Second derivative
ক্যালকুলাসে, একটি ফাংশনের দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ বা দ্বিতীয় ক্রমের ডেরিভেটিভ হল এর ডেরিভেটিভের ডেরিভেটিভ। অনানুষ্ঠানিকভাবে, দ্বিতীয় অন্তরজকে "পরিবর্তনের হারের পরিবর্তনের হার" হিসাবে বর্ণনা করা যেতে পারে; উদাহরণস্বরূপ, সময়ের সাপেক্ষে কোনও বস্তুর অবস্থানের দ্বিতীয় অন্তরজ হল বস্তুর তাৎক্ষণিক ত্বরণ, বা সময়ের সাপেক্ষে বস্তুর বেগ যে হারে পরিবর্তিত হচ্ছে। লাইবনিজ স্বরলিপিতেঃ যেখানে ত্বরণ, হল বেগ, হল সময়, হল অবস্থান, এবং d হল তাৎক্ষণিক "ব-দ্বীপ" বা পরিবর্তন। শেষ অভিব্যক্তিটি সময়ের সাপেক্ষে অবস্থান ()-এর দ্বিতীয় ব্যুৎপত্তি। একটি ফাংশনের গ্রাফে, দ্বিতীয় ডেরিভেটিভটি গ্রাফের বক্রতা বা অবতলতার সাথে মিলে যায়। একটি ধনাত্মক দ্বিতীয় অন্তরজ সহ একটি ফাংশনের গ্রাফ ঊর্ধ্বমুখীভাবে অবতল, অন্যদিকে বিপরীতভাবে একটি ঋণাত্মক দ্বিতীয় অন্তরজ বক্ররেখা সহ একটি ফাংশনের গ্রাফ। দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ পাওয়ার রুল প্রথম ডেরিভেটিভের জন্য পাওয়ার রুল, যদি দু 'বার প্রয়োগ করা হয়, তবে দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ পাওয়ার রুলটি নিম্নরূপ তৈরি করবেঃ নোটেশন একটি ফাংশনের দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ সাধারণত চিহ্নিত করা হয়। অর্থাৎঃ ডেরিভেটিভের জন্য লাইবনিজের নোটেশন ব্যবহার করার সময়, একটি স্বাধীন চলকের সাপেক্ষে একটি নির্ভরশীল চলকের দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ লেখা হয় এই নোটেশনটি নিম্নলিখিত সূত্র থেকে উদ্ভূত হয়েছেঃ উদাহরণস্বরূপ যে ফাংশনের ডেরিভেটিভ দেওয়া হয়েছে তা হল ফাংশন দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ হল এর ডেরিভেটিভ, অর্থাৎ গ্রাফ কনক্যাভিটির সাথে সম্পর্ক একটি ফাংশনের দ্বিতীয় ডেরিভেটিভটি এর গ্রাফের কনক্যাভিটি নির্ধারণ করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। একটি ফাংশন যার দ্বিতীয় অন্তরজ ধনাত্মক হবে অবতল (উত্তল হিসাবেও উল্লেখ করা হয়), যার অর্থ স্পর্শক রেখাটি ফাংশনের গ্রাফের নীচে থাকবে। একইভাবে, একটি ফাংশন যার দ্বিতীয় অন্তরজ ঋণাত্মক হয় তা অবতল হবে (যাকে কেবল অবতলও বলা হয়), এবং এর স্পর্শক রেখাগুলি ফাংশনের গ্রাফের উপরে থাকবে। প্রতিফলন বিন্দু যদি কোনও ফাংশনের দ্বিতীয় অন্তরজ চিহ্ন পরিবর্তন করে, তবে ফাংশনের গ্রাফ অবতল থেকে অবতল উপরে বা তদ্বিপরীত দিকে পরিবর্তিত হবে। যে বিন্দুতে এটি ঘটে