Spinors in three dimensions
গণিতে, তিনটি মাত্রার জন্য বিশেষায়িত স্পিনোর ধারণাকে ডট প্রোডাক্ট এবং ক্রস প্রোডাক্টের ঐতিহ্যবাহী ধারণার মাধ্যমে বিবেচনা করা যেতে পারে। এটি ঘূর্ণন গোষ্ঠী এস. ও (3)-এর বিস্তারিত বীজগাণিতিক আলোচনার অংশ। গঠন একটি 2×2 জটিল হার্মিটিয়ান ম্যাট্রিক্সের সাথে একটি স্পিনারের সংযোগ এলি কার্টান দ্বারা প্রণয়ন করা হয়েছিল। বিস্তারিতভাবে, বাস্তব (বা জটিল) সংখ্যার একটি ভেক্টর x = (x1, x2, x3) দেওয়া হলে, জটিল ম্যাট্রিক্সকে সংযুক্ত করা যেতে পারে পদার্থবিজ্ঞানে, এটি প্রায়শই একটি বিন্দু গুণফল হিসাবে লেখা হয়, যেখানে পাউলি ম্যাট্রিক্সের ভেক্টর রূপ। এই ফর্মের ম্যাট্রিসগুলির নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্য রয়েছে, যা তাদের 3-স্পেসের জ্যামিতির সাথে অন্তর্নিহিতভাবে সম্পর্কিত করেঃ, যেখানে নির্ধারককে বোঝায়। , যেখানে আই হল আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্স। যেখানে Z হল ক্রস প্রোডাক্টের সাথে যুক্ত ম্যাট্রিক্স। যদি একটি একক ভেক্টর হয়, তবে ভেক্টরের সাথে যুক্ত ম্যাট্রিক্স যা সমতল অর্থোগোনাল থেকে প্রতিফলিত হয়। শেষ বৈশিষ্ট্যটি ঘূর্ণন ক্রিয়াকলাপকে সহজ করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। এটি রৈখিক বীজগণিত থেকে একটি প্রাথমিক সত্য যে দুটি প্রতিফলনের সংমিশ্রণ হিসাবে 3-স্পেস ফ্যাক্টরগুলিতে যে কোনও ঘূর্ণন। (আরও সাধারণভাবে, যে কোনও অভিযোজন-বিপরীতমুখী অর্থোগোনাল রূপান্তর হয় একটি প্রতিফলন বা তিনটি প্রতিফলনের গুণফল।) সুতরাং যদি R একটি ঘূর্ণন হয় যা একটি একক ভেক্টরের লম্ব সমতলে প্রতিফলন হিসাবে বিচ্ছিন্ন হয় এবং তারপরে সমতলে লম্ব প্রতিফলন হয়, তবে ম্যাট্রিক্সটি R এর মধ্য দিয়ে ভেক্টরের ঘূর্ণনকে উপস্থাপন করে। 3-স্পেসের সমস্ত ঘূর্ণন রৈখিক জ্যামিতিকে কার্যকরভাবে জটিল 2 × 2 ম্যাট্রিক্সের একটি সেটে এনকোড করার পরে, 2 × 1 ম্যাট্রিক্স (অর্থাৎ, কলাম ভেক্টর) কি ভূমিকা পালন করে তা জিজ্ঞাসা করা স্বাভাবিক। অস্থায়ীভাবে, একটি স্পিনোর হল একটি কলাম ভেক্টর যার মধ্যে জটিল এন্ট্রি ω1 এবং ω2 রয়েছে। স্পিনারের স্থান স্পষ্টতই জটিল 2 × 2 ম্যাট্রিক্স দ্বারা