Hilbert modular variety
গণিতে, হিলবার্ট মডুলার পৃষ্ঠ বা হিলবার্ট-ব্লুমেন্থাল পৃষ্ঠ হল একটি বীজগাণিতিক পৃষ্ঠ যা হিলবার্ট মডুলার গ্রুপ দ্বারা উপরের অর্ধ-সমতলের দুটি অনুলিপির গুণফলের একটি ভাগফল গ্রহণ করে প্রাপ্ত হয়। আরও সাধারণভাবে, হিলবার্ট মডুলার বৈচিত্র্য হল একটি বীজগাণিতিক বৈচিত্র্য যা হিলবার্ট মডুলার গ্রুপ দ্বারা উপরের অর্ধ-সমতলের একাধিক অনুলিপির গুণফলের একটি ভাগফল গ্রহণ করে প্রাপ্ত হয়। হিলবার্ট মডুলার পৃষ্ঠগুলি প্রায় 10 বছর আগে ডেভিড হিলবার্টের লেখা কিছু অপ্রকাশিত নোট ব্যবহার করে প্রথম বর্ণনা করা হয়েছিল। সংজ্ঞা যদি আর একটি বাস্তব দ্বিঘাত ক্ষেত্রের পূর্ণসংখ্যার বলয় হয়, তবে হিলবার্ট মডুলার গ্রুপ এসএল2 (আর) উপরের অর্ধেক সমতল এইচ-এর দুটি অনুলিপির এইচ × এইচ গুণফলের উপর কাজ করে। এই ক্রিয়ার সাথে সম্পর্কিত বেশ কয়েকটি দ্বি-তাত্ত্বিক সমতুল্য পৃষ্ঠ রয়েছে, যার যে কোনও একটিকে হিলবার্ট মডুলার পৃষ্ঠ বলা যেতে পারেঃ পৃষ্ঠ এক্স হল এইচ × এইচ দ্বারা এসএল2 (আর)-এর ভাগফল; এটি কম্প্যাক্ট নয় এবং সাধারণত অ-তুচ্ছ আইসোট্রপি গ্রুপগুলির বিন্দু থেকে আসা ভাগফল এককত্ব রয়েছে। ক্রিয়ার কিউএসপিগুলির সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ একটি সীমাবদ্ধ সংখ্যক বিন্দু যোগ করে এক্স থেকে পৃষ্ঠ এক্স * প্রাপ্ত হয়। এটি কম্প্যাক্ট, এবং কেবল এক্স-এর ভাগফল এককত্বই নয়, এর কুস্পগুলিতে এককত্বও রয়েছে। এককত্বগুলিকে ন্যূনতম উপায়ে সমাধান করে X * থেকে পৃষ্ঠ Y পাওয়া যায়। এটি একটি সংক্ষিপ্ত মসৃণ বীজগাণিতিক পৃষ্ঠ, তবে সাধারণভাবে ন্যূনতম নয়। Y থেকে পৃষ্ঠ Y0 পাওয়া যায় কিছু ব্যতিক্রমী −1-বক্ররেখা উড়িয়ে দিয়ে। এটি মসৃণ এবং সংক্ষিপ্ত, এবং প্রায়শই (তবে সর্বদা নয়) ন্যূনতম। এই গঠনের বিভিন্ন বৈচিত্র রয়েছেঃ হিলবার্ট মডুলার গ্রুপকে সসীম সূচকের কিছু উপগোষ্ঠী দ্বারা প্রতিস্থাপিত করা যেতে পারে, যেমন একটি কংগ্রুয়েন্স উপগোষ্ঠী। গালোইস ক্রিয়ার মাধ্যমে হিলবার্ট মডুলার গ্রুপের উপর কাজ করে এবং উপরের অর্ধেক সমতলের দুটি অনুলিপি বিনিময় করে হিলবার্ট মডুলার গ্রুপকে ক্রম 2-এর একটি গ্রুপ দ্বারা প্রসারিত করা যেতে পারে। এককত্বগুলি দেখায় যে কীভাবে ভাগফল এককত্বগুলি সমাধান করা যায় এবং দেখায় যে কীভাবে তাদের কুস্প এককত্বগুলি সমাধান করা যায়। পৃষ্ঠতলের শ্রেণীবিভাগ গবেষণাপত্রগুলি, এবং বীজগাণিতিক পৃষ্ঠতলের শ্রেণীবিন্যাসে তাদের ধরন চিহ্নিত করে। এগুলির বেশিরভাগই সাধারণ ধরনের পৃষ্ঠতল, তবে বেশ কয়েকটি যুক্তিসঙ্গত পৃষ্ঠতল বা উড়ন্ত কে3 পৃষ্ঠতল বা উপবৃত্তাকার পৃষ্ঠতল। উদাহরণগুলি উদাহরণের একটি দীর্ঘ টেবিল দেয়। ক্লেবশ পৃষ্ঠটি তার 10 একার্ড পয়েন্টগুলিতে উড়িয়ে দেওয়া হয়েছে একটি হিলবার্ট মডুলার পৃষ্ঠ। একটি চতুর্ভুজ ক্ষেত্র সম্প্রসারণের সাথে যুক্ত একটি চতুর্ভুজ ক্ষেত্র সম্প্রসারণের জন্য একটি সম্পর্কিত হিলবার্ট মডুলার বৈচিত্র্য রয়েছে যা একটি নির্দিষ্ট ভাগফল বৈচিত্র্যকে সংকুচিত করে এবং এর এককত্বগুলি সমাধান করে প্রাপ্ত হয়। উপরের অর্ধেক সমতলকে নির্দেশ করা যাক এবং যেখানে গ্যালোইস কনজুগেট রয়েছে সেখানে কাজ করা যাক। সংশ্লিষ্ট ভাগফলের বৈচিত্র্যকে চিহ্নিত করা হয় এবং একটি বৈচিত্র্যে সংকুচিত করা যেতে পারে, যাকে কুস্পস বলা হয়, যা আদর্শ শ্রেণীর সাথে দ্বি-সংযোগে থাকে। এর এককত্ব সমাধান করলে ক্ষেত্র সম্প্রসারণের হিলবার্ট মডুলার বৈচিত্র্য পাওয়া যায়। বেইলি-বোরেল কম্প্যাক্টিফিকেশন উপপাদ্য থেকে, এই পৃষ্ঠকে একটি প্রজেক্টিভ স্পেসে এম্বেড করা হয়েছে। আরও দেখুন হিলবার্ট মডুলার ফর্ম পিকার্ড মডুলার সারফেস সিগেল মডুলার বৈচিত্র্য রেফারেন্স বাহ্যিক লিঙ্ক বীজগাণিতিক সারফেস জটিল সারফেস