Quantum t-design
কোয়ান্টাম টি-ডিজাইন হল বিশুদ্ধ কোয়ান্টাম অবস্থা বা একক অপারেটরের উপর একটি সম্ভাব্যতা বন্টন যা হার পরিমাপের উপর সম্ভাব্যতা বণ্টনের বৈশিষ্ট্যগুলি প্রতিলিপি করতে পারে ডিগ্রি টি বা তার কম পলিনোমিয়ালের জন্য। বিশেষত, নকশার উপর ডিগ্রি টি-এর যে কোনও বহুপদী ফাংশনের গড় হার পরিমাপের গড়ের সমান। এখানে হার পরিমাপ হল সমস্ত কোয়ান্টাম অবস্থার উপর বা সমস্ত একক অপারেটরের উপর একটি অভিন্ন সম্ভাব্যতা বিতরণ। কোয়ান্টাম টি-ডিজাইনকে তাই বলা হয় কারণ এগুলি ধ্রুপদী পরিসংখ্যানে টি-ডিজাইনের অনুরূপ, যা ঐতিহাসিকভাবে পরীক্ষার নকশার সমস্যার সাথে সম্পর্কিত। কোয়ান্টাম মেকানিক্সে দুটি বিশেষ গুরুত্বপূর্ণ ধরনের টি-ডিজাইন হল প্রজেক্টিভ এবং ইউনিটারি টি-ডিজাইন। একটি গোলাকার নকশা হল একক গোলকের বিন্দুগুলির একটি সংগ্রহ যার জন্য সীমাবদ্ধ মাত্রার বহুপদগুলির গড় একই মান পেতে পারে যা গোলকের উপর পৃষ্ঠ পরিমাপের উপর সংহত করলে পাওয়া যায়। গোলাকার এবং প্রজেক্টিভ টি-ডিজাইনগুলি 1970-এর দশকের শেষের দিকে ডেলসার্ট, গয়েথালস এবং সিডেলের কাজ থেকে তাদের নাম পেয়েছে, তবে এই বস্তুগুলি সংখ্যাসূচক সংহতকরণ এবং সংখ্যা তত্ত্ব সহ গণিতের বেশ কয়েকটি শাখায় পূর্ববর্তী ভূমিকা পালন করেছিল। এই বস্তুর বিশেষ উদাহরণগুলি কোয়ান্টাম তথ্য তত্ত্ব, কোয়ান্টাম ক্রিপ্টোগ্রাফি এবং অন্যান্য সম্পর্কিত ক্ষেত্রে ব্যবহার করা হয়েছে। একক টি-নকশাগুলি গোলাকার নকশার অনুরূপ যে তারা একক ম্যাট্রিক্সের একটি সীমাবদ্ধ সংগ্রহের মাধ্যমে সমগ্র একক গোষ্ঠীকে পুনরুত্পাদন করে। ইউনিটারি 2-ডিজাইনের তত্ত্বটি 2006 সালে বিশেষভাবে তৈরি করা হয়েছিল যাতে কোয়ান্টাম কম্পিউটিং ক্রিয়াকলাপের ত্রুটিগুলি মূল্যায়ন করার জন্য দক্ষ এবং স্কেলযোগ্য র্যান্ডমাইজড বেঞ্চমার্কিংয়ের একটি ব্যবহারিক উপায় অর্জন করা যায়, যাকে গেটস বলা হয়। তারপর থেকে একক টি-ডিজাইনগুলি কোয়ান্টাম কম্পিউটিংয়ের অন্যান্য ক্ষেত্রে এবং আরও বিস্তৃতভাবে কোয়ান্টাম তথ্য তত্ত্বে কার্যকর বলে মনে করা হয়েছে এবং কৃষ্ণগহ্বরের তথ্য প্যারাডক্স পর্যন্ত পৌঁছানো সমস্যাগুলিতে প্রয়োগ করা হয়েছে। একক টি-ডিজাইনগুলি কোয়ান্টাম কম্পিউটিংয়ে র্যান্ডমাইজেশন কাজের জন্য বিশেষভাবে প্রাসঙ্গিক কারণ আদর্শ ক্রিয়াকলাপগুলি