Superellipsoid
গণিতে, একটি অতি-উপবৃত্তাকার (বা অতি-উপবৃত্তাকার) হল এমন একটি কঠিন পদার্থ যার অনুভূমিক বিভাগগুলি একই বর্গের পরামিতি সহ অতি-উপবৃত্তাকার (ল্যাম বক্ররেখা) এবং যার কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে উল্লম্ব বিভাগগুলি বর্গের পরামিতি সহ অতি-উপবৃত্তাকার। এটি একটি উপবৃত্তাকারের সাধারণীকরণ, যা একটি বিশেষ ক্ষেত্রে যখন। কম্পিউটার গ্রাফিক্স প্রিমিটিভ হিসাবে সুপারেলিপসয়েডগুলি অ্যালান এইচ বার দ্বারা জনপ্রিয় করা হয়েছিল (যিনি সুপারেলিপসয়েড এবং সুপারটোরয়েড উভয়কেই বোঝাতে "সুপারকোয়াড্রিকস" নামটি ব্যবহার করেছিলেন)। আধুনিক কম্পিউটার দৃষ্টি এবং রোবোটিক্স সাহিত্যে, সুপারকোয়াড্রিকস এবং সুপারেলিপসয়েডগুলি বিনিময়যোগ্যভাবে ব্যবহৃত হয়, কারণ সুপারেলিপসয়েডগুলি সমস্ত সুপারকোয়াড্রিকের মধ্যে সর্বাধিক প্রতিনিধিত্বমূলক এবং ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত আকৃতি। সুপেরেলিপসয়েডের একটি সমৃদ্ধ আকারের শব্দভান্ডার রয়েছে, যার মধ্যে রয়েছে কিউবয়েড, সিলিন্ডার, উপবৃত্তাকার, অষ্টভুজ এবং তাদের মধ্যবর্তী শব্দ। এটি কম্পিউটার দৃষ্টি, রোবোটিক্স এবং শারীরিক অনুকরণে ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত একটি গুরুত্বপূর্ণ জ্যামিতিক আদিম হয়ে ওঠে। সুপারেলিপসয়েডের সাথে বস্তু এবং পরিবেশ বর্ণনা করার প্রধান সুবিধা হল এর সংক্ষিপ্ততা এবং আকারে অভিব্যক্তি। উপরন্তু, দুটি সুপেরেলিপসয়েডের মধ্যে মিনকোভস্কি যোগফলের একটি বদ্ধ-ফর্ম অভিব্যক্তি পাওয়া যায়। এটি রোবট ধরার, সংঘর্ষ সনাক্তকরণ এবং গতি পরিকল্পনার জন্য একটি পছন্দসই জ্যামিতিক আদিম করে তোলে। সুপারকোয়াড্রিক ভিজ্যুয়ালাইজেশন, স্যাম্পলিং এবং পুনরুদ্ধারের জন্য দরকারী সরঞ্জাম এবং অ্যালগরিদমগুলি এখানে ওপেন সোর্স। বিশেষ ক্ষেত্রে মানগুলির সঠিক সেট দেওয়া সুপারেলিপসয়েডের বিশেষ ক্ষেত্রে মুষ্টিমেয় উল্লেখযোগ্য গাণিতিক পরিসংখ্যান উদ্ভূত হতে পারে, যা উপরের গ্রাফিকটিতে চিত্রিত করা হয়েছেঃ সিলিন্ডার গোলক স্টেইনমেটজ কঠিন বাইকোন নিয়মিত অক্টেহেড্রন কিউব, একটি সীমিত ক্ষেত্রে যেখানে সূচকগুলি অসীমের দিকে থাকে পিট হেইনের সুপাররিগসগুলিও সুপারেলিপসয়েডের বিশেষ ক্ষেত্রে। সূত্র মৌলিক (স্বাভাবিক) সুপেরেলিপসয়েড মৌলিক সুপেরেলিপসয়েড অন্তর্নিহিত ফাংশন প্যারামিটার দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয় এবং ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যা যা আকৃতির বর্গকে নিয়ন্ত্রণ করে। সুপেরেলিপসয়েডের পৃষ্ঠটি সমীকরণ দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়ঃ যে কোনও নির্দিষ্ট বিন্দুর জন্য, বিন্দুটি সুপেরেলিপসয়েডের ভিতরে থাকে যদি, এবং বাইরে থাকে যদি। সুপেরেলিপসয়েডের যে কোনও "অক্ষাংশের সমান্তরাল" (-1 এবং + 1 এর মধ্যে যে কোনও ধ্রুবক z-এ একটি অনুভূমিক বিভাগ) হল সূচক সহ একটি ল্যাম বক্ররেখা, যা দ্বারা পরিমাপ করা হয়, যে কোনও "দ্রাঘিমাংশের মেরিডিয়ান" (উৎসের মধ্য দিয়ে যে কোনও উল্লম্ব সমতল দ্বারা একটি বিভাগ) হল সূচক সহ একটি ল্যাম বক্ররেখা, যা অনুভাগ সমতলের উপর নির্ভর করে এমন একটি গুণক দ্বারা অনুভূমিকভাবে প্রসারিত হয়। বিশেষ করে, যদি 1 হয়, অনুভূমিক ক্রস-সেকশনগুলি বৃত্তাকার হয় এবং উল্লম্ব বিভাগগুলির অনুভূমিক প্রসারিতকরণ সমস্ত সমতলের জন্য 1 হয়। সেক্ষেত্রে, সুপেরেলিপসয়েড একটি ঘূর্ণনশীল কঠিন পদার্থ, যা উল্লম্ব অক্ষের চারপাশে সূচক সহ ল্যাম বক্ররেখা ঘোরানোর মাধ্যমে প্রাপ্ত হয়। উপরের মৌলিক আকৃতি প্রতিটি স্থানাঙ্ক অক্ষ বরাবর −1 থেকে + 1 পর্যন্ত প্রসারিত। সাধারণ সুপেরেলিপসয়েড প্রাপ্ত হয় প্রতিটি অক্ষ বরাবর মূল আকৃতিটিকে উপাদান দ্বারা স্কেল করে, ফলস্বরূপ কঠিনের আধা-ব্যাস। অন্তর্নিহিত ফাংশন হল। একইভাবে, সুপেরেলিপসয়েডের পৃষ্ঠটি সমীকরণ দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয় যে কোনও নির্দিষ্ট বিন্দুর জন্য, বিন্দুটি সুপেরেলিপসয়েডের ভিতরে থাকে যদি, এবং বাইরে থাকে যদি। অতএব, অন্তর্নিহিত ক্রিয়াকে সুপেরেলিপসয়েডের ভিতরের-বাইরের ক্রিয়াও বলা হয়। পৃষ্ঠের পরামিতিগুলির পরিপ্রেক্ষিতে সুপেরেলিপসয়েডের একটি প্যারামেট্রিক উপস্থাপনা রয়েছে। কম্পিউটার দৃষ্টি এবং রোবোটিক প্রয়োগগুলিতে, 3ডি ইউক্লিডীয় স্থানে একটি সাধারণ ভঙ্গি সহ একটি সুপেরেলিপসয়েড সাধারণত বেশি আগ্রহের বিষয়। বিশ্ব কাঠামোর তুলনায় সুপেরেলিপসয়েড কাঠামোর প্রদত্ত ইউক্লিডীয় রূপান্তরের জন্য, একটি সাধারণ পোজড সুপেরেলিপসয়েড পৃষ্ঠের অন্তর্নিহিত ফাংশন বিশ্ব কাঠামোকে সংজ্ঞায়িত করে যেখানে রূপান্তর অপারেশন যা বিশ্ব কাঠামোর বিন্দুটিকে ক্যানোনিকাল সুপেরেলিপসয়েড ফ্রেমে ম্যাপ করে। সুপেরেলিপসয়েডের আয়তন সুপেরেলিপসয়েডের পৃষ্ঠ দ্বারা পরিবেষ্টিত আয়তন বিটা ফাংশনের পরিপ্রেক্ষিতে বা গামা ফাংশনের সমতুল্যভাবে প্রকাশ করা যেতে পারে, যেহেতু ডেটা থেকে পুনরুদ্ধার কাঁচা ডেটা থেকে সুপারেলিপসয়েডের (বা সুপারকোয়াড্রিকস) উপস্থাপনা পুনরুদ্ধার করা (যেমন, পয়েন্ট ক্লাউড, জাল, চিত্র এবং ভক্সেল) কম্পিউটার দৃষ্টি, রোবোটিক্স এবং শারীরিক সিমুলেশনের একটি গুরুত্বপূর্ণ কাজ। ঐতিহ্যবাহী গণনামূলক পদ্ধতিগুলি সমস্যাটিকে একটি স্বল্প-বর্গ সমস্যা হিসাবে মডেল করে। লক্ষ্য হল সুপেরেলিপসয়েড প্যারামিটারগুলির সর্বোত্তম সেট খুঁজে বের করা যা একটি উদ্দেশ্যমূলক ফাংশনকে ছোট করে। আকৃতির পরামিতিগুলি ছাড়াও, বিশ্ব স্থানাঙ্কের সাপেক্ষে সুপেরেলিপসয়েড ফ্রেমের ভঙ্গিমা। দুটি সাধারণভাবে ব্যবহৃত উদ্দেশ্যমূলক ফাংশন রয়েছে। প্রথমটি সরাসরি অন্তর্নিহিত ফাংশনের উপর ভিত্তি করে তৈরি করা হয়েছে উদ্দেশ্যমূলক ফাংশনের ন্যূনতমকরণ সমস্ত ইনপুট পয়েন্টের যতটা সম্ভব কাছাকাছি একটি পুনরুদ্ধার করা সুপারেলিপসয়েড সরবরাহ করে। গড় সময়ে, স্কেলারের মান সুপেরেলিপসয়েডের আয়তনের সাথে ধনাত্মকভাবে আনুপাতিক, এবং এইভাবে আয়তন হ্রাস করার প্রভাবও রয়েছে। অন্য উদ্দেশ্যমূলক ফাংশনটি বিন্দু এবং সুপেরেলিপসয়েডের মধ্যে রেডিয়াল দূরত্ব হ্রাস করার চেষ্টা করে। অর্থাৎ, যেখানে ই. এম. এস নামে একটি সম্ভাবনাময় পদ্ধতি শব্দ এবং বহিরাগতদের মোকাবেলা করার জন্য ডিজাইন করা হয়েছে। এই পদ্ধতিতে, সুপেরেলিপসয়েড পুনরুদ্ধারকে সর্বাধিক সম্ভাব্যতা অনুমান সমস্যা হিসাবে পুনর্বিন্যাস করা হয় এবং সুপেরেলিপসয়েডের জ্যামিতিক সাদৃশ্য ব্যবহার করে স্থানীয় মিনিমা এড়ানোর জন্য একটি অপ্টিমাইজেশন পদ্ধতির প্রস্তাব দেওয়া হয়। একযোগে একাধিক সুপেরেলিপসয়েড পুনরুদ্ধারের জন্য ননপ্যারামেট্রিক বায়েসিয়ান কৌশলগুলির সাথে মডেলিং করে পদ্ধতিটি আরও প্রসারিত করা হয়। রেফারেন্স গ্রন্থপঞ্জি বার, আই. ই. ই. ই কম্পিউটার গ্রাফিক্স অ্যান্ড অ্যাপ্লিকেশনস-এ "সুপারকোয়াড্রিকস অ্যান্ড অ্যাঙ্গেল-প্রিজারভিং ট্রান্সফর্মেশনস", খণ্ড। 1, না। 1, পিপি। 11-23, জানুয়ারি 1981, ডোইঃ 10.1109/MCG.1981.1673799। আলেস জ্যাক্লিচ, আলেস লিওনার্ডিস, ফ্রাঙ্ক সোলিনা, সেগমেন্টেশন অ্যান্ড রিকভারি অফ সুপারকোয়াড্রিকস। ক্লুয়ার অ্যাকাডেমিক পাবলিশার্স, ডর্ড্রেক্ট, 2000। আলেস জ্যাক্লিচ, ফ্রাঙ্ক সোলিনা (2003) মোমেন্টস অফ সুপেরেলিপসয়েডস অ্যান্ড দেয়ার অ্যাপ্লিকেশন টু রেঞ্জ ইমেজ রেজিস্ট্রেশন। সিস্টেম, ম্যান এবং সাইবারনেটিক্সের উপর আই. ই. ই. ই লেনদেন, 33 (4)। পিপি। 648-657 ডব্লিউ. লিউ, ওয়াই. উ, এস. রুয়ান এবং জি. এস. চিরিকজিয়ান, "রোবাস্ট অ্যান্ড অ্যাকুরেট সুপারকোয়াড্রিক রিকভারিঃ এ প্রোবেবিলিস্টিক অ্যাপ্রোচ", 2022 আই. ই. ই. ই/সি. ভি. এফ কনফারেন্স অন কম্পিউটার ভিশন অ্যান্ড প্যাটার্ন রিকগনিশন (সি. ভি. পি. আর), নিউ অরলিন্স, এল. এ, ইউ. এস. এ, 2022, পৃ. 2666-2675, দোইঃ 10.1109/CVPR52688.2022.00270। বাইরের লিঙ্ক গ্রন্থপঞ্জিঃ সুপারকোয়াড্রিক উপস্থাপনা সুপারকোয়াড্রিক টেনসর গ্লিফস সুপারকোয়াড্রিক এলিপসয়েড এবং টোরয়েড, ওপেনজিএল লাইটিং, এবং রবার্ট ক্রাগলারের টাইমিং সুপারকোয়াড্র্যাটিক্স, দ্য ওল্ফ্রাম ডেমন্সট্রেশনস প্রজেক্ট। পাইথন এবং ম্যাটল্যাবে সুপারকোয়াড্রিক্স রিকভারি অ্যালগরিদম কম্পিউটার গ্রাফিক্স কম্পিউটার ভিশন রোবোটিক্স কম্পিউটার ভিশনে জ্যামিতি