CR manifold
গণিতে, একটি সি. আর ম্যানিফোল্ড বা কচি-রিম্যান ম্যানিফোল্ড হল একটি জটিল ভেক্টর স্পেসে একটি বাস্তব হাইপারসারফেসের উপর মডেল করা জ্যামিতিক কাঠামো সহ একটি ডিফারেনশিয়েবল ম্যানিফোল্ড, বা আরও সাধারণভাবে একটি পাঁজরের প্রান্তে মডেল করা হয়। আনুষ্ঠানিকভাবে, একটি সি. আর ম্যানিফোল্ড হল একটি পছন্দসই জটিল বন্টন এল সহ একটি ডিফারেনশিয়েবল ম্যানিফোল্ড এম, বা অন্য কথায় জটিল স্পর্শক বান্ডিলের একটি জটিল সাববুন্ডল যেমন (এল আনুষ্ঠানিকভাবে ইন্টিগ্রেবল)। সাববুন্ডল এল-কে বহুগুণ এম-এ সিআর কাঠামো বলা হয়। সিআর সংক্ষেপে "কচি-রিম্যান" বা "কমপ্লেক্স-রিয়েল" বোঝায়। ভূমিকা এবং অনুপ্রেরণা একটি সি. আর কাঠামোর ধারণাটি অতিপৃষ্ঠের স্পর্শক হোলোমর্ফিক ভেক্টর ক্ষেত্রগুলির বৈশিষ্ট্যগুলি অধ্যয়ন করে জটিল স্থানে একটি অতিপৃষ্ঠ (বা উচ্চতর কোডিমেনশনের কিছু বাস্তব সাবম্যানিফোল্ড) হওয়ার বৈশিষ্ট্যকে অভ্যন্তরীণভাবে বর্ণনা করার চেষ্টা করে। উদাহরণস্বরূপ ধরুন যে, M হল সমীকরণ দ্বারা প্রদত্ত অতিপৃষ্ঠ যেখানে z এবং w হল সাধারণ জটিল স্থানাঙ্ক। হোলমর্ফিক স্পর্শক বান্ডিল ভেক্টরগুলির সমস্ত রৈখিক সংমিশ্রণ নিয়ে গঠিত M-এর উপর বন্টন L এই ভেক্টরগুলির সমস্ত সংমিশ্রণ নিয়ে গঠিত যা M-এর স্পর্শক। স্পর্শক ভেক্টরগুলিকে অবশ্যই M-এর সংজ্ঞায়িত সমীকরণটিকে ধ্বংস করতে হবে, তাই L-এর জটিল স্কেলার গুণিতক নিয়ে গঠিত। আরও সাধারণভাবে, ধরুন যে M একটি বাস্তব অতিপৃষ্ঠ যা সমীকরণ F (z1,., zn) = 0 সংজ্ঞায়িত করে। তারপর সিআর কাঠামো এল মৌলিক হোলোমর্ফিক ভেক্টরগুলির সেই রৈখিক সংমিশ্রণগুলি নিয়ে গঠিতঃ যা সংজ্ঞায়িত ফাংশনটিকে ধ্বংস করে দেয়। এই ক্ষেত্রে, আগের মতো একই কারণে। উপরন্তু, [এল, এল] এল যেহেতু হোলোমর্ফিক ভেক্টর ক্ষেত্রের কমিউটেটর এফ-কে ধ্বংস করে আবার একটি হোলোমর্ফিক ভেক্টর ক্ষেত্র যা এফ-কে ধ্বংস করে। এমবেডেড এবং বিমূর্ত সিআর ম্যানিফোল্ডস এমবেডেড সিআর ম্যানিফোল্ডস (হাইপারসার্ফেস এবং জটিল স্থানে ওয়েজের প্রান্ত) এবং বিমূর্ত সিআর ম্যানিফোল্ডস (জটিল বন্টন এল দ্বারা প্রদত্ত) তত্ত্বগুলির মধ্যে একটি তীব্র বৈপরীত্য রয়েছে। অনেক আনুষ্ঠানিক জ্যামিতিক বৈশিষ্ট্য একই রকম। এর মধ্যে রয়েছেঃ উত্তলতার একটি ধারণা (লেভি ফর্ম দ্বারা সরবরাহ করা) একটি ডিফারেনশিয়াল অপারেটর, যা ডলবিওল্ট অপারেটরের অনুরূপ এবং একটি সম্পর্কিত কোহোমোলজি (স্পর্শক কাউচি-রিম্যান কমপ্লেক্স)। অন্তর্নির্মিত সিআর ম্যানিফোল্ডগুলির কিছু অতিরিক্ত কাঠামো রয়েছে, যদিওঃ কচি-রিম্যান সমীকরণের জন্য একটি নিউম্যান এবং ডিরিচলেট সমস্যা। এই নিবন্ধটি প্রথমে এমবেডেড সিআর ম্যানিফোল্ডের জ্যামিতি নিয়ে আলোচনা করে, দেখায় যে কীভাবে এই কাঠামোগুলিকে অভ্যন্তরীণভাবে সংজ্ঞায়িত করা