Hilbert class field
বীজগাণিতিক সংখ্যা তত্ত্বে, একটি সংখ্যা ক্ষেত্র K-এর হিলবার্ট শ্রেণী ক্ষেত্র E হল K-এর সর্বাধিক আবেলিয়ান আনরামাইফাইড এক্সটেনশন। K-এর উপর এর ডিগ্রি K-এর শ্রেণী সংখ্যার সমান এবং K-এর উপর E-এর গ্যালোইস গ্রুপটি K-এর মৌলিক আদর্শগুলির জন্য ফ্রোবেনিয়াস উপাদানগুলি ব্যবহার করে K-এর আদর্শ শ্রেণী গোষ্ঠীর সমরূপ। এই প্রসঙ্গে, K-এর হিলবার্ট শ্রেণী ক্ষেত্রটি কেবল সীমাবদ্ধ স্থানে (শাস্ত্রীয় আদর্শ তাত্ত্বিক ব্যাখ্যা) আনরামাইফাইড নয়, K-এর অসীম স্থানেও রয়েছে। অর্থাৎ, K-এর প্রতিটি বাস্তব এম্বেডিং E-এর একটি বাস্তব এম্বেডিং (E-এর জটিল এম্বেডিংয়ের পরিবর্তে) পর্যন্ত প্রসারিত। উদাহরণস্বরূপ, যদি K-এর পূর্ণসংখ্যার বলয়টি একটি অনন্য ফ্যাক্টরাইজেশন ক্ষেত্র হয়, বিশেষ করে যদি K তার নিজস্ব হিলবার্ট শ্রেণী ক্ষেত্র হয়। বৈষম্যমূলক হতে দিন। ক্ষেত্রটিতে বৈষম্য রয়েছে এবং তাই এটি সর্বত্র K-এর একটি অপ্রচলিত সম্প্রসারণ, এবং এটি আবেলিয়ান। মিনকোভস্কি বাউন্ড ব্যবহার করে, কেউ দেখাতে পারে যে কে-এর ক্লাস নম্বর 2 রয়েছে। অতএব, এর হিলবার্ট শ্রেণী ক্ষেত্র হল। K-এর একটি অ-প্রধান আদর্শ হল (2, (1 +)/2), এবং L-এ এটি প্রধান আদর্শ ((1 +)/2) হয়ে ওঠে। মাঠটিতে 3 নম্বর শ্রেণী রয়েছে। এর হিলবার্ট শ্রেণী ক্ষেত্রটি x3-x-1 এর একটি মূল সংলগ্ন করে তৈরি করা যেতে পারে, যার ডিস্ক্রিমিন্যান্ট-23 রয়েছে। আর্কিমিডিয়ান মৌলিক সংখ্যার বিন্যাস কেন অবশ্যই বিবেচনায় নিতে হবে তা দেখার জন্য, 3 থেকে Q এর বর্গমূল সংলগ্ন করে প্রাপ্ত প্রকৃত দ্বিঘাত ক্ষেত্র K বিবেচনা করুন। এই ক্ষেত্রের শ্রেণী সংখ্যা 1 এবং বৈষম্যমূলক 12 রয়েছে, তবে বৈষম্যমূলক 9 = 32-এর এক্সটেনশন K (i)/K, K-এর সমস্ত মৌলিক আদর্শগুলিতে আনরেমিফাইড, তাই K 1-এর চেয়ে বড় ডিগ্রির সসীম আবেলিয়ান এক্সটেনশন স্বীকার করে যেখানে K-এর সমস্ত সসীম মৌলিক সংখ্যা আনরেমিফাইড। এটি হিলবার্ট শ্রেণীর ক্ষেত্র K-এর K হওয়ার বিরোধিতা করে নাঃ K-এর প্রতিটি যথাযথ সসীম আবেলিয়ান এক্সটেনশনকে অবশ্যই কোনও না কোনও জায়গায় বিস্তৃত হতে হবে এবং K (i)/K এক্সটেনশনে আর্কিমিডিয়ান জায়গাগুলিতে বিস্তার রয়েছেঃ K-এর প্রকৃত এম্বেডিং K (i)-এর জটিল (বাস্তব নয়) এম্বেডিং পর্যন্ত প্রসারিত। জটিল গুণন তত্ত্ব অনুসারে, একটি কাল্পনিক চতুর্ভুজ ক্ষেত্রের হিলবার্ট শ্রেণীর ক্ষেত্রটি পূর্ণসংখ্যার বলয়ের জন্য একটি জেনারেটরে উপবৃত্তাকার মডুলার ফাংশনের মান দ্বারা উত্পন্ন হয় (একটি জেড-মডিউল হিসাবে)। একটি প্রদত্ত সংখ্যা ক্ষেত্র K-এর জন্য একটি (সংকীর্ণ) হিলবার্ট শ্রেণী ক্ষেত্রের অস্তিত্ব ফিলিপ ফার্টওয়াঙ্গলার দ্বারা অনুমান করা হয়েছিল এবং প্রমাণিত হয়েছিল। হিলবার্ট শ্রেণী ক্ষেত্রের অস্তিত্ব একটি প্রদত্ত ক্ষেত্রের আদর্শ শ্রেণী গোষ্ঠীর কাঠামো অধ্যয়নের একটি মূল্যবান হাতিয়ার। অতিরিক্ত বৈশিষ্ট্য হিলবার্ট শ্রেণী ক্ষেত্র E নিম্নলিখিতগুলিকেও সন্তুষ্ট করেঃ E হল K এবং [E: K] = hK-এর একটি সীমাবদ্ধ গ্যালোইস এক্সটেনশন, যেখানে hK হল K-এর শ্রেণী সংখ্যা। K-এর আদর্শ শ্রেণী গ্রুপটি E-এর গ্যালোইস গ্রুপে K-এর সমতুল্য। OK-এর প্রতিটি আদর্শ রিং এক্সটেনশন OE (প্রধান আদর্শ উপপাদ্য)-এর একটি প্রধান আদর্শ পর্যন্ত প্রসারিত। OK-এর প্রতিটি মৌলিক আদর্শ P OE-তে hK/f মৌলিক আদর্শের গুণফলের মধ্যে বিভাজিত হয়, যেখানে f হল OK-এর আদর্শ শ্রেণী গোষ্ঠীর মধ্যে [P]-এর ক্রম। প্রকৃতপক্ষে, ই হল অনন্য ক্ষেত্র যা প্রথম, দ্বিতীয় এবং চতুর্থ বৈশিষ্ট্যগুলিকে সন্তুষ্ট করে। স্পষ্ট গঠন যদি K কাল্পনিক দ্বিঘাত হয় এবং A একটি উপবৃত্তাকার বক্ররেখা যার K-এর পূর্ণসংখ্যার বলয় দ্বারা জটিল গুণন হয়, তাহলে A থেকে K-এর জে-ইনভ্যারিয়েন্ট সংলগ্ন হলে হিলবার্ট শ্রেণী ক্ষেত্র পাওয়া যায়। শ্রেণী ক্ষেত্র তত্ত্বে, একটি প্রদত্ত মডুলাসের সাপেক্ষে রশ্মি শ্রেণী ক্ষেত্র অধ্যয়ন করা হয়, যা মৌলিক আদর্শের (সম্ভবত, আর্কিমিডিয়ান সহ) একটি আনুষ্ঠানিক গুণফল। রশ্মি শ্রেণী ক্ষেত্র হল ম্যাক্সিমাল আবেলিয়ান এক্সটেনশন যা মডুলাসকে বিভক্ত করে এবং মডুলাসকে বিভক্ত করে মৌলিক সংখ্যায় একটি নির্দিষ্ট র্যামিফিকেশন শর্ত পূরণ করে। হিলবার্ট শ্রেণী ক্ষেত্রটি তখন তুচ্ছ মডুলাস 1-এর সাপেক্ষে রশ্মি শ্রেণী ক্ষেত্র। সংকীর্ণ শ্রেণী ক্ষেত্র হল সমস্ত অসীম মৌলিক সংখ্যা নিয়ে গঠিত মডুলাসের সাপেক্ষে রশ্মি শ্রেণী ক্ষেত্র। উদাহরণস্বরূপ, উপরের যুক্তিটি দেখায় যে এটি এর সংকীর্ণ শ্রেণী ক্ষেত্র। নোটস রেফারেন্স জে. এস. মিল্নে, ক্লাস ফিল্ড থিওরি (কোর্স নোটস http://www.jmilne.org/math এ উপলব্ধ)। নোটগুলির ভূমিকা অধ্যায়টি দেখুন, বিশেষ করে 4 পৃষ্ঠা। শ্রেণীক্ষেত্র তত্ত্ব