Tensor product of modules
গণিতে, মডিউলগুলির টেনসর গুণফল এমন একটি গঠন যা দ্বিমাত্রিক মানচিত্র সম্পর্কে যুক্তির অনুমতি দেয় (যেমন। গুণন) রৈখিক মানচিত্রের পরিপ্রেক্ষিতে করা হবে। মডিউল নির্মাণ ভেক্টর স্পেসের টেনসর পণ্য নির্মাণের অনুরূপ, তবে একটি বিনিময়যোগ্য বলয়ের উপর এক জোড়া মডিউলের জন্য পরিচালিত হতে পারে যার ফলে একটি তৃতীয় মডিউল তৈরি হয়, এবং যে কোনও বলয়ের উপর একটি ডান-মডিউল এবং একটি বাম-মডিউলের জন্যও, যার ফলে একটি আবেলিয়ান গ্রুপ তৈরি হয়। বিমূর্ত বীজগণিত, সমজাতীয় বীজগণিত, বীজগাণিতিক টপোলজি, বীজগাণিতিক জ্যামিতি, অপারেটর অ্যালজেব্রা এবং অ-বিনিময়যোগ্য জ্যামিতির ক্ষেত্রে টেনসর পণ্যগুলি গুরুত্বপূর্ণ। ভেক্টর স্পেসের টেনসর প্রোডাক্টের সার্বজনীন বৈশিষ্ট্য বিমূর্ত বীজগণিতে আরও সাধারণ পরিস্থিতিতে প্রসারিত হয়। একটি বীজগণিত এবং একটি মডিউলের টেনসর গুণফল স্কেলারের সম্প্রসারণের জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে। একটি বিনিময়যোগ্য বলয়ের জন্য, মডিউলগুলির টেনসর গুণফলকে একটি মডিউলের টেনসর বীজগণিত গঠনের জন্য পুনরাবৃত্তি করা যেতে পারে, যার ফলে কেউ সর্বজনীন উপায়ে মডিউলে গুণকে সংজ্ঞায়িত করতে পারে। একটি বলয় আর, একটি ডানদিকের আর-মডিউল এম, একটি বামদিকের আর-মডিউল এন এবং একটি আবেলিয়ান গ্রুপ জি-এর জন্য, একটি মানচিত্রকে আর-ভারসাম্যপূর্ণ, আর-মধ্য-রৈখিক বা আর-ভারসাম্যপূর্ণ পণ্য বলা হয় যদি সমস্ত এম, এম-এ এম, এন, এন-এ এন এবং আর-এ আর-এর জন্য নিম্নলিখিত হোল্ড থাকেঃ আর থেকে জি-এর উপর এই ধরনের সমস্ত ভারসাম্যপূর্ণ পণ্যের সেট দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। যদি φ, si ভারসাম্যপূর্ণ গুণফল হয়, তবে প্রতিটি ক্রিয়াকলাপ এবং −φ সংজ্ঞায়িত পয়েন্টওয়াইজ একটি ভারসাম্যপূর্ণ গুণফল। এটি সেটটিকে একটি আবেলিয়ান গ্রুপে পরিণত করে। এম এবং এন স্থিরের জন্য, মানচিত্রটি আবেলিয়ান গোষ্ঠীর বিভাগ থেকে নিজের কাছে একটি সহায়ক। মরফিজম অংশটি ফাংশনে একটি গ্রুপ সমরূপতা ম্যাপিং করে দেওয়া হয়, যা থেকে যায়। মন্তব্য বৈশিষ্ট্য (ডিএল) এবং (ড.) φ-এর বায়াডিটিভিটি প্রকাশ করে, যা যোগের উপর φ-এর বিতরণ হিসাবে বিবেচিত হতে পারে। সম্পত্তি (এ) φ এর কিছু সহযোগী বৈশিষ্ট্যের অনুরূপ। প্রতিটি রিং আর একটি আর-বিমডিউল। সুতরাং, R-এ বলয়ের গুণ একটি R-ভারসাম্যপূর্ণ গুণফল। একটি বলয় আর-এর জন্য, একটি ডান আর-মডিউল এম, একটি বাম আর-মডিউল এন, আর-এর উপর টেনসর গুণফল হল একটি ভারসাম্যপূর্ণ গুণফল সহ একটি আবেলিয়ান গ্রুপ (উপরে যেমন সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে) যা নিম্নলিখিত অর্থে সর্বজনীনঃ প্রতিটি আবেলিয়ান গ্রুপ জি এবং প্রতিটি ভারসাম্যপূর্ণ গুণফলের জন্য একটি অনন্য গ্রুপ সমরূপতা রয়েছে যেমন সমস্ত সর্বজনীন বৈশিষ্ট্যের মতো, উপরের বৈশিষ্ট্যটি একটি অনন্য সমরূপতা পর্যন্ত অনন্যভাবে টেনসর পণ্যকে সংজ্ঞায়িত করেঃ অন্য যে কোনও আবেলিয়ান গ্রুপ এবং একই বৈশিষ্ট্য সহ ভারসাম্যপূর্ণ পণ্যটি সমরূপ এবং সমরূপ হবে। প্রকৃতপক্ষে, ম্যাপিংকে ক্যানোনিকাল বা আরও স্পষ্টভাবে বলা হয়ঃ টেনসর পণ্যের ক্যানোনিকাল ম্যাপিং (বা ভারসাম্যপূর্ণ পণ্য)। সংজ্ঞাটি এর অস্তিত্ব প্রমাণ করে না; একটি নির্মাণের জন্য নীচে দেখুন। টেনসর পণ্যটিকে ফাংক্টরের প্রতিনিধিত্বকারী বস্তু হিসাবেও সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে; স্পষ্টতই, এর অর্থ একটি প্রাকৃতিক সমরূপতা রয়েছেঃ এটি উপরে প্রদত্ত সর্বজনীন ম্যাপিং বৈশিষ্ট্যটি বর্ণনা করার একটি সংক্ষিপ্ত উপায়। (যদি কোনও অগ্রাধিকারপ্রাপ্ত ব্যক্তিকে এই প্রাকৃতিক সমরূপতা দেওয়া হয়, তবে পরিচয় মানচিত্রটি নিয়ে এবং তারপরে ম্যাপিং করে পুনরুদ্ধার করা যেতে পারে।) একইভাবে, প্রাকৃতিক সনাক্তকরণ দেওয়া হলে, সূত্র দ্বারাও সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে এটি টেনসর-হোম সংযোজন হিসাবে পরিচিত; আরও দেখুন। এম-এ প্রতিটি এক্স-এর জন্য, এন-এ ওয়াই-এর জন্য, ক্যানোনিকাল মানচিত্রের অধীনে (এক্স, ওয়াই)-এর চিত্রের জন্য লেখা হয়। একে প্রায়শই বিশুদ্ধ টেনসর বলা হয়। কঠোরভাবে বলতে গেলে, সঠিক স্বরলিপি হবে x′Ry কিন্তু এখানে R নামানো প্রচলিত। তারপর, সংজ্ঞা থেকে অবিলম্বে, সম্পর্ক রয়েছেঃ একটি টেনসর পণ্যের সার্বজনীন বৈশিষ্ট্যের নিম্নলিখিত গুরুত্বপূর্ণ পরিণতি রয়েছেঃ প্রমাণঃ প্রথম বিবৃতির জন্য, ধরা যাক L প্রশ্নযুক্ত ফর্মের উপাদানগুলির দ্বারা উত্পন্ন উপগোষ্ঠী এবং q-এর ভাগফল মানচিত্র। আমাদের আছেঃ পাশাপাশি। অতএব, সার্বজনীন বৈশিষ্ট্যের স্বতন্ত্রতা অংশ দ্বারা, q = 0। দ্বিতীয় বিবৃতিটি হল একটি মডিউল সমরূপতা সংজ্ঞায়িত করার জন্য, এটি মডিউলের জেনারেটিং সেটে সংজ্ঞায়িত করার জন্য যথেষ্ট। টেনসর পণ্যগুলির সর্বজনীন বৈশিষ্ট্যের প্রয়োগ মডিউলগুলির একটি টেনসর পণ্য শূন্য কিনা তা নির্ধারণ করা বাস্তবে, কখনও কখনও এটি দেখানো কঠিন যে আর-মডিউলগুলির একটি টেনসর পণ্য শূন্য নয় যা এটি 0 দেখানোর চেয়ে বেশি কঠিন। সর্বজনীন সম্পত্তি এটি পরীক্ষা করার জন্য একটি সুবিধাজনক উপায় দেয়। একটি টেনসর পণ্য অ-শূন্য কিনা তা পরীক্ষা করার জন্য, একটি আবেলিয়ান গোষ্ঠীর জন্য একটি আর-বিলিনিয়ার মানচিত্র তৈরি করা যেতে পারে। এটি কাজ করে কারণ যদি, তাহলে। উদাহরণস্বরূপ, এটি দেখতে, অ-শূন্য, এবং হিসাবে গ্রহণ করুন। এটি বলে যে বিশুদ্ধ টেনসরগুলি যতক্ষণ শূন্যে নয়। সমতুল্য মডিউলগুলির জন্য প্রস্তাবটি বলে যে প্রতিবার সরাসরি সার্বজনীন বৈশিষ্ট্যকে আহ্বান করার পরিবর্তে টেনসর পণ্যগুলির সুস্পষ্ট উপাদানগুলির সাথে কাজ করা যেতে পারে। এটি অনুশীলনে খুব সুবিধাজনক। উদাহরণস্বরূপ, যদি R বিনিময়যোগ্য হয় এবং মডিউলগুলিতে R দ্বারা বাঁ ও ডান ক্রিয়াগুলিকে সমতুল্য হিসাবে বিবেচনা করা হয়, তবে স্বাভাবিকভাবেই পূর্ববর্তী প্রস্তাব দ্বারা সমগ্র পর্যন্ত প্রসারিত করে R-স্কেলার গুণন দিয়ে সজ্জিত করা যেতে পারে (কঠোরভাবে বলতে গেলে, যা প্রয়োজন তা হল একটি দ্বিমাত্রিক কাঠামো যা বিনিময়যোগ্যতা নয়; নীচের একটি অনুচ্ছেদ দেখুন)। এই আর-মডিউল কাঠামোর সাথে সজ্জিত, উপরের অনুরূপ একটি সার্বজনীন বৈশিষ্ট্যকে সন্তুষ্ট করেঃ যে কোনও আর-মডিউল জি-এর জন্য, একটি প্রাকৃতিক সমরূপতা রয়েছেঃ যদি আর অপরিহার্যভাবে বিনিময়যোগ্য না হয় তবে যদি এম-এর একটি রিং এস দ্বারা বাম ক্রিয়া থাকে (উদাহরণস্বরূপ, আর), তবে বাম এস-মডিউল কাঠামোটি দেওয়া যেতে পারে, উপরের মতো, অনুরূপ সূত্র দ্বারা, যদি এন-এর একটি রিং এস দ্বারা ডান ক্রিয়া থাকে, তবে এটি একটি ডান এস-মডিউল হয়ে যায়। রৈখিক মানচিত্রের টেনসর পণ্য এবং বেস রিংয়ের পরিবর্তন একটি রিং আর এবং বাম মডিউলগুলির উপর ডান মডিউলগুলির রৈখিক মানচিত্র দেওয়া হলে, একটি অনন্য