One-seventh area triangle
সমতল জ্যামিতিতে, একটি ত্রিভুজ এ. বি. সি-তে এ. বি. সি-র ক্ষেত্রফলের এক-সপ্তমাংশ বিশিষ্ট একটি ত্রিভুজ থাকে, যা নিম্নরূপ গঠিত হয়ঃ এই ত্রিভুজের দিকগুলি পি, কিউ, আর-এর উপর অবস্থিত যেখানে পি এ-কে বিসি-র একটি বিন্দুর সাথে সংযুক্ত করে যা বি থেকে সি-এর দূরত্বের এক-তৃতীয়াংশ, কিউ বি-কে সিএ-র একটি বিন্দুর সাথে সংযুক্ত করে যা সি থেকে এ-এর দূরত্বের এক-তৃতীয়াংশ, আর সি-কে এবি-র একটি বিন্দুর সাথে সংযুক্ত করে যা এ থেকে বি-এর দূরত্বের এক-তৃতীয়াংশ। এক-সপ্তম আয়তনের ত্রিভুজের অস্তিত্বের প্রমাণ ছয়টি সমান্তরাল রেখার নির্মাণ থেকে পাওয়া যায়ঃ দুটি p-এর সমান্তরাল, একটি C-এর মধ্য দিয়ে, অন্যটি q. r-এর মধ্য দিয়ে দুটি q-এর সমান্তরাল, একটি A-এর মধ্য দিয়ে, অন্যটি r. p-এর মধ্য দিয়ে দুটি r-এর সমান্তরাল, একটি B-এর মধ্য দিয়ে, অন্যটি p. q-এর মধ্য দিয়ে। হুগো স্টেইনহাউসের পরামর্শ হল যে, p, q, r বাহুযুক্ত (কেন্দ্রীয়) ত্রিভুজটি তার পার্শ্ব এবং শীর্ষে প্রতিফলিত হবে। এই ছয়টি অতিরিক্ত ত্রিভুজ আংশিকভাবে এবিসিকে আচ্ছাদন করে এবং এবিসির বাইরে ছয়টি অতিরিক্ত ত্রিভুজ ঝুলিয়ে রাখে। সম্পূর্ণ নির্মাণের সমান্তরালতার উপর দৃষ্টি নিবদ্ধ করে (জেমস র্যান্ডির অনলাইন ম্যাগাজিনের মাধ্যমে মার্টিন গার্ডনার দ্বারা উপস্থাপিত), এবিসির ওভারহ্যাঙ্গিং এবং অনুপস্থিত টুকরোগুলির জোড়া-ভিত্তিক সাদৃশ্য স্পষ্ট। গ্রাফিক্যাল সমাধানে যেমন দেখা যায়, ছয় যোগ মূল ত্রিভুজটি সমগ্র ত্রিভুজ এবিসি-র সমান। 1859 সালে রবার্ট পটস তাঁর ইউক্লিডীয় জ্যামিতি পাঠ্যপুস্তকে এই জ্যামিতিক গঠন এবং ক্ষেত্রফল গণনার একটি প্রাথমিক প্রদর্শনী দিয়েছিলেন। কুক অ্যান্ড উড (2004)-এর মতে, এই ত্রিভুজটি একটি নৈশভোজের কথোপকথনে রিচার্ড ফাইনম্যানকে বিভ্রান্ত করেছিল; তারা চারটি ভিন্ন প্রমাণ দেয়। আরও একটি সাধারণ ফলাফল রুথের উপপাদ্য নামে পরিচিত। তথ্যসূত্র এইচ. এস. এম. কক্সেটার (1969) জ্যামিতির ভূমিকা, পৃষ্ঠা 211, জন উইলি অ্যান্ড সন্স। একটি ত্রিভুজের জন্য সংজ্ঞায়িত বস্তু প্রমাণ সম্বলিত বস্তু এলাকা সম্পর্কিত জ্যামিতি