Heston model
অর্থনীতিতে, স্টিভেন এল. হেস্টনের নামে নামকরণ করা হেস্টন মডেল হল একটি গাণিতিক মডেল যা একটি অন্তর্নিহিত সম্পদের অস্থিরতার বিবর্তন বর্ণনা করে। এটি একটি যাদৃচ্ছিক উদ্বায়ী মডেলঃ এই ধরনের মডেল ধরে নেয় যে সম্পদের উদ্বায়ীতা ধ্রুবক নয়, এমনকি নির্ধারকও নয়, তবে একটি এলোমেলো প্রক্রিয়া অনুসরণ করে। বেসিক হেস্টন মডেল মৌলিক হেস্টন মডেল ধরে নেয় যে সেন্ট, সম্পদের মূল্য, একটি যাদৃচ্ছিক প্রক্রিয়া দ্বারা নির্ধারিত হয়, যেখানে, তাৎক্ষণিক বৈচিত্র্য, একটি ফেলার বর্গমূল বা সি. আই. আর প্রক্রিয়া দ্বারা দেওয়া হয়, এবং ওয়াইনার প্রক্রিয়া (অর্থাৎ, অবিচ্ছিন্ন এলোমেলো হাঁটা) পারস্পরিক সম্পর্ক ρ সহ। মডেলটির পাঁচটি প্যারামিটার রয়েছেঃ, প্রাথমিক বৈকল্পিকতা। , দামের দীর্ঘ বৈচিত্র্য, বা দীর্ঘমেয়াদী গড় বৈচিত্র্য; যেহেতু t অসীমের দিকে ঝোঁক দেয়, νt-এর প্রত্যাশিত মান θ-এর দিকে ঝোঁক দেয়, যা দুটি উইনার প্রক্রিয়ার পারস্পরিক সম্পর্ক। , যে হারে νt ফিরে আসে θ., অস্থিরতার উদ্বায়ীতা, বা 'ভলিউমের ভলিউম', যা νt-এর বৈকল্পিকতা নির্ধারণ করে। যদি পরামিতিগুলি নিম্নলিখিত শর্তগুলি মেনে চলে (ফেলার শর্ত হিসাবে পরিচিত) তবে প্রক্রিয়াটি কঠোরভাবে ইতিবাচক ঝুঁকি-নিরপেক্ষ পরিমাপ দেখুন সম্পূর্ণ নিবন্ধের জন্য ঝুঁকি-নিরপেক্ষ পরিমাপ ডেরিভেটিভ মূল্যের একটি মৌলিক ধারণা হল ঝুঁকি-নিরপেক্ষ পরিমাপ; এটি উপরের নিবন্ধে আরও গভীরভাবে ব্যাখ্যা করা হয়েছে। আমাদের উদ্দেশ্যের জন্য, নিম্নলিখিত বিষয়গুলি লক্ষ্য করা যথেষ্টঃ এমন একটি ডেরিভেটিভের মূল্য নির্ধারণ করার জন্য যার পরিশোধ এক বা একাধিক অন্তর্নিহিত সম্পদের একটি ফাংশন, আমরা ঝুঁকি-নিরপেক্ষ পরিমাপের অধীনে তার ছাড়ের পরিশোধের প্রত্যাশিত মূল্য মূল্যায়ন করি। একটি ঝুঁকি-নিরপেক্ষ পরিমাপ, যা সমতুল্য মার্টিঙ্গেল পরিমাপ নামেও পরিচিত, তা হল এমন একটি পরিমাপ যা বাস্তব-বিশ্বের পরিমাপের সমতুল্য এবং যা সালিশ-মুক্তঃ এই ধরনের পরিমাপের অধীনে, প্রতিটি অন্তর্নিহিত সম্পদের ছাড় মূল্য হল একটি মার্টিঙ্গেল। গিরসানভের উপপাদ্য দেখুন। ব্ল্যাক-স্কোলস এবং হেস্টন কাঠামোতে (যেখানে শুধুমাত্র উইনার প্রক্রিয়াগুলির একটি রৈখিকভাবে স্বাধীন সেট থেকে পরিস্রাবণ তৈরি করা হয়), প্রতিটি উইনার প্রক্রিয়াগুলিতে একটি প্রবাহ যোগ করে যে কোনও সমতুল্য পরিমাপকে খুব আলগা অর্থে বর্ণনা করা যেতে পারে। উপরে বর্ণিত প্রবাহগুলির জন্য নির্দিষ্ট মান নির্বাচন করে, আমরা একটি সমতুল্য পরিমাপ পেতে পারি যা সালিশ-মুক্ত শর্ত পূরণ করে। একটি সাধারণ পরিস্থিতি বিবেচনা করুন যেখানে আমাদের অন্তর্নিহিত সম্পদ এবং উইনার প্রক্রিয়াগুলির একটি রৈখিকভাবে স্বাধীন সেট রয়েছে। সমতুল্য পরিমাপের সেটটি সম্ভাব্য প্রবাহের স্থান Rm-এর সমতুল্য। সমতুল্য মার্টিঙ্গেল পরিমাপের সেটকে Rm-এ এম্বেড করা ম্যানিফোল্ডের সমতুল্য হিসাবে বিবেচনা করুন; প্রাথমিকভাবে, এমন