Optical phase space
কোয়ান্টাম অপটিক্সে, একটি অপটিক্যাল ফেজ স্পেস হল একটি ফেজ স্পেস যেখানে একটি অপটিক্যাল সিস্টেমের সমস্ত কোয়ান্টাম অবস্থা বর্ণনা করা হয়। অপটিক্যাল ফেজ স্পেসের প্রতিটি বিন্দু অপটিক্যাল সিস্টেমের একটি অনন্য অবস্থার সাথে মিলে যায়। এই ধরনের যে কোনও ব্যবস্থার জন্য, একে অপরের বিরুদ্ধে চতুর্ভুজের একটি প্লট, সম্ভবত সময়ের ফাংশন হিসাবে, একটি পর্যায় চিত্র বলা হয়। যদি চতুর্ভুজগুলি সময়ের ফাংশন হয় তবে অপটিক্যাল ফেজ চিত্রটি সময়ের সাথে একটি কোয়ান্টাম অপটিক্যাল সিস্টেমের বিবর্তন দেখাতে পারে। একটি অপটিক্যাল ফেজ ডায়াগ্রাম সিস্টেমের বৈশিষ্ট্য এবং আচরণ সম্পর্কে অন্তর্দৃষ্টি দিতে পারে যা অন্যথায় সুস্পষ্ট নাও হতে পারে। এটি সিস্টেমের এমন গুণাবলীর দিকে ইঙ্গিত করতে পারে যা একটি অপটিক্যাল সিস্টেম অধ্যয়নরত কোনও ব্যক্তির জন্য আগ্রহের বিষয় হতে পারে যা অন্যথায় অনুমান করা খুব কঠিন হবে। অপটিক্যাল ফেজ ডায়াগ্রামের আরেকটি ব্যবহার হল এটি একটি অপটিক্যাল সিস্টেমের অবস্থার বিবর্তন দেখায়। এটি যে কোনও সময়ে অপটিক্যাল সিস্টেমের অবস্থা নির্ধারণ করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। পটভূমির তথ্য আলোর কোয়ান্টাম তত্ত্ব নিয়ে আলোচনা করার সময়, একটি মডেল হিসাবে একটি বৈদ্যুতিন চৌম্বকীয় দোলক ব্যবহার করা খুব সাধারণ। একটি তড়িৎচুম্বকীয় দোলক বৈদ্যুতিক ক্ষেত্রের দোলন বর্ণনা করে। যেহেতু চৌম্বক ক্ষেত্রটি বৈদ্যুতিক ক্ষেত্রের পরিবর্তনের হারের সাথে আনুপাতিক, তাই এটিও দোলন করে। এই ধরনের দোলন আলোর বর্ণনা দেয়। এই ধরনের দোলক দ্বারা গঠিত সিস্টেমগুলি একটি অপটিক্যাল ফেজ স্পেস দ্বারা বর্ণনা করা যেতে পারে। ধরা যাক u (x, t) একটি ভেক্টর ফাংশন যা একটি বৈদ্যুতিন চৌম্বকীয় দোলকের একক মোড বর্ণনা করে। সরলতার জন্য, এটি ধরে নেওয়া হয় যে এই বৈদ্যুতিন চৌম্বকীয় দোলক শূন্যতায় রয়েছে। একটি উদাহরণ হল সমতল তরঙ্গ যেখানে u0 হল মেরুকরণ ভেক্টর, k হল তরঙ্গ ভেক্টর, ফ্রিকোয়েন্সি, এবং AB হল ভেক্টর A এবং B-এর মধ্যে বিন্দু গুণফলকে নির্দেশ করে। এটি একটি সমতল তরঙ্গের সমীকরণ এবং এই ধরনের একটি বৈদ্যুতিন চৌম্বকীয় দোলকের একটি সহজ উদাহরণ। যে দোলকগুলি পরীক্ষা করা হচ্ছে সেগুলি হয় স্থানের মুক্ত তরঙ্গ বা কোনও গহ্বরে থাকা কিছু স্বাভাবিক মোড হতে পারে। তড়িৎচুম্বকীয় দোলকের একটি একক মোড বাকি সিস্টেম থেকে পৃথক করা হয় এবং পরীক্ষা করা হয়। এই ধরনের দোলক, যখন পরিমাপ করা হয়, তখন একটি কোয়ান্টাম হারমোনিক দোলকের গণিত দ্বারা বর্ণনা করা হয়। কোয়ান্টাম দোলকগুলি সৃষ্টি এবং বিনাশ অপারেটর এবং ব্যবহার করে বর্ণনা করা হয়। ভৌত পরিমাণ, যেমন বৈদ্যুতিক ক্ষেত্রের শক্তি, তারপর কোয়ান্টাম অপারেটর হয়ে ওঠে। একটি ভৌত পরিমাণকে বর্ণনা করার জন্য ব্যবহৃত কোয়ান্টাম মেকানিক্যাল অপারেটর থেকে আলাদা করার জন্য, অপারেটর প্রতীকগুলির উপর একটি "টুপি" ব্যবহার করা হয়। সুতরাং, উদাহরণস্বরূপ, যেখানে বৈদ্যুতিক ক্ষেত্রের (একটি উপাদান) প্রতিনিধিত্ব করতে পারে, প্রতীকটি কোয়ান্টাম-মেকানিক্যাল অপারেটরকে বোঝায় যা বর্ণনা করে। এই প্রথাটি এই নিবন্ধ জুড়ে ব্যবহৃত হয়, তবে আরও উন্নত গ্রন্থে সাধারণ ব্যবহারে নেই, যা টুপি এড়িয়ে চলে, কারণ এটি কেবল পাঠ্যকে বিশৃঙ্খল করে তোলে। কোয়ান্টাম দোলক মোডে, ভৌত পরিমাণের প্রতিনিধিত্বকারী বেশিরভাগ অপারেটর সাধারণত সৃষ্টি এবং বিনাশ অপারেটরের পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করা হয়। এই উদাহরণে, বৈদ্যুতিক ক্ষেত্রের শক্তি দ্বারা দেওয়া হয়ঃ (যেখানে xi হল x, অবস্থানের একক উপাদান)। একটি তড়িৎচুম্বকীয় দোলকের জন্য হ্যামিল্টনিয়ান এই দোলকের জন্য তড়িৎচুম্বকীয় ক্ষেত্রের পরিমাণ নির্ধারণ করে পাওয়া যায় এবং সূত্রটি দেওয়া হয়ঃ (স্প্যাটিও-টেম্পোরাল) মোডের ফ্রিকোয়েন্সি কোথায়। অ্যানিহিলেশন অপারেটর হল বোসনিক অ্যানিহিলেশন অপারেটর এবং তাই এটি প্রদত্ত ক্যানোনিকাল কমিউটেশন সম্পর্ক মেনে চলেঃ অ্যানিহিলেশন অপারেটরের আইগেনস্টেটগুলিকে সুসঙ্গত অবস্থা বলা হয়ঃ এটি লক্ষ করা গুরুত্বপূর্ণ যে অ্যানিহিলেশন অপারেটর হার্মিটিয়ান নয়; তাই এর আইগেনভ্যালুগুলি জটিল হতে পারে। এর গুরুত্বপূর্ণ পরিণতি রয়েছে। পরিশেষে, ফোটন সংখ্যাটি অপারেটর দ্বারা দেওয়া হয় যা প্রদত্ত (স্থানিক-সাময়িক) মোডে ফোটনের সংখ্যা দেয়। চতুর্ভুজ অপারেটর দ্বারা প্রদত্ত এবং তাদের চতুর্ভুজ বলা হয় এবং তারা দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা জটিল প্রশস্ততার বাস্তব এবং কাল্পনিক অংশগুলিকে উপস্থাপন করে। দুটি চতুর্ভুজের মধ্যে বিনিময় সম্পর্ক সহজেই গণনা করা যেতে পারেঃ এটি অবস্থান এবং গতিবেগ অপারেটরের বিনিময় সম্পর্কের সাথে খুব মিল দেখায়। সুতরাং, চতুর্ভুজগুলিকে দোলকের অবস্থান এবং ভরবেগ হিসাবে ভাবা এবং বিবেচনা করা দরকারী হতে পারে যদিও প্রকৃতপক্ষে এগুলি "স্থানিক-অস্থায়ী মোডের বৈদ্যুতিক ক্ষেত্রের প্রশস্ততার ইন-ফেজ এবং আউট-অফ-ফেজ উপাদান", বা ইউ, এবং বৈদ্যুতিন চৌম্বকীয় দোলকের অবস্থান বা ভরবেগের সাথে প্রকৃতপক্ষে কিছুই করার নেই (যেহেতু একটি বৈদ্যুতিন চৌম্বকীয় দোলকের অবস্থান এবং ভরবেগ দ্বারা কী বোঝানো হয় তা সংজ্ঞায়িত করা কঠিন)। চতুর্ভুজের বৈশিষ্ট্য চতুর্ভুজের অপারেটরদের আইগেনস্টেট এবং এগুলিকে চতুর্ভুজের অবস্থা বলা হয়। এগুলি সম্পর্কগুলিকে সন্তুষ্ট করেঃ এবং এবং এগুলি সম্পূর্ণ ভিত্তি সেট গঠন করে। গুরুত্বপূর্ণ ফলাফল নিম্নলিখিত একটি গুরুত্বপূর্ণ সম্পর্ক যা উপরের থেকে উদ্ভূত হতে পারে যা আমাদের ব্যাখ্যাকে ন্যায্য করে যে চতুর্ভুজগুলি একটি জটিলতার বাস্তব এবং কাল্পনিক অংশ (অর্থাৎ। বৈদ্যুতিন চৌম্বকীয় দোলকের ইন-ফেজ এবং আউট-অফ-ফেজ উপাদান) নিম্নলিখিত একটি সম্পর্ক যা উপরের মূল্যায়নে সহায়তা করতে ব্যবহার করা যেতে পারে এবং এর দ্বারা দেওয়া হয়ঃ এটি আমাদের দেয়ঃ উপরের মতো একই পদ্ধতিতে। সুতরাং, এটি চতুর্ভুজের একটি গঠন মাত্র। সুসঙ্গত অবস্থার আরেকটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য এই আনুষ্ঠানিকতায় খুব স্পষ্ট হয়ে ওঠে। একটি সুসঙ্গত অবস্থা অপটিক্যাল ফেজ স্পেসে একটি বিন্দু নয় বরং এটির উপর একটি বন্টন। এটি এবং এর মাধ্যমে দেখা যেতে পারে। এগুলি কেবল রাজ্যের এবং রাজ্যের জন্য প্রত্যাশার মূল্য। এটি দেখানো যেতে পারে যে চতুর্ভুজগুলি হাইজেনবার্গের অনিশ্চয়তা নীতি মেনে চলে যা দ্বারা প্রদত্তঃ (যেখানে এবং যথাক্রমে q এবং p এর বিতরণের বৈচিত্র্য) এই বৈষম্যকে অপরিহার্যভাবে সম্পৃক্ত করতে হবে না এবং এই ধরনের অবস্থার একটি সাধারণ উদাহরণ হল সংকুচিত সুসঙ্গত অবস্থা। সুসঙ্গত অবস্থাগুলি হল চারপাশে অবস্থিত পর্যায় স্থানের উপর গাউসিয়ান সম্ভাব্যতা বিতরণ। ফেজ স্পেসে অপারেটররা ফেজ স্পেসের চারপাশে সুসঙ্গত অবস্থাগুলি সরানোর জন্য অপারেটরদের সংজ্ঞায়িত করা সম্ভব। এগুলি নতুন সুসঙ্গত অবস্থা তৈরি করতে পারে এবং আমাদের পর্যায় স্থানের চারপাশে ঘোরার অনুমতি দেয়। ফেজ-শিফটিং অপারেটর ফেজ-শিফটিং অপারেটর অপটিক্যাল ফেজ স্পেসে একটি কোণ দ্বারা সুসঙ্গত অবস্থাকে ঘোরায়। এই অপারেটরটি নিম্নরূপ দেওয়া হয়েছেঃ গুরুত্বপূর্ণ সম্পর্কটি নিম্নরূপ উদ্ভূত হয়েছেঃ এবং এই ডিফারেনশিয়াল সমীকরণটি সমাধান করলে কাঙ্ক্ষিত ফলাফল পাওয়া যায়। সুতরাং, উপরেরটি ব্যবহার করে এটি স্পষ্ট হয়ে যায় যে, বা ফেজ স্পেসে সুসঙ্গত অবস্থার উপর একটি কোণ থিটা দ্বারা একটি ঘূর্ণন। নিম্নলিখিতটি এটিকে আরও স্পষ্টভাবে ব্যাখ্যা করেঃ (যা এই সত্যটি ব্যবহার করে প্রাপ্ত হয় যে পর্যায়-স্থানান্তরকারী অপারেটরটি এককেন্দ্রিক সুতরাং, এর আইগেনপেয়ার। এর থেকে এটি দেখা সম্ভব যে আইগেনপেয়ারকে প্রকাশ করার আরেকটি উপায় যা সুসঙ্গত অবস্থার উপর পর্যায়-স্থানান্তরকারী অপারেটরের প্রভাবগুলি আরও স্পষ্টভাবে চিত্রিত করে। স্থানচ্যুতি অপারেটর স্থানচ্যুতি অপারেটর হল একটি একক অপারেটর যা একটি সুসঙ্গত অবস্থা গ্রহণ করে এবং এটিকে অন্য সুসঙ্গত অবস্থায় পরিণত করে। স্থানচ্যুতি অপারেটর দ্বারা দেওয়া হয় এবং এর নাম একটি গুরুত্বপূর্ণ সম্পর্ক থেকে এসেছে। প্রকৃতপক্ষে, আসুন সাময়িকভাবে রিয়েলের সাথে পরিচয় করিয়ে দেওয়া যাক এবং 0 থেকে 1 এ পরিবর্তিত হলে কীভাবে পরিবর্তিত হয় তা বিবেচনা করা যাক। যেহেতু সুসঙ্গত অবস্থাগুলি অ্যানিহিলেশন অপারেটর এবং একটি সংখ্যা দ্বারা গুণনের অপারেটর উভয়েরই আইগেনস্টেট, তাই এটি সহজেই দেখা যায় যে, প্রকৃতপক্ষে, স্থানচ্যুতি অপারেটর সুসঙ্গত অবস্থাগুলি সরিয়ে দেয়, বা, আরও সুনির্দিষ্টভাবে, প্রকৃতপক্ষে, উপরে প্রাপ্ত সম্পর্কটিকে এইভাবে পুনর্লিখন করা যেতে পারে, সুতরাং, এটি আইগেনভ্যালু সহ অ্যানহিলেশন অপারেটরের একটি আইগেনস্টেট। বিশেষ করে, যা এর দিকে পরিচালিত করে। এটি গুরুত্বপূর্ণ কারণ এটি দেখায় যে সমস্ত সুসঙ্গত অবস্থা স্থল অবস্থার স্থানচ্যুতি হিসাবে প্রাপ্ত করা যেতে পারে, যা আলোকবিজ্ঞানে ভ্যাকুয়াম অবস্থাও। আরও দেখুন ননক্লাসিক্যাল লাইট রোটেশন অপারেটর (কোয়ান্টাম মেকানিক্স) কোয়ান্টাম হারমোনিক অসিলেটর কোয়াসিপ্রোবেবিলিটি ডিস্ট্রিবিউশন হুসিমি কিউ উপস্থাপনা স্কুইজড কোহেরেন্ট স্টেট উইগনার কোয়াসিপ্রোবেবিলিটি ডিস্ট্রিবিউশন রেফারেন্স কোয়ান্টাম অপটিক্স