Dirac algebra
গাণিতিক পদার্থবিজ্ঞানে, ডিরাক বীজগণিত হল ক্লিফোর্ড বীজগণিত। গাণিতিক পদার্থবিজ্ঞানী পি. এ. এম. ডিরাক 1928 সালে গামা ম্যাট্রিক্সের ম্যাট্রিক্স উপস্থাপনা সহ ঘূর্ণন-কণাগুলির জন্য ডিরাক সমীকরণ বিকাশের জন্য এটি প্রবর্তন করেছিলেন, যা বীজগণিতের জেনারেটরকে উপস্থাপন করে। গামা ম্যাট্রিক্স হল চারটি ম্যাট্রিক্সের একটি সেট, যার মধ্যে এন্ট্রি রয়েছে, অর্থাৎ, সেই উপাদানগুলি সন্তুষ্ট করে যেখানে প্রচলিত নিয়ম অনুসারে, একটি আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্সকে ডানদিকে দমন করা হয়েছে। সংখ্যাগুলি হল মিনকোভস্কি মেট্রিকের উপাদান। এই নিবন্ধের জন্য আমরা স্বাক্ষরটি বেশিরভাগ বিয়োগ, অর্থাৎ, নির্ধারণ করি। ডিরাক বীজগণিত তখন পরিচয়ের রৈখিক বিস্তার, গামা ম্যাট্রিক্সের পাশাপাশি গামা ম্যাট্রিক্সের যে কোনও রৈখিকভাবে স্বাধীন পণ্য। এটি ক্ষেত্রের উপর বা মাত্রা সহ একটি সীমাবদ্ধ-মাত্রিক বীজগণিত গঠন করে। বীজগণিতের জন্য ভিত্তি বীজগণিতের একটি ভিত্তি রয়েছে যেখানে প্রতিটি অভিব্যক্তিতে, আমরা ডানদিকে যাওয়ার সাথে সাথে প্রতিটি গ্রীক সূচক বৃদ্ধি পাচ্ছে। বিশেষ করে, অভিব্যক্তিগুলিতে কোনও পুনরাবৃত্ত সূচক নেই। মাত্রা গণনা দ্বারা, বীজগণিতের মাত্রা হল 16। বীজগণিতটি কেবলমাত্রের গুণফল গ্রহণ করে তৈরি করা যেতে পারেঃ পরিচয়টি উদ্ভূত হয় যখন অন্যগুলি স্পষ্টভাবে এর গুণফল। এই উপাদানগুলি দ্বারা উত্পন্ন স্থানকে বিস্তৃত করে। আমরা উপসংহারে পৌঁছেছি যে আমাদের কাছে সত্যিই চতুর্ভুজ শক্তি এবং লরেঞ্জ বীজগণিত দ্বারা উত্পন্ন ক্লিফোর্ড বীজগণিতের একটি ভিত্তি রয়েছে এই বিভাগের তত্ত্বের জন্য, সাহিত্যে প্রচলিত রীতির অনেকগুলি পছন্দ পাওয়া যায়, যা প্রায়শই এর কারণগুলির সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ। স্বচ্ছতার জন্য, এখানে আমরা প্রয়োজনীয় সংখ্যাসূচক উপাদানগুলির সংখ্যা হ্রাস করার জন্য কনভেনশনগুলি বেছে নেব, তবে জেনারেটরগুলি হার্মিশিয়ানের পরিবর্তে অ্যান্টি-হার্মিশিয়ান হতে পারে। ক্লিফোর্ড বীজগণিতে দ্বিঘাত উপস্থান লেখার আরেকটি সাধারণ উপায় রয়েছেঃ সহ। নোট করুন। এটি লেখার আরেকটি উপায় রয়েছে যা তখনও থাকে যখনঃ এই ফর্মটি লরেঞ্জ বীজগণিতে (বাস্তব রীতিনীতি