F(R) gravity
{{ডিসপ্লেয়িটলঃ f (R) মাধ্যাকর্ষণ}} () হল এক ধরনের পরিবর্তিত মাধ্যাকর্ষণ তত্ত্ব যা আইনস্টাইনের সাধারণ আপেক্ষিকতাকে সাধারণীকরণ করে। () মাধ্যাকর্ষণ আসলে তত্ত্বের একটি পরিবার, যার প্রত্যেকটিই রিচি স্কেলারের একটি ভিন্ন ফাংশন দ্বারা সংজ্ঞায়িত। সবচেয়ে সহজ উদাহরণ হল স্কেলারের সমান ফাংশন; এটি হল সাধারণ আপেক্ষিকতা। একটি স্বেচ্ছাচারী ফাংশন প্রবর্তনের ফলস্বরূপ, ডার্ক এনার্জি বা ডার্ক ম্যাটারের অজানা রূপগুলি যোগ না করে মহাবিশ্বের ত্বরান্বিত সম্প্রসারণ এবং কাঠামো গঠনের ব্যাখ্যা করার স্বাধীনতা থাকতে পারে। কিছু কার্যকরী রূপ মাধ্যাকর্ষণের কোয়ান্টাম তত্ত্ব থেকে উদ্ভূত সংশোধন দ্বারা অনুপ্রাণিত হতে পারে। () মাধ্যাকর্ষণ প্রথম 1970 সালে হ্যান্স অ্যাডলফ বুখডাল দ্বারা প্রস্তাবিত হয়েছিল (যদিও এটি নির্বিচারে ফাংশনের নামের পরিবর্তে ব্যবহৃত হয়েছিল)। মহাজাগতিক মুদ্রাস্ফীতির উপর স্টারবিনস্কির কাজের পরে এটি গবেষণার একটি সক্রিয় ক্ষেত্রে পরিণত হয়েছে। বিভিন্ন ফাংশন গ্রহণ করে এই তত্ত্ব থেকে বিস্তৃত ঘটনা তৈরি করা যেতে পারে; তবে, অনেক কার্যকরী রূপ এখন পর্যবেক্ষণমূলক ভিত্তিতে বা প্যাথোলজিকাল তাত্ত্বিক সমস্যার কারণে বাতিল করা যেতে পারে। ভূমিকা () মাধ্যাকর্ষণের ক্ষেত্রে, আইনস্টাইন-হিলবার্ট ক্রিয়ার ল্যাগ্রাঞ্জিয়ানকে সাধারণীকরণ করার চেষ্টা করা হয়ঃ যেখানে মেট্রিক টেনসরের নির্ধারক, এবং এটি রিচি স্কেলারের কিছু ফাংশন। পরিবর্তনের প্রভাব ট্র্যাক করার দুটি উপায় রয়েছে, অর্থাৎ, তত্ত্ব ক্ষেত্র সমীকরণ প্রাপ্ত করার জন্য। প্রথমটি হল মেট্রিক ফর্মালিজম ব্যবহার করা এবং দ্বিতীয়টি হল পালাটিনি ফর্মালিজম ব্যবহার করা। যদিও দুটি আনুষ্ঠানিকতা সাধারণ আপেক্ষিকতার জন্য একই ক্ষেত্র সমীকরণের দিকে পরিচালিত করে, অর্থাৎ কখন, ক্ষেত্র সমীকরণগুলি কখন পৃথক হতে পারে। মেট্রিক () মাধ্যাকর্ষণ ক্ষেত্র সমীকরণের উৎপত্তি মেট্রিক () মাধ্যাকর্ষণ পদ্ধতিতে, মেট্রিকের সাপেক্ষে ক্রিয়া পরিবর্তন করে এবং সংযোগটিকে স্বাধীনভাবে বিবেচনা না করে ক্ষেত্র সমীকরণে পৌঁছানো যায়। সম্পূর্ণতার জন্য আমরা এখন ক্রিয়ার পরিবর্তনের মৌলিক পদক্ষেপগুলি সংক্ষেপে উল্লেখ করব। প্রধান পদক্ষেপগুলি আইনস্টাইন-হিলবার্ট ক্রিয়ার পরিবর্তনের ক্ষেত্রে একই রকম (আরও বিশদ বিবরণের জন্য নিবন্ধটি দেখুন) তবে কিছু গুরুত্বপূর্ণ পার্থক্যও রয়েছে। নির্ধারকের বৈচিত্র্য বরাবরের মতোইঃ রিচি স্কেলারকে এভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় অতএব, বিপরীত মেট্রিকের