Resolution (algebra)
গণিতে, এবং আরও সুনির্দিষ্টভাবে সমতাত্ত্বিক বীজগণিতে, একটি রেজোলিউশন (বা বাম রেজোলিউশন; দ্বৈতভাবে একটি কোরেসোলিউশন বা ডান রেজোলিউশন) হল মডিউলগুলির একটি সঠিক ক্রম (বা, আরও সাধারণভাবে, একটি আবেলিয়ান বিভাগের বস্তুর), যা এই বিভাগের একটি নির্দিষ্ট মডিউল বা বস্তুর কাঠামোকে চিহ্নিত করে অপরিবর্তনীয় সংজ্ঞায়িত করতে ব্যবহৃত হয়। সাধারণত যখন তীরগুলি ডান দিকে থাকে, তখন ক্রমটি (বাম) রেজোলিউশনের জন্য বাম দিকে এবং ডান রেজোলিউশনের জন্য ডানদিকে অসীম বলে মনে করা হয়। যাইহোক, একটি সসীম রেজোলিউশন হল এমন একটি যেখানে সিকোয়েন্সের সীমিতভাবে অনেকগুলি বস্তু অ-শূন্য হয়; এটি সাধারণত একটি সসীম সঠিক ক্রম দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয় যেখানে বামতম বস্তু (রেজোলিউশনের জন্য) বা ডানতম বস্তু (কোরেসোলিউশনের জন্য) হল শূন্য-বস্তু। সাধারণত, ক্রমের বস্তুগুলি কিছু বৈশিষ্ট্য পি (উদাহরণস্বরূপ মুক্ত হতে) সীমাবদ্ধ থাকে। এইভাবে একটি পি রেজোলিউশনের কথা বলা হয়। বিশেষত, প্রতিটি মডিউলে বিনামূল্যে রেজোলিউশন, প্রজেক্টিভ রেজোলিউশন এবং ফ্ল্যাট রেজোলিউশন রয়েছে, যা যথাক্রমে ফ্রি মডিউল, প্রজেক্টিভ মডিউল বা ফ্ল্যাট মডিউল নিয়ে গঠিত। একইভাবে প্রতিটি মডিউলে ইনজেক্টিভ রেজোলিউশন রয়েছে, যা ইনজেক্টিভ মডিউলগুলির সমন্বয়ে সঠিক রেজোলিউশন। মডিউলগুলির রেজোলিউশন সংজ্ঞা একটি রিং আর-এর উপর একটি মডিউল এম দেওয়া হলে, এম-এর একটি বাম রেজোলিউশন (বা কেবল রেজোলিউশন) আর-মডিউলগুলির একটি সঠিক ক্রম (সম্ভবত অসীম)। মানচিত্র ε কে বর্ধিতকরণ মানচিত্র বলা হয়। সংক্ষিপ্ততার জন্য, উপরের রেজোলিউশনটিকে লেখা যেতে পারে দ্বৈত ধারণাটি হল একটি সঠিক রেজোলিউশন (বা কো-রেজোলিউশন, বা কেবল রেজোলিউশন)। বিশেষত, একটি রিং আর-এর উপর একটি মডিউল এম দেওয়া হলে, একটি সঠিক রেজোলিউশন সম্ভবত আর-মডিউলগুলির একটি অসীম সঠিক ক্রম যেখানে প্রতিটি সি আই একটি আর-মডিউল (রেজোলিউশনের বস্তুগুলিতে সুপারস্ক্রিপ্ট ব্যবহার করা এবং তাদের মধ্যে মানচিত্রগুলি এই ধরনের রেজোলিউশনের দ্বৈত প্রকৃতি নির্দেশ করতে সাধারণ)। সংক্ষিপ্ততার জন্য, উপরের রেজোলিউশনটিকে লেখা যেতে পারে এ (কো) রেজোলিউশনকে সীমাবদ্ধ বলা হয় যদি কেবলমাত্র সীমাবদ্ধভাবে জড়িত অনেকগুলি মডিউল অ-শূন্য হয়। একটি সসীম রেজোলিউশনের দৈর্ঘ্য হল সসীম রেজোলিউশনে একটি অ-শূন্য মডিউলকে লেবেল করা সর্বাধিক সূচক এন। মুক্ত, প্রজেক্টিভ, ইনজেকটিভ এবং ফ্ল্যাট রেজোলিউশন অনেক পরিস্থিতিতে প্রদত্ত মডিউল এম-এর সমাধানকারী মডিউলগুলির উপর শর্ত আরোপ করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, একটি মডিউল এম-এর একটি মুক্ত রেজোলিউশন হল একটি বাম রেজোলিউশন যেখানে সমস্ত মডিউল ই-মুক্ত আর-মডিউল। একইভাবে, প্রজেক্টিভ এবং ফ্ল্যাট রেজোলিউশনগুলি বাম রেজোলিউশন যেমন সমস্ত ইআই যথাক্রমে প্রজেক্টিভ এবং ফ্ল্যাট আর-মডিউল। ইনজেক্টিভ রেজোলিউশন হল সঠিক রেজোলিউশন যার সমস্ত সি আই হল ইনজেক্টিভ মডিউল। প্রতিটি আর-মডিউলের একটি মুক্ত বাম রেজোলিউশন থাকে। দুর্ভাগ্যবশত, প্রতিটি মডিউল প্রজেক্টিভ এবং ফ্ল্যাট রেজোলিউশন স্বীকার করে। প্রমাণের ধারণাটি হল E0 কে M এর উপাদান দ্বারা উত্পন্ন মুক্ত R-মডিউল হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা, এবং তারপর E1 কে প্রাকৃতিক মানচিত্র E0 → M ইত্যাদির কার্নেলের উপাদান দ্বারা উত্পন্ন মুক্ত R-মডিউল হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা। দ্বৈতভাবে, প্রতিটি আর-মডিউল একটি ইনজেকটিভ রেজোলিউশন ধারণ করে। প্রজেক্টিভ রেজোলিউশন (এবং, আরও সাধারণভাবে, ফ্ল্যাট রেজোলিউশন) টর ফাংক্টর গণনা করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। একটি মডিউল এম-এর প্রজেক্টিভ রেজোলিউশন একটি চেইন হোমোটপি পর্যন্ত অনন্য, অর্থাৎ, এম-এর দুটি প্রজেক্টিভ রেজোলিউশন দেওয়া হলে তাদের মধ্যে একটি চেইন হোমোটপি বিদ্যমান। রেজোলিউশনগুলি সমতাত্ত্বিক মাত্রা সংজ্ঞায়িত করতে ব্যবহৃত হয়। একটি মডিউল এম-এর একটি সীমাবদ্ধ প্রজেক্টিভ রেজোলিউশনের ন্যূনতম দৈর্ঘ্যকে তার প্রজেক্টিভ মাত্রা বলা হয় এবং পি. ডি (এম) চিহ্নিত করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, একটি মডিউলের প্রজেক্টিভ মাত্রা শূন্য থাকে যদি এবং শুধুমাত্র যদি এটি একটি প্রজেক্টিভ মডিউল হয়। যদি এম একটি সীমাবদ্ধ প্রজেক্টিভ রেজোলিউশন স্বীকার না করে তবে প্রজেক্টিভ মাত্রা অসীম। উদাহরণস্বরূপ, একটি বিনিময়যোগ্য স্থানীয় বলয় আর-এর জন্য, প্রজেক্টিভ মাত্রা সীমাবদ্ধ হয় যদি এবং শুধুমাত্র আর নিয়মিত হয় এবং এই ক্ষেত্রে এটি আর-এর ক্রাল মাত্রার সাথে মিলে যায়। অনুরূপভাবে, ইনজেকটিভ মাত্রা আইডি (এম) এবং সমতল মাত্রা এফডি (এম) মডিউলগুলির জন্যও সংজ্ঞায়িত করা হয়। ইনজেক্টিভ এবং প্রজেক্টিভ মাত্রা সঠিক আর মডিউলের বিভাগে ব্যবহার করা হয় যাতে আর-এর জন্য একটি সমতাত্ত্বিক মাত্রা সংজ্ঞায়িত করা যায় যাকে আর-এর সঠিক বৈশ্বিক মাত্রা বলা হয়। একইভাবে, দুর্বল বৈশ্বিক মাত্রা সংজ্ঞায়িত করতে সমতল মাত্রা ব্যবহার করা হয়। এই মাত্রাগুলির আচরণ বলয়ের বৈশিষ্ট্যগুলি প্রতিফলিত করে। উদাহরণস্বরূপ, একটি বলয়ের সঠিক বৈশ্বিক মাত্রা 0 থাকে যদি এবং শুধুমাত্র যদি এটি একটি আধা-সরল বলয় হয়, এবং একটি বলয়ের দুর্বল বৈশ্বিক মাত্রা 0 থাকে যদি এবং শুধুমাত্র যদি এটি একটি ভন নিউম্যান নিয়মিত বলয় হয়। গ্রেডেড মডিউল এবং অ্যালজেব্রা ধরা যাক এম একটি গ্রেডেড বীজগণিতের উপর একটি গ্রেডেড মডিউল, যা একটি ক্ষেত্রের উপর তার ধনাত্মক মাত্রার উপাদান দ্বারা উৎপন্ন হয়। তারপর এম-এর একটি মুক্ত রেজোলিউশন রয়েছে যেখানে মুক্ত মডিউল ইআই-কে এমনভাবে শ্রেণীবদ্ধ করা যেতে পারে যাতে ডি এবং ε শ্রেণীবদ্ধ রৈখিক মানচিত্র হয়। এই শ্রেণীবদ্ধ মুক্ত রেজোলিউশনগুলির মধ্যে, ন্যূনতম মুক্ত রেজোলিউশনগুলি হল সেগুলি যার জন্য প্রতিটি ই. আই-এর ভিত্তি উপাদানগুলির সংখ্যা ন্যূনতম। একটি গ্রেডেড মডিউলের সমস্ত ন্যূনতম মুক্ত রেজোলিউশনের জন্য প্রতিটি ই. আই এবং তাদের ডিগ্রির ভিত্তি উপাদানের সংখ্যা একই। যদি I একটি ক্ষেত্রের উপর একটি বহুপদী বলয়ে একটি সমজাতীয় আদর্শ হয়, তবে I দ্বারা সংজ্ঞায়িত প্রজেক্টিভ বীজগাণিতিক সেটের ক্যাসেলনুভো-মামফোর্ড নিয়মিততা হল ন্যূনতম পূর্ণসংখ্যা r যাতে I এর ন্যূনতম মুক্ত রেজোলিউশনে Ei এর ভিত্তি উপাদানগুলির ডিগ্রিগুলি r-i এর চেয়ে কম হয়। উদাহরণ একটি মুক্ত রেজোলিউশনের একটি সর্বোত্তম উদাহরণ একটি স্থানীয় বলয়ে নিয়মিত ক্রমের কোসজুল কমপ্লেক্স দ্বারা বা একটি ক্ষেত্রের উপর চূড়ান্তভাবে উত্পন্ন একটি শ্রেণীবদ্ধ বীজগণিতে একটি সমজাতীয় নিয়মিত