Direct stiffness method
কাঠামোগত বিশ্লেষণের একটি পদ্ধতি হিসাবে, ডাইরেক্ট স্টিফনেস পদ্ধতি, যা ম্যাট্রিক্স স্টিফনেস পদ্ধতি নামেও পরিচিত, স্থিতিশীলভাবে অনির্ধারিত প্রকার সহ জটিল কাঠামোর কম্পিউটার-স্বয়ংক্রিয় বিশ্লেষণের জন্য বিশেষভাবে উপযুক্ত। এটি একটি ম্যাট্রিক্স পদ্ধতি যা সদস্য শক্তি এবং কাঠামোর স্থানচ্যুতি গণনা করার জন্য সদস্যদের কঠোরতা সম্পর্ক ব্যবহার করে। ডাইরেক্ট স্টিফনেস পদ্ধতি হল সীমাবদ্ধ উপাদান পদ্ধতির (এফইএম) সবচেয়ে সাধারণ বাস্তবায়ন। পদ্ধতিটি প্রয়োগ করার সময়, সিস্টেমটিকে অবশ্যই নোডগুলিতে আন্তঃসংযুক্ত সহজ, আদর্শ উপাদানগুলির একটি সেট হিসাবে মডেল করা উচিত। এই উপাদানগুলির উপাদানগত কঠোরতার বৈশিষ্ট্যগুলি ম্যাট্রিক্স গণিতের মাধ্যমে একটি একক ম্যাট্রিক্স সমীকরণে সংকলিত হয় যা সমগ্র আদর্শ কাঠামোর আচরণকে নিয়ন্ত্রণ করে। এই সমীকরণটি সমাধান করে কাঠামোর অজানা স্থানচ্যুতি এবং বল নির্ধারণ করা যেতে পারে। ডাইরেক্ট স্টিফনেস পদ্ধতি বেশিরভাগ বাণিজ্যিক এবং মুক্ত উৎস সীমাবদ্ধ উপাদান সফ্টওয়্যারের ভিত্তি গঠন করে। সরাসরি কঠোরতা পদ্ধতিটি মহাকাশ ক্ষেত্রে উদ্ভূত হয়েছিল। গবেষকরা জটিল বিমানের কাঠামো বিশ্লেষণের জন্য বিভিন্ন পদ্ধতির দিকে নজর দিয়েছিলেন। এর মধ্যে রয়েছে স্থিতিস্থাপকতা তত্ত্ব, কাঠামোগত বলবিজ্ঞানের শক্তির নীতি, নমনীয়তা পদ্ধতি এবং ম্যাট্রিক্স কঠোরতা পদ্ধতি। এই পদ্ধতিগুলির বিশ্লেষণের মাধ্যমেই সরাসরি কঠোরতা পদ্ধতিটি কম্পিউটার বাস্তবায়নের জন্য আদর্শভাবে উপযুক্ত একটি দক্ষ পদ্ধতি হিসাবে আবির্ভূত হয়েছিল। 1934 থেকে 1938 সালের মধ্যে এ. আর. কলার এবং ডব্লিউ. জে. ডানকান ম্যাট্রিক্স সিস্টেমের প্রতিনিধিত্ব এবং পরিভাষা সহ প্রথম গবেষণাপত্র প্রকাশ করেছিলেন যা আজ ব্যবহৃত হয়। দ্বিতীয় বিশ্বযুদ্ধের সময় এরোইলাস্টিক গবেষণা অব্যাহত ছিল কিন্তু 1938 থেকে 1947 সাল পর্যন্ত প্রকাশনার বিধিনিষেধের কারণে এই কাজের সন্ধান পাওয়া কঠিন হয়ে পড়ে। ম্যাট্রিক্স কাঠামোগত বিশ্লেষণে দ্বিতীয় বড় অগ্রগতি ঘটে 1954 এবং 1955 সালের মধ্যে যখন অধ্যাপক জন এইচ আরগিরিস একটি কাঠামোর মৌলিক উপাদানগুলিকে সমীকরণের ব্যবস্থায় একত্রিত করার ধারণাকে পদ্ধতিগত করেছিলেন। অবশেষে, 1959 সালের 6ই নভেম্বর বোয়িং-এর স্ট্রাকচারাল ডায়নামিক্স ইউনিটের প্রধান এম. জে. টার্নার কম্পিউটার বাস্তবায়নের জন্য