Appell series
গণিতে, অ্যাপেল সিরিজ হল দুটি চলকের চারটি হাইপারজিওমেট্রিক সিরিজ F1, F2, F3, F4-এর একটি সেট যা চালু করা হয়েছিল এবং যা গাউসের হাইপারজিওমেট্রিক সিরিজ 2F1-কে একটি চলকের সাধারণীকরণ করে। অ্যাপেল আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সেট প্রতিষ্ঠা করেন যার মধ্যে এই ফাংশনগুলি সমাধান, এবং একটি চলকের হাইপারজিওমেট্রিক সিরিজের পরিপ্রেক্ষিতে এই সিরিজের বিভিন্ন হ্রাস সূত্র এবং অভিব্যক্তি খুঁজে পান। সংজ্ঞাগুলি অ্যাপেল সিরিজ এফ1-কে |x। <1, |y। <1-এর জন্য দ্বৈত সিরিজ দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে যেখানে পোচহ্যামার প্রতীক রয়েছে। x এবং y এর অন্যান্য মানগুলির জন্য ফাংশন F1 বিশ্লেষণাত্মক ধারাবাহিকতা দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। এটি দেখানো যেতে পারে যে একইভাবে, ফাংশন F2 সিরিজ দ্বারা |x। + |y। <1-এর জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয় এবং এটি দেখানো যেতে পারে যে এছাড়াও |x। <1, |y। <1-এর জন্য ফাংশন F3 সিরিজ দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে এবং |x। 1⁄2 + |y। 1⁄2 <1-এর জন্য ফাংশন F4 সিরিজ দ্বারা পুনরাবৃত্তির সম্পর্ক দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে যেমন গাউস হাইপারজিওমেট্রিক সিরিজ 2F1, অ্যাপেল ডাবল সিরিজ সংলগ্ন ফাংশনের মধ্যে পুনরাবৃত্তির সম্পর্ক বোঝায়। উদাহরণস্বরূপ, অ্যাপেলের এফ1-এর জন্য এই ধরনের সম্পর্কের একটি মৌলিক সেট দেওয়া হয়েছেঃ এফ1-এর জন্য বৈধ অন্য যে কোনও সম্পর্ক এই চারটি থেকে উদ্ভূত হতে পারে। একইভাবে, অ্যাপেলের এফ 3-এর জন্য সমস্ত পুনরাবৃত্তির সম্পর্ক পাঁচটি সেট থেকে অনুসরণ করেঃ অ্যাপেলের এফ 1-এর জন্য ডেরিভেটিভস এবং ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ, নিম্নলিখিত ডেরিভেটিভসগুলি একটি ডাবল সিরিজ দ্বারা সংজ্ঞা থেকে ফলাফলঃ এর সংজ্ঞা থেকে, অ্যাপেলের এফ 1 দ্বিতীয়-ক্রমের ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের নিম্নলিখিত সিস্টেমকে সন্তুষ্ট করতে পাওয়া যায়ঃ এফ 2-এর জন্য একটি সিস্টেম আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ হল সিস্টেমের সমাধান একইভাবে, এফ 3-এর জন্য নিম্নলিখিত ডেরিভেটিভসগুলি সংজ্ঞা থেকে ফলাফল হয়ঃ এবং এফ 3-এর জন্য ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের নিম্নলিখিত সিস্টেমটি প্রাপ্ত হয়ঃ এফ 4-এর জন্য একটি সিস্টেম আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সিস্টেমের সমাধান ইন্টিগ্রাল উপস্থাপনা রয়েছে অ্যাপেলের ডাবল সিরিজ দ্বারা সংজ্ঞায়িত চারটি ফাংশন শুধুমাত্র প্রাথমিক ফাংশন জড়িত ডাবল ইন্টিগ্রালের পরিপ্রেক্ষিতে প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে। যাইহোক, আবিষ্কৃত হয়েছে যে অ্যাপেলের এফ 1 কে এক-মাত্রিক অয়লার-টাইপ ইন্টিগ্রাল হিসাবেও লেখা যেতে পারেঃ এই উপস্থাপনাটি ইন্টিগ্র্যান্ডের টেলর সম্প্রসারণের মাধ্যমে যাচাই করা যেতে পারে, তারপরে টার্মওয়াইজ ইন্টিগ্রেশন দ্বারা। বিশেষ ক্ষেত্রে পিকার্ডের অবিচ্ছেদ্য উপস্থাপনা বোঝায় যে অসম্পূর্ণ উপবৃত্তাকার ইন্টিগ্রাল F এবং E পাশাপাশি সম্পূর্ণ উপবৃত্তাকার ইন্টিগ্রাল Π অ্যাপেলের F1-এর বিশেষ ক্ষেত্রে রয়েছেঃ সম্পর্কিত সিরিজ দুটি চলকের সাতটি সম্পর্কিত সিরিজ রয়েছে, φ1, φ2, φ3, χ1, χ2, χ1, এবং χ2, যা কুমারের একটি চলকের সংহত হাইপারজিওমেট্রিক ফাংশন 1F1 এবং একই পদ্ধতিতে একটি চলকের সংহত হাইপারজিওমেট্রিক সীমা ফাংশন 0F1-কে সাধারণীকরণ করে। এর মধ্যে প্রথমটি 1920 সালে পিয়েরে হামবার্ট প্রবর্তন করেছিলেন. অ্যাপেল সিরিজের অনুরূপ চারটি ফাংশন সংজ্ঞায়িত করেছিলেন, তবে কেবল দুটি ভেরিয়েবল x এবং y এর পরিবর্তে অনেকগুলি ভেরিয়েবলের উপর নির্ভর করে। এই সিরিজগুলিও অ্যাপেল দ্বারা অধ্যয়ন করা হয়েছিল। এগুলি নির্দিষ্ট আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলিকে সন্তুষ্ট করে এবং ইউলার-টাইপ ইন্টিগ্রাল এবং কনট্যুর ইন্টিগ্রালের পরিপ্রেক্ষিতেও দেওয়া যেতে পারে। সি. আর. অ্যাকাডে রেফারেন্স (আরও দেখুন "সুর লা সেরি এফ3 (α, α ', β, β', γ; x, y)"। বিজ্ঞান. 90, পিপি। 977-980) (পৃ. 14 দেখুন) (পৃ. 224 দেখুন) (আরও দেখুন সি. আর. অ্যাকাড। বিজ্ঞান. 90 (1880), পৃ. 1119-1121 এবং 1267-1269) (সঙ্গে একটি 2008 পেপারব্যাক আছে) বাহ্যিক লিঙ্ক হাইপারজিওমেট্রিক ফাংশন গাণিতিক সিরিজ