Holomorphic functional calculus
গণিতে, হলোমর্ফিক কার্যকরী ক্যালকুলাস হল হলোমর্ফিক ফাংশন সহ কার্যকরী ক্যালকুলাস। অর্থাৎ, একটি জটিল আর্গুমেন্ট z এবং একটি অপারেটর T-এর একটি হোলোমর্ফিক ফাংশন দেওয়া হলে, লক্ষ্য হল একটি অপারেটর, f (T) তৈরি করা, যা স্বাভাবিকভাবেই জটিল আর্গুমেন্ট থেকে অপারেটর আর্গুমেন্টে ফাংশন f-কে প্রসারিত করে। আরও সুনির্দিষ্টভাবে বলতে গেলে, কার্যকরী ক্যালকুলাস টি-এর বর্ণালীর আশেপাশের হোলোমর্ফিক ফাংশন থেকে সীমাবদ্ধ অপারেটর পর্যন্ত একটি অবিচ্ছিন্ন বীজগণিত সমরূপতাকে সংজ্ঞায়িত করে। এই নিবন্ধটি সেই বিষয়টি নিয়ে আলোচনা করবে যেখানে টি কিছু বানাচ স্পেসে একটি সীমাবদ্ধ রৈখিক অপারেটর। বিশেষত, টি জটিল এন্ট্রি সহ একটি বর্গাকার ম্যাট্রিক্স হতে পারে, একটি কেস যা কার্যকরী ক্যালকুলাস চিত্রিত করতে এবং সাধারণ নির্মাণের সাথে জড়িত অনুমানগুলির জন্য কিছু অনুসন্ধানমূলক অন্তর্দৃষ্টি প্রদান করতে ব্যবহৃত হবে। একটি সাধারণ কার্যকরী গণনার জন্য অনুপ্রেরণার প্রয়োজন এই বিভাগে টি জটিল এন্ট্রি সহ একটি এন × এন ম্যাট্রিক্স হিসাবে ধরে নেওয়া হবে। যদি একটি প্রদত্ত ফাংশন f নির্দিষ্ট বিশেষ ধরনের হয়, তবে f (T) সংজ্ঞায়িত করার প্রাকৃতিক উপায় রয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, যদি একটি জটিল বহুপদী হয়, তবে কেউ কেবল Z এর জন্য T প্রতিস্থাপন করতে পারে এবং সংজ্ঞায়িত করতে পারে যেখানে T0 = I, আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্স। এটি বহুপদী কার্যকরী ক্যালকুলাস। এটি বহুপদের বলয় থেকে n × n ম্যাট্রিক্সের বলয় পর্যন্ত একটি সমরূপতা। বহুপদ থেকে সামান্য প্রসারিত হলে, যদি f: C → C সর্বত্র হোলোমরফিক হয়, অর্থাৎ। যেহেতু ম্যাকলাউরিন সিরিজ সর্বত্র একত্রিত হয়, তাই উপরের সিরিজটি একটি নির্বাচিত অপারেটর নিয়মে একত্রিত হবে। এর একটি উদাহরণ হল একটি ম্যাট্রিক্সের সূচকীয়। ম্যাকলাউরিন সিরিজের f (z) = ez-এ z কে T দ্বারা প্রতিস্থাপন করলে ম্যাকলাউরিন সিরিজের f সর্বত্র একত্রিত হওয়ার প্রয়োজনীয়তা কিছুটা শিথিল করা যেতে পারে। উপর থেকে এটা স্পষ্ট যে ম্যাকলাউরিন সিরিজের অভিসারের ব্যাসার্ধ টি-এর অপারেটর আদর্শ টি-এর চেয়ে বেশি হওয়া প্রয়োজন। এটি কিছুটা এফ-এর পরিবারকে প্রসারিত করে যার জন্য উপরের পদ্ধতিটি ব্যবহার করে এফ (টি) সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। তবে তা খুব একটা সন্তোষজনক নয়। উদাহরণস্বরূপ, ম্যাট্রিক্স তত্ত্ব থেকে এটি একটি সত্য যে প্রতিটি অ-সিঙ্গুলার টি-র একটি লগারিদম এস থাকে এই অর্থে যে ইএস = টি। একটি অ-সিঙ্গুলার টি-র জন্য এমন একটি কার্যকরী ক্যালকুলাস থাকা বাঞ্ছনীয় যা একজনকে সংজ্ঞায়িত করতে দেয়, যেমন এটি এস-এর সাথে মিলে যায়। এটি পাওয়ার সিরিজের মাধ্যমে করা যায় না, উদাহরণস্বরূপ লগারিদমিক সিরিজ শুধুমাত্র ওপেন ইউনিট ডিস্কে একত্রিত হয়। সিরিজে টি-কে জেড-এর পরিবর্তে প্রতিস্থাপন করলে, বিপরীতমুখী টি + আই-এর জন্য এলএন (টি + আই)-এর জন্য একটি সুনির্দিষ্ট অভিব্যক্তি দিতে ব্যর্থ হয়। সুতরাং আরও সাধারণ কার্যকরী গণনার প্রয়োজন। কার্যকরী ক্যালকুলাস এবং বর্ণালী এটি আশা করা হয় যে f (T)-এর জন্য একটি প্রয়োজনীয় শর্ত হল T-এর বর্ণালীতে f সংজ্ঞায়িত করা। উদাহরণস্বরূপ, সাধারণ ম্যাট্রিক্সের বর্ণালী উপপাদ্য বলে যে প্রতিটি স্বাভাবিক ম্যাট্রিক্স এককভাবে তির্যকযোগ্য। এটি f (T)-এর একটি সংজ্ঞার দিকে পরিচালিত করে যখন T স্বাভাবিক হয়। যদি f (λ) কে T-এর কিছু আইগেনভ্যালু λ-এর জন্য সংজ্ঞায়িত না করা হয়, তাহলে সমস্যা দেখা দেয়। অন্যান্য ইঙ্গিতগুলি এই ধারণাকে আরও জোরদার করে যে, f (T)-কে কেবল তখনই সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে যখন T-এর বর্ণালীতে f-কে সংজ্ঞায়িত করা হয়। যদি T বিপরীতমুখী না হয়, তাহলে (T কে একটি n x n ম্যাট্রিক্স বলে স্মরণ করা) 0 হল একটি আইগেনভ্যালু। যেহেতু স্বাভাবিক লগারিদম 0-এ অনির্ধারিত, তাই কেউ আশা করতে পারে যে ln (T) প্রাকৃতিকভাবে সংজ্ঞায়িত করা যাবে না। বাস্তবিক এইরূপই ঘটিয়াছে। আরেকটি উদাহরণ হিসাবে, f (T) গণনার যুক্তিসঙ্গত উপায়টি হবে বলে মনে হয় তবে, এই অভিব্যক্তিটি সংজ্ঞায়িত করা হয় না যদি ডান দিকের বিপরীতগুলি বিদ্যমান না থাকে, অর্থাৎ, যদি 2 বা 5 টি টি-এর আইগেনভ্যালু হয়। একটি প্রদত্ত ম্যাট্রিক্স টি-এর জন্য, টি-এর আইগেনভ্যালুগুলি নির্ধারণ করে যে f (T) কতটা সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে; অর্থাৎ, টি-এর সমস্ত আইগেনভ্যালু λ-এর জন্য f (λ) অবশ্যই সংজ্ঞায়িত করা উচিত। একটি সাধারণ আবদ্ধ অপারেটরের জন্য এই শর্তটি অনুবাদ করে "টি-এর বর্ণালীতে f অবশ্যই সংজ্ঞায়িত করা উচিত"। এই অনুমানটি এমন একটি সক্রিয় শর্ত হিসাবে প্রমাণিত হয় যে কার্যকরী ক্যালকুলাস মানচিত্র, f → f (T)-এর কিছু কাঙ্ক্ষিত বৈশিষ্ট্য রয়েছে। একটি আবদ্ধ অপারেটরের জন্য কার্যকরী ক্যালকুলাস ধরা যাক এক্স একটি জটিল বানাচ স্থান, এবং এল (এক্স) এক্স-এর উপর আবদ্ধ অপারেটরের পরিবারকে বোঝায়। ধ্রুপদী ফাংশন তত্ত্ব থেকে কওচি ইন্টিগ্রাল সূত্রটি স্মরণ করুন। ধরা যাক f: C → C কিছু খোলা সেট D ′C-তে হোলোমরফিক হবে, এবং D-তে একটি সংশোধনযোগ্য জর্ডান বক্ররেখা হবে, অর্থাৎ, স্ব-ছেদ ছাড়াই সীমাবদ্ধ দৈর্ঘ্যের একটি বদ্ধ বক্ররেখা। ধরে নিন যে পয়েন্টগুলির সেট ইউ κ এর অভ্যন্তরে অবস্থিত, অর্থাৎ। এমনভাবে যে, z-এর সমতুল্য ঘূর্ণন সংখ্যা হল 1, যা D-তে থাকে। U-এর যেকোনও z-এর জন্য কৌচি ইন্টিগ্রাল সূত্র বলে। ধারণাটি হল এই সূত্রটি বানাচ স্পেস এল (এক্স)-এ মান গ্রহণকারী ফাংশনগুলিতে প্রসারিত করা। কাউচির অবিচ্ছেদ্য সূত্রটি নিম্নলিখিত সংজ্ঞাটির পরামর্শ দেয় (সম্পূর্ণরূপে আনুষ্ঠানিক, এখনকার জন্য): যেখানে (ζ−T) −1 হল ζ-এ T-এর দ্রাবক। এই বানাচ স্পেস-ভ্যালুড ইন্টিগ্রালটি যথাযথভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে বলে ধরে নিলে, এই প্রস্তাবিত কার্যকরী ক্যালকুলাসটি নিম্নলিখিত প্রয়োজনীয় শর্তগুলি বোঝায়ঃ যেহেতু কাউচির ইন্টিগ্রাল সূত্রের স্কেলার সংস্করণটি হোলোমর্ফিক এফ-এর ক্ষেত্রে প্রযোজ্য, আমরা অনুমান করি যে বানাচ স্পেস কেসের ক্ষেত্রেও এটি প্রযোজ্য, যেখানে বানাচ স্পেস এল (এক্স)-এ মান গ্রহণকারী ফাংশনের জন্য হোলোমর্ফির একটি উপযুক্ত ধারণা থাকা উচিত। যেহেতু সমাধানকারী ম্যাপিং টি, σ (টি) বর্ণালীতে অনির্ধারিত, তাই জর্ডান বক্ররেখা κ কে