Topological order
পদার্থবিজ্ঞানে, টপোলজিক্যাল অর্ডার হল পদার্থের শূন্য-তাপমাত্রার পর্যায়ে এক ধরনের ক্রম (যা কোয়ান্টাম ম্যাটার নামেও পরিচিত)। ম্যাক্রোস্কোপিকভাবে, টপোলজিকাল অর্ডারকে শক্তিশালী স্থল অবস্থার অবক্ষয় এবং অবক্ষয়িত স্থল অবস্থার অ-অ্যাবেলিয়ান জ্যামিতিক পর্যায় দ্বারা সংজ্ঞায়িত এবং বর্ণনা করা হয়। মাইক্রোস্কোপিকভাবে, টপোলজিক্যাল অর্ডারগুলি দীর্ঘ-পরিসীমা কোয়ান্টাম এনট্যাঙ্গলমেন্টের নিদর্শনগুলির সাথে মিলে যায়। বিভিন্ন টপোলজিকাল অর্ডার (বা দীর্ঘ পরিসরের জড়িয়ে পড়ার বিভিন্ন নিদর্শন) সহ রাজ্যগুলি পর্যায় পরিবর্তন ছাড়া একে অপরের মধ্যে পরিবর্তিত হতে পারে না। বিভিন্ন টপোলজিক্যালি অর্ডার করা অবস্থার আকর্ষণীয় বৈশিষ্ট্য রয়েছে, যেমন (1) টপোলজিক্যাল ডিজেনারেসি এবং ফ্র্যাকশনাল স্ট্যাটিস্টিক্স বা নন-অ্যাবেলিয়ান স্ট্যাটিস্টিক্স যা একটি টপোলজিক্যাল কোয়ান্টাম কম্পিউটার উপলব্ধি করতে ব্যবহার করা যেতে পারে; (2) নিখুঁত পরিবাহী প্রান্তের অবস্থা যা গুরুত্বপূর্ণ ডিভাইস অ্যাপ্লিকেশন থাকতে পারে; (3) ইমার্জেন্ট গেজ ক্ষেত্র এবং ফার্মি পরিসংখ্যান যা প্রাথমিক কণাগুলির একটি কোয়ান্টাম তথ্য উত্সের পরামর্শ দেয়; (4) টপোলজিক্যাল এনট্যাঙ্গলমেন্ট এনট্রপি যা টপোলজিকাল অর্ডারের এনট্যাঙ্গলমেন্ট উত্স প্রকাশ করে ইত্যাদি। ত্রুটি-সহনশীল কোয়ান্টাম গণনার সম্ভাব্য প্রয়োগের পাশাপাশি স্পিন তরল এবং কোয়ান্টাম হল প্রভাবের মতো বেশ কয়েকটি ভৌত ব্যবস্থার অধ্যয়নে টপোলজিকাল অর্ডার গুরুত্বপূর্ণ। টপোলজিক্যাল ইনসুলেটর এবং টপোলজিক্যাল সুপারকন্ডাক্টরগুলির (1ডি-র বাইরে) উপরে বর্ণিত টপোলজিক্যাল ক্রম নেই, তাদের জটগুলি কেবল স্বল্প-দূরত্বের। পরমাণু দ্বারা গঠিত পদার্থের বিভিন্ন বৈশিষ্ট্য থাকতে পারে এবং বিভিন্ন রূপে প্রদর্শিত হতে পারে, যেমন কঠিন, তরল, অতিপ্রবাহী ইত্যাদি। এই বিভিন্ন ধরনের পদার্থকে প্রায়শই পদার্থের অবস্থা বা পর্যায় বলা হয়। ঘনীভূত পদার্থবিজ্ঞান এবং উত্থানের নীতি অনুসারে, পদার্থের বিভিন্ন বৈশিষ্ট্য সাধারণত পদার্থের মধ্যে পরমাণুগুলিকে বিভিন্ন উপায়ে সংগঠিত করা থেকে উদ্ভূত হয়। পরমাণুর (বা অন্যান্য কণাগুলির) সেই বিভিন্ন সংগঠনগুলিকে আনুষ্ঠানিকভাবে পদার্থের ক্রম বলা হয়। পরমাণু বিভিন্ন উপায়ে সংগঠিত হতে পারে যা বিভিন্ন অর্ডার এবং বিভিন্ন ধরনের উপকরণের দিকে পরিচালিত করে। ল্যান্ডাউ প্রতিসাম্য-ভঙ্গকারী তত্ত্ব এই বিভিন্ন ক্রম সম্পর্কে একটি সাধারণ ধারণা প্রদান করে। এটি নির্দেশ করে যে বিভিন্ন ক্রম প্রকৃতপক্ষে উপাদান পরমাণুর সংগঠনের বিভিন্ন প্রতিসাম্যের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ। একটি পদার্থ যখন এক ক্রম থেকে অন্য