Notation for differentiation
ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলাসে, ডিফারেনশিয়েশনের জন্য কোনও একক অভিন্ন স্বরলিপি নেই। পরিবর্তে, বিভিন্ন গণিতবিদ একটি ফাংশন বা চলকের অন্তরজ জন্য বিভিন্ন স্বরলিপি প্রস্তাব করেছেন। প্রতিটি স্বরলিপির উপযোগিতা প্রসঙ্গের সাথে পরিবর্তিত হয় এবং কখনও কখনও একটি নির্দিষ্ট প্রসঙ্গে একাধিক স্বরলিপি ব্যবহার করা সুবিধাজনক। পৃথকীকরণের জন্য সবচেয়ে সাধারণ স্বরলিপিগুলি (এবং এর বিপরীত ক্রিয়া, অ্যান্টিডিফারেন্সিয়েশন বা অনির্দিষ্টকালের ইন্টিগ্রেশন) নীচে তালিকাভুক্ত করা হয়েছে। লেইবনিজের স্বরলিপি গটফ্রিড লেইবনিজ দ্বারা নিযুক্ত মূল স্বরলিপিটি গণিত জুড়ে ব্যবহৃত হয়। এটি বিশেষভাবে প্রচলিত যখন সমীকরণটিকে নির্ভরশীল এবং স্বাধীন চলকের মধ্যে একটি কার্যকরী সম্পর্ক হিসাবে বিবেচনা করা হয়। লিবনিজের স্বরলিপি এই সম্পর্ককে ব্যুৎপত্তি হিসাবে লিখে স্পষ্ট করে তোলে। উপরন্তু, এট-এর ব্যুৎপত্তি তাই লেখা হয় উচ্চতর ব্যুৎপত্তি হিসাবে লেখা হয় এটি একটি পরামর্শমূলক স্বরলিপি যা প্রতীকগুলির আনুষ্ঠানিক হেরফের থেকে আসে, যেমন, একটি বিন্দুতে ব্যুৎপত্তিটির মান লিবনিজের স্বরলিপি ব্যবহার করে দুটি উপায়ে প্রকাশ করা যেতে পারেঃ লাইবনিজের স্বরলিপি একজনকে পৃথকীকরণের জন্য পরিবর্তনশীল নির্দিষ্ট করার অনুমতি দেয় (হরটিতে)। আংশিক ব্যুৎপত্তি বিবেচনা করার সময় এটি বিশেষভাবে সহায়ক। এটি শৃঙ্খলের নিয়মটিকে মনে রাখা এবং সনাক্ত করাও সহজ করেঃ পৃথকীকরণের জন্য লাইবনিজের স্বরলিপির জন্য বা (ডিফারেনশিয়াল হিসাবে পরিচিত) এর মতো প্রতীকগুলির নিজস্ব অর্থ নির্ধারণের প্রয়োজন হয় না এবং কিছু লেখক এই প্রতীকগুলির অর্থ নির্ধারণ করার চেষ্টা করেন না। লাইবনিজ এই প্রতীকগুলিকে অসীম হিসাবে বিবেচনা করেছিলেন। পরবর্তী লেখকরা এগুলিকে অন্যান্য অর্থ নির্ধারণ করেছেন, যেমন অ-মানক বিশ্লেষণে অসীম বা বাহ্যিক ব্যুৎপত্তি। সাধারণত, অনির্ধারিত বা সমতুল্য রেখে দেওয়া হয়, যখন সমীকরণের মাধ্যমে একটি অর্থ বরাদ্দ করা হয়, যা লেখা যেতে পারে, যেমন। (নিচে দেখুন)। এই ধরনের সমীকরণগুলি কিছু গ্রন্থে পাওয়া পরিভাষার জন্ম দেয় যেখানে ব্যুৎপত্তিটিকে "ডিফারেনশিয়াল