Decoherence-free subspaces
একটি ডিকোহেরেন্স-মুক্ত সাবস্পেস (ডিএফএস) একটি কোয়ান্টাম সিস্টেমের হিলবার্ট স্পেসের একটি সাবস্পেস যা অ-একক গতিবিদ্যার অপরিবর্তনীয়। বিকল্পভাবে বলা যায়, এগুলি হিলবার্ট স্পেস সিস্টেমের একটি ছোট অংশ যেখানে সিস্টেমটি পরিবেশ থেকে বিচ্ছিন্ন এবং এইভাবে এর বিবর্তন সম্পূর্ণরূপে একক। ডিএফএসগুলিকে কোয়ান্টাম ত্রুটি সংশোধন কোডের একটি বিশেষ শ্রেণী হিসাবেও চিহ্নিত করা যেতে পারে। এই উপস্থাপনায় এগুলি প্যাসিভ ত্রুটি-প্রতিরোধকারী কোড কারণ এই সাবস্পেসগুলি এমন তথ্য দিয়ে এনকোড করা হয় যা (সম্ভবত) কোনও সক্রিয় স্থিতিশীলতা পদ্ধতির প্রয়োজন হবে না। এই সাবস্পেসগুলি কোয়ান্টাম তথ্য পৃথক করে ধ্বংসাত্মক পরিবেশগত মিথস্ক্রিয়া প্রতিরোধ করে। এইভাবে, এগুলি কোয়ান্টাম কম্পিউটিংয়ের একটি গুরুত্বপূর্ণ বিষয়, যেখানে কোয়ান্টাম সিস্টেমগুলির (সুসঙ্গত) নিয়ন্ত্রণ হল কাঙ্ক্ষিত লক্ষ্য। একটি সিস্টেমের কোয়ান্টাম অবস্থার মধ্যে সঙ্গতি হ্রাস করে এবং তাই তাদের হস্তক্ষেপ পদগুলির ক্ষয় ঘটিয়ে ডিকোহেরেন্স এই বিষয়ে সমস্যা তৈরি করে, যার ফলে (উন্মুক্ত) কোয়ান্টাম সিস্টেম থেকে পার্শ্ববর্তী পরিবেশে তথ্যের ক্ষতি হয়। যেহেতু কোয়ান্টাম কম্পিউটারগুলি তাদের পরিবেশ থেকে বিচ্ছিন্ন করা যায় না (অর্থাৎ। বাস্তব জগতে আমাদের সত্যিকারের বিচ্ছিন্ন কোয়ান্টাম সিস্টেম থাকতে পারে না) এবং তথ্য হারিয়ে যেতে পারে, বাস্তব জগতে কোয়ান্টাম কম্পিউটার বাস্তবায়নের জন্য ডিএফএস-এর অধ্যয়ন গুরুত্বপূর্ণ। পটভূমির উৎপত্তি কোয়ান্টাম ইনফরমেশন প্রসেসিং (কিউ. আই. পি) বিষয়ে বিচ্ছিন্নতা এড়াতে কাঠামোগত পদ্ধতির অনুসন্ধানের মাধ্যমে ডি. এফ. এস-এর অধ্যয়ন শুরু হয়। পদ্ধতিগুলির মধ্যে নির্দিষ্ট রাজ্যগুলি চিহ্নিত করার প্রচেষ্টা জড়িত যা নির্দিষ্ট ডিকোহারিং প্রক্রিয়া দ্বারা অপরিবর্তিত থাকার সম্ভাবনা রয়েছে (অর্থাৎ। পরিবেশের সাথে কিছু মিথস্ক্রিয়া)। এই গবেষণাগুলি জি. এম-এর পর্যবেক্ষণ দিয়ে শুরু হয়েছিল। পাল্মা, কে-এ সুমিনেন এবং এ. কে। একার্ট, যিনি পরিবেশের সাথে একই মিথস্ক্রিয়া রয়েছে এমন দুটি কিউবিটের উপর বিশুদ্ধ ডিফেজিংয়ের পরিণতি অধ্যয়ন করেছিলেন। তারা দেখতে পেল যে এই ধরনের দুটি কিউবিট ডিকোয়ার করে না। মূলত "সাব-ডিকোয়েরেন্স" শব্দটি এই পরিস্থিতি বর্ণনা করতে পাল্মা ব্যবহার করেছিলেন। মার্টিন প্লেনিও, ভ্লাটকো ভেদ্রাল এবং পিটার নাইটের স্বাধীন কাজও লক্ষণীয়, যিনি স্বতঃস্ফূর্ত নির্গমনে