Free Lie algebra
গণিতে, একটি ক্ষেত্রের উপর একটি মুক্ত লাই বীজগণিত হল একটি সেট এক্স দ্বারা উত্পন্ন একটি লাই বীজগণিত, যা বিকল্প কে-বিলিনিয়ারিটি এবং জ্যাকোবি পরিচয়ের সংজ্ঞায়িত সম্পর্ক ব্যতীত অন্য কোনও আরোপিত সম্পর্ক ছাড়াই। সংজ্ঞা একটি সেট এক্স দ্বারা উত্পন্ন মুক্ত লাই বীজগণিতের সংজ্ঞা নিম্নরূপঃ ধরা যাক এক্স একটি সেট এবং এক্স থেকে একটি লাই বীজগণিতে সেট (ফাংশন)-এর একটি অঙ্গসংস্থান। লাই বীজগণিত এল-কে এক্স-এর উপর মুক্ত বলা হয় যদি সর্বজনীন অঙ্গসংস্থান হয়; অর্থাৎ, যদি কোনও লাই বীজগণিত এ-এর জন্য সেটগুলির অঙ্গসংস্থান থাকে, তবে একটি অনন্য লাই বীজগণিত অঙ্গসংস্থান থাকে। একটি সেট এক্স দেওয়া হলে, কেউ দেখাতে পারে যে এক্স দ্বারা উত্পন্ন একটি অনন্য মুক্ত লাই বীজগণিত রয়েছে। বিভাগ তত্ত্বের ভাষায়, এক্স দ্বারা উত্পন্ন লাই বীজগণিতে একটি সেট এক্স প্রেরণকারী ফাংক্টর হল লাই অ্যালজেব্রার বিভাগে সেটের বিভাগ থেকে মুক্ত ফাংক্টর। অর্থাৎ, এটি ভুলে যাওয়া ফাংশনের পাশে রেখে দেওয়া হয়। একটি সেট X-এর মুক্ত মিথ্যা বীজগণিত স্বাভাবিকভাবেই শ্রেণীবদ্ধ করা হয়। মুক্ত লাই বীজগণিতের 1-গ্রেডেড উপাদানটি সেই সেটের মুক্ত ভেক্টর স্থান মাত্র। বিকল্পভাবে একটি ভেক্টর স্পেস V-এর উপর একটি মুক্ত লাই বীজগণিতকে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে, যা একটি ক্ষেত্র K-এর উপর লাই অ্যালজেব্রা থেকে শুরু করে ক্ষেত্র K-এর উপর ভেক্টর স্পেস পর্যন্ত ভুলে যাওয়া ফাংক্টরের বাম পাশে অবস্থিত-লাই বীজগণিত কাঠামো ভুলে যাওয়া, কিন্তু ভেক্টর স্পেস কাঠামো মনে রাখা। সর্বজনীন আবরণ বীজগণিত একটি মুক্ত লাই বীজগণিতের সর্বজনীন আবরণ বীজগণিত একটি সেট এক্স-এ এক্স দ্বারা উত্পন্ন মুক্ত সহযোগী বীজগণিত। পয়েনকারে-বারখফ-উইট উপপাদ্য অনুসারে এটি মুক্ত লাই বীজগণিতের প্রতিসম বীজগণিতের "একই আকার" (অর্থাৎ যদি উভয় পক্ষকে এক্স ডিগ্রি 1-এর উপাদান দিয়ে শ্রেণীবদ্ধ করা হয় তবে তারা শ্রেণীবদ্ধ ভেক্টর স্পেস হিসাবে সমরূপ)। এটি যে কোনও নির্দিষ্ট মাত্রার মুক্ত লাই বীজগণিতের অংশের মাত্রা বর্ণনা করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। আর্নেস্ট উইট দেখিয়েছেন যে একটি এম-উপাদান সেটের মুক্ত লাই বীজগণিতে ডিগ্রি কে-এর মৌলিক কমিউটেটরের সংখ্যা হার বহুপদী দ্বারা দেওয়া হয়ঃ যেখানে মোবিয়াস ফাংশন। একটি সীমাবদ্ধ সেটের উপর মুক্ত লাই বীজগণিতের সর্বজনীন আবরণ বীজগণিতের শ্রেণীবদ্ধ দ্বৈত হল শাফল বীজগণিত। এটি মূলত অনুসরণ করে কারণ সর্বজনীন আবরণকারী বীজগণিতে হপফ বীজগণিতর কাঠামো রয়েছে এবং শাফল পণ্যটি এই বীজগণিতে গুণের ক্রিয়া বর্ণনা করে। শাফেল প্রোডাক্ট এবং কমুল্টিপ্লিকেশন-এর মধ্যে আন্তঃসম্পর্কের বিস্তারিত ব্যাখ্যার জন্য টেনসর বীজগণিত দেখুন। হল সেট মুক্ত মিথ্যা বীজগণিতের একটি সুস্পষ্ট ভিত্তি হল সেটের পরিপ্রেক্ষিতে দেওয়া যেতে পারে, যা এক্স-এর মুক্ত ম্যাগমার ভিতরে একটি নির্দিষ্ট ধরনের উপসেট। মুক্ত ম্যাগমার উপাদানগুলি বাইনারি গাছ, যার পাতাগুলি এক্স-এর উপাদান দ্বারা লেবেলযুক্ত। দলবদ্ধভাবে ফিলিপ হলের কাজের উপর ভিত্তি করে হল সেট চালু করা হয়েছিল। পরবর্তীকালে, উইলহেলম ম্যাগনাস দেখিয়েছিলেন যে তারা নিম্ন কেন্দ্রীয় সিরিজ দ্বারা প্রদত্ত একটি মুক্ত গোষ্ঠীর পরিস্রাবণের সাথে যুক্ত শ্রেণীবদ্ধ লাই বীজগণিত হিসাবে উদ্ভূত হয়। এই চিঠিপত্রটি ফিলিপ হল এবং উইটের কারণে গোষ্ঠী তত্ত্বে বিনিময়কারী পরিচয়ের দ্বারা অনুপ্রাণিত হয়েছিল। লিন্ডন শব্দগুলি হল শব্দের একটি বিশেষ উদাহরণ এবং তাই বিশেষত লিন্ডন শব্দের সাথে সম্পর্কিত মুক্ত লাই বীজগণিতের একটি ভিত্তি রয়েছে। এটিকে লিন্ডন ভিত্তি বলা হয়, যা রজার লিন্ডনের নামে নামকরণ করা হয়েছে। (এটিকে চেন-ফক্স-লিন্ডন ভিত্তি বা লিন্ডন-শিরশভ ভিত্তিও বলা হয় এবং এটি মূলত শিরশভ ভিত্তির মতোই।) এই বর্ণমালায় লিন্ডন শব্দ থেকে মুক্ত লাই বীজগণিতের ভিত্তিতে একটি বাইজেকশন γ রয়েছে যা নিম্নরূপ সংজ্ঞায়িত করা হয়েছেঃ যদি একটি শব্দের দৈর্ঘ্য 1 হয় তবে (মুক্ত লাই বীজগণিতের উৎপাদক হিসাবে বিবেচিত)। যদি ডাব্লু-এর দৈর্ঘ্য কমপক্ষে 2 হয়, তবে লিন্ডন শব্দের জন্য লিখুন ইউ, ভি সহ ভি যতক্ষণ সম্ভব ("স্ট্যান্ডার্ড ফ্যাক্টরাইজেশন")। তারপর। শিরশভ-উইট উপপাদ্য এবং দেখিয়েছেন যে একটি মুক্ত লাই বীজগণিতের যে কোনও লাই উপ-বীজগণিত নিজেই একটি মুক্ত লাই বীজগণিত। অর্ধ-সরল লাই বীজগণিতে সেরের উপপাদ্য জেনারেটর এবং সম্পর্ক থেকে একটি অর্ধ-সরল বীজগণিত তৈরি করতে একটি মুক্ত লাই বীজগণিত ব্যবহার করে। একটি লিঙ্ক গ্রুপের মিলনর অপরিবর্তনীয়গুলি লিঙ্কের উপাদানগুলিতে মুক্ত লাই বীজগণিতের সাথে সম্পর্কিত, যেমনটি সেই নিবন্ধে আলোচনা করা হয়েছে। অপেরাডের নির্মাণে একটি মুক্ত লাই বীজগণিত ব্যবহারের জন্য লাই অপেরাড দেখুন। আরও দেখুন মুক্ত বস্তু মুক্ত বীজগণিত মুক্ত গোষ্ঠী তথ্যসূত্র মিথ্যা বীজগণিতর বৈশিষ্ট্য মুক্ত বীজগাণিতিক কাঠামো