Subharmonic function
গণিতে, সাবহার্মোনিক এবং সুপারহার্মোনিক ফাংশনগুলি আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ, জটিল বিশ্লেষণ এবং সম্ভাব্য তত্ত্বে ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত ফাংশনের গুরুত্বপূর্ণ শ্রেণী। স্বজ্ঞাতভাবে, সাবহার্মোনিক ফাংশনগুলি নিম্নরূপ একটি চলকের উত্তল ফাংশনের সাথে সম্পর্কিত। যদি একটি উত্তল ফাংশনের গ্রাফ এবং একটি রেখা দুটি বিন্দুতে ছেদ করে, তবে উত্তল ফাংশনের গ্রাফ সেই বিন্দুগুলির মধ্যে রেখার নীচে থাকে। একইভাবে, যদি কোনও সাবহার্মোনিক ফাংশনের মানগুলি কোনও বলের সীমানায় কোনও হারমোনিক ফাংশনের মানের চেয়ে বড় না হয়, তবে সাবহার্মোনিক ফাংশনের মানগুলি বলের অভ্যন্তরেও হারমোনিক ফাংশনের মানের চেয়ে বড় নয়। সুপারহার্মোনিক ফাংশনগুলি একই বর্ণনা দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে, শুধুমাত্র "বড় নয়" কে "ছোট নয়" দিয়ে প্রতিস্থাপন করা হয়। বিকল্পভাবে, একটি সুপারহার্মোনিক ফাংশন কেবল একটি সাবহার্মোনিক ফাংশনের নেতিবাচক, এবং এই কারণে সাবহার্মোনিক ফাংশনের যে কোনও বৈশিষ্ট্য সহজেই সুপারহার্মোনিক ফাংশনে স্থানান্তরিত হতে পারে। আনুষ্ঠানিক সংজ্ঞা আনুষ্ঠানিকভাবে, সংজ্ঞাটি নিম্নরূপ বলা যেতে পারে। ইউক্লিডীয় স্থানের একটি উপসেট হতে দিন এবং একটি উপরের আধা-ধারাবাহিক ফাংশন হতে দিন। তারপরে, এটিকে সাবহার্মোনিক বলা হয় যদি কেন্দ্র এবং ব্যাসার্ধের কোনও বদ্ধ বলের জন্য এবং তার উপর প্রতিটি বাস্তব-মূল্যবান অবিচ্ছিন্ন ফাংশনটি সুরেলা হয় এবং সীমানায় সকলের জন্য সন্তুষ্ট হয়, তবে আমাদের সকলের জন্য নোট রয়েছে যে উপরের দ্বারা, যে ফাংশনটি অভিন্নভাবে − φ হল সাবহার্মোনিক, তবে কিছু লেখক সংজ্ঞা দ্বারা এই ফাংশনটিকে বাদ দেন। একটি ফাংশনকে সুপারহার্মোনিক বলা হয় যদি এটি সাবহার্মোনিক হয়। বৈশিষ্ট্য একটি ফাংশন সুরেলা হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি এটি সাবহার্মোনিক এবং সুপারহার্মোনিক উভয়ই হয়। যদি একটি খোলা সেটে সি2 (দুইবার ক্রমাগত ডিফারেনশিয়াল) হয়, তবে সাবহার্মোনিক হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি একটি চালু থাকে, ল্যাপলেসিয়ান কোথায় থাকে। একটি সাবহার্মোনিক ফাংশনের সর্বাধিক তার ডোমেনের অভ্যন্তরে অর্জন করা যায় না যদি না ফাংশনটি ধ্রুবক হয়, যাকে সর্বাধিক নীতি বলা হয়। যাইহোক, ন্যূনতম একটি সাবহার্মোনিক ফাংশন তার ডোমেনের অভ্যন্তরে অর্জন করা যেতে পারে। সাবহার্মোনিক ফাংশনগুলি একটি উত্তল শঙ্কু তৈরি করে, অর্থাৎ, ধনাত্মক সহগের