MUSCL scheme
আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের অধ্যয়নে, এম. ইউ. এস. সি. এল স্কিম একটি সীমাবদ্ধ আয়তন পদ্ধতি যা একটি প্রদত্ত সিস্টেমের জন্য অত্যন্ত সঠিক সংখ্যাসূচক সমাধান প্রদান করতে পারে, এমনকি এমন ক্ষেত্রেও যেখানে সমাধানগুলি শক, বিচ্ছিন্নতা বা বড় গ্রেডিয়েন্ট প্রদর্শন করে। এম. ইউ. এস. সি. এল মানে মোনোটোনিক আপস্ট্রিম-সেন্টার্ড স্কিম ফর কনজারভেশন ল 'স (ভ্যান লির, 1979), এবং ব্রাম ভ্যান লির (ভ্যান লির, 1979) দ্বারা একটি মৌলিক গবেষণাপত্রে এই শব্দটি চালু করা হয়েছিল। এই গবেষণাপত্রে তিনি প্রথম হাই-অর্ডার, টোটাল ভ্যারিয়েশন ডিমিনিশিং (টিভিডি) স্কিম তৈরি করেছিলেন যেখানে তিনি দ্বিতীয় ক্রমের স্থানিক নির্ভুলতা অর্জন করেছিলেন। ধারণাটি হল পূর্ববর্তী সময়-পর্যায় থেকে প্রাপ্ত কোষ-গড় অবস্থা থেকে উদ্ভূত পুনর্গঠিত অবস্থা দ্বারা গডুনভের পরিকল্পনার টুকরো টুকরো ধ্রুবক অনুমানকে প্রতিস্থাপন করা। প্রতিটি কোষের জন্য, ঢাল সীমিত, পুনর্নির্মিত বাম এবং ডান অবস্থা পাওয়া যায় এবং কোষের সীমানায় (প্রান্ত) প্রবাহ গণনা করতে ব্যবহৃত হয়। এই ফ্লাক্সগুলি, পরিবর্তে, একটি রিম্যান সমাধানকারীর ইনপুট হিসাবে ব্যবহার করা যেতে পারে, যার পরে সমাধানগুলি গড় করা হয় এবং সময়মতো সমাধানটি এগিয়ে নিতে ব্যবহৃত হয়। বিকল্পভাবে, ফ্লাক্সগুলি রিম্যান-সমাধানকারী-মুক্ত স্কিমগুলিতে ব্যবহার করা যেতে পারে, যা মূলত রুসানভের মতো স্কিম। রৈখিক পুনর্গঠন আমরা নিম্নলিখিত সহজ প্রথম-ক্রম, স্কেলার, 1ডি সিস্টেম বিবেচনা করে এম. ইউ. এস. সি. এল প্রকল্পের মৌলিক বিষয়গুলি বিবেচনা করব, যা ধনাত্মক দিকে প্রসারিত একটি তরঙ্গ বলে ধরে নেওয়া হয়, যেখানে একটি অবস্থা পরিবর্তনশীলকে উপস্থাপন করে এবং একটি ফ্লাক্স পরিবর্তনশীলকে উপস্থাপন করে। গডুনভের মৌলিক পরিকল্পনায় প্রতিটি কোষের জন্য পিসওয়াইজ ধ্রুবক অনুমান ব্যবহার করা হয় এবং ফলস্বরূপ কোষ কেন্দ্রগুলির সাথে উপরের সমস্যার প্রথম-ক্রমের আপওয়াইন্ড বিচ্যুতি হয়। একটি আধা-বিচ্ছিন্ন স্কিমকে নিম্নরূপ সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে, এই মৌলিক স্কিমটি শক বা তীক্ষ্ণ বিচ্ছিন্নতা পরিচালনা করতে