Spacetime algebra
গাণিতিক পদার্থবিজ্ঞানে, স্পেসটাইম বীজগণিত (এস. টি. এ) ক্লিফোর্ড বীজগণিত সি. এল 1,3 (আর), বা সমতুল্য জ্যামিতিক বীজগণিতের একটি নাম। ডেভিড হেস্টেনেসের মতে, স্থানকাল বীজগণিত বিশেষ আপেক্ষিকতার জ্যামিতি এবং আপেক্ষিক স্থানকালের সাথে বিশেষভাবে ঘনিষ্ঠভাবে যুক্ত হতে পারে। এটি একটি ভেক্টর স্থান যা কেবল ভেক্টরকেই নয়, বাইভেক্টর (নির্দিষ্ট সমতলের সাথে সম্পর্কিত নির্দেশিত পরিমাণ, যেমন এলাকা, বা ঘূর্ণন) বা ব্লেড (নির্দিষ্ট হাইপার-ভলিউমের সাথে সম্পর্কিত পরিমাণ) কে একত্রিত করার পাশাপাশি ঘোরানো, প্রতিফলিত করার অনুমতি দেয়। এটি বিশেষ আপেক্ষিকতায় স্পিনরের প্রাকৃতিক মূল বীজগণিতও। এই বৈশিষ্ট্যগুলি পদার্থবিজ্ঞানের অনেক গুরুত্বপূর্ণ সমীকরণকে বিশেষভাবে সহজ আকারে প্রকাশ করার অনুমতি দেয় এবং তাদের অর্থ সম্পর্কে আরও জ্যামিতিক বোঝার জন্য খুব সহায়ক হতে পারে। গঠন স্থানকাল বীজগণিত একটি সময়ের মতো ভেক্টর এবং তিনটি স্থানের মতো ভেক্টরের অর্থোগোনাল ভিত্তি থেকে তৈরি করা যেতে পারে, গুণন নিয়ম সহ যেখানে স্বাক্ষর সহ মিনকোভস্কি মেট্রিক রয়েছে। সুতরাং, অন্যথায়। বেসিস ভেক্টরগুলি এই বৈশিষ্ট্যগুলি ডিরাক ম্যাট্রিক্সের সাথে ভাগ করে নেয়, তবে এস. টি. এ-তে কোনও স্পষ্ট ম্যাট্রিক্স উপস্থাপনা ব্যবহার করার প্রয়োজন নেই। এটি একটি স্কেলার, চারটি ভেক্টর, ছয়টি বাইভেক্টর, চারটি সিউডোভেক্টর এবং একটি সিউডোস্কেলারের ভিত্তি তৈরি করে। স্পেসটাইম বীজগণিতে একটি অ-তুচ্ছ উপ-বীজগণিতও রয়েছে যার মধ্যে কেবল জোড় গ্রেড উপাদান রয়েছে, অর্থাৎ। স্কেলার, বাইভেক্টর এবং সিউডোস্কেলার। জোড় উপ-বীজগণিতে, স্কেলার এবং সিউডোস্কেলার উভয়ই সমস্ত উপাদানের সাথে বিনিময় করে এবং জটিল সংখ্যার মতো কাজ করে। যাইহোক, স্পেসটাইম বীজগণিতের সমস্ত বিজোড়-গ্রেড উপাদানগুলির সাথে সিউডোস্কেলার অ্যান্টিকমিউটগুলি, এই সত্যের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ যে প্যারিটি রূপান্তরের অধীনে, ভেক্টর এবং সিউডোভেক্টরগুলি নেতিবাচক হয়ে যায়। অর্থোগোনাল ভিত্তির সাথে যুক্ত পারস্পরিক ফ্রেম হল পারস্পরিক ভিত্তি, যা সম্পর্ককে সন্তুষ্ট করে এই পারস্পরিক ফ্রেম ভেক্টরগুলি শুধুমাত্র একটি চিহ্ন, সহ এবং জন্য দ্বারা পৃথক হয়। আইনস্টাইনের স্বরলিপি অনুসারে, একটি ভেক্টরকে উপরের বা নীচের সূচক স্থানাঙ্কে যোগফলের সাথে