Associahedron
গণিতে, একটি অ্যাসোসিয়াহেড্রন হল একটি-মাত্রিক উত্তল পলিটোপ যেখানে প্রতিটি শীর্ষ সঠিকভাবে অক্ষরের একটি সারিতে বন্ধনী খোলার এবং বন্ধ করার পদ্ধতির সাথে মিলে যায় এবং প্রান্তগুলি সহযোগীতা নিয়মের একক প্রয়োগের সাথে মিলে যায়। সমতুল্যভাবে, একটি অ্যাসোসিয়াহেড্রনের শীর্ষগুলি পার্শ্বযুক্ত একটি নিয়মিত বহুভুজের ত্রিভুজের সাথে মিলে যায় এবং প্রান্তগুলি প্রান্তের উল্টানোর সাথে মিলে যায় যেখানে একটি ত্রিভুজ থেকে একটি একক তির্যক সরানো হয় এবং একটি ভিন্ন তির্যক দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়। জিম স্ট্যাশেফের কাজের পরে অ্যাসোসিয়াহেড্রাকে স্ট্যাশেফ পলিটোপও বলা হয়, যিনি 1960-এর দশকের গোড়ার দিকে ডভ তামারির পূর্ববর্তী কাজের পরে এগুলি পুনরায় আবিষ্কার করেছিলেন। উদাহরণস্বরূপ, এক-মাত্রিক অ্যাসোসিয়াহেড্রন কে3 তিনটি প্রতীকের দুটি বন্ধনী (xy) z) এবং (x (yz)) বা একটি বর্গক্ষেত্রের দুটি ত্রিভুজকে উপস্থাপন করে। এটি নিজেই একটি লাইন বিভাগ। দ্বিমাত্রিক অ্যাসোসিয়াহেড্রন কে4 চারটি প্রতীকের পাঁচটি বন্ধনী বা একটি নিয়মিত পঞ্চভুজের পাঁচটি ত্রিভুজকে উপস্থাপন করে। এটি নিজেই একটি পঞ্চভুজ এবং একটি মনোইডাল বিভাগের পঞ্চভুজ চিত্রের সাথে সম্পর্কিত। ত্রি-মাত্রিক অ্যাসোসিয়াহেড্রন কে5 হল একটি এননিয়াহেড্রন যার নয়টি মুখ (তিনটি বিচ্ছিন্ন চতুর্ভুজ এবং ছয়টি পেন্টাগন) এবং চৌদ্দটি শীর্ষ রয়েছে এবং এর দ্বৈত ত্রিভুজাকার ত্রিভুজাকার প্রিজম। উপলব্ধি প্রাথমিকভাবে জিম স্ট্যাশেফ এই বস্তুগুলিকে বক্ররেখা পলিটোপ হিসাবে বিবেচনা করেছিলেন। পরবর্তীকালে, তাদের বিভিন্ন উপায়ে উত্তল পলিটোপ হিসাবে স্থানাঙ্ক দেওয়া হয়েছিল; একটি সমীক্ষার জন্য এর ভূমিকা দেখুন। অ্যাসোসিয়াহেড্রন উপলব্ধি করার একটি পদ্ধতি হল একটি নিয়মিত বহুভুজের গৌণ পলিটোপ। এই নির্মাণে, n + 1 বাহু সহ একটি নিয়মিত বহুভুজের প্রতিটি ত্রিভুজ (n + 1)-মাত্রিক ইউক্লিডীয় স্থানের একটি বিন্দুর সাথে মিলে যায়, যার ith স্থানাঙ্ক হল বহুভুজের ith শীর্ষে ত্রিভুজের মোট ক্ষেত্রফল। উদাহরণস্বরূপ, একক বর্গক্ষেত্রের দুটি ত্রিভুজ এইভাবে স্থানাঙ্ক (1,1/2,1,1/2) এবং (1/2,1/2,1) সহ দুটি চার-মাত্রিক বিন্দুর জন্ম দেয়। এই দুটি বিন্দুর উত্তল কাঠামো হল অ্যাসোসিয়াহেড্রন কে3-এর উপলব্ধি। যদিও এটি একটি 4-মাত্রিক স্থানে বাস করে, এটি সেই স্থানের মধ্যে একটি লাইন সেগমেন্ট (একটি 1-মাত্রিক পলিটোপ) গঠন করে। একইভাবে, অ্যাসোসিয়াহেড্রন