Complete homogeneous symmetric polynomial
গণিতে, বিশেষত বীজগাণিতিক সমন্বয়বিদ্যা এবং বিনিময়যোগ্য বীজগণিতে, সম্পূর্ণ সমজাতীয় প্রতিসম বহুপদগুলি একটি নির্দিষ্ট ধরনের প্রতিসম বহুপদ। প্রতিটি প্রতিসম বহুপদীকে সম্পূর্ণ সমজাতীয় প্রতিসম বহুপদীতে বহুপদী অভিব্যক্তি হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে। সংজ্ঞা চলকগুলিতে ডিগ্রির সম্পূর্ণ সমজাতীয় প্রতিসম বহুপদী, যার জন্য লেখা হয়, চলকগুলিতে মোট ডিগ্রির সমস্ত একবৃত্তের যোগফল। আনুষ্ঠানিকভাবে, সূত্রটিকে এইভাবেও লেখা যেতে পারেঃ প্রকৃতপক্ষে, এটি অনুক্রমের গুণিতক মাত্র। এই বহুপদগুলির মধ্যে প্রথম কয়েকটি হল এইভাবে, প্রতিটি অ-ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যার জন্য, চলকের মাত্রায় ঠিক একটি সম্পূর্ণ সমজাতীয় প্রতিসম বহুপদ বিদ্যমান। সংজ্ঞাটি পুনর্লিখন করার আরেকটি উপায় হল ক্রমের শর্ত ছাড়াই সমস্ত ক্রমের উপর যোগফল গ্রহণ করাঃ এখানে ক্রমানুসারে সংখ্যার গুণিতক রয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, সম্পূর্ণ সমজাতীয় প্রতিসম বহুপদের গুণফলের সমস্ত অবিচ্ছেদ্য রৈখিক সংমিশ্রণ গ্রহণ করে গঠিত বহুপদী বলয়টি একটি বিনিময়যোগ্য বলয়। উদাহরণ নিম্নে প্রথম তিনটি ধনাত্মক মানের জন্য মৌলিক (নীচে বর্ণিত) সম্পূর্ণ সমজাতীয় প্রতিসম বহুপদগুলি তালিকাভুক্ত করা হয়েছে। জন্যঃ জন্যঃ জন্যঃ বৈশিষ্ট্য উৎপাদনকারী ফাংশন সম্পূর্ণ সমজাতীয় প্রতিসম বহুপদগুলি আনুষ্ঠানিক শক্তি সিরিজের নিম্নলিখিত পরিচয় দ্বারা চিহ্নিত করা হয়ঃ (এটিকে সম্পূর্ণ সমজাতীয় প্রতিসম বহুপদের জন্য উৎপাদনকারী ফাংশন বা উৎপাদনকারী সিরিজ বলা হয়)। এখানে চূড়ান্ত অভিব্যক্তিটির প্রতিটি ভগ্নাংশ হল আনুষ্ঠানিক জ্যামিতিক সিরিজের প্রতিনিধিত্ব করার স্বাভাবিক উপায় যা মধ্য অভিব্যক্তিটির একটি উপাদান। এই জ্যামিতিক সিরিজের গুণফল কিভাবে গঠিত হয় তা বিবেচনা করে পরিচয়কে ন্যায়সঙ্গত করা যেতে পারেঃ গুণফলের প্রতিটি গুণক প্রতিটি জ্যামিতিক সিরিজ থেকে নির্বাচিত একটি পদকে একসঙ্গে গুণ করে প্রাপ্ত হয়, এবং চলকের প্রতিটি মনোমিয়াল ঠিক এই ধরনের একটি পছন্দের পদের জন্য প্রাপ্ত হয়, এবং মনোমিয়ালের ডিগ্রির সমান শক্তি দ্বারা গুণিত হয়। উপরের সূত্রটিকে ম্যাকমোহন মাস্টার উপপাদ্যের একটি বিশেষ উদাহরণ হিসাবে দেখা যেতে পারে। ডান দিকটি কোথায় এবং হিসাবে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে। বাম দিকে, সম্পূর্ণ সমজাতীয় প্রতিসম বহুপদগুলিকে ম্যাকমোহন অভিব্যক্তিতে প্রদর্শিত বহুমাত্রিক সহগের বিশেষ ক্ষেত্রে চিহ্নিত করা যেতে পারে। কিছু স্ট্যান্ডার্ড গণনা সম্পাদন করে, আমরা জেনারেটিং ফাংশনটিও লিখতে পারি যা এর প্লিথিস্টিক এক্সপোনেনশিয়ালের পাওয়ার