Zeta function regularization
গণিত এবং তাত্ত্বিক পদার্থবিজ্ঞানে, জিটা ফাংশন নিয়মিতকরণ হল এক ধরনের নিয়মিতকরণ বা যোগযোগ্যতা পদ্ধতি যা ভিন্ন যোগফল বা পণ্যগুলিতে সীমাবদ্ধ মান বরাদ্দ করে এবং বিশেষত কিছু স্ব-সংযুক্ত অপারেটরের নির্ধারক এবং ট্রেস সংজ্ঞায়িত করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। কৌশলটি এখন সাধারণত পদার্থবিজ্ঞানের সমস্যাগুলির ক্ষেত্রে প্রয়োগ করা হয়, তবে সংখ্যা তত্ত্বে উপস্থিত অ-শর্তযুক্ত যোগফলগুলির সুনির্দিষ্ট অর্থ দেওয়ার প্রচেষ্টায় এর উৎপত্তি রয়েছে। সংজ্ঞা একটি সম্ভাব্য ডাইভারজেন্ট সিরিজের যোগফল সংজ্ঞায়িত করার জন্য জিটা ফাংশন নিয়মিতকরণ নামে বেশ কয়েকটি ভিন্ন যোগফল পদ্ধতি রয়েছে একটি পদ্ধতি হল এর জিটা নিয়মিত যোগফলকে ζA (−1) হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যদি এটি সংজ্ঞায়িত করা হয়, যেখানে জিটা ফাংশনটি বড় Re (s) এর জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয় যদি এই যোগফলটি একত্রিত হয় এবং অন্য কোথাও বিশ্লেষণাত্মক ধারাবাহিকতা দ্বারা। যখন an = n হয়, তখন জিটা ফাংশন হল সাধারণ রিমান জিটা ফাংশন। এই পদ্ধতিটি অয়লার 1 + 2 + 3 + 4 +. থেকে ζ (−1) = − 1/12 সিরিজের "যোগফল" করার জন্য ব্যবহার করেছিলেন। দেখিয়েছেন যে সমতল স্থানে, যেখানে ল্যাপলেসিয়ানদের আইগেনভ্যালুগুলি জানা যায়, পার্টিশন ফাংশনের সাথে সম্পর্কিত জিটা ফাংশনটি স্পষ্টভাবে গণনা করা যেতে পারে। T = β−1 তাপমাত্রায় সমতল স্থানকালে আয়তন V-এর একটি বড় বাক্সে থাকা একটি স্কেলার ক্ষেত্র φ-এর কথা বিবেচনা করুন। পার্টিশন ফাংশনটি ইউক্লিডীয় স্থানের সমস্ত ক্ষেত্রের φ-এর উপর একটি পাথ ইন্টিগ্রাল দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয় যা τ = এটি রেখে প্রাপ্ত হয় যা বাক্সের দেয়ালে শূন্য এবং যা β সময়ের সাথে τ-তে পর্যায়ক্রমিক। এই পরিস্থিতিতে পার্টিশন ফাংশন থেকে তিনি φ ক্ষেত্রের বিকিরণের শক্তি, এনট্রপি এবং চাপ গণনা করেন। সমতল স্থানের ক্ষেত্রে ভৌত পরিমাণে উপস্থিত আইগেনভ্যালুগুলি সাধারণত জানা যায়, অন্যদিকে বাঁকা স্থানের ক্ষেত্রে সেগুলি জানা যায় নাঃ এই ক্ষেত্রে অ্যাসিম্পটোটিক পদ্ধতির প্রয়োজন হয়। আরেকটি পদ্ধতি সম্ভাব্য ডাইভারজেন্ট অসীম গুণফল a1a2 কে সংজ্ঞায়িত করে. যা হবে exp (− ζ′A (0))। এটি a1, a2,. আইগেনভ্যালু সহ একটি ধনাত্মক স্ব-সংযুক্ত অপারেটর A (তাদের প্রয়োগে একটি রিম্যানিয়ান ম্যানিফোল্ডের ল্যাপলেসিয়ান)-এর নির্ধারককে সংজ্ঞায়িত করতে ব্যবহৃত হয় এবং এই ক্ষেত্রে জিটা ফাংশনটি আনুষ্ঠানিকভাবে A−s-এর ট্রেস। দেখিয়েছেন যে A যদি একটি কম্প্যাক্ট