Elliptic surface
গণিতে, উপবৃত্তাকার পৃষ্ঠ হল এমন একটি পৃষ্ঠ যার একটি উপবৃত্তাকার তন্তু থাকে, অন্য কথায় একটি বীজগাণিতিক বক্ররেখার সাথে সংযুক্ত তন্তুগুলির সাথে একটি যথাযথ অঙ্গসংস্থান যাতে প্রায় সমস্ত তন্তুই 1 বংশের মসৃণ বক্ররেখা হয়। (জটিল সংখ্যার মতো বীজগাণিতিকভাবে বন্ধ ক্ষেত্রের উপর, এই তন্তুগুলি উপবৃত্তাকার বক্ররেখা, সম্ভবত কোনও নির্বাচিত উৎস ছাড়াই)। এটি জেনেরিক ফাইবারের সমতুল্য যা প্রথম বংশের একটি মসৃণ বক্ররেখা। সঠিক ভিত্তি পরিবর্তন থেকে এটি অনুসরণ করা হয়। পৃষ্ঠ এবং বেস বক্ররেখাটি অ-একক (প্রসঙ্গের উপর নির্ভর করে জটিল ম্যানিফোল্ড বা নিয়মিত স্কিম) বলে ধরে নেওয়া হয়। যে তন্তুগুলি উপবৃত্তাকার বক্ররেখা নয় সেগুলিকে একক তন্তু বলা হয় এবং কুনিহিকো কোডাইরা দ্বারা শ্রেণীবদ্ধ করা হয়েছিল। স্ট্রিং তত্ত্বে উপবৃত্তাকার এবং একক তন্তু উভয়ই গুরুত্বপূর্ণ, বিশেষ করে এফ-তত্ত্বে। উপবৃত্তাকার পৃষ্ঠতলগুলি পৃষ্ঠতলের একটি বড় শ্রেণী গঠন করে যার মধ্যে পৃষ্ঠতলের অনেক আকর্ষণীয় উদাহরণ রয়েছে এবং জটিল ম্যানিফোল্ড এবং মসৃণ 4-ম্যানিফোল্ডের তত্ত্বগুলিতে তুলনামূলকভাবে ভালভাবে বোঝা যায়। এগুলি সংখ্যা ক্ষেত্রের উপর উপবৃত্তাকার বক্ররেখার অনুরূপ (এর সাথে সাদৃশ্য রয়েছে)। উদাহরণস্বরূপ, যে কোনও বক্ররেখা সহ যে কোনও উপবৃত্তাকার বক্ররেখার গুণফল হল একটি উপবৃত্তাকার পৃষ্ঠ (কোনও একক তন্তু ছাড়াই)। কোডাইরা মাত্রা 1-এর সমস্ত পৃষ্ঠগুলি উপবৃত্তাকার। প্রতিটি জটিল এনরিক পৃষ্ঠ উপবৃত্তাকার, এবং প্রজেক্টিভ লাইনের উপর একটি উপবৃত্তাকার তন্তু রয়েছে। কোডাইরা পৃষ্ঠতল ডলগাচেভ পৃষ্ঠতল শিওদা মডুলার পৃষ্ঠতল কোডাইরার একক তন্তুগুলির টেবিল একটি উপবৃত্তাকার তন্তুগুলির বেশিরভাগ তন্তু (অ-একক) উপবৃত্তাকার বক্ররেখা। অবশিষ্ট তন্তুগুলিকে একক তন্তু বলা হয়ঃ এগুলির একটি সীমাবদ্ধ সংখ্যা রয়েছে এবং প্রতিটি যুক্তিসঙ্গত বক্ররেখার একটি ইউনিয়ন নিয়ে গঠিত, সম্ভবত একক বা অ-শূন্য গুণের সাথে (তাই তন্তুগুলি অ-হ্রাসকৃত স্কিম হতে পারে)। কোডাইরা এবং নেরন স্বাধীনভাবে সম্ভাব্য তন্তুগুলিকে শ্রেণীবদ্ধ করেছেন এবং টেটের অ্যালগরিদমটি একটি সংখ্যা ক্ষেত্রের উপর উপবৃত্তাকার বক্ররেখার তন্তুগুলির ধরন খুঁজে বের করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। নিম্নলিখিত সারণিতে ন্যূনতম উপবৃত্তাকার তন্তুগুলির সম্ভাব্য তন্তুগুলির তালিকা দেওয়া হয়েছে। ("ন্যূনতম" অর্থ মোটামুটিভাবে এমন একটি যা একটি "ছোট" দিয়ে ফ্যাক্টর করা যায় না; সুনির্দিষ্টভাবে, একক তন্তুগুলিতে স্ব-ছেদ সংখ্যা-1 সহ কোনও মসৃণ যৌক্তিক বক্ররেখা থাকা উচিত নয়।) এটি দেয়ঃ ফাইবারের জন্য কোডাইরার প্রতীক, ফাইবারের জন্য আন্দ্রে নেরনের প্রতীক, ফাইবারের অপরিবর্তনীয় উপাদানগুলির সংখ্যা (টাইপ I0 ব্যতীত সমস্ত যুক্তিসঙ্গত) উপাদানগুলির ছেদ ম্যাট্রিক্স। এটি হয় একটি 1 × 1 শূন্য ম্যাট্রিক্স, অথবা একটি অ্যাফিন কার্টান ম্যাট্রিক্স, যার ডাইঙ্কিন রেখাচিত্র দেওয়া আছে। প্রতিটি তন্তুর গুণমান ডাইঙ্কিন রেখাচিত্রে নির্দেশ করা হয়েছে। এই টেবিলটি নিম্নরূপ পাওয়া যাবে। জ্যামিতিক যুক্তিগুলি দেখায় যে ফাইবারের উপাদানগুলির ছেদ ম্যাট্রিক্স অবশ্যই ঋণাত্মক সেমিডিফাইনাইট, সংযুক্ত, প্রতিসম হতে হবে এবং-1 (ন্যূনতম দ্বারা) এর সমান কোনও তির্যক এন্ট্রি থাকতে হবে না। এই ধরনের ম্যাট্রিক্স অবশ্যই 0 বা এডিই ধরনের একটি অ্যাফিন ডাইনকিন চিত্রের কার্টান ম্যাট্রিক্সের একাধিক হতে হবে। ছেদ ম্যাট্রিক্স তিনটি ব্যতিক্রম সহ ফাইবারের ধরন নির্ধারণ করেঃ যদি ছেদ ম্যাট্রিক্সটি 0 হয় তবে ফাইবারটি হয় উপবৃত্তাকার বক্ররেখা (টাইপ I0) হতে পারে, অথবা একটি দ্বৈত বিন্দু (টাইপ I1), অথবা একটি কাস্প (টাইপ II) থাকতে পারে। যদি ছেদ ম্যাট্রিক্সটি অ্যাফাইন A1 হয়, তবে ছেদ গুণিতক 2 সহ 2 টি উপাদান রয়েছে। তারা অর্ডার 1 (টাইপ I2) সহ 2 পয়েন্টে বা অর্ডার 2 (টাইপ III) সহ এক পর্যায়ে মিলিত হতে পারে। যদি ছেদ ম্যাট্রিক্সটি অ্যাফিন এ 2 হয়, তবে 3 টি উপাদান রয়েছে যার প্রতিটি অন্য দুটির সাথে মিলিত হয়। তারা 3টি স্বতন্ত্র বিন্দুতে (টাইপ I3) জোড়ায় মিলিত হতে পারে, অথবা একই বিন্দুতে মিলিত হতে পারে (টাইপ IV)। মনোড্রোমি প্রতিটি একক তন্তুর চারপাশে মনোড্রোমি হল নির্ধারক 1 সহ 2 × 2 পূর্ণসংখ্যা ম্যাট্রিক্সের এসএল (2, জেড) গ্রুপের একটি সু-সংজ্ঞায়িত সংমিশ্রণ শ্রেণী। একটি