Classical group
গণিতে, ধ্রুপদী গোষ্ঠীগুলিকে বাস্তব, জটিল সংখ্যা এবং চতুর্ভুজগুলির উপর বিশেষ রৈখিক গোষ্ঠী হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়, যার সাথে প্রতিসম বা তির্যক-প্রতিসম দ্বিমাত্রিক রূপের বিশেষ অটোমরফিজম গোষ্ঠী এবং বাস্তব, জটিল এবং চতুর্মাত্রিক সসীম-মাত্রিক ভেক্টর স্পেসে সংজ্ঞায়িত হার্মিশিয়ান বা তির্যক-হার্মিশিয়ান সেস্ক্বিলিনিয়ার রূপগুলি। এর মধ্যে, জটিল ধ্রুপদী লাই গোষ্ঠী হল লাই গোষ্ঠীর চারটি অসীম পরিবার যা ব্যতিক্রমী গোষ্ঠীগুলির সাথে একত্রে সাধারণ লাই গোষ্ঠীর শ্রেণিবিন্যাসকে শেষ করে দেয়। কম্প্যাক্ট শাস্ত্রীয় গোষ্ঠীগুলি জটিল শাস্ত্রীয় গোষ্ঠীগুলির কম্প্যাক্ট বাস্তব রূপ। ধ্রুপদী গোষ্ঠীগুলির সীমাবদ্ধ সাদৃশ্যগুলি হল লাই প্রকারের ধ্রুপদী গোষ্ঠী। "ধ্রুপদী গোষ্ঠী" শব্দটি হারমান ওয়েইল তৈরি করেছিলেন, এটি তাঁর 1939 সালের মনোগ্রাফ দ্য ধ্রুপদী গোষ্ঠীগুলির শিরোনাম ছিল। ধ্রুপদী গোষ্ঠীগুলি রৈখিক লাই গোষ্ঠীর বিষয়ের গভীরতম এবং সবচেয়ে দরকারী অংশ গঠন করে। বেশিরভাগ ধরনের ধ্রুপদী গোষ্ঠী ধ্রুপদী এবং আধুনিক পদার্থবিজ্ঞানে প্রয়োগ খুঁজে পায়। নিম্নে কয়েকটি উদাহরণ দেওয়া হলো। ঘূর্ণন গোষ্ঠীটি ইউক্লিডীয় স্থান এবং পদার্থবিজ্ঞানের সমস্ত মৌলিক আইনের একটি প্রতিসাম্য, লরেঞ্জ গোষ্ঠীটি বিশেষ আপেক্ষিকতার স্থানকালের প্রতিসাম্য গোষ্ঠী। বিশেষ একক গ্রুপ হল কোয়ান্টাম ক্রোমোডাইনামিক্সের প্রতিসাম্য গ্রুপ এবং সিমপ্লেক্টিক গ্রুপ হ্যামিল্টনিয়ান মেকানিক্স এবং এর কোয়ান্টাম যান্ত্রিক সংস্করণগুলিতে প্রয়োগ খুঁজে পায়। ধ্রুপদী গোষ্ঠীগুলি ধ্রুপদী গোষ্ঠীগুলি নীচে আলোচিত অ-অবক্ষয় রূপগুলির অটোমরফিজম গোষ্ঠীগুলির সাথে ঠিক সাধারণ রৈখিক গোষ্ঠী। এই গোষ্ঠীগুলি সাধারণত অতিরিক্তভাবে উপগোষ্ঠীগুলিতে সীমাবদ্ধ থাকে যার উপাদানগুলির নির্ধারক 1 থাকে, যাতে তাদের কেন্দ্রগুলি বিচ্ছিন্ন হয়। নির্ধারক 1 শর্ত সহ ধ্রুপদী গোষ্ঠীগুলি নীচের সারণিতে তালিকাভুক্ত করা হয়েছে। সিক্যুয়ালে, বৃহত্তর সাধারণতার স্বার্থে নির্ধারক 1 শর্তটি ধারাবাহিকভাবে ব্যবহার করা হয় না। জটিল ধ্রুপদী গোষ্ঠীগুলি হল, এবং। একটি গ্রুপ তার লাই বীজগণিত জটিল কিনা তার উপর ভিত্তি করে জটিল। প্রকৃত ধ্রুপদী গোষ্ঠীগুলি সমস্ত ধ্রুপদী গোষ্ঠীকে বোঝায় কারণ যে কোনও লাই বীজগণিত একটি বাস্তব বীজগণিত। কম্প্যাক্ট শাস্ত্রীয় গোষ্ঠীগুলি জটিল শাস্ত্রীয় গোষ্ঠীগুলির কম্প্যাক্ট বাস্তব রূপ। এগুলি হল, এবং। কম্প্যাক্ট বাস্তব রূপের একটি বৈশিষ্ট্য হল লাই বীজগণিতের পরিপ্রেক্ষিতে। যদি, এর জটিলকরণ, এবং যদি} দ্বারা উত্পন্ন সংযুক্ত গ্রুপটি কম্প্যাক্ট হয়, তবে এটি একটি কম্প্যাক্ট বাস্তব রূপ। ধ্রুপদী গোষ্ঠীগুলিকে বাস্তব রূপগুলি ব্যবহার করে অভিন্নভাবে ভিন্নভাবে চিহ্নিত করা যেতে পারে। ধ্রুপদী গোষ্ঠীগুলি (এখানে নির্ধারক 1 শর্ত সহ, তবে এটি প্রয়োজনীয় নয়) নিম্নরূপঃ জটিল রৈখিক বীজগাণিতিক গোষ্ঠী এবং তাদের বাস্তব রূপগুলির সাথে। উদাহরণস্বরূপ, একটি বাস্তব রূপ, একটি বাস্তব রূপ, এবং এর একটি বাস্তব রূপ। নির্ধারক 1 শর্ত ছাড়া, বিশেষ রৈখিক গোষ্ঠীগুলিকে বৈশিষ্ট্যকরণে সংশ্লিষ্ট