Spekkens toy model
স্পেকেন্স খেলনা মডেল একটি ধারণাগতভাবে সহজ খেলনা লুকানো-পরিবর্তনশীল তত্ত্ব যা 2004 সালে রবার্ট স্পেকেন্স দ্বারা প্রবর্তিত হয়েছিল, কোয়ান্টাম মেকানিক্সের জ্ঞানতাত্ত্বিক দৃষ্টিভঙ্গির পক্ষে তর্ক করার জন্য। এই মডেলটি একটি মৌলিক নীতির উপর ভিত্তি করেঃ "যদি একজনের সর্বাধিক জ্ঞান থাকে, তবে প্রতিটি ব্যবস্থার জন্য, প্রতিটি সময়ে, সেই সময়ে ব্যবস্থার আন্টিক অবস্থা সম্পর্কে একজনের যে পরিমাণ জ্ঞান রয়েছে তা অবশ্যই একজনের জ্ঞানের অভাবের সমান হতে হবে।" একে "জ্ঞানের ভারসাম্য নীতি" বলা হয়। এই মডেলের সীমার মধ্যে, সাধারণত কঠোরভাবে কোয়ান্টাম-যান্ত্রিক প্রভাবের সাথে যুক্ত অনেক ঘটনা উপস্থিত রয়েছে। এর মধ্যে রয়েছে (তবে সীমাবদ্ধ নয়) জড়তা, পরিমাপের অসামঞ্জস্যতা, টেলিপোর্টেশন, হস্তক্ষেপ, নো-ক্লোনিং এবং নো-ব্রডকাস্টিং উপপাদ্য এবং আনশার্প পরিমাপ। খেলনা মডেলটি অবশ্য কোয়ান্টাম অ-স্থানীয়তা এবং কোয়ান্টাম প্রাসঙ্গিকতার পুনরুত্পাদন করতে পারে না, কারণ এটি একটি স্থানীয় এবং অ-প্রাসঙ্গিক লুকানো-পরিবর্তনশীল তত্ত্ব। পটভূমি প্রায় এক শতাব্দী ধরে পদার্থবিজ্ঞানী ও দার্শনিকরা কোয়ান্টাম অবস্থার ভৌত অর্থ ব্যাখ্যা করার চেষ্টা করে চলেছেন। যুক্তিটি সাধারণত দুটি মৌলিকভাবে বিপরীত দৃষ্টিভঙ্গির মধ্যে একটিঃ অন্টিক ভিউ, যা কোয়ান্টাম অবস্থাগুলিকে ভৌত বাস্তবতার অবস্থা হিসাবে বর্ণনা করে এবং এপিডেমিক ভিউ, যা কোয়ান্টাম অবস্থাগুলিকে একটি সিস্টেম সম্পর্কে আমাদের অসম্পূর্ণ জ্ঞানের অবস্থা হিসাবে বর্ণনা করে। উভয় দৃষ্টিভঙ্গিরই বছরের পর বছর ধরে দৃঢ় সমর্থন রয়েছে; উল্লেখযোগ্যভাবে, অ্যান্টিক দৃষ্টিভঙ্গি হাইজেনবার্গ এবং শ্রোডিঙ্গার এবং আইনস্টাইনের জ্ঞানতাত্ত্বিক দৃষ্টিভঙ্গি দ্বারা সমর্থিত ছিল। বিংশ শতাব্দীর কোয়ান্টাম পদার্থবিজ্ঞানের অধিকাংশই অন্টিক দৃষ্টিভঙ্গি দ্বারা প্রভাবিত ছিল এবং এটি আজও পদার্থবিদদের দ্বারা সাধারণভাবে গৃহীত দৃষ্টিভঙ্গি হিসাবে রয়ে গেছে। যাইহোক, পদার্থবিদদের একটি উল্লেখযোগ্য উপগোষ্ঠী রয়েছে যারা জ্ঞানতাত্ত্বিক দৃষ্টিভঙ্গি গ্রহণ করে। উভয় দৃষ্টিভঙ্গিরই তাদের সাথে সম্পর্কিত সমস্যা রয়েছে, কারণ উভয়ই অনেক ক্ষেত্রে শারীরিক অন্তর্দৃষ্টির বিরোধিতা করে এবং কোনওটিই চূড়ান্তভাবে উচ্চতর দৃষ্টিভঙ্গি হিসাবে প্রমাণিত হয়নি। স্পেকেন্স খেলনা মডেলটি জ্ঞানতাত্ত্বিক দৃষ্টিভঙ্গির পক্ষে তর্ক করার জন্য ডিজাইন করা হয়েছে। এটি, নির্মাণের দ্বারা, একটি জ্ঞানতাত্ত্বিক মডেল। মডেলের জ্ঞানের ভারসাম্য নীতিটি নিশ্চিত করে যে এর মধ্যে কোনও সিস্টেমে করা যে কোনও পরিমাপ সিস্টেমের অসম্পূর্ণ জ্ঞান দেয় এবং এইভাবে সিস্টেমের পর্যবেক্ষণযোগ্য অবস্থা জ্ঞানমূলক হয়। এই মডেলটি অন্তর্নিহিতভাবে অনুমান করে যে একটি অন্টিক অবস্থা রয়েছে যা সিস্টেমটি যে কোনও নির্দিষ্ট সময়ে রয়েছে, তবে কেবলমাত্র আমরা এটি পর্যবেক্ষণ করতে অক্ষম। মডেলটি কোয়ান্টাম মেকানিক্স অর্জনের জন্য ব্যবহার করা যায় না, কারণ মডেল এবং কোয়ান্টাম তত্ত্বের মধ্যে মৌলিক পার্থক্য রয়েছে। বিশেষত, মডেলটি স্থানীয় এবং অপ্রাসঙ্গিক চলকগুলির মধ্যে একটি, যা বেলের উপপাদ্য আমাদের বলে যে কোয়ান্টাম মেকানিক্সের সমস্ত ভবিষ্যদ্বাণী কখনও পুনরুত্পাদন করতে পারে না। খেলনা মডেলটি অবশ্য বেশ কয়েকটি অদ্ভুত কোয়ান্টাম প্রভাব পুনরুত্পাদন করে এবং কঠোরভাবে জ্ঞানতাত্ত্বিক দৃষ্টিকোণ থেকে এটি করে; যেমন, এটিকে জ্ঞানতাত্ত্বিক দৃষ্টিভঙ্গির পক্ষে শক্তিশালী প্রমাণ হিসাবে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে। মডেল স্পেকেন্স খেলনা মডেল জ্ঞানের ভারসাম্য নীতির উপর ভিত্তি করে তৈরি "একটি সিস্টেমের শারীরিক অবস্থা সম্পর্কে প্রশ্নের সংখ্যা যা উত্তর দেওয়া হয় তা সর্বদা সর্বাধিক জ্ঞানের অবস্থায় উত্তরহীন সংখ্যার সমান হতে হবে"। যাইহোক, এই নীতির কোনও অর্থ থাকার জন্য একটি ব্যবস্থা সম্পর্কে যে "জ্ঞান" থাকতে পারে তা অবশ্যই যত্ন সহকারে সংজ্ঞায়িত করতে হবে। এটি করার জন্য, হ্যাঁ বা না প্রশ্নের একটি ক্যানোনিকাল সেটের ধারণাকে ন্যূনতম সংখ্যক প্রশ্নের প্রয়োজন হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, 4টি অবস্থা সহ একটি সিস্টেমের জন্য, কেউ জিজ্ঞাসা করতে পারেনঃ "সিস্টেমটি কি 1 অবস্থাতে আছে? "", সিস্টেমটি কি স্টেট 2-এ আছে? " এবং "সিস্টেমটি কি স্টেট 3-এ রয়েছে? ", যা ব্যবস্থার অবস্থা নির্ধারণ করবে (যদি তিনটি প্রশ্নেরই উত্তর" না "দেওয়া হয় তবে 4 নম্বর অবস্থাটি প্রযোজ্য)। যাইহোক, কেউ জিজ্ঞাসা করতে পারেনঃ "সিস্টেমটি কি স্টেট 1 বা স্টেট 2-এ রয়েছে?" এবং "সিস্টেমটি কি স্টেট 1 বা স্টেট 3-এ রয়েছে? ", যা রাজ্যকেও অনন্যভাবে নির্ধারণ করবে এবং সেটটিতে কেবল দুটি প্রশ্ন রয়েছে। এই প্রশ্নের সেটটি অনন্য নয়, তবে এটি স্পষ্ট যে চারটি অবস্থার মধ্যে একটিকে সঠিকভাবে উপস্থাপন করতে কমপক্ষে দুটি প্রশ্ন (বিট) প্রয়োজন। আমরা বলি যে 4 টি অবস্থা সহ একটি সিস্টেমের জন্য, একটি ক্যানোনিকাল সেটে প্রশ্নের সংখ্যা দুটি। এইভাবে, এই ক্ষেত্রে, জ্ঞানের ভারসাম্য নীতি জোর দিয়ে বলে যে কোনও নির্দিষ্ট সময়ে যে কোনও ক্যানোনিকাল সেটে সর্বাধিক সংখ্যক প্রশ্নের উত্তর দেওয়া যেতে পারে তা এমন যে জ্ঞানের পরিমাণ অজ্ঞতার পরিমাণের সমান। মডেলটিতে এটিও ধরে নেওয়া হয়েছে যে বৈষম্যকে পরিপূর্ণ করা সর্বদা সম্ভব, অর্থাৎ। সিস্টেম সম্পর্কে জ্ঞান থাকা যা অভাবের ঠিক সমান, এবং তাই কমপক্ষে দুটি প্রশ্ন ক্যানোনিকাল সেটে থাকতে হবে। যেহেতু কোনও প্রশ্ন ব্যবস্থাটির সঠিক অবস্থা নির্দিষ্ট করার অনুমতি দেয় না, তাই সম্ভাব্য অন্টিক অবস্থার সংখ্যা কমপক্ষে 4 হতে হবে (যদি এটি 4-এর কম হয়, তবে মডেলটি তুচ্ছ হবে, কারণ যে কোনও প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করা যেতে পারে তা ব্যবস্থাটির সঠিক অবস্থা নির্দিষ্ট করে একটি উত্তর দিতে পারে, সুতরাং কোনও প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করা যাবে না)। যেহেতু চারটি অবস্থা (উপরে বর্ণিত) সহ একটি ব্যবস্থা বিদ্যমান, তাই এটিকে একটি প্রাথমিক ব্যবস্থা হিসাবে উল্লেখ করা হয়। মডেলটি তখন আরও ধরে নেয় যে প্রতিটি সিস্টেম এই প্রাথমিক সিস্টেমগুলি থেকে তৈরি করা হয়েছে এবং যে কোনও সিস্টেমের প্রতিটি সাবসিস্টেমও জ্ঞানের ভারসাম্য নীতি মেনে চলে। প্রাথমিক ব্যবস্থা একটি প্রাথমিক ব্যবস্থার জন্য, ধরা যাক 1 * 2 জ্ঞানের অবস্থাকে উপস্থাপন করে "ব্যবস্থাটি 1 বা 2 অবস্থাতে রয়েছে"। এই মডেলের অধীনে, সর্বাধিক জ্ঞানের 6টি অবস্থা পাওয়া যেতে পারেঃ 1 * 2,1 * 3,1 * 4,2 * 3,2 * 4 এবং 3 * 4। সর্বাধিক জ্ঞানের চেয়ে কম একটি একক অবস্থাও রয়েছে, যা 1 * 2 * 3 * 4 এর সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ। এগুলিকে প্রাকৃতিক পদ্ধতিতে 6টি কিউবিট অবস্থায় ম্যাপ করা যেতে পারেঃ এই ম্যাপিংয়ের অধীনে, এটি স্পষ্ট যে খেলনা তত্ত্বের জ্ঞানের দুটি অবস্থা কিউবিটের জন্য দুটি অর্থোগোনাল অবস্থার সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ যদি এবং শুধুমাত্র যদি তারা কোনও সাধারণ অন্টিক অবস্থা ভাগ না করে। এই ম্যাপিং খেলনা মডেলে কোয়ান্টাম বিশ্বস্ততা, সামঞ্জস্যতা, অবস্থার উত্তল সংমিশ্রণ এবং সুসঙ্গত সুপারপজিশন-এর সাদৃশ্যও দেয় এবং প্রাকৃতিক পদ্ধতিতে ব্লক গোলকের সাথে ম্যাপ করা যেতে পারে। যাইহোক, সুসঙ্গত সুপারপজিশন বিবেচনা করার সময় সাদৃশ্যটি একটি মাত্রায় ভেঙে যায়, কারণ খেলনা মডেলের সুসঙ্গত সুপারপজিশনের একটি রূপ কোয়ান্টাম মডেলের সংশ্লিষ্ট সুপারপজিশনের সাথে যা প্রত্যাশিত তার সাথে অর্থোগোনাল একটি অবস্থা ফিরিয়ে দেয় এবং এটি দুটি সিস্টেমের মধ্যে একটি অভ্যন্তরীণ পার্থক্য হিসাবে দেখানো যেতে পারে। এটি পূর্ববর্তী বিষয়টিকে আরও জোরদার করে যে এই মডেলটি কোয়ান্টাম মেকানিক্সের