Oscillatory integral
গাণিতিক বিশ্লেষণে দোলক অবিচ্ছেদ্য হল এক ধরনের বন্টন। অসিলেটরি ইন্টিগ্রালগুলি কঠোর অনেক যুক্তি তৈরি করে যা একটি সরল স্তরে, ভিন্ন ইন্টিগ্রালগুলি ব্যবহার করে বলে মনে হয়। অসিলেটরি ইন্টিগ্রাল হিসাবে অনেক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের জন্য আনুমানিক সমাধান অপারেটরদের প্রতিনিধিত্ব করা সম্ভব। সংজ্ঞা একটি দোলক ইন্টিগ্রাল আনুষ্ঠানিকভাবে লেখা হয় যেখানে এবং ফাংশনগুলি নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্যগুলির সাথে সংজ্ঞায়িত করা হয়ঃ ফাংশনটি বাস্তব-মূল্যবান, 1 মাত্রার ধনাত্মক-সমজাতীয় এবং এর থেকে অসীমভাবে পৃথকযোগ্য। এছাড়াও, আমরা ধরে নিই যে এর সমর্থনে কোনও সমালোচনামূলক পয়েন্ট নেই। এই ধরনের ফাংশনকে সাধারণত ফেজ ফাংশন বলা হয়। কিছু প্রসঙ্গে আরও সাধারণ ফাংশন বিবেচনা করা হয় এবং এখনও পর্যায় ফাংশন হিসাবে উল্লেখ করা হয়। এই ফাংশনটি কারো কারো জন্য প্রতীক শ্রেণীর একটির অন্তর্গত। স্বজ্ঞাতভাবে, এই প্রতীক শ্রেণীগুলি ডিগ্রির ইতিবাচক সমজাতীয় ফাংশনের ধারণাকে সাধারণীকরণ করে। ফেজ ফাংশনের মতো, কিছু ক্ষেত্রে ফাংশনটিকে আরও সাধারণ, বা কেবল ভিন্ন, শ্রেণীতে নেওয়া হয়। যখন, আনুষ্ঠানিক অবিচ্ছেদ্য সংজ্ঞাটি সকলের জন্য একত্রিত হয়, এবং এর সংজ্ঞার আর কোনও আলোচনার প্রয়োজন হয় না। যাইহোক, কখন, দোলক অবিচ্ছেদ্যটি এখনও একটি বন্টন হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়, যদিও অবিচ্ছেদ্যটি একত্রিত নাও হতে পারে। এই ক্ষেত্রে বন্টনটি এমন তথ্য ব্যবহার করে সংজ্ঞায়িত করা হয় যা এক্সপোনেনশিয়াল ক্ষয় রয়েছে এমন ফাংশন দ্বারা আনুমানিক হতে পারে। এটি করার একটি সম্ভাব্য উপায় হল টেম্পারড ডিস্ট্রিবিউশনের অর্থে সীমাটি কোথায় নেওয়া হয়েছে তা নির্ধারণ করা। অংশ দ্বারা ইন্টিগ্রেশন ব্যবহার করে, এটি দেখানো সম্ভব যে এই সীমাটি ভালভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে, এবং একটি ডিফারেনশিয়াল অপারেটর রয়েছে যাতে শোয়ার্জ স্পেসে যে কোনওটির উপর কার্যকরী ফলস্বরূপ বিতরণটি দেওয়া হয় যেখানে এই ইন্টিগ্রালটি একেবারে একত্রিত হয়। অপারেটরটি অনন্যভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় না, তবে এমনভাবে বেছে নেওয়া যেতে পারে যা শুধুমাত্র ফেজ ফাংশন, প্রতীকের ক্রম এবং এর উপর নির্ভর করে। প্রকৃতপক্ষে, যে কোনও পূর্ণসংখ্যা দেওয়া হলে, একটি অপারেটর খুঁজে পাওয়া সম্ভব যাতে উপরের ইন্টিগ্র্যান্ডটি যথেষ্ট বড় দ্বারা আবদ্ধ থাকে। এটি প্রতীক শ্রেণীর সংজ্ঞার প্রধান উদ্দেশ্য। উদাহরণ অনেক পরিচিত ডিস্ট্রিবিউশন দোলক ইন্টিগ্রাল হিসাবে লেখা যেতে পারে। ফুরিয়ার ইনভার্সন উপপাদ্যটি বোঝায় যে ডেল্টা ফাংশনটি সমান, যদি আমরা উপর থেকে এই দোলক ইন্টিগ্রালকে সংজ্ঞায়িত করার প্রথম পদ্ধতিটি প্রয়োগ করি, পাশাপাশি গাউসিয়ানের ফুরিয়ার রূপান্তর প্রয়োগ করি, তবে আমরা ফাংশনগুলির একটি সুপরিচিত ক্রম পাই যা ডেল্টা ফাংশনকে আনুমানিক করেঃ এই ক্ষেত্রে একটি অপারেটর উদাহরণস্বরূপ দেওয়া হয় যেখানে চলকগুলির ক্ষেত্রে ল্যাপলেসিয়ান কোথায়, এবং যে কোনও পূর্ণসংখ্যা তার চেয়ে বড়। প্রকৃতপক্ষে, এর সাথে আমাদের আছে এবং এই ইন্টিগ্রালটি একেবারে একত্রিত হয়। যে কোনও ডিফারেনশিয়াল অপারেটরের শোয়ার্জ কার্নেলকে দোলক অবিচ্ছেদ্য হিসাবে লেখা যেতে পারে। প্রকৃতপক্ষে যদি, তবে এর কার্নেলটি ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান ডিস্ট্রিবিউশনের সাথে সম্পর্ক দ্বারা দেওয়া হয় যে কোনও ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান ডিস্ট্রিবিউশন স্থানীয়ভাবে দোলক ইন্টিগ্রাল দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে, দেখুন। বিপরীতভাবে, যে কোনও দোলক অবিচ্ছেদ্য একটি ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান বন্টন। এটি বিতরণের প্রকারগুলির একটি সুনির্দিষ্ট বিবরণ দেয় যা দোলক ইন্টিগ্রাল হিসাবে প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে। আরও দেখুন রিমান-লেবেস্গু লেম্মা ভ্যান ডার কর্পুট লেম্মা রেফারেন্স গাণিতিক বিশ্লেষণ সাধারণীকৃত ফাংশন কার্যকরী বিশ্লেষণ শোয়ার্জ বিতরণ