Alexander duality
গণিতে, আলেকজান্ডার দ্বৈততা 1915 সালে জে. ডব্লিউ আলেকজান্ডারের ফলস্বরূপ প্রবর্তিত একটি দ্বৈততা তত্ত্বকে বোঝায় এবং পরবর্তীকালে আরও উন্নত হয়, বিশেষ করে পাভেল আলেকজান্ডারভ এবং লেভ পন্ট্রিয়াগিনের দ্বারা। এটি ইউক্লিডীয় স্থান, একটি গোলক বা অন্যান্য বহুগুণে একটি সাবস্পেস এক্স-এর পরিপূরকের সমতাত্ত্বিক তত্ত্বের বৈশিষ্ট্যগুলির ক্ষেত্রে প্রযোজ্য। এটি স্প্যানিয়ার-হোয়াইটহেড দ্বৈততা দ্বারা সাধারণীকরণ করা হয়। গোলকের জন্য সাধারণ বিবৃতি ধরা যাক n মাত্রার গোলকের একটি কম্প্যাক্ট, স্থানীয়ভাবে সঙ্কুচিত সাবস্পেস। ধরা যাক এর পরিপূরক। তারপর যদি রিডিউসড হোমোলজি বা রিডিউসড কোহোমোলজি বোঝায়, একটি প্রদত্ত আবেলিয়ান গ্রুপে সহগ সহ, তবে সকলের জন্য একটি আইসোমরফিজম রয়েছে। লক্ষ্য করুন যে আমরা অনুমানের অংশ হিসাবে স্থানীয় সংকোচনশীলতা বাদ দিতে পারি যদি আমরা চেচ কোহোমোলজি ব্যবহার করি, যা স্থানীয় প্যাথোলজিগুলির সাথে মোকাবিলা করার জন্য ডিজাইন করা হয়েছে। প্রয়োগ এটি গাঁট এবং লিঙ্ক পরিপূরকগুলির কোহোমোলজি গণনা করার জন্য দরকারী। মনে রাখবেন যে একটি গিঁট একটি এম্বেডিং এবং একটি লিঙ্ক হল গিঁটগুলির একটি বিচ্ছিন্ন মিলন, যেমন বোরোমিয়ান রিং। তারপর, যদি আমরা লিঙ্ক/গিঁটটি লিখি, আমাদের আছে, কোহোমোলজি গ্রুপগুলি গণনা করার জন্য একটি পদ্ধতি প্রদান করে। তারপর, ম্যাসি পণ্য ব্যবহার করে বিভিন্ন লিঙ্কের মধ্যে পার্থক্য করা সম্ভব। উদাহরণস্বরূপ, বোরোমিয়ান বলয়ের জন্য, সমতাত্ত্বিক গোষ্ঠীগুলি গঠনযোগ্য শেভের জন্য আলেকজান্ডার দ্বৈততা মসৃণ বহুগুণের জন্য, আলেকজান্ডার দ্বৈততা আবেলিয়ান গোষ্ঠীর শেভের জন্য ভার্ডিয়ার দ্বৈততার একটি আনুষ্ঠানিক পরিণতি। আরও সুনির্দিষ্টভাবে, যদি আমরা একটি মসৃণ ম্যানিফোল্ডকে নির্দেশ করি এবং আমরা অন্তর্ভুক্তি দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা একটি বদ্ধ সাবস্পেস (যেমন একটি চক্রের প্রতিনিধিত্বকারী একটি সাবস্পেস, বা একটি সাবম্যানিফোল্ড) হতে দিই, এবং যদি একটি ক্ষেত্র হয়, তবে যদি-ভেক্টর স্পেসের একটি শেফ হয় তবে আমাদের নিম্নলিখিত আইসোমরফিজম রয়েছে, যেখানে বাম দিকের কোহোমোলজি গ্রুপটি কম্প্যাক্টভাবে সমর্থিত কোহোমোলজি। এর অর্থ কী তা আরও ভালভাবে বোঝার জন্য আমরা এই বিবৃতিটি আরও প্যাক করতে পারি। প্রথমত, যদি ধ্রুবক শিফ হয় এবং একটি মসৃণ সাবম্যানিফোল্ড হয়, তবে আমরা পাই, যেখানে ডানদিকে কোহোমোলজি গ্রুপটি স্থানীয় কোহোমোলজি