Linear relation
রৈখিক বীজগণিতে, ভেক্টর স্পেস বা মডিউলের উপাদানগুলির মধ্যে একটি রৈখিক সম্পর্ক বা সহজ সম্পর্ক হল একটি রৈখিক সমীকরণ যার সমাধান হিসাবে এই উপাদানগুলি থাকে। আরও সুনির্দিষ্টভাবে, যদি একটি বলয়ের উপর একটি (বাম) মডিউলের উপাদান থাকে (একটি ক্ষেত্রের উপর একটি ভেক্টর স্থানের ক্ষেত্রে একটি বিশেষ ক্ষেত্রে), তবে এর মধ্যে একটি সম্পর্ক এমন উপাদানগুলির একটি ক্রম যা একটি মডিউল গঠন করে। একজন সাধারণত সেই ক্ষেত্রে আগ্রহী যেখানে একটি সীমাবদ্ধভাবে উত্পন্ন মডিউলের একটি জেনারেটিং সেট, যে ক্ষেত্রে সম্পর্কের মডিউলটিকে প্রায়শই এর সিজিজি মডিউল বলা হয়। সিজিজি মডিউলটি একটি জেনারেটিং সেটের পছন্দের উপর নির্ভর করে, তবে এটি একটি মুক্ত মডিউল সহ সরাসরি যোগফল পর্যন্ত অনন্য। অর্থাৎ, যদি এবং একই মডিউলের দুটি জেনারেটিং সেটের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ সিজিজি মডিউল হয়, তবে সেগুলি স্থিতিশীল আইসোমরফিক, যার অর্থ হল যে দুটি মুক্ত মডিউল রয়েছে এবং সেগুলি আইসোমরফিক। হাইয়ার অর্ডার সিজিজি মডিউলগুলি পুনরাবৃত্তিমূলকভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়ঃ একটি মডিউলের প্রথম সিজিজি মডিউলটি কেবল তার সিজিজি মডিউল। কারণ, এর একটি তম সিজিজি মডিউল হল একটি-তম সিজিজি মডিউলের একটি সিজিজি মডিউল। হিলবার্টের সিজিজি উপপাদ্য বলে যে, যদি একটি বহুপদী বলয় একটি ক্ষেত্রের উপর অনির্দিষ্ট হয়, তবে প্রতিটি তম সিজিজি মডিউল মুক্ত। ঘটনা হল যে প্রতিটি সীমাবদ্ধ মাত্রিক ভেক্টর স্থানের একটি ভিত্তি রয়েছে, এবং ঘটনা হল যে এটি একটি প্রধান আদর্শ ক্ষেত্র এবং একটি সীমাবদ্ধভাবে উত্পন্ন মুক্ত মডিউলের প্রতিটি উপ-মডিউলও মুক্ত। উচ্চতর ক্রমের সিজিজি মডিউলগুলির নির্মাণকে মুক্ত রেজোলিউশনের সংজ্ঞা হিসাবে সাধারণীকরণ করা হয়, যা হিলবার্টের সিজিজি উপপাদ্যকে একটি ক্ষেত্রের উপর অনির্ধারিত বহুপদী বলয় হিসাবে পুনর্বিবেচনা করার অনুমতি দেয় যার বৈশ্বিক সমতাত্ত্বিক মাত্রা রয়েছে। যদি এবং বিনিময়যোগ্য বলয়ের দুটি উপাদান হয়, তবে একটি সম্পর্ক যাকে তুচ্ছ বলা হয়। একটি আদর্শের তুচ্ছ সম্পর্কের মডিউল হল আদর্শের প্রথম সিজিজি মডিউলের উপ-মডিউল যা একটি আদর্শের উৎপাদক সেটের উপাদানগুলির মধ্যে তুচ্ছ সম্পর্কের দ্বারা উত্পন্ন হয়। তুচ্ছ সম্পর্কের ধারণাটি উচ্চতর ক্রমের সিজিজি মডিউলগুলিতে সাধারণীকরণ করা যেতে পারে এবং এটি একটি আদর্শের কোসজুল কমপ্লেক্সের ধারণার দিকে পরিচালিত করে, যা একটি আদর্শের জেনারেটরের মধ্যে অ-তুচ্ছ সম্পর্ক সম্পর্কে তথ্য সরবরাহ করে। মৌলিক সংজ্ঞাগুলি একটি রিং এবং একটি বাম-মডিউল হতে হবে। একটি রৈখিক সম্পর্ক, বা কেবল উপাদানগুলির মধ্যে একটি সম্পর্ক হল উপাদানগুলির একটি ক্রম যা যদি একটি উৎপন্নকারী সেট হয়, তবে সম্পর্কটিকে প্রায়শই এর সিজিজি বলা হয়। এটিকে বিবেচনা না করে একটি সিজিজি বলা যুক্তিসঙ্গত কারণ, যদিও সিজিজি মডিউল নির্বাচিত জেনারেটিং সেটের উপর নির্ভর করে, তবে এর বেশিরভাগ বৈশিষ্ট্য স্বাধীন; নীচে দেখুন। যদি রিংটি নোথেরিয়ান হয়, বা, অন্তত সুসঙ্গত হয়, এবং যদি সীমাবদ্ধভাবে তৈরি করা হয়, তবে সিজিজি মডিউলটিও সীমাবদ্ধভাবে তৈরি হয়। এই সিজিজি মডিউলের একটি সিজিজি মডিউল হল একটি দ্বিতীয় সিজিজি মডিউল। এইভাবে অব্যাহত রেখে প্রতিটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার জন্য একটি তম সিজিজি মডিউল সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। হিলবার্টের সিজিজি উপপাদ্য দাবি করে যে, যদি একটি ক্ষেত্রের উপর একটি বহুপদী বলয়ের উপর একটি সীমাবদ্ধভাবে উত্পন্ন মডিউল হয়, তবে যে কোনও তম সিজিজি মডিউল একটি মুক্ত মডিউল। স্থিতিশীল বৈশিষ্ট্য সাধারণত, কে-তত্ত্বের ভাষায়, একটি বৈশিষ্ট্য স্থিতিশীল হয় যদি এটি যথেষ্ট বড় মুক্ত মডিউল দিয়ে সরাসরি যোগফল তৈরি করে সত্য হয়। সিজিজি মডিউলগুলির একটি মৌলিক বৈশিষ্ট্য হল যে জড়িত মডিউলগুলির জন্য সেট তৈরির পছন্দগুলিতে "স্থিরভাবে স্বাধীন" রয়েছে। নিম্নলিখিত ফলাফলটি এই স্থিতিশীল properties.Proof-এর ভিত্তি। একটি জেনারেটিং সেট হিসাবে, প্রতিটি লেখা যেতে পারে এটি এর মধ্যে একটি সম্পর্ক প্রদান করে এখন, যদি কোনও সম্পর্ক থাকে, তবে এটি একমাত্রের মধ্যে একটি সম্পর্ক। অন্য কথায়, এস-এর মধ্যে প্রতিটি সম্পর্ক এবং এস-এর একটি রৈখিক সংমিশ্রণের যোগফল। এটি প্রমাণ করা সোজা যে এই পচন অনন্য, এবং এটি ফলাফল প্রমাণ করে। এটি প্রমাণ করে যে প্রথম সিজিজি মডিউলটি "স্থিতিশীলভাবে অনন্য"। আরও সুনির্দিষ্টভাবে, দুটি জেনারেটিং সেট এবং একটি মডিউল দেওয়া হলে, যদি এবং সম্পর্কগুলির সংশ্লিষ্ট মডিউল হয়, তবে দুটি মুক্ত মডিউল বিদ্যমান এবং যেমন এবং আইসোমরফিক। এটি প্রমাণ করার জন্য, দুটি উৎপাদক সেটের সংযোগের মধ্যে সম্পর্কের মডিউলটির দুটি ডিকম্পোসিশন পাওয়ার জন্য পূর্ববর্তী প্রস্তাবের দ্বিগুণ প্রয়োগ করা যথেষ্ট। উচ্চতর সিজিজি মডিউলগুলির জন্য অনুরূপ ফলাফল পাওয়ার জন্য, এটি প্রমাণ করতে হবে যে, যদি কোনও মডিউল হয়, এবং এটি একটি মুক্ত মডিউল হয়, তবে আইসোমরফিক সিজিজি মডিউল রয়েছে। এটি একটি উৎপাদনকারী সেট বিবেচনা করার জন্য যথেষ্ট যা একটি উৎপাদনকারী সেট এবং একটি ভিত্তি নিয়ে গঠিত। এই উৎপাদক সেটের উপাদানগুলির মধ্যে প্রতিটি সম্পর্কের জন্য, এর ভিত্তি উপাদানগুলির সহগগুলি সমস্ত শূন্য, এবং এর সিজিজিগুলি শূন্য সহগগুলির সাথে প্রসারিত সিজিজিগুলির ঠিক সমান। এটি নিম্নলিখিত উপপাদ্যটির প্রমাণ সম্পূর্ণ করে। মুক্ত রেজোলিউশনের সঙ্গে সম্পর্ক একটি-মডিউল তৈরির সেট দেওয়া হলে, কেউ একটি ভিত্তি মুক্ত মডিউল বিবেচনা করতে পারে যেখানে নতুন অনির্ধারিত রয়েছে। এটি একটি সঠিক ক্রমকে সংজ্ঞায়িত করে যেখানে বাম তীরটি রৈখিক মানচিত্র যা প্রতিটি সংশ্লিষ্ট তীরের সাথে ম্যাপ করে। এর পরিবর্তে এই কার্নেল দিয়ে এই গঠনটি পুনরাবৃত্তি করা যেতে পারে। এই নির্মাণটি বারবার পুনরাবৃত্তি করলে, একটি দীর্ঘ সঠিক ক্রম পাওয়া যায় যেখানে সবগুলিই মুক্ত মডিউল। সংজ্ঞা অনুসারে, এই ধরনের একটি দীর্ঘ সঠিক ক্রম হল এর একটি মুক্ত রেজোলিউশন। প্রত্যেকটির জন্য, থেকে শুরু হওয়া তীরের কার্নেল হল এর একটি তম সিজিজি মডিউল। এটি অনুসরণ করে যে মুক্ত রেজোলিউশনের অধ্যয়ন সিজিজি মডিউলগুলির অধ্যয়নের মতোই। একটি মুক্ত রেজোলিউশন দৈর্ঘ্যের সীমাবদ্ধ যদি মুক্ত হয়। এই ক্ষেত্রে, প্রত্যেকে এবং (শূন্য মডিউল) নিতে পারে। এটি হিলবার্টের সিজিজি উপপাদ্যকে পুনর্বিবেচনার অনুমতি দেয়ঃ যদি কোনও ক্ষেত্রের উপর অনির্ধারিত একটি বহুপদী বলয় হয়, তবে প্রতিটি মুক্ত রেজোলিউশন সর্বাধিক দৈর্ঘ্যের সীমাবদ্ধ। একটি বিনিময়যোগ্য নোথেরিয়ান বলয়ের বৈশ্বিক মাত্রা হয় অসীম, অথবা ন্যূনতম এমন যে প্রতিটি মুক্ত রেজোলিউশন সর্বাধিক দৈর্ঘ্যের সীমাবদ্ধ। একটি বিনিময়যোগ্য নোথেরিয়ান বলয় নিয়মিত হয় যদি এর বৈশ্বিক মাত্রা সীমাবদ্ধ হয়। এই ক্ষেত্রে, বৈশ্বিক মাত্রা তার ক্রাল মাত্রার সমান। সুতরাং, হিলবার্টের সিজিজি উপপাদ্যটি একটি খুব সংক্ষিপ্ত বাক্যে পুনরাবৃত্তি করা যেতে পারে যা অনেক গণিত লুকিয়ে রাখেঃ একটি ক্ষেত্রের উপর একটি বহুপদী বলয় একটি নিয়মিত ring.Trivial সম্পর্ক। এটি তুচ্ছভাবে বোঝায় যে এটি এবং এর মধ্যে একটি রৈখিক সম্পর্ক। অতএব, একটি আদর্শের উৎপাদনকারী সেট দেওয়া হলে, দুটি উৎপাদনকারী উপাদানের মধ্যে এই তুচ্ছ সম্পর্ক দ্বারা উত্পন্ন উপ-মডিউলের প্রতিটি উপাদানকে তুচ্ছ সম্পর্ক বা তুচ্ছ সিজিজি বলা হয়। আরও সুনির্দিষ্টভাবে বলতে গেলে, তুচ্ছ সিজিজিগুলির মডিউলটি এমন সম্পর্ক দ্বারা তৈরি হয় এবং অন্যথায়। আর্থার কেলির কাজের মাধ্যমে সিজিজি শব্দটি গণিতে এসেছে। সেই গবেষণাপত্রে, কেলি এটিকে ফলাফল এবং বৈষম্যের তত্ত্বে ব্যবহার করেছিলেন। যেহেতু জ্যোতির্বিজ্ঞানে গ্রহের মধ্যে রৈখিক সম্পর্ক বোঝাতে সিজিজি শব্দটি ব্যবহার করা হয়েছিল, কাইলি এটি একটি ম্যাট্রিক্সের অপ্রাপ্তবয়স্কদের মধ্যে রৈখিক সম্পর্ক বোঝাতে ব্যবহার করেছিলেন, যেমন, 2 × 3 ম্যাট্রিক্সের ক্ষেত্রেঃ তারপর, সিজিজি শব্দটি ডেভিড হিলবার্ট তাঁর 1890 সালের নিবন্ধে (গণিতবিদদের মধ্যে) জনপ্রিয় করেছিলেন, যেখানে বহুপদের উপর তিনটি মৌলিক উপপাদ্য রয়েছে, হিলবার্টের সিজিজি উপপাদ্য, হিলবার্টের ভিত্তি উপপাদ্য এবং হিলবার্টের নলস্টেলেনস্যাটজ। গণিতবিদ জিন-লুই কোসজুলের ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতিতে অনুরূপ নির্মাণের পরে, কাইলি তাঁর নিবন্ধে, একটি বিশেষ ক্ষেত্রে, যা পরে কোসজুল কমপ্লেক্স নামে পরিচিত ছিল, তা ব্যবহার করেছেন। উদ্ধৃতি ডেভিড আইজেনবড, দ্য জিওমেট্রি অফ সিজিজিজ, গ্র্যাজুয়েট টেক্সটস ইন ম্যাথমেটিক্স, খণ্ড। 229, স্প্রিঙ্গার, 2005। বিনিময়যোগ্য বীজগণিত সমজাতীয় বীজগণিত রৈখিক বীজগণিত বহুপদী