Folk theorem (game theory)
খেলা তত্ত্বে, লোক উপপাদ্য হল উপপাদ্যের একটি শ্রেণী যা পুনরাবৃত্ত খেলায় ন্যাশ ভারসাম্য পরিশোধ প্রোফাইলের প্রাচুর্য বর্ণনা করে। মূল লোক উপপাদ্যটি একটি অসীম পুনরাবৃত্ত খেলার সমস্ত ন্যাশ ভারসাম্যের প্রতিদানের সাথে সম্পর্কিত। এই ফলাফলকে লোক উপপাদ্য বলা হয় কারণ 1950-এর দশকে গেম তাত্ত্বিকদের মধ্যে এটি ব্যাপকভাবে পরিচিত ছিল, যদিও কেউ এটি প্রকাশ করেনি। ফ্রিডম্যানের (1971) উপপাদ্যটি একটি অসীম পুনরাবৃত্ত খেলার নির্দিষ্ট সাবগেম-পারফেক্ট ন্যাশ ইকুইলিব্রিয়া (এস. পি. ই)-এর পরিশোধের সাথে সম্পর্কিত, এবং তাই একটি শক্তিশালী ভারসাম্য ধারণা ব্যবহার করে মূল লোক উপপাদ্যকে শক্তিশালী করেঃ ন্যাশ ইকুইলিব্রিয়ার পরিবর্তে সাবগেম-পারফেক্ট ন্যাশ ইকুইলিব্রিয়া। লোক উপপাদ্যটি পরামর্শ দেয় যে যদি খেলোয়াড়রা যথেষ্ট ধৈর্যশীল এবং দূরদর্শী হয় (অর্থাৎ। যদি ডিসকাউন্ট ফ্যাক্টর হয়), তাহলে পুনরাবৃত্ত মিথস্ক্রিয়া একটি এস. পি. ই ভারসাম্যে কার্যত যে কোনও গড় পরিশোধের ফলস্বরূপ হতে পারে। "কার্যত যে কোনও" এখানে প্রযুক্তিগতভাবে "সম্ভাব্য" এবং "স্বতন্ত্রভাবে যুক্তিসঙ্গত" হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে। সেটআপ এবং সংজ্ঞা আমরা একটি মৌলিক খেলা দিয়ে শুরু করি, যা স্টেজ গেম নামেও পরিচিত, যা একটি এন-প্লেয়ার খেলা। এই খেলায়, প্রতিটি খেলোয়াড়ের বেছে নেওয়ার জন্য সীমিতভাবে অনেকগুলি ক্রিয়া রয়েছে এবং তারা একই সাথে এবং অন্য খেলোয়াড়ের পছন্দ সম্পর্কে জ্ঞান ছাড়াই তাদের পছন্দগুলি করে। খেলোয়াড়দের সম্মিলিত পছন্দগুলি একটি পে-অফ প্রোফাইলের দিকে পরিচালিত করে, অর্থাৎ। প্রতিটি খেলোয়াড়ের জন্য একটি পারিশ্রমিক। সম্মিলিত পছন্দ থেকে শুরু করে পে-অফ প্রোফাইল পর্যন্ত ম্যাপিং খেলোয়াড়দের কাছে পরিচিত এবং প্রতিটি খেলোয়াড়ের লক্ষ্য হল তাদের বেতন সর্বাধিক করা। যদি সমষ্টিগত পছন্দটি x দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, তবে প্লেয়ার আই যে অর্থ প্রদান করে, যা প্লেয়ার আই 'স ইউটিলিটি নামেও পরিচিত, তা দ্বারা চিহ্নিত করা হবে। তারপরে আমরা এই পর্যায়ের খেলার পুনরাবৃত্তি, সীমিতভাবে বা অসীমভাবে অনেকবার বিবেচনা করি। প্রতিটি পুনরাবৃত্তিতে, প্রতিটি খেলোয়াড় তাদের স্টেজ গেমের বিকল্পগুলির মধ্যে একটি বেছে নেয় এবং সেই পছন্দটি করার সময়, তারা