Hamburger moment problem
গণিতে, হান্স লুডভিগ হ্যামবার্গারের নামে নামকরণ করা হ্যামবার্গার মুহুর্ত সমস্যাটি নিম্নরূপ প্রণয়ন করা হয়েছেঃ একটি ক্রম (m0, m1, m2,.) দেওয়া হলে, বাস্তব লাইনে কি একটি ধনাত্মক বোরেল পরিমাপ বিদ্যমান (উদাহরণস্বরূপ, একটি এলোমেলো চলকের ক্রমবর্ধমান বন্টন ফাংশন দ্বারা নির্ধারিত পরিমাপ) যাতে অন্য কথায়, সমস্যার একটি ইতিবাচক উত্তরের অর্থ হল যে (m0, m1, m2,.) হল কিছু ধনাত্মক বোরেল পরিমাপের মুহুর্তের ক্রম। স্টিল্টজেস মুহূর্ত সমস্যা, ভোরোবিয়েভ মুহূর্ত সমস্যা এবং হাউসডর্ফ মুহূর্ত সমস্যা একই রকম তবে বাস্তব রেখাকে (স্টিল্টজেস এবং ভোরোবিয়েভ; কিন্তু ভোরোবিয়েভ ম্যাট্রিক্স তত্ত্বের পরিপ্রেক্ষিতে সমস্যাটি তৈরি করে), বা একটি সীমাবদ্ধ ব্যবধান (হাউসডর্ফ) দ্বারা প্রতিস্থাপন করে। বৈশিষ্ট্য হ্যামবার্গার মুহুর্তের সমস্যাটি সমাধানযোগ্য (অর্থাৎ, (এমএন) মুহুর্তের একটি ক্রম) যদি এবং কেবলমাত্র অ-নেতিবাচক পূর্ণসংখ্যার উপর সংশ্লিষ্ট হ্যাঙ্কেল কার্নেল ধনাত্মক নির্দিষ্ট হয়, অর্থাৎ, প্রতিটি নির্বিচারে ক্রমের জন্য (সিজে) জটিল সংখ্যার যা সীমাবদ্ধ (অর্থাৎ। সিজে = 0, জে-এর সীমিত সংখ্যক মান ব্যতীত)। দাবির "শুধুমাত্র যদি" অংশটির জন্য কেবল নোট করুন যেটি অ-নেতিবাচক যদি অ-নেতিবাচক হয়। আমরা বিপরীতের জন্য একটি যুক্তি স্কেচ করি। ধরা যাক Z + হল অ-ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা এবং F0 (Z +) সীমাবদ্ধ সমর্থন সহ জটিল মূল্যবান ক্রমের পরিবারকে নির্দেশ করে। ধনাত্মক হ্যাঙ্কেল কার্নেল এ সীমাবদ্ধ সমর্থনের সাথে জটিল-মূল্যবান ক্রমের পরিবারে একটি (সম্ভবত অধঃপতিত) সেস্ক্বিলিনিয়ার পণ্যকে প্ররোচিত করে। এটি একটি হিলবার্ট স্থান দেয় যার সাধারণ উপাদানটি [f] দ্বারা চিহ্নিত একটি সমতুল্য শ্রেণী। ধরা যাক, এন হল এফ0 (জেড +)-এর উপাদান যা এন (এম) = δnm দ্বারা সংজ্ঞায়িত। একজন লক্ষ্য করেছেন যে, তাই, "শিফট" অপারেটর টি চালু, টি [এন] = [এন + 1] সহ, প্রতিসম। অন্যদিকে, কাঙ্ক্ষিত অভিব্যক্তিটি বোঝায় যে, একটি স্ব-সংযুক্ত অপারেটরের বর্ণালী পরিমাপ হল μ। (আরও সুনির্দিষ্টভাবে বলা যায়, নীচে সংজ্ঞায়িত অপারেটর এবং ভেক্টর [1]-এর জন্য মাইক্রো হল বর্ণালী পরিমাপ)। যদি আমরা একটি "ফাংশন মডেল" খুঁজে পাই যাতে প্রতিসম অপারেটর টি x দ্বারা গুণিত হয়, তবে টি-এর একটি স্ব-সংযুক্ত এক্সটেনশনের বর্ণালী রেজোলিউশন দাবিটি প্রমাণ করে। একটি ফাংশন