Hodge structure
গণিতে, ডব্লিউ. ভি. ডি. হজ-এর নামে একটি হজ কাঠামো, রৈখিক বীজগণিতের স্তরে একটি বীজগাণিতিক কাঠামো, যা হজ তত্ত্ব একটি মসৃণ এবং কম্প্যাক্ট কেলার ম্যানিফোল্ডের কোহোমোলজি গোষ্ঠীগুলিকে দেয়। পিয়েরে ডেলিগনে (1970) দ্বারা সংজ্ঞায়িত মিশ্র হজ কাঠামোর আকারে হজ কাঠামোগুলি সমস্ত জটিল জাতের জন্য (এমনকি সেগুলি একক এবং অসম্পূর্ণ হলেও) সাধারণীকরণ করা হয়েছে। হজ কাঠামোর একটি বৈচিত্র্য হল হজ কাঠামোর একটি পরিবার যা ফিলিপ গ্রিফিথস (1968) দ্বারা প্রথম অধ্যয়ন করা হয়। এই সমস্ত ধারণাগুলি মোরিহিকো সাইতো (1989) দ্বারা জটিল জাতের উপর মিশ্র হজ মডিউলে আরও সাধারণীকরণ করা হয়েছিল। হজ কাঠামো হজ কাঠামোর সংজ্ঞা পূর্ণসংখ্যা ওজন n-এর একটি বিশুদ্ধ হজ কাঠামো একটি আবেলিয়ান গ্রুপ নিয়ে গঠিত এবং তার জটিলকরণ H-কে জটিল সাবস্পেসের সরাসরি যোগফলের একটি পচন নিয়ে গঠিত, যেখানে, জটিল কনজুগেটটি যে বৈশিষ্ট্যটি ধারণ করেঃ হজ ফিল্ট্রেশন দ্বারা H-এর সরাসরি সমষ্টি পচন প্রতিস্থাপন করে একটি সমতুল্য সংজ্ঞা পাওয়া যায়, জটিল সাবস্পেস দ্বারা H-এর একটি সীমাবদ্ধ হ্রাসকারী পরিস্রাবণ শর্ত সাপেক্ষে এই দুটি বর্ণনার মধ্যে সম্পর্ক নিম্নরূপ দেওয়া হয়েছেঃ উদাহরণস্বরূপ, যদি X একটি কম্প্যাক্ট কহলার ম্যানিফোল্ড হয়, তবে পূর্ণসংখ্যা সহগগুলির সাথে X-এর n-তম কোহোমোলজি গ্রুপ, তারপর তার n-তম কোহোমোলজি। বীজগাণিতিক জ্যামিতিতে প্রয়োগের জন্য, যথা, তাদের সময়কাল দ্বারা জটিল প্রজেক্টিভ জাতের শ্রেণিবিন্যাস, ওজন এন-এর সমস্ত হজ কাঠামোর সেট খুব বড়। রিমান দ্বিমাত্রিক সম্পর্ক ব্যবহার করে, এই ক্ষেত্রে হজ রিমান দ্বিমাত্রিক সম্পর্ক বলা হয়, এটি যথেষ্ট পরিমাণে সরলীকৃত করা যেতে পারে। ওজন এন-এর একটি মেরুকৃত হজ কাঠামো একটি হজ কাঠামো এবং একটি অ-অবক্ষয়কারী পূর্ণসংখ্যা দ্বিমাত্রিক ফর্ম কিউ অন (মেরুকরণ) নিয়ে গঠিত, যা রৈখিকতা দ্বারা এইচ পর্যন্ত প্রসারিত হয় এবং শর্তগুলি সন্তুষ্ট করেঃ হজ পরিস্রাবণের পরিপ্রেক্ষিতে, এই শর্তগুলি বোঝায় যে যেখানে সি এইচ-এর উপর ওয়েইল অপারেটর, যা অন দ্বারা দেওয়া হয়। হজ কাঠামোর আরেকটি সংজ্ঞা একটি জটিল ভেক্টর স্পেসে-গ্রেডিং এবং বৃত্ত গ্রুপ ইউ (1) এর ক্রিয়ার মধ্যে সমতুল্যতার উপর ভিত্তি করে। এই সংজ্ঞায়, দ্বি-মাত্রিক বাস্তব বীজগাণিতিক টরাস হিসাবে দেখা জটিল সংখ্যার গুণিতক গোষ্ঠীর একটি ক্রিয়া এইচ-এর উপর দেওয়া