Tight span
মেট্রিক জ্যামিতিতে, মেট্রিক খাম বা মেট্রিক স্পেস এম-এর টাইট স্প্যান হল একটি ইনজেকটিভ মেট্রিক স্পেস যেখানে এম-কে এম্বেড করা যেতে পারে। কিছু অর্থে এটি এম-এর বিন্দুগুলির মধ্যে সমস্ত বিন্দু নিয়ে গঠিত, যা ইউক্লিডীয় স্থানে সেট করা একটি বিন্দুর উত্তল কাঠামোর অনুরূপ। টাইট স্প্যানটি কখনও কখনও ইনজেকটিভ খাম বা এম এর হাইপারকনভেক্স হুল নামেও পরিচিত। এটিকে ইনজেকটিভ হুলও বলা হয়, তবে বীজগণিতে একটি মডিউলের ইনজেকটিভ হুলের সাথে বিভ্রান্ত হওয়া উচিত নয়, মেট্রিক স্পেসের পরিবর্তে আর-মডিউলগুলির বিভাগের সাথে সম্পর্কিত অনুরূপ বিবরণ সহ একটি ধারণা। টাইট স্প্যান প্রথম বর্ণনা করেছিলেন, এবং এটি 1960-এর দশকে হোলস্টিনস্কি দ্বারা অধ্যয়ন ও প্রয়োগ করা হয়েছিল। এটি পরে স্বাধীনভাবে এবং দ্বারা পুনরায় আবিষ্কৃত হয়েছিল; এই ইতিহাসের জন্য দেখুন। টাইট স্প্যান টি-তত্ত্বের অন্যতম কেন্দ্রীয় নির্মাণ। সংজ্ঞা একটি মেট্রিক স্থানের টাইট স্প্যান নিম্নরূপ সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। ধরা যাক (X, d) একটি মেট্রিক স্পেস, এবং T (X) কে X-এর চরম ফাংশনের সেট হতে দিন, যেখানে আমরা X-এর উপর একটি চরম ফাংশন বলি যার অর্থ X থেকে R পর্যন্ত একটি ফাংশন f যাতে যে কোনও x-এর জন্য, x-এ y, x-এ d (x, y) ≤ f (x) + f (y), এবং X-এ প্রতিটি x-এর জন্য, f (x) = সুপ্র {d (x, y)-f (y): x-এ y। বিশেষ করে (উপরের প্রপার্টি 1-এ x = y নিয়ে) সমস্ত x-এর জন্য f (x) ≤0। উপরের প্রথম প্রয়োজনীয়তাকে ব্যাখ্যা করার একটি উপায় হল যে f কিছু নতুন বিন্দু থেকে X-এর বিন্দু পর্যন্ত সম্ভাব্য দূরত্বের একটি সেটকে সংজ্ঞায়িত করে যা অবশ্যই (X, d)-এর দূরত্বের সাথে ত্রিভুজ বৈষম্যকে সন্তুষ্ট করবে। দ্বিতীয় শর্তে বলা হয়েছে যে ত্রিভুজ বৈষম্য লঙ্ঘন না করে এই দূরত্বগুলির কোনওটিই হ্রাস করা যাবে না। (এক্স, ডি) এর টাইট স্প্যান হল মেট্রিক স্পেস (টি (এক্স), δ), যেখানে আদর্শ দ্বারা প্ররোচিত মেট্রিকের অনুরূপ। (যদি d আবদ্ধ হয়, তবে δ হল আদর্শ দ্বারা প্ররোচিত মেট্রিক দ্বারা প্ররোচিত সাবস্পেস মেট্রিক। যদি d আবদ্ধ না হয়, তবে X-এর প্রতিটি চরম ফাংশন সীমাহীন এবং তাই যাই হোক না কেন, এটি সত্য হবে যে T (X)-এর যে কোনও f, g-এর জন্য, পার্থক্যটি, অর্থাৎ, সীমাবদ্ধ। এক্সট্রিমাল ফাংশনের সমতুল্য সংজ্ঞা এক্স থেকে আর পর্যন্ত একটি ফাংশনের জন্য প্রথম প্রয়োজনীয়তা পূরণ করার জন্য, দ্বিতীয় প্রয়োজনীয়তার নিম্নলিখিত সংস্করণগুলি সমতুল্যঃ এক্স-এর প্রতিটি এক্স-এর জন্য, এফ (এক্স) = সুপার {ডি (এক্স, ওয়াই)-এফ (ওয়াই): এক্স-এ ওয়াই। পূর্বোক্ত প্রথম প্রয়োজনের সাপেক্ষে f হল পয়েন্টওয়াইজ মিনিমাল, অর্থাৎ, X থেকে R পর্যন্ত যে কোনও ফাংশন g-এর জন্য যাতে d (x, y) ≤ g (x) + g (y) সমস্ত x-এর জন্য, x-এ y, যদি g ≤ f পয়েন্টওয়াইজ হয়, তাহলে f = g। মৌলিক বৈশিষ্ট্য এবং উদাহরণ X-এর সমস্ত x-এর জন্য, X-এর প্রতিটি x-এর জন্য, চরম। (প্রমাণঃ প্রতিসাম্য এবং ত্রিভুজ বৈষম্য ব্যবহার করুন।) যদি এক্স সীমাবদ্ধ হয়, তবে এক্স থেকে আর পর্যন্ত যে কোনও ফাংশনের জন্য যা প্রথম প্রয়োজনীয়তা পূরণ করে, দ্বিতীয় প্রয়োজনীয়তাটি এই শর্তের সমতুল্য যে এক্স-এ প্রতিটি এক্স-এর জন্য, এক্স-এ এমনভাবে y বিদ্যমান যে f (x) + f (y) = d (x, y)। (যদি উভয় শর্তই সত্য হয়। যদি তখন সর্বোচ্চতা অর্জন করা হয়, এবং প্রথম প্রয়োজনীয়তা সমতুল্যতা বোঝায়।) |X। = 2 বলুন এবং স্বতন্ত্র a, b এমনভাবে বেছে নিন যাতে X = {a, b} হয়। তারপর {{(a, 1), (b, 0)}, {(a, 0), (b, 1)}} এর উত্তল কাঠামো। [একটি ছবি যোগ করুন। শিরোনামঃ যদি X = {0,1} হয়, তাহলে {(0,1), (1,0)} এর উত্তল কাঠামো হবে।] এক্স-এর প্রতিটি চরম ফাংশন হল ক্যাটেটোভঃ এফ প্রথম প্রয়োজনীয়তা পূরণ করে এবং বা সমতুল্যভাবে, এফ প্রথম প্রয়োজনীয়তা পূরণ করে এবং (1-লিপস্কিটজ), বা সমতুল্যভাবে, এফ প্রথম প্রয়োজনীয়তা পূরণ করে এবং টি (এক্স) সি (এক্স)। (লিপস্কিটজ ফাংশনগুলি অবিচ্ছিন্ন।) টি (এক্স) সমান্তরাল। (এক্স-এর প্রতিটি চরম ফাংশন থেকে অনুসরণ করে 1-লিপস্কিটজ; সিএফ। Equicontinuity#Examples।) এক্স-এর প্রতিটি ক্যাটেটোভ ফাংশন চরম নয়। উদাহরণস্বরূপ, ধরা যাক a, b স্বতন্ত্র, ধরা যাক X = {a, b}, ধরা যাক d = ([x ষ্ণ y]) x, X-এ y হল X-এর পৃথক মেট্রিক, এবং ধরা যাক f = {(a, 1), (b, 2)}। তারপর f হল কাতেতভ কিন্তু চরম নয়। (এটা প্রায় তাৎক্ষণিক যে এফ কাতেতভ। f চরম নয় কারণ এটি এই বিভাগের তৃতীয় বুলেটে বৈশিষ্ট্যটি ব্যর্থ করে।) যদি d আবদ্ধ হয়, তাহলে T (X)-এর প্রতিটি f আবদ্ধ। প্রকৃতপক্ষে, টি (এক্স)-এর প্রতিটি এফ-এর জন্য, (নোট) (উপরের বিভাগের তৃতীয় সমতুল্য বৈশিষ্ট্য থেকে অনুসরণ করা হয়।) যদি d সীমাহীন হয়, তাহলে T (X)-এর প্রতিটি f সীমাহীন। (প্রথম প্রয়োজনীয়তা থেকে অনুসরণ করা হয়।) পয়েন্টওয়াইজ সীমার অধীনে বন্ধ করা হয়। যদি (X, d) কম্প্যাক্ট হয়, তাহলে (T (X), δ) কম্প্যাক্ট হয়। (প্রমাণঃ চরম-মান উপপাদ্যটি বোঝায় যে d, একটি ফাংশন হিসাবে অবিচ্ছিন্ন হওয়া সীমাবদ্ধ, তাই (পূর্ববর্তী বুলেট দেখুন) সি (এক্স) এর একটি আবদ্ধ উপসেট। আমরা দেখিয়েছি যে টি (এক্স) সমান্তরাল, তাই আরজেলা-অ্যাসকোলি উপপাদ্যটি বোঝায় যে টি (এক্স) তুলনামূলকভাবে সংক্ষিপ্ত। যাইহোক, পূর্ববর্তী বুলেটটি বোঝায় যে টি (এক্স) আদর্শের অধীনে বন্ধ করা হয়েছে, যেহেতু