Peetre theorem
গণিতে, জাক পিটরের নামে নামকরণ করা (রৈখিক) পিটর উপপাদ্যটি কার্যকরী বিশ্লেষণের একটি ফলাফল যা সাধারণ ফাংশন স্পেসে তাদের প্রভাবের পরিপ্রেক্ষিতে এবং স্পষ্ট ভাষায় পার্থক্য উল্লেখ না করে ডিফারেনশিয়াল অপারেটরদের একটি বৈশিষ্ট্য প্রদান করে। পিট্রে উপপাদ্যটি একটি সসীম ক্রম উপপাদ্যের একটি উদাহরণ যেখানে একটি ফাংশন বা একটি ফাংক্টর, খুব সাধারণ উপায়ে সংজ্ঞায়িত করা হয়, প্রকৃতপক্ষে তার উপর আরোপিত কিছু বহিরাগত শর্ত বা প্রতিসাম্যের কারণে একটি বহুপদী হিসাবে দেখানো যেতে পারে। এই নিবন্ধে পিটার উপপাদ্যের দুটি রূপ নিয়ে আলোচনা করা হয়েছে। প্রথমটি হল মূল সংস্করণ যা, যদিও তার নিজের দিক থেকে বেশ কার্যকর, আসলে বেশিরভাগ অ্যাপ্লিকেশনের জন্য খুব সাধারণ। মূল পিটার উপপাদ্যটি এম-এর উপর এম-কে একটি মসৃণ ম্যানিফোল্ড এবং ই এবং এফ-কে দুটি ভেক্টর বান্ডিল হতে দিন। ধরা যাক ই এবং এফ-এর মসৃণ বিভাগগুলির ফাঁকগুলি। একটি অপারেটর হল শেভগুলির একটি অঙ্গসংস্থান যা বিভাগগুলির উপর রৈখিক হয় যাতে ডি-এর সমর্থন ক্রমবর্ধমান হয় নাঃ ধরুন ডি-কে ই-এর প্রতিটি মসৃণ বিভাগের জন্য ধরে নেওয়া হয়। মূল পিটার উপপাদ্যটি দাবি করে যে, এম-এর প্রতিটি বিন্দু পি-এর জন্য, পি-এর একটি প্রতিবেশী ইউ এবং একটি পূর্ণসংখ্যা কে (ইউ-এর উপর নির্ভর করে) রয়েছে যাতে ডি হল ইউ-এর উপর ক্রম কে-এর একটি ডিফারেনশিয়াল অপারেটর। এর মানে হল যে ডি একটি রৈখিক ম্যাপিং আইডির মাধ্যমে ই-এর বিভাগগুলির কে-জেট থেকে এফ-এর মসৃণ বিভাগগুলির স্থানের মধ্যে ফ্যাক্টর করেঃ কে-জেট অপারেটর কোথায় এবং ভেক্টর বান্ডিলগুলির একটি রৈখিক ম্যাপিং। প্রমাণ স্থানীয় ডিফিয়োমরফিজমের অধীনে সমস্যাটি অপরিবর্তনীয়, তাই এটি প্রমাণ করার জন্য যথেষ্ট যখন এম আরএন-এ একটি খোলা সেট এবং ই এবং এফ তুচ্ছ বান্ডিল হয়। এই মুহুর্তে, এটি মূলত দুটি লেম্মার উপর নির্ভর করেঃ লেম্মা 1। যদি উপপাদ্যটির অনুমানগুলি সন্তুষ্ট হয়, তবে প্রতিটি x ωM এবং C> 0-এর জন্য, x-এর একটি প্রতিবেশী V এবং একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা k রয়েছে যাতে যে কোনও y ωV\ {x}-এর জন্য এবং E-এর যে কোনও বিভাগের জন্য যার k-জেট y (jks (y) = 0)-এ অদৃশ্য হয়ে যায়, আমাদের |Ds (y)। <C থাকে। লেম্মা 2। প্রথম লেম্মাটি উপপাদ্যটি প্রমাণ করার জন্য যথেষ্ট। আমরা লেমা 1-এর