Kulkarni–Nomizu product
ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতির গাণিতিক ক্ষেত্রে, কুলকার্নি-নোমিজু গুণফল (রবীন্দ্র শ্রীপদ কুলকার্নি এবং কাতসুমি নোমিজুর নামে নামকরণ করা হয়েছে) দুটি-টেনসরের জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয় এবং ফলস্বরূপ একটি-টেনসর দেয়। সংজ্ঞা যদি h এবং k প্রতিসম-টেনসর হয়, তবে গুণফলটি এর মাধ্যমে সংজ্ঞায়িত করা হয়ঃ যেখানে Xj স্পর্শক ভেক্টর এবং ম্যাট্রিক্স নির্ধারক। লক্ষ্য করুন যে, এটি দ্বিতীয় অভিব্যক্তি থেকে স্পষ্ট। স্পর্শক স্থানের একটি ভিত্তির ক্ষেত্রে, এটি সংহত রূপ নেয় যেখানে মোট প্রতিসাম্য প্রতীককে বোঝায়। কুলকার্নি-নোমিজু গুণফল শ্রেণীবদ্ধ বীজগণিতে গুণফলের একটি বিশেষ উদাহরণ যেখানে, সহজ উপাদানগুলির উপর, (প্রতিসম গুণফলকে বোঝায়)। এক জোড়া প্রতিসম টেনসরের কুলকার্নি-নোমিজু গুণফলের রিম্যান টেনসরের বীজগাণিতিক প্রতিসাম্য রয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, স্পেস ফর্মগুলিতে (অর্থাৎ। ধ্রুবক বিভাগীয় বক্রতার স্থান) এবং দ্বি-মাত্রিক মসৃণ রিমানিয়ান ম্যানিফোল্ড, রিমান বক্রতা টেনসরের নিজের সাথে মেট্রিকের কুলকার্নি-নোমিজু গুণফলের পরিপ্রেক্ষিতে একটি সহজ অভিব্যক্তি রয়েছে; যথা, যদি আমরা-বক্রতা টেনসর এবং রিমান বক্রতা টেনসর দ্বারা চিহ্নিত করি, তবে স্কেলার বক্রতা কোথায় এবং রিচি টেনসর, যা উপাদানগুলিতে পড়ে। উপরের থেকে সংজ্ঞাটি ব্যবহার করে কুলকার্নি-নোমিজু পণ্যটি প্রসারিত করে, একজন এটি পায় এটি রিমান বক্রতা টেনসরের নিবন্ধে বর্ণিত একই অভিব্যক্তি। এই কারণেই, এটি সাধারণত রিচি বক্রতা (বা বরং, স্কাউটেন টেনসর) এবং ওয়েল টেনসরের অবদানকে একটি রিম্যানিয়ান ম্যানিফোল্ডের বক্রতায় প্রকাশ করতে ব্যবহৃত হয়। এই তথাকথিত রিচি পচন ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতিতে কার্যকর। যখন একটি মেট্রিক টেনসর g থাকে, তখন নিজের সাথে g-এর কুলকার্নি-নোমিজু গুণফল হল 2-ফর্মের স্থানের আইডেন্টিটি এন্ডোমর্ফিজম, ω2 (M), এন্ডোমর্ফিজম রিং এন্ড (ω2 (M)) এর সনাক্তকরণের অধীনে (মেট্রিক ব্যবহার করে) টেনসর গুণফল ω2 (M) ω2 (M) এর সাথে। একটি রিম্যানিয়ান ম্যানিফোল্ডের ধ্রুবক বিভাগীয় বক্রতা k থাকে যদি এবং শুধুমাত্র যদি রিম্যান টেনসরের রূপ থাকে যেখানে g হল মেট্রিক টেনসর। উল্লেখগুলি উল্লেখ করুন। ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতি টেনসর