ক্রম দ্বারা দেওয়া হয়। ধরা যাক এক্স একটি অ্যাসফেরিকাল স্পেস, অর্থাৎ, এর সর্বজনীন আবরণ ই সঙ্কুচিত। তারপর E-এর প্রতিটি একক (বা সরল) চেইন কমপ্লেক্স শুধুমাত্র Z বলয়ের উপর নয়, গ্রুপ রিং Z [π1 (X)]-এর উপরও মডিউল Z-এর একটি মুক্ত রেজোলিউশন। আবেলিয়ান বিভাগগুলিতে রেজোলিউশন আবেলিয়ান বিভাগ এ-তে একটি বস্তুর রেজোলিউশনের সংজ্ঞা উপরের মতোই একই, তবে এই এবং সি আই এ-তে বস্তু, এবং এর সাথে জড়িত সমস্ত মানচিত্র এ-তে মরফিজম। প্রজেক্টিভ এবং ইনজেক্টিভ মডিউলগুলির অনুরূপ ধারণা হল প্রজেক্টিভ এবং ইনজেক্টিভ বস্তু, এবং সেই অনুযায়ী, প্রজেক্টিভ এবং ইনজেক্টিভ রেজোলিউশন। যাইহোক, এই ধরনের প্রস্তাবগুলি সাধারণ আবেলিয়ান বিভাগ এ-তে বিদ্যমান থাকার প্রয়োজন নেই। যদি এ-এর প্রতিটি বস্তুর একটি প্রজেক্টিভ থাকে (রেসপ। ইনজেকটিভ) রেজোলিউশন, তারপর A-এর যথেষ্ট প্রজেক্টিভ (রেসপ) রয়েছে বলে বলা হয়। যথেষ্ট ইনজেকশন)। যদিও এগুলির অস্তিত্ব রয়েছে, তবুও এই ধরনের সিদ্ধান্তগুলি নিয়ে কাজ করা প্রায়শই কঠিন। উদাহরণস্বরূপ, যেমন উপরে উল্লেখ করা হয়েছে, প্রতিটি আর-মডিউলের একটি ইনজেকটিভ রেজোলিউশন থাকে, তবে এই রেজোলিউশনটি ফাংক্টোরিয়াল নয়, অর্থাৎ, একটি সমরূপতা এম-এম 'দেওয়া হয়েছে, ইনজেকটিভ রেজোলিউশনের সাথে সাধারণভাবে এবং এর মধ্যে একটি মানচিত্র পাওয়ার কোনও ফাংক্টোরিয়াল উপায় নেই। সাধারণভাবে প্রজেক্টিভ রেজোলিউশন ছাড়া আবেলিয়ান বিভাগ প্রজেক্টিভ রেজোলিউশন ছাড়া আবেলিয়ান বিভাগের উদাহরণের একটি শ্রেণী হল একটি পরিকল্পনার সুসঙ্গত শেভের বিভাগ। উদাহরণস্বরূপ, যদি প্রজেক্টিভ স্পেস হয়, তবে যে কোনও সুসঙ্গত শেফের একটি সঠিক ক্রম দ্বারা উপস্থাপনা দেওয়া থাকে প্রথম দুটি পদ সাধারণভাবে প্রজেক্টিভ নয়। কিন্তু, উভয় পদই স্থানীয়ভাবে মুক্ত এবং স্থানীয়ভাবে সমতল। কিছু উদ্ভূত ফাংক্টর গণনা করার জন্য প্রজেক্টিভ রেজোলিউশন প্রতিস্থাপন করে নির্দিষ্ট গণনার জন্য উভয় শ্রেণীর শেভ ব্যবহার করা যেতে পারে। অ্যাসাইক্লিক রেজোলিউশন অনেক ক্ষেত্রে একটি রেজোলিউশনে প্রদর্শিত বস্তুর প্রতি প্রকৃতপক্ষে আগ্রহী নয়, তবে একটি প্রদত্ত ফাংক্টরের ক্ষেত্রে রেজোলিউশনের আচরণে আগ্রহী। অতএব, অনেক পরিস্থিতিতে, অ্যাসাইক্লিক রেজোলিউশনের ধারণাটি ব্যবহার করা হয়ঃ দুটি আবেলিয়ান বিভাগের মধ্যে একটি বাম সঠিক ফাংক্টর F: A → B দেওয়া হলে, একটি বস্তুর একটি রেজোলিউশনকে F-অ্যাসাইক্লিক বলা হয়, যদি উদ্ভূত ফাংক্টর RiF (En) সমস্ত i> 0 এবং n ≤ 0 এর জন্য অদৃশ্য হয়ে যায়। দ্বৈতভাবে, একটি বাম রেজোলিউশন একটি ডান সঠিক ফাংক্টরের সাপেক্ষে অ্যাসাইক্লিক হয় যদি তার উদ্ভূত ফাংক্টরগুলি রেজোলিউশনের বস্তুর উপর অদৃশ্য হয়ে যায়। উদাহরণস্বরূপ, একটি আর মডিউল এম দেওয়া হলে, টেনসর পণ্যটি একটি সঠিক সঠিক ফাংক্টর মোড (আর) → মোড (আর)। প্রতিটি সমতল রেজোলিউশন এই ফাংক্টরের সাপেক্ষে অ্যাসাইক্লিক। একটি সমতল রেজোলিউশন প্রতিটি এম দ্বারা টেনসর পণ্যের জন্য অ্যাসাইক্লিক হয়। একইভাবে, সমস্ত ফাংক্টরের জন্য অ্যাসাইক্লিক রেজোলিউশনগুলি হল প্রজেক্টিভ রেজোলিউশন এবং যেগুলি ফাংক্টর হোম (এম, ⋅) এর জন্য অ্যাসাইক্লিক হয় সেগুলি হল ইনজেকটিভ রেজোলিউশন। যে কোনও ইনজেকটিভ (প্রজেক্টিভ) রেজোলিউশন যে কোনও বাম সঠিক (ডান সঠিক, যথাক্রমে) ফাংক্টরের জন্য এফ-অ্যাসাইক্লিক। অ্যাসাইক্লিক রেজোলিউশনের গুরুত্ব এই সত্যের মধ্যে নিহিত যে উদ্ভূত ফাংক্টর আর. আই. এফ (একটি বাম সঠিক ফাংক্টরের, এবং একইভাবে একটি ডান সঠিক ফাংক্টরের এল. আই. এফ) এফ-অ্যাসাইক্লিক রেজোলিউশনের সমতুল্য হিসাবে প্রাপ্ত করা যেতে পারেঃ একটি বস্তুর একটি অ্যাসাইক্লিক রেজোলিউশন দেওয়া হয়েছে এম, আমাদের যেখানে ডান হাতটি কমপ্লেক্সের আই-তম সমতাত্ত্বিক বস্তু। উদাহরণস্বরূপ, একটি ডিফারেনশিয়াল ম্যানিফোল্ড এম-এর ধ্রুবক শেফ আর-এর জন্য মসৃণ ডিফারেনশিয়াল ফর্মের শেভ দ্বারা সমাধান করা যেতে পারেঃ শেভগুলি সূক্ষ্ম শেভ, যা গ্লোবাল সেকশন ফাংক্টরের ক্ষেত্রে অ্যাসাইক্লিক হিসাবে পরিচিত। অতএব, শেফ কোহোমোলজি, যা গ্লোবাল সেকশন ফাংশনের উদ্ভূত ফাংশনের হিসাবে গণনা করা হয়, একইভাবে গডমেন্ট রেজোলিউশনগুলি গ্লোবাল সেকশন ফাংশনের ক্ষেত্রে অ্যাসাইক্লিক হয়। আরও দেখুন স্ট্যান্ডার্ড রেজোলিউশন হিলবার্ট-বার্চ উপপাদ্য হিলবার্টের সিজিজি উপপাদ্য মুক্ত উপস্থাপনা ম্যাট্রিক্স ফ্যাক্টরাইজেশন (বীজগণিত) নোটস রেফারেন্স হোমোলজিকাল বীজগণিত মডিউল তত্ত্ব