Macdonald polynomials
গণিতে, ম্যাকডোনাল্ড বহুপদ Pλ (x; t, q) হল বেশ কয়েকটি চলকের অর্থোগোনাল প্রতিসম বহুপদের একটি পরিবার, যা 1987 সালে ম্যাকডোনাল্ড দ্বারা প্রবর্তিত হয়েছিল। পরে তিনি 1995 সালে একটি অ-প্রতিসম সাধারণীকরণ চালু করেন। ম্যাকডোনাল্ড মূলত তাঁর বহুপদগুলিকে সীমাবদ্ধ মূল ব্যবস্থার ওজন λ-এর সঙ্গে যুক্ত করেছিলেন এবং শুধুমাত্র একটি পরিবর্তনশীল t ব্যবহার করেছিলেন, কিন্তু পরে বুঝতে পেরেছিলেন যে এগুলিকে সীমাবদ্ধ মূল ব্যবস্থার পরিবর্তে অ্যাফিন মূল ব্যবস্থার সঙ্গে যুক্ত করা আরও স্বাভাবিক, এই ক্ষেত্রে পরিবর্তনশীল t-কে বিভিন্ন পরিবর্তনশীল t = (t1,., tk) দ্বারা প্রতিস্থাপিত করা যেতে পারে, যা অ্যাফিন মূল ব্যবস্থার মূলের প্রতিটি k কক্ষপথের জন্য একটি। ম্যাকডোনাল্ড বহুপদগুলি হল n চলক x = (x1,., xn)-এর বহুপদ, যেখানে n হল অ্যাফিন মূল ব্যবস্থার র্যাঙ্ক। তারা অর্থোগোনাল পলিনোমিয়ালের অন্যান্য অনেক পরিবারকে সাধারণীকরণ করে, যেমন জ্যাক পলিনোমিয়াল এবং হল-লিটলউড পলিনোমিয়াল এবং অ্যাস্কি-উইলসন পলিনোমিয়াল, যা বিশেষ ক্ষেত্রে 1-ভেরিয়েবল অর্থোগোনাল পলিনোমিয়ালের বেশিরভাগ নাম অন্তর্ভুক্ত করে। কুর্নউইন্ডার বহুপদ হল কিছু অ-হ্রাসকৃত মূল ব্যবস্থার ম্যাকডোনাল্ড বহুপদ। অ্যাফিন হেক অ্যালজেব্রা এবং হিলবার্ট স্কিমের সাথে তাদের গভীর সম্পর্ক রয়েছে, যা তাদের সম্পর্কে ম্যাকডোনাল্ডের করা বেশ কয়েকটি অনুমান প্রমাণ করতে ব্যবহৃত হয়েছিল। সংজ্ঞা প্রথমে কিছু স্বরলিপি ঠিক করুনঃ R একটি বাস্তব ভেক্টর স্থানের একটি সীমাবদ্ধ মূল ব্যবস্থা V. R + হল ধনাত্মক মূলগুলির একটি পছন্দ, যা একটি ধনাত্মক ওয়েইল চেম্বারের সাথে মিলে যায়। ডাব্লু হল আর কিউ-এর ওয়েইল গ্রুপ. আর-এর মূল জাল (শিকড় দ্বারা বিস্তৃত জাল)। পি হল আর-এর ওজনের জাল (যার মধ্যে কিউ রয়েছে)। ওজনের উপর একটি ক্রমঃ যদি এবং শুধুমাত্র যদি সহজ মূলগুলির একটি অ-ঋণাত্মক রৈখিক সংমিশ্রণ হয়। পি + হল প্রভাবশালী ওজনের সেটঃ ধনাত্মক ওয়েল চেম্বারে পি-এর উপাদান। ρ হল ওয়েল ভেক্টরঃ ধনাত্মক মূলের যোগফলের অর্ধেক; এটি ধনাত্মক ওয়েল চেম্বারের অভ্যন্তরে পি + এর একটি বিশেষ উপাদান। F হল বৈশিষ্ট্য 0-এর একটি ক্ষেত্র, সাধারণত মূলদ সংখ্যা। A = F (P) হল P-এর গ্রুপ বীজগণিত, যেখানে λ ω P-এর জন্য eλ লেখা উপাদানগুলির একটি ভিত্তি রয়েছে। যদি f = eλ হয়, তবে f মানে e − λ, এবং এটি সম্পূর্ণ গ্রুপ বীজগণিতে রৈখিকতা দ্বারা প্রসারিত হয়। এম. এম. ইউ = এ. এস. এল. ই একটি কক্ষপথ যোগফল; এই উপাদানগুলি