Vitali covering lemma
গণিতে, ভিটালি আচ্ছাদন লেম্মা হল একটি সমন্বিত এবং জ্যামিতিক ফলাফল যা সাধারণত ইউক্লিডীয় স্থানগুলির পরিমাপ তত্ত্বে ব্যবহৃত হয়। এই লেম্মা একটি মধ্যবর্তী পদক্ষেপ, স্বাধীন আগ্রহের, ভিটালি আচ্ছাদন উপপাদ্যের প্রমাণ। আচ্ছাদন উপপাদ্যটির কৃতিত্ব ইতালীয় গণিতবিদ জুসেপ্পে ভিটালিকে দেওয়া হয়। উপপাদ্যটি বলে যে, একটি লেবসগ-নেগলিজিবল সেট পর্যন্ত, আরডি-র একটি প্রদত্ত উপসেট ই-কে ই-এর ভিটালি আবরণ থেকে বের করা একটি বিচ্ছিন্ন পরিবার দ্বারা আচ্ছাদিত করা সম্ভব। উভয় লেম্মা একটি মেট্রিক স্থানের সাধারণ সেটিংয়ে প্রমাণ করা যেতে পারে, সাধারণত এই ফলাফলগুলি ইউক্লিডীয় স্থানের বিশেষ ক্ষেত্রে প্রয়োগ করা হয়। উভয় উপপাদ্যেই আমরা নিম্নলিখিত স্বরলিপিটি ব্যবহার করবঃ যদি একটি বল হয় এবং, আমরা বলের জন্য লিখব। সীমাবদ্ধ সংস্করণ উপপাদ্য (সীমাবদ্ধ আচ্ছাদন লেমা)। একটি নির্বিচারে মেট্রিক স্পেসে থাকা বলের যে কোনও সীমাবদ্ধ সংগ্রহ ধরা যাক। তারপরে এই বলগুলির একটি উপ-সংগ্রহ রয়েছে যা বিচ্ছিন্ন এবং সন্তোষজনক প্রমাণঃ সাধারণতা না হারিয়ে আমরা ধরে নিই যে বলের সংগ্রহ খালি নয়; অর্থাৎ, এন> 0। ধরা যাক সবচেয়ে বড় ব্যাসার্ধের বল। প্ররোচিতভাবে, ধরে নিন যে এটি বেছে নেওয়া হয়েছে। যদি এমন কোনও বল থাকে যা থেকে বিচ্ছিন্ন হয়, তবে ধরা যাক এমন বল যার সর্বাধিক ব্যাসার্ধ রয়েছে (নির্বিচারে বন্ধন ভাঙ্গা), অন্যথায়, আমরা m: = k সেট করি এবং সূচক সংজ্ঞাটি শেষ করি। এখন সেট করুন। এটি প্রত্যেকের জন্য দেখাতে থাকে। এটা যদি স্পষ্ট হয়। অন্যথায়, অবশ্যই এমন কিছু আছে যা ছেদ করে এবং এর ব্যাসার্ধ কমপক্ষে এর মতো বড়। ত্রিভুজ বৈষম্য তখন সহজেই বোঝায় যে, প্রয়োজন অনুযায়ী। এটি সসীম সংস্করণের প্রমাণ সম্পূর্ণ করে। অসীম সংস্করণ উপপাদ্য (অসীম আচ্ছাদন লেমা)। ধরা যাক একটি পৃথক মেট্রিক স্পেসে বলের একটি নির্বিচারে সংগ্রহ যাতে বল বি-এর ব্যাসার্ধ নির্দেশ করে। তারপরে একটি গণনাযোগ্য উপ-সংগ্রহ রয়েছে যাতে এর বলগুলি জোড়ার দিক থেকে বিচ্ছিন্ন হয় এবং সন্তুষ্ট হয় এবং উপরন্তু, প্রতিটি কিছু দিয়ে ছেদ করে। প্রমাণঃ F-কে উপ-সংগ্রহে বিভক্ত করার বিষয়টি বিবেচনা করুন, যা দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে, অর্থাৎ, বল B নিয়ে গঠিত যার ব্যাসার্ধ (2−n−1R, 2−nR]। একটি ক্রম জিএন, জিএন এফএন