Standard error
একটি পরিসংখ্যানের স্ট্যান্ডার্ড ত্রুটি (এসই) (সাধারণত একটি প্যারামিটারের একটি অনুমান) হল তার নমুনা বিতরণের স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি বা সেই স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতির একটি অনুমান। যদি পরিসংখ্যানটি নমুনা গড় হয়, তবে এটিকে স্ট্যান্ডার্ড এরর অফ দ্য মিন (এসইএম) বলা হয়। আদর্শ ত্রুটি হল আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান তৈরি করার একটি মূল উপাদান। একটি গড়ের নমুনা বিতরণ একই জনসংখ্যার থেকে বারবার নমুনা সংগ্রহ এবং প্রাপ্ত নমুনার রেকর্ডিংয়ের মাধ্যমে তৈরি করা হয়। এটি বিভিন্ন উপায়ে বিতরণ গঠন করে এবং এই বিতরণের নিজস্ব গড় এবং বৈচিত্র্য রয়েছে। গাণিতিকভাবে, প্রাপ্ত নমুনা গড় বিতরণের বৈচিত্র্য নমুনা আকার দ্বারা ভাগ করা জনসংখ্যার বৈচিত্র্যের সমান। এর কারণ হল, নমুনার আকার বাড়ার সঙ্গে সঙ্গে, নমুনার অর্থ হল জনসংখ্যার গড়ের কাছাকাছি আরও ঘনিষ্ঠভাবে গুচ্ছ। অতএব, গড়ের মানক ত্রুটি এবং মানক বিচ্যুতির মধ্যে সম্পর্ক এমন যে, একটি প্রদত্ত নমুনা আকারের জন্য, গড়ের মানক ত্রুটি নমুনা আকারের বর্গমূল দ্বারা বিভক্ত মানক বিচ্যুতির সমান। অন্য কথায়, গড়ের আদর্শ ত্রুটি হল জনসংখ্যার গড়ের চারপাশে নমুনা মাধ্যমের বিচ্ছুরণের একটি পরিমাপ। রিগ্রেশন বিশ্লেষণে, "স্ট্যান্ডার্ড ত্রুটি" শব্দটি হ্রাসকৃত কাই-বর্গাকার পরিসংখ্যানের বর্গমূল বা একটি নির্দিষ্ট রিগ্রেশন সহগের জন্য স্ট্যান্ডার্ড ত্রুটি বোঝায় (যেমন, বলুন, আত্মবিশ্বাসের বিরতিতে ব্যবহৃত হয়)। নমুনার মানগত ত্রুটি মানে সঠিক মান ধরুন পর্যবেক্ষণের একটি পরিসংখ্যানগতভাবে স্বাধীন নমুনা একটি পরিসংখ্যানগত জনসংখ্যা থেকে নেওয়া হয়েছে যার একটি মানগত বিচ্যুতি রয়েছে। নমুনা থেকে গণনা করা গড় মানের, গড়ের উপর একটি সম্পর্কিত মানক ত্রুটি থাকবে, যার দ্বারা দেওয়া হয়েছেঃ কার্যত এটি আমাদের বলে যে একটি জনসংখ্যার গড়ের মান অনুমান করার চেষ্টা করার সময়, কারণের কারণে, দুই গুণক দ্বারা অনুমানের ত্রুটি হ্রাস করার জন্য নমুনায় চারগুণ বেশি পর্যবেক্ষণ অর্জন করতে হবে; দশ গুণক দ্বারা এটি হ্রাস করার জন্য একশো গুণ বেশি পর্যবেক্ষণ প্রয়োজন। নমুনা নেওয়া জনসংখ্যার আদর্শ বিচ্যুতি খুব কমই জানা যায়। অতএব, গড়ের মানক ত্রুটি সাধারণত নমুনা মানক বিচ্যুতি দিয়ে প্রতিস্থাপিত করে অনুমান করা হয়ঃ যেহেতু এটি শুধুমাত্র সত্যিকারের "মানক ত্রুটি"-র জন্য একটি প্রাক্কলনকারী, তাই এখানে অন্যান্য স্বরলিপিগুলি দেখা যায় যেমনঃ জনসংখ্যার মানক বিচ্যুতি (), নমুনার মানক বিচ্যুতি (), গড়ের মানক বিচ্যুতি (, যা মানক