Collinearity
জ্যামিতিতে, বিন্দুর একটি সেটের সমান্তরালতা হল একটি একক রেখার উপর তাদের শুয়ে থাকার বৈশিষ্ট্য। এই বৈশিষ্ট্যযুক্ত বিন্দুর একটি সেটকে কলিনিয়ার (কখনও কখনও কলিনিয়ার হিসাবে বানান করা হয়) বলা হয়। বৃহত্তর সাধারণতায়, শব্দটি সারিবদ্ধ বস্তুর জন্য ব্যবহার করা হয়েছে, অর্থাৎ, জিনিসগুলি "একটি লাইনে" বা "একটি সারিতে"। একটি রেখার বিন্দু যে কোনও জ্যামিতিতে, একটি রেখার বিন্দুর সেটকে কলিনিয়ার বলা হয়। ইউক্লিডীয় জ্যামিতিতে এই সম্পর্কটি একটি "সরলরেখার" উপর সারিতে অবস্থিত বিন্দু দ্বারা স্বজ্ঞাতভাবে দৃশ্যমান হয়। যাইহোক, বেশিরভাগ জ্যামিতিতে (ইউক্লিডীয় সহ) একটি রেখা সাধারণত একটি আদিম (অনির্ধারিত) বস্তুর প্রকার, তাই এই ধরনের দৃশ্যায়ন অগত্যা উপযুক্ত হবে না। জ্যামিতির জন্য একটি মডেল কীভাবে বিন্দু, রেখা এবং অন্যান্য বস্তুর প্রকারগুলি একে অপরের সাথে সম্পর্কিত তার একটি ব্যাখ্যা প্রদান করে এবং কলিনিয়ারিটির মতো একটি ধারণা অবশ্যই সেই মডেলের প্রেক্ষাপটে ব্যাখ্যা করা উচিত। উদাহরণস্বরূপ, গোলাকার জ্যামিতিতে, যেখানে একটি গোলকের বড় বৃত্ত দ্বারা স্ট্যান্ডার্ড মডেলে রেখাগুলি প্রতিনিধিত্ব করা হয়, সেই একই বড় বৃত্তে কোলিনিয়ার পয়েন্টের সেট থাকে। ইউক্লিডীয় অর্থে এই ধরনের বিন্দুগুলি "সরলরেখার" উপর থাকে না এবং সারিতে থাকে বলে মনে করা হয় না। একটি জ্যামিতির একটি ম্যাপিং যা লাইনে লাইন পাঠায় তাকে কোলিনিয়েশন বলা হয়; এটি কোলিনিয়ারিটির বৈশিষ্ট্য সংরক্ষণ করে। ভেক্টর স্পেসের রৈখিক মানচিত্র (বা রৈখিক ফাংশন), জ্যামিতিক মানচিত্র হিসাবে দেখা হয়, লাইনের সাথে লাইনের মানচিত্র তৈরি করে; অর্থাৎ, তারা কলিনিয়ার পয়েন্ট সেটগুলিকে কলিনিয়ার পয়েন্ট সেটগুলিতে ম্যাপ করে এবং তাই, কোলিনিয়েশন হয়। প্রজেক্টিভ জ্যামিতিতে এই রৈখিক ম্যাপিংকে হোমোগ্রাফি বলা হয় এবং এটি কেবল এক ধরনের সংমিশ্রণ। ইউক্লিডীয় জ্যামিতিতে ত্রিভুজের উদাহরণ যে কোনও ত্রিভুজে নিম্নলিখিত বিন্দুগুলির সেটগুলি হল সমরেখারঃ অর্থোসেন্টার, পরিধি কেন্দ্র, কেন্দ্রবিন্দু, এক্সেটার পয়েন্ট, ডি লংচ্যাম্পস পয়েন্ট এবং নয়-বিন্দু বৃত্তের কেন্দ্রগুলি হল সমরেখার, সবগুলিই ইউলার লাইন নামে একটি রেখার উপর পড়ে। ডি লংচ্যাম্পস পয়েন্টের অন্যান্য সমান্তরালতাও রয়েছে। যে কোনও শীর্ষবিন্দু, একটি অগ্রবৃত্তের সাথে বিপরীত দিকের স্পর্শক এবং নাগেল বিন্দু ত্রিভুজের স্প্লিটার নামে পরিচিত একটি রেখার সমান্তরাল। যে কোনও পক্ষের মধ্যবিন্দু, যে বিন্দুটি ত্রিভুজের সীমানা বরাবর উভয় দিকে