Baire set
গণিতে, আরও সুনির্দিষ্টভাবে পরিমাপ তত্ত্বে, বেয়ার সেটগুলি একটি টপোলজিকাল স্পেসের একটি σ-বীজগণিত গঠন করে যা বোরেল সেটগুলির কিছু প্যাথোলজিকাল বৈশিষ্ট্য এড়িয়ে চলে। বেয়ার সেটগুলির বেশ কয়েকটি অসম সংজ্ঞা রয়েছে, তবে সর্বাধিক ব্যবহৃত, স্থানীয়ভাবে কম্প্যাক্ট হাউসডর্ফ স্পেসের বেয়ার সেটগুলি ক্ষুদ্রতম σ-বীজগণিত গঠন করে যাতে সমস্ত কম্প্যাক্টভাবে সমর্থিত অবিচ্ছিন্ন ফাংশনগুলি পরিমাপযোগ্য হয়। সুতরাং, এই σ-বীজগণিতে সংজ্ঞায়িত পরিমাপগুলি, যাকে বেয়ার পরিমাপ বলা হয়, স্থানীয়ভাবে কম্প্যাক্ট হাউসডর্ফ স্পেসে একীকরণের জন্য একটি সুবিধাজনক কাঠামো। বিশেষত, এই ধরনের স্থানে যে কোনও সংহতভাবে সমর্থিত অবিচ্ছিন্ন ফাংশন যে কোনও সীমাবদ্ধ বেয়ার পরিমাপের ক্ষেত্রে অবিচ্ছেদ্য। প্রতিটি বেয়ার সেট একটি বোরেল সেট। বিপরীতটি অনেকগুলিতে রয়েছে, তবে সমস্ত টপোলজিকাল স্পেসে নয়। বেয়ার সেটগুলি টপোলজির জন্য গণনাযোগ্য ভিত্তি ছাড়াই জায়গাগুলিতে বোরেল সেটগুলির কিছু প্যাথোলজিকাল বৈশিষ্ট্য এড়িয়ে চলে। বাস্তবে, বেয়ার সেটগুলিতে বেয়ার পরিমাপের ব্যবহার প্রায়শই বোরেল সেটগুলিতে নিয়মিত বোরেল পরিমাপের ব্যবহার দ্বারা প্রতিস্থাপিত হতে পারে। বেয়ার সেটগুলি এবং দ্বারা প্রবর্তিত হয়েছিল, যারা বেয়ার ফাংশনগুলির নামে তাদের নামকরণ করেছিল, যা আবার রেনে-লুই বেয়ারের নামে নামকরণ করা হয়েছে। মৌলিক সংজ্ঞা স্থানীয়ভাবে কম্প্যাক্ট হাউসডর্ফ স্পেসে বেয়ার সেটের কমপক্ষে তিনটি অসম সংজ্ঞা রয়েছে এবং সাধারণ টপোলজিকাল স্পেসের জন্য আরও বেশি সংজ্ঞা রয়েছে, যদিও এই সমস্ত সংজ্ঞা স্থানীয়ভাবে কম্প্যাক্ট σ-কম্প্যাক্ট হাউসডর্ফ স্পেসের সমতুল্য। উপরন্তু, কিছু লেখক বেয়ার সেটগুলি যে টপোলজিকাল স্পেসে সংজ্ঞায়িত করা হয় তার উপর বিধিনিষেধ যুক্ত করেন এবং শুধুমাত্র কম্প্যাক্ট হাউজডর্ফ, বা স্থানীয়ভাবে কম্প্যাক্ট হাউজডর্ফ, বা σ-কম্প্যাক্ট স্পেসগুলিতে বেয়ার সেটগুলিকে সংজ্ঞায়িত করেন। প্রথম সংজ্ঞা কুনিহিকো কোডাইরা নির্দিষ্ট টপোলজিকাল স্পেসের সেটকে সংজ্ঞায়িত করেছেন (যদিও তিনি বিভ্রান্তিকরভাবে তাদের "বোরেল সেট" বলেন) যার বৈশিষ্ট্যমূলক ফাংশন হল একটি বেয়ার ফাংশন (সমস্ত অবিচ্ছিন্ন বাস্তব-মূল্যবান ফাংশন ধারণকারী ফাংশনের ক্ষুদ্রতম শ্রেণী এবং ক্রমের পয়েন্টওয়াইজ সীমার অধীনে বন্ধ)। একটি সমতুল্য সংজ্ঞা দেয় এবং একটি টপোলজিকাল স্পেসের বেয়ার সেটকে ক্ষুদ্রতম σ-বীজগণিতের উপাদান