Essential extension
গণিতে, বিশেষত মডিউল তত্ত্ব, একটি রিং আর এবং একটি উপ-মডিউল এন সহ একটি আর-মডিউল এম দেওয়া হলে, মডিউল এম-কে এন-এর একটি অপরিহার্য সম্প্রসারণ বলা হয় (বা এন-কে একটি অপরিহার্য উপ-মডিউল বা এম-এর বড় উপ-মডিউল বলা হয়) যদি এম-এর প্রতিটি উপ-মডিউল এইচ-এর জন্য, বোঝায় যে একটি বিশেষ ক্ষেত্রে, আর-এর একটি অপরিহার্য বাম আদর্শ একটি বাম আদর্শ যা বাম মডিউল আরআর-এর একটি উপ-মডিউল হিসাবে প্রয়োজনীয়। বাম আইডিয়ালের আর-এর যে কোনও অ-শূন্য বাম আইডিয়ালের সাথে অ-শূন্য ছেদ রয়েছে। অনুরূপভাবে, একটি অপরিহার্য ডান আইডিয়াল ঠিক ডান আর মডিউল আরআর-এর একটি অপরিহার্য উপ-মডিউল। অপরিহার্য সম্প্রসারণের জন্য স্বাভাবিক স্বরলিপির মধ্যে নিম্নলিখিত দুটি অভিব্যক্তি রয়েছেঃ, এবং একটি অপরিহার্য উপ-মডিউলের দ্বৈত ধারণা হল অপ্রয়োজনীয় উপ-মডিউল (বা ছোট উপ-মডিউল)। একটি উপ-মডিউল এন অপ্রয়োজনীয় যদি অন্য কোনও উপ-মডিউল এইচ-এর জন্য তা বোঝায়। অপ্রয়োজনীয় উপ-মডিউলগুলির জন্য সাধারণ স্বরলিপির মধ্যে রয়েছেঃ, এবং বৈশিষ্ট্য এখানে প্রয়োজনীয় এক্সটেনশনের কিছু প্রাথমিক বৈশিষ্ট্য রয়েছে, যা উপরে প্রবর্তিত স্বরলিপিতে দেওয়া হয়েছে। ধরা যাক এম একটি মডিউল, এবং কে, এন এবং এইচ কে এন সহ এম-এর সাব-মডিউল, স্পষ্টতই এম এম-এর একটি অপরিহার্য সাব-মডিউল, এবং একটি নন-জিরো মডিউলের শূন্য সাব-মডিউল কখনই অপরিহার্য নয়। যদি এবং শুধুমাত্র যদি এবং যদি এবং শুধুমাত্র যদি এবং জর্নের লেম্মা ব্যবহার করে আরেকটি দরকারী তথ্য প্রমাণ করা সম্ভবঃ এম-এর যে কোনও উপ-মডিউল এন-এর জন্য, এমন একটি উপ-মডিউল সি রয়েছে। উপরন্তু, একটি মডিউল যার কোনও যথাযথ প্রয়োজনীয় এক্সটেনশন নেই (অর্থাৎ, যদি মডিউলটি অন্য মডিউলে অপরিহার্য হয়, তবে এটি সেই মডিউলের সমান) একটি ইনজেকটিভ মডিউল। এরপরে এটি প্রমাণ করা সম্ভব যে প্রতিটি মডিউল এম-এর একটি সর্বাধিক প্রয়োজনীয় এক্সটেনশন ই (এম) রয়েছে, যাকে এম-এর ইনজেক্টিভ হুল বলা হয়। ইনজেক্টিভ হুল অপরিহার্যভাবে একটি ইনজেক্টিভ মডিউল, এবং আইসোমরফিজম পর্যন্ত অনন্য। ইনজেক্টিভ হুলটিও এই অর্থে ন্যূনতম যে এম ধারণকারী অন্য যে কোনও ইনজেক্টিভ মডিউলে ই (এম) এর একটি অনুলিপি থাকে। অনেক বৈশিষ্ট্য অপ্রয়োজনীয় সাব-মডিউলগুলিতে দ্বৈত হয়ে