Gelfand pair
গণিতে, একটি গেলফ্যান্ড জোড়া হল একটি জোড়া (জি, কে) যা একটি গ্রুপ জি এবং একটি উপগোষ্ঠী কে (যাকে জি-এর অয়লার উপগোষ্ঠী বলা হয়) নিয়ে গঠিত যা সীমাবদ্ধ উপস্থাপনার উপর একটি নির্দিষ্ট বৈশিষ্ট্যকে সন্তুষ্ট করে। গেলফ্যান্ড জোড়ের তত্ত্বটি বিশেষ ফাংশনের ধ্রুপদী তত্ত্বের গোলাকার ফাংশনের বিষয় এবং ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতিতে রিমানিয়ান প্রতিসম স্থানের তত্ত্বের সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত। বিস্তৃতভাবে বলতে গেলে, এই তত্ত্বগুলি থেকে সুরেলা বিশ্লেষণ এবং উপস্থাপনা তত্ত্বের পরিপ্রেক্ষিতে তাদের বিষয়বস্তু বিমূর্ত করার জন্য তত্ত্বটি বিদ্যমান। যখন জি একটি সসীম গ্রুপ হয়, তখন সবচেয়ে সহজ সংজ্ঞাটি হল, মোটামুটিভাবে বলতে গেলে, জি কমিউটে (কে, কে)-ডাবল কোসেট। আরও সুনির্দিষ্টভাবে বলতে গেলে, হেক বীজগণিত, G-এর উপরের ফাংশনের বীজগণিত যা K দ্বারা উভয় পক্ষের অনুবাদের অধীনে অপরিবর্তনীয়, G-এর কনভোলিউশনের জন্য বিনিময়যোগ্য হওয়া উচিত। সাধারণভাবে, গেলফ্যান্ড জুটির সংজ্ঞা মোটামুটিভাবে হল যে G-এর যে কোনও অপরিবর্তনীয় উপস্থাপনার K-এর সীমাবদ্ধতা 1-এর বেশি গুণক সহ K-এর তুচ্ছ উপস্থাপনা ধারণ করে। প্রতিটি ক্ষেত্রে বিবেচিত উপস্থাপনার শ্রেণী এবং অন্তর্ভুক্তির অর্থ নির্দিষ্ট করা উচিত। সংজ্ঞা প্রতিটি ক্ষেত্রে, প্রতিনিধিত্বের শ্রেণী এবং প্রতিনিধিত্বের জন্য নিয়ন্ত্রণের সংজ্ঞা কিছুটা আলাদা। এই ধরনের বেশ কয়েকটি ক্ষেত্রে সুস্পষ্ট সংজ্ঞা এখানে দেওয়া হয়েছে। সীমাবদ্ধ গোষ্ঠীর ক্ষেত্রে যখন জি একটি সীমাবদ্ধ গোষ্ঠী হয় তখন নিম্নলিখিতগুলি সমতুল্য (জি, কে) একটি গেলফ্যান্ড জোড়া। কনভোলিউশন দ্বারা সংজ্ঞায়িত গুণ সহ জি-তে (কে, কে)-দ্বিগুণ অপরিবর্তনীয় ফাংশনের বীজগণিত বিনিময়যোগ্য। G-এর যে কোনও অপরিবর্তনীয় উপস্থাপনার জন্য, π-তে K-অপরিবর্তনীয় ভেক্টরের স্থান πK-এর মাত্রা 1-এর চেয়ে বেশি নয়। জি-এর যে কোনও অপরিবর্তনীয় উপস্থাপনার জন্য, হোমকে (π, সি)-এর মাত্রা 1-এর চেয়ে কম বা সমান, যেখানে সি তুচ্ছ উপস্থাপনাকে বোঝায়। K-এর কোসেটগুলিতে G-এর ক্রমাঙ্কন উপস্থাপনা বহুগুণ-মুক্ত, অর্থাৎ, এটি বৈশিষ্ট্য শূন্যের স্বতন্ত্র একেবারে অপরিবর্তনীয় উপস্থাপনাগুলির সরাসরি যোগফলের মধ্যে বিভক্ত হয়। বিন্যাসের কেন্দ্রীয় বীজগণিত (শুর বীজগণিত) বিনিময়যোগ্য। (জি/এন, কে/এন) একটি গেলফ্যান্ড জোড়া, যেখানে কে-তে থাকা জি-এর একটি স্বাভাবিক উপগোষ্ঠী হল এন। কম্প্যাক্ট গ্রুপের ক্ষেত্রে যখন জি একটি কম্প্যাক্ট টপোলজিকাল গ্রুপ হয় তখন নিম্নলিখিতগুলি সমতুল্যঃ (জি, কে) একটি গেলফ্যান্ড জোড়া। (কে, কে)-এর বীজগণিত-দ্বিগুণ অপরিবর্তনীয় সংহতভাবে সমর্থিত ক্রমাগত পরিমাপগুলি জি-তে কনভোলিউশন দ্বারা সংজ্ঞায়িত গুণ সহ বিনিময়যোগ্য। G-এর যে কোনও অবিচ্ছিন্ন, স্থানীয়ভাবে উত্তল, অপরিবর্তনীয় উপস্থাপনা