Binary icosahedral group
গণিতে, বাইনারি আইকোসাহেড্রাল গ্রুপ 2I বা 120 ক্রমের একটি নির্দিষ্ট ননবেলিয়ান গ্রুপ। এটি ক্রম 2-এর চক্রাকার গ্রুপ দ্বারা ক্রম 60-এর আইকোসাহেড্রাল গ্রুপ I বা (2,3,5)-এর একটি সম্প্রসারণ, এবং স্পিন গ্রুপ দ্বারা বিশেষ অর্থোগোনাল গ্রুপের সমরূপতা আচ্ছাদনকারী 2:1-এর অধীনে আইকোসাহেড্রাল গ্রুপের প্রাথমিক চিত্র। এটি অনুসরণ করে যে বাইনারি আইকোসাহেড্রাল গ্রুপটি 120 ক্রমের স্পিন (3) এর একটি বিচ্ছিন্ন উপগোষ্ঠী। এটি পূর্ণ আইকোসাহেড্রাল গ্রুপের সাথে বিভ্রান্ত হওয়া উচিত নয়, যা 120 ক্রমের একটি ভিন্ন গ্রুপ এবং বরং অর্থোগোনাল গ্রুপ ও (3) এর একটি উপগোষ্ঠী। বাইনারি আইকোসাহেড্রাল গ্রুপকে একক কোয়াটারনিয়নের একটি বিচ্ছিন্ন উপগোষ্ঠী হিসাবে সহজেই বর্ণনা করা হয়, আইসোমরফিজমের অধীনে যেখানে স্প (1) একক কোয়াটারনিয়নের গুণিতক গোষ্ঠী। (এই সমরূপতার বর্ণনার জন্য কোয়াটারনিয়ন এবং স্থানিক ঘূর্ণন সম্পর্কিত নিবন্ধটি দেখুন।) উপাদানগুলি স্পষ্টতই, বাইনারি আইকোসাহেড্রাল গ্রুপকে নিম্নলিখিত ভেক্টরগুলির সমস্ত জোড় বিন্যাসের মিলন হিসাবে দেওয়া হয়েছেঃ 96 জোড় বিন্যাসের 16 জোড় বিন্যাসের 8 জোড় বিন্যাস এখানে সোনার অনুপাত। মোট 120টি উপাদান রয়েছে, যথা একক আইকোসিয়ান। এগুলির প্রত্যেকটির একক মাত্রা রয়েছে এবং তাই একক কোয়াটারনিয়ন গ্রুপ স্প (1)-এ রয়েছে। 4-মাত্রিক স্থানের 120টি উপাদান 600-কোষের 120টি শীর্ষের সাথে মিলে যায়, যা একটি নিয়মিত 4-পলিটোপ। বৈশিষ্ট্য কেন্দ্রীয় সম্প্রসারণ বাইনারি আইকোসাহেড্রাল গ্রুপ, 2I দ্বারা চিহ্নিত, আইকোসাহেড্রাল গ্রুপের সর্বজনীন নিখুঁত কেন্দ্রীয় সম্প্রসারণ, এবং এইভাবে এটি কোয়াসিসিম্পলঃ এটি একটি সাধারণ গোষ্ঠীর একটি নিখুঁত কেন্দ্রীয় সম্প্রসারণ। স্পষ্টতই, এটি সংক্ষিপ্ত সঠিক ক্রমের সাথে খাপ খায় এই ক্রমটি বিভক্ত হয় না, যার অর্থ 2I হল I দ্বারা {±1}-এর অর্ধ-পরোক্ষ গুণফল নয়। প্রকৃতপক্ষে, I-এর সমতুল্য 2I-এর কোনও উপগোষ্ঠী নেই। 