Nonholonomic system
পদার্থবিজ্ঞান ও গণিতে একটি অ-হোলোনমিক ব্যবস্থা হল এমন একটি ভৌত ব্যবস্থা যার অবস্থা তা অর্জনের জন্য গৃহীত পথের উপর নির্ভর করে। এই ধরনের সিস্টেমকে ডিফারেনশিয়াল সীমাবদ্ধতা এবং অ-রৈখিক সীমাবদ্ধতা সাপেক্ষে প্যারামিটারগুলির একটি সেট দ্বারা বর্ণনা করা হয়, যেমন যখন সিস্টেমটি তার প্যারামিটার স্পেসে একটি পথ ধরে বিবর্তিত হয় (প্যারামিটারগুলি মানগুলিতে ক্রমাগত পরিবর্তিত হয়) কিন্তু অবশেষে মূল সেটটিতে ফিরে আসে পথের শুরুতে প্যারামিটার মান, সিস্টেমটি নিজেই তার মূল অবস্থায় ফিরে আসতে পারে না। ননহোলোনমিক মেকানিক্স হল নিউটনীয় মেকানিক্সের স্বায়ত্তশাসিত বিভাগ। আরও সুনির্দিষ্টভাবে বলতে গেলে, একটি ননহোলোনমিক সিস্টেম, যাকে অ্যানহোলোনমিক সিস্টেমও বলা হয়, সেটি হল এমন একটি সিস্টেম যেখানে গভর্নিং প্যারামিটারগুলির একটি অবিচ্ছিন্ন ক্লোজড সার্কিট থাকে, যার মাধ্যমে সিস্টেমটি যে কোনও নির্দিষ্ট অবস্থা থেকে অন্য যে কোনও অবস্থায় রূপান্তরিত হতে পারে। যেহেতু সিস্টেমের চূড়ান্ত অবস্থা প্যারামিটার স্পেসের মাধ্যমে তার গতিপথের মধ্যবর্তী মানগুলির উপর নির্ভর করে, তাই সিস্টেমটিকে একটি রক্ষণশীল সম্ভাব্য ফাংশন দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা যায় না, উদাহরণস্বরূপ, মহাকর্ষীয় বলের বিপরীত বর্গ আইন। এটি একটি হোলোনমিক সিস্টেমের একটি উদাহরণ-সিস্টেমে পাথ ইন্টিগ্রালগুলি কেবল সিস্টেমের প্রাথমিক এবং চূড়ান্ত অবস্থার (সম্ভাব্যতায় অবস্থান) উপর নির্ভর করে, যা সেই অবস্থার মধ্যে রূপান্তরের গতিপথ থেকে সম্পূর্ণ স্বাধীন। তাই এই ব্যবস্থাটিকে ইন্টিগ্রেবল বলা হয়, অন্যদিকে ননহোলোনমিক ব্যবস্থাটিকে নন-ইন্টিগ্রেবল বলা হয়। যখন একটি পাথ ইন্টিগ্রাল একটি ননহোলোনমিক সিস্টেমে গণনা করা হয়, তখন মানটি গ্রহণযোগ্য মানগুলির কিছু পরিসরের মধ্যে একটি বিচ্যুতি উপস্থাপন করে এবং এই বিচ্যুতিটিকে বিবেচনাধীন নির্দিষ্ট পথ দ্বারা উত্পাদিত একটি এনহোলোনমি বলা হয়। এই শব্দটি হেনরিচ হার্টজ দ্বারা 1894 সালে প্রবর্তিত হয়েছিল। এনহোলোনমিক সিস্টেমের সাধারণ বৈশিষ্ট্য হল অন্তর্নিহিতভাবে নির্ভরশীল পরামিতি। যদি অন্তর্নিহিত নির্ভরতা অপসারণ করা যায়, উদাহরণস্বরূপ স্থানের মাত্রা বাড়িয়ে, যার ফলে কমপক্ষে একটি অতিরিক্ত পরামিতি যুক্ত করা হয়, তবে সিস্টেমটি সত্যিকার অর্থে অ-হোলোনমিক নয়, তবে কেবল নিম্ন-মাত্রিক স্থান দ্বারা অসম্পূর্ণভাবে মডেল করা হয়। বিপরীতে, যদি সিস্টেমটি অভ্যন্তরীণভাবে স্বাধীন স্থানাঙ্ক (পরামিতি) দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা যায় না, তবে এটি সত্যিই একটি এনহোলোনমিক সিস্টেম। কিছু লেখক সিস্টেমের তথাকথিত অভ্যন্তরীণ এবং বাহ্যিক অবস্থার মধ্যে পার্থক্য তৈরি করে এর বেশিরভাগ অংশ তৈরি করেন, তবে প্রকৃতপক্ষে, সমস্ত পরামিতিগুলি সিস্টেমকে চিহ্নিত করার জন্য প্রয়োজনীয়, সেগুলি "অভ্যন্তরীণ" বা "বাহ্যিক" প্রক্রিয়াগুলির প্রতিনিধি হোক, তাই পার্থক্যটি আসলে কৃত্রিম। যাইহোক, সংরক্ষণের নীতিগুলি মেনে চলা এবং না মেনে চলা ভৌত ব্যবস্থাগুলির মধ্যে একটি খুব বাস্তব এবং অপ্রতিরোধ্য পার্থক্য রয়েছে। একটি গোলকের সমান্তরাল পরিবহনের ক্ষেত্রে, পার্থক্যটি স্পষ্টঃ একটি রিমানিয়ান ম্যানিফোল্ডের ইউক্লিডীয় স্থানের থেকে মৌলিকভাবে আলাদা একটি মেট্রিক থাকে। একটি গোলকের সমান্তরাল পরিবহনের জন্য, অন্তর্নিহিত নির্ভরতা অ-ইউক্লিডীয় মেট্রিকের অন্তর্নিহিত। একটি গোলকের পৃষ্ঠ একটি দ্বিমাত্রিক স্থান। মাত্রা বাড়ানোর মাধ্যমে, আমরা মেট্রিকের প্রকৃতি আরও স্পষ্টভাবে দেখতে পারি, তবে এটি এখনও মৌলিকভাবে একটি দ্বি-মাত্রিক স্থান যার পরামিতিগুলি রিম্যানিয়ান মেট্রিক দ্বারা নির্ভরশীলতার সাথে অপরিবর্তনীয়ভাবে জড়িত। এর বিপরীতে, একটি এক্স-ওয়াই প্লটারকে একটি হোলোনমিক সিস্টেমের উদাহরণ হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে যেখানে সিস্টেমের যান্ত্রিক উপাদানগুলির অবস্থার প্লটার কলমের যে কোনও নির্দিষ্ট অবস্থানের জন্য একক স্থির বিন্যাস থাকবে। যদি কলমটি 0,0 এবং 3,3 অবস্থানের মধ্যে স্থানান্তরিত হয়, তবে প্রক্রিয়াটির গিয়ারগুলির একই চূড়ান্ত অবস্থান থাকবে তা নির্বিশেষে প্রক্রিয়াটি প্রথমে এক্স-অক্ষে 3 ইউনিট এবং তারপরে ওয়াই-অক্ষে 3 ইউনিট বৃদ্ধি করে, প্রথমে ওয়াই-অক্ষের অবস্থান বৃদ্ধি করে, বা অবস্থান-পরিবর্তনের অন্য কোনও ক্রম পরিচালনা করে যার ফলস্বরূপ 3,3 এর চূড়ান্ত অবস্থান হয়। যেহেতু যন্ত্রের চূড়ান্ত অবস্থা একই থাকে, প্লটার-পেন তার নতুন অবস্থানে পৌঁছানোর জন্য যে পথই গ্রহণ করুক না কেন, শেষ ফলাফলটি পথ-নির্ভর নয় বলে বলা যেতে পারে। যদি আমরা একটি কচ্ছপ প্লটার প্রতিস্থাপন করি, কলমটি 0,0 থেকে 3,3-এ সরানোর প্রক্রিয়াটির ফলে রোবটের প্রক্রিয়াটির গিয়ারগুলি দুটি অবস্থানের মধ্যে সরানোর জন্য নেওয়া পথের উপর নির্ভর করে বিভিন্ন অবস্থানে শেষ হতে পারে। কেন এই ধরনের ব্যবস্থা হোলোনমিক তার গাণিতিক ব্যাখ্যার জন্য এই অনুরূপ গ্যান্ট্রি ক্রেনের উদাহরণটি দেখুন। ইতিহাস এন. এম. ফেরার্স প্রথম 1871 সালে অ-হোলোনমিক সীমাবদ্ধতার সাথে গতির সমীকরণগুলি প্রসারিত করার পরামর্শ দিয়েছিলেন। তিনি সাধারণ বেগের পরিপ্রেক্ষিতে কার্টেসিয়ান বেগের জন্য অভিব্যক্তিগুলি প্রবর্তন করেছিলেন। 