মডেল প্রাকৃতিক আইসোমরফিজম দ্বারা F0 (Z +) থেকে বহুপদী পরিবারে দেওয়া হয়, একটি একক বাস্তব পরিবর্তনশীল এবং জটিল সহগগুলিতেঃ n ≤ 0 এর জন্য, xn এর সাথে এন চিহ্নিত করুন। মডেলটিতে, অপারেটর টি হল x দ্বারা গুণ এবং একটি ঘনভাবে সংজ্ঞায়িত প্রতিসম অপারেটর। এটি দেখানো যেতে পারে যে টি-এর সর্বদা স্ব-সংযুক্ত এক্সটেনশন থাকে। তাদের মধ্যে একটি হতে দিন এবং এর বর্ণালী পরিমাপ হতে হবে। সুতরাং অন্যদিকে, অস্তিত্বের একটি বিকল্প প্রমাণের জন্য যা শুধুমাত্র স্টিল্টজেস ইন্টিগ্রাল ব্যবহার করে, বিশেষ উপপাদ্য 3.2 দেখুন। সমাধানের অনন্যতা সমাধানগুলি একটি উত্তল সেট গঠন করে, তাই সমস্যাটির হয় অসীম সংখ্যক সমাধান বা একটি অনন্য সমাধান রয়েছে। (এন + 1) × (এন + 1) হ্যাঙ্কেল ম্যাট্রিক্স বিবেচনা করুন, এ-এর পজিটিভিটির অর্থ হল প্রতিটি এন-এর জন্য, ডিট (Δn) ≤0। যদি কিছু এন-এর জন্য ডিট (Δn) = 0 হয়, তবে তা সসীম-মাত্রিক এবং টি স্ব-সংযুক্ত। সুতরাং এই ক্ষেত্রে হ্যামবার্গার মুহূর্ত সমস্যার সমাধান অনন্য এবং টি-এর বর্ণালী পরিমাপ হওয়ার কারণে, এর সীমাবদ্ধ সমর্থন রয়েছে। আরও সাধারণভাবে, সমাধানটি অনন্য যদি সি এবং ডি ধ্রুবক থাকে যাতে সমস্ত এন-এর জন্য, |mn। ≤ সিডিএনএন! । এটি আরও সাধারণ কার্লম্যানের অবস্থা থেকে অনুসরণ করে। এমন উদাহরণ রয়েছে যেখানে সমাধানটি অনন্য নয়; উদাহরণস্বরূপ দেখুন। আরও ফলাফল দেখতে পাওয়া যায় যে হ্যামবার্গার মুহুর্তের সমস্যাটি বাস্তব রেখার অর্থোগোনাল বহুপদীর সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত। গ্রাম-শ্মিট পদ্ধতিটি অর্থোগোনাল পলিনোমিয়ালগুলির একটি ভিত্তি দেয় যেখানে অপারেটরঃ-এর একটি ত্রিভুজাকার জ্যাকোবি ম্যাট্রিক্স উপস্থাপনা রয়েছে। এর ফলে ইতিবাচক হ্যাঙ্কেল কার্নেলের একটি ত্রিভুজাকার মডেল তৈরি হয়। টি-এর কাইলি রূপান্তরের একটি স্পষ্ট গণনা বাম অর্ধ সমতলে বিশ্লেষণাত্মক ফাংশনের নেভানলিনা শ্রেণীর সাথে সংযোগ দেখায়। নন-কমিউটেটিভ সেটিং-এ গিয়ে, এটি ক্রেইনের সূত্রকে অনুপ্রাণিত করে যা আংশিক আইসোমেট্রিগুলির এক্সটেনশনগুলিকে প্যারামিট্রাইজ করে। ক্রমবর্ধমান বন্টন ফাংশন এবং সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন প্রায়শই মোমেন্ট জেনারেটিং ফাংশনে বিপরীত ল্যাপ্লাস রূপান্তর প্রয়োগ করে পাওয়া যায় যদি এই ফাংশনটি একত্রিত হয়। রেফারেন্স। সম্ভাব্যতা সমস্যা পরিমাপ তত্ত্ব কার্যকরী বিশ্লেষণ মুহূর্ত (গণিত) গাণিতিক সমস্যা