Ehresmann connection
ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতিতে, একটি এহরেসম্যান সংযোগ (ফরাসি গণিতবিদ চার্লস এহরেসম্যানের পরে যিনি এই ধারণাটি প্রথম আনুষ্ঠানিক করেছিলেন) একটি সংযোগের ধারণার একটি সংস্করণ, যা যে কোনও মসৃণ ফাইবার বান্ডেলে অর্থবোধ করে। বিশেষত, এটি অন্তর্নিহিত ফাইবার বান্ডিলের সম্ভাব্য ভেক্টর বান্ডিল কাঠামোর উপর নির্ভর করে না, তবে তা সত্ত্বেও, রৈখিক সংযোগগুলিকে একটি বিশেষ ক্ষেত্রে দেখা যেতে পারে। এহরেসম্যান সংযোগের আরেকটি গুরুত্বপূর্ণ বিশেষ ক্ষেত্রে হল প্রধান বান্ডিলগুলির প্রধান সংযোগ, যা প্রধান লাই গ্রুপ ক্রিয়ায় সমতুল্য হতে হবে। পরিচিতি ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতিতে একটি কোভ্যারিয়েন্ট ডেরিভেটিভ হল একটি রৈখিক ডিফারেনশিয়াল অপারেটর যা একটি ভেক্টর বান্ডিলের একটি অংশের দিকনির্দেশক ডেরিভেটিভকে কোভ্যারিয়েন্ট পদ্ধতিতে গ্রহণ করে। এটি একটি ভেক্টরের দিকে একটি বান্ডিলের সমান্তরাল অংশের ধারণা তৈরি করার অনুমতি দেয়ঃ একটি বিভাগ s একটি ভেক্টর X বরাবর সমান্তরাল হয় যদি। সুতরাং একটি কোভ্যারিয়েন্ট ডেরিভেটিভ কমপক্ষে দুটি জিনিস সরবরাহ করেঃ একটি ডিফারেনশিয়াল অপারেটর, এবং প্রতিটি দিকে সমান্তরাল হওয়ার অর্থ কী তার একটি ধারণা। একটি এহরেসম্যান সংযোগ ডিফারেনশিয়াল অপারেটরকে সম্পূর্ণরূপে বাদ দেয় এবং প্রতিটি দিকের সমান্তরাল বিভাগের পরিপ্রেক্ষিতে একটি সংযোগকে স্বতঃসিদ্ধভাবে সংজ্ঞায়িত করে। বিশেষত, একটি এহরেসম্যান সংযোগ প্রতিটি স্পর্শক স্থানের একটি ভেক্টর সাবস্পেসকে ফাইবার বান্ডেলের মোট স্থানের সাথে পৃথক করে, যাকে অনুভূমিক স্থান বলা হয়। একটি বিভাগ s তখন X-এর দিকে অনুভূমিক (অর্থাৎ সমান্তরাল) হয় যদি একটি অনুভূমিক স্থানে থাকে। এখানে আমরা s কে বেস M থেকে ফাইবার বান্ডিল E পর্যন্ত একটি ফাংশন হিসাবে বিবেচনা করছি, তাই এটি স্পর্শক ভেক্টরের ধাক্কা। অনুভূমিক স্থানগুলি একসঙ্গে একটি ভেক্টর সাববুন্ডল গঠন করে। এটি নিছক ভেক্টর বান্ডিলের চেয়ে অনেক বিস্তৃত শ্রেণীর কাঠামোর উপর সংজ্ঞায়িত হওয়ার তাৎক্ষণিক সুবিধা রয়েছে। বিশেষ করে, এটি একটি সাধারণ ফাইবার বান্ডেলে ভালভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। উপরন্তু, কোভ্যারিয়েন্ট