Busemann function
জ্যামিতিক টপোলজিতে, বুসম্যান ফাংশনগুলি হাদামার্ড স্পেসে এবং বিশেষত হাদামার্ড ম্যানিফোল্ডগুলিতে ভূগণিতের বড় আকারের জ্যামিতি অধ্যয়নের জন্য ব্যবহৃত হয় (কেবল অ-ইতিবাচক বক্রতার সম্পূর্ণ রিম্যানিয়ান ম্যানিফোল্ড সংযুক্ত)। এগুলির নামকরণ করা হয়েছে হারবার্ট বুসম্যানের নামে, যিনি এগুলির পরিচয় দিয়েছিলেন; তিনি তাঁর 1955 সালের বই "দ্য জিওমেট্রি অফ জিওডেসিকস"-এ এই বিষয়টির একটি বিস্তৃত বিবরণ দিয়েছেন। সংজ্ঞা এবং প্রাথমিক বৈশিষ্ট্যগুলি একটি মেট্রিক স্পেস হিসাবে ধরা যাক। একটি জিওডেসিক রশ্মি এমন একটি পথ যা তার দৈর্ঘ্য বরাবর সর্বত্র দূরত্বকে ন্যূনতম করে। অর্থাৎ, সকলের জন্য, সমতুল্যভাবে, একটি রশ্মি হল "ক্যানোনিকাল রশ্মি" (ইউক্লিডীয় মেট্রিক দিয়ে সজ্জিত সেট) থেকে মেট্রিক স্পেস এক্স-এ একটি আইসোমেট্রি। একটি রশ্মি γ দেওয়া হলে, বুসম্যান ফাংশনটি দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয় সুতরাং, যখন t খুব বড় হয়, তখন দূরত্ব প্রায় সমান হয়। একটি রশ্মি γ দেওয়া হলে, এর বুসম্যান ফাংশনটি সর্বদা সুনির্দিষ্টভাবে সংজ্ঞায়িত হয়ঃ প্রকৃতপক্ষে উপরের ডান দিকটি কম্প্যাক্টায় বাম দিকে পয়েন্টওয়াইজ থাকে, যেহেতু এটি উপরের দ্বারা আবদ্ধ এবং ক্রমবর্ধমান নয় কারণ, যদি, এটি ত্রিভুজ অসমতা থেকে তাৎক্ষণিক হয় তবে এটি অভিন্নভাবে অবিচ্ছিন্ন। আরও সুনির্দিষ্টভাবে, উপরের অনুমানটি দেখায় যে বুসম্যান ফাংশনগুলি ধ্রুবক 1 সহ লিপস্কিটজ ফাংশন। ডিনির উপপাদ্য অনুসারে, ফাংশনগুলি কমপ্যাক্ট সেটগুলিতে অভিন্নভাবে থাকে কারণ টি অসীমের দিকে থাকে। উদাহরণস্বরূপঃ পয়েনকারে ডিস্ক ধরা যাক পয়েনকারে মেট্রিক সহ জটিল সমতলে একক ডিস্ক হতে হবে তারপর, এবং, বুসম্যান ফাংশনটি দেওয়া হয় যেখানে ডান দিকের বন্ধনীতে শব্দটি একক ডিস্কের জন্য পয়সন কার্নেল এবং মূল থেকে, দিকে রেডিয়াল জিওডেসিকের সাথে মিলে যায়। এর গণনা হ্রাস করা যেতে পারে, যেহেতু মোবিয়াস রূপান্তরের অধীনে মেট্রিক অপরিবর্তনীয়; ভূগণিতের মাধ্যমে যেখানে 1-পরামিতি উপগোষ্ঠী রয়েছে, উপরের সূত্রটিও মোবিয়াস ইনভ্যারিয়েন্স দ্বারা বুসেমান ফাংশনকে সম্পূর্ণরূপে নির্ধারণ করে। বুসম্যান একটি হ্যাডামার্ড স্পেসে কাজ করে একটি হ্যাডামার্ড স্পেসে, যেখানে যে কোনও দুটি বিন্দু একটি অনন্য জিওডেসিক সেগমেন্ট দ্বারা যুক্ত হয়, ফাংশনটি উত্তল, অর্থাৎ। জিওডেসিক বিভাগের উপর উত্তল। স্পষ্টতই এর অর্থ হল যে যদি সেই বিন্দুটি যা অনুপাতে বিভক্ত হয়, তাহলে। স্থিরতার জন্য ফাংশনটি উত্তল এবং তাই এর অনুবাদগুলিও হয়; বিশেষত, যদি একটি জিওডেসিক রশ্মি হয়, তবে উত্তল হয়। যেহেতু বুসম্যান ফাংশন হল পয়েন্টওয়াইজ সীমা, তাই বুসম্যান ফাংশনগুলি হ্যাডামার্ড স্পেসে উত্তল। একটি হ্যাডামার্ড স্পেসে, ফাংশনগুলি এর যে কোনও সীমাবদ্ধ উপসেটে অভিন্নভাবে একত্রিত হয়। যাক। যেহেতু আর্ক্লেন্থ দ্বারা প্যারামিটারাইজ করা হয়, হাদামার্ড স্পেসের জন্য আলেকজাণ্ডারভের প্রথম তুলনা উপপাদ্য বোঝায় যে ফাংশনটি উত্তল। অতএব এইভাবে যাতে t-এর প্রবণতা φ-এর দিকে থাকে, এটি অনুসরণ করে যে তাই আবদ্ধ সেটগুলিতে অভিসরণ অভিন্ন। লক্ষ্য করুন যে উপরের অসমতাটি (তার প্রমাণ সহ) ভূগণিত বিভাগগুলির জন্যও রয়েছেঃ যদি একটি ভূগণিত বিভাগ শুরু হয় এবং আর্ক্লেন্থ দ্বারা প্যারামিট্রাইজ করা হয় তবে পরেরটি ধরে নিন যে এটি একটি হ্যাডামার্ড স্থানের বিন্দু, এবং যেখানে এবং এর মাধ্যমে ভূগণিত হতে দিন। এই জিওডেসিক বিন্দুতে বন্ধ বলের সীমানা কেটে দেয়। সুতরাং যদি, এই ধরনের সঙ্গে একটি বিন্দু আছে। বুসম্যান ফাংশনের ক্ষেত্রে এই অবস্থা অব্যাহত থাকে। বুসম্যান ফাংশনের বৈশিষ্ট্যের বিবৃতি এবং প্রমাণ একটি হ্যাডামার্ড স্থানের বদ্ধ উত্তল উপসেটগুলির উপর একটি মৌলিক উপপাদ্যের উপর নির্ভর করে, যা হিলবার্ট স্থানের অর্থোগোনাল অভিক্ষেপকে সাধারণীকরণ করেঃ যদি একটি হ্যাডামার্ড স্থানের একটি বদ্ধ উত্তল সেট হয়, তবে প্রতিটি বিন্দুর একটি অনন্য নিকটতম বিন্দু থাকে এবং; উপরন্তু অনন্যভাবে সেই বৈশিষ্ট্য দ্বারা নির্ধারিত হয়, যার জন্য, যাতে ইউক্লিডীয় তুলনা ত্রিভুজের কোণটি এর চেয়ে বড় বা সমান হয়। যদি একটি হ্যাডামার্ড স্পেসে একটি বুসম্যান ফাংশন হয়, তবে, এবং দেওয়া হয়, এর সাথে একটি অনন্য বিন্দু রয়েছে। স্থিরের জন্য, বিন্দুটি বন্ধ উত্তল বিন্দুর সেটের নিকটতম বিন্দু যা ক্রমাগত তার উপর নির্ভর করে। ধরা যাক সবচেয়ে কাছের পয়েন্ট। তারপর এবং তাই ন্যূনতম করা হয় যেখানে অনন্য বিন্দুটি সর্বনিম্ন করা হয়। লিপস্কিটজ অবস্থা দ্বারা। দাবিটি প্রমাণ করার জন্য, এটি দেখানোর জন্য যথেষ্ট, অর্থাৎ। । অন্যদিকে, ফাংশনের যে কোনও বদ্ধ বলের অভিন্ন সীমা। উপর, এগুলি পয়েন্ট দ্বারা সর্বনিম্ন করা হয়। অতএব অন-এর অসীম হল এবং থাকে। এইভাবে সঙ্গে এবং দিকে প্রবণতা। এর নিকটতম বিন্দু হতে দিন। যাক। তারপর, এবং, লিপস্কিটজ শর্ত অনুসারে, চালু। বিশেষ করে প্রবণতা। যদি প্রয়োজন হয় তবে একটি ধারাবাহিকতায় পাস করা অনুমান করা যেতে পারে যে এবং উভয়ই বৃদ্ধি পাচ্ছে। উত্তল অপ্টিমাইজেশনের জন্য বৈষম্য বোঝায় যে জন্য। সুতরাং এটি একটি কচি ক্রম। যদি এর সীমা থাকে, তাহলে এবং। স্বতন্ত্রতার দ্বারা এটি অনুসরণ করে এবং তাই, প্রয়োজন অনুযায়ী। অভিন্ন সীমাবদ্ধতা। উপরের যুক্তিটি আরও সাধারণভাবে প্রমাণ করে যে যদি অসীমের দিকে প্রবণতা থাকে এবং ফাংশনগুলি আবদ্ধ সেটগুলিতে সমানভাবে প্রবণতা দেখায়, তবে উত্তল, লিপশিটজ ধ্রুবক 1 সহ লিপশিটজ এবং, এবং দেওয়া হয়েছে, এর সাথে একটি অনন্য বিন্দু রয়েছে। অন্যদিকে যদি ক্রমটি আবদ্ধ হয়, তবে সমস্ত পদগুলি কোনও বদ্ধ বলে থাকে এবং সেখানে অভিন্ন অভিসরণ বোঝায় যে এটি একটি কচি ক্রম তাই কিছুতে একত্রিত হয়। সুতরাং, একই