Abstract algebra
গণিতে, আরও নির্দিষ্টভাবে বীজগণিত, বিমূর্ত বীজগণিত বা আধুনিক বীজগণিত হল বীজগাণিতিক কাঠামোর অধ্যয়ন। বীজগাণিতিক কাঠামোর মধ্যে রয়েছে একটি ক্ষেত্রের উপর গ্রুপ, রিং, ক্ষেত্র, মডিউল, ভেক্টর স্পেস, ল্যাটিস এবং অ্যালজেব্রা। বিমূর্ত বীজগণিত শব্দটি বিংশ শতাব্দীর গোড়ার দিকে বীজগণিতের পুরানো অংশগুলি থেকে আলাদা করার জন্য তৈরি করা হয়েছিল এবং আরও নির্দিষ্টভাবে প্রাথমিক বীজগণিত থেকে, গণনা এবং যুক্তিতে সংখ্যার প্রতিনিধিত্ব করার জন্য চলকের ব্যবহার। বীজগণিতের বিমূর্ত দৃষ্টিভঙ্গি উন্নত গণিতের জন্য এতটাই মৌলিক হয়ে উঠেছে যে এটিকে কেবল "বীজগণিত" বলা হয়, যেখানে "বিমূর্ত বীজগণিত" শব্দটি শিক্ষাবিজ্ঞান ব্যতীত খুব কমই ব্যবহৃত হয়। বীজগাণিতিক কাঠামো, তাদের সম্পর্কিত সমরূপতা সহ, গাণিতিক বিভাগ গঠন করে। বিভাগ তত্ত্ব বিভিন্ন কাঠামোর জন্য অনুরূপ বৈশিষ্ট্য এবং নির্মাণ অধ্যয়নের জন্য একটি একীভূত কাঠামো দেয়। সার্বজনীন বীজগণিত একটি সম্পর্কিত বিষয় যা একক বস্তু হিসাবে বীজগাণিতিক কাঠামোর প্রকারগুলি অধ্যয়ন করে। উদাহরণস্বরূপ, সর্বজনীন বীজগণিতে গোষ্ঠীগুলির কাঠামো একটি একক বস্তু, যাকে গোষ্ঠীর বৈচিত্র্য বলা হয়। ইতিহাস ঊনবিংশ শতাব্দীর আগে, বীজগণিতকে বহুপদের অধ্যয়ন হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হত। ঊনবিংশ শতাব্দীতে আরও জটিল সমস্যা এবং সমাধান পদ্ধতির বিকাশের সাথে সাথে বিমূর্ত বীজগণিত অস্তিত্ব লাভ করে। সংখ্যা তত্ত্ব, জ্যামিতি, বিশ্লেষণ এবং বীজগাণিতিক সমীকরণের সমাধান থেকে সুনির্দিষ্ট সমস্যা ও উদাহরণ এসেছে। বেশিরভাগ তত্ত্ব যা এখন বিমূর্ত বীজগণিতের অংশ হিসাবে স্বীকৃত, গণিতের বিভিন্ন শাখা থেকে পৃথক তথ্যের সংগ্রহ হিসাবে শুরু হয়েছিল, একটি সাধারণ থিম অর্জন করেছিল যা একটি মূল হিসাবে কাজ করেছিল যার চারপাশে বিভিন্ন ফলাফল গোষ্ঠীভুক্ত করা হয়েছিল এবং অবশেষে একটি সাধারণ সেটের ভিত্তিতে একীভূত হয়েছিল। এই একীকরণ বিংশ শতাব্দীর প্রথম দিকের দশকগুলিতে ঘটেছিল এবং এর ফলে বিভিন্ন বীজগাণিতিক কাঠামো যেমন গোষ্ঠী, বলয় এবং ক্ষেত্রের আনুষ্ঠানিক স্বতঃসিদ্ধ সংজ্ঞা পাওয়া যায়। এই ঐতিহাসিক বিকাশ জনপ্রিয় পাঠ্যপুস্তকগুলিতে পাওয়া পদ্ধতির প্রায় বিপরীত, যেমন ভ্যান ডার ওয়ার্দেনের মডার্ন অ্যালজেব্রা, যা প্রতিটি অধ্যায়কে একটি কাঠামোর আনুষ্ঠানিক সংজ্ঞা দিয়ে শুরু করে এবং তারপর সুনির্দিষ্ট উদাহরণ দিয়ে অনুসরণ করে। প্রাথমিক বীজগণিত বহুপদী সমীকরণ বা বীজগাণিতিক সমীকরণের অধ্যয়নের একটি দীর্ঘ ইতিহাস রয়েছে। ব্যাবিলনীয়রা শব্দের সমস্যা হিসাবে নির্দিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণগুলি সমাধান করতে সক্ষম হয়েছিল। এই সমস্যা পর্যায় শব্দটিকে আলংকারিক বীজগণিত হিসাবে শ্রেণীবদ্ধ করা হয়েছে এবং ষোড়শ শতাব্দী পর্যন্ত এটি ছিল প্রভাবশালী পদ্ধতি। মুহাম্মদ ইবন মুসা আল-খোয়ারিজমি 830 খ্রিষ্টাব্দে "বীজগণিত" শব্দটির উদ্ভব করেছিলেন, তবে তাঁর কাজ ছিল সম্পূর্ণরূপে অলঙ্কারিক বীজগণিত। ফ্রাঁসোয়া ভিয়েতের 1591 সালের নতুন বীজগণিতের আগে পর্যন্ত সম্পূর্ণ প্রতীকী বীজগণিত আবির্ভূত হয়নি এবং এমনকি এর কিছু বানানযুক্ত শব্দও ছিল যা ডেকার্টের 1637 সালের লা জিওমেট্রি-তে প্রতীক দেওয়া হয়েছিল। প্রতীকী সমীকরণ সমাধানের আনুষ্ঠানিক অধ্যয়নের ফলে লিওনহার্ড অয়লার 18 শতকের শেষের দিকে ঋণাত্মক সংখ্যা এবং কাল্পনিক সংখ্যার মতো "অর্থহীন" মূলগুলি গ্রহণ করতে বাধ্য হন। তবে, ইউরোপীয় গণিতবিদরা 19 শতকের মাঝামাঝি পর্যন্ত বেশিরভাগ ক্ষেত্রেই এই ধারণাগুলিকে প্রতিহত করেছিলেন। জর্জ পিককের 1830 সালের ট্রিটাইজ অফ অ্যালজেব্রা ছিল বীজগণিতকে কঠোরভাবে প্রতীকী ভিত্তিতে স্থাপন করার প্রথম প্রচেষ্টা। তিনি একটি নতুন প্রতীকী বীজগণিতকে আলাদা করেছিলেন, যা পুরানো গাণিতিক বীজগণিত থেকে আলাদা। যেখানে গাণিতিক বীজগণিতে সীমাবদ্ধ, প্রতীকী বীজগণিতে ক্রিয়াকলাপের সমস্ত নিয়ম কোনও সীমাবদ্ধতা ছাড়াই থাকে। এই ময়ূরের ব্যবহার আইন দেখাতে পারে, যেমন, ঢুকতে দেওয়া। ময়ূর তার যুক্তিকে ন্যায়সঙ্গত করার জন্য সমতুল্য রূপের স্থায়ীত্বের নীতি ব্যবহার করেছিল, তবে তার যুক্তি প্রবর্তনের সমস্যায় ভুগছিল। উদাহরণস্বরূপ, অ-ঋণাত্মক বাস্তব সংখ্যার জন্য প্রযোজ্য, তবে সাধারণ জটিল সংখ্যার জন্য নয়। প্রাথমিক গোষ্ঠী তত্ত্ব গণিতের বেশ কয়েকটি ক্ষেত্র গোষ্ঠী অধ্যয়নের দিকে পরিচালিত করেছিল। কুইন্টিক সমীকরণের সমাধান নিয়ে ল্যাগ্রাঞ্জের 1770 সালের গবেষণা একটি বহুপদীর গ্যালোইস গোষ্ঠীর দিকে পরিচালিত করে। 1801 সালে গাউস ফার্মাটের ক্ষুদ্র উপপাদ্য নিয়ে গবেষণা করলে তা পূর্ণসংখ্যা মডুলো এন-এর বলয়, পূর্ণসংখ্যা মডুলো এন-এর গুণিতক গোষ্ঠী এবং চক্রীয় গোষ্ঠী ও আবেলিয়ান গোষ্ঠীর আরও সাধারণ ধারণার দিকে পরিচালিত করে। ক্লেইনের 1872 এর এরলাঞ্জেন প্রোগ্রাম জ্যামিতি অধ্যয়ন করে এবং ইউক্লিডিয়ান গ্রুপ এবং প্রজেক্টিভ রূপান্তরগুলির গোষ্ঠীর মতো প্রতিসাম্য গোষ্ঠীর দিকে পরিচালিত করে। 1874 সালে লাই লাই গোষ্ঠীর তত্ত্ব প্রবর্তন করে, যার লক্ষ্য ছিল "ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের গ্যালোয়া তত্ত্ব"। 1876 সালে পয়েনকারে এবং ক্লেইন বিশ্লেষণে অটোমরফিক ফাংশনের উপর কাজের উপর ভিত্তি করে মোবিয়াস রূপান্তরের গ্রুপ এবং এর উপগোষ্ঠী যেমন মডুলার গ্রুপ এবং ফুচসিয়ান গ্রুপের প্রবর্তন করেন। ঊনবিংশ শতাব্দীর মাঝামাঝি সময়ে গোষ্ঠীর বিমূর্ত ধারণাটি ধীরে ধীরে আবির্ভূত হয়। 1832 সালে গ্যালোইস প্রথম "গোষ্ঠী" শব্দটি ব্যবহার করেন, যা রচনার অধীনে বন্ধ হওয়া বিন্যাসগুলির একটি সংগ্রহকে বোঝায়। আর্থার কেলির 1854 সালের গবেষণাপত্রে অন দ্য থিওরি অফ গ্রুপস একটি গোষ্ঠীকে একটি সহযোগী রচনা অপারেশন এবং আইডেন্টিটি 1 সহ একটি সেট হিসাবে সংজ্ঞায়িত করেছে, যা আজ একটি মনোয়েড নামে পরিচিত। 1870 সালে ক্রোনেকার একটি বিমূর্ত বাইনারি ক্রিয়াকলাপকে সংজ্ঞায়িত করেছিলেন যা বন্ধ, বিনিময়যোগ্য, সহযোগী ছিল এবং একটি সীমাবদ্ধ আবেলিয়ান গোষ্ঠীর আধুনিক আইনের মতো বাম বাতিলকরণ বৈশিষ্ট্য ছিল। ওয়েবারের 1882 সালের একটি গোষ্ঠীর সংজ্ঞা ছিল একটি বদ্ধ বাইনারি অপারেশন যা সহযোগী ছিল এবং বাম এবং ডান বাতিলকরণ ছিল। 