Kazhdan–Lusztig polynomial
উপস্থাপনা তত্ত্বের গাণিতিক ক্ষেত্রে, একটি কাজদান-লুস্তিগ বহুপদী হল অবিচ্ছেদ্য বহুপদের একটি পরিবারের সদস্য যা দ্বারা প্রবর্তিত হয়। এগুলি একটি কক্সেটার গ্রুপ W-এর y, w উপাদানগুলির জোড়া দ্বারা সূচীভুক্ত করা হয়, যা বিশেষত একটি লাই গ্রুপের ওয়েল গ্রুপ হতে পারে। অনুপ্রেরণা এবং ইতিহাস 1978 সালের বসন্তে কাজদান এবং লুস্তিগ একটি বীজগাণিতিক গোষ্ঠীর ওয়েইল গোষ্ঠীর স্প্রিঙ্গার উপস্থাপনাগুলি অধ্যয়ন করছিলেন-অ্যাডিক কোহোমোলজি গোষ্ঠীগুলির উপর যা কনজুগেসি শ্রেণীর সাথে সম্পর্কিত যা একক ক্ষমতাশালী। তারা জটিল সংখ্যার উপর এই উপস্থাপনাগুলির একটি নতুন গঠন খুঁজে পেয়েছে। উপস্থাপনাটির দুটি প্রাকৃতিক ভিত্তি ছিল এবং এই দুটি ভিত্তির মধ্যে ট্রানজিশন ম্যাট্রিক্স মূলত কাজদান-লুসটিগ বহুপদী দ্বারা দেওয়া হয়। তাদের বহুপদীগুলির প্রকৃত কাজদান-লুস্তিগ গঠন আরও প্রাথমিক। কাজদান এবং লুস্তিগ কক্সেটার গ্রুপের হেক বীজগণিত এবং এর উপস্থাপনাগুলিতে একটি প্রামাণিক ভিত্তি তৈরি করতে এটি ব্যবহার করেছিলেন। তাদের প্রথম গবেষণাপত্রে কাজদান এবং লুস্তিগ উল্লেখ করেছেন যে তাদের বহুপদগুলি শুবার্ট জাতের জন্য স্থানীয় পয়েনকারে দ্বৈততার ব্যর্থতার সাথে সম্পর্কিত ছিল। মার্ক গোরেস্কি এবং রবার্ট ম্যাকফারসনের ছেদ সমস্থানিকবিদ্যার পরিপ্রেক্ষিতে তারা এটিকে পুনরায় ব্যাখ্যা করেছেন এবং নির্দিষ্ট ছেদ সমস্থানিক গোষ্ঠীর মাত্রার পরিপ্রেক্ষিতে এই ধরনের ভিত্তির আরেকটি সংজ্ঞা দিয়েছেন। স্প্রিংগার উপস্থাপনের জন্য দুটি ভিত্তি কাজদান এবং লুস্টিগকে ভার্মা মডিউল এবং সহজ মডিউল দ্বারা প্রদত্ত আধা-সরল লাই অ্যালজেব্রার নির্দিষ্ট অসীম মাত্রিক উপস্থাপনের গ্রোথেন্ডিক গোষ্ঠীর জন্য দুটি ঘাঁটির কথা মনে করিয়ে দেয়। এই উপমা, এবং জেনস কার্স্টেন জ্যান্টজেন এবং অ্যান্টনি জোসেফের কাজ ওয়েল গোষ্ঠীগুলির প্রতিনিধিত্বের সাথে অ্যালজেব্রাগুলিকে আবৃত করার আদিম আদর্শের সাথে সম্পর্কিত, কাজদান-লুসজিগ অনুমানের দিকে পরিচালিত করে। সংজ্ঞা সেট এস তৈরি করে একটি কক্সেটার গ্রুপ ডাব্লু ঠিক করুন এবং একটি উপাদান ডাব্লু-এর দৈর্ঘ্যের জন্য লিখুন (এস-এর উপাদানগুলির গুণফল হিসাবে ডাব্লু-এর জন্য একটি অভিব্যক্তির ক্ষুদ্রতম দৈর্ঘ্য)। ডাব্লু-এর হেক বীজগণিতে বলয়ের উপরের জন্য উপাদানগুলির একটি ভিত্তি রয়েছে, যার গুণন দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে দ্বিঘাত দ্বিতীয় সম্পর্কটি বোঝায় যে প্রতিটি জেনারেটর হেক বীজগণিতে বিপরীতমুখী। এই বিপরীতগুলি সম্পর্ককে সন্তুষ্ট করে (−2q−1 দ্বারা দ্বিঘাত সম্পর্ককে গুণ করে প্রাপ্ত), এবং বিনুনি সম্পর্ককেও। এর থেকে বোঝা যায় যে হেক বীজগণিতে একটি অটোমরফিজম ডি রয়েছে যা q1/2 কে q−1/2 এবং প্রতিটি কে পাঠায়। আরও সাধারণভাবে একজনের আছে; এছাড়াও ডি একটি ইনভোলুশন হিসাবে দেখা যেতে পারে। কাজদান-লুস্তিগ বহুপদী পাইউ (কিউ)-কে ডাব্লু-এর ওয়াই, ডাব্লু উপাদানগুলির একটি জোড়া দ্বারা সূচীভুক্ত করা হয় এবং নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্যগুলি দ্বারা অনন্যভাবে নির্ধারিত হয়। এগুলি 0 যদি না y ≤ w (ডাব্লু-এর ব্রুহাত ক্রমে), 1 যদি y = ডাব্লু, এবং y <ডাব্লু-এর জন্য তাদের ডিগ্রি সর্বাধিক (এল (ডাব্লু) − এল (ওয়াই) −1)/2 হয়। এই উপাদানগুলি হেক বীজগণিতে 'ডি'-এর অভিপ্রেরণের অধীনে অপরিবর্তনীয়। উপাদানগুলি একটি-মডিউল হিসাবে হেক বীজগণিতের একটি ভিত্তি গঠন করে, যাকে কাজদান-লুস্টিগ ভিত্তি বলা হয়। কাজদান-লুস্তিগ বহুপদীর অস্তিত্ব প্রতিষ্ঠার জন্য, কাজদান এবং লুস্তিগ পাইউ (কিউ) বহুপদ গণনার জন্য একটি সহজ পুনরাবৃত্তিমূলক পদ্ধতি দিয়েছিলেন আরও প্রাথমিক বহুপদের পরিপ্রেক্ষিতে যা রাইউ (কিউ) চিহ্নিত করে। দ্বারা সংজ্ঞায়িত তাদের পুনরাবৃত্তির সম্পর্ক ব্যবহার করে গণনা করা যেতে পারে কাজদান-লুস্তিগ বহুপদগুলি তারপর এই সম্পর্কটি ব্যবহার করে পুনরাবৃত্তভাবে গণনা করা যেতে পারে যে বাম দিকের দুটি পদ ধ্রুবক পদ ছাড়াই q1/2 এবং q−1/2-এ বহুপদ। এই সূত্রগুলি প্রায় 3-এর চেয়ে বেশি র্যাঙ্কের জন্য হাতে ব্যবহার করা ক্লান্তিকর, তবে কম্পিউটারের জন্য ভালভাবে অভিযোজিত, এবং তাদের সাথে কাজদান-লুস্টিগ বহুপদ গণনা করার একমাত্র সীমা হল যে বড় র্যাঙ্কের জন্য এই ধরনের বহুপদের সংখ্যা কম্পিউটারের সঞ্চয় ক্ষমতা অতিক্রম করে। উদাহরণস্বরূপ, যদি y ≤ w হয় তাহলে পাই, ডাব্লু-এর ধ্রুবক পদ 1 থাকে। যদি y ≤ ডাব্লু এবং তারপর পাই, ডাব্লু = 1। যদি ডাব্লু = ডাব্লু0 একটি সসীম কক্সেটার গ্রুপের দীর্ঘতম উপাদান হয় তবে পাই, সমস্ত ওয়াই-এর জন্য ডাব্লু = 1। যদি ডাব্লু কক্সেটার গ্রুপ এ 1 বা এ 2 হয় (বা আরও সাধারণভাবে সর্বাধিক 2 র্যাঙ্কের কোনও কক্সেটার গ্রুপ) তবে পাই, ডাব্লু 1 যদি ওয়াই ≤ ডাব্লু এবং অন্যথায় 0 হয়। যদি ডাব্লু কক্সেটার গ্রুপ এ3 হয় যার সেট এস = {এ, বি, সি} তৈরি করে এবং এ এবং সি যাতায়াত করে তবে পিবি, ব্যাকবি = 1 + কিউ এবং