Grothendieck–Katz p-curvature conjecture
গণিতে, গ্রোথেন্ডিক-কাটজ পি-বক্রতা অনুমান হল রৈখিক সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের জন্য একটি স্থানীয়-বৈশ্বিক নীতি, যা ডিফারেনশিয়াল গ্যালোইস তত্ত্বের সাথে সম্পর্কিত এবং একটি আলগা অর্থে চেবোটারেভ ঘনত্ব উপপাদ্যের ফলাফলের অনুরূপ যা বহুপদী কেস হিসাবে বিবেচিত হয়। এটি 1960-এর দশকের শেষের দিক থেকে আলেকজান্ডার গ্রোথেন্ডিয়েকের একটি অনুমান, এবং স্পষ্টতই তাঁর দ্বারা কোনও আকারে প্রকাশিত হয়নি। সাম্প্রতিক অগ্রগতি সত্ত্বেও সাধারণ মামলাটি অমীমাংসিত রয়ে গেছে; এটি বীজগাণিতিক পাতার সাথে জড়িত জ্যামিতিক তদন্তের সাথে যুক্ত করা হয়েছে। একটি সহজতম সম্ভাব্য বিবৃতিতে অনুমানটি একটি ভেক্টর সিস্টেমের জন্য তার অপরিহার্য অংশে বলা যেতে পারে যা n আকারের ভেক্টর v এবং বীজগাণিতিক সংখ্যা সহগ সহ বীজগাণিতিক ফাংশনের একটি n × n ম্যাট্রিক্স A হিসাবে লেখা হয়। প্রশ্নটি হল একটি মানদণ্ড দেওয়া যখন বীজগাণিতিক ফাংশন সমাধানের একটি সম্পূর্ণ সেট থাকে, যার অর্থ একটি মৌলিক ম্যাট্রিক্স (অর্থাৎ। এন ভেক্টর সমাধানগুলি একটি ব্লক ম্যাট্রিক্সে রাখা হয়)। উদাহরণস্বরূপ, হাইপারজিওমেট্রিক সমীকরণের জন্য একটি ধ্রুপদী প্রশ্ন ছিলঃ কখন এর পরামিতিগুলির পরিপ্রেক্ষিতে বীজগাণিতিক সমাধানের একটি জোড়া থাকে? উত্তরটি ধ্রুপদীভাবে শোয়ার্জের তালিকা হিসাবে পরিচিত। মনোড্রোমি পরিভাষায়, প্রশ্নটি হল সসীম মনোড্রোমি গোষ্ঠীর ক্ষেত্রে সনাক্তকরণ। সংস্কার এবং একটি বৃহত্তর সিস্টেমে পাস করার মাধ্যমে, অপরিহার্য কেসটি হল A এবং মূলদ সংখ্যা সহগের যৌক্তিক ফাংশনের জন্য। তারপর একটি প্রয়োজনীয় শর্ত হল যে প্রায় সমস্ত মৌলিক সংখ্যা p-এর জন্য, হ্রাস মডুলো p দ্বারা সংজ্ঞায়িত সিস্টেমে p উপাদান সহ সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের উপর বীজগাণিতিক সমাধানের একটি সম্পূর্ণ সেট থাকা উচিত। গ্রোথেন্ডিয়েকের অনুমান যে এই প্রয়োজনীয় শর্তগুলি, প্রায় সমস্ত পি-এর জন্য, যথেষ্ট হওয়া উচিত। পি-বক্রতার সাথে সংযোগটি হল যে বর্ণিত মোড পি শর্তটি এ-এর উপর পুনরাবৃত্তি অপারেশন দ্বারা গঠিত পি-বক্রতা শূন্য বলার মতোই; তাই এটি বলার আরেকটি উপায় হল যে প্রায় সমস্ত পি-এর জন্য 0-এর পি-বক্রতা মূল সমীকরণের পর্যাপ্ত বীজগাণিতিক সমাধান বোঝায়। গালোয়া গোষ্ঠীর জন্য কাটজের সূত্র নিকোলাস কাটজ টানাকিয়ান বিভাগের কৌশলগুলি প্রয়োগ করে দেখিয়েছেন যে এই অনুমানটি মূলত এই বলার মতোই যে ডিফারেনশিয়াল গালোয়া গ্রুপ জি (বা কঠোরভাবে বীজগাণিতিক গ্রুপ জি-এর লাই