হয়েছে। এই ক্রিয়ার অবশ্যই এমন বৈশিষ্ট্য থাকতে হবে যে একটি বাস্তব সংখ্যা একটি দ্বারা কাজ করে। সাবস্পেস হল সেই সাবস্পেস যার উপর এ-হজ কাঠামো দ্বারা গুণন হিসাবে কাজ করে উদ্দেশ্যের তত্ত্বে, কোহোমোলজির জন্য আরও সাধারণ সহগগুলিকে অনুমতি দেওয়া গুরুত্বপূর্ণ হয়ে ওঠে। হজ কাঠামোর সংজ্ঞাটি বাস্তব সংখ্যার ক্ষেত্রের একটি নোথেরিয়ান সাব-রিং এ স্থির করে সংশোধন করা হয়, যার জন্য একটি ক্ষেত্র। তারপর ওজন এন-এর একটি বিশুদ্ধ হজ এ-কাঠামোকে আগের মতোই সংজ্ঞায়িত করা হয়, যা এ দিয়ে প্রতিস্থাপন করা হয়। হজ এ-স্ট্রাকচার এবং বি-স্ট্রাকচার সম্পর্কিত ভিত্তি পরিবর্তন এবং সীমাবদ্ধতার প্রাকৃতিক কার্যকারক রয়েছে। মিশ্র হজ কাঠামো 1960-এর দশকে জিন-পিয়ের সেরে ওয়েইল অনুমানের উপর ভিত্তি করে লক্ষ্য করেছিলেন যে এমনকি একবচন (সম্ভবত হ্রাসযোগ্য) এবং অ-সম্পূর্ণ বীজগাণিতিক জাতগুলিরও 'ভার্চুয়াল বেটি সংখ্যা' গ্রহণ করা উচিত। আরও সুনির্দিষ্টভাবে বলতে গেলে, যে কোনও বীজগাণিতিক বৈচিত্র্য এক্স-কে একটি বহুপদী পিএক্স (টি) নির্ধারণ করতে সক্ষম হওয়া উচিত, যাকে তার ভার্চুয়াল পয়েনকারে বহুপদী বলা হয়, বৈশিষ্ট্যগুলি সহ যদি এক্স ননসিঙ্গুলার এবং প্রজেক্টিভ (বা সম্পূর্ণ) হয় যদি ওয়াই এক্স এবং ইউ = এক্স ওয়াই-এর বন্ধ বীজগাণিতিক উপসেট হয় তবে এই ধরনের বহুপদীর অস্তিত্ব একটি সাধারণ (একবচন এবং অ-সম্পূর্ণ) বীজগাণিতিক বৈচিত্র্যের কোহোমোলজিতে হজ কাঠামোর একটি অ্যানালগের অস্তিত্ব থেকে অনুসরণ করবে। অভিনব বৈশিষ্ট্যটি হল যে একটি সাধারণ বৈচিত্র্যের nth কোহোমোলজি দেখে মনে হয় যেন এতে বিভিন্ন ওজনের টুকরো রয়েছে। এটি আলেকজান্ডার গ্রোথেন্ডিয়াককে তাঁর উদ্দেশ্যের অনুমানমূলক তত্ত্বের দিকে পরিচালিত করেছিল এবং হজ তত্ত্বের সম্প্রসারণের জন্য অনুসন্ধানকে অনুপ্রাণিত করেছিল, যা পিয়েরে ডেলিনের কাজের শীর্ষে পৌঁছেছিল। তিনি একটি মিশ্র হজ কাঠামোর ধারণা প্রবর্তন করেছিলেন, তাদের সাথে কাজ করার জন্য কৌশলগুলি বিকাশ করেছিলেন, তাদের নির্মাণ দিয়েছিলেন (হেইসুকে হিরোনাকার এককত্বের রেজোলিউশনের উপর ভিত্তি করে) এবং তাদের এল-অ্যাডিক কোহোমোলজির ওজনের সাথে সম্পর্কিত করেছিলেন, যা ওয়েইল অনুমানের শেষ অংশটি প্রমাণ করে। বক্ররেখার উদাহরণ সংজ্ঞাটিকে অনুপ্রাণিত করার জন্য, দুটি অ-একক উপাদান নিয়ে গঠিত একটি হ্রাসযোগ্য জটিল বীজগাণিতিক বক্ররেখা X-এর বিষয়টি বিবেচনা করুন, এবং, যা