Free lattice
গণিতে, ক্রম তত্ত্বের ক্ষেত্রে, একটি মুক্ত জাল হল একটি জালের সাথে সম্পর্কিত মুক্ত বস্তু। মুক্ত বস্তু হিসাবে, তাদের সর্বজনীন সম্পত্তি রয়েছে। আনুষ্ঠানিক সংজ্ঞা যেহেতু একটি জালকের ধারণাকে দুটি ক্রিয়াকলাপের পরিপ্রেক্ষিতে স্বতঃসিদ্ধ করা যেতে পারে এবং নির্দিষ্ট পরিচয়কে সন্তুষ্ট করতে পারে, তাই সমস্ত জালের বিভাগটি একটি বৈচিত্র্য (সর্বজনীন বীজগণিত) গঠন করে এবং এইভাবে এই বিভাগের মধ্যে (সর্বজনীন বীজগণিতের সাধারণ নীতি দ্বারা) মুক্ত বস্তু রয়েছেঃ জাল যেখানে কেবল সেই সম্পর্কগুলি ধারণ করে যা সাধারণ স্বতঃসিদ্ধগুলি থেকে অনুসরণ করে। এই মুক্ত জালগুলি প্রাসঙ্গিক সার্বজনীন বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করে চিহ্নিত করা যেতে পারে। সুনির্দিষ্টভাবে, ফ্রি ল্যাটিস হল সেট থেকে ল্যাটিস পর্যন্ত একটি ফাংক্টর, যা প্রতিটি সেটকে একটি সেট ম্যাপ দিয়ে সজ্জিত ফ্রি ল্যাটিস বরাদ্দ করে যা প্রতিটি সংশ্লিষ্ট উপাদানকে বরাদ্দ করে। এগুলির সর্বজনীন বৈশিষ্ট্য হল যে কোনও নির্বিচারে জাল থেকে কোনও মানচিত্রের জন্য একটি অনন্য জাল সমরূপতা সন্তোষজনক, বা একটি বিনিময়যোগ্য চিত্র হিসাবে বিদ্যমান থাকেঃ জাল থেকে তাদের অন্তর্নিহিত সেটগুলিতে ভুলে যাওয়া ফাংক্টরের পাশে ফাংক্টরটি রেখে দেওয়া হয়। সার্বজনীন বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করে সরাসরি মুক্ত জাল সম্পর্কে জিনিসগুলি প্রমাণ করা প্রায়শই সম্ভব, তবে এই জাতীয় যুক্তিগুলি বরং বিমূর্ত হতে থাকে, তাই একটি কংক্রিট নির্মাণ একটি মূল্যবান বিকল্প উপস্থাপনা সরবরাহ করে। সেমিলেটিসের ক্ষেত্রে, মুক্ত সেমিলেটিসের একটি স্পষ্ট গঠন দেওয়া সোজা; এটি সর্বজনীন বৈশিষ্ট্যের মাধ্যমে সংজ্ঞাটির বেশ কয়েকটি বৈশিষ্ট্য ব্যাখ্যা করতে সহায়তা করে। সুনির্দিষ্টভাবে, মুক্ত সেমিল্যাটিসকে সমস্ত সীমাবদ্ধ অ-খালি উপসেটগুলির সেট হিসাবে উপলব্ধি করা যেতে পারে, সাধারণ সেট ইউনিয়নকে জয়েন অপারেশন হিসাবে। মানচিত্রটি সিঙ্গলটন সেটের উপাদানগুলির মানচিত্র তৈরি করে, অর্থাৎ সকলের জন্য। যে কোনও সেমিল্যাটিস এবং যে কোনও সেট ম্যাপের জন্য, সংশ্লিষ্ট সার্বজনীন মরফিজম দেওয়া হয় যেখানে সেমিল্যাটিস অপারেশনকে বোঝায়। এই রূপটি সার্বজনীন বৈশিষ্ট্য দ্বারা বাধ্য করা হয়ঃ যেকোনও কিছুর জন্য ফর্মের উপাদানগুলির একটি সীমাবদ্ধ ইউনিয়ন হিসাবে লেখা যেতে পারে, সার্বজনীন সম্পত্তিতে সমতা বলে, এবং পরিশেষে সমরূপতার অবস্থা সকলের জন্য বোঝায়। (যদি একটিও থাকে) এর অসীম উপসেটগুলির যে কোনও সম্প্রসারণ এই শর্তগুলির দ্বারা অনন্যভাবে নির্ধারিত হওয়ার প্রয়োজন নেই, তাই এর অসীম উপসেটগুলির সাথে সম্পর্কিত কোনও উপাদান থাকতে পারে না। নিম্ন সেমিলেটিস একইভাবে নিম্ন সেমিলেটিসের জন্য একটি মুক্ত ফাঙ্কটরকে সংজ্ঞায়িত করা সম্ভব, তবে