Schur polynomial
গণিতে, ইসাই শুরের নামে নামকরণ করা শুর বহুপদগুলি হল n চলকের নির্দিষ্ট প্রতিসম বহুপদগুলি, যা বিভাজন দ্বারা সূচীভুক্ত করা হয়, যা প্রাথমিক প্রতিসম বহুপদগুলি এবং সম্পূর্ণ সমজাতীয় প্রতিসম বহুপদগুলিকে সাধারণীকরণ করে। উপস্থাপনা তত্ত্বে এগুলি সাধারণ রৈখিক গোষ্ঠীর বহুপদী অপরিবর্তনীয় উপস্থাপনার অক্ষর। শুর বহুপদগুলি সমস্ত প্রতিসম বহুপদের স্থানের জন্য একটি রৈখিক ভিত্তি গঠন করে। শুর বহুপদের যে কোনও গুণফলকে অ-ঋণাত্মক অবিচ্ছেদ্য সহগের সাথে শুর বহুপদের রৈখিক সংমিশ্রণ হিসাবে লেখা যেতে পারে; এই সহগের মানগুলি লিটলউড-রিচার্ডসন নিয়ম দ্বারা সমন্বিতভাবে দেওয়া হয়। আরও সাধারণভাবে, তির্যক শুর বহুপদগুলি বিভাজনের জোড়ার সাথে যুক্ত এবং শুর বহুপদের অনুরূপ বৈশিষ্ট্য রয়েছে। সংজ্ঞা (জ্যাকোবির দ্বিস্তরীয় সূত্র) শুর বহুপদগুলি পূর্ণসংখ্যা বিভাজন দ্বারা সূচীভুক্ত করা হয়। একটি বিভাজনের পরিপ্রেক্ষিতে, যেখানে, এবং প্রতিটি একটি অ-ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা, ফাংশনগুলি নির্ধারকের বৈশিষ্ট্য দ্বারা বহুপদগুলিকে পরিবর্তিত করে। একটি বহুপদী পরিবর্তিত হয় যদি এটি চলকগুলির কোনও স্থানান্তরের অধীনে চিহ্ন পরিবর্তন করে। যেহেতু তারা পরিবর্তিত হয়, তাই তারা সকলেই ভ্যান্ডারমন্ডে নির্ধারক দ্বারা বিভাজ্য শুর বহুপদগুলিকে অনুপাত হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় এটি জ্যাকোবির দ্বি-ধ্রুবীয় সূত্র হিসাবে পরিচিত। এটি ওয়েল অক্ষর সূত্রের একটি বিশেষ উদাহরণ। এটি একটি প্রতিসম ফাংশন কারণ সংখ্যা এবং হর উভয়ই পর্যায়ক্রমিক এবং একটি বহুপদী যেহেতু সমস্ত পর্যায়ক্রমিক বহুপদী ভ্যান্ডারমন্ডে নির্ধারক দ্বারা বিভাজ্য। বৈশিষ্ট্য চলকগুলিতে ডিগ্রি শুর বহুপদগুলি চলকগুলিতে সমজাতীয় ডিগ্রি প্রতিসম বহুপদের স্থানের জন্য একটি রৈখিক ভিত্তি। একটি বিভাজনের জন্য, শুর পলিনোমিয়াল হল মনোমিয়ালের সমষ্টি, যেখানে যোগফলটি সমস্ত সেমিস্ট্যান্ডার্ড ইয়ং ট্যাবলো আকৃতির উপর থাকে। সূচকগুলি ওজন দেয়, অন্য কথায় প্রতিটি সংখ্যার ঘটনা গণনা করে। এটি লিন্ডস্ট্রম-গেসেল-ভিয়েনট লেম্মা (সেই পৃষ্ঠায় বর্ণিত) ব্যবহার করে প্রথম গিয়াম্বেলি সূত্র থেকে সংজ্ঞাটির সমতুল্য হিসাবে দেখানো যেতে পারে। শুর পলিনোমিয়ালগুলিকে কোস্তকা সংখ্যা নামে অ-ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা সহগগুলির সাথে মনোমিয়াল প্রতিসম ফাংশনের রৈখিক সংমিশ্রণ হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে, কোস্তকা সংখ্যাগুলি অর্ধ-মানক আকার λ এবং ওজনের তরুণ ট্যাবলো সংখ্যা দ্বারা