Finite potential well
সসীম সম্ভাব্যতা কূপ (সসীম বর্গ কূপ নামেও পরিচিত) কোয়ান্টাম বলবিজ্ঞানের একটি ধারণা। এটি অসীম সম্ভাব্যতা কূপের একটি সম্প্রসারণ, যেখানে একটি কণা একটি "বাক্স"-এর মধ্যে সীমাবদ্ধ থাকে, তবে যার সীমাবদ্ধ সম্ভাব্যতা "প্রাচীর" রয়েছে। অসীম সম্ভাব্যতা কূপের বিপরীতে, বাক্সের বাইরে পাওয়া কণার সাথে সম্পর্কিত একটি সম্ভাবনা রয়েছে। কোয়ান্টাম যান্ত্রিক ব্যাখ্যাটি ধ্রুপদী ব্যাখ্যার বিপরীতে, যেখানে কণার মোট শক্তি যদি দেয়ালের সম্ভাব্য শক্তি প্রতিবন্ধকতার চেয়ে কম হয় তবে এটি বাক্সের বাইরে পাওয়া যাবে না। কোয়ান্টাম ব্যাখ্যায়, কণার শক্তি দেওয়ালের সম্ভাব্য শক্তি প্রতিবন্ধক (সিএফ কোয়ান্টাম টানেলিং)-এর চেয়ে কম হলেও কণার বাক্সের বাইরে থাকার অ-শূন্য সম্ভাবনা রয়েছে। একটি 1-মাত্রিক বাক্সে কণা x-অক্ষের 1-মাত্রিক ক্ষেত্রে, সময়-স্বাধীন শ্রোডিঞ্জার সমীকরণটি এইভাবে লেখা যেতে পারেঃ যেখানে হ্রাসকৃত প্ল্যাঙ্কের ধ্রুবক, প্ল্যাঙ্কের ধ্রুবক, কণার ভর, (জটিল মূল্যবান) তরঙ্গ ফাংশন যা আমরা খুঁজে পেতে চাই, এটি প্রতিটি বিন্দু x-এ সম্ভাব্য শক্তির বর্ণনাকারী একটি ফাংশন, এবং শক্তি, একটি বাস্তব সংখ্যা, যাকে কখনও কখনও আইগেনার্জি বলা হয়। L দৈর্ঘ্যের একটি 1-মাত্রিক বাক্সে কণার ক্ষেত্রে, সম্ভাব্যতা বাক্সের বাইরে থাকে এবং এবং এর মধ্যে x-এর জন্য শূন্য থাকে। x বাক্সের ভিতরে বা বাইরে আছে কিনা তার উপর নির্ভর করে x-এর বিভিন্ন পরিসরে বিভিন্ন তরঙ্গ ফাংশন নিয়ে তরঙ্গ ফাংশন গঠিত বলে মনে করা হয়। অতএব, তরঙ্গ ক্রিয়াকে এমনভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে যেঃ বাক্সের ভিতরে বাক্সের ভিতরের অঞ্চলের জন্য, V (x) = 0 এবং সমীকরণ 1 হ্রাস করে সমীকরণ হয়ে যায়। বাক্সের বাইরের অঞ্চলের জন্য, যেহেতু সম্ভাব্যতা ধ্রুবক, এবং সমীকরণ হয়ে যায়ঃ সমাধানের দুটি সম্ভাব্য পরিবার রয়েছে, যা নির্ভর করে E এর চেয়ে কম (কণাটি সম্ভাবনায় আবদ্ধ) বা E এর চেয়ে বড় (কণাটি মুক্ত)। একটি মুক্ত কণার জন্য, এবং ভিতরের কূপের কেসের মতো একই সমাধান দিয়ে উৎপাদন করতে দেওয়াঃ এই বিশ্লেষণটি আবদ্ধ অবস্থার উপর দৃষ্টি নিবদ্ধ করবে, যেখানে। যেখানে সাধারণ সমাধানটি সূচকীয়ঃ একইভাবে, বাক্সের বাইরের অন্য অঞ্চলের জন্যঃ এখন হাতে থাকা সমস্যার নির্দিষ্ট সমাধান খুঁজে বের করার জন্য, আমাদের অবশ্যই উপযুক্ত সীমানা শর্তগুলি নির্দিষ্ট করতে হবে এবং এ, বি, এফ, জি, এইচ এবং আই-এর জন্য মানগুলি খুঁজে বের করতে হবে যা সেই শর্তগুলি পূরণ করে। আবদ্ধ অবস্থার জন্য তরঙ্গ ক্রিয়াকলাপ খুঁজে বের করা শ্রোডিঙ্গার সমীকরণের সমাধান অবশ্যই অবিচ্ছিন্ন এবং অবিচ্ছিন্নভাবে ডিফারেনশিয়েবল হতে হবে। এই প্রয়োজনীয়তাগুলি পূর্বে প্রাপ্ত ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলির সীমানা শর্ত, অর্থাৎ কূপের ভিতরে এবং বাইরে সমাধানগুলির মধ্যে মিলযুক্ত শর্ত। এই ক্ষেত্রে, সীমাবদ্ধ সম্ভাব্যতা কূপটি প্রতিসম, তাই প্রয়োজনীয় গণনাগুলি হ্রাস করার জন্য প্রতিসাম্য ব্যবহার করা যেতে পারে। পূর্ববর্তী বিভাগগুলির সারসংক্ষেপঃ যেখানে আমরা খুঁজে পেয়েছিলাম, এবং হতেঃ আমরা দেখতে পাই যে, এই শব্দটি অনন্তের দিকে যায়। একইভাবে, যেমন যায়, শব্দটি অনন্ত পর্যন্ত যায়। তরঙ্গ ফাংশনটি বর্গাকার ইন্টিগ্রেবল হওয়ার জন্য, আমাদের অবশ্যই সেট করতে হবে, এবং আমাদের আছেঃ এবং এরপরে, আমরা জানি যে সামগ্রিক ফাংশনটি অবশ্যই অবিচ্ছিন্ন এবং ডিফারেনশিয়েবল হতে হবে। অন্য কথায়, ফাংশন এবং তাদের ব্যুৎপত্তিগুলির মানগুলি অবশ্যই বিভাজক বিন্দুতে মিলে যেতে হবেঃ এই সমীকরণগুলির দুটি ধরণের সমাধান রয়েছে, প্রতিসম, যার জন্য এবং, এবং প্রতিসম, যার জন্য এবং। প্রতিসাম্য ক্ষেত্রে আমরা পাই তাই অনুপাতটি গ্রহণ করলে পাওয়া যায় একইভাবে প্রতিসাম্য ক্ষেত্রে আমরা স্মরণ করি যে উভয়ই শক্তির উপর নির্ভর করে। আমরা যা খুঁজে পাই তা হল শক্তির একটি নির্বিচারে মানের জন্য ধারাবাহিকতার শর্তগুলি সন্তুষ্ট করা যায় না; কারণ এটি অসীম সম্ভাব্য কূপের কেসের ফলাফল। সুতরাং, শুধুমাত্র নির্দিষ্ট কিছু শক্তির মান অনুমোদিত, যা এই দুটি সমীকরণের একটির বা যে কোনও একটির সমাধান। তাই আমরা দেখতে পাই যে নীচের সিস্টেমের শক্তির স্তরগুলি বিচ্ছিন্ন; সংশ্লিষ্ট আইগেন ফাংশনগুলি আবদ্ধ অবস্থা। (বিপরীতে, উপরের শক্তির স্তরগুলি অবিচ্ছিন্ন।) শক্তির সমীকরণগুলি বিশ্লেষণাত্মকভাবে সমাধান করা যায় না। তা সত্ত্বেও, আমরা দেখতে পাব যে প্রতিসাম্য ক্ষেত্রে, কূপটি খুব অগভীর হলেও সর্বদা কমপক্ষে একটি আবদ্ধ অবস্থা বিদ্যমান থাকে। শক্তি সমীকরণগুলির গ্রাফিকাল বা সংখ্যাসূচক সমাধানগুলি সামান্য পুনর্লিখন করে সহায়তা করা হয়। যদি আমরা মাত্রাবিহীন চলকগুলি উপস্থাপন করি এবং এর সংজ্ঞা থেকে লক্ষ্য করি, যেখানে, প্রধান সমীকরণগুলি ডানদিকে প্লটে পড়ে, কারণ, সমাধানগুলি বিদ্যমান যেখানে নীল অর্ধবৃত্ত বেগুনি বা ধূসর বক্ররেখা (এবং) কে ছেদ করে। প্রতিটি বেগুনি বা ধূসর বক্ররেখা সীমার মধ্যে একটি সম্ভাব্য সমাধানের প্রতিনিধিত্ব করে। সমাধানের মোট সংখ্যা, (অর্থাৎ, নীল বৃত্ত দ্বারা ছেদ করা বেগুনি/ধূসর বক্ররেখার সংখ্যা) তাই