Eilenberg–Steenrod axioms
গণিতে, বিশেষত বীজগাণিতিক টপোলজিতে, আইলেনবার্গ-স্টিনরোড স্বতঃসিদ্ধগুলি এমন বৈশিষ্ট্য যা টপোলজিকাল স্পেসের সমতাত্ত্বিক তত্ত্বগুলির মধ্যে রয়েছে। স্যামুয়েল আইলেনবার্গ এবং নরম্যান স্টিনরোড দ্বারা বিকশিত একক সমবিজ্ঞান একটি স্বতঃসিদ্ধ তত্ত্বকে সন্তুষ্ট করার সর্বোত্তম উদাহরণ। একটি সমতাত্ত্বিক তত্ত্বকে আইলেনবার্গ-স্টিনরোড স্বতঃসিদ্ধগুলিকে সন্তুষ্ট করে এমন ফাংশনের ক্রম হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। স্বতঃসিদ্ধ পদ্ধতি, যা 1945 সালে বিকশিত হয়েছিল, একজনকে ফলাফল প্রমাণ করার অনুমতি দেয়, যেমন মায়ার-ভিটোরিস ক্রম, যা স্বতঃসিদ্ধগুলিকে সন্তুষ্ট করে এমন সমস্ত সমতাত্ত্বিক তত্ত্বের জন্য সাধারণ। যদি কেউ মাত্রা স্বতঃসিদ্ধটি (নীচে বর্ণিত) বাদ দেয়, তবে অবশিষ্ট স্বতঃসিদ্ধগুলি একটি অসাধারণ সমতাত্ত্বিক তত্ত্বকে সংজ্ঞায়িত করে। অসাধারণ কোহোমোলজি তত্ত্বগুলি প্রথম কে-তত্ত্ব এবং কোবোর্ডিজম-এ উদ্ভূত হয়েছিল। আনুষ্ঠানিক সংজ্ঞা আইলেনবার্গ-স্টিনরোড স্বতঃসিদ্ধগুলি টপোলজিকাল স্পেসের জোড়া বিভাগ থেকে আবেলিয়ান গোষ্ঠীর বিভাগ পর্যন্ত ফাংশনের একটি ক্রমের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য, একসাথে একটি প্রাকৃতিক রূপান্তর যা সীমানা মানচিত্র নামে পরিচিত (এখানে এর জন্য একটি শর্টহ্যান্ড রয়েছে। স্বতঃসিদ্ধগুলি হলঃ হোমোটোপিঃ হোমোটোপিক মানচিত্রগুলি সমতাত্ত্বিক ক্ষেত্রে একই মানচিত্রকে প্ররোচিত করে। অর্থাৎ, যদি সমস্থানিক হয়, তবে তাদের প্ররোচিত সমরূপতা একই। এক্সসিশনঃ যদি একটি জোড়া হয় এবং ইউ এ-এর একটি উপসেট হয় যাতে ইউ-এর ক্লোজার এ-এর অভ্যন্তরে থাকে, তবে অন্তর্ভুক্তি মানচিত্রটি সমরূপতায় একটি সমরূপতা প্ররোচিত করে। মাত্রাঃ ধরা যাক পি এক-বিন্দু স্থান; তারপর সকলের জন্য। যোগযোগ্যতাঃ যদি টপোলজিক্যাল স্পেসের একটি পরিবারের বিচ্ছিন্ন মিলন হয়, তবে সঠিকতাঃ প্রতিটি জোড়া (এক্স, এ) অন্তর্ভুক্তির মাধ্যমে হোমোলজিতে একটি দীর্ঘ সঠিক ক্রমকে প্ররোচিত করে এবংঃ যদি পি এক বিন্দু স্থান হয়, তবে তাকে সহগ গ্রুপ বলা হয়। উদাহরণস্বরূপ, সিঙ্গুলার হোমোলজিতে (পূর্ণসংখ্যা সহগগুলির সাথে নেওয়া হয়, যা সবচেয়ে সাধারণ) পূর্ণসংখ্যাগুলির সহগ রয়েছে। ফলস্বরূপ সমসংস্থান গোষ্ঠী সম্পর্কে কিছু তথ্য সরাসরি স্বতঃসিদ্ধ থেকে উদ্ভূত হতে পারে, যেমন সমস্থানিক সমতুল্য স্থানগুলিতে সমরূপ সমসংস্থান গোষ্ঠী রয়েছে। কিছু তুলনামূলকভাবে সহজ স্থানের সমরূপতা, যেমন এন-গোলক, সরাসরি স্বতঃসিদ্ধ থেকে গণনা করা যেতে পারে। এর থেকে সহজেই দেখানো যেতে পারে যে (এন-1)-গোলকটি এন-ডিস্কের প্রত্যাহার নয়। এটি ব্রাউয়ার স্থির বিন্দু উপপাদ্যের প্রমাণ হিসাবে ব্যবহৃত হয়। আয়তন স্বতঃসিদ্ধ একটি "সমতাত্ত্বিক-সদৃশ" তত্ত্ব যা আয়তন স্বতঃসিদ্ধ ব্যতীত আইলেনবার্গ-স্টিনরোড স্বতঃসিদ্ধের সমস্তটিকে সন্তুষ্ট করে, তাকে একটি অসাধারণ সমতাত্ত্বিক তত্ত্ব (দ্বৈতভাবে, অসাধারণ সমতাত্ত্বিক তত্ত্ব) বলা হয়। 1950-এর দশকে এগুলির গুরুত্বপূর্ণ উদাহরণ পাওয়া যায়, যেমন টপোলজিকাল কে-তত্ত্ব এবং কোবোর্ডিজম তত্ত্ব, যা অসাধারণ কোহোমোলজি তত্ত্ব এবং তাদের সাথে দ্বৈত সমতাত্ত্বিক তত্ত্ব নিয়ে আসে। আরও দেখুন জিগ-জ্যাগ লেম্মা নোটস রেফারেন্স হোমোলজি তত্ত্ব গাণিতিক স্বতঃসিদ্ধ