Borda–Carnot equation
তরল গতিবিদ্যায় বোর্দা-কার্নোট সমীকরণ হল একটি (আকস্মিক) প্রবাহ সম্প্রসারণের কারণে তরলের যান্ত্রিক শক্তি হ্রাসের একটি অভিজ্ঞতাগত বর্ণনা। এটি বর্ণনা করে যে কীভাবে ক্ষতির কারণে মোট মাথা হ্রাস পায়। এটি বার্নৌলির অপচয়হীন প্রবাহের (অপরিবর্তনীয় ক্ষতি ছাড়াই) নীতির বিপরীতে, যেখানে মোট মাথা একটি স্ট্রিমলাইন বরাবর একটি ধ্রুবক। সমীকরণটির নামকরণ করা হয়েছে জিন-চার্লস ডি বোর্দা (1733-1799) এবং লাজারে কার্নোট (1753-1823)-এর নামে। এই সমীকরণটি খোলা চ্যানেল প্রবাহের পাশাপাশি পাইপ প্রবাহ উভয় ক্ষেত্রেই ব্যবহৃত হয়। প্রবাহের কিছু অংশে যেখানে অপরিবর্তনীয় শক্তির ক্ষতি নগণ্য, সেখানে বার্নৌলির নীতি ব্যবহার করা যেতে পারে। গঠন বোর্ডা-কার্নোট সমীকরণ হল যেখানে তরলের যান্ত্রিক শক্তি হ্রাস হল δE, β একটি অভিজ্ঞতাগত ক্ষতি সহগ, যা মাত্রাহীন এবং শূন্য এবং এক এর মধ্যে একটি মান রয়েছে, 0 ≤ β ≤ 1, ρ হল তরল ঘনত্ব, v1 এবং v2 হল প্রসারণের আগে এবং পরে গড় প্রবাহ বেগ। আকস্মিক এবং বিস্তৃত সম্প্রসারণের ক্ষেত্রে, ক্ষতির সহগ একটির সমান হয়। অন্যান্য ক্ষেত্রে, ক্ষতির সহগটি অন্যান্য উপায়ে নির্ধারণ করতে হয়, প্রায়শই অভিজ্ঞতাগত সূত্র থেকে (পরীক্ষার মাধ্যমে প্রাপ্ত তথ্যের উপর ভিত্তি করে)। বোর্ডা-কার্নোট ক্ষতির সমীকরণটি কেবলমাত্র হ্রাসমান বেগ, v1> v2-এর জন্য বৈধ, অন্যথায় অতিরিক্ত বাহ্যিক শক্তি দ্বারা যান্ত্রিক কাজ ছাড়া ΔE ক্ষতির পরিমাণ শূন্য হয় এবং তরলের যান্ত্রিক শক্তিতে কোনও লাভ হতে পারে না। ক্ষতির সহগ ω সুবিন্যস্তকরণ দ্বারা প্রভাবিত হতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, পাইপ সম্প্রসারণের ক্ষেত্রে, ধীরে ধীরে প্রসারিত ডিফিউজারের ব্যবহার যান্ত্রিক শক্তির ক্ষতি হ্রাস করতে পারে। মোট শীর্ষ এবং বার্নৌলি-র নীতির সঙ্গে সম্পর্ক বোর্ডা-কার্নোট সমীকরণ বার্নৌলি সমীকরণের ধ্রুবকের হ্রাস দেয়। একটি অসংকুচিত প্রবাহের জন্য ফলাফলটি 1 এবং 2 লেবেলযুক্ত দুটি অবস্থানের জন্য হয়, যার অবস্থান 2 একটি স্ট্রিমলাইন বরাবর 1 থেকে 1 পর্যন্তঃ p1 এবং p2 এর সাথে 1 এবং 2 অবস্থানে চাপ, z1 এবং z2 তরল কণার উল্লম্ব উচ্চতা (কিছু রেফারেন্স স্তরের উপরে), g মহাকর্ষীয় ত্বরণ। সমান চিহ্নের উভয় পাশে প্রথম তিনটি পদ হল যথাক্রমে চাপ, তরলের গতিশক্তির ঘনত্ব এবং মাধ্যাকর্ষণের কারণে সম্ভাব্য শক্তির ঘনত্ব। যেমন দেখা যায়, চাপ সম্ভাব্য শক্তির একটি রূপ হিসাবে কার্যকরভাবে কাজ করে। উচ্চ-চাপের পাইপ প্রবাহের ক্ষেত্রে, যখন মহাকর্ষীয় প্রভাবগুলি অবহেলা করা যেতে পারে, তখন δE ক্ষতির সমান δ (p + ρv2/2): মুক্ত-চ্যানেল প্রবাহের জন্য, δE মোট মাথার ক্ষতির সাথে সম্পর্কিত যেমন H মোট মাথার সাথেঃ যেখানে h জলবাহী মাথার উপরে একটি রেফারেন্স ডেটামের উপরে মুক্ত পৃষ্ঠের উচ্চতাঃ h = z + p/(ρg)। উদাহরণস্বরূপ, একটি পাইপের আকস্মিক সম্প্রসারণ একটি অনুভূমিক পাইপের আকস্মিক সম্প্রসারণের মাধ্যমে প্রবাহের ক্ষেত্রে বোর্দা-কার্নোট সমীকরণ প্রয়োগ করা হয়। ক্রস সেকশন 1-এ, গড় প্রবাহ বেগ v1-এর সমান, চাপ হল p1 এবং ক্রস-সেকশনাল এলাকা হল A1। ক্রস সেকশন 2-এ সংশ্লিষ্ট প্রবাহের পরিমাণ-সম্প্রসারণের (এবং পৃথক প্রবাহের অঞ্চলগুলির) অনেক পিছনে-যথাক্রমে v2, p2 এবং A2। সম্প্রসারণের সময়, প্রবাহটি পৃথক হয়ে যায় এবং যান্ত্রিক শক্তি হ্রাস সহ অশান্ত পুনর্ব্যবহারযোগ্য প্রবাহ অঞ্চল রয়েছে। এই আকস্মিক সম্প্রসারণের জন্য ক্ষতির সহগ প্রায় 1 এর সমানঃ 1। ভর সংরক্ষণের কারণে, একটি ধ্রুবক তরল ঘনত্ব ρ ধরে নিলে, 1 এবং 2 উভয় অনুভাগের মধ্য দিয়ে আয়তনীয় প্রবাহের হার সমান হতে হবেঃ সুতরাং ফলস্বরূপ-বোর্ডা-কার্নোট সমীকরণ অনুসারে-এই আকস্মিক সম্প্রসারণে যান্ত্রিক শক্তি হ্রাস হলঃ মোট মাথার সংশ্লিষ্ট ক্ষতি αH হলঃ এই ক্ষেত্রে ω = 1 এর ক্ষেত্রে, দুটি অনুভাগের মধ্যে গতিশক্তির মোট পরিবর্তন নষ্ট হয়ে যায়। ফলস্বরূপ, উভয় ক্রস বিভাগের মধ্যে চাপ পরিবর্তন হয় (মাধ্যাকর্ষণ প্রভাব ছাড়াই এই অনুভূমিক পাইপের জন্য): এবং জলবাহী মাথার পরিবর্তন h = z + p/(ρg): ডান হাতের দিকের সামনে বিয়োগ চিহ্নগুলির অর্থ হল পাইপ সম্প্রসারণের পরে চাপ (এবং জলবাহী মাথার) বড় হয়। পাইপ সম্প্রসারণের ঠিক আগে এবং পরে চাপের (এবং জলবাহী মাথার) এই পরিবর্তনটি শক্তি হ্রাসের সাথে মিলে যায় তা বার্নৌলির নীতির ফলাফলের সাথে তুলনা করার সময় স্পষ্ট হয়ে যায়। এই অপচয়হীন নীতি অনুসারে, প্রবাহের গতি হ্রাসের সঙ্গে বর্তমান ক্ষেত্রে যান্ত্রিক শক্তি হ্রাসের তুলনায় অনেক বেশি চাপ বৃদ্ধির সম্পর্ক রয়েছে। পাইপের হঠাৎ সংকোচন পাইপের ব্যাস হঠাৎ হ্রাস পেলে, স্ট্রিমলাইন না করে, প্রবাহটি সংকীর্ণ পাইপের মধ্যে তীক্ষ্ণ বাঁক অনুসরণ করতে সক্ষম হয় না। ফলস্বরূপ, প্রবাহ পৃথকীকরণ হয়, সংকীর্ণ পাইপের প্রবেশদ্বারে পুনর্ব্যবহারযোগ্য পৃথকীকরণ অঞ্চল তৈরি করে। প্রধান প্রবাহটি পৃথক প্রবাহ অঞ্চলের মধ্যে সংকুচিত হয় এবং পরে পুরো পাইপ এলাকা জুড়ে আবার প্রসারিত হয়। সংকোচনের আগে ক্রস সেকশন 1 এবং