Signed measure
গণিতে, স্বাক্ষরিত পরিমাপ হল (ধনাত্মক) পরিমাপের ধারণার একটি সাধারণীকরণ যা সেট ফাংশনকে ঋণাত্মক মান গ্রহণ করার অনুমতি দেয়, অর্থাৎ, চিহ্ন অর্জন করার জন্য। সংজ্ঞা একটি স্বাক্ষরিত পরিমাপের দুটি সামান্য ভিন্ন ধারণা রয়েছে, এটি নির্ভর করে যে কেউ এটিকে অসীম মান নিতে দেয় কিনা। স্বাক্ষরিত পদক্ষেপগুলি সাধারণত শুধুমাত্র সীমাবদ্ধ বাস্তব মান গ্রহণ করার অনুমতি দেওয়া হয়, যেখানে কিছু পাঠ্যপুস্তক তাদের অসীম মান গ্রহণ করার অনুমতি দেয়। বিভ্রান্তি এড়াতে, এই নিবন্ধটি এই দুটি ঘটনাকে "সীমাবদ্ধ স্বাক্ষরিত ব্যবস্থা" এবং "বর্ধিত স্বাক্ষরিত ব্যবস্থা" বলে অভিহিত করবে। একটি পরিমাপযোগ্য স্থান দেওয়া হলে (অর্থাৎ, একটি σ-বীজগণিত সহ একটি সেট), একটি বর্ধিত স্বাক্ষরিত পরিমাপ এমন একটি সেট ফাংশন যা σ-যোগাত্মক-অর্থাৎ, এটি বিচ্ছিন্ন সেটগুলির যে কোনও ক্রমের জন্য সমতা সন্তুষ্ট করে। একটি পরিণতি হল যে একটি বর্ধিত স্বাক্ষরিত ব্যবস্থা একটি মূল্য হিসাবে নিতে পারে, কিন্তু উভয়ই নয়। অভিব্যক্তিটি অনির্ধারিত এবং অবশ্যই এড়ানো উচিত। একটি সীমাবদ্ধ স্বাক্ষরিত পরিমাপ (a. k. a. বাস্তব পরিমাপ) একইভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়, তবে এটি শুধুমাত্র বাস্তব মান গ্রহণ করার অনুমতি দেওয়া হয়। অর্থাৎ, এটি একটি বাস্তব ভেক্টর স্থান গঠন করতে পারে না বা স্বাক্ষরিত ব্যবস্থাগুলি সীমাবদ্ধ করতে পারে না, অন্যদিকে বর্ধিত স্বাক্ষরিত ব্যবস্থাগুলি যোগের অধীনে বন্ধ না হওয়ার কারণে নয়। অন্যদিকে, পদক্ষেপগুলি বর্ধিত স্বাক্ষরিত ব্যবস্থা, তবে সাধারণভাবে সীমাবদ্ধ স্বাক্ষরিত ব্যবস্থা নয়। উদাহরণস্বরূপ, স্থানের (এক্স, এস) উপর একটি অ-ঋণাত্মক পরিমাপ এবং একটি পরিমাপযোগ্য ফাংশন f: এক্স → আর বিবেচনা করুন যাতে, সমস্ত এ-এর জন্য একটি সীমাবদ্ধ স্বাক্ষরিত পরিমাপ দেওয়া হয়। এই স্বাক্ষরিত পরিমাপ শুধুমাত্র সীমাবদ্ধ মান গ্রহণ করে। এটিকে একটি মান হিসাবে গ্রহণ করার অনুমতি দেওয়ার জন্য, f সম্পূর্ণরূপে সংহত হওয়ার ধারণাটিকে আরও শিথিল অবস্থার সাথে প্রতিস্থাপন করতে হবে যেখানে f − (x) = সর্বোচ্চ (−f (x), 0) হল f এর ঋণাত্মক অংশ। নিম্নলিখিত দুটি ফলাফল যা বোঝায় যে একটি বর্ধিত স্বাক্ষরিত পরিমাপ হল দুটি অ-ঋণাত্মক পরিমাপের পার্থক্য, এবং একটি সীমাবদ্ধ স্বাক্ষরিত পরিমাপ হল দুটি সীমাবদ্ধ অ-ঋণাত্মক পরিমাপের পার্থক্য। হান পচন উপপাদ্যটি বলে যে একটি স্বাক্ষরিত পরিমাপ দেওয়া হলে, দুটি পরিমাপযোগ্য সেট পি এবং এন রয়েছে যেমনঃ পি ≤ এন = এক্স এবং পি ≤ এন = φ; প্রতিটি