প্যাক, অ্যাসিবিসিএ = 1 + কিউ, অ-ধ্রুবক বহুপদীর উদাহরণ দেয়। নিম্ন পদমর্যাদার গোষ্ঠীগুলির জন্য কাজদান-লুস্তিগ বহুপদীর সহজ মানগুলি উচ্চতর পদমর্যাদার গোষ্ঠীগুলির জন্য সাধারণ নয়। উদাহরণস্বরূপ, E8-এর বিভক্ত রূপের জন্য সবচেয়ে জটিল লুস্তিগ-ভোগান বহুপদী (কাজদান-লুস্তিগ বহুপদীর একটি বৈচিত্র্যঃ নীচে দেখুন) দেখানো হয়েছে যে ধ্রুবক পদ 1 এবং অ-ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা সহ যে কোনও বহুপদী কিছু প্রতিসম গোষ্ঠীর কিছু জোড়া উপাদানের জন্য কাজদান-লুস্তিগ বহুপদী। কাজদান-লুসটিগ অনুমান করেন যে কাজদান-লুসটিগ বহুপদগুলি তাদের ক্যানোনিকাল ভিত্তি এবং হেক বীজগণিতের প্রাকৃতিক ভিত্তির মধ্যে রূপান্তর সহগ হিসাবে উদ্ভূত হয়। উদ্ভাবনী গবেষণাপত্রে দুটি সমতুল্য অনুমানও তুলে ধরা হয়েছে, যা এখন কাজদান-লুস্তিগ অনুমান নামে পরিচিত, যা 1-এ তাদের বহুপদের মানকে জটিল আধা-সরল লাই গ্রুপ এবং লাই অ্যালজেব্রার উপস্থাপনার সাথে সম্পর্কিত করে, যা উপস্থাপনা তত্ত্বের দীর্ঘস্থায়ী সমস্যাকে সম্বোধন করে। ধরা যাক W একটি সীমাবদ্ধ ওয়েল গ্রুপ। প্রতিটি ডাব্লু-এর জন্য সর্বাধিক ওজনের ভার্মা মডিউল হিসাবে চিহ্নিত করা হয় যেখানে ρ হল ধনাত্মক মূলের (বা ওয়েইল ভেক্টর) অর্ধ-সমষ্টি, এবং এর অপরিবর্তনীয় ভাগফল, সর্বোচ্চ ওজনের সহজ সর্বোচ্চ ওজন মডিউল হতে দিন। এবং উভয়ই ওয়েল গ্রুপ ডব্লিউ-এর সাথে জটিল আধা-সরল লাই বীজগণিত জি-এর উপর স্থানীয়ভাবে-সীমিত ওজনের মডিউল, এবং তাই একটি বীজগাণিতিক অক্ষর গ্রহণ করে। আসুন একটি জি-মডিউল এক্স-এর অক্ষরের জন্য ch (X) লিখি। কাজদান-লুস্তিগ অনুমানগুলি বলেঃ ওয়েল গোষ্ঠীর সর্বাধিক দৈর্ঘ্যের উপাদানটি কোথায়। এই অনুমানগুলি 0 বৈশিষ্ট্যযুক্ত বীজগাণিতিকভাবে বন্ধ ক্ষেত্রগুলিতে স্বাধীনভাবে এবং দ্বারা প্রমাণিত হয়েছিল। প্রমাণের সময় প্রবর্তিত পদ্ধতিগুলি জ্যামিতিক উপস্থাপনা তত্ত্ব নামে 1980 এবং 1990-এর দশক জুড়ে উপস্থাপনা তত্ত্বের বিকাশকে পরিচালিত করেছে। মন্তব্য 1। দুটি অনুমান সমতুল্য বলে জানা যায়। উপরন্তু, বোরহো-জ্যান্টজেনের অনুবাদ নীতি বোঝায় যে এটি যে কোনও প্রভাবশালী অবিচ্ছেদ্য ওজনের জন্য প্রতিস্থাপন করা যেতে পারে। এইভাবে, কাজদান-লুস্তিগ অনুমানগুলি বার্নস্টাইন-গেলফ্যান্ড-গেলফ্যান্ড বিভাগ ও-এর যে কোনও নিয়মিত অবিচ্ছেদ্য ব্লকে ভার্মা মডিউলগুলির জর্ডান-হল্ডার গুণমান বর্ণনা করে। 