Current (mathematics)
গণিতে, বিশেষত কার্যকরী বিশ্লেষণ, ডিফারেনশিয়াল টপোলজি এবং জ্যামিতিক পরিমাপ তত্ত্বে, জর্জেস ডি রামের অর্থে একটি কে-কারেন্ট সংহতভাবে সমর্থিত ডিফারেনশিয়াল কে-ফর্মগুলির স্থানের উপর একটি কার্যকরী, একটি মসৃণ বহুগুণ এম। কারেন্টগুলি আনুষ্ঠানিকভাবে ডিফারেনশিয়াল ফর্মগুলির একটি স্থানের উপর শোয়ার্জ ডিস্ট্রিবিউশনের মতো আচরণ করে, তবে একটি জ্যামিতিক সেটিংয়ে, তারা একটি সাবম্যানিফোল্ডের উপর একীকরণের প্রতিনিধিত্ব করতে পারে, ডিরাক ডেল্টা ফাংশনকে সাধারণীকরণ করতে পারে, বা আরও সাধারণভাবে এমনকি ডেল্টা ফাংশন (মাল্টিপোল) এর দিকনির্দেশক ডেরিভেটিভগুলি এম-এর উপসেটগুলির সাথে ছড়িয়ে পড়ে। সুতরাং একটি রৈখিক কার্যকরী হল একটি এম-মাত্রিক তড়িৎ প্রবাহ যদি এটি নিম্নলিখিত অর্থে অবিচ্ছিন্ন হয়ঃ যদি মসৃণ ফর্মগুলির একটি ক্রম, সমস্ত একই কম্প্যাক্ট সেটে সমর্থিত হয়, তবে তাদের সমস্ত সহগের সমস্ত ডেরিভেটিভস সমানভাবে 0-এর দিকে ঝোঁক রাখে যখন অনন্তের দিকে ঝোঁক থাকে, তখন 0-এর দিকে ঝোঁক থাকে। এম-ডাইমেনশনাল কারেন্টের স্থানটি একটি বাস্তব ভেক্টর স্থান যার ক্রিয়াকলাপগুলি বিতরণ তত্ত্বের দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয় যা ন্যূনতম সমন্বয় সহ কারেন্টগুলিতে বহন করে। উদাহরণস্বরূপ, কোনও তড়িৎপ্রবাহের সমর্থনকে সবচেয়ে বড় উন্মুক্ত সেটের পরিপূরক হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে যে, যখনই তড়িৎপ্রবাহের সমন্বয়ে গঠিত রৈখিক সাবস্পেস (উপরের অর্থে) যা একটি কম্প্যাক্ট সাবসেট, তাকে বোঝানো হয় সমতাত্ত্বিক তত্ত্ব একটি কম্প্যাক্ট রেক্টিফায়েবল ওরিয়েন্টেড সাবম্যানিফোল্ড এম-এর (সীমানা সহ) উপর ইন্টিগ্রেশন একটি এম-কারেন্টকে সংজ্ঞায়িত করে, যা দ্বারা চিহ্নিত করা হয়ঃ যদি এম-এর সীমানা সংশোধনযোগ্য হয়, তবে এটিও ইন্টিগ্রেশন দ্বারা একটি কারেন্টকে সংজ্ঞায়িত করে এবং স্টোকসের উপপাদ্যের ভিত্তিতে একজনের রয়েছেঃ এটি এম-এর সমতাত্ত্বিকতার উপর সীমানা অপারেটরের সাথে বাহ্যিক ডেরিভেটিভ ডি-কে সম্পর্কিত করে। এই সূত্রের পরিপ্রেক্ষিতে আমরা দ্বৈততার মাধ্যমে নির্বিচারে স্রোতের উপর একটি সীমানা অপারেটরকে বাহ্যিক ডেরিভেটিভ দ্বারা সংজ্ঞায়িত করতে পারি। একটি ধ্রুপদী উদাহরণ হল লিপস্কিটজ পার্শ্ববর্তী প্রত্যাহারের অবিচ্ছেদ্য স্রোতের উপশ্রেণী। টপোলজি এবং নিয়মাবলী স্রোতের স্থান স্বাভাবিকভাবেই দুর্বল-* টপোলজি দ্বারা সমৃদ্ধ, যাকে আরও সহজভাবে দুর্বল অভিসরণ বলা হবে। স্রোতের একটি ক্রম, একটি স্রোতে রূপান্তরিত হয় যদি সমস্ত স্রোতের স্থানের সাবস্পেসের উপর বেশ কয়েকটি নিয়ম সংজ্ঞায়িত করা সম্ভব হয়। এই ধরনের একটি আদর্শ হল ভর আদর্শ। যদি একটি এম-ফর্ম হয়, তবে তার কোমাসকে এইভাবে সংজ্ঞায়িত করুন। একটি তড়িৎপ্রবাহের ভরকে তখন সংজ্ঞায়িত করা হয় একটি তড়িৎপ্রবাহের ভর সাধারণীকৃত পৃষ্ঠের ওজনযুক্ত ক্ষেত্রফলকে উপস্থাপন করে। একটি তড়িৎ প্রবাহ যেমন এম (টি) <ν একটি নিয়মিত বোরেল পরিমাপের সমন্বয়ের মাধ্যমে প্রতিনিধিত্বযোগ্য যা রিজ উপস্থাপনা উপপাদ্যের একটি সংস্করণ দ্বারা প্রতিনিধিত্বযোগ্য। এটি সমতাত্ত্বিক একীকরণের সূচনা বিন্দু। একটি মধ্যবর্তী আদর্শ হ 'ল হুইটনির সমতল আদর্শ, যা দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয় যে দুটি স্রোত যদি একটি ছোট অংশ থেকে দূরে মিলিত হয় তবে ভর মানদণ্ডে কাছাকাছি থাকে। অন্যদিকে, তারা সমতল নিয়মে কাছাকাছি থাকে যদি তারা একটি ছোট বিকৃতি পর্যন্ত মিলিত হয়। উদাহরণস্বরূপ মনে রাখবেন যে নিম্নলিখিতগুলি একটি 0-বর্তমানকে সংজ্ঞায়িত করেঃ বিশেষত প্রতিটি স্বাক্ষরিত নিয়মিত পরিমাপ একটি 0-বর্তমানঃ ধরা যাক (x, y, z) এর স্থানাঙ্ক হবে। ডিফারেনশিয়াল টপোলজি কার্যকরী বিশ্লেষণ জেনারেলাইজড ফাংশন জেনারেলাইজড ম্যানিফোল্ডস শোয়ার্জ ডিস্ট্রিবিউশন