পূর্ববর্তী পুনরাবৃত্তিতে অন্যান্য খেলোয়াড়দের পছন্দগুলি বিবেচনা করতে পারে। এই পুনরাবৃত্তিমূলক খেলায়, খেলোয়াড়দের মধ্যে একজনের জন্য একটি কৌশল হল একটি নির্ধারক নিয়ম যা পূর্ববর্তী পুনরাবৃত্তিতে অন্যান্য সমস্ত খেলোয়াড়ের পছন্দের উপর ভিত্তি করে স্টেজ গেমের প্রতিটি পুনরাবৃত্তিতে খেলোয়াড়ের পছন্দ নির্দিষ্ট করে। প্রতিটি খেলোয়াড়ের জন্য কৌশলের একটি পছন্দ হল একটি কৌশল প্রোফাইল, এবং এটি পুনরাবৃত্ত গেমের জন্য একটি পেআউট প্রোফাইলে নিয়ে যায়। এই ধরনের কৌশলের প্রোফাইলকে একটি পেআউট প্রোফাইলে অনুবাদ করার বিভিন্ন উপায় রয়েছে, যা নীচে বর্ণিত হয়েছে। পুনরাবৃত্ত গেমের যে কোনও ন্যাশ ভারসাম্য পে-অফ প্রোফাইলকে অবশ্যই দুটি বৈশিষ্ট্য সন্তুষ্ট করতে হবেঃ ব্যক্তিগত যৌক্তিকতাঃ পে-অফ অবশ্যই উপাদান পর্যায়ের গেমের মিনম্যাক্স পে-অফ প্রোফাইলে দুর্বলভাবে আধিপত্য বিস্তার করতে হবে। অর্থাৎ, প্রতিটি খেলোয়াড়ের ভারসাম্যপূর্ণ বেতন অবশ্যই সেই খেলোয়াড়ের ন্যূনতম পারিশ্রমিকের সমান হতে হবে। এর কারণ হল যে কোনও খেলোয়াড় তার মিনিম্যাক্স পে-অফের চেয়ে কম অর্জন করলে সর্বদা প্রতিটি ইতিহাসে কেবল তাদের মিনিম্যাক্স কৌশলটি খেলে বিচ্যুত হওয়ার প্রেরণা থাকে। সম্ভাব্যতাঃ পে-অফ অবশ্যই স্টেজ গেমের সম্ভাব্য পে-অফ প্রোফাইলের একটি উত্তল সংমিশ্রণ হতে হবে। এর কারণ হল একটি পুনরাবৃত্ত খেলায় পে-অফ মৌলিক গেমগুলিতে পে-অফের একটি ওজনযুক্ত গড় মাত্র। লোক উপপাদ্যগুলি আংশিকভাবে বিপরীত দাবিঃ তারা বলে যে, নির্দিষ্ট শর্তে (যা প্রতিটি লোক উপপাদ্যের মধ্যে ভিন্ন), প্রতিটি পে-অফ প্রোফাইল যা পৃথকভাবে যুক্তিসঙ্গত এবং সম্ভাব্য উভয়ই পুনরাবৃত্ত গেমের ন্যাশ ভারসাম্য পে-অফ প্রোফাইল হিসাবে উপলব্ধি করা যেতে পারে। বিভিন্ন লোক উপপাদ্য রয়েছে; কিছু সীমিতভাবে পুনরাবৃত্ত খেলার সাথে সম্পর্কিত এবং অন্যগুলি অসীমভাবে পুনরাবৃত্ত খেলার সাথে সম্পর্কিত। ডিসকাউন্ট ছাড়াই অসীম-পুনরাবৃত্ত গেমগুলি অব্যবহৃত মডেলে, খেলোয়াড়রা ধৈর্যশীল। তারা বিভিন্ন সময়কালে ইউটিলিটিগুলির মধ্যে পার্থক্য করে না। অতএব, পুনরাবৃত্ত খেলায় তাদের উপযোগিতা মৌলিক গেমগুলিতে উপযোগিতার সমষ্টি দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়। যখন খেলাটি অসীম হয়, তখন অসীম-পুনরাবৃত্ত গেমের উপযোগিতার জন্য একটি সাধারণ মডেল হল গড় উপযোগিতার নিকৃষ্টতম