Trivial measure
গণিতে, বিশেষত পরিমাপ তত্ত্বে, যে কোনও পরিমাপযোগ্য স্থানের (এক্স, এস) তুচ্ছ পরিমাপ হল সেই পরিমাপ যা প্রতিটি পরিমাপযোগ্য সেটের জন্য শূন্য পরিমাপ বরাদ্দ করেঃ এস-এর সমস্ত এ-এর জন্য এম (এ) = 0। তুচ্ছ পরিমাপের বৈশিষ্ট্যগুলি ধরা যাক যে কোনও পরিমাপযোগ্য স্থানে (এক্স, এস) তুচ্ছ পরিমাপকে বোঝায়। একটি পরিমাপ ν হল তুচ্ছ পরিমাপ μ যদি এবং শুধুমাত্র যদি ν (X) = 0. কোনও পরিমাপযোগ্য ফাংশন f: X → X-এর জন্য একটি অপরিবর্তনীয় পরিমাপ (এবং তাই একটি আধা-অপরিবর্তনীয় পরিমাপ) হয়। মনে করুন যে এক্স একটি টপোলজিকাল স্পেস এবং এক্স-এর উপর বোরেল σ-বীজগণিত। (এক্স, এস) নির্বিশেষে, μ কখনই কঠোরভাবে ধনাত্মক পরিমাপ নয়, যেহেতু প্রতিটি পরিমাপযোগ্য সেটের পরিমাপ শূন্য। যেহেতু μ (X) = 0, তাই এটি সর্বদা একটি সসীম পরিমাপ, এবং তাই স্থানীয়ভাবে একটি সসীম পরিমাপ। যদি এক্স তার বোরেল σ-বীজগণিত সহ একটি হাউসডর্ফ টপোলজিকাল স্পেস হয়, তবে মাইক্রো শর্তটিকে একটি শক্ত পরিমাপ হিসাবে তুচ্ছভাবে সন্তুষ্ট করে। অতএব, μ একটি রেডন পরিমাপও। প্রকৃতপক্ষে, এটি এক্স-এর উপর সমস্ত অ-ঋণাত্মক রেডনের পরিমাপের তীক্ষ্ণ শঙ্কু-এর শীর্ষবিন্দু। যদি এক্স তার বোরেল σ-বীজগণিত সহ একটি অসীম-মাত্রিক বানাচ স্থান হয়, তবে এক্স-এর সমস্ত অনুবাদের অধীনে স্থানীয়ভাবে সীমাবদ্ধ এবং অপরিবর্তনীয় (এক্স, এস)-এর একমাত্র পরিমাপ হল এক্স। নিবন্ধটি দেখুন কোনও অসীম-মাত্রিক লেবস্গু পরিমাপ নেই। যদি এক্স তার স্বাভাবিক σ-বীজগণিত এবং n-মাত্রিক লেবস্গু পরিমাপ λn সহ n-মাত্রিক ইউক্লিডীয় স্থান Rn হয়, তবে λn-এর সাপেক্ষে একটি একক পরিমাপঃ কেবল Rn-কে A = Rn\ {0} এবং B = {0} হিসাবে বিচ্ছিন্ন করুন এবং লক্ষ্য করুন যে μ (A) = λn (B) = 0। তথ্যসূত্র পরিমাপ (পরিমাপ তত্ত্ব)