2. কাজদান-লুস্তিগ বহুপদীর সমস্ত সহগের অনুরূপ ব্যাখ্যা জ্যান্টজেন অনুমান থেকে পাওয়া যায়, যা মোটামুটিভাবে বলে যে এর স্বতন্ত্র সহগগুলি ভার্মা মডিউলের নির্দিষ্ট উপ-অংশের গুণিতক যা ক্যানোনিকাল পরিস্রাবণ, জ্যান্টজেন পরিস্রাবণ দ্বারা নির্ধারিত হয়। নিয়মিত অবিচ্ছেদ্য ক্ষেত্রে জ্যান্টজেন অনুমানটি পরবর্তী একটি গবেষণাপত্রে প্রমাণিত হয়েছিল। 3. ডেভিড ভোগান এই অনুমানের ফলস্বরূপ দেখিয়েছেন যে এবং এটি বিজোড় হলে অদৃশ্য হয়ে যায়, তাই O বিভাগে এই ধরনের সমস্ত এক্সট গ্রুপের মাত্রা কাজদান-লুস্টিগ বহুপদীর সহগের পরিপ্রেক্ষিতে নির্ধারিত হয়। এই ফলাফলটি দেখায় যে একটি সসীম ওয়েল গোষ্ঠীর কাজদান-লুস্তিগ বহুপদীর সমস্ত সহগ অ-ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা। যাইহোক, একটি সীমাবদ্ধ ওয়েইল গ্রুপ ডব্লিউ-এর ক্ষেত্রে ইতিবাচকতা ইতিমধ্যেই কাজদান-লুস্টিগ বহুপদীর সহগগুলির ব্যাখ্যা থেকে অনুমান নির্বিশেষে ছেদ সমস্থানিক গোষ্ঠীর মাত্রা হিসাবে পরিচিত ছিল। বিপরীতভাবে, কাজদান-লুস্তিগ বহুপদী এবং এক্সটি গোষ্ঠীর মধ্যে সম্পর্ক তাত্ত্বিকভাবে অনুমানগুলি প্রমাণ করতে ব্যবহার করা যেতে পারে, যদিও তাদের প্রমাণ করার এই পদ্ধতিটি কার্যকর করা আরও কঠিন বলে প্রমাণিত হয়েছিল। 4. কাজদান-লুস্তিগ অনুমানের কিছু বিশেষ ক্ষেত্রে যাচাই করা সহজ। উদাহরণস্বরূপ, এম1 হল অ্যান্টিডোমিন্যান্ট ভার্মা মডিউল, যা সহজ বলে পরিচিত। এর অর্থ হল যে, এম1 = এল1, যা ডাব্লু = 1-এর জন্য দ্বিতীয় অনুমান স্থাপন করে, যেহেতু যোগফল একটি একক পদে কমে যায়। অন্যদিকে, ডাব্লু = ডাব্লু0-এর জন্য প্রথম অনুমানটি ওয়েল অক্ষর সূত্র এবং একটি ভার্মা মডিউলের চরিত্রের সূত্র থেকে অনুসরণ করে, এই সত্যের সাথে যে সমস্ত কাজদান-লুস্টিগ বহুপদী 1-এর সমান। 5টি। কাশীওয়ারা (1990) কাজদান-লুস্তিগ অনুমানের একটি সাধারণীকরণকে প্রতিসাম্য কাক-মুদি বীজগণিতে প্রমাণিত করে। স্কুবার্ট জাতের ছেদ সমস্থানিকীর সাথে সম্পর্ক ব্রুহাত পচন দ্বারা বীজগাণিতিক গ্রুপ জি-এর স্থান জি/বি এবং ওয়েইল গ্রুপ ডব্লিউ হল ডব্লিউ-এর উপাদান দ্বারা প্যারামিটারাইজড অ্যাফিন স্পেস এক্সডাব্লু-এর একটি বিচ্ছিন্ন ইউনিয়ন। এই স্থানগুলির বন্ধকে স্কুবার্ট জাত বলা হয়, এবং ডেলাইনের পরামর্শ অনুসরণ করে কাজদান এবং লুসজিগ দেখিয়েছিলেন যে কীভাবে স্কুবার্ট জাতের ছেদ সমস্থানিক গোষ্ঠীর পরিপ্রেক্ষিতে কাজদান-লুসজিগ বহুপদী প্রকাশ করা যায়। আরও সুনির্দিষ্টভাবে বলতে গেলে, কাজদান-লুস্তিগ বহুপদী পাই, ডাব্লু (কিউ) যেখানে ডান