গ্রুপ সমরূপতা রয়েছে এই নির্মাণের একটি পরিণতি রয়েছে যে টেনসরিং একটি ফাংক্টরঃ প্রতিটি ডান আর-মডিউল এম বাম মডিউলগুলির বিভাগ থেকে আবেলিয়ান গোষ্ঠীর বিভাগে ফাংক্টর নির্ধারণ করে যা গ্রুপ সমরূপতায় এন এবং একটি মডিউল সমরূপতা এফ পাঠায়। যদি একটি রিং সমরূপতা হয় এবং যদি এম একটি ডান এস-মডিউল এবং এন একটি বাম এস-মডিউল হয়, তবে ক্যানোনিকাল সার্জেক্টিভ সমরূপতা রয়েছেঃ দ্বারা প্ররোচিত ফলস্বরূপ মানচিত্রটি সার্জেক্টিভ কারণ বিশুদ্ধ টেনসরগুলি পুরো মডিউলটি তৈরি করে। বিশেষত, R কে এই হিসাবে গ্রহণ করলে দেখা যায় যে মডিউলগুলির প্রতিটি টেনসর গুণফল আবেলিয়ান গোষ্ঠীর একটি টেনসর গুণফলের একটি ভাগফল। বেশ কয়েকটি মডিউল (এই বিভাগটি আপডেট করা প্রয়োজন। এখনকার জন্য, আরও সাধারণ আলোচনার জন্য দেখুন।) একই বিনিময়যোগ্য বলয়ের উপর যে কোনও সংখ্যক মডিউলের একটি টেনসর প্রোডাক্টে সংজ্ঞাটি প্রসারিত করা সম্ভব। উদাহরণস্বরূপ, এর সর্বজনীন বৈশিষ্ট্য হল যে প্রতিটি ত্রিকোণীয় মানচিত্র একটি অনন্য রৈখিক মানচিত্রের সাথে মিলে যায় বাইনারি টেনসর পণ্যটি সহযোগীঃ (এম1এম2) এম3 স্বাভাবিকভাবেই এম1এম3 (এম2এম3) এর সমরূপ। ত্রিকোণীয় মানচিত্রের সার্বজনীন বৈশিষ্ট্য দ্বারা সংজ্ঞায়িত তিনটি মডিউলের টেনসর পণ্য এই উভয় পুনরাবৃত্ত টেনসর পণ্যের সমরূপ। সাধারণ বলয়ের উপর বৈশিষ্ট্য মডিউল R1, R2, R3, R কে বলয় হতে দিন, অগত্যা বিনিময়যোগ্য নয়। একটি আর1-আর2-বিমডিউল এম12 এবং একটি বাম আর2-মডিউল এম20-এর জন্য, একটি বাম আর1-মডিউল। একটি ডান R2-মডিউল M02 এবং একটি R2-R3-দ্বি-মডিউল M23-এর জন্য একটি ডান R3-মডিউল। (সহযোগীতা) একটি ডান R1-মডিউল M01, একটি R1-R2-বিমোডিউল M12, এবং একটি বাম R2-মডিউল M20-এর জন্য আমাদের রয়েছেঃ যেহেতু R একটি R-R-বিমোডিউল, তাই আমাদের বলয়ের গুণকে তার ক্যানোনিকাল ভারসাম্যপূর্ণ গুণফল হিসাবে রয়েছে। বিনিময়যোগ্য বলয়ের উপর মডিউলগুলি ধরা যাক R একটি বিনিময়যোগ্য বলয় এবং M, N এবং P R-মডিউল। তারপর আইডেন্টিটি অ্যাসোসিয়েটিভিটি প্রথম তিনটি বৈশিষ্ট্য (মরফিজমের উপর আইডেন্টিটি যোগ করে) বলে যে আর-মডিউলগুলির বিভাগ, আর কমিউটেটিভ সহ, একটি প্রতিসম মনোইডাল বিভাগ গঠন করে। এইভাবে ভালভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। সমমিতি প্রকৃতপক্ষে, {1,., n} সেটের যে কোনও বিন্যাস σ-এর জন্য একটি অনন্য সমরূপতা রয়েছেঃ সরাসরি যোগফলের উপর বিতরণ প্রকৃতপক্ষে, নির্বিচারে কার্ডিনালিটির একটি সূচক সেট I-এর জন্য। যেহেতু সসীম পণ্যগুলি সসীম প্রত্যক্ষ যোগফলের সাথে মিলে যায়, তাই এই উদাহরণগুলিঃ সসীম পণ্যগুলির উপর বিতরণ যে কোনও সসীম সংখ্যক জন্য, বেস এক্সটেনশন যদি এস একটি আর-বীজগণিত হয়, লেখা, সিএফ। । একটি উপপাদ্য হ 'লঃ স্থানীয়করণের উপর বিতরণ-মডিউল হিসাবে R-এর যে কোনও গুণিতকভাবে বন্ধ উপসেট S-এর জন্য। যেহেতু এটি একটি আর-বীজগণিত এবং, এটি একটি বিশেষ ক্ষেত্রেঃ সরাসরি সীমার সাথে বিনিময় আর-মডিউল এমআই-এর যে কোনও সরাসরি সিস্টেমের জন্য, সংযোজন এ ফলস্বরূপঃ ডান-ক্রিয়া যদি আর-মডিউলগুলির একটি সঠিক ক্রম হয়, তবে এটি আর-মডিউলগুলির একটি সঠিক ক্রম, যেখানে টেনসর-হোম সম্পর্ক একটি ক্যানোনিকাল আর-লিনিয়ার মানচিত্র রয়েছেঃ যা একটি আইসোমরফিজম যদি এম বা পি একটি সীমাবদ্ধভাবে উত্পন্ন প্রজেক্টিভ মডিউল হয় (অ-বিনিময়যোগ্য ক্ষেত্রে দেখুন); আরও