Hp-FEM
এইচ. পি-এফ. ই. এম হল পরিবর্তনশীল আকার (এইচ) এবং বহুপদী ডিগ্রি (পি)-র উপাদানগুলিকে কাজে লাগিয়ে পিসওয়াইজ-পলিনোমিয়াল আনুমানিকতার উপর ভিত্তি করে আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলি সংখ্যাসূচকভাবে সমাধান করার জন্য সসীম উপাদান পদ্ধতির (এফ. ই. এম) একটি সাধারণীকরণ। এইচ. পি.-এফ. ই. এম বার্না এ. স্জাবো এবং ইভো বাবুস্কার আবিষ্কার থেকে উদ্ভূত হয়েছে যে সীমাবদ্ধ উপাদান পদ্ধতিটি দ্রুত রূপান্তরিত হয় যখন জালটি এইচ-সংশোধন (উপাদানগুলিকে ছোট অংশে বিভক্ত করে) এবং পি-সংশোধন (তাদের বহুপদী মাত্রা বৃদ্ধি) এর উপযুক্ত সংমিশ্রণ ব্যবহার করে পরিমার্জন করা হয়। এইচ. পি-এফ. ই. এম-এর সূচকীয় সমন্বয় অসংখ্য স্বাধীন গবেষক দ্বারা পর্যবেক্ষণ করা হয়েছে। অনেক সমস্যার ক্ষেত্রে, এইচ. পি-এফ. ই. এম সসীম উপাদান পদ্ধতির চেয়ে দ্রুত হতে পারে যা বীজগাণিতিক হারে একত্রিত হয়। স্ট্যান্ডার্ড এফ. ই. এম থেকে পার্থক্য এইচ. পি-এফ. ই. এম অনেক দিক থেকে স্ট্যান্ডার্ড (সর্বনিম্ন-ক্রম) এফ. ই. এম থেকে আলাদা। উচ্চ-ক্রম আকৃতির ফাংশনের পছন্দঃ বিভিন্ন আকারের ফাংশনের সেট ব্যবহার করে উপাদানগুলির উচ্চ-ডিগ্রি বহুপদ তৈরি করা যেতে পারে। এই ধরনের সেটের পছন্দ নাটকীয়ভাবে স্টিফনেস ম্যাট্রিক্সের কন্ডিশনারকে প্রভাবিত করতে পারে এবং ফলস্বরূপ পুরো সমাধান প্রক্রিয়াটিকে প্রভাবিত করতে পারে। এই সমস্যাটি প্রথমে নথিভুক্ত করেছিলেন বাবুস্কা ও অন্যান্যরা। স্বয়ংক্রিয় এইচ. পি-অভিযোজনঃ এইচ. পি-এফ. ই. এম-এ, একটি উপাদানকে বিভিন্ন উপায়ে এইচ. পি-পরিমার্জিত করা যেতে পারে, যেমনঃ স্থানের মধ্যে উপবিভাগ না করে তার বহুপদী মাত্রা বৃদ্ধি করা, বা জ্যামিতিকভাবে উপবিভাগ করা, যেখানে উপ-উপাদানগুলিতে বিভিন্ন বহুপদী মাত্রা প্রয়োগ করা যেতে পারে। উপাদান পরিশোধন প্রার্থীদের সংখ্যা সহজেই দুই মাত্রায় 100 এবং তিন মাত্রায় 1000-এ পৌঁছায়। কোনও উপাদানের ত্রুটির আকার নির্দেশ করে এমন একটি সংখ্যা স্বয়ংক্রিয় এইচপি-অভিযোজনকে নির্দেশ করার জন্য যথেষ্ট নয় (স্ট্যান্ডার্ড এফইএম-এ অভিযোজনশীলতার বিপরীতে)। প্রতিটি উপাদানের ত্রুটির আকার সম্পর্কে আরও তথ্য পেতে রেফারেন্স সমাধান বা বিশ্লেষণাত্মক বিবেচনার মতো অন্যান্য কৌশলগুলি অবশ্যই নিযুক্ত