Taubes's Gromov invariant
গণিতে, ক্লিফোর্ড টাউবসের গ্রোমভ অপরিবর্তনীয় একটি সিমপ্লেক্টিক 4-ম্যানিফোল্ডে এম্বেডেড (সম্ভবত সংযোগ বিচ্ছিন্ন) সিউডোহোলোমরফিক বক্ররেখা গণনা করে, যেখানে বক্ররেখা একটি সহায়ক সামঞ্জস্যপূর্ণ প্রায় জটিল কাঠামোর সাপেক্ষে হোলোমরফিক হয়। (স্ব-ছেদ 0 সহ 2-তোরির একাধিক আবরণও গণনা করা হয়।) টাউবস চারটি দীর্ঘ গবেষণাপত্রে প্রমাণ করেছেন যে এই অপরিবর্তনীয়ের মধ্যে থাকা তথ্যটি সাইবার্গ-উইটেন সমীকরণ থেকে প্রাপ্ত অপরিবর্তনীয়ের সমতুল্য। এই অপরিবর্তনীয়তার সাথে যুক্ত বিশ্লেষণাত্মক জটিলতার বেশিরভাগই সঠিকভাবে বহুগুণিত সিউডোহোলোমর্ফিক বক্ররেখা গণনা থেকে আসে যাতে ফলাফলটি প্রায় জটিল কাঠামোর পছন্দের অপরিবর্তনীয় হয়। ক্রক্স হল সিউডোহোলোমর্ফিক বক্ররেখার জন্য একটি টপোলজিক্যালি সংজ্ঞায়িত সূচক যা এমবেডেডনেস নিয়ন্ত্রণ করে এবং ফ্রেডহোম সূচককে সীমাবদ্ধ করে। এমবেডেড কন্টাক্ট হোমোলজি মাইকেল হাচিংসের এই কাজের কারণে ফর্মের নন-কমপ্যাক্ট ফোর-ম্যানিফোল্ডের একটি এক্সটেনশন, যেখানে ওয়াই একটি কমপ্যাক্ট কন্টাক্ট 3-ম্যানিফোল্ড। ইসিএইচ হল একটি সিমপ্লেক্টিক ক্ষেত্র তত্ত্বের মতো অপরিবর্তনীয়; অর্থাৎ, এটি একটি চেইন কমপ্লেক্সের সমরূপতা যা ওয়াই-এর উপর একটি যোগাযোগ ফর্মের রিব কক্ষপথের নির্দিষ্ট সংমিশ্রণ দ্বারা উত্পন্ন হয় এবং যার ডিফারেনশিয়াল কিছু এম্বেডেড সিউডোহোলোমর্ফিক বক্ররেখা গণনা করে এবং "ইসিএইচ সূচক" 1-এর সাথে আবৃত সিউডোহোলোমর্ফিক সিলিন্ডারগুলিকে গুণ করে। ইসিএইচ সূচকটি নলাকার ক্ষেত্রে টাউবেসের সূচকের একটি সংস্করণ, এবং আবার, বক্ররেখা একটি উপযুক্ত প্রায় জটিল কাঠামোর সাপেক্ষে সিউডোহোলোমরফিক। ফলাফল হল ওয়াই-এর একটি টপোলজিকাল অপরিবর্তনীয়, যা টাউবস প্রমাণ করেছেন যে মনোপোল ফ্লোর হোমোলজির সমতুল্য, ওয়াই-এর জন্য সাইবার্গ-উইটেন হোমোলজির একটি সংস্করণ। রেফারেন্স সিম্পলটিক টপোলজি 4-ম্যানিফোল্ড