π-এর জন্য, π-তে K-অপরিবর্তনীয় ভেক্টরের স্থান πK 1-এর চেয়ে বেশি মাত্রিক নয়। জি-এর যে কোনও অবিচ্ছিন্ন, স্থানীয়ভাবে উত্তল, অপরিবর্তনীয় উপস্থাপনার জন্য হোমকে (π, সি)-এর মাত্রা 1-এর চেয়ে কম বা সমান। জি-এর প্রতিনিধিত্ব এল2 (জি/কে) বহুগুণ মুক্ত অর্থাৎ। এটি স্বতন্ত্র একক অপরিবর্তনীয় উপস্থাপনার একটি সরাসরি যোগফল। কম্প্যাক্ট সাবগ্রুপ সহ লাই গ্রুপ যখন জি একটি লাই গ্রুপ এবং কে একটি কম্প্যাক্ট সাবগ্রুপ হয় তখন নিম্নলিখিতগুলি সমতুল্যঃ (জি, কে) একটি গেলফ্যান্ড জোড়া। (কে, কে)-এর বীজগণিত-দ্বিগুণ অপরিবর্তনীয় সংহতভাবে সমর্থিত ক্রমাগত পরিমাপগুলি জি-তে কনভোলিউশন দ্বারা সংজ্ঞায়িত গুণ সহ বিনিময়যোগ্য। জি/কে-তে কে-ইনভ্যারিয়েন্ট ডিফারেনশিয়াল অপারেটরের বীজগণিত ডি (জি/কে) কে বিনিময়যোগ্য। G-এর যে কোনও অবিচ্ছিন্ন, স্থানীয়ভাবে উত্তল, অপরিবর্তনীয় উপস্থাপনা π-এর জন্য, π-তে K-অপরিবর্তনীয় ভেক্টরের স্থান πK 1-এর চেয়ে বেশি মাত্রিক নয়। জি-এর যে কোনও অবিচ্ছিন্ন, স্থানীয়ভাবে উত্তল, অপরিবর্তনীয় উপস্থাপনার জন্য হোমকে (π, সি)-এর মাত্রা 1-এর চেয়ে কম বা সমান। জি-এর প্রতিনিধিত্ব এল2 (জি/কে) বহুগুণ মুক্ত অর্থাৎ। এটি স্বতন্ত্র একক অপরিবর্তনীয় উপস্থাপনার একটি প্রত্যক্ষ অবিচ্ছেদ্য অংশ। এই ধরনের গেলফ্যান্ড জোড়ার শ্রেণিবিন্যাসের জন্য দেখুন। এই ধরনের গেলফ্যান্ড জোড়ার ধ্রুপদী উদাহরণ হল (জি, কে), যেখানে জি একটি হ্রাসকারী লাই গ্রুপ এবং কে একটি সর্বাধিক কম্প্যাক্ট উপগোষ্ঠী। কম্প্যাক্ট সাবগ্রুপ সহ স্থানীয়ভাবে কম্প্যাক্ট টপোলজিকাল গ্রুপ যখন জি একটি স্থানীয়ভাবে কম্প্যাক্ট টপোলজিকাল গ্রুপ এবং কে একটি কম্প্যাক্ট সাবগ্রুপ হয় তখন নিম্নলিখিতগুলি সমতুল্যঃ (জি, কে) একটি গেলফ্যান্ড জোড়া। (কে, কে)-এর বীজগণিত-দ্বিগুণ অপরিবর্তনীয় সংহতভাবে সমর্থিত ক্রমাগত পরিমাপগুলি জি-তে কনভোলিউশন দ্বারা সংজ্ঞায়িত গুণ সহ বিনিময়যোগ্য। G-এর যে কোনও অবিচ্ছিন্ন স্থানীয়ভাবে উত্তল অপরিবর্তনীয় উপস্থাপনার জন্য, π-তে K-অপরিবর্তনীয় ভেক্টরের স্থান πK-এর মান 1-এর বেশি নয়। জি-এর যে কোনও অবিচ্ছিন্ন, স্থানীয়ভাবে উত্তল, অপরিবর্তনীয় উপস্থাপনা π-এর জন্য, হোমকে (π, সি)-এর মাত্রা 1-এর কম বা সমান। জি-এর প্রতিনিধিত্ব এল2 (জি/কে) বহুগুণ মুক্ত অর্থাৎ। এটি স্বতন্ত্র একক অপরিবর্তনীয় উপস্থাপনার একটি প্রত্যক্ষ অবিচ্ছেদ্য অংশ। সেই পরিবেশে, জি-এর একটি ইওয়াসাওয়া-মনোদ পচন রয়েছে, যথা জি-এর কিছু সহনীয় উপগোষ্ঠী পি-এর জন্য জি = কেপি। এটি আধা-সরল লাই গোষ্ঠীর ইওয়াসাওয়া পচনের বিমূর্ত সাদৃশ্য। যখন জি একটি লাই গ্রুপ এবং কে একটি বদ্ধ উপগোষ্ঠী হয়, তখন এই জুটিকে (জি, কে) একটি সাধারণীকৃত গেলফান্ড জোড়া বলা হয় যদি হিলবার্ট স্পেসে জি-এর কোনও অপরিবর্তনীয় একক প্রতিনিধিত্বের জন্য হোমকে (π, সি)-এর মাত্রা 1-এর চেয়ে কম বা সমান