করতে হবে। সমাবেশ এবং সমাধান সিপিইউ সময়ের অনুপাতঃ স্ট্যান্ডার্ড এফইএম-এ, কঠোরতা ম্যাট্রিক্স সাধারণত দ্রুত একত্রিত হয় তবে এটি বেশ বড়। সাধারণত, বিচ্ছিন্ন সমস্যার সমাধান সামগ্রিক কম্পিউটিং সময়ের বৃহত্তম অংশ ব্যয় করে। বিপরীতে, এইচ. পি-এফ. ই. এম-এর কঠোরতা ম্যাট্রিক্সগুলি সাধারণত অনেক ছোট হয়, তবে (একই ম্যাট্রিক্স আকারের জন্য) তাদের সমাবেশ স্ট্যান্ডার্ড এফ. ই. এম-এর তুলনায় বেশি সময় নেয়। এটি মূলত সংখ্যাসূচক চতুর্ভুজের গণনামূলক ব্যয়ের কারণে, যার অবশ্যই উচ্চতর নির্ভুলতা থাকতে হবে এবং তাই দ্রুত অভিসারের হারের সুবিধা নিতে স্ট্যান্ডার্ড এফইএম-এর তুলনায় উচ্চতর ক্রমের হতে হবে। বিশ্লেষণাত্মক চ্যালেঞ্জঃ এইচ. পি-এফ. ই. এম সাধারণত স্ট্যান্ডার্ড এফ. ই. এম-এর তুলনায় বিশ্লেষণাত্মক দৃষ্টিকোণ থেকে বোঝা আরও কঠিন বলে মনে করা হয়। এটি উপবৃত্তাকার সমস্যার জন্য বিচ্ছিন্ন সর্বাধিক নীতি (ডিএমপি)-এর মতো অসংখ্য কৌশলের সাথে সম্পর্কিত। এই ফলাফলগুলি বলে যে, সাধারণত জালের উপর কিছু সীমিত অনুমানের সাথে, পিসওয়াইজ-পলিনোমিয়াল এফইএম আনুমানিক অন্তর্নিহিত উপবৃত্তাকার পিডিই হিসাবে অনুরূপ সর্বাধিক নীতিগুলি মেনে চলে। এই ধরনের ফলাফলগুলি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ কারণ তারা নিশ্চয়তা দেয় যে আনুমানিকটি শারীরিকভাবে গ্রহণযোগ্য থাকে, যার ফলে নেতিবাচক ঘনত্ব, নেতিবাচক ঘনত্ব বা নেতিবাচক পরম তাপমাত্রা গণনা করার কোনও সম্ভাবনা থাকে না। ডিএমপি সর্বনিম্ন-ক্রমের এফইএম-এর জন্য বেশ ভালভাবে বোঝা যায় তবে দুই বা ততোধিক মাত্রায় এইচপি-এফইএম-এর জন্য সম্পূর্ণ অজানা। একটি স্থানিক মাত্রায় প্রথম ডিএমপি সম্প্রতি প্রণয়ন করা হয়েছে। প্রোগ্রামিং চ্যালেঞ্জঃ স্ট্যান্ডার্ড এফ. ই. এম কোডের তুলনায় এইচ. পি-এফ. ই. এম সমাধানকারী প্রয়োগ করা অনেক কঠিন। একাধিক সমস্যা যা অতিক্রম করতে হবে তার মধ্যে রয়েছে (তবে সীমাবদ্ধ নয়): উচ্চ-ক্রমের চতুর্ভুজ সূত্র, উচ্চ-ক্রমের আকৃতি ফাংশন, সংযোগ এবং শারীরিক ডোমেনে ভিত্তি ফাংশন সহ রেফারেন্স ডোমেনে আকৃতি ফাংশন সম্পর্কিত অভিযোজন তথ্য ইত্যাদি। ফিচেরা সমস্যা (ফিচেরা কর্নার সমস্যা নামেও পরিচিত) অভিযোজিত এফইএম কোডগুলির জন্য একটি আদর্শ মানদণ্ড সমস্যা। স্ট্যান্ডার্ড এফ. ই. এম