রিমানিয়ান ম্যানিফোল্ডের ল্যাপলেসিয়ান হয় তবে মিনাক্ষিসুন্দরম-প্লেইজেল জিটা ফাংশন একত্রিত হয় এবং সমস্ত জটিল সংখ্যার জন্য একটি মেরোমর্ফিক ফাংশন হিসাবে একটি বিশ্লেষণাত্মক ধারাবাহিকতা রয়েছে এবং এটি কম্প্যাক্ট রিমানিয়ান ম্যানিফোল্ডের উপবৃত্তাকার সিউডো-ডিফারেনশিয়াল অপারেটর এ-তে প্রসারিত করে। সুতরাং এই ধরনের অপারেটরদের জন্য জিটা ফাংশন নিয়মিতকরণ ব্যবহার করে নির্ধারককে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। "অ্যানালিটিক টর্জন" দেখুন। এই ধারণাটি ব্যবহার করে বাঁকানো স্থানের সময় পথের ইন্টিগ্রালগুলি মূল্যায়ন করার পরামর্শ দেওয়া হয়েছে। তিনি তাপীয় মাধ্যাকর্ষণ এবং বক্র পটভূমিতে পদার্থের কোয়ান্টার জন্য বিভাজন ফাংশন গণনা করার জন্য জিটা ফাংশন নিয়মিতকরণ অধ্যয়ন করেছিলেন যেমন কৃষ্ণগহ্বরের দিগন্তে এবং ডি সিটার পটভূমিতে তাপ সমীকরণের কার্নেলের ট্রেসের সাথে বিপরীত মেলিন রূপান্তর দ্বারা সম্পর্ক ব্যবহার করে। উদাহরণ জিটা ফাংশন নিয়মিতকরণের প্রথম উদাহরণটি ক্যাসিমির প্রভাবে পাওয়া যায়, যা তিনটি স্থান মাত্রায় কোয়ান্টাম ক্ষেত্রের বাল্ক অবদান সহ একটি সমতল স্থানে রয়েছে। এই ক্ষেত্রে আমাদের অবশ্যই-3-এ রিমান জিটা ফাংশনের মান গণনা করতে হবে, যা স্পষ্টভাবে বিচ্ছিন্ন হয়। যাইহোক, এটি বিশ্লেষণাত্মকভাবে s =-3 পর্যন্ত অব্যাহত রাখা যেতে পারে যেখানে আশা করা যায় যে কোনও মেরু নেই, এইভাবে অভিব্যক্তিটিকে একটি সীমাবদ্ধ মান দেয়। কাজ করার সময় এই নিয়মিতকরণের একটি বিশদ উদাহরণ ক্যাসিমির প্রভাবের বিশদ উদাহরণের উপর নিবন্ধে দেওয়া হয়েছে, যেখানে ফলাফলের যোগফল খুব স্পষ্টভাবে রিমান জিটা-ফাংশন (এবং যেখানে আপাতদৃষ্টিতে লেগারডেমেইন বিশ্লেষণাত্মক ধারাবাহিকতা একটি যোগাত্মক অনন্তকে সরিয়ে দেয়, একটি শারীরিকভাবে উল্লেখযোগ্য সসীম সংখ্যা রেখে যায়)। জিটা-ফাংশন নিয়মিতকরণের একটি উদাহরণ হল কোয়ান্টাম ক্ষেত্র তত্ত্বে একটি কণা ক্ষেত্রের শক্তির ভ্যাকুয়াম প্রত্যাশার মান গণনা করা। আরও সাধারণভাবে, জিটা-ফাংশন পদ্ধতিটি সমতল এবং বাঁকা স্থানকাল উভয় ক্ষেত্রেই সমগ্র শক্তি-ভরবেগ টেনসরকে নিয়মিত করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। শক্তির অনিয়ন্ত্রিত মান ভ্যাকুয়ামের সমস্ত উত্তেজনা মোডের শূন্য-বিন্দু শক্তির উপর একটি যোগফল দ্বারা দেওয়া হয়ঃ এখানে, শক্তি-ভরবেগ টেনসরের শূন্যতম উপাদান এবং যোগফল (যা একটি অবিচ্ছেদ্য হতে পারে) সমস্ত (ধনাত্মক এবং ঋণাত্মক) শক্তি মোডের উপর প্রসারিত বলে বোঝা যায়; পরম মানটি আমাদের মনে করিয়ে দেয় যে শক্তিটি ধনাত্মক হিসাবে নেওয়া হয়। এই যোগফল, যেমন লেখা