Lagrange inversion theorem
গাণিতিক বিশ্লেষণে, ল্যাগ্রাঞ্জ বিপরীত উপপাদ্য, যা ল্যাগ্রাঞ্জ-বার্মান সূত্র নামেও পরিচিত, একটি বিশ্লেষণাত্মক ফাংশনের বিপরীত ফাংশনের টেলর সিরিজের সম্প্রসারণ দেয়। বিবৃতি ধরুন একটি সমীকরণের একটি ফাংশন হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় যেখানে একটি বিন্দুতে বিশ্লেষণাত্মক হয় এবং তারপর একটি পাওয়ার সিরিজ দ্বারা প্রদত্ত আকারে সমীকরণটি প্রকাশ করা বা সমাধান করা সম্ভব যেখানে উপপাদ্যটি আরও বলে যে এই সিরিজের অভিসারের একটি অ-শূন্য ব্যাসার্ধ রয়েছে, অর্থাৎ, একটি বিশ্লেষণাত্মক ফাংশনকে উপস্থাপন করে। যদি বিশ্লেষণাত্মকতা সম্পর্কে দাবিগুলি বাদ দেওয়া হয়, তবে সূত্রটি আনুষ্ঠানিক পাওয়ার সিরিজের জন্যও বৈধ এবং বিভিন্ন উপায়ে সাধারণীকরণ করা যেতে পারেঃ এটি বিভিন্ন চলকের ফাংশনের জন্য প্রণয়ন করা যেতে পারে; যে কোনও বিশ্লেষণাত্মক ফাংশনের জন্য একটি প্রস্তুত সূত্র সরবরাহ করার জন্য এটি প্রসারিত করা যেতে পারে; এবং এটি এমন ক্ষেত্রে সাধারণীকরণ করা যেতে পারে যেখানে বিপরীতটি একটি বহুমূল্য ফাংশন। এই উপপাদ্যটি ল্যাগ্রাঞ্জ দ্বারা প্রমাণিত হয়েছিল এবং 18 শতকের শেষের দিকে হ্যান্স হাইনরিখ বারম্যান দ্বারা সাধারণীকরণ করা হয়েছিল। জটিল বিশ্লেষণ এবং কনট্যুর ইন্টিগ্রেশন ব্যবহার করে একটি সোজাসাপ্টা ব্যুৎপত্তি রয়েছে; জটিল আনুষ্ঠানিক পাওয়ার সিরিজ সংস্করণটি পলিনোমিয়ালগুলির সূত্র জানার একটি পরিণতি, তাই বিশ্লেষণাত্মক ফাংশনের তত্ত্ব প্রয়োগ করা যেতে পারে। প্রকৃতপক্ষে, বিশ্লেষণাত্মক ফাংশন তত্ত্ব থেকে যন্ত্রপাতি শুধুমাত্র এই প্রমাণের মধ্যে একটি আনুষ্ঠানিক উপায়ে প্রবেশ করে, যে প্রকৃতপক্ষে যা প্রয়োজন তা হল আনুষ্ঠানিক অবশিষ্টাংশের কিছু বৈশিষ্ট্য, এবং আরও সরাসরি আনুষ্ঠানিক প্রমাণ পাওয়া যায়। যদি একটি আনুষ্ঠানিক পাওয়ার সিরিজ হয়, তবে উপরের সূত্রটি সিরিজের সহগের পরিপ্রেক্ষিতে সরাসরি গঠনমূলক বিপরীত সিরিজের সহগগুলি দেয় না। যদি কেউ ফাংশনগুলি এবং ফর্মাল পাওয়ার সিরিজে এবং এর সাথে প্রকাশ করতে পারে, তবে বেল পলিনোমিয়ালগুলির পরিভাষায় বিপরীত সহগের একটি স্পষ্ট রূপ দেওয়া যেতে পারেঃ যেখানে ক্রমবর্ধমান ফ্যাক্টোরিয়াল। কখন, শেষ সূত্রটি অ্যাসোসিয়াহেড্রার মুখের পরিপ্রেক্ষিতে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে যেখানে অ্যাসোসিয়াহেড্রনের প্রতিটি মুখের জন্য উদাহরণস্বরূপ, ডিগ্রির বীজগাণিতিক সমীকরণটি ফাংশনের জন্য ল্যাগ্রাঞ্জ বিপরীত সূত্রের মাধ্যমে সমাধান করা যেতে পারে, যার ফলে একটি আনুষ্ঠানিক সিরিজ সমাধান হয়। সরলতার জন্য প্রমাণের স্কেচ ধরুন। তারপরে আমরা গণনা করতে পারি যদি আমরা জ্যামিতিক সিরিজ ব্যবহার করে ইন্টিগ্র্যান্ডটি প্রসারিত করি তবে আমরা শেষ ধাপে যেখানে পাই সেখানে আমরা একটি সাধারণ শূন্য ব্যবহার করি। পরিশেষে আমরা বিবেচনায় নিয়ে আরও বেশি সংহত করতে পারি যোগফল সূচকের একটি পুনর্নির্ধারণে আমরা বর্ণিত সূত্রটি পাই। অ্যাপ্লিকেশন ল্যাগ্রাঞ্জ-বার্মান সূত্র ল্যাগ্রাঞ্জ ইনভার্সন উপপাদ্যের একটি বিশেষ কেস রয়েছে যা কম্বিনেটরিক্সে ব্যবহৃত হয় এবং প্রযোজ্য হয় যখন কিছু বিশ্লেষণের জন্য গ্রহণ করা হয়। সূত্রটির একটি সাধারণীকরণ ল্যাগ্রাঞ্জ-বার্মান সূত্র হিসাবে পরিচিতঃ যেখানে একটি নির্বিচারে বিশ্লেষণমূলক ফাংশন। কখনও কখনও, ডেরিভেটিভ বেশ জটিল হতে পারে। সূত্রটির একটি সহজ সংস্করণ এর পরিবর্তে যা অন্তর্ভুক্ত তা পেতে প্রতিস্থাপন করে। ল্যাম্বার্ট ফাংশন ল্যাম্বার্ট ফাংশন হল সেই ফাংশন যা সমীকরণ দ্বারা অন্তর্নিহিতভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। আমরা এই উপপাদ্যটি ব্যবহার করে টেইলর সিরিজ গণনা করতে পারি। একটি সিরিজ যা (আনুমানিক) জন্য একত্রিত হয় তা সিরিজ বিপরীতকরণ দ্বারাও উদ্ভূত হতে পারে। ফাংশনটি সমীকরণটিকে সন্তুষ্ট করে তারপর একটি পাওয়ার সিরিজে প্রসারিত করা যেতে পারে এবং উল্টো করা যেতে পারে। এটি একটি সিরিজ দেয় যা উপরের সিরিজে প্রতিস্থাপিত করে গণনা করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, বিকল্প হিসাবে বাইনারি গাছের মান দেওয়া হয় লেবেলবিহীন বাইনারি গাছের সেট বিবেচনা করুন। এর একটি উপাদান হয় শূন্য আকারের একটি পাতা, অথবা দুটি সাবট্রি সহ একটি মূল নোড। নোডের উপর বাইনারি গাছের সংখ্যা দ্বারা চিহ্নিত করুন। মূল অপসারণ একটি বাইনারি গাছকে ছোট আকারের দুটি গাছে বিভক্ত করে। এটি উৎপাদনকারী ফাংশনের উপর কার্যকরী সমীকরণ প্রদান করে, এইভাবে ফলন সহ উপপাদ্য প্রয়োগ করা এটি দেখায় যে এটি হল তম কাতালান সংখ্যা। ইন্টিগ্রালগুলির অ্যাসিম্পটোটিক আনুমানিক লাপ্লাস-আর্ডেলি উপপাদ্য যা ল্যাপ্লাস-টাইপ ইন্টিগ্রালগুলির জন্য অ্যাসিম্পটোটিক আনুমানিক দেয়, ফাংশন ইনভার্সনকে একটি গুরুত্বপূর্ণ পদক্ষেপ হিসাবে নেওয়া হয়। আরও দেখুন ফা ডি ব্রুনোর সূত্রটি সেই দুটি সিরিজের সহগের পরিপ্রেক্ষিতে দুটি আনুষ্ঠানিক শক্তি সিরিজের গঠনের সহগ প্রদান করে। সমতুল্যভাবে, এটি একটি যৌগিক ফাংশনের nতম ব্যুৎপত্তির একটি সূত্র। অন্য একটি উপপাদ্যের জন্য ল্যাগ্রেঞ্জ বিপরীতমুখী উপপাদ্য যাকে কখনও কখনও বিপরীতমুখী উপপাদ্য বলা হয় আনুষ্ঠানিক শক্তি series#The ল্যাগ্রেঞ্জ বিপরীতমুখী সূত্র রেফারেন্স স্প্রিংগার ইওএম বিপরীত ফাংশনে বার্মান-ল্যাগ্রেঞ্জ সিরিজের সাথে বাহ্যিক যোগসূত্র বাস্তব বিশ্লেষণে উপপাদ্য জটিল বিশ্লেষণে উপপাদ্য সংমিশ্রণে উপপাদ্য