Obstacle problem
বৈচিত্র্যময় অসমতা এবং মুক্ত সীমানা সমস্যার গাণিতিক অধ্যয়নে বাধা সমস্যা একটি সর্বোত্তম অনুপ্রেরণামূলক উদাহরণ। সমস্যাটি হল একটি স্থিতিস্থাপক ঝিল্লির ভারসাম্য অবস্থান খুঁজে বের করা যার সীমানা স্থির রাখা হয় এবং যা একটি প্রদত্ত প্রতিবন্ধকতার উপরে থাকতে বাধ্য। এটি ন্যূনতম পৃষ্ঠতলের অধ্যয়ন এবং সম্ভাব্য তত্ত্বের একটি সেটের ক্ষমতার সাথেও গভীরভাবে সম্পর্কিত। প্রয়োগগুলির মধ্যে রয়েছে ছিদ্রযুক্ত মাধ্যমে তরল পরিস্রাবণ, সীমাবদ্ধ উত্তাপ, ইলাস্টো-প্লাস্টিকতা, সর্বোত্তম নিয়ন্ত্রণ এবং আর্থিক গণিতের অধ্যয়ন। সমস্যার গাণিতিক সূত্রটি হ 'ল ডিরিচলেট শক্তির কার্যকারিতার মিনিমাইজারগুলি সন্ধান করা, কিছু ক্ষেত্রে যেখানে ফাংশনগুলি ঝিল্লির উল্লম্ব স্থানচ্যুতি উপস্থাপন করে। ঝিল্লির নির্দিষ্ট সীমানার সাথে সম্পর্কিত ডিরিচলেট সীমানা শর্তগুলি সন্তুষ্ট করার পাশাপাশি, ফাংশনগুলি কিছু প্রদত্ত বাধা ফাংশনের চেয়ে বেশি হতে সীমাবদ্ধ। সমাধানটি এমন একটি অঞ্চলে বিভক্ত হয় যেখানে সমাধানটি বাধা ফাংশনের সমান, যা যোগাযোগ সেট নামে পরিচিত, এবং এমন একটি অঞ্চল যেখানে সমাধানটি প্রতিবন্ধকতার উপরে থাকে। দুটি অঞ্চলের মধ্যে ইন্টারফেস হল মুক্ত সীমানা। সাধারণভাবে, সমাধানটি অবিচ্ছিন্ন এবং লিপস্কিটজ অবিচ্ছিন্ন প্রথম ডেরিভেটিভ ধারণ করে, তবে সমাধানটি সাধারণত মুক্ত সীমানা জুড়ে দ্বিতীয় ডেরিভেটিভগুলিতে বিচ্ছিন্ন। মুক্ত সীমানাটি নির্দিষ্ট একক বিন্দু ব্যতীত একটি হোল্ডার অবিচ্ছিন্ন পৃষ্ঠ হিসাবে চিহ্নিত করা হয়, যা একটি মসৃণ বহুগুণের উপর থাকে। ঐতিহাসিক নোট উদ্দীপনার সমস্যা একটি প্রতিবন্ধকতার উপরে একটি ঝিল্লির আকার বাধা সমস্যা দেখা দেয় যখন কেউ একটি ডোমেনে একটি সাবানের ফিল্ম দ্বারা নেওয়া আকৃতি বিবেচনা করে যার সীমানা অবস্থান স্থির থাকে (মালভূমির সমস্যা দেখুন), এই অতিরিক্ত সীমাবদ্ধতা সহ যে ঝিল্লিটি ডোমেনের অভ্যন্তরে কিছু প্রতিবন্ধকতার উপরেও থাকতে বাধ্য। এই ক্ষেত্রে, যে কার্যকরী শক্তি হ্রাস করতে হবে তা হল পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল অবিচ্ছেদ্য, বা এই সমস্যাটি ছোট বিশৃঙ্খলার ক্ষেত্রে তার টেলর সিরিজের পরিপ্রেক্ষিতে কার্যকরী শক্তি প্রসারিত করে এবং শুধুমাত্র প্রথম পদটি গ্রহণ করে রৈখিক করা যেতে পারে, যে ক্ষেত্রে শক্তি হ্রাস করা হবে তা হল স্ট্যান্ডার্ড ডিরিচলেট শক্তি সর্বোত্তম থামানো নিয়ন্ত্রণ তত্ত্বেও বাধা সমস্যা দেখা দেয়, বিশেষ করে পেঅফ ফাংশন সহ একটি স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়ার জন্য সর্বোত্তম থামার সময় খুঁজে বের করার প্রশ্ন। সহজ ক্ষেত্রে যেখানে প্রক্রিয়াটি ব্রাউনীয় গতি, এবং