Grandi's series
গণিতশাস্ত্রে, ইতালীয় গণিতবিদ, দার্শনিক এবং পুরোহিত গুইডো গ্রান্ডির নামে লেখা অসীম সিরিজটিকে কখনও কখনও গ্রান্ডির সিরিজ বলা হয়, যিনি 1703 সালে এই সিরিজের একটি স্মরণীয় বর্ণনা দিয়েছিলেন। এটি একটি ডাইভারজেন্ট সিরিজ, যার অর্থ এটির কোনও যোগফল নেই। যাইহোক, এটি বেশ কয়েকটি গাণিতিকভাবে আকর্ষণীয় ফলাফল দেওয়ার জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, গণিতে অনেক যোগসূত্র পদ্ধতি ব্যবহার করা হয় একটি ভিন্ন সারিতেও সংখ্যাসূচক মান নির্ধারণ করার জন্য। উদাহরণস্বরূপ, এই সিরিজের সিজেরো যোগফল এবং রামানুজন যোগফল হল 1/2। অপ্রয়োজনীয় পদ্ধতি 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 +. এই সিরিজের যোগফল খুঁজে বের করার একটি সুস্পষ্ট পদ্ধতি হল এটিকে একটি টেলিস্কোপিং সিরিজের মতো বিবেচনা করা এবং এই জায়গায় বিয়োগগুলি সম্পাদন করাঃ (1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) +. = 0 + 0 + 0 +. = 0। অন্যদিকে, একটি অনুরূপ বন্ধনী পদ্ধতি আপাতদৃষ্টিতে পরস্পরবিরোধী ফলাফলের দিকে পরিচালিত করে 1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) +. = 1 + 0 + 0 +. = 1। সুতরাং, গ্রান্ডির সিরিজে বিভিন্ন উপায়ে বন্ধনী প্রয়োগ করে, কেউ "মান" হিসাবে 0 বা 1 পেতে পারে। (এই ধারণার বৈচিত্র, যাকে আইলেনবার্গ-মাজুর প্রতারণা বলা হয়, কখনও কখনও গাঁট তত্ত্ব এবং বীজগণিতে ব্যবহৃত হয়।) এই দুটি "মান"-এর গড় গ্রহণ করে, কেউ যুক্তি দিতে পারে যে সিরিজটি একত্রিত হয়। গ্রান্ডির সিরিজকে একটি ভিন্ন জ্যামিতিক সিরিজ হিসাবে বিবেচনা করা এবং একই বীজগাণিতিক পদ্ধতি ব্যবহার করা যা তৃতীয় মান পাওয়ার জন্য অভিসারী জ্যামিতিক সিরিজের মূল্যায়ন করেঃ S = 1 − 1 + 1 − 1 +., তাই 1 − S = 1 − (1 − 1 + 1 − 1 +.) = 1 − 1 + 1 − 1 +. = S '1 − S = S1 = 2S, যার ফলে S = হয়। −S গণনা করা, S থেকে ফলাফল বিয়োগ করা এবং 2S = 1 সমাধান করা থেকে একই উপসংহার আসে। উপরের ম্যানিপুলেশনগুলি বিবেচনা করে না যে একটি সিরিজের যোগফল আসলে কী বোঝায় এবং কীভাবে উক্ত বীজগাণিতিক পদ্ধতিগুলি বিচ্ছিন্ন জ্যামিতিক সিরিজে প্রয়োগ করা যেতে পারে। তবুও, ইচ্ছামতো সিরিজগুলিকে বন্ধনী করতে সক্ষম হওয়া যতটা গুরুত্বপূর্ণ, এবং তাদের সাথে পাটিগণিত সম্পাদন করতে সক্ষম হওয়া ততটাই গুরুত্বপূর্ণ, কেউ দুটি সিদ্ধান্তে পৌঁছাতে পারেঃ সিরিজ 1 − 1 + 1 − 1 +. এর কোনও sum.Davis p.152 নেই. তবে এর যোগফল হওয়া উচিত। প্রকৃতপক্ষে, এই দুটি বিবৃতিই সুনির্দিষ্ট এবং আনুষ্ঠানিকভাবে প্রমাণিত করা যেতে পারে, তবে শুধুমাত্র 19 শতকে উদ্ভূত সুনির্দিষ্ট গাণিতিক ধারণাগুলি ব্যবহার করে। 