Rotation around a fixed axis
একটি নির্দিষ্ট অক্ষের চারপাশে ঘূর্ণন বা অক্ষীয় ঘূর্ণন হল ত্রিমাত্রিক স্থানে স্থির, স্থির বা স্থির ঘূর্ণনের অক্ষের চারপাশে ঘূর্ণন গতির একটি বিশেষ ঘটনা। এই ধরনের গতি ঘূর্ণনের তাৎক্ষণিক অক্ষের তার অভিমুখ পরিবর্তন করার সম্ভাবনাকে বাদ দেয় এবং কাঁপুনি বা অগ্রগতির মতো ঘটনাকে বর্ণনা করতে পারে না। অয়লারের ঘূর্ণন উপপাদ্য অনুসারে, একই সময়ে বেশ কয়েকটি স্থির অক্ষ বরাবর একযোগে ঘূর্ণন অসম্ভব; যদি একই সময়ে দুটি ঘূর্ণন বাধ্য করা হয়, তবে ঘূর্ণনের একটি নতুন অক্ষ তৈরি হবে। এই ধারণাটি ধরে নেয় যে ঘূর্ণনটিও স্থিতিশীল, যাতে এটি চালিয়ে যাওয়ার জন্য কোনও টর্কের প্রয়োজন হয় না। একটি অনমনীয় বস্তুর একটি নির্দিষ্ট অক্ষের চারপাশে ঘূর্ণনের গতিবিদ্যা এবং গতিবিদ্যা গাণিতিকভাবে একটি অনমনীয় বস্তুর মুক্ত ঘূর্ণনের তুলনায় অনেক সহজ; এগুলি একটি নির্দিষ্ট দিক বরাবর রৈখিক গতির সাথে সম্পূর্ণ সাদৃশ্যপূর্ণ, যা একটি অনমনীয় বস্তুর মুক্ত ঘূর্ণনের ক্ষেত্রে সত্য নয়। বস্তুর গতিশক্তির জন্য এবং বস্তুর অংশগুলির উপর বলের জন্য অভিব্যক্তিগুলি সাধারণ ঘূর্ণন গতির তুলনায় একটি নির্দিষ্ট অক্ষের চারপাশে ঘূর্ণনের জন্যও সহজ। এই কারণগুলির জন্য, একটি নির্দিষ্ট অক্ষের চারপাশে ঘূর্ণন সাধারণত প্রারম্ভিক পদার্থবিজ্ঞানের কোর্সগুলিতে শেখানো হয় যখন শিক্ষার্থীরা রৈখিক গতিতে দক্ষতা অর্জন করে; ঘূর্ণন গতির সম্পূর্ণ সাধারণতা সাধারণত প্রারম্ভিক পদার্থবিজ্ঞানের ক্লাসে শেখানো হয় না। অনুবাদ এবং ঘূর্ণন একটি অনমনীয় বস্তু হল একটি সীমাবদ্ধ ব্যাপ্তির বস্তু যেখানে উপাদান কণাগুলির মধ্যে সমস্ত দূরত্ব স্থির থাকে। প্রকৃতপক্ষে কোনও অনমনীয় বস্তুর অস্তিত্ব নেই; বাহ্যিক শক্তি যে কোনও কঠিন পদার্থকে বিকৃত করতে পারে। আমাদের উদ্দেশ্যের জন্য, একটি অনমনীয় বস্তু হল একটি কঠিন পদার্থ যার জন্য এটিকে প্রশংসনীয়ভাবে বিকৃত করার জন্য বড় শক্তির প্রয়োজন হয়। ত্রিমাত্রিক স্থানে একটি কণার অবস্থানের পরিবর্তন তিনটি স্থানাঙ্ক দ্বারা সম্পূর্ণরূপে নির্দিষ্ট করা যেতে পারে। একটি অনমনীয় বস্তুর অবস্থানের পরিবর্তন বর্ণনা করা আরও জটিল। এটিকে দুটি স্বতন্ত্র ধরনের গতির সংমিশ্রণ হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারেঃ ট্রান্সলেশনাল গতি এবং বৃত্তাকার গতি। বিশুদ্ধভাবে ট্রান্সলেশনাল গতি ঘটে যখন দেহের প্রতিটি কণার প্রতিটি কণার মতো একই তাৎক্ষণিক বেগ থাকে; তারপর যে কোনও কণা দ্বারা চিহ্নিত পথটি দেহের প্রতিটি কণা দ্বারা চিহ্নিত পথের ঠিক সমান্তরাল হয়। ট্রান্সলেশনাল গতির অধীনে, একটি অনমনীয় বস্তুর অবস্থানের পরিবর্তন সম্পূর্ণরূপে তিনটি স্থানাঙ্ক দ্বারা নির্দিষ্ট করা হয় যেমন x, y এবং z যে কোনও বিন্দুর স্থানচ্যুতি দেয়, যেমন ভরের কেন্দ্র, অনমনীয় বস্তুর সাথে স্থির। বিশুদ্ধভাবে ঘূর্ণন গতি ঘটে যদি দেহের প্রতিটি কণা একটি বৃত্তের মধ্যে একটি রেখার কাছাকাছি চলে। এই রেখাকে আবর্তনের অক্ষ বলা হয়। তারপর অক্ষ থেকে সমস্ত কণার ব্যাসার্ধ ভেক্টর একই সময়ে একই কৌণিক স্থানচ্যুতির মধ্য দিয়ে যায়। আবর্তনের অক্ষটি দেহের মধ্য দিয়ে যেতে হবে না। সাধারণভাবে, আয়তক্ষেত্রাকার-সমন্বিত অক্ষ x, y এবং z-এর সাপেক্ষে তিনটি কৌণিক স্থানচ্যুতি দ্বারা যে কোনও ঘূর্ণন সম্পূর্ণরূপে নির্দিষ্ট করা যেতে পারে। অনমনীয় বস্তুর অবস্থানের যে কোনও পরিবর্তন এইভাবে তিনটি ট্রান্সলেশনাল এবং তিনটি ঘূর্ণন স্থানাঙ্ক দ্বারা সম্পূর্ণরূপে বর্ণনা করা হয়। একটি অনমনীয় বস্তুর যে কোনও স্থানচ্যুতি প্রথমে বস্তুটিকে একটি স্থানচ্যুতি এবং তারপরে একটি ঘূর্ণন, বা বিপরীতভাবে, একটি ঘূর্ণন এবং তারপরে একটি স্থানচ্যুতি দ্বারা করা যেতে পারে। আমরা ইতিমধ্যেই জানি যে, যে কোনও কণার সংগ্রহের জন্য-তা সে একে অপরের সাপেক্ষে স্থির থাকুক না কেন, যেমন একটি অনমনীয় বস্তুতে, অথবা আপেক্ষিক গতিতে, যেমন একটি শেলের বিস্ফোরিত টুকরোগুলি, ভর কেন্দ্রের ত্বরণ দেওয়া হয় যেখানে এম হল সিস্টেমের মোট ভর এবং এসিএম হল ভর কেন্দ্রের ত্বরণ। ভরের কেন্দ্র সম্পর্কে বস্তুর ঘূর্ণন বর্ণনা করার এবং বস্তুর উপর সক্রিয় বাহ্যিক শক্তির সাথে সম্পর্কিত করার বিষয়টি রয়ে গেছে। একটি অক্ষের চারপাশে ঘূর্ণন গতির গতিবিদ্যা এবং গতিবিদ্যা রূপান্তর গতির গতিবিদ্যা এবং গতিবিদ্যার সাথে সাদৃশ্যপূর্ণ; একটি অক্ষের চারপাশে ঘূর্ণন গতির এমনকি কণা গতিবিদ্যার অনুরূপ একটি কাজ-শক্তি উপপাদ্য রয়েছে। গতিবিজ্ঞান কৌণিক স্থানচ্যুতি প্রদত্ত একটি কণা যা ব্যাসার্ধের একটি বৃত্তের পরিধি বরাবর চলে, একটি চাপের দৈর্ঘ্য সরানোর পরে, তার কৌণিক অবস্থান তার প্রাথমিক অবস্থানের সাথে আপেক্ষিক, যেখানে। গণিত এবং পদার্থবিজ্ঞানে সমতল কোণের একক রেডিয়ানকে প্রায়শই বাদ দিয়ে 1 হিসাবে বিবেচনা করা প্রচলিত। এককগুলি নিম্নরূপ রূপান্তরিত হয়ঃ কৌণিক স্থানচ্যুতি হল কৌণিক অবস্থানের