সহ, নিম্নরূপ অন্তর্বর্তীভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। প্রথমে, H0 = F0 নির্ধারণ করুন এবং G0 কে H0-এর সর্বাধিক বিচ্ছিন্ন উপ-সংগ্রহ হিসাবে ধরা যাক (এই ধরনের উপ-সংগ্রহ জর্নের লেমা দ্বারা বিদ্যমান)। ধরে নেওয়া যাক যে G0,., Gn নির্বাচন করা হয়েছে, ধরা যাক এবং Gn + 1 কে Hn + 1 এর সর্বাধিক বিচ্ছিন্ন উপ-সংগ্রহ হতে দিন। এফ-এর উপ-সংগ্রহটি উপপাদ্যটির প্রয়োজনীয়তাগুলি পূরণ করেঃ জি একটি বিচ্ছিন্ন সংগ্রহ, এবং এইভাবে গণনাযোগ্য কারণ প্রদত্ত মেট্রিক স্থানটি পৃথকযোগ্য। উপরন্তু, প্রতিটি বল B ωF একটি বল C ωG কে এমনভাবে ছেদ করে যে B ω5C। প্রকৃতপক্ষে, যদি আমাদের কিছু দেওয়া হয়, তবে অবশ্যই এমন কিছু n থাকতে হবে যাতে B Fn-এর অন্তর্গত হয়। হয় 'বি' 'এইচএন'-এর অন্তর্গত নয়, যার অর্থ 'এন> 0' এবং এর অর্থ হল যে 'বি' একটি বলকে জি0,., জিএন −1, বা বি Π এইচএন-এর মিলন থেকে ছেদ করে এবং জিএন-এর সর্বাধিকতা দ্বারা, 'বি' একটি বলকে জিএন-এ ছেদ করে। যাই হোক না কেন, B একটি বল C কে ছেদ করে যা G0,., Gn এর সংযোগের অন্তর্গত। এই ধরনের বল C-এর ব্যাসার্ধ অবশ্যই 2 − n − 1R-এর চেয়ে বড় হতে হবে। যেহেতু বি-এর ব্যাসার্ধ 2 − এন. আর-এর চেয়ে কম বা সমান, তাই আমরা ত্রিভুজ অসমতা দ্বারা উপসংহারে আসতে পারি যে বি 5 সি, যেমন দাবি করা হয়েছে। এর থেকে অবিলম্বে প্রমাণ সম্পূর্ণ করা হয়। মন্তব্য অসীম সংস্করণে, বলের প্রাথমিক সংগ্রহ গণনাযোগ্য বা অগণিত হতে পারে। একটি পৃথক মেট্রিক স্থানে, বলের যে কোনও জোড়া ভিত্তিক বিচ্ছিন্ন সংগ্রহ অবশ্যই গণনাযোগ্য হতে হবে। একটি অবিচ্ছেদ্য স্থানে, একই যুক্তি দেখায় যে একটি যুগ্মভাবে বিচ্ছিন্ন উপপরিবারের অস্তিত্ব রয়েছে, তবে সেই পরিবারটি গণনাযোগ্য হওয়ার দরকার নেই। যদি ব্যাসার্ধ সীমাবদ্ধ না থাকে তবে ফলাফলটি ব্যর্থ হতে পারেঃ Rd তে 0 কেন্দ্রিক সমস্ত বলের পরিবার বিবেচনা করুন; যে কোনও বিচ্ছিন্ন উপপরিবারে কেবল একটি বল B থাকে এবং 5 B এই পরিবারের সমস্ত বল ধারণ করে না। ধ্রুবক 5 সর্বোত্তম নয়। যদি Fn সংজ্ঞায়িত করার জন্য 2 − n এর পরিবর্তে c − n, c> 1 স্কেল ব্যবহার করা হয়, তবে চূড়ান্ত মান 5 এর পরিবর্তে 1 + 2c হয়। 