Fano variety
বীজগাণিতিক জ্যামিতিতে, জিনো ফানো দ্বারা প্রবর্তিত একটি ফানো বৈচিত্র্য হল একটি সম্পূর্ণ বৈচিত্র্য X যার অ্যান্টিক্যানোনিকাল বান্ডিল KX * যথেষ্ট। এই সংজ্ঞায়, কেউ ধরে নিতে পারে যে এক্স একটি ক্ষেত্রের উপর মসৃণ, তবে ন্যূনতম মডেল প্রোগ্রামটি বিভিন্ন ধরনের এককত্ব সহ ফানো জাতের অধ্যয়নের দিকে পরিচালিত করেছে, যেমন টার্মিনাল বা কেএলটি এককত্ব। সম্প্রতি ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতির কৌশলগুলি জটিল সংখ্যার উপর ফানো জাতের অধ্যয়নে প্রয়োগ করা হয়েছে এবং ফানো জাতের মডুলি স্পেস তৈরি করতে এবং ফানো জাতের কে-স্থিতিশীলতার অধ্যয়নের মাধ্যমে তাদের উপর কেলার-আইনস্টাইন মেট্রিকের অস্তিত্ব প্রমাণ করতে সাফল্য পাওয়া গেছে। উদাহরণস্বরূপ, ফ্যানো জাতের মৌলিক উদাহরণ হল প্রজেক্টিভ স্পেসঃ একটি ক্ষেত্র k-এর উপর Pn-এর অ্যান্টিক্যানোনিকাল লাইন বান্ডিল হল O (n + 1), যা খুব বেশি (জটিল সংখ্যার উপর, এর বক্রতা ফুবিনি-স্টাডি সিমপ্লেক্টিক ফর্মের n + 1 গুণ)। ধরা যাক ডি পিএন-এ একটি মসৃণ কোডিমেনশন-1 সাবভ্যারিয়েটি। সংযোজন সূত্রটি বোঝায় যে কেডি = (কেএক্স + ডি) |D = (− (এন + 1) এইচ + ডিগ (ডি) এইচ) |D, যেখানে এইচ একটি হাইপারপ্লেনের শ্রেণী। হাইপারসার্ফেস ডি তাই ফ্যানো হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি ডিগ্রি (ডি) <এন + 1 হয়। আরও সাধারণভাবে, এন-মাত্রিক প্রজেক্টিভ স্পেসে হাইপারসার্ফেসগুলির একটি মসৃণ সম্পূর্ণ ছেদ হ 'ল ফ্যানো যদি এবং কেবলমাত্র তাদের ডিগ্রির যোগফল সর্বাধিক এন হয়। ওজনযুক্ত প্রজেক্টিভ স্পেস পি (এ0,., এ. এন) একটি একক (কে. এল. টি) ফ্যানো বৈচিত্র্য। এটি একটি শ্রেণীবদ্ধ বহুপদী বলয়ের সাথে সম্পর্কিত প্রজেক্টিভ স্কিম যার জেনারেটরের ডিগ্রি a0,., an থাকে। যদি এটি ভালভাবে গঠিত হয়, এই অর্থে যে a সংখ্যার কোনও n-এর 1-এর চেয়ে বড় সাধারণ গুণক নেই, তবে হাইপারসার্ফেসগুলির যে কোনও সম্পূর্ণ ছেদ যাতে তাদের ডিগ্রির যোগফল a0 + + an-এর চেয়ে কম হয় তবে এটি একটি ফ্যানো বৈচিত্র্য। একটি রৈখিক বীজগাণিতিক গোষ্ঠীর অধীনে সমজাতীয় বৈশিষ্ট্য শূন্যের প্রতিটি প্রজেক্টিভ বৈচিত্র্য হ 'ল ফ্যানো। কিছু বৈশিষ্ট্য এক্স-এর উপর কিছু পর্যাপ্ত লাইন বান্ডিলের অস্তিত্ব এক্স-এর একটি প্রজেক্টিভ বৈচিত্র্যের সমতুল্য, তাই একটি ফ্যানো বৈচিত্র্য সর্বদা প্রজেক্টিভ হয়। জটিল সংখ্যার উপর একটি ফ্যানো বৈচিত্র্য এক্স-এর জন্য, কোডাইরা বিলুপ্তির উপপাদ্যটি বোঝায় যে কাঠামোর শিফের শিফ কোহোমোলজি গ্রুপগুলি অদৃশ্য হয়ে যায়। বিশেষ করে, টড গণ স্বয়ংক্রিয়ভাবে 1-এর সমান হয়। এই অদৃশ্য বিবৃতির ঘটনাগুলি আমাদের আরও জানায় যে প্রথম চেরন শ্রেণী একটি সমরূপতাকে প্ররোচিত করে। ইয়াউ-এর ক্যালাবি অনুমানের সমাধান দ্বারা, একটি