সংমিশ্রণটি বিভিন্ন উপায়ে মুক্ত ল্যাটিস তৈরি করতে ব্যর্থ হয়, কারণ এটি কেবল একটি সেট হিসাবে বিবেচনা করেঃ জয়েন অপারেশনটি নতুন উপাদানগুলিতে প্রসারিত হয় না, বিদ্যমান আংশিক অর্ডারকে সম্মান করা হয় না; মতামত এবং সম্পর্কহীন হিসাবে, এটি বোঝা উচিত নয়। মুক্ত জালের প্রকৃত কাঠামো মুক্ত অর্ধ জালের তুলনায় যথেষ্ট জটিল। শব্দের সমস্যা বিনামূল্যে জালের জন্য সমস্যা শব্দের কিছু আকর্ষণীয় দিক রয়েছে। আবদ্ধ জালের বিষয়টি বিবেচনা করুন, অর্থাৎ। দুটি বাইনারি ক্রিয়াকলাপ এবং দুটি ধ্রুবক (নালারি ক্রিয়াকলাপ) 0 এবং 1 সহ বীজগাণিতিক কাঠামো। প্রদত্ত জেনারেটর এক্স-এর উপাদানগুলির উপর এই ক্রিয়াকলাপগুলি ব্যবহার করে প্রণয়ন করা যেতে পারে এমন সমস্ত সু-গঠিত অভিব্যক্তিগুলির সেটকে ডাব্লু (এক্স) বলা হবে। শব্দের এই সেটটিতে অনেকগুলি অভিব্যক্তি রয়েছে যা প্রতিটি জালিতে সমান মান নির্দেশ করে। উদাহরণস্বরূপ, যদি a, X-এর কিছু উপাদান হয়, তাহলে a * 1 = 1 এবং a * 1 = a। মুক্ত আবদ্ধ জালের জন্য সমস্যা শব্দটি হল W (X)-এর এই উপাদানগুলির মধ্যে কোনটি মুক্ত আবদ্ধ জালের FX-এ একই উপাদানকে নির্দেশ করে তা নির্ধারণ করার সমস্যা, এবং তাই প্রতিটি আবদ্ধ জালের মধ্যে। শব্দ সমস্যাটি নিম্নরূপ সমাধান করা যেতে পারে। ডাব্লু (এক্স)-এর উপর একটি সম্পর্ক ≤ ~ সূচকভাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে যদি এবং শুধুমাত্র নিম্নলিখিতগুলির মধ্যে একটি ধারণ করেঃ ডাব্লু = ভি (এটি সেই ক্ষেত্রে সীমাবদ্ধ করা যেতে পারে যেখানে ডাব্লু এবং ভি এক্স-এর উপাদান), ডাব্লু = 0, ভি = 1, ডাব্লু = ডাব্লু 1 ≤ ডাব্লু 2 এবং উভয় ডাব্লু 1 ≤ ভি এবং ডাব্লু 2 ≤ ভি হোল্ড, ডাব্লু = ডাব্লু 1 ≤ ভি বা ডাব্লু 2 ≤ ভি ধারণ করে, ভি = ভি 1 ≤ ভি 2 এবং হয় ডাব্লু ≤ ভি 1 বা ডাব্লু ≤ ভি 2 ধারণ করে, ভি = ভি 1 ≤ ভি 2 এবং উভয়ই ডাব্লু ≤ ভি 1 এবং ডাব্লু এটি ডাব্লু (এক্স)-এর উপর একটি পূর্বক্রম ≤ ~ সংজ্ঞায়িত করে, তাই একটি সমতুল্য সম্পর্ক ডাব্লু ~ ভি দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে যখন ডাব্লু ≤ ~ ভি এবং ভি ≤ ~ ডাব্লু। তখন কেউ দেখাতে পারে যে আংশিকভাবে ক্রমযুক্ত ভাগফল স্থান ডাব্লু (এক্স)/~ মুক্ত আবদ্ধ জাল FX। ডাব্লু (এক্স)/~ এর সমতুল্য শ্রেণীগুলি হল সমস্ত শব্দের সেট ডাব্লু এবং ভি সহ ডাব্লু ≤ ভি এবং ভি ≤ ডাব্লু। ডাব্লু (এক্স)-এ দুটি সু-গঠিত শব্দ ভি এবং ডাব্লু প্রতিটি আবদ্ধ জালিতে একই মান নির্দেশ করে যদি এবং কেবলমাত্র যদি ডাব্লু ≤ ভি এবং ভি ≤ ডাব্লু হয় তবে পরবর্তী শর্তগুলি উপরের আবেশী সংজ্ঞাটি ব্যবহার করে কার্যকরভাবে সিদ্ধান্ত নেওয়া যেতে পারে। সারণীটি গণনার একটি উদাহরণ দেখায় যাতে দেখা যায় যে, xwz এবং xwzw (xwy) শব্দগুলি প্রতিটি আবদ্ধ জালিতে একই মান নির্দেশ করে। উপরের নির্মাণে