Eilenberg–Zilber theorem
গণিতে, বিশেষত বীজগাণিতিক টপোলজিতে, আইলেনবার্গ-জিলবার উপপাদ্যটি একটি পণ্য স্থানের সমতাত্ত্বিক গোষ্ঠী এবং স্থানগুলির মধ্যে সংযোগ স্থাপনের ক্ষেত্রে একটি গুরুত্বপূর্ণ ফলাফল। 1953 সালে আমেরিকান জার্নাল অফ ম্যাথমেটিক্সে স্যামুয়েল আইলেনবার্গ এবং জোসেফ এ. জিলবারের গবেষণাপত্রে এই উপপাদ্যটি প্রথম প্রকাশিত হয়। প্রমাণের একটি সম্ভাব্য পথ হল অ্যাসাইক্লিক মডেল উপপাদ্য। উপপাদ্যের বিবৃতি উপপাদ্যটি নিম্নরূপ প্রণয়ন করা যেতে পারে। ধরুন এবং টপোলজিকাল স্পেস, তাহলে আমাদের তিনটি চেইন কমপ্লেক্স আছে, এবং। (যুক্তিটি সরল বা একক চেইন কমপ্লেক্সের ক্ষেত্রে সমানভাবে প্রযোজ্য।) আমাদের কাছে টেনসর প্রোডাক্ট কমপ্লেক্সও রয়েছে, যার ডিফারেনশিয়াল হল, সংজ্ঞা অনুসারে, জন্য এবং, উপরের ডিফারেনশিয়াল। তারপর উপপাদ্যটি বলে যে আমাদের কাছে চেইন ম্যাপ রয়েছে যা আইডেন্টিটি এবং আইডেন্টিটির চেইন-হোমোটোপিক। উপরন্তু, মানচিত্রগুলি এবং-এ প্রাকৃতিক। ফলস্বরূপ দুটি কমপ্লেক্সের অবশ্যই একই সমরূপতা থাকতে হবেঃ যৌগিক মানচিত্রের পরিপ্রেক্ষিতে বিবৃতি মূল উপপাদ্যটি অ্যাসাইক্লিক মডেলের পরিপ্রেক্ষিতে প্রমাণিত হয়েছিল তবে আইলেনবার্গ এবং ম্যাক লেন স্পষ্ট মানচিত্র ব্যবহার করে একটি বাক্যাংশে আরও বেশি মাইলেজ অর্জন করেছিলেন। তারা যে মানক মানচিত্র তৈরি করে তা ঐতিহ্যগতভাবে আলেকজান্ডার-হুইটনি মানচিত্র এবং আইলেনবার্গ-জিলবার মানচিত্র হিসাবে উল্লেখ করা হয়। মানচিত্রগুলি উভয় ক্ষেত্রেই প্রাকৃতিক এবং হোমোটপি পর্যন্ত বিপরীতঃ একটিতে উভয় ক্ষেত্রেই প্রাকৃতিক এবং এমন একটি হোমোটপি রয়েছে যা আরও, প্রতিটি, এবং শূন্য। এটিই সংকোচন বা হোমোটপি রিট্রাক্ট ডেটাম হিসাবে পরিচিত হবে। কো-প্রোডাক্ট তির্যক মানচিত্রটি কোচেইন কমপ্লেক্সগুলির একটি মানচিত্রকে প্ররোচিত করে, যার পরে আলেকজান্ডার-হুইটনি স্ট্যান্ডার্ড কো-প্রোডাক্টকে প্ররোচিত করে একটি কো-প্রোডাক্ট প্রদান করে। এবং-এর উপর এই সহজাত পণ্যগুলির ক্ষেত্রে, মানচিত্রটি, যাকে আইলেনবার্গ-জিলবার মানচিত্রও বলা হয়, ডিফারেনশিয়াল গ্রেডেড কোলজেব্রার একটি মানচিত্রে পরিণত হয়। সংমিশ্রণটি নিজেই কোলজেব্রার মানচিত্র নয়। আলেকজান্ডার-হুইটনি এবং আইলেনবার্গ-জিলবার মানচিত্রগুলি দ্বৈত সমস্থানিক ব্যবহার করে একজোড়া মানচিত্রে দ্বৈতকরণ (একতার সাথে