দেওয়া হয়। জ্যাকোবি-ট্রুডি পরিচয় প্রথম জ্যাকোবি-ট্রুডি সূত্রটি সম্পূর্ণ সমজাতীয় প্রতিসম পলিনোমিয়ালগুলির পরিপ্রেক্ষিতে শুর পলিনোমিয়ালকে নির্ধারক হিসাবে প্রকাশ করে, যেখানে। দ্বিতীয় জ্যাকোবি-ট্রুডি সূত্রটি প্রাথমিক প্রতিসম বহুপদের পরিপ্রেক্ষিতে শুর বহুপদকে একটি নির্ধারক হিসাবে প্রকাশ করে, যেখানে এবং এর সংযুগ্ম বিভাজন। উভয় পরিচয়ে, নেতিবাচক সাবস্ক্রিপ্ট সহ ফাংশনগুলি শূন্য হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। গিয়ামবেল্লি পরিচয় আরেকটি নির্ধারক পরিচয় হল গিয়ামবেল্লির সূত্র, যা ইয়ং ডায়াগ্রামের মধ্যে থাকা হুক পার্টিশনের পরিপ্রেক্ষিতে একটি নির্বিচারে বিভাজনের জন্য শুর ফাংশনকে প্রকাশ করে। ফ্রোবেনিয়াসের স্বরলিপিতে, বিভাজনকে বোঝানো হয় যেখানে, অবস্থানের প্রতিটি তির্যক উপাদানের জন্য, একই সারিতে ডানদিকে বাক্সের সংখ্যা নির্দেশ করে এবং একই কলামে (যথাক্রমে বাহু এবং পায়ের দৈর্ঘ্য) এর নীচে বাক্সের সংখ্যা নির্দেশ করে। গিয়ামবেল্লি পরিচয় হুক পার্টিশনের জন্য এই বিভাজনের সাথে সম্পর্কিত শুর ফাংশনকে নির্ধারক হিসাবে প্রকাশ করে। কাউচি আইডেন্টিটি শুর ফাংশনের জন্য কাউচি আইডেন্টিটি (এখন অসীম সংখ্যক চলক), এবং এর দ্বৈত অবস্থা হল যে এবং যেখানে যোগফলটি সমস্ত বিভাজনের উপর নেওয়া হয় λ, এবং, যথাক্রমে সম্পূর্ণ প্রতিসম ফাংশন এবং প্রাথমিক প্রতিসম ফাংশনকে নির্দেশ করে। যদি যোগফলটি পরিবর্তনশীল শুর পলিনোমিয়ালগুলির গুণফলের উপর নেওয়া হয়, তবে যোগফলটিতে কেবল দৈর্ঘ্যের বিভাজন অন্তর্ভুক্ত থাকে কারণ অন্যথায় শুর পলিনোমিয়ালগুলি অদৃশ্য হয়ে যায়। প্রতিসম ফাংশনের অন্যান্য পরিবারে এই পরিচয়গুলির অনেকগুলি সাধারণীকরণ রয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, ম্যাকডোনাল্ড পলিনোমিয়াল, শুবার্ট পলিনোমিয়াল এবং গ্রোথেন্ডিয়াক পলিনোমিয়ালগুলি কচি-সদৃশ পরিচয় স্বীকার করে। হল-লিটলউড পলিনোমিয়ালের জন্য একটি সূত্রের বিশেষীকরণের মাধ্যমেও শুর পলিনোমিয়াল গণনা করা যেতে পারে, যেখানে ক্রমাঙ্কনগুলির উপগোষ্ঠী এমন যে সমস্ত i, এবং w সূচকগুলি ক্রমাঙ্কন করে ভেরিয়েবলের উপর কাজ করে। মুরনাঘন-নাকায়ামা নিয়ম মুরনাঘন-নাকায়ামা নিয়মটি শুর বহুপদীর পরিপ্রেক্ষিতে শুর বহুপদীর সাথে একটি শক্তি-সমষ্টি প্রতিসম ফাংশনের গুণফল প্রকাশ করেঃ যেখানে যোগফলটি সমস্ত বিভাজনের উপর এমন হয় যে μ/λ হল r আকারের একটি রিম-হুক এবং ht (μ/λ) হল চিত্রের সারি সংখ্যা। লিটলউড-রিচার্ডসন নিয়ম এবং পিয়েরির সূত্র লিটলউড-রিচার্ডসন সহগ তিনটি বিভাজনের উপর নির্ভর করে, বলুন, যার মধ্যে শুর ফাংশনকে গুণ করা