Height function
উচ্চতা ফাংশন হল এমন একটি ফাংশন যা গাণিতিক বস্তুর জটিলতার পরিমাণ নির্ধারণ করে। ডায়োফ্যান্টাইন জ্যামিতিতে, উচ্চতা ফাংশনগুলি ডায়োফ্যান্টাইন সমীকরণের সমাধানের আকার পরিমাপ করে এবং সাধারণত বীজগাণিতিক বৈচিত্র্যের (বা বীজগাণিতিক বৈচিত্র্যের একটি সেট) বিন্দুর একটি সেট থেকে বাস্তব সংখ্যা পর্যন্ত ফাংশন হয়। উদাহরণস্বরূপ, মূলদ সংখ্যার উপর ধ্রুপদী বা সরল উচ্চতা সাধারণত স্থানাঙ্কের সংখ্যা এবং হরের সর্বাধিক হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় (যেমন। স্থানাঙ্কের জন্য), কিন্তু একটি লগারিদমিক স্কেলে। তাৎপর্য উচ্চতা ফাংশন গণিতবিদদের যুক্তিসঙ্গত বিন্দুর মতো বস্তু গণনা করার অনুমতি দেয়, যা অন্যথায় পরিমাণে অসীম। উদাহরণস্বরূপ, যে কোনও প্রদত্ত ধ্রুবকের নিচে সরল উচ্চতার মূলদ সংখ্যার সেট (সর্বনিম্ন পদগুলিতে প্রকাশ করা হলে সংখ্যা এবং হরের সর্বাধিক) অসীম হওয়া সত্ত্বেও সীমাবদ্ধ। এই অর্থে, উচ্চতা ফাংশনগুলি অ্যাসিম্পটোটিক ফলাফল প্রমাণ করতে ব্যবহার করা যেতে পারে যেমন ট্রান্সসেন্ডেন্টাল সংখ্যা তত্ত্বে বেকারের উপপাদ্য যা দ্বারা প্রমাণিত হয়েছিল। অন্যান্য ক্ষেত্রে, উচ্চতা ফাংশনগুলি তাদের জটিলতার উপর ভিত্তি করে কিছু বস্তুকে আলাদা করতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, দ্বারা প্রমাণিত সাবস্পেস উপপাদ্যটি দেখায় যে ছোট উচ্চতার বিন্দুগুলি (অর্থাৎ। ক্ষুদ্র জটিলতা) প্রজেক্টিভ স্পেসে সীমিত সংখ্যক হাইপারপ্লেনের মধ্যে থাকে এবং এস-ইউনিট সমীকরণের অবিচ্ছেদ্য বিন্দু এবং সমাধানের উপর সিগেলের উপপাদ্যকে সাধারণীকরণ করে। মর্ডেল-ওয়েইল উপপাদ্য এবং ফল্টিংসের উপপাদ্যের প্রমাণের জন্য উচ্চতা ফাংশনগুলি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ ছিল। বীজগাণিতিক বৈচিত্র্যের উপর যুক্তিসঙ্গত বিন্দুর উচ্চতা সম্পর্কে বেশ কয়েকটি অমীমাংসিত সমস্যা, যেমন মানিন অনুমান এবং ভোজতার অনুমান, ডায়োফ্যান্টাইন আনুমানিক, ডায়োফ্যান্টাইন সমীকরণ, গাণিতিক জ্যামিতি এবং গাণিতিক যুক্তির সমস্যাগুলির জন্য সুদূরপ্রসারী প্রভাব ফেলে। ইতিহাস উচ্চতা ফাংশনের একটি প্রাথমিক রূপ গিয়ামবাটিস্টা বেনেডেটি (আনুমানিক 1563) দ্বারা প্রস্তাবিত হয়েছিল, যিনি যুক্তি দিয়েছিলেন যে একটি বাদ্যযন্ত্রের ব্যবধানের ব্যঞ্জনবর্ণ তার সংখ্যা এবং হরের গুণফল দ্বারা পরিমাপ করা যেতে পারে (হ্রাস আকারে); দেখুন। 1920-এর দশকের শুরুতে আন্দ্রে ওয়েইল এবং ডগলাস নর্থকট ডায়োফ্যান্টাইন জ্যামিতিতে উচ্চতার বিকাশ ঘটান। 