সাধারণ রৈখিক গোষ্ঠীগুলির সাথে প্রতিস্থাপন করুন। প্রশ্নবিদ্ধ বীজগাণিতিক গোষ্ঠীগুলি হল লাই গোষ্ঠী, কিন্তু "বাস্তব রূপ"-এর সঠিক ধারণা পেতে "বীজগাণিতিক" যোগ্যতার প্রয়োজন হয়। দ্বিমাত্রিক এবং সেস্কুইলিনিয়ার রূপগুলি ধ্রুপদী গোষ্ঠীগুলিকে বাস্তব এবং জটিল সংখ্যার ক্ষেত্রগুলির উপর, এবং, এবং, যেখানে এবং যেখানে সংজ্ঞায়িত ফর্মগুলির পরিপ্রেক্ষিতে সংজ্ঞায়িত করা হয়। কোয়াটারনিয়নগুলি, একটি ক্ষেত্র গঠন করে না কারণ গুণন বিনিময় করে না; তারা একটি বিভাজন বলয় বা একটি তির্যক ক্ষেত্র বা অ-বিনিময় ক্ষেত্র গঠন করে। যাইহোক, ম্যাট্রিক্স কোয়াটারনিয়নিক গ্রুপগুলি সংজ্ঞায়িত করা এখনও সম্ভব। এই কারণে, একটি ভেক্টর স্থান উপর, পাশাপাশি নীচে সংজ্ঞায়িত করার অনুমতি দেওয়া হয়। এর ক্ষেত্রে, বাম থেকে ম্যাট্রিক্স গুণ হিসাবে গ্রুপ ক্রিয়ার উপস্থাপনা সম্ভব করার জন্য একটি ডান ভেক্টর স্থান, ঠিক যেমন এবং এর জন্য। কোনও সীমাবদ্ধ-মাত্রিক ডান ভেক্টর স্থানের উপর একটি ফর্ম, বা দ্বিমাত্রিক হয় যদি এবং যদি এটিকে সেস্কুইলিনিয়ার বলা হয় যদি এবং যদি এই কনভেনশনগুলি বেছে নেওয়া হয় কারণ তারা সমস্ত ক্ষেত্রেই কাজ করে। একটি অটোমরফিজম হল রৈখিক অপারেটরদের সেটের একটি মানচিত্র যার উপর একটি গ্রুপ গঠনের সমস্ত অটোমরফিজমের সেট, এটিকে অটোমরফিজম গ্রুপ বলা হয়, চিহ্নিত করা হয়। এটি একটি ধ্রুপদী গোষ্ঠীর প্রাথমিক সংজ্ঞার দিকে পরিচালিত করেঃ একটি ধ্রুপদী গোষ্ঠী হল এমন একটি গোষ্ঠী যা সীমাবদ্ধ-মাত্রিক ভেক্টর স্পেসের উপর একটি দ্বিমাত্রিক বা সেস্ক্বিলিনিয়ার ফর্ম সংরক্ষণ করে, বা। এই সংজ্ঞাটির কিছু অপ্রয়োজনীয়তা রয়েছে। এর ক্ষেত্রে, দ্বিমাত্রিক হল সেস্কুইলিনিয়ারের সমতুল্য। এর ক্ষেত্রে, কোনও অ-শূন্য দ্বিমাত্রিক রূপ নেই। প্রতিসম, তির্যক-প্রতিসম, হার্মিশিয়ান এবং তির্যক-হার্মিশিয়ান ফর্ম একটি ফর্ম প্রতিসম হয় যদি এটি তির্যক-প্রতিসম হয় যদি এটি হার্মিশিয়ান হয় অবশেষে, এটি তির্যক-হার্মিশিয়ান হয় যদি একটি দ্বিমাত্রিক ফর্ম অনন্যভাবে একটি প্রতিসম ফর্ম এবং একটি তির্যক-প্রতিসম ফর্মের সমষ্টি হয়। একটি রূপান্তর সংরক্ষণ উভয় অংশকে আলাদাভাবে সংরক্ষণ করে। এইভাবে প্রতিসম এবং তির্যক-প্রতিসম রূপগুলি সংরক্ষণকারী গোষ্ঠীগুলি আলাদাভাবে অধ্যয়ন করা যেতে পারে। একই কথা প্রযোজ্য, মুটাটিস মিউটান্ডিস, হার্মিশিয়ান এবং স্ক্যু-হার্মিশিয়ান রূপের ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য। এই কারণে, শ্রেণিবিন্যাসের উদ্দেশ্যে, শুধুমাত্র বিশুদ্ধ প্রতিসম, তির্যক-প্রতিসম, হার্মিশিয়ান বা তির্যক-হার্মিশিয়ান রূপগুলি বিবেচনা করা হয়। ফর্মগুলির স্বাভাবিক রূপগুলি নির্দিষ্ট উপযুক্ত বেসগুলির সাথে মিলে যায়। এগুলি স্থানাঙ্কে নিম্নলিখিত স্বাভাবিক রূপগুলি প্রদানকারী ঘাঁটিঃ তির্যক-হার্মিটিয়ান আকারে এর ভিত্তিতে তৃতীয় ভিত্তি উপাদান। এই ভিত্তিগুলির অস্তিত্বের প্রমাণ এবং সিলভেস্টারের জড়তার সূত্র, যোগ এবং বিয়োগ-চিহ্নের সংখ্যার স্বাধীনতা, এবং প্রতিসম এবং হার্মিশিয়ান আকারে, পাশাপাশি প্রতিটি অভিব্যক্তিতে ক্ষেত্রগুলির উপস্থিতি বা অনুপস্থিতি পাওয়া যায়। এই জুটিকে, এবং কখনও