Ice-type model
পরিসংখ্যানগত বলবিজ্ঞানে, বরফ-ধরনের মডেল বা ছয়-ভার্টেক্স মডেল হল হাইড্রোজেন বন্ধনের সাথে স্ফটিক জালের জন্য শীর্ষস্থানীয় মডেলের একটি পরিবার। জল বরফের অবশিষ্ট এনট্রপির জন্য 1935 সালে লিনাস পলিং এই ধরনের প্রথম মডেল চালু করেছিলেন। বৈচিত্রগুলি নির্দিষ্ট ফেরোইলেকট্রিক এবং অ্যান্টিফেরোইলেকট্রিক স্ফটিকের মডেল হিসাবে প্রস্তাব করা হয়েছে। 1967 সালে, এলিয়ট এইচ. লিব "বর্গাকার বরফ" নামে পরিচিত একটি দ্বিমাত্রিক বরফের মডেলের সঠিক সমাধান খুঁজে পান। তিনটি মাত্রার সঠিক সমাধান শুধুমাত্র একটি বিশেষ "হিমায়িত" অবস্থার জন্য পরিচিত। বর্ণনা একটি বরফ-ধরনের মডেল হল 4 নম্বর সমন্বয়ের একটি জালের উপর সংজ্ঞায়িত একটি জালের মডেল। অর্থাৎ, জালের প্রতিটি শীর্ষ একটি প্রান্ত দ্বারা চারটি "নিকটতম প্রতিবেশী" এর সাথে সংযুক্ত। মডেলের একটি অবস্থা জালকের প্রতিটি প্রান্তে একটি তীর নিয়ে গঠিত, যাতে প্রতিটি শীর্ষে ভিতরের দিকে নির্দেশ করা তীরের সংখ্যা 2 হয়। তীরের বিন্যাসের উপর এই সীমাবদ্ধতা বরফের নিয়ম হিসাবে পরিচিত। গ্রাফের তাত্ত্বিক পরিভাষায়, রাজ্যগুলি একটি অন্তর্নিহিত 4-নিয়মিত অনির্দিষ্ট গ্রাফের ইউলারিয়ান অভিমুখীকরণ। পার্টিশন ফাংশনটি কোথাও-শূন্য 3-প্রবাহের সংখ্যাও গণনা করে। দ্বি-মাত্রিক মডেলের জন্য, জালটিকে বর্গাকার জাল হিসাবে নেওয়া হয়। আরও বাস্তবসম্মত মডেলের জন্য, বিবেচনা করা হচ্ছে এমন উপাদানের জন্য উপযুক্ত একটি ত্রিমাত্রিক জাল ব্যবহার করা যেতে পারে; উদাহরণস্বরূপ, বরফ বিশ্লেষণ করতে ষড়ভুজাকার বরফের জাল ব্যবহার করা হয়। যে কোনও শীর্ষে, তীরের ছয়টি বিন্যাস রয়েছে যা বরফের নিয়মকে সন্তুষ্ট করে ("সিক্স-ভার্টেক্স মডেল" নামটির ন্যায্যতা প্রদান করে)। (দ্বি-মাত্রিক) বর্গাকার জালের জন্য বৈধ বিন্যাসগুলি নিম্নরূপঃ একটি অবস্থার শক্তি প্রতিটি শীর্ষে বিন্যাসের একটি ফাংশন হিসাবে বোঝা যায়। বর্গাকার জালের জন্য, কেউ ধরে নেয় যে কিছু ধ্রুবকের জন্য মোট শক্তি দ্বারা দেওয়া হয়, যেখানে এখানে উপরের চিত্র থেকে তম কনফিগারেশন সহ শীর্ষগুলির সংখ্যা বোঝায়। মান হল ভার্টেক্স কনফিগারেশন নম্বরের সঙ্গে যুক্ত শক্তি। একটির লক্ষ্য হল একটি বরফ-ধরনের মডেলের বিভাজন ফাংশন গণনা করা, যা সূত্র দ্বারা দেওয়া হয় যেখানে মডেলের সমস্ত