ক্ষেত্রে এর বৈচিত্র্য দ্বারা দেওয়া হয় দ্বিতীয় ধাপের জন্য আইনস্টাইন-হিলবার্ট ক্রিয়া সম্পর্কে নিবন্ধটি দেখুন। যেহেতু দুটি সংযোগের পার্থক্য, তাই এটি একটি টেনসর হিসাবে রূপান্তরিত হওয়া উচিত। অতএব, এটিকে উপরের সমীকরণে প্রতিস্থাপন হিসাবে লেখা যেতে পারেঃ যেখানে কোভ্যারিয়েন্ট ডেরিভেটিভ এবং ডি 'আলেমবার্ট অপারেটর। ক্রিয়ার বৈচিত্র্যকে নির্দেশ করে বলা হয়েছেঃ দ্বিতীয় এবং তৃতীয় পদের অংশ দ্বারা একীকরণ করা (এবং সীমানা অবদানগুলিকে অবহেলা করা), আমরা পাইঃ মেট্রিকের বৈচিত্র্যের অধীনে ক্রিয়াটি অপরিবর্তনীয় থাকার দাবি করে, একজন ক্ষেত্রের সমীকরণগুলি অর্জন করেঃ যেখানে শক্তি-ভরবেগ টেনসরকে সংজ্ঞায়িত করা হয় যেখানে পদার্থটি ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান। সাধারণ ফ্রিডম্যান সমীকরণগুলি স্কেল ফ্যাক্টর সহ একটি রবার্টসন-ওয়াকার মেট্রিক ধরে নিলে আমরা সাধারণ ফ্রিডম্যান সমীকরণগুলি খুঁজে পেতে পারি (যেখানে এককে): হাবল প্যারামিটারটি কোথায়, বিন্দুটি মহাজাগতিক সময়ের সাপেক্ষে অন্তরজ, এবং m এবং রেড শব্দগুলি যথাক্রমে পদার্থ এবং বিকিরণ ঘনত্বকে উপস্থাপন করে; এগুলি ধারাবাহিকতা সমীকরণগুলিকে সন্তুষ্ট করেঃ পরিবর্তিত নিউটনের ধ্রুবক এই তত্ত্বগুলির একটি আকর্ষণীয় বৈশিষ্ট্য হল যে মহাকর্ষীয় ধ্রুবক সময় এবং স্কেল নির্ভরশীল। এটি দেখার জন্য, মেট্রিকটিতে (নিউটনীয় গেজে) একটি ছোট স্কেলার বিশৃঙ্খলা যোগ করুনঃ নিউটনীয় সম্ভাব্যতা কোথায় এবং কোথায় এবং ক্ষেত্র সমীকরণগুলি প্রথম ক্রমে ব্যবহার করুন। কিছু দীর্ঘ গণনার পরে, ফুরিয়ার স্পেসে একটি পয়সন সমীকরণ সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে এবং ডানদিকে প্রদর্শিত অতিরিক্ত পদগুলিকে একটি কার্যকর মহাকর্ষীয় ধ্রুবক ই. এফ-এর জন্য দায়ী করা যেতে পারে। এটি করার মাধ্যমে, আমরা মহাকর্ষীয় সম্ভাব্যতা (উপ-দিগন্ত স্কেলে বৈধ) পাইঃ যেখানে m পদার্থের ঘনত্বে একটি বিশৃঙ্খলা, তা হল ফুরিয়ার স্কেল এবং ই. এফ.: বিশাল মহাকর্ষীয় তরঙ্গের সাথে এই শ্রেণীর তত্ত্বগুলি যখন রৈখিক হয় তখন মহাকর্ষীয় তরঙ্গগুলির জন্য তিনটি মেরুকরণ মোড প্রদর্শন করে, যার মধ্যে দুটি ভরহীন মহাকর্ষীয় (হেলিসিটি ± 2) এবং তৃতীয় (স্কেলার) এই সত্য থেকে আসে যে আমরা যদি একটি সামঞ্জস্যপূর্ণ রূপান্তর বিবেচনা করি তবে চতুর্থ ক্রম তত্ত্ব () সাধারণ আপেক্ষিকতা এবং একটি স্কেলার ক্ষেত্র হয়ে যায়। এটি দেখার জন্য, বিচ্যুতি তত্ত্বের প্রথম ক্রমে কাজ করার জন্য উপরের ক্ষেত্র সমীকরণগুলি চিহ্নিত