Gonality of an algebraic curve
গণিতে, একটি বীজগাণিতিক বক্ররেখা সি-এর গনালিটি সি থেকে প্রজেক্টিভ লাইনে একটি অ-ধ্রুবক মূলদ মানচিত্রের সর্বনিম্ন ডিগ্রি হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। আরও বীজগাণিতিক পরিভাষায়, যদি C কে K ক্ষেত্রের উপর সংজ্ঞায়িত করা হয় এবং K (C) C এর ফাংশন ক্ষেত্রকে নির্দেশ করে, তবে গনালিটি হল একক ফাংশন f দ্বারা উত্পন্ন তার উপক্ষেত্রের উপর K (C)/K (f) ক্ষেত্র সম্প্রসারণের ডিগ্রি দ্বারা নেওয়া সর্বনিম্ন মান। যদি K বীজগাণিতিকভাবে বন্ধ থাকে, তবে জেনস 0 এর বক্ররেখার জন্য গনালিটি সুনির্দিষ্টভাবে 1 হয়। গণ 1 (উপবৃত্তাকার বক্ররেখা) এবং অতি উপবৃত্তাকার বক্ররেখার জন্য গনালিটি হল 2 (এতে গণ 2-এর সমস্ত বক্ররেখা অন্তর্ভুক্ত)। জেনাস জি. 3-এর ক্ষেত্রে এটি আর ঘটে না যে জেনাসটি গনালিটি নির্ধারণ করে। জি গণের সাধারণ বক্ররেখার গনালিটি হল (জি + 3)/2 এর ফ্লোর ফাংশন। ত্রিকোণাকার বক্ররেখা হল গনালিটি 3 সহ, এবং এই ক্ষেত্রে সাধারণভাবে নামটির জন্ম হয়। ত্রিকোণীয় বক্ররেখার মধ্যে রয়েছে তৃতীয় গণের পিকার্ড বক্ররেখা এবং y3 = Q (x) সমীকরণ দ্বারা প্রদত্ত যেখানে Q ডিগ্রি 4। এম. গ্রিন এবং আর. ল্যাজারসফেল্ডের গনালিটি অনুমান ভবিষ্যদ্বাণী করে যে বীজগাণিতিক বক্ররেখা সি-এর গনালিটি হোমোলজিকাল বীজগণিত দ্বারা গণনা করা যেতে পারে, যার অর্থ উচ্চ মাত্রার একটি বিপরীতযোগ্য শিফের ন্যূনতম রেজোলিউশন থেকে। অনেক ক্ষেত্রে গনালিটি ক্লিফোর্ড সূচকের চেয়ে দুই গুণ বেশি। গ্রিন-ল্যাজারসফেল্ড অনুমানটি শ্রেণীবদ্ধ বেটি সংখ্যার পরিপ্রেক্ষিতে একটি সঠিক সূত্র যা r মাত্রায় একটি ডিগ্রি ডি এম্বেডিংয়ের জন্য, ডি-এর জন্য গণের সাপেক্ষে বড়। b (C) লেখা, C-এর প্রদত্ত এমবেডিং এবং তার সমজাতীয় স্থানাঙ্ক বলয়ের জন্য ন্যূনতম মুক্ত রেজোলিউশনের ক্ষেত্রে, ন্যূনতম সূচক i-এর জন্য যার জন্য βi, i + 1 শূন্য, তাহলে গনালিটির জন্য অনুমান করা সূত্রটি হল r + 1 − b (C)। ফেডেরিকো আমোডিওর 1900 সালের আইসিএম আলোচনা অনুসারে, ধারণাটি (তবে পরিভাষা নয়) রিম্যানের আবেলিয়ান ফাংশন তত্ত্বের পঞ্চম বিভাগে উদ্ভূত হয়েছিল। আমোদেও 1893 সালের গোড়ার দিকে "গনালিটা" শব্দটি ব্যবহার করেছিলেন। তথ্যসূত্র বীজগাণিতিক বক্ররেখা সমজাতীয় বীজগণিত