Quantile function
সম্ভাব্যতা এবং পরিসংখ্যানে, কোয়ান্টাইল ফাংশন একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের মান এমনভাবে আউটপুট করে যে তার সম্ভাব্যতা একটি ইনপুট সম্ভাব্যতা মানের চেয়ে কম বা সমান হয়। স্বজ্ঞাতভাবে, কোয়ান্টাইল ফাংশন একটি সম্ভাব্যতা ইনপুটের নীচে এবং নীচে একটি পরিসরের সাথে যুক্ত হয় যে কিছু সম্ভাব্যতা বিতরণের জন্য সেই পরিসরে একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল উপলব্ধি করা হয়। এটিকে শতাংশ ফাংশন (শতাংশের পরে), শতাংশ-বিন্দু ফাংশন বা বিপরীত ক্রমবর্ধমান বন্টন ফাংশন (ক্রমবর্ধমান বন্টন ফাংশনের পরে) বলা হয়। সংজ্ঞা কঠোরভাবে একবৃত্তীয় বন্টন ফাংশন একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল X-এর একটি অবিচ্ছিন্ন এবং কঠোরভাবে একবৃত্তীয় ক্রমবর্ধমান বন্টন ফাংশনের প্রসঙ্গে, কোয়ান্টাইল ফাংশনটি তার ইনপুট p-কে একটি প্রান্তিক মান x-এ ম্যাপ করে যাতে X-এর x-এর চেয়ে কম বা সমান হওয়ার সম্ভাবনা p হয়। বন্টন ফাংশন F-এর পরিপ্রেক্ষিতে, কোয়ান্টাইল ফাংশন Q x-এর মান এমনভাবে প্রদান করে যা c. d. f-এর বিপরীত হিসাবে লেখা যেতে পারে। সাধারণ বন্টন ফাংশন বন্টন ফাংশনের সাধারণ ক্ষেত্রে যা কঠোরভাবে একবৃত্তীয় নয় এবং তাই একটি বিপরীত সি. ডি. এফ.-এর অনুমতি দেয় না, কোয়ান্টাইল হল একটি (সম্ভাব্য) বন্টন ফাংশন এফ-এর মূল্যবান কার্যকরী সেট, যা ব্যবধান দ্বারা দেওয়া হয় এটি প্রায়শই সর্বনিম্ন মান নির্বাচন করার জন্য মানসম্মত, যা সমতুল্যভাবে লেখা যেতে পারে (এফ-এর ডান-ধারাবাহিকতা ব্যবহার করে) এখানে আমরা এই সত্যটি ধরে নিই যে কোয়ান্টাইল ফাংশন সেই সমস্ত মানগুলির মধ্যে থেকে এক্স-এর ন্যূনতম মান প্রদান করে যার সি. ডি. এফ মান পি অতিক্রম করে, যা বিশেষ ক্ষেত্রে পূর্ববর্তী সম্ভাব্যতা বিবৃতির সমতুল্য যে বন্টন অবিচ্ছিন্ন। লক্ষ্য করুন যে অসীম ফাংশনটি ন্যূনতম ফাংশন দ্বারা প্রতিস্থাপিত হতে পারে, যেহেতু বিতরণ ফাংশনটি সঠিক-ধারাবাহিক এবং দুর্বলভাবে একঘেয়েভাবে বৃদ্ধি পাচ্ছে। কোয়ান্টাইল হল গ্যালোইস বৈষম্যকে সন্তুষ্ট করার অনন্য ফাংশন যদি এবং শুধুমাত্র যদি ফাংশন F অবিচ্ছিন্ন এবং কঠোরভাবে একঘেয়েভাবে বৃদ্ধি পায়, তবে বৈষম্যগুলি সমতা দ্বারা প্রতিস্থাপিত করা যেতে পারে এবং আমাদের রয়েছেঃ সাধারণভাবে, যদিও বন্টন ফাংশন F একটি বাম বা ডান বিপরীত ধারণ করতে ব্যর্থ হতে পারে, কোয়ান্টাইল ফাংশন Q বন্টন ফাংশনের জন্য একটি "প্রায় নিশ্চিত বাম বিপরীত" হিসাবে আচরণ করে, এই অর্থে যে প্রায় নিশ্চিতভাবেই। সহজ উদাহরণ উদাহরণস্বরূপ, এক্সপোনেনশিয়াল (λ)-এর ক্রমবর্ধমান বন্টন ফাংশন। তীব্রতা λ এবং প্রত্যাশিত মান (গড়) 1/λ) হল এক্সপোনেনশিয়াল (λ)-এর জন্য কোয়ান্টাইল ফাংশনটি Q-এর মান খুঁজে বের করে উদ্ভূত হয় যার জন্যঃ 0 ≤ p <1-এর জন্য। সুতরাং কোয়ার্টাইলগুলি হলঃ প্রথম কোয়ার্টাইল (পি = 1/4) মিডিয়ান (পি = 2/4) তৃতীয় কোয়ার্টাইল (পি = 3/4) অ্যাপ্লিকেশন কোয়ান্টাইল ফাংশনগুলি পরিসংখ্যানগত প্রয়োগ এবং মন্টে কার্লো পদ্ধতি উভয় ক্ষেত্রেই ব্যবহৃত হয়। কোয়ান্টাইল ফাংশন হল সম্ভাব্যতা বিতরণ নির্ধারণের একটি উপায়, এবং এটি সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন (পিডিএফ) বা সম্ভাব্যতা ভর ফাংশন, ক্রমবর্ধমান বিতরণ ফাংশন (সিডিএফ) এবং চরিত্রগত ফাংশনের বিকল্প। সম্ভাব্যতা বন্টনের কোয়ান্টাইল ফাংশন, কিউ, তার ক্রমবর্ধমান বন্টনের ফাংশন এফ-এর বিপরীত। কোয়ান্টাইল ফাংশনের ডেরিভেটিভ, অর্থাৎ কোয়ান্টাইল ডেনসিটি ফাংশন, সম্ভাব্যতা বন্টনের আরেকটি উপায়। এটি কোয়ান্টাইল ফাংশনের সাথে গঠিত পিডিএফের পারস্পরিক। পরিসংখ্যানগত প্রয়োগের জন্য, ব্যবহারকারীদের একটি প্রদত্ত বিতরণের মূল শতাংশ পয়েন্টগুলি জানতে হবে। উদাহরণস্বরূপ, তাদের উপরের উদাহরণ হিসাবে মধ্যমা এবং 25 শতাংশ এবং 75 শতাংশ কোয়ার্টাইল বা অন্যান্য প্রয়োগের জন্য 5 শতাংশ, 95 শতাংশ, 2.5 শতাংশ, 97.5% স্তর প্রয়োজন যেমন একটি পর্যবেক্ষণের পরিসংখ্যানগত তাৎপর্য মূল্যায়ন করা যার বিতরণ জানা যায়; পরিমাণ এন্ট্রি দেখুন। কম্পিউটারের জনপ্রিয়করণের আগে, বইগুলিতে কোয়ান্টাইল ফাংশনের নমুনা হিসাবে পরিসংখ্যানগত টেবিলের সাথে পরিশিষ্ট থাকা অস্বাভাবিক কিছু ছিল না। গিলক্রিস্ট কোয়ান্টাইল ফাংশনের পরিসংখ্যানগত প্রয়োগগুলি নিয়ে ব্যাপকভাবে আলোচনা করেছেন। মন্টে-কার্লো সিমুলেশনগুলি বিভিন্ন ধরনের সিমুলেশন গণনায় ব্যবহারের জন্য অ-অভিন্ন র্যান্ডম বা সিউডোরান্ডম সংখ্যা তৈরি করতে কোয়ান্টাইল ফাংশন ব্যবহার করে। প্রদত্ত বিতরণ থেকে একটি নমুনা নীতিগতভাবে একটি অভিন্ন বিতরণ থেকে একটি নমুনায় তার পরিমাণ ফাংশন প্রয়োগ করে প্রাপ্ত করা যেতে পারে। সিমুলেশন পদ্ধতির চাহিদা, উদাহরণস্বরূপ আধুনিক গণনামূলক অর্থায়নে, কোয়ান্টাইল ফাংশনের উপর ভিত্তি করে পদ্ধতির উপর ক্রমবর্ধমান মনোযোগ কেন্দ্রীভূত করা হচ্ছে, কারণ তারা কপুলা বা আধা-মন্টে-কার্লো পদ্ধতি এবং অর্থায়নে মন্টে কার্লো পদ্ধতির উপর ভিত্তি করে মাল্টিভ্যারিয়েট কৌশলগুলির সাথে ভাল কাজ করে। গণনা কোয়ান্টাইল ফাংশনের মূল্যায়নে প্রায়শই সংখ্যাসূচক পদ্ধতি