কোএফিশিয়েন্ট" (অর্থাৎ এর কোএফিশিয়েন্ট) হিসাবে উল্লেখ করা হয়। কিছু লেখক এবং জার্নাল ইটালিকের পরিবর্তে রোমান ধরনের ডিফারেনশিয়াল প্রতীক স্থাপন করেছেনঃ আইএসও/আইইসি 80000 বৈজ্ঞানিক শৈলী নির্দেশিকা এই শৈলীর সুপারিশ করে। অ্যানালিওস টেট্রাগোনিস্টিকা পার্স সেকুন্ডা এবং মেথোডি ট্যানজেন্টিয়াম ইনভার্স উদাহরণ (উভয়ই 1675 সাল থেকে)-তে অবিচ্ছেদ্য প্রতীকটির প্রবর্তন করেন লাইবনিজ। এটি এখন একীকরণের জন্য আদর্শ প্রতীক। ল্যাগ্রাঞ্জের স্বরলিপি পার্থক্যের জন্য সবচেয়ে প্রচলিত আধুনিক স্বরলিপিগুলির মধ্যে একটি জোসেফ লুই ল্যাগ্রাঞ্জের নামে নামকরণ করা হয়েছে, যদিও এটি আসলে ইউলার দ্বারা উদ্ভাবিত হয়েছিল এবং কেবলমাত্র প্রাক্তন দ্বারা জনপ্রিয় হয়েছিল। ল্যাগ্রাঞ্জের স্বরলিপিতে, একটি মৌলিক চিহ্ন একটি অন্তরজকে নির্দেশ করে। যদি f একটি ফাংশন হয়, তাহলে x-এ মূল্যায়ন করা তার অন্তরজটি লেখা হয়। এটি প্রথম মুদ্রিত হয় 1749 সালে। দ্বিতীয় অন্তরজ এবং তৃতীয় অন্তরজ হিসাবে অতিরিক্ত মৌলিক চিহ্ন ব্যবহার করে উচ্চতর অন্তরজ নির্দেশ করা হয়। পুনরাবৃত্ত মৌলিক চিহ্নের ব্যবহার শেষ পর্যন্ত অযৌক্তিক হয়ে ওঠে। কিছু লেখক রোমান সংখ্যা ব্যবহার করে চালিয়ে যান, সাধারণত ছোট ক্ষেত্রে, যেমন চতুর্থ, পঞ্চম, ষষ্ঠ এবং উচ্চতর ক্রমের ব্যুৎপত্তি বোঝাতে। অন্যান্য লেখকরা বন্ধনীতে আরবি সংখ্যা ব্যবহার করেন, যেমন এই স্বরলিপিটি n তম ব্যুৎপত্তি বর্ণনা করাও সম্ভব করে তোলে, যেখানে n একটি পরিবর্তনশীল। যখন f (x, y) ফাংশনের জন্য দুটি স্বাধীন চলক থাকে, তখন নিম্নলিখিত ধারাটি অনুসরণ করা যেতে পারেঃ অ্যান্টিডিফারেন্সিয়েশনের জন্য ল্যাগ্রাঞ্জের স্বরলিপি যখন অ্যান্টিডেরিভেটিভ গ্রহণ করে, তখন ল্যাগ্রাঞ্জ লাইবনিজের স্বরলিপি অনুসরণ করেঃ যাইহোক, যেহেতু ইন্টিগ্রেশন হল ডিফারেন্সিয়েশনের বিপরীত ক্রিয়া, তাই উচ্চতর ক্রমের ডেরিভেটিভের জন্য ল্যাগ্রাঞ্জের স্বরলিপি ইন্টিগ্রাল পর্যন্ত প্রসারিত হয়। f-এর পুনরাবৃত্ত ইন্টিগ্রালগুলি প্রথম ইন্টিগ্রালের জন্য (এটি সহজেই বিপরীত ফাংশনের সাথে বিভ্রান্ত হয়), দ্বিতীয় ইন্টিগ্রালের জন্য, তৃতীয় ইন্টিগ্রালের জন্য এবং n তম ইন্টিগ্রালের জন্য লেখা যেতে পারে। ডি-নোটেশন এই