Mechanics of planar particle motion
সমতলীয় কণার গতির যান্ত্রিকতা হল কণাগুলির গতির বিশ্লেষণ, যা অ-জড় রেফারেন্স ফ্রেম থেকে পর্যবেক্ষণ করা হয়, যা একে অপরের প্রতি মহাকর্ষীয়ভাবে আকৃষ্ট হয় এবং এই সমস্যাটিকে গ্রহের গতিতে সাধারণীকরণ করা হয়। (কেন্দ্রত্যাগী বল, দ্বি-বস্তু সমস্যা, কক্ষপথ এবং কেপলারের গ্রহের গতির নিয়ম দেখুন।) এই সমস্যাগুলি বিশ্লেষণাত্মক গতিবিদ্যার সাধারণ ক্ষেত্রে পড়ে, যা প্রদত্ত বলের সূত্রগুলি থেকে কক্ষপথ নির্ধারণ করে। এই নিবন্ধটি প্ল্যানার গতির আশেপাশের গতিবিদ্যার সমস্যাগুলির উপর আরও বেশি দৃষ্টি নিবদ্ধ করে, যা কণার গতিপথ দেওয়া একটি নির্দিষ্ট গতিপথের ফলস্বরূপ প্রয়োজনীয় শক্তির নির্ধারণ। কাল্পনিক শক্তিতে উপস্থাপিত সাধারণ ফলাফলগুলি একটি চলমান কণার পর্যবেক্ষণের ক্ষেত্রে প্রয়োগ করা হয় যা বেশ কয়েকটি নির্দিষ্ট অ-জড় ফ্রেম থেকে দেখা যায়। উদাহরণস্বরূপ, একটি স্থানীয় ফ্রেম (একটি চলমান কণার সাথে বাঁধা যাতে এটি স্থির দেখায়), এবং একটি সহ-ঘূর্ণায়মান ফ্রেম (একটি নির্বিচারে অবস্থিত কিন্তু স্থির অক্ষ এবং ঘূর্ণনের হার যা কণার কেবল রেডিয়াল গতি এবং শূন্য আজিমুথাল গতি রয়েছে বলে মনে হয়)। এর মাধ্যমে, কাল্পনিক শক্তির প্রতি ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান পদ্ধতির প্রবর্তন করা হয়। তড়িৎচুম্বকীয় শক্তির মতো বাস্তব শক্তির বিপরীতে, কাল্পনিক শক্তিগুলি বস্তুর মধ্যে শারীরিক মিথস্ক্রিয়া থেকে উদ্ভূত হয় না। কাল্পনিক শক্তির ব্যবহার করে বিশ্লেষণ কাল্পনিক শক্তির উপস্থিতি সাধারণত একটি অ-জড় ফ্রেম অফ রেফারেন্সের ব্যবহার এবং একটি জড় ফ্রেম অফ রেফারেন্স ব্যবহারের সাথে তাদের অনুপস্থিতির সাথে যুক্ত। জড় ফ্রেম এবং কাল্পনিক শক্তির মধ্যে সংযোগ (যাকে জড় শক্তি বা ছদ্ম-শক্তিও বলা হয়), আর্নল্ড দ্বারা প্রকাশ করা হয়েছেঃ বিষয়টির উপর একটি সামান্য ভিন্ন ধারণা ইরো দ্বারা সরবরাহ করা হয়েছেঃ একটি জড়তার ফ্রেমে গতির সমীকরণে কাল্পনিক শক্তি উপস্থিত হয় না। একটি জড় ফ্রেমে, একটি বস্তুর গতি প্রকৃত প্রভাবিত শক্তি দ্বারা ব্যাখ্যা করা হয়। ঘূর্ণায়মান কাঠামোর মতো একটি অ-জড় কাঠামোতে, নিউটনের প্রথম এবং দ্বিতীয় সূত্রগুলি এখনও সঠিক শারীরিক ভবিষ্যদ্বাণী করতে ব্যবহার করা যেতে পারে যদি প্রকৃত শক্তির সাথে কাল্পনিক শক্তিও অন্তর্ভুক্ত থাকে। নন-ইনার্শিয়াল রেফারেন্স ফ্রেমে মেকানিক্সের সমস্যা সমাধানের জন্য, কাল্পনিক শক্তিকে বাস্তব শক্তির মতো ব্যবহার করুন এবং একটি ইনার্শিয়াল ফ্রেমে থাকার ভান করুন। এটি উল্লেখ করা উচিত যে "কাল্পনিক শক্তিকে বাস্তব শক্তির মতো ব্যবহার করা" মানে হল যে কাল্পনিক শক্তিগুলি, যেমন একটি নির্দিষ্ট অ-জড় কাঠামোতে দেখা যায়, সেই কাঠামোর মধ্যে তৈরি সমন্বিত রূপান্তরের অধীনে