Classical mechanics
ধ্রুপদী বলবিজ্ঞান একটি ভৌত তত্ত্ব যা প্রক্ষেপণ থেকে যন্ত্রপাতির অংশ এবং জ্যোতির্বিজ্ঞানের বস্তু যেমন মহাকাশযান, গ্রহ, তারা এবং ছায়াপথের মতো বৃহদাকার বস্তুর গতি বর্ণনা করে। ধ্রুপদী বলবিজ্ঞান দ্বারা পরিচালিত বস্তুর ক্ষেত্রে, বর্তমান অবস্থা জানা থাকলে, ভবিষ্যতে এটি কীভাবে অগ্রসর হবে (নির্ধারণবাদ) এবং অতীতে এটি কীভাবে অগ্রসর হয়েছে (বিপরীতমুখীতা) তা ভবিষ্যদ্বাণী করা সম্ভব। "ধ্রুপদী বলবিজ্ঞান"-এ "ধ্রুপদী" বলতে ধ্রুপদী প্রাচীনতাকে বোঝায় না, যেমনটি বলা যায়, ধ্রুপদী স্থাপত্য। অন্যদিকে, ধ্রুপদী বলবিজ্ঞানের বিকাশে পদার্থবিজ্ঞানের পদ্ধতি ও দর্শনে উল্লেখযোগ্য পরিবর্তন ঘটে। পরিবর্তে, যোগ্যতা অর্জনকারী 20 শতকের গোড়ার দিকের বিপ্লবের পরে বিকশিত পদার্থবিজ্ঞান থেকে শাস্ত্রীয় বলবিজ্ঞানকে আলাদা করে, যা শাস্ত্রীয় বলবিজ্ঞানের সীমাবদ্ধতা প্রকাশ করে। ধ্রুপদী বলবিজ্ঞানের প্রাচীনতম গঠনকে প্রায়শই নিউটনীয় বলবিজ্ঞান হিসাবে উল্লেখ করা হয়। এটি স্যার আইজাক নিউটনের মৌলিক কাজের উপর ভিত্তি করে ভৌত ধারণাগুলি এবং 17 শতকে গটফ্রিড উইলহেলম লাইবনিজ, জোসেফ-লুই ল্যাগ্রাঞ্জ, লিওনহার্ড ইউলার এবং অন্যান্য সমসাময়িকদের দ্বারা উদ্ভাবিত গাণিতিক পদ্ধতিগুলি নিয়ে গঠিত। পরে, আরও বিমূর্ত পদ্ধতি তৈরি করা হয়, যা ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান মেকানিক্স এবং হ্যামিল্টনিয়ান মেকানিক্স নামে পরিচিত শাস্ত্রীয় বলবিজ্ঞানের সংস্কারের দিকে পরিচালিত করে। প্রধানত অষ্টাদশ ও ঊনবিংশ শতাব্দীতে এই অগ্রগতিগুলি, বিশেষত তাদের বিশ্লেষণাত্মক যান্ত্রিকতার ব্যবহারের মাধ্যমে, পূর্ববর্তী কাজগুলির বাইরেও যথেষ্ট পরিমাণে প্রসারিত হয়েছে। কিছু পরিবর্তন সহ এগুলি আধুনিক পদার্থবিজ্ঞানের সমস্ত ক্ষেত্রেও ব্যবহৃত হয়। ধ্রুপদী বলবিজ্ঞান এমন বড় বস্তুগুলি অধ্যয়ন করার সময় সঠিক ফলাফল প্রদান করে যা অত্যন্ত বিশাল নয় এবং আলোর গতির কাছাকাছি গতি করে না। যখন পরীক্ষা করা বস্তুগুলি একটি পরমাণু ব্যাসের আকারের হয়, তখন যান্ত্রিকতার অন্যান্য প্রধান উপ-ক্ষেত্রঃ কোয়ান্টাম মেকানিক্স প্রবর্তন করা প্রয়োজন হয়ে পড়ে। আলোর গতির তুলনায় যে বেগগুলি ছোট নয় সেগুলি বর্ণনা করার জন্য বিশেষ আপেক্ষিকতার প্রয়োজন। যে ক্ষেত্রে বস্তুগুলি অত্যন্ত বিশাল হয়ে যায়, সাধারণ আপেক্ষিকতা প্রযোজ্য হয়। যাইহোক, বেশ কয়েকটি আধুনিক উৎসের মধ্যে শাস্ত্রীয় পদার্থবিজ্ঞানে আপেক্ষিক বলবিজ্ঞান অন্তর্ভুক্ত রয়েছে, যা তাদের দৃষ্টিতে শাস্ত্রীয় বলবিজ্ঞানকে তার সবচেয়ে উন্নত এবং সঠিক আকারে উপস্থাপন করে। তত্ত্বের বিবরণ নিম্নলিখিত ধারণাগুলি ধ্রুপদী বলবিজ্ঞানের মৌলিক ধারণাগুলির পরিচয় দেয়। সরলতার জন্য, এটি প্রায়শই বাস্তব-বিশ্বের বস্তুগুলিকে বিন্দু কণা (নগণ্য আকারের বস্তু) হিসাবে মডেল করে। একটি বিন্দু কণার গতি অল্প সংখ্যক পরামিতি দ্বারা নির্ধারিত হয়ঃ তার অবস্থান, ভর এবং তার উপর প্রয়োগ করা বল। বাস্তবে, শাস্ত্রীয় যান্ত্রিকরা যে ধরনের বস্তু বর্ণনা করতে পারে তার আকার সর্বদা শূন্য নয়। (ইলেক্ট্রনের মতো খুব ছোট কণাগুলির আচরণ কোয়ান্টাম মেকানিক্স দ্বারা আরও সঠিকভাবে বর্ণনা করা হয়েছে।) অ-শূন্য আকারের বস্তুগুলির কাল্পনিক বিন্দু কণাগুলির তুলনায় আরও জটিল আচরণ থাকে, কারণ অতিরিক্ত মাত্রার স্বাধীনতার কারণে, যেমন, একটি বেসবল চলার সময় ঘুরতে পারে। যাইহোক, বিন্দু কণাগুলির ফলাফলগুলি এই ধরনের বস্তুগুলিকে যৌগিক বস্তু হিসাবে বিবেচনা করে অধ্যয়ন করতে ব্যবহার করা যেতে পারে, যা বিপুল সংখ্যক সমষ্টিগতভাবে কার্যকরী বিন্দু কণা দিয়ে তৈরি। একটি যৌগিক বস্তুর ভরের কেন্দ্র বিন্দু কণার মতো আচরণ করে। ধ্রুপদী বলবিজ্ঞান ধরে নেয় যে পদার্থ এবং শক্তির নির্দিষ্ট, জ্ঞাত বৈশিষ্ট্য রয়েছে যেমন স্থান এবং