অসীম কিউ-পোচামারের প্রতীক ডব্লিউ দ্বারা স্থির উপাদানগুলির উপ-বীজগণিত এ. ডব্লিউ-এর জন্য একটি ভিত্তি গঠন করে। এটি A-এর দুটি উপাদানের অভ্যন্তরীণ গুণফল, অন্তত যখন t হল q-এর ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা শক্তি। ম্যাকডোনাল্ড পলিনোমিয়ালগুলি পি. এল. কে নিম্নলিখিত দুটি শর্ত দ্বারা অনন্যভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়ঃ যেখানে ইউ. এল. এম. ইউ হল কিউ এবং টি-এর একটি মূলদ ফাংশন যেখানে ইউ. এল. এল. = 1; পি. এল. এবং পি. এম. ও অর্থোগোনাল যদি λ <μ হয়। অন্য কথায়, ম্যাকডোনাল্ড বহুপদগুলি এডব্লিউ-এর সুস্পষ্ট ভিত্তিকে অর্থোগোনালাইজ করে পাওয়া যায়। এই বৈশিষ্ট্যগুলির সাথে বহুপদের অস্তিত্ব দেখানো সহজ (যে কোনও অভ্যন্তরীণ পণ্যের জন্য)। ম্যাকডোনাল্ড পলিনোমিয়ালগুলির একটি মূল বৈশিষ্ট্য হল যে তারা অর্থোগোনালঃ λ, λ, λ, λ, λ, λ, λ, λ। এটি সংজ্ঞাটির একটি তুচ্ছ পরিণতি নয় কারণ পি + সম্পূর্ণরূপে ক্রমবদ্ধ নয়, এবং তাই প্রচুর উপাদান রয়েছে যা অতুলনীয়। সুতরাং সংশ্লিষ্ট বহুপদগুলি এখনও অর্থোগোনাল কিনা তা অবশ্যই পরীক্ষা করতে হবে। অর্থোগোনালিটি প্রমাণ করা যেতে পারে এটি দেখিয়ে যে ম্যাকডোনাল্ড বহুপদগুলি 1-মাত্রিক আইগেনস্পেস সহ স্ব-সংযুক্ত অপারেটরগুলির যাতায়াতের বীজগণিতে আইগেনভেক্টর এবং এই সত্যটি ব্যবহার করে যে বিভিন্ন আইগেনভ্যালুগুলির জন্য আইগেনস্পেসগুলি অবশ্যই অর্থোগোনাল হতে হবে। নন-সিম্পলি-লেস্ড রুট সিস্টেমের (বি, সি, এফ, জি) ক্ষেত্রে, মূলের দৈর্ঘ্যের সাথে পরিবর্তিত হওয়ার জন্য প্যারামিটার টি বেছে নেওয়া যেতে পারে, যা ম্যাকডোনাল্ড বহুপদের একটি তিন-প্যারামিটার পরিবার প্রদান করে। কেউ এই সংজ্ঞাটিকে নন-রিডিউসড রুট সিস্টেম বিসি-তে প্রসারিত করতে পারে, যে ক্ষেত্রে কেউ একটি ছয়-পরামিতি পরিবার (মূলের প্রতিটি কক্ষপথের জন্য এক টি, যোগ কিউ) অর্জন করে যা কুর্নউইন্ডার বহুপদী নামে পরিচিত। কখনও কখনও ম্যাকডোনাল্ড বহুপদগুলিকে সম্ভবত অ-হ্রাসকৃত অ্যাফিন মূল ব্যবস্থার উপর নির্ভরশীল হিসাবে বিবেচনা করা ভাল। এই ক্ষেত্রে, অ্যাফাইন রুট সিস্টেমে শিকড়ের প্রতিটি কক্ষপথের সাথে যুক্ত একটি পরামিতি t, প্লাস একটি পরামিতি q রয়েছে। শিকড়ের কক্ষপথের সংখ্যা 1 থেকে 5 পর্যন্ত পরিবর্তিত হতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, যদি q = t হয় তবে ম্যাকডোনাল্ড বহুপদগুলি মূল ব্যবস্থার সংক্ষিপ্ত গোষ্ঠীর প্রতিনিধিত্বের ওয়েল অক্ষর হয়ে যায়, অথবা এ প্রকারের মূল ব্যবস্থার ক্ষেত্রে শুর