জড়িত থাকে, যেমন উপরের সূচকীয় বিতরণ, যা কয়েকটি বিতরণের মধ্যে একটি যেখানে একটি বদ্ধ-ফর্ম অভিব্যক্তি পাওয়া যায় (অন্যদের মধ্যে ইউনিফর্ম, ওয়েইবুল, টুকি ল্যাম্বডা (যার মধ্যে লজিস্টিক অন্তর্ভুক্ত) এবং লগ-লজিস্টিক অন্তর্ভুক্ত)। যখন সি. ডি. এফ-এর একটি বদ্ধ-ফর্ম অভিব্যক্তি থাকে, তখন সি. ডি. এফ-কে বিপরীত করতে সর্বদা একটি সংখ্যাসূচক মূল-সন্ধান অ্যালগরিদম যেমন দ্বি-বিভাজন পদ্ধতি ব্যবহার করা যেতে পারে। কোয়ান্টাইল ফাংশন মূল্যায়নের জন্য অন্যান্য অ্যালগরিদমগুলি সংখ্যাসূচক রেসিপি সিরিজের বইগুলিতে দেওয়া হয়েছে। সাধারণ বিতরণের জন্য অ্যালগরিদমগুলি অনেক পরিসংখ্যানগত সফ্টওয়্যার প্যাকেজে নির্মিত হয়। কোয়ান্টাইল ফাংশনগুলিকে অরৈখিক সাধারণ এবং আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সমাধান হিসাবেও চিহ্নিত করা যেতে পারে। স্বাভাবিক, ছাত্র, বিটা এবং গামা বিতরণের ক্ষেত্রে সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলি দেওয়া হয়েছে এবং সমাধান করা হয়েছে। স্বাভাবিক বন্টন স্বাভাবিক বন্টন সম্ভবত সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ বিষয়। যেহেতু স্বাভাবিক বন্টন একটি অবস্থান-স্কেল পরিবার, তাই নির্বিচারে পরামিতিগুলির জন্য এর পরিমাণগত ফাংশনটি প্রমিত স্বাভাবিক বন্টনের পরিমাণগত ফাংশনের একটি সহজ রূপান্তর থেকে উদ্ভূত হতে পারে, যা প্রবিট ফাংশন নামে পরিচিত। দুর্ভাগ্যবশত, মৌলিক বীজগাণিতিক ফাংশন ব্যবহার করে এই ফাংশনের কোনও ক্লোজ-ফর্ম উপস্থাপনা নেই; ফলস্বরূপ, আনুমানিক উপস্থাপনা সাধারণত ব্যবহার করা হয়। উইচুরা এবং আকলাম দ্বারা সম্পূর্ণ যৌগিক যুক্তিসঙ্গত এবং বহুপদী অনুমান দেওয়া হয়েছে। অ-যৌগিক যুক্তিসঙ্গত অনুমানগুলি শ দ্বারা তৈরি করা হয়েছে। স্বাভাবিক পরিমাণের জন্য সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সাধারণ পরিমাণের জন্য একটি অরৈখিক সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ, ডাব্লু (পি) দেওয়া যেতে পারে। এটি কেন্দ্রের (প্রাথমিক) শর্তগুলির সাথে রয়েছে এই সমীকরণটি ধ্রুপদী শক্তি সিরিজ পদ্ধতি সহ বিভিন্ন পদ্ধতিতে সমাধান করা যেতে পারে। এর থেকে নির্বিচারে উচ্চ নির্ভুলতার সমাধান তৈরি করা যেতে পারে (স্টেইনব্রেচার এবং শ, 2008 দেখুন)। শিক্ষার্থীদের টি-ডিস্ট্রিবিউশন এটি ঐতিহাসিকভাবে আরও জটিল ক্ষেত্রেগুলির মধ্যে একটি, কারণ একটি পরামিতি, ν, স্বাধীনতার ডিগ্রিগুলির উপস্থিতি যুক্তিসঙ্গত এবং অন্যান্য আনুমানিকতার ব্যবহারকে বিশ্রী করে তোলে। সহজ সূত্রগুলি বিদ্যমান