বিনিময়যোগ্য সহগ বলয়ের যে কোনও পছন্দের উপর) করে যা সমস্থানিক সমতুল্য, যা পূর্ববর্তী সমীকরণগুলির দ্বৈত দ্বারা সাক্ষী। কোপ্রডাক্ট সরাসরি দ্বৈত হয় না, কারণ দ্বৈতকরণ অসীম-উত্পাদিত মডিউলগুলির টেনসর পণ্যগুলিতে বিতরণ করে না, তবে গুণাংক রিংয়ে নেওয়া পণ্যটির দ্বারা প্রদত্ত ডিফারেনশিয়াল গ্রেডেড অ্যালজেব্রাগুলির একটি প্রাকৃতিক ইনজেকশন রয়েছে। এটি কোহোমোলজিতে একটি আইসোমরফিজমকে প্ররোচিত করে, তাই একজনের কোহোমোলজিতে একটি পণ্যকে প্ররোচিত করে ডিফারেনশিয়াল গ্রেডেড বীজগণিত মানচিত্রের জিগ-জ্যাগ থাকে, যা কাপ পণ্য হিসাবে পরিচিত, কারণ এবং আইসোমরফিজম। মানচিত্রগুলি একইভাবে পরিবর্তিত হলে, একজন কোচেইনে স্ট্যান্ডার্ড কাপ পণ্যটি পায়, যা স্পষ্টভাবে দেওয়া হয়, যা, যেহেতু কোচেইন মূল্যায়ন অদৃশ্য হয়ে যায়, যদি না আরও পরিচিত অভিব্যক্তিতে হ্রাস পায়। লক্ষ্য করুন যে কোচেইন কমপ্লেক্সগুলির এই সরাসরি মানচিত্রটি যদি প্রকৃতপক্ষে ডিফারেনশিয়াল গ্রেডেড অ্যালজেব্রার একটি মানচিত্র হয়, তবে কাপ পণ্যটি একটি বিনিময়যোগ্য গ্রেডেড বীজগণিত তৈরি করবে, যা এটি নয়। আলেকজান্ডার-হুইটনি মানচিত্রের কোলজেব্রা মানচিত্র হওয়ার এই ব্যর্থতা অ-শূন্য বৈশিষ্ট্যের ক্ষেত্রগুলির উপর কোহোমোলজির জন্য বিনিময়যোগ্য কোচেইন-স্তরের মডেলগুলির অনুপলব্ধতার একটি উদাহরণ, এবং এইভাবে স্থিতিশীল সমস্থানিক তত্ত্বের বেশিরভাগ সূক্ষ্মতা এবং জটিলতার জন্য দায়ী। সাধারণীকরণ ক্রসড কমপ্লেক্স ব্যবহার করে অ-আবেলিয়ান ক্ষেত্রে একটি গুরুত্বপূর্ণ সাধারণীকরণ নীচের গবেষণাপত্রে অ্যান্ড্রু টঙ্কস দ্বারা দেওয়া হয়েছে। এটি একটি ক্রস করা কমপ্লেক্সের (সরল) শ্রেণীবিভাগের স্থানের ফলাফলের সম্পূর্ণ বিবরণ দেয় যা বর্ণিত হয়েছে কিন্তু রোনাল্ড ব্রাউন এবং ফিলিপ জে হিগিন্সের শ্রেণীবিভাগের স্থান সম্পর্কে গবেষণাপত্রে প্রমাণিত হয়নি। আইলেনবার্গ-জিলবার উপপাদ্যটি কুনেথ উপপাদ্য প্রতিষ্ঠার একটি মূল উপাদান, যা এবং-এর পরিপ্রেক্ষিতে সমতাত্ত্বিক গোষ্ঠীগুলিকে প্রকাশ করে। আইলেনবার্গ-জিলবার উপপাদ্যের আলোকে, টেনেথ উপপাদ্যের বিষয়বস্তু বিশ্লেষণ করে যে টেনসর প্রোডাক্ট কমপ্লেক্সের সমবিজ্ঞান কীভাবে কারণগুলির সমতাত্ত্বিকতার সাথে সম্পর্কিত। আরও দেখুন অ্যাসাইক্লিক মডেল রেফারেন্স। । । । বীজগাণিতিক টপোলজিতে সমজাতীয় বীজগণিত উপপাদ্য