সমদূরত্বে থাকে (তাই এই দুটি বিন্দু পরিধিকে দ্বিখণ্ডিত করে), এবং স্পিকার বৃত্তের কেন্দ্রটি ত্রিভুজের ক্লিভার নামে একটি রেখায় সমরেখার হয়। (স্পাইকার বৃত্ত হল মধ্য ত্রিভুজের অন্তঃবৃত্ত, এবং এর কেন্দ্র হল ত্রিভুজের পরিধির ভরের কেন্দ্র।) যে কোনও শীর্ষ, অন্তঃবৃত্তের সাথে বিপরীত দিকের স্পর্শক এবং জার্গন বিন্দু সমরেখার হয়। একটি ত্রিভুজের বৃত্তের যে কোনও বিন্দু থেকে, ত্রিভুজের তিনটি বর্ধিত দিকের প্রত্যেকটির নিকটতম বিন্দুগুলি বৃত্তের বিন্দুর সিমসন লাইনে সমরেখীয হয়। উচ্চতার পাদদেশগুলিকে সংযুক্তকারী রেখাগুলি সমকোণ বিন্দুতে বিপরীত দিকগুলিকে ছেদ করে। একটি ত্রিভুজের ইন্সেন্টার, একটি উচ্চতার মধ্যবিন্দু এবং সেই দিকের আপেক্ষিক অগ্রবৃত্তের সাথে সংশ্লিষ্ট পক্ষের যোগাযোগের বিন্দুটি কোলিনিয়ার। মেনেলাউসের উপপাদ্য বলে যে, বিপরীত শীর্ষে একটি ত্রিভুজের পার্শ্বে (কিছু বর্ধিত) তিনটি বিন্দু যথাক্রমে সমরেখার হয় যদি এবং কেবলমাত্র যদি বিভাগের দৈর্ঘ্যের নিম্নলিখিত গুণফলগুলি সমান হয়ঃ ইন্সেন্টার, সেন্ট্রয়েড এবং স্পিকার বৃত্তের কেন্দ্রটি সমরেখার হয়। একটি ত্রিভুজের পরিধি কেন্দ্র, ব্রোকার্ড মধ্যবিন্দু এবং লেমোইন বিন্দু সমরেখীয। একটি ত্রিভুজের অর্থোসেন্টারে ছেদকারী দুটি লম্বরেখা ত্রিভুজের বর্ধিত দিকগুলির প্রত্যেকটিকে ছেদ করে। এই ছেদ বিন্দুর তিন দিকের মধ্যবিন্দুগুলি ড্রোজ-ফার্নি রেখার সমরেখার। চতুর্ভুজ একটি উত্তল চতুর্ভুজে যার বিপরীত দিকগুলি ছেদ করে এবং যার মধ্যবিন্দুগুলি সমরেখীয এবং তাদের মধ্য দিয়ে যাওয়া রেখাকে নিউটন রেখা বলা হয় (কখনও কখনও নিউটন-গাউস রেখা নামে পরিচিত)। যদি চতুর্ভুজটি একটি স্পর্শক চতুর্ভুজ হয়, তবে এর উদ্দীপকও এই রেখায় অবস্থিত। একটি উত্তল চতুর্ভুজে, অর্ধবৃত্তকেন্দ্র, "এলাকা কেন্দ্রক" এবং অর্ধবৃত্তকেন্দ্র এই ক্রমে সমরেখার হয়, এবং। (একটি উত্তল চতুর্ভুজে Quadrilateral#Remarkable বিন্দু এবং রেখা দেখুন।) একটি স্পর্শক চতুর্ভুজের অন্যান্য সমান্তরালতা স্পর্শক quadrilateral#Collinear বিন্দুতে দেওয়া হয়েছে। একটি চক্রাকার চতুর্ভুজে, পরিধি কেন্দ্র, শীর্ষ কেন্দ্রক (দুটি দ্বি-মধ্যবর্তী অংশের ছেদ) এবং অ্যান্টিসেন্টার কোলিনিয়ার হয়। একটি চক্রাকার চতুর্ভুজে, কেন্দ্রবিন্দু এলাকা, কেন্দ্রবিন্দু শীর্ষ এবং তির্যকগুলির ছেদ সমরেখার হয়। একটি স্পর্শক ট্র্যাপিজয়েডে, দুটি ভিত্তির সাথে অন্তঃবৃত্তের স্পর্শকগুলি ইন্সেন্টারের সাথে সমান্তরাল হয়। একটি স্পর্শক ট্র্যাপিজয়েডে, পায়ের মধ্যবিন্দুগুলি ইন্সেন্টারের