কে4-কে এইভাবে পঞ্চ-মাত্রিক ইউক্লিডীয় স্থানে একটি নিয়মিত পঞ্চভুজ হিসাবে উপলব্ধি করা যেতে পারে, যার শীর্ষ স্থানাঙ্ক হল ভেক্টরের (1,2 + φ, 1,1 + φ, 1 + φ) চক্রাকার বিন্যাস যেখানে φ স্বর্ণ অনুপাতকে বোঝায়। যেহেতু একটি নিয়মিত ষড়ভুজের মধ্যে সম্ভাব্য ত্রিভুজগুলির এমন এলাকা রয়েছে যা একে অপরের পূর্ণসংখ্যা গুণিতক, তাই এই গঠনটি ত্রিমাত্রিক অ্যাসোসিয়াহেড্রন কে5-কে পূর্ণসংখ্যা স্থানাঙ্ক (ছয় মাত্রায়) দিতে ব্যবহার করা যেতে পারে; তবে (যেমন কে4-এর উদাহরণ ইতিমধ্যে দেখায়) এই গঠনটি সাধারণভাবে স্থানাঙ্ক হিসাবে অযৌক্তিক সংখ্যার দিকে পরিচালিত করে। জিন-লুই লোডের কারণে আরেকটি উপলব্ধি, এন-পাতার শিকড়যুক্ত বাইনারি গাছের সাথে অ্যাসোসিয়াহেড্রনের শীর্ষগুলির যোগাযোগের উপর ভিত্তি করে এবং সরাসরি (এন-2)-মাত্রিক স্থানে পূর্ণসংখ্যা স্থানাঙ্ক তৈরি করে। লোডের উপলব্ধির ith স্থানাঙ্ক হল আইবি, যেখানে এআই হল গাছের অভ্যন্তরীণ নোডের (বাম থেকে ডান ক্রমে) বাম সন্তানের পাতার বংশধরদের সংখ্যা এবং বিআই হল ডান সন্তানের পাতার বংশধরদের সংখ্যা। একটি পলিটোপ হিসাবে সরাসরি (এন-2)-মাত্রিক স্থানে অ্যাসোসিয়াহেড্রনকে উপলব্ধি করা সম্ভব যার জন্য সমস্ত মুখের স্বাভাবিক ভেক্টরের স্থানাঙ্ক 0, + 1, বা-1। এটি করার জন্য সূচকীয়ভাবে অনেকগুলি সমন্বিতভাবে স্বতন্ত্র উপায় রয়েছে। যেহেতু কে5 শুধুমাত্র একটি পলিহেড্রন যার শীর্ষে 3টি প্রান্ত একত্রিত হয়, তাই একটি হাইড্রোকার্বনের অস্তিত্ব থাকা সম্ভব (প্লেটোনিক হাইড্রোকার্বনের মতো) যার রাসায়নিক কাঠামো কে5-এর কঙ্কাল দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়। এই "অ্যাসোসিয়াহেড্রেন" সি14এইচ14-এর স্মাইল্স স্বরলিপি থাকবেঃ সি12-সি3-সি4-সি1-সি5-সি6-সি2-সি7-সি3-সি8-সি4-সি5-সি6-সি78। এর প্রান্তগুলি প্রায় সমান দৈর্ঘ্যের হবে, তবে প্রতিটি মুখের শীর্ষগুলি অগত্যা কোপ্ল্যানার হবে না। প্রকৃতপক্ষে, কে5 একটি প্রায়-মিস জনসন কঠিনঃ এটি বর্গক্ষেত্র এবং নিয়মিত পেন্টাগন থেকে তৈরি করা সম্ভব বলে মনে হচ্ছে, কিন্তু তা নয়। হয় শীর্ষগুলি বেশ সহ-সমতলীয় হবে না, অথবা মুখগুলি নিয়মিততা থেকে সামান্য দূরে বিকৃত করতে হবে। k-মুখের সংখ্যা n (Kn + 1) ক্রমের অ্যাসোসিয়াহেড্রনের (n − k)-মাত্রিক মুখের সংখ্যা ডানদিকে দেখানো ত্রিভুজ সংখ্যা (n, k) দ্বারা দেওয়া হয়। Kn + 1-এ শীর্ষগুলির সংখ্যা হল n-তম কাতালান সংখ্যা (ত্রিভুজের ডান তির্যক)। Kn + 1-এর দিকের