সাধারণত একক অপারেটর দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়। একটি ডি-ডাইমেনশনাল হিলবার্ট স্পেসে যখন সমস্ত কোয়ান্টাম বিশুদ্ধ অবস্থার গড় হয় তখন প্রাকৃতিক গ্রুপটি হল এস. ইউ (ডি), যা ডাইমেনশনের বিশেষ একক গ্রুপ। হার পরিমাপ, সংজ্ঞা অনুসারে, অনন্য গ্রুপ-অপরিবর্তনীয় পরিমাপ, তাই এটি এমন বৈশিষ্ট্যগুলির গড় হিসাবে ব্যবহৃত হয় যা সমস্ত অবস্থার উপর এককভাবে অপরিবর্তনীয় নয়, বা সমস্ত এককগুলির উপর। এর একটি বিশেষভাবে ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত উদাহরণ হল স্পিন ব্যবস্থা। এই ব্যবস্থার জন্য প্রাসঙ্গিক গ্রুপ হল এস. ইউ (2) যা হল 1 নির্ধারক সহ সমস্ত 2x2 একক অপারেটরের গ্রুপ। যেহেতু এস. ইউ (2)-এর প্রতিটি অপারেটর ব্লক গোলকের একটি ঘূর্ণন, তাই স্পিন-1/2 কণার হার পরিমাপ ব্লক গোলকের সমস্ত ঘূর্ণনের অধীনে অপরিবর্তনীয়। এর থেকে বোঝা যায় যে, হার পরিমাপ হল ব্লচ গোলকের ঘূর্ণনগতভাবে অপরিবর্তনীয় পরিমাপ, যা গোলকের পৃষ্ঠের উপর একটি ধ্রুবক ঘনত্ব বন্টন হিসাবে ভাবা যেতে পারে। জটিল প্রজেক্টিভ টি-ডিজাইনের একটি গুরুত্বপূর্ণ শ্রেণী হল প্রতিসম তথ্যগতভাবে সম্পূর্ণ পজিটিভ অপারেটর-মূল্যবান পরিমাপ পিওভিএম, যা জটিল প্রজেক্টিভ 2-ডিজাইন। যেহেতু এই ধরনের 2-নকশায় কমপক্ষে উপাদান থাকতে হবে, তাই একটি এস. আই. সি-পি. ও. ভি. এম হল ন্যূনতম আকারের জটিল 2-নকশা। কোয়ান্টাম তথ্য তত্ত্বে কোয়ান্টাম টি-ডিজাইন হিসাবে গোলাকার টি-ডিজাইন জটিল প্রজেক্টিভ টি-ডিজাইন অধ্যয়ন করা হয়েছে। এগুলি একক গোলকের ভেক্টরের গোলাকার 2-টি-ডিজাইনের সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত যেখানে প্রাকৃতিকভাবে এম্বেড করা হলে জটিল প্রজেক্টিভ টি-ডিজাইনের জন্ম দেয়। আনুষ্ঠানিকভাবে, আমরা কোয়ান্টাম অবস্থার উপর একটি সম্ভাব্যতা বিতরণকে একটি জটিল প্রজেক্টিভ টি-ডিজাইন হিসাবে সংজ্ঞায়িত করি যদি এখানে, কোয়ান্টাম অবস্থার উপর সঠিক টি-ডিজাইনের একক গোলকের হার পরিমাপের উপর অবিচ্ছেদ্য ওভার স্টেটগুলি নেওয়া হয় যখন সম্ভাব্যতা বিতরণ থেকে কোনও অবস্থার টি কপি ব্যবহার করার সময় সমস্ত অবস্থার উপর অভিন্ন সম্ভাব্যতা বিতরণ থেকে আলাদা করা যায় না। তবে বাস্তবে এমনকি টি-ডিজাইনও গণনা করা কঠিন হতে পারে। এই কারণে আনুমানিক