একটি নির্দিষ্ট একক সময় বিবর্তনের অধীনে অপরিবর্তনীয় কোডওয়ার্ড দিয়ে একটি ত্রুটি সংশোধন কোড তৈরি করেছিলেন। এর কিছু পরেই, এল-এম ডুয়ান এবং জি-সি গুও এই ঘটনাটি অধ্যয়ন করেন এবং পাল্মা, সুওমিনন এবং একার্টের মতো একই সিদ্ধান্তে পৌঁছান। যাইহোক, ডুয়ান এবং গুও তাদের নিজস্ব পরিভাষা প্রয়োগ করে, "সঙ্গতি সংরক্ষণকারী অবস্থা" ব্যবহার করে এমন অবস্থাগুলি বর্ণনা করতে যা ডিফেজিংয়ের সাথে বিচ্ছিন্ন হয় না। ডুয়ান এবং গুও ডিফেজিংয়ের বিরুদ্ধে সংহতি বজায় রাখতে দুটি কিউবিটের সংমিশ্রণের এই ধারণাকে আরও এগিয়ে নিয়ে গিয়েছিলেন, সমষ্টিগত ডিফেজিং এবং অপচয় উভয় ক্ষেত্রেই যা দেখায় যে এই জাতীয় পরিস্থিতিতে ডিকোহেরেন্স প্রতিরোধ করা হয়। সিস্টেম-এনভায়রনমেন্ট কাপলিং শক্তি সম্পর্কে জ্ঞান অনুমান করে এটি দেখানো হয়েছিল। যাইহোক, এই ধরনের মডেলগুলি সীমিত ছিল কারণ তারা শুধুমাত্র ডিফেজিং এবং ডিসিপেশনের ডিকোহেরেন্স প্রক্রিয়া নিয়ে কাজ করত। অন্যান্য ধরনের ডিকোহেরেন্স মোকাবেলা করার জন্য, পাল্মা, সুমিনেন এবং একার্ট এবং ডুয়ান এবং গুও দ্বারা উপস্থাপিত পূর্ববর্তী মডেলগুলি পি. জানার্দি এবং এম. রাসেত্তি দ্বারা আরও সাধারণ পরিবেশে কাস্ট করা হয়েছিল। তারা বিদ্যমান গাণিতিক কাঠামোকে আরও সাধারণ সিস্টেম-পরিবেশগত মিথস্ক্রিয়া অন্তর্ভুক্ত করার জন্য প্রসারিত করেছিল, যেমন সমষ্টিগত ডিকোহেরেন্স-একটি কোয়ান্টাম সিস্টেমের সমস্ত অবস্থার উপর কাজ করা একই ডিকোহেরেন্স প্রক্রিয়া এবং সাধারণ হ্যামিল্টনিয়ানরা। তাদের বিশ্লেষণ ডিকোহেরেন্স-মুক্ত (ডিএফ) অবস্থার অস্তিত্বের জন্য প্রথম আনুষ্ঠানিক এবং সাধারণ পরিস্থিতি দিয়েছে, যা সিস্টেম-পরিবেশ সংযোগের শক্তি জানার উপর নির্ভর করে না। জানার্দি এবং রাসেত্তি এই ডিএফ অবস্থাগুলিকে "কোড এড়ানোর ত্রুটি" বলে অভিহিত করেছেন। পরবর্তীকালে, ড্যানিয়েল এ. লিডার এই ডিএফ রাজ্যগুলির অস্তিত্বের জন্য "ডিকোহেরেন্স-মুক্ত সাবস্পেস" শিরোনামের প্রস্তাব করেছিলেন। লিডার বিশৃঙ্খলার বিরুদ্ধে ডিএফ রাজ্যের শক্তি অধ্যয়ন করেন এবং আবিষ্কার করেন যে ডিএফ রাজ্যে প্রচলিত সংহতি হ্যামিল্টনিয়ান ব্যবস্থার বিবর্তনের দ্বারা বিপর্যস্ত হতে পারে। এই পর্যবেক্ষণ কোয়ান্টাম গণনার জন্য ডিএফ অবস্থার সম্ভাব্য ব্যবহারের জন্য আরেকটি পূর্বশর্ত চিহ্নিত করেছে। ডিএফ রাজ্যগুলির অস্তিত্বের জন্য একটি সম্পূর্ণ সাধারণ প্রয়োজনীয়তা লিডার, ডি বেকন এবং কে. বি দ্বারা প্রাপ্ত হয়েছিল। ক্রাউস অপারেটর-সাম