Sum and Product Puzzle
সাম অ্যান্ড প্রোডাক্ট পাজল, যা ইম্পসিবল পাজল নামেও পরিচিত কারণ এটির সমাধানের জন্য পর্যাপ্ত তথ্যের অভাব রয়েছে বলে মনে হয়, এটি একটি যুক্তিসঙ্গত ধাঁধা। এটি 1969 সালে হ্যান্স ফ্রয়েডেনথাল দ্বারা প্রথম প্রকাশিত হয়েছিল এবং ইম্পসিবল পাজল নামটি মার্টিন গার্ডনার দ্বারা উদ্ভাবিত হয়েছিল। ধাঁধাটি সমাধানযোগ্য, যদিও সহজে নয়। অনুরূপ অনেক ধাঁধা রয়েছে। ধাঁধা এক্স এবং ওয়াই হল 1-এর চেয়ে বড় দুটি ভিন্ন পূর্ণ সংখ্যা। তাদের যোগফল 100-এর বেশি নয়। এস এবং পি দুজন গণিতবিদ (এবং ফলস্বরূপ নিখুঁত যুক্তিবিদ); এস এক্স + ওয়াই যোগফল জানে এবং পি এক্স × ওয়াই গুণফল জানে। এস এবং পি উভয়ই এই অনুচ্ছেদের সমস্ত তথ্য জানেন। নিম্নলিখিত কথোপকথনে, উভয় অংশগ্রহণকারী সর্বদা সত্য বলছেনঃ এস বলে "পি এক্স এবং ওয়াই জানে না"। পি বলে "এখন আমি এক্স এবং ওয়াই জানি"। এস বলে "এখন আমি এক্স এবং ওয়াই জানি"। এক্স এবং ওয়াই কি? ব্যাখ্যা ধারণা এবং দৃষ্টিভঙ্গি স্পষ্ট হয়ে গেলে সমস্যাটি সহজেই সমাধান করা যায়। এস, পি এবং ও-এই তিনটি পক্ষ জড়িত। S যোগফল X + Y জানে, P গুণফল X·Y জানে, এবং পর্যবেক্ষক O মূল সমস্যা বিবৃতি ছাড়া আর কিছুই জানে না। তিনটি পক্ষই একই তথ্য রাখে কিন্তু এটিকে ভিন্নভাবে ব্যাখ্যা করে। তারপর এটি তথ্যের খেলায় পরিণত হয়। আসুন আমরা একটি সংখ্যাকে দুটি পদে বিভক্ত করি A = B + C a 2-বিভাজন। গোল্ডবাখের অনুমানের মতো কোনও উন্নত জ্ঞানের প্রয়োজন নেই বা এই সত্য যে এই ধরনের 2-বিভাজনের পণ্য বি. সি-কে অনন্য হতে হবে (অর্থাৎ। অন্য কোনও দুটি সংখ্যা নেই যা গুণ করলে একই ফলাফল দেয়)। কিন্তু গোল্ডবাখের অনুমানের সাথে, এই সত্যের সাথে যে পি অবিলম্বে এক্স এবং ওয়াই জানতে পারবে যদি তাদের গুণফল একটি সেমিপ্রাইম হয়, এটি অনুমান করা যেতে পারে যে যোগফল x + y জোড় হতে পারে না, কারণ প্রতিটি জোড় সংখ্যাকে দুটি মৌলিক সংখ্যার যোগফল হিসাবে লেখা যেতে পারে। এই দুটি সংখ্যার গুণফল তখন একটি সেমিপ্রাইম হবে। নিম্নলিখিত পদক্ষেপগুলি সমাধান দেয়ঃ এস (সু), পি (পিট) এবং ও (ওটো) সমস্ত পণ্যের টেবিল তৈরি করে যা সীমার যোগফলের 2-বিভাজন থেকে তৈরি করা যেতে পারে, অর্থাৎ। 