টি-ডিজাইনগুলি কার্যকর। আনুমানিক টি-ডিজাইনগুলি দক্ষতার সাথে বাস্তবায়িত করার দক্ষতার কারণে সবচেয়ে কার্যকর। অর্থাৎ। সময়ের সম্ভাব্যতা বন্টন অনুযায়ী বিতরণ করা একটি কোয়ান্টাম অবস্থা তৈরি করা সম্ভব। এই দক্ষ নির্মাণ আরও বোঝায় যে অপারেটরদের পিওভিএম সময়মতো বাস্তবায়িত করা যেতে পারে। একটি আনুমানিক টি-ডিজাইনের প্রযুক্তিগত সংজ্ঞা হলঃ যদি এবং তারপর একটি-আনুমানিক টি-ডিজাইন। এটি সম্ভব, যদিও সম্ভবত অদক্ষ, একটি নির্দিষ্ট t-এর জন্য কোয়ান্টাম বিশুদ্ধ অবস্থার সমন্বয়ে একটি-আনুমানিক t-নকশা খুঁজে পাওয়া সম্ভব। সুবিধার জন্য d-কে 2-এর শক্তি বলে ধরে নেওয়া হয়। এই সত্যটি ব্যবহার করে যে কোনও ডি-এর জন্য {0,., d-1} {0,., d-1} ফাংশনের একটি সেট রয়েছে যাতে যে কোনও স্বতন্ত্র {0,., d-1}-এর জন্য f-এর অধীনে চিত্রটি, যেখানে f-কে S থেকে এলোমেলোভাবে বেছে নেওয়া হয়, ঠিক {0,., d-1}-এর N উপাদানগুলির টুপলের উপর অভিন্ন বন্টন। হার পরিমাপ থেকে নেওয়া যাক। ধরা যাক এবং লেট এর সম্ভাব্যতা বন্টন। পরিশেষে পি থেকে নেওয়া যাক। যদি আমরা সম্ভাব্যতা এবং সম্ভাব্যতা দিয়ে সংজ্ঞায়িত করি তবেঃ বিজোড় জে এবং জোড় জে-এর জন্য। এটি এবং গাউসিয়ান চতুর্ভুজ ব্যবহার করে আমরা নির্মাণ করতে পারি যাতে এটি একটি আনুমানিক টি-ডিজাইন হয়। একক টি-নকশা একক টি-নকশা গোলাকার নকশার অনুরূপ যাতে তারা একক ম্যাট্রিক্সের একটি সীমাবদ্ধ সংগ্রহের মাধ্যমে সমগ্র একক গোষ্ঠীকে পুনরুত্পাদন করে। ইউনিটারি 2-ডিজাইনের তত্ত্বটি 2006 সালে বিশেষভাবে তৈরি করা হয়েছিল যাতে কোয়ান্টাম কম্পিউটিং ক্রিয়াকলাপের ত্রুটিগুলি মূল্যায়ন করার জন্য দক্ষ এবং স্কেলযোগ্য র্যান্ডমাইজড বেঞ্চমার্কিংয়ের একটি ব্যবহারিক উপায় অর্জন করা যায়, যাকে গেটস বলা হয়। তারপর থেকে একক টি-ডিজাইনগুলি কোয়ান্টাম কম্পিউটিংয়ের অন্যান্য ক্ষেত্রে এবং আরও বিস্তৃতভাবে কোয়ান্টাম তথ্য তত্ত্ব এবং কৃষ্ণগহ্বর পদার্থবিজ্ঞানের মতো ক্ষেত্রগুলিতে কার্যকর বলে মনে করা হচ্ছে। একক টি-ডিজাইনগুলি কোয়ান্টাম কম্পিউটিংয়ে র্যান্ডমাইজেশন কাজের জন্য বিশেষভাবে প্রাসঙ্গিক কারণ আদর্শ ক্রিয়াকলাপগুলি সাধারণত একক অপারেটর দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়। একটি একক টি-ডিজাইনের উপাদানগুলি হল একক গোষ্ঠীর