উপস্থাপন করা যেতে পারে, যেখানে স্থানাঙ্কগুলি ভিত্তি ভেক্টর বা তাদের পারস্পরিক সহ বিন্দু পণ্যগুলি নিয়ে বের করা যেতে পারে। টেনসর ক্যালকুলাসের মতো, সূচক অবস্থানের পরিবর্তন মেট্রিক এবং সূচক জিমন্যাস্টিক্সের ব্যবহার ব্যবহার করে অর্জন করা যেতে পারেঃ মাল্টিভেক্টর বিভাগ স্পেসটাইম বীজগণিত একটি বিভাজন বীজগণিত নয়, কারণ এতে আইডেম্পোটেন্ট উপাদান এবং শূন্যেতর শূন্য বিভাজক রয়েছেঃ এই ধরনের প্রজেক্টরগুলির জন্য যথাক্রমে হালকা-শঙ্কু এবং অর্থোগোনালিটি সম্পর্কের উপর প্রজেক্টর হিসাবে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে। কিন্তু কিছু কিছু ক্ষেত্রে একটি মাল্টিভেক্টরের পরিমাণকে অন্যটির দ্বারা ভাগ করা এবং ফলাফলটি বোঝা সম্ভবঃ সুতরাং, উদাহরণস্বরূপ, একই সমতলে একটি ভেক্টর দ্বারা বিভক্ত একটি নির্দেশিত এলাকা অন্য একটি ভেক্টর দেয়, যা প্রথমটির অর্থোগোনাল। স্পেসটাইম গ্রেডিয়েন্ট একটি ইউক্লিডীয় স্থানের গ্রেডিয়েন্টের মতো, স্পেসটাইম গ্রেডিয়েন্টকে এমনভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় যাতে দিকনির্দেশক ডেরিভেটিভ সম্পর্ক সন্তুষ্ট হয়ঃ এর জন্য গ্রেডিয়েন্টের সংজ্ঞাটি স্পষ্টভাবে লেখা প্রয়োজন, এই আংশিকগুলি স্পেসটাইম বিভক্ত। স্পেসটাইম বীজগণিতে, একটি স্পেসটাইম বিভাজন হল একটি নির্বাচিত রেফারেন্স ফ্রেমে চার-মাত্রিক স্থান থেকে (3 + 1)-মাত্রিক স্থানের মধ্যে নিম্নলিখিত দুটি ক্রিয়াকলাপের মাধ্যমে একটি অভিক্ষেপঃ নির্বাচিত সময় অক্ষের পতন, বাইভেক্টর দ্বারা বিস্তৃত একটি 3D স্থান প্রদান করে, যা ভৌত স্থানের বীজগণিতে স্ট্যান্ডার্ড 3D বেসিস ভেক্টরের সমতুল্য এবং নির্বাচিত সময় অক্ষের উপর 4D স্থানের একটি অভিক্ষেপ, যা একটি 1D স্থান প্রদান করে। এটি একটি টাইমলাইক বেসিস ভেক্টর দ্বারা প্রাক-বা পোস্ট-গুণনের মাধ্যমে অর্জন করা হয়, যা একটি চার ভেক্টরকে একটি স্কেলার টাইমলাইক এবং একটি বাইভেক্টর স্পেসলাইক উপাদানে বিভক্ত করে, রেফারেন্স ফ্রেমে সহ-চলমান। যেহেতু এই বাইভেক্টরগুলি ঐক্যের বর্গক্ষেত্র, তারা একটি স্থানিক ভিত্তি হিসাবে কাজ করে। পাউলি ম্যাট্রিক্স স্বরলিপি ব্যবহার করে এগুলি লেখা হয়। এস. টি. এ-তে স্থানিক ভেক্টরগুলিকে বোল্ডফেসে চিহ্নিত করা হয়; তারপর এবং-স্পেসটাইম স্প্লিট দিয়ে, এবং এর বিপরীতটি হলঃ তবে, উপরের সূত্রগুলি শুধুমাত্র স্বাক্ষর (+--) সহ মিনকোভস্কি মেট্রিক-এ কাজ করে। স্থানকাল বিভাজনের রূপগুলির জন্য যা উভয় স্বাক্ষরের মধ্যে কাজ করে, বিকল্প সংজ্ঞা যেখানে এবং অবশ্যই ব্যবহার করা উচিত। লরেঞ্জ রূপান্তর জ্যামিতিক বীজগণিতে একটি ভেক্টর ঘোরানোর জন্য, নিম্নলিখিত সূত্রটি ব্যবহার করা হয়ঃ, কোন কোণটি দ্বারা ঘোরানো হবে, এবং এটি স্বাভাবিক বাইভেক্টর যা আবর্তনের সমতলকে প্রতিনিধিত্ব করে। একটি প্রদত্ত স্পেসেলাইক বাইভেক্টরের জন্য, তাই ইউলারের সূত্র প্রযোজ্য, যা ঘূর্ণন প্রদান করে। একটি প্রদত্ত টাইমলাইক বাইভেক্টরের জন্য, তাই একটি "সময়ের মধ্য দিয়ে ঘূর্ণন" বিভক্ত-জটিল সংখ্যার জন্য অনুরূপ সমীকরণ ব্যবহার করেঃ এই সমীকরণটি ব্যাখ্যা করলে সহজেই বোঝা যায় যে সময়ের দিক বরাবর এই ঘূর্ণনগুলি কেবল হাইপারবোলিক ঘূর্ণন। এগুলি বিশেষ আপেক্ষিকতায় লরেঞ্জ বুস্টের সমতুল্য। এই দুটি রূপান্তরই লরেঞ্জ রূপান্তর হিসাবে পরিচিত এবং তাদের সকলের সম্মিলিত সেট হল লরেঞ্জ গ্রুপ। এস. টি. এ-তে একটি বস্তুকে যে কোনও ভিত্তি (একটি রেফারেন্স ফ্রেমের সাথে সম্পর্কিত) থেকে অন্য ভিত্তিতে রূপান্তর করতে, এই রূপান্তরগুলির এক বা একাধিক ব্যবহার করা আবশ্যক। ধ্রুপদী তড়িৎ চুম্বকত্ব ফ্যারাডে বাইভেক্টর এস. টি. এ-তে, বৈদ্যুতিক ক্ষেত্র এবং চৌম্বক ক্ষেত্রকে একটি একক বাইভেক্টর ক্ষেত্রে একত্রিত করা যেতে পারে, যা ফ্যারাডে বাইভেক্টর নামে পরিচিত, যা ফ্যারাডে টেনসরের সমতুল্য। এটি সাধারণ বৈদ্যুতিক এবং চৌম্বক ক্ষেত্রগুলি কোথায় এবং কোথায় তা হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় এবং এটি এস. টি. এ সিউডোস্কেলার। বিকল্পভাবে, উপাদানগুলির পরিপ্রেক্ষিতে সম্প্রসারণ, সংজ্ঞায়িত করা হয় যে পৃথক এবং ক্ষেত্রগুলি ব্যবহার থেকে পুনরুদ্ধার করা হয় এই শব্দটি একটি প্রদত্ত রেফারেন্স ফ্রেমকে উপস্থাপন করে এবং যেমন, বিভিন্ন রেফারেন্স ফ্রেম ব্যবহার করার ফলে আপাতদৃষ্টিতে ভিন্ন আপেক্ষিক ক্ষেত্র তৈরি হবে, ঠিক যেমন স্ট্যান্ডার্ড বিশেষ আপেক্ষিকতার ক্ষেত্রে। যেহেতু ফ্যারাডে বাইভেক্টর আপেক্ষিকভাবে অপরিবর্তনীয়, তাই এর বর্গক্ষেত্রে আরও তথ্য পাওয়া যায়, যা দুটি নতুন লরেঞ্জ-অপরিবর্তনীয় পরিমাণ, একটি স্কেলার এবং একটি সিউডোস্কেলার দেয়ঃ স্কেলার অংশটি বৈদ্যুতিন চৌম্বকীয় ক্ষেত্রের জন্য ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান ঘনত্বের সাথে মিলে যায় এবং