একটি সীমাবদ্ধ সংস্করণ নয়, বরং একটি পৃথক মডেল যা কোয়ান্টাম বৈশিষ্ট্যগুলি অনুকরণ করে। রূপান্তর সিস্টেমের অন্টিক অবস্থার একমাত্র রূপান্তর যা জ্ঞানের ভারসাম্য নীতিকে সম্মান করে তা হল 4টি অন্টিক অবস্থার বিন্যাস। এই মানচিত্রগুলি অন্যান্য বৈধ এপিডেমিক অবস্থার জন্য বৈধ এপিডেমিক অবস্থা, উদাহরণস্বরূপ (বিন্যাসের প্রতিনিধিত্ব করার জন্য চক্র স্বরলিপি ব্যবহার করে): এই মডেলের এপিডেমিক অবস্থা এবং ব্লক গোলকের কিউবিট অবস্থার মধ্যে সাদৃশ্য বিবেচনা করে, এই রূপান্তরগুলি 6 টি অনুরূপ অবস্থার সাধারণ অনুমোদিত বিন্যাসগুলির পাশাপাশি ক্রমবিন্যাসের একটি সেট নিয়ে গঠিত যা অবিচ্ছিন্ন কিউবিট মডেলে নিষিদ্ধ। এগুলি হল (12) (3) (4)-এর মতো রূপান্তর, যা হিলবার্ট স্পেসে অ্যান্টিইউনিটারি ম্যাপের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ। এগুলি একটি অবিচ্ছিন্ন মডেলে অনুমোদিত নয়, তবে এই বিচ্ছিন্ন ব্যবস্থায় এগুলি প্রাকৃতিক রূপান্তর হিসাবে উদ্ভূত হয়। যাইহোক, একটি চরিত্রগতভাবে কোয়ান্টাম ঘটনার একটি উপমা রয়েছে, যে কোনও অনুমোদিত রূপান্তর একটি সার্বজনীন অবস্থা ইনভার্টার হিসাবে কাজ করে না। এই ক্ষেত্রে, এর অর্থ হল যে বৈশিষ্ট্য পরিমাপের সাথে কোনও একক রূপান্তর এস নেই তত্ত্বটিতে, শুধুমাত্র পুনরুত্পাদনযোগ্য পরিমাপ (পরিমাপের পরে সিস্টেমকে পরিমাপের ফলাফলের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ করে তোলে এমন পরিমাপ) বিবেচনা করা হয়। যেমন, শুধুমাত্র বৈধ মহামারী অবস্থার মধ্যে পার্থক্যকারী পরিমাপের অনুমতি দেওয়া হয়। উদাহরণস্বরূপ, আমরা পরিমাপ করতে পারি যে সিস্টেমটি 1 বা 2,1 বা 3, বা 1 বা 4 অবস্থাতে রয়েছে কিনা, যা 1 * 2,1 * 3 এবং 1 * 4 এর সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ। একবার পরিমাপ করা হয়ে গেলে, প্রশ্নযুক্ত সিস্টেম সম্পর্কে একজনের জ্ঞানের অবস্থা হালনাগাদ করা হয়; বিশেষত, যদি কেউ সিস্টেমটিকে 2 * 4 অবস্থায় পরিমাপ করে, তবে সিস্টেমটি এখন অনটিক অবস্থা 2 বা অনটিক অবস্থা 4-এ রয়েছে বলে জানা যাবে। একটি সিস্টেমে পরিমাপ করার আগে, প্রাথমিক সিস্টেম 1,2,3 বা 4-এর ক্ষেত্রে এটির একটি নির্দিষ্ট অ্যান্টিক অবস্থা থাকে। যদি একটি সিস্টেমের প্রাথমিক অন্টিক অবস্থা 1 হয়, এবং একজন {1⁄3,2⁄4} ভিত্তিতে সিস্টেমের অবস্থা পরিমাপ করে, তবে একজন 1⁄3 অবস্থা পরিমাপ করবে। এই ভিত্তিতে করা আরেকটি পরিমাপ একই ফলাফল দেবে। যাইহোক, সিস্টেমের অন্তর্নিহিত অন্টিক অবস্থা এই ধরনের পরিমাপের দ্বারা পরিবর্তন করা যেতে পারে, হয় অবস্থা 1 বা অবস্থা 3। এটি