Small Latin squares and quasigroups
ল্যাটিন বর্গ এবং কোয়াসিগ্রুপগুলি সমতুল্য গাণিতিক বস্তু, যদিও প্রথমটির একটি সমন্বিত প্রকৃতি রয়েছে এবং পরেরটি আরও বীজগাণিতিক। নীচের তালিকাটি কিছু খুব ছোট ক্রমের উদাহরণ বিবেচনা করবে, যা বর্গক্ষেত্রের পাশের দৈর্ঘ্য বা সমতুল্য কোয়াসিগ্রুপের উপাদানগুলির সংখ্যা। সমতুল্যতা উপাদানগুলির সাথে একটি কোয়াসিগ্রুপ দেওয়া হলে, এর কাইলি টেবিল (প্রায় সর্বজনীনভাবে এর গুণন টেবিল বলা হয়) একটি টেবিল যা সীমানা অন্তর্ভুক্ত করে; কলাম হেডারের একটি উপরের সারি এবং সারি হেডারের একটি বাম কলাম। সীমানা অপসারণ একটি অ্যারে ছেড়ে যায় যা একটি ল্যাটিন বর্গক্ষেত্র। এই প্রক্রিয়াটি বিপরীত করা যেতে পারে, একটি ল্যাটিন বর্গক্ষেত্র দিয়ে শুরু করে, একটি কোয়াসিগ্রুপের গুণন সারণী পেতে একটি সীমানা সারি এবং কলাম প্রবর্তন করা যেতে পারে। যদিও এই সীমানাটি কীভাবে করা হয় তার মধ্যে সম্পূর্ণ স্বেচ্ছাচারিতা রয়েছে, বিভিন্ন পছন্দ দ্বারা প্রাপ্ত কোয়াসিগ্রুপগুলি কখনও কখনও নীচে দেওয়া অর্থে সমতুল্য। আইসোটোপি এবং আইসোমরফিজম দুটি ল্যাটিন বর্গ, 1 এবং 2 আকারের আইসোটোপিক হয় যদি 1 এর সারি, কলাম এবং প্রতীক থেকে যথাক্রমে 2 এর সারি, কলাম এবং প্রতীকগুলিতে তিনটি বাইজেকশন থাকে, যা 1 থেকে 2 এর মানচিত্র তৈরি করে। আইসোটোপি একটি সমতুল্য সম্পর্ক এবং সমতুল্য শ্রেণীগুলিকে আইসোটোপি শ্রেণী বলা হয়। সমতুল্যতার একটি শক্তিশালী রূপ বিদ্যমান। দুটি ল্যাটিন বর্গক্ষেত্র, সাধারণ প্রতীক সেট সহ পাশের 1 এবং 2 যা প্রতিটি বর্গক্ষেত্রের সারি এবং কলামগুলির জন্য সূচক সেট, যদি এমন একটি বাইজেকশন থাকে যা সকলের জন্য, ইন। আইসোমর্ফিক ল্যাটিন বর্গকে সংজ্ঞায়িত করার একটি বিকল্প উপায় হল বলা যে আইসোটোপিক ল্যাটিন বর্গগুলির একটি জোড়া আইসোমর্ফিক হয় যদি তিনটি বাইজেকশন দেখানোর জন্য ব্যবহৃত হয় যে তারা আইসোটোপিক আসলে সমান। সমরূপতা একটি সমতুল্য সম্পর্ক এবং এর সমতুল্য শ্রেণীগুলিকে সমরূপতা শ্রেণী বলা হয়। একটি ল্যাটিন বর্গক্ষেত্রের একটি বিকল্প উপস্থাপনা একটি অর্থোগোনাল অ্যারে দ্বারা দেওয়া হয়। ক্রমের একটি ল্যাটিন বর্গক্ষেত্রের জন্য এটি লেবেলযুক্ত কলাম সহ একটি 2 × 3 ম্যাট্রিক্স, এবং