Equilateral pentagon
জ্যামিতিতে, একটি সমবাহু পঞ্চভুজ হল ইউক্লিডীয় সমতলে একটি বহুভুজ যার পাঁচটি দিক সমান দৈর্ঘ্যের। এর পাঁচটি শীর্ষ কোণ বিভিন্ন মানের সেট নিতে পারে, যার ফলে এটি পেন্টাগনের একটি পরিবার গঠন করতে পারে। বিপরীতে, নিয়মিত পঞ্চভুজটি অনন্য, কারণ এটি সমবাহু এবং উপরন্তু এটি সমকোণী (এর পাঁচটি কোণ সমান; পরিমাপ 108 ডিগ্রি)। একটি বদ্ধ শৃঙ্খলে সাজানো চারটি ছেদকারী সমান বৃত্ত একটি উত্তল সমবাহু পঞ্চভুজ নির্ধারণের জন্য যথেষ্ট। প্রতিটি বৃত্তের কেন্দ্র পঞ্চভুজের চারটি শীর্ষের মধ্যে একটি। অবশিষ্ট শীর্ষটি শৃঙ্খলের প্রথম এবং শেষ বৃত্তের একটি ছেদ বিন্দু দ্বারা নির্ধারিত হয়। উদাহরণস্বরূপ, একটি উত্তল সমবাহু পঞ্চভুজের অভ্যন্তরীণ কোণ যখন একটি উত্তল সমবাহু পঞ্চভুজকে ত্রিভুজে বিভক্ত করা হয়, তখন তাদের মধ্যে দুটি সমদ্বিবাহু (কমলা ও নীল ত্রিভুজ) হিসাবে প্রদর্শিত হয় এবং অন্যটি আরও সাধারণ (সবুজ ত্রিভুজ) হয়। আমরা ধরে নিই যে আমাদের সংলগ্ন কোণগুলি দেওয়া হয়েছে এবং। সাইন-এর সূত্র অনুসারে, সবুজ এবং নীল ত্রিভুজকে বিভক্তকারী রেখার দৈর্ঘ্য হলঃ কমলা এবং সবুজ ত্রিভুজকে বিভক্তকারী রেখার দৈর্ঘ্যের বর্গঃ কোসাইন-এর সূত্র অনুসারে, δ-এর কোসাইন চিত্র থেকে দেখা যায়ঃ সরলভাবে, δ-কে α এবং β-এর ফলন হিসাবে পাওয়া যায়ঃ পঞ্চভুজের অবশিষ্ট কোণগুলি জ্যামিতিকভাবে পাওয়া যায়ঃ কমলা এবং নীল ত্রিভুজের অবশিষ্ট কোণগুলি সহজেই পাওয়া যায় একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের দুটি কোণ সমান এবং তিনটি কোণের সমষ্টি 180°। তারপর এবং সবুজ ত্রিভুজের অবশিষ্ট দুটি কোণ চারটি সমীকরণ থেকে পাওয়া যায় যে পঞ্চভুজের কোণগুলির যোগফল 540°, সবুজ ত্রিভুজের কোণগুলির যোগফল 180°, কোণটি তার তিনটি উপাদানের যোগফল এবং কোণটি তার দুটি উপাদানের যোগফল। একটি চক্রাকার পঞ্চভুজ সমকোণী হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি এর সমান দিক থাকে এবং তাই নিয়মিত হয়। একইভাবে, একটি স্পর্শক পঞ্চভুজ সমবাহু হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি এর সমান কোণ থাকে এবং তাই নিয়মিত হয়। সমবাহু উত্তল পেন্টাগনের দুটি অসীম পরিবার রয়েছে যা সমতলকে টাইল করে, একটির দুটি সংলগ্ন পরিপূরক কোণ রয়েছে এবং অন্যটির দুটি অ-সংলগ্ন পরিপূরক কোণ রয়েছে। এই পেন্টাগনগুলির মধ্যে কয়েকটি একাধিক উপায়ে টাইল করতে পারে এবং একটি সমবাহু পঞ্চভুজের একটি বিক্ষিপ্ত উদাহরণ রয়েছে যা সমতলকে টাইল করতে পারে তবে সেই দুটি পরিবারের কোনওটির অন্তর্গত নয়; এর কোণগুলি প্রায় 89°16 ', 144°32.5', 70°55 ', 135°22', এবং 99°54.5 ', কোনও দুটি পরিপূরক নয়। একটি দ্বিমাত্রিক ম্যাপিং ইকুয়িল্যাটারাল পেন্টাগনগুলি নিজেদেরকে একবারে, দুইবার বা পাঁচবার ছেদ করতে পারে। যেগুলি নিজেদের ছেদ করে না