Crystalline cohomology
গণিতে, স্ফটিক কোহোমোলজি একটি বেস ক্ষেত্র k-এর উপর স্কিম X-এর জন্য একটি ওয়েইল কোহোমোলজি তত্ত্ব। এর মান Hn (X/W) হল k-এর উপর উইট ভেক্টরের রিং W-এর উপর মডিউল। এটি দ্বারা প্রবর্তিত এবং দ্বারা বিকশিত হয়েছিল। ক্রিস্টালাইন কোহোমোলজি আংশিকভাবে ওয়েইল অনুমানের অংশে পি-অ্যাডিক প্রমাণ দ্বারা অনুপ্রাণিত এবং ডি রাম কোহোমোলজির বীজগাণিতিক সংস্করণের সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত যা গ্রোথেন্ডিক (1963) দ্বারা প্রবর্তিত হয়েছিল। মোটামুটিভাবে বলতে গেলে, বৈশিষ্ট্যযুক্ত পি-তে বিভিন্ন ধরনের এক্স-এর স্ফটিক কোহোমোলজি হল এক্স-এর মসৃণ উত্তোলনের ডি রাম কোহোমোলজি যা বৈশিষ্ট্যযুক্ত 0-এ উন্নীত হয়, অন্যদিকে এক্স-এর ডি রাম কোহোমোলজি হল স্ফটিকযুক্ত কোহোমোলজি হ্রাস মোড পি (উচ্চতর টরস বিবেচনা করার পরে)। ক্রিস্টালাইন কোহোমোলজির ধারণাটি, মোটামুটিভাবে, একটি স্কিমের জারিস্কি ওপেন সেটগুলিকে বিভক্ত শক্তি কাঠামোর সাথে জারিস্কি ওপেন সেটগুলির অসীম পুরুত্ব দ্বারা প্রতিস্থাপন করা। এর জন্য অনুপ্রেরণা হল যে এটি তখন একটি পরিকল্পনার বৈশিষ্ট্য p থেকে বৈশিষ্ট্য 0-তে স্থানীয় উত্তোলন করে এবং বীজগাণিতিক ডি রাম কোহোমোলজির একটি উপযুক্ত সংস্করণ নিযুক্ত করে গণনা করা যেতে পারে। ক্রিস্টালাইন কোহোমোলজি শুধুমাত্র মসৃণ সঠিক পরিকল্পনার জন্য ভাল কাজ করে। কঠোর কোহোমোলজি এটিকে আরও সাধারণ পরিকল্পনায় প্রসারিত করে। বৈশিষ্ট্যযুক্ত পি-এর পরিকল্পনার জন্য প্রয়োগ, স্ফটিক কোহোমোলজি তত্ত্ব পি-অ্যাডিক এটেল কোহোমোলজির চেয়ে কোহোমোলজি গোষ্ঠীতে পি-টর্জন সম্পর্কে প্রশ্নগুলি আরও ভালভাবে পরিচালনা করতে পারে। এটি পি-এডিক এল-ফাংশনগুলির বেশিরভাগ কাজের জন্য একটি স্বাভাবিক পটভূমি তৈরি করে। ক্রিস্টালাইন কোহোমোলজি, সংখ্যা তত্ত্বের দৃষ্টিকোণ থেকে, এল-অ্যাডিক কোহোমোলজি তথ্যের একটি ফাঁক পূরণ করে, যা ঠিক যেখানে 'সমান বৈশিষ্ট্যযুক্ত মৌলিক সংখ্যা' রয়েছে সেখানে ঘটে। ঐতিহ্যগতভাবে র্যামিফিকেশন তত্ত্বের সংরক্ষণ, স্ফটিক কোহোমোলজি এই পরিস্থিতিকে ডিউডোন মডিউল তত্ত্বে রূপান্তরিত করে, যা গাণিতিক সমস্যাগুলির উপর একটি গুরুত্বপূর্ণ নিয়ন্ত্রণ প্রদান করে। এটিকে আনুষ্ঠানিক বিবৃতিতে পরিণত করার বিস্তৃত সুযোগ সহ অনুমানগুলি জিন-মার্ক ফন্টেইন দ্বারা প্রকাশিত হয়েছিল, যার রেজোলিউশনকে পি-অ্যাডিক হজ তত্ত্ব বলা হয়। সহগ একটি বৈচিত্র্য X-এর জন্য