War of attrition (game)
গেম থিওরিতে, ওয়ার অফ অ্যাট্রিশন একটি গতিশীল টাইমিং গেম যেখানে খেলোয়াড়রা থামার জন্য একটি সময় বেছে নেয় এবং মৌলিকভাবে অন্যান্য খেলোয়াড়দের থেকে কৌশলগত লাভ এবং সময়ের সাথে ব্যয় করা প্রকৃত ব্যয়কে বিনিময় করে। এর ঠিক বিপরীত হল প্রি-এম্পশন গেম, যেখানে খেলোয়াড়রা থামার জন্য একটি সময় বেছে নেয় এবং মৌলিকভাবে অন্যান্য খেলোয়াড়দের থেকে কৌশলগত খরচ এবং সময়ের সাথে সাথে প্রকৃত লাভগুলি বিনিময় করে। মডেলটি মূলত জন মেনার্ড স্মিথ দ্বারা প্রণয়ন করা হয়েছিল; একটি মিশ্র বিবর্তনীয় স্থিতিশীল কৌশল (ইএসএস) বিশপ এবং ক্যানিংস দ্বারা নির্ধারিত হয়েছিল। একটি উদাহরণ হল দ্বিতীয় মূল্যের সর্ব-বেতনের নিলাম, যেখানে পুরস্কারটি সর্বোচ্চ দরের খেলোয়াড়ের কাছে যায় এবং প্রতিটি খেলোয়াড় পরাজিত খেলোয়াড়ের কম দর প্রদান করে (এটি একটি সর্ব-বেতনের সিল-বিড দ্বিতীয়-মূল্যের নিলামে পরিণত হয়)। খেলা পরীক্ষা করা একটি যুদ্ধ কীভাবে কাজ করে তা দেখতে, সমস্ত বেতনের নিলাম বিবেচনা করুনঃ ধরে নিন যে প্রতিটি খেলোয়াড় একটি আইটেমের উপর একটি বিড করে এবং যে সর্বোচ্চ বিড করে সে মূল্যের একটি সম্পদ ভি জিতেছে। প্রতিটি খেলোয়াড় তার বিড প্রদান করে। অন্য কথায়, যদি কোনও খেলোয়াড় 'খ'-এর জন্য বিড করে, তবে তার লভ্যাংশ হল-'খ' যদি সে হেরে যায়, এবং 'ভি-বি' যদি সে জিতে যায়। পরিশেষে, ধরে নিন যে যদি উভয় খেলোয়াড় একই পরিমাণ বি-এর জন্য বিড করে, তবে তারা ভি-এর মান ভাগ করে নেয়, যার ফলে প্রত্যেকে ভি/2-বি লাভ করে। পরিশেষে, বিড বি-কে সময় হিসাবে ভাবুন, এবং এটি অ্যাট্রিশনের যুদ্ধে পরিণত হয়, কারণ একটি উচ্চতর বিড ব্যয়বহুল, তবে উচ্চতর বিড পুরস্কার জিতেছে। খেলোয়াড়রা যে কোনও সংখ্যায় দরপত্র দিতে পারে এই ভিত্তিটি সর্ব-বেতন, সিল করা-দরপত্র, দ্বিতীয় মূল্যের নিলাম বিশ্লেষণের জন্য গুরুত্বপূর্ণ। দরপত্রটি বিতর্কিত সম্পদের মূল্যকেও ছাড়িয়ে যেতে পারে। এটি প্রথমে অযৌক্তিক বলে মনে হয়, একটি সম্পদের মূল্যের চেয়ে বেশি অর্থ প্রদান করা আপাতদৃষ্টিতে বোকামি; তবে, মনে রাখবেন যে প্রতিটি দরদাতা শুধুমাত্র কম দর প্রদান করে। অতএব, সম্পদের মূল্যের সমান বা তার চেয়ে কম পরিমাণের পরিবর্তে সর্বোচ্চ সম্ভাব্য পরিমাণের জন্য দরপত্র আহ্বান করা প্রতিটি খেলোয়াড়ের পক্ষে সর্বোত্তম স্বার্থ বলে মনে হবে। তবে একটি ক্যাচ রয়েছে; যদি উভয় খেলোয়াড় ভি-এর চেয়ে বেশি বিড করে, তবে উচ্চ দরদাতা কম হারানোর মতো ততটা জিততে পারে না। যে খেলোয়াড় কম মূল্যের বিড করে সে b হারায় এবং যে বেশি বিড করে সে b-V হারায় (যেখানে, এই পরিস্থিতিতে, b> V)। এই পরিস্থিতিকে সাধারণত পিরহিক বিজয় হিসাবে উল্লেখ করা হয়। একটি টাই-এর জন্য যাতে b> V/2 হয়, তারা উভয়ই b-V/2 হারায়। লুস এবং রাইফা পরবর্তী পরিস্থিতিকে একটি "ধ্বংসাত্মক পরিস্থিতি" হিসাবে উল্লেখ করেছেন; উভয় খেলোয়াড়ই ভুগছেন এবং কোনও বিজয়ী নেই। এই ছদ্ম-ম্যাট্রিক্স থেকে যে উপসংহারটি নেওয়া যেতে পারে তা হল দরপত্রের কোনও মূল্য নেই যা সমস্ত ক্ষেত্রেই উপকারী, তাই কোনও প্রভাবশালী কৌশল নেই। যাইহোক, বিশুদ্ধ কৌশলগুলিতে একাধিক অসমমিত দুর্বল ন্যাশ ইকুইলিব্রিয়া রয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, যে