সক্ষম নয় কারণ সেগুলি দাগ হয়ে যায়। এই প্রভাবের একটি উদাহরণ বিপরীত চিত্রটিতে দেখানো হয়েছে, যা ডানদিকে প্রসারিত একটি ধাপ তরঙ্গ সহ একটি 1ডি অ্যাডভেক্টিভ সমীকরণকে চিত্রিত করে। সিমুলেশনটি 200টি কোষের জাল দিয়ে করা হয়েছিল এবং একটি 4র্থ ক্রমের রাঞ্জ-কুট্টা টাইম ইন্টিগ্রেটর (আর কে 4) ব্যবহার করা হয়েছিল। বিচ্ছিন্নতার উচ্চতর রেজোলিউশন প্রদানের জন্য, গডুনভের স্কিমটি প্রতিটি কোষের পিসওয়াইজ রৈখিক আনুমানিক ব্যবহার করার জন্য প্রসারিত করা যেতে পারে, যার ফলস্বরূপ একটি কেন্দ্রীয় পার্থক্য স্কিম তৈরি হয় যা স্থানের দ্বিতীয় ক্রমের সঠিক। এইভাবে, কোষের প্রান্তগুলিতে ফ্লাক্সগুলি মূল্যায়ন করে আমরা নিম্নলিখিত আধা-বিচ্ছিন্ন স্কিমটি পাই যেখানে এবং কোষের প্রান্তের ভেরিয়েবলগুলির পিসওয়াইজ আনুমানিক মানগুলি, অর্থাৎ, যদিও উপরের দ্বিতীয়-ক্রমের স্কিমটি মসৃণ সমাধানের জন্য আরও বেশি নির্ভুলতা প্রদান করে, এটি মোট বৈচিত্র্য হ্রাসকারী (টিভিডি) স্কিম নয় এবং সমাধানে জাল দোলন প্রবর্তন করে যেখানে বিচ্ছিন্নতা বা শক উপস্থিত থাকে। এই প্রভাবের একটি উদাহরণ বিপরীত চিত্রটিতে দেখানো হয়েছে, যা ডানদিকে প্রসারিত একটি ধাপ তরঙ্গ সহ একটি 1ডি অ্যাডভেক্টিভ সমীকরণকে চিত্রিত করে। গডুনভের উপপাদ্যের কারণে নির্ভুলতার এই ক্ষতি প্রত্যাশিত। সিমুলেশনটি 200 টি কোষের জাল দিয়ে করা হয়েছিল এবং সময় একীকরণের জন্য আর কে 4 ব্যবহার করা হয়েছিল। এম. ইউ. এস. সি. এল ভিত্তিক সংখ্যাসূচক স্কিমগুলি ঢাল সীমিত বাম এবং ডান বহির্মুখী অবস্থা ব্যবহার করে প্রতিটি কোষে একটি রৈখিক পিসওয়াইজ আনুমানিক ব্যবহার করার ধারণাটি প্রসারিত করে। এর ফলে নিম্নলিখিত উচ্চ রেজোলিউশন, টিভিডি ডিসক্রেটাইজেশন স্কিম তৈরি হয়, যা বিকল্পভাবে আরও সংক্ষিপ্ত আকারে লেখা যেতে পারে, সংখ্যাসূচক ফ্লাক্সগুলি অবিচ্ছিন্ন ফ্লাক্স ফাংশনের প্রথম এবং দ্বিতীয়-ক্রমের আনুমানিক একটি অরৈখিক সংমিশ্রণের সাথে মিলে যায়। চিহ্নগুলি এবং প্রতিনিধিত্ব করে স্কিম নির্ভর ফাংশনগুলি (সীমিত বহির্মুখী কোষ প্রান্তের চলকগুলির), অর্থাৎ, যেখানে, ডাউনওয়াইন্ড স্লোপ ব্যবহার করেঃ এবং ফাংশনটি একটি সীমাবদ্ধ ফাংশন যা সমাধানটি টিভিডি নিশ্চিত করার