ডেরিভেটিভের অনেক বৈশিষ্ট্য এখনও রয়ে গেছেঃ সমান্তরাল পরিবহন, বক্রতা এবং হোলোনমি। রৈখিকতা ছাড়াও সংযোগের অনুপস্থিত উপাদান হল সহপরিবর্তন। ধ্রুপদী কোভ্যারিয়েন্ট ডেরিভেটিভের সাথে, কোভ্যারিয়েন্স ডেরিভেটিভের একটি পোস্টেরিওরি বৈশিষ্ট্য। তাদের নির্মাণে একজন ক্রিস্টোফেল প্রতীকগুলির রূপান্তর আইন নির্দিষ্ট করে-যা কোভ্যারিয়েন্ট নয়-এবং তারপরে ফলস্বরূপ ডেরিভেটিভের সাধারণ কোভ্যারিয়েন্স অনুসরণ করে। একটি এহরেসম্যান সংযোগের জন্য, ফাইবার বান্ডিলের তন্তুগুলির উপর কাজ করা একটি লাই গ্রুপ প্রবর্তন করে শুরু থেকেই একটি সাধারণীকৃত কোভ্যারিয়েন্স নীতি আরোপ করা সম্ভব। উপযুক্ত শর্তটি হ 'ল অনুভূমিক স্থানগুলি একটি নির্দিষ্ট অর্থে গোষ্ঠী ক্রিয়ার ক্ষেত্রে সমতুল্য হওয়া প্রয়োজন। একটি এহরেসম্যান সংযোগের জন্য সমাপ্তি স্পর্শ হল যে এটি একটি ডিফারেনশিয়াল ফর্ম হিসাবে প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে, অনেকটা একটি সংযোগ ফর্মের ক্ষেত্রে একইভাবে। যদি গ্রুপটি তন্তুগুলির উপর কাজ করে এবং সংযোগটি সমতুল্য হয়, তবে ফর্মটিও সমতুল্য হবে। উপরন্তু, সংযোগ ফর্মটি একটি বক্রতা ফর্ম হিসাবে বক্রতার সংজ্ঞা দেওয়ার অনুমতি দেয়। আনুষ্ঠানিক সংজ্ঞা একটি মসৃণ ফাইবারের বান্ডিল হতে দিন। ধরা যাক উল্লম্ব বান্ডিলটি ই এর "তন্তুগুলির স্পর্শক" ভেক্টরগুলির সমন্বয়ে গঠিত, অর্থাৎ। ভি-এর ফাইবার হল। এই সাববুন্ডলটি ক্যানোনিকালভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় এমনকি যখন বেস স্পেস এম-এর কোনও ক্যানোনিকাল সাবস্পেস স্পর্শক থাকে না। (অবশ্যই, এই অসমতা একটি ফাইবার বান্ডেলের সংজ্ঞা থেকে আসে, যার "শুধুমাত্র একটি অভিক্ষেপ থাকে" এবং একটি পণ্যের দুটি থাকে।) অনুভূমিক সাবস্পেসের মাধ্যমে সংজ্ঞা E-এর উপর একটি এহরেসম্যান সংযোগ হল একটি মসৃণ সাববুন্ডল H, যাকে সংযোগের অনুভূমিক বান্ডিল বলা হয়, যা V-এর পরিপূরক, এই অর্থে যে এটি একটি সরাসরি সমষ্টি পচনকে সংজ্ঞায়িত করে। আরও বিস্তারিতভাবে, অনুভূমিক বান্ডিলটির নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্য রয়েছে। প্রতিটি বিন্দুর জন্য, ই-তে স্পর্শক স্থানের একটি ভেক্টর সাবস্পেস, যাকে সংযোগের অনুভূমিক