Span (category theory)
বিভাগ তত্ত্বে, একটি স্প্যান, ছাদ বা চিঠিপত্র হল একটি বিভাগের দুটি বস্তুর মধ্যে সম্পর্কের ধারণার সাধারণীকরণ। যখন বিভাগটিতে সমস্ত পুলব্যাক থাকে (এবং অন্যান্য শর্তগুলির একটি ছোট সংখ্যাকে সন্তুষ্ট করে), স্প্যানগুলিকে ভগ্নাংশের একটি বিভাগে মরফিজম হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে। স্প্যানের ধারণাটি নোবুও ইয়োনেদা (1954) এবং জিন বেনাবু (1967)-এর কারণে হয়েছে। আনুষ্ঠানিক সংজ্ঞা একটি স্প্যান হল টাইপের একটি চিত্র, অর্থাৎ ফর্মের একটি চিত্র। অর্থাৎ, λ কে বিভাগ হিসাবে ধরা যাক (-1-0-+ 1)। তারপর একটি বিভাগ সি-এর একটি স্প্যান হল একটি ফাংক্টর S: λ → C। এর মানে হল যে একটি স্প্যান তিনটি বস্তু X, Y এবং C-এর Z এবং মরফিজম f: X → Y এবং g: X → Z নিয়ে গঠিতঃ এটি সাধারণ ডোমেন সহ দুটি মানচিত্র। একটি স্প্যানের কলিমিট হল একটি পুশআউট। উদাহরণস্বরূপ, যদি R হল X এবং Y সেটের মধ্যে একটি সম্পর্ক (অর্থাৎ। এক্স × ওয়াই) এর একটি উপসেট, তারপর এক্স-কে-আর-কে-ওয়াই হল একটি স্প্যান, যেখানে মানচিত্রগুলি হল অভিক্ষেপ মানচিত্র এবং। যে কোনও বস্তুর ক্ষেত্রে 'এ "-এর' এ"-এর 'এ "-এর' এ"-এর 'এ "-এর' এ"-এর 'এ "-এর' এ"-এর 'এ "-এর' এ"-এর 'এ "-এর' এ"-এর 'এ "-এর' এ"-এর 'এ "-এর' এ"-এর 'এ "-এর' এ"-এর 'এ "-এর' এ"-এর 'এ "-এর' এ"-এর 'এ "-এর' এ"-এর 'এ "-এর' এ"-এর 'এ "-এর' এ"-এর 'এ "-এর' এ"-এর 'এ "-এর' এ"-এর 'এ "-এর' এ"-এর 'এ "-এর' এ"-এর 'এ "-এর' এ"-এর 'এ "-এ আরও সাধারণভাবে, কিছু বিভাগে একটি রূপবাদ ধরা যাক। একটি তুচ্ছ স্প্যান এ-এ-এ-বি রয়েছে, যেখানে বাম মানচিত্রটি এ-এর পরিচয়, এবং ডান মানচিত্রটি প্রদত্ত মানচিত্র φ। যদি এম একটি মডেল বিভাগ হয়, যেখানে ডাব্লু দুর্বল সমতুল্যগুলির সেট হয়, তবে বাম অঙ্গসংস্থানটি ডাব্লু-তে রয়েছে এমন ফর্মের স্প্যানগুলি একটি সাধারণীকৃত অঙ্গসংস্থান হিসাবে বিবেচিত হতে পারে (অর্থাৎ, যেখানে একটি "দুর্বল সমতুল্যগুলিকে বিপরীত করে")। লক্ষ্য করুন যে মডেল বিভাগগুলি নিয়ে কাজ করার সময় এটি সাধারণ দৃষ্টিভঙ্গি নয়। C বিভাগে একটি কোস্প্যান K হল একটি ফাংক্টর K: λop → C; সমতুল্যভাবে, λ থেকে C পর্যন্ত একটি বিপরীতমুখী ফাংক্টর। এইভাবে এটি তিনটি বস্তু নিয়ে গঠিত-সি-এর এক্স, ওয়াই এবং জেড এবং অঙ্গসংস্থান f: ওয়াই, এক্স এবং জিঃ জেড, এক্সঃ এটি সাধারণ কোডোমেইন সহ দুটি মানচিত্র। একটি কোস্প্যানের সীমা হল একটি পুলব্যাক। একটি কোস্প্যানের উদাহরণ হল দুটি ম্যানিফোল্ড এম এবং এন-এর মধ্যে একটি কোবোর্ডিজম ডাব্লু, যেখানে দুটি মানচিত্র ডাব্লু-তে অন্তর্ভুক্তি। লক্ষ্য করুন যে কোবোর্ডিজমগুলি কোস্প্যান হলেও, কোবোর্ডিজমের বিভাগটি একটি "কোস্পান বিভাগ" নয়ঃ এটি "সীমানায় অন্তর্ভুক্তি সহ ম্যানিফোল্ডের বিভাগে" সমস্ত কোস্প্যানের বিভাগ নয়, বরং এর একটি উপবিভাগ, কারণ এম এবং এন ডাব্লু-এর সীমানার একটি বিভাজন গঠন করার প্রয়োজনীয়তা একটি বিশ্বব্যাপী সীমাবদ্ধতা। সীমাবদ্ধ-মাত্রিক কোবোর্ডিজমের এন. সি. ও. বি বিভাগটি একটি ছুরি কম্প্যাক্ট বিভাগ। আরও সাধারণভাবে, সীমাবদ্ধ সীমা সহ যে কোনও বিভাগ সি-তে স্প্যানের স্প্যান (সি) বিভাগটিও ড্যাগার কম্প্যাক্ট। আরও দেখুন বাইনারি সম্পর্ক পুলব্যাক (বিভাগ তত্ত্ব) পুশআউট (বিভাগ তত্ত্ব) কোবোর্ডিজম রেফারেন্স ইয়োনেডা, নোবুও, অন দ্য হোমোলজি থিওরি অফ মডিউল। জে. ফেস। বিজ্ঞান। বিশ্ববিদ্যালয়। টোকিও সেক্ট। I, 7 (1954), 193-227। বেনাবু, জিন, ইন্ট্রোডাকশন টু বাইকাটেগরি, লেকচার নোটস ইন ম্যাথমেটিক্স 47, স্প্রিঙ্গার (1967), pp.1-77 ফাংক্টরস