করুন এবং ব্যবহার করুনঃ এবং কিছু ক্লান্তিকর বীজগণিতের পরে, কেউ মেট্রিক বিচ্যুতিটির জন্য সমাধান করতে পারে, যা মহাকর্ষীয় তরঙ্গের সাথে মিলে যায়। একটি নির্দিষ্ট ফ্রিকোয়েন্সি উপাদান,-দিকে প্রচারিত তরঙ্গের জন্য, যেখানে লেখা যেতে পারে এবং g () = d/d হল তরঙ্গ-ভেক্টরকে কেন্দ্র করে একটি তরঙ্গ প্যাকেটের গ্রুপ বেগ। প্রথম দুটি পদ সাধারণ আপেক্ষিকতা থেকে স্বাভাবিক আড়াআড়ি মেরুকরণের সাথে মিলে যায়, যেখানে তৃতীয়টি () তত্ত্বের নতুন বিশাল মেরুকরণ পদ্ধতির সাথে মিলে যায়। এই মোডটি ভরহীন আড়াআড়ি শ্বাস-প্রশ্বাসের মোড (তবে ট্রেসলেস নয়) এবং বিশাল অনুদৈর্ঘ্য স্কেলার মোডের মিশ্রণ। আড়াআড়ি এবং ট্রেসলেস মোডগুলি (যা টেনসর মোড নামেও পরিচিত) আলোর গতিতে প্রসারিত হয়, তবে বিশাল স্কেলার মোডটি জি <1 গতিতে চলে (যেখানে = 1 ইউনিটে), এই মোডটি বিচ্ছুরিত। যাইহোক, () মাধ্যাকর্ষণ মেট্রিক আনুষ্ঠানিকতায়, মডেলের জন্য (বিশুদ্ধ মডেল নামেও পরিচিত), তৃতীয় মেরুকরণ মোডটি একটি বিশুদ্ধ শ্বাস-প্রশ্বাসের মোড এবং স্থানকালের মধ্য দিয়ে আলোর গতির সাথে প্রসারিত হয়। সমতুল্য আনুষ্ঠানিকতা কিছু অতিরিক্ত শর্তে আমরা একটি সহায়ক ক্ষেত্র প্রবর্তন করে () তত্ত্বগুলির বিশ্লেষণকে সহজতর করতে পারি। সকলের জন্য ধরে নিলে, ধরা যাক () হল ()-এর কিংবদন্তি রূপান্তর যাতে এবং। তারপর, একজন ও 'হ্যানলন (1972) ক্রিয়াটি অর্জন করেঃ আমাদের কাছে ইউলার-ল্যাগ্রাঞ্জ সমীকরণ রয়েছে যা বাদ দিয়ে, আমরা ঠিক আগের মতো একই সমীকরণগুলি পাই। যাইহোক, সমীকরণগুলি চতুর্থ ক্রমের পরিবর্তে ডেরিভেটিভগুলিতে কেবল দ্বিতীয় ক্রম। আমরা বর্তমানে জর্ডান ফ্রেম নিয়ে কাজ করছি। একটি কনফরমাল রিসকেলিং সম্পাদন করে আমরা আইনস্টাইন ফ্রেমে রূপান্তরিত হইঃ অংশ দ্বারা সংহত করার পরে। সংজ্ঞা দেওয়া এবং প্রতিস্থাপন করা এটি একটি বাস্তব স্কেলার ক্ষেত্রের সাথে যুক্ত সাধারণ আপেক্ষিকতাঃ ত্বরান্বিত মহাবিশ্বকে বর্ণনা করার জন্য () তত্ত্ব ব্যবহার করা কার্যত বিশুদ্ধতা ব্যবহারের সমতুল্য। (অন্ততপক্ষে, এই সতর্কতার সমতুল্য যে আমরা এখনও পদার্থের সংযোগগুলি নির্দিষ্ট করিনি, তাই (উদাহরণস্বরূপ) () মাধ্যাকর্ষণ যেখানে পদার্থটি মেট্রিকের সাথে ন্যূনতমভাবে যুক্ত (অর্থাৎ, জর্ডান ফ্রেমে) একটি বিশুদ্ধতা তত্ত্বের সমতুল্য যেখানে স্কেলার ক্ষেত্র মহাকর্ষীয় শক্তির সাথে পঞ্চম বলকে মধ্যস্থতা করে।) পলাতিনী () মাধ্যাকর্ষণ পলাতিনী () মাধ্যাকর্ষণের ক্ষেত্রে, মেট্রিক এবং সংযোগকে স্বাধীনভাবে বিবেচনা করা হয় এবং প্রত্যেকটির