যার সারিগুলি ল্যাটিন বর্গক্ষেত্রের একক অবস্থানের সাথে মিলে যায়, যথা, অবস্থানের সারি, অবস্থানের কলাম এবং অবস্থানের প্রতীক। এইভাবে তিনটি ল্যাটিন বর্গক্ষেত্রের জন্য অর্থোগোনাল অ্যারেটি নিম্নরূপঃ একটি ল্যাটিন বর্গক্ষেত্রের প্রতিনিধিত্ব করার জন্য উপযুক্ত আকারের ম্যাট্রিক্সের শর্ত হল যে কোনও দুটি কলামের জন্য সেই কলামগুলির সারি দ্বারা নির্ধারিত ক্রমযুক্ত জোড়া হল 1 ≤ সহ সমস্ত জোড়া (), প্রতিটি একবার করে। এই বৈশিষ্ট্যটি তিনটি কলাম (তবে লেবেলগুলি নয়) ক্রমবিন্যাস করে হারিয়ে যায় না, তাই আরেকটি অর্থোগোনাল অ্যারে (এবং এইভাবে, আরেকটি ল্যাটিন বর্গক্ষেত্র) পাওয়া যায়। উদাহরণস্বরূপ, প্রথম দুটি কলামকে ক্রমবিন্যাস করে, যা বর্গক্ষেত্রকে স্থানান্তরিত করার সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ (এর প্রধান তির্যককে প্রতিফলিত করে) আরেকটি ল্যাটিন বর্গ দেয়, যা মূলটির সমস্থানিক হতে পারে বা নাও হতে পারে। এই ক্ষেত্রে, যদি এই ল্যাটিন বর্গের সাথে সম্পর্কিত কোয়াসিগ্রুপটি বিনিময়মূলক আইনকে সন্তুষ্ট করে, তবে নতুন ল্যাটিন বর্গটি মূলটির মতোই হবে। "কিছুই করবেন না" সহ মোট ছয়টি সম্ভাবনা রয়েছে, যা মূল বর্গক্ষেত্রের কনজুগেটস (এছাড়াও প্যারাস্ট্রফস) নামে সর্বাধিক ছয়টি ল্যাটিন বর্গ দেয়। দুটি ল্যাটিন বর্গকে প্যারাটোপিক বলা হয়, এছাড়াও প্রধান শ্রেণীর আইসোটোপিক, যদি তাদের মধ্যে একটি অন্যটির সংমিশ্রণে আইসোটোপিক হয়। এটি প্রধান শ্রেণী, প্রজাতি বা প্যারাটোপি শ্রেণী নামে পরিচিত সমতুল্য শ্রেণীর সঙ্গেও একটি সমতুল্য সম্পর্ক। প্রতিটি প্রধান শ্রেণীতে ছয়টি পর্যন্ত আইসোটোপি শ্রেণী রয়েছে। একটি প্রধান শ্রেণী হল আইসোটোপি শ্রেণীর একটি বিচ্ছিন্ন ইউনিয়ন এবং একটি আইসোটোপি শ্রেণী হল আইসোমরফিজম শ্রেণীর একটি বিচ্ছিন্ন ইউনিয়ন। আইসোটোপিক কোয়াসিগ্রুপ দুটি কোয়াসিগ্রুপ হতে হবে। অনটু থেকে বাইজেকশনগুলির একটি ক্রমযুক্ত ট্রিপলকে অনটু ফর অল ইন-এর আইসোটোপিজম বলা হয়। এই ধরনের কোয়াসিগ্রুপকে আইসোটোপিক বলা হয়। যদি উপরের সংজ্ঞায় থাকে তবে কোয়াসিগ্রুপগুলিকে আইসোমরফিক বলা হয়। ল্যাটিন বর্গক্ষেত্রের পরিস্থিতির বিপরীতে, যখন দুটি আইসোটোপিক কোয়াসিগ্রুপকে কেলি টেবিল (সীমান্তযুক্ত ল্যাটিন বর্গক্ষেত্র) দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়, তখন বিন্যাস এবং শুধুমাত্র সীমান্তের শিরোনামে কাজ করে এবং টেবিলের মূল অংশে কাজ করার সময় কলাম এবং সারি সরায় না। একটি কাইলি টেবিলের সারি এবং কলামগুলি (শিরোনাম সহ) বিন্যাস করলে এটি যে কোয়াসিগ্রুপকে সংজ্ঞায়িত করে তা পরিবর্তন হয় না, তবে, এই টেবিলের সাথে যুক্ত ল্যাটিন বর্গটি একটি আইসোটোপিক ল্যাটিন বর্গক্ষেত্রে বিন্যাসিত হবে। সুতরাং, একটি কাইলি টেবিলকে স্বাভাবিক করা (শিরোনাম সহ সারি এবং কলামগুলি বিন্যস্ত করে কিছু নির্দিষ্ট পূর্বনির্ধারিত ক্রমে সীমানা শিরোনাম স্থাপন করা) সম্পর্কিত ল্যাটিন বর্গক্ষেত্রের আইসোটোপি শ্রেণীকে সংরক্ষণ করে। উপরন্তু, যদি দুটি স্বাভাবিক কাইলি টেবিল আইসোমরফিক কোয়াসিগ্রুপের প্রতিনিধিত্ব করে তবে তাদের সম্পর্কিত ল্যাটিন বর্গগুলিও আইসোমরফিক। অতএব, একটি প্রদত্ত ক্রমের স্বতন্ত্র কোয়াসিগ্রুপের সংখ্যা হল সেই ক্রমের ল্যাটিন বর্গের আইসোমরফিজম শ্রেণীর সংখ্যা। ল্যাটিন বর্গক্ষেত্র (বা কোয়াসিগ্রুপ)-এ ব্যবহৃত প্রতীকগুলির সেটটি স্বেচ্ছাচারী এবং পৃথক প্রতীকগুলির কোনও অর্থ নেই, এমনকি অন্যান্য প্রসঙ্গে তাদের কোনও অর্থ থাকতে পারে। সুতরাং, যেহেতু প্রতীকের সেট} বা} ব্যবহার করা সবচেয়ে সাধারণ, তাই একজনকে অবশ্যই মনে রাখতে হবে যে এই প্রতীকগুলির কোনও সংখ্যাসূচক অর্থ নেই। এই বিষয়টির উপর জোর দেওয়ার জন্য, ছোট ল্যাটিন বর্গক্ষেত্রগুলি কখনও কখনও প্রতীক সেট হিসাবে বর্ণমালার অক্ষরগুলি ব্যবহার করে। ল্যাটিন বর্গক্ষেত্র গণনা যেহেতু একটি ল্যাটিন বর্গক্ষেত্র একটি সমন্বিত বস্তু, বর্গক্ষেত্র লেখার জন্য ব্যবহৃত প্রতীক সেটটি অপ্রাসঙ্গিক। সুতরাং, ল্যাটিন বর্গ হিসাবে, এগুলি একই হিসাবে বিবেচনা করা উচিতঃ এবং একইভাবে, এবং একই কারণে, এবং একই হিসাবে চিন্তা করা উচিত। সুতরাং, এবং বিভিন্ন ল্যাটিন বর্গ হিসাবে ভাবা যায় না। এই স্বজ্ঞাত যুক্তিটিকে আরও সুনির্দিষ্ট করা যেতে পারে। ল্যাটিন বর্গক্ষেত্র এবং বিভিন্ন উপায়ে সমস্থানিক। ধরা যাক () হল সেটের অনৈচ্ছিক বিন্যাস, যা পাঠানো হয় এবং পাঠানো হয়। তারপর আইসোটোপি} প্রথম বর্গক্ষেত্রের দুটি সারি বিনিময় করে দ্বিতীয় বর্গক্ষেত্র