Wythoff's game
উইথফের খেলাটি একটি দুই খেলোয়াড়ের গাণিতিক বিয়োগের খেলা, যা কাউন্টারের দুটি স্তূপের সাথে খেলা হয়। খেলোয়াড়রা এক বা উভয় স্তূপ থেকে পালাক্রমে কাউন্টার সরিয়ে নেয়; উভয় স্তূপ থেকে কাউন্টার সরানোর সময়, প্রতিটি স্তূপ থেকে সরানো কাউন্টারের সংখ্যা অবশ্যই সমান হতে হবে। খেলাটি শেষ হয় যখন একজন খেলোয়াড় শেষ কাউন্টার বা কাউন্টারটি সরিয়ে দেয়, এইভাবে জয়ী হয়। খেলার সমতুল্য বর্ণনাটি হল যে একক দাবা রানীকে বর্গক্ষেত্রের একটি বড় গ্রিডে কোথাও স্থাপন করা হয় এবং প্রতিটি খেলোয়াড় রানীকে গ্রিডের নীচের বাম কোণের দিকে সরিয়ে নিতে পারেঃ দক্ষিণ, পশ্চিম বা দক্ষিণ-পশ্চিমে, যে কোনও সংখ্যক ধাপ। বিজয়ী হলেন সেই খেলোয়াড় যিনি রানীকে কোণায় নিয়ে যান। রানীর দুটি কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্ক স্তূপ থেকে কাউন্টার অপসারণের সাথে জড়িত খেলার গঠনে দুটি স্তূপের আকারের সাথে মিলে যায়। মার্টিন গার্ডনার 1977 সালের মার্চ মাসে সায়েন্টিফিক আমেরিকানে তাঁর "ম্যাথমেটিকাল গেমস কলামে" দাবি করেছেন যে এই খেলাটি চীনে "চুন পাথর" নামে খেলা হত। ডাচ গণিতবিদ ডব্লিউ. এ. উইথফ 1907 সালে এই খেলার একটি গাণিতিক বিশ্লেষণ প্রকাশ করেন। সর্বোত্তম কৌশল খেলার যে কোনও অবস্থানকে n ≤ m সহ পূর্ণসংখ্যার একটি জোড়া (n, m) দ্বারা বর্ণনা করা যেতে পারে, যা অবস্থানের উভয় স্তূপের আকার বা রানীর স্থানাঙ্ক বর্ণনা করে। খেলার কৌশলটি ঠান্ডা অবস্থান এবং গরম অবস্থানের চারপাশে ঘোরেঃ ঠান্ডা অবস্থানে, যে খেলোয়াড়ের সরানোর পালা, সে সেরা খেলার সাথে হেরে যাবে, অন্যদিকে গরম অবস্থানে, যে খেলোয়াড়ের সরানোর পালা, সে সেরা খেলার সাথে জিতবে। গরম অবস্থান থেকে সর্বোত্তম কৌশল হল যে কোনও পৌঁছনো যায় এমন ঠান্ডা অবস্থানে চলে যাওয়া। নিম্নলিখিত তিনটি নিয়মের সাহায্যে অবস্থানগুলিকে গরম এবং ঠান্ডায় শ্রেণীবদ্ধ করা যেতে পারেঃ (0,0) একটি ঠান্ডা অবস্থান। যে কোনও অবস্থান থেকে একক পদক্ষেপে একটি শীতল অবস্থানে পৌঁছানো যায় তা হল একটি গরম অবস্থান। যদি প্রতিটি পদক্ষেপ একটি গরম অবস্থানে নিয়ে যায়, তবে একটি অবস্থান শীতল হয়। উদাহরণস্বরূপ, নিয়ম 2 অনুসারে, m> 0 সহ ফর্মের সমস্ত অবস্থান (0, m) এবং (m, m) গরম। তবে, অবস্থানটি (1,2) শীতল, কারণ এটি থেকে পৌঁছানো যায় এমন একমাত্র অবস্থান, (0,1), (0,2), (1,0) এবং (1,1), সবই গরম। n এবং m এর ক্ষুদ্রতম মান সহ শীতল অবস্থানগুলি (n, m) হল (0,0), (1,2), (3,5), (4,7), (6,10) এবং (8,13)। (ক্রম এবং ও. ই. আই. এস-এ) (আরও দেখুন) এই খেলার জন্য, (0,1) এবং (2,2) হল ঠান্ডা অবস্থান, এবং একটি অবস্থান (এন, এম) সঙ্গে এম, এন> 2 ঠান্ডা হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি স্বাভাবিক খেলায় (এন, এম) ঠান্ডা হয়। ঠান্ডা অবস্থানের সূত্র উইথফ আবিষ্কার করেছেন যে ঠান্ডা অবস্থানগুলি সোনার অনুপাত দ্বারা নির্ধারিত একটি নিয়মিত প্যাটার্ন অনুসরণ করে। বিশেষত, যদি k কোনও স্বাভাবিক সংখ্যা হয় এবং যেখানে φ হল সুবর্ণ অনুপাত এবং আমরা ফ্লোর ফাংশন ব্যবহার করছি, তাহলে (nk, mk) হল k তম শীতল অবস্থান। সংখ্যার এই দুটি ক্রম অনলাইন এনসাইক্লোপিডিয়া অফ ইন্টিজার সিকোয়েন্সসে যথাক্রমে এবং হিসাবে নথিভুক্ত করা হয়েছে। দুটি ক্রম nk এবং mk হল সমীকরণের সাথে যুক্ত বেটি ক্রম যা বেটি ক্রমের জোড়ার ক্ষেত্রে সাধারণভাবে সত্য, এই দুটি ক্রম পরিপূরকঃ প্রতিটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা উভয় ক্রমে ঠিক একবার প্রদর্শিত হয়। আরও দেখুন নিম গ্রান্ডির খেলা বিয়োগ একটি বর্গাকার উইথফ অ্যারে রেফারেন্স বাহ্যিক লিঙ্ক গাণিতিক গেম