সাথে সমান্তরাল হয়। হেক্সাগন প্যাসকেলের উপপাদ্য (হেক্সাগ্রামামম মিস্টিকাম উপপাদ্য নামেও পরিচিত) বলে যে, যদি একটি শঙ্কু অংশে (অর্থাৎ, উপবৃত্তাকার, প্যারাবোলা বা হাইপারবোলা) একটি নির্বিচারে ছয়টি বিন্দু বেছে নেওয়া হয় এবং একটি ষড়ভুজ গঠনের জন্য যে কোনও ক্রমে রেখা বিভাগ দ্বারা যুক্ত হয়, তবে ষড়ভুজটির বিপরীত দিকের তিন জোড়া (প্রয়োজনে প্রসারিত) তিনটি বিন্দুতে মিলিত হয় যা একটি সরলরেখায় অবস্থিত, যাকে ষড়ভুজটির প্যাসকেল রেখা বলা হয়। বিপরীতটিও সত্যঃ ব্রেকেনরিজ-ম্যাকলাউরিন উপপাদ্য বলে যে, যদি একটি ষড়ভুজটির বিপরীত দিক দিয়ে তিন জোড়া রেখার তিনটি ছেদ বিন্দু একটি রেখার উপর থাকে, তবে ষড়ভুজটির ছয়টি শীর্ষ একটি শঙ্কুতে থাকে, যা পাপ্পাসের ষড়ভুজ উপপাদ্যের মতো অবনমিত হতে পারে। শঙ্কু বিভাগ মঙ্গে-এর উপপাদ্য অনুসারে, একটি সমতলের যে কোনও তিনটি বৃত্তের জন্য, যার কোনওটিই অন্যটির মধ্যে সম্পূর্ণরূপে ভিতরে নেই, তিন জোড়া রেখার তিনটি ছেদ বিন্দু, প্রতিটি দুটি বৃত্তের সাথে বাহ্যিকভাবে স্পর্শক, কোলিনিয়ার। একটি উপবৃত্তাকার গ্রন্থে, কেন্দ্র, দুটি কেন্দ্র এবং বক্রতার ক্ষুদ্রতম ব্যাসার্ধ সহ দুটি শীর্ষ কোলিনিয়ার হয় এবং বক্রতার সর্বাধিক ব্যাসার্ধ সহ কেন্দ্র এবং দুটি শীর্ষ কোলিনিয়ার হয়। একটি হাইপারবোলায়, কেন্দ্র, দুটি কেন্দ্র এবং দুটি শীর্ষ কোলিনিয়ার হয়। শঙ্কু অভিন্ন ঘনত্বের একটি শঙ্কুযুক্ত কঠিন পদার্থের ভরের কেন্দ্রটি ভিত্তির কেন্দ্র থেকে শীর্ষে যাওয়ার এক-চতুর্থাংশ পথের উপর, দুটিকে যুক্ত করা সরলরেখায় অবস্থিত। টেট্রাহেড্রন একটি টেট্রাহেড্রনের কেন্দ্রবিন্দু হল এর মঙ্গে বিন্দু এবং পরিধি কেন্দ্রের মধ্যবর্তী বিন্দু। এই বিন্দুগুলি টেট্রাহেড্রনের অয়লার লাইনকে সংজ্ঞায়িত করে যা একটি ত্রিভুজের অয়লার লাইনের অনুরূপ। টেট্রাহেড্রনের বারো-বিন্দু গোলকের কেন্দ্রটিও ইউলার লাইনে অবস্থিত। স্থানাঙ্ক দেওয়া হয়েছে এমন বিন্দুগুলির বীজগণিত সমান্তরালতা স্থানাঙ্ক জ্যামিতিতে,-মাত্রিক স্থানে, তিন বা ততোধিক স্বতন্ত্র বিন্দুর একটি সেট সমান্তরাল হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি, এই ভেক্টরগুলির স্থানাঙ্কের ম্যাট্রিক্স র্যাঙ্ক 1 বা তার কম হয়। উদাহরণস্বরূপ, ম্যাট্রিক্সটি যদি 1ম বা তার কম র্যাঙ্কের হয় তবে তিনটি পয়েন্ট দেওয়া হলে, পয়েন্টগুলি কোলিনিয়ার হয়। সমতুল্যভাবে, ম্যাট্রিক্সের প্রতিটি উপসেটের জন্য, যদি র্যাঙ্ক 2 বা তার কম হয়, তবে পয়েন্টগুলি কোলিনিয়ার হয়। বিশেষত, সমতল ()-এর তিনটি বিন্দুর