এবং এইচ. পি-এফ. ই. এম-এর কার্যকারিতার মধ্যে নাটকীয় পার্থক্য দেখাতে এটি ব্যবহার করা যেতে পারে। সমস্যা জ্যামিতি হল অনুপস্থিত কোণ সহ একটি ঘনক সঠিক সমাধানের কেন্দ্রে একটি একক গ্রেডিয়েন্ট (অসীম চাপের একটি উপমা) রয়েছে। সঠিক সমাধানের জ্ঞান আনুমানিক ত্রুটি সঠিকভাবে গণনা করা এবং এইভাবে বিভিন্ন সংখ্যাসূচক পদ্ধতির তুলনা করা সম্ভব করে তোলে। দৃষ্টান্তের জন্য, অভিযোজিত এফ. ই. এম-এর তিনটি ভিন্ন সংস্করণ ব্যবহার করে সমস্যাটি সমাধান করা হয়েছিলঃ রৈখিক উপাদান, দ্বিঘাত উপাদান এবং এইচ. পি-এফ. ই. এম। কনভারজেন্স গ্রাফগুলি ডিগ্রি অফ ফ্রিডমের (ডিওএফ) সংখ্যার একটি ফাংশন হিসাবে আনুমানিক ত্রুটি দেখায়। ডিওএফ বলতে অজানা পরামিতিগুলিকে বোঝায় যা আনুমানিক সংজ্ঞায়িত করার জন্য প্রয়োজন, এবং ডিওএফের সংখ্যা কঠোরতা ম্যাট্রিক্সের আকারের সমান। পাঠক গ্রাফগুলিতে দেখতে পারেন যে এইচ. পি-এফ. ই. এম-এর অভিসরণ অন্যান্য উভয় পদ্ধতির সমন্বয়ের তুলনায় অনেক দ্রুত। কর্মক্ষমতার ব্যবধান এতটাই বড় যে রৈখিক এফ. ই. এম মোটেও একত্রিত নাও হতে পারে (যুক্তিসঙ্গত সময়ে) এবং দ্বিঘাত এফ. ই. এম-এর শত শত হাজার বা সম্ভবত লক্ষ লক্ষ ডি. ও. এফ-এর প্রয়োজন হবে এইচ. পি-এফ. ই. এম-এর প্রায় 17,000 ডি. ও. এফ-এর সঠিকতায় পৌঁছানোর জন্য। তুলনামূলকভাবে কম ডিগ্রি অফ ফ্রিডম ব্যবহার করে খুব সঠিক ফলাফল পাওয়া এইচপি-এফইএম-এর প্রধান শক্তি। এইচপি-এফইএম মসৃণ ফাংশনের দক্ষতা ছোট পিসওয়াইজ-লিনিয়ারের তুলনায় বড় হাই-অর্ডার উপাদান ব্যবহার করে অনেক বেশি দক্ষতার সাথে অনুমান করা যেতে পারে। এটি নীচের চিত্রে চিত্রিত করা হয়েছে, যেখানে শূন্য ডিরিচলেট সীমানা শর্ত সহ একটি এক-মাত্রিক পয়সন সমীকরণ দুটি ভিন্ন জালের উপর সমাধান করা হয়। সঠিক সমাধান হল সাইন ফাংশন। বামেঃ দুটি রৈখিক উপাদান নিয়ে গঠিত জাল। ডানদিকেঃ একটি দ্বিঘাত উপাদান নিয়ে গঠিত জাল। যদিও উভয় ক্ষেত্রেই অজানা সংখ্যা একই (1 ডিওএফ), সংশ্লিষ্ট নিয়মে ত্রুটি যথাক্রমে 0.68 এবং 0.20। এর মানে হল যে দ্বিঘাত অনুমানটি পিসওয়াইজ রৈখিকের তুলনায় প্রায় 3.5 গুণ বেশি কার্যকর ছিল। যখন আমরা আরও এক ধাপ এগিয়ে যাই এবং (ক) চারটি রৈখিক উপাদানের সাথে (খ) একটি কোয়ার্টিক উপাদানের (পি = 4) তুলনা করি, তখন