সীমাঃ যদি গেমটি ফলাফলের পথে ফলাফল দেয়, যেখানে পুনরাবৃত্তিতে খেলোয়াড়দের সম্মিলিত পছন্দগুলি বোঝায় t (t = 0,1,2,.), প্লেয়ার i ইউটিলিটি হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় যেখানে প্লেয়ার i এর মৌলিক-গেম ইউটিলিটি ফাংশন কোথায়। ছাড় ছাড়াই একটি অসীম পুনরাবৃত্ত গেমকে প্রায়শই "সুপারগেম" বলা হয়। এই ক্ষেত্রে লোক উপপাদ্যটি খুব সহজ এবং এতে কোনও পূর্বশর্ত নেইঃ মৌলিক খেলায় প্রতিটি স্বতন্ত্রভাবে যুক্তিসঙ্গত এবং সম্ভাব্য পে-অফ প্রোফাইল পুনরাবৃত্ত গেমের একটি ন্যাশ ভারসাম্য পে-অফ প্রোফাইল। প্রমাণটি একটি গুরুতর বা গুরুতর ট্রিগার কৌশলকে কাজে লাগায়। সমস্ত খেলোয়াড় নির্ধারিত ক্রিয়াটি দিয়ে শুরু করে এবং কেউ বিচ্যুত না হওয়া পর্যন্ত তা চালিয়ে যায়। যদি খেলোয়াড় আই বিচ্যুত হয়, অন্য সমস্ত খেলোয়াড় সেই ক্রিয়াটি বেছে নেওয়ার দিকে ঝুঁকে পড়ে যা খেলোয়াড়কে আমি চিরকালের জন্য মিনম্যাক্স করে। বিচ্যুতি থেকে এক-পর্যায়ের লাভ খেলোয়াড়ের মোট উপযোগীতায় 0 অবদান রাখে। একজন বিচ্যুত খেলোয়াড়ের উপযোগিতা তার ন্যূনতম পারিশ্রমিকের চেয়ে বেশি হতে পারে না। তাই সমস্ত খেলোয়াড় নির্ধারিত পথেই থাকে এবং এটি প্রকৃতপক্ষে একটি ন্যাশ ভারসাম্য। উপরের ন্যাশ ভারসাম্য সবসময় সাবগেম নিখুঁত হয় না। যদি শাস্তিদাতাদের জন্য শাস্তি ব্যয়বহুল হয়, তবে শাস্তির হুমকি বিশ্বাসযোগ্য নয়। একটি সাবগেমের নিখুঁত ভারসাম্যের জন্য একটু বেশি জটিল কৌশল প্রয়োজন। শাস্তি চিরকাল স্থায়ী হওয়া উচিত নয়; এটি কেবল একটি নির্দিষ্ট সময় স্থায়ী হওয়া উচিত যা বিচ্যুতি থেকে লাভ মুছে ফেলার জন্য যথেষ্ট। এর পরে, অন্যান্য খেলোয়াড়দের ভারসাম্যের পথে ফিরে আসা উচিত। অর্থের সীমা মানদণ্ড নিশ্চিত করে যে কোনও নির্দিষ্ট সময়ের শাস্তি চূড়ান্ত ফলাফলের উপর কোনও প্রভাব ফেলবে না। অতএব, সীমিত সময়ের শাস্তি হল একটি সাব-গেম-নিখুঁত ভারসাম্য। কোয়ালিশন সাবগেম-পারফেক্ট ইকুইলিব্রিয়াঃ একটি ভারসাম্যকে কোয়ালিশন ন্যাশ ইকুইলিব্রিয়াম বলা হয় যদি কোনও জোট বিচ্যুতি থেকে লাভ করতে না পারে। এটিকে একটি জোট সাবগেম-নিখুঁত ভারসাম্য বলা হয় যদি কোনও জোট কোনও ইতিহাসের পরে বিচ্যুতি থেকে লাভ করতে না পারে। অর্থের সীমার মানদণ্ডের সাথে, জোট-নাশ-ভারসাম্য বা জোট-সাবগেম-নিখুঁত-ভারসাম্যে একটি পেঅফ প্রোফাইল অর্জনযোগ্য, যদি-এবং-শুধুমাত্র-যদি