Overdetermined system
গণিতে, সমীকরণের একটি পদ্ধতি অতিরিক্ত নির্ধারিত বলে মনে করা হয় যদি অজানা সমীকরণের চেয়ে বেশি সমীকরণ থাকে। একটি অতিরিক্ত নির্ধারিত ব্যবস্থা প্রায় সবসময়ই অসঙ্গতিপূর্ণ (এর কোনও সমাধান নেই) যখন এলোমেলো সহগ দিয়ে তৈরি করা হয়। যাইহোক, একটি অতিরিক্ত নির্ধারিত ব্যবস্থার কিছু ক্ষেত্রে সমাধান থাকবে, উদাহরণস্বরূপ যদি কিছু সমীকরণ সিস্টেমে বেশ কয়েকবার ঘটে, অথবা যদি কিছু সমীকরণ অন্যদের রৈখিক সংমিশ্রণ হয়। সীমাবদ্ধ গণনার ধারণার পরিপ্রেক্ষিতে পরিভাষাটি বর্ণনা করা যেতে পারে। প্রতিটি অজানা স্বাধীনতার একটি উপলব্ধ মাত্রা হিসাবে দেখা যেতে পারে। সিস্টেমে প্রবর্তিত প্রতিটি সমীকরণকে একটি সীমাবদ্ধতা হিসাবে দেখা যেতে পারে যা এক মাত্রার স্বাধীনতাকে সীমাবদ্ধ করে। অতএব, সমালোচনামূলক কেসটি তখন ঘটে যখন সমীকরণের সংখ্যা এবং মুক্ত চলকের সংখ্যা সমান হয়। একটি মাত্রার স্বাধীনতা প্রদানকারী প্রতিটি চলকের জন্য একটি সংশ্লিষ্ট সীমাবদ্ধতা রয়েছে। অতিরিক্ত নির্ধারিত ক্ষেত্রে ঘটে যখন সিস্টেমটি অতিরিক্ত সীমাবদ্ধ থাকে-অর্থাৎ, যখন সমীকরণগুলি অজানা সংখ্যাকে ছাড়িয়ে যায়। বিপরীতে, অনির্ধারিত কেসটি ঘটে যখন সিস্টেমটি সীমাবদ্ধ থাকে-অর্থাৎ, যখন সমীকরণের সংখ্যা অজানা সংখ্যার চেয়ে কম হয়। এই ধরনের ব্যবস্থাগুলির সাধারণত অসীম সংখ্যক সমাধান থাকে। সমীকরণের অতিনির্ধারিত রৈখিক পদ্ধতি দুটি মাত্রায় একটি উদাহরণ বিবেচনা করুন 3টি সমীকরণ এবং 2টি অজানা (এবং) পদ্ধতি বিবেচনা করুন, যা 3> 2 হিসাবে অতিনির্ধারিত এবং যা রেখাচিত্রের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ #1: প্রতিটি রৈখিক সমীকরণের জন্য একটি সমাধান রয়েছেঃ প্রথম এবং দ্বিতীয় সমীকরণের জন্য (0.2, −1.4), প্রথম এবং তৃতীয় সমীকরণের জন্য (−2/3,1/3), এবং দ্বিতীয় এবং তৃতীয় সমীকরণের জন্য (1.5,25)। যাইহোক, এমন কোনও সমাধান নেই যা একই সাথে তিনটিকে সন্তুষ্ট করে। রেখাচিত্র #2 এবং 3 অন্যান্য বিন্যাসগুলি দেখায় যা অসঙ্গতিপূর্ণ কারণ সমস্ত লাইনে কোনও বিন্দু নেই। এই বৈচিত্র্যের পদ্ধতিগুলি অসঙ্গতিপূর্ণ বলে মনে করা হয়। শুধুমাত্র ক্ষেত্রে যেখানে অতিরিক্ত নির্ধারিত ব্যবস্থার প্রকৃতপক্ষে একটি সমাধান রয়েছে তা ডায়াগ্রামে #4,5 এবং 6-এ প্রদর্শিত হয়। এই ব্যতিক্রমগুলি তখনই ঘটতে পারে যখন অতিরিক্ত নির্ধারিত সিস্টেমে যথেষ্ট রৈখিকভাবে নির্ভরশীল সমীকরণ থাকে যা স্বাধীন সমীকরণের সংখ্যা অজানা সংখ্যা অতিক্রম করে না। রৈখিক নির্ভরতার অর্থ হল কিছু সমীকরণ রৈখিকভাবে অন্যান্য সমীকরণের সংমিশ্রণ থেকে পাওয়া যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, Y = X + 1 এবং 2Y = 2X + 2 রৈখিকভাবে নির্ভরশীল সমীকরণ কারণ দ্বিতীয়টি প্রথমটির দ্বিগুণ নিয়ে পাওয়া যেতে পারে। ম্যাট্রিক্স ফর্ম রৈখিক সমীকরণের যে কোনও ব্যবস্থাকে ম্যাট্রিক্স সমীকরণ হিসাবে লেখা যেতে পারে। সমীকরণের পূর্ববর্তী পদ্ধতিটি (রেখাচিত্র #1-এ) নিম্নরূপ লেখা যেতে পারেঃ লক্ষ্য করুন যে সহগ ম্যাট্রিক্সের সারিগুলি (সমীকরণের সাথে সম্পর্কিত) কলামগুলির (অজানাগুলির সাথে সম্পর্কিত) সংখ্যাকে ছাড়িয়ে গেছে, যার অর্থ সিস্টেমটি অতিরিক্ত নির্ধারিত। এই ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক হল 2, যা সিস্টেমে নির্ভরশীল চলকের সংখ্যার সাথে মিলে যায়। একটি রৈখিক ব্যবস্থা সামঞ্জস্যপূর্ণ হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি সহগ ম্যাট্রিক্সের বর্ধিত ম্যাট্রিক্সের মতো একই র্যাঙ্ক থাকে (একটি অতিরিক্ত কলাম যুক্ত সহ সহগ ম্যাট্রিক্স, সেই কলামটি ধ্রুবকের কলাম ভেক্টর হয়)। বর্ধিত ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক 3 রয়েছে, তাই সিস্টেমটি অসঙ্গতিপূর্ণ। শূন্যতার মান হল 0, যার অর্থ হল শূন্য স্থানে শুধুমাত্র শূন্য ভেক্টর রয়েছে এবং তাই এর কোনও ভিত্তি নেই। রৈখিক বীজগণিতে ম্যাট্রিক্সের বৈশিষ্ট্য নির্ধারণের জন্য সারি স্থান, কলাম স্থান এবং শূন্য স্থানের ধারণাগুলি গুরুত্বপূর্ণ। উপরের সীমাবদ্ধতা এবং স্বাধীনতার মাত্রা সম্পর্কে অনানুষ্ঠানিক আলোচনা সরাসরি এই আরও আনুষ্ঠানিক ধারণার সাথে সম্পর্কিত। সমজাতীয় ক্ষেত্রে (যেখানে সমস্ত ধ্রুবক পদ শূন্য) সর্বদা সামঞ্জস্যপূর্ণ (কারণ একটি তুচ্ছ, সর্ব-শূন্য সমাধান রয়েছে)। রৈখিকভাবে নির্ভরশীল সমীকরণের সংখ্যার উপর নির্ভর করে দুটি কেস রয়েছেঃ হয় কেবল তুচ্ছ সমাধান রয়েছে, অথবা তুচ্ছ সমাধান এবং অন্যান্য সমাধানের একটি অসীম সেট রয়েছে। রৈখিক সমীকরণের পদ্ধতিটি বিবেচনা করুনঃ 1 ≤ i ≤ M-এর জন্য Li = 0, এবং চলক X1, X2,., XN, যেখানে প্রতিটি Li হল Xis-এর একটি ওজনযুক্ত যোগফল। তাহলে X1 = X2 = ꯘꯥ = XN = 0 সর্বদা একটি সমাধান। যখন এম <এন সিস্টেমটি অনির্ধারিত হয় এবং সর্বদা আরও সমাধানের একটি অসীম থাকে। প্রকৃতপক্ষে সমাধানের স্থানের মাত্রা সর্বদা কমপক্ষে N − M হয়। M ≤ N-এর জন্য, সমস্ত মান 0 হওয়া ছাড়া অন্য কোনও সমাধান থাকতে পারে না। অন্যান্য সমাধানের একটি অসীমতা তখনই থাকবে যখন সমীকরণের ব্যবস্থায় যথেষ্ট নির্ভরতা (রৈখিকভাবে নির্ভরশীল সমীকরণ) থাকবে যে স্বাধীন সমীকরণের সংখ্যা সর্বাধিক N−1 হবে। কিন্তু M ≤ N-এর ক্ষেত্রে স্বাধীন সমীকরণের সংখ্যা N-এর সমান হতে পারে, এই ক্ষেত্রে একমাত্র তুচ্ছ সমাধান হল। অ-সমজাতীয় ক্ষেত্রে রৈখিক সমীকরণের সিস্টেমে, 1 ≤ i ≤ M-এর জন্য Li = ci, X1, X2,., XN চলকগুলিতে সমীকরণগুলি কখনও কখনও রৈখিকভাবে নির্ভরশীল