পরিস্থিতি বিবেচনা করুন যেখানে আমাদের কোনও সম্পদ নেই এবং Rm-এর সমতুল্য। এখন প্রতিটি অন্তর্নিহিত সম্পদকে সমতুল্য পরিমাপের সেটের উপর একটি বাধা প্রদান হিসাবে বিবেচনা করুন, কারণ এর প্রত্যাশিত ছাড় প্রক্রিয়া অবশ্যই একটি ধ্রুবকের (অর্থাৎ, এর প্রাথমিক মূল্য) সমান হতে হবে। একবারে একটি সম্পদ যোগ করে, আমরা প্রতিটি অতিরিক্ত সীমাবদ্ধতাকে একটি মাত্রা দ্বারা এর মাত্রা হ্রাস হিসাবে বিবেচনা করতে পারি। অতএব আমরা দেখতে পাচ্ছি যে উপরে বর্ণিত সাধারণ পরিস্থিতিতে, সমতুল্য মার্টিঙ্গেল পরিমাপের সেটের মাত্রা হল। ব্ল্যাক-স্কোলস মডেলে আমাদের একটি সম্পদ এবং একটি উইনার প্রক্রিয়া রয়েছে। সমতুল্য মার্টিঙ্গেল পরিমাপের সেটের মাত্রা শূন্য; তাই এটি দেখানো যেতে পারে যে ড্রিফ্টের জন্য একটি একক মান রয়েছে, এবং এইভাবে একটি একক ঝুঁকি-নিরপেক্ষ পরিমাপ, যার অধীনে ছাড়যুক্ত সম্পদ একটি মার্টিঙ্গেল হবে। হেস্টন মডেলে, আমাদের এখনও একটি সম্পদ রয়েছে (অস্থিরতাকে বাজারে সরাসরি পর্যবেক্ষণযোগ্য বা বাণিজ্যযোগ্য হিসাবে বিবেচনা করা হয় না) তবে আমাদের এখন দুটি উইনার প্রক্রিয়া রয়েছে-প্রথমটি স্টক মূল্যের জন্য স্টোকাস্টিক ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশনে (এসডিই) এবং দ্বিতীয়টি স্টক মূল্যের বৈচিত্র্যের জন্য এসডিইতে। এখানে, সমতুল্য মার্টিঙ্গেল পরিমাপের সেটের মাত্রা এক; কোনও অনন্য ঝুঁকি-মুক্ত পরিমাপ নেই। এটি অবশ্যই সমস্যাজনক; যদিও যে কোনও ঝুঁকি-মুক্ত ব্যবস্থা তাত্ত্বিকভাবে একটি ডেরিভেটিভের মূল্য নির্ধারণের জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে, তবে সম্ভবত তাদের প্রত্যেকে আলাদা আলাদা মূল্য দেবে। তত্ত্বগতভাবে, তবে, এই ঝুঁকি-মুক্ত ব্যবস্থাগুলির মধ্যে শুধুমাত্র একটি অস্থিরতা-নির্ভর বিকল্পগুলির বাজার মূল্যের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ হবে (উদাহরণস্বরূপ, ইউরোপীয় কল, বা আরও স্পষ্টভাবে, বৈচিত্র্য অদলবদল)। তাই আমরা একটি অস্থিরতা-নির্ভর সম্পদ যোগ করতে পারি; এটি করার মাধ্যমে, আমরা একটি অতিরিক্ত সীমাবদ্ধতা যোগ করি এবং এইভাবে একটি একক ঝুঁকি-মুক্ত পরিমাপ বেছে নিই যা বাজারের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ। এই পরিমাপ মূল্য নির্ধারণের জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে। বাস্তবায়ন কার এবং মদন দ্বারা ফুরিয়ার রূপান্তরের ব্যবহার মূল্য বিকল্পগুলিতে দেখানো হয়েছিল। হেস্টন মডেল বাস্তবায়নের বিষয়ে কাহল ও জ্যাকেল আলোচনা করেন। বেনহামু ও অন্যান্যরা সময়-নির্ভর হেস্টন মডেলের জন্য ক্লোজ-ফর্ম বিকল্প মূল্যের একটি ব্যুৎপত্তি উপস্থাপন করেছিলেন। ডাবল হেস্টন মডেলের জন্য ক্লোজ-ফর্ম বিকল্প মূল্যের একটি ব্যুৎপত্তি ক্রিস্টোফারসেন এট আল দ্বারা দেওয়া হয়েছিল। এবং গৌথিয়ার এবং পোসামাই দ্বারা। গ্রেজেলাক এবং ওস্টারলি স্টোকাস্টিক সুদের হারের সাথে