2আই-এর কেন্দ্র হল উপগোষ্ঠী {±1}, যাতে অভ্যন্তরীণ অটোমরফিজম গ্রুপটি আই-এর সমতুল্য হয়। পূর্ণ অটোমরফিজম গ্রুপটি S5 (5 অক্ষরের প্রতিসম গ্রুপ)-এর সমরূপ, ঠিক যেমন-2I-এর যে কোনও অটোমরফিজম কেন্দ্রের অ-তুচ্ছ উপাদানকে স্থির করে (), তাই I-এর অটোমরফিজমে নেমে আসে এবং বিপরীতভাবে, I-এর যে কোনও অটোমরফিজম 2I-এর অটোমরফিজমে উন্নীত হয়, যেহেতু I-এর জেনারেটরগুলির উত্তোলন 2I-এর জেনারেটর (বিভিন্ন লিফট একই অটোমরফিজম দেয়)। অতি নিখুঁত বাইনারি আইকোসাহেড্রাল গ্রুপটি নিখুঁত, যার অর্থ এটি তার কমিউটেটর উপগোষ্ঠীর সমান। প্রকৃতপক্ষে, 2আই হল 120 ক্রমের অনন্য নিখুঁত গোষ্ঠী। এর ফলে 2I সমাধানযোগ্য নয়। উপরন্তু, বাইনারি আইকোসাহেড্রাল গ্রুপটি অতি নিখুঁত, যার অর্থ বিমূর্তভাবে যে এর প্রথম দুটি গ্রুপ হোমোলজি গ্রুপ অদৃশ্য হয়ে যায়ঃ সুনির্দিষ্টভাবে, এর অর্থ হল যে এর আবেলিয়ানাইজেশন তুচ্ছ (এটির কোনও অ-তুচ্ছ আবেলিয়ান কোটিয়েন্ট নেই) এবং এর শুর গুণক তুচ্ছ (এটির কোনও অ-তুচ্ছ নিখুঁত কেন্দ্রীয় সম্প্রসারণ নেই)। প্রকৃতপক্ষে, বাইনারি আইকোসাহেড্রাল গ্রুপ হল সবচেয়ে ছোট (অ-তুচ্ছ) সুপারপারফেক্ট গ্রুপ। বাইনারি আইকোসাহেড্রাল গ্রুপটি অ্যাসাইক্লিক নয়, তবে, Hn (2I, Z) n = 4k + 3-এর জন্য 120 ক্রমের চক্রাকার এবং অন্যথায় n> 0-এর জন্য তুচ্ছ। প্রকৃতপক্ষে, বাইনারি আইকোসাহেড্রাল গ্রুপ স্পিন (3)-এর একটি উপগোষ্ঠী, এবং আইকোসাহেড্রাল গ্রুপকে অন্তর্ভুক্ত করে, যা এস. ও (3)-এর একটি উপগোষ্ঠী। সংক্ষেপে, আইকোসাহেড্রাল গ্রুপটি 4-সিম্প্লেক্সের প্রতিসাম্যের সমতুল্য, যা এস. ও (4)-এর একটি উপগোষ্ঠী, এবং বাইনারি আইকোসাহেড্রাল গ্রুপটি স্পিন (4)-এ এর দ্বৈত আবরণের সমতুল্য। লক্ষ্য করুন যে প্রতিসম গোষ্ঠীর একটি 4-মাত্রিক উপস্থাপনা রয়েছে (-সিম্প্লেক্সের পূর্ণ প্রতিসাম্য হিসাবে এটির স্বাভাবিক সর্বনিম্ন-মাত্রিক অপরিবর্তনীয় উপস্থাপনা), এবং 4-সিম্প্লেক্সের সম্পূর্ণ প্রতিসাম্যগুলি এইভাবে পূর্ণ আইকোসাহেড্রাল গ্রুপ নয় (এগুলি 120 ক্রমের দুটি ভিন্ন গ্রুপ)। বাইনারি আইকোসাহেড্রাল গ্রুপকে বিকল্প গ্রুপের দ্বৈত আবরণ হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে যা এই আইসোমরফিজমটি বিকল্প গ্রুপের সাথে আইকোসাহেড্রাল গ্রুপের আইসোমরফিজমকে অন্তর্ভুক্ত করে। ঠিক যেমন একটি বিচ্ছিন্ন উপগোষ্ঠী, ডাবল ওভারের একটি পৃথক উপগোষ্ঠী, যথা। তারপর থেকে 2-1 সমরূপতা 2-1 সমরূপতায় সীমাবদ্ধ থাকে। কেউ দেখাতে পারে যে বাইনারি আইকোসাহেড্রাল গ্রুপটি বিশেষ রৈখিক গ্রুপ এসএল (2,5)-এর সমতুল্য-একক নির্ধারক সহ সীমাবদ্ধ ক্ষেত্র এফ 5-এর উপর সমস্ত 2 × 2 ম্যাট্রিক্সের গ্রুপ; এটি প্রজেক্টিভ বিশেষ রৈখিক গ্রুপ পিএসএল (2,5)-এর ব্যতিক্রমী সমরূপতাকে অন্তর্ভুক্ত করে। ব্যতিক্রমী সমরূপতাও লক্ষ্য করুন, যা 120 ক্রমের একটি ভিন্ন গোষ্ঠী, যার মধ্যে এস. এল, জি. এল, পি. এস. এল, পি. জি. এল-এর বিনিময় বর্গ একটি বিনিময় বর্গের সমরূপ, যার মধ্যে স্পিন (4), পিন (4), এস. ও (4), ও (4)-এর বিনিময় বর্গের উপগোষ্ঠীর সমরূপ। উপস্থাপনা গ্রুপ 2I-এর একটি উপস্থাপনা রয়েছে যা দ্বারা বা সমতুল্যভাবে দেওয়া হয়েছে, এই সম্পর্কগুলির সাথে জেনারেটরগুলি উপগোষ্ঠী দ্বারা দেওয়া হয় 2I-এর একমাত্র সঠিক স্বাভাবিক উপগোষ্ঠী হল কেন্দ্র {±1}। তৃতীয় সমরূপতা উপপাদ্য অনুসারে, 2আই-এর উপগোষ্ঠী এবং আই-এর উপগোষ্ঠীর মধ্যে একটি গ্যালোয়া সংযোগ রয়েছে, যেখানে 2আই-এর উপগোষ্ঠীর ক্লোজার অপারেটরকে {±1} দ্বারা গুণ করা হয়। ক্রম 2-এর একমাত্র উপাদান, তাই এটি জোড় ক্রমের সমস্ত উপগোষ্ঠীর মধ্যে রয়েছেঃ সুতরাং 2I-এর প্রতিটি উপগোষ্ঠী হয় বিজোড় ক্রমের হয় বা I-এর একটি উপগোষ্ঠীর প্রাথমিক চিত্র। বিভিন্ন উপাদান দ্বারা উৎপন্ন চক্রাকার গোষ্ঠীগুলি ছাড়াও (যেগুলির বিজোড় ক্রম থাকতে পারে), 2আই-এর (সংমিশ্রণ পর্যন্ত) একমাত্র অন্যান্য উপগোষ্ঠীগুলি হলঃ বাইনারি ডাইহেড্রাল গোষ্ঠী, ডি. আই. সি. 5 = কিউ. 20 = ̃ <আই. ডি. 1> ও. এল. এ, ক্রম 20 এবং ডি. আই. সি. 3 = কিউ. 12 = ̃ <আই. ডি. 2> ও. এল. এ। 8টি লিপশিটজ একক নিয়ে গঠিত কোয়াটারনিয়ন গোষ্ঠী সূচক 15-এর একটি উপগোষ্ঠী গঠন করে, যা ডাইসাইক্লিক গোষ্ঠী ডি. আই. সি. 2; এটি একটি প্রান্তের স্থিতিশীলকে অন্তর্ভুক্ত করে। 