Cut point
টপোলজিতে, একটি কাট-পয়েন্ট একটি সংযুক্ত স্থানের এমন একটি বিন্দু যা তার অপসারণের ফলে স্থানটি সংযোগ বিচ্ছিন্ন হয়ে যায়। যদি কোনও বিন্দু অপসারণের ফলে সংযোগ বিচ্ছিন্ন না হয়, তবে এই বিন্দুটিকে নন-কাট পয়েন্ট বলা হয়। উদাহরণস্বরূপ, একটি রেখার প্রতিটি বিন্দু একটি কাট-পয়েন্ট, যেখানে একটি বৃত্তের কোনও বিন্দু একটি কাট-পয়েন্ট নয়। প্রতিটি স্থানে কাট-পয়েন্টের সংখ্যা গণনা করে দুটি সংযুক্ত স্থান সমরূপ কিনা তা নির্ধারণ করতে কাট-পয়েন্টগুলি কার্যকর। যদি দুটি জায়গার বিভিন্ন সংখ্যক কাট-পয়েন্ট থাকে, তবে সেগুলি সমরূপ নয়। একটি সর্বোত্তম উদাহরণ হল কাট-পয়েন্ট ব্যবহার করে দেখানো যে রেখা এবং বৃত্তগুলি সমরূপ নয়। কাট-পয়েন্টগুলি টপোলজিকাল কন্টিনিউয়ার বৈশিষ্ট্যকরণেও কার্যকর, স্থানগুলির একটি শ্রেণী যা কম্প্যাক্টনেস এবং সংযোগের বৈশিষ্ট্যগুলিকে একত্রিত করে এবং একক ব্যবধান, বৃত্ত এবং টরাসের মতো অনেক পরিচিত স্থান অন্তর্ভুক্ত করে। সংজ্ঞা আনুষ্ঠানিক সংজ্ঞা একটি সংযুক্ত T1 টপোলজিকাল স্পেস X-এর একটি কাট-পয়েন্ট হল X-এর একটি বিন্দু p যাতে X-{p} সংযুক্ত না থাকে। যে বিন্দুটি কাট-পয়েন্ট নয়, তাকে নন-কাট পয়েন্ট বলা হয়। একটি অ-খালি সংযুক্ত টপোলজিকাল স্থান X হল একটি কাট-পয়েন্ট স্থান যদি X-এর প্রতিটি বিন্দু X-এর একটি কাট পয়েন্ট হয়। মৌলিক উদাহরণ একটি বদ্ধ ব্যবধানের [a, b] অসীম সংখ্যক কাট-পয়েন্ট থাকে। এর শেষ পয়েন্টগুলি ছাড়া সমস্ত পয়েন্ট কাট-পয়েন্ট এবং শেষ পয়েন্টগুলি (এ, বি) নন-কাট পয়েন্ট। একটি উন্মুক্ত ব্যবধানের (এ, বি) বন্ধ ব্যবধানের মতো অসীম সংখ্যক কাট-পয়েন্ট রয়েছে। যেহেতু খোলা ব্যবধানের শেষ পয়েন্ট থাকে না, তাই এর কোনও নন-কাট পয়েন্ট থাকে না। একটি বৃত্তের কোনও কাট-পয়েন্ট নেই এবং এটি অনুসরণ করে যে একটি বৃত্তের প্রতিটি বিন্দু একটি নন-কাট পয়েন্ট। স্বরলিপি X-এর একটি কাটিং হল একটি সেট {p, U, V} যেখানে p হল X, U এবং V-এর একটি কাট-পয়েন্ট যা X-{p}-এর একটি পৃথকীকরণ গঠন করে। এছাড়াও X\ {p} = U|V হিসাবে লেখা যেতে পারে। উপপাদ্য কাট-পয়েন্ট এবং সমরূপতা কাট-পয়েন্টগুলি অবিচ্ছিন্ন ফাংশনের অধীনে সংরক্ষণ করা হয় না। উদাহরণস্বরূপঃ f: [0,2] → R2, f (x) = (cos x, sin x) দ্বারা প্রদত্ত। ব্যবধানের প্রতিটি বিন্দু (দুটি শেষ বিন্দু ব্যতীত) একটি কাট-পয়েন্ট, তবে f (x) একটি বৃত্ত গঠন করে যার কোনও কাট-পয়েন্ট নেই। কাট-পয়েন্টগুলি সমরূপতার অধীনে সংরক্ষিত থাকে। অতএব, কাট-পয়েন্ট একটি টপোলজিকাল অপরিবর্তনীয়। কাট-পয়েন্ট এবং কন্টিনিউয়া একাধিক পয়েন্ট সহ প্রতিটি কন্টিনিউয়ামের (কমপ্যাক্ট সংযুক্ত হাউসডর্ফ স্পেস) কমপক্ষে দুটি নন-কাট পয়েন্ট থাকে। বিশেষত, প্রতিটি খোলা সেট যা ফলস্বরূপ স্থানের পৃথকীকরণ গঠন করে তাতে কমপক্ষে একটি অ-কাটা বিন্দু থাকে। ঠিক দুটি অ-কাটা-বিন্দু সহ প্রতিটি ধারাবাহিকতা একক ব্যবধানের সমরূপ। যদি K বিন্দু a, b এবং K-{a, b} সংযুক্ত না থাকে, তবে K একক বৃত্তের সমরূপ। কাট-পয়েন্ট স্পেসের টপোলজিক্যাল বৈশিষ্ট্যগুলি ধরা যাক X একটি সংযুক্ত স্থান এবং X-এ x একটি কাট পয়েন্ট যাতে X\ {x} = A|B হয়। তারপর {x} হয় খোলা অথবা বন্ধ থাকে। যদি {x} খোলা থাকে, এ এবং বি বন্ধ থাকে। যদি {x} বন্ধ থাকে, তাহলে A এবং B খোলা থাকে। ধরা যাক X একটি কাট-পয়েন্ট স্পেস। এক্স-এর বদ্ধ বিন্দুর সমষ্টি অসীম। অপরিবর্তনীয় কাট-পয়েন্ট স্থানের সংজ্ঞা একটি কাট-পয়েন্ট স্থান অপরিবর্তনীয় যদি এর কোনও সঠিক উপসেট একটি কাট-পয়েন্ট স্থান না হয়। খালিমস্কি লাইনঃ ধরা যাক পূর্ণসংখ্যার সেট এবং যেখানে একটি টপোলজির ভিত্তি। খালিমস্কি লাইন হল এই টপোলজি দ্বারা সমৃদ্ধ সেট। এটি একটি কাট-পয়েন্ট স্পেস। উপরন্তু, এটি অপরিবর্তনীয়। উপপাদ্য একটি টপোলজিকাল স্থান একটি অপরিবর্তনীয় কাট-পয়েন্ট স্থান যদি এবং শুধুমাত্র যদি X খালিমস্কি লাইনের সমরূপ হয়। আরও দেখুন কাট পয়েন্ট (গ্রাফ তত্ত্ব) রেফারেন্স (মূলত 1970 সালে অ্যাডিসন-ওয়েসলি পাবলিশিং কোম্পানি, ইনকর্পোরেটেড দ্বারা প্রকাশিত)। সাধারণ টপোলজি