Noether normalization lemma
গণিতে, নোইথার স্বাভাবিকীকরণ লেম্মা হল 1926 সালে এমি নোইথার দ্বারা প্রবর্তিত বিনিময়যোগ্য বীজগণিতের একটি ফলাফল। এটি বলে যে, যে কোনও ক্ষেত্র k এবং যে কোনও পরিমিতভাবে উত্পন্ন বিনিময়যোগ্য k-বীজগণিত A-এর জন্য, A-তে বীজগাণিতিকভাবে স্বাধীন উপাদান y1, y2,., yd এমনভাবে বিদ্যমান যে A হল বহুপদী বলয় S = k [y1, y2,., yd]-এর উপর একটি সীমিতভাবে উত্পন্ন মডিউল। পূর্ণসংখ্যা d হল বলয় A-এর ক্রুল মাত্রার সমান এবং যদি A একটি অবিচ্ছেদ্য ক্ষেত্র হয়, তবে d হল k-এর উপর A-এর ভগ্নাংশের ক্ষেত্রের উত্তরণ ডিগ্রি। উপপাদ্যটির একটি জ্যামিতিক ব্যাখ্যা রয়েছে। ধরুন A হল একটি অ্যাফিন বৈচিত্র্য X-এর স্থানাঙ্ক বলয়, এবং S-কে একটি d-মাত্রিক অ্যাফিন স্থানের স্থানাঙ্ক বলয় হিসাবে বিবেচনা করুন। তারপরে অন্তর্ভুক্তি মানচিত্রটি অ্যাফিন জাতের একটি সার্জেক্টিভ সীমাবদ্ধ অঙ্গসংস্থানকে প্ররোচিত করেঃ অর্থাৎ, যে কোনও অ্যাফিন জাত অ্যাফিন স্থানের একটি শাখাযুক্ত আচ্ছাদন। যখন k অসীম হয়, তখন X ধারণকারী একটি অ্যাফিন স্থান থেকে একটি ডি-মাত্রিক সাবস্পেসে একটি সাধারণ অভিক্ষেপ নিয়ে এই ধরনের একটি শাখাযুক্ত আচ্ছাদন মানচিত্র তৈরি করা যেতে পারে। আরও সাধারণভাবে, পরিকল্পনার ভাষায়, উপপাদ্যটিকে সমতুল্যভাবে বলা যেতে পারেঃ প্রতিটি অ্যাফিন কে-স্কিম (সীমাবদ্ধ প্রকারের) এক্স একটি অ্যাফিন এন-ডাইমেনশনাল স্পেসের উপর সীমাবদ্ধ। উপপাদ্যটি R-এর আদর্শের একটি শৃঙ্খল (সমতুল্য, X-এর বদ্ধ উপসেট) অন্তর্ভুক্ত করার জন্য পরিমার্জিত করা যেতে পারে যা সংশ্লিষ্ট মাত্রাগুলির অ্যাফিন স্থানাঙ্ক উপস্থানগুলির উপর সীমাবদ্ধ। হিলবার্টের নলস্টেলেনস্যাটজ, যা ধ্রুপদী বীজগাণিতিক জ্যামিতির অন্যতম মৌলিক ফলাফল, তা প্রমাণ করার জন্য নোইথার স্বাভাবিকীকরণ লেম্মাকে একটি গুরুত্বপূর্ণ পদক্ষেপ হিসাবে ব্যবহার করা যেতে পারে। কে-অ্যালজেব্রার জন্য ক্রুল মাত্রার ধারণা প্রতিষ্ঠায় স্বাভাবিকীকরণ উপপাদ্যটিও একটি গুরুত্বপূর্ণ হাতিয়ার। প্রমাণ নিম্নলিখিত প্রমাণটি নাগাতার কারণে, মমফোর্ডের লাল বই অনুসরণ করে। লাল বইয়ের 127 পৃষ্ঠায় আরও জ্যামিতিক প্রমাণ দেওয়া হয়েছে। লেম্মায় বলয় এ কিছু উপাদান দ্বারা কে-বীজগণিত হিসাবে উৎপন্ন হয়। আমরা এম অন্তর্ভুক্ত করব। যদি, তাহলে দাবিটি তুচ্ছ। এখনই ধরে নিন। এটি দেখানোর জন্য যথেষ্ট যে, 'এ'-এর একটি সাব-রিং রয়েছে যা উপাদান দ্বারা উৎপন্ন হয়, যেমন 'এ' হল 