Acyclic model
বীজগাণিতিক টপোলজিতে, গণিতের মধ্যে একটি শাখা, অ্যাসাইক্লিক মডেল উপপাদ্যটি দুটি সমতাত্ত্বিক তত্ত্বকে সমরূপ দেখানোর জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে। এই উপপাদ্যটি তৈরি করেছেন টপোলজিস্ট স্যামুয়েল আইলেনবার্গ এবং সন্ডার্স ম্যাক্লেন। তারা আবিষ্কার করেন যে, যখন টপোলজিস্টরা বিভিন্ন সমতাত্ত্বিক তত্ত্বের সমতা প্রতিষ্ঠার জন্য প্রমাণ লিখছিলেন, তখন প্রক্রিয়াগুলিতে অসংখ্য মিল ছিল। আইলেনবার্গ এবং ম্যাকলেইন তখন এই প্রক্রিয়াটিকে সাধারণীকরণের জন্য উপপাদ্যটি আবিষ্কার করেন। এটি আইলেনবার্গ-জিলবার উপপাদ্য প্রমাণ করতে ব্যবহার করা যেতে পারে; এটি মডেল বিভাগের ধারণার দিকে পরিচালিত করে। উপপাদ্যের বিবৃতি ধরা যাক একটি নির্বিচারে বিভাগ এবং কিছু বলয়ের উপর-মডিউলগুলির চেইন কমপ্লেক্সের বিভাগ হতে হবে। আসুন কোভ্যারিয়েন্ট ফাংক্টর হয়ে উঠি যেমনঃ জন্য। এমন কিছু রয়েছে যার একটি ভিত্তি রয়েছে, তাই একটি ফ্রি ফাঙ্কটর। এই মডেলগুলিতে-এবং-অ্যাসাইক্লিক, যার অর্থ হল সকলের জন্য। তারপর নিম্নলিখিত দাবিগুলি থাকেঃ প্রতিটি প্রাকৃতিক রূপান্তর একটি প্রাকৃতিক শৃঙ্খল মানচিত্রকে প্ররোচিত করে। যদি প্রাকৃতিক রূপান্তর হয়, আগের মতো এবং সমস্ত মডেলের জন্য প্রাকৃতিক চেইন ম্যাপ হয়, তবে এবং এর মধ্যে একটি প্রাকৃতিক চেইন হোমোটপি রয়েছে। বিশেষ করে চেইন ম্যাপ প্রাকৃতিক চেইন হোমোটপি পর্যন্ত অনন্য। সাধারণীকরণ প্রজেক্টিভ এবং অ্যাসাইক্লিক কমপ্লেক্স যা উপরে রয়েছে তা উপপাদ্যটির প্রাচীনতম সংস্করণগুলির মধ্যে একটি। আরেকটি সংস্করণ হল যা বলে যে যদি একটি আবেলিয়ান বিভাগে প্রজেক্টিভের একটি জটিল এবং সেই বিভাগের একটি অ্যাসাইক্লিক জটিল হয়, তবে যে কোনও মানচিত্র একটি চেইন ম্যাপ পর্যন্ত প্রসারিত হয়, যা হোমোটপি পর্যন্ত অনন্য। যদি কেউ আবেলিয়ান বিভাগ হিসাবে ফাঙ্কটর বিভাগটি ব্যবহার করে তবে এটি প্রায় উপরের উপপাদ্যটিতে বিশেষজ্ঞ। মুক্ত ফাংক্টরগুলি সেই বিভাগের প্রজেক্টিভ বস্তু। ফাংক্টর বিভাগের অঙ্গসংস্থানগুলি প্রাকৃতিক রূপান্তর, তাই নির্মিত শৃঙ্খল মানচিত্র এবং সমস্থানিকগুলি সবই প্রাকৃতিক। পার্থক্যটি হল যে উপরের সংস্করণে, শুধুমাত্র নির্দিষ্ট কিছু বস্তুতে অ্যাসাইক্লিক হওয়ার চেয়ে অ্যাসাইক্লিক হওয়া একটি শক্তিশালী অনুমান। অন্যদিকে, উপরের সংস্করণটি শুধুমাত্র একটি বস্তু সহ একটি বিভাগকে অনুমতি দিয়ে প্রায় এই সংস্করণটিকে বোঝায়। তারপর ফ্রি ফাঙ্কটর মূলত একটি ফ্রি (এবং তাই প্রজেক্টিভ) মডিউল। মডেলগুলিতে অ্যাসাইক্লিক হওয়ার অর্থ হল জটিলটি অ্যাসাইক্লিক ছাড়া আর কিছুই নয়। অ্যাসাইক্লিক ক্লাস একটি গ্র্যান্ড উপপাদ্য রয়েছে যা উপরের উভয়কেই একত্রিত করে। ধরা যাক একটি আবেলিয়ান বিভাগ (উদাহরণস্বরূপ, বা)। উপরের চেইন কমপ্লেক্সগুলির একটি শ্রেণীকে অ্যাসাইক্লিক শ্রেণী বলা হবে যদিঃ 0 জটিলটি ভিতরে থাকে। যদি এবং শুধুমাত্র যদি এর সাসপেনশন হয় তবে কমপ্লেক্সটি এর অন্তর্গত। যদি কমপ্লেক্স এবং সমস্থানিক হয় এবং, তাহলে। প্রতিটি কমপ্লেক্স অ্যাসাইক্লিক। যদি একটি দ্বৈত জটিল হয়, যার সমস্ত সারি রয়েছে, তবে এর মোট জটিলটি এর অন্তর্গত। অ্যাসাইক্লিক শ্রেণীর তিনটি প্রাকৃতিক উদাহরণ রয়েছে, যদিও নিঃসন্দেহে অন্যগুলি বিদ্যমান। প্রথমটি হল হোমোটপি কন্ট্রাক্টিবল কমপ্লেক্স। দ্বিতীয়টি হল অ্যাসাইক্লিক কমপ্লেক্স। ফাংক্টর বিভাগগুলিতে (যেমন। টপোলজিকাল স্পেস থেকে আবেলিয়ান গ্রুপ পর্যন্ত সমস্ত ফাংক্টরের বিভাগ), জটিলতার একটি শ্রেণী রয়েছে যা প্রতিটি বস্তুর উপর সঙ্কুচিত হয়, তবে যেখানে প্রাকৃতিক রূপান্তর দ্বারা সংকোচন দেওয়া নাও হতে পারে। আরেকটি উদাহরণ আবার ফাংক্টর বিভাগে রয়েছে তবে এবার কমপ্লেক্সগুলি শুধুমাত্র নির্দিষ্ট বস্তুতে অ্যাসাইক্লিক। আসুন কমপ্লেক্সগুলির মধ্যে চেইন ম্যাপের শ্রেণীকে বোঝাই যার ম্যাপিং শঙ্কু সম্পর্কিত। যদিও অগত্যা ডান বা বাম ভগ্নাংশের ক্যালকুলাস নেই, তবে এর বাম এবং ডান উভয় ভগ্নাংশের হোমোটপি ক্লাস থাকার দুর্বল বৈশিষ্ট্য রয়েছে যা তীরগুলি উল্টে দিয়ে প্রাপ্ত শ্রেণী গঠনের অনুমতি দেয়। একটি অগমেন্টেড এন্ডোফাংক্টর চালু করা যাক, যার অর্থ একটি প্রাকৃতিক রূপান্তর দেওয়া হয়েছে (আইডেন্টিটি ফাংক্টর চালু)। আমরা বলি যে চেইন কমপ্লেক্সটি-উপস্থাপনযোগ্য যদি প্রত্যেকটির জন্য, চেইন কমপ্লেক্সটি এর অন্তর্গত হয়। সীমানা অপারেটর দ্বারা দেওয়া হয়। আমরা বলি যে চেইন কমপ্লেক্স ফাংক্টরটি-অ্যাসাইক্লিক যদি অগমেন্টেড চেইন কমপ্লেক্সের অন্তর্গত হয়। উপপাদ্য। চেইন কমপ্লেক্সের বিভাগে একটি অ্যাসাইক্লিক শ্রেণী এবং তীরের সংশ্লিষ্ট শ্রেণী ধরা যাক। ধরুন এটি-উপস্থাপনযোগ্য এবং-অ্যাসাইক্লিক। তারপর যে কোনও প্রাকৃতিক রূপান্তর সম্প্রসারিত হয়, শ্রেণীতে চেইন ফাঙ্কটরের প্রাকৃতিক রূপান্তর পর্যন্ত এবং এটি চেইন হোমোটোপি পর্যন্ত অনন্য। যদি আমরা ধরে নিই, উপরন্তু, যে-উপস্থাপনযোগ্য, যে-অ্যাসাইক্লিক, এবং যে একটি সমরূপতা, তাহলে সমস্থানিক সমতুল্যতা। উদাহরণ এখানে ক্রিয়াশীল এই শেষ উপপাদ্যটির একটি উদাহরণ। ত্রিভুজাকার স্থানের বিভাগ হতে দিন এবং আবেলিয়ান গোষ্ঠীর বিভাগ হতে দিন যার উপর ফাংক্টরদের মূল্য দেওয়া হয়। একক চেইন কমপ্লেক্স ফাংক্টর হতে দিন এবং সরল চেইন কমপ্লেক্স ফাংক্টর হতে দিন। আসুন সেই ফাঙ্কটর হোন যিনি প্রতিটি স্থানের জন্য স্থান বরাদ্দ করেন। এখানে,-সিম্প্লেক্স এবং এই ফাংক্টর প্রতিটি-সিম্প্লেক্সের যতগুলি অনুলিপি রয়েছে তার যোগফল বরাদ্দ করে। তারপর এর দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা যাক। একটি সুস্পষ্ট বৃদ্ধি রয়েছে এবং এটি একজনকে প্ররোচিত করে। এটি দেখানো যেতে পারে যে উভয়ই-উপস্থাপনযোগ্য এবং-অ্যাসাইক্লিক (যে প্রমাণটি উপস্থাপনযোগ্য এবং অ্যাসাইক্লিক তা সম্পূর্ণ সোজা নয় এবং সরল উপবিভাগের মাধ্যমে একটি ঘোরাঘুরি ব্যবহার করে, যা উপরের উপপাদ্যটি ব্যবহার করেও পরিচালনা করা যেতে পারে)। শ্রেণী হল সমতাত্ত্বিক সমতুল্যতার শ্রেণী। এটি বরং স্পষ্ট যে এবং তাই আমরা এই উপসংহারে পৌঁছেছি যে একবচন এবং সরল সমরূপতা সমরূপ। বীজগণিত এবং টপোলজি উভয় ক্ষেত্রেই আরও অনেক উদাহরণ রয়েছে, যার মধ্যে কয়েকটি রেফারেন্স স্কন, আর. "অ্যাসাইক্লিক মডেল এবং এক্সিসিশন"-এ বর্ণনা করা হয়েছে। প্রোক। আমের। গণিত। সোস। 59 (1) (1976) pp.167--168। বীজগাণিতিক টপোলজিতে সমজাতীয় বীজগণিত উপপাদ্য