Topological modular forms
গণিতে, টপোলজিক্যাল মডুলার ফর্ম (টি. এম. এফ) হল একটি বর্ণালীর নাম যা একটি সাধারণীকৃত কোহোমোলজি তত্ত্ব বর্ণনা করে। সুনির্দিষ্ট ভাষায়, যে কোনও পূর্ণসংখ্যা n-এর জন্য একটি টপোলজিকাল স্থান থাকে এবং এই স্থানগুলি তাদের মধ্যে নির্দিষ্ট মানচিত্র দিয়ে সজ্জিত থাকে, যাতে যে কোনও টপোলজিকাল স্থান X-এর জন্য, X থেকে X পর্যন্ত অবিচ্ছিন্ন মানচিত্রের সমস্থানিক শ্রেণীর সেটের উপর একটি আবেলিয়ান গ্রুপ কাঠামো পাওয়া যায়। একটি বৈশিষ্ট্য যা টি. এম. এফ-কে আলাদা করে তা হল এর সহগ বলয়, (বিন্দু), অবিচ্ছেদ্য কুস্প সম্প্রসারণ সহ হোলোমর্ফিক মডুলার ফর্মগুলির শ্রেণীবদ্ধ বলয়ের প্রায় একই। প্রকৃতপক্ষে, এই দুটি বলয় মৌলিক সংখ্যা 2 এবং 3 কে উল্টে দেওয়ার পরে সমরূপ হয়ে ওঠে, তবে এই বিপরীতটি সহগ বলয়ের অনেক টর্জন তথ্য মুছে দেয়। টপোলজিক্যাল মডুলার ফর্মগুলির বর্ণালী (সাধারণীকৃত) উপবৃত্তাকার বক্ররেখার মডুলি স্ট্যাকের উপর ই-ইনফিনিটি রিং বর্ণালীর একটি শেফের বিশ্বব্যাপী বিভাগ হিসাবে নির্মিত হয়। এই তত্ত্বের সংখ্যা তত্ত্বের মডুলার ফর্মের তত্ত্ব, গোলকের হোমোটপি গ্রুপ এবং ম্যানিফোল্ডের লুপ স্পেসের অনুমানমূলক সূচক তত্ত্বের সাথে সম্পর্ক রয়েছে। টি. এম. এফ প্রথম মাইকেল হপকিন্স এবং হেইন্স মিলার দ্বারা নির্মিত হয়েছিল; পল গোয়ার্স, হপকিন্স, মার্ক মাহোওয়াল্ড, মিলার, চার্লস রেজক এবং টিলম্যান বাউয়ারের প্রাক মুদ্রণ এবং নিবন্ধগুলিতে অনেক গণনা পাওয়া যায়। নির্মাণ টি. এম. এফ-এর মূল নির্মাণ হপকিন্স, মিলার এবং পল গোয়ার্সের বাধা তত্ত্ব ব্যবহার করে এবং এটি ডোয়ার, কান এবং স্টোভারের ধারণার উপর ভিত্তি করে। এই পদ্ধতিতে, উপবৃত্তাকার বক্ররেখার মডুলি স্ট্যাকের ইটেল সাইটে মাল্টিপ্লিকেটিভ কোহোমোলজি তত্ত্বের একটি প্রিশেফ ওপ ("টপ" মানে টপোলজিকাল) সংজ্ঞায়িত করা হয় এবং দেখানো হয় যে এটি মূলত অনন্য উপায়ে ই-ইনফিনিটি রিং স্পেকট্রার একটি শেফে তোলা যেতে পারে। এই শিফের নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্য রয়েছেঃ একটি রিং আর-এর উপর যে কোনও ইটেল উপবৃত্তাকার বক্ররেখার জন্য, এটি একটি ই-ইনফিনিটি রিং স্পেকট্রাম (একটি ধ্রুপদী উপবৃত্তাকার কোহোমোলজি তত্ত্ব) বরাদ্দ করে যার সম্পর্কিত আনুষ্ঠানিক গ্রুপটি সেই উপবৃত্তাকার বক্ররেখার আনুষ্ঠানিক গ্রুপ। একটি দ্বিতীয় নির্মাণ, জ্যাকব লুরির কারণে, এটি যে মডুলি সমস্যার প্রতিনিধিত্ব করে তা বর্ণনা করার পরিবর্তে টি. এম. এফ তৈরি করে এবং সাধারণ প্রতিনিধিত্বমূলক তত্ত্ব প্রয়োগ করে তারপর অস্তিত্ব দেখায়ঃ ঠিক যেমন উপবৃত্তাকার বক্ররেখার মডুলি স্ট্যাক একটি রিংকে তার উপর উপবৃত্তাকার বক্ররেখার বিভাগ বরাদ্দ করে এমন ফাংক্টরকে উপস্থাপন করে, ই-ইনফিনিটি রিং বর্ণালীর শেফের সাথে স্ট্যাকটি সেই ফাংক্টরকে উপস্থাপন করে যা একটি ই-ইনফিনিটি রিংকে তার ভিত্তিক উদ্ভূত উপবৃত্তাকার বক্ররেখার বিভাগকে বরাদ্দ করে, যথাযথভাবে ব্যাখ্যা করা হয়। এই নির্মাণগুলি মসৃণ উপবৃত্তাকার বক্ররেখার মডুলি স্ট্যাকের উপর কাজ করে এবং তারা এই মডুলি