Symmetric derivative
গণিতে, প্রতিসম ব্যুৎপত্তি হল একটি ক্রিয়া যা সাধারণ ব্যুৎপত্তিটিকে সাধারণীকরণ করে। এটি হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় সীমার অধীনে অভিব্যক্তি কখনও কখনও প্রতিসম পার্থক্য ভাগফল বলা হয়। একটি ফাংশনকে x বিন্দুতে প্রতিসমভাবে অবকলনীয় বলা হয় যদি তার প্রতিসম অন্তরজ সেই বিন্দুতে বিদ্যমান থাকে। যদি একটি ফাংশন একটি বিন্দুতে ডিফারেনশিয়েবল (স্বাভাবিক অর্থে) হয়, তবে এটি প্রতিসমভাবেও ডিফারেনশিয়েবল, তবে বিপরীতটি সত্য নয়। একটি সুপরিচিত পাল্টা উদাহরণ হল পরম মান ফাংশন, যা এখানে অবকলনীয় নয়, তবে প্রতিসম অন্তরজ 0 সহ প্রতিসমভাবে অবকলনীয়। ডিফারেনশিয়াল ফাংশনের জন্য, প্রতিসম পার্থক্য ভাগফল স্বাভাবিক পার্থক্য ভাগফলের তুলনায় ডেরিভেটিভের একটি ভাল সংখ্যাসূচক অনুমান প্রদান করে। একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে প্রতিসম অন্তরজ সেই বিন্দুতে বাম এবং ডান অন্তরজের গাণিতিক গড়ের সমান, যদি পরের দুটি উভয়ই বিদ্যমান থাকে। রোলের উপপাদ্য বা গড়-মান উপপাদ্য কোনওটিই প্রতিসম অন্তরজকে ধারণ করে না; কিছু অনুরূপ কিন্তু দুর্বল বিবৃতি প্রমাণিত হয়েছে। উদাহরণ অ্যাবসলিউট ভ্যালু ফাংশন অ্যাবসলিউট ভ্যালু ফাংশনের জন্য, সিমেট্রিক ডেরিভেটিভের জন্য স্বরলিপি ব্যবহার করে, আমাদের সেখানে আছে তাই অ্যাবসলিউট ভ্যালু ফাংশনের সিমেট্রিক ডেরিভেটিভ শূন্যের সমান এবং শূন্যের সমান, যদিও তার সাধারণ ডেরিভেটিভ সেই সময়ে বিদ্যমান থাকে না (অ্যাবসলিউট ভ্যালু ফাংশনের বক্ররেখার "তীক্ষ্ণ" মোড়ের কারণে)। লক্ষ্য করুন যে এই উদাহরণে 0-এ বাম এবং ডান উভয় অন্তরজ বিদ্যমান, কিন্তু তারা অসম (একটি হল −1, এবং অন্যটি হল + 1); তাদের গড় হল 0, যেমনটা আশা করা হয়েছিল। আবার, এই ফাংশনের জন্য প্রতিসম অন্তরজ বিদ্যমান, যেখানে বক্ররেখার বিচ্ছিন্নতার কারণে এর সাধারণ অন্তরজ বিদ্যমান নেই। উপরন্তু, বাম বা ডান অন্তরজ 0-তে সীমাবদ্ধ নয়, অর্থাৎ। এটি একটি অপরিহার্য বিচ্ছিন্নতা। ডিরিচলেট ফাংশন, যা ডিরিচলেট ফাংশন হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে, তার প্রতিটিতে একটি প্রতিসম অন্তরজ রয়েছে, তবে কোনও ক্ষেত্রেই প্রতিসমভাবে পৃথকীকরণযোগ্য নয়; অর্থাৎ। প্রতিসম ব্যুৎপত্তি যুক্তিসঙ্গত সংখ্যায় বিদ্যমান কিন্তু অযৌক্তিক সংখ্যায় নয়। আধা-অর্থ-মান উপপাদ্য প্রতিসম অন্তরজ সাধারণ গড়-মান উপপাদ্য (ল্যাগ্রাঞ্জের) মেনে চলে না। একটি পাল্টা উদাহরণ হিসাবে, এর প্রতিসম অন্তরজটির চিত্র রয়েছে, তবে f-এর জন্য সেক্যান্টগুলির বিস্তৃত পরিসর থাকতে পারে; উদাহরণস্বরূপ, ব্যবধানের উপর, গড়-মান উপপাদ্যটি বাধ্যতামূলক করবে যে এমন একটি বিন্দু বিদ্যমান