হিসাবে সংজ্ঞায়িত করে যাতে সমস্ত অবিচ্ছিন্ন বাস্তব-মূল্যবান ফাংশন পরিমাপযোগ্য হয়। স্থানীয়ভাবে কম্প্যাক্ট σ-কমপ্যাক্ট হাউসডর্ফ স্পেসের জন্য এটি নিম্নলিখিত সংজ্ঞাগুলির সমতুল্য, তবে সাধারণভাবে সংজ্ঞাগুলি সমতুল্য নয়। বিপরীতভাবে, বেয়ার ফাংশনগুলি ঠিক বাস্তব-মূল্যবান ফাংশন যা বেয়ার পরিমাপযোগ্য। মেট্রিক স্পেসের জন্য, বেয়ার সেটগুলি বোরেল সেটের সাথে মিলে যায়। দ্বিতীয় সংজ্ঞাটি স্থানীয়ভাবে কম্প্যাক্ট হাউজডর্ফ স্থানের বেয়ার সেটগুলিকে কম্প্যাক্ট জিডি সেট দ্বারা উত্পন্ন σ-রিংয়ের উপাদান হিসাবে সংজ্ঞায়িত করেছে। এই সংজ্ঞাটি আর খুব বেশি ব্যবহার করা হয় না, কারণ σ-রিং কিছুটা ফ্যাশনের বাইরে। যখন স্থানটি σ-কমপ্যাক্ট হয়, তখন এই সংজ্ঞাটি পরবর্তী সংজ্ঞার সমতুল্য। বন্ধ জিডি সেটের পরিবর্তে কমপ্যাক্ট জিডি সেটের সাথে কাজ করার একটি কারণ হল যে বেয়ার পরিমাপগুলি তখন স্বয়ংক্রিয়ভাবে নিয়মিত হয়। তৃতীয় সংজ্ঞা তৃতীয় এবং সর্বাধিক ব্যবহৃত সংজ্ঞাটি হ্যালমোসের সংজ্ঞার অনুরূপ, যাতে পরিবর্তিত হয় যাতে বেয়ার সেটগুলি কেবল একটি σ-রিংয়ের পরিবর্তে একটি σ-বীজগণিত গঠন করে। স্থানীয়ভাবে কম্প্যাক্ট হাউসডর্ফ টপোলজিকাল স্পেসের একটি উপসেটকে বেয়ার সেট বলা হয় যদি এটি সমস্ত কম্প্যাক্ট জিডি সেট ধারণকারী ক্ষুদ্রতম σ-বীজগণিতের সদস্য হয়। অন্য কথায়, বেয়ার সেটগুলির σ-বীজগণিত হল সমস্ত কম্প্যাক্ট Gδ সেট দ্বারা উত্পন্ন σ-বীজগণিত। বিকল্পভাবে, বেয়ার সেটগুলি ক্ষুদ্রতম σ-বীজগণিত গঠন করে যাতে কম্প্যাক্ট সাপোর্টের সমস্ত অবিচ্ছিন্ন ফাংশন পরিমাপযোগ্য হয় (অন্তত স্থানীয়ভাবে কম্প্যাক্ট হাউসডর্ফ স্পেসে; সাধারণ টপোলজিকাল স্পেসে এই দুটি শর্ত সমতুল্য হওয়ার প্রয়োজন নেই)। σ-কম্প্যাক্ট স্পেসের জন্য এটি হ্যালমোসের সংজ্ঞার সমতুল্য। σ-কম্প্যাক্ট নয় এমন জায়গাগুলির জন্য এই সংজ্ঞার অধীনে বেয়ার সেটগুলি হল হ্যালমোসের সংজ্ঞার অধীনে তাদের পরিপূরক সহ। যাইহোক, এই ক্ষেত্রে এটি আর সত্য নয় যে একটি সীমাবদ্ধ বেয়ার পরিমাপ অপরিহার্যভাবে নিয়মিতঃ উদাহরণস্বরূপ, বেয়ার সম্ভাব্যতা পরিমাপ যা একটি অগণিত বিচ্ছিন্ন স্থানের প্রতিটি গণনাযোগ্য উপসেটকে পরিমাপ 0 বরাদ্দ করে এবং প্রতিটি সহ-গণনাযোগ্য উপসেটকে 1 পরিমাপ করে একটি বেয়ার সম্ভাব্যতা পরিমাপ যা নিয়মিত নয়। উদাহরণ বেয়ার সেটের বিভিন্ন সংজ্ঞা সমতুল্য নয় স্থানীয়ভাবে কম্প্যাক্ট হাউজডর্ফ টপোলজিকাল স্পেসের জন্য যেগুলি