গতিতে অবস্থান। অ-আপেক্ষিক বলবিজ্ঞানও ধরে নেয় যে বলগুলি তাৎক্ষণিকভাবে কাজ করে (দূরত্বে ক্রিয়াও দেখুন)। অবস্থান এবং তার ব্যুৎপত্তি একটি বিন্দু কণার অবস্থানকে স্থানের একটি স্বেচ্ছাচারী স্থির রেফারেন্স বিন্দুর উপর কেন্দ্রীভূত একটি স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার সাথে সম্পর্কিতভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় যাকে মূল O বলা হয়। একটি সাধারণ স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা একটি ভেক্টর সহ একটি কণা পি-এর অবস্থান বর্ণনা করতে পারে যা r লেবেলযুক্ত একটি তীর দ্বারা চিহ্নিত করা হয় যা মূল ও থেকে পয়েন্ট পি পর্যন্ত নির্দেশ করে। সাধারণভাবে, বিন্দু কণাটি ও-এর আপেক্ষিকভাবে স্থির হওয়ার প্রয়োজন হয় না। যে ক্ষেত্রে পি ও-এর আপেক্ষিকভাবে চলছে, সেখানে r-কে টি, সময়ের একটি ফাংশন হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। প্রাক-আইনস্টাইন আপেক্ষিকতায় (গ্যালিলিয়ান আপেক্ষিকতা নামে পরিচিত), সময়কে একটি পরম হিসাবে বিবেচনা করা হয়, অর্থাৎ, যে কোনও জোড়া ঘটনার মধ্যে যে সময়ের ব্যবধান দেখা যায় তা সমস্ত পর্যবেক্ষকের জন্য একই। পরম সময়ের উপর নির্ভর করার পাশাপাশি, ধ্রুপদী বলবিজ্ঞান স্থানের কাঠামোর জন্য ইউক্লিডীয় জ্যামিতি অনুমান করে। বেগ এবং গতি বেগ, বা সময়ের সাথে স্থানচ্যুতির পরিবর্তনের হার, সময়ের সাপেক্ষে অবস্থানের অন্তরজ হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়ঃ ধ্রুপদী বলবিজ্ঞানে, বেগ সরাসরি যোগাত্মক এবং বিয়োগাত্মক। উদাহরণস্বরূপ, যদি একটি গাড়ি 60 কিমি/ঘণ্টা গতিতে পূর্ব দিকে যাত্রা করে এবং একই দিকে 50 কিমি/ঘণ্টা গতিতে চলা অন্য একটি গাড়িকে অতিক্রম করে, তবে ধীরগতির গাড়িটি পূর্ব দিকে যাত্রা করছে বলে মনে করে। যাইহোক, দ্রুতগতির গাড়ির দৃষ্টিকোণ থেকে, ধীরগতির গাড়িটি 10 কিমি/ঘণ্টা পশ্চিমে চলেছে, প্রায়শই-10 কিমি/ঘণ্টা হিসাবে চিহ্নিত করা হয় যেখানে চিহ্নটি বিপরীত দিক নির্দেশ করে। বেগগুলি ভেক্টর পরিমাণ হিসাবে সরাসরি যোগাত্মক; সেগুলি অবশ্যই ভেক্টর বিশ্লেষণ ব্যবহার করে মোকাবিলা করতে হবে। গাণিতিকভাবে, যদি পূর্ববর্তী আলোচনায় প্রথম বস্তুর বেগ ভেক্টর দ্বারা এবং দ্বিতীয় বস্তুর বেগ ভেক্টর দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, যেখানে u হল প্রথম বস্তুর গতি, v হল দ্বিতীয় বস্তুর গতি, এবং d ও e যথাক্রমে প্রতিটি বস্তুর গতির দিকে একক ভেক্টর, তাহলে দ্বিতীয় বস্তুর দ্বারা দেখা প্রথম বস্তুর বেগ হবেঃ একইভাবে, প্রথম বস্তুটি দ্বিতীয় বস্তুর বেগকে এইভাবে দেখেঃ যখন উভয় বস্তু একই দিকে এগোচ্ছে, তখন এই সমীকরণটিকে সরল করা যেতে পারেঃ অথবা, দিক উপেক্ষা করে, পার্থক্যটি কেবল গতির পরিপ্রেক্ষিতে দেওয়া যেতে পারেঃ ত্বরণ ত্বরণ বা বেগ পরিবর্তনের হার, সময়ের সাপেক্ষে বেগের অন্তরজ (দ্বিতীয়টি)। বেগ মাত্রা, দিক বা উভয় ক্ষেত্রেই পরিবর্তিত হতে পারে। কখনও কখনও, বেগ "ভি"-এর মাত্রায় হ্রাসকে হ্রাস হিসাবে উল্লেখ করা হয়, তবে সাধারণত সময়ের সাথে বেগের যে কোনও পরিবর্তন, হ্রাস সহ, ত্বরণ হিসাবে উল্লেখ করা হয়। কোনও কণার অবস্থান, বেগ এবং ত্বরণ যে কোনও গতির অবস্থায় যে কোনও পর্যবেক্ষকের সাপেক্ষে বর্ণনা করা যেতে পারে, শাস্ত্রীয় বলবিজ্ঞান রেফারেন্স ফ্রেমগুলির একটি বিশেষ পরিবারের অস্তিত্ব ধরে নেয় যেখানে প্রকৃতির যান্ত্রিক নিয়মগুলি তুলনামূলকভাবে সহজ রূপ নেয়। এই বিশেষ রেফারেন্স ফ্রেমগুলিকে জড় ফ্রেম বলা হয়। একটি ইনার্শিয়াল ফ্রেম হল একটি আদর্শ রেফারেন্স ফ্রেম যার মধ্যে শূন্য নেট বল সহ একটি বস্তু একটি ধ্রুবক বেগের সাথে চলাচল করে; অর্থাৎ, এটি হয় বিশ্রামে থাকে বা একটি সরলরেখায় সমানভাবে চলাচল করে। একটি জড় ফ্রেমে নিউটনের গতির সূত্র,, বৈধ। নন-ইনার্শিয়াল