একটি বীজগাণিতিকভাবে বন্ধ ক্ষেত্রের উপর বৈশিষ্ট্য p> 0, p ব্যতীত অন্য যে কোনও মৌলিক সংখ্যার জন্য-অ্যাডিক কোহোমোলজি গ্রুপগুলি-অ্যাডিক পূর্ণসংখ্যার রিংয়ে সহগ সহ X-এর সন্তোষজনক কোহোমোলজি গ্রুপ দেয়। সাধারণভাবে কিউ (বা জেড, বা কিউ, বা জেড)-এর সহগগুলির যুক্তিসঙ্গত বৈশিষ্ট্য সহ অনুরূপ সমস্থানিক গোষ্ঠী খুঁজে পাওয়া সম্ভব নয়। সর্বোত্তম কারণ (সেরের কারণে) হল যে, যদি এক্স একটি সুপারসিঙ্গুলার উপবৃত্তাকার বক্ররেখা হয়, তবে এর এন্ডোমর্ফিজম রিং একটি কোয়াটারনিয়ন বীজগণিত বি-তে একটি সর্বাধিক ক্রম যা পি এবং φ-তে বিভক্ত। যদি এক্স-এর প্রত্যাশিত মাত্রা 2-এর কিউ-এর উপর একটি কোহোমোলজি গ্রুপ থাকে, তবে (এর বিপরীত বীজগণিত) বি এই দ্বি-মাত্রিক স্থানে কিউ-এর উপর কাজ করবে, যা অসম্ভব কারণ বি-কে পি-তে র্যামিফাইড করা হয়। গ্রোথেন্ডিকের স্ফটিকাকার কোহোমোলজি তত্ত্ব এই বাধাটিকে ঘিরে ফেলে কারণ এটি স্থলক্ষেত্রের উইট ভেক্টরের বলয়ের উপর মডিউল তৈরি করে। সুতরাং যদি স্থল ক্ষেত্রটি F-এর একটি বীজগাণিতিক ক্লোজার হয়, তবে এর মানগুলি Z-এর সর্বাধিক আনরেমিফাইড এক্সটেনশনের p-অ্যাডিক সমাপ্তির উপর মডিউল হয়, একটি অনেক বড় বলয় যা Z-এর পরিবর্তে p দ্বারা বিভাজ্য নয় এমন সমস্ত n-এর জন্য একতার nতম মূল ধারণ করে। অভিপ্রেরণা বৈশিষ্ট্যযুক্ত p-এর একটি ক্ষেত্র k-এর উপর একটি বৈচিত্র্য X-এর একটি ওয়েইল কোহোমোলজি তত্ত্বকে সংজ্ঞায়িত করার জন্য একটি ধারণা হল এটিকে k-এর উইট ভেক্টরের বলয়ের উপর একটি বৈচিত্র্য X *-এ 'উত্তোলন' করা (যা হ্রাস মোড p-তে X-কে ফিরিয়ে দেয়), তারপর এই লিফটের ডি রাম কোহোমোলজি নিন। সমস্যাটি হ 'ল এটি মোটেও স্পষ্ট নয় যে এই কোহোমোলজি উত্তোলনের পছন্দ থেকে স্বাধীন। 0 বৈশিষ্ট্যে স্ফটিক কোহোমোলজির ধারণাটি হ 'ল কোহোমোলজি তত্ত্বের একটি সরাসরি সংজ্ঞা খুঁজে বের করা যা এক্স-এর উপর একটি উপযুক্ত সাইটে ইনফ (এক্স)-এর ধ্রুবক শেভের কোহোমোলজি হিসাবে, যাকে অসীম সাইট বলা হয় এবং তারপরে এটি যে কোনও লিফটের ডি রাম কোহোমোলজির মতোই দেখায়। সাইট ইনফ (এক্স) এমন একটি বিভাগ যার বস্তুগুলিকে এক্স-এর প্রচলিত উন্মুক্ত সেটগুলির এক ধরণের সাধারণীকরণ হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে। বৈশিষ্ট্য 0-এ এর বস্তুগুলি হল অসীম পুরুত্ব U → T এর জারিস্কি খোলা উপসেট U এর X। এর মানে হল যে U হল একটি স্কিম T-এর বদ্ধ সাবসিমেম যা T-এর উপর আদর্শের একটি