Point groups in two dimensions
জ্যামিতিতে, একটি দ্বি-মাত্রিক বিন্দু গোষ্ঠী বা রোসেট গোষ্ঠী হল জ্যামিতিক প্রতিসাম্যের (আইসোমেট্রি) একটি গোষ্ঠী যা একটি সমতলে কমপক্ষে একটি বিন্দু স্থির রাখে। এই ধরনের প্রতিটি গোষ্ঠী ও (2) সহ অর্থোগোনাল গ্রুপ ও (2)-এর একটি উপগোষ্ঠী। এর উপাদানগুলি হল ঘূর্ণন এবং প্রতিফলন, এবং শুধুমাত্র ঘূর্ণন সম্বলিত এই ধরনের প্রতিটি গোষ্ঠী হল বিশেষ অর্থোগোনাল গোষ্ঠী এস. ও (2)-এর একটি উপগোষ্ঠী, যার মধ্যে এস. ও (2) নিজেই রয়েছে। সেই গ্রুপটি আর/জেড-এর সমতুল্য এবং প্রথম একক গ্রুপ, ইউ (1), একটি গ্রুপ যা বৃত্ত গ্রুপ নামেও পরিচিত। অক্ষীয় স্থানাঙ্কে প্রতিফলনের সংযোজন সহ অক্ষীয় ত্রিমাত্রিক বিন্দু গোষ্ঠীর ভিত্তি হিসাবে দ্বি-মাত্রিক বিন্দু গোষ্ঠীগুলি গুরুত্বপূর্ণ। তারা স্টারফিশ এবং জেলিফিশের মতো জীবের প্রতিসাম্য এবং ফুলের মতো জীবের অংশেও গুরুত্বপূর্ণ। বিচ্ছিন্ন গোষ্ঠী পৃথক দ্বি-মাত্রিক বিন্দু গোষ্ঠীর দুটি পরিবার রয়েছে এবং এগুলি প্যারামিটার এন দিয়ে নির্দিষ্ট করা হয়েছে, যা গোষ্ঠীর আবর্তনের গোষ্ঠীর ক্রম। ইন্টল বলতে হার্মান-মাগুইন স্বরলিপি বা আন্তর্জাতিক স্বরলিপি বোঝায়, যা প্রায়শই স্ফটিকবিদ্যায় ব্যবহৃত হয়। অসীম সীমার মধ্যে, এই গোষ্ঠীগুলি এক-মাত্রিক রেখা গোষ্ঠীতে পরিণত হয়। যদি একটি গোষ্ঠী দ্বি-মাত্রিক জালিকা বা গ্রিডের প্রতিসাম্য হয়, তবে স্ফটিকসংক্রান্ত সীমাবদ্ধতা উপপাদ্য উভয় পরিবারের জন্য n-এর মানকে 1,2,3,4 এবং 6-এ সীমাবদ্ধ করে। এইভাবে 10টি দ্বিমাত্রিক স্ফটিকীয় বিন্দু গোষ্ঠী রয়েছেঃ সি1, সি2, সি3, সি4, সি6, ডি1, ডি2, ডি3, ডি4, ডি6 গোষ্ঠীগুলি নিম্নরূপ তৈরি করা যেতে পারেঃ সিএন। Cn নামে একটি উপাদান দ্বারা উৎপন্ন হয়, যা 2π/n কোণ দ্বারা আবর্তনের সাথে মিলে যায়। এর উপাদানগুলি হল E (পরিচয়), Cn, Cn2,., Cnn−1, যা ঘূর্ণন কোণ 0,2π/n, 4π/n,., 2 (n−1) π/n এর সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ। ডিএন। উপাদান Cn এবং প্রতিফলন σ দ্বারা উৎপন্ন। এর উপাদানগুলি হল Cn গোষ্ঠীর উপাদান, যার উপাদানগুলি হল σ, Cnσ, Cn2σ,., Cnn−1σ যোগ করা হয়েছে। এই অতিরিক্তগুলি 0, π/n, 2π/n,., (n−1) π/n অভিমুখ কোণ সহ রেখা জুড়ে প্রতিফলনের সাথে মিলে যায়। Dn এইভাবে Cn এবং গ্রুপের (E, σ) একটি আধা-পরোক্ষ গুণফল। C2 এবং D1 ছাড়া এই সমস্ত গোষ্ঠীর স্বতন্ত্র