ক্রমে পরিবর্তিত হয় (অর্থাৎ, যখন পদার্থটি একটি পর্যায় পরিবর্তনের মধ্য দিয়ে যায়), তখন যা ঘটে তা হল পরমাণুর সংগঠনের প্রতিসাম্য পরিবর্তিত হয়। উদাহরণস্বরূপ, একটি তরলে পরমাণুর এলোমেলো বন্টন থাকে, তাই একটি তরল একই থাকে যেমন আমরা একটি নির্বিচারে দূরত্ব দ্বারা পরমাণুগুলিকে স্থানচ্যুত করি। আমরা বলি যে একটি তরলের একটি অবিচ্ছিন্ন অনুবাদ প্রতিসাম্য রয়েছে। একটি পর্যায় পরিবর্তনের পরে, একটি তরল স্ফটিকের মধ্যে পরিণত হতে পারে। একটি স্ফটিকের মধ্যে, পরমাণুগুলি একটি নিয়মিত বিন্যাসে (একটি জাল) সংগঠিত হয়। একটি জাল কেবল তখনই অপরিবর্তিত থাকে যখন আমরা এটিকে একটি নির্দিষ্ট দূরত্ব (পূর্ণসংখ্যা গুণ একটি জাল ধ্রুবক) দ্বারা স্থানচ্যুত করি, তাই একটি স্ফটিকের কেবল পৃথক অনুবাদ প্রতিসাম্য থাকে। তরল এবং স্ফটিকের মধ্যে পর্যায় পরিবর্তন হল এমন একটি রূপান্তর যা স্ফটিকের বিচ্ছিন্ন প্রতিসাম্যতে তরলের অবিচ্ছিন্ন অনুবাদ প্রতিসাম্যকে হ্রাস করে। প্রতিসাম্যের এই ধরনের পরিবর্তনকে প্রতিসাম্য ভাঙ্গা বলা হয়। তরল এবং স্ফটিকের মধ্যে পার্থক্যের সারমর্ম হল যে দুটি পর্যায়ে পরমাণুর সংগঠনের বিভিন্ন প্রতিসাম্য রয়েছে। ল্যান্ডাউ প্রতিসাম্য-ভঙ্গকারী তত্ত্ব একটি অত্যন্ত সফল তত্ত্ব। দীর্ঘকাল ধরে, পদার্থবিজ্ঞানীরা বিশ্বাস করতেন যে ল্যান্ডাউ তত্ত্ব পদার্থের সমস্ত সম্ভাব্য ক্রম এবং সমস্ত সম্ভাব্য (অবিচ্ছিন্ন) পর্যায়ের রূপান্তর বর্ণনা করে। তবে, 1980-এর দশকের শেষের দিক থেকে, এটি ধীরে ধীরে স্পষ্ট হয়ে উঠেছে যে ল্যান্ডাউ প্রতিসাম্য-ভঙ্গকারী তত্ত্ব সমস্ত সম্ভাব্য ক্রম বর্ণনা করতে পারে না। উচ্চ তাপমাত্রার অতিপরিবাহীতা ব্যাখ্যা করার প্রয়াসে কাইরাল স্পিন অবস্থা চালু করা হয়েছিল। প্রথমে, পদার্থবিজ্ঞানীরা এখনও কাইরাল ঘূর্ণন অবস্থা বর্ণনা করতে ল্যান্ডাউ প্রতিসাম্য-ভঙ্গ তত্ত্ব ব্যবহার করতে চেয়েছিলেন। তারা কাইরাল ঘূর্ণন অবস্থাকে এমন একটি অবস্থা হিসাবে চিহ্নিত করেছেন যা সময় বিপরীত এবং সমতা প্রতিসাম্যকে ভেঙে দেয়, তবে ঘূর্ণন প্রতিসাম্যকে নয়। ল্যান্ডাউয়ের প্রতিসাম্য ভঙ্গকারী বর্ণনা অনুসারে এটি গল্পের শেষ হওয়া উচিত। যাইহোক, এটি দ্রুত উপলব্ধি করা হয়েছিল যে অনেকগুলি ভিন্ন কাইরাল ঘূর্ণন অবস্থা রয়েছে যার ঠিক একই প্রতিসাম্য রয়েছে, তাই বিভিন্ন কাইরাল ঘূর্ণন অবস্থা চিহ্নিত করার জন্য একা প্রতিসাম্য যথেষ্ট ছিল না। এর অর্থ হল কাইরাল ঘূর্ণন অবস্থাগুলিতে একটি নতুন ধরনের ক্রম থাকে যা স্বাভাবিক প্রতিসাম্য বর্ণনার বাইরে। প্রস্তাবিত, নতুন ধরনের ক্রমের নাম দেওয়া হয়েছিল "টপোলজিকাল অর্ডার"। "টপোলজিক্যাল অর্ডার" নামটি কাইরাল স্পিন অবস্থার নিম্ন শক্তি কার্যকর তত্ত্ব দ্বারা অনুপ্রাণিত