Hyperbolic group
গোষ্ঠী তত্ত্বে, আরও সুনির্দিষ্টভাবে জ্যামিতিক গোষ্ঠী তত্ত্বে, একটি হাইপারবোলিক গ্রুপ, যা শব্দ হাইপারবোলিক গ্রুপ বা গ্রোমভ হাইপারবোলিক গ্রুপ নামেও পরিচিত, একটি সীমাবদ্ধভাবে উত্পন্ন গ্রুপ যা একটি শব্দ মেট্রিক দিয়ে সজ্জিত যা শাস্ত্রীয় হাইপারবোলিক জ্যামিতি থেকে বিমূর্ত কিছু বৈশিষ্ট্যকে সন্তুষ্ট করে। একটি হাইপারবোলিক গ্রুপের ধারণাটি দ্বারা প্রবর্তিত এবং বিকশিত হয়েছিল। অনুপ্রেরণা বিভিন্ন বিদ্যমান গাণিতিক তত্ত্ব থেকে এসেছেঃ হাইপারবোলিক জ্যামিতি কিন্তু নিম্ন-মাত্রিক টপোলজি (বিশেষ করে হাইপারবোলিক রিম্যান পৃষ্ঠের মৌলিক গোষ্ঠী সম্পর্কিত ম্যাক্স ডেনের ফলাফল, এবং ত্রিমাত্রিক টপোলজিতে আরও জটিল ঘটনা), এবং সমন্বিত গোষ্ঠী তত্ত্ব। 1987 সাল থেকে একটি অত্যন্ত প্রভাবশালী (1000 টিরও বেশি উদ্ধৃতি) অধ্যায়ে, গ্রোমভ একটি বিস্তৃত গবেষণা কর্মসূচির প্রস্তাব করেছিলেন। হাইপারবোলিক গোষ্ঠী তত্ত্বের ধারণা এবং মৌলিক উপাদানগুলিও জর্জ মোস্টো, উইলিয়াম থার্স্টন, জেমস ডব্লিউ ক্যানন, এলিয়াহু রিপস এবং আরও অনেকের কাজ থেকে উদ্ভূত হয়েছে। সংজ্ঞা ধরা যাক একটি সীমাবদ্ধভাবে উত্পন্ন গ্রুপ, এবং জেনারেটরের কিছু সীমাবদ্ধ সেটের ক্ষেত্রে এর কেলি গ্রাফ হতে হবে। সেটটি তার গ্রাফ মেট্রিক দিয়ে সমৃদ্ধ (যেখানে প্রান্তগুলি দৈর্ঘ্য এক এবং দুটি শীর্ষের মধ্যে দূরত্ব তাদের সংযুক্ত করার পথে প্রান্তের ন্যূনতম সংখ্যা) যা এটিকে দৈর্ঘ্যের স্থানে পরিণত করে। গ্রুপটিকে তখন হাইপারবোলিক বলা হয় যদি এটি গ্রোমভের অর্থে একটি হাইপারবোলিক স্থান হয়। সংক্ষেপে, এর অর্থ হল যে কোনও জিওডেসিক ত্রিভুজ এমন একটি অস্তিত্ব রয়েছে যা-পাতলা, যেমন ডানদিকে চিত্রটিতে চিত্রিত করা হয়েছে (স্থানটি তখন-হাইপারবোলিক বলা হয়)। একটি অগ্রাধিকার এই সংজ্ঞাটি একটি সীমাবদ্ধ উৎপাদনকারী সেটের পছন্দের উপর নির্ভর করে। নিম্নলিখিত দুটি তথ্য থেকে জানা যায় যে, দুটি সসীম উৎপাদনকারী সেটের সাথে সম্পর্কিত কাইলি গ্রাফগুলি সর্বদা একটির থেকে অন্যটির অর্ধ-আইসোমেট্রিক হয়; যে কোনও জিওডেসিক স্থান যা একটি জিওডেসিক গ্রোমভ-হাইপারবোলিক স্থানের অর্ধ-আইসোমেট্রিক তা নিজেই গ্রোমভ-হাইপারবোলিক। সুতরাং আমরা বৈধভাবে বলতে পারি যে একটি উৎপাদনকারী সেট উল্লেখ না করে একটি সীমাবদ্ধভাবে উত্পন্ন গ্রুপ হাইপারবোলিক। অন্যদিকে, একটি স্থান যা একটি-হাইপারবোলিক স্থানের জন্য আধা-আইসোমেট্রিক তা নিজেই-হাইপারবোলিক তবে পরেরটি মূল এবং আধা-আইসোমেট্রি উভয়ের উপর নির্ভর করে, তাই এটি-হাইপারবোলিক হওয়ার কথা বলার অর্থ হয় না। স্বার্ক-মিলনর লেম্মাতে বলা হয়েছে যে যদি কোনও গোষ্ঠী সঠিকভাবে বিচ্ছিন্নভাবে কাজ করে এবং যথাযথ দৈর্ঘ্যের স্থানে সংক্ষিপ্ত ভাগফল (এই ধরনের ক্রিয়াকে প্রায়শই জ্যামিতিক বলা হয়) দিয়ে কাজ করে, তবে এটি সীমাবদ্ধভাবে উত্পন্ন হয় এবং যে কোনও কেলি গ্রাফের জন্য আধা-আইসোমেট্রিক হয়। সুতরাং একটি গ্রুপ (সীমাবদ্ধভাবে উত্পন্ন এবং) হাইপারবোলিক হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি এটির একটি সঠিক হাইপারবোলিক স্পেসে জ্যামিতিক ক্রিয়া থাকে। যদি সসীম সূচক সহ একটি উপগোষ্ঠী হয় (অর্থাৎ, সেটটি সসীম), তবে অন্তর্ভুক্তি কোনও স্থানীয়ভাবে সসীম কেলি গ্রাফের শীর্ষে কোনও স্থানীয়ভাবে সসীম কেলি গ্রাফের মধ্যে একটি আধা-আইসোমেট্রি প্ররোচিত করে। এইভাবে হাইপারবোলিক হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি নিজেই হয়। আরও সাধারণভাবে, যদি দুটি গোষ্ঠী তুলনামূলক হয়, তবে একটি হাইপারবোলিক হয় যদি এবং কেবল যদি অন্যটি হয়। উদাহরণ প্রাথমিক হাইপারবোলিক গোষ্ঠী হাইপারবোলিক গোষ্ঠীর সহজতম উদাহরণ হল সসীম গোষ্ঠী (যাদের কেলি গ্রাফগুলি সসীম ব্যাসের, তাই-এই ব্যাসের সমান হাইপারবোলিক)। আরেকটি সহজ উদাহরণ অসীম চক্রাকার গোষ্ঠী দ্বারা দেওয়া হয়েছেঃ উৎপাদক সেটের সাপেক্ষে কাইলি গ্রাফটি একটি রেখা, তাই সমস্ত ত্রিভুজগুলি রেখা বিভাগ এবং গ্রাফটি-হাইপারবোলিক। এটি অনুসরণ করে যে কোনও গ্রুপ যা কার্যত চক্রীয় (সীমাবদ্ধ সূচকের একটি অনুলিপি ধারণ করে) এছাড়াও হাইপারবোলিক, উদাহরণস্বরূপ অসীম ডাইহেড্রাল গ্রুপ। এই শ্রেণীর গোষ্ঠীর সদস্যদের প্রায়শই প্রাথমিক হাইপারবোলিক গ্রুপ বলা হয় (পরিভাষাটি হাইপারবোলিক সমতলে ক্রিয়া থেকে অভিযোজিত হয়)। গাছের উপর কাজ করা মুক্ত গোষ্ঠী এবং গোষ্ঠীগুলি একটি সীমাবদ্ধ সেট হতে হবে এবং সেট তৈরির সাথে মুক্ত গোষ্ঠী হতে হবে। তারপর কেলির গ্রাফটি একটি স্থানীয়ভাবে সীমাবদ্ধ গাছ এবং তাই একটি 0-হাইপারবোলিক স্থান। সুতরাং