PDIFF
জ্যামিতিক টপোলজিতে, পি. ডি. আই. এফ. এফ, পিসওয়াইজ ডিফারেনশিয়েবলের জন্য, তাদের মধ্যে পিসওয়াইজ-মসৃণ ম্যানিফোল্ড এবং পিসওয়াইজ-মসৃণ মানচিত্রের বিভাগ। এতে সঠিকভাবে ডি. আই. এফ. এফ (মসৃণ ম্যানিফোল্ড এবং তাদের মধ্যে মসৃণ ফাংশনের বিভাগ) এবং পি. এল (পিসওয়াইজ লিনিয়ার ম্যানিফোল্ড এবং পিসওয়াইজ লিনিয়ার ম্যাপের বিভাগ) রয়েছে এবং এটি সংজ্ঞায়িত করার কারণ হল এই দুটি বিভাগকে সম্পর্কিত করার অনুমতি দেওয়া। উপরন্তু, গণিতে স্প্লাইন এবং বহুভুজ শৃঙ্খলের মতো পিসওয়াইজ ফাংশনগুলি প্রচলিত এবং পি. ডি. আই. এফ. এফ সেগুলি নিয়ে আলোচনার জন্য একটি বিভাগ প্রদান করে। অনুপ্রেরণা পি. ডি. আই. এফ. এফ বেশিরভাগই একটি প্রযুক্তিগত বিষয়ঃ মসৃণ মানচিত্রগুলি পিসওয়াইজ রৈখিক নয় (রৈখিক না হলে), এবং পিসওয়াইজ রৈখিক মানচিত্রগুলি মসৃণ নয় (বিশ্বব্যাপী রৈখিক না হলে)-ছেদটি রৈখিক মানচিত্র, বা আরও সুনির্দিষ্টভাবে অ্যাফিন মানচিত্র (কারণ ভিত্তিক নয়)-তাই এগুলি সরাসরি সম্পর্কিত হতে পারে নাঃ এগুলি একটি অ্যাফিন মানচিত্রের ধারণার পৃথক সাধারণীকরণ। যাইহোক, যদিও একটি মসৃণ ম্যানিফোল্ড একটি পিএল ম্যানিফোল্ড নয়, এটি একটি ক্যানোনিকাল পিএল কাঠামো বহন করে-এটি অনন্যভাবে ত্রিভুজাকার; বিপরীতভাবে, প্রতিটি পিএল ম্যানিফোল্ড মসৃণ নয়। মসৃণ ম্যানিফোল্ডগুলির মধ্যে একটি নির্দিষ্ট মসৃণ ম্যানিফোল্ড বা মসৃণ মানচিত্রের জন্য, এটি ম্যানিফোল্ডটিকে যথেষ্ট ছোট ছোট টুকরোতে বিভক্ত করে এবং তারপরে প্রতিটি টুকরোতে ম্যানিফোল্ড বা মানচিত্রকে রৈখিক করে দেখানো যেতে পারেঃ উদাহরণস্বরূপ, সমতলের একটি বৃত্তকে একটি ত্রিভুজ দ্বারা আনুমানিক করা যেতে পারে, তবে 2-গন দ্বারা নয়, কারণ এই পরেরটি রৈখিকভাবে এম্বেড করা যায় না। যাইহোক, পার্থক্য এবং পিএল-এর মধ্যে এই সম্পর্কের জন্য পছন্দের প্রয়োজন, এবং আরও স্বাভাবিকভাবে উভয় বিভাগকে একটি বৃহত্তর বিভাগে অন্তর্ভুক্ত করে দেখানো এবং বোঝা যায়, এবং তারপর দেখানো হয় যে পিএল-এর অন্তর্ভুক্তি একটি সমতুল্যঃ প্রতিটি মসৃণ বহুগুণ এবং প্রতিটি পিএল বহুগুণ একটি পিডিএফ বহুগুণ। সুতরাং, ডিফ থেকে পিডিইএফ এবং পিএল থেকে পিডিইএফ যাওয়া স্বাভাবিক-এগুলি কেবল অন্তর্ভুক্তি। মানচিত্র পি. এল থেকে পি. ডি. আই. এফ, যদিও একটি সমতা নয়-প্রতিটি পিসওয়াইজ মসৃণ ফাংশন পিসওয়াইজ রৈখিক নয়-একটি সমতুল্যঃ কেউ রৈখিক টুকরো দ্বারা পিছন দিকে যেতে পারে। সুতরাং এটি কিছু উদ্দেশ্যে উল্টানো যেতে পারে, বা একটি সমরূপতা হিসাবে বিবেচিত হতে পারে, যা একটি মানচিত্র দেয় এই বিভাগগুলি সবগুলিই টপোলজিকাল ম্যানিফোল্ড এবং তাদের মধ্যে অবিচ্ছিন্ন মানচিত্রের বিভাগের মধ্যে বসে। সংক্ষেপে, পি. ডি. আই. এফ. ডিফ-এর চেয়ে বেশি সাধারণ কারণ এটি টুকরোগুলিকে (কোণ) অনুমতি দেয় এবং সাধারণভাবে মসৃণ কোণে কেউ পারে না, অন্যদিকে পি. এল পি. আই. এফ-এর চেয়ে কম সাধারণ নয় কারণ কেউ টুকরোগুলিকে রৈখিক করতে পারে (আরও সুনির্দিষ্টভাবে বলতে গেলে, একজনকে সেগুলিকে ছোট ছোট টুকরোতে বিভক্ত করতে হতে পারে এবং তারপর রৈখিক করতে হতে পারে, যা পি. ডি. আই. এফ-এ অনুমোদিত)। ইতিহাস যে প্রতিটি মসৃণ (প্রকৃতপক্ষে, সি1) বহুগুণের একটি অনন্য পিএল কাঠামো রয়েছে যা মূলত প্রমাণিত হয়েছিল। একটি বিস্তারিত প্রদর্শনী প্রমাণ দেওয়া হয়েছে। ফলাফলটি প্রাথমিক এবং বিস্তারিতভাবে প্রমাণ করার জন্য বরং প্রযুক্তিগত, তাই এটি সাধারণত শুধুমাত্র আধুনিক গ্রন্থে স্কেচ করা হয়, যেমন দেওয়া সংক্ষিপ্ত প্রমাণ রূপরেখা। একটি খুব সংক্ষিপ্ত রূপরেখা দেওয়া হয়েছে, যেখানে একটি সংক্ষিপ্ত কিন্তু বিস্তারিত প্রমাণ দেওয়া হয়েছে। তথ্যসূত্র জ্যামিতিক টপোলজি