সাধারণভাবে, একটি ক্যানোনিকাল আর-লিনিয়ার মানচিত্র রয়েছেঃ যা একটি আইসোমরফিজম যদি উভয়ই হয় বা সীমাবদ্ধভাবে উত্পন্ন প্রজেক্টিভ মডিউলগুলির একটি জোড়া হয়। একটি ব্যবহারিক উদাহরণ দেওয়ার জন্য, ধরুন এম, এন বেস এবং সহ মুক্ত মডিউল। তারপর এম হল প্রত্যক্ষ যোগফল এবং এন-এর জন্য একই। বন্টনমূলক বৈশিষ্ট্য অনুসারে, একজনের রয়েছেঃ অর্থাৎ, এর আর-ভিত্তি। এমনকি এম মুক্ত না হলেও, টেনসর পণ্য গণনা করতে এম-এর একটি বিনামূল্যে উপস্থাপনা ব্যবহার করা যেতে পারে। টেনসর পণ্যটি, সাধারণভাবে, বিপরীত সীমার সাথে যাতায়াত করে নাঃ একদিকে, (সিএফ। "উদাহরণ")। অন্যদিকে, p-adic পূর্ণসংখ্যার বলয় এবং p-adic সংখ্যার ক্ষেত্র কোথায়? অনুরূপ চেতনায় একটি উদাহরণের জন্য "অসীম পূর্ণসংখ্যা" দেখুন। যদি আর বিনিময়যোগ্য না হয়, তবে টেনসর পণ্যগুলির ক্রম নিম্নলিখিত উপায়ে গুরুত্বপূর্ণ হতে পারেঃ আমরা টেনসর পণ্য গঠনের জন্য এম এর ডান ক্রিয়া এবং এন এর বাম ক্রিয়াটি "ব্যবহার" করি; বিশেষত, এমনকি সংজ্ঞায়িতও করা হবে না। যদি এম, এন দ্বি-মডিউল হয়, তবে বাম ক্রিয়াটি এম এর বাম ক্রিয়া থেকে আসে এবং ডান ক্রিয়াটি এন এর ডান ক্রিয়া থেকে আসে; সেই ক্রিয়াগুলি এর বাম এবং ডান ক্রিয়াগুলির মতো হওয়ার দরকার নেই। অ-বিনিময়যোগ্য বলয়ের ক্ষেত্রে সহযোগীতা আরও সাধারণভাবে থাকেঃ যদি এম একটি ডান আর-মডিউল, এনএ (আর, এস)-মডিউল এবং পি একটি বাম এস-মডিউল হয়, তবে আবেলিয়ান গ্রুপ হিসাবে। টেনসর পণ্যগুলির সংযুক্ত সম্পর্কের সাধারণ রূপটি বলেঃ যদি আর অপরিহার্যভাবে বিনিময়যোগ্য না হয়, এম একটি ডান আর-মডিউল, এন একটি (আর, এস)-মডিউল, পি একটি ডান এস-মডিউল, তবে আবেলিয়ান গ্রুপ হিসাবে যেখানে ভগ্নাংশ ক্ষেত্রের সাথে একটি আর-মডিউলের টেনসর পণ্য দ্বারা দেওয়া হয় ধরা যাক আর ভগ্নাংশ ক্ষেত্র কে সহ একটি অবিচ্ছেদ্য ডোমেন। যে কোনও আর-মডিউল এম-এর জন্য, আর-মডিউল হিসাবে, এম-এর টর্জন সাব-মডিউল কোথায়। যদি এম একটি টর্জন আর-মডিউল হয় এবং যদি এম একটি টর্জন মডিউল না হয়। যদি এন এম-এর একটি উপ-মডিউল হয় যা একটি টর্জন মডিউল হয় তবে আর-মডিউল হিসাবে। ইন, যদি এবং শুধুমাত্র যদি বা। বিশেষ করে কোথায়। মৌলিক আদর্শে মডিউলটির স্থানীয়করণ কোথায় (অর্থাৎ, অ-শূন্য উপাদানগুলির সাপেক্ষে স্থানীয়করণ)। স্কেলারের সম্প্রসারণ সাধারণ আকারে সংলগ্ন সম্পর্কের একটি গুরুত্বপূর্ণ বিশেষ কেস রয়েছেঃ যে কোনও আর-বীজগণিত এস, এম একটি ডান আর-মডিউল, পি একটি ডান এস-মডিউল, ব্যবহার করে, আমাদের প্রাকৃতিক আইসোমরফিজম রয়েছেঃ এটি বলে যে ফাংক্টরটি ভুলে যাওয়া ফাংক্টরের বাম সংলগ্ন, যা একটি এস-অ্যাকশনকে আর-অ্যাকশনে সীমাবদ্ধ করে। এই কারণে, প্রায়শই আর থেকে এস পর্যন্ত স্কেলারের সম্প্রসারণ বলা হয়। উপস্থাপনা তত্ত্বে, যখন আর, এস গ্রুপ অ্যালজেব্রা হয়, তখন উপরের সম্পর্কটি ফ্রোবেনিয়াস পারস্পরিকতায় পরিণত হয়। যে কোনও আর-বীজগণিত এস-এর উদাহরণ (অর্থাৎ, স্কেলার প্রসারিত করার পরে একটি মুক্ত মডিউল মুক্ত থাকে)। একটি বিনিময়যোগ্য বলয় এবং একটি বিনিময়যোগ্য আর-বীজগণিত এস-এর জন্য, আমাদের রয়েছেঃ প্রকৃতপক্ষে, আরও সাধারণভাবে, যেখানে একটি আদর্শ। পূর্ববর্তী উদাহরণ এবং চীনা অবশিষ্টাংশ উপপাদ্য ব্যবহার করে, আমাদের বলয় হিসাবে রয়েছে এটি একটি উদাহরণ দেয় যখন একটি টেনসর পণ্য একটি সরাসরি গুণফল হয়। উদাহরণ বেশ সাধারণ মডিউলগুলির একটি টেনসর পণ্যের কাঠামো অপ্রত্যাশিত হতে পারে। ধরা যাক জি একটি আবেলিয়ান গ্রুপ যেখানে প্রতিটি উপাদানের সসীম ক্রম রয়েছে (অর্থাৎ জি একটি টর্জন আবেলিয়ান গ্রুপ; উদাহরণস্বরূপ জি একটি সসীম আবেলিয়ান গ্রুপ বা হতে পারে)। তারপরঃ প্রকৃতপক্ষে, যেকোনও ফর্মের হয় যদি এর ক্রম হয়, তাহলে আমরা গণনা করিঃ একইভাবে, কেউ দেখে এখানে গণনার জন্য দরকারী কিছু পরিচয় রয়েছেঃ ধরা যাক R একটি বিনিময়যোগ্য বলয়, I, J আদর্শ, M, NR-মডিউল। তারপর। যদি এম সমতল হয়,। (কারণ টেনসরিং বেস এক্সটেনশনের সাথে যাতায়াত করে)। উদাহরণস্বরূপঃ যদি জি একটি আবেলিয়ান গ্রুপ হয়, তবে এটি 1 থেকে অনুসরণ করে। উদাহরণস্বরূপঃ এটি 3 থেকে অনুসরণ করে। বিশেষত, স্বতন্ত্র মৌলিক সংখ্যার জন্য p, q, টেনসর পণ্যগুলি গোষ্ঠীর উপাদানগুলির ক্রম নিয়ন্ত্রণ করতে প্রয়োগ করা যেতে পারে। ধরা যাক জি একটি আবেলিয়ান গ্রুপ। তারপর 2 ইঞ্চির গুণিতক শূন্য হয়। উদাহরণস্বরূপঃ ধরা যাক ঐক্যের n-তম মূলের সমষ্টি। এটি একটি চক্রাকার গোষ্ঠী এবং চক্রাকার গোষ্ঠীগুলিকে ক্রম অনুসারে শ্রেণীবদ্ধ করা হয়। সুতরাং, অ-প্রামাণিকভাবে, এবং এইভাবে, যখন g হল n এবং m-এর gcd, উদাহরণস্বরূপ বিবেচনা করুনঃ যেহেতু মাঝখানে-রৈখিকতা আরোপ করে প্রাপ্ত হয়, তাই আমাদের সারজেকশন রয়েছে যার কার্নেলটি ফর্মের উপাদানগুলি দ্বারা উত্পন্ন হয় যেখানে r, s, x, u পূর্ণসংখ্যা এবং s অ-শূন্য। যেহেতু কার্নেলটি আসলে অদৃশ্য হয়ে যায়; অতএব, বিবেচনা করুন এবং। ভেক্টর স্পেস হিসাবে, এর মাত্রা 4, কিন্তু মাত্রা 2 রয়েছে। সুতরাং, এবং আইসোমরফিক নয়। উদাহরণস্বরূপঃ আমরা তুলনা এবং করার প্রস্তাব করছি। পূর্ববর্তী উদাহরণের মতো, আমাদের রয়েছেঃ আবেলিয়ান গ্রুপ হিসাবে এবং এইভাবে-ভেক্টর স্পেস হিসাবে (-ভেক্টর স্পেসের মধ্যে যে কোনও-রৈখিক মানচিত্র-রৈখিক)। ভেক্টর স্পেস হিসাবে, ধারাবাহিকতার মাত্রা (একটি ভিত্তির কার্ডিনালিটি) রয়েছে। অতএব, ধারাবাহিকতার গুণফল দ্বারা সূচীভুক্ত একটি-ভিত্তি রয়েছে; সুতরাং এর-মাত্রা হল ধারাবাহিকতা। সুতরাং, মাত্রার কারণে,-ভেক্টর স্পেসগুলির একটি অ-ক্যানোনিকাল আইসোমরফিজম রয়েছেঃ অপরিবর্তনীয় বহুপদের জন্য মডিউলগুলি বিবেচনা করুন যাতে স্কেলারগুলি পরিবর্তন করা হয়। লক্ষ্য করুন যে এই ঘটনার ভাল উদাহরণগুলি হল যখন নির্মাণ গঠন একটি মুক্ত আবেলিয়ান গোষ্ঠীর একটি ভাগফল গ্রহণ করে, যা এখানে ক্রমযুক্ত জুটিকে বোঝাতে ব্যবহৃত চিহ্নগুলির ভিত্তিতে, এম-এ এম এবং এন-এ এন-এর জন্য সমস্ত উপাদান দ্বারা উত্পন্ন উপগোষ্ঠী দ্বারা ব্যবহৃত উপগোষ্ঠী দ্বারা-এম ি঱ম (এন + এন ') + এম িরিম এন + এম িরিম এন − (এম + এম') িরিম এন + এম িরিম এন + এম িরিম এন (এমআর) িরিম এন − এম িরিম (আরএন) যেখানে এম, এম-এ এম, এন-এ এন, এবং আর-এ আর। ভাগফল মানচিত্র যা ধারণকারী কোসেটে নিয়ে যায়; অর্থাৎ, ভারসাম্যপূর্ণ। একটি মুক্ত আবেলিয়ান গোষ্ঠী এবং একটি ভাগফলের সার্বজনীন বৈশিষ্ট্যগুলি থেকে সর্বজনীন বৈশিষ্ট্য অনুসরণ করা হয়। যদি এস একটি রিং আর-এর একটি সাব রিং হয়, তবে এটি দ্বারা উত্পন্ন উপগোষ্ঠীর ভাগফল গ্রুপ, যেখানে নীচের চিত্রটি বিশেষভাবে, আর-মডিউলগুলির যে কোনও টেনসর পণ্য, যদি ইচ্ছা হয়, আর-ভারসাম্যযুক্ত পণ্য বৈশিষ্ট্য আরোপ করে আবেলিয়ান গোষ্ঠীর টেনসর পণ্যের ভাগফল হিসাবে তৈরি করা যেতে পারে। আরও বিভাগ-তাত্ত্বিকভাবে, ধরা