হয় যা একটি টপোলজিকাল কোয়ান্টাম ফিল্ড তত্ত্ব (টি. কিউ. এফ. টি)। নতুন কোয়ান্টাম সংখ্যা, যেমন স্থল অবস্থার অবক্ষয় (যা আবেলিয়ান টপোলজিকাল অর্ডার এবং অ-আবেলিয়ান টপোলজিকাল অর্ডার উভয় সহ একটি বদ্ধ স্থান বা ফাঁকা জায়গার সীমানা সহ সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে) এবং অবক্ষয়িত স্থল অবস্থার অ-আবেলিয়ান জ্যামিতিক পর্যায়, কাইরাল স্পিন অবস্থার বিভিন্ন টপোলজিকাল অর্ডারকে চিহ্নিত ও সংজ্ঞায়িত করার জন্য চালু করা হয়েছিল। আরও সম্প্রতি, এটি দেখানো হয়েছে যে টপোলজিকাল অর্ডারগুলি টপোলজিকাল এনট্রপি দ্বারাও চিহ্নিত করা যেতে পারে। কিন্তু পরীক্ষাগুলি শীঘ্রই ইঙ্গিত দেয় যে কাইরাল ঘূর্ণন অবস্থা উচ্চ-তাপমাত্রার অতিপরিবাহীগুলিকে বর্ণনা করে না এবং টপোলজিকাল অর্ডারের তত্ত্বটি কোনও পরীক্ষামূলক উপলব্ধি ছাড়াই একটি তত্ত্ব হয়ে ওঠে। যাইহোক, কাইরাল ঘূর্ণন অবস্থা এবং কোয়ান্টাম হল অবস্থার মধ্যে সাদৃশ্য বিভিন্ন কোয়ান্টাম হল অবস্থা বর্ণনা করার জন্য টপোলজিকাল অর্ডারের তত্ত্ব ব্যবহার করার অনুমতি দেয়। কাইরাল ঘূর্ণন অবস্থার মতো, বিভিন্ন কোয়ান্টাম হল অবস্থারও একই প্রতিসাম্য রয়েছে এবং ল্যান্ডাউ প্রতিসাম্য-ভঙ্গকারী বর্ণনার বাইরে রয়েছে। কেউ কেউ দেখতে পান যে বিভিন্ন কোয়ান্টাম হল অবস্থার বিভিন্ন ক্রম প্রকৃতপক্ষে টপোলজিকাল ক্রম দ্বারা বর্ণনা করা যেতে পারে, তাই টপোলজিকাল ক্রমের পরীক্ষামূলক উপলব্ধি রয়েছে। ভগ্নাংশ কোয়ান্টাম হল (এফকিউএইচ) অবস্থা 1982 সালে আবিষ্কৃত হয়েছিল 1989 সালে টপোলজিকাল অর্ডারের ধারণা প্রবর্তনের আগে। কিন্তু এফকিউএইচ অবস্থাটি প্রথম পরীক্ষামূলকভাবে আবিষ্কৃত টপোলজিক্যালি অর্ডারড অবস্থা নয়। 1911 সালে আবিষ্কৃত সুপারকন্ডাক্টরটি প্রথম পরীক্ষামূলকভাবে আবিষ্কৃত টপোলজিক্যালি অর্ডারড অবস্থা; এটির জেড2 টপোলজিক্যাল অর্ডার রয়েছে। যদিও টপোলজিক্যালি অর্ডারড অবস্থা সাধারণত দৃঢ়ভাবে মিথস্ক্রিয়াশীল বোসন/ফার্মিয়ন সিস্টেমে প্রদর্শিত হয়, তবে একটি সহজ ধরনের টপোলজিক্যাল ক্রম মুক্ত ফার্মিয়ন সিস্টেমেও উপস্থিত হতে পারে। এই ধরনের টপোলজিক্যাল ক্রম অবিচ্ছেদ্য কোয়ান্টাম হল অবস্থার সাথে মিলে যায়, যা ভরাট শক্তি ব্যান্ডের চেরন সংখ্যা দ্বারা চিহ্নিত করা যেতে পারে যদি আমরা একটি জালের উপর পূর্ণসংখ্যা কোয়ান্টাম হল অবস্থা বিবেচনা করি। তাত্ত্বিক গণনাগুলি প্রস্তাব করেছে যে এই ধরনের চেরন সংখ্যা পরীক্ষামূলকভাবে একটি মুক্ত ফার্মিয়ন সিস্টেমের জন্য পরিমাপ করা যেতে পারে। এটিও সুপরিচিত যে এই ধরনের চেরন সংখ্যা প্রান্তের অবস্থা দ্বারা পরিমাপ করা যেতে পারে (সম্ভবত পরোক্ষভাবে)। টপোলজিক্যাল অর্ডারের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য