Kuratowski's closure-complement problem
পয়েন্ট-সেট টপোলজিতে, কুরাটোভস্কির ক্লোজার-কম্প্লিমেন্ট সমস্যাটি একটি টপোলজিকাল স্পেসের প্রদত্ত প্রারম্ভিক উপসেটের সাথে ক্লোজার এবং পরিপূরকের সেট ক্রিয়াকলাপগুলি বারবার প্রয়োগ করে প্রাপ্ত সর্বাধিক সংখ্যক স্বতন্ত্র সেটের জন্য জিজ্ঞাসা করে। উত্তর হল 14। এই ফলাফলটি 1922 সালে কাজিমিয়েরজ কুরাটোভস্কি প্রথম প্রকাশ করেন। জন এল কেলির 1955 সালের ক্লাসিক, জেনারেল টপোলজিতে পাঠ্যপুস্তক অনুশীলন হিসাবে খ্যাতি অর্জনের আগে এটি কুরাটোভস্কির মৌলিক মনোগ্রাফ টপোলজিতে (1933 সালে প্রথম ফরাসি ভাষায় প্রকাশিত; প্রথম ইংরেজি অনুবাদ 1966 সালে প্রকাশিত হয়েছিল) অতিরিক্ত এক্সপোজার অর্জন করেছিল। প্রুফ লেটিং একটি টপোলজিকাল স্পেসের একটি নির্বিচারে উপসেটকে বোঝায়, বন্ধ করার জন্য এবং এর পরিপূরকের জন্য লিখুন। নিম্নলিখিত তিনটি পরিচয় বোঝায় যে 14টির বেশি স্বতন্ত্র সেট পাওয়া যায় নাঃ (বন্ধ করার প্রক্রিয়াটি সুবিধাজনক।) । (পরিপূরক অপারেশন একটি ইনভোলুশন।) । (অথবা সমতুল্যভাবে, পরিচয় ব্যবহার করে (2))। প্রথম দুটি তুচ্ছ। তৃতীয়টি আইডেন্টিটি থেকে অনুসরণ করে যেখানে এর অভ্যন্তরটি, এর পরিপূরক বন্ধের পরিপূরকের সমান। (অপারেশনটি সুবিধাজনক।) একটি উপসেট যা সর্বোচ্চ 14 উপলব্ধি করে তাকে 14-সেট বলা হয়। সাধারণ টপোলজির অধীনে বাস্তব সংখ্যার স্থানটিতে 14টি সেট থাকে। এখানে একটি উদাহরণ রয়েছেঃ যেখানে একটি খোলা ব্যবধান বোঝায় এবং একটি বদ্ধ ব্যবধান বোঝায়। এই সেটটিকে বোঝানো যাক। তারপর নিম্নলিখিত 14টি সেট অ্যাক্সেসযোগ্যঃ, উপরে দেখানো সেট। আরও ফলাফল একটি টপোলজিকাল স্পেসের প্রেক্ষাপটে এর উৎপত্তি হওয়া সত্ত্বেও, কুরাটোভস্কির ক্লোজার-কম্প্লিমেন্ট সমস্যাটি আসলে টপোলজিকালের চেয়ে বেশি বীজগাণিতিক। 1960 সাল থেকে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত সমস্যা এবং ফলাফলের একটি বিস্ময়কর প্রাচুর্য দেখা দিয়েছে, যার মধ্যে অনেকগুলি পয়েন্ট-সেট টপোলজির সাথে খুব কম বা কিছুই করার নেই। ক্লোজার-কম্প্লিমেন্ট অপারেশনগুলি একটি মনোয়েড প্রদান করে যা টপোলজিকাল স্পেসগুলিকে শ্রেণীবদ্ধ করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। বি. জে. গার্ডনার এবং মার্সেল জ্যাকসনের দ্য কুরাটোভস্কি ক্লোজার-কমপ্লিমেন্ট থিওরেম দ্য কুরাটোভস্কি ক্লোজার-কমপ্লিমেন্ট প্রবলেম মার্ক বোরন টপোলজি গাণিতিক সমস্যা