Kloosterman sum
গণিতে, একটি ক্লুস্টারম্যান যোগফল হল একটি নির্দিষ্ট ধরনের সূচকীয় যোগফল। এগুলির নামকরণ করা হয়েছে ডাচ গণিতবিদ হেন্ড্রিক ক্লুস্টারম্যানের নামে, যিনি 1926 সালে হার্ডি-লিটলউড বৃত্ত পদ্ধতির প্রবর্তন করেছিলেন যখন তিনি পাঁচটি বা ততোধিক চলকের বিপরীতে চারটিতে ধনাত্মক নির্দিষ্ট তির্যক চতুর্ভুজ রূপের সাথে জড়িত একটি সমস্যা মোকাবেলা করার জন্য, যা তিনি 1924 সালে তাঁর গবেষণাপত্রে আলোচনা করেছিলেন। স্বাভাবিক সংখ্যা ধরা যাক। তারপর এখানে x * হল মডুলোর বিপরীত। প্রসঙ্গ ক্লুস্টারম্যান যোগফল হল বেসেল ফাংশনের একটি সসীম রিং এনালগ। এগুলি (উদাহরণস্বরূপ) মডুলার ফর্মের ফুরিয়ার সম্প্রসারণে ঘটে। রিম্যান জিটা ফাংশনের সাথে জড়িত মানগুলি, স্বল্প বিরতিতে মৌলিক সংখ্যা, গাণিতিক অগ্রগতিতে মৌলিক সংখ্যা, স্বয়ংক্রিয় ফাংশনের বর্ণালী তত্ত্ব এবং সম্পর্কিত বিষয়গুলি বোঝানোর জন্য প্রয়োগ রয়েছে। ক্লুস্টারম্যানের বৈশিষ্ট্য যোগফল যদি বা তারপর ক্লুস্টারম্যান যোগফল রামানুজনের যোগফল-এ কমে যায়। শুধুমাত্র অবশিষ্টাংশ শ্রেণী এবং মডুলোর উপর নির্ভর করে। উপরন্তু এবং যদি। লেট উইথ অ্যান্ড কোপ্রাইম। বেছে নিন এবং এইরকম এবং। তারপর এটি একটি মৌলিক সংখ্যা এবং একটি পূর্ণসংখ্যার ক্ষেত্রে ক্লুস্টারম্যানের যোগফলের মূল্যায়নকে হ্রাস করে। এর মান সর্বদা একটি বীজগাণিতিক বাস্তব সংখ্যা। প্রকৃতপক্ষে এটি উপক্ষেত্রের একটি উপাদান যা ক্ষেত্রগুলির সংমিশ্রণ যেখানে সমস্ত বিজোড় মৌলিক সংখ্যার উপর যেমন এবং সঙ্গে থাকে। সেলবার্গ পরিচিতিঃ অ্যাটলে সেলবার্গ দ্বারা বর্ণিত হয়েছিল এবং মডুলার ফর্মগুলির বর্ণালী তত্ত্ব ব্যবহার করে কুজনেটসভ প্রথম প্রমাণ করেছিলেন। আজকাল এই পরিচয়ের প্রাথমিক প্রমাণ জানা যায়। একটি বিজোড় মৌলিক সংখ্যার জন্য, কোনও পরিচিত সহজ সূত্র নেই, এবং সাটো-টেট অনুমান থেকে বোঝা যায় যে কোনওটিরই অস্তিত্ব নেই। যাইহোক, নীচের উত্তোলন সূত্রগুলি প্রায়শই একটি স্পষ্ট মূল্যায়নের মতোই ভাল। যদি একটিরও গুরুত্বপূর্ণ রূপান্তর থাকেঃ যেখানে জ্যাকোবি প্রতীককে বোঝায়। প্রাইম দিয়ে ধরে নিন এবং ধরে নিন। তারপরঃ কোথায় নির্বাচন করা হয় যাতে এবং নিম্নরূপ সংজ্ঞায়িত করা হয় (নোট যে অদ্ভুত): এই সূত্রটি প্রথম হ্যান্স স্যালি দ্বারা আবিষ্কৃত হয়েছিল এবং সাহিত্যে অনেক সহজ প্রমাণ রয়েছে। অনুমান যেহেতু ক্লুস্টারম্যানের যোগফল মডুলার ফর্মের ফুরিয়ার সম্প্রসারণে ঘটে, তাই ক্লুস্টারম্যানের জন্য অনুমান মডুলার ফর্মের ফুরিয়ার সহগের জন্যও ফলন অনুমান করে। সবচেয়ে বিখ্যাত অনুমান আন্দ্রে ওয়েইলের কারণে এবং বলেছেঃ এখানে এর ধনাত্মক বিভাজকের সংখ্যা