যায় এবং তারপরে এগুলিকে বিমূর্ত সেটিংয়ে সাধারণীকরণ করা হয়। এমবেডেড সি. আর ম্যানিফোল্ডস প্রিলিমিনারি এমবেডেড সি. আর ম্যানিফোল্ডগুলি, প্রথম এবং সর্বাগ্রে, জটিল স্পর্শক বান্ডিলের একটি জোড়া সাববুন্ডলকে সংজ্ঞায়িত করুনঃ অ্যান্টিহোলোমর্ফিক ফাংশনগুলিকে ধ্বংস করে জটিল ভেক্টর নিয়ে গঠিত। হোলোমর্ফিক স্থানাঙ্কেঃ হলোমর্ফিক ফাংশনগুলিকে ধ্বংস করে জটিল ভেক্টর নিয়ে গঠিত। স্থানাঙ্কেঃ এছাড়াও প্রাসঙ্গিক ডলবিউল্ট কমপ্লেক্স থেকে চরিত্রগত অ্যানিহিলেটরঃ স্থানাঙ্কে, স্থানাঙ্কে, এগুলির বাহ্যিক পণ্যগুলি স্ব-স্পষ্ট স্বরলিপি ω (p, q) দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, এবং ডলবিউল্ট অপারেটর এবং এই স্থানগুলির মধ্যে তার জটিল কনজুগেট মানচিত্রের মাধ্যমেঃ উপরন্তু, এর মাধ্যমে স্বাভাবিক বাহ্যিক ডেরিভেটিভের একটি পচন ঘটে। জটিল স্থানের বাস্তব সাব-ম্যানিফোল্ডগুলি একটি বাস্তব সাব-ম্যানিফোল্ড হিসাবে ধরা যাক, স্থানীয়ভাবে মসৃণ বাস্তব-মূল্যবান ফাংশনের একটি সিস্টেমের লোকাস হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় মনে করুন যে এই সিস্টেমের ডিফারেনশিয়ালের জটিল-রৈখিক অংশটির সর্বাধিক র্যাঙ্ক রয়েছে, এই অর্থে যে ডিফারেনশিয়ালগুলি নিম্নলিখিত স্বাধীনতা শর্তটি সন্তুষ্ট করেঃ লক্ষ্য করুন যে এই শর্তটি অন্তর্নিহিত ফাংশন উপপাদ্য প্রয়োগ করার জন্য প্রয়োজনের চেয়ে কঠোরভাবে শক্তিশালীঃ বিশেষত, এম বাস্তব মাত্রার একটি ম্যানিফোল্ড আমরা বলি যে এম হল সিআর কোডিমেনশন কে-এর একটি জেনেরিক এমবেডেড সিআর সাব-ম্যানিফোল্ড। বিশেষণ জেনেরিক ইঙ্গিত দেয় যে স্পর্শক স্থানটি জটিল সংখ্যার স্পর্শক স্থান জুড়ে বিস্তৃত। বেশিরভাগ প্রয়োগে, k = 1, এই ক্ষেত্রে ম্যানিফোল্ডকে হাইপারসারফেস ধরনের বলা হয়। সমস্ত সংজ্ঞায়িত ফাংশনকে ধ্বংসকারী ভেক্টরের সাববুন্ডল হতে দিন, মনে রাখবেন যে, হাইপারসার্ফেসগুলিতে ইন্টিগ্রেবল ডিস্ট্রিবিউশনের জন্য সাধারণ বিবেচনার ভিত্তিতে, এল হল ইনভোলিউটিভ। উপরন্তু, স্বাধীনতা শর্তটি বোঝায় যে L হল n − k ধ্রুবক র্যাঙ্কের একটি বান্ডিল। এখন থেকে, ধরুন যে k = 1 (যাতে সিআর ম্যানিফোল্ড হাইপারসারফেস ধরনের হয়), যদি না অন্যথায় উল্লেখ করা হয়। লেভি ফর্ম ধরা যাক এম একক সংজ্ঞায়িত ফাংশন এফ = 0 সহ হাইপারসারফেস ধরণের একটি সিআর ম্যানিফোল্ড। এম-এর লেভি রূপ, ইউজেনিও এলিয়া লেভির নামে নামকরণ করা হয়েছে, এটি হার্মিশিয়ান 2-ফর্ম এটি এল. এম-এর একটি মেট্রিক নির্ধারণ করে, যদি এইচ ধনাত্মক নির্দিষ্ট হয় (বা এইচ ধনাত্মক সেমিডিফাইনাইটের ক্ষেত্রে সিউডোকনভেক্স) তবে এটি কঠোরভাবে সিউডোকনভেক্স (এফ <0 পাশ থেকে) বলা হয়। সি. আর ম্যানিফোল্ড তত্ত্বের অনেক বিশ্লেষণাত্মক অস্তিত্ব এবং স্বতন্ত্রতার ফলাফল