ফর্মের একটি ফাংশনকে অভিন্নভাবে প্রবণতা দেয়। একই যুক্তি আরও দেখায় যে ফাংশনগুলির শ্রেণী যা একই তিনটি শর্ত পূরণ করে (উত্তল, লিপশিটজ এবং বদ্ধ বলগুলিতে মিনিমা থাকা) সীমাবদ্ধ সেটগুলিতে অভিন্ন সীমা গ্রহণের অধীনে বন্ধ করা হয়। মন্তব্য করুন। লক্ষ্য করুন যে, যেহেতু একটি হাদামার্ড স্থানের হাদামার্ড উপসেটের যে কোনও বদ্ধ উত্তল উপসেটও একটি হাদামার্ড স্থান, তাই হাদামার্ড স্থানের যে কোনও বদ্ধ বল একটি হাদামার্ড স্থান। বিশেষ করে এমনটা হওয়ার প্রয়োজন নেই যে, প্রতিটি ভূগণিত বিভাগ সম্পূর্ণ বা এমনকি একটি আধা-অসীম ব্যবধানের উপর সংজ্ঞায়িত ভূগণিতের মধ্যে রয়েছে। হিলবার্ট স্থানের বদ্ধ একক বল একটি সুস্পষ্ট উদাহরণ দেয় যা সঠিক মেট্রিক স্থান নয়। যদি একটি উত্তল ফাংশন হয়, তবে ধ্রুবক 1 সহ লিপশিটজ এবং সীমানার একটি অনন্য বিন্দুতে ব্যাসার্ধকে কেন্দ্র করে যে কোনও বদ্ধ বলের উপর তার সর্বনিম্ন অনুমান করে, তবে প্রত্যেকটির জন্য একটি অনন্য ভূগাণিতিক রশ্মি থাকে যা প্রতিটি বদ্ধ উত্তল সেটকে কেটে দেয়। বিশেষ করে এটি প্রতিটি বুসম্যান ফাংশনের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য। তৃতীয় শর্তটি বোঝায় যে এটি বন্ধ উত্তল বিন্দুর সেটের নিকটতম বিন্দু। জিওডেসিক জয়েনিং হতে দিন। তারপর একটি উত্তল লিপশিৎজ ফাংশন চালু থাকে যার লিপশিৎজ ধ্রুবক 1 সন্তোষজনক এবং এবং। তাই সর্বত্র অদৃশ্য হয়ে যায়, যদি এবং থেকে। তাই তো। স্বতন্ত্রতার দ্বারা এটি অনুসরণ করে যে এটি নিকটতম বিন্দু এবং এটি অনন্য বিন্দু যা হ্রাস করে। অনন্যতা বোঝায় যে এই ভূগণিত বিভাগগুলি নির্বিচারে মিলে যায় এবং তাই এটি বর্ণিত বৈশিষ্ট্যের সাথে একটি ভূগণিত রশ্মি পর্যন্ত প্রসারিত হয়। যদি, তাহলে শুরু হওয়া জিওডেসিক রশ্মি সন্তুষ্ট হয়। যদি অন্য একটি রশ্মি তখন থেকে শুরু হয়। প্রথম দাবিটি প্রমাণ করার জন্য, এটি যথেষ্ট বড় কিনা তা পরীক্ষা করা যথেষ্ট। সেক্ষেত্রে এবং বন্ধ উত্তল সেটের উপর এবং তার উপর প্রজেকশনগুলি হয়। অতএব, তাই তো। দ্বিতীয় দাবিটি অনুসরণ করে কারণ এটি উত্তল এবং আবদ্ধ, তাই, যদি এটি অদৃশ্য হয়ে যায় তবে অবশ্যই সর্বত্র অদৃশ্য হয়ে যেতে হবে। ধরুন এটি একটি অবিচ্ছিন্ন উত্তল ফাংশন এবং প্রত্যেকটির জন্য একটি অনন্য জিওডেসিক রশ্মি রয়েছে যা প্রতিটি বদ্ধ উত্তল সেটকে কেটে দেয়, যাতে; তারপর একটি বুসেমান ফাংশন। এটি একটি ধ্রুবক ফাংশন। এর সাথে বিন্দুগুলির বদ্ধ উত্তল সেট হতে দিন। যেহেতু প্রতিটি বিন্দুর জন্য একটি হ্যাডামার্ড স্থান রয়েছে, সেখানে একটি অনন্য নিকটতম বিন্দু রয়েছে। এটি ক্রমাগত নির্ভর করে এবং যদি বাইরে থাকে, তবে হাইপারসার্ফেস-এর সীমানা-এর উপর অবস্থিত এবং উত্তল অপ্টিমাইজেশনের বৈষম্যকে সন্তুষ্ট করে। জিওডেসিক রশ্মি থেকে শুরু করা যাক। ঠিক করে নিন। জিওডেসিক রশ্মি থেকে শুরু করা যাক। ধরা যাক, বুসম্যান বেস পয়েন্টের সাথে কাজ করে। বিশেষ করে। এটা দেখানোর জন্যই যথেষ্ট। এখন সঙ্গে নিন এবং এর সাথে সম্পর্কিত শুরু হওয়া জিওডেসিক রশ্মি হতে দিন। তারপর অন্যদিকে, যে কোনও চারটি বিন্দুর জন্য,, একটি হাদামার্ড স্পেসে, রেশেতনিয়াকের নিম্নলিখিত চতুর্ভুজ বৈষম্য ধারণ করেঃ সেটিং,,,, এটি অনুসরণ করে যাতে তাই। একইভাবে। সুতরাং স্তরের পৃষ্ঠের উপর ধারণকারী। এখন জন্য এবং ভিতরে, জিওডেসিক রশ্মি শুরু করা যাক। তারপর এবং। উপরন্তু, সীমাবদ্ধতার দ্বারা,। এই ফলাফলটি সমস্ত স্তরের পৃষ্ঠে পরিবহনের জন্য প্রবাহটি ব্যবহার করা যেতে পারে। সাধারণভাবে, যদি, তা নিয়ে সেট করুন। তারপর, কোথায়। কিন্তু তারপর, তাই। অতএব, প্রয়োজন অনুযায়ী। একইভাবে যদি, এমনভাবে নিন। যাক। তারপর, তাই। অতএব, প্রয়োজন অনুযায়ী। পরিশেষে দুটি ভূগণিতের জন্য একই বুসেমান ফাংশনকে ধ্রুবক পর্যন্ত সংজ্ঞায়িত করার জন্য প্রয়োজনীয় এবং পর্যাপ্ত শর্ত রয়েছেঃ একটি হ্যাডামার্ড স্পেসে, দুটি ভূগণিত রশ্মির বুসেমান ফাংশন এবং একটি ধ্রুবক দ্বারা পৃথক হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি। প্রথমে মনে করুন যে এবং বুসম্যান ফাংশন সহ দুটি জিওডেসিক রশ্মি একটি ধ্রুবক দ্বারা পৃথক। একটি ধ্রুবক দ্বারা একটি ভূগণিতের যুক্তি স্থানান্তর করলে, এটি ধরে নেওয়া যেতে পারে যে, ধরুন। যার উপর বদ্ধ উত্তল সেট করা আছে ধরা যাক। তারপর এবং একইভাবে। তারপর, পয়েন্টগুলির জন্য এবং নিকটতম পয়েন্ট এবং ইন রয়েছে, যাতে। তাই তো। এখন মনে করুন। এর সাথে সম্পর্কিত থেকে শুরু হওয়া জিওডেসিক রশ্মি হতে দিন। তারপর। তাই তো। যেহেতু এবং উভয়ই শুরু হয়, এটি অনুসরণ করে। পূর্ববর্তী ফলাফল দ্বারা এবং একটি ধ্রুবক দ্বারা পৃথক; সুতরাং এবং একটি ধ্রুবক দ্বারা পৃথক। সংক্ষেপে বলতে গেলে, উপরের ফলাফলগুলি একটি হ্যাডামার্ড স্পেসে বুসম্যান ফাংশনের নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্য প্রদান করেঃ থিওরেম। একটি হ্যাডামার্ড স্পেসে, একটি ফাংশনের নিম্নলিখিত শর্তগুলি সমতুল্যঃ এটি একটি বুসম্যান ফাংশন। একটি উত্তল ফাংশন, লিপশিটজ ধ্রুবক সহ এবং সীমানার একটি অনন্য বিন্দুতে ব্যাসার্ধকে কেন্দ্র করে যে কোনও বদ্ধ বলের উপর তার সর্বনিম্ন অনুমান করে। একটি অবিচ্ছিন্ন উত্তল ফাংশন এবং প্রত্যেকটির জন্য একটি অনন্য ভূগাণিতিক রশ্মি রয়েছে এবং যে কোনওটির জন্য, রশ্মি প্রতিটি বদ্ধ উত্তলকে কেটে দেয়। একটি হ্যাডামার্ড স্থানের সীমানা নির্ধারণ পূর্ববর্তী বিভাগে এটি দেখানো হয়েছিল যে যদি একটি হ্যাডামার্ড স্থান হয় এবং এটি একটি নির্দিষ্ট বিন্দু হয় তবে বুসম্যান ফাংশনের স্থানের মিলন অদৃশ্য হয়ে যায় এবং সীমাবদ্ধ সেটগুলিতে অভিন্ন সীমা গ্রহণের অধীনে ফাংশনের স্থান বন্ধ হয়ে যায়। এই ফলাফলটি সীমানা নির্ধারণের ধারণায় আনুষ্ঠানিক করা যেতে পারে। এই টপোলজিতে, বিন্দুগুলি একটি জিওডেসিক রশ্মির দিকে প্রবণতা দেখায় যা শুরু হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি প্রবণতা থেকে দূরে প্রতিটি বিভাগের বিন্দু নিয়ে প্রাপ্ত ক্রমটি নির্বিচারে বড় হয়। যদি একটি মেট্রিক স্থান হয়, তাহলে গ্রোমোভের সীমানা নিম্নরূপ সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। একটি পয়েন্ট ঠিক করুন এবং ঢুকতে দিন। লিপস্কিটজ কন্টিনিউয়াস ফাংশনের স্থান চালু থাকুক, অর্থাৎ। যার জন্য কিছু ধ্রুবক। স্থানটি সেমিনোর্ম দ্বারা টপোলোজাইজ করা যেতে পারে, যা আবদ্ধ সেটগুলিতে অভিন্ন অভিসারের টপোলজি। সেমিনর্মগুলি লিপস্কিটজ অবস্থার দ্বারা সীমাবদ্ধ। এই টপোলজিটি প্রাকৃতিক মানচিত্র দ্বারা ক্রমাগত আবদ্ধ ফাংশনের বানাচ স্থানগুলির সরাসরি উৎপাদনে প্ররোচিত হয়। এটি মেট্রিক দ্বারা দেওয়া হয়। ফাংশনে পাঠিয়ে স্থানটি এম্বেড করা হয়। ভিতরে বন্ধ হতে দিন। তারপর পরিমাপযোগ্য, যেহেতু আছে, এবং একটি উন্মুক্ত উপসেট হিসাবে রয়েছে; উপরন্তু বেসপয়েন্টের বিভিন্ন পছন্দ থেকে উদ্ভূত সীমানা স্বাভাবিকভাবেই সমরূপ। যাক। তারপর শুয়ে পড়ে। এটি অ-শূন্য চালু এবং শুধুমাত্র এ-তে অদৃশ্য হয়ে যায়। সুতরাং এটি শূন্য সেট সহ একটি অবিচ্ছিন্ন ফাংশনে প্রসারিত হয়। এটি অনুসরণ করে যা প্রয়োজন অনুযায়ী বন্ধ করা হয়। বেসপয়েন্ট থেকে স্বাধীন কিনা তা পরীক্ষা করার জন্য, এটি দেখানো যথেষ্ট যে এটি একটি অবিচ্ছিন্ন ফাংশন পর্যন্ত প্রসারিত। কিন্তু, তাই, ভিতরে,। অতএব জন্য এবং জন্য কম্প্যাক্টিফিকেশনের মধ্যে যোগাযোগ পাঠানো হয়। হাদামার্ড স্থান কখন হয়, বুসম্যান ফাংশন ব্যবহার করে জিওডেসিক রশ্মির "অ্যাসিম্পটোটিক সীমা" হিসাবে গ্রোমভের আদর্শ সীমানা স্পষ্টভাবে উপলব্ধি করা যেতে পারে। যদি ইন করার প্রবণতা সহ একটি সীমাহীন ক্রম হয়, তবে অদৃশ্য হয়ে যায়, উত্তল হয়, লিপশিটজ ধ্রুবক সহ লিপশিটজ এবং যে কোনও বদ্ধ বলে ন্যূনতম থাকে। সুতরাং একটি বুসম্যান ফাংশন একটি অনন্য জিওডেসিক রশ্মির সাথে সম্পর্কিত যা শুরু হয়। অন্যদিকে, আবদ্ধ সেটগুলিতে অভিন্নভাবে প্রবণতা দেখা যায় যদি এবং শুধুমাত্র যদি প্রবণতা থেকে দূরে প্রতিটি বিভাগের বিন্দু নিয়ে প্রাপ্ত ক্রমটি নির্বিচারে বড় হয়। কারণ, বিষয়টি নিয়ে আলোচনা করা যাক। ধরুন প্রথমে যা একইভাবে চালু থাকে। তারপর,। এটি একটি উত্তল ফাংশন। এটি অদৃশ্য হয়ে যায় এবং তাই বৃদ্ধি পাচ্ছে। সুতরাং এটি সর্বাধিক করা হয়। সুতরাং প্রত্যেকের জন্য, 0-এর দিকে ঝোঁক থাকে। যাক, এবং। তারপর বড় সঙ্গে কাছাকাছি। তাই ইউক্লিডীয় তুলনামূলক ত্রিভুজটি বড় ত্রিভুজের কাছাকাছি। সুতরাং কোণটি ছোট। সুতরাং একই দূরত্বে অবস্থিত বিন্দুটি কাছাকাছি অবস্থিত। অতএব, জিওডেসিক ত্রিভুজের জন্য প্রথম তুলনা উপপাদ্যটি ছোট। বিপরীতভাবে মনে করুন যে স্থির এবং যথেষ্ট বড় জন্য 0 প্রবণতা। তারপর উপরের থেকে সন্তুষ্ট হয় যাতে এটি যথেষ্ট দেখায় যে কোনও আবদ্ধ সেটে যথেষ্ট বড় জন্য সমানভাবে কাছাকাছি। একটি স্থির বলের জন্য, এমনভাবে ঠিক করুন। দাবিটি তখন একটি হাদামার্ড স্পেসে জিওডেসিক বিভাগগুলির বৈষম্যের একটি তাৎক্ষণিক পরিণতি, যেহেতু তাই, যদি যথেষ্ট বড় হয়, তবে বুসম্যান একটি হাদামার্ড ম্যানিফোল্ডের উপর কাজ করে মনে করুন যে এটি একটি হাদামার্ড ম্যানিফোল্ডের বিন্দু এবং এর মাধ্যমে জিওডেসিক হতে হবে। এই জিওডেসিক দুটি পয়েন্টে বন্ধ বলের সীমানা কেটে দেয়। সুতরাং যদি, এই ধরনের সঙ্গে পয়েন্ট আছে। ধারাবাহিকতা দ্বারা বুসম্যান ফাংশনের জন্য এই শর্তটি অব্যাহত থাকেঃ যদি একটি হ্যাডামার্ড ম্যানিফোল্ডের উপর একটি বুসম্যান ফাংশন হয়, তবে, এবং দেওয়া হয়, এবং এর সাথে অনন্য পয়েন্ট রয়েছে, যেমন এবং। স্থিরের জন্য, পয়েন্ট এবং ক্রমাগত নির্ভর করে। এবং-এর দিকে ঝুঁকিপূর্ণ একটি ক্রম গ্রহণ করলে, কিছু পয়েন্ট থাকে এবং যা যথেষ্ট বড় হওয়ার জন্য এই শর্তগুলি পূরণ করে। যদি প্রয়োজন হয় তবে একটি ধারাবাহিকতায় পাস করা, এটি অনুমান করা যেতে পারে এবং এবং প্রবণতা। ধারাবাহিকতা দ্বারা এই পয়েন্টগুলির জন্য শর্তগুলি সন্তুষ্ট করে। স্বতন্ত্রতা প্রমাণ করার জন্য, লক্ষ্য করুন যে কম্প্যাক্টনেস দ্বারা তার সর্বোচ্চ এবং ন্যূনতম ধরে নেওয়া হয়। লিপস্কিটজ শর্তটি দেখায় যে এর মানগুলি সর্বাধিক পরিবর্তিত হয়। তাই সর্বনিম্ন এবং সর্বাধিক করা হয়। অন্যদিকে, এবং জন্য এবং পয়েন্ট এবং এই দূরত্বকে সর্বাধিক করার ক্ষেত্রে অনন্য পয়েন্ট। তখন লিপস্কিটজ শর্তটি অবিলম্বে বোঝায় এবং সর্বাধিককরণ এবং ন্যূনতমকরণের ক্ষেত্রে অবশ্যই অনন্য পয়েন্ট হতে হবে। এখন মনে করুন যে এটি প্রবণতা। তারপর সংশ্লিষ্ট পয়েন্টগুলি এবং একটি বদ্ধ বলে শুয়ে থাকে তাই অভিসারী পরবর্তী ঘটনাগুলি স্বীকার করুন। কিন্তু এর স্বতন্ত্রতা এবং এই ধরনের পরবর্তী ঘটনাগুলির প্রবণতা অবশ্যই এবং, যাতে এবং অবশ্যই প্রবণতা বজায় থাকে এবং ধারাবাহিকতা প্রতিষ্ঠা করে। উপরের ফলাফলটি সাধারণত একটি হাদামার্ড স্পেসে থাকে। যদি একটি হ্যাডামার্ড ম্যানিফোল্ডের উপর একটি বুসম্যান ফাংশন হয়, তবে এটি সকলের জন্য অবিচ্ছিন্নভাবে অবকলনযোগ্য। এর পূর্ববর্তী বৈশিষ্ট্যগুলি থেকে, প্রত্যেকটির জন্য একটি অনন্য জিওডেসিক γ (t) রয়েছে যার সাথে আর্ক্লেন্থ দ্বারা প্যারামিটারাইজ করা হয়। এটির সেই বৈশিষ্ট্য রয়েছে যা এটি কেটে দেয়ঃ পূর্ববর্তী স্বরলিপিতে এবং। একক ভেক্টর দ্বারা সংজ্ঞায়িত ভেক্টর ক্ষেত্রটি অবিচ্ছিন্ন, কারণ এটি একটি অবিচ্ছিন্ন ফাংশন এবং কার্টান-হ্যাডামার্ড উপপাদ্য দ্বারা যে মানচিত্রে পাঠানো হয় তা একটি ডিফিয়োমরফিজম। এর মাধ্যমে আর্ক্লেন্থ দ্বারা সংজ্ঞায়িত আরেকটি জিওডেসিক প্যারামিটার ধরা যাক। তারপর। প্রকৃতপক্ষে, তাই হোক। তারপর এবং এর সাথে এটি প্রয়োগ করলে, এটি অনুসরণ করা হয় যে বাইরের পদগুলির প্রবণতা 0-এর