Pseudo-arc
সাধারণ টপোলজিতে, সিউডো-আর্ক হল সবচেয়ে সহজ ননডিজেনারেট বংশগতভাবে অপরিবর্তনীয় ধারাবাহিকতা। ছদ্ম-খিলান একটি চাপের মতো সমজাতীয় ধারাবাহিকতা, এবং সমজাতীয় সমতলীয় ধারাবাহিকতার শ্রেণিবিন্যাসে একটি কেন্দ্রীয় ভূমিকা পালন করে। আর. এইচ. বিং প্রমাণ করেছেন যে, একটি নির্দিষ্ট সুনির্দিষ্ট অর্থে, আরএন-এর বেশিরভাগ কন্টিনিউয়া, এন ≤ 2, ছদ্ম-খিলানের সমরূপ। 1920 সালে, ব্রনিসল নাস্টার এবং কাজিমিয়ের কুরাতোভস্কি জিজ্ঞাসা করেছিলেন যে ইউক্লিডীয় সমতল R2-এ একটি অ-বংশগত সমজাতীয় ধারাবাহিকতা অবশ্যই একটি জর্ডান বক্ররেখা হতে হবে কিনা। 1921 সালে, স্টেফান মাজুরকিউইজ জিজ্ঞাসা করেছিলেন যে R2-এ একটি ননডিজেনারেট কন্টিনিউয়াম যা তার প্রতিটি ননডিজেনারেট সাবকন্টিনুয়ার সমরূপ অবশ্যই একটি চাপ হতে হবে কিনা। 1922 সালে, নাস্টার একটি বংশগতভাবে অপরিবর্তনীয় ধারাবাহিকতা কে-এর প্রথম উদাহরণ আবিষ্কার করেন, যা পরে ছদ্ম-খিলান নামে নামকরণ করা হয়, যা একটি মাজুরকিউইজ প্রশ্নের নেতিবাচক উত্তর দেয়। 1948 সালে, আর. এইচ. বিং প্রমাণ করেন যে নাস্টারের ধারাবাহিকতা সমজাতীয়, অর্থাৎ। এর যে কোনও দুটি বিন্দুর জন্য একটি সমরূপতা রয়েছে যা একটিকে অন্যটির সাথে নিয়ে যায়। তবুও 1948 সালে, এডউইন মইস দেখিয়েছিলেন যে নাস্টারের ধারাবাহিকতা তার প্রতিটি অ-অবনমিত সাবকন্টিনুয়ার সমরূপ। বৃত্তের মৌলিক বৈশিষ্ট্যের সাথে এর সাদৃশ্যের কারণে, অর্থাৎ, এর সমস্ত ননডিজেনারেট সাবকন্টিনুয়ার সমরূপ হওয়ার কারণে, মইস তার উদাহরণ এম-কে একটি সিউডো-আর্ক বলে অভিহিত করেছিলেন। বিং-এর নির্মাণটি মোইজের এম-এর নির্মাণের একটি পরিবর্তন, যা তিনি প্রথম একটি বক্তৃতায় বর্ণনা করতে শুনেছিলেন। 1951 সালে, বিং প্রমাণ করেন যে সমস্ত বংশগতভাবে অপরিবর্তনীয় চাপের মতো কন্টিনিউয়া সমরূপ-এটি বোঝায় যে নাস্টারের কে, মইসের এম এবং বিংয়ের বি সবই সমরূপ। বিং আরও প্রমাণ করেছেন যে ছদ্ম-খিলানটি কমপক্ষে 2 মাত্রার ইউক্লিডীয় স্থান বা অসীম মাত্রার পৃথকযোগ্য হিলবার্ট স্থানের মধ্যে কন্টিনিউয়ার মধ্যে সাধারণ। বিং এবং এফ বার্টন জোন্স একটি পচনশীল সমতলীয় ধারাবাহিকতা তৈরি করেছিলেন যা বৃত্তের উপর একটি খোলা মানচিত্র গ্রহণ করে, যার প্রতিটি বিন্দু ছদ্ম-খিলানের সমরূপতার পূর্ববর্তী, যাকে ছদ্ম-খিলানের বৃত্ত বলা হয়। বিং এবং জোন্সও দেখিয়েছেন যে এটি সমজাতীয়। 