সমর্থন করে। আরও হ্রাসের মাধ্যমে, এর সমরূপতা এবং সমরূপতা চিহ্নিত করা সম্ভব। এটি বীজগাণিতিক জ্যামিতিতে প্রজেক্টিভ বৈচিত্র্যের কোহোমোলজি গ্রুপগুলি গণনা করার জন্য কার্যকর এবং জ্যাকোবিয়ান বলয় ব্যবহার করে ডিগ্রির হাইপারসার্ফেসগুলির হজ কাঠামোর একটি ভিত্তি তৈরি করার জন্য ব্যবহার করা হয়। আলেকজান্ডারের 1915 সালের ফলাফল আলেকজান্ডারের মূল কাজের উল্লেখ করে, এটি ধরে নেওয়া হয় যে এক্স একটি সরল জটিল। আলেকজান্ডারের কাছে আধুনিক যন্ত্রপাতি খুব কম ছিল এবং তার ফলাফল ছিল শুধুমাত্র বেট্টি সংখ্যার জন্য, যার সহগ মডুলো 2 নেওয়া হয়েছিল। যা আশা করা যায় তা উদাহরণ থেকে আসে। উদাহরণস্বরূপ, 3-গোলকের ক্লিফোর্ড টরাস গঠন দেখায় যে একটি কঠিন টরাসের পরিপূরক হল আরেকটি কঠিন টরাস; যা খোলা থাকবে যদি অন্যটি বন্ধ থাকে, তবে এটি তার সমরূপতাকে প্রভাবিত করে না। প্রতিটি কঠিন তোরি হোমোটপি দৃষ্টিকোণ থেকে একটি বৃত্ত। যদি আমরা বৃত্তের বেট্টি সংখ্যা 1,1,0,0 লিখে রাখি (যেহেতু আমরা 3-গোলকের মধ্যে আছি), তাহলে 0,0,1,1 হিসাবে উল্টো করুন এবং তারপর 0,1,0 পেতে একটি বাম দিকে স্থানান্তর করুন, একটি অসুবিধা আছে, যেহেতু আমরা যা দিয়ে শুরু করেছি তা পাচ্ছি না। অন্যদিকে হ্রাসকৃত বেট্টি সংখ্যার ক্ষেত্রেও একই পদ্ধতি প্রয়োগ করা হয়, যার জন্য প্রাথমিক বেট্টি সংখ্যাটি 1 দ্বারা হ্রাস করা হয়, 0,1,0,0 দিয়ে শুরু হয় এবং 0,0,1,0 দেয় যেখানে 0,1,0,0 থেকে শুরু হয়। এটি কার্যকর হয়, পরিপূরকের হ্রাসকৃত বেট্টি সংখ্যার পূর্বাভাস দেয়। এখানে প্রোটোটাইপ হল জর্ডান বক্ররেখা উপপাদ্য, যা টপোলজিক্যালি রিমান গোলকের একটি বৃত্তের পরিপূরক নিয়ে উদ্বেগ প্রকাশ করে। সেও একই গল্প বলে। আমাদের কাছে বৃত্তের সৎ বেট্টি সংখ্যা 1,1,0 রয়েছে, এবং তাই উল্টে গিয়ে 0,1,1 এবং বাম দিকে সরে গিয়ে 1,1,0 রয়েছে। এটি জর্ডান উপপাদ্য যা বলে তার থেকে ভিন্ন কিছু ফিরিয়ে দেয়, যা হল যে দুটি উপাদান রয়েছে, প্রতিটি সঙ্কুচিত (স্কোনফ্লাইস উপপাদ্য, এখানে যা ব্যবহার করা হয়েছে সে সম্পর্কে সঠিক হতে)। অর্থাৎ, সৎ বেট্টি সংখ্যায় সঠিক উত্তর হল 2,0,0। আরও একবার, এটি হ্রাস পাওয়া বেট্টি সংখ্যা যা কার্যকর হয়। এগুলি দিয়ে আমরা 0,1,0 দিয়ে শুরু করি এবং 1,0,0 দিয়ে শেষ করি। এই দুটি উদাহরণ থেকে, আলেকজান্ডারের সূত্রটি অনুমান করা যেতে পারেঃ হ্রাসকৃত বেট্টি সংখ্যা দ্বারা পরিপূরক হিসাবে সম্পর্কিত। রেফারেন্স আরও পড়া বীজগাণিতিক টপোলজি দ্বৈততা তত্ত্ব