হয়েছে, সাধারণত অসীম (সাধারণত n-এ রৈখিক)। যোগফলকে এইভাবে লিখে নিয়মিত করা যেতে পারে, যেখানে 's' একটি জটিল সংখ্যা বলে ধরা হয়। বড়, 4-এর চেয়ে বড় বাস্তব s-এর জন্য (ত্রিমাত্রিক স্থানের জন্য), যোগফল স্পষ্টভাবে সীমাবদ্ধ, এবং তাই প্রায়শই তাত্ত্বিকভাবে মূল্যায়ন করা যেতে পারে। জিটা-নিয়মিতকরণ কার্যকর কারণ এটি প্রায়শই এমনভাবে ব্যবহার করা যেতে পারে যাতে ভৌত ব্যবস্থার বিভিন্ন প্রতিসাম্য সংরক্ষিত থাকে। জিটা-ফাংশন নিয়মিতকরণ কনফরমাল ফিল্ড তত্ত্ব, পুনর্নবীকরণ এবং স্ট্রিং তত্ত্বের সমালোচনামূলক স্থানকালের মাত্রা ঠিক করতে ব্যবহৃত হয়। অন্যান্য নিয়মিতকরণের সাথে সম্পর্ক জিটা ফাংশন নিয়মিতকরণ মাত্রিক নিয়মিতকরণের সমতুল্য, দেখুন। যাইহোক, জিটা নিয়মিতকরণের প্রধান সুবিধা হল যে যখনই মাত্রিক নিয়মিতকরণ ব্যর্থ হয় তখন এটি ব্যবহার করা যেতে পারে, উদাহরণস্বরূপ যদি গণনার ভিতরে ম্যাট্রিক্স বা টেনসর থাকে ডিরিচলেট সিরিজের সাথে সম্পর্ক জিটা-ফাংশন নিয়মিতকরণ একটি গাণিতিক ফাংশন f (n) এর উপর যে কোনও যোগফলের জন্য একটি বিশ্লেষণাত্মক কাঠামো দেয়। এই ধরনের যোগফল ডিরিচলেট সিরিজ নামে পরিচিত। নিয়মিত রূপটি যোগফলের বিচ্যুতিগুলিকে জটিল এস-প্লেনের সরল মেরুতে রূপান্তরিত করে। সংখ্যাসূচক গণনায়, জিটা-ফাংশন নিয়মিতকরণ অনুপযুক্ত, কারণ এটি একত্রিত হওয়া অত্যন্ত ধীর। সংখ্যাসূচক উদ্দেশ্যে, আরও দ্রুত রূপান্তরকারী যোগফল হল সূচকীয় নিয়মিতকরণ, যা দ্বারা দেওয়া হয়। এটিকে কখনও কখনও f-এর Z-রূপান্তর বলা হয়, যেখানে z = exp (−t)। সূচকীয় এবং জিটা-নিয়মিতকরণের বিশ্লেষণাত্মক কাঠামো সম্পর্কিত। লরেন্ট সিরিজ হিসাবে সূচকীয় যোগফলকে প্রসারিত করে দেখা যায় যে জিটা-সিরিজের কাঠামো রয়েছে সূচকীয় এবং জিটা-নিয়ন্ত্রকগুলির কাঠামো মেলিন রূপান্তরের মাধ্যমে সম্পর্কিত। গামা ফাংশনের অবিচ্ছেদ্য উপস্থাপনা ব্যবহার করে একটিকে অন্যটিতে রূপান্তরিত করা যেতে পারেঃ যা সূচকীয় এবং জিটা-নিয়ন্ত্রক সম্পর্কিত পরিচয়ের দিকে পরিচালিত করে এবং এস-প্লেনের খুঁটিগুলিকে লরেন্ট সিরিজের ভিন্ন পদগুলিতে রূপান্তরিত করে। তাপ কার্নেল নিয়মিতকরণ যোগফলকে কখনও কখনও তাপ কার্নেল বা তাপ-কার্নেল নিয়মিত যোগফল বলা হয়; এই নামটি এই ধারণা থেকে উদ্ভূত যে কখনও কখনও তাপ কার্নেলের আইগেনভ্যালু হিসাবে বোঝা যায়। গণিতে, এই ধরনের যোগফল একটি সাধারণীকৃত ডিরিচলেট সিরিজ হিসাবে পরিচিত; গড়ের জন্য এর ব্যবহার একটি আবেলিয়ান গড় হিসাবে পরিচিত। এটি ল্যাপ্লাস-স্টিল্টজেস রূপান্তরের সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত, যেখানে একটি ধাপ ফাংশন, এট এর ধাপ সহ। এই ধরনের সিরিজের একত্রীকরণের জন্য বেশ কয়েকটি উপপাদ্য রয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, হার্ডি-লিটলউড টাউবেরিয়ান উপপাদ্য অনুসারে, যদি সিরিজটি অর্ধ-সমতলে একত্রিত হয় এবং অর্ধ-সমতলে প্রতিটি কম্প্যাক্ট উপসেটে সমানভাবে অভিসারী হয়। 