হয়; প্রকৃতপক্ষে রৈখিকভাবে স্বাধীন সমীকরণের সংখ্যা N + 1 অতিক্রম করতে পারে না। আমাদের কাছে এন অজানা এবং এম সমীকরণ (এম> এন) সহ একটি অতিরিক্ত নির্ধারিত সিস্টেমের জন্য নিম্নলিখিত সম্ভাব্য কেস রয়েছে। এম = এন + 1 এবং সমস্ত এম সমীকরণ রৈখিকভাবে স্বাধীন। এই মামলার কোনও সমাধান হয় না। উদাহরণ-x = 1, x = 2। এম> এন কিন্তু শুধুমাত্র কে সমীকরণ (কে <এম এবং কে ≤ এন + 1) রৈখিকভাবে স্বাধীন। এর তিনটি সম্ভাব্য উপ-ঘটনা রয়েছেঃ কে = এন + 1। এই মামলার কোনও সমাধান হয় না। উদাহরণ 2x = 2, x = 1, x = 2। K = N. এই ক্ষেত্রে একটি একক সমাধান পাওয়া যায় বা কোনও সমাধান পাওয়া যায় না, পরেরটি ঘটে যখন একটি সমীকরণের সহগ ভেক্টরকে অন্য সমীকরণের সহগ ভেক্টরের ওজনযুক্ত যোগফল দ্বারা প্রতিলিপি করা যায় কিন্তু অন্য সমীকরণের ধ্রুবক পদগুলিতে প্রয়োগ করা ওজনযুক্ত যোগফল একটি সমীকরণের ধ্রুবক পদের প্রতিলিপি তৈরি করে না। একটি সমাধান সহ উদাহরণ 2x = 2, x = 1। সমাধান ছাড়া উদাহরণ-2x + 2y = 2, x + y = 1, x + y = 3। কে <এন. এই ক্ষেত্রে অসীম সংখ্যক সমাধান পাওয়া যায় বা কোনও সমাধান পাওয়া যায় না, পরেরটি পূর্ববর্তী উপ-ক্ষেত্রে যেমন ঘটেছিল। অসীম সংখ্যক সমাধানের উদাহরণ হলঃ 3x + 3y = 3,2x + 2y = 2, x + y = 1। সমাধান ছাড়া উদাহরণ 3x + 3y + 3z = 3,2x + 2y + 2z = 2, x + y + z = 1, x + y + z = 4। গাউসিয়ান এলিমিনেশন ব্যবহার করে সিস্টেমের সহগগুলির বর্ধিত ম্যাট্রিক্সকে সারি ইকোলন আকারে রেখে এই ফলাফলগুলি বোঝা সহজ হতে পারে। এই সারি ইকোলন ফর্মটি সমীকরণের একটি সিস্টেমের বর্ধিত ম্যাট্রিক্স যা প্রদত্ত সিস্টেমের সমতুল্য (এটির ঠিক একই সমাধান রয়েছে)। মূল পদ্ধতিতে স্বাধীন সমীকরণের সংখ্যা হল ইকোলন আকারে অ-শূন্য সারির সংখ্যা। সিস্টেমটি অসঙ্গতিপূর্ণ (কোনও সমাধান নয়) যদি এবং শুধুমাত্র যদি ইকোলন আকারে শেষ অ-শূন্য সারিতে শুধুমাত্র একটি অ-শূন্য এন্ট্রি থাকে যা শেষ কলামে থাকে (একটি সমীকরণ 0 = সি দেয় যেখানে সি একটি অ-শূন্য ধ্রুবক)। অন্যথায়, ঠিক একটি সমাধান থাকে যখন ইকোলন আকারে অ-শূন্য সারির সংখ্যা অজানা সংখ্যার সমান হয় এবং অসীম সংখ্যক সমাধান থাকে যখন অ-শূন্য সারির সংখ্যা চলকের সংখ্যার চেয়ে কম হয়। অন্যভাবে বললে, রুচে-ক্যাপেলি উপপাদ্য অনুসারে, সমীকরণের যে কোনও ব্যবস্থা (অতিরিক্ত নির্ধারিত বা অন্যথায়) অসঙ্গতিপূর্ণ যদি বর্ধিত ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক সহগ ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্কের চেয়ে বেশি হয়। অন্যদিকে, যদি এই দুটি ম্যাট্রিসের র্যাঙ্ক সমান হয়, তবে সিস্টেমে কমপক্ষে একটি সমাধান থাকতে হবে। সমাধানটি অনন্য যদি এবং শুধুমাত্র যদি