দিকের প্রতিটি শব্দের সমানঃ শেভগুলির জটিল আইসি নিন যার হাইপারহোমোলজি ডাব্লু-এর শুবার্ট বৈচিত্র্যের ছেদ সমসংস্থান (কোষের বন্ধ), তার কোহোমোলজি ডিগ্রি নিন, এবং তারপরে কোষের যে কোনও বিন্দুতে এই শেফের ডালের মাত্রা নিন যার বন্ধটি ওয়াই-এর শুবার্ট বৈচিত্র্য। বিজোড়-মাত্রিক কোহোমোলজি গ্রুপগুলি যোগফলের মধ্যে উপস্থিত হয় না কারণ তারা সকলেই শূন্য। এটি প্রথম প্রমাণ দেয় যে সসীম ওয়েল গোষ্ঠীর জন্য কাজদান-লুস্তিগ বহুপদীর সমস্ত সহগ অ-ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা। প্রকৃত গোষ্ঠী লুস্তিগ-ভোগান বহুপদগুলিতে (যাকে কাজদান-লুস্তিগ বহুপদ বা কাজদান-লুস্তিগ-ভোগান বহুপদও বলা হয়) সাধারণীকরণ চালু করা হয়েছিল। এগুলি কাজদান-লুস্তিগ বহুপদীর অনুরূপ, তবে বাস্তব আধা-সরল মিথ্যা গোষ্ঠীর উপস্থাপনার সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ এবং তাদের একক দ্বৈতের অনুমানমূলক বর্ণনায় প্রধান ভূমিকা পালন করে। তাদের সংজ্ঞা আরও জটিল, যা জটিল গোষ্ঠীর তুলনায় প্রকৃত গোষ্ঠীর উপস্থাপনার আপেক্ষিক জটিলতাকে প্রতিফলিত করে। উপস্থাপনা তত্ত্বের সাথে সরাসরি সংযোগের ক্ষেত্রে পার্থক্যটি দ্বৈত কোসেটগুলির স্তরে ব্যাখ্যা করা হয়; অথবা জটিল ফ্ল্যাগ ম্যানিফোল্ড জি/বি-এর অ্যানালগগুলির ক্রিয়াগুলির অন্যান্য পদগুলিতে যেখানে জি একটি জটিল লাই গ্রুপ এবং বি একটি বোরেল উপগোষ্ঠী। মূল (কে-এল) কেসটি তখন বিঘটিত হওয়ার বিশদ বিবরণ সম্পর্কে, যা ব্রুহাত পচনের একটি ধ্রুপদী থিম এবং একটি গ্রাসমানিয়ানের শুবার্ট কোষের আগে। এল-ভি কেসটি জি-এর একটি বাস্তব রূপ নেয়, যা সেই আধা-সরল গোষ্ঠীর একটি সর্বাধিক সংক্ষিপ্ত উপগোষ্ঠী, এবং কে-এর জটিলতা তৈরি করে। তারপর অধ্যয়নের প্রাসঙ্গিক উদ্দেশ্য হল। 2007 সালের মার্চ মাসে ঘোষণা করা হয় যে, ই8-এর বিভক্ত রূপের জন্য এল-ভি বহুপদী গণনা করা হয়েছে। প্রতিনিধিত্ব তত্ত্বে অন্যান্য বস্তুর সাধারণীকরণ কাজদান এবং লুস্তিগের দ্বিতীয় গবেষণাপত্রে কাজদান-লুস্তিগ বহুপদীর সংজ্ঞার জন্য একটি জ্যামিতিক সেটিং প্রতিষ্ঠিত হয়েছিল, যথা, পতাকার বৈচিত্র্যে শুবার্ট জাতের এককত্বের জ্যামিতি। লুস্তিগের পরবর্তী বেশিরভাগ কাজ উপস্থাপনা তত্ত্বে উদ্ভূত অন্যান্য প্রাকৃতিক একক বীজগাণিতিক বৈচিত্র্যের প্রসঙ্গে কাজদান-লুস্তিগ বহুপদীর সাদৃশ্যগুলি অন্বেষণ করেছিল, বিশেষত, নিলপোটেন্ট কক্ষপথ এবং কাঁপানো বৈচিত্র্যের বন্ধ হওয়া। দেখা গেল যে কোয়ান্টাম গ্রুপগুলির