Banach–Tarski paradox
বানাচ-টার্সকি প্যারাডক্স হল সেট-থিওরেটিক জ্যামিতির একটি উপপাদ্য, যা নিম্নরূপ বলেঃ ত্রিমাত্রিক স্থানে একটি কঠিন বল দেওয়া হলে, সীমিত সংখ্যক বিচ্ছিন্ন উপসেটে বলের একটি পচন বিদ্যমান থাকে, যা পরে মূল বলের দুটি অভিন্ন অনুলিপি পাওয়ার জন্য ভিন্ন উপায়ে একত্রিত করা যেতে পারে। প্রকৃতপক্ষে, পুনরায় একত্রিতকরণ প্রক্রিয়ায় কেবল টুকরোগুলি চারপাশে সরানো এবং তাদের আকৃতি পরিবর্তন না করে ঘোরানো জড়িত। যাইহোক, টুকরোগুলি স্বাভাবিক অর্থে "কঠিন" নয়, তবে বিন্দুর অসীম বিচ্ছুরণ। পুনর্নির্মাণটি পাঁচটি টুকরো দিয়ে কাজ করতে পারে। উপপাদ্যটির একটি বিকল্প রূপে বলা হয়েছে যে যে কোনও দুটি "যুক্তিসঙ্গত" কঠিন বস্তু (যেমন একটি ছোট বল এবং একটি বিশাল বল) দেওয়া হলে, যে কোনও একটির কাটা টুকরোগুলি অন্যটিতে পুনরায় একত্রিত করা যেতে পারে। এটি প্রায়শই অনানুষ্ঠানিকভাবে বলা হয় যে "মটরশুঁটি কেটে সূর্যের মধ্যে পুনরায় একত্রিত করা যেতে পারে" এবং এটিকে "মটরশুঁটি এবং সূর্যের প্যারাডক্স" বলা হয়। এই উপপাদ্যটিকে প্যারাডক্স বলা হয় কারণ এটি মৌলিক জ্যামিতিক অন্তর্দৃষ্টির বিরোধিতা করে। কোনও স্ট্রেচিং, বাঁকানো বা নতুন পয়েন্ট যোগ না করে "বলকে দ্বিগুণ করা" অসম্ভব বলে মনে হয়, কারণ স্বজ্ঞাতভাবে বলতে গেলে, এই সমস্ত ক্রিয়াকলাপগুলি ভলিউম সংরক্ষণ করা উচিত। এই ধরনের ক্রিয়াকলাপগুলি ভলিউম সংরক্ষণ করে এই অন্তর্দৃষ্টি গাণিতিকভাবে অযৌক্তিক নয় এবং এটি ভলিউমের আনুষ্ঠানিক সংজ্ঞাতেও অন্তর্ভুক্ত। তবে, এটি এখানে প্রযোজ্য নয় কারণ এই ক্ষেত্রে বিবেচিত উপসেটগুলির আয়তন নির্ধারণ করা অসম্ভব। এগুলি পুনরায় একত্রিত করলে একটি সেট পুনরুত্পাদন করা হয় যার একটি ভলিউম থাকে, যা শুরুতে ভলিউম থেকে আলাদা হয়। জ্যামিতির বেশিরভাগ উপপাদ্যের বিপরীতে, এই ফলাফলের গাণিতিক প্রমাণ একটি সমালোচনামূলক উপায়ে সেট তত্ত্বের জন্য স্বতঃসিদ্ধগুলির পছন্দের উপর নির্ভর করে। এটি পছন্দের স্বতঃসিদ্ধ ব্যবহার করে প্রমাণ করা যেতে পারে, যা অ-পরিমাপযোগ্য সেটগুলির নির্মাণের অনুমতি দেয়, অর্থাৎ, পয়েন্টগুলির সংগ্রহ যার সাধারণ অর্থে ভলিউম নেই এবং যার নির্মাণের জন্য অগণিত সংখ্যক পছন্দ প্রয়োজন। 2005 সালে এটি দেখানো হয়েছিল যে পচনশীল টুকরোগুলি এমনভাবে বেছে নেওয়া যেতে পারে যে সেগুলি একে অপরের সাথে মিলিত না হয়ে ক্রমাগত জায়গায় সরানো যেতে পারে। লেরয় এবং সিম্পসন স্বাধীনভাবে যেমন প্রমাণ করেছেন, বানাচ-টারস্কি প্যারাডক্স ভলিউম লঙ্ঘন করে না যদি কেউ টপোলজিকাল স্পেসের পরিবর্তে লোকেশনের সাথে কাজ করে। এই বিমূর্ত পরিবেশে, বিন্দু ছাড়াই সাবস্পেস থাকা সম্ভব তবে এখনও খালি নয়। প্যারাডক্সিক্যাল পচনের অংশগুলি লোকেশনের অর্থে অনেক কিছু ছেদ করে, এতটাই যে এই ছেদগুলির মধ্যে কয়েকটিকে একটি ধনাত্মক ভর দেওয়া উচিত। এই লুকানো ভরকে বিবেচনায় নেওয়ার অনুমতি দিয়ে, লোকেস তত্ত্ব ইউক্লিডীয় স্থানের সমস্ত উপসেট (এবং এমনকি সমস্ত সাবলোকেল) সন্তোষজনকভাবে পরিমাপ করার অনুমতি দেয়। বানাচ এবং তারস্কি প্রকাশনা 1924 সালে প্রকাশিত একটি গবেষণাপত্রে স্টেফান বানাচ এবং আলফ্রেড তারস্কি একক ব্যবধান এবং ফেলিক্স হাউসডর্ফের গোলকের বৈপরীত্যমূলক পচন সম্পর্কিত জুসেপ্পে ভিটালির পূর্ববর্তী কাজের উপর ভিত্তি করে এই ধরনের একটি বৈপরীত্যমূলক পচন গঠন করেছিলেন এবং বিভিন্ন মাত্রায় ইউক্লিডীয় স্থানগুলির উপসেটগুলির পচন সম্পর্কিত বেশ কয়েকটি সম্পর্কিত প্রশ্ন নিয়ে আলোচনা করেছিলেন। তারা নিম্নলিখিত আরও সাধারণ বিবৃতিটি প্রমাণ করেছে, যা বানাচ-টার্সকি প্যারাডক্সের শক্তিশালী রূপঃ কমপক্ষে তিনটি মাত্রায় যে কোনও দুটি সীমাবদ্ধ উপসেট এবং একটি ইউক্লিডীয় স্থানের পরিপ্রেক্ষিতে, যার উভয়েরই একটি অ-খালি অভ্যন্তর রয়েছে, সেখানে একটি সীমাবদ্ধ সংখ্যক বিচ্ছিন্ন উপসেটগুলির বিভাজন রয়েছে, (কিছু পূর্ণসংখ্যা কে-এর জন্য), যেমন প্রতিটি (পূর্ণসংখ্যা) এবং সেটগুলির মধ্যে এবং সর্বসম। এখন আসল বলটি হতে দিন এবং মূল বলের দুটি অনুবাদিত অনুলিপির মিলন হতে দিন। তারপরে প্রস্তাবটির অর্থ হল যে আপনি মূল বলটিকে একটি নির্দিষ্ট সংখ্যক টুকরোতে ভাগ করতে পারেন এবং তারপরে এই টুকরোগুলি এমনভাবে ঘোরাতে এবং অনুবাদ করতে পারেন যাতে ফলাফলটি পুরো সেট হয়, যার দুটি অনুলিপি রয়েছে। বানাচ-তারস্কি প্যারাডক্সের