Large deviations of Gaussian random functions
একটি র্যান্ডম ফাংশন-একটি পরিবর্তনশীল (একটি র্যান্ডম প্রক্রিয়া), বা দুই বা ততোধিক পরিবর্তনশীল (একটি র্যান্ডম ক্ষেত্র)-কে গাউসিয়ান বলা হয় যদি প্রতিটি সসীম-মাত্রিক বন্টন একটি মাল্টিভ্যারিয়েট স্বাভাবিক বন্টন হয়। মহাজাগতিক মাইক্রোওয়েভ পটভূমি বিকিরণের অসঙ্গতিগুলি বিশ্লেষণ করার সময় গোলকের গাউসিয়ান এলোমেলো ক্ষেত্রগুলি কার্যকর (উদাহরণস্বরূপ) (দেখুন, পিপি। 8-9); পজিট্রন নির্গমন টোমোগ্রাফি দ্বারা প্রাপ্ত মস্তিষ্কের চিত্র (দেখুন, পৃ. 9-10)। কখনও কখনও, একটি গাউসিয়ান র্যান্ডম ফাংশনের একটি মান তার প্রত্যাশিত মান থেকে বেশ কয়েকটি স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি দ্বারা বিচ্যুত হয়। এটি একটি বড় বিচ্যুতি। যদিও একটি ছোট ডোমেনে (স্থান বা/এবং সময়ের) বিরল, একটি বড় ডোমেনে বড় বিচ্যুতি বেশ স্বাভাবিক হতে পারে। মৌলিক বিবৃতি ধরা যাক (দ্বি-মাত্রিক) গোলকের উপর একটি গাউসিয়ান র্যান্ডম ফাংশনের সর্বাধিক মান। ধরে নিন যে এর প্রত্যাশিত মান হল (গোলকের প্রতিটি বিন্দুতে), এবং এর আদর্শ বিচ্যুতি হল (গোলকের প্রতিটি বিন্দুতে)। তারপর, বড়ের জন্য, কাছাকাছি, কোথায় বিতরণ করা হয় (আদর্শ স্বাভাবিক বন্টন), এবং একটি ধ্রুবক; এটি নির্ভর করে না, তবে এর পারস্পরিক ক্রিয়ার উপর নির্ভর করে (নীচে দেখুন)। আনুমানিক আপেক্ষিক ত্রুটি বড় ক্ষেত্রে সূচকীয়ভাবে হ্রাস পায়। একটি নির্দিষ্ট দিকে (গোলকের স্পর্শক) একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে (গোলকের) দিকনির্দেশক অন্তরজ হিসাবে বর্ণিত গুরুত্বপূর্ণ বিশেষ ক্ষেত্রে ধ্রুবক নির্ধারণ করা সহজ। শূন্য প্রত্যাশা এবং কিছু স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি সহ ডেরিভেটিভটি এলোমেলো। পরেরটি বিন্দু এবং দিকের উপর নির্ভর করতে পারে। তবে, যদি এটি নির্ভর না করে, তবে এটি (ব্যাসার্ধের গোলকের জন্য) এর সমান। আগের সহগটি আসলে গোলকের অয়লার বৈশিষ্ট্য (টরাসের জন্য এটি অদৃশ্য হয়ে যায়)। এটি ধরে নেওয়া হয় যে এটি দ্বিগুণ অবিচ্ছিন্নভাবে পৃথকীকরণযোগ্য (প্রায় নিশ্চিতভাবে), এবং একটি বিন্দুতে (প্রায় নিশ্চিতভাবে) তার সর্বোচ্চ পর্যায়ে পৌঁছায়। সূত্রঃ গড় অয়লার বৈশিষ্ট্য উপরে অঙ্কিত তত্ত্বের সূত্রটি হল, (গোলকের) সমস্ত বিন্দুর সেটের অয়লার বৈশিষ্ট্য। এর প্রত্যাশিত মান (অন্য কথায়, গড় মান) স্পষ্টভাবে গণনা করা যেতে পারেঃ (যা তুচ্ছ হওয়া থেকে অনেক দূরে, এবং পয়েনকারে-হপফ উপপাদ্য, গাউস-বনেট উপপাদ্য, রাইসের সূত্র ইত্যাদি জড়িত)। যখনই সেটটি খালি সেট হয়; এই ক্ষেত্রে। অন্য ক্ষেত্রে, যখন সেটটি খালি থাকে না; সেটের টপোলজি (সংযুক্ত উপাদানগুলির সংখ্যা এবং এই উপাদানগুলির সম্ভাব্য ছিদ্র)-এর উপর নির্ভর করে এর অয়লার বৈশিষ্ট্যটি বিভিন্ন মান নিতে পারে। যাইহোক, যদি সেটটি বড় হয় এবং সেটটি সাধারণত একটি ছোট, সামান্য বিকৃত ডিস্ক বা উপবৃত্তাকার হয় (যা অনুমান করা সহজ, তবে প্রমাণ করা বেশ কঠিন)। সুতরাং, এর অয়লার বৈশিষ্ট্য সাধারণত (প্রদত্ত) এর সমান হয়। এই কারণেই এটি কাছাকাছি। আরও দেখুন গাউসীয় প্রক্রিয়া গাউসীয় এলোমেলো ক্ষেত্র বড় বিচ্যুতি তত্ত্ব আরও পড়া উপরে দেওয়া মৌলিক বিবৃতিটি অ্যাডলারের দ্বারা বর্ণিত আরও অনেক বেশি সাধারণ (এবং কঠিন) তত্ত্বের একটি সহজ বিশেষ উদাহরণ। এই বিশেষ মামলার বিস্তারিত উপস্থাপনার জন্য সিরেলসনের বক্তৃতা দেখুন। স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়া