নিলপোটেন্ট শেফ দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়; উদাহরণস্বরূপ, Spec (k) → Spec (k [x]/(x2)। গ্রোথেন্ডিয়াক দেখিয়েছেন যে মসৃণ স্কিমের জন্য সি-এর উপর এক্স, ইনফ (এক্স)-এর উপর শেফ ওএক্স-এর কোহোমোলজি স্বাভাবিক (মসৃণ বা বীজগাণিতিক) ডি রাম কোহোমোলজির মতোই। ক্রিস্টালাইন কোহোমোলজি বৈশিষ্ট্যযুক্ত পি-তে বৈশিষ্ট্যযুক্ত 0-তে উপরে সংজ্ঞায়িত ক্রিস্টালাইন সাইটের সবচেয়ে সুস্পষ্ট এনালগ কাজ করে না। মোটামুটিভাবে এর কারণ হল যে ডি রাম কমপ্লেক্সের নির্ভুলতা প্রমাণ করার জন্য একজনের এক ধরনের পয়েনকারে লেমার প্রয়োজন, যার প্রমাণ আবার ইন্টিগ্রেশন ব্যবহার করে, এবং ইন্টিগ্রেশনের জন্য বিভিন্ন বিভক্ত শক্তির প্রয়োজন হয়, যা 0 বৈশিষ্ট্যে বিদ্যমান কিন্তু সবসময় বৈশিষ্ট্যযুক্ত পি-তে থাকে না। গ্রোথেন্ডিক এক্স-এর স্ফটিকাকার স্থানের বস্তুগুলিকে এক্স-এর জারিস্কি উন্মুক্ত উপসেটগুলির মোটামুটি অসীম পুরুত্ব হিসাবে সংজ্ঞায়িত করে এই সমস্যার সমাধান করেছিলেন, একসাথে একটি বিভক্ত শক্তি কাঠামো যা প্রয়োজনীয় বিভক্ত শক্তি দেয়। আমরা বৈশিষ্ট্যযুক্ত p> 0-এর একটি নিখুঁত ক্ষেত্র k-এর উপর n দৈর্ঘ্যের উইট ভেক্টরের Wn = W/pnW বলয়ের উপর কাজ করব। উদাহরণস্বরূপ, k হল p ক্রমের সসীম ক্ষেত্র এবং Wn হল Z/pnZ বলয়। (আরও সাধারণভাবে কেউ একটি বেস স্কিম এস-এর উপর কাজ করতে পারে যার একটি বিভক্ত শক্তি কাঠামো সহ আদর্শ I-এর একটি নির্দিষ্ট শিফ রয়েছে।) যদি X, k-এর উপর একটি বিন্যাস হয়, তবে Wn-এর আপেক্ষিক X-এর স্ফটিক সাইটে, যা ক্রিস (X/Wn) হিসাবে চিহ্নিত করা হয়, তার বস্তুর জোড়া U → T রয়েছে যা X-এর একটি জারিস্কি খোলা উপসেট U-এর একটি বদ্ধ নিমজ্জন নিয়ে গঠিত যা কিছু Wn-স্কিম T-তে আদর্শ J-এর একটি শিফ দ্বারা সংজ্ঞায়িত, একসাথে J-এর উপর একটি বিভক্ত শক্তি কাঠামো যা Wn-এর সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ। একটি স্কিমের ক্রিস্টালাইন কোহোমোলজিকে বিপরীত সীমা হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় যেখানে X/Wn এর ক্রিস্টালাইন সাইটের কোহোমোলজি O: = OWn বলয়ের শিফের মান সহ। এই তত্ত্বের একটি মূল বিষয় হল যে, কে-এর উপর একটি মসৃণ বিন্যাস এক্স-এর স্ফটিকীয় সমরূপতা প্রায়শই বীজগাণিতিক ডি রাম সমরূপতার পরিপ্রেক্ষিতে গণনা করা যেতে পারে যে, ডাব্লু-এর উপর একটি বিন্যাস জেড-এর উপর এক্স-এর সঠিক ও মসৃণ উত্তোলন। ডাব্লু-এর