জন্য পিসওয়াইজ অনুমানের ঢালকে সীমাবদ্ধ করে, যার ফলে জাল দোলনগুলি এড়ানো যায় যা অন্যথায় বিচ্ছিন্নতা বা শকগুলির আশেপাশে ঘটতে পারে-ফ্লাক্স সীমাবদ্ধ বিভাগ দেখুন। যখন এবং যখন একতার সমান হয় তখন সীমাবদ্ধ শূন্যের সমান হয়। সুতরাং, একটি টিভিডি বিচ্ছিন্নকরণের নির্ভুলতা স্থানীয় চূড়ান্ত পর্যায়ে প্রথম ক্রমে হ্রাস পায়, তবে ডোমেনের মসৃণ অংশগুলির উপর দ্বিতীয় ক্রমে প্রবণতা দেখায়। অ্যালগরিদমটি বাস্তবায়নের জন্য সোজা এগিয়ে। একবার কুরগানভ এবং ট্যাডমোর স্কিমের মতো একটি উপযুক্ত স্কিম বেছে নেওয়ার পরে (নীচে দেখুন), সমাধানটি স্ট্যান্ডার্ড সংখ্যাসূচক ইন্টিগ্রেশন কৌশল ব্যবহার করে এগিয়ে যেতে পারে। কুর্গানভ এবং তাদমোর কেন্দ্রীয় প্রকল্প কুর্গানভ এবং তাদমোর (কেটি) কেন্দ্রীয় প্রকল্পের একটি অগ্রদূত, (কুর্গানভ এবং তাদমোর, 2000), হল নেস্যাহু এবং তাদমোর (এনটি) একটি স্তম্ভিত কেন্দ্রীয় প্রকল্প, (নেস্যাহু এবং তাদমোর, 1990)। এটি একটি রিম্যান-সমাধানকারী-মুক্ত, দ্বিতীয়-ক্রম, উচ্চ-রেজোলিউশন প্রকল্প যা এম. ইউ. এস. সি. এল পুনর্গঠন ব্যবহার করে। এটি একটি সম্পূর্ণ বিচ্ছিন্ন পদ্ধতি যা বাস্তবায়নের জন্য সোজা এবং স্কেলার এবং ভেক্টর সমস্যাগুলিতে ব্যবহার করা যেতে পারে এবং উচ্চ ক্রমের পুনর্গঠনের সাথে পরিপূরক রুসানভ ফ্লাক্স (স্থানীয় ল্যাক্স-ফ্রিড্রিচ ফ্লাক্স নামেও পরিচিত) হিসাবে দেখা যেতে পারে। অ্যালগরিদমটি রিম্যান টাইপ সমাধানকারীগুলির সাথে তুলনীয় কর্মক্ষমতা সহ কেন্দ্রীয় পার্থক্যের উপর ভিত্তি করে যখন পি. ডি. ই-এর বর্ণনাকারী সিস্টেমগুলির জন্য সমাধান পেতে ব্যবহৃত হয় যা উচ্চ-গ্রেডিয়েন্ট ঘটনা প্রদর্শন করে। কে. টি স্কিমটি এন. টি স্কিমকে প্রসারিত করে এবং মূল এন. টি স্কিমের তুলনায় সংখ্যাসূচক সান্দ্রতা কম থাকে। এর একটি অতিরিক্ত সুবিধাও রয়েছে যে এটি একটি সম্পূর্ণ বিচ্ছিন্ন বা আধা-বিচ্ছিন্ন প্রকল্প হিসাবে প্রয়োগ করা যেতে পারে। এখানে আমরা আধা-বিচ্ছিন্ন পরিকল্পনাটি বিবেচনা করি। গণনাটি নীচে দেখানো হয়েছেঃ যেখানে স্থানীয় প্রসারণ গতি, সি. এফ. এল সম্পর্কিত গতির বাইরে জ্যাকোবিয়ান কোষের আইগেন মানের সর্বাধিক পরম মান এবং বর্ণালী ব্যাসার্ধের