Ross–Littlewood paradox
রস-লিটলউড প্যারাডক্স (বল এবং ফুলদানি সমস্যা বা পিং পং বল সমস্যা নামেও পরিচিত) বিমূর্ত গণিত এবং যুক্তিতে একটি অনুমানমূলক সমস্যা যা অসীমের প্যারাডক্সিকাল, বা কমপক্ষে অ-স্বজ্ঞাত, প্রকৃতি চিত্রিত করার জন্য ডিজাইন করা হয়েছে। আরও সুনির্দিষ্টভাবে, থমসনের ল্যাম্প প্যারাডক্সের মতো, রস-লিটলউড প্যারাডক্স একটি সুপারটাস্কের ধারণার সাথে ধারণাগত অসুবিধাগুলি চিত্রিত করার চেষ্টা করে, যেখানে অসীম সংখ্যক কাজ ক্রমানুসারে সম্পন্ন হয়। এই সমস্যাটি মূলত গণিতবিদ জন ই. লিটলউড তাঁর 1953 সালের বই লিটলউড 'স মিসেলানি-তে বর্ণনা করেছিলেন এবং পরে শেলডন রস তাঁর 1988 সালের বই এ ফার্স্ট কোর্স ইন প্রবেবিলিটি-তে এটিকে প্রসারিত করেছিলেন। সমস্যাটি একটি খালি ফুলদানি এবং বলের অসীম সরবরাহ দিয়ে শুরু হয়। তারপরে অসীম সংখ্যক ধাপ সঞ্চালিত হয়, যাতে প্রতিটি ধাপে 10টি বল ফুলদানিতে যোগ করা হয় এবং এটি থেকে 1টি বল সরানো হয়। তারপর প্রশ্ন করা হয়ঃ কাজ শেষ হলে ফুলদানিতে কতগুলি বল থাকে? অসীম সংখ্যক ধাপ সম্পন্ন করার জন্য, ধরে নেওয়া হয় যে ফুলদানিটি দুপুরের আগে এক মিনিটে খালি থাকে এবং নিম্নলিখিত পদক্ষেপগুলি সম্পাদন করা হয়ঃ প্রথম ধাপটি দুপুরের আগে 30 সেকেন্ডে সঞ্চালিত হয়। দ্বিতীয় ধাপটি দুপুরের 15 সেকেন্ড আগে করা হয়। পরবর্তী প্রতিটি ধাপ পূর্ববর্তী ধাপের অর্ধেক সময়ে সঞ্চালিত হয়, অর্থাৎ, ধাপ এন দুপুরের 2 মিনিট আগে সঞ্চালিত হয়। এটি নিশ্চিত করে যে দুপুরের মধ্যে অগণিত সংখ্যক ধাপ সম্পন্ন করা হবে। যেহেতু পরবর্তী প্রতিটি পদক্ষেপে আগের ধাপের অর্ধেক সময় লাগে, তাই এক মিনিট পেরিয়ে যাওয়ার মধ্যে অসীম সংখ্যক ধাপ সম্পন্ন হয়। প্রশ্ন হল, দুপুরের দিকে ফুলদানিতে কয়টি বল থাকে? সমাধান ধাঁধার উত্তরগুলি বিভিন্ন বিভাগে পড়ে। ফুলদানিতে অসীম সংখ্যক বল থাকে সবচেয়ে স্বজ্ঞাত উত্তরটি মনে হয় যে ফুলদানিতে দুপুরের মধ্যে অসীম সংখ্যক বল থাকে, কারণ প্রতিটি পদক্ষেপে অপসারণের চেয়ে বেশি বল যোগ করা হচ্ছে। সংজ্ঞা অনুসারে, প্রতিটি ধাপে আগের ধাপের তুলনায় বেশি সংখ্যক বল থাকবে। প্রকৃতপক্ষে এমন কোনও ধাপ নেই যেখানে আগের ধাপ থেকে বলের সংখ্যা হ্রাস করা হয়। যদি প্রতিবার বলের সংখ্যা বৃদ্ধি পায়, তাহলে অসীম ধাপের পরে অসীম সংখ্যক বল থাকবে। ফুলদানি খালি মনে করুন যে বলের অসীম সরবরাহের বলগুলি সংখ্যাযুক্ত ছিল এবং 1 বল থেকে 1 থেকে 10 ধাপে ফুলদানিতে ঢোকানো হয় এবং 1 নম্বর বলটি তারপর সরানো হয়। দ্বিতীয় ধাপে, 11 থেকে 20 বল ঢোকানো হয় এবং তারপর 2 বল সরানো হয়। এর অর্থ হল, দুপুরের মধ্যে, ফুলদানিতে