1877 সালে, ই. রাউথ ল্যাগ্রাঞ্জ মাল্টিপ্লায়ারের সাথে সমীকরণগুলি লিখেছিলেন। অনমনীয় বস্তুর রৈখিক অ-হোলোনমিক সীমাবদ্ধতার জন্য তাঁর বইয়ের তৃতীয় সংস্করণে, তিনি গুণক সহ ফর্মটি প্রবর্তন করেছিলেন, যা এখন গুণক সহ দ্বিতীয় ধরণের ল্যাগ্রাঞ্জ সমীকরণ বলা হয়। হোলোনমিক এবং ননহোলোনমিক সিস্টেম শব্দগুলি হেনরিচ হার্টজ দ্বারা 1894 সালে প্রবর্তিত হয়েছিল। 1897 সালে এস. এ. চ্যাপলিগিন প্রথম ল্যাগ্রাঞ্জ মাল্টিপ্লায়ার ছাড়াই গতির সমীকরণ গঠনের পরামর্শ দেন। নির্দিষ্ট কিছু রৈখিক সীমাবদ্ধতার অধীনে, তিনি গতির সমীকরণের বাম দিকে ল্যাগ্রাঞ্জ-অপারেটর ধরনের অতিরিক্ত পদের একটি গোষ্ঠী প্রবর্তন করেছিলেন। অবশিষ্ট অতিরিক্ত পদগুলি সিস্টেমের অ-হোলোনমিকতাকে চিহ্নিত করে এবং প্রদত্ত সীমাবদ্ধতাগুলি ইন্টিগ্রেবল হলে সেগুলি শূন্য হয়ে যায়। 1901 সালে পি. V.Voronets চ্যাপলিগিনের কাজকে অ-চক্রীয় হোলোনমিক স্থানাঙ্ক এবং অ-স্থির সীমাবদ্ধতার ক্ষেত্রে সাধারণীকরণ করেন। সীমাবদ্ধতা একটি প্রদত্ত রেফারেন্স ফ্রেমের সাপেক্ষে অবস্থান সহ কণাগুলির একটি ব্যবস্থা বিবেচনা করুন। শাস্ত্রীয় বলবিজ্ঞানে, যে কোনও সীমাবদ্ধতা যা একটি অ-হোলোনমিক সীমাবদ্ধতা হিসাবে প্রকাশযোগ্য নয়। অন্য কথায়, একটি অ-হোলোনমিক সীমাবদ্ধতা অবিচ্ছেদ্য এবং ফাফিয়ান আকারেঃ স্থানাঙ্কের সংখ্যা। এটি সীমাবদ্ধতা সমীকরণের সংখ্যা। স্থানাঙ্ক হয়। এগুলি সহগ। উপরের ফর্মটি ননহোলোনমিক হওয়ার জন্য, এটিও প্রয়োজন যে বাম হাতের দিকটি সম্পূর্ণ ডিফারেনশিয়াল হবে না বা একটিতে রূপান্তরিত হতে সক্ষম হবে না, সম্ভবত একটি ইন্টিগ্রেটিং ফ্যাক্টরের মাধ্যমে। শুধুমাত্র ভার্চ্যুয়াল স্থানচ্যুতির ক্ষেত্রে, সীমাবদ্ধতার ডিফারেনশিয়াল রূপটি হল সমস্ত অ-হোলোনমিক সীমাবদ্ধতার জন্য এই রূপটি নেওয়ার প্রয়োজন নেই, প্রকৃতপক্ষে এটি উচ্চতর ডেরিভেটিভ বা বৈষম্যের সাথে জড়িত হতে পারে। অসমতা সীমাবদ্ধতার একটি ধ্রুপদী উদাহরণ হল একটি গোলকের পৃষ্ঠে স্থাপন করা একটি কণার, তবুও এটি থেকে পড়ে যাওয়ার অনুমতি দেওয়া হয়ঃ এটি গোলকের কেন্দ্র থেকে কণার দূরত্ব। এটি গোলকের ব্যাসার্ধ। রোলিং হুইলের উদাহরণ একটি চাকা (কখনও কখনও একটি ইউনিসাইকেল বা একটি রোলিং কয়েন হিসাবে দৃশ্যমান) একটি ননহোলোনমিক সিস্টেম। সাধারণ মানুষের ব্যাখ্যা একটি সাইকেলের চাকা বিবেচনা করুন যা একটি নির্দিষ্ট জায়গায় (মাটিতে) পার্ক