Epsilon number
গণিতে, এপসাইলন সংখ্যা হল অসীম সংখ্যার একটি সংগ্রহ যার সংজ্ঞায়িত বৈশিষ্ট্য হল যে তারা একটি সূচকীয় মানচিত্রের স্থির বিন্দু। ফলস্বরূপ, নির্বাচিত সূচকীয় মানচিত্রের প্রয়োগের একটি সীমাবদ্ধ সিরিজের মাধ্যমে এবং যোগ এবং গুণনের মতো "দুর্বল" ক্রিয়াকলাপের মাধ্যমে এগুলি 0 থেকে পৌঁছানো যায় না। মূল এপসাইলন সংখ্যাগুলি ক্রমবর্ধমান গাণিতিক প্রসঙ্গে জর্জ ক্যান্টর দ্বারা প্রবর্তিত হয়েছিল; এগুলি ক্রমবর্ধমান সংখ্যা ε যা সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে যেখানে ω হল ক্ষুদ্রতম অসীম ক্রমবর্ধমান। এই ধরনের সর্বনিম্ন অর্ডিনাল হল ε0 (উচ্চারিত এপসাইলন নট বা এপসাইলন শূন্য), যা ছোট সীমা অর্ডিনালগুলির ক্রম থেকে ট্রান্সফাইনাইট পুনরাবৃত্তি দ্বারা প্রাপ্ত "সীমা" হিসাবে দেখা যেতে পারেঃ যেখানে সর্বোচ্চ ফাংশন, যা অর্ডিনালগুলির ভন নিউম্যান উপস্থাপনার ক্ষেত্রে সেট ইউনিয়নের সমতুল্য। সূচকীয় মানচিত্রের বৃহত্তর ক্রমিক স্থির বিন্দুগুলি ক্রমিক সাবস্ক্রিপ্ট দ্বারা সূচীভুক্ত করা হয়, যার ফলস্বরূপ। অর্ডিনাল ε0 এখনও গণনাযোগ্য, যেমন যে কোনও এপসাইলন সংখ্যা যার সূচক গণনাযোগ্য (অগণিত অর্ডিনাল এবং অগণিত এপসাইলন সংখ্যা রয়েছে যার সূচক অগণিত অর্ডিনাল)। ক্ষুদ্রতম এপসাইলন সংখ্যা ε0 অনেক প্রবর্তন প্রমাণগুলিতে উপস্থিত হয়, কারণ অনেক উদ্দেশ্যে, ট্রান্সফাইনাইট প্রবর্তন শুধুমাত্র ε0 পর্যন্ত প্রয়োজন হয় (জেন্টজেনের সামঞ্জস্য প্রমাণ এবং গুডস্টেইনের উপপাদ্যের প্রমাণ হিসাবে)। গেন্টজেনের দ্বারা পেয়ানো গাণিতিকের সামঞ্জস্য প্রমাণ করার জন্য, গোডেলের দ্বিতীয় অসম্পূর্ণতা উপপাদ্যের সাথে, এটি দেখায় যে পেয়ানো গাণিতিক এই ক্রমের সুপ্রতিষ্ঠাকে প্রমাণ করতে পারে না (এটি আসলে এই বৈশিষ্ট্যের সাথে সর্বনিম্ন ক্রমিক, এবং যেমন, প্রমাণ-তাত্ত্বিক ক্রমিক বিশ্লেষণে, পেয়ানো গাণিতিক তত্ত্বের শক্তির পরিমাপ হিসাবে ব্যবহৃত হয়)। অনেক বড় এপসাইলন সংখ্যা ভেব্লেন ফাংশন ব্যবহার করে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। জন হর্টন কনওয়ে এবং ডোনাল্ড নুথ পরাবাস্তব সংখ্যা পদ্ধতিতে এপসাইলন সংখ্যার আরও একটি সাধারণ শ্রেণী চিহ্নিত করেছেন, যা সমস্ত পরাবাস্তব নিয়ে গঠিত যা বেস ω