Duffing equation
ডাফিং সমীকরণ (বা ডাফিং দোলক), জর্জ ডাফিং (1861-1944)-এর নামে নামকরণ করা হয়েছে, এটি একটি অ-রৈখিক দ্বিতীয়-ক্রমের ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ যা নির্দিষ্ট ড্যাম্পড এবং চালিত দোলকগুলির মডেল তৈরি করতে ব্যবহৃত হয়। সমীকরণটি দেওয়া হয় যেখানে (অজানা) ফাংশনটি সময়ের স্থানচ্যুতি, সময়ের সাথে সম্পর্কিত প্রথম ডেরিভেটিভ, অর্থাৎ। বেগ, এবং অর্থাৎ এর দ্বিতীয় সময়-উদ্ভূত। ত্বরণ। সংখ্যা এবং ধ্রুবক দেওয়া হয়। সমীকরণটি সাধারণ সুরেলা গতির (যা মামলার সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ) তুলনায় আরও জটিল সম্ভাব্যতা সহ একটি স্যাঁতসেঁতে দোলকের গতি বর্ণনা করে; উদাহরণস্বরূপ, এটি একটি স্থিতিস্থাপক পেন্ডুলামের মডেল, যার স্প্রিংয়ের কঠোরতা হুকের আইনকে ঠিক মেনে চলে না। ডাফিং সমীকরণ একটি গতিশীল ব্যবস্থার উদাহরণ যা বিশৃঙ্খল আচরণ প্রদর্শন করে। উপরন্তু, ডাফিং সিস্টেম ফ্রিকোয়েন্সি প্রতিক্রিয়ায় লাফ অনুরণন ঘটনা উপস্থাপন করে যা এক ধরণের ফ্রিকোয়েন্সি হিস্টেরেসিস আচরণ। পরামিতিগুলি উপরের সমীকরণের পরামিতিগুলি হলঃ স্যাঁতসেঁতে হওয়ার পরিমাণ নিয়ন্ত্রণ করে, রৈখিক কঠোরতা নিয়ন্ত্রণ করে, পুনরুদ্ধার শক্তিতে অ-রৈখিকতার পরিমাণ নিয়ন্ত্রণ করে; যদি ডাফিং সমীকরণ একটি স্যাঁতসেঁতে এবং চালিত সাধারণ সুরেলা দোলকের বর্ণনা দেয়, তবে পর্যায়ক্রমিক চালিকা শক্তির প্রশস্ততা; যদি সিস্টেমটি চালিকা শক্তি ছাড়াই থাকে এবং পর্যায়ক্রমিক চালিকা শক্তির কৌণিক ফ্রিকোয়েন্সি হয়। ডাফিং সমীকরণকে একটি অরৈখিক স্প্রিং এবং একটি রৈখিক ড্যাম্পারের সাথে সংযুক্ত ভরের দোলনের বর্ণনা হিসাবে দেখা যেতে পারে। অ-রৈখিক স্প্রিং দ্বারা প্রদত্ত পুনরুদ্ধার শক্তি হল কখন এবং স্প্রিংকে কঠোর স্প্রিং বলা হয়। বিপরীতভাবে, কারণ এটি একটি নরম বসন্ত (এখনও সহ)। ফলস্বরূপ, (এবং)-এর মানগুলির উপর নির্ভর করে সাধারণভাবে ডাফিং সমীকরণের ক্ষেত্রে শক্তকরণ এবং নরমকরণ বিশেষণগুলি ব্যবহার করা হয়। ডাফিং সমীকরণে পরামিতিগুলির সংখ্যা স্কেলিংয়ের মাধ্যমে দুটি দ্বারা হ্রাস করা যেতে পারে (বাকিংহাম π উপপাদ্য অনুসারে), যেমন। ভ্রমণ এবং সময়কে এইভাবে পরিমাপ করা যেতে পারেঃ এবং ধরে নেওয়া যায় যে এটি ধনাত্মক (অন্যান্য পরিমাপগুলি পরামিতিগুলির বিভিন্ন পরিসরের জন্য বা অধ্যয়নরত সমস্যার উপর ভিন্ন জোর দেওয়ার জন্য সম্ভব)। তারপরঃ কোথায় এবং বিন্দুগুলি এর সাথে সম্পর্কিত পার্থক্যকে বোঝায় এটি দেখায় যে জোরপূর্বক এবং স্যাঁতসেঁতে ডাফিং সমীকরণের সমাধানগুলি তিনটি পরামিতি (,, এবং) এবং দুটি প্রাথমিক শর্তের (অর্থাৎ। এবং) এর জন্য। সমাধানের পদ্ধতি সাধারণভাবে, ডাফিং সমীকরণ একটি সঠিক প্রতীকী সমাধান স্বীকার করে না। যাইহোক, অনেক আনুমানিক পদ্ধতি ভাল