Final value theorem
গাণিতিক বিশ্লেষণে, চূড়ান্ত মান উপপাদ্য (এফভিটি) হল বেশ কয়েকটি অনুরূপ উপপাদ্যের মধ্যে একটি যা সময় ক্ষেত্রের আচরণের সাথে ফ্রিকোয়েন্সি ক্ষেত্রের অভিব্যক্তিগুলিকে সম্পর্কিত করতে ব্যবহৃত হয়। গাণিতিকভাবে, যদি অবিচ্ছিন্ন সময়ে (একতরফা) ল্যাপ্লাস রূপান্তর হয়, তবে একটি চূড়ান্ত মান উপপাদ্য এমন শর্ত স্থাপন করে যার অধীনে একইভাবে, যদি বিচ্ছিন্ন সময়ে (একতরফা) জেড-রূপান্তর হয়, তবে একটি চূড়ান্ত মান উপপাদ্য এমন শর্ত স্থাপন করে যার অধীনে একটি আবেলিয়ান চূড়ান্ত মান উপপাদ্য গণনা করার জন্য (বা) এর সময়-ক্ষেত্রের আচরণ সম্পর্কে অনুমান করে। বিপরীতভাবে, একটি টাউবেরিয়ান চূড়ান্ত মান উপপাদ্য গণনা করার জন্য ফ্রিকোয়েন্সি-ডোমেন আচরণ সম্পর্কে অনুমান করে (বা) (অবিচ্ছেদ্য রূপান্তরের জন্য আবেলিয়ান এবং টাউবেরিয়ান উপপাদ্য দেখুন)। ল্যাপ্লাস রূপান্তরের জন্য চূড়ান্ত মান উপপাদ্য ডিডিজিং নিম্নলিখিত বিবৃতিগুলিতে, স্বরলিপি "মানে যে 0-এর কাছাকাছি, যেখানে" মানে যে ধনাত্মক সংখ্যার মাধ্যমে 0-এর কাছে পৌঁছায়। স্ট্যান্ডার্ড ফাইনাল ভ্যালু উপপাদ্য ধরুন যে এর প্রতিটি মেরু হয় খোলা বাম অর্ধ সমতলে বা উৎপত্তিস্থলে রয়েছে এবং এর উৎপত্তিস্থলে সর্বাধিক একটি মেরু রয়েছে। তারপর যেমন, এবং। উপজাতের ল্যাপ্লাস রূপান্তর ব্যবহার করে চূড়ান্ত মান উপপাদ্য ধরুন যে এবং উভয়েরই ল্যাপ্লাস রূপান্তর রয়েছে যা সকলের জন্য বিদ্যমান। যদি বিদ্যমান থাকে এবং বিদ্যমান থাকে। মন্তব্য উপপাদ্যটি ধরে রাখার জন্য উভয় সীমারই অস্তিত্ব থাকতে হবে। উদাহরণস্বরূপ, যদি তখন বিদ্যমান না থাকে, কিন্তু। উন্নত টাউবেরিয়ান কথোপকথন চূড়ান্ত মান উপপাদ্য ধরুন যেটি সীমাবদ্ধ এবং ডিফারেনশিয়েবল, এবং সেটিও সীমাবদ্ধ। যদি তাই হয়। বর্ধিত চূড়ান্ত মান উপপাদ্য ধরুন যে এর প্রতিটি মেরু হয় খোলা বাম অর্ধ-সমতলে বা উৎপত্তিস্থলে রয়েছে। তারপর নিম্নলিখিতগুলির মধ্যে একটি ঘটেঃ যেমন, এবং। যেমন, এবং যেমন। যেমন, এবং যেমন। বিশেষত, যদি একটি একাধিক মেরু হয় তবে কেস 2 বা 3 প্রযোজ্য (বা)। সাধারণীকৃত চূড়ান্ত মান উপপাদ্য ধরুন এটি ল্যাপ্লাস রূপান্তরযোগ্য। যাক। যদি বিদ্যমান থাকে এবং বিদ্যমান থাকে তবে কোথায় গামা ফাংশন বোঝায়। অ্যাপ্লিকেশন প্রাপ্তির জন্য চূড়ান্ত মান উপপাদ্যগুলির একটি সিস্টেমের দীর্ঘমেয়াদী স্থিতিশীলতা প্রতিষ্ঠায় প্রয়োগ রয়েছে। আবেলিয়ান চূড়ান্ত মান উপপাদ্য নির্ধারণ করা ধরুন যেটি সীমাবদ্ধ এবং পরিমাপযোগ্য এবং। তারপর সকলের জন্য বিদ্যমান এবং। প্রাথমিক প্রমাণ ধরুন সুবিধার জন্য যে চালু, এবং যাক। আসুন, এবং বেছে নিন যাতে সবার জন্য হয়। যেহেতু, প্রত্যেকের জন্য আমাদের