Biharmonic equation
গণিতে, দ্বি-হারমোনিক সমীকরণ হল একটি চতুর্থ-ক্রমের আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ যা রৈখিক স্থিতিস্থাপকতা তত্ত্ব এবং স্টোকস প্রবাহের সমাধান সহ ধারাবাহিক বলবিজ্ঞানের ক্ষেত্রে উদ্ভূত হয়। বিশেষত, এটি পাতলা কাঠামোর মডেলিংয়ে ব্যবহৃত হয় যা বাহ্যিক শক্তির প্রতি স্থিতিস্থাপকভাবে প্রতিক্রিয়া দেখায়। স্বরলিপি এটি বা বা যেখানে হিসাবে লেখা হয়, যা ডেল অপারেটরের চতুর্থ শক্তি এবং ল্যাপলেসিয়ান অপারেটরের বর্গ (বা), বিহার্মোনিক অপারেটর বা বিলাপ্লাসিয়ান অপারেটর হিসাবে পরিচিত। কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্কে, এটিকে মাত্রায় এভাবে লেখা যেতে পারেঃ যেহেতু এখানে সূত্রটিতে সূচকগুলির একটি সমষ্টি রয়েছে, তাই অনেক গণিতবিদ স্বরলিপি পছন্দ করেন কারণ প্রথমটি স্পষ্ট করে দেয় যে চারটি নাবলা অপারেটরের সূচকগুলির মধ্যে কোনটি সংকুচিত হয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, ত্রিমাত্রিক কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্কে দ্বিমাত্রিক সমীকরণের রূপ রয়েছে আরেকটি উদাহরণ হিসাবে, n-মাত্রিক রিয়েল স্থানাঙ্কে উৎস ছাড়াই, যেখানে দেখা যায়, n = 3 এবং n = 5 এর জন্য, দ্বিমাত্রিক সমীকরণের একটি সমাধান। বাইহার্মোনিক সমীকরণের সমাধানকে বাইহার্মোনিক ফাংশন বলা হয়। যে কোনও সুরেলা ক্রিয়া দ্বি-সুরেলা হয়, তবে বিপরীতটি সবসময় সত্য হয় না। দ্বিমাত্রিক মেরু স্থানাঙ্কে, দ্বিমাত্রিক সমীকরণ হল যা চলকগুলির পৃথকীকরণের মাধ্যমে সমাধান করা যেতে পারে। ফলাফল হল মিশেল সমাধান। 2-মাত্রিক স্থান 2-মাত্রিক ক্ষেত্রে সাধারণ সমাধান হল যেখানে, এবং হল হারমোনিক ফাংশন এবং এর একটি হারমোনিক কনজুগেট। ঠিক যেমন দুটি চলকের মধ্যে সুরেলা ফাংশনগুলি জটিল বিশ্লেষণাত্মক ফাংশনের সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত, তেমনি 2টি চলকের মধ্যে সুরেলা ফাংশনগুলিও। দুটি চলকের মধ্যে একটি দ্বি-হারমোনিক ফাংশনের সাধারণ রূপটি কোথায় এবং বিশ্লেষণাত্মক ফাংশন হিসাবেও লেখা যেতে পারে। আরও দেখুন হারমোনিক ফাংশন রেফারেন্স এরিক ডব্লিউ ওয়েইসস্টাইন, সি. আর. সি কনসাইজ এনসাইক্লোপিডিয়া অফ ম্যাথমেটিক্স, সি. আর. সি প্রেস, 2002। এস আই হায়েক, অ্যাডভান্সড ম্যাথমেটিকাল মেথডস ইন সায়েন্স অ্যান্ড ইঞ্জিনিয়ারিং, মার্সেল ডেকার, 2000। বাহ্যিক সংযোগ উপবৃত্তাকার আংশিক অবকল সমীকরণ