Conjugate points
ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতিতে, কনজুগেট পয়েন্ট বা ফোকাল পয়েন্টগুলি মোটামুটিভাবে এমন পয়েন্ট যা জিওডেসিকের 1-পরামিতি পরিবার দ্বারা প্রায় যুক্ত হতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, একটি গোলকের উপর, উত্তর-মেরু এবং দক্ষিণ-মেরু যে কোনও মেরিডিয়ান দ্বারা সংযুক্ত। আরেকটি দৃষ্টিভঙ্গি হল যে কনজুগেট পয়েন্টগুলি জানায় যে কখন ভূগণিত দৈর্ঘ্য-হ্রাস করতে ব্যর্থ হয়। সমস্ত ভূগণিত স্থানীয়ভাবে দৈর্ঘ্য-হ্রাসকারী, তবে বিশ্বব্যাপী নয়। উদাহরণস্বরূপ, একটি গোলকের উপর, উত্তর-মেরুর মধ্য দিয়ে যাওয়া যে কোনও ভূগণিত দক্ষিণ-মেরুতে পৌঁছানোর জন্য প্রসারিত করা যেতে পারে এবং তাই মেরুগুলি সংযুক্ত করার জন্য যে কোনও ভূগণিত বিভাগ (অনন্যভাবে) বিশ্বব্যাপী দৈর্ঘ্য হ্রাস করে না। এটি আমাদের বলে যে স্ট্যান্ডার্ড 2-গোলকের যে কোনও জোড়া অ্যান্টিপোডাল পয়েন্ট হল কনজুগেট পয়েন্ট। সংজ্ঞা ধরুন পি এবং কিউ একটি রিম্যানিয়ান ম্যানিফোল্ডের বিন্দু, এবং এটি একটি জিওডেসিক যা পি এবং কিউ-কে সংযুক্ত করে। তারপর p এবং q হল সংযুক্ত বিন্দু যদি সেখানে একটি অ-শূন্য জ্যাকোবি ক্ষেত্র থাকে যা p এবং q এ অদৃশ্য হয়ে যায়। মনে রাখবেন যে কোনও জ্যাকোবি ক্ষেত্রকে জিওডেসিক বৈচিত্র্যের ব্যুৎপত্তি হিসাবে লেখা যেতে পারে (জ্যাকোবি ক্ষেত্রের নিবন্ধটি দেখুন)। অতএব, যদি p এবং q সমান্তরাল হয়, তবে কেউ ভূগণিতের একটি পরিবার তৈরি করতে পারে যা p থেকে শুরু হয় এবং প্রায় q এ শেষ হয়। বিশেষত, যদি ভূগণিতের পরিবার হয় যার অন্তরজ s-এ জ্যাকোবি ক্ষেত্র J উৎপন্ন করে, তবে বৈচিত্র্যের শেষ বিন্দু, অর্থাৎ, শুধুমাত্র s-এর প্রথম ক্রম পর্যন্ত বিন্দু q। অতএব, যদি দুটি বিন্দু সংযুক্ত হয়, তবে দুটি স্বতন্ত্র ভূগণিত তাদের সাথে যুক্ত হওয়ার প্রয়োজন নেই। উদাহরণস্বরূপ গোলকের উপর, অ্যান্টিপোডাল পয়েন্টগুলি কনজুগেট। বাস্তব স্থানাঙ্ক স্থানে কোন সংযুক্ত বিন্দু নেই। অ-ধনাত্মক বিভাগীয় বক্রতা সহ রিমানিয়ান ম্যানিফোল্ডগুলিতে কোনও কনজুগেট পয়েন্ট নেই। আরও দেখুন কাট লোকাস জ্যাকোবি ক্ষেত্র রেফারেন্স রিমানিয়ান জ্যামিতি