ত্রুটি), এবং গড়ের মানক বিচ্যুতির প্রাক্কলনকারী (, যা প্রায়শই গণনা করা পরিমাণ, এবং প্রায়শই কথ্যভাষায় মানক ত্রুটিও বলা হয়) এর মধ্যে স্পষ্টভাবে পার্থক্য করতে ব্যর্থ হলে বিভ্রান্তির একটি সাধারণ উৎস ঘটে। অনুমানকারীর নির্ভুলতা যখন নমুনার আকার ছোট হয়, তখন জনসংখ্যার প্রকৃত মান বিচ্যুতির পরিবর্তে নমুনার মান বিচ্যুতি ব্যবহার করে জনসংখ্যার মান বিচ্যুতিকে পদ্ধতিগতভাবে অবমূল্যায়ন করার প্রবণতা থাকে এবং তাই মানগত ত্রুটিও হয়। এন = 2-এর ক্ষেত্রে আন্ডারএস্টিমেট প্রায় 25 শতাংশ, কিন্তু এন = 6-এর ক্ষেত্রে আন্ডারএস্টিমেট মাত্র 5 শতাংশ। গুরল্যান্ড এবং ত্রিপাঠি (1971) এই প্রভাবের জন্য একটি সংশোধন এবং সমীকরণ প্রদান করে। সোকাল এবং রোহল্ফ (1981) n <20 এর ছোট নমুনার জন্য সংশোধন ফ্যাক্টরের একটি সমীকরণ দিয়েছেন। আরও আলোচনার জন্য আদর্শ বিচ্যুতির নিরপেক্ষ অনুমান দেখুন। ব্যতিক্রমের সংজ্ঞা এবং তার কিছু সহজ বৈশিষ্ট্যের পরিপ্রেক্ষিতে গড়ের মানক ত্রুটিটি স্বাধীন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের যোগফলের বৈচিত্র্য থেকে উদ্ভূত হতে পারে। যদি গড় এবং মানক বিচ্যুতি সহ একটি জনসংখ্যা থেকে স্বাধীন পর্যবেক্ষণের একটি নমুনা হয়, তবে আমরা মোট সংজ্ঞায়িত করতে পারি যা বিয়েনায়েমে সূত্রের কারণে, বৈচিত্র্য থাকবে যেখানে আমরা জনসংখ্যার মানক বিচ্যুতির জন্য সর্বোত্তম মান সহ পরিমাপের মানক বিচ্যুতিগুলি, অর্থাৎ অনিশ্চয়তাগুলি অনুমান করেছি। এই পরিমাপের গড় কেবল দ্বারা দেওয়া হয় গড়ের বৈকল্পিকতা তারপর হল আদর্শ ত্রুটি, সংজ্ঞা অনুসারে, যার মানক বিচ্যুতি কেবল বৈকল্পিতার বর্গমূলঃ পরস্পর সম্পর্কিত র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য নমুনা বৈকল্পিকতা মার্কভ চেইন কেন্দ্রীয় সীমা উপপাদ্য অনুসারে গণনা করা প্রয়োজন। র্যান্ডম নমুনা আকারের সাথে স্বাধীন এবং অভিন্নভাবে বিতরণ করা র্যান্ডম ভেরিয়েবল এমন কিছু ক্ষেত্রে রয়েছে যখন কোনও নমুনা আগে থেকে না জেনে নেওয়া হয়, কিছু মানদণ্ড অনুসারে কতগুলি পর্যবেক্ষণ গ্রহণযোগ্য হবে। এই ধরনের ক্ষেত্রে, নমুনার আকার একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল যার বৈচিত্র্য তার বৈচিত্র্যে যোগ করে, যা মোট বৈচিত্র্যের সূত্র অনুসরণ করে। যদি পয়সন ডিস্ট্রিবিউশন থাকে, তাহলে প্রাক্কলনকারীর সঙ্গে। সুতরাং এর প্রাক্কলনকারী হয়ে যায়, যা স্ট্যান্ডার্ড ত্রুটির জন্য নিম্নলিখিত সূত্রের নেতৃত্ব দেয়ঃ (যেহেতু স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি হল বৈচিত্র্যের বর্গমূল)। ছাত্রের আনুমানিক মান যখন σ মান অজানা অনেক ব্যবহারিক প্রয়োগে, σ এর প্রকৃত মান