কোয়ান্টাম তত্ত্বে পরিমাপের প্রকৃতি প্রতিফলিত করে। খেলনা মডেলের একটি সিস্টেমে করা পরিমাপগুলি অ-বিনিময়যোগ্য, যেমন কোয়ান্টাম পরিমাপের ক্ষেত্রে হয়। এটি উপরের সত্যের কারণে, যে একটি পরিমাপ সিস্টেমের অন্তর্নিহিত অ্যান্টিক অবস্থা পরিবর্তন করতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, যদি কেউ {1⁄3,2⁄4} ভিত্তিতে 1⁄3 অবস্থার একটি ব্যবস্থা পরিমাপ করে, তবে নিশ্চিতভাবে 1⁄3 অবস্থাটি অর্জন করে। যাইহোক, যদি কেউ প্রথমে {1⁄2,3⁄4} ভিত্তিতে সিস্টেমটি পরিমাপ করে, তবে {1⁄3,2⁄4} ভিত্তিতে, পরিমাপের আগে সিস্টেমের চূড়ান্ত অবস্থা অনিশ্চিত। এই তত্ত্বে পরিমাপের প্রকৃতি এবং সুসঙ্গত সুপারপজিশনও হস্তক্ষেপের কোয়ান্টাম ঘটনার জন্ম দেয়। যখন দুটি অবস্থা একটি সুসঙ্গত সুপারপজিশন দ্বারা মিশ্রিত হয়, তখন ফলাফলটি সাধারণ "এবং" বা "বা" এর পরিবর্তে উভয় থেকে অন্টিক অবস্থার একটি নমুনা হয়। এটি এই মডেলের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ ফলাফলগুলির মধ্যে একটি, কারণ হস্তক্ষেপকে প্রায়শই জ্ঞানতাত্ত্বিক দৃষ্টিভঙ্গির বিরুদ্ধে প্রমাণ হিসাবে দেখা হয়। এই মডেলটি ইঙ্গিত করে যে এটি একটি কঠোরভাবে মহামারী ব্যবস্থা থেকে উদ্ভূত হতে পারে। প্রাথমিক ব্যবস্থার গোষ্ঠী প্রাথমিক ব্যবস্থার একটি জুটিতে 16টি সংযুক্ত অন্টিক অবস্থা রয়েছে, যা 1 থেকে 4 এবং 1 থেকে 4 (অর্থাৎ, 1 থেকে 4) সংখ্যার সংমিশ্রণের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ। ব্যবস্থাটি রাজ্যে হতে পারে (1,1), (1,2), ইত্যাদি)। জ্ঞানের ভারসাম্য নীতির দ্বারা এই ব্যবস্থার মহামারী অবস্থা আরও একবার সীমাবদ্ধ হয়ে পড়েছে। যাইহোক, এখন এটি কেবল সামগ্রিকভাবে সিস্টেমের জ্ঞানকে সীমাবদ্ধ করে না, বরং উভয় উপাদান উপ-সিস্টেমের জ্ঞানকেও সীমাবদ্ধ করে। ফলস্বরূপ দুই ধরনের সর্বাধিক জ্ঞানের ব্যবস্থা উদ্ভূত হয়। এর মধ্যে প্রথমটি উভয় উপব্যবস্থার সর্বাধিক জ্ঞান থাকার সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ; উদাহরণস্বরূপ, যে প্রথম উপব্যবস্থাটি 1⁄3 অবস্থায় এবং দ্বিতীয়টি 3⁄4 অবস্থায় রয়েছে, যার অর্থ হল যে সামগ্রিকভাবে ব্যবস্থাটি (1,3), (1,4), (3,3) বা (3,4) অবস্থার মধ্যে একটিতে রয়েছে। এই ক্ষেত্রে, দুটি ব্যবস্থার মধ্যে যোগাযোগ সম্পর্কে কিছুই জানা যায় না। দ্বিতীয়টি আরও আকর্ষণীয়, যা পৃথকভাবে কোনও ব্যবস্থা সম্পর্কে কোনও জ্ঞান না থাকার সাথে সম্পর্কিত, তবে তাদের মিথস্ক্রিয়া সম্পর্কে সর্বাধিক জ্ঞান থাকার সাথে সম্পর্কিত। উদাহরণস্বরূপ, কেউ জানতে পারে যে সিস্টেমের অন্টিক