সিউডোস্কেলার অংশটি কম দেখা লরেঞ্জ অপরিবর্তনীয়। ম্যাক্সওয়েলের সমীকরণগুলি স্পেসটাইম বীজগণিত ব্যবহার করে প্রণয়ন করা যেতে পারে, যা স্ট্যান্ডার্ড ভেক্টর ক্যালকুলাসের তুলনায় সহজতর। একইভাবে উপরের ক্ষেত্রের বাইভেক্টরের মতো, বৈদ্যুতিক আধানের ঘনত্ব এবং তড়িৎপ্রবাহের ঘনত্বকে একটি একক স্থান-কাল ভেক্টরে একীভূত করা যেতে পারে, যা একটি চার-ভেক্টরের সমতুল্য। যেমন, স্পেসটাইম কারেন্টটি দেওয়া হয় যেখানে উপাদানগুলি ধ্রুপদী ত্রিমাত্রিক কারেন্ট ঘনত্বের উপাদান। এই পরিমাণগুলিকে এইভাবে একত্রিত করার সময়, এটি বিশেষভাবে স্পষ্ট করে দেয় যে ধ্রুপদী আধানের ঘনত্ব দ্বারা প্রদত্ত সময়ানুবর্তিত দিকে প্রবাহিত বিদ্যুৎ ছাড়া আর কিছুই নয়। তড়িৎচুম্বকীয় ক্ষেত্র এবং বর্তমান ঘনত্বের সঙ্গে স্পেসটাইম গ্রেডিয়েন্টের সংমিশ্রণে আমরা ম্যাক্সওয়েলের চারটি সমীকরণকেই স্পেসটাইম বীজগণিতে একটি একক সমীকরণে একত্রিত করতে পারি। এই পরিমাণগুলি যে স্পেসটাইম বীজগণিতে সমস্ত কোভ্যারিয়েন্ট বস্তু তা স্বয়ংক্রিয়ভাবে সমীকরণের লরেঞ্জ কোভ্যারিয়েন্সের নিশ্চয়তা দেয়, যা চারটি পৃথক সমীকরণে বিভক্ত হওয়ার তুলনায় দেখানো অনেক সহজ। এই রূপে, ম্যাক্সওয়েলের সমীকরণের কিছু বৈশিষ্ট্য, যেমন আধান সংরক্ষণ, প্রমাণ করাও অনেক সহজ। এই সত্যটি ব্যবহার করে যে কোনও দ্বিভোজী ক্ষেত্রের জন্য, তার স্থানকালের গ্রেডিয়েন্টের বিচ্যুতি হল, নিম্নলিখিত কারসাজি করা যেতে পারেঃ এই সমীকরণের স্পষ্ট অর্থ রয়েছে যে বর্তমান ঘনত্বের বিচ্যুতি শূন্য, অর্থাৎ। সময়ের সাথে সাথে মোট চার্জ এবং বর্তমান ঘনত্ব সংরক্ষণ করা হয়। এছাড়াও, একটি ভেক্টর এবং একটি বাইভেক্টরের গুণফল হওয়ায় ডান দিকের একটি সিউডোভেক্টর অংশ থাকতে পারে, যা চৌম্বকীয় মনোপোলগুলি বর্ণনা করবে। পরীক্ষা-নিরীক্ষা থেকে জানা যায় যে এগুলির অস্তিত্ব নেই, যা সমীকরণটিকে কিছুটা অসম করে তোলে। লরেঞ্জ বল একটি আধানযুক্ত কণার উপর লরেঞ্জ বলের রূপটি স্থানকাল বীজগণিত ব্যবহার করে যথেষ্ট সরলীকৃত করা যেতে পারে। সম্ভাব্য গঠন মান ভেক্টর ক্যালকুলাস গঠনে দুটি সম্ভাব্য ফাংশন ব্যবহার করা হয়ঃ বৈদ্যুতিক স্কেলার সম্ভাব্যতা এবং চৌম্বকীয় ভেক্টর সম্ভাব্যতা। এস. টি. এ-র সরঞ্জামগুলি ব্যবহার করে, এই দুটি বস্তুকে একটি একক ভেক্টর ক্ষেত্রে একত্রিত করা হয়, যা টেনসর ক্যালকুলাসের বৈদ্যুতিন চৌম্বকীয় চার-সম্ভাবনার