Fluctuation-dissipation theorem
ফ্লাকচুয়েশন-ডিসিপেশন থিওরেম (এফডিটি) বা ফ্লাকচুয়েশন-ডিসিপেশন রিলেশন (এফডিআর) পরিসংখ্যানগত পদার্থবিজ্ঞানে বিশদ ভারসাম্য মেনে চলা সিস্টেমগুলির আচরণের পূর্বাভাস দেওয়ার জন্য একটি শক্তিশালী হাতিয়ার। প্রদত্ত যে একটি সিস্টেম বিস্তারিত ভারসাম্য মেনে চলে, উপপাদ্যটি একটি প্রমাণ যে একটি ভৌত চলকের তাপগতিবিদ্যার ওঠানামা একই ভৌত চলকের (যেমন ভোল্টেজ, তাপমাত্রার পার্থক্য ইত্যাদি) প্রবেশযোগ্যতা বা প্রতিবন্ধকতা (তাদের সাধারণ অর্থে, কেবল বৈদ্যুতিন চৌম্বকীয় পরিভাষায় নয়) দ্বারা পরিমাপ করা প্রতিক্রিয়ার পূর্বাভাস দেয়। ), এবং বিপরীত। ওঠানামা-অপসারণ উপপাদ্যটি ধ্রুপদী এবং কোয়ান্টাম যান্ত্রিক পদ্ধতি উভয়ের ক্ষেত্রেই প্রযোজ্য। 1951 সালে হারবার্ট ক্যালেন এবং থিওডোর ওয়েলটন ওঠানামা-অপসরণ উপপাদ্যটি প্রমাণ করেন এবং রিওগো কুবো দ্বারা সম্প্রসারিত হন। সাধারণ উপপাদ্যের পূর্বসূরী রয়েছে, যার মধ্যে রয়েছে আইনস্টাইনের অ্যানাস মিরাবিলিসের সময় ব্রাউনিয়ান গতির ব্যাখ্যা এবং 1928 সালে হ্যারি নাইকুইস্টের বৈদ্যুতিক প্রতিরোধকগুলিতে জনসনের গোলমালের ব্যাখ্যা। গুণগত সংক্ষিপ্ত বিবরণ এবং উদাহরণ ওঠানামা-বিচ্ছুরণ উপপাদ্য বলে যে, যখন কোনও প্রক্রিয়া থাকে যা শক্তি অপচয় করে, এটিকে তাপে পরিণত করে (যেমন, ঘর্ষণ), তখন তাপীয় ওঠানামা সম্পর্কিত একটি বিপরীত প্রক্রিয়া হয়। কিছু উদাহরণ বিবেচনা করে এটি সর্বোত্তমভাবে বোঝা যায়ঃ টান এবং ব্রাউনিয়ান গতি যদি কোনও বস্তু কোনও তরলের মধ্য দিয়ে চলাচল করে তবে এটি টান (বায়ু প্রতিরোধ বা তরল প্রতিরোধ) অনুভব করে। টান গতিশক্তিকে অপচয় করে, এটিকে তাপে পরিণত করে। সংশ্লিষ্ট ওঠানামা হল ব্রাউনিয়ান গতি। একটি তরলের মধ্যে একটি বস্তু স্থিরভাবে বসে না, বরং একটি ছোট এবং দ্রুত পরিবর্তনশীল বেগ নিয়ে ঘুরে বেড়ায়, কারণ তরলের অণুগুলি তার মধ্যে ধাক্কা খায়। ব্রাউনিয়ান গতি তাপ শক্তিকে গতিশক্তিতে রূপান্তরিত করে-ড্র্যাগ এর বিপরীত। প্রতিরোধ এবং জনসনের গোলমাল যদি একটি রোধক সহ একটি তারের লুপের মধ্য দিয়ে বিদ্যুৎ প্রবাহিত হয়, তবে প্রতিরোধের কারণে বিদ্যুৎ দ্রুত শূন্যে চলে যাবে। প্রতিরোধ বৈদ্যুতিক শক্তি অপচয় করে, এটিকে তাপ (জুল হিটিং)-এ পরিণত করে। সংশ্লিষ্ট ওঠানামা হল জনসনের শব্দ। রোধক সহ একটি তারের লুপে প্রকৃতপক্ষে শূন্য বিদ্যুৎ থাকে না, এতে রোধকের ইলেকট্রন এবং পরমাণুর তাপীয় ওঠানামার কারণে একটি ছোট এবং দ্রুত-ওঠানামা করে এমন বিদ্যুৎ থাকে। জনসন শব্দ তাপ শক্তিকে বৈদ্যুতিক শক্তিতে রূপান্তরিত করে-প্রতিরোধের বিপরীত। আলো শোষণ এবং তাপীয় বিকিরণ যখন আলো কোনও বস্তুর উপর প্রভাব ফেলে, তখন আলোর কিছু অংশ শোষিত হয়, যা বস্তুটিকে আরও গরম করে তোলে। এইভাবে, আলোর শোষণ আলোর শক্তিকে তাপে পরিণত করে। সংশ্লিষ্ট ওঠানামা হল তাপীয় বিকিরণ (যেমন, একটি "লাল গরম" বস্তুর উজ্জ্বলতা)। তাপীয় বিকিরণ তাপ শক্তিকে আলোক শক্তিতে পরিণত করে-যা আলোর শোষণের বিপরীত। প্রকৃতপক্ষে, কিরচফের তাপীয় বিকিরণের সূত্রটি নিশ্চিত করে যে কোনও বস্তু যত বেশি কার্যকরভাবে আলো শোষণ করে, তত বেশি তাপীয় বিকিরণ নির্গত করে। বিস্তারিত উদাহরণ ওঠানামা-বিচ্ছুরণ উপপাদ্য হল পরিসংখ্যানগত তাপগতিবিদ্যার একটি সাধারণ ফলাফল যা একটি ব্যবস্থার ওঠানামার মধ্যে সম্পর্ককে পরিমাপ করে যা বিশদ ভারসাম্য এবং প্রয়োগকৃত বিশৃঙ্খলার প্রতি ব্যবস্থার প্রতিক্রিয়া মেনে চলে। উদাহরণস্বরূপ, আলবার্ট আইনস্টাইন ব্রাউনীয় গতির উপর তাঁর 1905 সালের গবেষণাপত্রে উল্লেখ করেছেন যে ব্রাউনীয় গতিতে একটি কণার অনিয়মিত গতি সৃষ্টি করে এমন একই এলোমেলো শক্তিও টান সৃষ্টি করবে যদি কণাটি তরলের মধ্য দিয়ে টানা হয়। অন্য কথায়, বিশ্রামরত কণার ওঠানামার একই উৎস রয়েছে যা বিচ্ছিন্ন ঘর্ষণ বলের বিরুদ্ধে কাজ করতে হবে, যদি কেউ একটি নির্দিষ্ট দিকে সিস্টেমকে বিঘ্নিত করার চেষ্টা করে। এই পর্যবেক্ষণ থেকে আইনস্টাইন পরিসংখ্যানগত বলবিজ্ঞান ব্যবহার করে আইনস্টাইন-স্মলুচোভস্কি সম্পর্ক অর্জন করতে সক্ষম হন যা ডিফিউশন ধ্রুবক ডি এবং কণার গতিশীলতাকে সংযুক্ত করে, কণার টার্মিনাল ড্রিফ্ট বেগের অনুপাত একটি প্রয়োগকৃত বলের সাথে। kB হল বোল্টজম্যান ধ্রুবক, এবং T হল পরম তাপমাত্রা। 