তাকে প্রতিফলন বিন্দু বলা হয়। দ্বিতীয় ব্যুৎপত্তিটি অবিচ্ছিন্ন বলে ধরে নিলে, এটি যে কোনও প্রতিফলন বিন্দুতে অবশ্যই শূন্যের মান নিতে হবে, যদিও প্রতিটি বিন্দু যেখানে দ্বিতীয় ব্যুৎপত্তিটি শূন্য তা অপরিহার্যভাবে একটি প্রতিফলন বিন্দু নয়। দ্বিতীয় ব্যুৎপত্তিগত পরীক্ষা দ্বিতীয় ব্যুৎপত্তিগত এবং গ্রাফের মধ্যে সম্পর্কটি একটি ফাংশনের জন্য একটি স্থির বিন্দু (অর্থাৎ, একটি বিন্দু যেখানে) একটি স্থানীয় সর্বাধিক বা স্থানীয় সর্বনিম্ন কিনা তা পরীক্ষা করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। বিশেষত, যদি, তাহলে একটি স্থানীয় সর্বোচ্চ থাকে। যদি, তাহলে একটি স্থানীয় ন্যূনতম থাকে। যদি, দ্বিতীয় ব্যুৎপত্তিগত পরীক্ষাটি বিন্দু সম্পর্কে কিছুই না বলে, একটি সম্ভাব্য প্রতিফলন বিন্দু। দ্বিতীয় ব্যুৎপত্তিটি এই ফলাফলগুলি তৈরি করার কারণটি একটি বাস্তব-বিশ্বের সাদৃশ্যের মাধ্যমে দেখা যায়। এমন একটি গাড়ির কথা বিবেচনা করুন যা প্রথমে একটি দুর্দান্ত গতিতে এগিয়ে চলেছে, তবে একটি নেতিবাচক ত্বরণ সহ। স্পষ্টতই, যে বিন্দুতে বেগ শূন্যে পৌঁছায় সেখানে গাড়ির অবস্থান হবে শুরুর অবস্থান থেকে সর্বাধিক দূরত্ব-এই সময়ের পরে, বেগ ঋণাত্মক হয়ে যাবে এবং গাড়িটি বিপরীত দিকে চলে যাবে। ন্যূনতমের ক্ষেত্রেও একই কথা প্রযোজ্য, এমন একটি গাড়ির ক্ষেত্রে যার প্রথমে খুব ঋণাত্মক বেগ কিন্তু ধনাত্মক ত্বরণ থাকে। দ্বিতীয় অন্তরজটির জন্য একটি একক সীমা লেখা সম্ভবঃ এই সীমাকে দ্বিতীয় প্রতিসম অন্তরজ বলা হয়। লক্ষ্য করুন যে দ্বিতীয় প্রতিসম অন্তরজটি (স্বাভাবিক) দ্বিতীয় অন্তরজটি না থাকলেও বিদ্যমান থাকতে পারে। ডানদিকের অভিব্যক্তিটি পার্থক্য ভাগফলের পার্থক্য ভাগফল হিসাবে লেখা যেতে পারেঃ এই সীমাটি ক্রমের জন্য দ্বিতীয় পার্থক্যের একটি অবিচ্ছিন্ন সংস্করণ হিসাবে দেখা যেতে পারে। তবে, উপরের সীমার অস্তিত্বের অর্থ এই নয় যে ফাংশনের একটি দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ রয়েছে। উপরের সীমাটি কেবল দ্বিতীয় অন্তরজ গণনা করার সম্ভাবনা দেয়-তবে কোনও সংজ্ঞা প্রদান করে না। একটি পাল্টা উদাহরণ হল সাইন ফাংশন, যা এইভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়ঃ সাইন ফাংশন শূন্যে অবিচ্ছিন্ন নয়, এবং তাই এর জন্য দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ বিদ্যমান নেই। কিন্তু উপরের সীমাটি নিম্নরূপঃ চতুর্ভুজ আনুমানিকতার জন্য বিদ্যমান ঠিক যেমন প্রথম অন্তরজটি রৈখিক আনুমানিকতার সাথে সম্পর্কিত, দ্বিতীয় অন্তরজটি