আনুষ্ঠানিক বিন্যাসের উপর জেড-এর ডি রাম সমরূপতার সাথে এক্স-এর স্ফটিকীয় সমরূপতার একটি ক্যানোনিকাল সমরূপতা রয়েছে (ডিফারেনশিয়াল ফর্মগুলির কমপ্লেক্সগুলির হাইপারকোহলোলজির একটি বিপরীত সীমা)। বিপরীতভাবে এক্স-এর ডি রাম কোহোমোলজিকে তার স্ফটিকাকার কোহোমোলজির হ্রাস মোড পি হিসাবে পুনরুদ্ধার করা যেতে পারে (উচ্চতর টরসকে বিবেচনায় নেওয়ার পরে)। স্ফটিক যদি এক্স এস-এর উপর একটি বিন্যাস হয় তবে শেফ ওএক্স/এস টি-এর ওএক্স/এস (টি) = স্থানাঙ্ক বলয় দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়, যেখানে আমরা টি-কে ক্রিস (এক্স/এস)-এর একটি বস্তুর সংক্ষেপণ হিসাবে লিখি। ক্রিস (এক্স/এস) সাইটে একটি স্ফটিক হল ওএক্স/এস মডিউলগুলির একটি শিফ এফ যা নিম্নলিখিত অর্থে অনমনীয়ঃ ক্রিস (এক্স/এস)-এর টি, টি 'বস্তুর মধ্যে যে কোনও মানচিত্রের জন্য, এফ * এফ (টি) থেকে এফ (টি) পর্যন্ত প্রাকৃতিক মানচিত্রটি একটি সমরূপতা। এটি জারিস্কি টপোলজিতে মডিউলগুলির একটি কোয়াসিকোহের্যান্ট শেফের সংজ্ঞার অনুরূপ। স্ফটিকের একটি উদাহরণ হল শেফ ওএক্স/এস। তত্ত্বের সঙ্গে যুক্ত স্ফটিক শব্দটি গ্রথেন্ডিয়েকের টেটের কাছে লেখা চিঠিতে (1966) ব্যাখ্যা করা হয়েছে, যা বীজগাণিতিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের নির্দিষ্ট বৈশিষ্ট্য দ্বারা অনুপ্রাণিত একটি রূপক। এগুলি পি-অ্যাডিক কোহোমোলজি তত্ত্বগুলিতে (ক্রিস্টালাইন তত্ত্বের অগ্রদূত, ডওয়ার্ক, মনস্কি, ওয়াশনিটজার, লুবকিন এবং কাটজ দ্বারা বিভিন্ন আকারে প্রবর্তিত) বিশেষত ডওয়ার্কের কাজে ভূমিকা পালন করেছিল। এই ধরনের ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলি বীজগাণিতিক কোসজুল সংযোগের মাধ্যমে সহজেই প্রণয়ন করা যেতে পারে, তবে পি-এডিক তত্ত্বে বিশ্লেষণাত্মক ধারাবাহিকতার এনালগ আরও রহস্যময় (যেহেতু পি-এডিক ডিস্কগুলি ওভারল্যাপের পরিবর্তে বিচ্ছিন্ন হতে থাকে)। ডিক্রি দ্বারা, জটিল বিশ্লেষণাত্মক ক্রিয়াকলাপগুলির বিশ্লেষণাত্মক ধারাবাহিকতার ক্ষেত্রে একটি স্ফটিকের 'অনমনীয়তা' এবং 'বিস্তার' উল্লেখযোগ্য হবে। (সিএফ। এছাড়াও 1960-এর দশকে জন টেট দ্বারা প্রবর্তিত কঠোর বিশ্লেষণাত্মক স্থানগুলি, যখন এই বিষয়গুলি সক্রিয়ভাবে বিতর্ক করা হচ্ছিল।) আরও দেখুন মোটিভিক কোহোমোলজি ডি রাম কোহোমোলজি রেফারেন্স (আতিয়াহকে লেখা চিঠি, 14 অক্টোবর 1963)। বীজগাণিতিক জ্যামিতি কোহোমোলজি তত্ত্ব সমজাতীয় বীজগণিত