Fuzzy sphere
গণিতে, অস্পষ্ট গোলক অ-বিনিময়যোগ্য জ্যামিতির অন্যতম সহজ এবং সর্বাধিক প্রামাণিক উদাহরণ। সাধারণত, একটি গোলকের উপর সংজ্ঞায়িত ফাংশনগুলি একটি যাতায়াত বীজগণিত গঠন করে। একটি অস্পষ্ট গোলক একটি সাধারণ গোলক থেকে আলাদা কারণ এর উপর ফাংশনের বীজগণিত বিনিময়যোগ্য নয়। এটি গোলাকার হারমোনিক্স দ্বারা উৎপন্ন হয় যার ঘূর্ণন l সর্বাধিক কিছু জে এর সমান। দুটি গোলাকার হারমোনিক্সের গুণফলের পদগুলি যা জে অতিক্রম করে ঘূর্ণন সহ গোলাকার হারমোনিক্সের সাথে জড়িত পণ্যটিতে কেবল বাদ দেওয়া হয়। এই ছাঁটাই একটি অসীম-মাত্রিক বিনিময়যোগ্য বীজগণিতকে একটি-মাত্রিক বিনিময়হীন বীজগণিত দ্বারা প্রতিস্থাপিত করে। এই গোলকটি দেখার সবচেয়ে সহজ উপায় হল কোনও সীমাবদ্ধ-মাত্রিক ভেক্টর স্পেসে ম্যাট্রিক্স বীজগণিত হিসাবে ফাংশনের এই কাটা বীজগণিতটি উপলব্ধি করা। তিনটি জে-মাত্রিক ম্যাট্রিক্স নিন যা লাই বীজগণিত সু (2)-এর জে-মাত্রিক অপরিবর্তনীয় উপস্থাপনার ভিত্তি গঠন করে। তারা সম্পর্কগুলিকে সন্তুষ্ট করে, যেখানে সম্পূর্ণ প্রতিসম প্রতীকটি রয়েছে, এবং ম্যাট্রিক্স পণ্যের মাধ্যমে জে-মাত্রিক ম্যাট্রিক্সের বীজগণিত তৈরি করে। এই উপস্থাপনায় সু (2) কাসিমির অপারেটরের মান হল যেখানে আই হল জে-ডাইমেনশনাল আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্স। সুতরাং, যদি আমরা 'স্থানাঙ্ক' সংজ্ঞায়িত করি যেখানে r হল গোলকের ব্যাসার্ধ এবং k একটি পরামিতি, যা r এবং j দ্বারা সম্পর্কিত, তাহলে কাসিমির অপারেটর সম্পর্কিত উপরের সমীকরণটি পুনরায় লেখা যেতে পারে, যা ত্রিমাত্রিক স্থানে এম্বেড করা ব্যাসার্ধের একটি গোলকের স্থানাঙ্কের জন্য স্বাভাবিক সম্পর্ক। এই স্থানে একটি ইন্টিগ্রাল সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে, যেখানে F হল f ফাংশনের সাথে সম্পর্কিত ম্যাট্রিক্স। উদাহরণস্বরূপ, এককের ইন্টিগ্রাল, যা বিনিময়মূলক ক্ষেত্রে গোলকের পৃষ্ঠকে এখানে সমান দেয়, যদি কেউ j কে অনন্তের দিকে নিয়ে যায় তবে গোলকের পৃষ্ঠের মানের সাথে মিলিত হয়। নোটস জেনস হপপে, "মেমব্রেন্স অ্যান্ড ম্যাট্রিক্স মডেলস", গ্রীষ্মকালীন বিদ্যালয়ে 'কোয়ান্টাম ফিল্ড থিওরি-ফ্রম আ হ্যামিল্টনিয়ান পয়েন্ট অফ ভিউ' বিষয়ে উপস্থাপিত বক্তৃতা, আগস্ট 2-9,2000, জন ম্যাডোর, অ্যান ইন্ট্রোডাকশন টু নন-কমিউটেটিভ ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতি অ্যান্ড ইটস ফিজিক্যাল অ্যাপ্লিকেশনস, লন্ডন ম্যাথমেটিকাল সোসাইটি লেকচার নোট সিরিজ। 257, কেমব্রিজ ইউনিভার্সিটি প্রেস 2002 রেফারেন্স জে. হপপে, একটি ভরহীন আপেক্ষিক পৃষ্ঠ এবং একটি দ্বিমাত্রিক বাউন্ড স্টেট সমস্যার কোয়ান্টাম তত্ত্ব। পিএইচডি থিসিস, ম্যাসাচুসেটস ইনস্টিটিউট অফ টেকনোলজি, 1982। গাণিতিক পরিমাণায়ন অ-বিনিময়যোগ্য জ্যামিতি