পরিবর্তনঃ যেখানে কৌণিক স্থানচ্যুতি হল প্রাথমিক কৌণিক অবস্থান এবং এটি চূড়ান্ত কৌণিক অবস্থান। কৌণিক বেগ প্রতি একক সময়ে কৌণিক স্থানচ্যুতির পরিবর্তনকে ঘূর্ণনের অক্ষ বরাবর দিক সহ কৌণিক বেগ বলা হয়। কৌণিক বেগের প্রতীক হল এবং এককগুলি সাধারণত রেড এস-1 হয়। কৌণিক বেগ হল কৌণিক বেগের মাত্রা। তাত্ক্ষণিক কৌণিক বেগটি কৌণিক অবস্থানের সূত্র ব্যবহার করে দেওয়া হয় এবং আমাদের কাছে কণার ট্রান্সলেশনাল গতিও রয়েছে। কৌণিক বেগ এবং ফ্রিকোয়েন্সি কৌণিক ত্বরণ দ্বারা সম্পর্কিত একটি পরিবর্তনশীল কৌণিক বেগ অনমনীয় বস্তুতে একটি কৌণিক ত্বরণের উপস্থিতি নির্দেশ করে, যা সাধারণত রেড s−2-এ পরিমাপ করা হয়। তাত্ক্ষণিক ত্বরণ α (t) দ্বারা দেওয়া হয় সুতরাং, কৌণিক ত্বরণ হল কৌণিক বেগের পরিবর্তনের হার, ঠিক যেমন ত্বরণ হল বেগ পরিবর্তনের হার। ঘূর্ণায়মান বস্তুর উপর একটি বিন্দুর অনুবাদমূলক ত্বরণ দেওয়া হয় যেখানে r হল ঘূর্ণনের অক্ষ থেকে ব্যাসার্ধ বা দূরত্ব। এটি ত্বরণের স্পর্শক উপাদানঃ এটি বিন্দুর গতির দিকের স্পর্শক। যদি এই উপাদানটি 0 হয়, তবে গতিটি অভিন্ন বৃত্তাকার গতি, এবং বেগ শুধুমাত্র দিকে পরিবর্তিত হয়। রেডিয়াল ত্বরণ (গতির দিকের লম্ব) দ্বারা দেওয়া হয় এটি ঘূর্ণন গতির কেন্দ্রের দিকে পরিচালিত হয় এবং প্রায়শই এটিকে কেন্দ্রমুখী ত্বরণ বলা হয়। কৌণিক ত্বরণ টর্ক দ্বারা সৃষ্ট হয়, যার ধনাত্মক এবং ঋণাত্মক কৌণিক ফ্রিকোয়েন্সি অনুসারে ধনাত্মক বা ঋণাত্মক মান থাকতে পারে। টর্ক এবং কৌণিক ত্বরণের মধ্যে সম্পর্ক (ঘূর্ণন শুরু করা, থামানো বা অন্যথায় পরিবর্তন করা কতটা কঠিন) জড়তার মুহূর্ত দ্বারা দেওয়া হয়ঃ গতিবিজ্ঞানের সমীকরণ যখন কৌণিক ত্বরণ স্থির থাকে, তখন পাঁচটি পরিমাণ কৌণিক স্থানচ্যুতি, প্রাথমিক কৌণিক বেগ, চূড়ান্ত কৌণিক বেগ, কৌণিক ত্বরণ এবং সময়কে গতিবিজ্ঞানের চারটি সমীকরণ দ্বারা সম্পর্কিত করা যেতে পারেঃ গতিবিদ্যা জড়তার মুহূর্ত একটি বস্তুর জড়তার মুহূর্ত, যার দ্বারা প্রতীকী, তার ঘূর্ণনের পরিবর্তনের প্রতি বস্তুর প্রতিরোধের একটি পরিমাপ। জড়তার মুহূর্তটি কিলোগ্রাম মিটার 2 (কেজি মি2)-এ পরিমাপ করা হয়। এটি বস্তুর ভরের উপর নির্ভর করেঃ একটি বস্তুর ভর বৃদ্ধি জড়তার মুহূর্ত বাড়ায়। এটি ভরের বণ্টনের উপরও নির্ভর করেঃ আবর্তনের কেন্দ্র থেকে আরও ভর বণ্টনের ফলে জড়তার মুহূর্ত আরও বেশি মাত্রায় বৃদ্ধি পায়। ঘূর্ণন অক্ষ থেকে দূরত্বের একটি একক কণার