1882 সালে ওয়ালথার ভন ডাইক প্রথম কোনও গোষ্ঠীর সংজ্ঞার অংশ হিসাবে বিপরীত উপাদানগুলির প্রয়োজন হয়। একবার এই বিমূর্ত গোষ্ঠী ধারণাটি আবির্ভূত হলে, ফলাফলগুলি এই বিমূর্ত পরিবেশে সংস্কার করা হয়েছিল। উদাহরণস্বরূপ, 1887 সালে ফ্রোবেনিয়াস সরাসরি একটি সসীম গোষ্ঠীর সূত্র থেকে সিলোর উপপাদ্যটি পুনর্বিবেচনা করেছিলেন, যদিও ফ্রোবেনিয়াস মন্তব্য করেছিলেন যে এই উপপাদ্যটি ক্রমবিকাশ গোষ্ঠীর উপর কাউচির উপপাদ্য থেকে অনুসরণ করা হয়েছে এবং প্রতিটি সসীম গোষ্ঠী একটি ক্রমবিকাশ গোষ্ঠীর একটি উপগোষ্ঠী। অটো হল্ডার এই ক্ষেত্রে বিশেষভাবে সমৃদ্ধ ছিলেন, 1889 সালে ভাগফল গোষ্ঠী, 1893 সালে গ্রুপ অটোমরফিজম, পাশাপাশি সহজ গোষ্ঠীগুলিকে সংজ্ঞায়িত করেছিলেন। তিনি জর্ডান-হল্ডার উপপাদ্যও সম্পন্ন করেন। ডেডেকিন্ড এবং মিলার স্বাধীনভাবে হ্যামিল্টনিয়ান গোষ্ঠীগুলিকে চিহ্নিত করেছিলেন এবং দুটি উপাদানের কমিউটেটরের ধারণাটি প্রবর্তন করেছিলেন। বার্নসাইড, ফ্রোবেনিয়াস এবং মোলিয়েন উনিশ শতকের শেষের দিকে সীমাবদ্ধ গোষ্ঠীর প্রতিনিধিত্ব তত্ত্ব তৈরি করেছিলেন। জে। এ. ডি সেগুইয়ারের 1905 সালের মনোগ্রাফ এলিমেন্টস অফ দ্য থিওরি অফ অ্যাবস্ট্রাক্ট গ্রুপস এই ফলাফলগুলির অনেকগুলি একটি বিমূর্ত, সাধারণ আকারে উপস্থাপন করেছে, যা "কংক্রিট" গোষ্ঠীগুলিকে একটি পরিশিষ্টে নামিয়ে দিয়েছে, যদিও এটি সীমাবদ্ধ গোষ্ঠীর মধ্যে সীমাবদ্ধ ছিল। সীমাবদ্ধ এবং অসীম বিমূর্ত গোষ্ঠী উভয়ের উপর প্রথম মনোগ্রাফ ছিল ও. কে. শ্মিটের 1916 সালের বিমূর্ত তত্ত্ব। প্রারম্ভিক বলয় তত্ত্ব অসংক্রামক বলয় তত্ত্ব জটিল সংখ্যাকে হাইপারকম্প্লেক্স সংখ্যায় প্রসারিত করার মাধ্যমে শুরু হয়েছিল, বিশেষ করে 1843 সালে উইলিয়াম রোয়ান হ্যামিল্টনের কোয়াটারনিয়ন। শীঘ্রই আরও অনেক সংখ্যা পদ্ধতি অনুসরণ করা হয়। 1844 সালে, হ্যামিল্টন বাইকুয়াটারনিয়ন উপস্থাপন করেন, কেলি অক্টোনিওন প্রবর্তন করেন এবং গ্রাসম্যান বাহ্যিক অ্যালজেব্রা প্রবর্তন করেন। জেমস ককল 1848 সালে টেসারিন এবং 1849 সালে কোয়াটারনিয়ন উপস্থাপন করেন। উইলিয়াম কিংডন ক্লিফোর্ড 1873 সালে বিভক্ত-সর্বব্যাপী প্রবর্তন করেন। এছাড়াও কেলি 1854 সালে বাস্তব এবং জটিল সংখ্যার উপর গ্রুপ অ্যালজেব্রা এবং 1855 এবং 1858 সালের দুটি গবেষণাপত্রে বর্গ ম্যাট্রিক্স প্রবর্তন করেন। একবার পর্যাপ্ত উদাহরণ পাওয়া গেলে, সেগুলিকে শ্রেণীবদ্ধ করা বাকি ছিল। 1870 সালের একটি মনোগ্রাফ-এ, বেঞ্জামিন পিয়ার্স 6-এর নিচে মাত্রার 150টিরও বেশি হাইপারকম্প্লেক্স সংখ্যা ব্যবস্থাকে শ্রেণীবদ্ধ করেন এবং একটি সহযোগী বীজগণিতের একটি স্পষ্ট সংজ্ঞা দেন। তিনি নিলপোটেন্ট এবং আইডেম্পোটেন্ট উপাদানগুলির সংজ্ঞা দিয়েছিলেন এবং প্রমাণ করেছিলেন যে যে কোনও বীজগণিতে একটি বা অন্যটি থাকে। তিনি পিয়ার্স পচনকেও সংজ্ঞায়িত করেছিলেন। 