Method of dominant balance
গণিতে, প্রভাবশালী ভারসাম্যের পদ্ধতিটি সমীকরণটি সম্পূর্ণরূপে সমাধান না করে একটি সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সমাধানের অ্যাসিম্পটোটিক আচরণ নির্ধারণ করতে ব্যবহৃত হয়। প্রক্রিয়াটি পুনরাবৃত্তিমূলক, যাতে একবার পদ্ধতিটি সম্পাদন করে প্রাপ্ত ফলাফলটি ইনপুট হিসাবে ব্যবহার করা যেতে পারে যখন পদ্ধতিটি পুনরাবৃত্তি করা হয়, অ্যাসিম্পটোটিক সম্প্রসারণে যতগুলি পছন্দসই পদ পেতে। প্রক্রিয়াটি নিম্নরূপঃ ধরে নিন যে অ্যাসিম্পটোটিক আচরণের রূপটি রয়েছে সুদের সীমার মধ্যে ও. ডি. ই-তে কোন পদগুলি নগণ্য হতে পারে সে সম্পর্কে একটি জ্ঞাত অনুমান করুন। এই পদগুলি বাদ দিন এবং ফলস্বরূপ সহজ ও. ডি. ই সমাধান করুন। সমাধানটি 2য় ধাপের সঙ্গে সামঞ্জস্যপূর্ণ কিনা তা পরীক্ষা করুন। যদি এটি হয়, তবে একজনের অ্যাসিম্পটোটিক আচরণের নিয়ন্ত্রণকারী ফ্যাক্টর রয়েছে; অন্যথায়, পরিবর্তে দ্বিতীয় ধাপে বিভিন্ন পদ বাদ দেওয়ার চেষ্টা করা দরকার। সমাধানের শীর্ষস্থানীয় শব্দ হিসাবে উপরের ফলাফলের উপর নির্ভর করে উচ্চতর অর্ডারে প্রক্রিয়াটি পুনরাবৃত্তি করুন। উদাহরণস্বরূপঃ বহুপদী সমীকরণের সমাধান ছোট সীমায় সমীকরণটি সমাধান করার জন্য, আমরা ফর্মের একটি ক্রমিক সম্প্রসারণ করার কথা বিবেচনা করতে পারি। তবে এটি সমস্যার মুখোমুখি হয়ঃ কখন, সমীকরণটির কেবল একটি মূল থাকে। তবে অ-শূন্যের জন্য সমীকরণটির 5টি মূল রয়েছে। মূল সমস্যাটি হল যে এই শিকড়গুলির মধ্যে 4টি অনন্তের দিকে পালিয়ে যায়। এটি প্রভাবশালী ভারসাম্য পদ্ধতির ব্যবহারের পরামর্শ দেয়। অর্থাৎ, ছোট জন্য, আমাদের থাকা উচিত, তাই আমরা প্রায় সমীকরণটি সমাধান করব, দেওয়া হিসাবে। সুতরাং প্লাগ ইন করে, আমরা পাই পাঁচটি মূল রয়েছে, এবং প্রতিটি মূলকে একটি পাওয়ার সিরিজ হিসাবে প্রসারিত করে, আমরা পাঁচটি সিরিজ পাইঃ উদাহরণ স্বেচ্ছাচারী ধ্রুবকের জন্য এবং, বিবেচনা করুন এই ডিফারেনশিয়াল সমীকরণটি সঠিকভাবে সমাধান করা যায় না। যাইহোক, সমাধানগুলি বড়ের জন্য কীভাবে আচরণ করে তা বিবেচনা করা দরকারীঃ দেখা যাচ্ছে যে এটি x → φ এর মতো আচরণ করে। আরও কঠোরভাবে, আমরা করব, না। যেহেতু আমরা বড় সীমার আচরণে আগ্রহী, তাই আমরা ভেরিয়েবলগুলিকে = এক্সপ (এস (এক্স))-এ পরিবর্তন করি এবং এস (এক্স)-এর পরিপ্রেক্ষিতে ও. ডি. ই-কে পুনরায় প্রকাশ করি, অথবা যেখানে আমরা পণ্য নিয়ম এবং চেইন নিয়ম ব্যবহার করেছি। এখন প্রথমে ধরে নিন যে এই ODE-এর একটি সমাধান x ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ সেটিং দ্বারা প্রভাবশালী অ্যাসিম্পটোটিক আচরণ অর্জন করুন যদি উপরের অ্যাসিম্পটোটিক শর্তগুলি সন্তুষ্ট করে, তবে উপরের অনুমানটি সামঞ্জস্যপূর্ণ। আমরা যে শর্তগুলি বাদ দিয়েছিলাম সেগুলি আমরা যেগুলি রেখেছিলাম সেগুলির ক্ষেত্রে নগণ্য হবে। এটি ও. ডি. ই-এর কোনও সমাধান নয়, তবে এটি প্রভাবশালী অ্যাসিম্পটোটিক আচরণের প্রতিনিধিত্ব করে, যা আমরা আগ্রহী। এই পছন্দটি সামঞ্জস্যপূর্ণ কিনা তা পরীক্ষা করুন, সবকিছুই প্রকৃতপক্ষে সামঞ্জস্যপূর্ণ। এইভাবে আমাদের ও. ডি. ই-এর একটি সমাধানের প্রভাবশালী অ্যাসিম্পটোটিক আচরণ পাওয়া গেছে, প্রথা অনুসারে, সম্পূর্ণ অ্যাসিম্পটোটিক সিরিজটি লেখা হয় যাতে এই সিরিজের কমপক্ষে প্রথম পদটি পেতে আমাদের আরও একটি পদক্ষেপ নিতে হবে যে সামনে থেকে কোনও শক্তি আছে কিনা। একটি নতুন সাবলিডিং নির্ভরশীল পরিবর্তনশীল প্রবর্তন করে এগিয়ে যান, এবং তারপর সি (এক্স)-এর জন্য অ্যাসিম্পটোটিক সমাধান খুঁজুন। এস (এক্স)-এর জন্য উপরের ও. ডি. ই-তে প্রতিস্থাপন করে আমরা দেখতে পাই যে আগের মতো একই প্রক্রিয়া পুনরাবৃত্তি করে, আমরা রাখি এবং খুঁজে বের করি যে নেতৃস্থানীয় অ্যাসিম্পটোটিক আচরণটি তখন অ্যাসিম্পটোটিক বিশ্লেষণ রেফারেন্স অ্যাসিম্পটোটিক বিশ্লেষণ গাণিতিক সিরিজ সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলি দেখুন।