দেবে (যা হল পরিচয় বিন্যাস)। কিন্তু,} যা দুটি কলামকে বিনিময় করে তাও একটি আইসোটোপি, যা দুটি প্রতীককে বিনিময় করে। যাইহোক,} দুটি বর্গক্ষেত্রের মধ্যে একটি সমস্থানিক, এবং তাই, এই জোড়া বর্গক্ষেত্র সমরূপ। একটি প্রদত্ত ল্যাটিন বর্গক্ষেত্রের সমরূপতা শ্রেণী খুঁজে পাওয়া বড় ক্রমের বর্গক্ষেত্রের জন্য একটি কঠিন গণনামূলক সমস্যা হতে পারে। সমস্যাটি কিছুটা হ্রাস করার জন্য, একটি ল্যাটিন বর্গক্ষেত্রকে সর্বদা একটি মানক আকারে রাখা যেতে পারে যা হ্রাসকৃত বর্গক্ষেত্র নামে পরিচিত। একটি হ্রাসকৃত বর্গক্ষেত্রের উপরের সারির উপাদানগুলি প্রতীক সেটের জন্য কিছু প্রাকৃতিক ক্রমে লেখা থাকে (উদাহরণস্বরূপ, ক্রমবর্ধমান ক্রমে পূর্ণসংখ্যা বা বর্ণানুক্রমিক ক্রমে অক্ষর)। বাম কলামের এন্ট্রিগুলি একই ক্রমে রাখা হয়। যেহেতু এটি সারি এবং কলামের বিন্যাস দ্বারা করা যেতে পারে, তাই প্রতিটি ল্যাটিন বর্গক্ষেত্র একটি হ্রাসকৃত বর্গক্ষেত্রের সমস্থানিক। সুতরাং, প্রতিটি আইসোটোপি শ্রেণীতে অবশ্যই একটি হ্রাসকৃত ল্যাটিন বর্গ থাকতে হবে, তবে, একটি ল্যাটিন বর্গের একাধিক হ্রাসকৃত বর্গ থাকতে পারে যা সমস্থানিক। প্রকৃতপক্ষে, একটি প্রদত্ত সমরূপতা শ্রেণীতে একাধিক হ্রাসকৃত বর্গ থাকতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, চতুর্থ ক্রমের হ্রাসপ্রাপ্ত ল্যাটিন বর্গ এবং উভয়ই সমরূপতা শ্রেণীতে রয়েছে যার মধ্যে হ্রাসপ্রাপ্ত বর্গও রয়েছে এটি যথাক্রমে সমরূপতা {(3,4), (3,4), (3,4)} এবং {(2,3), (2,3), (2,3)} দ্বারা দেখানো যেতে পারে। যেহেতু আইসোটোপি শ্রেণীগুলি বিচ্ছিন্ন, তাই হ্রাসপ্রাপ্ত ল্যাটিন বর্গগুলির সংখ্যা আইসোটোপি শ্রেণীগুলির সংখ্যার উপর একটি ঊর্ধ্বসীমা দেয়। এছাড়াও, ল্যাটিন বর্গক্ষেত্রের মোট সংখ্যা হ্রাসকৃত বর্গক্ষেত্রের সংখ্যার গুণ। একটি হ্রাসকৃত ল্যাটিন বর্গক্ষেত্রের মতো একই পদ্ধতিতে একটি কোয়াসিগ্রুপের একটি কেলি টেবিলকে স্বাভাবিক করা যেতে পারে। তারপর একটি হ্রাসকৃত ল্যাটিন বর্গক্ষেত্রের সাথে যুক্ত কোয়াসিগ্রুপের একটি (দ্বিমুখী) পরিচয় উপাদান থাকে (যথা, সারির শিরোনামগুলির মধ্যে প্রথম উপাদান)। দ্বিমুখী পরিচয় সহ একটি কোয়াসিগ্রুপকে লুপ বলা হয়। কিছু, তবে সবগুলি