Dehn function
জ্যামিতিক গোষ্ঠী তত্ত্বের গাণিতিক বিষয়ে, ম্যাক্স ডেনের নামে নামকরণ করা একটি ডেহন ফাংশন একটি সসীম গোষ্ঠী উপস্থাপনার সাথে সম্পর্কিত একটি সর্বোত্তম ফাংশন যা সেই গোষ্ঠীর একটি সম্পর্কের ক্ষেত্রকে সীমাবদ্ধ করে (যা গোষ্ঠীর পরিচয় উপাদানের প্রতিনিধিত্বকারী জেনারেটরগুলিতে একটি অবাধে হ্রাসকৃত শব্দ) সেই সম্পর্কের দৈর্ঘ্যের পরিপ্রেক্ষিতে (পিপি দেখুন। 79-80 in)। ডেহন ফাংশনের বৃদ্ধির ধরণটি একটি সীমিতভাবে উপস্থাপিত গোষ্ঠীর একটি আধা-আইসোমেট্রি অপরিবর্তনীয়। একটি সীমাবদ্ধভাবে উপস্থাপিত গোষ্ঠীর ডেহন ফাংশন গোষ্ঠীতে সমস্যা শব্দের অ-নির্ধারক অ্যালগরিদমিক জটিলতার সাথেও ঘনিষ্ঠভাবে যুক্ত। বিশেষত, একটি সীমাবদ্ধভাবে উপস্থাপিত গোষ্ঠীর সমাধানযোগ্য শব্দ সমস্যা থাকে যদি এবং শুধুমাত্র যদি এই গোষ্ঠীর একটি সীমাবদ্ধ উপস্থাপনার জন্য ডেহন ফাংশন পুনরাবৃত্তিমূলক হয় (উপপাদ্য 2.1 ইঞ্চি দেখুন)। একটি ডেহন ফাংশনের ধারণা জ্যামিতিতে আইসোপেরিমেট্রিক সমস্যা দ্বারা অনুপ্রাণিত হয়, যেমন ইউক্লিডীয় সমতলের জন্য ক্লাসিক আইসোপেরিমেট্রিক অসমতা এবং আরও সাধারণভাবে, একটি ফিলিং এরিয়া ফাংশনের ধারণা যা সেই পৃষ্ঠের সীমানা বক্ররেখার দৈর্ঘ্যের পরিপ্রেক্ষিতে একটি রিম্যানিয়ান ম্যানিফোল্ডে ন্যূনতম পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল অনুমান করে। একটি সীমিতভাবে উপস্থাপিত গোষ্ঠীর জন্য একটি আইসোপেরিমেট্রিক ফাংশনের ধারণা 1910-এর দশকে ম্যাক্স ডেনের কাজে ফিরে যায়। ডেহন প্রমাণ করেছেন যে কমপক্ষে দুটি বংশের একটি বদ্ধ ভিত্তিক পৃষ্ঠের মৌলিক গোষ্ঠীর মানক উপস্থাপনার জন্য সমস্যা শব্দটি এখন যা ডেহনের অ্যালগরিদম নামে পরিচিত তার দ্বারা সমাধানযোগ্য। এই সত্যের একটি সরাসরি পরিণতি হল যে এই উপস্থাপনার জন্য ডেহন ফাংশন ডেহন (এন) ≤ এন-কে সন্তুষ্ট করে। এই ফলাফলটি 1960-এর দশকে মার্টিন গ্রিনডলিঙ্গার দ্বারা সি '(1/6) ছোট বাতিলকরণ শর্তটি সন্তুষ্ট করে সীমাবদ্ধভাবে উপস্থাপিত গোষ্ঠীগুলিতে প্রসারিত করা হয়েছিল। একটি আইসোপেরিমেট্রিক ফাংশন এবং একটি ডেহন ফাংশন যা আজ ব্যবহৃত হয় তার আনুষ্ঠানিক ধারণাটি 1980-এর দশকের শেষের দিকে-1990-এর দশকের গোড়ার দিকে শব্দ-হাইপারবোলিক গোষ্ঠীর তত্ত্বের প্রবর্তন এবং বিকাশের সাথে একসাথে আবির্ভূত হয়েছিল। তাঁর 1987 সালের মনোগ্রাফ "হাইপারবোলিক গ্রুপ"-এ গ্রোমভ প্রমাণ করেছিলেন যে একটি সীমিতভাবে উপস্থাপিত গ্রুপ শব্দ-হাইপারবোলিক হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি এটি একটি রৈখিক আইসোপেরিমেট্রিক বৈষম্যকে সন্তুষ্ট করে, অর্থাৎ যদি এবং শুধুমাত্র যদি এই গ্রুপের ডেহন ফাংশন f (n) = n ফাংশনের সমতুল্য হয়। আইসোপেরিমেট্রিক এবং ডেহন ফাংশনের অধ্যয়ন দ্রুত জ্যামিতিক গ্রুপ তত্ত্বের একটি পৃথক প্রধান বিষয় হিসাবে বিকশিত হয়েছিল, বিশেষত যেহেতু এই ফাংশনের বৃদ্ধির ধরণগুলি সীমাবদ্ধভাবে উপস্থাপিত গোষ্ঠীর প্রাকৃতিক আধা-আইসোমেট্রি অপরিবর্তনীয়। এই বিষয়ে প্রধান ফলাফলগুলির মধ্যে একটি ছিল সাপির, বারজেট এবং রিপস দ্বারা প্রাপ্ত যারা দেখিয়েছিলেন যে টুরিং মেশিনের বেশিরভাগ "যুক্তিসঙ্গত" সময় জটিলতা ফাংশনগুলি প্রাকৃতিক সমতুল্যতা পর্যন্ত, সীমাবদ্ধভাবে উপস্থাপিত গোষ্ঠীর ডেহন ফাংশন হিসাবে উপলব্ধি করা যেতে পারে। আনুষ্ঠানিক সংজ্ঞা ধরা যাক একটি সসীম গোষ্ঠী উপস্থাপনা যেখানে এক্স একটি সসীম বর্ণমালা এবং যেখানে আর এফ (এক্স) চক্রাকারভাবে হ্রাসকৃত শব্দের একটি সসীম সেট। একটি সম্পর্কের ক্ষেত্র ধরা যাক, জি-তে একটি সম্পর্ক, অর্থাৎ জি-তে ডাব্লু = 1, একটি মুক্তভাবে হ্রাসকৃত শব্দ। মনে রাখবেন যে এটি এই বলার সমতুল্য যে ডাব্লু এফ (এক্স)-এ আর-এর স্বাভাবিক বন্ধের অন্তর্গত, অর্থাৎ, ডাব্লু-এর একটি উপস্থাপনা রয়েছে যেখানে m ≤ 0 এবং যেখানে i = 1,,, m-এর জন্য r ≤ R ± 1। ডাব্লু ≤ এফ (এক্স)-এর জন্য জি-তে ডাব্লু = 1-কে সন্তুষ্ট করার জন্য, ডাব্লু-এর ক্ষেত্রফল (≤)-এর সাপেক্ষে, চিহ্নিত এলাকা (ডাব্লু) হল ক্ষুদ্রতম এম ≤ 0 যাতে ডাব্লু-এর জন্য একটি উপস্থাপনা (≤) বিদ্যমান থাকে। একটি মুক্তভাবে হ্রাসকৃত শব্দ ডাব্লু এফ (এক্স) জি-তে ডাব্লু = 1 কে সন্তুষ্ট করে যদি এবং শুধুমাত্র যদি উপস্থাপনা কমপ্লেক্সে ডাব্লু দ্বারা লেবেল করা লুপটি জি-এর জন্য (঱্঱ং) এর সাথে সম্পর্কিত নাল-হোমোটোপিক হয়। এই তথ্যটি দেখানোর জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে যে এলাকা (ডাব্লু) হ 'ল একটি ভ্যান কাম্পেন চিত্রের 2-কোষের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যার সীমানা চক্রটি ডাব্লু দ্বারা লেবেলযুক্ত। আইসোপেরিমেট্রিক ফাংশন একটি সীমাবদ্ধ উপস্থাপনার জন্য একটি আইসোপেরিমেট্রিক ফাংশন এমন একটি মনোটোন অ-হ্রাসকারী ফাংশন যে যখনই ডাব্লু এফ (এক্স) জি-তে ডাব্লু = 1 সন্তুষ্ট করে একটি অবাধে হ্রাসকৃত শব্দ হয়, তখন এলাকা (ডাব্লু) ≤ এফ (|w।), যেখানে |w। শব্দটির দৈর্ঘ্য ডাব্লু। ডেহন ফাংশন তারপর একটি সীমাবদ্ধ উপস্থাপনার ডেহন ফাংশনকে সমতুল্যভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়, ডেহন (এন) হল ক্ষুদ্রতম আইসোপেরিম্। যেহেতু সঠিক ডেহন ফাংশন সাধারণত উপস্থাপনার উপর নির্ভর করে, তাই একজন সাধারণত তার অ্যাসিম্পটোটিক বৃদ্ধির ধরন অধ্যয়ন করে কারণ এন অসীমের দিকে ঝুঁকে থাকে, যা শুধুমাত্র গোষ্ঠীর উপর নির্ভর করে। দুটি একক স্বর-হ্রাসহীন ফাংশনের জন্য একটি বলে যে f হল g দ্বারা প্রভাবিত যদি প্রতিটি পূর্ণসংখ্যার জন্য C ≤ 1 থাকে। ধরুন যে f ≈ g যদি f, g দ্বারা প্রভাবিত হয় এবং g, f দ্বারা প্রভাবিত হয়। তাহলে ≈ একটি সমতুল্য সম্পর্ক এবং ডেহন ফাংশন এবং আইসোপেরিমেট্রিক ফাংশনগুলি সাধারণত এই সমতুল্য সম্পর্ক পর্যন্ত অধ্যয়ন করা হয়। সুতরাং যে কোনও a, b> 1-এর জন্য আমাদের একটি ≈ bn আছে। একইভাবে, যদি f (n) অ-ঋণাত্মক সহগ সহ d মাত্রার একটি বহুপদী হয় (যেখানে d ≤1 একটি বাস্তব সংখ্যা), তাহলে f (n) ≈ nd। এছাড়াও, 1 ≈ n। যদি একটি সসীম গোষ্ঠী উপস্থাপনা একটি আইসোপেরিমেট্রিক ফাংশন f (n) গ্রহণ করে যা একটি রৈখিকের সমতুল্য (যথাক্রমে, দ্বিঘাত, ঘন, বহুপদী, সূচকীয় ইত্যাদি)। n-এ ফাংশন, উপস্থাপনাকে একটি রৈখিক (যথাক্রমে, চতুর্ভুজ, ঘন, বহুপদী, সূচকীয়, ইত্যাদি) সন্তুষ্ট করতে বলা হয়। আইসোপেরিমেট্রিক বৈষম্য। মৌলিক বৈশিষ্ট্যগুলি যদি জি এবং এইচ আধা-আইসোমেট্রিক সীমাবদ্ধভাবে উপস্থাপিত গোষ্ঠী হয় এবং জি-এর কিছু সীমাবদ্ধ উপস্থাপনার একটি আইসোপেরিমেট্রিক ফাংশন f (n) থাকে তবে এইচ-এর যে কোনও সীমাবদ্ধ উপস্থাপনার জন্য f (n)-এর সমতুল্য একটি আইসোপেরিমেট্রিক ফাংশন থাকে। বিশেষত, এই সত্যটি জি = এইচ-এর ক্ষেত্রে প্রযোজ্য, যেখানে একই গোষ্ঠী দুটি ভিন্ন সীমাবদ্ধ উপস্থাপনা দ্বারা দেওয়া হয়। ফলস্বরূপ, একটি সীমাবদ্ধভাবে উপস্থাপিত গোষ্ঠীর জন্য তার ডেহন ফাংশনের বৃদ্ধির ধরণ, উপরের সংজ্ঞার অর্থে, সেই গোষ্ঠীর জন্য একটি সীমাবদ্ধ উপস্থাপনার পছন্দের উপর নির্ভর করে না। আরও সাধারণভাবে, যদি দুটি সীমাবদ্ধভাবে উপস্থাপিত গ্রুপ আধা-আইসোমেট্রিক হয় তবে তাদের ডেহন ফাংশনগুলি সমতুল্য। একটি সীমাবদ্ধ উপস্থাপনা দ্বারা প্রদত্ত একটি সীমাবদ্ধভাবে উপস্থাপিত গ্রুপ জি-এর জন্য নিম্নলিখিত শর্তগুলি সমতুল্যঃ জি-এর একটি পুনরাবৃত্তিমূলক ডেহন ফাংশন রয়েছে। এর জন্য একটি পুনরাবৃত্তিমূলক আইসোপেরিমেট্রিক ফাংশন f (n) রয়েছে। জি গ্রুপের সমাধানযোগ্য শব্দ সমস্যা রয়েছে। বিশেষত, এটি বোঝায় যে সমস্যা শব্দের সমাধানযোগ্যতা সীমাবদ্ধভাবে উপস্থাপিত গোষ্ঠীগুলির জন্য একটি আধা-আইসোমেট্রি অপরিবর্তনীয়। একটি সম্পর্কের ক্ষেত্রফল (ডাব্লু) জানা, |w।-এর পরিপ্রেক্ষিতে, কেবল সংজ্ঞায়িত সম্পর্কের সংমিশ্রণের সংখ্যাই নয়, সংমিশ্রণকারী উপাদানগুলির দৈর্ঘ্যও আবদ্ধ হতে দেয়। ফলস্বরূপ, এটি জানা যায় যে যদি একটি সসীম উপস্থাপনা দ্বারা প্রদত্ত একটি সীমাবদ্ধভাবে উপস্থাপিত গ্রুপ জি-এর গণনাযোগ্য ডেহন ফাংশন ডেহন (এন) থাকে, তবে জি-এর জন্য সমস্যা শব্দটি অ-নির্ধারক সময় জটিলতা ডেহন (এন) এবং নির্ধারক সময় জটিলতা এক্সপ (ডেহন (এন)) দিয়ে সমাধানযোগ্য। যাইহোক, সাধারণভাবে সমস্যা শব্দের নির্ধারণমূলক সময় জটিলতার পরিপ্রেক্ষিতে একটি সীমাবদ্ধভাবে উপস্থাপিত গোষ্ঠীর ডেহন ফাংশনের কোনও যুক্তিসঙ্গত সীমা নেই এবং দুটি ফাংশনের মধ্যে ব্যবধান বেশ বড় হতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, একটি সসীম গ্রুপ জি-এর যে কোনও সসীম উপস্থাপনার জন্য আমাদের ডেহন (এন) ≈ এন রয়েছে। 2য় বংশের বদ্ধ অভিমুখী পৃষ্ঠের জন্য, এর মৌলিক গ্রুপের মানক উপস্থাপনা ডেহন (এন) ≤ এন এবং ডেহন (এন) ≈ এন-কে সন্তুষ্ট করে। প্রতিটি পূর্ণসংখ্যা কে ≤ 2-এর জন্য মুক্ত আবেলিয়ান গ্রুপে ডেহন (এন) ≈ এন 2 রয়েছে। বামস্লাগ-সোলিটার গ্রুপে ডেহন (এন) ≈ 2এন রয়েছে (দেখুন)। 3-মাত্রিক বিচ্ছিন্ন হাইজেনবার্গ গ্রুপ একটি ঘনকে সন্তুষ্ট করে তবে কোনও দ্বিঘাত আইসোপেরিমেট্রিক বৈষম্য নেই। উচ্চ-মাত্রিক হাইজেনবার্গ গোষ্ঠী, যেখানে k ± 2, দ্বিঘাত আইসোপেরিমেট্রিক বৈষম্যকে সন্তুষ্ট করে। যদি জি একটি "নভিকভ-বুন গ্রুপ" হয়, অর্থাৎ অমীমাংসিত শব্দ সমস্যা সহ একটি চূড়ান্তভাবে উপস্থাপিত গ্রুপ হয়, তবে জি-এর ডেহন ফাংশন যে কোনও পুনরাবৃত্তিমূলক ফাংশনের চেয়ে দ্রুত বৃদ্ধি পায়। থম্পসন গ্রুপ এফ-এর জন্য ডেহন ফাংশনটি দ্বিঘাত, অর্থাৎ, এন2-এর সমতুল্য (দেখুন)। তথাকথিত বামস্লাগ-গার্স্টেন গোষ্ঠীর একটি ডেহন ফাংশন রয়েছে যা এক্সপোনেনশিয়ালের যে কোনও স্থির পুনরাবৃত্ত টাওয়ারের চেয়ে দ্রুত বৃদ্ধি পাচ্ছে। বিশেষত, এই গোষ্ঠীর জন্য ডেহন (এন) ≈ এক্সপ (এক্সপ (এক্সপ (এক্সপ (1)))) যেখানে সূচকীয় সংখ্যা লগ 2 (এন)-এর অবিচ্ছেদ্য অংশের সমান (দেখুন)। একটি সীমাবদ্ধভাবে উপস্থাপিত গোষ্ঠী শব্দ-হাইপারবোলিক গোষ্ঠী হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি এর ডেহন ফাংশন n এর সমতুল্য হয়, অর্থাৎ, যদি এবং শুধুমাত্র যদি এই গোষ্ঠীর প্রতিটি সীমাবদ্ধ উপস্থাপনা একটি রৈখিক আইসোপেরিমেট্রিক বৈষম্যকে সন্তুষ্ট করে। আইসোপেরিমেট্রিক ব্যবধানঃ যদি একটি সীমিতভাবে উপস্থাপিত গোষ্ঠী একটি সাবকোয়াড্রাটিক আইসোপেরিমেট্রিক বৈষম্যকে সন্তুষ্ট করে তবে এটি শব্দ-হাইপারবোলিক। এইভাবে, ডি ω (1,2)-এর সাথে এনডি-এর সমতুল্য ডেহন ফাংশন সহ কোনও নির্দিষ্টভাবে উপস্থাপিত গোষ্ঠী নেই। স্বয়ংক্রিয় গোষ্ঠী এবং আরও সাধারণভাবে, যুদ্ধযোগ্য গোষ্ঠীগুলি দ্বিঘাত আইসোপেরিমেট্রিক বৈষম্যকে সন্তুষ্ট করে। একটি পরিমিতভাবে উৎপন্ন নিলপোটেন্ট গ্রুপের একটি ডেন ফাংশন থাকে যা nd-এর সমতুল্য যেখানে d ≤1 এবং সমস্ত ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা d এইভাবে উপলব্ধি করা হয়। উপরন্তু, প্রতিটি সীমাবদ্ধভাবে উৎপন্ন নিলপোটেন্ট গ্রুপ জি স্বীকার করে যে একটি বহুপদী আইসোপেরিমেট্রিক অসমতা ডিগ্রি সি + 1, যেখানে সি হল জি-এর নিলপোটেনসি শ্রেণী। বাস্তব সংখ্যার সেট d ≤ 1, যেমন একটি সীমিতভাবে উপস্থাপিত গ্রুপ রয়েছে যার ডেন ফাংশন nd-এর সমতুল্য, ব্যবধানটিতে ঘন। যদি একটি সীমিতভাবে উপস্থাপিত গোষ্ঠীর সমস্ত অ্যাসিম্পটোটিক শঙ্কু কেবল সংযুক্ত থাকে, তবে গ্রুপটি একটি বহুপদী আইসোপেরিমেট্রিক বৈষম্যকে সন্তুষ্ট করে। যদি একটি সীমাবদ্ধভাবে উপস্থাপিত গোষ্ঠী একটি দ্বিঘাত আইসোপেরিমেট্রিক বৈষম্যকে সন্তুষ্ট করে, তবে এই গোষ্ঠীর সমস্ত অ্যাসিম্পটোটিক শঙ্কু কেবল সংযুক্ত থাকে। যদি (এম, জি) একটি বদ্ধ রিম্যানিয়ান ম্যানিফোল্ড হয় এবং জি = π1 (এম) হয় তবে জি-এর ডেহন ফাংশন ম্যানিফোল্ডের ফিলিং এরিয়া ফাংশনের সমতুল্য। যদি জি একটি ক্যাট (0) স্থানে আইসোমেট্রি দ্বারা সঠিকভাবে বিচ্ছিন্নভাবে এবং কো-কমপ্যাক্টলি কাজ করে, তবে জি একটি দ্বিঘাত আইসোপেরিমেট্রিক বৈষম্যকে সন্তুষ্ট করে। বিশেষত, এটি সেই ক্ষেত্রে প্রযোজ্য যেখানে জি অ-ইতিবাচক বিভাগীয় বক্রতার একটি বদ্ধ রিম্যানিয়ান ম্যানিফোল্ডের মৌলিক গোষ্ঠী (অগত্যা ধ্রুবক নয়)। এস. এল (এম, জেড)-এর ডেহন ফাংশন যে কোনও এম ≤ 3-এর জন্য সর্বাধিক সূচকীয়। এসএল (3, জেড)-এর জন্য এই সীমাটি তীক্ষ্ণ এবং সেই ক্ষেত্রে জানা যায় যে ডেহন ফাংশন একটি সাবএক্সপোনেনশিয়াল আপার বাউন্ড গ্রহণ করে না। SL (m, Z)-এর জন্য ডেহন ফাংশন, যেখানে m> 4 দ্বিঘাত। থার্স্টন এস. এল (4, জেড)-এর ডেহন ফাংশনকে দ্বিঘাত বলে অনুমান করেছেন। এটি এবং আরও সাধারণভাবে, গ্রোমোভের অনুমান যে উচ্চতর র্যাঙ্ক লাই গ্রুপের ল্যাটিসগুলির একটি দ্বিঘাত ডেহন ফাংশন রয়েছে তা লিউজিঙ্গার এবং ইয়ং দ্বারা প্রমাণিত হয়েছে। সীমাবদ্ধ ধরনের পৃষ্ঠতলের শ্রেণী গোষ্ঠীর মানচিত্র স্বয়ংক্রিয় এবং দ্বিঘাত আইসোপেরিমেট্রিক বৈষম্যকে সন্তুষ্ট করে। অট (এফকে) এবং আউট (এফকে) গ্রুপের জন্য ডেহন ফাংশনগুলি প্রতিটি কে ≤ 3-এর জন্য সূচকীয়। অটো (এফকে) এবং আউট (এফকে)-এর জন্য এক্সপোনেনশিয়াল আইসোপেরিমেট্রিক অসমতা যখন হ্যাচার এবং ভগটম্যান দ্বারা কে ≤ 3 আবিষ্কৃত হয়েছিল। এই সীমাগুলি তীক্ষ্ণ, এবং ব্রাইডসন এবং ভগটম্যান দ্বারা k = 3 এবং হ্যান্ডেল এবং মোশার দ্বারা k ≤ 4-এর জন্য দেখানো হিসাবে অটো (Fk) এবং আউট (Fk) গ্রুপগুলি সাবএক্সপোনেনশিয়াল আইসোপেরিমেট্রিক বৈষম্যকে সন্তুষ্ট করে না। একটি সীমিতভাবে উৎপন্ন মুক্ত গ্রুপ Fk-এর প্রতিটি অটোমরফিজম φ-এর জন্য φ-এর ম্যাপিং টরাস গ্রুপ একটি দ্বিঘাত আইসোপেরিমেট্রিক বৈষম্যকে সন্তুষ্ট করে। বেশিরভাগ "যুক্তিসঙ্গত" গণনাযোগ্য ফাংশন যা ωn4, তা পরিমিতভাবে উপস্থাপিত গোষ্ঠীর ডেহন ফাংশন হিসাবে, সমতা পর্যন্ত উপলব্ধি করা যেতে পারে। বিশেষত, যদি f (n) ≤n4 একটি সুপারঅ্যাডিটিভ ফাংশন হয় যার বাইনারি উপস্থাপনা একটি টুরিং মেশিন দ্বারা সময়ে গণনাযোগ্য হয় তবে f (n) একটি সীমাবদ্ধভাবে উপস্থাপিত গোষ্ঠীর ডেহন ফাংশনের সমতুল্য। যদিও কোনও গোষ্ঠীর শব্দ সমস্যার জটিলতার পরিপ্রেক্ষিতে কোনও গোষ্ঠীর ডেহন ফাংশনকে যুক্তিসঙ্গতভাবে আবদ্ধ করা যায় না, বারগেট, ওলশানস্কি, রিপস এবং সাপির নিম্নলিখিত ফলাফলটি অর্জন করেছেন, যা হিগম্যানের এম্বেডিং উপপাদ্যের একটি সুদূরপ্রসারী সাধারণীকরণ প্রদান করেঃ একটি সীমাবদ্ধভাবে উত্পন্ন গোষ্ঠীর শব্দ সমস্যা অনির্ধারিত বহুপদী সময়ে নির্ণয়যোগ্য যদি এবং কেবলমাত্র যদি এই গোষ্ঠীটিকে একটি বহুপদী আইসোপেরিমেট্রিক ফাংশন সহ একটি সীমাবদ্ধভাবে উপস্থাপিত গোষ্ঠীতে এম্বেড করা যায়। উপরন্তু, T (n) সময়ে সমাধানযোগ্য সমস্যা শব্দ সহ প্রতিটি গোষ্ঠীকে n2T (n2) 4-এর সমতুল্য আইসোপেরিমেট্রিক ফাংশন সহ একটি গোষ্ঠীতে এম্বেড করা যেতে পারে। সাধারণীকরণ একটি আইসোপেরিমেট্রিক ফাংশনের ধারণার সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত বেশ কয়েকটি সহচর ধারণা রয়েছে। এইভাবে একটি আইসোডায়ামেট্রিক ফাংশন একটি নির্দিষ্ট সম্পর্কের জন্য ভ্যান কাম্পেন চিত্রের ক্ষুদ্রতম ব্যাসকে (সরল মেট্রিকের সাপেক্ষে যেখানে প্রতিটি প্রান্তের দৈর্ঘ্য এক) আবদ্ধ করে। একটি ভরাট দৈর্ঘ্যের ফাংশন একটি নির্দিষ্ট সম্পর্কের জন্য ভ্যান কাম্পেন চিত্রের ক্ষুদ্রতম ভরাট দৈর্ঘ্য ডাব্লু-এর দৈর্ঘ্যের পরিপ্রেক্ষিতে। এখানে একটি চিত্রের ভরাট দৈর্ঘ্য হল ন্যূনতম, চিত্রের সমস্ত সমন্বিত নাল-হ্যামোটপিগুলির উপর, এই ধরনের নাল-হ্যামোটপিগুলির সাথে মধ্যবর্তী লুপগুলির আবদ্ধ মধ্যবর্তী চিত্রগুলির সর্বাধিক দৈর্ঘ্যের। ভরাট দৈর্ঘ্যের ফাংশনটি সীমাবদ্ধভাবে উপস্থাপিত গোষ্ঠীগুলির জন্য সমস্যা শব্দের অ-নির্ধারক স্থান জটিলতার সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত। ডেহন ফাংশন, সর্বোত্তম আইসোডায়ামেট্রিক ফাংশন এবং সর্বোত্তম ভর্তি দৈর্ঘ্যের ফাংশনকে সংযুক্ত করার জন্য বেশ কয়েকটি সাধারণ বৈষম্য রয়েছে, তবে তাদের মধ্যে সুনির্দিষ্ট সম্পর্ক এখনও বোঝা যায়নি। আইসোপেরিমেট্রিক এবং ডেহন ফাংশনের উচ্চ-মাত্রিক সাধারণীকরণও রয়েছে। একটি গোষ্ঠীর কে-মাত্রিক আইসোপেরিমেট্রিক ফাংশন একটি কে-সংযুক্ত স্থানে ম্যাপ করা কে-গোলকের (কে + 1)-মাত্রিক বল-পূরণের ন্যূনতম সংমিশ্রণ আয়তনকে সীমাবদ্ধ করে যার উপর গ্রুপটি সঠিকভাবে এবং সহসংযোজিতভাবে কাজ করে; কে-গোলকের সংমিশ্রণ আয়তনের একটি ফাংশন হিসাবে বাউন্ড দেওয়া হয়। একটি আইসোপেরিমেট্রিক ফাংশনের আদর্শ ধারণা k = 1 কেসের সাথে মিলে যায়। ধ্রুপদী কেসের তুলনায় এই উচ্চ মাত্রিক ভর্তি ফাংশন সম্পর্কে খুব কমই জানা যায়। একটি প্রধান ফলাফল হল যে উচ্চতর র্যাঙ্কের সেমি-সিম্পল লাই গ্রুপে ল্যাটিসগুলি র্যাঙ্কের নীচের মাত্রায় তালিকাভুক্ত নয়, অর্থাৎ। তারা তাদের সম্পর্কিত প্রতিসম স্থান হিসাবে একই ভর্তি ফাংশন সন্তুষ্ট করে। তাঁর মনোগ্রাফ অসীম গোষ্ঠীর অ্যাসিম্পটোটিক অপরিবর্তনীয় গ্রোমভ ডেহন ফাংশনের একটি সম্ভাব্য বা গড় সংস্করণের প্রস্তাব করেছিলেন এবং পরামর্শ দিয়েছিলেন যে অনেক গোষ্ঠীর জন্য গড় ডেহন ফাংশনের স্ট্যান্ডার্ড ডেহন ফাংশনের তুলনায় কঠোরভাবে ধীর অ্যাসিম্পটোটিক্স থাকা উচিত। গড় ডেহন ফাংশন বা গড় ডেহন ফাংশন ধারণার আরও সুনির্দিষ্ট চিকিৎসা পরে অন্যান্য গবেষকদের দ্বারা দেওয়া হয়েছিল যারা প্রমাণ করেছিলেন যে প্রকৃতপক্ষে গড় ডেহন ফাংশনগুলি বেশ কয়েকটি ক্ষেত্রে (যেমন নিলপোটেন্ট এবং আবেলিয়ান গ্রুপ) স্ট্যান্ডার্ড ডেহন ফাংশনের সাবসিম্পটোটিক। একটি আইসোপেরিমেট্রিক ফাংশনের ধারণার একটি আপেক্ষিক সংস্করণ তুলনামূলকভাবে হাইপারবোলিক গোষ্ঠীগুলিতে ওসিন পদ্ধতির একটি কেন্দ্রীয় ভূমিকা পালন করে। গ্রিগরচুক এবং ইভানোভ সীমিতভাবে অনেকগুলি জেনারেটরের উপর গোষ্ঠী উপস্থাপনের জন্য ডেহন ফাংশনের বেশ কয়েকটি প্রাকৃতিক সাধারণীকরণ অন্বেষণ করেছিলেন তবে অসীমভাবে অনেকগুলি সংজ্ঞায়িত সম্পর্ক সহ। আরও দেখুন ভ্যান কাম্পেন ডায়াগ্রাম শব্দ-হাইপারবোলিক গ্রুপ স্বয়ংক্রিয় গ্রুপ ছোট বাতিলকরণ তত্ত্ব জ্যামিতিক গ্রুপ তত্ত্ব নোটস নোয়েল ব্র্যাডি, টিম রিলে এবং হামিশ শর্ট। সীমাবদ্ধভাবে সৃষ্ট গোষ্ঠীগুলির জন্য শব্দ সমস্যার জ্যামিতি। গণিতের উন্নত কোর্স সিআরএম বার্সেলোনা, বিরখুসার, বাসেল, 2007। মার্টিন আর. ব্রিডসন। সমস্যা শব্দের জ্যামিতি। জ্যামিতি এবং টপোলজিতে আমন্ত্রণ, পৃ। 29-91, গণিতের অক্সফোর্ড গ্র্যাজুয়েট টেক্সটস, 7, অক্সফোর্ড ইউনিভার্সিটি প্রেস, অক্সফোর্ড, 2002। বাহ্যিক সংযোগ এসএল (এন, জেড)-এর জন্য আইসোপেরিমেট্রিক বৈষম্য। 2008 সালের সেপ্টেম্বর মাসে আমেরিকান ইনস্টিটিউট অফ ম্যাথমেটিক্সে একটি কর্মশালা। ব্রিডসন-এর নিবন্ধ সমস্যা শব্দের জ্যামিতি-এর পিডিএফ। জ্যামিতিক গোষ্ঠী তত্ত্ব জ্যামিতিক টপোলজি শব্দের উপর সমন্বয়