সহ) পদার্থবিজ্ঞানের রীতিনীতির একটি উপস্থাপনা দেখানোর জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে এটি পদার্থবিজ্ঞানে একটি ফ্যাক্টর অন্তর্ভুক্ত করা সাধারণ প্রথা, যাতে হার্মিটিয়ান কনজুগেশন (যেখানে স্পেসটাইম গ্রীক সূচকগুলির সাপেক্ষে ট্রান্সপোজিং করা হয়) সিগমা জেনারেটরের একটি 'হার্মিটিয়ান ম্যাট্রিক্স' দেয় যার মধ্যে কেবল বন্ধনীটির প্রতিসাম্যতার কারণে অ-শূন্য, ভিতরে লরেঞ্জ বীজগণিতে টেনসরের ছয়-মাত্রিক উপস্থাপনাকে প্রসারিত করে। উপরন্তু, তাদের লাই বীজগণিতের বিনিময় সম্পর্ক রয়েছে এবং তাই স্পিন উপস্থাপনার ভিতরে বসে লরেঞ্জ বীজগণিতের (একটি উপস্থাপনা স্থান বিস্তৃত করার পাশাপাশি) একটি উপস্থাপনা গঠন করে। স্পিন (1,3) ম্যাট্রিক্সের জন্য সূচকীয় মানচিত্রটি ভালভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে। লরেঞ্জ বীজগণিতকে সন্তুষ্ট করে এবং লরেঞ্জ গ্রুপের স্পিন গ্রুপের প্রতিনিধিত্বে পরিণত হয় (কঠোরভাবে, পরিচয়ের সাথে সংযুক্ত ভবিষ্যত-নির্দেশিত অংশ)। তারপর এই প্রতিনিধিত্বের স্পিন জেনারেটর। আমরা জোর দিয়ে বলি যে এটি নিজেই একটি ম্যাট্রিক্স, কোনও ম্যাট্রিক্সের উপাদান নয়। একটি জটিল ম্যাট্রিক্স হিসাবে এর উপাদানগুলি বর্ণমালার শুরু থেকে গ্রীক অক্ষর ব্যবহার করে প্রচলিতভাবে লেবেল করা হয়। একটি স্পিনারের ক্রিয়া, যা এই সেটিংয়ে ভেক্টর স্পেসের একটি উপাদান, বা উপাদানগুলিতে, এটি একটি স্পিনরের উপর একটি অসীম লরেঞ্জ রূপান্তরের সাথে মিলে যায়। তারপর একটি সসীম লরেঞ্জ রূপান্তর, যা উপাদানগুলির দ্বারা প্যারামিট্রাইজ করা হয় (অ্যান্টিসিমেট্রিক ইন) হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে যে এটি যে বৈশিষ্ট্যটি অনুসরণ করে তা থেকে এটি সন্তুষ্ট করে এবং উপরে সংজ্ঞায়িত হিসাবে এটি স্পিনারের জন্য ডিরাক অ্যাডজয়েন্টের সংজ্ঞাকে অনুপ্রাণিত করে, এর। এর জন্য সংশ্লিষ্ট রূপান্তর হল। এর সাথে, ডিরাক ল্যাগ্রাঞ্জিয়ানের মতো ল্যাগ্রাঞ্জিয়ানদের নির্মাণের জন্য লরেঞ্জ অপরিবর্তনীয় পরিমাণ তৈরি করা সহজ হয়ে যায়। কোয়ার্টিক শক্তি কোয়ার্টিক সাবস্পেসে একটি একক বেসিস উপাদান রয়েছে, যেখানে সম্পূর্ণ অ্যান্টিসিমেট্রিক টেনসরটি প্রচলিত। যে কোনও দুটি সংলগ্ন গামা ম্যাট্রিক্সের