সিউডোকনভেক্সিটির উপর নির্ভর করে। এই নামকরণটি সিউডোকনভেক্স ডোমেনের অধ্যয়ন থেকে এসেছেঃ এম হল একটি (কঠোরভাবে) সিউডোকনভেক্স ডোমেনের সীমানা যদি এবং শুধুমাত্র যদি এটি ডোমেনের পাশ থেকে সিআর ম্যানিফোল্ড হিসাবে (কঠোরভাবে) সিউডোকনভেক্স হয়। (প্লুরিসুফার্মোনিক ফাংশন এবং স্টেইন ম্যানিফোল্ড দেখুন।) বিমূর্ত সি. আর কাঠামো বাস্তব মাত্রা এন-এর বাস্তব বহুগুণ এম-এর উপর একটি বিমূর্ত সি. আর কাঠামো জটিল স্পর্শক বান্ডিলের একটি জটিল সাববুন্ডল এল নিয়ে গঠিত যা আনুষ্ঠানিকভাবে ইন্টিগ্রেবল, এই অর্থে যে [এল, এল] এল, যার জটিল কনজুগেটের সাথে শূন্য ছেদ রয়েছে। সিআর কাঠামোর সিআর কোডিমেনশন হল যেখানে ডিম এল হল জটিল মাত্রা। যদি k = 1 হয়, তাহলে সিআর কাঠামোকে হাইপারসারফেস ধরনের বলা হয়। বিমূর্ত সিআর কাঠামোর বেশিরভাগ উদাহরণ হাইপারসারফেস ধরনের। লেভি ফর্ম এবং সিউডোকনভেক্সিটি ধরুন যে এম হাইপারসারফেস ধরনের একটি সিআর ম্যানিফোল্ড। লেভি ফর্ম হল ভেক্টরের মূল্য 2-ফর্ম, যা এল-এ সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে, এইচ দ্বারা প্রদত্ত লাইন বান্ডিলের মানগুলি এল-এর উপর একটি সেস্কুইলিনিয়ার ফর্মকে সংজ্ঞায়িত করে কারণ এটি ইন্টিগ্রেবিলিটি শর্ত দ্বারা ভি এবং ডাব্লু কীভাবে এল-এর বিভাগে প্রসারিত হয় তার উপর নির্ভর করে না। এই রূপটি একই অভিব্যক্তি দ্বারা বান্ডিলের উপর একটি হার্মিশিয়ান রূপ পর্যন্ত প্রসারিত হয়। বর্ধিত রূপটিকে কখনও কখনও লেভি রূপ হিসাবেও উল্লেখ করা হয়। লেভি রূপটি বিকল্পভাবে দ্বৈততার পরিপ্রেক্ষিতে চিহ্নিত করা যেতে পারে। জটিল কোট্যাঞ্জেন্ট বান্ডিলের লাইন সাবব্যান্ডেলটি বিবেচনা করুন যা V-কে ধ্বংস করে দেয় প্রতিটি স্থানীয় বিভাগের জন্য, ধরা যাক ফর্ম hα হল একটি জটিল-মূল্যবান হার্মিশিয়ান ফর্ম যা α-এর সাথে যুক্ত। লেভি ফর্মের সাধারণীকরণগুলি বিদ্যমান যখন ম্যানিফোল্ডটি হাইপারসার্ফেস টাইপের নয়, এই ক্ষেত্রে ফর্মটি আর একটি লাইন বান্ডেলে মান গ্রহণ করে না, বরং একটি ভেক্টর বান্ডেলে থাকে। তখন কেউ লেভি রূপের কথা বলতে পারে না, বরং কাঠামোর জন্য লেভি রূপের একটি সংগ্রহের কথা বলতে পারে। বিমূর্ত সিআর ম্যানিফোল্ডগুলিতে, দৃঢ়ভাবে সিউডো-কনভেক্স ধরনের, লেভি ফর্ম একটি সিউডো-হার্মিটিয়ান মেট্রিকের জন্ম দেয়। মেট্রিক শুধুমাত্র হোলোমর্ফিক স্পর্শক ভেক্টরের জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয় এবং তাই অবক্ষয় হয়। তারপরে একটি সংযোগ এবং টর্জন এবং সম্পর্কিত বক্রতা টেনসরগুলি সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে উদাহরণস্বরূপ এই মেট্রিক ব্যবহার করে রিচি বক্রতা এবং স্কেলার বক্রতা। এটি ডেভিড জেরিসন এবং জন লি দ্বারা প্রথম অধ্যয়ন করা একটি অনুরূপ সি. আর ইয়ামাবে সমস্যার