, x2} তিনটি ক্রমের একটি চক্রাকার গোষ্ঠী হয়, তাহলে (1) = x·1 = x, (x) = x·x = x2, এবং (x2) = x·x2 = 1, তাই λ (x) (1, x, x2) থেকে (x, x2,1) নেয়। λ-এর চিত্রটি সিম (জি) থেকে জি-এর সমরূপের একটি উপগোষ্ঠী, এবং সিম (জি)-এ এর স্বাভাবিককারীকে জি-এর হোলোমর্ফ এন হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। যদি হোলোমর্ফের একটি উপাদান n, G-এর পরিচয় স্থির করে, তবে G-তে 1-এর জন্য, (n·) (1) = (n·) (1), কিন্তু বাম দিকটি হল n (g), এবং ডান দিকটি হল h। অন্য কথায়, যদি N-এ n, G-এর পরিচয় স্থির করে, তবে G-এর প্রতিটি g-এর জন্য, n· =·n। যদি g, h হল G-এর উপাদান, এবং n হল G-এর পরিচয় নির্ধারণকারী N-এর একটি উপাদান, তাহলে এই সমতা n··-এর উপর দুইবার প্রয়োগ করলে এবং একবার (সমতুল্য) অভিব্যক্তি n·-এর উপর প্রয়োগ করলে n (g)·n (h) = n (g·h) পাওয়া যায়। অর্থাৎ, জি-এর পরিচয় স্থির করে এমন এন-এর প্রতিটি উপাদান আসলে জি-এর একটি অটোমরফিজম। এই জাতীয় এন স্বাভাবিক করে এবং একমাত্র যা পরিচয় স্থির করে তা হল λ (1)। 'এ' কে পরিচয়ের স্থিতিশীল হিসাবে নির্ধারণ করা, 'এ' দ্বারা উত্পন্ন উপগোষ্ঠী এবং সাধারণ উপগোষ্ঠী এবং পরিপূরক 'এ' সহ আধা-পরোক্ষ পণ্য। যেহেতু ট্রানজিটিভ, এবং পয়েন্ট স্টেবিলাইজার এ দ্বারা উত্পন্ন উপগোষ্ঠীটি সমস্ত এন, যা দেখায় যে হোলমর্ফ একটি ক্রমবর্ধমান গোষ্ঠী হিসাবে সেমিডাইরেক্ট প্রোডাক্ট হিসাবে হোলমর্ফের সমতুল্য। এটি দরকারী, কিন্তু সরাসরি প্রাসঙ্গিক নয় যে সিম (জি)-এর কেন্দ্রীয়কারী হল, তাদের ছেদ হল, যেখানে জেড (জি) হল জি-এর কেন্দ্র, এবং যে এ হল এন-এর এই দুটি স্বাভাবিক উপগোষ্ঠীর একটি সাধারণ পরিপূরক। বৈশিষ্ট্য ρ (জি) θ অট (জি) = 1 অট (জি) ρ (জি)-কে স্বাভাবিক করে যাতে ρ (জি) অট (জি) θজি অট (জি) থেকে λ (জি) ρ (জি) (এইচ) = জিএইচজি-1 (জি-এর অভ্যন্তরীণ অটোমরফিজমের গ্রুপ।) কে ≤ জি একটি বৈশিষ্ট্যযুক্ত উপগোষ্ঠী যদি এবং শুধুমাত্র যদি λ (কে) ′ হোল (জি) হয়।