Brauer's theorem on induced characters
প্রবর্তিত অক্ষরের উপর ব্রাউয়ারের উপপাদ্য, যা প্রায়শই ব্রাউয়ারের প্রবর্তন উপপাদ্য নামে পরিচিত এবং রিচার্ড ব্রাউয়ারের নামে নামকরণ করা হয়, একটি সীমাবদ্ধ গোষ্ঠীর প্রতিনিধিত্ব তত্ত্বের মধ্যে চরিত্র তত্ত্ব নামে পরিচিত গণিতের শাখার একটি মৌলিক ফলাফল। পটভূমি ব্রাউয়ারের ইন্ডাকশন উপপাদ্যের অগ্রদূত ছিল আর্টিনের ইন্ডাকশন উপপাদ্য, যেখানে বলা হয়েছে যে |G। গুণ G-এর তুচ্ছ অক্ষর হল অক্ষরগুলির একটি পূর্ণসংখ্যা সংমিশ্রণ যা প্রতিটি G-এর চক্রাকার উপগোষ্ঠীর তুচ্ছ অক্ষর থেকে প্ররোচিত হয়। ব্রাউয়ারের উপপাদ্যটি |G। ফ্যাক্টরটিকে সরিয়ে দেয়, তবে ব্যবহৃত উপগোষ্ঠীগুলির সংগ্রহ সম্প্রসারণের ব্যয়ে। ব্রাউয়ারের উপপাদ্যের প্রমাণ প্রকাশিত হওয়ার কয়েক বছর পর, জে. এ. সবুজ দেখিয়েছেন (1955 সালে) যে এই ধরনের কোনও আনয়ন উপপাদ্য (রৈখিক অক্ষর থেকে প্রেরিত অক্ষরের পূর্ণসংখ্যার সংমিশ্রণ সহ) ব্রাউয়ার প্রাথমিক উপগোষ্ঠীর চেয়ে ছোট উপগোষ্ঠীর সংগ্রহের মাধ্যমে প্রমাণিত হতে পারে না। আর্টিনের ইন্ডাকশন উপপাদ্য এবং ব্রাউয়ারের ইন্ডাকশন উপপাদ্যের মধ্যে আরেকটি ফলাফল, যা ব্রাউয়ারের কারণে এবং ব্রাউয়ারের উপপাদ্য বা ব্রাউয়ারের লেম্মা নামেও পরিচিত, এটি সত্য যে জি-এর নিয়মিত উপস্থাপনাটি লেখা যেতে পারে যেখানে ধনাত্মক যুক্তিসঙ্গত এবং জি-এর চক্রাকার উপগোষ্ঠীর অক্ষর থেকে প্ররোচিত হয়। লক্ষ্য করুন যে আর্টিনের উপপাদ্যটিতে অক্ষরগুলি চক্রাকার গোষ্ঠীর তুচ্ছ চরিত্র থেকে প্ররোচিত হয়, যেখানে এখানে তারা নির্বিচারে অক্ষর থেকে প্ররোচিত হয় (আর্টিনের এল ফাংশনের প্রয়োগগুলিতে এটি গুরুত্বপূর্ণ যে গোষ্ঠীগুলি চক্রাকার এবং তাই সমস্ত অক্ষর রৈখিক যা সংশ্লিষ্ট এল ফাংশনগুলি বিশ্লেষণাত্মক)। বিবৃতি জি-কে একটি সসীম গোষ্ঠী হিসাবে ধরা যাক এবং চার (জি)-কে জি-এর জটিল-মূল্যবান শ্রেণী ফাংশনের বলয়ের উপ-রিংকে বোঝাতে দিন যা অপরিবর্তনীয় অক্ষরের পূর্ণসংখ্যার সংমিশ্রণ নিয়ে গঠিত। চার (জি) জি-এর অক্ষর বলয় হিসাবে পরিচিত, এবং এর উপাদানগুলি ভার্চুয়াল অক্ষর হিসাবে পরিচিত (বিকল্পভাবে, সাধারণীকৃত অক্ষর হিসাবে, বা কখনও কখনও পার্থক্য অক্ষর হিসাবে)। এটি একটি বলয় যে G-এর অক্ষরের গুণফল আবার G-এর একটি