2016 সালে লোগান হোহেন এবং লেক্স ওভারস্টিগেন একটি সমরূপতা পর্যন্ত সমস্ত সমতলীয় সমজাতীয় কন্টিনিউয়াকে বৃত্ত, ছদ্ম-খিলান এবং ছদ্ম-খিলানের বৃত্ত হিসাবে শ্রেণীবদ্ধ করেছেন। 2019 সালে হোহেন এবং ওভারস্টিগেন দেখিয়েছেন যে ছদ্ম-খিলানটি টপোলজিক্যালি আর্ক ব্যতীত একমাত্র, বংশগতভাবে সমতুল্য প্ল্যানার কন্টিনিউয়াম, এইভাবে 1921 সাল থেকে মাজুরকিউইজের সমস্যার প্ল্যানার কেসের একটি সম্পূর্ণ সমাধান প্রদান করে। নির্মাণ ছদ্ম-খিলানের নিম্নলিখিত নির্মাণটি অনুসরণ করা হয়। ছদ্ম-খিলানের সংজ্ঞার কেন্দ্রবিন্দুতে একটি শৃঙ্খলের ধারণা রয়েছে, যা নিম্নরূপ সংজ্ঞায়িত করা হয়েছেঃ একটি শৃঙ্খল একটি মেট্রিক স্পেসে খোলা সেটগুলির একটি সীমাবদ্ধ সংগ্রহ যেমন যদি এবং শুধুমাত্র যদি একটি শৃঙ্খলের উপাদানগুলিকে তার লিঙ্ক বলা হয়, এবং একটি শৃঙ্খলকে ε-চেইন বলা হয় যদি তার প্রতিটি লিঙ্কের ব্যাস ε এর চেয়ে কম হয়। উপরে তালিকাভুক্ত স্থানগুলির মধ্যে সবচেয়ে সহজ হলেও, ছদ্ম-খিলানটি আসলে খুব জটিল। একটি শৃঙ্খল বাঁকানো হওয়ার ধারণা (নীচে সংজ্ঞায়িত) হল যা ছদ্ম-খিলানকে তার জটিলতার সাথে যুক্ত করে। অনানুষ্ঠানিকভাবে, অন্য একটি শৃঙ্খলে একটি নির্দিষ্ট পুনরাবৃত্তিমূলক জিগ-জ্যাগ প্যাটার্ন অনুসরণ করার জন্য একটি চেইনের প্রয়োজন হয়। বড় চেইনের mth লিঙ্ক থেকে nth-এ 'সরানোর' জন্য, ছোট চেইনটিকে প্রথমে mth লিঙ্ক থেকে (n−1) তম লিঙ্কে, তারপর (m + 1) তম লিঙ্কে এবং তারপর অবশেষে nth লিঙ্কে বাঁকানো পদ্ধতিতে যেতে হবে। আরও আনুষ্ঠানিকভাবেঃ ধরা যাক এবং শৃঙ্খলগুলি এমন হতে হবে যাতে প্রতিটি লিঙ্ক একটি লিঙ্কের উপসেট হয়, এবং যে কোনও সূচকের জন্য i, j, m, এবং n এর সাথে, এবং, সূচক রয়েছে এবং (বা) এবং এবং তারপর রয়েছে সিউডো-আর্কে বাঁকানো যে কোনও সেটের সি সংগ্রহের জন্য, আসুন সি-এর সমস্ত উপাদানগুলির মিলনকে বোঝাই। ধরা যাক তারপর পি একটি ছদ্ম-খিলান। উদ্ধৃতি কন্টিনিউম তত্ত্ব