থাকে যখন ν = 1,2,4 এবং সমস্যাটি একটি বহুপদের সমাধানে হ্রাস করা যেতে পারে যখন ν জোড় হয়। অন্যান্য ক্ষেত্রে কোয়ান্টাইল ফাংশনগুলি পাওয়ার সিরিজ হিসাবে বিকশিত হতে পারে। সহজ কেসগুলি নিম্নরূপঃ ν = 1 (কৌচি ডিস্ট্রিবিউশন) ν = 2 ν = 4 যেখানে এবং উপরের "সাইন" ফাংশনটি ধনাত্মক আর্গুমেন্টের জন্য + 1, ঋণাত্মক আর্গুমেন্টের জন্য-1 এবং শূন্যে শূন্য। এটিকে ত্রিকোণমিতি সাইন ফাংশনের সঙ্গে গুলিয়ে ফেলা উচিত নয়। পরিমাণগত মিশ্রণ ঘনত্বের মিশ্রণের অনুরূপ, বিতরণকে পরিমাণগত মিশ্রণ হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে, যেখানে, পরিমাণগত ফাংশন এবং, মডেল পরামিতি। পরামিতিগুলি অবশ্যই নির্বাচন করতে হবে যাতে এটি একটি কোয়ান্টাইল ফাংশন হয়। দুটি চার-প্যারামেট্রিক পরিমাণগত মিশ্রণ, স্বাভাবিক-বহুপদী পরিমাণগত মিশ্রণ এবং কচি-বহুপদী পরিমাণগত মিশ্রণ, কারভানেন দ্বারা উপস্থাপিত হয়। কোয়ান্টাইল ফাংশনের জন্য অ-রৈখিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ স্বাভাবিক বণ্টনের জন্য প্রদত্ত অ-রৈখিক সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ হল যে কোনও কোয়ান্টাইল ফাংশনের জন্য উপলব্ধ একটি বিশেষ ক্ষেত্রে যার দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ বিদ্যমান। সাধারণভাবে একটি কোয়ান্টাইলের সমীকরণ, Q (p), দেওয়া যেতে পারে। এটি উপযুক্ত সীমানা শর্ত দ্বারা বর্ধিত হয়, যেখানে এবং f (x) হল সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন। এই সমীকরণের রূপগুলি, এবং সিরিজ এবং অ্যাসিম্পটোটিক সমাধান দ্বারা এর শাস্ত্রীয় বিশ্লেষণ, স্বাভাবিক, ছাত্র, গামা এবং বিটা বিতরণের ক্ষেত্রে স্টেইনব্রেচার এবং শ (2008) দ্বারা ব্যাখ্যা করা হয়েছে। এই ধরনের সমাধানগুলি সঠিক মানদণ্ড প্রদান করে এবং ছাত্রের ক্ষেত্রে, লাইভ মন্টে কার্লো ব্যবহারের জন্য উপযুক্ত সিরিজ। আরও দেখুন ইনভার্স ট্রান্সফর্ম স্যাম্পলিং পার্সেন্টেজ পয়েন্ট প্রোবেবিলিটি ইন্টিগ্রাল ট্রান্সফর্ম কোয়ান্টাইল র্যাঙ্ক-সাইজ ডিস্ট্রিবিউশন রেফারেন্স আরও পড়ুন অ্যাবারনেথি, রজার ডব্লিউ এবং স্মিথ, রবার্ট পি। (1993) * "এফ-ডিস্ট্রিবিউশনের শতাংশ খুঁজে বের করার জন্য ইনভার্স বিটা ডিস্ট্রিবিউশনে সিরিজ সম্প্রসারণ প্রয়োগ করা", এসিএম ট্রান্স। গণিত। Softw., 9 (4), 478-480 "স্টুডেন্টস" টি ডিস্ট্রিবিউশন এসিএম অ্যালগরিদম 396 পরিচালনার জন্য সাধারণ কোয়ান্টাইল নতুন পদ্ধতির পরিমার্জনঃ সম্ভাব্যতা বিতরণ সম্পর্কিত স্টুডেন্টস টি-কোয়ান্টাইল ফাংশন pt: কোয়ান্টিল