রিপ্রেজেন্টেশন (ওএসআর)-এর পরিপ্রেক্ষিতে হোয়েলিকে প্রকাশ করা হয়। পরে, এ. শাবানি এবং লিডার ডিএফএস কাঠামোকে সাধারণীকরণ করেন এবং প্রাথমিক অবস্থাকে ডিএফ-স্টেট হওয়ার প্রয়োজনীয়তা শিথিল করেন এবং ডিএফএস-এর জন্য কিছু পরিচিত শর্ত সংশোধন করেন। সাম্প্রতিক গবেষণা ডি. এফ. এস ছবিটিকে সাধারণীকরণের ক্ষেত্রে একটি পরবর্তী উন্নয়ন করা হয়েছিল যখন ই. নিল, আর. লাফলাম এবং এল. ভায়োলা একটি "শব্দহীন সাবসিস্টেম" ধারণাটি প্রবর্তন করেছিলেন। নাইল বীজগণিতের উচ্চ-মাত্রিক অপরিবর্তনীয় উপস্থাপনায় প্রসারিত হয়ে সিস্টেম-পরিবেশের মিথস্ক্রিয়ায় গতিশীল প্রতিসাম্য তৈরি করে। ডিএফএস-এর উপর পূর্ববর্তী কাজগুলি ডিএফ অবস্থাগুলিকে একক হিসাবে বর্ণনা করেছে, যা এক-মাত্রিক অপরিবর্তনীয় উপস্থাপনা। এই কাজটি সফল প্রমাণিত হয়েছিল, কারণ এই বিশ্লেষণের ফলে সমষ্টিগত বিচ্ছিন্নতার অধীনে একটি ডি. এফ. এস নির্মাণের জন্য প্রয়োজনীয় কিউবিটের সংখ্যা চার থেকে কমে তিন হয়ে গিয়েছিল। সাবস্পেস থেকে সাবসিস্টেম পর্যন্ত সাধারণীকরণ সর্বাধিক পরিচিত ডিকোহেরেন্স প্রতিরোধ এবং নলিং কৌশলগুলির সংমিশ্রণের ভিত্তি তৈরি করে। ডিকোহেরেন্স-মুক্ত সাবস্পেসের অস্তিত্বের শর্তাবলী হ্যামিল্টনিয়ান গঠন একটি এন-মাত্রিক কোয়ান্টাম সিস্টেম এস-কে একটি বাথ বি-এর সাথে যুক্ত বিবেচনা করুন এবং সম্মিলিত সিস্টেম-বাথ হ্যামিল্টনিয়ান দ্বারা নিম্নরূপ বর্ণনা করা হয়েছেঃ যেখানে হ্যামিল্টনিয়ান মিথস্ক্রিয়াটি স্বাভাবিক উপায়ে দেওয়া হয় এবং যেখানে কেবল সিস্টেম (বাথ)-এর উপর কাজ করে, এবং সিস্টেম (বাথ) হ্যামিল্টনিয়ান, এবং সিস্টেম (বাথ)-এর উপর কাজ করা পরিচয় অপারেটর। এই পরিস্থিতিতে, হিলবার্ট স্পেস সিস্টেমের অভ্যন্তরে গতিশীল বিবর্তন সম্পূর্ণরূপে এককেন্দ্রিক (সমস্ত সম্ভাব্য স্নান অবস্থা) হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদিঃ অন্য কথায়, যদি সিস্টেমটি শুরু হয় (অর্থাৎ। সিস্টেম এবং স্নান প্রাথমিকভাবে বিচ্ছিন্ন করা হয়) এবং হ্যামিল্টনিয়ান সিস্টেম অপরিবর্তনীয় ছেড়ে দেয়, তারপর একটি ডিএফএস হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি এটি সন্তুষ্ট হয় (i)। এই অবস্থাগুলি ডিজেনারেট আইগেনকেট এবং এইভাবে আলাদা করা যায়, তাই নির্দিষ্ট ডিকোয়ারিং প্রক্রিয়াগুলিতে তথ্য সংরক্ষণ করে। হিলবার্ট স্পেস সিস্টেমের যে কোনও সাবস্পেস যা উপরের শর্তগুলি সন্তুষ্ট করে তা একটি ডিকোহেরেন্স-মুক্ত সাবস্পেস। যাইহোক, শর্ত (iii) সন্তুষ্ট না হলে তথ্য এখনও এই সাবস্পেস থেকে "লিক" হতে পারে। অতএব, হ্যামিল্টনিয়ান অবস্থার অধীনে একটি ডিএফএস বিদ্যমান থাকলেও, এখনও অ-একক ক্রিয়া রয়েছে যা এই সাবস্পেসগুলির উপর কাজ করতে পারে এবং তাদের থেকে রাজ্যগুলিকে অন্য সাবস্পেসে নিয়ে যেতে পারে, যা হিলবার্ট স্পেস সিস্টেমের ডিএফএস হতে পারে বা নাও হতে পারে। অপারেটর-সমষ্টি উপস্থাপনা সূত্রটি ধরা যাক একটি এন-মাত্রিক ডিএফএস, যেখানে সিস্টেমের (শুধুমাত্র কোয়ান্টাম সিস্টেম) হিলবার্ট স্পেস। ক্রাউস অপারেটররা যখন ভিত্তির পরিপ্রেক্ষিতে লেখেন যে স্প্যানটি এইভাবে দেওয়া হয়ঃ যেখানে (সম্মিলিত সিস্টেম-বাথ হ্যামিল্টনিয়ান), কাজ করে এবং একটি নির্বিচারে ম্যাট্রিক্স যা (অর্থোগোনাল পরিপূরক) এর উপর কাজ করে। যেহেতু কাজ করে, তখন এটি ডিকোহেরেন্স তৈরি করবে না; তবে, এটি (সম্ভবত) ডিকোহারিং প্রভাব তৈরি করতে পারে। ভিত্তি কেটগুলি বিবেচনা করুন যা বিস্তৃত এবং উপরন্তু, তারা পূরণ করেঃ একটি স্বেচ্ছাচারী একক অপারেটর এবং সময়-নির্ভর হতে পারে বা নাও হতে পারে, তবে এটি সূচক পরিবর্তনশীল থেকে স্বাধীন। এস হল জটিল ধ্রুবক। যেহেতু স্প্যান, তখন যে কোনও বিশুদ্ধ অবস্থাকে এই বেসিস কেটগুলির রৈখিক সংমিশ্রণ হিসাবে লেখা যেতে পারেঃ এই অবস্থাটি ডিকোহেরেন্স-মুক্ত হবে; এটি এর ক্রিয়া বিবেচনা করে দেখা যেতে পারেঃ অতএব, এর ঘনত্ব অপারেটর উপস্থাপনার পরিপ্রেক্ষিতে, এই অবস্থার বিবর্তন হলঃ উপরের অভিব্যক্তিটি বলে যে এটি একটি বিশুদ্ধ অবস্থা এবং এর বিবর্তন এককেন্দ্রিক, যেহেতু এটি এককেন্দ্রিক। অতএব, যে কোনও রাজ্য ক্ষয় হবে না কারণ এর বিবর্তন একটি একক অপারেটর দ্বারা পরিচালিত হয় এবং তাই এর গতিশীল বিবর্তন সম্পূর্ণরূপে একক হবে। এইভাবে এটি একটি ডিকোহেরেন্স-মুক্ত সাবস্পেস। উপরের যুক্তিটিকে প্রাথমিক নির্বিচারে মিশ্র অবস্থায়ও সাধারণীকরণ করা যেতে পারে। সেমিগ্রুপ গঠন এই গঠনটি সেমিগ্রুপ পদ্ধতির ব্যবহার করে। লিন্ডব্লাড ডিকোহারিং শব্দটি নির্ধারণ করে যে কখন একটি কোয়ান্টাম সিস্টেমের গতিশীলতা একক হবে; বিশেষত, যখন, সিস্টেমের অবস্থার ঘনত্ব অপারেটর উপস্থাপনা কোথায়, গতিশীলতা ডিকোহের্যান্স-মুক্ত হবে। ধরা যাক, সিস্টেমের হিলবার্ট স্পেস কোথায়। এই অনুমানের অধীনে যেঃ একটি ডি. এফ. এস হওয়ার জন্য একটি প্রয়োজনীয় এবং পর্যাপ্ত শর্ত হলঃ উপরের অভিব্যক্তিটি বলে যে সমস্ত বেসিস স্টেটগুলি ত্রুটি জেনারেটরের ডিজেনারেট আইগেনস্টেট যেমন, তাদের নিজ নিজ সঙ্গতি পদগুলি ডিকোয়ার