এটি পারেটো দক্ষ এবং দুর্বল-সমন্বয়-ব্যক্তিগতভাবে-যুক্তিসঙ্গত হয়। ওভারটেকিং কিছু লেখক দাবি করেন যে সীমাবদ্ধতার মানদণ্ডটি অবাস্তব, কারণ এটি বোঝায় যে কোনও সীমাবদ্ধ সময়সীমার উপযোগিতাগুলি মোট উপযোগিতায় 0 অবদান রাখে। যাইহোক, যদি কোনও সীমাবদ্ধ সময়সীমার উপযোগিতাগুলি একটি ধনাত্মক মান প্রদান করে এবং মানটি হিসাব বহির্ভূত হয়, তবে একটি অসীম ফলাফল ক্রমের জন্য একটি সীমাবদ্ধ সংখ্যাসূচক উপযোগিতাকে দায়ী করা অসম্ভব। এই সমস্যার একটি সম্ভাব্য সমাধান হল, প্রতিটি অসীম ফলাফল ক্রমের জন্য একটি সংখ্যাসূচক উপযোগিতা সংজ্ঞায়িত করার পরিবর্তে, আমরা কেবল দুটি অসীম ক্রমের মধ্যে পছন্দের সম্পর্ককে সংজ্ঞায়িত করি। আমরা বলি যে প্রতিনিধি (কঠোরভাবে) অনুক্রমের উপর ফলাফলের ক্রম পছন্দ করে, যদিঃ উদাহরণস্বরূপ, ক্রম এবং বিবেচনা করুন। সীমাবদ্ধতার মানদণ্ড অনুসারে, তারা প্লেয়ার আই-কে একই উপযোগিতা প্রদান করে, তবে ওভারটেকিং মানদণ্ড অনুসারে, প্লেয়ার আই-এর চেয়ে ভাল। আরও তথ্যের জন্য ওভারটেকিং মানদণ্ড দেখুন। ওভারটেকিং মানদণ্ড সহ লোক উপপাদ্যগুলি সীমাবদ্ধতার মানদণ্ডের তুলনায় কিছুটা দুর্বল। কেবলমাত্র ব্যক্তিগতভাবে কঠোরভাবে যুক্তিসঙ্গত ফলাফলই ন্যাশ ভারসাম্যে অর্জন করা যেতে পারে। এর কারণ হল, যদি কোনও প্রতিনিধি বিচ্যুত হয়, তবে সে স্বল্প সময়ের মধ্যে লাভবান হয় এবং এই লাভ কেবল তখনই মুছে ফেলা যেতে পারে যদি শাস্তি বিচ্যুতকারীকে চুক্তির পথের তুলনায় কঠোরভাবে কম উপযোগিতা দেয়। নিম্নলিখিত লোক উপপাদ্যগুলি ওভারটেকিং মানদণ্ডের জন্য পরিচিতঃ কঠোর স্থির ভারসাম্যঃ একটি ন্যাশ ভারসাম্যকে কঠোর বলা হয় যদি প্রতিটি খেলোয়াড় ভারসাম্যে প্রাপ্ত ফলাফলের অসীম ক্রমকে কঠোরভাবে পছন্দ করে, অন্য যে কোনও ক্রমের তুলনায় যা সে বিচ্যুত করতে পারে। একটি ন্যাশ ভারসাম্যকে স্থির বলা হয় যদি প্রতিটি সময়কালে ফলাফল একই হয়। কঠোর-স্থির-ভারসাম্যে একটি ফলাফল অর্জনযোগ্য যদি-এবং-শুধুমাত্র-প্রতিটি খেলোয়াড়ের জন্য ফলাফল খেলোয়াড়ের মিনিম্যাক্স ফলাফলের চেয়ে কঠোরভাবে ভাল হয়। কঠোর স্থির সাবগেম-পারফেক্ট ইকুইলিব্রিয়াঃ কঠোর-স্থির-সাবগেম-পারফেক্ট-ইকুইলিব্রিয়ামে একটি ফলাফল অর্জনযোগ্য, যদি প্রতিটি খেলোয়াড়ের জন্য ফলাফল খেলোয়াড়ের মিনিম্যাক্স ফলাফলের চেয়ে কঠোরভাবে ভাল হয় (মনে রাখবেন যে এটি "যদি-এবং-শুধুমাত্র-যদি" ফলাফল