σ (টি) ছেদ করা উচিত নয়। এখন, সমাধানকারী ম্যাপিং σ (T)-এর পরিপূরকের উপর হোলোমর্ফিক হবে। সুতরাং একটি অ-তুচ্ছ কার্যকরী ক্যালকুলাস পেতে, γ অবশ্যই σ (T)-কে (কমপক্ষে এর অংশ) আবদ্ধ করতে হবে। কার্যকরী ক্যালকুলাসকে এই অর্থে ভালভাবে সংজ্ঞায়িত করা উচিত যে f (T) কে  তাই থেকে স্বাধীন হতে হবে। কার্যকরী ক্যালকুলাসের সম্পূর্ণ সংজ্ঞাটি নিম্নরূপঃ T ω L (X)-এর জন্য, সংজ্ঞায়িত করুন যেখানে f একটি হোলোমরফিক ফাংশন যা একটি খোলা সেট D ω C-তে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে যার মধ্যে σ (T) রয়েছে, এবং γ = {γ1,., γm} হল D-তে বিচ্ছিন্ন জর্ডান বক্ররেখার একটি সংগ্রহ যা একটি "ভিতরের" সেট U-কে আবদ্ধ করে, যেমন σ (T) U-তে অবস্থিত, এবং প্রতিটি γi সীমানা অর্থে ভিত্তিক। খোলা সেট ডি এফ-এর সাথে পরিবর্তিত হতে পারে এবং সংযুক্ত বা সহজভাবে সংযুক্ত হওয়ার প্রয়োজন নেই, যেমন ডানদিকের চিত্রগুলি দ্বারা দেখানো হয়েছে। নিম্নলিখিত উপবিভাগগুলি সংজ্ঞায় আহ্বান করা ধারণাগুলি সুনির্দিষ্ট করে এবং দেখায় যে প্রদত্ত অনুমানের অধীনে এফ (টি) প্রকৃতপক্ষে ভালভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে। বানাচ স্পেস-ভ্যালুড ইন্টিগ্রাল সিএফ। বোচনার ইন্টিগ্রাল একটি অবিচ্ছিন্ন ফাংশন g-এর জন্য যা একটি খোলা পাড়ায় সংজ্ঞায়িত করা হয় এবং L (X)-এ মান গ্রহণ করে, কনট্যুর ইন্টিগ্রালটি স্কেলার কেসের মতো একইভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। একটি বাস্তব ব্যবধান [a, b] দ্বারা প্রতিটি γi ω কে প্যারামিট্রাইজ করা যেতে পারে এবং ইন্টিগ্রাল হল [a, b] এর চির-সূক্ষ্ম পার্টিশন থেকে প্রাপ্ত রিমান যোগফলের সীমা। রিম্যান যোগফল ইউনিফর্ম অপারেটর টপোলজিতে একত্রিত হয়। আমরা সংজ্ঞায়িত করি কার্যকরী ক্যালকুলাসের সংজ্ঞায়, f কে একটি খোলা পাড়ায় হোলোমর্ফিক বলে ধরে নেওয়া হয়। এটি নীচে দেখানো হবে যে সমাধানকারী ম্যাপিংটি সমাধানকারী সেটের উপর হোলোমরফিক। অতএব, ইন্টিগ্রাল অর্থবহ। সমাধানকারী ম্যাপিং ζ → (ζ−T) −1 ম্যাপিংকে T-এর সমাধানকারী ম্যাপিং বলা হয়। এটি σ (T)-এর পরিপূরকের উপর সংজ্ঞায়িত করা হয়, যাকে T-এর সমাধানকারী সেট বলা হয় এবং ρ (T) দ্বারা চিহ্নিত করা হবে। ধ্রুপদী ফাংশন তত্ত্বের বেশিরভাগই অবিচ্ছেদ্যের বৈশিষ্ট্যের উপর নির্ভর করে হলোমর্ফিক কার্যকরী ক্যালকুলাস একই রকম যে একটি সুন্দর কার্যকরী ক্যালকুলাস থেকে প্রয়োজনীয় বৈশিষ্ট্য অর্জনে সমাধানকারী ম্যাপিং একটি গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে। এই উপবিভাগটি সমাধানকারী মানচিত্রের বৈশিষ্ট্যগুলির রূপরেখা দেয় যা এই প্রসঙ্গে প্রয়োজনীয়। প্রথম দ্রাবক সূত্র সরাসরি গণনা দেখায়, z1 এর জন্য, z2 ωρ (T), অতএব, এই সমীকরণটিকে প্রথম দ্রাবক সূত্র বলা হয়। সূত্রটি দেখায় (z1−T) −1 এবং (z2−T) −1 কমিউট, যা ইঙ্গিত দেয় যে কার্যকরী ক্যালকুলাসের চিত্রটি একটি বিনিময়যোগ্য বীজগণিত হবে। z2 → z1 ধরা গেলে দেখা যায় যে, প্রতিটি z1 bul ρ (T)-এ দ্রবণীয় মানচিত্রটি (জটিল-) অবকলনীয়; তাই কার্যকরী ক্যালকুলাসের অভিব্যক্তির অবিচ্ছেদ্য অংশটি L (X)-এ একত্রিত হয়। সমাধানকারী মানচিত্র সম্পর্কে পৃথকীকরণের চেয়ে