যায়, তবে সবকিছু নয়। আবার এমকে একটি মডিউল হতে দিন, এবং কে, এন এবং এইচ কে এন সহ এম-এর সাব-মডিউল হতে দিন। শূন্য সাব-মডিউলটি সর্বদা অপ্রয়োজনীয়, এবং একটি নন-শূন্য মডিউল এম নিজেই কখনই অপ্রয়োজনীয় নয়। যদি এবং শুধুমাত্র যদি এবং যদি এবং শুধুমাত্র যদি এবং। যেহেতু প্রতিটি মডিউলকে একটি মনোমরফিজমের মাধ্যমে ম্যাপ করা যেতে পারে যার চিত্রটি একটি ইনজেকটিভ মডিউলে (এর ইনজেকটিভ হুল) অপরিহার্য, তাই কেউ জিজ্ঞাসা করতে পারে যে দ্বৈত বিবৃতিটি সত্য কিনা, অর্থাৎ। প্রতিটি মডিউল এম-এর জন্য, একটি প্রজেক্টিভ মডিউল পি এবং পি থেকে এম-এর মধ্যে একটি এপিমরফিজম রয়েছে যার কার্নেল অপ্রয়োজনীয়? (এই ধরনের পি-কে প্রজেক্টিভ কভার বলা হয়)। উত্তরটি সাধারণভাবে "না", এবং বিশেষ শ্রেণীর রিং যার ডান মডিউলগুলির সমস্ত প্রজেক্টিভ কভার রয়েছে তা সঠিক নিখুঁত রিংয়ের শ্রেণী। নাকায়ামার লেম্মার একটি রূপ হল যে J (R) M হল M-এর একটি অপ্রয়োজনীয় উপ-মডিউল যখন M হল R-এর উপর একটি সীমাবদ্ধভাবে উত্পন্ন মডিউল। সাধারণীকরণ এই সংজ্ঞাটিকে একটি নির্বিচারে আবেলিয়ান বিভাগ C-তে সাধারণীকরণ করা যেতে পারে। একটি অপরিহার্য এক্সটেনশন হল একটি মনোমরফিজম যা প্রতিটি অ-শূন্য সাব-অবজেক্ট s: N → E-এর জন্য, ফাইবার পণ্য N × E M ≤ 0। একটি সাধারণ বিভাগে, একটি রূপবাদ f: X → Y অপরিহার্য যদি কোনও রূপবাদ g: Y → Z একটি মনোমরফিজম হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি g°f একটি মনোমরফিজম হয়। জি-কে ওয়াই-এর আইডেন্টিটি মরফিজম হিসাবে গ্রহণ করা দেখায় যে একটি অপরিহার্য মরফিজম এফ অবশ্যই একটি মনোমরফিজম হতে হবে। যদি এক্স-এর একটি ইনজেকটিভ হুল ওয়াই থাকে, তাহলে ওয়াই হল এক্স-এর বৃহত্তম প্রয়োজনীয় এক্সটেনশন। কিন্তু সবচেয়ে বড় প্রয়োজনীয় সম্প্রসারণ একটি ইনজেকটিভ হুল নাও হতে পারে। প্রকৃতপক্ষে, টি1 স্থান এবং অবিচ্ছিন্ন মানচিত্রের বিভাগে, প্রতিটি বস্তুর একটি অনন্য বৃহত্তম প্রয়োজনীয় সম্প্রসারণ রয়েছে, তবে একাধিক উপাদান সহ কোনও স্থানের একটি ইনজেকটিভ হুল নেই। আরও দেখুন ঘন উপ-মডিউল হল একটি বিশেষ ধরনের অপরিহার্য উপ-মডিউল রেফারেন্স ডেভিড আইজেনবড, বীজগাণিতিক জ্যামিতি বিভাগ III.2 বিনিময়যোগ্য বীজগণিত মডিউল তত্ত্বের দিকে দৃষ্টি সহ বিনিময়যোগ্য বীজগণিত।