ভেক্টর হিসাবে রূপান্তরিত হয়, যেমন বাস্তব শক্তি। এরপরে, দেখা যায় যে সময়ের পরিবর্তিত স্থানাঙ্কগুলি ইনার্শিয়াল এবং নন-ইনার্শিয়াল উভয় ফ্রেমেই ব্যবহৃত হয়, তাই সময়ের পরিবর্তিত স্থানাঙ্কের ব্যবহার পর্যবেক্ষকের পরিবর্তনের সাথে বিভ্রান্ত হওয়া উচিত নয় এবং এটি কেবল পর্যবেক্ষকের বর্ণনার পছন্দের পরিবর্তন। ফ্রেম অফ রেফারেন্স অ্যান্ড কোঅর্ডিনেট সিস্টেম রেফারেন্স ফ্রেম শব্দটি প্রায়শই খুব বিস্তৃত অর্থে ব্যবহৃত হয়, তবে বর্তমান আলোচনার জন্য এর অর্থ একজন পর্যবেক্ষকের গতির অবস্থাকে বোঝাতে সীমাবদ্ধ, অর্থাৎ, রেফারেন্সের একটি জড় ফ্রেম বা রেফারেন্সের একটি অ-জড় ফ্রেম। কোঅর্ডিনেট সিস্টেম শব্দটি গতি বর্ণনা করার জন্য ভেরিয়েবলের একটি সেটের জন্য বিভিন্ন সম্ভাব্য পছন্দগুলির মধ্যে পার্থক্য করতে ব্যবহৃত হয়, যে কোনও পর্যবেক্ষকের জন্য উপলব্ধ পছন্দগুলি, তাদের গতির অবস্থা নির্বিশেষে। উদাহরণস্বরূপ কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্ক, মেরু স্থানাঙ্ক এবং (আরও সাধারণভাবে) বক্ররেখা স্থানাঙ্ক। এখানে "গতির অবস্থা" এবং "স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা" সম্পর্কিত দুটি উক্তি রয়েছেঃ সময় পরিবর্তনশীল স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা একটি সাধারণ স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায়, স্থানাঙ্কের জন্য ভিত্তি ভেক্টর নির্দিষ্ট অবস্থানে সময়ের সাথে পরিবর্তিত হতে পারে, অথবা তারা নির্দিষ্ট সময়ে অবস্থানের সাথে পরিবর্তিত হতে পারে, অথবা উভয়ই হতে পারে। এটি লক্ষ করা যেতে পারে যে জড় ফ্রেম এবং অ-জড় ফ্রেম উভয়ের সাথে সংযুক্ত স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার ভিত্তি ভেক্টর থাকতে পারে যা সময়, স্থান বা উভয় ক্ষেত্রেই পরিবর্তিত হয়। উদাহরণস্বরূপ, মেরু স্থানাঙ্কে একটি গতিপথের বর্ণনা যা একটি জড় ফ্রেম থেকে দেখা যায় বা একটি ঘূর্ণায়মান ফ্রেম থেকে দেখা যায়। পর্যবেক্ষণগুলির একটি সময়-নির্ভর বর্ণনা রেফারেন্সের কাঠামোকে পরিবর্তন করে না যেখানে পর্যবেক্ষণগুলি করা হয় এবং রেকর্ড করা হয়। একটি স্থানীয় স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় কাল্পনিক বল একটি বৃত্তাকার কক্ষপথে চলমান একটি কণার আলোচনায়, একটি ইনার্শিয়াল ফ্রেম অফ রেফারেন্স-এ, কেউ কেন্দ্রমুখী এবং স্পর্শক বল সনাক্ত করতে পারে। কিছু কাল্পনিক শক্তি, যাকে সাধারণত কেন্দ্রত্যাগী এবং অয়লার বল বলা হয়, শব্দভাণ্ডারে এই পরিবর্তনের উপর জোর দেয় এবং এটি জড় কাঠামো থেকে পর্যবেক্ষণমূলক কাঠামোর একটি পরিবর্তন, যেখানে কেন্দ্রমুখী এবং স্পর্শক শক্তিগুলি অর্থবোধ করে, একটি ঘূর্ণায়মান কাঠামোতে যেখানে কণাটি গতিহীন এবং কাল্পনিক কেন্দ্রত্যাগী বলে মনে হয় এবং