শক্তিশালী রূপটি এক এবং দুই মাত্রায় মিথ্যা, তবে বানাচ এবং তারস্কি দেখিয়েছেন যে একটি অনুরূপ বিবৃতি সত্য থাকে যদি গণনাযোগ্যভাবে অনেকগুলি উপসেট অনুমোদিত হয়। একদিকে 1 এবং 2 এবং অন্যদিকে 3 এবং তার বেশি মাত্রার মধ্যে পার্থক্য 3 মাত্রায় ইউক্লিডীয় গতির গোষ্ঠীর সমৃদ্ধ কাঠামোর কারণে। গ্রুপের জন্য সমাধানযোগ্য, তবে এর জন্য দুটি জেনারেটর সহ একটি মুক্ত গ্রুপ রয়েছে। জন ভন নিউম্যান সমতুল্য গোষ্ঠীর বৈশিষ্ট্যগুলি অধ্যয়ন করেছিলেন যা একটি বৈপরীত্যমূলক পচনকে সম্ভব করে তোলে এবং উপযুক্ত গোষ্ঠীর ধারণা প্রবর্তন করে। তিনি সমতলে প্যারাডক্সের একটি রূপও খুঁজে পেয়েছেন যা স্বাভাবিক সংযোগের পরিবর্তে এলাকা-সংরক্ষণকারী অ্যাফিন রূপান্তরগুলি ব্যবহার করে। তারস্কি প্রমাণ করেছিলেন যে, উপযুক্ত গোষ্ঠীগুলি ঠিক সেগুলি যার জন্য কোনও বৈপরীত্যমূলক পচন বিদ্যমান নেই। যেহেতু বানাচ-টারস্কি প্যারাডক্সে শুধুমাত্র মুক্ত উপগোষ্ঠীর প্রয়োজন হয়, তাই এটি দীর্ঘস্থায়ী ভন নিউম্যান অনুমানের দিকে পরিচালিত করে, যা 1980 সালে বাতিল করা হয়েছিল। আনুষ্ঠানিক চিকিৎসা বানাচ-টার্সকি প্যারাডক্সে বলা হয়েছে যে সাধারণ ইউক্লিডীয় স্থানে একটি বলকে দ্বিগুণ করা যেতে পারে কেবল উপসেটগুলিতে বিভক্ত করার ক্রিয়াকলাপ ব্যবহার করে, একটি সেটকে একটি সঙ্গতিপূর্ণ সেট দিয়ে প্রতিস্থাপন করে এবং পুনরায় একত্রিত করে। ইউক্লিডীয় গতির গোষ্ঠী দ্বারা পরিচালিত ভূমিকার উপর জোর দিয়ে এবং সমতুল্য সেট এবং একটি প্যারাডক্সিকাল সেটের ধারণার প্রবর্তন করে এর গাণিতিক কাঠামো ব্যাপকভাবে ব্যাখ্যা করা হয়েছে। ধরুন এটি একটি গোষ্ঠী যা একটি সেটে কাজ করছে। সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ বিশেষ ক্ষেত্রে, একটি-মাত্রিক ইউক্লিডীয় স্থান (ইন্টিগ্রাল n-এর জন্য), এবং এর সমস্ত আইসোমেট্রি নিয়ে গঠিত, অর্থাৎ। নিজের মধ্যে রূপান্তর যা দূরত্ব বজায় রাখে, সাধারণত চিহ্নিত করা হয়। দুটি জ্যামিতিক চিত্র যা একে অপরের মধ্যে রূপান্তরিত হতে পারে সেগুলিকে কংগ্রুয়েন্ট বলা হয় এবং এই পরিভাষাটি সাধারণ-ক্রিয়ায় প্রসারিত হবে। দুটি উপসেট এবং এর-কে বলা হয়-সমতুল্য, বা সমতুল্য, যদি এবং যথাক্রমে-সঙ্গতিপূর্ণ টুকরোগুলির একই সীমাবদ্ধ সংখ্যায় বিভক্ত করা যেতে পারে। এটি এর সমস্ত উপসেটগুলির মধ্যে একটি সমতা সম্পর্ককে সংজ্ঞায়িত করে। আনুষ্ঠানিকভাবে, যদি অ-খালি সেট থাকে, যেমন এবং এমন উপাদান রয়েছে যা তখন বলা যেতে পারে যে এবং-সমানভাবে সামঞ্জস্যপূর্ণ। যদি একটি সেটের দুটি বিচ্ছিন্ন উপসেট থাকে এবং এবং, পাশাপাশি এবং,-সমতুল্য হয়, তবে এটিকে প্যারাডক্সিকাল বলা হয়। এই পরিভাষাটি ব্যবহার করে, বানাচ-টারস্কি প্যারাডক্সকে নিম্নরূপ পুনর্বিন্যাস করা যেতে পারেঃ একটি ত্রিমাত্রিক ইউক্লিডীয় বল তার দুটি অনুলিপি সহ সামঞ্জস্যপূর্ণ। প্রকৃতপক্ষে, রাফায়েল এম রবিনসনের কারণে এই ক্ষেত্রে একটি তীক্ষ্ণ ফলাফল রয়েছেঃ পাঁচটি টুকরো দিয়ে বল দ্বিগুণ করা যেতে পারে, এবং পাঁচটিরও কম টুকরো যথেষ্ট হবে না। প্যারাডক্সের শক্তিশালী সংস্করণ দাবি করেঃ খালি অভ্যন্তরীণ সহ ত্রিমাত্রিক ইউক্লিডীয় স্থানের যে কোনও দুটি আবদ্ধ উপসেট সমানভাবে সামঞ্জস্যপূর্ণ। আপাতদৃষ্টিতে আরও সাধারণ হলেও, এই বিবৃতিটি বানাচের কারণে বার্নস্টাইন-শ্রোডার উপপাদ্যের সাধারণীকরণ ব্যবহার করে একটি বলের দ্বিগুণকরণ থেকে একটি সহজ উপায়ে উদ্ভূত হয়েছে যা বোঝায় যে যদি এর একটি উপসেটের সাথে সমান সামঞ্জস্যপূর্ণ হয় এবং এর একটি উপসেটের সাথে সমান সামঞ্জস্যপূর্ণ হয়, তবে এবং সমান সামঞ্জস্যপূর্ণ। বানাচ-টারস্কি প্যারাডক্সকে প্রসঙ্গে উল্লেখ করা যেতে পারে যে প্যারাডক্সের শক্তিশালী আকারে দুটি সেটের জন্য সর্বদা একটি বাইজেক্টিভ ফাংশন থাকে যা পয়েন্টগুলিকে এক-থেকে-এক ফ্যাশনে এক আকারে অন্য আকারে ম্যাপ করতে পারে। জর্জ ক্যান্টরের সেট তত্ত্বের ভাষায়, এই দুটি সেটের সমান কার্ডিনালিটি রয়েছে। সুতরাং, যদি কেউ নির্বিচারে বাইজেকশনগুলিকে অনুমতি দেওয়ার জন্য গোষ্ঠীটি প্রসারিত করে, তবে খালি না থাকা অভ্যন্তরের সমস্ত সেট সর্বসম হয়ে যায়। একইভাবে, একটি বলকে প্রসারিত করে বা অন্য কথায়, সাদৃশ্য রূপান্তর প্রয়োগ করে একটি বড় বা ছোট বল তৈরি করা যেতে পারে। অতএব, যদি গ্রুপটি যথেষ্ট বড় হয়,-সমতুল্য সেটগুলি পাওয়া যেতে পারে