Octal game
অষ্টক খেলা হল দুই খেলোয়াড়ের খেলার একটি শ্রেণী যা টোকেনের স্তূপ থেকে টোকেন (খেলার টুকরো বা পাথর) অপসারণের সাথে জড়িত। নিম, কায়লেস এবং অনুরূপ গেমগুলির সাধারণীকরণ হিসাবে এগুলি সমন্বিত গেম তত্ত্বে অধ্যয়ন করা হয়েছে। অক্টা গেমগুলি নিরপেক্ষ অর্থাৎ একজন খেলোয়াড়ের জন্য উপলব্ধ প্রতিটি পদক্ষেপ অন্য খেলোয়াড়ের জন্যও উপলব্ধ। একক পদক্ষেপে অপসারণ করা যেতে পারে এমন টোকেনের সংখ্যার ক্ষেত্রে এবং (এই সংখ্যার উপর নির্ভর করে) একটি সম্পূর্ণ স্তূপ অপসারণ, একটি স্তূপের আকার হ্রাস বা একটি স্তূপকে দুটি স্তূপে বিভক্ত করার অনুমতি দেওয়া হয় কিনা তা নিয়ে এগুলি একে অপরের থেকে পৃথক। এই নিয়মের বৈচিত্র্যগুলি অষ্টক সংখ্যা ব্যবহার করে একটি কোডিং সিস্টেম দ্বারা সংক্ষিপ্তভাবে বর্ণনা করা যেতে পারে। গেমের নির্দিষ্টকরণ একটি অষ্টক খেলা টোকেনগুলি স্তূপে বিভক্ত করে খেলা হয়। কোনও নড়াচড়া সম্ভব না হওয়া পর্যন্ত দুজন খেলোয়াড় পালাক্রমে নড়াচড়া করে। প্রতিটি পদক্ষেপে কেবলমাত্র একটি স্তূপ নির্বাচন করা হয়, এবং হয় স্তূপের মধ্যে থাকা সমস্ত টোকেনগুলি সরিয়ে ফেলা হয়, কোনও স্তূপ না রেখে, কিছু কিন্তু সমস্ত টোকেনগুলি সরিয়ে ফেলা হয়, একটি ছোট স্তূপ রেখে দেওয়া হয়, অথবা কিছু টোকেন সরিয়ে ফেলা হয় এবং অবশিষ্ট টোকেনগুলিকে দুটি খালি নয় এমন স্তূপে ভাগ করা হয়। নির্বাচিত স্তূপ ছাড়া অন্যান্য স্তূপ অপরিবর্তিত থাকে। সর্বশেষ যে খেলোয়াড় সরে যায় সে স্বাভাবিক খেলায় জয়ী হয়। খেলাটি মিসেরে প্লেতেও খেলা যেতে পারে, যেখানে শেষ খেলোয়াড় যে সরে যায় সে হেরে যায়। এই পদ্ধতিতে স্তূপ দিয়ে খেলা গেমগুলি, যেখানে প্রতিটি স্তূপের জন্য অনুমোদিত পদক্ষেপগুলি মূল স্তূপের আকার দ্বারা নির্ধারিত হয়, সাহিত্যে টেকিং এবং ব্রেকিং গেম বলা হয়। অক্টাল গেমগুলি টেকিং এবং ব্রেকিং গেমগুলির একটি উপসেট যেখানে অনুমোদিত পদক্ষেপগুলি স্তূপ থেকে সরানো টোকেনের সংখ্যা দ্বারা নির্ধারিত হয়। একটি খেলার জন্য অষ্টক কোড 0 হিসাবে নির্দিষ্ট করা হয়। ডি1 ডি2 ডি3 ডি4, যেখানে অষ্টক অঙ্ক ডিএন নির্দিষ্ট করে যে খেলোয়াড়কে একটি স্তূপ থেকে এন টোকেন অপসারণের পরে শূন্য, এক বা দুটি স্তূপ রেখে যাওয়ার অনুমতি দেওয়া হয় কিনা। যদি শূন্য স্তূপ রেখে যাওয়ার অনুমতি দেওয়া হয় তবে অঙ্ক ডিএন হল 1-এর যোগফল, অন্যথায় 0; যদি একটি স্তূপ রেখে যাওয়ার অনুমতি দেওয়া হয় তবে 2, অন্যথায় 0; এবং যদি দুটি স্তূপ রেখে যাওয়ার অনুমতি দেওয়া হয় তবে 4, অন্যথায় 0। শূন্য টোকেনগুলি একটি স্তূপ হিসাবে গণনা করা হয় না। সুতরাং অঙ্ক ডিএন বিজোড় হয় যদি এন টোকেনের একটি স্তূপ সম্পূর্ণরূপে অপসারণ করা যেতে পারে, এমনকি অন্যথায়ও। ডিএন-এ এক-গাদা