একক তন্তুর চারপাশে যাওয়ার সাথে সাথে একটি মসৃণ তন্তুর প্রথম সমসংস্থান গোষ্ঠী (যা Z2-এর সমতুল্য) কীভাবে পরিবর্তিত হয় তা মনোড্রোমি বর্ণনা করে। একক তন্তুর সঙ্গে যুক্ত এই সংযুক্তি শ্রেণীর প্রতিনিধিদের দ্বারা দেওয়া হয়ঃ টাইপ II, III, IV, I0 *, IV *, III *, বা II * এর একক তন্তুর জন্য, এসএল (2, জেড)-এ মনোড্রমির সসীম ক্রম রয়েছে। এটি এই সত্যকে প্রতিফলিত করে যে একটি উপবৃত্তাকার তন্তুতে এই ধরনের তন্তুতে সম্ভাব্য ভাল হ্রাস রয়েছে। অর্থাৎ, মূল বক্ররেখার একটি বিস্তৃত সীমাবদ্ধ আবরণের পরে, একক তন্তুটি একটি মসৃণ উপবৃত্তাকার বক্ররেখা দ্বারা প্রতিস্থাপিত হতে পারে। কোন মসৃণ বক্ররেখা প্রদর্শিত হয় তা টেবিলের জে-ইনভ্যারিয়েন্ট দ্বারা বর্ণনা করা হয়েছে। জটিল সংখ্যার উপর, জে-ইনভ্যারিয়েন্ট 0 সহ বক্ররেখাটি ক্রম 6 এর অটোমরফিজম গ্রুপ সহ অনন্য উপবৃত্তাকার বক্ররেখা এবং জে-ইনভ্যারিয়েন্ট 1728 সহ বক্ররেখাটি ক্রম 4 এর অটোমরফিজম গ্রুপ সহ অনন্য উপবৃত্তাকার বক্ররেখা। (অন্যান্য সমস্ত উপবৃত্তাকার বক্ররেখার ক্রম 2-এর অটোমরফিজম গ্রুপ রয়েছে।) জ্যাকোবিয়ান উপবৃত্তাকার ফাইব্রেশন নামে একটি বিভাগ সহ একটি উপবৃত্তাকার ফাইব্রেশনের জন্য, প্রতিটি ফাইবারের মসৃণ লোকাসের একটি গোষ্ঠী কাঠামো থাকে। একক তন্তুগুলির জন্য, মসৃণ লোকাসের উপর এই গোষ্ঠী কাঠামোটি টেবিলে বর্ণনা করা হয়েছে, সুবিধার জন্য ধরে নেওয়া হয়েছে যে মূল ক্ষেত্রটি জটিল সংখ্যা। (একটি অ্যাফিন ডাইনকিন রেখাচিত্র দ্বারা প্রদত্ত ছেদ ম্যাট্রিক্স সহ একটি একক ফাইবারের জন্য, মসৃণ লোকাসের উপাদানগুলির গ্রুপটি এখানে তালিকাভুক্ত হিসাবে ডাইনকিন রেখাচিত্রের সাথে সহজভাবে সংযুক্ত সাধারণ লাই গ্রুপের কেন্দ্রে সমরূপ।) একক তন্তুগুলির গোষ্ঠী কাঠামো জানা উপবৃত্তাকার তন্তুগুলির (বিভাগগুলির গোষ্ঠী) মর্ডেল-ওয়েইল গোষ্ঠী গণনা করার জন্য দরকারী, বিশেষত এর টর্জন উপগোষ্ঠী। ক্যানোনিকাল বান্ডিল সূত্র পৃষ্ঠতলের শ্রেণিবিন্যাসের মধ্যে উপবৃত্তাকার পৃষ্ঠগুলি কীভাবে খাপ খায় তা বোঝার জন্য, ন্যূনতম উপবৃত্তাকার পৃষ্ঠের ক্যানোনিকাল বান্ডিল গণনা করা গুরুত্বপূর্ণ f: X → S। জটিল সংখ্যার উপর, কোডাইরা নিম্নলিখিত