J-integral
জে-ইন্টিগ্রাল একটি উপাদানে স্ট্রেন এনার্জি রিলিজ রেট, বা প্রতি ইউনিট ফ্র্যাকচার পৃষ্ঠ এলাকা অনুযায়ী কাজ (শক্তি) গণনা করার একটি উপায়কে উপস্থাপন করে। জে-ইন্টিগ্রালের তাত্ত্বিক ধারণাটি 1967 সালে জি. পি. চেরেপানভ এবং স্বাধীনভাবে 1968 সালে জেমস আর. রাইস তৈরি করেছিলেন, যিনি দেখিয়েছিলেন যে একটি শক্তিশালী কনট্যুর পাথ ইন্টিগ্রাল (যাকে জে বলা হয়) একটি ফাটলের চারপাশের পথ থেকে স্বাধীন। পরীক্ষামূলক পদ্ধতিগুলি অবিচ্ছেদ্য ব্যবহার করে তৈরি করা হয়েছিল যা নমুনা আকারে সমালোচনামূলক ফ্র্যাকচার বৈশিষ্ট্যগুলির পরিমাপের অনুমতি দেয় যা রৈখিক স্থিতিস্থাপক ফ্র্যাকচার মেকানিক্স (এলইএফএম) বৈধ হওয়ার পক্ষে খুব ছোট। এই পরীক্ষাগুলি ফ্র্যাকচার শক্তির সমালোচনামূলক মান জেআইসি থেকে ফ্র্যাকচারের দৃঢ়তা নির্ধারণের অনুমতি দেয়, যা মোড আই লোডিংয়ের অধীনে প্রচারের সময় বড় আকারের প্লাস্টিকের ফলনকে সংজ্ঞায়িত করে। জে-ইন্টিগ্রাল একবৃত্তীয় লোডিং সাপেক্ষে একটি বস্তুর মধ্যে একটি ফাটলের জন্য স্ট্রেন শক্তি মুক্তির হারের সমান। এটি সাধারণত সত্য, শুধুমাত্র রৈখিক স্থিতিস্থাপক পদার্থের ক্ষেত্রে। ক্র্যাক টিপে ছোট আকারের ফলন অনুভব করে এমন উপকরণগুলির জন্য, জে বিশেষ পরিস্থিতিতে শক্তি মুক্তির হার গণনা করতে ব্যবহার করা যেতে পারে যেমন মোড III (অ্যান্টিপ্লেন শিয়ার)-এ মনোটোনিক লোডিং। খাঁটি শক্তি-আইন শক্ত প্লাস্টিকের উপকরণগুলির জন্য জে থেকে স্ট্রেন শক্তি মুক্তির হারও গণনা করা যেতে পারে যা ক্র্যাকের প্রান্তে ছোট আকারের ফলন করে। স্থিতিস্থাপক-প্লাস্টিক উপকরণের একঘেয়ে মোড I এবং মোড II লোডের জন্য J পরিমাণ পথ-স্বাধীন নয়, তাই শুধুমাত্র ক্র্যাক টিপের খুব কাছাকাছি একটি কনট্যুর শক্তি মুক্তির হার দেয়। এছাড়াও, রাইস দেখিয়েছেন যে জে প্লাস্টিকের উপকরণগুলিতে পথ-স্বাধীন যখন কোনও অ-আনুপাতিক লোডিং থাকে না। আনলোডিং এর একটি বিশেষ ক্ষেত্রে, তবে অ-আনুপাতিক প্লাস্টিক লোডিংও পথ-স্বাধীনতাকে অকার্যকর করে। এই ধরনের অ-আনুপাতিক লোডিং ইলাস্টিক-প্লাস্টিক উপকরণের উপর ইন-প্লেন লোডিং মোডের পথ-নির্ভরতার কারণ। দ্বিমাত্রিক জে-ইন্টিগ্রাল মূলত দ্বিমাত্রিক জে-ইন্টিগ্রাল হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছিল (একটি দৃষ্টান্তের জন্য চিত্র 1 দেখুন) যেখানে ডাব্লু (এক্স 1, এক্স 2) স্ট্রেন শক্তির ঘনত্ব, এক্স 1, এক্স 2 স্থানাঙ্কের দিকনির্দেশ, টি = [σ] এন পৃষ্ঠের ট্র্যাকশন ভেক্টর, এন বক্ররেখার স্বাভাবিক, [σ] কৌচি