উপাদান, ইউ (ডি), একক ম্যাট্রিক্সের গ্রুপ। একক অপারেটরদের একটি টি-ডিজাইন রাজ্যের একটি টি-ডিজাইন তৈরি করবে। ধরুন এটি একটি একক টি-ডিজাইন (অর্থাৎ। একক অপারেটরদের একটি সেট)। তারপর যে কোনও বিশুদ্ধ অবস্থার জন্য যাক। তারপর সর্বদা রাজ্যগুলির জন্য একটি টি-ডিজাইন থাকবে। একটি একক টি-নকশা, এক্স-কে আনুষ্ঠানিকভাবে সংজ্ঞায়িত করুন, যদি লক্ষ্য করা যায় যে ইউ-এর সমস্ত পছন্দের উপর ম্যাট্রিক্স দ্বারা রৈখিকভাবে বিস্তৃত স্থানটি সীমাবদ্ধতার সাথে অভিন্ন এবং এই পর্যবেক্ষণটি একক নকশা এবং একক কোডের মধ্যে দ্বৈততা সম্পর্কে একটি উপসংহারে নিয়ে যায়। ক্রমাঙ্কন মানচিত্র ব্যবহার করে সরাসরি যাচাই করা সম্ভব যে একক ম্যাট্রিক্সের একটি সেট একটি টি-ডিজাইন গঠন করে। এর একটি প্রত্যক্ষ ফলাফল হল যে কোনও সসীম সমতার জন্য যদি এবং শুধুমাত্র যদি এক্স একটি টি-ডিজাইন হয়। 1 এবং 2-নকশাগুলি কিছু বিশদে পরীক্ষা করা হয়েছে এবং এক্স, |X।-এর মাত্রার জন্য পরম সীমা পাওয়া গেছে। এককেন্দ্রিক নকশার জন্য সীমা ডিগ্রী টি-এর সমজাতীয় এবং ডিগ্রী টি-এর সমজাতীয় ফাংশনের সেট হিসাবে সংজ্ঞায়িত করুন, তারপর যদি প্রতিটির জন্যঃ তাহলে এক্স একটি এককেন্দ্রিক টি-ডিজাইন। আমরা ফাংশনের জন্য অভ্যন্তরীণ গুণফলকে আরও সংজ্ঞায়িত করি এবং এর গড় মান হিসাবেঃ এবং যে কোনও সীমাবদ্ধ উপসেটের গড় মান হিসাবে। এটি অনুসরণ করে যে এক্স একটি একক টি-ডিজাইন যদি এবং শুধুমাত্র যদি। উপরের থেকে এটা প্রমাণ করা যায় যে যদি এক্স একটি টি-ডিজাইন হয় তবে এটি নকশার জন্য একটি পরম আবদ্ধ। এটি একটি একক নকশার আকারের উপর একটি ঊর্ধ্বসীমা আরোপ করে। এই সীমাটি পরম অর্থ এটি কেবল নকশার শক্তি বা কোডের ডিগ্রির উপর নির্ভর করে, এবং উপসেট, এক্স-এর দূরত্বের উপর নয়। একটি একক কোড হল একক গোষ্ঠীর একটি সীমাবদ্ধ উপসেট যেখানে উপাদানগুলির মধ্যে কয়েকটি অভ্যন্তরীণ পণ্য মান ঘটে। বিশেষত, একটি একক কোডকে একটি সীমাবদ্ধ উপসেট হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় যদি X-এর সকলের জন্য শুধুমাত্র স্বতন্ত্র মান গ্রহণ করা হয়। এটি অনুসরণ করে যে এবং যদি U এবং M অর্থোগোনাল হয়ঃ আরও দেখুন গোলাকার নকশা ইকুইয়াংগুলার লাইন ওয়েলচ বাউন্ড রেফারেন্স কোয়ান্টাম তথ্য বিজ্ঞান তথ্য তত্ত্ব কোয়ান্টাম তথ্য তত্ত্ব