অনুরূপ। এস. টি. এ-তে, এটি স্কেলার সম্ভাব্যতা কোথায় এবং চৌম্বকীয় সম্ভাবনার উপাদান হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। সংজ্ঞায়িত হিসাবে, এই ক্ষেত্রটিতে প্রতি মিটারে ওয়েবারের এস. আই একক রয়েছে (V ⋅ s ⋅ m−1)। বৈদ্যুতিন চৌম্বকীয় ক্ষেত্রটি এই সম্ভাব্য ক্ষেত্রের পরিপ্রেক্ষিতেও প্রকাশ করা যেতে পারে, তবে, এই সংজ্ঞাটি অনন্য নয়। যে কোনও দ্বিগুণ-পার্থক্যযোগ্য স্কেলার ফাংশনের জন্য, দ্বারা প্রদত্ত সম্ভাব্যতাও মূলটির মতো একই দেবে, কারণ এই ঘটনাটিকে গেজ স্বাধীনতা বলা হয়। একটি প্রদত্ত সমস্যাকে সহজতর করার জন্য একটি উপযুক্ত ফাংশন বেছে নেওয়ার প্রক্রিয়াটি গেজ ফিক্সিং হিসাবে পরিচিত। যাইহোক, আপেক্ষিক তড়িৎগতিবিজ্ঞানে, লরেঞ্জ শর্ত প্রায়শই আরোপ করা হয়, যেখানে। সম্ভাবনার পরিপ্রেক্ষিতে এস. টি. এ ম্যাক্সওয়েল সমীকরণকে সংস্কার করতে, প্রথমে উপরের সংজ্ঞাটি দিয়ে প্রতিস্থাপন করা হয়। এই ফলাফলের পরিবর্তে, একজন এস. টি. এ-তে তড়িৎচুম্বকীয়তার সম্ভাব্য গঠনে পৌঁছায়ঃ ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান গঠন টেনসর ক্যালকুলাস ফর্মালিজমের অনুরূপ, এস. টি. এ-তে সম্ভাব্য গঠন স্বাভাবিকভাবেই একটি উপযুক্ত ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান ঘনত্বের দিকে পরিচালিত করে। ক্ষেত্রের জন্য মাল্টিভেক্টর-মূল্যবান অয়লার-ল্যাগ্রেঞ্জ সমীকরণগুলি উদ্ভূত করা যেতে পারে, এবং স্কেলার নয় এমন কোনও কিছুর সাপেক্ষে আংশিক ডেরিভেটিভ নেওয়ার গাণিতিক কঠোরতার সাথে আলগা হওয়ায় প্রাসঙ্গিক সমীকরণগুলি হয়ে যায় এই ফর্ম থেকে সম্ভাব্য সমীকরণটি পুনরায় উদ্ভূত করা শুরু করার জন্য, লরেঞ্জ গেজে কাজ করা সবচেয়ে সহজ, সেটিং এই প্রক্রিয়াটি নির্বাচিত গেজ নির্বিশেষে করা যেতে পারে, তবে এটি ফলাফল প্রক্রিয়াটিকে যথেষ্ট স্পষ্ট করে তোলে। জ্যামিতিক পণ্যের কাঠামোর কারণে, এই শর্তটি ব্যবহার করার ফলে ফলাফল পাওয়া যায়। প্রতিস্থাপনের পর, সম্ভাব্য ক্ষেত্রের জন্য উপরের গতির একই সমীকরণ সহজেই পাওয়া যায়। পাউলি সমীকরণ স্পেসটাইম বীজগণিত ম্যাট্রিক্স তত্ত্বের পরিবর্তে একটি বাস্তব তত্ত্বের পরিপ্রেক্ষিতে পাউলি কণার বর্ণনা দেয়। পাউলি কণার ম্যাট্রিক্স তত্ত্বের বর্ণনাটি হলঃ যেখানে একটি স্পিনোর, কোনও জ্যামিতিক ব্যাখ্যা ছাড়াই কাল্পনিক একক, পাউলি ম্যাট্রিক্স ('টুপি' স্বরলিপি