নয়, লুপগুলি গোষ্ঠী। একটি গোষ্ঠী হওয়ার জন্য, সহযোগী আইনটিও অবশ্যই থাকতে হবে। আইসোটোপি অপরিবর্তনীয় ল্যাটিন বর্গক্ষেত্রের বিভিন্ন সাবস্ট্রাকচারের গণনা একে অপরের থেকে আলাদা করতে কার্যকর হতে পারে। এর মধ্যে কয়েকটি গণনা ল্যাটিন বর্গক্ষেত্রের প্রতিটি আইসোটোপের জন্য একই এবং এগুলিকে আইসোটোপি অপরিবর্তনীয় হিসাবে উল্লেখ করা হয়। এই ধরনের একটি অপরিবর্তনীয় হল 2 × 2 উপ-বর্গের সংখ্যা, যাকে ইন্টারক্যালেট বলা হয়। আরেকটি হল ট্রান্সভার্সালের মোট সংখ্যা, ক্রমের একটি ল্যাটিন বর্গক্ষেত্রের অবস্থানের একটি সেট, প্রতিটি সারিতে একটি এবং প্রতিটি কলামে একটি, যাতে কোনও উপাদান দুবার থাকে না। এই গণনাগুলির জন্য বিভিন্ন মান সহ ল্যাটিন বর্গগুলি অবশ্যই বিভিন্ন আইসোটোপি শ্রেণীতে থাকতে হবে। ইন্টারক্যালেটের সংখ্যাও একটি প্রধান শ্রেণী অপরিবর্তনীয়। অর্ডার 1 অর্ডার 1-এর জন্য প্রতীক 1 সহ শুধুমাত্র একটি ল্যাটিন বর্গক্ষেত্র এবং অন্তর্নিহিত সেট {1} সহ একটি কোয়াসিগ্রুপ রয়েছে; এটি একটি গ্রুপ, তুচ্ছ গ্রুপ। ক্রম 2 ক্রম দুই-এর শুধুমাত্র একটি হ্রাসকৃত ল্যাটিন বর্গক্ষেত্র রয়েছে (এবং মোট মাত্র দুটি), যথা, যেহেতু এই ক্রমের শুধুমাত্র একটি হ্রাসকৃত বর্গক্ষেত্র রয়েছে, তাই শুধুমাত্র একটি আইসোটোপি শ্রেণী রয়েছে। প্রকৃতপক্ষে, এই আইসোটোপি শ্রেণীটিও একটি আইসোমরফিজম শ্রেণী (উপরে দেখানো হয়েছে)। যেহেতু ল্যাটিন বর্গক্ষেত্রের একটি মাত্র সমরূপতা শ্রেণী রয়েছে, তাই দুই ক্রমের (সমরূপতা পর্যন্ত) একটি মাত্র কোয়াসিগ্রুপ রয়েছে এবং এটি সাধারণত Z/2Z দ্বারা চিহ্নিত গ্রুপ, যা দুই ক্রমের চক্রাকার গ্রুপ। ক্রম 3 এছাড়াও ক্রম তিন (12 এর মধ্যে) শুধুমাত্র একটি হ্রাস ল্যাটিন বর্গ আছে, সুতরাং, শুধুমাত্র একটি আইসোটোপি শ্রেণী আছে। যাইহোক, এই আইসোটোপি শ্রেণীটি পাঁচটি আইসোমরফিজম শ্রেণীর মিলন। পাঁচটি সমরূপতা শ্রেণীর মধ্যে তিনটিতে তিনটি করে ল্যাটিন বর্গ রয়েছে, একটিতে দুটি এবং একটিতে মাত্র একটি রয়েছে। হ্রাসকৃত বর্গটি তিনটি উপাদান সহ একটি সমরূপতা শ্রেণীতে রয়েছে এবং তাই সংশ্লিষ্ট কোয়াসিগ্রুপটি একটি লুপ, প্রকৃতপক্ষে এটি একটি গ্রুপ, Z/3Z, তিন ক্রমের চক্রাকার গ্রুপ। এই সমরূপতা শ্রেণীর প্রত্যেকটির একটি