Positive-definite kernel
অপারেটর তত্ত্বে, গণিতের একটি শাখায়, একটি ধনাত্মক-নির্দিষ্ট কার্নেল হল একটি ধনাত্মক-নির্দিষ্ট ফাংশন বা ধনাত্মক-নির্দিষ্ট ম্যাট্রিক্সের সাধারণীকরণ। ইন্টিগ্রাল অপারেটর সমীকরণ সমাধানের প্রেক্ষাপটে 20 শতকের গোড়ার দিকে জেমস মার্সার এটি প্রথম প্রবর্তন করেছিলেন। তারপর থেকে, ধনাত্মক-নির্দিষ্ট ফাংশন এবং তাদের বিভিন্ন সাদৃশ্য এবং সাধারণীকরণ গণিতের বিভিন্ন অংশে উদ্ভূত হয়েছে। এগুলি স্বাভাবিকভাবেই ফুরিয়ার বিশ্লেষণ, সম্ভাব্যতা তত্ত্ব, অপারেটর তত্ত্ব, জটিল ফাংশন-তত্ত্ব, মুহূর্ত সমস্যা, অবিচ্ছেদ্য সমীকরণ, আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের জন্য সীমানা-মান সমস্যা, মেশিন লার্নিং, এম্বেডিং সমস্যা, তথ্য তত্ত্ব এবং অন্যান্য ক্ষেত্রে ঘটে। সংজ্ঞা একটি অ-খালি সেট হতে দিন, কখনও কখনও সূচক সেট হিসাবে উল্লেখ করা হয়। একটি প্রতিসম ফাংশনকে ধনাত্মক-নির্দিষ্ট (পি. ডি.) বলা হয়। যদি কোনও কিছুর জন্য রাখা থাকে তবে কার্নেল চালু করুন। সম্ভাব্যতা তত্ত্বে, কখনও কখনও ধনাত্মক-নির্দিষ্ট কার্নেলের মধ্যে একটি পার্থক্য করা হয়, যার জন্য সমতা (1.1) বোঝায়, এবং ধনাত্মক আধা-নির্দিষ্ট (পিএসডি)। কার্নেল, যা এই শর্ত আরোপ করে না। লক্ষ্য করুন যে এটি জোড়ভিত্তিক মূল্যায়ন দ্বারা নির্মিত যে কোনও সসীম ম্যাট্রিক্সের সম্পূর্ণ ধনাত্মক (পৃ.) প্রয়োজন হওয়ার সমতুল্য। অথবা অ-নেতিবাচক (পি. এস. ডি) আইগেনভ্যালু। গাণিতিক সাহিত্যে, কার্নেলগুলি সাধারণত জটিল মূল্যবান ফাংশন হয়, তবে এই নিবন্ধে আমরা বাস্তব-মূল্যবান ফাংশনগুলি ধরে নিই, যা পি. ডি প্রয়োগের ক্ষেত্রে সাধারণ অনুশীলন। কার্নেল। কিছু সাধারণ সম্পত্তি একটি পি. ডি পরিবারের জন্য শঙ্কুযুক্ত যোগফল হল পি. ডি, প্রদত্ত গুণফল হল পি. ডি, প্রদত্ত সীমা হল পি. ডি। যদি সীমা থাকে। যদি সেটগুলির একটি ক্রম, এবং পি. ডি-র একটি ক্রম হয়। কার্নেল, তারপর উভয়ই পি. ডি। কার্নেল চালু। যাক। তারপর এর সীমাবদ্ধতাও একটি পি. ডি। কার্নেল। পি. ডি-র উদাহরণ। কার্নেল পি. ডি-র সাধারণ উদাহরণ। ইউক্লিডীয় স্থানে সংজ্ঞায়িত কার্নেলগুলির মধ্যে রয়েছেঃ রৈখিক কার্নেলঃ বহুপদী কার্নেলঃ গাউসিয়ান কার্নেল (আরবিএফ কার্নেল): ল্যাপলেসিয়ান কার্নেলঃ আবেল