Eilenberg–Moore spectral sequence
গণিতে, বীজগাণিতিক টপোলজির ক্ষেত্রে, আইলেনবার্গ-মুর বর্ণালী ক্রম একটি ফাইব্রেশনের উপর একটি পুলব্যাকের সমসংস্থান গোষ্ঠীর গণনাকে সম্বোধন করে। বর্ণালী ক্রম অবশিষ্ট স্থানগুলির সমতুল্য জ্ঞান থেকে গণনা প্রণয়ন করে। স্যামুয়েল আইলেনবার্গ এবং জন সি. মুরের মূল গবেষণাপত্রে এটিকে একক সমতাত্ত্বিকতার জন্য সম্বোধন করা হয়েছে। অনুপ্রেরণা একটি ক্ষেত্র হতে দিন এবং যথাক্রমে k তে সহগ সহ একক সমসংস্থান এবং একক সমসংস্থানকে নির্দেশ করুন। একটি অবিচ্ছিন্ন মানচিত্র পি-এর নিম্নলিখিত পুলব্যাক বিবেচনা করুনঃ একটি ঘন ঘন প্রশ্ন হল ফাইবার পণ্যের সমরূপতা কীভাবে বি, এক্স এবং ই-এর সমরূপতার সাথে সম্পর্কিত। উদাহরণস্বরূপ, যদি বি একটি বিন্দু হয়, তবে পুলব্যাকটি কেবল স্বাভাবিক পণ্য। এই ক্ষেত্রে কুনেথ সূত্রটি বলে তবে এই সম্পর্কটি আরও সাধারণ পরিস্থিতিতে সত্য নয়। আইলেনবার্গ-মুর বর্ণালী ক্রম হল এমন একটি যন্ত্র যা নির্দিষ্ট পরিস্থিতিতে ফাইবার পণ্যের (সহ) সমরূপতার গণনার অনুমতি দেয়। বিবৃতি আইলেনবার্গ-মুর বর্ণালী ক্রমগুলি উপরের সমরূপতাকে এমন পরিস্থিতিতে সাধারণীকরণ করে যেখানে p হল টপোলজিকাল স্পেসের একটি ফাইব্রেশন এবং বেস B কেবল সংযুক্ত। এটি একটি সাধারণীকরণ কারণ শূন্যতম টর ফাংক্টরটি কেবল টেনসর পণ্য এবং উপরের বিশেষ ক্ষেত্রে বি বিন্দুর কোহোমোলজি কেবল সহগ ক্ষেত্র k (0 মাত্রায়)। দ্বৈতভাবে, আমাদের নিম্নলিখিত সমসংস্থান বর্ণালী ক্রম রয়েছেঃ প্রমাণের উপর ইঙ্গিত বর্ণালী ক্রমটি স্থান নয়, ডিফারেনশিয়াল গ্রেডেড বস্তুর (চেইন কমপ্লেক্স) অধ্যয়ন থেকে উদ্ভূত হয়। নিম্নে আইলেনবার্গ এবং মুরের মূল সমতাত্ত্বিক গঠন নিয়ে আলোচনা করা হয়েছে। কোহোমোলজি কেসটি একই পদ্ধতিতে পাওয়া যায়। ধরা যাক সহগ সহ একক চেইন ফাঙ্কটর। আইলেনবার্গ-জিলবার উপপাদ্য অনুসারে, কাঠামোর মানচিত্রের উপর একটি ডিফারেনশিয়াল গ্রেডেড কোলজেব্রা কাঠামো রয়েছে। নিচে থেকে পৃথিবীর পরিভাষায়, মানচিত্রটি একটি একক শৃঙ্খল s-কে বরাদ্দ করেঃ Δn → B, s-এর গঠন এবং তির্যক অন্তর্ভুক্তি B × B। একইভাবে, ডিফারেনশিয়াল গ্রেডেড কোলজেব্রার মানচিত্র এবং প্ররোচিত মানচিত্র,। কোমোডিউলের ভাষায়, তারা গঠন মানচিত্র সহ এবং একইভাবে এক্স-এর