জন্য, টর্ক টর্ক দ্বারা জড়তার মুহূর্তটি দেওয়া হয় একটি ঘূর্ণায়মান বস্তুর উপর প্রয়োগ করা বল F-এর বাঁকানো প্রভাব যা তার ঘূর্ণন অক্ষ থেকে r অবস্থানে থাকে। গাণিতিকভাবে, যেখানে × ক্রস পণ্যকে বোঝায়। কোনও বস্তুর উপর কাজ করা একটি মোট টর্ক রৈখিক গতিবিদ্যায় F = Ma অনুসারে বস্তুটির কৌণিক ত্বরণ তৈরি করবে। কোনও বস্তুর উপর কাজ করা টর্ক দ্বারা করা কাজ টর্কের মাত্রা গুণিত কোণের সমান যার মাধ্যমে টর্ক প্রয়োগ করা হয়ঃ একটি টর্কের শক্তি প্রতি একক সময়ে টর্ক দ্বারা করা কাজের সমান, তাইঃ কৌণিক ভরবেগ কৌণিক ভরবেগ হল একটি ঘূর্ণায়মান বস্তুকে বিশ্রামে আনার অসুবিধার একটি পরিমাপ। এটি দেওয়া হয় যেখানে বস্তুর সমস্ত কণার উপর যোগফল নেওয়া হয়। কৌণিক ভরবেগ হল জড়তার মুহূর্ত এবং কৌণিক বেগের গুণফলঃ ঠিক যেমন রৈখিক গতিবিদ্যায় p = mv। ঘূর্ণন গতিতে রৈখিক ভরবেগের সাদৃশ্য হল কৌণিক ভরবেগ। একটি শীর্ষের মতো ঘূর্ণায়মান বস্তুর কৌণিক গতিবেগ যত বেশি হবে, তার ঘূর্ণন অব্যাহত রাখার প্রবণতা তত বেশি হবে। একটি ঘূর্ণায়মান বস্তুর কৌণিক ভরবেগ তার ভর এবং এটি কত দ্রুত ঘুরছে তার সাথে আনুপাতিক। উপরন্তু, কৌণিক ভরবেগ নির্ভর করে ঘূর্ণন অক্ষের তুলনায় ভর কীভাবে বিতরণ করা হয় তার উপরঃ ঘূর্ণন অক্ষ থেকে ভর যত দূরে অবস্থিত হবে, কৌণিক ভরবেগ তত বেশি হবে। রেকর্ড টার্নটেবলের মতো একটি সমতল ডিস্কের একই ভর এবং ঘূর্ণনের বেগের ফাঁপা সিলিন্ডারের তুলনায় কম কৌণিক ভরবেগ থাকে। রৈখিক ভরবেগের মতো, কৌণিক ভরবেগ হল ভেক্টর পরিমাণ, এবং এর সংরক্ষণ বোঝায় যে ঘূর্ণন অক্ষের দিক অপরিবর্তিত থাকে। এই কারণে, স্পিনিং টপ সোজা থাকে যেখানে একটি স্থির টপ অবিলম্বে পড়ে যায়। কৌণিক ভরবেগ সমীকরণটি একটি অক্ষ (কখনও কখনও টর্ক বলা হয়) সম্পর্কে একটি বস্তুর উপর ফলস্বরূপ বলের মুহূর্ত এবং সেই অক্ষের চারপাশে ঘূর্ণনের হারকে সম্পর্কিত করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। টর্ক এবং কৌণিক ভরবেগ রৈখিক গতিবিদ্যায় ঠিক যেমন F = dp/dt অনুসারে সম্পর্কিত। বাহ্যিক টর্কের অনুপস্থিতিতে, একটি বস্তুর কৌণিক গতিবেগ স্থির থাকে। ফিগার স্কেটিং-এ কৌণিক ভরবেগের সংরক্ষণ উল্লেখযোগ্যভাবে প্রদর্শিত হয়ঃ একটি ঘূর্ণনের সময় বাহুগুলিকে শরীরের কাছাকাছি টানার সময়, জড়তার মুহূর্ত হ্রাস পায় এবং তাই কৌণিক বেগ বৃদ্ধি পায়। গতিশক্তি বস্তুর আবর্তনের কারণে গতিশক্তি রৈখিক গতিবিদ্যার মতোই দেওয়া হয়। গতিশক্তি হল গতির শক্তি। দুটি চলকের মধ্যে পাওয়া ট্রান্সলেশনাল গতিশক্তির পরিমাণঃ বস্তুর ভর () এবং বস্তুর গতিবেগ () যা উপরের সমীকরণে দেখানো হয়েছে। গতিশক্তির মান সর্বদা শূন্য বা ধনাত্মক হতে হবে। যদিও বেগের একটি ধনাত্মক বা ঋণাত্মক মান থাকতে পারে, বেগ বর্গ সর্বদা ধনাত্মক হবে। ভেক্টর এক্সপ্রেশন উপরের বিকাশটি সাধারণ ঘূর্ণন গতির একটি বিশেষ ক্ষেত্রে। সাধারণ ক্ষেত্রে, কৌণিক স্থানচ্যুতি, কৌণিক বেগ, কৌণিক ত্বরণ এবং টর্ককে ভেক্টর হিসাবে বিবেচনা করা হয়। একটি কৌণিক স্থানচ্যুতি একটি ভেক্টর হিসাবে বিবেচিত হয়, যা অক্ষ বরাবর নির্দেশ করে, এর সমান মাত্রার। এটি অক্ষ বরাবর কোন দিকে নির্দেশ করে তা খুঁজে বের করার জন্য একটি ডান হাতের নিয়ম ব্যবহার করা হয়; যদি ডান হাতের আঙ্গুলগুলি বস্তুটি ঘোরার পথে নির্দেশ করার জন্য বাঁকানো হয়, তবে ডান হাতের বুড়ো আঙুলটি ভেক্টরের দিকে নির্দেশ করে। কৌণিক বেগ ভেক্টরও ঘূর্ণনের অক্ষ বরাবর একইভাবে নির্দেশ করে যেমনটি কৌণিক স্থানচ্যুতি ঘটায়। যদি একটি ডিস্ক উপর থেকে দেখা যায় ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে ঘোরে, তবে তার কৌণিক বেগ ভেক্টর উপরের দিকে নির্দেশ করে। একইভাবে, কৌণিক ত্বরণ ভেক্টর ঘূর্ণনের অক্ষ বরাবর একই দিকে নির্দেশ করে যে কৌণিক বেগ নির্দেশ করবে যদি কৌণিক ত্বরণ দীর্ঘ সময়ের জন্য বজায় রাখা হয়। টর্ক ভেক্টর সেই অক্ষ বরাবর নির্দেশ করে যার চারপাশে টর্ক ঘূর্ণন ঘটায়। একটি নির্দিষ্ট অক্ষের চারপাশে ঘূর্ণন বজায় রাখতে, মোট টর্ক ভেক্টরকে অক্ষ বরাবর থাকতে হবে, যাতে এটি কেবল মাত্রার পরিবর্তন করে, কৌণিক বেগ ভেক্টরের দিক নয়। একটি কব্জির ক্ষেত্রে, কেবল অক্ষ বরাবর টর্ক ভেক্টরের উপাদানটি আবর্তনের উপর প্রভাব ফেলে, অন্যান্য বল এবং টর্কগুলি কাঠামো দ্বারা ক্ষতিপূরণ দেওয়া হয়। গাণিতিক উপস্থাপনা উদাহরণ এবং প্রয়োগ ধ্রুবক কৌণিক গতি একটি নির্দিষ্ট অক্ষের চারপাশে ঘূর্ণনের সহজতম ক্ষেত্রে ধ্রুবক কৌণিক গতি। তারপর মোট টর্ক শূন্য হয়। উদাহরণস্বরূপ, পৃথিবী তার অক্ষের চারপাশে ঘোরে, সেখানে খুব কম ঘর্ষণ হয়। একটি ফ্যানের জন্য, ঘর্ষণের জন্য মোটর একটি টর্ক প্রয়োগ করে। ফ্যানের মতো, গণ উৎপাদন উৎপাদন শিল্পে পাওয়া সরঞ্জামগুলি কার্যকরভাবে একটি নির্দিষ্ট অক্ষের চারপাশে ঘূর্ণন প্রদর্শন করে। উদাহরণস্বরূপ, একটি মাল্টি-স্পিন্ডল লেথ ব্যবহার করা হয় উপাদানটিকে তার অক্ষের উপর ঘোরানোর