1928 সালে জন বি জনসন একটি প্রতিরোধক-এ তাপীয় গোলমাল আবিষ্কার করেন এবং হ্যারি নাইকুইস্ট জনসন-নাইকুইস্ট গোলমাল ব্যাখ্যা করেন। কোনও প্রয়োগকৃত বিদ্যুৎ না থাকলে, গড়-বর্গাকার ভোল্টেজ নির্ভর করে প্রতিরোধের উপর, এবং যে ব্যান্ডউইথের উপর ভোল্টেজ পরিমাপ করা হয় তার উপরঃ এই পর্যবেক্ষণটি ওঠানামা-বিচ্ছুরণ উপপাদ্যের লেন্সের মাধ্যমে বোঝা যায়। উদাহরণস্বরূপ, একটি প্রতিরোধের সাথে একটি প্রতিরোধক এবং একটি ছোট ক্যাপাসিট্যান্স সহ একটি ক্যাপাসিটার সমন্বিত একটি সাধারণ সার্কিট নিন। কিরচফের সূত্র ফল দেয় এবং তাই এই সার্কিটের জন্য প্রতিক্রিয়া ফাংশনটি হল নিম্ন-ফ্রিকোয়েন্সি সীমাতে, এর কাল্পনিক অংশটি কেবল যা তখন ওঠানামা-অপসারণ উপপাদ্যের মাধ্যমে ভোল্টেজের শক্তি বর্ণালী ঘনত্ব ফাংশনের সাথে যুক্ত করা যেতে পারে জনসন-নাইকুইস্ট ভোল্টেজ শব্দটি চারপাশে কেন্দ্র করে একটি ছোট ফ্রিকোয়েন্সি ব্যান্ডউইথের মধ্যে পর্যবেক্ষণ করা হয়েছিল। অতএব সাধারণ সূত্র ওঠানামা-নিঃসরণ উপপাদ্যটি বিভিন্ন উপায়ে প্রণয়ন করা যেতে পারে; একটি বিশেষভাবে দরকারী রূপ হল নিম্নলিখিতঃ তাপীয় ওঠানামা সাপেক্ষে হ্যামিল্টনিয়ান সহ একটি গতিশীল সিস্টেমের একটি পর্যবেক্ষণযোগ্য হতে দিন। একটি পাওয়ার স্পেকট্রাম দ্বারা চিহ্নিত ওঠানামা সহ পর্যবেক্ষণযোগ্য তার গড় মানের চারপাশে ওঠানামা করবে। ধরুন যে আমরা একটি সময়-পরিবর্তিত, স্থানিকভাবে ধ্রুবক ক্ষেত্র চালু করতে পারি যা হ্যামিল্টনিয়ানকে পরিবর্তন করে। একটি সময়-নির্ভর ক্ষেত্রের প্রতি পর্যবেক্ষণযোগ্যের প্রতিক্রিয়া সিস্টেমের সংবেদনশীলতা বা রৈখিক প্রতিক্রিয়া ফাংশন দ্বারা প্রথম ক্রমের সাথে চিহ্নিত করা হয় যেখানে বিশৃঙ্খলাটি অ্যাডিয়াব্যাটিকভাবে (খুব ধীরে ধীরে) চালু করা হয়। ওঠানামা-বিচ্ছুরণ উপপাদ্যটি দ্বিমুখী শক্তি বর্ণালীর সাথে সম্পর্কিত (অর্থাৎ। ইতিবাচক এবং নেতিবাচক উভয় ফ্রিকোয়েন্সি) সংবেদনশীলতার ফুরিয়ার রূপান্তরের কাল্পনিক অংশেঃ যা ফুরিয়ার রূপান্তর ধারণার অধীনে রয়েছে। বাম দিকটি ওঠানামা বর্ণনা করে, ডান দিকটি একটি দোলক ক্ষেত্র দ্বারা পাম্প করার সময় সিস্টেম দ্বারা অপচয়িত শক্তির সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত। এটি উপপাদ্যের ধ্রুপদী রূপ; কোয়ান্টাম ওঠানামা (যার সীমা হল) দিয়ে প্রতিস্থাপন করে বিবেচনা করা হয়। এলএসজেড হ্রাসের মাধ্যমে একটি প্রমাণ পাওয়া যায়, যা কোয়ান্টাম ক্ষেত্র তত্ত্বের একটি পরিচয়। স্থান-নির্ভর ক্ষেত্রের ক্ষেত্রে, বিভিন্ন চলকের ক্ষেত্রে বা