Nilpotent orbit
গণিতে, নিলপোটেন্ট অরবিট হল নিলপোটেন্ট ম্যাট্রিক্সের সাধারণীকরণ যা বাস্তব এবং জটিল অর্ধ-সরল লাই গ্রুপ এবং অর্ধ-সরল লাই অ্যালজেব্রার উপস্থাপনা তত্ত্বে গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে। সংজ্ঞা একটি অর্ধ-সরল লাই বীজগণিতের একটি উপাদান X কে নিলপোটেন্ট বলা হয় যদি তার সংলগ্ন এন্ডোমর্ফিজম ad X: g → g, ad X (Y) = [X, Y] নিলপোটেন্ট হয়, অর্থাৎ, যথেষ্ট বড় n এর জন্য (ad X) n = 0। সমতুল্যভাবে, X নিলপোটেন্ট হয় যদি তার বৈশিষ্ট্যযুক্ত বহুপদী প্যাড X (t) tdim g এর সমান হয়। একটি অর্ধ-সরল লাই গ্রুপ বা বীজগাণিতিক গ্রুপ G তার লাই বীজগণিতে সংলগ্ন উপস্থাপনার মাধ্যমে কাজ করে এবং এই ক্রিয়ার অধীনে নিলপোটেন্ট হওয়ার বৈশিষ্ট্য অপরিবর্তনীয় হয়। একটি নিলপোটেন্ট কক্ষপথ হল সংলগ্ন ক্রিয়ার একটি কক্ষপথ যাতে এর উপাদানগুলির যে কোনও (সমতুল্য, সমস্ত) নিলপোটেন্ট হয়। জটিল এন্ট্রি সহ নিলপোটেন্ট ম্যাট্রিক্সের উদাহরণ জটিল সাধারণ রৈখিক গোষ্ঠীর সাথে সামঞ্জস্য রেখে সাধারণ তত্ত্বের জন্য প্রধান অনুপ্রেরণামূলক কেস গঠন করে। ম্যাট্রিক্সের জর্ডান স্বাভাবিক রূপ থেকে আমরা জানি যে প্রতিটি নিলপোটেন্ট ম্যাট্রিক্স জর্ডান ব্লকের আকারের সাথে একটি অনন্য ম্যাট্রিক্সের সাথে সংযুক্ত যেখানে n-এর একটি বিভাজন। সুতরাং n = 2-এর ক্ষেত্রে দুটি নিলপোটেন্ট কক্ষপথ রয়েছে, শূন্য কক্ষপথটি শূন্য ম্যাট্রিক্স নিয়ে গঠিত এবং বিভাজন (1,1)-এর সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ এবং শূন্য ট্রেস এবং নির্ধারক সহ সমস্ত অ-শূন্য ম্যাট্রিক্স A-এর সমন্বয়ে প্রধান কক্ষপথ, বিভাজন (2)-এর সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ। জ্যামিতিকভাবে, এই কক্ষপথটি একটি দ্বি-মাত্রিক জটিল চতুর্ভুজ শঙ্কু যা ম্যাট্রিক্সের চার-মাত্রিক ভেক্টর স্পেসে তার শীর্ষ বিয়োগ করে। জটিল বিশেষ রৈখিক গোষ্ঠী হল সাধারণ রৈখিক গোষ্ঠীর একটি উপগোষ্ঠী যার কক্ষপথ একই নীলপোটেন্ট। যাইহোক, আমরা যদি জটিল বিশেষ রৈখিক গোষ্ঠীটিকে বাস্তব বিশেষ রৈখিক গোষ্ঠীর সাথে প্রতিস্থাপন করি, তবে নতুন নিলপোটেন্ট কক্ষপথ তৈরি হতে পারে। বিশেষত, n = 2-এর জন্য এখন 3টি নিলপোটেন্ট কক্ষপথ রয়েছেঃ শূন্য কক্ষপথ এবং দুটি বাস্তব অর্ধ-কোণ (শীর্ষ ছাড়াই), যা উপরের প্যারামিট্রাইজেশনের