বিশ্লেষণাত্মকতা আরও শক্তিশালী বিবৃতি দেওয়া যেতে পারে। দ্রাবক সেট ρ (T) আসলে একটি উন্মুক্ত সেট যার উপর দ্রাবক মানচিত্র বিশ্লেষণাত্মক। এই বৈশিষ্ট্যটি কার্যকরী ক্যালকুলাসের জন্য পরবর্তী আর্গুমেন্টগুলিতে ব্যবহার করা হবে। এই দাবি যাচাই করার জন্য, ধরা যাক z1 ωρ (T) এবং আনুষ্ঠানিক অভিব্যক্তিটি লক্ষ্য করুন যে আমরা (z2−T) −1 এর জন্য বিবেচনা করি। উপরের সিরিজটি L (X)-এ একত্রিত হয়, যা (z2−T) −1-এর অস্তিত্বকে বোঝায়, যদি তাই, দ্রাবক সেট ρ (T) খোলা থাকে এবং z1−ρ (T)-কে কেন্দ্র করে একটি খোলা ডিস্কে পাওয়ার সিরিজের অভিব্যক্তি দেখায় যে দ্রাবক মানচিত্রটি ρ (T)-এর উপর বিশ্লেষণাত্মক। নিউম্যান সিরিজ (z−T) −1-এর জন্য আরেকটি অভিব্যক্তিও কার্যকর হবে। আনুষ্ঠানিক অভিব্যক্তিটি একজনকে বিবেচনা করতে পরিচালিত করে এই সিরিজ, নিউম্যান সিরিজ, (z−T) −1-এ রূপান্তরিত হয় যদি σ (T)-এর কম্প্যাক্টনেস হয় সমাধানকারীর শেষ দুটি বৈশিষ্ট্য থেকে আমরা অনুমান করতে পারি যে একটি আবদ্ধ অপারেটর T-এর বর্ণালী σ (T) হল C-এর একটি কম্প্যাক্ট উপসেট। অতএব, যে কোনও খোলা সেট D-এর জন্য যেমন σ (T) ρD, জর্ডান বক্ররেখার একটি ইতিবাচক ভিত্তিক এবং মসৃণ ব্যবস্থা বিদ্যমান γ = {γ1, γm} যাতে σ (T) γ-এর অভ্যন্তরে থাকে এবং D-এর পরিপূরক γ-এর বাইরের অংশে থাকে। অতএব, কার্যকরী ক্যালকুলাসের সংজ্ঞার জন্য, প্রকৃতপক্ষে জর্ডান বক্ররেখার একটি উপযুক্ত পরিবার পাওয়া যেতে পারে প্রতিটি f-এর জন্য যা কিছু ডি-তে হোলোমর্ফিক। পূর্ববর্তী আলোচনাটি দেখিয়েছে যে অবিচ্ছেদ্য অর্থবোধ করে, অর্থাৎ। প্রতিটি f-এর জন্য জর্ডান বক্ররেখার একটি উপযুক্ত সংগ্রহ বিদ্যমান এবং ইন্টিগ্রালটি উপযুক্ত অর্থে একত্রিত হয়। যা দেখানো হয়নি তা হল কার্যকরী ক্যালকুলাসের সংজ্ঞা দ্ব্যর্থহীন, অর্থাৎ। এটি জাতের পছন্দের উপর নির্ভর করে না। এই সমস্যাটি আমরা এখন সমাধান করার চেষ্টা করছি। একটি প্রাথমিক তথ্য জর্ডান বক্ররেখার একটি সংগ্রহের জন্য γ = {γ1,., γm} এবং একটি বিন্দু a ωC, a এর সাপেক্ষে γ এর ঘূর্ণায়মান সংখ্যা হল তার উপাদানগুলির ঘূর্ণায়মান সংখ্যার যোগফল। যদি আমরা সংজ্ঞায়িত করিঃ নিম্নলিখিত উপপাদ্যটি কওচি দ্বারাঃ উপপাদ্য। যদি g: G → C হলোমর্ফিক হয়, এবং সকল a-এর জন্য G-এর পরিপূরক n, (জাত, a) = 0 হয়, তাহলে জাতের উপর g-এর কনট্যুর ইন্টিগ্রাল শূন্য হবে। যখন g, L (X)-এ মান গ্রহণ করবে তখন আমাদের এই ফলাফলের ভেক্টর-মূল্যবান অ্যানালগের প্রয়োজন হবে। এই লক্ষ্যে, ধরা যাক g: G → L (X) হলোমর্ফিক, জাতের উপর একই অনুমান সহ। ধারণাটি হল এল (এক্স)-এর দ্বৈত স্থান এল (এক্স) * ব্যবহার করা, এবং স্কেলার কেসের জন্য কাউচির উপপাদ্য পাস করা। ইন্টিগ্রালটি বিবেচনা করুন যদি আমরা দেখাতে পারি যে এই ইন্টিগ্রালে সমস্ত φ ω L (X) * অদৃশ্য হয়ে যায় তবে ইন্টিগ্রালটি নিজেই শূন্য হতে হবে। যেহেতু φ আবদ্ধ এবং ইন্টিগ্রালটি নিয়মে একত্রিত হয়, তাই আমাদের আছেঃ কিন্তু g হল হোলোমর্ফিক, তাই গঠন φ (g): G ঱্হো C → C হলো হোলোমর্ফিক এবং তাই কাউচির উপপাদ্য দ্বারা প্রধান যুক্তি কার্যকরী ক্যালকুলাসের সুনির্দিষ্টতা এখন একটি সহজ পরিণতি হিসাবে অনুসরণ করে। ধরা যাক D হল σ (T) ধারণকারী