3-এর চেয়ে বড় যে কোনও ধ্রুবক লেম্মার একটি সঠিক বিবৃতি দেয়, তবে 3 নয়। একটি সূক্ষ্ম বিশ্লেষণ ব্যবহার করে, যখন মূল সংগ্রহ এফ আরডি-র একটি উপসেট ই-এর একটি ভিটালি আচ্ছাদন হয়, তখন একটি দেখায় যে উপ-সংগ্রহ জি, উপরের প্রমাণটিতে সংজ্ঞায়িত, ই-কে একটি লেবস্গু-অগ্রহণযোগ্য সেট পর্যন্ত অন্তর্ভুক্ত করে। প্রয়োগ এবং ব্যবহারের পদ্ধতি ভিটালি লেম্মার একটি প্রয়োগ হল হার্ডি-লিটলউডের সর্বাধিক বৈষম্য প্রমাণ করা। এই প্রমাণের মতো, ভিটালি লেম্মা প্রায়শই ব্যবহার করা হয় যখন আমরা, উদাহরণস্বরূপ, একটি সেট ইআরডির ডি-ডাইমেনশনাল লেবস্গু পরিমাপ বিবেচনা করি, যা আমরা জানি যে বলের একটি নির্দিষ্ট সংগ্রহের ইউনিয়নে রয়েছে, যার প্রত্যেকটির একটি পরিমাপ রয়েছে যা আমরা আরও সহজেই গণনা করতে পারি, বা একটি বিশেষ বৈশিষ্ট্য রয়েছে যা কেউ কাজে লাগাতে চায়। অতএব, আমরা যদি এই মিলনের পরিমাপ গণনা করি, তাহলে ই-এর পরিমাপের উপর আমাদের একটি ঊর্ধ্বসীমা থাকবে। তবে, এই সমস্ত বলের মিলনের পরিমাপ গণনা করা কঠিন যদি সেগুলি ওভারল্যাপ হয়। ভিটালি লেম্মা অনুসারে, আমরা এমন একটি উপ-সংগ্রহ বেছে নিতে পারি যা বিচ্ছিন্ন এবং এমন। অতএব, এখন, যেহেতু একটি ডি-ডাইমেনশনাল বলের ব্যাসার্ধ পাঁচ গুণক দ্বারা বৃদ্ধি করলে তার আয়তন 5d গুণক দ্বারা বৃদ্ধি পায়, তাই আমরা জানি যে এবং এইভাবে ভিটালি কভারিং থিওরেমটি কভারিং থিওরেমে, লক্ষ্য হল একটি "নগণ্য সেট" পর্যন্ত কভার করা, একটি প্রদত্ত সেট E rd একটি ভিটালি কভার থেকে বের করা একটি বিচ্ছিন্ন উপ-সংগ্রহ দ্বারা E: একটি ভিটালি ক্লাস বা E-এর জন্য ভিটালি কভারিং এমন সেটগুলির একটি সংগ্রহ যাতে, প্রতিটি x ω E এবং δ> 0-এর জন্য, সংগ্রহে একটি সেট U থাকে যাতে x ω U এবং U-এর ব্যাস অ-শূন্য এবং ω এর চেয়ে কম হয়। ভিটালির ধ্রুপদী পরিবেশে, নগণ্য সেটটি একটি লেবসেগ নগণ্য সেট, তবে লেবসেগ পরিমাপ ব্যতীত অন্যান্য পরিমাপ এবং আরডি ব্যতীত অন্যান্য স্থানগুলিও বিবেচনা করা হয়েছে, যা নীচের প্রাসঙ্গিক বিভাগে দেখানো হয়েছে। নিম্নলিখিত পর্যবেক্ষণটি কার্যকরঃ যদি E-এর জন্য একটি ভিটালি আচ্ছাদন হয় এবং যদি E একটি খোলা সেট ω আরডি-তে থাকে, তবে ω-তে থাকা সেট U-এর উপ-সংগ্রহটিও ই-এর জন্য একটি ভিটালি আচ্ছাদন। Rd-এর পরিমাপযোগ্য উপসেটগুলির একটি সংগ্রহ হল একটি নিয়মিত পরিবার (লেবস্গু অর্থে) যদি সংগ্রহের প্রতিটি সেট V-এর জন্য এমন একটি ধ্রুবক C থাকে। ঘনক্ষেত্রের পরিবার নিয়মিত পরিবারের একটি উদাহরণ, যেমন R2-এ আয়তক্ষেত্রের পরিবারটি এমন যে কিছু নির্দিষ্ট m ≤ 1-এর