Bézout domain
গণিতে, বেজাউট ডোমেইন হল প্রুফার ডোমেইনের একটি রূপ। এটি একটি অবিচ্ছেদ্য ক্ষেত্র যেখানে দুটি প্রধান আদর্শের যোগফল আবার একটি প্রধান আদর্শ। এর মানে হল যে প্রতিটি জোড়া উপাদানের জন্য একটি বেজাউট পরিচয় ধারণ করে এবং প্রতিটি সীমাবদ্ধভাবে উত্পন্ন আদর্শ হল প্রধান। যে কোনও প্রধান আদর্শ ডোমেন (পিআইডি) একটি বেজাউট ডোমেন, তবে একটি বেজাউট ডোমেন একটি নোথেরিয়ান রিং হতে হবে না, তাই এটির অ-চূড়ান্তভাবে উত্পন্ন আদর্শ থাকতে পারে (যা স্পষ্টতই একটি পিআইডি হওয়া বাদ দেয়); যদি তাই হয়, এটি একটি অনন্য ফ্যাক্টরাইজেশন ডোমেন (ইউএফডি) নয়, তবে এখনও একটি জিসিডি ডোমেন। বেজাউট ডোমেনের তত্ত্বটি নোথেরিয়ান সম্পত্তির প্রয়োজন ছাড়াই পিআইডি-র অনেক বৈশিষ্ট্য ধরে রেখেছে। বেজাউট ডোমেনগুলি ফরাসি গণিতবিদ এটিয়েন বেজাউটের নামে নামকরণ করা হয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, সমস্ত পি. আই. ডি হল বেজআউট ডোমেইন। বেজাউট ডোমেনের উদাহরণ যা পি. আই. ডি নয় তার মধ্যে রয়েছে সমগ্র ফাংশনের বলয় (সমগ্র জটিল সমতলে হোলোমর্ফিক ফাংশন) এবং সমস্ত বীজগাণিতিক পূর্ণসংখ্যার বলয়। সম্পূর্ণ ফাংশনের ক্ষেত্রে, শুধুমাত্র অপরিবর্তনীয় উপাদানগুলি ডিগ্রি 1-এর পলিনোমিয়াল ফাংশনের সাথে যুক্ত ফাংশন, তাই একটি উপাদানের শুধুমাত্র একটি ফ্যাক্টরাইজেশন থাকে যদি এটির সীমাবদ্ধভাবে অনেকগুলি শূন্য থাকে। বীজগাণিতিক পূর্ণসংখ্যার ক্ষেত্রে কোনও অপরিবর্তনীয় উপাদান নেই, কারণ যে কোনও বীজগাণিতিক পূর্ণসংখ্যার জন্য এর বর্গমূলও (উদাহরণস্বরূপ) একটি বীজগাণিতিক পূর্ণসংখ্যা। এটি উভয় ক্ষেত্রেই দেখায় যে রিংটি ইউএফডি নয়, এবং তাই অবশ্যই পিআইডি নয়। ভ্যালুয়েশন রিং হল বেজআউট ডোমেন। যে কোনও অ-নোথেরিয়ান মূল্যায়ন চক্র একটি অ-নোথেরিয়ান বেজাউট ডোমেনের একটি উদাহরণ। নিম্নলিখিত সাধারণ গঠনটি একটি বেজাউট ডোমেন এস তৈরি করে যা কোনও বেজাউট ডোমেন আর থেকে ইউএফডি নয় যা একটি ক্ষেত্র নয়, উদাহরণস্বরূপ একটি পিআইডি থেকে; কেসটি মনে রাখার জন্য মৌলিক উদাহরণ। ধরা যাক F হল R-এর ভগ্নাংশের ক্ষেত্র, এবং রাখুন, R-এ ধ্রুবক পদ সহ F [X]-এ বহুপদগুলির সাব-রিং। এই বলয়টি নোথেরিয়ান নয়, কারণ শূন্য ধ্রুবক পদ সহ X-এর মতো একটি উপাদানকে অনির্দিষ্টকালের জন্য R-এর অ-পরিবর্তনযোগ্য উপাদান দ্বারা ভাগ করা যেতে পারে, যা এখনও S-এ অ-পরিবর্তনযোগ্য, এবং এই সমস্ত অনুপাত দ্বারা উত্পন্ন আদর্শটি সীমাবদ্ধভাবে উত্পন্ন হয় না (এবং তাই S-এ X-এর কোনও গুণনীয়ক নেই)। একটি নিম্নরূপ দেখায় যে এস একটি বেজআউট ডোমেন। এটি প্রমাণ করার জন্য যথেষ্ট যে, এস-এ প্রতিটি জোড়া এ, বি-এর জন্য এস-এ এস, টি রয়েছে যা এ এবং বি উভয়কেই বিভক্ত করে। যদি a এবং b-এর একটি সাধারণ ভাজক d থাকে, তবে