যার "আকার" পরিবর্তিত হয়। অধিকন্তু, যেহেতু একটি গণনাযোগ্য সেট নিজের দুটি অনুলিপিতে তৈরি করা যেতে পারে, তাই কেউ আশা করতে পারে যে গণনাযোগ্যভাবে অনেকগুলি টুকরো ব্যবহার করা কোনওভাবে কৌশলটি করতে পারে। অন্যদিকে, বানাচ-টারস্কি প্যারাডক্সে, টুকরোগুলির সংখ্যা সীমাবদ্ধ এবং অনুমোদিত সমতুল্যগুলি হল ইউক্লিডীয় সঙ্গতি, যা আয়তনগুলি সংরক্ষণ করে। তবুও, কোনওভাবে, তারা বলের ভলিউম দ্বিগুণ করে দেয়! যদিও এটি অবশ্যই বিস্ময়কর, প্যারাডক্সিকাল পচনে ব্যবহৃত কিছু টুকরো অ-পরিমাপযোগ্য সেট, তাই আয়তনের ধারণা (আরও সুনির্দিষ্টভাবে, লেবস্গু পরিমাপ) তাদের জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয় না এবং বিভাজনটি ব্যবহারিক উপায়ে সম্পন্ন করা যায় না। প্রকৃতপক্ষে, বানাচ-টার্সকি প্যারাডক্স দেখায় যে ইউক্লিডীয় গতির ক্ষেত্রে অপরিবর্তনীয় এবং একক ঘনকের উপর একটি মান গ্রহণ করে এমন তিনটি (এবং বৃহত্তর) মাত্রার ইউক্লিডীয় স্থানের সমস্ত উপসেটগুলিতে সংজ্ঞায়িত একটি সীমাবদ্ধ-সংযোজনমূলক পরিমাপ (বা একটি বানাচ পরিমাপ) খুঁজে পাওয়া অসম্ভব। তার পরবর্তী রচনায়, তারস্কি দেখিয়েছেন যে, বিপরীতভাবে, এই ধরনের বৈপরীত্যমূলক পচনগুলির অস্তিত্ব না থাকা একটি সীমাবদ্ধ-সংযোজনশীল অপরিবর্তনীয় পরিমাপের অস্তিত্বকে বোঝায়। নীচে উপস্থাপিত প্যারাডক্সের "বল দ্বিগুণ" রূপের প্রমাণের কেন্দ্রবিন্দুটি হল উল্লেখযোগ্য সত্য যে একটি ইউক্লিডীয় আইসোমেট্রি (এবং উপাদানগুলির নাম পরিবর্তন) দ্বারা, একজন একটি নির্দিষ্ট সেটকে (মূলত, একটি একক গোলকের পৃষ্ঠ) চারটি ভাগে বিভক্ত করতে পারে, তারপর তাদের মধ্যে একটিকে ঘোরিয়ে অন্য দুটি অংশের যোগফল তৈরি করতে পারে। এটি দুটি জেনারেটর সহ মুক্ত গোষ্ঠীর একটি-প্যারাডক্সিকাল পচন থেকে সহজেই অনুসরণ করে। বানাচ এবং টারস্কির প্রমাণ কয়েক বছর আগে হাউসডর্ফ দ্বারা আবিষ্কৃত একটি অনুরূপ তথ্যের উপর নির্ভর করেঃ মহাকাশে একটি একক গোলকের পৃষ্ঠ তিনটি সেটের একটি বিচ্ছিন্ন মিলন এবং একটি গণনাযোগ্য সেট যা একদিকে জোড়ার দিক থেকে সর্বসম, এবং অন্যদিকে, এবং এর সংযোগের সাথে সর্বসম। একে প্রায়শই হাউসডর্ফ প্যারাডক্স বলা হয়। পূর্ববর্তী কাজের সাথে সংযোগ এবং পছন্দের স্বতঃসিদ্ধের ভূমিকা বানাচ এবং তারস্কি স্পষ্টভাবে জুসেপ্পে ভিটালির 1905 সালে তাঁর নাম বহনকারী সেটটির নির্মাণ, হাউসডর্ফের প্যারাডক্স (1914) এবং বানাচের একটি পূর্ববর্তী (1923) গবেষণাপত্রকে তাদের কাজের অগ্রদূত হিসাবে স্বীকার করেছেন। ভিটালি এবং হাউসডর্ফের নির্মাণগুলি জারমেলোর পছন্দের স্বতঃসিদ্ধ ("এসি")-এর উপর নির্ভর করে, যা বানাচ-টার্সকি কাগজের জন্যও গুরুত্বপূর্ণ, উভয়ই তাদের প্যারাডক্স প্রমাণ করার জন্য এবং অন্য ফলাফলের প্রমাণের জন্যঃ দুটি ইউক্লিডীয় বহুভুজ, যার মধ্যে একটিতে কঠোরভাবে অন্যটি রয়েছে, সমতুল্য নয়। তারা মন্তব্য করেছেনঃ আমাদের যুক্তিতে এই স্বতঃসিদ্ধটি যে ভূমিকা পালন করে তা আমাদের মনোযোগের যোগ্য বলে মনে হয়) তারা উল্লেখ করেছেন যে দ্বিতীয় ফলাফলটি জ্যামিতিক অন্তর্দৃষ্টির সাথে সম্পূর্ণরূপে একমত হলেও, এর প্রমাণটি প্যারাডক্সের প্রমাণের চেয়ে আরও বেশি গুরুত্বপূর্ণ উপায়ে এসি ব্যবহার করে। এইভাবে বানাচ এবং তারস্কি বোঝান যে এসি শুধুমাত্র একটি প্যারাডক্সিকাল পচন তৈরি করে বলে প্রত্যাখ্যান করা উচিত নয়, কারণ এই ধরনের যুক্তি জ্যামিতিকভাবে স্বজ্ঞাত বিবৃতির প্রমাণকেও দুর্বল করে দেয়। যাইহোক, 1949 সালে, এ. পি. মোর্স দেখিয়েছিলেন যে ইউক্লিডীয় বহুভুজ সম্পর্কে বিবৃতি জেডএফ সেট তত্ত্বে প্রমাণিত হতে পারে এবং তাই পছন্দের স্বতঃসিদ্ধির প্রয়োজন হয় না। 1964 সালে, পল কোহেন প্রমাণ করেছিলেন যে পছন্দের স্বতঃসিদ্ধটি জেডএফ থেকে স্বাধীন-অর্থাৎ, এটি জেডএফ থেকে প্রমাণ করা যায় না। পছন্দের স্বতঃসিদ্ধের একটি দুর্বল সংস্করণ হল নির্ভরশীল পছন্দের স্বতঃসিদ্ধ, ডিসি, এবং এটি দেখানো হয়েছে যে বানাচ-টারস্কি প্যারাডক্স প্রমাণ করার জন্য ডিসি যথেষ্ট, অর্থাৎ, বানাচ-টারস্কি প্যারাডক্স জেডএফ-এর কোনও উপপাদ্য নয়, বা জেডএফ + ডিসি-রও নয়। প্রচুর পরিমাণে গণিত এসি ব্যবহার করে। স্ট্যান ওয়াগন তাঁর মনোগ্রাফটির শেষে যেমন উল্লেখ করেছেন, বানাচ-টারস্কি প্যারাডক্স মৌলিক প্রশ্নের চেয়ে বিশুদ্ধ গণিতে তার ভূমিকার জন্য বেশি গুরুত্বপূর্ণঃ এটি গবেষণার জন্য একটি ফলপ্রসূ নতুন দিকনির্দেশনাকে অনুপ্রাণিত করেছে, গোষ্ঠীগুলির স্বাচ্ছন্দ্য, যার সাথে মৌলিক প্রশ্নের কোনও সম্পর্ক নেই। 