Fredholm alternative
গণিতে, ফ্রেডহোল্ম বিকল্প, ইভার ফ্রেডহোল্মের নামে নামকরণ করা হয়েছে, ফ্রেডহোল্মের উপপাদ্যগুলির মধ্যে একটি এবং ফ্রেডহোল্ম তত্ত্বের একটি ফলাফল। এটি বিভিন্ন উপায়ে প্রকাশ করা যেতে পারে, রৈখিক বীজগণিতের উপপাদ্য হিসাবে, অবিচ্ছেদ্য সমীকরণের উপপাদ্য হিসাবে, বা ফ্রেডহোম অপারেটরদের উপর একটি উপপাদ্য হিসাবে। ফলাফলের একটি অংশে বলা হয়েছে যে একটি কম্প্যাক্ট অপারেটরের বর্ণালীতে একটি অ-শূন্য জটিল সংখ্যা একটি আইগেনভ্যালু। রৈখিক বীজগণিত যদি V একটি n-মাত্রিক ভেক্টর স্থান হয় এবং একটি রৈখিক রূপান্তর হয়, তবে নিম্নলিখিতগুলির মধ্যে ঠিক একটি ধারণ করেঃ V-তে প্রতিটি ভেক্টরের জন্য V-তে একটি ভেক্টর u থাকে যাতে। অন্য কথায়ঃ টি হল সারজেক্টিভ (এবং তাই বাইজেক্টিভ, যেহেতু ভি হল সসীম-মাত্রিক)। ম্যাট্রিক্সের পরিপ্রেক্ষিতে আরও একটি প্রাথমিক সূত্র নিম্নরূপ। একটি m × n ম্যাট্রিক্স A এবং একটি m × 1 কলাম ভেক্টর b দেওয়া হলে, নিম্নলিখিতগুলির মধ্যে ঠিক একটি অবশ্যই ধরে রাখতে হবেঃ হয়ঃ A x = b এর একটি সমাধান x অথবাঃ AT y = 0 এর একটি সমাধান y রয়েছে যার yTb  ঒ত্ত 0। অন্য কথায়, A x = b-এর একটি সমাধান থাকে যদি এবং শুধুমাত্র যদি কোনও y-এর জন্য এটি yTb = 0 অনুসরণ করে। ইন্টিগ্রাল সমীকরণগুলি একটি ইন্টিগ্রাল কার্নেল হতে দিন, এবং সমজাতীয় সমীকরণ, ফ্রেডহোল্ম ইন্টিগ্রাল সমীকরণ এবং অসমজাতীয় সমীকরণ বিবেচনা করুন। ফ্রেডহোল্ম বিকল্প হল এই বিবৃতি যে, প্রতিটি অ-শূন্য স্থির জটিল সংখ্যার জন্য, প্রথম সমীকরণের একটি অ-তুচ্ছ সমাধান রয়েছে, অথবা দ্বিতীয় সমীকরণের সকলের জন্য একটি সমাধান রয়েছে। এই বিবৃতিটি সত্য হওয়ার জন্য একটি যথেষ্ট শর্ত হল আয়তক্ষেত্রের উপর বর্গাকার ইন্টিগ্রেবল হওয়া (যেখানে a এবং/অথবা b বিয়োগ বা যোগ অনন্ত হতে পারে)। এই ধরনের কে দ্বারা সংজ্ঞায়িত ইন্টিগ্রাল অপারেটরকে হিলবার্ট-শ্মিট ইন্টিগ্রাল অপারেটর বলা হয়। কার্যকরী বিশ্লেষণ ফ্রেডহোম অপারেটরদের সম্পর্কে ফলাফলগুলি এই ফলাফলগুলিকে অসীম মাত্রার আদর্শ ভেক্টর স্পেসগুলি সম্পূর্ণ করতে সাধারণীকরণ করে; অর্থাৎ, বানাচ স্পেস। অবিচ্ছেদ্য সমীকরণটি অপারেটর স্বরলিপির পরিপ্রেক্ষিতে নিম্নরূপ সংস্কার করা যেতে পারে। দুটি চলকের মধ্যে বিতরণ বা সাধারণীকৃত ফাংশন হিসাবে বিবেচিত ডিরাক ডেল্টা ফাংশনকে বোঝাতে (কিছুটা অনানুষ্ঠানিকভাবে) লিখুন। তারপর কনভোলিউশন দ্বারা, দ্বারা প্রদত্ত ফাংশনের একটি বানাচ স্পেসে কাজ করা একটি রৈখিক অপারেটরকে প্ররোচিত