Opposite ring
গণিতে, বিশেষত বিমূর্ত বীজগণিতে, একটি বলয়ের বিপরীত হল একই উপাদান এবং সংযোজন ক্রিয়া সহ আরেকটি বলয়, তবে বিপরীত ক্রমে গুণন সহ। আরও স্পষ্টভাবে বলতে গেলে, একটি বলয়ের বিপরীত হল সেই বলয় যার গুণন r-এ সমস্তের জন্য দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়। বিপরীত বলয়টি মাল্টিমডিউল সংজ্ঞায়িত করতে ব্যবহার করা যেতে পারে, যা দ্বি-মডুলের একটি সাধারণীকরণ। তারা বাম এবং ডান মডিউলগুলির মধ্যে সম্পর্ক স্পষ্ট করতেও সহায়তা করে (দেখুন)। মনোয়েড, গ্রুপ, রিং এবং অ্যালজেব্রা সকলকে একটি একক বস্তুর সাথে বিভাগ হিসাবে দেখা যেতে পারে। বিপরীত বিভাগের গঠন বিপরীত গোষ্ঠী, বিপরীত বলয় ইত্যাদি সাধারণীকরণ করে। অটোমরফিজম এবং অ্যান্টিঅটোমর্ফিজমের সাথে সম্পর্ক এই বিভাগে বিপরীত বলয়ের গুণনের প্রতীকটি তারকাচিহ্ন থেকে হীরে পরিবর্তিত হয়, যাতে কিছু ইউনারি ক্রিয়াকলাপের সাথে বিভ্রান্তি এড়ানো যায়। সমতুল্য বিপরীত বলয়ের একটি বলয়কে স্ব-বিপরীত বলয় বলা হয়, যা নাম নির্দেশ করে যে এটি মূলত সমতুল্য বলয়ের সমান। সমস্ত বিনিময়যোগ্য বলয় স্ব-বিপরীতমুখী। আসুন অ্যান্টিসোমোর্ফিজমকে সংজ্ঞায়িত করি, কোথায়। যেহেতু এটি প্রকৃতপক্ষে একটি অ্যান্টিআইসোমরফিজম। অ্যান্টিআইসোমরফিজমকে সাধারণত সেমিগ্রুপ, মনোয়েড, গ্রুপ, রিং, আরএনজি, অ্যালজেব্রার জন্য সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। রিং (এবং rngs)-এর ক্ষেত্রে আমরা সাধারণ সমতুল্যতা পাই। একটি বলয় স্ব-বিপরীত হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি এটির কমপক্ষে একটি অ্যান্টিঅটোমর্ফিজম থাকে। প্রমাণঃ আত্ম-বিরোধী হোন। যদি এটি একটি আইসোমরফিজম হয়, তবে, অ্যান্টিআইসোমরফিজম এবং আইসোমরফিজমের একটি সংমিশ্রণ হওয়ায় এটি নিজেই একটি অ্যান্টিআইসোমরফিজম, তাই অ্যান্টিইউটোমরফিজম। : যদি একটি অ্যান্টি-অটোমর্ফিজম হয়, তবে দুটি অ্যান্টি-আইসোমর্ফিজমের সংমিশ্রণ হিসাবে এটি একটি আইসোমর্ফিজম। তাই স্ববিরোধীও বটে। এবং যদি স্ব-বিপরীত হয় এবং অটোমরফিজমের গ্রুপটি সীমাবদ্ধ হয়, তবে অ্যান্টিঅটোমর্ফিজমের সংখ্যা অটোমরফিজমের সংখ্যার সমান। প্রমাণঃ অনুমান এবং উপরের সমতুল্যতা দ্বারা অ্যান্টিঅটোমর্ফিজম বিদ্যমান। যদি আমরা তাদের মধ্যে একটি বেছে নিই এবং এটি দ্বারা চিহ্নিত করি, তবে মানচিত্রটি, যেখানে এটি অতিক্রম করে যায়, স্পষ্টভাবে ইনজেকটিভ তবে