1991 সালে, ম্যাথিউ ফোরম্যান এবং ফ্রেডরিক ওয়েহ্রুং-এর সাম্প্রতিক ফলাফল ব্যবহার করে, জানুস পাউলিকোভস্কি প্রমাণ করেন যে বানাচ-টারস্কি প্যারাডক্স জেডএফ প্লাস হান-বানাচ উপপাদ্য থেকে অনুসরণ করে। হান-বানাচ উপপাদ্যটি পছন্দের সম্পূর্ণ স্বতঃসিদ্ধের উপর নির্ভর করে না তবে আল্ট্রাফিল্টার লেম্মা নামে এসি-র একটি দুর্বল সংস্করণ ব্যবহার করে প্রমাণ করা যেতে পারে। তাই পাউলিকোভস্কি প্রমাণ করেছেন যে বানাচ-তারস্কি প্যারাডক্স প্রমাণ করার জন্য প্রয়োজনীয় সেট তত্ত্বটি জেডএফ-এর চেয়ে শক্তিশালী হলেও পূর্ণ জেডএফসি-র চেয়ে দুর্বল। প্রমাণের একটি স্কেচ এখানে একটি প্রমাণ স্কেচ করা হয়েছে যা বানাচ এবং তারস্কির দেওয়া প্রমাণের অনুরূপ কিন্তু অভিন্ন নয়। মূলত, বলের বৈপরীত্যমূলক পচন চারটি ধাপে অর্জন করা হয়ঃ দুটি জেনারেটরে মুক্ত গোষ্ঠীর একটি বৈপরীত্যমূলক পচন খুঁজে বের করুন। দুটি জেনারেটরে মুক্ত গোষ্ঠীর সমতুল্য 3-ডি স্পেসে ঘূর্ণনের একটি গ্রুপ খুঁজে বের করুন। ফাঁপা একক গোলকের একটি প্যারাডক্সিকাল পচন তৈরি করতে সেই গোষ্ঠীর প্যারাডক্সিকাল পচন এবং পছন্দের স্বতঃসিদ্ধ ব্যবহার করুন। গোলকের এই পচনকে কঠিন একক বলের পচন পর্যন্ত প্রসারিত করুন। এই পদক্ষেপগুলি নীচে আরও বিস্তারিতভাবে আলোচনা করা হয়েছে। ধাপ 1 দুটি জেনারেটর a এবং b সহ মুক্ত গোষ্ঠীটি সমস্ত সসীম স্ট্রিং নিয়ে গঠিত যা চারটি প্রতীক a, a-1, b এবং b-1 থেকে গঠিত হতে পারে যাতে কোনও a সরাসরি a-1 এর পাশে উপস্থিত হয় না এবং কোনও b সরাসরি a b-1 এর পাশে উপস্থিত হয় না। এই ধরনের দুটি স্ট্রিং একত্রিত করা যেতে পারে এবং খালি স্ট্রিং দিয়ে বারবার "নিষিদ্ধ" সাবস্ট্রিং প্রতিস্থাপন করে এই ধরনের স্ট্রিংয়ে রূপান্তরিত করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপঃ আবাব-1এ-1 আবাব-1এ-এর সাথে সংযুক্ত হলে আবাব-1এ-1এ উৎপন্ন হয়, যার মধ্যে আবাব-1এ সাবস্ট্রিং রয়েছে এবং তাই আবাব-1এএ-তে হ্রাস পায়, যার মধ্যে বি-1বি সাবস্ট্রিং রয়েছে, যা কমে যায়। কেউ পরীক্ষা করতে পারেন যে এই ক্রিয়াকলাপের সাথে সেই স্ট্রিংয়ের সেটটি পরিচয় উপাদান সহ একটি গ্রুপ গঠন করে খালি স্ট্রিং ই। এই গ্রুপটিকে এফ 2 বলা যেতে পারে। গ্রুপটি নিম্নরূপ "প্যারাডক্সিক্যালি ডিকম্পোজড" হতে পারেঃ ধরা যাক S (a) হল সমস্ত স্ট্রিং নিয়ে গঠিত উপসেট যা a দিয়ে শুরু হয় এবং S (a−1), S (b) এবং S (b−1) কে একইভাবে সংজ্ঞায়িত করে। স্পষ্টতই, কিন্তু এছাড়াও এবং যেখানে aS (a−1) স্বরলিপির অর্থ হল S (a−1)-এর সমস্ত স্ট্রিং নিন এবং বাম দিকে তাদের a দিয়ে সংযুক্ত করুন। এটাই প্রমাণের মূল বিষয়। উদাহরণস্বরূপ, সেটে একটি স্ট্রিং থাকতে পারে যা, নিয়মের কারণে যেটি অবশ্যই পাশে উপস্থিত হবে না, স্ট্রিং-এ হ্রাস পায়। একইভাবে, সমস্ত স্ট্রিং রয়েছে যা দিয়ে শুরু হয় (উদাহরণস্বরূপ, স্ট্রিং যা কমে যায়)। এইভাবে, এবং দিয়ে শুরু হওয়া সমস্ত স্ট্রিং এবং সেইসাথে খালি স্ট্রিং রয়েছে। গ্রুপ এফ 2 চারটি অংশে কাটা হয়েছে (প্লাস সিঙ্গেলটন {ই}), তারপর তাদের মধ্যে দুটি এ বা বি দিয়ে গুণ করে "স্থানান্তরিত" করা হয়েছে, তারপর দুটি টুকরা হিসাবে "পুনরায় একত্রিত" করে একটি অনুলিপি তৈরি করা হয়েছে এবং অন্য দুটি অনুলিপি তৈরি করা হয়েছে। বলের ক্ষেত্রে ঠিক এটাই করার উদ্দেশ্য। ধাপ 2 থ্রিডি স্থানের আবর্তনের একটি মুক্ত গোষ্ঠী খুঁজে বের করার জন্য, অর্থাৎ। যেটি মুক্ত গোষ্ঠী F2-এর মতো (বা "সমরূপ") আচরণ করে, দুটি অর্থোগোনাল অক্ষ নেওয়া হয় (যেমন। x এবং z অক্ষ)। তারপর, A কে প্রায় x অক্ষের ঘূর্ণন এবং B কে প্রায় z অক্ষের ঘূর্ণন হিসাবে নেওয়া হয় (π এর অযৌক্তিক গুণিতকগুলির আরও অনেক উপযুক্ত জোড়া রয়েছে যা এখানেও ব্যবহার করা যেতে পারে)। A এবং B দ্বারা উৎপন্ন আবর্তনের গোষ্ঠীকে H বলা হবে। ধরা যাক H-এর একটি উপাদান যা z অক্ষের চারপাশে একটি ধনাত্মক আবর্তনের সাথে শুরু হয়, অর্থাৎ, সঙ্গে ফর্মের একটি উপাদান। এটি ইন্ডাকশন দ্বারা দেখানো যেতে পারে যা কিছু লোকের জন্য পয়েন্টটিকে ম্যাপ করে। বিশ্লেষণ এবং মডুলো 3, কেউ তা দেখাতে পারে। একই যুক্তির পুনরাবৃত্তি (সমস্যার প্রতিসাম্য দ্বারা) বৈধ হয় যখন z অক্ষের