হেস্টন মডেলের একটি সম্প্রসারণ দিয়েছিলেন। হেস্টন মডেলের বৈশিষ্ট্যমূলক ফাংশনের একটি অভিব্যক্তি যা প্যারামিটারগুলির সাপেক্ষে সংখ্যাসূচকভাবে অবিচ্ছিন্ন এবং সহজেই পার্থক্যযোগ্য উভয়ই কুই এট আল দ্বারা প্রবর্তিত হয়েছিল। স্থানীয় স্টোকাস্টিক উদ্বায়ীতার প্রেক্ষাপটে মডেলটির ব্যবহার ভ্যান ডের ওয়েইজস্ট দ্বারা দেওয়া হয়েছিল। অস্থিরতার পরিপ্রেক্ষিতে হেস্টন মূল্য সমীকরণের একটি স্পষ্ট সমাধান কৌরিৎজিন তৈরি করেছিলেন। এটি অস্থিরতার সমীকরণের জন্য পরিচিত দুর্বল সমাধান এবং হেস্টন মডেলের স্পষ্ট দুর্বল সমাধান তৈরি করতে গিরসানভের উপপাদ্যের সাথে মিলিত হতে পারে। এই ধরনের সমাধানগুলি দক্ষ অনুকরণের জন্য দরকারী। অ্যালান লুইসের একটি ব্লগ পোস্টে উচ্চ নির্ভুল রেফারেন্স মূল্য পাওয়া যায়। হেস্টন মডেলের (শনবুশার, এস. ভি. আই এবং জি. এস. ভি. আই) উপর ভিত্তি করে উদ্বায়ী পৃষ্ঠের কয়েকটি পরিচিত পরামিতি রয়েছে। ক্রমাঙ্কন হেস্টন মডেলের ক্রমাঙ্কন প্রায়শই একটি ন্যূনতম বর্গ সমস্যা হিসাবে প্রণয়ন করা হয়, যার উদ্দেশ্যমূলক ফাংশনটি বাজারে পর্যবেক্ষণ করা দাম এবং মডেল থেকে গণনা করা দামের মধ্যে বর্গ পার্থক্যকে হ্রাস করে। দামগুলি সাধারণত ভ্যানিলা বিকল্পগুলির হয়। কখনও কখনও মডেলটি গুইলাউম এবং স্কাউটেন্সের মতো ভ্যারিয়েন্স সোয়াপ টার্ম-স্ট্রাকচারেও ক্যালিব্রেট করা হয়। আরও একটি পদ্ধতি হল সামনের দিকের হাসি ধরার জন্য সামনের দিকের শুরুর বিকল্পগুলি বা বাধা বিকল্পগুলিও অন্তর্ভুক্ত করা। হেস্টন মডেলের অধীনে, ভ্যানিলা বিকল্পগুলির মূল্য বিশ্লেষণাত্মকভাবে দেওয়া হয়, তবে ইন্টিগ্রাল গণনা করার জন্য একটি সংখ্যাসূচক পদ্ধতির প্রয়োজন হয়। লে ফ্লোচ প্রয়োগ করা বিভিন্ন চতুর্ভুজের সংক্ষিপ্তসার করেছেন এবং একটি দক্ষ অভিযোজিত ফিলন চতুর্ভুজের প্রস্তাব দিয়েছেন। ক্যালিব্রেশনের জন্য সাধারণত মডেল প্যারামিটারগুলির সাপেক্ষে উদ্দেশ্যমূলক ফাংশনের গ্রেডিয়েন্ট প্রয়োজন হয়। এটি সাধারণত একটি সীমাবদ্ধ পার্থক্য আনুমানিকতার সাথে গণনা করা হত যদিও এটি একটি বিশ্লেষণাত্মক গ্রেডিয়েন্টের তুলনায় কম নির্ভুল, কম দক্ষ এবং কম মার্জিত কারণ পরেরটির একটি অন্তর্দৃষ্টিপূর্ণ অভিব্যক্তি কেবল তখনই উপলব্ধ হয়েছিল যখন কুই এট আল দ্বারা চরিত্রগত ফাংশনের একটি নতুন উপস্থাপনা চালু করা হয়েছিল। 2017 সালে। আরেকটি সম্ভাবনা হল স্বয়ংক্রিয় পৃথকীকরণের আশ্রয় নেওয়া। উদাহরণস্বরূপ, অ্যালগরিদমিক পার্থক্যের স্পর্শক পদ্ধতিটি দ্বৈত সংখ্যা ব্যবহার করে সরাসরি প্রয়োগ করা যেতে পারে। আরও দেখুন স্টোকাস্টিক উদ্বায়ীতা ঝুঁকি-নিরপেক্ষ পরিমাপ (সমতুল্য মার্টিঙ্গেল পরিমাপের আরেকটি নাম) গিরসানভের উপপাদ্য মার্টিঙ্গেল (সম্ভাব্যতা তত্ত্ব) SABR উদ্বায়ীতা মডেল ম্যাটল্যাব কোড কাহল, জ্যাকেল এবং লর্ড রেফারেন্স ডেরিভেটিভস (অর্থ) দ্বারা বাস্তবায়নের জন্য আর্থিক মডেল বিকল্প (অর্থ) গাণিতিক অর্থায়ন