Smoluchowski coagulation equation
পরিসংখ্যানগত পদার্থবিজ্ঞানে, স্মোলুচোভস্কি জমাট সমীকরণ হল একটি জনসংখ্যার ভারসাম্য সমীকরণ যা মারিয়ান স্মোলুচোভস্কি 1916 সালের একটি মৌলিক প্রকাশনায় প্রবর্তন করেছিলেন, যা কণাগুলির ঘনত্বের সময় বিবর্তনকে বর্ণনা করে যখন তারা জমাট বাঁধে (এই প্রসঙ্গে "একসাথে জমাট বাঁধে") সময় টি-তে x আকারে। পলিমারাইজেশন, অ্যারোসোলের সংহতকরণ, ইমালসিকেশন, ফ্লকুলেশন জড়িত প্রক্রিয়াগুলিতে একযোগে জমাট বাঁধার (বা সমষ্টি) সম্মুখীন হয়। সমীকরণ সিস্টেমের সমস্ত কণার আন্তঃসম্পর্ক অনুযায়ী সময়ের সাথে সাথে কণার আকারের বন্টন পরিবর্তিত হয়। অতএব, স্মোলুচোভস্কি জমাট সমীকরণ হল কণা-আকার বণ্টনের একটি সমন্বিত পার্থক্যমূলক সমীকরণ। যখন জমাট বাঁধা কণাগুলির আকার অবিচ্ছিন্ন পরিবর্তনশীল হয়, তখন সমীকরণটিতে একটি অবিচ্ছেদ্য অংশ থাকেঃ যদি dy একটি বিচ্ছিন্ন পরিমাপ হিসাবে ব্যাখ্যা করা হয়, অর্থাৎ। যখন কণাগুলি পৃথক আকারে যুক্ত হয়, তখন সমীকরণের পৃথক রূপটি একটি যোগফলঃ একটি নির্বাচিত কার্নেল ফাংশনের জন্য একটি অনন্য সমাধান বিদ্যমান। জমাট বাঁধার কার্নেল অপারেটর, কে, জমাট বাঁধার কার্নেল হিসাবে পরিচিত এবং যে হারে আকারের কণাগুলি আকারের কণাগুলির সাথে জমাট বাঁধে তা বর্ণনা করে। সমীকরণের বিশ্লেষণাত্মক সমাধান বিদ্যমান থাকে যখন কার্নেল তিনটি সহজ রূপের মধ্যে একটি গ্রহণ করেঃ যথাক্রমে ধ্রুবক, যোগাত্মক এবং গুণিতক কার্নেল হিসাবে পরিচিত। এই ক্ষেত্রে এটি গাণিতিকভাবে প্রমাণিত হতে পারে যে স্মোলুচোভস্কি জমাট সমীকরণের সমাধানে অ্যাসিম্পটোটিকভাবে গতিশীল স্কেলিং বৈশিষ্ট্য রয়েছে। এই স্ব-অনুরূপ আচরণ স্কেল ইনভ্যারিয়েন্সের সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত যা একটি পর্যায় পরিবর্তনের একটি চরিত্রগত বৈশিষ্ট্য হতে পারে। যাইহোক, বেশিরভাগ ব্যবহারিক প্রয়োগে কার্নেল উল্লেখযোগ্যভাবে আরও জটিল রূপ নেয়। উদাহরণস্বরূপ, মুক্ত-আণবিক কার্নেল যা একটি পাতলা গ্যাস-পর্যায় ব্যবস্থায় সংঘর্ষের বর্ণনা দেয়, কিছু জমাট বাঁধার কার্নেল ক্লাস্টারগুলির একটি নির্দিষ্ট ফ্র্যাক্টাল মাত্রার জন্য দায়ী, যেমন বিচ্ছুরণ-সীমিত সমষ্টিঃ বা প্রতিক্রিয়া-সীমিত সমষ্টিঃ যেখানে ক্লাস্টারগুলির ফ্র্যাক্টাল মাত্রা রয়েছে, বোল্টজম্যান ধ্রুবক, তাপমাত্রা, ফুচস স্থায়িত্ব অনুপাত, অবিচ্ছিন্ন পর্যায়ের সান্দ্রতা এবং পণ্য কার্নেলের সূচক, যা সাধারণত একটি উপযুক্ত পরামিতি হিসাবে বিবেচিত হয়। মেঘের