Schwarz–Ahlfors–Pick theorem
গণিতে, শোয়ার্জ-আহলফর্স-পিক উপপাদ্যটি হাইপারবোলিক জ্যামিতির জন্য শোয়ার্জ লেম্মার একটি সম্প্রসারণ, যেমন পয়েনকারে অর্ধ-সমতল মডেল। শোয়ার্জ-পিক লেম্মাতে বলা হয়েছে যে একক ডিস্ক ইউ থেকে নিজের কাছে বা উপরের অর্ধ-সমতল এইচ থেকে নিজের কাছে প্রতিটি হোলোমরফিক ফাংশন পয়েন্টগুলির মধ্যে পয়েনকারে দূরত্ব বৃদ্ধি করবে না। পয়েনকারে মেট্রিক সহ একক ডিস্ক ইউ-এর ঋণাত্মক গাউসিয়ান বক্রতা −1 রয়েছে। 1938 সালে, লার্স আহলফর্স একক ডিস্ক থেকে অন্যান্য নেতিবাচক বাঁকানো পৃষ্ঠের মানচিত্রে লেম্মাকে সাধারণীকরণ করেনঃ উপপাদ্য (শোয়ার্জ-আহলফর্স-পিক)। ধরা যাক U হল পয়েনকারে মেট্রিক সহ একক ডিস্ক; ধরা যাক S একটি রিম্যান পৃষ্ঠ যা একটি হার্মিশিয়ান মেট্রিক দ্বারা সমৃদ্ধ যার গাউসিয়ান বক্রতা ≤-1; ধরা যাক একটি হোলোমরফিক ফাংশন। তারপর 1973 সালে শিং-টুং ইয়াউ এই উপপাদ্যের একটি সাধারণীকরণ প্রমাণ করেন। তথ্যসূত্র হাইপারবোলিক জ্যামিতি রিম্যান জটিল বিশ্লেষণে উপপাদ্যকে উপস্থাপন করেন ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতিতে উপপাদ্য