সংখ্যা হল n-তম ত্রিভুজাকার সংখ্যা বিয়োগ এক (ত্রিভুজের দ্বিতীয় কলাম), কারণ প্রতিটি দিক n বস্তুর 2-উপসেটের সাথে মিলে যায় যার গোষ্ঠীগুলি তামারি জাল টিএন গঠন করে, 2-উপসেট ব্যতীত যা প্রথম এবং শেষ উপাদান ধারণ করে। সমস্ত মাত্রার মুখের সংখ্যা (মুখ হিসাবে অ্যাসোসিয়াহেড্রন সহ, তবে খালি সেট সহ নয়) একটি শ্রোডার-হিপ্পার্কাস সংখ্যা (ত্রিভুজের সারির যোগফল)। ব্যাস 1980-এর দশকের শেষের দিকে, ঘূর্ণন দূরত্বের সমস্যার সাথে সম্পর্কিত, ড্যানিয়েল স্লেটর, রবার্ট টারজান এবং উইলিয়াম থার্স্টন একটি প্রমাণ প্রদান করেছিলেন যে n-মাত্রিক অ্যাসোসিয়াহেড্রন Kn + 2-এর ব্যাস অসীম সংখ্যক n-এর জন্য সর্বাধিক 2n−4 এবং n-এর সমস্ত "যথেষ্ট বড়" মানের জন্য। তারা আরও প্রমাণ করেছিল যে এই উপরের সীমাটি যখন n যথেষ্ট বড় হয় তখন আঁটসাঁট হয় এবং অনুমান করে যে "যথেষ্ট বড়" মানে "9-এর চেয়ে কঠোরভাবে বড়"। এই অনুমানটি 2012 সালে লিওনেল পোর্নিন দ্বারা প্রমাণিত হয়েছিল। বিচ্ছুরণ বিস্তার 2017 সালে, মিজেরা এবং আরকানি-হামেদ এবং অন্যান্যরা। দেখিয়েছেন যে অ্যাসোসিয়াহেড্রন দ্বি-সংযুক্ত ঘন স্কেলার তত্ত্বের জন্য বিচ্ছুরণ প্রশস্ততা তত্ত্বে একটি কেন্দ্রীয় ভূমিকা পালন করে। বিশেষত, বিচ্ছুরণ গতিবিদ্যার ক্ষেত্রে একটি অ্যাসোসিয়াহেড্রন রয়েছে এবং বৃক্ষ স্তরের বিচ্ছুরণ প্রশস্ততা হল দ্বৈত অ্যাসোসিয়াহেড্রনের আয়তন। অ্যাসোসিয়াহেড্রন স্ট্রিং তত্ত্বে খোলা এবং বন্ধ স্ট্রিংয়ের বিচ্ছুরণ প্রশস্ততার মধ্যে সম্পর্ক ব্যাখ্যা করতেও সহায়তা করে। আরও দেখুন সাইক্লোহেড্রন, একটি পলিটোপ যার সংজ্ঞা বন্ধনীগুলিকে চক্রাকার ক্রমে মোড়ানোর অনুমতি দেয়। উল্টানো গ্রাফ, অ্যাসোসিয়াহেড্রনের 1-কঙ্কালের একটি সাধারণীকরণ। পারমুটোহেড্রন, একটি পলিটোপ যা কমিউটেটিভিটি থেকে অ্যাসোসিয়েটিভিটি থেকে অ্যাসোসিয়াহেড্রনের সংজ্ঞার অনুরূপভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। পারমুটোঅ্যাসোসিয়াহেড্রন, একটি পলিটোপ যার শীর্ষগুলি বন্ধনীযুক্ত বিন্যাস। তামারি জাল, একটি জাল যার গ্রাফ হল অ্যাসোসিয়াহেড্রনের কঙ্কাল। রেফারেন্স এক্সটার্নাল লিঙ্ক স্ট্রেঞ্জ অ্যাসোসিয়েশন-অ্যাসোসিয়েহেড্রন সম্পর্কে অ্যাসোসিয়েহেড্র জিগলারের বক্তৃতা সম্পর্কে এ. এম. এস কলাম। 2009 সালে বার্সেলোনা স্বায়ত্তশাসিত বিশ্ববিদ্যালয়ে গুন্টার জিগলারের একটি বক্তৃতা থেকে নোট। অ্যাসোসিয়াহেড্রা এবং সাইক্লোহেড্রা বিষয়ে বক্তৃতা। এম. এস. আর. আই বক্তৃতার নোট। পলিটোপ