প্রতিনিধিত্ব করে, সেখানে কোনও চরিত্রগত তথ্যের প্রয়োজন হয় না। উপরের ফ্লাক্স গণনাকে প্রায়শই ল্যাক্স-ফ্রিড্রিক্স ফ্লাক্স বলা হয় (যদিও এটি উল্লেখ করার মতো যে এই ধরনের ফ্লাক্স অভিব্যক্তি ল্যাক্স, 1954-এ নয় বরং রুসানভ, 1961-এ দেখা যায়)। একটি উচ্চ রেজোলিউশন স্কিম ব্যবহারের কার্যকারিতার একটি উদাহরণ বিপরীত চিত্রটিতে দেখানো হয়েছে, যা 1ডি অ্যাডভেক্টিভ সমীকরণকে চিত্রিত করে, যেখানে একটি ধাপ তরঙ্গ ডানদিকে প্রসারিত হয়। সিমুলেশনটি 200 টি কোষের জালের উপর করা হয়েছিল, সুপারবি সীমাবদ্ধতার সাথে কুর্গানভ এবং ট্যাডমোর কেন্দ্রীয় স্কিম ব্যবহার করে এবং সময় সংহতকরণের জন্য আর কে-4 ব্যবহার করা হয়েছিল। এই অনুকরণ ফলাফলটি উপরে দেখানো উপরের প্রথম-ক্রমের আপওয়াইন্ড এবং দ্বিতীয়-ক্রমের কেন্দ্রীয় পার্থক্য ফলাফলের সাথে অত্যন্ত ভালভাবে বৈপরীত্য দেখায়। সমীকরণের সেটগুলিতে প্রয়োগ করা হলে এই স্কিমটি ভাল ফলাফলও প্রদান করে-অয়লার সমীকরণগুলিতে প্রয়োগ করা এই স্কিমের জন্য নীচের ফলাফলগুলি দেখুন। যাইহোক, একটি উপযুক্ত সীমাবদ্ধকারী বেছে নেওয়ার ক্ষেত্রে যত্ন নিতে হবে কারণ, উদাহরণস্বরূপ, সুপারবি সীমাবদ্ধকারী কিছু মসৃণ তরঙ্গের জন্য অবাস্তব তীক্ষ্ণতার কারণ হতে পারে। এই পরিকল্পনায় সহজেই বিচ্ছুরণ শর্তাবলী অন্তর্ভুক্ত থাকতে পারে, যদি সেগুলি উপস্থিত থাকে। উদাহরণস্বরূপ, যদি উপরের 1ডি স্কেলার সমস্যাটি একটি বিস্তার শব্দ অন্তর্ভুক্ত করার জন্য প্রসারিত করা হয়, তবে আমরা পাই যার জন্য কুর্গানভ এবং ট্যাডমোর নিম্নলিখিত কেন্দ্রীয় পার্থক্যের আনুমানিক প্রস্তাব দেয়, যেখানে, অ্যালগরিদমের সম্পূর্ণ বিবরণ (পূর্ণ এবং আধা-বিচ্ছিন্ন সংস্করণ) এবং এর ব্যুৎপত্তি মূল কাগজে (কুর্গানভ এবং ট্যাডমোর, 2000) পাওয়া যেতে পারে, বেশ কয়েকটি 1ডি এবং 2ডি উদাহরণ সহ। অতিরিক্ত তথ্য নেস্যাহু এবং তাদমোরের (1990) পূর্ববর্তী সম্পর্কিত গবেষণাপত্রেও পাওয়া যায়। দ্রষ্টব্যঃ এই স্কিমটি মূলত কুর্গানভ এবং তাদমোর দ্বারা রৈখিক এক্সট্রপোলেশনের উপর ভিত্তি করে 2য় ক্রমের স্কিম হিসাবে উপস্থাপন করা হয়েছিল। পরবর্তী একটি গবেষণাপত্রে (কুর্গানোভ এবং লেভি, 2000) দেখা যায় যে এটি তৃতীয় ক্রম পরিকল্পনার