সাবস্পেস বলা হয়। টিই-তে যে কোনও স্পর্শক ভেক্টর (যে কোনও ই-এর জন্য) একটি অনুভূমিক এবং উল্লম্ব উপাদানের যোগফল, যাতে টিই = হে + ভি। আরও পরিশীলিত ভাষায়, এই বৈশিষ্ট্যগুলিকে সন্তুষ্ট করে এমন অনুভূমিক স্থানগুলির একটি বরাদ্দ জেট বান্ডিল J1E → E-এর একটি মসৃণ অংশের সাথে সুনির্দিষ্টভাবে মিলে যায়। একটি সংযোগ ফর্মের মাধ্যমে সংজ্ঞা সমতুল্যভাবে, H বরাবর উল্লম্ব বান্ডিল V-এর উপর অভিক্ষেপ হতে দিন (যাতে H = ker)। এটি টিই-এর অনুভূমিক এবং উল্লম্ব অংশে উপরের সরাসরি সমষ্টি পচন দ্বারা নির্ধারিত হয় এবং কখনও কখনও এটিকে এহরেসম্যান সংযোগের সংযোগ রূপ বলা হয়। এইভাবে টিই থেকে নিজের মধ্যে একটি ভেক্টর বান্ডিল সমরূপতা রয়েছে যার নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্যগুলি রয়েছে (সাধারণভাবে অনুমানের): 2 =; হল ভি = আইএম-এর পরিচয়। বিপরীতভাবে, যদি টিই-এর একটি ভেক্টর বান্ডিল এন্ডোমর্ফিজম এই দুটি বৈশিষ্ট্যকে সন্তুষ্ট করে, তবে এইচ = কের একটি এহরেসম্যান সংযোগের অনুভূমিক সাববুন্ডল। পরিশেষে, মনে রাখবেন যে, প্রতিটি স্পর্শক স্থানের একটি রৈখিক ম্যাপিং হওয়ার কারণে, ই-তে টিই-মূল্যবান 1-ফর্ম হিসাবেও বিবেচিত হতে পারে। এটি আগামী বিভাগগুলিতে একটি দরকারী দৃষ্টিকোণ হবে। অনুভূমিক উত্তোলনের মাধ্যমে সমান্তরাল পরিবহন একটি এহরেসম্যান সংযোগ বেস ম্যানিফোল্ড এম থেকে ফাইবার বান্ডিল ই-এর মোট স্থানে বক্ররেখা উত্তোলনের একটি পদ্ধতিও নির্ধারণ করে যাতে বক্ররেখার স্পর্শকগুলি অনুভূমিক হয়। এই অনুভূমিক উত্তোলনগুলি সংযোগের আনুষ্ঠানিকতার অন্যান্য সংস্করণের জন্য সমান্তরাল পরিবহনের একটি সরাসরি অনুরূপ। বিশেষ করে, ধরুন যে x = γ (0) বিন্দুর মধ্য দিয়ে M-এ γ (t) একটি মসৃণ বক্ররেখা। ধরা যাক x-এর উপর ফাইবারের একটি বিন্দু হল e bul Ex। γ থেকে e-এর একটি উত্তোলন হল মোট স্থান E-এর একটি বক্ররেখা যাতে, এবং একটি উত্তোলন অনুভূমিক হয় যদি, উপরন্তু, বক্ররেখার প্রতিটি স্পর্শক টিই-এর অনুভূমিক সাববুন্ডলে থাকেঃ এটি π-তে প্রয়োগ করা র্যাঙ্ক-নালিটি উপপাদ্য ব্যবহার করে দেখানো যেতে পারে এবং প্রতিটি ভেক্টর X ω TxM-এর একটি ভেক্টরের জন্য একটি অনন্য অনুভূমিক উত্তোলন থাকে। বিশেষত, γ-এর স্পর্শক ক্ষেত্রটি পুলব্যাক বান্ডিল