Moduli of algebraic curves
বীজগাণিতিক জ্যামিতিতে, (বীজগাণিতিক) বক্ররেখার একটি মডুলি স্থান হল একটি জ্যামিতিক স্থান (সাধারণত একটি স্কিম বা একটি বীজগাণিতিক স্ট্যাক) যার বিন্দুগুলি বীজগাণিতিক বক্ররেখার সমরূপতা শ্রেণীর প্রতিনিধিত্ব করে। এইভাবে এটি একটি মডুলি স্থানের একটি বিশেষ ঘটনা। বিবেচিত বীজগাণিতিক বক্ররেখার শ্রেণীগুলিতে প্রয়োগ করা সীমাবদ্ধতার উপর নির্ভর করে, সংশ্লিষ্ট মডুলি সমস্যা এবং মডুলি স্থান ভিন্ন। একটি একই মডুলি সমস্যার জন্য সূক্ষ্ম এবং মোটা মডুলি স্পেসের মধ্যে পার্থক্য করে। সবচেয়ে মৌলিক সমস্যা হল একটি নির্দিষ্ট বংশের মসৃণ সম্পূর্ণ বক্ররেখার মডুলির। জটিল সংখ্যার ক্ষেত্রে এগুলি প্রদত্ত বংশের কম্প্যাক্ট রিম্যান পৃষ্ঠের সাথে সুনির্দিষ্টভাবে মিলে যায়, যার জন্য বার্নহার্ড রিম্যান মডুলি স্পেস সম্পর্কে প্রথম ফলাফল প্রমাণ করেছিলেন, বিশেষত তাদের মাত্রা ("জটিল কাঠামো নির্ভর করে এমন পরামিতিগুলির সংখ্যা")। স্থিতিশীল বক্ররেখার মডুলি স্ট্যাক মডুলি স্ট্যাক মসৃণ প্রজেক্টিভ বক্ররেখার পরিবারগুলিকে তাদের সমরূপতার সাথে শ্রেণীবদ্ধ করে। কখন, এই স্ট্যাকটি নতুন "সীমানা" পয়েন্ট যোগ করে সংকুচিত করা যেতে পারে যা স্থিতিশীল নোডাল বক্ররেখার সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ (তাদের সমরূপতার সাথে)। একটি বক্ররেখা স্থিতিশীল হয় যদি এটি সম্পূর্ণ, সংযুক্ত থাকে, ডাবল পয়েন্ট ছাড়া অন্য কোনও এককত্ব না থাকে এবং কেবল অটোমরফিজমের একটি সীমাবদ্ধ গ্রুপ থাকে। ফলস্বরূপ স্ট্যাক চিহ্নিত করা হয়। উভয় মডুলি স্ট্যাকই বক্ররেখার সর্বজনীন পরিবার বহন করে। উপরের উভয় স্ট্যাকের মাত্রা রয়েছে; তাই একটি স্থিতিশীল নোডাল বক্ররেখা সম্পূর্ণরূপে পরামিতিগুলির মান নির্বাচন করে নির্দিষ্ট করা যেতে পারে, কখন। নিম্ন বংশে, তাদের সংখ্যা বিয়োগ করে অটোমরফিজমের মসৃণ পরিবারের উপস্থিতির জন্য অবশ্যই হিসাব করতে হবে। শূন্য গণের ঠিক একটি জটিল বক্ররেখা রয়েছে, রিম্যান গোলক, এবং এর সমরূপতার গোষ্ঠী হল পি. জি. এল (2)। একইভাবে, জেনাস 1-এ, বক্ররেখার একটি এক-মাত্রিক স্থান রয়েছে, তবে এই ধরনের প্রতিটি বক্ররেখার অটোমরফিজমের একটি এক-মাত্রিক গোষ্ঠী রয়েছে। সুতরাং, স্ট্যাকের মাত্রা 0। নির্মাণ এবং অপরিবর্তনীয়তা এটি একটি অ-তুচ্ছ উপপাদ্য, যা পিয়ের ডেলিগনে এবং ডেভিড মমফোর্ড প্রমাণ করেছেন যে মডুলি স্ট্যাকটি অপরিবর্তনীয়, যার অর্থ এটি দুটি সঠিক সাবস্ট্যাকের মিলন হিসাবে প্রকাশ করা যায় না। হিলবার্ট