Hard hexagon model
পরিসংখ্যানগত বলবিজ্ঞানে, শক্ত ষড়ভুজ মডেল হল একটি গ্যাসের একটি দ্বিমাত্রিক জাল মডেল, যেখানে কণাগুলি একটি ত্রিভুজাকার জালের শীর্ষে থাকতে দেওয়া হয় তবে কোনও দুটি কণা সংলগ্ন হতে পারে না। মডেলটি দ্বারা সমাধান করা হয়েছিল, যিনি খুঁজে পেয়েছিলেন যে এটি রজার্স-রামানুজন পরিচয়ের সাথে সম্পর্কিত ছিল। কঠিন ষড়ভুজ মডেলের বিভাজন ফাংশন কঠিন ষড়ভুজ মডেলটি গ্র্যান্ড ক্যানোনিকাল এনসেম্বলের কাঠামোর মধ্যে ঘটে, যেখানে মোট কণার সংখ্যা ("ষড়ভুজ") প্রাকৃতিকভাবে পরিবর্তিত হতে দেওয়া হয় এবং একটি রাসায়নিক সম্ভাব্যতা দ্বারা স্থির করা হয়। কঠিন ষড়ভুজ মডেলে, সমস্ত বৈধ অবস্থার শূন্য শক্তি থাকে, এবং তাই একমাত্র গুরুত্বপূর্ণ তাপগতিবিদ্যার নিয়ন্ত্রণ পরিবর্তনশীল হল রাসায়নিক সম্ভাব্যতা এবং তাপমাত্রার অনুপাত। এই অনুপাতের সূচকীয়, z = exp (μ/(kT)) কে কার্যকলাপ বলা হয় এবং বৃহত্তর মানগুলি মোটামুটিভাবে ঘন কনফিগারেশনের সাথে মিলে যায়। এন সাইট সহ একটি ত্রিভুজাকার জালকের জন্য, গ্র্যান্ড পার্টিশন ফাংশন হল যেখানে জি (এন, এন) হল স্বতন্ত্র জালের সাইটগুলিতে এন কণাগুলি স্থাপন করার উপায়গুলির সংখ্যা যাতে 2 নম্বর সংলগ্ন থাকে। ফাংশন κ দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয় যাতে লগ (κ) হল প্রতি একক স্থানের মুক্ত শক্তি। কঠিন ষড়ভুজ মডেলটি সমাধান করার অর্থ হল (মোটামুটিভাবে) z এর একটি ফাংশন হিসাবে κ এর জন্য একটি সঠিক অভিব্যক্তি খুঁজে বের করা। ছোট z-এর জন্য গড় ঘনত্ব ρ দেওয়া হয় জালের শীর্ষগুলি 1,2 এবং 3 নম্বরযুক্ত 3টি শ্রেণীতে পড়ে, যা কঠিন ষড়ভুজ দিয়ে স্থান পূরণ করার 3টি ভিন্ন উপায়ে দেওয়া হয়। 3টি স্থানীয় ঘনত্ব রয়েছে ρ1, ρ2, ρ3, যা 3 শ্রেণীর সাইটের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ। যখন ক্রিয়াকলাপ বড় হয় তখন সিস্টেমটি এই 3 টি প্যাকিংয়ের মধ্যে একটিকে আনুমানিক করে, তাই স্থানীয় ঘনত্বগুলি পৃথক হয়, তবে যখন ক্রিয়াকলাপ একটি সমালোচনামূলক বিন্দুর নিচে থাকে তখন তিনটি স্থানীয় ঘনত্ব একই হয়। নিম্ন-ক্রিয়াশীল সমজাতীয় পর্যায়কে উচ্চ-ক্রিয়াশীল পর্যায় থেকে পৃথক করার গুরুত্বপূর্ণ বিন্দুটি হল স্বর্ণ অনুপাত φ। সংকট বিন্দুর উপরে স্থানীয় ঘনত্বগুলি পৃথক হয় এবং যে পর্যায়ে বেশিরভাগ ষড়ভুজগুলি টাইপ 1-এর স্থানে থাকে সেখানে সমাধান হিসাবে প্রসারিত করা যেতে পারে সমাধানটি z <zc-এর ছোট মানের জন্য দেওয়া হয় যেখানে বড় z> zc-এর জন্য সমাধানটি (যে পর্যায়ে বেশিরভাগ দখলকৃত সাইটগুলিতে টাইপ 1 থাকে) দ্বারা দেওয়া হয় G এবং H ফাংশনগুলি রজার্স-রামানুজন পরিচয়ে পরিণত হয় এবং Q ফাংশনটি অয়লার ফাংশন, যা ডেডেকাইন্ড ইটা ফাংশনের সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত। যদি x = e2πiτ হয়, তাহলে x − 1/60 G (x), x 11/60 H (x), x − 1/24 P (x), z, κ, ρ, ρ1, ρ2, এবং ρ3 হল τ-এর মডুলার ফাংশন, যেখানে x 1/24 Q (x) হল 1/2 ওজনের একটি মডুলার ফর্ম। যেহেতু যে কোনও দুটি মডুলার ফাংশন একটি বীজগাণিতিক সম্পর্ক দ্বারা সম্পর্কিত, এটি বোঝায় যে κ, z, R, ρ ফাংশনগুলি একে অপরের বীজগাণিতিক ফাংশন (বেশ উচ্চ মাত্রার)। বিশেষ করে, κ (1)-এর মান, যাকে এরিক ওয়েইসস্টাইন কঠিন ষড়ভুজ এনট্রপি ধ্রুবক বলে অভিহিত করেছেন, হল 24 মাত্রার একটি বীজগাণিতিক সংখ্যা যা 1.395485972-এর সমান। সম্পর্কিত মডেল কঠিন ষড়ভুজ মডেলটি বর্গক্ষেত্র এবং মধুচক্রের জালগুলিতে একইভাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। এই মডেলগুলির কোনওটির জন্য কোনও সঠিক সমাধান জানা যায়নি, তবে বর্গাকার জাল এবং মধুচক্র জালের জন্য সমালোচনামূলক বিন্দু zc কাছাকাছি; κ (1) বর্গাকার জালের জন্য প্রায় 1.503048082. () এবং মধুচক্র জালের জন্য 1.546440708। তথ্যসূত্র এক্সটন, এইচ. (1983), কিউ-হাইপারজিওমেট্রিক ফাংশনস অ্যান্ড অ্যাপ্লিকেশনস, নিউ ইয়র্কঃ হালস্টেড প্রেস, চিচেস্টারঃ এলিস হরউড এক্সটার্নাল লিঙ্ক ঠিক সমাধানযোগ্য মডেল পরিসংখ্যানগত বলবিজ্ঞান ল্যাটিস মডেল মডুলার ফর্ম বীজগাণিতিক সংখ্যা