সাপেক্ষে ক্রিয়াটি পৃথকভাবে পরিবর্তিত হয়। বিষয়টি ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান সংযোগ থেকে স্বাধীন বলে মনে করা হয়। এই তত্ত্বগুলি ব্রান্স-ডিক তত্ত্বের সমতুল্য বলে প্রমাণিত হয়েছে। তত্ত্বের কাঠামোর কারণে, তবে, পালাতিনি () তত্ত্বগুলি স্ট্যান্ডার্ড মডেলের সাথে দ্বন্দ্বে রয়েছে বলে মনে হয়, সৌরজগতের পরীক্ষাগুলি লঙ্ঘন করতে পারে এবং অবাঞ্ছিত এককত্ব তৈরি করতে পারে বলে মনে হয়। মেট্রিক-অ্যাফিন () মাধ্যাকর্ষণ মেট্রিক-অ্যাফিন () মাধ্যাকর্ষণের ক্ষেত্রে, মেট্রিক এবং সংযোগ উভয়কেই স্বাধীনভাবে বিবেচনা করে এবং ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান বিষয়টি সংযোগের উপরও নির্ভর করে বলে ধরে নিয়ে জিনিসগুলিকে আরও সাধারণীকরণ করা হয়। পর্যবেক্ষণমূলক পরীক্ষা যেহেতু () মাধ্যাকর্ষণের অনেক সম্ভাব্য রূপ রয়েছে, তাই জেনেরিক পরীক্ষা খুঁজে পাওয়া কঠিন। উপরন্তু, যেহেতু সাধারণ আপেক্ষিকতা থেকে দূরে বিচ্যুতি কিছু ক্ষেত্রে নির্বিচারে ছোট করা যেতে পারে, তাই কিছু পরিবর্তন চূড়ান্তভাবে বাদ দেওয়া অসম্ভব। কিছু অগ্রগতি করা যেতে পারে, টেলর সম্প্রসারণ দ্বারা () ফাংশনের জন্য একটি কংক্রিট রূপ ধরে না নিয়ে প্রথম পদটি মহাজাগতিক ধ্রুবকের মতো এবং অবশ্যই ছোট হতে হবে। পরবর্তী সহগ 1 কে সাধারণ আপেক্ষিকতার মতো একটিতে সেট করা যেতে পারে। মেট্রিক () মাধ্যাকর্ষণের জন্য (প্যালাটিনি বা মেট্রিক-অ্যাফিন () মাধ্যাকর্ষণের বিপরীতে), দ্বিঘাত শব্দটি পঞ্চম বল পরিমাপ দ্বারা সীমাবদ্ধ, কারণ এটি মাধ্যাকর্ষণ সম্ভাব্যতায় ইউকাওয়া সংশোধনের দিকে পরিচালিত করে। সর্বোত্তম বর্তমান সীমা হল বা সমতুল্য নিউটন-পরবর্তী নিয়মানুবর্তিতা মাধ্যাকর্ষণের জেনেরিক পরিবর্তিত তত্ত্বগুলিকে সীমাবদ্ধ করতে সক্ষম হওয়ার জন্য ডিজাইন করা হয়েছে। যাইহোক, () মাধ্যাকর্ষণ সাধারণ আপেক্ষিকতার মতো অনেকগুলি মান ভাগ করে এবং তাই এই পরীক্ষাগুলি ব্যবহার করে আলাদা করা যায় না। বিশেষ করে আলোর বিচ্যুতি অপরিবর্তিত থাকে, তাই () মাধ্যাকর্ষণ, সাধারণ আপেক্ষিকতার মতো, ক্যাসিনি ট্র্যাকিং থেকে সীমার সাথে সম্পূর্ণ সামঞ্জস্যপূর্ণ। স্টারবিনস্কির মাধ্যাকর্ষণের নিম্নলিখিত রূপ রয়েছে যেখানে ভরের মাত্রা রয়েছে। স্টারবিনস্কি মাধ্যাকর্ষণ মহাজাগতিক মুদ্রাস্ফীতির জন্য একটি প্রক্রিয়া সরবরাহ করে, বিগ ব্যাংয়ের ঠিক পরে যখন তখনও বড় ছিল। যাইহোক, বর্তমান মহাবিশ্বের ত্বরণ বর্ণনা করার জন্য এটি উপযুক্ত নয় কারণ বর্তমানে এটি খুব ছোট। এটি বোঝায় যে চতুর্ভুজ শব্দটি