হ 'ল অন্তর্নিহিত ভগ্নাংশায়িত উত্তেজনা (যেমন অ্যানিয়ন) এবং তাদের ফিউশন পরিসংখ্যান এবং ব্রেডিং পরিসংখ্যান (যা বোসন বা ফার্মিয়নের কোয়ান্টাম পরিসংখ্যানের বাইরে যেতে পারে)। বর্তমান গবেষণা কাজগুলি দেখায় যে 3 + 1 মাত্রিক স্থানকালে টপোলজিক্যাল অর্ডারের জন্য লুপ এবং স্ট্রিংয়ের মতো উত্তেজনা বিদ্যমান এবং তাদের মাল্টি-লুপ/স্ট্রিং-ব্রেডিং পরিসংখ্যান 3 + 1 মাত্রিক টপোলজিকাল অর্ডার সনাক্ত করার জন্য গুরুত্বপূর্ণ স্বাক্ষর। 3 + 1 মাত্রিক টপোলজিক্যাল অর্ডারের মাল্টি-লুপ/স্ট্রিং-ব্রেডিং পরিসংখ্যান 4টি স্পেসটাইম মাত্রায় নির্দিষ্ট টপোলজিক্যাল কোয়ান্টাম ক্ষেত্র তত্ত্বের লিঙ্ক অপরিবর্তনীয় দ্বারা ধরা যেতে পারে। প্রক্রিয়া 2 + 1ডি টপোলজিকাল অর্ডারের একটি বড় শ্রেণী স্ট্রিং-নেট ঘনীভবন নামক একটি পদ্ধতির মাধ্যমে উপলব্ধি করা হয়। টপোলজিক্যাল অর্ডারের এই শ্রেণীর একটি ফাঁকা প্রান্ত থাকতে পারে এবং একক সংমিশ্রণ বিভাগ (বা মনোইডাল বিভাগ) তত্ত্ব দ্বারা শ্রেণীবদ্ধ করা হয়। একজন দেখেছেন যে স্ট্রিং-নেট ঘনীভবন অসীমভাবে বিভিন্ন ধরনের টপোলজিকাল অর্ডার তৈরি করতে পারে, যা ইঙ্গিত করতে পারে যে অনেকগুলি নতুন ধরনের উপাদান আবিষ্কৃত হতে বাকি রয়েছে। ঘনীভূত স্ট্রিংয়ের সমষ্টিগত গতি স্ট্রিং-নেট ঘনীভূত অবস্থার উপরে উত্তেজনার জন্ম দেয়। সেই উত্তেজনাগুলি গেজ বোসোনে পরিণত হয়। স্ট্রিংয়ের প্রান্তগুলি ত্রুটি যা অন্য ধরনের উত্তেজনার সাথে মিলে যায়। এই উত্তেজনাগুলি হল গেজ চার্জ এবং ফার্মি বা ভগ্নাংশ পরিসংখ্যান বহন করতে পারে। অন্যান্য বর্ধিত বস্তুর ঘনীভবন যেমন "মেমব্রেন", "ব্রেন-নেট" এবং ফ্র্যাক্টালগুলিও টপোলজিক্যালি অর্ডার করা পর্যায় এবং "কোয়ান্টাম গ্লাসিনেস"-এর দিকে পরিচালিত করে। গাণিতিক সূত্র আমরা জানি যে গোষ্ঠী তত্ত্ব হল প্রতিসাম্য-ভঙ্গকারী ক্রমের গাণিতিক ভিত্তি। টপোলজিক্যাল অর্ডারের গাণিতিক ভিত্তি কী? দেখা গেছে যে 2 + 1ডি টপোলজিকাল অর্ডারের একটি উপশ্রেণী-আবেলিয়ান টপোলজিকাল অর্ডার-কে-ম্যাট্রিক্স পদ্ধতির দ্বারা শ্রেণীবদ্ধ করা যেতে পারে। স্ট্রিং-নেট ঘনীভবন থেকে বোঝা যায় যে টেনসর বিভাগ (যেমন ফিউশন বিভাগ বা মনোয়ডাল বিভাগ) 2 + 1ডি-তে টপোলজিকাল ক্রমের গাণিতিক ভিত্তির অংশ। আরও সাম্প্রতিক গবেষণাগুলি পরামর্শ দেয় যে (বিপরীতমুখী টপোলজিকাল অর্ডার পর্যন্ত যার কোনও ভগ্নাংশ উত্তেজনা নেই): 2 + 1ডি বোসনিক টপোলজিকাল অর্ডারগুলি একক মডুলার টেনসর বিভাগ দ্বারা শ্রেণীবদ্ধ করা হয়। সমমিতি জি সহ 2 + 1ডি বোসনিক টপোলজিকাল অর্ডারগুলি জি-ক্রস টেনসর বিভাগ দ্বারা শ্রেণীবদ্ধ করা হয়। প্রতিসাম্য জি সহ 2 + 1ডি বোসনিক/ফার্মিওনিক টপোলজিকাল অর্ডারগুলি প্রতিসাম্য ফিউশন বিভাগের উপর একক ব্রেইডেড ফিউশন বিভাগ দ্বারা শ্রেণীবদ্ধ করা হয়, যার মডুলার এক্সটেনশন রয়েছে। প্রতিসম সংমিশ্রণ বিভাগ বোসনিক সিস্টেমের জন্য রেপ (জি) এবং ফার্মিয়নিক সিস্টেমের জন্য এসআরইপি (জি)। উচ্চতর মাত্রায় টপোলজিক্যাল অর্ডার এন-ক্যাটাগরি তত্ত্বের সাথে সম্পর্কিত হতে পারে। টপোলজিক্যাল অর্ডার অধ্যয়নের ক্ষেত্রে কোয়ান্টাম অপারেটর বীজগণিত একটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ গাণিতিক সরঞ্জাম। কেউ কেউ আরও পরামর্শ দেন যে টপোলজিক্যাল অর্ডার গাণিতিকভাবে বর্ধিত কোয়ান্টাম প্রতিসাম্য দ্বারা বর্ণনা করা হয়। প্রয়োগ ল্যান্ডাউ প্রতিসাম্য-ভঙ্গ তত্ত্ব দ্বারা বর্ণিত উপকরণগুলি প্রযুক্তির উপর যথেষ্ট প্রভাব ফেলেছে। উদাহরণস্বরূপ, ফেরোম্যাগনেটিক উপাদানগুলি যা ঘূর্ণন ঘূর্ণন প্রতিসাম্যকে ভেঙে দেয় তা ডিজিটাল তথ্য সংরক্ষণের মাধ্যম হিসাবে ব্যবহার করা যেতে পারে। ফেরোম্যাগনেটিক উপকরণ দিয়ে তৈরি একটি হার্ড ড্রাইভ গিগাবাইট তথ্য সঞ্চয় করতে পারে। তরল স্ফটিক যা অণুগুলির ঘূর্ণন প্রতিসাম্যকে ভেঙে দেয় তা প্রদর্শন প্রযুক্তিতে ব্যাপক প্রয়োগ খুঁজে পায়। স্ফটিকগুলি যা অনুবাদ প্রতিসাম্যকে ভেঙে দেয় তা সু-সংজ্ঞায়িত বৈদ্যুতিন ব্যান্ডগুলির দিকে পরিচালিত করে যা আমাদের ট্রানজিস্টরের মতো অর্ধপরিবাহী যন্ত্র তৈরি করতে দেয়। বিভিন্ন ধরনের টপোলজিক্যাল অর্ডার বিভিন্ন ধরনের প্রতিসাম্য-ভঙ্গকারী অর্ডারের তুলনায় আরও সমৃদ্ধ। এটি উত্তেজনাপূর্ণ, অভিনব প্রয়োগের জন্য তাদের সম্ভাবনার পরামর্শ দেয়। একটি তাত্ত্বিক প্রয়োগ হ 'ল টপোলজিক্যাল কোয়ান্টাম কম্পিউটিং নামে পরিচিত একটি কৌশলে কোয়ান্টাম কম্পিউটিংয়ের জন্য মাধ্যম হিসাবে টপোলজিক্যালি অর্ডারড স্টেটগুলি ব্যবহার করা। একটি টপোলজিক্যালি অর্ডার্ড স্টেট হল জটিল অ-স্থানীয় কোয়ান্টাম এনট্যাঙ্গলমেন্ট সহ একটি স্টেট। অ-স্থানীয়তার অর্থ হল যে একটি টপোলজিক্যালি অর্ডার করা অবস্থায় কোয়ান্টাম এনট্যাঙ্গলমেন্ট বিভিন্ন কণার মধ্যে বিতরণ করা হয়। ফলস্বরূপ, কোয়ান্টাম এনট্যাঙ্গলমেন্টের প্যাটার্ন স্থানীয় বিশৃঙ্খলার দ্বারা ধ্বংস করা যায় না। এটি ডিকোহেরেন্সের প্রভাবকে উল্লেখযোগ্যভাবে হ্রাস করে। এর থেকে বোঝা যায় যে আমরা যদি কোয়ান্টাম তথ্য এনকোড করার জন্য একটি টপোলজিক্যালি অর্ডার করা অবস্থায় বিভিন্ন কোয়ান্টাম এনট্যাঙ্গলমেন্ট ব্যবহার করি, তবে তথ্যটি অনেক বেশি স্থায়ী হতে পারে। টপোলজিক্যাল কোয়ান্টাম এনট্যাঙ্গলমেন্ট দ্বারা এনকোড করা কোয়ান্টাম তথ্য একে অপরের চারপাশে টপোলজিকাল ত্রুটিগুলি টেনে নিয়ে যাওয়া যেতে পারে। এই প্রক্রিয়াটি কোয়ান্টাম গণনা সম্পাদনের জন্য একটি ভৌত যন্ত্র সরবরাহ করতে