ভিত্তিও তৈরি করতে পারে। একটি 1ডি অ্যাডভেক্টিভ উদাহরণ এবং তাদের পরিকল্পনার একটি অয়লার সমীকরণের উদাহরণ, প্যারাবলিক পুনর্গঠন (3য় ক্রম) ব্যবহার করে, নীচের প্যারাবলিক পুনর্গঠন এবং অয়লার সমীকরণ বিভাগে দেখানো হয়েছে। পিসওয়াইজ প্যারাবলিক পুনর্গঠন রৈখিক-বহির্মুখীকরণের ধারণাকে উচ্চতর ক্রমের পুনর্গঠনে প্রসারিত করা সম্ভব, এবং একটি উদাহরণ বিপরীত চিত্রটিতে দেখানো হয়েছে। যাইহোক, এই ক্ষেত্রে বাম এবং ডান অবস্থা একটি দ্বিতীয় ক্রম, আপওয়াইন্ড বায়াস, পার্থক্য সমীকরণের ইন্টারপোলেশন দ্বারা অনুমান করা হয়। এর ফলে একটি প্যারাবলিক পুনর্গঠন প্রকল্প তৈরি হয় যা মহাকাশে তৃতীয়-ক্রমের সঠিক। আমরা কেরমানির (কেরমানি, এবং অন্যান্য, 2003) পদ্ধতি অনুসরণ করি এবং একটি তৃতীয়-ক্রমের আপওয়াইন্ড বায়াসড স্কিম উপস্থাপন করি, যেখানে প্রতীকগুলি এবং আবার স্কিম নির্ভর ফাংশনগুলি (সীমিত পুনর্গঠিত কোষ প্রান্তের ভেরিয়েবলগুলির) প্রতিনিধিত্ব করে। কিন্তু এই ক্ষেত্রে তারা প্যারাবোলিকভাবে পুনর্গঠিত অবস্থার উপর ভিত্তি করে, অর্থাৎ, এবং যেখানে = 1/3 এবং, এবং সীমাবদ্ধ ফাংশন, উপরের মতোই। প্যারাবলিক পুনর্গঠন বাস্তবায়নের জন্য সোজা এবং উপরে দেখানো রৈখিক এক্সট্রপোলেশনের পরিবর্তে কুর্গানোভ এবং ট্যাডমোর স্কিমের সাথে ব্যবহার করা যেতে পারে। এটি কে. টি স্কিমের স্থানিক সমাধানকে তৃতীয় ক্রমে উন্নীত করার প্রভাব ফেলে। অয়লার সমীকরণগুলি সমাধান করার সময় এটি ভাল কাজ করে, নীচে দেখুন। মসৃণ সমাধানের জন্য দ্বিতীয় ক্রম পরিকল্পনার তুলনায় স্থানিক ক্রমের এই বৃদ্ধির কিছু সুবিধা রয়েছে, তবে, শকগুলির জন্য এটি আরও অপচয়কারী-রৈখিক এক্সট্রপোলেশন এবং সুপারবি সীমাবদ্ধতার সাথে কেটি অ্যালগরিদম ব্যবহার করে প্রাপ্ত উপরের সমাধানের সাথে বিপরীত চিত্রের তুলনা করুন। এই সিমুলেশনটি একই কে. টি অ্যালগরিদম ব্যবহার করে 200 টি কোষের একটি জালের উপর করা হয়েছিল কিন্তু প্যারাবলিক পুনর্গঠনের সাথে। সময়ের সংহতকরণ ছিল আর কে-4 দ্বারা, এবং ভ্যান আলবাডা সীমাবদ্ধতার বিকল্প রূপ, জাল দোলন এড়াতে ব্যবহৃত হয়েছিল। উদাহরণস্বরূপঃ 1ডি অয়লার সমীকরণ সরলতার জন্য আমরা তাপ স্থানান্তর ছাড়াই এবং শারীরিক বল ছাড়াই 