রেফারেন্স ফ্রেমগুলি অন্য ইনার্শিয়াল ফ্রেমের সাথে সম্পর্কিত। একটি জড় কাঠামোর সাপেক্ষে ঘূর্ণায়মান একটি বস্তু একটি জড় কাঠামো নয়। একটি জড় ফ্রেম থেকে দেখলে, অ-জড় ফ্রেমের কণাগুলি রেফারেন্স ফ্রেমে বিদ্যমান ক্ষেত্রগুলির বল দ্বারা ব্যাখ্যা করা হয়নি এমন উপায়ে চলাচল করে বলে মনে হয়। সুতরাং, এটি প্রতীয়মান হয় যে অন্যান্য শক্তি রয়েছে যা কেবল আপেক্ষিক ত্বরণের ফলস্বরূপ গতির সমীকরণে প্রবেশ করে। এই শক্তিগুলিকে কাল্পনিক শক্তি, জড়তা শক্তি বা ছদ্ম-শক্তি হিসাবে উল্লেখ করা হয়। দুটি রেফারেন্স ফ্রেম এস এবং এস বিবেচনা করুন। প্রতিটি রেফারেন্স ফ্রেমে পর্যবেক্ষকদের জন্য একটি ইভেন্টের স্থান-সময় স্থানাঙ্ক রয়েছে (x, y, z, t) ফ্রেম S-এ এবং (x ', y', z ', t') ফ্রেম S '-এ। ধরে নেওয়া যাক যে সময়কে সমস্ত রেফারেন্স ফ্রেমে একই পরিমাপ করা হয়, যদি আমাদের প্রয়োজন হয়, তবে রেফারেন্স ফ্রেম S 'এবং S থেকে পর্যবেক্ষণ করা একই ঘটনার স্থান-সময়ের স্থানাঙ্কের মধ্যে সম্পর্ক, যা x দিকে আপেক্ষিক বেগ u এ চলছে, তা হলঃ সূত্রগুলির এই সেটটি গ্যালিলিয়ান রূপান্তর (অনানুষ্ঠানিকভাবে, গ্যালিলিয়ান রূপান্তর) নামে পরিচিত একটি গ্রুপ রূপান্তরকে সংজ্ঞায়িত করে। এই গ্রুপটি বিশেষ আপেক্ষিকতায় ব্যবহৃত পয়েনকারে গ্রুপের একটি সীমাবদ্ধ কেস। সীমার ক্ষেত্রে প্রযোজ্য হয় যখন আলোর গতিবেগ সি-এর তুলনায় গতিবেগ ইউ খুব কম হয়। রূপান্তরগুলির নিম্নলিখিত পরিণতি রয়েছেঃ v′ = v−u (S′ দৃষ্টিকোণ থেকে একটি কণার বেগ v′, S এর দৃষ্টিকোণ থেকে তার বেগ v এর তুলনায় u দ্বারা ধীর হয়) a′ = a (কোনও কণার ত্বরণ যে কোনও জড় রেফারেন্স ফ্রেমে একই হয়) F′ = F (কোনও কণার উপর বল কোনও জড় রেফারেন্স ফ্রেমে একই হয়) ধ্রুপদী বলবিজ্ঞানে আলোর গতিবেগ ধ্রুবক নয়, এবং আপেক্ষিক বলবিজ্ঞানে আলোর গতিকে দেওয়া বিশেষ অবস্থানেরও শাস্ত্রীয় বলবিজ্ঞানে কোনও প্রতিরূপ নেই। কিছু সমস্যার জন্য, ঘূর্ণায়মান স্থানাঙ্ক (রেফারেন্স ফ্রেম) ব্যবহার করা সুবিধাজনক। এর মাধ্যমে কেউ একটি সুবিধাজনক জড় ফ্রেমে একটি ম্যাপিং রাখতে পারে, অথবা অতিরিক্তভাবে একটি কাল্পনিক কেন্দ্রাতিগ বল এবং কোরিওলিস বল প্রবর্তন করতে পারে। বল এবং নিউটনের দ্বিতীয় সূত্র পদার্থবিজ্ঞানে বল হল এমন কোনও ক্রিয়া যা কোনও বস্তুর বেগকে পরিবর্তন করে; অর্থাৎ ত্বরান্বিত করে। একটি বল একটি ক্ষেত্রের মধ্যে থেকে উৎপন্ন হয়, যেমন একটি তড়িৎ-স্থিতিশীল ক্ষেত্র (স্থির বৈদ্যুতিক চার্জ দ্বারা সৃষ্ট), তড়িৎ-চৌম্বক ক্ষেত্র (চলমান চার্জ দ্বারা সৃষ্ট), বা মহাকর্ষীয় ক্ষেত্র (ভর দ্বারা সৃষ্ট), অন্যদের মধ্যে। নিউটনই প্রথম গাণিতিকভাবে বল এবং ভরবেগের মধ্যে সম্পর্ক প্রকাশ করেন। কিছু পদার্থবিজ্ঞানী নিউটনের গতির দ্বিতীয় সূত্রকে বল ও ভরের সংজ্ঞা হিসাবে ব্যাখ্যা করেন, আবার অন্যরা এটিকে একটি মৌলিক স্বীকার্য, প্রকৃতির নিয়ম হিসাবে বিবেচনা করেন। উভয় ব্যাখ্যারই একই গাণিতিক পরিণতি রয়েছে, যা ঐতিহাসিকভাবে "নিউটনের দ্বিতীয় সূত্র" নামে পরিচিতঃ mv পরিমাণকে (ক্যানোনিকাল) ভরবেগ বলা হয়। সুতরাং একটি কণার উপর মোট বল সময়ের সাথে কণার ভরবেগের পরিবর্তনের হারের সমান। যেহেতু ত্বরণের সংজ্ঞাটি হল, দ্বিতীয় সূত্রটি সরলীকৃত এবং আরও পরিচিত আকারে লেখা যেতে পারেঃ যতক্ষণ পর্যন্ত একটি কণার উপর কার্যকরী বল জানা যায়, নিউটনের দ্বিতীয় সূত্রটি একটি কণার গতি বর্ণনা করার জন্য যথেষ্ট। একটি কণার উপর কাজ করা প্রতিটি বলের জন্য স্বাধীন সম্পর্ক পাওয়া গেলে, একটি সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ পাওয়ার জন্য সেগুলিকে নিউটনের দ্বিতীয় নিয়মে প্রতিস্থাপন করা যেতে পারে, যাকে গতির সমীকরণ বলা হয়। উদাহরণস্বরূপ, ধরে নিন যে ঘর্ষণ হল কণার উপর কাজ করা একমাত্র বল, এবং এটি কণার বেগের একটি ফাংশন হিসাবে মডেল করা যেতে পারে, উদাহরণস্বরূপঃ যেখানে λ একটি ধনাত্মক ধ্রুবক, ঋণাত্মক চিহ্ন বলে যে বলটি বেগের অর্থের বিপরীত। তারপর গতির সমীকরণ হল এটি পেতে সংহত করা যেতে পারে যেখানে v0 হল প্রাথমিক বেগ। এর অর্থ হল সময়ের সাথে সাথে এই কণার বেগ সূচকীয়ভাবে শূন্যে হ্রাস পায়। এই ক্ষেত্রে, একটি সমতুল্য দৃষ্টিভঙ্গি হল যে কণার গতিশক্তি ঘর্ষণ দ্বারা শোষিত হয় (যা শক্তির সংরক্ষণের সাথে সামঞ্জস্য রেখে এটিকে তাপ শক্তিতে রূপান্তরিত করে), এবং কণাটি ধীর হয়ে যাচ্ছে। সময়ের একটি ফাংশন হিসাবে কণার অবস্থান r পেতে এই অভিব্যক্তিটি আরও সংহত করা যেতে পারে। গুরুত্বপূর্ণ বলের মধ্যে রয়েছে মহাকর্ষীয় বল এবং তড়িৎচুম্বকীয়তার জন্য লরেঞ্জ বল। উপরন্তু, নিউটনের তৃতীয় সূত্রটি কখনও কখনও একটি কণার উপর কার্যকরী বল নির্ধারণ করতে ব্যবহার করা যেতে পারেঃ যদি এটি জানা যায় যে কণা A অন্য কণা B-এর উপর একটি বল F প্রয়োগ করে, তবে এটি অনুসরণ করে যে B-কে অবশ্যই একটি সমান এবং বিপরীত প্রতিক্রিয়া বল প্রয়োগ করতে হবে, −F, A-এর উপর। নিউটনের তৃতীয় সূত্রের শক্তিশালী রূপের জন্য প্রয়োজন যে এফ এবং-এফ এ এবং বি-কে সংযুক্তকারী রেখা বরাবর কাজ করে, যেখানে দুর্বল রূপটি তা করে না। নিউটনের তৃতীয় সূত্রের দুর্বল রূপের দৃষ্টান্ত প্রায়শই চৌম্বক শক্তির জন্য পাওয়া যায়। কাজ এবং শক্তি যদি একটি ধ্রুবক বল F একটি কণার উপর প্রয়োগ করা হয় যা একটি স্থানচ্যুতি ঘটায়, তবে বল দ্বারা করা কাজটিকে বল এবং স্থানচ্যুতি ভেক্টরের স্কেলার প্রোডাক্ট হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়ঃ আরও সাধারণভাবে, যদি কণাটি একটি পথ C বরাবর r1 থেকে r2 এ যাওয়ার সাথে সাথে অবস্থানের ফাংশন হিসাবে পরিবর্তিত হয়, তবে কণার উপর করা কাজটি লাইন ইন্টিগ্রাল দ্বারা দেওয়া হয় যদি কণাটিকে r1 থেকে r2 এ নিয়ে যাওয়ার ক্ষেত্রে করা কাজটি একই হয় তবে যে পথই নেওয়া হোক না কেন, বলটিকে রক্ষণশীল বলা হয়। মহাকর্ষ একটি রক্ষণশীল শক্তি, যেমন হুকের সূত্র দ্বারা প্রদত্ত একটি আদর্শ বসন্তের কারণে বল। ঘর্ষণের কারণে সৃষ্ট বল রক্ষণশীল নয়। অনেক কণার সমন্বয়ে গঠিত বর্ধিত বস্তুর জন্য, যৌগিক বস্তুর গতিশক্তি হল কণাগুলির গতিশক্তির সমষ্টি। কর্ম-শক্তি উপপাদ্যটি বলে যে, স্থির ভর m-এর একটি কণার জন্য, r1 থেকে r2 অবস্থানে যাওয়ার সময় কণার উপর করা মোট কাজ W, কণার গতিশক্তির পরিবর্তনের সমানঃ রক্ষণশীল শক্তিকে একটি স্কেলার ফাংশনের গ্রেডিয়েন্ট হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে, যা সম্ভাব্য শক্তি নামে পরিচিত এবং ই. পি. হিসাবে চিহ্নিত করা যেতে পারেঃ যদি একটি কণার উপর কাজ করা সমস্ত শক্তি রক্ষণশীল হয়, এবং ই. পি হল মোট সম্ভাব্য শক্তি (যা বস্তুর পারস্পরিক অবস্থান পুনর্বিন্যাস করার জন্য জড়িত শক্তির কাজ হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়), যা প্রতিটি বলের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ সম্ভাব্য শক্তির যোগফল দ্বারা প্রাপ্ত হয়। এটি প্রায়শই কার্যকর, কারণ অনেক সাধারণভাবে সম্মুখীন হওয়া শক্তি রক্ষণশীল। নিউটনের নিয়মের বাইরে ধ্রুপদী বলবিজ্ঞান বর্ধিত অ-বিন্দুর মতো বস্তুর আরও জটিল গতি বর্ণনা করে। অয়লারের সূত্রগুলি এই ক্ষেত্রে নিউটনের সূত্রগুলির সম্প্রসারণ প্রদান করে। কৌণিক ভরবেগের ধারণাগুলি এক-মাত্রিক গতি বর্ণনা করতে ব্যবহৃত একই ক্যালকুলাসের উপর নির্ভর করে। রকেট সমীকরণটি কোনও বস্তুর ভর হারানোর প্রভাবগুলিকে অন্তর্ভুক্ত করার জন্য কোনও বস্তুর ভরবেগের পরিবর্তনের হারের ধারণাকে প্রসারিত করে। (এই সাধারণীকরণ/সম্প্রসারণগুলি নিউটনের সূত্র থেকে উদ্ভূত হয়েছে, ধরুন, একটি কঠিন বস্তুকে বিন্দুর সংগ্রহে বিভক্ত করে।) শাস্ত্রীয় বলবিজ্ঞানের দুটি গুরুত্বপূর্ণ বিকল্প