Lattice of subgroups
গণিতে, একটি গোষ্ঠীর উপগোষ্ঠীর জাল হল সেই জাল যার উপাদানগুলি উপগোষ্ঠী, যার আংশিক ক্রমের সম্পর্ককে অন্তর্ভুক্ত করা হয়। এই জালিতে, দুটি উপগোষ্ঠীর সংযোগ হল তাদের সংযোগ দ্বারা উত্পন্ন উপগোষ্ঠী, এবং দুটি উপগোষ্ঠীর মিলন হল তাদের ছেদ। উদাহরণ ডাইহেড্রাল গ্রুপ দিহ 4-এর দশটি উপগোষ্ঠী রয়েছে, যা নিজেকে এবং তুচ্ছ উপগোষ্ঠীকে গণনা করে। আটটি গ্রুপ উপাদানের মধ্যে পাঁচটি অর্ডার দুই-এর উপগোষ্ঠী তৈরি করে এবং অন্য দুটি অ-পরিচয় উপাদান উভয়ই অর্ডার চার-এর একই চক্রাকার উপগোষ্ঠী তৈরি করে। উপরন্তু, Z2 × Z2 ফর্মের দুটি উপগোষ্ঠী রয়েছে, যা ক্রম-দুটি উপাদানের জোড়া দ্বারা উত্পন্ন হয়। এই দশটি উপগোষ্ঠী দ্বারা গঠিত জালটি চিত্রে দেখানো হয়েছে। এই উদাহরণটি আরও দেখায় যে একটি গোষ্ঠীর সমস্ত উপগোষ্ঠীর জাল সাধারণত মডুলার জাল নয়। প্রকৃতপক্ষে, এই বিশেষ জালটিতে নিষিদ্ধ "পঞ্চভুজ" এন5 একটি উপজালিকা হিসাবে রয়েছে। গুণাবলী A ≤ C (C এর একটি উপগোষ্ঠী) সহ একটি গোষ্ঠীর যে কোনও A, B এবং C উপগোষ্ঠীর জন্য তারপর AB ≤ C = A (B ≤ C); এখানে গুণন হল উপগোষ্ঠীর গুণফল। এই বৈশিষ্ট্যটিকে গোষ্ঠীগুলির মডুলার সম্পত্তি বা (ডেডেকিন্ডের) মডুলার আইন (,) বলা হয়েছে। যেহেতু দুটি স্বাভাবিক উপগোষ্ঠীর জন্য পণ্যটি আসলে দুটি ধারণকারী ক্ষুদ্রতম উপগোষ্ঠী, তাই সাধারণ উপগোষ্ঠীগুলি একটি মডুলার জাল গঠন করে। ল্যাটিস উপপাদ্যটি একটি গোষ্ঠীর উপগোষ্ঠীর ল্যাটিস এবং তার কোটিয়েন্টগুলির মধ্যে একটি গ্যালোইস সংযোগ স্থাপন করে। জ্যাসেনহাউস লেম্মা উপগোষ্ঠীর জালিতে কোটিয়েন্ট এবং পণ্যগুলির নির্দিষ্ট সংমিশ্রণের মধ্যে একটি সমরূপতা দেয়। সাধারণভাবে, উপগোষ্ঠীর জালের আকৃতির উপর কোনও বিধিনিষেধ নেই, এই অর্থে যে প্রতিটি জাল কোনও গোষ্ঠীর উপগোষ্ঠীর জালের একটি উপবৃত্তের সমরূপ। উপরন্তু, প্রতিটি সসীম জাল কিছু সসীম গোষ্ঠীর উপগোষ্ঠীর জালের একটি উপজালের সমরূপ। নির্দিষ্ট বৈশিষ্ট্যযুক্ত বৈশিষ্ট্যযুক্ত জাল উপগোষ্ঠীগুলি জাল গঠন করে, তবে অন্যান্য বৈশিষ্ট্যগুলি তা করে না। সাধারণ উপগোষ্ঠীগুলি সর্বদা একটি মডুলার জাল গঠন করে। প্রকৃতপক্ষে, প্রয়োজনীয় বৈশিষ্ট্য যা নিশ্চিত করে যে জালটি মডুলার