করে না। এইভাবে একটি ডিকোহারিং প্রক্রিয়ার পরে অভ্যন্তরীণ অবস্থাগুলি পারস্পরিকভাবে পৃথকযোগ্য থাকবে কারণ তাদের নিজ নিজ আইগেনভ্যালুগুলি অবক্ষয়িত এবং তাই ত্রুটি জেনারেটরের অধীনে ক্রিয়ার পরে সনাক্তযোগ্য। তথ্য-সংরক্ষণ কাঠামো (আই. পি. এস) এবং কোয়ান্টাম ত্রুটি-সংশোধন কোড (কিউ. ই. সি. সি) তথ্য-সংরক্ষণ কাঠামো (আই. পি. এস) ডি. এফ. এস-এর একটি বিশেষ শ্রেণী হিসাবে ডি. এফ. এস-কে তার অবস্থার সেটের মাধ্যমে "এনকোডিং" তথ্য হিসাবে ভাবা যেতে পারে। এটি দেখার জন্য, একটি ডি-ডাইমেনশনাল ওপেন কোয়ান্টাম সিস্টেম বিবেচনা করুন যা অবস্থায় প্রস্তুত করা হয়-একটি অ-নেতিবাচক (অর্থাৎ। এর আইগেনভ্যালুগুলি ধনাত্মক), ট্রেস-নর্মালাইজড (), ঘনত্ব অপারেটর যা সিস্টেমের হিলবার্ট-শ্মিট স্থানের অন্তর্গত, ()-এ আবদ্ধ অপারেটরদের স্থান। মনে করুন যে এই ঘনত্ব অপারেটর (অবস্থা) একটি ডি. এফ. এস (সিস্টেমের হিলবার্ট স্থান) এবং কোথায় থেকে নির্বাচিত হয়েছে। এই অবস্থার সেটকে একটি কোড বলা হয়, কারণ এই সেটের মধ্যে থাকা স্টেটগুলি নির্দিষ্ট ধরনের তথ্য এনকোড করে; অর্থাৎ, সেট এস তার অবস্থার মাধ্যমে তথ্য এনকোড করে। এই তথ্য যা এর মধ্যে রয়েছে তা অবশ্যই অ্যাক্সেস করতে সক্ষম হতে হবে; যেহেতু তথ্যটি রাজ্যের মধ্যে এনকোড করা হয়েছে, তাই এই রাজ্যগুলি অবশ্যই কোনও প্রক্রিয়া থেকে আলাদা হতে হবে, যেমন, যে তথ্য অর্জনের চেষ্টা করে। অতএব, দুটি রাজ্যের জন্য, প্রক্রিয়াটি হল এই রাজ্যগুলির জন্য তথ্য সংরক্ষণ করা, যদি প্রক্রিয়াটির পরে রাজ্যগুলি আগের মতোই আলাদা থাকে। আরও সাধারণ পদ্ধতিতে বলা হয়েছে, একটি কোড (বা ডি. এফ. এস) একটি প্রক্রিয়া দ্বারা সংরক্ষিত হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি প্রতিটি জোড়া অবস্থা প্রয়োগের পরে প্রয়োগ করা হয় যেমন তারা প্রয়োগ করার আগে ছিল। একটি আরও ব্যবহারিক বর্ণনা হবেঃ একটি প্রক্রিয়া দ্বারা সংরক্ষিত হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি এবং এটি কেবল বলে যে এটি একটি 1:1 ট্রেস-দূরত্ব-সংরক্ষণ মানচিত্র। এই ছবিতে ডি. এফ. এস হল অবস্থার সেট (কোডের পরিবর্তে) যার পারস্পরিক পার্থক্য একটি প্রক্রিয়া দ্বারা প্রভাবিত হয় না। কোয়ান্টাম ত্রুটি-সংশোধন কোড (কিউইসিসি) যেহেতু ডিএফএসগুলি তাদের অবস্থার সেটগুলির মাধ্যমে তথ্য এনকোড করতে পারে, তাই তারা ত্রুটির (ডিকোহারিং প্রক্রিয়া) বিরুদ্ধে নিরাপদ। এইভাবে ডি. এফ. এস-কে কিউ. ই. সি. সি-র একটি বিশেষ শ্রেণী