Approximation in algebraic groups
বীজগাণিতিক গোষ্ঠী তত্ত্বে, আনুমানিক উপপাদ্যগুলি চীনা অবশিষ্ট উপপাদ্যের একটি বর্ধিতাংশ যা বৈশ্বিক ক্ষেত্র k-এর উপর বীজগাণিতিক গোষ্ঠী G-এর জন্য। ইতিহাস কিছু ধ্রুপদী গোষ্ঠীর জন্য শক্তিশালী আনুমানিক প্রমাণ করেছে। 1960 এবং 1970-এর দশকে বিশ্বব্যাপী ক্ষেত্রের উপর অর্ধ-সহজ-সংযুক্ত বীজগাণিতিক গোষ্ঠীগুলির জন্য শক্তিশালী অনুমান প্রতিষ্ঠিত হয়েছিল। সংখ্যা ক্ষেত্রের ফলাফল এবং এর কারণে হয়; ফাংশন ক্ষেত্রের ক্ষেত্রে, সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের উপর, এবং এর কারণে হয়। সংখ্যা ক্ষেত্রের ক্ষেত্রেও প্লাটোনভ স্থানীয় ক্ষেত্রের উপর একটি সম্পর্কিত ফলাফল প্রমাণ করেছিলেন যাকে নেসার-টিটস অনুমান বলা হয়। আনুষ্ঠানিক সংজ্ঞা এবং বৈশিষ্ট্যগুলি ধরা যাক G একটি বৈশ্বিক ক্ষেত্র k-এর উপর একটি রৈখিক বীজগাণিতিক গোষ্ঠী এবং A হল k-এর অ্যাডেল বলয়। যদি S হল k-এর স্থানগুলির একটি অ-খালি সীমাবদ্ধ সেট হয়, তবে আমরা S-অ্যাডেলের বলয়ের জন্য AS এবং সম্পূর্ণতার গুণফল ks-এর জন্য AS লিখি, সীমাবদ্ধ সেট S-এ s-এর জন্য। S-এর যে কোনও পছন্দের জন্য, G (k) G (AS) এবং G (AS)-এ এম্বেড করে। দুর্বল আনুমানিকতায় জিজ্ঞাসা করা প্রশ্নটি হল জি (এ. এস)-এ জি (কে)-এর এম্বেডিংয়ের ঘন চিত্র আছে কিনা। যদি গ্রুপ জি সংযুক্ত থাকে এবং কে-যুক্তিসঙ্গত হয়, তবে এটি যে কোনও সেট এস-এর ক্ষেত্রে দুর্বল অনুমানকে সন্তুষ্ট করে। আরও সাধারণভাবে, যে কোনও সংযুক্ত গ্রুপ জি-এর জন্য, কে-এর সীমাবদ্ধ স্থানগুলির একটি সীমাবদ্ধ সেট টি রয়েছে যাতে জি টি-এর সাথে বিচ্ছিন্ন যে কোনও সেট এস-এর ক্ষেত্রে দুর্বল অনুমানকে সন্তুষ্ট করে। বিশেষত, যদি k একটি বীজগাণিতিক সংখ্যা ক্ষেত্র হয় তবে যে কোনও সংযুক্ত গ্রুপ G অসীম স্থানের সেট S = S ≤-এর সাপেক্ষে দুর্বল অনুমানকে সন্তুষ্ট করে। দৃঢ় আনুমানিকভাবে জিজ্ঞাসা করা প্রশ্নটি হল জি (এ. এস)-এ জি (কে)-এর এম্বেডিংয়ের ঘন চিত্র আছে কিনা, নাকি সমতুল্যভাবে সেট জি (কে) জি (এ. এস) জি (এ)-এর একটি ঘন উপসেট কিনা। শক্তিশালী আনুমানিকতার মূল উপপাদ্যটি বলে যে, একটি বিশ্বব্যাপী ক্ষেত্র k-এর উপর একটি অ-সমাধানযোগ্য রৈখিক বীজগাণিতিক গোষ্ঠী G-এর সীমাবদ্ধ সেট S-এর জন্য শক্তিশালী আনুমানিকতা রয়েছে যদি এবং শুধুমাত্র যদি এর র্যাডিকেল N একক ক্ষমতা সম্পন্ন হয়, G/N কেবল সংযুক্ত থাকে, এবং G/N-এর প্রতিটি প্রায় সহজ উপাদান H-এর S-এর কিছু s-এর জন্য একটি অ-সংক্ষিপ্ত উপাদান Hs থাকে (H-এর উপর নির্ভর করে)। শক্তিশালী আনুমানিকতার প্রমাণগুলি বীজগাণিতিক গোষ্ঠীগুলির জন্য হাস্স নীতির উপর নির্ভরশীল ছিল, যা E8 প্রকারের গোষ্ঠীগুলির জন্য মাত্র কয়েক বছর পরে প্রমাণিত হয়েছিল। পার্শ্ববর্তী গোষ্ঠী এবং চেভালি গোষ্ঠীর অভ্যন্তরীণ রূপগুলি সহ গোষ্ঠীগুলির একটি বিস্তৃত শ্রেণীর জন্য দুর্বল অনুমান ধারণ করে, যা দেখায় যে শক্তিশালী আনুমানিক বৈশিষ্ট্য সীমাবদ্ধ। আরও দেখুন সুপারস্ট্রং আনুমানিক তথ্যসূত্র বীজগাণিতিক গোষ্ঠী ডায়োফ্যান্টাইন জ্যামিতি