এটি একটি হাইপারবোলিক গ্রুপ। আরও সাধারণভাবে আমরা দেখতে পাই যে যে কোনও গোষ্ঠী যা স্থানীয়ভাবে সীমাবদ্ধ গাছের উপর সঠিকভাবে বিচ্ছিন্নভাবে কাজ করে (এই প্রসঙ্গে এর অর্থ ঠিক যে শীর্ষগুলির স্থিতিশীলগুলি সীমাবদ্ধ) হাইপারবোলিক। প্রকৃতপক্ষে, এটি এই সত্য থেকে আসে যে এটির একটি অপরিবর্তনীয় সাবট্রি রয়েছে যার উপর এটি কম্প্যাক্ট ভাগফলের সাথে কাজ করে এবং স্বার্ক-মিলনর লেম্মা। এই ধরনের গোষ্ঠীগুলি প্রকৃতপক্ষে কার্যত মুক্ত (অর্থাৎ। সীমাবদ্ধ সূচকের একটি সীমাবদ্ধভাবে উত্পন্ন মুক্ত উপগোষ্ঠী রয়েছে), যা তাদের হাইপারবোলিসিটির আরেকটি প্রমাণ দেয়। একটি আকর্ষণীয় উদাহরণ হল মডুলার গ্রুপঃ এটি হাইপারবোলিক সমতলে সম্পর্কিত টেসেলেশনের 1-স্কেলেটন দ্বারা প্রদত্ত গাছের উপর কাজ করে এবং এর সূচক 6-এর একটি সীমাবদ্ধ সূচক মুক্ত উপগোষ্ঠী (দুটি জেনারেটরের উপর) রয়েছে (উদাহরণস্বরূপ ম্যাট্রিক্সের সেট যা পরিচয় মডুলো 2-এ হ্রাস পায়)। এই উদাহরণের একটি আকর্ষণীয় বৈশিষ্ট্য লক্ষ্য করুনঃ এটি একটি হাইপারবোলিক স্পেসে (হাইপারবোলিক প্লেন) সঠিকভাবে বিচ্ছিন্নভাবে কাজ করে তবে ক্রিয়াটি কো-কমপ্যাক্ট নয় (এবং প্রকৃতপক্ষে হাইপারবোলিক প্লেনের অর্ধ-আইসোমেট্রিক নয়)। একটি ফুচসিয়ান গোষ্ঠীকে মডুলার গোষ্ঠীর উদাহরণ হিসাবে সাধারণীকরণ করা একটি গোষ্ঠী যা হাইপারবোলিক সমতলে (সমতুল্যভাবে, একটি বিচ্ছিন্ন উপগোষ্ঠী) সঠিকভাবে বিচ্ছিন্ন ক্রিয়া স্বীকার করে। হাইপারবোলিক সমতল একটি-হাইপারবোলিক স্থান এবং তাই স্বার্ক-মিলনর লেম্মা আমাদের বলে যে কোকমপ্যাক্ট ফুচসিয়ান গোষ্ঠীগুলি হাইপারবোলিক। এর উদাহরণ হল নেতিবাচক অয়লার বৈশিষ্ট্যের বদ্ধ পৃষ্ঠের মৌলিক গোষ্ঠী। প্রকৃতপক্ষে, এই পৃষ্ঠগুলি হাইপারবোলিক সমতলের অংশ হিসাবে পাওয়া যেতে পারে, যা পয়েনকারে-কোয়েবে ইউনিফর্মাইজেশন উপপাদ্য দ্বারা বোঝানো হয়েছে। কোকমপ্যাক্ট ফুচসিয়ান গোষ্ঠীর উদাহরণের আরেকটি পরিবার ত্রিভুজ গোষ্ঠী দ্বারা দেওয়া হয়েছেঃ সীমাবদ্ধভাবে অনেকগুলি ছাড়া সবগুলিই হাইপারবোলিক। নেতিবাচক বক্রতা বদ্ধ পৃষ্ঠের উদাহরণকে সাধারণীকরণ করে, কঠোরভাবে নেতিবাচক বিভাগীয় বক্রতা সহ কম্প্যাক্ট রিমানিয়ান ম্যানিফোল্ডের মৌলিক গোষ্ঠীগুলি হাইপারবোলিক। উদাহরণস্বরূপ, স্বাক্ষরের একটি ফর্মের