নিয়ম 2 এবং 3 বাদ দিয়ে আবদ্ধ নয় এমন জালের ক্ষেত্রেও একইভাবে আচরণ করা হয়। মুক্ত জালিতে সমস্যা শব্দের সমাধানে বেশ কয়েকটি আকর্ষণীয় উপসংহার রয়েছে। একটি হল যে তিনটি উপাদানের জেনারেটরের মুক্ত জাল অসীম। প্রকৃতপক্ষে, কেউ এমনকি দেখাতে পারে যে তিনটি জেনারেটরের প্রতিটি মুক্ত জালটিতে একটি সাবল্যাটিস থাকে যা চারটি জেনারেটরের একটি সেটের জন্য বিনামূল্যে। প্রবর্তনের মাধ্যমে, এটি শেষ পর্যন্ত অসংখ্য জেনারেটরের উপর একটি সাবল্যাটিস মুক্ত করে। এই বৈশিষ্ট্যটি গোষ্ঠীতে এসকিউ-সার্বজনীনতার কথা মনে করিয়ে দেয়। তিনটি জেনারেটরের মুক্ত জাল যে অসীম তার প্রমাণ হল pn + 1 = xw (yw (xw (yw (xw (zw)))) যেখানে x, y, এবং z হল তিনটি জেনারেটর, এবং p0 = x। তারপর সমস্যা শব্দের সূচক সম্পর্ক ব্যবহার করে দেখা যায় যে, pn + 1 কঠোরভাবে pn-এর চেয়ে বড়, এবং তাই সমস্ত অসীম সংখ্যক শব্দ pn মুক্ত জাল FX-এর বিভিন্ন মানের মূল্যায়ন করে। সম্পূর্ণ মুক্ত জাল আরেকটি ফল হল যে সম্পূর্ণ মুক্ত জাল (তিন বা ততোধিক জেনারেটরের উপর) "বিদ্যমান নেই", এই অর্থে যে এটি একটি যথাযথ শ্রেণী। এর প্রমাণ সমস্যা শব্দ থেকেও পাওয়া যায়। সম্পর্কের পরিপ্রেক্ষিতে একটি সম্পূর্ণ জাল সংজ্ঞায়িত করার জন্য, মিলিত এবং যোগদানের সীমাবদ্ধ সম্পর্কগুলি ব্যবহার করা যথেষ্ট নয়; অসীম উপসেটগুলির মিলিত এবং সংযুক্তিকে সংজ্ঞায়িত করে অসীম সম্পর্কও থাকতে হবে। উদাহরণস্বরূপ, "জয়েন"-এর সাথে সম্পর্কিত অসীম সম্পর্ককে এইভাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে এখানে, f হল একটি কার্ডিনাল N থেকে FX-এর উপাদানগুলির একটি মানচিত্র; অপারেটর সর্বোচ্চকে বোঝায়, যাতে এটি f-এর চিত্রটিকে তার জয়েনে নিয়ে যায়। এটি অবশ্যই "জয়েন"-এর অনুরূপ যখন এন একটি সসীম সংখ্যা; এই সংজ্ঞার মূল বিষয় হল জয়েনকে একটি সম্পর্ক হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা, এমনকি যখন এন একটি অসীম কার্ডিনাল। সমস্যা শব্দের পূর্ব-আদেশের স্বতঃসিদ্ধগুলি মিলিত এবং যোগদানের সাথে সম্পর্কিত দুটি অসীম অপারেটর দ্বারা সংযুক্ত হতে পারে। এটি করার পরে, যখন একটি সীমা অর্ডিনাল হয় তার দ্বারা প্রদত্ত একটি সাধারণভাবে সূচীতে সংজ্ঞাটি প্রসারিত করা হয়। তারপর, আগের মতোই, কেউ দেখাতে পারে যে এটি কঠোরভাবে এর চেয়ে বড়। সুতরাং, সম্পূর্ণ মুক্ত জালের মধ্যে কমপক্ষে যতগুলি উপাদান রয়েছে ততগুলি অর্ডিনাল রয়েছে এবং এইভাবে, সম্পূর্ণ মুক্ত জাল একটি সেট হিসাবে বিদ্যমান থাকতে পারে না এবং তাই অবশ্যই একটি যথাযথ শ্রেণী হতে হবে। তথ্যসূত্র পিটার টি জনস্টোন, স্টোন স্পেস, কেমব্রিজ স্টাডিজ ইন অ্যাডভান্সড ম্যাথমেটিক্স 3, কেমব্রিজ ইউনিভার্সিটি প্রেস, কেমব্রিজ, 1982। () (1ম অধ্যায় দেখুন) ল্যাটিস তত্ত্ব মুক্ত বীজগাণিতিক কাঠামো শব্দের উপর সমন্বয়