কাজ করা হয়। উপরে যেমন দেখানো হয়েছে, একক ভেক্টরের একটি জুটিতে দুটি প্রতিফলনের গুণফল একটি 2 × 2 ম্যাট্রিক্সকে সংজ্ঞায়িত করে যার ইউক্লিডীয় ভেক্টরের উপর ক্রিয়া একটি ঘূর্ণন। সুতরাং স্পিনরে ঘূর্ণনের একটি ক্রিয়া রয়েছে। যাইহোক, একটি গুরুত্বপূর্ণ সতর্কতা রয়েছেঃ একটি ঘূর্ণনের ফ্যাক্টরাইজেশন অনন্য নয়। স্পষ্টতই, যদি একটি আবর্তনের উপস্থাপনা হয়, তবে R কে −R দ্বারা প্রতিস্থাপন করলে একই আবর্তনের ফলাফল পাওয়া যাবে। প্রকৃতপক্ষে, কেউ সহজেই দেখাতে পারে যে এটিই একমাত্র অস্পষ্টতা যা উদ্ভূত হয়। সুতরাং একটি স্পিনারের উপর ঘূর্ণনের ক্রিয়া সর্বদা দ্বিগুণ-মূল্যবান হয়। ইতিহাস 2 × 2 জটিল ম্যাট্রিক্স নিয়ে কার্টানের কাজের কিছু অগ্রদূত ছিলঃ ওল্ফগ্যাং পাউলি এই ম্যাট্রিক্সগুলি এত নিবিড়ভাবে ব্যবহার করেছিলেন যে একটি চার-মাত্রিক সাবস্পেসের একটি নির্দিষ্ট ভিত্তির উপাদানগুলিকে পাউলি ম্যাট্রিক্স σi বলা হয়, যাতে হার্মিটিয়ান ম্যাট্রিক্সকে পাউলি ভেক্টর হিসাবে লেখা হয় 19 শতকের মাঝামাঝি সময়ে চারটি জটিল মাত্রার এই বীজগণিতে বীজগাণিতিক ক্রিয়াকলাপগুলি দ্বিগুণ হিসাবে অধ্যয়ন করা হয়েছিল। গণিতের পদার্থবিজ্ঞানে মাইকেল স্টোন এবং পল গোল্ডবার এর বিরোধিতা করে বলেছেন, "পদার্থবিজ্ঞানে তাদের প্রয়োজন হওয়ার কয়েক বছর আগে 1913 সালে এলি কার্টান দ্বারা ঘূর্ণন উপস্থাপনাগুলি আবিষ্কৃত হয়েছিল।" কোয়াটারনিয়নিক গঠন ব্যবহার না করে 3-স্পেসে আইসোট্রপিক ভেক্টর থেকে সরাসরি আইসোট্রপিক ভেক্টর ব্যবহার করে স্পিনোর তৈরি করা যেতে পারে। স্পিনারের এই প্রবর্তনকে অনুপ্রাণিত করার জন্য, ধরুন যে এক্স একটি ম্যাট্রিক্স যা জটিল 3-স্পেসে একটি ভেক্টর x-এর প্রতিনিধিত্ব করে। আরও ধরুন যে x হল আইসোট্রপিকঃ অর্থাৎ, তারপর যেহেতু X-এর নির্ধারক শূন্য, তাই এর সারি বা কলামের মধ্যে একটি আনুপাতিকতা রয়েছে। এইভাবে ম্যাট্রিক্সকে দুটি জটিল 2-ভেক্টরের বাইরের গুণফল হিসাবে লেখা যেতে পারেঃ এই ফ্যাক্টরাইজেশন ভেক্টর x-এর স্থানাঙ্কে সমীকরণের একটি অতিরিক্ত নির্ধারিত পদ্ধতি প্রদান করেঃ সীমাবদ্ধতার সাপেক্ষে এই পদ্ধতিটি সমাধানগুলি স্বীকার করে। সুতরাং একটি স্পিনোরকে চিহ্নের পছন্দের