একটি খোলা সেট। মনে করুন γ = {γi} এবং ω = {ωj} হল জর্ডান বক্ররেখার দুটি (সীমাবদ্ধ) সংগ্রহ যা কার্যকরী ক্যালকুলাসের জন্য প্রদত্ত অনুমানকে সন্তুষ্ট করে। আমরা দেখাতে চাই ω′ প্রতিটি ωj-এর অভিযোজন বিপরীত করে ω′ থেকে প্রাপ্ত করা যাক, তারপর দুটি সংগ্রহের সংমিশ্রণ বিবেচনা করুন। γ ω ′ এবং σ (T) উভয়ই সংক্ষিপ্ত। সুতরাং কিছু খোলা সেট U রয়েছে যার মধ্যে γ ω ′ রয়েছে যেমন σ (T) U এর পরিপূরকে অবস্থিত। U-এর পরিপূরকের যে কোনও a-এর ঘূর্ণন সংখ্যা n ( তাই, a) = 0 এবং ফাংশনটি U-এর উপর হোলোমর্ফিক। সুতরাং কাউচির উপপাদ্যের ভেক্টর-মূল্যবান সংস্করণটি দেয় অর্থাৎ। তাই কার্যকরী ক্যালকুলাস ভালভাবে সংজ্ঞায়িত। ফলস্বরূপ, যদি f1 এবং f2 দুটি হোলোমরফিক ফাংশন হয় যা σ (T)-এর আশেপাশের D1 এবং D2-এ সংজ্ঞায়িত করা হয় এবং তারা σ (T) ধারণকারী একটি খোলা সেটের সমান হয়, তবে f1 (T) = f2 (T)। উপরন্তু, যদিও ডি1 ডি2 নাও হতে পারে, অপারেটর (এফ1 + এফ2) (টি) ভালভাবে সংজ্ঞায়িত। (f1·f2) (T)-এর সংজ্ঞার ক্ষেত্রেও একই কথা প্রযোজ্য। এই অনুমানের ভিত্তিতে যে, σ (T)-এর একটি উন্মুক্ত পার্শ্ববর্তী অঞ্চলে f হলোমর্ফিক হবে, এখনও পর্যন্ত এই অনুমানের সম্পূর্ণ শক্তি ব্যবহার করা হয়নি। ইন্টিগ্রালের একত্রীকরণের জন্য, শুধুমাত্র ধারাবাহিকতা ব্যবহার করা হয়েছিল। সু-সংজ্ঞায়িততার জন্য, আমাদের শুধুমাত্র একটি খোলা সেট U-এর উপর f-এর হোলোমর্ফিক হওয়ার প্রয়োজন ছিল, যার মধ্যে কনট্যুর γ ω′ রয়েছে, তবে অগত্যা σ (T) নয়। কার্যকরী ক্যালকুলাসের সমরূপতা বৈশিষ্ট্য দেখানোর ক্ষেত্রে অনুমানটি সম্পূর্ণরূপে প্রয়োগ করা হবে। বৈশিষ্ট্য পলিনোমিয়াল কেস মানচিত্রের রৈখিকতা f′f (T) ইন্টিগ্রালের অভিসরণ থেকে অনুসরণ করে এবং একটি বানাচ স্পেসে রৈখিক ক্রিয়াকলাপ অবিচ্ছিন্ন। আমরা বহুপদী কার্যকরী ক্যালকুলাস পুনরুদ্ধার করি যখন f (z) = σ0 ≤ i ≤ mi zi একটি বহুপদী হয়। এটি প্রমাণ করার জন্য, k ≤ 0 এবং f (z) = zk-এর জন্য, এটি সত্য যে f (T) = Tk, অর্থাৎ। যে কোনও উপযুক্ত γ পরিবেষ্টিত σ (T)-এর জন্য। টি-এর অপারেটর আদর্শের চেয়ে বড় ব্যাসার্ধের একটি বৃত্ত হিসাবে γ বেছে নিন। যেমন উপরে বলা হয়েছে, এই ধরনের γ-তে, সমাধানকারী মানচিত্রটি একটি পাওয়ার সিরিজের উপস্থাপনা গ্রহণ করে যা প্রতিস্থাপন দেয় δ হল ক্রোনেকার ডেল্টা প্রতীক। সমরূপতা বৈশিষ্ট্য যেকোনও f1 এবং f2-এর জন্য উপযুক্ত অনুমানগুলি সন্তুষ্ট করার জন্য, সমরূপতা বৈশিষ্ট্যটি বলে যে আমরা একটি যুক্তি স্কেচ করি যা প্রথম সমাধানকারী সূত্র এবং f-এর উপর রাখা অনুমানগুলিকে আহ্বান করে। প্রথমে আমরা জর্ডান বক্ররেখা বেছে নিই যাতে γ1 γ2-এর অভ্যন্তরে অবস্থিত। এর কারণ নিচে স্পষ্ট করা হবে। সরাসরি গণনা করে শুরু করুন শেষ লাইনটি এই সত্য থেকে অনুসরণ করে যে ω ω γ1 এর বাইরে অবস্থিত এবং f1 হল σ (T) এর কিছু খোলা পাড়ায় হোলোমর্ফিক এবং তাই দ্বিতীয় পদটি অদৃশ্য হয়ে যায়। অতএব, আমাদের রয়েছেঃ কম্প্যাক্ট কনভারজেন্সের ক্ষেত্রে ধারাবাহিকতা ধরা যাক G′C σ (T) ′G-এর সাথে উন্মুক্ত। ধরুন G-এর উপর হোলোমর্ফিক ফাংশনের একটি ক্রম {fk} G-এর কম্প্যাক্ট উপসেটগুলিতে অভিন্নভাবে একত্রিত হয় (এটিকে কখনও কখনও কম্প্যাক্ট