জন্ম দেয়। সিডনি এম. ওয়েবস্টার সমতুল্য সমস্যা অধ্যয়নের উপর তাঁর গবেষণাপত্রে সিআর ম্যানিফোল্ডের সাথে সম্পর্কিত সংযোগটি প্রথম সংজ্ঞায়িত ও অধ্যয়ন করেছিলেন এবং স্বাধীনভাবে তানাকা দ্বারাও সংজ্ঞায়িত ও অধ্যয়ন করেছিলেন। এই ধারণাগুলির বিবরণ নিবন্ধগুলিতে পাওয়া যেতে পারে। সি. আর. জ্যামিতির মৌলিক প্রশ্নগুলির মধ্যে একটি হল জিজ্ঞাসা করা যে বিমূর্ত সি. আর কাঠামো সহ একটি মসৃণ বহুগুণ কখন কিছুতে একটি এম্বেডেড বহুগুণ হিসাবে উপলব্ধি করা যেতে পারে। এইভাবে আমরা কেবল ম্যানিফোল্ডটিই এম্বেড করছি না, আমরা বিশ্বব্যাপী এম্বেডিংয়েরও দাবি করছি যে বিমূর্ত ম্যানিফোল্ডটি এম্বেড করা মানচিত্রটি অবশ্যই এম্বেডেড ম্যানিফোল্ডের প্ররোচিত সিআর কাঠামোকে পিছনে টানতে হবে (এটি এই সত্য থেকে আসে যে এটি বসে আছে) যাতে পুল ব্যাক সিআর কাঠামো বিমূর্ত সিআর কাঠামোর সাথে ঠিক একমত হয়। সুতরাং গ্লোবাল এম্বেডিং একটি দুই অংশের শর্ত। এখানে প্রশ্নটি দুই ভাগে বিভক্ত। কেউ স্থানীয় এমবেডেবিলিটি বা গ্লোবাল এমবেডেবিলিটি চাইতে পারেন। বিমূর্তভাবে সংজ্ঞায়িত, কম্প্যাক্ট সিআর কাঠামোর জন্য গ্লোবাল এম্বেডেবিলিটি সর্বদা সত্য, যা দৃঢ়ভাবে সিউডোকনভেক্স, অর্থাৎ লেভি ফর্মটি ধনাত্মক নির্দিষ্ট, যখন লুই বুটেট ডি মনভেলের ফলস্বরূপ ম্যানিফোল্ডের প্রকৃত মাত্রা 5 বা তার বেশি হয়। মাত্রা 3-এ, বিশ্বব্যাপী এম্বেডযোগ্যতার ক্ষেত্রে বাধা রয়েছে। তিনটি গোলকের উপর স্ট্যান্ডার্ড সি. আর কাঠামোর ছোট ছোট বিশৃঙ্খলা তৈরি করে যার ফলে বিমূর্ত সি. আর কাঠামো পাওয়া যায়, যা বিশ্বব্যাপী এম্বেড করতে ব্যর্থ হয়। এটিকে কখনও কখনও রসি উদাহরণ বলা হয়। উদাহরণটি আসলে হান্স গ্রাউয়ার্টের কাছে ফিরে যায় এবং আলডো আন্দ্রেওটি এবং ইউম-টং সিউয়ের একটি গবেষণাপত্রেও উপস্থিত হয়। জোসেফ জে কোহন-এর একটি ফলাফল বলে যে বিশ্বব্যাপী এম্বেডেবিলিটি সেই শর্তের সমতুল্য যে কোহন ল্যাপলেসিয়ানের ক্লোজড রেঞ্জ রয়েছে। বন্ধ সীমার এই শর্তটি কোনও সিআর অপরিবর্তনীয় শর্ত নয়। তৃতীয় মাত্রায়, সাগুন চ্যানিলো, হাং-লিন চিউ এবং পল সি. ইয়াং সিআর অপরিবর্তনীয় অবস্থার একটি অ-বিশৃঙ্খল সেট খুঁজে পেয়েছেন যা কম্প্যাক্ট ম্যানিফোল্ডগুলিতে সংজ্ঞায়িত বিমূর্ত দৃঢ়ভাবে সিউডো-কনভেক্স সিআর কাঠামোর জন্য বিশ্বব্যাপী এম্বেডযোগ্যতার নিশ্চয়তা দেয়। এই অনুমানের অধীনে যে সি. আর. প্যানিৎজ অপারেটর অ-নেতিবাচক এবং সি. আর. ইয়ামাবে ধ্রুবক ইতিবাচক, একজনের বিশ্বব্যাপী এম্বেডিং রয়েছে। বিমূর্ত ম্যানিফোল্ডের ওয়েবস্টার বক্রতা নীচে একটি ধনাত্মক ধ্রুবক দ্বারা আবদ্ধ করার দাবি করে দ্বিতীয় শর্তটিকে একটি অ-সিআর অপরিবর্তনীয় অবস্থায় দুর্বল করা যেতে পারে। এটি লেখকদের কোহ্নের ল্যাপলেসিয়ানের প্রথম ধনাত্মক