ল্যাটিন বর্গ প্রতিনিধি দ্বারা দেওয়া হয় (প্রতিটির নীচের সংখ্যাটি সংশ্লিষ্ট সমরূপতা শ্রেণীর বর্গের সংখ্যা): ক্রম 4 চারটি ক্রমের চারটি হ্রাসকৃত ল্যাটিন বর্গ রয়েছে (576 বর্গের মধ্যে)। এগুলি হলঃ এগুলির মধ্যে শেষ তিনটি আইসোমরফিক (উপরে দেখুন)। দুটি প্রধান শ্রেণী রয়েছে, দুটি আইসোটোপি শ্রেণী এবং 35টি আইসোমরফিজম শ্রেণী। 35টি কোয়াসিগ্রুপের মধ্যে মাত্র দুটি লুপ, এবং তারা আসলে গোষ্ঠী। উপরের প্রথম বর্গক্ষেত্রের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ হল ক্লেইন ফোর গ্রুপ, যেখানে অন্য তিনটি বর্গক্ষেত্রের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ হল Z/4Z চক্রাকার গ্রুপ। প্রথম বর্গক্ষেত্রে আটটি ট্রান্সভার্সাল এবং 12টি ইন্টারক্যালেট রয়েছে, যেখানে অন্যগুলির প্রত্যেকটিতে কোনও ট্রান্সভার্সাল এবং চারটি ইন্টারক্যালেট নেই। ক্লেইন ফোর গ্রুপের আইসোমরফিজম শ্রেণীর চারটি সদস্য রয়েছে, অন্যদিকে চক্রাকার গোষ্ঠীর আইসোমরফিজম শ্রেণীর 12টি সদস্য রয়েছে। 576টি ল্যাটিন বর্গক্ষেত্রের মধ্যে 288টি সুডোকুর 4×4 সংস্করণের সমাধান, যাকে কখনও কখনও শি ডোকু বলা হয়। পঞ্চম ক্রমের 161,280টি ল্যাটিন বর্গক্ষেত্রের মধ্যে 56টি হ্রাসকৃত বর্গক্ষেত্র রয়েছে। দুটি প্রধান শ্রেণী এবং মাত্র দুটি আইসোটোপি শ্রেণী রয়েছে, তবে 1,411টি আইসোমরফিজম শ্রেণী রয়েছে। ছয়টি আইসোমরফিজম শ্রেণী রয়েছে যার মধ্যে হ্রাসকৃত বর্গ রয়েছে, অর্থাৎ, ছয়টি লুপ রয়েছে, যার মধ্যে কেবল একটি গ্রুপ, পাঁচ ক্রমের চক্রাকার গ্রুপ। নীচে পাঁচটি ক্রমের দুটি হ্রাসকৃত ল্যাটিন বর্গ রয়েছে, প্রতিটি আইসোটোপি শ্রেণী থেকে একটি করে। প্রথম বর্গক্ষেত্রে 15টি ট্রান্সভার্সাল রয়েছে, কোনও আন্তঃসংযোগ নেই এবং এটি চক্রাকার গ্রুপ Z/5Z-এর সীমাহীন কেলি টেবিল। দ্বিতীয় বর্গক্ষেত্রে তিনটি ট্রান্সভার্সাল এবং চারটি ইন্টারক্যালেট রয়েছে। এটি এমন একটি লুপের প্রতিনিধিত্ব করে যা একটি গোষ্ঠী নয়, যেহেতু, উদাহরণস্বরূপ, 2 + (3 + 4) = 2 + 0 = 2, যেখানে (2 + 3) + 4 = 0 + 4 = 4, তাই সহযোগী সূত্রটি ধারণ করে না। ক্রম 6 থেকে 10 ল্যাটিন বর্গক্ষেত্রের সংখ্যা, ক্রম বাড়ার সাথে সাথে, কম্বিনেটোরিয়াল বিস্ফোরণ নামে পরিচিত ঘটনাটি