Orr–Sommerfeld equation
তরল গতিবিদ্যায় অর-সমারফেল্ড সমীকরণ হল একটি আইগেনভ্যালু সমীকরণ যা একটি সান্দ্র সমান্তরাল প্রবাহে ব্যাঘাতের রৈখিক দ্বি-মাত্রিক পদ্ধতির বর্ণনা দেয়। সমান্তরাল, ল্যামিনার প্রবাহের জন্য নেভিয়ার-স্টোকস সমীকরণের সমাধান অস্থির হয়ে উঠতে পারে যদি প্রবাহের নির্দিষ্ট শর্তগুলি সন্তুষ্ট হয় এবং অর-সমারফেল্ড সমীকরণ হাইড্রোডায়নামিক স্থায়িত্বের শর্তগুলি সঠিকভাবে নির্ধারণ করে। সমীকরণটি উইলিয়াম ম্যাকফ্যাডেন অর এবং আর্নল্ড সমারফেল্ডের নামে নামকরণ করা হয়েছে, যিনি 20 শতকের শুরুতে এটি উদ্ভাবন করেছিলেন। গঠন সমীকরণটি বিশৃঙ্খলা বেগ ক্ষেত্রের জন্য নেভিয়ার-স্টোকস সমীকরণের একটি রৈখিক সংস্করণ সমাধান করে উদ্ভূত হয়, যেখানে নিরবচ্ছিন্ন বা মৌলিক প্রবাহ হয়। বিশৃঙ্খলার বেগের তরঙ্গের মতো সমাধান রয়েছে (প্রকৃত অংশটি বোঝা যায়)। এই জ্ঞান এবং প্রবাহের জন্য স্ট্রিমফাংশনের উপস্থাপনা ব্যবহার করে, অর-সমারফেল্ড সমীকরণের নিম্নলিখিত মাত্রিক রূপটি পাওয়া যায়ঃ, যেখানে তরলের গতিশীল সান্দ্রতা, তার ঘনত্ব, এবং সম্ভাব্য বা স্ট্রিম ফাংশন। শূন্য সান্দ্রতার () ক্ষেত্রে, সমীকরণটি রেলে-এর সমীকরণে হ্রাস পায়। কিছু বৈশিষ্ট্যগত বেগ দ্বারা নির্ধারিত স্কেল অনুযায়ী বেগ পরিমাপ করে এবং চ্যানেলের গভীরতা অনুযায়ী দৈর্ঘ্য পরিমাপ করে সমীকরণটি অ-মাত্রিক আকারে লেখা যেতে পারে। তারপর সমীকরণটি রূপ নেয়, যেখানে বেস প্রবাহের রেনল্ডস সংখ্যা। প্রাসঙ্গিক সীমানা শর্তগুলি হ 'ল চ্যানেলের উপরে এবং নীচে নো-স্লিপ সীমানা শর্ত এবং সম্ভাব্য ফাংশন কোথায় এবং তার ক্ষেত্রে। অথবাঃ অ্যাট এবং স্ট্রিম ফাংশন কোথায়। সমস্যার আইগেনভ্যালু প্যারামিটার হল এবং আইগেনভেক্টর হল। যদি তরঙ্গের গতির কাল্পনিক অংশটি ধনাত্মক হয়, তবে বেস প্রবাহটি অস্থিতিশীল হয় এবং সিস্টেমে প্রবর্তিত ছোট বিশৃঙ্খলা সময়ের সাথে সাথে প্রশস্ত হয়। সরলতম বেগ প্রোফাইল ছাড়া সবকিছুর জন্য সমাধান গণনা করার জন্য সংখ্যাসূচক বা অ্যাসিম্পটোটিক পদ্ধতির প্রয়োজন হয়। কিছু সাধারণ প্রবাহ প্রোফাইল নীচে আলোচনা করা হয়েছে। সাধারণভাবে, সমীকরণের বর্ণালী একটি সীমাবদ্ধ প্রবাহের জন্য বিচ্ছিন্ন এবং অসীম, অন্যদিকে সীমাহীন প্রবাহের জন্য (যেমন সীমানা-স্তর প্রবাহ), বর্ণালীতে অবিচ্ছিন্ন এবং বিচ্ছিন্ন উভয় অংশই থাকে। সমতল পয়সিউইল প্রবাহের জন্য, এটি দেখানো হয়েছে যে প্রবাহটি অস্থিতিশীল (অর্থাৎ। এক বা একাধিক আইগেনভ্যালুতে একটি ধনাত্মক কাল্পনিক অংশ থাকে) কখন এবং নিরপেক্ষভাবে স্থিতিশীল মোডের জন্য,। সিস্টেমের স্থায়িত্ব বৈশিষ্ট্যগুলি দেখতে, একটি বিচ্ছুরণ বক্ররেখা, অর্থাৎ তরঙ্গসংখ্যার একটি ফাংশন হিসাবে বৃদ্ধির হারের একটি প্লট প্লট করা প্রথাগত। প্রথম চিত্রটি উপরে তালিকাভুক্ত সমালোচনামূলক মানগুলিতে অর-সমারফেল্ড সমীকরণের বর্ণালী দেখায়। এটি জটিল সমতলে আইগেনভ্যালুগুলির (আকারে) একটি প্লট। সবচেয়ে ডানদিকের আইগেনভ্যালু হল সবচেয়ে অস্থিতিশীল। রেনল্ডস সংখ্যা এবং তরঙ্গসংখ্যার সমালোচনামূলক মানগুলিতে, ডানদিকের আইগেনভ্যালু ঠিক শূন্য। রেনল্ডস সংখ্যার উচ্চতর (নিম্ন) মানগুলির জন্য, ডানদিকের আইগেনভ্যালু জটিল সমতলের ধনাত্মক (ঋণাত্মক) অর্ধে স্থানান্তরিত হয়। তারপর, স্থিতিশীলতার বৈশিষ্ট্যগুলির একটি পূর্ণ চিত্র একটি প্লট দ্বারা দেওয়া হয় যা এই আইগেনভ্যালুয়ের কার্যকরী নির্ভরতা প্রদর্শন করে; এটি দ্বিতীয় চিত্রে দেখানো হয়েছে। অন্যদিকে, কুয়েট প্রবাহের জন্য আইগেনভ্যালুগুলির বর্ণালী সমস্ত রেনল্ডস সংখ্যায় স্থিতিশীলতা নির্দেশ করে। যাইহোক, পরীক্ষাগুলিতে, কুয়েট প্রবাহকে অস্থির থেকে ছোট, কিন্তু সীমাবদ্ধ, বিশৃঙ্খলা হিসাবে পাওয়া যায় যার জন্য রৈখিক তত্ত্ব এবং অর-সমারফেল্ড সমীকরণ প্রযোজ্য হয় না। এটি যুক্তি দেওয়া হয়েছে যে কুয়েট (এবং প্রকৃতপক্ষে, পয়সিউইল) প্রবাহের সাথে যুক্ত আইগেনভ্যালু সমস্যার অস্বাভাবিকতা সেই পর্যবেক্ষিত অস্থিতিশীলতাকে ব্যাখ্যা করতে পারে। অর্থাৎ, অর-সমারফেল্ড অপারেটরের আইগেন ফাংশনগুলি সম্পূর্ণ কিন্তু অ-অর্থোগোনাল। তারপর, বিশৃঙ্খলার শক্তিতে অর-সমারফেল্ড সমীকরণের সমস্ত আইগেন ফাংশন থেকে অবদান থাকে। এমনকি যদি পৃথকভাবে বিবেচিত প্রতিটি আইগেনভ্যালুয়ের সাথে সম্পর্কিত শক্তি সময়ের সাথে সাথে তাত্পর্যপূর্ণভাবে ক্ষয় হয় (কোয়েট প্রবাহের জন্য অর-সমারফেল্ড বিশ্লেষণ দ্বারা পূর্বাভাস দেওয়া হয়েছে), আইগেনভ্যালুগুলির অ-অর্থোগোনালিটি থেকে উদ্ভূত ক্রস পদগুলি ক্ষণস্থায়ীভাবে বৃদ্ধি পেতে পারে। সুতরাং, মোট শক্তি ক্ষণস্থায়ীভাবে বৃদ্ধি পায় (অ্যাসিম্পটোটিকভাবে শূন্যের দিকে প্রবণ হওয়ার আগে)। যুক্তিটি হল যে এই ক্ষণস্থায়ী বৃদ্ধির মাত্রা যদি যথেষ্ট বড় হয় তবে এটি ল্যামিনার প্রবাহকে অস্থিতিশীল করে তোলে, তবে এই যুক্তিটি সর্বজনীনভাবে গৃহীত হয়নি। রূপান্তর ব্যাখ্যা করে একটি অরৈখিক তত্ত্বও প্রস্তাব করা হয়েছে। যদিও এই তত্ত্বটিতে রৈখিক ক্ষণস্থায়ী বৃদ্ধি অন্তর্ভুক্ত রয়েছে, তবে 3ডি অরৈখিক প্রক্রিয়াগুলির উপর দৃষ্টি নিবদ্ধ করা হয়েছে যা শিয়ার প্রবাহে অশান্তিতে রূপান্তরিত হওয়ার জন্য দৃঢ়ভাবে সন্দেহ করা হয়। এই তত্ত্বটি তথাকথিত সম্পূর্ণ 3ডি স্থির অবস্থা, ভ্রমণ তরঙ্গ এবং নেভিয়ার-স্টোকস সমীকরণের সময়-পর্যায়ক্রমিক সমাধানগুলির নির্মাণের দিকে পরিচালিত করেছে যা অশান্ত শিয়ার প্রবাহের নিকটবর্তী প্রাচীর অঞ্চলে পর্যবেক্ষণ করা রূপান্তর এবং সুসঙ্গত কাঠামোর অনেকগুলি মূল বৈশিষ্ট্য ধারণ করে। যদিও "সমাধান" সাধারণত একটি বিশ্লেষণাত্মক ফলাফলের অস্তিত্বকে বোঝায়, তবে তরল বলবিজ্ঞানে সংখ্যাসূচক ফলাফলগুলিকে "সমাধান" হিসাবে উল্লেখ করা সাধারণ অভ্যাস-আনুমানিক সমাধানগুলি গাণিতিকভাবে সন্তোষজনক উপায়ে নেভিয়ার-স্টোকস সমীকরণগুলিকে সন্তুষ্ট করে কিনা তা নির্বিশেষে। এটি অনুমান করা হয় যে অশান্তিতে রূপান্তরের সাথে তরলের গতিশীল অবস্থা এক সমাধান থেকে অন্য দ্রবণে বিবর্তিত হয়। এই তত্ত্বটি এই ধরনের সমাধানগুলির প্রকৃত অস্তিত্বের উপর ভিত্তি করে তৈরি করা হয়েছে (যার মধ্যে অনেকগুলি এখনও একটি শারীরিক পরীক্ষামূলক সেটআপে পর্যবেক্ষণ করা হয়নি)। সঠিক সমাধানের প্রয়োজনীয়তার উপর এই শিথিলতা প্রচুর নমনীয়তার অনুমতি দেয়, কারণ কঠোরতা এবং (সম্ভবত) সঠিকতার ব্যয়ে সঠিক সমাধানগুলি (সংখ্যাসূচক সমাধানের বিপরীতে) অর্জন করা অত্যন্ত কঠিন। এইভাবে, যদিও রূপান্তরের পূর্ববর্তী পদ্ধতির মতো কঠোর নয়, এটি প্রচুর জনপ্রিয়তা অর্জন করেছে। ছিদ্রযুক্ত মাধ্যমের প্রবাহে অর-সমারফেল্ড সমীকরণের সম্প্রসারণের পরামর্শ সম্প্রতি দেওয়া হয়েছে। মুক্ত-পৃষ্ঠ প্রবাহের জন্য গাণিতিক পদ্ধতি কোয়েট প্রবাহের জন্য, অর-সমারফেল্ড সমীকরণের সমাধানে গাণিতিক অগ্রগতি করা সম্ভব। এই বিভাগে, মুক্ত-পৃষ্ঠ প্রবাহের ক্ষেত্রে এই পদ্ধতির একটি প্রদর্শন দেওয়া হয়েছে, অর্থাৎ, যখন চ্যানেলের উপরের ঢাকনাটি একটি মুক্ত পৃষ্ঠ দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়। প্রথমত লক্ষ্য করুন যে মুক্ত পৃষ্ঠের হিসাব রাখতে উপরের সীমানা শর্তগুলি সংশোধন করা প্রয়োজন। অ-মাত্রিক আকারে, এই শর্তগুলি এখন,, এ পড়ে। প্রথম মুক্ত-পৃষ্ঠ অবস্থাটি স্পর্শক চাপের ধারাবাহিকতার বিবৃতি, এবং দ্বিতীয় শর্তটি স্বাভাবিক চাপকে পৃষ্ঠের উত্তেজনার সাথে সম্পর্কিত করে। এখানে যথাক্রমে ফ্রাউড এবং ওয়েবার সংখ্যা রয়েছে। কুয়েট প্রবাহের জন্য, অ-মাত্রিক অর-সমারফেল্ড সমীকরণের চারটি রৈখিকভাবে স্বাধীন সমাধান হল, যেখানে প্রথম ধরনের এয়ার ফাংশন। চারটি সীমানা শর্তে সুপারপজিশন সমাধানের প্রতিস্থাপন চারটি অজানা ধ্রুবকের মধ্যে চারটি সমীকরণ দেয়। সমীকরণগুলির একটি অ-তুচ্ছ সমাধানের জন্য, নির্ধারক শর্তটি অবশ্যই পূরণ করতে হবে। এটি অজানা সি-তে একটি একক সমীকরণ, যা সংখ্যাসূচকভাবে বা অ্যাসিম্পটোটিক পদ্ধতি দ্বারা সমাধান করা যেতে পারে। এটি দেখানো যেতে পারে যে তরঙ্গ সংখ্যার একটি পরিসীমার জন্য এবং যথেষ্ট বড় রেনল্ডস সংখ্যার জন্য, বৃদ্ধির হার ইতিবাচক। আরও দেখুন মহাকর্ষীয় ধূমকেতু-গ্রহাণু বলপ্রয়োগকারী ঘটনা মহাকর্ষীয় তরঙ্গ লি তরঙ্গ রোগ তরঙ্গ রেফারেন্স আরও পড়া তরল গতিবিদ্যার সমীকরণ তরল গতিশীল অস্থিরতা ডিঃ লাইনিয়ার স্ট্যাবিলিতা tstheorie#Orr-সমারফেল্ড-গ্লিচাং