স্বরলিপিটিকে কখনও কখনও বলা হয় যদিও এটি লুই ফ্রাঁসোয়া অ্যান্টোইন আরবোগাস্ট দ্বারা প্রবর্তিত হয়েছিল এবং মনে হয় যে লিওনহার্ড ইউলার এটি ব্যবহার করেননি। এই স্বরলিপি (ডি অপারেটর) বা (নিউটন-লিবনিজ অপারেটর) হিসাবে চিহ্নিত একটি ডিফারেনশিয়াল অপারেটর ব্যবহার করে। যখন কোনও ফাংশনে প্রয়োগ করা হয়, তখন এটি উচ্চতর ডেরিভেটিভ দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয় যা ডি-এর "ক্ষমতা" হিসাবে চিহ্নিত করা হয় (যেখানে সুপারস্ক্রিপ্টগুলি ডি-এর পুনরাবৃত্ত গঠনকে বোঝায়), যেমন দ্বিতীয় ডেরিভেটিভের জন্য, তৃতীয় ডেরিভেটিভের জন্য এবং nতম ডেরিভেটিভের জন্য। ডি-নোটেশন পাতাগুলি পরিবর্তনশীলকে অন্তর্নিহিত করে যার সাথে পার্থক্য করা হচ্ছে। যাইহোক, এই চলকটিকে একটি সাবস্ক্রিপ্ট হিসাবে নাম রেখেও স্পষ্ট করা যেতে পারেঃ যদি f একটি চলক x-এর একটি ফাংশন হয়, তবে এটি প্রথম ডেরিভেটিভের জন্য, দ্বিতীয় ডেরিভেটিভের জন্য, তৃতীয় ডেরিভেটিভের জন্য এবং nth ডেরিভেটিভের জন্য লিখে করা হয়। যখন f বেশ কয়েকটি চলকের একটি ফাংশন হয়, তখন ""-এর পরিবর্তে একটি স্টাইলাইজড কার্সিভ লোয়ার-কেস ডি, "ষ্ণ" ব্যবহার করা সাধারণ। উপরে যেমন বলা হয়েছে, সাবস্ক্রিপ্টগুলি যে ডেরিভেটিভগুলি নেওয়া হচ্ছে তা নির্দেশ করে। উদাহরণস্বরূপ, একটি ফাংশনের দ্বিতীয় আংশিক ব্যুৎপত্তিগুলি হলঃ দেখুন। ডি-নোটেশন ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ এবং ডিফারেনশিয়াল বীজগণিতের অধ্যয়নে কার্যকর। অ্যান্টিডেরিভেটিভের জন্য ডি-নোটেশন অ্যান্টিডেরিভেটিভের জন্য একইভাবে ব্যবহার করা যেতে পারে যেমন ল্যাগ্রাঞ্জের নোটেশন প্রথম অ্যান্টিডেরিভেটিভের জন্য, দ্বিতীয় অ্যান্টিডেরিভেটিভের জন্য এবং নবম অ্যান্টিডেরিভেটিভের জন্য নিম্নরূপ। নিউটনের স্বরলিপি আইজাক নিউটনের পৃথকীকরণের স্বরলিপি (যাকে বিন্দু স্বরলিপি, প্রবাহ, বা কখনও কখনও, নিষ্ঠুরভাবে, পৃথকীকরণের জন্য ফ্লাইস্পেক স্বরলিপিও বলা হয়) নির্ভরশীল চলকের উপর একটি বিন্দু স্থাপন করে। অর্থাৎ, যদি y টি-এর একটি ফাংশন হয়, তবে t-এর সাপেক্ষে y-এর ডেরিভেটিভ উচ্চতর ডেরিভেটিভগুলি একাধিক বিন্দু ব্যবহার করে উপস্থাপন করা হয়, যেমন নিউটনে এই ধারণাটি বেশ দূরে