উভয় বিচ্ছিন্ন সমস্যার তিনটি ডিওএফ থাকবে, তবে কোয়ার্টিক আনুমানিক প্রায় 40 গুণ বেশি কার্যকর হবে। বিপরীতে, ছোট নিম্ন-ক্রমের উপাদানগুলি বড় উচ্চ-ক্রমের তুলনায় এককত্বের মতো ছোট আকারের বৈশিষ্ট্যগুলি আরও ভালভাবে ধারণ করতে পারে। এইচ. পি-এফ. ই. এম এই দুটি পদ্ধতির সর্বোত্তম সংমিশ্রণের উপর ভিত্তি করে যা সূচকীয় অভিসারের দিকে পরিচালিত করে। লক্ষ্য করুন যে এই সূচকীয় অভিসরণ ত্রুটির অক্ষ বনাম স্বাধীনতার মাত্রায় প্রকাশ করা হয়। বাস্তব জীবনের প্রয়োগগুলির জন্য, আমরা সাধারণত একই স্তরের নির্ভুলতায় পৌঁছানোর জন্য প্রয়োজনীয় গণনামূলক সময় বিবেচনা করি। এই কর্মক্ষমতা সূচকের জন্য এইচ-এবং এইচপি-সংশোধন অনুরূপ ফলাফল প্রদান করতে পারে, যেমন। (ওয়েব আর্কাইভ লিঙ্ক)-এ চূড়ান্ত চিত্রটি দেখুন। এইচ-এফ. ই. এম-এর তুলনায় এইচ. পি-এফ. ই. এম-কে প্রোগ্রাম করা এবং সমান্তরাল করা যত তাড়াতাড়ি কঠিন হয়, তত তাড়াতাড়ি এইচ. পি-পরিমার্জনের কনভারজেন্স এক্সিলেন্স অবাস্তব হয়ে উঠতে পারে। এইচপি-অভিযোজন কিছু এফইএম সাইট এইচপি-অভিযোজনকে এইচ-অভিযোজন (তাদের বহুপদী মাত্রা স্থির রেখে স্থানের উপাদানগুলিকে বিভক্ত করা) এবং পি-অভিযোজন (শুধুমাত্র তাদের বহুপদী মাত্রা বৃদ্ধি) এর সংমিশ্রণ হিসাবে বর্ণনা করে। এটি সম্পূর্ণ সঠিক নয়, কারণ এইচপি-অভিযোজন এইচ-এবং পি-অভিযোজন উভয়ের থেকে উল্লেখযোগ্যভাবে আলাদা কারণ একটি উপাদানের এইচপি-সংশোধন বিভিন্ন উপায়ে করা যেতে পারে। একটি পি-সংশোধন ছাড়াও, উপাদানটিকে স্পেসে উপবিভক্ত করা যেতে পারে (এইচ-অভিযোজন হিসাবে), তবে উপ-উপাদানগুলিতে বহুপদী মাত্রার জন্য অনেক সংমিশ্রণ রয়েছে। ডানদিকের চিত্রে এটি চিত্রিত করা হয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, যদি একটি ত্রিভুজাকার বা চতুর্ভুজ উপাদানকে চারটি উপ-উপাদানগুলিতে বিভক্ত করা হয় যেখানে বহুপদী ডিগ্রি সর্বাধিক দুটি দ্বারা পরিবর্তিত হতে দেওয়া হয়, তবে এটি 3/4 = 81 পরিশোধন প্রার্থী দেয় (বহুপদী অ্যানিসোট্রপিক প্রার্থী বিবেচনা না করে)। অনুরূপভাবে, একটি হেক্সাহেড্রনকে আটটি উপ-উপাদানে বিভক্ত করা এবং তাদের বহুপদী মাত্রাকে সর্বাধিক দুটি দ্বারা পরিবর্তন করা 3 ^ 8 = 6,561 পরিমার্জনের প্রার্থী দেয়। স্ট্যান্ডার্ড এফ. ই. এম ত্রুটি