গুণফল। এর গুণফল শ্রেণী ফাংশনের উপাদানভিত্তিক গুণফল দ্বারা দেওয়া হয়। ব্রাউয়ারের ইন্ডাকশন উপপাদ্য দেখায় যে অক্ষর বলয়টি (একটি আবেলিয়ান গ্রুপ হিসাবে) ফর্মের প্ররোচিত অক্ষর দ্বারা তৈরি করা যেতে পারে, যেখানে এইচ জি-এর উপগোষ্ঠীর উপর এবং λ এইচ-এর রৈখিক অক্ষরের (ডিগ্রি 1 সহ) উপর বিস্তৃত। প্রকৃতপক্ষে, ব্রাউয়ার দেখিয়েছিলেন যে উপগোষ্ঠী এইচ একটি খুব সীমাবদ্ধ সংগ্রহ থেকে বেছে নেওয়া যেতে পারে, যাকে এখন ব্রাউয়ার প্রাথমিক উপগোষ্ঠী বলা হয়। এগুলি চক্রাকার গোষ্ঠী এবং গোষ্ঠীগুলির সরাসরি পণ্য যার ক্রম একটি মৌলিক শক্তির একটি ক্রম। প্রমাণ ব্রাউয়ারের ইন্ডাকশন উপপাদ্যের প্রমাণ চার (জি)-এর বলয়ের কাঠামোকে কাজে লাগায় (বেশিরভাগ প্রমাণ সামান্য বড় বলয়, চার * (জি) ব্যবহার করে, যা অপরিবর্তনীয় অক্ষরের-সংমিশ্রণ নিয়ে গঠিত, যেখানে ω একটি আদিম জটিল |G।-একতার মূল)। ব্রাউয়ার প্রাথমিক উপগোষ্ঠীর রৈখিক অক্ষর থেকে অনুপ্রাণিত অক্ষরের পূর্ণসংখ্যার সংমিশ্রণের সেটটি চার (জি) এর একটি আদর্শ আই (জি), তাই প্রমাণটি হ্রাস করে দেখায় যে তুচ্ছ অক্ষরটি আই (জি)-তে রয়েছে। ব্রাউয়ার এবং জন টেটের প্রমাণ থেকে শুরু করে উপপাদ্যটির বেশ কয়েকটি প্রমাণ দেখায় যে, একবারে একটি মৌলিক পি-এর উপর মনোযোগ কেন্দ্রীভূত করে এবং আই * (জি)-এর পূর্ণসংখ্যা-মূল্যবান উপাদানগুলি তৈরি করে যা পি-এর পর্যাপ্ত উচ্চ শক্তির দ্বারা (পূর্ণসংখ্যার গুণক) তুচ্ছ অক্ষর থেকে (উপাদানগতভাবে) পৃথক হয়। একবার এটি |G।-এর প্রতিটি মৌলিক বিভাজকের জন্য অর্জন করা হলে, সঙ্গতি এবং বীজগাণিতিক পূর্ণসংখ্যা সহ কিছু হেরফের, আবার এই সত্যটিকে কাজে লাগিয়ে যে আই * (জি) হল Ch * (জি)-এর একটি আদর্শ, I (জি)-তে তুচ্ছ অক্ষরটি স্থাপন করুন। এখানে একটি সহায়ক ফলাফল হল যে একটি-মূল্যবান শ্রেণী ফাংশন আদর্শ I * (G)-এর মধ্যে থাকে যদি এর সমস্ত মান |G। দ্বারা বিভাজ্য (in) হয়। ব্রাউয়ারের ইন্ডাকশন উপপাদ্য 1946 সালে প্রমাণিত হয়েছিল এবং এখন অনেক বিকল্প প্রমাণ রয়েছে। 