ডোমেন থেকে প্রস্থান করার পরে প্রক্রিয়াটি বন্ধ করতে বাধ্য হয়, বাধা সমস্যার সমাধানটি পরিশোধের প্রত্যাশিত মান হিসাবে চিহ্নিত করা যেতে পারে, প্রক্রিয়াটি শুরু করে, যদি সর্বোত্তম স্টপিং কৌশল অনুসরণ করা হয়। থামার মানদণ্ডটি হ 'ল যোগাযোগের সেটটিতে পৌঁছানোর পরে একজনকে থামতে হবে। আনুষ্ঠানিক বিবৃতি ধরুন নিম্নলিখিত তথ্যটি দেওয়া হয়েছেঃ মসৃণ সীমানা সহ একটি উন্মুক্ত বাউন্ডেড ডোমেন Rn-একটি মসৃণ ফাংশন যা একটি মসৃণ ফাংশনের উপর সংজ্ঞায়িত করা হয় যাতে <, অর্থাৎ। (এর ট্রেস) সীমানার সীমাবদ্ধতা এর চেয়ে কম। তারপরে সেটটি বিবেচনা করুন যা বর্গ ইন্টিগ্রেবল দুর্বল প্রথম ডেরিভেটিভ সহ বর্গ ইন্টিগ্রেবল ফাংশনের সোবোলেভ স্পেসের একটি বদ্ধ উত্তল উপসেট, যা কাঙ্ক্ষিত সীমানা শর্তগুলির সাথে সঠিকভাবে সেই ফাংশনগুলি ধারণ করে যা প্রতিবন্ধকতার উপরেও রয়েছে। বাধা সমস্যার সমাধান হল সেই ফাংশন যা সম্পর্কিত সমস্ত ফাংশনের উপর শক্তির অবিচ্ছেদ্যকে হ্রাস করে; হিলবার্ট স্পেস তত্ত্বের বিবেচনার দ্বারা এই ধরনের মিনিমাইজারের অস্তিত্ব নিশ্চিত করা হয়। বিকল্প গঠন বৈচিত্র্যমূলক অসমতা হিলবার্ট স্পেসে বৈচিত্র্যমূলক অসমতা তত্ত্বের একটি আদর্শ সমস্যা হিসাবে বাধা সমস্যাটিকে পুনর্গঠন করা যেতে পারে। উপযুক্ত ফাংশনের সেটের মধ্যে এনার্জি মিনিমাইজার খোঁজা এমনভাবে খোঁজার সমতুল্য যেখানে τ। ,। ω: Rn × Rn → R হল সসীম-মাত্রিক বাস্তব ভেক্টর স্থান Rn-এর সাধারণ স্কেলার গুণফল। এটি হিলবার্ট স্পেসের বৈচিত্র্যময় বৈষম্যের জন্য আরও সাধারণ রূপের একটি বিশেষ উদাহরণ, যার সমাধানগুলি সামগ্রিক স্থানের কিছু বদ্ধ উত্তল উপসেটে ফাংশন, যেমন বলপ্রয়োগকারী, বাস্তব-মূল্যবান, আবদ্ধ দ্বিমাত্রিক রূপ এবং আবদ্ধ রৈখিক ক্রিয়াকলাপগুলির জন্য। সর্বনিম্ন সুপারহার্মোনিক ফাংশন একটি বৈচিত্র্যময় যুক্তি দেখায় যে, যোগাযোগ সেট থেকে দূরে, বাধা সমস্যার সমাধানটি সুরেলা। একটি অনুরূপ যুক্তি যা ইতিবাচক বৈচিত্র্যের মধ্যে সীমাবদ্ধ থাকে তা দেখায় যে সমাধানটি কন্টাক্ট সেটে সুপারহার্মোনিক। একসাথে, দুটি যুক্তি বোঝায় যে সমাধানটি একটি সুপারহার্মোনিক ফাংশন। প্রকৃতপক্ষে, সর্বাধিক নীতির প্রয়োগ তখন দেখায় যে বাধা সমস্যার সমাধান হল গ্রহণযোগ্য ফাংশনের সেটের মধ্যে সবচেয়ে কম সুপারহার্মোনিক ফাংশন। নিয়মিততার বৈশিষ্ট্য সর্বোত্তম নিয়মিততা বাধা সমস্যার সমাধানে নিয়মিততা বা সীমাবদ্ধ দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ থাকে, যখন বাধাটির নিজেই এই বৈশিষ্ট্যগুলি থাকে। আরও সুনির্দিষ্টভাবে বলতে গেলে, সমাধানের ধারাবাহিকতার মডুলাস এবং তার ডেরিভেটিভের জন্য ধারাবাহিকতার মডুলাস বাধাটির সাথে