Von Neumann paradox
গণিতে, ভন নিউম্যান প্যারাডক্স, জন ভন নিউম্যানের নামে নামকরণ করা হয়েছে, এই ধারণাটি হল যে কেউ একক বর্গক্ষেত্রের মতো একটি সমতলীয় চিত্রকে পয়েন্টের সেটে ভেঙে দিতে পারে এবং প্রতিটি সেটকে একটি এলাকা-সংরক্ষণকারী অ্যাফিন রূপান্তরের সাপেক্ষে এমনভাবে উপস্থাপন করতে পারে যাতে ফলাফলটি মূলটির মতো একই আকারের দুটি সমতলীয় চিত্র হয়। এটি 1929 সালে জন ভন নিউম্যান দ্বারা প্রমাণিত হয়েছিল, পছন্দের স্বতঃসিদ্ধ অনুমান করে। এটি পূর্ববর্তী বানাচ-টারস্কি প্যারাডক্সের উপর ভিত্তি করে তৈরি, যা হাউজডর্ফ প্যারাডক্সের উপর ভিত্তি করে তৈরি। বানাচ এবং তারস্কি প্রমাণ করেছিলেন যে, আইসোমেট্রিক রূপান্তর ব্যবহার করে, একটি দ্বি-মাত্রিক চিত্রকে আলাদা করে পুনরায় একত্রিত করার ফলাফলের অবশ্যই মূলটির মতো একই এলাকা থাকবে। এর ফলে একটির মধ্যে দুটি একক বর্গ তৈরি করা অসম্ভব হয়ে পড়বে। কিন্তু ভন নিউম্যান বুঝতে পেরেছিলেন যে এই ধরনের তথাকথিত প্যারাডক্সিকাল ডিকম্পোজিশনের কৌশলটি ছিল রূপান্তরগুলির একটি গোষ্ঠীর ব্যবহার যা একটি উপগোষ্ঠী হিসাবে দুটি জেনারেটর সহ একটি মুক্ত গোষ্ঠীকে অন্তর্ভুক্ত করে। এলাকা-সংরক্ষণকারী রূপান্তরের গোষ্ঠীতে (বিশেষ রৈখিক গোষ্ঠী বা বিশেষ অ্যাফিন গোষ্ঠী যাই হোক না কেন) এই ধরনের উপগোষ্ঠী রয়েছে এবং এটি তাদের ব্যবহার করে বৈপরীত্যমূলক পচন সম্পাদনের সম্ভাবনা উন্মুক্ত করে। পদ্ধতির স্কেচ নিম্নলিখিতটি ভন নিউম্যান দ্বারা আবিষ্কৃত পদ্ধতির একটি অনানুষ্ঠানিক বিবরণ। ধরে নিন যে আমাদের দুটি রূপান্তর, σ এবং τ দ্বারা উত্পন্ন এলাকা-সংরক্ষণকারী রৈখিক রূপান্তরগুলির একটি মুক্ত গ্রুপ H রয়েছে, যা পরিচয় উপাদান থেকে খুব বেশি দূরে নয়। একটি মুক্ত গোষ্ঠী হওয়ার অর্থ হল এর সমস্ত উপাদানকে কিছু n-এর আকারে অনন্যভাবে প্রকাশ করা যেতে পারে, যেখানে সম্ভবত প্রথম এবং শেষটি ছাড়া সমস্ত s এবং s অ-শূন্য পূর্ণসংখ্যা। আমরা এই গোষ্ঠীটিকে দুটি ভাগে ভাগ করতে পারিঃ যেগুলি σ দিয়ে বাম থেকে শুরু করে কিছু অ-শূন্য শক্তি (আমরা এই সেটটিকে A বলি) এবং যেগুলি τ দিয়ে শুরু করে কিছু শক্তি (অর্থাৎ, শূন্য-আমরা এই সেটটিকে B বলি, এবং এতে পরিচয় অন্তর্ভুক্ত থাকে)। যদি আমরা ইউক্লিডীয় 2-স্থানের যে কোনও বিন্দুতে এইচ-এর বিভিন্ন উপাদান দ্বারা কাজ করি তবে আমরা সেই বিন্দুর কক্ষপথ পাই। সমতলের সমস্ত বিন্দুকে এইভাবে কক্ষপথে শ্রেণীবদ্ধ করা যেতে পারে, যার মধ্যে ধারাবাহিকতার কার্ডিনালিটি সহ একটি অসীম সংখ্যা রয়েছে। পছন্দের স্বতঃসিদ্ধ ব্যবহার করে, আমরা প্রতিটি কক্ষপথ থেকে একটি বিন্দু বেছে নিতে পারি এবং এই বিন্দুগুলির সেটকে এম বলতে পারি। আমরা উৎসটি বাদ দিই, যা এইচ-এর একটি নির্দিষ্ট বিন্দু। যদি আমরা এইচ-এর সমস্ত উপাদান দ্বারা এম-এর উপর কাজ করি, তবে আমরা সমতলের প্রতিটি বিন্দু (উৎস ব্যতীত) ঠিক একবার তৈরি করি। যদি আমরা এ বা বি-এর সমস্ত উপাদান দ্বারা এম-এর উপর কাজ করি, তবে আমরা দুটি বিচ্ছিন্ন সেট পাই যার মিলন সমস্ত পয়েন্ট কিন্তু মূল। এখন আমরা কিছু চিত্র নিই যেমন একক বর্গ বা একক ডিস্ক। তারপরে আমরা এর ভিতরে সম্পূর্ণরূপে আরেকটি চিত্র বেছে নিই, যেমন একটি ছোট বর্গক্ষেত্র, যা উৎপত্তিস্থলকে কেন্দ্র করে। আমরা বড় আকৃতিকে ছোট আকৃতির বেশ কয়েকটি অনুলিপি দিয়ে ঢেকে রাখতে পারি, যদিও কিছু পয়েন্ট দুই বা ততোধিক অনুলিপি দ্বারা আচ্ছাদিত। তারপরে আমরা বড় চিত্রের প্রতিটি বিন্দু ছোট চিত্রের একটি অনুলিপিতে নির্ধারণ করতে পারি। আসুন আমরা প্রতিটি অনুলিপির সাথে সম্পর্কিত সেটগুলিকে কল করি। আমরা এখন শুধুমাত্র এলাকা-সংরক্ষণকারী রূপান্তরগুলি ব্যবহার করে বড় আকৃতির প্রতিটি বিন্দুর অভ্যন্তরের একটি বিন্দুতে এক-থেকে-এক ম্যাপিং করব। আমরা সংশ্লিষ্ট পয়েন্টগুলি গ্রহণ করি এবং সেগুলি অনুবাদ করি যাতে বর্গক্ষেত্রের কেন্দ্রটি উৎপত্তিস্থলে থাকে। তারপরে আমরা এর মধ্যে সেই পয়েন্টগুলি নিই যা উপরে সংজ্ঞায়িত সেট এ-তে রয়েছে এবং তাদের উপর এলাকা-সংরক্ষণ অপারেশন στ দ্বারা পরিচালিত হয়। এটি তাদের সেট বি-তে রাখে। তারপরে আমরা বি-এর অন্তর্গত পয়েন্টগুলি নিই এবং σ2 দিয়ে তাদের উপর কাজ করি। তারা এখনও বি-তে থাকবে, তবে এই পয়েন্টগুলির সেটটি আগের সেট থেকে বিচ্ছিন্ন হবে। আমরা এই পদ্ধতিতে এগিয়ে যাই, C2 থেকে A বিন্দুতে σ3τ ব্যবহার করে (এটি কেন্দ্রীভূত করার পরে) এবং তার B বিন্দুতে σ4 ব্যবহার করে, ইত্যাদি। এইভাবে, আমরা বড় অঙ্ক থেকে (কিছু নির্দিষ্ট বিন্দু ব্যতীত) সমস্ত বিন্দুকে এক-থেকে-এক পদ্ধতিতে কেন্দ্র থেকে খুব বেশি দূরে এবং বড় অঙ্কের মধ্যে বি টাইপ পয়েন্টগুলিতে ম্যাপ করেছি। এরপর আমরা এ টাইপ পয়েন্টের দ্বিতীয় ম্যাপিং করতে পারি। এই মুহুর্তে আমরা ক্যান্টর-বার্নস্টাইন-শ্রোডার উপপাদ্যের পদ্ধতি প্রয়োগ করতে পারি। এই উপপাদ্যটি আমাদের বলে যে, যদি আমাদের কাছে সেট ডি থেকে ই সেট করার জন্য একটি ইনজেকশন থাকে (যেমন বড় চিত্র থেকে এ টাইপ পয়েন্ট), এবং ই থেকে ডি পর্যন্ত একটি ইনজেকশন থাকে (যেমন এ টাইপ পয়েন্ট থেকে আইডেন্টিটি ম্যাপিং), তাহলে ডি এবং ই-এর মধ্যে এক-থেকে-এক যোগাযোগ থাকে। অন্য কথায়, বড় চিত্র থেকে এ পয়েন্টের একটি উপসেট পর্যন্ত ম্যাপিং থাকলে, আমরা বড় চিত্র থেকে সমস্ত এ পয়েন্ট পর্যন্ত একটি ম্যাপিং (একটি বাইজেকশন) তৈরি করতে পারি। (কিছু অঞ্চলে পয়েন্টগুলি নিজেদের মধ্যে ম্যাপ করা হয়, অন্যগুলিতে পূর্ববর্তী অনুচ্ছেদে বর্ণিত ম্যাপিং ব্যবহার করে ম্যাপ করা হয়।) একইভাবে আমরা বড় চিত্র থেকে সমস্ত বি পয়েন্ট পর্যন্ত একটি ম্যাপিং তৈরি করতে পারি। সুতরাং এটি অন্যভাবে দেখলে, আমরা চিত্রটিকে তার এ এবং বি বিন্দুতে আলাদা করতে পারি এবং তারপরে এগুলির প্রত্যেকটিকে পুরো চিত্রের মধ্যে ম্যাপ করতে পারি (অর্থাৎ, উভয় ধরণের বিন্দু রয়েছে)! এই স্কেচটি কিছু বিষয়ের উপর আলোকপাত করে, যেমন নির্দিষ্ট পয়েন্টগুলি কীভাবে পরিচালনা করতে হয়। দেখা যাচ্ছে যে এর চারপাশে কাজ করার জন্য আরও ম্যাপিং এবং আরও সেট প্রয়োজন। ফলস্বরূপ বর্গক্ষেত্রের বৈপরীত্যটি নিম্নরূপ শক্তিশালী করা যেতে পারেঃ ইউক্লিডীয় সমতলের যে কোনও দুটি আবদ্ধ উপসেট খালি নয় এমন অভ্যন্তরগুলি এলাকা-সংরক্ষণকারী অ্যাফিন মানচিত্রের ক্ষেত্রে সমান সামঞ্জস্যপূর্ণ। পরিমাপের সমস্যা নিয়ে এর প্রভাব রয়েছে। যেমন ভন নিউম্যান উল্লেখ করেছেন, "ইনফোলজেডেসেন গিব্ট এস ইন ডের ইবেন কেইন নিক্টনেগেটিভস অ্যাডিটিভস মাস (ও দাস আইনহেইটসকোয়াড্র্যাট দাস মাস 1 হ্যাট), দাস [সিক] জেনুনবার অ্যালেন অ্যাবিলডুঙ্গেন ভন এ 2 অপরিবর্তনীয় ওয়ারে"। এই অনুসারে, ইতিমধ্যে সমতলে কোনও অ-ঋণাত্মক যোগাত্মক পরিমাপ নেই (যার জন্য একক বর্গের পরিমাপ 1), যা A2 [এলাকা-সংরক্ষণকারী অ্যাফিন রূপান্তরের গোষ্ঠী]-এর অন্তর্গত সমস্ত রূপান্তরের ক্ষেত্রে অপরিবর্তনীয়। এটি আরও একটু ব্যাখ্যা করার জন্য, নির্দিষ্ট রূপান্তরের অধীনে সংরক্ষিত একটি সীমাবদ্ধ যোগাত্মক পরিমাপের অস্তিত্ব আছে কিনা তা নির্ভর করে কোন রূপান্তরগুলির অনুমতি দেওয়া হয় তার উপর। সমতলে সেটগুলির বানাচ পরিমাপ, যা অনুবাদ এবং ঘূর্ণন দ্বারা সংরক্ষিত থাকে, বহুভুজের এলাকা সংরক্ষণ করার পরেও অ-আইসোমেট্রিক রূপান্তর দ্বারা সংরক্ষিত হয় না। উপরে যেমন ব্যাখ্যা করা হয়েছে, সমতলের বিন্দুগুলিকে (উৎস ব্যতীত) দুটি ঘন সেটে ভাগ করা যেতে পারে যাকে আমরা এ এবং বি বলতে পারি। যদি একটি প্রদত্ত বহুভুজের এ বিন্দুগুলি একটি নির্দিষ্ট এলাকা-সংরক্ষণকারী রূপান্তর দ্বারা এবং বি বিন্দুগুলি অন্য দ্বারা রূপান্তরিত হয়, তবে উভয় সেট দুটি নতুন বহুভুজের বি বিন্দুর উপসেট হতে পারে। নতুন বহুভুজগুলির আয়তন পুরনো বহুভুজের সমান, কিন্তু দুটি রূপান্তরিত সেটের পরিমাপ আগের মতো একই হতে পারে না (যেহেতু এগুলিতে শুধুমাত্র বি বিন্দুর অংশ থাকে), এবং তাই এমন কোনও পরিমাপ নেই যা "কাজ করে"। বানাচ-টারস্কি ঘটনা অধ্যয়নের সময় ভন নিউম্যান দ্বারা বিচ্ছিন্ন গোষ্ঠীগুলির শ্রেণী গণিতের অনেক ক্ষেত্রেই অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ বলে প্রমাণিত হয়েছেঃ এগুলি একটি অপরিবর্তনীয় গড় সহ সহজতর গোষ্ঠী বা গোষ্ঠী এবং সমস্ত সীমাবদ্ধ এবং সমস্ত সমাধানযোগ্য গোষ্ঠীকে অন্তর্ভুক্ত করে। সাধারণভাবে বলতে গেলে, সমতুল্যতার সংজ্ঞায় সমতুল্যতার জন্য ব্যবহৃত গোষ্ঠীটি উপযুক্ত না হলে প্যারাডক্সিকাল ডিকম্পোসিশন দেখা দেয়। সাম্প্রতিক অগ্রগতি ভন নিউম্যানের গবেষণাপত্রে রৈখিক গোষ্ঠী এসএল (2, আর) (ওয়াগন, প্রশ্ন 7.4)-এর সাপেক্ষে একক বর্গক্ষেত্রের অভ্যন্তরের একটি বৈপরীত্যমূলক পচন হওয়ার সম্ভাবনা উন্মুক্ত করে দেওয়া হয়েছে। 2000 সালে, মিকলেস ল্যাকজকোভিচ প্রমাণ করেছিলেন যে এই ধরনের পচন বিদ্যমান। আরও সুনির্দিষ্টভাবে বলতে গেলে, ধরা যাক, 'এ' হলো সমতলের সমস্ত আবদ্ধ উপসেটগুলির পরিবার, যার অভ্যন্তর খালি নয় এবং উৎপত্তিস্থল থেকে ধনাত্মক দূরত্ব রয়েছে, এবং 'বি' হল সমস্ত সমতলীয় সেটগুলির পরিবার যা এস. এল (2, আর)-এর কিছু উপাদানের অধীনে সীমাবদ্ধভাবে অনেকগুলির সংমিশ্রণে উৎপত্তির একটি ছিদ্রযুক্ত প্রতিবেশী রয়েছে। তারপর এ পরিবারের সমস্ত সেট এসএল (2, আর)-সমতুল্য, এবং একইভাবে বি-র সেটগুলির জন্য। এটি অনুসরণ করে যে উভয় পরিবারই বৈপরীত্যপূর্ণ সেট নিয়ে গঠিত। আরও দেখুন রেফারেন্স গ্রুপ তত্ত্ব পরিমাপ তত্ত্ব গাণিতিক প্যারাডক্স গাণিতিক ভিত্তির উপপাদ্য