1878 সালে ফ্রোবেনিয়াস এবং 1881 সালে চার্লস স্যান্ডার্স পিয়ার্স স্বাধীনভাবে প্রমাণ করেন যে, একমাত্র সসীম-মাত্রিক বিভাজনের বীজগণিত হল বাস্তব সংখ্যা, জটিল সংখ্যা এবং চতুর্ভুজ। 1880-এর দশকে কিলিং এবং কার্টান দেখিয়েছিল যে অর্ধ-সরল লাই অ্যালজেব্রা সহজ অ্যালজেব্রায় বিভক্ত করা যেতে পারে এবং সমস্ত সাধারণ লাই অ্যালজেব্রাকে শ্রেণীবদ্ধ করা যেতে পারে। এর দ্বারা অনুপ্রাণিত হয়ে, 1890-এর দশকে কার্টান, ফ্রোবেনিয়াস এবং মোলিয়েন (স্বাধীনভাবে) প্রমাণ করেছিলেন যে একটি সীমাবদ্ধ-মাত্রিক সহযোগী বীজগণিত একটি নিলপোটেন্ট বীজগণিত এবং একটি আধা-সরল বীজগণিতের সরাসরি যোগফলের মধ্যে বিচ্ছিন্ন হয়ে যায় যা কিছু সংখ্যক সাধারণ বীজগণিতের গুণফল, যা বিভাজন বীজগণিতের উপর বর্গ ম্যাট্রিক্স। কার্টান প্রথম প্রত্যক্ষ যোগফল এবং সরল বীজগণিতের মতো ধারণাগুলি সংজ্ঞায়িত করেছিলেন এবং এই ধারণাগুলি বেশ প্রভাবশালী প্রমাণিত হয়েছিল। 1907 সালে ওয়েডারবার্ন কার্টানের ফলাফলগুলিকে একটি স্বেচ্ছাচারী ক্ষেত্রে প্রসারিত করেন, যা এখন ওয়েডারবার্ন প্রধান উপপাদ্য এবং আর্টিন-ওয়েডারবার্ন উপপাদ্য নামে পরিচিত। বিনিময়যোগ্য বলয়ের জন্য, বেশ কয়েকটি ক্ষেত্র একসাথে বিনিময়যোগ্য বলয়ের তত্ত্বের দিকে পরিচালিত করে। 1828 এবং 1832 সালে দুটি গবেষণাপত্রে গাউস গাউসীয় পূর্ণসংখ্যা প্রণয়ন করেন এবং দেখান যে তারা একটি অনন্য গুণনীয়ক ক্ষেত্র (ইউ. এফ. ডি) গঠন করে এবং দ্বিখণ্ডিত পারস্পরিকতা আইন প্রমাণ করে। প্রায় একই সময়ে জ্যাকোবি এবং আইজেনস্টাইন আইজেনস্টাইন পূর্ণসংখ্যার জন্য একটি ঘন পারস্পরিকতা আইন হিসাবে প্রমাণিত হয়েছিল। ফার্মাটের শেষ উপপাদ্যের অধ্যয়ন বীজগাণিতিক পূর্ণসংখ্যার দিকে পরিচালিত করে। 1847 সালে, গ্যাব্রিয়েল লামে ভেবেছিলেন যে তিনি এফএলটি প্রমাণ করেছেন, কিন্তু তার প্রমাণ ত্রুটিপূর্ণ ছিল কারণ তিনি ধরে নিয়েছিলেন যে সমস্ত সাইক্লোটোমিক ক্ষেত্রগুলি ইউএফডি ছিল, তবুও কুমের যেমন উল্লেখ করেছেন, এটি ইউএফডি ছিল না। 1846 এবং 1847 সালে কুমের আদর্শ সংখ্যা প্রবর্তন করেন এবং সাইক্লোটোমিক ক্ষেত্রের জন্য আদর্শ মৌলিক সংখ্যায় অনন্য ফ্যাক্টরাইজেশন প্রমাণ করেন। ডেডেকিন্ড 1871 সালে এটিকে প্রসারিত করে দেখান যে, একটি বীজগাণিতিক সংখ্যা ক্ষেত্রের পূর্ণসংখ্যার ক্ষেত্রের প্রতিটি অ-শূন্য আদর্শ মৌলিক আদর্শের একটি অনন্য গুণফল, যা ডেডেকিন্ড ক্ষেত্রের তত্ত্বের অগ্রদূত। সামগ্রিকভাবে, ডেডেকিন্ডের কাজ বীজগাণিতিক সংখ্যা তত্ত্বের বিষয় তৈরি করেছিল। 1850-এর দশকে রিম্যান রিম্যান পৃষ্ঠের মৌলিক ধারণাটি প্রবর্তন করেন। রিম্যানের পদ্ধতিগুলি এমন একটি অনুমানের উপর নির্ভর করেছিল যা তিনি ডিরিচলেটের নীতি বলে অভিহিত করেছিলেন, যা 1870 সালে ওয়েয়ারস্ট্রাস দ্বারা প্রশ্নবিদ্ধ হয়েছিল। অনেক পরে, 1900 সালে, হিলবার্ট বৈচিত্র্যের ক্যালকুলাসে সরাসরি পদ্ধতি বিকাশের মাধ্যমে রিম্যানের পদ্ধতিকে ন্যায়সঙ্গত করেছিলেন। 