24টি হারউইৎজ একক একটি সূচক 5 উপগোষ্ঠী গঠন করে যা বাইনারি টেট্রাহেড্রাল গ্রুপ নামে পরিচিত; এটি একটি কাইরাল টেট্রাহেড্রাল গ্রুপকে অন্তর্ভুক্ত করে। এই গ্রুপটি স্ব-স্বাভাবিক তাই এর কনজুগেসি ক্লাসে 5 জন সদস্য রয়েছে (এটি একটি মানচিত্র দেয় যার চিত্রটি)। 4-মাত্রিক প্রতিসাম্য গোষ্ঠীর সঙ্গে সম্পর্ক আইকোসাহেড্রাল প্রতিসাম্য গোষ্ঠীর 4-মাত্রিক এনালগ হল 600-কোষের প্রতিসাম্য গোষ্ঠী (এছাড়াও এর দ্বৈত, 120-কোষের)। ঠিক যেমন প্রথমটি এইচ3 প্রকারের কক্সেটার গ্রুপ, পরেরটি এইচ4 প্রকারের কক্সেটার গ্রুপ, যা [3,3,5] হিসাবেও চিহ্নিত করা হয়। এর ঘূর্ণন উপগোষ্ঠী, যা [3,3,5] + হিসাবে চিহ্নিত, হল SO (4)-এ বসবাসকারী 7200 ক্রমের একটি গোষ্ঠী। এস. ও (4)-এর স্পিন (4) নামে একটি দ্বৈত আবরণ রয়েছে ঠিক যেমন স্পিন (3) হল এস. ও (3)-এর দ্বৈত আবরণ। সমরূপতা স্পিন (3) = স্প (1)-এর অনুরূপ, স্পিন (4) গ্রুপটি স্প (1) × স্প (1)-এর সমরূপ। স্পিন (4)-এ (2আই-এর একটি চার-মাত্রিক এনালগ) [3,3,5] +-এর প্রিমেজ হল 14400 ক্রমের পণ্য গোষ্ঠী 2আই × 2আই। 600-কোষের ঘূর্ণন প্রতিসাম্য গোষ্ঠীটি তখন [3,3,5] + = (2I × 2I)/{±1} হয়। 2I থেকে অন্যান্য বিভিন্ন 4-মাত্রিক প্রতিসাম্য গোষ্ঠী তৈরি করা যেতে পারে। বিস্তারিত জানতে দেখুন (কনওয়ে এবং স্মিথ, 2003)। প্রয়োগ কোসেট স্পেস স্পিন (3)/2I = S3/2I হল একটি গোলাকার 3-ম্যানিফোল্ড যা পয়েনকারে হোমোলজি গোলক নামে পরিচিত। এটি একটি সমতাত্ত্বিক গোলকের উদাহরণ, অর্থাৎ। একটি 3-ম্যানিফোল্ড যার সমতুল্য গোষ্ঠীগুলি 3-গোলকের সমতুল্য। পয়েনকারে গোলকের মৌলিক গ্রুপটি বাইনারি আইকোসাহেড্রাল গ্রুপের সমতুল্য, কারণ পয়েনকারে গোলকটি বাইনারি আইকোসাহেড্রাল গ্রুপের 3-গোলকের ভাগফল। আরও দেখুন বাইনারি পলিহেড্রাল গ্রুপ বাইনারি সাইক্লিক গ্রুপ, 2n বাইনারি ডাইহেড্রাল গ্রুপ, 2n বাইনারি ডাইহেড্রাল গ্রুপ, 4n বাইনারি টেট্রাহেড্রাল গ্রুপ, 2T = 75 2,3,3  আহাত, 24 বাইনারি অক্টা-হেড্রাল গ্রুপ, 2O = 75 2,3,4  আহাত, অর্ডার 48 রেফারেন্স 6.5 বাইনারি পলিহেড্রাল গ্রুপ, পৃ. 68 নোটস ইকোসাহেড্রাল