Hardy–Littlewood maximal function
গণিতে, হার্ডি-লিটলউড ম্যাক্সিমাল অপারেটর এম একটি উল্লেখযোগ্য অ-রৈখিক অপারেটর যা বাস্তব বিশ্লেষণ এবং সুরেলা বিশ্লেষণে ব্যবহৃত হয়। সংজ্ঞা অপারেটর একটি স্থানীয়ভাবে ইন্টিগ্রেবল ফাংশন f: Rd → C নেয় এবং আরেকটি ফাংশন Mf প্রদান করে। যে কোনও বিন্দু x ± Rd-এর জন্য, Mf ফাংশনটি বাস্তব সেটের সর্বাধিক পরিমাণ প্রদান করে, অর্থাৎ x-এ যে কোনও ব্যাসার্ধ r-এর সমস্ত বল B (x, r)-এর জন্য f-এর গড় মানের সেট। আনুষ্ঠানিকভাবে, যেখানে |E। একটি উপসেট ERd-এর d-মাত্রিক লেবস্গু পরিমাপকে বোঝায়। গড়গুলি x এবং r-এ যৌথভাবে অবিচ্ছিন্ন, তাই সর্বাধিক ফাংশন Mf, r> 0-এর উপর সর্বোচ্চ, পরিমাপযোগ্য। এটা স্পষ্ট নয় যে এম. এফ প্রায় সর্বত্র সীমাবদ্ধ। এটি হার্ডি-লিটলউডের সর্বাধিক বৈষম্যের ফল। হার্ডি-লিটলউড সর্বাধিক অসমতা জি. এইচ. হার্ডি এবং জে. ই. লিটলউডের এই উপপাদ্যটি বলে যে এম একটি সাবলিনিয়ার অপারেটর হিসাবে এলপি (আরডি) থেকে পি> 1 এর জন্য আবদ্ধ। অর্থাৎ, যদি f ω Lp (Rd) হয় তবে সর্বাধিক ফাংশন Mf দুর্বল L1-সীমাবদ্ধ এবং Mf ω Lp (Rd)। উপপাদ্যটি আরও সুনির্দিষ্টভাবে বলার আগে, সরলতার জন্য, {f> t} সেট {x। f (x)> t} কে বোঝায়। এখন আমাদের আছেঃ উপপাদ্য (দুর্বল ধরনের অনুমান)। d ≤ 1-এর জন্য, একটি ধ্রুবক Cd> 0 রয়েছে যাতে সমস্ত λ> 0 এবং f ≤ L1 (Rd)-এর জন্য, আমাদের রয়েছেঃ হার্ডি-লিটলউড সর্বাধিক বৈষম্য হাতে থাকলে, নিম্নলিখিত শক্তিশালী-ধরনের অনুমানটি মার্সিনকিউইজ ইন্টারপোলেশন উপপাদ্যের একটি তাৎক্ষণিক পরিণতিঃ উপপাদ্য (শক্তিশালী প্রকার অনুমান)। d ≤1,1 <p ≤ ≤, এবং f ≤ Lp (Rd)-এর জন্য, একটি ধ্রুবক Cp, d> 0 এমন হয় যে শক্তিশালী ধরনের অনুমান Cp-এর জন্য সেরা সীমা, d অজানা। তবে পরবর্তীকালে এলিয়াস এম. স্টেইন নিম্নলিখিত প্রমাণ করার জন্য ঘূর্ণনের ক্যালডেরন-জাইগমন্ড পদ্ধতি ব্যবহার করেছিলেনঃ উপপাদ্য (মাত্রা স্বাধীনতা)। যদিও এই উপপাদ্যের বেশ কয়েকটি প্রমাণ রয়েছে, একটি সাধারণ প্রমাণ নীচে দেওয়া হয়েছেঃ p = φ-এর জন্য, অসমতা তুচ্ছ (যেহেতু একটি ফাংশনের গড় তার অপরিহার্য সর্বোচ্চের চেয়ে বড় নয়)। 1 <p <φ এর জন্য, প্রথমে আমরা দুর্বল-ধরনের অনুমান প্রমাণ করতে ভিটালি আচ্ছাদন লেম্মার নিম্নলিখিত সংস্করণটি ব্যবহার করব। (লেম্মার প্রমাণের জন্য নিবন্ধটি দেখুন।) লেম্মা। ধরা যাক এক্স একটি পৃথক মেট্রিক স্থান এবং আবদ্ধ ব্যাস সহ খোলা বলের একটি পরিবার। তারপর একটি গণনাযোগ্য উপপরিবার রয়েছে যা বিচ্ছিন্ন বল নিয়ে গঠিত যাতে 5 গুণ ব্যাসার্ধ সহ 5বি হল বি। যদি Mf (x)> t হয়, তবে সংজ্ঞা অনুসারে, আমরা x-কে কেন্দ্র করে এমন একটি বল Bx খুঁজে পেতে পারি যে এই ধরনের বলের মধ্যে আমরা বিভাজিত বল Bj-এর একটি ক্রম খুঁজে পেতে পারি যাতে 5Bj-এর মিলন {Mf> t}-কে আবৃত করে। এটি নিম্নরূপঃ এটি দুর্বল-ধরনের অনুমানের প্রমাণ সম্পূর্ণ করে। এরপরে আমরা এটি থেকে এল. পি সীমা নির্ধারণ করি। b কে b (x) = f (x) দ্বারা সংজ্ঞায়িত করুন যদি |f (x)।> t/2 এবং অন্যথায় 0 হয়। b-এর ক্ষেত্রে প্রয়োগ করা দুর্বল-ধরনের অনুমান অনুসারে, আমাদের আছেঃ C = 5d সহ। তারপর উপরের অনুমান অনুযায়ী আমাদের আছেঃ যেখানে ধ্রুবক Cp শুধুমাত্র p এবং d-এর উপর নির্ভর করে। এটি উপপাদ্যটির প্রমাণ সম্পূর্ণ করে। লক্ষ্য করুন যে প্রমাণের ধ্রুবকটি লেবস্গু পরিমাপের অভ্যন্তরীণ নিয়মিততা এবং লেম্মাকে আচ্ছাদনকারী ভিটালির সীমাবদ্ধ সংস্করণ ব্যবহার করে উন্নত করা যেতে পারে। ধ্রুবককে অনুকূল করার বিষয়ে আরও জানতে নীচের আলোচনা বিভাগটি দেখুন। প্রয়োগ হার্ডি-লিটলউড ম্যাক্সিমাল ইনইকুয়ালিটির কিছু প্রয়োগের মধ্যে নিম্নলিখিত ফলাফলগুলি প্রমাণ করা অন্তর্ভুক্ত রয়েছেঃ লেবস্গু ডিফারেনশিয়েশন উপপাদ্য রাডেমাকার ডিফারেনশিয়েশন উপপাদ্য ননট্যাঞ্জেন্সিয়াল কনভারজেন্সের উপর ফাতু 'র উপপাদ্য। ফ্র্যাকশনাল ইন্টিগ্রেশন উপপাদ্য এখানে আমরা লেবসগ ডিফারেনশিয়েশন উপপাদ্যের একটি দ্রুত প্রমাণ দেওয়ার জন্য ম্যাক্সিমাল ফাংশন জড়িত একটি স্ট্যান্ডার্ড কৌশল ব্যবহার করি। (কিন্তু মনে রাখবেন যে সর্বাধিক উপপাদ্যের প্রমাণ হিসাবে আমরা লেম্মাকে আচ্ছাদন করে ভিটালি ব্যবহার করেছি।) ধরা যাক f ω L1 (Rn) এবং যেখানে আমরা f = h + g লিখি যেখানে h অবিচ্ছিন্ন এবং সংহত সমর্থন রয়েছে এবং g ω L1 (Rn) আদর্শ সহ যা নির্বিচারে ছোট করা যেতে পারে। তারপর ধারাবাহিকতা। এখন, ωg ≤ 2Mg এবং তাই, উপপাদ্য অনুসারে, আমাদের আছেঃ এখন, আমরা ωf = 0 প্রায় সর্বত্র পেতে