একটি দক্ষ মডেল হিসাবে সরাসরি কঠোরতা পদ্ধতির রূপরেখা দিয়ে একটি গবেষণাপত্র প্রকাশ করেন। সদস্য কঠোরতা সম্পর্ক একটি সাধারণ সদস্য কঠোরতা সম্পর্কের নিম্নলিখিত সাধারণ রূপ রয়েছেঃ যেখানে m = সদস্য সংখ্যা m. = সদস্যের বৈশিষ্ট্য বলের ভেক্টর, যা অজানা অভ্যন্তরীণ বল। = সদস্যের কঠোরতা ম্যাট্রিক্স যা বিকৃতির বিরুদ্ধে সদস্যের প্রতিরোধকে চিহ্নিত করে। = সদস্যের বৈশিষ্ট্যগত স্থানচ্যুতি বা বিকৃতির ভেক্টর। = বাহ্যিক প্রভাব দ্বারা সৃষ্ট সদস্যের বৈশিষ্ট্য বলের ভেক্টর (যেমন পরিচিত বল এবং তাপমাত্রার পরিবর্তন) যখন সদস্যের উপর প্রয়োগ করা হয়। যদি পরম স্থানচ্যুতির পরিবর্তে সদস্য বিকৃতি হয়, তবে স্বাধীন সদস্য শক্তি হয় এবং এই ক্ষেত্রে (1) তথাকথিত সদস্য নমনীয়তা ম্যাট্রিক্স অর্জনের জন্য উল্টানো যেতে পারে, যা নমনীয়তা পদ্ধতিতে ব্যবহৃত হয়। সিস্টেমের কঠোরতা সম্পর্ক নোড নামক বিন্দুতে আন্তঃসংযুক্ত অনেক সদস্যের একটি সিস্টেমের জন্য, সদস্যদের কঠোরতা সম্পর্ক যেমন Eq। (1) নিম্নলিখিত পর্যবেক্ষণগুলি ব্যবহার করে সংহত করা যেতে পারেঃ সদস্যদের মধ্যে সামঞ্জস্যতা নিশ্চিত করার জন্য সদস্যদের বিকৃতিগুলি সিস্টেম নোডাল স্থানচ্যুতির পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করা যেতে পারে। এর থেকে বোঝা যায় যে, r হবে প্রাথমিক অজানা। সদস্য বলগুলি নোডাল বল আর-এর অধীনে নোডগুলিকে ভারসাম্যে রাখতে সহায়তা করে। এটি বোঝায় যে (1)-এর ডান দিকটি পুরো সিস্টেমের জন্য নিম্নলিখিত নোডাল ভারসাম্য সমীকরণের ডান দিকে সংহত করা হবেঃ যেখানে = নোডাল বলের ভেক্টর, যা সিস্টেমের নোডগুলিতে প্রয়োগ করা বাহ্যিক শক্তির প্রতিনিধিত্ব করে। = সিস্টেম স্টিফনেস ম্যাট্রিক্স, যা সদস্যদের স্টিফনেস ম্যাট্রিক্স একত্রিত করে প্রতিষ্ঠিত হয়। = সিস্টেমের নোডাল স্থানচ্যুতির ভেক্টর যা নির্বিচারে নোডাল বলের সাপেক্ষে সিস্টেমের সমস্ত সম্ভাব্য বিকৃত বিন্যাসকে সংজ্ঞায়িত করতে পারে R = সমতুল্য নোডাল বলের ভেক্টর, নোডাল বল ব্যতীত সমস্ত বাহ্যিক প্রভাবের প্রতিনিধিত্ব করে যা ইতিমধ্যে পূর্ববর্তী নোডাল বল ভেক্টর R-এ অন্তর্ভুক্ত রয়েছে। এই ভেক্টরটি সদস্যদের একত্রিত করে প্রতিষ্ঠিত হয়। সমাধান সিস্টেমের কঠোরতা ম্যাট্রিক্স K বর্গাকার কারণ ভেক্টর R এবং r-এর আকার একই। উপরন্তু, এটি প্রতিসম কারণ প্রতিসম। একবার সমর্থনের সীমাবদ্ধতাগুলি (2)-এ হিসাব করা হলে, রৈখিক সমীকরণের পদ্ধতি (2) সমাধান করে নোডাল স্থানচ্যুতি পাওয়া যায়, প্রতীকীভাবেঃ পরবর্তীকালে, সদস্যদের বৈশিষ্ট্য বল Eq থেকে পাওয়া যেতে পারে। (1) সামঞ্জস্য বিবেচনা করে r থেকে কোথায় পাওয়া যাবে। সরাসরি কঠোরতা পদ্ধতি Eq থাকা সাধারণ। (1) এমন একটি আকারে যেখানে এবং যেখানে যথাক্রমে, সদস্য-প্রান্তের স্থানচ্যুতি এবং বল r এবং R এর সাথে মিলে যায়। এই পদ্ধতিটি তখন ডাইরেক্ট স্টিফনেস পদ্ধতি হিসাবে পরিচিত। ম্যাট্রিক্স স্টিফনেস পদ্ধতির সুবিধা এবং অসুবিধাগুলি নমনীয়তা পদ্ধতি নিবন্ধে তুলনা এবং আলোচনা করা হয়েছে। উদাহরণ ভাঙ্গন সরাসরি কঠোরতা পদ্ধতি ব্যবহার করার সময় প্রথম পদক্ষেপটি হল কাঠামোটি তৈরি করে এমন পৃথক উপাদানগুলি চিহ্নিত করা। একবার উপাদানগুলি চিহ্নিত হয়ে গেলে, কাঠামোটি নোডগুলিতে সংযোগ বিচ্ছিন্ন হয়ে যায়, যে বিন্দুগুলি বিভিন্ন উপাদানগুলিকে একত্রিত করে। প্রতিটি উপাদান তারপর পৃথকভাবে বিশ্লেষণ করা হয় সদস্য কঠোরতা সমীকরণ বিকাশ করতে। শক্তি এবং স্থানচ্যুতি উপাদানের কঠোরতা ম্যাট্রিক্সের মাধ্যমে সম্পর্কিত যা উপাদানটির জ্যামিতি এবং বৈশিষ্ট্যের উপর নির্ভর করে। একটি ট্রাস উপাদান শুধুমাত্র সংকোচন বা উত্তেজনায় বল প্রেরণ করতে পারে। এর মানে হল যে দুটি মাত্রায়, প্রতিটি নোডের দুটি ডিগ্রি অফ ফ্রিডম (ডিওএফ) রয়েছেঃ অনুভূমিক এবং উল্লম্ব স্থানচ্যুতি। ফলস্বরূপ সমীকরণে একটি চার বাই চার স্টিফনেস ম্যাট্রিক্স রয়েছে। একটি ফ্রেম উপাদান সংকোচন এবং টান ছাড়াও বাঁকানো মুহূর্ত সহ্য করতে সক্ষম। এর ফলে তিনটি মাত্রার স্বাধীনতা পাওয়া যায়ঃ অনুভূমিক স্থানচ্যুতি, উল্লম্ব স্থানচ্যুতি এবং সমতলে ঘূর্ণন। এই ক্ষেত্রে স্টিফনেস ম্যাট্রিক্স হল ছয় বাই ছয়। প্লেট এবং শেলের মতো অন্যান্য উপাদানগুলিও সরাসরি কঠোরতা পদ্ধতিতে অন্তর্ভুক্ত করা যেতে পারে এবং অনুরূপ সমীকরণগুলি অবশ্যই তৈরি করতে হবে। একবার পৃথক উপাদানের কঠোরতার সম্পর্ক বিকশিত হয়ে গেলে সেগুলিকে অবশ্যই মূল কাঠামোর মধ্যে একত্রিত করতে হবে। এই প্রক্রিয়ার প্রথম ধাপ হল পৃথক উপাদানগুলির জন্য কঠোরতার সম্পর্ককে সমগ্র কাঠামোর জন্য একটি বৈশ্বিক ব্যবস্থায় রূপান্তর করা। একটি ট্রাস উপাদানের ক্ষেত্রে, কঠোরতা পদ্ধতির বৈশ্বিক রূপ বৈশ্বিক স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার সাপেক্ষে উপাদানটির কোণের উপর নির্ভর করে (এই ব্যবস্থাটি সাধারণত ঐতিহ্যবাহী কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা)। (β কোণে একটি ট্রাস উপাদানের জন্য) সমতুল্যভাবে, যেখানে এবং ট্রাস উপাদানটির দিকের কোসাইনগুলি (অর্থাৎ, তারা সদস্যের সাথে সারিবদ্ধ একটি একক ভেক্টরের উপাদান)। এই ফর্মটি প্রকাশ করে যে কীভাবে এই গঠনে স্পষ্ট প্যাটার্নটি প্রসারিত করে 3-ডি স্পেস ট্রাসে উপাদানের কঠোরতাকে সাধারণীকরণ করা যায়। গ্লোবাল কোঅর্ডিনেট সিস্টেমে উপাদান স্টিফনেস ম্যাট্রিক্স বিকাশের পরে, তাদের অবশ্যই একটি একক "মাস্টার" বা "গ্লোবাল" স্টিফনেস ম্যাট্রিক্সে একত্রিত করতে হবে। এই ম্যাট্রিক্সগুলিকে একত্রিত করার সময় দুটি নিয়ম অনুসরণ করতে হবেঃ স্থানচ্যুতির সামঞ্জস্যতা এবং প্রতিটি নোডে বল ভারসাম্য। এই নিয়মগুলি গ্লোবাল নোডাল স্থানচ্যুতির সাথে উপাদান নোডাল স্থানচ্যুতি সম্পর্কিত করে বহাল রাখা হয়। বৈশ্বিক স্থানচ্যুতি এবং বল ভেক্টরগুলির প্রত্যেকটিতে কাঠামোর প্রতিটি মাত্রার স্বাধীনতার জন্য একটি করে প্রবেশ রয়েছে। উপাদানের কঠোরতা ম্যাট্রিক্সগুলি বিশ্বব্যাপী স্থানচ্যুতি এবং লোড ভেক্টরের সাথে সামঞ্জস্য রেখে প্রতিটি ম্যাট্রিক্সকে বৃদ্ধি বা প্রসারিত করে একত্রিত করা হয়। (উপরের কাঠামোর উপাদান (1)-এর জন্য) পরিশেষে, পৃথক প্রসারিত উপাদান ম্যাট্রিক্সগুলি একসাথে যোগ করে গ্লোবাল স্টিফনেস ম্যাট্রিক্স তৈরি করা হয়। সমাধান একবার গ্লোবাল স্টিফনেস ম্যাট্রিক্স, ডিসপ্লেসমেংট ভেক্টর এবং ফোর্স ভেক্টর তৈরি হয়ে গেলে, সিস্টেমটিকে একক ম্যাট্রিক্স সমীকরণ হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে। কাঠামোর প্রতিটি মাত্রার স্বাধীনতার জন্য, স্থানচ্যুতি বা বল জানা যায়। প্রতিটি ডিগ্রি অফ ফ্রিডমের জন্য পরিচিত মান সন্নিবেশ করার পরে, মাস্টার স্টিফনেস সমীকরণটি সম্পূর্ণ এবং মূল্যায়নের জন্য প্রস্তুত। একটি ম্যাট্রিক্স সমীকরণ মূল্যায়নের জন্য বিভিন্ন পদ্ধতি উপলব্ধ রয়েছে যার মধ্যে রয়েছে চোল্স্কি পচন এবং সমীকরণের পদ্ধতির ব্রুট ফোর্স মূল্যায়ন। যদি কোনও কাঠামো সঠিকভাবে নিয়ন্ত্রিত না হয়, তবে একটি বল প্রয়োগের ফলে এটি কঠোরভাবে নড়াচড়া করবে এবং অতিরিক্ত সমর্থন শর্তগুলি অবশ্যই যুক্ত করতে হবে। এই বিভাগে বর্ণিত পদ্ধতিটি সরাসরি কঠোরতা পদ্ধতির একটি সংক্ষিপ্ত বিবরণ হিসাবে বোঝানো হয়েছে। প্রক্রিয়াটির আরও বিশদ বিবরণের