পারে। অতএব, ভূতাত্ত্বিকভাবে ক্রমবদ্ধ অবস্থাগুলি কোয়ান্টাম মেমরি এবং কোয়ান্টাম গণনা উভয়ের জন্য প্রাকৃতিক মাধ্যম সরবরাহ করতে পারে। কোয়ান্টাম মেমরি এবং কোয়ান্টাম গণনার এই ধরনের উপলব্ধিগুলি সম্ভাব্যভাবে ত্রুটি সহনশীল করা যেতে পারে। টপোলজিক্যালি অর্ডার করা রাজ্যগুলির সাধারণভাবে একটি বিশেষ বৈশিষ্ট্য রয়েছে যে তারা অ-তুচ্ছ সীমানা অবস্থা ধারণ করে। অনেক ক্ষেত্রে, সেই সীমানা রাজ্যগুলি নিখুঁত পরিবাহী চ্যানেলে পরিণত হয় যা তাপ উৎপাদন না করেই বিদ্যুৎ পরিচালনা করতে পারে। এটি বৈদ্যুতিন যন্ত্রগুলিতে টপোলজিকাল অর্ডারের আরেকটি সম্ভাব্য প্রয়োগ হতে পারে। একইভাবে টপোলজিক্যাল অর্ডারের মতো, টপোলজিক্যাল ইনসুলেটরগুলিরও ফাঁকহীন সীমানা অবস্থা রয়েছে। টপোলজিক্যাল ইনসুলেটরগুলির সীমানা অবস্থা টপোলজিক্যাল ইনসুলেটরগুলির সনাক্তকরণ এবং প্রয়োগে মূল ভূমিকা পালন করে। এই পর্যবেক্ষণ স্বাভাবিকভাবেই একটি প্রশ্নের দিকে পরিচালিত করেঃ টপোলজিক্যাল ইনসুলেটর কি টপোলজিক্যালি অর্ডার্ড অবস্থার উদাহরণ? প্রকৃতপক্ষে টপোলজিক্যাল ইনসুলেটরগুলি এই নিবন্ধে সংজ্ঞায়িত টপোলজিক্যালি অর্ডার করা অবস্থার থেকে আলাদা। টপোলজিক্যাল ইনসুলেটরগুলির শুধুমাত্র স্বল্প-পরিসীমা জড়িত থাকে এবং কোনও টপোলজিকাল ক্রম থাকে না, যেখানে এই নিবন্ধে সংজ্ঞায়িত টপোলজিকাল ক্রমটি দীর্ঘ-পরিসীমা জড়িত থাকার একটি প্যাটার্ন। টপোলজিক্যাল অর্ডার যে কোনও বিশৃঙ্খলার বিরুদ্ধে শক্তিশালী। এর উদীয়মান পরিমাপ তত্ত্ব, উদীয়মান ভগ্নাংশ আধান এবং ভগ্নাংশ পরিসংখ্যান রয়েছে। এর বিপরীতে, টপোলজিক্যাল ইনসুলেটরগুলি শুধুমাত্র সময়-বিপরীত এবং ইউ (1) প্রতিসাম্যকে সম্মান করে এমন বিশৃঙ্খলার বিরুদ্ধে শক্তিশালী। তাদের অর্ধ-কণার উত্তেজনার কোনও ভগ্নাংশ আধান এবং ভগ্নাংশ পরিসংখ্যান নেই। কঠোরভাবে বলতে গেলে, টপোলজিক্যাল ইনসুলেটর হল প্রতিসাম্য-সুরক্ষিত টপোলজিক্যাল (এস. পি. টি) ক্রমের একটি উদাহরণ, যেখানে এস. পি. টি ক্রমের প্রথম উদাহরণ হল স্পিন-1 শৃঙ্খলের হালডেন পর্যায়। কিন্তু স্পিন-2 চেইনের হালডেন পর্বের কোনও এস. পি. টি ক্রম নেই। সম্ভাব্য প্রভাব ল্যান্ডাউ প্রতিসাম্য-ভঙ্গ তত্ত্ব ঘনীভূত পদার্থবিজ্ঞানের একটি ভিত্তি। এটি ঘনীভূত পদার্থ গবেষণার ক্ষেত্র নির্ধারণ করতে ব্যবহৃত হয়। টপোলজিক্যাল অর্ডারের অস্তিত্ব ইঙ্গিত করে যে ল্যান্ডাউ প্রতিসাম্য-ভঙ্গকারী তত্ত্বের তুলনায় প্রকৃতি অনেক বেশি সমৃদ্ধ। সুতরাং টপোলজিক্যাল অর্ডার ঘনীভূত পদার্থ পদার্থবিজ্ঞানে একটি নতুন দিক উন্মুক্ত করে-অত্যন্ত জড়িয়ে থাকা কোয়ান্টাম পদার্থের একটি নতুন দিক। আমরা বুঝতে পারি যে পদার্থের কোয়ান্টাম পর্যায়গুলি (অর্থাৎ। পদার্থের শূন্য-তাপমাত্রার পর্যায়গুলি) দুটি শ্রেণীতে বিভক্ত করা যেতে পারেঃ দীর্ঘ পরিসীমা জড়িয়ে থাকা অবস্থা এবং স্বল্প পরিসীমা জড়িয়ে থাকা অবস্থা। টপোলজিক্যাল অর্ডার হল এমন একটি ধারণা যা দীর্ঘ পরিসরের জড়িয়ে পড়া অবস্থাগুলিকে বর্ণনা করেঃ টপোলজিক্যাল অর্ডার = দীর্ঘ পরিসরের জড়িয়ে পড়ার ধরণ। স্বল্প পরিসরের জড়িয়ে পড়া অবস্থাগুলি এই অর্থে তুচ্ছ যে তারা সকলেই একটি পর্যায়ের অন্তর্গত। যাইহোক, প্রতিসাম্যের উপস্থিতিতে, এমনকি স্বল্প পরিসরের জড়িয়ে পড়া অবস্থাগুলিও তুচ্ছ নয় এবং বিভিন্ন পর্যায়ের অন্তর্ভুক্ত হতে পারে। বলা হয় যে এই পর্যায়গুলিতে এস. পি. টি অর্ডার রয়েছে। এস. পি. টি অর্ডার আন্তঃক্রিয়াশীল সিস্টেমে টপোলজিকাল অন্তরকের ধারণাকে সাধারণীকরণ করে। কেউ কেউ মনে করেন যে স্থানীয় বোসনিক (স্পিন) মডেলগুলিতে টপোলজিকাল অর্ডার (বা আরও সুনির্দিষ্টভাবে, স্ট্রিং-নেট ঘনীভবন) আমাদের মহাবিশ্বের ফোটন, ইলেকট্রন এবং অন্যান্য প্রাথমিক কণাগুলির জন্য একটি একীভূত উত্স সরবরাহ করার সম্ভাবনা রয়েছে। এ. কে. এল. টি মডেল ভগ্নাংশায়ন হারবার্টস্মিথাইট ইমপ্লিকেট অর্ডার কোয়ান্টাম টপোলজি স্পিন তরল স্ট্রিং-নেট তরল প্রতিসাম্য-সুরক্ষিত টপোলজিক্যাল অর্ডার টপোলজিক্যাল ডিজেনারেসি টপোলজিকাল এনট্রপি পদার্থবিজ্ঞানে টপোলজিকাল কোয়ান্টাম ফিল্ড তত্ত্ব টপোলজিকাল কোয়ান্টাম নম্বর টপোলজিকাল স্ট্রিং তত্ত্ব নোট রেফারেন্স বিভাগ দ্বারা রেফারেন্স ফ্র্যাকশনাল কোয়ান্টাম হল বলে চিরাল স্পিন রাষ্ট্রগুলি এফকিউএইচ অবস্থার প্রাথমিক বৈশিষ্ট্যায়ন অফ-ডায়াগোনাল দীর্ঘ-পরিসীমা ক্রম, তির্যক কারাবাস এবং ভগ্নাংশ কোয়ান্টাম হল প্রভাব, এস. এম. গিরভিন এবং এ. এইচ. ম্যাকডোনাল্ড, ফিজি। রেভ. লেট., 58,1252 (1987) ফ্র্যাকশনাল কোয়ান্টাম হল এফেক্টের জন্য কার্যকর-ক্ষেত্র-তত্ত্ব মডেল, এস. সি. ঝাং এবং টি. এইচ. হ্যানসন এবং এস. কিভেলসন, ফিজি। রেভ. লেট., 62,82 (1989) টপোলজিক্যাল অর্ডার জিয়াও-গাং ওয়েন, ফিজি। রেভ. বি, 40,7387 (1989), "ভ্যাকুয়াম ডিজেনারেসি অফ চিরাল স্পিন স্টেট ইন কম্প্যাক্টিফাইড স্পেস" জিয়াও-গ্যাং ওয়েন, কোয়ান্টাম ফিল্ড থিওরি অফ ম্যানি বডি সিস্টেমস-ফ্রম দ্য অরিজিন অফ সাউন্ড টু অ্যান অরিজিন অফ লাইট অ্যান্ড ইলেকট্রন, অক্সফোর্ড ইউনিভার্সিটি। প্রেস, অক্সফোর্ড, 2004। টপোলজিক্যাল অর্ডারের বৈশিষ্ট্য ডি. অরোভাস এবং জে. আর. শ্রিফার এবং এফ. উইলজেক, ফিজি। রেভ. লেট., 53,722 (1984), "ফ্র্যাকশনাল স্ট্যাটিস্টিক্স অ্যান্ড দ্য কোয়ান্টাম হল এফেক্ট" টপোলজিক্যাল অর্ডার মেকানিজম অফ টপোলজিক্যাল অর্ডারের কার্যকর তত্ত্ব কোয়ান্টাম কম্পিউটিং চেতন নায়েক, স্টিভেন এইচ সাইমন, অ্যাডি স্টার্ন, মাইকেল ফ্রিডম্যান, শঙ্কর দাস শর্মা, http://www.arxiv.org/abs/0707.1889,2007, "নন-অ্যাবেলিয়ান অ্যানোনস অ্যান্ড টপোলজিকাল কোয়ান্টাম কম্পিউটিং", রেভ। মোড। ফিজিও। 