সার্জেক্টিভও হয়, কারণ কিছু অটোমরফিজমের জন্য প্রতিটি অ্যান্টিঅটোমর্ফিজম। এটি একইভাবে প্রমাণ করা যেতে পারে, যে একই অনুমানের অধীনে আইসোমরফিজমের সংখ্যা থেকে এর অ্যান্টিঅটোমরফিজমের সংখ্যার সমান। যদি কিছু অ্যান্টিঅটোমর্ফিজমও একটি অটোমরফিজম হয়, তবে প্রত্যেকের জন্য যেহেতু বাইজেক্টিভ, এবং তাই রিংটি বিনিময়যোগ্য এবং সমস্ত অ্যান্টিঅটোমর্ফিজমগুলি অটোমরফিজম। কন্ট্রাপোজিশনের মাধ্যমে, যদি একটি বলয় অপরিবর্তনীয় (এবং স্ব-বিপরীত) হয়, তবে কোনও অ্যান্টিঅটোমর্ফিজম একটি অটোমরফিজম নয়। সমস্ত অ্যান্টিঅটোমর্ফিজমের সাথে সমস্ত অটোমর্ফিজমের গ্রুপ দ্বারা চিহ্নিত করুন। উপরের মন্তব্যগুলি বোঝায় যে, যদি একটি রিং (বা আর. এন. জি) অ-বিনিময়যোগ্য এবং স্ব-বিপরীত হয়। যদি এটি বিনিময়যোগ্য বা অ-স্ব-বিপরীত হয়, তাহলে। উদাহরণস্বরূপ, একক সহ ক্ষুদ্রতম বিনিময়হীন বলয় এই ধরনের ক্ষুদ্রতম বলয়ের আটটি উপাদান রয়েছে এবং এটি আইসোমরফিজম পর্যন্ত 8 ক্রমের ঐক্য সহ 11টি বলয়ের মধ্যে একমাত্র বিনিময়হীন বলয়। এটিতে অ্যাডিটিভ গ্রুপ রয়েছে। স্পষ্টতই এটি অ্যান্টিসোমোর্ফিক, যেমন সবসময় হয়, তবে এটি আইসোমোর্ফিকও হয়। নীচে বিপরীত রিংয়ে যোগ এবং গুণ এবং গুণের টেবিল রয়েছে, যা একটি ট্রান্সপোজড টেবিল। দুটি বলয় সমরূপ বলে প্রমাণ করার জন্য, টেবিল দ্বারা প্রদত্ত একটি মানচিত্র নিন মানচিত্রটি শুধুমাত্র দুটি জোড়ায় উপাদানগুলিকে অদলবদল করেঃ এবং। সেই অনুযায়ী গুণন সারণির উপাদানগুলির নাম পরিবর্তন করুন (যুক্তি এবং মান)। এরপরে, আর্গুমেন্টগুলিকে আরোহী ক্রমে ফিরিয়ে আনতে সারি এবং কলামগুলি পুনর্বিন্যাস করুন। টেবিলটি ঠিক এর গুণন টেবিলে পরিণত হয়। যোগাত্মক গোষ্ঠীর সারণিতে অনুরূপ পরিবর্তনগুলি একই টেবিল দেয়, তাই এই গোষ্ঠীর একটি অটোমরফিজম, এবং যেহেতু, এটি প্রকৃতপক্ষে একটি রিং আইসোমরফিজম। মানচিত্রটি অনৈচ্ছিক, অর্থাৎ। সুতরাং = এবং এটি একটি সমরূপতা থেকে সমানভাবে ভাল। সুতরাং, আইসোমরফিজমকে সংজ্ঞায়িত করার জন্য বিন্যাসকে পুনরায় ব্যাখ্যা করা যেতে পারে এবং তারপরে এটি একই বিন্যাস দ্বারা প্রদত্ত একটি অ্যান্টিঅটোমরফিজম। রিংয়ের ঠিক দুটি অটোমরফিজম রয়েছেঃ পরিচয় এবং, অর্থাৎ। সুতরাং এর পূর্ণ গোষ্ঠীতে চারটি উপাদান রয়েছে যার মধ্যে দুটি অ্যান্টিঅটোমর্ফিজম রয়েছে। একটি হল এবং দ্বিতীয়টি, দ্বারা চিহ্নিত করা যায়, গণনা করা যেতে পারে ক্রম 4-এর কোনও উপাদান নেই, তাই গ্রুপটি চক্রাকার নয় এবং অবশ্যই গ্রুপ (বা ক্লেইন গ্রুপ) হতে হবে, যা গণনা দ্বারা নিশ্চিত করা যেতে পারে। এই বলয়ের "প্রতিসাম্য গোষ্ঠী" আয়তক্ষেত্রের প্রতিসাম্য গোষ্ঠীর সমরূপ। 