Solid angle
জ্যামিতিতে, একটি কঠিন কোণ (প্রতীকঃ) হল একটি নির্দিষ্ট বিন্দু থেকে দেখার ক্ষেত্রের পরিমাণের একটি পরিমাপ যা একটি প্রদত্ত বস্তু ঢেকে রাখে। অর্থাৎ, এটি সেই বিন্দু থেকে একজন পর্যবেক্ষকের কাছে বস্তুটি কতটা বড় দেখায় তার একটি পরিমাপ। যে বিন্দু থেকে বস্তুটিকে দেখা হয় তাকে কঠিন কোণের শীর্ষ বলা হয় এবং বলা হয় যে বস্তুটি সেই বিন্দুতে তার কঠিন কোণটি প্রসারিত করে। ইন্টারন্যাশনাল সিস্টেম অফ ইউনিটস (এস. আই)-এ, একটি কঠিন কোণ একটি মাত্রাবিহীন এককে প্রকাশ করা হয় যাকে স্টেরাদিয়ান (প্রতীকঃ এস. আর) বলা হয়। একটি স্টের্যাডিয়ান শীর্ষকে ঘিরে একক গোলকের এক ইউনিট এলাকার সাথে মিলে যায়, তাই একটি বস্তু যা শীর্ষ থেকে সমস্ত রশ্মি ব্লক করে একক গোলকের মোট পৃষ্ঠের সমান সংখ্যক স্টের্যাডিয়ানকে আবৃত করে। কঠিন কোণগুলি ডিগ্রি, মিনিট এবং সেকেন্ডের মতো কৌণিক পরিমাপের বর্গগুলিতেও পরিমাপ করা যেতে পারে। কাছাকাছি একটি ছোট বস্তু আরও দূরে একটি বড় বস্তুর মতো একই কঠিন কোণ প্রসারিত করতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, যদিও চাঁদ সূর্যের তুলনায় অনেক ছোট, এটি পৃথিবীরও অনেক কাছাকাছি। প্রকৃতপক্ষে, পৃথিবীর যে কোনও বিন্দু থেকে দেখা যায়, উভয় বস্তুর প্রায় একই কঠিন কোণ (এবং তাই আপাত আকার) রয়েছে। সূর্যগ্রহণের সময় এটি স্পষ্ট হয়ে ওঠে। সংজ্ঞা এবং বৈশিষ্ট্য স্টেরাডিয়ানে একটি বস্তুর কঠিন কোণ একটি একক গোলকের অংশের ক্ষেত্রফলের সমান, যা শীর্ষে কেন্দ্রীভূত, যা বস্তুটি ঢেকে রাখে। স্টেরাডিয়ানে একটি একক গোলকের একটি অংশের ক্ষেত্রফল দেওয়া রেডিয়ানে একটি একক বৃত্তের বৃত্তের দৈর্ঘ্য দেওয়ার অনুরূপ। ঠিক যেমন রেডিয়ানে একটি সমতলীয় কোণ হল একটি বৃত্তের দৈর্ঘ্য এবং ব্যাসার্ধের অনুপাত, তেমনি স্টেরাডিয়ানে একটি কঠিন কোণ হল একটি গোলকের উপর একটি বস্তু দ্বারা আচ্ছাদিত এলাকার অনুপাত এবং উক্ত গোলকের ব্যাসার্ধের বর্গ দ্বারা প্রদত্ত ক্ষেত্রফলের অনুপাত। সূত্রটি হল যেখানে গোলাকার পৃষ্ঠ এলাকা এবং বিবেচিত গোলকের ব্যাসার্ধ। কঠিন কোণগুলি প্রায়শই জ্যোতির্বিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান এবং বিশেষত জ্যোতিঃপদার্থবিজ্ঞানে ব্যবহৃত হয়। খুব দূরে অবস্থিত কোনও বস্তুর কঠিন কোণ আয়তনের সাথে বর্গ দূরত্বের