অয়লার শক্তিকে কাজে আনতে হয়। একটি প্রশ্ন যা সাধারণত পাঠ্যপুস্তকে উত্থাপিত হয় তা হল "যদি কেউ সাধারণ সমতলীয় গতিতে একটি কণার উপর বসে থাকে (কেবল একটি বৃত্তাকার কক্ষপথ নয়), তাহলে কোন বিশ্লেষণ কাল্পনিক কেন্দ্রত্যাগী এবং অয়লার শক্তি প্রবর্তনের জন্য টুপির পরিবর্তনের ভিত্তি দেয়?" সেই প্রশ্নটি অন্বেষণ করতে, একটি ইনার্শিয়াল ফ্রেম অফ রেফারেন্স দিয়ে শুরু করুন। প্ল্যানার গতিতে সাধারণত ব্যবহৃত একটি স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা ব্যবহার করে, তথাকথিত স্থানীয় স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা, যেমন চিত্র 1-এ দেখানো হয়েছে, গতিপথের কেন্দ্রমুখী অভ্যন্তরীণ বলের জন্য সূত্রগুলি সনাক্ত করা সহজ হয়ে যায় (চিত্র 1-এ un-এর বিপরীত দিকে), এবং গতিপথের সমান্তরাল স্পর্শক বল (দিক ut-এ), যা পরে দেখানো হয়েছে। চিত্র 1-এ দেখানো স্থানীয় স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার একক ভেক্টরগুলি প্রবর্তন করার জন্য, একটি পদ্ধতি হল একটি জড় কাঠামোতে কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্কে শুরু করা এবং এই কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্কগুলির পরিপ্রেক্ষিতে স্থানীয় স্থানাঙ্কগুলি বর্ণনা করা। চিত্র 1-এ, চাপের দৈর্ঘ্য s হল কণাটি সময় t-তে তার পথ ধরে যে দূরত্ব অতিক্রম করেছে। কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্কে x (t), y (t) উপাদানগুলির সাথে r (t) পথটি চাপের দৈর্ঘ্য s (t) ব্যবহার করে বর্ণনা করা হয়েছেঃ s-এর ব্যবহার দেখার একটি উপায় হল কণার পথটিকে মহাকাশে বসে থাকা হিসাবে ভাবা, যেমন কোনও স্কাইরাইটার দ্বারা রেখে যাওয়া ট্রেইল, সময় থেকে স্বাধীন। এই পথের যে কোনও অবস্থান পথের কোনও প্রারম্ভিক বিন্দু থেকে তার দূরত্ব উল্লেখ করে বর্ণনা করা হয়। তারপর ds পথ বরাবর একটি ক্রমবর্ধমান স্থানচ্যুতি বর্ণনা করা হয়ঃ যেখানে s-এর সাপেক্ষে অন্তরজকে নির্দেশ করার জন্য মৌলিক সংখ্যার প্রবর্তন করা হয়। এই স্থানচ্যুতির মাত্রা হল ds, যা দেখায় যেঃ এই স্থানচ্যুতি অপরিহার্যভাবে s-এ বক্ররেখার স্পর্শক, যা দেখায় যে বক্ররেখার একক ভেক্টর স্পর্শকটি হলঃ যেখানে বক্ররেখার বাহ্যিক একক ভেক্টর স্বাভাবিক অর্থোগোনালিটি ভেক্টর বিন্দু গুণফল শূন্য দেখিয়ে যাচাই করা যেতে পারে। এই ভেক্টরগুলির একক মাত্রা এর একটি পরিণতি। একদিকে, লক্ষ্য করুন যে কার্টেসিয়ান xy-অক্ষ বরাবর সারিবদ্ধ নয় এমন একক ভেক্টরের ব্যবহারের অর্থ এই নয় যে একটি আর জড় ফ্রেমে নেই। এর অর্থ হল যে উক্ত ব্যক্তি একক ভেক্টর ব্যবহার করছেন যা পথ বর্ণনা করার জন্য s এর সাথে পরিবর্তিত হয়, তবে এখনও জড় ফ্রেম থেকে গতি পর্যবেক্ষণ করে। স্পর্শক ভেক্টর ব্যবহার করে, বক্ররেখার স্পর্শকের কোণ, ধরুন θ, দ্বারা দেওয়া হয়ঃ এবং বক্রতার ব্যাসার্ধ সম্পূর্ণরূপে আনুষ্ঠানিকভাবে (জ্যামিতিক ব্যাখ্যার প্রয়োজন ছাড়াই) এইভাবে প্রবর্তিত হয়ঃ θ এর ব্যুৎপত্তিটি sin θ এর জন্য পাওয়া যেতে পারেঃ এখনঃ যেখানে হরটি Eq অনুসারে একক। 