অর্থোগোনাল বা একক গোষ্ঠীর কোকমপ্যাক্ট ল্যাটিসগুলি হাইপারবোলিক। একটি সিএটি (কে) স্থানে একটি জ্যামিতিক ক্রিয়া স্বীকার করে এমন গোষ্ঠী দ্বারা আরও সাধারণীকরণ দেওয়া হয়। এমন উদাহরণ রয়েছে যা পূর্ববর্তী কোনও নির্মাণের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ নয় (উদাহরণস্বরূপ হাইপারবোলিক ভবনগুলিতে জ্যামিতিকভাবে কাজ করা গোষ্ঠী)। ছোট বাতিলকরণ গোষ্ঠী ছোট বাতিলকরণ শর্তগুলি পূরণ করে এমন উপস্থাপনা থাকা গোষ্ঠীগুলি অতিরঞ্জিত। এটি এমন উদাহরণের একটি উৎস দেয় যার উপরে দেওয়া উদাহরণগুলির মতো জ্যামিতিক উৎস নেই। প্রকৃতপক্ষে হাইপারবোলিক গোষ্ঠীগুলির প্রাথমিক বিকাশের অন্যতম প্রেরণা ছিল ছোট বাতিলকরণের আরও জ্যামিতিক ব্যাখ্যা দেওয়া। এলোমেলো গোষ্ঠী কিছু অর্থে, বড় সংজ্ঞায়িত সম্পর্ক সহ "বেশিরভাগ" সীমাবদ্ধভাবে উপস্থাপিত গোষ্ঠীগুলি হাইপারবোলিক। এর অর্থ কী তার পরিমাণগত বিবৃতির জন্য র্যান্ডম গ্রুপ দেখুন। অ-উদাহরণ হাইপারবোলিক নয় এমন একটি গোষ্ঠীর সহজতম উদাহরণ হল মুক্ত র্যাঙ্ক 2 আবেলিয়ান গ্রুপ। প্রকৃতপক্ষে, এটি ইউক্লিডীয় সমতলে আধা-আইসোমেট্রিক যা সহজেই হাইপারবোলিক হিসাবে দেখা যায় না (উদাহরণস্বরূপ সমতুল্যতার অস্তিত্বের কারণে)। আরও সাধারণভাবে, যে কোনও গোষ্ঠী যা একটি উপগোষ্ঠী হিসাবে থাকে তা হাইপারবোলিক নয়। বিশেষত, উচ্চ পদমর্যাদার আধা-সরল লাই গোষ্ঠীগুলির ল্যাটিস এবং নন-ট্রিভিয়াল গিঁট পরিপূরকের মৌলিক গোষ্ঠীগুলি এই বিভাগে পড়ে এবং তাই হাইপারবোলিক নয়। বন্ধ হাইপারবোলিক পৃষ্ঠের শ্রেণী গোষ্ঠীর ম্যাপিংয়ের ক্ষেত্রেও এটি ঘটে। বামস্লাগ-সোলিটার গোষ্ঠী বি (এম, এন) এবং যে কোনও গোষ্ঠী যা কিছু বি (এম, এন)-এর সমরূপ উপগোষ্ঠী ধারণ করে তা হাইপারবোলিক হতে ব্যর্থ হয় (যেহেতু বি (1,1) =, এটি পূর্ববর্তী উদাহরণটিকে সাধারণীকরণ করে)। একটি র্যাঙ্ক 1 সাধারণ লাই গ্রুপের একটি অ-অভিন্ন জাল হাইপারবোলিক হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি গ্রুপটি আইসোজেনস হয় (সমতুল্যভাবে সম্পর্কিত প্রতিসম স্থানটি হাইপারবোলিক সমতল হয়)। এর একটি উদাহরণ হাইপারবোলিক গিঁট গোষ্ঠী দ্বারা দেওয়া হয়। উদাহরণস্বরূপ, আরেকটি হল বিয়ানচি গোষ্ঠী। বৈশিষ্ট্য বীজগাণিতিক বৈশিষ্ট্য হাইপারবোলিক গোষ্ঠীগুলি টিটস