Elliptic cohomology
গণিতে, উপবৃত্তাকার সমস্থানিকবিদ্যা হল বীজগাণিতিক সমস্থানিকবিদ্যার অর্থে একটি সমস্থানিকবিদ্যা তত্ত্ব। এটি উপবৃত্তাকার বক্ররেখা এবং মডুলার ফর্মের সাথে সম্পর্কিত। ইতিহাস এবং অনুপ্রেরণা ঐতিহাসিকভাবে, উপবৃত্তাকার গণের অধ্যয়ন থেকে উপবৃত্তাকার সমস্থানিকবিদ্যার উদ্ভব হয়েছিল। আতিয়া এবং হিরজেব্রুচ জানতেন যে, যদি একটি ঘূর্ণন বহুগুণে মসৃণভাবে এবং অ-তুচ্ছভাবে কাজ করে, তবে ডিরাক অপারেটরের সূচকটি অদৃশ্য হয়ে যায়। 1983 সালে, উইটেন অনুমান করেছিলেন যে এই পরিস্থিতিতে একটি নির্দিষ্ট বাঁকানো ডিরাক অপারেটরের সমতুল্য সূচক অন্তত ধ্রুবক। এর ফলে ম্যানিফোল্ডের উপর-ক্রিয়া সম্পর্কিত অন্যান্য কিছু সমস্যা দেখা দেয়, যা উপবৃত্তাকার গণের প্রবর্তনের মাধ্যমে ওচানিন দ্বারা সমাধান করা যেতে পারে। পরিবর্তে, উইটেন এগুলিকে মুক্ত লুপ স্পেসের (অনুমানমূলক) সূচক তত্ত্বের সাথে সম্পর্কিত করেছেন। 1980-এর দশকের শেষের দিকে ল্যান্ডওয়েবার, স্টং এবং রাভেনেল দ্বারা উদ্ভাবিত উপবৃত্তাকার কোহোমোলজি, উপবৃত্তাকার গণের সাথে কিছু সমস্যা স্পষ্ট করার জন্য এবং মুক্ত লুপ স্পেসে ডিফারেনশিয়াল অপারেটরদের পরিবারের (অনুমানমূলক) সূচক তত্ত্বের জন্য একটি প্রসঙ্গ সরবরাহ করার জন্য চালু করা হয়েছিল। কিছু অর্থে এটিকে মুক্ত লুপ স্থানের কে-তত্ত্বের আনুমানিক হিসাবে দেখা যেতে পারে। সংজ্ঞা এবং গঠনগুলি একটি কোহোমোলজি তত্ত্বকে জোড় পর্যায়ক্রমিক বলে অভিহিত করে যদি আই বিজোড় হয় এবং একটি বিপরীত উপাদান থাকে। এই তত্ত্বগুলির একটি জটিল অভিযোজন রয়েছে, যা একটি আনুষ্ঠানিক গোষ্ঠী আইন দেয়। আনুষ্ঠানিক গোষ্ঠী আইনের একটি বিশেষ সমৃদ্ধ উৎস হল উপবৃত্তাকার বক্ররেখা। একটি কোহোমোলজি তত্ত্বকে উপবৃত্তাকার বলা হয় যদি এটি জোড় পর্যায়ক্রমিক হয় এবং এর আনুষ্ঠানিক গ্রুপ আইনটি উপবৃত্তাকার বক্ররেখার একটি আনুষ্ঠানিক গ্রুপ আইনের সমতুল্য হয়। এই ধরনের উপবৃত্তাকার কোহোমোলজি তত্ত্বের স্বাভাবিক গঠন ল্যান্ডওয়েবার সঠিক ফাংক্টর উপপাদ্য ব্যবহার করে। যদি ল্যান্ডওয়েবারের আনুষ্ঠানিক গোষ্ঠী সূত্রটি সঠিক হয়, তবে ফ্রাঙ্কের দ্বারা একটি উপবৃত্তাকার কোহোমোলজি তত্ত্ব (সীমাবদ্ধ জটিলতার উপর) সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে যা ল্যান্ডওয়েবারের নির্ভুলতা পূরণ করার জন্য প্রয়োজনীয় শর্তটি চিহ্নিত করেছেঃ সমতল হওয়া প্রয়োজন। উপরন্তু, সার্বজনীন ক্ষেত্রে শর্তগুলি এই অর্থে পূরণ করা হয় যে উপবৃত্তাকার বক্ররেখার মডুলি স্ট্যাক থেকে আনুষ্ঠানিক গোষ্ঠীর মডুলি স্ট্যাক পর্যন্ত মানচিত্রটি সমতল। এটি উপবৃত্তাকার বক্ররেখার মডুলি স্ট্যাকের উপর সমতল অ্যাফিন স্কিমের স্থানের উপর কোহোমোলজি তত্ত্বের একটি পূর্বাভাস দেয়। বিশ্বব্যাপী বিভাগগুলি গ্রহণ করে একটি সর্বজনীন উপবৃত্তাকার কোহোমোলজি তত্ত্ব পাওয়ার আকাঙ্ক্ষা পূর্ববর্তী সাইটের তুলনায় এই প্রিশেফের হোমোটপি সীমা হিসাবে টপোলজিকাল মডুলার ফর্মগুলি 20-এর নির্মাণের দিকে পরিচালিত করেছে। আরও দেখুন বর্ণালী বীজগাণিতিক জ্যামিতি মধ্যবর্তী জ্যাকোবিয়ান ক্রোমাটিক হোমোটপি তত্ত্ব রেফারেন্স। । । । । প্রতিষ্ঠাতা নিবন্ধ উপবৃত্তাকার কোহোমোলজি-গ্রায়েম সেগাল এক্সটেনশনস টু ক্যালাবি-ইউ ম্যানিফোল্ডস কে3 স্পেকট্রা গঠন স্পষ্ট কে3 বর্ণালী গেজ তত্ত্ব, স্ট্রিং তত্ত্ব এবং কোহোমোলজিতে উপবৃত্তাকার বক্ররেখা কোহোমোলজি তত্ত্ব উপবৃত্তাকার বক্ররেখা মডুলার ফর্ম