কার্নেলঃ সোবোলেভ স্পেস তৈরি করা কার্নেলঃ, যেখানে তৃতীয় ধরনের বেসেল ফাংশন। প্যালি-উইনার স্থান তৈরি করা কার্নেলঃ যদি হিলবার্ট স্পেস হয়, তবে এর সংশ্লিষ্ট অভ্যন্তরীণ গুণফল হল একটি পি. ডি। কার্নেল। প্রকৃতপক্ষে, আমাদের কার্নেলগুলি এবং হিস্টোগ্রামগুলি সংজ্ঞায়িত করা আছেঃ বাস্তব জীবনের সমস্যাগুলির প্রয়োগগুলিতে হিস্টোগ্রামগুলি প্রায়শই সম্মুখীন হয়। বেশিরভাগ পর্যবেক্ষণ সাধারণত গণনার অ-নেতিবাচক ভেক্টরের আকারে পাওয়া যায়, যা স্বাভাবিক হলে ফ্রিকোয়েন্সিগুলির হিস্টোগ্রাম দেয়। এটি দেখানো হয়েছে যে বর্গাকার পরিমাপের নিম্নলিখিত পরিবার, যথাক্রমে জেনসেন বিচ্যুতি,-বর্গ, মোট বৈচিত্র্য এবং হেলিংগার দূরত্বের দুটি বৈচিত্রঃ পি. ডি সংজ্ঞায়িত করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। নিম্নলিখিত সূত্র ব্যবহার করে কার্নেলগুলি ইতিবাচক-নির্দিষ্ট কার্নেলগুলি, যেমনটি (1.1)-এ সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে, জেমস মার্সারের অবিচ্ছেদ্য সমীকরণের উপর একটি গবেষণাপত্রে 1909 সালে প্রথম প্রকাশিত হয়েছিল। পরবর্তী দুই দশকে আরও বেশ কয়েকজন লেখক এই ধারণাটি ব্যবহার করেছিলেন, তবে তাদের মধ্যে কেউই স্পষ্টভাবে কার্নেল ব্যবহার করেননি, অর্থাৎ। পি. ডি ফাংশন (প্রকৃতপক্ষে এম. ম্যাথিয়াস এবং এস. বোচনার পি. ডি-র অধ্যয়ন সম্পর্কে অবগত ছিলেন না বলে মনে হয়। কার্নেল)। মার্সারের কাজটি দ্বিতীয় ধরনের ফ্রেডহোম ইন্টিগ্রাল সমীকরণের উপর হিলবার্টের 1904 সালের গবেষণাপত্র থেকে উদ্ভূত হয়েছিলঃ বিশেষত, হিলবার্ট দেখিয়েছিলেন যে যেখানে একটি অবিচ্ছিন্ন বাস্তব প্রতিসম কার্নেল, অবিচ্ছিন্ন, অর্থোনর্মাল আইগেনফাংশনের একটি সম্পূর্ণ সিস্টেম, এবং এর সংশ্লিষ্ট আইগেনভ্যালুগুলি (1.2)। হিলবার্ট একটি "নির্দিষ্ট" কার্নেলকে এমন একটি হিসাবে সংজ্ঞায়িত করেছেন যার জন্য দ্বৈত অবিচ্ছেদ্য ব্যতীত সন্তুষ্ট হয়। মার্সারের গবেষণাপত্রের মূল উদ্দেশ্য ছিল হিলবার্টের অর্থে নির্দিষ্ট কার্নেলগুলি চিহ্নিত করা, কিন্তু মার্সার শীঘ্রই দেখতে পান যে এই ধরনের ফাংশনের শ্রেণী নির্ধারকদের ক্ষেত্রে চিহ্নিত করার জন্য খুব সীমাবদ্ধ ছিল। তাই তিনি একটি অবিচ্ছিন্ন বাস্তব প্রতিসম কার্নেলকে ধনাত্মক ধরনের বলে