করা থাকে। প্রাথমিকভাবে মুদ্রাস্ফীতির ভালভ চাকায় একটি নির্দিষ্ট অবস্থানে থাকে। যদি সাইকেলটি চারপাশে চালানো হয়, এবং তারপর ঠিক একই জায়গায় পার্ক করা হয়, তবে ভালভটি প্রায় নিশ্চিতভাবেই আগের মতো একই অবস্থানে থাকবে না। এর নতুন অবস্থান নির্ভর করে নেওয়া পথের উপর। যদি চাকাটি হোলোনমিক হয়, তবে ভালভ স্টেমটি সর্বদা একই অবস্থানে শেষ হবে যতক্ষণ না চাকাটি সর্বদা পৃথিবীর একই অবস্থানে ফিরে আসে। স্পষ্টতই, তবে, এই ক্ষেত্রে নয়, তাই সিস্টেমটি ননহোলোনমিক। গাণিতিক ব্যাখ্যা সীমাবদ্ধ সমীকরণের একটি পদ্ধতির সাহায্যে চক্রটিকে গাণিতিকভাবে মডেল করা সম্ভব, এবং তারপর প্রমাণ করা যায় যে সেই পদ্ধতিটি অ-হোলোনমিক। প্রথমে, আমরা কনফিগারেশন স্পেস সংজ্ঞায়িত করি। চাকাটি তিনটি উপায়ে তার অবস্থা পরিবর্তন করতে পারেঃ তার অক্ষের চারপাশে একটি ভিন্ন ঘূর্ণন, একটি ভিন্ন স্টিয়ারিং কোণ এবং একটি ভিন্ন স্থানে থাকা। আমরা বলতে পারি যে এটি অক্ষের চারপাশে ঘূর্ণন,-অক্ষের সাথে সম্পর্কিত স্টিয়ারিং কোণ, এবং স্থানিক অবস্থানকে সংজ্ঞায়িত করে। সুতরাং, কনফিগারেশন স্পেসটি হ 'লঃ আমাদের এখন এই ভেরিয়েবলগুলিকে একে অপরের সাথে সম্পর্কিত করতে হবে। আমরা লক্ষ্য করি যে চাকাটি তার ঘূর্ণন পরিবর্তন করার সাথে সাথে এটি তার অবস্থান পরিবর্তন করে। ঘূর্ণন এবং অবস্থানের পরিবর্তন যা বেগকে বোঝায় তা অবশ্যই উপস্থিত থাকতে হবে, আমরা উপযুক্ত পদগুলির সহজ সময়-উদ্ভূত গ্রহণ করে কৌণিক বেগ এবং স্টিয়ারিং কোণকে রৈখিক বেগের সাথে সম্পর্কিত করার চেষ্টা করিঃ দিকের বেগ কৌণিক বেগের গুণ ব্যাসার্ধের গুণ স্টিয়ারিং কোণের কোসাইন, এবং বেগ একই। এখন আমরা সমীকরণটিকে ফাফিয়ান আকারে রূপান্তরিত করার জন্য কিছু বীজগাণিতিক কারসাজি করি যাতে এটি হোলোনমিক কিনা তা পরীক্ষা করা সম্ভব হয়, এই দিয়ে শুরু করেঃ তারপর, আসুন তাদের সহগগুলি থেকে চলকগুলিকে আলাদা করা যাক (সমীকরণের বাম দিক, উপরে থেকে উদ্ভূত)। আমরা এটাও উপলব্ধি করি যে, আমরা সমস্ত পদকে এইভাবে গুণ করতে পারি যে, আমরা শুধুমাত্র পার্থক্যগুলি (সমীকরণের ডান দিক) দিয়ে শেষ করতে পারিঃ সমীকরণের ডান দিকটি এখন ফাফিয়ান আকারে রয়েছেঃ আমরা এখন হোলোনমিক সীমাবদ্ধতার জন্য সর্বজনীন পরীক্ষাটি ব্যবহার করি। এই পদ্ধতিটি যদি হোলোনমিক হত, তাহলে আমাদের আটটি পর্যন্ত পরীক্ষা করতে হত। যাইহোক, আমরা গাণিতিক অন্তর্দৃষ্টি ব্যবহার করে প্রথম পরীক্ষায় সিস্টেমটি ননহোলোনমিক প্রমাণ করার জন্য আমাদের যথাসাধ্য চেষ্টা করতে পারি। পরীক্ষার সমীকরণটি বিবেচনা করলেঃ আমরা