Regiomontanus' angle maximization problem
গণিতে, রেজিওমন্টানাস অ্যাঙ্গেল ম্যাক্সিমাইজেশন সমস্যা, 15 শতকের জার্মান গণিতবিদ জোহানেস মুলার (রেজিওমন্টানাস নামেও পরিচিত) দ্বারা উত্থাপিত একটি বিখ্যাত অপ্টিমাইজেশন সমস্যা। সমস্যাটি নিম্নরূপঃ একটি দেওয়ালে একটি চিত্র ঝুলছে। চিত্রকর্মের উপরের এবং নীচের অংশ দর্শকের চোখের স্তরের উপরে থাকায়, চিত্রকর্মের কোণটি সর্বাধিক করার জন্য দর্শকের দেয়াল থেকে কত দূরে দাঁড়ানো উচিত এবং যার শীর্ষটি দর্শকের চোখে রয়েছে? দর্শক যদি দেয়ালের খুব কাছাকাছি বা দেয়াল থেকে খুব দূরে দাঁড়িয়ে থাকেন, তবে কোণটি ছোট; এর মাঝখানে কোথাও যতটা সম্ভব বড়। রাগবিতে বলকে লাথি মারার জন্য সর্বোত্তম জায়গা খুঁজে বের করার ক্ষেত্রেও একই পদ্ধতি প্রযোজ্য। এই ক্ষেত্রে, ছবির সারিবদ্ধকরণটি সঠিক কোণে হওয়ার প্রয়োজন নেইঃ আমরা হয়তো পিসার ঝোঁকানো টাওয়ারের একটি জানালার দিকে তাকিয়ে আছি অথবা কোনও রিয়েল্টার একটি ঢালু চিলেকোঠায় আকাশের আলোর সুবিধাগুলি দেখাচ্ছি। প্রাথমিক জ্যামিতি দ্বারা সমাধান চিত্রকলার উপরের এবং নীচের দিক দিয়ে একটি অনন্য বৃত্ত এবং চোখের স্তরের রেখার স্পর্শক রয়েছে। প্রাথমিক জ্যামিতি অনুসারে, যদি দর্শকের অবস্থান বৃত্ত বরাবর সরে যায়, তবে চিত্রকর্মের দ্বারা উপস্থাপিত কোণটি স্থির থাকবে। স্পর্শক বিন্দু ব্যতীত চোখের স্তরের রেখার সমস্ত অবস্থান বৃত্তের বাইরে থাকে এবং তাই সেই বিন্দুগুলি থেকে পেইন্টিং দ্বারা উপস্থাপিত কোণটি ছোট হয়। ধরা যাক a = চোখের স্তরের উপরে চিত্রকলার নীচের অংশের উচ্চতা; b = চোখের স্তরের উপরে চিত্রকলার উপরের অংশের উচ্চতা; বৃত্তের কেন্দ্র, ছবির কেন্দ্র এবং ছবির নীচে থেকে একটি ডান ত্রিভুজ গঠিত হয়। বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য হল a + (b-a)/2, দুটি পায়ের দৈর্ঘ্য হল প্রাচীর থেকে স্পর্শক বিন্দু পর্যন্ত দূরত্ব এবং (b-a)/2 যথাক্রমে। পিথাগোরীয় উপপাদ্য অনুসারে, প্রাচীর থেকে স্পর্শক বিন্দু পর্যন্ত দূরত্ব হল, অর্থাৎ চিত্রকলার উপরের এবং নীচের উচ্চতার জ্যামিতিক গড়। বর্তমান সময়ে, এই সমস্যাটি ব্যাপকভাবে পরিচিত কারণ এটি অনেক প্রথম বর্ষের ক্যালকুলাস পাঠ্যপুস্তকে (উদাহরণস্বরূপ স্টুয়ার্টের) একটি অনুশীলন হিসাবে দেখা যায়। ধরা যাক a = চোখের স্তরের উপরে চিত্রকলার নীচের অংশের উচ্চতা; b = চোখের স্তরের উপরে চিত্রকলার উপরের অংশের উচ্চতা; x = প্রাচীর থেকে দর্শকের দূরত্ব; α = চিত্রকর্মের নীচের অংশের উচ্চতার কোণ, যা দর্শকের অবস্থান থেকে দেখা যায়; β = চিত্রকর্মের উপরের অংশের উচ্চতার কোণ, যা দর্শকের অবস্থান থেকে দেখা যায়। আমরা যে কোণটি সর্বাধিক করতে চাই তা হল β − α। কোণটি বাড়ার সাথে সাথে কোণটির স্পর্শক বৃদ্ধি পায়; তাই এটি সর্বাধিক করার জন্য যথেষ্ট যেহেতু b − a একটি ধনাত্মক ধ্রুবক, তাই আমাদের কেবল এটির অনুসরণকারী ভগ্নাংশটি সর্বাধিক করতে হবে। পার্থক্য করলে আমরা পাই, অতএব x 0 থেকে 0-এ যাওয়ার সাথে সাথে কোণটি বৃদ্ধি পায় এবং x থেকে বাড়ার সাথে সাথে হ্রাস পায়। সুতরাং কোণটি ঠিক যতটা সম্ভব বড় হয় যখন x =, a এবং b এর জ্যামিতিক গড়। বীজগণিত দ্বারা সমাধান আমরা দেখেছি যে এটি সর্বাধিক করার জন্য যথেষ্ট এটি পারস্পরিককে হ্রাস করার সমতুল্যঃ লক্ষ্য করুন যে এই শেষ পরিমাণটি সমান। বিকল্পভাবে, আমরা এটিকে গাণিতিক এবং জ্যামিতিক মাধ্যমের মধ্যে বৈষম্যের উদাহরণ হিসাবে উল্লেখ করতে পারি। তথ্যসূত্র ত্রিকোণমিতি বৃত্ত গণনার ইতিহাস গাণিতিক সমস্যা