সাথে সাবহার্মোনিক ফাংশনের একটি রৈখিক সংমিশ্রণও সাবহার্মোনিক। দুটি সাবহার্মোনিক ফাংশনের পয়েন্টওয়াইজ সর্বোচ্চ হল সাবহার্মোনিক। যদি একটি গণনাযোগ্য সংখ্যক সাবহার্মোনিক ফাংশনের পয়েন্টওয়াইজ সর্বোচ্চ অংশটি উপরের অর্ধ-ধারাবাহিক হয়, তবে এটি সাবহার্মোনিকও হয়। সাবহার্মোনিক ফাংশনের ক্রমহ্রাসমান ক্রমের সীমা হল সাবহার্মোনিক (বা একইভাবে সমান)। সাবহার্মোনিক ফাংশনগুলি স্বাভাবিক টপোলজিতে অবিচ্ছিন্ন নয়, তবে কেউ সূক্ষ্ম টপোলজি প্রবর্তন করতে পারে যা তাদের অবিচ্ছিন্ন করে তোলে। উদাহরণস্বরূপ, যদি বিশ্লেষণাত্মক হয় তবে সাবহার্মোনিক হয়। উপরে তালিকাভুক্ত বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যবহার করে, ম্যাক্সিমা, উত্তল সংমিশ্রণ এবং সীমা নিয়ে আরও উদাহরণ তৈরি করা যেতে পারে। মাত্রা 1-এ, সমস্ত সাবহার্মোনিক ফাংশন এইভাবে প্রাপ্ত করা যেতে পারে। রিইজ প্রতিনিধিত্ব উপপাদ্য যদি কোনও অঞ্চলে, ইউক্লিডীয় মাত্রার ক্ষেত্রে, সাবহার্মোনিক হয়, তবে এটি সুরেলা হয়, এবং তখন এটিকে এর সুরেলা প্রধান বলা হয়। যদি একটি সুরেলা প্রধান পদার্থ বিদ্যমান থাকে, তবে সর্বনিম্ন সুরেলা প্রধান পদার্থ বিদ্যমান, এবং মাত্রা 2-এ, যেখানে সর্বনিম্ন সুরেলা প্রধান পদার্থ রয়েছে, এবং এটি একটি বোরেল পরিমাপ। একে বলা হয় রিয়েজ উপস্থাপনা উপপাদ্য। জটিল সমতলে সাবহার্মোনিক ফাংশনগুলি জটিল বিশ্লেষণে একটি বিশেষ গুরুত্ব বহন করে, যেখানে তারা হোলোমরফিক ফাংশনের সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সংযুক্ত থাকে। কেউ দেখাতে পারে যে একটি সেটের উপর সংজ্ঞায়িত একটি জটিল চলকের (অর্থাৎ, দুটি বাস্তব চলকের) একটি বাস্তব-মূল্যবান, অবিচ্ছিন্ন ফাংশন সাবহার্মোনিক হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি কেন্দ্র এবং ব্যাসার্ধের কোনও বদ্ধ ডিস্কের জন্য স্বজ্ঞাতভাবে থাকে, এর অর্থ হল যে একটি সাবহার্মোনিক ফাংশন যে কোনও সময়ে সেই বিন্দুর চারপাশে একটি বৃত্তের মানগুলির গড়ের চেয়ে বড় নয়, একটি সত্য যা সর্বাধিক নীতি অর্জনের জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে। যদি এটি একটি হোলোমর্ফিক ফাংশন হয়, তবে এটি একটি সাবহার্মোনিক ফাংশন, যদি আমরা এর শূন্যের মান নির্ধারণ করি। এটি অনুসরণ করে যে প্রতিটি α> 0 এর জন্য সাবহার্মোনিক। এই পর্যবেক্ষণ হার্ডি স্পেসের তত্ত্বে একটি ভূমিকা পালন করে, বিশেষ করে এইচ-এর অধ্যয়নের জন্য যখন 0 <পি <1 হয়। জটিল সমতলের প্রসঙ্গে, উত্তল ফাংশনের সাথে সংযোগটি এই সত্য দ্বারাও উপলব্ধি করা যেতে পারে যে একটি ডোমেনের