সেগুলিকে সরল বলা হয় এবং এগুলিকে উত্তল বা অবতল হিসাবে শ্রেণীবদ্ধ করা যেতে পারে। আমরা এখানে "স্টেলেটেড" শব্দটি ব্যবহার করি যেগুলি দু 'বার বা পাঁচবার নিজেদের ছেদ করে। আমরা এই বিভাগে, সমবাহু পেন্টাগনগুলি বাতিল করি যা নিজেদেরকে ঠিক একবার ছেদ করে। যেহেতু আমরা পেন্টাগনগুলিকে বাতিল করে দিচ্ছি যেগুলি নিজেদেরকে একবার ছেদ করে, তাই আমরা দ্বি-মাত্রিক সমতলে দুটি চলকের ফাংশন হিসাবে বাকিগুলি প্লট করতে পারি। প্রতিটি জোড়া মান (α, β) সমতলের একটি বিন্দুতে মানচিত্র তৈরি করে এবং একটি একক পঞ্চভুজের দিকেও মানচিত্র তৈরি করে। α এবং β এর মানগুলির পর্যায়ক্রমিকতা এবং শর্ত α ≤ β ≤ δ ম্যাপিংয়ের আকারকে সীমিত করার অনুমতি দেয়। স্থানাঙ্ক অক্ষ α এবং β সহ সমতলে, সমীকরণ α = β হল সমতলকে দুটি অংশে বিভক্ত করার একটি রেখা (অঙ্কনে কমলা রঙে দেখানো দক্ষিণ সীমানা)। সমীকরণ δ = β একটি বক্ররেখা হিসাবে সমতলকে বিভিন্ন বিভাগে বিভক্ত করে (উত্তর সীমানা নীল রঙে দেখানো হয়েছে)। উভয় সীমানা সমতলের একটি অবিচ্ছিন্ন অঞ্চলকে ঘিরে রাখে যার পয়েন্টগুলি অনন্য সমবাহু পেন্টাগনের মানচিত্র তৈরি করে। এই অঞ্চলের বাইরের পয়েন্টগুলি কেবল পুনরাবৃত্ত পেন্টাগনগুলিতে মানচিত্র তৈরি করে-অর্থাৎ, পেন্টাগন যা ঘোরানো বা প্রতিফলিত হলে ইতিমধ্যে বর্ণিত অন্যদের সাথে মেলে। যে পেন্টাগনগুলি ঠিক সেই সীমানাগুলির উপর মানচিত্র তৈরি করে তাদের প্রতিসাম্যের একটি রেখা থাকে। অনন্য ম্যাপিং অঞ্চলের অভ্যন্তরে তিন ধরনের পেন্টাগন রয়েছেঃ স্টেলেটেড, অবতল এবং উত্তল, নতুন সীমানা দ্বারা পৃথক। স্টেলেটেড পেন্টাগনগুলির পার্শ্বগুলি অন্যদের দ্বারা ছেদ করা থাকে। এই ধরনের পঞ্চভুজের একটি সাধারণ উদাহরণ হল পেন্টাগ্রাম। একটি পঞ্চভুজ স্টেলেটেড বা স্ব-ছেদ করার জন্য একটি শর্ত হল 2α + β ≤ 180°। সুতরাং, মানচিত্রে, 2α + β = 180° রেখাটি (উত্তরে কমলা রঙে দেখানো হয়েছে) স্টেলেটেড এবং নন-স্টেলেটেড পেন্টাগনের অঞ্চলের মধ্যে সীমানা। পেন্টাগনগুলি যা ঠিক এই সীমানার সাথে মানচিত্র করে তার একটি শীর্ষবিন্দু অন্য দিকে স্পর্শ করে। অবতল পেন্টাগনগুলি অ-স্টেলেটেড পেন্টাগন যার কমপক্ষে একটি কোণ 180° এর চেয়ে বেশি। প্রথম কোণ যা 180° এর চেয়ে প্রশস্ত খোলে তা হল γ, তাই সমীকরণ γ = 180° (ডানদিকে সবুজ রঙে দেখানো সীমানা) হল একটি বক্ররেখা যা অবতল পেন্টাগন এবং অন্যান্য অঞ্চলের সীমানা, যাকে উত্তল বলা হয়। যে পেন্টাগনগুলি ঠিক এই সীমানার মানচিত্র তৈরি করে, তাদের কমপক্ষে পরপর দুটি দিক দ্বিগুণ দৈর্ঘ্যের দিক হিসাবে প্রদর্শিত হয়, যা একটি চতুর্ভুজের সাথে অবনমিত পঞ্চভুজের অনুরূপ। উত্তল পঞ্চভূজগুলির পাঁচটি কোণই 180°-এর চেয়ে ছোট এবং কোনও দিক অন্য কোণকে ছেদ করে না। এই ধরনের পঞ্চভুজের একটি সাধারণ উদাহরণ হল নিয়মিত পঞ্চভুজ। তথ্যসূত্র বহুভুজের প্রকার