কনভারজেন্স বলা হয়)। তারপর {fk (T)} হল L (X)-এ অভিসারীঃ সরলতার জন্য ধরে নিন যে  তাই শুধুমাত্র একটি জর্ডান বক্ররেখা নিয়ে গঠিত। আমরা অনুমান করি অভিন্ন অভিসরণ অনুমান এবং বিভিন্ন ধারাবাহিকতা বিবেচনার সংমিশ্রণে, আমরা দেখতে পাই যে উপরেরটি k, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l সুতরাং {fk (T)} হল কচি, তাই অভিসারী। এককত্ব সংক্ষেপে বলতে গেলে, আমরা দেখালাম যে হোলোমরফিক কার্যকরী ক্যালকুলাস, f → f (T)-এর নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্য রয়েছেঃ এটি বহুপদী কার্যকরী ক্যালকুলাসকে প্রসারিত করে। এটি σ (T) থেকে L (X) এর আশেপাশে সংজ্ঞায়িত হোলোমর্ফিক ফাংশনের বীজগণিত থেকে একটি বীজগণিত সমরূপতা এটি কম্প্যাক্ট সেটগুলিতে অভিন্ন অভিসরণ সংরক্ষণ করে। এটি প্রমাণ করা যেতে পারে যে উপরের বৈশিষ্ট্যগুলি সন্তুষ্ট করে এমন একটি ক্যালকুলাস অনন্য। আমরা লক্ষ্য করছি যে, এখন পর্যন্ত আলোচিত সবকিছুই আক্ষরিক ধারণ করে যদি আবদ্ধ অপারেটর এল (এক্স)-এর পরিবারটি একটি বানাচ বীজগণিত এ দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়। কার্যকরী ক্যালকুলাসকে এ-তে একটি উপাদানের জন্য ঠিক একইভাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। বর্ণালী বিবেচনা বর্ণালী ম্যাপিং উপপাদ্য এটি জানা যায় যে বর্ণালী ম্যাপিং উপপাদ্যটি বহুপদী কার্যকরী ক্যালকুলাসের জন্য ধারণ করেঃ যে কোনও বহুপদী পি-এর জন্য, σ (p (T)) = p (σ (T))। এটি হোলোমর্ফিক ক্যালকুলাস পর্যন্ত প্রসারিত করা যেতে পারে। f (σ (T)) ρ (f (T)) দেখানোর জন্য, ধরা যাক যে কোনও জটিল সংখ্যা হবে। জটিল বিশ্লেষণের ফলস্বরূপ, σ (T)-এর আশেপাশে এমন একটি ফাংশন g হোলোমরফিক বিদ্যমান যে সমরূপতা বৈশিষ্ট্য অনুসারে, f (T) − f (μ) = (T − μ) g (T)। অতএব, φ (φ) = φ (φ (φ (T))। অন্য অন্তর্ভুক্তির জন্য, যদি μ f (σ (T))-এ না থাকে, তাহলে কার্যকরী ক্যালকুলাস প্রযোজ্য হবে সুতরাং g (T) (f (T) − μ) = I। অতএব, μ σ (f (T))-এ থাকে না। স্পেকট্রাল প্রজেকশন অন্তর্নিহিত ধারণাটি নিম্নরূপ। ধরুন যে K হল σ (T) এবং U-এর একটি উপসেট, V হল যথাক্রমে K এবং σ (T) \K-এর বিচ্ছিন্ন প্রতিবেশী। তারপর e হল [e (z)] 2 = e (z) সহ একটি হোলোমরফিক ফাংশন এবং তাই, একটি উপযুক্ত কনট্যুরের জন্য যা U ≤ V-তে অবস্থিত এবং যা σ (T)-কে আবদ্ধ করে, রৈখিক অপারেটর একটি সীমাবদ্ধ অভিক্ষেপ হবে যা T-এর সাথে যাতায়াত করে এবং প্রচুর দরকারী তথ্য সরবরাহ করে। এটি স্পষ্ট করে যে এই দৃশ্যকল্পটি তখনই সম্ভব যদি σ (T)-এর সাবস্পেস টপোলজিতে K খোলা এবং বন্ধ উভয়ই থাকে। অধিকন্তু, সেট V কে নিরাপদে উপেক্ষা করা যেতে পারে কারণ এতে e শূন্য এবং তাই ইন্টিগ্রালে কোনও অবদান রাখে না। অভিক্ষেপ e (T) কে K-তে T-এর বর্ণালী অভিক্ষেপ বলা হয় এবং P (K; T) দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। সুতরাং σ (T)-এর প্রতিটি উপসেট K, যা সাবস্পেস টপোলজিতে খোলা এবং বন্ধ উভয়ই, তার একটি সম্পর্কিত বর্ণালী অভিক্ষেপ রয়েছে যার দ্বারা দেওয়া হয় যেখানে γ একটি কনট্যুর যা K-কে ঘিরে রাখে কিন্তু σ (T)-এর অন্য কোনও বিন্দু নেই। যেহেতু পি = পি (কে; টি) সীমাবদ্ধ এবং টি-এর