1860 এবং 1870-এর দশকে ক্লেবশ, গর্ডন, ব্রিল এবং বিশেষ করে এম. নোইথার বীজগাণিতিক ফাংশন এবং বক্ররেখা অধ্যয়ন করেন। বিশেষত, নোইথার অধ্যয়ন করেছিলেন যে একটি বহুপদী বহুপদী বলয়ে দুটি বীজগাণিতিক বক্ররেখা দ্বারা উত্পন্ন আদর্শের উপাদান হওয়ার জন্য কী শর্ত প্রয়োজন, যদিও নোইথার এই আধুনিক ভাষাটি ব্যবহার করেননি। 1882 সালে ডেডেকিন্ড এবং ওয়েবার, বীজগাণিতিক সংখ্যা তত্ত্বের উপর ডেডেকিন্ডের আগের কাজের সাথে সাদৃশ্য রেখে, বীজগাণিতিক ফাংশন ক্ষেত্রের একটি তত্ত্ব তৈরি করেছিলেন যা রিম্যান পৃষ্ঠের প্রথম কঠোর সংজ্ঞা এবং রিম্যান-রক উপপাদ্যের কঠোর প্রমাণের অনুমতি দেয়। 1880-এর দশকে ক্রোনেকার, 1890 সালে হিলবার্ট, 1905 সালে ল্যাস্কার এবং 1913 সালে ম্যাকাউলি ই. নোইথারের কাজে অন্তর্নিহিত বহুপদী বলয়ের আদর্শগুলি আরও তদন্ত করেছিলেন। ল্যাস্কার ল্যাস্কার-নোইথার উপপাদ্যের একটি বিশেষ ক্ষেত্রে প্রমাণ করেছিলেন যে, একটি বহুপদী বলয়ের প্রতিটি আদর্শ প্রাথমিক আদর্শের একটি সীমাবদ্ধ ছেদ। ম্যাকাউলি এই পচনটির স্বতন্ত্রতা প্রমাণ করেছিলেন। সামগ্রিকভাবে, এই কাজটি বীজগাণিতিক জ্যামিতির বিকাশ ঘটায়। 1801 সালে গাউস পূর্ণসংখ্যার উপর বাইনারি চতুর্ভুজ রূপ প্রবর্তন করেন এবং তাদের সমতুল্যতা সংজ্ঞায়িত করেন। তিনি এই রূপগুলির বৈষম্যকে আরও সংজ্ঞায়িত করেছেন, যা একটি বাইনারি রূপের অপরিবর্তনীয়। 1860 এবং 1890-এর দশকের মধ্যে অপরিবর্তনীয় তত্ত্ব বিকশিত হয় এবং বীজগণিতের একটি প্রধান ক্ষেত্রে পরিণত হয়। কাইলি, সিলভেস্টার, গর্ডন এবং অন্যান্যরা বাইনারি কোয়ার্টিক ফর্ম এবং কিউবিক ফর্মের জন্য জ্যাকোবিয়ান এবং হেসিয়ান আবিষ্কার করেছিলেন। 1868 সালে গর্ডন প্রমাণ করেন যে জটিল সংখ্যার উপর একটি বাইনারি ফর্মের অপরিবর্তকগুলির শ্রেণীবদ্ধ বীজগণিত সীমাবদ্ধভাবে উত্পন্ন হয়েছিল, অর্থাৎ এর একটি ভিত্তি রয়েছে। হিলবার্ট 1885 সালে অপরিবর্তনীয়তার উপর একটি থিসিস লিখেছিলেন এবং 1890 সালে দেখিয়েছিলেন যে যে কোনও ডিগ্রি বা ভেরিয়েবলের সংখ্যার একটি ভিত্তি রয়েছে। 1890 সালে তিনি এটিকে হিলবার্টের ভিত্তি উপপাদ্য পর্যন্ত প্রসারিত করেন। একবার এই তত্ত্বগুলি বিকশিত হওয়ার পরে, একটি বিমূর্ত বলয়ের ধারণা আবির্ভূত হতে এখনও কয়েক দশক লেগেছিল। 1914 সালে আব্রাহাম ফ্রেনকেল প্রথম স্বতঃসিদ্ধ সংজ্ঞা দিয়েছিলেন। তাঁর সংজ্ঞা ছিল মূলত আদর্শ স্বতঃসিদ্ধঃ দুটি ক্রিয়া সংযোজন সহ একটি সেট, যা একটি গোষ্ঠী গঠন করে (অগত্যা বিনিময়যোগ্য নয়), এবং গুণন, যা সহযোগী, যোগের উপর বিতরণ করে এবং একটি পরিচয় উপাদান রয়েছে। উপরন্তু, পি-এডিক সংখ্যার উপর কাজ দ্বারা অনুপ্রাণিত "নিয়মিত উপাদানগুলির" উপর তাঁর দুটি স্বতঃসিদ্ধ ছিল, যা পূর্ণসংখ্যার বলয়ের মতো এখনকার সাধারণ বলয়গুলিকে বাদ দেয়। এগুলি ফ্রেঙ্কেলকে প্রমাণ করতে দেয় যে যোগটি বিনিময়যোগ্য ছিল। ফ্রেঙ্কেলের কাজের লক্ষ্য ছিল স্টেনিৎজের 1910 সালের ক্ষেত্রের সংজ্ঞাকে রিংয়ে স্থানান্তর করা, তবে এটি কংক্রিট ব্যবস্থার বিদ্যমান কাজের সাথে সংযুক্ত ছিল না। মাসাজো সোনোর 1917 সালের সংজ্ঞাটি ছিল বর্তমানের সমতুল্য। 