Euler method
গণিত এবং গণনামূলক বিজ্ঞানে, অয়লার পদ্ধতি (যাকে ফরওয়ার্ড অয়লার পদ্ধতিও বলা হয়) একটি প্রদত্ত প্রাথমিক মান সহ সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ (ওডিই) সমাধানের জন্য একটি প্রথম-ক্রমের সংখ্যাসূচক পদ্ধতি। এটি সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সংখ্যাসূচক একীকরণের জন্য সবচেয়ে মৌলিক সুস্পষ্ট পদ্ধতি এবং এটি সবচেয়ে সহজ রঙ-কুট্টা পদ্ধতি। অয়লার পদ্ধতির নামকরণ করা হয়েছে লিওনহার্ড অয়লারের নামে, যিনি তাঁর 'ইনস্টিটিউশনম ক্যালকুলি ইন্টিগ্রালিস' (প্রকাশিত 1768-1770) বইয়ে প্রথম এটি প্রস্তাব করেছিলেন। অয়লার পদ্ধতি হল একটি প্রথম-ক্রম পদ্ধতি, যার অর্থ হল স্থানীয় ত্রুটি (প্রতি ধাপে ত্রুটি) ধাপের আকারের বর্গের সাথে আনুপাতিক এবং বিশ্বব্যাপী ত্রুটি (একটি নির্দিষ্ট সময়ে ত্রুটি) ধাপের আকারের সাথে আনুপাতিক। অয়লার পদ্ধতি প্রায়শই আরও জটিল পদ্ধতি নির্মাণের ভিত্তি হিসাবে কাজ করে, যেমন, ভবিষ্যদ্বাণীকারী-সংশোধনকারী পদ্ধতি। জ্যামিতিক বিবরণ উদ্দেশ্য এবং কেন এটি কাজ করে একটি অজানা বক্ররেখার আকৃতি গণনা করার সমস্যাটি বিবেচনা করুন যা একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে শুরু হয় এবং একটি প্রদত্ত ডিফারেনশিয়াল সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে। এখানে, একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণকে এমন একটি সূত্র হিসাবে ভাবা যেতে পারে যার দ্বারা বক্ররেখার স্পর্শক রেখার ঢালটি বক্ররেখার যে কোনও বিন্দুতে গণনা করা যেতে পারে, একবার সেই বিন্দুর অবস্থান গণনা করা হয়ে গেলে। ধারণাটি হল যে বক্ররেখাটি প্রাথমিকভাবে অজানা হলেও, এর সূচনা বিন্দু, যা আমরা দ্বারা চিহ্নিত করি তা জানা যায় (চিত্র 1 দেখুন)। তারপর, ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ থেকে, বক্ররেখার ঢাল গণনা করা যেতে পারে, এবং তাই, স্পর্শক রেখা। একটি বিন্দু পর্যন্ত সেই স্পর্শক রেখা বরাবর একটি ছোট পদক্ষেপ নিন এই ছোট ধাপ বরাবর, ঢাল খুব বেশি পরিবর্তিত হয় না, তাই বক্ররেখার কাছাকাছি হবে। যদি আমরা ভান করি যে এটি এখনও বক্ররেখায় রয়েছে, তবে উপরের বিন্দুর জন্য একই যুক্তি ব্যবহার করা যেতে পারে। বেশ কয়েকটি ধাপের পর, একটি বহুভুজাকার বক্ররেখা () গণনা করা হয়। সাধারণভাবে, এই বক্ররেখাটি মূল অজানা বক্ররেখা থেকে খুব বেশি দূরে সরে যায় না এবং দুটি বক্ররেখার মধ্যে ত্রুটিটি ছোট করা যেতে পারে যদি ধাপের আকার যথেষ্ট ছোট হয় এবং গণনার ব্যবধান সীমাবদ্ধ হয়। ফার্স্ট অর্ডার প্রক্রিয়া যখন এবং এর জন্য মান দেওয়া হয়, এবং এর ডেরিভেটিভ একটি