হয়, যেখানে π φ মসৃণ ভেক্টরের উপ-উপস্থাপনাকে বোঝায়। বন্ধ উপগোষ্ঠী সহ একটি স্থানীয় ক্ষেত্রের উপর হ্রাসকারী গোষ্ঠী যখন জি একটি স্থানীয় ক্ষেত্রের উপর একটি হ্রাসকারী গোষ্ঠী এবং কে একটি বন্ধ উপগোষ্ঠী, তখন গেলফ্যান্ড জুটির তিনটি (সম্ভবত অ-সমতুল্য) ধারণা সাহিত্যে উপস্থিত হয়। আমরা তাদের এখানে জিপি1, জিপি2 এবং জিপি3 বলব। জিপি1) জি-এর যে কোনও অপরিবর্তনীয় গ্রহণযোগ্য উপস্থাপনার জন্য হোমকে (π, সি)-এর মাত্রা 1-এর কম বা সমান। জিপি2) আমাদের কাছে জি-এর যে কোনও অপরিবর্তনীয় গ্রহণযোগ্য উপস্থাপনার জন্য π রয়েছে, যেখানে মসৃণ দ্বৈতকে বোঝায়। জিপি3) হিলবার্ট স্পেসে জি-এর যে কোনও অপরিবর্তনীয় একক প্রতিনিধিত্বের জন্য হোমকে (π, সি)-এর মাত্রা 1-এর কম বা সমান। এখানে, গ্রহণযোগ্য প্রতিনিধিত্ব হল গ্রহণযোগ্য প্রতিনিধিত্বের সাধারণ ধারণা যখন স্থানীয় ক্ষেত্রটি অ-আর্কিমিডিয়ান হয়। যখন স্থানীয় ক্ষেত্রটি আর্কিমিডিয়ান হয়, তখন এর পরিবর্তে গ্রহণযোগ্য প্রতিনিধিত্ব মানে মাঝারি বৃদ্ধির মসৃণ ফ্রেচেট উপস্থাপনা যাতে সংশ্লিষ্ট হরিশ-চন্দ্র মডিউল গ্রহণযোগ্য হয়। যদি স্থানীয় ক্ষেত্রটি আর্কিমিডিয়ান হয়, তবে জিপি3 পূর্ববর্তী ক্ষেত্রে সংজ্ঞায়িত সাধারণীকৃত গেলফ্যান্ড বৈশিষ্ট্যের মতোই। স্পষ্টতই, জি. পি. 1. জি. পি. 2. জি. পি 3। শক্তিশালী গেলফ্যান্ড জোড়া একটি জুটিকে (জি, কে) শক্তিশালী গেলফ্যান্ড জোড়া বলা হয় যদি জোড়াটি (জি × কে, কে) একটি গেলফ্যান্ড জোড়া হয়, যেখানে জি × কেঃ কে-তে {(কে, কে) তির্যক উপগোষ্ঠী হয়। কখনও কখনও, এই বৈশিষ্ট্যটিকে বহুগুণ এক সম্পত্তিও বলা হয়। উপরের প্রতিটি ক্ষেত্রেই শক্তিশালী গেলফ্যান্ড জুটির সঙ্গে খাপ খাইয়ে নেওয়া যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, ধরা যাক জি একটি সসীম গ্রুপ। তারপর নিম্নলিখিতগুলি সমতুল্য। (জি, কে) একটি শক্তিশালী গেলফ্যান্ড জুটি। G অপরিবর্তনীয়ের উপর K দ্বারা সংমিশ্রণের সাপেক্ষে ফাংশনের বীজগণিত (কনভোলিউশন দ্বারা সংজ্ঞায়িত গুণ সহ) বিনিময়যোগ্য। G-এর যে কোনও অপরিবর্তনীয় উপস্থাপনা π এবং K-এর τ-এর জন্য, স্থান HomK (τ, π) 1-এর চেয়ে বেশি মাত্রিক নয়। G-এর π এবং K-এর τ-এর যে কোনও অপরিবর্তনীয় উপস্থাপনার জন্য, স্থান HomK (π, τ) 1-এর চেয়ে বেশি মাত্রিক নয়। গেলফান্ড সম্পত্তির জন্য মানদণ্ড কম্প্যাক্ট সাবগ্রুপ সহ স্থানীয়ভাবে কম্প্যাক্ট টপোলজিকাল গ্রুপ এই ক্ষেত্রে গেলফান্ডের কারণে জোড়া (জি, কে)-কে গেলফান্ড হওয়ার জন্য একটি শাস্ত্রীয় মানদণ্ড রয়েছেঃ ধরুন যে জি এস টি-এর একটি অনৈচ্ছিক অ্যান্টি-অটোমর্ফিজম σ রয়েছে। যেকোনও (কে, কে) দ্বৈত কোসেট σ অপরিবর্তনীয়। তারপর জোড়াটি (জি, কে) একটি গেলফ্যান্ড জোড়া। এই মানদণ্ডটি নিম্নলিখিতটির সমতুল্যঃ ধরুন যে G-এর একটি অনৈচ্ছিক স্বতঃস্ফূর্ততা বিরোধী σ রয়েছে যাতে G-এর যে কোনও ফাংশন যা K দ্বারা ডান এবং বাম