1920 সালে, এমি নোইথার, ডব্লিউ স্মিডলারের সহযোগিতায়, আদর্শের তত্ত্ব সম্পর্কে একটি গবেষণাপত্র প্রকাশ করেছিলেন যেখানে তারা একটি রিংয়ে বাম এবং ডান আদর্শকে সংজ্ঞায়িত করেছিলেন। পরের বছর তিনি আইডিয়ালথিওরি ইন রিংবেরাইচেন (রিংয়ে আদর্শ তত্ত্ব) নামে একটি যুগান্তকারী গবেষণাপত্র প্রকাশ করেন, যা (গাণিতিক) আদর্শের ক্ষেত্রে আরোহণ শৃঙ্খলের অবস্থা বিশ্লেষণ করে। এই প্রকাশনাটি "নোথেরিয়ান রিং" শব্দটির জন্ম দেয় এবং আরও বেশ কয়েকটি গাণিতিক বস্তুকে নোথেরিয়ান বলা হয়। বিশিষ্ট বীজগণিতবিদ ইরভিং কাপলানস্কি এই কাজটিকে "বিপ্লবী" বলে অভিহিত করেছেন; যে ফলাফলগুলি বহুপদী বলয়ের বৈশিষ্ট্যগুলির সাথে অবিচ্ছেদ্যভাবে সংযুক্ত বলে মনে হয়েছিল তা একটি একক স্বতঃসিদ্ধ থেকে অনুসরণ করা হয়েছে। নোইথারের কাজ থেকে অনুপ্রাণিত হয়ে আর্টিন অবরোহী শৃঙ্খলের অবস্থা নিয়ে এসেছিলেন। এই সংজ্ঞাগুলি বিমূর্ত বলয় তত্ত্বের জন্মকে চিহ্নিত করে। প্রাথমিক ক্ষেত্র তত্ত্ব 1801 সালে গাউস পূর্ণসংখ্যা মোড পি প্রবর্তন করেন, যেখানে পি একটি মৌলিক সংখ্যা। 1830 সালে গ্যালোইস এটিকে উপাদান সহ সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রগুলিতে প্রসারিত করেন। 1871 সালে রিচার্ড ডেডেকিন্ড চারটি গাণিতিক ক্রিয়াকলাপের অধীনে বন্ধ হওয়া বাস্তব বা জটিল সংখ্যার একটি সেটের জন্য জার্মান শব্দ কর্পার চালু করেছিলেন, যার অর্থ "দেহ" বা "কর্পাস" (একটি জৈবভাবে বন্ধ সত্তার পরামর্শ দেওয়ার জন্য)। ইংরেজি শব্দ "ফিল্ড" 1893 সালে মুর দ্বারা প্রবর্তিত হয়েছিল। 1881 সালে লিওপোল্ড ক্রোনেকার যুক্তিসঙ্গততার একটি ক্ষেত্রকে সংজ্ঞায়িত করেছিলেন, যা আধুনিক ভাষায় যুক্তিসঙ্গত ভগ্নাংশের একটি ক্ষেত্র। একটি বিমূর্ত ক্ষেত্রের প্রথম স্পষ্ট সংজ্ঞা 1893 সালে হেনরিচ মার্টিন ওয়েবারের কারণে হয়েছিল। এটি গুণনের জন্য সহযোগী সূত্র অনুপস্থিত ছিল, তবে সীমাবদ্ধ ক্ষেত্র এবং বীজগাণিতিক সংখ্যা তত্ত্ব এবং বীজগাণিতিক জ্যামিতির ক্ষেত্রগুলি অন্তর্ভুক্ত ছিল। 1910 সালে স্টেইনিটজ এ পর্যন্ত সংগৃহীত বিমূর্ত ক্ষেত্র তত্ত্বের জ্ঞান সংশ্লেষিত করেন। তিনি আধুনিক সংজ্ঞার সাথে ক্ষেত্রগুলিকে স্বতঃসিদ্ধভাবে সংজ্ঞায়িত করেছিলেন, তাদের বৈশিষ্ট্য অনুসারে শ্রেণীবদ্ধ করেছিলেন এবং বর্তমানে সাধারণত দেখা যায় এমন অনেক উপপাদ্য প্রমাণ করেছিলেন। অন্যান্য প্রধান ক্ষেত্র রৈখিক সমীকরণের পদ্ধতির সমাধান, যা রৈখিক বীজগণিতের দিকে পরিচালিত করে আধুনিক বীজগণিত 19 শতকের শেষের দিকে এবং 20 শতকের শুরুতে গণিতের পদ্ধতিতে একটি পরিবর্তন দেখা যায়। বিমূর্ত বীজগণিত বিংশ শতাব্দীর শুরুতে আধুনিক বীজগণিত নামে আবির্ভূত হয়। এর অধ্যয়ন গণিতে আরও বুদ্ধিবৃত্তিক কঠোরতার অভিযানের অংশ ছিল। প্রাথমিকভাবে, ধ্রুপদী বীজগণিতে অনুমানগুলি, যার উপর সমগ্র গণিত (এবং প্রাকৃতিক বিজ্ঞানের প্রধান অংশ) নির্ভর করে, স্বতঃসিদ্ধ ব্যবস্থার রূপ নেয়। সুনির্দিষ্ট বস্তুর বৈশিষ্ট্য প্রতিষ্ঠায় আর সন্তুষ্ট না হয়ে গণিতবিদরা সাধারণ তত্ত্বের দিকে মনোনিবেশ করতে শুরু করেন। 