Oseen equations
তরল গতিবিদ্যায়, 1910 সালে কার্ল উইলহেলম ওসিন দ্বারা প্রণীত ওসিন সমীকরণ (বা ওসিন প্রবাহ) ছোট রেনল্ডস সংখ্যায় একটি সান্দ্র এবং অসংকুচিত তরলের প্রবাহকে বর্ণনা করে। স্টোকস প্রবাহের তুলনায় দৃশ্যমান প্রবাহ হল এই প্রবাহের একটি উন্নত বর্ণনা, যেখানে পরিবাহী ত্বরণের (আংশিক) অন্তর্ভুক্তি রয়েছে। ওশিনের কাজ জি. জি-র পরীক্ষার উপর ভিত্তি করে। স্টোকস, যিনি একটি সান্দ্র তরলের মাধ্যমে একটি গোলকের পতন অধ্যয়ন করেছিলেন। স্টোকসের প্যারাডক্স নামে পরিচিত সমস্যাটি সমাধানের জন্য স্টোকসের গণনায় ব্যবহৃত প্রবাহের বেগের জন্য তিনি একটি সংশোধন শব্দ তৈরি করেছিলেন, যার মধ্যে জড় উপাদানগুলি অন্তর্ভুক্ত ছিল। তাঁর অনুমান স্টোকসের গণনার উন্নতির দিকে পরিচালিত করে। সমীকরণ অদৃশ্য সমীকরণগুলি হল, কোনও বস্তুর তরলের মধ্য দিয়ে স্থির প্রবাহ বেগ U দিয়ে চলার ক্ষেত্রে-যা বস্তু থেকে দূরে বিশ্রাম নেয়-এবং বস্তুর সাথে সংযুক্ত একটি রেফারেন্স ফ্রেমেঃ যেখানে u হল চলমান বস্তুর দ্বারা প্ররোচিত প্রবাহ বেগের ব্যাঘাত, অর্থাৎ। বস্তুর সাথে চলমান রেফারেন্স ফ্রেমে মোট প্রবাহের বেগ হল − U + u, p হল চাপ, ρ হল তরলের ঘনত্ব, μ হল গতিশীল সান্দ্রতা, ρ হল গ্রেডিয়েন্ট অপারেটর এবং ρ2 হল ল্যাপ্লাস অপারেটর। একটি অনমনীয় বস্তুর চারপাশে ওশেন প্রবাহের সীমানা শর্তগুলি হ 'লঃ বস্তুর কেন্দ্র থেকে দূরত্ব r এবং বস্তু থেকে দূরে অবিচ্ছিন্ন চাপ p ≤। অনুদৈর্ঘ্য এবং আড়াআড়ি তরঙ্গ ওশিনের সমীকরণের একটি মৌলিক বৈশিষ্ট্য হল যে সাধারণ সমাধানকে অনুদৈর্ঘ্য এবং আড়াআড়ি তরঙ্গে বিভক্ত করা যেতে পারে। একটি সমাধান হল একটি অনুদৈর্ঘ্য তরঙ্গ যদি বেগটি ঘূর্ণনশীল হয় এবং তাই সান্দ্র শব্দটি বেরিয়ে যায়। ফলস্বরূপ, বেগ সম্ভাব্য তত্ত্ব থেকে উদ্ভূত হয় এবং চাপ রৈখিককৃত বার্নৌলির সমীকরণ থেকে উদ্ভূত হয়। একটি সমাধান হল একটি ট্রান্সভার্সাল তরঙ্গ যদি চাপ সমানভাবে শূন্য হয় এবং বেগ ক্ষেত্রটি সোলিনয়েডাল হয়। সমীকরণগুলি হল তখন সম্পূর্ণ ওশেন সমাধানটি হোরেস ল্যাম্বের কারণে একটি বিভাজন উপপাদ্য দ্বারা দেওয়া হয়। বিভাজন অনন্য যদি অনন্তের শর্তগুলি নির্দিষ্ট করা হয় (বলুন)। নির্দিষ্ট কিছু অদৃশ্য