সাথে কমিউট হয়, তাই এটি টি-কে ইউ-ভি আকারে প্রকাশ করতে সক্ষম করে যেখানে ইউ = T|PX এবং ভি = টি। (1−পি) এক্স। PX এবং (1−P) X উভয়ই T-এর অপরিবর্তনীয় উপস্থান, এছাড়াও σ (U) = K এবং σ (V) = σ (T) \K। একটি মূল বৈশিষ্ট্য হল পারস্পরিক অর্থোগোনালিটি। যদি σ (T)-এর উপর সাবস্পেস টপোলজিতে L আরেকটি উন্মুক্ত এবং বদ্ধ সেট হয় তবে P (K; T) P (L; T) = P (L; T) P (K; T) = P (K θ L; T) যা শূন্য যখনই K এবং L বিচ্ছিন্ন হয়। স্পেকট্রাল প্রজেকশনের অসংখ্য প্রয়োগ রয়েছে। σ (T)-এর যে কোনও বিচ্ছিন্ন বিন্দু সাবস্পেস টপোলজিতে খোলা এবং বন্ধ উভয়ই থাকে এবং তাই এর সাথে একটি সম্পর্কিত বর্ণালী অভিক্ষেপ রয়েছে। যখন এক্স-এর সসীম মাত্রা σ (টি) পৃথক বিন্দু নিয়ে গঠিত হয় এবং ফলস্বরূপ বর্ণালী অনুমানগুলি জর্ডান স্বাভাবিক রূপের একটি বৈকল্পিক দিকে পরিচালিত করে যেখানে একই আইগেনভ্যালু সম্পর্কিত সমস্ত জর্ডান ব্লক একত্রিত হয়। অন্য কথায়, প্রতি স্বতন্ত্র আইগেনভ্যালুতে সুনির্দিষ্টভাবে একটি ব্লক রয়েছে। পরবর্তী বিভাগে এই পচন আরও বিস্তারিতভাবে বিবেচনা করা হয়েছে। কখনও কখনও বর্ণালী অনুমানগুলি তাদের মূল অপারেটরদের কাছ থেকে বৈশিষ্ট্য উত্তরাধিকার সূত্রে পায়। উদাহরণস্বরূপ, যদি T বর্ণালী ব্যাসার্ধ r সহ একটি ধনাত্মক ম্যাট্রিক্স হয় তবে পেরন-ফ্রোবেনিয়াস উপপাদ্যটি দাবি করে যে r ω σ (T)। সংশ্লিষ্ট বর্ণালী অভিক্ষেপ পি = পি (আর; টি) ধনাত্মক এবং পারস্পরিক অর্থোগোনালিটি দ্বারা অন্য কোনও বর্ণালী অভিক্ষেপের ধনাত্মক সারি বা কলাম থাকতে পারে না। প্রকৃতপক্ষে টি. পি = আর. পি এবং (টি/আর) এন-পি হিসাবে এন-এর এই অভিক্ষেপ পি (যাকে পেরন অভিক্ষেপ বলা হয়) এন-এর বৃদ্ধির সাথে সাথে আনুমানিক (টি/আর) এন হয় এবং এর প্রতিটি কলাম টি-এর একটি আইগেনভেক্টর। আরও সাধারণভাবে যদি টি একটি কম্প্যাক্ট অপারেটর হয় তবে σ (টি)-এর সমস্ত অ-শূন্য বিন্দুগুলি বিচ্ছিন্ন হয় এবং তাই তাদের যে কোনও সীমাবদ্ধ উপসেট টি-কে পচাতে ব্যবহার করা যেতে পারে। সম্পর্কিত বর্ণালী অভিক্ষেপের সর্বদা সীমাবদ্ধ র্যাঙ্ক থাকে। এল (এক্স)-এ অনুরূপ বর্ণালী বৈশিষ্ট্যযুক্ত অপারেটররা রিয়েজ অপারেটর হিসাবে পরিচিত। রিয়েজ অপারেটরদের অনেক শ্রেণী (কমপ্যাক্ট অপারেটর সহ) এল (এক্স)-এর আদর্শ এবং গবেষণার জন্য একটি সমৃদ্ধ ক্ষেত্র প্রদান করে। তবে যদি এক্স একটি হিলবার্ট স্থান হয় তবে রিজ অপারেটর এবং সীমাবদ্ধ র্যাঙ্কের মধ্যে ঠিক একটি বদ্ধ আদর্শ স্যান্ডউইচ থাকে। পূর্ববর্তী আলোচনার বেশিরভাগই একটি জটিল বানাচ বীজগণিতের আরও সাধারণ প্রসঙ্গে সেট করা যেতে পারে। এখানে স্পেকট্রাল প্রজেকশনগুলিকে স্পেকট্রাল আইডেম্পোটেন্ট হিসাবে উল্লেখ করা হয় কারণ তাদের সামনে প্রজেক্ট করার জন্য আর কোনও জায়গা নাও থাকতে পারে। ইনভ্যারিয়েন্ট সাবস্পেস ডিকম্পোসিশন যদি বর্ণালী σ (T) সংযুক্ত না থাকে, তাহলে কার্যকরী ক্যালকুলাস ব্যবহার করে X কে T-এর ইনভ্যারিয়েন্ট সাবস্পেসে বিভক্ত করা যেতে পারে। ধরা যাক σ (T) একটি বিচ্ছিন্ন ইউনিয়ন, এমন কোনও এলাকায় ei কে 1 হিসাবে সংজ্ঞায়িত করুন যেখানে কেবলমাত্র Fi এবং অন্য কোথাও 0 উপাদান রয়েছে। সমরূপতা বৈশিষ্ট্য অনুসারে, এইআই (টি) হল সমস্ত আই-এর জন্য