কখনও, ফর্মের স্বাক্ষর বলা হয়। ক্ষেত্রগুলির উপস্থিতির ব্যাখ্যাঃ কোনও অ-তুচ্ছ দ্বিমাত্রিক রূপ নেই। প্রতিসম দ্বিমাত্রিক ক্ষেত্রে, শুধুমাত্র উপরের ফর্মগুলির একটি স্বাক্ষর থাকে। অন্য কথায়, "স্বাক্ষর" সহ একটি জটিল দ্বিমাত্রিক রূপ, ভিত্তি পরিবর্তনের মাধ্যমে, এমন একটি আকারে হ্রাস করা যেতে পারে যেখানে উপরের অভিব্যক্তিতে সমস্ত চিহ্ন "" রয়েছে, যেখানে বাস্তব ক্ষেত্রে এটি অসম্ভব, যা ভিত্তি থেকে স্বাধীন যখন এই আকারে রাখা হয়। যাইহোক, হার্মিশিয়ান ফর্মগুলির জটিল এবং চতুর্ভুজ উভয় ক্ষেত্রেই ভিত্তি-স্বাধীন স্বাক্ষর রয়েছে। (প্রকৃত কেসটি প্রতিসম ক্ষেত্রে হ্রাস পায়।) একটি জটিল ভেক্টর স্পেসে একটি তির্যক-হার্মিটিয়ান ফর্মকে দ্বারা গুণ করে হার্মিটিয়ান রেন্ডার করা হয়, তাই এই ক্ষেত্রে, শুধুমাত্র আকর্ষণীয়। অটোমর্ফিজম গ্রুপ প্রথম বিভাগটি সাধারণ কাঠামো উপস্থাপন করে। অন্যান্য বিভাগগুলি গুণগতভাবে বিভিন্ন কেসগুলি শেষ করে দেয় যা সীমাবদ্ধ-মাত্রিক ভেক্টর স্পেসগুলিতে দ্বিমাত্রিক এবং সেস্ক্বিলিনিয়ার ফর্মগুলির অটোমরফিজম গ্রুপ হিসাবে উদ্ভূত হয়, এবং। অট (φ)-অটোমরফিজম গ্রুপ ধরে নিন যে এটি বা এর উপর একটি সীমাবদ্ধ-মাত্রিক ভেক্টর স্পেসে একটি অ-অবক্ষয় রূপ। শর্ত ()-এর উপর ভিত্তি করে অটোমরফিজম গ্রুপকে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে, কারণ শর্ত ()-এ এই সংজ্ঞাটি ব্যবহার করে সংজ্ঞায়িত করার ক্ষেত্রে প্রত্যেকটির একটি সংযোজন রয়েছে, অটোমরফিজম গ্রুপকে ফিক্স দ্বারা একটি ভিত্তি দেওয়া হয়েছে বলে মনে করা হয়। এই ভিত্তির পরিপ্রেক্ষিতে, এর উপাদানগুলি কোথায় রাখা হয়েছে। এটি দ্বিমাত্রিক রূপের জন্য উপযুক্ত। সেস্কুইলিনিয়ার ফর্মগুলির অনুরূপ অভিব্যক্তি রয়েছে এবং পরে আলাদাভাবে চিকিত্সা করা হয়। ম্যাট্রিক্স নোটেশনে একজন খুঁজে পায় এবং () থেকে ম্যাট্রিক্স কোথায়। অ-অবক্ষয় অবস্থার অর্থ সঠিকভাবে যা বিপরীতমুখী, তাই সংলগ্ন সর্বদা বিদ্যমান। এর সাথে প্রকাশ করা হয় অটোমরফিজম গ্রুপগুলির মিথ্যা বীজগণিত অবিলম্বে লেখা যেতে পারে। সংক্ষেপে, যদি এবং শুধুমাত্র যদি সকলের জন্য, লাই অ্যালজেব্রার এক্সপোনেনশিয়াল ম্যাপিংয়ের অধীনে () শর্তের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ, যাতে বা এমন একটি ভিত্তিতে যা এক্সপোনেনশিয়াল ম্যাপিংয়ের পাওয়ার সিরিজ সম্প্রসারণ এবং জড়িত ক্রিয়াকলাপগুলির রৈখিকতা ব্যবহার করে দেখা যায়। বিপরীতভাবে, মনে করুন। তারপর, উপরের ফলাফলটি ব্যবহার করে,। এইভাবে লাই বীজগণিতকে কোনও ভিত্তি বা সংলগ্নের উল্লেখ ছাড়াই চিহ্নিত করা যেতে পারে, কারণ নীচের প্রতিটি ধ্রুপদী গোষ্ঠীর জন্য স্বাভাবিক রূপ দেওয়া হবে। সেই স্বাভাবিক রূপ থেকে, ম্যাট্রিক্সটি সরাসরি পড়া যায়। ফলস্বরূপ, সংযুক্ত এবং লাই অ্যালজেব্রার জন্য অভিব্যক্তিগুলি সূত্র () এবং () ব্যবহার করে প্রাপ্ত করা যেতে পারে। বেশিরভাগ অ-তুচ্ছ ক্ষেত্রে এটি নীচে প্রদর্শিত হয়। বিলিনিয়ার ক্ষেত্রে যখন ফর্মটি প্রতিসম হয়, তখন বলা হয়। যখন এটি তির্যক-প্রতিসম হয় তখন বলা হয়। এটি বাস্তব এবং জটিল ক্ষেত্রে প্রযোজ্য। কোয়াটারনিয়নিক কেসটি খালি কারণ কোয়াটারনিয়নিক ভেক্টর স্পেসে কোনও অ-শূন্য দ্বিমাত্রিক রূপ বিদ্যমান নেই। বাস্তব কেস দুটি ক্ষেত্রে বিভক্ত হয়, প্রতিসম এবং প্রতিসম রূপ যা আলাদাভাবে চিকিত্সা করা উচিত। ও (পি, কিউ) এবং ও (এন)-অর্থোগোনাল গ্রুপগুলি যদি প্রতিসম হয় এবং ভেক্টর স্পেস বাস্তব হয়, তবে একটি ভিত্তি বেছে নেওয়া যেতে পারে যাতে যোগ এবং বিয়োগ-চিহ্নের সংখ্যা নির্দিষ্ট ভিত্তি থেকে স্বাধীন হয়। যদি কেউ লেখে যেখানে যোগ চিহ্নের সংখ্যা এবং বিয়োগ-চিহ্নের সংখ্যা,। যদি স্বরলিপি হয়। ম্যাট্রিক্স এই ক্ষেত্রে প্রয়োজন হলে ভিত্তি পুনর্বিন্যাস করার পরে হয়। সংলগ্ন অপারেশন () তারপর হয়ে যায় যা 0 হলে স্বাভাবিক ট্রান্সপোজে কমে যায়। লাই বীজগণিত সমীকরণ () এবং একটি উপযুক্ত অ্যানস্যাটজ ব্যবহার করে পাওয়া যায় (এটি নীচের ক্ষেত্রে বিস্তারিত), এবং () অনুসারে গ্রুপটি গ্রুপ দ্বারা দেওয়া হয় এবং মানচিত্রের মাধ্যমে সমরূপ। উদাহরণস্বরূপ, লরেঞ্জ গ্রুপের লাই বীজগণিতকে স্বাভাবিকভাবে লেখা যেতে পারে, যাতে-ব্লকটি উপরের বাম (বা অন্য কোনও ব্লক) হয়। এখানে "সময় উপাদান" একটি শারীরিক ব্যাখ্যায় চতুর্থ স্থানাঙ্ক হিসাবে শেষ হয়, এবং প্রথমটি নয় যা আরও সাধারণ হতে পারে। এস. পি (এম, আর)-প্রকৃত সিমপ্লেক্টিক গ্রুপ যদি তির্যক-প্রতিসম হয় এবং ভেক্টর স্পেস বাস্তব হয়, তবে কোথায় তা দেওয়ার একটি ভিত্তি রয়েছে। যদি কেউ লেখেন বা লেখেন। স্বাভাবিক রূপ থেকে কেউ পড়ে যায় আনস্যাটজ তৈরি করে যেখানে-মাত্রিক ম্যাট্রিক্স এবং () বিবেচনা করে, কেউ লাই বীজগণিত খুঁজে পায় এবং গ্রুপটি জটিল ক্ষেত্রে দেওয়া হয় যেমন বাস্তব ক্ষেত্রে, দুটি ক্ষেত্রে রয়েছে, প্রতিসম এবং প্রতিসম ক্ষেত্রে যা প্রতিটি শাস্ত্রীয় গোষ্ঠীর একটি পরিবার দেয়। ও (এন, সি)-জটিল অর্থোগোনাল গ্রুপ যদি কেস প্রতিসম হয় এবং ভেক্টর স্পেস জটিল হয়, তবে শুধুমাত্র যোগ-চিহ্ন সহ একটি ভিত্তি ব্যবহার করা যেতে পারে। অটোমরফিজম গ্রুপটি কলের ক্ষেত্রে হয়। মিথ্যা বীজগণিত কেবল তার জন্য একটি বিশেষ ক্ষেত্রে, এবং গোষ্ঠীটি দ্বারা দেওয়া হয় সরল মিথ্যা বীজগণিতের শ্রেণিবিন্যাসের পরিপ্রেক্ষিতে, দুটি শ্রেণীতে বিভক্ত, মূল ব্যবস্থার সাথে বিজোড় এবং এমনকি মূল ব্যবস্থার সাথেও। এস. পি (এম, সি)-জটিল সিমপ্লেক্টিক গ্রুপ তির্যক-প্রতিসাম্য এবং ভেক্টর স্পেস কমপ্লেক্সের জন্য, একই সূত্র, বাস্তব ক্ষেত্রে প্রযোজ্য। একজনের জন্য লিখুন। যদি কেউ লেখেন বা। মিথ্যা বীজগণিত এর সমান্তরাল, এবং গোষ্ঠীটি সেস্কুইলিনিয়ার ক্ষেত্রে দেওয়া হয়েছে সেস্কুইলিনিয়ার ক্ষেত্রে, একটি ভিত্তির পরিপ্রেক্ষিতে ফর্মের জন্য কিছুটা ভিন্ন পদ্ধতি তৈরি করে, অন্যান্য অভিব্যক্তিগুলি যা পরিবর্তিত হয় তা হল প্রকৃত ক্ষেত্রে, অবশ্যই, নতুন কিছু প্রদান করে না। জটিল এবং কোয়াটারনিয়নিক কেসটি নীচে বিবেচনা করা হবে। একটি গুণগত দৃষ্টিকোণ থেকে, তির্যক-হার্মিটিয়ান রূপগুলির বিবেচনা (আইসোমরফিজম পর্যন্ত) কোনও নতুন গোষ্ঠী সরবরাহ করে না; একটি তির্যক-হার্মিটিয়ান রূপ হার্মিটিয়ান রেন্ডার করে গুণ, এবং তদ্বিপরীত। সুতরাং শুধুমাত্র হার্মিশিয়ান মামলাটি বিবেচনা করা দরকার। ইউ (পি, কিউ) এবং ইউ (এন)-একক