সংজ্ঞায়িত করেছেন (অর্থাৎ। ধনাত্মক-নির্দিষ্ট) যদি সমস্ত বাস্তব অবিচ্ছিন্ন ফাংশনের জন্য চালু থাকে, এবং তিনি প্রমাণ করেন যে (1.1) একটি কার্নেল ধনাত্মক ধরনের হওয়ার জন্য একটি প্রয়োজনীয় এবং পর্যাপ্ত শর্ত। মার্সার তখন প্রমাণ করেছিলেন যে যে কোনও অবিচ্ছিন্ন পি. ডি-র জন্য। কার্নেল সম্প্রসারণ সম্পূর্ণ এবং অভিন্নভাবে ধরে রাখে। প্রায় একই সময়ে অবিচ্ছেদ্য সমীকরণ তত্ত্বের একটি ভিন্ন প্রশ্ন দ্বারা অনুপ্রাণিত হয়ে ডব্লিউ. এইচ. ইয়ং দেখিয়েছেন যে অবিচ্ছিন্ন কার্নেলের জন্য শর্ত (1.1) সকলের জন্য সমতুল্য। ই. এইচ. মুর খুব সাধারণ ধরনের পি. ডি নিয়ে গবেষণা শুরু করেন। কার্নেল। যদি একটি বিমূর্ত সেট হয়, তবে তিনি "পজিটিভ হার্মিসিয়ান ম্যাট্রিক্স"-এর উপর সংজ্ঞায়িত ফাংশনগুলিকে ডাকেন যদি তারা সকলের জন্য (1.1) সন্তুষ্ট করে। মুর অবিচ্ছেদ্য সমীকরণের সাধারণীকরণে আগ্রহী ছিলেন এবং দেখিয়েছিলেন যে এই ধরনের প্রত্যেকটির জন্য ফাংশনের একটি হিলবার্ট স্থান রয়েছে যেমন, প্রত্যেকটির জন্য। এই বৈশিষ্ট্যটিকে কার্নেলের পুনরুৎপাদন বৈশিষ্ট্য বলা হয় এবং উপবৃত্তাকার আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের জন্য সীমানা-মান সমস্যার সমাধানে এর গুরুত্ব রয়েছে। উন্নয়নের আরেকটি লাইন যেখানে পি. ডি. কার্নেলগুলি একটি বড় ভূমিকা পালন করেছিল 1929 সালে ই. কার্টান দ্বারা শুরু হওয়া সমজাতীয় স্থানগুলিতে সুরেলা তত্ত্ব, এবং এইচ. ওয়েইল এবং এস. ইতো দ্বারা অব্যাহত ছিল। পি. ডি-এর সবচেয়ে বিস্তৃত তত্ত্ব। সমজাতীয় জায়গাগুলিতে কার্নেলগুলি এম. ক্রেইনের কার্নেল যা বিশেষ ক্ষেত্রে পি. ডি-র কাজকে অন্তর্ভুক্ত করে। স্থানীয়ভাবে কম্প্যাক্ট গ্রুপগুলির ফাংশন এবং অপরিবর্তনীয় একক উপস্থাপনা। সম্ভাব্যতা তত্ত্বে, পি. ডি. কার্নেলগুলি স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়াগুলির কোভ্যারিয়েন্স কার্নেল হিসাবে উদ্ভূত হয়। কার্নেল হিলবার্ট স্পেস পুনরুত্পাদন এবং বৈশিষ্ট্য মানচিত্রের সাথে সংযোগ ইতিবাচক-নির্দিষ্ট কার্নেলগুলি একটি কাঠামো সরবরাহ করে যা কিছু মৌলিক হিলবার্ট স্পেস নির্মাণকে অন্তর্ভুক্ত করে। নিম্নলিখিতগুলিতে আমরা ধনাত্মক-নির্দিষ্ট কার্নেল এবং দুটি গাণিতিক বস্তুর মধ্যে একটি নিবিড় সম্পর্ক উপস্থাপন করি, যথা হিলবার্ট স্পেস এবং বৈশিষ্ট্য মানচিত্রের পুনরুত্পাদন। ধরা যাক একটি সেট, ফাংশনের একটি হিলবার্ট স্থান, এবং সংশ্লিষ্ট অভ্যন্তরীণ গুণফল। যে কোনও মূল্যায়নের কার্যকারিতা দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়। আমরা প্রথমে একটি পুনরুৎপাদনকারী কার্নেল হিলবার্ট স্পেস (আর. কে. এইচ. এস) সংজ্ঞায়িত করিঃ সংজ্ঞাঃ যদি মূল্যায়ন ক্রিয়াকলাপগুলি অবিচ্ছিন্ন হয় তবে স্পেসকে পুনরুৎপাদনকারী কার্নেল হিলবার্ট স্পেস বলা হয়। প্রতিটি আর. কে. এইচ. এস-এর সঙ্গে একটি বিশেষ কাজ জড়িত থাকে, যথা পুনরুৎপাদনকারী কার্নেলঃ সংজ্ঞাঃ পুনরুৎপাদনকারী কার্নেল এমন একটি কাজ যা এবং, সকলের জন্য এবং। পরের বৈশিষ্ট্যটিকে পুনরুত্পাদন সম্পত্তি বলা হয়। নিম্নলিখিত ফলাফলটি আর. কে. এইচ. এস এবং পুনরুৎপাদনকারী কার্নেলের মধ্যে সমতা দেখায়ঃ এখন ধনাত্মক নির্দিষ্ট কার্নেল এবং আর. কে. এইচ. এস-এর মধ্যে সংযোগ নিম্নলিখিত উপপাদ্য দ্বারা দেওয়া হয়েছে। আগে যেমন বলা হয়েছে, অভ্যন্তরীণ পণ্য থেকে ধনাত্মক নির্দিষ্ট কার্নেল তৈরি করা যেতে পারে। এই তথ্যটি পি. ডি সংযোগ করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। মেশিন লার্নিং অ্যাপ্লিকেশনগুলিতে উদ্ভূত আরেকটি আকর্ষণীয় বস্তুর সাথে কার্নেলগুলি, যথা বৈশিষ্ট্য মানচিত্র। ধরা যাক একটি হিলবার্ট স্থান, এবং সংশ্লিষ্ট অভ্যন্তরীণ গুণফল। যে কোনও মানচিত্রকে ফিচার ম্যাপ বলা হয়। এই ক্ষেত্রে আমরা ফিচার স্পেসকে কল করি। এটা সহজেই দেখা যায় যে প্রতিটি বৈশিষ্ট্য মানচিত্র একটি অনন্য পি. ডি. সংজ্ঞায়িত করে। প্রকৃতপক্ষে দ্বারা কার্নেল, পি. ডি থেকে নিম্নলিখিতগুলির ইতিবাচক নিশ্চয়তা। অভ্যন্তরীণ পণ্যের বৈশিষ্ট্য। অন্যদিকে, প্রতিটি পি. ডি. কার্নেল এবং এর সংশ্লিষ্ট আর. কে. এইচ. এস-এর সাথে অনেক সম্পর্কিত বৈশিষ্ট্য মানচিত্র রয়েছে। উদাহরণস্বরূপঃ যাক, এবং সকলের জন্য। তারপর, পুনরুত্পাদন সম্পত্তি দ্বারা। এটি পি. ডি-তে একটি নতুন চেহারার পরামর্শ দেয়। উপযুক্ত হিলবার্ট স্পেসে অভ্যন্তরীণ পণ্য হিসাবে কার্নেল, বা অন্য কথায় পি. ডি। কার্নেলগুলি সাদৃশ্য মানচিত্র হিসাবে দেখা যেতে পারে যা কার্যকরভাবে পরিমাপ করে যে দুটি বিন্দু কতটা অনুরূপ এবং মানের