ফলাফলের নির্দিষ্টকরণটি এন-এর বেশি গাদা থেকে এন টোকেন অপসারণের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য। ডিএন-এ দুই-গাদা ফলাফল কমপক্ষে এন + 2-এর গাদা থেকে এন টোকেন অপসারণের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য, এবং অবশিষ্টাংশকে দুটি অ-খালি গাদে পৃথক করার ক্ষেত্রে প্রযোজ্য। অক্ষীয় গেমগুলি দশমিক বিন্দুর বামদিকে 4 নম্বর ব্যবহার করে কোনও টোকেন না সরিয়ে একটি স্তূপকে দুটি ভাগে বিভক্ত করার অনুমতি দিতে পারে। এটি গ্রান্ডির খেলার পদক্ষেপের অনুরূপ, যা একটি স্তূপকে দুটি অসম অংশে বিভক্ত করা। তবে, স্ট্যান্ডার্ড অক্টাল গেম নোটেশনের অসম অংশের সীমাবদ্ধতা প্রকাশ করার ক্ষমতা নেই। সীমিত সংখ্যক অ-শূন্য সংখ্যা সহ অক্টা গেমগুলিকে সীমাবদ্ধ অক্টা গেম বলা হয়। সমন্বিত গেম তত্ত্বের সবচেয়ে মৌলিক খেলা হল নিম, যেখানে যে কোনও সংখ্যক টোকেন একটি স্তূপ থেকে সরানো যেতে পারে, শূন্য বা একটি স্তূপ পিছনে রেখে। নিমের জন্য অষ্টক কোড হল 0.333., যা প্রকাশিত সাহিত্যে পুনরাবৃত্ত অংশটিকে পুনরাবৃত্ত দশমিক হিসাবে বোঝাতে প্রদর্শিত হয়। যাইহোক, এটা উপলব্ধি করা গুরুত্বপূর্ণ যে পুনরাবৃত্তি অংশটি অষ্টক ভগ্নাংশের মতো একই ভূমিকা পালন করে না, কারণ অষ্টক ভগ্নাংশের মতো সমান হওয়া সত্ত্বেও গেমগুলি এবং অভিন্ন নয়। কায়লেস খেলাটি সাধারণত এন পিনের একটি সারি দিয়ে খেলা হিসাবে কল্পনা করা হয়, তবে এন কাউন্টারের একটি স্তূপ দ্বারা মডেল করা যেতে পারে। একজনকে একটি স্তূপ থেকে একটি বা দুটি টোকেন সরানোর অনুমতি দেওয়া হয় এবং অবশিষ্টাংশকে শূন্য, এক বা দুটি স্তূপে সাজানো হয়। কায়লেসের জন্য অষ্টক কোড হল 0.77। ডসন 'স চেস-ডসন' স চেস 1938 সালে কাইসা 'স ওয়াইল্ড রোজেস-এ টমাস রেনার ডসন দ্বারা উপস্থাপিত একটি দাবা ধাঁধা থেকে উদ্ভূত একটি খেলা। ধাঁধাটি একটি একক পদমর্যাদার দ্বারা পৃথক করা প্রতিপক্ষের সারিগুলির সাথে জড়িত হিসাবে উপস্থাপিত হয়েছিল। যদিও ধাঁধাটিকে একটি নিরপেক্ষ খেলা হিসাবে উপস্থাপন করা হয় না, তবে ক্যাপচারগুলি বাধ্যতামূলক বলে অনুমান করা বোঝায় যে কোনও খেলোয়াড়ের যে কোনও ফাইল সরানোর ফলে কেবল সেই ফাইল এবং তার প্রতিবেশীদের (যদি থাকে) আরও বিবেচনা থেকে অপসারণ করা হয়, বিপরীত খেলোয়াড়কে সরানো হয়। এটিকে এন টোকেনের স্তূপ হিসাবে মডেল করে, একজন খেলোয়াড় এক, দুই বা তিনটি টোকেনের একটি সম্পূর্ণ স্তূপ সরিয়ে ফেলতে পারে, যে কোনও স্তূপকে দুই বা তিনটি টোকেন দ্বারা হ্রাস করতে পারে, বা তিনটি টোকেন সরিয়ে ফেলার পরে একটি স্তূপকে দুটি অংশে বিভক্ত করতে পারে। এইভাবে ডসনের দাবা অষ্টক কোড 0.137 দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়। ডসনের কেইলস 0.07 খেলায়, যাকে