Epsilon-equilibrium
গেম থিওরিতে, এপসাইলন-ইকুইলিব্রিয়াম বা নিয়ার-ন্যাশ ইকুইলিব্রিয়াম হল একটি কৌশলগত রূপরেখা যা ন্যাশ ইকুইলিব্রিয়ামের অবস্থাকে প্রায় সন্তুষ্ট করে। ন্যাশ ভারসাম্যে, কোনও খেলোয়াড়েরই তার আচরণ পরিবর্তন করার প্রেরণা থাকে না। আনুমানিক ন্যাশ ভারসাম্যে, এই প্রয়োজনীয়তা দুর্বল হয়ে যায় যাতে একজন খেলোয়াড়ের ভিন্ন কিছু করার জন্য সামান্য উৎসাহ থাকতে পারে। এটি এখনও একটি পর্যাপ্ত সমাধান ধারণা হিসাবে বিবেচিত হতে পারে, উদাহরণস্বরূপ স্থিতাবস্থা পক্ষপাত ধরে নেওয়া। এই সমাধান ধারণাটি গণনা করা সহজ হওয়ার কারণে ন্যাশ ভারসাম্যের চেয়ে পছন্দ করা যেতে পারে, অথবা বিকল্পভাবে এই সম্ভাবনার কারণে যে 2 জনেরও বেশি খেলোয়াড়ের খেলায়, একটি সঠিক ন্যাশ ভারসাম্যের সাথে জড়িত সম্ভাব্যতা যুক্তিসঙ্গত সংখ্যা হতে হবে না। সংজ্ঞা একাধিক বিকল্প সংজ্ঞা রয়েছে। স্ট্যান্ডার্ড সংজ্ঞা একটি খেলা এবং একটি প্রকৃত অ-নেতিবাচক পরামিতি দেওয়া, একটি কৌশল প্রোফাইলকে একটি ভারসাম্য বলা হয় যদি কোনও খেলোয়াড়ের পক্ষে তার কৌশল থেকে একতরফাভাবে বিচ্যুত হয়ে প্রত্যাশিত প্রতিদানের চেয়ে বেশি লাভ করা সম্ভব না হয়। প্রতিটি ন্যাশ ভারসাম্য একটি-ভারসাম্যের সমতুল্য যেখানে। আনুষ্ঠানিকভাবে, প্রতিটি খেলোয়াড় এবং ইউটিলিটি ফাংশনের জন্য অ্যাকশন সেট সহ একটি-প্লেয়ার গেম হতে দিন। কৌশলগত প্রোফাইল খেলার সময় খেলোয়াড়কে যে অর্থ প্রদান করা হয় তা বোঝানো যাক। সম্ভাব্যতা বিতরণের স্থানটি শেষ করা যাক। কৌশলগুলির একটি ভেক্টর হ 'ল-সমস্ত ভাল-সমর্থিত আনুমানিক ভারসাম্যের জন্য একটি-ন্যাশ ভারসাম্য নিম্নলিখিত সংজ্ঞাটি আরও শক্তিশালী প্রয়োজনীয়তা আরোপ করে যে কোনও খেলোয়াড় কেবলমাত্র একটি বিশুদ্ধ কৌশলকে ইতিবাচক সম্ভাবনা নির্ধারণ করতে পারে যদি এর প্রতিদান সেরা প্রতিক্রিয়া প্রতিদানের চেয়ে সবচেয়ে কম প্রত্যাশিত হয়। কৌশলের প্রোফাইল খেলার সম্ভাবনা ধরা যাক। খেলোয়াড়দের জন্য অন্য খেলোয়াড়দের কৌশলগত প্রোফাইল হতে দিন; এবং একটি বিশুদ্ধ কৌশল হতে দিন কৌশলগত প্রোফাইল যেখানে খেলা এবং অন্যান্য খেলোয়াড়রা খেলে। কৌশলগত প্রোফাইল কখন ব্যবহার করা হয় তার প্রতিদান