অবস্থা (1,1), (2,2), (3,4) বা (4,3) এর মধ্যে একটি। এখানে কোনও একটি পৃথক ব্যবস্থার অবস্থা সম্পর্কে কিছুই জানা যায় না, তবে একটি ব্যবস্থার জ্ঞান অন্যটির জ্ঞান দেয়। এটি কোয়ান্টাম তত্ত্বে কণাগুলির জড়িয়ে পড়ার সাথে মিলে যায়। প্রাথমিক পদ্ধতির একটি গোষ্ঠীর অবস্থার উপর বৈধ রূপান্তর বিবেচনা করা সম্ভব, যদিও এই ধরনের বিশ্লেষণের গণিত একটি একক পদ্ধতির তুলনায় বেশি জটিল। স্বাধীনভাবে কাজ করা প্রতিটি অবস্থার একটি বৈধ রূপান্তরের সমন্বয়ে গঠিত রূপান্তরগুলি সর্বদা বৈধ। দ্বি-পদ্ধতি মডেলের ক্ষেত্রে, একটি রূপান্তরও রয়েছে যা কিউবিটে সি-নট অপারেটরের অনুরূপ। উপরন্তু, মডেলের সীমার মধ্যে কোয়ান্টাম তথ্য তত্ত্বের যান্ত্রিকতার একটি ন্যায্য চুক্তি পুনরুত্পাদন করে নো-ক্লোনিং এবং নো-ব্রডকাস্টিং উপপাদ্য প্রমাণ করা সম্ভব। খেলনা মডেলের মধ্যে বিশুদ্ধ জড়িয়ে পড়ার একবিবাহেরও একটি শক্তিশালী সাদৃশ্য রয়েছে, তিন বা ততোধিক ব্যবস্থার একটি গোষ্ঠী হিসাবে যেখানে একটি ব্যবস্থার জ্ঞান অন্যটির জ্ঞান প্রদান করবে যা জ্ঞানের ভারসাম্য নীতিটি ভেঙে দেবে। মডেলটিতে কোয়ান্টাম টেলিপোর্টেশনের একটি সাদৃশ্য রয়েছে, পাশাপাশি বেশ কয়েকটি গুরুত্বপূর্ণ কোয়ান্টাম ঘটনা রয়েছে। ক্রমাগত পর্যায় স্থান এবং উচ্চতর মাত্রিক বিচ্ছিন্ন পর্যায় স্থান উভয় ক্ষেত্রেই এর সম্প্রসারণ সহ খেলনা মডেলটি রেফারে "এপিস্ট্রিক্টেড থিওরি" হিসাবে তৈরি করা হয়েছে। অনুরূপ বৈশিষ্ট্যযুক্ত ভৌত ব্যবস্থার বেশ কয়েকটি মডেলের উপর কাজ করা হয়েছে, যা এই মডেলের মূল প্রকাশনায় বিস্তারিতভাবে বর্ণনা করা হয়েছে। এই মডেলটিকে বিভিন্ন উপায়ে প্রসারিত করার প্রচেষ্টা চলছে, যেমন ভ্যান এনকের মডেল এবং লিউভিল মেকানিক্সের উপর ভিত্তি করে একটি অবিচ্ছিন্ন-পরিবর্তনশীল সংস্করণ। খেলনা মডেলটি শ্রেণীবদ্ধ কোয়ান্টাম মেকানিক্সের দৃষ্টিকোণ থেকেও বিশ্লেষণ করা হয়েছে। বর্তমানে, তথ্য-তাত্ত্বিক স্বতঃসিদ্ধ থেকে কোয়ান্টাম আনুষ্ঠানিকতা পুনরুত্পাদন করার কাজ চলছে। যদিও মডেলটি নিজেই কোয়ান্টাম তত্ত্ব থেকে অনেক দিক থেকে আলাদা, এটি অপ্রতিরোধ্যভাবে কোয়ান্টাম হিসাবে বিবেচিত বেশ কয়েকটি প্রভাব পুনরুত্পাদন করে। এইভাবে, অন্তর্নিহিত নীতি, যে কোয়ান্টাম অবস্থা অসম্পূর্ণ জ্ঞানের অবস্থা, কীভাবে এই পদ্ধতিতে এগিয়ে যেতে হবে সে সম্পর্কে কিছু ইঙ্গিত দিতে পারে এবং যারা এই লক্ষ্য অনুসরণ করছে তাদের আশা দিতে পারে। আরও দেখুন হিডেন ভেরিয়েবল থিওরি ইন্টারপ্রিটেশন অফ কোয়ান্টাম মেকানিক্স রেফারেন্স এক্সটার্নাল লিঙ্ক হিডেন ভেরিয়েবল থিওরি বৈজ্ঞানিক মডেল