Kuiper's theorem
গণিতে, কুইপারের উপপাদ্য (নিকোলাস কুইপারের পরে) একটি অসীম-মাত্রিক, জটিল হিলবার্ট স্থান এইচ-এর উপর অপারেটরদের টপোলজির একটি ফলাফল। এটি বলে যে এইচ-এর বিপরীতমুখী সীমাবদ্ধ এন্ডোমর্ফিজমের স্থান জিএল (এইচ) এমন যে কোনও সীমাবদ্ধ জটিল ওয়াই থেকে জিএল (এইচ) পর্যন্ত সমস্ত মানচিত্র একটি ধ্রুবকের সমস্থানিক, অপারেটরদের আদর্শ টপোলজির জন্য। একটি উল্লেখযোগ্য উপপাদ্য, যা কুইপারের উপপাদ্য হিসাবেও উল্লেখ করা হয়, তা হল এই গোষ্ঠীটি দুর্বলভাবে সঙ্কুচিত, অর্থাৎ। এর সমস্ত হোমোটপি গ্রুপগুলি তুচ্ছ। টপোলজিক্যাল কে-থিওরিতে এই ফলাফলের গুরুত্বপূর্ণ ব্যবহার রয়েছে। সাধারণ রৈখিক গোষ্ঠীর সাধারণ টপোলজি সসীম মাত্রিক এইচ-এর জন্য, এই গ্রুপটি একটি জটিল সাধারণ রৈখিক গ্রুপ হবে এবং মোটেও সংকুচিত হবে না। প্রকৃতপক্ষে এটি তার সর্বাধিক সংক্ষিপ্ত উপগোষ্ঠীর সমতুল্য সমস্থানিক, এইচ-এর একক গোষ্ঠী ইউ। জটিল সাধারণ রৈখিক গোষ্ঠী এবং একক গোষ্ঠীর একই সমস্থানিক প্রকারের প্রমাণ হল গ্রাম-শ্মিট প্রক্রিয়া দ্বারা, বা ম্যাট্রিক্স মেরু পচনের মাধ্যমে, এবং পৃথকীকৃত হিলবার্ট স্থানের অসীম-মাত্রিক ক্ষেত্রে বহন করে, মূলত কারণ উপরের ত্রিভুজাকার ম্যাট্রিক্সের স্থানটি সংকুচিত হয় যা বেশ স্পষ্টভাবে দেখা যায়। অন্তর্নিহিত ঘটনাটি হল যে অসীম অনেক মাত্রায় অতিক্রম করার ফলে একক গোষ্ঠীর টপোলজিক্যাল জটিলতা বেশিরভাগই অদৃশ্য হয়ে যায়; তবে বটের একক গোষ্ঠীর বিভাগটি দেখুন, যেখানে অনন্তের পথটি আরও সীমাবদ্ধ এবং ফলস্বরূপ গোষ্ঠীতে অ-তুচ্ছ সমস্থানিক গোষ্ঠী রয়েছে। ঐতিহাসিক প্রেক্ষাপট এবং গোলকের টপোলজি এটি একটি বিস্ময়কর সত্য যে, অসীম-মাত্রিক হিলবার্ট স্পেস এইচ-এ একক গোলক, যাকে কখনও কখনও এস ≤ হিসাবে চিহ্নিত করা হয়, একটি সঙ্কুচিত স্থান, যেখানে কোনও সীমাবদ্ধ-মাত্রিক গোলক সঙ্কুচিত নয়। এই ফলাফল, অবশ্যই কুইপারের কয়েক দশক আগে জানা, গাণিতিক লোককাহিনীর মর্যাদা থাকতে পারে, তবে এটি প্রায়শই উদ্ধৃত করা হয়। প্রকৃতপক্ষে আরও বেশি সত্যঃ S φ হল H-এর সাথে ডিফিয়োমরফিক, যা অবশ্যই তার উত্তলতার দ্বারা সংকুচিত হয়। একটি পরিণতি হল যে এইচ-এ একক বলের সাথে ব্রাউয়ার স্থির-বিন্দু উপপাদ্যের সম্প্রসারণের মসৃণ পাল্টা উদাহরণ রয়েছে। এই ধরনের বিপরীত-উদাহরণগুলির অস্তিত্ব যা সমরূপতা 1943 সালে শিজুও কাকুতানি দ্বারা দেখানো হয়েছিল, যিনি সম্ভবত প্রথম একক গোলকের সংকোচনের প্রমাণ লিখেছিলেন। তবে ফলাফলটি মূলত জানা ছিল (1935 সালে আন্দ্রে নিকোলায়েভিচ টাইচোনোফ দেখিয়েছিলেন যে একক গোলকটি একক বলের একটি প্রত্যাহার ছিল)। ডাচ গণিতবিদ নিকোলাস কুইপার একটি পৃথকযোগ্য হিলবার্ট স্থানের ক্ষেত্রে আবদ্ধ অপারেটরদের গোষ্ঠীর ফলাফল প্রমাণ করেছিলেন; পৃথকীকরণের সীমাবদ্ধতা পরে প্রত্যাহার করা হয়েছিল। একই ফলাফল, তবে আদর্শ টপোলজির পরিবর্তে শক্তিশালী অপারেটর টপোলজির জন্য, 1963 সালে