সহ যা নির্দেশ করে যে এটি একটি ম্যাট্রিক্স অপারেটর এবং জ্যামিতিক বীজগণিতে কোনও উপাদান নয়), এবং এটি শ্রোডিঙ্গার হ্যামিল্টনিয়ান। স্পেসটাইম বীজগণিতে পাউলি কণাটি প্রকৃত পাউলি-শ্রোডিঙ্গার সমীকরণ দ্বারা বর্ণনা করা হয়েছেঃ যেখানে এখন একক সিউডোস্কেলার, এবং এবং জ্যামিতিক বীজগণিতের উপাদান, একটি জোড় বহু-ভেক্টর সহ; আবার শ্রোডিঙ্গার হ্যামিল্টনিয়ান। হেস্টেনেস এটিকে প্রকৃত পাউলি-শ্রোডিঙ্গার তত্ত্ব হিসাবে উল্লেখ করেছেন যাতে জোর দিয়ে বলা যায় যে এই তত্ত্বটি শ্রোডিঙ্গার তত্ত্বে পরিণত হয় যদি চৌম্বক ক্ষেত্র অন্তর্ভুক্ত শব্দটি বাদ দেওয়া হয়। এই সমীকরণটি ভৌত স্থানের বীজগণিতের জন্য বেশি উপযুক্ত, কারণ এই সমীকরণে স্থানকাল বীজগণিতের জন্য প্রয়োজনীয় কিছুই দেখা যায় না। ডিরাক সমীকরণ স্পেসটাইম বীজগণিত একটি ম্যাট্রিক্স তত্ত্বের পরিবর্তে একটি বাস্তব তত্ত্বের পরিপ্রেক্ষিতে ডিরাক কণার বর্ণনাকে সক্ষম করে। ডিরাক কণার ম্যাট্রিক্স তত্ত্বের বিবরণ হলঃ ডিরাক ম্যাট্রিক্সগুলি কোথায়। স্পেসটাইম বীজগণিতে, হেস্টেনের উৎপত্তি অনুসরণ করে, ডিরাক কণাটি সমীকরণ দ্বারা বর্ণনা করা হয়েছেঃ এখানে, স্পিনোর ক্ষেত্র, এবং জ্যামিতিক বীজগণিতের উপাদান, বৈদ্যুতিন চৌম্বকীয় চার-সম্ভাব্যতা, এবং স্পেসটাইম ভেক্টর ডেরিভেটিভ। এটি একই গাণিতিক অপারেটরকে তড়িৎচুম্বকীয়তা এবং কোয়ান্টাম বলবিজ্ঞান উভয়ের জন্য গতির সমীকরণগুলি বর্ণনা করার অনুমতি দেয়, যার ফলে দুটির অনেক সহজ একীকরণ ঘটে। ডিরাক স্পিনর্স আপেক্ষিক কোয়ান্টাম তরঙ্গ ফাংশনকে কখনও কখনও স্পিনোর ক্ষেত্র হিসাবে প্রকাশ করা হয়, অর্থাৎ। যেখানে একটি বাইভেক্টর, এবং যেখানে, ডেভিড হেস্টেনেস দ্বারা এর উৎপত্তি অনুসারে, স্পেসটাইমে একটি জোড় মাল্টিভেক্টর-মূল্যবান ফাংশন, একটি ইউনিমোডুলার স্পিনোর (বা "রটার"), এবং স্কেলার-মূল্যবান ফাংশন। এই নির্মাণে, এর উপাদানগুলি সরাসরি একটি ডিরাক স্পিনরের উপাদানগুলির সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ হতে পারে, যা সহজেই এই সত্য দ্বারা পরীক্ষা করা যেতে পারে যে উভয়েরই 8 স্কেলার ডিগ্রি অফ ফ্রিডম রয়েছে। এই সমীকরণটিকে কাল্পনিক সিউডোস্কেলারের সাথে ঘূর্ণনের সংযোগ হিসাবে ব্যাখ্যা করা হয়। একটি লরেঞ্জ ঘূর্ণন হিসাবে দেখা হয় যা অপারেশন দ্বারা ভেক্টরের অন্য ফ্রেমে ভেক্টরের একটি ফ্রেম, যেখানে টিল্ড