Sum of normally distributed random variables
সম্ভাব্যতা তত্ত্বে, সাধারণত বিতরণ করা র্যান্ডম ভেরিয়েবলের যোগফলের গণনা র্যান্ডম ভেরিয়েবলের গাণিতিকের একটি উদাহরণ। এটিকে স্বাভাবিক বণ্টনের যোগফলের সাথে বিভ্রান্ত করা উচিত নয় যা একটি মিশ্রণ বণ্টনের গঠন করে। স্বাধীন র্যান্ডম ভেরিয়েবল ধরা যাক X এবং Y স্বাধীন র্যান্ডম ভেরিয়েবল যা সাধারণত বিতরণ করা হয় (এবং তাই যৌথভাবেও), তাহলে তাদের যোগফলও সাধারণত বিতরণ করা হয়। অর্থাৎ, যদি তাই হয়, তার মানে হল যে দুটি স্বাধীন সাধারণভাবে বিতরণ করা এলোমেলো চলকের যোগফল স্বাভাবিক, যার গড় দুটি মাধ্যমের যোগফল এবং এর বৈকল্পিকতা দুটি বৈচিত্র্যের যোগফল (অর্থাৎ, আদর্শ বিচ্যুতির বর্গ হল আদর্শ বিচ্যুতির বর্গের যোগফল)। এই ফলাফল ধরে রাখার জন্য, এক্স এবং ওয়াই স্বাধীন এই ধারণাটি বাদ দেওয়া যায় না, যদিও এটি এই ধারণার সাথে দুর্বল করা যেতে পারে যে এক্স এবং ওয়াই পৃথকভাবে নয়, সাধারণভাবে যৌথভাবে বিতরণ করা হয়। (একটি উদাহরণ এখানে দেখুন।) গড় সম্পর্কে ফলাফল সব ক্ষেত্রেই থাকে, অন্যদিকে বৈচিত্র্যের জন্য ফলাফলের জন্য সম্পর্কহীনতার প্রয়োজন হয়, তবে স্বাধীনতা নয়। বৈশিষ্ট্যমূলক ফাংশন ব্যবহার করে প্রমাণ দুটি স্বাধীন র্যান্ডম ভেরিয়েবল এক্স এবং ওয়াই-এর যোগফলের বৈশিষ্ট্যমূলক ফাংশন হল এক্স এবং ওয়াই-এর দুটি পৃথক বৈশিষ্ট্যমূলক ফাংশনের গুণফল। সুতরাং এটি প্রত্যাশিত মান এবং বৈকল্পিকতা সহ স্বাভাবিক বন্টনের বৈশিষ্ট্যমূলক ফাংশন অবশেষে, মনে রাখবেন যে কোনও দুটি স্বতন্ত্র বন্টনের একই বৈশিষ্ট্যমূলক ফাংশন থাকতে পারে না, তাই এক্স + ওয়াই-এর বন্টনের অবশ্যই এই স্বাভাবিক বন্টনের মতো হতে হবে। স্বাধীন এলোমেলো চলক X এবং Y-এর জন্য, Z = X + Y-এর বন্টন fZ হল fX এবং fY-এর বন্টনের সমানঃ প্রদত্ত যে fX এবং fY হল স্বাভাবিক ঘনত্ব, বন্টনের মধ্যে প্রতিস্থাপন করাঃ বর্গকে সংজ্ঞায়িত করা এবং সম্পূর্ণ করাঃ ইন্টিগ্রালের অভিব্যক্তিটি x-এর উপর একটি স্বাভাবিক ঘনত্ব বন্টন, এবং তাই ইন্টিগ্রালটি 1-এ মূল্যায়ন করা হয়। কাঙ্ক্ষিত ফলাফলটি নিম্নরূপঃ কনভোলিউশন উপপাদ্য ব্যবহার করে এটি দেখানো যেতে পারে যে কোনও গাউসিয়ানের ফুরিয়ার রূপান্তর, কনভোলিউশন উপপাদ্য দ্বারাঃ জ্যামিতিক প্রমাণ প্রথমে স্বাভাবিক কেসটি বিবেচনা করুন যখন X, Y ~ N (0,1), যাতে তাদের পিডিএফ হয় এবং ধরা যাক Z = X + Y। তারপর Z-এর জন্য সি. ডি. এফ হবে এই ইন্টিগ্রালটি অর্ধ-সমতলের উপর যা x + y = z লাইনের নিচে