ক্যানোনিকাল বান্ডিল সূত্রটি প্রমাণ করেছেনঃ এখানে f এর একাধিক তন্তু (যদি থাকে) লেখা হয়, একটি পূর্ণসংখ্যা mi এর জন্য কমপক্ষে 2 এবং একটি বিভাজকের জন্য যার সহগগুলির 1 এর সমান সর্বাধিক সাধারণ ভাজক রয়েছে এবং L মসৃণ বক্ররেখার উপর কিছু লাইন বান্ডিল। যদি S প্রজেক্টিভ (বা সমতুল্য, কম্প্যাক্ট) হয়, তবে L এর ডিগ্রি X এবং S এর হোলোমরফিক অয়লার বৈশিষ্ট্য দ্বারা নির্ধারিত হয়ঃ ডিগ্রি (L) = χ (X) ক্যানোনিকাল বান্ডিল সূত্রটি বোঝায় যে কেএক্স এস-এর উপর কিছু কিউ-বিভাজকের পুলব্যাকের সমতুল্য কিউ-রৈখিক; এখানে এটি অপরিহার্য যে উপবৃত্তাকার পৃষ্ঠ এক্স → এস ন্যূনতম। কেনজি উয়েনোর কাজের উপর ভিত্তি করে, তাকাও ফুজিটা (1986) ক্যানোনিকাল বান্ডিল সূত্রের একটি দরকারী রূপ দিয়েছেন, যা দেখায় যে কীভাবে কেএক্স মসৃণ তন্তুগুলির পরিবর্তনের উপর নির্ভর করে। অর্থাৎ, একটি কিউ-লিনিয়ার সমতুল্যতা রয়েছে যেখানে বৈষম্যমূলক বিভাজক বিএস হল এফ-এর একক তন্তুগুলির সাথে যুক্ত এস-এর উপর একটি স্পষ্ট কার্যকর কিউ-বিভাজক, এবং মডুলি বিভাজক এমএস হল, যেখানে জেঃ এস → পি1 হল মসৃণ তন্তুগুলির জে-ইনভ্যারিয়েন্ট প্রদানকারী ফাংশন। (এইভাবে এমএস হল কিউ-বিভাজকের একটি কিউ-রৈখিক সমতুল্য শ্রেণী, যা বিভাজক শ্রেণী গোষ্ঠী ক্ল (এস) এবং পিকার্ড গোষ্ঠী পিক (এস)-এর মধ্যে সনাক্তকরণ ব্যবহার করে।) বিশেষত, এস প্রজেক্টিভের জন্য, মডুলি বিভাজক এমএস-এর অ-নেতিবাচক ডিগ্রি রয়েছে এবং এটির ডিগ্রি শূন্য থাকে যদি এবং কেবলমাত্র উপবৃত্তাকার পৃষ্ঠটি আইসোট্রিভিয়াল হয়, যার অর্থ সমস্ত মসৃণ তন্তুগুলি আইসোমরফিক হয়। ফুজিতার সূত্রে বৈষম্যমূলক বিভাজক দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়, যেখানে c (p) হল লগ ক্যানোনিকাল থ্রেশহোল্ড। একক তন্তুর প্রকারের উপর নির্ভর করে এটি 0 এবং 1 এর মধ্যে একটি সুস্পষ্ট মূলদ সংখ্যা। স্পষ্টতই, একটি মসৃণ ফাইবার বা প্রকারের জন্য এল. সি. টি হল 1, এবং এটি একাধিক ফাইবারের জন্য 1/মি, 1/মি, 2/মি, 2/মি, 3/মি, 3/মি, 4/মি, 4/মি, 3/মি, 3/মি, 3/মি, 3/মি, 3/মি, 3/মি, 3/মি, এবং 2/মি, 3/মি, 3/মি, 3/মি, 3/মি, 3/মি, 3/মি, 3/মি, 3/মি, 3/মি, 3/মি, 3/মি, 3/মি, 