প্রসারিত করা হয়েছেঃ নিউটনের স্বরলিপির সাথে সম্পর্কিত ইউনিকোড অক্ষরগুলির মধ্যে রয়েছেঃ দুইবার "কম্বাইনিং ডায়েরেসিস" দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়েছে। নিউটনের স্বরলিপি সাধারণত ব্যবহৃত হয় যখন স্বাধীন পরিবর্তনশীল সময় নির্দেশ করে। যদি অবস্থান টি-এর একটি ফাংশন হয়, তবে বেগ নির্দেশ করে এবং ত্বরণ নির্দেশ করে। এই স্বরলিপি পদার্থবিজ্ঞান এবং গাণিতিক পদার্থবিজ্ঞানে জনপ্রিয়। এটি পদার্থবিজ্ঞানের সাথে যুক্ত গণিতের ক্ষেত্রগুলিতেও দেখা যায় যেমন ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ। একটি নির্ভরশীল চলক y = f (x)-এর ব্যুৎপত্তি গ্রহণ করার সময়, একটি বিকল্প স্বরলিপি বিদ্যমান থাকেঃ নিউটন একটি বাঁকা X (x)-এর পার্শ্ব-বিন্দু ব্যবহার করে নিম্নলিখিত আংশিক ডিফারেনশিয়াল অপারেটরগুলি তৈরি করেছিলেন। হোয়াইটসাইড দ্বারা প্রদত্ত সংজ্ঞাগুলি নিম্নরূপঃ একীকরণের জন্য নিউটনের স্বরলিপি নিউটন তাঁর চতুর্ভুজ বক্ররেখা (1704) এবং পরবর্তী কাজগুলিতে একীকরণের জন্য অনেকগুলি ভিন্ন স্বরলিপি তৈরি করেছিলেনঃ তিনি নির্ভরশীল চলকের () উপরে একটি ছোট উল্লম্ব বার বা প্রধান, একটি উপসর্গ আয়তক্ষেত্র (), বা একটি আয়তক্ষেত্রের () শব্দটির প্রবণতা সাবলীল বা সময় অবিচ্ছেদ্য (অনুপস্থিতি) বোঝাতে লিখেছিলেন। একাধিক ইন্টিগ্রাল বোঝাতে, নিউটন দুটি ছোট উল্লম্ব বার বা মৌলিক সংখ্যা (), বা পূর্ববর্তী প্রতীকগুলির সংমিশ্রণ ব্যবহার করেছিলেন, দ্বিতীয় বারের ইন্টিগ্রাল (অনুপস্থিতি) বোঝাতে। উচ্চতর ক্রমের সময় ইন্টিগ্রালগুলি নিম্নরূপ ছিলঃ মুদ্রণের অসুবিধা এবং লাইবনিজ-নিউটন ক্যালকুলাস বিতর্কের কারণে এই গাণিতিক স্বরলিপিটি ব্যাপকভাবে ছড়িয়ে পড়েনি। পার্শিয়াল ডেরিভেটিভস যখন আরও নির্দিষ্ট ধরনের পার্থক্যের প্রয়োজন হয়, যেমন মাল্টিভ্যারিয়েট ক্যালকুলাস বা টেনসর বিশ্লেষণে, তখন অন্যান্য স্বরলিপিগুলি সাধারণ। একটি একক স্বাধীন চলক x-এর f ফাংশনের জন্য, আমরা স্বাধীন চলকের সাবস্ক্রিপ্ট ব্যবহার করে অন্তরজ প্রকাশ করতে পারিঃ এই ধরনের স্বরলিপি বিভিন্ন চলকের ফাংশনের আংশিক অন্তরজ গ্রহণের জন্য বিশেষভাবে কার্যকর। আংশিক ডেরিভেটিভ সাধারণত সাধারণ ডেরিভেটিভ থেকে আলাদা