সূচকীয় মানচিত্র x → ωx-এর স্থির বিন্দু। সংজ্ঞায়িত গামা সংখ্যাগুলি (যোগাত্মকভাবে অপরিবর্তনীয় অর্ডিনাল দেখুন) γ> 0 সংখ্যা হতে পারে যেমন α + γ = γ যখনই α <γ, এবং ডেল্টা সংখ্যাগুলি (গুণগতভাবে অপরিবর্তনীয় অর্ডিনাল দেখুন) δ> 1 সংখ্যা হতে পারে যাতে αδ = δ যখনই 0 <α <δ, এবং এপসাইলন সংখ্যাগুলি ε> 2 সংখ্যা হতে পারে যাতে αε = ε যখনই 1 <α <ε হয়। তাঁর গামা সংখ্যাগুলি ωβ আকৃতির এবং তাঁর ব-দ্বীপ সংখ্যাগুলি ωωβ আকৃতির। অর্ডিনাল ε সংখ্যা বেস α সহ অর্ডিনাল সূচকের মানক সংজ্ঞাটি হ 'লঃ যখন একটি তাৎক্ষণিক পূর্বসূরি থাকে। , যখনই একটি সীমা অর্ডিনাল হয়। এই সংজ্ঞা থেকে, এটি অনুসরণ করা হয় যে কোনও নির্দিষ্ট অর্ডিনালের জন্য, ম্যাপিং একটি স্বাভাবিক ফাংশন, তাই এটির স্বাভাবিক ফাংশনের জন্য স্থির-বিন্দু লেমা দ্বারা নির্বিচারে বড় স্থির বিন্দু রয়েছে। কখন, এই স্থির বিন্দুগুলি সঠিকভাবে অর্ডিনাল এপসাইলন সংখ্যা। যখন একটি তাৎক্ষণিক পূর্বসূরি আছে। , যখনই একটি সীমা অর্ডিনাল হয়। কারণ একই সর্বোচ্চতা সহ একটি ভিন্ন ক্রম,, 0 থেকে শুরু করে এবং এর পরিবর্তে বেস ε0 দিয়ে সূচিবদ্ধ করে প্রাপ্ত হয়ঃ সাধারণত, যে কোনও অর্ডিনাল দ্বারা সূচীভুক্ত এপসাইলন সংখ্যা যার একটি তাৎক্ষণিক পূর্বসূরি রয়েছে তা একইভাবে তৈরি করা যেতে পারে। বিশেষত, সূচক β একটি সীমা অর্ডিনাল হোক বা না হোক, এটি কেবল বেস ω সূচকেরই নয়, সমস্ত ক্রমের জন্য বেস δ সূচকেরও একটি নির্দিষ্ট বিন্দু। যেহেতু এপসাইলন সংখ্যাগুলি ক্রমিক সংখ্যার একটি সীমাহীন উপশ্রেণী, তাই এগুলি ক্রমিক সংখ্যা ব্যবহার করে গণনা করা হয়। যে কোনও ক্রমিক সংখ্যার জন্য, সর্বনিম্ন এপসাইলন সংখ্যা (সূচকীয় মানচিত্রের নির্দিষ্ট বিন্দু) সেটটিতে ইতিমধ্যে নেই। এটি পুনরাবৃত্ত সূচক ব্যবহার করে গঠনমূলক সংজ্ঞার অ-গঠনমূলক সমতুল্য বলে মনে হতে পারে; তবে দুটি সংজ্ঞা সীমা অর্ডিনাল দ্বারা সূচীভুক্ত পদক্ষেপে সমানভাবে অ-গঠনমূলক, যা একটি সূচকীয় সিরিজের সর্বোচ্চতা গ্রহণের চেয়ে উচ্চতর ক্রমের ট্রান্সফাইনাইট পুনরাবৃত্তির প্রতিনিধিত্ব করে। এপসাইলন সংখ্যা সম্পর্কে নিম্নলিখিত তথ্যগুলি সরাসরি প্রমাণ করা যায়ঃ যদিও এটি বেশ বড় সংখ্যা, তবুও গণনাযোগ্য, গণনাযোগ্য অর্ডিনালগুলির একটি গণনাযোগ্য