Dolbeault cohomology
গণিতে, বিশেষত বীজগাণিতিক জ্যামিতি এবং ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতিতে, ডলবিওল্ট কোহোমোলজি (পিয়েরে ডলবিওল্টের নামে নামকরণ করা হয়েছে) জটিল ম্যানিফোল্ডের জন্য ডি রাম কোহোমোলজির একটি এনালগ। ধরা যাক এম একটি জটিল বহুগুণ। তারপর ডলবিওল্ট কোহোমোলজি গ্রুপগুলি p এবং q পূর্ণসংখ্যার একটি জুটির উপর নির্ভর করে এবং ডিগ্রি (p, q) এর জটিল ডিফারেনশিয়াল ফর্মগুলির স্থানের একটি উপ-অনুপাত হিসাবে উপলব্ধি করা হয়। কোহোমোলজি গ্রুপগুলির গঠন ধরা যাক ωp, q ডিগ্রি (p, q) এর জটিল ডিফারেনশিয়াল ফর্মগুলির ভেক্টর বান্ডিল। জটিল ফর্মগুলির নিবন্ধে, ডলবিওল্ট অপারেটরকে মসৃণ বিভাগে একটি ডিফারেনশিয়াল অপারেটর হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে যেহেতু এই অপারেটরের কিছু সম্পর্কিত কোহোমোলজি রয়েছে। বিশেষত, কোহোমোলজিকে ভেক্টর বান্ডিলগুলির ভাগফল স্থান ডলবিউল্ট কোহোমোলজি হিসাবে সংজ্ঞায়িত করুন যদি E একটি জটিল বহুগুণ X-এর উপর একটি হোলোমরফিক ভেক্টর বান্ডিল হয়, তবে E-এর ডলবিউল্ট অপারেটর ব্যবহার করে E-এর হোলোমরফিক বিভাগগুলির শিফের একটি সূক্ষ্ম রেজোলিউশনও একইভাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। বিশেষত এর হোলোমর্ফিক কাঠামোর সাথে যুক্ত একটি ডলবিওল্ট অপারেটর মান সহ টু-ফর্মের বিভাগগুলি গ্রহণ করে। এটি ডিফারেনশিয়াল ফর্মগুলিতে ডলবিউল্ট অপারেটরের ক্ষেত্রে বৈশিষ্ট্যযুক্ত লাইবনিজ নিয়মকে সন্তুষ্ট করে এবং তাই কখনও কখনও একটি-সংযোগ হিসাবে পরিচিত, অতএব, একইভাবে একটি ভেক্টর বান্ডিলের একটি সংযোগ বাহ্যিক কোভ্যারিয়েন্ট ডেরিভেটিভ পর্যন্ত প্রসারিত করা যেতে পারে, ডলবিউল্ট অপারেটরের একটি অপারেটর পর্যন্ত প্রসারিত করা যেতে পারে যা একটি বিভাগে কাজ করে এবং যে কোনও বিভাগে রৈখিকভাবে প্রসারিত হয়। ডলবিউল্ট অপারেটর ইন্টিগ্রেবিলিটি শর্তটি সন্তুষ্ট করে এবং তাই সহগগুলির সাথে ডলবিউল্ট কোহোমোলজিকে উপরের হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারেঃ ডলবিউল্ট কোহোমোলজি গ্রুপগুলি হলমর্ফিক কাঠামোর সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ ডলবিউল্ট অপারেটরের পছন্দের উপর নির্ভর করে না, তাই সাধারণত এর উপর নির্ভরতা বাদ দিয়ে চিহ্নিত করা হয়। ডলবিউল্ট-গ্রোথেন্ডিয়াক লেমা ডলবিউল্ট আইসোমরফিজম প্রতিষ্ঠার জন্য আমাদের ডলবিউল্ট-গ্রোথেন্ডিয়াক লেমা (বা-পয়েনকারে লেমা) প্রমাণ করতে হবে। প্রথমে আমরা-পয়েনকারে লেম্মার একটি এক-মাত্রিক সংস্করণ প্রমাণ করব; মসৃণ ফাংশনের জন্য আমরা কচি ইন্টিগ্রাল উপস্থাপনের নিম্নলিখিত সাধারণীকৃত রূপটি ব্যবহার