বিমূর্ত গোষ্ঠী রয়েছে, যা বিমূর্ত গোষ্ঠী Z2 ভাগ করে নেয়। সমস্ত চক্রাকার গোষ্ঠীগুলি আবেলিয়ান বা বিনিময়যোগ্য, তবে ডাইহেড্রাল গোষ্ঠীগুলির মধ্যে কেবল দুটি হ 'লঃ ডি1 ~ জেড2 এবং ডি2 ~ জেড2 × জেড2। প্রকৃতপক্ষে, ডি3 হল সবচেয়ে ছোট নন-অ্যাবেলিয়ান গ্রুপ। জোড় n-এর জন্য, হারমান-মাগুইন প্রতীক nm হল পূর্ণ প্রতীক nmm-এর একটি সংক্ষিপ্ত রূপ, যা নীচে ব্যাখ্যা করা হয়েছে। এইচ-এম প্রতীকের এন এন-ভাঁজ আবর্তনকে বোঝায়, যেখানে এম প্রতিফলন বা আয়না সমতলকে বোঝায়। আরও সাধারণ গোষ্ঠী এই গোষ্ঠীগুলি দ্বিমাত্রিক অর্থোগোনাল ম্যাট্রিক্স দিয়ে সহজেই তৈরি করা হয়। ক্রমাগত চক্রাকার গোষ্ঠী এস. ও (2) বা সি এবং এর উপগোষ্ঠীগুলির এমন উপাদান রয়েছে যা ঘূর্ণন ম্যাট্রিক্সঃ যেখানে এস. ও (2)-এর কোনও সম্ভাব্য θ রয়েছে। আশ্চর্যের বিষয় নয় যে, এস. ও (2) এবং এর উপগোষ্ঠীগুলি সবই আবেলিয়ান; ঘূর্ণন কোণের সংযোজন যাতায়াত করে। বিচ্ছিন্ন চক্রাকার গোষ্ঠী Cn-এর জন্য, উপাদান Cnk = R (2πk/n) অবিচ্ছিন্ন ডাইহেড্রাল গ্রুপ O (2) বা D φ এবং প্রতিফলন সহ এর উপগোষ্ঠীগুলিতে এমন উপাদান রয়েছে যা কেবল ঘূর্ণন ম্যাট্রিক্সই নয়, প্রতিফলন ম্যাট্রিক্সও অন্তর্ভুক্ত করেঃ যেখানে O (2)-এর কোনও সম্ভাব্য θ রয়েছে। তবে, প্রতিফলন সহ ও (2)-এর একমাত্র আবেলিয়ান উপগোষ্ঠী হল ডি1 এবং ডি2। বিচ্ছিন্ন ডাইহেড্রাল গ্রুপ Dn-এর জন্য, উপাদান Cnkσ = S (2πk/n) যখন কেউ মেরু স্থানাঙ্ক ব্যবহার করে, তখন এই গোষ্ঠীগুলির এক-মাত্রিক প্রতিসাম্য গোষ্ঠীর সাথে সম্পর্ক স্পষ্ট হয়ে ওঠে। এস. ও (2)-এর উপগোষ্ঠীর প্রকারঃ সসীম চক্রাকার উপগোষ্ঠী সি. এন (এন. ± 1); প্রতিটি এন-এর জন্য একটি আইসোমেট্রি গ্রুপ রয়েছে, বিমূর্ত গ্রুপ টাইপ জেড. এন-এর একটি ফাইনাইলি জেনারেটেড গ্রুপ, প্রতিটি আইসোমরফিক ফর্ম জেড. এম. জেড. এন-এর একটির জন্য যা সি. এন এবং এম দ্বারা উত্পন্ন একটি অযৌক্তিক সংখ্যক বাঁক সহ স্বাধীন ঘূর্ণন, এবং এম, এন. ± 1; প্রতিটি জোড়ার (এম, এন) জন্য অগণিত সংখ্যক আইসোমেট্রি গ্রুপ রয়েছে, যা বিমূর্ত গ্রুপের মতোই; এই জুটির জন্য (1,1) গ্রুপটি চক্রাকার। অন্যান্য গণনাযোগ্য উপগোষ্ঠী। উদাহরণস্বরূপ, একটি পূর্ণসংখ্যা এন-এর জন্য, এস. ও (2) সহ এন অগণিত উপগোষ্ঠীর ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা শক্তির সমান সংখ্যক মোড়ের সমস্ত ঘূর্ণন দ্বারা