প্রদর্শন করে; এমনকি আকারের ছোট বৃদ্ধির জন্যও বৈচিত্র্যের বিশাল বৃদ্ধি রয়েছে। মৌলিক গণনাগুলি পরবর্তী দুটি সারণিতে দেওয়া হয়েছে এবং এখানে যা উপস্থাপন করা হয়েছে তার বাইরে খুব বেশি কিছু সঠিকভাবে জানা যায় না। ইতিহাস এই বিবরণটি অনুসরণ করে। ল্যাটিন বর্গক্ষেত্রের গণনার একটি দীর্ঘ ইতিহাস রয়েছে, তবে প্রকাশিত বিবরণে অনেক ত্রুটি রয়েছে। 1782 খ্রিষ্টাব্দে অয়লার এবং 1890 খ্রিষ্টাব্দে কাইলি, উভয়েই পাঁচ ক্রম পর্যন্ত হ্রাসপ্রাপ্ত ল্যাটিন বর্গক্ষেত্রের সংখ্যা জানতেন। 1915 সালে, ম্যাকমাহন একটি ভিন্ন উপায়ে সমস্যাটির দিকে অগ্রসর হন, কিন্তু প্রাথমিকভাবে অর্ডার ফাইভের জন্য ভুল মান অর্জন করেন। 1890 সালে M.Frolov এবং 1901 সালে ট্যারি ছয় ক্রমের হ্রাসকৃত বর্গের সংখ্যা খুঁজে পান। এম. ফ্রোলভ সপ্তম ক্রমের হ্রাসকৃত বর্গগুলির একটি ভুল গণনা দিয়েছেন। আর. এ. ফিশার এবং এফ. ইয়েটস, ই. স্কনহার্ড্টের পূর্ববর্তী কাজ সম্পর্কে অজ্ঞ, ছয়টি পর্যন্ত আইসোটোপি শ্রেণীর অর্ডার দিয়েছেন। 1939 সালে, এইচ. ডব্লিউ. নর্টন অর্ডার সেভেনের 562টি আইসোটোপি ক্লাস খুঁজে পান, কিন্তু স্বীকার করেন যে তাঁর পদ্ধতি অসম্পূর্ণ ছিল। এ. সাডে, 1951 সালে, কিন্তু ব্যক্তিগতভাবে 1948 সালের আগে প্রকাশিত হয়েছিল, এবং পি. এন. সাক্সেনা আরও ক্লাস খুঁজে পেয়েছিলেন এবং 1966 সালে, ডি. এ. প্রিস উল্লেখ করেছিলেন যে এটি নর্টনের ফলাফলকে 564 আইসোটোপি ক্লাসে সংশোধন করেছে। যাইহোক, 1968 সালে, জে. ডব্লিউ. ব্রাউন 563 এর একটি ভুল মান ঘোষণা করেছিলেন, যা প্রায়শই পুনরাবৃত্তি করা হয়েছে। তিনি অষ্টম ক্রমের আইসোটোপি শ্রেণীর ভুল সংখ্যাও দিয়েছেন। এম. বি ইতিমধ্যে অষ্টম ক্রমের হ্রাসকৃত বর্গের সঠিক সংখ্যা খুঁজে পেয়েছেন। 1967 সালে ওয়েলস, এবং 1990 সালে আইসোটোপি শ্রেণীর সংখ্যা, জি. কোলেসোভা, সি. ডব্লিউ. এইচ দ্বারা। ল্যাম এবং এল. থিয়েল। অর্ডার নাইন-এর জন্য হ্রাসকৃত বর্গের সংখ্যা এস. ই. বাম্মেল এবং জে. রথস্টাইন, অর্ডার 10-এর জন্য বি. ডি. ম্যাককে এবং ই. রোগয়স্কি এবং অর্ডার 11-এর জন্য বি. ডি. ম্যাককে এবং আই. এম. ওয়ানলেস পেয়েছিলেন। আরও দেখুন ছোট গোষ্ঠীর তালিকা নোটস রেফারেন্স অ-সহযোগী বীজগণিত ল্যাটিন বর্গক্ষেত্র