Shapiro polynomials
গণিতে, শাপিরো বহুপদ হল বহুপদের একটি ক্রম যা 1951 সালে হ্যারল্ড এস শাপিরো দ্বারা নির্দিষ্ট ত্রিকোণমিতিক যোগফলের মাত্রা বিবেচনা করার সময় প্রথম অধ্যয়ন করা হয়েছিল। সংকেত প্রক্রিয়াকরণে, শাপিরো বহুপদীগুলির ভাল স্ব-সম্পর্ক বৈশিষ্ট্য রয়েছে এবং একক বৃত্তে তাদের মানগুলি ছোট। ক্রমের প্রথম কয়েকটি সদস্য হলঃ যেখানে Q দ্বারা নির্দেশিত দ্বিতীয় ক্রমকে প্রথম ক্রমের পরিপূরক বলা হয়, যা পি. কনস্ট্রাকশন দ্বারা নির্দেশিত হয় শাপিরো বহুপদীগুলি Pn (z) গোলে-রুডিন-শাপিরো ক্রম an থেকে তৈরি করা যেতে পারে, যা 1-এর সমান যদি n-এর বাইনারি সম্প্রসারণে একের পর এক জোড়া জোড় হয় এবং অন্যথায়-1 হয়। এইভাবে a0 = 1, a1 = 1, a2 = 1, a3 = −1, ইত্যাদি। প্রথম শাপিরো পিএন (জেড) হল ঘাতশ্রেণী f (জেড): = a0 + a1z + a2z2 + এর 2n−1 ক্রমের (যেখানে n = 0,1,2,.) আংশিক যোগফল। গোলে-রুডিন-শাপিরো ক্রমের একটি ফ্র্যাক্টাল-সদৃশ কাঠামো রয়েছে-উদাহরণস্বরূপ, an = a2n-যা বোঝায় যে পরবর্তী ক্রমটি (a0, a2, a4,.) মূল ক্রমের প্রতিলিপি তৈরি করে। এটি ফলস্বরূপ f (z) দ্বারা সন্তুষ্ট উল্লেখযোগ্য কার্যকরী সমীকরণের দিকে পরিচালিত করে। দ্বিতীয় বা পরিপূরক শাপিরো বহুপদ Qn (z)-কে এই ক্রমের পরিপ্রেক্ষিতে বা Qn (z) = (1-) nz2n-1Pn (-1/z) সম্পর্ক দ্বারা বা পুনরাবৃত্তির বৈশিষ্ট্য দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। {Pn}-এর সবচেয়ে আকর্ষণীয় বৈশিষ্ট্য হল যে, Pn (z)-এর পরম মান একক বৃত্তে 2 (n + 1)-এর বর্গমূল দ্বারা আবদ্ধ, যা Pn-এর L2 আদর্শের ক্রমে থাকে। সেট {−1,1} থেকে সহগ সহ বহুপদ যার একক বৃত্তের সর্বাধিক মডুলাস তাদের গড় মডুলাসের কাছাকাছি যোগাযোগ তত্ত্বের বিভিন্ন প্রয়োগের জন্য দরকারী (যেমন, অ্যান্টেনা ডিজাইন এবং ডেটা কম্প্রেশন)। সম্পত্তি (iii) দেখায় যে (পি, কিউ) একটি গোলে জোড়া গঠন করে। এই পলিনোমিয়ালগুলির আরও বৈশিষ্ট্য রয়েছেঃ আরও দেখুন লিটলউড পলিনোমিয়াল নোটস রেফারেন্স অধ্যায় 4। ফুরিয়ার বিশ্লেষণ ডিজিটাল সংকেত প্রক্রিয়াকরণ বহুপদী