1ডি কেস বিবেচনা করি। অতএব, সংরক্ষণ ভেক্টর আকারে, সাধারণ অয়লার সমীকরণগুলি হ্রাস পায় যেখানে এবং যেখানে অবস্থার একটি ভেক্টর এবং ফ্লাক্সের একটি ভেক্টর। উপরের সমীকরণগুলি ভর, ভরবেগ এবং শক্তির সংরক্ষণের প্রতিনিধিত্ব করে। এইভাবে তিনটি সমীকরণ এবং চারটি অজানা, (ঘনত্ব) (তরল বেগ), (চাপ) এবং (মোট শক্তি) রয়েছে। মোট শক্তি দ্বারা দেওয়া হয়, যেখানে নির্দিষ্ট অভ্যন্তরীণ শক্তির প্রতিনিধিত্ব করে। সিস্টেমটি বন্ধ করার জন্য একটি অবস্থার সমীকরণ প্রয়োজন। যা আমাদের উদ্দেশ্যের সাথে মানানসই তা হল যেখানে তরলের জন্য নির্দিষ্ট তাপের অনুপাতের সমান। আমরা এখন প্রতিটি স্টেট ভেরিয়েবলের জন্য বাম এবং ডান এক্সট্রপোলেটেড অবস্থা অর্জন করে এগিয়ে যেতে পারি, যেমনটি সহজ 1ডি উদাহরণে উপরে দেখানো হয়েছে। সুতরাং, ঘনত্বের জন্য আমরা পাই যেখানে একইভাবে, ভরবেগ এবং মোট শক্তির জন্য। বেগ, ভরবেগ থেকে গণনা করা হয়, এবং চাপ, অবস্থার সমীকরণ থেকে গণনা করা হয়। সীমিত বহির্মুখী অবস্থা প্রাপ্ত করার পরে, আমরা এই মানগুলি ব্যবহার করে প্রান্ত প্রবাহগুলি তৈরি করতে এগিয়ে যাই। প্রান্তের ফ্লাক্সগুলি জানা থাকলে, আমরা এখন আধা-বিচ্ছিন্ন স্কিম তৈরি করতে পারি, অর্থাৎ, সমাধানটি এখন স্ট্যান্ডার্ড সংখ্যাসূচক কৌশল ব্যবহার করে একীকরণের মাধ্যমে এগিয়ে যেতে পারে। উপরেরটি এম. ইউ. এস. সি. এল প্রকল্পের মৌলিক ধারণাটি ব্যাখ্যা করে। যাইহোক, অয়লার সমীকরণগুলির একটি ব্যবহারিক সমাধানের জন্য, ফাংশনটি সংজ্ঞায়িত করার জন্য একটি উপযুক্ত স্কিম (যেমন উপরের কে. টি স্কিম) বেছে নিতে হবে। বিপরীত চিত্রটি উপরের উচ্চ রেজোলিউশন কুর্গানোভ এবং ট্যাডমোর সেন্ট্রাল স্কিম (কেটি) ব্যবহার করে জি এ সোডের শক টিউব সমস্যার (সোড, 1978) দ্বিতীয় ক্রমের সমাধান দেখায়। এটি স্পষ্টভাবে ইউলার সমীকরণ সমাধানে এম. ইউ. এস. সি. এল পদ্ধতির কার্যকারিতা প্রদর্শন করে। ম্যাটল্যাব কোড (ওয়েসেলিং, 2001) ব্যবহার করে 200 টি কোষের জালের উপর সিমুলেশনটি করা হয়েছিল, যা কেটি অ্যালগরিদম এবং অসপ্রে সীমাবদ্ধ ব্যবহার করার জন্য অভিযোজিত হয়েছিল। 