সাথে একটি আইসোট্রপিক ভেক্টর হিসাবে দেখা যেতে পারে। লক্ষ্য করুন যে লগারিদমিক শাখার কারণে, ধারাবাহিকভাবে একটি চিহ্ন নির্বাচন করা অসম্ভব যাতে x স্থানাঙ্কের মধ্যে পূর্ণ আবর্তনের সময় () ক্রমাগত পরিবর্তিত হয়। একটি স্পিনরে ঘূর্ণনের প্রতিনিধিত্বের এই অস্পষ্টতা সত্ত্বেও, ঘূর্ণনগুলি ω1: ω2 অনুপাতে ভগ্নাংশ রৈখিক রূপান্তর দ্বারা দ্ব্যর্থহীনভাবে কাজ করে কারণ সমাধানে () চিহ্নের একটি পছন্দ দ্বিতীয় চিহ্নের পছন্দকে বাধ্য করে। বিশেষ করে, স্পিনারের স্থান হল অর্থোগোনাল গ্রুপের একটি প্রজেক্টিভ উপস্থাপনা। এই দৃষ্টিভঙ্গির ফলস্বরূপ, স্পিনোরগুলিকে আইসোট্রপিক ভেক্টরের এক ধরনের "বর্গমূল" হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে। বিশেষত, ম্যাট্রিক্স সিস্টেম () প্রবর্তন করা অনির্ধারিত স্পিনারের জন্য X = 2 ω t ω C সমাধান করার সমতুল্য। একটি ফোরটিয়োরি, যদি ′ এবং x-এর ভূমিকা এখন বিপরীত হয়, তবে Q (′) = x ফর্মটি প্রতিটি স্পিনোর ′-এর জন্য, ′-এর উপাদানগুলিতে একটি ভেক্টর x-কে চতুর্ভুজ হিসাবে সংজ্ঞায়িত করে। যদি এই দ্বিঘাত রূপটি মেরুকৃত হয়, তবে এটি স্পিনোর Q (μ, x)-এর উপর একটি দ্বিমাত্রিক ভেক্টর-মূল্যবান রূপ নির্ধারণ করে। এই দ্বিমাত্রিক রূপটি তারপর একটি প্রতিফলন বা আবর্তনের অধীনে টেনসোরিয়ালভাবে রূপান্তরিত হয়। বাস্তবতা বিবেচনাধীন মূল ইউক্লিডীয় স্থানটি বাস্তব নাকি জটিল তা উপরের বিবেচনাগুলি সমানভাবে প্রযোজ্য। যখন স্থানটি বাস্তব হয়, তখন স্পিনারগুলির কিছু অতিরিক্ত কাঠামো থাকে যা ঘূর্ণন গোষ্ঠীর প্রতিনিধিত্বের একটি সম্পূর্ণ বিবরণকে সহজতর করে। মনে করুন, সরলতার জন্য, 3-স্থানের অভ্যন্তরীণ গুণফলের ধনাত্মক-নির্দিষ্ট স্বাক্ষর রয়েছেঃ এই ধারণার সাথে, বাস্তব ভেক্টরগুলি হার্মিসিয়ান ম্যাট্রিক্সের সাথে মিলে যায়। উপরন্তু, ফর্ম () সংরক্ষণকারী বাস্তব ঘূর্ণনগুলি (দ্বিগুণ-মূল্যবান অর্থে) নির্ধারক একটির একক ম্যাট্রিক্সের সাথে মিলে যায়। আধুনিক ভাষায়, এটি বিশেষ একক গোষ্ঠী এস. ইউ (2) কে এস. ও (3) এর দ্বৈত আবরণ হিসাবে উপস্থাপন করে। ফলস্বরূপ, স্পিনোর হার্মিসিয়ান পণ্যটি সমস্ত ঘূর্ণন দ্বারা সংরক্ষিত থাকে এবং তাই এটি ক্যানোনিকাল। তবে, যদি 