নয়)। ওভারটেকিং মানদণ্ডের সাথে সাবগেম-নিখুঁত ভারসাম্য অর্জনের জন্য, কেবল চুক্তির পথ থেকে বিচ্যুত খেলোয়াড়কেই নয়, বিচ্যুত খেলোয়াড়কে শাস্তি দিতে সহযোগিতা না করা প্রত্যেক খেলোয়াড়কেও শাস্তি দিতে হবে। "স্থির ভারসাম্য" ধারণাকে একটি "পর্যায়ক্রমিক ভারসাম্য"-তে সাধারণীকরণ করা যেতে পারে, যেখানে পর্যায়ক্রমে সীমিত সংখ্যক ফলাফল পুনরাবৃত্তি করা হয় এবং একটি সময়ের মধ্যে পরিশোধ হল ফলাফলের পরিশোধের গাণিতিক গড়। তার মানে পরিশোধ মিনিম্যাক্স পরিশোধের উপরে কঠোরভাবে হওয়া উচিত। কঠোর স্থির জোট ভারসাম্যঃ অগ্রগামী মানদণ্ডের সাথে, যদি জোট-নাশ-ভারসাম্যে কোনও ফলাফল অর্জনযোগ্য হয়, তবে এটি পারেটো দক্ষ এবং দুর্বল-সমন্বয়-ব্যক্তিগতভাবে-যুক্তিসঙ্গত। অন্যদিকে, যদি এটি পারেটো দক্ষ এবং দৃঢ়-সমন্বয়-ব্যক্তিগত-যুক্তিসঙ্গত হয় তবে এটি কঠোর-স্থির-সমন্বয়-ভারসাম্যে অর্জন করা যেতে পারে। ছাড় সহ অসীম পুনরাবৃত্ত খেলা ধরে নিন যে একটি অসীম পুনরাবৃত্ত খেলায় একজন খেলোয়াড়ের বেতন ছাড় ফ্যাক্টর 0 <δ <1 সহ গড় ছাড়ের মানদণ্ড দ্বারা দেওয়া হয়ঃ ছাড় ফ্যাক্টর নির্দেশ করে যে খেলোয়াড়রা কতটা ধৈর্যশীল। ফ্যাক্টরটি চালু করা হয় যাতে কখন পরিশোধ সীমাবদ্ধ থাকে। এই ক্ষেত্রে লোক উপপাদ্যের প্রয়োজন যে পুনরাবৃত্ত গেমের পে-অফ প্রোফাইলটি মিনম্যাক্স পে-অফ প্রোফাইলে কঠোরভাবে আধিপত্য বিস্তার করে (অর্থাৎ, প্রতিটি খেলোয়াড় মিনম্যাক্স পে-অফের চেয়ে কঠোরভাবে বেশি পায়)। পেঅফ প্রোফাইল ইউ সহ স্টেজ গেমের একটি কৌশলগত প্রোফাইল হতে দিন যা মিনম্যাক্স পেঅফ প্রোফাইলে কঠোরভাবে আধিপত্য বিস্তার করে। কেউ ইউ-এর সাথে খেলার একটি ন্যাশ ভারসাম্যকে নিম্নলিখিত হিসাবে সংজ্ঞায়িত করতে পারে যার ফলস্বরূপ পে-অফ প্রোফাইলঃ সমস্ত খেলোয়াড় 'এ' দিয়ে শুরু করে এবং কোনও বিচ্যুতি না ঘটলে 'এ' খেলতে থাকে। 2. যদি কোনও খেলোয়াড়, যেমন প্লেয়ার আই, বিচ্যুত হয়, কৌশল প্রোফাইল এম খেলেন যা আমি চিরকালের জন্য মিনম্যাক্স করে। 3. বহুপাক্ষিক বিচ্যুতি উপেক্ষা করুন। যদি খেলোয়াড় আই প্রতিটি পর্যায়ে 1 অনুসরণ করে তার মিনিম্যাক্স পরিশোধের চেয়ে বেশি পায়, তবে শাস্তি থেকে সম্ভাব্য ক্ষতি হল যদি δ 1-এর কাছাকাছি হয়, তবে এটি যে কোনও সীমাবদ্ধ এক-পর্যায়ের লাভকে ছাড়িয়ে যায়, যা কৌশলটিকে একটি ন্যাশ ভারসাম্য তৈরি করে। এই লোক উপপাদ্যের একটি বিকল্প বিবৃতি ভারসাম্য পরিশোধ প্রোফাইলকে যে কোনও স্বতন্ত্রভাবে যুক্তিসঙ্গত সম্ভাব্য পরিশোধ প্রোফাইল হতে দেয়; এর জন্য কেবলমাত্র একটি স্বতন্ত্রভাবে যুক্তিসঙ্গত সম্ভাব্য পরিশোধ প্রোফাইলের অস্তিত্ব থাকা প্রয়োজন যা মিনম্যাক্স পরিশোধ প্রোফাইলকে কঠোরভাবে প্রভাবিত করে। তারপর, লোক উপপাদ্যটি নিশ্চয়তা দেয় যে কোনও কাঙ্ক্ষিত নির্ভুলতার সাথে ভারসাম্যে u-এর কাছে যাওয়া সম্ভব (প্রতিটি ε-এর জন্য একটি ন্যাশ ভারসাম্য বিদ্যমান যেখানে পে-অফ প্রোফাইলটি u থেকে ε দূরে থাকে)। সাবগেমের নিখুঁততা ডিসকাউন্টেড গেমগুলির তুলনায় ডিসকাউন্টেড গেমগুলিতে একটি সাবগেমের নিখুঁত ভারসাম্য অর্জন করা আরও কঠিন। শাস্তির মূল্য হ্রাস পায় না (সীমাবদ্ধতার মানদণ্ডের সাথে)। অ-দণ্ডদাতাদের অবিরাম শাস্তি দেওয়া সবসময় সম্ভব নয় (ওভারটেকিং মানদণ্ডের মতো) কারণ ছাড়ের বিষয়টি ভবিষ্যতে শাস্তিকে বর্তমানের জন্য অপ্রাসঙ্গিক করে তোলে। অতএব, একটি ভিন্ন পদ্ধতির প্রয়োজনঃ শাস্তিদাতাদের পুরস্কৃত করা উচিত। এর জন্য একটি অতিরিক্ত অনুমান প্রয়োজন, যে সম্ভাব্য পরিশোধ প্রোফাইলগুলির সেটটি পূর্ণ মাত্রিক এবং মিনি-ম্যাক্স প্রোফাইলটি এর অভ্যন্তরে অবস্থিত। কৌশলটি নিম্নরূপ। 1টি। সমস্ত খেলোয়াড় 'এ' দিয়ে শুরু করে এবং কোনও বিচ্যুতি না ঘটলে 'এ' খেলতে থাকে। 2. যদি কোনও খেলোয়াড়, যেমন প্লেয়ার আই, বিচ্যুত হয়, কৌশল প্রোফাইল এম খেলেন যা এন পিরিয়ডের জন্য মিনিম্যাক্স করে। (এন এবং δ যথেষ্ট বড় বেছে নিন যাতে কোনও খেলোয়াড়ের প্রথম পর্যায় থেকে বিচ্যুত হওয়ার প্রেরণা না থাকে।) 3. যদি কোনও খেলোয়াড় দ্বিতীয় পর্যায় থেকে বিচ্যুত না হয়, তবে সমস্ত খেলোয়াড় জে  ঒ত্ত আই চিরকালের জন্য জে মিন-ম্যাক্সের উপরে ε পুরস্কৃত হয়, যখন খেলোয়াড় আই তার মিন-ম্যাক্স পেতে থাকে। (এখানে পূর্ণ-মাত্রিকতা এবং অভ্যন্তরীণ অনুমান প্রয়োজন।) 4. যদি খেলোয়াড় জে দ্বিতীয় পর্যায় থেকে বিচ্যুত হয়, তবে সমস্ত খেলোয়াড় জে-কে লক্ষ্য হিসাবে নিয়ে দ্বিতীয় পর্যায়টি পুনরায় শুরু করে। 