γ * E-এর মোট স্থানে একটি অনুভূমিক ভেক্টর ক্ষেত্র তৈরি করে। পিকার্ড-লিন্ডেলফ উপপাদ্য অনুসারে, এই ভেক্টর ক্ষেত্রটি অবিচ্ছেদ্য। সুতরাং, x = γ (0)-এর উপর যে কোনও বক্ররেখা γ এবং বিন্দু e-এর জন্য, ছোট সময় t-এর জন্য γ থেকে e-এর একটি অনন্য অনুভূমিক উত্তোলন বিদ্যমান। লক্ষ্য করুন যে, সাধারণ এহরেসম্যান সংযোগের জন্য অনুভূমিক উত্তোলন পথ-নির্ভর। যখন M-এ দুটি মসৃণ বক্ররেখা, γ1 (0) = γ2 (0) = x0-এ মিলিত হয় এবং অন্য একটি বিন্দু x1 ωM-এ ছেদ করে, একই e ωπ−1 (x0)-এর মধ্য দিয়ে অনুভূমিকভাবে E-এর দিকে উত্তোলন করা হয়, তখন তারা সাধারণত π−1 (x1)-এর বিভিন্ন বিন্দুর মধ্য দিয়ে যায়। ফাইবার বান্ডিলগুলির ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতির জন্য এর গুরুত্বপূর্ণ পরিণতি রয়েছেঃ H-এর বিভাগগুলির স্থান E-এর ভেক্টর ক্ষেত্রগুলির স্থানের একটি লাই সাবঅ্যালজেব্রা নয়, কারণ এটি (সাধারণভাবে) ভেক্টর ক্ষেত্রগুলির লাই বন্ধনীর অধীনে বন্ধ থাকে না। লাই বন্ধনীর অধীনে বন্ধের এই ব্যর্থতা বক্রতা দ্বারা পরিমাপ করা হয়। বৈশিষ্ট্য বক্রতা একটি এহরেসম্যান সংযোগ হতে দিন। তারপর এর বক্রতা দেওয়া হয় যেখানে [-,-] নিজেই ω1 (ই, টিই) এর ফ্রলিচার-নিজেনহুইস বন্ধনীকে বোঝায়। এইভাবে, ই-তে টিই-তে মান সহ R ω ω2 (ই, টিই) হল দুটি রূপ, অথবা, অন্য অর্থে, যেখানে এক্স = এক্সএইচ + এক্সভি যথাক্রমে এইচ এবং ভি উপাদানগুলিতে সরাসরি সমষ্টি পচনকে বোঝায়। বক্রতার জন্য এই শেষ অভিব্যক্তি থেকে, এটি একইভাবে অদৃশ্য হতে দেখা যায় যদি, এবং শুধুমাত্র যদি, অনুভূমিক সাববুন্ডলটি ফ্রোবেনিয়াস ইন্টিগ্রেবল হয়। এইভাবে বক্রতা হল অনুভূমিক সাববন্ডলের জন্য ফাইবার বান্ডিল E → M-এর আড়াআড়ি অংশগুলি উৎপাদনের জন্য সমন্বয়ের শর্ত। একটি এহরেসম্যান সংযোগের বক্রতাও বিয়ানচি পরিচয়ের একটি সংস্করণকে সন্তুষ্ট করেঃ যেখানে আবার [-,-] হল ফ্রলিচার-নিজেনহুইস বন্ধনী ω1 (E, TE) এবং R ω2 (E, TE)। সম্পূর্ণতা একটি এহরেসম্যান সংযোগ বক্ররেখার স্থানীয়ভাবে অনন্য অনুভূমিক উত্তোলন করার অনুমতি দেয়। একটি সম্পূর্ণ এহরেসম্যান সংযোগের জন্য, একটি বক্ররেখা তার সমগ্র ডোমেনের উপর অনুভূমিকভাবে উত্তোলন করা যেতে পারে। হোলোনমি সংযোগের সমতলতা