Whitehead product
গণিতে, হোয়াইটহেড গুণফল হল একটি স্থানের হোমোটপি গোষ্ঠীর উপর একটি শ্রেণীবদ্ধ আধা-লাই বীজগণিত কাঠামো। এটি জে. এইচ. সি হোয়াইটহেড দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়েছিল। প্রাসঙ্গিক এম. এস. সি কোডটি হলঃ 55কিউ15, হোয়াইটহেড পণ্য এবং সাধারণীকরণ। সংজ্ঞায়িত উপাদানগুলির পরিপ্রেক্ষিতে, হোয়াইটহেড বন্ধনীটি নিম্নরূপ সংজ্ঞায়িত করা হয়েছেঃ পণ্যটি ওয়েজ যোগফলের সাথে একটি-কোষ সংযুক্ত করে প্রাপ্ত করা যেতে পারে; সংযুক্ত মানচিত্রটি একটি মানচিত্র প্রতিনিধিত্ব করে এবং মানচিত্র দ্বারা এবং তারপরে সংযুক্ত মানচিত্রের সাথে তাদের ওয়েজ রচনা করে, কারণ ফলস্বরূপ মানচিত্রের হোমোটপি শ্রেণী প্রতিনিধিদের পছন্দের উপর নির্ভর করে না এবং এইভাবে একজন গ্রেডিংয়ের একটি সু-সংজ্ঞায়িত উপাদান অর্জন করে নোট করুন যে গ্রেডিংয়ে 1 এর স্থানান্তর রয়েছে (হোমোটপি গোষ্ঠীর সূচীকরণের তুলনায়), তাই ডিগ্রি রয়েছে; সমতুল্যভাবে, (এলকে গ্রেডেড আধা-লাই বীজগণিত হিসাবে সেট করা)। এইভাবে প্রতিটি শ্রেণীবদ্ধ উপাদানের উপর কাজ করে। বৈশিষ্ট্য হোয়াইটহেড পণ্যটি নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্যগুলিকে সন্তুষ্ট করেঃ বিলিনিয়ারিটি। শ্রেণীবদ্ধ প্রতিসাম্য। গ্রেডেড জ্যাকোবি পরিচয়। কখনও কখনও হোয়াইটহেড পণ্য ক্রিয়াকলাপের সাথে একটি স্থানের সমস্থানিক গোষ্ঠীগুলিকে গ্রেডেড আধা-মিথ্যা বীজগণিত বলা হয়; এটি ম্যাসি ট্রিপল পণ্যের মাধ্যমে প্রমাণিত হয়। ইফ-এর ক্রিয়ার সাথে সম্পর্ক, তারপর হোয়াইটহেড বন্ধনীটি অন-এর স্বাভাবিক ক্রিয়ার সাথে সম্পর্কিত যেখানে বাই-এর সংমিশ্রণকে বোঝায়। কারণ, এটি স্বাভাবিক কমিউটেটরের মধ্যে কমে যায়। এটি পর্যবেক্ষণের মাধ্যমেও দেখা যায় যে টরাসের-কোষটি-কঙ্কালে কমিউটেটর বরাবর সংযুক্ত থাকে। এইচ-স্পেসে হোয়াইটহেড পণ্য এইচ-স্পেস সংযুক্ত পথের জন্য, সমস্ত হোয়াইটহেড পণ্য অদৃশ্য হয়ে যায়। পূর্ববর্তী উপবিভাগ অনুসারে, এটি উভয় তথ্যের একটি সাধারণীকরণ যে এইচ-স্পেসের মৌলিক গোষ্ঠীগুলি আবেলিয়ান এবং এইচ-স্পেসগুলি সহজ। শ্রেণীগুলির সমস্ত হোয়াইটহেড পণ্যগুলি সাসপেনশন সমরূপতার কার্নেলে থাকে উদাহরণস্বরূপ, হপফ মানচিত্রটি কোথায়। এটি পর্যবেক্ষণ করে দেখানো যেতে পারে যে হপফ অপরিবর্তনীয় একটি আইসোমরফিজমকে সংজ্ঞায়িত করে এবং স্পষ্টভাবে প্রতিনিধিত্বকারী একটি মানচিত্রের কোফাইবারের কোহোমোলজি রিং গণনা করে। পন্ট্রিয়াগিন-থম গঠন ব্যবহার করে একটি সরাসরি জ্যামিতিক যুক্তি রয়েছে, এই সত্যটি ব্যবহার করে যে একটি নিয়মিত বিন্দুর প্রিমেজ হপফ লিঙ্কের একটি অনুলিপি। মনে রাখবেন যে একটি φ-গ্রুপয়েড হল গ্রুপয়েডের একটি-বিভাগের সাধারণীকরণ যা একটি বীজগাণিতিক ফর্মালিজমে হোমোটপি প্রকারের ডেটা এনকোড করার জন্য অনুমান করা হয়। বস্তুগুলি হল স্থানের বিন্দু, অঙ্গসংস্থানগুলি হল বিন্দুগুলির মধ্যে পথের সমস্থানিক শ্রেণী, এবং উচ্চতর অঙ্গসংস্থানগুলি হল সেই বিন্দুগুলির উচ্চতর সমস্থানিক। হোয়াইটহেড পণ্যের অস্তিত্বই হল মূল কারণ যে, কেন φ-গ্রুপয়েডের একটি ধারণাকে সংজ্ঞায়িত করা এমন একটি কঠিন কাজ। এটি দেখানো হয়েছিল যে যে কোনও কঠোর φ-গ্রুপয়েডে কেবল তুচ্ছ হোয়াইটহেড পণ্য থাকে, তাই কঠোর গ্রুপয়েডস কখনই হোমোটপি ধরনের গোলকের মডেল তৈরি করতে পারে না, যেমন। আরও দেখুন সাধারণীকৃত হোয়াইটহেড পণ্য ম্যাসি পণ্য টোডা বন্ধনী রেফারেন্স হোমোটোপি তত্ত্ব লাই অ্যালজেব্রা