প্রদত্ত ফাংশন এবং হিসাবে চিহ্নিত করা হয়। সেটিং দিয়ে প্রক্রিয়াটি শুরু করুন। এরপরে, টি-অক্ষ বরাবর প্রতিটি ধাপের আকারের জন্য একটি মান বেছে নিন এবং সেট করুন (বা সমতুল্য)। এখন, এবং থেকে খুঁজে বের করার জন্য অয়লার পদ্ধতি ব্যবহার করা হয়ঃ এর মান হল সময়ে সমাধানের একটি আনুমানিক মান, অর্থাৎ। অয়লার পদ্ধতি স্পষ্ট, অর্থাৎ। সমাধানটি একটি সুস্পষ্ট ফাংশন। উচ্চ-ক্রম প্রক্রিয়া যদিও অয়লার পদ্ধতি একটি প্রথম-ক্রমের ও. ডি. ই-কে সংহত করে, তবে ক্রমের যে কোনও ও. ডি. ই-কে প্রথম-ক্রমের ও. ডি. ই-এর ব্যবস্থা হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে। যখন সংজ্ঞায়িত অর্ডারের ও. ডি. ই দেওয়া হয়, এবং, আমরা নিম্নলিখিত সূত্রটি প্রয়োগ করি যতক্ষণ না আমরা পছন্দসই সময়ে ও. ডি. ই-এর সমাধানের আনুমানিকতায় পৌঁছাইঃ এই প্রথম-অর্ডার সিস্টেমগুলি ইউলারের পদ্ধতি দ্বারা বা প্রকৃতপক্ষে, প্রথম-অর্ডার সিস্টেমের জন্য অন্য কোনও স্কিম দ্বারা পরিচালিত হতে পারে। প্রথম-ক্রমের উদাহরণ প্রাথমিক মান সমস্যার পরিপ্রেক্ষিতে আমরা আনুমানিক করার জন্য অয়লার পদ্ধতি ব্যবহার করতে চাই। 1 () এর সমান ধাপের আকার ব্যবহার করে অয়লার পদ্ধতিটি তাই প্রথমে আমাদের গণনা করতে হবে। এই সহজ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণে, ফাংশনটি দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়। উপরের ধাপটি করার মাধ্যমে, আমরা সেই বিন্দুর সমাধান বক্ররেখার স্পর্শক রেখার ঢাল খুঁজে পাই। মনে রাখবেন যে ঢালকে সংজ্ঞায়িত করা হয়, অথবা-এর পরিবর্তন দ্বারা ভাগ করা পরিবর্তন হিসাবে। পরবর্তী ধাপটি হল উপরের মানটিকে ধাপের আকার দ্বারা গুণ করা, যা আমরা এখানে একটির সমান নিইঃ যেহেতু ধাপের আকার হল পরিবর্তন, যখন আমরা ধাপের আকার এবং স্পর্শকের ঢালকে গুণ করি, তখন আমরা মান পরিবর্তন পাই। এই মানটি তারপর প্রাথমিক মানের সাথে যোগ করা হয় যাতে গণনার জন্য পরবর্তী মানটি পাওয়া যায়। এবং খুঁজে বের করার জন্য উপরের পদক্ষেপগুলি পুনরাবৃত্তি করা উচিত। এই অ্যালগরিদমের পুনরাবৃত্তিমূলক প্রকৃতির কারণে, ত্রুটি এড়াতে নীচে যেমন দেখা গেছে, একটি চার্ট আকারে গণনাগুলি সংগঠিত করা সহায়ক হতে পারে। {। শ্রেণী = "উইকিটেবল"।-! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ।-।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।। ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সঠিক সমাধান হল, তাই। যদিও এই নির্দিষ্ট ক্ষেত্রে অয়লার পদ্ধতির অনুমান খুব সুনির্দিষ্ট ছিল না, বিশেষত একটি বড় মান ধাপের আকারের কারণে, চিত্রটি দেখায় যে এর আচরণ গুণগতভাবে সঠিক। অন্যান্য ধাপের মাপ ব্যবহার করা যেমন ভূমিকায় পরামর্শ দেওয়া হয়েছে, ধাপের আকার ছোট হলে অয়লার পদ্ধতিটি আরও সঠিক হয়। নীচের টেবিলটি বিভিন্ন ধাপের আকার সহ ফলাফল দেখায়। উপরের সারিটি পূর্ববর্তী বিভাগের উদাহরণের সাথে মিলে যায় এবং দ্বিতীয় সারিটি চিত্রে চিত্রিত করা হয়েছে। {। শ্রেণী = "উইকিটেবল"।-! ধাপের আকার! ! অয়লারের পদ্ধতির ফল! ! ত্রুটি।-।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।। টেবিলের নীচে, ধাপের আকার পূর্ববর্তী সারির ধাপের আকারের অর্ধেক, এবং ত্রুটিটি পূর্ববর্তী সারির ত্রুটির প্রায় অর্ধেক। এর থেকে বোঝা যায় যে ত্রুটিটি ধাপের আকারের সাথে মোটামুটি আনুপাতিক, অন্তত ধাপের আকারের মোটামুটি ছোট মানের জন্য। এটি সাধারণভাবে, অন্যান্য সমীকরণের ক্ষেত্রেও সত্য; আরও বিস্তারিত জানার জন্য গ্লোবাল ট্রাঙ্কেশন এরর বিভাগটি দেখুন। অন্যান্য পদ্ধতি, যেমন মিডপয়েন্ট পদ্ধতিও চিত্রগুলিতে চিত্রিত করা হয়েছে, আরও অনুকূল আচরণ করেঃ মিডপয়েন্ট পদ্ধতির বিশ্বব্যাপী ত্রুটি ধাপের আকারের বর্গক্ষেত্রের সাথে মোটামুটি আনুপাতিক। এই কারণে, অয়লার পদ্ধতিটিকে প্রথম-ক্রম পদ্ধতি বলা হয়, যেখানে মধ্যবিন্দু পদ্ধতিটি দ্বিতীয় ক্রম। আমরা উপরের টেবিল থেকে ব্যাখ্যা করতে পারি যে তিনটি দশমিক স্থানে সঠিক উত্তর পাওয়ার জন্য প্রয়োজনীয় ধাপের আকার প্রায় 0.00001, যার অর্থ আমাদের 400,000 ধাপ প্রয়োজন। এই বিপুল সংখ্যক পদক্ষেপে উচ্চ গণনামূলক খরচ জড়িত। এই কারণে, উচ্চ-ক্রম পদ্ধতি যেমন রুঞ্জ-কুট্টা পদ্ধতি বা রৈখিক বহু-পদক্ষেপ পদ্ধতি ব্যবহার করা হয়, বিশেষ করে যদি একটি উচ্চ নির্ভুলতা পছন্দ করা হয়। উচ্চ-ক্রমের উদাহরণ এই তৃতীয়-ক্রমের উদাহরণের জন্য, ধরে নিন যে নিম্নলিখিত তথ্যটি দেওয়া হয়েছেঃ এর থেকে আমরা সমীকরণটি পেতে y 'কে পৃথক করতে পারিঃ এটি ব্যবহার করে আমরা সমাধানটি পেতে পারিঃ এবং এর জন্য সমাধানটি ব্যবহার করে, আমরা সমাধানটি পেতে পারিঃ আমরা যতক্ষণ প্রয়োজন ততক্ষণ একই সূত্র ব্যবহার করে এই প্রক্রিয়াটি চালিয়ে যেতে পারি। ইউলার পদ্ধতিটি বিভিন্ন উপায়ে উদ্ভূত করা যেতে পারে। (1) প্রথমত, উপরে জ্যামিতিক বিবরণ রয়েছে। (2) আরেকটি সম্ভাবনা হল চারপাশে ফাংশনের টেলর সম্প্রসারণ বিবেচনা করাঃ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণটি বলে যে। যদি এটি টেলর সম্প্রসারণে প্রতিস্থাপিত হয় এবং চতুর্ভুজ এবং উচ্চতর-ক্রমের পদগুলি উপেক্ষা করা হয়, তবে অয়লার পদ্ধতিটি উদ্ভূত হয়। টেলর সম্প্রসারণ ইউলার পদ্ধতি দ্বারা সংঘটিত ত্রুটি বিশ্লেষণ করতে নীচে ব্যবহার করা হয়েছে এবং এটি রুঞ্জ-কুট্টা পদ্ধতি তৈরি করতে প্রসারিত করা