উভয় অনুবাদের ক্ষেত্রে অপরিবর্তনীয় σ অপরিবর্তনীয়। তারপর জোড়াটি (জি, কে) একটি গেলফ্যান্ড জোড়া। বন্ধ উপগোষ্ঠী সহ একটি স্থানীয় ক্ষেত্রের উপর হ্রাসকারী গোষ্ঠী এই ক্ষেত্রে জিপি2-কে সন্তুষ্ট করার জন্য জোড়া (জি, কে)-এর জন্য গেলফান্ড এবং কাজদানের কারণে একটি মানদণ্ড রয়েছে। ধরুন, জি-এর একটি অনৈচ্ছিক অ্যান্টি-অটোমর্ফিজম σ রয়েছে যাতে জি-এর উপর যে কোনও (কে, কে)-দ্বিগুণ অপরিবর্তনীয় বন্টন σ-অপরিবর্তনীয় হয়। তারপর জোড়া (জি, কে) জিপি2-কে সন্তুষ্ট করে। দেখুন। যদি উপরের বিবৃতিটি শুধুমাত্র ধনাত্মক নির্দিষ্ট বণ্টনের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য হয় তবে এই জুটি জিপি3-কে সন্তুষ্ট করে (পরবর্তী ক্ষেত্রে দেখুন)। জিপি1 বৈশিষ্ট্যটি প্রায়শই জিপি2 থেকে অনুসরণ করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, এটি হয় যদি জি-এর একটি অনৈচ্ছিক অ্যান্টি-অটোমর্ফিজম বিদ্যমান থাকে যা কে সংরক্ষণ করে এবং প্রতিটি বদ্ধ কনজুগেসি শ্রেণী সংরক্ষণ করে। জি = জিএল (এন)-এর জন্য স্থানান্তর এই ধরনের প্রবণতা হিসাবে কাজ করতে পারে। বদ্ধ উপগোষ্ঠী সহ লাই গ্রুপ এই ক্ষেত্রে জোড়া (জি, কে)-কে গেলফ্যান্ড জোড়া হিসাবে সাধারণীকরণ করার জন্য নিম্নলিখিত মানদণ্ড রয়েছে। ধরুন, জি. এস. টি-র একটি অনৈচ্ছিক অ্যান্টি-অটোমর্ফিজম σ রয়েছে। G-এর উপর যে কোনও K × K অপরিবর্তনীয় ধনাত্মক নির্দিষ্ট বন্টন হল σ-অপরিবর্তনীয়। তারপর জোড়া (জি, কে) একটি সাধারণীকৃত গেলফ্যান্ড জোড়া। দেখুন। শক্তিশালী গেলফ্যান্ড সম্পত্তির জন্য মানদণ্ড উপরের সমস্ত মানদণ্ডকে শক্তিশালী গেলফ্যান্ড জুটির জন্য মানদণ্ডে পরিণত করা যেতে পারে কে × কে-এর দ্বিমুখী ক্রিয়াকে কে-এর সংমিশ্রণ ক্রিয়া দ্বারা প্রতিস্থাপন করে। টুইস্টেড গেলফ্যান্ড জোড়া গেলফ্যান্ড জুটির ধারণার একটি সাধারণীকরণ হল টুইস্টেড গেলফ্যান্ড জুটির ধারণা। অর্থাৎ একটি জুটিকে (জি, কে) কে গ্রুপের χ অক্ষরের সাপেক্ষে একটি বাঁকানো গেলফান্ড জোড়া বলা হয়, যদি গেলফান্ড বৈশিষ্ট্যটি সত্য হয় যখন তুচ্ছ উপস্থাপনাটি χ অক্ষর দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়। উদাহরণস্বরূপ, যখন কে কম্প্যাক্ট হয় তখন এর অর্থ হল হোমকে (π, χ) এর মাত্রা 1 এর চেয়ে কম বা সমান। গেলফ্যান্ড জোড়ার জন্য মানদণ্ডটি বাঁকানো গেলফ্যান্ড জোড়ার ক্ষেত্রে মানিয়ে নেওয়া যেতে পারে। প্রতিসম জোড়া গেলফ্যান্ড বৈশিষ্ট্য প্রায়শই প্রতিসম জোড়া দ্বারা সন্তুষ্ট হয়। একটি জোড়া (জি, কে) কে প্রতিসম জোড়া বলা হয় যদি জি-এর একটি অনৈচ্ছিক অটোমরফিজম θ বিদ্যমান থাকে যাতে কে হল θ-অপরিবর্তনীয় উপাদানগুলির গোষ্ঠীর সংযুক্ত উপাদানগুলির একটি ইউনিয়নঃ জি. θ। যদি G হল R-এর উপর একটি সংযুক্ত হ্রাসকারী গোষ্ঠী এবং K = Gθ একটি সংক্ষিপ্ত উপগোষ্ঠী হয় তবে (G, K) একটি গেলফ্যান্ড জোড়া। উদাহরণস্বরূপঃ জি = জিএল (এন, আর) এবং কে = ও (এন, আর), অর্থোগোনাল ম্যাট্রিক্সের উপগোষ্ঠী। সাধারণভাবে, এটি একটি আকর্ষণীয় প্রশ্ন যখন একটি স্থানীয় ক্ষেত্রের উপর একটি হ্রাসকারী গোষ্ঠীর প্রতিসম জুটির গেলফ্যান্ড বৈশিষ্ট্য থাকে। প্রথম পদমর্যাদার প্রতিসম জোড়ার জন্য এই প্রশ্নটি অনুসন্ধান করা হয়েছিল এবং উচ্চ পদমর্যাদার গেলফ্যান্ড প্রতিসম জোড়ের একটি উদাহরণ হল (জিএল (এন + কে), জিএল (এন) × জিএল (কে))। এটি অ-আর্কিমিডিয়ান স্থানীয় ক্ষেত্রগুলিতে এবং পরে শূন্য বৈশিষ্ট্যযুক্ত সমস্ত স্থানীয় ক্ষেত্রের জন্য প্রমাণিত হয়েছিল। উচ্চ পদমর্যাদার প্রতিসম জোড়াগুলির জন্য এই প্রশ্নের আরও বিশদ বিবরণের জন্য দেখুন। গোলাকার জোড়া বীজগাণিতিক গোষ্ঠীর প্রসঙ্গে গেলফ্যান্ড জোড়ার সাদৃশ্যগুলিকে গোলাকার জোড়া বলা হয়। অর্থাৎ, বীজগাণিতিক গোষ্ঠীর একটি জুটিকে (জি, কে) গোলাকার জোড়া বলা হয় যদি নিম্নলিখিত সমতুল্য শর্তগুলির মধ্যে একটি থাকে। জি-তে একটি উন্মুক্ত (বি, কে)-দ্বিগুণ কোসেট রয়েছে, যেখানে বি হল জি-এর বোরেল উপগোষ্ঠী। জি-তে একটি সীমাবদ্ধ সংখ্যা (বি, কে)-দ্বিগুণ কোসেট রয়েছে। জি-এর যে কোনও বীজগাণিতিক উপস্থাপনার জন্য, আমাদের ডিম রয়েছে। এই ক্ষেত্রে G/H স্থানটিকে গোলাকার স্থান বলা হয়। এটি অনুমান করা হয় যে একটি স্থানীয় ক্ষেত্রের উপর যে কোনও গোলাকার জোড়া (জি, কে) গেলফ্যান্ড বৈশিষ্ট্যের নিম্নলিখিত দুর্বল সংস্করণকে সন্তুষ্ট করেঃ জি-এর যে কোনও গ্রহণযোগ্য উপস্থাপনার জন্য, স্থান হোমকে (π, সি) সীমাবদ্ধ-মাত্রিক। উপরন্তু, এই মাত্রার সীমা π-এর উপর নির্ভর করে না। এই অনুমানটি সমস্ত প্রতিসম জোড়া সহ গোলাকার জোড়ার একটি বড় শ্রেণীর জন্য প্রমাণিত। প্রয়োগ শ্রেণীবিভাগ গেলফ্যান্ড জোড়া প্রায়শই নিম্নোক্ত উপায়ে অপরিবর্তনীয় উপস্থাপনার শ্রেণিবিন্যাসের জন্য ব্যবহৃত হয়ঃ ধরা যাক (জি, কে) একটি গেলফ্যান্ড জোড়া। যদি হোমকে (π, সি) 1-মাত্রিক হয় তবে জি-এর একটি অপরিবর্তনীয় উপস্থাপনাকে কে-বিশিষ্ট বলা হয়। ইন্ড (সি) হল সমস্ত কে-বিশিষ্ট উপস্থাপনার জন্য একটি মডেল। যে কোনও কে-বিশিষ্ট উপস্থাপনা সেখানে ঠিক 1 গুণের সাথে উপস্থিত হয়। বাঁকানো গেলফ্যান্ড জুটির ক্ষেত্রেও একই ধারণা বিদ্যমান। উদাহরণস্বরূপঃ যদি জি একটি স্থানীয় ক্ষেত্রের উপর একটি হ্রাসকারী গোষ্ঠী হয় এবং কে তার সর্বাধিক সংক্ষিপ্ত উপগোষ্ঠী হয়, তবে কে বিশিষ্ট উপস্থাপনাগুলিকে গোলাকার বলা হয়, এই ধরনের উপস্থাপনাগুলিকে সাতক চিঠিপত্রের মাধ্যমে শ্রেণীবদ্ধ করা যেতে পারে। গোলাকার উপস্থাপনার ধারণাটি হরিশ-চন্দ্র মডিউলের ধারণার ভিত্তিতে রয়েছে। উদাহরণস্বরূপঃ যদি জি একটি স্থানীয় ক্ষেত্রের উপর বিভক্ত হ্রাসকারী গোষ্ঠী হয় এবং কে তার সর্বাধিক একক ক্ষমতা সম্পন্ন উপগোষ্ঠী হয় তবে জোড়াটি (জি, কে) গেলফ্যান্ড জোড়া ডাব্লু. আর. টি। যে কোনও অ-অবক্ষয়কারী অক্ষর si (দেখুন,)। এই ক্ষেত্রে কে-বিশিষ্ট