Local-density approximation
স্থানীয়-ঘনত্ব আনুমানিক (এলডিএ) হল ঘনত্ব কার্যকরী তত্ত্বে (ডিএফটি) কার্যকরী বিনিময়-সম্পর্ক (এক্সসি) শক্তির আনুমানিক একটি শ্রেণী যা কেবলমাত্র স্থানের প্রতিটি বিন্দুতে বৈদ্যুতিন ঘনত্বের মানের উপর নির্ভর করে (এবং উদাহরণস্বরূপ, ঘনত্বের ব্যুৎপত্তি বা কোহন-শাম কক্ষপথ নয়)। অনেক পদ্ধতি এক্স. সি শক্তির স্থানীয় আনুমানিক মান অর্জন করতে পারে। যাইহোক, অত্যন্ত সফল স্থানীয় অনুমানগুলি হল সেগুলি যা সমজাতীয় ইলেক্ট্রন গ্যাস (এইচইজি) মডেল থেকে উদ্ভূত হয়েছে। এই ক্ষেত্রে, এলডিএ সাধারণত এইচইজি আনুমানিকতার উপর ভিত্তি করে কার্যকারিতার সমার্থক, যা পরে বাস্তবসম্মত সিস্টেমে (অণু এবং কঠিন) প্রয়োগ করা হয়। সাধারণভাবে, একটি স্পিন-আনপোলারাইজড সিস্টেমের জন্য, বিনিময়-সম্পর্ক শক্তির জন্য একটি স্থানীয়-ঘনত্ব আনুমানিক হিসাবে লেখা হয় যেখানে ρ হল বৈদ্যুতিন ঘনত্ব এবং εxc হল চার্জ ঘনত্ব ρ-এর একটি সমজাতীয় ইলেক্ট্রন গ্যাসের প্রতি কণার বিনিময়-সম্পর্ক শক্তি। বিনিময়-সম্পর্ক শক্তি বিনিময় এবং পারস্পরিক সম্পর্ক পদগুলিতে রৈখিকভাবে বিভক্ত হয়, যাতে Ex এবং Ec-এর জন্য পৃথক অভিব্যক্তি চাওয়া হয়। বিনিময় শব্দটি এইচ. ই. জি-র জন্য একটি সহজ বিশ্লেষণাত্মক রূপ নেয়। পারস্পরিক সম্পর্কের ঘনত্বের জন্য শুধুমাত্র সীমিত অভিব্যক্তিগুলি সঠিকভাবে জানা যায়, যার ফলে εc-এর জন্য অসংখ্য ভিন্ন অনুমান করা হয়। স্থানীয়-ঘনত্বের আনুমানিক হিসাব বিনিময়-সম্পর্ক শক্তির আরও পরিশীলিত আনুমানিক হিসাব নির্মাণে গুরুত্বপূর্ণ, যেমন সাধারণীকৃত গ্রেডিয়েন্ট আনুমানিক হিসাব (জিজিএ) বা সংকর কার্যকারিতা, যে কোনও আনুমানিক বিনিময়-সম্পর্ক কার্যকারিতার একটি কাঙ্ক্ষিত বৈশিষ্ট্য হিসাবে এটি অ-পরিবর্তিত ঘনত্বের জন্য এইচইজির সঠিক ফলাফল পুনরুত্পাদন করে। যেমন, এলডিএ প্রায়শই এই ধরনের কার্যকারিতার একটি সুস্পষ্ট উপাদান। 