Köthe conjecture
গণিতে, কোথে অনুমান রিং তত্ত্বের একটি সমস্যা, উন্মুক্ত। এটি বিভিন্ন উপায়ে তৈরি করা হয়। ধরুন, R একটি বলয়। অনুমানটি বলার একটি উপায় হল যে, যদি {0} ব্যতীত R-এর কোনও শূন্য আদর্শ না থাকে, তবে {0} ব্যতীত এর কোনও শূন্য একমুখী আদর্শ না থাকে। এই প্রশ্নটি 1930 সালে গটফ্রিড কোথে (1905-1989) দ্বারা উত্থাপিত হয়েছিল। পলিনোমিয়াল আইডেন্টিটি রিং এবং রাইট নোথেরিয়ান রিংয়ের মতো বিভিন্ন শ্রেণীর বলয়ের ক্ষেত্রে কোথে অনুমানটি সত্য বলে প্রমাণিত হয়েছে, তবে একটি সাধারণ সমাধান অধরা রয়ে গেছে। সমতুল্য সূত্র অনুমানের বিভিন্ন সূত্র রয়েছেঃ (কোথে অনুমান) যে কোনও বলয়ে, দুটি শূন্য বাম আদর্শের যোগফল শূন্য। যে কোনও বলয়ে, দুটি একতরফা শূন্য আদর্শের যোগফল শূন্য। যে কোনও রিংয়ে, রিংয়ের প্রতিটি শূন্য বাম বা ডান আইডিয়াল রিংয়ের উপরের শূন্য র্যাডিকেলের মধ্যে থাকে। যে কোনও বলয় R-এর জন্য এবং যে কোনও শূন্য আদর্শ J-এর জন্য, ম্যাট্রিক্স আদর্শ Mn (J) হল প্রতিটি n-এর জন্য Mn (R)-এর একটি শূন্য আদর্শ। যে কোনও বলয় R-এর জন্য এবং যে কোনও শূন্য আদর্শ J-এর জন্য, ম্যাট্রিক্স আদর্শ M2 (J) হল M2 (R)-এর একটি শূন্য আদর্শ। যেকোনও বলয় R-এর জন্য, Mn (R)-এর উপরের নিল্রাডিক্যাল হল ম্যাট্রিক্সের সেট যার প্রতিটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা n-এর জন্য R-এর উপরের নিল্রাডিক্যাল থেকে এন্ট্রি থাকে। যেকোনও বলয় R-এর জন্য এবং R-এর যেকোনও শূন্য আদর্শ J-এর জন্য, অনির্দিষ্ট x এবং J-এর সহগ সহ বহুপদগুলি বহুপদী বলয় R [x]-এর জ্যাকবসন র্যাডিক্যালের মধ্যে থাকে। যেকোনও বলয় R-এর জন্য, R [x]-এর জ্যাকবসন র্যাডিকেলটি R-এর উপরের নিল্রাডিকাল থেকে সহগ সহ বহুপদ নিয়ে গঠিত। সম্পর্কিত সমস্যা অ্যামিতসুরের একটি অনুমান অনুযায়ীঃ "যদি J, R-এ একটি শূন্য আদর্শ হয়, তবে J [x] বহুপদী বলয় R [x]-এর একটি শূন্য আদর্শ।" এই অনুমানটি যদি সত্য হয়, তবে উপরের সমতুল্য বিবৃতির মাধ্যমে কোথে অনুমানটি প্রমাণিত হত, তবে একটি পাল্টা উদাহরণ আগাটা স্মোকটুনোভিচ তৈরি করেছিলেন। যদিও কোথে অনুমানের অসঙ্গতি নয়, এটি সন্দেহ জাগিয়ে তোলে যে কোথে অনুমানটি মিথ্যা হতে পারে। কেগেল প্রমাণ করেছিলেন যে একটি রিং যা দুটি নিলপোটেন্ট সাব রিংয়ের সরাসরি যোগফল নিজেই নিলপোটেন্ট। প্রশ্ন উঠেছিল যে "নিলপোটেন্ট" কে "স্থানীয়ভাবে নিলপোটেন্ট" বা "নিল" দিয়ে প্রতিস্থাপন করা যেতে পারে কিনা। আংশিক অগ্রগতি হয়েছিল যখন কেলারেভ একটি বলয়ের উদাহরণ তৈরি করেছিলেন যা শূন্য নয়, তবে স্থানীয়ভাবে দুটি নিলপোটেন্ট বলয়ের সরাসরি যোগফল। এটি দেখায় যে "নিলপোটেন্ট"-এর পরিবর্তে "স্থানীয়ভাবে নিলপোটেন্ট" দিয়ে কেগেলের প্রশ্নের উত্তর নেতিবাচক। একটি নিলপোটেন্ট সাব রিং এবং একটি নিল সাব রিংয়ের যোগফল সর্বদা শূন্য হয়। তথ্যসূত্র বাইরের লিঙ্ক প্ল্যানেটম্যাথ পেজ সার্ভে পেপার (পিডিএফ) রিং তত্ত্ব গণিতে অমীমাংসিত সমস্যা অনুমান করে