অনুপাতের প্রায় আনুপাতিক। এখানে "এলাকা" মানে দেখার দিক বরাবর অভিক্ষিপ্ত হলে বস্তুটির এলাকা। একটি গোলক তার অভ্যন্তরের যে কোনও বিন্দু থেকে পরিমাপ করা কঠিন কোণ হল 4 এস. আর, এবং একটি ঘনক্ষেত্রের কেন্দ্রে তার একটি মুখ দ্বারা নিক্ষিপ্ত কঠিন কোণ হল তার এক-ষষ্ঠাংশ, বা 2/3 এস. আর। কঠিন কোণগুলি বর্গ ডিগ্রি (1 এস. আর = 2 বর্গ ডিগ্রি), বর্গাকার চাপ-মিনিট এবং বর্গাকার চাপ-সেকেন্ডে বা গোলকের ভগ্নাংশে (1 এস. আর = ভগ্নাংশ এলাকা) পরিমাপ করা যেতে পারে, যা স্প্যাট (1 এস. পি = 4 এস. আর) নামেও পরিচিত। গোলাকার স্থানাঙ্কে ডিফারেনশিয়ালের জন্য একটি সূত্র রয়েছে, যেখানে অক্ষাংশ (উত্তর মেরু থেকে কোণ) এবং দ্রাঘিমাংশ। একটি বিন্দুতে একটি নির্বিচারে অভিমুখী পৃষ্ঠের জন্য কঠিন কোণটি কেন্দ্রের সাথে একক গোলকের পৃষ্ঠের অভিক্ষেপের কঠিন কোণের সমান, যা পৃষ্ঠ অবিচ্ছেদ্য হিসাবে গণনা করা যেতে পারেঃ যেখানে একক ভেক্টর সম্পর্কিত, বিন্দুর সাপেক্ষে পৃষ্ঠের একটি অসীম এলাকার অবস্থান ভেক্টর, এবং যেখানে একক স্বাভাবিক ভেক্টরকে প্রতিনিধিত্ব করে। এমনকি পৃষ্ঠের একক গোলকের অভিক্ষেপ সমরূপ না হলেও, স্কেলার পণ্যের চিহ্ন দ্বারা বর্ণিত পৃষ্ঠের অভিযোজন অনুযায়ী একাধিক ভাঁজ সঠিকভাবে বিবেচনা করা হয়। এইভাবে একজন সমতল পৃষ্ঠ এলাকা, অভিযোজন এবং দর্শকের থেকে দূরত্ব সহ একটি ছোট দিক দ্বারা নিক্ষিপ্ত কঠিন কোণটি আনুমানিকভাবে অনুমান করতে পারেনঃ যেখানে একটি গোলকের পৃষ্ঠ এলাকা হয়। ব্যবহারিক প্রয়োগগুলি আলোকিত তীব্রতা এবং আলোকসজ্জার সংজ্ঞা, এবং সংশ্লিষ্ট রেডিওমেট্রিক পরিমাণ একটি গোলাকার ত্রিভুজের স্ফীত তীব্রতা এবং উজ্জ্বলতা একটি গোলাকার ত্রিভুজের গোলাকার অতিরিক্ত গণনা সীমানা উপাদান পদ্ধতি (বি. ই. এম) ব্যবহার করে সম্ভাবনার গণনা ধাতব কমপ্লেক্সে লিগ্যান্ডগুলির আকার মূল্যায়ন করে, লিগ্যান্ড শঙ্কু কোণ দেখুন চার্জ বিতরণের চারপাশে বৈদ্যুতিক ক্ষেত্র এবং চৌম্বক ক্ষেত্রের শক্তি গণনা করা গাউসের আইন তাপ স্থানান্তরের মধ্যে নির্গমন শক্তি এবং বিকিরণ গণনা করা রাদারফোর্ড বিচ্ছুরণে ক্রস বিভাগগুলি গণনা করা রমন বিচ্ছুরণে ক্রস বিভাগগুলি গণনা করা সাধারণ বস্তুর জন্য অপটিক্যাল ফাইবারের গ্রহণযোগ্যতা শঙ্কুটির কঠিন কোণ শঙ্কু, গোলাকার টুপি, গোলার্ধের কঠিন কোণ গোলাকার স্থানাঙ্কে একক পৃষ্ঠ উপাদান ব্যবহার করে নিম্নলিখিত দ্বৈত ইন্টিগ্রাল গণনা করে উপরের সূত্রটি পাওয়া যায়ঃ এই সূত্রটি ক্যালকুলাস ব্যবহার না করেও পাওয়া যেতে পারে। 2200 বছরেরও বেশি আগে আর্কিমিডিস প্রমাণ করেছিলেন যে একটি গোলাকার টুপির পৃষ্ঠতলের আয়তন সর্বদা একটি বৃত্তের আয়তনের সমান যার ব্যাসার্ধ গোলাকার টুপির রিম থেকে সেই বিন্দু পর্যন্ত দূরত্বের সমান যেখানে টুপির প্রতিসাম্য অক্ষটি টুপিটিকে ছেদ করে। রেখাচিত্রে এই ব্যাসার্ধটি এইভাবে দেওয়া হয়েছে তাই একটি একক গোলকের জন্য গোলাকার ক্যাপের কঠিন কোণটি দেওয়া হয় যখন =, গোলাকার ক্যাপটি একটি কঠিন কোণ 2 সহ একটি গোলার্ধে পরিণত হয়। শঙ্কুটির পরিপূরকের কঠিন কোণটি হল এটি মহাজাগতিক গোলকের অংশের কঠিন কোণ যা অক্ষাংশে অবস্থিত একজন জ্যোতির্বিজ্ঞান পর্যবেক্ষক পৃথিবী ঘোরার সময় দেখতে পারেন। বিষুবরেখায় সমস্ত মহাজাগতিক গোলক দৃশ্যমান; উভয় মেরুতে, শুধুমাত্র একটি অর্ধেক। শঙ্কু অক্ষ থেকে কোণে একটি সমতল দ্বারা কাটা এবং শঙ্কু শীর্ষের মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি গোলাকার ক্যাপের একটি অংশ দ্বারা জমা হওয়া কঠিন কোণটি সূত্র দ্বারা গণনা করা যেতে পারে উদাহরণস্বরূপ, যদি, তবে সূত্রটি উপরের গোলাকার ক্যাপ সূত্রে হ্রাস পায়ঃ প্রথম পদটি হয়ে যায়, এবং দ্বিতীয়টি। টেট্রাহেড্রন ধরা যাক, ও. এ. বি. সি একটি টেট্রাহেড্রনের শীর্ষবিন্দু যেখানে ত্রিভুজাকার মুখ এ. বি. সি দ্বারা 'ও' থেকে উদ্ভূত হয়েছে, যেখানে এ, বি এবং সি শীর্ষগুলির ভেক্টর অবস্থান রয়েছে। টেট্রাহেড্রাল মুখ ও. এ. সি এবং ও. বি. সি ধারণকারী সমতলগুলির মধ্যে ডাইহেড্রাল কোণটি ধরা যাক এবং অনুরূপভাবে সংজ্ঞায়িত করুন। ত্রিভুজাকার পৃষ্ঠ এ. বি. সি দ্বারা জমা হওয়া কঠিন কোণটি দ্বারা দেওয়া হয় এটি গোলাকার অতিরিক্ত তত্ত্ব থেকে অনুসরণ করা হয় এবং এটি এই তত্ত্বের একটি অনুরূপ উপপাদ্যের দিকে পরিচালিত করে যে "একটি সমতলীয় ত্রিভুজের অভ্যন্তরীণ কোণগুলির যোগফল সমান", একটি টেট্রাহেড্রনের চারটি অভ্যন্তরীণ কঠিন কোণের যোগফলের জন্য নিম্নরূপঃ যেখানে টেট্রাহেড্রাল মুখ ও. এ. বি, ও. এ. সি, ও. বি. সি এবং এ. বি. সি ধারণকারী যে কোনও দুটি সমতলের মধ্যে ছয়টি ডাইহেড্রাল কোণের উপর পরিসীমা রয়েছে। মূল O-তে টেট্রাহেড্রনের কঠিন কোণ গণনা করার