অনুমান প্রতি উপাদান একটি ধ্রুবক সংখ্যা প্রদান স্বয়ংক্রিয় এইচ. পি-অভিযোজন নির্দেশ করার জন্য যথেষ্ট নয়। উচ্চ-ক্রম আকৃতির ফাংশন স্ট্যান্ডার্ড এফইএম ওয়ান শুধুমাত্র গ্রিড ভার্টিসেস (তথাকথিত ভার্টেক্স ফাংশন) এর সাথে যুক্ত আকৃতির ফাংশনগুলির সাথে কাজ করে। এর বিপরীতে, এইচপি-এফইএম ব্যবহার করার সময়, এজ ফাংশন (উপাদান প্রান্তের সাথে সম্পর্কিত), ফেস ফাংশন (উপাদান মুখের সাথে সম্পর্কিত-শুধুমাত্র 3ডি) এবং বুদ্বুদ ফাংশন (উচ্চ-ক্রমের বহুপদী যা উপাদান সীমানায় অদৃশ্য হয়ে যায়) সম্পর্কিত। নিম্নলিখিত চিত্রগুলি এই ফাংশনগুলি দেখায় (একটি একক উপাদানের মধ্যে সীমাবদ্ধ): দ্রষ্টব্যঃ এই সমস্ত ফাংশনগুলি পুরো উপাদানের অভ্যন্তরে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে। ওপেন সোর্স এইচপি-এফইএম কোড Deal.II: Deal.II একটি মুক্ত, ওপেন সোর্স লাইব্রেরি যা সীমাবদ্ধ উপাদান পদ্ধতি ব্যবহার করে আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সমাধান করে। ধারণাঃ উপবৃত্তাকার সমীকরণের জন্য সি/সি + + এইচপি-এফইএম/ডিজিএফইএম/বিইএম লাইব্রেরি এসএএম, ইটিএইচ জুরিখ (সুইজারল্যান্ড) এবং টিইউ বার্লিনে (জার্মানি) কে শ্মিটের গোষ্ঠীতে বিকশিত হয়েছে। 2dhp90,3dhp90: উপবৃত্তাকার সমস্যার জন্য ফোরট্রান কোড এবং ম্যাক্সওয়েলের সমীকরণগুলি আই. সি. ই. এস, ইউ. টি অস্টিনে এল. ডেমকোউইজ দ্বারা বিকশিত। পিএইচএএমএলঃ সমান্তরাল শ্রেণিবদ্ধ অভিযোজিত বহু-স্তরের প্রকল্প। মার্কিন যুক্তরাষ্ট্রের ন্যাশনাল ইনস্টিটিউট ফর স্ট্যান্ডার্ডস অ্যান্ড টেকনোলজিতে অভিযোজিত জাল পরিশোধন এবং মাল্টি-গ্রিড সমাধান কৌশল ব্যবহার করে বিতরণকৃত মেমরি সমান্তরাল কম্পিউটার এবং মাল্টি-কোর কম্পিউটারগুলিতে 2ডি উপবৃত্তাকার আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সংখ্যাসূচক সমাধানের জন্য ফাইনাইট এলিমেন্ট সফ্টওয়্যার তৈরি করা হয়েছে। হার্মিস প্রকল্পঃ নেভাদা বিশ্ববিদ্যালয়, রেনো (মার্কিন যুক্তরাষ্ট্র), ইনস্টিটিউট অফ থার্মো-মেকানিক্স, প্রাগ (চেক প্রজাতন্ত্র) এবং পিলসেনের ওয়েস্ট বোহেমিয়া বিশ্ববিদ্যালয় (চেক প্রজাতন্ত্র)-এর এইচপি-এফইএম গ্রুপ দ্বারা বিকশিত বিভিন্ন ধরনের পিডিই এবং মাল্টিফিজিক্স পিডিই সিস্টেমের জন্য স্থান-সময় অভিযোজিত