মসৃণ জটিল বৈচিত্র্য ইতিবাচক রিচি বক্রতার কেলার মেট্রিকগুলি স্বীকার করে যদি এবং শুধুমাত্র যদি এটি ফানো হয়। মায়ার্সের উপপাদ্য তাই আমাদের বলে যে একটি ফ্যানো ম্যানিফোল্ডের সার্বজনীন আবরণ সংক্ষিপ্ত, এবং তাই শুধুমাত্র একটি সীমাবদ্ধ আবরণ হতে পারে। যাইহোক, আমরা সবেমাত্র দেখেছি যে একটি ফ্যানো ম্যানিফোল্ডের টড গণ অবশ্যই 1-এর সমান হতে হবে। যেহেতু এটি ম্যানিফোল্ডের সার্বজনীন আবরণের ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য, এবং যেহেতু টড গণ সীমাবদ্ধ আবরণের অধীনে গুণিতক, তাই এটি অনুসরণ করে যে কোনও ফ্যানো ম্যানিফোল্ড কেবল সংযুক্ত। একটি অনেক সহজ সত্য হল যে প্রতিটি ফানো জাতের কোডাইরা মাত্রা − φ থাকে। ক্যাম্পানা এবং কোল্লার-মিয়াওকা-মোরি দেখিয়েছেন যে একটি বীজগাণিতিকভাবে বদ্ধ ক্ষেত্রের উপর একটি মসৃণ ফ্যানো বৈচিত্র্য যুক্তিসঙ্গতভাবে সংযুক্ত; অর্থাৎ, যে কোনও দুটি বদ্ধ বিন্দুকে যুক্তিসঙ্গত বক্ররেখার একটি শৃঙ্খল দ্বারা সংযুক্ত করা যেতে পারে। কোল্লার-মিয়াওকা-মোরি আরও দেখিয়েছেন যে, বীজগাণিতিকভাবে বন্ধ শূন্য ক্ষেত্রের উপর প্রদত্ত মাত্রার মসৃণ ফ্যানো জাতগুলি একটি আবদ্ধ পরিবার গঠন করে, যার অর্থ তারা সীমাবদ্ধভাবে অনেক বীজগাণিতিক জাতের বিন্দু দ্বারা শ্রেণীবদ্ধ করা হয়। বিশেষত, প্রতিটি মাত্রার ফ্যানো জাতের সীমিতভাবে অনেকগুলি বিকৃতি শ্রেণী রয়েছে। এই অর্থে, সাধারণ ধরনের জাতের মতো অন্যান্য শ্রেণীর জাতের তুলনায় ফ্যানোর জাতগুলি অনেক বেশি বিশেষ। ছোট মাত্রায় শ্রেণিবিন্যাস নিম্নলিখিত আলোচনাটি জটিল সংখ্যার উপর মসৃণ ফানো জাত নিয়ে উদ্বেগ প্রকাশ করে। একটি ফ্যানো বক্ররেখা প্রজেক্টিভ লাইনের সমতুল্য। একটি ফ্যানো পৃষ্ঠকে দেল পেজো পৃষ্ঠও বলা হয়। প্রতিটি ডেল পেজো পৃষ্ঠ পি1 × পি1 অথবা সর্বাধিক আটটি বিন্দুতে বিস্ফোরিত প্রজেক্টিভ প্লেনের সমতুল্য, যা অবশ্যই সাধারণ অবস্থানে থাকতে হবে। ফলস্বরূপ, তারা সবাই যুক্তিসঙ্গত। মাত্রা 3-এ, মসৃণ জটিল ফ্যানো জাত রয়েছে যা যুক্তিসঙ্গত নয়, উদাহরণস্বরূপ পি 4-এ কিউবিক 3-ভাঁজ (ক্লেমেন্স-গ্রিফিথস দ্বারা) এবং পি 4-এ কোয়ার্টিক 3-ভাঁজ (ইসকোভস্কিখ-মানিন দ্বারা)। দ্বিতীয় বেটি নম্বর 1 সহ মসৃণ ফ্যানো 3-ভাঁজগুলিকে 17টি শ্রেণীতে শ্রেণীবদ্ধ করে এবং মসৃণগুলিকে দ্বিতীয় বেটি নম্বর কমপক্ষে 2 দিয়ে শ্রেণীবদ্ধ করে 88টি বিকৃতি শ্রেণী খুঁজে পায়। মসৃণ ফ্যানো 3-ভাঁজগুলির শ্রেণিবিন্যাসের একটি বিস্তারিত সারসংক্ষেপ দেওয়া হয়েছে। সমস্ত ফানো জাতকে তিন, চার এবং পাঁচ মাত্রায় শ্রেণীবদ্ধ করার জন্য একটি প্রকল্পের আকারের পর্যায়ক্রমিক সারণীও দেখুন। নোটস এক্সটার্নাল লিঙ্ক ফ্যানোগ্রাফি-ত্রিমাত্রিক ফ্যানো জাতের শ্রেণিবিন্যাস দৃশ্যমানভাবে অধ্যয়নের একটি সরঞ্জাম। তথ্যসূত্র বীজগাণিতিক জ্যামিতি 3-ভাঁজ