Poincaré metric
গণিতে, হেনরি পয়েনকারে-এর নামে নামকরণ করা পয়েনকারে মেট্রিক হল মেট্রিক টেনসর যা ধ্রুবক ঋণাত্মক বক্রতার একটি দ্বিমাত্রিক পৃষ্ঠকে বর্ণনা করে। এটি প্রাকৃতিক মেট্রিক যা সাধারণত হাইপারবোলিক জ্যামিতি বা রিম্যান পৃষ্ঠের বিভিন্ন গণনায় ব্যবহৃত হয়। দ্বি-মাত্রিক হাইপারবোলিক জ্যামিতিতে সাধারণত তিনটি সমতুল্য উপস্থাপনা ব্যবহৃত হয়। একটি হল পয়েনকারে অর্ধ-সমতল মডেল, যা উপরের অর্ধ-সমতলে হাইপারবোলিক স্থানের একটি মডেলকে সংজ্ঞায়িত করে। পয়েনকারে ডিস্ক মডেল একক ডিস্কে হাইপারবোলিক স্থানের জন্য একটি মডেলকে সংজ্ঞায়িত করে। ডিস্ক এবং উপরের অর্ধেক সমতল একটি সামঞ্জস্যপূর্ণ মানচিত্র দ্বারা সম্পর্কিত, এবং আইসোমেট্রিগুলি মোবিয়াস রূপান্তর দ্বারা দেওয়া হয়। তৃতীয় উপস্থাপনাটি ছিদ্রযুক্ত ডিস্কে থাকে, যেখানে কখনও কখনও কিউ-অ্যানালগের সম্পর্ক প্রকাশ করা হয়। এই বিভিন্ন ফর্মগুলি নীচে পর্যালোচনা করা হয়েছে। রিম্যান পৃষ্ঠতলের মেট্রিকগুলির সংক্ষিপ্ত বিবরণ জটিল সমতলে একটি মেট্রিক সাধারণত এই আকারে প্রকাশ করা যেতে পারে যেখানে λ একটি বাস্তব, এবং এর ধনাত্মক ফাংশন। জটিল সমতলে একটি বক্ররেখার দৈর্ঘ্য γ এইভাবে দেওয়া হয় জটিল সমতলে একটি উপসেটের ক্ষেত্রফল দ্বারা দেওয়া হয় যেখানে আয়তন গঠন করতে ব্যবহৃত বাহ্যিক গুণফলটি কোথায়। মেট্রিকের নির্ধারক সমান, তাই নির্ধারকের বর্গমূল হল। সমতলে ইউক্লিডীয় আয়তনের রূপটি হল এবং তাই একজনের আছে একটি ফাংশনকে মেট্রিকের সম্ভাব্যতা বলা হয় যদি ল্যাপ্লাস-বেলট্রামি অপারেটর দ্বারা দেওয়া হয় মেট্রিকের গাউসীয় বক্রতা দ্বারা দেওয়া হয় এই বক্রতাটি রিচি স্কেলার বক্রতার অর্ধেক। আইসোমেট্রি কোণ এবং চাপ-দৈর্ঘ্য সংরক্ষণ করে। রিম্যান পৃষ্ঠে, আইসোমেট্রিগুলি স্থানাঙ্কের পরিবর্তনের সাথে অভিন্নঃ অর্থাৎ, ল্যাপ্লাস-বেলট্রামি অপারেটর এবং বক্রতা উভয়ই আইসোমেট্রিগুলির অধীনে অপরিবর্তনীয়। সুতরাং, উদাহরণস্বরূপ, ধরা যাক এস মেট্রিক সহ একটি রিম্যান পৃষ্ঠ এবং টি মেট্রিক সহ একটি রিম্যান পৃষ্ঠ। তারপর একটি মানচিত্র একটি আইসোমেট্রি হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি এটি সামঞ্জস্যপূর্ণ হয় এবং যদি। এখানে, মানচিত্রটি সামঞ্জস্যপূর্ণ হওয়ার প্রয়োজনীয়তা বিবৃতিটি ছাড়া আর কিছুই নয়, অর্থাৎ পয়েনকারে সমতলে মেট্রিক এবং ভলিউম উপাদান পয়েনকারে অর্ধ-সমতল মডেলের পয়েনকারে মেট্রিক টেনসর উপরের অর্ধ-সমতল এইচ-এ দেওয়া হয়েছে যেখানে আমরা লিখি এবং। এই মেট্রিক টেনসরটি SL (2, R) ক্রিয়ার অধীনে অপরিবর্তনীয়। অর্থাৎ, যদি আমরা এর জন্য লিখি তবে আমরা এটি বের করতে পারি এবং অসীম রূপান্তরিত হয় এবং এইভাবে এটি স্পষ্ট করে দেয় যে মেট্রিক টেনসর SL (2, R) এর অধীনে অপরিবর্তনীয়। প্রকৃতপক্ষে, অপরিবর্তনীয় আয়তন উপাদান দ্বারা দেওয়া হয় মেট্রিক দ্বারা দেওয়া