Berezinian
গণিত এবং তাত্ত্বিক পদার্থবিজ্ঞানে, বেরেজিনিয়ান বা সুপারডিটারমিন্যান্ট হল সুপারম্যাট্রিসের ক্ষেত্রে নির্ধারকের একটি সাধারণীকরণ। নামটি ফেলিক্স বেরেজিনের। একটি সুপারম্যানফোল্ডে একীকরণের জন্য সমন্বয় পরিবর্তন বিবেচনা করার সময় বেরেজিনিয়ান নির্ধারকের অনুরূপ ভূমিকা পালন করে। সংজ্ঞা বেরেজিনিয়ান অনন্যভাবে দুটি সংজ্ঞায়িত বৈশিষ্ট্য দ্বারা নির্ধারিত হয়ঃ যেখানে স্ট্র (এক্স) এক্স-এর সুপারট্রেসকে বোঝায়। ধ্রুপদী নির্ধারকের বিপরীতে, বেরেজিনিয়ান শুধুমাত্র বিপরীতমুখী সুপারম্যাট্রিসের জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয়। বিবেচনা করার জন্য সবচেয়ে সহজ কেস হল একটি ক্ষেত্র K-তে এন্ট্রি সহ একটি সুপারম্যাট্রিক্সের বেরেজিনিয়ান। এই ধরনের সুপারম্যাট্রিসগুলি K-এর উপর একটি সুপার ভেক্টর স্পেসের রৈখিক রূপান্তরকে উপস্থাপন করে। একটি নির্দিষ্ট জোড় সুপারম্যাট্রিক্স হল ফর্মের একটি ব্লক ম্যাট্রিক্স এই ধরনের ম্যাট্রিক্সটি বিপরীতমুখী হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি A এবং D উভয়ই K-এর উপর বিপরীতমুখী ম্যাট্রিক্স হয়। X-এর বেরেজিনিয়ান দ্বারা দেওয়া হয় ঋণাত্মক সূচকের প্রেরণার জন্য বিজোড় ক্ষেত্রে প্রতিস্থাপন সূত্রটি দেখুন। আরও সাধারণভাবে, একটি সুপারকমিউটেটিভ বীজগণিত আর-এ এন্ট্রি সহ ম্যাট্রিক্স বিবেচনা করুন। একটি জোড় সুপারম্যাট্রিক্স হল সেই ফর্মের যেখানে এ এবং ডি-তে জোড় এন্ট্রি রয়েছে এবং বি এবং সি-তে বিজোড় এন্ট্রি রয়েছে। এই ধরনের ম্যাট্রিক্স বিপরীতমুখী হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি A এবং D উভয়ই বিনিময়যোগ্য বলয় R0 (R-এর জোড় উপ-বীজগণিত)-এ বিপরীতমুখী হয়। এই ক্ষেত্রে বেরেজিনিয়ান দ্বারা বা সমতুল্যভাবে দেওয়া হয় এই সূত্রগুলি ভালভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে কারণ আমরা কেবলমাত্র ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক নিচ্ছি যাদের এন্ট্রিগুলি বিনিময়যোগ্য রিং R0-এ রয়েছে। ম্যাট্রিক্সটি একটি বিজোড় ম্যাট্রিক্স এক্স-এর আপেক্ষিক এ-এর শুর পরিপূরক হিসাবে পরিচিত একটি বিজোড় ম্যাট্রিক্স এক্স কেবল তখনই বিপরীতমুখী হতে পারে যদি জোড় মাত্রার সংখ্যা বিজোড় মাত্রার সংখ্যার সমান হয়। এই ক্ষেত্রে, এক্স-এর ইনভার্টিবিলিটি জেএক্স-এর ইনভার্টিবিলিটির সমতুল্য, যেখানে এক্স-এর বেরেজিনিয়ানকে বৈশিষ্ট্য হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। যেখানে এর সুপারট্রান্সপোজ বোঝায়। বেরেজিনিয়ান মডিউল একটি মুক্ত মডিউল এম-এর এন্ডোমর্ফিজমের নির্ধারককে এম-এর 1-মাত্রিক সর্বোচ্চ বাহ্যিক শক্তির উপর প্ররোচিত ক্রিয়া হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। সুপারসিমেট্রিক ক্ষেত্রে কোনও সর্বোচ্চ বাহ্যিক শক্তি নেই, তবে এখনও বেরেজিনিয়ানের অনুরূপ সংজ্ঞা নিম্নরূপ রয়েছে। ধরুন, এম হল আর-এর উপর মাত্রার (পি, কিউ) একটি মুক্ত মডিউল। ধরা যাক, এ হল এম-এর দ্বৈত এম *-এর (অতি) প্রতিসম বীজগণিত এস * (এম *)। তারপর এম-এর একটি স্বয়ংক্রিয়তা এক্সট মডিউলে (যার মাত্রা (1,0) যদি কিউ জোড় হয় এবং মাত্রা (0,1) যদি কিউ বিজোড় হয়) বেরেজিনিয়ান দ্বারা গুণ হিসাবে কাজ করে। আরও দেখুন বেরেজিন ইন্টিগ্রেশন রেফারেন্স সুপার লিনিয়ার বীজগণিত নির্ধারক