করা হয় ডিফারেনশিয়াল অপারেটর d কে একটি "ষ্ণ" চিহ্ন দিয়ে প্রতিস্থাপন করে। উদাহরণস্বরূপ, আমরা x-এর সাপেক্ষে x-এর আংশিক অন্তরজ নির্দেশ করতে পারি, কিন্তু y বা z-এর সাপেক্ষে নয়ঃ যে বিষয়টি এই পার্থক্যকে গুরুত্বপূর্ণ করে তোলে তা হল প্রসঙ্গের উপর নির্ভর করে একটি অ-আংশিক অন্তরজকে পরিবর্তনের হার হিসাবে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে যখন সমস্ত চলককে একযোগে পরিবর্তিত হওয়ার অনুমতি দেওয়া হয়, যেখানে আংশিক অন্তরজ হিসাবে এটি স্পষ্ট যে শুধুমাত্র একটি চলকের পরিবর্তন হওয়া উচিত। গণিত, পদার্থবিজ্ঞান এবং প্রকৌশলের বিভিন্ন উপক্ষেত্রে অন্যান্য স্বরলিপি পাওয়া যায়; উদাহরণস্বরূপ তাপগতিবিদ্যার ম্যাক্সওয়েল সম্পর্ক দেখুন। প্রতীকটি হল আয়তন V-এর সাপেক্ষে তাপমাত্রা T-এর ব্যুৎপত্তি, যখন এনট্রপি (সাবস্ক্রিপ্ট) S-কে ধ্রুবক রাখে, এবং চাপ P-কে ধ্রুবক রেখে আয়তনের সাপেক্ষে তাপমাত্রার ব্যুৎপত্তি। এটি এমন পরিস্থিতিতে প্রয়োজনীয় হয়ে ওঠে যেখানে চলকের সংখ্যা স্বাধীনতার মাত্রাকে ছাড়িয়ে যায়, যাতে একজনকে বেছে নিতে হয় যে অন্য কোন চলক স্থির রাখতে হবে। একটি চলকের সাপেক্ষে উচ্চ-ক্রমের আংশিক অন্তরজকে এভাবে প্রকাশ করা হয়। মিশ্র আংশিক ব্যুৎপত্তিগুলি এইভাবে প্রকাশ করা যেতে পারে এই শেষ ক্ষেত্রে ভেরিয়েবলগুলি দুটি স্বরলিপির মধ্যে বিপরীত ক্রমে লেখা হয়, যা নিম্নরূপ ব্যাখ্যা করা হয়েছেঃ তথাকথিত মাল্টি-ইনডেক্স স্বরলিপিটি এমন পরিস্থিতিতে ব্যবহৃত হয় যখন উপরের স্বরলিপিটি জটিল বা অপর্যাপ্তভাবে অভিব্যক্তিপূর্ণ হয়ে যায়। ফাংশনগুলি বিবেচনা করার সময়, আমরা একটি মাল্টি-ইনডেক্সকে অ-নেতিবাচক পূর্ণসংখ্যার একটি ক্রমযুক্ত তালিকা হিসাবে সংজ্ঞায়িত করিঃ এরপরে আমরা স্বরলিপির জন্য সংজ্ঞায়িত করি এইভাবে কিছু ফলাফল (যেমন লাইবনিজ নিয়ম) যা অন্য উপায়ে লিখতে ক্লান্তিকর তা সংক্ষিপ্তভাবে প্রকাশ করা যেতে পারে-কিছু উদাহরণ বহু-সূচক সম্পর্কিত নিবন্ধে পাওয়া যেতে পারে। ভেক্টর ক্যালকুলাস ভেক্টর ক্যালকুলাসে নোটেশন ভেক্টর বা স্কেলার ক্ষেত্রের পার্থক্য এবং একীকরণের সাথে সম্পর্কিত। ত্রিমাত্রিক ইউক্লিডীয় স্থানের ক্ষেত্রে নির্দিষ্ট বেশ কয়েকটি স্বরলিপি