Class number formula
সংখ্যা তত্ত্বে, শ্রেণী সংখ্যা সূত্রটি একটি সংখ্যা ক্ষেত্রের অনেক গুরুত্বপূর্ণ অপরিবর্তনীয়কে তার ডেডেকিন্ড জিটা ফাংশনের একটি বিশেষ মানের সাথে সম্পর্কিত করে। শ্রেণী সংখ্যা সূত্রের সাধারণ বিবৃতি আমরা নিম্নলিখিত তথ্য দিয়ে শুরু করিঃ এটি একটি সংখ্যা ক্ষেত্র। , যেখানে প্রকৃত এম্বেডিংয়ের সংখ্যা বোঝায় এবং এটি জটিল এম্বেডিংয়ের সংখ্যা। এর ডিডেকিন্ড জিটা ফাংশন। শ্রেণী সংখ্যা হল আদর্শ শ্রেণী গোষ্ঠীর উপাদানগুলির সংখ্যা। এর নিয়ন্ত্রক। এটি ঐক্যের শিকড়ের সংখ্যা। এটি সম্প্রসারণের বৈষম্যমূলক। তারপরঃ উপপাদ্য (শ্রেণী সংখ্যা সূত্র)। শুধুমাত্র একটি সাধারণ মেরু সহ সমস্ত জটিলের জন্য সংজ্ঞায়িত একটি মেরোমর্ফিক ফাংশনের জন্য সম্পূর্ণরূপে একত্রিত হয় এবং প্রসারিত হয়, অবশিষ্টাংশ সহ এটি সবচেয়ে সাধারণ "শ্রেণী সংখ্যা সূত্র"। বিশেষ ক্ষেত্রে, উদাহরণস্বরূপ যখন একটি সাইক্লোটোমিক এক্সটেনশন হয়, তখন নির্দিষ্ট এবং আরও পরিমার্জিত শ্রেণী সংখ্যা সূত্র থাকে। প্রমাণ শ্রেণী সংখ্যা সূত্রের প্রমাণের ধারণাটি সবচেয়ে সহজেই দেখা যায় যখন কে = কিউ (আই)। এই ক্ষেত্রে, কে-তে পূর্ণসংখ্যার বলয় হল গাউসীয় পূর্ণসংখ্যা। একটি প্রাথমিক কারসাজি দেখায় যে, s = 1-এ ডেডেকিন্ড জিটা ফাংশনের অবশিষ্টাংশ হল ডেডেকিন্ড জিটা ফাংশনের ডিরিচলেট সিরিজের প্রতিনিধিত্বের সহগের গড়। ডিরিচলেট সিরিজের n-তম সহগ মূলত অ-ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যার দুটি বর্গের যোগফল হিসাবে n-এর উপস্থাপনের সংখ্যা। সুতরাং প্রতিনিধিত্বের গড় সংখ্যা গণনা করে s = 1 এ ডেডেকিন্ড জিটা ফাংশনের অবশিষ্টাংশ গণনা করা যেতে পারে। গাউস বৃত্ত সমস্যা সম্পর্কিত নিবন্ধের মতো, উৎসকে কেন্দ্র করে একটি চতুর্থাংশ বৃত্তের অভ্যন্তরে জাল বিন্দুর সংখ্যা আনুমানিক করে গণনা করা যেতে পারে, এই উপসংহারে যে অবশিষ্টাংশটি পাইয়ের এক চতুর্থাংশ। প্রমাণ যখন K একটি স্বেচ্ছাচারী কাল্পনিক দ্বিঘাত সংখ্যা ক্ষেত্র খুব অনুরূপ। সাধারণ ক্ষেত্রে, ডিরিচলেটের একক উপপাদ্য অনুসারে, কে-এর পূর্ণসংখ্যার বলয়ে এককগুলির সমষ্টি অসীম। তবুও বাস্তব এবং জটিল এম্বেডিংয়ের শাস্ত্রীয় তত্ত্ব ব্যবহার করে অবশিষ্টাংশের গণনাকে একটি জাল বিন্দু গণনার সমস্যায় হ্রাস করা যেতে পারে এবং প্রমাণ সম্পূর্ণ করার জন্য অঞ্চলের আয়তন দ্বারা একটি অঞ্চলে জাল বিন্দুর সংখ্যা আনুমানিকভাবে অনুমান করা যেতে পারে। ডিরিচলেট শ্রেণী সংখ্যা সূত্র পিটার গুস্তাভ লেজ্যুন ডিরিচলেট 1839 সালে দ্বিঘাত ক্ষেত্রের জন্য শ্রেণী সংখ্যা সূত্রের একটি প্রমাণ প্রকাশ করেছিলেন, তবে এটি আদর্শের শ্রেণীর পরিবর্তে দ্বিঘাত রূপের ভাষায় বলা হয়েছিল। মনে করা হয় যে 1801 সালে গাউস এই সূত্রটি আগে থেকেই জানতেন। এই প্রদর্শনীটি ডেভেনপোর্টকে অনুসরণ করে। ধরা যাক d একটি মৌলিক