প্রমাণ দিয়ে শুরু করি। ধরুন লেম্মাটি মিথ্যা। তারপর x-এর দিকে ঝুঁকে থাকা xk-এর একটি ক্রম রয়েছে এবং xk-এর চারপাশে খুব বিচ্ছিন্ন বল Bk-এর একটি ক্রম রয়েছে (যার অর্থ হল যে এই ধরনের যে কোনও দুটি বলের মধ্যে জিওডেসিক দূরত্ব শূন্য নয়), এবং প্রতিটি Bk-এর উপর E-এর সেকশন রয়েছে যাতে jksk (xk) = 0 কিন্তু |Dsk (xk)। ±C> 0। ধরা যাক ρ (x) উৎপত্তিস্থলে একক বলের জন্য একটি আদর্শ বাম্প ফাংশনকে নির্দেশ করেঃ একটি মসৃণ বাস্তব-মূল্যবান ফাংশন যা B1/2 (0)-এ 1-এর সমান, যা একক বলের সীমানায় অসীম ক্রমে অদৃশ্য হয়ে যায়। প্রতিটি অন্যান্য বিভাগ s2k বিবেচনা করুন। x2k-এ, এগুলি j2ks2k (x2k) = 0-কে সন্তুষ্ট করে। ধরুন 2k দেওয়া আছে। তারপর, যেহেতু এই ফাংশনগুলি মসৃণ এবং প্রতিটি j2k (s2k) (x2k) = 0 কে সন্তুষ্ট করে, তাই একটি ছোট বল B′ δ (x2k) নির্দিষ্ট করা সম্ভব যাতে উচ্চতর ক্রমের ডেরিভেটিভগুলি নিম্নলিখিত অনুমান মেনে চলেঃ যেখানে এখন B′ δ (x2k) সমর্থিত একটি স্ট্যান্ডার্ড বাম্প ফাংশন, এবং গুণফলের ডেরিভেটিভ s2kρ2k এমনভাবে আবদ্ধ যে ফলস্বরূপ, নিম্নলিখিত সিরিজ এবং এর ডেরিভেটিভগুলির সমস্ত আংশিক যোগফল একইভাবে একত্রিত হয় q (y) সমস্ত V-এর উপর একটি মসৃণ ফাংশন। অন্যদিকে, যেহেতু Dq (x2k + 1) = 0 কারণ q হল B2k + 1-এ অভিন্নভাবে শূন্য এবং D হল নন-ইনক্রিজিং-কে সমর্থন করে। সুতরাং Dq (x) = 0। এটি একটি দ্বন্দ্ব। আমরা এখন লেমা 2 প্রমাণ করছি। প্রথমে, আসুন আমরা প্রথম লেম্মা থেকে ধ্রুবক সি দিয়ে বিতরণ করি। আমরা দেখাই যে, লেমা 1-এর মতো একই অনুমানের অধীনে, |Ds (y)। = 0। V\ {x}-এ একটি y বেছে নিন যাতে jks (y) = 0 কিন্তু |Ds (y)। = g> 0 হয়। 2C/g-এর একটি গুণক দ্বারা s-কে পুনরুদ্ধার করুন। তারপর যদি g অ-শূন্য হয়, D এর রৈখিকতা দ্বারা, |Ds (y)। = 2C> C, যা লেমমা 1 দ্বারা অসম্ভব। এটি পঞ্চারযুক্ত পার্শ্ববর্তী V\ {x}-এ উপপাদ্যটি প্রমাণ করে। এখন, আমাদের অবশ্যই পঞ্চারযুক্ত পাড়ায় কেন্দ্রীয় বিন্দু x পর্যন্ত ডিফারেনশিয়াল অপারেটর চালিয়ে যেতে হবে। D হল মসৃণ সহগ সহ একটি রৈখিক ডিফারেনশিয়াল অপারেটর। উপরন্তু, এটি এক্স-এ মসৃণ ক্রিয়াকলাপের জীবাণুগুলিতে মসৃণ ক্রিয়াকলাপের জীবাণু প্রেরণ করে। সুতরাং ডি-এর সহগগুলিও x-এ মসৃণ। একটি বিশেষ প্রয়োগ ধরা যাক এম একটি কম্প্যাক্ট মসৃণ ম্যানিফোল্ড (সম্ভবত সীমানা