যাক σ হল M-এর উপর R-এর প্রদত্ত সঠিক ক্রিয়া; অর্থাৎ, N-এর R-এর বাম ক্রিয়া σ (m, r) = m·r এবং τ। তারপর, যদি আবেলিয়ান গোষ্ঠীর টেনসর গুণফল ইতিমধ্যে সংজ্ঞায়িত করা হয়, তবে R-এর উপর M এবং N-এর টেনসর গুণফলকে কো-ইকুয়ালাইজার হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারেঃ যেখানে সাবস্ক্রিপ্ট ছাড়া আবেলিয়ান গোষ্ঠীর টেনসর গুণফলকে বোঝায়। একটি কমিউটেটিভ রিং আর-এর উপর টেনসর পণ্য নির্মাণে, আর-মডিউল কাঠামোটি সাধারণ নির্মাণের জন্য উপরে দেওয়া উপাদানগুলি দ্বারা উত্পন্ন সাব-মডিউল দ্বারা একটি মুক্ত আর-মডিউলের ভাগফল গঠন করে শুরু থেকেই তৈরি করা যেতে পারে, উপাদানগুলি দ্বারা বর্ধিত। বিকল্পভাবে, সাধারণ গঠনকে একটি জেড (আর)-মডিউল কাঠামো দেওয়া যেতে পারে যখন স্কেলার ক্রিয়াকে সংজ্ঞায়িত করা হয় যখন এটি ভালভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়, যা ঠিক তখনই হয় যখন আর-এর কেন্দ্র r Π Z (আর)। এম এবং এন-এর সরাসরি গুণফল খুব কমই এম এবং এন-এর টেনসর গুণফলের সমতুল্য হয়। যখন আর বিনিময়যোগ্য না হয়, তখন টেনসর পণ্যটির জন্য এম এবং এন-কে বিপরীত দিকে মডিউল হতে হবে, যখন সরাসরি পণ্যটির জন্য সেগুলি একই দিকে মডিউল হতে হবে। সব ক্ষেত্রেই জি থেকে জি পর্যন্ত একমাত্র ফাংশন যা রৈখিক এবং দ্বিমাত্রিক উভয়ই হল শূন্য মানচিত্র। রৈখিক মানচিত্র হিসাবে সাধারণ ক্ষেত্রে, ভেক্টর স্পেসের একটি টেনসর প্রোডাক্টের সমস্ত বৈশিষ্ট্য মডিউলগুলিতে প্রসারিত হয় না। তবুও, মডিউল সমরূপতা হিসাবে বিবেচিত টেনসর পণ্যের কিছু দরকারী বৈশিষ্ট্য রয়ে গেছে। দ্বৈত মডিউল একটি ডান আর-মডিউল ই-এর দ্বৈত মডিউলকে ক্যানোনিকাল বাম আর-মডিউল কাঠামোর সাথে সংজ্ঞায়িত করা হয় এবং এটি ই ≤ হিসাবে চিহ্নিত করা হয়। ক্যানোনিকাল কাঠামো হল যোগ এবং স্কেলার গুণনের পয়েন্টওয়াইজ অপারেশন। এইভাবে, E ঱্঱ং হল সমস্ত R-রৈখিক মানচিত্রের সেট (যাকে রৈখিক রূপও বলা হয়), অপারেশন সহ একটি বাম R-মডিউলের দ্বৈতকে একই স্বরলিপি সহ অনুরূপভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। E থেকে এর দ্বিতীয় দ্বৈত পর্যন্ত সর্বদা একটি ক্যানোনিকাল সমরূপতা থাকে। এটি একটি আইসোমরফিজম যদি ই সসীম র্যাঙ্কের একটি মুক্ত মডিউল হয়। সাধারণভাবে, E কে রিফ্লেক্সিভ মডিউল বলা হয় যদি ক্যানোনিকাল সমরূপতা একটি সমরূপতা হয়। দ্বৈততা জুটি আমরা এর দ্বৈত ই-র এবং একটি ডান আর-মডিউল ই, বা একটি বাম আর-মডিউল এফ এবং তার দ্বৈত এফ-র প্রাকৃতিক জুটিকে বোঝাই এই জুটিটি তার বাম যুক্তিতে বাম আর-রৈখিক এবং ডান যুক্তিতে ডান আর-রৈখিকঃ একটি (দ্বি) রৈখিক মানচিত্র হিসাবে একটি উপাদান সাধারণ ক্ষেত্রে, মডিউলগুলির টেনসর পণ্যের প্রতিটি উপাদান একটি বাম আর-রৈখিক মানচিত্র, একটি ডান আর-রৈখিক মানচিত্র এবং একটি আর-বিলিনিয়ার ফর্মের জন্ম দেয়। বিনিময়যোগ্য ক্ষেত্রে, সাধারণ ক্ষেত্রে টেনসর পণ্যটি আর-মডিউল নয়, এবং এইভাবে স্কেলার গুণকে সমর্থন করে না। ডান আর-মডিউল ই এবং ডান আর-মডিউল এফ দেওয়া হলে, একটি ক্যানোনিকাল সমরূপতা রয়েছে যেমন মানচিত্র। বাম আর-মডিউল ই এবং ডান আর-মডিউল এফ দেওয়া হলে, একটি ক্যানোনিকাল সমরূপতা রয়েছে যা মানচিত্র। উভয় ক্ষেত্রেই সাধারণ মডিউলগুলি থাকে এবং যদি মডিউল ই এবং এফ সীমাবদ্ধভাবে উত্পন্ন প্রজেক্টিভ মডিউল (বিশেষত সীমাবদ্ধ র্যাঙ্কের মুক্ত মডিউলগুলিতে) সীমাবদ্ধ থাকে তবে এটি আইসোমরফিজমে পরিণত হয়। সুতরাং, একটি রিং আর-এর উপর মডিউলগুলির একটি টেনসর পণ্যের একটি উপাদান একটি আর-রৈখিক মানচিত্রে ক্যানোনিকালভাবে ম্যাপ করে, যদিও ভেক্টর স্পেসের মতো, এই ধরনের রৈখিক মানচিত্রের সম্পূর্ণ স্থানের সমতুল্য হওয়ার জন্য সীমাবদ্ধতাগুলি মডিউলগুলিতে প্রযোজ্য। ডান আর-মডিউল ই এবং বাম আর-মডিউল এফ দেওয়া হলে, একটি ক্যানোনিকাল সমরূপতা রয়েছে যা মানচিত্র। সুতরাং, একটি টেনসর গুণফলের একটি উপাদানকে আর-বিলিনিয়ার মানচিত্রের জন্ম বা কাজ করার কথা ভাবা যেতে পারে। ধরা যাক R একটি বিনিময়যোগ্য বলয় এবং E একটি R-মডিউল। তারপরে একটি ক্যানোনিকাল আর-লিনিয়ার মানচিত্র রয়েছেঃ দ্বারা রৈখিকতা দ্বারা প্ররোচিত; এটি প্রাকৃতিক জুটির সাথে সম্পর্কিত অনন্য আর-লিনিয়ার মানচিত্র। যদি ই একটি পরিমিতভাবে উৎপন্ন প্রজেক্টিভ আর-মডিউল হয়, তবে উপরে উল্লিখিত ক্যানোনিকাল সমরূপতার মাধ্যমে চিহ্নিত করা যেতে পারে এবং তারপরে উপরেরটি ট্রেস ম্যাপঃ যখন আর একটি ক্ষেত্র, এটি একটি রৈখিক রূপান্তরের স্বাভাবিক ট্রেস। ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতি থেকে উদাহরণস্বরূপঃ টেনসর ক্ষেত্র ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতিতে মডিউলগুলির একটি টেনসর পণ্যের সবচেয়ে বিশিষ্ট উদাহরণ হল ভেক্টর ক্ষেত্র এবং ডিফারেনশিয়াল ফর্মগুলির স্পেসগুলির টেনসর পণ্য। আরও সুনির্দিষ্টভাবে বলতে গেলে, যদি R একটি মসৃণ ম্যানিফোল্ড M-এর উপর মসৃণ ফাংশনের (কমিউটেটিভ) বলয় হয়, তবে একটি স্থান দেওয়া হয় যেখানে γ মানে বিভাগগুলির স্থান এবং সুপারস্ক্রিপ্ট মানে R-এর উপর p বার টেনসর করা। সংজ্ঞা অনুসারে, এর একটি উপাদান হল প্রকারের (p, q) একটি টেনসর ক্ষেত্র। আর-মডিউল হিসাবে, এর দ্বৈত মডিউল স্বরলিপি হালকা করা, রাখা ইত্যাদি। যখন 1 ≤ k ≤ p, 1 ≤ l ≤ q সহ প্রতিটি (k, l)-এর জন্য p, q ≤ 1, তখন একটি R-বহু-রৈখিক মানচিত্র থাকেঃ যেখানে মানে এবং হ্যাট মানে একটি শব্দ বাদ দেওয়া হয়েছে। সর্বজনীন বৈশিষ্ট্য অনুসারে, এটি একটি অনন্য আর-রৈখিক মানচিত্রের সাথে মিলে যায়ঃ এটিকে সূচকে (কে, এল) টেনসরের সংকোচন বলা হয়। সর্বজনীন বৈশিষ্ট্যটি কী বলে তা উদ্ঘাটন করেঃ মন্তব্যঃ পূর্ববর্তী আলোচনাটি ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতির পাঠ্যপুস্তকে মানসম্মত (যেমন, হেলগাসোন)। এক দিক থেকে, শেফ-তাত্ত্বিক গঠন (অর্থাৎ, মডিউলগুলির শেফের ভাষা) আরও স্বাভাবিক এবং ক্রমবর্ধমানভাবে আরও সাধারণ; তার জন্য, বিভাগটি দেখুন। ফ্ল্যাট মডিউলগুলির সাথে সম্পর্ক সাধারণভাবে, একটি বাইফাঙ্কটর যা একটি ডান এবং একটি বাম আর মডিউল জুটিকে ইনপুট হিসাবে গ্রহণ করে এবং সেগুলিকে আবেলিয়ান গ্রুপের বিভাগে টেনসর প্রোডাক্টের জন্য বরাদ্দ করে। একটি ডান আর মডিউল এম স্থির করার মাধ্যমে, একটি ফাংক্টর উদ্ভূত হয়, এবং প্রতিসমভাবে একটি বাম আর মডিউল এন একটি ফাংক্টর তৈরি করার জন্য স্থির করা যেতে পারে হোম বাইফাংক্টরের বিপরীতে টেনসর ফাংক্টর উভয় ইনপুটের মধ্যে কোভ্যারিয়েন্ট। এটি দেখানো যেতে পারে যে এবং সর্বদা সঠিক সঠিক ফাংক্টর, তবে অগত্যা সঠিকভাবে ছেড়ে দেওয়া হয় না (যেখানে প্রথম মানচিত্রটি দ্বারা গুণ করা হয়, সঠিক তবে টেনসরটি নেওয়ার পরে নয়)। সংজ্ঞা অনুসারে, একটি মডিউল টি একটি সমতল মডিউল যদি একটি সঠিক ফাংক্টর হয়। যদি এবং যথাক্রমে এম