যেতে পারে। (3) একটি ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত ব্যুৎপত্তি হল ডিফারেনশিয়াল সমীকরণে ব্যুৎপত্তিটির জন্য অগ্রবর্তী সীমাবদ্ধ পার্থক্য সূত্রকে প্রতিস্থাপন করা। আবার, এটি অয়লার পদ্ধতির ফল দেয়। একটি অনুরূপ গণনা মধ্যবিন্দু পদ্ধতি এবং পশ্চাদগামী অয়লার পদ্ধতির দিকে পরিচালিত করে। (4) পরিশেষে, ডিফারেনশিয়াল সমীকরণকে সংহত করা যেতে পারে এবং ক্যালকুলাসের মৌলিক উপপাদ্য প্রয়োগ করা যেতে পারেঃ এখন বাম হাতের আয়তক্ষেত্র পদ্ধতি দ্বারা অবিচ্ছেদ্যকে আনুমানিক করুন (শুধুমাত্র একটি আয়তক্ষেত্র সহ): উভয় সমীকরণের সংমিশ্রণে, আবার অয়লার পদ্ধতি খুঁজে পাওয়া যায়। এই চিন্তাধারা বিভিন্ন রৈখিক বহু-পদক্ষেপ পদ্ধতিতে পৌঁছানোর জন্য অব্যাহত রাখা যেতে পারে। স্থানীয় ছাঁটাই ত্রুটি অয়লার পদ্ধতির স্থানীয় ছাঁটাই ত্রুটি হল একটি একক ধাপে করা ত্রুটি। এটি একটি ধাপের পরে সংখ্যাসূচক সমাধান এবং সময়ের সঠিক সমাধানের মধ্যে পার্থক্য। সঠিক সমাধানের জন্য, আমরা উপরের ডেরিভেশন বিভাগে উল্লিখিত টেলর সম্প্রসারণ ব্যবহার করিঃ ইউলার পদ্ধতি দ্বারা প্রবর্তিত স্থানীয় ছাঁটাই ত্রুটি (এলটিই) এই সমীকরণগুলির মধ্যে পার্থক্য দ্বারা দেওয়া হয়ঃ এই ফলাফলটি বৈধ যদি একটি সীমাবদ্ধ তৃতীয় ডেরিভেটিভ থাকে। এটি দেখায় যে ছোট ক্ষেত্রে, স্থানীয় ছাঁটাই ত্রুটি এর প্রায় আনুপাতিক। এটি অয়লার পদ্ধতিকে উচ্চ-ক্রমের কৌশল যেমন রুঞ্জ-কুট্টা পদ্ধতি এবং রৈখিক মাল্টিস্টেপ পদ্ধতির তুলনায় কম নির্ভুল করে তোলে, যার জন্য স্থানীয় ছাঁটাই ত্রুটি ধাপের আকারের উচ্চতর শক্তির সাথে আনুপাতিক। টেলরের উপপাদ্যের অবশিষ্ট পদের জন্য ল্যাগ্রাঞ্জ ফর্ম ব্যবহার করে স্থানীয় ছাঁটাই ত্রুটির জন্য কিছুটা ভিন্ন সূত্র পাওয়া যেতে পারে। যদি একটি অবিচ্ছিন্ন দ্বিতীয় অন্তরজ থাকে, তবে এমন একটি অস্তিত্ব রয়েছে যে ত্রুটির জন্য উপরের অভিব্যক্তিতে, অজানা সঠিক সমাধানের দ্বিতীয় অন্তরজকে ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের ডান দিকের সাথে জড়িত একটি অভিব্যক্তি দ্বারা প্রতিস্থাপিত করা যেতে পারে। প্রকৃতপক্ষে, এটি সমীকরণ থেকে অনুসরণ করে যে গ্লোবাল ট্রাঙ্কেশন ত্রুটি গ্লোবাল ট্রাঙ্কেশন ত্রুটি একটি নির্দিষ্ট সময়ে ত্রুটি, যদিও প্রাথমিক সময় থেকে সেই সময়ে পৌঁছানোর জন্য পদ্ধতিটিকে অনেক পদক্ষেপ নিতে হবে। বিশ্বব্যাপী ছাঁটাই ত্রুটি হল প্রতিটি ধাপে সংঘটিত স্থানীয় ছাঁটাই ত্রুটির ক্রমবর্ধমান প্রভাব। ধাপের সংখ্যা সহজেই নির্ধারিত হয়, যা আনুপাতিক, এবং প্রতিটি ধাপে সংঘটিত ত্রুটি আনুপাতিক (পূর্ববর্তী বিভাগটি দেখুন)। সুতরাং, এটি আশা করা যায় যে