বিনিময়ে এটি প্রতিসাম্য। γ5 জটিল ব্যাপ্তি বিবেচনা করার সময়, এই ভিত্তি উপাদানটিকে বিকল্প হিসাবে নেওয়া যেতে পারে আরও বিশদ বিবরণ এখানে পাওয়া যাবে। আয়তনের রূপ হিসাবে কোয়ার্টিক উপাদানটির মোট প্রতিসাম্য দ্বারা, এটিকে আয়তনের রূপ হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে। প্রকৃতপক্ষে, এই পর্যবেক্ষণটি ক্লিফোর্ড বীজগণিতের আলোচনাকে বাহ্যিক বীজগণিতের সাধারণীকরণ হিসাবে প্রসারিত করেঃ উভয়ই টেনসর বীজগণিতের ভাগফল হিসাবে উদ্ভূত হয়, তবে বাহ্যিক বীজগণিত আরও সীমাবদ্ধ ভাগফল দেয়, যেখানে সমস্ত অ্যান্টি-কমিউটেটর অদৃশ্য হয়ে যায়। ডিরাক এবং ক্লেইন-গর্ডন সমীকরণ থেকে উদ্ভূত গামা উপাদানগুলির সংজ্ঞায়িত রূপটি পাওয়া যেতে পারে যদি কেউ ডিরাক সমীকরণঃ এবং ক্লেইন-গর্ডন সমীকরণঃ এর সহপরিবর্তনশীল রূপটি ধরে নেয় এবং এই সমীকরণগুলি সামঞ্জস্যপূর্ণ ফলাফলের দিকে পরিচালিত করে। ধারাবাহিকতার প্রয়োজনীয়তা (প্রমাণ) থেকে উদ্ভূত। ডিরাক সমীকরণকে তার সংযুক্ত সমীকরণ দ্বারা গুণ করলে ফলাফল পাওয়া যায়ঃ ক্লেইন-গর্ডন সমীকরণের সাথে সামঞ্জস্যের চাহিদা অবিলম্বে এই দিকে নিয়ে যায়ঃ যেখানে অ্যান্টিকমিউটেটর, স্বাক্ষর (+ −−) সহ মিনকোভস্কি মেট্রিক এবং এটি 4x4 একক ম্যাট্রিক্স। 1, 3 (সি) এবং 1,3 (আর) ডিরাক বীজগণিতকে বাস্তব স্থানকাল বীজগণিতের জটিলতা হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে 1,3 (সি): 1,3 (সি) ও 1,3 (সি) এর মধ্যে পার্থক্য রয়েছেঃ 1,3 (সি)-এ শুধুমাত্র গামা ম্যাট্রিক্স এবং তাদের গুণফলের বাস্তব রৈখিক সংমিশ্রণ অনুমোদিত। জ্যামিতিক বীজগণিতের প্রবক্তারা যেখানেই সম্ভব প্রকৃত বীজগণিতের সঙ্গে কাজ করার চেষ্টা করেন। তারা যুক্তি দেখান যে একটি ভৌত সমীকরণে একটি কাল্পনিক একক উপস্থিতি সনাক্ত করা সাধারণত সম্ভব (এবং সাধারণত আলোকিত)। এই ধরনের এককগুলি একটি বাস্তব ক্লিফোর্ড বীজগণিতে অনেক পরিমাণের মধ্যে একটি থেকে উদ্ভূত হয় যা বর্গ থেকে −1 পর্যন্ত হয় এবং বীজগণিতর বৈশিষ্ট্য এবং এর বিভিন্ন উপস্থানের মিথস্ক্রিয়ার কারণে এগুলির জ্যামিতিক তাৎপর্য রয়েছে। এই প্রবক্তাদের মধ্যে কেউ কেউ প্রশ্ন তোলেন যে ডিরাক সমীকরণের প্রেক্ষাপটে একটি অতিরিক্ত কাল্পনিক একক প্রবর্তন করা প্রয়োজনীয় বা এমনকি