অবস্থার উপর যোগফল নেওয়া হয়, এটি হল অবস্থার শক্তি, বোল্টজম্যান ধ্রুবক এবং সিস্টেমের তাপমাত্রা। সাধারণত, কেউ তাপগতিবিদ্যার সীমার প্রতি আগ্রহী যেখানে শীর্ষগুলির সংখ্যা অনন্তের কাছাকাছি পৌঁছায়। সেক্ষেত্রে, পরিবর্তে একজন সীমার মধ্যে প্রতি শীর্ষে মুক্ত শক্তির মূল্যায়ন করে, যেখানে সমতুল্যভাবে দেওয়া হয়, একজন তাপগতিবিদ্যার সীমার প্রতি শীর্ষে পার্টিশন ফাংশন মূল্যায়ন করে, যেখানে মান এবং শারীরিক ন্যায্যতা দ্বারা সম্পর্কিত হাইড্রোজেন বন্ড সহ বেশ কয়েকটি বাস্তব স্ফটিক বরফ এবং পটাসিয়াম ডাইহাইড্রোজেন ফসফেট (কেডিপি) সহ বরফের মডেলকে সন্তুষ্ট করে। প্রকৃতপক্ষে, এই ধরনের স্ফটিক বরফ-ধরনের মডেলের অধ্যয়নকে অনুপ্রাণিত করেছিল। বরফের মধ্যে, প্রতিটি অক্সিজেন পরমাণু একটি বন্ধন দ্বারা অন্য চারটি অক্সিজেন দ্বারা সংযুক্ত থাকে এবং প্রতিটি বন্ধনে টার্মিনাল অক্সিজেনগুলির মধ্যে একটি করে হাইড্রোজেন পরমাণু থাকে। হাইড্রোজেন প্রতিসমভাবে অবস্থিত দুটি অবস্থানের মধ্যে একটি দখল করে, যার কোনওটিই বন্ধনের মাঝখানে থাকে না। পলিং যুক্তি দিয়েছিলেন যে হাইড্রোজেন পরমাণুর অনুমোদিত বিন্যাসটি এমন যে প্রতিটি অক্সিজেনের কাছাকাছি সর্বদা ঠিক দুটি হাইড্রোজেন থাকে, এইভাবে স্থানীয় পরিবেশকে একটি জলের অণুর অনুকরণ করে। সুতরাং, আমরা যদি অক্সিজেন পরমাণুগুলিকে জালের শীর্ষ হিসাবে এবং হাইড্রোজেন বন্ধনগুলিকে জালের প্রান্ত হিসাবে গ্রহণ করি এবং যদি আমরা একটি বন্ধনের উপর একটি তীর আঁকি যা হাইড্রোজেন পরমাণু যে বন্ধনের পাশে বসে তা নির্দেশ করে, তবে বরফ বরফ মডেলকে সন্তুষ্ট করে। কে. ডি. পি বরফ মডেলকেও সন্তুষ্ট করে তা দেখানোর জন্য অনুরূপ যুক্তি প্রযোজ্য। সাম্প্রতিক বছরগুলিতে, বরফ-ধরনের মডেলগুলি পাইরোক্লোর ঘূর্ণায়মান বরফ এবং কৃত্রিম ঘূর্ণায়মান বরফ ব্যবস্থার বর্ণনা হিসাবে অন্বেষণ করা হয়েছে, যেখানে দ্বি-চুম্বকীয় মুহুর্তগুলির ("ঘূর্ণন") মধ্যে মিথস্ক্রিয়ায় জ্যামিতিক হতাশা "বরফ-নিয়ম" ঘূর্ণন বিন্যাসকে অনুকূল করে তোলে। সম্প্রতি এই ধরনের সাদৃশ্যগুলি রিস এফ-মডেল দ্বারা স্পিন-আইস সিস্টেমগুলি সঠিকভাবে বর্ণনা করা যেতে পারে এমন পরিস্থিতিগুলি অন্বেষণ করার জন্য প্রসারিত করা হয়েছে। ভার্টেক্স শক্তির নির্দিষ্ট পছন্দ বর্গাকার জালকের উপর, 1 থেকে 6 নং ভার্টেক্স