1916 সালে জি. এইচ. হার্ডি এবং জে. ই. লিটলউড দ্বারা তাপ কার্নেল এবং জিটা ফাংশন নিয়মিতকরণ পদ্ধতির সাথে নিয়মিত সিরিজের অভিসরণ এবং সমতুল্যতা প্রতিষ্ঠার প্রাথমিক কাজটি করা হয়েছিল এবং এটি ক্যাহেন-মেলিন ইন্টিগ্রালের প্রয়োগের উপর ভিত্তি করে। সংখ্যা তত্ত্বে উপস্থিত বিভিন্ন অ-সংজ্ঞায়িত, শর্তাধীন অভিসারী যোগফলের মান অর্জনের জন্য প্রচেষ্টা করা হয়েছিল। শারীরিক সমস্যাগুলির নিয়ন্ত্রক হিসাবে প্রয়োগের ক্ষেত্রে, এর আগে, জে স্টুয়ার্ট ডাউকার এবং রেমন্ড ক্রিচলি 1976 সালে কোয়ান্টাম শারীরিক সমস্যার জন্য একটি জিটা-ফাংশন নিয়মিতকরণ পদ্ধতির প্রস্তাব করেছিলেন। এমিলিও এলিজাল্দে এবং অন্যান্যরাও ইন্টিগ্রালগুলির জন্য জিটা নিয়মিতকরণের উপর ভিত্তি করে একটি পদ্ধতির প্রস্তাব করেছেন, এখানে একটি নিয়ন্ত্রক এবং ডাইভারজেন্ট ইন্টিগ্রাল সীমার সংখ্যার উপর নির্ভর করে দেখুন পুনর্নবীকরণ। এছাড়াও অন্যান্য নিয়মিতকরণ যেমন মাত্রিক নিয়মিতকরণ এবং বিশ্লেষণাত্মক নিয়মিতকরণের মতো নয়, জিটা নিয়মিতকরণের কোনও বিপরীত শব্দ নেই এবং কেবল সীমাবদ্ধ ফলাফল দেয়। আরও দেখুন রেফারেন্স টম এম. অ্যাপোস্টল, "মডুলার ফাংশনস অ্যান্ড ডিরিচলেট সিরিজ ইন নাম্বার থিওরি", স্প্রিংগার-ভার্লাগ নিউ ইয়র্ক। (8ম অধ্যায় দেখুন।) এ. বাইৎসেনকো, জি. কঙ্গোলা, ই. এলিজালেড, ভি. মোরেট্টি এবং এস. জারবিনি, "অ্যানালিটিক অ্যাসপেক্টস অফ কোয়ান্টাম ফিল্ডস", ওয়ার্ল্ড সায়েন্টিফিক পাবলিশিং, 2003, জি. এইচ। হার্ডি এবং জে. ই. লিটলউড, "কন্ট্রিবিউশনস টু দ্য থিওরি অফ দ্য রিম্যান জিটা-ফাংশন অ্যান্ড দ্য থিওরি অফ দ্য ডিস্ট্রিবিউশন অফ প্রাইমস", অ্যাক্টা ম্যাথমেটিকা, 41 (1916) পৃষ্ঠা। (দেখুন, উদাহরণস্বরূপ, উপপাদ্য 2.12) ভি. মোরেট্টি, "ডাইরেক্ট জেড-ফাংশন অ্যাপ্রোচ অ্যান্ড রেনোর্মালাইজেশন অফ ওয়ান-লুপ স্ট্রেস টেনসর ইন কার্ভড স্পেসটাইমস, ফিজি। Rev.D 56,7797 "(1997)। ডি. ফার্মি, এল. পিজোচেরো, "স্থানীয় জিটা নিয়মিতকরণ এবং স্কেলার ক্যাসিমির প্রভাব। অবিচ্ছেদ্য কার্নেলের উপর ভিত্তি করে একটি সাধারণ পদ্ধতি, "ওয়ার্ল্ড সায়েন্টিফিক পাবলিশিং, আইএসবিএনঃ 978-981-3224-99-5 (হার্ডকভার), আইএসবিএনঃ 978-981-3225-01-5 (ইবুক)। ডিওআইঃ 10.1142/10570 (2017)। কোয়ান্টাম ক্ষেত্র তত্ত্ব স্ট্রিং তত্ত্ব গাণিতিক বিশ্লেষণ জিটা এবং এল-ফাংশন সংক্ষিপ্তকরণ পদ্ধতি