19শ শতাব্দীতে নির্দিষ্ট কিছু বীজগাণিতিক কাঠামোর আনুষ্ঠানিক সংজ্ঞা আবির্ভূত হতে শুরু করে। উদাহরণস্বরূপ, বিন্যাসের বিভিন্ন গোষ্ঠী সম্পর্কে ফলাফলগুলি সাধারণ উপপাদ্যগুলির উদাহরণ হিসাবে দেখা যায় যা একটি বিমূর্ত গোষ্ঠীর সাধারণ ধারণার সাথে সম্পর্কিত। বিভিন্ন গাণিতিক বস্তুর গঠন এবং শ্রেণিবিন্যাসের প্রশ্নগুলি সামনে আসে। এই প্রক্রিয়াগুলি সমস্ত গণিত জুড়ে ঘটছিল, তবে বীজগণিতে বিশেষভাবে উচ্চারিত হয়েছিল। গোষ্ঠী, বলয় এবং ক্ষেত্রের মতো অনেক মৌলিক বীজগাণিতিক কাঠামোর জন্য আদিম ক্রিয়া এবং স্বতঃসিদ্ধের মাধ্যমে আনুষ্ঠানিক সংজ্ঞা প্রস্তাব করা হয়েছিল। তাই বিশুদ্ধ গণিতে গ্রুপ তত্ত্ব এবং রিং তত্ত্বের মতো বিষয়গুলি তাদের স্থান নিয়েছিল। আর্নস্ট স্টেইনিটজ দ্বারা সাধারণ ক্ষেত্রের বীজগাণিতিক তদন্ত এবং ডেভিড হিলবার্ট, এমিল আর্টিন এবং এমি নোইথার দ্বারা বিনিময়যোগ্য এবং তারপর সাধারণ বলয়ের তদন্ত, আর্নস্ট কামার, লিওপোল্ড ক্রোনেকার এবং রিচার্ড ডেডেকিন্ডের কাজের উপর ভিত্তি করে, যিনি বিনিময়যোগ্য বলয়ের আদর্শ বিবেচনা করেছিলেন এবং জর্জ ফ্রোবেনিয়াস এবং ইসাই শুর, গোষ্ঠীর উপস্থাপনা তত্ত্ব সম্পর্কিত, বিমূর্ত বীজগণিতকে সংজ্ঞায়িত করতে এসেছিলেন। ঊনবিংশ শতাব্দীর শেষ চতুর্থাংশ এবং বিংশ শতাব্দীর প্রথম চতুর্থাংশের এই উন্নয়নগুলি বার্টেল ভ্যান ডার ওয়ার্দেনের মডার্ন অ্যালজেব্রায় পদ্ধতিগতভাবে উন্মোচিত হয়েছিল, যা 1930-1931-এ প্রকাশিত দুই খণ্ডের মনোগ্রাফ যা সমীকরণ তত্ত্ব থেকে বীজগাণিতিক কাঠামোর তত্ত্ব পর্যন্ত বীজগণিতের ধারণাকে পুনর্বিন্যস্ত করেছিল। মৌলিক ধারণাগুলি গণিতবিদরা গণিতের অনেক ক্ষেত্রে ব্যবহৃত বিভিন্ন বীজগাণিতিক কাঠামোকে সংজ্ঞায়িত করেছেন। উদাহরণস্বরূপ, অধ্যয়ন করা প্রায় সমস্ত সিস্টেম সেট, যেখানে সেট তত্ত্বের উপপাদ্যগুলি প্রযোজ্য। যে সেটগুলির উপর একটি নির্দিষ্ট বাইনারি অপারেশন সংজ্ঞায়িত করা থাকে সেগুলি ম্যাগমা গঠন করে, যার জন্য ম্যাগমা সম্পর্কিত ধারণাগুলি, সেইসাথে সেট সম্পর্কিত ধারণাগুলি প্রযোজ্য। আমরা বীজগাণিতিক কাঠামোর উপর অতিরিক্ত সীমাবদ্ধতা যোগ করতে পারি, যেমন সহযোগীতা (সেমিগ্রুপ গঠনের জন্য); পরিচয়, এবং বিপরীত (গ্রুপ গঠনের জন্য); এবং অন্যান্য আরও জটিল কাঠামো। অতিরিক্ত কাঠামোর সাহায্যে আরও উপপাদ্য প্রমাণ করা যেতে পারে, তবে সাধারণতা হ্রাস পায়। বীজগাণিতিক বস্তুর "শ্রেণিবিন্যাস" (সাধারণতার পরিপ্রেক্ষিতে) সংশ্লিষ্ট তত্ত্বগুলির একটি শ্রেণিবিন্যাস তৈরি করেঃ উদাহরণস্বরূপ, বৃত্তগুলি অধ্যয়ন করার সময় গোষ্ঠী তত্ত্বের উপপাদ্যগুলি ব্যবহার করা যেতে পারে (বীজগাণিতিক বস্তুগুলির নির্দিষ্ট স্বতঃসিদ্ধ সহ দুটি বাইনারি ক্রিয়া রয়েছে) কারণ একটি বলয় তার ক্রিয়াকলাপগুলির একটির উপর একটি গোষ্ঠী। সাধারণভাবে সাধারণতার পরিমাণ এবং তত্ত্বের সমৃদ্ধির মধ্যে একটি ভারসাম্য রয়েছেঃ আরও সাধারণ কাঠামোগুলিতে সাধারণত কম অ-তুচ্ছ উপপাদ্য এবং কম প্রয়োগ থাকে। একক বাইনারি ক্রিয়াকলাপ সহ বীজগাণিতিক কাঠামোর উদাহরণগুলি হলঃ ম্যাগমা কোয়াসিগ্রুপ মনোয়েড সেমিগ্রুপ গ্রুপ বিভিন্ন ক্রিয়াকলাপের সাথে জড়িত উদাহরণগুলির মধ্যে রয়েছেঃ একটি ক্ষেত্রের উপর রিং ফিল্ড মডিউল ভেক্টর স্পেস বীজগণিত সহযোগী বীজগণিত লাই বীজগণিত বুলিয়ান বীজগণিত বিমূর্ত বীজগণিতের শাখা গ্রুপ তত্ত্ব একটি গ্রুপ হল একটি "গ্রুপ প্রোডাক্ট", একটি বাইনারি ক্রিয়াকলাপের সাথে একত্রিত একটি সেট। গোষ্ঠীটি নিম্নলিখিত সংজ্ঞায়িত স্বতঃসিদ্ধগুলিকে সন্তুষ্ট করেঃ পরিচিতিঃ এমন একটি উপাদান রয়েছে যা প্রতিটি উপাদানের জন্য, এটি ধারণ করে। বিপরীতঃ এর প্রতিটি উপাদানের জন্য, একটি উপাদান রয়েছে যাতে। অ্যাসোসিয়েটিভিটি ': প্রতিটি তিনগুণ উপাদানের জন্য, এটি ধারণ করে। রিং তত্ত্ব একটি বলয় হল দুটি বাইনারি ক্রিয়াকলাপ সহ একটি সেট, যোগঃ এবং গুণনঃ নিম্নলিখিত স্বতঃসিদ্ধগুলি সন্তুষ্ট করে। এটি সংযোজনের অধীনে একটি বিনিময়যোগ্য গোষ্ঠী। গুণনের অধীনে একটি মনোয়েড। যোগের ক্ষেত্রে গুণন হল বিতরণমূলক। এর সাধারণতার কারণে, বিমূর্ত বীজগণিত গণিত এবং বিজ্ঞানের অনেক ক্ষেত্রে ব্যবহৃত হয়। উদাহরণস্বরূপ, বীজগাণিতিক টপোলজি টপোলজি অধ্যয়নের জন্য বীজগাণিতিক বস্তু ব্যবহার করে। 2003 সালে প্রমাণিত পয়েনকারে অনুমানটি দাবি করে যে একটি ম্যানিফোল্ডের মৌলিক গোষ্ঠী, যা সংযোগ সম্পর্কে তথ্যকে এনকোড করে, একটি ম্যানিফোল্ড একটি গোলক কিনা তা নির্ধারণ করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। বীজগাণিতিক সংখ্যা তত্ত্ব বিভিন্ন সংখ্যা বলয় নিয়ে গবেষণা করে যা পূর্ণসংখ্যার সেটকে সাধারণীকরণ করে। বীজগাণিতিক সংখ্যা তত্ত্বের সরঞ্জাম ব্যবহার করে অ্যান্ড্রু ওয়াইলস ফার্মাটের শেষ উপপাদ্য প্রমাণ করেন। পদার্থবিজ্ঞানে, গোষ্ঠীগুলি প্রতিসাম্য ক্রিয়াকলাপের প্রতিনিধিত্ব করতে ব্যবহৃত হয় এবং গোষ্ঠী তত্ত্বের ব্যবহার ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলিকে সহজতর করতে পারে। গেজ তত্ত্বে, স্থানীয় প্রতিসাম্যের প্রয়োজনীয়তা একটি সিস্টেম বর্ণনাকারী সমীকরণগুলি অনুমান করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। যে গোষ্ঠীগুলি এই প্রতিসাম্যগুলি বর্ণনা করে সেগুলি হল লাই গোষ্ঠী, এবং লাই গোষ্ঠী এবং লাই বীজগণিতের অধ্যয়ন ভৌত ব্যবস্থা সম্পর্কে অনেক কিছু প্রকাশ করে; উদাহরণস্বরূপ, একটি তত্ত্বে বল বাহকদের সংখ্যা লাই বীজগণিতের মাত্রার সমান, এবং এই বোসনগুলি সেই বলের সাথে মিথস্ক্রিয়া করে যা তারা মধ্যস্থতা করে যদি লাই বীজগণিতটি অ-আবেলিয়ান হয়। আরও দেখুন কোডিং তত্ত্ব গ্রুপ তত্ত্ব বিমূর্ত বীজগণিতে প্রকাশনার তালিকা রেফারেন্স গ্রন্থপঞ্জি আরও পড়ুন ডব্লিউ. কিথ নিকোলসন (2012) বিমূর্ত বীজগণিতে ভূমিকা, 4র্থ সংস্করণ, জন উইলি অ্যান্ড সন্স। জন আর ডারবিন (1992) মডার্ন অ্যালজেব্রাঃ অ্যান ইন্ট্রোডাকশন, জন উইলি অ্যান্ড সন্স এক্সটার্নাল লিঙ্কস চার্লস সি পিন্টার (1990) [1982] এ বুক অফ অ্যাবস্ট্রাক্ট অ্যালজেব্রা, দ্বিতীয় সংস্করণ, মেরিল্যান্ড বিশ্ববিদ্যালয় থেকে।