গোষ্ঠী একটি অ-অবক্ষয়কারী হার্মিটিয়ান ফর্মের স্বাভাবিক রূপ রয়েছে যেমন দ্বিমাত্রিক ক্ষেত্রে, স্বাক্ষর (পি, কিউ) ভিত্তি থেকে স্বাধীন। অটোমরফিজম গ্রুপকে চিহ্নিত করা হয়, বা, এর ক্ষেত্রে। যদি স্বরলিপি হয়। এই ক্ষেত্রে, রূপ নেয় এবং লাই বীজগণিত দ্বারা দেওয়া হয় গ্রুপটি দেওয়া হয় যেখানে g একটি সাধারণ n x n জটিল ম্যাট্রিক্স এবং g এর কনজুগেট ট্রান্সপোজ হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়, যাকে পদার্থবিজ্ঞানীরা বলেন। তুলনা হিসাবে, একটি একক ম্যাট্রিক্স U (n) কে সংজ্ঞায়িত করা হয় যেমন আমরা লক্ষ্য করি যে এটি কোয়াটারনিয়নিক ক্ষেত্রে সমান। এইভাবে, একটি কোয়াটারনিয়নের জন্য, একটি কোয়াটারনিয়ন কলাম ভেক্টর এবং কোয়াটারনিয়ন ম্যাট্রিক্স। যদি একটি বাম ভেক্টর স্থান থাকে, তবে রৈখিকতা বজায় রাখার জন্য সারি ভেক্টরের উপর ডান দিক থেকে ম্যাট্রিক্স গুণন প্রয়োজন হবে। এটি একটি ভেক্টর স্পেসে একটি গ্রুপের স্বাভাবিক রৈখিক ক্রিয়াকলাপের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ নয় যখন একটি ভিত্তি দেওয়া হয়, যা কলাম ভেক্টরের বাম দিক থেকে ম্যাট্রিক্স গুণ। এইভাবে এখন থেকে একটি ডান ভেক্টর স্থান। তা সত্ত্বেও, এর অ-বিনিময়শীল প্রকৃতির কারণে যত্ন নিতে হবে। (বেশিরভাগ সুস্পষ্ট) বিবরণ বাদ দেওয়া হয়েছে কারণ জটিল উপস্থাপনা ব্যবহার করা হবে। কোয়াটার্নিয়নিক গ্রুপগুলির সাথে কাজ করার সময় জটিল ব্যবহার করে কোয়াটার্নিয়নের প্রতিনিধিত্ব করা সুবিধাজনক, এই উপস্থাপনার সাথে, কোয়াটার্নিয়নিক গুণন ম্যাট্রিক্স গুণনে পরিণত হয় এবং কোয়াটার্নিয়নিক সংমিশ্রণ হার্মিটিয়ান সংলগ্ন হয়ে যায়। উপরন্তু, যদি জটিল এনকোডিং অনুসারে একটি কোয়াটারনিয়নকে কলাম ভেক্টর হিসাবে দেওয়া হয়, তবে একটি কোয়াটারনিয়নের ম্যাট্রিক্স উপস্থাপনা দ্বারা বাম থেকে গুণ একটি নতুন কলাম ভেক্টর তৈরি করে যা সঠিক কোয়াটারনিয়নের প্রতিনিধিত্ব করে। এই উপস্থাপনাটি কোয়াটারনিয়ন নিবন্ধে পাওয়া আরও সাধারণ উপস্থাপনা থেকে কিছুটা আলাদা। আরও সাধারণ নিয়মটি একই জিনিস অর্জনের জন্য একটি সারি ম্যাট্রিক্সের ডান দিক থেকে গুণকে বাধ্য করবে। ঘটনাচক্রে, উপরের উপস্থাপনাটি স্পষ্ট করে দেয় যে একক কোয়াটারনিয়ন ()-এর গ্রুপটি সমরূপ। কোয়াটারনিয়নিক-ম্যাট্রিক্সগুলি, সুস্পষ্ট সম্প্রসারণ দ্বারা, জটিল সংখ্যার ব্লক-ম্যাট্রিক্স দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে। যদি কেউ উপরের এনকোডিং অনুসারে জটিল সংখ্যা সহ একটি কলাম ভেক্টর দ্বারা একটি কোয়াটার্নিয়নিক কলাম ভেক্টরকে উপস্থাপন করতে সম্মত হয়, যার মধ্যে উপরের সংখ্যাটি এবং নীচের সংখ্যাটি হয়, তবে একটি কোয়াটার্নিয়নিক-ম্যাট্রিক্স ঠিক উপরে দেওয়া ফর্মের একটি জটিল-ম্যাট্রিক্স হয়ে যায়, তবে এখন α এবং β-ম্যাট্রিক্স সহ। আরও আনুষ্ঠানিকভাবে একটি ম্যাট্রিক্সের ফর্মটি ()-এ প্রদর্শিত হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি। এই শনাক্তকরণগুলির সাথে, স্থানটি একটি বাস্তব বীজগণিত, তবে এটি একটি জটিল উপস্থান নয়। প্রবেশ-ভিত্তিক চতুর্ভুজ গুণ ব্যবহার করে গুণ করা (বাম থেকে) এবং তারপর