SIC-POVM
কোয়ান্টাম মেকানিক্স এবং কোয়ান্টাম তথ্য তত্ত্বের প্রসঙ্গে, প্রতিসম, তথ্যগতভাবে সম্পূর্ণ, ইতিবাচক অপারেটর-মূল্যবান পরিমাপ (এস. আই. সি-পি. ও. ভি. এম) হল একটি নির্দিষ্ট ধরনের সাধারণীকৃত পরিমাপ (পি. ও. ভি. এম)। এস. আই. সি-পি. ও. ভি. এমগুলি বিশেষভাবে উল্লেখযোগ্য কারণ তাদের সংজ্ঞায়িত বৈশিষ্ট্যগুলি হল (1) তথ্যগতভাবে সম্পূর্ণ; (2) তথ্যগত সম্পূর্ণতার সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ ফলাফলের ন্যূনতম সংখ্যা এবং (3) অত্যন্ত প্রতিসম। এই প্রসঙ্গে, তথ্যগত সম্পূর্ণতা হল পরিমাপের তথ্য থেকে ইনপুট অবস্থা সম্পূর্ণরূপে পুনর্গঠন করার অনুমতি দেওয়ার একটি পিওভিএম-এর বৈশিষ্ট্য। এস. আই. সি-পি. ও. ভি. এম-এর বৈশিষ্ট্যগুলি এগুলিকে একটি "স্ট্যান্ডার্ড কোয়ান্টাম পরিমাপের" জন্য একটি আকর্ষণীয় প্রার্থী করে তোলে, যা মৌলিক কোয়ান্টাম মেকানিক্সের অধ্যয়নে ব্যবহৃত হয়, বিশেষত কিউবিজমে। কোয়ান্টাম স্টেট টমোগ্রাফি এবং কোয়ান্টাম ক্রিপ্টোগ্রাফির প্রসঙ্গে এস. আই. সি-পি. ও. ভি. এম-এর বেশ কয়েকটি প্রয়োগ রয়েছে এবং হিলবার্টের দ্বাদশ সমস্যার সাথে একটি সম্ভাব্য সংযোগ আবিষ্কৃত হয়েছে। সংজ্ঞা একটি-মাত্রিক হিলবার্ট স্থানের উপর একটি পিওভিএম হল ধনাত্মক-সেমিডিফাইনাইট অপারেটরদের একটি সেট যা পরিচয়ের সমষ্টিঃ যদি কোনও পিওভিএম কমপক্ষে এমন অপারেটর নিয়ে গঠিত হয় যা স্ব-সংযুক্ত অপারেটরদের স্থান বিস্তৃত করে, তবে এটিকে একটি তথ্যগতভাবে সম্পূর্ণ পিওভিএম (আইসি-পিওভিএম) বলা হয়। ঠিক উপাদানগুলির সমন্বয়ে গঠিত আইসি-পিওভিএমগুলিকে ন্যূনতম বলা হয়। র্যাঙ্ক-1 প্রজেক্টরের একটি সেট যার সমান জোড়া হিলবার্ট-শ্মিট অভ্যন্তরীণ পণ্য রয়েছে, এস. আই. সি-পি. ও. ভি. এম নামক উপাদানগুলির সাথে একটি ন্যূনতম আই. সি-পি. ও. ভি. এম সংজ্ঞায়িত করে। বৈশিষ্ট্য প্রতিসাম্য র্যাঙ্ক-1 প্রজেক্টরের একটি নির্বিচারে সেট বিবেচনা করুন যেমন একটি পিওভিএম, এবং এইভাবে। প্রজেক্টরগুলিকে সমান জোড়াবিশিষ্ট অভ্যন্তরীণ পণ্য রাখতে বলা, সকলের জন্য, এর মান নির্ধারণ করে। এটি দেখার জন্য, লক্ষ্য করুন যে এটি বোঝায়। সুতরাং, এই বৈশিষ্ট্যটি এস. আই. সি-পি. ও. ভি. এম-কে প্রতিসম করে তোলে; হিলবার্ট-শ্মিট অভ্যন্তরীণ পণ্যের ক্ষেত্রে, যে কোনও জোড়া উপাদান অন্য কোনও জোড়ার সমতুল্য। সুপার অপারেটর