II25,1
{{বিচ্ছিন্নঃ II25,1}} গণিতে, II25,1 হল জোড় 26-মাত্রিক লরেঞ্জিয়ান এককাকার জাল। এর বেশ কয়েকটি অস্বাভাবিক বৈশিষ্ট্য রয়েছে, যা কনওয়ের আবিষ্কার থেকে উদ্ভূত যে এটির একটি আদর্শ শূন্য ওয়েইল ভেক্টর রয়েছে। বিশেষত এটি লিচ ল্যাটিসের সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত এবং কনওয়ে গ্রুপ সিও1 এর অটোমরফিজম গ্রুপের শীর্ষে রয়েছে। গঠন a1b1 + দ্বারা প্রদত্ত (a1,., am + n) এবং (b1,., bm + n)-এর অভ্যন্তরীণ গুণফল সহ m + n-মাত্রিক ভেক্টর স্পেস Rm + n-এর জন্য Rm, n লিখুন। সমস্ত ভেক্টর (a1,., a26) দ্বারা R25,1-এ জালযুক্ত II25,1 এমনভাবে দেওয়া হয় যে সমস্ত এআই পূর্ণসংখ্যা বা সমস্ত পূর্ণসংখ্যা যোগ 1/2, এবং তাদের যোগফল জোড় হয়। প্রতিফলন গোষ্ঠী ল্যাটিস II25,1 হল λ ≈ H-এর সমরূপ যেখানেঃ λ হল লিক ল্যাটিস, H হল 2-মাত্রিক এমনকি লরেঞ্জিয়ান ল্যাটিস, যা 2 আদর্শ 0 ভেক্টর z এবং অভ্যন্তরীণ গুণফল-1 সহ w দ্বারা উৎপন্ন হয় এবং দুটি যোগফল অর্থোগোনাল হয়। সুতরাং আমরা II25,1-এর ভেক্টরকে (λ, m, n) = λ + mz + nw এবং λ-কে λ এবং m, n পূর্ণসংখ্যায় লিখতে পারি, যেখানে (λ, m, n)-এর মান λ2-2mn। স্পষ্টভাবে সমরূপতা দেওয়ার জন্য, ধরা যাক, এবং, যাতে উপস্থানটি 2-মাত্রিক এমনকি লরেঞ্জিয়ান জাল দ্বারা উত্পন্ন হয়। তারপর আইসোমরফিক হয় এবং আমরা λ এর একটি সংজ্ঞা পুনরুদ্ধার করি। কনওয়ে দেখিয়েছেন যে মূলগুলি (আদর্শ 2 ভেক্টর) যার অভ্যন্তরীণ গুণফল-1 সহ w = (0,0,1) প্রতিফলন গোষ্ঠীর সহজ মূল। এগুলি হল লিচ ল্যাটিসের λ-এর ভেক্টর (λ, 1, λ 2/2-1)। অন্য কথায়, সরল শিকড়গুলি লিচ ল্যাটিসের পয়েন্টগুলির সাথে চিহ্নিত করা যেতে পারে এবং উপরন্তু এটি সাধারণ শিকড়ের সেট থেকে লিচ ল্যাটিস পর্যন্ত একটি আইসোমেট্রি। প্রতিফলন গোষ্ঠী হল একটি হাইপারবোলিক প্রতিফলন গোষ্ঠী যা 25-মাত্রিক হাইপারবোলিক স্পেসে কাজ করে। প্রতিফলন গোষ্ঠীর মৌলিক ডোমেনে নিম্নরূপ 1+23 + 284টি শীর্ষের কক্ষপথ রয়েছেঃ আদর্শ 0 ওয়েল ভেক্টরের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ অনন্ততায় একটি শীর্ষ। অনন্তের শীর্ষে 23টি কক্ষপথ মৌলিক ক্ষেত্রের সীমিত সংখ্যক মুখের সাথে মিলিত হয়। এই শীর্ষগুলি লিচ জালকের গভীর গর্তের সাথে মিলে যায় এবং লিচ জাল ছাড়া 23টি নিমিয়ার জালের সাথে মিলে 23টি কক্ষপথ রয়েছে। এই শীর্ষগুলির মধ্যে একটির সাথে মিলিত সরল শিকড়গুলি 24তম স্থানের একটি অ্যাফিন ডাইনকিন রেখাচিত্র গঠন করে। হাইপারবোলিক স্পেসে 284টি শীর্ষস্থ কক্ষপথ। এগুলি লিচ জালকের অগভীর ছিদ্রের 284টি কক্ষপথের সাথে মিলে যায়। এই শীর্ষগুলির যে কোনও একটির সাথে মিলিত সরল শিকড়গুলি 25তম স্থানের একটি গোলাকার ডাইনকিন রেখাচিত্র গঠন করে। অটোমর্ফিজম গ্রুপ II25,1-এর অটোমর্ফিজম গ্রুপকে (II25,1) নিম্নরূপ বর্ণনা করেছে। প্রথমত, অটো (II25,1) হল সময়ের দিক সংরক্ষণকারী অটোমরফিজমের সূচক 2 উপগোষ্ঠী অটো + (II25,1) দ্বারা-1 দ্বারা উত্পন্ন ক্রম 2-এর একটি গোষ্ঠীর গুণফল। অট + (আইআই25,1) গোষ্ঠীর একটি স্বাভাবিক উপগোষ্ঠী রেফ রয়েছে যা এর প্রতিফলন দ্বারা উত্পন্ন হয়, যার সাধারণ শিকড়গুলি লিচ ল্যাটিস ভেক্টরের সাথে মিলে যায়। অটো + (II25,1)/রেফ গ্রুপটি লিচ ল্যাটিসের অ্যাফিন অটোমরফিজমের গ্রুপের সমরূপ, এবং তাই অনুবাদের একটি স্বাভাবিক উপগোষ্ঠী রয়েছে যা λ = Z24-এর সমরূপ, এবং ভাগফলটি লিচ ল্যাটিসের সমস্ত অটোমরফিজমের গ্রুপের সমরূপ, যা কনওয়ে গ্রুপ সিও1-এর একটি দ্বৈত আবরণ, একটি বিক্ষিপ্ত সহজ গ্রুপ। ভেক্টর II25,1-এর প্রতিটি অ-শূন্য ভেক্টরকে একটি আদিম ভেক্টরের ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা গুণিতক হিসাবে অনন্যভাবে লেখা যেতে পারে, তাই সমস্ত ভেক্টরকে শ্রেণীবদ্ধ করার জন্য এটি আদিম ভেক্টরগুলিকে শ্রেণীবদ্ধ করার জন্য যথেষ্ট। ধনাত্মক আদর্শ ভেক্টর একই আদর্শ সহ যে কোনও দুটি ধনাত্মক আদর্শ আদিম ভেক্টর অটোমরফিজম গ্রুপের অধীনে সংযুক্ত হয়। সাধারণ শূন্য ভেক্টর 24টি নিমিয়ার ল্যাটিসের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ আদিম আদর্শ 0 ভেক্টরের 24টি কক্ষপথ রয়েছে। চিঠিপত্রটি নিম্নরূপ দেওয়া হয়েছেঃ যদি z একটি আদর্শ 0 ভেক্টর হয়, তবে ল্যাটিস z/z একটি 24-মাত্রিক জোড় ইউনিমোডুলার ল্যাটিস এবং তাই নিমিয়ার ল্যাটিসগুলির মধ্যে একটি। আই. আই. 25,1-এর প্রতিফলন গোষ্ঠীর আদর্শ 0 ওয়েইল ভেক্টরের সাথে সম্পর্কিত নিমিয়ার জাল হল জোঁক জাল। আদর্শ-2 ভেক্টর-2 ভেক্টরের 121টি কক্ষপথ রয়েছে, যা নির্ধারক 2-এর 25-মাত্রিক জোড় ল্যাটিস এল-এর 121টি আইসোমরফিজম শ্রেণীর সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ। এই চিঠিতে, ল্যাটিস এল ভেক্টর বনাম নর্ম-4 ভেক্টরের অর্থোগোনাল পরিপূরকের সমতুল্য। আদর্শ-4 ভেক্টরের 665টি কক্ষপথ রয়েছে, যা 25-মাত্রিক এককাকার ল্যাটিস এল-এর 665টি সমরূপতা শ্রেণীর সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ। এই চিঠিতে, ল্যাটিস এল-এর জোড় ভেক্টরের সূচক 2টি ভেক্টর ভি-এর অর্থোগোনাল পরিপূরকের সমরূপ। অন্যান্য ভেক্টরের জন্য আদর্শ-2এন-এর ভেক্টরের অনুরূপ কিন্তু ক্রমবর্ধমান জটিল বর্ণনা রয়েছে। এবং এই ধরনের ভেক্টরের কক্ষপথের সংখ্যা বেশ দ্রুত বৃদ্ধি পায়। রেফারেন্স কনওয়ে, জে. এইচ.; স্লোয়েন, এন. জে। এ. (1999)। গোলক প্যাকিং, জাল এবং গোষ্ঠী। (3য় সংস্করণ) ই. বাননাই, আর. ই. বোরচার্ডস, জন লিচ, সাইমন পি. নর্টন, এ. এম. ওডলিজকো, রিচার্ড এ. পার্কার, এল. কুইন এবং বি. বি. ভেঙ্কভ। গ্রান্ডলেহ্রেন ডার ম্যাথমেটিশেন উইসেনশাফটেন, 290। নিউ ইয়র্কঃ স্প্রিংগার-ভার্লাগ। । চতুর্ভুজ গঠন ল্যাটিস বিন্দু বিক্ষিপ্ত গোষ্ঠী মুনশাইন তত্ত্ব জন হর্টন কনওয়ে