Dual curve
প্রজেক্টিভ জ্যামিতিতে, প্রদত্ত সমতল বক্ররেখার একটি দ্বৈত বক্ররেখা হল দ্বৈত প্রজেক্টিভ সমতলে একটি বক্ররেখা যা স্পর্শক রেখার সেট নিয়ে গঠিত। একটি বক্ররেখা থেকে তার দ্বৈত পর্যন্ত একটি মানচিত্র রয়েছে, যা প্রতিটি বিন্দুকে তার স্পর্শক রেখার দ্বৈত বিন্দুতে পাঠায়। যদি বীজগাণিতিক হয় তবে তার দ্বৈতও তাই এবং দ্বৈতের মাত্রা মূল বক্ররেখার শ্রেণী হিসাবে পরিচিত। দ্বৈতের সমীকরণ, রেখার স্থানাঙ্কে দেওয়া, এর স্পর্শক সমীকরণ হিসাবে পরিচিত। দ্বৈততা একটি অনুপ্রেরণাঃ দ্বৈতের দ্বৈত হল মূল বক্ররেখা। দ্বৈত বক্ররেখার নির্মাণ হ্যামিল্টনিয়ান বলবিজ্ঞানের প্রেক্ষাপটে কিংবদন্তি রূপান্তরের জন্য জ্যামিতিক ভিত্তি। সমীকরণগুলি ধরা যাক প্রজেক্টিভ সমতলে সমজাতীয় স্থানাঙ্কে একটি বক্ররেখার সমীকরণ। একটি দ্বৈত প্রজেক্টিভ সমতলে তার রেখা স্থানাঙ্ক মনোনীত করা সহ একটি রেখার সমীকরণ হতে দিন। রেখাটি বক্ররেখার স্পর্শক হওয়ার শর্তটি বক্ররেখার স্পর্শক সমীকরণের আকারে প্রকাশ করা যেতে পারে। বক্ররেখার একটি বিন্দুতে, স্পর্শকটি দ্বারা দেওয়া হয় সুতরাং বক্ররেখার একটি স্পর্শক যদি বাদ দেওয়া হয়,,, এবং এই সমীকরণগুলি থেকে, পাশাপাশি, দ্বৈত বক্ররেখার সমীকরণ দেয়। উদাহরণস্বরূপ, শঙ্কু হতে দিন। দ্বৈত সমীকরণগুলি,, এবং সমীকরণগুলি থেকে বাদ দিয়ে পাওয়া যায় প্রথম তিনটি সমীকরণ সহজেই,,-এর জন্য সমাধান করা হয় এবং শেষ সমীকরণে প্রতিস্থাপিত করা হলে হরগুলি থেকে পরিষ্কার হয়ে যায়, দ্বৈত সমীকরণটি হল প্রজেক্টিভ স্থানাঙ্কে একটি প্যারামেট্রিকভাবে সংজ্ঞায়িত বক্ররেখা বিবেচনা করুন। এর প্রজেক্টিভ স্পর্শক রেখাটি স্পর্শক বিন্দু এবং স্পর্শক ভেক্টর দ্বারা বিস্তৃত একটি রৈখিক সমতল, যার রৈখিক সমীকরণ সহগগুলি ক্রস প্রোডাক্ট দ্বারা প্রদত্তঃ যা অ্যাফিন স্থানাঙ্কেঃ একটি প্রতিফলন বিন্দুর দ্বৈত একটি কুস্প দেবে এবং একই স্পর্শক রেখা ভাগ করে নেওয়া দুটি বিন্দু দ্বৈতের উপর একটি স্ব-ছেদ বিন্দু দেবে। প্রজেক্টিভ বর্ণনা থেকে, কেউ দ্বৈতের দ্বৈত গণনা করতে পারেঃ যা প্রজেক্টিভভাবে মূল বক্ররেখার সমতুল্য। মূল বক্ররেখার দ্বৈত বক্ররেখার বৈশিষ্ট্যগুলি দ্বৈত বক্ররেখার দ্বৈত বৈশিষ্ট্যের সাথে মিলে যায়। পরিচিতি ছবিতে, লাল বক্ররেখার তিনটি এককত্ব রয়েছে-কেন্দ্রে একটি নোড এবং নীচের ডান এবং নীচের বাম দিকে দুটি কুস্প। কালো বক্ররেখার কোনও এককত্ব নেই তবে চারটি স্বতন্ত্র বিন্দু রয়েছেঃ দুটি শীর্ষ-সর্বাধিক বিন্দু নোডের (ডাবল পয়েন্ট) সাথে মিলে যায়, কারণ তাদের উভয়েরই একই স্পর্শক রেখা রয়েছে, তাই দ্বৈত বক্ররেখার একই বিন্দুতে