উত্পন্ন গোষ্ঠী। এস. ও (2)-এর প্রতিটি উপগোষ্ঠীর জন্য ও (2)-এর উপগোষ্ঠীগুলির একটি সংশ্লিষ্ট অগণিত শ্রেণী রয়েছে যা বিমূর্ত গোষ্ঠী হিসাবে পারস্পরিকভাবে সমরূপঃ একটি শ্রেণীর প্রতিটি উপগোষ্ঠী প্রথম উল্লিখিত উপগোষ্ঠী এবং উৎসের মধ্য দিয়ে একটি লাইনে একক প্রতিফলন দ্বারা উত্পন্ন হয়। এগুলি হল (সাধারণীকৃত) ডাইহেড্রাল গ্রুপ, যার মধ্যে রয়েছে বিমূর্ত গ্রুপ টাইপ ডিনের সসীম ডিএন (এনওআর 1)। n = 1-এর জন্য সাধারণ স্বরলিপি হল Cs, বিমূর্ত গ্রুপ টাইপ Z2। ও (2)-এর টপোলজিক্যাল উপগোষ্ঠী হিসাবে, শুধুমাত্র সসীম আইসোমেট্রি গ্রুপ এবং এস. ও (2) এবং ও (2) বন্ধ থাকে। এই গোষ্ঠীগুলি দুটি স্বতন্ত্র পরিবারে পড়ে, তা নির্ভর করে যে তারা শুধুমাত্র আবর্তনের সমন্বয়ে গঠিত, বা প্রতিফলন অন্তর্ভুক্ত করে। চক্রাকার গোষ্ঠীগুলি, Cn (বিমূর্ত গোষ্ঠী প্রকার Zn), 360°/n দ্বারা ঘূর্ণন এবং সমস্ত পূর্ণসংখ্যার গুণিতক নিয়ে গঠিত। উদাহরণস্বরূপ, একটি চার পায়ের মলের প্রতিসাম্য গ্রুপ সি4 রয়েছে, যা 0°, 90°, 180° এবং 270° দ্বারা আবর্তনের সমন্বয়ে গঠিত। একটি বর্গক্ষেত্রের প্রতিসাম্য গোষ্ঠী ডাইহেড্রাল গোষ্ঠী, ডিএন (বিমূর্ত গোষ্ঠী প্রকার ডিহ্ন) পরিবারের অন্তর্গত, যার মধ্যে ঘূর্ণনের মতো অনেক প্রতিফলন রয়েছে। বৃত্তের অসীম ঘূর্ণন প্রতিসাম্য প্রতিফলন প্রতিসাম্যকেও বোঝায়, তবে আনুষ্ঠানিকভাবে বৃত্ত গ্রুপ এস 1 দিহ (এস 1) থেকে আলাদা কারণ পরেরটি স্পষ্টভাবে প্রতিফলনগুলি অন্তর্ভুক্ত করে। একটি অসীম গোষ্ঠীর অবিচ্ছিন্ন হওয়ার প্রয়োজন নেই; উদাহরণস্বরূপ, আমাদের 360°/দ্বারা ঘূর্ণনের সমস্ত পূর্ণসংখ্যার গুণক রয়েছে, যার মধ্যে 180° দ্বারা ঘূর্ণন অন্তর্ভুক্ত নয়। এর প্রয়োগের উপর নির্ভর করে, একটি আড়াআড়ি দিকে একটি নির্বিচারে সূক্ষ্ম স্তরের বিশদ পর্যন্ত সমরূপতাকে সেই দিকে পূর্ণ সমরূপতার সমতুল্য হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে, এই ক্ষেত্রে এই প্রতিসাম্য গোষ্ঠীগুলিকে উপেক্ষা করা যেতে পারে। n = 1,2,3,4 এবং 6-এর জন্য Cn এবং Dn-কে কখনও কখনও একাধিক উপায়ে অনুবাদমূলক প্রতিসাম্যের সঙ্গে যুক্ত করা যেতে পারে। এইভাবে এই 10টি গোষ্ঠী 17টি ওয়ালপেপার গোষ্ঠীর জন্ম দেয়। সমমিতি গোষ্ঠী 2ডি সমমিতি গোষ্ঠীগুলি সমমিতি গোষ্ঠীর সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ, তবে ও (2) এবং এস. ও (2) অনুসারে