বিন্যাসে স্থিতিশীল বক্ররেখার অবস্থান বিশ্লেষণ করে তারা এটি প্রমাণ করে (প্রতিটি বক্ররেখার জন্য খুব পর্যাপ্ত বক্ররেখার এম্বেডিং থেকে) যার হিলবার্ট বহুপদী রয়েছে। তারপর, স্ট্যাকটি মডুলি স্থানের একটি নির্মাণ। বিকৃতি তত্ত্ব ব্যবহার করে, ডেলিগনে এবং মমফোর্ড দেখান যে এই স্ট্যাকটি মসৃণ এবং স্থিতিশীল বক্ররেখার মধ্যে আইসোমরফিজমের স্ট্যাক ব্যবহার করে, এটি দেখানোর জন্য যে এটির সীমাবদ্ধ স্থিতিশীল রয়েছে, তাই এটি একটি ডেলিগনে-মামফোর্ড স্ট্যাক। উপরন্তু, তারা একটি স্তরবিন্যাস খুঁজে পায়, যেখানে মসৃণ স্থিতিশীল বক্ররেখার সাবশেম এবং এর একটি অপরিবর্তনীয় উপাদান। তারা (জিআইটি ভাগফল হিসাবে) এর উপাদানগুলি বিশ্লেষণ করে। যদি এর একাধিক উপাদান থাকত, তবে সেগুলির কোনওটিই সম্পূর্ণ হত না। এছাড়াও, এর যে কোনও উপাদানের অবশ্যই অ-এককাকার বক্ররেখা থাকতে হবে। ফলস্বরূপ, একক লোকাস সংযুক্ত, তাই এটি এর একটি একক উপাদানের মধ্যে রয়েছে। উপরন্তু, যেহেতু প্রতিটি উপাদান ছেদ করে, তাই সমস্ত উপাদান অবশ্যই একটি একক উপাদানের মধ্যে থাকতে হবে, তাই মোটা স্থানটি অপরিবর্তনীয়। বীজগাণিতিক স্ট্যাকের সাধারণ তত্ত্ব থেকে, এটি বোঝায় যে স্ট্যাক ভাগফল অপরিবর্তনীয়। সঠিকতা, বা অরবিফোল্ডের জন্য কম্প্যাক্টনেস, বক্ররেখার উপর স্থিতিশীল হ্রাস সম্পর্কিত একটি উপপাদ্য থেকে অনুসরণ করা হয়। এটি আবেলিয়ান জাতের স্থিতিশীল হ্রাস সম্পর্কিত গ্রোথেন্ডিয়েকের একটি উপপাদ্য ব্যবহার করে পাওয়া যেতে পারে এবং curves.section 5.2 মোটা মডুলি স্পেসের স্থিতিশীল হ্রাসের সাথে এর সমতুল্যতা দেখায়। মডুলি স্ট্যাকের ধারণা চালু হওয়ার আগে এই মোটা মডুলি স্পেসগুলি আসলে অধ্যয়ন করা হয়েছিল। প্রকৃতপক্ষে, মোটা মডুলি স্পেসের প্রজেক্টিভিটি প্রমাণ করার প্রয়াসে ডেলিগনে এবং মমফোর্ড একটি মডুলি স্ট্যাকের ধারণাটি প্রবর্তন করেছিলেন। সাম্প্রতিক বছরগুলিতে, এটি স্পষ্ট হয়ে উঠেছে যে বক্ররেখার স্ট্যাক আসলে আরও মৌলিক বস্তু। মোটা মডুলি স্পেসগুলির স্ট্যাকগুলির মতো একই মাত্রা থাকে; তবে, শূন্য গণের মোটা মডুলি স্পেসের মাত্রা শূন্য এবং এক গণের মধ্যে এটির মাত্রা এক। নিম্ন বংশের মডুলি স্থানের উদাহরণ জেনাস 0 বংশের বক্ররেখার মডুলি স্থানের জ্যামিতি নির্ধারণ বিকৃতি তত্ত্ব ব্যবহার করে প্রতিষ্ঠিত করা যেতে পারে। একটি বংশের বক্ররেখার জন্য মডুলির সংখ্যা, যেমন। , কোহোমোলজি গ্রুপ দ্বারা দেওয়া হয়েছে. সেরে দ্বৈততার সাথে এই কোহোমোলজি গ্রুপটি দ্বৈতকরণ শিফের জন্য আইসোমরফিক। কিন্তু, রিম্যান-রক ব্যবহার করে ক্যানোনিকাল বান্ডিলের মাত্রা দেখানো হয়েছে, তাই এর মাত্রা, তাই কোনও বৈশ্বিক বিভাগ নেই, যার অর্থ হল বংশের বক্ররেখার কোনও বিকৃতি নেই। এটি প্রমাণ করে যে এটি কেবল একটি বিন্দু, এবং একমাত্র বংশের বক্ররেখা দ্বারা দেওয়া হয়। একমাত্র প্রযুক্তিগত অসুবিধা হ 'ল বীজগাণিতিক গোষ্ঠীর অটোমরফিজম গ্রুপ, যা একবার তিনটি পয়েন্ট স্থির হয়ে গেলে কঠোর হয়, তাই বেশিরভাগ লেখক মানে নেন। জিনস 1 কেসটি মডুলি স্পেসের প্রথম ভালভাবে বোঝা কেসগুলির মধ্যে একটি, অন্তত জটিল সংখ্যার উপরে, কারণ উপবৃত্তাকার বক্ররেখার আইসোমরফিজম ক্লাসগুলি জে-ইনভ্যারিয়েন্ট দ্বারা শ্রেণীবদ্ধ করা হয়। টপোলজিক্যালি, এটি কেবল অ্যাফিন লাইন, তবে এটি অনন্ততায় একটি স্থিতিশীল বক্ররেখা যোগ করে অন্তর্নিহিত টপোলজিকাল স্থান সহ একটি স্ট্যাকের সাথে সংকুচিত করা যেতে পারে। এটি একটি একক কুস্প সহ একটি উপবৃত্তাকার বক্ররেখা। সাধারণ কেস ওভারের নির্মাণ মূলত ডেলিগনে এবং রাপোপর্ট দ্বারা সম্পন্ন হয়েছিল। লক্ষ্য করুন যে বেশিরভাগ লেখক একটি চিহ্নিত বিন্দু সহ এক বংশের বক্ররেখাকে গোষ্ঠীর উৎপত্তি হিসাবে বিবেচনা করেন কারণ অন্যথায় একটি অনুমানমূলক মডুলি স্পেসে স্টেবিলাইজার গ্রুপের বক্ররেখা দ্বারা প্রদত্ত বিন্দুতে স্টেবিলাইজার গ্রুপ থাকবে, কারণ উপবৃত্তাকার বক্ররেখার একটি আবেলিয়ান গ্রুপ কাঠামো রয়েছে। এটি এই অনুমানমূলক মডুলি স্পেসে অপ্রয়োজনীয় প্রযুক্তিগত জটিলতা যোগ করে। অন্যদিকে, এটি একটি মসৃণ ডেলিগনে-মামফোর্ড স্ট্যাক। জেনাস 2 অ্যাফিন প্যারামিটার স্পেস জেনাস 2-এ এটি একটি ধ্রুপদী ফলাফল যে এই জাতীয় সমস্ত বক্ররেখা হাইপারেলিপটিক, পৃষ্ঠা 298 তাই রিমান-হারউইটস সূত্র ব্যবহার করে বক্ররেখার শাখা লোকাস থেকে মডুলি স্থানটি সম্পূর্ণরূপে নির্ধারণ করা যেতে পারে। যেহেতু একটি নির্বিচারে জেনাস 2 বক্ররেখা কিছু অনন্যভাবে সংজ্ঞায়িত ফর্মের একটি বহুপদী দ্বারা দেওয়া হয়, তাই এই ধরনের বক্ররেখার জন্য পরামিতি স্থানটি দেওয়া হয় যেখানে লোকাসের সাথে মিলে যায়। ওজনযুক্ত প্রজেক্টিভ স্পেস একটি ওজনযুক্ত প্রজেক্টিভ স্পেস এবং রিম্যান-হারউইটস সূত্র ব্যবহার করে, একটি হাইপারেলিপটিক বক্ররেখাকে ফর্মের একটি বহুপদী হিসাবে বর্ণনা করা যেতে পারে যেখানে এর বিভাগগুলির জন্য পরামিতি রয়েছে। তারপর, যে বিভাগগুলিতে কোনও ত্রিমুখী মূল নেই, সেগুলির লোকাসে একটি বিন্দু দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা প্রতিটি বক্ররেখা