হয় মেট্রিকের আরেকটি আকর্ষণীয় রূপ ক্রস-অনুপাতের পরিপ্রেক্ষিতে দেওয়া যেতে পারে। যে কোনও চারটি পয়েন্ট দেওয়া হলে এবং কম্প্যাক্টিফাইড জটিল সমতলে ক্রস-অনুপাত দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয় তারপর মেট্রিকটি এখানে দেওয়া হয়, এবং প্রকৃত সংখ্যা লাইনে, জিওডেসিক জয়েনিংয়ের শেষ পয়েন্ট এবং। এগুলি সংখ্যাযুক্ত যাতে এবং এর মধ্যে থাকে। এই মেট্রিক টেনসরের ভূগণিত হল বাস্তব অক্ষের লম্ব বৃত্তাকার চাপ (অর্ধ-বৃত্ত যার উৎপত্তি বাস্তব অক্ষের উপর) এবং বাস্তব অক্ষের উপর শেষ হওয়া সোজা উল্লম্ব রেখা। সমতল থেকে ডিস্কে প্রচলিত মানচিত্র উপরের অর্ধেক সমতলকে মোবিয়াস রূপান্তরের সাথে একক ডিস্কের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণভাবে ম্যাপ করা যেতে পারে যেখানে ডাব্লু হল একক ডিস্কের বিন্দু যা উপরের অর্ধেক সমতলে বিন্দু জেড-এর সাথে মিলে যায়। এই মানচিত্রে, ধ্রুবক z0 উপরের অর্ধেক সমতলে যে কোনও বিন্দু হতে পারে; এটি ডিস্কের কেন্দ্রে ম্যাপ করা হবে। বাস্তব অক্ষ একক ডিস্কের প্রান্তে ম্যাপ করে ধ্রুবক বাস্তব সংখ্যাটি একটি নির্বিচারে নির্দিষ্ট পরিমাণে ডিস্ক ঘোরাতে ব্যবহার করা যেতে পারে। ক্যানোনিকাল ম্যাপিং হল যা i কে ডিস্কের কেন্দ্রে এবং 0 কে ডিস্কের নীচে নিয়ে যায়। পয়েনকারে ডিস্কে মেট্রিক এবং ভলিউম উপাদান পয়েনকারে ডিস্ক মডেলে পয়েনকারে মেট্রিক টেনসর খোলা একক ডিস্কে দেওয়া হয়। পয়েনকারে ডিস্কে ভূতাত্ত্বিক প্রবাহগুলি হল আনোসভ প্রবাহ; সেই নিবন্ধটি এই ধরনের প্রবাহের জন্য স্বরলিপি তৈরি করে। ছিদ্রযুক্ত ডিস্ক মডেল একটি ডিস্কে উপরের অর্ধ-তলের দ্বিতীয় সাধারণ ম্যাপিং হল q-ম্যাপিং যেখানে q হল নাম এবং τ হল অর্ধ-সময়ের অনুপাতঃ পূর্ববর্তী বিভাগগুলির স্বরলিপিতে, τ হল উপরের অর্ধ-সমতলে স্থানাঙ্ক। ম্যাপিংটি ছিদ্রযুক্ত ডিস্কে করা হয়েছে, কারণ মান q = 0 মানচিত্রের ছবিতে নেই। উপরের অর্ধ-তলের পয়েনকারে মেট্রিকটি কিউ-ডিস্কে একটি মেট্রিক প্ররোচিত করে মেট্রিকের সম্ভাব্যতা হল শোয়ার্জ লেম্মা পয়েনকারে মেট্রিকটি হারমোনিক ফাংশনে দূরত্ব-হ্রাস করছে। এটি শোয়ার্জ লেম্মার একটি সম্প্রসারণ, যাকে শোয়ার্জ-আলফর্স-পিক উপপাদ্য বলা হয়। আরও দেখুন ফুচসিয়ান গ্রুপ ফুচসিয়ান মডেল ক্লেইনিয়ান গ্রুপ পয়েনকারে ডিস্ক মডেল পয়েনকারে অর্ধ-সমতল মডেল প্রাইম জিওডেসিক রেফারেন্স হার্শেল এম ফারকাস এবং আরউইন ক্রা, রিমান সারফেস (1980), স্প্রিংগার-ভার্লাগ, নিউ ইয়র্ক। । জার্গেন জোস্ট, কমপ্যাক্ট রিম্যান সারফেসেস (2002), স্প্রিঙ্গার-ভার্লাগ, নিউ ইয়র্ক। (বিভাগ 2.3 দেখুন)। স্বেতলানা কাটোক, ফুচসিয়ান গ্রুপস (1992), ইউনিভার্সিটি অফ শিকাগো প্রেস, শিকাগো (একটি সহজ, সহজে পাঠযোগ্য ভূমিকা প্রদান করে।) সামঞ্জস্যপূর্ণ জ্যামিতি হাইপারবোলিক জ্যামিতি রিমানিয়ান জ্যামিতি রিমান পৃষ্ঠতল মেট্রিক