এস. আই. সি-পি. ও. ভি. এম উপাদানগুলি ব্যবহার করে, একটি আকর্ষণীয় সুপার অপারেটর তৈরি করা যেতে পারে, যা মানচিত্রের মতো। গোলাকার টি-ডিজাইনের সঙ্গে এস. আই. সি-পি. ও. ভি. এম-এর সম্পর্ক বিবেচনা করার ক্ষেত্রে এই অপারেটরটি সবচেয়ে বেশি কার্যকর। মানচিত্রটি বিবেচনা করুন এই অপারেটরটি একটি এস. আই. সি-পি. ও. ভি. এম উপাদানের উপর এমনভাবে কাজ করে যা পরিচয়ের অনুরূপ, কিন্তু যেহেতু একটি এস. আই. সি-পি. ও. ভি. এম-এর উপাদানগুলি সম্পূর্ণ এবং অনন্যভাবে যে কোনও কোয়ান্টাম অবস্থা নির্ধারণ করতে পারে, তাই এই রৈখিক অপারেটরটি যে কোনও অবস্থার পচনে প্রয়োগ করা যেতে পারে, যার ফলে নিম্নলিখিতগুলি লেখার ক্ষমতা থাকেঃ যেখানে এখান থেকে, বাম বিপরীতটি গণনা করা যেতে পারে, এবং তাই এই জ্ঞানের সাথে যে, একটি অর্ধ-সম্ভাব্যতা বিতরণের পরিপ্রেক্ষিতে একটি অবস্থার জন্য একটি অভিব্যক্তি তৈরি করা যেতে পারে, নিম্নরূপঃ হিলবার্ট স্পেসে দেখা ঘনত্ব অপারেটরের জন্য ডিরাক নোটেশন কোথায়। এটি দেখায় যে উপযুক্ত আধা-সম্ভাব্যতা বন্টন (যাকে বলা হয় এটি নেতিবাচক ফলাফল দিতে পারে) অবস্থার প্রতিনিধিত্ব করা হয় ফাইন্ডিং এস. আই. সি সেট দ্বারা। সহজতম উদাহরণ এস. আই. সি-পি. ও. ভি. এম-কে সংজ্ঞায়িত করে এমন সমীকরণগুলি হাতে সমাধান করা যেতে পারে, যা ভেক্টর তৈরি করে যা ব্লক গোলকের একটি নিয়মিত টেট্রাহেড্রনের শীর্ষ গঠন করে। এস. আই. সি-পি. ও. ভি. এম-কে সংজ্ঞায়িত করে এমন প্রজেক্টরগুলি দ্বারা দেওয়া হয়, এবং এস. আই. সি-পি. ও. ভি. এম-এর উপাদানগুলি এইভাবে দেওয়া হয়। উচ্চতর মাত্রার জন্য এটি সম্ভব নয়, যার জন্য আরও পরিশীলিত পদ্ধতির ব্যবহার প্রয়োজন। গ্রুপ কোভ্যারিয়েন্স জেনারেল গ্রুপ কোভ্যারিয়েন্স একটি এস. আই. সি-পি. ও. ভি. এম-কে গ্রুপ কোভ্যারিয়েন্ট বলা হয় যদি একটি-মাত্রিক একক প্রতিনিধিত্ব সহ একটি গ্রুপ বিদ্যমান থাকে যাতে গ্রুপ কোভ্যারিয়েন্সের বৈশিষ্ট্যকে কাজে লাগিয়ে এস. আই. সি-পি. ও. ভি. এম-এর অনুসন্ধানকে ব্যাপকভাবে সহজ করা যায়। প্রকৃতপক্ষে, সমস্যাটি এমন একটি স্বাভাবিক ফিডুশিয়াল ভেক্টর খুঁজে পাওয়ার জন্য হ্রাস করা হয়েছে। এস. আই. সি-পি. ও. ভি. এম তারপর অন এর গ্রুপ অ্যাকশন দ্বারা উত্পন্ন সেট। জেডডি × জেডডি-র ক্ষেত্রে এখন পর্যন্ত, বেশিরভাগ এস. আই. সি-পি. ও. ভি. এম-এর অধীনে গ্রুপ কোভ্যারিয়েন্স বিবেচনা করে পাওয়া গেছে। একক প্রতিনিধিত্ব তৈরি করতে, আমরা ডি-মাত্রার উপর একক অপারেটরদের গোষ্ঠীর মানচিত্র তৈরি করি। প্রথমে বেশ কয়েকটি অপারেটর চালু করতে হবে। এর জন্য একটি ভিত্তি হতে দিন, তারপর ফেজ অপারেটর যেখানে ঐক্যের মূল এবং শিফট অপারেটর হিসাবে এই দুটি অপারেটরের সংমিশ্রণে ওয়েল অপারেটর উৎপন্ন হয় যা হাইজেনবার্গ-ওয়েল গ্রুপ তৈরি করে। এটি একটি একক অপারেটর যেহেতু এটি পরীক্ষা করা যেতে পারে যে ম্যাপিং একটি প্রজেক্টিভ একক উপস্থাপনা। এটি গ্রুপ কোভ্যারিয়েন্সের জন্য সমস্ত বৈশিষ্ট্যকে সন্তুষ্ট করে এবং এস. আই. সি সেটগুলির সংখ্যাসূচক গণনার জন্য দরকারী। জাওনারের অনুমান এস. আই. সি-পি. ও. ভি. এম-এর কিছু দরকারী বৈশিষ্ট্যের পরিপ্রেক্ষিতে, এটি কার্যকর হবে যদি এটি ইতিবাচকভাবে জানা যায় যে এই ধরনের সেটগুলি নির্বিচারে মাত্রার হিলবার্ট স্পেসে নির্মাণ করা যেতে পারে কিনা। মূলত জাওনারের গবেষণাপত্রে প্রস্তাবিত, নির্বিচারে মাত্রার জন্য একটি বিশ্বস্ত ভেক্টরের অস্তিত্ব সম্পর্কে একটি অনুমান করা হয়েছিল। আরও সুনির্দিষ্টভাবে, প্রতিটি মাত্রার জন্য একটি এস. আই. সি-পি. ও. ভি. এম রয়েছে যার উপাদানগুলি ওয়েল-হাইজেনবার্গ গোষ্ঠীর অধীনে একটি ধনাত্মক র্যাঙ্ক-ওয়ান অপারেটরের কক্ষপথ। আরও কী, জ্যাকোবি গ্রুপের একটি উপাদান টি দিয়ে যাতায়াত করে। কেন্দ্রের মডুলোর উপর টি-এর ক্রিয়ার ক্রম তিন। গ্রুপ কোভ্যারিয়েন্সের ধারণাটি ব্যবহার করে, এটিকে পুনরায় বলা যেতে পারে যে কোনও মাত্রার জন্য, একটি অর্থোনরমাল ভিত্তি হতে দিন, এবং তারপর সংজ্ঞায়িত করুন যাতে সেটটি একটি এস. আই. সি-পি. ও. ভি. এম হয়। আংশিক ফলাফল স্বেচ্ছাচারী মাত্রার জন্য এস. আই. সি-পি. ও. ভি. এম-এর অস্তিত্বের প্রমাণ একটি উন্মুক্ত প্রশ্ন হিসাবে রয়ে গেছে, তবে কোয়ান্টাম তথ্য সম্প্রদায়ের গবেষণার একটি চলমান ক্ষেত্র। এস. আই. সি সেটগুলির জন্য সঠিক অভিব্যক্তিগুলি অন্তর্ভুক্তিমূলক মাধ্যমে সমস্ত মাত্রার হিলবার্ট স্পেসের জন্য এবং সব মিলিয়ে 115 টি মানের জন্য কিছু উচ্চতর মাত্রায় পাওয়া গেছে। উপরন্তু, হাইজেনবার্গ গ্রুপ কোভ্যারিয়েন্স অন ব্যবহার করে, সমস্ত পূর্ণসংখ্যার জন্য সংখ্যাসূচক সমাধান পাওয়া গেছে, এবং কিছু বৃহত্তর মাত্রায়। গোলাকার টি-ডিজাইনের সাথে সম্পর্ক একটি গোলাকার টি-ডিজাইন হল ডি-মাত্রিক