Banach–Mazur compactum
কার্যকরী বিশ্লেষণের গাণিতিক অধ্যয়নে, বানাচ-মাজুর দূরত্ব হল-মাত্রিক আদর্শ স্থানের সেটের উপর একটি দূরত্ব নির্ধারণ করার একটি উপায়। এই দূরত্বের সাথে,-মাত্রিক আদর্শ স্থানগুলির আইসোমেট্রি শ্রেণীর সেটটি একটি কম্প্যাক্ট মেট্রিক স্পেসে পরিণত হয়, যাকে বানাচ-মাজুর কম্প্যাক্টাম বলা হয়। সংজ্ঞাগুলি যদি এবং একই মাত্রার দুটি সসীম-মাত্রিক আদর্শ স্থান হয়, তবে আসুন সমস্ত রৈখিক সমরূপতার সংগ্রহকে বোঝাই যা এই জাতীয় রৈখিক মানচিত্রের অপারেটর আদর্শ দ্বারা বোঝানো হয়-সর্বাধিক ফ্যাক্টর যার দ্বারা এটি ভেক্টরকে "লম্বা" করে। এবং এর মধ্যে বানাচ-মাজুর দূরত্ব দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি স্থানগুলি এবং আইসোমেট্রিকভাবে আইসোমরফিক হয়। মেট্রিক δ দিয়ে সজ্জিত,-মাত্রিক আদর্শ স্থানগুলির আইসোমেট্রি শ্রেণীর স্থান একটি কম্প্যাক্ট মেট্রিক স্পেসে পরিণত হয়, যাকে বানাচ-মাজুর কম্প্যাক্টাম বলা হয়। অনেক লেখক গুণক বানাচ-মাজুর দূরত্ব নিয়ে কাজ করতে পছন্দ করেন যার জন্য এবং একটি উত্তল বস্তুতে থাকা সর্বাধিক উপবৃত্তাকারের উপর এফ. জনের উপপাদ্যটি অনুমান দেয়ঃ যেখানে ইউক্লিডীয় আদর্শের সাথে বোঝানো হয় (স্থান সম্পর্কিত নিবন্ধটি দেখুন)। এর থেকে এটি অনুসরণ করা হয় যে সকলের জন্য তবে, শাস্ত্রীয় স্থানগুলির জন্য, ব্যাসের জন্য এই উপরের সীমাটি পৌঁছানো থেকে অনেক দূরে। উদাহরণস্বরূপ, এবং এর মধ্যে দূরত্ব (শুধুমাত্র) ক্রমের (মাত্রা থেকে স্বাধীন একটি গুণনীয়ক ধ্রুবক পর্যন্ত)। ব্যাস অনুমানের দিক থেকে একটি বড় অর্জন হল ই. গ্লুস্কিন, যিনি 1981 সালে প্রমাণ করেছিলেন যে বানাচ-মাজুর কম্প্যাক্টামের (গুণিতক) ব্যাসটি কিছু সার্বজনীন গ্লুস্কিন পদ্ধতির জন্য নীচে সীমাবদ্ধ এবং র্যান্ডম প্রতিসম পলিটোপগুলির একটি শ্রেণী প্রবর্তন করে এবং আদর্শ স্থানগুলি একক বল হিসাবে থাকে (ভেক্টর স্থানটি এবং আদর্শ হল এর গেজ)। প্রমাণটি দেখানোর মধ্যে রয়েছে যে প্রয়োজনীয় অনুমানটি সত্য এবং আদর্শ স্থানের দুটি স্বাধীন অনুলিপি একটি পরম এক্সটেনসর হওয়ার বড় সম্ভাবনা রয়েছে। অন্যদিকে, এটি হিলবার্ট কিউব-এর সমরূপ নয়। আরও দেখুন নোটস রেফারেন্স https://planetmath.org/BanachMazurCompactum ঘনক্ষেত্রের সাথে বানাচ-মাজুর দূরত্বের একটি নোট বানাচ-মাজুর কম্প্যাক্টাম হল হিলবার্ট ঘনক্ষেত্রের কার্যকরী বিশ্লেষণ মেট্রিক জ্যামিতি মেট্রিক স্পেসের আলেকজান্দ্রফ কম্প্যাক্টিফিকেশন।