Intersection theory
গণিতে, ছেদ তত্ত্ব বীজগাণিতিক জ্যামিতির অন্যতম প্রধান শাখা, যেখানে এটি একটি প্রদত্ত বৈচিত্র্যের দুটি উপ-বৈচিত্র্যের ছেদ সম্পর্কে তথ্য দেয়। বৈচিত্র্যের তত্ত্বটি পুরানো, যার শিকড় বেজাউটের বক্ররেখা এবং নির্মূল তত্ত্বের উপপাদ্যের মধ্যে রয়েছে। অন্যদিকে, টপোলজিক্যাল তত্ত্ব আরও দ্রুত একটি নির্দিষ্ট আকারে পৌঁছেছে। ছেদ তত্ত্বের এখনও একটি চলমান বিকাশ রয়েছে। বর্তমানে মূল ফোকাসটি হ 'লঃ ভার্চুয়াল মৌলিক চক্র, কোয়ান্টাম ছেদ বলয়, গ্রোমভ-উইটেন তত্ত্ব এবং স্কিম থেকে স্ট্যাক পর্যন্ত ছেদ তত্ত্বের সম্প্রসারণ। টপোলজিক্যাল ইন্টারসেকশন ফর্ম একটি সংযুক্ত ভিত্তিক মাত্রার ম্যানিফোল্ডের জন্য ইন্টারসেকশন ফর্মটি-তম কোহোমোলজি গ্রুপে (যাকে সাধারণত 'মধ্য মাত্রা' বলা হয়) মৌলিক শ্রেণীর কাপ পণ্যের মূল্যায়ন দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়। এটি জোড়ের জন্য একটি প্রতিসম রূপ (তাই দ্বিগুণ জোড়), এই ক্ষেত্রে এর স্বাক্ষরকে ফর্মের স্বাক্ষর হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় এবং বিজোড়ের জন্য একটি বিকল্প রূপ (তাই এককভাবে জোড়)। এগুলিকে সমানভাবে ε-প্রতিসম রূপ হিসাবে উল্লেখ করা যেতে পারে, যেখানে যথাক্রমে প্রতিসম এবং তির্যক-প্রতিসম রূপের জন্য। কিছু পরিস্থিতিতে এই ফর্মটিকে একটি-চতুর্ভুজ আকারে পরিমার্জন করা সম্ভব, যদিও এর জন্য অতিরিক্ত তথ্য প্রয়োজন যেমন স্পর্শক বান্ডিলের ফ্রেমিং। ওরিয়েন্টেবিলিটি শর্তটি বাদ দেওয়া এবং পরিবর্তে সহগগুলির সাথে কাজ করা সম্ভব। এই রূপগুলি গুরুত্বপূর্ণ টপোলজিকাল অপরিবর্তনীয়। উদাহরণস্বরূপ, মাইকেল ফ্রিডম্যানের একটি উপপাদ্য বলে যে কেবল সংযুক্ত কম্প্যাক্ট 4-ম্যানিফোল্ডগুলি (প্রায়) হোমিওমরফিজম পর্যন্ত তাদের ছেদ দ্বারা নির্ধারিত হয়। পয়েনকারে দ্বৈততা দ্বারা, এটি প্রমাণিত হয় যে এটি জ্যামিতিকভাবে চিন্তা করার একটি উপায় আছে। যদি সম্ভব হয়, এবং-এর পয়েনকারে ডুয়ালগুলির জন্য প্রতিনিধি-মাত্রিক সাবম্যানিফোল্ডগুলি বেছে নিন। তারপর হল এবং-এর অভিমুখী ছেদ সংখ্যা, যা সুনির্দিষ্টভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে কারণ যেহেতু এর মাত্রা এবং মোট মাত্রার যোগফল সাধারণত বিচ্ছিন্ন