Bring radical
বীজগণিতে, একটি বাস্তব সংখ্যা a-এর র্যাডিক্যাল বা আল্ট্রারাডিক্যাল আনুন বহুপদের অনন্য বাস্তব মূল একটি জটিল সংখ্যার র্যাডিক্যাল আনুন a হয় উপরের বহুপদের পাঁচটি মূলের যে কোনও একটি (এটি এইভাবে বহু-মূল্যবান), বা একটি নির্দিষ্ট মূল, যা সাধারণত এমনভাবে বেছে নেওয়া হয় যাতে বাস্তব a-এর জন্য র্যাডিক্যাল আনুন বাস্তব-মূল্যবান হয় এবং এটি বাস্তব রেখার আশেপাশে একটি বিশ্লেষণাত্মক ফাংশন। চারটি শাখা বিন্দুর অস্তিত্বের কারণে, ব্রিং র্যাডিকেলকে এমন একটি ফাংশন হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যায় না যা পুরো জটিল সমতলে অবিচ্ছিন্ন, এবং এর ধারাবাহিকতার ক্ষেত্রটি অবশ্যই চারটি শাখা কাটা বাদ দিতে হবে। জর্জ জেরার্ড দেখিয়েছিলেন যে কিছু কুইন্টিক সমীকরণ র্যাডিকেল এবং ব্রিং র্যাডিকেল ব্যবহার করে বদ্ধ আকারে সমাধান করা যেতে পারে, যা এরল্যান্ড ব্রিং দ্বারা প্রবর্তিত হয়েছিল। এই নিবন্ধে, a-এর আন র্যাডিকালকে বোঝানো হয়েছে বাস্তব যুক্তির জন্য, এটি অদ্ভুত, একঘেয়েভাবে হ্রাসমান এবং সীমাহীন, বড়ের জন্য অ্যাসিম্পটোটিক আচরণ সহ। সাধারণ রূপ কুইন্টিক সমীকরণের সবচেয়ে সাধারণ আকারে পাঁচটি স্বাধীন সহগ সহ সরাসরি সমাধান পাওয়া কঠিনঃ কুইন্টিক সমাধানের জন্য যে বিভিন্ন পদ্ধতি তৈরি করা হয়েছে তা সাধারণত স্বাধীন সহগের সংখ্যা হ্রাস করার জন্য সির্ন্হস রূপান্তর ব্যবহার করে কুইন্টিককে সহজ করার চেষ্টা করে। প্রধান কুইন্টিক ফর্ম সাধারণ কুইন্টিককে প্রধান কুইন্টিক ফর্ম হিসাবে হ্রাস করা যেতে পারে, কোয়ার্টিক এবং কিউবিক পদগুলি সরানো সহঃ যদি একটি সাধারণ কুইন্টিক এবং একটি প্রধান কুইন্টিকের শিকড়গুলি একটি চতুর্ভুজ সির্ন্হস রূপান্তর দ্বারা সম্পর্কিত হয় তবে α এবং β সহগগুলি ফলাফল ব্যবহার করে বা শিকড়ের শক্তি যোগফল এবং নিউটনের পরিচয়ের মাধ্যমে নির্ধারণ করা যেতে পারে। এটি α এবং β-তে সমীকরণের একটি পদ্ধতির দিকে পরিচালিত করে যা একটি দ্বিঘাত এবং একটি রৈখিক সমীকরণ নিয়ে গঠিত, এবং সমাধানের দুটি সেটের যে কোনও একটি প্রধান কুইন্টিক ফর্মের সংশ্লিষ্ট তিনটি সহগ পেতে ব্যবহার করা যেতে পারে। এই ফর্মটি ফেলিক্স ক্লেইনের কুইন্টিকের সমাধান দ্বারা ব্যবহৃত হয়। ব্রিঙ-জেরার্ড স্বাভাবিক রূপটি আনুন কুইন্টিককে আরও সহজ করা এবং দ্বিঘাত