Peano existence theorem
গণিতে, বিশেষত সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের অধ্যয়নে, পিয়ানো অস্তিত্ব উপপাদ্য, পিয়ানো উপপাদ্য বা কাউচি-পিয়ানো উপপাদ্য, যা জুসেপ্পে পিয়ানো এবং অগাস্টিন-লুই কাউচির নামে নামকরণ করা হয়েছে, একটি মৌলিক উপপাদ্য যা নির্দিষ্ট প্রাথমিক মান সমস্যার সমাধানের অস্তিত্বের নিশ্চয়তা দেয়। হিস্ট্রি পেয়ানো 1886 সালে একটি ভুল প্রমাণ সহ প্রথম উপপাদ্যটি প্রকাশ করে। 1890 সালে তিনি ধারাবাহিক অনুমান ব্যবহার করে একটি নতুন সঠিক প্রমাণ প্রকাশ করেন। উপপাদ্যটি একটি অবিচ্ছিন্ন ফাংশন এবং ডি-তে সংজ্ঞায়িত একটি অবিচ্ছিন্ন, স্পষ্ট প্রথম-ক্রমের ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সহ একটি উন্মুক্ত উপসেট হতে দিন, তারপর f-এর জন্য প্রতিটি প্রাথমিক মান সমস্যার একটি স্থানীয় সমাধান থাকে যেখানে in-এর একটি প্রতিবেশী থাকে, যেমন সকলের জন্য। সমাধানটি অনন্য হওয়ার প্রয়োজন নেইঃ এক এবং একই প্রাথমিক মান বিভিন্ন সমাধানের জন্ম দিতে পারে। প্রমাণ দিয়ে প্রতিস্থাপন করে, আমরা ধরে নিতে পারি। খোলা থাকলে একটি আয়তক্ষেত্র থাকে। যেহেতু কম্প্যাক্ট এবং অবিচ্ছিন্ন, আমাদের আছে এবং স্টোন-ওয়েয়ারস্ট্রাস উপপাদ্য অনুসারে লিপস্কিটজ ফাংশনের একটি ক্রম রয়েছে যা অভিন্নভাবে রূপান্তরিত হয়। সাধারণতা না হারিয়ে, আমরা সবার জন্য ধরে নিই। আমরা পিকার্ড পুনরাবৃত্তিকে নিম্নরূপ সংজ্ঞায়িত করি, কোথায়। , এবং। এগুলি ইন্ডাকশন দ্বারা ভালভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছেঃ যেমন এর ডোমেনের মধ্যে রয়েছে। আমাদের কাছে রয়েছে যেখানে লিপস্কিটজ ধ্রুবক রয়েছে। সুতরাং সর্বাধিক পার্থক্যের জন্য, আমাদের একটি সীমা আছে, এবং আনয়ন দ্বারা, এটি সেই সীমা বোঝায় যা সকলের জন্য শূন্যের দিকে থাকে। ফাংশনগুলি সমান্তরাল কারণ আমাদের কাছে রয়েছে তাই আরজেলা-অ্যাসকোলি উপপাদ্য অনুসারে এগুলি তুলনামূলকভাবে সংক্ষিপ্ত। বিশেষত, প্রত্যেকটির জন্য একটি ধারাবাহিকতা রয়েছে যা একটি অবিচ্ছিন্ন ফাংশনে অভিন্নভাবে রূপান্তরিত হয়। সীমাবদ্ধতা বজায় রেখে আমরা এই উপসংহারে পৌঁছাই। ফাংশনগুলি তুলনামূলকভাবে কমপ্যাক্ট সেটের পরিসমাপ্তিতে রয়েছে, তাই তারা নিজেরাই তুলনামূলকভাবে কমপ্যাক্ট। এইভাবে একটি ধারাবাহিকতা রয়েছে যা একটি অবিচ্ছিন্ন ফাংশনে অভিন্নভাবে রূপান্তরিত হয়। সীমাবদ্ধতার কথা বিবেচনা করে আমরা এই উপসংহারে পৌঁছেছি যে, আরজেলা-আসকোলি উপপাদ্য দ্বারা সমান্তরাল সত্যটি ব্যবহার করে। ক্যালকুলাসের মৌলিক উপপাদ্য অনুসারে, in। সম্পর্কিত উপপাদ্য পিয়ানো উপপাদ্যকে একই প্রসঙ্গে আরেকটি অস্তিত্বের ফলাফলের সাথে তুলনা করা যেতে পারে, পিকার্ড-লিন্ডেলফ উপপাদ্য। পিকার্ড-লিন্ডেলফ উপপাদ্য উভয়ই আরও বেশি অনুমান করে এবং আরও শেষ করে। এর জন্য লিপস্কিটজ ধারাবাহিকতা প্রয়োজন, যেখানে পেনো উপপাদ্যের জন্য কেবল ধারাবাহিকতা প্রয়োজন; তবে এটি অস্তিত্ব এবং স্বতন্ত্রতা উভয়ই প্রমাণ করে যেখানে পেনো উপপাদ্য শুধুমাত্র সমাধানের অস্তিত্ব প্রমাণ করে। উদাহরণস্বরূপ, ডোমেনের সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণটি বিবেচনা করুন পেনো উপপাদ্য অনুসারে, এই সমীকরণটির সমাধান রয়েছে, তবে পিকার্ড-লিন্ডেলফ উপপাদ্যটি প্রযোজ্য নয় কারণ ডানদিকের দিকটি 0 ধারণকারী কোনও পাড়ায় লিপশিটজ অবিচ্ছিন্ন নয়। এইভাবে আমরা উপসংহারে আসতে পারি অস্তিত্ব কিন্তু স্বতন্ত্রতা নয়। দেখা যাচ্ছে যে এই সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের দুই ধরনের সমাধান রয়েছে যখন শুরু হয়, হয় বা। এবং এর মধ্যে রূপান্তর যে কোনও সময়ে ঘটতে পারে। ক্যারাথিওডোরি অস্তিত্ব উপপাদ্যটি ধারাবাহিকতার চেয়ে দুর্বল শর্ত সহ পেনো অস্তিত্ব উপপাদ্যের একটি সাধারণীকরণ। নিবন্ধ বিশ্লেষণে অগাস্টিন-লুই কচি উপপাদ্য সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