আইগেনভ্যালুতে একটি তীক্ষ্ণ নিম্ন সীমা পেতে দেয়। রিমানিয়ান জ্যামিতিতে কম্প্যাক্ট ম্যানিফোল্ডের জন্য ল্যাপ্লাস-বেলট্রামি অপারেটরের প্রথম ধনাত্মক আইগেনভ্যালুতে আবদ্ধ আন্দ্রে লিচনোভিচের সি. আর জ্যামিতিতে নিম্ন সীমাটি এনালগ। বাস্তব মাত্রা 3-এর সি. আর ম্যানিফোল্ডের উপর সি. আর প্যানিৎজ অপারেটরের কনফরমাল কোভ্যারিয়েন্ট বৈশিষ্ট্য দ্বারা নিম্নরূপ একটি সি. আর অপরিবর্তনীয় অবস্থা হল মাত্রা 3-এ সি. আর প্যানিৎজ অপারেটরের অ-নেতিবাচকতা, যা কেঙ্গো হিরাকি প্রথম পর্যবেক্ষণ করেছিলেন। প্যানিতজ অপারেটরের সিআর সংস্করণ, তথাকথিত সিআর প্যানিতজ অপারেটর প্রথম সি রবিন গ্রাহাম এবং জন লি-র একটি কাজে আবির্ভূত হয়। অপারেটরটি বাস্তব মাত্রা 5 এবং তার উপরে সামঞ্জস্যপূর্ণভাবে কোভ্যারিয়েন্ট হিসাবে পরিচিত নয়, তবে শুধুমাত্র বাস্তব মাত্রা 3-এ। এটি সর্বদা বাস্তব মাত্রা 5 এবং তার উপরে একটি অ-নেতিবাচক অপারেটর। কেউ জিজ্ঞাসা করতে পারেন যে সমস্ত কম্প্যাক্টলি এমবেডেড সিআর ম্যানিফোল্ডগুলিতে অ-নেতিবাচক প্যানিৎজ অপারেটর রয়েছে কিনা। এটি উপরে আলোচিত এম্বেডিং উপপাদ্যগুলির সাথে এক ধরণের বিপরীত প্রশ্ন। এই দিকে জেফ্রি কেস, সাগুন চ্যানিলো এবং পল সি ইয়াং একটি স্থিতিশীলতা উপপাদ্য প্রমাণ করেছেন। অর্থাৎ, যদি কেউ কম্প্যাক্ট সি. আর ম্যানিফোল্ডের একটি পরিবার দিয়ে শুরু করে এবং পরিবারের সি. আর কাঠামো প্যারামিটারের সাপেক্ষে বাস্তব-বিশ্লেষণাত্মক উপায়ে পরিবর্তিত হয় এবং ম্যানিফোল্ডের পরিবারের সি. আর ইয়ামাবে ধ্রুবকটি নীচে একটি ধনাত্মক ধ্রুবক দ্বারা সমানভাবে আবদ্ধ থাকে, তবে সি. আর প্যানিৎজ অপারেটর পুরো পরিবারের জন্য অ-নেতিবাচক থাকে, তবে পরিবারের একজন সদস্যের সি. আর প্যানিৎজ অপারেটর অ-নেতিবাচক থাকে। বিপরীত প্রশ্নটি অবশেষে ইউয়া টেকুচি দ্বারা সমাধান করা হয়েছিল। তিনি প্রমাণ করেছেন যে এমবেডেড, কমপ্যাক্ট সিআর-3 ম্যানিফোল্ডগুলির জন্য যা কঠোরভাবে সিউডোকনভেক্স, এই এমবেডেড ম্যানিফোল্ডের সাথে যুক্ত সিআর প্যানিৎজ অপারেটর অ-নেতিবাচক। ড্যানিয়েল বার্নস এবং চার্লস এপস্টেইনের কারণে ত্রিমাত্রিক গোলকের জন্য স্ট্যান্ডার্ড সিআর কাঠামোর ছোট ছোট বিশৃঙ্খলার জন্য বিশ্বব্যাপী এম্বেডিংয়ের ফলাফলও রয়েছে। এই ফলাফলগুলি বিশৃঙ্খলা শব্দের ফুরিয়ার সহগের উপর অনুমান করে। বিমূর্ত সি. আর ম্যানিফোল্ডকে মসৃণ ম্যানিফোল্ড হিসাবে উপলব্ধি করা একটি জটিল বৈচিত্র্যকে আবদ্ধ করবে যার সাধারণভাবে এককত্ব থাকতে পারে। এটি এফ. রিস হার্ভে এবং এইচ. ব্লেইন লসন দ্বারা নিবন্ধে অধ্যয়ন করা জটিল মালভূমি সমস্যার বিষয়বস্তু। স্টিফেন এস. টি. ইয়াউ জটিল মালভূমি সমস্যা নিয়ে আরও কাজ করেছেন। বিমূর্ত সিআর কাঠামোর স্থানীয় এম্বেডিং বাস্তব মাত্রা 3-এ সত্য নয়, কারণ লুই