বৈষম্যকারী, এবং দ্বিঘাত রূপের সমতুল্য শ্রেণীর সংখ্যার জন্য h (d) লিখুন। ধরা যাক ক্রোনেকার প্রতীক। তারপর একটি ডিরিচলেট চরিত্র। এর উপর ভিত্তি করে ডিরিচলেট এল-সিরিজের জন্য লিখুন। d> 0-এর জন্য, ধরা যাক t> 0, u> 0 পেল সমীকরণের সমাধান যার জন্য u সবচেয়ে ছোট, এবং লিখুন (তারপর হয় বাস্তব দ্বিঘাত ক্ষেত্রের একটি মৌলিক একক বা একটি মৌলিক এককের বর্গ।) d <0-এর জন্য, ডিস্ক্রিমিন্যান্ট d-এর দ্বিঘাত রূপগুলির অটোমরফিজমের সংখ্যার জন্য w লিখুন; অর্থাৎ, তারপর ডিরিচলেট দেখিয়েছেন যে এটি উপরের উপপাদ্য 1-এর একটি বিশেষ ক্ষেত্রেঃ একটি দ্বিঘাত ক্ষেত্র K-এর জন্য, ডেডেকিন্ড জিটা ফাংশনটি ন্যায্য, এবং অবশিষ্টাংশ হল। ডিরিচলেট আরও দেখিয়েছেন যে এল-সিরিজটি একটি সীমাবদ্ধ আকারে লেখা যেতে পারে, যা শ্রেণী সংখ্যার জন্য একটি সীমাবদ্ধ রূপ দেয়। ধরুন প্রাইম কন্ডাক্টরের সাথে এটি প্রিমিটিভ। তারপর যুক্তিসঙ্গতগুলির গ্যালোয়া সম্প্রসারণ যদি কে কিউ-এর একটি গ্যালোয়া সম্প্রসারণ হয়, তবে আর্টিন এল-ফাংশন তত্ত্বটি এর ক্ষেত্রে প্রযোজ্য। এটির রিমান জিটা ফাংশনের একটি ফ্যাক্টর রয়েছে, যার অবশিষ্টাংশের একটি মেরু রয়েছে এবং ভাগফলটি s = 1 এ নিয়মিত। এর মানে হল যে শ্রেণী সংখ্যা সূত্রের ডান দিকটি একটি বাম দিকের ΠL (1, ρ) ডিম ρ-এর সাথে সমান করা যেতে পারে যার সাথে ρ মাত্রা ডিম (ρ)-এর গ্যাল (কে/কিউ)-এর অপরিবর্তনীয় অ-তুচ্ছ জটিল রৈখিক উপস্থাপনার শ্রেণীগুলির উপর চলে। এটি নিয়মিত উপস্থাপনার স্ট্যান্ডার্ড ডিকম্পোসিশন অনুসারে। যুক্তিসঙ্গতগুলির আবেলিয়ান এক্সটেনশন এটি উপরের ক্ষেত্রে, গ্যাল (কে/কিউ) একটি আবেলিয়ান গ্রুপ সহ, যেখানে সমস্ত ρ কে ডিরিচলেট অক্ষর দ্বারা প্রতিস্থাপিত করা যেতে পারে (শ্রেণী ক্ষেত্র তত্ত্বের মাধ্যমে) কিছু মডুলাসের জন্য যাকে কন্ডাক্টর বলা হয়। অতএব সমস্ত এল (1) মান ডিরিচলেট এল-ফাংশনের জন্য ঘটে, যার জন্য লগারিদম জড়িত একটি শাস্ত্রীয় সূত্র রয়েছে। ক্রোনেকার-ওয়েবার উপপাদ্য অনুসারে, একটি বিশ্লেষণাত্মক শ্রেণী সংখ্যা সূত্রের জন্য প্রয়োজনীয় সমস্ত মান ইতিমধ্যে ঘটে যখন সাইক্লোটোমিক ক্ষেত্রগুলি বিবেচনা করা হয়। সেক্ষেত্রে আরও একটি সূত্র সম্ভব, যা কুমার দেখিয়েছেন। নিয়ন্ত্রক, সাইক্লোটোমিক ক্ষেত্রের ইউনিটগুলির লগারিদম দ্বারা বিভক্ত 'লগারিদমিক স্পেস'-এ আয়তনের একটি গণনা, সাইক্লোটোমিক ইউনিটগুলির লগারিদম হিসাবে স্বীকৃত এল (1) থেকে পরিমাণের বিরুদ্ধে সেট করা যেতে পারে। ফলাফলের সূত্রগুলি বলে যে শ্রেণী সংখ্যাটি এককগুলির পুরো গোষ্ঠীর সাইক্লোটোমিক ইউনিটগুলির সূচক দ্বারা নির্ধারিত হয়। ইওয়াসাওয়া তত্ত্বে, এই ধারণাগুলি আরও স্টিকলবার্গারের উপপাদ্যের সাথে মিলিত হয়। আরও দেখুন ব্রুমার-স্টার্ক অনুমান স্মিথ-মিনকোভস্কি-সিগেল ভর সূত্র উদ্ধৃতি বীজগাণিতিক সংখ্যা তত্ত্ব চতুর্ভুজ রূপ