জন্য একটি দরকারী সূত্র যা সম্পূর্ণরূপে শীর্ষ কোণগুলির একটি ফাংশন, এল 'হুইলিয়ারের উপপাদ্য দ্বারা দেওয়া হয়েছে যেখানে আরেকটি আকর্ষণীয় সূত্র ত্রিমাত্রিক স্থানে ভেক্টর হিসাবে শীর্ষগুলিকে প্রকাশ করে। ধরা যাক A, B এবং C শীর্ষগুলির ভেক্টর অবস্থানগুলি, এবং ধরা যাক, এবং প্রতিটি ভেক্টরের মাত্রা (মূল-বিন্দু দূরত্ব)। ত্রিভুজাকার পৃষ্ঠ এ. বি. সি দ্বারা প্রদত্ত কঠিন কোণটি হলঃ যেখানে তিনটি ভেক্টরের স্কেলার ট্রিপল গুণফলকে বোঝায় এবং স্কেলার গুণফলকে বোঝায়। নেতিবাচক বা ভুল কঠিন কোণ এড়াতে এখানে অবশ্যই যত্ন নিতে হবে। সম্ভাব্য ত্রুটির একটি উৎস হল যে স্কেলার ট্রিপল পণ্যটি নেতিবাচক হতে পারে যদি, ভুল ঘূর্ণন থাকে। পরম মান গণনা করা একটি যথেষ্ট সমাধান কারণ সমীকরণের অন্য কোনও অংশ ঘূর্ণনের উপর নির্ভর করে না। অন্য সমস্যাটি তখন দেখা দেয় যখন স্কেলার ট্রিপল পণ্যটি ধনাত্মক হয় কিন্তু বিভাজকটি ঋণাত্মক হয়। এই ক্ষেত্রে একটি ঋণাত্মক মান প্রদান করে যা অবশ্যই বৃদ্ধি করতে হবে। পিরামিড শীর্ষ কোণ সহ একটি চার-পার্শ্বযুক্ত ডান আয়তক্ষেত্রাকার পিরামিডের কঠিন কোণ এবং (পিরামিডের বিপরীত দিকে পরিমাপ করা ডাইহেড্রাল কোণ) হল যদি পিরামিডের ভিত্তির পার্শ্ব দৈর্ঘ্য (এবং) এবং মূল আয়তক্ষেত্রের কেন্দ্র থেকে পিরামিডের শীর্ষ (গোলকের কেন্দ্র) পর্যন্ত দূরত্ব () উভয়ই জানা যায়, তবে উপরের সমীকরণটি একটি ডান-গোনাল পিরামিডের কঠিন কোণ দেওয়ার জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে, যেখানে পিরামিডের ভিত্তি একটি নিয়মিত-পার্শ্বযুক্ত বহুভুজ। সূচকগুলি চক্রাকারঃ এবং। জটিল পণ্যগুলি বহুভুজের প্রতিটি শীর্ষ কোণের সাথে যুক্ত পর্যায়কে যুক্ত করে। যাইহোক, এর একটি গুণিতক শাখা কাটার মধ্যে হারিয়ে যায় এবং আলাদাভাবে ট্র্যাক করা আবশ্যক। এছাড়াও, প্রায় সমান্তরাল অংশের সীমার মধ্যে আন্ডারফ্লো এড়াতে জটিল পর্যায়গুলির চলমান পণ্যকে অবশ্যই মাঝে মাঝে স্কেল করতে হবে। অক্ষাংশ-দ্রাঘিমাংশ আয়তক্ষেত্র একটি গোলকের অক্ষাংশ-দ্রাঘিমাংশের আয়তক্ষেত্রের কঠিন কোণ হল যেখানে অক্ষাংশের উত্তর ও দক্ষিণ রেখা (নিরক্ষরেখা থেকে উত্তর দিকে ক্রমবর্ধমান কোণ সহ রেডিয়ানে পরিমাপ করা হয়) এবং দ্রাঘিমাংশের পূর্ব ও পশ্চিম রেখা (যেখানে রেডিয়ানে কোণ পূর্ব দিকে বৃদ্ধি