উপর একটি সাবহার্মোনিক ফাংশন যা কাল্পনিক দিকে স্থির থাকে তা বাস্তব দিকে উত্তল হয় এবং তদ্বিপরীত। সাবহার্মোনিক ফাংশনের হারমোনিক মেজর্যান্ট যদি জটিল সমতলের কোনও অঞ্চলে সাবহার্মোনিক হয় এবং হারমোনিক হয়, তবে এটি ইন ইন এর একটি হারমোনিক মেজর্যান্ট। এই ধরনের বৈষম্যকে প্রবৃদ্ধির শর্ত হিসেবে দেখা যেতে পারে। ইউনিট ডিস্কে সুবহার্মোনিক ফাংশন। রেডিয়াল ম্যাক্সিমাল ফাংশন ধরা যাক φ বন্ধ একক ডিস্ক D (0,1) ধারণকারী জটিল সমতলের একটি খোলা উপসেট ω এ সাবহার্মোনিক, অবিচ্ছিন্ন এবং অ-নেতিবাচক। একক বৃত্তে φ (একক ডিস্কের মধ্যে সীমাবদ্ধ) ফাংশনের জন্য রেডিয়াল ম্যাক্সিমাল ফাংশনকে এইভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় যে, যদি পিআর পয়সন কার্নেলকে নির্দেশ করে, তবে এটি সাবহার্মোনিসিটি থেকে অনুসরণ করে যে এটি দেখানো যেতে পারে যে, শেষ ইন্টিগ্রালটি হার্ডি-লিটলউড ম্যাক্সিমাল ফাংশন φ ি঱ের e-এর মানের চেয়ে কম, যা একক বৃত্ত T-তে φ-এর সীমাবদ্ধতার সমান, যাতে 0 ≤ M φ ≤ φ ি঱ হয়। এটি জানা যায় যে হার্ডি-লিটলউড অপারেটরটি এলপি (টি)-তে আবদ্ধ থাকে যখন 1 <পি <φ হয়। এটি অনুসরণ করে যে, কিছু সার্বজনীন ধ্রুবক C-এর জন্য, যদি f একটি হোলমর্ফিক ফাংশন হয় ω এবং 0 <p <φ-তে, তাহলে পূর্ববর্তী অসমতা φ = |f।-এর ক্ষেত্রে প্রযোজ্য। এই তথ্যগুলি থেকে অনুমান করা যেতে পারে যে শাস্ত্রীয় হার্ডি স্পেস এইচপি-তে যে কোনও ফাংশন এফ সন্তুষ্ট করে আরও বেশি কাজের সাথে, এটি দেখানো যেতে পারে যে একক বৃত্তের প্রায় সর্বত্রই এফ-এর রেডিয়াল সীমা এফ (ই) রয়েছে এবং (আধিপত্যযুক্ত অভিসরণ উপপাদ্য দ্বারা) যে এফআর, এফআর (ই) = এফ (রি) দ্বারা সংজ্ঞায়িত, এলপি (টি)-তে এফ-এর দিকে ঝুঁকে থাকে। রিমানিয়ান ম্যানিফোল্ডের উপর সুবহার্মোনিক ফাংশন একটি নির্বিচারে রিমানিয়ান ম্যানিফোল্ডের উপর সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। সংজ্ঞাঃ ধরা যাক এম একটি রিম্যানিয়ান ম্যানিফোল্ড এবং একটি উপরের অর্ধ-ধ্রুবক ফাংশন। ধরে নিন যে কোনও উন্মুক্ত উপসেট এবং U-এর উপর যে কোনও সুরেলা ফাংশন f1-এর জন্য, যেমন U-এর সীমানায়, অসমতা সমস্ত U-এর উপর থাকে। তারপর f কে বলা হয় সাবহার্মোনিক। এই সংজ্ঞাটি উপরে দেওয়া সংজ্ঞাটির সমতুল্য। এছাড়াও, দ্বিগুণ ডিফারেনশিয়েবল ফাংশনের জন্য, সাবহার্মোনিসিটি বৈষম্যের সমতুল্য, যেখানে স্বাভাবিক ল্যাপলেসিয়ান। আরও দেখুন প্লুরিসুফার্মোনিক ফাংশন-বিভিন্ন জটিল চলকের সাধারণীকরণ ধ্রুপদী সূক্ষ্ম টপোলজি বিবরণ সম্ভাব্য তত্ত্ব জটিল বিশ্লেষণ প্রকারের ফাংশন