Dynamic mode decomposition
ডায়নামিক মোড ডিকম্পোজিশন (ডিএমডি) হল একটি ডাইমেনশনালিটি রিডাকশন অ্যালগরিদম যা 2008 সালে পিটার জে শ্মিড এবং জোয়ারন সেস্টারহেন দ্বারা বিকশিত হয়েছিল। তথ্যের একটি সময় সিরিজের পরিপ্রেক্ষিতে, ডিএমডি মোডগুলির একটি সেট গণনা করে যার প্রতিটি একটি নির্দিষ্ট দোলন ফ্রিকোয়েন্সি এবং ক্ষয়/বৃদ্ধির হারের সাথে যুক্ত। বিশেষত রৈখিক ব্যবস্থাগুলির জন্য, এই মোড এবং ফ্রিকোয়েন্সিগুলি সিস্টেমের স্বাভাবিক পদ্ধতির অনুরূপ, তবে আরও সাধারণভাবে, এগুলি কম্পোজিশন অপারেটরের মোড এবং আইগেনভ্যালুগুলির আনুমানিক (কুপম্যান অপারেটরও বলা হয়)। প্রতিটি মোডের সাথে যুক্ত অভ্যন্তরীণ সাময়িক আচরণের কারণে, ডিএমডি প্রধান উপাদান বিশ্লেষণের মতো মাত্রিকতা হ্রাস পদ্ধতির থেকে পৃথক, যা পূর্বনির্ধারিত সাময়িক আচরণের অভাব রয়েছে এমন অর্থোগোনাল মোডগুলি গণনা করে। যেহেতু এর মোডগুলি অর্থোগোনাল নয়, তাই ডিএমডি-ভিত্তিক উপস্থাপনাগুলি পিসিএ দ্বারা উত্পন্নগুলির তুলনায় কম পার্সিমোনিয়াস হতে পারে। যাইহোক, এগুলি শারীরিকভাবে আরও অর্থপূর্ণ হতে পারে কারণ প্রতিটি মোড সময়ের সাথে একটি স্যাঁতসেঁতে (বা চালিত) সাইনোসয়েডাল আচরণের সাথে যুক্ত। ডাইনামিক মোড ডিকম্পোসিশন প্রথম শ্মিড দ্বারা প্রবাহের তথ্য থেকে গতিশীল বৈশিষ্ট্যগুলি বের করার জন্য একটি সংখ্যাসূচক পদ্ধতি হিসাবে চালু করা হয়েছিল। ডেটা একটি স্ন্যাপশট ক্রমের রূপ নেয় যেখানে প্রবাহ ক্ষেত্রের-তম স্ন্যাপশট, এবং একটি ডেটা ম্যাট্রিক্স যার কলামগুলি পৃথক স্ন্যাপশট। এই স্ন্যাপশটগুলি একটি রৈখিক ম্যাপিংয়ের মাধ্যমে সম্পর্কিত বলে মনে করা হয় যা একটি রৈখিক গতিশীল ব্যবস্থাকে সংজ্ঞায়িত করে যা নমুনা সংগ্রহের সময়কালের প্রায় একই থাকে। ম্যাট্রিক্স আকারে লেখা, এটি বোঝায় যে অবশিষ্টাংশের ভেক্টর কোথায় যা এমন আচরণের জন্য দায়ী যা,, এবং দ্বারা সম্পূর্ণরূপে বর্ণনা করা যায় না। পদ্ধতি যাই হোক না কেন, ডিএমডি-র আউটপুট হল আইগেনভ্যালু এবং আইগেনভেক্টর, যা যথাক্রমে ডিএমডি আইগেনভ্যালু এবং ডিএমডি মোড হিসাবে উল্লেখ করা হয়। অ্যালগরিদম এই আইগেনভ্যালু এবং মোডগুলি পাওয়ার জন্য দুটি পদ্ধতি রয়েছে। প্রথমটি হল আর্নল্ডির মতো, যা ক্রাইলভ পদ্ধতির সাথে সংযোগের কারণে তাত্ত্বিক বিশ্লেষণের জন্য দরকারী। দ্বিতীয়টি হল একটি সিঙ্গুলার ভ্যালু ডিকম্পোজিশন (এসভিডি) ভিত্তিক পদ্ধতি যা তথ্যের গোলমাল এবং সংখ্যাসূচক ত্রুটির ক্ষেত্রে আরও শক্তিশালী। তরল প্রয়োগগুলিতে, একটি স্ন্যাপশটের আকার স্ন্যাপশটের সংখ্যার তুলনায় অনেক বেশি বলে মনে করা হয়, তাই এর অনেকগুলি সমানভাবে বৈধ পছন্দ রয়েছে। মূল ডিএমডি অ্যালগরিদম বেছে নেয় যাতে প্রতিটি স্ন্যাপশট স্ন্যাপশটের রৈখিক সংমিশ্রণ হিসাবে প্রকাশ করা যায়। যেহেতু বেশিরভাগ স্ন্যাপশট উভয় ডেটা সেটে প্রদর্শিত হয়, তাই এই উপস্থাপনাটি সমস্ত স্ন্যাপশটের জন্য ত্রুটি মুক্ত, যা ডিএমডি-কে অবশ্যই সনাক্ত করতে হবে এবং অবশিষ্টাংশ হিসাবে সহগগুলির একটি সেট হিসাবে লেখা হয়। মোট, সহচর ম্যাট্রিক্স কোথায় ভেক্টরটি একটি ন্যূনতম বর্গ সমস্যা সমাধান করে গণনা করা যেতে পারে, যা সামগ্রিক অবশিষ্টাংশকে ন্যূনতম করে। বিশেষ করে যদি আমরা এর কিউআর ডিকম্পোসিশন নিই। এই রূপে, ডিএমডি হল এক ধরনের আর্নল্ডি পদ্ধতি, এবং তাই এর আইগেনভ্যালুগুলি হল এর আইগেনভ্যালুগুলির আনুমানিক মান। উপরন্তু, যদি একটি আইগেনভেক্টর হয়, তবে এর একটি আনুমানিক আইগেনভেক্টর। একটি ইগেনডেকম্পোজিশনের পরিবর্তে তার উপর সঞ্চালিত হওয়ার কারণ হল এটি এর চেয়ে অনেক ছোট, তাই ডিএমডি-র গণনামূলক খরচ একটি স্ন্যাপশটের আকারের পরিবর্তে স্ন্যাপশটের সংখ্যা দ্বারা নির্ধারিত হয়। এস. ভি. ডি-ভিত্তিক পদ্ধতি সহচর ম্যাট্রিক্স গণনা করার পরিবর্তে, এস. ভি. ডি-ভিত্তিক পদ্ধতিটি একটি সাদৃশ্য রূপান্তরের মাধ্যমে সম্পর্কিত ম্যাট্রিক্স প্রদান করে। এটি করার জন্য, ধরে নিন যে আমাদের এসভিডি আছে। তারপর আর্নল্ডি-ভিত্তিক পদ্ধতির দ্বারা তৈরি অনুমানের সমতুল্য, আমরা এমনভাবে বেছে নিই যাতে স্ন্যাপশটগুলি কলামগুলির রৈখিক সুপারপজিশন হিসাবে লেখা যেতে পারে, যা তাদের পিওডি মোডের সুপারপজিশন হিসাবে লেখার প্রয়োজনের সমতুল্য। এই সীমাবদ্ধতার সাথে, অবশিষ্টাংশকে হ্রাস করার জন্য এটি পিওডি ভিত্তিতে অর্থোগোনাল হতে হবে (অর্থাৎ,)। তারপর উপরের সমীকরণের উভয় দিককে ফলন দ্বারা গুণ করলে, যা পাওয়ার জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে কারণ এবং সাদৃশ্য রূপান্তরের মাধ্যমে সম্পর্কিত, এর আইগেনভ্যালুগুলি হল এর আইগেনভ্যালু, এবং যদি এটি একটি আইগেনভেক্টর হয়, তবে এটি এর একটি আইগেনভেক্টর। সংক্ষেপে, এস. ভি. ডি-ভিত্তিক পদ্ধতিটি নিম্নরূপঃ তথ্যের সময় সিরিজকে দুটি ম্যাট্রিসে বিভক্ত করুন এবং। এর এস. ভি. ডি গণনা করুন। ম্যাট্রিক্স গঠন করুন এবং এর আইগেনভ্যালু এবং আইগেনভেক্টর গণনা করুন। - তম ডিএমডি আইগেনভ্যালু হল এবং-তম ডিএমডি মোড হল। আর্নল্ডির মতো পদ্ধতির তুলনায় এস. ভি. ডি-ভিত্তিক পদ্ধতির সুবিধা হল তথ্যের গোলমাল এবং সংখ্যাসূচক ছাঁটাই সংক্রান্ত সমস্যাগুলির জন্য এস. ভি. ডি-কে ছাঁটাই করে ক্ষতিপূরণ দেওয়া যেতে পারে। যেমনটি প্রথম জোড়া মোডের চেয়ে বেশি সঠিকভাবে গণনা করার ক্ষেত্রে উল্লেখ করা হয়েছে এবং আইগেনভ্যালুগুলি এই ছাঁটাই পদক্ষেপ ছাড়া পরীক্ষামূলক ডেটা সেটগুলিতে কঠিন হতে পারে। তাত্ত্বিক এবং অ্যালগরিদমিক অগ্রগতি 2010 সালে প্রতিষ্ঠার পর থেকে, ডিএমডি বোঝার এবং উন্নতির উপর যথেষ্ট পরিমাণে কাজ করা হয়েছে। রাউলি এবং অন্যান্যদের দ্বারা ডিএমডি-র প্রথম বিশ্লেষণগুলির মধ্যে একটি। ডিএমডি এবং কুপম্যান অপারেটরের মধ্যে সংযোগ স্থাপন করে এবং অরৈখিক সিস্টেমে প্রয়োগ করার সময় ডিএমডি-র আউটপুট ব্যাখ্যা করতে সহায়তা করে। তারপর থেকে, বেশ কয়েকটি পরিবর্তন করা হয়েছে যা হয় এই সংযোগকে আরও শক্তিশালী করে বা পদ্ধতির দৃঢ়তা এবং প্রয়োগযোগ্যতা বাড়ায়। অপ্টিমাইজড ডিএমডিঃ অপ্টিমাইজড ডিএমডি হল মূল ডিএমডি অ্যালগরিদমের একটি পরিবর্তন যা সেই পদ্ধতির দুটি সীমাবদ্ধতার জন্য ক্ষতিপূরণ দেওয়ার জন্য ডিজাইন করা হয়েছেঃ (i) ডিএমডি মোড নির্বাচনের অসুবিধা, এবং (ii) টাইম সিরিজের শেষ স্ন্যাপশটে শব্দ বা অন্যান্য ত্রুটির প্রতি ডিএমডির সংবেদনশীলতা। অপ্টিমাইজড ডিএমডি ডিএমডি পদ্ধতিকে একটি অপ্টিমাইজেশন সমস্যা হিসাবে পুনর্বিবেচনা করে যেখানে চিহ্নিত রৈখিক অপারেটরের একটি নির্দিষ্ট র্যাঙ্ক থাকে। উপরন্তু, ডিএমডি-র বিপরীতে যা শেষটি ছাড়া সমস্ত স্ন্যাপশটকে নিখুঁতভাবে পুনরুত্পাদন করে, অপ্টিমাইজড ডিএমডি পুনর্গঠন ত্রুটিগুলিকে ডেটা সেট জুড়ে বিতরণ করার অনুমতি দেয়, যা বাস্তবে পদ্ধতিকে আরও শক্তিশালী করে তোলে বলে মনে হয়। অপ্টিমাল মোড ডিকম্পোজিশনঃ অপ্টিমাল মোড ডিকম্পোজিশন (ওএমডি) ডিএমডি পদ্ধতিকে একটি অপ্টিমাইজেশন সমস্যা হিসাবে পুনর্বিবেচনা করে এবং ব্যবহারকারীকে সরাসরি চিহ্নিত সিস্টেমের র্যাঙ্ক আরোপ করতে দেয়। যদি এই র্যাঙ্কটি সঠিকভাবে বেছে নেওয়া হয়, ওএমডি সিন্থেটিক এবং পরীক্ষামূলক ডেটা সেট উভয় ক্ষেত্রেই ছোট অবশিষ্ট ত্রুটি এবং আরও সঠিক আইগেনভ্যালু সহ রৈখিক মডেল তৈরি করতে পারে। সঠিক ডিএমডিঃ সঠিক ডিএমডি অ্যালগরিদম দুটি উপায়ে মূল ডিএমডি অ্যালগরিদমকে সাধারণীকরণ করে। প্রথমত, মূল ডিএমডি অ্যালগরিদমে ডেটা অবশ্যই স্ন্যাপশটগুলির একটি সময় সিরিজ হতে হবে, তবে এক্স্যাক্ট ডিএমডি স্ন্যাপশট জুটির একটি ডেটা সেট গ্রহণ করে। জুটির স্ন্যাপশটগুলি অবশ্যই একটি স্থির দ্বারা পৃথক করা উচিত, তবে একটি একক সময় সিরিজ থেকে আঁকার প্রয়োজন নেই। বিশেষত, এক্স্যাক্ট ডিএমডি একাধিক পরীক্ষার তথ্যকে একক ডেটা সেটে একত্রিত করার অনুমতি দিতে পারে। দ্বিতীয়ত, মূল ডিএমডি অ্যালগরিদম কার্যকরভাবে পিওডি মোডের একটি সেটে প্রজেক্ট করে ডেটা প্রাক-প্রক্রিয়া করে। এক্স্যাক্ট ডিএমডি অ্যালগরিদম এই প্রাক-প্রক্রিয়াকরণ পদক্ষেপটি সরিয়ে দেয় এবং ডিএমডি মোড তৈরি করতে পারে যা পিওডি মোডের সুপারপজিশন হিসাবে লেখা যায় না। স্পার্সিটি প্রচার ডিএমডিঃ স্পার্সিটি প্রচার ডিএমডি হল ডিএমডি মোড এবং আইগেনভ্যালু নির্বাচনের জন্য একটি পোস্ট প্রসেসিং পদ্ধতি। ডিএমডি প্রচারকারী স্পার্সিটি গুরুত্বপূর্ণ ডিএমডি মোডগুলির একটি ছোট সেট সনাক্ত করতে একটি পেনাল্টি ব্যবহার করে এবং এটি ডিএমডি মোড নির্বাচন সমস্যার একটি বিকল্প পদ্ধতি যা উত্তল অপ্টিমাইজেশন কৌশল ব্যবহার করে দক্ষতার সাথে সমাধান করা যেতে পারে। মাল্টি-রেজোলিউশন ডিএমডিঃ মাল্টি-রেজোলিউশন ডিএমডি (এমআরডিএমডি) হল মাল্টি-রেজোলিউশন বিশ্লেষণে ব্যবহৃত কৌশলগুলির একটি সংমিশ্রণ যা একাধিক টাইমস্কেলযুক্ত ডেটা সেট থেকে শক্তিশালী ডিএমডি মোড এবং আইগেনভ্যালু বের করার জন্য ডিজাইন করা হয়েছে। এম. আর. ডি. এম. ডি পদ্ধতিটি বিশ্বব্যাপী পৃষ্ঠের তাপমাত্রার তথ্যগুলিতে প্রয়োগ করা হয়েছিল এবং এল নিনো বছরগুলিতে প্রদর্শিত একটি ডিএমডি মোড চিহ্নিত করে। এক্সটেন্ডেড ডিএমডিঃ এক্সটেন্ডেড ডিএমডি হল এক্স্যাক্ট ডিএমডির একটি পরিবর্তন যা ডিএমডি এবং কুপম্যান অপারেটরের মধ্যে সংযোগকে শক্তিশালী করে। নামটি থেকে বোঝা যায়, এক্সটেন্ডেড ডিএমডি হল ডিএমডির একটি এক্সটেনশন যা কুপম্যান অপারেটরের আরও সঠিক অনুমান তৈরি করতে পর্যবেক্ষণযোগ্য ফাংশনের একটি সমৃদ্ধ সেট ব্যবহার করে। এই বর্ধিত সেটটি একটি অগ্রাধিকার বেছে নেওয়া যেতে পারে বা ডেটা থেকে শেখা যেতে পারে। এটি ডিএমডি প্রদর্শন করে এবং সম্পর্কিত পদ্ধতিগুলি আরও সাধারণভাবে ব্যবহৃত আইগেনভ্যালু এবং মোডগুলির পাশাপাশি কুপম্যান আইগেনফাংশনের আনুমানিক উৎপাদন করে। অবশিষ্ট ডিএমডিঃ অবশিষ্ট ডিএমডি ডিএমডি এবং বর্ধিত ডিএমডি-র অভিক্ষেপ ত্রুটিগুলি নিয়ন্ত্রণ করার একটি উপায় প্রদান করে যা কুপম্যান অপারেটরের সীমাবদ্ধ-মাত্রিক অনুমান থেকে উদ্ভূত হয়। পদ্ধতিটি একই স্ন্যাপশট ডেটা ব্যবহার করে তবে একটি অতিরিক্ত সীমাবদ্ধ ম্যাট্রিক্স প্রবর্তন করে যা অসীম-মাত্রিক অবশিষ্টাংশগুলি ঠিক বড় ডেটা সীমার মধ্যে ধারণ করে। এটি ব্যবহারকারীদের বর্ণালী দূষণ (জাল মোড) এড়াতে, কুপম্যান মোডের পচন এবং শেখা অভিধানগুলি যাচাই করতে এবং অবিচ্ছিন্ন বর্ণালী গণনা করতে সক্ষম করে। উপরন্তু, পদ্ধতিটি ডিএমডি এবং কুপম্যান অপারেটরের মধ্যে সংযোগকে আরও জোরদার করে দেখায় যে কীভাবে পরবর্তীটির বর্ণালী সামগ্রী যাচাইকরণ এবং ত্রুটি নিয়ন্ত্রণের মাধ্যমে গণনা করা যেতে পারে। পদার্থবিজ্ঞান-জ্ঞাত ডিএমডিঃ পদার্থবিজ্ঞান-জ্ঞাত ডিএমডি একটি প্রোক্রাস্ট সমস্যা তৈরি করে যা গ্রহণযোগ্য মডেলের পরিবারকে একটি ম্যাট্রিক্স ম্যানিফোল্ডে সীমাবদ্ধ করে যা সিস্টেমের শারীরিক কাঠামোকে সম্মান করে। এটি শারীরিক কাঠামোকে ডিএমডিতে অন্তর্ভুক্ত করার অনুমতি দেয়। এই পদ্ধতিটি অতিরিক্ত ফিটিংয়ের প্রবণতা কম, কম প্রশিক্ষণের তথ্যের প্রয়োজন হয় এবং প্রায়শই স্ট্যান্ডার্ড ডিএমডি মডেলগুলির তুলনায় গণনামূলকভাবে কম ব্যয়বহুল। পরিমাপ-সংরক্ষণ ই. ডি. এম. ডিঃ পরিমাপ-সংরক্ষণ বর্ধিত ডি. এম. ডি (এম. পি. ই. ডি. এম. ডি) একটি গ্যালারকিন পদ্ধতি প্রদান করে যার আইগেনডকম্পোজিশন সাধারণ পরিমাপ-সংরক্ষণ গতিশীল সিস্টেমের জন্য কুপম্যান অপারেটরদের বর্ণালী পরিমাণে একত্রিত হয়। এই পদ্ধতিটি ডিএমডি এবং বর্ধিত ডিএমডিতে একটি অর্থোগোনাল প্রোক্রাস্টেস সমস্যা (মূলত একটি মেরু পচন) নিযুক্ত করে। সংমিশ্রণের বাইরে, এমপিইডিএমডি শারীরিক সংরক্ষণ আইনকে সমর্থন করে এবং শব্দের প্রতি বর্ধিত দৃust়তার পাশাপাশি উন্নত দীর্ঘমেয়াদী আচরণ প্রদর্শন করে। নিয়ন্ত্রণ সহ ডিএমডিঃ নিয়ন্ত্রণ সহ গতিশীল মোড পচন (ডিএমডিসি) হল ইনপুট আউটপুট সিস্টেম থেকে প্রাপ্ত তথ্যের জন্য ডিজাইন করা ডিএমডি পদ্ধতির একটি পরিবর্তন। ডিএমডিসির একটি অনন্য বৈশিষ্ট্য হল ওপেন লুপ ডাইনামিক্স থেকে সিস্টেম অ্যাকুয়েশনের প্রভাবগুলি অস্পষ্ট করার ক্ষমতা, যা অ্যাকুয়েশনের উপস্থিতিতে ডেটা প্রাপ্ত করার সময় কার্যকর হয়। মোট সর্বনিম্ন বর্গ ডিএমডিঃ মোট সর্বনিম্ন বর্গ ডিএমডি হল সঠিক ডিএমডি-র একটি সাম্প্রতিক পরিবর্তন যা ডেটাতে পরিমাপের শব্দ পরিমাপের ক্ষেত্রে মজবুততার সমস্যাগুলি সমাধান করার উদ্দেশ্যে করা হয়েছে। এগুলিতে, লেখকরা এক্স্যাক্ট ডিএমডিকে একটি রিগ্রেশন সমস্যা হিসাবে ব্যাখ্যা করেছেন যা সাধারণ ন্যূনতম বর্গক্ষেত্র (ওএলএস) ব্যবহার করে সমাধান করা হয়, যা ধরে নেয় যে রিগ্রেসারগুলি শব্দ মুক্ত। এই অনুমানটি ডিএমডি আইগেনভ্যালুতে একটি পক্ষপাত তৈরি করে যখন এটি পরীক্ষামূলক ডেটা সেটগুলিতে প্রয়োগ করা হয় যেখানে সমস্ত পর্যবেক্ষণ শোরগোল হয়। মোট সর্বনিম্ন বর্গ ডিএমডি ওএলএস সমস্যাকে মোট ন্যূনতম বর্গ সমস্যা দিয়ে প্রতিস্থাপন করে, যা এই পক্ষপাতকে দূর করে। ডাইনামিক ডিস্ট্রিবিউশন ডিকম্পোজিশনঃ ডিডিডি ক্রমাগত সময়ের মধ্যে সামনের সমস্যার উপর দৃষ্টি নিবদ্ধ করে, অর্থাৎ, ট্রান্সফার অপারেটর। তবে উন্নত পদ্ধতিটি ক্রমাগত সময়ে ডিএমডি সমস্যাগুলি ফিট করার জন্যও ব্যবহার করা যেতে পারে। এখানে তালিকাভুক্ত অ্যালগরিদমগুলি ছাড়াও, অনুরূপ প্রয়োগ-নির্দিষ্ট কৌশলগুলি তৈরি করা হয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, ডিএমডি-র মতো, প্রনির পদ্ধতিটি স্যাঁতসেঁতে সাইনোসয়েডের সুপারপজিশন হিসাবে একটি সংকেতকে উপস্থাপন করে। জলবায়ু বিজ্ঞানে, রৈখিক বিপরীত মডেলিংও ডিএমডি-র সঙ্গে দৃঢ়ভাবে যুক্ত। আরও বিস্তৃত তালিকার জন্য, তু ও অন্যান্য দেখুন। উদাহরণস্বরূপ একটি প্রোফাইলের পিছনের প্রান্ত প্রবাহে কোনও বাধা দেখা দিলে একটি কারম্যান ভোর্টেক্স রাস্তা তৈরি হতে পারে। Fig.1 একটি প্রোফাইলের পিছনের প্রান্তের পিছনে একটি ভোর্টেক্সের পতন দেখায়। ডিএমডি-বিশ্লেষণ 90টি ক্রমিক এনট্রপি ক্ষেত্রে প্রয়োগ করা হয়েছিল এবং নীচে বর্ণিত হিসাবে একটি আনুমানিক আইগেনভ্যালু-স্পেকট্রাম পাওয়া যায়। নিয়ন্ত্রক সমীকরণগুলি উল্লেখ না করে বিশ্লেষণটি সংখ্যাসূচক ফলাফলগুলিতে প্রয়োগ করা হয়েছিল। প্রোফাইলটি সাদা রঙে দেখা যায়। সাদা চাপগুলি প্রসেসরের সীমানা যেহেতু বিভিন্ন গণনামূলক ব্লক ব্যবহার করে সমান্তরাল কম্পিউটারে গণনা করা হয়েছিল। মোটামুটিভাবে বর্ণালীর এক তৃতীয়াংশ অত্যন্ত স্যাঁতসেঁতে (বড়, ঋণাত্মক) ছিল এবং দেখানো হয়নি। প্রভাবশালী শেডিং মোডটি নিম্নলিখিত ছবিগুলিতে দেখানো হয়েছে। বাম দিকের চিত্রটি হল আসল অংশ, ডান দিকের চিত্রটি হল আইগেনভেক্টরের কাল্পনিক অংশ। আবার, এই ছবিতে এনট্রপি-আইগেনভেক্টর দেখানো হয়েছে। একই মোডের অ্যাকোস্টিক বিষয়বস্তু পরবর্তী প্লটের নিচের অর্ধেক অংশে দেখা যায়। উপরের অর্ধেকটি উপরের মতো এনট্রপি মোডের সাথে মিলে যায়। একটি ভ্রমণ প্যাটার্নের সংশ্লেষিত উদাহরণ ডিএমডি বিশ্লেষণ ফর্মের একটি প্যাটার্ন ধরে নেয় যেখানে সমস্যার যে কোনও স্বাধীন চলক রয়েছে, তবে আগে থেকে নির্বাচন করতে হবে। উদাহরণস্বরূপ, সময়ের সঙ্গে প্যাটার্নটিকে পূর্বনির্ধারিত সূচকীয় ফ্যাক্টর হিসাবে নিন। একটি নমুনা নিম্নলিখিত চিত্রে এবং সহ দেওয়া হয়েছে। বাম ছবিটি প্যাটার্নটি ছাড়া দেখায়, ডানদিকে শব্দ যোগ করা হয়েছে। এলোমেলো শব্দের প্রশস্ততা প্যাটার্নের সমান। একটি ডিএমডি বিশ্লেষণ একটি সময় বিরতি ব্যবহার করে 21 টি কৃত্রিমভাবে উত্পন্ন ক্ষেত্রের সাথে সঞ্চালিত হয়, যা বিশ্লেষণকে সীমাবদ্ধ করে। বর্ণালীটি প্রতিসম এবং তিনটি প্রায় অনির্বাচিত মোড (ছোট নেতিবাচক বাস্তব অংশ) দেখায়, যেখানে অন্যান্য মোডগুলি ভারীভাবে স্যাঁতসেঁতে। তাদের সংখ্যাসূচক মান যথাক্রমে। আসলটি ক্ষেত্রের গড়ের সাথে মিলে যায়, যেখানে আরোপিত প্যাটার্নের সাথে মিলে যায়। − 1/1000 এর একটি আপেক্ষিক ত্রুটি পাওয়া যাচ্ছে। শব্দকে সিগন্যালের মানের 10 গুণ বৃদ্ধি করলে প্রায় একই ত্রুটি পাওয়া যায়। পরবর্তী দুটি আইগেনমোডের মধ্যে একটির বাস্তব এবং কাল্পনিক অংশটি নিম্নলিখিত চিত্রে চিত্রিত করা হয়েছে। আরও দেখুন পরীক্ষামূলক তথ্যের আরও বেশ কয়েকটি পচন বিদ্যমান। যদি নিয়ন্ত্রক সমীকরণগুলি পাওয়া যায়, তবে একটি আইগেনভ্যালু পচন সম্ভব হতে পারে। আইগেনভ্যালু ডিকম্পোসিশন এম্পিরিকাল মোড ডিকম্পোসিশন গ্লোবাল মোড নরমাল মোড যথাযথ অর্থোগোনাল ডিকম্পোসিশন সিঙ্গুলার-ভ্যালু ডিকম্পোসিশন রেফারেন্স শ্মিড, পি. জে। & সেস্টারহেন, জে. এল. 2008 ডায়নামিক মোড সংখ্যাসূচক এবং পরীক্ষামূলক তথ্যের পচন। ইন বুল। আমের। ফিজিও। সোস., 61তম এ. পি. এস সভা, পৃ. 208। সান আন্তোনিও। হাসেলম্যান, কে., 1988। পিওপি এবং পিআইপি। প্রধান দোলন এবং মিথস্ক্রিয়া নিদর্শন ব্যবহার করে জটিল গতিশীল ব্যবস্থার হ্রাস। জে. জিওফিজ। রেস., 93 (ডি9): 10975-10988। পরীক্ষামূলক পদার্থবিজ্ঞান সময় সিরিজ ম্যাট্রিক্স ডিকম্পোজিশন