Pseudoconvex function
উত্তল বিশ্লেষণ এবং বৈচিত্র্যের গণনায়, গণিতের উভয় শাখায়, একটি সিউডোকনভেক্স ফাংশন এমন একটি ফাংশন যা তার স্থানীয় মিনিমা খুঁজে পাওয়ার ক্ষেত্রে উত্তল ফাংশনের মতো আচরণ করে, তবে প্রকৃতপক্ষে উত্তল হওয়ার প্রয়োজন নেই। অনানুষ্ঠানিকভাবে, একটি ডিফারেনশিয়েবল ফাংশন হল সিউডোকনভেক্স যদি এটি এমন কোনও দিকে বৃদ্ধি পায় যেখানে এটির একটি ধনাত্মক দিকনির্দেশক ডেরিভেটিভ থাকে। সম্পত্তিটি অবশ্যই সমস্ত ফাংশন ডোমেনে থাকতে হবে, এবং শুধুমাত্র নিকটবর্তী পয়েন্টগুলির জন্য নয়। আনুষ্ঠানিক সংজ্ঞা একটি পৃথকীকরণযোগ্য ফাংশন বিবেচনা করুন, যা সসীম-মাত্রিক ইউক্লিডীয় স্থানের একটি (অ-খালি) উত্তল উন্মুক্ত সেটের উপর সংজ্ঞায়িত। এই ফাংশনটিকে সিউডোকনভেক্স বলা হয় যদি নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্যটি ধারণ করেঃ সমতুল্যঃ এখানে এর গ্রেডিয়েন্ট রয়েছে, যার দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়েছেঃ লক্ষ্য করুন যে সংজ্ঞাটি ভেক্টর দ্বারা প্রদত্ত দিকের দিকনির্দেশক ডেরিভেটিভের পরিপ্রেক্ষিতেও বলা যেতে পারে। এর কারণ হল, ডিফারেনশিয়েবল হিসাবে, এই দিকনির্দেশক ডেরিভেটিভটি দ্বারা দেওয়া হয়ঃ অন্যান্য ধরনের "উত্তলতার" সাথে বৈশিষ্ট্যের সম্পর্ক প্রতিটি উত্তল ফাংশন সিউডোকনভেক্স, তবে বিপরীতটি সত্য নয়। উদাহরণস্বরূপ, ফাংশনটি সিউডোকনভেক্স কিন্তু উত্তল নয়। একইভাবে, যে কোনও সিউডোকনভেক্স ফাংশন হল কোয়াসিকোনেভেক্স; কিন্তু বিপরীতটি সত্য নয়, কারণ ফাংশনটি কোয়াসিকোনেভেক্স কিন্তু সিউডোকনভেক্স নয়। এটিকে পরিকল্পিতভাবে সংক্ষেপে বলা যেতে পারেঃ এটি সিউডোকনভেক্স নয় তা দেখতে, এর ব্যুৎপত্তিটি এখানে বিবেচনা করুনঃ তারপর, যদি সিউডোকনভেক্স হয়, তাহলে আমাদের থাকা উচিতঃ বিশেষ করে এটি এর জন্য সত্য হওয়া উচিত। কিন্তু তা নয়, যেমনঃ পর্যাপ্ত অনুকূলতার শর্ত যে কোনও পৃথকীকরণযোগ্য ফাংশনের জন্য, আমাদের কাছে ফার্ম্যাটের উপপাদ্যের অনুকূলতার প্রয়োজনীয় শর্ত রয়েছে, যা বলে যেঃ যদি একটি উন্মুক্ত ডোমেনে স্থানীয় সর্বনিম্ন থাকে, তবে অবশ্যই (অর্থাৎঃ) এর একটি স্থির বিন্দু হতে হবে। অপ্টিমাইজেশনের ক্ষেত্রে সিউডোকনভেক্সিটির খুব আগ্রহ রয়েছে, কারণ বিপরীতটি যে কোনও সিউডোকনভেক্স ফাংশনের ক্ষেত্রেও সত্য। অর্থাৎঃ যদি একটি সিউডোকনভেক্স ফাংশনের একটি স্থির বিন্দু হয়, তবে এর একটি বিশ্বব্যাপী সর্বনিম্ন থাকে। এছাড়াও লক্ষ্য করুন যে ফলাফলটি একটি বিশ্বব্যাপী ন্যূনতম (শুধুমাত্র স্থানীয় নয়) নিশ্চিত