1986 সালে, ভিক্টর স্নাইথ একটি মৌলিকভাবে ভিন্ন পদ্ধতির দ্বারা একটি প্রমাণ দিয়েছিলেন, টপোলজিকাল প্রকৃতির (লেফশেটস স্থির-বিন্দু উপপাদ্যের একটি প্রয়োগ)। ব্রাউয়ারের উপপাদ্যের প্রাকৃতিক এবং সুস্পষ্ট রূপগুলি খুঁজে বের করার প্রশ্ন নিয়ে সাম্প্রতিক গবেষণা হয়েছে, বিশেষত রবার্ট বোল্টজে দ্বারা। ফ্রোবেনিয়াস পারস্পরিকতা ব্যবহার করে প্রয়োগগুলি, ব্রাউয়ারের আনয়ন উপপাদ্যটি সহজেই অক্ষরগুলির মৌলিক বৈশিষ্ট্যের দিকে পরিচালিত করে, যা দাবি করে যে জি-এর একটি জটিল-মূল্যবান শ্রেণী ফাংশন একটি ভার্চুয়াল অক্ষর হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি জি-এর প্রতিটি ব্রাউয়ার প্রাথমিক উপগোষ্ঠীর সীমাবদ্ধতা একটি ভার্চুয়াল অক্ষর হয়। এই ফলাফল, এই সত্যের সাথে যে একটি ভার্চুয়াল অক্ষর θ একটি অপরিবর্তনীয় অক্ষর যদি এবং শুধুমাত্র যদি θ (1)> 0 এবং (যেখানে জটিল-মূল্যবান শ্রেণী ফাংশনের রিংয়ের সাধারণ অভ্যন্তরীণ গুণফল) সম্পর্কিত উপস্থাপনাগুলি স্পষ্টভাবে নির্মাণ না করে অপরিবর্তনীয় অক্ষর নির্মাণের একটি উপায় দেয়। ব্রাউয়ারের ইন্ডাকশন উপপাদ্যের প্রাথমিক অনুপ্রেরণা ছিল আর্টিন এল-ফাংশনগুলির প্রয়োগ। এটি দেখায় যে এগুলি ডিরিচলেট এল-ফাংশন বা আরও সাধারণ হেক এল-ফাংশন থেকে তৈরি করা হয়েছে। সেই প্রয়োগের জন্য অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ হল জি-এর প্রতিটি অক্ষর উপগোষ্ঠীর রৈখিক অক্ষর থেকে প্রেরিত অক্ষরগুলির একটি অ-ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যার সংমিশ্রণ কিনা। সাধারণভাবে, এই ক্ষেত্রে নয়। প্রকৃতপক্ষে, তাকেতার একটি উপপাদ্য অনুসারে, যদি জি-এর সমস্ত অক্ষর এতটাই প্রকাশযোগ্য হয়, তবে জি-কে অবশ্যই একটি সমাধানযোগ্য গোষ্ঠী হতে হবে (যদিও সমাধানযোগ্যতা একা এই ধরনের অভিব্যক্তির নিশ্চয়তা দেয় না-উদাহরণস্বরূপ, সমাধানযোগ্য গোষ্ঠী এসএল (2,3)-এর ডিগ্রি 2-এর একটি অপরিবর্তনীয় জটিল চরিত্র রয়েছে যা উপগোষ্ঠীর রৈখিক অক্ষর থেকে উদ্ভূত অক্ষরগুলির অ-নেতিবাচক পূর্ণসংখ্যার সংমিশ্রণ হিসাবে প্রকাশযোগ্য নয়)। ব্রাউয়ারের ইন্ডাকশন উপপাদ্যের প্রমাণের একটি উপাদান হল যে যখন জি একটি সসীম নিলপোটেন্ট গ্রুপ হয়, তখন জি-এর প্রতিটি জটিল অপরিবর্তনীয় অক্ষর কোনও উপগোষ্ঠীর রৈখিক চরিত্র থেকে প্ররোচিত হয়। রেফারেন্স অ্যাকাডেমিক প্রেস দ্বারা প্রকাশিত 1976 সালের মূলটির সংশোধিত পুনঃমুদ্রণ। আরও পড়া নোটস রিপ্রেজেন্টেশন থিওরি অফ ফাইনাইট গ্রুপ থিওরি ইন রিপ্রেজেন্টেশন থিওরি