হিসাবে দেখা যেতে পারে, যেখানে তথ্যগুলি এমন অবস্থায় এনকোড করা হয় যা পরিবেশের সাথে মিথস্ক্রিয়া দ্বারা বিঘ্নিত হতে পারে তবে কিছু বিপরীত প্রক্রিয়া দ্বারা পুনরুদ্ধার করা যেতে পারে। একটি কোড বিবেচনা করুন, যা হিলবার্ট স্পেস সিস্টেমের একটি সাবস্পেস, যার দ্বারা প্রদত্ত এনকোডেড তথ্য সহ (অর্থাৎ। "কোডওয়ার্ডস")। এই কোডটি বিচ্ছিন্নতা থেকে রক্ষা করার জন্য প্রয়োগ করা যেতে পারে এবং এইভাবে সিস্টেমের হিলবার্ট স্থানের একটি ছোট অংশে তথ্যের ক্ষতি রোধ করা যেতে পারে। ত্রুটিগুলি পরিবেশের (স্নান) সাথে সিস্টেমের মিথস্ক্রিয়ার কারণে ঘটে এবং ক্রাউস অপারেটরদের দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়। সিস্টেমটি স্নানের সাথে মিথস্ক্রিয়া করার পরে, ভিতরে থাকা তথ্য অবশ্যই "ডিকোড" করতে সক্ষম হতে হবে; অতএব, এই তথ্য পুনরুদ্ধারের জন্য একটি পুনরুদ্ধার অপারেটর চালু করা হয়। সুতরাং একটি কিউইসিসি পুনরুদ্ধার অপারেটরদের একটি সেট সহ একটি সাবস্পেস, আসুন ক্রাউস অপারেটরদের দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা ত্রুটি অপারেটরদের জন্য একটি কিউইসিসি হতে দিন, পুনরুদ্ধার অপারেটরদের সাথে তারপর একটি ডিএফএস হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি সীমাবদ্ধতার উপর, তবে, সিস্টেম বিবর্তন অপারেটরের বিপরীত কোথায়। কোয়ান্টাম ক্রিয়াকলাপের বিপরীততার এই ছবিতে, ডিএফএসগুলি আরও সাধারণ কিউইসিসির একটি বিশেষ উদাহরণ যেখানে প্রদত্ত একটি কোডের সীমাবদ্ধতার পরে, পুনরুদ্ধার অপারেটরগুলি সিস্টেম বিবর্তন অপারেটরের বিপরীতের সাথে আনুপাতিক হয়ে যায়, তাই সিস্টেমের একক বিবর্তনের অনুমতি দেয়। লক্ষ্য করুন যে এই দুটি সূত্রের মধ্যে সূক্ষ্ম পার্থক্য সংরক্ষণ এবং সংশোধন দুটি শব্দের মধ্যে বিদ্যমান; প্রথম ক্ষেত্রে, ত্রুটি-প্রতিরোধ হল ব্যবহৃত পদ্ধতি যেখানে পরের ক্ষেত্রে এটি ত্রুটি-সংশোধন। সুতরাং দুটি ফর্মুলেশনের মধ্যে পার্থক্য রয়েছে যে একটি প্যাসিভ পদ্ধতি এবং অন্যটি একটি সক্রিয় পদ্ধতি। একটি ডিকোহেরেন্স-মুক্ত সাবস্পেস কালেক্টিভ ডিফেজিং-এর উদাহরণ একটি দুই-কিউবিট হিলবার্ট স্পেস বিবেচনা করুন, যা বেসিস কিউবিট দ্বারা বিস্তৃত যা সমষ্টিগত ডিফেজিং-এর মধ্য দিয়ে যায়। এই বেসিস কিউবিটগুলির মধ্যে একটি এলোমেলো পর্যায় তৈরি করা হবে; অতএব, কিউবিটগুলি নিম্নলিখিত উপায়ে রূপান্তরিত হবেঃ এই রূপান্তরের অধীনে বেসিস স্টেটগুলি একই ফেজ ফ্যাক্টর অর্জন করে। সুতরাং এই বিষয়টি বিবেচনা করে, একটি রাজ্যকে এই তথ্য দিয়ে এনকোড করা যেতে পারে (অর্থাৎ। ফেজ ফ্যাক্টর) এবং এইভাবে নিম্নলিখিত এনকোডেড কিউবিটগুলি সংজ্ঞায়িত করে এই ডিফেজিং প্রক্রিয়ার অধীনে এককভাবে বিকশিত হয়ঃ যেহেতু এগুলি বেসিস কিউবিট, তাই যে কোনও অবস্থাকে এই অবস্থার রৈখিক সংমিশ্রণ হিসাবে লেখা যেতে পারে; অতএব, এই অবস্থাটি ডিফেজিং প্রক্রিয়ার অধীনে বিবর্তিত হবেঃ তবে, একটি কোয়ান্টাম অবস্থার সামগ্রিক পর্যায়টি অবলোকনযোগ্য নয় এবং এইভাবে, অবস্থার বর্ণনায় অপ্রাসঙ্গিক। অতএব, এই ডিফেজিং প্রক্রিয়ার অধীনে অপরিবর্তনীয় থাকে এবং তাই বেসিস সেটটি 4-মাত্রিক হিলবার্ট স্পেসের একটি ডিকোহেরেন্স-মুক্ত সাবস্পেস। একইভাবে, সাবস্পেসগুলিও ডিএফএস। বিকল্পঃ ডিকোহেরেন্স-মুক্ত সাবসিস্টেম একটি এন-ডাইমেনশনাল সিস্টেম হিলবার্ট স্পেস সহ একটি কোয়ান্টাম সিস্টেম বিবেচনা করুন যার একটি সাধারণ সাবসিস্টেম পচন রয়েছে একটি সিস্টেম-এনভায়রনমেন্ট কাপলিংয়ের ক্ষেত্রে সাবসিস্টেমটি একটি ডিকোহেরেন্স-মুক্ত সাবসিস্টেম যদি ওএসআর বিবর্তনের অধীনে প্রতিটি বিশুদ্ধ অবস্থা এই সাবসিস্টেমের ক্ষেত্রে অপরিবর্তিত থাকে। পরিবেশের যে কোনও সম্ভাব্য প্রাথমিক অবস্থার ক্ষেত্রে এটি সত্য। একটি ডিকোহেরেন্স-মুক্ত সাবস্পেস এবং একটি ডিকোহেরেন্স-মুক্ত সাবসিস্টেমের মধ্যে পার্থক্য বোঝার জন্য, একটি একক কিউবিট তথ্যকে দুই-কিউবিট সিস্টেমে এনকোড করার কথা বিবেচনা করুন। এই দ্বি-কিউবিট ব্যবস্থায় একটি 4-মাত্রিক হিলবার্ট স্থান রয়েছে; এই স্থানে একটি একক কিউবিট এনকোড করার একটি পদ্ধতি হল একটি সাবস্পেসে তথ্য এনকোড করা যা 4-মাত্রিক হিলবার্ট স্থানের দুটি অর্থোগোনাল কিউবিট দ্বারা বিস্তৃত। ধরুন তথ্যটি অর্থোগোনাল অবস্থায় নিম্নলিখিত উপায়ে এনকোড করা হয়েছেঃ এটি দেখায় যে তথ্যটি দুই-কিউবিট হিলবার্ট স্থানের একটি সাবস্পেসে এনকোড করা হয়েছে। একই তথ্য এনকোড করার আরেকটি উপায় হল দুটি কিউবিটের কিউবিটের মধ্যে শুধুমাত্র একটি এনকোড করা। ধরুন প্রথম কিউবিটটি এনকোড করা হয়েছে, তাহলে দ্বিতীয় কিউবিটের অবস্থা সম্পূর্ণরূপে স্বেচ্ছাচারী কারণঃ এই ম্যাপিংটি একটি কিউবিট এনকোডিং তথ্য থেকে দুই-কিউবিট হিলবার্ট স্পেসে এক থেকে একাধিক ম্যাপিং। পরিবর্তে, যদি ম্যাপিংটি হয়, তবে এটি একটি কিউবিট থেকে দুই-কিউবিট হিলবার্ট স্পেসের একটি সাবস্পেসে ম্যাপিংয়ের অনুরূপ। আরও দেখুন কোয়ান্টাম ডিকোহেরেন্স কোয়ান্টাম পরিমাপ রেফারেন্স কোয়ান্টাম পরিমাপ কোয়ান্টাম তথ্য বিজ্ঞান