Mapping cone (homological algebra)
সমতাত্ত্বিক বীজগণিতে, ম্যাপিং শঙ্কু হল টোপোলজির অনুরূপ গঠন দ্বারা অনুপ্রাণিত চেইন কমপ্লেক্সের মানচিত্রে একটি নির্মাণ। ত্রিভুজ বিভাগের তত্ত্বে এটি এক ধরনের সম্মিলিত কার্নেল এবং কোকার্নেলঃ যদি চেইন কমপ্লেক্সগুলি একটি আবেলিয়ান বিভাগে তাদের পদ গ্রহণ করে, যাতে আমরা কোহোমোলজি সম্পর্কে কথা বলতে পারি, তবে একটি মানচিত্রের শঙ্কু f-এর অ্যাসাইক্লিক হওয়ার অর্থ হল মানচিত্রটি একটি আধা-আইসোমরফিজম; যদি আমরা কমপ্লেক্সগুলির উদ্ভূত বিভাগে যাই, এর অর্থ হল যে f সেখানে একটি আইসোমরফিজম, যা গোষ্ঠীর মানচিত্র, একটি রিংয়ের উপর মডিউল বা একটি নির্বিচারে আবেলিয়ান বিভাগের উপাদানগুলির পরিচিত বৈশিষ্ট্যকে স্মরণ করে যে যদি কার্নেল এবং কোকার্নেল উভয়ই অদৃশ্য হয়ে যায় তবে মানচিত্রটি একটি আইসোমরফিজম। যদি আমরা একটি টি-বিভাগে কাজ করি, তবে প্রকৃতপক্ষে শঙ্কুটি তার মূল বস্তুর মধ্যে মানচিত্রের কার্নেল এবং কোকার্নেল উভয়ই সরবরাহ করে। সংজ্ঞা শঙ্কু যে কোনও যোগাত্মক বিভাগের উপর কোচেইন কমপ্লেক্সের বিভাগে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে (অর্থাৎ, এমন একটি বিভাগ যার অঙ্গসংস্থানগুলি আবেলিয়ান গ্রুপ গঠন করে এবং যেখানে আমরা যে কোনও দুটি বস্তুর সরাসরি যোগফল তৈরি করতে পারি)। ধরা যাক দুটি কমপ্লেক্স, পার্থক্য সহ অর্থাৎ, এবং একইভাবে কমপ্লেক্সগুলির জন্য আমরা শঙ্কু সংজ্ঞায়িত করি, যা প্রায়শই নিম্নলিখিত জটিল দ্বারা চিহ্নিত করা হয়ঃ পদগুলিতে, ডিফারেনশিয়াল সহ (কলাম ভেক্টরের মতো কাজ করে)। এখানে এবং সহ জটিল। লক্ষ্য করুন যে ডিফারেনশিয়াল অন প্রাকৃতিক ডিফারেনশিয়াল থেকে আলাদা, এবং কিছু লেখক একটি ভিন্ন সাইন কনভেনশন ব্যবহার করেন। সুতরাং, উদাহরণস্বরূপ, যদি আমাদের কমপ্লেক্সগুলি আবেলিয়ান গোষ্ঠীর হয়, তবে ডিফারেনশিয়াল বৈশিষ্ট্য হিসাবে কাজ করবে ধরুন এখন আমরা একটি আবেলিয়ান বিভাগের উপর কাজ করছি, যাতে একটি কমপ্লেক্সের সমসংস্থান সংজ্ঞায়িত করা হয়। শঙ্কুটির প্রধান ব্যবহার হল অর্ধ-সমরূপতা সনাক্ত করাঃ যদি শঙ্কুটি অ্যাসাইক্লিক হয়, তবে মানচিত্রটি একটি অর্ধ-সমরূপতা। এটি দেখার