Free Boolean algebra
গণিতে, একটি মুক্ত বুলিয়ান বীজগণিত হল একটি বুলিয়ান বীজগণিত যার উপাদানগুলির একটি বিশিষ্ট সেট রয়েছে, যাকে জেনারেটর বলা হয়, যেমনঃ বুলিয়ান বীজগণিতের প্রতিটি উপাদানকে বুলিয়ান ক্রিয়াকলাপ ব্যবহার করে জেনারেটরের একটি সীমাবদ্ধ সংমিশ্রণ হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে এবং জেনারেটরগুলি যতটা সম্ভব স্বাধীন, এই অর্থে যে তাদের মধ্যে কোনও সম্পর্ক নেই (আবার বুলিয়ান ক্রিয়াকলাপ ব্যবহার করে সীমাবদ্ধ অভিব্যক্তির পরিপ্রেক্ষিতে) যা প্রতিটি বুলিয়ান বীজগণিতে ধরে রাখে না, যাই হোক না কেন যে উপাদানগুলি বেছে নেওয়া হয়। একটি সহজ উদাহরণ মুক্ত বুলিয়ান বীজগণিতের জেনারেটরগুলি স্বাধীন প্রস্তাবের প্রতিনিধিত্ব করতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, "জন লম্বা" এবং "মেরি ধনী" এই প্রস্তাবগুলি বিবেচনা করুন। এগুলি চারটি পরমাণু সহ একটি বুলিয়ান বীজগণিত তৈরি করে, যথাঃ জন লম্বা, এবং মেরি ধনী; জন লম্বা, এবং মেরি ধনী নয়; জন লম্বা নয়, এবং মেরি ধনী নয়; জন লম্বা নয়, এবং মেরি ধনী নয়। বুলিয়ান বীজগণিতের অন্যান্য উপাদানগুলি হল পরমাণুর যৌক্তিক বিচ্ছিন্নতা, যেমন "জন লম্বা এবং মেরি ধনী নয়, অথবা জন লম্বা নয় এবং মেরি ধনী।" এছাড়াও আরও একটি উপাদান রয়েছে, FALSE, যাকে খালি বিচ্ছিন্নতা হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে; অর্থাৎ, কোনও পরমাণুর বিচ্ছিন্নতা নয়। এই উদাহরণটি 16টি উপাদান সহ একটি বুলিয়ান বীজগণিত প্রদান করে; সাধারণভাবে, সসীম n-এর জন্য, n জেনারেটর সহ মুক্ত বুলিয়ান বীজগণিতে 2n পরমাণু রয়েছে এবং তাই উপাদান রয়েছে। যদি অসীম সংখ্যক জেনারেটর থাকে, তবে একই রকম পরিস্থিতি বিরাজ করে তবে এখন কোনও পরমাণু নেই। বুলিয়ান বীজগণিতের প্রতিটি উপাদান সীমিতভাবে অনেকগুলি উৎপাদক প্রস্তাবের সংমিশ্রণ, যদি তারা যৌক্তিকভাবে সমতুল্য হয় তবে এই জাতীয় দুটি উপাদান অভিন্ন বলে মনে করা হয়। একটি এন-উপাদান সেটের মুক্ত বুলিয়ান বীজগণিতে কেন উপাদান রয়েছে তা দেখার আরেকটি উপায় হল লক্ষ্য করা যে প্রতিটি উপাদান এন বিট থেকে এক পর্যন্ত একটি ফাংশন। এই ধরনের ফাংশনে সম্ভাব্য ইনপুট রয়েছে এবং ফাংশন প্রতিটি ইনপুটের জন্য আউটপুটের জন্য 0 বা 1 বেছে নেবে, তাই সম্ভাব্য ফাংশন রয়েছে। বিভাগ-তাত্ত্বিক সংজ্ঞা বিভাগ তত্ত্বের ভাষায়, মুক্ত বুলিয়ান