Whitney's planarity criterion
গণিতে, হুইটনির প্ল্যানারিটির মানদণ্ড হল প্ল্যানার গ্রাফের একটি ম্যাট্রয়েড-তাত্ত্বিক বৈশিষ্ট্য, যা হ্যাসলার হুইটনির নামে নামকরণ করা হয়েছে। এটি বলে যে একটি গ্রাফ জি সমতল হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি তার গ্রাফিক ম্যাট্রয়েডও গ্রাফিক হয় (অর্থাৎ, এটি অন্য গ্রাফিক ম্যাট্রয়েডের দ্বৈত ম্যাট্রয়েড হয়)। বিশুদ্ধ গ্রাফ-তাত্ত্বিক পরিভাষায়, এই মানদণ্ডটি নিম্নরূপ বলা যেতে পারেঃ অবশ্যই আরেকটি (দ্বৈত) গ্রাফ G '= (V', E ') থাকতে হবে এবং মূল গ্রাফ G-এর প্রান্ত E' এবং প্রান্ত E-এর মধ্যে একটি দ্বিমুখী যোগাযোগ থাকতে হবে, যাতে E-এর একটি উপসেট T G-এর একটি বিস্তৃত গাছ গঠন করে যদি এবং শুধুমাত্র যদি পরিপূরক উপসেট E-T-এর সাথে সম্পর্কিত প্রান্তগুলি G '-এর একটি বিস্তৃত গাছ গঠন করে। হুইটনির মানদণ্ডের একটি সমতুল্য রূপ হল যে একটি গ্রাফ জি সমতলীয় হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি এটির একটি দ্বৈত গ্রাফ থাকে যার গ্রাফিক ম্যাট্রয়েড জি-এর গ্রাফিক ম্যাট্রয়েডের সাথে দ্বৈত হয়। একটি গ্রাফ যার গ্রাফিক ম্যাট্রয়েড জি-এর গ্রাফিক ম্যাট্রয়েডের সাথে দ্বৈত হয় যা জি-এর বীজগাণিতিক দ্বৈত হিসাবে পরিচিত। সুতরাং, হুইটনির সমতলীয় মানদণ্ডটি সংক্ষেপে এইভাবে প্রকাশ করা যেতে পারেঃ একটি গ্রাফ সমতল হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি এটির বীজগাণিতিক দ্বৈত থাকে। যদি একটি গ্রাফ সমতলের মতো একটি টপোলজিকাল পৃষ্ঠে এমনভাবে এম্বেড করা হয় যে এম্বেডিংয়ের প্রতিটি মুখ একটি টপোলজিকাল ডিস্ক হয়, তবে এম্বেডিংয়ের দ্বৈত গ্রাফকে গ্রাফ (বা কিছু ক্ষেত্রে মাল্টিগ্রাফ) এইচ হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় যার এম্বেডিংয়ের প্রতিটি মুখের জন্য একটি শীর্ষ রয়েছে এবং এক জোড়া মুখের মধ্যে প্রতিটি সংলগ্নতার জন্য একটি প্রান্ত রয়েছে। হুইটনির মানদণ্ড অনুসারে, নিম্নলিখিত শর্তগুলি সমতুল্যঃ যে পৃষ্ঠে এম্বেডিং বিদ্যমান তা ভূতাত্ত্বিকভাবে সমতল, গোলক বা ছিদ্রযুক্ত সমতলের সমতুল্য এইচ হল জি-এর একটি বীজগাণিতিক দ্বৈত চক্র জি-এর প্রতিটি সহজ চক্র এইচ-এর একটি ন্যূনতম কাটের সাথে মিলে যায় এবং তদ্বিপরীত এইচ-এর প্রতিটি সহজ চক্র জি-এর একটি ন্যূনতম কাটের সাথে মিলে যায় এবং তদ্বিপরীত জি-এর প্রতিটি বিস্তৃত গাছ এইচ-এর একটি বিস্তৃত গাছের পরিপূরকের সাথে মিলে যায় এবং তদ্বিপরীত। টরাসের মতো ননপ্ল্যানার পৃষ্ঠে এম্বেড করা গ্রাফের দ্বৈত গ্রাফ সংজ্ঞায়িত করা সম্ভব, তবে এই ডুয়ালগুলির সাধারণত হুইটনির মানদণ্ড দ্বারা প্রয়োজনীয় কাটা, চক্র এবং বিস্তৃত গাছের মধ্যে যোগাযোগ থাকে না। তথ্যসূত্র ম্যাট্রয়েড তত্ত্ব প্ল্যানার গ্রাফ