অজানা। ফলস্বরূপ, আমাদের এমন একটি বন্টন ব্যবহার করতে হবে যা সম্ভাব্য σs-এর বিস্তারকে বিবেচনা করে। যখন প্রকৃত অন্তর্নিহিত বন্টন গাউসিয়ান হিসাবে পরিচিত হয়, যদিও অজানা σ সহ, তখন ফলস্বরূপ আনুমানিক বন্টন ছাত্র টি-বন্টন অনুসরণ করে। স্ট্যান্ডার্ড ত্রুটি হল স্টুডেন্ট টি-ডিস্ট্রিবিউশনের স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি। টি-ডিস্ট্রিবিউশন গাউসিয়ান থেকে কিছুটা আলাদা, এবং নমুনার আকারের উপর নির্ভর করে পরিবর্তিত হয়। ছোট নমুনাগুলি জনসংখ্যার মান বিচ্যুতিটিকে কিছুটা কম মূল্যায়ন করার সম্ভাবনা বেশি এবং এর গড় প্রকৃত জনসংখ্যার গড় থেকে আলাদা, এবং স্টুডেন্ট টি-ডিস্ট্রিবিউশন কোনও গাউসিয়ানের তুলনায় কিছুটা ভারী লেজ সহ এই ঘটনাগুলির সম্ভাবনার জন্য দায়ী। একটি স্টুডেন্ট টি-ডিস্ট্রিবিউশনের স্ট্যান্ডার্ড ত্রুটি অনুমান করার জন্য σ এর পরিবর্তে নমুনা স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি "s" ব্যবহার করা যথেষ্ট, এবং আমরা এই মানটি কনফিডেন্স ইন্টারভ্যাল গণনা করতে ব্যবহার করতে পারি। দ্রষ্টব্যঃ নমুনার আকার 100-এর বেশি হলে ছাত্রের সম্ভাব্যতা বন্টন গাউসিয়ান বন্টন দ্বারা ভালভাবে অনুমান করা হয়। এই ধরনের নমুনার জন্য পরবর্তী বিতরণ ব্যবহার করা যেতে পারে, যা অনেক সহজ। এছাড়াও, যদিও জনসংখ্যার 'প্রকৃত' বন্টন অজানা, নমুনা বন্টনের স্বাভাবিকতা ধরে নেওয়া একটি যুক্তিসঙ্গত নমুনা আকারের জন্য যুক্তিসঙ্গত, এবং নির্দিষ্ট নমুনা অবস্থার অধীনে, সিএলটি দেখুন। যদি এই শর্তগুলি পূরণ না করা হয়, তবে স্ট্যান্ডার্ড ত্রুটি অনুমান করার জন্য বুটস্ট্র্যাপ ডিস্ট্রিবিউশন ব্যবহার করা প্রায়শই একটি ভাল পদক্ষেপ, তবে এটি গণনামূলকভাবে নিবিড় হতে পারে। অনুমান এবং ব্যবহার কিভাবে ব্যবহার করা হয় তার একটি উদাহরণ হল অজানা জনসংখ্যার আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানকে গড় করা। যদি নমুনা বিতরণ সাধারণত বিতরণ করা হয়, তবে নমুনা গড়, মানক ত্রুটি এবং স্বাভাবিক বিতরণের পরিমাণগুলি প্রকৃত জনসংখ্যার গড়ের জন্য আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান গণনা করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। নিম্নলিখিত অভিব্যক্তিগুলি উপরের এবং নীচের 95 শতাংশ আত্মবিশ্বাসের সীমা গণনা করতে ব্যবহার করা যেতে পারে, যেখানে নমুনা গড়ের সমান, নমুনা গড়ের জন্য মানক ত্রুটির সমান, এবং 1.96 স্বাভাবিক বণ্টনের 97.5 শতাংশ বিন্দুর আনুমানিক মানঃ বিশেষত, একটি নমুনা পরিসংখ্যানগত (যেমন নমুনা গড়) এর মানক ত্রুটি হল যে প্রক্রিয়ায় নমুনা গড়ের প্রকৃত বা আনুমানিক মানক বিচ্যুতি যা এটি তৈরি করা