কাজ করেঃ একটি ফুরিয়ার সিরিজের সম্প্রসারণ নির্বিচারে নির্ভুলতার জন্য গতির সমীকরণ প্রদান করতে পারে। শব্দটি, যাকে ডাফিং শব্দও বলা হয়, আনুমানিক ছোট হিসাবে অনুমান করা যেতে পারে এবং সিস্টেমটিকে একটি বিশৃঙ্খল সরল সুরেলা দোলক হিসাবে বিবেচনা করা হয়। ফ্রোবেনিয়াস পদ্ধতি একটি জটিল কিন্তু কার্যকরী সমাধান প্রদান করে। অয়লারের পদ্ধতি এবং রঙ-কুট্টা পদ্ধতির মতো বিভিন্ন সংখ্যাসূচক পদ্ধতির যে কোনও একটি ব্যবহার করা যেতে পারে। ডাফিং সমীকরণের আনুমানিক সমাধান পাওয়ার জন্য হোমোটপি বিশ্লেষণ পদ্ধতি (এইচ. এ. এম) রিপোর্ট করা হয়েছে, শক্তিশালী অরৈখিকতা জন্যও। আনড্যাম্পড () এবং আনড্রাইভেন () ডাফিং সমীকরণের বিশেষ ক্ষেত্রে জ্যাকোবির উপবৃত্তাকার ফাংশন ব্যবহার করে একটি সঠিক সমাধান পাওয়া যেতে পারে। অনফোর্স্ড অসিলেটরের জন্য সমাধানের সীমাবদ্ধতা আনড্যাম্পড অসিলেটর আনড্যাম্পড এবং আনফর্স্ড ডাফিং সমীকরণের গুণন, সহ দেয়ঃ একটি ধ্রুবক সহ। এর মান প্রাথমিক শর্ত দ্বারা নির্ধারিত হয় এবং H-এর প্রতিস্থাপন দেখায় যে সিস্টেমটি হ্যামিল্টনিয়ানঃ যখন উভয় এবং ধনাত্মক হয়, তখন সমাধানটি সীমাবদ্ধ হয়ঃ হ্যামিল্টনিয়ান ধনাত্মক হয়। ড্যাম্পড অসিলেটর একইভাবে, ড্যাম্পড অসিলেটর বিশ্বব্যাপী একত্রিত হয়, ল্যাপুনভ ফাংশন পদ্ধতি দ্বারা ড্যাম্পিংয়ের জন্য। স্যাঁতসেঁতে ডাফিং দোলককে জোর না দিয়ে তার স্থিতিশীল ভারসাম্য বিন্দুতে (গুলি) শেষ হবে। ভারসাম্য বিন্দু, স্থিতিশীল এবং অস্থিতিশীল, এখানে থাকে যদি স্থিতিশীল ভারসাম্য থাকে যদি এবং স্থিতিশীল ভারসাম্য থাকে এবং ফ্রিকোয়েন্সি প্রতিক্রিয়া ঘন অরৈখিকতা সহ বলপূর্বক ডাফিং দোলক নিম্নলিখিত সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ দ্বারা বর্ণনা করা হয়ঃ এই দোলকের ফ্রিকোয়েন্সি প্রতিক্রিয়া সমীকরণের স্থির অবস্থার প্রতিক্রিয়ার প্রশস্ততা বর্ণনা করে (অর্থাৎ) উদ্দীপনার প্রদত্ত ফ্রিকোয়েন্সিতে ফ্রিকোয়েন্সি প্রতিক্রিয়া সহ একটি রৈখিক দোলকের জন্যও রৈখিক। যাইহোক, একটি অ-শূন্য ঘন গুণাঙ্কের জন্য, ফ্রিকোয়েন্সি প্রতিক্রিয়া অরৈখিক হয়ে যায়। অরৈখিকতা প্রকারের উপর নির্ভর করে, ডাফিং দোলক শক্তকরণ, নরমকরণ বা মিশ্র শক্তকরণ-নরমকরণ ফ্রিকোয়েন্সি প্রতিক্রিয়া দেখাতে পারে। যাইহোক, হোমোটপি বিশ্লেষণ পদ্ধতি বা সুরেলা ভারসাম্য ব্যবহার করে নিম্নলিখিত আকারে একটি ফ্রিকোয়েন্সি প্রতিক্রিয়া সমীকরণ পাওয়া যায়ঃ ডাফিং সমীকরণের পরামিতিগুলির জন্য, উপরের বীজগাণিতিক সমীকরণটি প্রদত্ত উত্তেজনা ফ্রিকোয়েন্সিতে স্থির অবস্থার দোলন প্রশস্ততা দেয়। ফ্রিকোয়েন্সি প্রতিক্রিয়ার জন্য গ্রাফিকভাবে সমাধান আমরা সমতলে দুটি বক্ররেখার ছেদ হিসাবে গ্রাফিকভাবে সমাধান করতে পারিঃ স্থিরের জন্য, দ্বিতীয় বক্ররেখাটি প্রথম চতুর্থাংশে একটি