CM-field
গণিতে, একটি সিএম-ক্ষেত্র হল একটি নির্দিষ্ট ধরনের সংখ্যা ক্ষেত্র, যা জটিল গুণন তত্ত্বের সাথে ঘনিষ্ঠ সংযোগের জন্য নামকরণ করা হয়েছে। ব্যবহৃত আরেকটি নাম হল জে-ফিল্ড। সংক্ষেপণ "সিএম" দ্বারা চালু করা হয়েছিল। আনুষ্ঠানিক সংজ্ঞা একটি সংখ্যা ক্ষেত্র K একটি CM-ক্ষেত্র যদি এটি একটি দ্বিঘাত এক্সটেনশন K/F হয় যেখানে বেস ক্ষেত্র F সম্পূর্ণ বাস্তব কিন্তু K সম্পূর্ণ কাল্পনিক। অর্থাৎ, এফ-এর প্রতিটি এম্বেডিং সম্পূর্ণরূপে এর মধ্যে থাকে, তবে এতে কে-এর কোনও এম্বেডিং নেই। অন্য কথায়, K-এর একটি উপক্ষেত্র F রয়েছে যাতে K একটি উপাদানের একক বর্গমূল দ্বারা F-এর উপর এমনভাবে উৎপন্ন হয়, যেমন β =, যাতে মূলদ সংখ্যা ক্ষেত্রের উপর β-এর ন্যূনতম বহুপদের সমস্ত মূল অ-বাস্তব জটিল সংখ্যা থাকে। এর জন্য α সম্পূর্ণ ঋণাত্মক নির্বাচন করা উচিত, যাতে বাস্তব সংখ্যা ক্ষেত্রে প্রতিটি এম্বেডিং σ এর জন্য, σ (α) <0। বৈশিষ্ট্য একটি সিএম-ক্ষেত্রের একটি বৈশিষ্ট্য হল যে জটিল সংমিশ্রণটি ক্ষেত্রের উপর একটি অটোমরফিজমকে প্ররোচিত করে যা তার এম্বেডিং থেকে স্বাধীন। প্রদত্ত স্বরলিপিতে, এটি অবশ্যই β এর চিহ্ন পরিবর্তন করবে। একটি সংখ্যা ক্ষেত্র কে একটি সিএম-ক্ষেত্র যদি এবং শুধুমাত্র যদি এটির একটি "একক ত্রুটি" থাকে, অর্থাৎ। যদি এটিতে একটি যথাযথ সাবফিল্ড এফ থাকে যার একক গ্রুপের কে-এর মতো একই-র্যাঙ্ক রয়েছে। প্রকৃতপক্ষে, এফ হল উপরে উল্লিখিত কে-এর সম্পূর্ণ বাস্তব উপক্ষেত্র। এটি ডিরিচলেটের একক উপপাদ্য থেকে অনুসরণ করা হয়। উদাহরণ একটি সিএম-ক্ষেত্রের সবচেয়ে সহজ এবং অনুপ্রেরণামূলক উদাহরণ হল একটি কাল্পনিক দ্বিঘাত ক্ষেত্র, যার জন্য সম্পূর্ণ বাস্তব উপক্ষেত্রটি কেবল যুক্তিসঙ্গত ক্ষেত্র। সিএম-ক্ষেত্রের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ উদাহরণগুলির মধ্যে একটি হল সাইক্লোটোমিক ক্ষেত্র, যা একতার আদিম নবম মূল দ্বারা উৎপন্ন হয়। এটি সম্পূর্ণ বাস্তব ক্ষেত্রের একটি সম্পূর্ণ কাল্পনিক চতুর্ভুজ সম্প্রসারণ পরেরটি জটিল সংযোগের স্থির ক্ষেত্র, এবং এটি থেকে ইউনিয়ন বর্গমূল সংলগ্ন করে প্রাপ্ত হয়। সমস্ত সিএম ক্ষেত্রের কিউসিএম একটি সিএম ক্ষেত্রের অনুরূপ, তবে এর অসীম ডিগ্রি রয়েছে। এটি সমস্ত সম্পূর্ণ বাস্তব ক্ষেত্র কিউআর-এর মিলনের একটি দ্বিঘাত সম্প্রসারণ। নিখুঁত গ্যালোইস গ্রুপ গ্যাল (/কিউআর) গ্যাল (/কিউ)-এ ক্রম 2-এর সমস্ত উপাদান দ্বারা (একটি বদ্ধ উপগোষ্ঠী হিসাবে) উত্পন্ন হয় এবং গ্যাল (/কিউসিএম) সূচক 2-এর একটি উপগোষ্ঠী। গ্যালোইস গ্রুপ গ্যাল (কিউসিএম/কিউ)-এর একটি কেন্দ্র রয়েছে যা ক্রম 2 (জটিল সংমিশ্রণ)-এর একটি উপাদান দ্বারা উৎপন্ন হয় এবং এর কেন্দ্র দ্বারা ভাগফল হল গ্রুপ গ্যাল (কিউআর/কিউ)। V যদি n মাত্রার একটি জটিল আবেলিয়ান বৈচিত্র্য হয়, তবে V-এর এন্ডোমর্ফিজমের যে কোনও আবেলিয়ান বীজগণিত F-এর Z-এর উপর সর্বাধিক 2n র্যাঙ্ক থাকে। যদি এটির র্যাঙ্ক 2n হয় এবং V সহজ হয় তবে F একটি সিএম-ফিল্ডে একটি ক্রম। বিপরীতভাবে যে কোনও সিএম ক্ষেত্র কিছু সাধারণ জটিল আবেলিয়ান জাত থেকে এইভাবে উদ্ভূত হয়, যা আইসোজেনি পর্যন্ত অনন্য। একটি সম্পূর্ণ কাল্পনিক ক্ষেত্রের একটি উদাহরণ যা সিএম নয় তা হল বহুপদী দ্বারা সংজ্ঞায়িত সংখ্যা ক্ষেত্র। তথ্যসূত্র ক্ষেত্র (গণিত) বীজগাণিতিক সংখ্যা তত্ত্ব জটিল সংখ্যা