Lie bracket of vector fields
ডিফারেনশিয়াল টপোলজির গাণিতিক ক্ষেত্রে, ভেক্টর ক্ষেত্রের লাই বন্ধনী, যা জ্যাকোবি-লাই বন্ধনী বা ভেক্টর ক্ষেত্রের কমিউটেটর নামেও পরিচিত, এমন একটি অপারেটর যা যে কোনও দুটি ভেক্টর ক্ষেত্র X এবং Y-কে একটি মসৃণ ম্যানিফোল্ড M-এ বরাদ্দ করে। ধারণাগতভাবে, লাই বন্ধনীটি এক্স দ্বারা উত্পন্ন প্রবাহ বরাবর ওয়াই-এর অন্তরজ, এবং কখনও কখনও চিহ্নিত করা হয় ("এক্স বরাবর ওয়াই-এর অন্তরজ")। এটি এক্স দ্বারা উৎপন্ন প্রবাহ বরাবর যে কোনও টেনসর ক্ষেত্রের লাই ডেরিভেটিভকে সাধারণীকরণ করে। লাই বন্ধনীটি একটি আর-বিলিনিয়ার অপারেশন এবং ম্যানিফোল্ড এম-এর উপর সমস্ত মসৃণ ভেক্টর ক্ষেত্রের সেটকে একটি (অসীম-মাত্রিক) লাই বীজগণিতে পরিণত করে। লাই বন্ধনী ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতি এবং ডিফারেনশিয়াল টপোলজিতে গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে, উদাহরণস্বরূপ ফ্রোবেনিয়াস ইন্টিগ্রেবিলিটি উপপাদ্য এবং অরৈখিক নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থার জ্যামিতিক তত্ত্বের ক্ষেত্রেও এটি মৌলিক। সংজ্ঞাগুলি লাই বন্ধনীকে সংজ্ঞায়িত করার জন্য তিনটি ধারণাগতভাবে ভিন্ন কিন্তু সমতুল্য পদ্ধতি রয়েছেঃ ভেক্টর ক্ষেত্রগুলি ডেরিভেশন হিসাবে একটি ম্যানিফোল্ড এম-এর প্রতিটি মসৃণ ভেক্টর ক্ষেত্রকে মসৃণ ফাংশনের (যেখানে এবং শ্রেণীর) উপর কাজ করা একটি ডিফারেনশিয়াল অপারেটর হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে যখন আমরা অন্য একটি ফাংশন হিসাবে সংজ্ঞায়িত করি যার মান একটি বিন্দুতে এক্স (পি) দিকে পি-তে এফ-এর দিকনির্দেশক ডেরিভেটিভ। এইভাবে, প্রতিটি মসৃণ ভেক্টর ক্ষেত্র X C φ (M)-এর উপর একটি ব্যুৎপত্তি হয়ে ওঠে। উপরন্তু, একটি অনন্য মসৃণ ভেক্টর ক্ষেত্র X থেকে C ≤ (M)-এর যে কোনও ব্যুৎপত্তি উদ্ভূত হয়। সাধারণভাবে, যে কোনও দুটি ব্যুৎপত্তিগুলির বিনিময়কারী এবং এটি আবার একটি ব্যুৎপত্তি, যেখানে অপারেটরদের গঠন বোঝায়। এটি লাই বন্ধনীকে কমিউটেটর ডেরিভেশনের সাথে সম্পর্কিত ভেক্টর ক্ষেত্র হিসাবে সংজ্ঞায়িত করতে ব্যবহার করা যেতে পারেঃ প্রবাহ এবং সীমা ধরা যাক ভেক্টর ক্ষেত্র এক্স-এর সাথে সম্পর্কিত প্রবাহ, এবং ধরা যাক ডি স্পর্শক মানচিত্র ডেরিভেটিভ অপারেটরকে বোঝায়। তারপরে বিন্দুতে এক্স এবং ওয়াই-এর লাই বন্ধনীকে লাই ডেরিভেটিভ হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারেঃ এটি x বিন্দুতে ফিরে আসার জন্য ধারাবাহিক দিকগুলিতে প্রবাহের ব্যর্থতাও পরিমাপ করেঃ স্থানাঙ্কে যদিও লাই বন্ধনীটির উপরের সংজ্ঞাগুলি অভ্যন্তরীণ (বহুগুণিত এম-এর স্থানাঙ্কের পছন্দ থেকে স্বাধীন), বাস্তবে প্রায়শই একটি নির্দিষ্ট স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার পরিপ্রেক্ষিতে বন্ধনীটি গণনা করতে চায়। আমরা স্পর্শক বান্ডিলের সংশ্লিষ্ট স্থানীয় ভিত্তির জন্য লিখি, যাতে সাধারণ ভেক্টর ক্ষেত্রগুলি এবং মসৃণ ফাংশনের জন্য লেখা যায়। তারপর লাই বন্ধনীটি এইভাবে গণনা করা যেতে পারেঃ যদি এম (একটি