27টি উপাদান সহ অপরিবর্তনীয় বলয় 3টি উপাদান সহ ক্ষেত্রের উপরের ত্রিভুজাকার 2 x 2 ম্যাট্রিক্সের বলয়ের 27টি উপাদান রয়েছে এবং এটি একটি অপরিবর্তনীয় বলয়। এটি আইসোমরফিজম পর্যন্ত অনন্য, অর্থাৎ, ঐক্য সহ সমস্ত অ-বিনিময়যোগ্য বলয় এবং 27টি উপাদান এটির সমরূপ। "বুক অফ দ্য রিংস"-এ তালিকাভুক্ত বৃহত্তম অ-বিনিময়যোগ্য বলয়ের 27টি উপাদান রয়েছে এবং এটি সমতুল্যও। এই বিভাগে এর উপাদানগুলির জন্য "দ্য বুক" থেকে স্বরলিপি ব্যবহার করা হয়েছে। দুটি বিষয় মনে রাখা উচিতঃ যে উপাদান দ্বারা চিহ্নিত করা হয় তা হল ঐক্য এবং তা হল ঐক্য নয়। এর অ্যাডিটিভ গ্রুপ হল। সমস্ত অটোমরফিজমের গ্রুপে 6টি উপাদান রয়েছেঃ যেহেতু এটি স্ব-বিপরীত, তাই এটির 6টি অ্যান্টিঅটোমরফিজমও রয়েছে। একটি সমরূপতা হল যা নাম পরিবর্তন এবং পুনর্বিন্যাসের মাধ্যমে প্রথম উদাহরণের মতো "দ্য বুক"-এ ক্রিয়াকলাপের টেবিল ব্যবহার করে যাচাই করা যেতে পারে। এবার অপারেশনগুলির মূল সারণিতে পরিবর্তনগুলি করা উচিত। ফলাফল হল এর গুণন সারণী এবং সংযোজন সারণী অপরিবর্তিত থাকে। সুতরাং, একটি অ্যান্টিঅটোমর্ফিজম একই বিন্যাস দ্বারা দেওয়া হয়। অন্য পাঁচটি গণনা করা যেতে পারে (গুণনীয়ক স্বরলিপিতে গঠন প্রতীক বাদ দেওয়া যেতে পারে): গোষ্ঠীতে ক্রম 2-এর 7টি উপাদান রয়েছে (3টি অটোমরফিজম এবং 4টি অ্যান্টিঅটোমর্ফিজম) এবং ডাইহেড্রাল গ্রুপ হিসাবে চিহ্নিত করা যেতে পারে (ছোট গোষ্ঠীর তালিকা দেখুন)। জ্যামিতিক সাদৃশ্যের ক্ষেত্রে বলয়ের 3-অ্যান্টিপ্রিজমের প্রতিসাম্য গোষ্ঠীর সমতুল্য "প্রতিসাম্য গোষ্ঠী" রয়েছে, যা স্কোনফ্লাইস স্বরলিপিতে বা সংক্ষেপে 3-মাত্রিক স্থানের জন্য হারমান-মাগুইন স্বরলিপিতে বিন্দু গোষ্ঠী। ঐক্য সহ ক্ষুদ্রতম অ-স্ব-বিপরীত বলয় 9 থেকে 15 পর্যন্ত ক্রমের ঐক্য সহ সমস্ত বলয় বিনিময়যোগ্য, তাই সেগুলি স্ব-বিপরীত। যে বলয়গুলি স্ব-বিপরীত নয়, সেগুলি 16 ক্রমের বলয়ের মধ্যে প্রথমবার প্রদর্শিত হয়। মোট 50টি বলয়ের মধ্যে 4টি ভিন্ন ভিন্ন অ-স্ব-বিপরীত বলয় রয়েছে যার এককের 16টি উপাদান রয়েছে (37টি বিনিময়যোগ্য এবং 13টি বিনিময়হীন)। এগুলি একটি জোড়ায় একে অপরের বিপরীতে দুটি জোড়া বলয়ে যুক্ত