এবং এন-এর জন্য সেট তৈরি করে, তবে এর জন্য একটি জেনারেটিং সেট হবে কারণ টেনসর ফাংক্টর কখনও কখনও সঠিক হতে ব্যর্থ হয়, এটি একটি ন্যূনতম জেনারেটিং সেট নাও হতে পারে, এমনকি মূল জেনারেটিং সেটগুলি ন্যূনতম হলেও। যদি এম একটি সমতল মডিউল হয়, তবে ফাংক্টরটি একটি সমতল মডিউলের সংজ্ঞা অনুসারে সঠিক। যদি টেনসর পণ্যগুলি একটি ক্ষেত্র F-এর উপর নেওয়া হয়, তবে আমরা উপরের মতো ভেক্টর স্পেসের ক্ষেত্রে আছি। যেহেতু সমস্ত এফ মডিউল সমতল, তাই দ্বি-ফাংক্টর উভয় অবস্থাতেই সঠিক, এবং প্রদত্ত দুটি উৎপাদনকারী সেট ভিত্তি, তারপর প্রকৃতপক্ষে অতিরিক্ত কাঠামোর জন্য একটি ভিত্তি গঠন করে যদি এস এবং টি বিনিময়যোগ্য আর-বীজগণিত হয়, তাহলে, #For সমতুল্য মডিউলগুলির মতো, একটি বিনিময়যোগ্য আর-বীজগণিতও হবে, যার গুণন মানচিত্র রৈখিকতা দ্বারা সংজ্ঞায়িত এবং প্রসারিত হবে। এই পরিবেশে, টেনসর পণ্যটি বিনিময়যোগ্য আর-অ্যালজেব্রা বিভাগে একটি ফাইবারযুক্ত সহজাত পণ্য হয়ে ওঠে। (তবে এটি আর-অ্যালজেব্রা বিভাগের একটি সহজাত পণ্য নয়।) যদি এম এবং এন উভয়ই একটি বিনিময়যোগ্য বলয়ের উপর আর-মডিউল হয়, তবে তাদের টেনসর পণ্যটি আবার একটি আর-মডিউল। যদি R একটি রিং হয়, RM একটি বাম R-মডিউল হয়, এবং R-এর যে কোনও দুটি উপাদান r এবং s-এর কমিউটেটর M-এর অ্যানিহিলেটরে থাকে, তবে আমরা একটি ভাগফল কমিউটেটিভ রিংয়ের ক্রিয়ার মাধ্যমে M-এর উপর R-এর ক্রিয়া নির্ধারণ করে M-কে একটি ডান R মডিউলে পরিণত করতে পারি। এই ক্ষেত্রে R-এর উপর M-এর টেনসর গুণফল আবার একটি R-মডিউল। বিনিময়যোগ্য বীজগণিতে এটি একটি খুব সাধারণ কৌশল। সাধারণীকরণ মডিউলগুলির কমপ্লেক্সগুলির টেনসর গুণফল যদি এক্স, ওয়াই আর-মডিউলগুলির কমপ্লেক্স হয় (আর একটি বিনিময়যোগ্য বলয়), তবে তাদের টেনসর গুণফলটি প্রদত্ত ডিফারেনশিয়াল সহ দেওয়া জটিলঃ x-এর জন্য x-এ x এবং y-এ y, উদাহরণস্বরূপ, যদি সি সমতল আবেলিয়ান গোষ্ঠীর একটি চেইন কমপ্লেক্স হয় এবং যদি জি একটি আবেলিয়ান গ্রুপ হয়, তবে এর সমসংস্থান গ্রুপটি জি-তে সহগ সহ সি-এর সমসংস্থান গ্রুপ (আরও দেখুনঃ সর্বজনীন সহগ উপপাদ্য উপপাদ্য)। মডিউলগুলির শেভগুলির টেনসর পণ্য মডিউলগুলির শেভগুলির টেনসর পণ্য হল খোলা উপসেটগুলির উপর বিভাগগুলির মডিউলগুলির টেনসর পণ্যগুলির প্রাক-শেফের সাথে যুক্ত শেফ। উদাহরণস্বরূপ, এই বিন্যাসে, একটি মসৃণ ম্যানিফোল্ড এম-এর উপর একটি টেনসর ক্ষেত্রকে টেনসর পণ্যের (গ্লোবাল বা স্থানীয়) বিভাগ হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে (যাকে টেনসর বান্ডিল বলা হয়) যেখানে ও হল এম-এর উপর মসৃণ ফাংশনের বলয়ের আবরণ এবং বান্ডিলগুলিকে এম-এর উপর স্থানীয়ভাবে মুক্ত আবরণ হিসাবে দেখা হয়। এম-এর উপরের বাহ্যিক বান্ডিলটি সমস্ত অ্যান্টিসিমেট্রিক কোভ্যারিয়েন্ট টেনসর সমন্বিত টেনসর বান্ডিলের সাববান্ডিল। বাহ্যিক বান্ডিলের বিভাগগুলি এম-এর উপর ডিফারেনশিয়াল ফর্ম। একটি গুরুত্বপূর্ণ ক্ষেত্রে যখন কেউ অ-বিনিময়যোগ্য বলয়ের একটি শিফের উপর একটি টেনসর পণ্য তৈরি করে তখন ডি-মডিউল তত্ত্বের মধ্যে উপস্থিত হয়; অর্থাৎ, ডিফারেনশিয়াল অপারেটরের শিফের উপর টেনসর পণ্য। আরও দেখুন অ্যালজেব্রার টর ফাংক্টর টেনসর প্রোডাক্ট টেনসর প্রোডাক্ট অব ফিল্ডস ডিরাইভড টেনসর প্রোডাক্ট নোটস রেফারেন্স। । মডিউল তত্ত্ব বহু-রৈখিক বীজগণিত সমজাতীয় বীজগণিত কাঠামোর উপর ক্রিয়াকলাপ