4র্থ ক্রমের এস. এইচ. কে (আর. কে-4-এর সমতুল্য কর্মক্ষমতা) ইন্টিগ্রেটর দ্বারা সময় ইন্টিগ্রেশন সম্পাদিত হয়েছিল। নিম্নলিখিত প্রাথমিক শর্তগুলি (এস. আই একক) ব্যবহার করা হয়েছিলঃ চাপ বাম = 100000 [পা]; চাপ ডান = 10000 [পা]; ঘনত্ব বাম = 1 [কেজি/মি3]; ঘনত্ব ডান = 0.125 [কেজি/মি3]; দৈর্ঘ্য = 20 [মি]; বেগ বাম = 0 [মি/সে]; বেগ ডান = 0 [মি/সে]; সময়কাল = 0.01 [সে]; ল্যাম্বডা = 0.001069 (α/αx)। বিপরীত চিত্রটি উপরের উচ্চ রেজোলিউশন কুর্গানোভ এবং ট্যাডমোর সেন্ট্রাল স্কিম (কেটি) ব্যবহার করে জি এ সোডের শক টিউব সমস্যার (সোড, 1978) একটি তৃতীয় ক্রমের সমাধান দেখায় তবে প্যারাবলিক পুনর্গঠন এবং ভ্যান আলবাডা সীমাবদ্ধতার সাথে। এটি আবার অয়লার সমীকরণ সমাধানে এম. ইউ. এস. সি. এল পদ্ধতির কার্যকারিতা চিত্রিত করে। ম্যাটল্যাব কোড (ওয়েসেলিং, 2001) ব্যবহার করে 200 টি কোষের জালের উপর সিমুলেশনটি করা হয়েছিল, যা প্যারাবলিক এক্সট্রাপোলেশন এবং ভ্যান আলবাডা সীমাবদ্ধতার সাথে কেটি অ্যালগরিদম ব্যবহার করার জন্য অভিযোজিত হয়েছিল। ভ্যান আলবাডা সীমাবদ্ধতার বিকল্প রূপ,, জাল দোলন এড়াতে ব্যবহৃত হয়েছিল। সময় ইন্টিগ্রেশন একটি 4র্থ অর্ডার এসএইচকে ইন্টিগ্রেটর দ্বারা সঞ্চালিত হয়েছিল। একই প্রাথমিক শর্ত ব্যবহার করা হয়েছিল। অন্যান্য বিভিন্ন উচ্চ রেজোলিউশন স্কিম তৈরি করা হয়েছে যা ভাল নির্ভুলতার সাথে অয়লার সমীকরণগুলি সমাধান করে। এই ধরনের স্কিমগুলির উদাহরণ হল, ওশার স্কিম এবং লিউ-স্টেফেন এ. ইউ. এস. এম (অ্যাডভেশন আপস্ট্রিম স্প্লিটিং মেথড) স্কিম। এই এবং অন্যান্য পদ্ধতি সম্পর্কে আরও তথ্য নীচের রেফারেন্সগুলিতে পাওয়া যাবে। কুর্গানোভ এবং তাদমোর কেন্দ্রীয় প্রকল্পের একটি মুক্ত উৎস বাস্তবায়ন নীচের বাহ্যিক লিঙ্কগুলিতে পাওয়া যাবে। আরও দেখুন ফাইনাইট ভলিউম পদ্ধতি ফ্লাক্স সীমাবদ্ধ গডুনভের উপপাদ্য লাইনের উচ্চ রেজোলিউশন স্কিম পদ্ধতি সের্গেই কে. গডুনভ সোড শক টিউব রেফারেন্স হ্রাসকারী মোট প্রকরণ কেরমানি, এম. জে., গারবার, এ. জি., এবং স্টকি, জে. এম. (2003), রোয়ের স্কিম ব্যবহার করে তাপগতিবিদ্যা ভিত্তিক আর্দ্রতা পূর্বাভাস, ইরানি অ্যারোস্পেস সোসাইটির 4র্থ সম্মেলন, আমির কবির প্রযুক্তি বিশ্ববিদ্যালয়, তেহরান, ইরান, জানুয়ারি 27-29। কুর্গানভ, আলেকজান্ডার এবং ইটান ট্যাডমোর (2000), নিউ হাই-রেজোলিউশন সেন্ট্রাল স্কিমস ফর ননলাইনিয়ার কনজারভেশন ল 'স অ্যান্ড কনভেশন-ডিফ্যুশন ইকুয়েশনস, জে. কম্পিউট। ফিজি., 160,241-282। কুর্গানভ, আলেকজান্ডার এবং ডোরন লেভি (2000), সংরক্ষণ আইন এবং পরিবাহিতা-বিস্তার সমীকরণের জন্য একটি তৃতীয়-অর্ডার সেমিডিসক্রিট সেন্ট্রাল স্কিম, সিয়াম জে সাই। কম্পিউট., 22,1461-1488। লাক্স, পি. ডি. (1954)। অ-রৈখিক হাইপারবোলিক সমীকরণ এবং তাদের সংখ্যাসূচক গণনার দুর্বল সমাধান, কম। বিশুদ্ধ অ্যাপল। গণিত., সপ্তম, পৃষ্ঠা 159-193। লেভেক, আর. জে। (2002)। হাইপারবোলিক সমস্যার জন্য সীমিত ভলিউম পদ্ধতি, কেমব্রিজ ইউনিভার্সিটি প্রেস। ভ্যান লির, বি। (1979), টুয়ার্ডস দ্য আলটিমেট কনজারভেটিভ ডিফারেন্স স্কিম, ভি. এ সেকেন্ড অর্ডার সিক্যুয়েল টু গডুনভ 'স মেথড, জে. কম। ফিজি., 32,101-136। নেস্যাহু, এইচ. এবং ই. ট্যাডমোর (1990), হাইপারবোলিক সংরক্ষণ আইনের জন্য অ-দোলক কেন্দ্রীয় পার্থক্য, জে. কম্পিউট। , 87,408-463। । রুসানভ, ভি. ভি. (1961)। স্ট্যাকলেস-বিহীন শক ওয়েভস্ উইথ অবস্টাকলস-এর ছেদ গণনা, জে. কম্পিউট। গণিত। ফিজিও। ইউএসএসআর, 1, পিপি 267-279। সোড, জি এ। (1978), এ নিউমেরিকাল স্টাডি অফ এ কনভারজিং সিলিন্ড্রিকাল শক। জে ফ্লুইড মেকানিক্স, 83,785-794। টোরো, ই. এফ. (1999), রিমান সলভার্স অ্যান্ড নিউমেরিকাল মেথডস ফর ফ্লুইড ডায়নামিক্স, স্প্রিংগার-ভার্লাগ। ওয়েসেলিং, পিটার (2001), প্রিন্সিপলস অফ কম্পিউটশনাল ফ্লুইড ডায়নামিক্স, স্প্রিঙ্গার-ভার্লাগ। হির্শ, সি. (1990), অভ্যন্তরীণ এবং বাহ্যিক প্রবাহের সংখ্যাসূচক গণনা, খণ্ড 2, উইলি। ল্যানি, কালবার্ট বি। (1998), গণনামূলক গ্যাস গতিবিদ্যা, কেমব্রিজ ইউনিভার্সিটি প্রেস। ট্যানহিল, জন সি., এবং অন্যান্য। (1997), গণনামূলক তরল বলবিজ্ঞান এবং তাপ স্থানান্তর, 2য় সংস্করণ, টেলর এবং ফ্রান্সিস। বাহ্যিক লিঙ্ক জি. ই. ই. এস-ওপেন সোর্স কোড কুরগানভ এবং ট্যাডমোর কেন্দ্রীয় স্কিম ব্যবহার করে অয়লার সমীকরণগুলি সমাধান করে, যা ফোরট্রানে লেখা হয়েছে (লেখকঃ আরনো মায়রহফার) তরল গতিবিদ্যা সংখ্যাসূচক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ গণনামূলক তরল গতিবিদ্যা