Möbius configuration
জ্যামিতিতে, মোবিয়াস বিন্যাস বা মোবিয়াস টেট্রাডস হল ইউক্লিডীয় স্থান বা প্রজেক্টিভ স্থানের একটি নির্দিষ্ট বিন্যাস, যা পারস্পরিকভাবে খোদাই করা দুটি টেট্রাহেড্রার সমন্বয়ে গঠিতঃ একটি টেট্রাহেড্রনের প্রতিটি শীর্ষ অন্য টেট্রাহেড্রনের একটি মুখ সমতলে অবস্থিত এবং তদ্বিপরীত। সুতরাং, আটটি বিন্দু এবং আটটি সমতলের ফলস্বরূপ সিস্টেমের জন্য, প্রতিটি বিন্দু চারটি সমতলে অবস্থিত (তিনটি তল এটিকে একটি টেট্রাহেড্রনের শীর্ষ হিসাবে সংজ্ঞায়িত করে এবং চতুর্থ তলটি অন্য টেট্রাহেড্রন থেকে যার উপর এটি অবস্থিত), এবং প্রতিটি সমতলে চারটি বিন্দু থাকে (এর মুখের তিনটি টেট্রাহেড্রন শীর্ষ এবং এটির উপর অবস্থিত অন্য টেট্রাহেড্রন থেকে শীর্ষ)। মোবিয়াসের উপপাদ্যটি আগস্ট ফার্দিনান্দ মোবিয়াসের নামে নামকরণ করা হয়েছে, যিনি 1828 সালে প্রমাণ করেছিলেন যে, যদি দুটি টেট্রাহেড্রার বৈশিষ্ট্য থাকে যে তাদের সাতটি শীর্ষ অন্য টেট্রাহেড্রনের সংশ্লিষ্ট মুখ সমতলে থাকে, তবে অষ্টম শীর্ষটিও তার সংশ্লিষ্ট মুখের সমতলে অবস্থিত, যা এই ধরনের একটি বিন্যাস গঠন করে। এই আপতন উপপাদ্যটি একটি ত্রিমাত্রিক প্রজেক্টিভ স্পেসে আরও সাধারণভাবে সত্য হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি পাপ্পাসের উপপাদ্যটি সেই স্থানের জন্য ধারণ করে (রিডেমেইস্টার, স্কনহার্ড্ট), এবং এটি একটি বিভাজন বলয়ের উপর মডেল করা একটি ত্রিমাত্রিক স্থানের জন্য সত্য হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি বলয়টি বিনিময়কারী আইনকে সন্তুষ্ট করে এবং তাই একটি ক্ষেত্র (আল-দাহির) হয়। প্রজেক্টিভ দ্বৈততা দ্বারা, মোবিয়াসের ফলাফল এই বিবৃতির সমতুল্য যে, যদি দুটি টেট্রাহেড্রার আটটি ফেস প্লেনের মধ্যে সাতটিতে অন্য টেট্রাহেড্রনের সংশ্লিষ্ট শীর্ষ থাকে, তবে অষ্টম ফেস প্লেনেও একই শীর্ষ থাকে। নির্মাণটি বিন্যাসের জন্য একটি সহজ নির্মাণ বর্ণনা করে। ইউক্লিডীয় স্থানে একটি নির্বিচারে বিন্দু p দিয়ে শুরু করে, A, B, C এবং D কে p এর মধ্য দিয়ে চারটি সমতল হতে দিন, যার মধ্যে তিনটি একটি সাধারণ ছেদ রেখা ভাগ করে না এবং ছয়টি বিন্দু q, r, s, t, u এবং v কে এই সমতলগুলির জোড়া-ভিত্তিক ছেদ দ্বারা গঠিত ছয়টি লাইনে এমনভাবে স্থাপন করুন যাতে এই চারটি বিন্দুর কোনওটিই সহ-সমতলীয় না হয়। এ, বি, সি এবং ডি সমতলের প্রত্যেকটির জন্য, সাতটি বিন্দুর মধ্যে চারটি পি, কিউ, আর, এস, টি, ইউ এবং ভি সেই সমতলে অবস্থিত এবং তিনটি এটি থেকে বিচ্ছিন্ন হয়; যথাক্রমে এ, বি, সি এবং ডি থেকে বিচ্ছিন্ন বিন্দুর তিনগুণের মধ্য দিয়ে এ ', বি', সি 'এবং ডি' সমতল গঠন করে। তারপর, মোবিয়াসের উপপাদ্যের দ্বৈত রূপ অনুসারে, এই চারটি নতুন তল একটি বিন্দুতে মিলিত হয়। আটটি বিন্দু p, q, r, s, t, u, v, এবং w এবং আটটি তল A, B, C, D, A ', B', C ', এবং D' মোবিয়াসের বিন্যাসের একটি উদাহরণ গঠন করে। সম্পর্কিত নির্মাণগুলি (রেফারেন্স ছাড়াই) বলে যে প্রতিটি সমতলে চারটি পয়েন্ট সহ আটটি পয়েন্ট এবং আটটি প্লেন সহ পাঁচটি কনফিগারেশন রয়েছে এবং ত্রিমাত্রিক ইউক্লিডীয় স্পেসে উপলব্ধ প্রতিটি পয়েন্টের মধ্য দিয়ে চারটি প্লেন রয়েছেঃ এই ধরনের কনফিগারেশনের শর্টহ্যান্ড স্বরলিপি রয়েছে। তারা অবশ্যই নিবন্ধটি থেকে তাদের তথ্য পেয়েছে। এটি আসলে বলে, এবং দ্বারা ফলাফলের উপর নির্ভর করে, যে বৈশিষ্ট্যের সাথে পাঁচটি কনফিগারেশন রয়েছে যে সর্বাধিক দুটি সমতলে দুটি পয়েন্টের মিল রয়েছে এবং দ্বৈতভাবে সর্বাধিক দুটি পয়েন্ট দুটি সমতলে সাধারণ। (এই শর্তের অর্থ হল যে প্রতি তিনটি বিন্দু অ-সমরেখীয হতে পারে এবং দ্বৈতভাবে তিনটি সমতলে একটি সাধারণ রেখা নাও থাকতে পারে।) যাইহোক, আরও দশটি কনফিগারেশন রয়েছে যার এই শর্ত নেই এবং সমস্ত পনেরোটি কনফিগারেশন বাস্তব ত্রিমাত্রিক স্থানে উপলব্ধিযোগ্য। আগ্রহের বিন্যাসগুলি হ 'ল দুটি টেট্রাহেড্রা সহ, প্রতিটি একে অপরকে লিপিবদ্ধ করে এবং পরিবেষ্টিত করে এবং এগুলি ঠিক সেগুলি যা উপরের বৈশিষ্ট্যটিকে সন্তুষ্ট করে। সুতরাং, টেট্রাহেড্রার সাথে পাঁচটি বিন্যাস রয়েছে এবং সেগুলি প্রতিসম গোষ্ঠীর পাঁচটি কনজুগেসি শ্রেণীর সাথে মিলে যায়। একটি টেট্রাহেড্রন এস = এ. বি. সি. ডি-এর চারটি বিন্দু থেকে নিম্নরূপ একটি বিন্যাস পাওয়া যায়ঃ এস-এর প্রতিটি বিন্দু পি দ্বিতীয় টেট্রাহেড্রন টি-এর তিনটি বিন্দু সম্বলিত একটি সমতলে থাকে। এটি টি-এর অন্য বিন্দুটিকে ছেড়ে যায়, যা এস-এর সমতলের তিনটি বিন্দুতে থাকে, এবং এস-এর আরেকটি বিন্দু কিউ ছেড়ে যায়, এবং তাই বিন্যাসটি পি-এর মানচিত্রে পি-এর মান পি-এর মান পি-এর মান পি-এর মান পি-এর মান পি-এর মান পি-এর মান পি-এর পি-এর পি-এর পি-এর পি-এর পি-এর পি-এর পি-এর পি-এর পি-এর পি-এর পি-এর পি-এর পি-এর পি-এর পি-এর পি-এর পি-এর পি-এর পি-এর পি-এর পি-এর পি-এর পি-এর পি-এর পি-এর পি-এর পি-এর পি-এর পি-এর পি-এর পি-এর পি-এর পি-এর পি-এর পি-এর পি-এর পি-এর পি-এর পি-এর