মাধ্যমে। উপরন্তু, পি. ডি এর সমতুল্যতার মাধ্যমে। কার্নেল এবং এর সংশ্লিষ্ট আর. কে. এইচ. এস, প্রতিটি বৈশিষ্ট্য মানচিত্র একটি আর. কে. এইচ. এস তৈরি করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। কার্নেল এবং দূরত্ব কার্নেল পদ্ধতিগুলি প্রায়শই নিকটতম প্রতিবেশীদের মতো দূরত্ব ভিত্তিক পদ্ধতির সাথে তুলনা করা হয়। এই বিভাগে আমরা তাদের দুটি নিজ নিজ উপাদান, যেমন কার্নেল এবং দূরত্বের মধ্যে সমান্তরালতা নিয়ে আলোচনা করব। এখানে কিছু সেটের প্রতিটি জোড়া উপাদানের মধ্যে একটি দূরত্ব ফাংশন দ্বারা, আমরা সেই সেটের উপর সংজ্ঞায়িত একটি মেট্রিককে বোঝাই, অর্থাৎ। কোনও অ-ঋণাত্মক-মূল্যবান ফাংশন যা সন্তুষ্ট করে, এবং যদি এবং শুধুমাত্র যদি, দূরত্ব এবং পি. ডি-র মধ্যে একটি যোগসূত্র। কার্নেলগুলি একটি নির্দিষ্ট ধরনের কার্নেল দ্বারা দেওয়া হয়, যাকে নেতিবাচক নির্দিষ্ট কার্নেল বলা হয় এবং নিম্নরূপ সংজ্ঞায়িত করা হয় সংজ্ঞাঃ একটি প্রতিসম ফাংশনকে নেতিবাচক নির্দিষ্ট (এন. ডি.) কার্নেল বলা হয় যদি কোনও এবং এমন কিছুর জন্য ধরে রাখা হয়। এন. ডি. কার্নেল এবং দূরত্বের মধ্যে সমান্তরালতা নিম্নরূপঃ যখনই কোনও এন. ডি. কার্নেল সেটে অদৃশ্য হয়ে যায় এবং শুধুমাত্র এই সেটে শূন্য হয়, তখন তার বর্গমূল হল এর জন্য একটি দূরত্ব। একই সময়ে প্রতিটি দূরত্ব একটি এন. ডি. কার্নেলের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ নয়। এটি শুধুমাত্র হিলবার্টিয়ান দূরত্বের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য, যেখানে দূরত্বকে হিলবার্টিয়ান বলা হয় যদি কেউ কিছু হিলবার্ট স্পেসে মেট্রিক স্পেসকে আইসোমেট্রিকভাবে এম্বেড করতে পারে। অন্যদিকে, এন. ডি. কার্নেলগুলি পি. ডি-র একটি উপপরিবারের সাথে চিহ্নিত করা যেতে পারে। কার্নেলগুলি অসীম বিভাজ্য কার্নেল হিসাবে পরিচিত। একটি অ-ঋণাত্মক-মূল্যযুক্ত কার্নেলকে অসীমভাবে বিভাজ্য বলা হয় যদি প্রত্যেকটির জন্য এমন একটি ধনাত্মক-নির্দিষ্ট কার্নেল থাকে। আরেকটি লিঙ্ক হল একটি পি. ডি। কার্নেল একটি সিউডোমেট্রিক প্ররোচিত করে, যেখানে দূরত্বের ফাংশনের উপর প্রথম সীমাবদ্ধতা শিথিল করা হয়। একটি ধনাত্মক-নির্দিষ্ট কার্নেল দেওয়া হলে, আমরা একটি দূরত্ব ফাংশনকে এইভাবে সংজ্ঞায়িত