Power sum symmetric polynomial
গণিতে, বিশেষত বিনিময়যোগ্য বীজগণিতে, শক্তির সমষ্টি প্রতিসম বহুপদগুলি প্রতিসম বহুপদগুলির জন্য এক ধরনের মৌলিক গঠন ব্লক, এই অর্থে যে যুক্তিসঙ্গত সহগ সহ প্রতিটি প্রতিসম বহুপদকে যুক্তিসঙ্গত সহগ সহ প্রতিসম বহুপদের গুণফলের সমষ্টি এবং পার্থক্য হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে। যাইহোক, অবিচ্ছেদ্য সহগ সহ প্রতিটি প্রতিসম বহুপদ শক্তি-সমষ্টি বহুপদের গুণফলের অবিচ্ছেদ্য সংমিশ্রণ দ্বারা উত্পন্ন হয় নাঃ এগুলি মূলদগুলির উপর একটি উৎপাদনকারী সেট, তবে পূর্ণসংখ্যার উপর নয়। সংজ্ঞা k = 0,1,2,.-এর জন্য x1,., xn, লিখিত pk চলকের k মাত্রার প্রতিসম বহুপদী হল চলকের সমস্ত kth শক্তির সমষ্টি। আনুষ্ঠানিকভাবে, এই বহুপদগুলির মধ্যে প্রথম কয়েকটি হল এইভাবে, প্রতিটি অ-ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যার জন্য, চলকের মাত্রায় ঠিক একটি ঘাত যোগ প্রতিসম বহুপদ বিদ্যমান। ক্ষমতার সমষ্টি প্রতিসম বহুপদের গুণফলের সমস্ত অবিচ্ছেদ্য রৈখিক সংমিশ্রণ গ্রহণ করে গঠিত বহুপদী বলয়টি একটি বিনিময়যোগ্য বলয়। উদাহরণ নিম্নে প্রথম তিনটি ধনাত্মক মানের জন্য n পর্যন্ত ধনাত্মক মাত্রার ঘাত সমষ্টি প্রতিসম বহুপদ তালিকাভুক্ত করা হয়েছে। তালিকাটি n ডিগ্রি পর্যন্ত যায় কারণ 1 থেকে n ডিগ্রির ক্ষমতার সমষ্টি প্রতিসম বহুপদগুলি নীচে বর্ণিত উপপাদ্যের অর্থে মৌলিক। n = 1-এর জন্যঃ n = 2-এর জন্যঃ n = 3-এর জন্যঃ বৈশিষ্ট্য n চলকের মধ্যে 1,2,., n মাত্রার প্রতিসম বহুপদের সমষ্টি n চলকের প্রতিসম বহুপদের বলয় তৈরি করে। আরও সুনির্দিষ্টভাবেঃ উপপাদ্য। যুক্তিসঙ্গত সহগ সহ প্রতিসম বহুপদগুলির বলয় যুক্তিসঙ্গত বহুপদ বলয়ের সমান হয় যদি সহগগুলি 0 বৈশিষ্ট্যের যে কোনও ক্ষেত্রে নেওয়া হয় তবে একই কথা প্রযোজ্য। তবে, যদি সহগগুলি অবশ্যই পূর্ণসংখ্যা হয় তবে এটি সত্য নয়। উদাহরণস্বরূপ, n = 2 এর জন্য, প্রতিসম বহুপদের অভিব্যক্তি রয়েছে যা ভগ্নাংশ জড়িত। উপপাদ্য অনুসারে এটিই হল p1 এবং p2-এর পরিপ্রেক্ষিতে উপস্থাপন করার একমাত্র উপায়। সুতরাং, P অবিচ্ছেদ্য বহুপদী বলয়ের অন্তর্গত নয়। আরেকটি উদাহরণের জন্য, প্রাথমিক প্রতিসম বহুপদী এক, যা ঘাত যোগ বহুপদীতে বহুপদী হিসাবে প্রকাশ করা হয়, সবগুলিরই অবিচ্ছেদ্য সহগ নেই। উদাহরণস্বরূপ, উপপাদ্যটিও অসত্য যদি ক্ষেত্রটির বৈশিষ্ট্য 0 থেকে আলাদা হয়। উদাহরণস্বরূপ, যদি F ক্ষেত্রের বৈশিষ্ট্য 2 থাকে, তাহলে p1 এবং p2 e2 = x1x2 উৎপন্ন করতে পারে না। উপপাদ্যটির আংশিক প্রমাণের স্কেচঃ নিউটনের পরিচয়ের দ্বারা শক্তির যোগফল প্রাথমিক প্রতিসম বহুপদগুলির ফাংশন; এটি নিম্নলিখিত পুনরাবৃত্তির সম্পর্ক দ্বারা বোঝানো হয়, যদিও স্পষ্ট ফাংশন যা ইজ-এর পরিপ্রেক্ষিতে শক্তির যোগফল দেয় তা জটিলঃ একই পুনরাবৃত্তির পুনর্লিখন করলে, শক্তির যোগফলের পরিপ্রেক্ষিতে প্রাথমিক প্রতিসম বহুপদ থাকে (এছাড়াও সুস্পষ্ট সূত্রটি জটিল): এর থেকে বোঝা যায় যে প্রাথমিক বহুপদগুলি যুক্তিসঙ্গত, যদিও অবিচ্ছেদ্য নয়, তবে 1,, n মাত্রার শক্তির যোগফলের রৈখিক সংমিশ্রণ। যেহেতু প্রাথমিক প্রতিসম বহুপদগুলি সহগ সহ সমস্ত প্রতিসম বহুপদের জন্য একটি বীজগাণিতিক ভিত্তি। অর্থাৎ, প্রতিসম বহুপদের বলয়টি শক্তির যোগফল দ্বারা উৎপন্ন বলয়ে থাকে, কারণ প্রতিটি ঘাতের যোগফল বহুপদী প্রতিসম, দুটি বলয় সমান। (এটি দেখায় না যে কিভাবে বহুপদী f অনন্য প্রমাণ করা যায়।) অনুরূপ বৈশিষ্ট্যযুক্ত প্রতিসম বহুপদগুলির আরেকটি পদ্ধতির জন্য সম্পূর্ণ সমজাতীয় প্রতিসম বহুপদ দেখুন। আরও দেখুন প্রতিনিধিত্ব তত্ত্ব নিউটনের পরিচয় রেফারেন্স ইয়ান জি ম্যাকডোনাল্ড (1979), প্রতিসম ফাংশন এবং হল বহুপদী। অক্সফোর্ড গাণিতিক মনোগ্রাফ। অক্সফোর্ডঃ ক্লারেন্ডন প্রেস। ইয়ান জি. ম্যাকডোনাল্ড (1995), সিমেট্রিক ফাংশনস অ্যান্ড হল পলিনোমিয়ালস, দ্বিতীয় সংস্করণ। অক্সফোর্ডঃ ক্লারেন্ডন প্রেস। (পেপারব্যাক, 1998)। রিচার্ড পি. স্ট্যানলি (1999), এনুমারেটিভ কম্বিনেটরিক্স, খণ্ড। 2. কেমব্রিজঃ কেমব্রিজ ইউনিভার্সিটি প্রেস। সমজাতীয় বহুপদী প্রতিসম ফাংশন