উপস্থাপনা তত্ত্ব, মডুলার লাই অ্যালজেব্রা এবং অ্যাফিন হেক অ্যালজেব্রা সবই কাজদান-লুস্টিগ বহুপদীর উপযুক্ত সাদৃশ্য দ্বারা কঠোরভাবে নিয়ন্ত্রিত হয়। তারা একটি প্রাথমিক বিবরণ স্বীকার করে, তবে উপস্থাপনা তত্ত্বের জন্য প্রয়োজনীয় এই বহুপদগুলির গভীর বৈশিষ্ট্যগুলি আধুনিক বীজগাণিতিক জ্যামিতি এবং সমতাত্ত্বিক বীজগণিতের পরিশীলিত কৌশলগুলি অনুসরণ করে, যেমন ছেদ কোহোমোলজি, বিপরীত শেভ এবং বেইলিনসন-বার্নস্টাইন-ডেলিগন পচন ব্যবহার। কাজদান-লুস্তিগ বহুপদীর সহগগুলি সোরগেলের দ্বিমাত্রিক বিভাগের কিছু সমরূপতা স্থানের মাত্রা বলে অনুমান করা হয়। স্বেচ্ছাচারী কক্সেটার গোষ্ঠীর জন্য এই সহগগুলির এটিই একমাত্র জ্ঞাত ইতিবাচক ব্যাখ্যা। যৌথ তত্ত্ব কাজদান-লুস্তিগ বহুপদীর সমন্বিত বৈশিষ্ট্য এবং তাদের সাধারণীকরণ সক্রিয় বর্তমান গবেষণার একটি বিষয়। উপস্থাপনা তত্ত্ব এবং বীজগাণিতিক জ্যামিতিতে তাদের গুরুত্বের পরিপ্রেক্ষিতে, কাজদান-লুস্তিগ বহুপদীগুলির তত্ত্বকে বিশুদ্ধভাবে সমন্বিত পদ্ধতিতে বিকাশের প্রচেষ্টা করা হয়েছে, যা জ্যামিতির উপর কিছুটা নির্ভর করে, তবে ছেদ সমরূপতা এবং অন্যান্য উন্নত কৌশলগুলির উল্লেখ ছাড়াই। এটি প্যাটার্ন-এড়ানো ঘটনার মতো বীজগাণিতিক সংমিশ্রণে উত্তেজনাপূর্ণ বিকাশের দিকে পরিচালিত করেছে। এর পাঠ্যপুস্তকে কিছু উল্লেখ দেওয়া হয়েছে। এই বিষয়ে একটি গবেষণা মনোগ্রাফ রয়েছে। এমনকি প্রতিসম গোষ্ঠীগুলির জন্যও কাজদান-লুস্তিগ বহুপদের সমস্ত সহগগুলির (কিছু প্রাকৃতিক সেটের কার্ডিনালিটি হিসাবে) কোনও জ্ঞাত সমন্বিত ব্যাখ্যা নেই, যদিও অনেক বিশেষ ক্ষেত্রে স্পষ্ট সূত্র বিদ্যমান। অসমতা কোবায়শি (2013) প্রমাণ করেছে যে স্ফটিকসংক্রান্ত কক্সেটার গোষ্ঠীর জন্য কাজদান-লুস্টিগ বহুপদীর মানগুলি কিছু কঠোর বৈষম্যকে সন্তুষ্ট করেঃ একটি স্ফটিকসংক্রান্ত কক্সেটার সিস্টেম এবং এর কাজদান-লুস্টিগ বহুপদী হতে দিন। যদি এবং, তাহলে এমন একটি প্রতিফলন বিদ্যমান। রেফারেন্স। । । । । । । । । । । । । । এক্সটার্নাল লিঙ্কস রিডিংস ফ্রম স্প্রিং 2005 কোর্স অন কাজদান-লুসটিগ থিওরি অ্যাট ইউ. সি. মনিকা ভাজিরানির ডেভিস কাজদান-লুস্তিগ বহুপদী গণনার জন্য জিএপি প্রোগ্রাম। কাজদান-লুস্তিগ-ভোগান বহুপদী গণনার জন্য যে কোনও কক্সেটার গ্রুপের জন্য কাজদান-লুস্তিগ বহুপদী গণনার জন্য ফোক্কো ডু ক্লাউক্সের কক্সেটার সফ্টওয়্যার। বহুপদী মিথ্যা গোষ্ঠীর প্রতিনিধিত্ব তত্ত্ব মিথ্যা বীজগণিতে প্রতিনিধিত্ব তত্ত্ব বীজগাণিতিক সমন্বয়