Ducci sequence
একটি ডুচি সিকোয়েন্স হল পূর্ণসংখ্যার এন-টুপলগুলির একটি ক্রম, যা কখনও কখনও "ডিফি গেম" নামে পরিচিত, কারণ এটি সিকোয়েন্সের উপর ভিত্তি করে তৈরি। পূর্ণসংখ্যার একটি এন-টুপল দেওয়া হলে, ক্রমের পরবর্তী এন-টুপল প্রতিবেশী পূর্ণসংখ্যার পরম পার্থক্যগুলি নিয়ে গঠিত হয়ঃ এটি বর্ণনা করার আরেকটি উপায় নিম্নরূপ। একটি বৃত্তে n পূর্ণসংখ্যা সাজান এবং কোনও বিয়োগ চিহ্ন উপেক্ষা করে প্রতিবেশীদের মধ্যে পার্থক্য নিয়ে একটি নতুন বৃত্ত তৈরি করুন; তারপর অপারেশনটি পুনরাবৃত্তি করুন। 1930-এর দশকে ইতালীয় গণিতবিদ এনরিকো ডুচির (1864-1940) নামে ডুচি সিকোয়েন্সের নামকরণ করা হয়েছে। ডুচি সিকোয়েন্সগুলি ডুচি ম্যাপ বা এন-নম্বর গেম নামেও পরিচিত। এই মানচিত্রগুলির অধ্যয়নে খোলাখুলি সমস্যা এখনও রয়ে গেছে। বৈশিষ্ট্য দ্বিতীয় এন-টুপল থেকে, এটা স্পষ্ট যে ডুচ্চি অনুক্রমের প্রতিটি এন-টুপলের প্রতিটি পূর্ণসংখ্যা 0-এর চেয়ে বড় বা সমান এবং প্রথম এন-টুপলের সর্বাধিক এবং ন্যূনতম সদস্যদের মধ্যে পার্থক্যের চেয়ে কম বা সমান। যেহেতু এই সীমাবদ্ধতাগুলির সাথে কেবলমাত্র সীমিত সংখ্যক সম্ভাব্য এন-টুপল রয়েছে, তাই এন-টুপলগুলির ক্রম অবশ্যই শীঘ্রই বা পরে পুনরাবৃত্তি করতে হবে। তাই প্রতিটি ডুচ্চি ক্রম অবশেষে পর্যায়ক্রমিক হয়ে ওঠে। যদি n 2-এর একটি ঘাত হয় তবে প্রতিটি ডুচ্চি ক্রম অবশেষে একটি সীমাবদ্ধ সংখ্যক ধাপে n-টুপলে (0,0,., 0) পৌঁছায়। যদি n দুইটির ঘাত না হয়, তবে একটি ডুচ্চি ক্রম হয় শেষ পর্যন্ত শূন্যের একটি এন-টুপলে পৌঁছাবে অথবা 'বাইনারি' এন-টুপলগুলির একটি পর্যায়ক্রমিক লুপে স্থির হবে; অর্থাৎ, ফর্মের এন-টুপলগুলি, একটি ধ্রুবক, এবং। ডুচ্চি সিকোয়েন্সের একটি সুস্পষ্ট সাধারণীকরণ হল এন-টুপলের সদস্যদের কেবল পূর্ণসংখ্যার পরিবর্তে যে কোনও বাস্তব সংখ্যা হওয়ার অনুমতি দেওয়া। উদাহরণস্বরূপ, এই 4-টুপল চারটি পুনরাবৃত্তিতে (0,0,0) এ একত্রিত হয়ঃ এখানে উপস্থাপিত বৈশিষ্ট্যগুলি সর্বদা এই সাধারণীকরণগুলির জন্য প্রযোজ্য নয়। উদাহরণস্বরূপ, এন-টুপল (1, q, q2, q3) দিয়ে শুরু হওয়া একটি ডুচি ক্রম যেখানে q হল ঘনক্ষেত্রের (অযৌক্তিক) ধনাত্মক মূল, তা সীমাবদ্ধ সংখ্যক ধাপে (0,0,0,0) পৌঁছায় না, যদিও সীমার মধ্যে এটি (0,0,0,0) এ একত্রিত হয়। উদাহরণস্বরূপ, ডুচি সিকোয়েন্সগুলি শূন্যের টুপল বা পর্যায়ক্রমিক লুপে পৌঁছানোর আগে নির্বিচারে দীর্ঘ হতে পারে। (0,653,1854,4063) দিয়ে শুরু হওয়া 4-টুপল ক্রমটি শূন্য টুপলে পৌঁছাতে 24টি পুনরাবৃত্তি নেয়। এই 5-টুপল ক্রমটি 7টি পুনরাবৃত্তির পরে 15টি বাইনারি 'লুপে' প্রবেশ করে। নিম্নলিখিত 6-টুপল ক্রমটি দেখায় যে টুপলগুলির ক্রম যার দৈর্ঘ্য দুটির শক্তি নয় তা এখনও শূন্যের টুপলে পৌঁছতে পারেঃ যদি কোনও "দুইটির শক্তি"-টুপল ডুচি অনুক্রমের উপর কিছু শর্ত আরোপ করা হয়, তবে শূন্য টুপলে পৌঁছাতে দুই বা তার কম পুনরাবৃত্তির সেই শক্তি লাগবে। অনুমান করা হয় যে এই ক্রমগুলি একটি নিয়মের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ। যখন ডুচ্চি সিকোয়েন্সগুলি বাইনারি লুপগুলিতে প্রবেশ করে, তখন সিকোয়েন্সটিকে মডুলো টুতে ট্রিট করা সম্ভব। অর্থাৎঃ এটি প্রমাণ করার ভিত্তি তৈরি করে যখন ক্রমটি সমস্ত শূন্যে অদৃশ্য হয়ে যায়। সেলুলার অটোমাটা মডুলো 2-এর রৈখিক মানচিত্রটিকে সেলুলার অটোমাটা হিসাবে চিহ্নিত করা যেতে পারে যা ওল্ফ্রাম কোডে নিয়ম 102 হিসাবে চিহ্নিত করা হয়েছে এবং মার্টিন-অডলিজকো-ওল্ফ্রাম মানচিত্রের মাধ্যমে নিয়ম 90-এর সাথে সম্পর্কিত। নিয়ম 102 সিয়েরপিনস্কি ত্রিভুজকে পুনরুত্পাদন করে। অন্যান্য সম্পর্কিত বিষয় ডুচ্চি মানচিত্র একটি পার্থক্য সমীকরণের একটি উদাহরণ, একটি বিভাগ যার মধ্যে অ-রৈখিক গতিবিদ্যা, বিশৃঙ্খলা তত্ত্ব এবং সংখ্যাসূচক বিশ্লেষণ অন্তর্ভুক্ত রয়েছে। সাইক্লোটোমিক পলিনোমিয়ালের সাদৃশ্যও উল্লেখ করা হয়েছে। যদিও বর্তমানে ডুচি মানচিত্রের কোনও ব্যবহারিক প্রয়োগ নেই, তবে পার্থক্য সমীকরণের অত্যন্ত প্রয়োগকৃত ক্ষেত্রের সাথে এর সংযোগ অনুমানের দিকে পরিচালিত করে যে ডুচি মানচিত্রের একটি রূপ ভবিষ্যতেও প্রয়োগ খুঁজে পেতে পারে। তথ্যসূত্র বাইরের লিঙ্ক ডুচ্চি সিকোয়েন্স পূর্ণসংখ্যা কাট-দ্য-নট সিকোয়েন্স এবং সিরিজ নম্বর তত্ত্বের একটি বৃত্তের উপর পুনরাবৃত্তি