শব্দটিকে বাদ দেওয়া সম্ভব, যা ব্রিঙ-জেরার্ড স্বাভাবিক রূপটি তৈরি করেঃ পাওয়ার-সাম সূত্রটি আবার ব্যবহার করে একটি ঘন রূপান্তরের সাথে যেমন টিশার্নহাউস চেষ্টা করেছিলেন তা কাজ করে না, কারণ সমীকরণের ফলস্বরূপ পদ্ধতির ফলস্বরূপ ষষ্ঠ-ডিগ্রি সমীকরণ হয়। কিন্তু 1796 সালে ব্রিং-জেরার্ড কুইন্টিকের সাথে একটি প্রধান কুইন্টিকের শিকড়কে সম্পর্কিত করার জন্য একটি কোয়ার্টিক শিরনহস রূপান্তর ব্যবহার করে এর চারপাশে একটি উপায় খুঁজে বের করেঃ এই চতুর্থ-ক্রমের রূপান্তরটি যে অতিরিক্ত পরামিতি সরবরাহ করে তা অন্যান্য পরামিতিগুলির মাত্রা হ্রাস করার অনুমতি দেয়। এটি ছয়টি অজানা সমীকরণের পাঁচটি পদ্ধতির দিকে পরিচালিত করে, যার জন্য একটি ঘন এবং একটি দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান প্রয়োজন। এই পদ্ধতিটি 1852 সালে জেরার্ডও আবিষ্কার করেছিলেন, তবে সম্ভবত তিনি এই ক্ষেত্রে ব্রিঙের আগের কাজ সম্পর্কে অবগত ছিলেন না। ম্যাথমেটিকা বা ম্যাপেলের মতো কম্পিউটার বীজগণিত প্যাকেজ ব্যবহার করে সম্পূর্ণ রূপান্তরটি সহজেই সম্পন্ন করা যেতে পারে। এই রূপান্তরগুলির জটিলতা থেকে যেমন আশা করা যেতে পারে, ফলস্বরূপ অভিব্যক্তিগুলি বিশাল হতে পারে, বিশেষত যখন নিম্ন ডিগ্রি সমীকরণের র্যাডিকেলগুলির সমাধানের সাথে তুলনা করা হয়, যা প্রতীকী সহগ সহ একটি সাধারণ কুইন্টিকের জন্য অনেক মেগাবাইট সঞ্চয় গ্রহণ করে। একটি বীজগাণিতিক ফাংশন হিসাবে বিবেচিত, দুটি চলক, d1 এবং d0 জড়িত করার সমাধান; যাইহোক, হ্রাস আসলে একটি চলকের একটি বীজগাণিতিক ফাংশনের সাথে হয়, যা র্যাডিকেলের সমাধানের সাথে খুব সাদৃশ্যপূর্ণ, যেহেতু আমরা ব্রিং-জেরার্ড ফর্মকে আরও হ্রাস করতে পারি। যদি আমরা উদাহরণস্বরূপ সেট করি তবে আমরা সমীকরণটিকে এমন আকারে হ্রাস করি যেখানে z একটি একক চলকের বীজগাণিতিক ফাংশন হিসাবে জড়িত, যেখানে। এই ফর্মটি হার্মাইট-ক্রোনেকার-ব্রিওশি পদ্ধতি, গ্লাসারের পদ্ধতি এবং নীচে বর্ণিত ডিফারেনশিয়াল সমাধানগুলির ককল-হার্লি পদ্ধতির দ্বারা প্রয়োজনীয়। একটি বিকল্প ফর্ম সেটিং দ্বারা প্রাপ্ত হয় যাতে কোথায়। এই ফর্মটি নীচে আনুন র্যাডিকেল সংজ্ঞায়িত করতে ব্যবহৃত হয়। ব্রিওশি স্বাভাবিক রূপ কুইন্টিক সমীকরণের জন্য আরেকটি এক-পরামিতি স্বাভাবিক রূপ রয়েছে, যা ব্রিওশি স্বাভাবিক রূপ নামে পরিচিত, যা একটি সাধারণ কুইন্টিকের শিকড়কে ব্রিওশি কুইন্টিকের সাথে সম্পর্কিত করার জন্য যুক্তিসঙ্গত সির্ন্হস রূপান্তর ব্যবহার করে উদ্ভূত করা যেতে পারে। পরামিতিগুলির মান এবং রিম্যান গোলকের পলিহেড্রাল ফাংশন ব্যবহার করে উদ্ভূত হতে পারে এবং আইকোসাহেড্রাল প্রতিসাম্যের একটি বস্তুকে টেট্রাহেড্রাল প্রতিসাম্যের পাঁচটি বস্তুতে বিভক্ত করার সাথে সম্পর্কিত। এই শিরনহস রূপান্তরটি একটি প্রধান কুইন্টিককে ব্রিঙ-জেরার্ড আকারে রূপান্তর করতে ব্যবহৃত কঠিন রূপান্তরের চেয়ে সহজতর। এই স্বাভাবিক রূপটি ডয়েল-ম্যাকমুলেন পুনরাবৃত্তি পদ্ধতি এবং কিপার্ট পদ্ধতি দ্বারা ব্যবহৃত হয়। সিরিজ উপস্থাপনা র্যাডিকেল আনার জন্য একটি টেলর সিরিজ, পাশাপাশি হাইপারজিওমেট্রিক ফাংশনের পরিপ্রেক্ষিতে একটি উপস্থাপনা নিম্নরূপ প্রাপ্ত করা যেতে পারে। সমীকরণটি পুনরায় লেখা যেতে পারে যেমন পছন্দসই সমাধান নির্ধারণ করে যেহেতু এটি বিজোড়। এর জন্য সিরিজটি (যা সহজ) এর জন্য টেলর সিরিজের বিপরীতকরণের মাধ্যমে প্রাপ্ত করা যেতে পারে, যেখানে সহগের পরম মানগুলি ওইআইএস-এ ক্রম এ002294 গঠন করে। সিরিজের অভিসারের ব্যাসার্ধ হাইপারজিওমেট্রিক আকারে, র্যাডিকেল আনুন হিসাবে লেখা যেতে পারে এটি গ্লাসারের উৎপত্তি এবং ডিফারেনশিয়াল সমাধানের পদ্ধতিতে নীচে উদ্ভূত হাইপারজিওমেট্রিক ফাংশনের সাথে তুলনা করা আকর্ষণীয় হতে পারে। সাধারণ কুইন্টিকের সমাধান পলিনোমিয়ালের মূলগুলি ব্রিং র্যাডিকেল এবং এর চারটি কনজুগেটের পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করা যেতে পারে। সমস্যাটি এখন সমাধানযোগ্য বহুপদী সমীকরণের পরিপ্রেক্ষিতে ব্রিং-জেরার্ড আকারে হ্রাস পেয়েছে এবং শুধুমাত্র চতুর্থ ডিগ্রি পর্যন্ত মূলগুলিতে বহুপদী অভিব্যক্তিগুলির সাথে জড়িত রূপান্তরগুলি ব্যবহার করে, যার অর্থ র্যাডিকেলগুলিতে সমাধানযোগ্য বহুপদীর মূলগুলি খুঁজে বের করে রূপান্তরটি বিপরীত করা যেতে পারে। এই পদ্ধতিটি বহিরাগত সমাধান দেয়, কিন্তু যখন সঠিকগুলি সংখ্যাসূচক উপায়ে পাওয়া যায়, তখন কুইন্টিকের শিকড়গুলি বর্গমূল, ঘনমূল এবং ব্রিং র্যাডিকেলের পরিপ্রেক্ষিতে লেখা যেতে পারে, যা তাই একক চলকের বীজগাণিতিক ফাংশনের পরিপ্রেক্ষিতে একটি বীজগাণিতিক সমাধান (ব্রিং র্যাডিকেলগুলি অন্তর্ভুক্ত করার জন্য বিস্তৃতভাবে