Absolute Galois group
গণিতে, একটি ক্ষেত্র K-এর পরম গ্যালোইস গ্রুপ GK হল K-এর উপর Ksep-এর গ্যালোইস গ্রুপ, যেখানে Ksep হল K-এর একটি পৃথক বন্ধ। বিকল্পভাবে এটি K-এর বীজগাণিতিক বন্ধের সমস্ত অটোমরফিজমের গ্রুপ যা K-কে স্থির করে। পরম গ্যালোইস গ্রুপটি অভ্যন্তরীণ অটোমরফিজম পর্যন্ত ভালভাবে সংজ্ঞায়িত। এটি একটি অসীম গোষ্ঠী। (যখন কে একটি নিখুঁত ক্ষেত্র, তখন কেসেপ কে-এর একটি বীজগাণিতিক ক্লোজার কালগের সমান। বৈশিষ্ট্য শূন্যের K এর জন্য, অথবা K একটি সসীম ক্ষেত্র।) উদাহরণস্বরূপ, একটি বীজগাণিতিকভাবে বদ্ধ ক্ষেত্রের পরম গ্যালোয়া গোষ্ঠীটি তুচ্ছ। বাস্তব সংখ্যার পরম গ্যালোয়া গোষ্ঠী হল দুটি উপাদানের একটি চক্রাকার গোষ্ঠী (জটিল সংমিশ্রণ এবং পরিচয়ের মানচিত্র), যেহেতু সি হল আর এবং [সিঃ আর] = 2-এর পৃথক বন্ধ। একটি সসীম ক্ষেত্র K-এর পরম গ্যালোয়া গোষ্ঠীটি এই গোষ্ঠীর সমতুল্য (স্বরলিপির জন্য, বিপরীত সীমা দেখুন।) ফ্রোবেনিয়াস অটোমরফিজম এফআর হল জিকে-র একটি ক্যানোনিকাল (টপোলজিকাল) জেনারেটর। (মনে রাখবেন যে কালগের সমস্ত x-এর জন্য Fr (x) = xq, যেখানে q হল K-এর উপাদানের সংখ্যা।) জটিল সহগ সহ যুক্তিসঙ্গত ফাংশনের ক্ষেত্রের পরম গালোয়া গোষ্ঠী মুক্ত (একটি অসীম গোষ্ঠী হিসাবে)। এই ফলাফলটি অ্যাড্রিয়েন ডুয়াদির কারণে এবং রিম্যানের অস্তিত্ব উপপাদ্য থেকে এর উৎপত্তি হয়েছে। আরও সাধারণভাবে, ধরা যাক C একটি বীজগাণিতিকভাবে বদ্ধ ক্ষেত্র এবং x একটি পরিবর্তনশীল। তারপর কে = সি (এক্স)-এর পরম গ্যালোইস গ্রুপ সি-এর কার্ডিনালিটির সমান র্যাঙ্ক থেকে মুক্ত। এই ফলাফল ডেভিড হার্বেটার এবং ফ্লোরিয়ান পপের কারণে, এবং পরে ড্যান হারান এবং মোশে জার্ডেন দ্বারা বীজগাণিতিক পদ্ধতি ব্যবহার করে প্রমাণিত হয়েছিল। ধরা যাক, কে হল পি-অ্যাডিক সংখ্যা কিউপি-এর একটি সসীম সম্প্রসারণ। 2-এর জন্য, এর পরম গ্যালোইস গ্রুপটি [কেঃ কিউপি] + 3 উপাদান দ্বারা উৎপন্ন হয় এবং জেনারেটর এবং সম্পর্ক দ্বারা এর একটি স্পষ্ট বর্ণনা রয়েছে। এটি উয়ে জ্যানসেন এবং কে উইংবার্গের ফল। কিছু ফলাফল p = 2 ক্ষেত্রে জানা যায়, কিন্তু Q2-এর কাঠামো জানা যায় না। আরেকটি ক্ষেত্রে যেখানে পরম গ্যালোয়া গোষ্ঠী নির্ধারণ করা হয়েছে তা হল বীজগাণিতিক সংখ্যার ক্ষেত্রের বৃহত্তম সম্পূর্ণ বাস্তব উপক্ষেত্র। সমস্যা মূলদ সংখ্যার পরম গালোয়া গোষ্ঠীর জন্য কোনও সরাসরি বর্ণনা জানা যায় না। এই ক্ষেত্রে, বেলির উপপাদ্য থেকে জানা যায় যে গ্রথেন্ডিয়েকের ডেসিন ডি 'এনফ্যান্টস (পৃষ্ঠের মানচিত্র)-এর উপর পরম গ্যালোয়া গোষ্ঠীর একটি বিশ্বস্ত ক্রিয়া রয়েছে, যা আমাদের বীজগাণিতিক সংখ্যা ক্ষেত্রের গ্যালোয়া তত্ত্ব "দেখতে" সক্ষম করে। K কে যুক্তিসঙ্গত সংখ্যার সর্বাধিক আবেলিয়ান এক্সটেনশন হিসাবে ধরা যাক। তারপর শাফারেভিচের অনুমান দাবি করে যে, কে-এর পরম গ্যালোয়া গোষ্ঠী হল একটি মুক্ত অসীম গোষ্ঠী। একটি আকর্ষণীয় সমস্যা হ 'ল-ম্যাসি পণ্যগুলির বিলুপ্তির বিষয়ে জ্যান মিনাচ এবং এনগুয়েন ডুয় ট্যানের অনুমান নিষ্পত্তি করা। কিছু সাধারণ ফলাফল প্রতিটি প্রফাইনাইট গ্রুপ কিছু গালোয়া সম্প্রসারণের একটি গালোয়া গ্রুপ হিসাবে ঘটে, তবে প্রতিটি প্রফাইনাইট গ্রুপ একটি পরম গালোয়া গ্রুপ হিসাবে ঘটে না। উদাহরণস্বরূপ, আর্টিন-শ্রেয়ার উপপাদ্য দাবি করে যে একমাত্র সসীম পরম গ্যালোয়া গোষ্ঠীগুলি হয় তুচ্ছ বা ক্রম 2-এর, অর্থাৎ মাত্র দুটি সমরূপতা শ্রেণী। প্রতিটি প্রজেক্টিভ প্রোফাইনাইট গ্রুপকে ছদ্ম বীজগাণিতিকভাবে বন্ধ ক্ষেত্রের একটি পরম গ্যালোইস গ্রুপ হিসাবে উপলব্ধি করা যেতে পারে। এই ফলাফলটি আলেকজান্ডার লুবোৎস্কি এবং লু ভ্যান ডেন ড্রিসের কারণে হয়েছে। তথ্যসূত্র উৎস গ্যালোয়া তত্ত্ব