Runge's theorem
জটিল বিশ্লেষণে, রুঞ্জের উপপাদ্য (রুঞ্জের আনুমানিক উপপাদ্য নামেও পরিচিত) জার্মান গণিতবিদ কার্ল রুঞ্জের নামে নামকরণ করা হয়েছে যিনি 1885 সালে প্রথম এটি প্রমাণ করেছিলেন। এটি নিম্নরূপ বলেঃ C দ্বারা জটিল সংখ্যার সেটকে নির্দেশ করলে, K কে C-এর একটি সংক্ষিপ্ত উপসেট হতে দিন এবং f-কে এমন একটি ফাংশন হতে দিন যা K ধারণকারী একটি উন্মুক্ত সেটের উপর হোলোমরফিক। যদি A এমন একটি সেট হয় যা C\K-এর প্রতিটি আবদ্ধ সংযুক্ত উপাদান থেকে কমপক্ষে একটি জটিল সংখ্যা ধারণ করে তবে মূলদ ফাংশনের একটি ক্রম বিদ্যমান থাকে যা K-এর উপর f-এর সাথে অভিন্নভাবে মিলিত হয় এবং যাতে ফাংশনের সমস্ত মেরু A-তে থাকে। লক্ষ্য করুন যে, 'ক'-এর প্রতিটি জটিল সংখ্যাকে অনুক্রমের প্রতিটি মূলদ ফাংশনের মেরু হতে হবে না। আমরা কেবল জানি যে এর সমস্ত সদস্যের জন্য খুঁটি রয়েছে, সেই খুঁটিগুলি এ-তে রয়েছে। একটি দিক যা এই উপপাদ্যটিকে এত শক্তিশালী করে তোলে তা হল যে কেউ নির্বিচারে সেট এ বেছে নিতে পারে। অন্য কথায়, C\K-এর আবদ্ধ সংযুক্ত উপাদানগুলি থেকে যে কোনও জটিল সংখ্যা বেছে নেওয়া যেতে পারে এবং উপপাদ্যটি শুধুমাত্র সেই নির্বাচিত সংখ্যার মধ্যে মেরু সহ মূলদ ফাংশনের একটি ক্রমের অস্তিত্বের নিশ্চয়তা দেয়। যে বিশেষ ক্ষেত্রে সি কে একটি সংযুক্ত সেট (বিশেষত যখন কে সহজভাবে সংযুক্ত থাকে), উপপাদ্যের সেট এ স্পষ্টভাবে খালি থাকবে। যেহেতু কোনও খুঁটি ছাড়া মূলদ ফাংশনগুলি কেবল বহুপদী হয়, তাই আমরা নিম্নলিখিত উপপাদ্যটি পাইঃ যদি K হল C-এর একটি সংহত উপসেট যাতে C\K একটি সংযুক্ত সেট হয়, এবং f হল K ধারণকারী একটি খোলা সেটের একটি হোলোমরফিক ফাংশন, তাহলে বহুপদগুলির একটি ক্রম বিদ্যমান যা K-এর উপর অভিন্নভাবে f-এর কাছে পৌঁছায় (অনুমানগুলি শিথিল করা যেতে পারে, মার্জেলিয়ানের উপপাদ্য দেখুন)। রুঞ্জের উপপাদ্যটি নিম্নরূপ সাধারণীকরণ করেঃ একজন এ-কে রিমান গোলক সি-এর একটি উপসেট হিসাবে নিতে পারে এবং এর জন্য প্রয়োজন যে এ-ও কে-এর সীমাহীন সংযুক্ত উপাদানকে ছেদ করে (যা এখন রয়েছে)। অর্থাৎ, উপরে প্রদত্ত গঠনে, যুক্তিসঙ্গত ফাংশনগুলি অনন্ততায় একটি মেরুতে পরিণত হতে পারে, যেখানে আরও সাধারণ গঠনে মেরুটিকে C\K-এর সীমাহীন সংযুক্ত উপাদানের যে কোনও জায়গায় বেছে নেওয়া যেতে পারে। প্রমাণ একটি প্রাথমিক প্রমাণ, দেওয়া হয়েছে, নিম্নরূপ অগ্রসর হয়। খোলা সেটটিতে একটি বদ্ধ পিসওয়াইজ-লিনিয়ার কনট্যুর িংগু রয়েছে, যার অভ্যন্তরে কে রয়েছে। কে-তে ডাব্লু-এর জন্য কাউচির অবিচ্ছেদ্য সূত্র অনুসারে রিম্যান আনুমানিক যোগফলকে কে-এর উপর অভিন্নভাবে কনট্যুরের আনুমানিক অনুমান করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। যোগফলের প্রতিটি পদ কনট্যুরের কিছু বিন্দু z-এর জন্য (z−w) −1-এর একটি স্কেলার গুণিতক। এটি একটি যুক্তিসঙ্গত ফাংশন দ্বারা একটি অভিন্ন সন্নিকটন দেয় যার উপর পোল রয়েছে। এটিকে K-এর পরিপূরকের প্রতিটি উপাদানের নির্দিষ্ট বিন্দুতে মেরু সহ একটি আনুমানিক হিসাবে সংশোধন করার জন্য, (z−w) −1 ফর্মের পদগুলির জন্য এটি পরীক্ষা করা যথেষ্ট। যদি z0, z-এর মতো একই উপাদানের বিন্দু হয়, তাহলে z থেকে z0 পর্যন্ত একটি টুকরো-রৈখিক পথ নিন। যদি দুটি বিন্দু পথে যথেষ্ট কাছাকাছি থাকে, তবে শুধুমাত্র প্রথম বিন্দুতে মেরু সহ যে কোনও যুক্তিসঙ্গত ফাংশনকে দ্বিতীয় বিন্দু সম্পর্কে লরেন্ট সিরিজ হিসাবে প্রসারিত করা যেতে পারে। লরেন্ট সিরিজটিকে একটি যুক্তিসঙ্গত ফাংশন দেওয়ার জন্য কাটা যেতে পারে যাতে কেবলমাত্র K-এর মূল ফাংশনের সমানভাবে কাছাকাছি দ্বিতীয় বিন্দুতে খুঁটিগুলি থাকে। z থেকে z0 পর্যন্ত পথ বরাবর ধাপগুলি দ্বারা অগ্রসর হয়ে মূল ফাংশন (z−w) −1-কে পর্যায়ক্রমে পরিবর্তন করা যেতে পারে শুধুমাত্র z0-এ খুঁটি সহ একটি যুক্তিসঙ্গত ফাংশন দেওয়ার জন্য। যদি z0 অসীম বিন্দু হয়, তবে উপরের পদ্ধতি দ্বারা যুক্তিসঙ্গত ফাংশন (z−w) −1 প্রথমে R> 0-এ মেরু সহ একটি যুক্তিসঙ্গত ফাংশন g দ্বারা আনুমানিক হতে পারে যেখানে R এত বড় যে K w <R-এ অবস্থিত।