5টি। বহুপাক্ষিক বিচ্যুতি উপেক্ষা করুন। খেলোয়াড় জে. আই. ভি. আই-এর এখন শাস্তির দ্বিতীয় পর্যায় থেকে বিচ্যুত হওয়ার কোনও উৎসাহ নেই। এটি সাবগেম নিখুঁত লোক উপপাদ্য প্রমাণ করে। ছাড় ছাড়াই সীমিতভাবে পুনরাবৃত্ত গেমগুলি ধরে নিন যে টি বার পুনরাবৃত্তি করা একটি খেলায় খেলোয়াড় আই-এর বেতন একটি সহজ গাণিতিক গড় দ্বারা দেওয়া হয়ঃ এই ক্ষেত্রে একটি লোক উপপাদ্যের নিম্নলিখিত অতিরিক্ত প্রয়োজনীয়তা রয়েছেঃ মৌলিক খেলায়, প্রতিটি খেলোয়াড় আই-এর জন্য, একটি ন্যাশ-ভারসাম্য রয়েছে যা তার মিনিম্যাক্স পরিশোধের চেয়ে আই-এর জন্য কঠোরভাবে ভাল। এই প্রয়োজনীয়তা ছাড়যুক্ত অসীম গেমের প্রয়োজনের চেয়ে শক্তিশালী, যা অগণিত অসীম গেমের প্রয়োজনের চেয়ে শক্তিশালী। শেষ ধাপের কারণে এই প্রয়োজনীয়তা প্রয়োজন। শেষ ধাপে, একমাত্র স্থিতিশীল ফলাফল হল মৌলিক খেলায় একটি ন্যাশ-ভারসাম্য। ধরুন একজন খেলোয়াড় আমি ন্যাশ ভারসাম্য থেকে কিছুই পাই না (যেহেতু এটি তাকে কেবল তার ন্যূনতম বেতন দেয়)। তারপর, সেই খেলোয়াড়কে শাস্তি দেওয়ার কোনও উপায় নেই। অন্যদিকে, যদি প্রতিটি খেলোয়াড়ের জন্য একটি মৌলিক ভারসাম্য থাকে যা মিনম্যাক্সের তুলনায় কঠোরভাবে ভাল হয়, তবে একটি পুনরাবৃত্ত-খেলার ভারসাম্য দুটি পর্যায়ে তৈরি করা যেতে পারেঃ প্রথম পর্যায়ে, খেলোয়াড়রা কাঙ্ক্ষিত বেতন প্রোফাইলের আনুমানিক অনুমান করার জন্য প্রয়োজনীয় ফ্রিকোয়েন্সিতে কৌশলগুলি পরিবর্তন করে। শেষ পর্যায়ে, খেলোয়াড়রা পালাক্রমে প্রতিটি খেলোয়াড়ের পছন্দের ভারসাম্য বজায় রাখে। শেষ পর্যায়ে, কোনও খেলোয়াড় বিচ্যুত হয় না কারণ ক্রিয়াগুলি ইতিমধ্যে একটি মৌলিক-খেলার ভারসাম্য। যদি কোনও এজেন্ট প্রথম পর্যায়ে বিচ্যুত হয়, তবে তাকে শেষ পর্যায়ে মিনম্যাক্সিং করে শাস্তি দেওয়া যেতে পারে। যদি খেলাটি যথেষ্ট দীর্ঘ হয়, তবে শেষ পর্যায়ের প্রভাব নগণ্য, তাই ভারসাম্য পরিশোধ কাঙ্ক্ষিত প্রোফাইলের কাছে পৌঁছায়। প্রয়োগ লোক উপপাদ্য বিভিন্ন ক্ষেত্রে প্রয়োগ করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপঃ নৃতত্ত্বঃ এমন একটি সম্প্রদায় যেখানে সমস্ত আচরণ সুপরিচিত, এবং যেখানে সম্প্রদায়ের সদস্যরা জানেন যে তাদের একে অপরের সাথে মোকাবিলা করতে হবে, তারপরে আচরণের যে কোনও ধরণ (ঐতিহ্য, নিষিদ্ধ ইত্যাদি)। সামাজিক নিয়ম দ্বারা বজায় রাখা যেতে পারে যতক্ষণ না সম্প্রদায়ের ব্যক্তিরা সম্প্রদায় ছেড়ে যাওয়ার চেয়ে সম্প্রদায়ের মধ্যে থাকা ভাল (মিনিম্যাক্স শর্ত)। আন্তর্জাতিক রাজনীতিঃ দেশগুলির মধ্যে চুক্তিগুলি কার্যকরভাবে প্রয়োগ করা যায় না। তবে এগুলি রাখা হয় কারণ দেশগুলির মধ্যে সম্পর্ক দীর্ঘমেয়াদী এবং দেশগুলি একে