বিকল্পকে সন্তুষ্ট করেঃ তারা হয় কার্যত সমাধানযোগ্য (এই সম্ভাবনাটি শুধুমাত্র প্রাথমিক হাইপারবোলিক গোষ্ঠী দ্বারা সন্তুষ্ট হয়) অথবা তাদের একটি ননবেলিয়ান মুক্ত গোষ্ঠীর একটি উপগোষ্ঠী আইসোমরফিক রয়েছে। অ-উপাদানগত হাইপারবোলিক গ্রুপগুলি খুব শক্তিশালী অর্থে সহজ নয়ঃ যদি অ-উপাদানগত হাইপারবোলিক হয় তবে একটি অসীম উপগোষ্ঠী বিদ্যমান থাকে এবং উভয়ই অসীম। একটি হাইপারবোলিক গ্রুপ বিদ্যমান কিনা তা জানা যায় না যা অবশিষ্টভাবে সীমাবদ্ধ নয়। জ্যামিতিক বৈশিষ্ট্য অ-মৌলিক (অসীম এবং কার্যত চক্রীয় নয়) হাইপারবোলিক গোষ্ঠীগুলির সর্বদা সূচকীয় বৃদ্ধির হার থাকে (এটি টিটস বিকল্পের একটি পরিণতি)। হাইপারবোলিক গ্রুপগুলি একটি রৈখিক আইসোপেরিমেট্রিক বৈষম্যকে সন্তুষ্ট করে। সমজাতীয় বৈশিষ্ট্য হাইপারবোলিক গ্রুপগুলি সর্বদা সীমাবদ্ধভাবে উপস্থাপিত হয়। প্রকৃতপক্ষে কেউ স্পষ্টভাবে একটি জটিল (রিপস জটিল) তৈরি করতে পারে যা সঙ্কুচিত এবং যার উপর গোষ্ঠীটি জ্যামিতিকভাবে কাজ করে তাই এটি F ≤ প্রকারের। যখন গ্রুপটি টর্জন-মুক্ত হয় তখন ক্রিয়াটি মুক্ত হয়, যা দেখায় যে গ্রুপের সসীম কোহোমোলজিকাল মাত্রা রয়েছে। 2002 সালে, আই. মিনিয়েভ দেখিয়েছিলেন যে হাইপারবোলিক গ্রুপগুলি ঠিক সেই সীমাবদ্ধভাবে উত্পন্ন গ্রুপগুলির জন্য যার জন্য বাউন্ডেড কোহোমোলজি এবং সাধারণ কোহোমোলজির মধ্যে তুলনা মানচিত্রটি সমস্ত মাত্রায় বা সমতুল্যভাবে ডিগ্রি 2-এ সার্জেক্টিভ। অ্যালগরিদমিক বৈশিষ্ট্য হাইপারবোলিক গোষ্ঠীগুলির একটি সমাধানযোগ্য শব্দ সমস্যা রয়েছে। এগুলি দ্বি-স্বয়ংক্রিয় এবং স্বয়ংক্রিয়। প্রকৃতপক্ষে, এগুলি দৃঢ়ভাবে ভূগণিতগতভাবে স্বয়ংক্রিয়, অর্থাৎ, গোষ্ঠীতে একটি স্বয়ংক্রিয় কাঠামো রয়েছে, যেখানে গ্রহণকারী শব্দ দ্বারা গৃহীত ভাষা হল সমস্ত ভূগণিত শব্দের সমষ্টি। 2010 সালে এটি দেখানো হয়েছিল যে হাইপারবোলিক গোষ্ঠীগুলির একটি নির্ণায়ক চিহ্নিত আইসোমরফিজম সমস্যা রয়েছে। এটি লক্ষণীয় যে এর অর্থ হল আইসোমরফিজম সমস্যা, কক্ষপথের সমস্যা (বিশেষ করে কনজুগেসি সমস্যা) এবং হোয়াইটহেডের সমস্যা সবই নির্ণায়ক। ক্যানন এবং সোয়েনসন দেখিয়েছেন যে, অনান্তে 2-গোলক সহ হাইপারবোলিক গোষ্ঠীগুলির একটি প্রাকৃতিক উপবিভাগের নিয়ম রয়েছে। এটি ক্যাননের