দিকে থাকে, তাই মধ্য মেয়াদের একই সীমা রয়েছে, যেমন দাবি করা হয়েছে। একটি অনুরূপ যুক্তি প্রযোজ্য। আর্ক্লেন্থের জন্য প্রথম বৈচিত্র্য সূত্র থেকে বাইরের পদগুলির দাবি অনুসরণ করা হয়, তবে সরাসরি নিম্নরূপ অনুমান করা যেতে পারে। ধরা যাক এবং, উভয় একক ভেক্টর। তারপর স্পর্শক ভেক্টরের জন্য এবং একক বলের মধ্যে অভিন্নভাবে আবদ্ধ। যাক এবং। তারপর এখানে ডান দিকটি 0-এর দিকে থাকে কারণ একই পদ্ধতি অন্যান্য পদের জন্য কাজ করে। সুতরাং এটি অনুসরণ করে যে ভেক্টর ক্ষেত্রের দ্বৈত সহ একটি ফাংশন, যাতে। ভেক্টর ক্ষেত্রটি এইভাবে এর জন্য গ্রেডিয়েন্ট ভেক্টর ক্ষেত্র। যে কোনও বিন্দুর মধ্য দিয়ে ভূগণিত হল প্রবাহের জন্য প্রবাহের রেখা, তাই এটি এর জন্য গ্রেডিয়েন্ট প্রবাহ। থিওরেম। একটি হ্যাডামার্ড ম্যানিফোল্ডে একটি অবিচ্ছিন্ন ফাংশনের উপর নিম্নলিখিত শর্তগুলি সমতুল্যঃ এটি একটি বুসম্যান ফাংশন। একটি উত্তল, ধ্রুবক 1 সহ লিপশিটজ ফাংশন, এবং প্রত্যেকটির জন্য এমন একটি বিন্দু রয়েছে যা থেকে দূরত্ব রয়েছে। সঙ্গে একটি উত্তল ফাংশন। এটি ইতিমধ্যে প্রমাণিত হয়েছে যে (1) বোঝায় (2)। উপরের যুক্তিগুলি মুতাতিস মিউটান্ডি দেখায় যে (2) বোঝায় (3)। সুতরাং এটি দেখাতে থাকে যে (3) বোঝায় (1)। ঠিক করে নিন। এর জন্য গ্রেডিয়েন্ট প্রবাহ হতে দিন। এটি অনুসরণ করে এবং এটি আর্ক্লেন্থ দ্বারা প্যারামিট্রাইজড মাধ্যমে একটি জিওডেসিক। আসলে, যদি, তাহলে তাই। ধরা যাক, বুসম্যান বেস পয়েন্টের সাথে কাজ করে। বিশেষ করে। (1) প্রমাণ করার জন্য, এটি দেখানোর জন্য যথেষ্ট। এর সাথে বিন্দুগুলির বদ্ধ উত্তল সেট হতে দিন। যেহেতু প্রতিটি বিন্দুর জন্য একটি হ্যাডামার্ড স্থান রয়েছে, সেখানে একটি অনন্য নিকটতম বিন্দু রয়েছে। এটি ক্রমাগত নির্ভর করে এবং যদি বাইরে থাকে, তবে হাইপারসার্ফেস-এর সীমানায় অবস্থিত এবং জিওডেসিক থেকে অর্থোগোনাল হয়। এই ক্ষেত্রে জিওডেসিক ন্যায়সঙ্গত। প্রকৃতপক্ষে, এর গ্রেডিয়েন্ট প্রবাহ এবং শর্তগুলি বোঝায় যে প্রবাহ রেখাগুলি আর্ক্লেন্থ দ্বারা প্যারামিট্রাইজড জিওডেসিক এবং অর্থোগোনালভাবে স্তরের বক্ররেখা কেটে দেয়। অন্যদিকে, একটি হাদামার্ড স্পেসে যে কোনও চারটি পয়েন্টের জন্য, এবং সহ গ্রহণ করলে, রেশেতনিয়াকের নিম্নলিখিত চতুর্ভুজ বৈষম্যটি ধারণ করেঃ সেটিং,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, এই ফলাফলটি সমস্ত স্তরের পৃষ্ঠে পরিবহনের জন্য প্রবাহটি ব্যবহার করা যেতে পারে। সাধারণের জন্য এটি নিন এবং সেট করুন। তারপর, কোথায়। কিন্তু তারপর, তাই। অতএব, প্রয়োজন অনুযায়ী। লক্ষ্য করুন যে এই যুক্তিটি এই সত্যটি ব্যবহার করে সংক্ষিপ্ত করা যেতে পারে যে দুটি বুসম্যান ফাংশন এবং একটি ধ্রুবক দ্বারা পৃথক হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি সংশ্লিষ্ট জিওডেসিক রশ্মি সন্তুষ্ট হয়। প্রকৃতপক্ষে, প্রবাহ দ্বারা সংজ্ঞায়িত সমস্ত ভূগণিত পরবর্তী শর্তটি সন্তুষ্ট করে, তাই ধ্রুবক দ্বারা পৃথক হয়। যেহেতু এই জিওডেসিকগুলির যে কোনওটি ডেরিভেটিভ 1-এর সাথে রৈখিক, তাই অবশ্যই এই বুসেমান ফাংশনগুলির থেকে ধ্রুবক দ্বারা পৃথক হতে হবে। সঠিক হ্যাডামার্ড স্থানের কম্প্যাক্টিফিকেশন একটি হ্যাডামার্ড ম্যানিফোল্ডের কম্প্যাক্টিফিকেশনকে সংজ্ঞায়িত করে যা বুসম্যান ফাংশন ব্যবহার করে। তাদের নির্মাণ, যা আরও সাধারণভাবে যথাযথভাবে প্রসারিত করা যেতে পারে (অর্থাৎ। স্থানীয়ভাবে কম্প্যাক্ট) হাদামার্ড স্পেস, সঠিক মেট্রিক স্পেসের আরও সাধারণ শ্রেণীর জন্য-একটি "আদর্শ সীমানা" যোগ করে-গ্রোমভ দ্বারা সংজ্ঞায়িত একটি কম্প্যাক্টিফিকেশনের একটি স্পষ্ট জ্যামিতিক উপলব্ধি দেয়, যার জন্য প্রতিটি বদ্ধ বল কম্প্যাক্ট হয়। মনে রাখবেন যে, যেহেতু কোনও কাউচি ক্রম একটি বদ্ধ বলের মধ্যে থাকে, তাই যে কোনও যথাযথ মেট্রিক স্থান স্বয়ংক্রিয়ভাবে সম্পূর্ণ হয়। আদর্শ সীমানা একটি মেট্রিক স্থানের জন্য আদর্শ সীমানার একটি বিশেষ কেস। হ্যাডামার্ড স্পেসের ক্ষেত্রে, এটি স্থানের সীমানায় বুসম্যান ফাংশন ব্যবহার করে বর্ণিত যে কোনও নির্দিষ্ট বিন্দু থেকে নির্গত ভূগাণিতিক রশ্মির স্থানের সাথে একমত। যদি একটি যথাযথ মেট্রিক স্থান হয়, তাহলে গ্রোমোভের কম্প্যাক্টিফিকেশনকে নিম্নরূপ সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। একটি পয়েন্ট ঠিক করুন এবং ঢুকতে দিন। ধরা যাক, লিপস্কিটজ কন্টিনিউয়াস ফাংশনের স্থান. ই-তে রয়েছে। যার জন্য কিছু ধ্রুবক। স্থানটি সেমিনোর্ম দ্বারা টপোলোজাইজ করা যেতে পারে, যা কম্প্যাক্টায় অভিন্ন অভিসারের টপোলজি। এই টপোলজিটি সি (এক্স)-এর প্রাকৃতিক মানচিত্র দ্বারা বানাচ স্থানগুলির সরাসরি উৎপাদনে প্ররোচিত হয়। এটি মেট্রিক দ্বারা দেওয়া হয়। ফাংশনে পাঠিয়ে স্থানটি এম্বেড করা হয়। ভিতরে বন্ধ হতে দিন। তারপর কম্প্যাক্ট (পরিমাপযোগ্য) এবং একটি উন্মুক্ত উপসেট হিসাবে থাকে; উপরন্তু বেসপয়েন্টের বিভিন্ন পছন্দ থেকে উদ্ভূত কম্প্যাক্টিফিকেশনগুলি স্বাভাবিকভাবেই সমরূপ। আর্জেলা-আসকোলি উপপাদ্য থেকে কম্প্যাক্টনেস অনুসরণ করা হয়েছে কারণ চিত্রটি সমান্তরাল এবং সমানভাবে দ্বারা নিয়মে আবদ্ধ। আসুন প্রবণতার একটি ক্রম হতে দিন। তারপর সমস্ত সীমাবদ্ধভাবে অনেকগুলি পদ অবশ্যই বাইরে থাকতে হবে কারণ এটি সংক্ষিপ্ত, যাতে কোনও পরবর্তী অংশ একটি বিন্দুতে একত্রিত হয়; তাই ক্রমটি অবশ্যই সীমাহীন হতে হবে। যাক। তারপর শুয়ে পড়ে। এটি অ-শূন্য চালু এবং শুধুমাত্র এ-তে অদৃশ্য হয়ে যায়। সুতরাং এটি শূন্য সেট সহ একটি অবিচ্ছিন্ন ফাংশনে প্রসারিত হয়। এটি অনুসরণ করে যা প্রয়োজন অনুযায়ী বন্ধ করা হয়। কম্প্যাক্টিফিকেশন বেসপয়েন্ট থেকে স্বাধীন কিনা তা পরীক্ষা করার জন্য, এটি দেখানোর জন্য যথেষ্ট যে এটি একটি অবিচ্ছিন্ন ফাংশন পর্যন্ত প্রসারিত। কিন্তু, তাই, ভিতরে,। অতএব জন্য এবং জন্য কম্প্যাক্টিফিকেশনের মধ্যে যোগাযোগ পাঠানো হয়। যখন একটি হ্যাডামার্ড ম্যানিফোল্ড (বা আরও সাধারণভাবে একটি সঠিক হ্যাডামার্ড স্থান) হয়, তখন বুসম্যান ফাংশন ব্যবহার করে ভূগণিতের "অ্যাসিম্পটোটিক সীমা" হিসাবে গ্রোমভের আদর্শ সীমানা স্পষ্টভাবে উপলব্ধি করা যেতে পারে। একটি বেস পয়েন্ট স্থির করার জন্য, আর্ক্লেন্থ দ্বারা একটি অনন্য জিওডেসিক প্যারামিটার রয়েছে এবং এটি একটি প্রদত্ত একক ভেক্টর। যদি সংশ্লিষ্ট বুসম্যান ফাংশন হয়, তবে এটি অবস্থিত এবং একক-গোলকের একটি সমরূপতাকে প্ররোচিত করে, যা পাঠানো হয়। পয়েনকারে ডিস্ক, সিএটি (-1) এবং হাইপারবোলিক স্পেসে কোয়াসিজিওডেসিক মোর্স-মস্তো লেম্মা পয়েনকারে ডিস্ক, সিএটি (-1) এবং হাইপারবোলিক স্পেসের মতো ঋণাত্মক বক্রতার স্পেসের ক্ষেত্রে, তাদের গ্রোমভ সীমানায় একটি মেট্রিক কাঠামো থাকে। এই কাঠামোটি আধা-আইসোমেট্রিগুলির গোষ্ঠী দ্বারা সংরক্ষিত থাকে যা জিওডেসিক রশ্মিগুলিকে কোয়াসিজিওডেসিক রশ্মির দিকে নিয়ে যায়। মোর্স প্রথম নেতিবাচকভাবে বাঁকানো পৃষ্ঠের জন্য-বিশেষ করে হাইপারবোলিক আপার হাফপ্লেন এবং ইউনিট ডিস্কের জন্য-কোয়াসিজিওডেসিক্স নিয়ে গবেষণা করেছিলেন এবং বিচ্ছিন্ন গোষ্ঠীর অনমনীয়তা নিয়ে তাঁর কাজের জন্য মোস্টো দ্বারা নেতিবাচকভাবে বাঁকানো প্রতিসম স্থানগুলিতে সাধারণীকরণ করা হয়েছিল। মূল ফলাফল হল ভূগণিতের স্থিতিশীলতার উপর মোর্স-মস্তো লেম্মা। সংজ্ঞা অনুসারে একটি কোয়াসিজিওডেসিক  তাই একটি মেট্রিক স্পেসে একটি মানচিত্র যা অপরিহার্যভাবে অবিচ্ছিন্ন নয়, যার জন্য ধ্রুবক এবং এমন কিছু রয়েছে যা সকলের জন্য এবংঃ নিম্নলিখিত ফলাফলটি মূলত মার্স্টন মোর্সের (1924) কারণে। ভূগণিতের স্থিতিশীলতার উপর মোর্সের লেম্মা। হাইপারবোলিক ডিস্কে একটি ধ্রুবক থাকে যার উপর নির্ভর করে এবং এমন যে একটি সীমাবদ্ধ ব্যবধানের উপর সংজ্ঞায়িত যে কোনও কোয়াসিজিওডেসিক সেগমেন্ট জিওডেসিক সেগমেন্টের হাউজডর্ফ দূরত্বের মধ্যে থাকে। পয়েনকারে ডিস্কের জন্য ধ্রুপদী প্রমাণ পয়েনকারে একক ডিস্ক বা উপরের অর্ধ সমতলের জন্য মোর্সের লেম্মার ধ্রুপদী প্রমাণ জিওডেসিক বিভাগে অর্থোগোনাল প্রজেকশন ব্যবহার করে আরও সরাসরি অগ্রসর হয়। এটি ধরে নেওয়া যেতে পারে যে  তাই শক্তিশালী "সিউডো-জিওডেসিক" অবস্থাকে সন্তুষ্ট করেঃ একটি অবিচ্ছিন্ন পিসওয়াইজ জিওডেসিক বক্ররেখা দ্বারা প্রতিস্থাপিত করা যেতে পারে যার সাথে একই প্রান্তবিন্দুগুলি একটি সীমাবদ্ধ হাউজডর্ফ দূরত্বে অবস্থিত থাকে যা দৈর্ঘ্যের সমান উপ-ব্যবধানগুলিতে সংজ্ঞায়িত করা হয় এবং উপ-ব্যবধানগুলির শেষ বিন্দুর নীচে চিত্রগুলির মধ্যে ভূগণিত গ্রহণ করে। যেহেতু এটি পিসওয়াইজ জিওডেসিক, তাই লিপস্কিটজ ধ্রুবকের সাথে অবিচ্ছিন্ন, যেখানে। নিম্ন সীমা ব্যবধানের শেষ বিন্দুতে স্বয়ংক্রিয় হয়। নির্মাণ দ্বারা অন্যান্য মানগুলি কেবল এবং-এর উপর নির্ভর করে একটি অভিন্নভাবে আবদ্ধ দ্বারা এগুলির থেকে পৃথক হয়; নিম্ন আবদ্ধ অসমতা এই অভিন্ন সীমানার দ্বিগুণ যোগ করে ε বৃদ্ধি করে ধরে রাখে। যদি একটি ভূগণিত রেখার একটি-পার্শ্ববর্তী অংশের বাইরে অবস্থিত একটি টুকরো টুকরো মসৃণ বক্ররেখা অংশ হয় এবং ভূগণিত রেখার উপর অর্থোগোনাল অভিক্ষেপ হয় তবেঃ উপরের অর্ধেক সমতলে একটি আইসোমেট্রি প্রয়োগ করে, এটি ধরে নেওয়া যেতে পারে যে ভূগণিত রেখাটি ধনাত্মক কাল্পনিক অক্ষ যার ক্ষেত্রে এর উপর অর্থোগোনাল অভিক্ষেপ এবং দ্বারা দেওয়া হয়। অতএব অনুমানটি বোঝায়, যাতে শুধুমাত্র এবং এর উপর নির্ভর করে এমন একটি ধ্রুবক রয়েছে যা জিওডেসিক বিভাগের একটি-প্রতিবেশীত্বের মধ্যে রয়েছে। জিওডেসিক বিভাগ ধারণকারী জিওডেসিক লাইনটি ধরা যাক। তারপর একটি ধ্রুবক থাকে যা শুধুমাত্র এবং এর উপর নির্ভর করে যে-প্রতিবেশীত্ব একটি-প্রতিবেশীত্বের মধ্যে থাকে। প্রকৃতপক্ষে যেকোনও ক্ষেত্রে, যার উপসেটটি-প্রতিবেশীদের বন্ধের বাইরে অবস্থিত তা উন্মুক্ত, তাই খোলা ব্যবধানের একটি গণনাযোগ্য মিলন। তারপর যেহেতু বাম দিকটি এর চেয়ে কম বা সমান এবং তাই প্রতিটি বিন্দু এর চেয়ে কম বা সমান দূরত্বে অবস্থিত। দাবিটি অনুমান করার জন্য, লক্ষ্য করুন যে যার উপসেটটি-প্রতিবেশীত্বের বন্ধের বাইরে অবস্থিত তা উন্মুক্ত, তাই অথবা থেকে দূরে এবং উভয়ের সাথে ব্যবধানের একটি ইউনিয়ন। তারপর থেকে তাই দাবিটি এর চেয়ে বেশি কিছু গ্রহণ করে। শুধুমাত্র এবং এর উপর নির্ভর করে একটি ধ্রুবক রয়েছে যে জিওডেসিক বিভাগটি এর একটি-প্রতিবেশীত্বের মধ্যে অবস্থিত। প্রতিটি বিন্দু দূরত্বের মধ্যে রয়েছে। এইভাবে অর্থোগোনাল অভিক্ষেপ প্রতিটি বিন্দুকে বদ্ধ উত্তল সেটের একটি বিন্দুর উপর তার চেয়ে কম দূরত্বে বহন করে। যেহেতু এটি অবিচ্ছিন্ন এবং সংযুক্ত, তাই মানচিত্রটি অবশ্যই উপরে থাকতে হবে কারণ ছবিতে এর শেষ বিন্দু রয়েছে। কিন্তু তারপর প্রতিটি বিন্দু একটি বিন্দুর দূরত্বের মধ্যে থাকে। পয়েনকারে ডিস্কের জন্য গ্রোমভের প্রমাণ মোর্সের লেম্মাকে সিএটি (-1) স্পেসে সাধারণীকরণকে প্রায়শই মোর্স-মস্তো লেম্মা হিসাবে উল্লেখ করা হয় এবং শাস্ত্রীয় প্রমাণের সরল সাধারণীকরণের মাধ্যমে প্রমাণিত করা যেতে পারে। গ্রোমোভের কারণে হাইপারবোলিক মেট্রিক স্পেসের আরও সাধারণ শ্রেণীর জন্য একটি সাধারণীকরণ রয়েছে। পয়েনকারে একক ডিস্কের জন্য গ্রোমোভের প্রমাণ নীচে দেওয়া হয়েছে; হাইপারবোলিক মেট্রিক স্পেসের বৈশিষ্ট্যগুলি প্রমাণের সময় বিকশিত হয়, যাতে এটি সিএটি (-1) বা হাইপারবোলিক মেট্রিক স্পেসে মুটাটিস মিউটান্ডি প্রয়োগ করে। যেহেতু এটি একটি বড় আকারের ঘটনা, তাই এটি পরীক্ষা করার জন্য যথেষ্ট যে কোনও ডিস্কের যে কোনও মানচিত্র অসমতা সন্তুষ্ট করে জিওডেসিক বিভাগের হাউসডর্ফ দূরত্বের মধ্যে রয়েছে। এর জন্য সাধারণতা না হারিয়ে এটি