সাধারণীকৃত হাইপারস্ফিয়ারের ভেক্টরের একটি সেট, যাতে যে কোনও-ক্রমের বহুপদের গড় মান সমস্ত স্বাভাবিক ভেক্টরের গড়ের সমান হয়। হিলবার্ট স্পেসের টি-ফোল্ড টেনসর গুণফল হিসাবে সংজ্ঞায়িত করে এবং টি-ফোল্ড টেনসর পণ্য ফ্রেম অপারেটর হিসাবে, এটি দেখানো যেতে পারে যে সাধারণ ভেক্টরগুলির একটি সেট একটি গোলাকার টি-ডিজাইন গঠন করে যদি এবং শুধুমাত্র যদি এটি অবিলম্বে অনুসরণ করে যে প্রতিটি এস. আই. সি-পি. ও. ভি. এম একটি 2-ডিজাইন, যা সঠিকভাবে প্রয়োজনীয় মান যা উপরের উপপাদ্যকে সন্তুষ্ট করে। এম. ইউ. বি-র সঙ্গে সম্পর্ক একটি ডি-ডাইমেনশনাল হিলবার্ট স্পেসে, দুটি স্বতন্ত্র ঘাঁটিকে পারস্পরিক নিরপেক্ষ বলা হয় যদি এটি এস. আই. সি-পি. ও. ভি. এম-এর প্রতিসম বৈশিষ্ট্যের অনুরূপ বলে মনে হয়। উটার্স উল্লেখ করেছেন যে নিরপেক্ষ ভিত্তির একটি সম্পূর্ণ সেট একটি জ্যামিতিক কাঠামো তৈরি করে যা একটি সসীম প্রজেক্টিভ সমতল হিসাবে পরিচিত, যেখানে একটি এস. আই. সি-পি. ও. ভি. এম (যে কোনও মাত্রায় যা একটি মৌলিক শক্তি) একটি সসীম অ্যাফিন সমতল তৈরি করে, এমন এক ধরনের কাঠামো যার সংজ্ঞা একটি সসীম প্রজেক্টিভ সমতলের সমতুল্য এবং বিন্দু এবং রেখাগুলির ভূমিকা বিনিময় হয়। এই অর্থে, এস. আই. সি-পি. ও. ভি. এম এবং পারস্পরিক নিরপেক্ষ ভিত্তির সমস্যাগুলি একে অপরের দ্বৈত। মাত্রায়, সাদৃশ্যটি আরও এগিয়ে নিয়ে যাওয়া যেতে পারেঃ পারস্পরিক নিরপেক্ষ ঘাঁটির একটি সম্পূর্ণ সেট সরাসরি একটি এস. আই. সি-পি. ও. ভি. এম থেকে তৈরি করা যেতে পারে। এস. আই. সি-পি. ও. ভি. এম-এর 9টি ভেক্টর, পারস্পরিক নিরপেক্ষ ঘাঁটির 12টি ভেক্টরের সাথে মিলে একটি সেট তৈরি করে যা কোচেন-স্পিকার প্রুফে ব্যবহার করা যেতে পারে। যাইহোক, 6-মাত্রিক হিলবার্ট স্পেসে, একটি এস. আই. সি-পি. ও. ভি. এম জানা যায়, তবে পারস্পরিক নিরপেক্ষ ঘাঁটির কোনও সম্পূর্ণ সেট এখনও আবিষ্কৃত হয়নি, এবং এটি ব্যাপকভাবে বিশ্বাস করা হয় যে এই ধরনের কোনও সেট বিদ্যমান নেই। আরও দেখুন কোয়ান্টাম মেকানিক্সে পরিমাপ পারস্পরিক নিরপেক্ষ ভিত্তি পিওভিএম কিউবিজম নোটস রেফারেন্স কোয়ান্টাম পরিমাপ পদার্থবিজ্ঞানে অমীমাংসিত সমস্যা গণিতে অমীমাংসিত সমস্যা হিলবার্ট স্পেস অপারেটর তত্ত্ব ঘটনা জ্যামিতি ইউক্লিডীয় সমতল জ্যামিতি বীজগাণিতিক জ্যামিতি হাইপারগ্রাফ কম্পিউটার-সমর্থিত প্রমাণ