চারপাশে ঋণাত্মক ঘূর্ণন বা x অক্ষের চারপাশে ঘূর্ণন দিয়ে শুরু হয়। এটি দেখায় যে যদি এ এবং বি-তে একটি অ-তুচ্ছ শব্দ দ্বারা দেওয়া হয়, তবে। অতএব, H গ্রুপটি একটি মুক্ত গ্রুপ, যা F2 এর সমতুল্য। দুটি ঘূর্ণন F2 গোষ্ঠীর উপাদান a এবং b-এর মতোই আচরণ করেঃ এখন H-এর একটি বৈপরীত্যমূলক পচন রয়েছে। এই ধাপটি দুটি মাত্রায় সঞ্চালিত করা যায় না কারণ এতে তিনটি মাত্রায় ঘূর্ণন জড়িত। যদি একই অক্ষের কাছাকাছি দুটি ঘূর্ণন নেওয়া হয়, তবে ফলস্বরূপ গ্রুপটি হল আবেলিয়ান সার্কেল গ্রুপ এবং ধাপ 1-এ প্রয়োজনীয় বৈশিষ্ট্য নেই। অবিচ্ছেদ্য চতুর্ভুজ ব্যবহার করে কিছু বিশেষ অর্থোগোনাল গোষ্ঠীতে মুক্ত গোষ্ঠীর অস্তিত্বের একটি বিকল্প গাণিতিক প্রমাণ ঘূর্ণন গোষ্ঠীর বৈপরীত্যমূলক পচন ঘটায়। ধাপ 3 একক গোলক এস 2 আমাদের গ্রুপ এইচ-এর ক্রিয়া দ্বারা কক্ষপথে বিভক্ত হয়ঃ দুটি বিন্দু একই কক্ষপথের অন্তর্গত যদি এবং শুধুমাত্র যদি এইচ-এ একটি ঘূর্ণন থাকে যা প্রথম বিন্দুটিকে দ্বিতীয় বিন্দুতে নিয়ে যায়। (লক্ষ্য করুন যে একটি বিন্দুর কক্ষপথ S2-এ একটি ঘন সেট।) পছন্দের স্বতঃসিদ্ধটি প্রতিটি কক্ষপথ থেকে ঠিক একটি বিন্দু বাছাই করতে ব্যবহার করা যেতে পারে; এই বিন্দুগুলিকে একটি সেট এম-এ সংগ্রহ করুন। প্রদত্ত কক্ষপথে এইচ-এর ক্রিয়া মুক্ত এবং ক্ষণস্থায়ী এবং তাই প্রতিটি কক্ষপথকে এইচ-এর সাথে চিহ্নিত করা যেতে পারে। অন্য কথায়, এইচ থেকে এম-এর সঠিক উপাদানটিতে সঠিক ঘূর্ণন প্রয়োগ করে এস 2-এর প্রতিটি বিন্দুতে ঠিক একভাবে পৌঁছানো যেতে পারে। এই কারণে, এইচ-এর প্যারাডক্সিকাল পচন এস 2-এর একটি প্যারাডক্সিকাল পচন ঘটায় যা নিম্নরূপঃ যেখানে আমরা সংজ্ঞায়িত করি এবং একইভাবে অন্যান্য সেটগুলির জন্য, এবং যেখানে আমরা সংজ্ঞায়িত করি (এফ 2-এর পাঁচটি "প্যারাডক্সিকাল" অংশ সরাসরি ব্যবহার করা হয়নি, কারণ তারা এম-কে অতিরিক্ত হিসাবে ছেড়ে দেবে। (বেশিরভাগ) গোলকটি এখন চারটি সেটে বিভক্ত করা হয়েছে (প্রতিটি গোলকের উপর ঘন), এবং যখন এগুলির মধ্যে দুটি ঘোরানো হয়, ফলাফলটি আগের তুলনায় দ্বিগুণ হয়ঃ ধাপ 4 অবশেষে, এস 2-এর প্রতিটি বিন্দুকে অর্ধেক-খোলা অংশের সাথে মূলের সাথে সংযুক্ত করুন; এস 2-এর প্যারাডক্সিকাল পচন তখন বলের কেন্দ্রে পয়েন্টটি বিয়োগ করে কঠিন ইউনিট বলের একটি প্যারাডক্সিকাল পচন ঘটায়। (এই কেন্দ্রবিন্দুতে একটু বেশি যত্ন প্রয়োজন; নীচে দেখুন।) এন. বি. এই স্কেচটি কিছু বিবরণের উপর আলোকপাত করে। গোলকের উপর পয়েন্টগুলির সেট সম্পর্কে সতর্ক থাকতে হবে যা এইচ-এ কিছু ঘূর্ণনের অক্ষের উপর অবস্থিত। তবে, কেবলমাত্র গণনাযোগ্যভাবে এই জাতীয় অনেক পয়েন্ট রয়েছে এবং বলের কেন্দ্রে পয়েন্টের ক্ষেত্রে, তাদের সকলের জন্য প্রমাণটি প্যাচ করা সম্ভব। (নিচে দেখুন।) কিছু বিবরণ দেওয়া হয়েছে, ধাপ 3-এ, গোলকটি আমাদের গ্রুপ এইচ-এর কক্ষপথে বিভক্ত করা হয়েছিল। প্রমাণকে সহজতর করার জন্য, কিছু ঘূর্ণন দ্বারা স্থির করা পয়েন্টগুলির আলোচনা বাদ দেওয়া হয়েছিল; যেহেতু এফ 2-এর প্যারাডক্সিকাল পচন নির্দিষ্ট কিছু উপসেট স্থানান্তরের উপর নির্ভর করে, তাই কিছু পয়েন্ট স্থির হওয়ার বিষয়টি কিছুটা সমস্যা সৃষ্টি করতে পারে। যেহেতু S2-এর যে কোনও ঘূর্ণনের (নাল ঘূর্ণন ব্যতীত) ঠিক দুটি স্থির বিন্দু থাকে এবং যেহেতু H, যা F2-এর সমতুল্য, তা গণনাযোগ্য, তাই S2-এর অনেকগুলি বিন্দু রয়েছে যা H-এ কিছু ঘূর্ণন দ্বারা স্থির করা হয়। যা দেখানো বাকি আছে তা হল দাবিঃ S2 − D হল S2-এর সমতুল্য। প্রমাণ। ধরা যাক λ উৎপত্তির মধ্য দিয়ে এমন কোনও রেখা যা D-তে কোনও বিন্দুকে ছেদ করে না। এটি সম্ভব কারণ D গণনাযোগ্য। ধরা যাক J হল কোণের সমষ্টি, α, যাতে কিছু স্বাভাবিক সংখ্যা n-এর জন্য, এবং D-তে কিছু P-এর জন্য, r (nα) P-ও D-তে থাকে, যেখানে r (nα) হল nα-এর λ-এর কাছাকাছি একটি ঘূর্ণন। তাহলে J গণনাযোগ্য। সুতরাং একটি কোণ θ রয়েছে যা J-তে নেই। ধরা যাক ρ হল λ বাই θ এর ঘূর্ণন। তারপর ρ, D-তে কোনও নির্দিষ্ট বিন্দু ছাড়াই S2-এর উপর কাজ করে, অর্থাৎ, ρn (D) হল D থেকে বিচ্ছিন্ন, এবং প্রাকৃতিক m <n-এর জন্য, ρn (D) হল ρm (D) থেকে বিচ্ছিন্ন। ধরা যাক E হল n = 0,1,2,.. এর উপর ρn (D)-এর বিচ্ছিন্ন মিলন। তারপর S2 = E ≤ (S2 − E) ~ ρ (E) ≤ (S2 − E) = (E − D) ≤ (S2 − E) = S2 − D, যেখানে ~ বোঝায় "এর সমতুল্য"। চতুর্থ ধাপের জন্য, এটি ইতিমধ্যে দেখানো হয়েছে যে বল বিয়োগ একটি পয়েন্ট একটি প্যারাডক্সিকাল পচন স্বীকার করে; এটি দেখানো বাকি যে বল বিয়োগ একটি পয়েন্ট বলের সাথে সমান সামঞ্জস্যপূর্ণ। বলের মধ্যে একটি বৃত্ত বিবেচনা করুন, যার মধ্যে বলের কেন্দ্রে বিন্দু রয়েছে। দাবি প্রমাণ করার জন্য ব্যবহৃত একটি যুক্তি ব্যবহার করে, কেউ দেখতে পাবে যে পুরো বৃত্তটি বলের কেন্দ্রে বৃত্ত বিয়োগ বিন্দুর সাথে সমানভাবে সামঞ্জস্যপূর্ণ। (মূলত, বৃত্তের উপর একটি গণনাযোগ্য বিন্দুর সেট নিজেকে আরও একটি পয়েন্ট যোগ করার জন্য ঘোরানো যেতে পারে।) লক্ষ্য করুন যে, এর সঙ্গে উৎস ব্যতীত অন্য একটি বিন্দু সম্পর্কে ঘূর্ণন জড়িত, তাই বানাচ-টার্সকি প্যারাডক্সে শুধুমাত্র এস. ও (3)-এর পরিবর্তে ইউক্লিডীয় 3-স্থানের আইসোমেট্রি জড়িত। এই সত্যটি ব্যবহার করা হয় যে, যদি এ-বি এবং বি-সি হয়, তবে এ-সি। এ-কে বি-তে নেওয়ার জন্য এবং বি-কে সি-তে নেওয়ার জন্য প্রয়োজনীয় সংখ্যার গুণফলের সমান সংখ্যক টুকরো ব্যবহার করে এ-কে সি-তে ভেঙে ফেলা যেতে পারে। উপরে অঙ্কিত প্রমাণটির জন্য 2 × 4 × 2 + 8 = 24 টুকরো প্রয়োজন-নির্দিষ্ট পয়েন্টগুলি সরানোর জন্য 2-এর একটি ফ্যাক্টর, ধাপ 1 থেকে একটি ফ্যাক্টর 4, নির্দিষ্ট পয়েন্টগুলি পুনরায় তৈরি করার জন্য একটি ফ্যাক্টর 2 এবং দ্বিতীয় বলের কেন্দ্র বিন্দুর জন্য 8। কিন্তু ধাপ 1-এ যখন {e} এবং সমস্ত স্ট্রিংকে এস (a−1)-এর মধ্যে নিয়ে যাওয়া হয়, তখন একটি ছাড়া সমস্ত কক্ষপথে এটি করুন। এই শেষ কক্ষপথের {e} কে দ্বিতীয় বলের কেন্দ্রবিন্দুতে নিয়ে যান। এটি মোট 16 + 1 টুকরোতে নিয়ে আসে। আরও বীজগণিতের সাহায্যে, 1ম ধাপের মতো স্থির কক্ষপথকে 4টি সেটে বিভক্ত করা যেতে পারে। এটি 5 টি টুকরো দেয় এবং এটি সর্বোত্তম সম্ভাব্য। বানাচ-টার্সকি প্যারাডক্স ব্যবহার করে, ইউক্লিডীয় এন-স্পেসে একটি বলের কে অনুলিপি পাওয়া সম্ভব, যে কোনও পূর্ণসংখ্যা এন ≤ 3 এবং কে ≤ 1, অর্থাৎ। একটি বল কে টুকরো করে কাটা যেতে পারে যাতে তাদের প্রতিটি মূল বলের সমান আকারের বলের সমান হয়। র্যাঙ্ক 2-এর মুক্ত গ্রুপ F2 গণনাযোগ্যভাবে অসীম র্যাঙ্কের একটি মুক্ত উপগোষ্ঠী গ্রহণ করে, এই সত্যটি ব্যবহার করে, একটি অনুরূপ প্রমাণ পাওয়া যায় যে একক গোলক Sn−1-কে গণনাযোগ্যভাবে অসীম সংখ্যক টুকরোতে বিভক্ত করা যেতে পারে, যার প্রতিটি আবর্তন ব্যবহার করে Sn−1-এর সমতুল্য (দুটি টুকরো সহ)। ঘূর্ণন গোষ্ঠী এস. ও (এন)-এর বিশ্লেষণাত্মক বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করে, যা একটি সংযুক্ত বিশ্লেষণাত্মক লাই গোষ্ঠী, কেউ আরও প্রমাণ করতে পারে যে গোলকটি এস. এন-1-কে যতগুলি বাস্তব সংখ্যা (অর্থাৎ, টুকরো) রয়েছে ততগুলি টুকরোতে বিভক্ত করা যেতে পারে, যাতে প্রতিটি টুকরো ঘূর্ণন ব্যবহার করে এস. এন-1-এর দুটি টুকরো দিয়ে সমতুল্য হয়। এই ফলাফলগুলি তখন মূল থেকে বঞ্চিত একক বল পর্যন্ত প্রসারিত হয়। ভ্যালেরি চুরকিনের 2010 সালের একটি নিবন্ধ বানাচ-টারস্কি প্যারাডক্সের অবিচ্ছিন্ন সংস্করণের একটি নতুন প্রমাণ দেয়। ইউক্লিডীয় সমতলে ভন নিউম্যান প্যারাডক্স ইউক্লিডীয় সমতলে, ইউক্লিডীয় গতির গোষ্ঠীর সাপেক্ষে সমতুল্য দুটি চিত্র অপরিহার্যভাবে একই এলাকার এবং তাই, বানাচ-টারস্কি ধরনের একটি বর্গক্ষেত্র বা ডিস্কের একটি প্যারাডক্সিকাল পচন যা শুধুমাত্র ইউক্লিডীয় সঙ্গতি ব্যবহার করে তা অসম্ভব। প্ল্যানার এবং উচ্চ-মাত্রিক কেসগুলির মধ্যে পার্থক্যের একটি ধারণাগত ব্যাখ্যা জন ভন নিউম্যান দিয়েছিলেনঃ তিনটি মাত্রায় ঘূর্ণনের গ্রুপ এস. ও (3) এর বিপরীতে, সমতলের ইউক্লিডীয় গতির গ্রুপ ই (2) সমাধানযোগ্য, যা ই (2) এবং আর 2-এর উপর একটি সীমাবদ্ধ-সংযোজনমূলক পরিমাপের অস্তিত্বকে বোঝায় যা অনুবাদ এবং ঘূর্ণনের অধীনে অপরিবর্তনীয়, এবং অ-নগণ্য সেটগুলির প্যারাডক্সিকাল পচনকে বাতিল করে। ভন নিউম্যান তখন নিম্নলিখিত প্রশ্নটি উত্থাপন করেনঃ যদি সমতুল্যতার একটি বৃহত্তর গোষ্ঠীকে অনুমতি দেওয়া হয় তবে কি এই ধরনের একটি বৈপরীত্যমূলক পচন তৈরি করা যেতে পারে? এটা স্পষ্ট যে, যদি কেউ সাদৃশ্যের অনুমতি দেয়, তবে সমতলে যে কোনও দুটি বর্গ আরও উপবিভাগ ছাড়াই সমতুল্য হয়ে ওঠে। এটি এলাকা-সংরক্ষণকারী অ্যাফিন রূপান্তরের এসএ2 গোষ্ঠীর প্রতি একজনের মনোযোগ সীমাবদ্ধ করতে অনুপ্রাণিত করে। যেহেতু