অনুবাদ করা অনুমান করা যেতে পারে এবং তারপরে, (পূর্ণসংখ্যার অংশ) গ্রহণ করে, ফলাফলটি দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। এবং-এর চিত্রগুলির মধ্যে হাউজডর্ফ দূরত্ব স্পষ্টতই শুধুমাত্র এবং-এর উপর নির্ভর করে একটি ধ্রুবক দ্বারা আবদ্ধ। এখন একটি জিওডেসিক ত্রিভুজের অন্তঃবৃত্তের ব্যাস যেখানে তার চেয়ে কম; প্রকৃতপক্ষে এটি একটি আদর্শ ত্রিভুজ দ্বারা কঠোরভাবে সর্বাধিক করা হয় যেখানে এটি সমান। বিশেষত, যেহেতু অন্তঃবৃত্তটি ত্রিভুজটিকে তিনটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজে বিভক্ত করে যার তৃতীয় দিকটি মূল ত্রিভুজের শীর্ষের বিপরীতে দৈর্ঘ্যের তুলনায় কম, তাই এটি অনুসরণ করে যে একটি ভূগণিত ত্রিভুজের প্রতিটি দিক অন্য দুটি পক্ষের একটি-প্রতিবেশীতে রয়েছে। একটি সহজ প্রবর্তন যুক্তি দেখায় যে, একটি জিওডেসিক বহুভুজ যার শীর্ষগুলি অন্য পক্ষের আশেপাশে থাকে (এই ধরনের বহুভুজ দুটি জিওডেসিক বহুভুজকে একটি সাধারণ দিক বরাবর পার্শ্বগুলির সাথে একত্রিত করে তৈরি করা হয়)। অতএব, যদি, একই অনুমান পার্শ্বযুক্ত একটি বহুভুজের জন্য প্রযোজ্য হয়। লেটের জন্য, একটি বদ্ধ বলের জন্য বৃহত্তম ব্যাসার্ধ যার উপর কেন্দ্রীভূত তার অভ্যন্তরে কোন নেই। এটি একটি অবিচ্ছিন্ন ফাংশন যা শূন্য নয়, তাই এই বিভাগের কোনও এক সময়ে এটি সর্বাধিক অর্জন করে। তারপর কোনও কিছুর প্রতিচ্ছবির একটি প্রতিবেশীত্বের মধ্যে অবস্থিত। তাই এর থেকে স্বাধীন হওয়ার জন্য একটি ঊর্ধ্বসীমা খুঁজে বের করাই যথেষ্ট। এবং এর আগে এবং পরে বিভাগটি বেছে নিন (অথবা একটি শেষ বিন্দু যদি এটি থেকে কম দূরত্বের মধ্যে থাকে)। তারপর আছে,। তাই, তাই। ত্রিভুজ অসমতা দ্বারা বিভাগগুলির উপর সমস্ত বিন্দু এবং থেকে দূরে থাকে। এইভাবে বিন্দুগুলির একটি সীমাবদ্ধ ক্রম রয়েছে যা শুরু হয় এবং শেষ হয়, প্রথমে সেগমেন্টে শুয়ে থাকে, তারপর সেগমেন্টটি নেওয়ার আগে পয়েন্টগুলির মধ্য দিয়ে এগিয়ে যায়। ধারাবাহিক পয়েন্টগুলি একটি দূরত্ব দ্বারা পৃথক করা হয় যা এর চেয়ে বেশি নয় এবং এই শর্তটি পূরণ করার জন্য জিওডেসিক বিভাগের ধারাবাহিক পয়েন্টগুলিও বেছে নেওয়া যেতে পারে। এই ধরনের ক্রমানুসারে সর্বনিম্ন পয়েন্টের সংখ্যা সন্তুষ্ট করে। এই বিন্দুগুলি একটি ভূগণিত বহুভুজ গঠন করে, যার একটি দিক থাকে। নিন, যাতে এর-প্রতিবেশী বহুভুজের অন্যান্য সমস্ত দিক ধারণ না করে। অতএব, উপরের ফলাফল থেকে, এটি অনুসরণ করে। অতএব এই বৈষম্য বোঝায় যে, দাবি অনুযায়ী, স্বাধীনভাবে, অভিন্নভাবে আবদ্ধ। যদি সমস্ত পয়েন্ট এর মধ্যে থাকে, তাহলে ফলাফল অনুসরণ করা হয়। অন্যথায় যে পয়েন্টগুলি সর্বাধিক উপসেটগুলির মধ্যে পড়ে না। সুতরাং পয়েন্টগুলির একটি দূরত্বের মধ্যে পরিপূরক সহ একটি বিন্দু থাকে। কিন্তু এর পরিপূরক, এবং এর সাথে একটি বিচ্ছিন্ন মিলন। এর সংযোগ বলতে বোঝায় যে সেগমেন্টে একটি বিন্দু রয়েছে যা পয়েন্টের দূরত্বের মধ্যে এবং এবং এর সাথে রয়েছে। কিন্তু তারপর, তাই। অতএব এর চেয়ে কম দূরত্বের মধ্যে থাকা পয়েন্টগুলি। মনে রাখবেন যে একটি হাদামার্ড স্পেসে যদি দুটি জিওডেসিক বিভাগ এবং মধ্যবর্তী বিন্দু হয় এবং সেগুলিকে অনুপাতে ভাগ করা হয়, তবে এটি একটি উত্তল ফাংশন। বিশেষত যদি এবং একক গতির ভূগাণিতিক অংশগুলি একই বিন্দু থেকে শুরু করার সময় সংজ্ঞায়িত করা হয় তবে বিশেষত এটি নিম্নলিখিতগুলি বোঝায়ঃ একটি সিএটি (-1) স্পেসে, একটি ধ্রুবক থাকে যা কেবল এবং এর উপর নির্ভর করে যে কোনও আধা-ভূগাণিতিক রশ্মি একটি ভূগাণিতিক রশ্মির সীমাবদ্ধ হাউসডর্ফ দূরত্বের মধ্যে থাকে। কোয়াসিজিওডেসিক এবং জিওডেসিক লাইনের ক্ষেত্রেও একই ফলাফল পাওয়া যায়। যদি একটি জিওডেসিক হয় তবে ধ্রুবক সহ বলুন এবং, সেগমেন্টের জন্য একক গতির জিওডেসিক হতে দিন। উপরের অনুমানটি দেখায় যে স্থির এবং যথেষ্ট বড়ের জন্য, অভিন্ন মেট্রিক সহ একটি কচি ক্রম। এইভাবে কম্প্যাক্টাতে একটি জিওডেসিক রশ্মির প্রতি অভিন্নভাবে ঝোঁক থাকে এবং এর মধ্যে হাউজডর্ফ দূরত্বের সীমানা এবং সেগমেন্টগুলি সীমাবদ্ধ জিওডেসিকের ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য। জিওডেসিক বিভাগের সাথে সামঞ্জস্য রেখে কোয়াসিজিওডেসিক রেখার দাবি অনুসরণ করা হয়। এফ্রেমোভিচ-টিখোমিরোভা উপপাদ্য সিএটি (-1) স্পেস নিয়ে আলোচনা করার আগে, এই বিভাগটি পয়েনকারে মেট্রিকের সাথে একক ডিস্কের জন্য এফ্রেমোভিচ-টিখোমিরোভা উপপাদ্য বর্ণনা করবে। এটি দাবি করে যে ইউক্লিডীয় মেট্রিকের সাথে একক ডিস্কের আধা-মোবিয়াস সমরূপতা পর্যন্ত অর্ধ-সমমিতির বিস্তার। এই উপপাদ্যটি সিএটি (-1) স্পেসের আরও সাধারণ তত্ত্বের প্রোটোটাইপ গঠন করে। তাদের মূল উপপাদ্যটি সামান্য কম সাধারণ এবং কম সুনির্দিষ্ট আকারে প্রমাণিত হয়েছিল এবং পয়েনকারে মেট্রিকের জন্য একক ডিস্কের দ্বি-লিপস্কিটজ হোমিওমরফিজমগুলিতে প্রয়োগ করা হয়েছিল; এর আগে, মরণোত্তর গবেষণাপত্রে, জাপানি গণিতবিদ আকিরা মোরি টেইচমুলার তত্ত্বের মধ্যে একটি সম্পর্কিত ফলাফল প্রমাণ করেছিলেন যে ডিস্কের প্রতিটি কোয়াসিকোফর্মাল হোমিওমরফিজম হল্ডার অবিচ্ছিন্ন এবং তাই একক বৃত্তের একটি হোমিওমরফিজম পর্যন্ত অবিচ্ছিন্নভাবে প্রসারিত (এটি জানা যায় যে এই এক্সটেনশনটি আধা-মোবিয়াস)। যদি পয়েনকারে একক ডিস্ক, বা আরও সাধারণভাবে একটি সিএটি (-1) স্থান হয়, তবে কোয়াসিজিওডেসিকের স্থায়িত্বের উপর মোর্স লেম্মা বোঝায় যে প্রতিটি কোয়াসি-আইসোমেট্রি সীমানা পর্যন্ত অনন্যভাবে প্রসারিত হয়। সংজ্ঞা অনুসারে দুটি স্ব-ম্যাপিং অর্ধ-সমতুল্য যদি, যাতে সংশ্লিষ্ট বিন্দুগুলি একে অপরের অভিন্নভাবে আবদ্ধ দূরত্বে থাকে। এর একটি আধা-আইসোমেট্রি হল একটি স্ব-ম্যাপিং, যা অগত্যা অবিচ্ছিন্ন নয়, যার একটি অর্ধ-বিপরীত রয়েছে এবং উপযুক্ত পরিচয় মানচিত্রের