র্যাঙ্কটি ভেরিয়েবলের সংখ্যার সমান হয়। অন্যথায় সাধারণ সমাধানের k মুক্ত পরামিতি রয়েছে যেখানে k হল চলকের সংখ্যা এবং পদমর্যাদার মধ্যে পার্থক্য; তাই এই ধরনের ক্ষেত্রে সমাধানের একটি অসীমতা রয়েছে। সঠিক সমাধান ম্যাট্রিক্স বীজগণিত ব্যবহার করে সমস্ত সঠিক সমাধান পাওয়া যেতে পারে, বা এটি দেখানো যেতে পারে যে কোনওটিরই অস্তিত্ব নেই। সিস্টেম অফ লিনিয়ার equations#Matrix সমাধান দেখুন। আনুমানিক সমাধান সাধারণ ন্যূনতম বর্গের পদ্ধতিটি অতিরিক্ত নির্ধারিত ব্যবস্থার আনুমানিক সমাধান খুঁজে বের করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। সিস্টেমের জন্য সর্বনিম্ন বর্গ সূত্রটি সমস্যা থেকে প্রাপ্ত হয় যার সমাধান স্বাভাবিক সমীকরণ দিয়ে লেখা যেতে পারে, যেখানে একটি ম্যাট্রিক্স ট্রান্সপোজ নির্দেশ করে, যা বিদ্যমান (অর্থাৎ, যদি এ-এর সম্পূর্ণ কলাম র্যাঙ্ক থাকে)। এই সূত্রের সাহায্যে একটি আনুমানিক সমাধান পাওয়া যায় যখন কোনও সঠিক সমাধান বিদ্যমান থাকে না এবং যখন একটি বিদ্যমান থাকে তখন এটি একটি সঠিক সমাধান দেয়। তবে, ভাল সংখ্যাসূচক নির্ভুলতা অর্জনের জন্য, ন্যূনতম বর্গ সমস্যা সমাধানের জন্য এ-এর কিউআর ফ্যাক্টরাইজেশন ব্যবহার করা পছন্দ করা হয়। সমীকরণের অতিরঞ্জিত অরৈখিক পদ্ধতি সীমাবদ্ধ মাত্রিক স্থানে, সমীকরণের একটি পদ্ধতি যেখানে একটি বিন্দু রয়েছে বা যেখানে বাস্তব বা জটিল ফাংশন রয়েছে তার আকারে বা আকারে লেখা বা উপস্থাপন করা যেতে পারে। যদি সিস্টেমটি অতিরিক্ত নির্ধারিত হয়। বিপরীতে, সিস্টেমটি একটি অনির্ধারিত সিস্টেম যদি। অতিরিক্ত নির্ধারিত পদ্ধতিগুলি সমাধানের জন্য একটি কার্যকর পদ্ধতি হিসাবে, গাউস-নিউটন পুনরাবৃত্তি স্থানীয়ভাবে চতুর্ভুজভাবে সমাধানগুলিতে একত্রিত হয় যেখানে জ্যাকোবিয়ান ম্যাট্রিক্সগুলি ইনজেকটিভ। সাধারণ ব্যবহারে এই ধারণাটি বহুপদী সমীকরণ বা আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের মতো সমীকরণের আরও সাধারণ পদ্ধতিতেও প্রয়োগ করা যেতে পারে। বহুপদী সমীকরণের পদ্ধতির ক্ষেত্রে, এটি ঘটতে পারে যে একটি অতিরিক্ত নির্ধারিত পদ্ধতির একটি সমাধান রয়েছে, তবে কোনও একটি সমীকরণ অন্যটির ফল নয় এবং যে কোনও সমীকরণ অপসারণ করার সময় নতুন পদ্ধতির আরও সমাধান রয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, একক সমাধান রয়েছে তবে প্রতিটি সমীকরণের দুটি সমাধান রয়েছে। আরও দেখুন আন্ডারডিটর্মিনেড সিস্টেম রুচে-ক্যাপেলি (বা, রুচে-ফ্রোবেনিয়াস) উপপাদ্য ইন্টিগ্রেবিলিটি শর্ত সর্বনিম্ন বর্গ সামঞ্জস্য প্রমাণ কম্প্রেসড সেন্সিং মুর-পেনরোজ সিউডোইনভার্স রেফারেন্স কার্ভ ফিটিং লিনিয়ার বীজগণিত আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