মানচিত্র তৈরি করে, যখন দুটি প্রতিফলন বিন্দু কুস্পসের সাথে মিলে যায়, যেহেতু স্পর্শক রেখাগুলি প্রথমে এক দিকে যায় তারপর অন্য দিকে যায় (ঢাল বৃদ্ধি, তারপর হ্রাস)। বিপরীতে, একটি মসৃণ, উত্তল বক্ররেখায় স্পর্শক রেখার কোণ একঘেয়েভাবে পরিবর্তিত হয় এবং ফলস্বরূপ দ্বৈত বক্ররেখাও মসৃণ এবং উত্তল হয়। উপরন্তু, উপরের উভয় বক্ররেখার একটি প্রতিফলনগত প্রতিসাম্য রয়েছেঃ প্রজেক্টিভ দ্বৈততা একটি প্রজেক্টিভ স্থানের প্রতিসাম্য সংরক্ষণ করে, তাই দ্বৈত বক্ররেখার একই প্রতিসাম্য গ্রুপ রয়েছে। এই ক্ষেত্রে উভয় প্রতিসাম্য বাম-ডান প্রতিফলন হিসাবে উপলব্ধি করা হয়; এটি স্থান এবং দ্বৈত স্থানকে কীভাবে চিহ্নিত করা হয়েছে তার একটি নিদর্শন-সাধারণভাবে এগুলি বিভিন্ন স্থানের প্রতিসাম্য। ডিগ্রি যদি একটি সমতল বীজগাণিতিক বক্ররেখা হয়, তবে দ্বৈতের ডিগ্রি হল দ্বৈত সমতলে একটি রেখার সাথে ছেদকারী বিন্দুর সংখ্যা। যেহেতু দ্বৈত সমতলে একটি রেখা সমতলে একটি বিন্দুর সাথে মিলে যায়, তাই দ্বৈতের ডিগ্রি হল একটি নির্দিষ্ট বিন্দুর মধ্য দিয়ে টানা যেতে পারে এমন স্পর্শকের সংখ্যা। যে বিন্দুগুলিতে এই স্পর্শকগুলি বক্ররেখা স্পর্শ করে সেগুলি হল প্রদত্ত বিন্দুর সাপেক্ষে বক্ররেখা এবং মেরু বক্ররেখার মধ্যে ছেদ বিন্দু। যদি বক্ররেখার মাত্রা হয় তবে মেরুর মাত্রা হল এবং তাই প্রদত্ত বিন্দুর মধ্য দিয়ে টানা যেতে পারে এমন স্পর্শকের সংখ্যা সর্বাধিক। একটি রেখার দ্বৈত (1 মাত্রার একটি বক্ররেখা) এর ব্যতিক্রম এবং দ্বৈত স্থানের একটি বিন্দু হিসাবে ধরা হয় (যথা মূল রেখা)। একটি বিন্দুর দ্বৈতকে বিন্দু হলেও রেখার সংগ্রহ হিসাবে নেওয়া হয়; এটি দ্বৈত স্থানে একটি রেখা গঠন করে যা মূল বিন্দুর সাথে মিলে যায়। যদি মসৃণ হয় (কোনও একক বিন্দু না থাকে) তবে এর দ্বৈতের সর্বোচ্চ ডিগ্রি থাকে। এটি বোঝায় যে একটি শঙ্কু-এর দ্বৈতটিও একটি শঙ্কু। জ্যামিতিকভাবে, একটি শঙ্কু থেকে তার দ্বৈত পর্যন্ত মানচিত্রটি এক-থেকে-এক (যেহেতু কোনও রেখা একটি শঙ্কু-এর দুটি বিন্দুর স্পর্শক নয়, কারণ এর জন্য 4 ডিগ্রি প্রয়োজন), এবং স্পর্শক রেখাটি মসৃণভাবে পরিবর্তিত হয় (যেহেতু বক্ররেখাটি উত্তল, তাই স্পর্শক রেখার ঢাল একঘেয়েভাবে পরিবর্তিত হয়ঃ দ্বৈতের কুস্পগুলির জন্য মূল বক্ররেখার একটি প্রতিফলন বিন্দু প্রয়োজন, যার জন্য 3 ডিগ্রি প্রয়োজন)। একক বিন্দু সহ বক্ররেখার জন্য, এই বিন্দুগুলি বক্ররেখা এবং তার মেরুর ছেদস্থলেও থাকবে এবং এটি সম্ভাব্য স্পর্শক রেখার সংখ্যা হ্রাস করে। প্লাকার সূত্রগুলি ডি-এর পরিপ্রেক্ষিতে দ্বৈতের মাত্রা এবং এর একক বিন্দুর