প্রচলিত। ধরে নিন যে এটি একটি প্রদত্ত কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা, যে এ হল উপাদান সহ একটি ভেক্টর ক্ষেত্র, এবং এটি একটি স্কেলার ক্ষেত্র। উইলিয়াম রোয়ান হ্যামিল্টন দ্বারা প্রবর্তিত ডিফারেনশিয়াল অপারেটর, যা লিখিত হয়েছে এবং ডেল বা নাবলা নামে পরিচিত, প্রতীকীভাবে একটি ভেক্টরের আকারে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে, যেখানে পরিভাষাটি প্রতীকীভাবে প্রতিফলিত করে যে অপারেটরকে একটি সাধারণ ভেক্টর হিসাবেও বিবেচনা করা হবে। গ্রেডিয়েন্টঃ স্কেলার ক্ষেত্রের গ্রেডিয়েন্ট হল একটি ভেক্টর, যা প্রতীকীভাবে ρ এবং স্কেলার ক্ষেত্রের গুণন দ্বারা প্রকাশ করা হয়, ডাইভারজেন্সঃ ভেক্টর ক্ষেত্র A-এর ডাইভারজেন্স হল একটি স্কেলার, যা প্রতীকীভাবে ρ এবং ভেক্টর A-এর ডট প্রোডাক্ট দ্বারা প্রকাশ করা হয়, ল্যাপলেসিয়ানঃ স্কেলার ক্ষেত্রের ল্যাপলেসিয়ান একটি স্কেলার, যা প্রতীকীভাবে ρ2 এবং স্কেলার ক্ষেত্র φ-এর স্কেলার গুণন দ্বারা প্রকাশ করা হয়, ঘূর্ণনঃ ভেক্টর ক্ষেত্র A-এর ঘূর্ণন বা ঘূর্ণন একটি ভেক্টর, যা প্রতীকীভাবে ρ এবং ভেক্টর A-এর ক্রস প্রোডাক্ট দ্বারা প্রকাশ করা হয়, ডেরিভেটিভের অনেক প্রতীকী ক্রিয়াকলাপকে সরলভাবে সাধারণীকরণ করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, একক-পরিবর্তনশীল পণ্য নিয়মে গ্রেডিয়েন্ট অপারেটর প্রয়োগ করে স্কেলার ক্ষেত্রের গুণনে একটি সরাসরি এনালগ রয়েছে, যেমন একক পরিবর্তনশীল ক্যালকুলাস থেকে অন্যান্য অনেক নিয়মে গ্রেডিয়েন্ট, ডাইভারজেন্স, কার্ল এবং ল্যাপলেসিয়ানের জন্য ভেক্টর ক্যালকুলাস এনালগ রয়েছে। আরও বহিরাগত ধরনের স্থানের জন্য আরও স্বরলিপি তৈরি করা হয়েছে। মিনকোভস্কি স্পেসে গণনার জন্য, ডি 'আলেমবার্ট অপারেটর, যাকে ডি' আলেমবার্টিয়ান, ওয়েভ অপারেটর বা বক্স অপারেটরও বলা হয়, ল্যাপলেসিয়ানের প্রতীকের সাথে দ্বন্দ্বে না থাকলে হিসাবে বা হিসাবে প্রতিনিধিত্ব করা হয়। আরও দেখুন অপারেশনাল ক্যালকুলাস রেফারেন্স এক্সটার্নাল লিঙ্ক জেফ মিলার () দ্বারা রক্ষণাবেক্ষণ করা ক্যালকুলাসের প্রতীকগুলির প্রাথমিক ব্যবহার। ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলাস গাণিতিক স্বরলিপি