Rational number
গণিতে, একটি মূলদ সংখ্যা হল এমন একটি সংখ্যা যা দুটি পূর্ণসংখ্যা, একটি সংখ্যা এবং একটি অ-শূন্য বিভাজকের ভাগফল বা ভগ্নাংশ হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, একটি মূলদ সংখ্যা, যেমন প্রতিটি পূর্ণসংখ্যা (যেমন, সমস্ত মূলদ সংখ্যার সেট, যাকে "মূলদ" হিসাবেও উল্লেখ করা হয়, যৌক্তিক ক্ষেত্র বা যৌক্তিক সংখ্যার ক্ষেত্র সাধারণত বোল্ডফেস বা ব্ল্যাকবোর্ড বোল্ড দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। যে বাস্তব সংখ্যাগুলি যুক্তিসঙ্গত সেগুলি হল যার দশমিক সম্প্রসারণ হয় সীমাবদ্ধ সংখ্যার সংখ্যার পরে শেষ হয় (উদাহরণস্বরূপঃ), অথবা অবশেষে একই সীমাবদ্ধ সংখ্যার ক্রম বারবার পুনরাবৃত্তি করতে শুরু করে (উদাহরণস্বরূপঃ)। এই বিবৃতিটি শুধুমাত্র বেস 10-এর ক্ষেত্রেই নয়, বাইনারি এবং হেক্সাডেসিমেলের মতো অন্যান্য প্রতিটি পূর্ণসংখ্যার ক্ষেত্রেও সত্য (দেখুন)। একটি বাস্তব সংখ্যা যা মূলদ নয় তাকে অযৌক্তিক বলা হয়। অযৌক্তিক সংখ্যার মধ্যে রয়েছে 2 এর বর্গমূল, এবং সুবর্ণ অনুপাত ()। যেহেতু মূলদ সংখ্যার সেটটি গণনাযোগ্য এবং বাস্তব সংখ্যার সেটটি অগণিত, তাই প্রায় সমস্ত বাস্তব সংখ্যাই অযৌক্তিক। যুক্তিসঙ্গত সংখ্যাকে নিম্নরূপ সংজ্ঞায়িত সমতুল্য সম্পর্ক ব্যবহার করে পূর্ণসংখ্যার জোড়গুলির সমতুল্য শ্রেণী হিসাবে আনুষ্ঠানিকভাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারেঃ ভগ্নাংশটি তখন এর সমতুল্য শ্রেণীকে বোঝায়। যোগ এবং গুণনের সাথে যুক্তিসঙ্গত সংখ্যাগুলি এমন একটি ক্ষেত্র গঠন করে যা পূর্ণসংখ্যা ধারণ করে এবং পূর্ণসংখ্যা ধারণকারী যে কোনও ক্ষেত্রে থাকে। অন্য কথায়, মূলদ সংখ্যার ক্ষেত্রটি একটি মৌলিক ক্ষেত্র, এবং একটি ক্ষেত্রের বৈশিষ্ট্য শূন্য থাকে যদি এবং শুধুমাত্র যদি এটি একটি উপক্ষেত্র হিসাবে মূলদ সংখ্যা ধারণ করে। এর সীমাবদ্ধ সম্প্রসারণকে বলা হয় বীজগাণিতিক সংখ্যা ক্ষেত্র, এবং এর বীজগাণিতিক সমাপ্তি হল বীজগাণিতিক সংখ্যার ক্ষেত্র। গাণিতিক বিশ্লেষণে, মূলদ সংখ্যাগুলি বাস্তব সংখ্যার একটি ঘন উপসেট গঠন করে। কৌচি ক্রম, ডেডেকাইন্ড কাট বা অসীম দশমিক ব্যবহার করে যুক্তিসঙ্গত সংখ্যা থেকে বাস্তব সংখ্যা তৈরি করা যেতে পারে (বাস্তব সংখ্যার নির্মাণ দেখুন)। পরিভাষা সেটের প্রসঙ্গে যুক্তিসঙ্গত শব্দটি এই সত্যকে বোঝায় যে একটি মূলদ সংখ্যা দুটি পূর্ণসংখ্যার অনুপাতকে উপস্থাপন করে। গণিতে, "যুক্তিসঙ্গত" প্রায়শই "যুক্তিসঙ্গত সংখ্যা" সংক্ষেপে একটি বিশেষ্য হিসাবে ব্যবহৃত হয়। কখনও কখনও যুক্তিসঙ্গত বিশেষণটির অর্থ হল সহগগুলি যুক্তিসঙ্গত সংখ্যা। উদাহরণস্বরূপ, একটি যুক্তিসঙ্গত বিন্দু হল যুক্তিসঙ্গত স্থানাঙ্ক সহ একটি বিন্দু (অর্থাৎ, একটি বিন্দু যার স্থানাঙ্কগুলি যুক্তিসঙ্গত সংখ্যা); একটি যুক্তিসঙ্গত ম্যাট্রিক্স হল যুক্তিসঙ্গত সংখ্যার একটি ম্যাট্রিক্স; একটি যুক্তিসঙ্গত বহুপদী যুক্তিসঙ্গত সহগ সহ একটি বহুপদী হতে পারে, যদিও "যুক্তিসঙ্গত অভিব্যক্তি" এবং "যুক্তিসঙ্গত ফাংশন"-এর মধ্যে বিভ্রান্তি এড়াতে "যুক্তিসঙ্গতগুলির উপর বহুপদী" শব্দটি সাধারণত পছন্দ করা হয় (একটি বহুপদী একটি যুক্তিসঙ্গত অভিব্যক্তি এবং একটি যুক্তিসঙ্গত ফাংশনকে সংজ্ঞায়িত করে, এমনকি যদি তার সহগগুলি যুক্তিসঙ্গত সংখ্যা না হয়)। যাইহোক, একটি যুক্তিসঙ্গত বক্ররেখা যুক্তিসঙ্গতগুলির উপর সংজ্ঞায়িত একটি বক্ররেখা নয়, বরং একটি বক্ররেখা যা যুক্তিসঙ্গত ফাংশন দ্বারা পরিমাপ করা যেতে পারে। যদিও আজকাল যুক্তিসঙ্গত সংখ্যাকে অনুপাতের পরিপ্রেক্ষিতে সংজ্ঞায়িত করা হয়, তবে যুক্তিসঙ্গত শব্দটি অনুপাতের ব্যুৎপত্তি নয়। বিপরীতে, এটি অনুপাত যা যুক্তিসঙ্গত থেকে উদ্ভূত হয়ঃ আধুনিক অর্থের সাথে অনুপাতের প্রথম ব্যবহার ইংরেজিতে প্রায় 1660 সালে সত্যায়িত হয়েছিল, যেখানে যোগ্যতা অর্জনের জন্য যুক্তিসঙ্গত ব্যবহার প্রায় এক শতাব্দী আগে, 1570 সালে আবির্ভূত হয়েছিল। যুক্তিসঙ্গত শব্দের এই অর্থটি অযৌক্তিক শব্দের গাণিতিক অর্থ থেকে এসেছে, যা 1551 সালে প্রথম ব্যবহৃত হয়েছিল এবং এটি "ইউক্লিডের অনুবাদে (তাঁর অদ্ভুত ব্যবহারের পরে)" ব্যবহৃত হয়েছিল। এই অস্বাভাবিক ইতিহাসের উদ্ভব হয়েছিল এই সত্যে যে প্রাচীন গ্রীকরা "সেই [অযৌক্তিক] দৈর্ঘ্যকে সংখ্যা হিসাবে ভাবতে নিষেধ করে বৈধর্ম্য এড়িয়ে চলত।" সুতরাং এই দৈর্ঘ্যগুলি অযৌক্তিক ছিল, অযৌক্তিক অর্থে, অর্থাৎ "সম্পর্কে বলা উচিত নয়" (গ্রীক ভাষায়)। এই ব্যুৎপত্তি কাল্পনিক সংখ্যা এবং বাস্তব সংখ্যার অনুরূপ। গাণিতিক অপরিবর্তনীয় ভগ্নাংশ প্রতিটি মূলদ সংখ্যা একটি অপরিবর্তনীয় ভগ্নাংশ হিসাবে একটি অনন্য উপায়ে প্রকাশ করা যেতে পারে যেখানে এবং সহমৌলিক পূর্ণসংখ্যা এবং। এটিকে প্রায়শই মূলদ সংখ্যার প্রামাণিক রূপ বলা হয়। একটি মূলদ সংখ্যা থেকে শুরু করে এর প্রামাণিক রূপটি তাদের সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ বিভাজক দ্বারা ভাগ করে এবং যদি, ফলস্বরূপ সংখ্যা এবং হরের চিহ্ন পরিবর্তন করে প্রাপ্ত করা যেতে পারে। পূর্ণসংখ্যার সন্নিবেশ যে কোনও পূর্ণসংখ্যাকে মূলদ সংখ্যা হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে যা একটি মূলদ সংখ্যা হিসাবে এর প্রামাণিক রূপ। সমতা যদি এবং শুধুমাত্র যদি উভয় ভগ্নাংশ ক্যানোনিকাল আকারে থাকে, তবেঃ যদি এবং শুধুমাত্র যদি এবং অর্ডারিং যদি উভয় হর ধনাত্মক হয় (বিশেষত যদি উভয় ভগ্নাংশ ক্যানোনিকাল আকারে থাকে): যদি এবং শুধুমাত্র যদি অন্যদিকে, যদি কোনও হর ঋণাত্মক হয়, তবে ঋণাত্মক হর সহ প্রতিটি ভগ্নাংশকে প্রথমে ধনাত্মক হর সহ সমতুল্য আকারে রূপান্তরিত করতে হবে-তার সংখ্যা এবং হর উভয়ের চিহ্ন পরিবর্তন করে। যোগ দুটি ভগ্নাংশ নিম্নরূপ যোগ করা হয়ঃ যদি উভয় ভগ্নাংশ ক্যানোনিকাল আকারে থাকে, তবে ফলাফল ক্যানোনিকাল আকারে হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি সহমৌলিক পূর্ণসংখ্যা হয়। বিয়োগ যদি উভয় ভগ্নাংশ ক্যানোনিকাল আকারে থাকে, তবে ফলাফল ক্যানোনিকাল আকারে হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি সহমৌলিক পূর্ণসংখ্যা হয়। গুণনের নিয়মটি হলঃ যেখানে ফলাফল একটি হ্রাসযোগ্য ভগ্নাংশ হতে পারে-এমনকি যদি উভয় মূল ভগ্নাংশ ক্যানোনিকাল আকারে থাকে। বিপরীত প্রতিটি মূলদ সংখ্যার একটি যোগাত্মক বিপরীত থাকে, যাকে প্রায়শই তার বিপরীত বলা হয়, যদি ক্যানোনিকাল আকারে হয়, তবে তার বিপরীতটির ক্ষেত্রেও একই কথা প্রযোজ্য। একটি অ-শূন্য মূলদ সংখ্যার একটি গুণিতক বিপরীত থাকে, যাকে তার পারস্পরিকও বলা হয়, যদি এটি ক্যানোনিকাল আকারে হয়, তবে তার পারস্পরিকের ক্যানোনিকাল রূপটি হয় বা এর চিহ্নের উপর নির্ভর করে। বিভাজন যদি অ-শূন্য হয়, তবে বিভাজনের নিয়মটি হ 'ল সুতরাং, দ্বারা ভাগ করা এক্সপোনেন্টিয়েশন টু ইন্টিজার পাওয়ারের পারস্পরিক দ্বারা গুণ করার সমতুল্য যদি এটি একটি অ-নেতিবাচক পূর্ণসংখ্যা হয়, তবে ফলাফলটি ক্যানোনিকাল আকারে হয় যদি এটি সত্য হয়। অন্যথায়, ফলাফলের প্রামাণিক রূপ হল অবিচ্ছিন্ন ভগ্নাংশ উপস্থাপনা একটি সসীম অবিচ্ছিন্ন ভগ্নাংশ হল এমন একটি অভিব্যক্তি যেখানে পূর্ণসংখ্যা রয়েছে। প্রতিটি মূলদ সংখ্যাকে একটি সীমাবদ্ধ অবিচ্ছিন্ন ভগ্নাংশ হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে, যার সহগগুলি ইউক্লিডীয় অ্যালগরিদম প্রয়োগ করে নির্ধারণ করা যেতে পারে। অন্যান্য উপস্থাপনা সাধারণ ভগ্নাংশঃ মিশ্র সংখ্যাঃ একটি ভিনকুলাম