সংখ্যা ও প্রকার দেয়। মেরু পারস্পরিক দ্বৈতকে মেরু পারস্পরিক আকারে সমতলে একটি লোকাস হিসাবে কল্পনা করা যেতে পারে। এটি বক্ররেখার স্পর্শক রেখার মেরুগুলির লোকাস হিসাবে একটি স্থির শঙ্কু হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। শঙ্কু প্রায় সবসময় একটি বৃত্ত হিসাবে নেওয়া হয়, তাই মেরু পারস্পরিক হল এর প্যাডেলের বিপরীত। সাধারণীকরণ উচ্চ মাত্রা একইভাবে, উচ্চতর মাত্রায় সাধারণীকরণ, একটি হাইপারসার্ফেস দেওয়া, প্রতিটি বিন্দুতে স্পর্শক স্থান হাইপারপ্লেনের একটি পরিবার দেয় এবং এইভাবে দ্বৈত স্থানে একটি দ্বৈত হাইপারসার্ফেসকে সংজ্ঞায়িত করে। একটি প্রজেক্টিভ স্পেসে যে কোনও বদ্ধ উপ-বৈচিত্র্যের জন্য, কোনও বিন্দুতে সমস্ত হাইপারপ্লেন স্পর্শকের সেট হল প্রজেক্টিভ স্পেসের দ্বৈতের একটি বদ্ধ উপ-বৈচিত্র্য, যাকে এর দ্বৈত বৈচিত্র্য বলা হয়। উদাহরণস্বরূপ, যদি একটি হাইপারসার্ফেস একটি সমজাতীয় বহুপদী দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়, তবে এর দ্বৈত বৈচিত্র্য হল গ্রেডিয়েন্ট মানচিত্রের চিত্র যা দ্বৈত প্রজেক্টিভ স্পেসে অবতরণ করে। একটি বিন্দুর দ্বৈত বৈচিত্র্য হ 'ল হাইপারপ্লেন দ্বৈত বহুভুজ দ্বৈত বক্ররেখা গঠন কাজ করে এমনকি বক্ররেখাটি পিসওয়াইজ রৈখিক বা পিসওয়াইজ ডিফারেনশিয়েবল হলেও ফলস্বরূপ মানচিত্রটি অবনমিত (যদি রৈখিক উপাদান থাকে) বা অ-সংজ্ঞায়িত (যদি একক বিন্দু থাকে) হয়। একটি বহুভুজের ক্ষেত্রে, প্রতিটি প্রান্তের সমস্ত বিন্দু একই স্পর্শক রেখা ভাগ করে নেয় এবং এইভাবে দ্বৈতের একই শীর্ষে মানচিত্র তৈরি করে, যেখানে একটি শীর্ষের স্পর্শক রেখাটি অ-সংজ্ঞায়িত, এবং দুটি প্রান্তের মধ্যে কোণ সহ এর মধ্য দিয়ে যাওয়া সমস্ত রেখা হিসাবে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে। এটি প্রজেক্টিভ দ্বৈততা (বিন্দুতে রেখা মানচিত্র, এবং রেখায় বিন্দু), এবং কোনও রৈখিক উপাদান ছাড়াই মসৃণ বক্ররেখার সীমাঃ একটি বক্ররেখা যখন একটি প্রান্তে সমতল হয়, তখন এর স্পর্শক রেখাগুলি কাছাকাছি এবং কাছাকাছি বিন্দুতে মানচিত্র করে; একটি বক্ররেখা যখন একটি শীর্ষে তীক্ষ্ণ হয়, তখন এর স্পর্শক রেখাগুলি আরও দূরে ছড়িয়ে পড়ে। আরও সাধারণভাবে, যে কোনও উত্তল পলিহেড্রন বা শঙ্কুতে একটি পলিহেড্রাল দ্বৈত থাকে এবং সীমানা হাইপারসারফেস এইচ সহ যে কোনও উত্তল সেট এক্স-এর একটি উত্তল কনজুগেট এক্স * থাকে যার সীমানা দ্বৈত বৈচিত্র্য এইচ *। আরও দেখুন হফ ট্রান্সফর্ম গাউস ম্যাপ নোটস রেফারেন্স কার্ভস প্রজেক্টিভ জ্যামিতি ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতি