Kneser's theorem (differential equations)
গণিতে, নেসার উপপাদ্যটি সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের ক্ষেত্রে দুটি স্বতন্ত্র উপপাদ্যকে বোঝাতে পারেঃ প্রথমটি, অ্যাডলফ নেসারের নামে নামকরণ করা হয়েছে, একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ দোলন করছে কি না তা নির্ধারণের জন্য মানদণ্ড সরবরাহ করে; অন্যটি, হেলমুথ নেসারের নামে নামকরণ করা হয়েছে, যা অবিচ্ছিন্ন ডান হাতের সাথে একটি প্রাথমিক মান সমস্যার সমস্ত সমাধানের সেটের টপোলজি সম্পর্কে। এ. নেসারের কারণে উপপাদ্যটির বিবৃতি ধারাবাহিকতার সাথে একটি সাধারণ রৈখিক সমজাতীয় ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ বিবেচনা করুন। আমরা বলি যে এই সমীকরণটি দোলনশীল যদি এর একটি সমাধান y থাকে যার অসীম সংখ্যক শূন্য থাকে এবং অন্যথায় অ-দোলনশীল হয়। উপপাদ্যটি বলে যে সমীকরণটি অ-দোলনশীল যদি এবং দোলনশীল যদি উদাহরণস্বরূপ উপপাদ্যটি ব্যাখ্যা করার জন্য বিবেচনা করুন যে কোথায় বাস্তব এবং অ-শূন্য। উপপাদ্য অনুসারে, সমাধানগুলি দোলনশীল হবে কি না তা নির্ভর করে ধনাত্মক (অ-দোলনশীল) বা ঋণাত্মক (দোলনশীল) কিনা তার উপর নির্ভর করে কারণ এর এই পছন্দের সমাধানগুলি খুঁজে বের করতে এবং এই উদাহরণের জন্য উপপাদ্যটি যাচাই করতে, 'আনস্যাটজ' প্রতিস্থাপন করুন যা দেয়। এটা দেখা কঠিন নয় যে ইতিবাচকের জন্য সমাধানগুলি দোলন করে না এবং নেতিবাচকের জন্য পরিচয় দেখায় যে তারা তা করে। সাধারণ ফলাফলটি স্টর্ম-পিকোনের তুলনা উপপাদ্য দ্বারা এই উদাহরণ থেকে অনুসরণ করা হয়। এক্সটেনশন এই ফলাফলের অনেক এক্সটেনশন রয়েছে, যেমন গেস্টেসি-আনাল মানদণ্ড। যদিও পিনোর অস্তিত্ব উপপাদ্য অবিচ্ছিন্ন ডানদিকের নির্দিষ্ট প্রাথমিক মানের সমস্যার সমাধানের নিশ্চয়তা দেয়, এইচ. নেসারের উপপাদ্য সেই সমাধানগুলির সেটের টপোলজি নিয়ে কাজ করে। সুনির্দিষ্টভাবে, এইচ. নেসারের উপপাদ্যটি নিম্নরূপ বলেঃ ধরা যাক এই অঞ্চলের উপর একটি অবিচ্ছিন্ন ফাংশন, এবং সকলের জন্য। একটি সন্তোষজনক বাস্তব সংখ্যা দেওয়া হলে, সেটটিকে পয়েন্টের সেট হিসাবে সংজ্ঞায়িত করুন যার জন্য একটি সমাধান রয়েছে এবং। সেটটি একটি বদ্ধ এবং সংযুক্ত সেট। তথ্যসূত্র সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ বিশ্লেষণে উপপাদ্য দোলন