প্রবাহের জন্য, আড়াআড়ি তরঙ্গকে আড়াআড়ি এবং আড়াআড়ি উপাদানে আরও বিভক্ত করা সম্ভব। ধরা যাক, স্কেলার ফাংশন যা অনন্ততায় সন্তুষ্ট করে এবং অদৃশ্য হয়ে যায় এবং বিপরীতভাবে এমনভাবে দেওয়া যাক যে, তখন আড়াআড়ি তরঙ্গটি কোথা থেকে নির্ধারিত হয় এবং এটি একক ভেক্টর। উভয়ই বা নিজে থেকে ট্রান্সভার্সাল নয়, তবে ট্রান্সভার্সাল। অতএব, একমাত্র ঘূর্ণন উপাদান হচ্ছে। মৌলিক সমাধান একটি ওশেন প্রবাহে একটি একক বিন্দু বলের কারণে মৌলিক সমাধান হল ওসেনলেট। নিউটনিয়ান এবং মাইক্রোপোলার তরলের জন্য নির্বিচারে সময়-নির্ভর ট্রান্সলেশন এবং ঘূর্ণন গতির সাথে যুক্ত সাধারণীকৃত অস্থির স্টোকস এবং ওসিন প্রবাহের জন্য বদ্ধ-ফর্ম মৌলিক সমাধানগুলি উদ্ভূত হয়েছে। ওসিন সমীকরণ ব্যবহার করে, হোরেস ল্যাম্ব 1911 সালে একটি গোলকের চারপাশে সান্দ্র প্রবাহের জন্য উন্নত অভিব্যক্তি অর্জন করতে সক্ষম হন, কিছুটা উচ্চতর রেনল্ডস সংখ্যার দিকে স্টোকস আইনের উন্নতি করেন। এছাড়াও, মেষশাবক-প্রথমবারের জন্য-একটি বৃত্তাকার সিলিন্ডারের চারপাশে সান্দ্র প্রবাহের জন্য একটি সমাধান তৈরি করেছে। কোনও বাহ্যিক সীমানা উপস্থিত না থাকলে একক বলের প্রতিক্রিয়ার সমাধানটি এইভাবে লেখা হবে যদি, বিন্দুতে কেন্দ্রীভূত একক বলটি কোথায় এবং এটি একটি স্বেচ্ছাচারী বিন্দু এবং প্রদত্ত ভেক্টর, যা একক বলের দিক নির্দেশ করে, তবে সীমানার অনুপস্থিতিতে, বেগ এবং চাপ মৌলিক টেনসর এবং মৌলিক ভেক্টর থেকে উদ্ভূত হয়। উৎপত্তিস্থলে নেওয়া সাধারণতার ক্ষতি ছাড়াই দ্বিমাত্রিক এবং। তারপর মৌলিক টেনসর এবং ভেক্টর যেখানে দ্বিতীয় ধরনের শূন্য ক্রমের পরিবর্তিত বেসেল ফাংশন কোথায়। উৎপত্তিস্থলে নেওয়া সাধারণতার ক্ষতি ছাড়াই ত্রিমাত্রিক এবং। তারপর মৌলিক টেনসর এবং ভেক্টর হল যেখানে গণনাগুলি গোলকটি স্থির বলে মনে করে এবং তরলটি গোলকটি থেকে অসীম দূরত্বে প্রবাহের বেগ () সহ প্রবাহিত হয়। স্টোকসের গণনায় জড়ত্বের পদগুলি অবহেলিত ছিল। যখন রেনল্ডস সংখ্যা শূন্যের দিকে যায় তখন এটি একটি সীমাবদ্ধ সমাধান। যখন রেনল্ডস সংখ্যাটি ছোট এবং সীমাবদ্ধ হয়, যেমন 0.1, তখন জড় পদটির জন্য সংশোধন প্রয়োজন। ওসিন নিম্নলিখিত প্রবাহ বেগের মানগুলিকে নেভিয়ার-স্টোকস