নিরেনবার্গের একটি উদাহরণ (নীচে উল্লিখিত চেন এবং মেই-চি শ-এর বইটিতে নিরেনবার্গের প্রমাণের উপস্থাপনাও রয়েছে)। এল. নিরেনবার্গের উদাহরণ হান্স লিউয়ের অ-সমাধানযোগ্য জটিল ভেক্টর ক্ষেত্রের একটি মসৃণ বিশৃঙ্খলা হিসাবে দেখা যেতে পারে। উপরে বর্ণিত ভেক্টর ক্ষেত্রের দুটি রৈখিকভাবে স্বাধীন প্রথম ইন্টিগ্রাল রয়েছে। অর্থাৎ, সমজাতীয় সমীকরণের দুটি সমাধান রয়েছে, যেহেতু আমরা বাস্তব মাত্রায় আছি, তাই আনুষ্ঠানিক ইন্টিগ্রেবিলিটির শর্তটি সহজ, যা স্বয়ংক্রিয়। লক্ষ্য করুন লেভি ফর্মটি কঠোরভাবে ধনাত্মক নির্দিষ্ট কারণ একটি সহজ গণনা দেয়, যেখানে হোলোমর্ফিক ভেক্টর ক্ষেত্র এল দ্বারা দেওয়া হয়, প্রথম ইন্টিগ্রালগুলি যা রৈখিকভাবে স্বাধীন আমাদের সিআর কাঠামোকে গ্রাফ হিসাবে উপলব্ধি করতে দেয়। নিরেনবার্গ একটি একক, অ-বিলুপ্ত জটিল ভেক্টর ক্ষেত্র তৈরি করেছেন যা হে-তে উৎপত্তির আশেপাশে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে তারপর দেখায় যে যদি, তাহলে একটি ধ্রুবক হতে হবে। সুতরাং ভেক্টর ক্ষেত্রের কোনও প্রথম ইন্টিগ্রাল নেই। উপরে প্রদর্শিত হাইজেনবার্গ গোষ্ঠীর জন্য অ্যান্টি-হলোমর্ফিক ভেক্টর ক্ষেত্র থেকে ভেক্টর ক্ষেত্রটি তৈরি করা হয় একটি মসৃণ জটিল-মূল্যবান ফাংশন দ্বারা বিচলিত করে যা নীচে প্রদর্শিত হয়েছেঃ সুতরাং এই নতুন ভেক্টর ক্ষেত্র পি-এর, ধ্রুবক ব্যতীত অন্য কোনও প্রথম ইন্টিগ্রাল নেই এবং তাই এই বিচলিত সিআর কাঠামোটি কোনওভাবেই কোনও গ্রাফ হিসাবে উপলব্ধি করা সম্ভব নয়। বাস্তব মাত্রা 9 এবং তার উপরে, বিমূর্ত কঠোরভাবে সিউডো-কনভেক্স সি. আর কাঠামোর স্থানীয় এম্বেডিং মাসাতাকে কুরানিসির কাজ দ্বারা এবং বাস্তব মাত্রা 7-এ আকাহোরির কাজ দ্বারা সত্য। স্থানীয় এম্বেডিংয়ের সমস্যা বাস্তব মাত্রা 5-এ উন্মুক্ত থাকে। চরিত্রগত আদর্শ স্পর্শক কাউচি-রিম্যান জটিল (কোহন লাপ্লাসিয়ান, কোহন-রসি জটিল) প্রথমে একটি সহ-সীমানা অপারেটরকে সংজ্ঞায়িত করতে হবে। জটিল ম্যানিফোল্ডের সীমানা হিসাবে উদ্ভূত সিআর ম্যানিফোল্ডগুলির জন্য, কেউ এই অপারেটরকে অভ্যন্তর থেকে সীমানা পর্যন্ত সীমাবদ্ধতা হিসাবে দেখতে পারে। সাবস্ক্রিপ্ট বি হল একজনকে মনে করিয়ে দেওয়া যে আমরা সীমানায় আছি। কো-বাউন্ডারি অপারেটর (0, পি) ফর্মগুলি (0, পি + 1) ফর্মগুলিতে নেয়। এমনকি একটি বিমূর্ত সিআর ম্যানিফোল্ডের জন্য কো-বাউন্ডারি অপারেটরকে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে, যদিও এটি একটি জটিল বৈচিত্র্যের সীমানা নয়। ওয়েবস্টার সংযোগ ব্যবহার করে এটি করা যেতে পারে। কো-বাউন্ডারি অপারেটর একটি জটিল গঠন করে, অর্থাৎ। এই কমপ্লেক্সটিকে ট্যাঞ্জেন্সিয়াল কচি-রিম্যান কমপ্লেক্স বা কোহন-রসি কমপ্লেক্স বলা হয়। এই কমপ্লেক্সের তদন্ত এবং এই