সিরিজ সম্প্রসারণ (এবং লক্ষ্য করুন যে এটি সঠিকভাবে জে-তম পাওয়ার সমষ্টি প্রতিসম বহুপদী)। প্রাথমিক প্রতিসম বহুপদগুলির সঙ্গে সম্পর্ক প্রাথমিক প্রতিসম বহুপদ এবং সম্পূর্ণ সমজাতীয়গুলির মধ্যে একটি মৌলিক সম্পর্ক রয়েছেঃ যা সকলের জন্য এবং যে কোনও সংখ্যক চলকের জন্য বৈধ। এটি ধারণ করে তা দেখার সবচেয়ে সহজ উপায় হল প্রাথমিক প্রতিসম বহুপদগুলির জন্য আনুষ্ঠানিক শক্তি সিরিজের একটি পরিচয় থেকে, যা সম্পূর্ণ সমজাতীয়গুলির জন্য উপরে দেওয়াটির অনুরূপ, যা প্লিথিস্টিক এক্সপোনেনশিয়ালগুলির পরিপ্রেক্ষিতেও লেখা যেতে পারেঃ (এটি আসলে বহুপদগুলির একটি পরিচয়, কারণ প্রাথমিক প্রতিসম বহুপদগুলি শূন্য হয়ে যাওয়ার পরে)। সম্পূর্ণ সমজাতীয় প্রতিসম বহুপদগুলির জন্য উৎপাদনকারী ফাংশন দ্বারা এটিকে গুণ করলে, একটি ধ্রুবক সিরিজ 1 পাওয়া যায় (সমতুল্যভাবে, প্লিথিস্টিক এক্সপোনেনশিয়ালগুলি একটি এক্সপোনেনশিয়ালের স্বাভাবিক বৈশিষ্ট্যগুলিকে সন্তুষ্ট করে), এবং প্রাথমিক এবং সম্পূর্ণ সমজাতীয় বহুপদের মধ্যে সম্পর্ক এর সহগের তুলনা থেকে অনুসরণ করা হয়। এই সম্পর্কটি বোঝার কিছুটা বেশি সরাসরি উপায় হল একটি নির্দিষ্ট একক মাত্রার সাথে জড়িত যোগফলের অবদানগুলি বিবেচনা করা। মনোমিয়ালে অ-শূন্য সূচকের সাথে উপস্থিত ভেরিয়েবলগুলির যে কোনও উপসেটের জন্য, সেই ভেরিয়েবলগুলির গুণফলকে শব্দ থেকে, কোথা থেকে এবং মনোমিয়াল থেকে অন্তর্ভুক্ত করে একটি অবদান রয়েছে; এই অবদানের সহগ রয়েছে। এরপরে সম্পর্কটি এই সত্য থেকে অনুসরণ করে যে দ্বিপদী সূত্র দ্বারা, যেখানে (অ-শূন্য সূচক সহ) ঘটে যাওয়া স্বতন্ত্র চলকের সংখ্যা বোঝায়। যেহেতু এবং উভয়ই 1-এর সমান, তাই যোগফলের প্রথম বা শেষ পদগুলি সম্পর্ক থেকে পৃথক করা যেতে পারে। প্রথমটি সমীকরণের একটি ক্রম দেয়ঃ এবং আরও অনেক কিছু, যা প্রাথমিক প্রতিসম বহুপদের পরিপ্রেক্ষিতে ধারাবাহিকভাবে সম্পূর্ণ সমজাতীয় প্রতিসম বহুপদগুলিকে পুনরাবৃত্তভাবে প্রকাশ করতে দেয়; পরেরটি সমীকরণের একটি সেট দেয় এবং আরও অনেক কিছু, যা বিপরীতটি করার অনুমতি দেয়। প্রথম প্রাথমিক এবং সম্পূর্ণ সমজাতীয় প্রতিসম বহুপদগুলি এই সম্পর্কগুলিতে পুরোপুরি অনুরূপ ভূমিকা পালন করে, যদিও পূর্ববর্তী বহুপদগুলি তখন শূন্য হয়ে যায়, যেখানে পরেরটি হয় না। এই ঘটনাটি প্রতিসম ফাংশনের বলয়ের বিন্যাসে বোঝা যায়। এটিতে একটি রিং অটোমরফিজম রয়েছে যা প্রাথমিক এবং প্রথম সম্পূর্ণ সমজাতীয় প্রতিসম ফাংশনের ক্রমগুলি বিনিময় করে। ডিগ্রি 1 থেকে ইন ভেরিয়েবলের সম্পূর্ণ সমজাতীয় প্রতিসম বহুপদের সেট ভেরিয়েবলগুলিতে প্রতিসম বহুপদের বলয় তৈরি করে। আরও সুনির্দিষ্টভাবে, পূর্ণসংখ্যা সহগ সহ প্রতিসম বহুপদগুলির বলয় অবিচ্ছেদ্য বহুপদী বলয়ের সমান এটি এই বলে প্রণয়ন