থাকে। জিন 3 এটি বক্ররেখার প্রথম মডুলি স্থান যার একটি হাইপারেলিপটিক লোকাস এবং একটি নন-হাইপারেলিপটিক লোকাস উভয়ই রয়েছে। অ-উপবৃত্তাকার বক্ররেখা সবগুলিই ডিগ্রি 4-এর সমতল বক্ররেখা দ্বারা দেওয়া হয় (জেনাস ডিগ্রি সূত্র ব্যবহার করে), যা হাইপারসার্ফেসগুলির হিলবার্ট স্কিমে মসৃণ লোকাস দ্বারা পরামিতি করা হয়। তারপর, মডুলি স্থানটি সাবস্ট্যাক দ্বারা স্তরবদ্ধ করা হয়। পূর্ববর্তী সমস্ত ক্ষেত্রে, মডুলি স্পেসগুলি একমুখী হিসাবে পাওয়া যেতে পারে, যার অর্থ একটি প্রভাবশালী যুক্তিসঙ্গত অঙ্গসংস্থান বিদ্যমান এবং এটি দীর্ঘকাল ধরে প্রত্যাশিত ছিল যে এটি সমস্ত গণের ক্ষেত্রে সত্য হবে। প্রকৃতপক্ষে, সেভেরির মতে এটি পূর্বের প্রজন্মের জন্য সত্য ছিল। যদিও, দেখা যাচ্ছে যে বংশের জন্য এই ধরনের সমস্ত মডুলি স্পেস সাধারণ ধরনের, যার অর্থ তারা একমুখী নয়। তারা মোটা মডুলি স্পেসের কোডাইরা মাত্রা অধ্যয়ন করে এটি সম্পন্ন করে এবং এর জন্য খুঁজে পায়। প্রকৃতপক্ষে, জন্য, এবং তাই সাধারণ ধরনের। জ্যামিতিক প্রভাব এটি জ্যামিতিকভাবে তাৎপর্যপূর্ণ কারণ এটি বোঝায় যে কোনও নিয়ন্ত্রিত বৈচিত্র্যের উপর যে কোনও রৈখিক ব্যবস্থায় সর্বজনীন বক্ররেখা থাকতে পারে না। সীমানার স্তরবিন্যাস মডুলি স্থানের সীমানায় একটি প্রাকৃতিক স্তরবিন্যাস রয়েছে যার বিন্দুগুলি একক বংশের বক্ররেখা উপস্থাপন করে। এটি স্তরে বিভক্ত হয়, যেখানে জন্য। যেখানে ক্রিয়াটি দুটি চিহ্নিত বিন্দুকে বিন্যস্ত করে। যখনই সমান হয়। এই লোকির উপরে অবস্থিত বক্ররেখা একটি দ্বৈত বিন্দুতে সংযুক্ত এক জোড়া বক্ররেখার সাথে মিলে যায়। একটি একক দ্বৈত বিন্দু এককত্বের উপর একটি বংশের বক্ররেখার স্বাভাবিককরণ। একই বংশের এক জোড়া বক্ররেখা দ্বিগুণ বিন্দুতে বিন্যাস পর্যন্ত সংযুক্ত থাকে। 2য় বংশের জন্য স্তরীকরণ গণের ক্ষেত্রে, দ্বারা প্রদত্ত একটি স্তরীকরণ রয়েছে। এই স্তরগুলির আরও বিশ্লেষণ চৌ রিং প্রস্তাব 9.1-এর জেনারেটরগুলি দিতে ব্যবহার করা যেতে পারে। চিহ্নিত বক্ররেখার মডুলি n চিহ্নিত বিন্দু সহ জিনস জি নোডাল বক্ররেখার মডুলি স্ট্যাক বিবেচনা করে সমস্যাটিকে সমৃদ্ধ করতে পারে, জোড়ার দিক থেকে স্বতন্ত্র এবং নোড থেকে স্বতন্ত্র। এই ধরনের চিহ্নিত বক্ররেখা স্থিতিশীল বলে মনে করা হয় যদি বক্ররেখা অটোমরফিজমের উপগোষ্ঠী যা চিহ্নিত বিন্দুগুলিকে স্থির করে তা সীমাবদ্ধ হয়। n চিহ্নিত বিন্দু সহ মসৃণ (বা স্থিতিশীল) গণ জি বক্ররেখার ফলস্বরূপ মডুলি স্ট্যাকগুলি চিহ্নিত করা হয় (বা), এবং এর