স্ট্রেস টেনসর এবং ইউ স্থানচ্যুতি ভেক্টর। ক্র্যাকের অগ্রভাগের চারপাশে জে-ইন্টিগ্রাল দ্বারা স্ট্রেন শক্তির ঘনত্ব দেওয়া হয় যা প্রায়শই আরও সাধারণ আকারে (এবং সূচক স্বরলিপিতে) প্রকাশ করা হয় যেখানে ক্র্যাক খোলার জন্য জে-ইন্টিগ্রালের উপাদানটি দিকের দিকে এবং ক্র্যাকের অগ্রভাগের চারপাশে একটি ছোট অঞ্চল। গ্রীনের উপপাদ্য ব্যবহার করে আমরা দেখাতে পারি যে এই ইন্টিগ্রালটি শূন্য যখন সীমানাটি বন্ধ থাকে এবং এমন একটি অঞ্চল ঘিরে রাখে যেখানে কোনও এককত্ব থাকে না এবং কেবল সংযুক্ত থাকে। যদি ফাটলের মুখগুলিতে কোনও পৃষ্ঠের রেখা না থাকে তবে জে-ইন্টিগ্রালও পথ স্বাধীন। ধান আরও দেখিয়েছে যে জে-ইন্টিগ্রালের মান প্ল্যানার ক্র্যাক বৃদ্ধির জন্য শক্তি মুক্তির হারকে উপস্থাপন করে। জে-ইন্টিগ্রাল তৈরি করা হয়েছিল একটি অরৈখিক স্থিতিস্থাপক বা স্থিতিস্থাপক-প্লাস্টিক উপাদানের ক্র্যাকের কাছাকাছি স্ট্রেস গণনা করার সাথে জড়িত অসুবিধাগুলির কারণে। চাল দেখিয়েছে যে যদি একঘেয়ে বোঝাই অনুমান করা হয় (কোনও প্লাস্টিক আনলোডিং ছাড়াই) তবে জে-ইন্টিগ্রাল ব্যবহার করে প্লাস্টিকের উপাদানগুলির শক্তি মুক্তির হারও গণনা করা যেতে পারে। {। শ্রেণী = "টোক্কোলার সংকুচিত" প্রস্থ = "80 শতাংশ" শৈলী = "টেক্সট-অ্যালাইনঃ বাম"! প্রমাণ যে একটি বদ্ধ পথের উপর জে-ইন্টিগ্রাল শূন্য।-|To জে-ইন্টিগ্রালের পথের স্বাধীনতা দেখায়, আমাদের প্রথমে দেখাতে হবে যে সহজভাবে সংযুক্ত ডোমেনে একটি বদ্ধ কনট্যুরের উপর এর মান শূন্য। আসুন আমরা কেবল সেই অভিব্যক্তিটি বিবেচনা করি যার জন্য আমরা এটি লিখতে পারি গ্রীনের উপপাদ্য (বা দ্বি-মাত্রিক বিচ্যুতি উপপাদ্য) থেকে আমাদের এই ফলাফলটি ব্যবহার করে আমরা প্রকাশ করতে পারি যে কনট্যুর দ্বারা আবদ্ধ এলাকাটি কোথায়। এখন, যদি কোনও শারীরিক শক্তি উপস্থিত না থাকে, তবে ভারসাম্য (রৈখিক ভরবেগ সংরক্ষণ) প্রয়োজন যে এছাড়াও, অতএব, কৌণিক ভরবেগের ভারসাম্য থেকে আমাদের আছে। সুতরাং, জে-ইন্টিগ্রালকে তখন এইভাবে লেখা যেতে পারেঃ এখন, একটি স্থিতিস্থাপক উপাদানের জন্য স্ট্রেস ব্যবহার করে সঞ্চিত শক্তি ফাংশন থেকে উদ্ভূত করা যেতে পারে তারপর, যদি স্থিতিস্থাপক মডুলাস টেনসর সমজাতীয় হয়, পার্থক্যের শৃঙ্খল নিয়ম ব্যবহার করে, অতএব, আমাদের একটি বদ্ধ কনট্যুর রয়েছে যা কোনও স্থিতিস্থাপক অসমতা ছাড়াই একটি সহজভাবে সংযুক্ত অঞ্চলকে ঘিরে রাখে, যেমন ভয়েড এবং ফাটল। ।} {। শ্রেণী = "টকলার সংকুচিত" প্রস্থ = "80 শতাংশ" শৈলী = "টেক্সট-অ্যালাইনঃ বাম"! প্রমাণ যে জে-ইন্টিগ্রাল পথ-স্বাধীন।