Cluster expansion
পরিসংখ্যানগত বলবিজ্ঞানে, ক্লাস্টার সম্প্রসারণ (যাকে উচ্চ তাপমাত্রা সম্প্রসারণ বা হপিং সম্প্রসারণও বলা হয়) একটি মডেলের চারপাশে একটি পরিসংখ্যানগত ক্ষেত্র তত্ত্বের বিভাজন ফাংশনের একটি শক্তি সিরিজ সম্প্রসারণ যা অ-মিথস্ক্রিয়াশীল 0-মাত্রিক ক্ষেত্র তত্ত্বগুলির একটি ইউনিয়ন। ক্লাস্টার সম্প্রসারণের কাজ থেকে উদ্ভূত হয়েছিল। সাধারণ বিশৃঙ্খলা প্রসারণের বিপরীতে যা সাধারণত একটি বিচ্ছিন্ন অ্যাসিম্পটোটিক সিরিজের দিকে পরিচালিত করে, ক্লাস্টার সম্প্রসারণ একটি অ-তুচ্ছ অঞ্চলের মধ্যে একত্রিত হতে পারে, বিশেষত যখন মিথস্ক্রিয়াটি ছোট এবং স্বল্প-দূরত্বযুক্ত হয়। ধ্রুপদী কেস সাধারণ তত্ত্ব পরিসংখ্যানগত বলবিজ্ঞানে, অ-মিথস্ক্রিয়াশীল কণাগুলির একটি সিস্টেমের বৈশিষ্ট্যগুলি পার্টিশন ফাংশন ব্যবহার করে বর্ণনা করা হয়। এন অ-মিথস্ক্রিয়াশীল কণাগুলির জন্য, সিস্টেমটি হ্যামিল্টনিয়ান দ্বারা বর্ণনা করা হয়, এবং পার্টিশন ফাংশনটি গণনা করা যেতে পারে (শাস্ত্রীয় ক্ষেত্রে) যেমন পার্টিশন ফাংশন থেকে, একজন হেল্মহোল্টজ মুক্ত শক্তি গণনা করতে পারে এবং সেখান থেকে, সিস্টেমের সমস্ত তাপগতিবিদ্যার বৈশিষ্ট্য, যেমন এনট্রপি, অভ্যন্তরীণ শক্তি, রাসায়নিক সম্ভাব্যতা ইত্যাদি। যখন সিস্টেমের কণাগুলি মিথস্ক্রিয়া করে, তখন পার্টিশন ফাংশনের সঠিক গণনা সাধারণত সম্ভব হয় না। কম ঘনত্বের জন্য, মিথস্ক্রিয়াকে দুই-কণার সম্ভাবনার সমষ্টি দিয়ে আনুমানিক করা যেতে পারেঃ এই মিথস্ক্রিয়া সম্ভাবনার জন্য, বিভাজন ফাংশনটিকে লেখা যেতে পারে, এবং মুক্ত শক্তি হল, যেখানে Q হল কনফিগারেশন ইন্টিগ্রালঃ কনফিগারেশন ইন্টিগ্রালের গণনা একটি সাধারণ জোড়া সম্ভাবনার জন্য কনফিগারেশন ইন্টিগ্রাল বিশ্লেষণাত্মকভাবে গণনা করা যায় না। আনুমানিক সম্ভাব্যতা গণনা করার একটি উপায় হল মায়ার ক্লাস্টার সম্প্রসারণ ব্যবহার করা। এই সম্প্রসারণটি এই পর্যবেক্ষণের উপর ভিত্তি করে যে সমীকরণের সূচকীয় রূপটির গুণফল হিসাবে লেখা যেতে পারে। এরপরে, মায়ার ফাংশনকে দ্বারা সংজ্ঞায়িত করুন। প্রতিস্থাপনের পরে, কনফিগারেশন ইন্টিগ্রালের সমীকরণটি হয়ে যায়ঃ উপরের সমীকরণে গুণফলের গণনা পদগুলির একটি সিরিজে নিয়ে যায়; প্রথমটি একটির সমান, দ্বিতীয় পদটি পদগুলির i এবং j এর যোগফলের সমান, এবং সমস্ত উচ্চতর ক্রমের পদগুলি গণনা না করা পর্যন্ত প্রক্রিয়াটি চলতে থাকে। প্রতিটি পদ শুধুমাত্র একবার উপস্থিত হতে হবে। এই সম্প্রসারণের মাধ্যমে জড়িত কণাগুলির সংখ্যার পরিপ্রেক্ষিতে বিভিন্ন ক্রমের পদ খুঁজে পাওয়া সম্ভব। প্রথম পদটি হল অ-মিথস্ক্রিয়া শব্দ (কণাগুলির মধ্যে কোনও মিথস্ক্রিয়া সম্পর্কিত নয়), দ্বিতীয় পদটি দুই-কণার মিথস্ক্রিয়া সম্পর্কিত, তৃতীয়টি 4টি কণার মধ্যে দুই-কণার মিথস্ক্রিয়া সম্পর্কিত (অপরিহার্যভাবে স্বতন্ত্র নয়), এবং আরও অনেক কিছু। এই ভৌত ব্যাখ্যার কারণেই এই সম্প্রসারণকে গুচ্ছ সম্প্রসারণ বলা হয়ঃ যোগফলটি পুনর্বিন্যাস করা যেতে পারে যাতে প্রতিটি শব্দ একটি নির্দিষ্ট সংখ্যক কণার গুচ্ছের মধ্যে মিথস্ক্রিয়াকে উপস্থাপন করে। বিন্যাস অবিচ্ছেদ্য জন্য অভিব্যক্তি মধ্যে পণ্য সম্প্রসারণ প্রতিস্থাপন একটি সিরিজ সম্প্রসারণ ফলাফল জন্যঃ মুক্ত শক্তির জন্য সমীকরণে প্রতিস্থাপন, আন্তঃক্রিয়াশীল কণাগুলির সিস্টেমের জন্য অবস্থার সমীকরণ প্রাপ্ত করা সম্ভব। সমীকরণটির রূপ থাকবে, যা ভিরিয়াল সমীকরণ নামে পরিচিত, এবং উপাদানগুলি হল ভিরিয়াল সহগ। প্রতিটি ভিরিয়াল সহগ ক্লাস্টার সম্প্রসারণ থেকে একটি শব্দের সাথে মিলে যায় (দুই-কণার মিথস্ক্রিয়া শব্দ, তিন-কণার মিথস্ক্রিয়া শব্দ ইত্যাদি)। শুধুমাত্র দুই-কণার মিথস্ক্রিয়া শব্দটি রেখে, এটি দেখানো যেতে পারে যে গুচ্ছ সম্প্রসারণ, কিছু আনুমানিক সহ, ভ্যান ডার ওয়ালস সমীকরণ দেয়। এটি গ্যাস এবং তরল দ্রবণের মিশ্রণে আরও প্রয়োগ করা যেতে পারে। তথ্যসূত্র, 9ম অধ্যায়। পরিসংখ্যানগত বলবিজ্ঞান