কার্যকর কিনা। রিম্যানিয়ান জ্যামিতির গণিতে, ক্লিফোর্ড বীজগণিতকে সংজ্ঞায়িত করা প্রচলিত, নির্বিচারে মাত্রার জন্য সিএলপি, কিউ (); ক্লিফোর্ড বীজগণিত থেকে ওয়েল স্পিনোরগুলির অ্যান্টি-কমিউটেশন স্বাভাবিকভাবেই উদ্ভূত হয়। ওয়েইল স্পিনরা স্পিন গ্রুপের ক্রিয়ার অধীনে রূপান্তরিত হয়। স্পিন গ্রুপের জটিলতা, যাকে স্পিন গ্রুপ বলা হয়, স্পিন গ্রুপের একটি পণ্য যা বৃত্তের সাথে পণ্যটির সাথে সনাক্ত করার জন্য কেবল একটি নোটেশনাল ডিভাইস। এর জ্যামিতিক বিন্দুটি হল এটি আসল স্পিনোরকে বিচ্ছিন্ন করে, যা লরেঞ্জ রূপান্তরের অধীনে কোভ্যারিয়েন্ট, উপাদান থেকে, যা বৈদ্যুতিন চৌম্বকীয় মিথস্ক্রিয়ার ফাইবারের সাথে চিহ্নিত করা যেতে পারে। ডিরাক্ কণা/অ্যান্টি-কণা অবস্থার (সমতুল্যভাবে, ওয়েল ভিত্তিতে কাইরাল অবস্থা) সাথে সম্পর্কিত করার জন্য উপযুক্ত পদ্ধতিতে জড়ানো সমতা এবং চার্জ সংমিশ্রণ। বাইস্পিনর, যেহেতু এর রৈখিকভাবে স্বাধীন বাম এবং ডান উপাদান রয়েছে, তা তড়িৎচুম্বকীয় ক্ষেত্রের সাথে মিথস্ক্রিয়া করতে পারে। এটি মজোরানা স্পিনোর এবং এলকো স্পিনোরের বিপরীতে, যা পারে না (অর্থাৎ। তারা বৈদ্যুতিকভাবে নিরপেক্ষ), কারণ তারা স্পষ্টভাবে স্পিনোরকে সীমাবদ্ধ করে যাতে জটিলতা থেকে আসা অংশের সাথে মিথস্ক্রিয়া না হয়। প্রচলিত কোয়ান্টাম ক্ষেত্র তত্ত্বের পাঠ্যপুস্তকে চার্জ এবং প্যারিটির উপস্থাপনা যতটা বিভ্রান্তিকর বিষয় হতে পারে, সাধারণ জ্যামিতিক পরিবেশে এই বিষয়গুলির আরও যত্নশীল বিভাজন ততই স্পষ্ট হতে পারে। ক্লিফোর্ড বীজগণিতের স্ট্যান্ডার্ড এক্সপোজিশনগুলি প্রথম নীতিগুলি থেকে ওয়েল স্পিনর্স তৈরি করে; যে তারা "স্বয়ংক্রিয়ভাবে" অ্যান্টি-কমিউট নির্মাণের একটি মার্জিত জ্যামিতিক উপ-পণ্য, যা পাউলি বর্জন নীতির (বা কখনও কখনও সাধারণ সংবেদন যে গ্রাসম্যান ভেরিয়েবলগুলি অ্যাড হক যুক্তির মাধ্যমে চালু করা হয়েছে) আবেদন করে এমন কোনও যুক্তি সম্পূর্ণরূপে পাশ কাটিয়ে যায়। সমসাময়িক পদার্থবিজ্ঞানের অনুশীলনে, ডিরাক বীজগণিত স্থানকাল বীজগণিতের পরিবর্তে ডিরাক সমীকরণের "লাইভ"-এর স্পিনোরগুলি আদর্শ পরিবেশ হিসাবে অব্যাহত রয়েছে। আরও দেখুন উচ্চ-মাত্রিক গামা ম্যাট্রিক্স ফিয়ার্জ পরিচয় রেফারেন্স ক্লিফোর্ড অ্যালজেব্রা বীজগণিত