জন্য বাহুর অনুপাত m−1 এবং m-এর মধ্যে থাকে। যদি আরডি-তে একটি নির্বিচারে আদর্শ দেওয়া হয়, তবে আদর্শের সাথে যুক্ত মেট্রিকের জন্য বলের পরিবার আরেকটি উদাহরণ। অন্যদিকে, R2-এর সমস্ত আয়তক্ষেত্রের পরিবার নিয়মিত নয়। এর মূল ফলাফল হল এই উপপাদ্যের একটি বিশেষ ক্ষেত্রে, যেখানে d = 1 এবং ব্যবধানের একটি সংগ্রহ যা সীমাবদ্ধ পরিমাপ সহ বাস্তব রেখার পরিমাপযোগ্য উপসেট E-এর জন্য একটি ভিটালি আচ্ছাদন। উপরের উপপাদ্যটি E-এর সসীম পরিমাপ আছে বলে ধরে না নিয়ে সত্য। এটি সীমাবদ্ধ পরিমাপের ক্ষেত্রে, প্রতিটি পূর্ণসংখ্যা n ≤ 0-এর জন্য, x বিন্দুর খোলা অ্যানুলাস ωn-এ থাকা E-এর অংশে এমনভাবে আচ্ছাদন ফলাফল প্রয়োগ করে প্রাপ্ত হয় যে n <|x। <n + 1। একটি কিছুটা সম্পর্কিত আচ্ছাদন উপপাদ্য হল বেসিকোভিচ আচ্ছাদন উপপাদ্য। একটি উপসেট এ আরডি-এর প্রতিটি পয়েন্টে একটি ইউক্লিডীয় বল বি (এ, আরএ) বরাদ্দ করা হয় যার কেন্দ্রবিন্দু এ এবং ধনাত্মক ব্যাসার্ধ আরএ। তারপর, ভিটালি উপপাদ্যের মতো, এ-কে একটি নির্দিষ্ট উপায়ে কভার করার জন্য এই বলগুলির একটি উপ-সংগ্রহ নির্বাচন করা হয়। ভিটালি কভারিং উপপাদ্যের সাথে প্রধান পার্থক্যগুলি হল যে একদিকে, ভিটালির বিচ্ছিন্নতার প্রয়োজনীয়তা এই সত্যে শিথিল করা হয় যে নির্বাচিত বলগুলির সংখ্যা এনএক্স একটি স্বেচ্ছাচারী বিন্দু x ω আরডি শুধুমাত্র মাত্রার উপর নির্ভর করে একটি ধ্রুবক বিডি দ্বারা আবদ্ধ; অন্যদিকে, নির্বাচিত বলগুলি প্রদত্ত সমস্ত কেন্দ্রের সেট এ-কে আচ্ছাদন করে। হাউসডর্ফ পরিমাপের জন্য ভিটালির আচ্ছাদন উপপাদ্য লেবসগ্যু পরিমাপের পরিবর্তে হাউসডর্ফ পরিমাপ বিবেচনা করার সময় একটির অনুরূপ উদ্দেশ্য থাকতে পারে। নিম্নলিখিত উপপাদ্যটি সেই ক্ষেত্রে প্রযোজ্য। উপরন্তু, যদি E-এর সসীম s-মাত্রিক হাউজডর্ফ পরিমাপ থাকে, তবে যে কোনও ε> 0-এর জন্য, আমরা এই উপ-সংগ্রহটি এমনভাবে বেছে নিতে পারি যাতে এই উপপাদ্যটি উপরে দেওয়া লেবস্গুয়ের ফলাফলকে বোঝায়। প্রকৃতপক্ষে, যখন s = d হয়, তখন হাউসডর্ফ পরিমাপ আরডি-তে এইচএস ডি-মাত্রিক লেবস্গু পরিমাপের একাধিকের সাথে মিলে যায়। যদি একটি বিচ্ছিন্ন সংগ্রহ নিয়মিত হয় এবং সীমাবদ্ধ লেবস্গু পরিমাপ সহ একটি পরিমাপযোগ্য অঞ্চল বি-তে থাকে, তবে যা পূর্ববর্তী উপপাদ্যের প্রথম দাবির দ্বিতীয় সম্ভাবনাকে বাদ দেয়। এটি অনুসরণ করে যে ই নির্বাচিত বিচ্ছিন্ন উপ-সংগ্রহ দ্বারা একটি লেবসগ-নেগলিজিবল সেট পর্যন্ত আচ্ছাদিত। কভারিং লেম্মা থেকে কভারিং উপপাদ্য পর্যন্ত কভারিং লেম্মাকে ভিটালি কভারিং উপপাদ্যের নিম্নলিখিত মৌলিক রূপের প্রমাণ হিসাবে মধ্যবর্তী পদক্ষেপ হিসাবে ব্যবহার করা যেতে পারে। প্রমাণঃ সাধারণতা না হারিয়ে, কেউ ধরে নিতে পারে যে এফ-এর সমস্ত বল ননডিজেনারেট এবং এর ব্যাসার্ধ 1-এর কম বা সমান। আচ্ছাদন লেম্মার অসীম রূপ অনুসারে, F-এর একটি গণনাযোগ্য বিচ্ছিন্ন উপ-সংগ্রহ রয়েছে যাতে প্রতিটি বল B ωF একটি বল C ωG-কে ছেদ করে যার জন্য B ω5C। ধরা যাক r> 0 দেওয়া হয়েছে, এবং Z হল z ωE বিন্দুর সেটকে বোঝায় যা G থেকে কোনও বলে অন্তর্ভুক্ত নয় এবং 0-এ কেন্দ্রিক r ব্যাসার্ধের খোলা বল B (r)-এর অন্তর্গত। এটি দেখানোর জন্য যথেষ্ট যে প্রতিটি প্রদত্ত r-এর জন্য Z হল লেবস্গু-নগণ্য। আসুন G-তে সেই বলগুলির উপ-সংগ্রহকে বোঝাই যা B (r)-এর সাথে মিলিত হয়। লক্ষ্য করুন যে এটি সসীম বা গণনাযোগ্যভাবে অসীম হতে পারে। ধরা যাক z ω Z স্থির করা আছে। প্রতিটি এন-এর জন্য, জেড-এর সংজ্ঞা অনুসারে জেড বন্ধ সেটের অন্তর্গত নয়। কিন্তু ভিটালি প্রচ্ছদ বৈশিষ্ট্য দ্বারা, কেউ একটি বল খুঁজে পেতে পারে যার মধ্যে Z রয়েছে, যা B (r)-এ রয়েছে এবং K থেকে বিচ্ছিন্ন। G-এর বৈশিষ্ট্য দ্বারা, বল B কিছু বলকে ছেদ করে এবং এর মধ্যে রয়েছে। কিন্তু যেহেতু K এবং B বিচ্ছিন্ন, তাই আমাদের অবশ্যই i> N থাকতে হবে। সুতরাং কিছু i> N-এর জন্য, এবং তাই এটি প্রতিটি N-এর জন্য অসমতা প্রদান করে। অসীম-মাত্রিক স্থান ভিটালি আচ্ছাদন উপপাদ্য অসীম-মাত্রিক সেটিংসে বৈধ নয়। এই দিকের প্রথম ফলাফলটি 1979 সালে ডেভিড প্রিস দিয়েছিলেনঃ একটি (অসীম-মাত্রিক) পৃথকীকৃত হিলবার্ট স্পেস এইচ-এর উপর একটি গাউসিয়ান পরিমাপ γ বিদ্যমান যাতে ভিটালি আচ্ছাদন উপপাদ্য (এইচ, বোরেল (এইচ), γ)-এর জন্য ব্যর্থ হয়। এই ফলাফলটি 2003 সালে জারোস্লাভ টিসের দ্বারা শক্তিশালী করা হয়েছিলঃ ভিটালি আচ্ছাদন উপপাদ্য আসলে কোনও (অসীম-মাত্রিক) পৃথকযোগ্য হিলবার্ট স্পেসে প্রতিটি অসীম-মাত্রিক গাউসিয়ান পরিমাপের জন্য ব্যর্থ হয়। আরও দেখুন বেসিকোভিচ আচ্ছাদন উপপাদ্য নোটস রেফারেন্স (শিরোনাম অনুবাদ) "বাস্তব চলকের বিন্দু এবং ফাংশনের গোষ্ঠীগুলির উপর" হল ভিটালি আচ্ছাদন উপপাদ্যের প্রথম প্রমাণ সম্বলিত কাগজ। কভারিং লেম্মা পরিমাপ তত্ত্ব বাস্তব বিশ্লেষণ