Hyperhomology
সমতাত্ত্বিক বীজগণিতে, হাইপারহোমোলজি বা হাইপারকোহোমোলজি () হল (সহ) সমতাত্ত্বিক ফাংশনের একটি সাধারণীকরণ যা আবেলিয়ান বিভাগের বস্তু নয় বরং বস্তুর চেইন কমপ্লেক্সগুলিকে ইনপুট হিসাবে গ্রহণ করে, তাই বস্তুগুলি ভিতরে থাকে। এটি একটি বস্তুর উদ্ভূত ফাংক্টর কোহোমোলজি এবং একটি চেইন কমপ্লেক্সের হোমোলজির মধ্যে একটি ধরণের ক্রস কারণ হাইপারকোহলোলজি উদ্ভূত গ্লোবাল সেকশন ফাংক্টরের সাথে মিলে যায়। হাইপারহোমোলজি আর খুব বেশি ব্যবহৃত হয় নাঃ প্রায় 1970 সাল থেকে এটি মূলত উদ্ভূত বিভাগগুলির মধ্যে একটি উদ্ভূত ফাংক্টরের মোটামুটি সমতুল্য ধারণা দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়েছে। অনুপ্রেরণা হাইপারকোহলোলজির অন্যতম অনুপ্রেরণা এই সত্য থেকে আসে যে সংক্ষিপ্ত সঠিক sequencesi.e এর সাথে সম্পর্কিত কোহোমোলজিকাল দীর্ঘ সঠিক ক্রমগুলির একটি সুস্পষ্ট সাধারণীকরণ নেই। একটি সম্পর্কিত দীর্ঘ সঠিক ক্রম রয়েছে এটি প্রমাণিত হয় যে হাইপারকোহলোলজি একটি নির্বিচারে দীর্ঘ সঠিক ক্রম থেকে অনুরূপ সমজাতীয় সম্পর্কিত দীর্ঘ সঠিক ক্রম নির্মাণের কৌশল দেয় কারণ এর ইনপুটগুলি একটি আবেলিয়ান বিভাগের কেবল বস্তুর পরিবর্তে চেইন কমপ্লেক্স দ্বারা দেওয়া হয়। আমরা এই চেইন কমপ্লেক্সকে একটি বিশিষ্ট ত্রিভুজে পরিণত করতে পারি (একটি উদ্ভূত বিভাগে ত্রিভুজযুক্ত বিভাগগুলির ভাষা ব্যবহার করে) যা আমরা দ্বারা বোঝাই তারপর, উদ্ভূত বৈশ্বিক বিভাগগুলি গ্রহণ করলে একটি দীর্ঘ সঠিক ক্রম পাওয়া যায়, যা হাইপারকোহলোলজি গোষ্ঠীর একটি দীর্ঘ সঠিক ক্রম। সংজ্ঞা আমরা হাইপারকোহলোলজির সংজ্ঞা দিচ্ছি কারণ এটি আরও সাধারণ। বরাবরের মতো, হাইপারকোহলমোলজি এবং হাইপারহোমোলজি মূলত একই রকমঃ একটি দ্বৈতকরণের মাধ্যমে এক থেকে অন্যটিতে রূপান্তরিত হয়, অর্থাৎ। সমস্ত তীরের দিক পরিবর্তন করে, ইনজেকটিভ বস্তুগুলিকে প্রজেক্টিভ দিয়ে প্রতিস্থাপন করে ইত্যাদি। ধরুন যে এ একটি আবেলিয়ান বিভাগ যার যথেষ্ট ইনজেকশন রয়েছে এবং এফ একটি অন্য আবেলিয়ান বিভাগ বি-এর জন্য সঠিক ফাংক্টর রেখে গেছে। যদি C বামদিকে আবদ্ধ A-এর বস্তুর একটি জটিল সমষ্টি হয়, তবে C-এর হাইপারকোহোমোমোলজি (একটি পূর্ণসংখ্যা i-এর জন্য) নিম্নরূপ গণনা করা হয়ঃ একটি আধা-সমরূপতা নিন φ: C → I, এখানে I হল A-এর ইনজেকটিভ উপাদানগুলির একটি জটিল। সি-এর হাইপার অ্যালকোহলমোলজি হাই (সি) হল জটিল এফ (আই)-এর কোহোমোলজি হাই (এফ (আই))। সি-এর হাইপারকোহলমোলজি অনন্য আইসোমরফিজম পর্যন্ত আধা-আইসোমরফিজমের পছন্দ থেকে স্বাধীন। হাইপারকোহলমোলজিকে উদ্ভূত বিভাগগুলি ব্যবহার করে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারেঃ সি-এর হাইপারকোহলমোলজি হল আরএফ (সি)-এর কোহোমোলজি যা বি-এর উদ্ভূত বিভাগের একটি উপাদান হিসাবে বিবেচিত হয়। নেতিবাচক সূচকগুলির জন্য অদৃশ্য হয়ে যাওয়া জটিলতাগুলির জন্য, হাইপারকোহলোলজিকে H0 = FH0 = H0F এর উদ্ভূত ফাংক্টর হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। হাইপারকোহলমোলজি বর্ণালী ক্রম দুটি হাইপারকোহলমোলজি বর্ণালী ক্রম রয়েছে; একটি E2 শব্দের সাথে এবং অন্যটি E1 শব্দের সাথে এবং E2 শব্দের সাথে উভয়ই হাইপারকোহলমোলজিতে রূপান্তরিত হয়, যেখানে RjF হল F-এর একটি সঠিক উদ্ভূত ফাংক্টর। মনে রাখবেন যে কোনও স্থানে র্যাঙ্ক এন ভেক্টর বান্ডিলগুলিকে সেচ-অ্যালকোহলজি গ্রুপ হিসাবে শ্রেণীবদ্ধ করা যেতে পারে। জার্বসের পিছনের মূল ধারণাটি হল এই ধারণাকে কোহোমোলজিক্যালি প্রসারিত করা, তাই কিছু ফাংক্টর নেওয়ার পরিবর্তে, আমরা পরিবর্তে কোহোমোলজি গ্রুপ বিবেচনা করি, তাই এটি এমন বস্তুগুলিকে শ্রেণীবদ্ধ করে যা মূল শ্রেণীবিভাগ গোষ্ঠীর বস্তু দ্বারা আঠালো। একটি ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত বিষয় যা জার্বেস এবং হাইপারকোহলোলজি অধ্যয়ন করে তা হল ডেলিগনে-অ্যালকোহলোলজি। আরও উদাহরণ দেখুন কার্টান-আইলেনবার্গ রেজোলিউশন গার্বে রেফারেন্স এইচ. কার্টান, এস. আইলেনবার্গ, হোমোলজিকাল বীজগণিত এ. গ্রোথেন্ডিক, সুর কোয়েলকস পয়েন্টস ডি 'অ্যালজেব্রে হোমোলজিক তোহোকু ম্যাথ। জে। 9 (1957) পৃ. 119-221 সমজাতীয় বীজগণিত