করে। এই ভাষায়, ইন্টিগ্রাল সমীকরণের জন্য ফ্রেডহোম বিকল্পটি সীমাবদ্ধ-মাত্রিক রৈখিক বীজগণিতের জন্য ফ্রেডহোম বিকল্পের অনুরূপ বলে মনে করা হয়। উপরের মত একটি কার্নেলের সাথে কনভোলিউশন দ্বারা প্রদত্ত অপারেটরটি হিলবার্ট-শ্মিট ইন্টিগ্রাল অপারেটর হিসাবে পরিচিত। এই ধরনের অপারেটররা সবসময় কম্প্যাক্ট থাকে। আরও সাধারণভাবে, ফ্রেডহোম বিকল্পটি বৈধ যখন কোনও কম্প্যাক্ট অপারেটর হয়। ফ্রেডহোল্ম বিকল্পটি নিম্নলিখিত আকারে পুনরায় বর্ণনা করা যেতে পারেঃ একটি অ-শূন্য হয় একটি আইগেনভ্যালু বা সমাধানকারী উপবৃত্তাকার আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের ডোমেনে অবস্থিত ফ্রেডহোল্ম বিকল্পটি রৈখিক উপবৃত্তাকার সীমানা মান সমস্যা সমাধানে প্রয়োগ করা যেতে পারে। মূল ফলাফলটি হ 'লঃ যদি সমীকরণ এবং উপযুক্ত বানাচ স্পেসগুলি সঠিকভাবে স্থাপন করা হয়, তবে হয় (1) সমজাতীয় সমীকরণের একটি অ-তুচ্ছ সমাধান রয়েছে, অথবা (2) প্রতিটি পছন্দের তথ্যের জন্য অসম সমীকরণটি অনন্যভাবে সমাধান করা যেতে পারে। যুক্তিটি নিম্নরূপ। একটি সাধারণ সহজ-থেকে-বোঝার উপবৃত্তাকার অপারেটর এল হবে ল্যাপলেসিয়ান প্লাস কিছু নিম্ন ক্রমের পদ। উপযুক্ত সীমানা শর্তের সাথে মিলিত হয়ে এবং একটি উপযুক্ত বানাচ স্পেস এক্স-এর উপর প্রকাশ করা হয় (যা সীমানা শর্ত এবং সমাধানের পছন্দসই নিয়মিততা উভয়কেই এনকোড করে), এল এক্স থেকে নিজের কাছে একটি সীমাহীন অপারেটর হয়ে ওঠে এবং কেউ সমাধান করার চেষ্টা করে যেখানে এফ এক্স এমন কিছু ফাংশন যা ডেটা হিসাবে কাজ করে যার জন্য আমরা একটি সমাধান চাই। ফ্রেডহোল্ম বিকল্প, উপবৃত্তাকার সমীকরণের তত্ত্বের সাথে, আমাদের এই সমীকরণের সমাধানগুলি সংগঠিত করতে সক্ষম করবে। একটি সুনির্দিষ্ট উদাহরণ হবে একটি উপবৃত্তাকার সীমানা-মান সমস্যা যেমন সীমানা শর্তের সাথে পরিপূরক যেখানে ωRn মসৃণ সীমানা সহ একটি আবদ্ধ খোলা সেট এবং h (x) একটি নির্দিষ্ট সহগ ফাংশন (একটি শ্রোডিঞ্জার অপারেটরের ক্ষেত্রে একটি সম্ভাব্যতা)। ফাংশনটি হল চলক তথ্য যার জন্য আমরা সমীকরণটি সমাধান করতে চাই। এখানে X কে সমস্ত বর্গ-ইন্টিগ্রেবল ফাংশনের স্থান L2 (ω) হিসাবে নেওয়া হবে এবং ডোম (L) হল সোবোলেভ স্থান W 2,2 (ω) ωW (ω), যা ω এর উপর সমস্ত বর্গ-ইন্টিগ্রেবল ফাংশনের সেটের সমান, যার দুর্বল প্রথম এবং দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ বিদ্যমান এবং বর্গ-ইন্টিগ্রেবল, এবং যা ω এর উপর শূন্য সীমানা শর্ত পূরণ করে। যদি X সঠিকভাবে নির্বাচন করা