উন্মুক্ত উপসেট) আরএন হয়, তবে ভেক্টর ক্ষেত্র এক্স এবং ওয়াই ফর্মের মসৃণ মানচিত্র হিসাবে লেখা যেতে পারে এবং লাই বন্ধনীটি দ্বারা দেওয়া হয়ঃ যেখানে এবং জ্যাকোবিয়ান ম্যাট্রিক্স (এবং যথাক্রমে সূচক স্বরলিপি ব্যবহার করে) কলাম ভেক্টর এক্স এবং ওয়াই-কে গুণ করে। ভেক্টর ক্ষেত্রের লাই বন্ধনী এম-এর উপর সমস্ত ভেক্টর ক্ষেত্রের বাস্তব ভেক্টর স্থানকে (অর্থাৎ, স্পর্শক বান্ডিলের মসৃণ বিভাগ) একটি লাই বীজগণিতের কাঠামোর সাথে সজ্জিত করে, যার অর্থ [1] একটি মানচিত্র যার সাথেঃ আর-বিলিনিয়ারিটি অ্যান্টি-সিমেট্রি, জ্যাকোবি আইডেন্টিটি, দ্বিতীয় বৈশিষ্ট্যের একটি তাৎক্ষণিক পরিণতি হল যে কোনওটির জন্য। উপরন্তু, লাই বন্ধনীগুলির জন্য একটি "পণ্য নিয়ম" রয়েছে। M-এর উপর একটি মসৃণ (স্কেলার-ভ্যালুযুক্ত) ফাংশন f এবং M-এর উপর একটি ভেক্টর ক্ষেত্র Y দেওয়া হলে, আমরা প্রতিটি বিন্দুতে ভেক্টর Yx-কে স্কেলার f (x) দ্বারা গুণ করে একটি নতুন ভেক্টর ক্ষেত্র fY পাই। তারপরঃ যেখানে আমরা ভেক্টর ক্ষেত্র Y দিয়ে স্কেলার ফাংশন X (f) কে এবং ভেক্টর ক্ষেত্রের সাথে স্কেলার ফাংশন f কে গুণ করি। এটি লাই বন্ধনী সহ ভেক্টর ক্ষেত্রগুলিকে লাই অ্যালজেব্রয়েডে পরিণত করে। এক্স এবং ওয়াই-এর লাই বন্ধনী বিলুপ্ত হওয়ার অর্থ হল যে এই দিকগুলিতে প্রবাহগুলি অনুসরণ করে এম-এ এম্বেড করা একটি পৃষ্ঠকে সংজ্ঞায়িত করা হয়, যেখানে এক্স এবং ওয়াই-কে স্থানাঙ্ক ভেক্টর ক্ষেত্র হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়ঃ উপপাদ্যঃ যদি এক্স এবং ওয়াই-এর প্রবাহগুলি স্থানীয়ভাবে যাতায়াত করে, যার অর্থ সকলের জন্য এবং যথেষ্ট পরিমাণে ছোট এস, টি। এটি ফ্রোবেনিয়াস ইন্টিগ্রেবিলিটি উপপাদ্যের একটি বিশেষ ক্ষেত্রে। উদাহরণস্বরূপ, একটি লাই গ্রুপ জি-এর জন্য, সংশ্লিষ্ট লাই বীজগণিত হল পরিচয়ের স্পর্শক স্থান, যা জি-তে বাম অপরিবর্তনীয় ভেক্টর ক্ষেত্রের ভেক্টর স্থান দিয়ে চিহ্নিত করা যেতে পারে। দুটি বাম অপরিবর্তনীয় ভেক্টর ক্ষেত্রের লাই বন্ধনীটিও অপরিবর্তনীয় থাকে, যা জ্যাকোবি-লাই বন্ধনী ক্রিয়াকলাপকে সংজ্ঞায়িত করে। একটি ম্যাট্রিক্স লাই গ্রুপের জন্য, যার উপাদানগুলি ম্যাট্রিক্স, প্রতিটি স্পর্শক স্থানকে ম্যাট্রিক্স হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারেঃ, যেখানে ম্যাট্রিক্স গুণ এবং I হল আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্স। এর সাথে সম্পর্কিত অপরিবর্তনীয় ভেক্টর ক্ষেত্রটি দ্বারা দেওয়া হয়, এবং একটি গণনা দেখায় যে লাই বন্ধনীটি ম্যাট্রিক্সের স্বাভাবিক কমিউটেটরের সাথে মিলে যায়ঃ সাধারণীকরণ উপরে উল্লিখিত হিসাবে, লাই ডেরিভেটিভকে লাই বন্ধনীর সাধারণীকরণ হিসাবে দেখা যেতে পারে। লাই বন্ধনীর আরেকটি সাধারণীকরণ হল ফ্রলিচার-নিজেনহুইস বন্ধনী। তথ্যসূত্র লাই বন্ধনী এবং লাই ডেরিভেটিভের সাধারণ তত্ত্বের বিস্তৃত আলোচনা। অসীম মাত্রায় সাধারণীকরণের জন্য। বিলিনিয়ার মানচিত্র ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতি ডিফারেনশিয়াল টপোলজি রিমানিয়ান জ্যামিতি