ছবিতে ম্যাপিং করা হলে প্রবেশ-ভিত্তিক সরাসরি প্রবেশ দ্বারা গুণ করার চেয়ে আলাদা ফলাফল পাওয়া যায়। কোয়াটারনিওনিক গুণনের নিয়মগুলি দেয় যে বন্ধনীর ভিতরে নতুন এবং কোথায় রয়েছে। কোয়াটারনিয়নিক ভেক্টরের উপর কোয়াটারনিয়নিক ম্যাট্রিক্সের ক্রিয়া এখন জটিল পরিমাণ দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়, তবে অন্যথায় এটি "সাধারণ" ম্যাট্রিক্স এবং ভেক্টরের জন্য একই। কোয়াটারনিওনিক গ্রুপগুলি এইভাবে কোয়াটারনিওনিক ম্যাট্রিক্সের মাত্রার মধ্যে এম্বেড করা হয়। একটি চতুর্ভুজ ম্যাট্রিক্সের নির্ধারককে এই উপস্থাপনায় তার প্রতিনিধি ম্যাট্রিক্সের সাধারণ জটিল নির্ধারক হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। ম্যাট্রিক্সের কোয়াটার্নিওনিক উপস্থাপনায় কোয়াটার্নিওনিক গুণনের অ-বিনিময়শীল প্রকৃতি অস্পষ্ট হবে। এম্বেড করা উপায়টি অনন্য নয়, তবে এই জাতীয় সমস্ত এম্বেডিং ফর-এর মাধ্যমে সম্পর্কিত, নির্ধারককে প্রভাবিত করে না। এই জটিল ছদ্মবেশে এর নাম হল। এর বিপরীতে, হার্মিটিয়ান এবং স্ক্যু-হার্মিটিয়ান উভয় ক্ষেত্রেই বিবেচনা করা হলে নতুন কিছু নিয়ে আসে, তাই এই মামলাগুলি আলাদাভাবে বিবেচনা করা হয়। জিএল (এন, এইচ) এবং এসএল (এন, এইচ) উপরের শনাক্তকরণের অধীনে, এর লাই বীজগণিত হল উপরের ম্যাপিংয়ের চিত্রের সমস্ত ম্যাট্রিক্সের সেট, কোয়াটারনিয়নিক বিশেষ রৈখিক গ্রুপটি দেওয়া হয় যেখানে ম্যাট্রিক্সের উপর নির্ধারক নেওয়া হয়। বিকল্পভাবে, কেউ এটিকে ডিউডন নির্ধারকের কার্নেল হিসাবে সংজ্ঞায়িত করতে পারে। লাই বীজগণিত হল এস. পি (পি, কিউ)-কোয়াটারনিয়নিক এককেন্দ্রিক গোষ্ঠী। উপরের মতো জটিল ক্ষেত্রে, স্বাভাবিক রূপটি হল এবং যোগ-চিহ্নের সংখ্যা ভিত্তি থেকে স্বাধীন। যখন এই ফর্মের সাথে,। স্বরলিপির কারণ হল উপরের প্রেসক্রিপশনটি ব্যবহার করে গোষ্ঠীটিকে প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে, স্বাক্ষরের একটি জটিল-হার্মিসিয়ান ফর্ম সংরক্ষণের একটি উপগোষ্ঠী হিসাবে যদি বা গোষ্ঠীটি চিহ্নিত করা হয়। একে কখনও কখনও হাইপারইউনিটারি গ্রুপ বলা হয়। কোয়াটারনিওনিক নোটেশনে, যার অর্থ হল যে ফর্মের কোয়াটারনিওনিক ম্যাট্রিক্সগুলি সন্তুষ্ট করবে বিভাগটি দেখুন। কোয়াটারনিয়নিক ম্যাট্রিক্স গুণনের সাথে কাজ করার সময় সতর্কতা অবলম্বন করা প্রয়োজন, তবে এখানে শুধুমাত্র এবং জড়িত এবং প্রতিটি কোয়াটারনিয়ন ম্যাট্রিক্সের সাথে এই যাতায়াত। এখন প্রতিটি ব্লকে প্রেসক্রিপশন () প্রয়োগ করুন, এবং লাই বীজগণিত হয়ে গেলে ()-এর সম্পর্কগুলি সন্তুষ্ট হবে। তারপর একটি-মূল্যবান ফর্ম হিসাবে দেখা হয়। এইভাবে, এর উপাদানগুলি, রৈখিক রূপান্তর হিসাবে দেখা হয়, স্বাক্ষরের একটি হার্মিশিয়ান রূপ এবং একটি অ-ক্ষয়প্রাপ্ত তির্যক-প্রতিসম রূপ উভয়ই সংরক্ষণ করে। উভয় রূপই বিশুদ্ধভাবে জটিল মান গ্রহণ করে এবং দ্বিতীয় রূপের প্রিফ্যাক্টরের কারণে সেগুলি আলাদাভাবে সংরক্ষিত থাকে। এর অর্থ হল এবং এটি গোষ্ঠীর নাম এবং স্বরলিপি উভয়ই ব্যাখ্যা করে। O ≤ (2n) = O (n, H)-কোয়াটার্নিয়নিক অর্থোগোনাল গ্রুপ একটি স্ক্যু-হার্মিসিয়ান ফর্মের স্বাভাবিক রূপটি দেওয়া