একটি অভিক্ষেপ। প্রকৃতপক্ষে এটি কেবল উপরে বর্ণিত বর্ণালী অভিক্ষেপ পি (ফাই; টি)। এই সম্পর্ক এই (টি) টি = টি এই (টি) মানে প্রতিটি এই (টি)-এর পরিসীমা, যা জিআই দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, তা হল টি-এর একটি অপরিবর্তনীয় সাবস্পেস। যেহেতু এক্স-কে এই পরিপূরক সাবস্পেসগুলির পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করা যেতে পারেঃ একইভাবে, যদি টি-কে জিআই-এর মধ্যে সীমাবদ্ধ করা হয়, তবে সরাসরি যোগফল বিবেচনা করুন। ম্যাপিং R: X '→ X দ্বারা সংজ্ঞায়িত একটি বানাচ স্পেস আইসোমরফিজম, এবং আমরা দেখতে পাই যে এটি T এর একটি ব্লক তির্যককরণ হিসাবে দেখা যেতে পারে। যখন X সীমাবদ্ধ-মাত্রিক হয়, σ (T) = {λi} জটিল সমতলে বিন্দুর একটি সীমাবদ্ধ সেট। বর্ণালী থেকে শুধুমাত্র λi ধারণকারী একটি খোলা ডিস্কে Ei কে 1 হিসাবে বেছে নিন। সংশ্লিষ্ট ব্লক-ডায়াগোনাল ম্যাট্রিক্স হল টি-র জর্ডান ক্যানোনিকাল রূপ। সম্পর্কিত ফলাফলগুলি আরও শক্তিশালী অনুমানের সাথে, যখন টি হিলবার্ট স্পেসে কাজ করা একটি স্বাভাবিক অপারেটর হয়, তখন কার্যকরী ক্যালকুলাসের ক্ষেত্রটি প্রশস্ত করা যেতে পারে। দুটি ফলাফলের তুলনা করার সময়, সাধারণ ম্যাট্রিক্সের জন্য বর্ণালী উপপাদ্য এবং জর্ডান ক্যানোনিকাল ফর্মের মধ্যে সম্পর্কের সাথে একটি মোটামুটি উপমা তৈরি করা যেতে পারে। যখন T একটি স্বাভাবিক অপারেটর হয়, তখন একটি অবিচ্ছিন্ন কার্যকরী ক্যালকুলাস পাওয়া যায়, অর্থাৎ, σ (T)-এ সংজ্ঞায়িত একটি অবিচ্ছিন্ন ফাংশন f সহ f (T) মূল্যায়ন করা যেতে পারে। পরিমাপ তত্ত্বের যন্ত্রপাতি ব্যবহার করে, এটি এমন ফাংশনগুলিতে প্রসারিত করা যেতে পারে যা কেবল পরিমাপযোগ্য (বোরেল কার্যকরী ক্যালকুলাস দেখুন)। সেই প্রেক্ষাপটে, যদি E′σ (T) একটি বোরেল সেট হয় এবং 1E হল E-এর বৈশিষ্ট্যমূলক ফাংশন, তাহলে প্রজেকশন অপারেটর 1E (T) উপরে আলোচিত এইআই (T)-এর একটি পরিমার্জন। বোরেল কার্যকরী ক্যালকুলাস হিলবার্ট স্পেসে সীমাহীন স্ব-সংযুক্ত অপারেটরগুলিতে প্রসারিত হয়। সামান্য বেশি বিমূর্ত ভাষায়, হোলোমর্ফিক কার্যকরী ক্যালকুলাসকে মূলত উপরের মতো একই যুক্তি ব্যবহার করে বানাচ বীজগণিতের যে কোনও উপাদান পর্যন্ত প্রসারিত করা যেতে পারে। একইভাবে, অবিচ্ছিন্ন কার্যকরী ক্যালকুলাস যে কোনও সি *-বীজগণিতে স্বাভাবিক উপাদানগুলির জন্য এবং যে কোনও ভন নিউম্যান বীজগণিতে স্বাভাবিক উপাদানগুলির জন্য পরিমাপযোগ্য কার্যকরী ক্যালকুলাস ধারণ করে। সীমাহীন অপারেটর একটি হোলোমর্ফিক কার্যকরী ক্যালকুলাসকে অ-খালি সমাধানকারী সেট সহ সীমাহীন বন্ধ অপারেটরদের জন্য একইভাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। আরও দেখুন রিসলভ্যান্ট ফর্মালিজম জর্ডান ক্যানোনিকাল ফর্ম, যেখানে সীমাবদ্ধ-মাত্রিক কেসটি কিছু বিস্তারিতভাবে আলোচনা করা হয়েছে। তথ্যসূত্র এন. ডানফোর্ড এবং জে. টি. শোয়ার্জ, লিনিয়ার অপারেটরস, পার্ট I: জেনারেল থিওরি, ইন্টারসায়েন্স, 1958। স্টিভেন জি ক্রান্টজ। বীজগণিত, গাণিতিক এবং ত্রিকোণমিতি অভিধান। সিআরসি প্রেস, 2000। ইসরায়েল গোহবার্গ, সেমুর গোল্ডবার্গ এবং মারিনস এ. কাশোক, ক্লাস অফ লিনিয়ার অপারেটরসঃ ভলিউম 1। বিরখৌসার, 1991। হোলোমরফিক ফাংশন