Affine geometry of curves
ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতির গাণিতিক ক্ষেত্রে, বক্ররেখার অ্যাফিন জ্যামিতি হল একটি অ্যাফিন স্পেসে বক্ররেখার অধ্যয়ন, এবং বিশেষত এই ধরনের বক্ররেখার বৈশিষ্ট্য যা বিশেষ অ্যাফিন গ্রুপের অধীনে অপরিবর্তনীয় বক্ররেখার ধ্রুপদী ইউক্লিডীয় জ্যামিতিতে, মৌলিক সরঞ্জাম হল ফ্রেনেট-সেরেট ফ্রেম। এফাইন জ্যামিতিতে, ফ্রেনেট-সেরেট ফ্রেমটি আর ভালভাবে সংজ্ঞায়িত নয়, তবে একটি বক্ররেখা বরাবর আরেকটি ক্যানোনিকাল চলমান ফ্রেমকে সংজ্ঞায়িত করা সম্ভব যা অনুরূপ সিদ্ধান্তমূলক ভূমিকা পালন করে। এই তত্ত্বটি 20 শতকের গোড়ার দিকে বিকশিত হয়েছিল, মূলত উইলহেলম ব্লাস্কে এবং জিন ফাভার্ডের প্রচেষ্টা থেকে। এফাইন ফ্রেম ধরা যাক x (t) একটি বক্ররেখা। ধরে নিন, যেমন ইউক্লিডীয় ক্ষেত্রে করা হয়, যে x (t)-এর প্রথম n ব্যুৎপত্তিগুলি রৈখিকভাবে স্বাধীন যাতে, বিশেষত, x (t)-এর কোনও নিম্ন-মাত্রিক অ্যাফিন সাবস্পেসে থাকে না। তারপর বক্ররেখা প্যারামিটার টি নির্ধারক নির্ধারণ করে স্বাভাবিক করা যেতে পারে এই ধরনের একটি বক্ররেখা তার অ্যাফিন আর্ক্লেন্থ দ্বারা প্যারামিট্রাইজ করা হয়। এই ধরনের প্যারামিটারাইজেশনের জন্য, বিশেষ অ্যাফিন গ্রুপে একটি ম্যাপিং নির্ধারণ করে, যা বক্ররেখার জন্য একটি বিশেষ অ্যাফিন ফ্রেম হিসাবে পরিচিত। অর্থাৎ, পরিমাণের প্রতিটি বিন্দুতে অ্যাফিন স্থানের জন্য একটি বিশেষ অ্যাফিন ফ্রেম নির্ধারণ করা হয়, যার মধ্যে স্থানের একটি বিন্দু x এবং x-এ বিন্দুর সাথে সংযুক্ত একটি বিশেষ রৈখিক ভিত্তি থাকে। এই মানচিত্র বরাবর মৌরার-কার্টান ফর্মের পুলব্যাক বক্ররেখার অ্যাফিন কাঠামোগত অপরিবর্তনীয়গুলির একটি সম্পূর্ণ সেট দেয়। সমতলে, এটি একটি একক স্কেলার অপরিবর্তনীয়, বক্ররেখার অ্যাফিন বক্রতা দেয়। বিচ্ছিন্ন অপরিবর্তনীয় বক্ররেখা পরামিতি s-এর স্বাভাবিককরণ উপরে নির্বাচিত করা হয়েছিল যাতে n ষ্ণ 0 (মড 4) বা n ষ্ণ 3 (মোড 4) হলে এই নির্ধারকের চিহ্নটি বক্ররেখার একটি পৃথক অপরিবর্তনীয়। একটি বক্ররেখাকে বলা হয় ডেক্সট্রর্স (ডান দিকের ঘূর্ণায়মান, জার্মানিতে প্রায়শই ওয়েইনওয়েন্ডিগ) যদি এটি + 1 হয়, এবং সিনিস্ট্রর্স (বাম দিকের ঘূর্ণায়মান, জার্মানিতে প্রায়শই হপফেনওয়েন্ডিগ) যদি এটি-1 হয়। ত্রি-মাত্রায়, একটি ডান হাতের হেলিক্স হল ডেক্সট্রস এবং একটি বাম হাতের হেলিক্স হল সিনিস্ট্রস। বক্রতা ধরুন যে x-এর বক্ররেখাটি অ্যাফাইন আর্ক্লেন্থ দ্বারা প্যারামিটারাইজ করা হয়েছে। তারপর x-এর এফাইন বক্রতা, k1,., kn−1 দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয় যে এই ধরনের একটি অভিব্যক্তি নির্ধারকের অন্তরজ গণনা করে অনুসরণ করা সম্ভব যাতে x (n + 1) হল x′,., x (n−1)-এর একটি রৈখিক সংমিশ্রণ। ম্যাট্রিক্সের কথা বিবেচনা করুন যার কলামগুলি x-এর প্রথম n ডেরিভেটিভ (এখনও বিশেষ অ্যাফিন আর্ক্লেন্থ দ্বারা প্যারামিটারাইজ করা)। তারপর, সুনির্দিষ্ট অর্থে, ম্যাট্রিক্স সি হল এক্স-এর প্রথম এন ডেরিভেটিভস দ্বারা প্রদত্ত ফ্রেম বরাবর বিশেষ রৈখিক গোষ্ঠীর মৌরার-কার্টান ফর্মের পুলব্যাক। আরও দেখুন মুভিং ফ্রেম অ্যাফিন গোলক রেফারেন্স বক্ররেখা ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতি অ্যাফিন জ্যামিতি