বীজগণিত জি বলতে গেলে, যা এই ক্ষেত্রে মনোড্রোমি গ্রুপের জারিস্কি ক্লোজার) নির্দিষ্ট বিস্তৃত শ্রেণীর ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের জন্য মোড পি তথ্য দ্বারা নির্ধারিত হতে পারে। অগ্রগতি বেনসন ফার্ব এবং মার্ক কিসিন একটি বিস্তৃত শ্রেণীর কেস প্রমাণ করেছেন; এই সমীকরণগুলি কিছু গোষ্ঠী-তাত্ত্বিক অবস্থার সাপেক্ষে স্থানীয়ভাবে প্রতিসম বৈচিত্র্য এক্স-এর উপর রয়েছে। এই কাজটি পিকার্ড-ফুচস সমীকরণের জন্য কাটজের পূর্ববর্তী ফলাফলের উপর ভিত্তি করে (গাউস-মানিন সংযোগের সমসাময়িক অর্থে), যা আন্দ্রে দ্বারা ট্যানাকিয়ান দিকে প্রসারিত করা হয়েছে। এটি বিশেষ করে গাণিতিক গোষ্ঠীগুলির ক্ষেত্রে অতি অনমনীয়তার একটি সংস্করণও প্রয়োগ করে। অন্যান্য অগ্রগতি হয়েছে গাণিতিক পদ্ধতির মাধ্যমে। ইতিহাস নিকোলাস কাটজ 1972 সালে একটি গবেষণাপত্রে বিকৃতি তত্ত্বের সাথে কিছু ঘটনা সম্পর্কিত করেছিলেন, যেখানে অনুমানটি প্রকাশিত হয়েছিল। তারপর থেকে সংস্কারগুলি প্রকাশিত হয়েছে। পার্থক্য সমীকরণের জন্য একটি q-এনালগ প্রস্তাব করা হয়েছে। 2009 সালের কলোক গ্রোথেন্ডিয়েকে এই কাজের উপর কিসিনের বক্তৃতার জবাবে কাটজ অনুমানের উৎপত্তি সম্পর্কে ব্যক্তিগত জ্ঞান থেকে একটি সংক্ষিপ্ত বিবরণ দিয়েছেন। গ্রোথেন্ডিয়াক 1969 সালের বসন্তে জনসাধারণের আলোচনার সামনে এটি রেখেছিলেন, কিন্তু এই বিষয়ে কিছুই লেখেননি। ক্রিস্টালাইন কোহোমোলজির ক্ষেত্রে মৌলিক অন্তর্দৃষ্টি দ্বারা তিনি এই ধারণার দিকে পরিচালিত হয়েছিলেন, সেই সময়ে তাঁর ছাত্র পিয়েরে বার্থেলট এটি তৈরি করেছিলেন। কোনও না কোনওভাবে সংযোগের তত্ত্বে "নিলপোটেন্স"-এর ধারণাকে বিভক্ত শক্তি কাঠামো কৌশলের সাথে তুলনা করতে ইচ্ছুক, যা স্ফটিক তত্ত্বের মান হয়ে ওঠে, গ্রোথেন্ডিয়াক একটি উপ-পণ্য হিসাবে অনুমানটি তৈরি করেছিলেন। উদ্ধৃতি নিকোলাস এম. কাটজ, রিগিড লোকাল সিস্টেমস, অধ্যায় 9। আরও পড়ুন জিন-বেনোইট বোস্ট, সংখ্যা ক্ষেত্রের উপর বীজগাণিতিক পাতার বীজগাণিতিক পাতাগুলি, প্রকাশনা ম্যাথমেটিক্স ডি এল 'আই. এইচ. ই. এস, খণ্ড 93, সংখ্যা 1, সেপ্টেম্বর 2001 ইভস আন্দ্রে, সুর লা কনজেক্চার ডেস পি-কোরব্যুরেস ডি গ্রোথেন্ডিক-কাটজ এট আন প্রোবলেম ডি ডওয়ার্ক, জ্যামিতিক দিকগুলিতে ডওয়ার্ক তত্ত্ব (2004), সম্পাদক অ্যালান অ্যাডলফসন, ফ্রান্সেসকো বালদাসারি, পিয়েরে বার্থেলট, নিকোলাস কাটজ, ফ্রাঁসোয়া লোসার আনন্দ পিল্লাই (2006), ডিফারেনশিয়াল বীজগণিত এবং রৈখিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ বীজগণিতে গ্রোথেন্ডিকের অনুমানের সাধারণীকরণ