Projective cover
বিমূর্ত গণিতের শাখায় যাকে বিভাগ তত্ত্ব বলা হয়, একটি বস্তু এক্স-এর একটি প্রজেক্টিভ আবরণ এক অর্থে একটি প্রজেক্টিভ বস্তু পি দ্বারা এক্স-এর সেরা অনুমান। প্রজেক্টিভ আবরণগুলি ইনজেকটিভ খামের দ্বৈত। সংজ্ঞা ধরা যাক একটি বিভাগ এবং X একটি বস্তু। একটি প্রজেক্টিভ আবরণ হল একটি জোড়া (পি, পি), যার মধ্যে পি একটি প্রজেক্টিভ বস্তু এবং পি হোম (পি, এক্স)-এ একটি অপ্রয়োজনীয় এপিমরফিজম। যদি আর একটি বলয় হয়, তবে আর-মডিউলের বিভাগে, একটি অপ্রয়োজনীয় এপিমরফিজম তখন এমন একটি এপিমরফিজম হয় যে পি-এর কার্নেল পি-এর একটি অপ্রয়োজনীয় সাব-মডিউল। প্রোপার্টি প্রজেক্টিভ কভার এবং তাদের অপ্রয়োজনীয় এপিমরফিজম, যখন তারা বিদ্যমান, আইসোমরফিজম পর্যন্ত অনন্য। আইসোমরফিজম অনন্য হওয়ার দরকার নেই, কারণ প্রজেক্টিভ বৈশিষ্ট্যটি একটি পূর্ণাঙ্গ সার্বজনীন বৈশিষ্ট্য নয়। পি-এর একটি অপ্রয়োজনীয় কার্নেল থাকার প্রধান প্রভাব নিম্নরূপঃ যদি এন পি-এর কোনও যথাযথ উপ-মডিউল হয়, তাহলে। অনানুষ্ঠানিকভাবে বলতে গেলে, এটি দেখায় যে অপ্রয়োজনীয় কার্নেলটি পি-কে এম-কে সর্বোত্তমভাবে আচ্ছাদন করে, অর্থাৎ পি-এর কোনও উপ-মডিউলই যথেষ্ট হবে না। এটি পি-এর প্রক্ষেপণশীলতার উপর নির্ভর করে নাঃ এটি সমস্ত অপ্রয়োজনীয় এপিমরফিজমের ক্ষেত্রে সত্য। যদি (পি, পি) এম-এর একটি প্রজেক্টিভ কভার হয় এবং পি 'একটি এপিমরফিজম সহ আরেকটি প্রজেক্টিভ মডিউল হয়, তবে পি' থেকে পি 'পর্যন্ত একটি বিভক্ত এপিমরফিজম α থাকে যাতে ইনজেকটিভ খাম এবং ফ্ল্যাট কভারের বিপরীতে, যা প্রতিটি বাম (ডান) আর-মডিউলের জন্য বিদ্যমান, রিং আর নির্বিশেষে, বাম (ডান) আর-মডিউলগুলির সাধারণভাবে প্রজেক্টিভ কভার থাকে না। একটি রিং আর-কে বাম (ডান) পারফেক্ট বলা হয় যদি প্রতিটি বাম (ডান) আর-মডিউলের আর-মোড (মোড-আর)-এ একটি প্রজেক্টিভ কভার থাকে। একটি বলয়কে আধা-নিখুঁত বলা হয় যদি প্রতিটি সীমিতভাবে উত্পন্ন বাম (ডান) আর-মডিউলের আর-মোড (মোড-আর)-এ একটি প্রজেক্টিভ আবরণ থাকে। "সেমিপারফেক্ট" একটি বাম-ডান প্রতিসম বৈশিষ্ট্য। একটি বলয়কে উত্তোলন/র্যাড বলা হয় যদি আইডেম্পোটেন্টগুলি আর/জে থেকে আর-এ উত্তোলন করে, যেখানে জে হল আর-এর জ্যাকবসন র্যাডিকেল। উত্তোলন/র্যাড হওয়ার বৈশিষ্ট্যটি প্রজেক্টিভ কভারের পরিপ্রেক্ষিতে চিহ্নিত করা যেতে পারেঃ আর হল উত্তোলন/র্যাড যদি এবং শুধুমাত্র আর মডিউল আর/জে-এর সরাসরি যোগফলের (ডান বা বাম মডিউল হিসাবে) প্রজেক্টিভ কভার থাকে। উদাহরণ আর মডিউলের বিভাগেঃ যদি এম ইতিমধ্যেই একটি প্রজেক্টিভ মডিউল হয়, তবে এম থেকে এম পর্যন্ত পরিচয়ের মানচিত্রটি একটি অপ্রয়োজনীয় রূপান্তর (এর কার্নেল শূন্য)। অতএব, প্রজেক্টিভ মডিউলগুলিতে সর্বদা প্রজেক্টিভ কভার থাকে। যদি J (R) = 0 হয়, তবে একটি মডিউল M-এর একটি প্রজেক্টিভ আবরণ থাকে যদি এবং শুধুমাত্র যদি M ইতিমধ্যেই প্রজেক্টিভ হয়। যদি একটি মডিউল এম সহজ হয়, তবে এটি অবশ্যই তার প্রজেক্টিভ কভারের শীর্ষে থাকে, যদি এটি বিদ্যমান থাকে। একটি মডিউলের জন্য ইনজেক্টিভ খাম সর্বদা বিদ্যমান থাকে, তবে নির্দিষ্ট রিং মডিউলগুলির উপর প্রজেক্টিভ কভার নাও থাকতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, Z থেকে Z/2Z-এর প্রাকৃতিক মানচিত্রটি Z-মডিউল Z/2Z-এর প্রক্ষিপ্ত আবরণ নয় (যার আসলে কোনও প্রক্ষিপ্ত আবরণ নেই)। যে শ্রেণীর রিং তার সমস্ত সঠিক মডিউলকে প্রজেক্টিভ কভার সহ সরবরাহ করে তা হল সঠিক নিখুঁত রিংয়ের শ্রেণী। যে কোনও আর-মডিউল এম-এর একটি সমতল আবরণ থাকে, যা প্রজেক্টিভ আবরণের সমান যদি আর-এর একটি প্রজেক্টিভ আবরণ থাকে। আরও দেখুন প্রজেক্টিভ রেজোলিউশন রেফারেন্স বিভাগ তত্ত্ব সমজাতীয় বীজগণিত মডিউল তত্ত্ব