সহ), এবং ই এবং এফ এম-এর উপর সসীম মাত্রিক ভেক্টর বান্ডিল। ধরা যাক ই-এর মসৃণ বিভাগগুলির সংগ্রহ। একটি অপারেটর একটি মসৃণ ফাংশন (ফ্রেচেট ম্যানিফোল্ডের) যা তন্তুগুলির উপর রৈখিক এবং এম-এর উপর ভিত্তি বিন্দুকে সম্মান করেঃ পিটার উপপাদ্যটি দাবি করে যে প্রতিটি অপারেটর ডি-এর জন্য একটি পূর্ণসংখ্যা কে রয়েছে যাতে ডি অর্ডার কে-এর একটি ডিফারেনশিয়াল অপারেটর। বিশেষত, আমরা বিচ্ছিন্ন করতে পারি যেখানে ই-এর বিভাগের জেটগুলি থেকে বান্ডিল এফ-এর একটি ম্যাপিং রয়েছে। অভ্যন্তরীণ ডিফারেনশিয়াল অপারেটরগুলিও দেখুন। উদাহরণস্বরূপঃ ল্যাপলেসিয়ান নিম্নলিখিত অপারেটরটি বিবেচনা করুনঃ ব্যাসার্ধের সাথে গোলকটি কোথায় এবং কোথায় কেন্দ্রীভূত। এটি আসলে ল্যাপলেসিয়ান। আমরা দেখাব পিট্রে-র উপপাদ্য অনুসারে এটি একটি ডিফারেনশিয়াল অপারেটর। মূল ধারণাটি হল যে যেহেতু শুধুমাত্র কাছাকাছি আচরণের পরিপ্রেক্ষিতে সংজ্ঞায়িত করা হয়, তাই এটি স্থানীয় প্রকৃতির; বিশেষ করে, যদি স্থানীয়ভাবে শূন্য হয়, তাহলে তাই হয়, এবং তাই সমর্থন বাড়তে পারে না। প্রযুক্তিগত প্রমাণ নিম্নরূপ। পদমর্যাদার তুচ্ছ বান্ডিল হতে দিন এবং হতে দিন। তারপর এবং কেবল মসৃণ ফাংশনের স্থান। একটি শিফ হিসাবে, খোলা সেটে মসৃণ ফাংশনের সেট এবং সীমাবদ্ধতা হল ফাংশন সীমাবদ্ধতা। এটি দেখতে প্রকৃতপক্ষে একটি অঙ্গসংস্থান, আমাদের খোলা সেট এবং এই জাতীয় সেটগুলি পরীক্ষা করতে হবে। এটি স্পষ্ট কারণ, উভয়ই এবং সহজ, কারণ শেষ পর্যন্ত উভয়ই ভিতরে এবং যাইহোক বসে। এটি পরীক্ষা করা সহজ যে এটি রৈখিকঃ এবং পরিশেষে, আমরা এই অর্থে স্থানীয় কিনা তা পরীক্ষা করি। যদি, তাহলে এমন যে ব্যাসার্ধের বলটি এ কেন্দ্র করে। এইভাবে, জন্য, জন্য, এবং তাই। অতএব, সুতরাং পিটরের উপপাদ্য অনুসারে, এটি একটি ডিফারেনশিয়াল অপারেটর। তথ্যসূত্র পিট্রে, জে., ইউনে ক্যারাকটেরিজেশন অ্যাবস্ট্রাইট ডেস অপেরেটার্স ডিফেরেনশিয়ালস, ম্যাথ। স্ক্যান্ড। 7 (1959), 211-218। পিট্রে, জে., রেক্টিফিকেশন এ ল 'আর্টিকেল ইউনে ক্যারাকটেরিজেশন অ্যাবস্ট্রাইট ডেস অপেরেটার্স ডিফারেন্টিয়েলস, ম্যাথ। স্ক্যান্ড। 8 (1960), 116-120। টার্ং, সি. এল., ন্যাচারাল ভেক্টর বান্ডিল এবং ন্যাচারাল ডিফারেনশিয়াল অপারেটর, এম। জে। গণিত। 100 (1978), 775-828। প্রমাণ সম্বলিত নিবন্ধ ডিফারেনশিয়াল অপারেটর কার্যকরী বিশ্লেষণে উপপাদ্য