স্থানীয়ভাবে অনুভূমিক স্থানগুলির ফ্রোবেনিয়াস ইন্টিগ্রেবিলিটির সাথে মিলে যায়। অন্য চরম পর্যায়ে, অ-বিলুপ্ত বক্রতা সংযোগের হোলোনমির উপস্থিতি বোঝায়। বিশেষ ক্ষেত্রে প্রধান বান্ডিল এবং প্রধান সংযোগগুলি মনে করুন যে E হল M-এর উপর একটি মসৃণ প্রধান G-বান্ডিল। তারপর E-এর উপর একটি এহরেসম্যান সংযোগ H-কে একটি প্রধান (এহরেসম্যান) সংযোগ বলা হয় যদি এটি E-এর উপর G ক্রিয়ার সাপেক্ষে অপরিবর্তনীয় হয় এই অর্থে যে যে কোনও e ω E এবং g ω G-এর জন্য; এখানে E-এর উপর g-এর সঠিক ক্রিয়ার পার্থক্যকে বোঝায়। G-এর এক-পরামিতি উপগোষ্ঠীগুলি E-এর উপর উল্লম্বভাবে কাজ করে। এই ক্রিয়ার পার্থক্যটি মানচিত্র দ্বারা গ্রুপ G-এর লাই বীজগণিত g-এর সাথে সাবস্পেসকে সনাক্ত করার অনুমতি দেয়। এহরেসম্যান সংযোগের সংযোগ রূপটি তখন ω (X) = ι (X) দ্বারা সংজ্ঞায়িত g-এর মান সহ E-তে 1-ফর্ম ω হিসাবে দেখা যেতে পারে। এইভাবে পুনরায় ব্যাখ্যা করা হয়, সংযোগ ফর্ম ω নিম্নলিখিত দুটি বৈশিষ্ট্যকে সন্তুষ্ট করেঃ এটি G ক্রিয়ার অধীনে সমতুল্যভাবে রূপান্তরিত হয়ঃ সমস্ত h ωG-এর জন্য, যেখানে Rh * হল সঠিক ক্রিয়ার অধীনে পুলব্যাক এবং AD হল তার লাই বীজগণিতে G-এর সংলগ্ন উপস্থাপনা। এটি উল্লম্ব ভেক্টর ক্ষেত্রগুলিকে লাই বীজগণিতে তাদের সম্পর্কিত উপাদানগুলির সাথে ম্যাপ করেঃ ω (X) = ι (X) সমস্ত X ωV-এর জন্য। বিপরীতভাবে, এটি দেখানো যেতে পারে যে একটি প্রধান বান্ডিলের উপর এই ধরনের জি-মানযুক্ত 1-ফর্ম একটি অনুভূমিক বন্টন তৈরি করে যা পূর্বোক্ত বৈশিষ্ট্যগুলিকে সন্তুষ্ট করে। একটি স্থানীয় তুচ্ছকরণের পরিপ্রেক্ষিতে ω কে অনুভূমিক ভেক্টর ক্ষেত্রে হ্রাস করা যেতে পারে (এই তুচ্ছকরণে)। এটি পুলব্যাকের মাধ্যমে এম-এর উপর একটি 1-ফর্ম ω 'সংজ্ঞায়িত করে। ফর্ম ω সম্পূর্ণরূপে ω নির্ধারণ করে, তবে এটি তুচ্ছকরণের পছন্দের উপর নির্ভর করে। (এই ফর্মটিকে প্রায়শই সংযোগ ফর্মও বলা হয় এবং কেবল ω দ্বারা চিহ্নিত করা হয়।) ভেক্টর বান্ডিল এবং কোভ্যারিয়েন্ট ডেরিভেটিভস ধরুন E হল M-এর উপর একটি মসৃণ ভেক্টর বান্ডিল। তারপর E-এর উপর একটি এহরেসম্যান সংযোগ H-কে একটি রৈখিক (এহরেসম্যান) সংযোগ বলা হয় যদি তিনি প্রতিটি x ω M-এর জন্য e ω Ex-এর উপর রৈখিকভাবে নির্ভর করেন। এটি