Weierstrass point
গণিতে, জটিল সংখ্যার উপর সংজ্ঞায়িত একটি অ-একক বীজগাণিতিক বক্ররেখার উপর একটি ওয়েয়ারস্ট্রাস বিন্দু এমন একটি বিন্দু যার উপর রিম্যান-রক উপপাদ্য দ্বারা পূর্বাভাসের চেয়ে বেশি ফাংশন রয়েছে, যার মেরুগুলি কেবল সীমাবদ্ধ। এই ধারণার নামকরণ করা হয়েছে কার্ল ওয়েয়ারস্ট্রাসের নামে। ভেক্টর স্পেসগুলি বিবেচনা করুন যেখানে মেরোমর্ফিক ফাংশনের স্থান যার ক্রমে কমপক্ষে এবং অন্য কোনও মেরু নেই। আমরা তিনটি জিনিস জানিঃ মাত্রাটি কমপক্ষে 1, কারণ ধ্রুবক ফাংশনগুলি চালু রয়েছে; এটি অ-হ্রাসকারী; এবং রিমান-রক উপপাদ্য থেকে আমরা ডানদিকে যাওয়ার সাথে সাথে মাত্রাটি শেষ পর্যন্ত ঠিক 1 দ্বারা বৃদ্ধি পায়। প্রকৃতপক্ষে যদি এর গণ হয়, তবে-তম পদের মাত্রাটি ক্রম সম্পর্কে আমাদের জ্ঞানের জন্য পরিচিত তাই আমরা এর সম্পর্কে যা জানি? এন্ট্রিগুলি হল যে তারা প্রতিবার সর্বাধিক 1 দ্বারা বৃদ্ধি করতে পারে (এটি একটি সহজ যুক্তিঃ সর্বাধিক 1 হিসাবে মাত্রা রয়েছে কারণ যদি এবং এট-এ মেরুর একই ক্রম থাকে, তবে নিম্ন ক্রমের একটি মেরু থাকবে যদি শীর্ষস্থানীয় পদটি বাতিল করার জন্য ধ্রুবকটি বেছে নেওয়া হয়)। এখানে প্রশ্ন চিহ্ন রয়েছে, তাই মামলাগুলি বা আর কোনও আলোচনার প্রয়োজন নেই এবং ওয়েয়ারস্ট্রাস পয়েন্টের জন্ম দেয় না। অতএব অনুমান করুন। এমন পদক্ষেপ থাকবে, এবং এমন পদক্ষেপ থাকবে যেখানে কোনও বৃদ্ধি হবে না। একটি অ-ওয়েয়ারস্ট্রাস পয়েন্ট তখনই ঘটে যখন ইনক্রিমেন্টগুলি যতটা সম্ভব ডানদিকে থাকেঃ অর্থাৎ। ক্রমটি দেখে মনে হচ্ছে অন্য যে কোনও ক্ষেত্রে একটি ওয়েয়ারস্ট্রাস পয়েন্ট। একটি ওয়েয়ারস্ট্রাস ফাঁক এমন একটি মান যার উপর কোনও ফাংশনের ঠিক একটি-ভাঁজ মেরু থাকে না। ব্যবধান ক্রমটি একটি অ-ওয়েয়ারস্ট্রাস বিন্দুর জন্য। একটি ওয়েয়ারস্ট্রাস বিন্দুর জন্য এতে কমপক্ষে একটি উচ্চতর সংখ্যা থাকে। (ওয়েয়ারস্ট্রাস ফাঁক উপপাদ্য বা লুকেনস্যাটজ হল বিবৃতি যে ফাঁক অবশ্যই থাকতে হবে।) হাইপারেলিপটিক বক্ররেখার জন্য, উদাহরণস্বরূপ, আমাদের একটি ফাংশন থাকতে পারে যা শুধুমাত্র একটি দ্বৈত মেরু সহ। এর ক্ষমতার মধ্যে শৃঙ্খলার খুঁটি ইত্যাদি রয়েছে। অতএব, এই ধরনের a-এর ব্যবধান ক্রম রয়েছে সাধারণভাবে যদি ব্যবধান ক্রমটি ওয়েয়ারস্ট্রাস বিন্দুর ওজন হয় এটি একটি গণনা উপপাদ্যের কারণে প্রবর্তিত হয়ঃ একটি রিমান পৃষ্ঠে ওয়েয়ারস্ট্রাস বিন্দুর ওজনের যোগফল হয়। উদাহরণস্বরূপ, একটি হাইপারেলিপ্টিক ওয়েয়ারস্ট্রাস বিন্দুর ওজন, উপরে যেমন, তাই, তাদের মধ্যে (সর্বাধিক) রয়েছে। হাইপারেলিপটিক বক্ররেখা থেকে প্রজেক্টিভ লাইন পর্যন্ত ডিগ্রি দুই-এর র্যামিফাইড আবরণের র্যামিফিকেশন পয়েন্টগুলি হল সমস্ত হাইপারেলিপটিক ওয়েয়ারস্ট্রাস পয়েন্ট এবং এগুলি বংশের হাইপারেলিপটিক বক্ররেখার সমস্ত ওয়েয়ারস্ট্রাস পয়েন্টকে নিষ্কাশিত করে। ক্লিফোর্ডের উপপাদ্য প্রয়োগ থেকে ফাঁক সম্পর্কে আরও তথ্য পাওয়া যায়। ফাংশনের গুণন অ-ব্যবধানগুলিকে একটি সংখ্যাসূচক সেমিগ্রুপ কাঠামো দেয় এবং অ্যাডলফ হারউইটসের একটি পুরানো প্রশ্ন সেমিগ্রুপগুলির একটি বৈশিষ্ট্যের জন্য জিজ্ঞাসা করে। আর. ও একটি নতুন প্রয়োজনীয় শর্ত খুঁজে পেয়েছিলেন। 1980 সালে বুচওয়েইটজ এবং তিনি 16টি ফাঁক সহ অ-ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যার একটি উপ-গোষ্ঠীর উদাহরণ দিয়েছেন যা 16 বংশের বক্ররেখার একটি বিন্দুতে অ-ফাঁকগুলির অর্ধ-গোষ্ঠী হিসাবে ঘটে না (দেখুন)। 1939 সালে এফ. কে. শ্মিট ধনাত্মক বৈশিষ্ট্যের একটি ক্ষেত্রের উপর একটি অ-সিঙ্গুলার বক্ররেখার জন্য ওয়েয়ারস্ট্রাস বিন্দুর একটি সংজ্ঞা দিয়েছিলেন। ইতিবাচক বৈশিষ্ট্য আরও সাধারণভাবে, বৈশিষ্ট্যের একটি বীজগাণিতিকভাবে বন্ধ ক্ষেত্রের উপর সংজ্ঞায়িত একটি অ-একক বীজগাণিতিক বক্ররেখার জন্য, সীমাবদ্ধভাবে অনেকগুলি বিন্দুর জন্য ব্যবধান সংখ্যা একটি নির্দিষ্ট ক্রম এই বিন্দুগুলিকে অ-ওয়েয়ারস্ট্রাস বিন্দু বলা হয়। যে সমস্ত বিন্দুর ব্যবধান ক্রম ভিন্ন, সেগুলিকে ওয়েয়ারস্ট্রাস পয়েন্ট বলা হয়। যদি তাই হয় তবে বক্ররেখাটিকে শাস্ত্রীয় বক্ররেখা বলা হয়। অন্যথায়, এটিকে অ-ধ্রুপদী বলা হয়। চরিত্রগত শূন্যে, সমস্ত বক্ররেখা ধ্রুপদী। হার্মিসিয়ান বক্ররেখা অ-ধ্রুপদী বক্ররেখার একটি উদাহরণ। এগুলি সমীকরণ দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের উপর সংজ্ঞায়িত প্রজেক্টিভ বক্ররেখা, যেখানে একটি মৌলিক শক্তি। উল্লেখ রেফারেন্স বীজগাণিতিক বক্ররেখা রিম্যান পৃষ্ঠতল