হচ্ছে এবং বর্ণনা করা হচ্ছে, এবং শুর ফাংশন দেয় যার মধ্যে এটি রৈখিক সংমিশ্রণে সহগ; অন্য কথায় তারা এমন সহগ যা লিটলউড-রিচার্ডসন নিয়ম বলে যে এটি তির্যক আকৃতি এবং ওজনের লিটলউড-রিচার্ডসন ট্যাবলো সংখ্যার সমান। পিয়েরির সূত্রটি লিটলউড-রিচার্ডসন নিয়মের একটি বিশেষ উদাহরণ, যা শুর বহুপদের পরিপ্রেক্ষিতে পণ্যটিকে প্রকাশ করে। দ্বৈত সংস্করণটি শুর বহুপদীর পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করা হয়। বিশেষত্ব শুর পলিনোমিয়ালের মূল্যায়ন করলে অর্ধ-মানক আকারের তরুণ ট্যাবলোগুলির সংখ্যা পাওয়া যায়। উদাহরণস্বরূপ, ওয়েইল অক্ষর সূত্র ব্যবহার করে কেউ দেখাতে পারে যে, এই সূত্রে, ইয়ং ডায়াগ্রামের প্রতিটি সারির প্রস্থ নির্দেশ করে টুপলটি দৈর্ঘ্য না হওয়া পর্যন্ত পরোক্ষভাবে শূন্যের সাথে প্রসারিত হয়। উপাদানগুলির সমষ্টি হল। হুক দৈর্ঘ্যের সূত্রটিও দেখুন যা স্থির λ-এর জন্য একই পরিমাণ গণনা করে। উদাহরণ নিম্নলিখিত বর্ধিত উদাহরণটি এই ধারণাগুলি স্পষ্ট করতে সহায়তা করবে। ক্ষেত্রে n = 3, d = 4 বিবেচনা করুন। ফেরার্স রেখাচিত্র বা অন্য কোনও পদ্ধতি ব্যবহার করে আমরা দেখতে পাই যে সর্বাধিক তিনটি অংশে 4-এর মাত্র চারটি পার্টিশন রয়েছে। আমাদের আছে এবং আরও অনেক কিছু, ভ্যান্ডারমন্ডে নির্ধারক কোথায়। সংক্ষিপ্তসারঃ তিনটি চলকের প্রতিটি সমজাতীয় ডিগ্রি-চার প্রতিসম বহুপদকে এই চারটি শুর বহুপদের একটি অনন্য রৈখিক সংমিশ্রণ হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে এবং এই সংমিশ্রণটি আবার একটি উপযুক্ত নির্মূল ক্রমের জন্য গ্রবনার ভিত্তি ব্যবহার করে পাওয়া যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, স্পষ্টতই একটি প্রতিসম বহুপদী যা চতুর্থ মাত্রার সমজাতীয়, এবং আমাদের উপস্থাপনা তত্ত্বের সাথে সম্পর্ক রয়েছে শুর বহুপদীগুলি প্রতিসম গোষ্ঠী, সাধারণ রৈখিক গোষ্ঠী এবং একক গোষ্ঠীর উপস্থাপনা তত্ত্বে ঘটে। ওয়েল অক্ষর সূত্রটি বোঝায় যে শুর বহুপদগুলি সাধারণ রৈখিক গোষ্ঠীগুলির সীমাবদ্ধ-মাত্রিক অপরিবর্তনীয় উপস্থাপনার অক্ষর এবং অন্যান্য সংক্ষিপ্ত এবং আধা-সহজ লাই গোষ্ঠীগুলিতে শুরের কাজকে সাধারণীকরণ করতে সহায়তা করে। এই সম্পর্কের জন্য বেশ কয়েকটি অভিব্যক্তি উদ্ভূত হয়, যার মধ্যে অন্যতম গুরুত্বপূর্ণ হল প্রতিসম শক্তি ফাংশনের পরিপ্রেক্ষিতে শুর ফাংশনের সম্প্রসারণ। যদি আমরা ρ পার্টিশন দ্বারা ইনডেক্স করা চক্রের উপাদানগুলিতে মূল্যায়ন করা পার্টিশন λ দ্বারা ইনডেক্স করা প্রতিসম গোষ্ঠীর প্রতিনিধিত্বের চরিত্রের জন্য χ লিখি, তবে যেখানে ρ = (1r1,2r2,3r3,.) মানে হল যে পার্টিশনের k