আছে তাই এখন প্রত্যেকের জন্য আমাদের আছে। অন্যদিকে, যেহেতু স্থির এটি স্পষ্ট যে, এবং তাই যদি যথেষ্ট ছোট হয়। ব্যুৎপত্তিগতের ল্যাপ্লাস রূপান্তর ব্যবহার করে চূড়ান্ত মান উপপাদ্য ধরুন যে নিম্নলিখিত সমস্ত শর্ত পূরণ করা হয়েছেঃ অবিচ্ছিন্নভাবে ডিফারেনশিয়েবল এবং উভয়ই এবং একটি ল্যাপ্লাস রূপান্তর সম্পূর্ণরূপে ইন্টিগ্রেবল-অর্থাৎ, সীমাবদ্ধ বিদ্যমান এবং সীমাবদ্ধ। মন্তব্য প্রমাণটি ডোমিনেটেড কনভারজেন্স উপপাদ্য ব্যবহার করে। একটি ফাংশনের গড়ের জন্য চূড়ান্ত মান উপপাদ্য ধরা যাক একটি অবিচ্ছিন্ন এবং সীমাবদ্ধ ফাংশন যাতে নিম্নলিখিত সীমাটি বিদ্যমান থাকে। পর্যায়ক্রমিক ফাংশনের অ্যাসিম্পটোটিক যোগফলের জন্য চূড়ান্ত মান উপপাদ্য ধরুন এটি অবিচ্ছিন্ন এবং সম্পূর্ণরূপে ইন্টিগ্রেবল। আরও মনে করুন যে এটি অ্যাসিম্পটোটিকভাবে পর্যায়ক্রমিক ফাংশনের একটি সীমাবদ্ধ যোগফলের সমান, যেখানে এটি সম্পূর্ণরূপে ইন্টিগ্রেবল এবং অনন্ততায় অদৃশ্য হয়ে যায়। তারপর। একটি ফাংশনের জন্য চূড়ান্ত মান উপপাদ্য যা অনন্তের দিকে বিচ্যুত হয় ধরা যাক এবং এর ল্যাপ্লাস রূপান্তর হতে হবে। মনে করুন যে এটি নিম্নলিখিত সমস্ত শর্ত পূরণ করেঃ শূন্যে অসীমভাবে অবকলনযোগ্য সমস্ত অ-ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যার জন্য একটি ল্যাপ্লাস রূপান্তর রয়েছে যা অসীমের দিকে সরে যায়। অনুপযুক্তভাবে ইন্টিগ্রেবল ফাংশনের জন্য চূড়ান্ত মান উপপাদ্য (ইন্টিগ্রালের জন্য আবেলের উপপাদ্য) পরিমাপযোগ্য এবং এমন হতে হবে যাতে (সম্ভবত অনুপযুক্ত) ইন্টিগ্রাল এর জন্য একত্রিত হয়। তারপর এটি আবেলের উপপাদ্যের একটি সংস্করণ। এটি দেখার জন্য, লক্ষ্য করুন যে এবং অংশ দ্বারা একীকরণের পরে চূড়ান্ত মান উপপাদ্যটি প্রয়োগ করুনঃ কারণ, চূড়ান্ত মান উপপাদ্য অনুসারে, বাম দিকটি জন্য একত্রিত হয়। বাস্তবে অনুপযুক্ত ইন্টিগ্রালের অভিসরণ প্রতিষ্ঠার জন্য, অনুপযুক্ত ইন্টিগ্রালের জন্য ডিরিচলেটের পরীক্ষা প্রায়শই সহায়ক হয়। একটি উদাহরণ হল ডিরিচলেট ইন্টিগ্রাল। অ্যাপ্লিকেশন প্রাপ্তির জন্য চূড়ান্ত মান উপপাদ্যগুলির একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের মুহূর্ত গণনা করার জন্য সম্ভাব্যতা এবং পরিসংখ্যানে প্রয়োগ রয়েছে। একটি অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের ক্রমবর্ধমান বিতরণ ফাংশন হতে দিন এবং এর ল্যাপ্লাস-স্টিল্টজেস রূপান্তর হতে দিন। তারপর-এর-তম মুহূর্তটি গণনা করা যেতে পারে কৌশলটি হল একটি ফাংশনের জন্য যেখানে অবিচ্ছিন্ন এবং প্রত্যেকের জন্য তা লেখা। প্রত্যেকটির জন্য, বিপরীত ল্যাপ্লাস রূপান্তর হিসাবে রাখুন, অর্জন করুন এবং অনুমান করার জন্য একটি চূড়ান্ত মান উপপাদ্য