Moduli scheme
গণিতে, মডুলি স্কিম হল একটি মডুলি স্পেস যা আলেকজান্ডার গ্রোথেন্ডিক দ্বারা বিকশিত স্কিমগুলির বিভাগে বিদ্যমান। বীজগাণিতিক জ্যামিতির কিছু গুরুত্বপূর্ণ মডুলি সমস্যা শুধুমাত্র স্কিম তত্ত্বের মাধ্যমে সন্তোষজনকভাবে সমাধান করা যেতে পারে, অন্যগুলির জন্য 'জ্যামিতিক বস্তু' ধারণার কিছু সম্প্রসারণ প্রয়োজন (বীজগাণিতিক স্থান, মাইকেল আর্টিনের বীজগাণিতিক স্ট্যাক)। 1960-এর দশকের গোড়ার দিকে গ্রোথেন্ডিক এবং ডেভিড মমফোর্ডের ইতিহাস কাজ (জ্যামিতিক অপরিবর্তনীয় তত্ত্ব দেখুন) এই ক্ষেত্রটি উন্মুক্ত করে। মডুলি সমস্যাগুলির জন্য যত বেশি বীজগাণিতিক এবং বিমূর্ত পদ্ধতি হল সেগুলিকে একটি প্রতিনিধিত্বযোগ্য ফাংক্টর প্রশ্ন হিসাবে স্থাপন করা, তারপরে একটি মানদণ্ড প্রয়োগ করা যা স্কিমগুলির জন্য প্রতিনিধিত্বযোগ্য ফাংক্টরগুলিকে একক করে। যখন এই প্রোগ্রামগত পদ্ধতি কাজ করে, তখন ফলাফলটি একটি সূক্ষ্ম মডুলি স্কিম হয়। আরও জ্যামিতিক ধারণার প্রভাবে, সঠিক জ্যামিতিক বিন্দু প্রদান করে এমন একটি পরিকল্পনা খুঁজে বের করা যথেষ্ট। এটি আরও ধ্রুপদী ধারণার মতো যে মডুলি সমস্যাটি প্রাকৃতিকভাবে একটি সেটের সাথে আসা বীজগাণিতিক কাঠামোকে প্রকাশ করা (উপবৃত্তাকার বক্ররেখার সমরূপতা শ্রেণীর কথা বলুন)। ফলাফলটি তখন একটি মোটা মডুলি স্কিম হয়। মোটামুটিভাবে বলতে গেলে, এর পরিমার্জনের অভাব হল যে এটি সূক্ষ্ম মডুলি পরিকল্পনার অন্তর্নিহিত বস্তুর পরিবারের জন্য গ্যারান্টি দেয় না। যেমনটি মমফোর্ড তাঁর বই জিওমেট্রিক ইনভ্যারিয়েন্ট থিওরি-তে উল্লেখ করেছেন, কেউ হয়তো সূক্ষ্ম সংস্করণটি পেতে চাইতে পারে, তবে একটি প্রযুক্তিগত সমস্যা (স্তরের কাঠামো এবং অন্যান্য 'চিহ্ন') রয়েছে যা এই ধরনের উত্তর পাওয়ার সম্ভাবনা সহ একটি প্রশ্ন পেতে অবশ্যই সমাধান করতে হবে। তেরুহিসা মাতসুসাকা একটি ফলাফল প্রমাণ করেছিলেন, যা এখন মাতসুসাকের বড় উপপাদ্য নামে পরিচিত, একটি মোটা মডুলি পরিকল্পনার অস্তিত্বের জন্য একটি মডুলি সমস্যার উপর একটি প্রয়োজনীয় শর্ত প্রতিষ্ঠা করে। উদাহরণস্বরূপ, মমফোর্ড প্রমাণ করেছেন যে যদি জি> 1 হয়, তবে জি গণের মসৃণ বক্ররেখার একটি মোটা মডুলি স্কিম বিদ্যমান, যা আধা-অভিক্ষিপ্ত। জানোস কোল্লারের একটি সাম্প্রতিক সমীক্ষা অনুসারে, এর "একটি সমৃদ্ধ এবং কৌতূহলী অভ্যন্তরীণ জ্যামিতি রয়েছে যা গণিত এবং তাত্ত্বিক পদার্থবিজ্ঞানের অনেক শাখার প্রধান প্রশ্নের সাথে সম্পর্কিত"। ব্রংগার্ড এই প্রশ্নটি উত্থাপন করেছেন যে বেলির উপপাদ্যটি বীজগাণিতিক সংখ্যার ক্ষেত্রের উপর উচ্চতর মাত্রার বৈচিত্র্যের জন্য সাধারণীকরণ করা যেতে পারে কিনা, এই সূত্র সহ যে তারা সাধারণত বক্ররেখার একটি মডুলি স্থানের একটি সীমাবদ্ধ étale আবরণের জন্য জন্মগত। স্থিতিশীল ভেক্টর বান্ডিলের ধারণা ব্যবহার করে, যে কোনও মসৃণ জটিল বৈচিত্র্যের উপর ভেক্টর বান্ডিলগুলির জন্য মোটা মডুলি স্কিমগুলি বিদ্যমান এবং আধা-অভিক্ষিপ্ত হিসাবে দেখানো হয়েছেঃ বিবৃতিটি সেমিস্টেবিলিটি ধারণাটি ব্যবহার করে। নির্দিষ্ট কিছু ক্ষেত্রে, গাণিতিক পদার্থবিজ্ঞানে, বিশেষ ইনস্ট্যান্টন বান্ডিলগুলির মোটা মডুলি স্থানটি শঙ্কুগুলির শাস্ত্রীয় জ্যামিতিতে বস্তুর সাথে সনাক্ত করা সম্ভব। রেফারেন্স নোটস মডুলি তত্ত্ব প্রতিনিধিত্বমূলক ফাংক্টর