এলাকাটি সংরক্ষিত রয়েছে, তাই এই গোষ্ঠীর সাপেক্ষে একটি বর্গক্ষেত্রের যে কোনও বৈপরীত্যমূলক পচন একটি বলের বানাচ-টারস্কি পচনের মতো একই কারণে বিপরীতমুখী হবে। প্রকৃতপক্ষে, এসএ2 গোষ্ঠীতে একটি উপগোষ্ঠী হিসাবে বিশেষ রৈখিক গোষ্ঠী এসএল (2, আর) রয়েছে, যার পরিবর্তে দুটি জেনারেটর সহ একটি উপগোষ্ঠী হিসাবে মুক্ত গোষ্ঠী এফ2 রয়েছে। এটি যুক্তিসঙ্গত করে তোলে যে বানাচ-তারস্কি প্যারাডক্সের প্রমাণ সমতলে অনুকরণ করা যেতে পারে। এখানে প্রধান অসুবিধাটি হল যে রৈখিক গোষ্ঠী এস. এল (2, আর)-এর ক্রিয়ার অধীনে একক বর্গ অপরিবর্তনীয় নয়, তাই কেউ গ্রুপ থেকে বর্গক্ষেত্রে একটি প্যারাডক্সিকাল পচন স্থানান্তর করতে পারে না, যেমন বানাচ-টারস্কি প্যারাডক্সের উপরের প্রমাণের তৃতীয় ধাপে। উপরন্তু, গোষ্ঠীর স্থির বিন্দুগুলি অসুবিধা উপস্থাপন করে (উদাহরণস্বরূপ, সমস্ত রৈখিক রূপান্তরের অধীনে উৎপত্তি স্থির করা হয়)। এই কারণেই ভন নিউম্যান অনুবাদগুলি সহ বৃহত্তর গোষ্ঠী এসএ2 ব্যবহার করেছিলেন এবং তিনি বর্ধিত গোষ্ঠীর (1929 সালে) সাপেক্ষে একক বর্গক্ষেত্রের একটি বৈপরীত্যমূলক পচন তৈরি করেছিলেন। বানাচ-টারস্কি পদ্ধতি প্রয়োগ করে, বর্গক্ষেত্রের জন্য বৈপরীত্যটি নিম্নরূপ শক্তিশালী করা যেতে পারেঃ ইউক্লিডীয় সমতলের যে কোনও দুটি আবদ্ধ উপসেট খালি অভ্যন্তরীণ অঞ্চল-সংরক্ষণকারী অ্যাফিন মানচিত্রের ক্ষেত্রে সমান সামঞ্জস্যপূর্ণ। যেমন ভন নিউম্যান উল্লেখ করেছেনঃ "ইনফোলজেডেসেন গিব্ট এস ব্রেইরিটস ইন ডার ইবেন কেইন নিক্টনেগেটিভস অ্যাডিটিভস মাস (ওয়ো দাস আইনহেইটসকোয়াড্র্যাট দাস মাস 1 হ্যাট), ডাস গেজেনুবার অ্যালেন অ্যাবিলডুঙ্গেন ভন এ 2 অপরিবর্তনীয় ওয়ারে"। এই অনুসারে, ইতিমধ্যে সমতলে কোনও অ-ঋণাত্মক যোগাত্মক পরিমাপ নেই (যার জন্য একক বর্গের পরিমাপ 1), যা A2 [এলাকা-সংরক্ষণকারী অ্যাফিন রূপান্তরের গোষ্ঠী]-এর অন্তর্গত সমস্ত রূপান্তরের ক্ষেত্রে অপরিবর্তনীয়। আরও ব্যাখ্যা করার জন্য, একটি সীমাবদ্ধ যোগাত্মক পরিমাপ (যা নির্দিষ্ট রূপান্তরের অধীনে সংরক্ষিত থাকে) বিদ্যমান কিনা তা নির্ভর করে কোন রূপান্তরগুলি অনুমোদিত হয় তার উপর। সমতলে সেটগুলির বানাচ পরিমাপ, যা অনুবাদ এবং ঘূর্ণন দ্বারা সংরক্ষিত থাকে, বহুভুজের এলাকা সংরক্ষণ করার পরেও অ-আইসোমেট্রিক রূপান্তর দ্বারা সংরক্ষিত হয় না। সমতলের বিন্দুগুলিকে (উৎস ব্যতীত) দুটি ঘন সেটে ভাগ করা যেতে পারে যাকে এ এবং বি বলা যেতে পারে। যদি একটি প্রদত্ত বহুভুজের এ বিন্দুগুলি একটি নির্দিষ্ট এলাকা-সংরক্ষণকারী রূপান্তর দ্বারা এবং বি বিন্দুগুলি অন্য দ্বারা রূপান্তরিত হয়, তবে উভয় সেট দুটি নতুন বহুভুজের এ বিন্দুর উপসেট হতে পারে। নতুন বহুভুজগুলির আয়তন পুরনো বহুভুজের সমান, কিন্তু দুটি রূপান্তরিত সেটের পরিমাপ আগের মতো একই হতে পারে না (যেহেতু এগুলিতে এ বিন্দুর শুধুমাত্র একটি অংশ থাকে), এবং তাই এমন কোনও পরিমাপ নেই যা "কাজ করে"। বানাচ-টারস্কি ঘটনা অধ্যয়নের সময় ভন নিউম্যান দ্বারা বিচ্ছিন্ন গোষ্ঠীগুলির শ্রেণী গণিতের অনেক ক্ষেত্রেই অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ বলে প্রমাণিত হয়েছেঃ এগুলি একটি অপরিবর্তনীয় গড় সহ সহজতর গোষ্ঠী বা গোষ্ঠী এবং সমস্ত সীমাবদ্ধ এবং সমস্ত সমাধানযোগ্য গোষ্ঠীকে অন্তর্ভুক্ত করে। সাধারণভাবে বলতে গেলে, সমতুল্যতার সংজ্ঞায় সমতুল্যতার জন্য ব্যবহৃত গোষ্ঠীটি উপযুক্ত না হলে প্যারাডক্সিকাল ডিকম্পোসিশন দেখা দেয়। সাম্প্রতিক অগ্রগতি 2000: ভন নিউম্যানের গবেষণাপত্রে রৈখিক গোষ্ঠী এসএল (2, আর) (ওয়াগন, প্রশ্ন 7.4)-এর সাপেক্ষে একক বর্গক্ষেত্রের অভ্যন্তরের একটি বৈপরীত্যমূলক পচন হওয়ার সম্ভাবনা উন্মুক্ত করা হয়েছে। 2000 সালে, মিকলেস ল্যাকজকোভিচ প্রমাণ করেছিলেন যে এই ধরনের পচন বিদ্যমান। আরও সুনির্দিষ্টভাবে বলতে গেলে, ধরা যাক, 'এ' হলো সমতলের সমস্ত আবদ্ধ উপসেটগুলির পরিবার, যার অভ্যন্তর খালি নয় এবং উৎপত্তিস্থল থেকে ধনাত্মক দূরত্ব রয়েছে, এবং 'বি' হল সমস্ত সমতলীয় সেটগুলির পরিবার যা এস. এল (2, আর)-এর কিছু উপাদানের অধীনে সীমাবদ্ধভাবে অনেকগুলির সংমিশ্রণে উৎপত্তির একটি ছিদ্রযুক্ত প্রতিবেশী রয়েছে। তারপর এ পরিবারের সমস্ত সেট এসএল (2, আর)-সমতুল্য, এবং একইভাবে বি-র সেটগুলির জন্য। এটি অনুসরণ করে যে উভয় পরিবারই বৈপরীত্যপূর্ণ সেট নিয়ে গঠিত। 