Linear group
গণিতে, একটি ম্যাট্রিক্স গ্রুপ হল একটি গ্রুপ জি যা ম্যাট্রিক্স গুণনের ক্রিয়াকলাপ সহ একটি নির্দিষ্ট ক্ষেত্র K-এর উপর বিপরীতমুখী ম্যাট্রিক্স নিয়ে গঠিত। একটি রৈখিক গোষ্ঠী হল এমন একটি গোষ্ঠী যা একটি ম্যাট্রিক্স গোষ্ঠীর সমতুল্য (অর্থাৎ, কে-এর উপর একটি বিশ্বস্ত, সীমাবদ্ধ-মাত্রিক উপস্থাপনা স্বীকার করে)। যে কোনও সসীম গোষ্ঠী রৈখিক, কারণ এটি কেলির উপপাদ্য ব্যবহার করে ক্রমাঙ্কন ম্যাট্রিক্স দ্বারা উপলব্ধি করা যেতে পারে। অসীম গোষ্ঠীগুলির মধ্যে, রৈখিক গোষ্ঠীগুলি একটি আকর্ষণীয় এবং ট্র্যাক্টেবল শ্রেণী গঠন করে। রৈখিক নয় এমন গোষ্ঠীগুলির উদাহরণগুলির মধ্যে রয়েছে এমন গোষ্ঠীগুলি যা "খুব বড়" (উদাহরণস্বরূপ, একটি অসীম সেটের বিন্যাসের গোষ্ঠী), বা যা কিছু প্যাথোলজিকাল আচরণ প্রদর্শন করে (উদাহরণস্বরূপ, সীমাবদ্ধভাবে উত্পন্ন অসীম টর্জন গোষ্ঠী)। সংজ্ঞা এবং মৌলিক উদাহরণ একটি গ্রুপ জি-কে রৈখিক বলা হয় যদি একটি ক্ষেত্র কে, একটি পূর্ণসংখ্যা ডি এবং জি থেকে সাধারণ রৈখিক গ্রুপ জিএলডি (কে)-তে একটি ইনজেক্টিভ সমরূপতা বিদ্যমান থাকে (কে-এর উপর মাত্রার একটি বিশ্বস্ত রৈখিক উপস্থাপনা): যদি প্রয়োজন হয় তবে ক্ষেত্র এবং মাত্রা উল্লেখ করে বলা যেতে পারে যে জি কে-এর উপর ডি ডিগ্রি ডি-এর রৈখিক। মৌলিক দৃষ্টান্তগুলি এমন গোষ্ঠী যা একটি রৈখিক গোষ্ঠীর উপগোষ্ঠী হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়, উদাহরণস্বরূপঃ গ্রুপ জিএলএন (কে) নিজেই; বিশেষ রৈখিক গ্রুপ এসএলএন (কে) (নির্ধারক 1 সহ ম্যাট্রিক্সের উপগোষ্ঠী); বিপরীতমুখী উপরের (বা নিম্ন) ত্রিভুজাকার ম্যাট্রিক্সের গ্রুপ যদি জিআই জিএলএন (কে)-এর উপাদানগুলির একটি সংগ্রহ হয়। মিথ্যা গোষ্ঠীগুলির অধ্যয়নে, কখনও কখনও জটিল সংখ্যার ক্ষেত্রে বিশ্বস্তভাবে প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে এমন মিথ্যা গোষ্ঠীগুলির প্রতি মনোযোগ সীমাবদ্ধ করা শিক্ষামূলকভাবে সুবিধাজনক। (কিছু লেখকের প্রয়োজন যে গোষ্ঠীটিকে জি. এল. এন (সি)-এর একটি বদ্ধ উপগোষ্ঠী হিসাবে উপস্থাপন করা হবে।) যে বইগুলি এই পদ্ধতি অনুসরণ করে সেগুলির মধ্যে রয়েছে হল (2015) এবং রসম্যান (2002)। ধ্রুপদী গোষ্ঠী এবং সম্পর্কিত উদাহরণ তথাকথিত ধ্রুপদী গোষ্ঠীগুলি উপরের 1 এবং 2 টি উদাহরণকে সাধারণীকরণ করে। এগুলি রৈখিক বীজগাণিতিক গোষ্ঠী হিসাবে উদ্ভূত হয়, অর্থাৎ সীমাবদ্ধ সংখ্যক সমীকরণ দ্বারা