মিলন; প্রকৃতপক্ষে, গণনাযোগ্য যদি এবং শুধুমাত্র যদি গণনাযোগ্য হয়। এপসাইলন সংখ্যার যে কোনও খালি সেটের ইউনিয়ন (বা সুপ্রিমাম) একটি এপসাইলন সংখ্যা; তাই উদাহরণস্বরূপ একটি এপসাইলন সংখ্যা। সুতরাং, ম্যাপিং একটি স্বাভাবিক কাজ। যে কোনও অগণিত কার্ডিনালের প্রাথমিক অর্ডিনাল হল একটি এপসাইলন সংখ্যা। মূলযুক্ত গাছ দ্বারা ε0-এর উপস্থাপনা যে কোনও এপসাইলন সংখ্যার ε-এর ক্যান্টর স্বাভাবিক রূপ রয়েছে, যার অর্থ ক্যান্টর স্বাভাবিক রূপটি এপসাইলন সংখ্যার জন্য খুব বেশি কার্যকর নয়। তবে, ε0-এর চেয়ে কম অর্ডিনালগুলি তাদের ক্যান্টর স্বাভাবিক রূপ দ্বারা দরকারীভাবে বর্ণনা করা যেতে পারে, যা সমস্ত সীমাবদ্ধ শিকড়যুক্ত গাছের ক্রমবদ্ধ সেট হিসাবে ε0-এর প্রতিনিধিত্বের দিকে পরিচালিত করে, নিম্নরূপ। যে কোনও অর্ডিনালের ক্যান্টর স্বাভাবিক রূপ থাকে যেখানে k একটি স্বাভাবিক সংখ্যা এবং এর সাথে অর্ডিনাল হয়, যা অনন্যভাবে দ্বারা নির্ধারিত হয়। প্রতিটি অর্ডিনালের একই ধরনের ক্যান্টর স্বাভাবিক রূপ রয়েছে। আমরা একটি নতুন শিকড়ের প্রতিনিধিত্বকারী গাছের শিকড়ে যোগ দিয়ে α প্রতিনিধিত্বকারী সসীম শিকড়যুক্ত গাছটি পাই। (এর ফল হল যে 0 সংখ্যাটি একটি মূল দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয় এবং সংখ্যাটি একটি মূল এবং একটি পাতাযুক্ত গাছ দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়।) সীমাবদ্ধ শিকড়যুক্ত গাছের সেটের একটি ক্রমকে পুনরাবৃত্তিমূলকভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়ঃ আমরা প্রথমে হ্রাসমান ক্রমে মূলের সাথে যুক্ত সাবট্রিকে অর্ডার করি এবং তারপরে সাবট্রির এই ক্রমযুক্ত ক্রমগুলিতে অভিধান ক্রম ব্যবহার করি। এইভাবে সমস্ত সীমাবদ্ধ শিকড়যুক্ত গাছের সেট একটি সুশৃঙ্খল সেট হয়ে ওঠে যা ε0-এর ক্রম-সমরূপ। এই উপস্থাপনাটি হাইড্রা উপপাদ্যের প্রমাণের সাথে সম্পর্কিত, যা গ্রাফ-তাত্ত্বিক খেলা হিসাবে অর্ডিনালগুলির ক্রম হ্রাসের প্রতিনিধিত্ব করে। ভেব্লেন শ্রেণিবিন্যাস "এপসাইলন ম্যাপিং"-এর স্থির বিন্দুগুলি একটি স্বাভাবিক ফাংশন গঠন করে, যার স্থির বিন্দুগুলি একটি স্বাভাবিক ফাংশন গঠন করে; এটি ভেব্লেন শ্রেণিবিন্যাস (বেস φ0 (α) = ωα সহ ভেব্লেন ফাংশন) নামে পরিচিত। ভেব্লেন শ্রেণিবিন্যাসের