17শ শতাব্দীর শেষের দিকে ইউরোপে ক্যালকুলাস প্রবর্তনের পর, কিন্তু আধুনিক কঠোরতার আবির্ভাবের আগে, এই উত্তরগুলির মধ্যে উত্তেজনা জ্যামিতিক সিরিজের সাথে mathematicians.Knopp p.457 সম্পর্কের মধ্যে একটি "অন্তহীন" এবং "হিংসাত্মক" বিতর্ক হিসাবে চিহ্নিত করা হয়েছে। জটিল বিশ্লেষণের পরিপ্রেক্ষিতে, এইভাবে সিরিজের বিশ্লেষণাত্মক ধারাবাহিকতার মান হিসাবে দেখা হয়, যা শুধুমাত্র জটিল একক ডিস্কে সংজ্ঞায়িত করা হয়। আধুনিক গণিতে, একটি অসীম সিরিজের যোগফলকে তার আংশিক যোগফলের ক্রমের সীমা হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়, যদি এটি বিদ্যমান থাকে। গ্রান্ডির সিরিজের আংশিক যোগফলের ক্রমটি স্পষ্টভাবে কোনও সংখ্যার কাছে পৌঁছায় না (যদিও এর 0 এবং 1-এ দুটি সঞ্চয়ের বিন্দু রয়েছে)। অতএব, গ্রান্ডির সিরিজটি ভিন্ন। এটি দেখানো যেতে পারে যে একটি সিরিজে অনেক আপাতদৃষ্টিতে নির্দোষ ক্রিয়াকলাপ সম্পাদন করা বৈধ নয়, যেমন পৃথক পদগুলি পুনর্বিন্যাস করা, যদি না সিরিজটি একেবারে অভিসারী হয়। অন্যথায় এই ক্রিয়াকলাপগুলি যোগফলের ফলাফল পরিবর্তন করতে পারে। উপরন্তু, গ্রান্ডির সিরিজের পদগুলি কেবল 0 বা 1 নয়, পরপর দুই বা ততোধিক পূর্ণসংখ্যা সংখ্যার যে কোনও বিরতিতে তার সঞ্চয়ের পয়েন্ট রাখার জন্য পুনর্বিন্যাস করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, সিরিজটি (যেখানে, পাঁচটি প্রাথমিক + 1 পদের পরে, + 1 এবং-1 পদের জোড়ায় পরিবর্তিত পদগুলি-+ 1 এবং-1 উভয়ের অসীমতা হিলবার্টের গ্র্যান্ড হোটেলের প্যারাডক্স দ্বারা 1 বা-1 এর যে কোনও সীমাবদ্ধ সংখ্যাকে পূর্বনির্ধারিত করার অনুমতি দেয়) গ্রান্ডির সিরিজের একটি বিন্যাস যেখানে পুনর্বিন্যস্ত সিরিজের প্রতিটি মান মূল সিরিজের থেকে সর্বাধিক চারটি অবস্থান দূরে একটি মানের সাথে মিলে যায়; এর সঞ্চয়ের পয়েন্ট 3,4 এবং 5। শিক্ষা জ্ঞানীয় প্রভাব 1987 সালের দিকে, আন্না সিয়েরপিন্সকা ওয়ারশ লাইসিয়ামে 17 বছর বয়সী প্রিকালকুলাস শিক্ষার্থীদের একটি দলের সাথে গ্রান্ডির সিরিজটি প্রবর্তন করেছিলেন। তিনি মানববিদ্যার শিক্ষার্থীদের প্রতি এই প্রত্যাশায় মনোনিবেশ করেছিলেন যে তাদের গাণিতিক অভিজ্ঞতা গণিত ও পদার্থবিজ্ঞান অধ্যয়নরত তাদের সমবয়সীদের তুলনায় কম তাৎপর্যপূর্ণ হবে, তাই তারা যে জ্ঞানতাত্ত্বিক বাধাগুলি প্রদর্শন করে তা লাইশিয়ামের শিক্ষার্থীদের মধ্যে এখনও উপস্থিত থাকতে পারে এমন বাধাগুলির আরও প্রতিনিধিত্ব করবে। সিয়েরপিন্সকা প্রাথমিকভাবে আশা করেছিলেন যে শিক্ষার্থীরা গ্রান্ডির