সমীকরণে প্রতিস্থাপন করেছেন। নেভিয়ার-স্টোকস সমীকরণে এগুলি অন্তর্ভুক্ত করা এবং প্রাথমিক পরিমাণে দ্বিঘাত পদগুলিকে অবহেলা করা ওসিন-এর আনুমানিক ব্যুৎপত্তির দিকে পরিচালিত করেঃ যেহেতু গতি অক্ষের সাপেক্ষে প্রতিসম এবং ভর্টিসিটি ভেক্টরের বিচ্যুতি সর্বদা শূন্য, তাই আমরা পাইঃ একটি উপযুক্ত ফাংশনে যোগ করে ফাংশনটি বাদ দেওয়া যেতে পারে, এটি হল ভর্টিসিটি ফাংশন, এবং পূর্ববর্তী ফাংশনটিকে এইভাবে লেখা যেতে পারেঃ এবং কিছু সংহতকরণ দ্বারা সমাধানটি হলঃ এইভাবে "বিশেষায়িত দিক" হিসাবে এটি তৈরি হয়ঃ তারপরে তিনটি সীমানা শর্ত প্রয়োগ করে আমরা নতুন উন্নত ড্র্যাগ সহগ পাইঃ এবং অবশেষে, যখন স্টোকসের সমাধানটি ওসেনের আনুমানিক ভিত্তিতে সমাধান করা হয়েছিল, তখন এটি দেখায় যে অর্থাৎঃ জড়তা শব্দটি এই শব্দ দ্বারা প্রভাবিত হয়ঃ ত্রুটিটি তখন অনুপাত দ্বারা দেওয়া হয়ঃ এটি ′1-এর জন্য সীমাহীন হয়ে যায়, তাই সুদূর ক্ষেত্রে জড়তাকে উপেক্ষা করা যায় না। কার্লটি নেওয়ার মাধ্যমে, স্টোকসের সমীকরণটি দেয় যেহেতু বস্তুটি ভোর্টিসিটির একটি উৎস, তাই বড়ের জন্য সীমাহীন লগারিথমেটিক হয়ে উঠবে এটি অবশ্যই অনফিজিক্যাল এবং স্টোকসের প্যারাডক্স হিসাবে পরিচিত। অসংপীড়িত তরলে একটি গতিশীল গোলকের সমাধান একটি স্থির তরলে স্থির গতিতে চলমান একটি কঠিন গোলকের বিষয়টি বিবেচনা করুন। তরলটি একটি অসংকুচিত তরল হিসাবে মডেল করা হয় (অর্থাৎ। স্থির ঘনত্ব সহ), এবং স্থির হওয়ার অর্থ হল গোলক থেকে দূরত্ব অসীমের কাছাকাছি আসার সাথে সাথে এর বেগ শূন্যের দিকে ঝুঁকে যায়। একটি বাস্তব বস্তুর জন্য তার গতি শুরু হওয়ার সাথে সাথে তার ত্বরণের কারণে একটি ক্ষণস্থায়ী প্রভাব থাকবে; তবে পর্যাপ্ত সময়ের পরে এটি শূন্যের দিকে ঝুঁকবে, যাতে সর্বত্র তরল বেগ অনুমানমূলক ক্ষেত্রে প্রাপ্ত একটির কাছে পৌঁছাবে যেখানে বস্তুটি ইতিমধ্যে অসীম সময়ের জন্য চলছে। এইভাবে আমরা ধরে নিই যে ব্যাসার্ধের একটি গোলক একটি ধ্রুবক গতিতে চলছে, একটি অসংকুচিত তরলে যা অনন্ততায় বিশ্রাম করছে। আমরা এমন স্থানাঙ্কে কাজ করব যা গোলকের কেন্দ্রে অবস্থিত স্থানাঙ্ক কেন্দ্রের সাথে গোলকের সাথে চলে। আমাদের আছেঃ যেহেতু এই সীমানা শর্তগুলি, সেইসাথে গতির