1965 সালে ওয়াল্টার কোহন এবং লু জিউ শাম প্রথম স্থানীয়-ঘনত্বের আনুমানিক হিসাব চালু করেন। প্রয়োগ জি. জি. এ-র মতো স্থানীয় ঘনত্বের প্রাক্কলনগুলি, অর্ধপরিবাহী অক্সাইড এবং স্পিন্ট্রনিক্স সহ অর্ধপরিবাহী উপকরণগুলিতে বৈদ্যুতিন এবং চৌম্বকীয় মিথস্ক্রিয়া ব্যাখ্যা করার জন্য প্রাথমিক ডি. এফ. টি গবেষণায় কঠিন অবস্থার পদার্থবিদদের দ্বারা ব্যাপকভাবে নিযুক্ত করা হয়। এই গণনামূলক অধ্যয়নের গুরুত্ব সিস্টেমের জটিলতা থেকে উদ্ভূত যা সংশ্লেষণ পরামিতিগুলির প্রতি উচ্চ সংবেদনশীলতা নিয়ে আসে যার জন্য প্রথম-নীতি ভিত্তিক বিশ্লেষণের প্রয়োজন হয়। ডোপড সেমিকন্ডাক্টিং অক্সাইডগুলিতে ফার্মি স্তর এবং ব্যান্ড কাঠামোর পূর্বাভাস প্রায়শই সিএএসটিইপি এবং ডিএমওএল 3-এর মতো সিমুলেশন প্যাকেজে অন্তর্ভুক্ত এলডিএ ব্যবহার করে করা হয়। তবে প্রায়শই এলডিএ এবং জিজিএ অনুমানের সাথে যুক্ত ব্যান্ড ব্যবধানের মানগুলিতে একটি অবমূল্যায়ন এই ধরনের সিস্টেমে অশুচি মধ্যস্থতা পরিবাহিতা এবং/অথবা বাহক মধ্যস্থতা চুম্বকত্বের মিথ্যা ভবিষ্যদ্বাণী করতে পারে। 1998 সাল থেকে শুরু করে, আইগেনভ্যালুগুলির জন্য রেলে উপপাদ্যের প্রয়োগ এলডিএ সম্ভাব্যতা ব্যবহার করে বেশিরভাগ সঠিক, গণনা করা ব্যান্ড ফাঁকগুলির দিকে পরিচালিত করেছে। ডি. এফ. টি-র দ্বিতীয় উপপাদ্যের একটি ভুল বোঝাবুঝি ডি. এফ. টি-র দুটি উপপাদ্যের বিবৃতির সাথে সম্পর্কিত ঘনত্ব কার্যকরী তত্ত্বের বর্ণনায় যেমন ব্যাখ্যা করা হয়েছে, এল. ডি. এ এবং জি. জি. এ গণনা দ্বারা ব্যান্ড ফাঁকের বেশিরভাগ অবমূল্যায়নকে ব্যাখ্যা করে বলে মনে হয়। শুধুমাত্র ঘনত্বের উপর নির্ভর করে εxc-এর জন্য সমজাতীয় ইলেক্ট্রন গ্যাসের আনুমানিক মাত্রা বিভিন্ন উপায়ে বিকশিত করা যেতে পারে। সবচেয়ে সফল পদ্ধতিটি সমজাতীয় ইলেক্ট্রন গ্যাসের উপর ভিত্তি করে। এটি সিস্টেমকে নিরপেক্ষ রেখে একটি ধনাত্মক পটভূমি চার্জ সহ একটি ভলিউম, ভি-তে এন মিথস্ক্রিয়াশীল ইলেকট্রন স্থাপন করে নির্মিত হয়। তারপরে N এবং V কে এমনভাবে অনন্ততায় নিয়ে যাওয়া হয় যা ঘনত্বকে (ρ = N/V) সীমাবদ্ধ রাখে। এটি একটি দরকারী অনুমান কারণ মোট শক্তি শুধুমাত্র গতিশক্তি, স্থিতিশীল আন্তঃক্রিয়া শক্তি এবং বিনিময়-সম্পর্ক শক্তি থেকে অবদান নিয়ে গঠিত এবং তরঙ্গ ফাংশনটি প্ল্যানওয়েভের পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশযোগ্য। বিশেষ করে, একটি ধ্রুবক ঘনত্ব ρ-এর জন্য, বিনিময় শক্তির ঘনত্ব ρ⁄3-এর সমানুপাতিক। বিনিময় কার্যকরী এইচ. ই. জি-র বিনিময়-শক্তির ঘনত্ব বিশ্লেষণাত্মকভাবে জানা যায়। বিনিময়ের জন্য এল. ডি. এ এই অভিব্যক্তিটি এই অনুমানের অধীনে ব্যবহার করে যে ঘনত্ব সমজাতীয় নয় এমন একটি ব্যবস্থায় বিনিময়-শক্তি, এইচ. ই. জি ফলাফলগুলি পয়েন্টওয়াইজ প্রয়োগ করে প্রাপ্ত হয়, যা এইচ. ই. জি-র পারস্পরিক সম্পর্কের শক্তির জন্য সম্পর্ক কার্যকরী বিশ্লেষণাত্মক অভিব্যক্তিগুলি অসীম-দুর্বল এবং অসীম-শক্তিশালী পারস্পরিক সম্পর্কের সাথে সম্পর্কিত উচ্চ-এবং নিম্ন-ঘনত্ব সীমাতে উপলব্ধ। ঘনত্ব ρ সহ একটি এইচ. ই. জি-র জন্য, পারস্পরিক সম্পর্ক শক্তির ঘনত্বের উচ্চ-ঘনত্ব সীমা হল এবং নিম্ন সীমা যেখানে উইগনার-সিটজ প্যারামিটারটি মাত্রাহীন। এটি এমন একটি গোলকের ব্যাসার্ধ হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় যা বোর ব্যাসার্ধ দ্বারা বিভক্ত ঠিক একটি ইলেক্ট্রনকে ঘিরে রাখে। উইগনার-সিটজ প্যারামিটারটি ঘনত্বের সাথে সম্পর্কিত কারণ বহু-দেহ বিশৃঙ্খলা তত্ত্বের উপর ভিত্তি করে ঘনত্বের সম্পূর্ণ পরিসরের জন্য একটি বিশ্লেষণাত্মক অভিব্যক্তি প্রস্তাব করা হয়েছে। গণনা করা পারস্পরিক সম্পর্ক শক্তিগুলি কোয়ান্টাম মন্টে কার্লো সিমুলেশন থেকে 2 মিলি-হার্টির মধ্যে ফলাফলের সাথে একমত। এইচ. ই. জি-র শক্তির জন্য সঠিক কোয়ান্টাম মন্টে কার্লো সিমুলেশনগুলি ঘনত্বের বেশ কয়েকটি মধ্যবর্তী মানের জন্য সঞ্চালিত হয়েছে, যার ফলে পারস্পরিক সম্পর্ক শক্তির ঘনত্বের সঠিক মান প্রদান করা হয়েছে। ঘূর্ণন মেরুকরণ ঘূর্ণন-মেরুকৃত ব্যবস্থায় ঘনত্ব ক্রিয়াকলাপের সম্প্রসারণ বিনিময়ের জন্য সোজা, যেখানে সঠিক ঘূর্ণন-স্কেলিং জানা যায়, তবে পারস্পরিক সম্পর্কের জন্য আরও আনুমানিক ব্যবহার করা আবশ্যক। ডি. এফ. টি-তে একটি ঘূর্ণন মেরুকৃত ব্যবস্থা দুটি ঘূর্ণন-ঘনত্ব, ρα এবং ρβ কে ρ = ρα + ρβ সহ নিযুক্ত করে এবং স্থানীয়-ঘূর্ণন-ঘনত্ব আনুমানিক (এল. এস. ডি. এ)-এর রূপ হল বিনিময় শক্তির জন্য, সঠিক ফলাফল (শুধুমাত্র