Inductive dimension
টপোলজির গাণিতিক ক্ষেত্রে, একটি টপোলজিকাল স্পেস এক্স-এর ইন্ডাক্টিভ মাত্রা দুটি মানের হয়, ছোট ইন্ডাক্টিভ মাত্রা ইন্ড (এক্স) বা বড় ইন্ডাক্টিভ মাত্রা ইন্ড (এক্স)। এগুলি এই পর্যবেক্ষণের উপর ভিত্তি করে যে, n-মাত্রিক ইউক্লিডীয় স্থান Rn-এ, (n−1)-মাত্রিক গোলকের (অর্থাৎ, n-মাত্রিক বলের সীমানা) মাত্রা n−1। অতএব, উপযুক্ত উন্মুক্ত সেটগুলির সীমানার মাত্রার পরিপ্রেক্ষিতে একটি স্থানের মাত্রাকে অন্তর্বর্তীভাবে সংজ্ঞায়িত করা সম্ভব হওয়া উচিত। ছোট এবং বড় ইন্ডাক্টিভ মাত্রা একটি টপোলজিকাল স্পেসের জন্য "মাত্রা" ধারণাটি ধরার তিনটি সবচেয়ে সাধারণ উপায়ের মধ্যে দুটি, যা কেবল টপোলজির উপর নির্ভর করে (এবং, বলুন, একটি মেট্রিক স্পেসের বৈশিষ্ট্যের উপর নয়)। অন্যটি হল লেবস্গু কভার ডাইমেনশন। "টপোলজিক্যাল ডাইমেনশন" শব্দটি সাধারণত লেবস্গু আচ্ছাদন মাত্রা বোঝাতে বোঝা যায়। "পর্যাপ্ত সুন্দর" জায়গার জন্য, মাত্রার তিনটি পরিমাপ সমান। আনুষ্ঠানিক সংজ্ঞা আমরা একটি বিন্দুর মাত্রা 0 হতে চাই, এবং একটি বিন্দুর ফাঁকা সীমানা থাকে, তাই আমরা দিয়ে শুরু করি। তারপর ইন্ডাক্টিভলি, ইন্ড (এক্স) হল সবচেয়ে ছোট এন যাতে, x ধারণকারী প্রতিটি খোলা সেট ইউ-এর জন্য, x ধারণকারী একটি খোলা সেট ভি থাকে, যাতে ভি-এর ক্লোজার হল ইউ-এর একটি উপসেট, এবং ভি-এর সীমানার ছোট ইন্ডাক্টিভ মাত্রা n−1-এর কম বা সমান হয়। (যদি X একটি ইউক্লিডীয় n-মাত্রিক স্থান হয়, তাহলে V কে x-কে কেন্দ্র করে একটি n-মাত্রিক বল হিসাবে বেছে নেওয়া যেতে পারে।) বড় ইন্ডাক্টিভ মাত্রার জন্য, আমরা V-এর পছন্দকে আরও সীমাবদ্ধ করি; Ind (X) হল সবচেয়ে ছোট n যাতে, X-এর প্রতিটি খোলা উপসেট U-এর প্রতিটি বদ্ধ উপসেট F-এর জন্য, মাঝখানে একটি খোলা V থাকে (অর্থাৎ, F হল V-এর একটি উপসেট এবং V-এর ক্লোজার হল U-এর একটি উপসেট), যাতে V-এর সীমানার বড় ইন্ডাক্টিভ মাত্রা n−1-এর চেয়ে কম বা সমান হয়। মাত্রাগুলির মধ্যে সম্পর্ক লেবসগ কভার ডাইমেনশন হতে পারে। যে কোনও টপোলজিকাল স্পেস এক্স-এর জন্য, আমাদের যদি এবং কেবল তখনই থাকে যদি ইউরিসনের উপপাদ্য বলে যে যখন এক্স একটি গণনাযোগ্য বেস সহ একটি স্বাভাবিক স্থান হয়, তখন এই ধরনের