Floquet theory
ফ্লকুয়েট তত্ত্ব হল সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের তত্ত্বের একটি শাখা যা পর্যায়ক্রমিক রৈখিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সমাধানের শ্রেণীর সাথে সম্পর্কিত এবং পর্যায়ক্রমিক ধারাবাহিক পর্যায়ক্রমিক ফাংশন সহ এবং সমাধানের স্থায়িত্বের অবস্থাকে সংজ্ঞায়িত করে। ফ্লোকেট তত্ত্বের প্রধান উপপাদ্য, ফ্লোকেটের উপপাদ্য, এই সাধারণ রৈখিক ব্যবস্থার প্রতিটি মৌলিক ম্যাট্রিক্স সমাধানের জন্য একটি ক্যানোনিকাল রূপ দেয়। এটি একটি সমন্বিত পরিবর্তন দেয় যা পর্যায়ক্রমিক ব্যবস্থাকে ধ্রুবক, বাস্তব সহগ সহ একটি ঐতিহ্যবাহী রৈখিক ব্যবস্থায় রূপান্তরিত করে। যখন পর্যায়ক্রমিক সম্ভাব্যতা সহ ভৌত ব্যবস্থাগুলিতে প্রয়োগ করা হয়, যেমন ঘনীভূত পদার্থ পদার্থবিজ্ঞানে স্ফটিক, ফলাফলটি ব্লচের উপপাদ্য হিসাবে পরিচিত। লক্ষ্য করুন যে রৈখিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সমাধানগুলি একটি ভেক্টর স্পেস গঠন করে। একটি ম্যাট্রিক্সকে মৌলিক ম্যাট্রিক্স সমাধান বলা হয় যদি সমস্ত কলাম রৈখিকভাবে স্বাধীন সমাধান হয়। একটি ম্যাট্রিক্সকে প্রধান মৌলিক ম্যাট্রিক্স সমাধান বলা হয় যদি সমস্ত কলাম রৈখিকভাবে স্বাধীন সমাধান হয় এবং এমন একটি অস্তিত্ব থাকে যা হল পরিচয়। একটি মৌলিক ম্যাট্রিক্স ব্যবহার করে একটি প্রধান মৌলিক ম্যাট্রিক্স তৈরি করা যেতে পারে। প্রাথমিক শর্তের সাথে রৈখিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সমাধান হল কোন মৌলিক ম্যাট্রিক্স সমাধান কোথায়। ফ্লকুয়েটের উপপাদ্যটি একটি রৈখিক প্রথম ক্রমের ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ হিসাবে ধরা যাক, যেখানে দৈর্ঘ্যের একটি কলাম ভেক্টর এবং পিরিয়ড সহ একটি পর্যায়ক্রমিক ম্যাট্রিক্স (যা এর সমস্ত বাস্তব মানের জন্য)। ধরা যাক এই ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একটি মৌলিক ম্যাট্রিক্স সমাধান। তারপর, সকলের জন্য, এখানে মনোড্রোমি ম্যাট্রিক্স হিসাবে পরিচিত। উপরন্তু, প্রতিটি ম্যাট্রিক্সের জন্য (সম্ভবত জটিল) এমন একটি পর্যায়ক্রমিক (পিরিয়ড) ম্যাট্রিক্স ফাংশন থাকে যাতে একটি বাস্তব ম্যাট্রিক্স এবং একটি বাস্তব পর্যায়ক্রমিক (পিরিয়ড-) ম্যাট্রিক্স ফাংশন থাকে যেমন উপরেরটিতে, এবং ম্যাট্রিক্স হয়। পরিণতি এবং প্রয়োগ এই ম্যাপিং স্থানাঙ্কের () একটি সময়-নির্ভর পরিবর্তনের জন্ম দেয়, যার অধীনে আমাদের মূল সিস্টেমটি বাস্তব ধ্রুবক সহগ সহ একটি রৈখিক সিস্টেমে পরিণত হয়। যেহেতু এটি অবিচ্ছিন্ন এবং পর্যায়ক্রমিক, তাই এটি অবশ্যই আবদ্ধ হতে হবে। এইভাবে এবং-এর জন্য শূন্য সমাধানের স্থায়িত্ব এর আইগেনভ্যালু দ্বারা নির্ধারিত হয়। উপস্থাপনাটিকে মৌলিক ম্যাট্রিক্সের জন্য ফ্লোকেট স্বাভাবিক রূপ বলা হয়। এর আইগেনভ্যালুগুলিকে সিস্টেমের চরিত্রগত গুণক বলা হয়। এগুলি (রৈখিক) পয়েনকারে মানচিত্রের আইগেনভ্যালুও। একটি ফ্লকুয়েট সূচক (কখনও কখনও একটি চরিত্রগত সূচক বলা হয়), এমন একটি জটিল যা সিস্টেমের একটি চরিত্রগত গুণক। লক্ষ্য করুন যে ফ্লকুয়েট সূচকগুলি অনন্য নয়, যেহেতু, একটি পূর্ণসংখ্যা কোথায়। ফ্লকুয়েট সূচকের আসল অংশগুলিকে লিয়াপুনভ সূচক বলা হয়। শূন্য সমাধানটি অ্যাসিম্পটোটিকভাবে স্থিতিশীল যদি সমস্ত লিয়াপুনভ সূচকগুলি ঋণাত্মক হয়, লিয়াপুনভ স্থিতিশীল যদি লিয়াপুনভ সূচকগুলি অ-ধনাত্মক এবং অন্যথায় অস্থির হয়। ম্যাথিউ সমীকরণের মতো গতিশীল পদ্ধতির অধ্যয়নের জন্য ফ্লোকেট তত্ত্ব অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ। ফ্লকুয়েট তত্ত্ব হিল ডিফারেনশিয়াল সমীকরণে (জর্জ উইলিয়াম হিল দ্বারা প্রবর্তিত) স্থিতিশীলতা দেখায় যা পর্যায়ক্রমিক মহাকর্ষীয় ক্ষেত্রে একটি সুরেলা দোলক হিসাবে চাঁদের গতিকে আনুমানিক করে। তীব্র লেজার ক্ষেত্রে বন্ধন নরম করা এবং বন্ধন শক্ত করা ফ্লোকেট উপপাদ্য থেকে প্রাপ্ত সমাধানের পরিপ্রেক্ষিতে বর্ণনা করা যেতে পারে। তথ্যসূত্র সি. চিকোন। প্রয়োগের সঙ্গে সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ। স্প্রিঙ্গার-ভার্লাগ, নিউ ইয়র্ক 1999। এম এস পি। ইস্টাম, "দ্য স্পেকট্রাল থিওরি অফ পিরিয়ডিক ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশনস", টেক্সটস ইন ম্যাথমেটিক্স, স্কটিশ একাডেমিক প্রেস, এডিনবার্গ, 1973। , গাণিতিক মনোগ্রাফ অনুবাদ, 19,294পি। ডব্লিউ ম্যাগনাস, এস উইঙ্কলার। হিলস ইকুয়েশন, ডোভার-ফিনিক্স সংস্করণ,। এন. ডব্লিউ. ম্যাকলাক্লান, থিওরি অ্যান্ড অ্যাপ্লিকেশন অফ ম্যাথিউ ফাংশনস, নিউ ইয়র্কঃ ডোভার, 1964। ডাইনামিক্যাল সিস্টেমের বাহ্যিক সংযোগ