Difference set
কম্বিনেটরিক্সে, একটি পার্থক্য সেট হল ক্রমের একটি গোষ্ঠীর আকারের একটি উপসেট যাতে প্রতিটি অ-পরিচয় উপাদানকে সঠিক উপায়ে উপাদানগুলির গুণফল হিসাবে প্রকাশ করা যায়। একটি পার্থক্য সেটকে বৃত্তাকার, আবেলিয়ান, অ-আবেলিয়ান ইত্যাদি বলা হয়, যদি গোষ্ঠীর সংশ্লিষ্ট বৈশিষ্ট্য থাকে। সেট করা একটি পার্থক্যকে কখনও কখনও প্ল্যানার বা সরল বলা হয়। যদি একটি আবেলিয়ান গ্রুপ যোগাত্মক স্বরলিপিতে লেখা হয়, তবে সংজ্ঞায়িত শর্ত হল যে এর প্রতিটি অ-শূন্য উপাদানকে সঠিক উপায়ে এর উপাদানগুলির পার্থক্য হিসাবে লেখা যেতে পারে। "ডিফারেন্স সেট" শব্দটি এইভাবে উদ্ভূত হয়। মৌলিক তথ্য একটি সাধারণ গণনা যুক্তি দেখায় যে এর থেকে উপাদানগুলির ঠিক জোড়া রয়েছে যা অ-পরিচয় উপাদানগুলি উৎপন্ন করবে, তাই প্রতিটি পার্থক্য সেটকে অবশ্যই সমীকরণটি সন্তুষ্ট করতে হবে যদি একটি পার্থক্য সেট হয় এবং তারপরে এটি একটি পার্থক্য সেটও হয় এবং এটিকে অনুবাদ (যোগাত্মক স্বরলিপিতে) বলা হয়। একটি-পার্থক্য সেটের পরিপূরক হল একটি-পার্থক্য সেট। একটি পার্থক্য সেটের সমস্ত অনুবাদের সেট একটি প্রতিসম ব্লক ডিজাইন গঠন করে, যাকে ডেভেলপমেন্ট বলা হয় এবং দ্বারা চিহ্নিত করা হয় এই ধরনের ডিজাইনে উপাদান (সাধারণত পয়েন্ট বলা হয়) এবং ব্লক (উপসেট) থাকে। নকশার প্রতিটি ব্লকে পয়েন্ট থাকে, প্রতিটি পয়েন্ট ব্লকে থাকে। যে কোনও দুটি ব্লকে ঠিক উপাদানগুলির মিল রয়েছে এবং যে কোনও দুটি বিন্দু একই সাথে ঠিক ব্লকে রয়েছে। গ্রুপটি ডিজাইনের একটি অটোমরফিজম গ্রুপ হিসাবে কাজ করে। এটি বিন্দু এবং ব্লক উভয় ক্ষেত্রেই তীব্রভাবে সংক্রমণশীল। বিশেষত, যদি, তবে পার্থক্য সেটটি একটি প্রজেক্টিভ সমতলের জন্ম দেয়। গোষ্ঠীতে সেট করা (7,3,1) পার্থক্যের একটি উদাহরণ হল উপসেট। এই পার্থক্য সেটের অনুবাদগুলি ফ্যানো সমতল গঠন করে। যেহেতু প্রতিটি পার্থক্য সেট একটি প্রতিসম নকশা দেয়, প্যারামিটার সেটকে অবশ্যই ব্রুক-রাইজার-চাওলা উপপাদ্যকে সন্তুষ্ট করতে হবে। প্রতিটি প্রতিসম নকশা একটি পার্থক্য সেট দেয় না। সমতুল্য এবং আইসোমরফিক পার্থক্য সেট গ্রুপ এবং গ্রুপে দুটি পার্থক্য সেট সমতুল্য হয় যদি এবং এর মধ্যে একটি গ্রুপ আইসোমরফিজম থাকে। সমতুল্য পার্থক্য সেটগুলি সমরূপ, তবে সমরূপ পার্থক্য সেটগুলির উদাহরণ রয়েছে যা সমতুল্য নয়। চক্রাকার পার্থক্য সেটের ক্ষেত্রে, সমস্ত পরিচিত আইসোমরফিক পার্থক্য সেট সমতুল্য। গুণক