অপরের বিরুদ্ধে "মিনিম্যাক্স কৌশল" ব্যবহার করতে পারে। এই সম্ভাবনা প্রায়শই সংশ্লিষ্ট দেশগুলির ছাড়ের বিষয়ের উপর নির্ভর করে। যদি কোনও দেশ খুব অধৈর্য হয় (ভবিষ্যতের ফলাফলের প্রতি খুব কম মনোযোগ দেয়), তাহলে তাকে শাস্তি দেওয়া (বা বিশ্বাসযোগ্য উপায়ে শাস্তি দেওয়া) কঠিন হতে পারে। অন্যদিকে, এমআইটি অর্থনীতিবিদ ফ্রাঙ্কলিন ফিশার উল্লেখ করেছেন যে লোক উপপাদ্যটি কোনও ইতিবাচক তত্ত্ব নয়। উদাহরণস্বরূপ, অলিগোপলি আচরণ বিবেচনা করার সময়, লোক উপপাদ্য অর্থনীতিবিদকে বলে না যে সংস্থাগুলি কী করবে, বরং অলিগোপলির সাধারণ তত্ত্বের জন্য ব্যয় এবং চাহিদার কার্যকারিতা যথেষ্ট নয় এবং অর্থনীতিবিদদের অবশ্যই সেই প্রসঙ্গটি অন্তর্ভুক্ত করতে হবে যার মধ্যে অলিগোপলিগুলি তাদের তত্ত্বে কাজ করে। 2007 সালে, বোর্গস এবং অন্যান্যরা। লোক উপপাদ্য সত্ত্বেও, সাধারণ ক্ষেত্রে পুনরাবৃত্ত গেমগুলির জন্য ন্যাশ ইকুইলিব্রিয়া গণনা করা এক-শট সীমাবদ্ধ গেমগুলির জন্য ন্যাশ ইকুইলিব্রিয়া গণনা করার চেয়ে সহজ নয়, এটি একটি সমস্যা যা পিপিএডি জটিলতা শ্রেণীর মধ্যে রয়েছে। এর ব্যবহারিক পরিণতি হল যে কোনও দক্ষ (পলিনোমিয়াল-টাইম) অ্যালগরিদম জানা যায় না যা সাধারণ ক্ষেত্রে লোক উপপাদ্য দ্বারা প্রয়োজনীয় কৌশলগুলি গণনা করে। লোক উপপাদ্যের সারসংক্ষেপ নিম্নলিখিত টেবিলটি বিভিন্ন দিক থেকে বিভিন্ন লোক উপপাদ্যের তুলনা করেঃ দিগন্ত-মঞ্চের খেলাটি সীমিতভাবে বা অসীমভাবে বহুবার পুনরাবৃত্তি করা হয় কিনা। উপযোগিতাগুলি-পুনরাবৃত্ত খেলায় একজন খেলোয়াড়ের উপযোগিতা কীভাবে মঞ্চ খেলার পুনরাবৃত্তিতে খেলোয়াড়ের উপযোগিতা থেকে নির্ধারিত হয়। জি (স্টেজ গেম)-এর শর্তাবলী-উপপাদ্যটি কাজ করার জন্য ওয়ান-শট গেমে কোনও প্রযুক্তিগত শর্ত থাকা উচিত কিনা। x-এর শর্তাবলী (পুনরাবৃত্ত খেলার লক্ষ্য পরিশোধ ভেক্টর)-উপপাদ্যটি কোনও পৃথকভাবে যুক্তিসঙ্গত এবং সম্ভাব্য পরিশোধ ভেক্টরের জন্য কাজ করে কিনা, বা শুধুমাত্র এই ভেক্টরগুলির একটি উপসেটে কাজ করে কিনা। ভারসাম্য প্রকার-যদি সমস্ত শর্ত পূরণ করা হয়, তবে উপপাদ্য দ্বারা কোন ধরনের ভারসাম্য নিশ্চিত করা হয়-ন্যাশ বা সাবগেম-পারফেক্ট? শাস্তির ধরণ-খেলোয়াড়দের বিচ্যুতি থেকে বিরত রাখতে কী ধরনের শাস্তির কৌশল ব্যবহার করা হয়? নোটস রেফারেন্স লোক উপপাদ্যের প্রারম্ভিক নোটের একটি সেট। খেলা তত্ত্ব ভারসাম্য ধারণা উপপাদ্য