Atom (measure theory)
গণিতে, আরও সুনির্দিষ্টভাবে পরিমাপ তত্ত্বে, একটি পরমাণু একটি পরিমাপযোগ্য সেট যার ধনাত্মক পরিমাপ রয়েছে এবং এতে ছোট ধনাত্মক পরিমাপের কোনও সেট নেই। যে পরিমাপে কোনও পরমাণু নেই তাকে অ-পারমাণবিক বা পরমাণুহীন বলা হয়। সংজ্ঞা একটি পরিমাপযোগ্য স্থান এবং সেই স্থানের একটি পরিমাপের পরিপ্রেক্ষিতে, একটি সেটকে পরমাণু বলা হয় যদি সেটের সাথে কোনও পরিমাপযোগ্য উপসেটটির পরিমাপ শূন্য হয়, অর্থাৎ। । যদি একটি পরমাণু হয়, তবে-সমতুল্য শ্রেণীর সমস্ত উপসেটগুলি পরমাণু, এবং এটিকে পারমাণবিক শ্রেণী বলা হয়। যদি একটি-অসীম পরিমাপ হয়, তবে গণনাযোগ্যভাবে অনেকগুলি পারমাণবিক শ্রেণী রয়েছে। উদাহরণ X = {1,2,., 9,10} সেটটি বিবেচনা করুন এবং সিগমা-বীজগণিতকে X-এর পাওয়ার সেট হতে দিন। একটি সেটের পরিমাপকে তার প্রধানত্ব হিসাবে সংজ্ঞায়িত করুন, অর্থাৎ সেটের উপাদানগুলির সংখ্যা। তারপর, i = 1,2,., 9,10-এর জন্য প্রতিটি সিঙ্গেলটন {i} একটি পরমাণু। বাস্তব লাইনের লেবস্গু পরিমাপ বিবেচনা করুন। এই পরিমাপে কোনও পরমাণু নেই। পারমাণবিক পরিমাপ একটি পরিমাপযোগ্য স্থানে একটি-অসীম পরিমাপকে পারমাণবিক বা বিশুদ্ধ পারমাণবিক বলা হয় যদি প্রতিটি পরিমাপযোগ্য ধনাত্মক পরিমাপের সেটটিতে একটি পরমাণু থাকে। এটি বলার সমতুল্য যে একটি শূন্য সেট পর্যন্ত পরমাণু দ্বারা গঠিত একটি গণনাযোগ্য বিভাজন রয়েছে। - ফিনিট্যুডের অনুমান অপরিহার্য। অন্যথায় গণনা পরিমাপকে বোঝায় এমন স্থানটি বিবেচনা করুন। এই স্থানটি পারমাণবিক, সমস্ত পরমাণু একক পরমাণু হওয়া সত্ত্বেও স্থানটি গণনাযোগ্যভাবে অনেকগুলি বিচ্ছিন্ন পরমাণুর বিচ্ছিন্ন সংযোগে বিভক্ত করা যায় না, এবং একটি শূন্য সেট যেহেতু একক পরমাণুর গণনাযোগ্য মিলন একটি গণনাযোগ্য সেট, এবং বাস্তব সংখ্যার অগণিততা দেখায় যে পরিপূরককে অগণিত হতে হবে, তাই এর-পরিমাপ অসীম হবে, এটি একটি শূন্য সেট হওয়ার বিপরীতে। - অসীম স্থানগুলির জন্য ফলাফলের বৈধতা সীমাবদ্ধ পরিমাপ স্থানগুলির প্রমাণ থেকে অনুসরণ করে পর্যবেক্ষণ করে যে গণনাযোগ্য ইউনিয়নগুলির গণনাযোগ্য ইউনিয়ন আবার একটি গণনাযোগ্য ইউনিয়ন, এবং নাল সেটগুলির গণনাযোগ্য ইউনিয়নগুলি বাতিল। বিচ্ছিন্ন পরিমাপ A-অসীম পারমাণবিক পরিমাপকে বিচ্ছিন্ন বলা হয় যদি কোনও পারমাণবিক শ্রেণীর পরমাণুর ছেদ ফাঁকা না হয়। এটি বলার সমতুল্য যে এটি গণনাযোগ্যভাবে অনেক ডিরাক পরিমাপের ওজনযুক্ত যোগফল, অর্থাৎ, সেখানে বিন্দুর একটি ক্রম রয়েছে এবং ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যার (ওজন) একটি ক্রম রয়েছে, যার অর্থ প্রত্যেকটির জন্য। আমরা প্রতিটি বিন্দুকে-তম পারমাণবিক শ্রেণীর