হয়েছিল। অন্য কথায়, এটি নমুনা পরিসংখ্যানের নমুনা বিতরণের প্রকৃত বা আনুমানিক মানক বিচ্যুতি। স্ট্যান্ডার্ড ত্রুটির জন্য স্বরলিপি এসই, এসইএম (পরিমাপ বা গড়ের স্ট্যান্ডার্ড ত্রুটির জন্য), বা এসই-এর যে কোনও একটি হতে পারে। স্ট্যান্ডার্ড ত্রুটিগুলি একটি মানের অনিশ্চয়তার সহজ পরিমাপ প্রদান করে এবং প্রায়শই ব্যবহার করা হয় কারণঃ অনেক ক্ষেত্রে, যদি বেশ কয়েকটি পৃথক পরিমাণের স্ট্যান্ডার্ড ত্রুটি জানা যায় তবে পরিমাণগুলির কিছু ফাংশনের স্ট্যান্ডার্ড ত্রুটি সহজেই গণনা করা যেতে পারে; যখন মানের সম্ভাব্যতা বিতরণ জানা যায়, এটি একটি সঠিক আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান গণনা করতে ব্যবহার করা যেতে পারে; যখন সম্ভাব্যতা বিতরণ অজানা হয়, তখন চেবিশেভ বা ভিসোচানস্কি-পেটুনিন বৈষম্যগুলি একটি রক্ষণশীল আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান গণনা করতে ব্যবহার করা যেতে পারে; এবং যেহেতু নমুনার আকার অসীমের দিকে থাকে তাই কেন্দ্রীয় সীমা উপপাদ্যটি নিশ্চিত করে যে গড়ের নমুনা বিতরণ উপসর্গহীনভাবে স্বাভাবিক। বৈজ্ঞানিক ও প্রযুক্তিগত সাহিত্যে, পরীক্ষামূলক তথ্যগুলি প্রায়শই নমুনা তথ্যের গড় এবং মানক বিচ্যুতি বা মানক ত্রুটি সহ গড় ব্যবহার করে সংক্ষিপ্ত করা হয়। এটি প্রায়শই তাদের বিনিময়যোগ্যতা সম্পর্কে বিভ্রান্তির সৃষ্টি করে। যাইহোক, গড় এবং মানক বিচ্যুতি বর্ণনামূলক পরিসংখ্যান, যেখানে গড়ের মানক ত্রুটি এলোমেলো নমুনা প্রক্রিয়াটির বর্ণনামূলক। নমুনা তথ্যের আদর্শ বিচ্যুতি হল পরিমাপের বৈচিত্র্যের বিবরণ, অন্যদিকে গড়ের আদর্শ ত্রুটি হল একটি সম্ভাবনাময় বিবৃতি যে কীভাবে নমুনা আকার কেন্দ্রীয় সীমা উপপাদ্যের আলোকে জনসংখ্যার গড়ের অনুমানের উপর আরও ভাল সীমা প্রদান করবে। সহজ কথায় বলতে গেলে, নমুনা গড়ের আদর্শ ত্রুটি হল জনসংখ্যার গড় থেকে নমুনা গড় কতদূর হতে পারে তার একটি অনুমান, যেখানে নমুনার আদর্শ বিচ্যুতি হল নমুনার মধ্যে থাকা ব্যক্তিরা নমুনা গড় থেকে কতটা আলাদা। যদি জনসংখ্যার মান বিচ্যুতি সীমাবদ্ধ হয়, তবে নমুনার গড়ের মানগত ত্রুটি ক্রমবর্ধমান নমুনার আকারের সাথে শূন্য হতে থাকে, কারণ জনসংখ্যার গড়ের অনুমান উন্নত হবে, অন্যদিকে নমুনার মানগত বিচ্যুতি নমুনার আকার বাড়ার সাথে সাথে জনসংখ্যার মানগত বিচ্যুতি আনুমানিক হতে থাকে। এক্সটেনশনস ফাইনাইট পপুলেশন করেকশন (এফপিসি) স্ট্যান্ডার্ড ত্রুটির জন্য উপরে দেওয়া সূত্রটি ধরে নেয় যে জনসংখ্যা অসীম। তা সত্ত্বেও, এটি প্রায়শই সীমাবদ্ধ জনসংখ্যার জন্য ব্যবহৃত হয় যখন লোকেরা বিদ্যমান সীমাবদ্ধ জনসংখ্যা তৈরি করার প্রক্রিয়াটি পরিমাপ করতে আগ্রহী