Narrow class group
বীজগাণিতিক সংখ্যা তত্ত্বে, একটি সংখ্যা ক্ষেত্র K-এর সংকীর্ণ শ্রেণী গোষ্ঠী হল K-এর শ্রেণী গোষ্ঠীর একটি পরিমার্জন যা বাস্তব সংখ্যার ক্ষেত্রে K-এর সংযোজন সম্পর্কে কিছু তথ্য বিবেচনা করে। আনুষ্ঠানিক সংজ্ঞা ধরুন, কে হল কিউ-এর একটি সীমাবদ্ধ সম্প্রসারণ। মনে রাখবেন যে K-এর সাধারণ শ্রেণী গোষ্ঠীকে ভাগফল হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় যেখানে IK হল K-এর ভগ্নাংশ আদর্শের গোষ্ঠী, এবং PK হল K-এর প্রধান ভগ্নাংশ আদর্শের উপগোষ্ঠী, অর্থাৎ, aOK ফর্মের আদর্শ যেখানে a হল K-এর একটি উপাদান। সংকীর্ণ শ্রেণী গোষ্ঠীকে ভাগফল হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় যেখানে এখন PK + হল K-এর সম্পূর্ণ ধনাত্মক প্রধান ভগ্নাংশ আদর্শের গোষ্ঠী; অর্থাৎ, aOK ফর্মের আদর্শ যেখানে a হল K-এর একটি উপাদান যাতে σ (a) প্রতিটি এম্বেডিং ব্যবহারের জন্য ধনাত্মক হয় সংকীর্ণ শ্রেণী গোষ্ঠীটি চতুর্ভুজ আকারে পূর্ণসংখ্যা প্রতিনিধিত্ব করার তত্ত্বে বিশিষ্টভাবে বৈশিষ্ট্যযুক্ত। একটি উদাহরণ হল নিম্নলিখিত ফলাফল (ফ্রোলিচ এবং টেলর, পঞ্চম অধ্যায়, উপপাদ্য 1.25)। উপপাদ্য। ধরুন, যেখানে d একটি বর্গ-মুক্ত পূর্ণসংখ্যা, এবং K-এর সংকীর্ণ শ্রেণী গোষ্ঠীটি তুচ্ছ। ধরুন এটি কে-এর পূর্ণসংখ্যার বলয়ের জন্য একটি ভিত্তি। একটি দ্বিঘাত রূপ নির্ধারণ করুন, যেখানে এনকে/কিউ আদর্শ। তারপর একটি মৌলিক সংখ্যা p কিছু পূর্ণসংখ্যা x এবং y-এর জন্য গঠন করা হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি অথবা অথবা যেখানে dK হল K-এর বৈষম্যকারী, এবং কিংবদন্তি প্রতীককে নির্দেশ করে। উদাহরণস্বরূপ, কেউ প্রমাণ করতে পারে যে চতুর্ভুজ ক্ষেত্রগুলি Q (), Q (), Q () সবগুলিরই তুচ্ছ সংকীর্ণ শ্রেণী গোষ্ঠী রয়েছে। তারপর, এই ক্ষেত্রগুলির প্রত্যেকটির পূর্ণসংখ্যার জন্য উপযুক্ত ভিত্তি নির্বাচন করে, উপরের উপপাদ্যটি নিম্নলিখিত বিষয়টিকে বোঝায়ঃ একটি মৌলিক p হল p = x2 + y এবং 2 পূর্ণসংখ্যার জন্য x এবং y, যদি এবং শুধুমাত্র যদি (এটি দুটি বর্গের যোগফলের উপর ফার্মাটের উপপাদ্য হিসাবে পরিচিত)। পূর্ণসংখ্যা x এবং y-এর জন্য একটি মৌলিক p হল p = x2 − 2y এবং হেয়ারস্প; 2, যদি এবং শুধুমাত্র যদি A মৌলিক p পূর্ণসংখ্যা x এবং y-এর জন্য p = x2 − xy + y এবং হেয়ারস্প; 2, যদি এবং শুধুমাত্র যদি (cf। আইজেনস্টাইন মৌলিক সংখ্যা) একটি উদাহরণ যা সংকীর্ণ শ্রেণী গোষ্ঠী এবং সাধারণ শ্রেণী গোষ্ঠীর মধ্যে পার্থক্যকে চিত্রিত করে তা হল Q ()। এর ক্ষুদ্র শ্রেণী গোষ্ঠী রয়েছে, তবে এর সংকীর্ণ শ্রেণী গোষ্ঠীর ক্রম 2 রয়েছে। যেহেতু শ্রেণীগোষ্ঠীটি তুচ্ছ, তাই নিম্নলিখিত বিবৃতিটি সত্যঃ একটি মৌলিক p বা তার বিপরীত − p পূর্ণসংখ্যা x এবং y-এর জন্য ±p = x2 − 6y & হেয়ারএসপি; 2 আকারে হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি। যে বিবৃতিটি ধনাত্মক p-কে শ্রেণীবদ্ধ করেঃ x এবং y পূর্ণসংখ্যার জন্য একটি মৌলিক p হল p = x2−6y এবং হেয়ারএসপি; 2 আকারে হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি p = 3 বা (যেখানে প্রথম বিবৃতিটি মৌলিক সংখ্যার অনুমতি দেয়, দ্বিতীয়টি শুধুমাত্র মৌলিক সংখ্যার অনুমতি দেয়।) আরও দেখুন ক্লাস গ্রুপ চতুর্ভুজ ফর্ম রেফারেন্স এ. ফ্রোলিচ এবং এম. জে. টেলর, বীজগাণিতিক সংখ্যা তত্ত্ব (পৃ. 180), কেমব্রিজ ইউনিভার্সিটি প্রেস, 1991। বীজগাণিতিক সংখ্যা তত্ত্ব