সংজ্ঞায়িত)-সাধারণ কুইন্টিকের একটি বীজগাণিতিক সমাধান। অন্যান্য বৈশিষ্ট্যগুলি ব্রিং র্যাডিকেলের আরও অনেক বৈশিষ্ট্য তৈরি করা হয়েছে, যার মধ্যে প্রথমটি 1858 সালে চার্লস হার্মাইট দ্বারা "উপবৃত্তাকার ট্রান্সসেন্ডেন্টস" (উপবৃত্তাকার এবং মডুলার ফাংশনের সাথে সম্পর্কিত) এর পরিপ্রেক্ষিতে এবং পরে অন্যান্য গণিতবিদদের দ্বারা আরও পদ্ধতি তৈরি করা হয়েছে। 1858 সালে, চার্লস হার্মাইট "উপবৃত্তাকার উত্তরণ"-এর পরিপ্রেক্ষিতে সাধারণ কুইন্টিক সমীকরণের প্রথম পরিচিত সমাধান প্রকাশ করেন এবং প্রায় একই সময়ে ফ্রান্সেসকো ব্রিওসি এবং লিওপোল্ড ক্রোনেকার সমতুল্য সমাধানের সন্ধান পান। হারমাইট ত্রিকোণমিতি ফাংশনের পরিপ্রেক্ষিতে ঘন সমীকরণের সুপরিচিত সমাধানকে সাধারণীকরণ করে এই সমাধানে পৌঁছেছে এবং ব্রিং-জেরার্ড আকারে একটি কুইন্টিকের সমাধান খুঁজে পেয়েছেঃ যেখানে দেখানো হয়েছে যে কোনও কুইন্টিক সমীকরণকে সির্ন্হস রূপান্তরের মাধ্যমে হ্রাস করা যেতে পারে। তিনি লক্ষ্য করেন যে, ব্রিঙ-জেরার্ড কুইন্টিকের দ্রবণে উপবৃত্তাকার ফাংশনের অনুরূপ ভূমিকা রয়েছে যেমন কিউবিকের জন্য ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের ভূমিকা রয়েছে। প্রথম প্রকারের সম্পূর্ণ উপবৃত্তাকার ইন্টিগ্রাল হিসাবে তাদের জন্য এবং লিখুনঃ যেখানে দুটি "উপবৃত্তাকার অতিক্রমকারী" সংজ্ঞায়িত করুনঃ এগুলি অসীম সিরিজ দ্বারা সমতুল্যভাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারেঃ যদি n একটি মৌলিক সংখ্যা হয়, তবে আমরা দুটি মান সংজ্ঞায়িত করতে পারি এবং নিম্নরূপঃ এবং যখন n একটি বিজোড় মৌলিক সংখ্যা হয়, তখন প্যারামিটারগুলি এবং ডিগ্রি n + 1 ইঞ্চির সমীকরণ দ্বারা সংযুক্ত থাকে, যা মডুলার সমীকরণ হিসাবে পরিচিত, যার n + 1 মূলগুলি দ্বারা দেওয়া হয়ঃ এবং যেখানে 1 বা-1 যথাক্রমে 2 একটি দ্বিঘাত অবশিষ্টাংশ মডুলো n কিনা তার উপর নির্ভর করে, এবং। n = 5-এর জন্য, আমাদের মডুলার সমীকরণ রয়েছেঃ উপরে দেখানো হিসাবে ছয়টি মূল সহ। মডুলার সমীকরণের ছয়টি মূলের নিম্নলিখিত ফাংশন দ্বারা n = 5 সহ মডুলার সমীকরণটি ব্রিং-জেরার্ড কুইন্টিকের সাথে সম্পর্কিত হতে পারে (হার্মাইটের সুর লা থিওরি ডেস ইকুয়েশন মডুলায়ার্স এট লা রেজোলিউশন ডি ল 'ইকুয়েশন ডু সিনকুইমে ডিগ্রেতে, প্রথম ফ্যাক্টরটি ভুলভাবে দেওয়া