অভিসরণ পয়েন্টওয়াইজ কনভারজেন্স বোঝায়। সুতরাং টি (এক্স) কম্প্যাক্ট।) X থেকে R পর্যন্ত যে কোনও ফাংশন g-এর জন্য যা প্রথম প্রয়োজনীয়তা পূরণ করে, T (X)-এ f-এর অস্তিত্ব রয়েছে যেমন f ≤ g পয়েন্টওয়াইজ। X-এর উপর যে কোনও চরম ফাংশনের জন্য, T (X)-এর যে কোনও f, g-এর জন্য, পার্থক্যটি, অর্থাৎ, সীমাবদ্ধ। (উপরের বুলেটটি ব্যবহার করুন।) কুরাতোভস্কির মানচিত্রটি একটি আইসোমেট্রি। (যখন এক্স = আইএল হয়, তখন ফলাফল সুস্পষ্ট হয়। যখন X ষ্ণ ষ্ণ, বিপরীত ত্রিভুজ অসমতা ফলাফল বোঝায়।) T (X)-এ f ধরা যাক। X-এর যে কোনও a-এর জন্য, যদি f (a) = 0 হয়, তাহলে f = e (a)। (X-এর প্রতিটি x-এর জন্য আমাদের আছে f-এর ন্যূনতমতা (উপরের বিভাগে দ্বিতীয় সমতুল্য বৈশিষ্ট্য) থেকে এবং প্রথম প্রয়োজনীয়তা পূরণ করে যে এটি অনুসরণ করে) (X, d) হাইপারবোলিক হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি (T (X), δ) হাইপারবোলিক হয়। হাইপারকনভেক্সিটি বৈশিষ্ট্য (টি (এক্স), δ) এবং উভয়ই হাইপারকনভেক্স। যে কোনও ওয়াই-এর জন্য যা হাইপারকনভেক্স নয়। ("(টি (এক্স), δ) হল (এক্স, ডি)"-এর একটি হাইপারকনভেক্স হুল। এবং-এর সঙ্গে একটি হাইপারকনভেক্স মেট্রিক স্পেস ধরা যাক। যদি সমস্ত I সহ হাইপারকনভেক্স না হয়, তবে এবং (T (X), δ) আইসোমেট্রিক হয়। ("(এক্স, ডি) এর প্রতিটি হাইপারকনভেক্স হুল (টি (এক্স), δ) সহ আইসোমেট্রিক।") উদাহরণস্বরূপ বলা যায় |X। = 3, স্বতন্ত্র a, b, c বেছে নিন যাতে X = {a, b, c}, এবং ধরা যাক i = d (a, b), j = d (a, c), k = d (b, c)। তারপর কোথায় [একটি ছবি যোগ করুন। ক্যাপশনঃ যদি X = {0,1,2} হয়, তাহলে T (X) = কনভ {(,,), (,,)} u কনভ {(,,), (,,)} u কনভ {(,,), (,,)} কে Y অক্ষরের মতো আকৃতি দেওয়া হয়। (সি. এফ.) চিত্রটি সমতলে 16 পয়েন্টের একটি সেট এক্স দেখায়; এই পয়েন্টগুলি থেকে একটি সীমাবদ্ধ মেট্রিক স্থান তৈরি করতে, আমরা ম্যানহাটন দূরত্ব (দূরত্ব) ব্যবহার করি। চিত্রে দেখানো নীল অঞ্চলটি হল অর্থোগোনাল উত্তল কাঠামো, পয়েন্ট z-এর সেট এমন যে z শীর্ষে থাকা চারটি বদ্ধ চতুর্ভুজের প্রত্যেকটিতে X-এর একটি বিন্দু থাকে। এই ধরনের যে কোনও বিন্দু z টাইট স্প্যানের একটি বিন্দুর সাথে মিলে যায়ঃ একটি বিন্দু z এর সাথে মিলে যাওয়া f (x) ফাংশনটি হল f (x) = d (z, x)। এই ফর্মের একটি ফাংশন ম্যানহাটন মেট্রিকের ত্রিভুজ বৈষম্য দ্বারা ম্যানহাটন-মেট্রিক সমতলে যে কোনও জেড-এর জন্য টাইট স্প্যানের বৈশিষ্ট্য 1-কে সন্তুষ্ট করে। টাইট স্প্যানের বৈশিষ্ট্য 2 দেখানোর জন্য, X-এ কিছু বিন্দু x বিবেচনা করুন; আমাদের অবশ্যই X-এ y খুঁজে বের করতে হবে যাতে f (x) + f (y) = d (x, y) হয়। কিন্তু যদি x চারটি চতুর্থাংশের মধ্যে একটিতে থাকে যার শীর্ষে z থাকে, তবে y কে বিপরীত চতুর্থাংশের যে কোনও বিন্দু হিসাবে নেওয়া যেতে পারে, তাই বৈশিষ্ট্য 2-ও সন্তুষ্ট হয়। বিপরীতভাবে এটি দেখানো যেতে পারে যে টাইট স্প্যানের প্রতিটি বিন্দু এইভাবে এই বিন্দুগুলির অর্থোগোনাল উত্তল হুলের একটি বিন্দুর সাথে মিলে যায়। যাইহোক, উচ্চতর মাত্রায় ম্যানহাটন মেট্রিকের সাথে পয়েন্ট সেটগুলির জন্য এবং বিচ্ছিন্ন অর্থোগোনাল হুলগুলির সাথে প্ল্যানার পয়েন্ট সেটগুলির জন্য, টাইট স্প্যান অর্থোগোনাল উত্তল হুল থেকে পৃথক। যখন এক্স সীমাবদ্ধ হয় তখন টাইট স্প্যানের মাত্রা উপরের সংজ্ঞাটি এন ()-এর একটি সেটের টাইট স্প্যান টি (এক্স)-কে আরএক্স-এ যুক্ত করে, যা এন মাত্রার একটি বাস্তব ভেক্টর স্থান। অন্যদিকে, যদি আমরা টি (এক্স)-এর মাত্রাটিকে একটি পলিহেড্রাল কমপ্লেক্স হিসাবে বিবেচনা করি, তবে এটি দেখায় যে, মেট্রিকের উপর একটি উপযুক্ত সাধারণ অবস্থান অনুমানের সাথে, এই সংজ্ঞাটি এন/3 এবং এন/2-এর মধ্যে মাত্রা সহ একটি স্থানের দিকে পরিচালিত করে। বিকল্প সংজ্ঞা একটি মেট্রিক স্থানের ধারণার উপর ভিত্তি করে একটি বিকল্প সংজ্ঞা বর্ণনা করা হয়েছিল, যিনি প্রমাণ করেছিলেন যে বানাচ স্থানের ইনজেক্টিভ খাম, বানাচ স্থানের বিভাগে, টাইট স্প্যানের সাথে (রৈখিক কাঠামো ভুলে যাওয়ার পরে) মিলে যায়। এই উপপাদ্যটি নির্দিষ্ট কিছু সমস্যা নির্বিচারে বানাচ স্পেস থেকে সি (এক্স) ফর্মের বানাচ স্পেসে হ্রাস করার অনুমতি দেয়, যেখানে এক্স একটি কম্প্যাক্ট স্পেস। স্থানের প্রতিটি বিন্দু থেকে একে অপরের বিন্দুর দূরত্বের ভেক্টরগুলির গ্রীষ্মমন্ডলীয় উত্তল হুল হিসাবে একটি সীমাবদ্ধ মেট্রিক স্থানের টাইট স্প্যানের একটি বিকল্প সংজ্ঞা দেওয়ার চেষ্টা করা হয়েছে। যাইহোক, একই বছরের শেষের দিকে তারা একটি ইরাতামে স্বীকার করে যে, গ্রীষ্মমন্ডলীয় উত্তল কাঠামোতে সর্বদা আঁটসাঁট বিস্তার থাকে, তবে এটি এর সাথে মিলে যেতে পারে না। প্রয়োগগুলি জৈবিক তথ্য থেকে বিবর্তনীয় গাছগুলির পুনর্গঠনে টাইট স্প্যানের প্রয়োগগুলি বর্ণনা করে। কে-সার্ভার সমস্যার জন্য বেশ কয়েকটি অনলাইন অ্যালগরিদমে টাইট স্প্যান একটি ভূমিকা পালন করে। ছয় পয়েন্ট পর্যন্ত মেট্রিক স্পেস শ্রেণীবদ্ধ করতে টাইট স্প্যান ব্যবহার করে। আরও সাধারণ সীমাবদ্ধ মেট্রিক স্পেসে কাটা মেট্রিক্স প্যাকিং সম্পর্কে ফলাফল প্রমাণ করতে টাইট স্প্যান ব্যবহার করে। এছাড়াও দেখুন কুরাতোভস্কি এম্বেডিং, একটি বানাচ স্পেসে যে কোনও মেট্রিক স্পেসের এম্বেডিং যা কুরাতোভস্কি ম্যাপ ইনজেক্টিভ মেট্রিক স্পেস নোটস রেফারেন্সের অনুরূপ সংজ্ঞায়িত। । । । । । । । । । বাইরের লিঙ্ক। মেট্রিক জ্যামিতি