হতে দিন। প্রয়োজনীয়তা ফলাফল সূত্র দ্বারা প্রকাশ করা যেতে পারে ε-ন্যাশ ইকুইলিব্রিয়ার জন্য একটি পলিনোমিয়াল-টাইম এপ্রোক্সিমেশন স্কিমের (পিটিএএস) অস্তিত্ব ε-ভাল-সমর্থিত আনুমানিক ন্যাশ ইকুইলিব্রিয়ার জন্য একটি বিদ্যমান কিনা এই প্রশ্নের সমতুল্য, তবে একটি পিটিএএসের অস্তিত্ব একটি উন্মুক্ত সমস্যা হিসাবে রয়ে গেছে। ε-এর ধ্রুবক মানগুলির জন্য, আনুমানিক ভারসাম্যের জন্য বহুপদী-সময় অ্যালগরিদমগুলি ε-এর কম মানের জন্য পরিচিত যা ভাল-সমর্থিত আনুমানিক ভারসাম্যের জন্য পরিচিত। [0,1] এবং ε = 0.3393 পরিসরে পে-অফ সহ গেমগুলির জন্য, ε-ন্যাশ ইকুইলিব্রিয়া বহুপদী সময়ে গণনা করা যেতে পারে [0,1] এবং ε = 2/3 পরিসরে পে-অফ সহ গেমগুলির জন্য, ε-ভাল-সমর্থিত ইকুইলিব্রিয়া বহুপদী সময়ে গণনা করা যেতে পারে উদাহরণ সম্ভাব্য অসীম সময়কালের স্টোকাস্টিক গেমগুলির তত্ত্বে ε-ইকুইলিব্রিয়ার ধারণাটি গুরুত্বপূর্ণ। ন্যাশ ভারসাম্য ছাড়াই কিন্তু 0-এর চেয়ে কঠোরভাবে বড় যে কোনও ε-এর জন্য ε-ভারসাম্য সহ স্টোকাস্টিক গেমের সহজ উদাহরণ রয়েছে। সম্ভবত এই ধরনের সহজতম উদাহরণ হল ম্যাচিং পেনিজের নিম্নলিখিত রূপ, যা এভারেট দ্বারা প্রস্তাবিত। প্লেয়ার 1 একটি পয়সা লুকিয়ে রাখে এবং প্লেয়ার 2-কে অবশ্যই অনুমান করতে হবে যে এটি মাথা উপরে বা লেজ উপরে। যদি প্লেয়ার 2 সঠিকভাবে অনুমান করে, তবে সে প্লেয়ার 1 থেকে পয়সা জিতে যায় এবং খেলাটি শেষ হয়। যদি প্লেয়ার 2 ভুলভাবে অনুমান করে যে পেনি উপরে উঠে গেছে, তবে খেলাটি উভয় খেলোয়াড়ের জন্য শূন্য অর্থ প্রদানের সাথে শেষ হয়। যদি সে ভুলভাবে অনুমান করে যে এটি লেজ আপ, খেলাটি পুনরাবৃত্তি করে। যদি খেলাটি চিরকাল চলতে থাকে, তবে উভয় খেলোয়াড়ের বেতন শূন্য হয়। একটি প্যারামিটার ε> 0 দেওয়া হলে, যে কোনও কৌশলগত প্রোফাইল যেখানে প্লেয়ার 2 সম্ভাবনা ε দিয়ে এগিয়ে যায় এবং সম্ভাবনা 1 − ε (খেলার প্রতিটি পর্যায়ে, এবং পূর্ববর্তী পর্যায় থেকে স্বাধীনভাবে) দিয়ে এগিয়ে যায়, তা খেলার জন্য একটি ε-ভারসাম্য। এই ধরনের কৌশলগত প্রোফাইলে প্লেয়ার 2-এর প্রত্যাশিত বেতন কমপক্ষে 1 − ε। যাইহোক, এটা সহজেই দেখা যায় যে প্লেয়ার 2-এর জন্য