সুনির্দিষ্ট করার জন্য, Sλ-কে E-এর উপর ω দ্বারা স্কেলার গুণকে বোঝানো যাক। তারপর H রৈখিক হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি কোনও e ω E এবং স্কেলার λ-এর জন্য হয়। যেহেতু E একটি ভেক্টর বান্ডিল, তাই এর উল্লম্ব বান্ডিল V হল π * E-এর সমরূপ। অতএব, যদি s হল E-এর একটি অংশ, তাহলে (ds): TM → s * V = s * π * E = E। এটি একটি ভেক্টর বান্ডিল মরফিজম, এবং তাই ভেক্টর বান্ডিল হোম (টিএম, ই)-এর একটি বিভাগ দ্বারা দেওয়া হয়। এহরেসম্যান সংযোগটি যে রৈখিক তা বোঝায় যে অতিরিক্তভাবে এটি লাইবনিজ নিয়মের প্রতিটি ফাংশনের জন্য যাচাই করে, অর্থাৎ। এবং তাই এটি s-এর একটি কোভ্যারিয়েন্ট ডেরিভেটিভ। বিপরীতভাবে একটি ভেক্টর বান্ডিলের উপর একটি কোভ্যারিয়েন্ট ডেরিভেটিভ একটি রৈখিক এহরেসম্যান সংযোগকে সংজ্ঞায়িত করে H সংজ্ঞায়িত করে, x = π (e) সহ e ω E-এর জন্য, চিত্র dsx (TxM) যেখানে s হল E-এর একটি অংশ যেখানে s (x) = e এবং সমস্ত X ω TxM-এর জন্য ρXs = 0। লক্ষ্য করুন যে (ঐতিহাসিক কারণে) সংযোগের ক্ষেত্রে রৈখিক শব্দটি প্রয়োগ করা হলে, কখনও কখনও স্পর্শক বান্ডিল বা ফ্রেম বান্ডিলের উপর সংজ্ঞায়িত সংযোগগুলিকে বোঝাতে ব্যবহৃত হয় (যেমন অ্যাফিন শব্দটি-অ্যাফিন সংযোগ দেখুন)। একটি ফাইবার বান্ডেলে একটি এহরেসম্যান সংযোগ (একটি স্ট্রাকচার গ্রুপের সাথে সম্পন্ন) কখনও কখনও একটি সম্পর্কিত বান্ডেলে একটি এহরেসম্যান সংযোগের জন্ম দেয়। উদাহরণস্বরূপ, একটি ভেক্টর বান্ডিল E-তে একটি (রৈখিক) সংযোগ, যা উপরে E-এর সমান্তরালতা দেওয়ার কথা ভাবা হয়, E-এর ফ্রেম PE-এর সম্পর্কিত বান্ডিলের উপর একটি সংযোগ প্ররোচিত করে। বিপরীতভাবে, PE-তে একটি সংযোগ E-তে একটি (রৈখিক) সংযোগের জন্ম দেয় তবে শর্ত থাকে যে PE-তে সংযোগটি ফ্রেমে সাধারণ রৈখিক গোষ্ঠীর ক্রিয়ার (এবং এইভাবে একটি প্রধান সংযোগ) সাপেক্ষে সমতুল্য। একটি এহরেসম্যান সংযোগের জন্য একটি প্রাকৃতিক উপায়ে, একটি সম্পর্কিত বান্ডিলের উপর একটি সংযোগ প্ররোচিত করা সবসময় সম্ভব নয়। উদাহরণস্বরূপ, একটি ভেক্টর বান্ডিলের ফ্রেমগুলির একটি বান্ডিলের উপর একটি অ-সমতুল্য এহরেসম্যান সংযোগ ভেক্টর বান্ডিলের উপর একটি সংযোগকে প্ররোচিত করতে পারে না। মনে করুন যে E হল P-এর একটি