হয় (এটিকে একটি বিশ্লেষণাত্মক অধ্যয়ন বলা হয়)। যদিও জনসংখ্যা সসীম হলে উপরের সূত্রটি ঠিক সঠিক নয়, তবে সসীম-এবং অসীম-জনসংখ্যার সংস্করণগুলির মধ্যে পার্থক্য ছোট হবে যখন নমুনা ভগ্নাংশটি ছোট হবে (যেমন। একটি সীমাবদ্ধ জনসংখ্যার একটি ছোট অনুপাত অধ্যয়ন করা হয়)। এই ক্ষেত্রে লোকেরা প্রায়শই সীমাবদ্ধ জনসংখ্যার জন্য সংশোধন করে না, মূলত এটিকে একটি "প্রায় অসীম" জনসংখ্যা হিসাবে বিবেচনা করে। যদি কেউ একটি বিদ্যমান সীমাবদ্ধ জনসংখ্যা পরিমাপ করতে আগ্রহী হয় যা সময়ের সাথে পরিবর্তিত হবে না, তবে জনসংখ্যার আকারের জন্য সামঞ্জস্য করা প্রয়োজন (যাকে গণনামূলক অধ্যয়ন বলা হয়)। যখন একটি গণনামূলক গবেষণায় নমুনা ভগ্নাংশ (প্রায়শই এফ বলা হয়) বড় (প্রায় 5 শতাংশ বা তার বেশি) হয়, তখন আদর্শ ত্রুটির অনুমান অবশ্যই একটি "সীমাবদ্ধ জনসংখ্যা সংশোধন" (এ. কে. এ) দ্বারা গুণ করে সংশোধন করতে হবে। : এফপিসি): যা, বড় এন-এর জন্যঃ জনসংখ্যার একটি বড় শতাংশের কাছাকাছি নমুনা সংগ্রহ করে প্রাপ্ত অতিরিক্ত নির্ভুলতার জন্য দায়ী। এফপিসির প্রভাব হল যে ত্রুটিটি শূন্য হয়ে যায় যখন নমুনার আকার এন জনসংখ্যার আকার এন-এর সমান হয়। প্রতিস্থাপন ছাড়াই নমুনা নেওয়ার সময় এটি জরিপ পদ্ধতিতে ঘটে। যদি প্রতিস্থাপনের সাথে নমুনা নেওয়া হয়, তবে এফপিসি কার্যকর হয় না। নমুনায় পারস্পরিক সম্পর্কের জন্য সংশোধন যদি পরিমাপ করা পরিমাণ 'ক'-এর মানগুলি পরিসংখ্যানগতভাবে স্বাধীন না হয় তবে x 'প্যারামিটারের পরিচিত অবস্থানগুলি থেকে প্রাপ্ত হয়, তবে গড়ের প্রকৃত মানক ত্রুটির একটি নিরপেক্ষ অনুমান (প্রকৃতপক্ষে মানক বিচ্যুতি অংশে একটি সংশোধন) নমুনার গণনা করা মানক ত্রুটিকে f' গুণক দ্বারা গুণ করে প্রাপ্ত করা যেতে পারেঃ যেখানে নমুনা পক্ষপাত গুণাঙ্ক ρ হল সমস্ত নমুনা বিন্দু জোড়ার জন্য স্ব-সম্পর্ক-গুণাঙ্কের (−1 এবং +1-এর মধ্যে একটি পরিমাণ) ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত প্রাইস-উইনস্টেন অনুমান। এই আনুমানিক সূত্রটি মাঝারি থেকে বড় নমুনা আকারের জন্য; রেফারেন্সটি যে কোনও নমুনা আকারের জন্য সঠিক সূত্র দেয় এবং ওয়াল স্ট্রিটের স্টক কোটের মতো ভারী স্ব-সম্পর্কিত সময় সিরিজে প্রয়োগ করা যেতে পারে। উপরন্তু, এই সূত্রটি ধনাত্মক এবং ঋণাত্মক ρ-এর জন্য একইভাবে কাজ করে। আরও আলোচনার জন্য আদর্শ বিচ্যুতির নিরপেক্ষ অনুমান দেখুন। আরও দেখুন সম্ভাব্য ত্রুটির কেন্দ্রীয় সীমা উপপাদ্যের দৃষ্টান্ত ওজনযুক্ত গড়ের মানক ত্রুটি নমুনা গড় এবং নমুনা সহপরিবর্তন গড় এবং পূর্বাভাস প্রতিক্রিয়াগুলির মধ্যবর্তী বৈচিত্র্যের মানক ত্রুটি তথ্যসূত্র পরিসংখ্যানগত বিচ্যুতি এবং বিচ্ছুরণ