সূত্র রয়েছেঃ ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান বলবিজ্ঞান এবং হ্যামিল্টনিয়ান বলবিজ্ঞান। এগুলি এবং অন্যান্য আধুনিক সূত্রগুলি সাধারণত "বল" ধারণাকে বাইপাস করে, পরিবর্তে সাধারণ স্থানাঙ্কে যান্ত্রিক ব্যবস্থাগুলি বর্ণনা করার জন্য শক্তি, গতি এবং ভরবেগের মতো অন্যান্য ভৌত পরিমাণকে উল্লেখ করে। এগুলি মূলত নিউটনের সূত্রগুলির গাণিতিক পুনর্লিখন, তবে জটিল যান্ত্রিক সমস্যাগুলি এই রূপগুলিতে সমাধান করা অনেক সহজ। এছাড়াও, কোয়ান্টাম মেকানিক্সের সাথে সাদৃশ্য হ্যামিল্টনিয়ান ফর্মালিজমে আরও স্পষ্ট। ভরবেগ এবং গতিশক্তির জন্য উপরে দেওয়া অভিব্যক্তিগুলি কেবল তখনই বৈধ হয় যখন কোনও উল্লেখযোগ্য বৈদ্যুতিন চৌম্বকীয় অবদান থাকে না। তড়িৎচুম্বকীয়তায়, তড়িৎ-বহনকারী তারের জন্য নিউটনের দ্বিতীয় সূত্রটি ভেঙে যায় যদি না একটি সিস্টেমের গতিতে তড়িৎচুম্বকীয় ক্ষেত্রের অবদান অন্তর্ভুক্ত করে যা পয়েন্টিং ভেক্টর দ্বারা c2 দ্বারা বিভক্ত করা হয়, যেখানে c হল মুক্ত স্থানে আলোর গতিবেগ। বৈধতার সীমাবদ্ধতা শাস্ত্রীয় বলবিজ্ঞানের অনেক শাখা হল আরও সঠিক রূপের সরলীকরণ বা আনুমানিককরণ; সবচেয়ে সঠিক দুটি হল সাধারণ আপেক্ষিকতা এবং আপেক্ষিক পরিসংখ্যানগত বলবিজ্ঞান। জ্যামিতিক আলোকবিজ্ঞান আলোর কোয়ান্টাম তত্ত্বের একটি আনুমানিক, এবং এর কোনও উচ্চতর "ধ্রুপদী" রূপ নেই। যখন কোয়ান্টাম বলবিজ্ঞান এবং শাস্ত্রীয় বলবিজ্ঞান উভয়ই প্রয়োগ করতে পারে না, যেমন কোয়ান্টাম স্তরে অনেক ডিগ্রি অফ ফ্রিডম সহ, কোয়ান্টাম ক্ষেত্র তত্ত্ব (কিউএফটি) ব্যবহারযোগ্য। কিউ. এফ. টি ছোট দূরত্ব, এবং অনেক মাত্রার স্বাধীনতার সাথে বড় গতির পাশাপাশি মিথস্ক্রিয়া জুড়ে কণাগুলির সংখ্যায় কোনও পরিবর্তনের সম্ভাবনা নিয়ে কাজ করে। ম্যাক্রোস্কোপিক স্তরে বড় মাত্রার স্বাধীনতার চিকিৎসা করার সময়, পরিসংখ্যানগত বলবিজ্ঞান কার্যকর হয়ে ওঠে। পরিসংখ্যানগত বলবিজ্ঞান বৃহদাকার স্তরে বড় (কিন্তু গণনাযোগ্য) সংখ্যক কণার আচরণ এবং সামগ্রিকভাবে তাদের মিথস্ক্রিয়া বর্ণনা করে। ধ্রুপদী তাপগতিবিদ্যার অনুমানের সীমার বাইরে থাকা সিস্টেমগুলির জন্য প্রধানত তাপগতিবিদ্যায় পরিসংখ্যানগত বলবিজ্ঞান ব্যবহার করা হয়। আলোর গতির কাছাকাছি আসা উচ্চ বেগযুক্ত বস্তুর ক্ষেত্রে, শাস্ত্রীয় বলবিজ্ঞান বিশেষ আপেক্ষিকতা দ্বারা বর্ধিত হয়। যদি বস্তুগুলি অত্যন্ত ভারী হয়ে যায় (অর্থাৎ, তাদের শোয়ার্জসচাইল্ড ব্যাসার্ধ একটি প্রদত্ত প্রয়োগের জন্য নগণ্যভাবে ছোট নয়), নিউটনীয় বলবিজ্ঞান থেকে বিচ্যুতি স্পষ্ট হয়ে ওঠে এবং নিউটন-পরবর্তী আনুষ্ঠানিকতা ব্যবহার করে পরিমাপ করা যেতে পারে। সেক্ষেত্রে সাধারণ আপেক্ষিকতা (জিআর) প্রযোজ্য হয়। যাইহোক, এখন পর্যন্ত জিআর এবং কিউএফটি-কে একত্রিত করে কোয়ান্টাম মাধ্যাকর্ষণের কোনও তত্ত্ব নেই যে বস্তুগুলি অত্যন্ত ছোট এবং ভারী হয়ে গেলে এটি ব্যবহার করা যেতে পারে। [4] [5] বিশেষ আপেক্ষিকতার প্রতি নিউটনীয় অনুমান বিশেষ আপেক্ষিকতায়, একটি কণার ভরবেগ দেওয়া হয় যেখানে m হল কণার বিশ্রাম ভর, v হল তার বেগ, v হল v এর মডুলাস এবং c হল আলোর গতিবেগ। যদি c এর তুলনায় v খুব ছোট হয়, তবে v2/c2 প্রায় শূন্য, এবং তাই নিউটনীয় সমীকরণটি আলোর গতির তুলনায় কম গতিতে চলা বস্তুর আপেক্ষিক সমীকরণের একটি আনুমানিক মান। উদাহরণস্বরূপ, একটি সাইক্লোট্রন, জাইরোট্রন বা উচ্চ ভোল্টেজ ম্যাগনেট্রনের আপেক্ষিক সাইক্লোট্রন ফ্রিকোয়েন্সি দেওয়া হয় যেখানে fc হল একটি চুম্বকীয় ক্ষেত্রে ঘূর্ণায়মান গতিশক্তি T এবং (বিশ্রাম) ভর m0 সহ একটি ইলেক্ট্রনের (বা অন্যান্য চার্জযুক্ত কণা) শাস্ত্রীয় ফ্রিকোয়েন্সি। একটি ইলেক্ট্রনের (অবশিষ্ট) ভর হল 511 কেভি। সুতরাং 5.11 কেভি ডাইরেক্ট কারেন্ট অ্যাক্সিলারেটিং ভোল্টেজ সহ একটি চৌম্বকীয় ভ্যাকুয়াম টিউবের