G-ring
বিনিময়যোগ্য বীজগণিতে, একটি জি-রিং বা গ্রোথেন্ডিয়াক বলয় হল একটি নোথেরিয়ান বলয় যাতে তার যে কোনও স্থানীয় বলয়ের মানচিত্র সম্পূর্ণ হওয়া পর্যন্ত নিয়মিত থাকে (নীচে সংজ্ঞায়িত)। বীজগাণিতিক জ্যামিতি বা সংখ্যা তত্ত্বে প্রাকৃতিকভাবে ঘটে যাওয়া প্রায় সমস্ত নোথেরিয়ান বলয় হল জি-বলয়, এবং জি-বলয় নয় এমন নোথেরিয়ান বলয়ের উদাহরণ তৈরি করা বেশ কঠিন। এই ধারণার নামকরণ করা হয়েছে আলেকজান্ডার গ্রোথেন্ডিয়েকের নামে। একটি রিং যা একটি জি-রিং এবং একটি জে-2 রিং উভয়ই একটি আধা-দুর্দান্ত রিং বলা হয়, এবং যদি এটি সর্বজনীনভাবে ক্যাটেনারি হয় তবে এটিকে একটি দুর্দান্ত রিং বলা হয়। সংজ্ঞা A (নোথেরিয়ান) বলয় R-এর একটি ক্ষেত্র k-কে জ্যামিতিকভাবে k-এর উপর নিয়মিত বলা হয়, যদি k-এর কোনও সীমাবদ্ধ সম্প্রসারণ K-এর জন্য R·kK বলয়টি একটি নিয়মিত বলয় হয়। R থেকে S পর্যন্ত বলয়ের সমরূপতাকে নিয়মিত বলা হয় যদি এটি সমতল হয় এবং প্রতিটি p ω Spec (R)-এর জন্য ফাইবার S ωRk (p) p-এর অবশিষ্ট ক্ষেত্র k (p)-এর উপর জ্যামিতিকভাবে নিয়মিত হয়। একটি বলয়কে স্থানীয় জি-রিং বলা হয় যদি এটি একটি নোথেরিয়ান স্থানীয় বলয় হয় এবং এর সমাপ্তির মানচিত্রটি (তার সর্বোচ্চ আদর্শের সাপেক্ষে) নিয়মিত হয়। একটি বলয়কে জি-রিং বলা হয় যদি এটি নোথেরিয়ান হয় এবং প্রধান আদর্শগুলিতে এর সমস্ত স্থানীয়করণ স্থানীয় জি-রিং হয়। (শুধুমাত্র সর্বাধিক আদর্শের জন্য এটি পরীক্ষা করা যথেষ্ট, তাই বিশেষত স্থানীয় জি-রিং হল জি-রিং।) উদাহরণস্বরূপ প্রতিটি ক্ষেত্র একটি জি-রিং। প্রতিটি সম্পূর্ণ নোথেরিয়ান স্থানীয় রিং একটি জি-রিং। আর বা সি-এর উপর সীমিত সংখ্যক চলকের মধ্যে অভিসারী শক্তি সিরিজের প্রতিটি রিং একটি জি-রিং। 0-এর বৈশিষ্ট্যযুক্ত প্রতিটি ডেডেকাইন্ড ডোমেন, এবং বিশেষত পূর্ণসংখ্যার রিং, একটি জি-রিং, তবে ইতিবাচক বৈশিষ্ট্যযুক্ত ডেডেকাইন্ড ডোমেন (এবং এমনকি বিচ্ছিন্ন মূল্যায়ন রিং) রয়েছে যা জি-রিং নয়। একটি জি-রিং-এর প্রতিটি স্থানীয়করণ হল একটি জি-রিং, একটি জি-রিং-এর উপর নির্দিষ্টভাবে উৎপন্ন প্রতিটি বীজগণিত হল একটি জি-রিং। এটি গ্রোথেন্ডিয়েকের কারণে একটি উপপাদ্য। এখানে পি> 0 বৈশিষ্ট্যযুক্ত একটি পৃথক মূল্যায়ন রিং এ-এর একটি উদাহরণ দেওয়া হয়েছে যা জি-রিং নয়। যদি k বৈশিষ্ট্যযুক্ত p-এর কোন ক্ষেত্র হয় যার [k: kp] = ini এবং R = k [[x]] এবং A হল পাওয়ার সিরিজ σaixi-এর এমন সাব রিং যাতে [kp (a0, a1,.): kp] সীমাবদ্ধ হয় তবে জেনেরিক বিন্দুর উপর A-এর ফর্মাল ফাইবার জ্যামিতিকভাবে নিয়মিত নয় তাই A একটি G-রিং নয়। এখানে kp ফ্রোবেনিয়াস মরফিজম a → ap-এর অধীনে k-এর চিত্রকে বোঝায়। রেফারেন্স এ. গ্রোথেন্ডিয়াক, জে. ডিউডোন, এলিমেন্টস ডি জিওমেট্রি অ্যালজেব্রিক চতুর্থ প্রকাশনা। গণিত। আই. এইচ. ই. এস 24 (1965), ধারা 7 এইচ. মাতসুমুরা, বিনিময়যোগ্য বীজগণিত, অধ্যায় 13। বিনিময়যোগ্য বীজগণিত