Sylvester equation
গণিতে, নিয়ন্ত্রণ তত্ত্বের ক্ষেত্রে, সিলভেস্টার সমীকরণ হল এই রূপের একটি ম্যাট্রিক্স সমীকরণঃ এটি ইংরেজ গণিতবিদ জেমস জোসেফ সিলভেস্টারের নামে নামকরণ করা হয়েছে। তারপর ম্যাট্রিক্স A, B এবং C দেওয়া হলে, সমস্যা হল সম্ভাব্য ম্যাট্রিক্স X খুঁজে বের করা যা এই সমীকরণ মেনে চলে। সমস্ত ম্যাট্রিক্সের জটিল সংখ্যায় সহগ রয়েছে বলে ধরে নেওয়া হয়। সমীকরণটি বোধগম্য করার জন্য, ম্যাট্রিক্সগুলির অবশ্যই উপযুক্ত আকার থাকতে হবে, উদাহরণস্বরূপ তারা একই আকারের বর্গ ম্যাট্রিক্স হতে পারে। তবে আরও সাধারণভাবে, এ এবং বি যথাক্রমে এন এবং এম আকারের বর্গ ম্যাট্রিক্স হতে হবে এবং তারপরে এক্স এবং সি উভয়েরই এন সারি এবং এম কলাম রয়েছে। একটি সিলভেস্টার সমীকরণের এক্স-এর জন্য একটি অনন্য সমাধান থাকে ঠিক যখন এ এবং-বি-এর কোনও সাধারণ আইগেনভ্যালু থাকে না। আরও সাধারণভাবে, সমীকরণ এএক্স + এক্সবি = সি-কে একটি (সম্ভবত অসীম-মাত্রিক) বানাচ স্পেসে আবদ্ধ অপারেটরের সমীকরণ হিসাবে বিবেচনা করা হয়। এই ক্ষেত্রে, একটি সমাধান X-এর স্বতন্ত্রতার শর্ত প্রায় একইঃ একটি অনন্য সমাধান X বিদ্যমান থাকে ঠিক যখন A এবং −B-এর বর্ণালী বিচ্ছিন্ন হয়। সমাধানগুলির অস্তিত্ব এবং স্বতন্ত্রতা ক্রোনেকার পণ্য স্বরলিপি এবং ভেক্টরাইজেশন অপারেটর ব্যবহার করে, আমরা সিলভেস্টারের সমীকরণটি এমন আকারে পুনরায় লিখতে পারি যেখানে মাত্রার, মাত্রার, মাত্রার এবং আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্স। এই রূপে, সমীকরণটিকে মাত্রার একটি রৈখিক ব্যবস্থা হিসাবে দেখা যেতে পারে। উপপাদ্য। প্রদত্ত ম্যাট্রিক্স এবং সিলভেস্টার সমীকরণের জন্য একটি অনন্য সমাধান রয়েছে যদি এবং শুধুমাত্র যদি এবং কোনও আইগেনভ্যালু ভাগ না করে। প্রমাণ। সমীকরণটি অজানা এবং একই সংখ্যক সমীকরণ সহ একটি রৈখিক ব্যবস্থা। সুতরাং এটি যে কোনও প্রদত্ত ক্ষেত্রে অনন্যভাবে সমাধানযোগ্য যদি এবং কেবলমাত্র যদি সমজাতীয় সমীকরণটি কেবল তুচ্ছ সমাধানটি গ্রহণ করে। (i) তা ধরে নিন এবং কোনও আইগেনভ্যালু ভাগ করবেন না। ধরা যাক উপরে উল্লিখিত সমজাতীয় সমীকরণের একটি সমাধান। তারপর, যা গাণিতিক আনয়ন দ্বারা প্রত্যেকের জন্য উত্তোলন করা যেতে পারে। ফলস্বরূপ, যে কোনও বহুপদের জন্য। বিশেষ করে, এর চরিত্রগত বহুপদীটি ধরা যাক। তারপর কাইলি-হ্যামিল্টন উপপাদ্যের কারণে; এদিকে, বর্ণালী ম্যাপিং উপপাদ্য আমাদের বলে যেখানে একটি ম্যাট্রিক্সের বর্ণালী বোঝায়। যেহেতু এবং কোনও আইগেনভ্যালু ভাগ করে না, তাই এতে শূন্য থাকে না এবং তাই এটি ননসিঙ্গুলার। তাই ইচ্ছে মতো। এটি উপপাদ্যের "যদি" অংশটি প্রমাণ করে। (ii) এখন এটি ধরে নিন এবং একটি আইগেনভ্যালু ভাগ করুন। ধরা যাক একটি সংশ্লিষ্ট ডান আইগেনভেক্টর হতে