হয়েছে): বিকল্পভাবে, সূত্রটি এর সংখ্যাসূচক মূল্যায়নের জন্য কার্যকর। হারমাইটের মতে, প্রত্যেকটির জন্য সম্প্রসারণের সহগ শূন্য। পাঁচটি পরিমাণ,,, হল একটি কুইন্টিক সমীকরণের মূল যার সহগগুলি যুক্তিসঙ্গতঃ যা সহজেই প্রতিস্থাপনের মাধ্যমে ব্রিং-জেরার্ড আকারে রূপান্তরিত হতে পারেঃ যা ব্রিং-জেরার্ড কুইন্টিকের দিকে নিয়ে যায়ঃ যেখানে হারমাইট-ক্রোনিকার-ব্রিওশি পদ্ধতি তখন এর মানের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ একটি মান খুঁজে বের করার সমান, এবং তারপরে সংশ্লিষ্ট মডুলার সমীকরণের মূলগুলি পেতে সেই মানটি ব্যবহার করে। আমরা সমীকরণ থেকে খুঁজে বের করার জন্য রুট ফাইন্ডিং অ্যালগরিদম ব্যবহার করতে পারি (অর্থাৎ। এর একটি আংশিক বিপরীত গণনা করুন)। স্কয়ারিং (*) শুধুমাত্র (ব্যবহার করে) একটি কোয়ার্টিক দেয়। (*) এর প্রতিটি সমাধান কোয়ার্টিকের একটি সমাধান কিন্তু কোয়ার্টিকের প্রতিটি সমাধান (*) এর সমাধান নয়। ব্রিং-জেরার্ড কুইন্টিকের শিকড়গুলি তারপর দ্বারা দেওয়া হয়ঃ জন্য। একটি বিকল্প, "ইন্টিগ্রাল" পদ্ধতি নিম্নরূপঃ বিবেচনা করুন কোথায় সমীকরণের মূলগুলি কোথায় তার একটি সমাধান কোথায়ঃ কোথায় (লক্ষ্য করুন যে কিছু গুরুত্বপূর্ণ রেফারেন্স ভুলভাবে এটিকে দেয়)। এই শিকড়গুলির মধ্যে একটি উপবৃত্তাকার মডুলাস হিসাবে ব্যবহার করা যেতে পারে। ব্রিং-জেরার্ড কুইন্টিকের শিকড়গুলি তারপর দ্বারা দেওয়া হয়ঃ জন্য। এটি দেখা যেতে পারে যে এই প্রক্রিয়াটি nতম মূলের একটি সাধারণীকরণ ব্যবহার করে, যা হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারেঃ বা বিন্দুতে আরও বেশি, কারণ হারমাইট-ক্রোনাকার-ব্রিওশি পদ্ধতি মূলত একটি "উপবৃত্তাকার অতিক্রমকারী" দ্বারা সূচকীয়কে প্রতিস্থাপন করে এবং একটি উপবৃত্তাকার অবিচ্ছেদ্য (বা একটি "উপবৃত্তাকার অতিক্রমকারী" এর আংশিক বিপরীত দ্বারা) দ্বারা অবিচ্ছেদ্য (বা বাস্তব রেখার বিপরীত)। ক্রোনেকার ভেবেছিলেন যে এই সাধারণীকরণটি আরও বেশি সাধারণ উপপাদ্যের একটি বিশেষ উদাহরণ, যা নির্বিচারে উচ্চ মাত্রার সমীকরণের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য হবে। এই উপপাদ্যটি, যা থমাস সূত্র নামে পরিচিত, 1984 সালে হিরোশি উমেমুরা দ্বারা সম্পূর্ণরূপে প্রকাশ করা হয়েছিল, যিনি সূচকীয়/উপবৃত্তাকার