স্বরলিপিতে, এপসাইলন ম্যাপিং হল φ1, এবং এর স্থির বিন্দুগুলি φ2 দ্বারা গণনা করা হয়। এই ধারা অব্যাহত রেখে, ক্রমবর্ধমান বৃহত্তর অর্ডিনাল α-এর জন্য মানচিত্র φα সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে (ট্রান্সফাইনাইট পুনরাবৃত্তির এই বিরল রূপ দ্বারা, সীমাবদ্ধ অর্ডিনাল সহ), ক্রমবর্ধমান বৃহত্তর সর্বনিম্ন স্থির বিন্দু φα + 1 (0) সহ। এই পদ্ধতির দ্বারা 0 থেকে পৌঁছানো যায় না এমন সর্বনিম্ন অর্ডিনাল-i। ই., সর্বনিম্ন অর্ডিনাল α যার জন্য φα (0) = α, বা সমতুল্যভাবে মানচিত্রের প্রথম স্থির বিন্দু-হল ফেফারম্যান-শুট অর্ডিনাল γ0। একটি সেট তত্ত্বে যেখানে এই ধরনের একটি অর্ডিনাল বিদ্যমান বলে প্রমাণিত হতে পারে, সেখানে একটি মানচিত্র রয়েছে যা স্থির বিন্দুগুলি গণনা করে γ0, γ1, γ2,. এর; এগুলি সবই এখনও এপসাইলন সংখ্যা, কারণ এগুলি প্রতিটি β ≤ γ0-এর জন্য φβ-এর ছবিতে রয়েছে, যার মধ্যে রয়েছে মানচিত্র φ1 যা এপসাইলন সংখ্যা গণনা করে। অন নাম্বারস অ্যান্ড গেমস-এ, পরাবাস্তব সংখ্যার উপর ক্লাসিক প্রদর্শনী, জন হর্টন কনওয়ে এমন ধারণাগুলির বেশ কয়েকটি উদাহরণ সরবরাহ করেছিলেন যার অর্ডিনাল থেকে পরাবাস্তব পর্যন্ত প্রাকৃতিক সম্প্রসারণ ছিল। এরকম একটি ফাংশন হল-মানচিত্র; এই মানচিত্রটি স্বাভাবিকভাবেই তার ডোমেনে সমস্ত পরাবাস্তব সংখ্যা অন্তর্ভুক্ত করার জন্য সাধারণীকরণ করে, যা পরাবাস্তব সংখ্যার জন্য ক্যান্টর স্বাভাবিক রূপের একটি প্রাকৃতিক সাধারণীকরণ প্রদান করে। এই সম্প্রসারিত মানচিত্রের যে কোনও নির্দিষ্ট বিন্দুকে এপসাইলন সংখ্যা হিসাবে বিবেচনা করা স্বাভাবিক, এটি কঠোরভাবে একটি ক্রমিক সংখ্যা হোক বা না হোক। নন-অর্ডিনাল এপসাইলন সংখ্যার কিছু উদাহরণ হল এবং প্রতিটি পরাবাস্তব সংখ্যা এন-এর জন্য সংজ্ঞায়িত করার একটি প্রাকৃতিক উপায় রয়েছে এবং মানচিত্রটি ক্রমানুসারে সংরক্ষিত থাকে। কনওয়ে "অপরিবর্তনীয়" পরাবাস্তব সংখ্যার একটি বিস্তৃত শ্রেণীকে সংজ্ঞায়িত করেছেন যা বিশেষভাবে আকর্ষণীয় উপশ্রেণী হিসাবে এপসাইলন সংখ্যাগুলিকে অন্তর্ভুক্ত করে। আরও দেখুন অর্ডিনাল অ্যারিথমেটিক লার্জ কাউন্টেবল অর্ডিনাল রেফারেন্স জে. এইচ। কনওয়ে, অন নাম্বারস অ্যান্ড গেমস (1976) সাধারণ সংখ্যার একাডেমিক প্রেস বিভাগ XIV.20