জন্য যাতে কার্যকরভাবে কাটা, বিকৃতি এবং বাঁকানো ক্রিয়াকলাপের উৎপাদনশীলতা বৃদ্ধি করা যায়। ঘূর্ণন কোণ হল সময়ের একটি রৈখিক ফাংশন, যা মডুলো 360° একটি পর্যায়ক্রমিক ফাংশন। এর একটি উদাহরণ হল বৃত্তাকার কক্ষপথের দ্বি-বস্তু সমস্যা। কেন্দ্রীয় বল অভ্যন্তরীণ প্রসার্য চাপ কেন্দ্রীয় বল প্রদান করে যা একটি ঘূর্ণায়মান বস্তুকে একসাথে রাখে। একটি অনমনীয় দেহের মডেল সহগামী স্ট্রেনকে উপেক্ষা করে। যদি দেহটি অনমনীয় না হয় তবে এই স্ট্রেনটি এর আকৃতি পরিবর্তন করবে। এটি "কেন্দ্রত্যাগী বল"-এর কারণে আকৃতি পরিবর্তনকারী বস্তু হিসাবে প্রকাশ করা হয়। একে অপরের চারপাশে ঘূর্ণায়মান মহাজাগতিক বস্তুগুলির প্রায়শই উপবৃত্তাকার কক্ষপথ থাকে। বৃত্তাকার কক্ষপথের বিশেষ ক্ষেত্রে একটি নির্দিষ্ট অক্ষের চারপাশে ঘূর্ণনের একটি উদাহরণ হল এই অক্ষটি গতির সমতলে লম্বভাবে ভর কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে যাওয়া রেখা। কেন্দ্রমুখী বল মাধ্যাকর্ষণ দ্বারা সরবরাহ করা হয়, এছাড়াও দ্বি-বস্তু সমস্যা দেখুন। এটি সাধারণত একটি ঘূর্ণায়মান মহাজাগতিক বস্তুর ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য, তাই এটির ঘনত্বের তুলনায় কৌণিক গতি খুব বেশি না হলে এটি একসঙ্গে রাখার জন্য কঠিন হওয়ার প্রয়োজন নেই। (তবে, এটি ওব্লেট হয়ে যাওয়ার প্রবণতা থাকবে।) উদাহরণস্বরূপ, আকার নির্বিশেষে একটি ঘূর্ণায়মান মহাজাগতিক জলাশয়কে ঘোরাতে কমপক্ষে 3 ঘন্টা 18 মিনিট সময় নিতে হবে, অন্যথায় জল আলাদা হয়ে যাবে। যদি তরলের ঘনত্ব বেশি হয় তবে সময় কম হতে পারে। অরবিটাল পিরিয়ড দেখুন। ঘূর্ণনের বিমানও দেখুন গতির শারীরবৃত্তীয় শর্তাবলী ঘূর্ণন দ্বারা কৃত্রিম মাধ্যাকর্ষণ অক্ষীয়-কোণের প্রবণতা অক্ষীয়-কোণের প্রতিনিধিত্ব ক্যারোসেল, ফেরিস হুইল সেন্টার পিন কেন্দ্রত্যাগী শক্তি কেন্দ্রত্যাগী কেন্দ্রীয় বল বৃত্তাকার গতি কোরিওলিস প্রভাব কাল্পনিক বল ফ্লাইহুইল গাইরেশন ঘূর্ণনের তাত্ক্ষণিক কেন্দ্র রৈখিক-ঘূর্ণন এনালগগুলি অপটিক্যাল অক্ষ প্রতি মিনিটে ঘূর্ণায়মান দরজা শক্ত দেহ কৌণিক ভরবেগ ঘূর্ণন ম্যাট্রিক্স ঘূর্ণন গতি ঘূর্ণন প্রতিসাম্য রান-আউট রেফারেন্স হ্যালিডে, রেসনিক এবং ওয়াকার দ্বারা পদার্থবিজ্ঞানের বর্ধিত 7ম সংস্করণের মৌলিক বিষয়। এইচ. সি. ভার্মা রচিত পদার্থবিজ্ঞান খণ্ড 1-এর ধারণাগুলি, 1ম সংস্করণ, সেলেস্টিয়াল মেকানিক্স ইউক্লিডীয় প্রতিসাম্য ঘূর্ণন