Boustrophedon transform
গণিতে, বুস্ট্রোফিডন রূপান্তর হল এমন একটি পদ্ধতি যা একটি ক্রম থেকে অন্যটির মানচিত্র তৈরি করে। রূপান্তরিত ক্রমটি একটি "সংযোজন" ক্রিয়াকলাপ দ্বারা গণনা করা হয়, যা "রাস্টার স্ক্যান" করাত-দাঁতের মতো পদ্ধতির বিপরীতে একটি ত্রিভুজাকার অ্যারে বুস্ট্রোফিডন (জিগজ্যাগ-বা সর্পাকারের মতো) পদ্ধতিতে পূরণ করার মতো প্রয়োগ করা হয়। সংজ্ঞা বুস্ট্রোফিডন রূপান্তর একটি সংখ্যাসূচক, ক্রম-সৃষ্টিকারী রূপান্তর, যা একটি "সংযোজন" অপারেশন দ্বারা নির্ধারিত হয়। সাধারণভাবে বলতে গেলে, একটি ক্রম দেওয়া হলেঃ, বুস্ট্রোফিডন রূপান্তর আরেকটি ক্রম প্রদান করেঃ, যেখানে সম্ভবত এর সমতুল্য সংজ্ঞায়িত করা হয়। চিত্র 1-এ দেখানো ত্রিভুজটি পূরণ করে সম্পূর্ণ রূপান্তরটি কল্পনা করা যেতে পারে (বা কল্পনা করা যেতে পারে)। Boustrophedon Triangle সংখ্যাসূচক সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ (চিত্র 1) পূরণ করতে, আপনি ইনপুট ক্রম দিয়ে শুরু করুন, এবং boustrophedon স্ক্যান (zigzag-বা সর্পাকার-মত) পদ্ধতি ব্যবহার করে প্রতি সারিতে একটি মান (ইনপুট ক্রম থেকে) রাখুন। ত্রিভুজের উপরের শীর্ষটি ইনপুট মান হবে, আউটপুট মানের সমতুল্য, এবং আমরা এই উপরের সারিটিকে সারি 0 হিসাবে গণনা করি। পরবর্তী সারিগুলি (ত্রিভুজের গোড়ায় নেমে যাওয়া) ধারাবাহিকভাবে (0 থেকে) পূর্ণসংখ্যা হিসাবে গণনা করা হয়-আসুন বর্তমানে পূরণ করা সারির সংখ্যা নির্দেশ করি। এই সারিগুলি সারি সংখ্যা () অনুসারে নিম্নরূপ তৈরি করা হয়েছেঃ সমস্ত সারির জন্য, সংখ্যাযুক্ত, সারিতে ঠিক মান থাকবে। যদি বিজোড় হয়, তবে সারির ডানদিকের প্রান্তে মানটি রাখুন। ডান থেকে বাম দিকে এই সারির অভ্যন্তরটি পূরণ করুন, যেখানে প্রতিটি মান (সূচকঃ) হল মান থেকে ডানদিকে (সূচকঃ) এবং উপরের ডানদিকে (সূচকঃ) মানের মধ্যে "সংযোজন"-এর ফলাফল। আউটপুট মান একটি বিজোড় সারির বাম দিকে থাকবে (যেখানে বিজোড়)। যদি জোড় হয়, তবে ইনপুট মানটি সারির বাম দিকে রাখুন। এই সারির অভ্যন্তরটি বাম থেকে ডানদিকে পূরণ করুন, যেখানে প্রতিটি মান (সূচকঃ) তার বাম দিকের মান (সূচকঃ) এবং তার উপরের বাম দিকের মানের (সূচকঃ) মধ্যে "সংযোজন"-এর ফলাফল। আউটপুট মান একটি জোড় সারির ডানদিকের প্রান্তে থাকবে (যেখানে জোড় হবে)। এই "সংযোজন" ক্রিয়াকলাপগুলির একটি দৃশ্যমান উপস্থাপনার জন্য চিত্র 1-এ তীরগুলি দেখুন। একটি প্রদত্ত, সীমাবদ্ধ ইনপুট-ক্রমের জন্যঃ, মানগুলির, ত্রিভুজে ঠিক সারি থাকবে, যেমন পরিসীমার মধ্যে একটি পূর্ণসংখ্যাঃ (একচেটিয়া)। অন্য কথায়, শেষ সারিটি হল। পুনরাবৃত্তি সম্পর্ক একটি আরও আনুষ্ঠানিক সংজ্ঞা একটি পুনরাবৃত্তি সম্পর্ক ব্যবহার করে। সংখ্যাগুলি (k ≤ n ≤ 0 সহ) দ্বারা সংজ্ঞায়িত করুন। তারপর রূপান্তরিত ক্রমটি (জন্য এবং বৃহত্তর সূচক) দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়। এই সংজ্ঞা অনুসারে, জোড়াগুলির উপর (উপরের সম্পর্ক থেকে) সীমাবদ্ধতার বাইরে মানগুলির জন্য নিম্নলিখিত সংজ্ঞাগুলি লক্ষ্য করুনঃ বিশেষ ক্ষেত্রে a0 = 1, an = 0 (n> 0) ক্ষেত্রে, ফলস্বরূপ ত্রিভুজটিকে সিডেল-এন্ট্রিঙ্গার-আর্নল্ড ত্রিভুজ বলা হয় এবং সংখ্যাগুলিকে এন্ট্রিঙ্গার সংখ্যা বলা হয়। এই ক্ষেত্রে রূপান্তরিত ক্রম bn-এর সংখ্যাগুলিকে অয়লার আপ/ডাউন সংখ্যা বলা হয়। এটি অন-লাইন এনসাইক্লোপিডিয়া অফ ইন্টিজার সিকোয়েন্সের A000111 ক্রম। এগুলি n অক্ষরের উপর পর্যায়ক্রমিক বিন্যাসের সংখ্যা গণনা করে এবং অয়লার সংখ্যা এবং বার্নৌলি সংখ্যার সাথে সম্পর্কিত। বীজগাণিতিক সংজ্ঞা (গুলি) বুস্ট্রোফিডন রূপান্তরের জ্যামিতিক নকশা থেকে তৈরি করে, ইনপুট মান () থেকে আউটপুট মান ()-এর সম্পর্কের বীজগাণিতিক সংজ্ঞা বিভিন্ন বীজগণিতে ("সংখ্যাসূচক ক্ষেত্র") সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। ইউক্লিডীয় (বাস্তব) মান ইউক্লিডীয় (বাস্তব) বীজগণিতে বাস্তব ()-মূল্যবান স্কেলারের জন্য, বাস্তবিক-মানকে রূপান্তরিত করা বুস্ট্রোফিডন ইনপুট মানের সাথে সম্পর্কিত, যেমনঃ, বিপরীত সম্পর্ক (আউটপুট থেকে ইনপুট) হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছেঃ, যেখানে "আপ/ডাউন" সংখ্যার ক্রম-যা সিক্যান্ট বা স্পর্শক সংখ্যা হিসাবেও পরিচিত। এক্সপোনেনশিয়াল জেনারেটিং ফাংশন একটি ক্রম (an)-এর এক্সপোনেনশিয়াল জেনারেটিং ফাংশন দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয় বুস্ট্রোফিডন রূপান্তর (bn)-এর এক্সপোনেনশিয়াল জেনারেটিং ফাংশনটি মূল ক্রম (an)-এর সাথে সম্পর্কিত একক ক্রমের এক্সপোনেনশিয়াল জেনারেটিং ফাংশন হল 1, যাতে আপ/ডাউন সংখ্যার সেকেন্ড x + ট্যান x হয়।