Isothermal coordinates
গণিতে, বিশেষত ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতিতে, রিম্যানিয়ান ম্যানিফোল্ডের আইসোথার্মাল স্থানাঙ্ক হল স্থানীয় স্থানাঙ্ক যেখানে মেট্রিক ইউক্লিডীয় মেট্রিকের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ। এর মানে হল যে আইসোথার্মাল স্থানাঙ্কে, স্থানীয়ভাবে রিম্যানিয়ান মেট্রিকের একটি রূপ রয়েছে যেখানে একটি ধনাত্মক মসৃণ ফাংশন রয়েছে। (যদি রিমানিয়ান ম্যানিফোল্ড ওরিয়েন্টেড হয়, তবে কিছু লেখক জোর দিয়ে বলেন যে একটি স্থানাঙ্ক ব্যবস্থাকে অবশ্যই আইসোথার্মাল হওয়ার জন্য সেই অভিযোজনের সাথে একমত হতে হবে।) পৃষ্ঠতলের আইসোথার্মাল স্থানাঙ্ক প্রথম গাউস দ্বারা প্রবর্তিত হয়েছিল। কর্ন এবং লিকটেনস্টাইন প্রমাণ করেছেন যে দ্বিমাত্রিক রিম্যানিয়ান ম্যানিফোল্ডের যে কোনও বিন্দুর চারপাশে আইসোথার্মাল স্থানাঙ্ক বিদ্যমান। বিপরীতে, বেশিরভাগ উচ্চ-মাত্রিক ম্যানিফোল্ডগুলি কোথাও আইসোথার্মাল স্থানাঙ্ক গ্রহণ করে না; অর্থাৎ, তারা সাধারণত স্থানীয়ভাবে সামঞ্জস্যপূর্ণভাবে সমতল হয় না। মাত্রা 3-এ, একটি রিমানিয়ান মেট্রিক স্থানীয়ভাবে সামঞ্জস্যপূর্ণভাবে সমতল হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি তার তুলো টেনসর অদৃশ্য হয়ে যায়। মাত্রা> 3-এ, একটি মেট্রিক স্থানীয়ভাবে সামঞ্জস্যপূর্ণভাবে সমতল হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি তার ওয়েল টেনসর অদৃশ্য হয়ে যায়। 1822 সালে, কার্ল ফ্রেডরিখ গাউস একটি বাস্তব-বিশ্লেষণাত্মক রিমানিয়ান মেট্রিকের সাথে একটি নির্বিচারে পৃষ্ঠে আইসোথার্মাল স্থানাঙ্কের অস্তিত্ব প্রমাণ করেছিলেন, যা বিপ্লবের পৃষ্ঠের বিশেষ ক্ষেত্রে জোসেফ ল্যাগ্রাঞ্জের পূর্ববর্তী ফলাফল অনুসরণ করে। গাউস দ্বারা ব্যবহৃত নির্মাণটি কচি-কোওয়ালেভস্কি উপপাদ্য ব্যবহার করে, যাতে তাঁর পদ্ধতি মৌলিকভাবে বাস্তব-বিশ্লেষণাত্মক প্রেক্ষাপটে সীমাবদ্ধ থাকে। আর্থার কর্নের দ্বিমাত্রিক আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের তত্ত্বের উদ্ভাবন অনুসরণ করে, লিওন লিকটেনস্টাইন 1916 সালে মসৃণ মেট্রিক এবং এমনকি হল্ডার অবিচ্ছিন্ন মেট্রিক সহ নিম্ন নিয়মিততার রিম্যানিয়ান মেট্রিকের জন্য আইসোথার্মাল স্থানাঙ্কের সাধারণ অস্তিত্ব খুঁজে পান। একটি দ্বি-মাত্রিক ম্যানিফোল্ডের উপর একটি রিম্যানিয়ান মেট্রিক দেওয়া হলে, আইসোথার্মাল স্থানাঙ্ক চার্টের মধ্যে ট্রানজিশন ফাংশন, যা এর খোলা উপসেটগুলির মধ্যে একটি মানচিত্র, অবশ্যই কোণ-সংরক্ষণকারী। অভিযোজন-সংরক্ষণের সাথে কোণ-সংরক্ষণের বৈশিষ্ট্য হল হলোমর্ফিক ফাংশনের একটি বৈশিষ্ট্য (অনেকগুলির মধ্যে), এবং তাই আইসোথার্মাল স্থানাঙ্ক চার্টের সমন্বয়ে গঠিত একটি অভিযোজিত স্থানাঙ্ক অ্যাটলাসকে হলোমর্ফিক স্থানাঙ্ক অ্যাটলাস হিসাবে দেখা যেতে পারে। এটি দেখায় যে একটি রিম্যানিয়ান মেট্রিক এবং একটি দ্বি-মাত্রিক বহুগুণের উপর একটি অভিযোজন একত্রিত হয়ে একটি রিম্যান পৃষ্ঠের কাঠামোকে প্ররোচিত করে (অর্থাৎ। একটি এক-মাত্রিক জটিল বহুগুণ)। উপরন্তু, একটি অভিমুখী পৃষ্ঠ দেওয়া হলে, দুটি রিম্যানিয়ান মেট্রিক একই হোলোমরফিক অ্যাটলাসকে প্ররোচিত করে যদি এবং শুধুমাত্র যদি তারা একে অপরের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ হয়। এই কারণে, রিম্যান পৃষ্ঠতলের অধ্যয়ন ওরিয়েন্টেড পৃষ্ঠতলের রিম্যানিয়ান মেট্রিকের কনফরমাল ক্লাসের অধ্যয়নের অনুরূপ। 1950-এর দশকের মধ্যে, কর্ণ এবং লিকটেনস্টাইনের ধারণাগুলির ব্যাখ্যাগুলি জটিল ব্যুৎপত্তি এবং বেলট্রামি সমীকরণের ভাষায় লিপম্যান বারস এবং শিং-শেন চেরন দ্বারা অন্যদের মধ্যে রাখা হয়েছিল। এই প্রসঙ্গে, সাধারণীকৃত সমাধানগুলির অস্তিত্ব অনুসন্ধান করা স্বাভাবিক, যা প্রাসঙ্গিক আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলিকে সন্তুষ্ট করে তবে স্বাভাবিক উপায়ে স্থানাঙ্ক চার্ট হিসাবে আর ব্যাখ্যাযোগ্য নয়। চার্লস মোরি 1938 সালে দ্বিমাত্রিক ক্ষেত্রের উপবৃত্তাকার আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের তত্ত্বের উপর তাঁর মৌলিক নিবন্ধে এর সূচনা করেছিলেন, যা পরে লার্স আহলফর্স এবং বার্সের পরিমাপযোগ্য রিম্যান ম্যাপিং উপপাদ্যের দিকে নিয়ে যায়। বেলট্রামি সমীকরণ বেলট্রামি সমীকরণের জন্য পরিচিত অস্তিত্ব উপপাদ্য প্রয়োগ করে আইসোথার্মাল স্থানাঙ্কের অস্তিত্ব প্রমাণ করা যেতে পারে, যা ক্যালডেরন এবং জাইগমুন্ডের একক অবিচ্ছেদ্য অপারেটরদের জন্য এলপি অনুমানের উপর নির্ভর করে। সম্প্রতি অ্যাড্রিয়েন ডুয়াদি বেলট্রামি সমীকরণের একটি সহজ পদ্ধতি দিয়েছেন। যদি রিমানিয়ান মেট্রিকটি জটিল স্থানাঙ্কে স্থানীয়ভাবে দেওয়া হয়, তবে এটি এবং এর সাথে মসৃণ এবং মসৃণ রূপ নেয়। প্রকৃতপক্ষে আইসোথার্মাল স্থানাঙ্কে মেট্রিকটি ρ মসৃণ আকারে হওয়া উচিত। জটিল স্থানাঙ্কটি সন্তুষ্ট হয় যাতে স্থানাঙ্কগুলি (u, v) আইসোথার্মাল হয় যদি বেলট্রামি সমীকরণের একটি ডিফিয়োমরফিক সমাধান থাকে। যে কোনও পাড়ায় এই ধরনের সমাধানের অস্তিত্ব প্রমাণিত হয়েছে। উপবৃত্তাকার আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের জন্য স্থানীয় সমাধানযোগ্যতার মাধ্যমে অস্তিত্ব একটি মসৃণ দ্বি-মাত্রিক রিম্যানিয়ান ম্যানিফোল্ডে আইসোথার্মাল স্থানাঙ্কের অস্তিত্ব উপবৃত্তাকার আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের বিশ্লেষণে স্ট্যান্ডার্ড স্থানীয় সমাধানযোগ্যতার ফলাফলের একটি উপপাদ্য। বর্তমান প্রেক্ষাপটে, প্রাসঙ্গিক উপবৃত্তাকার সমীকরণ হল একটি ফাংশনের রিম্যানিয়ান মেট্রিকের সাপেক্ষে সুরেলা হওয়ার শর্ত। স্থানীয় সমাধানযোগ্যতা তখন বলে যে যে কোনও বিন্দুর একটি প্রতিবেশী রয়েছে যার উপর কোথাও-বিলুপ্ত ব্যুৎপত্তি সহ একটি সুরেলা ফাংশন রয়েছে। আইসোথার্মাল স্থানাঙ্কগুলি নিম্নলিখিত উপায়ে এই ধরনের একটি ফাংশন থেকে তৈরি করা হয়। এর সামঞ্জস্যতা রিমানিয়ান মেট্রিকের সাথে যুক্ত হজ স্টার অপারেটর ব্যবহার করে সংজ্ঞায়িত ডিফারেনশিয়াল 1-ফর্মের ঘনিষ্ঠতার সাথে অভিন্ন। পয়েনকারে লেম্মা এইভাবে হজ তারার সংজ্ঞা অনুসারে একটি ফাংশনের অস্তিত্বকে বোঝায়, এবং একে অপরের সাথে অর্থোগোনাল এবং তাই রৈখিকভাবে স্বাধীন, এবং এটি বিপরীত ফাংশন উপপাদ্য থেকে অনুসরণ করে এবং এর কিছু আশেপাশে একটি স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা গঠন করে। এই স্থানাঙ্ক ব্যবস্থাটি স্বয়ংক্রিয়ভাবে আইসোথার্মাল, যেহেতু এর অর্থোগোনালিটি এবং মেট্রিকের তির্যকতা বোঝায় এবং হজ তারার আদর্শ-সংরক্ষণ বৈশিষ্ট্য দুটি তির্যক উপাদানের সমতা বোঝায়। গাউসীয় বক্রতা আইসোথার্মাল স্থানাঙ্কে, গাউসীয় বক্রতা সহজতর রূপ নেয় আরও দেখুন কনফর্মাল ম্যাপ লিউভিলের সমীকরণ কোয়াসিকোফর্মাল ম্যাপ নোটস রেফারেন্স। পুনঃমুদ্রিতঃ বাহ্যিক যোগসূত্র ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতি ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতিতে সমন্বিত ব্যবস্থা আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