জন্য, উপরের ম্যাট্রিক্সটি বর্গক্ষেত্র এবং বিন্দুগুলি সমরেখার হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি এর নির্ধারক শূন্য হয়; যেহেতু সেই 3×3 নির্ধারক একটি ত্রিভুজের আয়তনের দ্বিগুণ যোগ বা বিয়োগ হয় এবং সেই তিনটি বিন্দু শীর্ষবিন্দু হয়, এটি এই বিবৃতির সমতুল্য যে তিনটি বিন্দু সমরেখার হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি সেই বিন্দুগুলির শীর্ষবিন্দু সহ ত্রিভুজটির আয়তন শূন্য হয়। কমপক্ষে তিনটি স্বতন্ত্র বিন্দুর একটি সেটকে সোজা বলা হয়, যার অর্থ সমস্ত পয়েন্টগুলি সমরেখীয হয়, যদি এবং শুধুমাত্র যদি, সেই পয়েন্টগুলির প্রতি তিনটি পয়েন্টের জন্য, একটি কেলি-মেঞ্জার নির্ধারকের নিম্নলিখিত নির্ধারক শূন্য হয় (যার অর্থ এবং, ইত্যাদির মধ্যে দূরত্ব সহ)। ): এই নির্ধারক, হেরনের সূত্র অনুসারে, পার্শ্ব দৈর্ঘ্য সহ একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের বর্গক্ষেত্রের −16 গুণের সমান; তাই এই নির্ধারক শূন্যের সমান কিনা তা পরীক্ষা করা শীর্ষযুক্ত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল শূন্য কিনা তা পরীক্ষা করার সমতুল্য (তাই শীর্ষগুলি সমান্তরাল)। সমতুল্যভাবে, কমপক্ষে তিনটি স্বতন্ত্র বিন্দুর একটি সেট সমরেখার হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি, এবং এর প্রত্যেকটির চেয়ে বড় বা সমান প্রতিটি তিনটি বিন্দুর জন্য, ত্রিভুজ বৈষম্য সমতার সাথে থাকে। সংখ্যা তত্ত্ব দুটি সংখ্যা এবং সহমৌলিক নয়-অর্থাৎ, তারা 1 ছাড়া অন্য একটি সাধারণ গুণক ভাগ করে নেয়-যদি এবং শুধুমাত্র যদি একটি বর্গাকার জালের উপর অঙ্কিত একটি আয়তক্ষেত্রের জন্য শীর্ষে, কমপক্ষে একটি অভ্যন্তরীণ বিন্দু এবং এর সাথে সমান্তরাল হয়। সমান্তরালতা (সমতল দ্বৈত) বিভিন্ন সমতল জ্যামিতিতে তাদের মধ্যে সম্পর্ক বজায় রেখে "বিন্দু" এবং "রেখা"-র ভূমিকা বিনিময় করার ধারণাকে সমতল দ্বৈততা বলা হয়। সমকোণ বিন্দুর একটি সেট দেওয়া হলে, সমতল দ্বৈততা দ্বারা আমরা রেখার একটি সেট পাই যার সবগুলিই একটি সাধারণ বিন্দুতে মিলিত হয়। এই লাইনের সেটের যে বৈশিষ্ট্য রয়েছে (একটি সাধারণ বিন্দুতে মিলিত হওয়া) তাকে কনকারেন্সি বলা হয় এবং লাইনগুলিকে সমবর্তী লাইন বলা হয়। সুতরাং, সমান্তরালতা হল সমান্তরাল দ্বৈত ধারণা। একটি আংশিক জ্যামিতিতে, যেখানে দুটি বিন্দু সর্বাধিক একটি রেখা নির্ধারণ করে, একটি সমান্তরাল গ্রাফ হল এমন একটি গ্রাফ যার শীর্ষগুলি হল বিন্দু, যেখানে দুটি শীর্ষ সংলগ্ন থাকে যদি এবং শুধুমাত্র যদি তারা একটি রেখা