প্রয়োগ করুন। তারপর এবং তাই পাওয়া যায়। উদাহরণস্বরূপ যেখানে এফভিটি ধারণ করে উদাহরণস্বরূপ, স্থানান্তর ফাংশন দ্বারা বর্ণিত একটি সিস্টেমের জন্য ইমপালস প্রতিক্রিয়া রূপান্তরিত হয় অর্থাৎ, একটি সংক্ষিপ্ত ইমপালস দ্বারা বিঘ্নিত হওয়ার পরে সিস্টেমটি শূন্যে ফিরে আসে। যাইহোক, একক ধাপ প্রতিক্রিয়ার ল্যাপ্লাস রূপান্তর হল এবং তাই ধাপ প্রতিক্রিয়া 3-এর চূড়ান্ত মানের একটি সূচকীয় বৃদ্ধি অনুসরণ করবে। উদাহরণ যেখানে এফভিটি ধরে রাখে না স্থানান্তর ফাংশন দ্বারা বর্ণিত একটি সিস্টেমের জন্য চূড়ান্ত মান উপপাদ্যটি ইমপালস প্রতিক্রিয়ার চূড়ান্ত মান 0 এবং ধাপ প্রতিক্রিয়ার চূড়ান্ত মান 1 বলে পূর্বাভাস দেয়। যাইহোক, কোনও সময়-ক্ষেত্রের সীমা বিদ্যমান নেই, এবং তাই চূড়ান্ত মান উপপাদ্য ভবিষ্যদ্বাণীগুলি বৈধ নয়। প্রকৃতপক্ষে, ইমপালস রেসপন্স এবং স্টেপ রেসপন্স উভয়ই দোলন করে এবং (এই বিশেষ ক্ষেত্রে) চূড়ান্ত মান উপপাদ্য গড় মানগুলি বর্ণনা করে যার চারপাশে প্রতিক্রিয়াগুলি দোলন করে। নিয়ন্ত্রণ তত্ত্বে দুটি পরীক্ষা করা হয় যা চূড়ান্ত মান উপপাদ্যের বৈধ ফলাফল নিশ্চিত করেঃ হরের সমস্ত অ-শূন্য মূলের অবশ্যই ঋণাত্মক বাস্তব অংশ থাকতে হবে। উৎপত্তিস্থলে অবশ্যই একাধিক খুঁটি থাকতে হবে না। এই উদাহরণে নিয়ম 1 সন্তুষ্ট হয়নি, যে বিভাজকের মূলগুলি হল এবং। জেড রূপান্তরের জন্য চূড়ান্ত মান উপপাদ্য চূড়ান্ত মান উপপাদ্য যদি বিদ্যমান থাকে এবং তখন বিদ্যমান থাকে। ধারাবাহিক-সময়ের এল. টি. আই ব্যবস্থার চূড়ান্ত মান প্রশস্ততা সহ একটি ধাপের ইনপুটের প্রতিক্রিয়ায় সিস্টেমের চূড়ান্ত মান হলঃ নমুনা-তথ্য ব্যবস্থা অ্যাপেরিওডিক নমুনা সময়ের উপরের অবিচ্ছিন্ন-সময়ের এল. টি. আই ব্যবস্থার নমুনা-তথ্য ব্যবস্থা হল বিচ্ছিন্ন-সময় ব্যবস্থা যেখানে এবং, প্রশস্ততা সহ একটি ধাপের ইনপুটের প্রতিক্রিয়ায় এই ব্যবস্থার চূড়ান্ত মান তার মূল অবিচ্ছিন্ন-সময় ব্যবস্থার চূড়ান্ত মানের সমান। আরও দেখুন প্রাথমিক মান উপপাদ্য জেড-ট্রান্সফর্ম ল্যাপ্লাস ট্রান্সফর্ম আবেলিয়ান এবং টাউবেরিয়ান উপপাদ্য নোটস এক্সটার্নাল লিঙ্ক https://web.archive.org/web/20101225034508/http:// উইকিস. কন্ট্রোলথিয়োরিপ্রো. কম/ইনডেক্স. পিএইচপি? শিরোনাম = ফাইনাল _ ভ্যালু _ উপপাদ্য http://fourier.eng.hmc.edu/e102/lectures/Laplace_Transform/node17.html: ল্যাপ্লাসের চূড়ান্ত মান https://web.archive.org/web/20110719222313/http:// ওয়েব. ইঙ্গার. আইপুই. এডু/~ স্কোস্কি/ইসিই595এস7/হ্যান্ডআউট/এফভিটি _ প্রুফ. পিডিএফঃ ফুরিয়ার বিশ্লেষণে জেড-ট্রান্সফর্ম উপপাদ্যগুলির জন্য চূড়ান্ত মান প্রমাণঃ টিওরেমা ডেল ভ্যালোরে ইনিজিয়াল