2003: এটি দীর্ঘকাল ধরে জানা গিয়েছিল যে সম্পূর্ণ সমতলটি এসএ2-এর ক্ষেত্রে বৈপরীত্যপূর্ণ ছিল এবং ন্যূনতম সংখ্যক টুকরো চারটি সমান হবে যদি এসএ2-এর একটি স্থানীয়ভাবে বিনিময়যোগ্য মুক্ত উপগোষ্ঠী বিদ্যমান থাকে। 2003 সালে কেনজি সাটো এই ধরনের একটি উপগোষ্ঠী তৈরি করেন, যা নিশ্চিত করে যে চারটি টুকরো যথেষ্ট। 2011: ল্যাকজকোভিচের গবেষণাপত্রে এই সম্ভাবনার কথা খোলা ছিল, যদি নির্দিষ্ট বিন্দু ছাড়াই ছিদ্রযুক্ত ডিস্ক ডি-তে কাজ করে এমন পিসওয়াইজ রৈখিক রূপান্তরগুলির একটি মুক্ত গ্রুপ এফ থাকে। গ্রেজগোরজ টমকোভিচ এই ধরনের একটি গোষ্ঠী তৈরি করেছিলেন, যা দেখায় যে, F এবং D এর মাধ্যমে A ≈ B ≈ C ≈ B U C সমষ্টির ব্যবস্থা উপলব্ধি করা যেতে পারে। 2017: এটি দীর্ঘকাল ধরে জানা গেছে যে হাইপারবোলিক সমতল H2-এ একটি সেট E রয়েছে যা H2-এর তৃতীয়, চতুর্থ এবং এক-তম অংশ। H2-এর অভিযোজন-সংরক্ষণকারী আইসোমেট্রি দ্বারা প্রয়োজনীয়তা পূরণ করা হয়েছিল। অনুরূপ ফলাফল জন ফ্রাঙ্ক অ্যাডামস এবং জ্যান মাইসিয়েলস্কি দ্বারা প্রাপ্ত হয়েছিল যারা দেখিয়েছিলেন যে একক গোলক এস 2-এ একটি সেট ই রয়েছে যা এস 2-এর অর্ধেক, তৃতীয়, চতুর্থ এবং এক-তম অংশ। গ্রেজগোরজ টমকোভিচ দেখিয়েছেন যে অ্যাডামস এবং মাইসিয়েলস্কি নির্মাণকে এস 2-এর মতো একই বৈশিষ্ট্য সহ এইচ 2-এর একটি সেট ই পেতে সাধারণীকরণ করা যেতে পারে। 2017: ভন নিউম্যানের প্যারাডক্স ইউক্লিডীয় সমতলের সাথে সম্পর্কিত, তবে অন্যান্য শাস্ত্রীয় স্থানও রয়েছে যেখানে প্যারাডক্সগুলি সম্ভব। উদাহরণস্বরূপ, কেউ জিজ্ঞাসা করতে পারেন যে হাইপারবোলিক সমতল এইচ2-এ কোনও বানাচ-টারস্কি প্যারাডক্স আছে কি না। এটি জান মাইসিয়েলস্কি এবং গ্রেজগোরজ টমকোভিচ দেখিয়েছেন। টমকোভিচ আরও প্রমাণ করেছেন যে বেশিরভাগ ধ্রুপদী প্যারাডক্সগুলি একটি গ্রাফ তাত্ত্বিক ফলাফলের একটি সহজ পরিণতি এবং এই সত্য যে প্রশ্নযুক্ত গোষ্ঠীগুলি যথেষ্ট সমৃদ্ধ। 2018: 1984 সালে, জ্যান মাইসিয়েলস্কি এবং স্ট্যান ওয়াগন বোরেল সেট ব্যবহার করে হাইপারবোলিক প্লেন এইচ 2-এর একটি প্যারাডক্সিকাল পচন তৈরি করেছিলেন। এই বৈপরীত্য নির্ভর করে এইচ2-এর আইসোমেট্রি গোষ্ঠীর একটি সঠিকভাবে বিচ্ছিন্ন উপগোষ্ঠীর অস্তিত্বের উপর। অনুরূপ প্যারাডক্স গ্রেজগোরজ টমকোভিচ দ্বারা প্রাপ্ত হয় যিনি এফাইন গ্রুপ এসএ (3, জেড) এর একটি মুক্ত সঠিকভাবে বিচ্ছিন্ন উপগোষ্ঠী জি তৈরি করেছিলেন। এই ধরনের একটি গোষ্ঠীর অস্তিত্ব Z3-এর একটি উপসেট E-এর অস্তিত্বকে বোঝায় যাতে Z3-এর যে কোনও সসীম F-এর জন্য এমন একটি উপাদান বিদ্যমান থাকে, যেখানে এবং-এর প্রতিসম পার্থক্যকে বোঝায়। 2019: বানাচ-টারস্কি প্যারাডক্স অনুলিপিতে সীমিতভাবে অনেকগুলি টুকরো ব্যবহার করে। গণনাযোগ্যভাবে অনেকগুলি টুকরোর ক্ষেত্রে, অ-খালি অভ্যন্তর সহ যে কোনও দুটি সেট অনুবাদ ব্যবহার করে সমানভাবে সামঞ্জস্যপূর্ণ। কিন্তু শুধুমাত্র লেবস্গু পরিমাপযোগ্য টুকরোগুলিকে পাওয়া যায়ঃ যদি এ এবং বি খালি অভ্যন্তরীণ অংশ সহ আরএন-এর উপসেট হয়, তবে তাদের সমান লেবস্গু পরিমাপ থাকে যদি এবং শুধুমাত্র যদি তারা লেবস্গু পরিমাপযোগ্য টুকরোগুলি ব্যবহার করে গণনাযোগ্যভাবে সামঞ্জস্যপূর্ণ হয়। জান মাইসিয়েলস্কি এবং গ্রেজগোরজ টমকোভিচ এই ফলাফলটি সীমাবদ্ধ মাত্রিক লাই গ্রুপ এবং দ্বিতীয় গণনাযোগ্য স্থানীয়ভাবে কম্প্যাক্ট টপোলজিকাল গ্রুপগুলিতে প্রসারিত করেছেন যা সম্পূর্ণরূপে সংযোগ বিচ্ছিন্ন বা গণনাযোগ্যভাবে অনেক সংযুক্ত উপাদান রয়েছে। আরও দেখুন নোটস রেফারেন্স এডওয়ার্ড কাসনার ও জেমস নিউম্যান (1940) ম্যাথমেটিক্স অ্যান্ড দ্য ইমাজিনেশন, পৃষ্ঠা 205-7, সাইমন অ্যান্ড শুস্টার। বাহ্যিক সংযোগ স্ট্যান ওয়াগন (ম্যাকালেস্টার কলেজ) দ্বারা বানচ-টারস্কি প্যারাডক্স, ওল্ফ্রাম বিক্ষোভ প্রকল্প। অনিয়মিত ওয়েবকমিক! ডেভিড মরগান-মারের #2339 এই বৈপরীত্যের একটি অ-প্রযুক্তিগত ব্যাখ্যা প্রদান করে। এর মধ্যে একটি থেকে দুটি গোলক কীভাবে তৈরি করা যায় তার ধাপে ধাপে প্রদর্শন অন্তর্ভুক্ত রয়েছে। প্যারাডক্সের মৌলিক বিষয়গুলির উপর একটি সংক্ষিপ্ত বিবরণ দেয়। বানাচ-টার্সকি অ্যান্ড দ্য প্যারাডক্স অফ ইনফাইনাইট ক্লোনিং এপোনিমস প্যারাডক্স গ্রুপ থিওরি মেজার থিওরি ম্যাথমেটিকাল প্যারাডক্স থিওরেমস ইন দ্য ফাউন্ডেশন্স অফ ম্যাথমেটিক্স জ্যামিতিক ডিসেকশন 1924 পরিচিতি অনন্তের প্যারাডক্স