সংজ্ঞায়িত জি. এল. এন-এর উপগোষ্ঠী হিসাবে। মৌলিক উদাহরণগুলি হল অর্থোগোনাল, ইউনিটারি এবং সিমপ্লেক্টিক গ্রুপ তবে বিভাজন বীজগণিত ব্যবহার করে আরও গঠন করা সম্ভব (উদাহরণস্বরূপ একটি কোয়াটারনিয়ন বীজগণিতের একক গ্রুপ একটি শাস্ত্রীয় গ্রুপ)। লক্ষ্য করুন যে এই গোষ্ঠীগুলির সাথে যুক্ত প্রজেক্টিভ গোষ্ঠীগুলিও রৈখিক, যদিও স্পষ্টতই কম। উদাহরণস্বরূপ, পিএসএল2 (আর) গ্রুপটি 2 × 2 ম্যাট্রিক্সের একটি গ্রুপ নয়, তবে এটির 3 × 3 ম্যাট্রিক্স (সংলগ্ন উপস্থাপনা) হিসাবে একটি বিশ্বস্ত উপস্থাপনা রয়েছে, যা সাধারণ ক্ষেত্রে ব্যবহার করা যেতে পারে। অনেক লাই গ্রুপ রৈখিক, তবে তাদের সবগুলিই নয়। এসএল2 (আর)-এর সর্বজনীন আবরণ রৈখিক নয়, যেমন অনেক সমাধানযোগ্য গোষ্ঠী, উদাহরণস্বরূপ একটি কেন্দ্রীয় চক্রীয় উপগোষ্ঠী দ্বারা হাইজেনবার্গ গোষ্ঠীর ভাগফল। ধ্রুপদী লাই গোষ্ঠীর বিচ্ছিন্ন উপগোষ্ঠীগুলিও (উদাহরণস্বরূপ জাল বা পাতলা গোষ্ঠী) আকর্ষণীয় রৈখিক গোষ্ঠীর উদাহরণ। সীমাবদ্ধ গোষ্ঠী n ক্রমের একটি সীমাবদ্ধ গোষ্ঠী G যে কোনও ক্ষেত্র K-এর উপর সর্বাধিক n মাত্রায় রৈখিক। এই বিবৃতিটিকে কখনও কখনও কেলির উপপাদ্য বলা হয় এবং কেবল এই সত্য থেকে ফলাফল পাওয়া যায় যে, K [G] বলয়টির উপর G-এর ক্রিয়াটি বাম (বা ডান) গুণ দ্বারা রৈখিক এবং বিশ্বস্ত। লাই প্রকারের সসীম গোষ্ঠীগুলি (সসীম ক্ষেত্রের উপর শাস্ত্রীয় গোষ্ঠী) সসীম সরল গোষ্ঠীগুলির একটি গুরুত্বপূর্ণ পরিবার, কারণ তারা সসীম সরল গোষ্ঠীগুলির শ্রেণিবিন্যাসে বেশিরভাগ স্থান গ্রহণ করে। যদিও উপরের উদাহরণ 4 একটি স্বতন্ত্র শ্রেণীকে সংজ্ঞায়িত করার জন্য খুব সাধারণ (এতে সমস্ত রৈখিক গোষ্ঠী অন্তর্ভুক্ত), একটি সীমাবদ্ধ সূচক সেট I-এর মধ্যে সীমাবদ্ধ, অর্থাৎ, সীমাবদ্ধভাবে উত্পন্ন গোষ্ঠীগুলি অনেক আকর্ষণীয় উদাহরণ তৈরি করার অনুমতি দেয়। উদাহরণস্বরূপঃ পিং-পং লেম্মা রৈখিক গোষ্ঠীর অনেক উদাহরণ তৈরি করতে ব্যবহার করা যেতে পারে যা মুক্ত গোষ্ঠী (উদাহরণস্বরূপ মুক্ত দ্বারা উত্পন্ন গোষ্ঠী)। গাণিতিক গোষ্ঠীগুলি সীমাবদ্ধভাবে তৈরি করা হয় বলে জানা যায়। অন্যদিকে, একটি প্রদত্ত গাণিতিক গোষ্ঠীর জন্য জেনারেটরের একটি স্পষ্ট সেট খুঁজে পাওয়া একটি কঠিন সমস্যা। ব্রেইড গ্রুপগুলির (যা একটি সীমাবদ্ধভাবে উপস্থাপিত গ্রুপ হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়) একটি সীমাবদ্ধ-মাত্রিক জটিল ভেক্টর স্পেসে বিশ্বস্ত