বিন্যাসের সাথে যুক্ত শক্তিগুলি অবস্থার আপেক্ষিক সম্ভাব্যতা নির্ধারণ করে এবং এইভাবে সিস্টেমের ম্যাক্রোস্কোপিক আচরণকে প্রভাবিত করতে পারে। এই ভার্টেক্স শক্তির জন্য নিম্নলিখিত সাধারণ পছন্দগুলি রয়েছে। বরফের মডেলটি যখন বরফের মডেলিং করা হয়, তখন সমস্ত অনুমোদিত ভার্টেক্স কনফিগারেশনগুলি সমানভাবে সম্ভাব্য বলে মনে করা হয়। এই ক্ষেত্রে, পার্টিশন ফাংশন বৈধ অবস্থার মোট সংখ্যার সমান। এই মডেলটি বরফের মডেল হিসাবে পরিচিত (বরফের ধরনের মডেলের বিপরীতে)। একটি ফেরোইলেকট্রিক স্লেটারের কেডিপি মডেল যুক্তি দিয়েছিল যে কেডিপিকে শক্তির সাথে একটি বরফ-ধরনের মডেল দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে এই মডেলের জন্য (কেডিপি মডেল বলা হয়), সম্ভবত সমস্ত অনুভূমিক তীর একই দিকে নির্দেশ করে এবং একইভাবে সমস্ত উল্লম্ব তীরের জন্য। এই ধরনের অবস্থা একটি ফেরোইলেকট্রিক অবস্থা, যেখানে সমস্ত হাইড্রোজেন পরমাণু তাদের বন্ধনের একটি স্থির দিককে পছন্দ করে। একটি অ্যান্টিফেরোইলেক্ট্রিকের রিস এফ মডেল এই মডেলের জন্য সর্বনিম্ন-শক্তির অবস্থা নির্ধারণ করে রিস মডেলটি প্রাপ্ত করা হয় যা ভার্টেক্স কনফিগারেশন 5 এবং 6 দ্বারা প্রভাবিত হয়। এই ধরনের অবস্থার জন্য, সংলগ্ন অনুভূমিক বন্ধনের অবশ্যই বিপরীত দিকে তীর থাকে এবং একইভাবে উল্লম্ব বন্ধনের জন্য, তাই এই অবস্থাটি একটি অ্যান্টিফেরোইলেক্ট্রিক অবস্থা। শূন্য ক্ষেত্রের অনুমান যদি কোনও পরিবেষ্টিত বৈদ্যুতিক ক্ষেত্র না থাকে, তবে একটি চার্জ রিভার্সালের অধীনে একটি অবস্থার মোট শক্তি অপরিবর্তিত থাকা উচিত, অর্থাৎ। সমস্ত তীর উল্টানোর অধীনে। সুতরাং সাধারণতা না হারিয়ে কেউ ধরে নিতে পারে যে এই অনুমানটি শূন্য ক্ষেত্র অনুমান হিসাবে পরিচিত, এবং বরফ মডেল, কেডিপি মডেল এবং রিস এফ মডেলের জন্য প্রযোজ্য। 1935 সালে লিনাস পলিং দ্বারা বরফের অবশিষ্ট এনট্রপির জন্য বরফ নিয়ম চালু করা হয়েছিল যা উইলিয়াম এফ গিয়াউক এবং জে. ডব্লিউ স্টাউট দ্বারা পরিমাপ করা হয়েছিল। বরফের অবশিষ্ট এনট্রপি সূত্র দ্বারা দেওয়া হয় যেখানে বোল্টজম্যান ধ্রুবক হল বরফের টুকরোতে অক্সিজেন পরমাণুর সংখ্যা, যা সর্বদা বড় (তাপগতিবিদ্যার সীমা) বলে মনে করা হয় এবং এটি পলিংয়ের বরফের নিয়ম অনুযায়ী হাইড্রোজেন পরমাণুর বিন্যাসের সংখ্যা। বরফের নিয়ম ছাড়া আমাদের হাইড্রোজেন পরমাণুর সংখ্যা হবে এবং প্রতিটি হাইড্রোজেনের দুটি সম্ভাব্য অবস্থান থাকবে। পলিং অনুমান করেছিলেন যে বরফের নিয়ম এটিকে হ্রাস করে, এমন একটি সংখ্যা যা এর গিয়াউক-স্টাউট পরিমাপের সাথে অত্যন্ত একমত হবে। এটা বলা যেতে পারে যে পলিং-এর বরফের জন্য গণনা এখন পর্যন্ত তৈরি প্রকৃত পদার্থের পরিসংখ্যানগত বলবিজ্ঞানের সবচেয়ে সহজ, তবে সবচেয়ে সঠিক প্রয়োগগুলির মধ্যে একটি। যে প্রশ্নটি রয়ে গিয়েছিল তা হল, মডেলটির পরিপ্রেক্ষিতে, পলিংয়ের গণনা, যা খুব আনুমানিক ছিল, একটি কঠোর গণনার দ্বারা টেকসই হবে কিনা। সংমিশ্রণে এটি একটি গুরুত্বপূর্ণ সমস্যা হয়ে ওঠে। ত্রিমাত্রিক এবং দ্বি-মাত্রিক মডেল উভয়ই 1966 সালে জন এফ নাগল দ্বারা সংখ্যাসূচকভাবে গণনা করা হয়েছিল, যিনি ত্রিমাত্রিক এবং দ্বি-মাত্রায় এটি খুঁজে পেয়েছিলেন। উভয়ই আশ্চর্যজনকভাবে পলিং-এর মোটামুটি 1.5-এর কাছাকাছি। 1967 সালে, লিব তিনটি দ্বিমাত্রিক বরফ-ধরনের মডেলের সঠিক সমাধান খুঁজে পানঃ বরফ মডেল, রিস মডেল এবং কেডিপি মডেল। বরফের মডেলের সমাধানটি দ্বি-মাত্রায় এর সঠিক মান দিয়েছে যা লাইবের বর্গাকার বরফের ধ্রুবক হিসাবে পরিচিত। পরে 1967 সালে, বিল সাদারল্যান্ড লাইবের তিনটি নির্দিষ্ট বরফ-ধরনের মডেলের সমাধানকে বর্গ-জালের বরফ-ধরনের মডেলের জন্য একটি সাধারণ সঠিক সমাধানে সাধারণীকরণ করেন যা শূন্য ক্ষেত্রের অনুমানকে সন্তুষ্ট করে। আরও পরে 1967 সালে, সি. পি. ইয়াং একটি অনুভূমিক বৈদ্যুতিক ক্ষেত্রে বর্গ-জাল বরফ-ধরনের মডেলের জন্য একটি সঠিক সমাধানের জন্য সাদারল্যান্ডের সমাধানকে সাধারণীকরণ করেছিলেন। 1969 সালে জন নাগলে একটি নির্দিষ্ট পরিসরের তাপমাত্রার জন্য কে. ডি. পি মডেলের ত্রিমাত্রিক সংস্করণের সঠিক সমাধান বের করেন। এই ধরনের তাপমাত্রার জন্য, মডেলটি এই অর্থে "হিমায়িত" হয় যে (তাপগতিবিদ্যার সীমাতে) প্রতি শীর্ষে শক্তি এবং প্রতি শীর্ষে এনট্রপি উভয়ই শূন্য। ত্রিমাত্রিক বরফ-ধরনের মডেলের জন্য এটিই একমাত্র সঠিক সমাধান। আট-ভার্টেক্স মডেলের সাথে সম্পর্ক আট-ভার্টেক্স মডেল, যা ঠিক সমাধান করা হয়েছে, (বর্গ-জাল) ছয়-ভার্টেক্স মডেলের একটি সাধারণীকরণঃ আট-ভার্টেক্স মডেল থেকে ছয়-ভার্টেক্স মডেল পুনরুদ্ধার করতে, 7 এবং 8-এর ভার্টেক্স কনফিগারেশনের জন্য শক্তি অসীম