80, 1083 (2008)। অ্যাডি স্টার্ন এবং বার্ট্রান্ড আই. হ্যালপেরিন, ফিজি। রেভ. লেট., 96,016802 (2006), প্রাথমিক কণাগুলির অ-অ্যাবেলিয়ান নিউ = 5/2 কোয়ান্টাম হল স্টেট ইমার্জেন্স অনুসন্ধানের জন্য প্রস্তাবিত পরীক্ষা-নিরীক্ষা জিয়াও-গ্যাং ওয়েন, ফিজি। রেভ. D68,024501 (2003), স্ট্রিং-নেট ঘনীভবন এবং আলো ও ভরহীন ফার্মিওনের উৎপত্তি থেকে কোয়ান্টাম ক্রম আরও দেখুন ঝেং-চেং গু এবং জিয়াও-গাং ওয়েন, Gr-qc/0606100, মহাকর্ষের কোয়ান্টাম তত্ত্ব হিসাবে একটি ল্যাটিস বোসনিক মডেল, কোয়ান্টাম অপারেটর বীজগণিত ল্যান্ডসম্যান N. P. এবং রমজান B., লাই অ্যালজেব্রয়েডের সাথে সম্পর্কিত পয়সন অ্যালজেব্রার কোয়ান্টাইজেশন, প্রোক-এ। কনফ। পদার্থবিজ্ঞান, বিশ্লেষণ এবং জ্যামিতিতে গ্রুপয়েডের উপর (বোল্ডার সিও, 1999) ', সম্পাদক জে কামিনকার এবং অন্যান্য, 159 {192 কনটেম্প। গণিত। 282, আমের। গণিত। সোস., প্রভিডেন্স আরআই, 2001, (এছাড়াও গণিত {পিএইচ/001005।) অ-আবেলিয়ান কোয়ান্টাম বীজগাণিতিক টপোলজি (এন. এ. কিউ. এ. টি) 20 নভেম্বর (2008), 87 পৃষ্ঠা, বাইয়ানু, আই. সি। লেভিন এ. এবং ওলশানেটস্কি এম., হ্যামিল্টনিয়ান অ্যালজেব্রয়েড এবং রিমান বক্ররেখার উপর জটিল কাঠামোর বিকৃতি, হেপ-থ/0301078ভি1। জিয়াও-গাং ওয়েন, ইয়ং-শি উ এবং ওয়াই। হাতসুগাই., চিরাল অপারেটর পণ্য বীজগণিত এবং একটি এফকিউএইচ ড্রপলেট (পিডিএফ), নিউক্লের প্রান্ত উত্তেজনা। ফিজিও। B422,476 (1994): বাল্ক ওয়েভ ফাংশন তৈরি করতে, টপোলজিক্যাল অর্ডারগুলি চিহ্নিত করতে এবং কিছু অ-অ্যাবেলিয়ান FQH অবস্থার জন্য প্রান্তের অবস্থা গণনা করতে ব্যবহৃত কাইরাল অপারেটর পণ্য বীজগণিত। জিয়াও-গাং ওয়েন এবং ইয়ং-শি উ., চিরাল অপারেটর পণ্য বীজগণিত যা নির্দিষ্ট এফকিউএইচ অবস্থায় লুকিয়ে থাকে (পিডিএফ), নিউক্ল। ফিজিও। বি 419,455 (1994): প্রদর্শন করা হয়েছে যে অ-অ্যাবেলিয়ান টপোলজিকাল অর্ডারগুলি কাইরাল অপারেটর পণ্য বীজগণিতের সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত (কনফরমাল ফিল্ড তত্ত্বের পরিবর্তে)। অ-অ্যাবেলিয়ান তত্ত্ব। । আর. ব্রাউন, পিজে। হিগিন্স, পি. জে. এবং আর. সিভেরা, "ননবেলিয়ান অ্যালজেব্রিক টপোলজিঃ ফিল্টারড স্পেস, ক্রসড কমপ্লেক্স, কিউবিকাল হোমোটপি গ্রুপয়েড" গণিতে ইএমএস ট্র্যাক্টস খণ্ড 15 (2011), বিভাগগুলির জন্য একটি গ্রন্থপঞ্জি এবং তাত্ত্বিক পদার্থবিজ্ঞানে বীজগাণিতিক টপোলজি অ্যাপ্লিকেশন কোয়ান্টাম অ্যালজেব্রিক টপোলজি (কিউএটি) কোয়ান্টাম পর্যায়গুলি ঘনীভূত পদার্থবিজ্ঞান পরিসংখ্যানগত বলবিজ্ঞান