জন্য ফ্রিকোয়েন্সি সংশোধন 1 শতাংশ। কোয়ান্টাম বলবিজ্ঞানের ধ্রুপদী অনুমান ধ্রুপদী বলবিজ্ঞানের রশ্মির অনুমান ভেঙে যায় যখন ডি ব্রগলি তরঙ্গদৈর্ঘ্য সিস্টেমের অন্যান্য মাত্রার তুলনায় খুব কম হয় না। অ-আপেক্ষিক কণাগুলির জন্য, এই তরঙ্গদৈর্ঘ্য হল যেখানে h হল প্ল্যাঙ্কের ধ্রুবক এবং p হল ভরবেগ। আবার, এটি ভারী কণাগুলির সাথে হওয়ার আগে ইলেকট্রনের সাথে ঘটে। উদাহরণস্বরূপ, 1927 সালে ক্লিনটন ডেভিসন এবং লেস্টার জার্মার দ্বারা ব্যবহৃত ইলেকট্রনগুলি 54 ভি দ্বারা ত্বরান্বিত হয়েছিল, যার তরঙ্গদৈর্ঘ্য ছিল 0.167 এনএম, যা 0.215 এনএম এর পারমাণবিক ব্যবধান সহ নিকেল স্ফটিকের মুখ থেকে প্রতিফলিত হওয়ার সময় একক বিচ্ছুরণ পার্শ্ব লোব প্রদর্শন করার জন্য যথেষ্ট দীর্ঘ ছিল। একটি বৃহত্তর ভ্যাকুয়াম চেম্বারের সাথে, কৌণিক রেজোলিউশনকে রেডিয়ানের চারপাশে থেকে মিলিরাডিয়ানে বৃদ্ধি করা এবং ইন্টিগ্রেটেড সার্কিট কম্পিউটার মেমরির পর্যায়ক্রমিক নিদর্শন থেকে কোয়ান্টাম বিচ্ছুরণ দেখা তুলনামূলকভাবে সহজ বলে মনে হবে। প্রকৌশল স্কেলে শাস্ত্রীয় বলবিজ্ঞানের ব্যর্থতার আরও ব্যবহারিক উদাহরণ হল সুড়ঙ্গ ডায়োডগুলিতে কোয়ান্টাম টানেলিং এবং ইন্টিগ্রেটেড সার্কিটগুলিতে খুব সংকীর্ণ ট্রানজিস্টর গেট দ্বারা পরিবহন। ধ্রুপদী বলবিজ্ঞান জ্যামিতিক আলোকবিজ্ঞানের মতো একই চরম উচ্চ ফ্রিকোয়েন্সি আনুমানিক। এটি প্রায়শই সঠিক কারণ এটি বিশ্রাম ভর সহ কণা এবং বস্তুর বর্ণনা দেয়। এগুলির গতিবেগ বেশি এবং তাই একই গতিশক্তি সহ আলোর মতো ভরহীন কণাগুলির তুলনায় ডি ব্রগলি তরঙ্গদৈর্ঘ্য কম। বস্তুর গতির অধ্যয়ন একটি প্রাচীন বিষয়, যা শাস্ত্রীয় বলবিজ্ঞানকে বিজ্ঞান, প্রকৌশল এবং প্রযুক্তির প্রাচীনতম এবং বৃহত্তম বিষয়গুলির মধ্যে একটি করে তুলেছে। প্রাচীনকালের কিছু গ্রীক দার্শনিক, তাদের মধ্যে অ্যারিস্টটল, অ্যারিস্টটলিয়ান পদার্থবিজ্ঞানের প্রতিষ্ঠাতা, সম্ভবত প্রথম এই ধারণাটি বজায় রেখেছিলেন যে "সবকিছু একটি কারণে ঘটে" এবং তাত্ত্বিক নীতিগুলি প্রকৃতি বোঝার ক্ষেত্রে সহায়তা করতে পারে। যদিও একজন আধুনিক পাঠকের কাছে, এই সংরক্ষিত ধারণাগুলির মধ্যে অনেকগুলি বিশিষ্টভাবে যুক্তিসঙ্গত হিসাবে প্রকাশিত হয়, তবে গাণিতিক তত্ত্ব এবং নিয়ন্ত্রিত পরীক্ষা উভয়েরই সুস্পষ্ট অভাব রয়েছে, যা আমরা জানি। এগুলি পরে আধুনিক বিজ্ঞান গঠনে নির্ণায়ক কারণ হয়ে ওঠে এবং তাদের প্রাথমিক প্রয়োগ শাস্ত্রীয় বলবিজ্ঞান হিসাবে পরিচিত হয়। মধ্যযুগীয় গণিতবিদ জর্ডানাস ডি নেমোর তাঁর এলিমেন্টা সুপার ডেমন্স্ট্রেশনম পন্ডেরামে "অবস্থানগত মাধ্যাকর্ষণ" এবং উপাদান শক্তির ব্যবহারের ধারণাটি প্রবর্তন করেছিলেন। 1609 সালে প্রকাশিত জোহানেস কেপলারের অ্যাস্ট্রোনোমিয়া নোভা ছিল গ্রহের গতির প্রথম প্রকাশিত কার্যকারণ ব্যাখ্যা। মঙ্গলের কক্ষপথে টাইকো ব্রাহের পর্যবেক্ষণের ভিত্তিতে তিনি এই সিদ্ধান্তে উপনীত হন যে, গ্রহটির কক্ষপথগুলি উপবৃত্তাকার। প্রাচীন চিন্তার সাথে এই বিচ্ছেদ প্রায় একই সময়ে ঘটছিল যখন গ্যালিলিও বস্তুর গতির জন্য বিমূর্ত গাণিতিক নিয়মের প্রস্তাব দিচ্ছিলেন। তিনি পিসা টাওয়ার থেকে বিভিন্ন ওজনের দুটি কামানের বল ফেলার বিখ্যাত পরীক্ষাটি করতে পারেন (বা নাও করতে পারেন), যা দেখায় যে তারা উভয়ই একই সময়ে মাটিতে আঘাত করে। সেই নির্দিষ্ট পরীক্ষার বাস্তবতা বিতর্কিত, তবে তিনি একটি বাঁকানো সমতলে বল ঘুরিয়ে পরিমাণগত পরীক্ষা-নিরীক্ষা করেছিলেন। তাঁর ত্বরান্বিত গতির তত্ত্বটি এই ধরনের পরীক্ষার ফলাফল থেকে উদ্ভূত হয়েছিল এবং শাস্ত্রীয় বলবিজ্ঞানের একটি ভিত্তি তৈরি করে। 