উপস্থাপনাগুলিকে জেনেরিক (বা নন-ডিজেনারেট) বলা হয় এবং এগুলিকে শ্রেণীবদ্ধ করা সহজ। প্রায় যে কোনও অপরিবর্তনীয় উপস্থাপনা সাধারণ। স্বতন্ত্র (স্কেলার পর্যন্ত) ইন্ড (si)-এর একটি সাধারণ উপস্থাপনাকে হুইটটেকার মডেল বলা হয়। জি = জিএল (এন)-এর ক্ষেত্রে উপরের ফলাফলের একটি সূক্ষ্ম সংস্করণ রয়েছে, যথা কি উপগোষ্ঠী এবং এস. টি অক্ষরের একটি সীমাবদ্ধ ক্রম রয়েছে। (জি, কি) গেলফ্যান্ড পেয়ার ডাব্লু. আর. টি। এবং যে কোনও অপরিবর্তনীয় একক প্রতিনিধিত্ব ঠিক একটি i (দেখুন,) গেলফ্যান্ড-জেইটলিন নির্মাণের জন্য আলাদা করা হয় কেউ অপরিবর্তনীয় উপস্থাপনার জন্য ঘাঁটি নির্মাণের জন্য গেলফ্যান্ড জোড়া ব্যবহার করতে পারেনঃ ধরুন আমাদের একটি ক্রম আছে। (জি, জি-1) একটি শক্তিশালী গেলফ্যান্ড জুটি। সরলতার জন্য ধরে নেওয়া যাক যে জিএন কম্প্যাক্ট। তারপর এটি এক-মাত্রিক উপ-উপস্থাপনায় জিএন-এর যে কোনও অপরিবর্তনীয় উপস্থাপনার একটি ক্যানোনিকাল পচন দেয়। যখন Gn = U (n) (একক গোষ্ঠী) হয় তখন এই গঠনকে গেলফান্ড জেইটলিন ভিত্তি বলা হয়। যেহেতু ইউ (এন)-এর উপস্থাপনাগুলি জিএল (এন)-এর বীজগাণিতিক উপস্থাপনার মতোই, তাই আমরা জিএল (এন)-এর যে কোনও বীজগাণিতিক অপরিবর্তনীয় উপস্থাপনার ভিত্তিও পাই। তবে একজনের সচেতন হওয়া উচিত যে নির্মিত ভিত্তি ক্যানোনিকাল নয় কারণ এটি এম্বেডিং ইউ (আই) ইউ (আই + 1) এর পছন্দের উপর নির্ভর করে। অটোমরফিক ফর্মগুলির সময়কালের বিভাজন গেলফ্যান্ড জোড়াগুলির আরও সাম্প্রতিক ব্যবহার অটোমরফিক ফর্মগুলির সময়কালের বিভাজনের জন্য। ধরা যাক G একটি বৈশ্বিক ক্ষেত্র F-এর উপর সংজ্ঞায়িত একটি হ্রাসকারী গোষ্ঠী এবং K-কে G-এর একটি বীজগাণিতিক উপগোষ্ঠী। মনে করুন যে F-এর যে কোনও জায়গার জন্য জোড়া (G, K) একটি গেলফ্যান্ড জোড়া। ধরা যাক m হল G-এর উপর একটি স্বয়ংক্রিয় রূপ, তারপর এর H-সময়কাল স্থানীয় কারণগুলির গুণফল হিসাবে বিভক্ত হয় (অর্থাৎ। যে কারণগুলি শুধুমাত্র প্রতিটি জায়গায় m এর আচরণের উপর নির্ভর করে)। এখন ধরুন আমাদের একটি জটিল প্যারামিটার s সহ অটোমরফিক ফর্মগুলির একটি পরিবার দেওয়া হয়েছে। তারপর সেই ফর্মগুলির পিরিয়ড একটি বিশ্লেষণমূলক ফাংশন যা স্থানীয় কারণগুলির একটি প্রোডাক্টে বিভক্ত হয়। প্রায়শই এর অর্থ এই যে এই ফাংশনটি একটি নির্দিষ্ট এল-ফাংশন এবং এটি এই এল-ফাংশনের জন্য একটি বিশ্লেষণাত্মক ধারাবাহিকতা এবং কার্যকরী সমীকরণ দেয়। মন্তব্যঃ সাধারণত এই পিরিয়ডগুলি একত্রিত হয় না এবং এগুলি নিয়মিত করা উচিত। প্রতিনিধিত্ব তত্ত্বের সাধারণীকরণ প্রতিনিধিত্ব তত্ত্বের একটি সম্ভাব্য পদ্ধতি হল জি গ্রুপের প্রতিনিধিত্ব তত্ত্বকে জি ডাব্লু. আর. টি গ্রুপের উপর একটি সুরেলা বিশ্লেষণ হিসাবে বিবেচনা করা। G × G-এর দ্বিমুখী ক্রিয়া। প্রকৃতপক্ষে, G-এর সমস্ত অপরিবর্তনীয় উপস্থাপনাগুলি জানা G × G উপস্থাপনা হিসাবে G-এর উপর ফাংশনের স্থানের পচন জানার