Bruhat order
গণিতে, ব্রুহাত ক্রম (যাকে শক্তিশালী ক্রম বা শক্তিশালী ব্রুহাত ক্রম বা চেভালি ক্রম বা ব্রুহাত-চেভালি ক্রম বা চেভালি-ব্রুহাত ক্রমও বলা হয়) একটি কক্সেটার গোষ্ঠীর উপাদানগুলির উপর একটি আংশিক ক্রম, যা শুবার্ট জাতের অন্তর্ভুক্তির ক্রমের সাথে মিলে যায়। একটি ফ্ল্যাগ ম্যানিফোল্ড বা গ্রাসমানিয়ানের শুবার্ট জাতের উপর ব্রুহাত ক্রমটি প্রথম অধ্যয়ন করা হয়েছিল এবং আরও সাধারণ আধা-সহজ বীজগাণিতিক গোষ্ঠীর জন্য এনালগ অধ্যয়ন করা হয়েছিল। ওয়েল গোষ্ঠীর উপর ব্রুহাত ক্রমের সমন্বিত অধ্যয়ন শুরু করে এবং ফ্রাঁসোয়া ব্রুহাত দ্বারা প্রবর্তিত ব্রুহাত পচনের সাথে সম্পর্কের কারণে "ব্রুহাত ক্রম" নামটি প্রবর্তন করে। বাম এবং ডান দিকের দুর্বল ব্রুহাত ক্রমগুলি দ্বারা অধ্যয়ন করা হয়েছিল। সংজ্ঞা যদি (ডাব্লু, এস) জেনারেটর এস সহ একটি কক্সেটার সিস্টেম হয়, তবে ব্রুহাত ক্রমটি ডাব্লু গ্রুপের একটি আংশিক ক্রম। মনে রাখবেন যে ডাব্লু-এর একটি উপাদানের জন্য একটি হ্রাস শব্দটি এস-এর উপাদানগুলির গুণফল হিসাবে ডাব্লু-এর ন্যূনতম দৈর্ঘ্যের অভিব্যক্তি এবং ডাব্লু-এর দৈর্ঘ্য এল (ডাব্লু) একটি হ্রাস শব্দের দৈর্ঘ্য। (শক্তিশালী) ব্রুহাত ক্রমটি u ≤ v দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয় যদি v-এর জন্য কিছু (বা প্রতিটি) হ্রাসকৃত শব্দের কিছু স্তর u-এর জন্য একটি হ্রাসকৃত শব্দ হয়। (লক্ষ্য করুন যে এখানে একটি সাবস্ট্রিং অগত্যা একটি ধারাবাহিক সাবস্ট্রিং নয়।) দুর্বল বাম (ব্রুহাত) ক্রমটি u ≤ L v দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয় যদি v-এর জন্য কিছু হ্রাসকৃত শব্দের কিছু চূড়ান্ত স্তর u-এর জন্য একটি হ্রাসকৃত শব্দ হয়। দুর্বল ডান (ব্রুহাত) ক্রমটি u ≤ R v দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয় যদি v-এর জন্য কিছু হ্রাসকৃত শব্দের প্রাথমিক স্তর u-এর জন্য একটি হ্রাসকৃত শব্দ হয়। দুর্বল ক্রম সম্পর্কে আরও জানতে, নিবন্ধটি দেখুন দুর্বল ক্রমবিন্যাসের ক্রম। ব্রুহাত গ্রাফ হল (শক্তিশালী) ব্রুহাত ক্রমের সাথে সম্পর্কিত একটি নির্দেশিত গ্রাফ। ভার্টেক্স সেট হল কক্সেটার গ্রুপের উপাদানগুলির সেট এবং প্রান্ত সেটটি নির্দেশিত প্রান্ত (u, v) নিয়ে গঠিত যখনই কিছু প্রতিফলনের জন্য u = tv এবং l (u) <l (v)। প্রতিফলনের সেট থেকে আসা প্রান্ত লেবেল সহ গ্রাফটিকে প্রান্ত-লেবেলযুক্ত নির্দেশিত গ্রাফ হিসাবে দেখা যেতে পারে। (ডানদিকে গুণ ব্যবহার করে ব্রুহাত গ্রাফকে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে; গ্রাফ হিসাবে, ফলস্বরূপ বস্তুগুলি সমরূপ, তবে প্রান্তের লেবেলগুলি আলাদা।) প্রতিসম গোষ্ঠীর (বিন্যাস) শক্তিশালী ব্রুহাত ক্রমের দ্বারা প্রদত্ত মোবিয়াস ফাংশন রয়েছে এবং এইভাবে এই অবস্থানটি ইউলেরিয়ান, যার অর্থ এর মোবিয়াস ফাংশনটি অবস্থানের র্যাঙ্ক ফাংশন দ্বারা উত্পাদিত হয়। আরও দেখুন কাজদান-লুস্তিগ বহুপদী রেফারেন্স কক্সেটার গ্রুপের অর্ডার তত্ত্ব