কমপ্লেক্সের কোহোমোলজি গোষ্ঠীগুলির অধ্যয়ন জোসেফ জে কোহন এবং হুগো রসি একটি মৌলিক গবেষণাপত্রে করেছিলেন। ট্যানজেনশিয়াল সি. আর কমপ্লেক্সের সাথে যুক্ত সি. আর জ্যামিতি এবং বেশ কয়েকটি জটিল চলক, কোহন ল্যাপলেসিয়ানের একটি মৌলিক বস্তু। এটি এইভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছেঃ এখানে সিআর কাঠামোর সাথে যুক্ত একটি যোগাযোগ ফর্ম থেকে ভলিউম ফর্মটি কোথায় উদ্ভূত হতে পারে তার সাথে সম্পর্কিত আনুষ্ঠানিক সংযোজনকে বোঝায়। উদাহরণস্বরূপ জে. এম-এর কাগজটি দেখুন। আমেরিকান জে-তে লি নীচে উল্লেখ করা হয়েছে। লক্ষ্য করুন কোহন ল্যাপলেসিয়ান (0, পি) ফর্মগুলি (0, পি) ফর্মগুলিতে নেয়। কোহন ল্যাপলেসিয়ান দ্বারা ধ্বংস হওয়া ফাংশনগুলিকে সিআর ফাংশন বলা হয়। এগুলি হল হোলোমর্ফিক ফাংশনের সীমানা অনুরূপ। সিআর ফাংশনের বাস্তব অংশগুলিকে সিআর প্লুরিহার্মোনিক ফাংশন বলা হয়। কোহন ল্যাপলেসিয়ান একটি অ-নেতিবাচক, আনুষ্ঠানিকভাবে স্ব-সংযুক্ত অপারেটর। এটি অধঃপতিত এবং এর একটি বৈশিষ্ট্যযুক্ত সেট রয়েছে যেখানে এর প্রতীক অদৃশ্য হয়ে যায়। একটি কম্প্যাক্ট, দৃঢ়ভাবে সিউডো-কনভেক্স বিমূর্ত সি. আর ম্যানিফোল্ডে, এটির বিচ্ছিন্ন ধনাত্মক আইগেনভ্যালু রয়েছে যা অনন্তের দিকে যায় এবং শূন্যের দিকেও যায়। কার্নেলটি সিআর ফাংশন নিয়ে গঠিত এবং তাই এটি অসীম মাত্রিক। যদি কোহন ল্যাপলেসিয়ানের ধনাত্মক আইগেনভ্যালুগুলি একটি ধনাত্মক ধ্রুবক দ্বারা নিচে আবদ্ধ থাকে, তবে কোহন ল্যাপলেসিয়ানের বন্ধ পরিসীমা এবং বিপরীতভাবে রয়েছে। এইভাবে উপরে বর্ণিত কোহন-এর ফলাফল ব্যবহার করে এমবেডেড সি. আর কাঠামোর জন্য, আমরা এই উপসংহারে পৌঁছেছি যে কম্প্যাক্ট সি. আর কাঠামো যা দৃঢ়ভাবে সিউডোকনভেক্স হয় তা কেবল তখনই এমবেডেড হয় যদি কোহন ল্যাপলেসিয়ানের ধনাত্মক আইগেনভ্যালু থাকে যা নীচে একটি ধনাত্মক ধ্রুবক দ্বারা আবদ্ধ থাকে। কোহন ল্যাপলেসিয়ানের সর্বদা সিআর ফাংশনের সাথে সম্পর্কিত আইগেনভ্যালু শূন্য থাকে। বিভিন্ন সেটিংসে বিভিন্ন ফাংশন স্পেসে অনুমান এবং প্রাপ্ত হয়েছে। এই অনুমানগুলি বের করা সবচেয়ে সহজ যখন ম্যানিফোল্ডটি দৃঢ়ভাবে সিউডকনভেক্স হয়, তখন হাইজেনবার্গ গ্রুপের সাথে যথেষ্ট উচ্চ ক্রমে অস্কুলেট করে ম্যানিফোল্ডটিকে প্রতিস্থাপন করা যেতে পারে। তারপর হাইজেনবার্গ গ্রুপের গ্রুপ প্রপার্টি এবং অ্যাটেনডেন্ট কনভোলিউশন স্ট্রাকচার ব্যবহার করে, কেউ বিপরীত/প্যারামেট্রিস বা আপেক্ষিক প্যারামেট্রিস লিখতে পারে। অপারেটরের একটি সুনির্দিষ্ট উদাহরণ হাইজেনবার্গ গ্রুপে দেওয়া যেতে পারে। সাধারণ হাইজেনবার্গ গ্রুপ বিবেচনা করুন এবং অ্যান্টিহোলোমর্ফিক ভেক্টর ক্ষেত্রগুলি বিবেচনা করুন যা গ্রুপ লেফট ইনভ্যারিয়েন্ট, তারপর একটি ফাংশনের জন্য আমাদের (0,1) ফর্ম রয়েছে