করতে পারিঃ মেশিন লার্নিং-এ কিছু প্রয়োগ ধনাত্মক-নির্দিষ্ট কার্নেল, কার্নেল হিলবার্ট স্পেস পুনরুত্পাদন করার সাথে তাদের সমতুল্যতার মাধ্যমে, পরিসংখ্যানগত শিক্ষণ তত্ত্বের ক্ষেত্রে বিশেষভাবে গুরুত্বপূর্ণ কারণ বিখ্যাত প্রতিনিধিত্বকারী উপপাদ্য যা বলে যে একটি আর. কে. এইচ. এস-এর প্রতিটি মিনিমাইজার ফাংশনকে প্রশিক্ষণ বিন্দুতে মূল্যায়ন করা কার্নেল ফাংশনের রৈখিক সংমিশ্রণ হিসাবে লেখা যেতে পারে। এটি একটি ব্যবহারিকভাবে দরকারী ফলাফল কারণ এটি কার্যকরভাবে একটি অসীম মাত্রিক থেকে একটি সীমাবদ্ধ মাত্রিক অপ্টিমাইজেশান সমস্যায় অভিজ্ঞতাগত ঝুঁকি হ্রাস সমস্যাকে সহজতর করে। সম্ভাব্য মডেলগুলিতে কার্নেলগুলি সম্ভাব্যতা তত্ত্বে কার্নেলগুলি বিভিন্ন উপায়ে উদ্ভূত হয়। অনির্ধারিত পুনরুদ্ধারের সমস্যাঃ ধরে নিন যে আমরা একটি সেটের একটি নতুন বিন্দুতে একটি অজানা মডেল ফাংশনের প্রতিক্রিয়া খুঁজে পেতে চাই, তবে শর্ত থাকে যে আমাদের কাছে পর্যবেক্ষণ বা পরীক্ষার দ্বারা প্রদত্ত ইনপুট-প্রতিক্রিয়া জোড়ার একটি নমুনা রয়েছে। এট-এর প্রতিক্রিয়া একটি নির্দিষ্ট ফাংশন নয় বরং একটি বাস্তব-মূল্যবান র্যান্ডম ভেরিয়েবলের উপলব্ধি। লক্ষ্য হল ফাংশন সম্পর্কে তথ্য পাওয়া যা নির্ধারণমূলক সেটিংসে প্রতিস্থাপন করে। দুটি উপাদানের জন্য র্যান্ডম ভেরিয়েবল এবং সম্পর্কহীন হবে না, কারণ যদি দ্বারা বর্ণিত র্যান্ডম পরীক্ষার খুব কাছাকাছি হয় এবং প্রায়শই অনুরূপ আচরণ দেখায়। এটি একটি কোভ্যারিয়েন্স কার্নেল দ্বারা বর্ণনা করা হয়। এই ধরনের একটি কার্নেল বিদ্যমান এবং দুর্বল অতিরিক্ত অনুমানের অধীনে ধনাত্মক-নির্দিষ্ট। এখন সম্ভাব্য পটভূমি সম্পূর্ণরূপে উপেক্ষা করে কোভ্যারিয়েন্স কার্নেলের সাথে কার্নেল ইন্টারপোলেশন ব্যবহার করে একটি ভাল অনুমান পাওয়া যেতে পারে। এখন ধরে নিন যে শূন্য গড় এবং বৈকল্পিকতা সহ একটি গোলমাল পরিবর্তনশীল যুক্ত করা হয়েছে, যাতে গোলমালটি ভিন্নের জন্য স্বাধীন এবং সেখান থেকে স্বাধীন হয়, তাহলে একটি ভাল অনুমান খুঁজে পাওয়ার সমস্যা উপরেরটির সাথে অভিন্ন, তবে দ্বারা প্রদত্ত একটি পরিবর্তিত কার্নেল সহ। কার্নেল দ্বারা ঘনত্ব অনুমানঃ সমস্যাটি হল পুনরাবৃত্তি সহ একটি বড় নমুনা থেকে একটি ডোমেনে মাল্টিভ্যারিয়েট ডিস্ট্রিবিউশনের