পায়)। গাণিতিকভাবে, এটি রেডিয়ান দ্বারা একটি গোলকের চারপাশে প্রবাহিত কোণের বৃত্তকে উপস্থাপন করে। যখন দ্রাঘিমাংশ 2 রেডিয়ান এবং অক্ষাংশ রেডিয়ান বিস্তৃত করে, তখন কঠিন কোণটি একটি গোলকের সমান হয়। একটি অক্ষাংশ-দ্রাঘিমাংশ আয়তক্ষেত্রকে আয়তক্ষেত্রাকার পিরামিডের কঠিন কোণের সঙ্গে গুলিয়ে ফেলা উচিত নয়। একটি আয়তক্ষেত্রাকার পিরামিডের চারটি দিকই গোলকের পৃষ্ঠকে বড় বৃত্তাকার খিলানে ছেদ করে। একটি অক্ষাংশ-দ্রাঘিমাংশ আয়তক্ষেত্রের সাথে, শুধুমাত্র দ্রাঘিমাংশের রেখাগুলি বড় বৃত্তাকার বৃত্তাকার বৃত্তাকার বৃত্তাকার বৃত্তাকার বৃত্তাকার বৃত্তাকার বৃত্তাকার বৃত্তাকার বৃত্তাকার বৃত্তাকার বৃত্তাকার বৃত্তাকার বৃত্তাকার বৃত্তাকার বৃত্তাকার বৃত্তাকার বৃত্তাকার বৃত্তাকার বৃত্তাকার বৃত্তাকার বৃত্তাকার বৃত্তাকার বৃত্তাকার বৃত্তাকার বৃত্তাকার বৃত্তাকার বৃত্তাকার বৃত্তাকার বৃত্তাকার বৃত্তাকার বৃত্তাকার বৃত্তাকার বৃত্তাকার বৃত্তাকার বৃত্তাকার বৃত্তাকার বৃত্তাকার বৃত্তাকার বৃত্তাকার বৃত্তাকার বৃত্তাকার বৃত্তাকার বৃত্তাকার বৃত্তাকার বৃত্তাকার বৃত্তাকার বৃত্তাকার বৃত্তাকার বৃত্তাকার বৃত্তাকার বৃত্তাকার বৃত্তাকার বৃত্তাকার বৃত্তাকার বৃত্তাকার বৃত্তাকার বৃত্তাকার বৃত্তাকার বৃত্তাকার বৃত্তাকার বৃত্তাকার বৃত্তাকার বৃত্তাকার বৃত্তাকার বৃত্তাকার বৃত্তাকার বৃত্তাকার বৃত্তাকার বৃত্তাকার বৃত্তাকার বৃত্তাকার বৃত্তাকার বৃত্তাকার বৃত্তাকার বৃত্তাকার বৃত্তাকার বৃত্তাকার বৃত্তাকার বৃত্তাকার বৃত্তাকার বৃত্তাকার বৃত্তাকার বৃত্তাকার বৃত্তাকার বৃত্তাকার বৃত্তাকার বৃত্তাকার বৃত্তাকার বৃত্তাকার মহাজাগতিক বস্তু কৌণিক ব্যাসের সংজ্ঞা ব্যবহার করে, একটি মহাজাগতিক বস্তুর কঠিন কোণের সূত্রটি বস্তুর ব্যাসার্ধ এবং পর্যবেক্ষক থেকে বস্তুর দূরত্বের পরিপ্রেক্ষিতে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারেঃ সূর্য ও চাঁদের (পৃথিবীর সাথে সম্পর্কিত) উপযুক্ত গড় মানগুলি ইনপুট করে, সূর্যের গড় কঠিন কোণটি স্টেরেডিয়ান এবং চাঁদের গড় কঠিন কোণটি স্টেরেডিয়ান। মোট মহাজাগতিক গোলকের পরিপ্রেক্ষিতে, সূর্য এবং চাঁদ যথাক্রমে% () এবং% () এর গড় ভগ্নাংশ এলাকা অতিক্রম করে। যেহেতু এই কঠিন কোণগুলি প্রায় একই আকারের, তাই চন্দ্রগ্রহণের সময় পৃথিবী এবং চাঁদের মধ্যে