রৈখিক উপস্থাপনা রয়েছে যেখানে জেনারেটরগুলি স্পষ্ট ম্যাট্রিক্স দ্বারা কাজ করে। জ্যামিতি থেকে উদাহরণ কিছু ক্ষেত্রে জ্যামিতিক কাঠামো থেকে আসা উপস্থাপনা ব্যবহার করে একটি ম্যানিফোল্ডের মৌলিক গোষ্ঠীকে রৈখিক হিসাবে দেখানো যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, কমপক্ষে 2 বংশের সমস্ত বদ্ধ পৃষ্ঠতল হাইপারবোলিক রিম্যান পৃষ্ঠতল। ইউনিফর্মাইজেশন উপপাদ্যের মাধ্যমে এটি হাইপারবোলিক সমতলের আইসোমেট্রি গ্রুপে এর মৌলিক গোষ্ঠীর প্রতিনিধিত্বের জন্ম দেয়, যা পিএসএল2 (আর)-এর সমরূপ এবং এটি একটি ফুচসিয়ান গ্রুপ হিসাবে মৌলিক গোষ্ঠীকে উপলব্ধি করে। এই গঠনের একটি সাধারণীকরণ একটি (জি, এক্স)-কাঠামোর ধারণা দ্বারা দেওয়া হয়। আরেকটি উদাহরণ হল সেইফার্ট ম্যানিফোল্ডের মৌলিক গোষ্ঠী। অন্যদিকে, 3-ম্যানিফোল্ডের সমস্ত মৌলিক গোষ্ঠী রৈখিক কিনা তা জানা যায় না। যদিও রৈখিক গোষ্ঠীগুলি উদাহরণের একটি বিশাল শ্রেণী, সমস্ত অসীম গোষ্ঠীর মধ্যে তারা অনেক উল্লেখযোগ্য বৈশিষ্ট্য দ্বারা আলাদা করা হয়। সীমাবদ্ধভাবে উৎপন্ন রৈখিক গোষ্ঠীগুলির নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্যগুলি রয়েছেঃ এগুলি অবশিষ্টাংশগতভাবে সীমাবদ্ধ; বার্নসাইডের উপপাদ্যঃ সীমাবদ্ধ সূচকের একটি টর্জন গ্রুপ যা 0 বৈশিষ্ট্যের ক্ষেত্রের উপর রৈখিক অবশ্যই সীমাবদ্ধ হতে হবে; শুরের উপপাদ্যঃ একটি টর্জন রৈখিক গোষ্ঠী স্থানীয়ভাবে সীমাবদ্ধ। বিশেষ করে, যদি এটি সীমাবদ্ধভাবে উৎপন্ন হয় তবে এটি সীমাবদ্ধ। সেলবার্গের লেমাঃ যে কোনও সীমাবদ্ধভাবে উত্পন্ন রৈখিক গোষ্ঠীতে সীমাবদ্ধ সূচকের একটি টর্জন-মুক্ত উপগোষ্ঠী থাকে। টিটস বিকল্পটি বলে যে একটি রৈখিক গোষ্ঠীতে হয় একটি অ-অ্যাবেলিয়ান মুক্ত গোষ্ঠী থাকে বা অন্যথায় কার্যত সমাধানযোগ্য (অর্থাৎ, সসীম সূচকের একটি সমাধানযোগ্য গোষ্ঠী থাকে)। এর আরও অনেক পরিণতি রয়েছে, উদাহরণস্বরূপঃ একটি সীমাবদ্ধভাবে উত্পন্ন রৈখিক গোষ্ঠীর ডেহন ফাংশন শুধুমাত্র বহুপদী বা সূচকীয় হতে পারে; একটি সহজতর রৈখিক গোষ্ঠী কার্যত সমাধানযোগ্য, বিশেষত প্রাথমিকভাবে সহজতর; ভন নিউম্যান অনুমান রৈখিক গোষ্ঠীর ক্ষেত্রে সত্য। অ-রৈখিক গোষ্ঠীর উদাহরণ অ-রৈখিক গোষ্ঠীর অসীম উৎপন্ন উদাহরণ দেওয়া কঠিন নয়ঃ উদাহরণস্বরূপ অসীম আবেলিয়ান গ্রুপ (Z/2Z) N x (Z/3Z) N রৈখিক হতে পারে না। যেহেতু একটি অসীম সেটের প্রতিসম গ্রুপে এই গ্রুপটি থাকে তাই এটি রৈখিকও