5 থেকে 100 পর্যন্ত (X> 1 এবং Y> X-এর জন্য আমাদের 5 থেকে শুরু করতে হবে)। উদাহরণস্বরূপ, 11-কে 2 + 9,3 + 8,4 + 7 এবং 5 + 6-এ ভাগ করা যেতে পারে। সংশ্লিষ্ট পণ্যগুলি হল 18,24,28 এবং 30 এবং খেলোয়াড়রা তাদের টেবিলে এই পণ্যগুলির প্রত্যেকটির পাশে একটি টিক চিহ্ন রাখে (টেবিল 1)। যখন সেগুলি করা হয়, তখন কিছু সংখ্যার কোনও টিক চিহ্ন থাকে না, কিছু সংখ্যার একটি থাকে এবং কিছু সংখ্যার একাধিক থাকে। সু এখন তার যোগফল এবং তার সমস্ত 2-বিভক্তির দিকে তাকায়। তিনি দেখেন যে সমস্ত 2-বিভক্তিতে এমন পণ্য রয়েছে যা অনন্য নয়, অর্থাৎ। একটি ভিন্ন ফ্যাক্টরাইজেশন রয়েছে যা অন্য কোনও সম্ভাব্য যোগফলের 2-বিভাজন। তিনি প্রথম ধাপের টেবিল থেকে এটি দেখেন যেখানে তার সমস্ত পণ্যের একাধিক টিক চিহ্ন রয়েছে। তিনি বুঝতে পারেন যে এই সত্যের কারণে, পিট পণ্যটি দেখে এক্স এবং ওয়াই ফ্যাক্টরগুলি অনন্যভাবে নির্ধারণ করতে পারবেন না (যার জন্য প্রার্থী পণ্যগুলির মধ্যে কমপক্ষে একটিতে কেবল একটি টিক চিহ্ন থাকতে হবে)। তাই সে বলে, "পি এক্স এবং ওয়াই জানতে পারে না"। পিট এবং অটো যখন এটি শোনেন, তখন তারা তথ্য পান যে সুয়ের যোগফলের সাথে সম্পর্কিত কোনও পণ্যই অনন্য নয়। সম্ভাব্য অঙ্কের মধ্যে দিয়ে গিয়ে, একের পর এক, সু, পিট এবং অটো এখন, প্রত্যেকে নিজেরাই, সমস্ত যোগ্য অঙ্কের একটি তালিকা তৈরি করতে পারে (টেবিল 2)। টেবিলটিতে সেই যোগফলগুলি রয়েছে যার সমস্ত 2-বিভক্তিতে এমন পণ্য রয়েছে যা অনন্য নয়, অর্থাৎ। টেবিল 1-এ একাধিক টিক চিহ্ন রয়েছে। সু, পিট এবং অটো প্রার্থী যোগফলের টেবিল তৈরি করেছেন (সু অবশ্যই ইতিমধ্যে তার যোগফল জানে তবে পিটের চিন্তাভাবনা খুঁজে বের করতে হবে)। টেবিল 2-এর নতুন তথ্য বিবেচনা করে, পিট আবার তার পণ্যের দিকে তাকায়। শুরু থেকেই সমষ্টি হিসাবে বিবেচিত 5 থেকে 100-এর মধ্যে সমস্ত সংখ্যার তুলনায় একটি বাদে তাঁর পণ্যের সমস্ত সম্ভাব্য 2-বিভাজনের যোগফল টেবিল 2 থেকে অদৃশ্য হয়ে গেছে। একমাত্র যেটি অবশিষ্ট রয়েছে তা অবশ্যই দুটি লুকানো সংখ্যা X এবং Y-এর যোগফল হতে হবে যার গুণফল X·Y সে জানে। যোগফল এবং গুণফল থেকে, পৃথক সংখ্যাগুলি জানা সহজ এবং এইভাবে সে সু-কে বলে যে "এখন আমি এক্স এবং ওয়াই জানি"। পিট এখন শেষ হয়ে গেছে এবং খেলা থেকে বেরিয়ে গেছে। সু এবং ওটো সারণি 1-এর পুনর্বিবেচনা করেন, এবার মূল সারণি 1-এর মতো 5 থেকে 100 পরিসরের সমস্ত সংখ্যার পরিবর্তে সারণি 2-এ থাকা যোগফল থেকে শুধুমাত্র 2-বিভাজনের গুণফল গণনা করেন। এই হালনাগাদ টেবিলটিকে টেবিল 1বি বলা হয়। সু তার যোগফলের 2-অংশের সমস্ত পণ্যের দিকে তাকায় এবং দেখতে পায় যে তাদের মধ্যে কেবল একটিই টেবিল 1বি-তে ঠিক একবার উপস্থিত হয়। এটি অবশ্যই পিটের পণ্য হতে হবে, এবং তিনি পিটের মতো সহজেই তাদের যোগফল এবং পণ্য থেকে দুটি সংখ্যা অনুমান করতে পারেন। এইভাবে, সে ওটোকে বলে (পিট ইতিমধ্যেই চলে গেছে) যে "এখন আমি এক্স এবং ওয়াইকেও জানি"। সু-ও