সিরিজের জন্য একটি মান নির্ধারণ করতে দ্বিধাবোধ করবে, যে সময়ে তিনি জ্যামিতিক সিরিজ সূত্রের ফলস্বরূপ দাবি করে তাদের হতবাক করতে পারেন। আদর্শভাবে, যুক্তির ত্রুটি অনুসন্ধান করে এবং বিভিন্ন সাধারণ অনুপাতের সূত্র অনুসন্ধান করে, শিক্ষার্থীরা "লক্ষ্য করবে যে দুই ধরনের সিরিজ রয়েছে এবং অভিসারের একটি অন্তর্নিহিত ধারণা জন্ম নেবে"। যাইহোক, ছাত্ররা এটি বা এমনকি এটি বলতে গিয়ে কোনও চমক দেখায়নি। সিয়েরপিন্সকা মন্তব্য করেছেন যে একটি অগ্রাধিকার হিসাবে, শিক্ষার্থীদের প্রতিক্রিয়া খুব অবাক হওয়া উচিত নয় কারণ লাইবনিজ এবং গ্র্যান্ডি 1⁄2 কে একটি প্রশংসনীয় ফলাফল বলে মনে করেছিলেন; "তবে, শিক্ষার্থীদের পক্ষ থেকে এই আঘাতের অভাবের ব্যাখ্যা কিছুটা আলাদা হতে পারে। তারা শান্তভাবে অযৌক্তিকতা মেনে নিয়েছিল কারণ, সর্বোপরি, 'গণিত সম্পূর্ণ বিমূর্ত এবং বাস্তবতা থেকে অনেক দূরে' এবং 'এই গাণিতিক রূপান্তরগুলির মাধ্যমে আপনি সমস্ত ধরণের বাজে কথা প্রমাণ করতে পারেন', যেমন একটি ছেলে পরে বলেছিল। শিক্ষার্থীরা শেষ পর্যন্ত একত্রীকরণের প্রশ্ন থেকে মুক্ত ছিল না; সিয়েরপিন্সকা পরের দিন দশমিক সম্প্রসারণের সাথে যুক্ত করে এই বিষয়ে তাদের জড়িত করতে সফল হয়েছিল। 0.999. = 1 ছাত্রদের অবাক করে দেওয়ার সাথে সাথে তার বাকি উপাদানগুলি "তাদের কানের পাশ দিয়ে চলে যায়"। 2000 খ্রিষ্টাব্দের দিকে ইতালির ট্রেভিসোতে পরিচালিত আরেকটি গবেষণায়, তৃতীয় বর্ষ এবং চতুর্থ বর্ষের লিসিয়ো সায়েন্টিফিকোর ছাত্রদের (16 থেকে 18 বছর বয়সী) নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলি জিজ্ঞাসা করে কার্ড দেওয়া হয়েছিলঃ "1703 খ্রিষ্টাব্দে গণিতবিদ গুইডো গ্রান্ডি সংযোজনটি অধ্যয়ন করেছিলেনঃ 1-1 + 1-1 +। (সংযোজন, অসীম সংখ্যক, সর্বদা + 1 এবং-1 হয়)। এ বিষয়ে আপনার মতামত কী? " শিক্ষার্থীদের একটি অসীম সেটের ধারণার সাথে পরিচয় করিয়ে দেওয়া হয়েছিল, তবে অসীম সিরিজের সাথে তাদের কোনও পূর্ব অভিজ্ঞতা ছিল না। তাদের বই বা ক্যালকুলেটর ছাড়াই দশ মিনিট সময় দেওয়া হয়েছিল। 88টি প্রতিক্রিয়াকে নিম্নরূপ শ্রেণীবদ্ধ করা হয়েছেঃ (26) ফলাফল 0 (18) ফলাফল 0 বা 1 হতে পারে (5) ফলাফল বিদ্যমান নেই (4) ফলাফল 1⁄2 (3) ফলাফল 1 (2) ফলাফল অসীম (30) কোনও উত্তর নেই গবেষক জর্জিও বাগনি তাদের যুক্তি নির্ধারণের জন্য বেশ কয়েকজন শিক্ষার্থীর সাক্ষাৎকার নিয়েছিলেন। তাদের মধ্যে প্রায় 16 জন গ্র্যান্ডি এবং রিকাটির মতো যুক্তি ব্যবহার করে 0-এর উত্তরকে ন্যায়সঙ্গত করেছেন। অন্যরা 0 এবং 1 এর গড় হিসাবে 1⁄2 কে ন্যায়সঙ্গত করেছে। বাগনি উল্লেখ করেছেন যে তাদের যুক্তি, লাইবনিজের মতো হলেও, 18 শতকের গণিতের জন্য এত গুরুত্বপূর্ণ সম্ভাব্য ভিত্তির অভাব রয়েছে। তিনি উপসংহারে বলেন যে, প্রতিক্রিয়াগুলি ঐতিহাসিক বিকাশ এবং ব্যক্তিগত বিকাশের মধ্যে একটি যোগসূত্রের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ, যদিও সাংস্কৃতিক প্রেক্ষাপট ভিন্ন। সম্ভাবনাময় জোয়েল লেহম্যান বিভিন্ন সমষ্টি ধারণার মধ্যে পার্থক্য করার প্রক্রিয়াটিকে একটি ধারণাগত ফাটলের উপর একটি সেতু নির্মাণ হিসাবে বর্ণনা করেছেনঃ 18 শতকের গণিতকে বিভ্রান্ত করা বিচ্যুতি। "যেহেতু সিরিজগুলি সাধারণত ইতিহাস ছাড়াই এবং অ্যাপ্লিকেশন থেকে আলাদাভাবে উপস্থাপন করা হয়, তাই শিক্ষার্থীদের অবশ্যই ভাবতে হবে যে" এই জিনিসগুলি কী? " কিন্তু "আমরা কেন এটা করছি?" সংমিশ্রণ নির্ধারণে ব্যস্ত থাকা কিন্তু যোগফল নয়, পুরো প্রক্রিয়াটিকে অনেক শিক্ষার্থী এবং প্রশিক্ষকদের কাছে কৃত্রিম এবং অর্থহীন বলে মনে করে। ফলস্বরূপ, অনেক শিক্ষার্থী অয়লারের মতো একটি মনোভাব গড়ে তোলেঃ ". স্বাভাবিকভাবেই (অর্থাৎ, প্রকৃতি থেকে) উদ্ভূত সমস্যাগুলির সমাধান রয়েছে, তাই এই ধারণা যে জিনিসগুলি শেষ পর্যন্ত কার্যকর হবে তা অস্তিত্বের ধরণের প্রমাণের প্রয়োজন ছাড়াই পরীক্ষামূলকভাবে ন্যায়সঙ্গত। ধরে নিন সবকিছু ঠিক আছে, এবং যদি সমাধানটি কাজ করে, তাহলে আপনি সম্ভবত সঠিক ছিলেন, বা অন্তত যথেষ্ট সঠিক ছিলেন। তাহলে কেন সেই বিবরণগুলি নিয়ে মাথা ঘামাবেন যা শুধুমাত্র হোমওয়ার্কের সমস্যাগুলির মধ্যে প্রদর্শিত হয়? লেহম্যান এই আপত্তিটি একই উদাহরণের সাথে পূরণ করার পরামর্শ দেন যা ক্যালেটের দ্বারা গ্রান্ডির সিরিজের সাথে অয়লারের আচরণের বিরুদ্ধে উত্থাপিত হয়েছিল। 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + 7 − 8 +........................................................................................................................................................................................ এটি গ্রান্ডির সিরিজের জন্য নির্ধারিত সর্বাধিক সমষ্টি পদ্ধতির মূল্যের বর্গ, যা যুক্তিসঙ্গত কারণ এটিকে গ্রান্ডির সিরিজের দুটি অনুলিপির কচি পণ্য হিসাবে দেখা যেতে পারে। এছাড়াও দেখুন 1−1 + 2−6 + 24−120 + ··1 + 1 + 1 + 1 + 1 + ··1 −2 + 3 −4 + ··1 + 2 + 3 + 4 + ··1 + 2 + 4 + 8 + ··1 − 2 + 4 − 8 + ꯘꯥ রামানুজনের যোগফল সেজারো যোগফল প্রসঙ্গ থমসনের বিবরণ বাহ্যিক যোগসূত্র এক বিয়োগ এক যোগ এক বিয়োগ এক-সংখ্যা ফাইল, গ্রান্ডির সিরিজ বৈচিত্র্য জ্যামিতিক সিরিজ 1 (সংখ্যা) গাণিতিক প্যারাডক্স সমতা (গণিত)