1673 খ্রিষ্টাব্দে ক্রিস্টিয়ান হুইজেন্স তাঁর হরোলজিয়াম অসসিলেটোরিয়ামে গতির প্রথম দুটি সূত্র বর্ণনা করেছেন। এই কাজটি প্রথম আধুনিক গ্রন্থ যেখানে একটি শারীরিক সমস্যা (একটি পতিত বস্তুর ত্বরান্বিত গতি) পরামিতিগুলির একটি সেট দ্বারা আদর্শ করা হয় তারপর গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ করা হয় এবং ফলিত গণিতের অন্যতম মৌলিক কাজ গঠন করে। নিউটন তাঁর প্রাকৃতিক দর্শনের নীতিগুলি তিনটি প্রস্তাবিত গতির সূত্রের উপর ভিত্তি করে প্রতিষ্ঠা করেছিলেনঃ জড়তার সূত্র, তাঁর ত্বরণের দ্বিতীয় সূত্র (উপরে উল্লিখিত), এবং ক্রিয়া ও প্রতিক্রিয়ার সূত্র; এবং তাই শাস্ত্রীয় বলবিজ্ঞানের ভিত্তি স্থাপন করেছিলেন। নিউটনের দ্বিতীয় এবং তৃতীয় সূত্র উভয়কেই নিউটনের ফিলোসফি ন্যাচারালিস প্রিন্সিপিয়া ম্যাথমেটিকা-তে যথাযথ বৈজ্ঞানিক এবং গাণিতিক চিকিৎসা দেওয়া হয়েছিল। এখানে তারা অনুরূপ ঘটনাগুলি ব্যাখ্যা করার পূর্ববর্তী প্রচেষ্টার থেকে আলাদা, যা অসম্পূর্ণ, ভুল বা সামান্য সঠিক গাণিতিক অভিব্যক্তি দেওয়া হয়েছিল। নিউটন গতিবেগ এবং কৌণিক গতিবেগ সংরক্ষণের নীতিগুলিও ব্যাখ্যা করেছিলেন। বলবিজ্ঞানে, নিউটনের সর্বজনীন মহাকর্ষের নিয়মে মহাকর্ষের প্রথম সঠিক বৈজ্ঞানিক ও গাণিতিক সূত্র প্রদানকারীও ছিলেন নিউটন। নিউটনের গতি ও মহাকর্ষের সূত্রগুলির সংমিশ্রণ ধ্রুপদী বলবিজ্ঞানের সম্পূর্ণ এবং সবচেয়ে সঠিক বিবরণ প্রদান করে। তিনি দেখিয়েছেন যে এই নিয়মগুলি দৈনন্দিন বস্তুর পাশাপাশি স্বর্গীয় বস্তুর ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য। বিশেষ করে, তিনি কেপলারের গ্রহের গতির নিয়মগুলির একটি তাত্ত্বিক ব্যাখ্যা পেয়েছিলেন। নিউটন এর আগে গণিতের ক্যালকুলাস আবিষ্কার করেছিলেন এবং গাণিতিক গণনা সম্পাদনের জন্য এটি ব্যবহার করেছিলেন। গ্রহণযোগ্যতার জন্য, তাঁর বই, প্রিন্সিপিয়া, সম্পূর্ণরূপে দীর্ঘ-প্রতিষ্ঠিত জ্যামিতিক পদ্ধতির পরিপ্রেক্ষিতে প্রণয়ন করা হয়েছিল, যা শীঘ্রই তাঁর ক্যালকুলাস দ্বারা গ্রহন করা হয়েছিল। যাইহোক, এটি লাইবনিজ ছিলেন যিনি আজ পছন্দের ডেরিভেটিভ এবং ইন্টিগ্রালের স্বরলিপি তৈরি করেছিলেন। নিউটন এবং তাঁর সমসাময়িকদের অধিকাংশই, হাইজেন্স ব্যতীত, এই ধারণার উপর কাজ করেছিলেন যে শাস্ত্রীয় বলবিজ্ঞান জ্যামিতিক আলোকবিজ্ঞানের আকারে আলো সহ সমস্ত ঘটনা ব্যাখ্যা করতে সক্ষম হবে। এমনকি তথাকথিত নিউটনের বলয় (একটি তরঙ্গ হস্তক্ষেপের ঘটনা) আবিষ্কারের সময়ও তিনি আলোর নিজস্ব কর্পাসকুলার তত্ত্ব বজায় রেখেছিলেন। নিউটনের পরে, শাস্ত্রীয় বলবিজ্ঞান গণিতের পাশাপাশি পদার্থবিজ্ঞানে অধ্যয়নের একটি প্রধান ক্ষেত্র হয়ে ওঠে। গাণিতিক সূত্রগুলি ক্রমবর্ধমানভাবে অনেক বেশি সংখ্যক সমস্যার সমাধান খুঁজে বের করার অনুমতি দেয়। প্রথম উল্লেখযোগ্য গাণিতিক চিকিৎসা ছিল 1788 সালে জোসেফ লুই ল্যাগ্রাঞ্জ দ্বারা। 1833 সালে উইলিয়াম রোয়ান হ্যামিল্টন ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান বলবিজ্ঞান পুনরায় গঠন করেন। 19 শতকের শেষের দিকে কিছু সমস্যা আবিষ্কৃত হয়েছিল যা কেবল আরও আধুনিক পদার্থবিজ্ঞানের মাধ্যমে সমাধান করা যেতে পারে। এর মধ্যে কয়েকটি সমস্যা বৈদ্যুতিন চৌম্বকীয় তত্ত্ব এবং বিখ্যাত মাইকেলসন-মর্লি পরীক্ষার সাথে সামঞ্জস্যের সাথে সম্পর্কিত। এই সমস্যাগুলির সমাধান আপেক্ষিকতার বিশেষ তত্ত্বের দিকে পরিচালিত করে, যা প্রায়শই এখনও শাস্ত্রীয় বলবিজ্ঞানের একটি অংশ হিসাবে বিবেচিত হয়। সমস্যার একটি দ্বিতীয় সেট তাপগতিবিদ্যার সাথে সম্পর্কিত ছিল। তাপগতিবিদ্যার সাথে মিলিত হলে, শাস্ত্রীয় বলবিজ্ঞান শাস্ত্রীয় পরিসংখ্যানগত বলবিজ্ঞানের গিবস প্যারাডক্সের দিকে পরিচালিত করে, যেখানে এনট্রপি একটি সুনির্দিষ্ট পরিমাণ নয়। কোয়ান্টার প্রবর্তন ছাড়া ব্ল্যাক-বডি বিকিরণ ব্যাখ্যা করা হয়নি। পরীক্ষাগুলি পারমাণবিক স্তরে পৌঁছানোর সাথে সাথে ধ্রুপদী বলবিজ্ঞান শক্তির মাত্রা এবং পরমাণুর আকার এবং আলোক-বৈদ্যুতিক প্রভাবের মতো মৌলিক বিষয়গুলি ব্যাখ্যা করতে ব্যর্থ হয়। এই সমস্যাগুলি