করবঃ প্রস্তাবঃ ব্যাসার্ধকে কেন্দ্র করে খোলা বলটি খুলুন এবং তারপর লেম্মা (-জটিল সমতলে পয়েনকারে লেম্মা): আসুন আগের মতো এবং একটি মসৃণ রূপ, তারপর প্রুফের উপর সন্তুষ্ট হয়। আমাদের দাবি হল যে উপরে সংজ্ঞায়িত একটি সুনির্দিষ্ট মসৃণ ফাংশন এবং। এটি দেখানোর জন্য আমরা একটি বিন্দু এবং একটি উন্মুক্ত প্রতিবেশী বেছে নিই, তারপরে আমরা একটি মসৃণ ফাংশন খুঁজে পেতে পারি যার সমর্থন সংক্ষিপ্ত এবং ভিতরে রয়েছে এবং তারপর আমরা লিখতে এবং সংজ্ঞায়িত করতে পারি। এখন আমরা সেটা দেখাব। যেহেতু এটি হলোমর্ফিক। সাধারণীকৃত কচি সূত্রটি প্রয়োগ করে আমরা খুঁজে পাই, কিন্তু তারপর। যেহেতু এটি স্বেচ্ছাচারী ছিল, তাই লেম্মা এখন প্রমাণিত হয়েছে। ডলবিউল্ট-গ্রোথেন্ডিয়াক লেম্মার প্রমাণ এখন ডলবিউল্ট-গ্রোথেন্ডিয়াক লেম্মাকে প্রমাণ করার জন্য প্রস্তুত; এখানে উপস্থাপিত প্রমাণটি গ্রোথেন্ডিয়াকের কারণে। আমরা ব্যাসার্ধকে কেন্দ্র করে খোলা পলিডিস্ক দিয়ে নির্দেশ করি। লেম্মা (ডলবিউল্ট-গ্রোথেন্ডিয়াক): যেখানে খোলা থাকুক, সেখানে এমন কিছু থাকে যা সন্তুষ্ট করেঃ প্রমাণ শুরু করার আগে আমরা লক্ষ্য করি যে কোনও-ফর্ম বহু-সূচক হিসাবে লেখা যেতে পারে, তাই আমরা মামলার প্রমাণকে হ্রাস করতে পারি। প্রমাণ। ধরা যাক সবচেয়ে ছোট সূচকটি এমন হয় যাতে-মডিউলগুলির শিফে, আমরা ইন্ডাকশন দিয়ে এগিয়ে যাই। কারণ আমাদের তারপর থেকে আছে; এরপরে আমরা ধরে নিই যে যদি এমন কিছু থাকে। তারপর ধরুন এবং পর্যবেক্ষণ করুন যে আমরা লিখতে পারি যেহেতু-বন্ধ এটি অনুসরণ করে যা চলকগুলিতে হোলোমরফিক এবং পলিডিস্কে অবশিষ্টগুলির মধ্যে মসৃণ। উপরন্তু আমরা খোলা বলের মসৃণ ফাংশনে-পয়েনকারে লেম্মা প্রয়োগ করতে পারি, তাই মসৃণ ফাংশনের একটি পরিবার রয়েছে যা সন্তুষ্টও করে। তারপর সংজ্ঞায়িত করুন তাই আমরা এতে ইন্ডাকশন হাইপোথিসিস প্রয়োগ করতে পারি, এমন কিছু রয়েছে যা ইন্ডাকশন ধাপটি শেষ করে। কিউইডি পূর্ববর্তী লেম্মাকে পলিডায়াসের কিছু উপাদানের জন্য পলিডিস্কগুলি গ্রহণ করে সাধারণীকরণ করা যেতে পারে। লেম্মা (বর্ধিত ডলবিউল্ট-গ্রোথেন্ডিয়াক)। যদি এবং সহ একটি খোলা পলিডিস্ক থাকে, তাহলে প্রুফ। আমরা দুটি ঘটনা বিবেচনা করিঃ এবং। কেস 1। আসুন, এবং আমরা পলিডিস্ক দিয়ে কভার করি, তারপর ডলবিওল্ট-গ্রোথেন্ডিয়াক লেমা দ্বারা আমরা খোলা জায়গায় বাইডিগ্রীর ফর্মগুলি খুঁজে পেতে পারি যাতে আমরা দেখাতে চাই যে আমরা ইন্ডাকশন দ্বারা এগিয়ে যাইঃ কেসটি যখন পূর্ববর্তী লেমা দ্বারা ধরে থাকে। দাবিটি সত্য হতে দিন এবং এর সাথে গ্রহণ করুন তারপর আমরা এমন একটি খোলা পাড়ায় সংজ্ঞায়িত একটি-ফর্ম খুঁজে পাই। এরপরে একটি উন্মুক্ত