Large set (combinatorics)
সমন্বিত গণিতে, ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার একটি বড় সেট এমন যে পারস্পরিকের অসীম যোগফল বিচ্ছিন্ন হয়। একটি ছোট সেট হল ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার যে কোনও উপসেট যা বড় নয়; অর্থাৎ, যার পারস্পরিক যোগফল একত্রিত হয়। বড় সেটগুলি মন্টজ-স্জাজ উপপাদ্য এবং গাণিতিক অগ্রগতির উপর এরদোস অনুমানের মধ্যে উপস্থিত হয়। উদাহরণস্বরূপ, ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার প্রতিটি সসীম উপসেট ছোট। সমস্ত ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার সেট একটি বড় সেট; এই বিবৃতিটি হারমোনিক সিরিজের বিচ্যুতির সমতুল্য। আরও সাধারণভাবে, যে কোনও গাণিতিক অগ্রগতি (অর্থাৎ, an + b ফর্মের সমস্ত পূর্ণসংখ্যার একটি সেট যার সাথে a ≤1, b ≤1 এবং n = 0,1,2,3,) একটি বড় সেট। বর্গ সংখ্যার সমষ্টি ছোট (বাসেল সমস্যা দেখুন)। ঘনক সংখ্যার সেট, 4র্থ শক্তির সেট ইত্যাদিও তাই। আরও সাধারণভাবে, ডিগ্রি 2 বা তার বেশি যে কোনও বহুপদের ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার মানগুলির সেট একটি ছোট সেট গঠন করে। 2-এর শক্তির সেট {1,2,4,8,.} একটি ছোট সেট, এবং একইভাবে যে কোনও জ্যামিতিক অগ্রগতি (অর্থাৎ, a ≤1, b ≤2 এবং n = 0,1,2,3, সহ abn ফর্মের আকারের সংখ্যার একটি সেট)। মৌলিক সংখ্যার সমষ্টি বড়। যমজ মৌলিক সংখ্যার সমষ্টি ছোট (ব্রুনের ধ্রুবক দেখুন)। মৌলিক শক্তির সমষ্টি যা মৌলিক নয় (অর্থাৎ, n ≤ 2 এবং p মৌলিক সহ pn ফর্মের সমস্ত সংখ্যা) ছোট যদিও মৌলিক সংখ্যাগুলি বড়। এই বৈশিষ্ট্যটি প্রায়শই বিশ্লেষণাত্মক সংখ্যা তত্ত্বে ব্যবহৃত হয়। আরও সাধারণভাবে, নিখুঁত শক্তির সেট ছোট; এমনকি শক্তিশালী সংখ্যার সেটও ছোট। সংখ্যার সেট যার একটি প্রদত্ত বেসে সম্প্রসারণ একটি প্রদত্ত অঙ্ক বাদ দেয় তা ছোট। উদাহরণস্বরূপ, পূর্ণসংখ্যার যে সেটটির দশমিক সম্প্রসারণে 7 অঙ্ক অন্তর্ভুক্ত নয় তা ছোট। এই ধরনের সিরিজকে কেম্পনার সিরিজ বলা হয়। যে কোনও সেট যার উপরের অ্যাসিম্পটোটিক ঘনত্ব শূন্য নয়, তা বড়। বৈশিষ্ট্য একটি ছোট সেটের প্রতিটি উপসেট ছোট। সীমাবদ্ধভাবে অনেকগুলি ছোট সেটের মিলন ছোট, কারণ দুটি অভিসারী সিরিজের যোগফল একটি অভিসারী সিরিজ। (সেট তাত্ত্বিক পরিভাষায়, ছোট সেটগুলি একটি আদর্শ গঠন করে।) প্রতিটি ছোট সেটের পরিপূরক বড়। মন্টজ-সাজাস উপপাদ্য বলে যে একটি সেট বড় হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি দ্বারা বিস্তৃত বহুপদগুলির সেট ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যার একটি বদ্ধ বিরতিতে অবিচ্ছিন্ন ফাংশনের অভিন্ন আদর্শ টপোলজিতে ঘন হয়। এটি স্টোন-ওয়েয়ারস্ট্রাস উপপাদ্যের একটি সাধারণীকরণ। বড় সেটগুলির সাথে জড়িত উন্মুক্ত সমস্যাগুলি পল এরদোস অনুমান করেছিলেন যে সমস্ত বড় সেটগুলিতে নির্বিচারে দীর্ঘ গাণিতিক অগ্রগতি রয়েছে। তিনি একটি প্রমাণের জন্য 3000 মার্কিন ডলার পুরস্কারের প্রস্তাব দিয়েছিলেন, যা তাঁর অন্য যে কোনও অনুমানের চেয়ে বেশি, এবং রসিকতা করে বলেছিলেন যে এই পুরস্কারের প্রস্তাব ন্যূনতম মজুরি আইন লঙ্ঘন করেছে। প্রশ্নটা এখনও খোলা। একটি প্রদত্ত সেট সাধারণভাবে বড় বা ছোট কিনা তা কীভাবে সনাক্ত করা যায় তা জানা যায় না। ফলস্বরূপ, এমন অনেক সেট রয়েছে যা বড় বা ছোট বলে জানা যায় না। আরও দেখুন নোটস রেফারেন্স এ. ডি. ওয়াধওয়া (1975)। হারমোনিক সিরিজের একটি আকর্ষণীয় সাব-সিরিজ। আমেরিকান গাণিতিক মাসিক 82 (9) 931-933। কম্বিনেটরিকস পূর্ণসংখ্যা ক্রম গাণিতিক সিরিজ