নীল বৃত্তের ব্যাসার্ধকে প্রতিটি সমাধানের পরিসীমা দ্বারা ভাগ করে এবং মেঝে বা সিলিং ফাংশন ব্যবহার করে নির্ধারণ করা হয়ঃ এই ক্ষেত্রে ঠিক তিনটি সমাধান রয়েছে, যেহেতু। এবং, সংশ্লিষ্ট শক্তির সাথে যদি আমরা চাই, আমরা ফিরে যেতে পারি এবং সমীকরণগুলিতে ধ্রুবকগুলির মানগুলি খুঁজে পেতে পারি (আমাদের স্বাভাবিকীকরণের শর্তও আরোপ করতে হবে)। ডানদিকে আমরা এই ক্ষেত্রে শক্তির মাত্রা এবং তরঙ্গ ফাংশনগুলি দেখাই (যেখানে): আমরা লক্ষ্য করি যে যতই ছোট হোক না কেন (কূপটি যতই অগভীর বা সংকীর্ণ হোক না কেন), সর্বদা কমপক্ষে একটি আবদ্ধ অবস্থা থাকে। দুটি বিশেষ ঘটনা লক্ষণীয়। সম্ভাবনার উচ্চতা বড় হওয়ার সাথে সাথে অর্ধবৃত্তের ব্যাসার্ধ বড় হয় এবং শিকড়গুলি মানগুলির কাছাকাছি এবং কাছাকাছি হয় এবং আমরা অসীম বর্গক্ষেত্রের কেসটি ভালভাবে পুনরুদ্ধার করি। অন্যটি হল একটি খুব সংকীর্ণ, গভীর কূপ-বিশেষত কেস এবং স্থির। যেহেতু এটি শূন্যের দিকে প্রবণতা দেখাবে, এবং তাই শুধুমাত্র একটি আবদ্ধ অবস্থা থাকবে। আনুমানিক সমাধানটি তখন হয়, এবং শক্তির প্রবণতা থাকে। কিন্তু এটি কেবল শক্তির একটি ডেল্টা ফাংশন সম্ভাবনার আবদ্ধ অবস্থার শক্তি, যেমনটি হওয়া উচিত। দ্বারা গুণনের মাধ্যমে সম্ভাব্যতা এবং শক্তিকে স্বাভাবিক করে শক্তির স্তরের জন্য একটি সহজ গ্রাফিকাল সমাধান পাওয়া যেতে পারে। স্বাভাবিক পরিমাণগুলি যথাক্রমে জোড় এবং বিজোড় সমতা তরঙ্গ ফাংশনের জন্য অনুমোদিত দম্পতির মধ্যে সরাসরি সম্পর্ক প্রদান করছে। পূর্ববর্তী সমীকরণগুলিতে শুধুমাত্র ফাংশনের ধনাত্মক অন্তরজ অংশগুলি বিবেচনা করতে হবে। সরাসরি অনুমোদিত দম্পতিদের দেওয়া চার্টটি চিত্রে উল্লেখ করা হয়েছে। যদি আমরা কোনও শক্তির জন্য সময়-স্বাধীন শ্রোডিঙ্গার সমীকরণটি সমাধান করি, তবে সমাধানগুলি কূপের ভিতরে এবং বাইরে উভয় ক্ষেত্রেই দোলক হবে। সুতরাং, সমাধানটি কখনই বর্গাকার ইন্টিগ্রেবল নয়; অর্থাৎ, এটি সর্বদা একটি অ-স্বাভাবিক অবস্থা। এর অর্থ এই নয় যে, একটি কোয়ান্টাম কণার পক্ষে এর চেয়ে বেশি শক্তি থাকা অসম্ভব, এর অর্থ কেবল এই যে সিস্টেমটির উপরে অবিচ্ছিন্ন বর্ণালী রয়েছে। অ-স্বাভাবিকযোগ্য আইগেনস্টেটগুলি বর্গাকার ইন্টিগ্রেবল হওয়ার যথেষ্ট কাছাকাছি যে তারা এখনও সীমাহীন অপারেটর হিসাবে হ্যামিল্টনিয়ান বর্ণালীতে অবদান রাখে। অসমমিতিক কূপ সম্ভাব্যতা দ্বারা প্রদত্ত একটি এক-মাত্রিক অসমমিতিক বিভব বিবেচনা করুন। তরঙ্গ ফাংশনের জন্য সংশ্লিষ্ট সমাধানটি পাওয়া যায় এবং শক্তির স্তরগুলি নির্ধারণ করা হয় একবার নিম্নলিখিত অতীন্দ্রিয় সমীকরণের মূল