হল যে উপগোষ্ঠীগুলি একে অপরের সাথে যাতায়াত করে, অর্থাৎ। যে তারা কোয়াসিনরমাল উপগোষ্ঠী। নিলপোটেন্ট স্বাভাবিক উপগোষ্ঠীগুলি একটি জাল গঠন করে, যা ফিটিং-এর উপপাদ্যের বিষয়বস্তু (অংশ)। সাধারণভাবে, যে কোনও ফিটিং ক্লাস এফ-এর জন্য, সাব-নর্মাল এফ-সাবগ্রুপ এবং সাধারণ এফ-সাবগ্রুপ উভয়ই ল্যাটিস গঠন করে। এর মধ্যে রয়েছে নীলপোটেন্ট গোষ্ঠীর শ্রেণী এফ-এর পাশাপাশি অন্যান্য উদাহরণ যেমন সমাধানযোগ্য গোষ্ঠীর শ্রেণী এফ। গোষ্ঠীগুলির একটি শ্রেণীকে উপযুক্ত শ্রেণী বলা হয় যদি এটি আইসোমরফিজম, সাব-নর্মাল সাবগ্রুপ এবং সাব-নর্মাল সাবগ্রুপের পণ্যগুলির অধীনে বন্ধ থাকে। কেন্দ্রীয় উপগোষ্ঠীগুলি একটি জাল গঠন করে। যাইহোক, সীমাবদ্ধ উপগোষ্ঠী বা টর্জন উপগোষ্ঠী একটি জাল গঠন করেঃ উদাহরণস্বরূপ, মুক্ত পণ্য দুটি টর্জন উপাদান দ্বারা উত্পন্ন হয়, কিন্তু অসীম এবং অসীম ক্রমের উপাদান ধারণ করে। সাধারণ উপগোষ্ঠীগুলি একটি মডুলার জাল গঠন করে যা আরও সাধারণ ফলাফলের একটি নির্দিষ্ট ঘটনা, যথা যে কোনও মাল্টসেভ বৈচিত্র্যে (যার মধ্যে গোষ্ঠীগুলি একটি উদাহরণ), সংযোগের জালটি মডুলার হয়। উপগোষ্ঠীর জাল দ্বারা গোষ্ঠীগুলিকে চিহ্নিত করা উপগোষ্ঠীর জাল সম্পর্কে তাত্ত্বিক তথ্য কখনও কখনও মূল গোষ্ঠী সম্পর্কে তথ্য অনুমান করতে ব্যবহার করা যেতে পারে, এমন একটি ধারণা যা তাদের কাজে ফিরে যায়। উদাহরণস্বরূপ, আকরিক যেমন প্রমাণ করেছে, একটি গোষ্ঠী স্থানীয়ভাবে চক্রীয় হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি তার উপগোষ্ঠীর জাল বণ্টনশীল হয়। যদি অতিরিক্তভাবে জালটি আরোহী শৃঙ্খলের অবস্থাকে সন্তুষ্ট করে, তবে গোষ্ঠীটি চক্রাকার। যে গোষ্ঠীগুলির উপগোষ্ঠীর জাল একটি পরিপূরক জাল, তাদের পরিপূরক গোষ্ঠী বলা হয় এবং যে গোষ্ঠীগুলির উপগোষ্ঠীগুলির জাল মডুলার জাল হয় তাদের ইওয়াসাওয়া গোষ্ঠী বা মডুলার গোষ্ঠী বলা হয়। এই ধরনের জাল-তাত্ত্বিক বৈশিষ্ট্যগুলি সমাধানযোগ্য গোষ্ঠী এবং নিখুঁত গোষ্ঠীর জন্যও বিদ্যমান। বুল-এ রাল্ফ ফ্রিসের রেফারেন্স রিভিউ। এএমএস 33 (4): 487-492। বাহ্যিক সংযোগ উপগোষ্ঠীর জালিতে প্ল্যানেটম্যাথ এন্ট্রি উদাহরণস্বরূপঃ প্রতিসম গোষ্ঠীর উপগোষ্ঠীর জাল এস4 জাল তত্ত্ব গোষ্ঠী তত্ত্ব