মাত্রা রয়েছে। বিশেষ আগ্রহের একটি উদাহরণ হল একটি চিহ্নিত বিন্দু সহ জেনাস 1 বক্ররেখার মডুলি স্ট্যাক। এটি উপবৃত্তাকার বক্ররেখার স্তুপ। স্তর 1 মডুলার ফর্মগুলি এই স্ট্যাকের লাইন বান্ডিলগুলির বিভাগ, এবং স্তর এন মডুলার ফর্মগুলি স্তর এন কাঠামো সহ উপবৃত্তাকার বক্ররেখার স্ট্যাকের লাইন বান্ডিলগুলির বিভাগ (মোটামুটিভাবে অর্ডার এন-এর পয়েন্টগুলির একটি চিহ্নিতকরণ)। বাউন্ডারি জ্যামিতি কম্প্যাক্টিফাইড মডুলি স্পেসের একটি গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য হল যে তাদের সীমানা জেনেরা জন্য মডুলি স্পেসের পরিপ্রেক্ষিতে বর্ণনা করা যেতে পারে। একটি চিহ্নিত, স্থিতিশীল, নোডাল বক্ররেখা দেওয়া হলে কেউ তার দ্বৈত গ্রাফকে সংযুক্ত করতে পারে, একটি গ্রাফ যা অ-নেতিবাচক পূর্ণসংখ্যা দ্বারা লেবেলযুক্ত শীর্ষগুলির সাথে এবং লুপ, একাধিক প্রান্ত এবং সংখ্যাযুক্ত অর্ধ-প্রান্তের অনুমতি দেয়। এখানে গ্রাফের শীর্ষগুলি নোডাল বক্ররেখার অপরিবর্তনীয় উপাদানগুলির সাথে মিলে যায়, একটি শীর্ষের লেবেলিং হল সংশ্লিষ্ট উপাদানটির গাণিতিক গণ, প্রান্তগুলি বক্ররেখার নোডগুলির সাথে মিলে যায় এবং অর্ধ-প্রান্তগুলি চিহ্নগুলির সাথে মিলে যায়। একটি প্রদত্ত দ্বৈত গ্রাফের সাথে বক্ররেখার লোকাস বন্ধ করা একটি সসীম গোষ্ঠী দ্বারা বক্ররেখার কম্প্যাক্টিফাইড মডুলি স্পেসের গুণফলের স্ট্যাক ভাগফলের সমরূপ। পণ্যটিতে একটি ভার্টেক্স ভি-এর সাথে সম্পর্কিত ফ্যাক্টরের লেবেলিং থেকে নেওয়া জিভি গণ রয়েছে এবং চিহ্নগুলির সংখ্যা ভি-তে বহির্গামী প্রান্ত এবং অর্ধ-প্রান্তের সংখ্যার সমান। মোট গণ জি হল জিভি-র যোগফল এবং গ্রাফের বদ্ধ চক্রের সংখ্যা। স্থিতিশীল বক্ররেখা যার দ্বৈত গ্রাফে একটি শীর্ষ থাকে (তাই অন্যান্য সমস্ত শীর্ষে রয়েছে এবং গ্রাফটি একটি গাছ) তাদের "যুক্তিসঙ্গত লেজ" বলা হয় এবং তাদের মডুলি স্থান চিহ্নিত করা হয়। স্থিতিশীল বক্ররেখা যার দ্বৈত গ্রাফ একটি গাছ, তাদের "কম্প্যাক্ট টাইপ" বলা হয় (কারণ জ্যাকোবিয়ান কম্প্যাক্ট) এবং তাদের মডুলি স্থান চিহ্নিত করা হয়। আরও দেখুন চিহ্নিত বক্ররেখার মডুলি উইটেন কনজেকচার টাউটোলজিকাল রিং গ্রোথেন্ডিক-রিম্যান-রক উপপাদ্য রেফারেন্স ক্লাসিক রেফারেন্স বক্ররেখার মডুলি সম্পর্কিত বই কোহোমোলজি এবং ছেদ তত্ত্ব বাহ্যিক লিঙ্কগুলি "বক্ররেখার মডুলি স্থানের টপোলজি এবং জ্যামিতি" "স্থিতিশীল মানচিত্রের মডুলি, গ্রোমভ-উইটেন ইনভ্যারিয়েন্টস এবং কোয়ান্টাম কোহোমোলজি" মডুলি তত্ত্ব বীজগাণিতিক প্রকার