Jacobi sum
গণিতে জ্যাকোবি যোগফল হল এক ধরনের অক্ষর যোগফল যা ডিরিচলেট অক্ষর দিয়ে গঠিত হয়। সহজ উদাহরণগুলি হল ডিরিচলেট অক্ষর χ-এর জন্য জ্যাকোবি যোগফল J (χ, si), একটি মৌলিক সংখ্যা p-এর জন্য si মডুলো, যেখানে সমস্ত অবশিষ্টাংশের উপর যোগফল চলে (যার জন্য a বা 0 নয়)। জ্যাকোবি যোগফল হল বিটা ফাংশনের সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের সমতুল্য। উনিশ শতকের গোড়ার দিকে সি. জি. জে. জ্যাকোবি সাইক্লোটমির তত্ত্বের সাথে সম্পর্কিত এই ধরনের অঙ্কগুলি প্রবর্তন করেছিলেন। জ্যাকোবি যোগফল J-কে সাধারণভাবে গাউস যোগফল g-এর শক্তির গুণফলের মধ্যে ফ্যাক্টর করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, যখন χsi অক্ষরটি অ-তুচ্ছ হয়, গামা ফাংশনের পরিপ্রেক্ষিতে বিটা ফাংশনের সূত্রের অনুরূপ। যেহেতু অ-তুচ্ছ গাউস যোগফল g-এর পরম মান p থাকে, তাই এর পরম মান p থাকে যখন χsi, χ, si অক্ষরগুলি অ-তুচ্ছ হয়। জ্যাকোবি যোগফল J ছোট সাইক্লোটোমিক ক্ষেত্রগুলিতে থাকে যা অ-তুচ্ছ গাউস যোগফল g-এর তুলনায়। উদাহরণস্বরূপ এর যোগফলগুলিতে ঐক্যের কোনও pth মূল জড়িত থাকে না, বরং কেবলমাত্র মানগুলি জড়িত থাকে যা ঐক্যের মূলের সাইক্লোটোমিক ক্ষেত্রে থাকে। গাউসের যোগফলের মতো, জ্যাকোবি যোগফলগুলি তাদের সাইক্লোটোমিক ক্ষেত্রগুলিতে মৌলিক আদর্শ উৎপাদক হিসাবে পরিচিত; স্টিকলবার্গারের উপপাদ্য দেখুন। যখন χ হল কিংবদন্তী প্রতীক, তখন সাধারণভাবে জ্যাকোবি যোগফলের মানগুলি তির্যক রূপগুলির স্থানীয় জিটা-ফাংশনের সাথে সম্পর্কিত হয়। লেজেন্ড্রে প্রতীকের ফলাফলটি একটি শঙ্কু বিভাগের পয়েন্টের সংখ্যার সূত্রের সমান যা পি উপাদানগুলির ক্ষেত্রের উপর একটি প্রজেক্টিভ লাইন। 1949 সাল থেকে আন্দ্রে ওয়েইলের একটি গবেষণাপত্র বিষয়টিকে খুব পুনরুজ্জীবিত করেছিল। প্রকৃতপক্ষে, 20 শতকের শেষের দিকে হাসসে-ডেভেনপোর্ট সম্পর্কের মাধ্যমে, গাউসের সম্পদের ক্ষমতার আনুষ্ঠানিক বৈশিষ্ট্যগুলি আরও একবার বর্তমান হয়ে উঠেছিল। সাধারণ জ্যাকোবি যোগফলের মাধ্যমে তির্যক অতিপৃষ্ঠের জন্য স্থানীয় জিটা-ফাংশন লেখার সম্ভাবনা নির্দেশ করার পাশাপাশি, ওয়েইল (1952) জ্যাকোবি যোগফলের বৈশিষ্ট্যগুলি হেক অক্ষর হিসাবে প্রদর্শন করেছিলেন। আবেলিয়ান জাতের জটিল গুণন প্রতিষ্ঠিত হওয়ার পরে এটি গুরুত্বপূর্ণ হয়ে ওঠে। উদাহরণস্বরূপ, ফার্মাট বক্ররেখার হাস-ওয়েইল এল-ফাংশনগুলি প্রকাশ করার জন্য প্রশ্নযুক্ত হেক অক্ষরগুলি ঠিক সেগুলিই ছিল। এই চরিত্রগুলির সঠিক পরিচালক, একটি প্রশ্ন যা ওয়েইল খোলা রেখেছিলেন, পরবর্তী কাজগুলিতে নির্ধারিত হয়েছিল। তথ্যসূত্র সাইক্লোটোমিক ক্ষেত্র