করা যেতে পারে, এবং অপরিহার্যভাবে একই যোগাত্মক গোষ্ঠীর সাথে, যেহেতু বলয়ের একটি অ্যান্টিআইসোমরফিজম তাদের যোগাত্মক গোষ্ঠীর একটি আইসোমরফিজম। এক জোড়া রিং এবং এতে অ্যাডিটিভ গ্রুপ এবং অন্য জোড়া এবং গ্রুপ রয়েছে। তাদের ক্রিয়াকলাপের সারণি এই নিবন্ধে উপস্থাপন করা হয়নি, কারণ তারা উদ্ধৃত উৎসে পাওয়া যাবে, এবং এটি যাচাই করা যেতে পারে যে, তারা বিপরীত, কিন্তু সমরূপ নয়। এই জুটির ক্ষেত্রেও একই কথা প্রযোজ্য এবং যাইহোক, "দ্য বুক অফ দ্য রিংস"-এ তালিকাভুক্ত বলয়টি সমান নয় বরং শুধুমাত্র সমরূপ। অবশিষ্ট 13−4 = 9টি অ-বিনিময়যোগ্য বলয় স্ব-বিপরীতমুখী। দুটি জেনারেটর সহ মুক্ত বীজগণিত জেনারেটর সহ একটি ক্ষেত্রের উপর মুক্ত বীজগণিত শব্দের গুণন থেকে গুণিত হয়। উদাহরণস্বরূপ, তখন বিপরীত বীজগণিতে গুণন দেওয়া হয় যার দ্বারা উপাদানগুলি সমান হয় না। কোয়াটারনিয়ন বীজগণিত একটি ক্ষেত্রের উপর কোয়াটারনিয়ন বীজগণিত হল একটি বিভাজন বীজগণিত যা তিনটি জেনারেটর দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয় এবং সমস্ত উপাদানগুলি একই আকারের হয়, যেখানে উদাহরণস্বরূপ, যদি, তবে এটি সাধারণ কোয়াটারনিয়ন বীজগণিত। যদি এর গুণন নির্দেশ করা হয়, তবে এর গুণন সারণী রয়েছে {। শ্রেণী = "উইকিটেবল" শৈলী = "টেক্সট-সারিবদ্ধকরণঃ কেন্দ্র"। +! ! ! ! ।-! ।।।।-! ।।।।-! ।।। তারপর গুণ সহ বিপরীত বীজগণিতে {। শ্রেণী = "উইকযোগ্য" শৈলী = "পাঠ্য-সারিবদ্ধকরণঃ কেন্দ্র"। + রয়েছে! ! ! ! ।-! ।।।।-! ।।।।-! ।।। বিনিময়যোগ্য বলয় একটি বিনিময়যোগ্য বলয় তার বিপরীত বলয়ের সমতুল্য। তারা সমান, কারণ তাদের ক্রিয়াকলাপ সমান, অর্থাৎ। । বৈশিষ্ট্য দুটি বলয় R1 এবং R2 সমরূপ হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি তাদের সংশ্লিষ্ট বিপরীত বলয়গুলি সমরূপ হয়। একটি বলয়ের বিপরীতটির বিপরীতটি রোপোপ = এর সাথে অভিন্ন। একটি বলয় এবং তার বিপরীত বলয় অ্যান্টি-আইসোমরফিক। একটি বলয় বিনিময়যোগ্য হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি তার ক্রিয়াটি তার বিপরীত ক্রিয়ার সাথে মিলে যায়। একটি বলয়ের বামদিকের আদর্শ হল তার বিপরীত দিকের ডানদিকের আদর্শ। একটি বিভাজন বলয়ের বিপরীত বলয় হল একটি বিভাজন বলয়। একটি রিংয়ের উপর একটি বাম মডিউল তার বিপরীত দিকে একটি ডান মডিউল, এবং তদ্বিপরীত। আরও দেখুন বিপরীত গোষ্ঠী বিপরীত বিভাগ রিং তত্ত্ব