ডসনের কেইলস বলা হয়, একটি পদক্ষেপ হল একটি স্তূপ থেকে ঠিক দুটি টোকেন অপসারণ করা এবং অবশিষ্টাংশকে শূন্য, এক বা দুটি স্তূপে বিতরণ করা। ডসনের কায়লেসের নামকরণ করা হয়েছে ডসনের দাবার সাথে (অ-স্পষ্ট) সাদৃশ্যের জন্য, যেখানে ডসনের কায়লেসের এন + 1 টোকেনের স্তূপ ঠিক ডসনের এন টোকেনের দাবার স্তূপের মতো কাজ করে। ডসনের কায়লেসকে ডসনের দাবার প্রথম চাচাত ভাই বলা হয়। অন্যান্য ভিত্তিতে সাধারণীকরণ যেমন নিম, যেখানে প্রতিটি পদক্ষেপ একটি স্তুপকে শূন্য বা একটি স্তুপে রূপান্তরিত করে, তাদের কোয়াটারনারি গেম বলা হয় কারণ শুধুমাত্র 0,1,2 এবং 3 সংখ্যা প্রদর্শিত হয়। অষ্টক স্বরলিপিটি হেক্সাডেসিমাল গেমগুলি অন্তর্ভুক্ত করার জন্যও প্রসারিত করা যেতে পারে, যেখানে সংখ্যাগুলি একটি স্তূপকে তিনটি ভাগে বিভক্ত করার অনুমতি দেয়। প্রকৃতপক্ষে, নির্বিচারে বড় ঘাঁটি সম্ভব। কোয়াটারনারি, অক্টা এবং হেক্সাডেসিমাল গেমগুলির বিশ্লেষণ দেখায় যে এই শ্রেণীর গেমগুলি একে অপরের থেকে উল্লেখযোগ্যভাবে আলাদা এবং বৃহত্তর ঘাঁটির আচরণ ততটা যাচাই করা হয়নি। নিম-সিকোয়েন্স স্প্রাগ-গ্রান্ডি উপপাদ্যটি বোঝায় যে n আকারের একটি স্তূপ একটি প্রদত্ত আকারের নিম স্তূপের সমতুল্য, সাধারণত উল্লেখ করা হয় জি (এন)। একটি অষ্টক খেলার বিশ্লেষণ তারপর ক্রমবর্ধমান আকারের স্তূপের জন্য নিম-মানগুলির ক্রম খুঁজে বের করার মধ্যে থাকে। এই ক্রম জি (0), জি (1), জি (2). কে সাধারণত খেলার নিম-ক্রম বলা হয়। এখনও পর্যন্ত বিশ্লেষণ করা সমস্ত সীমাবদ্ধ অষ্টক গেমগুলি শেষ পর্যন্ত পর্যায়ক্রমিক একটি নিম-সিকোয়েন্স দেখিয়েছে এবং সমস্ত সীমাবদ্ধ অষ্টক গেমগুলি শেষ পর্যন্ত পর্যায়ক্রমিক কিনা তা একটি উন্মুক্ত প্রশ্ন। রিচার্ড গাই এটিকে সমন্বিত খেলার ক্ষেত্রে একটি গুরুত্বপূর্ণ সমস্যা হিসাবে তালিকাভুক্ত করেছেন। গণনা রেকর্ড একটি অষ্টক খেলার একটি সম্পূর্ণ বিশ্লেষণের ফলে তার নিম-সিকোয়েন্সের সময়কাল এবং প্রাক-সময়কাল খুঁজে পাওয়া যায়। উইনিং ওয়েজ ফর ইউর ম্যাথমেটিকাল প্লে-তে দেখানো হয়েছে যে, একটি সীমাবদ্ধ অষ্টক খেলা পর্যায়ক্রমিক, যা কম্পিউটারের সাথে গণনার দ্বার উন্মুক্ত করে, তা প্রমাণ করার জন্য কেবলমাত্র সীমিত সংখ্যক নিম-সিকোয়েন্সের মান প্রয়োজন। বছরের পর বছর ধরে সর্বাধিক 3টি অষ্টক-অঙ্কের অষ্টক খেলা বিশ্লেষণ করা হয়েছে। 79টি অ-তুচ্ছ অক্টাল গেম রয়েছে, যার মধ্যে 14টির সমাধান করা হয়েছেঃ 1967 সালে জ্যাক কেনিয়ন দ্বারা............................................................................................................................................................................... তথ্যসূত্র কম্বিনেটরিয়াল গেম থিওরি গাণিতিক গেম