Admissible representation
গণিতে, গ্রহণযোগ্য উপস্থাপনা হল রিডাক্টিভ লাই গ্রুপ এবং স্থানীয়ভাবে কম্প্যাক্ট সম্পূর্ণরূপে বিচ্ছিন্ন গোষ্ঠীর উপস্থাপনা তত্ত্বে ব্যবহৃত উপস্থাপনাগুলির একটি ভাল আচরণের শ্রেণী। তাদের পরিচয় করিয়ে দিয়েছিলেন হরিশ-চন্দ্র। বাস্তব বা জটিল হ্রাসকারী মিথ্যা গোষ্ঠী ধরা যাক জি একটি সংযুক্ত হ্রাসকারী (বাস্তব বা জটিল) মিথ্যা গোষ্ঠী। K কে একটি সর্বাধিক কম্প্যাক্ট উপগোষ্ঠী হিসাবে ধরা যাক। একটি জটিল হিলবার্ট স্থান V-এ G-এর একটি অবিচ্ছিন্ন উপস্থাপনাকে (π, V) গ্রহণযোগ্য বলা হয় যদি π K-এর মধ্যে সীমাবদ্ধ থাকে এবং K-এর প্রতিটি অপরিবর্তনীয় একক উপস্থাপনা সীমাবদ্ধ বহুগুণের সাথে ঘটে। প্রোটোটাইপিক্যাল উদাহরণ হল জি-এর একটি অপরিবর্তনীয় একক উপস্থাপনা। একটি গ্রহণযোগ্য উপস্থাপনা π একটি-মডিউলকে প্ররোচিত করে যা একটি বীজগাণিতিক বস্তু হওয়ায় মোকাবেলা করা সহজ। দুটি গ্রহণযোগ্য উপস্থাপনাকে অসীমভাবে সমতুল্য বলা হয় যদি তাদের সম্পর্কিত-মডিউলগুলি সমরূপ হয়। যদিও সাধারণ গ্রহণযোগ্য উপস্থাপনার ক্ষেত্রে, এই ধারণাটি স্বাভাবিক সমতুল্যতার থেকে আলাদা, এটি একটি গুরুত্বপূর্ণ ফলাফল যে সমতুল্যতার দুটি ধারণা একক (গ্রহণযোগ্য) উপস্থাপনার জন্য একমত। উপরন্তু,-মডিউলগুলির এককত্বের একটি ধারণা রয়েছে। এটি G-এর অপরিবর্তনীয় একক প্রতিনিধিত্বের সমতুল্য শ্রেণীর অধ্যয়নকে গ্রহণযোগ্য উপস্থাপনার অসীম সমতুল্য শ্রেণীর অধ্যয়নের সাথে হ্রাস করে এবং এই শ্রেণীগুলির মধ্যে কোনটি অসীমভাবে একক তা নির্ধারণ করে। গ্রহণযোগ্য উপস্থাপনার অসীম সমতুল্য শ্রেণীর পরামিতি নির্ধারণের সমস্যাটি রবার্ট ল্যাংল্যান্ডস দ্বারা সম্পূর্ণরূপে সমাধান করা হয়েছিল এবং এটিকে ল্যাংল্যান্ডস শ্রেণীবিভাগ বলা হয়। সম্পূর্ণরূপে বিচ্ছিন্ন গোষ্ঠীগুলি ধরা যাক জি একটি স্থানীয়ভাবে সংহত সম্পূর্ণরূপে বিচ্ছিন্ন গোষ্ঠী (যেমন একটি নন-আর্কিমিডিয়ান স্থানীয় ক্ষেত্রের উপর বা একটি বৈশ্বিক ক্ষেত্রের সীমাবদ্ধ অ্যাডেলের উপর একটি হ্রাসকারী বীজগাণিতিক গোষ্ঠী)। একটি জটিল ভেক্টর স্পেস V-এ G-এর একটি উপস্থাপনাকে (π, V) মসৃণ বলা হয় যদি V-এর কোনও ভেক্টর স্থিরকারী G-এর উপগোষ্ঠী খোলা থাকে। উপরন্তু, যদি কোনও কম্প্যাক্ট ওপেন সাবগ্রুপ দ্বারা স্থির ভেক্টরের স্থান সীমাবদ্ধ মাত্রিক হয় তবে π কে গ্রহণযোগ্য বলা হয়। পি-অ্যাডিক গ্রুপের গ্রহণযোগ্য উপস্থাপনা জি-এর উপর স্থানীয়ভাবে ধ্রুবক ফাংশনের হেক বীজগণিতের ক্রিয়ার মাধ্যমে আরও বীজগাণিতিক বর্ণনা স্বীকার করে। 1970-এর দশকে ক্যাসেলম্যান এবং বার্নস্টাইন এবং জেলেভিনস্কি দ্বারা পি-অ্যাডিক রিডাক্টিভ গ্রুপের গ্রহণযোগ্য উপস্থাপনাগুলির গভীর গবেষণা করা হয়েছিল। আরও সম্প্রতি হাও, ময়, গোপাল প্রসাদ এবং বুশনেল এবং কুটজকো দ্বারা অগ্রগতি করা হয়েছিল, যারা প্রকারের একটি তত্ত্ব তৈরি করেছিলেন এবং গ্রহণযোগ্য দ্বৈতকে শ্রেণীবদ্ধ করেছিলেন। অনেক ক্ষেত্রে অপরিবর্তনীয় গ্রহণযোগ্য উপস্থাপনার সমতুল্য শ্রেণীর সেট)। উল্লেখ রেফারেন্স প্রতিনিধিত্ব তত্ত্বের অষ্টম অধ্যায়