ফাংশন হয়ে যায়। যদি q = 0 হয় তবে ম্যাকডোনাল্ড বহুপদগুলি একটি আধা-সহজ p-adic গোষ্ঠীর জন্য (পুনরুদ্ধারকৃত) জোনাল গোলাকার ফাংশনে পরিণত হয়, অথবা হল-লিটলউড বহুপদগুলি যখন মূল ব্যবস্থায় টাইপ A থাকে। যদি t = 1 হয় তবে ম্যাকডোনাল্ড বহুপদগুলি ডাব্লু কক্ষপথের যোগফল হয়ে ওঠে, যা মূল ব্যবস্থায় টাইপ এ থাকলে মনোমিয়াল প্রতিসম ফাংশন হয়। যদি আমরা t = qα রাখি এবং q কে 1-এর দিকে ঝুঁকতে দিই তবে ম্যাকডোনাল্ড বহুপদগুলি জ্যাক বহুপদীতে পরিণত হয় যখন মূল ব্যবস্থাটি টাইপ A-এর হয় এবং আরও সাধারণ মূল ব্যবস্থার জন্য হেকম্যান-অপডাম বহুপদী। অ্যাফিন মূল ব্যবস্থা এ1-এর জন্য, ম্যাকডোনাল্ড বহুপদগুলি হল রজার্স বহুপদগুলি। অ-হ্রাসকৃত র্যাঙ্ক 1 অ্যাফিন মূল পদ্ধতির (সি, সি1) জন্য, ম্যাকডোনাল্ড বহুপদগুলি হল অ্যাস্কি-উইলসন বহুপদ, যা বিশেষ ক্ষেত্রে 1 চলকের অর্থোগোনাল বহুপদের নামযুক্ত পরিবারের বেশিরভাগকে অন্তর্ভুক্ত করে। অ-হ্রাসকৃত অ্যাফিন মূল পদ্ধতির (সি, সিএন) জন্য, ম্যাকডোনাল্ড বহুপদগুলি হল কুর্নউইন্ডার বহুপদগুলি। ম্যাকডোনাল্ড ধ্রুবক শব্দ অনুমান যদি কিছু ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা k-এর জন্য t = qk হয়, তবে ম্যাকডোনাল্ড বহুপদগুলির মান দ্বারা দেওয়া হয় এটি ম্যাকডোনাল্ড (1982) দ্বারা ডাইসন অনুমানের সাধারণীকরণ হিসাবে অনুমান করা হয়েছিল এবং ডাবল অ্যাফিন হেকে অ্যালজেব্রার বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করে চেরেডনিক (1995) দ্বারা সমস্ত (হ্রাস) মূল ব্যবস্থার জন্য প্রমাণিত হয়েছিল। বেশ কয়েকজন লেখকের দ্বারা এন টাইপ ব্যতীত সমস্ত মূল ব্যবস্থার ক্ষেত্রে এই অনুমানটি আগে কেস-বাই-কেস প্রমাণিত হয়েছিল। আরও দুটি অনুমান রয়েছে যা এই প্রসঙ্গে আদর্শ অনুমানের সাথে সম্মিলিতভাবে ম্যাকডোনাল্ড অনুমান হিসাবে উল্লেখ করা হয়ঃ আদর্শের সূত্র ছাড়াও, ম্যাকডোনাল্ড tρ বিন্দুতে Pλ-এর মান এবং একটি প্রতিসাম্যের জন্য একটি সূত্র অনুমান করেছিলেন। ম্যাকডোনাল্ড পজিটিভিটি অনুমান অ্যান-1 প্রকারের মূল ব্যবস্থার ক্ষেত্রে ম্যাকডোনাল্ড বহুপদগুলি কেবলমাত্র n চলকের প্রতিসম বহুপদ যা q এবং t এর মূলদ ফাংশন। ম্যাকডোনাল্ড বহুপদের একটি নির্দিষ্ট রূপান্তরিত সংস্করণ (নীচের সমন্বিত সূত্রটি দেখুন) প্রতিসম ফাংশনের স্থানের একটি অর্থোগোনাল ভিত্তি গঠন করে এবং তাই শুর ফাংশনের পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করা যেতে পারে। এই সম্পর্কের সহগ কে. এল. এম. ইউ (কিউ, টি) কে কোস্টকা-ম্যাকডোনাল্ড সহগ বা কিউ. টি-কোস্টকা সহগ বলা হয়। ম্যাকডোনাল্ড অনুমান করেছিলেন যে কোস্টকা-ম্যাকডোনাল্ড সহগগুলি q এবং t-তে অ-ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা সহগ সহ বহুপদী ছিল। এই অনুমানগুলি এখন প্রমাণিত হয়েছে; সবচেয়ে কঠিন এবং চূড়ান্ত পদক্ষেপটি ছিল ইতিবাচকতা প্রমাণ করা, যা মার্ক হাইম্যান (2001) করেছিলেন, অনুমানকে প্রমাণ করে। কিউটি-কোস্টকা সহগের জন্য একটি সমন্বিত সূত্র খুঁজে বের করা বীজগাণিতিক সংমিশ্রণে এখনও একটি কেন্দ্রীয় উন্মুক্ত সমস্যা। এন! অনুমান করুন দ্য এন! অ্যাড্রিয়ানো গার্সিয়া এবং মার্ক হাইম্যানের অনুমান অনুযায়ী, n-এর প্রতিটি বিভাজনের জন্য সমস্ত উচ্চতর আংশিক ব্যুৎপত্তি দ্বারা বিস্তৃত স্থানের মাত্রা n!, যেখানে (pj, qj) বিভাজনের চিত্রের n উপাদানগুলির মধ্য দিয়ে চলে, যা অ-ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যার জোড়গুলির একটি উপসেট হিসাবে বিবেচিত হয়। উদাহরণস্বরূপ, যদি n = 3-এর পার্টিশন 3 = 2 + 1 হয়, তবে জোড়াগুলি (pj, qj) হল (0,0), (0,1), (1,0), এবং Dμ স্থানটি যার মাত্রা 6 = 3! দ্বারা বিস্তৃত। হাইম্যানের ম্যাকডোনাল্ড পজিটিভিটি অনুমানের প্রমাণ এবং এন! একটি সমতলে n বিন্দুর আইসোস্পেকট্রাল হিলবার্ট স্কিম ছিল কোহেন-ম্যাকালে (এবং এমনকি গোরেনস্টাইন)। হাইমান এবং গারসিয়ার পূর্ববর্তী ফলাফলগুলি ইতিমধ্যে দেখিয়েছিল যে এটি এন বোঝায়! অনুমান, এবং যে এন! অনুমানটি বোঝায় যে কোস্টকা-ম্যাকডোনাল্ড সহগগুলি মডিউল ডি. এম.-এর জন্য শ্রেণীবদ্ধ অক্ষর গুণিতক ছিল। এটি অবিলম্বে ম্যাকডোনাল্ড পজিটিভিটি অনুমানকে বোঝায় কারণ অক্ষরের গুণাবলী অ-নেতিবাচক পূর্ণসংখ্যা হতে হবে। ইয়ান গ্রোজনোভস্কি এবং মার্ক হাইম্যান এল. এল. টি বহুপদীগুলির জন্য একটি ইতিবাচক অনুমান প্রমাণ করে ম্যাকডোনাল্ড ইতিবাচক অনুমানের আরেকটি প্রমাণ খুঁজে পেয়েছেন। 2005 সালে, জে. হ্যাগলান্ড, এম. হাইম্যান এবং এন. লোহর ম্যাকডোনাল্ড বহুপদীগুলির একটি সমন্বিত ব্যাখ্যার প্রথম প্রমাণ দিয়েছিলেন। 1988 সালে আই. জি. ম্যাকডোনাল্ড বহুপদগুলির (সমীকরণ (4.11) এবং (5.13)) সমন্বিত ব্যাখ্যার দ্বিতীয় প্রমাণ দিয়েছেন। ম্যাকডোনাল্ডের সূত্রটি হ্যাগলান্ড, হাইম্যান এবং লোহরের কাজের থেকে আলাদা, অনেক কম পদ সহ (এই সূত্রটি ম্যাকডোনাল্ডের মৌলিক কাজ, চ। 