বিন্দুতে ছেদ করে। এটি পরিভাষা ছেদ রূপটি ব্যাখ্যা করে। বীজগাণিতিক জ্যামিতিতে ছেদ তত্ত্ব উইলিয়াম ফুলটন ইন্টারসেকশন থিওরি (1984)-তে লিখেছেন. যদি এবং একটি অ-একক বৈচিত্র্যের উপ-বৈচিত্র্য হয়, তবে ছেদ পণ্যটি বীজগাণিতিক চক্রের একটি সমতুল্য শ্রেণী হওয়া উচিত যা জ্যামিতির সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত এবং কিভাবে অবস্থিত। দুটি চরম ঘটনা সবচেয়ে বেশি পরিচিত। যদি ছেদ সঠিক হয়, অর্থাৎ। , তারপর এর অপরিবর্তনীয় উপাদানগুলির একটি রৈখিক সংমিশ্রণ, যার সহগগুলির ছেদ গুণিতক রয়েছে। অন্য প্রান্তে, যদি একটি অ-একক উপ-বৈচিত্র্য হয়, তবে স্ব-ছেদ সূত্রটি বলে যে এটি সাধারণ বান্ডিলের শীর্ষ চেরন শ্রেণী দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়। একটি সংজ্ঞা দেওয়ার জন্য, সাধারণ ক্ষেত্রে, ছেদ বহুগুণের আন্দ্রে ওয়েইলের 1946 সালের বই ফাউন্ডেশন্স অফ অ্যালজেব্রিক জ্যামিতির প্রধান উদ্বেগ ছিল। বি. এল. ভ্যান ডার ওয়ার্দেনের 1920-এর দশকে কাজ ইতিমধ্যে প্রশ্নটিকে সম্বোধন করেছিল; বীজগাণিতিক জ্যামিতির ইতালীয় স্কুলে ধারণাগুলি সুপরিচিত ছিল, তবে মৌলিক প্রশ্নগুলি একই চেতনায় সম্বোধন করা হয়নি। চলন্ত চক্র বীজগাণিতিক চক্রগুলিকে ছেদ করার একটি ভাল-কার্যকরী যন্ত্র এবং প্রশ্নযুক্ত চক্রগুলির কেবল সেট-তাত্ত্বিক ছেদ নেওয়ার চেয়ে আরও বেশি প্রয়োজন। যদি দুটি চক্র "ভাল অবস্থানে" থাকে তবে চিহ্নিত ছেদ পণ্যটি দুটি উপ-বৈচিত্র্যের সেট-তাত্ত্বিক ছেদ নিয়ে গঠিত হওয়া উচিত। তবে চক্রগুলি খারাপ অবস্থানে থাকতে পারে, যেমন। সমতলে দুটি সমান্তরাল রেখা, অথবা একটি রেখা সম্বলিত সমতল (3-স্থানে ছেদ করে)। উভয় ক্ষেত্রেই ছেদটি একটি বিন্দু হওয়া উচিত, কারণ, আবার, যদি একটি চক্র সরানো হয়, তবে এটি ছেদ হবে। দুটি চক্রের ছেদকে সঠিক বলা হয় যদি (সেট-তাত্ত্বিক) ছেদটির কোডিমেনশন যথাক্রমে এবং এর কোডিমেনশনের যোগফল হয়, অর্থাৎ। "প্রত্যাশিত" মান। অতএব, বীজগাণিতিক চক্রের উপর উপযুক্ত সমতুল্য সম্পর্ক ব্যবহার করে চলমান চক্রের ধারণাটি ব্যবহার করা হয়। সমতুল্যতা অবশ্যই এতটাই প্রশস্ত হতে হবে যে যে কোনও দুটি চক্র দেওয়া হয়েছে এবং সমতুল্য চক্র রয়েছে এবং যাতে ছেদটি সঠিক