অর্ধ-সমতুল্য এবং এমন যে সেখানে ধ্রুবক এবং এমন কিছু রয়েছে যা সকলের জন্য এবং উভয় ম্যাপিং লক্ষ্য করুন যে অর্ধ-বিপরীতগুলি অর্ধ-সমতুল্য পর্যন্ত অনন্য; সেই সমতুল্য সংজ্ঞাটি সম্ভবত ভিন্ন ডান এবং বাম-সমতুল্য বিপরীত ব্যবহার করে দেওয়া যেতে পারে, তবে সেগুলি অগত্যা অর্ধ-সমতুল্য হবে; যে অর্ধ-আইসোমেট্রিগুলি এমন রচনার অধীনে বন্ধ থাকে যা আধা-সমতুল্য পর্যন্ত শুধুমাত্র আধা-সমতুল্য শ্রেণীর উপর নির্ভর করে; এবং যে, মডুলো আধা-সমতুল্য, অর্ধ-সমতুল্য। একটি বিন্দু স্থির করলে, একটি জিওডেসিক রশ্মি দেওয়া হলে, একটি আধা-আইসোমেট্রি-র অধীনে চিত্রটি একটি আধা-জিওডেসিক রশ্মি। মোর্স-মস্তো লেম্মা অনুসারে এটি একটি অনন্য জিওডেসিক রশ্মির একটি সীমাবদ্ধ দূরত্বের মধ্যে শুরু হয়। এটি অর্ধ-সমতুল্য শ্রেণীর থেকে স্বাধীন, সীমানার উপর একটি ম্যাপিং সংজ্ঞায়িত করে, যেমন। এইভাবে স্ব-ম্যাপিংয়ের গোষ্ঠীতে আধা-আইসোমেট্রিগুলির গোষ্ঠীর একটি সমরূপতা রয়েছে। এটি অবিচ্ছিন্ন কিনা তা পরীক্ষা করার জন্য, লক্ষ্য করুন যে যদি এবং যদি জিওডেসিক রশ্মিগুলি সমানভাবে কাছাকাছি থাকে, দূরত্বের মধ্যে, তারপর এবং একটি দূরত্বের মধ্যে থাকে, যাতে এবং একটি দূরত্বের মধ্যে থাকে; তাই একটি ছোট বিরতিতে, এবং উত্তলতা দ্বারা দূরত্বের মধ্যে থাকে। সিএটি (-1) স্পেসে, ধারাবাহিকতার একটি সূক্ষ্ম সংস্করণ দাবি করে যে এটি মেট্রিকের একটি প্রাকৃতিক শ্রেণীর সাপেক্ষে একটি আধা-মোবিয়াস ম্যাপিং, "ভিজ্যুয়াল মেট্রিক" একক বৃত্তে ইউক্লিডীয় মেট্রিককে সাধারণীকরণ করে এবং মোবিয়াস গ্রুপের অধীনে এর রূপান্তর করে। এই ভিজ্যুয়াল মেট্রিকগুলি বুসম্যান ফাংশনের পরিপ্রেক্ষিতে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। একক ডিস্কের ক্ষেত্রে, টেইচমুলার তত্ত্বটি বোঝায় যে সমরূপতা বৃত্তের অর্ধ-মোবিয়াস সমরূপতার গোষ্ঠীতে ডিস্কের সমরূপতা বহন করে (উদাহরণস্বরূপ আহলফর্স-বার্লিং বা ডুয়াদি-আর্ল এক্সটেনশন ব্যবহার করে): এটি অনুসরণ করে যে অর্ধ-আইসোমেট্রি গ্রুপ থেকে অর্ধ-মোবিয়াস গ্রুপে সমরূপতা সার্জেক্টিভ। অন্য দিকে, এটি প্রমাণ করা সোজা যে সমরূপতা ইনজেকটিভ। ধরুন এটি একক ডিস্কের একটি আধা-আইসোমেট্রি যেমন এটি হল পরিচয়। অনুমান এবং মোর্স লেম্মা বোঝায় যে যদি একটি ভূগণতাত্ত্বিক রেখা হয়, তবে এর একটি-প্রতিবেশীত্বের মধ্যে অবস্থিত। এখন একটি দ্বিতীয় জিওডেসিক রেখা নিন যাতে একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে অর্থোগোনালভাবে ছেদ করা যায়। তারপর এবং-এর প্রতিবেশীদের সংযোগস্থলে অবস্থিত। মোবিয়াস রূপান্তর প্রয়োগ করে, এটি ধরে নেওয়া যেতে পারে যে একক ডিস্কের উৎপত্তিস্থলে এবং ভূগণিতগুলি বাস্তব এবং কাল্পনিক অক্ষ। উত্তলতা দ্বারা, এই অক্ষগুলির-প্রতিবেশীরা উৎপত্তির একটি-প্রতিবেশীতে ছেদ করেঃ যদি উভয় পাড়ায় থাকে, তবে-এবং-অক্ষের উপরের অর্থোগোনাল প্রজেকশন হতে হবে; তারপর-অক্ষের উপর প্রজেকশন নেওয়া; অতএব। অতএব, তাই এটি দাবি করা পরিচয়ের অর্ধ-সমতুল্য। একক বৃত্ত বা বাস্তব অক্ষের উপর দুটি স্বতন্ত্র বিন্দুর মধ্যে একটি অনন্য হাইপারবোলিক জিওডেসিক যোগসূত্র রয়েছে। এটি বৃত্ত (বা সরলরেখা) দ্বারা দেওয়া হয় যা একক বৃত্তের একক বৃত্ত বা বাস্তব অক্ষকে সেই দুটি বিন্দুতে অর্থোগোনালভাবে কেটে দেয়। বর্ধিত জটিল সমতলে চারটি স্বতন্ত্র বিন্দু দেওয়া হলে তাদের ক্রস অনুপাত দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয় যদি এটি একটি জটিল মোবিয়াস রূপান্তর হয় তবে এটি ক্রস অনুপাতকে অপরিবর্তনীয় রাখেঃ যেহেতু মোবিয়াস গ্রুপটি কেবল পয়েন্টের তিনগুণের উপর ক্ষণস্থায়ীভাবে কাজ করে, তাই ক্রস অনুপাতকে বিকল্পভাবে জটিল সংখ্যা হিসাবে বর্ণনা করা যেতে পারে যাতে মোবিয়াস রূপান্তরের জন্য। যেহেতু, এবং সমস্তগুলি ক্রস অনুপাতকে সংজ্ঞায়িত করে, এর বিন্যাসের অধীনে ক্রস অনুপাতের আচরণ বোঝার জন্য, এবং, এটি এমন বিন্যাসগুলি বিবেচনা করার জন্য যথেষ্ট যা স্থির করে, তাই শুধুমাত্র বিন্যাস, এবং। ক্রস অনুপাতটি এবং-এ পাঠানো মোবিয়াস রূপান্তর দ্বারা উত্পন্ন ক্রম 6-এর অ্যানহার্মোনিক গ্রুপ অনুসারে রূপান্তরিত হয়। অন্য তিনটি রূপান্তর পাঠায়, পাঠায় এবং পাঠায়। এখন সেই ক্রমে একক বৃত্ত বা বাস্তব অক্ষের উপর বিন্দু হতে দিন। তারপর ভূগণিত এবং ছেদ করে না এবং এই ভূগণিতের মধ্যে দূরত্ব ভালভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছেঃ এই দুটি ভূগণিতকে অর্থোগোনালভাবে কাটতে একটি অনন্য ভূগণিত রেখা রয়েছে এবং দূরত্ব তাদের মধ্যে ভূগণিত বিভাগের দৈর্ঘ্য দ্বারা দেওয়া হয়। প্রকৃত মোবিয়াস রূপান্তরের অধীনে এটি স্পষ্টতই অপরিবর্তনীয়। ক্রস অনুপাত এবং ভূগণিতের মধ্যে দূরত্বের তুলনা করার জন্য, মোবিয়াস ইনভেরিয়েন্স গণনাটিকে একটি প্রতিসম বিন্যাসে হ্রাস করার অনুমতি দেয়। কারণ, নিন। তারপর কোথায়। অন্যদিকে, ভূগণিত এবং ব্যাসার্ধের উপরের অর্ধেক সমতলে অর্ধবৃত্তাকার। জিওডেসিক যা তাদের অর্থোগোনালভাবে কেটে দেয় তা হল ধনাত্মক কাল্পনিক অক্ষ, তাই তাদের মধ্যে দূরত্ব হল এবং, এর মধ্যে হাইপারবোলিক দূরত্ব। তাহলে ধরা যাক, যাতে এমন একটি ধ্রুবক থাকে যে, যদি, তারপর থেকে উপরে এবং নীচে আবদ্ধ থাকে। লক্ষ্য করুন যেগুলি একক বৃত্তের চারপাশে ক্রমানুসারে রয়েছে যদি এবং শুধুমাত্র যদি। একটি জিওডেসিক রেখার উপর আদর্শ বিন্দুর অনুমান ব্যবহার করে ক্রস অনুপাতের আরও সাধারণ এবং সুনির্দিষ্ট জ্যামিতিক ব্যাখ্যা দেওয়া যেতে পারে; এটি বৃত্তের বিন্দুগুলির ক্রমের উপর নির্ভর করে না এবং তাই জিওডেসিক রেখাগুলি ছেদ করে কিনা তা নির্ভর করে না। যদি এবং হয় জিওডেসিক লাইন থেকে এবং পর্যন্ত লম্ব পাদদেশ, তাহলে। যেহেতু মোবিয়াস রূপান্তরের অধীনে উভয় পক্ষই অপরিবর্তনীয়, তাই এই ক্ষেত্রে এটি পরীক্ষা করা যথেষ্ট যে, এবং। এই ক্ষেত্রে ভূগাণিতিক রেখাটি হল ধনাত্মক কাল্পনিক অক্ষ, ডান দিক সমান, এবং। সুতরাং বাম দিকটি সমান। লক্ষ্য করুন যে এবং এগুলি সেই বিন্দুগুলিও যেখানে আদর্শ ত্রিভুজের অন্তঃবৃত্তগুলি হয় এবং স্পর্শ করে। উপপাদ্যের প্রমাণ বৃত্তের একটি সমরূপতা কোয়াসিসিমেট্রিক হয় যদি এমন ধ্রুবক থাকে যা আধা-মোবিয়াস হয় এমন ধ্রুবক থাকে যেখানে ক্রস-অনুপাত বোঝায়। এটি তাৎক্ষণিক যে বিপরীতমুখী এবং গঠনের ক্রিয়াকলাপের অধীনে কোয়াসিসিমেট্রিক এবং আধা-মোবিয়াস সমরূপতা বন্ধ হয়ে যায়। যদি কোয়াসিসিমেট্রিক হয় তবে এটি আধা-মোবিয়াসও হয়, এবং এর সাথেঃ এটি এবং এর জন্য প্রথম বৈষম্যকে গুণ করে অনুসরণ করে। বিপরীতভাবে যেকোনও আধা-মোবিয়াস সমরূপতা সমতুল্য। এটি দেখার জন্য, প্রথমে এটি পরীক্ষা করা যেতে পারে যে (এবং তাই) হল্ডার অবিচ্ছিন্ন। আসুন ঐক্যের ঘনক শিকড়ের সেট হতে দিন, যাতে যদি থাকে, তাহলে। হল্ডারের অনুমান প্রমাণ করার জন্য, এটি ধরে নেওয়া যেতে পারে যে এটি সমানভাবে ছোট। তারপর উভয়ই এবং সঙ্গে থেকে দূরে একটি নির্দিষ্ট দূরত্বের চেয়ে বেশি, তাই অনুমানটি আধা-মোবিয়াস বৈষম্য প্রয়োগ করে অনুসরণ করা হয়। এটি কোয়াসিসিমেট্রিক কিনা তা যাচাই করার জন্য, সমানভাবে ছোট ট্রিপল-এর ক্ষেত্রে একটি ইউনিফর্ম আপার বাউন্ড খুঁজে পাওয়া যথেষ্ট। এই ক্ষেত্রে, এবং থেকে 1-এর বেশি দূরত্বে একটি বিন্দু রয়েছে। আধা-মোবিয়াস বৈষম্য প্রয়োগ করা, এবং প্রয়োজনীয় উচ্চ সীমা প্রদান করে। সংক্ষেপে বলা যায়ঃ বৃত্তের একটি সমরূপতা আধা-মোবিয়াস হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি এটি অর্ধসমমিত হয়। এই ক্ষেত্রে এটি এবং এর বিপরীত হল হোল্ডার কন্টিনিউয়াস। আধা-মোবিয়াস সমরূপতা গঠনের অধীনে একটি গোষ্ঠী গঠন করে। উপপাদ্যটি প্রমাণ করার জন্য এটি প্রমাণ করা যথেষ্ট যে যদি এমন ধ্রুবক থাকে যা একক বৃত্তের স্বতন্ত্র বিন্দুর জন্য এটি ইতিমধ্যে পরীক্ষা করা হয়েছে যে (এবং বিপরীত) অবিচ্ছিন্ন। রচনা, এবং তাই, যদি প্রয়োজন হয় জটিল সংমিশ্রণের সাথে, এটি আরও ধরে নেওয়া যেতে পারে যে বৃত্তের অভিযোজন সংরক্ষণ করে। এই ক্ষেত্রে, যদি বৃত্তের উপর ক্রমানুসারে থাকে, তবে নীচেও চিত্র রয়েছে; তাই উভয়ই বাস্তব এবং একের চেয়ে বড়। এই ক্ষেত্রে এটি প্রমাণ করার জন্য, এটি দেখানোর জন্য যথেষ্ট। পূর্ববর্তী বিভাগ থেকে এটি যথেষ্ট দেখায়। এটি এই সত্য থেকে অনুসরণ করে যে নিচের চিত্রগুলি এবং এর প্রতিবেশীদের মধ্যে রয়েছে এবং; ন্যূনতম দূরত্বটি আধা-আইসোমেট্রি ধ্রুবক ব্যবহার করে অনুমান করা যেতে পারে যা উপরের বিন্দুগুলিতে প্রয়োগ করা হয় এবং উপলব্ধি করা হয়। সামঞ্জস্য করা এবং যদি প্রয়োজন হয়, উপরের অসমতা এর ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য। প্রতিস্থাপন, এবং নীচে তাদের চিত্র দ্বারা, এটি অনুসরণ করে যে যদি,, এবং একক বৃত্তের ক্রমে রয়েছে। অতএব, চতুর্ভুজের তিনটি চক্রের জন্য একই অসমতা বৈধ। যদি এবং পরিবর্তন করা হয় তবে ক্রস অনুপাতগুলি তাদের বিপরীত দিকে পাঠানো হয়, তাই 0 এবং 1 এর মধ্যে থাকে; একইভাবে যদি এবং পরিবর্তন করা হয়। যদি উভয় জোড়া পরিবর্তন করা হয়, ক্রস অনুপাত অপরিবর্তিত থাকে। তাই এই ক্ষেত্রেও বৈষম্য বৈধ। অবশেষে যদি এবং বিনিময় করা হয়, ক্রস অনুপাত থেকে পরিবর্তিত হয়, যা 0 এবং 1 এর মধ্যে থাকে। তাই আবার একই বৈষম্য বৈধ। এটি পরীক্ষা করা সহজ যে এই রূপান্তরগুলি ব্যবহার করে অসমতা, এবং এর সমস্ত সম্ভাব্য বিন্যাসের জন্য বৈধ, যাতে এবং এর বিপরীতটি আধা-মোবিয়াস সমরূপতা হয়। সিএটি (-1) স্পেসের জন্য বুসম্যান ফাংশন এবং ভিজ্যুয়াল মেট্রিক বুসম্যান ফাংশনগুলি সিএটি (-1) স্পেসের ক্লাসে বিশেষ ভিজ্যুয়াল মেট্রিক নির্ধারণ করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। এগুলি সম্পূর্ণ জিওডেসিক মেট্রিক স্পেস যেখানে একটি জিওডেসিক ত্রিভুজের সীমানার বিন্দুগুলির মধ্যে দূরত্ব হাইপারবোলিক উপরের অর্ধ সমতলে তুলনামূলক ত্রিভুজের চেয়ে কম বা সমান হয় বা পয়েনকারে মেট্রিকের সাথে একক ডিস্কের সমতুল্য হয়। একক ডিস্কের ক্ষেত্রে বুসম্যান ফাংশন ব্যবহার করে সরাসরি কর্ডাল মেট্রিক পুনরুদ্ধার করা যেতে পারে এবং ডিস্কের জন্য বিশেষ তত্ত্বটি যে কোনও যথাযথ সিএটি (-1) স্থানে সম্পূর্ণরূপে সাধারণীকরণ করে। হাইপারবোলিক উপরের অর্ধেক সমতলটি একটি সিএটি (0) স্থান, কারণ একটি হাইপারবোলিক জিওডেসিক ত্রিভুজের দৈর্ঘ্য ইউক্লিডীয় তুলনা ত্রিভুজের দৈর্ঘ্যের চেয়ে কমঃ বিশেষত একটি সিএটি (-1) স্থান একটি সিএটি (0) স্থান, তাই বুসম্যান ফাংশন এবং গ্রোমভ সীমানা তত্ত্ব প্রযোজ্য। হাইপারবোলিক ডিস্কের তত্ত্ব থেকে, এটি বিশেষভাবে অনুসরণ করা হয় যে একটি সিএটি (-1) স্থানের প্রতিটি জিওডেসিক রশ্মি একটি জিওডেসিক রেখা পর্যন্ত প্রসারিত হয় এবং সীমানার দুটি বিন্দু দেওয়া হলে একটি অনন্য জিওডেসিক থাকে যার সীমা হিসাবে এই বিন্দুগুলি থাকে। এই তত্ত্বটি যে কোনও সিএটি () স্থানের ক্ষেত্রে সমানভাবে প্রযোজ্য কারণ এগুলি সিএটি (-1) স্থানের মেট্রিক স্কেলিং দ্বারা উদ্ভূত হয়। হাইপারবোলিক একক ডিস্কের আধা-আইসোমেট্রিগুলির উপর একটি কার্যকরী উপায়ে সীমানার আধা-মোবিয়াস সমরূপতা প্ররোচিত করে। গ্রোমভ হাইপারবোলিক স্পেসের আরও একটি সাধারণ তত্ত্ব রয়েছে, একটি অনুরূপ বিবৃতি ধারণ করে, তবে সীমানার সমরূপতার উপর কম সুনির্দিষ্ট নিয়ন্ত্রণ সহ। উদাহরণস্বরূপঃ পারকোলেশন তত্ত্বে পয়েনকারে ডিস্কের প্রয়োগ আরও সম্প্রতি সম্ভাবনাময়রা প্রথম-প্যাসেজ পারকোলেশন এবং নির্দেশিত শেষ-প্যাসেজ পারকোলেশনের মডেলগুলিতে অ্যাসিম্পটোটিক বৈশিষ্ট্যগুলি অধ্যয়ন করতে বুসম্যান ফাংশনগুলি ব্যবহার করেছেন। নোটস রেফারেন্স, পরিশিষ্ট। জ্যামিতি