যেখানে (প্রতিসম) অন্তরজটি একটি মান নেয় একটি উপপাদ্য কিছুটা রোলের উপপাদ্যের অনুরূপ তবে প্রতিসম অন্তরজের জন্য 1967 সালে সি. ই. অল দ্বারা প্রতিষ্ঠিত হয়েছিল, যিনি এটিকে আধা-রোল উপপাদ্য নামকরণ করেছিলেন। যদি বদ্ধ ব্যবধানের উপর অবিচ্ছিন্ন হয় এবং খোলা ব্যবধানের উপর প্রতিসমভাবে অবকলনীয় হয়, এবং, তাহলে দুটি বিন্দু বিদ্যমান, যেমন, এবং। এই উপপাদ্যের একটি ধাপ হিসাবে অল দ্বারা প্রতিষ্ঠিত একটি লেম্মায় বলা হয়েছে যে যদি বদ্ধ ব্যবধানের উপর অবিচ্ছিন্ন হয় এবং খোলা ব্যবধানের উপর প্রতিসমভাবে ডিফারেনশিয়েবল হয়, এবং অতিরিক্তভাবে, তবে এমন একটি বিন্দু বিদ্যমান যেখানে প্রতিসম ডেরিভেটিভ অ-নেতিবাচক, বা উপরে ব্যবহৃত স্বরলিপি সহ। অনুরূপভাবে, যদি, তাহলে কোথায় একটি বিন্দু বিদ্যমান। প্রতিসাম্যগতভাবে পৃথকীকরণযোগ্য ফাংশনের জন্য আধা-অর্থ-মান উপপাদ্যটি বলে যে যদি বদ্ধ ব্যবধানের উপর অবিচ্ছিন্ন থাকে এবং মুক্ত ব্যবধানের উপর প্রতিসাম্যগতভাবে পৃথকীকরণযোগ্য হয়, তবে এমন একটি অস্তিত্ব রয়েছে, যাতে একটি প্রয়োগ হিসাবে, 0 ধারণকারী ব্যবধানের জন্য আধা-অর্থ-মান উপপাদ্যটি ভবিষ্যদ্বাণী করে যে-1 এবং 1 এর মধ্যে যে কোনও সেকেন্ডের ঢাল। যদি এর প্রতিসম অন্তরজটির ডারবাক্স বৈশিষ্ট্য থাকে, তবে (এর রূপ) নিয়মিত গড়-মান উপপাদ্য (ল্যাগ্রাঞ্জের) ধারণ করে, অর্থাৎ। ফলস্বরূপ, যদি কোনও ফাংশন অবিচ্ছিন্ন হয় এবং তার প্রতিসম অন্তরজও অবিচ্ছিন্ন হয় (এইভাবে ডারবাক্স বৈশিষ্ট্য রয়েছে), তবে ফাংশনটি স্বাভাবিক অর্থে ডিফারেনশিয়েবল। সাধারণীকরণ ধারণাটি উচ্চতর-ক্রম প্রতিসম ব্যুৎপত্তি এবং এন-মাত্রিক ইউক্লিডীয় স্থানগুলিতেও সাধারণীকরণ করে। দ্বিতীয় প্রতিসম অন্তরজ দ্বিতীয় প্রতিসম অন্তরজ হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় যদি (স্বাভাবিক) দ্বিতীয় অন্তরজ বিদ্যমান থাকে, তবে দ্বিতীয় প্রতিসম অন্তরজ বিদ্যমান থাকে এবং তার সমান হয়। দ্বিতীয় প্রতিসম অন্তরজ বিদ্যমান থাকতে পারে, যদিও, (সাধারণ) দ্বিতীয় অন্তরজ না থাকলেও। উদাহরণস্বরূপ, সাইন ফাংশন বিবেচনা করুন, যা দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয় সাইন ফাংশন শূন্যে অবিচ্ছিন্ন নয়, এবং তাই এর জন্য দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ বিদ্যমান নেই। তবে দ্বিতীয় প্রতিসম ব্যুৎপত্তিটি এর জন্য বিদ্যমান রয়েছেঃ আরও দেখুন কেন্দ্রীয় পার্থক্য পরিকল্পনা প্রতিসমভাবে অবিচ্ছিন্ন ফাংশনের ব্যুৎপত্তি ঘনত্ব বিন্দুর সাধারণীকরণ রেফারেন্স বাহ্যিক লিঙ্কগুলি প্রতিসম পার্থক্য অনুপাত (ওল্ফ্রাম প্রদর্শন প্রকল্প) ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলাস দ্বারা ব্যুৎপত্তি আনুমানিক