বীজগণিতকে সেট এবং ফাংশন, সেট এবং বুলিয়ান বীজগণিত এবং বুলিয়ান বীজগণিত সমরূপতা, বিএ-এর বিভাগের মধ্যে একটি সংযোজন হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। প্রকৃতপক্ষে, এই পদ্ধতিটি সর্বজনীন বীজগণিতের কাঠামোর মধ্যে সংজ্ঞায়িত যে কোনও বীজগাণিতিক কাঠামোকে সাধারণীকরণ করে। উপরে, আমরা বলেছিলাম যে একটি মুক্ত বুলিয়ান বীজগণিত হল একটি বুলিয়ান বীজগণিত যার জেনারেটরের একটি সেট একটি নির্দিষ্ট উপায়ে আচরণ করে; বিকল্পভাবে, কেউ একটি সেট দিয়ে শুরু করতে পারে এবং জিজ্ঞাসা করতে পারে যে এটি কোন বীজগণিত তৈরি করে। প্রতিটি সেট X একটি মুক্ত বুলিয়ান বীজগণিত FX তৈরি করে যা বীজগণিত হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় যাতে প্রতিটি বীজগণিত B এবং ফাংশন f: X → B-এর জন্য একটি অনন্য বুলিয়ান বীজগণিত সমরূপতা f′: FX → B থাকে যা f-কে প্রসারিত করে। চিত্রগতভাবে, যেখানে iX হল অন্তর্ভুক্তি, এবং ড্যাশ করা তীরটি অনন্যতা নির্দেশ করে। ধারণাটি হল যে একবার কেউ এক্স-এর উপাদানগুলি কোথায় পাঠাতে হবে তা বেছে নিলে, বুলিয়ান বীজগণিতের সমরূপতার সূত্রগুলি নির্ধারণ করে যে মুক্ত বীজগণিত এফএক্স-এ অন্য সমস্ত কিছু কোথায় পাঠাতে হবে। যদি এফএক্স-এ এক্স-এর উপাদানগুলির সংমিশ্রণ হিসাবে অবর্ণনীয় উপাদানগুলি থাকত, তবে এফ 'অনন্য হত না, এবং যদি এক্স-এর উপাদানগুলি যথেষ্ট স্বাধীন না হত, তবে এফ' ভালভাবে সংজ্ঞায়িত হত না! এটি সহজেই দেখানো যায় যে এফএক্স অনন্য (আইসোমরফিজম পর্যন্ত), তাই এই সংজ্ঞাটি অর্থপূর্ণ। এটিও সহজেই দেখানো যায় যে একটি মুক্ত বুলিয়ান বীজগণিত, যা মূলত সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে, সেট এক্স তৈরি করে, এফএক্স-এর সমতুল্য, তাই দুটি সংজ্ঞা একমত। উপরের সংজ্ঞাটির একটি ত্রুটি হল যে রেখাচিত্রটি ধারণ করে না যে f′ একটি সমরূপতা; যেহেতু এটি একটি রেখাচিত্র সেট প্রতিটি তীর একটি নিছক ফাংশন বোঝায়। আমরা এটিকে দুটি রেখাচিত্রে বিভক্ত করে ঠিক করতে পারি, একটি বিএ-তে এবং একটি সেটে। দুটিকে সম্পর্কিত করার জন্য, আমরা একটি ফাংক্টর U: BA → সেট প্রবর্তন করি যা বীজগাণিতিক কাঠামোকে "ভুলে যায়", তাদের অন্তর্নিহিত সেট এবং ফাংশনের সাথে অ্যালজেব্রা এবং সমরূপতা ম্যাপিং করে। যদি আমরা বিএ-তে উপরের তীরটিকে একটি রেখাচিত্র হিসাবে এবং নীচের ত্রিভুজটিকে সেট-এ একটি রেখাচিত্র হিসাবে ব্যাখ্যা