a/d এবং b/d-এর জন্য এটি প্রমাণ করার জন্য যথেষ্ট, যেহেতু একই s, t কাজ করবে। আমরা বহুপদ a এবং b-কে অ-শূন্য ধরে নিতে পারি; যদি উভয়েরই একটি শূন্য ধ্রুবক পদ থাকে, তবে n-কে এমন ন্যূনতম সূচক হিসাবে ধরা যাক যাতে তাদের মধ্যে কমপক্ষে একটিতে Xn-এর অ-শূন্য সহগ থাকে; কেউ F-তে f খুঁজে পেতে পারে যাতে fXn হল a এবং b-এর একটি সাধারণ ভাজক এবং এটি দ্বারা ভাগ করা যায়। সুতরাং আমরা ধরে নিতে পারি যে a, b এর মধ্যে অন্তত একটির একটি অ-শূন্য ধ্রুবক পদ রয়েছে। যদি a এবং b কে F [X]-এর উপাদান হিসাবে দেখা হয় তুলনামূলকভাবে মৌলিক না হয়, তবে এই UFD-তে a এবং b-এর একটি সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক রয়েছে যার ধ্রুবক পদ 1 রয়েছে এবং তাই S-এ রয়েছে; আমরা এই গুণক দ্বারা ভাগ করতে পারি। তাই আমরা এটাও ধরে নিতে পারি যে, f [X]-এ a এবং b তুলনামূলকভাবে মৌলিক, যাতে 1টি থাকে এবং R-এ কিছু ধ্রুবক বহুপদী r থাকে। এছাড়াও, যেহেতু R একটি বেজাউট ডোমেইন, তাই a0 এবং b0 ধ্রুবক পদের R-এ gcd d রয়েছে। যেহেতু ধ্রুবক পদ ব্যতীত যে কোনও উপাদান, যেমন বা, যে কোনও অ-শূন্য ধ্রুবক দ্বারা বিভাজ্য, তাই ধ্রুবক d হল a এবং b এর S-এ একটি সাধারণ ভাজক; আমরা দেখাব যে এটি আসলে একটি সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক। a0 এবং b0-এর সাপেক্ষে d-এর জন্য যথাক্রমে a এবং b-কে বেজআউট সহগ দ্বারা গুণ করলে ধ্রুবক পদ d সহ একটি বহুপদী p পাওয়া যায়। কিন্তু তারপর ডি পাশাপাশি করে, যা প্রমাণ সম্পূর্ণ করে। একটি রিং একটি বেজআউট ডোমেন হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি এটি একটি অবিচ্ছেদ্য ডোমেন হয় যেখানে যে কোনও দুটি উপাদানের একটি বৃহত্তম সাধারণ বিভাজক থাকে যা তাদের একটি রৈখিক সংমিশ্রণঃ এটি এই বিবৃতির সমতুল্য যে দুটি উপাদান দ্বারা উত্পন্ন একটি আদর্শও একটি একক উপাদান দ্বারা উত্পন্ন হয়, এবং আনয়ন দেখায় যে সমস্ত সীমাবদ্ধভাবে উত্পন্ন আদর্শগুলি প্রধান। একটি রৈখিক সংমিশ্রণ হিসাবে পিআইডির দুটি উপাদানের সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ বিভাজকের অভিব্যক্তিটিকে প্রায়শই বেজাউটের পরিচয় বলা হয়, যেখান থেকে পরিভাষাটি এসেছে। লক্ষ্য করুন যে উপরের জিসিডি শর্তটি একটি জিসিডির নিছক অস্তিত্বের চেয়ে শক্তিশালী। একটি অবিচ্ছেদ্য ডোমেন যেখানে যে কোনও দুটি উপাদানের জন্য একটি জিসিডি বিদ্যমান, তাকে জিসিডি ডোমেন বলা হয় এবং এইভাবে বেজআউট ডোমেনগুলি হল জিসিডি ডোমেন। বিশেষত, একটি বেজাউট ডোমেনে, অপরিবর্তনীয়গুলি মৌলিক (তবে বীজগাণিতিক পূর্ণসংখ্যার উদাহরণ দেখায়, তাদের অস্তিত্বের প্রয়োজন নেই)। একটি বেজাউট ডোমেন আর-এর জন্য, নিম্নলিখিত শর্তগুলি সমস্ত সমতুল্যঃ আর একটি প্রধান আদর্শ ডোমেন। আর হল নোথেরিয়ান। আর একটি অনন্য ফ্যাক্টরাইজেশন ডোমেন (ইউএফডি)। প্রধান আদর্শের (এ. সি. সি. পি) উপর আরোহী শৃঙ্খলের শর্তকে আর সন্তুষ্ট করে। আর-এর প্রতিটি অ-শূন্য একক অপরিবর্তনীয় গুণফলের গুণফল গঠন করে (আর হল একটি পারমাণবিক ক্ষেত্র)। (1) এবং (2)-এর সমতুল্যতা উপরে উল্লেখ করা হয়েছে। যেহেতু একটি বেজাউট ডোমেন একটি জিসিডি ডোমেন, তাই এটি অবিলম্বে অনুসরণ করে যে (3), (4) এবং (5) সমতুল্য। পরিশেষে, যদি আর নোথেরিয়ান না হয়, তবে সীমাবদ্ধভাবে উত্পন্ন আদর্শের একটি অসীম আরোহী শৃঙ্খল বিদ্যমান, তাই একটি বেজাউট ডোমেনে প্রধান আদর্শের একটি অসীম আরোহী শৃঙ্খল রয়েছে। (4) এবং (2) এইভাবে সমতুল্য। একটি বেজআউট ডোমেন হল একটি প্রুফার ডোমেন, অর্থাৎ, একটি ডোমেন যেখানে প্রতিটি সীমাবদ্ধভাবে উত্পন্ন আদর্শ বিপরীতমুখী, বা অন্যভাবে বলা হয়, একটি বিনিময়যোগ্য আধা-বংশগত ডোমেন।) ফলস্বরূপ, কেউ "বেজাউট ডোমেন আইএফএফ প্রুফার ডোমেন এবং জিসিডি-ডোমেন"-কে আরও পরিচিত "পিআইডি আইএফএফ ডেডেকাইন্ড ডোমেন এবং ইউএফডি"-এর সমতুল্য হিসাবে দেখতে পারে। প্রুফার ডোমেনগুলিকে অবিচ্ছেদ্য ডোমেন হিসাবে চিহ্নিত করা যেতে পারে যার সমস্ত মৌলিক (সমতুল্য, সর্বাধিক) আদর্শগুলিতে স্থানীয়করণগুলি মূল্যায়নের ডোমেন। সুতরাং একটি বেজাউট ডোমেনের একটি প্রধান আদর্শের স্থানীয়করণ হল একটি মূল্যায়ন ক্ষেত্র। যেহেতু একটি স্থানীয় রিংয়ে একটি ইনভার্টিবল আইডিয়াল প্রধান, তাই একটি স্থানীয় রিং একটি বেজাউট ডোমেন যদি এটি একটি মূল্যায়ন ডোমেন হয়। উপরন্তু, ননসাইক্লিক (সমতুল্য অ-বিচ্ছিন্ন) মান গোষ্ঠী সহ একটি মূল্যায়ন ক্ষেত্র নোথেরিয়ান নয়, এবং প্রতিটি সম্পূর্ণরূপে ক্রমবদ্ধ আবেলিয়ান গোষ্ঠী কিছু মূল্যায়ন ক্ষেত্রের মান গোষ্ঠী। এটি অ-নোথেরিয়ান বেজাউট ডোমেনের অনেক উদাহরণ দেয়। নন-কমিউটেটিভ বীজগণিতে, ডান বেজআউট ডোমেনগুলি এমন ডোমেন যার সীমাবদ্ধভাবে উত্পন্ন সঠিক আদর্শগুলি প্রধান সঠিক আদর্শ, অর্থাৎ, আর-এ কিছু এক্স-এর জন্য এক্সআর ফর্মের। একটি উল্লেখযোগ্য ফলাফল হল যে একটি ডান বেজআউট ডোমেন একটি ডান আকরিক ডোমেন। কমিউটেটিভ ক্ষেত্রে এই বিষয়টি আকর্ষণীয় নয়, কারণ প্রতিটি কমিউটেটিভ ডোমেন একটি আকরিক ডোমেন। রাইট বেজআউট ডোমেনগুলিও রাইট আধা-বংশগত বলয়। বেজাউট ডোমেনের উপর মডিউল একটি পি. আই. ডি-র উপর মডিউল সম্পর্কে কিছু তথ্য বেজাউট ডোমেনের উপর মডিউল পর্যন্ত প্রসারিত হয়। ধরা যাক R একটি বেজআউট ডোমেইন এবং R-এর উপর M ফাইনাইলি জেনারেটেড মডিউল। তারপর M সমতল হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি এটি টর্জন-মুক্ত হয়। আরও দেখুন সেমিফির (একটি বিনিময়যোগ্য সেমিফির সুনির্দিষ্টভাবে একটি বেজআউট ডোমেন)। বেজআউট রিং রেফারেন্স বিনিময়যোগ্য বীজগণিত রিং তত্ত্ব