Zolotarev's lemma
সংখ্যা তত্ত্বে, জোলোটারেভের লেম্মা বলে যে একটি পূর্ণসংখ্যা a মডুলোর জন্য লেজেন্ড্রে প্রতীক একটি বিজোড় মৌলিক সংখ্যা p, যেখানে p a কে ভাগ করে না, একটি বিন্যাসের চিহ্ন হিসাবে গণনা করা যেতে পারেঃ যেখানে ε একটি বিন্যাসের স্বাক্ষরকে বোঝায় এবং πa হল a দ্বারা গুণ দ্বারা প্ররোচিত অ-শূন্য অবশিষ্টাংশ মোড p শ্রেণীর বিন্যাস। উদাহরণস্বরূপ, a = 2 এবং p = 7 নিন। অ-শূন্য বর্গ মোড 7 হল 1,2 এবং 4, তাই (2|7) = 1 এবং (6|7) = −1। অ-শূন্য সংখ্যা মোড 7-এ 2 দ্বারা গুণনের চক্র পচন (1,2,4) (3,6,5) রয়েছে, তাই এই বিন্যাসের চিহ্ন হল 1, যা হল (2|7)। অ-শূন্য সংখ্যা মোড 7-এ 6 দ্বারা গুণনের চক্র পচন (1,6) (2,5) (3,4) রয়েছে, যার চিহ্ন হল −1, যা হল (6|7)। প্রমাণ সাধারণভাবে, n ক্রমের যে কোনও সসীম গ্রুপ G-এর জন্য, G-এর উপাদান g দ্বারা বাম-গুণ দ্বারা তৈরি πg বিন্যাসের স্বাক্ষর নির্ধারণ করা সোজা। বিন্যাস πg জোড় হবে, যদি না জোড় আকারের বিজোড় সংখ্যক কক্ষপথ থাকে। সুতরাং, n জোড় ধরে নিলে, πg-এর একটি বিজোড় বিন্যাস হওয়ার শর্ত হল, যখন g-এর ক্রম k থাকে, তখন n/k বিজোড় হওয়া উচিত, অথবা g দ্বারা উৎপন্ন উপগোষ্ঠী <g>-এর বিজোড় সূচক থাকা উচিত। আমরা এটি অ-শূন্য সংখ্যা মোড পি-এর গ্রুপে প্রয়োগ করব, যা পি-1 ক্রমের একটি চক্রাকার গ্রুপ। একটি আদিম মূল মডুলো p-এর jth ঘাতের সূচক হবে সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ বিভাজক i = (j, p−1)। একটি অ-শূন্য সংখ্যা মোড পি-এর দ্বিঘাত অ-অবশিষ্টাংশ হওয়ার শর্ত হল একটি আদিম মূলের একটি বিজোড় শক্তি। সুতরাং লেম্মাটি এই বলে নেমে আসে যে i বিজোড় যখন j বিজোড়, যা সত্য একটি ফোরটিওরি, এবং j বিজোড় যখন i বিজোড়, যা সত্য কারণ p − 1 জোড় (p বিজোড়)। আরেকটি প্রমাণ জোলোটারেভের লেম্মা গাউসের লেম্মা থেকে সহজেই অনুমান করা যেতে পারে এবং তদ্বিপরীত। উদাহরণ হিসেবে বলা যায়, a = 3 এবং p = 11 সহ লেজেন্ড্রে প্রতীক (a/p) প্রমাণটি কীভাবে যায় তা ব্যাখ্যা করবে। সেট {1,2,.... দিয়ে শুরু করুন। , p − 1} দুটি সারির ম্যাট্রিক্স হিসাবে সাজানো যাতে যে কোনও কলামে দুটি উপাদানের যোগফল শূন্য মড p হয়, বলুনঃ ক্রমবিন্যাস প্রয়োগ করুনঃ কলামগুলির এখনও এই বৈশিষ্ট্য রয়েছে যে একটি কলামে দুটি উপাদানের যোগফল শূন্য মোড p। এখন একটি ক্রমবিন্যাস V প্রয়োগ করুন যা যে কোনও জোড়াকে অদলবদল করে যেখানে উপরের সদস্যটি মূলত একটি নিম্ন সদস্য ছিলঃ অবশেষে, একটি ক্রমবিন্যাস W প্রয়োগ করুন যা মূল ম্যাট্রিক্সটি ফিরে পাবেঃ আমাদের কাছে W − 1 = VU রয়েছে। জোলোটারেভের লেম্মা বলে (a/p) = 1 যদি এবং শুধুমাত্র যদি পারমুটেশন U জোড় হয়। গাউসের লেম্মা বলে (a/p) = 1 যদি v জোড় হয়। কিন্তু ডাব্লু জোড়, তাই দুটি লেম্মা প্রদত্ত (তবে নির্বিচারে) এ এবং পি-এর সমতুল্য। জ্যাকোবি প্রতীক একটি বিন্যাসের চিহ্ন হিসাবে লেজেন্ড্রে প্রতীকের এই ব্যাখ্যাটি জ্যাকোবি প্রতীকে প্রসারিত করা যেতে পারে যেখানে a এবং n বিজোড় n> 0 সহ তুলনামূলকভাবে মৌলিক পূর্ণসংখ্যাঃ a হল বিপরীতমুখী মোড n, তাই Z/nZ-এর উপর a দ্বারা গুণ করা একটি বিন্যাস এবং জোলোটারেভের লেমার সাধারণীকরণ হল উপরের জ্যাকোবি প্রতীকটি এই বিন্যাসের চিহ্ন। উদাহরণস্বরূপ, Z/21Z-এ 2 দ্বারা গুণনের চক্র পচন (0) (1,2,4,8,16,11) (3,6,12) (5,10,20,19,17,13) (7,14) (9,18,15) রয়েছে, তাই এই বিন্যাসের চিহ্ন হল (1) (−1) (1) (−1) (1) = −1 এবং জ্যাকোবি প্রতীক (2|21) হল −1। (লক্ষ্য করুন যে একক মোড 21-এ 2 দ্বারা গুণ দুটি 6-চক্রের গুণফল, তাই এর চিহ্ন হল 1। সুতরাং সঠিক বিন্যাস নির্ধারণের জন্য সমস্ত পূর্ণসংখ্যা মোড এন ব্যবহার করা গুরুত্বপূর্ণ এবং শুধুমাত্র একক মোড এন নয়।) যখন n = p একটি বিজোড় মৌলিক সংখ্যা এবং a, p দ্বারা বিভাজ্য না হয়, তখন 0 মড p দ্বারা গুণ করা হয়, তাই সমস্ত সংখ্যার উপর a দ্বারা গুণনের চিহ্নটি একই চিহ্ন বহন করে। কিন্তু যৌগিক n-এর ক্ষেত্রে তা হয় না, যেমনটা আমরা উপরের উদাহরণে দেখতে পাচ্ছি। ইতিহাস 1872 সালে ইয়েগর ইভানোভিচ জোলোটারেভ দ্বিঘাত পারস্পরিকতার প্রমাণ হিসাবে এই লেম্মার প্রবর্তন করেছিলেন। রেফারেন্সগুলি জোলোটারেভের লেম্মার উপর প্ল্যানেটম্যাথের নিবন্ধকে বাহ্যিক লিঙ্ক করে; তার চতুর্ভুজ পারস্পরিকতার প্রমাণ অন্তর্ভুক্ত করে নিবন্ধগুলি সংখ্যা তত্ত্বে লেম্মাসের প্রমাণ ধারণ করে বিন্যাস সংখ্যা তত্ত্বে চতুর্ভুজ অবশিষ্টাংশ বর্গ