Courant algebroid
গণিতের একটি ক্ষেত্রে যা ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতি নামে পরিচিত, একটি কোরান্ট জ্যামিতি মূলত ঝাং-জু লিউ, অ্যালান ওয়েইনস্টাইন এবং পিং জু 1997 সালে লাই বায়ালজেব্রয়েডের দ্বিগুণের তদন্তে প্রবর্তন করেছিলেন। লিউ, ওয়েইনস্টাইন এবং জু কোরান্টের নামে এর নামকরণ করেছিলেন, যিনি 1990 সালের গোড়ার দিকে কোরান্ট ব্র্যাকেট নামে একটি তির্যক প্রতিসম বন্ধনী আবিষ্কারের মাধ্যমে কোরান্ট অ্যালজেব্রয়েডের স্ট্যান্ডার্ড প্রোটোটাইপ তৈরি করেছিলেন, যা জ্যাকোবি পরিচয়কে সন্তুষ্ট করতে ব্যর্থ হয়। এই আদর্শ উদাহরণ এবং লাই বিয়ালজেব্রার দ্বিগুণ উভয়ই কোরান্ট অ্যালজেব্রয়েডের বিশেষ উদাহরণ। সংজ্ঞা একটি কোরান্ট অ্যালজেব্রয়েড একটি বন্ধনী সহ একটি ভেক্টর বান্ডিল, একটি অ-ক্ষয়প্রাপ্ত ফাইবার-ভিত্তিক অভ্যন্তরীণ পণ্য এবং নিম্নলিখিত স্বতঃসিদ্ধ বিষয়গুলির সাপেক্ষে একটি বান্ডিল মানচিত্র নিয়ে গঠিত, যেখানে E এবং f এর বিভাগগুলি বেস ম্যানিফোল্ডের উপর একটি মসৃণ ফাংশন। তির্যক-প্রতিসম সংজ্ঞা বন্ধনীকে তির্যক-প্রতিসম করার জন্য একটি বিকল্প সংজ্ঞা দেওয়া যেতে পারে কারণ এটি উপরের জ্যাকোবি-পরিচয় স্বতঃসিদ্ধিকে আর সন্তুষ্ট করে না। এর পরিবর্তে এটি একটি সমস্থানিক জ্যাকোবি-পরিচয় পূরণ করে। যেখানে টি হল লাইবনিজ নিয়ম এবং স্কেলার পণ্যের অপরিবর্তিতা সম্পর্ক দ্বারা পরিবর্তিত হয় এবং তির্যক-প্রতিসাম্য লঙ্ঘন স্বতঃসিদ্ধ দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয় তির্যক-প্রতিসাম্য বন্ধনীটি ডি এবং জ্যাকোবিয়েটর টি এর সাথে মিলে একটি দৃঢ় সমস্থানিক লাই বীজগণিত গঠন করে। গুণাবলী বন্ধনীটি তির্যক-প্রতিসম নয় যেমনটি তৃতীয় স্বতঃসিদ্ধ থেকে দেখা যায়। পরিবর্তে এটি একটি নির্দিষ্ট জ্যাকোবি-পরিচয় (প্রথম স্বতঃসিদ্ধ) এবং একটি লাইবনিজ নিয়ম (দ্বিতীয় স্বতঃসিদ্ধ) পূরণ করে। এই দুটি স্বতঃসিদ্ধ সূত্র থেকে বোঝা যায় যে নোঙ্গর মানচিত্র ρ হল বন্ধনীগুলির একটি অঙ্গবিন্যাসঃ চতুর্থ নিয়মটি হল বন্ধনীর নীচে অভ্যন্তরীণ পণ্যের একটি পরিবর্তনশীলতা। পোলারাইজেশন উদাহরণের দিকে নিয়ে যায় কোরান্ট অ্যালজেব্রয়েডের একটি উদাহরণ হল সিভেরা দ্বারা প্রবর্তিত একটি মোচড় সহ সরাসরি যোগফলের উপর ডর্ফম্যান বন্ধনী, (1998) হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছেঃ যেখানে এক্স, ওয়াই ভেক্টর ক্ষেত্র, ω, ω হল 1-ফর্ম এবং এইচ বন্ধনীকে মোচড় দেওয়া একটি বদ্ধ 3-ফর্ম। এই বন্ধনীটি সাধারণীকৃত জটিল কাঠামোর সংহতকরণ বর্ণনা করতে ব্যবহৃত হয়। আরও একটি সাধারণ উদাহরণ একটি লাই অ্যালজেব্রয়েড এ থেকে উদ্ভূত হয় যার উপর