6 (7.13)। যদিও গণনার জন্য খুব দরকারী এবং তার নিজস্ব দিক থেকে আকর্ষণীয়, তাদের সমন্বিত সূত্রগুলি কোস্টকা-ম্যাকডোনাল্ড সহগগুলির ইতিবাচকতাকে অবিলম্বে বোঝায় না কারণ ম্যাকডোনাল্ড পলিনোমিয়ালগুলি শুর ফাংশনের পরিবর্তে মনোমিয়াল প্রতিসম ফাংশনে পচতে থাকে। স্বাভাবিকের পরিবর্তে রূপান্তরিত ম্যাকডোনাল্ড বহুপদগুলিতে লিখিত, সেগুলি হল যেখানে σ হল তরুণ চিত্রের একটি ভরাট যার আকৃতি হল μ, আইএনভি এবং ম্যাজ হল নির্দিষ্ট সংমিশ্রণগত পরিসংখ্যান (ফাংশন) যা ভরাট σ-তে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে। এই সূত্রটি ম্যাকডোনাল্ড বহুপদগুলিকে অসীম সংখ্যক চলকের মধ্যে প্রকাশ করে। n চলকগুলিতে বহুপদগুলি পেতে, সূত্রটিকে কেবল এমন ভরাটগুলিতে সীমাবদ্ধ করুন যা শুধুমাত্র 1,2,., n পূর্ণসংখ্যা ব্যবহার করে। xσ শব্দটি এমনভাবে ব্যাখ্যা করা উচিত যেখানে σi হল বিষয়বস্তু i সহ μ পূরণের বাক্সের সংখ্যা। উপরের সূত্রে রূপান্তরিত ম্যাকডোনাল্ড বহুপদগুলি ক্রমানুসারে রূপান্তরের মাধ্যমে ধ্রুপদী ম্যাকডোনাল্ড বহুপদীর সাথে সম্পর্কিত। প্রথমত, ম্যাকডোনাল্ড পলিনোমিয়ালগুলির অবিচ্ছেদ্য রূপ, যা চিহ্নিত করা হয়, তার একটি পুনরায় স্কেলিং যা সহগের হরগুলিকে পরিষ্কার করেঃ ইয়ং ডায়াগ্রামে বর্গক্ষেত্রের সংগ্রহ কোথায়, এবং বর্গক্ষেত্রের বাহু ও পা নির্দেশ করে, যেমন চিত্রটিতে দেখানো হয়েছে। দ্রষ্টব্যঃ ডানদিকে চিত্রটি ট্যাবলোর জন্য ফরাসি স্বরলিপি ব্যবহার করে, যা তরুণ চিত্রের জন্য উইকিপিডিয়া পৃষ্ঠায় ব্যবহৃত ইংরেজি স্বরলিপি থেকে উল্লম্বভাবে উল্টানো হয়েছে। ম্যাকডোনাল্ড বহুপদী অধ্যয়নে ফরাসি স্বরলিপি বেশি ব্যবহৃত হয়। রূপান্তরিত ম্যাকডোনাল্ড বহুপদগুলিকে তখন 's'-এর পরিপ্রেক্ষিতে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। আমাদের আছে যেখানে উপরের বন্ধনী স্বরলিপিটি প্লিথিস্টিক প্রতিস্থাপনকে বোঝায়। এই সূত্রটি জ্যাক পলিনোমিয়ালের জন্য ন 'প এবং সাহির সূত্র প্রমাণ করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। অ-প্রতিসম ম্যাকডোনাল্ড বহুপদ 1995 সালে, ম্যাকডোনাল্ড প্রতিসম ম্যাকডোনাল্ড বহুপদগুলির একটি অ-প্রতিসম এনালগ প্রবর্তন করেছিলেন এবং প্রতিসম ম্যাকডোনাল্ড বহুপদগুলি সহজেই অসমমিত প্রতিরূপ থেকে পুনরুদ্ধার করা যেতে পারে। তাঁর মূল সংজ্ঞায়, তিনি দেখিয়েছেন যে অ-প্রতিসম ম্যাকডোনাল্ড বহুপদগুলি একটি নির্দিষ্ট অভ্যন্তরীণ গুণফলের সাথে অর্থোগোনাল বহুপদগুলির একটি অনন্য পরিবার, পাশাপাশি একনামের ভিত্তিতে প্রসারিত হলে একটি ত্রিভুজ বৈশিষ্ট্যকে সন্তুষ্ট করে। 