হয়। অবশ্যই, অন্যদিকে, একটি দ্বিতীয় সমতুল্য এবং এর সমতুল্য হতে হবে। ছেদ তত্ত্বের উদ্দেশ্যে, যুক্তিসঙ্গত সমতা সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ। সংক্ষেপে, একটি বৈচিত্র্যের উপর দ্বি-মাত্রিক চক্র যুক্তিসঙ্গতভাবে সমতুল্য হয় যদি একটি-মাত্রিক উপ-বৈচিত্র্যের উপর একটি যুক্তিসঙ্গত ফাংশন থাকে, অর্থাৎ। ফাংশন ক্ষেত্রের একটি উপাদান বা সমতুল্য একটি ফাংশন, যেমন, যেখানে গুণের সাথে গণনা করা হয়। যুক্তিসঙ্গত সমতা উপরে বর্ণিত চাহিদাগুলি পূরণ করে। ছেদের গুণাবলী চক্রের ছেদের গুণাবলীর সংজ্ঞায় একটি নির্দিষ্ট অর্থে ধারাবাহিকতা হল পথনির্দেশক নীতি। নিম্নলিখিত প্রাথমিক উদাহরণটি বিবেচনা করুনঃ একটি প্যারাবোলা এবং একটি অক্ষের ছেদ হওয়া উচিত, কারণ যদি একটি চক্র নড়াচড়া করে (তবুও একটি অনির্ধারিত অর্থে), তবে সুনির্দিষ্টভাবে দুটি ছেদ বিন্দু থাকে যা উভয়ই মিলিত হয় যখন চক্রগুলি চিত্রিত অবস্থানে পৌঁছায়। (প্যারাবোলা এবং রেখার আপাতদৃষ্টিতে ফাঁকা ছেদ হিসাবে ছবিটি বিভ্রান্তিকর, কারণ শুধুমাত্র সমীকরণগুলির প্রকৃত সমাধানগুলি চিত্রিত করা হয়েছে)। ছেদ গুণের প্রথম সম্পূর্ণ সন্তোষজনক সংজ্ঞাটি সের দ্বারা দেওয়া হয়েছিলঃ পরিবেষ্টনের বৈচিত্র্য মসৃণ (বা সমস্ত স্থানীয় বলয় নিয়মিত) হোক। আরও দুটি (অপরিবর্তনীয় হ্রাসকৃত বন্ধ) উপপ্রকার হতে দিন, যাতে তাদের ছেদ সঠিক হয়। গঠনটি স্থানীয়, তাই জাতগুলি দুটি আদর্শ এবং এর স্থানাঙ্ক বলয় দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে। সেট-তাত্ত্বিক ছেদ এবং এর সাধারণ বিন্দুর একটি অপরিবর্তনীয় উপাদান হতে দিন। ছেদ পণ্যের গুণফলটি উপ-বৈচিত্র্যের সাথে সম্পর্কিত ফ্যাক্টর রিংয়ের টর্জন গ্রুপের স্থানীয় বলয়ের দৈর্ঘ্যের উপর পর্যায়ক্রমে যোগফল দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়। এই অভিব্যক্তিটি কখনও কখনও সেরের টর-ফর্মুলা হিসাবে উল্লেখ করা হয়। মন্তব্যঃ প্রথম সারসংক্ষেপ, এর দৈর্ঘ্য হল বহুত্বের "সরল" অনুমান; তবে, সের যেমন দেখায়, এটি যথেষ্ট নয়। যোগফলটি সসীম, কারণ নিয়মিত স্থানীয় বলয়ের সসীম টর-মাত্রা রয়েছে। যদি এবং এর ছেদ সঠিক না হয়, তবে উপরের গুণিতক শূন্য হবে। যদি এটি সঠিক হয়, তবে এটি কঠোরভাবে