হয় যেখানে অর্ডার করা তালিকাতে তৃতীয় বেসিস কোয়াটার্নিয়ন রয়েছে। এই ক্ষেত্রে, উপরের জটিল ম্যাট্রিক্স এনকোডিং ব্যবহার করে উপলব্ধি করা যেতে পারে, যার একটি উপগোষ্ঠী স্বাক্ষরের একটি অ-অবক্ষয় জটিল তির্যক-হার্মিসিয়ান রূপ সংরক্ষণ করে। স্বাভাবিক রূপ থেকে কেউ দেখতে পায় যে কোয়াটারনিয়নিক স্বরলিপিতে এবং থেকে () এর জন্য অনুসরণ করে। এখন প্রেসক্রিপশন () অনুযায়ী রাখুন। একই প্রেসক্রিপশন ফলন দেয়, এখন জটিল স্বরলিপিতে ()-এর শেষ শর্তটি পড়ে মিথ্যা বীজগণিত হয়ে যায় এবং গোষ্ঠীটি দ্বারা দেওয়া হয় গ্রুপটি চিহ্নিত করা যেতে পারে যেখানে মানচিত্রটি সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে। এছাড়াও, গ্রুপ নির্ধারণকারী ফর্মটিকে একটি-মূল্যবান ফর্ম হিসাবে দেখা যেতে পারে। ফর্মের জন্য প্রতিস্থাপন এবং অভিব্যক্তি তৈরি করুন। তারপর ফর্মটি স্বাক্ষরের হার্মিটিয়ান (যেখানে বাম দিকের প্রথম ফর্মটি তির্যক-হার্মিটিয়ান)। যথাক্রমে প্রথম এবং শেষ বেসিস ভেক্টরগুলি কোথায় রয়েছে তার ভিত্তিতে পরিবর্তনের মাধ্যমে স্বাক্ষরটি স্পষ্ট করা হয়। দ্বিতীয় রূপটি হল প্রতিসম ধনাত্মক নির্দিষ্ট। সুতরাং, ফ্যাক্টরের কারণে, উভয়ই আলাদাভাবে সংরক্ষণ করে এবং এটি উপসংহারে আসতে পারে যে এবং "ও" স্বরলিপিটি ব্যাখ্যা করা হয়েছে। সাধারণ ক্ষেত্রের উপর ধ্রুপদী গোষ্ঠী বা বীজগণিতে আরও বিস্তৃতভাবে বিবেচিত ধ্রুপদী গোষ্ঠীগুলি বিশেষভাবে আকর্ষণীয় ম্যাট্রিক্স গোষ্ঠী সরবরাহ করে। যখন ম্যাট্রিক্স গ্রুপের সহগগুলির ক্ষেত্র এফ হয় বাস্তব সংখ্যা বা জটিল সংখ্যা হয়, তখন এই গোষ্ঠীগুলি কেবল ধ্রুপদী লাই গ্রুপ হয়। যখন স্থল ক্ষেত্রটি একটি সীমাবদ্ধ ক্ষেত্র হয়, তখন ধ্রুপদী গোষ্ঠীগুলি লাই ধরনের গোষ্ঠী হয়। এই গোষ্ঠীগুলি সীমাবদ্ধ সহজ গোষ্ঠীগুলির শ্রেণিবিন্যাসে গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে। এছাড়াও, কেউ F-এর উপর একটি একক সহযোগী বীজগণিত R-এর উপর শাস্ত্রীয় গোষ্ঠী বিবেচনা করতে পারে; যেখানে R = H (বাস্তবগুলির উপর একটি বীজগণিত) একটি গুরুত্বপূর্ণ কেসকে উপস্থাপন করে। সাধারণতার স্বার্থে নিবন্ধটি আর-এর উপরের গোষ্ঠীগুলিকে বোঝাবে, যেখানে আর স্থল ক্ষেত্র এফ নিজেই হতে পারে। তাদের বিমূর্ত গোষ্ঠী তত্ত্ব বিবেচনা করে, অনেক রৈখিক গোষ্ঠীর একটি "বিশেষ" উপগোষ্ঠী থাকে, যা সাধারণত স্থল ক্ষেত্রের উপর নির্ধারক 1-এর উপাদানগুলির সমন্বয়ে গঠিত এবং তাদের বেশিরভাগেরই "প্রজেক্টিভ" কোটিয়েন্ট রয়েছে, যা গোষ্ঠীর কেন্দ্রের কোটিয়েন্ট। অর্থোগোনাল গোষ্ঠীর জন্য 2 "এস" বৈশিষ্ট্যের একটি ভিন্ন অর্থ রয়েছে। একটি গোষ্ঠীর নামের সামনে "সাধারণ" শব্দের অর্থ সাধারণত গোষ্ঠীটিকে স্থির রেখে দেওয়ার পরিবর্তে একটি ধ্রুবক দ্বারা কোনও ধরণের ফর্মকে গুণ করার অনুমতি দেওয়া হয়। সাবস্ক্রিপ্ট এন সাধারণত মডিউলটির মাত্রা নির্দেশ করে যার উপর গ্রুপটি কাজ করছে; এটি একটি ভেক্টর স্পেস যদি আর = এফ। সাধারণ এবং বিশেষ রৈখিক গোষ্ঠী সাধারণ রৈখিক গোষ্ঠী জি. এল. এন (আর) হল আর. এন-এর সমস্ত আর-রৈখিক অটোমরফিজমের গোষ্ঠী। একটি উপগোষ্ঠী রয়েছেঃ বিশেষ রৈখিক গোষ্ঠী এস. এল. এন (আর), এবং তাদের অনুপাতঃ প্রজেক্টিভ সাধারণ রৈখিক গোষ্ঠী পি. জি. এল. এন (আর) = জি. এল. এন (আর)/জেড (জি. এল. এন (আর)) এবং প্রজেক্টিভ বিশেষ রৈখিক গোষ্ঠী পি. এস. এল. এন (আর) = এস. এল. এন (আর)/জেড (এস. এল. এন (আর))। একটি F ক্ষেত্রের উপর প্রজেক্টিভ বিশেষ রৈখিক গোষ্ঠী পি. এস. এল. এন (এফ) n ≤ 2-এর জন্য সহজ, দুটি ক্ষেত্রে ব্যতীত যখন n = 2 এবং ক্ষেত্রের ক্রম 2 বা 3 থাকে। একক গোষ্ঠী ইউনিটারি গ্রুপ আন (আর) হল একটি গোষ্ঠী যা একটি মডিউলে একটি সেস্কুইলিনিয়ার ফর্ম সংরক্ষণ করে। একটি উপগোষ্ঠী রয়েছে, বিশেষ এককেন্দ্রিক গোষ্ঠী এস. ইউ. এন. (আর) এবং তাদের অংশগুলি হল প্রজেক্টিভ এককেন্দ্রিক গোষ্ঠী পি. ইউ. এন. (আর) = ইউ. এন. (আর)/জেড (ইউ. এন. (আর)) এবং প্রজেক্টিভ বিশেষ এককেন্দ্রিক গোষ্ঠী পি. এস. ইউ. এন. (আর) = এস. ইউ. এন. (আর)/জেড (এস. ইউ. এন. (আর)) প্রতীকী গোষ্ঠী। এর একটি ভাগফল রয়েছে, প্রজেক্টিভ সিমপ্লেক্টিক গ্রুপ পিএসপি2এন (আর)। সাধারণ সিমপ্লেক্টিক গ্রুপ জিএসপি2এন (আর) একটি মডিউলের অটোমরফিজম নিয়ে গঠিত যা একটি তির্যক প্রতিসম রূপকে কিছু বিপরীতমুখী স্কেলার দ্বারা গুণ করে। দুটি এবং তিনটি উপাদানের ক্ষেত্রে পিএসপি2-এর ক্ষেত্রে ব্যতীত, একটি সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের উপর প্রজেক্টিভ সিমপ্লেক্টিক গ্রুপ পিএসপি2এন (এফকিউ) এনওআর1-এর জন্য সহজ। অর্থোগোনাল গ্রুপ অন (আর) একটি মডিউলে একটি অ-অবনমিত চতুর্ভুজ রূপ সংরক্ষণ করে। একটি উপগোষ্ঠী রয়েছে, বিশেষ অর্থোগোনাল গ্রুপ এস. ও. এন (আর) এবং কোটিয়েন্টস, প্রজেক্টিভ অর্থোগোনাল গ্রুপ পি. ও. এন (আর), এবং প্রজেক্টিভ বিশেষ অর্থোগোনাল গ্রুপ পি. এস. ও. এন (আর)। বৈশিষ্ট্য 2-এ নির্ধারক সর্বদা 1 হয়, তাই বিশেষ অর্থোগোনাল গ্রুপকে প্রায়শই ডিকসন অপরিবর্তনীয় 1-এর উপাদানগুলির উপগোষ্ঠী হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। প্রায়শই স্পিনোর আদর্শ 1-এর উপাদানগুলির অর্থোগোনাল গোষ্ঠীর উপাদানগুলির সমন্বয়ে গঠিত ωn (R) দ্বারা চিহ্নিত একটি নামহীন গোষ্ঠী রয়েছে, যার সাথে সংশ্লিষ্ট উপগোষ্ঠী এবং ভাগফল গোষ্ঠী Sωn (R), Pωn (R), Pωn (R) রয়েছে। (বাস্তবগুলির উপর ধনাত্মক নির্দিষ্ট দ্বিঘাত রূপগুলির জন্য, ω গোষ্ঠীটি অর্থোগোনাল গোষ্ঠীর মতোই হয়, তবে সাধারণভাবে এটি ছোট হয়।) এছাড়াও ωn (R) এর একটি দ্বৈত আবরণ রয়েছে, যাকে পিন গ্রুপ পিন (R) বলা হয় এবং এর স্পিন গ্রুপ স্পিন (R) নামে একটি উপগোষ্ঠী রয়েছে। সাধারণ অর্থোগোনাল গ্রুপ জিওএন (আর) একটি মডিউলের অটোমরফিজম নিয়ে গঠিত যা একটি দ্বিঘাত রূপকে কিছু বিপরীতমুখী স্কেলার দ্বারা গুণ করে। নোটেশনাল কনভেনশন ব্যতিক্রমী লাই গ্রুপের সাথে বৈপরীত্য ধ্রুপদী লাই গ্রুপের সাথে বৈপরীত্য হল ব্যতিক্রমী লাই গ্রুপ, জি2, এফ4, ই6, ই7, ই8, যা তাদের বিমূর্ত বৈশিষ্ট্যগুলি ভাগ করে নেয়, তবে তাদের পরিচিতি নয়। এগুলি 1890 সালের দিকে উইলহেলম কিলিং এবং এলি কার্টান দ্বারা জটিল সংখ্যার উপর সাধারণ লাই অ্যালজেব্রার শ্রেণিবিন্যাসে আবিষ্কৃত হয়েছিল। নোটস রেফারেন্স ই. আর্টিন (1957) জ্যামিতিক বীজগণিত, অধ্যায় III, IV, এবং V ইন্টারনেট আর্কাইভ লাই গ্রুপের মাধ্যমে