Reflection theorem
বীজগাণিতিক সংখ্যা তত্ত্বে, প্রতিফলন উপপাদ্য বা স্পিগেলুংস্যাটজ (প্রতিফলন উপপাদ্যের জন্য জার্মান-স্পিগেল এবং স্যাটজ দেখুন) হল বিভিন্ন আদর্শ শ্রেণী গোষ্ঠীর (বা রশ্মি শ্রেণী গোষ্ঠী) আকার বা একটি শ্রেণী গোষ্ঠীর বিভিন্ন সমজাতীয় উপাদানের আকারকে সংযুক্ত করে এমন উপপাদ্যগুলির একটি সংগ্রহ। মূল উদাহরণটি আর্নস্ট এডুয়ার্ড কামারের কারণে, যিনি দেখিয়েছিলেন যে সাইক্লোটোমিক ক্ষেত্রের শ্রেণী সংখ্যা, p একটি মৌলিক সংখ্যা সহ, p দ্বারা বিভাজ্য হবে যদি সর্বাধিক বাস্তব উপক্ষেত্রের শ্রেণী সংখ্যা হয়। আরেকটি উদাহরণ হল স্কলজ। তাঁর উপপাদ্যের একটি সরলীকৃত সংস্করণে বলা হয়েছে যে, যদি 3 একটি বাস্তব দ্বিঘাত ক্ষেত্রের শ্রেণী সংখ্যাকে ভাগ করে, তবে 3 কাল্পনিক দ্বিঘাত ক্ষেত্রের শ্রেণী সংখ্যাকেও ভাগ করে। লিওপোল্টের স্পিগেলুংস্যাটজ উপরের দুটি ফলাফলই লিওপোল্টের "স্পিগেলুংস্যাটজ" দ্বারা সাধারণীকরণ করা হয়েছে, যা একটি গ্যালোইস এক্সটেনশনের গ্যালোইস গ্রুপের উপর একটি মডিউল হিসাবে বিবেচিত একটি সংখ্যা ক্ষেত্রের শ্রেণী গোষ্ঠীর বিভিন্ন আইসোটাইপিক উপাদানগুলির পি-র্যাঙ্কের সাথে সম্পর্কিত। ধরা যাক, এল/কে সংখ্যা ক্ষেত্রের একটি সসীম গ্যালোয়া সম্প্রসারণ, যার গ্রুপ জি, ডিগ্রি প্রাইম থেকে পি এবং এল একতার পি-তম মূল ধারণ করে। ধরা যাক, A হল L-এর শ্রেণীগোষ্ঠীর p-সাইলো উপগোষ্ঠী। ধরা যাক, φ গ্রুপ রিং Qp [G]-এর অপরিবর্তনীয় অক্ষরগুলির উপর দিয়ে চলে এবং Aφ হল A-এর সংশ্লিষ্ট সরাসরি যোগফলকে নির্দেশ করে। যে কোনও φ-এর জন্য q = pφ (1) ধরা যাক এবং G-র্যাঙ্কের eφ-কে সূচকে সূচক হিসাবে ধরা যাক ω G-এর অক্ষর হতে হবে প্রতিফলন (স্পিগেলাং) φ * দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয় E-কে K-এর একক গোষ্ঠী হতে দিন। ধরা যাক δφ হল E0-এর φ উপাদানের G-র্যাঙ্ক। স্পিগেলুংস্যাটজ বলেছে যে এই স্পিগেলুংস্যাটজের এক্সটেনশনগুলি ওরিয়াট এবং ওরিয়াট-স্যাটজ দ্বারা দেওয়া হয়েছিল, যেখানে শ্রেণী গোষ্ঠীগুলি আর কে/কে-এর গ্যালোইস গোষ্ঠীর অক্ষরগুলির সাথে যুক্ত ছিল না, বরং কে/কে-এর গ্যালোইস গোষ্ঠীর উপর একটি গ্রুপ রিংয়ের আদর্শ দ্বারা যুক্ত ছিল। লিওপোল্টের স্পিগেলুংস্যাটজকে কুরোডা একটি ভিন্ন দিকে সাধারণীকরণ করেছিলেন, যিনি এটিকে রশ্মি শ্রেণী গোষ্ঠী সম্পর্কে একটি বিবৃতিতে প্রসারিত করেছিলেন। এটি জর্জ গ্রাস-এর খুব সাধারণ "টি-এস প্রতিফলন উপপাদ্য"-এ আরও বিকশিত হয়েছিল। কেনকিচি ইওয়াসাওয়া একটি ইওয়াসাওয়া-তাত্ত্বিক প্রতিফলন উপপাদ্যও প্রদান করেছিলেন। বীজগাণিতিক সংখ্যা তত্ত্বের উপপাদ্য