করে। এই শেষ ফলাফলটি একটি উত্তল ফাংশনের ক্ষেত্রেও সত্য, তবে এটি একটি কোয়াসিকোভেক্স ফাংশনের ক্ষেত্রেও সত্য নয়। উদাহরণস্বরূপ, কোয়াসিকোভেক্স ফাংশনটি বিবেচনা করুনঃ এই ফাংশনটি সিউডোকনভেক্স নয়, এটি কোয়াসিকোভেক্স। এছাড়াও, পয়েন্টটি একটি সমালোচনামূলক পয়েন্ট। যাইহোক, একটি বিশ্বব্যাপী ন্যূনতম নেই (এমনকি একটি স্থানীয় ন্যূনতম নয়)। পরিশেষে, লক্ষ্য করুন যে একটি সিউডোকনভেক্স ফাংশনের কোনও সমালোচনামূলক বিন্দু নাও থাকতে পারে। উদাহরণস্বরূপ সিউডোকনভেক্স ফাংশনঃ নিন, যার অন্তরজ সর্বদা ধনাত্মক হয়ঃ। উদাহরণ একটি ফাংশনের উদাহরণ যা সিউডোকনভেক্স, কিন্তু উত্তল নয়, তা হলঃ চিত্রটি যেখানে এই ফাংশনটি দেখায়। এই উদাহরণটিকে দুটি চলক হিসাবে সাধারণীকরণ করা যেতে পারেঃ পূর্ববর্তী উদাহরণটি এমন একটি ফাংশন পাওয়ার জন্য সংশোধন করা যেতে পারে যা উত্তল বা সিউডোকনভেক্স নয়, তবে কোয়াসিকোনেভেক্সঃ চিত্রটি যেখানে এই ফাংশনটি দেখায়। যেমনটি দেখা যায়, অবতলতার কারণে এই ফাংশনটি উত্তল নয়, এবং এটি সিউডোকনভেক্স নয় কারণ এটিতে এটি ডিফারেনশিয়েবল নয়। ননডিফারেন্সিয়াল ফাংশনে সাধারণীকরণ সিউডোকনভেক্সিটির ধারণাকে নিম্নরূপ ননডিফারেন্সিয়াল ফাংশনে সাধারণীকরণ করা যেতে পারে। যে কোনও ফাংশন দেওয়া হলে, আমরা এর উপরের ডিনি ডেরিভেটিভকে সংজ্ঞায়িত করতে পারিঃ যেখানে u হল যে কোনও একক ভেক্টর। ফাংশনটিকে সিউডোকনভেক্স বলা হয় যদি এটি এমন কোনও দিকে বৃদ্ধি পায় যেখানে উপরের ডিনি ডেরিভেটিভ ধনাত্মক হয়। আরও সুনির্দিষ্টভাবে, এটি নিম্নরূপ উপ-পার্থক্যের পরিপ্রেক্ষিতে চিহ্নিত করা হয়ঃ যেখানে x এবং y সংলগ্ন রেখা বিভাগকে বোঝায়। সম্পর্কিত ধারণা এ হল এমন একটি ফাংশন যার ঋণাত্মক হল সিউডোকনভেক্স। এ হল এমন একটি ফাংশন যা সিউডোকনভেক্স এবং সিউডোকনকেভ উভয়ই। উদাহরণস্বরূপ, রৈখিক-ভগ্নাংশ প্রোগ্রামগুলির ছদ্মবেশী উদ্দেশ্যমূলক ফাংশন এবং রৈখিক-অসম মানের সীমাবদ্ধতা রয়েছে। এই বৈশিষ্ট্যগুলি সিম্প্লেক্স অ্যালগরিদমের (জর্জ বি. ড্যান্টজিগের) একটি বৈকল্পিক দ্বারা ভগ্নাংশ-রৈখিক সমস্যাগুলি সমাধান করার অনুমতি দেয়। একটি ভেক্টর-মূল্যবান ফাংশন দেওয়া হলে,-সিউডোকনভেক্সিটি এবং-সিউডোলিনিয়ারিটির আরও সাধারণ ধারণা রয়েছে; যেখানে ধ্রুপদী সিউডোকনভেক্সিটি এবং সিউডোলিনিয়ারিটি কখন হয় তার সাথে সম্পর্কিত। আরও দেখুন সিউডোকনভেক্সিটি কনভেক্স ফাংশন কোয়াসিকোনেভেক্স ফাংশন ইনভেক্স ফাংশন নোটস রেফারেন্স। । কনভেক্স বিশ্লেষণ কনভেক্স অপ্টিমাইজেশন সাধারণীকৃত কনভেক্সিটি প্রকারের ফাংশন