প্রতিবেশী হতে দিন এবং আমরা আবার ডলবিওল্ট-গ্রোথেন্ডিয়াক লেম্মা প্রয়োগ করতে পারি যাতে এমন একটি-ফর্ম খুঁজে পাওয়া যায়। এখন, একটি খোলা সেট এবং একটি মসৃণ ফাংশন হতে দিন যাতেঃ তারপর একটি সুনির্দিষ্ট মসৃণ ফর্ম যা সন্তুষ্ট করে তাই ফর্মটি কেস 2-কে সন্তুষ্ট করে। যদি এর পরিবর্তে আমরা দুইবার ডলবিউল্ট-গ্রোথেন্ডিয়াক লেম্মা প্রয়োগ করতে না পারি; আমরা গ্রহণ করি এবং আগের মতোই, আমরা দেখাতে চাই যে আবার, আমরা ইন্ডাকশনের মাধ্যমে এগিয়ে যাইঃ কারণ উত্তরটি ডলবিউল্ট-গ্রোথেন্ডিয়াক লেমা দ্বারা দেওয়া হয়েছে। এরপরে আমরা ধরে নিই যে দাবিটি সত্য। আমরা এমন কভার গ্রহণ করি, তারপর আমরা এমন একটি-ফর্ম খুঁজে পেতে পারি যা সন্তুষ্ট হয়, অর্থাৎ। যেখানেই সংজ্ঞায়িত করা হয় এটি একটি হোলোমর্ফিক-ফর্ম, তাই স্টোন-ওয়েয়ারস্ট্রাস উপপাদ্য দ্বারা আমরা এটিকে লিখতে পারি যেখানে পলিনোমিয়াল রয়েছে এবং তবে তারপরে ফর্মটি সন্তুষ্ট করে যা ইন্ডাকশন ধাপটি সম্পূর্ণ করে; তাই আমরা একটি ক্রম তৈরি করেছি যা অভিন্নভাবে কিছু-ফর্মে একত্রিত হয়। কিউইডি ডলবিউল্টের উপপাদ্য ডলবিউল্টের উপপাদ্য ডি রামের উপপাদ্যের একটি জটিল অনুরূপ। এটি দাবি করে যে ডলবিওল্ট কোহোমোলজি হলোমর্ফিক ডিফারেনশিয়াল ফর্মের শিফের শিফ কোহোমোলজির সমতুল্য। বিশেষত, এম-এর উপর হোলোমর্ফিক পি ফর্মগুলির শিফ কোথায়। ডলবিউল্ট উপপাদ্যের একটি সংস্করণটিও একটি হোলোমর্ফিক ভেক্টর বান্ডেলের সহগগুলির সাথে ডলবিউল্ট কোহোমোলজির জন্য ধারণ করে। অর্থাৎ একজনের একটি আইসোমরফিজম রয়েছে লগারিদমিক ফর্মগুলির জন্য একটি সংস্করণও প্রতিষ্ঠিত হয়েছে। প্রমাণ ধরা যাক বিভিন্ন ধরনের সূক্ষ্ম আবরণ। তারপর-পয়েনকারে লেম্মা বলে যে ক্রমটি সঠিক। যে কোনও দীর্ঘ সঠিক ক্রমের মতো, এই ক্রমটি সংক্ষিপ্ত সঠিক ক্রমগুলিতে বিভক্ত হয়। এগুলির সাথে সম্পর্কিত কোহোমোলজির দীর্ঘ সঠিক ক্রমগুলি ফলাফল দেয়, একবার কেউ ব্যবহার করলে একটি সূক্ষ্ম শিফের উচ্চতর কোহোমোলজিগুলি অদৃশ্য হয়ে যায়। গণনার সুস্পষ্ট উদাহরণ-মাত্রিক জটিল প্রজেক্টিভ স্পেসের ডলবিওল্ট কোহোমোলজি হল আমরা হজ তত্ত্ব থেকে নিম্নলিখিত সুপরিচিত তথ্যটি প্রয়োগ করিঃ কারণ এটি একটি কম্প্যাক্ট কেলার কমপ্লেক্স ম্যানিফোল্ড। তারপর এবং তদুপরি আমরা জানি যে এটি কেলার, এবং ফুবিনি-স্টাডি মেট্রিকের (যা প্রকৃতপক্ষে কেলার) সাথে সম্পর্কিত মৌলিক রূপটি কোথায়, তাই এবং যখনই ফলাফল দেয়। এছাড়াও দেখুন সের দ্বৈততা-লেমা, যা কম্প্যাক্ট কেলার ম্যানিফোল্ডের সেটিংয়ে একটি-সঠিক ডিফারেনশিয়াল ফর্মের সম্ভাব্যতা বর্ণনা করে। পাদটীকা উদ্ধৃতি কোহোমোলজি তত্ত্ব জটিল হজ তত্ত্বকে বহুগুণিত করে