নয়। সীমাবদ্ধভাবে তৈরি উদাহরণগুলি খুঁজে বের করা আরও সূক্ষ্ম এবং সাধারণত উপরে তালিকাভুক্ত বৈশিষ্ট্যগুলির মধ্যে একটি ব্যবহার করা প্রয়োজন। যেহেতু যে কোনও সীমাবদ্ধ রৈখিক গোষ্ঠী অবশিষ্টভাবে সীমাবদ্ধ, তাই এটি সহজ এবং অসীম উভয়ই হতে পারে না। এইভাবে সীমিতভাবে তৈরি অসীম সহজ গোষ্ঠী, উদাহরণস্বরূপ থম্পসনের গ্রুপ এফ, এবং সর্বোচ্চ সঠিক স্বাভাবিক উপগোষ্ঠী দ্বারা হিগম্যানের গোষ্ঠীর ভাগফল রৈখিক নয়। উপরে উল্লিখিত টিটস বিকল্পের ফলস্বরূপ, গ্রিগোরচুকের গোষ্ঠীর মতো মধ্যবর্তী বৃদ্ধির গোষ্ঠীগুলি রৈখিক নয়। আবার টিটস বিকল্প দ্বারা, যেমন উপরে উল্লেখ করা হয়েছে, ভন নিউম্যান অনুমানের সমস্ত পাল্টা উদাহরণ রৈখিক নয়। এর মধ্যে থম্পসনের গ্রুপ এফ এবং টারস্কি দৈত্য গ্রুপ অন্তর্ভুক্ত রয়েছে। বার্নসাইডের উপপাদ্য অনুসারে, টারস্কি দৈত্য গোষ্ঠীর মতো অসীম, সীমাবদ্ধভাবে উত্পন্ন টর্জন গোষ্ঠীগুলি রৈখিক হতে পারে না। হাইপারবোলিক গ্রুপগুলির উদাহরণ রয়েছে যা রৈখিক নয়, যা লাই গ্রুপ স্প (এন, 1)-এ ল্যাটিসের অনুপাত হিসাবে প্রাপ্ত হয়। মুক্ত গোষ্ঠীর বাইরের অটোমরফিজম গ্রুপ আউট (এফএন) কমপক্ষে 4 এর জন্য রৈখিক নয় বলে জানা যায়। বিনুনি গোষ্ঠীর ক্ষেত্রে এর বিপরীতে, এটি একটি উন্মুক্ত প্রশ্ন যে> 1 বংশের পৃষ্ঠের ম্যাপিং শ্রেণী গোষ্ঠীটি রৈখিক কিনা। প্রতিনিধিত্ব তত্ত্ব একবার একটি গোষ্ঠী রৈখিক হিসাবে প্রতিষ্ঠিত হয়ে গেলে তার জন্য "সর্বোত্তম" বিশ্বস্ত রৈখিক উপস্থাপনা খুঁজে বের করার চেষ্টা করা আকর্ষণীয়, উদাহরণস্বরূপ সর্বনিম্ন সম্ভাব্য মাত্রার, বা এমনকি তার সমস্ত রৈখিক উপস্থাপনাকে (বিশ্বস্ত নয় এমনগুলি সহ) শ্রেণীবদ্ধ করার চেষ্টা করা। এই প্রশ্নগুলি প্রতিনিধিত্ব তত্ত্বের বিষয়। তত্ত্বের প্রধান অংশগুলির মধ্যে রয়েছেঃ সসীম গোষ্ঠীগুলির প্রতিনিধিত্ব তত্ত্ব; মিথ্যা গোষ্ঠীগুলির প্রতিনিধিত্ব তত্ত্ব এবং আরও সাধারণভাবে রৈখিক বীজগাণিতিক গোষ্ঠী। অসীম পরিমিতভাবে উৎপন্ন গোষ্ঠীগুলির উপস্থাপনা তত্ত্বটি সাধারণভাবে রহস্যময়; এই ক্ষেত্রে আগ্রহের বিষয় হল গোষ্ঠীর চরিত্রের বৈচিত্র্য, যা খুব কম ক্ষেত্রেই ভালভাবে বোঝা যায়, উদাহরণস্বরূপ মুক্ত গোষ্ঠী, পৃষ্ঠ গোষ্ঠী এবং লাই গোষ্ঠীগুলিতে আরও সাধারণভাবে জাল (উদাহরণস্বরূপ মার্গুলিসের অতি অনমনীয়তা উপপাদ্য এবং অন্যান্য অনমনীয়তা ফলাফলের মাধ্যমে)। উল্লেখগুলি উল্লেখ করুন। । অসীম গোষ্ঠী তত্ত্ব ম্যাট্রিসেস