-। কনট্যুর বিবেচনা করুন। যেহেতু এই কনট্যুরটি বন্ধ এবং একটি সহজভাবে সংযুক্ত অঞ্চলটিকে আবদ্ধ করে, কনট্যুরের চারপাশে জে-ইন্টিগ্রাল শূন্য, অর্থাৎ। ধরে নেওয়া যায় যে ফাটলের অগ্রভাগের চারপাশে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে ইন্টিগ্রালের ধনাত্মক চিহ্ন রয়েছে। এখন, যেহেতু ফাটল পৃষ্ঠগুলি অক্ষের সমান্তরাল, তাই এই পৃষ্ঠগুলির স্বাভাবিক উপাদান। এছাড়াও, যেহেতু ফাটল পৃষ্ঠগুলি কর্ষণ মুক্ত। অতএব, এবং জে-ইন্টিগ্রাল পথ স্বাধীন। ।} জে-ইন্টিগ্রাল এবং ফ্র্যাকচার শক্তত্ব আইসোট্রপিক, নিখুঁত ভঙ্গুর, রৈখিক স্থিতিস্থাপক পদার্থের জন্য, জে-ইন্টিগ্রাল সরাসরি ফ্র্যাকচার শক্তত্বের সাথে সম্পর্কিত হতে পারে যদি ক্র্যাকটি তার মূল অভিযোজনের সাপেক্ষে সোজা এগিয়ে প্রসারিত হয়। প্লেন স্ট্রেনের জন্য, মোড I লোডিং অবস্থার অধীনে, এই সম্পর্কটি হল যেখানে ক্রিটিক্যাল স্ট্রেন এনার্জি রিলিজ রেট, মোড I লোডিং-এ ফ্র্যাকচার শক্তত্ব, পয়সনের অনুপাত, এবং E হল উপাদানটির ইয়ং-এর মডুলাস। মোড II লোডিংয়ের জন্য, জে-ইন্টিগ্রাল এবং মোড II ফ্র্যাকচার শক্তত্বের মধ্যে সম্পর্ক হল মোড III লোডিংয়ের জন্য, সম্পর্কটি ইলাস্টিক-প্লাস্টিক উপকরণ এবং এইচআরআর সলিউশন হাচিনসন, রাইস এবং রোজেনগ্রেন পরবর্তীকালে দেখিয়েছেন যে জে ননলাইনিয়ার (পাওয়ার ল শক্তকরণ) ইলাস্টিক-প্লাস্টিক পদার্থের একটি ফাটলের অগ্রভাগে একক স্ট্রেস এবং স্ট্রেন ক্ষেত্রগুলিকে চিহ্নিত করে যেখানে প্লাস্টিক জোনের আকার ক্র্যাকের দৈর্ঘ্যের তুলনায় ছোট। হাচিনসন ডব্লিউ. র্যামবার্গ এবং ডব্লিউ. অসগুড দ্বারা প্রস্তাবিত ফর্মের একটি উপাদান গঠনমূলক আইন ব্যবহার করেছেনঃ যেখানে σ হল এক-অক্ষীয় উত্তেজনার চাপ, σy হল একটি ফলন চাপ, ε হল স্ট্রেন, এবং εy = σy/E হল সংশ্লিষ্ট ফলন স্ট্রেন। E পরিমাণ হল উপাদানটির স্থিতিস্থাপক ইয়ং মডুলাস। মডেলটি α দ্বারা প্যারামিট্রাইজ করা হয়, যা উপাদানটির একটি মাত্রাবিহীন ধ্রুবক বৈশিষ্ট্য এবং n, কাজের শক্তকরণের সহগ। এই মডেলটি শুধুমাত্র সেই পরিস্থিতিতে প্রযোজ্য যেখানে চাপ একঘেয়েভাবে বৃদ্ধি পায়, চাপের উপাদানগুলি লোডিং অগ্রগতির (আনুপাতিক লোডিং) প্রায় একই অনুপাতে থাকে এবং কোনও আনলোডিং হয় না। যদি পার্শ্ববর্তী চিত্রে দেখানো বস্তুর উপর একটি দূর-ক্ষেত্রের প্রসার্য চাপ σfar প্রয়োগ করা হয়, তবে পথের চারপাশে J-ইন্টিগ্রাল (সম্পূর্ণরূপে স্থিতিস্থাপক অঞ্চলের অভ্যন্তরে নির্বাচিত) দ্বারা দেওয়া হয় যেহেতু ফাটলের