ঘনত্ব পুনরুদ্ধার করা। যেখানে স্যাম্পলিং পয়েন্টগুলি ঘন থাকে, সেখানে প্রকৃত ঘনত্ব ফাংশনকে অবশ্যই বড় মান নিতে হবে। একটি গ্রিডের প্রতিটি কোষে নমুনার সংখ্যা গণনা করে এবং ফলস্বরূপ হিস্টোগ্রাম প্লট করে একটি সাধারণ ঘনত্ব অনুমান করা সম্ভব, যা একটি পিসওয়াইজ ধ্রুবক ঘনত্ব অনুমান দেয়। একটি অ-ঋণাত্মক অনুবাদ অপরিবর্তনীয় কার্নেল ব্যবহার করে একটি ভাল অনুমান পাওয়া যেতে পারে, যার মোট ইন্টিগ্রাল একটির সমান এবং একটি মসৃণ অনুমান হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সংখ্যাসূচক সমাধান তথাকথিত জালমুক্ত পদ্ধতির সর্বশ্রেষ্ঠ প্রয়োগ ক্ষেত্রগুলির মধ্যে একটি হল পি. ডি. ই-র সংখ্যাসূচক সমাধান। কিছু জনপ্রিয় জালমুক্ত পদ্ধতি ধনাত্মক-নির্দিষ্ট কার্নেলের সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত (যেমন জালহীন স্থানীয় পেট্রোভ গ্যালারকিন (এম. এল. পি. জি), প্রজনন কার্নেল কণা পদ্ধতি (আর. কে. পি. এম) এবং মসৃণ-কণা হাইড্রোডাইনামিক্স (এস. পি. এইচ))। এই পদ্ধতিগুলি সংযোগের জন্য রেডিয়াল বেসিস কার্নেল ব্যবহার করে। স্টাইনস্প্রিং ডাইলেশন উপপাদ্য অন্যান্য প্রয়োগ কম্পিউটার পরীক্ষা-নিরীক্ষা এবং অন্যান্য প্রকৌশল পরীক্ষার সাহিত্যে, ক্রমবর্ধমানভাবে পি. ডি.-এর উপর ভিত্তি করে মডেলের মুখোমুখি হয়। কার্নেল, আরবিএফ বা ক্রিজিং। এরকম একটি বিষয় হল প্রতিক্রিয়া পৃষ্ঠ পদ্ধতি। অন্যান্য ধরনের অ্যাপ্লিকেশন যা ডেটা ফিটিংয়ে পরিণত হয় তা হল দ্রুত প্রোটোটাইপিং এবং কম্পিউটার গ্রাফিক্স। এখানে প্রায়শই বিন্দু মেঘের তথ্য আনুমানিক বা ইন্টারপোলেট করতে অন্তর্নিহিত পৃষ্ঠ মডেল ব্যবহার করা হয়। পি. ডি-র আবেদন গণিতের অন্যান্য বিভিন্ন শাখায় কার্নেলগুলি মাল্টিভ্যারিয়েট ইন্টিগ্রেশন, মাল্টিভ্যারিয়েট অপ্টিমাইজেশন এবং সংখ্যাসূচক বিশ্লেষণ এবং বৈজ্ঞানিক কম্পিউটিংয়ে রয়েছে, যেখানে একজন দ্রুত, নির্ভুল এবং অভিযোজিত অ্যালগরিদম অধ্যয়ন করে যা উচ্চ-কার্যকারিতা কম্পিউটিং পরিবেশে আদর্শভাবে প্রয়োগ করা হয়। আরও দেখুন কোভ্যারিয়েন্স ফাংশন ইন্টিগ্রাল ইকুয়েশন ইন্টিগ্রাল ট্রান্সফর্ম পজিটিভ-ডেফিনিটি ফাংশন অন এ গ্রুপ রিপ্রোডাকসিং কার্নেল হিলবার্ট স্পেস রেফারেন্স অপারেটর থিওরি হিলবার্ট স্পেস