ইতিবাচক। (উভয় বিবৃতিই সংজ্ঞা থেকে সুস্পষ্ট নয়)। একটি বর্ণালী ক্রম যুক্তি ব্যবহার করে, এটি দেখানো যেতে পারে। চৌ বলয় হল বীজগাণিতিক চক্রের মডুলো যুক্তিসঙ্গত সমতুল্যতা এবং নিম্নলিখিত বিনিময়যোগ্য ছেদ গুণফলের সমষ্টিঃ যখনই V এবং W বিপরীতমুখীভাবে মিলিত হয়, তখন সেট-তাত্ত্বিক ছেদকে অপরিবর্তনীয় উপাদানগুলিতে ভেঙে ফেলা হয়। স্ব-ছেদ দুটি উপ-বৈচিত্র দেওয়া হয়েছে এবং, কেউ তাদের ছেদ নিতে পারে, তবে এটি সম্ভব, যদিও আরও সূক্ষ্ম, একটি একক উপ-বৈচিত্র্যের স্ব-ছেদকে সংজ্ঞায়িত করা। উদাহরণস্বরূপ, একটি পৃষ্ঠের উপর একটি বক্ররেখা দেওয়া হলে, তার নিজের সাথে ছেদ (সেট হিসাবে) ঠিক নিজেই হয়ঃ এটি স্পষ্টভাবে সঠিক, কিন্তু অন্যদিকে অসন্তোষজনকঃ একটি পৃষ্ঠের যে কোনও দুটি স্বতন্ত্র বক্ররেখা (কোনও সাধারণ উপাদান ছাড়াই) দেওয়া হলে, তারা কিছু বিন্দুতে ছেদ করে, যা উদাহরণস্বরূপ কেউ গণনা করতে পারে, একটি ছেদ সংখ্যা অর্জন করে এবং আমরা একটি প্রদত্ত বক্ররেখার জন্য একই কাজ করতে চাইঃ সাদৃশ্যটি হল যে স্বতন্ত্র বক্ররেখা ছেদ করা দুটি সংখ্যাকে গুণ করার মতোঃ, অন্যদিকে স্ব-ছেদ একটি একক সংখ্যাকে বর্গ করার মতোঃ আনুষ্ঠানিকভাবে, সাদৃশ্যটিকে একটি প্রতিসম দ্বিমাত্রিক রূপ (গুণ) এবং একটি দ্বিঘাত রূপ (বর্গ) হিসাবে উল্লেখ করা হয়। এর একটি জ্যামিতিক সমাধান হল বক্ররেখাটিকে নিজের সাথে নয়, বরং নিজের সামান্য ধাক্কা দেওয়া সংস্করণের সাথে ছেদ করা। সমতলে, এর অর্থ বক্ররেখাটিকে কোনও দিকে অনুবাদ করা, তবে সাধারণভাবে কেউ এমন একটি বক্ররেখা নেওয়ার কথা বলে যা রৈখিকভাবে সমতুল্য, এবং ছেদ গণনা করে, এইভাবে একটি ছেদ সংখ্যা অর্জন করে, যা চিহ্নিত করা হয়। লক্ষ্য করুন যে স্বতন্ত্র বক্ররেখার বিপরীতে এবং, ছেদনের প্রকৃত বিন্দুগুলি সংজ্ঞায়িত করা হয় না, কারণ তারা একটি পছন্দের উপর নির্ভর করে, তবে এর স্ব-ছেদ বিন্দুগুলিকে সাধারণ বিন্দু হিসাবে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে, যেখানে। আরও সঠিকভাবে, এর স্ব-ছেদ বিন্দু হল এর সাধারণ বিন্দু, যা বহুগুণের সাথে নেওয়া হয়। বিকল্পভাবে, কেউ বীজগাণিতিকভাবে এই সমস্যাটি "সমাধান" করতে পারে (বা অনুপ্রাণিত করতে পারে) দ্বৈতকরণের মাধ্যমে, এবং এর শ্রেণীর দিকে