এখন শেষ হয়ে গেছে এবং খেলা থেকে বেরিয়ে গেছে, কেবল অটো রয়ে গেছে। চতুর্থ ধাপের তথ্য থেকে, অটো সারণি 2-এর সমস্ত অঙ্ক স্ক্যান করে যার মধ্যে কেবলমাত্র একটি 2-বিভাজনের সারণি 1বি-তে একটি টিক চিহ্ন রয়েছে। কাঙ্ক্ষিতটির শুধুমাত্র একটি টিক চিহ্ন থাকতে পারে, অথবা সু নিশ্চিতভাবে এক্স এবং ওয়াই জানতে সক্ষম হত না। অবশেষে, ওটো কাঙ্ক্ষিত যোগফলের কাছে পৌঁছায় যা এই বৈশিষ্ট্যগুলির সাথে একমাত্র হয়, যা মূল সমস্যাটিকে একটি অনন্য সমাধানের সাথে সমাধানযোগ্য করে তোলে। ওটোর কাজও এখন শেষ। সমাধান সমাধানটিতে এক্স এবং ওয়াই 4 এবং 13 হিসাবে রয়েছে, পি প্রাথমিকভাবে গুণফলটি 52 এবং এস জেনেছে যে যোগফলটি 17। প্রাথমিকভাবে পি সমাধানটি জানে না, যেহেতু 52 = 4 × 13 = 2 × 26 এবং এস জানে যে পি সমাধানটি জানে না কারণ সীমাবদ্ধতার মধ্যে 17 এর সমস্ত সম্ভাব্য যোগফল একইভাবে দ্ব্যর্থহীন পণ্য তৈরি করে। তবে একবার পি জানতে পারে যে এস বিশ্বাস করে যে পণ্যটি দেওয়া একাধিক সম্ভাব্য সমাধান রয়েছে, পি 2 x 26 বাতিল করতে পারে, কারণ সেক্ষেত্রে যোগফল 28 হয়। যদি এস-কে 28 বলা হত, তবে তিনি নিশ্চিতভাবে বলতে পারতেন না যে পি মানগুলি জানতেন না, কারণ একটি সম্ভাব্য জোড়া হবে 5 এবং 23, এবং যদি পি-কে মোট 5 x 23 বলা হত, তবে সেই দুটি সংখ্যাই একমাত্র সম্ভাব্য সমাধান। সুতরাং পি এখন জানে যে সংখ্যাগুলি 4 এবং 13 এবং এস-কে বলে যে সে সংখ্যাগুলি জানে। এর থেকে, এস এখন যোগফলের উপর ভিত্তি করে সম্ভাব্য জোড়া সম্পর্কে জানে (অর্থাৎ। 2+15,3+14,4+13,5+12,6+11,7+10,8 + 9) শুধুমাত্র একজনের একটি পণ্য রয়েছে যা P কে উত্তরটি অনুমান করার অনুমতি দেবে, যা 4 + 13। পাঠক তখন এই সত্যের উপর ভিত্তি করে একমাত্র সম্ভাব্য সমাধানটি অনুমান করতে পারেন যে এস এটি নির্ধারণ করতে সক্ষম হয়েছিল। লক্ষ্য করুন যে, উদাহরণস্বরূপ, যদি এস-কে 97 (48 + 49) বলা হত এবং পি-কে 2352 (48 * 49) বলা হত, তবে পি একমাত্র সম্ভাব্য সমাধান অনুমান করতে সক্ষম হত, তবে এস তা করত না, কারণ 44 এবং 53 তখনও যৌক্তিকভাবে সম্ভাব্য বিকল্প হতে পারত। অন্যান্য সমাধান সমস্যাটিকে সাধারণীকরণ করা যেতে পারে। আবদ্ধ X + Y ≤ 100 বরং ইচ্ছাকৃতভাবে বেছে নেওয়া হয়েছে। যদি এক্স + ওয়াই-এর সীমা পরিবর্তন করা হয়, তবে সমাধানের সংখ্যা পরিবর্তিত হতে পারে। এক্স + ওয়াই <62-এর জন্য কোনও সমাধান নেই। এটি প্রথমে বিপরীত-স্বজ্ঞাত বলে মনে হতে পারে কারণ সমাধান এক্স = 4, ওয়াই = 13 সীমানার মধ্যে ফিট করে। কিন্তু এই সীমানাগুলির মধ্যে সংখ্যার সমষ্টি সহ পণ্যগুলিকে বাদ দিয়ে, সমস্ত অ-সমাধানগুলিকে ফ্যাক্টর করার একাধিক উপায় আর নেই, যার ফলে তথ্য সমস্যার কোনও সমাধান দেয় না। উদাহরণস্বরূপ, যদি X = 2, Y = 62, X + Y = 64, X·Y = 124 বিবেচনা না করা হয়, তবে 124-এর একটি গুণফল থাকে, অর্থাৎ। 