Plücker formula
গণিতে, জুলিয়াস প্লাকারের নামে নামকরণ করা একটি প্লাকার সূত্র হল সূত্রগুলির একটি পরিবার, যা 1830-এর দশকে প্লাকার দ্বারা প্রথম বিকশিত হয়েছিল, যা বীজগাণিতিক বক্ররেখার নির্দিষ্ট সংখ্যাসূচক অপরিবর্তনীয়গুলিকে তাদের দ্বৈত বক্ররেখার সংশ্লিষ্ট অপরিবর্তনীয়গুলির সাথে সম্পর্কিত করে। বংশ নামক অপরিবর্তনীয়, যা বক্ররেখা এবং এর দ্বৈত উভয়ের জন্য সাধারণ, অনুরূপ সূত্র দ্বারা অন্যান্য অপরিবর্তনীয়গুলির সাথে সংযুক্ত। এই সূত্রগুলি এবং প্রতিটি অপরিবর্তনীয়কে অবশ্যই একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা হতে হবে, তাদের সম্ভাব্য মানগুলির উপর বেশ কঠোর সীমাবদ্ধতা স্থাপন করে। প্লাকার অপরিবর্তনীয় এবং মৌলিক সমীকরণ এই প্রসঙ্গে একটি বক্ররেখা জটিল প্রজেক্টিভ সমতলে একটি অ-অবনমিত বীজগাণিতিক সমীকরণ দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়। এই সমতলের রেখাগুলি দ্বৈত প্রজেক্টিভ সমতলের বিন্দুগুলির সাথে মিলে যায় এবং প্রদত্ত বীজগাণিতিক বক্ররেখা সি-এর স্পর্শক রেখাগুলি একটি বীজগাণিতিক বক্ররেখা সি *-এর বিন্দুগুলির সাথে মিলে যায় যাকে দ্বৈত বক্ররেখা বলা হয়। প্রজেক্টিভ সমতল এবং তার দ্বৈতের মধ্যে সংযোগে, সি-এর বিন্দুগুলি স্পর্শক রেখা সি *-এর সাথে মিলে যায়, তাই সি *-এর দ্বৈতটিকে সি-এর সাথে চিহ্নিত করা যেতে পারে। প্লাকার সূত্র দ্বারা আচ্ছাদিত প্রথম দুটি অপরিবর্তনীয় হল সি বক্ররেখার ডিগ্রি ডি এবং ডিগ্রি ডি *, যাকে ধ্রুপদীভাবে সি-এর শ্রেণী বলা হয়। জ্যামিতিকভাবে, ডি হল একটি প্রদত্ত রেখা সঠিকভাবে গণনা করা গুণক সহ সি-কে কতবার ছেদ করে। (এর মধ্যে রয়েছে জটিল বিন্দু এবং অনন্ত বিন্দু যেহেতু বক্ররেখা জটিল প্রজেক্টিভ সমতলের উপসেট হিসাবে নেওয়া হয়।) একইভাবে, d * হল সমতলের একটি নির্দিষ্ট বিন্দুর মধ্য দিয়ে রেখাযুক্ত C-এর স্পর্শকের সংখ্যা; সুতরাং উদাহরণস্বরূপ একটি শঙ্কু বিভাগের ডিগ্রি এবং ক্লাস উভয়ই 2। যদি সি-এর কোনও এককত্ব না থাকে, তবে প্রথম প্লাকার সমীকরণটি বলে যে একক বক্ররেখার জন্য এটি অবশ্যই সংশোধন করতে হবে। C-এর দ্বিগুণ বিন্দুর মধ্যে, ধরা যাক δ হল সাধারণ সংখ্যা, অর্থাৎ। যার স্বতন্ত্র স্পর্শক রয়েছে (এগুলিকে নোডও বলা হয়) বা বিচ্ছিন্ন বিন্দু, এবং ধরা যাক κ হল সেই সংখ্যা যা কিউএসপি, অর্থাৎ। একটি একক স্পর্শক (স্পিনোড) রয়েছে। যদি সি-এর উচ্চতর ক্রমের এককত্ব থাকে তবে এককত্বের প্রকৃতির বিশ্লেষণ অনুসারে এগুলি একাধিক দ্বৈত বিন্দু হিসাবে গণনা করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, একটি সাধারণ ট্রিপল পয়েন্টকে 3টি ডাবল পয়েন্ট হিসাবে গণনা করা হয়। আবার, অনন্তের জটিল বিন্দু এবং বিন্দুগুলি এই গণনার মধ্যে অন্তর্ভুক্ত করা হয়েছে। একইভাবে, δ * কে সাধারণ দ্বৈত বিন্দুর সংখ্যা এবং κ * কে C * এর কিউএসপি সংখ্যা হিসাবে ধরা যাক। তারপর দ্বিতীয় প্লাকার সমীকরণে বলা হয়েছে, সি *-এর একটি সাধারণ দ্বৈত বিন্দুর জ্যামিতিক