অগ্রগামীর জায়গায় সিগেল মডুলার ফর্ম ব্যবহার করেছিলেন এবং একটি হাইপারেলিপ্টিক ইন্টিগ্রাল দ্বারা অবিচ্ছেদ্যকে প্রতিস্থাপন করেছিলেন। গ্লাসারের উৎপত্তি এম. এল. গ্লাসারের কারণে এই ব্যুৎপত্তিটি এই নিবন্ধে আগে উপস্থাপিত সিরিজ পদ্ধতিকে সাধারণীকরণ করে যে কোনও ত্রিকোণীয় সমীকরণের সমাধান খুঁজে বের করার জন্যঃ বিশেষত, উপরে যেমন দেখানো হয়েছে তেমন টিশার্নহাউস রূপান্তর ব্যবহার করে কুইন্টিক সমীকরণটিকে এই আকারে হ্রাস করা যেতে পারে। ধরা যাক, সাধারণ রূপটি হয়ে যায়ঃ যেখানে ল্যাগ্রাঞ্জের কারণে একটি সূত্র বলে যে যে কোনও বিশ্লেষণাত্মক ফাংশনের জন্য, রূপান্তরিত সাধারণ সমীকরণের মূলের আশেপাশে, উপরের পরিপ্রেক্ষিতে একটি অসীম সিরিজ হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারেঃ যদি আমরা এই সূত্রটি দিই, তবে আমরা মূলটি নিয়ে আসতে পারিঃ গাউস গুণন উপপাদ্য ব্যবহার করে উপরের অসীম সিরিজটিকে হাইপারজিওমেট্রিক ফাংশনের একটি সীমাবদ্ধ সিরিজে বিভক্ত করা যেতে পারেঃ এবং ফর্মের ত্রিকোণীয়টির মূল রয়েছে সমীকরণের একটি মূল এইভাবে সর্বাধিক এন-1 হাইপারজিওমেট্রিক ফাংশনের যোগফল হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে। এই পদ্ধতিটি হ্রাসকৃত ব্রিং-জেরার্ড কুইন্টিকে প্রয়োগ করে, নিম্নলিখিত ফাংশনগুলি সংজ্ঞায়িত করুনঃ যা উপরের সিরিজ সূত্রে প্রদর্শিত হাইপারজিওমেট্রিক ফাংশন। কুইন্টিকের মূলগুলি এইভাবেঃ এটি মূলত নিম্নলিখিত পদ্ধতিতে প্রাপ্ত ফলাফলের মতোই। 1860 সালে জেমস ককল এবং রবার্ট হার্লি ডিফারেনশিয়াল সমাধানের পদ্ধতিটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের মাধ্যমে কুইন্টিক সমাধানের জন্য একটি পদ্ধতি তৈরি করেছিলেন। তারা মূলগুলিকে সহগের ফাংশন হিসাবে বিবেচনা করে এবং এই সমীকরণগুলির উপর ভিত্তি করে একটি ডিফারেনশিয়াল রিসালভেন্ট গণনা করে। ব্রিং-জেরার্ড কুইন্টিককে একটি ফাংশন হিসাবে প্রকাশ করা হয়ঃ এবং একটি ফাংশনকে এমনভাবে নির্ধারণ করতে হবে যেঃ ফাংশনটিকে অবশ্যই নিম্নলিখিত চারটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণকে সন্তুষ্ট করতে হবেঃ এগুলিকে প্রসারিত করে এবং তাদের একত্রিত করলে ডিফারেনশিয়াল সমাধান পাওয়া যায়ঃ চতুর্থ ক্রমের সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ হওয়ায় ডিফারেনশিয়াল সমাধানের সমাধানটি একীকরণের চারটি ধ্রুবকের উপর নির্ভর করে, যা মূল কুইন্টিককে সন্তুষ্ট করার জন্য বেছে নেওয়া উচিত। এটি হাইপারজিওমেট্রিক প্রকারের একটি ফুচসিয়ান সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ, যার সমাধান উপরের গ্লাসারের বিবরণে উদ্ভূত হাইপারজিওমেট্রিক ফাংশনের সিরিজের সাথে অভিন্ন বলে প্রমাণিত হয়। এই পদ্ধতিটি নির্বিচারে উচ্চ মাত্রার সমীকরণগুলিতেও সাধারণীকরণ করা যেতে পারে, যার মধ্যে ডিফারেনশিয়াল সমাধানগুলি আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ, যার সমাধানগুলিতে বেশ কয়েকটি চলকের হাইপারজিওমেট্রিক ফাংশন জড়িত। নির্বিচারে অভিন্ন বহুপদীর ডিফারেনশিয়াল সমাধানের জন্য একটি সাধারণ সূত্র নাহয়ের পাওয়ারসাম সূত্র দ্বারা দেওয়া হয়। ডয়েল-ম্যাকমুলেন পুনরাবৃত্তি 1989 সালে, পিটার ডয়েল এবং কার্ট ম্যাকমুলেন একটি পুনরাবৃত্তি পদ্ধতি উদ্ভাবন করেছিলেন যা ব্রিওশি স্বাভাবিক আকারে একটি কুইন্টিক সমাধান করেঃ পুনরাবৃত্তি অ্যালগরিদম নিম্নরূপ অগ্রসর হয়ঃ যৌক্তিক ফাংশন গণনা করুন যেখানে নীচে দেওয়া একটি বহুপদী ফাংশন, এবং এটি একটি এলোমেলো প্রারম্ভিক অনুমানের উপর ইটারেটের সাপেক্ষে এর ডেরিভেটিভ যতক্ষণ না এটি একত্রিত হয়। সীমা বিন্দুতে কল করুন এবং যেতে দিন। গণনা করুন যেখানে একটি বহুপদী ফাংশন নীচে দেওয়া আছে। এবং উভয়ের জন্যই এটি করুন। পরিশেষে, এর জন্য গণনা করুন। এগুলি হল ব্রিওশি কুইন্টিকের দুটি শিকড়। দুটি বহুপদী ফাংশন এবং নিম্নরূপঃ এই পুনরাবৃত্তি পদ্ধতিটি কুইন্টিকের দুটি মূল তৈরি করে। অবশিষ্ট তিনটি মূল একটি ঘন সমীকরণ তৈরি করে দুটি মূলকে বিভক্ত করার জন্য কৃত্রিম বিভাজন ব্যবহার করে প্রাপ্ত করা যেতে পারে। পুনরাবৃত্তিটি যেভাবে তৈরি করা হয়েছে তার কারণে, এই পদ্ধতিটি সর্বদা কুইন্টিকের দুটি জটিল কনজুগেট মূল খুঁজে পায় বলে মনে হয়, এমনকি যখন সমস্ত কুইন্টিক সহগ বাস্তব হয় এবং প্রারম্ভিক অনুমান বাস্তব হয়। এই পুনরাবৃত্তি পদ্ধতিটি আইকোসাহেড্রনের প্রতিসাম্য থেকে উদ্ভূত এবং ফেলিক্স ক্লেইন তাঁর বইয়ে বর্ণিত পদ্ধতির সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত। আরও দেখুন সমীকরণের তত্ত্ব তথ্যসূত্র অন্যান্য উৎস বাহ্যিক যোগসূত্র সমীকরণ বহুপদী বিশেষ হাইপারজিওমেট্রিক ফাংশন