Fatou–Lebesgue theorem
গণিতে, ফাতু-লেবেস্গু উপপাদ্যটি নিম্নতর সীমার ইন্টিগ্রালগুলি (লেবস্গুয়ের অর্থে) সম্পর্কিত বৈষম্যের একটি শৃঙ্খলা প্রতিষ্ঠা করে এবং এই ফাংশনগুলির ইন্টিগ্রালগুলির মধ্যে নিম্নতর এবং উচ্চতর সীমার জন্য ফাংশনগুলির ক্রমের উচ্চতর সীমা। এই উপপাদ্যটির নামকরণ করা হয়েছে পিয়েরে ফাতু এবং হেনরি লিওন লেবস্গুয়ের নামে। যদি ফাংশনের ক্রম বিন্দুভিত্তিকভাবে একত্রিত হয়, তবে অসমতা সমতায় পরিণত হয় এবং উপপাদ্যটি লেবস্গুয়ের প্রভাবশালী অভিসরণ উপপাদ্যে পরিণত হয়। উপপাদ্যের বিবৃতি ধরা যাক f1, f2,. একটি পরিমাপ স্থানের (S, β, μ) উপর সংজ্ঞায়িত বাস্তব-মূল্যবান পরিমাপযোগ্য ফাংশনের একটি ক্রমকে নির্দেশ করে। যদি S-এর উপর একটি লেবেস্গু-ইন্টিগ্রেবল ফাংশন g বিদ্যমান থাকে যা পরম মানের ক্রমকে প্রভাবিত করে, যার অর্থ হল যে সমস্ত প্রাকৃতিক সংখ্যা n-এর জন্য |fn। ≤ g, তাহলে সমস্ত fn পাশাপাশি নিম্নতর সীমা এবং fn-এর উচ্চতর সীমা ইন্টিগ্রেবল এবং এখানে নিম্নতর সীমা এবং fn-এর উচ্চতর সীমা পয়েন্টওয়াইজ নেওয়া হয়। এই সীমাবদ্ধ ফাংশনগুলির পরম মানের ইন্টিগ্রাল উপরের দিকে g-এর ইন্টিগ্রাল দ্বারা আবদ্ধ। যেহেতু মধ্য অসমতা (বাস্তব সংখ্যার ক্রমের জন্য) সর্বদা সত্য, তাই অন্যান্য অসমতার দিকগুলি মনে রাখা সহজ। প্রমাণ সমস্ত এফএন-এর পাশাপাশি নিম্নতর সীমা এবং এফএন-এর উচ্চতর সীমা পরিমাপযোগ্য এবং জি দ্বারা পরম মানে আধিপত্য বিস্তার করে, তাই ইন্টিগ্রেবল। প্রথম অসমতাটি অনুসরণ করে অ-ঋণাত্মক ফাংশন fn + g-এ ফাতু-এর লেম্মা প্রয়োগ করে এবং লেবস্গু ইন্টিগ্রালের রৈখিকতা ব্যবহার করে। শেষ বৈষম্য হল বিপরীত ফাতু লেম্মা। যেহেতু জি লেবসগ ইন্টিগ্রালের একঘেয়েমি দ্বারা |fn।-এর উচ্চতর সীমার উপরও আধিপত্য বিস্তার করে। এফএন-এর চেয়ে উচ্চতর সীমার ক্ষেত্রেও একই অনুমান করা হয়। ভিয়েনা বিশ্ববিদ্যালয়ের জেরাল্ড টেশলের বাস্তব ও কার্যকরী বিশ্লেষণের তথ্যসূত্রের বিষয়। বাহ্যিক যোগসূত্র বাস্তব বিশ্লেষণে উপপাদ্য পরিমাপ তত্ত্বে উপপাদ্য প্রমাণ সম্বলিত নিবন্ধ