ক্রস সেকশন 3-এর মধ্যে খুব বেশি মাথার ক্ষতি হয় না, ভেনা কন্ট্রাক্টা যেখানে প্রধান প্রবাহ সবচেয়ে বেশি সংকুচিত হয়। কিন্তু ক্রস সেকশন 3 থেকে 2 পর্যন্ত প্রবাহ সম্প্রসারণে যথেষ্ট ক্ষতি রয়েছে। এই মাথার ক্ষতিগুলি বোর্দা-কার্নোট সমীকরণ ব্যবহার করে, সংকোচনের সহগ ব্যবহার করে প্রকাশ করা যেতে পারেঃ A3-এর সাথে সবচেয়ে শক্তিশালী প্রধান প্রবাহ সংকোচন 3-এর অবস্থানে ক্রস-বিভাগীয় এলাকা এবং A2-এর সাথে পাইপের সংকীর্ণ অংশের ক্রস-বিভাগীয় এলাকা। যেহেতু A3 ≤ A2, সংকোচনের সহগ একটির চেয়ে কমঃ μ ≤ 1। আবার ভরের সংরক্ষণ রয়েছে, তাই তিনটি ক্রস বিভাগে আয়তনের প্রবাহ একটি ধ্রুবক (ধ্রুবক তরল ঘনত্বের জন্য ρ): v1, v2 এবং v3 সহ সংশ্লিষ্ট ক্রস বিভাগে গড় প্রবাহের বেগ। তারপর, বোর্দা-কার্নোট সমীকরণ অনুসারে (ক্ষতির সহগ φ = 1 সহ), তরল আয়তনের প্রতি একক এবং পাইপ সংকোচনের কারণে শক্তি হ্রাস φ হল φ = φ/(ρg) হিসাবে গণনা করা যেতে পারে। ওয়েইসব্যাকের পরিমাপ অনুযায়ী, একটি তীক্ষ্ণ-ধারের সংকোচনের সংকোচন সহগ প্রায়ঃ একটি আকস্মিক সম্প্রসারণের জন্য ভরবেগের ভারসাম্য থেকে উদ্ভূত একটি পাইপের আকস্মিক সম্প্রসারণের জন্য, উপরের চিত্রটি দেখুন, বোর্ডা-কার্নোট সমীকরণটি প্রবাহের ভর এবং ভরবেগ সংরক্ষণ থেকে উদ্ভূত হতে পারে। ভরবেগ প্রবাহ এস (অর্থাৎ। পাইপ অক্ষের সমান্তরাল তরল ভরবেগ উপাদানের জন্য) এলাকা এ-এর একটি ক্রস সেকশনের মাধ্যমে-অয়লার সমীকরণ অনুসারেঃ সম্প্রসারণের ঠিক উজানে ক্রস সেকশন 1 দ্বারা আবদ্ধ একটি নিয়ন্ত্রণ ভলিউমের জন্য ভর এবং ভরবেগের সংরক্ষণ বিবেচনা করুন, ক্রস সেকশন 2 ডাউনস্ট্রিম যেখানে প্রবাহ আবার পাইপ প্রাচীরের সাথে সংযুক্ত হয় (সম্প্রসারণে প্রবাহ পৃথকীকরণের পরে), এবং পাইপ প্রাচীর। প্রবাহে নিয়ন্ত্রণ ভলিউমের গতিবেগ লাভ S1 এবং বহির্প্রবাহে ক্ষতি S2 রয়েছে। এছাড়াও, সম্প্রসারণের প্রাচীর (পাইপ অক্ষের লম্ব) দ্বারা তরলের উপর চাপ দ্বারা বল F-এর অবদান রয়েছেঃ যেখানে এটি ধরে নেওয়া হয়েছে যে চাপটি নিকটবর্তী উজানের চাপ p1-এর সমান। অবদান যোগ করে, ক্রস বিভাগ 1 এবং 2 এর মধ্যে নিয়ন্ত্রণ ভলিউমের জন্য ভরবেগের ভারসাম্য দেয়ঃ ফলস্বরূপ, যেহেতু ভর সংরক্ষণ দ্বারাঃ উপরের উদাহরণে চাপ হ্রাসের সাথে একমত। যান্ত্রিক শক্তি হ্রাস ΔE হলঃ যা হল বোর্ডা-কার্নোট সমীকরণ (φ = 1 সহ)। আরও দেখুন ডার্সি-ওয়েইসব্যাক সমীকরণ প্রনি সমীকরণ নোটস রেফারেন্স, 634 পিপি। , 634 পিপি। , 706 পিপি। তরল গতিবিদ্যার সমীকরণ তরল গতিবিদ্যা জলবাহী পাইপিং