নগণ্য, অর্থাৎ, একটি নল মহাজাগতিক ধ্রুবক সহ সাধারণ আপেক্ষিকতা। গোগোই-গোস্বামী মাধ্যাকর্ষণের নিম্নলিখিত রূপ রয়েছে যেখানে এবং দুটি মাত্রাবিহীন ধনাত্মক ধ্রুবক এবং এটি একটি চরিত্রগত বক্রতা ধ্রুবক। পূর্ববর্তী বিভাগগুলিতে উপস্থাপিত টেনসোরিয়াল জেনারেলাইজেশন () মাধ্যাকর্ষণ হল সাধারণ আপেক্ষিকতার একটি স্কেলার পরিবর্তন। আরও সাধারণভাবে, আমাদের কাছে রিচি টেনসর এবং ওয়েইল টেনসরের অপরিবর্তনীয়গুলির সাথে জড়িত একটি সংযুক্তি থাকতে পারে। বিশেষ ক্ষেত্রে () মাধ্যাকর্ষণ, সামঞ্জস্যপূর্ণ মাধ্যাকর্ষণ, গাউস-বনেট মাধ্যাকর্ষণ এবং লাভলক মাধ্যাকর্ষণ। লক্ষ্য করুন যে কোনও অ-তুচ্ছ টেনসোরিয়াল নির্ভরতার সাথে, আমাদের সাধারণত ভরহীন মাধ্যাকর্ষণ এবং একটি বিশাল স্কেলার ছাড়াও অতিরিক্ত বিশাল স্পিন-2 ডিগ্রি অফ ফ্রিডম থাকে। একটি ব্যতিক্রম হল গাউস-বনেট মাধ্যাকর্ষণ যেখানে স্পিন-2 উপাদানগুলির জন্য চতুর্থ ক্রমের পদগুলি বাতিল হয়ে যায়। আরও দেখুন মাধ্যাকর্ষণের বর্ধিত তত্ত্ব গাউস-বনেট মাধ্যাকর্ষণ লাভলক মাধ্যাকর্ষণ রেফারেন্স আরও পড়ুন ক্লাইনার্ট, এইচ. (2016), ওয়ার্ল্ড সায়েন্টিফিক (সিঙ্গাপুর, 2016) (অনলাইনেও উপলব্ধ) সালভাতোর ক্যাপোজিয়েলো এবং মারিয়াফেলিসিয়া ডি লরেন্টিস, (2015) "এফ (আর) তত্ত্বের মাধ্যাকর্ষণ"-এর "কণা এবং কোয়ান্টাম ক্ষেত্র" সম্পর্কিত পাঠ্যপুস্তকের 29 নং অধ্যায় দেখুন। স্কলারপিডিয়া, দোইঃ 10.4249/scholarpedia.31422 কালভাকোটা, বৈভব আর., (2021) "ইনভেস্টিগেটিং এফ (আর)" মাধ্যাকর্ষণ এবং মহাজাগতিকতা "। গাণিতিক পদার্থবিজ্ঞানের প্রি-প্রিন্ট আর্কাইভ, https://web.ma.utexas.edu/mp_arc/c/21/21-38.pdf এস. আই. ক্রুগ্লোভ (2014)। "একটি মহাজাগতিক ধ্রুবক অনুকরণ করে পরিবর্তিত আর্কটান-মাধ্যাকর্ষণ মডেল"। Phys.Rev.D 89,6,064004 [arXiv: 1310.6915]। এস. আই. ক্রুগ্লোভ (2013)। "এক্সপোনেনশিয়াল পরিবর্তিত মাধ্যাকর্ষণের উপর"। Int.J.Mod.Phys.A 28,24,1350119 [arXiv: 1204.6709]। এস. আই. ক্রুগ্লোভ (2016)। "বর্ন-ইনফেল্ডের মতো পরিবর্তিত মাধ্যাকর্ষণের উপর নোটস"। Astrophys.Space বিজ্ঞান। 361, 2, 73 [arXiv: 1403.0675]। এস. আই. ক্রুগ্লোভ (2015)। "একটি নতুন (এফ (আর)-মাধ্যাকর্ষণ মডেল"। Astrophys.Space বিজ্ঞান। 358, 2, 48 [arXiv: 1502.00659]। এস. আই. ক্রুগ্লোভ (2023), "লগারিদমিক মাধ্যাকর্ষণ মডেল"। Int.J.Mod.Phys। D 32,06,2350037 [arXiv: 2304.09106]। বাহ্যিক সংযোগগুলি arxiv.org-এর উপর f (R) মাধ্যাকর্ষণ মাধ্যাকর্ষণ তত্ত্বের বর্ধিত তত্ত্ব