Map-coloring games
বেশ কয়েকটি মানচিত্র-রঙিন খেলা সমন্বিত খেলা তত্ত্বে অধ্যয়ন করা হয়। সাধারণ ধারণাটি হল যে আমাদের একটি মানচিত্র দেওয়া হয়েছে যেখানে অঞ্চলগুলি আঁকা হয়েছে কিন্তু সমস্ত অঞ্চল রঙিন নয়। দুইজন খেলোয়াড়, বাম এবং ডান, প্রতি বারে একটি রঙহীন অঞ্চলে পালা করে রঙ করে, বিভিন্ন সীমাবদ্ধতা সাপেক্ষে, যেমন মানচিত্র-রঙ সমস্যার ক্ষেত্রে। চলাফেরার সীমাবদ্ধতা এবং জেতার শর্ত হল নির্দিষ্ট খেলার বৈশিষ্ট্য। কিছু খেলোয়াড় চার রঙের উপপাদ্যের মতো দ্বৈত গ্রাফের শীর্ষে রঙ করা সহজ বলে মনে করেন। খেলার এই পদ্ধতিতে, অঞ্চলগুলি ছোট বৃত্ত দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয় এবং পার্শ্ববর্তী অঞ্চলের বৃত্তগুলি রেখা বিভাগ বা বক্ররেখা দ্বারা সংযুক্ত থাকে। এই পদ্ধতির সুবিধাগুলি হল যে শুধুমাত্র একটি ছোট এলাকা একটি পালাক্রমে চিহ্নিত করা প্রয়োজন, এবং উপস্থাপনা সাধারণত কাগজ বা পর্দায় কম জায়গা নেয়। পেন্সিল এবং কাগজের পরিবর্তে কম্পিউটার ইন্টারফেস দিয়ে খেলার সময় প্রথম সুবিধাটি কম গুরুত্বপূর্ণ। গো স্টোনস বা চেকারদের সঙ্গেও খেলা সম্ভব। প্রতিটি খেলায় একটি সহজাত সীমাবদ্ধতা হল রঙিন অঞ্চলে খেলোয়াড়দের জন্য উপলব্ধ রঙের সেট। যদি বাম এবং ডানদিকে একই রঙ পাওয়া যায়, তবে খেলাটি নিরপেক্ষ; অন্যথায় খেলাটি পক্ষপাতদুষ্ট। রঙের সেট খেলার অবস্থার উপরও নির্ভর করতে পারে; উদাহরণস্বরূপ, এটি প্রয়োজন হতে পারে যে ব্যবহৃত রঙটি আগের পদক্ষেপে ব্যবহৃত রঙের থেকে আলাদা হবে। কোনও পদক্ষেপের ক্ষেত্রে মানচিত্র-ভিত্তিক সীমাবদ্ধতাগুলি সাধারণত রঙিন অঞ্চল এবং তার প্রতিবেশীদের উপর ভিত্তি করে হয়, যেখানে মানচিত্র-রঙের সমস্যায়, অঞ্চলগুলি যখন একটি বিন্দুর চেয়ে দীর্ঘ সীমানা বরাবর মিলিত হয় তখন তাদের প্রতিবেশী হিসাবে বিবেচনা করা হয়। ধ্রুপদী মানচিত্র-রঙের সমস্যার জন্য কোনও দুটি প্রতিবেশী অঞ্চলকে একই রঙ দেওয়া প্রয়োজন নয়। ধ্রুপদী পদক্ষেপের সীমাবদ্ধতা কোনও অঞ্চলকে তার প্রতিবেশী অঞ্চলের মতো একই রঙে রঙ করা নিষিদ্ধ করে এটিকে কার্যকর করে। অ্যান্টিক্লাসিক্যাল সীমাবদ্ধতা একটি অঞ্চলটিকে এমন একটি রঙে রঙ করা নিষিদ্ধ করে যা তার প্রতিবেশীদের মধ্যে একজনের রঙ থেকে আলাদা। আরেকটি ধরনের সীমাবদ্ধতা হল এনটেলমেন্ট, যেখানে প্রথম পদক্ষেপের পরে প্রতিটি পদক্ষেপ অবশ্যই পূর্ববর্তী পদক্ষেপে রঙিন অঞ্চলের প্রতিবেশীকে রঙ করতে হবে। অ্যান্টি-এন্টেলমেন্ট আরেকটি সম্ভাব্য বাধা। অন্যান্য ধরনের সীমাবদ্ধতা সম্ভব, যেমন প্রতিবেশীদের প্রতিবেশী অঞ্চলগুলিকে বিভিন্ন বা অভিন্ন রঙ ব্যবহার করতে হয়। এই ধারণাটি গ্রাফ দূরত্ব দুই-এর অঞ্চলে প্রযোজ্য হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে এবং আরও বেশি দূরত্বে সাধারণীকরণ করা যেতে পারে। জয়ের শর্ত বিজয়ী সাধারণত শেষ খেলোয়াড় যিনি সরে যান। একে বলা হয় সাধারণ খেলার রীতি। মিসেরে প্লে কনভেনশনটি বিবেচনা করে যে শেষ খেলোয়াড়টি খেলাটি হারানোর জন্য সরে যায়। অন্যান্য সম্ভাব্য জয় এবং পরাজয়ের পরিস্থিতিও রয়েছে, যেমন গো-এর মতো অঞ্চল গণনা করা। একরঙা এবং বৈচিত্র্য এই গেমগুলি, যা (সিলভারম্যান, 1971)-এ প্রকাশিত হয়েছিল, সবগুলিই ধ্রুপদী পদক্ষেপের সীমাবদ্ধতা ব্যবহার করে। নিরপেক্ষ খেলা "মোনোক্রোম"-এ শুধুমাত্র একটি রঙ পাওয়া যায়, তাই প্রতিটি পদক্ষেপ রঙিন অঞ্চল এবং তার প্রতিবেশীদের খেলা থেকে সরিয়ে দেয়। "বাইক্রোম"-এ উভয় খেলোয়াড়ের দুটি রঙের বিকল্প থাকে, যা ধ্রুপদী শর্ত সাপেক্ষে। উভয় খেলোয়াড়ই একই দুটি রঙ থেকে বেছে নেয়, তাই খেলাটি নিরপেক্ষ। "ট্রাইক্রোম" এটিকে খেলোয়াড়দের জন্য তিনটি রঙে প্রসারিত করে। শর্তটি যে কোনও নির্দিষ্ট সংখ্যক রঙে প্রসারিত করা যেতে পারে, যা আরও গেম তৈরি করে। সিলভারম্যান যেমন উল্লেখ করেছেন, যদিও চার রঙের উপপাদ্যটি দেখায় যে কোনও সমতলীয় মানচিত্র চারটি রঙে রঙিন হতে পারে, তবে এটি সেই মানচিত্রের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য নয় যেখানে কিছু রঙ পূরণ করা হয়েছে, তাই চারটির বেশি রঙ যোগ করা খেলার উপর প্রভাব ফেলতে পারে। কোল এবং স্নর্ট "কোল"-এ ধ্রুপদী সীমাবদ্ধতা সাপেক্ষে দুটি রঙ রয়েছে, তবে বামে কেবল বি "এল" ইউই অঞ্চলগুলিকে রঙ করার অনুমতি দেওয়া হয়, যেখানে ডানদিকে কেবল তাদের "আর" এড রঙ করার অনুমতি দেওয়া হয়। সুতরাং এটি একটি পক্ষপাতদুষ্ট খেলা, কারণ খেলার সময় বাম এবং ডানদিকে বিভিন্ন পদক্ষেপ পাওয়া যায়। "স্নর্ট" দুটি রঙের অনুরূপ পক্ষপাতমূলক অ্যাসাইনমেন্ট ব্যবহার করে, তবে অ্যান্টিক্লাসিক্যাল সীমাবদ্ধতার সাথেঃ প্রতিবেশী অঞ্চলগুলিকে বিভিন্ন রঙ দেওয়ার অনুমতি দেওয়া হয় না। অঞ্চলগুলিকে রঙ করা ষাঁড় এবং গরুদের জন্য জমি বরাদ্দ করা হিসাবে ব্যাখ্যা করা হয়েছে, যেখানে পার্শ্ববর্তী জমিতে বিপরীত লিঙ্গের গবাদি পশু নাও থাকতে পারে, যাতে তারা তাদের চারণ থেকে বিভ্রান্ত হয়। এই খেলাগুলি উপস্থাপন এবং বিশ্লেষণ করা হয়েছিল (কনওয়ে, 1976)। নামগুলি সীমাবদ্ধতার পার্থক্যের জন্য স্মরণীয় (শাস্ত্রীয় মানচিত্রের রঙ বনাম প্রাণীর শব্দ), তবে কনওয়ে তাদের সহকর্মী কলিন ভাউট এবং সাইমন নর্টনের জন্যও দায়ী করেছেন। অন্যান্য খেলা নিরপেক্ষ খেলা "কন্টাক্ট" (সিলভারম্যান, 1971) এনটেলমেন্ট সীমাবদ্ধতা সহ একটি একক রঙ ব্যবহার করেঃ সবগুলিই সাম্প্রতিকতম রঙিন অঞ্চলের প্রতিবেশী প্রথম রঙের পরে চলে। সিলভারম্যান "মিসেরে কন্টাক্ট"-এর একটি উদাহরণও দিয়েছেন। মানচিত্র-রঙিন খেলার ধারণাটি অ্যাঞ্জেলস এবং ডেভিলসের মতো খেলাগুলির জন্য প্রসারিত করা যেতে পারে, যেখানে রঙের নিয়মগুলি স্বাদে কিছুটা আলাদা। রেফারেন্সগুলি সংশোধিত এবং সংশোধিত হিসাবে পুনরায় মুদ্রিত এবং কম্বিনেটোরিয়াল গেম থিওরি ম্যাথমেটিকাল গেম হিসাবে পুনরায় মুদ্রিত