3/মি, 3/মি, 3/মি, 3/মি, 3/মি, 3/মি, 3/মি, 3/মি, 3/মি, 3/মি, 3/মি, 3/মি, 3/মি, 3/মি, 3/মি, 3 ক্যানোনিকাল বান্ডিল সূত্র (ফুজিতার আকারে) ইউজিরো কাওয়ামাটা এবং অন্যান্যরা যে কোনও মাত্রার ক্যালাবি-ইউ জাতের পরিবারের কাছে সাধারণীকরণ করেছেন। লগারিদমিক রূপান্তর একটি উপবৃত্তাকার পৃষ্ঠের লগারিদমিক রূপান্তর বা তন্তু বেস স্পেসের একটি বিন্দু পি-এর উপর 1 গুণের ফাইবারকে বহুগুণের ফাইবারে পরিণত করে। এটি বিপরীত হতে পারে, তাই উচ্চ বহুগুণের ফাইবারগুলিকে বহুগুণ 1-এর ফাইবারে পরিণত করা যেতে পারে এবং এটি সমস্ত একাধিক ফাইবার নির্মূল করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। লগারিদমিক রূপান্তরগুলি বেশ হিংস্র হতে পারেঃ এগুলি কোডাইরার মাত্রা পরিবর্তন করতে পারে এবং বীজগাণিতিক পৃষ্ঠগুলিকে অ-বীজগাণিতিক পৃষ্ঠে পরিণত করতে পারে। উদাহরণস্বরূপঃ ধরা যাক L হল C-এর জাল Z + iZ, এবং E হল উপবৃত্তাকার বক্ররেখা C/L। তারপর ই × সি থেকে সি পর্যন্ত অভিক্ষেপ মানচিত্রটি একটি উপবৃত্তাকার তন্তু। আমরা দেখাব কিভাবে 0-এর উপরের ফাইবারকে বহুগুণ 2-এর ফাইবার দিয়ে প্রতিস্থাপন করা যায়। ক্রম 2-এর E × C-এর একটি অটোমরফিজম রয়েছে যা (c, s) থেকে (c + 1/2, −s)-এর মানচিত্র তৈরি করে। আমরা এই গোষ্ঠী ক্রিয়া দ্বারা এক্সকে ই × সি-এর ভাগফল হতে দিই। আমরা (সি, এস) থেকে এস 2 ম্যাপিং করে সি-এর উপর এক্স-কে একটি ফাইবার স্পেসে পরিণত করি। আমরা (সি, এস) থেকে (সি-লগ (এস)/2πi, এস 2) ম্যাপিং দ্বারা এক্স মাইনাস ফাইবার থেকে 0 থেকে ই × সি মাইনাস ফাইবার থেকে 0 পর্যন্ত একটি সমরূপতা তৈরি করি। (0-এর উপরের দুটি তন্তু অ-সমরূপ উপবৃত্তাকার বক্ররেখা, তাই ফাইব্রেশন এক্স অবশ্যই সমস্ত সি-এর উপর ফাইব্রেশন ই × সি-এর সমরূপ নয়।) তারপর ফাইব্রেশন এক্স-এর 2-এর উপর 0-এর গুণিতক ফাইবার থাকে এবং অন্যথায় এটি ই × সি-এর মতো দেখায়। আমরা বলি যে কেন্দ্র 0 সহ ক্রম 2 থেকে E × C-এর লগারিদমিক রূপান্তর প্রয়োগ করে X প্রাপ্ত হয়। আরও দেখুন এনরিকস-কোডাইরা শ্রেণিবিন্যাস নেরন ন্যূনতম মডেল নোটস রেফারেন্স কমপ্লেক্স পৃষ্ঠতল বৈশ্বিক জ্যামিতি বীজগাণিতিক পৃষ্ঠতল গাণিতিক শ্রেণিবিন্যাস ব্যবস্থা