কোয়ান্টাম-মেকানিক্স সেটিং-এর ক্ষেত্রে ফ্লাকচুয়েশন-ডিসিপেশন উপপাদ্যকে সরলভাবে সাধারণীকরণ করা যেতে পারে। একটি বিশেষ ক্ষেত্রে যেখানে ওঠানামা পরিমাণ নিজেই শক্তি হয় তা হল ফ্রিকোয়েন্সি-নির্ভর নির্দিষ্ট তাপের জন্য ওঠানামা-নিঃসরণ উপপাদ্য। উৎপত্তি ধ্রুপদী সংস্করণ আমরা একই স্বরলিপি ব্যবহার করে উপরে দেওয়া আকারে ওঠানামা-নিঃসরণ উপপাদ্যটি আহরণ করি। নিম্নলিখিত পরীক্ষার কেসটি বিবেচনা করুনঃ ক্ষেত্র f অসীম সময় ধরে চালু রয়েছে এবং t = 0 এ বন্ধ করা হয়েছে যেখানে হেভিসাইড ফাংশন। আমরা সম্ভাব্যতা বন্টন W (x, 0) এবং রূপান্তর সম্ভাব্যতা দ্বারা প্রত্যাশার মান প্রকাশ করতে পারি সম্ভাব্যতা বন্টন ফাংশন W (x, 0) একটি ভারসাম্য বন্টন এবং তাই হ্যামিল্টনিয়ানের জন্য বোল্টজম্যান বন্টন দ্বারা দেওয়া হয়। একটি দুর্বল ক্ষেত্রের জন্য, আমরা ডান দিকটি প্রসারিত করতে পারি এখানে একটি ক্ষেত্রের অনুপস্থিতিতে ভারসাম্য বন্টন। উৎপাদনের সূত্রে এই আনুমানিক হিসেবটি যুক্ত করা যেখানে একটি ক্ষেত্রের অনুপস্থিতিতে A (t) হল x-এর স্বয়ংক্রিয় সম্পর্ক ফাংশনঃ লক্ষ্য করুন যে একটি ক্ষেত্রের অনুপস্থিতিতে সময়-পরিবর্তনের অধীনে সিস্টেমটি অপরিবর্তনীয়। আমরা সিস্টেমের সংবেদনশীলতা ব্যবহার করে পুনর্লিখন করতে পারি এবং তাই উপরের সমীকরণ (*) দিয়ে খুঁজে পেতে পারি ফলস্বরূপ, ফ্রিকোয়েন্সি নির্ভরতা সম্পর্কে একটি বিবৃতি দেওয়ার জন্য, সমীকরণ (* *) এর ফুরিয়ার রূপান্তর গ্রহণ করা প্রয়োজন। অংশ দ্বারা সংহত করার মাধ্যমে, এটি দেখানো সম্ভব যে যেহেতু বাস্তব এবং প্রতিসম, তাই এটি অনুসরণ করা হয় যে অবশেষে, স্থির প্রক্রিয়াগুলির জন্য, উইনার-খিনচিন উপপাদ্যটি বলে যে দ্বিমুখী বর্ণালী ঘনত্ব স্বয়ংক্রিয়-সম্পর্ক ফাংশনের ফুরিয়ার রূপান্তরের সমানঃ অতএব, এটি কোয়ান্টাম সংস্করণ অনুসরণ করে ওঠানামা-অপসারণ উপপাদ্যটি ফ্রিকোয়েন্সি ডোমেনে প্রতিক্রিয়া ফাংশনের কাল্পনিক অংশের (অপচয়ের একটি পরিমাপ) পর্যবেক্ষণযোগ্য (ওঠানামার একটি পরিমাপ) এর পারস্পরিক সম্পর্ক ফাংশনকে সম্পর্কিত করে। এই পরিমাণগুলির মধ্যে একটি যোগসূত্র তথাকথিত কুবো সূত্রের মাধ্যমে পাওয়া যেতে পারে যা রৈখিক প্রতিক্রিয়া তত্ত্বের অনুমানের অধীনে, একটি বিভ্রান্তিকর উৎসের উপস্থিতিতে পর্যবেক্ষণযোগ্যের সমষ্টিগত গড়ের সময় বিবর্তন থেকে অনুসরণ করে। একবার ফুরিয়ার রূপান্তরিত হলে, কুবো সূত্রটি প্রতিক্রিয়া ফাংশনের কাল্পনিক অংশটি লেখার অনুমতি দেয় যেমন ক্যানোনিকাল এনসেম্বল-এ, দ্বিতীয় পদটি পুনরায় প্রকাশ করা যেতে পারে যেখানে দ্বিতীয় সমতায় আমরা ট্রেসের চক্রীয় সম্পত্তি ব্যবহার করে পুনরায় অবস্থান করি। এরপরে, তৃতীয় সমতায়, আমরা ট্রেসের পাশে প্রবেশ করিয়েছি এবং কাল্পনিক সময়ের ব্যবধান সহ সময় বিবর্তন অপারেটর হিসাবে ব্যাখ্যা করেছি। ফুরিয়ার রূপান্তরের পরে কাল্পনিক সময় পরিবর্তন একটি ফ্যাক্টরে পরিণত হয় এবং এইভাবে এর অভিব্যক্তিটি সহজেই কোয়ান্টাম ওঠানামা-নিঃসরণ সম্পর্ক হিসাবে পুনর্লিখন করা যেতে পারে যেখানে শক্তি বর্ণালী ঘনত্ব স্বয়ংক্রিয়-সম্পর্কের ফুরিয়ার রূপান্তর এবং এটি বোস-আইনস্টাইন বিতরণ ফাংশন। একই গণনাও ফল দেয়, শাস্ত্রীয় ক্ষেত্রে যা পাওয়া যায় তার থেকে ভিন্নভাবে, কোয়ান্টাম সীমাতে শক্তি বর্ণালী ঘনত্ব ঠিক ফ্রিকোয়েন্সি-প্রতিসাম্য নয়। ধারাবাহিকভাবে, অপারেটরদের বিনিময় নিয়ম থেকে উদ্ভূত একটি কাল্পনিক অংশ রয়েছে। ধনাত্মক কম্পাঙ্কের অভিব্যক্তিতে অতিরিক্ত "" শব্দটিকে স্বতঃস্ফূর্ত নির্গমনের সাথে যুক্ত হিসাবেও ভাবা যেতে পারে। একটি প্রায়শই উদ্ধৃত ফলাফল হ 'ল প্রতিসম শক্তি বর্ণালী ঘনত্ব কোয়ান্টাম ওঠানামা বা পর্যবেক্ষণযোগ্য শূন্য-বিন্দু গতির সাথে যুক্ত বলে মনে করা যেতে পারে। যথেষ্ট উচ্চ তাপমাত্রায়, অর্থাৎ। কোয়ান্টাম অবদান নগণ্য, এবং আমরা শাস্ত্রীয় সংস্করণটি পুনরুদ্ধার করি। গ্লাসি সিস্টেমে লঙ্ঘন যদিও ওঠানামা-নিঃসরণ উপপাদ্য বিস্তারিত ভারসাম্য মেনে চলা সিস্টেমগুলির প্রতিক্রিয়ার মধ্যে একটি সাধারণ সম্পর্ক প্রদান করে, যখন বিস্তারিত ভারসাম্য লঙ্ঘন করা হয় তখন অপচয়ের সাথে ওঠানামার তুলনা আরও জটিল হয়। তথাকথিত কাচের তাপমাত্রার নিচে, গ্লাসি সিস্টেমগুলি ভারসাম্যপূর্ণ হয় না এবং ধীরে ধীরে তাদের ভারসাম্য অবস্থার কাছে পৌঁছায়। ভারসাম্যের এই ধীর পদ্ধতিটি বিস্তারিত ভারসাম্য লঙ্ঘনের সমার্থক। সুতরাং এই ব্যবস্থাগুলির ধীরে ধীরে ভারসাম্যের দিকে অগ্রসর হওয়ার সময় বড় সময়-স্কেল অধ্যয়ন করা প্রয়োজন। গ্লাসি সিস্টেমে, বিশেষত