স্থানীয় ঘনত্ব আনুমানিকের জন্য নয়) ঘূর্ণন-অপ্রতিরোধ্য কার্যকারিতার পরিপ্রেক্ষিতে জানা যায়ঃ পারস্পরিক সম্পর্ক শক্তির ঘনত্বের ঘূর্ণন-নির্ভরতা আপেক্ষিক ঘূর্ণন-মেরুকরণ প্রবর্তনের মাধ্যমে যোগাযোগ করা হয়ঃ সমান এবং ঘূর্ণন ঘনত্বের সাথে ডায়াম্যাগনেটিক ঘূর্ণন-অপ্রতিরোধ্য পরিস্থিতির সাথে মিলে যায় যেখানে একটি ঘূর্ণন ঘনত্ব অদৃশ্য হয়ে যায়। মোট ঘনত্ব এবং আপেক্ষিক মেরুকরণের প্রদত্ত মানগুলির জন্য ঘূর্ণন পারস্পরিক সম্পর্ক শক্তির ঘনত্ব, εc (ρ, ς), চরম মানগুলিকে ইন্টারপোলেট করার জন্য তৈরি করা হয়। এলডিএ কোরিলেশন ফাংশনালগুলির সাথে একত্রে বেশ কয়েকটি রূপ তৈরি করা হয়েছে। বিনিময়-সম্পর্ক সম্ভাব্যতা একটি স্থানীয় ঘনত্ব আনুমানিক জন্য বিনিময়-সম্পর্ক শক্তির সাথে সম্পর্কিত বিনিময়-সম্পর্ক সম্ভাব্যতা দ্বারা দেওয়া হয় সীমাবদ্ধ সিস্টেমে, এলডিএ সম্ভাব্যতা একটি সূচকীয় ফর্মের সাথে অ্যাসিম্পটোটিকভাবে ক্ষয় হয়। এই ফলাফলটি ভুল; প্রকৃত বিনিময়-সম্পর্ক সম্ভাব্যতা কুলম্বিক পদ্ধতিতে অনেক ধীর গতিতে ক্ষয় হয়। কৃত্রিমভাবে দ্রুত ক্ষয়টি কোহন-শাম অরবিটালের সংখ্যার মধ্যে নিজেকে প্রকাশ করে যা সম্ভাব্যতা বাঁধতে পারে (অর্থাৎ, কতগুলি অরবিটালের শক্তি শূন্যের চেয়ে কম)। এলডিএ সম্ভাব্যতা একটি রাইডবার্গ সিরিজকে সমর্থন করতে পারে না এবং এটি যে অবস্থাগুলিকে আবদ্ধ করে সেগুলি শক্তিতে খুব বেশি। এর ফলে সর্বোচ্চ অধিকৃত আণবিক অরবিটাল (এইচ. ও. এম. ও) শক্তি খুব বেশি থাকে, যাতে কুপম্যানের উপপাদ্যের উপর ভিত্তি করে আয়নীকরণ সম্ভাবনার জন্য কোনও ভবিষ্যদ্বাণী দুর্বল হয়। উপরন্তু, এলডিএ ইলেকট্রন সমৃদ্ধ প্রজাতির একটি দুর্বল বিবরণ প্রদান করে যেমন অ্যানায়ন যেখানে এটি প্রায়শই একটি অতিরিক্ত ইলেক্ট্রনকে বাঁধতে অক্ষম হয়, ভুলভাবে প্রজাতিগুলিকে অস্থির বলে পূর্বাভাস দেয়। স্পিন মেরুকরণের ক্ষেত্রে, বিনিময়-সম্পর্ক সম্ভাব্যতা স্পিন সূচক অর্জন করে। যাইহোক, যদি কেউ কেবল বিনিময়-সম্পর্কের বিনিময় অংশটি বিবেচনা করে, তবে স্পিন সূচকগুলিতে তির্যক একটি সম্ভাব্যতা অর্জন করেঃ রেফারেন্স ঘনত্ব কার্যকরী তত্ত্ব