Weierstrass–Enneper parameterization
গণিতে, ন্যূনতম পৃষ্ঠতলের ওয়েয়ারস্ট্রাস-এনেপার প্যারামিটারাইজেশন হল ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতির একটি ধ্রুপদী অংশ। আলফ্রেড এনেপার এবং কার্ল ওয়েয়ারস্ট্রাস 1863 সাল পর্যন্ত ন্যূনতম পৃষ্ঠতল অধ্যয়ন করেছিলেন। পুরো জটিল সমতলে বা একক ডিস্কে ফাংশন হতে এবং হতে দিন, যেখানে মেরোমর্ফিক এবং বিশ্লেষণাত্মক, এমন যে যেখানেই ক্রমের একটি মেরু থাকে, সেখানে শূন্য ক্রম থাকে (বা সমতুল্য, যাতে গুণফলটি হলোমর্ফিক হয়), এবং স্থির হতে দিন। তারপর স্থানাঙ্ক সহ পৃষ্ঠটি ন্যূনতম, যেখানে একটি জটিল ইন্টিগ্রালের বাস্তব অংশ ব্যবহার করে সংজ্ঞায়িত করা হয়, নিম্নরূপঃ বিপরীতটিও সত্যঃ একটি সহজভাবে সংযুক্ত ডোমেনের উপর সংজ্ঞায়িত প্রতিটি ননপ্ল্যানার ন্যূনতম পৃষ্ঠকে এই ধরনের একটি প্যারামিট্রাইজেশন দেওয়া যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, এন্নেপারের পৃষ্ঠের আছে,। জটিল চলকের প্যারামেট্রিক পৃষ্ঠ ওয়েয়ারস্ট্রাস-এনেপার মডেল একটি জটিল সমতলে () একটি ন্যূনতম পৃষ্ঠকে সংজ্ঞায়িত করে। ধরা যাক (স্থান হিসাবে জটিল সমতল), পৃষ্ঠের জ্যাকোবিয়ান ম্যাট্রিক্সকে জটিল এন্ট্রিগুলির একটি কলাম হিসাবে লেখা যেতে পারেঃ কোথায় এবং এর হলোমর্ফিক ফাংশন। জ্যাকোবিয়ান পৃষ্ঠের দুটি অর্থোগোনাল স্পর্শক ভেক্টরকে উপস্থাপন করেঃ জ্যাকোবিয়ান দ্বারা প্রদত্ত পৃষ্ঠের স্বাভাবিক বেশ কয়েকটি গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্যের দিকে পরিচালিত করেঃ,,,। শর্মার প্রবন্ধে প্রমাণ পাওয়া যায়ঃ ওয়েয়ারস্ট্রাসের উপস্থাপনা সর্বদা একটি ন্যূনতম পৃষ্ঠ দেয়। ডেরিভেটিভগুলি প্রথম মৌলিক ফর্ম ম্যাট্রিক্স তৈরি করতে ব্যবহার করা যেতে পারেঃ এবং দ্বিতীয় মৌলিক ফর্ম ম্যাট্রিক্স অবশেষে, জটিল সমতলের একটি বিন্দু ন্যূনতম পৃষ্ঠের একটি বিন্দুতে মানচিত্র করে যেখানে কোস্টার ন্যূনতম পৃষ্ঠ ব্যতীত এই কাগজ জুড়ে সমস্ত ন্যূনতম পৃষ্ঠের জন্য যেখানে। অন্তর্নির্মিত ন্যূনতম পৃষ্ঠতল এবং উদাহরণ সীমাবদ্ধ টপোলজির সাথে অন্তর্নির্মিত সম্পূর্ণ ন্যূনতম পৃষ্ঠতলের ধ্রুপদী উদাহরণগুলির মধ্যে রয়েছে সমতল, ক্যাটেনয়েড, হেলিকোয়েড এবং কোস্টার ন্যূনতম পৃষ্ঠ। কোস্টার পৃষ্ঠে ওয়েয়ারস্ট্রাসের উপবৃত্তাকার ফাংশন রয়েছেঃ যেখানে একটি ধ্রুবক। হেলিকাটেনয়েড ফাংশন নির্বাচন করা এবং, ন্যূনতম পৃষ্ঠতলের একটি পরামিতি পরিবার পাওয়া যায়। পৃষ্ঠের পরামিতিগুলি এইভাবে নির্বাচন করাঃ চূড়ান্ত পর্যায়ে, পৃষ্ঠটি একটি ক্যাটেনয়েড বা একটি হেলিকোয়েড। অন্যথায়, একটি মিশ্রণ কোণ উপস্থাপন করে। স্ব-ছেদ রোধ করার জন্য নির্বাচিত ডোমেন সহ ফলস্বরূপ পৃষ্ঠটি একটি হেলিকাল ফ্যাশনে অক্ষের চারপাশে ঘোরানো একটি ক্যাটেনারি। বক্রতার রেখাগুলি একটি দ্বিতীয় মৌলিক ম্যাট্রিক্সের প্রতিটি উপাদানকে একটি ফাংশন হিসাবে পুনরায় লিখতে পারে এবং, উদাহরণস্বরূপ এবং ফলস্বরূপ দ্বিতীয় মৌলিক ফর্ম ম্যাট্রিক্সকে সরল করা যেতে পারে কারণ এর আইগেনভেক্টরগুলির মধ্যে একটি জটিল ডোমেনের প্রধান দিককে উপস্থাপন করে। অতএব, স্থানটির দুটি প্রধান দিক হল ব্রায়ান্ট পৃষ্ঠের সমতুল্য পরিবার, যা হাইপারবোলিক স্থানের একটি অনুরূপ পরামিতি দ্বারা পাওয়া যায়।