1960-এর দশকে উদ্ভাবনগুলি ছিল নেরন-টেট উচ্চতা এবং উপলব্ধি যে উচ্চতা প্রজেক্টিভ উপস্থাপনের সাথে অনেকটা একইভাবে যুক্ত ছিল যেমন বীজগাণিতিক জ্যামিতির অন্যান্য অংশে পর্যাপ্ত লাইন বান্ডিল রয়েছে। 1970-এর দশকে, সুরেন আরাকেলভ আরাকেলভ তত্ত্বে আরাকেলভ উচ্চতা বিকাশ করেছিলেন। 1983 সালে, ফ্যাল্টিংস তাঁর ফ্যাল্টিংসের উপপাদ্যের প্রমাণ হিসাবে ফ্যাল্টিংসের উচ্চতা তত্ত্বের বিকাশ ঘটান। ডায়োফ্যান্টাইন জ্যামিতিতে উচ্চতা ফাংশন নিষ্ক্রিয় উচ্চতা ধ্রুপদী বা নিষ্ক্রিয় উচ্চতা সমজাতীয় স্থানাঙ্কে সাধারণ পরম মানের পরিপ্রেক্ষিতে সংজ্ঞায়িত করা হয়। এটি সাধারণত একটি লগারিদমিক স্কেল এবং তাই "বীজগাণিতিক জটিলতা" বা একটি বিন্দু সংরক্ষণের জন্য প্রয়োজনীয় বিটের সংখ্যার আনুপাতিক হিসাবে দেখা যেতে পারে। এটি সাধারণত একটি সর্বনিম্ন সাধারণ হর দ্বারা গুণ করে প্রাপ্ত সহমৌলিক পূর্ণসংখ্যার ভেক্টরের সর্বাধিক পরম মানের লগারিদম হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। এটি কিউ-এর উপর প্রজেক্টিভ স্পেসে একটি বিন্দুর উচ্চতা সংজ্ঞায়িত করতে ব্যবহার করা যেতে পারে, অথবা একটি বহুপদের, যা সহগের ভেক্টর হিসাবে বিবেচিত হয়, অথবা একটি বীজগাণিতিক সংখ্যার, তার ন্যূনতম বহুপদের উচ্চতা থেকে। একটি মূলদ সংখ্যা x = p/q (সর্বনিম্ন অর্থে)-এর সরল উচ্চতা হল গুণিতক উচ্চতা লগারিদমিক উচ্চতাঃ অতএব, এর সরল গুণিতক এবং লগারিদমিক উচ্চতা হল এবং, উদাহরণস্বরূপ। একটি উপবৃত্তাকার বক্ররেখা E-এর সরল উচ্চতা H দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়। নেরন-টেটের উচ্চতা হল একটি বৈশ্বিক ক্ষেত্রের উপর সংজ্ঞায়িত আবেলিয়ান বৈচিত্র্যের যুক্তিসঙ্গত বিন্দুর মর্ডেল-ওয়েইল গোষ্ঠীর উপর একটি দ্বিঘাত রূপ। এটি আন্দ্রে নেরনের নামে নামকরণ করা হয়েছে, যিনি প্রথমে এটিকে স্থানীয় উচ্চতার সমষ্টি হিসাবে সংজ্ঞায়িত করেছিলেন এবং জন টেট, যিনি একটি অপ্রকাশিত কাজে বিশ্বব্যাপী এটিকে সংজ্ঞায়িত করেছিলেন। মাটির উচ্চতা ধরা যাক X একটি সংখ্যা ক্ষেত্র K-এর উপর একটি প্রজেক্টিভ বৈচিত্র্য। ধরা যাক L হল X-এর উপর একটি লাইন বান্ডিল। একটি নিম্নরূপ এল-এর সাপেক্ষে এক্স-এর উপর ওয়েইলের উচ্চতা সংজ্ঞায়িত করে। প্রথমত, ধরুন যে এল যথেষ্ট। গ্লোবাল বিভাগগুলির স্থানের ভিত্তিতে একটি পছন্দ এক্স থেকে প্রজেক্টিভ স্পেস পর্যন্ত একটি রূপবাদকে সংজ্ঞায়িত করে এবং এক্স-এর উপর সমস্ত পয়েন্ট পি-এর জন্য, একটি সংজ্ঞায়িত করে, যেখানে এইচ হল প্রজেক্টিভ স্পেসের সরল উচ্চতা। স্থির এক্স এবং এল-এর জন্য, বৈশ্বিক বিভাগগুলির একটি ভিন্ন ভিত্তি নির্বাচন করা পরিবর্তিত হয়, তবে শুধুমাত্র পি-এর একটি সীমাবদ্ধ ফাংশন দ্বারা। এইভাবে একটি ফাংশন যোগ করা পর্যন্ত ভালভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় যা ও (1)। সাধারণভাবে, এক্স-এর উপর দুটি খুব প্রশস্ত লাইন বান্ডিল এল1 এবং এল2-এর পার্থক্য হিসাবে এল লিখতে পারে এবং সংজ্ঞায়িত করতে পারে যে কোনটি আবার ও (1) পর্যন্ত ভালভাবে সংজ্ঞায়িত। আরাকেলভ উচ্চতা বীজগাণিতিক সংখ্যার ক্ষেত্রের উপর একটি প্রজেক্টিভ স্পেসে আরাকেলভ উচ্চতা একটি বিশ্বব্যাপী উচ্চতা ফাংশন যা আর্কিমিডিয়ান ক্ষেত্রগুলিতে ফুবিনি-স্টাডি মেট্রিক এবং অ-আর্কিমিডিয়ান ক্ষেত্রগুলিতে স্বাভাবিক মেট্রিক থেকে স্থানীয় অবদান নিয়ে আসে। এটি একটি ভিন্ন মেট্রিক দিয়ে সজ্জিত সাধারণ ওয়েইল উচ্চতা। ফল্টিংসের উচ্চতা একটি সংখ্যার ক্ষেত্রের উপর সংজ্ঞায়িত একটি আবেলিয়ান বৈচিত্র্যের ফল্টিংসের উচ্চতা হল তার গাণিতিক জটিলতার একটি পরিমাপ। এটি একটি পরিমাপ করা লাইন বান্ডিলের উচ্চতার পরিপ্রেক্ষিতে সংজ্ঞায়িত করা হয়। তাঁর মর্ডেল অনুমানের প্রমাণের মাধ্যমে এটি প্রবর্তন করা হয়েছিল। বীজগণিতে উচ্চতা ফাংশন একটি পলিনোমিয়ালের উচ্চতা একটি পলিনোমিয়ালের জন্য H (P) উচ্চতা দ্বারা প্রদত্ত ডিগ্রি n-এর P-কে তার সহগগুলির মাত্রার সর্বাধিক হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়ঃ কেউ একইভাবে দৈর্ঘ্য L (P)-কে সহগগুলির মাত্রার সমষ্টি হিসাবে সংজ্ঞায়িত করতে পারেঃ মাহলার পরিমাপের সাথে সম্পর্ক P-এর মাহলার পরিমাপ M (P) এছাড়াও P-এর জটিলতার একটি পরিমাপ। তিনটি ফাংশন H (P), L (P) এবং M (P) অসমতা দ্বারা সম্পর্কিত যেখানে দ্বিপদী সহগ। অটোমরফিক আকারে উচ্চতা ফাংশন একটি অ্যাডেলিক বীজগাণিতিক গোষ্ঠীর সাধারণ রৈখিক গোষ্ঠীর উপর একটি অটোমরফিক ফর্মের সংজ্ঞার শর্তগুলির মধ্যে একটি হল মাঝারি বৃদ্ধি, যা সাধারণ রৈখিক গোষ্ঠীর উপর একটি উচ্চতা ফাংশনের বৃদ্ধির উপর একটি অ্যাসিম্পটোটিক অবস্থা যা একটি অ্যাফিন বৈচিত্র হিসাবে দেখা হয়। অন্যান্য উচ্চতা ফাংশন একটি অপরিবর্তনীয় মূলদ সংখ্যা x = p/q, q> 0-এর উচ্চতা হল (এই ফাংশনটি এবং-এর মধ্যে একটি বাইজেকশন তৈরি করতে ব্যবহৃত হয়)। আরও দেখুন এবিসি অনুমান বার্চ এবং সুইনারটন-ডায়ার অনুমান উপবৃত্তাকার লেহমার অনুমান একটি আনুষ্ঠানিক গোষ্ঠী আইনের হিথ-ব্রাউন-মরোজ ধ্রুবক উচ্চতা উচ্চতা জিটা ফাংশন রায়নাডের আইসোজেনি উপপাদ্য বৃক্ষ উচ্চতা রেফারেন্স সূত্র → গণিত বিশ্ব বহুপদগুলিতে বহুপদী উচ্চতার বাহ্যিক লিঙ্কগুলির একটি ইংরেজি অনুবাদ রয়েছে আবেলিয়ান জাতগুলি উপবৃত্তাকার বক্ররেখা ডায়োফ্যান্টাইন জ্যামিতি বীজগাণিতিক সংখ্যা তত্ত্ব বীজগণিত