Dual bundle
গণিতে, দ্বৈত বান্ডিল হল ভেক্টর বান্ডিলের উপর একটি অপারেশন যা ভেক্টর স্পেসের জন্য দ্বৈততার ক্রিয়াকলাপকে প্রসারিত করে। সংজ্ঞা ভেক্টর বান্ডিলের দ্বৈত বান্ডিল হল ভেক্টর বান্ডিল যার তন্তুগুলি তার তন্তুগুলির দ্বৈত স্থান। সমতুল্যভাবে, হোম বান্ডিল হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে অর্থাৎ, ট্রিভিয়াল লাইন বান্ডিল নির্মাণ এবং উদাহরণগুলির থেকে মরফিজমের ভেক্টর বান্ডিল ট্রানজিশন ফাংশনের সাথে একটি স্থানীয় ট্রিভিয়ালাইজেশন দেওয়া হয়েছে যা ট্রানজিশন ফাংশনের সাথে একই খোলা আবরণ দ্বারা দেওয়া হয় (ট্রান্সপোজের বিপরীত)। তারপর ফাইবার বান্ডিল নির্মাণ উপপাদ্য ব্যবহার করে দ্বৈত বান্ডিল তৈরি করা হয়। বিশেষ ক্ষেত্রেঃ একটি সংশ্লিষ্ট বান্ডিলের দ্বৈত বান্ডিল হল কাঠামো গোষ্ঠীর দ্বৈত উপস্থাপনার সাথে যুক্ত বান্ডিল। একটি ডিফারেনশিয়েবল ম্যানিফোল্ডের ট্যানজেন্ট বান্ডিলের দ্বৈত বান্ডিল হল এর কোট্যানজেন্ট বান্ডিল। বৈশিষ্ট্যগুলি যদি বেস স্পেসটি প্যারাকম্প্যাক্ট এবং হাউসডর্ফ হয় তবে একটি বাস্তব, সীমাবদ্ধ-র্যাঙ্ক ভেক্টর বান্ডিল এবং এর দ্বৈত ভেক্টর বান্ডিল হিসাবে আইসোমরফিক হয়। যাইহোক, ভেক্টর স্পেসের মতো, কোনও অভ্যন্তরীণ পণ্য দিয়ে সজ্জিত না হলে আইসোমরফিজমের কোনও প্রাকৃতিক পছন্দ নেই। জটিল ভেক্টর বান্ডিলের ক্ষেত্রে এটি সত্য নয়ঃ উদাহরণস্বরূপ, রিমান গোলকের উপর টাউটোলজিকাল লাইন বান্ডিলটি তার দ্বৈতের সমতুল্য নয়। একটি জটিল ভেক্টর বান্ডিলের দ্বৈত প্রকৃতপক্ষে কনজুগেট বান্ডিলের সমতুল্য তবে সমরূপতার পছন্দটি অ-ক্যানোনিকাল যদি না কোনও হার্মিটিয়ান পণ্য দিয়ে সজ্জিত থাকে। দুটি ভেক্টর বান্ডিলের হোম বান্ডিলটি ক্যানোনিকালভাবে টেনসর পণ্য বান্ডিলের সমতুল্য একই স্থানে ভেক্টর বান্ডিলগুলির একটি অঙ্গসংস্থান দেওয়া হয়েছে, তাদের দ্বৈত বান্ডিলগুলির মধ্যে একটি অঙ্গসংস্থান রয়েছে (বিপরীত ক্রমে), প্রতিটি রৈখিক মানচিত্রের ট্রান্সপোজ হিসাবে ফাইব্রুইজকে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে তদনুসারে, দ্বৈত বান্ডিল অপারেশন ভেক্টর বান্ডিলের বিভাগ এবং তাদের অঙ্গসংস্থান থেকে একটি বিপরীতমুখী ফাংক্টরকে সংজ্ঞায়িত করে। তথ্যসূত্র ভেক্টর জ্যামিতিকে একত্রিত করে