Convex analysis
কনভেক্স বিশ্লেষণ হল গণিতের শাখা যা উত্তল ফাংশন এবং উত্তল সেটের বৈশিষ্ট্য অধ্যয়নের জন্য নিবেদিত, প্রায়শই উত্তল ন্যূনতমকরণের প্রয়োগের সাথে, অপ্টিমাইজেশন তত্ত্বের একটি উপক্ষেত্র। কিছু ভেক্টর স্থানের একটি উপসেট হল যদি এটি নিম্নলিখিত সমতুল্য শর্তগুলির যে কোনও একটি পূরণ করেঃ যদি বাস্তব হয় এবং তারপর যদি বাস্তব হয় এবং তারপর সর্বত্র, একটি ডোমেন সহ বর্ধিত বাস্তব সংখ্যায় মূল্যবান একটি মানচিত্র হবে যা কিছু ভেক্টর স্থানের একটি উত্তল উপসেট। মানচিত্রটি একটি যদি কোনও বাস্তব এবং যে কোনও সহ ধারণ করে যদি এটি সত্য থাকে যখন সংজ্ঞায়িত অসমতা () কঠোর অসমতা দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয় তখন বলা হয়। কনভেক্স ফাংশনগুলি কনভেক্স সেটের সাথে সম্পর্কিত। বিশেষত, ফাংশনটি উত্তল হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি এটি একটি উত্তল সেট হয়। বর্ধিত বাস্তব-মূল্যবান ফাংশনের শিলালিপিগুলি উত্তল বিশ্লেষণে একটি ভূমিকা পালন করে যা বাস্তব বিশ্লেষণে বাস্তব-মূল্যবান ফাংশনের গ্রাফ দ্বারা পরিচালিত ভূমিকার অনুরূপ। বিশেষত, একটি বর্ধিত বাস্তব-মূল্যবান ফাংশনের শিলালিপি জ্যামিতিক অন্তর্দৃষ্টি প্রদান করে যা সূত্রকে সাহায্য করতে বা অনুমান প্রমাণ করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। একটি ফাংশনের ডোমেন দ্বারা চিহ্নিত করা হয় যখন এটি সেট হয় ফাংশনটিকে বলা হয় যদি এবং বিকল্পভাবে, এর অর্থ হল যে ডোমেনে কিছু বিদ্যমান যেখানে এবং এর সমানও হয়। শব্দের মধ্যে, একটি ফাংশন হল যদি এর ডোমেন খালি না হয়, এটি কখনই মান গ্রহণ করে না এবং এটি সমানভাবে সমানও হয় না। কনভেক্স কনজুগেট একটি বর্ধিত বাস্তব-মূল্যবান ফাংশনের (অপরিহার্যভাবে উত্তল নয়) ফাংশন হল (অবিচ্ছিন্ন) দ্বৈত স্থান থেকে এবং যেখানে বন্ধনীগুলি ক্যানোনিকাল দ্বৈততা নির্দেশ করে। সাবডিফারেন্সিয়াল সেট এবং ফেনচেল-ইয়ং অসমতা যদি এবং তারপর হয় উদাহরণস্বরূপ, গুরুত্বপূর্ণ বিশেষ ক্ষেত্রে যেখানে একটি আদর্শ রয়েছে, এটি দেখানো যেতে পারে যে যদি তখন এই সংজ্ঞাটি হ্রাস পায়ঃ এবং যে কোনও এবং যার জন্য বলা হয়। এই বৈষম্য একটি সমতা (অর্থাৎ)। যদি এবং শুধুমাত্র যদি এটি এইভাবে হয় যে সাবডিফারেন্সিয়াল সেটটি সরাসরি উত্তল কনজুগেট বাইকোনজুগেটের সাথে সম্পর্কিত একটি ফাংশনের কনজুগেট হল কনজুগেটের কনজুগেট, সাধারণত হিসাবে লেখা হয় বাইকোনজুগেট শক্তিশালী বা দুর্বল দ্বৈততা ধরে রাখার সময় (বিশৃঙ্খলা ফাংশনের মাধ্যমে) দেখানোর জন্য কার্যকর। যে কোনও ক্ষেত্রে অসমতা থেকে অনুসরণ করে। সঠিক ফাংশনের জন্য, যদি এবং শুধুমাত্র যদি ফেঞ্চেল-মোরেউ উপপাদ্য দ্বারা উত্তল এবং নিম্ন আধা-ধারাবাহিক হয়। কনভেক্স মিনিমাইজেশন এ () হল একটি রূপ যা পাওয়া যায় যখন একটি কনভেক্স ফাংশন এবং একটি কনভেক্স উপসেট দ্বৈত সমস্যা দেওয়া হয় অপ্টিমাইজেশন তত্ত্বে বলা হয়েছে যে অপ্টিমাইজেশনের সমস্যাগুলি দুটি দৃষ্টিকোণ থেকে দেখা যেতে পারে, প্রাথমিক সমস্যা বা দ্বৈত সমস্যা। সাধারণভাবে দেওয়া দুটি দ্বৈত জোড়া স্থানীয়ভাবে উত্তল স্থানগুলি পৃথক করে এবং তারপর ফাংশনটি দেওয়া হলে আমরা প্রাথমিক সমস্যাটিকে এমনভাবে খুঁজে বের করা হিসাবে সংজ্ঞায়িত করতে পারি যে যদি কোনও সীমাবদ্ধ শর্ত থাকে তবে সূচক ফাংশনটি কোথায় রয়েছে তা দিয়ে এগুলি ফাংশনে তৈরি করা যেতে পারে। তারপর একটি বিশৃঙ্খলা ফাংশন হতে দিন যাতে নির্বাচিত বিশৃঙ্খলা ফাংশনের সাপেক্ষে উভয় চলকের মধ্যে উত্তল সংযুগ্ম কোথায় তার দ্বারা দেওয়া হয় দ্বৈততা ব্যবধান হল বৈষম্যের ডান এবং বাম হাতের দিকের পার্থক্য এই নীতিটি দুর্বল দ্বৈততার মতোই। যদি উভয় পক্ষ একে অপরের সমান হয়, তাহলে বলা হয় যে সমস্যাটি দৃঢ় দ্বৈততাকে সন্তুষ্ট করে। শক্তিশালী দ্বৈততা ধরে রাখার জন্য অনেক শর্ত রয়েছে যেমনঃ যেখানে প্রাথমিক এবং দ্বৈত সমস্যা সম্পর্কিত বিশৃঙ্খলা ফাংশন এবং এর দ্বি-সংযোগ; প্রাথমিক সমস্যাটি একটি রৈখিক অপ্টিমাইজেশান সমস্যা; একটি উত্তল অপ্টিমাইজেশান সমস্যার জন্য স্লেটারের শর্ত। ল্যাগ্রাঞ্জ দ্বৈততা অসমতা সীমাবদ্ধতার সাথে একটি উত্তল ন্যূনতমকরণ সমস্যার জন্য, ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান দ্বৈত সমস্যার সাপেক্ষে যেখানে উদ্দেশ্যমূলক ফাংশনটি ল্যাগ্রাঞ্জ দ্বৈত ফাংশন নিম্নরূপ সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে তার সাপেক্ষেঃ নোটস বাহ্যিক লিঙ্ক বিশ্লেষণ দেখুন