জন্য, আমরা একটি ত্রিভুজের অস্তিত্ব ব্যবহার করি যেখানে মানচিত্রগুলি সরাসরি যোগফল দ্বারা দেওয়া হয় (চেইন কমপ্লেক্সের হোমোটোপি বিভাগ দেখুন)। যেহেতু এটি একটি ত্রিভুজ, তাই এটি সমতাত্ত্বিক গোষ্ঠীগুলির উপর একটি দীর্ঘ সঠিক ক্রমের জন্ম দেয়ঃ এবং যদি অ্যাসাইক্লিক হয় তবে সংজ্ঞা অনুসারে, উপরের বাহ্যিক পদগুলি শূন্য। যেহেতু ক্রমটি সঠিক, তাই এর অর্থ হল যে সমস্ত সমতুল্য গোষ্ঠীর উপর একটি সমরূপতা প্ররোচিত করে এবং তাই (আবার সংজ্ঞা অনুসারে) একটি আধা-সমরূপতা। এই সত্যটি একটি আবেলিয়ান বিভাগে আইসোমরফিজমের স্বাভাবিক বিকল্প বৈশিষ্ট্যকে সেই মানচিত্র হিসাবে স্মরণ করে যার কার্নেল এবং কোকার্নেল উভয়ই অদৃশ্য হয়ে যায়। একটি সংযুক্ত কার্নেল এবং কোকার্নেল হিসাবে একটি শঙ্কু এই চেহারা দুর্ঘটনাক্রমে নয়; প্রকৃতপক্ষে, নির্দিষ্ট পরিস্থিতিতে শঙ্কু আক্ষরিক অর্থে উভয়কেই মূর্ত করে। উদাহরণস্বরূপ বলুন যে আমরা একটি আবেলিয়ান বিভাগের উপর কাজ করছি এবং 0 মাত্রায় কেবল একটি অ-শূন্য পদ রয়েছেঃ এবং তাই এটি ঠিক (অন্তর্নিহিত আবেলিয়ান বিভাগের বস্তুর মানচিত্র হিসাবে)। তারপর শঙ্কুটি ঠিক (আন্ডারসেট পাঠ্য প্রতিটি শব্দের মাত্রা নির্দেশ করে।) এই কমপ্লেক্সের সমরূপতা হল এটি কোনও দুর্ঘটনা নয় এবং প্রকৃতপক্ষে প্রতিটি টি-বিভাগে ঘটে। ম্যাপিং সিলিন্ডার একটি সম্পর্কিত ধারণা হল ম্যাপিং সিলিন্ডারঃ চেইন কমপ্লেক্সগুলির একটি মরফিজম হতে দিন, আরও প্রাকৃতিক মানচিত্র হতে দিন। এফ-এর ম্যাপিং সিলিন্ডারটি সংজ্ঞা অনুসারে জি-এর ম্যাপিং শঙ্কু। টপোলজিক্যাল অনুপ্রেরণা এই কমপ্লেক্সটিকে টপোলজিকাল স্পেসের অবিচ্ছিন্ন মানচিত্রের ম্যাপিং শঙ্কু (টপোলজি)-এর সাদৃশ্য হিসাবে শঙ্কু বলা হয়ঃ টপোলজিকাল শঙ্কু-এর একক চেইনের কমপ্লেক্সটি এক্স থেকে ওয়াই-এর একক চেইনের প্ররোচিত মানচিত্রের শঙ্কু (চেইন-কমপ্লেক্স-সেন্স)-এর সমতুল্য। জটিল মানচিত্রের ম্যাপিং সিলিন্ডার একইভাবে অবিচ্ছিন্ন মানচিত্রের ম্যাপিং সিলিন্ডারের সাথে সম্পর্কিত। রেফারেন্স জোসেফ জে. রটম্যান, অ্যান ইন্ট্রোডাকশন টু অ্যালজেব্রিক টপোলজি (1988) স্প্রিঙ্গার-ভার্লাগ (অধ্যায় 9 দেখুন) হোমোলজিকাল বীজগণিত