Poincaré–Lindstedt method
বিশৃঙ্খলা তত্ত্বে, পয়েনকারে-লিন্ডস্টেড পদ্ধতি বা লিন্ডস্টেড-পয়েনকারে পদ্ধতি হল সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের পর্যায়ক্রমিক সমাধানগুলি অভিন্নভাবে আনুমানিক করার একটি কৌশল, যখন নিয়মিত বিশৃঙ্খলা পন্থা ব্যর্থ হয়। পদ্ধতিটি ধর্মনিরপেক্ষ পদগুলিকে সরিয়ে দেয়-সীমাবদ্ধ দোলক সমাধানের সাথে দুর্বলভাবে অরৈখিক সমস্যাগুলির জন্য বিশৃঙ্খলা তত্ত্বের সরাসরি প্রয়োগে উদ্ভূত শব্দগুলি-সীমাবদ্ধ ছাড়াই ক্রমবর্ধমান। পদ্ধতিটি হেনরি পয়েনকারে এবং অ্যান্ডার্স লিন্ডস্টেড্টের নামে নামকরণ করা হয়েছে। নিবন্ধটি বেশ কয়েকটি উদাহরণ দেয়। তত্ত্বটি এর 10ম অধ্যায়ে পাওয়া যাবে। উদাহরণস্বরূপঃ ডাফিং সমীকরণ অপ্রচলিত, বলপূর্বক ডাফিং সমীকরণটি t> 0 এর জন্য 0 <ε ′1 দিয়ে দেওয়া হয়। প্রাথমিক শর্তগুলি বিবেচনা করুন x (t) = x0 (t) + ε x1 (t) +. ফর্মের একটি বিশৃঙ্খলা-সিরিজ সমাধান চাওয়া হয়। সিরিজের প্রথম দুটি পদ হল এই আনুমানিক সময়ের সীমা ছাড়াই বৃদ্ধি পায়, যা সমীকরণ মডেলের ভৌত ব্যবস্থার সাথে অসঙ্গতিপূর্ণ। এই সীমাহীন বৃদ্ধির জন্য দায়ী শব্দ, যাকে ধর্মনিরপেক্ষ শব্দ বলা হয়। পয়েনকারে-লিন্ডস্টেড পদ্ধতিটি নিম্নরূপ একটি আনুমানিক তৈরি করার অনুমতি দেয় যা সর্বকালের জন্য সঠিক। সমাধানটিকে একটি অ্যাসিম্পটোটিক সিরিজ হিসাবে প্রকাশ করার পাশাপাশি, আরেকটি সিরিজ তৈরি করুন যার সাহায্যে সময় t পরিমাপ করা যায়ঃ যেখানে আমাদের শীর্ষ ক্রম ω0 = 1 রয়েছে, কারণ কখন, সমীকরণটির সমাধান রয়েছে। এখন x (τ) = x0 (τ) + εx1 (τ) +... এই ফর্মের সমাধান খুঁজুন। ε-তে শূন্য এবং প্রথম ক্রম সমস্যার জন্য নিম্নলিখিত সমাধানগুলি পাওয়া যায়ঃ সুতরাং ধর্মনিরপেক্ষ শব্দটি পছন্দের মাধ্যমে অপসারণ করা যেতে পারেঃ ω1 =। এই পথে বিশৃঙ্খলা বিশ্লেষণ চালিয়ে যাওয়ার মাধ্যমে নির্ভুলতার উচ্চতর ক্রম পাওয়া যেতে পারে। এখন পর্যন্ত, আনুমানিক-ε-তে প্রথম ক্রম পর্যন্ত সঠিক-উদাহরণস্বরূপঃ ভ্যান ডার পোল দোলক আমরা ভ্যান ডার পোল দোলককে শুধুমাত্র 2 ক্রম পর্যন্ত সমাধান করি। এই পদ্ধতিটি একইভাবে অনির্দিষ্টকালের জন্য অব্যাহত রাখা যেতে পারে, যেখানে অর্ডার-এন শব্দটি একটি সুরেলা শব্দ এবং কিছু অতি-সুরেলা পদ নিয়ে গঠিত। অতি-সুরেলা শব্দের সহগগুলি সরাসরি সমাধান করা হয় এবং সুরেলা শব্দের সহগগুলি ক্রম-(এন + 1)-এ প্রসারিত করে এবং এর ধর্মনিরপেক্ষ শব্দটি বাদ দিয়ে নির্ধারণ করা হয়। অর্ডার 3 পর্যন্ত একটি ডেরিভেশনের জন্য এবং অর্ডার 164 পর্যন্ত একটি কম্পিউটার ডেরিভেশনের জন্য অধ্যায় 10 দেখুন। সমীকরণ সহ ভ্যান ডার পোল দোলক বিবেচনা করুন যেখানে একটি ছোট ধনাত্মক