চারপাশে মোট ইন্টিগ্রাল অদৃশ্য হয়ে যায় এবং ফাটলের পৃষ্ঠ বরাবর অবদান শূন্য হয়, আমাদের আছে। জে-ইন্টিগ্রালগুলির মধ্যে সম্পর্ক γ1 এবং γ2-এর চারপাশে দূর-ক্ষেত্রের চাপের পরিপ্রেক্ষিতে কে-এর জন্য সীমাবদ্ধতা এবং একটি অভিব্যক্তির দিকে পরিচালিত করে যেখানে সমতল চাপের জন্য β = 1 এবং সমতল চাপের জন্য β = 1 − ν2 (ν হল পয়সনের অনুপাত)। স্ট্রেস ক্ষেত্রের অ্যাসিম্পটোটিক সম্প্রসারণ এবং উপরের ধারণাগুলি জে-ইন্টিগ্রালের পরিপ্রেক্ষিতে স্ট্রেস এবং স্ট্রেন ক্ষেত্রগুলি নির্ধারণ করতে ব্যবহার করা যেতে পারেঃ যেখানে এবং তারা মাত্রাবিহীন ফাংশন। এই অভিব্যক্তিগুলি ইঙ্গিত করে যে জে-কে স্ট্রেস ইন্টেন্সিটি ফ্যাক্টর (কে)-এর প্লাস্টিক অ্যানালগ হিসাবে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে যা রৈখিক স্থিতিস্থাপক ফ্র্যাকচার মেকানিক্সে ব্যবহৃত হয়, অর্থাৎ, আমরা ক্র্যাক বৃদ্ধির মানদণ্ড হিসাবে জে> জেআইসি-এর মতো একটি মানদণ্ড ব্যবহার করতে পারি। আরও দেখুন ফ্র্যাকচার টফনেস ফ্র্যাকচার মেকানিক্স স্ট্রেস ইন্টেন্সিটি ফ্যাক্টর স্লিপ ব্যান্ডের প্রকৃতি স্থানীয় ক্ষেত্র রেফারেন্স এক্সটার্নাল লিঙ্ক জে. আর. রাইস, "এ পাথ ইন্ডিপেন্ডেন্ট ইন্টিগ্রাল অ্যান্ড দ্য অ্যাপ্রোক্সিমেট অ্যানালাইসিস অফ স্ট্রেন কনসেন্ট্রেশন বাই নচস অ্যান্ড ক্র্যাকস", জার্নাল অফ অ্যাপ্লায়েড মেকানিক্স, 35,1968, পৃ. 379-386। ভ্যান ভ্লিয়েট, ক্রিস্টিন জে। (2006); "3.032 মেকানিক্যাল বিহেভিয়ার অফ ম্যাটেরিয়ালস", এক্স. চেন (2014), "পাথ-ইন্ডিপেন্ডেন্ট ইন্টিগ্রাল", ইনঃ এনসাইক্লোপিডিয়া অফ থার্মাল স্ট্রেসস, আর. বি. হেটনারস্কি, স্প্রিংগার দ্বারা সম্পাদিত। নন-লিনিয়ার ফ্র্যাকচার মেকানিক্স নোটস অধ্যাপক জন হাচিনসনের (হার্ভার্ড বিশ্ববিদ্যালয় থেকে) নোটস অন ফ্র্যাকচার অফ থিন ফিল্মস অ্যান্ড মাল্টিলেয়ার্স অধ্যাপক জন হাচিনসনের (হার্ভার্ড বিশ্ববিদ্যালয় থেকে) মিক্সড মোড ক্র্যাকিং ইন লেয়ারড ম্যাটেরিয়ালস অধ্যাপকদের দ্বারা। জন হাচিনসন এবং ঝিগাং সুও (হার্ভার্ড বিশ্ববিদ্যালয় থেকে) ফ্র্যাকচার মেকানিক্স পিট শ্রেয়ার্স (টিইউ আইন্ডহোভেন, নেদারল্যান্ডস থেকে) ফ্র্যাকচার মেকানিক্সের পরিচিতি ডঃ সি এইচ ওয়াং (ডিএসটিও-অস্ট্রেলিয়া) ফ্র্যাকচার মেকানিক্স কোর্সের নোট অধ্যাপক রুই হুয়াং (ইউনিভার্সিটি থেকে)। টেক্সাস অ্যাট অস্টিন) এইচআরআর সলিউশনস বাই লুডোভিচ নোয়েলস (ইউনিভার্সিটি অফ লিজ) ব্যর্থতা সলিড মেকানিক্স উপাদান পরীক্ষা মেকানিক্স ফ্র্যাকচার মেকানিক্স