প্ররোচিত ডিফারেনশিয়ালকে আবার ডি হিসাবে লেখা হবে। তারপর ডর্ফম্যান বন্ধনীর জন্য একই সূত্র ব্যবহার করুন যার এইচ এবং এ-3-ফর্মটি ডি-এর অধীনে বন্ধ থাকে। কোরান্ট অ্যালজেব্রয়েডের আরেকটি উদাহরণ হল একটি দ্বিঘাত লাই বীজগণিত, অর্থাৎ। একটি অপরিবর্তনীয় স্কেলার পণ্য সহ একটি লাই বীজগণিত। এখানে বেস ম্যানিফোল্ডটি কেবল একটি বিন্দু এবং এইভাবে অ্যাঙ্কর মানচিত্র (এবং ডি) তুচ্ছ। ওয়েইনস্টেইন এবং অন্যান্যরা গবেষণাপত্রে বর্ণিত উদাহরণ। এটি একটি লাই বিয়ালজেব্রয়েড থেকে আসে, অর্থাৎ। একটি লাই অ্যালজেব্রয়েড (নোঙ্গর এবং বন্ধনী সহ), এর দ্বৈত একটি লাই অ্যালজেব্রয়েড (ডিফারেনশিয়াল চালু করে) এবং (যেখানে আরএইচএস-এ আপনি গ্রেডেড লাইবনিজ নিয়ম ব্যবহার করে এ-বন্ধনী প্রসারিত করেন)। এই ধারণাটি এ এবং এ-তে প্রতিসম (রয়টেনবার্গ দেখুন)। এখানে নোঙ্গর এবং বন্ধনী সহ এক্স এবং α-তে উপরেরটির তির্যক-প্রতিসাম্যকরণ রয়েছে (Y এবং β-তে সমতুল্য): ডিরাক কাঠামো বিভক্ত স্বাক্ষরের অভ্যন্তরীণ পণ্যের সাথে একটি কোরান্ট অ্যালজেব্রয়েড দেওয়া হয়েছে (যেমন। স্ট্যান্ডার্ড এক), তারপর একটি ডিরাক কাঠামো একটি সর্বাধিক আইসোট্রপিক ইন্টিগ্রেবল ভেক্টর সাববুন্ডল এল → এম, অর্থাৎ। ,,,। উদাহরণ কোরান্ট দ্বারা আবিষ্কৃত এবং ডর্ফম্যান দ্বারা সমান্তরাল, একটি 2-ফর্ম ω ω ω2 (এম) এর গ্রাফ সর্বাধিক আইসোট্রপিক এবং উপরন্তু ইন্টিগ্রেবল যদি dω = 0, অর্থাৎ। 2-ফর্মটি ডি রাম ডিফারেনশিয়ালের অধীনে বন্ধ করা হয়, অর্থাৎ। একটি উপসর্গহীন কাঠামো। দ্বিতীয় শ্রেণীর উদাহরণ পাওয়া যায় বাইভেক্টর থেকে যার গ্রাফ সর্বাধিক আইসোট্রপিক এবং ইন্টিগ্রেবল আইএফএফ [Π, Π] = 0, অর্থাৎ। Π হল এম. জেনারেলাইজড জটিল কাঠামোর উপর একটি পয়সন বাইভেক্টর (মূল নিবন্ধটি জেনারেলাইজড জটিল জ্যামিতিও দেখুন) বিভক্ত স্বাক্ষরের অভ্যন্তরীণ পণ্য সহ একটি কোরান্ট অ্যালজেব্রয়েড দেওয়া হয়েছে। একটি সাধারণীকৃত জটিল কাঠামো হল অতিরিক্ত বৈশিষ্ট্য সহ জটিল কোরান্ট অ্যালজেব্রয়েডের একটি ডিরাক কাঠামো যেখানে জটিলতার উপর মানক জটিল কাঠামোর সাপেক্ষে জটিল সংমিশ্রণ বোঝায়। গুয়ালতিরির দ্বারা বিস্তারিতভাবে অধ্যয়ন করা সাধারণ জটিল কাঠামো জটিল জ্যামিতির অনুরূপ জ্যামিতি অধ্যয়নের অনুমতি দেয়। উদাহরণস্বরূপ, উপসর্গহীন এবং পয়সন কাঠামোর পাশাপাশি একটি জটিল কাঠামো J: TM → TM-এর গ্রাফও রয়েছে। আরও পড়ার রেফারেন্স দিমিত্রি রয়টেনবার্গঃ কোরান্ট অ্যালজেব্রয়েড, উদ্ভূত বন্ধনী, এবং এমনকি সিমপ্লেক্টিক সুপারম্যানিফোল্ড, পিএইচডি থিসিস ইউনিভার্সিটি। ক্যালিফোর্নিয়া বার্কলে (1999) ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতি