Spin representation
গণিতে, ঘূর্ণন উপস্থাপনাগুলি নির্বিচারে মাত্রা এবং স্বাক্ষর (অর্থাৎ অনির্দিষ্ট অর্থোগোনাল গোষ্ঠী সহ) অর্থোগোনাল বা বিশেষ অর্থোগোনাল গোষ্ঠীর নির্দিষ্ট প্রজেক্টিভ উপস্থাপনা। আরও সুনির্দিষ্টভাবে, এগুলি স্পিন গোষ্ঠীর দুটি সমতুল্য উপস্থাপনা, যা বিশেষ অর্থোগোনাল গোষ্ঠীর দ্বৈত আবরণ। এগুলি সাধারণত বাস্তব বা জটিল সংখ্যার উপর অধ্যয়ন করা হয়, তবে এগুলি অন্যান্য ক্ষেত্রের উপর সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। স্পিন উপস্থাপনের উপাদানগুলিকে স্পিনর্স বলা হয়। এগুলি ইলেক্ট্রনের মতো ফার্মিয়নের ভৌত বর্ণনায় গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে। ঘূর্ণন উপস্থাপনাগুলি বিভিন্ন উপায়ে তৈরি করা যেতে পারে, তবে সাধারণত গঠনে গোষ্ঠীর ভেক্টর উপস্থাপনায় সর্বাধিক আইসোট্রপিক সাবস্পেসের পছন্দ (সম্ভবত কেবল অন্তর্নিহিতভাবে) জড়িত থাকে। বাস্তব সংখ্যার উপর, এটি সাধারণত ভেক্টর উপস্থাপনা একটি জটিলতা ব্যবহার করে প্রয়োজন। এই কারণে, প্রথমে জটিল সংখ্যার উপর ঘূর্ণন উপস্থাপনাগুলি সংজ্ঞায়িত করা এবং বাস্তব কাঠামো প্রবর্তন করে বাস্তব উপস্থাপনাগুলি অর্জন করা সুবিধাজনক। ঘূর্ণন উপস্থাপনাগুলির বৈশিষ্ট্যগুলি সূক্ষ্মভাবে অর্থোগোনাল গোষ্ঠীর মাত্রা এবং স্বাক্ষরের উপর নির্ভর করে। বিশেষত, স্পিন উপস্থাপনাগুলি প্রায়শই অপরিবর্তনীয় দ্বিমাত্রিক রূপগুলি গ্রহণ করে, যা স্পিন গোষ্ঠীগুলিকে ধ্রুপদী লাই গোষ্ঠীতে এম্বেড করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। নিম্ন মাত্রায়, এই এম্বেডিংগুলি সার্জেক্টিভ এবং স্পিন গ্রুপ এবং আরও পরিচিত লাই গ্রুপের মধ্যে বিশেষ আইসোমরফিজম নির্ধারণ করে; এটি এই মাত্রাগুলিতে স্পিনারের বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যাখ্যা করে। সেট-আপ একটি ননডিজেনারেট চতুর্ভুজ রূপ সহ একটি সীমাবদ্ধ-মাত্রিক বাস্তব বা জটিল ভেক্টর স্থান হতে দিন। সংরক্ষণ করা (বাস্তব বা জটিল) রৈখিক মানচিত্রগুলি অর্থোগোনাল গ্রুপ গঠন করে। গোষ্ঠীর পরিচয় উপাদানকে বিশেষ অর্থোগোনাল গ্রুপ বলা হয়। (অনির্দিষ্ট দ্বিঘাত আকারের বাস্তব শব্দের জন্য, এই পরিভাষাটি আদর্শ নয়ঃ বিশেষ অর্থোগোনাল গোষ্ঠীকে সাধারণত এই ক্ষেত্রে দুটি উপাদান সহ একটি উপগোষ্ঠী হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়।) গ্রুপ আইসোমরফিজম পর্যন্ত, একটি অনন্য সংযুক্ত ডাবল কভার রয়েছে, স্পিন গ্রুপ। এইভাবে একটি গ্রুপ সমরূপতা রয়েছে যার কার্নেলে দুটি উপাদান রয়েছে, যেখানে পরিচয় উপাদানটি রয়েছে। সুতরাং, সমরূপতার পরে গোষ্ঠী উপাদান এবং এর সমতুল্য; অর্থাৎ, যে কোনও ইন-এর জন্য। গ্রুপ এবং সমস্ত লাই গ্রুপ, এবং স্থিরের জন্য তাদের একই লাই বীজগণিত রয়েছে। যদি বাস্তব হয়, তবে এটি তার জটিলতার একটি বাস্তব ভেক্টর সাবস্পেস, এবং দ্বিঘাত রূপটি স্বাভাবিকভাবেই একটি দ্বিঘাত আকারে প্রসারিত হয়। এটি একটি উপগোষ্ঠী হিসাবে এম্বেড করে এবং তাই আমরা এর একটি উপগোষ্ঠী হিসাবে উপলব্ধি করতে পারি। উপরন্তু, এর জটিলতা। জটিল ক্ষেত্রে, চতুর্ভুজ রূপগুলি আইসোমরফিজম পর্যন্ত এর মাত্রা দ্বারা অনন্যভাবে নির্ধারিত হয়। সুনির্দিষ্টভাবে, আমরা ধরে নিতে পারি এবং সংশ্লিষ্ট লাই গ্রুপগুলিকে চিহ্নিত করা হয় এবং তাদের লাই বীজগণিত হিসাবে চিহ্নিত করা হয়। বাস্তব ক্ষেত্রে, দ্বিঘাত রূপগুলি অ-ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যার একটি জোড়া দ্বারা সমরূপতা পর্যন্ত নির্ধারিত হয় যেখানে এর মাত্রা, এবং স্বাক্ষর। সুনির্দিষ্টভাবে, আমরা ধরে নিতে পারি এবং সংশ্লিষ্ট লাই গ্রুপ এবং লাই বীজগণিতকে চিহ্নিত করা হয় এবং। আমরা স্বাক্ষর স্পষ্ট করার পরিবর্তে লিখি। স্পিন উপস্থাপনাগুলি, এক অর্থে, এর সহজতম উপস্থাপনা এবং যা এবং এর উপস্থাপনা থেকে আসে না। একটি ঘূর্ণন উপস্থাপনা, তাই, একটি বাস্তব বা জটিল ভেক্টর স্থান যা সাধারণ রৈখিক গোষ্ঠী থেকে বা একটি গ্রুপ সমরূপতার সাথে এমন হয় যে উপাদানটি এর কার্নেলে থাকে না। যদি এই ধরনের একটি উপস্থাপনা হয়, তবে লাই গ্রুপ এবং লাই অ্যালজেব্রার মধ্যে সম্পর্ক অনুসারে, এটি একটি লাই বীজগণিত উপস্থাপনাকে প্ররোচিত করে, অর্থাৎ, কমিউটেটর বন্ধনীর সাথে এন্ডোমর্ফিজমের লাই বীজগণিত থেকে বা তার প্রতি একটি লাই বীজগণিত সমরূপতা। স্পিন উপস্থাপনাগুলি নিম্নলিখিত কৌশল অনুসারে বিশ্লেষণ করা যেতে পারেঃ যদি একটি বাস্তব স্পিন উপস্থাপনা হয়, তবে এর জটিলতা একটি জটিল স্পিন উপস্থাপনা; এর প্রতিনিধিত্ব হিসাবে, এটি একটি জটিল উপস্থাপনা পর্যন্ত প্রসারিত। বিপরীত দিকে এগিয়ে গিয়ে, আমরা প্রথমে জটিল স্পিন উপস্থাপনা তৈরি করি এবং তারপর সেগুলিকে জটিল স্পিন উপস্থাপনাগুলিতে সীমাবদ্ধ করি এবং তারপরে শেষ পর্যন্ত প্রকৃত স্পিন উপস্থাপনাগুলিতে সম্ভাব্য হ্রাস বিশ্লেষণ করি। জটিল ঘূর্ণন উপস্থাপনাগুলি স্ট্যান্ডার্ড চতুর্ভুজ ফর্মের সাথে যাক যাতে মেরুকরণ দ্বারা সম্পর্কিত প্রতিসম দ্বিমাত্রিক ফর্মটি চিহ্নিত করা হয়। আইসোট্রপিক সাবস্পেস এবং মূল ব্যবস্থা ঘূর্ণন উপস্থাপনের একটি আদর্শ গঠন শুরু হয় সর্বাধিক সম্পূর্ণ আইসোট্রপিক সাবস্পেসের (সাপেক্ষে) একটি জোড়া বেছে নেওয়ার মাধ্যমে। আসুন আমরা এই ধরনের একটি নির্বাচন করি। যদি বা, তাহলে এবং উভয়েরই মাত্রা রয়েছে। যদি, তাহলে, যখন যদি, তাহলে, 1-মাত্রিক অর্থোগোনাল পরিপূরক কোথায়। দ্বিমাত্রিক রূপটি এবং এর মধ্যে একটি জুটিকে প্ররোচিত করে, যা অবশ্যই ননডিজেনারেট হতে হবে, কারণ এবং সম্পূর্ণভাবে আইসোট্রপিক সাবস্পেস এবং ননডিজেনারেট। সুতরাং এবং দ্বৈত ভেক্টর স্পেস। আরও সুনির্দিষ্টভাবে, এর জন্য একটি ভিত্তি হতে দিন। তারপরে এর একটি অনন্য ভিত্তি রয়েছে যে যদি একটি ম্যাট্রিক্স হয়, তবে এই ভিত্তির সাথে সম্পর্কিত একটি এন্ডোমর্ফিজমকে প্ররোচিত করে এবং ট্রান্সপোজ ভিতরে এবং ভিতরে সকলের জন্য একটি রূপান্তরকে প্ররোচিত করে। এটি অনুসরণ করে যে এন্ডোমর্ফিজম, সমান অন, অন এবং শূন্য অন (যদি বিজোড় হয়), তির্যক, সকলের জন্য, এবং তাই (শাস্ত্রীয় গোষ্ঠী দেখুন) এর একটি উপাদান। এই নির্মাণে তির্যক ম্যাট্রিক্স ব্যবহার করে একটি কার্টান উপ-বীজগণিতকে সংজ্ঞায়িত করা হয়ঃ এর র্যাঙ্ক হল, এবং তির্যক ম্যাট্রিক্স একটি-মাত্রিক আবেলিয়ান উপ-বীজগণিত নির্ধারণ করে। ধরা যাক এর ভিত্তি এমন যে, একটি তির্যক ম্যাট্রিক্সের জন্য এর তম তির্যক প্রবেশ। স্পষ্টতই এটি একটি ভিত্তি। যেহেতু দ্বিমাত্রিক রূপটি স্পষ্টভাবে চিহ্নিত করে, তাই এখন এর সাথে যুক্ত মূল ব্যবস্থাটি তৈরি করা সহজ। মূল স্থানগুলি (এর ক্রিয়ার জন্য একযোগে আইগেনস্পেস) নিম্নলিখিত উপাদানগুলির দ্বারা বিস্তৃত হয়ঃ মূলের সাথে (একযোগে আইগেনভ্যালু) (যা মূলের সাথে মূলের সাথে যদি থাকে এবং, যদি বিজোড় হয়, এবং মূলের সাথে মূল সহ একটি অ-শূন্য উপাদান। ধনাত্মক মূলের একটি পদ্ধতি দ্বারা দেওয়া হয় এবং (বিজোড়ের জন্য)। সংশ্লিষ্ট সরল মূলগুলি হল ধনাত্মক মূলগুলি হল সরল মূলগুলির অ-ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা রৈখিক সংমিশ্রণ। স্পিন উপস্থাপনা এবং তাদের ওজন বাহ্যিক বীজগণিত (গুলি) এবং/অথবা ব্যবহার করে স্পিন উপস্থাপনাগুলির একটি গঠন এমন একটি ক্রিয়া রয়েছে যা ক্রিয়ার যে কোনও উপাদানের জন্য এবং যে কোনও ক্রিয়ার জন্য দেওয়া হয়ঃ যেখানে দ্বিতীয় পদটি একটি সংকোচন (অভ্যন্তরীণ গুণন) দ্বি-রৈখিক ফর্ম ব্যবহার করে সংজ্ঞায়িত করা হয়, যা জোড়া এবং। এই ক্রিয়াটি ক্লিফোর্ড সম্পর্ককে সম্মান করে এবং তাই ক্লিফোর্ড বীজগণিত থেকে একটি সমরূপতা প্ররোচিত করে। একটি অনুরূপ ক্রিয়াকে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে, যাতে উভয়ই ক্লিফোর্ড মডিউল হয়। লাই বীজগণিতটি আচ্ছাদন দ্বারা প্ররোচিত ম্যাপিংয়ের মাধ্যমে জটিল লাই বীজগণিতের সমতুল্য। এগুলি আসলে সমতুল্য উপস্থাপনা, তাই আমরা এস-এর দিকে মনোনিবেশ করি। স্পষ্ট বর্ণনাটি দেখায় যে কার্টান সাবঅ্যালজেব্রার উপাদানগুলি এ ভিত্তিতে কাজ করে এবং ফর্মের উপাদানগুলির দ্বারা দেওয়া হয়। এগুলি স্পষ্টভাবে এর ক্রিয়ার জন্য ওজন ফাঁকগুলি প্রসারিত করেঃ প্রদত্ত ভিত্তিতে ভেক্টরের উপর আইগেনভ্যালু −1/2 থাকে যদি কিছু ক্ষেত্রে, এবং অন্যথায় আইগেনভ্যালু থাকে। এটি অনুসরণ করে যে এর ওজনগুলি সমস্ত সম্ভাব্য সংমিশ্রণ এবং প্রতিটি ওজনের স্থান এক-মাত্রিক। এর উপাদানগুলিকে ডিরাক স্পিনোর বলা হয়। কখন জোড়, একটি অপরিবর্তনীয় উপস্থাপনা নয়ঃ এবং অপরিবর্তনীয় উপস্থান। ওজনগুলি বিয়োগ চিহ্নের জোড় সংখ্যা সহ এবং বিয়োগ চিহ্নের বিজোড় সংখ্যা সহ বিভক্ত হয়। S + এবং S-উভয়ই 2m−1 মাত্রার অপরিবর্তনীয় উপস্থাপনা যার উপাদানগুলিকে ওয়েল স্পিনোর বলা হয়। এগুলি কাইরাল স্পিন উপস্থাপনা বা অর্ধ-স্পিন উপস্থাপনা হিসাবেও পরিচিত। উপরের ধনাত্মক মূল পদ্ধতির সাপেক্ষে, এস + এবং এস-এর সর্বোচ্চ ওজন যথাক্রমে এবং। ক্লিফোর্ড ক্রিয়াটি সি. এল. এন. সি-কে এন্ড (এস) দিয়ে চিহ্নিত করে এবং ইভেন সাবঅ্যালজেব্রাকে এস + এবং এস-সংরক্ষণকারী এন্ডোমর্ফিজম দিয়ে চিহ্নিত করা হয়। অন্য ক্লিফোর্ড মডিউল S′ এই ক্ষেত্রে S এর সমতুল্য। যখন n বিজোড় হয়, তখন S হল 2m মাত্রার সুতরাং (n, C)-এর একটি অপরিবর্তনীয় উপস্থাপনাঃ একটি একক ভেক্টরের ক্লিফোর্ড ক্রিয়াটি দ্বারা দেওয়া হয় এবং তাই (n, C)-এর উপাদানগুলি ডাব্লু-এর বাহ্যিক বীজগণিতের জোড় এবং বিজোড় অংশগুলি সংরক্ষণ করে না। এস-এর সর্বোচ্চ ওজন হল ক্লিফোর্ড ক্রিয়াটি এস-এর প্রতি বিশ্বস্ত নয়ঃ সি. এল. এন. সি-কে শেষ (এস) শেষ (এস) দিয়ে চিহ্নিত করা যেতে পারে, যেখানে ইউ এস-এর বিপরীত চিহ্ন দিয়ে কাজ করে। আরও সুনির্দিষ্টভাবে, দুটি উপস্থাপনা সি. এল. এন. সি-এর প্যারিটি ইনভোলিউশন α দ্বারা সম্পর্কিত (যা প্রধান অটোমরফিজম নামেও পরিচিত), যা জোড় উপ-বীজগণিতে পরিচয়, এবং সি. এল. এন. সি-এর বিজোড় অংশে পরিচয় বিয়োগ। অন্য কথায়, S থেকে S′ পর্যন্ত একটি রৈখিক সমরূপতা রয়েছে, যা S′-এর উপর α (A)-এর ক্রিয়ার সাথে SLNC-তে A-এর ক্রিয়াকে চিহ্নিত করে। বিলিনিয়ার গঠিত হয় যদি λ হল S-এর ওজন, তাই −λ হয়। এটি অনুসরণ করে যে S হল দ্বৈত উপস্থাপনা S ঱্঱ং-এর সমরূপ। যখন n = 2m + 1 বিজোড় হয়, তখন আইসোমরফিজম B: S → S ≤ স্কুরের লেমা দ্বারা স্কেল পর্যন্ত অনন্য, যেহেতু S অপরিবর্তনীয়, এবং এটি S এর উপর একটি ননডিজেনারেট অপরিবর্তনীয় দ্বিমাত্রিক ফর্ম β কে সংজ্ঞায়িত করে। প্রকৃতপক্ষে, আরও সত্যঃ এস. আই. টি. আর হল বিপরীত ক্লিফোর্ড বীজগণিতের একটি উপস্থাপনা, এবং তাই, যেহেতু সি. এল. এন. সি-তে শুধুমাত্র দুটি অ-তুচ্ছ সহজ মডিউল এস এবং এস 'রয়েছে, যা প্যারিটি ইনভোলুশন α দ্বারা সম্পর্কিত, তাই সি. এল. এন. সি-এর একটি অ্যান্টিঅটোমর্ফিজম τ রয়েছে যেমন সি. এল. এন. সি-তে যে কোনও এ-এর জন্য। প্রকৃতপক্ষে τ হল m জোড়ের জন্য বিপরীত (V-এর উপরের পরিচয় দ্বারা প্ররোচিত অ্যান্টিঅটোমর্ফিজম), এবং m বিজোড়ের জন্য সংমিশ্রণ (V-এর উপরের পরিচয় বিয়োগ দ্বারা প্ররোচিত অ্যান্টিঅটোমর্ফিজম)। এই দুটি অ্যান্টিঅটোমর্ফিজম প্যারিটি ইনভোলুশন α দ্বারা সম্পর্কিত, যা V-এর উপর আইডেন্টিটি বিয়োগ দ্বারা প্ররোচিত অটোমরফিজম। উভয়ই সন্তুষ্ট করে τ (ω) = − ω এর জন্য ω (n, C)। যখন n = 2m হয়, তখন পরিস্থিতি আরও সংবেদনশীলভাবে m এর সমতার উপর নির্ভর করে। m জোড়ের জন্য, একটি ওজনের λ-এর বিয়োগ চিহ্নগুলির একটি জোড় সংখ্যা থাকে যদি এবং শুধুমাত্র যদি −λ করে; এটি অনুসরণ করে যে প্রতিটি অর্ধ-ঘূর্ণন প্রতিনিধিত্বের পৃথক সমরূপতা B ±: S ± → S ± ≤ রয়েছে তার দ্বৈত সহ, প্রতিটি অনন্যভাবে স্কেল পর্যন্ত নির্ধারিত হয়। এগুলিকে একটি সমরূপতা বি-তে একত্রিত করা যেতে পারেঃ এস-এস-এস-এ। m বিজোড়ের জন্য, λ হল S + এর একটি ওজন যদি এবং শুধুমাত্র যদি −λ হল S-এর একটি ওজন হয়; সুতরাং S + থেকে S − ঱্঱ং পর্যন্ত একটি সমরূপতা রয়েছে, আবার স্কেল পর্যন্ত অনন্য, এবং এর ট্রান্সপোজ S − থেকে S + ঱্঱ং পর্যন্ত একটি সমরূপতা প্রদান করে। এগুলি আবার একটি সমরূপতা বি-তে একত্রিত করা যেতে পারেঃ এস-এস-এ। এম জোড় এবং এম বিজোড় উভয়ের জন্য, বি-এর পছন্দের স্বাধীনতা একটি সামগ্রিক স্কেলে সীমাবদ্ধ করা যেতে পারে এই জোর দিয়ে যে বি-এর সাথে সম্পর্কিত দ্বিমাত্রিক ফর্ম β সন্তুষ্ট করে (1), যেখানে τ একটি নির্দিষ্ট অ্যান্টিঅটোমর্ফিজম (বিপরীত বা সংমিশ্রণ)। প্রতিসাম্য এবং টেনসর বর্গ β: S′S′C এর প্রতিসাম্য বৈশিষ্ট্যগুলি ক্লিফোর্ড অ্যালজেব্রা বা উপস্থাপনা তত্ত্ব ব্যবহার করে নির্ধারণ করা যেতে পারে। প্রকৃতপক্ষে আরও অনেক কিছু বলা যেতে পারেঃ টেনসর বর্গ S′S-কে অবশ্যই বিভিন্ন k-এর জন্য V-এর উপর k-রূপের সরাসরি যোগফলের মধ্যে বিভক্ত হতে হবে, কারণ এর ওজনগুলি হল h ≤-এর সমস্ত উপাদান যার উপাদানগুলি {− 1,0,1}-এর অন্তর্গত। এখন সমতুল্য রৈখিক মানচিত্রগুলি অপরিবর্তনীয় মানচিত্রগুলির সাথে বাইজেক্টিভভাবে সামঞ্জস্যপূর্ণ এবং নন-জিরো এই ধরনের মানচিত্রগুলি ক্লিফোর্ড বীজগণিতে কেভি অন্তর্ভুক্তির মাধ্যমে তৈরি করা যেতে পারে। উপরন্তু, যদি β (φ, si) = εβ (si, φ) এবং τ-এর চিহ্ন εk থাকে ¥ kV-তে, তাহলে A-এর জন্য ¥ kV-তে। যদি n = 2m + 1 বিজোড় হয় তবে এটি শুরের লেমা থেকে অনুসরণ করে যে (উভয় পক্ষের মাত্রা 22 মিটার এবং ডানদিকে উপস্থাপনাগুলি অসম)। যেহেতু প্রতিসাম্যগুলি একটি ইনভোলুশন τ দ্বারা পরিচালিত হয় যা হয় সংমিশ্রণ বা বিপরীতমুখী হয়, তাই 2jV ≤ উপাদানটির প্রতিসাম্য j এর সাথে পরিবর্তিত হয়। প্রাথমিক সমন্বয় দেয় এবং চিহ্নটি নির্ধারণ করে যে কোন উপস্থাপনাগুলি S2S-এ ঘটে এবং কোনটি 2S-এ ঘটে। বিশেষ করে এবং v ωV-এর জন্য (যা ω2mV-এর সমরূপ), নিশ্চিত করে যে τ হল m জোড়ের জন্য বিপরীত, এবং m বিজোড়ের জন্য সংমিশ্রণ। যদি n = 2m জোড় হয়, তবে বিশ্লেষণটি আরও বেশি জড়িত, তবে ফলাফলটি আরও পরিমার্জিত পচনশীলঃ S2S ±, 2S ± এবং S + ±S-প্রতিটি কে-ফর্মের সরাসরি যোগফল হিসাবে বিচ্ছিন্ন করা যেতে পারে (যেখানে k = m এর জন্য স্ব-দ্বৈত এবং স্ব-দ্বৈত এম-ফর্মগুলিতে আরও পচনশীল)। প্রধান ফলাফল হল নিম্নলিখিত টেবিল অনুসারে, n মডুলো 8-এর উপর নির্ভর করে, S-এর উপর একটি ধ্রুপদী লাই বীজগণিতের উপ-বীজগণিত হিসাবে তাই (n, C)-এর উপলব্ধিঃ n ≤ 6-এর জন্য, এই এম্বেডিংগুলি সমরূপতা (n = 6-এর জন্য gl-এর পরিবর্তে sl-এর উপর): বাস্তব উপস্থাপনা তাই (n, C)-এর জটিল ঘূর্ণন উপস্থাপনাগুলি প্রকৃত উপ-বীজগণিতে ক্রিয়াকে সীমাবদ্ধ করে তাই (p, q)-এর প্রকৃত উপস্থাপনা প্রদান করে। যাইহোক, এমন অতিরিক্ত "বাস্তবতা" কাঠামো রয়েছে যা বাস্তব লাই অ্যালজেব্রার ক্রিয়ার অধীনে অপরিবর্তনীয়। এগুলো তিন ধরনের হয়ে থাকে। একটি অপরিবর্তনীয় জটিল অ্যান্টিলিনিয়ার মানচিত্র r: S → S সহ r2 = আইডিএস রয়েছে। আর-এর স্থির বিন্দু সেটটি তখন এস-এর একটি বাস্তব ভেক্টর সাবস্পেস এসআর হয় যার এসআর-সি = এস। এটিকে একটি বাস্তব কাঠামো বলা হয়। একটি অপরিবর্তনীয় জটিল অ্যান্টিলিনিয়ার মানচিত্র জেঃ এস → এস সঙ্গে জে2 = − আইডিএস রয়েছে। এটি অনুসরণ করে যে ত্রয়ী i, j এবং k: = ij S কে একটি চতুর্ভুজ ভেক্টর স্থান SH-এ পরিণত করে। একে কোয়াটারনিয়নিক গঠন বলা হয়। একটি অপরিবর্তনীয় জটিল অ্যান্টিলিনিয়ার মানচিত্র b: S → S ≤ রয়েছে যা বিপরীতমুখী। এটি এস-এর উপর একটি সিউডোহার্মিটিয়ান দ্বিমাত্রিক রূপকে সংজ্ঞায়িত করে এবং এটিকে একটি হার্মিটিয়ান কাঠামো বলা হয়। সুতরাং (p, q) এর অধীনে অপরিবর্তনীয় কাঠামোর ধরন শুধুমাত্র স্বাক্ষর p − q মডুলো 8-এর উপর নির্ভর করে এবং নিম্নলিখিত টেবিল দ্বারা দেওয়া হয়েছে। এখানে আর, সি এবং এইচ যথাক্রমে বাস্তব, হার্মিটিয়ান এবং কোয়াটারনিয়নিক কাঠামোকে নির্দেশ করে এবং আর + আর এবং এইচ + এইচ নির্দেশ করে যে অর্ধ-স্পিন উপস্থাপনা উভয়ই যথাক্রমে বাস্তব বা কোয়াটারনিয়নিক কাঠামোকে গ্রহণ করে। বিবরণ এবং সারণি বাস্তব উপস্থাপনার বিবরণ সম্পূর্ণ করার জন্য, আমাদের অবশ্যই বর্ণনা করতে হবে যে এই কাঠামোগুলি অপরিবর্তনীয় দ্বিমাত্রিক রূপগুলির সাথে কীভাবে যোগাযোগ করে। যেহেতু n = p + q + p − q মড 2, তাই দুটি কেস রয়েছেঃ মাত্রা এবং স্বাক্ষর উভয়ই জোড়, এবং মাত্রা এবং স্বাক্ষর উভয়ই বিজোড়। বিজোড় কেসটি সহজতর, শুধুমাত্র একটি জটিল স্পিন উপস্থাপনা এস রয়েছে এবং হার্মিটিয়ান কাঠামো ঘটে না। তুচ্ছ কেস n = 1 ছাড়াও, S সর্বদা জোড়-মাত্রিক, ডিম S = 2N বলুন। সুতরাং (2N, C)-এর প্রকৃত রূপগুলি হল (K, L) এবং K + L = 2N এবং তাই (N, H), যেখানে sp (2N, C)-এর প্রকৃত রূপগুলি হল sp (2N, R) এবং sp (K, L) এবং K + L = N। অতএব বিজোড় ঘূর্ণন উপস্থাপনাগুলি নিম্নলিখিত সারণিতে সংক্ষিপ্ত করা যেতে পারে। (†) এর জন্য জোড় এবং এর জন্য, এটি। জোড়-মাত্রিক কেসটি একই রকম। কারণ, জটিল অর্ধ-স্পিন উপস্থাপনাগুলি জোড়-মাত্রিক। আমাদের অতিরিক্তভাবে হার্মিশিয়ান কাঠামো এবং এর প্রকৃত রূপগুলি নিয়ে কাজ করতে হবে, যা হল, সঙ্গে, এবং। ফলস্বরূপ জোড় স্পিন উপস্থাপনাগুলি নিম্নরূপ সংক্ষিপ্ত করা হয়েছে। (*) কারণ, এর পরিবর্তে আমাদের আছে (†) জোড়ের জন্য এবং জন্য (যার সাথে অন্তর্ভুক্ত), এর পরিবর্তে আমাদের আছে জটিল ক্ষেত্রে নিম্ন-মাত্রিক আইসোমরফিজমগুলির নিম্নলিখিত বাস্তব রূপ রয়েছে। এই টেবিল থেকে অনুপস্থিত বাস্তব লাই অ্যালজেব্রার একমাত্র বিশেষ সমরূপতা হল এবং নোটস রেফারেন্স। । । । প্রাথমিক সংস্করণের জন্য প্রোগ্রামের ওয়েবসাইটটিও দেখুন। । । । । স্পিনারদের মিথ্যা গোষ্ঠীর প্রতিনিধিত্ব তত্ত্ব