Nil ideal
গণিতে, আরও সুনির্দিষ্টভাবে বলয় তত্ত্ব, একটি বলয়ের বাম, ডান বা দ্বিমুখী আদর্শকে শূন্য আদর্শ বলা হয় যদি এর প্রতিটি উপাদান নিলপোটেন্ট হয়। একটি বিনিময়যোগ্য বলয়ের নিল্রাডিক্যাল একটি শূন্য আদর্শের উদাহরণ; প্রকৃতপক্ষে, এটি শূন্য হওয়ার বৈশিষ্ট্যের সাপেক্ষে বলয়ের সর্বোচ্চ আদর্শ। দুর্ভাগ্যবশত শূন্য উপাদানের সেট সবসময় অ-বিনিময়যোগ্য বলয়ের জন্য আদর্শ গঠন করে না। নিল আদর্শগুলি এখনও আকর্ষণীয় উন্মুক্ত প্রশ্নের সাথে যুক্ত, বিশেষত অমীমাংসিত কোথে অনুমান। কমিউটেটিভ রিং-এ, নন-কমিউটেটিভ রিং-এর তুলনায় নিল আদর্শগুলি আরও ভালভাবে বোঝা যায়, প্রাথমিকভাবে কারণ কমিউটেটিভ রিং-এ, নিলপোটেন্ট উপাদান এবং নিলপোটেন্ট উপাদানগুলির যোগফল উভয়ই নিলপোটেন্ট। এর কারণ হল, যদি a এবং b, an = 0 এবং bm = 0 সহ R-এর নিলপোটেন্ট উপাদান হয় এবং r, R-এর যে কোনও উপাদান হয়, তাহলে (a·r) n = an·rn = 0, এবং দ্বিপদী উপপাদ্য অনুসারে, (a + b) m + n = 0। অতএব, সমস্ত নিলপোটেন্ট উপাদানের সমষ্টি একটি আদর্শ গঠন করে যা একটি বলয়ের নিল র্যাডিকেল নামে পরিচিত। যেহেতু নিল র্যাডিকেল প্রতিটি নিলপোটেন্ট উপাদান ধারণ করে, তাই একটি বিনিময়যোগ্য বলয়ের একটি আদর্শ শূন্য হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি এটি শূন্য র্যাডিকেলের একটি উপসেট হয়, এবং তাই শূন্য র্যাডিকেল অ-শূন্য আদর্শের মধ্যে সর্বাধিক হয়। উপরন্তু, একটি বিনিময়যোগ্য বলয় R-এর যে কোনও নিলপোটেন্ট উপাদান a-এর জন্য আদর্শ aR হল শূন্য। যাইহোক, একটি অ-বিনিময়যোগ্য বলয়ের জন্য, এটি সাধারণভাবে সত্য নয় যে নিলপোটেন্ট উপাদানগুলির সেট একটি আদর্শ গঠন করে, অথবা a একটি শূন্য (একতরফা) আদর্শ, এমনকি যদি a নিলপোটেন্ট হয়। অ-বিনিময়শীল বলয় অ-বিনিময়শীল বলয় তত্ত্বে শূন্য আদর্শের তত্ত্বের প্রধান গুরুত্ব রয়েছে। বিশেষ করে, শূন্য বলয়ের বোঝার মাধ্যমে-যে বলয়ের প্রতিটি উপাদান নিলপোটেন্ট-কেউ আরও সাধারণ বলয়ের সম্পর্কে আরও ভাল ধারণা পেতে পারে। বিনিময়যোগ্য বলয়ের ক্ষেত্রে, সর্বদা একটি সর্বাধিক শূন্য আদর্শ থাকেঃ বলয়ের নিল্রাডিকাল। অ-বিনিময়যোগ্য বলয়ের ক্ষেত্রে এই ধরনের সর্বাধিক শূন্য আদর্শের অস্তিত্ব এই সত্য দ্বারা নিশ্চিত করা হয় যে শূন্য আদর্শের যোগফল আবার শূন্য। যাইহোক, এই দাবির সত্যতা যে দুটি বাম শূন্য আদর্শের যোগফল আবার একটি বাম শূন্য আদর্শ অধরা রয়ে গেছে; এটি একটি উন্মুক্ত সমস্যা যা কোথে অনুমান নামে পরিচিত। কোথে অনুমানটি প্রথম 1930 সালে উত্থাপিত হয়েছিল এবং এখনও 2023 সাল পর্যন্ত অমীমাংসিত রয়ে গেছে। নিলপোটেন্ট আদর্শের সঙ্গে সম্পর্ক একটি নিলপোটেন্ট আদর্শের সঙ্গে একটি নিলপোটেন্ট আদর্শের ধারণার গভীর সংযোগ রয়েছে এবং কিছু শ্রেণীর বলয়ে দুটি ধারণার মিল রয়েছে। যদি একটি আদর্শ নিলপোটেন্ট হয়, তবে তা অবশ্যই শূন্য। শূন্য আদর্শের নিলপোটেন্ট হওয়ার জন্য দুটি প্রধান বাধা রয়েছেঃ উপাদানগুলিকে ধ্বংস করার জন্য প্রয়োজনীয় সূচকের উপরের সীমা থাকার প্রয়োজন নেই। স্বেচ্ছাচারীভাবে উচ্চ সূচকের প্রয়োজন হতে পারে। ইচ্ছাকৃতভাবে উচ্চ n-এর জন্য n-নিলপোটেন্ট উপাদানের গুণফল অ-শূন্য হতে পারে। স্পষ্টতই একটি শূন্য আদর্শের জন্য নিলপোটেন্ট হিসাবে যোগ্যতা অর্জনের জন্য এই দুটি বাধা অবশ্যই এড়াতে হবে। একটি ডান আর্টিনিয়ান রিংয়ে, যে কোনও শূন্য আদর্শ নিলপোটেন্ট হয়। এটি পর্যবেক্ষণ করে প্রমাণিত হয় যে যে কোনও শূন্য আদর্শ বলয়ের জ্যাকবসন র্যাডিকেলের মধ্যে রয়েছে এবং যেহেতু জ্যাকবসন র্যাডিকেল একটি নিলপোটেন্ট আদর্শ (আর্টিনিয়ান অনুমানের কারণে), তাই ফলাফলটি অনুসরণ করা হয়। প্রকৃতপক্ষে, এটি ডান নোথেরিয়ান বলয়গুলিতে সাধারণীকরণ করা হয়েছে; ফলাফলটি লেভিৎস্কির উপপাদ্য হিসাবে পরিচিত। উটুমির কারণে একটি বিশেষ সহজ প্রমাণ পাওয়া যায়। আরও দেখুন কোথের অনুমান নিলপোটেন্ট আদর্শ নিলরাডিকাল জ্যাকবসন র্যাডিক্যাল নোটস রেফারেন্স আদর্শ (রিং তত্ত্ব)