σ-কম্প্যাক্ট নয়, উপরের তিনটি সংজ্ঞা সমতুল্য হওয়ার প্রয়োজন নেই। একটি পৃথক টপোলজিকাল স্থান স্থানীয়ভাবে কম্প্যাক্ট এবং হাউজডর্ফ। একটি বিচ্ছিন্ন স্থানে সংজ্ঞায়িত যে কোনও ফাংশন অবিচ্ছিন্ন, এবং তাই, প্রথম সংজ্ঞা অনুসারে, একটি পৃথক স্থানের সমস্ত উপসেট হল বেয়ার। যাইহোক, যেহেতু একটি বিচ্ছিন্ন স্থানের কম্প্যাক্ট সাবস্পেসগুলি সঠিকভাবে সীমাবদ্ধ সাবস্পেস, তাই দ্বিতীয় সংজ্ঞা অনুসারে বেয়ার সেটগুলি সঠিকভাবে সর্বাধিক গণনাযোগ্য সেট, যেখানে তৃতীয় সংজ্ঞা অনুসারে বেয়ার সেটগুলি সর্বাধিক গণনাযোগ্য সেট এবং তাদের পরিপূরক। সুতরাং, তিনটি সংজ্ঞা একটি অগণিত বিচ্ছিন্ন স্থানে সমতুল্য নয়। অ-হাউজডর্ফ স্থানগুলির জন্য অবিচ্ছিন্ন ফাংশনের পরিপ্রেক্ষিতে বেয়ার সেটগুলির সংজ্ঞা জি. ডি. কমপ্যাক্ট সেটগুলির সাথে জড়িত সংজ্ঞাগুলির সমতুল্য হতে হবে না। উদাহরণস্বরূপ, যদি X একটি অসীম গণনাযোগ্য সেট হয় যার বদ্ধ সেটগুলি সসীম সেট এবং পুরো স্থান হয়, তবে X-এর একমাত্র অবিচ্ছিন্ন বাস্তব ফাংশনগুলি ধ্রুবক, তবে X-এর সমস্ত উপসেটগুলি কম্প্যাক্ট বদ্ধ Gδ সেট দ্বারা উত্পন্ন σ-বীজগণিতে থাকে। একটি বোরেল সেট যা একটি বেয়ার সেট নয় একাধিক পয়েন্ট সহ অগণিত কমপ্যাক্ট হাউসডর্ফ স্পেসের একটি কার্টেসিয়ান প্রোডাক্টে, একটি পয়েন্ট কখনই বেয়ার সেট হয় না, যদিও এটি বন্ধ থাকে এবং তাই একটি বোরেল সেট। বৈয়ার সেট ইউক্লিডীয় স্থানে বোরেল সেটের সাথে মিলে যায়। প্রতিটি কম্প্যাক্ট হাউসডর্ফ স্থানের জন্য, প্রতিটি সসীম বেয়ার পরিমাপ (অর্থাৎ, সমস্ত বেয়ার সেটের σ-বীজগণিতে একটি পরিমাপ) নিয়মিত। প্রতিটি কম্প্যাক্ট হাউসডর্ফ স্থানের জন্য, প্রতিটি সসীম বেয়ার পরিমাপের একটি নিয়মিত বোরেল পরিমাপের একটি অনন্য সম্প্রসারণ রয়েছে। কোলমোগোরভ এক্সটেনশন উপপাদ্য বলে যে সীমাবদ্ধ-মাত্রিক সম্ভাব্যতা বিতরণের প্রতিটি সামঞ্জস্যপূর্ণ সংগ্রহ ফাংশনের স্থানের উপর একটি বেয়ার পরিমাপের দিকে পরিচালিত করে। কম্প্যাক্টনেস (প্রদত্ত স্থানের, এবং তাই ফাংশন স্পেস) ধরে নিলে এটি একটি নিয়মিত বোরেল পরিমাপে প্রসারিত হতে পারে। সমাপ্তির পরে একজন একটি সম্ভাব্যতা স্থান পায় যা অগত্যা মানসম্মত নয়। নোটস রেফারেন্স বিশেষ করে সেক্ট দেখুন। 51 "বোরেল সেট এবং বেয়ার সেট"। । বিশেষ করে সেক্ট দেখুন। 7. 1 "বেয়ার এবং বোরেল σ-বীজগণিত এবং পরিমাপের নিয়মিততা" এবং সম্প্রদায়। 7. 3 "নিয়মিত সম্প্রসারণ"। সাধারণ টপোলজি পরিমাপ তত্ত্ব