স্ট্যাকের ডেলিগনে-মামফোর্ড কম্প্যাক্টিফিকেশনের জন্যও কাজ করে, যেখানে নোডাল এককত্ব সহ উপবৃত্তাকার বক্ররেখা অন্তর্ভুক্ত করা হয়। টি. এম. এফ হল এমন বর্ণালী যা মসৃণ বক্ররেখার মডুলি স্ট্যাকের উপর বৈশ্বিক বিভাগগুলির ফলাফল এবং টি. এম. এফ হল ডেলিগনে-মামফোর্ড কম্প্যাক্টিফিকেশনের বৈশ্বিক বিভাগ হিসাবে উদ্ভূত বর্ণালী। টিএমএফ হল সংযোগকারী টিএমএফ-এর একটি পর্যায়ক্রমিক সংস্করণ। টি. এম. এফ গঠনে ব্যবহৃত বলয় বর্ণালী পর্যায় 2 সহ পর্যায়ক্রমিক হলেও, টি. এম. এফ নিজেই 576 সময়কাল রয়েছে। পর্যায়ক্রমিকতা মডুলার ডিস্ক্রিমিন্যান্টের সাথে সম্পর্কিত। গণিতের অন্যান্য অংশের সাথে সম্পর্ক টি. এম. এফ-এর প্রতি কিছু আগ্রহ স্ট্রিং তত্ত্ব এবং কনফরমাল ফিল্ড তত্ত্ব থেকে আসে। গ্রায়েম সেগাল প্রথম 1980-এর দশকে উপবৃত্তাকার কোহোমোলজি (টি. এম. এফ-এর অগ্রদূত)-র জ্যামিতিক নির্মাণকে কনফরমাল ফিল্ড তত্ত্বের কিছু মডুলি স্থান হিসাবে প্রস্তাব করেছিলেন এবং স্টিফেন স্টোলজ এবং পিটার টেইচনার এই ধারণাগুলি অব্যাহত ও প্রসারিত করেছেন। তাদের কর্মসূচী হল সুপারসিমেট্রিক ইউক্লিডীয় ক্ষেত্র তত্ত্বের মডুলি স্থান হিসাবে টি. এম. এফ গঠনের চেষ্টা করা। স্ট্রিং তত্ত্ব দ্বারা আরও সরাসরি অনুপ্রাণিত হয়ে, এডওয়ার্ড উইটেন উইটেন বংশের প্রবর্তন করেছিলেন, স্ট্রিং বোর্ডিজম রিং থেকে মডুলার ফর্মের রিংয়ে একটি সমরূপতা, একটি ম্যানিফোল্ডের লুপ স্পেসে ট্রিভিয়াল লোকাসের একটি আনুষ্ঠানিক পাড়ায় সমতুল্য সূচক তত্ত্ব ব্যবহার করে। এটি যে কোনও ঘূর্ণন বহুগুণের সাথে অর্ধ-প্রথম পন্ট্রিয়াগিন শ্রেণীর একটি মডুলার ফর্মের সাথে সম্পর্কিত। হপকিন্স, ম্যাথিউ অ্যান্ডো, চার্লস রেজক এবং নিল স্ট্রিকল্যান্ডের কাজের মাধ্যমে উইটেন গণকে টপোলজিতে উন্নীত করা যেতে পারে। অর্থাৎ, স্ট্রিং বোর্ডিজম বর্ণালী থেকে টি. এম. এফ (একটি তথাকথিত অভিযোজন) পর্যন্ত একটি মানচিত্র রয়েছে যাতে উইটেন গণটি এই বর্ণালীগুলির হোমোটপি গোষ্ঠীগুলিতে প্ররোচিত মানচিত্রের গঠন এবং হোমোটপি গোষ্ঠীগুলির একটি মানচিত্র হিসাবে পুনরুদ্ধার করা হয়। এটি উইটেন গণ সম্পর্কে নির্দিষ্ট বিভাজ্যতার বিবৃতি প্রমাণ করার অনুমতি দেয়। টি. এম. এফ-এর অভিযোজন স্পিন বোর্ডিজম বর্ণালী থেকে ধ্রুপদী কে-তত্ত্ব পর্যন্ত আতিয়াহ-বট-শাপিরো মানচিত্রের সাথে সাদৃশ্যপূর্ণ, যা ডিরাক সমীকরণের টপোলজিতে উত্তোলনের একটি উপায়। রেফারেন্স বেহরেন্স, এম., নোটস অন দ্য কনস্ট্রাকশন অফ টিএমএফ (2007), http://www-math.mit.edu ~ এমবেহরেন্স/পেপারস/বিল্ডটিএমএফ. পিডিএফ গোয়ার্স, পি. এবং হপকিন্স, এম., কমিউটেটিভ রিং স্পেকট্রার মডুলি স্পেস, http://www.math.northwestern.edu ~ পিগোয়ার্স/পেপারস/সাম. পিডিএফ হপকিন্স, এম এবং মাহওয়াল্ড, এম, ফ্রম এলিপটিক কার্ভস টু হোমোটপি থিওরি (1998), http://www.math.purdue.edu/research/atopology/Hopkins-Mahowald/eo2homotopy.pdf লুরি, জে, এ সার্ভে অফ এলিপটিক কোহোমোলজি (2007), http://www.math.harvard.edu ~ লুরি/পেপারস/সার্ভে. পিডিএফ রেজক, সি., http://www.math.uiuc.edu