প্রতীকটি বিপরীত নির্দেশ করে (বিপরীতটি প্রায়শই ছুরি প্রতীক দ্বারাও চিহ্নিত করা হয়, জ্যামিতিক বীজগণিতে ঘূর্ণনও দেখুন)। এটি স্থানীয়ভাবে পরিবর্তিত ভেক্টর-এবং স্কেলার-মূল্যবান পর্যবেক্ষণযোগ্যগুলির জন্য একটি কাঠামো সরবরাহ করার জন্য প্রসারিত করা হয়েছে এবং মূলত শ্রোডিঙ্গার দ্বারা প্রস্তাবিত কোয়ান্টাম মেকানিক্সের জিটারবেউগং ব্যাখ্যার জন্য সমর্থন করা হয়েছে। হেস্টেনেস তাঁর অভিব্যক্তিটিকে পথের অবিচ্ছেদ্য গঠনে ফাইনম্যানের অভিব্যক্তিটির সাথে তুলনা করেছেনঃ-পথ বরাবর শাস্ত্রীয় ক্রিয়া কোথায়। ভৌত পর্যবেক্ষণযোগ্য ক্ষেত্র থেকে বিদ্যুৎ ঘনত্ব ইউ (1) গেজ প্রতিসাম্য দ্বারা প্রকাশ করা যেতে পারে কিছু ধ্রুবক পর্যায় স্থানান্তর দ্বারা প্রদত্ত কিছু বৈশ্বিক পর্যায় পরিবর্তনের অধীনে ডিরাক সমীকরণ প্রতিসাম্য। রূপান্তরটি সম্পাদন করে, যেখানে ক্ষেত্রের চার্জ এবং একক সিউডোস্কেলার, উপরে দেখানো ডায়রাক সমীকরণ অপরিবর্তিত থাকে। যাইহোক, সমীকরণ থেকে সমস্ত ভৌত পর্যবেক্ষণযোগ্য একটি শক্তিশালী স্থানীয় পর্যায় প্রতিসাম্যের অধীনে অপরিবর্তনীয়, যেখানে পর্যায় স্থানান্তর স্থানের উপর একটি নির্বিচারে পরিমাণ দ্বারা পরিবর্তিত হতে পারে। স্থানীয় পর্যায় স্থানান্তর স্কেলার ফাংশন দ্বারা দেওয়া হয়, এবং রূপান্তরটি দ্বারা দেওয়া হয় যেখানে রূপান্তরটি একটি স্কেলার এবং সিউডোস্কেলার অংশে বিভক্ত হয়ে আসে, যা উভয়ই জোড় উপ-বীজগণিতের উপাদানগুলির সাথে যাতায়াত করে। যাইহোক, ডিরাক সমীকরণে এই শক্তিশালী প্রতিসাম্য ব্যবহার করার সময়, স্পেসটাইম ডেরিভেটিভ পণ্য নিয়ম এবং চেইন নিয়ম ব্যবহার করে রূপান্তরিত হয়। যেহেতু রূপান্তরিত ব্যুৎপত্তিটির মূলটির মতো একই রূপ নেই (অর্থাৎ। এটির একটি অতিরিক্ত পদ রয়েছে যা স্পষ্টভাবে পর্যায়ের উপর নির্ভর করে), ডেরিভেটিভ সমীকরণটিকে স্থানীয়ভাবে পর্যায় অপরিবর্তনীয় হতে বাধা দেয়। এই সমস্যাটি সমাধানের জন্য, একটি গেজ ক্ষেত্র চালু করা যেতে পারে, যা সমীকরণে স্থানীয় পর্যায়ের নির্ভরতা অপসারণের জন্য রূপান্তরিত করার জন্য সংজ্ঞায়িত করা হবে। যদি কেউ গেজ ক্ষেত্রকে একই নির্বিচারে ফেজ শিফটের অধীনে রূপান্তরিত করার জন্য সংজ্ঞায়িত করে এবং ঠিক এখান থেকেই মিথস্ক্রিয়া শব্দটি আসে। প্রথমে, এই বিমূর্ত পরিমাপ ক্ষেত্রটি আসলে কী উপস্থাপন করে তা অস্পষ্ট হতে পারে, কারণ তরঙ্গ ফাংশনের