এইচপি-এফইএম সমাধানকারীদের দ্রুত প্রোটোটাইপিংয়ের জন্য সি/সি + +/পাইথন লাইব্রেরি-হার্মিস লাইব্রেরির উপরে অ্যাগ্রোস2ডি ইঞ্জিনিয়ারিং সফ্টওয়্যার নির্মিত। পিএইচজিঃ পিএইচজি হল সমান্তরাল অভিযোজিত সীমাবদ্ধ উপাদান প্রোগ্রাম বিকাশের জন্য একটি টুলবক্স। এটি এইচ-, পি-এবং এইচপি-ফেমের জন্য উপযুক্ত। পি. এইচ. জি বর্তমানে চীনা বিজ্ঞান একাডেমির (এল. এস. ই. সি, সি. এ. এস, চীন) স্টেট কী ল্যাবরেটরি অফ সায়েন্টিফিক অ্যান্ড ইঞ্জিনিয়ারিং কম্পিউটিং, ইনস্টিটিউট অফ কম্পিউটশনাল ম্যাথমেটিক্স এবং সায়েন্টিফিক/ইঞ্জিনিয়ারিং কম্পিউটিং-এ সক্রিয় উন্নয়নের অধীনে রয়েছে। পিএইচজি টেট্রাহেড্রাল জালের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ এবং অভিযোজিত স্থানীয় জাল পরিশোধন এবং বার্তা প্রেরণের জন্য এমপিআই-এর জন্য দ্বিখণ্ডন ব্যবহার করে। পিএইচজি-র একটি অবজেক্ট-ওরিয়েন্টেড ডিজাইন রয়েছে যা সমান্তরালকরণের বিশদ বিবরণ লুকিয়ে রাখে এবং একটি বিমূর্ত উপায়ে মেশ এবং সীমাবদ্ধ উপাদান ফাংশনগুলিতে সাধারণ ক্রিয়াকলাপ সরবরাহ করে, যা ব্যবহারকারীদের তাদের সংখ্যাসূচক অ্যালগরিদমগুলিতে মনোনিবেশ করার অনুমতি দেয়। এম. ও. এফ. ই. এম একটি সীমাবদ্ধ উপাদান বিশ্লেষণ কোড যা বহু-পদার্থবিজ্ঞান সমস্যার সমাধানের জন্য স্বেচ্ছাচারী স্তরের আনুমানিক এবং জাল পরিশোধন এবং উচ্চ-কার্যকারিতা কম্পিউটিংয়ের জন্য অনুকূলিত। এটি এল2, এইচ1, এইচ-ডিভি এবং এইচ-কার্ল স্পেসের আনুমানিক বিন্যাসের বৈচিত্র্যময় ক্রম সম্পর্কিত জটিলতা পরিচালনা করতে সক্ষম হওয়ার জন্য ডিজাইন করা হয়েছে। স্পার্সেলজার্ড একটি বহু-পদার্থবিদ্যা, এইচপি-অভিযোজিত, ব্যবহারকারী-বান্ধব, ওপেন-সোর্স সি + + সীমাবদ্ধ উপাদান গ্রন্থাগার যা বর্তমানে ফিনল্যান্ডের ট্যাম্পিয়ার বিশ্ববিদ্যালয়ে তৈরি করা হয়েছে। এটি সাধারণ স্থির এবং ক্ষণস্থায়ী এইচপি-এফইএম-এর জন্য নির্বিচারে ক্রমের শ্রেণিবদ্ধ এইচ1 এবং এইচ-কার্ল ফাংশন স্পেসের সাথে 3ডি টেট্রাহেড্রাল এবং 2ডি ত্রিভুজ/চতুর্ভুজ সামঞ্জস্যপূর্ণ জাল পরিশোধনকে একত্রিত করে। বাণিজ্যিক এইচপি-এফইএম সফ্টওয়্যার স্ট্রেসচেক একটি সীমাবদ্ধ উপাদান বিশ্লেষণ সরঞ্জাম যা বিস্তারিত কাঠামোগত বিশ্লেষণের দিকে দৃষ্টি নিবদ্ধ করে। রেফারেন্স সীমাবদ্ধ উপাদান পদ্ধতি