এন লেবেলযুক্ত প্রতিটি বল অবশেষে পরবর্তী ধাপে (যথা, ধাপ এন-এ) সরানো হয়। তাই দুপুরের দিকে ফুলদানি খালি থাকে। এই সমাধানটি গণিতবিদ অ্যালিস এবং কোয়েটসিয়ার দ্বারা সমর্থিত। এই যুক্তিটির সংমিশ্রণ হল যে ফুলদানিটি দুপুরের সময় খালি থাকে, আরও স্বজ্ঞাত উত্তরের সাথে যে ফুলদানিতে অসীম সংখ্যক বল থাকা উচিত, যা এই সমস্যাটিকে রস-লিটলউড প্যারাডক্স নামে অভিহিত করেছে। সমস্যার বিষয়ে রসের সম্ভাব্য সংস্করণটি অপসারণ পদ্ধতিকে এমন ক্ষেত্রে প্রসারিত করেছিল যেখানে যখনই কোনও বল প্রত্যাহার করতে হয় তখন সেই সময় ফুলদানিতে উপস্থিত বলগুলির মধ্যে থেকে সেই বলটি সমানভাবে এলোমেলোভাবে নির্বাচন করা হয়। এই ক্ষেত্রে তিনি দেখিয়েছিলেন যে কোনও নির্দিষ্ট বল দুপুরের সময় ফুলদানিতে থাকার সম্ভাবনা 0 ছিল এবং তাই, বুলের অসমতা ব্যবহার করে এবং বলের উপর একটি গণনাযোগ্য যোগফল গ্রহণ করে, যে দুপুরের সময় ফুলদানি খালি হওয়ার সম্ভাবনা 1 ছিল। প্রকৃতপক্ষে, যে বলের সংখ্যা দিয়ে শেষ হয় তা নির্ভর করে ফুলদানি থেকে বলগুলি সরানোর ক্রমের উপর। আগে যেমন বলা হয়েছে, বলগুলি এমনভাবে যোগ করা এবং অপসারণ করা যেতে পারে যাতে দুপুরের দিকে ফুলদানিতে কোনও বল অবশিষ্ট না থাকে। তবে, যদি প্রথম ধাপে 10 নম্বর বল, দ্বিতীয় ধাপে 20 নম্বর বল ইত্যাদি ফুলদানি থেকে সরানো হয়, তাহলে এটা স্পষ্ট যে দুপুরের দিকে ফুলদানে অসীম সংখ্যক বল অবশিষ্ট থাকবে। প্রকৃতপক্ষে, বিভিন্ন ধাপে কোন বলটি সরানো হয় তার উপর নির্ভর করে, যে কোনও নির্বাচিত সংখ্যক বল দুপুরের মধ্যে ফুলদানে রাখা যেতে পারে, যেমন নীচের পদ্ধতিটি দেখায়। এই সমাধানটি দার্শনিক যুক্তিবিদ টম টিমোকোকো এবং গণিতবিদ যুক্তিবিদ জিম হেনলে দ্বারা সমর্থিত। এই সমাধানটি গাণিতিকভাবে সেটগুলির ক্রমের নিকৃষ্টতম সীমা নেওয়ার সাথে মিলে যায়। নিম্নলিখিত পদ্ধতিটি সঠিকভাবে বর্ণনা করে যে কিভাবে একটি নির্বাচিত সংখ্যক বল ফুলদানিতে অবশিষ্ট রাখা যায়। ধরা যাক n ফুলদানিতে বলের কাঙ্ক্ষিত চূড়ান্ত সংখ্যা নির্দেশ করে (n ≤ 0)। ধরা যাক i বর্তমানে সংঘটিত অপারেশনের সংখ্যা নির্দেশ করে (i ≤1)। পদ্ধতিঃ i = 1 থেকে অনন্তের জন্যঃ (10 * i-9) থেকে (10 * i) পর্যন্ত সংখ্যাযুক্ত বলগুলি ফুলদানিতে রাখুন যদি i ≤ n হয় তবে বল নম্বর 2 * i সরিয়ে ফেলুন যদি i> n হয় তবে বল নম্বর n + i সরিয়ে ফেলুন স্পষ্টতই, প্রথম n বিজোড় বলগুলি সরানো হয় না, যখন 2n এর চেয়ে বড় বা সমান সমস্ত বল হয়। অতএব, ঠিক এন বলগুলি ফুলদানিতে থাকে। যদিও বল এবং ফুলদানির অবস্থা দুপুরের আগে প্রতিটি মুহুর্তে ভালভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়, তবে দুপুরের পরে বা পরে কোনও মুহুর্তে কোনও সিদ্ধান্ত নেওয়া যায় না। সুতরাং, আমরা সবাই জানি, দুপুরের দিকে ফুলদানিটি কেবল যাদুকরীভাবে অদৃশ্য হয়ে যায়, বা এটির সাথে অন্য কিছু ঘটে। কিন্তু আমরা জানি না, কারণ সমস্যার বিবৃতিটি এ সম্পর্কে কিছুই বলে না। অতএব, পূর্ববর্তী সমাধানের মতো, এই সমাধানটি বলে যে সমস্যাটি অনির্দিষ্ট, তবে পূর্ববর্তী সমাধানের চেয়ে আলাদা উপায়ে। গণিতের দার্শনিক পল বেনাসেরাফ এই সমাধানের পক্ষে মত দিয়েছেন। সমস্যাটি অসম্পূর্ণ, সমস্যাটি অসম্পূর্ণ। সুনির্দিষ্টভাবে বলতে গেলে, সমস্যার বিবৃতি অনুসারে, দুপুরের আগে অসীম সংখ্যক অপারেশন করা হবে এবং তারপর দুপুরের পরিস্থিতি সম্পর্কে জিজ্ঞাসা করা হবে। কিন্তু, জেনোর প্যারাডক্সের মতো, যদি দুপুরের আগে অসীম সংখ্যক অপারেশন (ক্রমানুসারে) করতে হয়, তবে দুপুর এমন একটি সময় যা কখনই পৌঁছানো যায় না। অন্যদিকে, দুপুরের সময় কত বল বাকি থাকবে তা জিজ্ঞাসা করার অর্থ হল দুপুরের সময় পৌঁছে যাবে। সুতরাং সমস্যার বক্তব্যের মধ্যেই একটি দ্বন্দ্ব নিহিত রয়েছে এবং এই দ্বন্দ্বটি হল এই ধারণা যে কেউ কোনওভাবে অসীম সংখ্যক পদক্ষেপ 'সম্পূর্ণ' করতে পারে। এই সমাধানটি গণিতবিদ এবং দার্শনিক জঁ পল ভ্যান বেণ্ডেগেম দ্বারা সমর্থিত। আরও দেখুন সুপারটাস্ক থমসন 'স ল্যাম্প জেনো' স প্যারাডক্স হিলবার্ট 'স প্যারাডক্স অফ দ্য গ্র্যান্ড হোটেল রেফারেন্স। বেলা বোলোবাস), কেমব্রিজ ইউনিভার্সিটি প্রেস, কেমব্রিজ, 1986. পৃ. 26। (প্রথম প্রকাশিত হয় "এ ম্যাথমেটিশিয়ান 'স মিসেলানি" নামে। বেলা বোলোবাস, মেথুয়েন অ্যান্ড কোং, 1953) "টাস্কস, সুপার-টাস্কস, অ্যান্ড মডার্ন এলিটিক্স", পল বেনাসেরাফ, জার্নাল অফ ফিলোসফি, এলআইএক্স, 1962, পৃ। 765-784 "সম্ভাবনার একটি প্রথম কোর্স", শেলডন রস, নিউ ইয়র্কঃ ম্যাকমিলান, 1976 "অন সাম প্যারাডক্সস অফ দ্য ইনফাইনাইট", ভিক্টর অ্যালিস এবং টিউনিস কোয়েটসিয়ার, দ্য ব্রিটিশ জার্নাল ফর দ্য ফিলোসফি অফ সায়েন্স, v. 42 n. 2, জুন 1991, পৃ. "রস প্যারাডক্স ইজ অ্যান ইম্পসিবল সুপার-টাস্ক", জিন পল ভ্যান বেন্ডেগেম, দ্য ব্রিটিশ জার্নাল ফর দ্য ফিলোসফি অফ সায়েন্স, v. 45 n. 2, জুন 1994, পৃ. 743-748 "ইনফাইনাইট পেইনসঃ দ্য ট্রাবল উইথ সুপারটাস্কস", ইয়ারম্যান, জে. এবং নর্টন, জে. ডি., ইন এস. স্টিচ (সংস্করণ) পল বেনাসেরাফঃ দ্য ফিলোসফার অ্যান্ড হিজ ক্রিটিকস (নিউ ইয়র্কঃ ব্ল্যাকওয়েল), 1994 "সুইট রিজনঃ এ ফিল্ড গাইড টু মডার্ন লজিক", টম টিমোকোকো এবং জিম হেনলে, ফ্রিম্যান প্রেস, 1995 সুপারটাস্কস প্যারাডক্স অফ ইনফিনিটি