হয় (যেমনটি এই উদাহরণে রয়েছে), তাহলে μ0>> 0-এর জন্য অপারেটর L + μ0 ধনাত্মক হয়, এবং তারপর উপবৃত্তাকার অনুমান ব্যবহার করে, কেউ প্রমাণ করতে পারে যে L + μ0: Dom (L) → X একটি বাইজেকশন, এবং এর বিপরীতটি একটি কম্প্যাক্ট, X থেকে X পর্যন্ত সর্বত্র সংজ্ঞায়িত অপারেটর K, যার চিত্রটি Dom (L)-এর সমান। আমরা এরকম একটি μ0 ঠিক করি, তবে এর মান গুরুত্বপূর্ণ নয় কারণ এটি কেবল একটি সরঞ্জাম। তারপরে আমরা কম্প্যাক্ট অপারেটরদের জন্য উপরে বর্ণিত ফ্রেডহোল্ম বিকল্পটিকে সীমানা-মান সমস্যা (*)-(* *) এর সমাধানযোগ্যতা সম্পর্কে একটি বিবৃতিতে রূপান্তরিত করতে পারি। উপরে বর্ণিত ফ্রেডহোল্ম বিকল্পটি দাবি করেঃ প্রতিটি λ ωR-এর জন্য, হয় λ হল K-এর একটি আইগেনভ্যালু, অথবা অপারেটর K−λ হল X থেকে নিজের প্রতি বাইজেক্টিভ। আসুন আমরা দুটি বিকল্প অন্বেষণ করি যখন তারা সীমানা-মূল্য সমস্যার জন্য খেলবে। ধরুন λ ষ্ণুত 0। তারপর হয় (A) λ হল K′-এর একটি আইগেন ভ্যালু, এর সমাধান হল (L + μ0) h = λ − 1h ′-μ0 + λ − 1 হল L-এর একটি আইগেন ভ্যালু। (B) অপারেটর K − λ: X → X হল একটি বাইজেকশন ′ (K − λ) (L + μ0) = ID − λ (L + μ0): ডোম (L) → X হল একটি বাইজেকশন ′ L + μ0 − λ − 1: ডোম (L) → X হল একটি বাইজেকশন। - μ0 + λ−1 কে λ দ্বারা প্রতিস্থাপন করা এবং λ =-μ0 কেসটিকে আলাদাভাবে বিবেচনা করা হলে, এটি একটি উপবৃত্তাকার সীমানা-মান সমস্যার জন্য নিম্নলিখিত ফ্রেডহোম বিকল্পটি প্রদান করেঃ প্রতিটি λ ωR-এর জন্য, হয় সমজাতীয় সমীকরণ (L − λ) u = 0-এর একটি অ-তুচ্ছ সমাধান থাকে, অথবা সমজাতীয় সমীকরণ (L − λ) u = f-এর প্রতিটি প্রদত্ত ডেটাম f ω X-এর জন্য একটি অনন্য সমাধান u ω (L) থাকে। পরের ফাংশন u উপরে প্রবর্তিত সীমানা-মান সমস্যা (*)-(* *) সমাধান করে। এটি সেই দ্বৈততা যা উপরে (1)-(2)-এ দাবি করা হয়েছে। কম্প্যাক্ট অপারেটরদের জন্য বর্ণালী উপপাদ্য অনুসারে, এটিও পাওয়া যায় যে λ-এর যে সেটটির জন্য সমাধানযোগ্যতা ব্যর্থ হয় তা হল R-এর একটি বিচ্ছিন্ন উপসেট (L-এর আইগেনভ্যালু)। আইগেনভ্যালু সম্পর্কিত আইগেন ফাংশনগুলিকে "অনুরণন" হিসাবে ভাবা যেতে পারে যা সমীকরণের সমাধানযোগ্যতাকে বাধা দেয়। আরও দেখুন কম্প্যাক্ট অপারেটরদের বর্ণালী তত্ত্ব ফারকাস-এর লেম্মা রেফারেন্স এ. জি. রাম, "এ সিম্পল প্রুফ অফ দ্য ফ্রেডহোম অল্টারনেটিভ অ্যান্ড এ ক্যারেক্টরাইজেশন অফ দ্য ফ্রেডহোম অপারেটরস", আমেরিকান ম্যাথমেটিকাল মান্থলি, 108 (2001) পৃ. 855। ফ্রেডহলম তত্ত্ব রৈখিক বীজগণিত