দেখতে পারি যে যদি কোনও পদ, বা শূন্য হয়, তবে পরীক্ষার সমীকরণের সেই অংশটি সমাধান করা তুচ্ছ হবে এবং শূন্যের সমান হবে। অতএব, প্রথম পরীক্ষার সমীকরণের যোগফল শূন্যের সমান না হওয়ার সম্ভাবনা সর্বাধিক করার জন্য যতটা সম্ভব অ-শূন্য পদ থাকা প্রায়শই সর্বোত্তম অনুশীলন। অতএব, আমরা বেছে নিইঃ আমরা আমাদের পরীক্ষার সমীকরণে প্রতিস্থাপন করিঃ এবং সরলীকরণ করিঃ আমরা সহজেই দেখতে পারি যে এই পদ্ধতিটি, যেমন বর্ণনা করা হয়েছে, অ-হোলোনমিক, কারণ সর্বদা শূন্যের সমান হয় না। অতিরিক্ত উপসংহার আমরা আমাদের প্রমাণ সম্পন্ন করেছি যে সিস্টেমটি ননহোলোনমিক, তবে আমাদের পরীক্ষার সমীকরণটি আমাদের কিছু অন্তর্দৃষ্টি দিয়েছে যে সিস্টেমটি আরও সীমাবদ্ধ হলে হোলোনমিক হতে পারে কিনা। অনেক সময় পরীক্ষার সমীকরণগুলি একটি ফলাফল প্রদান করবে যেমন সিস্টেমটিকে আমূল পরিবর্তন না করে সিস্টেমটিকে কখনই হোলোনমিক হতে বাধ্য করা যায় না, তবে আমাদের ফলাফলে আমরা দেখতে পাচ্ছি যে দুটি ভিন্ন উপায়ে শূন্যের সমান হতে পারেঃ, চাকাটির ব্যাসার্ধ শূন্য হতে পারে। এটি সহায়ক নয় কারণ বাস্তবে ব্যবস্থাটি তার সমস্ত মাত্রার স্বাধীনতা হারাবে। শূন্যের সমান সেট করে শূন্য হতে পারে। এর থেকে বোঝা যায় যে, যদি চাকাটিকে ঘুরতে না দেওয়া হয় এবং সব সময় কেবল একটি সরলরেখায় চলতে হয়, তবে এটি একটি হোলোনমিক ব্যবস্থা হবে। তবে একটি বিষয় রয়েছে যা আমরা এখনও বিবেচনা করিনি যে, একটি ব্যবস্থার জন্য এই ধরনের সমস্ত পরিবর্তনগুলি খুঁজে বের করার জন্য, একজনকে অবশ্যই আটটি পরীক্ষার সমীকরণ (প্রতিটি সীমাবদ্ধতার সমীকরণ থেকে চারটি) সম্পাদন করতে হবে এবং যদি সম্ভব হয় তবে ব্যবস্থাটিকে হোলোনমিক করার জন্য সমস্ত প্রয়োজনীয়তা সংগ্রহ করতে সমস্ত ব্যর্থতা সংগ্রহ করতে হবে। এই পদ্ধতিতে, সাতটি অতিরিক্ত পরীক্ষার সমীকরণের মধ্যে, একটি অতিরিক্ত উদাহরণ নিজেকে উপস্থাপন করেঃ এটি খুব বেশি অসুবিধা সৃষ্টি করে না, তবে, সমীকরণগুলি যোগ করা এবং ফলাফল দ্বারা ভাগ করাঃ যা কিছু সহজ বীজগাণিতিক কারসাজির সাথে হয়ে যায়ঃ যার সমাধান (থেকে) রয়েছে। উপরে সাধারণ মানুষের ব্যাখ্যাটি উল্লেখ করুন যেখানে বলা হয়েছে, "[ভালভ কান্ডের] নতুন অবস্থান নির্ভর করে নেওয়া পথের উপর। যদি চাকাটি হোলোনমিক হয়, তবে ভালভ স্টেমটি সর্বদা একই অবস্থানে শেষ হবে যতক্ষণ না চাকাটি সর্বদা পৃথিবীর একই অবস্থানে ফিরে আসে। স্পষ্টতই, তবে, এটি ঘটনা নয়, তাই সিস্টেমটি ননহোলোনমিক। তবে এটি সহজেই কল্পনা করা যায় যে যদি চাকাটিকে কেবল একটি নিখুঁত সরলরেখায় এবং পিছনে ঘুরতে দেওয়া হয়, তবে ভালভের কান্ডটি একই অবস্থানে শেষ হবে! প্রকৃতপক্ষে, প্রদত্ত কোণের সমান্তরালে অগ্রসর হওয়া বাস্তব জগতে আসলে প্রয়োজনীয় নয় কারণ স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার অভিযোজন নিজেই স্বেচ্ছাচারী। এই ব্যবস্থাটি হোলোনমিক হয়ে উঠতে পারে যদি চাকাটি প্রদত্ত রেফারেন্সের তুলনায় কোনও নির্দিষ্ট কোণে কেবল একটি সরলরেখায় চলে। এইভাবে, আমরা প্রমাণ করেছি যে মূল ব্যবস্থাটি কেবল অ-হোলোনমিক, তবে আমরা এমন একটি সীমাবদ্ধতাও খুঁজে পেতে সক্ষম হয়েছি যা এটিকে হোলোনমিক করার জন্য সিস্টেমে যুক্ত করা যেতে পারে। যাইহোক, একটি কার্টেসিয়ান গ্রিডের মতো সিস্টেমটিকে হোলোনমিক করার জন্য সীমাবদ্ধতার বিষয়ে গাণিতিকভাবে বিশেষ কিছু আছে। দুটি সমীকরণের সংমিশ্রণ এবং অপসারণ, আমরা প্রকৃতপক্ষে দেখতে পাই যে এবং তাই এই দুটি স্থানাঙ্কের মধ্যে একটি সম্পূর্ণ অপ্রয়োজনীয়। আমরা ইতিমধ্যে জানি যে স্টিয়ারিং কোণটি একটি ধ্রুবক, তাই এর অর্থ হল এখানে হোলোনমিক সিস্টেমের কেবল একটি কনফিগারেশন স্থান থাকা দরকার। এখানে যেমন আলোচনা করা হয়েছে, একটি পদ্ধতি যা একটি ফাফিয়ান সীমাবদ্ধতা দ্বারা মডেলযোগ্য তা অবশ্যই হোলোনমিক হতে হবে যদি কনফিগারেশন স্পেস দুই বা তার কম ভেরিয়েবল নিয়ে গঠিত হয়। আমাদের মূল ব্যবস্থাকে পরিবর্তন করে এটিকে কেবলমাত্র দুটি মাত্রার স্বাধীনতার মধ্যে সীমাবদ্ধ করে এবং এইভাবে বর্ণনা করার জন্য কেবল দুটি চলকের প্রয়োজন হয় এবং ধরে নেওয়া যায় যে এটি ফাফিয়ান আকারে বর্ণনা করা যেতে পারে (যা এই উদাহরণে আমরা ইতিমধ্যে জানি যে সত্য), আমরা নিশ্চিত যে এটি হলোনমিক। রোলিং গোলক এই উদাহরণটি উপরে বিবেচিত 'রোলিং হুইল' সমস্যার একটি সম্প্রসারণ। একটি ত্রিমাত্রিক অর্থোগোনাল কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্ক কাঠামো বিবেচনা করুন, উদাহরণস্বরূপ, একটি স্তরের টেবিলের উপরে যার উৎপত্তির জন্য একটি বিন্দু চিহ্নিত করা আছে, এবং x এবং y অক্ষগুলি পেন্সিল লাইন দিয়ে স্থাপন করা হয়েছে। একক ব্যাসার্ধের একটি গোলক নিন, উদাহরণস্বরূপ, একটি পিং-পং বল, এবং নীল রঙে এক বিন্দু বি চিহ্নিত করুন। এই বিন্দুর সাথে সামঞ্জস্য রেখে গোলকের একটি ব্যাস, এবং গোলকের কেন্দ্র সি-তে অবস্থিত এই ব্যাসের সমতল অর্থোগোনাল বিন্দু বি-এর সাথে যুক্ত বিষুবরেখা নামে একটি বড় বৃত্তকে সংজ্ঞায়িত করে। এই বিষুবরেখার উপর, আরেকটি বিন্দু R নির্বাচন করুন এবং এটিকে লাল রঙে চিহ্নিত করুন। z = 0 সমতলে গোলককে এমনভাবে স্থাপন করুন যাতে B বিন্দুটি উৎপত্তির সঙ্গে সঙ্গতিপূর্ণ হয়, C x = 0, y = 0, z = 1 এ অবস্থিত এবং R x = 1, y = 0, এবং z = 1, অর্থাৎ। R ধনাত্মক x অক্ষের দিকে প্রসারিত হয়। এটি গোলকের প্রাথমিক বা রেফারেন্স অভিযোজন। গোলকটি এখন z = 0 সমতলে যে কোনও অবিচ্ছিন্ন বদ্ধ পথ ধরে ঘূর্ণিত হতে পারে, অগত্যা একটি সহজ সংযুক্ত পথ নয়, এমনভাবে যে এটি পিছলে যায় না বা মোচড় দেয় না, যাতে C x = 0, y = 0, z = 1 এ ফিরে আসে। সাধারণভাবে, বিন্দু বি আর উৎপত্তির সাথে সঙ্গতিপূর্ণ নয়, এবং বিন্দু আর ধনাত্মক x অক্ষ বরাবর প্রসারিত হয় না। প্রকৃতপক্ষে, একটি উপযুক্ত পথ নির্বাচন করে, গোলকটি x = 0, y = 0, z = 1 এ অবস্থিত C সহ গোলকের প্রাথমিক অভিযোজন থেকে যে কোনও সম্ভাব্য অভিযোজনে পুনর্নির্দেশিত হতে পারে। তাই এই ব্যবস্থাটি অ-হোলোনমিক। অ্যানহোলোনমি দ্বিগুণ অনন্য কোয়াটারনিয়ন (q এবং −q) দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে, যা যখন গোলকের প্রতিনিধিত্বকারী বিন্দুগুলিতে প্রয়োগ করা হয়, তখন বিন্দু B এবং R তাদের নতুন অবস্থানে বহন করে। ফুকো পেন্ডুলাম একটি ননহোলোনমিক সিস্টেমের একটি অতিরিক্ত উদাহরণ হল ফুকো পেন্ডুলাম। স্থানীয় স্থানাঙ্ক ফ্রেমে পেন্ডুলামটি পথের শুরুতে ভৌগলিক উত্তরের সাপেক্ষে একটি নির্দিষ্ট অভিযোজন সহ একটি উল্লম্ব সমতলে দুলছে। সিস্টেমের অন্তর্নিহিত গতিপথ হল পৃথিবীর অক্ষাংশের রেখা যেখানে পেন্ডুলাম অবস্থিত। যদিও পেন্ডুলামটি পৃথিবীর ফ্রেমে স্থির থাকে, তবুও এটি সূর্যকে বোঝানো একটি ফ্রেমে চলছে এবং পৃথিবীর ঘূর্ণনের হারের সাথে সামঞ্জস্য রেখে ঘুরছে, যাতে পৃথিবীর ঘূর্ণনের কারণে পেন্ডুলাম প্লেনের একমাত্র আপাত গতি ঘটে। এই পরবর্তী ফ্রেমটিকে একটি ইনার্শিয়াল রেফারেন্স ফ্রেম হিসাবে বিবেচনা করা হয়, যদিও এটিও আরও সূক্ষ্ম উপায়ে নন-ইনার্শিয়াল। পৃথিবীর কাঠামো অ-জড় হিসাবে সুপরিচিত, যা কেন্দ্রত্যাগী শক্তি এবং কোরিওলিস শক্তির আপাত উপস্থিতি দ্বারা উপলব্ধি করা যায়। অক্ষাংশের রেখা বরাবর গতি সময়ের সাথে সাথে পরিমাপ করা হয় এবং সময় অতিবাহিত হওয়ার সাথে সাথে ফুকো পেন্ডুলামের দোলনের সমতলটি স্থানীয় উল্লম্ব অক্ষের চারপাশে ঘোরে বলে মনে হয়। প্রাথমিক অভিযোজনের সাপেক্ষে t সময়ে এই সমতলে আবর্তনের কোণটি হল সিস্টেমের এনহোলোনমি। অক্ষাংশের একটি সম্পূর্ণ বর্তনী দ্বারা প্ররোচিত অ্যানহোলোনমি অক্ষাংশের সেই বৃত্ত দ্বারা নিক্ষিপ্ত কঠিন কোণের সমানুপাতিক। পথটিকে অক্ষাংশ বৃত্তের মধ্যে সীমাবদ্ধ করার প্রয়োজন নেই। উদাহরণস্বরূপ, পেন্ডুলামটি একটি বিমানে বসানো হতে