তাকিয়ে-এটি উভয়ই একটি সংখ্যা দেয়, এবং একটি জ্যামিতিক ব্যাখ্যার প্রশ্ন উত্থাপন করে। লক্ষ্য করুন যে কোহোমোলজি ক্লাসে উত্তীর্ণ হওয়া একটি রৈখিক ব্যবস্থা দ্বারা একটি বক্ররেখা প্রতিস্থাপনের অনুরূপ। লক্ষ্য করুন যে স্ব-ছেদ সংখ্যাটি ঋণাত্মক হতে পারে, যেমন নীচের উদাহরণটি দেখায়। উদাহরণস্বরূপ, প্রজেক্টিভ সমতলে একটি রেখা বিবেচনা করুনঃ এটির স্ব-ছেদ সংখ্যা 1 রয়েছে কারণ অন্যান্য সমস্ত রেখা এটি একবার অতিক্রম করেঃ কেউ এর দিকে ধাক্কা দিতে পারে, এবং (যে কোনও পছন্দের জন্য), তাই। ছেদ রূপের পরিপ্রেক্ষিতে, আমরা বলি যে সমতলে এক ধরনের রেখা রয়েছে (শুধুমাত্র একটি শ্রেণীর রেখা রয়েছে এবং তারা সবাই একে অপরের সাথে ছেদ করে)। লক্ষ্য করুন যে অ্যাফিন সমতলে, কেউ একটি সমান্তরাল রেখার দিকে ধাক্কা দিতে পারে, তাই (জ্যামিতিকভাবে চিন্তা করে) ছেদ বিন্দুর সংখ্যা পুশ-অফের পছন্দের উপর নির্ভর করে। একটি বলে যে "অ্যাফিন সমতলে একটি ভাল ছেদ তত্ত্ব নেই", এবং অ-অভিক্ষিপ্ত বৈচিত্র্যের উপর ছেদ তত্ত্ব অনেক বেশি কঠিন। একটি রেখার (যা অ-একক চতুর্ভুজ হিসাবেও ব্যাখ্যা করা যেতে পারে) স্ব-ছেদ রয়েছে, কারণ একটি রেখা নিজেই সরানো যেতে পারে। (এটি একটি নিয়ন্ত্রিত পৃষ্ঠ।) ছেদ রূপের পরিপ্রেক্ষিতে, আমরা বলি যে এর একটি প্রকার রয়েছে-দুটি মৌলিক শ্রেণীর রেখা রয়েছে, যা একে অপরকে একটি বিন্দুতে ছেদ করে (), তবে শূন্য স্ব-ছেদ (না বা পদ) রয়েছে। ব্লো-আপগুলি স্ব-ছেদ সংখ্যার একটি মূল উদাহরণ হল একটি ব্লো-আপের ব্যতিক্রমী বক্ররেখা, যা জন্মগত জ্যামিতিতে একটি কেন্দ্রীয় ক্রিয়া। একটি বীজগাণিতিক পৃষ্ঠের পরিপ্রেক্ষিতে, একটি বিন্দুতে ফুঁ দিয়ে একটি বক্ররেখা তৈরি হয়। এই বক্ররেখাটি তার গণ দ্বারা স্বীকৃত, যা হল, এবং এর স্ব-ছেদ সংখ্যা, যা হল। (এটা স্পষ্ট নয়।) লক্ষ্য করুন যে, ফলস্বরূপ, এবং ন্যূনতম পৃষ্ঠতল (এগুলি ব্লো-আপ নয়), কারণ এগুলির নেতিবাচক স্ব-ছেদ সহ কোনও বক্ররেখা নেই। প্রকৃতপক্ষে, ক্যাসেলনুভোর সংকোচন উপপাদ্যটি বিপরীতটি বলেঃ প্রতিটি-বক্ররেখা হল কিছু ব্লো-আপের ব্যতিক্রমী বক্ররেখা (এটি "নিচে উড়ানো" হতে পারে)। আরও দেখুন চাউ গ্রুপ গ্রোথেন্ডিক-রিম্যান-রক উপপাদ্য গণনামূলক জ্যামিতি উদ্ধৃতি রেফারেন্স গ্রন্থপঞ্জি