Harris chain
স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়াগুলির গাণিতিক অধ্যয়নে, একটি হ্যারিস চেইন হল একটি মার্কভ চেইন যেখানে চেইনটি স্টেট স্পেসের একটি নির্দিষ্ট অংশে সীমাহীন সংখ্যক বার ফিরে আসে। হ্যারিস চেইন হল পুনরুৎপাদনশীল প্রক্রিয়া এবং থিওডোর হ্যারিসের নামে নামকরণ করা হয়েছে। হ্যারিস চেইন এবং হ্যারিসের পুনরাবৃত্তির তত্ত্বটি সাধারণ (সম্ভবত অগণিত) রাষ্ট্রীয় স্থানে মার্কভ চেইনের চিকিৎসার জন্য কার্যকর। সংজ্ঞা ধরা যাক স্টোকাস্টিক কার্নেল সহ একটি সাধারণ স্টেট স্পেসে একটি মার্কভ চেইন। কার্নেল একটি সাধারণীকৃত এক-ধাপের ট্রানজিশন সম্ভাব্যতা আইনের প্রতিনিধিত্ব করে, যাতে সমস্ত পরিমাপযোগ্য সেটের সমস্ত অবস্থার জন্য। যদি থাকে তবে চেইনটি একটি হ্যারিস চেইন, এবং সম্ভাব্যতা এমনভাবে পরিমাপ করা হয় যে যদি, তাহলে সবার জন্য। যদি এবং (যেখানে পরিমাপযোগ্য), তাহলে। সংজ্ঞাটির প্রথম অংশটি নিশ্চিত করে যে, যেখানেই শুরু হোক না কেন, চেইনটি সম্ভাব্যতা 1 সহ কিছু অবস্থায় ফিরে আসে। এটি অনুসরণ করে যে এটি অসীমভাবে প্রায়শই (সম্ভাবনা 1 সহ) রাজ্যে যায়। দ্বিতীয় অংশটি বোঝায় যে একবার মার্কভ চেইনটি চালু হয়ে গেলে, একটি স্বাধীন বার্নৌলি মুদ্রা উল্টানোর সাহায্যে এর পরবর্তী অবস্থা তৈরি করা যেতে পারে। এটি দেখার জন্য, প্রথমে মনে রাখবেন যে পরামিতিটি অবশ্যই 0 এবং 1 এর মধ্যে হতে হবে (সেটটিতে সংজ্ঞার দ্বিতীয় অংশটি প্রয়োগ করে এটি দেখানো যেতে পারে)। এখন একটি পয়েন্ট হতে দিন এবং অনুমান করুন। পরবর্তী অবস্থা নির্বাচন করতে, সাফল্যের সম্ভাবনা সহ একটি পক্ষপাতদুষ্ট মুদ্রা স্বাধীনভাবে উল্টান। যদি মুদ্রা উল্টানো সফল হয়, তাহলে সম্ভাব্যতা পরিমাপ অনুযায়ী পরবর্তী অবস্থাটি বেছে নিন। অন্যথায় (এবং যদি), পরিমাপ অনুযায়ী পরবর্তী অবস্থা নির্বাচন করুন (সমস্ত পরিমাপযোগ্য উপসেটগুলির জন্য সংজ্ঞায়িত)। দুটি এলোমেলো প্রক্রিয়া এবং যেগুলির একই সম্ভাব্যতা আইন রয়েছে এবং উপরের সংজ্ঞা অনুসারে হ্যারিস চেইনগুলি নিম্নরূপ যুক্ত করা যেতে পারেঃ ধরুন যে এবং, কোথায় এবং যেখানে পয়েন্ট রয়েছে। উভয় প্রক্রিয়ার পরবর্তী অবস্থা নির্ধারণের জন্য একই মুদ্রা উল্টানো ব্যবহার করে, এটি অনুসরণ করে যে পরবর্তী অবস্থা অন্তত সম্ভাব্যতা সহ একই। উদাহরণ 1: গণনাযোগ্য অবস্থার স্থান ধরা যাক ω একটি গণনাযোগ্য অবস্থার স্থান। কার্নেল কে-কে এক-ধাপের শর্তাধীন রূপান্তর সম্ভাবনা দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয় পি [এক্সএন + 1 = ওয়াই। এক্সএন = এক্স] এক্স, ওয়াই ω এর জন্য। পরিমাপ ρ হল অবস্থার উপর একটি সম্ভাব্যতা ভর ফাংশন, যাতে সমস্ত x ω এর জন্য ρ (x) ±0, এবং ρ (x) সম্ভাবনার যোগফল একটির সমান হয়। মনে করুন উপরের সংজ্ঞাটি একটি প্রদত্ত সেট A′ ′ ′ ′ এবং একটি প্রদত্ত প্যারামিটার ε> 0 এর জন্য সন্তুষ্ট। তারপর P [Xn + 1 = c। Xn = x] ≤ ερ (c) সমস্ত x ω A এবং সমস্ত c ω ω এর জন্য। উদাহরণ 2: অবিচ্ছিন্ন ঘনত্বের শৃঙ্খলগুলি ধরা যাক {Xn}, Xn bul Rd একটি কার্নেল সহ একটি মার্কভ চেইন যা লেবস্গু পরিমাপের ক্ষেত্রে একেবারে অবিচ্ছিন্নঃ K (x, dy) = K (x, y) dy যাতে K (x, y) একটি অবিচ্ছিন্ন ফাংশন। (x0, y0) এমনভাবে বেছে নিন যাতে K (x0, y0)> 0 হয়, এবং A এবং ω যথাক্রমে x0 এবং y0 ধারণকারী খোলা সেট হতে দিন যা যথেষ্ট ছোট যাতে A × ω-এর উপর K (x, y) ≤ ε> 0 হয়। ρ (C) = |Ω θC।/|Ω। যেখানে |Ω। হল ω এর লেবস্গু পরিমাপ, আমাদের উপরের সংজ্ঞায় (2) রয়েছে। যদি (1) ধরে থাকে, তাহলে {Xn} একটি হ্যারিস চেইন। নিম্নলিখিত ক্ষেত্রে হ্রাসযোগ্যতা এবং পর্যায়ক্রমিকতা; অর্থাৎ সময় 0 এর পরে প্রথমবার যে প্রক্রিয়াটি অঞ্চলে প্রবেশ করে। মার্কভ শৃঙ্খলের প্রাথমিক বন্টনকে বোঝানো যাক, অর্থাৎ। । সংজ্ঞাঃ যদি সবার জন্য হয়, তাহলে হ্যারিস শৃঙ্খলকে পুনরাবৃত্ত বলা হয়। সংজ্ঞাঃ একটি পুনরাবৃত্ত হ্যারিস চেইন এপেরিওডিক হয় যদি, এইভাবে, উপপাদ্যঃ স্থির বিতরণ সহ একটি এপেরিওডিক পুনরাবৃত্ত হ্যারিস চেইন হতে দিন। যদি তাই হয়, যেখানে একই পরিমাপযোগ্য স্থানে সংজ্ঞায়িত স্বাক্ষরিত পরিমাপের মোট বৈচিত্র্য বোঝায়। তথ্যসূত্র মার্কভ প্রক্রিয়া