ব্যাখ্যা হল এমন একটি রেখা যা দুটি বিন্দুতে (দ্বৈত স্পর্শক) বক্ররেখার স্পর্শক এবং সি *-এর একটি কুস্পের জ্যামিতিক ব্যাখ্যা হল একটি প্রতিফলন বিন্দু (স্থির স্পর্শক)। উদাহরণস্বরূপ, একটি মসৃণ ঘনক্ষেত্রের বিষয়টি বিবেচনা করুনঃ উপরের সূত্রটি দেখায় যে এটির প্রতিফলন রয়েছে। যদি ঘনটি অবনমিত হয় এবং একটি দ্বিগুণ বিন্দু পায়, তবে 6টি বিন্দু একক বিন্দুতে একত্রিত হয় এবং একক বক্ররেখা বরাবর মাত্র 3টি প্রতিফলন থাকে। যদি ঘনটি ক্ষয়প্রাপ্ত হয় এবং একটি কুস্প পায় তবে কেবল একটি প্রতিফলন অবশিষ্ট থাকে। লক্ষ্য করুন যে প্রথম দুটি প্লাকার সমীকরণের দ্বৈত সংস্করণ রয়েছেঃ এখন পর্যন্ত প্রদত্ত চারটি সমীকরণ প্রকৃতপক্ষে নির্ভরশীল, তাই যে কোনও তিনটি অবশিষ্ট সমীকরণটি বের করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। তাদের থেকে, ছয়টি অপরিবর্তনীয়ের মধ্যে যে কোনও তিনটি দেওয়া হলে, d, d *, δ, δ *, κ, κ *, বাকি তিনটি গণনা করা যেতে পারে। পরিশেষে, সি-এর বংশ, যা ধ্রুপদীভাবে সি-এর ঘাটতি নামে পরিচিত, তা এইভাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে যে এটি দ্বৈত পরিমাণের সমান এবং একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা। মোট 7টি অজ্ঞাতের মধ্যে চারটি স্বাধীন সমীকরণ রয়েছে এবং তাদের সাথে এই অপরিবর্তনীয়গুলির যে কোনও তিনটি অবশিষ্ট চারটি গণনা করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। অ-এককাকার বক্ররেখা একটি গুরুত্বপূর্ণ বিশেষ ক্ষেত্রে হয় যখন C বক্ররেখাটি অ-এককাকার হয়, বা সমতুল্য δ এবং κ 0 হয়, তাই অবশিষ্ট অপরিবর্তনীয়গুলি শুধুমাত্র d-এর পরিপ্রেক্ষিতে গণনা করা যেতে পারে। এই ক্ষেত্রে ফলাফলগুলি হলঃ সুতরাং, উদাহরণস্বরূপ, একটি অ-একক কোয়ার্টিক সমতল বক্ররেখা 3 বংশের এবং এতে 28টি বিট্যাঞ্জেন্ট এবং 24টি বিন্দু প্রতিফলন রয়েছে। বক্ররেখা প্রকারগুলি তাদের প্লাকার অপরিবর্তনীয় অনুসারে শ্রেণীবদ্ধ করা হয়। প্লাকার সমীকরণগুলি এই সীমাবদ্ধতার সাথে যে প্লাকার অপরিবর্তনীয়গুলি অবশ্যই প্রাকৃতিক সংখ্যা হতে হবে একটি নির্দিষ্ট মাত্রার বক্ররেখার জন্য সম্ভাব্য প্রকারের সংখ্যাকে ব্যাপকভাবে সীমাবদ্ধ করে। প্রজেক্টিভভাবে সমতুল্য বক্ররেখা একই ধরনের হয়, যদিও একই ধরনের বক্ররেখা সাধারণভাবে প্রজেক্টিভভাবে সমতুল্য নয়। ডিগ্রি 2, শঙ্কু বিভাগের বক্ররেখার একটি একক প্রকার রয়েছে যা d = d * = 2, δ = δ * = κ = κ * = g = 0 দ্বারা প্রদত্ত। ডিগ্রি 3-এর বক্ররেখার জন্য তিনটি সম্ভাব্য প্রকার রয়েছে, যা নিম্নরূপঃ প্রকারের বক্ররেখা (ii) এবং (iii) হল যুক্তিসঙ্গত ঘনক্ষেত্র এবং এগুলিকে যথাক্রমে নোডাল এবং কুস্পিডাল বলা হয়। (i) ধরনের বক্ররেখা হল ননসিঙ্গুলার কিউবিক (উপবৃত্তাকার বক্ররেখা)। ডিগ্রি 4-এর বক্ররেখার জন্য 10টি সম্ভাব্য প্রকার রয়েছে, যা নিম্নরূপঃ রেফারেন্স সালমন, জর্জ (1879) এ ট্রিটাইজ অন দ্য হায়ার প্লেন কার্ভস পৃ. 64এফএফ। বীজগাণিতিক বক্ররেখা