Eventually (mathematics)
সংখ্যা তত্ত্ব এবং বিশ্লেষণের গাণিতিক ক্ষেত্রে, একটি অসীম ক্রম বা একটি ফাংশনের শেষ পর্যন্ত একটি নির্দিষ্ট বৈশিষ্ট্য থাকে বলে বলা হয়, যদি তার সমস্ত ক্রমযুক্ত দৃষ্টান্তের মধ্যে উক্ত বৈশিষ্ট্য না থাকে, তবে কিছু দৃষ্টান্তের পরে তা চলে যায়। "পরিশেষে" শব্দটির ব্যবহার প্রায়শই "পর্যাপ্ত বড় সংখ্যার জন্য" হিসাবে পুনর্ব্যবহার করা যেতে পারে এবং যে কোনও ক্রমবদ্ধ সেটের উপাদানগুলির ক্ষেত্রে প্রযোজ্য বৈশিষ্ট্যগুলির শ্রেণীতেও প্রসারিত করা যেতে পারে (যেমন ক্রম এবং এর উপসেট)। নোটেশন সাধারণ রূপ যেখানে বাক্যাংশটি অবশেষে (বা পর্যাপ্ত পরিমাণে বড়) পাওয়া যায় তা নিম্নরূপ প্রদর্শিত হয়ঃ অবশেষে (যথেষ্ট বড়ের জন্য সত্য), যেখানে এবং সর্বজনীন এবং অস্তিত্বগত পরিমাণক, যা আসলে একটি সংক্ষিপ্তসারঃ যেমন যা সত্য বা কিছুটা বেশি আনুষ্ঠানিকভাবেঃ এর অর্থ এই নয় যে কোনও নির্দিষ্ট মান জানা আছে, তবে কেবলমাত্র এই ধরনের একটি বিদ্যমান। "যথেষ্ট বড়" বাক্যাংশটিকে "নির্বিচারে বড়" বা "অসীম বড়" বাক্যাংশের সাথে বিভ্রান্ত করা উচিত নয়। আরও তথ্যের জন্য দেখুন নির্বিচারে large#Arbitrarily বড় বনাম যথেষ্ট বড় বনাম অসীম বড়। অনুপ্রেরণা এবং সংজ্ঞা একটি অসীম ক্রমের জন্য, একজন প্রায়শই ক্রমের দীর্ঘমেয়াদী আচরণের প্রতি বেশি আগ্রহী হয় যা এটি প্রথম দিকে প্রদর্শিত আচরণের চেয়ে বেশি। এই ক্ষেত্রে, আনুষ্ঠানিকভাবে এই ধারণাটি ধরার একটি উপায় হল বলা যে ক্রমটি শেষ পর্যন্ত একটি নির্দিষ্ট বৈশিষ্ট্য ধারণ করে, বা সমতুল্যভাবে, যে সম্পত্তিটি তার পরবর্তীগুলির মধ্যে একটির দ্বারা সন্তুষ্ট হয়। উদাহরণস্বরূপ, কিছু সীমাতে রূপান্তরিত বাস্তব সংখ্যার ক্রমের সংজ্ঞাটি হ 'লঃ প্রতিটি ধনাত্মক সংখ্যার জন্য একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা রয়েছে যা সকলের জন্য,। যখন "অবশেষে" শব্দটি "এমন একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা রয়েছে যা সকলের জন্য"-এর সংক্ষিপ্ত রূপ হিসাবে ব্যবহার করা হয়, তখন অভিসারের সংজ্ঞাটি আরও সহজভাবে পুনরাবৃত্তি করা যেতে পারেঃ প্রতিটি ধনাত্মক সংখ্যার জন্য, অবশেষে। এখানে লক্ষ্য করুন যে প্রাকৃতিক সংখ্যার যে সেটটি এই বৈশিষ্ট্যটি পূরণ করে না তা একটি সীমাবদ্ধ সেট; অর্থাৎ, সেটটি খালি বা সর্বাধিক উপাদান রয়েছে। ফলস্বরূপ, এই ক্ষেত্রে "শেষ পর্যন্ত"-এর ব্যবহার "সীমাবদ্ধ সংখ্যক পদ ছাড়া সকলের জন্য" অভিব্যক্তিটির সমার্থক-"প্রায় সমস্ত পদের জন্য" অভিব্যক্তিটির একটি বিশেষ ক্ষেত্রে (যদিও "প্রায় সমস্ত" অসীম সংখ্যক ব্যতিক্রমের অনুমতি দেওয়ার জন্যও ব্যবহার করা যেতে পারে)। মৌলিক স্তরে, একটি ক্রমকে তার ডোমেন হিসাবে প্রাকৃতিক সংখ্যা সহ একটি ফাংশন হিসাবে ভাবা যেতে পারে এবং "শেষ পর্যন্ত" ধারণাটি আরও সাধারণ সেটের ফাংশনগুলির ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য-বিশেষত যাদের কোনও বৃহত্তম উপাদান ছাড়াই ক্রম রয়েছে। আরও সুনির্দিষ্টভাবে, যদি এমন একটি সেট থাকে এবং এতে এমন একটি উপাদান থাকে যা তার চেয়ে বড় সমস্ত উপাদানের জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয়, তবে বলা হয় যে শেষ পর্যন্ত কিছু বৈশিষ্ট্য থাকে যদি এমন কোনও উপাদান থাকে যা যখনই, উক্ত বৈশিষ্ট্যটি থাকে। এই ধারণাটি ব্যবহার করা হয়, উদাহরণস্বরূপ, হার্ডি ক্ষেত্রগুলির অধ্যয়নে, যা বাস্তব ফাংশন দ্বারা গঠিত ক্ষেত্র, যার প্রত্যেকটির শেষ পর্যন্ত নির্দিষ্ট বৈশিষ্ট্য রয়েছে। উদাহরণস্বরূপ "2-এর চেয়ে বড় সমস্ত মৌলিক সংখ্যা বিজোড়" হিসাবে লেখা যেতে পারে "অবশেষে, সমস্ত মৌলিক সংখ্যা বিজোড়"। অবশেষে, সমস্ত মৌলিক সংখ্যা ±1 মডুলো 6-এর সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ। একটি মৌলিক সংখ্যার বর্গ অবশেষে 1 মড 24-এর সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ (বিশেষত, এটি 3-এর চেয়ে বড় সমস্ত মৌলিক সংখ্যার ক্ষেত্রে সত্য)। একটি স্বাভাবিক সংখ্যার উৎপাদক সংখ্যা শেষ পর্যন্ত 0 সংখ্যায় শেষ হয় (বিশেষ করে, 4-এর চেয়ে বড় সমস্ত প্রাকৃতিক সংখ্যার ক্ষেত্রে এটি সত্য)। প্রভাব যখন কোনও ক্রম বা ফাংশনের শেষ পর্যন্ত কোনও বৈশিষ্ট্য থাকে, তখন সেই ক্রমের সাথে সম্পর্কিত কিছু প্রমাণ করার প্রসঙ্গে এর দরকারী প্রভাব থাকতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, নির্দিষ্ট কিছু ফাংশনের অ্যাসিম্পটোটিক আচরণের প্রসঙ্গে, এটি জানা দরকারী হতে পারে যে এটি শেষ পর্যন্ত গণনামূলকভাবে পর্যবেক্ষণ করা যেতে পারে বা ভিন্নভাবে আচরণ করে কিনা, কারণ অন্যথায় এটি লক্ষ্য করা যেত না। "পরিশেষে" শব্দটি অনেক গাণিতিক সংজ্ঞায় অন্তর্ভুক্ত করা যেতে পারে যাতে সেগুলি আরও সংক্ষিপ্ত হয়। এর মধ্যে রয়েছে কিছু ধরনের সীমার সংজ্ঞা (যেমন উপরে দেখা গেছে) এবং অ্যাসিম্পটোটিক আচরণ বর্ণনা করার জন্য বিগ ও স্বরলিপি। গণিতে অন্যান্য ব্যবহারগুলি একটি 3-ম্যানিফোল্ডকে যথেষ্ট বড় বলা হয় যদি এতে সঠিকভাবে এম্বেড করা 2-পার্শ্বযুক্ত অসংকুচিত পৃষ্ঠ থাকে। এই বৈশিষ্ট্যটি একটি 3-ম্যানিফোল্ডকে হ্যাকেন ম্যানিফোল্ড বলার প্রধান প্রয়োজনীয়তা। অস্থায়ী যুক্তি এমন একটি অপারেটরের পরিচয় দেয় যা ব্যাখ্যাযোগ্য বিবৃতি প্রকাশ করতে ব্যবহার করা যেতে পারেঃ নির্দিষ্ট বৈশিষ্ট্য শেষ পর্যন্ত ভবিষ্যতের মুহূর্তে ধরে রাখবে। আরও দেখুন প্রায় সমস্ত বিগ ও নোটেশন গাণিতিক জার্গন সংখ্যা তত্ত্ব তথ্যসূত্র সংখ্যা তত্ত্ব গাণিতিক পরিভাষা 3-ম্যানিফোল্ড