ক্ষেত্রে, মেঘ কণাগুলির জমাট বাঁধার জন্য কার্নেল সাধারণত এইভাবে প্রকাশ করা হয়ঃ মেঘ কণাগুলির ব্যাসার্ধ এবং পতনের গতি সাধারণত শক্তি আইন ব্যবহার করে প্রকাশ করা হয়। সাধারণত এই ধরনের শারীরিকভাবে বাস্তবসম্মত কার্নেল থেকে উদ্ভূত জমাট সমীকরণগুলি সমাধানযোগ্য নয় এবং তাই, সংখ্যাসূচক পদ্ধতির প্রতি আবেদন করা প্রয়োজন। বেশিরভাগ নির্ণায়ক পদ্ধতি ব্যবহার করা যেতে পারে যখন সুদের শুধুমাত্র একটি কণা বৈশিষ্ট্য (x) থাকে, দুটি প্রধান হল মুহুর্তের পদ্ধতি এবং বিভাগীয় পদ্ধতি। বহু-বৈচিত্র্যের ক্ষেত্রে, যখন দুই বা ততোধিক বৈশিষ্ট্য (যেমন আকার, আকৃতি, গঠন ইত্যাদি) থাকে। চালু করা হয়, একজনকে বিশেষ আনুমানিক পদ্ধতিগুলি সন্ধান করতে হবে যা মাত্রার অভিশাপ থেকে কম ভুগছে। গাউসিয়ান রেডিয়াল বেসিস ফাংশনের উপর ভিত্তি করে আনুমানিক একাধিক মাত্রায় জমাট সমীকরণের ক্ষেত্রে সফলভাবে প্রয়োগ করা হয়েছে। যখন সমাধানের নির্ভুলতা প্রাথমিক গুরুত্বের নয়, তখন স্টোকাস্টিক কণা (মন্টে কার্লো) পদ্ধতি একটি আকর্ষণীয় বিকল্প। ঘনীভবন-চালিত সমষ্টি একত্রীকরণের পাশাপাশি, কণাগুলি ঘনীভবন, জমা বা সঞ্চয়ের মাধ্যমেও আকারে বৃদ্ধি পেতে পারে। হাসান এবং হাসান সম্প্রতি একটি ঘনীভবন-চালিত সমষ্টি (সিডিএ) মডেলের প্রস্তাব করেছেন যেখানে সংঘর্ষের সময় একত্রিত কণাগুলি ক্রমাগত বৃদ্ধি পেতে থাকে। সিডিএ মডেলটি নিম্নলিখিত প্রতিক্রিয়া পরিকল্পনা দ্বারা বোঝা যেতে পারে যেখানে সময়ে আকারের সমষ্টি বোঝায় এবং এটি অতিবাহিত সময়। এই প্রতিক্রিয়া পরিকল্পনাটি নিম্নলিখিত সাধারণীকৃত স্মোলুচোভস্কি সমীকরণ দ্বারা বর্ণনা করা যেতে পারে, বিবেচনা করে যে একটি আকারের কণা একটি পরিমাণ দ্বারা বিপরীত সমতুল্য সংঘর্ষের সময়ের মধ্যে ঘনীভবনের কারণে বৃদ্ধি পায়। গতিশীল স্কেলিং প্রদর্শন করে এমন ধ্রুবক কার্নেলের জন্য সাধারণীকৃত স্মোলুচোভস্কি সমীকরণটি সমাধান করা যেতে পারে। একটি সাধারণ ফ্র্যাক্টাল বিশ্লেষণ থেকে জানা যায় যে, ঘনীভবন-চালিত একত্রীকরণকে সর্বোত্তমভাবে বর্ণনা করা যেতে পারে মাত্রার ফ্র্যাক্টাল-এর দশম মুহূর্তটি সর্বদা একটি সংরক্ষিত পরিমাণ যা গতিশীল স্কেলিংয়ের সমস্ত সূচক স্থির করার জন্য দায়ী। ক্যান্টর সেটেও এই ধরনের সংরক্ষণ আইন পাওয়া গেছে। আরও দেখুন আইনস্টাইন-স্মোলুচোভস্কি সম্পর্ক ফ্লকুলেশন স্মোলুচোভস্কি ফ্যাক্টর উইলিয়ামস স্প্রে সমীকরণ রেফারেন্স ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ পরিসংখ্যানগত বলবিজ্ঞান