সমীকরণ, সময় অপরিবর্তনীয় (অর্থাৎ। সময় পরিবর্তন করে এগুলি অপরিবর্তিত থাকে) যখন স্থানাঙ্কে প্রকাশ করা হয়, সমাধানটি কেবল এই স্থানাঙ্কগুলির মাধ্যমে সময়ের উপর নির্ভর করে। গতির সমীকরণগুলি হল বিশ্রাম কাঠামোর স্থানাঙ্কে সংজ্ঞায়িত নেভিয়ার-স্টোকস সমীকরণ। উভয় স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় স্থানিক অন্তরজ সমান হলেও, সমীকরণে প্রদর্শিত সময় অন্তরজ সন্তুষ্ট করেঃ যেখানে অন্তরজটি গতিশীল স্থানাঙ্কের সাপেক্ষে। এখন থেকে আমরা এম সাবস্ক্রিপ্ট বাদ দিচ্ছি। ওশিনের অনুমানটি অ-রৈখিক শব্দটিকে অবহেলা করার সমতুল্য। এইভাবে অসংকুচিত নেভিয়ার-স্টোকস সমীকরণগুলি হয়ে ওঠেঃ একটি তরলের জন্য যার ঘনত্ব ρ এবং গতিজ সান্দ্রতা ν = μ/ρ (গতিশীল সান্দ্রতা হচ্ছে μ)। পি হল চাপ। অসংকুচিত তরলের ধারাবাহিকতা সমীকরণের কারণে, ভেক্টর সম্ভাব্যতা ব্যবহার করে সমাধানটি প্রকাশ করা যেতে পারে। এটি দিকনির্দেশিত বলে প্রমাণিত হয় এবং এর মাত্রা দ্বি-মাত্রিক সমস্যায় ব্যবহৃত স্ট্রিম ফাংশনের সমতুল্য। দেখা যাচ্ছেঃ গোলকের কাছাকাছি প্রবাহের জন্য রেনল্ডস সংখ্যা কোথায়। লক্ষ্য করুন যে কিছু স্বরলিপিতে প্রতিস্থাপিত হয় যাতে ফ্রম-এর উৎপত্তি দ্বিমাত্রিক ক্ষেত্রে (মেরু স্থানাঙ্কে) স্ট্রিম ফাংশন থেকে উদ্ভূত হওয়ার অনুরূপ হয়। বিস্তারকে নিম্নরূপ প্রকাশ করা যেতে পারেঃ যেখানেঃ, যাতে। এই ধরনের ভেক্টরের ভেক্টর ল্যাপলেসিয়ান পড়েঃ এইভাবে গণনা করা যেতে পারে যেঃ অতএবঃ এইভাবে ভোর্টিসিটি হলঃ যেখানে আমরা ভেক্টর ল্যাপলেসিয়ান এবং একটি ডাবল কার্ল সম্পর্কিত করার জন্য এর বিচ্যুতির অদৃশ্যকরণ ব্যবহার করেছি। গতির বাম দিকের সমীকরণটি হল নিম্নলিখিতগুলির কার্লঃ আমরা প্রতিটি পদের জন্য আলাদাভাবে ডেরিভেটিভ গণনা করি। লক্ষ্য করুন যেঃ এবং আরওঃ আমাদের রয়েছেঃ আমাদের সমস্ত পদের সংমিশ্রণেঃ কার্লটি গ্রহণ করে, আমরা একটি অভিব্যক্তি খুঁজে পাই যা নিম্নলিখিত ফাংশনের গ্রেডিয়েন্টের গুণের সমান, যা চাপঃ যেখানে অনন্তের চাপ, এটি মেরু কোণটি সামনের স্থবিরতা বিন্দুর বিপরীত দিক থেকে উদ্ভূত হয়েছে (যেখানে সামনের স্থবিরতা বিন্দু)। এছাড়াও, বেগটি এই কার্লটি গ্রহণ করে উদ্ভূত হয়ঃ এই p এবং u গতির সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে এবং এইভাবে ওশিনের আনুমানিক সমাধান গঠন করে। তবে, একজন প্রশ্ন করতে পারেন যে, সংশোধন শব্দটি কাকতালীয়ভাবে বেছে নেওয়া হয়েছিল কিনা, কারণ গোলকের সাথে চলমান রেফারেন্স ফ্রেমে, গোলকের কাছাকাছি তরল প্রায় বিশ্রামে থাকে এবং সেই অঞ্চলে জড়তা বল নগণ্য এবং স্টোকসের সমীকরণ ভালভাবে ন্যায্য। গোলক থেকে অনেক দূরে, প্রবাহের বেগ u-এর কাছে পৌঁছায় এবং ওসেনের আনুমানিক মান আরও সঠিক হয়। কিন্তু সমগ্র প্রবাহ ক্ষেত্রের জন্য সমীকরণ প্রয়োগ করে ওসেনের সমীকরণ পাওয়া যায়। এই প্রশ্নের উত্তর 1957 সালে প্রাউডম্যান এবং পিয়ারসন দিয়েছিলেন, যারা নেভিয়ার-স্টোকস সমীকরণগুলি সমাধান করেছিলেন এবং গোলকের আশেপাশে স্টোকসের একটি উন্নত সমাধান এবং অনন্ততায় ওসিনের একটি উন্নত সমাধান দিয়েছিলেন এবং তাদের বৈধতার একটি অনুমিত সাধারণ অঞ্চলে দুটি সমাধানের সাথে মিলেছিলেন। তারা পেয়েছেঃ প্রয়োগ খুব কম রেনল্ডস সংখ্যায় প্রবাহের বিশ্লেষণের জন্য পদ্ধতি এবং গঠন গুরুত্বপূর্ণ। জৈব-প্রকৌশলের ক্ষেত্রে তরলের মধ্যে ছোট কণাগুলির ধীর গতি সাধারণ। ওসেনের ড্র্যাগ গঠন বিভিন্ন বিশেষ পরিস্থিতিতে তরলের প্রবাহের সাথে সম্পর্কিত হতে পারে, যেমনঃ কণা ধারণকারী, কণাগুলির অবক্ষেপ, টিউমার এবং অ্যান্টিজেনগুলির বিচ্ছিন্নতার মাধ্যমে সাসপেনশন, কলয়েড এবং রক্তের সেন্ট্রিফিউগেশন বা আল্ট্রাসেন্ট্রিফিউজেশন। তরল এমনকি তরল হতে হবে না, এবং কণাগুলি কঠিন হওয়ার প্রয়োজন নেই। এটি বেশ কয়েকটি প্রয়োগে ব্যবহার করা যেতে পারে, যেমন ধোঁয়াশা গঠন এবং তরলের পরমাণুকরণ। কৈশিকের মতো ছোট ছোট ধমনীতে রক্ত প্রবাহ ছোট রেনল্ডস এবং ওমারসলি সংখ্যা দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। রক্তের প্রবাহ, সান্দ্রতা, ঘনত্ব এবং হৃদস্পন্দনের হার সহ ব্যাসের একটি পাত্রের রেনল্ডস সংখ্যা হবে 0.005 এবং ওমারসলি সংখ্যা হবে 0.0126। এই ছোট রেনল্ডস এবং ওমারসলি সংখ্যায়, তরলের সান্দ্র প্রভাব প্রধান হয়ে ওঠে। ওষুধ সরবরাহ এবং ক্যান্সারের মেটাস্ট্যাসিস গতিবিধি অধ্যয়নের জন্য এই কণাগুলির গতিবিধি বোঝা অপরিহার্য। উল্লেখ রেফারেন্স তরল গতিবিদ্যা তরল গতিবিদ্যার সমীকরণ