পরমাণুর একটি সাধারণ বিন্দু হিসাবে বেছে নিতে পারি। একটি পৃথক পরিমাপ পারমাণবিক তবে বিপরীত প্রভাবটি ব্যর্থ হয়ঃ গণনাযোগ্য এবং সহ-গণনাযোগ্য উপসেটগুলির-বীজগণিত, গণনাযোগ্য উপসেটগুলিতে এবং সহ-গণনাযোগ্য উপসেটগুলিতে। তারপর একটি একক পারমাণবিক শ্রেণী রয়েছে, যা সহ-গণনাযোগ্য উপসেট দ্বারা গঠিত। পরিমাপটি পারমাণবিক তবে অনন্য পারমাণবিক শ্রেণিতে পরমাণুর ছেদটি খালি এবং ডিরাক পরিমাপের সমষ্টি হিসাবে রাখা যায় না। যদি প্রতিটি পরমাণু একটি সিঙ্গেলটনের সমতুল্য হয়, তবে যদি এটি পারমাণবিক হয় তবে তা বিচ্ছিন্ন। এই ক্ষেত্রে উপরেরগুলি পারমাণবিক সিঙ্গেলটন, তাই সেগুলি অনন্য। বোরেল সেটগুলির সাথে প্রদত্ত একটি পৃথক মেট্রিক স্পেসে যে কোনও সীমাবদ্ধ পরিমাপ এই শর্তটি সন্তুষ্ট করে। অ-পারমাণবিক পরিমাপ একটি পরিমাপ যার কোনও পরমাণু নেই তাকে বলা হয় বা a। অন্য কথায়, একটি পরিমাপ অ-পারমাণবিক হয় যদি কোনও পরিমাপযোগ্য সেটের জন্য এমন একটি পরিমাপযোগ্য উপসেট বিদ্যমান থাকে যে কমপক্ষে একটি ধনাত্মক মান সহ একটি অ-পারমাণবিক পরিমাপের অসীম সংখ্যক স্বতন্ত্র মান থাকে, যেমন একটি সেট দিয়ে শুরু করে পরিমাপযোগ্য সেটগুলির ক্রম হ্রাস ক্রম তৈরি করতে পারে যাতে এটি পরমাণুযুক্ত পরিমাপের ক্ষেত্রে সত্য নাও হতে পারে; উপরের প্রথম উদাহরণটি দেখুন। দেখা যাচ্ছে যে অ-পারমাণবিক পরিমাপের প্রকৃতপক্ষে মানগুলির একটি ধারাবাহিকতা রয়েছে। এটি প্রমাণ করা যেতে পারে যে যদি এটি একটি অ-পারমাণবিক পরিমাপ হয় এবং একটি পরিমাপযোগ্য সেট হয় তবে যে কোনও বাস্তব সংখ্যা সন্তুষ্ট করার জন্য এমন একটি পরিমাপযোগ্য উপসেট বিদ্যমান যে এই উপপাদ্যটি ওয়াক্লা সিয়েরপিন্সকির কারণে। এটি অবিচ্ছিন্ন ফাংশনের জন্য মধ্যবর্তী মান উপপাদ্যের স্মরণ করিয়ে দেয়। অ-পারমাণবিক পরিমাপের উপর সিয়েরপিন্সকির উপপাদ্যের প্রমাণের স্কেচ। একটি সামান্য শক্তিশালী বিবৃতি, যা প্রমাণকে আরও সহজ করে তোলে, তা হল যদি একটি অ-পারমাণবিক পরিমাপের স্থান থাকে এবং অন্তর্ভুক্তির ক্ষেত্রে একটি ফাংশন থাকে যা মনোটোন, এবং তার ডান-বিপরীত হয়, তবে পরিমাপযোগ্য সেটগুলির একটি একক-পরামিতি পরিবার রয়েছে যা সকলের জন্য প্রমাণটি সহজেই সমস্ত মনোটোন আংশিক বিভাগের সেটে প্রয়োগ করা জর্নের লেম্মা থেকে অনুসরণ করেঃ গ্রাফগুলি অন্তর্ভুক্ত করে অর্ডার করা হয়, তারপরে এটি প্রমাণ করা হয় যে প্রতিটি চেইনের একটি উপরের সীমা রয়েছে এবং যে কোনও সর্বাধিক উপাদানের দাবি প্রমাণ করার জন্য ডোমেন রয়েছে। আরও দেখুন পরমাণু (ক্রম তত্ত্ব)-ক্রম তত্ত্বের একটি অনুরূপ ধারণা ডিরাক ডেল্টা ফাংশন প্রাথমিক ঘটনা, যা একটি পারমাণবিক ঘটনা হিসাবেও পরিচিত।