Finite type invariant
গাঁটের গাণিতিক তত্ত্বে, একটি সীমাবদ্ধ ধরনের অপরিবর্তনীয়, বা ভাসিলিয়েভ অপরিবর্তনীয় (ভিক্টর আনাতোলিভিচ ভাসিলিয়েভের নামে নামকরণ করা হয়েছে), একটি গাঁট অপরিবর্তনীয় যা নির্দিষ্ট একক গাঁটের একটি অপরিবর্তনীয় পর্যন্ত প্রসারিত করা যেতে পারে (সুনির্দিষ্ট পদ্ধতিতে বর্ণনা করা যেতে পারে) যা m + 1 এককত্ব সহ একক গাঁটের উপর অদৃশ্য হয়ে যায় এবং 'm' এককত্ব সহ কোনও একক গাঁটের উপর অদৃশ্য হয় না। এরপরে বলা হয় যে এটি টাইপ বা অর্ডার এম। আমরা গৌসারভ এবং (স্বাধীনভাবে) জোয়ান বর্ম্যান এবং জিয়াও-সং লিনের কারণে সীমাবদ্ধ প্রকারের অপরিবর্তনীয়তার সমন্বিত সংজ্ঞা দিই। ধরা যাক V একটি গিঁট অপরিবর্তনীয়। একটি আড়াআড়ি এককত্ব সহ একটি গিঁটের উপর সংজ্ঞায়িত করার জন্য V1 সংজ্ঞায়িত করুন। একটি গিঁট কে-কে একটি বৃত্তের মসৃণ এম্বেডিং হিসাবে বিবেচনা করুন। K কে একটি বৃত্তের মসৃণ নিমজ্জন হিসাবে ধরা যাক যার একটি আড়াআড়ি দ্বৈত বিন্দু রয়েছে। তারপর, যেখানে K থেকে একটি স্ট্র্যান্ডকে অন্যটির উপরে ঠেলে দ্বৈত বিন্দু সমাধান করে পাওয়া যায়, এবং K _-একইভাবে বিপরীত স্ট্র্যান্ডকে অন্যটির উপরে ঠেলে পাওয়া যায়। উপরের সম্পর্কটি ব্যবহার করে আমরা দুটি আড়াআড়ি দ্বৈত বিন্দু, তিনটি আড়াআড়ি দ্বৈত বিন্দু ইত্যাদি সহ মানচিত্রের জন্য এটি করতে পারি। V-এর সসীম প্রকার হওয়ার সঠিক অর্থ হল একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা m থাকতে হবে যাতে V আড়াআড়ি দ্বৈত বিন্দু সহ মানচিত্রে অদৃশ্য হয়ে যায়। উপরন্তু, লক্ষ্য করুন যে এককত্বগুলি আড়াআড়ি দ্বৈত বিন্দু সহ নটগুলির সমতুল্যতার ধারণা রয়েছে এবং ভি-এর এই সমতুল্যতাকে সম্মান করা উচিত। 3-ম্যানিফোল্ডের জন্য সসীম প্রকারের অপরিবর্তনীয়তার ধারণাও রয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, গাঁটের সবচেয়ে সহজ অ-তুচ্ছ ভাসিলিয়েভ অপরিবর্তনীয় আলেকজান্ডার-কনওয়ে বহুপদীর দ্বিঘাত পদের সহগ দ্বারা দেওয়া হয়। এটি দ্বিতীয় ক্রমের একটি অপরিবর্তনীয়। দ্বিতীয় মডুলো, এটি আর্ফ অপরিবর্তনীয়ের সমান। কনটসেভিচ অপরিবর্তনীয়ের যে কোনও সহগ একটি সীমাবদ্ধ ধরনের অপরিবর্তনীয়। মিলনর অপরিবর্তনীয়গুলি স্ট্রিং লিঙ্কগুলির সীমাবদ্ধ ধরণের অপরিবর্তনীয়। ইনভ্যারিয়েন্টদের প্রতিনিধিত্বকারী মাইকেল পলিয়াক এবং ওলেগ ভাইরো গাউস রেখাচিত্রের উপস্থাপনার মাধ্যমে 2 এবং 3 ক্রমের প্রথম অ-তুচ্ছ অপরিবর্তনীয়গুলির বর্ণনা দিয়েছেন। মিখাইল এন. গুসারভ প্রমাণ করেছেন যে সমস্ত ভাসিলিয়েভ অপরিবর্তনীয়কে সেভাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে। সার্বজনীন ভাসিলিয়েভ অপরিবর্তনীয় 1993 সালে, ম্যাক্সিম কনটসেভিচ ভাসিলিয়েভ অপরিবর্তনীয় সম্পর্কে নিম্নলিখিত গুরুত্বপূর্ণ উপপাদ্যটি প্রমাণ করেছিলেনঃ প্রতিটি গাঁটের জন্য একটি অবিচ্ছেদ্য গণনা করা যেতে পারে, যাকে এখন কনটসেভিচ অবিচ্ছেদ্য বলা হয়, যা একটি সর্বজনীন ভাসিলিয়েভ অপরিবর্তনীয় ', যার অর্থ প্রতিটি ভাসিলিয়েভ অপরিবর্তনীয় একটি উপযুক্ত মূল্যায়নের মাধ্যমে এটি থেকে প্রাপ্ত করা যেতে পারে। বর্তমানে এটি জানা যায় না যে কনটসেভিচ ইন্টিগ্রাল, বা ভাসিলিয়েভ অপরিবর্তনীয়গুলির সম্পূর্ণতা একটি সম্পূর্ণ গিঁট অপরিবর্তনীয় কিনা। কনটসেভিচ ইন্টিগ্রালের গণনা, যার কর্ড ডায়াগ্রামের বীজগণিতে মান রয়েছে, বরং কঠিন বলে প্রমাণিত হয়েছে এবং এখন পর্যন্ত মাত্র কয়েকটি শ্রেণীর নটের জন্য করা হয়েছে। 11-এর কম মাত্রার কোনও সসীম-ধরনের অপরিবর্তনীয় নেই যা মিউট্যান্ট নটগুলিকে আলাদা করে। আরও দেখুন উইলার্টনের মাছের তথ্যসূত্র ভিক্টর এ. ভ্যাসিলিয়েভ, গাঁট ফাঁকের কোহোমোলজি। এককত্বের তত্ত্ব এবং এর প্রয়োগ, 23-69, এডভ। সোভিয়েত গণিত, 1, আমেরিকান ম্যাথমেটিকাল সোসাইটি, প্রভিডেন্স, আরআই, 1990। জোয়ান বর্ম্যান এবং জিয়াও-সং লিন, নট পলিনোমিয়াল এবং ভাসিলিয়েভের অপরিবর্তনীয়। উদ্ভাবন গণিত, 111,225-270 (1993) বাহ্যিক সংযোগ নট অপরিবর্তনীয় 3-ম্যানিফোল্ড