কোনও খেলোয়াড় যে কোনও বিডের জন্য প্রতিশ্রুতিবদ্ধ হতে পারে। অন্য খেলোয়াড়ের সেরা প্রতিক্রিয়া হল শূন্য বিড করা কারণ এমন কোনও বিড নেই যার মাধ্যমে তারা পুরস্কার জিততে পারে এবং একটি ইতিবাচক বেতন পেতে পারে। ইতিবাচক দর সহ খেলোয়াড় ভারসাম্যে কিছুই দেয় না। সুতরাং, তাদের কম দর দেওয়ার কোনও উৎসাহ নেই। এই ভারসাম্য সাবগেম নিখুঁত। মিশ্র কৌশলগুলিতে একটি প্রতিসম ভারসাম্যও রয়েছে। প্রতিসম ন্যাশ ভারসাম্য সংঘর্ষের আরেকটি জনপ্রিয় সূত্র নিম্নরূপঃ দুই খেলোয়াড় একটি বিবাদে জড়িত। প্রতিটি খেলোয়াড়ের কাছে বস্তুটির মান হল। সময়কে একটি অবিচ্ছিন্ন পরিবর্তনশীল হিসাবে মডেল করা হয় যা শূন্য থেকে শুরু হয় এবং অনির্দিষ্টকালের জন্য চলে। প্রতিটি খেলোয়াড় বেছে নেয় কখন অন্য খেলোয়াড়ের কাছে বস্তুটি স্বীকার করতে হবে। টাই হওয়ার ক্ষেত্রে, প্রতিটি খেলোয়াড় ইউটিলিটি পায়। সময় মূল্যবান, প্রতিটি খেলোয়াড় প্রতি সময়কালে এক ইউনিট ইউটিলিটি ব্যবহার করে। এই সূত্রটি একটু বেশি জটিল কারণ এটি প্রতিটি খেলোয়াড়কে বস্তুটির জন্য একটি ভিন্ন মান নির্ধারণ করতে দেয়। আমরা ধরে নিই যে উভয় খেলোয়াড়ই অন্য খেলোয়াড়ের মূল্যায়ন জানেন। সুতরাং, খেলাটি একটি সম্পূর্ণ তথ্যের খেলা। অনন্য প্রতিসম ন্যাশ ভারসাম্য টি-এর জন্য নিম্নলিখিত বেঁচে থাকার ফাংশন দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়ঃ একজন খেলোয়াড়ের জন্য মান, যার প্রতিপক্ষ সময় টি-তে সম্পদকে মূল্য দেয়, তার সম্ভাবনা হল t ≤ x। এই কৌশলটি কোনও খেলোয়াড়েরই জয়ের নিশ্চয়তা দেয় না। বরং, এটি সর্বোত্তম কৌশল কারণ আপনার প্রতিপক্ষও একই ধরনের কৌশল অবলম্বন করে। মনে রাখবেন যে, যদি, তাহলে, কম মূল্যের খেলোয়াড় উচ্চতর মূল্যের খেলোয়াড়ের চেয়ে বেশি সময় ধরে থাকে। এর অর্থ হল যে খেলোয়াড়ের মান কম, তার যুদ্ধে জেতার সম্ভাবনা বেশি। লক্ষ্য করুন যে এমন কোনও x নেই যাতে বেঁচে থাকার ফাংশন শূন্যের সমান হয়। সুতরাং, দরপত্র বিতরণে পূর্ণ সমর্থন রয়েছে। উপরন্তু, উভয় খেলোয়াড়ই শূন্যের প্রত্যাশিত প্রতিদান পান কারণ তাদের প্রতিদান t = 0-এ শূন্য এবং তাদের প্রত্যাশিত প্রতিদান অবশ্যই t-এর প্রতিটি মানের সমান হতে হবে। গতিশীল গঠন এবং বিবর্তনীয়ভাবে স্থিতিশীল কৌশল অনন্য বিবর্তনীয়ভাবে স্থিতিশীল কৌশলটি প্রতিসম ন্যাশ ভারসাম্যের সাথে মিলে যায়। এটি এই সত্য থেকে আসে যে যে কোনও ইএসএস অবশ্যই একটি ন্যাশ ভারসাম্য হতে হবে এবং এই সত্য যে কোনও বিশুদ্ধ অধ্যবসায় সময় একটি ইএসএস হতে পারে না। কোনও বিশুদ্ধ অধ্যবসায়ের সময় একটি ই. এস. এস নয় যা কেবল এক্স-এর একটি অনুমানমূলক ই. এস. এস বিড বিবেচনা করে প্রদর্শিত করা যেতে পারে, যা এক্স +-এর বিড দ্বারা পরাজিত হবে। এটিও দেখানো হয়েছে যে ব্যক্তিরা শুধুমাত্র বিশুদ্ধ কৌশলগুলি খেলতে পারলেও, সমস্ত ব্যক্তির কৌশল মূল্যের সময় গড় গণনা করা ই. এস. এস-এর সাথে সঠিকভাবে মিলিত হয়। এই ধরনের পরিবেশে, প্রতিযোগী ব্যক্তিদের একটি চক্রাকার আচরণ পর্যবেক্ষণ করা যেতে পারে। আরও দেখুন বিবর্তনীয় খেলা তত্ত্ব বিশপ-ক্যানিংস উপপাদ্য রুবিনস্টাইন দর কষাকষির মডেল হক-কবুতর খেলা ডলার নিলাম অ্যাট্রিশন ওয়ারফেয়ার রেফারেন্স অ-সহযোগী খেলা