রয়েছে। ক্লুস্টারম্যান যোগফলের গুণগত বৈশিষ্ট্যের কারণে এই অনুমানগুলি একটি মৌলিক সংখ্যার ক্ষেত্রে হ্রাস করা যেতে পারে। ওয়েইলের একটি মৌলিক কৌশল স্থানীয় জিটা-ফাংশনগুলির উপর তার ফলাফলের জন্য অনুমানকে হ্রাস করে যখন অ্যাব ষ্ণ 0 হয়। জ্যামিতিকভাবে যোগফলটি একটি 'হাইপারবোলা' XY = ab বরাবর নেওয়া হয় এবং আমরা এটিকে উপাদানগুলির সাথে সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের উপর একটি বীজগাণিতিক বক্ররেখা সংজ্ঞায়িত হিসাবে বিবেচনা করি। এই বক্ররেখার একটি বিস্তৃত আর্টিন-শ্রেয়ার আচ্ছাদন রয়েছে এবং ওয়েইল দেখিয়েছেন যে স্থানীয় জিটা-ফাংশনের একটি ফ্যাক্টরাইজেশন রয়েছে; এটি বৈশ্বিক ক্ষেত্রগুলির ক্ষেত্রে আর্টিন এল-ফাংশন তত্ত্ব যা ফাংশন ক্ষেত্র, যার জন্য ওয়েইল রেফারেন্স হিসাবে জে. ওয়েইসিঞ্জারের 1938 সালের একটি গবেষণাপত্র দিয়েছেন (পরের বছর তিনি এই ধারণার পূর্ববর্তী রেফারেন্স হিসাবে হাসের 1935 সালের একটি গবেষণাপত্র দিয়েছিলেন; বিশ্লেষণাত্মক সংখ্যা তাত্ত্বিকদের এই উদাহরণটি তৈরি করার ক্ষমতা সম্পর্কে ওয়েইলের বরং নিন্দনীয় মন্তব্যের পরিপ্রেক্ষিতে, তাঁর কালেক্টেড পেপারগুলিতে, এই ধারণাগুলি সম্ভবত বেশ দীর্ঘস্থায়ী 'লোককাহিনী' ছিল)। অ-মেরু ফ্যাক্টরগুলি প্রকারের হয়, যেখানে একটি ক্লুস্টারম্যান যোগফল। 1940 সালে ওয়েইলের মৌলিক কাজ থেকে এই অনুমানটি অনুসরণ করা হয়। এই কৌশলটি প্রকৃতপক্ষে অনেক বেশি সাধারণভাবে দেখায় যে পূর্ণ সূচকীয় যোগফলের 'বরাবর' বীজগাণিতিক জাতগুলির ভাল অনুমান রয়েছে, যা মাত্রা> 1-এর ওয়েইল অনুমানের উপর নির্ভর করে। পিয়েরে ডেলিগনে, জেরার্ড লাউমন এবং নিকোলাস কাটজ এটিকে আরও অনেক এগিয়ে নিয়ে গেছেন। সংক্ষিপ্ত ক্লুস্টারম্যান যোগফলকে সেই ফর্মের ত্রিকোণমিতিক যোগফল হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় যেখানে সংখ্যার একটি সেটের মধ্য দিয়ে চলে, সহমৌল্য থেকে, উপাদানগুলির সংখ্যা যা মূলত তার চেয়ে কম, এবং প্রতীকটি সঙ্গতি শ্রেণীকে বোঝায়, মডুলোর বিপরীতঃ 1990-এর দশকের গোড়ার দিকে, এই ধরনের যোগফলের অনুমান মূলত সেই ক্ষেত্রে জানা যেত যেখানে যোগফলের সংখ্যা তার চেয়ে বেশি ছিল। এই ধরনের অনুমান এইচ. ডি. ক্লুস্টারম্যান, আই. এম. ভিনোগ্রাদভ, এইচ. স্যালি, এল. কার্লিৎজ, এস. উচিয়ামা এবং এ. ওয়েইলের কারণে হয়েছিল। একমাত্র ব্যতিক্রম ছিল ফর্মের বিশেষ মডিউলগুলি, যেখানে একটি নির্দিষ্ট মৌলিক সংখ্যা এবং সূচক অনন্ত পর্যন্ত বৃদ্ধি পায় (এই ক্ষেত্রে এ. জি. পোস্টনিকভ ইভান মাতভেয়েভিচ ভিনোগ্রাদভের পদ্ধতির মাধ্যমে অধ্যয়ন করেছিলেন)। 