Berezin integral
গাণিতিক পদার্থবিজ্ঞানে, বেরেজিন ইন্টিগ্রাল, ফেলিক্স বেরেজিনের নামে নামকরণ করা হয়েছে, (হার্মান গ্রাসম্যানের নামে গ্রাসম্যান ইন্টিগ্রাল নামেও পরিচিত), গ্রাসম্যান ভেরিয়েবলের (বাহ্যিক বীজগণিতের উপাদান) ফাংশনের জন্য ইন্টিগ্রেশন সংজ্ঞায়িত করার একটি উপায়। এটি লেবস্গু অর্থে অবিচ্ছেদ্য নয়; "অবিচ্ছেদ্য" শব্দটি ব্যবহার করা হয় কারণ বেরেজিন অবিচ্ছেদ্যের লেবস্গু অবিচ্ছেদ্যের অনুরূপ বৈশিষ্ট্য রয়েছে এবং কারণ এটি পদার্থবিজ্ঞানে পথ অবিচ্ছেদ্যকে প্রসারিত করে, যেখানে এটি ফার্মিয়নের ইতিহাসের সমষ্টি হিসাবে ব্যবহৃত হয়। সংজ্ঞা ধরা যাক জটিল সংখ্যার ক্ষেত্রে অ্যান্টিকমিউটিং উপাদানগুলিতে বহুপদগুলির বাহ্যিক বীজগণিত। (জেনারেটরের ক্রম স্থির এবং বাহ্যিক বীজগণিতের অভিযোজন সংজ্ঞায়িত করে।) একটি চলক একমাত্র গ্রাসম্যান চলকের উপর বেরেজিন ইন্টিগ্রালকে একটি রৈখিক কার্যকরী হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় যেখানে আমরা সংজ্ঞায়িত করি যেঃ এই বৈশিষ্ট্যগুলি অবিচ্ছেদ্যকে অনন্যভাবে সংজ্ঞায়িত করে এবং বোঝায় লক্ষ্য করুন যে এটি সবচেয়ে সাধারণ ফাংশন কারণ গ্রাসম্যান চলকগুলি বর্গ থেকে শূন্য, তাই রৈখিক ক্রমের বাইরে অ-শূন্য পদ থাকতে পারে না। একাধিক চলক বেরেজিন ইন্টিগ্রাল অন কে নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্যগুলির সাথে অনন্য রৈখিক কার্যকরী হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছেঃ যে কোনও জায়গার জন্য মানে বাম বা ডান আংশিক ডেরিভেটিভ। এই বৈশিষ্ট্যগুলি অবিচ্ছেদ্যকে অনন্যভাবে সংজ্ঞায়িত করে। লক্ষ্য করুন যে সাহিত্যে বিভিন্ন রীতিনীতি রয়েছেঃ কিছু লেখক পরিবর্তে সংজ্ঞায়িত করেন সূত্রটি ফুবিনি আইনকে প্রকাশ করে। ডানদিকে, একটি মনোমিয়ালের অভ্যন্তরীণ ইন্টিগ্রাল যেখানে সেট করা হয়; ইন্টিগ্রাল অদৃশ্য হয়ে যায়। এর সাপেক্ষে ইন্টিগ্রাল একইভাবে গণনা করা হয় ইত্যাদি। গ্রাসম্যান চলকের পরিবর্তন কিছু প্রতিসম চলকের মধ্যে বিজোড় বহুপদী হতে হবে। জ্যাকোবিয়ান হল সেই ম্যাট্রিক্স যেখানে ডান অন্তরজ () বোঝায়। স্থানাঙ্ক পরিবর্তনের সূত্রটি হল জোড় এবং বিজোড় চলকগুলির সংহতকরণ সংজ্ঞা এখন বাস্তব যাতায়াত চলক এবং যোগাযোগ বিরোধী চলকগুলির (যাকে মাত্রার মুক্ত অতি বীজগণিত বলা হয়) ফাংশনের বীজগণিত বিবেচনা করুন। স্বজ্ঞাতভাবে, একটি ফাংশন হল এম ইভেন (বোসনিক, কমিউটিং) ভেরিয়েবল এবং এন বিজোড় (ফার্মিয়নিক, অ্যান্টি-কমিউটিং) ভেরিয়েবলের একটি ফাংশন। আরও আনুষ্ঠানিকভাবে, একটি উপাদান হল যুক্তির একটি ফাংশন যা বীজগণিতে মান সহ একটি উন্মুক্ত সেটের মধ্যে পরিবর্তিত হয় মনে করুন যে এই ফাংশনটি অবিচ্ছিন্ন এবং একটি সংক্ষিপ্ত সেটের পরিপূরকে অদৃশ্য হয়ে যায় বেরেজিন ইন্টিগ্রাল হল জোড় এবং বিজোড় চলকের সংখ্যা পরিবর্তন একটি স্থানাঙ্ক রূপান্তর দেওয়া যাক যেখানে জোড় এবং বিজোড় চলকের উপর নির্ভর করে বিজোড় বহুপদী। এই রূপান্তরের জ্যাকোবিয়ান ম্যাট্রিক্সের ব্লক ফর্ম রয়েছেঃ যেখানে প্রতিটি বিজোড় ব্যুৎপত্তি বীজগণিতের সমস্ত উপাদানের সাথে বিনিময় করে; বিজোড় ব্যুৎপত্তিগুলি বিজোড় উপাদানগুলির সাথে বিনিময় করে এবং বিজোড় উপাদানগুলির সাথে বিপরীত যোগাযোগ করে। তির্যক ব্লকগুলির এন্ট্রিগুলি জোড় এবং অফ-তির্যক ব্লকগুলির এন্ট্রিগুলি বিজোড় ফাংশন, যেখানে আবার ডান ডেরিভেটিভ বোঝায়। এখন আমাদের ম্যাট্রিক্সের বেরেজিনিয়ান (বা সুপারডিটারমিন্যান্ট) প্রয়োজন, যা জোড় ফাংশনটি সংজ্ঞায়িত করা হয় যখন ফাংশনটি বিপরীতমুখী হয় ধরুন যে বাস্তব ফাংশনগুলি খোলা সেটগুলির একটি মসৃণ বিপরীতমুখী মানচিত্রকে সংজ্ঞায়িত করে এবং মানচিত্রের রৈখিক অংশটি প্রতিটি সেটের জন্য বিপরীতমুখী। দরকারী সূত্র গাউসিয়ান ইন্টিগ্রালের জন্য নিম্নলিখিত সূত্রগুলি প্রায়শই কোয়ান্টাম ক্ষেত্র তত্ত্বের পথ ইন্টিগ্রাল গঠনে ব্যবহৃত হয়ঃ একটি জটিল ম্যাট্রিক্স সহ। একটি জটিল তির্যক-প্রতিসম ম্যাট্রিক্স হওয়ার সাথে, এবং এর ফাফিয়ান হওয়ার সাথে, যা পূরণ করে। উপরের সূত্রগুলিতে স্বরলিপি ব্যবহার করা হয়। এই সূত্রগুলি থেকে, অন্যান্য দরকারী সূত্রগুলি অনুসরণ করা হয় (পরিশিষ্ট এ দেখুন): একটি বিপরীতমুখী ম্যাট্রিক্স সহ। মনে রাখবেন যে এই ইন্টিগ্রালগুলি একটি পার্টিশন ফাংশন আকারে রয়েছে। ইতিহাস কমিউটিং এবং অ্যান্টিকমিউটিং ভেরিয়েবলের সাথে ইন্টিগ্রালের গাণিতিক তত্ত্বটি ফেলিক্স বেরেজিন উদ্ভাবন ও বিকাশ করেছিলেন। এর আগে 1956 সালে ডেভিড জন ক্যান্ডলিন কিছু গুরুত্বপূর্ণ অন্তর্দৃষ্টি তৈরি করেছিলেন। অন্যান্য লেখকরা এই বিকাশে অবদান রেখেছিলেন, যার মধ্যে ছিলেন পদার্থবিজ্ঞানী খালাতনিকভ (যদিও তাঁর গবেষণাপত্রে ভুল রয়েছে), ম্যাথিউস এবং সলাম এবং মার্টিন। আরও দেখুন সুপারম্যানফোল্ড বেরেজিনিয়ান রেফারেন্স আরও পড়া থিওডোর ভোরোনভঃ সুপারম্যানফোল্ডসের উপর জ্যামিতিক ইন্টিগ্রেশন তত্ত্ব, হারউড একাডেমিক প্রকাশক, বেরেজিন, ফেলিক্স আলেকজান্দ্রোভিচঃ সুপারানালাইসিসের ভূমিকা, স্প্রিংগার নেদারল্যান্ডস, মাল্টিলিনিয়ার বীজগণিত ডিফারেনশিয়াল ফর্ম ইন্টিগ্রাল ক্যালকুলাস গাণিতিক পদার্থবিজ্ঞান কোয়ান্টাম ফিল্ড তত্ত্ব সুপারসিমেট্রি