হিসাবে সমাধান করা হয় যেখানে উপরের সমীকরণের মূলের অস্তিত্ব সর্বদা নিশ্চিত করা হয় না, উদাহরণস্বরূপ, কেউ সর্বদা এত ছোট মান খুঁজে পেতে পারে যে, এবং এর প্রদত্ত মানগুলির জন্য কোনও বিচ্ছিন্ন শক্তি স্তর বিদ্যমান নেই। প্রতিসম কূপের ফলাফল উপরের সমীকরণ থেকে সেটিং দ্বারা প্রাপ্ত হয়। গোলাকার গহ্বর উপরের ফলাফলগুলি ব্যবহার করে দেখানো যেতে পারে যে, এক-মাত্রিক ক্ষেত্রে, একটি গোলাকার গহ্বরে দুটি আবদ্ধ অবস্থা রয়েছে, কারণ গোলাকার স্থানাঙ্কগুলি যে কোনও দিকে ব্যাসার্ধের সমতুল্য করে তোলে। একটি গোলাকার প্রতিসম সম্ভাবনার স্থল অবস্থার (n = 1) সর্বদা শূন্য কক্ষীয় কৌণিক ভরবেগ (l = n − 1) থাকবে, এবং হ্রাসকৃত তরঙ্গ ফাংশন সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে যেখানে তরঙ্গ ফাংশনের রেডিয়াল অংশ। লক্ষ্য করুন যে (n = 1) কৌণিক অংশের জন্য ধ্রুবক (l = 0)। সীমানা শর্ত ব্যতীত এটি এক-মাত্রিক সমীকরণের অনুরূপ। আগের মতোই, শক্তির মাত্রা নির্ধারণ করা হয় একবার নিম্নলিখিত অতীন্দ্রিয় সমীকরণের মূল হিসাবে সমাধান করা হয় যেখানে সর্বদা উপরের সমীকরণের মূলের অস্তিত্ব নিশ্চিত করা হয়। ফলাফলগুলি সর্বদা গোলাকার প্রতিসাম্যের সাথে থাকে। এটি সেই শর্তটি পূরণ করে যেখানে তরঙ্গ গোলকের ভিতরে কোনও সম্ভাব্যতা খুঁজে পায় নাঃ বিভিন্ন ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ তখন থাকে যখন l ষ্ণ 0, তাই উপরের শিরোনামগুলির মতো, এখানে এটি হলঃ পরিবর্তনশীল এবং ফাংশনের কিছু পরিবর্তন দ্বারা সমাধানটিকে যুক্তিসঙ্গত করা যেতে পারে একটি বেসেলের মতো ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ উত্থাপনের জন্য, যা সমাধানটি হলঃ যথাক্রমে বেসেল এবং নিউম্যান গোলাকার ফাংশন কোথায় এবং কোথায়, এবং স্ট্যান্ডার্ড বেসেল ফাংশনের ফাংশন হিসাবে পুনর্বিবেচিত হতে পারে। শক্তির মাত্রা নির্ধারণ করা হয় একবার নিম্নলিখিত অতীন্দ্রিয় সমীকরণের মূল হিসাবে সমাধান করা হয় যেখানে মূল থেকে উপরের সমীকরণের অস্তিত্ব সর্বদা নিশ্চিত করা হয়। ফলাফলগুলি সর্বদা গোলাকার প্রতিসাম্যের সাথে থাকে। এটি সেই শর্তটি পূরণ করে যেখানে তরঙ্গটি গোলকের ভিতরে কোনও সম্ভাব্যতা খুঁজে পায় নাঃ, তবে নিম্নলিখিত ট্র্যাসেন্ডেন্টাল সমীকরণের মূল হিসাবে সমাধান করা হয়, যেখানেঃ সম্ভাবনাময় ভাল ডেল্টা ফাংশন সম্ভাব্য অসীম সম্ভাব্যতা ভাল অর্ধবৃত্তীয় সম্ভাব্যতা ভাল কোয়ান্টাম টানেলিং আয়তক্ষেত্রাকার সম্ভাব্য বাধা আরও পড়ুন। কোয়ান্টাম যান্ত্রিক সম্ভাব্যতা কোয়ান্টাম মডেল ঠিক সমাধানযোগ্য মডেল