নির্ধারণ করে। পরিসংখ্যান এবং অর্থনীতিতে ব্যবহার পরিসংখ্যানে, সমান্তরালতা দুটি ব্যাখ্যামূলক চলকের মধ্যে একটি রৈখিক সম্পর্ককে বোঝায়। যদি দুটির মধ্যে সঠিক রৈখিক সম্পর্ক থাকে তবে দুটি চলক নিখুঁতভাবে সমান্তরাল হয়, তাই তাদের মধ্যে পারস্পরিক সম্পর্ক 1 বা-1 এর সমান। অর্থাৎ, এবং নিখুঁতভাবে কোলিনিয়ার হয় যদি কোনও প্যারামিটার থাকে এবং সমস্ত পর্যবেক্ষণের জন্য, আমাদের কাছে থাকে। এর মানে হল যে যদি বিভিন্ন পর্যবেক্ষণ সমতলে অঙ্কিত করা হয়, তবে এই পয়েন্টগুলি এই নিবন্ধে আগে সংজ্ঞায়িত অর্থে কোলিনিয়ার হয়। পারফেক্ট মাল্টিকোলিনিয়ারিটি এমন একটি পরিস্থিতিকে বোঝায় যেখানে একাধিক রিগ্রেশন মডেলের ব্যাখ্যামূলক চলকগুলি সমস্ত পর্যবেক্ষণের জন্য পুরোপুরি রৈখিকভাবে সম্পর্কিত। বাস্তবে, আমরা খুব কমই একটি ডেটা সেটে নিখুঁত বহুমাত্রিকতার মুখোমুখি হই। আরও সাধারণভাবে, মাল্টিকোলিনিয়ারিটির সমস্যা দেখা দেয় যখন দুই বা ততোধিক স্বাধীন চলকের মধ্যে একটি "শক্তিশালী রৈখিক সম্পর্ক" থাকে, যার অর্থ যেখানে এর পার্থক্য তুলনামূলকভাবে ছোট। পার্শ্বীয় সমান্তরালতার ধারণাটি এই ঐতিহ্যবাহী দৃষ্টিভঙ্গির উপর প্রসারিত হয় এবং ব্যাখ্যামূলক এবং মানদণ্ডের (অর্থাৎ, ব্যাখ্যা করা) চলকগুলির মধ্যে সমান্তরালতাকে বোঝায়। অন্যান্য ক্ষেত্রে অ্যান্টেনা অ্যারে ব্যবহার টেলিযোগাযোগে, একটি কলিনিয়ার (বা সহ-রৈখিক) অ্যান্টেনা অ্যারে এমনভাবে মাউন্ট করা ডাইপোল অ্যান্টেনার একটি অ্যারে যাতে প্রতিটি অ্যান্টেনার সংশ্লিষ্ট উপাদানগুলি সমান্তরাল এবং সারিবদ্ধ হয়, অর্থাৎ তারা একটি সাধারণ রেখা বা অক্ষ বরাবর অবস্থিত। ফটোগ্রাফি কোলিনিয়ারিটি সমীকরণ দুটি সমীকরণের একটি সেট, যা ফটোগ্রামেট্রি এবং কম্পিউটার স্টেরিও ভিশনে ব্যবহৃত হয়, একটি চিত্র (সেন্সর) সমতলে (দুটি মাত্রায়) স্থানাঙ্ককে বস্তুর স্থানাঙ্কের (তিনটি মাত্রায়) সাথে সম্পর্কিত করতে। ফটোগ্রাফি সেটিংয়ে, সমীকরণগুলি ক্যামেরার অপটিক্যাল কেন্দ্রের মাধ্যমে বস্তুর একটি বিন্দুর কেন্দ্রীয় অভিক্ষেপকে চিত্র (সেন্সর) সমতলে চিত্রের সাথে বিবেচনা করে উদ্ভূত হয়। তিনটি বিন্দু, অবজেক্ট পয়েন্ট, ইমেজ পয়েন্ট এবং অপটিক্যাল সেন্টার, সর্বদা সমরেখার হয়। এটি বলার আরেকটি উপায় হল যে, যে রেখাখন্ডগুলি বস্তুর বিন্দুদের সাথে তাদের চিত্র বিন্দুর সাথে যুক্ত হয় সেগুলি অপটিক্যাল কেন্দ্রে একযোগে থাকে। এছাড়াও দেখুন পাপ্পাসের ষড়ভুজ উপপাদ্য নং-থ্রি-ইন-লাইন সমস্যা ঘটনা (জ্যামিতি) #Collinearity কপ্ল্যানারিটি নোটস রেফারেন্স ঘটনা জ্যামিতি