3-স্থানে অভ্যন্তরীণ পণ্যের স্বাক্ষর অনির্দিষ্ট হয় (অর্থাৎ, অ-অবক্ষয়, তবে ইতিবাচক নির্দিষ্ট নয়), তবে এটি প্রতিফলিত করার জন্য পূর্ববর্তী বিশ্লেষণটি অবশ্যই সামঞ্জস্য করতে হবে। তারপর মনে করুন যে 3-স্পেসের দৈর্ঘ্য ফর্মটি দ্বারা দেওয়া হয়েছেঃ তারপর পূর্ববর্তী বিভাগগুলির স্পিনারের নির্মাণ এগিয়ে যায়, তবে সমস্ত সূত্রে প্রতিস্থাপন করা হয়। এই নতুন নিয়মে, একটি বাস্তব ভেক্টরের সাথে যুক্ত ম্যাট্রিক্স নিজেই বাস্তবঃ ফর্ম () আর একটি বাস্তব আবর্তনের (বা বিপরীত) অধীনে অপরিবর্তনীয় নয়, যেহেতু স্থিরকারী গ্রুপ () এখন একটি লরেঞ্জ গ্রুপ O (2,1)। পরিবর্তে, অ্যান্টি-হার্মিটিয়ান ফর্মটি এই মেট্রিক স্বাক্ষরটিতে স্পিনারের জন্য অভ্যন্তরীণ পণ্যের উপযুক্ত ধারণাকে সংজ্ঞায়িত করে। এই রূপটি ও (2,1) এর পরিচয়ের সংযুক্ত উপাদানের রূপান্তরের অধীনে অপরিবর্তনীয়। উভয় ক্ষেত্রেই, কোয়ার্টিক ফর্মটি যথাক্রমে ও (3) (বা ও (2,1)) এর অধীনে সম্পূর্ণ অপরিবর্তনীয়, যেখানে কিউ হল পূর্ববর্তী বিভাগে বর্ণিত ভেক্টর-মূল্যবান দ্বিমাত্রিক ফর্ম। এটি যে দ্বিঘাতের পরিবর্তে একটি চতুষ্কোণীয় অপরিবর্তনীয়, তার একটি গুরুত্বপূর্ণ পরিণতি রয়েছে। যদি কেউ বিশেষ অর্থোগোনাল রূপান্তরগুলির গোষ্ঠীর দিকে মনোযোগ সীমাবদ্ধ করে, তবে এই রূপের বর্গমূলটি দ্ব্যর্থহীনভাবে নেওয়া এবং তাদের দ্বৈতগুলির সাথে স্পিনোরগুলির একটি সনাক্তকরণ অর্জন করা সম্ভব। প্রতিনিধিত্ব তত্ত্বের ভাষায়, এটি বোঝায় যে আইসোমরফিজম পর্যন্ত এস. ও (3) (বা এস. ও (2,1)) এর শুধুমাত্র একটি অপরিবর্তনীয় ঘূর্ণন উপস্থাপনা রয়েছে। যাইহোক, যদি বিপরীতমুখী (যেমন, একটি সমতলে প্রতিফলন) অনুমতি দেওয়া হয়, তবে প্রতিফলনের প্রয়োগের উপর চিহ্ন পরিবর্তনের কারণে স্পিনোরগুলিকে তাদের ডুয়ালগুলির সাথে সনাক্ত করা আর সম্ভব নয়। এইভাবে ও (3) (বা ও (2,1))-এর দুটি অপরিবর্তনীয় ঘূর্ণন উপস্থাপনা রয়েছে, যাকে কখনও কখনও পিন উপস্থাপনা বলা হয়। বাস্তবতা কাঠামো এই দুটি স্বাক্ষরের মধ্যে পার্থক্য স্পিনারের স্থানের উপর একটি বাস্তবতা কাঠামোর ধারণা দ্বারা সংহিতাবদ্ধ করা যেতে পারে। অনানুষ্ঠানিকভাবে, এটি একটি স্পিনরের একটি জটিল কনজুগেট নেওয়ার জন্য একটি প্রেসক্রিপশন, তবে এমনভাবে যে এটি একটি স্পিনরের উপাদানগুলির প্রতি স্বাভাবিক কনজুগেটের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ নাও হতে পারে। বিশেষত, একটি বাস্তব কাঠামো একটি হার্মিশিয়ান 2 × 2 ম্যাট্রিক্স K দ্বারা নির্দিষ্ট করা হয় যার গুণফল নিজেই আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্সঃ K2 = ID। ভেক্টরের উপর অভ্যন্তরীণ গুণফলের নির্দিষ্ট রূপ (যেমন, () বা ()) যখনই X একটি বাস্তব ভেক্টরের সাথে সম্পর্কিত একটি ম্যাট্রিক্স হয় তখন প্রয়োজনের দ্বারা একটি বাস্তব কাঠামো (-1 এর একটি গুণক পর্যন্ত) নির্ধারণ করে। সুতরাং ইউক্লিডীয় স্বাক্ষর ()-এ K = iC হল বাস্তব কাঠামো, এবং K = ID হল স্বাক্ষর ()-এর জন্য। হাতে একটি বাস্তব কাঠামো থাকলে, নিম্নলিখিত ফলাফল পাওয়া যায়ঃ X হল একটি বাস্তব ভেক্টরের সাথে যুক্ত ম্যাট্রিক্স যদি, এবং শুধুমাত্র যদি, যদি μ এবং ω একটি স্পিনোর হয়, তবে অভ্যন্তরীণ গুণফল একটি হার্মিশিয়ান রূপ নির্ধারণ করে যা সঠিক অর্থোগোনাল রূপান্তরের অধীনে অপরিবর্তনীয়। পদার্থবিজ্ঞানে উদাহরণ পাউলি স্পিন ম্যাট্রিক্সের স্পিনরস প্রায়শই, স্পিনরসের প্রথম উদাহরণ যা পদার্থবিজ্ঞানের একজন শিক্ষার্থী সম্মুখীন হয় তা হল পলির ইলেক্ট্রন স্পিন তত্ত্বে ব্যবহৃত 2 × 1 স্পিনরস। পাউলি ম্যাট্রিক্স হল তিনটি 2×2 ম্যাট্রিক্সের একটি ভেক্টর যা স্পিন অপারেটর হিসাবে ব্যবহৃত হয়। উদাহরণস্বরূপ (a, b, c) তিনটি মাত্রায় একটি একক ভেক্টর দেওয়া হলে, একক ভেক্টরের দিকে ঘোরার জন্য একটি ঘূর্ণন ম্যাট্রিক্স পেতে পাউলি ঘূর্ণন ম্যাট্রিক্স সহ একটি বিন্দু গুণফল নেওয়া হয়। সেই স্পিন ম্যাট্রিক্সের আইগেনভেক্টরগুলি ভেক্টর দ্বারা প্রদত্ত দিকে স্পিন-1/2-এর জন্য স্পিনোর। উদাহরণস্বরূপঃ u = (0.8,-0.6,0) একটি একক ভেক্টর। পাউলি স্পিন ম্যাট্রিক্স দিয়ে এটি চিহ্নিত করলে ম্যাট্রিক্সটি পাওয়া যায়ঃ আইগেনভেক্টরগুলি রৈখিক বীজগণিতের স্বাভাবিক পদ্ধতি দ্বারা পাওয়া যেতে পারে, তবে একটি সুবিধাজনক কৌশল হল লক্ষ্য করা যে একটি পাউলি স্পিন ম্যাট্রিক্স একটি অনৈচ্ছিক ম্যাট্রিক্স, অর্থাৎ উপরের ম্যাট্রিক্সের বর্গটি হল আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্স। সুতরাং ±1 এর আইগেনভ্যালু সহ আইগেনভেক্টর সমস্যার একটি (ম্যাট্রিক্স) সমাধান হল কেবল 1 ±Su। অর্থাৎ, ভেক্টর সমাধান হিসাবে আইগেনভেক্টর ম্যাট্রিক্সের যে কোনও একটি কলাম বেছে নেওয়া যেতে পারে, যদি নির্বাচিত কলামটি শূন্য না হয়। উপরের প্রথম কলামটি গ্রহণ করলে, দুটি আইগেনভ্যালুগুলির জন্য আইগেনভেক্টর সমাধানগুলি হলঃ আইগেনভেক্টরগুলি খুঁজে বের করার জন্য ব্যবহৃত কৌশলটি আদর্শের ধারণার সাথে সম্পর্কিত, অর্থাৎ ম্যাট্রিক্স আইগেনভেক্টরগুলি (1 ±Su)/2 হল প্রজেকশন অপারেটর বা আইডেম্পোটেন্ট এবং তাই প্রতিটি পাউলি বীজগণিতে একটি আদর্শ তৈরি করে। একই কৌশল যে কোনও ক্লিফোর্ড বীজগণিতে কাজ করে, বিশেষত ডায়রাক বীজগণিতে যা নীচে আলোচনা করা হয়েছে। এই প্রজেকশন অপারেটরগুলিকে ঘনত্ব ম্যাট্রিক্স তত্ত্বেও দেখা যায় যেখানে এগুলি বিশুদ্ধ ঘনত্ব ম্যাট্রিক্সের উদাহরণ। আরও সাধারণভাবে, (a, b, c) দিকে ঘূর্ণনের জন্য প্রজেকশন অপারেটর দ্বারা দেওয়া হয় এবং যে কোনও অ-শূন্য কলামকে প্রজেকশন অপারেটর হিসাবে নেওয়া যেতে পারে। যদিও দুটি কলাম আলাদা দেখায়, কেউ a2 + b2 + c2 = 1 ব্যবহার করে দেখাতে পারে যে তারা একই স্পিনারের গুণিতক (সম্ভবত শূন্য)। সাধারণ মন্তব্য পারমাণবিক পদার্থবিজ্ঞান এবং কোয়ান্টাম বলবিজ্ঞানে, ঘূর্ণনের বৈশিষ্ট্য একটি প্রধান ভূমিকা পালন করে। তাদের অন্যান্য বৈশিষ্ট্য ছাড়াও সমস্ত কণার একটি অ-ধ্রুপদী বৈশিষ্ট্য রয়েছে, অর্থাৎ, প্রচলিত পদার্থবিজ্ঞানে যার কোনও মিল নেই, যথা ঘূর্ণন, যা এক ধরনের অভ্যন্তরীণ কৌণিক ভরবেগ। অবস্থানের উপস্থাপনায়, ঘূর্ণন ছাড়া একটি তরঙ্গ ফাংশনের পরিবর্তে, ± = ± (r), ঘূর্ণন সহ থাকেঃ ± = ± (r, σ), যেখানে σ নিম্নলিখিত পৃথক মানগুলি গ্রহণ করেঃ একটি কণার মোট কৌণিক ভরবেগ অপারেটর, কক্ষীয় কৌণিক ভরবেগ (অর্থাৎ, শুধুমাত্র পূর্ণসংখ্যা অনুমোদিত) এবং অভ্যন্তরীণ অংশ, ঘূর্ণনের যোগফলের সাথে মিলে যায়। একটি বোসন (এস = 0, ±1, ±2,) এবং ফার্মিয়ন (এস = ±1/2, ±3/2, ±5/2,) কে আলাদা করে। আরও দেখুন ব্লচ গোলক পাউলি সমীকরণ রেফারেন্স রৈখিক বীজগণিত স্পিনরস রুঃ σπινορ τρεχμερνογο προστρανστβα