হবে, এবং এর জন্য একটি সংশ্লিষ্ট বাম আইগেনভেক্টর হতে হবে। তারপর, এবং তাই পূর্বোক্ত সমজাতীয় সমীকরণের একটি অ-তুচ্ছ সমাধান, যা উপপাদ্যের "শুধুমাত্র যদি" অংশটিকে ন্যায্যতা দেয়। কিউ. ই. ডি. বর্ণালী ম্যাপিং উপপাদ্যের বিকল্প হিসাবে, সহমৌলিক বহুপদের জন্য বেজাউটের পরিচয় দ্বারা প্রমাণের অংশ (i) এর অসঙ্গততাও প্রদর্শিত হতে পারে। এর চরিত্রগত বহুপদীটি ধরা যাক। যেহেতু এবং কোনও আইগেনভ্যালু ভাগ করে না, এবং সহমৌলিক। তাই বহুপদ এবং এরকম কিছু রয়েছে। কাইলি-হ্যামিল্টন উপপাদ্য অনুসারে, সুতরাং, এটি বোঝানো অ-সিঙ্গুলার। এই উপপাদ্যটি বাস্তব ম্যাট্রিক্সের ক্ষেত্রে এই সতর্কতার সাথে সত্য যে কেউ তাদের জটিল আইগেনভ্যালু বিবেচনা করে। "যদি" অংশের প্রমাণ এখনও প্রযোজ্য; "শুধুমাত্র যদি" অংশের জন্য, লক্ষ্য করুন যে উভয়ই সমজাতীয় সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে এবং তারা একই সাথে শূন্য হতে পারে না। রথের অপসারণের নিয়ম n এবং m আকারের দুটি বর্গাকার জটিল ম্যাট্রিক্স A এবং B এবং n বাই m আকারের একটি ম্যাট্রিক্স C দেওয়া হলে, কেউ জিজ্ঞাসা করতে পারে যে n + m আকারের নিম্নলিখিত দুটি বর্গাকার ম্যাট্রিক্স কখন একে অপরের অনুরূপঃ এবং। উত্তরটি হল যে এই দুটি ম্যাট্রিক্স ঠিক একই রকম হয় যখন একটি ম্যাট্রিক্স X থাকে যেমন AX − XB = C। অন্য কথায়, X একটি সিলভেস্টার সমীকরণের সমাধান। এটি রথের অপসারণের নিয়ম হিসাবে পরিচিত। সহজেই একটি দিক পরীক্ষা করা যায়ঃ যদি এএক্স-এক্সবি = সি হয় তবে রথের অপসারণের নিয়মটি বানাচ স্পেসে অসীম-মাত্রিক আবদ্ধ অপারেটরগুলিতে সাধারণীকরণ করে না। তবুও, রথের অপসারণের নিয়মটি সিলভেস্টার সমীকরণের সিস্টেমে সাধারণীকরণ করে। সংখ্যাসূচক সমাধান সিলভেস্টার সমীকরণের সংখ্যাসূচক সমাধানের জন্য একটি ধ্রুপদী অ্যালগরিদম হল বার্টেলস-স্টিওয়ার্ট অ্যালগরিদম, যা একটি কিউআর অ্যালগরিদম দ্বারা শুর আকারে রূপান্তরিত হয় এবং তারপরে ব্যাক-প্রতিস্থাপনের মাধ্যমে ফলস্বরূপ ত্রিভুজাকার সিস্টেমটি সমাধান করে। এই অ্যালগরিদম, যার গণনামূলক খরচ গাণিতিক ক্রিয়াকলাপ, অন্যদের মধ্যে, ল্যাপ্যাক এবং জি. এন. ইউ অক্টেভের লাইয়াপ ফাংশন দ্বারা ব্যবহৃত হয়। সেই ভাষায় সিলভেস্টার ফাংশনটিও দেখুন। কিছু নির্দিষ্ট চিত্র প্রক্রিয়াকরণ প্রয়োগে, উদ্ভূত সিলভেস্টার সমীকরণের একটি বদ্ধ সমাধান রয়েছে। এছাড়াও দেখুন লাইয়াপুনভ সমীকরণ, সিলভেস্টার সমীকরণের একটি বিশেষ উদাহরণ বীজগাণিতিক রিকাতি সমীকরণ নোটস রেফারেন্স বাহ্যিক লিঙ্ক নির্বিচারে আকারের ম্যাট্রিক্সের জন্য অনলাইন সমাধানকারী। সিলভেস্টার সমীকরণ সমাধানের জন্য ম্যাথমেটিকা ফাংশন ম্যাটল্যাব ফাংশন সিলভেস্টার সমীকরণ মেট্রিক্স নিয়ন্ত্রণ তত্ত্ব সমাধানের জন্য