পরিবর্তে ই-এর জন্য ডিফারেনশিয়াল গ্রেডেড কোমোডিউল কাঠামো প্রদান করে। এখন একটি ডিফারেনশিয়াল গ্রেডেড কমোডুল হিসাবে তথাকথিত কোবার রেজোলিউশন তৈরি করা সম্ভব। কোবার রেজোলিউশন হল ডিফারেনশিয়াল হোমোলজিকাল বীজগণিতে একটি আদর্শ কৌশলঃ যেখানে n-তম পদটি বাম কোমোডিউল হিসাবে কাঠামোর মানচিত্রের দ্বারা দেওয়া হয়। কোবার রেজোলিউশনটি একটি বাইকমপ্লেক্স, একটি ডিগ্রি চেইন কমপ্লেক্সগুলির গ্রেডিং থেকে আসে S ≤ (−), অন্যটি সরল ডিগ্রি n। বাইকমপ্লেক্সের মোট কমপ্লেক্সকে চিহ্নিত করা হয়। উপরের বীজগাণিতিক গঠনের সঙ্গে টপোলজিক্যাল পরিস্থিতির যোগসূত্র নিম্নরূপ। উপরের অনুমানগুলির অধীনে, একটি মানচিত্র রয়েছে যা একটি আধা-সমরূপতাকে প্ররোচিত করে (অর্থাৎ। সমতুল্য গোষ্ঠীর উপর একটি সমরূপতা প্ররোচিত করা) যেখানে কোট্যান্সার পণ্য এবং কোটোর (কোটোরসন) কোট্যান্সার পণ্যের জন্য উদ্ভূত ফাংক্টর। গণনা করার জন্য, একটি দ্বৈত জটিল হিসাবে দেখুন। যে কোনও বাইকমপ্লেক্সের জন্য দুটি পরিস্রাবণ রয়েছে (দেখুন বা একটি ফিল্টার করা কমপ্লেক্সের বর্ণালী ক্রম); এই ক্ষেত্রে আইলেনবার্গ-মুর বর্ণালী ক্রমটি সমতাত্ত্বিক মাত্রা বৃদ্ধি করে (একটি বর্ণালী ক্রমের মানক ছবির কলাম দ্বারা) পরিস্রাবণের ফলে হয়। এই পরিস্রাবণ ফল দেয় এই ফলাফলগুলি বিভিন্ন উপায়ে পরিমার্জিত করা হয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, সমন্বয়ের ফলাফলগুলিকে পরিমার্জিত করে এমন জায়গাগুলি অন্তর্ভুক্ত করা হয় যার জন্য সকলের জন্য নিরপেক্ষভাবে কাজ করে এবং নির্বিচারে পুলব্যাকগুলি অন্তর্ভুক্ত করার জন্য এটিকে আরও সাধারণীকরণ করা হয়। মূল গঠনটি অন্যান্য সমতাত্ত্বিক তত্ত্বের সাথে গণনার জন্য নিজেকে ধার দেয় না কারণ এই ধরনের প্রক্রিয়া চেইন কমপ্লেক্স থেকে উদ্ভূত নয় এমন সমতাত্ত্বিক তত্ত্বের জন্য কাজ করবে বলে আশা করার কোনও কারণ নেই। যাইহোক, উপরের পদ্ধতিটি স্বতঃসিদ্ধ করা এবং এমন শর্ত দেওয়া সম্ভব যার অধীনে উপরের বর্ণালী ক্রমটি একটি সাধারণ (কো) সমবিজ্ঞান তত্ত্বের জন্য ধারণ করে, ল্যারি স্মিথের মূল কাজ বা ভূমিকা দেখুন। অ্যালেন হ্যাচার, বীজগাণিতিক টপোলজিতে বর্ণালী ক্রম, অধ্যায় 3। আইলেনবার্গ-ম্যাকলেইন স্পেস স্পেকট্রাল সিকোয়েন্স হোমোলজি তত্ত্ব