একটি ফাংশনের জন্য সেরা চতুর্ভুজ আনুমানিকতার সাথে সম্পর্কিত। এটি দ্বিঘাত ফাংশন যার প্রথম এবং দ্বিতীয় অন্তরজ একটি নির্দিষ্ট বিন্দুর সমতুল্য। বিন্দুটির চারপাশে একটি ফাংশনের সর্বোত্তম চতুর্ভুজ আনুমানিকতার সূত্র হল এই চতুর্ভুজ আনুমানিক হল কেন্দ্রীভূত ফাংশনের জন্য দ্বিতীয়-ক্রমের টেলর বহুপদী। দ্বিতীয় ডেরিভেটিভের আইগেনভ্যালু এবং আইগেনভেক্টর সীমানা অবস্থার অনেক সংমিশ্রণের জন্য দ্বিতীয় ডেরিভেটিভের আইগেনভ্যালু এবং আইগেনভেক্টরের জন্য স্পষ্ট সূত্র পাওয়া যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, ধরে নেওয়া এবং সমজাতীয় ডিরিচলেট সীমানা শর্ত (অর্থাৎ, আইগেনভেক্টর কোথায়), আইগেনভ্যালুগুলি এবং সংশ্লিষ্ট আইগেনভেক্টরগুলি (যাকে আইগেনফংশনও বলা হয়) এখানে রয়েছে, অন্যান্য সুপরিচিত ক্ষেত্রে, দ্বিতীয় ডেরিভেটিভের আইগেনভ্যালু এবং আইগেনভেক্টর দেখুন। উচ্চতর মাত্রায় সাধারণীকরণ হেসিয়ান দ্বিতীয় ব্যুৎপত্তি দ্বিতীয় আংশিক ব্যুৎপত্তি ধারণার মাধ্যমে উচ্চতর মাত্রায় সাধারণীকরণ করে। একটি ফাংশনের জন্য, এগুলির মধ্যে তিনটি দ্বিতীয়-ক্রমের আংশিক এবং মিশ্র আংশিক অন্তর্ভুক্ত থাকে যদি ফাংশনের চিত্র এবং ডোমেন উভয়েরই একটি সম্ভাব্যতা থাকে, তবে এগুলি হেসিয়ান নামে পরিচিত একটি প্রতিসম ম্যাট্রিক্সে একসাথে ফিট করে। এই ম্যাট্রিক্সের আইগেনভ্যালুগুলি দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ পরীক্ষার একটি মাল্টিভ্যারিয়েবল অ্যানালগ বাস্তবায়নের জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে। (দ্বিতীয় আংশিক ব্যুৎপত্তিগত পরীক্ষাটিও দেখুন।) দ্বিতীয় ব্যুৎপত্তিটির আরেকটি সাধারণ সাধারণীকরণ হল ল্যাপলেসিয়ান। এটি ডিফারেনশিয়াল অপারেটর (বা) একটি ফাংশনের ল্যাপলেসিয়ান দ্বারা সংজ্ঞায়িত যা গ্রেডিয়েন্টের বিচ্যুতি এবং হেসিয়ান ম্যাট্রিক্সের ট্রেসের সমান। আরও দেখুন চিরপাইনেস, তাৎক্ষণিক পর্যায় সীমাবদ্ধ পার্থক্যের দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ, যা আনুমানিক দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ দ্বিতীয় আংশিক ডেরিভেটিভ পরীক্ষার দ্বিতীয় ডেরিভেটিভের প্রতিসাম্য হিসাবে ব্যবহৃত হয় আরও পড়ুন প্রিন্ট অনলাইন বই বহিরাগত লিঙ্কগুলি অসম ব্যবধান পয়েন্ট থেকে বিচ্ছিন্ন দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ গাণিতিক বিশ্লেষণ কালকুলাসে ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলাস ফাংশন এবং ম্যাপিং লিনিয়ার অপারেটর