এমন কোনও কৌশল নেই যা ঠিক 1-এর প্রত্যাশিত প্রতিদানের নিশ্চয়তা দিতে পারে। অতএব, খেলাটির কোনও ন্যাশ ভারসাম্য নেই। আরেকটি সহজ উদাহরণ হল টি পিরিয়ডের জন্য সীমিতভাবে পুনরাবৃত্ত বন্দীদের দ্বিধা, যেখানে টি পিরিয়ডের উপর বেতন গড় হয়। এই খেলার একমাত্র ন্যাশ ভারসাম্য হল প্রতিটি সময়কালে ত্রুটি নির্বাচন করা। এখন এই দুটি কৌশল বিবেচনা করুন, 'টাইট-ফর-ট্যাট "এবং' গ্রেম ট্রিগার"। যদিও টাইট-ফর-ট্যাট বা গুরুতর ট্রিগার উভয়ই খেলার জন্য ন্যাশ ভারসাম্য নয়, তবে উভয়ই কিছু ইতিবাচকের জন্য-ভারসাম্য। এর গ্রহণযোগ্য মানগুলি উপাদান গেমের পে-অফ এবং পিরিয়ডের টি সংখ্যার উপর নির্ভর করে। অর্থনীতিতে, যখন মিশ্র-কৌশল পদ্ধতিকে অবাস্তব হিসাবে দেখা হয় তখন বিশুদ্ধ কৌশল-ভারসাম্যের ধারণাটি ব্যবহার করা হয়। একটি বিশুদ্ধ-কৌশলগত এপ্সিলন-ভারসাম্যে, প্রতিটি খেলোয়াড় একটি বিশুদ্ধ-কৌশল বেছে নেয় যা তার সেরা বিশুদ্ধ-কৌশলের এপ্সিলনের মধ্যে থাকে। উদাহরণস্বরূপ, বার্ট্রান্ড-এজওয়ার্থ মডেলে, যেখানে কোনও বিশুদ্ধ-কৌশলগত ভারসাম্য বিদ্যমান নেই, সেখানে একটি বিশুদ্ধ-কৌশলগত এপসাইলন ভারসাম্য বিদ্যমান থাকতে পারে। রেফারেন্স ইনলাইন উদ্ধৃতি উৎস এইচ ডিক্সন একটি প্রতিলিপি শিল্পে আনুমানিক বার্ট্রান্ড ভারসাম্য, অর্থনৈতিক অধ্যয়নের পর্যালোচনা, 54 (1987), পৃষ্ঠা 47-62। এইচ. এভারেট। "রিকার্সিভ গেমস"। এইচ. ডব্লিউ-তে। কুন এবং এ. ডব্লিউ। টাকার, সম্পাদকগণ। গেম তত্ত্বের অবদান, খণ্ড। তৃতীয়, অ্যানালস অফ ম্যাথমেটিকাল স্টাডিজের 39তম খণ্ড। প্রিন্সটন ইউনিভার্সিটি প্রেস, 1957। 88 পৃষ্ঠার একটি গাণিতিক ভূমিকা; বিভাগ 3.7 দেখুন। অনেক বিশ্ববিদ্যালয়ে অনলাইনে বিনামূল্যে। আর. র্যাডনার। দীর্ঘ কিন্তু সীমাবদ্ধ জীবনের সাথে অলিগোপলিগুলির অ-সহযোগিতামূলক এপসাইলন ভারসাম্যে সম্মিলিত আচরণ, জার্নাল অফ ইকোনমিক থিওরি, 22,121-157,1980। গণনামূলক দৃষ্টিকোণ থেকে একটি বিস্তৃত রেফারেন্স; বিভাগ 3.4.7 দেখুন। অনলাইনে বিনামূল্যে ডাউনলোড করা যায়। এস. এইচ. তাও আবার। ন্যাশ ইকুইলিব্রিয়া ফর নন-কো-অপারেটিভ এন-পার্সন গেমস ইন নরমাল ফর্ম, সিয়াম রিভিউ, 23,225-237,1981। খেলা তত্ত্বের ভারসাম্য ধারণা