করি, তবে এই রেখাচিত্রটি সঠিকভাবে প্রকাশ করে যে প্রতিটি ফাংশন f: X → UB একটি অনন্য বুলিয়ান বীজগণিত সমরূপতা f′: FX → B পর্যন্ত প্রসারিত। ফাংক্টর U-কে সমরূপতা f′-কে সেটের মধ্যে ফিরিয়ে আনার জন্য একটি যন্ত্র হিসাবে ভাবা যেতে পারে যাতে এটি f-এর সাথে সম্পর্কিত হতে পারে। এর উল্লেখযোগ্য দিক হল যে পরবর্তী চিত্রটি দুটি ফাংক্টর সংযুক্ত হওয়ার বিভিন্ন (সমতুল্য) সংজ্ঞাগুলির মধ্যে একটি। আমাদের এফ সহজেই একটি ফাংক্টর সেট → বিএ-তে প্রসারিত হয়, এবং একটি মুক্ত বুলিয়ান বীজগণিত এফএক্স তৈরি করার আমাদের সংজ্ঞাটি সঠিকভাবে হল যে ইউ-এর একটি বাম সংলগ্ন এফ রয়েছে। টপোলজিকাল উপলব্ধি κ জেনারেটর সহ মুক্ত বুলিয়ান বীজগণিত, যেখানে κ একটি সীমাবদ্ধ বা অসীম কার্ডিনাল সংখ্যা, {0,1} κ-এর সমস্ত ক্লোপেন উপসেটগুলির সংগ্রহ হিসাবে উপলব্ধি করা যেতে পারে, পণ্য টপোলজির পরিপ্রেক্ষিতে ধরে নেওয়া যায় যে {0,1}-এর বিচ্ছিন্ন টপোলজি রয়েছে। প্রতিটি α <κ-এর জন্য, αth জেনারেটর হল {0,1} κ-এর সমস্ত উপাদানের সেট যার αth স্থানাঙ্ক হল 1। বিশেষত, জেনারেটর সহ মুক্ত বুলিয়ান বীজগণিত হল ক্যান্টর স্পেসের সমস্ত ক্লোপেন উপসেটগুলির সংগ্রহ, যাকে কখনও কখনও ক্যান্টর বীজগণিত বলা হয়। এই সংগ্রহটি গণনাযোগ্য। প্রকৃতপক্ষে, n জেনারেটর সহ মুক্ত বুলিয়ান বীজগণিতে, n সসীম, কার্ডিনালিটি থাকলেও, জেনারেটর সহ মুক্ত বুলিয়ান বীজগণিতে, জেনারেটর সহ যে কোনও মুক্ত বীজগণিতে এবং গণনাযোগ্যভাবে অনেক সীমাবদ্ধ ক্রিয়াকলাপের কার্ডিনালিটি রয়েছে। মুক্ত বুলিয়ান বীজগণিতে এই টপোলজিকাল পদ্ধতির আরও তথ্যের জন্য, বুলিয়ান অ্যালজেব্রার জন্য স্টোনের উপস্থাপনা উপপাদ্য দেখুন। আরও দেখুন বুলিয়ান বীজগণিত (কাঠামো) জেনারেটিং সেট রেফারেন্স স্টিভ আওডে (2006) বিভাগ তত্ত্ব (অক্সফোর্ড লজিক গাইড 49)। অক্সফোর্ড ইউনিভার্সিটি প্রেস। পল হ্যালমোস এবং স্টিভেন গিভান্ট (1998) অ্যালজেব্রা হিসাবে লজিক। ম্যাথমেটিক্যাল অ্যাসোসিয়েশন অফ আমেরিকা। সান্ডার্স ম্যাক লেন (1998) ওয়ার্কিং ম্যাথমেটিশিয়ানের জন্য বিভাগ। 2য় সংস্করণ। (গণিতে স্নাতক পাঠ্য 5)। স্প্রিংগার-ভার্লাগ। সান্ডার্স ম্যাক লেন (1999) অ্যালজেব্রা, 3ডি। এড। আমেরিকান ম্যাথমেটিকাল সোসাইটি। । রবার্ট আর. স্টল, 1963। সেট থিওরি অ্যান্ড লজিক, চ্যাপ্ট। 6. 7। ডোভার পুনঃমুদ্রণ 1979। বুলিয়ান বীজগণিত মুক্ত বীজগাণিতিক কাঠামো