অনুমানের সাথে সম্পর্কিত। সাধারণীকরণ তুলনামূলকভাবে হাইপারবোলিক গ্রুপ তুলনামূলকভাবে হাইপারবোলিক গ্রুপ হল একটি শ্রেণী সাধারণীকরণ হাইপারবোলিক গ্রুপ। খুব মোটামুটিভাবে উপগোষ্ঠীর একটি সংগ্রহের সাথে আপেক্ষিকভাবে হাইপারবোলিক হয় যদি এটি একটি যথাযথ হাইপারবোলিক স্পেসে সঠিকভাবে বিচ্ছিন্ন ক্রিয়া স্বীকার করে যা সীমানায় "সুন্দর" এবং এমন যে সীমানার পয়েন্টগুলির স্থিতিশীলরা উপগোষ্ঠী হয়। এটি আকর্ষণীয় হয় যখন উভয়ই এবং অন-এর ক্রিয়া প্রাথমিক না হয় (বিশেষত অসীমঃ উদাহরণস্বরূপ প্রতিটি গোষ্ঠী একটি বিন্দুতে তার ক্রিয়ার মাধ্যমে তুলনামূলকভাবে হাইপারবোলিক হয়!)। এই শ্রেণীর আকর্ষণীয় উদাহরণগুলির মধ্যে রয়েছে বিশেষত র্যাঙ্ক 1 সেমি-সিম্পল লাই গ্রুপের অ-অভিন্ন জাল, উদাহরণস্বরূপ সসীম আয়তনের অ-কম্প্যাক্ট হাইপারবোলিক ম্যানিফোল্ডের মৌলিক গোষ্ঠী। অ-উদাহরণগুলি হল উচ্চ-পদমর্যাদার লাই গোষ্ঠী এবং ম্যাপিং শ্রেণী গোষ্ঠীর জাল। অ্যাসাইলিনড্রিক্যালি হাইপারবোলিক গ্রুপ আরও একটি সাধারণ ধারণা হল একটি অ্যাসাইলিনড্রিক্যালি হাইপারবোলিক গ্রুপ। একটি মেট্রিক স্পেসে একটি গ্রুপের ক্রিয়ার অ্যাসাইলাইন্ড্রিসিটি হল ক্রিয়ার যথাযথ বিচ্ছিন্নতার দুর্বলতা। একটি গ্রুপকে অ্যাসাইলিনড্রিক্যালি হাইপারবোলিক বলা হয় যদি এটি একটি (অপরিহার্যভাবে সঠিক নয়) গ্রোমভ-হাইপারবোলিক স্পেসে একটি অ-উপাদানযুক্ত অ্যাসাইলিনড্রিক্যাল ক্রিয়া স্বীকার করে। এই ধারণার মধ্যে বক্ররেখা কমপ্লেক্সগুলিতে তাদের ক্রিয়াকলাপের মাধ্যমে শ্রেণী গোষ্ঠীর মানচিত্র অন্তর্ভুক্ত রয়েছে। উচ্চ-পদমর্যাদার লাই গ্রুপে ল্যাটিসগুলি (এখনও!) অ্যাসাইলিনড্রিকালি হাইপারবোলিক নয়। সিএটি (0) গ্রুপ অন্য দিকে উপরের উদাহরণগুলিতে বক্রতা সম্পর্কে অনুমানকে দুর্বল করতে পারেঃ একটি সিএটি (0) গ্রুপ হল একটি গোষ্ঠী যা সিএটি (0) স্পেসে একটি জ্যামিতিক ক্রিয়া স্বীকার করে। এর মধ্যে রয়েছে ইউক্লিডীয় স্ফটিকসংক্রান্ত গোষ্ঠী এবং উচ্চ-পদমর্যাদার লাই গোষ্ঠীতে অভিন্ন জাল। এটি জানা যায় না যে একটি হাইপারবোলিক গ্রুপ রয়েছে যা সিএটি (0) নয়। নোটস রেফারেন্স আরও পড়া জ্যামিতিক গোষ্ঠী তত্ত্ব মেট্রিক জ্যামিতি শব্দের উপর গোষ্ঠীগুলির বৈশিষ্ট্য হাইপারবোলিক মেট্রিক স্পেস হাইপারবোলিক জ্যামিতি