বিশ্বব্যাপী ছাঁটাই ত্রুটি এর সাথে আনুপাতিক হবে। এই স্বজ্ঞাত যুক্তিটি সুনির্দিষ্ট করা যেতে পারে। যদি সমাধানটির একটি আবদ্ধ দ্বিতীয় অন্তরজ থাকে এবং তার দ্বিতীয় যুক্তিতে লিপস্কিটজ অবিচ্ছিন্ন হয়, তবে গ্লোবাল ট্রাঙ্কেশন ত্রুটি (হিসাবে চিহ্নিত) দ্বারা আবদ্ধ হয় যেখানে প্রদত্ত ব্যবধানের দ্বিতীয় অন্তরজের উপরের সীমা এবং এর লিপস্কিটজ ধ্রুবক। অথবা আরও সহজভাবে, কখন, মান (যেমন একটি ধ্রুবক হিসাবে বিবেচিত হয়)। বিপরীতে, যেখানে ফাংশন হল সঠিক সমাধান যা শুধুমাত্র পরিবর্তনশীল ধারণ করে। এই বাউন্ডের সুনির্দিষ্ট রূপটির ব্যবহারিক গুরুত্ব খুব কম, কারণ বেশিরভাগ ক্ষেত্রে বাউন্ড ইউলার পদ্ধতি দ্বারা সংঘটিত প্রকৃত ত্রুটিকে ব্যাপকভাবে অতিরঞ্জিত করে। যা গুরুত্বপূর্ণ তা হল এটি দেখায় যে বিশ্বব্যাপী ছাঁটাই ত্রুটি (প্রায়) এর সাথে আনুপাতিক। এই কারণে, অয়লার পদ্ধতিকে প্রথম ক্রম বলা হয়। উদাহরণস্বরূপ, যদি আমাদের ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ এবং সঠিক সমাধান থাকে, এবং আমরা কী খুঁজে পাব এবং কখন তা খুঁজে পাব। এইভাবে আমরা t = 2.5 এবং h = 0.5-এ আবদ্ধ ত্রুটিটি খুঁজে পেতে পারিঃ লক্ষ্য করুন যে t0 হল 2-এর সমান কারণ এটি t-এর জন্য নিম্ন সীমা। সংখ্যাসূচক স্থায়িত্ব অয়লার পদ্ধতিও সংখ্যাসূচকভাবে অস্থিতিশীল হতে পারে, বিশেষ করে কঠিন সমীকরণের ক্ষেত্রে, যার অর্থ হল যে সংখ্যাসূচক সমাধান সমীকরণের জন্য খুব বড় হয় যেখানে সঠিক সমাধানটি হয় না। এটি রৈখিক সমীকরণ ব্যবহার করে চিত্রিত করা যেতে পারে সঠিক সমাধান হল, যা শূন্য হিসাবে ক্ষয় হয়। যাইহোক, যদি ইউলার পদ্ধতিটি ধাপের আকারের সাথে এই সমীকরণে প্রয়োগ করা হয়, তবে সংখ্যাসূচক সমাধানটি গুণগতভাবে ভুলঃ এটি দোলন করে এবং বৃদ্ধি পায় (চিত্রটি দেখুন)। এর অর্থ হল অস্থির হওয়া। উদাহরণস্বরূপ, যদি একটি ছোট ধাপের আকার ব্যবহার করা হয়, তবে সংখ্যাসূচক সমাধানটি শূন্যে ক্ষয় হয়। যদি ইউলার পদ্ধতিটি রৈখিক সমীকরণে প্রয়োগ করা হয়, তবে সংখ্যাসূচক সমাধানটি অস্থির হয় যদি গুণফলটি ডানদিকে চিত্রিত অঞ্চলের বাইরে থাকে। এই অঞ্চলকে (রৈখিক) স্থিতিশীলতা অঞ্চল বলা হয়। উদাহরণস্বরূপ, যদি তাহলে যা স্থিতিশীলতা অঞ্চলের বাইরে, এবং এইভাবে সংখ্যাসূচক সমাধানটি অস্থির। এই সীমাবদ্ধতা-এর সাথে ত্রুটির ধীর সংমিশ্রণ-এর অর্থ হল সংখ্যাসূচক সংহতকরণের একটি সহজ উদাহরণ ছাড়া অয়লার পদ্ধতিটি প্রায়শই ব্যবহার করা হয় না। বৃত্তাকার ত্রুটি অয়লার পদ্ধতির ধাপে, বৃত্তাকার ত্রুটি মোটামুটিভাবে মেশিনের এপসাইলনের মাত্রার সমান। যদি ধরে নেওয়া হয় যে বৃত্তাকার ত্রুটিগুলি স্বাধীন র্যান্ডম ভেরিয়েবল, তবে