Chiral knot
গিঁট তত্ত্বের গাণিতিক ক্ষেত্রে, কাইরাল গিঁট হল এমন একটি গিঁট যা তার আয়নার চিত্রের সমতুল্য নয় (বিপরীত অবস্থায় অভিন্ন হলে)। একটি ওরিয়েন্টেড গিঁট যা তার আয়নার চিত্রের সমতুল্য একটি অ্যাম্ফিচেয়ারাল গিঁট, যাকে আকিরাল গিঁটও বলা হয়। একটি গিঁটের কাইরালিটি অপরিবর্তনীয়। একটি গিঁটের কাইরালিটি বিপরীতমুখী কিনা তার উপর নির্ভর করে আরও শ্রেণীবদ্ধ করা যেতে পারে। গাঁটের প্রতিসাম্যের মাত্র পাঁচটি প্রকার রয়েছে, যা কাইরালিটি এবং ইনভার্টিবিলিটি দ্বারা নির্দেশিত হয়ঃ সম্পূর্ণ কাইরাল, ইনভার্টিবল, পজিটিভ অ্যাম্ফিচেয়ারাল ননইনভার্টিবল, নেগেটিভ অ্যাম্ফিচেয়ারাল ননইনভার্টিবল এবং সম্পূর্ণ অ্যাম্ফিচেয়ারাল ইনভার্টিবল। পটভূমি নির্দিষ্ট গাঁটের সম্ভাব্য কাইরালিটি 1847 সাল থেকে সন্দেহ করা হয়েছিল যখন জোহান লিস্টিং দাবি করেছিলেন যে ট্রেফয়েলটি কাইরাল ছিল এবং এটি 1914 সালে ম্যাক্স ডেন দ্বারা প্রমাণিত হয়েছিল। পি. জি. টেইট 10টি ক্রসিং পর্যন্ত সমস্ত অ্যাম্ফিচেয়ারাল নট খুঁজে পান এবং অনুমান করেন যে সমস্ত অ্যাম্ফিচেয়ারাল নটের ক্রসিং নম্বর জোড় থাকে। মেরি গারট্রুড হাসম্যান 1910-এর দশকের শেষের দিকে সমস্ত 12-ক্রসিং এবং অনেক 14-ক্রসিং অ্যাম্ফিচেয়ারাল নট খুঁজে পেয়েছিলেন। কিন্তু টেইটের অনুমানের একটি বিপরীত উদাহরণ, একটি 15-ক্রসিং অ্যাম্ফিচেয়ারাল গিঁট, 1998 সালে জিম হোস্ট, মরওয়েন থিসলথওয়েট এবং জেফ উইকস দ্বারা আবিষ্কৃত হয়েছিল। যাইহোক, টাইটের অনুমান মৌলিক, বিকল্প গাঁটের ক্ষেত্রে সত্য প্রমাণিত হয়েছিল। সবচেয়ে সহজ কাইরাল গিঁট হল ট্রেফয়েল গিঁট, যা ম্যাক্স ডেন দ্বারা কাইরাল হিসাবে দেখানো হয়েছিল। সমস্ত নন-ট্রিভিয়াল টরাস নট কাইরাল হয়। আলেকজান্ডার পলিনোমিয়াল একটি গিঁটকে তার মিরর ইমেজ থেকে আলাদা করতে পারে না, তবে জোন্স পলিনোমিয়াল কিছু ক্ষেত্রে করতে পারে; যদি Vk (q)  ঒ত্ত Vk (q−1) হয়, তবে গিঁটটি কাইরাল হয়, তবে বিপরীতটি সত্য নয়। এইচ. ও. এম. এফ. এল. ওয়াই বহুপদী কাইরালিটি সনাক্ত করতে আরও ভাল, তবে এমন কোনও পরিচিত বহুপদী গিঁট অপরিবর্তনীয় নেই যা কাইরালিটি সম্পূর্ণরূপে সনাক্ত করতে পারে। ইনভার্টিবল গিঁট একটি কাইরাল গিঁট যা বিপরীত অভিমুখের সাথে মসৃণভাবে বিকৃত হতে পারে তাকে ইনভার্টিবল গিঁট হিসাবে শ্রেণীবদ্ধ করা হয়। উদাহরণের মধ্যে রয়েছে ট্রেফয়েল গিঁট। সম্পূর্ণ কাইরাল গিঁট যদি একটি গিঁট তার বিপরীত বা আয়না চিত্রের সমতুল্য না হয়, তবে এটি একটি সম্পূর্ণ কাইরাল গিঁট, উদাহরণস্বরূপ 9 32 গিঁট। অ্যাম্ফিচেয়ারাল গিঁট একটি অ্যাম্ফিচেয়ারাল গিঁট যার 3-গোলকের একটি অভিযোজন-বিপরীত স্ব-সমরূপতা রয়েছে, α, গিঁট সেট-ভিত্তিক স্থির করে। সমস্ত অ্যাম্ফিচেয়ারাল অল্টারনেটিং নটের জোড় ক্রসিং নম্বর থাকে। বিজোড় ক্রসিং নম্বর সহ প্রথম অ্যাম্ফিচেয়ারাল গিঁটটি হোস্ট এট আল দ্বারা আবিষ্কৃত একটি 15-ক্রসিং গিঁট। সম্পূর্ণরূপে অ্যাম্ফিচেয়ারাল যদি একটি গিঁট তার বিপরীত এবং আয়না চিত্র উভয়ের সমস্থানিক হয়, তবে এটি সম্পূর্ণরূপে অ্যাম্ফিচেয়ারাল। এই বৈশিষ্ট্যের সাথে সবচেয়ে সহজ গিঁটটি হল আট অঙ্কের গিঁট। পজিটিভ অ্যাম্ফিচেয়ারাল যদি স্ব-সমরূপতা, α, গিঁটের অভিমুখ বজায় রাখে, তবে এটিকে পজিটিভ অ্যাম্ফিচেয়ারাল বলা হয়। এটি আয়নার সমস্থানিক হওয়ার সমতুল্য। বারোটির চেয়ে ছোট ক্রসিং নম্বর সহ কোনও নট ধনাত্মক অ্যাম্ফিচেয়ারাল এবং অ-বিপরীতমুখী নয়। নেতিবাচক অ্যাম্ফিচেয়ারাল যদি স্ব-সমরূপতা, α, গিঁটের অভিমুখকে বিপরীত করে, তবে এটিকে নেতিবাচক অ্যাম্ফিচেয়ারাল বলা হয়। এটি গিঁটটির আয়না চিত্রের বিপরীত দিকের সমস্থানিক হওয়ার সমতুল্য। সবচেয়ে কম ক্রসিং রয়েছে এমন এই সম্পত্তির সাথে অ-পরিবর্তনযোগ্য গিঁটটি হল গিঁট 817। তথ্যসূত্র