ধনাত্মক এবং ঋণাত্মক মানের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ। বৈশিষ্ট্য নিলপোটেন্ট কক্ষপথগুলিকে সংলগ্ন ক্রিয়ার সেই কক্ষপথ হিসাবে চিহ্নিত করা যেতে পারে যার জারিস্কি ক্লোজারে 0 রয়েছে। নিলপোটেন্ট কক্ষপথ সংখ্যায় সীমাবদ্ধ। একটি নিলপোটেন্ট কক্ষপথের জারিস্কি ক্লোজার হল নিলপোটেন্ট কক্ষপথের একটি ইউনিয়ন। জ্যাকবসন-মরোজভ উপপাদ্যঃ বৈশিষ্ট্য শূন্যের একটি ক্ষেত্রের উপর, যে কোনও নিলপোটেন্ট উপাদান e-কে একটি sl2-ট্রিপলে অন্তর্ভুক্ত করা যেতে পারে এবং এই ধরনের সমস্ত ট্রিপলগুলি ZG (e) দ্বারা সংযুক্ত করা হয়, যা G-তে e-এর কেন্দ্রীয়কারী। অবস্থান কাঠামো নিলপোটেন্ট কক্ষপথগুলি একটি আংশিকভাবে ক্রমযুক্ত সেট গঠন করেঃ দুটি নিলপোটেন্ট কক্ষপথ দেওয়া হলে, O1 O2-এর জারিস্কি বন্ধের মধ্যে থাকলে O1 O2-এর চেয়ে কম বা সমান হয়। এই অবস্থানের একটি অনন্য ন্যূনতম উপাদান, শূন্য কক্ষপথ এবং অনন্য সর্বাধিক উপাদান, নিয়মিত নিলপোটেন্ট কক্ষপথ রয়েছে, তবে সাধারণভাবে এটি একটি শ্রেণীবদ্ধ অবস্থান নয়। যদি স্থলক্ষেত্রটি বীজগাণিতিকভাবে বন্ধ থাকে তবে শূন্য কক্ষপথটি একটি অনন্য কক্ষপথ দ্বারা আবৃত থাকে, যাকে ন্যূনতম কক্ষপথ বলা হয় এবং নিয়মিত কক্ষপথটি একটি অনন্য কক্ষপথকে আবৃত করে, যাকে সাবরেগুলার কক্ষপথ বলা হয়। বিশেষ রৈখিক গোষ্ঠী এস. এল. এন-এর ক্ষেত্রে, নিলপোটেন্ট কক্ষপথগুলি এন-এর বিভাজন দ্বারা প্যারামিট্রাইজ করা হয়। গারস্টেনহ্যাবারের একটি উপপাদ্য অনুসারে, কক্ষপথগুলির ক্রমটি এন-এর বিভাজনের উপর আধিপত্য ক্রমের সাথে মিলে যায়। উপরন্তু, যদি জি একটি দ্বিমাত্রিক রূপের একটি আইসোমেট্রি গ্রুপ হয়, অর্থাৎ। এস. এল. এন-এর একটি অর্থোগোনাল বা সিমপ্লেক্টিক উপগোষ্ঠী, তারপর এর নিলপোটেন্ট কক্ষপথগুলি একটি নির্দিষ্ট প্যারিটি শর্ত পূরণকারী এন-এর বিভাজন দ্বারা প্যারামিট্রাইজ করা হয় এবং সংশ্লিষ্ট পজিট কাঠামোটি সমস্ত বিভাজনের উপর আধিপত্য ক্রম দ্বারা প্ররোচিত হয় (এটি একটি অ-তুচ্ছ উপপাদ্য, জার্স্টেনহ্যাবার এবং হেসেলিংকের কারণে)। আরও দেখুন অ্যাডজয়েন্ট রিপ্রেজেন্টেশন রেফারেন্স ডেভিড কলিংউড এবং উইলিয়াম ম্যাকগভার্ন। অর্ধ-সরল লাই বীজগণিতে নিলপোটেন্ট কক্ষপথ। ভ্যান নস্ট্র্যান্ড রিইনহোল্ড গণিত সিরিজ। ভ্যান নস্ট্র্যান্ড রেইনহোল্ড কোং, নিউ ইয়র্ক, 1993। । । মিথ্যা আলজেব্রা