Kantorovich theorem
কান্টোরোভিচ উপপাদ্য বা নিউটন-কান্টোরোভিচ উপপাদ্য হল নিউটনের পদ্ধতির আধা-স্থানীয় অভিসারের উপর একটি গাণিতিক বিবৃতি। 1948 সালে লিওনিড কান্টোরোভিচ প্রথম এই কথা বলেন। এটি বানাচ স্থির-বিন্দু উপপাদ্যের অনুরূপ, যদিও এটি একটি নির্দিষ্ট বিন্দুর পরিবর্তে শূন্যের অস্তিত্ব এবং স্বতন্ত্রতা বর্ণনা করে। নিউটনের পদ্ধতিটি বিন্দুগুলির একটি ক্রম তৈরি করে যা নির্দিষ্ট পরিস্থিতিতে একটি সমীকরণের সমাধান বা সমীকরণের পদ্ধতির ভেক্টর সমাধানে একত্রিত হবে। কান্টোরোভিচ উপপাদ্য এই ক্রমের প্রাথমিক বিন্দুর উপর শর্ত দেয়। যদি সেই শর্তগুলি পূরণ হয় তবে একটি সমাধান প্রাথমিক বিন্দুর কাছাকাছি থাকে এবং ক্রমটি সেই বিন্দুতে একত্রিত হয়। অনুমানগুলি একটি জ্যাকোবিয়ান সহ একটি উন্মুক্ত উপসেট এবং একটি ডিফারেনশিয়েবল ফাংশন হতে পারে যা স্থানীয়ভাবে লিপশিটজ কন্টিনিউয়াস (উদাহরণস্বরূপ যদি দ্বিগুণ ডিফারেনশিয়েবল হয়)। অর্থাৎ, এটি ধরে নেওয়া হয় যে যে কোনওটির জন্য একটি উন্মুক্ত উপসেট রয়েছে এবং এমন একটি ধ্রুবক রয়েছে যা যে কোনও হোল্ডের জন্য বিদ্যমান। বাম দিকের আদর্শ হল কিছু অপারেটর আদর্শ যা ডান দিকের ভেক্টর আদর্শের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ। এই অসমতা শুধুমাত্র ভেক্টর আদর্শ ব্যবহার করার জন্য পুনর্লিখন করা যেতে পারে। তারপর যে কোনও ভেক্টরের জন্য বৈষম্য অবশ্যই বজায় রাখতে হবে। এখন যে কোনও প্রাথমিক বিন্দু বেছে নিন। ধরে নিন যে এটি বিপরীতমুখী এবং নিউটনের ধাপটি তৈরি করুন পরবর্তী অনুমানটি হল যে কেবল পরবর্তী পয়েন্টটি নয়, পুরো বলটি সেটের ভিতরে রয়েছে। এই বলের উপর জ্যাকোবিয়ানের জন্য লিপশিটজ ধ্রুবক হতে দিন (এটি বিদ্যমান ধরে নিয়ে)। একটি শেষ প্রস্তুতি হিসাবে, পুনরাবৃত্তিমূলকভাবে তৈরি করুন, যতক্ষণ সম্ভব, ক্রমগুলি, বিবৃতি অনুসারে এখন যদি বন্ধ বলের ভিতরে একটি সমাধান বিদ্যমান থাকে এবং নিউটন পুনরাবৃত্তি কমপক্ষে রৈখিক ক্রমের সাথে একত্রিত হয়। একটি বিবৃতি যা আরও সুনির্দিষ্ট তবে প্রমাণ করা কিছুটা কঠিন, তা চতুর্ভুজ বহুপদের শিকড় এবং তাদের অনুপাত ব্যবহার করে, তারপর বন্ধ বলের ভিতরে একটি সমাধান বিদ্যমান, এটি বড় বলের অভ্যন্তরে অনন্য এবং এর সমাধানের সাথে একত্রীকরণ তার ক্ষুদ্রতম মূলের দিকে চতুর্ভুজ বহুপদের নিউটন পুনরাবৃত্তির একত্রীকরণ দ্বারা প্রভাবিত হয়, যদি, তবে চতুর্ভুজ একত্রীকরণ ত্রুটি অনুমান করোলারি থেকে প্রাপ্ত হয় 1986 সালে, ইয়ামামোটো প্রমাণ করেছিলেন যে নিউটন পদ্ধতির ত্রুটি মূল্যায়ন যেমন ডোরিং (1969), অস্ট্রোস্কি (1971,1973), গ্র্যাগ-তাপিয়া (1974), পোট্রা-টাক (1980), মিল (1981), পোট্রা (1984), হতে পারে সাধারণীকরণ কান্টোরোভিচ উপপাদ্যের জন্য একটি q-এনালগ রয়েছে। অন্যান্য সাধারণীকরণ/বৈচিত্র্যের জন্য, অর্টেগা ও রাইনবোল্ট (1970) দেখুন। অ্যাপ্লিকেশন ওইশি এবং তানাবে দাবি করেছেন যে ক্যান্টোরোভিচ উপপাদ্যটি রৈখিক প্রোগ্রামিংয়ের নির্ভরযোগ্য সমাধান পেতে প্রয়োগ করা যেতে পারে। জন এইচ. হাবার্ড এবং বারবারা বার্ক হাবার্ডঃ ভেক্টর ক্যালকুলাস, লিনিয়ার অ্যালজেব্রা, এবং ডিফারেনশিয়াল ফর্মসঃ একটি ইউনিফাইড অ্যাপ্রোচ, ম্যাট্রিক্স সংস্করণ, (3. সংস্করণের পূর্বরূপ এবং Kant.-thm সহ নমুনা উপাদান।) কার্যকরী বিশ্লেষণ সংখ্যাসূচক বিশ্লেষণ উপপাদ্য ভেক্টর স্পেসে অপ্টিমাইজেশন অপ্টিমাইজেশন অ্যালগরিদম এবং পদ্ধতি