জ্যাক ডিক্সমিয়ার এবং অ্যাড্রিয়েন ডুয়াদি দ্বারা প্রকাশিত হয়েছিল। গোলক এবং অপারেটরদের গোষ্ঠীর জ্যামিতিক সম্পর্ক হল একক গোলকটি একক গোষ্ঠী U-এর জন্য একটি সমজাতীয় স্থান। একক গোলকের একক ভেক্টর v-এর স্থিতিশীল হ 'ল v-এর অর্থোগোনাল পরিপূরকের একক গ্রুপ; অতএব হোমোটপি দীর্ঘ সঠিক ক্রমটি ভবিষ্যদ্বাণী করে যে একক গোলকের সমস্ত হোমোটপি গ্রুপগুলি তুচ্ছ হবে। এটি ঘনিষ্ঠ টপোলজিকাল সম্পর্ককে দেখায়, তবে এটি নিজেই যথেষ্ট নয়, কারণ একটি বিন্দুর অন্তর্ভুক্তি কেবল একটি দুর্বল সমস্থানিক সমতুল্য হবে এবং এটি কেবলমাত্র একটি সিডব্লিউ কমপ্লেক্সের জন্য সরাসরি চুক্তিবদ্ধতা বোঝায়। কুইপারের দুই বছর পর প্রকাশিত একটি গবেষণাপত্রে, রিচার্ড প্যালাইস এই সমস্যা সমাধানের জন্য যথেষ্ট অসীম-মাত্রিক ম্যানিফোল্ডের উপর প্রযুক্তিগত ফলাফল প্রদান করেন। বটের একক গোষ্ঠী আরেকটি অসীম-মাত্রিক একক গোষ্ঠী রয়েছে, যা হোমোটপি তত্ত্বে প্রধান তাৎপর্যপূর্ণ, যার ক্ষেত্রে বট পিরিয়ডিসিটি উপপাদ্য প্রযোজ্য। এটি অবশ্যই চুক্তিভিত্তিক নয়। কুইপারের গ্রুপ থেকে পার্থক্য ব্যাখ্যা করা যেতে পারেঃ বটের গ্রুপ হল সেই সাবগ্রুপ যেখানে একটি প্রদত্ত অপারেটর শুধুমাত্র একটি নির্দিষ্ট অর্থোনর্মাল ভিত্তিতে প্রথম এন দ্বারা বিস্তৃত একটি সাবস্পেসে অ-তুচ্ছভাবে কাজ করে, কিছু এন-এর জন্য, অবশিষ্ট ভিত্তিতে ভেক্টরের পরিচয়। প্রয়োগ ফাইবার বান্ডিলের সাধারণ তত্ত্বের একটি তাৎক্ষণিক পরিণতি হল যে প্রতিটি হিলবার্ট বান্ডিল একটি তুচ্ছ বান্ডিল। S ≤-এর সংকোচনশীলতার ফলাফল নির্দিষ্ট কিছু গোষ্ঠীর জন্য শ্রেণীবদ্ধ স্থানগুলির একটি জ্যামিতিক গঠন দেয় যা এটির উপর অবাধে কাজ করে, যেমন দুটি উপাদান সহ চক্রাকার গোষ্ঠী এবং বৃত্ত গোষ্ঠী। বটের অর্থে একক গ্রুপ ইউ-এর জটিল ভেক্টর বান্ডিলগুলির জন্য একটি শ্রেণীবদ্ধ স্থান বিইউ রয়েছে (ইউ (এন)-এর জন্য শ্রেণীবদ্ধ স্থান দেখুন)। কুইপারের উপপাদ্য থেকে আসা একটি গভীর প্রয়োগ হল আতিয়া-জানিচ উপপাদ্যের প্রমাণ (ক্লাউস জানিচ এবং মাইকেল আতিয়ার পরে), যেখানে বলা হয়েছে যে এইচ-এর উপর ফ্রেডহোম অপারেটরদের স্থান, আদর্শ টপোলজি সহ, ফাংক্টর কে (। সমস্থানিক তত্ত্বের অর্থে টপোলজিকাল (জটিল) কে-তত্ত্ব। এটি আতিয়া দ্বারা প্রদত্ত। বানাচ স্পেসের ক্ষেত্রে অসীম মাত্রার যে কোনও বানাচ স্পেসে ইনভার্টিবল অপারেটর সম্পর্কে একই প্রশ্ন উত্থাপিত হতে পারে। এখানে শুধুমাত্র আংশিক ফলাফল পাওয়া যায়। কিছু ধ্রুপদী সিকোয়েন্স স্পেসের একই বৈশিষ্ট্য রয়েছে, অর্থাৎ ইনভার্টিবল অপারেটরের গ্রুপটি চুক্তিবদ্ধ। অন্যদিকে, এমন উদাহরণ রয়েছে যেখানে এটি একটি সংযুক্ত স্থান হতে ব্যর্থ হয়। যেখানে সমস্ত হোমোটপি গ্রুপগুলি তুচ্ছ বলে জানা যায়, কিছু ক্ষেত্রে চুক্তিটি অজানা থাকতে পারে। রেফারেন্স কে-তত্ত্ব অপারেটর তত্ত্ব হিলবার্ট লাই গ্রুপের টপোলজি টপোলজিতে উপপাদ্যগুলিকে স্থান দিয়েছেন