সংশ্লিষ্ট বান্ডিল, যাতে E = P × GF. E-এর উপর একটি G-সংযোগ একটি এহরেসম্যান সংযোগ যাতে সমান্তরাল পরিবহন মানচিত্র τ: Fx → Fx′ তন্তুগুলির একটি G-রূপান্তর দ্বারা দেওয়া হয় (M-এর যথেষ্ট কাছাকাছি বিন্দু x এবং x′ একটি বক্ররেখা দ্বারা যুক্ত)। পি-তে একটি প্রধান সংযোগ দেওয়া হলে, পুলব্যাকের মাধ্যমে সংশ্লিষ্ট ফাইবার বান্ডিল ই = পি × জি এফ-এ একটি জি-সংযোগ পাওয়া যায়। বিপরীতভাবে, E-এর উপর একটি G-সংযোগ দেওয়া হলে সংশ্লিষ্ট প্রধান বান্ডিল P-এর উপর প্রধান সংযোগ পুনরুদ্ধার করা সম্ভব। এই প্রধান সংযোগটি পুনরুদ্ধারের জন্য, সাধারণ ফাইবার F-এর উপর একটি ফ্রেমের ধারণা প্রবর্তন করা হয়। যেহেতু G একটি সীমাবদ্ধ-মাত্রিক লাই গ্রুপ যা F-এর উপর কার্যকরভাবে কাজ করে, তাই F-এর মধ্যে পয়েন্টগুলির (y1,., ym) একটি সীমাবদ্ধ বিন্যাস থাকতে হবে যাতে G-অরবিট R = {(gy1,, gym)। g ω G} হল G-এর একটি প্রধান সমজাতীয় স্থান। কেউ R-কে F-এর উপর G-অ্যাকশনের জন্য একটি ফ্রেমের ধারণার সাধারণীকরণ হিসাবে ভাবতে পারে। মনে রাখবেন, যেহেতু R হল G-এর জন্য একটি প্রধান সমজাতীয় স্থান, ফাইবার বান্ডিল E (R)। E-এর উপর অনুভূমিক স্থানের বন্টন এই পণ্যের বান্ডিলের উপর স্থানের বন্টনকে প্ররোচিত করে। যেহেতু সংযোগের সাথে যুক্ত সমান্তরাল পরিবহন মানচিত্রগুলি জি-মানচিত্র, তাই তারা সাবস্পেস ই (আর) সংরক্ষণ করে এবং তাই জি-সংযোগটি ই (আর)-এর উপর একটি প্রধান জি-সংযোগে নেমে আসে। সংক্ষেপে, সংশ্লিষ্ট ফাইবার বান্ডিলগুলির সাথে প্রধান সংযোগের অবতরণ এবং সংশ্লিষ্ট ফাইবার বান্ডিলগুলির উপর জি-সংযোগের মধ্যে এক-থেকে-এক যোগাযোগ (সমতা পর্যন্ত) রয়েছে। এই কারণে, একটি স্ট্রাকচার গ্রুপ জি সহ ফাইবার বান্ডিলের বিভাগে, প্রধান সংযোগে সংশ্লিষ্ট বান্ডিলগুলিতে জি-সংযোগের জন্য সমস্ত প্রাসঙ্গিক তথ্য থাকে। অতএব, যদি না সংশ্লিষ্ট বান্ডিলগুলিতে সংযোগ বিবেচনা করার কোনও প্রধান কারণ থাকে (যেমন, উদাহরণস্বরূপ, কার্টান সংযোগের ক্ষেত্রে) তবে এটি সাধারণত সরাসরি প্রধান সংযোগের সাথে কাজ করে। নোটস রেফারেন্স আরও পড়া রাউল বট (1970) "টপোলজিকাল অবস্ট্রাকশন টু ইন্টিগ্রেবিলিটি", প্রোক। সিম্প। পিওর ম্যাথ., 16 'আমের। গণিত। সোস., প্রভিডেন্স, আর. আই। সংযোগ (গণিত)