করা যেতে পারে যে অবিচ্ছেদ্য সহগ সহ প্রতিসম বহুপদগুলির বলয়ের একটি উত্তরণ ভিত্তি গঠন করে (যেমন প্রাথমিক প্রতিসম বহুপদগুলির ক্ষেত্রেও সত্য)। অন্য যে কোনও বিনিময়যোগ্য বলয় দ্বারা প্রতিস্থাপিত পূর্ণসংখ্যার বলয়ের ক্ষেত্রেও একই কথা প্রযোজ্য। এই বিবৃতিগুলি প্রাথমিক প্রতিসম বহুপদগুলির জন্য অনুরূপ বিবৃতি থেকে অনুসরণ করা হয়, অন্য ধরনের পরিপ্রেক্ষিতে উভয় ধরনের প্রতিসম বহুপদ প্রকাশ করার নির্দেশিত সম্ভাবনার কারণে। স্টার্লিং সংখ্যার সাথে সম্পর্ক সম্পূর্ণ সমজাতীয় বহুপদী এবং প্রাথমিক প্রতিসম বহুপদীগুলির পূর্ণসংখ্যার মূল্যায়ন স্টার্লিং সংখ্যার সাথে সম্পর্কিতঃ একজাতীয় প্রতিসম বহুপদীগুলির সাথে সম্পর্ক বহুপদী এছাড়াও ডিগ্রির সমস্ত স্বতন্ত্র প্রতিসম বহুপদীর সমষ্টি, উদাহরণস্বরূপ, সমজাতীয় প্রতিসম বহুপদীগুলির জন্য নিউটনের পরিচয়ের শক্তির যোগফলের সাথে সম্পর্ক সহজ পুনরাবৃত্তিমূলক সূত্র দেয় যেখানে এবং pk হল k-তম শক্তির সমষ্টি প্রতিসম বহুপদীঃ, উপরের মত। একটি-মাত্রিক ভেক্টর স্থান এবং আইগেনভ্যালু সহ একটি রৈখিক অপারেটর বিবেচনা করুন। এর তম প্রতিসম টেনসর শক্তি এবং প্ররোচিত অপারেটর দ্বারা চিহ্নিত করুন। প্রস্তাবঃ প্রমাণটি সহজঃ এর জন্য একটি আইগেনবেস বিবেচনা করুন। মধ্যে ভিত্তি ক্রম দ্বারা সূচীভুক্ত করা যেতে পারে, প্রকৃতপক্ষে, এর প্রতিসাম্য বিবেচনা করুন। এই ধরনের সমস্ত ভেক্টর আইগেনভ্যালু সহ আইগেনভেক্টর তাই এই প্রস্তাবটি সত্য। একইভাবে অ্যান্টিসিমেট্রিক টেনসর শক্তির উপর ট্রেসগুলির মাধ্যমে প্রাথমিক প্রতিসম বহুপদগুলি প্রকাশ করা যেতে পারে। উভয় অভিব্যক্তিই শুর পলিনোমিয়ালের অভিব্যক্তিগুলিতে শুর ফাংক্টরের উপর ট্রেস হিসাবে অন্তর্ভুক্ত করা হয়েছে, যা ওয়েল অক্ষর সূত্র হিসাবে দেখা যেতে পারে। 1 দ্বারা স্থানান্তরিত চলক সহ সম্পূর্ণ সমজাতীয় প্রতিসম বহুপদ যদি আমরা চলকগুলিকে প্রতিস্থাপন করি, তবে প্রতিসম বহুপদটিকে রৈখিক সংমিশ্রণ হিসাবে লেখা যেতে পারে, কারণ, লেমা 3.5-এ পাওয়া প্রমাণটি, যেখানে ক্রমবর্ধমান-টুপলগুলির সংমিশ্রণ বৈশিষ্ট্যের উপর নির্ভর করে। আরও দেখুন প্রতিসম বহুপদী প্রাথমিক প্রতিসম বহুপদী শুর বহুপদী নিউটনের পরিচয় ম্যাকমাহন মাস্টার উপপাদ্য প্রতিসম ফাংশন প্রতিনিধিত্ব তত্ত্ব রেফারেন্স ম্যাকডোনাল্ড, আই. জি। (1979), সিমেট্রিক ফাংশন এবং হল পলিনোমিয়াল। অক্সফোর্ড গাণিতিক মনোগ্রাফ। অক্সফোর্ডঃ ক্লারেন্ডন প্রেস। ম্যাকডোনাল্ড, আই. জি. (1995), সিমেট্রিক ফাংশনস অ্যান্ড হল পলিনোমিয়ালস, দ্বিতীয় সংস্করণ। অক্সফোর্ডঃ ক্লারেন্ডন প্রেস। (পেপারব্যাক, 1998)। রিচার্ড পি. স্ট্যানলি (1999), এনুমারেটিভ কম্বিনেটরিক্স, খণ্ড। 2. কেমব্রিজঃ কেমব্রিজ ইউনিভার্সিটি প্রেস। সমজাতীয় বহুপদী প্রতিসম ফাংশন