1990-এর দশকে আনাতোলি আলেক্সিভিচ কারাতসুবা সংক্ষিপ্ত ক্লুস্টারম্যান যোগফল অনুমানের একটি নতুন পদ্ধতি তৈরি করেন। কারাতসুবার পদ্ধতিটি ক্লুস্টারম্যানের যোগফল অনুমান করা সম্ভব করে তোলে, যোগফলের সংখ্যা যা অতিক্রম করে না, এবং কিছু ক্ষেত্রে এমনকি, যেখানে একটি নির্বিচারে ছোট নির্দিষ্ট সংখ্যা। এই বিষয়ে এ. এ. কারাতসুবার শেষ গবেষণাপত্রটি তাঁর মৃত্যুর পর প্রকাশিত হয়েছিল। কারাত্সুবার পদ্ধতির বিভিন্ন দিক বিশ্লেষণাত্মক সংখ্যা তত্ত্বের নিম্নলিখিত সমস্যাগুলি সমাধানে প্রয়োগ খুঁজে পেয়েছেঃ ফর্মের ভগ্নাংশ অংশগুলির যোগফলের অ্যাসিম্পটোটিক্স খুঁজে বের করাঃ যেখানে শর্তটি সন্তুষ্ট করে পূর্ণসংখ্যার মাধ্যমে একের পর এক চলে এবং মৌলিক সংখ্যার মধ্য দিয়ে চলে যা মডিউলকে বিভক্ত করে না (A.A.Karatsuba); ফর্মের বৈষম্যগুলির সমাধানের সংখ্যার জন্য নিম্ন সীমা খুঁজে বের করাঃ পূর্ণসংখ্যায়, সহমৌল্য থেকে, (এএ কারাত্সুবা); ফর্মের ভগ্নাংশ অংশ দ্বারা বিভাগে একটি নির্বিচারে বাস্তব সংখ্যার আনুমানিক নির্ভুলতার নির্ভুলতাঃ যেখানে (এএ কারাত্সুবা); ব্রুন-টিচমার্শ উপপাদ্যের একটি আরও সুনির্দিষ্ট ধ্রুবকঃ যেখানে (ডি। আর. হিথ-ব্রাউন); প্রমাণ করে যে ফর্মের অসীম সংখ্যক মৌলিক সংখ্যা রয়েছেঃ (জে। ফ্রিডল্যান্ডার, এইচ. আইওয়ানিক); সংখ্যার সেটের সমন্বিত বৈশিষ্ট্য (A.A.Glibichuk): ক্লুস্টারম্যানের যোগফল উত্তোলন যদিও ক্লুস্টারম্যানের যোগফল সাধারণভাবে গণনা করা যায় না, তবে এগুলি বীজগাণিতিক সংখ্যা ক্ষেত্রে "উত্তোলন" করা যেতে পারে, যা প্রায়শই আরও সুবিধাজনক সূত্র প্রদান করে। ধরা যাক একটি বর্গ মুক্ত পূর্ণসংখ্যা ধরে নেওয়া যাক যে আমাদের যে কোনও মৌলিক গুণকের জন্য a, b সহমৌল্য রয়েছে। ডানদিকের যোগফলকে ক্ষেত্রের বীজগাণিতিক পূর্ণসংখ্যার সমষ্টি হিসাবে পুনরায় ব্যাখ্যা করা যেতে পারে এই সূত্রটি ইয়াংবো ইয়ে-এর কারণে, ডন জাগিয়ার দ্বারা অনুপ্রাণিত এবং হার্ভ জ্যাকুয়েট এবং ইয়ে-এর আপেক্ষিক ট্রেস সূত্রের কাজকে প্রসারিত করেছে। প্রকৃতপক্ষে, আরও অনেক বেশি সাধারণ সূচকীয় যোগফল উত্তোলন করা যেতে পারে। কুজনেৎসোভ ট্রেস সূত্র কুজনেৎসোভ বা আপেক্ষিক ট্রেস সূত্র ক্লুস্টারম্যানের যোগফলকে অটোমরফিক ফর্মের বর্ণালী তত্ত্বের সাথে গভীর স্তরে সংযুক্ত করে। প্রাথমিকভাবে এটি নিম্নরূপ বলা যেতে পারে। একটি যথেষ্ট "ভাল আচরণ" ফাংশন হতে দিন। তারপর নিম্নলিখিত ধরনের কুজনেটসভ ট্রেস সূত্রের পরিচয় বলা হয়ঃ অবিচ্ছেদ্য রূপান্তর অংশটি হল জি-এর কিছু অবিচ্ছেদ্য রূপান্তর এবং বর্ণালী অংশটি হল ফুরিয়ার সহগের সমষ্টি, যা হলোমর্ফিক এবং নন-হোলোমর্ফিক মডুলার ফর্মগুলির ফাঁকগুলির উপর নেওয়া হয় যা জি-এর কিছু অবিচ্ছেদ্য রূপান্তরের