2007 সালে, হ্যাগলান্ড, হাইম্যান এবং লোহর অ-প্রতিসম ম্যাকডোনাল্ড বহুপদীর জন্য একটি সমন্বিত সূত্র দিয়েছিলেন। অ-প্রতিসম ম্যাকডোনাল্ড বহুপদগুলি q = t = 0 গ্রহণ করে ডিম্যাজার অক্ষরগুলিতে এবং q = t = φ হলে মূল বহুপদগুলিতে বিশেষীকরণ করে। বর্জন প্রক্রিয়ার উপর ভিত্তি করে সমন্বিত সূত্র 2018 সালে, এস. কর্টিল, ও. ম্যান্ডেলশটাম এবং এল. উইলিয়ামস প্রতিসম এবং অসমমিত ম্যাকডোনাল্ড বহুপদ উভয়ের সরাসরি সমন্বিত বৈশিষ্ট্য দেওয়ার জন্য বর্জন প্রক্রিয়াটি ব্যবহার করেছিলেন। তাদের ফলাফলগুলি আংশিকভাবে হ্যাগলান্ডের পূর্ববর্তী কাজের থেকে আলাদা কারণ তারা ম্যাকডোনাল্ড পলিনোমিয়ালগুলির রূপান্তরের পরিবর্তে সরাসরি একটি সূত্র দেয়। তারা একটি মাল্টিলাইন সারির ধারণা তৈরি করে, যা বল এবং তাদের প্রতিবেশীদের মধ্যে একটি ম্যাপিং এবং একটি সমন্বিত লেবেলিং প্রক্রিয়া সহ বল বা খালি কোষ ধারণকারী একটি ম্যাট্রিক্স। অসমমিত ম্যাকডোনাল্ড বহুপদী তখন সন্তুষ্ট করেঃ যেখানে যোগফলটি সমস্ত বহু-সারির সারির উপর থাকে এবং এটি একটি ওজন ফাংশন যা সেই সারিগুলিকে নির্দিষ্ট বহুপদীতে ম্যাপিং করে। প্রতিসম ম্যাকডোনাল্ড বহুপদী সন্তুষ্ট করেঃ যেখানে বাইরের যোগফল সমস্ত স্বতন্ত্র রচনার উপর থাকে যা এর বিন্যাস এবং অভ্যন্তরীণ যোগফল আগের মতোই হয়। তথ্যসূত্র গ্রন্থপঞ্জি মার্ক হাইম্যান কম্বিনেটরিক্স, সিমেট্রিক ফাংশন এবং হিলবার্ট স্কিমস কারেন্ট ডেভেলপমেন্টস ইন ম্যাথমেটিক্স 2002, নং। 1 (2002), 39-111। হাইম্যান, মার্ক নোটস ম্যাকডোনাল্ড বহুপদী এবং হিলবার্ট স্কিমের জ্যামিতি সম্পর্কে। প্রতিসম ফাংশন 2001: উন্নয়ন এবং দৃষ্টিভঙ্গির সমীক্ষা, 1-64, ন্যাটো বিজ্ঞান। সার্। দ্বিতীয় গণিত। ফিজিও। কেম., 74, ক্লুয়ার অ্যাকাড। প্রকাশক, ডর্ড্রেক্ট, 2002। ম্যাকডোনাল্ড, আই. জি. সিমেট্রিক ফাংশন এবং হল পলিনোমিয়াল। দ্বিতীয় সংস্করণ। অক্সফোর্ড গাণিতিক মনোগ্রাফ। অক্সফোর্ড সায়েন্স পাবলিকেশন। দ্য ক্লারেন্ডন প্রেস, অক্সফোর্ড ইউনিভার্সিটি প্রেস, নিউ ইয়র্ক, 1995. x + 475 পিপি। ম্যাকডোনাল্ড, আই. জি. সিমেট্রিক ফাংশন এবং অর্থোগোনাল বহুপদী। ডিন জ্যাকুলিন বি. লুইস মেমোরিয়াল লেকচারস রাটগার্স ইউনিভার্সিটি, নিউ ব্রান্সউইক, এনজে-তে উপস্থাপিত হয়। বিশ্ববিদ্যালয়ের লেকচার সিরিজ, 12। আমেরিকান ম্যাথমেটিকাল সোসাইটি, প্রভিডেন্স, আরআই, 1998. xvi + 53 পিপি। ম্যাকডোনাল্ড, আই. জি. অ্যাফিন হেক অ্যালজেব্রা এবং অর্থোগোনাল বহুপদী। সেমিনাইর বোরবাকি 797 (1995)। বাহ্যিক লিঙ্কগুলি ম্যাকডোনাল্ড বহুপদী সম্পর্কে মাইক জ্যাব্রোকির পৃষ্ঠা। ম্যাকডোনাল্ড বহুপদী সম্পর্কে হাইম্যানের কিছু গবেষণাপত্র। বীজগাণিতিক সংমিশ্রণ বীজগাণিতিক জ্যামিতি অর্থোগোনাল বহুপদী