সম্পর্কিত। যদি বাধাটির ধারাবাহিকতার মডুলাস থাকে, অর্থাৎ, সমাধানটির দ্বারা প্রদত্ত ধারাবাহিকতার মডুলাস থাকে, যেখানে ধ্রুবকটি কেবল ডোমেনের উপর নির্ভর করে এবং বাধা নয়। যদি প্রতিবন্ধকটির প্রথম ব্যুৎপত্তিটির ধারাবাহিকতার মডুলাস থাকে, তবে সমাধানটির প্রথম ব্যুৎপত্তিটির দ্বারা প্রদত্ত ধারাবাহিকতার মডুলাস থাকে, যেখানে ধ্রুবকটি আবার শুধুমাত্র ডোমেনের উপর নির্ভর করে। স্তরের পৃষ্ঠতল এবং মুক্ত সীমানা একটি অবক্ষয় অবস্থার সাপেক্ষে, সমাধান এবং প্রতিবন্ধকতার মধ্যে পার্থক্যের স্তর সেট, কারণ পৃষ্ঠতল। মুক্ত সীমানা, যা সেটের সীমানা যেখানে সমাধানটি বাধা পূরণ করে, একক বিন্দুর একটি সেট ব্যতীত, যা হয় বিচ্ছিন্ন বা স্থানীয়ভাবে একটি বহুবৃত্তের মধ্যে থাকে। সাধারণীকরণ বাধা সমস্যার তত্ত্বটি অন্যান্য বিচ্যুতি ফর্ম অভিন্ন উপবৃত্তাকার অপারেটর এবং তাদের সম্পর্কিত শক্তি ক্রিয়াকলাপগুলিতে প্রসারিত হয়। এটি উপবৃত্তাকার অপারেটরগুলিকে অবনমিত করার জন্যও সাধারণীকরণ করা যেতে পারে। দ্বৈত বাধা সমস্যা, যেখানে ফাংশনটি একটি বাধা ফাংশনের উপরে এবং অন্যটির নীচে থাকতে বাধ্য, তাও আগ্রহের বিষয়। সিগনোরিনি সমস্যা হল বাধা সমস্যার একটি রূপ, যেখানে শক্তির কার্যকারিতা একটি সীমাবদ্ধতার সাপেক্ষে হ্রাস করা হয় যা শুধুমাত্র একটি কম মাত্রার পৃষ্ঠে থাকে, যার মধ্যে রয়েছে সীমানা বাধা সমস্যা, যেখানে সীমাবদ্ধতা ডোমেনের সীমানায় কাজ করে। বাধা সমস্যার প্যারাবোলিক, সময়-নির্ভর কেস এবং এর রূপগুলিও অধ্যয়নের বিষয়। আরও দেখুন ন্যূনতম পৃষ্ঠের বৈচিত্র্যগত বৈষম্য সিগনোরিনি সমস্যা ঐতিহাসিক উল্লেখ। "লিওনিডা টোনেলি অ্যান্ড দ্য পিসা ম্যাথমেটিক্যাল স্কুল" হল পিসায় টোনেলির কাজ এবং বিদ্যালয়ের উন্নয়নে তার প্রভাবের একটি সমীক্ষা, যা মাউরো পিকোনি এবং লিওনিডা টোনেলির জন্মশতবার্ষিকী উদযাপন উপলক্ষে আন্তর্জাতিক কংগ্রেসে উপস্থাপিত হয় (1985 সালের 6-9 মে রোমে অনুষ্ঠিত)। লেখক তাঁর অন্যতম ছাত্র ছিলেন এবং তাঁর মৃত্যুর পর পিসা বিশ্ববিদ্যালয়ে গাণিতিক বিশ্লেষণের সভাপতির দায়িত্ব পালন করেন, বিজ্ঞান অনুষদের ডিন এবং তারপর রেক্টর হয়েছিলেনঃ তিনি বিশ্ববিদ্যালয়ের উন্নয়নে একটি শক্তিশালী ইতিবাচক প্রভাব ফেলেছিলেন। রেফারেন্স। বক্তৃতার একটি সেট "খুব বেশি সুনির্দিষ্ট বিবরণ ছাড়াই, সম্ভাবনার মৌলিক তত্ত্ব, র্যান্ডম ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ এবং কিছু প্রয়োগ" জরিপ করার কথা উল্লেখ করে, যেমন লেখক নিজেই বলেছেন। । । 1998 সালে স্কুওলা নর্মাল সুপারিয়োর-এ লেখকের দ্বারা প্রদত্ত বাহ্যিক লিঙ্ক। আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ বিভিন্নতার হিসাব