সমতুল্য। এই পদ্ধতিতে উপস্থাপনা তত্ত্বকে যে কোনও গোলাকার জোড়া (জি, কে) দ্বারা জোড়া (জি × জি, জি) প্রতিস্থাপন করে সাধারণীকরণ করা যেতে পারে। তারপর আমরা জি/কে ডাব্লু. আর. টি স্থানের উপর সুরেলা বিশ্লেষণের প্রশ্নের দিকে পরিচালিত হব। এখন এই জুটির (জি, কে) গেলফ্যান্ড বৈশিষ্ট্যটি শুরের লেম্মার অনুরূপ। এই পদ্ধতি ব্যবহার করে যে কেউ উপস্থাপনা তত্ত্বের যে কোনও ধারণা গ্রহণ করতে পারে এবং গোলাকার জুটির ক্ষেত্রে তাদের সাধারণীকরণ করতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, এই পদ্ধতির মাধ্যমে ট্রেস সূত্র থেকে আপেক্ষিক ট্রেস সূত্র পাওয়া যায়। সীমাবদ্ধ গোষ্ঠীর উদাহরণ গেলফ্যান্ড জোড়ার কয়েকটি সাধারণ উদাহরণ হলঃ (সিম (এন + 1), সিম (এন)), এন + 1 বিন্দুর উপর কাজ করা প্রতিসম গোষ্ঠী এবং একটি বিন্দু স্থিতিশীল যা স্বাভাবিকভাবেই এন বিন্দুর সমরূপ। (এজিএল (এন, কিউ), জিএল (এন, কিউ)), অ্যাফিন (সাধারণ রৈখিক) গ্রুপ এবং একটি পয়েন্ট স্টেবিলাইজার যা স্বাভাবিকভাবেই সাধারণ রৈখিক গ্রুপের সমরূপ। যদি (জি, কে) একটি গেলফ্যান্ড জোড়া হয়, তবে (জি/এন, কে/এন) কে-এর প্রতিটি জি-স্বাভাবিক উপগোষ্ঠী এন-এর জন্য একটি গেলফ্যান্ড জোড়া। অনেক উদ্দেশ্যে এই ধরনের কোনও অ-পরিচয় স্বাভাবিক উপগোষ্ঠী ছাড়াই কে বিবেচনা করা যথেষ্ট। K-এর কোসেটগুলিতে G-এর ক্রিয়া এইভাবে বিশ্বস্ত, তাই কেউ তখন পয়েন্ট স্টেবিলাইজার K-এর সাথে ক্রমবর্ধমান গোষ্ঠী G-এর দিকে তাকিয়ে থাকে। একটি গেলফ্যান্ড জোড়া হওয়া প্রতিটি χ-এর জন্য সমতুল্য। যেহেতু ফ্রোবেনিয়াস পারস্পরিকতা দ্বারা এবং এটি ক্রমবর্ধমান ক্রিয়ার চরিত্র, একটি ক্রমবর্ধমান গোষ্ঠী একটি গেলফ্যান্ড জুটিকে সংজ্ঞায়িত করে যদি এবং শুধুমাত্র যদি ক্রমবর্ধমান চরিত্রটি একটি তথাকথিত বহুগুণ-মুক্ত ক্রমবর্ধমান চরিত্র হয়। এই ধরনের বহুগুণ-মুক্ত বিন্যাস অক্ষরগুলি বিক্ষিপ্ত গোষ্ঠীগুলির জন্য নির্ধারণ করা হয়েছিল। এটি গেলফ্যান্ড জোড়ার সাথে সীমাবদ্ধ গোষ্ঠীর উদাহরণের একটি শ্রেণীর জন্ম দেয়ঃ 2-সংক্রামক গোষ্ঠী। একটি বিন্যাস গ্রুপ জি 2-ট্রানজিটিভ হয় যদি একটি বিন্দুর স্টেবিলাইজার কে অবশিষ্ট বিন্দুতে ট্রানজিটিভভাবে কাজ করে। বিশেষ করে, জি হল n + 1 বিন্দুর প্রতিসম গ্রুপ এবং কে হল n বিন্দুর প্রতিসম গ্রুপ যা প্রতিটি n ≤ 1-এর জন্য একটি গেলফ্যান্ড জোড়া গঠন করে। এটি অনুসরণ করা হয় কারণ একটি 2-ক্ষণস্থায়ী বিন্যাস ক্রিয়ার চরিত্রটি কিছু অপরিবর্তনীয় অক্ষর χ এবং তুচ্ছ অক্ষর 1, এর জন্য 1 + χ আকারে হয়। প্রকৃতপক্ষে, যদি জি একটি ক্ষণস্থায়ী বিন্যাস গোষ্ঠী হয় যার বিন্দু স্থিতিশীলকারী কে-এর সর্বাধিক চারটি কক্ষপথ থাকে (কেবলমাত্র স্থিতিশীল বিন্দুযুক্ত তুচ্ছ কক্ষপথ সহ), তবে এর শুর বলয়টি বিনিময়যোগ্য এবং (জি, কে) একটি গেলফ্যান্ড জোড়া। যদি জি বিন্দু স্থিতিশীলকারী কে সহ দ্বিগুণ মৌলিক মাত্রার একটি আদিম গ্রুপ হয়, তবে আবার (জি, কে) একটি গেলফ্যান্ড জোড়া। গেলফ্যান্ড জোড়া (সিম (এন), কে) শ্রেণীবদ্ধ করা হয়েছিল। মোটামুটিভাবে বলতে গেলে, কে অবশ্যই নিম্নলিখিত গোষ্ঠীগুলির মধ্যে একটিতে ছোট সূচকের একটি উপগোষ্ঠী হিসাবে থাকতে হবে যদি না এন 18 এর চেয়ে ছোট হয়ঃ সিম (এন-কে) × সিম (কে), সিম (এন/2) ডাব্লুআর সিম (2), সিম (2) ডাব্লুআর সিম (এন/2) এন জোড়ের জন্য, সিম (এন-5) × এজিএল (1,5), সিম (এন-6) × পিজিএল (2,5), বা সিম (এন-9) × পিজেএল (2,8)। ধ্রুপদী গোষ্ঠীর জন্য গেলফ্যান্ড জোড়াও তদন্ত করা হয়েছে। সংহত কে (জিএল (এন, আর), ও (এন, আর)) (জিএল (এন, সি), ইউ (এন)) (ও (এন + কে, আর), ও (এন, আর) × ও (কে, আর)) (ইউ (এন + কে), ইউ (এন) × ইউ (কে)) (জি, কে) সহ প্রতিসম জোড়া যেখানে জি একটি হ্রাসকারী লাই গ্রুপ এবং কে একটি সর্বাধিক সংহত উপগোষ্ঠী। সমমিতিক গেলফান্ড এবং এক পদমর্যাদার জোড়া ধরা যাক এফ একটি শূন্য বৈশিষ্ট্যযুক্ত স্থানীয় ক্ষেত্র। (এসএল (এন + 1, এফ), জিএল (এন, এফ)) এন> 5 এর জন্য। (sp (2n + 2, F), sp (2n, F)) × sp (2, F)) n> 4 এর জন্য। (এস. ও. (ভি. এফ.), এস. ও. (ভি)) যেখানে ভি হল এফ-এর উপর একটি অ-অবনমিত দ্বিঘাত আকারের ভেক্টর স্থান। উচ্চ পদমর্যাদার প্রতিসম জোড়া ধরা যাক এফ বৈশিষ্ট্য শূন্যের একটি স্থানীয় ক্ষেত্র। ধরা যাক, জি-কে এফ-এর উপর একটি হ্রাসকারী গোষ্ঠী হিসাবে ধরা যাক। নিম্নোক্ত উদাহরণগুলি হল উচ্চ পদমর্যাদার প্রতিসম গেলফ্যান্ড জোড়ারঃ (জি × জি, Δজি): শুর-এর লেম্মা থেকে অনুসরণ করা হয়েছে। (জিএল (এন + কে, এফ), জিএল (এন, এফ) × জিএল (কে, এফ))। (জিএল (2এন, এফ), এসপি (2এন, এফ))। (ও (এন + কে, সি), ও (এন, সি) × ও (কে, সি))। (জিএল (এন, সি), ও (এন, সি))। (জিএল (এন, ই), জিএল (এন, এফ)), যেখানে ই হল এফ-এর একটি দ্বিঘাত সম্প্রসারণ। শক্তিশালী গেলফ্যান্ড জোড়া নিম্নলিখিত জোড়া হল শক্তিশালী গেলফ্যান্ড জোড়াঃ (সিম (এন + 1), সিম (এন)), এটি অনৈচ্ছিক অ্যান্টি-অটোমর্ফিজম জি-জি-1 ব্যবহার করে প্রমাণিত হয়। (জিএল (এন + 1, এফ), জিএল (এন, এফ)) যেখানে এফ হল বৈশিষ্ট্য শূন্যের একটি স্থানীয় ক্ষেত্র। (ও (ভি), ও (ভি)) যেখানে ভি হল এফ-এর উপর একটি অ-অবনমিত দ্বিঘাত আকারের ভেক্টর স্থান। U (V ≤ E), U (V) যেখানে E হল F-এর একটি দ্বিঘাত সম্প্রসারণ এবং V হল E-এর উপর একটি অ-অধঃপতিত হার্মিটিয়ান রূপ সহ একটি ভেক্টর স্থান। এই চারটি উদাহরণকে এই বিবৃতি হিসাবে পুনর্ব্যবহার করা যেতে পারে যে নিম্নলিখিতগুলি হল গেলফ্যান্ড জোড়াঃ (সিম (এন + 1) × সিম (এন), Δ সিম (এন))। (জিএল (এন + 1, এফ) × জিএল (এন, এফ), δ জিএল (এন, এফ)) (ও (ভি) × ও (ভি), δ ও (ভি) (ইউ (ভি) × ইউ (ভি), δ ইউ (ভি)) আরও দেখুন গোলাকার ফাংশন প্রতিসম জোড়া গোলাকার জোড়া নোট রেফারেন্স গোষ্ঠীগুলির প্রতিনিধিত্ব তত্ত্ব মিথ্যা গোষ্ঠীগুলির প্রতিনিধিত্ব তত্ত্ব হারমোনিক বিশ্লেষণ