এবং বিন্দুতে আড়াআড়িভাবে ছেদ করে। উপরন্তু, ধরে নিন যে উপাদানগুলি কম্প্যাক্ট নয়, তবে পয়েন্টগুলি যোগ করে কম্প্যাক্ট করা যেতে পারে। বক্ররেখা এক্স-এর প্রথম কোহোমোলজি গ্রুপ (কম্প্যাক্ট সাপোর্ট সহ) প্রথম হোমোলজি গ্রুপের সাথে দ্বৈত, যা কল্পনা করা সহজ। এই গোষ্ঠীতে তিন ধরনের এক-চক্র রয়েছে। প্রথমত, ছিদ্রগুলির চারপাশে ছোট ছোট লুপগুলির প্রতিনিধিত্বকারী উপাদান রয়েছে। তারপরে এমন কিছু উপাদান রয়েছে যা প্রতিটি উপাদানের কম্প্যাক্টিফিকেশনের প্রথম সমসংস্থান থেকে আসছে। এই উপাদানটির কম্প্যাক্টিফিকেশনের একটি চক্রের সাথে সম্পর্কিত ()-এর এক-চক্রটি ক্যানোনিকাল নয়ঃ এই উপাদানগুলি এর ব্যাপ্তির মডুলো নির্ধারণ করা হয়। পরিশেষে, প্রথম দুটি প্রকারের মডুলোর মধ্যে, গোষ্ঠীটি একটি সমন্বিত চক্র দ্বারা তৈরি হয় যা একটি উপাদানের পথ ধরে যায় এবং অন্য উপাদানটির পথ ধরে ফিরে আসে। এর থেকে বোঝা যায় যে একটি ক্রমবর্ধমান পরিস্রাবণ স্বীকার করে যার ধারাবাহিক কোটিয়েন্ট Wn/Wn−1 মসৃণ সম্পূর্ণ জাতের কোহোমোলজি থেকে উদ্ভূত হয়, তাই বিভিন্ন ওজনের হলেও (বিশুদ্ধ) হজ কাঠামো গ্রহণ করে। আরও উদাহরণ পাওয়া যাবে "এ নাইভ গাইড টু মিক্সড হজ থিওরি"-তে। মিশ্র হজ কাঠামোর সংজ্ঞা একটি আবেলিয়ান গোষ্ঠীর মিশ্র হজ কাঠামো জটিল ভেক্টর স্পেস এইচ (এর জটিলতা)-এর উপর একটি সীমাবদ্ধ হ্রাসকারী পরিস্রাবণ এফপি নিয়ে গঠিত, যাকে হজ পরিস্রাবণ বলা হয় এবং যুক্তিসঙ্গত ভেক্টর স্পেসে একটি সীমাবদ্ধ ক্রমবর্ধমান পরিস্রাবণ ওয়াই (স্কেলারগুলিকে যুক্তিসঙ্গত সংখ্যায় প্রসারিত করে প্রাপ্ত), যাকে ওজন পরিস্রাবণ বলা হয়, এই প্রয়োজনীয়তার সাপেক্ষে যে ওজন পরিস্রাবণের ক্ষেত্রে এন-তম সম্পর্কিত গ্রেডেড ভাগফল, তার জটিলতায় এফ দ্বারা প্ররোচিত পরিস্রাবণের সাথে, সমস্ত পূর্ণসংখ্যা এন-এর জন্য ওজন এন-এর একটি বিশুদ্ধ হজ কাঠামো। এখানে প্ররোচিত পরিস্রাবণ দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয় মিশ্র হজ কাঠামো একটি আবেলিয়ান বিভাগ গঠন করে। এই বিভাগের কার্নেল এবং কোকার্নেলগুলি ভেক্টর স্পেসের বিভাগের সাধারণ কার্নেল এবং কোকার্নেলের সাথে মিলিত হয়, প্ররোচিত পরিস্রাবণের সাথে। একটি কম্প্যাক্ট কেলার ম্যানিফোল্ডের মোট কোহোমোলজিতে একটি মিশ্র হজ কাঠামো রয়েছে, যেখানে ওজন পরিস্রাবণ Wn-এর nth স্থানটি n-এর চেয়ে কম বা সমান মাত্রার কোহোমোলজি গ্রুপগুলির (যুক্তিসঙ্গত