সমমিতি কেবল ভেক্টর ক্ষেত্রের জন্য প্রযোজ্য সাধারণ প্রতিসাম্য ধারণার মধ্যে আলাদা করা যেতে পারে। এছাড়াও, প্রয়োগের উপর নির্ভর করে, আড়াআড়ি দিকে নির্বিচারে সূক্ষ্ম বিবরণ পর্যন্ত সমরূপতাকে সেই দিকে সম্পূর্ণ সমরূপতার সমতুল্য হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে। এটি শ্রেণীবিভাগকে ব্যাপকভাবে সহজতর করেঃ আমরা নিজেদেরকে ও (2)-এর বদ্ধ টপোলজিকাল উপগোষ্ঠীর মধ্যে সীমাবদ্ধ রাখতে পারিঃ সসীম ও ও (2) (বৃত্তাকার প্রতিসাম্য), এবং ভেক্টর ক্ষেত্রের জন্য এস. ও (2)। এই গোষ্ঠীগুলি এক-মাত্রিক প্রতিসাম্য গোষ্ঠীর সাথেও মিলে যায়, যখন একটি বৃত্তে আবৃত থাকে। অনুবাদমূলক প্রতিসাম্যের সাথে সংমিশ্রণ E (2) হল O (2) এবং অনুবাদ গোষ্ঠী T-এর একটি আধা-পরোক্ষ গুণফল। অন্য কথায়, O (2) হল E (2)-এর একটি উপগোষ্ঠী যা E (2) ভাগফল গোষ্ঠীর সমরূপ T দ্বারাঃ O (2) E (2)/T একটি "প্রাকৃতিক" সার্জেক্টিভ গ্রুপ সমরূপতা p: E (2) → E (2)/T রয়েছে, যা E (2)-এর প্রতিটি উপাদান g-কে T-এর কোসেটে পাঠায় যেখানে g অন্তর্ভুক্ত, অর্থাৎঃ p (g) = gT, যাকে কখনও কখনও E (2)-এর উপর E (2)/T বা O (2)-এর ক্যানোনিকাল প্রজেকশন বলা হয়। এর কার্নেল হল টি। ই (2) এর প্রতিটি উপগোষ্ঠীর জন্য আমরা এর চিত্রটি পি-এর অধীনে বিবেচনা করতে পারিঃ একটি বিন্দু গোষ্ঠী যার মধ্যে উপগোষ্ঠীর উপাদানগুলি অন্তর্ভুক্ত, অন্য কথায়, আইসোমেট্রিগুলির অনুবাদমূলক অংশগুলিকে উপেক্ষা করে প্রাপ্ত বিন্দু গোষ্ঠী। ক্রিস্টালোগ্রাফিক সীমাবদ্ধতা উপপাদ্যের কারণে E (2)-এর প্রতিটি বিচ্ছিন্ন উপগোষ্ঠীর জন্য, এই বিন্দু গোষ্ঠীটি হয় Cn বা n = 1,2,3,4 বা 6-এর জন্য Dn ধরনের। n = 1,2,3,4 এবং 6-এর জন্য Cn এবং Dn-কে কখনও কখনও একাধিক উপায়ে অনুবাদমূলক প্রতিসাম্যের সঙ্গে যুক্ত করা যেতে পারে। এইভাবে এই 10টি গোষ্ঠী 17টি ওয়ালপেপার গোষ্ঠীর জন্ম দেয় এবং এন = 1 ও 2 সহ চারটি গোষ্ঠী 7টি ফ্রেইজ গোষ্ঠীর জন্ম দেয়। প্রতিটি ওয়ালপেপার গ্রুপের জন্য পি1, পি2, পি3, পি4, পি6, সমস্ত আইসোমেট্রি গ্রুপের পি-এর অধীনে চিত্র (অর্থাৎ। ই (2)/টি বা ও (2)-এর উপর "প্রজেকশন" সবগুলিই সংশ্লিষ্ট সিএন-এর সমান; এছাড়াও দুটি ফ্রিজ গ্রুপ সি1 এবং সি2-এর সাথে মিলে যায়। পি6এম-এর আইসোমেট্রি গ্রুপগুলি প্রতিটি ডি6 প্রকারের একটি বিন্দু গ্রুপে ম্যাপ করা হয়। অন্যান্য 11টি ওয়ালপেপার গ্রুপের জন্য, প্রতিটি আইসোমেট্রি গ্রুপকে ডি1, ডি2, ডি3, বা ডি4 ধরনের পয়েন্ট গ্রুপগুলির মধ্যে একটিতে ম্যাপ করা হয়। এছাড়াও পাঁচটি ফ্রিজ গ্রুপ ডি1 এবং ডি2-এর সাথে মিলে যায়। একটি প্রদত্ত ষড়ভুজাকার অনুবাদ জালের জন্য দুটি ভিন্ন গ্রুপ D3 রয়েছে, যা P31m এবং p3m1-এর জন্ম দেয়। প্রতিটি ধরনের ডি1, ডি2 এবং ডি4-এর জন্য যথাক্রমে 3,4 এবং 2টি ওয়ালপেপার গ্রুপের মধ্যে পার্থক্য নির্ধারণ করা হয় গ্রুপের প্রতিটি প্রতিফলনের সাথে যুক্ত অনুবাদ ভেক্টর দ্বারাঃ যেহেতু আইসোমেট্রিগুলি অনুবাদমূলক উপাদান নির্বিশেষে একই কোসেটে থাকে, তাই একই আয়না সহ একটি প্রতিফলন এবং একটি গ্লাইড প্রতিফলন একই কোসেটে থাকে। সুতরাং, উদাহরণস্বরূপ আইসোমেট্রি গ্রুপ। টাইপ পি4এম এবং পি4জি উভয়ই টাইপ ডি4-এর পয়েন্ট গ্রুপে ম্যাপ করা হয়। একটি প্রদত্ত আইসোমেট্রি গ্রুপের জন্য, গোষ্ঠীর উপাদানগুলির দ্বারা একটি অনুবাদের সংমিশ্রণগুলি একটি অনুবাদ গোষ্ঠী (একটি জাল) তৈরি করে-এটি আইসোমেট্রি গোষ্ঠীর একটি উপগোষ্ঠী যা কেবলমাত্র আমরা যে অনুবাদ দিয়ে শুরু করেছি এবং আইসোমেট্রি গোষ্ঠীর সাথে যুক্ত বিন্দু গোষ্ঠীর উপর নির্ভর করে। এর কারণ হল একটি গ্লাইড প্রতিফলন দ্বারা অনুবাদের সংমিশ্রণ সংশ্লিষ্ট প্রতিফলন দ্বারা একইঃ অনুবাদ ভেক্টর প্রতিফলিত হয়। যদি আইসোমেট্রি গ্রুপে একটি n-ভাঁজ ঘূর্ণন থাকে তবে জালটিতে জোড় n-এর জন্য n-ভাঁজ প্রতিসাম্য এবং বিজোড় n-এর জন্য 2n-ভাঁজ প্রতিসাম্য থাকে। যদি, একটি অনুবাদ ধারণকারী একটি বিচ্ছিন্ন আইসোমেট্রি গ্রুপের ক্ষেত্রে, আমরা ন্যূনতম দৈর্ঘ্যের অনুবাদের জন্য এটি প্রয়োগ করি, তবে, দুটি সংলগ্ন দিকে অনুবাদগুলির ভেক্টর পার্থক্য বিবেচনা করে, এটি n ≤ 6 অনুসরণ করে এবং বিজোড় n-এর জন্য 2n ≤ 6, তাই n = 1,2,3,4, বা 6 (স্ফটিক সংক্রান্ত সীমাবদ্ধতা উপপাদ্য)। আরও দেখুন তিনটি মাত্রায় পয়েন্ট গ্রুপ চারটি মাত্রায় পয়েন্ট গ্রুপ এক-মাত্রিক প্রতিসাম্য গ্রুপ বাহ্যিক লিঙ্ক, জ্যামিতিক রূপান্তর এবং ওয়ালপেপার গ্রুপঃ জ্যামিতিক প্যাটার্নের প্রতিসাম্য (আইসোমেট্রিগুলির পৃথক গ্রুপ), ল্যান্স ড্রেগার দ্বারা। পয়েন্ট গ্রুপ এবং ক্রিস্টাল সিস্টেম, ই-শু ওয়েই দ্বারা, পৃ। 4-5 জ্যামিতি কেন্দ্রঃ 2,1 কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্কে প্রতিসাম্যের সূত্র (দুই মাত্রা) ইউক্লিডীয় প্রতিসাম্য গোষ্ঠী তত্ত্ব