Riemann–Roch theorem for smooth manifolds
গণিতে, মসৃণ ম্যানিফোল্ডের জন্য একটি রিম্যান-রক উপপাদ্য হিরজেব্রুচ-রিম্যান-রক উপপাদ্য বা গ্রোথেন্ডিক-রিম্যান-রক উপপাদ্য (জিআরআর)-এর মতো ফলাফলের একটি সংস্করণ যা কোনও অনুমান ছাড়াই মসৃণ ম্যানিফোল্ডগুলিকে একটি জটিল কাঠামো বহন করে। 1959 সালে মাইকেল আতিয়া এবং ফ্রেডরিক হিরজেব্রাচ এই ধরনের ফলাফল পেয়েছিলেন, যা প্রয়োজনীয়তাকে স্পিন কাঠামোর মতো কিছুতে কমিয়ে এনেছিল। সূত্র ধরা যাক এক্স এবং ওয়াই মসৃণ বদ্ধ ম্যানিফোল্ড ভিত্তিক, এবং এফঃ এক্স → ওয়াই একটি অবিচ্ছিন্ন মানচিত্র। ধরা যাক কে-গ্রুপ কে (এক্স)-এ ভিএফ = এফ * (টিওয়াই) − টিএক্স। যদি ডিম (এক্স) ষ্ণ ডিম (ওয়াই) মড 2 হয়, তাহলে যেখানে ch হল চেরন অক্ষর, d (vf) অবিচ্ছেদ্য সমরূপতা গোষ্ঠীর একটি উপাদান H2 (Y, Z) সন্তোষজনক d (vf) ষ্ণ f * w2 (TY)-w2 (TX) মোড 2, fK * কে-তত্ত্বের জন্য গাইসিন সমরূপতা, এবং fH * সমরূপতার জন্য গাইসিন সমরূপতা। এই উপপাদ্যটি প্রথম প্রমাণ করেন আতিয়া এবং হিরজেব্রুচ। উপপাদ্যটি বেশ কয়েকটি বিশেষ কেস বিবেচনা করে প্রমাণিত হয়। যদি Y একটি ভেক্টর বান্ডিল V-এর X-এর উপর থম স্থান হয়, তবে গাইসিন মানচিত্রগুলি কেবল থম আইসোমরফিজম। তারপর, বিভাজন নীতি ব্যবহার করে, লাইন বান্ডিলগুলির জন্য স্পষ্ট গণনার মাধ্যমে উপপাদ্যটি পরীক্ষা করা যথেষ্ট। যদি f: X → Y একটি এম্বেডিং হয়, তবে Y-তে X-এর স্বাভাবিক বান্ডিলের থম স্থানটিকে Y-তে X-এর একটি নলাকার প্রতিবেশী হিসাবে দেখা যেতে পারে এবং এক্সসিশন একটি মানচিত্র দেয় এবং। কে-তত্ত্ব/কোহোমোলজির জন্য গাইসিন মানচিত্রকে এই মানচিত্রগুলির সাথে থম আইসোমরফিজমের গঠন হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে। যেহেতু উপপাদ্যটি X থেকে N-এর থম স্থান পর্যন্ত মানচিত্রের জন্য ধারণ করে এবং যেহেতু চেরন অক্ষরটি u এবং v-এর সাথে বিনিময় করে, তাই উপপাদ্যটি এম্বেডিংয়ের ক্ষেত্রেও সত্য। f: X → Y। পরিশেষে, আমরা একটি সাধারণ মানচিত্র f: X → Y-কে একটি এম্বেডিং এবং অভিক্ষেপের মধ্যে ফ্যাক্টর করতে পারি। অভিক্ষেপের জন্য গাইসিন মানচিত্রটি হল বট-পেরিওডিসিটি আইসোমরফিজম, যা চেরন চরিত্রের সাথে বিনিময় করে, তাই উপপাদ্যটি এই সাধারণ ক্ষেত্রেও রয়েছে। কোরোলারি আতিয়া এবং হিরজেব্রুচ তখন এক্স = একটি বিন্দুর ক্ষেত্রে বিশেষজ্ঞ এবং পরিমার্জিত হন, যেখানে শর্তটি ওয়াই-এর উপর একটি ঘূর্ণন কাঠামোর অস্তিত্ব হয়ে ওঠে। কোরোলারিগুলি পন্ট্রিয়াজিন শ্রেণী এবং জে-সমরূপতার উপর রয়েছে। ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতিতে উপপাদ্যের উল্লেখ বীজগাণিতিক পৃষ্ঠতল বার্নহার্ড রিম্যান