পর্যায় পরিবর্তন করা ছাড়া এর কোনও পর্যবেক্ষণযোগ্য প্রভাব নেই বলে মনে হয়। কিন্তু এর প্রবর্তনের পরিণতিগুলি পরীক্ষা করার সময়, এটি স্পষ্ট হয়ে ওঠে যে এটি কেবল বৈদ্যুতিন চৌম্বকীয় চার-সম্ভাব্যতা, এবং ধ্রুবকটি কেবল ক্ষেত্রের প্রদত্ত কণার চার্জ। এইভাবে, ডিরাক সমীকরণকে ফেজ-ইনভ্যারিয়েন্ট হতে বাধ্য করা বৈদ্যুতিন চৌম্বকীয় মিথস্ক্রিয়াকে একটি বোনাস হিসাবে বর্ণনা করার অনুমতি দেয়। এস. টি. এ-তে গেজ রূপান্তরের জন্য অনুরূপ গেজ ক্ষেত্র রয়েছে যা বৈদ্যুতিন দুর্বল মিথস্ক্রিয়া এবং শক্তিশালী মিথস্ক্রিয়া পরিচালনা করে, যা কিছু লোককে এই কাঠামোর মধ্যে স্ট্যান্ডার্ড মডেলের সংস্কার শুরু করতে পরিচালিত করেছে। সাধারণ আপেক্ষিকতা সাধারণ আপেক্ষিকতার একটি নতুন সূত্র কেমব্রিজ বিশ্ববিদ্যালয়ের লেসেনবি, ডোরান এবং গুল মাধ্যাকর্ষণের একটি নতুন সূত্র প্রস্তাব করেছেন, যাকে গেজ তত্ত্ব মাধ্যাকর্ষণ (জিটিজি) বলা হয়, যেখানে স্পেসটাইম বীজগণিত ব্যবহার করে মিনকোভস্কি স্পেসে বক্রতা প্ররোচিত করা হয় এবং "স্পেসটাইমে ঘটনাগুলির নির্বিচারে মসৃণ পুনর্নির্মাণ" (লেসেনবি, এট আল। ); একটি অ-তুচ্ছ ব্যুৎপত্তি তারপর জিওডেসিক সমীকরণের দিকে নিয়ে যায়, এবং কোভ্যারিয়েন্ট ব্যুৎপত্তি যেখানে মহাকর্ষীয় সম্ভাবনার সাথে যুক্ত সংযোগ, এবং এটি একটি বৈদ্যুতিন চৌম্বকীয় ক্ষেত্রের মতো একটি বাহ্যিক মিথস্ক্রিয়া। তত্ত্বটি কৃষ্ণগহ্বরের চিকিত্সার জন্য কিছু প্রতিশ্রুতি দেখায়, কারণ এর শোয়ার্জসচাইল্ড সমাধানের রূপ এককত্বের ক্ষেত্রে ভেঙে যায় না; সাধারণ আপেক্ষিকতার বেশিরভাগ ফলাফল গাণিতিকভাবে পুনরুত্পাদন করা হয়েছে, এবং শাস্ত্রীয় তড়িৎগতিবিদ্যার আপেক্ষিক গঠন কোয়ান্টাম বলবিজ্ঞান এবং ডিরাক সমীকরণে প্রসারিত করা হয়েছে। আরও দেখুন জ্যামিতিক বীজগণিত ডিরাক বীজগণিত ম্যাক্সওয়েলের সমীকরণ ডিরাক সমীকরণ সাধারণ আপেক্ষিকতা রেফারেন্স বাহ্যিক যোগসূত্র কাল্পনিক সংখ্যা বাস্তব নয়-স্থানকালের জ্যামিতিক বীজগণিত, জ্যামিতিক বীজগণিতের ধারণার একটি শিক্ষামূলক ভূমিকা, এস গুল, এ লেসেনবি, সি ডোরান দ্বারা জ্যামিতিক বীজগণিত কোর্স-নোটের শারীরিক প্রয়োগ, বিশেষ করে অংশ 2 দেখুন। কেমব্রিজ বিশ্ববিদ্যালয় জ্যামিতিক বীজগণিত গোষ্ঠী জ্যামিতিক ক্যালকুলাস গবেষণা ও উন্নয়ন জ্যামিতিক বীজগণিত ক্লিফোর্ড অ্যালজেব্রা মিনকোভস্কি স্থান-সময় গাণিতিক পদার্থবিজ্ঞান