স্পিন চশমার মধ্যে ওঠানামা-নিঃসরণ সম্পর্কের লঙ্ঘন অধ্যয়ন করতে, রেফ। ম্যাক্রোস্কোপিক সিস্টেমের সংখ্যাসূচক সিমুলেশন সম্পাদন করা হয়েছে (অর্থাৎ। তাদের পারস্পরিক সম্পর্ক দৈর্ঘ্যের তুলনায় বড়) সুপার কম্পিউটার ব্যবহার করে ত্রিমাত্রিক এডওয়ার্ডস-অ্যান্ডারসন মডেল দ্বারা বর্ণিত। তাদের অনুকরণে, সিস্টেমটি প্রাথমিকভাবে একটি উচ্চ তাপমাত্রায় প্রস্তুত করা হয়, দ্রুত কাচের তাপমাত্রার নিচে তাপমাত্রায় শীতল করা হয় এবং একটি চৌম্বক ক্ষেত্রের অধীনে খুব দীর্ঘ সময়ের জন্য ভারসাম্য বজায় রাখার জন্য ছেড়ে দেওয়া হয়। তারপর, পরবর্তী সময়ে, দুটি গতিশীল পর্যবেক্ষণযোগ্য পরীক্ষা করা হয়, যথা রেসপন্স ফাংশন এবং স্পিন-টেম্পোরাল কোরিলেশন ফাংশন যেখানে আয়তনের কিউবিক ল্যাটিসের নোডের উপর স্পিন বাস করে এবং এটি চৌম্বকায়ন ঘনত্ব। এই ব্যবস্থায় ওঠানামা-বিচ্ছুরণ সম্পর্ককে এই পর্যবেক্ষণযোগ্যগুলির পরিপ্রেক্ষিতে লেখা যেতে পারে কারণ তাদের ফলাফলগুলি এই প্রত্যাশাকে নিশ্চিত করে যে যেহেতু ব্যবস্থাটিকে দীর্ঘ সময়ের জন্য ভারসাম্য বজায় রাখতে ছেড়ে দেওয়া হয়েছে, ওঠানামা-বিচ্ছুরণ সম্পর্ক সন্তুষ্ট হওয়ার কাছাকাছি। 1990-এর দশকের মাঝামাঝি সময়ে, স্পিন গ্লাস মডেলগুলির গতিবিদ্যা অধ্যয়নে, ওঠানামা-নিঃসরণ উপপাদ্যের একটি সাধারণীকরণ আবিষ্কৃত হয়েছিল যা অ্যাসিম্পটোটিক অ-স্থির অবস্থার জন্য ধারণ করে, যেখানে ভারসাম্য সম্পর্কে উপস্থিত তাপমাত্রা সময় স্কেলের উপর অ-তুচ্ছ নির্ভরতার সাথে একটি কার্যকর তাপমাত্রা দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়। এই সম্পর্কটি যে মডেলগুলির জন্য এটি প্রাথমিকভাবে পাওয়া গিয়েছিল তার বাইরে গ্লাসি সিস্টেমে ধরে রাখার প্রস্তাব দেওয়া হয়েছে। আরও দেখুন নন-ইকুইলিব্রিয়াম থার্মোডাইনামিক্স গ্রিন-কুবো সম্পর্ক অনসেজার পারস্পরিক সম্পর্ক ইকুইলিপার্টিশন থিওরেম বোল্টজম্যান ডিস্ট্রিবিউশন সিস্টেম নোটস রেফারেন্স আরও পড়া পারডিউ বিশ্ববিদ্যালয়ের অধ্যাপক ই. ডব্লিউ. কার্লসনের একটি বক্তৃতার অডিও রেকর্ডিং কুবো-এর বিখ্যাত লেখাঃ ফ্লাকচুয়েশন-ডিসিপেশন থিওরেম স্ট্যাটিস্টিক্যাল মেকানিক্স নন-ইকুইলিব্রিয়াম থার্মোডাইনামিক্স ফিজিক্স থিওরেম স্ট্যাটিস্টিক্যাল মেকানিক্স থিওরেম