যেহেতু ফাংশনে অদৃশ্য হয়ে যায়, তাই হাইজেনবার্গ গ্রুপের ফাংশনের জন্য কোহন ল্যাপলেসিয়ানের জন্য আমাদের নিম্নলিখিত সূত্রও রয়েছেঃ হাইজেনবার্গ গ্রুপের গ্রুপ লেফট ইনভ্যারিয়েন্ট, হোলোমর্ফিক ভেক্টর ক্ষেত্রগুলি কোথায়। উপরের কোহন ল্যাপলেসিয়ানের অভিব্যক্তিটি নিম্নরূপ পুনরায় লেখা যেতে পারে। প্রথমে এটি সহজেই পরীক্ষা করা যায় যে এইভাবে আমাদের একটি প্রাথমিক গণনা রয়েছেঃ ডানদিকে প্রথম অপারেটর একজন বাস্তব অপারেটর এবং প্রকৃতপক্ষে এটি কোহন ল্যাপলেসিয়ানের আসল অংশ। একে বলা হয় সাব-ল্যাপলেসিয়ান। এটি বর্গ অপারেটরের হার্ম্যান্ডার যোগফলের একটি প্রাথমিক উদাহরণ। এটি স্পষ্টতই অ-নেতিবাচক যা অংশ দ্বারা একীকরণের মাধ্যমে দেখা যায়। কিছু লেখক উপ-ল্যাপলেসিয়ানকে বিপরীত চিহ্ন দিয়ে সংজ্ঞায়িত করেছেন। আমাদের ক্ষেত্রে আমাদের বিশেষভাবে রয়েছেঃ যেখানে প্রতীকটি উপ-ল্যাপলেসিয়ানের ঐতিহ্যবাহী প্রতীক। এইভাবে উদাহরণ একটি কম্প্যাক্ট সিআর ম্যানিফোল্ডের ক্যানোনিকাল উদাহরণ হল এর সাবম্যানিফোল্ড হিসাবে বাস্তব গোলক। উপরে বর্ণিত বান্ডিলটি হোলোমর্ফিক ভেক্টরের বান্ডিলটি কোথায় রয়েছে তার দ্বারা দেওয়া হয়েছে। এর আসল রূপটি জটিল কাঠামোর পরিপ্রেক্ষিতে একটি বিন্দুতে সুনির্দিষ্টভাবে দেওয়া বান্ডিল দ্বারা দেওয়া হয়, এবং প্রায় জটিল কাঠামোটি কেবল এর সীমাবদ্ধতা। গোলকটি ধ্রুবক ধনাত্মক ওয়েবস্টার বক্রতা এবং শূন্য ওয়েবস্টার টর্জন সহ একটি সিআর ম্যানিফোল্ডের একটি উদাহরণ। হাইজেনবার্গ গ্রুপ শূন্য ওয়েবস্টার টর্জন এবং শূন্য ওয়েবস্টার বক্রতা সহ একটি অ-কম্প্যাক্ট সিআর ম্যানিফোল্ডের একটি উদাহরণ। 1-এর চেয়ে কঠোরভাবে বড় গণের সঙ্গে কম্প্যাক্ট রিম্যান পৃষ্ঠের উপর একক বৃত্তের বান্ডিলটি সিআর ম্যানিফোল্ডের উদাহরণও সরবরাহ করে যা দৃঢ়ভাবে সিউডোকনভেক্স এবং শূন্য ওয়েবস্টার টর্জন এবং ধ্রুবক নেতিবাচক ওয়েবস্টার বক্রতা রয়েছে। এই স্থানগুলি এইচ. ই-এর সমতুল্য শূন্য ওয়েবস্টার টর্জন সহ সিআর ম্যানিফোল্ডগুলিতে ভূগণিত এবং আয়তনের তুলনা উপপাদ্য অধ্যয়নে তুলনামূলক স্থান হিসাবে ব্যবহার করা যেতে পারে। রিম্যানিয়ান জ্যামিতিতে রাউচ তুলনা উপপাদ্য। সাম্প্রতিক বছরগুলিতে, হাইজেনবার্গ গোষ্ঠীর উপর বিশ্লেষণের অন্যান্য দিকগুলিও অধ্যয়ন করা হয়েছে, যেমন হাইজেনবার্গ গোষ্ঠীর ন্যূনতম পৃষ্ঠতল, হাইজেনবার্গ গোষ্ঠীর বার্নস্টাইন সমস্যা এবং বক্রতা প্রবাহ। আরও দেখুন ইউজেনিও এলিয়া লেভি সিউডকনভেক্সিটি নোটস রেফারেন্স। বেশ কয়েকটি জটিল চলকের ফাংশন তত্ত্বের একটি গুরুত্বপূর্ণ গবেষণাপত্র। শিরোনামের একটি ইংরেজি অনুবাদে লেখা হয়েছেঃ "দুই বা ততোধিক জটিল চলকের বিশ্লেষণাত্মক ক্রিয়াকলাপের অপরিহার্য একক বিন্দুগুলির উপর অধ্যয়ন"। মসৃণ বহুগুণ জটিল বহুগুণ