Infinitary combinatorics
গণিতে, অসীম সংমিশ্রণ বা সংমিশ্রণ সেট তত্ত্ব হল সংমিশ্রণের ধারণাগুলির অসীম সেট পর্যন্ত সম্প্রসারণ। অধ্যয়ন করা কিছু জিনিসের মধ্যে রয়েছে অবিচ্ছিন্ন গ্রাফ এবং গাছ, রামসের উপপাদ্যের সম্প্রসারণ এবং মার্টিনের স্বতঃসিদ্ধ। সাম্প্রতিক উন্নয়নগুলি একক কার্ডিনালের উত্তরসূরিদের উপর ধারাবাহিকতা এবং সংমিশ্রণের সংমিশ্রণ নিয়ে উদ্বেগ প্রকাশ করে। অসীম সেটের জন্য রামসে তত্ত্ব κ লিখুন, অর্ডিনালগুলির জন্য λ, একটি কার্ডিনাল সংখ্যার জন্য m এবং একটি প্রাকৃতিক সংখ্যার জন্য n। এন-উপাদানের উপসেট [κ] এন-এর প্রতিটি বিভাজনকে এম-পিস-এ বিভক্ত করার একটি সংক্ষিপ্ত উপায় হিসাবে স্বরলিপিটি প্রবর্তন করা হয়েছে যাতে λ ক্রমের একটি সমজাতীয় সেট থাকে। এই ক্ষেত্রে একটি সমজাতীয় সেট হল κ-এর একটি উপসেট যাতে প্রতিটি n-উপাদান উপসেট পার্টিশনের একই উপাদানের মধ্যে থাকে। যখন m 2 হয় তখন এটি প্রায়শই বাদ দেওয়া হয়। পছন্দের স্বতঃসিদ্ধটি ধরে নিলে, κ → (ω) ω সহ কোনও অর্ডিনাল κ নেই, তাই n কে সাধারণত সসীম হিসাবে নেওয়া হয়। একটি এক্সটেনশন যেখানে n-কে প্রায় অসীম হতে দেওয়া হয় তা হল স্বরলিপি যা বলার একটি সংক্ষিপ্ত উপায় যে κ-এর সীমাবদ্ধ উপসেটগুলির সেটের প্রতিটি বিভাজনের ক্রম প্রকারের λ-এর একটি উপসেট থাকে যাতে যে কোনও সীমাবদ্ধ n-এর জন্য, আকার n-এর সমস্ত উপসেটগুলি বিভাজনের একই উপাদানের মধ্যে থাকে। যখন m 2 হয় তখন এটি প্রায়শই বাদ দেওয়া হয়। আরেকটি বৈচিত্র্য হল স্বরলিপি যা বলার একটি সংক্ষিপ্ত উপায় যে 2টি রঙ সহ κ-এর n-উপাদান উপসেটগুলির সেট [κ] n-এর প্রতিটি রঙে অর্ডার টাইপ λ-এর একটি উপসেট থাকে যাতে [λ] n-এর সমস্ত উপাদানগুলির প্রথম রঙ থাকে, বা অর্ডার টাইপ μ-এর একটি উপসেট থাকে যাতে [μ] n-এর সমস্ত উপাদানগুলির দ্বিতীয় রঙ থাকে। এর কিছু বৈশিষ্ট্যের মধ্যে রয়েছেঃ সমস্ত সসীম n এবং k (রামসের উপপাদ্য)-এর জন্য। (এরদোস-রাদো উপপাদ্য।) (সিয়েরপিন্সকি উপপাদ্য) (এরদোস-দুশনিক-মিলার উপপাদ্য)। পছন্দহীন মহাবিশ্বে, অসীম সূচক সহ বিভাজনের বৈশিষ্ট্য ধারণ করতে পারে এবং তাদের মধ্যে কিছু নির্ধারণের স্বতঃসিদ্ধ (এডি) এর পরিণতি হিসাবে প্রাপ্ত হয়। উদাহরণস্বরূপ, ডোনাল্ড এ. মার্টিন প্রমাণ করেছেন যে এডি বোঝায় বড় কার্ডিনালগুলি এই স্বরলিপি ব্যবহার করে বেশ কয়েকটি বড় কার্ডিনাল বৈশিষ্ট্য সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। বিশেষতঃ দুর্বল কম্প্যাক্ট কার্ডিনালগুলি হ 'ল যারা সন্তুষ্ট করে κ → (κ) 2 α-এর্ডোস কার্ডিনালগুলি κ সবচেয়ে ছোট যা সন্তুষ্ট করে κ → (α) <ω রামসে কার্ডিনালগুলি κ হ' ল যারা সন্তুষ্ট করে κ → (κ) <ω নোটস রেফারেন্স সেট থিওরি কম্বিনেটরিক্স