ই-এর জন্য এম (ই) ≤ 0 যাতে ই ≤ পি-অন্য কথায়, পি একটি ধনাত্মক সেট; এম (ই) ≤ 0 প্রতিটি ই-এর জন্য এম (এন)-অর্থাৎ, এন একটি ঋণাত্মক সেট। উপরন্তু, এই পচনটি পি এবং এন থেকে মাইক্রো-নাল সেটগুলিতে যোগ/বিয়োগ করার জন্য অনন্য। তারপর দুটি অ-নেতিবাচক পরিমাপ বিবেচনা করুন যা সমস্ত পরিমাপযোগ্য সেট ই দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে, অর্থাৎ, ই ইন এস। কেউ পরীক্ষা করতে পারে যে, μ + এবং μ-উভয়ই অ-ঋণাত্মক পরিমাপ, যার মধ্যে একটি শুধুমাত্র সীমাবদ্ধ মান গ্রহণ করে এবং একে যথাক্রমে ধনাত্মক অংশ এবং ঋণাত্মক অংশ বলা হয়। একটিতে রয়েছে যে, μ = μ + − μ −। পরিমাপ |μ। = μ + + μ-কে বলা হয়, এবং এর সর্বোচ্চ সম্ভাব্য মান,। |μ।। = |μ। (X)-কে বলা হয়, মোট পরিবর্তন। হান পচন উপপাদ্যের এই পরিণতিটিকে জর্ডান পচন বলা হয়। পরিমাপগুলি হ্যান পচন উপপাদ্যের পি এবং এন-এর পছন্দ থেকে স্বাধীন। স্বাক্ষরিত পরিমাপের স্থান দুটি সসীম স্বাক্ষরিত পরিমাপের সমষ্টি একটি সসীম স্বাক্ষরিত পরিমাপ, যেমন একটি বাস্তব সংখ্যা দ্বারা একটি সসীম স্বাক্ষরিত পরিমাপের গুণফল-অর্থাৎ, তারা রৈখিক সংমিশ্রণের অধীনে বন্ধ থাকে। এটি অনুসরণ করে যে একটি পরিমাপযোগ্য স্থানের (এক্স, এস) সীমাবদ্ধ স্বাক্ষরিত পরিমাপের সেট একটি বাস্তব ভেক্টর স্থান; এটি ধনাত্মক পরিমাপের বিপরীতে, যা শুধুমাত্র শঙ্কু সংমিশ্রণের অধীনে বন্ধ থাকে এবং এইভাবে একটি উত্তল শঙ্কু গঠন করে তবে একটি ভেক্টর স্থান নয়। উপরন্তু, মোট বৈচিত্র্য একটি আদর্শকে সংজ্ঞায়িত করে যার ক্ষেত্রে সীমাবদ্ধ স্বাক্ষরিত পরিমাপের স্থান একটি বানাচ স্থান হয়ে ওঠে। এই স্থানটির আরও বেশি কাঠামো রয়েছে, যাতে এটি একটি ডেডেকাইন্ড সম্পূর্ণ বানাচ জাল হিসাবে দেখানো যেতে পারে এবং এটি করার ক্ষেত্রে রেডন-নিকোডিম উপপাদ্যটি ফ্রয়েডেনথাল বর্ণালী উপপাদ্যের একটি বিশেষ ক্ষেত্রে দেখানো যেতে পারে। যদি এক্স একটি কম্প্যাক্ট পৃথকীকরণযোগ্য স্থান হয়, তবে সসীম স্বাক্ষরিত বেয়ার পরিমাপের স্থানটি হল রিয়েজ-মার্কভ-কাকুতানি উপস্থাপনা উপপাদ্য দ্বারা এক্স-এর উপর সমস্ত অবিচ্ছিন্ন বাস্তব-মূল্যবান ফাংশনের বাস্তব বানাচ স্থানের দ্বৈত। আরও দেখুন কৌণিক স্থানচ্যুতি জটিল পরিমাপ বর্ণালী পরিমাপ ভেক্টর পরিমাপ রিসজ-মার্কভ-কাকুতানি উপস্থাপনা উপপাদ্য স্বাক্ষরিত চাপ দৈর্ঘ্য স্বাক্ষরিত এলাকা স্বাক্ষরিত দূরত্ব স্বাক্ষরিত ভলিউম মোট বৈচিত্র্য বিবরণ ইন্টিগ্রাল ক্যালকুলাস পরিমাপ (পরিমাপ তত্ত্ব) প্ল্যানেটম্যাথ সাইন (গণিত) থেকে পাঠ্য অন্তর্ভুক্ত উইকিপিডিয়া নিবন্ধ