দৈর্ঘ্যের rk অংশ রয়েছে। এর একটি প্রমাণ R. স্ট্যানলির এনুমারেটিভ কম্বিনেটরিক্স ভলিউম 2, করোলারি 7.17.5-এ পাওয়া যাবে। পূর্ণসংখ্যা χ মুরনাঘন-নাকায়াম নিয়ম ব্যবহার করে গণনা করা যেতে পারে। শুর পজিটিভিটি উপস্থাপনা তত্ত্বের সাথে সংযোগের কারণে, একটি প্রতিসম ফাংশন যা শুর ফাংশনে ইতিবাচকভাবে প্রসারিত হয় তা বিশেষ আগ্রহের বিষয়। উদাহরণস্বরূপ, তির্যক শুর ফাংশনগুলি সাধারণ শুর ফাংশনে ইতিবাচকভাবে প্রসারিত হয় এবং সহগগুলি হল লিটলউড-রিচার্ডসন সহগ। এর একটি বিশেষ উদাহরণ হল শুর ফাংশনে সম্পূর্ণ সমজাতীয় প্রতিসম ফাংশনের সম্প্রসারণ। এই পচন প্রতিফলিত করে যে কিভাবে একটি বিন্যাস মডিউল অপরিবর্তনীয় উপস্থাপনায় বিভক্ত হয়। শুর পজিটিভিটি প্রমাণ করার পদ্ধতি একটি প্রদত্ত প্রতিসম ফাংশন এফ-এর শুর পজিটিভিটি প্রমাণ করার জন্য বেশ কয়েকটি পদ্ধতি রয়েছে। যদি এফ একটি সমন্বিত পদ্ধতিতে বর্ণনা করা হয়, তবে একটি সরাসরি পদ্ধতি হল আধা-মানক তরুণ ট্যাবলোগুলির সাথে একটি বাইজেকশন তৈরি করা। এডলম্যান-গ্রিন চিঠিপত্র এবং রবিনসন-শেনস্টেড-নুথ চিঠিপত্র এই ধরনের বাইজেকশনের উদাহরণ। আরও কাঠামো সহ একটি বাইজেকশন তথাকথিত স্ফটিক ব্যবহার করে একটি প্রমাণ। এই পদ্ধতিটিকে অন্তর্নিহিত সমন্বিত বস্তুর উপর স্থানীয় নিয়মের সাথে বর্ণিত একটি নির্দিষ্ট গ্রাফ কাঠামোকে সংজ্ঞায়িত করা হিসাবে বর্ণনা করা যেতে পারে। একটি অনুরূপ ধারণা হল দ্বৈত সমতুল্যতার ধারণা। এই পদ্ধতিটি একটি গ্রাফ কাঠামোও ব্যবহার করে, তবে মৌলিক কোয়াসিসিমেট্রিক ভিত্তিতে সম্প্রসারণের প্রতিনিধিত্বকারী বস্তুর উপর। এটি আরএসকে-চিঠিপত্রের সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত। সাধারণীকরণ স্ক্যু শুর ফাংশন sλ/μ দুটি বিভাজনের উপর নির্ভর করে λ এবং μ, এবং বৈশিষ্ট্য দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে এখানে, অভ্যন্তরীণ গুণফল হল হল অভ্যন্তরীণ গুণফল, যার জন্য স্কুর বহুপদগুলি একটি অর্থোনর্মাল ভিত্তি গঠন করে। সাধারণ শুর বহুপদীর মতো, এগুলি গণনা করার অসংখ্য উপায় রয়েছে। অনুরূপ জ্যাকোবি-ট্রুডি পরিচয়গুলি হল তির্যক শুর বহুপদীগুলির একটি সমন্বিত ব্যাখ্যাও রয়েছে, যথা এটি তির্যক আকৃতির সমস্ত আধা-মানক তরুণ ট্যাবলো (বা কলাম-কঠোর ট্যাবলো) এর সমষ্টি। স্ক্যু শুর বহুপদগুলি শুর বহুপদগুলিতে ধনাত্মকভাবে প্রসারিত হয়। লিটলউড-রিচার্ডসন নিয়ম দ্বারা সহগের জন্য একটি নিয়ম দেওয়া হয়েছে। দ্বৈত শুর বহুপদ দ্বৈত শুর বহুপদগুলিকে স্থানান্তরিত শুর বহুপদের সাধারণীকরণ হিসাবে দেখা যেতে পারে। এই পলিনোমিয়ালগুলি ফ্যাক্টোরিয়াল শুর পলিনোমিয়ালগুলির সাথেও ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত। একটি বিভাজন এবং একটি ক্রম দেওয়া হলে দ্বৈত শুর বহুপদকে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে যেখানে যোগফলটি সমস্ত বিপরীত আধা-মানক আকৃতির তরুণ ট্যাবলো এবং পূর্ণসংখ্যা এন্ট্রিগুলির উপর নেওয়া হয়। এখানে বাক্সের মান নির্দেশ করে এবং এটি বাক্সের বিষয়বস্তু। লিটলউড-রিচার্ডসন সহগের জন্য একটি সমন্বিত নিয়ম (ক্রম a-এর উপর নির্ভর করে) এ. আই মোলেভ দিয়েছিলেন। বিশেষত, এর থেকে বোঝা যায় যে স্থানান্তরিত শুর বহুপদের অ-ঋণাত্মক লিটলউড-রিচার্ডসন সহগ রয়েছে। স্থানান্তরিত শুর বহুপদগুলি দ্বৈত শুর বহুপদ থেকে বিশেষায়িত এবং দ্বারা প্রাপ্ত করা যেতে পারে। দ্বৈত শুর বহুপদগুলি দ্বৈত শুবার্ট বহুপদের বিশেষ কেস। ফ্যাক্টরিয়াল শুর বহুপদ ফ্যাক্টরিয়াল শুর বহুপদকে নিম্নরূপ সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। প্রদত্ত একটি বিভাজন λ, এবং দ্বিগুণ অসীম ক্রম., a−1, a0, a1,. কেউ ফ্যাক্টরিয়াল শুর বহুপদী sλ (x|a) কে সংজ্ঞায়িত করতে পারে যেখানে যোগফলটি সমস্ত আধা-মানক ইয়াং ট্যাবলো T আকৃতির λ, এবং 1,, n-এ পূর্ণসংখ্যা এন্ট্রিগুলির উপর নেওয়া হয়। এখানে T (α) টি-তে α বাক্সের মানকে বোঝায় এবং c (α) বাক্সের বিষয়বস্তু। একটি নির্ধারক সূত্রও রয়েছে, যেখানে (y|a) k = (y−a1). (y−ak)। এটা স্পষ্ট যে, আমরা যদি সমস্ত i-এর জন্য অনুমতি দিই, তাহলে আমরা স্বাভাবিক শুর বহুপদী sλ পুনরুদ্ধার করব। দ্বৈত শুর বহুপদী এবং n চলকের ফ্যাক্টরিয়াল শুর বহুপদীগুলি sλ (x। |a) = sλ (x|u) পরিচয়ের মাধ্যমে সম্পর্কিত যেখানে একটি − i + 1 = ui। অন্যান্য সাধারণীকরণ শুর পলিনোমিয়ালগুলির অসংখ্য সাধারণীকরণ রয়েছেঃ হল-লিটলউড পলিনোমিয়াল স্থানান্তরিত শুর পলিনোমিয়াল ফ্ল্যাগড শুর পলিনোমিয়াল স্ট্যানলি প্রতিসাম্য ফাংশন (স্থিতিশীল শুর পলিনোমিয়াল নামেও পরিচিত) মূল পলিনোমিয়ালগুলি (ডিম্যাজার অক্ষর নামেও পরিচিত) আধা-প্রতিসাম্য শুর পলিনোমিয়াল সারি-কঠোর শুর পলিনোমিয়াল জ্যাক পলিনোমিয়াল মডুলার শুর পলিনোমিয়াল লুপ শুর ফাংশন ম্যাকডোনাল্ড পলিনোমিয়াল শুর পলিনোমিয়ালগুলি সিমপ্লেক্টিক এবং অর্থোগোনাল গ্রুপের জন্য। কে-শুর ফাংশন গ্রোথেন্ডিয়াক পলিনোমিয়াল (কে-শুর পলিনোমিয়ালগুলির তাত্ত্বিক এনালগ) এল. এল. টি পলিনোমিয়াল এছাড়াও শুর ফাংক্টর লিটলউড-রিচার্ডসন নিয়ম দেখুন, যেখানে কেউ শুর পলিনোমিয়ালগুলির সাথে জড়িত কিছু পরিচয় খুঁজে পায়। তথ্যসূত্র সমজাতীয় বহুপদ অপরিবর্তনীয় তত্ত্ব সীমাবদ্ধ গোষ্ঠীর প্রতিনিধিত্ব তত্ত্ব প্রতিসম ফাংশন অর্থোগোনাল বহুপদ