সমাধানের প্রচেষ্টার ফলে কোয়ান্টাম মেকানিক্সের বিকাশ ঘটে। বিংশ শতাব্দীর শেষ থেকে, পদার্থবিজ্ঞানে শাস্ত্রীয় বলবিজ্ঞান আর একটি স্বাধীন তত্ত্ব নয়। পরিবর্তে, ধ্রুপদী বলবিজ্ঞানকে এখন আরও সাধারণ কোয়ান্টাম বলবিজ্ঞানের আনুমানিক তত্ত্ব হিসাবে বিবেচনা করা হয়। স্ট্যান্ডার্ড মডেলের মতো প্রকৃতির মৌলিক শক্তিগুলি বোঝার দিকে জোর দেওয়া হয়েছে এবং এর আরও আধুনিক সম্প্রসারণগুলি সবকিছুর একটি একীভূত তত্ত্বে পরিণত হয়েছে। ধ্রুপদী বলবিজ্ঞান একটি তত্ত্ব যা দুর্বল মহাকর্ষীয় ক্ষেত্রে অ-পরিমাণ যান্ত্রিক, নিম্ন-শক্তির কণাগুলির গতি অধ্যয়নের জন্য দরকারী। এছাড়াও, এটি জটিল ডোমেনে প্রসারিত করা হয়েছে যেখানে জটিল শাস্ত্রীয় বলবিজ্ঞান কোয়ান্টাম বলবিজ্ঞানের অনুরূপ আচরণ প্রদর্শন করে। ধ্রুপদী বলবিজ্ঞান ঐতিহ্যগতভাবে তিনটি প্রধান শাখায় বিভক্ত ছিলঃ স্ট্যাটিক্স, ভারসাম্য অধ্যয়ন এবং গতিবিদ্যার সাথে এর সম্পর্ক, গতির অধ্যয়ন এবং বলের সাথে এর সম্পর্ক, পর্যবেক্ষণকৃত গতির প্রভাবগুলি পরিস্থিতি বিবেচনা না করে মোকাবিলা করে যা তাদের সৃষ্টি করে আরেকটি বিভাগ গাণিতিক আনুষ্ঠানিকতার পছন্দের উপর ভিত্তি করেঃ নিউটনীয় বলবিজ্ঞান ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান বলবিজ্ঞান হ্যামিল্টনিয়ান বলবিজ্ঞান বিকল্পভাবে, প্রয়োগের অঞ্চল দ্বারা একটি বিভাগ তৈরি করা যেতে পারেঃ মহাজাগতিক বলবিজ্ঞান, তারা, গ্রহ এবং অন্যান্য মহাজাগতিক বস্তু সম্পর্কিত কন্টিনাম বলবিজ্ঞান, একটি ধারাবাহিকতা হিসাবে মডেল করা উপকরণগুলির জন্য, যেমন, কঠিন এবং তরল (অর্থাৎ, তরল এবং গ্যাস)। আপেক্ষিক বলবিজ্ঞান (অর্থাৎ। আপেক্ষিকতার বিশেষ এবং সাধারণ তত্ত্বগুলি সহ), এমন বস্তুর জন্য যার গতি আলোর গতির কাছাকাছি। পরিসংখ্যানগত বলবিজ্ঞান, যা পৃথক পরমাণু এবং অণুগুলির মাইক্রোস্কোপিক বৈশিষ্ট্যগুলিকে উপকরণগুলির ম্যাক্রোস্কোপিক বা বাল্ক থার্মোডাইনামিক বৈশিষ্ট্যগুলির সাথে সম্পর্কিত করার জন্য একটি কাঠামো সরবরাহ করে। আরও দেখুন গতিশীল ব্যবস্থার ধ্রুপদী বলবিজ্ঞানের ইতিহাস ধ্রুপদী বলবিজ্ঞানের সমীকরণের তালিকা ধ্রুপদী বলবিজ্ঞানের প্রকাশনার তালিকা ধ্রুপদী বলবিজ্ঞান এবং কোয়ান্টাম বলবিজ্ঞানের উপর পাঠ্যপুস্তকগুলির তালিকা আণবিক গতিবিদ্যা নিউটনের গতির নিয়ম বিশেষ আপেক্ষিকতা কোয়ান্টাম বলবিজ্ঞান কোয়ান্টাম ক্ষেত্র তত্ত্ব উল্লেখ আরও পড়ুন বহিরাগত লিঙ্ক ক্রোয়েল, বেঞ্জামিন। লাইট অ্যান্ড ম্যাটার (একটি প্রারম্ভিক পাঠ্য, ক্যালকুলাস জড়িত ঐচ্ছিক বিভাগগুলির সাথে বীজগণিত ব্যবহার করে) ফিটজপ্যাট্রিক, রিচার্ড। ধ্রুপদী যান্ত্রিক (ক্যালকুলাস ব্যবহার করে) হোয়িল্যান্ড, পল (2004)। পছন্দের ফ্রেম অফ রেফারেন্স অ্যান্ড রিলেটিভিটি হরবাটশ, মার্কো, "ক্লাসিক্যাল মেকানিক্স কোর্স নোটস"। রোসু, হারেট সি., "ক্লাসিক্যাল মেকানিক্স"। পদার্থবিজ্ঞান শিক্ষা। 1999 সালে। [arxiv.org: পদার্থবিজ্ঞান/9909035] শাপিরো, জোয়েল এ। (2003)। ধ্রুপদী যান্ত্রিক সুসমান, জেরাল্ড জে অ্যান্ড উইজডম, জ্যাক অ্যান্ড মেয়ার, মাইনহার্ড ই। (2001)। ধ্রুপদী যান্ত্রিকতার কাঠামো ও ব্যাখ্যা টং, ডেভিড। ধ্রুপদী গতিবিদ্যা (ক্যামব্রিজ লেকচার নোটস অন ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান অ্যান্ড হ্যামিল্টনিয়ান ফর্মালিজম) ডিজাইন ডিজিটাল লাইব্রেরির জন্য গতিবিদ্যার মডেল (কে. এম. ও. ডি. ডি. এল) কর্নেল বিশ্ববিদ্যালয়ের শত শত কার্যকরী যান্ত্রিক-ব্যবস্থার মডেলের চলচ্চিত্র এবং ছবি। যান্ত্রিক নকশা এবং প্রকৌশলের উপর ক্লাসিক পাঠ্যগুলির একটি ই-বুক লাইব্রেরিও রয়েছে। এমআইটি ওপেনকোর্সওয়্যার 8.01: ক্লাসিকাল মেকানিক্স বক্তৃতার নোট, অ্যাসাইনমেন্ট এবং পরীক্ষার লিঙ্ক সহ প্রকৃত কোর্স বক্তৃতার বিনামূল্যে ভিডিও। আলেজান্দ্রো এ. তোরাসা, ধ্রুপদী যান্ত্রিকতার উপর