ব্যবহার করে দশমিক পুনরাবৃত্তিঃ বন্ধনী ব্যবহার করে দশমিক পুনরাবৃত্তিঃ ঐতিহ্যবাহী টাইপোগ্রাফি ব্যবহার করে অব্যাহত ভগ্নাংশঃ সংক্ষিপ্ত স্বরলিপিতে অব্যাহত ভগ্নাংশঃ মিশরীয় ভগ্নাংশঃ মৌলিক শক্তি পচনঃ উদ্ধৃতি স্বরলিপিঃ একই যুক্তিসঙ্গত মান উপস্থাপন করার বিভিন্ন উপায়। আনুষ্ঠানিক গঠন যুক্তিসঙ্গত সংখ্যাগুলি পূর্ণসংখ্যার ক্রমযুক্ত জোড়ার সমতুল্য শ্রেণী হিসাবে তৈরি করা যেতে পারে। আরও সুনির্দিষ্টভাবে, এই ধরনের পূর্ণসংখ্যার জোড়গুলির সেট হতে দিন। এই সেটে যোগ দ্বারা একটি সমতুল্য সম্পর্ক সংজ্ঞায়িত করা হয় এবং গুণটি নিম্নলিখিত নিয়ম দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারেঃ এই সমতুল্য সম্পর্কটি একটি সঙ্গতিপূর্ণ সম্পর্ক, যার অর্থ এটি উপরে সংজ্ঞায়িত যোগ এবং গুণের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ; মূলদ সংখ্যার সেটটি এই সমতুল্য সম্পর্ক দ্বারা নির্ধারিত ভাগফল হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়, যা উপরের ক্রিয়াকলাপগুলি দ্বারা প্ররোচিত যোগ এবং গুণনের সাথে সজ্জিত। (এই নির্মাণটি যে কোনও অবিচ্ছেদ্য ডোমেনের সাথে সম্পন্ন করা যেতে পারে এবং এর ভগ্নাংশের ক্ষেত্র তৈরি করে।) একটি জুটির সমতুল্য শ্রেণীকে দুটি জোড়া হিসাবে চিহ্নিত করা হয় এবং একই সমতুল্য শ্রেণীর অন্তর্গত (যা সমতুল্য) যদি এবং শুধুমাত্র যদি এর অর্থ হল যে যদি এবং শুধুমাত্র যদি প্রতিটি সমতুল্য শ্রেণী অসীম সংখ্যক জোড়া দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে, যেহেতু প্রতিটি সমতুল্য শ্রেণীতে একটি অনন্য প্রামাণিক প্রতিনিধি উপাদান থাকে। ক্যানোনিকাল প্রতিনিধি হল সমতুল্য শ্রেণীর অনন্য জোড়া যেমন এবং সহমৌলিক, এবং। এটিকে মূলদ সংখ্যার সর্বনিম্ন পরিভাষায় উপস্থাপনা বলা হয়। পূর্ণসংখ্যাগুলিকে যুক্তিসঙ্গত সংখ্যা হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে যা যুক্তিসঙ্গত সংখ্যার সাথে পূর্ণসংখ্যাকে চিহ্নিত করে একটি মোট ক্রম যুক্তিসঙ্গত সংখ্যার উপর সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে, যা পূর্ণসংখ্যার প্রাকৃতিক ক্রমকে প্রসারিত করে। একটির আছে যদি বৈশিষ্ট্য উপরে দেখানো যোগ এবং গুণন ক্রিয়াকলাপের সাথে সমস্ত মূলদ সংখ্যার সেট একটি ক্ষেত্র গঠন করে। পরিচয় ছাড়া অন্য কোনও ক্ষেত্রের অটোমরফিজম নেই। (একটি ক্ষেত্রের স্বয়ংক্রিয়তা অবশ্যই 0 এবং 1 স্থির করতে হবে; যেহেতু এটি অবশ্যই দুটি স্থির উপাদানের যোগফল এবং পার্থক্য স্থির করতে হবে, তাই এটি অবশ্যই প্রতিটি পূর্ণসংখ্যা স্থির করতে হবে; যেহেতু এটি অবশ্যই দুটি স্থির উপাদানের ভাগফল স্থির করতে হবে, এটি অবশ্যই প্রতিটি মূলদ সংখ্যা স্থির করতে হবে, এবং এইভাবে এটি পরিচয়। একটি মৌলিক ক্ষেত্র, যা এমন একটি ক্ষেত্র যার নিজের ছাড়া অন্য কোনও উপক্ষেত্র নেই। যুক্তিসঙ্গতগুলি হল বৈশিষ্ট্য শূন্য সহ ক্ষুদ্রতম ক্ষেত্র। বৈশিষ্ট্য শূন্যের প্রতিটি ক্ষেত্রে একটি অনন্য সাবফিল্ড আইসোমরফিক থাকে। উপরে বর্ণিত ক্রমে, এটি একটি ক্রমযুক্ত ক্ষেত্র যার নিজের ছাড়া অন্য কোনও সাবফিল্ড নেই এবং এটি সবচেয়ে ছোট ক্রমযুক্ত ক্ষেত্র, এই অর্থে যে প্রতিটি ক্রমযুক্ত ক্ষেত্রে একটি অনন্য সাবফিল্ড আইসোমরফিক থাকে যা পূর্ণসংখ্যার ভগ্নাংশের ক্ষেত্র। যুক্তিসঙ্গত বহুপদের মূলের ক্ষেত্র হল বীজগাণিতিক সংখ্যার ক্ষেত্র। যুক্তিসঙ্গতগুলি একটি ঘনভাবে ক্রমবদ্ধ সেটঃ যে কোনও দুটি যুক্তিসঙ্গতগুলির মধ্যে, অন্য একটি থাকে এবং তাই, অসীমভাবে আরও অনেকগুলি। উদাহরণস্বরূপ, যে কোনও দুটি ভগ্নাংশের জন্য (যেখানে ধনাত্মক), আমাদের কাছে যে কোনও সম্পূর্ণ ক্রমযুক্ত সেট রয়েছে যা গণনাযোগ্য, ঘন (উপরের অর্থে), এবং যার কোনও সর্বনিম্ন বা বৃহত্তম উপাদান নেই তা মূলদ সংখ্যার সমতুল্য ক্রম। গণনাযোগ্যতা সমস্ত মূলদ সংখ্যার সমষ্টি গণনাযোগ্য, যেমনটি ডানদিকের চিত্রে দেখানো হয়েছে। যেহেতু একটি মূলদ সংখ্যাকে দুটি পূর্ণসংখ্যার অনুপাত হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে, তাই কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার মতো একটি বর্গ জালের যে কোনও বিন্দুতে দুটি পূর্ণসংখ্যা নির্ধারণ করা সম্ভব, যাতে যে কোনও গ্রিড বিন্দু একটি মূলদ সংখ্যার সাথে মিলে যায়। এই পদ্ধতিটি অবশ্য অপ্রয়োজনীয়তার একটি রূপ প্রদর্শন করে, কারণ বিভিন্ন গ্রিড পয়েন্ট একই মূলদ সংখ্যার সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ হবে; এগুলি প্রদত্ত গ্রাফিকের উপর লাল রঙে হাইলাইট করা হয়। নীচের ডানদিকে তির্যকভাবে যাওয়া লাইনে একটি সুস্পষ্ট উদাহরণ দেখা যায়; এই অনুপাতগুলি সর্বদা 1-এর সমান হবে, কারণ যে কোনও অ-শূন্য সংখ্যাকে নিজের দ্বারা ভাগ করলে সর্বদা এক-এর সমান হবে। এই ধরনের অপ্রয়োজনীয়তা ছাড়াই সমস্ত মূলদ সংখ্যা তৈরি করা সম্ভবঃ উদাহরণস্বরূপ ক্যালকিন-উইলফ গাছ এবং স্টার্ন-ব্রোকোট গাছ অন্তর্ভুক্ত। যেহেতু সমস্ত মূলদ সংখ্যার সেটটি গণনাযোগ্য, এবং সমস্ত বাস্তব সংখ্যার সেট (সেইসাথে অযৌক্তিক সংখ্যার সেট) অগণিত, তাই যৌক্তিক সংখ্যার সেটটি একটি নাল সেট, অর্থাৎ প্রায় সমস্ত বাস্তব সংখ্যাই অযৌক্তিক, লেবস্গু পরিমাপের অর্থে। বাস্তব সংখ্যা এবং ভূতাত্ত্বিক বৈশিষ্ট্য যুক্তিসঙ্গতগুলি বাস্তব সংখ্যার একটি ঘন উপসেট; প্রতিটি বাস্তব সংখ্যার যুক্তিসঙ্গত সংখ্যা নির্বিচারে তার কাছাকাছি থাকে। একটি সম্পর্কিত বৈশিষ্ট্য হল যে যুক্তিসঙ্গত সংখ্যা হল একমাত্র সংখ্যা যা নিয়মিত অবিচ্ছিন্ন ভগ্নাংশ হিসাবে সীমাবদ্ধ সম্প্রসারণ সহ। বাস্তব সংখ্যার সাধারণ টপোলজিতে, মূলদগুলি কোনও খোলা সেট বা বন্ধ সেট নয়। তাদের ক্রম অনুসারে, যুক্তিসঙ্গতগুলি একটি ক্রম টপোলজি বহন করে। বাস্তব সংখ্যার সাবস্পেস হিসাবে মূলদ সংখ্যাগুলিও একটি সাবস্পেস টপোলজি বহন করে। মূলদ সংখ্যাগুলি পরম পার্থক্য মেট্রিক ব্যবহার করে একটি মেট্রিক স্থান গঠন করে এবং এটি তিনটি টপোলজির উপর একটি তৃতীয় টপোলজি প্রদান করে এবং মূলদগুলিকে একটি টপোলজিকাল ক্ষেত্রে পরিণত করে। মূলদ সংখ্যাগুলি এমন একটি স্থানের একটি গুরুত্বপূর্ণ উদাহরণ যা স্থানীয়ভাবে সংক্ষিপ্ত নয়। যুক্তিসঙ্গতগুলিকে টপোলজিক্যালি পৃথক বিন্দু ছাড়াই অনন্য গণনাযোগ্য পরিমাপযোগ্য স্থান হিসাবে চিহ্নিত করা হয়। জায়গাটিও সম্পূর্ণ বিচ্ছিন্ন হয়ে গেছে। মূলদ সংখ্যাগুলি একটি সম্পূর্ণ মেট্রিক স্থান গঠন করে না এবং প্রকৃত সংখ্যাগুলি উপরের মেট্রিকের অধীনে সম্পূর্ণ হয়। p-adic সংখ্যা উপরে উল্লিখিত পরম মান মেট্রিক ছাড়াও, অন্যান্য মেট্রিক রয়েছে যা একটি টপোলজিকাল ক্ষেত্রে পরিণত হয়ঃ ধরা যাক একটি মৌলিক সংখ্যা এবং যে কোনও অ-শূন্য পূর্ণসংখ্যার জন্য, ভাগ করার সর্বোচ্চ শক্তি কোথায়। মেট্রিক স্পেস সম্পূর্ণ নয়, এবং এর সমাপ্তি হল-অ্যাডিক সংখ্যা ক্ষেত্র অস্ট্রোস্কির উপপাদ্য বলে যে মূলদ সংখ্যার যে কোনও অ-তুচ্ছ পরম মান স্বাভাবিক বাস্তব পরম মান বা-অ্যাডিক পরম মানের সমতুল্য। আরও দেখুন ডাইডিক যুক্তিসঙ্গত ভাসমান বিন্দু ফোর্ড বৃত্ত গাউসিয়ান যুক্তিসঙ্গত নিষ্ক্রিয় উচ্চতা-সর্বনিম্ন মেয়াদে একটি যুক্তিসঙ্গত সংখ্যার উচ্চতা নিভেন এর উপপাদ্য যুক্তিসঙ্গত তথ্য প্রকার ঐশ্বরিক অনুপাতঃ যুক্তিসঙ্গত ত্রিকোণমিতি থেকে সর্বজনীন জ্যামিতি রেফারেন্স বাহ্যিক লিঙ্ক "যুক্তিসঙ্গত সংখ্যা" গণিত বিশ্ব থেকে-একটি ওল্ফ্রাম ওয়েব রিসোর্স প্রাথমিক গণিত ক্ষেত্র (গণিত) ভগ্নাংশ (গণিত) বাস্তব সংখ্যার সেট