নির্ধারণ করুন। ছয়-ভার্টেক্স মডেলগুলি কিছু ক্ষেত্রে সমাধান করা হয়েছে যার জন্য আট-ভার্টেক্স মডেলটি নেই; উদাহরণস্বরূপ, ত্রিমাত্রিক কেডিপি মডেলের জন্য নাগলের সমাধান এবং অনুভূমিক ক্ষেত্রে ছয়-ভার্টেক্স মডেলের ইয়াংয়ের সমাধান। এই বরফের মডেল পরিসংখ্যানগত বলবিজ্ঞানে একটি গুরুত্বপূর্ণ 'পাল্টা উদাহরণ' প্রদান করেঃ তাপগতিবিদ্যার সীমার মধ্যে বাল্ক মুক্ত শক্তি সীমানা অবস্থার উপর নির্ভর করে। পর্যায়ক্রমিক সীমানা পরিস্থিতি, অ্যান্টি-পিরিয়ডিক, ফেরোম্যাগনেটিক এবং ডোমেন প্রাচীর সীমানা অবস্থার জন্য মডেলটি বিশ্লেষণাত্মকভাবে সমাধান করা হয়েছিল। একটি বর্গাকার জালের উপর ক্ষেত্র প্রাচীরের সীমানা শর্ত সহ ছয়টি শীর্ষ মডেলের সংমিশ্রণে নির্দিষ্ট তাৎপর্য রয়েছে, এটি বিকল্প চিহ্ন ম্যাট্রিক্স গণনা করতে সহায়তা করে। এই ক্ষেত্রে পার্টিশন ফাংশনকে একটি ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে (যার মাত্রা জালের আকারের সমান), তবে অন্যান্য ক্ষেত্রে এর গণনা এত সহজ বদ্ধ আকারে আসে না। স্পষ্টতই, বৃহত্তমটি মুক্ত সীমানা শর্ত দ্বারা দেওয়া হয় (সীমানার বিন্যাসে কোনও সীমাবদ্ধতা নেই), তবে পর্যায়ক্রমিক সীমানা অবস্থার জন্য তাপগতিবিদ্যার সীমার ক্ষেত্রেও একই ঘটনা ঘটে, যা মূলত উদ্ভূত করার জন্য ব্যবহৃত হয়। একটি জালকের 3-রঙ একটি বরফের ধরনের মডেলের অভ্যন্তরীণ প্রান্তে একটি জালের বর্গক্ষেত্রের একটি সীমাবদ্ধ সহজভাবে সংযুক্ত মিলনের অবস্থার সংখ্যা বর্গক্ষেত্রের 3-রঙের উপায়ের সংখ্যার এক তৃতীয়াংশের সমান, কোনও দুটি সংলগ্ন বর্গক্ষেত্রের একই রঙ নেই। রাজ্যগুলির মধ্যে এই চিঠিপত্র অ্যান্ড্রু লেনার্ডের কারণে এবং নিম্নরূপ দেওয়া হয়েছে। যদি একটি বর্গক্ষেত্রের রঙ i = 0,1 বা 2 হয়, তবে সংলগ্ন বর্গক্ষেত্রের রঙের উপর নির্ভর করে সংলগ্ন বর্গক্ষেত্রের প্রান্তের তীরটি বাম বা ডান দিকে যায় (বর্গক্ষেত্রের একজন পর্যবেক্ষকের মতে)। একটি নির্দিষ্ট প্রাথমিক বর্গক্ষেত্রকে রঙ করার 3টি সম্ভাব্য উপায় রয়েছে এবং একবার এই প্রাথমিক রঙটি বেছে নেওয়ার পরে এটি রঙ এবং তীরের বিন্যাসের মধ্যে বরফের মতো অবস্থাকে সন্তুষ্ট করার জন্য 1:1 অনুপাত দেয়। আরও দেখুন এইট-ভার্টেক্স মডেল নোটস আরও পড়া ঠিক সমাধানযোগ্য মডেল পরিসংখ্যানগত বলবিজ্ঞান ল্যাটিস মডেল বরফ