স্থানগুলি ঠিক পৃথকীকৃত এবং পরিমাপযোগ্য এক্স হয় (ইউরিসনের পরিমাপ উপপাদ্য দেখুন)। নোবেলিং-পন্ট্রিয়াগিন উপপাদ্যটি তখন বলে যে, সীমাবদ্ধ মাত্রাযুক্ত এই ধরনের স্থানগুলি তাদের স্বাভাবিক টপোলজি সহ ইউক্লিডীয় স্থানগুলির সাবস্পেস হিসাবে হোমিওমরফিজম পর্যন্ত চিহ্নিত করা হয়। মেঙ্গার-নোবেলিং উপপাদ্য (1932) বলে যে যদি কম্প্যাক্ট মেট্রিক পৃথকযোগ্য এবং মাত্রার হয়, তবে এটি ইউক্লিডীয় মাত্রার স্থানের একটি সাবস্পেস হিসাবে এম্বেড করে। (জর্জ নোবেলিং ছিলেন কার্ল মেঙ্গারের ছাত্র। তিনি নোবেলিং স্পেস প্রবর্তন করেছিলেন, কমপক্ষে স্থানাঙ্কগুলি অযৌক্তিক সংখ্যা সহ বিন্দুগুলির সমন্বয়ে গঠিত সাবস্পেস, যার মাত্রার স্থানগুলি এম্বেড করার জন্য সর্বজনীন বৈশিষ্ট্য রয়েছে।) শুধুমাত্র এক্স পরিমাপযোগ্য ধরে নিলে আমাদের (মিরোস্লাভ কাতেতভ) ইন্ড এক্স ≤ ইন্ড এক্স = ডিম এক্স আছে; অথবা এক্স কম্প্যাক্ট এবং হাউসডর্ফ (পি. এস. আলেকজান্ডারভ) ডিম এক্স ≤ ইন্ড এক্স ≤ ইন্ড এক্স ধরে নিই। এখানে বৈষম্য কঠোর হতে পারে; ভ্লাদিমির ভি. ফিলিপ্পভের একটি উদাহরণ দেখায় যে দুটি সূচক মাত্রা ভিন্ন হতে পারে। একটি পৃথক মেট্রিক স্থান X বৈষম্যকে সন্তুষ্ট করে যদি স্থানটির প্রতিটি বদ্ধ উপ-স্থান এবং প্রতিটি অবিচ্ছিন্ন ম্যাপিংয়ের জন্য একটি অবিচ্ছিন্ন সম্প্রসারণ বিদ্যমান থাকে। রেফারেন্স ক্রিলি, টনি, 2005, "পল ইউরিসোন এবং কার্ল মেঞ্জারঃ পেপারস অন ডাইমেনশন থিওরি" ইন গ্র্যাটান-গিনেস, আই., সংস্করণ, ল্যান্ডমার্ক রাইটিংস ইন ওয়েস্টার্ন ম্যাথমেটিক্স। এলসেভিয়ারঃ 844-55। আর. এঙ্গেল্কিং, থিওরি অফ ডাইমেনশন। সীমাবদ্ধ এবং অসীম, হেল্ডারম্যান ভার্লাগ (1995)। ভি. ভি. ফেডরচুক, দ্য ফান্ডামেন্টালস অফ ডাইমেনশন থিওরি, এনসাইক্লোপিডিয়া অফ ম্যাথমেটিকাল সায়েন্সেস, ভলিউম 17, জেনারেল টপোলজি I, (1993) এ. ভি. আরখাঞ্জেলস্কি এবং এল. এস. পন্ট্রিয়াগিন (এডস। ), স্প্রিঙ্গার-ভার্লাগ, বার্লিন। ভি. ভি. ফিলিপ্পভ, অন দ্য ইন্ডাক্টিভ ডাইমেনশন অফ দ্য প্রোডাক্ট অফ বাইকম্প্যাক্ট, সোভিয়েত। গণিত। ডকল., 13 (1972), এন°1,250-254। এ. আর. পিয়ার্স, ডাইমেনশন থিওরি অফ জেনারেল স্পেস, কেমব্রিজ ইউনিভার্সিটি প্রেস (1975)। মাত্রা তত্ত্ব