গোষ্ঠীতে একটি পার্থক্য সেটের গুণক হল এমন একটি গ্রুপ অটোমরফিজম যা কারো কারো জন্য যদি আবেলিয়ান হয় এবং অটোমরফিজম যা ম্যাপ করে, তবে তাকে সংখ্যাসূচক বা হল গুণক বলা হয়। এটি অনুমান করা হয়েছে যে যদি p একটি মৌলিক বিভাজন হয় এবং v কে ভাগ না করে, তবে গ্রুপ অটোমরফিজম দ্বারা সংজ্ঞায়িত ডি-এর কিছু অনুবাদ স্থির করে (এটি একটি গুণক হওয়ার সমতুল্য)। এটি একটি আবেলিয়ান গ্রুপ কখন হয় তার জন্য সত্য বলে জানা যায় এবং এটি প্রথম গুণিতক উপপাদ্য হিসাবে পরিচিত। একটি আরও সাধারণ পরিচিত ফলাফল, দ্বিতীয় গুণক উপপাদ্য, বলে যে যদি একটি আবেলিয়ান সূচকের গোষ্ঠীতে একটি-পার্থক্য সেট করা হয় (প্রতিটি উপাদানের ক্রমের সর্বনিম্ন সাধারণ গুণিতক), তবে একটি পূর্ণসংখ্যা সহমৌল্য হতে দিন। যদি এমন কোনও বিভাজক থাকে যা m কে ভাগ করে দেওয়া প্রতিটি মৌলিক p-এর জন্য একটি পূর্ণসংখ্যা i থাকে, তবে t একটি সংখ্যাসূচক বিভাজক। উদাহরণস্বরূপ, 2 হল উপরে উল্লিখিত (7,3,1)-পার্থক্য সেটের একটি গুণক। এটি উল্লেখ করা হয়েছে যে একটি আবেলিয়ান গ্রুপে সেট করা পার্থক্যের একটি সংখ্যাসূচক গুণক এর একটি অনুবাদ স্থির করে, তবে এটিও দেখানো যেতে পারে যে একটি অনুবাদ রয়েছে যা প্যারামিটারের সমস্ত সংখ্যাসূচক গুণক দ্বারা স্থির করা হয় পরিচিত পার্থক্য সেট বা তাদের পরিপূরকগুলির নিম্নলিখিত প্যারামিটার সেটগুলির মধ্যে একটি রয়েছেঃ-কিছু মৌলিক শক্তি এবং কিছু ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার জন্য সেট করা পার্থক্য। এগুলি ধ্রুপদী পরামিতি হিসাবে পরিচিত এবং এই পরামিতিগুলি সহ পার্থক্য সেটগুলির অনেক নির্মাণ রয়েছে। কিছু ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা পার্থক্য সেটের জন্য নির্ধারিত-পার্থক্য সেটকে পেলি-টাইপ পার্থক্য সেট বলা হয়। কিছু ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার জন্য-পার্থক্য সেট এই পরামিতিগুলির সাথে সেট করা একটি পার্থক্য হল একটি হ্যাডামার্ড পার্থক্য সেট। - কিছু মৌলিক শক্তি এবং কিছু ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার জন্য নির্ধারিত পার্থক্য যা ম্যাকফারল্যান্ড পরামিতি হিসাবে পরিচিত। - কিছু ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার জন্য নির্ধারিত পার্থক্য স্পেন্স প্যারামিটার হিসাবে পরিচিত। কিছু মৌলিক শক্তির জন্য নির্ধারিত-পার্থক্য এবং এই পরামিতিগুলির সাথে কিছু ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা পার্থক্য সেটকে ডেভিস-জেডওয়াব-চেন পার্থক্য সেট বলা হয়। পরিচিত পার্থক্য সেট পার্থক্য সেটের অনেক গঠনে, যে গোষ্ঠীগুলি ব্যবহৃত হয় সেগুলি সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের যোগাত্মক এবং গুণক গোষ্ঠীর সাথে সম্পর্কিত। এই ক্ষেত্রগুলিকে বোঝাতে ব্যবহৃত স্বরলিপি শৃঙ্খলা অনুসারে পৃথক হয়। এই বিভাগে, গালোইস ফিল্ড অফ অর্ডার যেখানে একটি মৌলিক বা মৌলিক শক্তি। যোগের অধীনে থাকা গোষ্ঠীটি দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, যেখানে এটি অ-শূন্য উপাদানগুলির গুণিতক গোষ্ঠী। পালে-পার্থক্য সেটঃ আসুন একটি প্রধান শক্তি হয়ে উঠি। গ্রুপে, সমস্ত অ-শূন্য বর্গক্ষেত্রের সেট হতে দিন। গায়ক-পার্থক্য সেটঃ যাক। তারপর সেটটি একটি-পার্থক্য সেট, যেখানে ট্রেস ফাংশন টুইন প্রাইম পাওয়ার-পার্থক্য সেট করা হয় যখন এবং উভয়ই প্রধান শক্তি হয়ঃ গোষ্ঠীতে, আসুন ইতিহাস আর. সি. বোস এবং 1939 সালে তাঁর একটি সেমিনাল পেপারের প্রতিসম ব্লক নকশা নির্মাণের জন্য চক্রাকার পার্থক্য সেট এবং পদ্ধতির নিয়মতান্ত্রিক ব্যবহার শুরু হয়। যাইহোক, এর আগে বিভিন্ন উদাহরণ প্রকাশিত হয়েছিল, যেমন "পেলি ডিফারেন্স সেটস" যা 1933 সালের। 1955 সালে আর. এইচ. ব্রুকের কারণে আরও সাধারণ গোষ্ঠীতে চক্রাকার পার্থক্য সেট ধারণার সাধারণীকরণ ঘটে। 1947 সালে মার্শাল হল জুনিয়র মাল্টিপ্লায়ার চালু করেন। প্রয়োগ এটি জিয়া, ঝোউ এবং জিয়ানাকিস দ্বারা পাওয়া গেছে যে পার্থক্য সেটগুলি একটি জটিল ভেক্টর কোডবুক তৈরি করতে ব্যবহার করা যেতে পারে যা সর্বাধিক ক্রস কোরিলেশন প্রশস্ততায় আবদ্ধ কঠিন ওয়েলচ অর্জন করে। তথাকথিত তৈরি কোডবুকটি তথাকথিত গ্রাসমানিয়ান ম্যানিফোল্ডও গঠন করে। সাধারণীকরণ একটি পার্থক্য পরিবার হল একটি গোষ্ঠীর উপসেটগুলির একটি সেট যাতে ক্রম হল, আকার হল সকলের জন্য, এবং এর প্রতিটি অ-পরিচয় উপাদানকে কিছু উপাদানের গুণফল হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে (অর্থাৎ। উভয়ই একই থেকে আসে) ঠিক উপায়ে। একটি পার্থক্য সেট হল একটি পার্থক্য পরিবারের সঙ্গে একটি পার্থক্য পরিবার উপরের প্যারামিটার সমীকরণটি একটি পার্থক্য পরিবারের বিকাশকে সাধারণীকরণ করে। নিয়মিত অটোমরফিজম গ্রুপ সহ প্রতিটি 2-ডিজাইন কিছু পার্থক্য পরিবারের জন্য হয় আরও পড়ুন কম্বিনেটোরিয়াল ডিজাইন নোটস রেফারেন্স দেখুন। কম্বিনেটরিকস