'এস'-এর উপর সীমাবদ্ধ। প্রকৃতপক্ষে, ইন্ডাক্টিভ হাইপোথিসিস দ্বারা, আমরা এস-এর বীজগাণিতিকভাবে স্বাধীন উপাদানগুলি খুঁজে পেতে পারি যাতে 'এস' সীমাবদ্ধ হয়। যেহেতু অন্যথায় প্রমাণ করার মতো কিছুই থাকবে না, তাই আমরা অনুমান করতে পারি যে k-এর উপর m চলকের মধ্যে একটি অ-শূন্য বহুপদী f রয়েছে। একটি পূর্ণসংখ্যা r দেওয়া হয়েছে যা পরে নির্ধারণ করা হয়, সেট করুন তারপর পূর্ববর্তীটি পড়েঃ এখন, যদি উপরের সমীকরণের বাম দিকে একটি মনোমিয়াল উপস্থিত হয়, সহগ সহ, গুণফলটি প্রসারিত করার পরে সর্বোচ্চ পদটি এমন দেখায় যখনই উপরের সূচকটি অন্য কোনও মনোমিয়াল দ্বারা উত্পাদিত সর্বোচ্চ সূচকের সাথে একমত হয়, এটি সম্ভব যে সর্বোচ্চ পদটি উপরের ফর্মের হবে না, কারণ এটি বাতিলকরণ দ্বারা প্রভাবিত হতে পারে। যাইহোক, যদি r f-এ উপস্থিত যে কোনও সূচকের চেয়ে বড় হয়, তবে প্রতিটি একটি অনন্য বেস r সংখ্যাকে এনকোড করে, তাই এটি ঘটে না। সুতরাং এটি অবিচ্ছেদ্য। যেহেতু সেই বলয়ের উপরও অবিচ্ছেদ্য, A হল S-এর উপর অবিচ্ছেদ্য। এটি অনুসরণ করে A হল S-এর উপর সীমাবদ্ধ, এবং যেহেতু S হল m-1 উপাদান দ্বারা উত্পন্ন, ইন্ডাক্টিভ হাইপোথিসিস দ্বারা আমরা সম্পন্ন করি। যদি A একটি অবিচ্ছেদ্য ক্ষেত্র হয়, তবে d হল তার ভগ্নাংশ ক্ষেত্রের অতিক্রম ডিগ্রি। প্রকৃতপক্ষে, 'এ' এবং 'এ'-এর একই অতিক্রম ডিগ্রি রয়েছে (অর্থাৎ, ভগ্নাংশের ক্ষেত্রের ডিগ্রি) যেহেতু 'এ'-এর ভগ্নাংশের ক্ষেত্রটি 'এস'-এর তুলনায় বীজগাণিতিক (যেহেতু 'এ' হল 'এস'-এর উপর অবিচ্ছেদ্য) এবং 'এস'-এর অতিক্রম ডিগ্রি ডি রয়েছে। সুতরাং, এটি বহুপদী বলয় 'এস'-এর ক্রাল মাত্রাটি 'ডি' দেখানোর জন্য রয়ে গেছে। (এটিও মাত্রা তত্ত্বের একটি পরিণতি।) আমরা ডি-তে অন্তর্ভুক্ত করি, কেসটি তুচ্ছ। যেহেতু মৌলিক আদর্শের একটি শৃঙ্খল, তাই মাত্রাটি কমপক্ষে d। বিপরীত অনুমান পেতে, মৌলিক আদর্শের একটি শৃঙ্খল হতে হবে। যাক। আমরা নোইথার নরমালাইজেশন প্রয়োগ করি এবং পাই (নরমালাইজেশন প্রক্রিয়ায়, আমরা প্রথম পরিবর্তনশীলটি বেছে নিতে স্বাধীন) যাতে এস টি-এর উপর অবিচ্ছেদ্য হয়। ইন্ডাক্টিভ হাইপোথিসিস অনুসারে, এর মাত্রা ডি-1। অসামঞ্জস্যতা দ্বারা, দৈর্ঘ্যের একটি শৃঙ্খল এবং তারপর, এটি দৈর্ঘ্যের একটি শৃঙ্খলে পরিণত হয়। তারপর থেকে, আমাদের আছে। তাই,। পরিষ্করণ আইজেনবুডের বইয়ে নিম্নলিখিত পরিমার্জনটি দেখা যায়, যা নাগাতার ধারণার উপর ভিত্তি করেঃ জ্যামিতিকভাবে বলতে গেলে, উপপাদ্যটির শেষ অংশটি বলে যে কোনও সাধারণ রৈখিক অভিক্ষেপের জন্য একটি সীমাবদ্ধ অঙ্গসংস্থানকে প্ররোচিত করে (সিএফ। এলইডি); আইজেনবুদ ছাড়াও, আরও দেখুন। দৃষ্টান্তমূলক প্রয়োগঃ সাধারণ স্বাধীনতা সাধারণীকরণ লেমার একটি সাধারণ অ-তুচ্ছ প্রয়োগ হল সাধারণ স্বাধীনতা উপপাদ্যঃ ধরা যাক এমন একটি রিং যা একটি নোথেরিয়ান ইন্টিগ্রাল ডোমেন এবং ধরুন একটি রিং সমরূপতা রয়েছে যা একটি সীমাবদ্ধভাবে উত্পন্ন বীজগণিত হিসাবে প্রদর্শিত হয়। তারপর এমন কিছু আছে যা একটি মুক্ত-মডিউল। এটি প্রমাণ করার জন্য, এর ভগ্নাংশ ক্ষেত্রটি ধরা যাক। আমরা এর ক্রুল মাত্রার উপর ইন্ডাকশন দ্বারা তর্ক করি। বেস কেসটি হল যখন ক্রাল মাত্রাটি হয়; অর্থাৎ, অর্থাৎ, যখন এমন কিছু থাকে যা, তাই এটি একটি-মডিউল হিসাবে মুক্ত। ইন্ডাক্টিভ ধাপের জন্য, লক্ষ্য করুন যে এটি একটি সীমাবদ্ধভাবে উত্পন্ন-বীজগণিত। তাই নোইথার নরমালাইজেশন লেমা দ্বারা, বীজগাণিতিকভাবে স্বাধীন উপাদান রয়েছে যা বহুপদী বলয়ের উপর সীমাবদ্ধ। প্রত্যেকটিকে উপাদান দ্বারা গুণ করলে, আমরা ধরে নিতে পারি যে এগুলি রয়েছে। আমরা এখন বিবেচনা করিঃ এখন সীমাবদ্ধ নাও হতে পারে, তবে একটি একক উপাদানকে নিম্নরূপ উল্টানোর পরে এটি সীমাবদ্ধ হয়ে যাবে। যদি একটি উপাদান হয়, তবে, একটি উপাদান হিসাবে, এটি অবিচ্ছেদ্য ওভার; অর্থাৎ, কিছু জন্য। সুতরাং, কেউ কেউ এর সহগের সমস্ত হরকে মেরে ফেলে এবং তাই অবিচ্ছেদ্য। একটি-বীজগণিত হিসাবে কিছু সীমিত সংখ্যক জেনারেটর নির্বাচন করে এবং প্রতিটি জেনারেটরের উপর এই পর্যবেক্ষণ প্রয়োগ করে, আমরা এমন কিছু খুঁজে পাই যা অবিচ্ছেদ্য (এইভাবে সীমাবদ্ধ)। দ্বারা প্রতিস্থাপন করুন এবং তারপরে আমরা ধরে নিতে পারি যে এটি সীমাবদ্ধ। শেষ করার জন্য,-সাব-মডিউল দ্বারা একটি সীমাবদ্ধ পরিস্রাবণ বিবেচনা করুন যাতে মৌলিক আদর্শের জন্য (এই ধরনের পরিস্রাবণ সংশ্লিষ্ট মৌলিক সংখ্যার তত্ত্ব দ্বারা বিদ্যমান)। প্রতিটি আই-এর জন্য, যদি ইন্ডাক্টিভ হাইপোথিসিস দ্বারা, আমরা এমন কিছু বেছে নিতে পারি যা একটি-মডিউল হিসাবে মুক্ত, যখন একটি বহুপদী বলয় এবং এইভাবে মুক্ত। অতএব, সঙ্গে, একটি মুক্ত মডিউল শেষ। উল্লেখগুলি উল্লেখ করুন। এনবি দ্য লেম্মা আপডেট করা মন্তব্যে রয়েছে। আরও পড়া রবার্টজ, ডি.: মনোমিয়াল শঙ্কু পচন দ্বারা পরিচালিত নোইথার স্বাভাবিককরণ। জে। প্রতীকী গণনা। 44 (10), 1359-1373 (2009) বিনিময়যোগ্য বীজগণিত বীজগণিতে বীজগাণিতিক বৈচিত্র্য বীজগাণিতিক জ্যামিতি