প্রত্যাশিত মোট বৃত্তাকার ত্রুটি এর সাথে আনুপাতিক। সুতরাং, ধাপের আকারের অত্যন্ত ছোট মানের জন্য ছাঁটাই ত্রুটি ছোট হবে তবে বৃত্তাকার ত্রুটির প্রভাব বড় হতে পারে। আয়লার পদ্ধতির সূত্রে যদি ক্ষতিপূরণ যোগফল ব্যবহার করা হয় তবে বৃত্তাকার ত্রুটির বেশিরভাগ প্রভাব সহজেই এড়ানো যেতে পারে। পরিবর্তন এবং সম্প্রসারণ অয়লার পদ্ধতির একটি সহজ পরিবর্তন যা উপরে উল্লিখিত স্থায়িত্ব সমস্যাগুলি দূর করে তা হল ব্যাকওয়ার্ড অয়লার পদ্ধতিঃ এটি (স্ট্যান্ডার্ড, বা ফরওয়ার্ড) অয়লার পদ্ধতির থেকে আলাদা যে ফাংশনটি প্রারম্ভিক বিন্দুর পরিবর্তে ধাপের শেষ বিন্দুতে মূল্যায়ন করা হয়। ব্যাকওয়ার্ড অয়লার পদ্ধতি একটি অন্তর্নিহিত পদ্ধতি, যার অর্থ হল ব্যাকওয়ার্ড অয়লার পদ্ধতির সূত্রটি উভয় দিকেই রয়েছে, তাই ব্যাকওয়ার্ড অয়লার পদ্ধতি প্রয়োগ করার সময় আমাদের একটি সমীকরণ সমাধান করতে হবে। এর ফলে বাস্তবায়ন আরও ব্যয়বহুল হয়ে ওঠে। অয়লার পদ্ধতির অন্যান্য পরিবর্তনগুলি যা স্থিতিশীলতায় সহায়তা করে তা এক্সপোনেনশিয়াল অয়লার পদ্ধতি বা আধা-অন্তর্নিহিত অয়লার পদ্ধতি প্রদান করে। আরও জটিল পদ্ধতিগুলি উচ্চতর ক্রম (এবং আরও নির্ভুলতা) অর্জন করতে পারে। একটি সম্ভাবনা হল আরও ফাংশন মূল্যায়ন ব্যবহার করা। এটি মধ্যবিন্দু পদ্ধতি দ্বারা চিত্রিত করা হয়েছে যা ইতিমধ্যে এই নিবন্ধে উল্লেখ করা হয়েছেঃ এটি রুঙ্গে-কুট্টা পদ্ধতির পরিবারের দিকে পরিচালিত করে। অন্য সম্ভাবনাটি হল আরও অতীতের মানগুলি ব্যবহার করা, যেমনটি দুই-ধাপের অ্যাডামস-ব্যাশফর্থ পদ্ধতি দ্বারা চিত্রিত হয়েছেঃ এটি রৈখিক বহু-ধাপ পদ্ধতির পরিবারের দিকে পরিচালিত করে। অন্যান্য পরিবর্তন রয়েছে যা স্মৃতির ব্যবহার হ্রাস করতে কম্প্রেসিভ সেন্সিং থেকে কৌশল ব্যবহার করে জনপ্রিয় সংস্কৃতিতে হিডেন ফিগারস ছবিতে, ক্যাথরিন গবল পৃথিবীর কক্ষপথ থেকে নভোচারী জন গ্লেন-এর পুনঃপ্রবেশ গণনা করার জন্য অয়লার পদ্ধতির অবলম্বন করেন। আরও দেখুন ক্র্যাঙ্ক-নিকলসন পদ্ধতি গ্রেডিয়েন্ট ডিসেন্ট একইভাবে সীমাবদ্ধ ধাপগুলি ব্যবহার করে, এখানে ফাংশনের মিনিমা খুঁজে বের করার জন্য রঙ-কুট্টা পদ্ধতির তালিকা রৈখিক বহু-ধাপ পদ্ধতি সংখ্যাসূচক ইন্টিগ্রেশন (নির্দিষ্ট ইন্টিগ্রাল গণনার জন্য) সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের জন্য সংখ্যাসূচক পদ্ধতি উল্লেখ বাহ্যিক লিঙ্ক রোজেটা কোড দ্বারা বিভিন্ন ভাষায় অয়লার পদ্ধতির বাস্তবায়ন সংখ্যাসূচক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ রঙ্গ-কুট্টা পদ্ধতি প্রথম ক্রম পদ্ধতি লিওনহার্ড অয়লার উদাহরণস্বরূপ আর কোড সহ নিবন্ধগুলি ম্যাটল্যাব/অক্টেভ কোড সহ নিবন্ধ