পি-এর পি-এর পি-এর পি-এর পি পাঁচটি কনজুগেসি ক্লাসের প্রতিনিধি রয়েছে ই, (12) (34), (12), (123), (1234) এবং এগুলির মধ্যে মোবিয়াস কনফিগারেশন কনজুগেসি ক্লাসের সাথে মিলে যায়। স্টেইনিটজ বলেছেন যে যদি কে-এর পরিপূরক টেট্রাহেড্রার মধ্যে দুটি হয়, এবং তারপর আটটি সমতল বিজোড় দিয়ে দেওয়া হয়, যখন জোড় যোগফল এবং তাদের পরিপূরকগুলি কে-এর মডেলে পরিপূরক টেট্রাহেড্রার সমস্ত জোড়ার সাথে মিলে যায়। এটিও বলা হয়েছে যে স্টেইনিটজ দ্বারা যে একমাত্র জ্যামিতিক উপপাদ্যটি মোবিয়াস কনফিগারেশন। তবে এটি বিতর্কিতঃ একটি কম্পিউটার অনুসন্ধান এবং প্রমাণ ব্যবহার করে দেখায় যে প্রকৃতপক্ষে দুটি "উপপাদ্য" রয়েছেঃ মোবিয়াস কনফিগারেশন এবং অন্যটি। পরেরটি (যা উপরের কনজুগেসি ক্লাস (12) (34) এর সাথে মিলে যায়) একটি ক্ষেত্রের উপর সমস্ত ত্রিমাত্রিক প্রজেক্টিভ স্পেসের জন্য একটি উপপাদ্য, তবে একটি সাধারণ বিভাজন বলয়ের উপর নয়। দুটি কনফিগারেশনের মধ্যে অন্যান্য ঘনিষ্ঠ মিল রয়েছে, যার মধ্যে ম্যাট্রয়েড দ্বৈততার অধীনে উভয়ই স্ব-দ্বৈত। বিমূর্ত অর্থে, পরবর্তী বিন্যাসে "পয়েন্ট" 0,., 7 এবং "প্লেন" 0125 + i, (i = 0,., 7) রয়েছে, যেখানে এই পূর্ণসংখ্যাগুলি মডুলো আট। এই বিন্যাসটি, মোবিয়াসের মতো, দুটি টেট্রাহেড্রা হিসাবেও প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে, পারস্পরিকভাবে খোদাই করা এবং পরিবেষ্টিতঃ পূর্ণসংখ্যার উপস্থাপনায় টেট্রাহেড্রা 0347 এবং 1256 হতে পারে। যাইহোক, এই দুটি বিন্যাস অ-সমরূপ, যেহেতু মোবিয়াসের চারটি জোড়া বিচ্ছিন্ন সমতল রয়েছে, এবং পরেরটির কোনও বিচ্ছিন্ন সমতল নেই। একই কারণে (এবং যেহেতু সমতলের জোড়া অধঃপতিত চতুর্ভুজ পৃষ্ঠ), মোবিয়াস বিন্যাসটি পরবর্তী বিন্যাসের তুলনায় ত্রিমাত্রিক স্থানের আরও দ্বিঘাত পৃষ্ঠে থাকে। মোবিয়াস বিন্যাসের লেভি গ্রাফের 16টি শীর্ষ রয়েছে, প্রতিটি বিন্দু বা বিন্যাসের সমতলের জন্য একটি করে, প্রতিটি আপতিত বিন্দু-সমতল জুটির জন্য একটি প্রান্ত রয়েছে। এটি 16-ভার্টেক্স হাইপারকিউব গ্রাফ কিউ4-এর সমতুল্য। একটি ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত বিন্যাস, মোবিয়াস-কান্টর বিন্যাস দুটি পারস্পরিক খোদাই করা চতুর্ভুজ দ্বারা গঠিত, এর লেভি গ্রাফ হিসাবে মোবিয়াস-কান্টর গ্রাফ, কিউ 4 এর একটি উপগ্রাফ রয়েছে। রেফারেন্স। । । । । । । ইন গেসামেল্টে ওয়ার্ক (1886), খণ্ড। 1, পৃ. 439-446। । । । । বিন্যাস (জ্যামিতি)