Riemann–Roch theorem for surfaces
গণিতে, পৃষ্ঠতলের জন্য রিম্যান-রক উপপাদ্য একটি বীজগাণিতিক পৃষ্ঠের রৈখিক ব্যবস্থার মাত্রা বর্ণনা করে। এর ধ্রুপদী রূপটি প্রথম দ্বারা দেওয়া হয়েছিল, এর প্রাথমিক সংস্করণগুলি এবং দ্বারা পাওয়া গিয়েছিল। শিফ-তাত্ত্বিক সংস্করণটি হিরজেব্রুচের কারণে। বিবৃতি রিমান-রক উপপাদ্যের একটি রূপ বলে যে যদি ডি একটি অ-একক প্রজেক্টিভ পৃষ্ঠের একটি বিভাজক হয় তবে যেখানে χ হল হোলোমরফিক অয়লার বৈশিষ্ট্য, বিন্দু। এটি ছেদ সংখ্যা, এবং কে হল ক্যানোনিকাল বিভাজক। ধ্রুবক χ (0) হল তুচ্ছ বান্ডিলের হলোমর্ফিক অয়লার বৈশিষ্ট্য, এবং 1 + পা-এর সমান, যেখানে পা হল পৃষ্ঠের গাণিতিক গণ। তুলনার জন্য, একটি বক্ররেখার জন্য রিম্যান-রক উপপাদ্য বলে যে χ (D) = χ (0) + ডিগ্রি (D)। নোইথারের সূত্র নোইথারের সূত্রে বলা হয়েছে যে যেখানে χ = χ (0) হল হলমর্ফিক অয়লার বৈশিষ্ট্য, c12 = (K. K) হল একটি চেরন সংখ্যা এবং ক্যানোনিকাল ক্লাস K-এর স্ব-ছেদ সংখ্যা, এবং e = c2 হল টপোলজিকাল অয়লার বৈশিষ্ট্য। এটি রিম্যান-রক উপপাদ্যের χ (0) শব্দটিকে টপোলজিকাল পদগুলির সাথে প্রতিস্থাপনের জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে; এটি পৃষ্ঠের জন্য হিরজেব্রুচ-রিম্যান-রক উপপাদ্য দেয়। হিরজেব্রুচ-রিম্যান-রক উপপাদ্যের সাথে সম্পর্ক পৃষ্ঠতলের জন্য, হিরজেব্রুচ-রিম্যান-রক উপপাদ্যটি মূলত নোইথার সূত্রের সাথে মিলিত পৃষ্ঠতলের জন্য রিম্যান-রক উপপাদ্য। এটি দেখার জন্য, মনে রাখবেন যে একটি পৃষ্ঠের প্রতিটি বিভাজক ডি-এর জন্য একটি বিপরীতশীল আবরণ এল = ও (ডি) রয়েছে যাতে ডি-এর রৈখিক ব্যবস্থাটি কমবেশি এল-এর বিভাগগুলির স্থানের সমান হয়। পৃষ্ঠের জন্য টড শ্রেণীটি হল, এবং আবরণ এল-এর চেরন চরিত্রটি ন্যায়সঙ্গত, তাই হিরজেব্রুচ-রিম্যান-রক উপপাদ্য বলে যে সৌভাগ্যবশত এটি নিম্নরূপ একটি স্পষ্ট আকারে লেখা যেতে পারে। প্রথমে ডি = 0 রাখলে দেখা যায় যে (নোইথারের সূত্র) ইনভার্টিবল শেভ (লাইন বান্ডিল)-এর জন্য দ্বিতীয় চেরন শ্রেণী অদৃশ্য হয়ে যায়। দ্বিতীয় কোহোমোলজি শ্রেণীর পণ্যগুলি পিকার্ড গ্রুপের ছেদ সংখ্যার সাথে চিহ্নিত করা যেতে পারে এবং আমরা পৃষ্ঠতলের জন্য রিম্যান রোচের আরও শাস্ত্রীয় সংস্করণ পাইঃ আমরা যদি চাই, আমরা এইচ 2 (ও (ডি)) কে এইচ 0 (ও (কে-ডি) হিসাবে প্রকাশ করতে সেরে দ্বৈততা ব্যবহার করতে পারি, তবে বক্ররেখার ক্ষেত্রে ভিন্নভাবে এইচ 1 (ও (ডি)) শব্দটি এমন আকারে লেখার কোনও সহজ উপায় নেই যা শেফ কোহোমোলজির সাথে জড়িত নয় (যদিও বাস্তবে এটি প্রায়শই অদৃশ্য হয়ে যায়)। প্রাথমিক সংস্করণ পৃষ্ঠতলের জন্য রিম্যান-রক উপপাদ্যের প্রাচীনতম রূপগুলি প্রায়শই সমতার পরিবর্তে অসমতা হিসাবে উল্লেখ করা হত, কারণ প্রথম কোহোমোলজি গোষ্ঠীর কোনও সরাসরি জ্যামিতিক বিবরণ ছিল না। একটি সাধারণ উদাহরণ দেওয়া হয়েছে, যেখানে বলা হয়েছে যে যেখানে r হল একটি বিভাজক D-এর সম্পূর্ণ রৈখিক সিস্টেমের মাত্রা |D। (সুতরাং r = h0 (O (D)) −1) n হল D-এর ভার্চ্যুয়াল ডিগ্রি, যা স্ব-ছেদ সংখ্যা (D. D) দ্বারা দেওয়া হয়েছে π হল D-এর ভার্চ্যুয়াল জেনাস, যা 1 + (D. D + K. D)/2 পা-এর সমান, অর্থাৎ পৃষ্ঠের গাণিতিক জেনাস χ (OF) −1 হল D-এর বিশেষত্বের সূচক, যা ডিম H0 (O (K−D)-এর সমান (যা সের দ্বৈততা দ্বারা ডিম H2 (O (D))-এর সমান)। এই বৈষম্যের দুই পক্ষের মধ্যে পার্থক্যকে বিভাজক ডি-এর অতি প্রাচুর্য বলা হয়। এই বৈষম্যকে রিমান-রক উপপাদ্যের শিফ-তাত্ত্বিক সংস্করণের সাথে তুলনা করলে দেখা যায় যে ডি-এর অতি প্রাচুর্য এস = ডিম এইচ1 (ও (ডি)) দ্বারা দেওয়া হয়। বিভাজক ডি-কে বলা হত নিয়মিত যদি i = s = 0 (অথবা অন্য কথায় যদি O (D)-এর সমস্ত উচ্চতর কোহোমোলজি গ্রুপ অদৃশ্য হয়ে যায়) এবং যদি s> 0 হয় তবে অতি প্রাচুর্য। রেফারেন্স ফ্রেডরিক হিরজেব্রুচের বীজগাণিতিক জ্যামিতিতে টপোলজিকাল পদ্ধতি বীজগাণিতিক জ্যামিতিতে উপপাদ্য বীজগাণিতিক পৃষ্ঠতল বীজগাণিতিক জ্যামিতির টপোলজিকাল পদ্ধতি