Generic point
বীজগাণিতিক জ্যামিতিতে, একটি বীজগাণিতিক বৈচিত্র্য X-এর একটি সাধারণ বিন্দু হল একটি সাধারণ অবস্থানের একটি বিন্দু, যেখানে সমস্ত সাধারণ বৈশিষ্ট্যগুলি সত্য, একটি সাধারণ বৈশিষ্ট্য হল এমন একটি বৈশিষ্ট্য যা প্রায় প্রতিটি বিন্দুর জন্য সত্য। ধ্রুপদী বীজগাণিতিক জ্যামিতিতে, একটি অ্যাফিন বা প্রজেক্টিভ বীজগাণিতিক বৈচিত্র্যের মাত্রার একটি সাধারণ বিন্দু হল এমন একটি বিন্দু যা তার স্থানাঙ্ক দ্বারা উত্পন্ন ক্ষেত্রের বৈচিত্র্যের সমীকরণের সহগ দ্বারা উত্পন্ন ক্ষেত্রের উপর অতিক্রম ডিগ্রি d থাকে। স্কিম তত্ত্বে, একটি ইন্টিগ্রাল ডোমেনের বর্ণালীর একটি অনন্য সাধারণ বিন্দু থাকে, যা শূন্য আদর্শ। যেহেতু জারিস্কি টপোলজির জন্য এই বিন্দুর সমাপ্তি হল পুরো বর্ণালী, সংজ্ঞাটি সাধারণ টপোলজিতে প্রসারিত করা হয়েছে, যেখানে একটি টপোলজিকাল স্পেস এক্স-এর একটি সাধারণ বিন্দু হল এমন একটি বিন্দু যার সমাপ্তি হল এক্স। সংজ্ঞা এবং অনুপ্রেরণা টপোলজিকাল স্পেস এক্স-এর একটি সাধারণ বিন্দু হল একটি বিন্দু পি যার সমস্ত বন্ধ হল এক্স, অর্থাৎ একটি বিন্দু যা এক্স-এ ঘন। পরিভাষাটি একটি বীজগাণিতিক সেটের উপ-বৈচিত্র্যের সেটের জারিস্কি টপোলজির ক্ষেত্রে উদ্ভূত হয়ঃ বীজগাণিতিক সেটটি অপরিবর্তনীয় (অর্থাৎ, এটি দুটি সঠিক বীজগাণিতিক উপসেটগুলির মিলন নয়) যদি এবং শুধুমাত্র যদি উপ-বৈচিত্র্যের টপোলজিকাল স্থানের একটি জেনেরিক বিন্দু থাকে। উদাহরণ একমাত্র হাউজডর্ফ স্থান যার একটি সাধারণ বিন্দু রয়েছে তা হল সিঙ্গলটন সেট। যে কোনও ইন্টিগ্রাল স্কিমের একটি (অনন্য) জেনেরিক পয়েন্ট থাকে; একটি অ্যাফিন ইন্টিগ্রাল স্কিমের ক্ষেত্রে (অর্থাৎ, একটি ইন্টিগ্রাল ডোমেনের প্রাইম স্পেকট্রাম) জেনেরিক পয়েন্ট হল প্রাইম আইডিয়ালের (0) সাথে যুক্ত পয়েন্ট। ইতিহাস আন্দ্রে ওয়েইলের ফাউন্ডেশনস অফ অ্যালজেব্রিক জ্যামিতিতে বিকশিত মৌলিক পদ্ধতিতে, জেনেরিক পয়েন্টগুলি একটি গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করেছিল, তবে একটি ভিন্ন পদ্ধতিতে পরিচালনা করা হয়েছিল। একটি K ক্ষেত্রের উপর একটি বীজগাণিতিক বৈচিত্র্য V-এর জন্য, V-এর সাধারণ বিন্দুগুলি সর্বজনীন ডোমেনে মান গ্রহণকারী V-এর বিন্দুর একটি সম্পূর্ণ শ্রেণী ছিল, একটি বীজগাণিতিকভাবে বন্ধ ক্ষেত্র যা K ধারণ করে তবে নতুন অনির্ধারিতগুলির একটি অসীম সরবরাহও ছিল। এই পদ্ধতিটি কাজ করেছিল, ভি (কে-জারিস্কি টপোলজি, অর্থাৎ)-এর টপোলজি নিয়ে সরাসরি আলোচনা করার প্রয়োজন ছাড়াই, কারণ বিশেষত্বগুলি ক্ষেত্র পর্যায়ে আলোচনা করা যেতে পারে (যেমন 1930-এর দশকে জনপ্রিয় বীজগাণিতিক জ্যামিতির মূল্যায়ন তত্ত্বের পদ্ধতির ক্ষেত্রে)। সমানভাবে সাধারণ পয়েন্টগুলির একটি বিশাল সংগ্রহ থাকার কারণে এটি হয়েছিল। দ্বিতীয় বিশ্বযুদ্ধের ঠিক পরে সাও পাওলোতে ওয়েইলের সহকর্মী অস্কার জারিস্কি সবসময় জোর দিয়েছিলেন যে সাধারণ পয়েন্টগুলি অনন্য হওয়া উচিত। (এটিকে টপোলজিস্টদের ভাষায় ফিরিয়ে আনা যেতে পারেঃ ওয়েইলের ধারণাটি কোলমোগোরভকে স্থান দিতে ব্যর্থ হয়েছে এবং জারিস্কি কোলমোগোরভ ভাগফলের পরিপ্রেক্ষিতে চিন্তা করেন।) 1950-এর দশকের দ্রুত মৌলিক পরিবর্তনগুলিতে ওয়েইলের দৃষ্টিভঙ্গি অপ্রচলিত হয়ে যায়। স্কিম তত্ত্বে, যদিও, 1957 সাল থেকে, জেনেরিক পয়েন্ট ফিরে এসেছেঃ এই সময় এ লা জারিস্কি। উদাহরণস্বরূপ, আর-এর জন্য একটি পৃথক মূল্যায়ন বলয়, স্পেক (আর) দুটি বিন্দু নিয়ে গঠিত, একটি সাধারণ বিন্দু (মৌলিক আদর্শ {0} থেকে আসা) এবং অনন্য সর্বাধিক আদর্শ থেকে আসা একটি বদ্ধ বিন্দু বা বিশেষ বিন্দু। মরফিজম থেকে স্পেক (আর)-এর জন্য, বিশেষ বিন্দুর উপরে থাকা ফাইবার হল বিশেষ ফাইবার, যা একটি গুরুত্বপূর্ণ ধারণা, উদাহরণস্বরূপ রিডাকশন মডুলো পি, মনোড্রোমি তত্ত্ব এবং অবক্ষয় সম্পর্কিত অন্যান্য তত্ত্ব। সমানভাবে, জেনেরিক ফাইবার হল জেনেরিক বিন্দুর উপরে থাকা ফাইবার। অবক্ষয়ের জ্যামিতি মূলত তখন জেনেরিক থেকে বিশেষ তন্তুতে উত্তরণ সম্পর্কে, বা অন্য কথায় পরামিতিগুলির বিশেষীকরণ কীভাবে বিষয়গুলিকে প্রভাবিত করে। (একটি পৃথক মূল্যায়ন চক্রের জন্য প্রশ্নবিদ্ধ টপোলজিকাল স্থানটি হল টপোলজিস্টদের সিয়েরপিনস্কি স্থান। অন্যান্য স্থানীয় বলয়ের অনন্য সাধারণ এবং বিশেষ বিন্দু রয়েছে, তবে আরও জটিল বর্ণালী রয়েছে, কারণ তারা সাধারণ মাত্রার প্রতিনিধিত্ব করে। এই উদ্দেশ্যে পৃথক মূল্যায়নের বিষয়টি অনেকটা জটিল একক ডিস্কের মতো।) তথ্যসূত্র বীজগাণিতিক জ্যামিতি সাধারণ টপোলজি