Tangent measure
পরিমাপ তত্ত্বে, রেডনের পরিমাপের স্থানীয় আচরণ অধ্যয়নের জন্য স্পর্শক পরিমাপ ব্যবহার করা হয়, ঠিক যেমন স্পর্শক স্থানগুলি পার্থক্যযোগ্য ম্যানিফোল্ডের স্থানীয় আচরণ অধ্যয়নের জন্য ব্যবহার করা হয়। জ্যামিতিক পরিমাপ তত্ত্বের একটি দরকারী হাতিয়ার হল স্পর্শক পরিমাপ (ডেভিড প্রিস তাঁর সংশোধনযোগ্য সেট অধ্যয়নে প্রবর্তন করেছিলেন)। উদাহরণস্বরূপ, এগুলি মার্স্ট্র্যান্ডের উপপাদ্য এবং প্রিসের উপপাদ্য প্রমাণ করতে ব্যবহৃত হয়। সংজ্ঞা এন-ডাইমেনশনাল ইউক্লিডিয়ান স্পেস আরএন-এর একটি উন্মুক্ত উপসেট ω-এর উপর সংজ্ঞায়িত একটি রেডনের পরিমাপ বিবেচনা করুন এবং ধরা যাক ω-এর একটি নির্বিচারে বিন্দু। আমরা a, Br (a) এর চারপাশে r ব্যাসার্ধের একটি ছোট খোলা বলের উপর "জুম ইন" করতে পারি, রূপান্তরের মাধ্যমে যা r ব্যাসার্ধের বলকে প্রায় a থেকে 0-এ কেন্দ্রিক 1 ব্যাসার্ধের বলের দিকে প্রসারিত করে। এর মাধ্যমে, আমরা এখন বড় করে দেখতে পারি যে, বিআর (এ)-এর উপর এমইউ কীভাবে আচরণ করে, এর দ্বারা সংজ্ঞায়িত পুশ-ফরওয়ার্ড পরিমাপের দিকে তাকিয়ে যেখানে আর ছোট হয়ে যায়, পরিমাপের উপর এই রূপান্তরটি এমইউ ছড়িয়ে পড়ে এবং এ বিন্দুর চারপাশে সমর্থিত এমইউ-এর অংশকে প্রসারিত করে। r শূন্যের কাছাকাছি আসার সাথে সাথে এই পরিমাপগুলি সীমার মধ্যে কেমন দেখায় তা দেখে আমরা আমাদের পরিমাপ সম্পর্কে তথ্য পেতে পারি। সংজ্ঞা. একটি র্যাডন পরিমাপের একটি স্পর্শক পরিমাপ হল a বিন্দুতে একটি দ্বিতীয় র্যাডন পরিমাপ ν যাতে ধনাত্মক সংখ্যা ci> 0 এবং হ্রাসমান ব্যাসার্ধ ry → 0-এর ক্রম বিদ্যমান থাকে যাতে যেখানে দুর্বল-঱্঱ং টপোলজিতে সীমা নেওয়া হয়, অর্থাৎ, ω-তে কম্প্যাক্ট সাপোর্ট সহ যে কোনও অবিচ্ছিন্ন ফাংশন φ-এর জন্য, আমরা একটি দ্বারা ট্যান (μ, a)-এ μ-এর স্পর্শক পরিমাপের সেটকে নির্দেশ করি। অস্তিত্ব একটি পরিমাপের স্পর্শক পরিমাপের সেট ট্যান (μ, a) একটি বিন্দুতে a এর সমর্থনে μ এর উপর হালকা পরিস্থিতিতে অকার্যকর। রেডনের পরিমাপের দুর্বল সংকোচন দ্বারা, ট্যান (μ, a) অকার্যকর হয় যদি নিম্নলিখিত শর্তগুলির মধ্যে একটি থাকেঃ μ উপসর্গহীনভাবে a তে দ্বিগুণ হয়, অর্থাৎ। μ-এর ধনাত্মক এবং সীমাবদ্ধ উচ্চ ঘনত্ব রয়েছে, অর্থাৎ। কারো কারো জন্য। বৈশিষ্ট্য একটি বিন্দুতে স্পর্শক পরিমাপের সংগ্রহ দুই ধরনের স্কেলিংয়ের অধীনে বন্ধ করা হয়। পরিমাপের কোণগুলিও প্রিস দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়েছিল। একটি বিন্দুতে একটি পরিমাপের স্পর্শক পরিমাপের সেট তান (μ, a) হল পরিমাপের একটি শঙ্কু, অর্থাৎ। যদি এবং তারপর। কোন বিন্দুতে একটি পরিমাপের স্পর্শক পরিমাপের শঙ্কু ট্যান (μ, a) হল একটি ডি-শঙ্কু বা বিস্তার অপরিবর্তনীয়, অর্থাৎ। যদি এবং তারপর। একটি পরিমাপের সমর্থনে সাধারণ বিন্দুতে, স্পর্শক পরিমাপের শঙ্কুও অনুবাদের অধীনে বন্ধ করা হয়। প্রায় প্রতিটি 'এ' তে, 'এ'-তে 'এ'-এর স্পর্শক পরিমাপের শঙ্কু ট্যান ('এ', 'এ') হল অনুবাদ অপরিবর্তনীয়, অর্থাৎ। যদি এবং x ν-এর সমর্থনে থাকে, তাহলে। উদাহরণস্বরূপ, ধরুন আমাদের R2-এ একটি বৃত্ত রয়েছে যার পরিমাপ একই। তারপরে, বৃত্তের যে কোনও বিন্দুর জন্য, স্পর্শক পরিমাপের সেটটি কেবল ধনাত্মক ধ্রুবক গুণিত 1-মাত্রিক হাউজডর্ফ পরিমাপ হবে যা সেই বিন্দুতে বৃত্তের লাইনের স্পর্শকের উপর সমর্থিত। 1995 সালে, টবি ও 'নিল আরডি-তে রেডনের পরিমাপের একটি উদাহরণ তৈরি করেছিলেন যাতে, প্রায় প্রতিটি বিন্দুর জন্য একটি ω আরডি, ট্যান (μ, a) সমস্ত অ-শূন্য রেডনের পরিমাপ নিয়ে গঠিত। সম্পর্কিত ধারণাগুলি একটি পরিমাপের স্পর্শক স্থান সম্পর্কে একটি সম্পর্কিত ধারণা রয়েছে। আরএন-এর একটি কে-মাত্রিক সাবস্পেস পি-কে কে-মাত্রিক স্পর্শক স্থান বলা হয় যদি-উপযুক্ত পুনর্বিবেচনার পরে-পি-এর উপর কে-মাত্রিক হাউজডর্ফ পরিমাপ এইচকে-এর মতো দেখায়। আরও সুনির্দিষ্টভাবেঃ সংজ্ঞা। পি হ 'ল কে-মাত্রিক স্পর্শক স্থান যেখানে একটি θ> 0 থাকে যেখানে μa, r হ' ল দ্বারা প্রদত্ত অনুবাদিত এবং পুনরুদ্ধারকৃত পরিমাপ θ সংখ্যাটিকে a-তে μ-এর গুণিতক বলা হয় এবং a-তে μ-এর স্পর্শক স্থানকে টা (μ) বলা হয়। স্পর্শক পরিমাপ এবং স্পর্শক স্থানগুলির আরও অধ্যয়ন একটি বৈচিত্র্যের ধারণার দিকে পরিচালিত করে। তথ্যসূত্র পরিমাপ (পরিমাপ তত্ত্ব)