সহগ সহ) সরাসরি যোগফল। অতএব, জটিল কোহোমোলজি গ্রুপে ডাবল গ্রেডিং প্রদান করে কম্প্যাক্ট, জটিল ক্ষেত্রে শাস্ত্রীয় হজ তত্ত্বের কথা ভাবা যেতে পারে, যা একটি ক্রমবর্ধমান পরিস্রাবণ Fp এবং একটি হ্রাসকারী পরিস্রাবণ Wn কে সংজ্ঞায়িত করে যা নির্দিষ্ট উপায়ে সামঞ্জস্যপূর্ণ। সাধারণভাবে, মোট কোহোমোলজি স্পেসে এখনও এই দুটি পরিস্রাবণ রয়েছে, তবে এগুলি আর সরাসরি সমষ্টি পচন থেকে আসে না। বিশুদ্ধ হজ কাঠামোর তৃতীয় সংজ্ঞার সাথে সম্পর্কিত, কেউ বলতে পারে যে একটি মিশ্র হজ কাঠামো গোষ্ঠীর ক্রিয়া ব্যবহার করে বর্ণনা করা যায় না ডিলিনের একটি গুরুত্বপূর্ণ অন্তর্দৃষ্টি হল যে মিশ্র ক্ষেত্রে আরও জটিল অ-বিনিময়যোগ্য প্রোলজেব্রিক গ্রুপ রয়েছে যা ট্যানাকিয়ান ফর্মালিজম ব্যবহার করে একই প্রভাবের জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে। উপরন্তু, (মিশ্র) হজ কাঠামোর বিভাগটি টেনসর পণ্যের একটি ভাল ধারণা স্বীকার করে, যা বৈচিত্র্যের পণ্যের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ, পাশাপাশি অভ্যন্তরীণ হোম এবং দ্বৈত বস্তুর সম্পর্কিত ধারণাগুলি, এটিকে একটি টাননাকিয়ান বিভাগে পরিণত করে। তন্নাকা-ক্রেইন দর্শনের মতে, এই বিভাগটি একটি নির্দিষ্ট গোষ্ঠীর সীমাবদ্ধ-মাত্রিক উপস্থাপনার বিভাগের সমতুল্য, যা ডিলিগনে, মিল্নে এবং এট এল। স্পষ্টভাবে বর্ণনা করেছেন, দেখুন এবং। এই গোষ্ঠীর বর্ণনাটি আরও জ্যামিতিক পরিভাষায় পুনর্বিন্যাস করা হয়েছিল। যুক্তিসঙ্গত বিশুদ্ধ মেরুকরণযোগ্য হজ কাঠামোর জন্য সংশ্লিষ্ট (অনেক বেশি জড়িত) বিশ্লেষণ দ্বারা করা হয়েছিল। কোহোমোলজিতে মিশ্র হজ কাঠামো (ডেলিনের উপপাদ্য) ডেলিগনে প্রমাণ করেছেন যে একটি নির্বিচারে বীজগাণিতিক বৈচিত্র্যের nth কোহোমোলজি গ্রুপের একটি ক্যানোনিকাল মিশ্র হজ কাঠামো রয়েছে। এই কাঠামোটি কার্যকরী, এবং বৈচিত্র্যের পণ্য (কুনেথ আইসোমরফিজম) এবং কোহোমোলজির পণ্যের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ। একটি সম্পূর্ণ ননসিঙ্গুলার বৈচিত্র্য এক্স-এর জন্য এই কাঠামোটি ওজন এন-এর বিশুদ্ধ, এবং হজ পরিস্রাবণটি কাটা ডি রাম কমপ্লেক্সের হাইপারকোহলোলজির মাধ্যমে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। প্রমাণটি মোটামুটিভাবে দুটি অংশ নিয়ে গঠিত, অ-সংক্ষিপ্ততা এবং এককত্বের যত্ন নেওয়া। উভয় অংশই অপরিহার্য উপায়ে এককত্বের রেজোলিউশন (হিরোনাকার কারণে) ব্যবহার করে। একক ক্ষেত্রে, জাতগুলি সরল পরিকল্পনা দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়, যা আরও জটিল সমতাত্ত্বিক বীজগণিতের দিকে পরিচালিত করে এবং জটিলতার উপর হজ কাঠামোর একটি প্রযুক্তিগত ধারণা (কোহোমোলজির বিপরীতে) ব্যবহার করা হয়। উদ্দেশ্যের তত্ত্ব ব্যবহার করে, যুক্তিসঙ্গত সহগের সঙ্গে অবিচ্ছেদ্য সহগের সঙ্গে কোহোমোলজির উপর ওজন পরিস্রাবণকে পরিমার্জন করা সম্ভব। উদাহরণস্বরূপ টেট-হজ কাঠামো হল হজ কাঠামো যার অন্তর্নিহিত মডিউলটি (একটি উপগোষ্ঠী) দ্বারা দেওয়া হয়েছে, সুতরাং এটি সংজ্ঞা অনুসারে ওজন-2 এর বিশুদ্ধ এবং এটি আইসোমরফিজম পর্যন্ত ওজন-2 এর অনন্য 1-মাত্রিক বিশুদ্ধ হজ কাঠামো। আরও সাধারণভাবে, এর nতম টেনসর শক্তি দ্বারা চিহ্নিত করা হয় এটি 1-মাত্রিক এবং ওজন-2n এর বিশুদ্ধ। একটি কম্প্যাক্ট কেলার ম্যানিফোল্ডের কোহোমোলজির একটি হজ কাঠামো রয়েছে এবং nth কোহোমোলজি গ্রুপের ওজন n বিশুদ্ধ। একটি জটিল বৈচিত্র্যের (সম্ভবত একবচন বা অ-সঠিক) কোহোমোলজির একটি মিশ্র হজ কাঠামো রয়েছে। এটি দ্বারা এবং সাধারণভাবে দ্বারা মসৃণ জাতের জন্য দেখানো হয়েছিল। স্বাভাবিক ক্রসিং সিঙ্গুলারিটি সহ একটি প্রজেক্টিভ বৈচিত্র্যের জন্য একটি ডিজেনারেট E2-পৃষ্ঠা সহ একটি বর্ণালী ক্রম রয়েছে যা এর সমস্ত মিশ্র হজ কাঠামো গণনা করে। ই-1 পৃষ্ঠায় একটি সহজ সেট থেকে আসা ডিফারেনশিয়াল সহ স্পষ্ট পদ রয়েছে। যে কোনও মসৃণ বৈচিত্র্য X একটি স্বাভাবিক ক্রসিং বিভাজকের পরিপূরক সহ একটি মসৃণ সংকোচন স্বীকার করে। সংশ্লিষ্ট লগারিদমিক রূপগুলি এক্স-এর কোহোমোলজির উপর মিশ্র হজ কাঠামোকে স্পষ্টভাবে বর্ণনা করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। গ্রিফিথস তাঁর "পিরিয়ড ইন্টিগ্রালস অফ অ্যালজেব্রিক ম্যানিফোল্ডস" গবেষণাপত্রে একটি মসৃণ প্রজেক্টিভ উচ্চপৃষ্ঠের জন্য হজ কাঠামোটি স্পষ্টভাবে তৈরি করেছিলেন। যদি বহুপদীটি অতিপৃষ্ঠকে সংজ্ঞায়িত করে তবে শ্রেণীবদ্ধ জ্যাকোবিয়ান ভাগফল বলয়ে এর মধ্য সমস্থানিকবিদ্যার সমস্ত তথ্য থাকে। তিনি দেখান যে উদাহরণস্বরূপ, দ্বারা প্রদত্ত K3 পৃষ্ঠটি বিবেচনা করুন, অতএব এবং। তারপর, গ্রেডেড জ্যাকোবিয়ান রিং হল আদিম কোহোমোলজি গ্রুপগুলির জন্য আইসোমরফিজম তারপর তাই পড়ুন লক্ষ্য করুন যে ভেক্টর স্পেস যা 19-মাত্রিক দ্বারা বিস্তৃত। লেফশেৎজ শ্রেণী দ্বারা প্রদত্ত একটি অতিরিক্ত ভেক্টর রয়েছে। লেফশেট্জ হাইপারপ্লেন উপপাদ্য এবং হজ দ্বৈততা থেকে, বাকি কোহোমোলজি-মাত্রিক হিসাবে রয়েছে। সুতরাং হজ ডায়মন্ড পড়ে আমরা ডিগ্রি সমতল বক্ররেখার গণ যাচাই করতে পূর্ববর্তী আইসোমরফিজমও ব্যবহার করতে পারি। যেহেতু এটি একটি মসৃণ বক্ররেখা এবং এহরেসম্যান ফাইব্রেশন উপপাদ্য গ্যারান্টি দেয় যে বংশের প্রতিটি মসৃণ বক্ররেখা ডিফিয়োমরফিক, তাই আমাদের কাছে বংশটি একই। সুতরাং, জ্যাকোবিয়ান বলয়ের শ্রেণীবদ্ধ অংশের সাথে আদিম সমরূপতার সমরূপতা ব্যবহার করে, আমরা দেখতে পাই যে এটি বোঝায় যে মাত্রাটি কাঙ্ক্ষিত। একটি সম্পূর্ণ ছেদনের জন্য হজ সংখ্যাগুলিও সহজেই গণনাযোগ্যঃ ফ্রেডরিখ হিরজেব্রাচ দ্বারা একটি সমন্বিত সূত্র পাওয়া গেছে। প্রয়োগ হজ কাঠামো এবং মিশ্র হজ কাঠামোর ধারণার উপর ভিত্তি করে যন্ত্রপাতি আলেকজান্ডার গ্রোথেন্ডিয়াক দ্বারা পরিকল্পিত উদ্দেশ্যগুলির এখনও মূলত অনুমানমূলক তত্ত্বের একটি অংশ গঠন করে। অ-সিঙ্গুলার বীজগাণিতিক বৈচিত্র্য এক্স-এর জন্য গাণিতিক তথ্য, যা তার এল-অ্যাডিক কোহোমোলজির উপর কাজ করা ফ্রোবেনিয়াস উপাদানগুলির আইগেনভ্যালু দ্বারা এনকোড করা হয়, এক্স থেকে উদ্ভূত হজ কাঠামোর সাথে কিছু মিল রয়েছে যা একটি জটিল বীজগাণিতিক বৈচিত্র্য হিসাবে বিবেচিত হয়। সের্গেই গেলফ্যান্ড এবং ইউরি মানিন 1988 সালের দিকে তাদের মেথডস অফ হোমোলজিকাল বীজগণিতে মন্তব্য করেছিলেন যে, অন্যান্য কোহোমোলজি গ্রুপের উপর কাজ করা গ্যালোইস প্রতিসাম্যগুলির বিপরীতে, "হজ প্রতিসাম্যগুলির" উৎপত্তি খুব রহস্যময়, যদিও আনুষ্ঠানিকভাবে, তারা ডি রাম কোহোমোলজির উপর মোটামুটি জটিল গোষ্ঠীর ক্রিয়ার মাধ্যমে প্রকাশ করা হয়। তারপর থেকে, আয়না প্রতিসাম্যের আবিষ্কার এবং গাণিতিক গঠনের সাথে সাথে রহস্যটি আরও গভীর হয়েছে। হজ কাঠামোর বৈচিত্র্য হজ কাঠামোর একটি বৈচিত্র্য (,,) হল হজ কাঠামোর একটি পরিবার যা একটি জটিল বহুগুণ এক্স দ্বারা পরিমাপ করা হয়। আরও সুনির্দিষ্টভাবে বলতে গেলে, একটি জটিল ম্যানিফোল্ড এক্স-এর উপর ওজন এন-এর হজ কাঠামোর একটি বৈচিত্র্য এক্স-এর উপর সীমিতভাবে উৎপন্ন আবেলিয়ান গোষ্ঠীর স্থানীয়ভাবে ধ্রুবক শেফ এস নিয়ে গঠিত, যার সাথে এস-ওএক্স-এর উপর হজ পরিস্রাবণ এফ হ্রাস পায়, যা নিম্নলিখিত দুটি শর্ত সাপেক্ষেঃ পরিস্রাবণটি শেফ এস-এর প্রতিটি কান্ডে ওজনের এন-এর একটি হজ কাঠামোকে প্ররোচিত করে (গ্রিফিথস ট্রান্সভার্স্যালিটি) এস-ওএক্স-এর উপর প্রাকৃতিক সংযোগ এখানে এস-ওএক্স-এর