দূরত্বের উপর নির্ভর করে চাঁদ মোট এবং বলয়াকার উভয় সূর্যগ্রহণ ঘটাতে পারে। নির্বিচারে মাত্রায় কঠিন কোণ-মাত্রিক ইউক্লিডীয় স্থানে একক গোলকের সম্পূর্ণ ()-মাত্রিক গোলাকার পৃষ্ঠ দ্বারা বিভক্ত কঠিন কোণকে যে কোনও সংখ্যক মাত্রায় সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। গোলাকার প্রতিসাম্য সহ গণনায় প্রায়শই এই কঠিন কোণ ফ্যাক্টরের প্রয়োজন হয়। এটি সূত্র দ্বারা দেওয়া হয় যেখানে গামা ফাংশন। যখন একটি পূর্ণসংখ্যা হয়, তখন গামা ফাংশন স্পষ্টভাবে গণনা করা যেতে পারে। এটি অনুসরণ করে যে এটি আয়তনের একটি পৃষ্ঠ দ্বারা বেষ্টিত 3ডি গোলকের জন্য 4টি স্টেরাডিয়ান এবং দৈর্ঘ্যের পরিধি দ্বারা বেষ্টিত 2ডি বৃত্তের জন্য 2টি রেডিয়ানের প্রত্যাশিত ফলাফল দেয়। এটি 1ডি ক্ষেত্রে সামান্য কম সুস্পষ্ট 2 দেয়, যেখানে মূল-কেন্দ্রিক 1ডি "গোলক" হল ব্যবধান এবং এটি দুটি সীমাবদ্ধ বিন্দু দ্বারা আবদ্ধ। নির্বিচারে মাত্রায় ভেক্টর সূত্রের প্রতিরূপটি আওমোটো এবং স্বাধীনভাবে রিবান্ডো দ্বারা উদ্ভূত হয়েছিল। এটি তাদের একটি অসীম মাল্টিভ্যারিয়েট টেলর সিরিজ হিসাবে প্রকাশ করেঃ কোণটি সংজ্ঞায়িত একক ভেক্টর দেওয়া হলে, তাদের সংমিশ্রণে গঠিত ম্যাট্রিক্সকে বোঝানো যাক যাতে তম কলামটি হয়, এবং। ভেরিয়েবলগুলি একটি মাল্টিভ্যারিয়েবল গঠন করে। একটি "কংগ্রুয়েন্ট" পূর্ণসংখ্যার জন্য মাল্টিএক্সপোনেন্ট সংজ্ঞায়িত করুন। লক্ষ্য করুন যে এখানে = অ-ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা, অথবা 0 দিয়ে শুরু হওয়া স্বাভাবিক সংখ্যা। সূচকের অর্থ পরিবর্তনশীল, একইভাবে সূচকগুলির জন্য। অতএব, এই শব্দটির অর্থ হল সমস্ত পদের সমষ্টি যেখানে l প্রথম বা দ্বিতীয় সূচক হিসাবে প্রদর্শিত হয়। যেখানে এই সিরিজটি একত্রিত হয়, এটি ভেক্টর দ্বারা সংজ্ঞায়িত কঠিন কোণে একত্রিত হয়। রেফারেন্স আরও পড়া ইরাতুম আইবিড। খণ্ড 50 (2011) পৃষ্ঠা 059801। বাহ্যিক সংযোগ আর্থার পি. নর্টন, এ স্টার অ্যাটলাস, গ্যাল অ্যান্ড ইঙ্গ্লিস, এডিনবার্গ, 1969। এম. জি. কেন্ডাল, এ কোর্স ইন দ্য জ্যামিতি অফ এন ডাইমেনশনস, নং। গ্রিফিনের পরিসংখ্যানগত মনোগ্রাফ এবং কোর্সের 8, সংস্করণ। এম. জি. কেন্ডাল, চার্লস গ্রিফিন অ্যান্ড কোম্পানি লিমিটেড, লন্ডন, 1961 অ্যাঙ্গেল ইউক্লিডিয়ান কঠিন জ্যামিতি