স্থির হাইপারবোলা। প্রথম বক্ররেখাটি আকৃতি এবং অবস্থানে শীর্ষ সহ একটি প্যারাবোলা। যদি আমরা ঠিক করি এবং পরিবর্তন করি, তবে প্যারাবোলার শীর্ষটি রেখা বরাবর চলে যায়। গ্রাফিকভাবে, আমরা দেখতে পাই যে যদি একটি বড় ধনাত্মক সংখ্যা হয়, তবে পরিবর্তিত হওয়ার সাথে সাথে প্যারাবোলা হাইপারবোলাকে এক বিন্দুতে, তারপর তিনটি বিন্দুতে, তারপর আবার এক বিন্দুতে ছেদ করে। একইভাবে আমরা কেসটি বিশ্লেষণ করতে পারি যখন একটি বড় ঋণাত্মক সংখ্যা। লাফ ডাফিং সমীকরণে পরামিতিগুলির নির্দিষ্ট পরিসরের জন্য, ফ্রিকোয়েন্সি প্রতিক্রিয়া আর ফোর্সিং ফ্রিকোয়েন্সির একক-মূল্যবান ফাংশন হতে পারে না একটি শক্ত স্প্রিং দোলকের জন্য (এবং যথেষ্ট বড় ধনাত্মক) ফ্রিকোয়েন্সি প্রতিক্রিয়া উচ্চ-ফ্রিকোয়েন্সি দিকে এবং নরম স্প্রিং দোলকের জন্য নিম্ন-ফ্রিকোয়েন্সি দিকে (এবং)। নিচের ঝুলন্ত দিকটি অস্থিতিশীল-অর্থাৎ। ফ্রিকোয়েন্সি প্রতিক্রিয়ার পরিসংখ্যানে ড্যাশ-লাইনের অংশগুলি-এবং একটি টেকসই সময়ের জন্য উপলব্ধি করা যায় না। ফলস্বরূপ, লাফ দেওয়ার ঘটনাটি দেখা যায়ঃ যখন কৌণিক ফ্রিকোয়েন্সি ধীরে ধীরে বৃদ্ধি পায় (অন্যান্য প্যারামিটার স্থির থাকে), তখন প্রতিক্রিয়া প্রশস্ততা হঠাৎ এ থেকে বি-তে নেমে যায়, যদি ফ্রিকোয়েন্সি ধীরে ধীরে হ্রাস পায়, তবে সি-তে প্রশস্ততা ডি-তে লাফিয়ে ওঠে, তারপরে ফ্রিকোয়েন্সি প্রতিক্রিয়ার উপরের শাখাটি অনুসরণ করে। লাফ এ-বি এবং সি-ডি মিলে যায় না, তাই ফ্রিকোয়েন্সি সুইপের দিকের উপর নির্ভর করে সিস্টেমটি হিস্টেরেসিস দেখায়। বিশৃঙ্খলায় রূপান্তর উপরের বিশ্লেষণটি ধরে নিয়েছে যে বেস ফ্রিকোয়েন্সি প্রতিক্রিয়া আধিপত্য বিস্তার করে (সুরেলা ভারসাম্য সম্পাদনের জন্য প্রয়োজনীয়), এবং উচ্চ ফ্রিকোয়েন্সি প্রতিক্রিয়া নগণ্য। এই অনুমানটি ধরে রাখতে ব্যর্থ হয় যখন বল প্রয়োগ যথেষ্ট শক্তিশালী হয়। উচ্চ ক্রমের হারমোনিক্সকে অবহেলা করা যায় না এবং গতিবিদ্যা বিশৃঙ্খল হয়ে পড়ে। বিশৃঙ্খলার বিভিন্ন সম্ভাব্য রূপান্তর রয়েছে, সাধারণত ধারাবাহিক সময়ের দ্বিগুণ দ্বারা। উদাহরণস্বরূপ ডাফিং সমীকরণের সময় সিরিজ এবং পর্যায়ের প্রতিকৃতির কিছু সাধারণ উদাহরণ, যা পর্যায়-দ্বিগুণ বিভাজনের পাশাপাশি বিশৃঙ্খল আচরণের মাধ্যমে সাবহার্মোনিক্সের উপস্থিতি দেখায়-নীচের চিত্রগুলিতে দেখানো হয়েছে। বল প্রয়োগের প্রশস্ততা বৃদ্ধি পায় অন্যান্য পরামিতিগুলির মান রয়েছেঃ এবং প্রাথমিক শর্তগুলি হল এবং পর্যায় প্রতিকৃতিতে লাল বিন্দুগুলি মাঝে মাঝে হয় যা সময়ের একটি পূর্ণসংখ্যা গুণিতক রেফারেন্স উদ্ধৃতি গ্রন্থপঞ্জি বাহ্যিক লিঙ্ক স্কলারপিডিয়া ম্যাথওয়ার্ল্ড পেজে ডাফিং দোলক সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ বিশৃঙ্খল মানচিত্র অরৈখিক সিস্টেম ভিডিও ক্লিপযুক্ত নিবন্ধ