সাথে মোচড় দেওয়া হয়। ওজন শূন্য অটোমর্ফিক ফাংশনের বৃদ্ধি অধ্যয়ন করার সময় কুজনেটসভ দ্বারা কুজনেটসভ ট্রেস সূত্রটি পাওয়া যায়। ক্লুস্টারম্যানের যোগফলের উপর অনুমান ব্যবহার করে তিনি মডুলার ফর্মের ফুরিয়ার সহগের জন্য অনুমান অর্জন করতে সক্ষম হন যেখানে পিয়েরে ডেলিনের ওয়েইল অনুমানের প্রমাণ প্রযোজ্য ছিল না। এটি পরে জ্যাকুয়েট দ্বারা একটি উপস্থাপনা তাত্ত্বিক কাঠামোতে অনুবাদ করা হয়েছিল। ধরা যাক একটি সংখ্যা ক্ষেত্র F-এর উপর একটি হ্রাসকারী গোষ্ঠী এবং একটি উপগোষ্ঠী। যদিও সাধারণ ট্রেস সূত্রটি জি-এর উপর সুরেলা বিশ্লেষণ অধ্যয়ন করে, আপেক্ষিক ট্রেস সূত্রটি প্রতিসম স্থানের উপর সুরেলা বিশ্লেষণ অধ্যয়নের একটি হাতিয়ার। একটি সংক্ষিপ্ত বিবরণ এবং অসংখ্য প্রয়োগের জন্য রেফারেন্সগুলি দেখুন। ইতিহাস ওয়েইলের অনুমান এখন ডব্লিউ. এম. শ্মিট, সসীম ক্ষেত্রের উপর সমীকরণঃ একটি প্রাথমিক পদ্ধতি, 2য় সংস্করণে অধ্যয়ন করা যেতে পারে। (কেন্ড্রিক প্রেস, 2004)। এখানে অন্তর্নিহিত ধারণাগুলি এস. স্টেপানোভের কারণে এবং ডায়োফ্যান্টাইন আনুমানিকতায় অ্যাক্সেল থুর কাজ থেকে অনুপ্রেরণা গ্রহণ করে। ক্লুস্টারম্যান যোগফল এবং মডুলার ফর্মের মধ্যে অনেক সংযোগ রয়েছে। প্রকৃতপক্ষে 1912 সালে হেনরি পয়েনকেরের মডুলার ফর্মের একটি গবেষণাপত্রে যোগফল প্রথম প্রকাশিত হয় (নাম বাদ দিয়ে)। হ্যান্স সালিয়ে ক্লুস্টারম্যান যোগফলের একটি রূপ প্রবর্তন করেছিলেন যা একটি ডিরিচলেট অক্ষর দ্বারা বিকৃত করা হয়ঃ এই ধরনের সালিয়ে যোগফলের একটি প্রাথমিক মূল্যায়ন রয়েছে। 1979 সালে কুজনেৎসভ দ্বারা ক্লোস্টারম্যানের যোগফলকে অ-হলোমর্ফিক মডুলার ফর্মের সাথে সংযুক্ত করার গুরুত্বপূর্ণ সূত্র আবিষ্কারের পর, যার মধ্যে বর্গমূল অনুমানের তুলনায় কিছু 'গড়ে সঞ্চয়' ছিল, ইনভেনশনস ম্যাথমেটিকা (1982)-র একটি মৌলিক গবেষণাপত্রে আইওয়ানিক এবং ডেশুইলার্স দ্বারা আরও উন্নয়ন ঘটেছিল। বিশ্লেষণী সংখ্যা তত্ত্বের পরবর্তী প্রয়োগগুলি বেশ কয়েকজন লেখক, বিশেষত বম্বিয়েরি, ফাউরি, ফ্রিডল্যান্ডার এবং আইওয়ানিক দ্বারা তৈরি করা হয়েছিল। মাঠটি কিছুটা দুর্গম রয়ে গেছে। কুজনেটসভ সূত্র বোঝার জন্য প্রয়োজনীয় বর্ণালী তত্ত্বের একটি বিস্তারিত ভূমিকা আর. সি. বেকার, ক্লুস্টারম্যান সামস এবং মাস ফর্মস, ভলিউমে দেওয়া হয়েছে। আই (কেন্ড্রিক প্রেস, 2003)। এই ক্ষেত্রে আগ্রহী শিক্ষার্থী এবং গবেষকদের জন্যও প্রাসঙ্গিক। ইটাং ঝাং মৌলিক সংখ্যার মধ্যে সীমাবদ্ধ ব্যবধানের প্রমাণ হিসাবে ক্লুস্টারম্যানের যোগফল ব্যবহার করেছিলেন। হাসের বাউন্ড নোটস রেফারেন্স বাহ্যিক লিঙ্ক বিশ্লেষণাত্মক সংখ্যা তত্ত্ব দেখুন।