সংখ্যা। দ্বিতীয় ক্রমে প্রতিস্থাপন করুনঃ যেখানে সমীকরণটি পাওয়া যায়, এখন প্লাগ ইন করুন, এবং আমাদের তিনটি সমীকরণ রয়েছে, যথাক্রমে ক্রমের জন্যঃ প্রথম সমীকরণের সাধারণ সমাধান রয়েছে। সময়ের উৎস এমনভাবে বেছে নিন। তারপর দ্বিতীয় সমীকরণে যুক্ত করুন (কিছু ত্রিকোণমিতিক পরিচয়ের পরে) ধর্মনিরপেক্ষ শব্দটি বাদ দেওয়ার জন্য, আমাদের অবশ্যই উভয় সহগকে শূন্যে স্থাপন করতে হবে, এইভাবে আমাদের ফলন হবে। বিশেষত, আমরা দেখেছি যে যখন শূন্য থেকে একটি ছোট ধনাত্মক ধ্রুবক বৃদ্ধি পায়, তখন ফেজ স্পেসে সমস্ত বৃত্তাকার কক্ষপথ ধ্বংস হয়ে যায়, ব্যাসার্ধ 2 ব্যতীত। এখন ফলন সমাধান করা। আমরা সর্বদা শব্দটি গ্রহণ করতে পারি, যাতে আমরা সঠিকভাবে WLOG করতে পারি। এখন দ্বিতীয় সমীকরণটি যুক্ত করুন যাতে ধর্মনিরপেক্ষ শব্দটি বাদ দেওয়া যায়, আমরা সেট করি। এইভাবে আমরা তা খুঁজে পাই। উদাহরণস্বরূপঃ ম্যাথিউ সমীকরণ এটি প্যারামেট্রিক অনুরণনের একটি উদাহরণ। ম্যাথিউ সমীকরণটি বিবেচনা করুন, যেখানে একটি ধ্রুবক এবং ছোট। সমীকরণের সমাধানে দুটি সময়-স্কেল থাকবে, একটি ক্রমানুসারে দ্রুত পরিবর্তিত হবে এবং অন্যটি ক্রমানুসারে ধীরে পরিবর্তিত হবে। এখন ম্যাথিউ সমীকরণে যোগ দিন এবং অর্জনের জন্য প্রসারিত করুন আমাদের কাছে সমাধান রয়েছে তৃতীয় সমীকরণে ধর্মনিরপেক্ষ শব্দ সহগগুলি তাদের শূন্যে স্থাপন করছে, আমরা গতির সমীকরণগুলি খুঁজে পাইঃ এর নির্ধারক হল, এবং তাই যখন, উৎপত্তি একটি স্যাডল পয়েন্ট, তাই দোলনটির প্রশস্ততা সীমাহীনভাবে বৃদ্ধি পায়। অন্য কথায়, যখন প্যারামিটারের কৌণিক ফ্রিকোয়েন্সি (এই ক্ষেত্রে,) মূল দোলকের কৌণিক ফ্রিকোয়েন্সির (এই ক্ষেত্রে) যথেষ্ট কাছাকাছি থাকে, তখন দোলন সীমাহীনভাবে বৃদ্ধি পায়, যেমন একটি শিশু দোলের উপর দুলতে থাকে যা চাঁদের দিকে সমস্ত পথ পাম্প করে। শোহাট সম্প্রসারণ ভ্যান ডার পোল দোলকের জন্য, আমাদের কাছে বড় আকারের জন্য রয়েছে, তাই বড় হওয়ার সাথে সাথে ডাইভারজের ক্ষেত্রে ক্রমিক সম্প্রসারণ হয় এবং সীমাবদ্ধ রাখার জন্য আমাদের এটির আরও বেশি শর্ত রাখতে হবে। এটি আমাদের একটি সীমাবদ্ধ প্যারামিট্রাইজেশনের পরামর্শ দেয়ঃ তারপর, ক্রমিক সম্প্রসারণ ব্যবহার করে এবং ধর্মনিরপেক্ষ পদগুলি অপসারণের একই পদ্ধতি ব্যবহার করে আমরা দেখতে পাই। কারণ, সম্প্রসারণ আমাদের ডানদিকে সিরিজের জন্য একটি সীমাবদ্ধ সংখ্যক পদ নিতে দেয় এবং এটি সীমাতে একটি সীমাবদ্ধ মানে একত্রিত হবে। তারপর আমাদের হবে, যা ঠিক কাঙ্ক্ষিত অ্যাসিম্পটোটিক আচরণ। শোহাট সম্প্রসারণের পিছনে এই ধারণাটি রয়েছে। সঠিক অ্যাসিম্পটোটিক ধ্রুবক হল, যা আমরা দেখতে পাচ্ছি। তথ্যসূত্র এবং নোটগুলি বিশৃঙ্খলা তত্ত্ব