এবং উপসংহারে আসতে পারি; অর্থাৎ, প্রায় সমস্ত x-এর জন্য বিদ্যমান। এটি প্রকৃতপক্ষে f (x)-এর সমান সীমাটি দেখাতে থাকে। তবে এটি সহজঃ এটি জানা যায় যে (পরিচয়ের আনুমানিক) এবং এইভাবে প্রায় সর্বত্রই একটি ধারাবাহিকতা রয়েছে। সীমার অনন্যতা অনুসারে, তারপর প্রায় সর্বত্রই fr → f। আলোচনা উপরোক্ত বৈষম্যগুলির মধ্যে ক্ষুদ্রতম ধ্রুবক সিপি, ডি এবং সিডি কী তা এখনও অজানা। যাইহোক, গোলাকার সর্বাধিক ফাংশন সম্পর্কে এলিয়াস স্টেইনের একটি ফলাফল ব্যবহার করে দেখানো যেতে পারে যে, 1 <p <φ এর জন্য, আমরা মাত্রার উপর Cp, d এর নির্ভরতা অপসারণ করতে পারি, অর্থাৎ, শুধুমাত্র p এর উপর নির্ভর করে কিছু ধ্রুবক Cp> 0 এর জন্য Cp, d = Cp। হার্ডি-লিটলউড ম্যাক্সিমাল অপারেটরের বেশ কয়েকটি সাধারণ রূপ রয়েছে যা কেন্দ্রিক বলের গড়কে সেটের বিভিন্ন পরিবারের গড়ের সাথে প্রতিস্থাপন করে। উদাহরণস্বরূপ, কেউ কেন্দ্রহীন এইচএল ম্যাক্সিমাল অপারেটরকে সংজ্ঞায়িত করতে পারে (স্টেইন-শাকার্চির স্বরলিপি ব্যবহার করে) যেখানে বলগুলি x-এ কেন্দ্রিক হওয়ার পরিবর্তে কেবল x ধারণ করতে হবে। এছাড়াও ডায়্যাডিক এইচএল ম্যাক্সিমাল অপারেটর রয়েছে যেখানে কিউএক্স বিন্দু x ধারণকারী সমস্ত ডায়্যাডিক কিউবগুলির উপর থাকে। এই উভয় অপারেটরই এইচএল সর্বাধিক বৈষম্যকে সন্তুষ্ট করে। আরও দেখুন রাইজিং সান লেম্মা রেফারেন্স জন বি গার্নেট, বাউন্ডেড অ্যানালিটিক ফাংশনস। স্প্রিংগার-ভার্লাগ, 2006 অ্যান্টোনিওস ডি. মেলাস, দ্য বেস্ট কনস্ট্যান্ট ফর দ্য সেন্টার্ড হার্ডি-লিটলউড ম্যাক্সিমাল ইনইকুয়ালিটি, অ্যানালস অফ ম্যাথমেটিক্স, 157 (2003), রামি শাকারচি এবং এলিয়াস এম. স্টেইন, প্রিন্সটন লেকচারস ইন অ্যানালাইসিস III: রিয়েল অ্যানালাইসিস। প্রিন্সটন ইউনিভার্সিটি প্রেস, 2005 এলিয়াস এম. স্টেইন, ম্যাক্সিমাল ফাংশনঃ গোলাকার মানে, প্রোক। নাটাল। অ্যাকাডেমিক। বিজ্ঞান। ইউ. এস. এ. 73 (1976), এলিয়াস এম. স্টেইন, সিঙ্গুলার ইন্টিগ্রালস অ্যান্ড ডিফারেন্সিয়ালিবিলিটি প্রোপার্টিজ অফ ফাংশনস। প্রিন্সটন ইউনিভার্সিটি প্রেস, 1971 জেরাল্ড টেশল, টপিকস ইন রিয়েল অ্যান্ড ফাংশনাল অ্যানালাইসিস (লেকচার নোটস) রিয়েল অ্যানালাইসিস হারমোনিক অ্যানালাইসিস প্রকারের ফাংশন