উপর সমতল সংযোগ এবং ওএক্স-এর উপর সমতল সংযোগ দ্বারা প্ররোচিত এস-ওএক্স-এর প্রাকৃতিক (সমতল) সংযোগ এবং ওএক্স হল এক্স-এর উপর হোলোমরফিক ফাংশনের শেফ, এবং এটি এক্স-এর উপর 1-ফর্মের শেফ। এই প্রাকৃতিক সমতল সংযোগটি একটি গাউস-মানিন সংযোগ এবং পিকার্ড-ফুচস সমীকরণ দ্বারা বর্ণনা করা যেতে পারে। মিশ্র হজ কাঠামোর একটি বৈচিত্র্যকে একইভাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে, এস-এ একটি গ্রেডিং বা ফিল্টারেশন ডাব্লু যোগ করে। সাধারণ উদাহরণ বীজগাণিতিক মরফিজম থেকে পাওয়া যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, তন্তু রয়েছে যা জেনাস 10-এর মসৃণ সমতল বক্ররেখা এবং একটি একক বক্ররেখায় অবনমিত হয়। হজ মডিউল হল একটি জটিল বহুগুণের উপর হজ কাঠামোর বৈচিত্র্যের একটি সাধারণীকরণ। এগুলিকে অনানুষ্ঠানিকভাবে হজ কাঠামোর শেভের মতো কিছু হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে; সুনির্দিষ্ট সংজ্ঞাটি বরং প্রযুক্তিগত এবং জটিল। মিশ্র হজ মডিউল এবং এককত্বের সাথে বহুগুণিত করার জন্য সাধারণীকরণ রয়েছে। প্রতিটি মসৃণ জটিল বৈচিত্র্যের জন্য, এর সাথে যুক্ত মিশ্র হজ মডিউলগুলির একটি আবেলিয়ান বিভাগ রয়েছে। এগুলি আনুষ্ঠানিকভাবে ম্যানিফোল্ডগুলির উপর শেভের বিভাগগুলির মতো আচরণ করে; উদাহরণস্বরূপ, ম্যানিফোল্ডগুলির মধ্যে f-এর মরফিজমগুলি f *, f *, f!, f!-কে প্ররোচিত করে। শেভের মতো মিশ্র হজ মডিউলগুলির মধ্যে (উদ্ভূত বিভাগগুলির)। এছাড়াও মিশ্র হজ কাঠামো হজ অনুমান জ্যাকোবিয়ান আদর্শ হজ-টেট কাঠামো দেখুন, যা হজ কাঠামোর একটি পি-অ্যাডিক অ্যানালগ। পরিচায়ক উল্লেখ (শিফ কোহোমোলজি ব্যবহার করে হজ সংখ্যা গণনা করার জন্য সরঞ্জাম দেয়) মিশ্র হজ তত্ত্বের জন্য একটি নিষ্ক্রিয় গাইড (একটি ওজনযুক্ত সমজাতীয় বহুপদীর মিশ্র হজ সংখ্যার জন্য একটি সূত্র এবং জেনারেটর দেয়, এবং একটি ওজনযুক্ত প্রজেক্টিভ স্পেসে ওজনযুক্ত সমজাতীয় বহুপদের পরিপূরকের জন্য একটি সূত্রও দেয়।) সমীক্ষার নিবন্ধ রেফারেন্স এটি একটি জটিল বৈচিত্র্যের কোহোমোলজির উপর একটি মিশ্র হজ কাঠামো তৈরি করে। এটি একটি জটিল বৈচিত্র্যের কোহোমোলজির উপর একটি মিশ্র হজ কাঠামো তৈরি করে। এটি একটি জটিল বৈচিত্র্যের কোহোমোলজির উপর একটি মিশ্র হজ কাঠামো তৈরি করে। । এই নিবন্ধটির একটি টীকা সংস্করণ জে. মিলনের হোমপেজে পাওয়া যাবে। সমজাতীয় বীজগণিত হজ তত্ত্ব বহুগুণের উপর কাঠামো