4·31,35 এর সমষ্টি প্রদান করে। তারপর 35 বাদ দেওয়া হয় যখন এস ঘোষণা করে যে পি পণ্যটির কারণগুলি জানতে পারে না, যা 64 এর যোগফল অনুমোদিত হলে তা হত না। অন্যদিকে, যখন সীমাটি X + Y ≤ 1685 বা তার বেশি হয়, তখন একটি দ্বিতীয় সমাধান X = 4, Y = 61 প্রদর্শিত হয়। সুতরাং, তারপর থেকে, সমস্যাটি এই অর্থে সমাধানযোগ্য নয় যে আর কোনও অনন্য সমাধান নেই। একইভাবে, যদি X + Y ≤1970 বা তার বেশি হয় তবে একটি তৃতীয় সমাধান প্রদর্শিত হয় (X = 16, Y = 73)। এই তিনটি সমাধানে একটি করে মৌলিক সংখ্যা রয়েছে। কোনও মৌলিক সংখ্যা ছাড়াই প্রথম সমাধানটি হল চতুর্থটি যা X + Y ≤ 2522 বা তার বেশি মান X = 16 = 2·2·2 এবং Y = 111 = 3·37 সহ প্রদর্শিত হয়। যদি Y> X> 1 শর্তটি Y> X> 2-এ পরিবর্তিত হয়, তবে 124 <t <5045-এর জন্য X + Y ≤ t প্রান্তিকের জন্য একটি অনন্য সমাধান রয়েছে, যার পরে একাধিক সমাধান রয়েছে। 124 এবং তার নিচে, কোনও সমাধান নেই। এতে অবাক হওয়ার কিছু নেই যে, সমাধানের সীমা বৃদ্ধি পেয়েছে। স্বজ্ঞাতভাবে, সমস্যা স্থানটি "বিচ্ছুরিত" হয়ে যায় যখন মৌলিক সংখ্যা 2 আর এক্স ফ্যাক্টর হিসাবে উপলব্ধ থাকে না, একটি প্রদত্ত যোগফল এ থেকে কম সম্ভাব্য পণ্য এক্স ওয়াই তৈরি করে। যখন অনেক সমাধান থাকে, অর্থাৎ, উচ্চতর t-এর জন্য, কিছু সমাধান Y> X> 1-এর মূল সমস্যার সাথে মিলে যায়, উদাহরণস্বরূপ X = 16, Y = 163। যদি কিছু সীমা t-এর জন্য X + Y ≤ t শর্তটি পরিবর্তে X·Y ≤ u-এর জন্য বিনিময় করা হয়, তবে সমস্যাটি চেহারা পরিবর্তন করে। কম গণনার প্রয়োজন হলে সমাধান করা সহজ হয়ে যায়। u-এর জন্য একটি যুক্তিসঙ্গত মান হতে পারে u = t·t/4 সংশ্লিষ্ট t-এর জন্য দুটি কারণের বৃহত্তম গুণফলের উপর ভিত্তি করে যার যোগফল t হচ্ছে (t/2)· (t/2)। এখন সমস্যাটির 47 <t <60,71 <t <80,107 <t <128, এবং 131 <t <144 পরিসরে একটি অনন্য সমাধান রয়েছে এবং সেই সীমার নিচে কোনও সমাধান নেই। বিকল্প গঠনের ফলাফলগুলি মূল গঠনের সাথে মিলে যায় না, না সমাধানের সংখ্যায়, না বিষয়বস্তুর ক্ষেত্রে। আরও দেখুন চেরিলের জন্মদিনের রেফারেন্স বাহ্যিক লিঙ্ক টরস্টেন সিলকের দ্য ইম্পসিবল প্রবলেম টু ম্যাথমেটিশিয়ানস প্রবলেম অন ম্যাথফোরাম সাম অ্যান্ড প্রোডাক্ট প্রবলেম অন ম্যাথওয়ার্কস কোডি মডেল চেকিং সাম অ্যান্ড প্রোডাক্ট লজিক পাজল