পারে। এনহোলোনমি এখনও পথ দ্বারা নিক্ষিপ্ত কঠিন কোণের সাথে আনুপাতিক, যা এখন বেশ অনিয়মিত হতে পারে। ফুকো পেন্ডুলাম সমান্তরাল পরিবহনের একটি ভৌত উদাহরণ। অপটিক্যাল ফাইবারে রৈখিক মেরুকৃত আলো অপটিক্যাল ফাইবারের দৈর্ঘ্য নিন, ধরুন তিন মিটার, এবং এটিকে একেবারে সরলরেখায় স্থাপন করুন। যখন একটি উল্লম্ব মেরুকৃত রশ্মি এক প্রান্তে প্রবর্তিত হয়, তখন এটি অন্য প্রান্ত থেকে বেরিয়ে আসে, এখনও উল্লম্ব দিকে মেরুকৃত হয়। ফাইবারের উপরের অংশটিকে একটি স্ট্রাইপ দিয়ে চিহ্নিত করুন, যা উল্লম্ব মেরুকরণের অভিযোজনের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ। এখন, দশ সেন্টিমিটার ব্যাসের একটি সিলিন্ডারের চারপাশে ফাইবারটি শক্তভাবে কুণ্ডলী করুন। ফাইবারের পথটি এখন একটি হেলিক্স বর্ণনা করে যার বৃত্তের মতো ধ্রুবক বক্রতা রয়েছে। হেলিক্সের ক্রমাগত টর্জন থাকার আকর্ষণীয় বৈশিষ্ট্যও রয়েছে। ফলস্বরূপ, ফাইবারের কেন্দ্ররেখা হেলিক্স বরাবর অগ্রসর হওয়ার সাথে সাথে ফাইবারের অক্ষের চারপাশে ফাইবারের ধীরে ধীরে ঘূর্ণন হয়। তদনুসারে, স্ট্রাইপটিও হেলিক্সের অক্ষের চারপাশে মোচড় দেয়। যখন রৈখিকভাবে মেরুকৃত আলো আবার এক প্রান্তে প্রবর্তিত হয়, স্ট্রাইপের সাথে সারিবদ্ধ মেরুকরণের অভিযোজন সহ, এটি সাধারণভাবে, স্ট্রাইপের সাথে সারিবদ্ধ রৈখিক মেরুকৃত আলো হিসাবে আবির্ভূত হবে, তবে স্ট্রাইপের কিছু নির্দিষ্ট কোণে, ফাইবারের দৈর্ঘ্য এবং হেলিক্সের পিচ এবং ব্যাসার্ধের উপর নির্ভর করে। এই ব্যবস্থাটিও ননহোলোনমিক, কারণ আমরা সহজেই ফাইবারটিকে একটি দ্বিতীয় হেলিক্সে কুণ্ডলী করতে পারি এবং প্রান্তগুলি সারিবদ্ধ করতে পারি, আলোকে তার উৎপত্তিস্থলে ফিরিয়ে আনতে পারি। অ্যানহোলোনমি তাই ফাইবারের প্রতিটি সার্কিটের সাথে মেরুকরণ কোণের বিচ্যুতি দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়। পরামিতিগুলির উপযুক্ত সমন্বয় দ্বারা, এটি স্পষ্ট যে কোনও সম্ভাব্য কৌণিক অবস্থা তৈরি করা যেতে পারে। রোবোটিক্স রোবোটিক্সে, ননহোলোনমিক বিশেষভাবে মোবাইল রোবটের জন্য গতি পরিকল্পনা এবং প্রতিক্রিয়া রৈখিককরণের ক্ষেত্রে অধ্যয়ন করা হয়েছে। আরও দেখুন হোলোনমিক সীমাবদ্ধতা বাইসাইকেল এবং মোটরসাইকেলের গতিবিদ্যা বিড়ালের সমস্যা পড়ে যাওয়া গোরিয়াচেভ-চ্যাপলাইজিন শীর্ষ সমান্তরাল পার্কিং সমস্যা ফাফিয়ান সীমাবদ্ধতা উদওয়াড়িয়া-কলাবা সমীকরণ লাই গ্রুপ ইন্টিগ্রেটর রেফারেন্স বীজগাণিতিক টপোলজি ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতি ডিফারেনশিয়াল টপোলজি ডায়নামিকাল সিস্টেম