Fixed points of isometry groups in Euclidean space
একটি আইসোমেট্রি গ্রুপের একটি নির্দিষ্ট বিন্দু হল এমন একটি বিন্দু যা গ্রুপের প্রতিটি আইসোমেট্রি-র জন্য একটি নির্দিষ্ট বিন্দু। ইউক্লিডীয় স্থানের যে কোনও আইসোমেট্রি গ্রুপের জন্য স্থির বিন্দুর সেট হয় খালি বা একটি অ্যাফিন স্থান। কোনও বস্তুর জন্য, যে কোনও অনন্য কেন্দ্র এবং আরও সাধারণভাবে, বস্তুর সাপেক্ষে অনন্য বৈশিষ্ট্যযুক্ত যে কোনও বিন্দু তার প্রতিসাম্য গোষ্ঠীর একটি নির্দিষ্ট বিন্দু। বিশেষ করে এটি একটি চিত্রের কেন্দ্রবিন্দুর ক্ষেত্রে প্রযোজ্য, যদি এটি বিদ্যমান থাকে। একটি ভৌত বস্তুর ক্ষেত্রে, যদি প্রতিসাম্যের জন্য কেবল আকৃতিই নয়, ঘনত্বও বিবেচনায় নেওয়া হয়, তবে এটি ভর কেন্দ্রের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য। যদি কোনও বস্তুর প্রতিসাম্য গোষ্ঠীর স্থির বিন্দুর সেট একটি এককটন হয় তবে বস্তুটির প্রতিসাম্যের একটি নির্দিষ্ট কেন্দ্র থাকে। কেন্দ্রবিন্দু এবং ভরের কেন্দ্র, যদি সংজ্ঞায়িত করা হয়, এই বিন্দু। "প্রতিসাম্যের কেন্দ্র"-এর আরেকটি অর্থ হল একটি বিন্দু যার ক্ষেত্রে বিপরীত প্রতিসাম্য প্রযোজ্য। এই ধরনের একটি বিন্দু অনন্য হওয়ার প্রয়োজন নেই; যদি তা না হয়, তবে অনুবাদমূলক প্রতিসাম্য রয়েছে, তাই এই ধরনের অনেকগুলি বিন্দু রয়েছে। অন্যদিকে, উদাহরণস্বরূপ। C3h এবং D2 প্রতিসাম্য প্রথম অর্থে প্রতিসাম্যের একটি কেন্দ্র রয়েছে, তবে কোনও বিপরীত নয়। যদি কোনও বস্তুর প্রতিসাম্য গোষ্ঠীর কোনও নির্দিষ্ট বিন্দু না থাকে তবে বস্তুটি অসীম এবং এর কেন্দ্রবিন্দু এবং ভরের কেন্দ্র অনির্ধারিত। যদি কোনও বস্তুর প্রতিসাম্য গোষ্ঠীর স্থির বিন্দুর সেটটি একটি রেখা বা সমতল হয় তবে বস্তুর কেন্দ্রবিন্দু এবং ভরের কেন্দ্র, যদি সংজ্ঞায়িত করা হয়, এবং অন্য যে কোনও বিন্দু যার বস্তুর ক্ষেত্রে অনন্য বৈশিষ্ট্য রয়েছে, এই রেখা বা সমতলে থাকে। 1ডি লাইন শুধুমাত্র তুচ্ছ আইসোমেট্রি গ্রুপ পুরো লাইনকে স্থির রাখে। বিন্দু প্রতিফলন দ্বারা সৃষ্ট গোষ্ঠীগুলি একটি বিন্দু স্থির রেখে যায়। 2ডি প্লেন শুধুমাত্র তুচ্ছ আইসোমেট্রি গ্রুপ সি1 পুরো প্লেনকে স্থির রাখে। যে কোনও লাইনের সাপেক্ষে লাইন সি সেই লাইনটিকে স্থির করে দেয়। যে কোনও বিন্দুর সাপেক্ষে দুটি মাত্রায় বিন্দু গোষ্ঠীগুলি সেই বিন্দুটিকে স্থির রাখে। 3ডি স্থান শুধুমাত্র তুচ্ছ আইসোমেট্রি গ্রুপ সি1 পুরো স্থানটিকে স্থির রাখে। একটি সমতলের সাপেক্ষে প্লেন সিএস সেই সমতলকে স্থির করে দেয়। একটি রেখা স্থির রেখে যাওয়া লাইন আইসোমেট্রি গ্রুপগুলি হল আইসোমেট্রি যা সেই রেখার লম্ব প্রতিটি সমতলে রেখা এবং সমতলের ছেদ বিন্দুর সাপেক্ষে দুটি মাত্রায় সাধারণ 2ডি পয়েন্ট গ্রুপ থাকে। Cn (n> 1) এবং Cnv (n> 1) অক্ষের ক্ষেত্রে লম্ব সমতলে প্রতিফলন প্রতিসাম্য ছাড়াই নলাকার প্রতিসাম্য যেখানে প্রতিসাম্য গোষ্ঠীটি নলাকার প্রতিসাম্য বিন্দুর একটি অসীম উপসেট তিনটি মাত্রায় অন্যান্য সমস্ত বিন্দু গোষ্ঠী কোনও নির্দিষ্ট বিন্দু নেই আইসোমেট্রি গ্রুপে অনুবাদ বা একটি স্ক্রু অপারেশন রয়েছে। স্বেচ্ছাচারী মাত্রা বিন্দু একটি আইসোমেট্রি গ্রুপের একটি উদাহরণ, যা প্রতিটি মাত্রায় প্রয়োগ করা হয়, তা হল একটি বিন্দুতে বিপরীতমুখী দ্বারা উত্পন্ন। একটি এন-মাত্রিক সমান্তরাল এই ধরনের বিপরীতের অধীনে একটি অপরিবর্তনীয় বস্তুর একটি উদাহরণ। রেফারেন্স স্লাভিক ভি. জাবলান, সিমেট্রি, অলঙ্কার এবং মডুলারিটি, নটস এবং এভরিথিং, ওয়ার্ল্ড সায়েন্টিফিক, 2002-এর উপর কেএন্ডই সিরিজের ভলিউম 30। ইউক্লিডীয় প্রতিসাম্য গোষ্ঠী তত্ত্ব স্থির বিন্দু (গণিত) জ্যামিতিক কেন্দ্র