অবস্থিত। মূল পর্যবেক্ষণটি হল যে ফাংশনটি রেডিয়ালভাবে প্রতিসম। সুতরাং আমরা মূল সম্পর্কে স্থানাঙ্ক সমতলটি ঘোরাই, নতুন স্থানাঙ্কগুলি এমনভাবে বেছে নিই যাতে x + y = z রেখাটি সমীকরণ দ্বারা বর্ণনা করা হয় যেখানে জ্যামিতিকভাবে নির্ধারিত হয়। রেডিয়াল প্রতিসাম্যের কারণে, আমাদের আছে, এবং Z-এর জন্য সি. ডি. এফ হল এটি সংহত করা সহজ; আমরা দেখতে পাই যে Z-এর জন্য সি. ডি. এফ হল মান নির্ধারণ করার জন্য, লক্ষ্য করুন যে আমরা সমতলটি ঘুরিয়েছি যাতে x + y = z রেখাটি এখন x-ছেদ সহ c-এর সমান উল্লম্বভাবে চলে। সুতরাং দূরত্ব হল, এবং Z-এর জন্য CDF হল, অর্থাৎ, এখন, যদি a, b কোনও বাস্তব ধ্রুবক হয় (উভয়ই শূন্য নয়) তবে সম্ভাব্যতা যা উপরের মতো একই ইন্টিগ্রাল দ্বারা পাওয়া যায়, তবে বাউন্ডিং লাইনের সাথে। একই ঘূর্ণন পদ্ধতি কাজ করে, এবং এই আরও সাধারণ ক্ষেত্রে আমরা দেখতে পাই যে উৎপত্তির রেখার নিকটতম বিন্দুটি একটি (স্বাক্ষরিত) দূরত্ব দূরে অবস্থিত, যাতে উচ্চতর মাত্রায় একই যুক্তি দেখায় যে যদি তা হয় তবে এখন আমরা মূলত সম্পন্ন করি, কারণ সুতরাং সাধারণভাবে, যদি তা সহসংযুক্ত র্যান্ডম ভেরিয়েবল হয় X এবং Y ভেরিয়েবলগুলি সাধারণত যৌথভাবে র্যান্ডম ভেরিয়েবল বিতরণ করা হয়, তবে X + Y এখনও সাধারণত বিতরণ করা হয় (মাল্টিভ্যারিয়েট স্বাভাবিক বিতরণ দেখুন) এবং গড় হল মাধ্যমের যোগফল। যাইহোক, পারস্পরিক সম্পর্কের কারণে বৈচিত্রগুলি যোগাত্মক নয়। প্রকৃতপক্ষে, যেখানে ρ হল পারস্পরিক সম্পর্ক। বিশেষত, যখনই ρ <0 হয়, তখন পার্থক্যটি এক্স এবং ওয়াই-এর বৈচিত্র্যের যোগফলের চেয়ে কম হয়। এই ফলাফলের এক্সটেনশনগুলি কোভ্যারিয়েন্স ম্যাট্রিক্স ব্যবহার করে দুটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য তৈরি করা যেতে পারে। প্রমাণ এই ক্ষেত্রে (এক্স এবং ওয়াই-এর শূন্য অর্থ সহ), একজনকে বিবেচনা করতে হবে উপরের হিসাবে, একজন প্রতিস্থাপন করে এই ইন্টিগ্রালটি বিশ্লেষণাত্মকভাবে সহজ করার জন্য আরও জটিল, তবে একটি প্রতীকী গণিত প্রোগ্রাম ব্যবহার করে সহজেই করা যেতে পারে। এই ক্ষেত্রে সম্ভাব্যতা বন্টন fZ (z) দেওয়া হয় যেখানে এর পরিবর্তে যদি কেউ Z = X − Y বিবেচনা করে, তবে একজন তা অর্জন করে যা দিয়েও পুনর্লিখন করা যেতে পারে। তথ্যসূত্র আরও দেখুন অনিশ্চয়তার বিস্তার এলোমেলো চলকের বীজগণিত স্থিতিশীল বন্টন মান ত্রুটি (পরিসংখ্যান) অনুপাত বন্টন পণ্য বন্টন স্ল্যাশ বন্টনের তালিকা সম্ভাব্যতা বন্টনের জটিলতার তালিকা স্বাভাবিক বন্টনের