পাশাপাশি প্রক্রিয়ার অন্তর্নিহিত উপাদানগত বৈশিষ্ট্য সম্পর্কে অনুমানের জন্য অতিরিক্ত উৎসগুলির পরামর্শ নেওয়া উচিত। অ্যাপ্লিকেশন ডাইরেক্ট স্টিফনেস পদ্ধতিটি বিশেষভাবে কম্পিউটার সফ্টওয়্যারে কার্যকরভাবে এবং সহজেই প্রয়োগ করার জন্য তৈরি করা হয়েছিল যাতে জটিল কাঠামোগুলির মূল্যায়ন করা যায় যার মধ্যে প্রচুর সংখ্যক উপাদান রয়েছে। আজ, উপলব্ধ প্রায় প্রতিটি সীমাবদ্ধ উপাদান সমাধানকারী সরাসরি কঠোরতা পদ্ধতির উপর ভিত্তি করে। যদিও প্রতিটি প্রোগ্রাম একই প্রক্রিয়া ব্যবহার করে, গণনার সময় কমাতে এবং প্রয়োজনীয় স্মৃতিশক্তি কমাতে অনেককে সুবিন্যস্ত করা হয়েছে। এই লক্ষ্য অর্জনের জন্য শর্টকাট তৈরি করা হয়েছে। সরাসরি কঠোরতা পদ্ধতি ব্যবহার করার জন্য সবচেয়ে বড় ক্ষেত্রগুলির মধ্যে একটি হল কাঠামোগত বিশ্লেষণের ক্ষেত্র যেখানে এই পদ্ধতিটি মডেলিং সফ্টওয়্যারে অন্তর্ভুক্ত করা হয়েছে। সফ্টওয়্যারটি ব্যবহারকারীদের একটি কাঠামো মডেল করার অনুমতি দেয় এবং ব্যবহারকারী উপাদানগুলির উপাদান বৈশিষ্ট্যগুলি সংজ্ঞায়িত করার পরে, প্রোগ্রামটি স্বয়ংক্রিয়ভাবে উপাদান এবং বিশ্বব্যাপী কঠোরতার সম্পর্ক তৈরি করে। যখন বিভিন্ন লোডিং শর্ত প্রয়োগ করা হয় তখন সফ্টওয়্যারটি কাঠামোর মূল্যায়ন করে এবং ব্যবহারকারীর জন্য বিচ্যুতি তৈরি করে। আরও দেখুন ফাইনাইট এলিমেন্ট মেথড ফাইনাইট এলিমেন্ট মেথড ইন স্ট্রাকচারাল মেকানিক্স স্ট্রাকচারাল অ্যানালাইসিস ফ্লেক্সিবিলিটি মেথড লিস্ট অফ ফাইনাইট এলিমেন্ট সফ্টওয়্যার প্যাকেজ এক্সটার্নাল লিঙ্ক অ্যাপ্লিকেশন অফ ডাইরেক্ট স্টিফনেস মেথড টু এ 1-ডি স্প্রিং সিস্টেম ম্যাট্রিক্স স্ট্রাকচারাল অ্যানালাইসিস অ্যানিমেশন অফ স্টিফনেস অ্যানালাইসিস সিমুলেশন রেফারেন্স ফেলিপ্পা, কার্লোস এ। ফাইনাইট এলিমেন্ট পদ্ধতির ভূমিকা। 2001 সালের পতন। কলোরাডো বিশ্ববিদ্যালয়। 18 সেপ্টেম্বর 2005 রবিনসন, জন। ইঞ্জিনিয়ারের জন্য স্ট্রাকচারাল ম্যাট্রিক্স বিশ্লেষণ। নিউ ইয়র্কঃ জন উইলি অ্যান্ড সন্স, 1966 রুবিনস্টাইন, মোশে এফ ম্যাট্রিক্স কম্পিউটার অ্যানালাইসিস অফ স্ট্রাকচারস। নিউ জার্সিঃ প্রেন্টিস-হল, 1966 ম্যাকগুইয়ার, ডব্লিউ., গ্যালাগার, আর. এইচ., এবং জিমিয়ান, আর. ডি. ম্যাট্রিক্স স্ট্রাকচারাল অ্যানালাইসিস, 2য় সংস্করণ। নিউ ইয়র্কঃ জন উইলি অ্যান্ড সন্স, 2000। কাঠামোগত বিশ্লেষণ সংখ্যাসূচক অবকল সমীকরণ