Octonion algebra
গণিতে, এফ ক্ষেত্রের উপর একটি অষ্টভুজ বীজগণিত বা কাইলি বীজগণিত হল এফ-এর উপর একটি রচনা বীজগণিত যার মাত্রা এফ-এর উপর 8। অন্য কথায়, এটি একটি 8-মাত্রিক একক অ-সম্পর্কিত বীজগণিত যা এফ-এর উপর একটি অ-অবনমিত চতুর্ভুজ রূপ এন (যাকে আদর্শ রূপ বলা হয়) সহ এমন একটি যা এ-এর সমস্ত এক্স এবং ওয়াই-এর জন্য। একটি অষ্টভুজ বীজগণিতের সবচেয়ে সুপরিচিত উদাহরণ হল ধ্রুপদী অষ্টভুজ, যা বাস্তব সংখ্যার ক্ষেত্র R-এর উপর একটি অষ্টভুজ বীজগণিত। স্প্লিট-অক্টোনিওনগুলি আর-এর উপর একটি অক্টোনিওন বীজগণিতও গঠন করে। আর-বীজগণিত সমরূপতা পর্যন্ত, এগুলি বাস্তবগুলির উপর একমাত্র অক্টোনিওন বীজগণিত। জৈব-অক্ষতন্তুগুলির বীজগণিত হল জটিল সংখ্যা সি-এর উপর অষ্টভুজ বীজগণিত। এন-এর জন্য অষ্টভুজ বীজগণিত হল একটি বিভাজন বীজগণিত যদি এবং শুধুমাত্র এন-এর রূপটি অ্যানিসোট্রপিক হয়। একটি বিভক্ত অষ্টভুজ বীজগণিত হল এমন একটি বীজগণিত যার জন্য চতুর্ভুজ রূপ এন হল আইসোট্রপিক (অর্থাৎ, এন (এক্স) = 0 সহ একটি অ-শূন্য ভেক্টর এক্স রয়েছে)। এফ-বীজগণিত সমরূপতা পর্যন্ত, যে কোনও ক্ষেত্র এফ-এর উপর একটি অনন্য বিভক্ত অষ্টভুজ বীজগণিত রয়েছে। যখন এফ বীজগাণিতিকভাবে বন্ধ বা একটি সীমাবদ্ধ ক্ষেত্র হয়, তখন এগুলি এফ-এর উপর একমাত্র অষ্টভুজ বীজগণিত হয়। অষ্টভুজ বীজগণিত সর্বদা অ-সম্পর্কিত হয়। তবে এগুলি বিকল্প বীজগণিত, বিকল্পবাদ সহযোগীতার একটি দুর্বল রূপ। উপরন্তু, মৌফাং পরিচয়গুলি যে কোনও অষ্টভুজ বীজগণিতে ধারণ করে। এটি অনুসরণ করে যে কোনও অষ্টভুজ বীজগণিতে বিপরীতমুখী উপাদানগুলি একটি মৌফাং লুপ গঠন করে, যেমন একক আদর্শের উপাদানগুলি করে। লিওনার্ড ডিকসন তাঁর অ্যালজেব্রেন উন্ড ইহরে জাহেলেনথিওরি (1927) (সাইট 264) বইয়ে একটি স্বেচ্ছাচারী ক্ষেত্র কে-এর উপর সাধারণ অক্টোনিয়ন অ্যালজেব্রার নির্মাণের বর্ণনা দিয়েছেন এবং ম্যাক্স জর্নের দ্বারা পুনরাবৃত্তি করেছেন। গুণফল নির্ভর করে k থেকে γ-এর নির্বাচনের উপর। k-এর উপর একটি কোয়াটারনিয়ন বীজগণিত থেকে q এবং Q দেওয়া হলে, অক্টোনিয়নকে q + Qe লেখা হয়। আরেকটি অক্টোনিয়নকে r + Re লেখা যেতে পারে। তারপর কোয়াটারনিয়ন বীজগণিতে সংমিশ্রণকে * নির্দেশ করে, তাদের গুণফল হল জর্নের জার্মান ভাষার এই কেলি-ডিকসন নির্মাণের বর্ণনা, যা রচনা অ্যালজেব্রার গঠন বর্ণনা করে এই নামের অবিচ্ছিন্ন ব্যবহারে অবদান রাখে। কোল ফুরে প্রস্তাব করেছেন যে স্ট্যান্ডার্ড মডেলের উপাদানগুলির মধ্যে সমন্বয় সাধনের প্রয়াসে অক্টোনিওন অ্যালজেব্রা ব্যবহার করা যেতে পারে। শ্রেণিবিন্যাস এটি অ্যাডলফ হারউইৎজের একটি উপপাদ্য যে আদর্শ রূপের এফ-আইসোমরফিজম শ্রেণীগুলি অক্টোনিয়ন এফ-অ্যালজেব্রার আইসোমরফিজম শ্রেণীর সাথে এক-থেকে-এক মিল রয়েছে। উপরন্তু, সম্ভাব্য আদর্শ রূপগুলি ঠিক এফ-এর উপর ফিস্টার 3-ফর্ম। যেহেতু যে কোনও দুটি অক্টোনিয়ন এফ-অ্যালজেব্রা এফ-এর বীজগাণিতিক বন্ধের উপর আইসোমরফিক হয়ে যায়, তাই অ-অ্যাবেলিয়ান গ্যালোইস কোহোমোলজির ধারণাগুলি প্রয়োগ করা যেতে পারে। বিশেষত, স্প্লিট অক্টোনিওনের অটোমরফিজম গ্রুপটি বিভক্ত বীজগাণিতিক গ্রুপ জি 2 ব্যবহার করে, কেউ এফ-এর উপর জি 2-টর্সরের আইসোমরফিজম ক্লাসের সাথে অক্টোনিওন এফ-অ্যালজেব্রার আইসোমরফিজম ক্লাসের যোগাযোগ দেখতে পায়। এই আইসোমরফিজম ক্লাসগুলি অ-অ্যাবেলিয়ান গ্যালোইস কোহোমোলজি সেট গঠন করে। তথ্যসূত্র বাহ্যিক যোগসূত্র গঠন বীজগণিত অ-সম্পর্কিত বীজগণিত