Hahn decomposition theorem
গণিতে, অস্ট্রিয়ান গণিতবিদ হ্যান্স হানের নামে নামকরণ করা হান পচন উপপাদ্য বলে যে-বীজগণিতে সংজ্ঞায়িত যে কোনও পরিমাপযোগ্য স্থান এবং যে কোনও স্বাক্ষরিত পরিমাপের জন্য দুটি পরিমাপযোগ্য সেট রয়েছে এবং এর মধ্যেঃ এবং। এই ধরনের প্রত্যেকটির জন্য, একটির, অর্থাৎ, একটি ইতিবাচক সেট রয়েছে। এই ধরনের প্রত্যেকটির জন্য, একটির, অর্থাৎ, একটি নেতিবাচক সেট রয়েছে। উপরন্তু, এই পচন মূলত অনন্য, যার অর্থ হল যে উপরের তিনটি শর্ত পূরণ করার জন্য পরিমাপযোগ্য উপসেটগুলির অন্য যে কোনও জুটির জন্য, প্রতিসম পার্থক্য এবং শূন্য সেটগুলি দৃঢ় অর্থে যে তাদের প্রতিটি পরিমাপযোগ্য উপসেট শূন্য পরিমাপ রয়েছে। এই জুটিকে তখন স্বাক্ষরিত পরিমাপের হান পচন বলা হয়। জর্ডান পরিমাপ পচন হান পচন উপপাদ্যের একটি পরিণতি হল, যা বলে যে সংজ্ঞায়িত প্রতিটি স্বাক্ষরিত পরিমাপের দুটি ধনাত্মক পরিমাপের পার্থক্যের মধ্যে একটি অনন্য পচন রয়েছে এবং যার মধ্যে কমপক্ষে একটি সীমাবদ্ধ, যেমন প্রতিটি-পরিমাপযোগ্য উপসেট এবং প্রতিটি-পরিমাপযোগ্য উপসেটের জন্য, এর যে কোনও হান পচনের জন্য। আমরা যথাক্রমে এর ইতিবাচক এবং নেতিবাচক অংশকে কল করি। এই জুটিকে জর্ডানের পচন (বা কখনও কখনও হান-জর্ডান পচন) বলা হয়। দুটি পরিমাপকে প্রতিটি এবং যে কোনও হান পচন হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। লক্ষ্য করুন যে জর্ডান পচন অনন্য, যদিও হান পচন শুধুমাত্র মূলত অনন্য। জর্ডান পচনের নিম্নলিখিত পরিণতি রয়েছেঃ একটি সীমাবদ্ধ স্বাক্ষরিত পরিমাপের জর্ডান পচনের পরিপ্রেক্ষিতে, যে কোনও একটির জন্য রয়েছে। উপরন্তু, যদি একজোড়া সীমাবদ্ধ অ-নেতিবাচক পরিমাপের জন্য, তবে শেষ অভিব্যক্তিটির অর্থ হল জর্ডান পচন হল অ-নেতিবাচক পরিমাপের পার্থক্যের ন্যূনতম পচন। এটি জর্ডান পচনের ন্যূনতম বৈশিষ্ট্য। জর্ডান পচন প্রমাণঃ জর্ডান পরিমাপের অস্তিত্ব, স্বতন্ত্রতা এবং ন্যূনতমতার প্রাথমিক প্রমাণের জন্য দেখুন ফিশার (2012)। হান পচন উপপাদ্যের প্রমাণ প্রস্তুতিঃ ধরে নিন যে এটি মান গ্রহণ করে না (অন্যথায় অনুসারে পচন)। উপরে উল্লিখিত হিসাবে, একটি ঋণাত্মক সেট এমন একটি সেট যা প্রতিটি পরিমাপযোগ্য উপসেটের জন্য। দাবিঃ ধরুন এটি সন্তোষজনক। তারপরে এমন একটি নেতিবাচক সেট রয়েছে। দাবির প্রমাণঃ সংজ্ঞায়িত করুন। প্ররোচিতভাবে ধরে নিন যে এর জন্য নির্মাণ করা হয়েছে। সমস্ত পরিমাপযোগ্য উপসেটগুলির উপর সর্বোচ্চতা নির্দেশ করা যাক। এই সর্বোচ্চ অগ্রাধিকার অসীম হতে পারে। যেহেতু খালি সেটটি একটি সম্ভাব্য প্রার্থী, এবং হিসাবে, আমাদের আছে। এর সংজ্ঞা অনুসারে, ইন্ডাকশন ধাপটি শেষ করার জন্য একটি-পরিমাপযোগ্য উপসেট রয়েছে যা সেটকে সন্তুষ্ট করে। পরিশেষে, সংজ্ঞায়িত করুন যেহেতু সেটগুলি বিচ্ছিন্ন উপসেট, এটি স্বাক্ষরিত পরিমাপের সিগমা সংযোজন থেকে অনুসরণ করে যা এটি দেখায়। ধরে নিন যে এটি কোনও নেতিবাচক সেট ছিল না। এর মানে হল যে একটি-পরিমাপযোগ্য উপসেট বিদ্যমান থাকবে যা সন্তুষ্ট করে। তারপর প্রত্যেকের জন্য, তাই ডানদিকের সিরিজটি আলাদা করতে হবে, যা বোঝায় যে, যা একটি দ্বন্দ্ব, যেহেতু। অতএব, অবশ্যই একটি নেতিবাচক সেট হতে হবে। পচনের গঠনঃ সেট করুন। স্বতঃস্ফূর্তভাবে, প্রদত্ত, এর সমস্ত-পরিমাপযোগ্য উপসেটগুলির অসীম হিসাবে সংজ্ঞায়িত করুন। এই অসীম একটি অগ্রাধিকার হতে পারে। যেমন একটি সম্ভাব্য প্রার্থী হিসাবে, এবং হিসাবে, আমাদের আছে। অতএব, একটি পরিমাপযোগ্য উপসেট রয়েছে যাতে উপরের দাবি অনুসারে, একটি নেতিবাচক সেট রয়েছে। ইন্ডাকশন ধাপ শেষ করার জন্য সেট করুন। পরিশেষে, সংজ্ঞায়িত করুন যেহেতু সেটগুলি বিচ্ছিন্ন, আমাদের কাছে প্রতিটি পরিমাপযোগ্য উপসেট রয়েছে যা এর সিগমা সংযোজন দ্বারা। বিশেষ করে, এটি দেখায় যে এটি একটি নেতিবাচক সেট। এরপর, সংজ্ঞায়িত করুন। যদি একটি ধনাত্মক সেট না থাকত, তবে এর সঙ্গে একটি-পরিমাপযোগ্য উপসেট থাকত। তারপর সকলের জন্য এবং যা অনুমোদিত নয়। অতএব, এটি একটি ইতিবাচক সেট। অনন্যতার বিবৃতির প্রমাণঃ ধরুন এটি আরেকটি হানের পচন। তারপর একটি ধনাত্মক সেট এবং একটি ঋণাত্মক সেট। অতএব, এর প্রতিটি পরিমাপযোগ্য উপসেটের পরিমাপ শূন্য। সম্পর্কেও একই কথা প্রযোজ্য। যেহেতু এটি প্রমাণ সম্পূর্ণ করে। কিউ. ই. ডি. তথ্যসূত্রগুলি প্ল্যানেটম্যাথের হান ডিকম্পোসিশন উপপাদ্যকে বাহ্যিক সংযোগ দেয়। পরিমাপ তত্ত্বের উপপাদ্য প্রমাণ সম্বলিত নিবন্ধ