1টি। সাইন থেকে উদ্ভূত এই সূত্রের সাহায্যে, বক্রতার ব্যাসার্ধ হয়ে ওঠেঃ যেখানে Eq-এর পৃথকীকরণ থেকে রূপগুলির সমতা উদ্ভূত হয়। 1: s-এর জন্য সংশ্লিষ্ট মানের পরিপ্রেক্ষিতে পথের যে কোনও অবস্থানের বিবরণ স্থাপন করে এবং এই বর্ণনার পরিপ্রেক্ষিতে পথের বৈশিষ্ট্যগুলি খুঁজে পেয়ে, যে কোনও সময় t-তে কণার অবস্থানকে সংশ্লিষ্ট মান s (t) হিসাবে উল্লেখ করে কণার গতি প্রবর্তন করা হয়। s-এর পরিপ্রেক্ষিতে পথের বৈশিষ্ট্যগুলির জন্য উপরের ফলাফলগুলি ব্যবহার করে, কণার পথের স্বাভাবিক এবং স্পর্শক উপাদানগুলির পরিপ্রেক্ষিতে বর্ণিত জড় রেফারেন্স ফ্রেমে ত্বরণটি s (t) ফাংশনের পরিপ্রেক্ষিতে পাওয়া যেতে পারে এবং এর বিভিন্ন সময় অন্তরজ (আগের মতো, মৌলিক সংখ্যাগুলি s-এর সাপেক্ষে পার্থক্য নির্দেশ করে) এর সাথেঃ যেমন একক ভেক্টর এবং এর সাথে বিন্দু গুণফল গ্রহণ করে যাচাই করা যেতে পারে। ত্বরণের জন্য এই ফলাফলটি ব্যাসার্ধের উপর ভিত্তি করে বৃত্তাকার গতির জন্য একই। জড়তার ফ্রেমে এই স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা ব্যবহার করে, গতিপথের স্বাভাবিক বলকে কেন্দ্রমুখী বল এবং গতিপথের সমান্তরাল বলকে স্পর্শক বল হিসাবে চিহ্নিত করা সহজ। এরপরে, একজনকে অবশ্যই পর্যবেক্ষণমূলক কাঠামো পরিবর্তন করতে হবে। কণার উপর বসে, একজনকে অবশ্যই একটি অ-জড় ফ্রেম গ্রহণ করতে হবে যেখানে কণাটি বিশ্রামে থাকে (শূন্য বেগ)। এই কাঠামোর একটি ক্রমাগত পরিবর্তনশীল উৎস রয়েছে, যা সময় t-তে পথের বক্রতার কেন্দ্র (চিত্র 1-এ দোলক বৃত্তের কেন্দ্র), এবং যার ঘূর্ণনের হার হল সময় t-এ সেই উৎস সম্পর্কে কণার গতির কৌণিক হার। এই অ-জড় ফ্রেমটি গতিপথের সাথে স্বাভাবিক এবং সমান্তরাল একক ভেক্টরকেও নিযুক্ত করে। এই কাঠামোর কৌণিক বেগ হল t সময়ে বক্রতার কেন্দ্র সম্পর্কে কণার কৌণিক বেগ। জড় কাঠামোর কেন্দ্রবিন্দু বলকে অ-জড় শক্ত কাঠামোতে ব্যাখ্যা করা হয় যেখানে বস্তুটি কেন্দ্রত্যাগী বলকে অতিক্রম করার জন্য প্রয়োজনীয় বল হিসাবে বিশ্রাম নেয়। একইভাবে, জড় কাঠামোতে দেখা যায় যে পথে গতির যে কোনও ত্বরণ ঘটায় সেই বলটি অ-জড় কাঠামোতে অয়লার বলকে অতিক্রম করার জন্য প্রয়োজনীয় বল হয়ে ওঠে যেখানে কণাটি বিশ্রাম নেয়। ফ্রেমে শূন্য কোরিওলিস বল রয়েছে কারণ এই ফ্রেমে কণার বেগ শূন্য। উদাহরণস্বরূপ, একটি বিমানে একজন পাইলটের জন্য, এই কাল্পনিক শক্তিগুলি সরাসরি অভিজ্ঞতার বিষয়। যাইহোক, এই কাল্পনিক শক্তিগুলি কণা ব্যতীত অন্য কোনও সাধারণ পর্যবেক্ষণমূলক কাঠামোর সাথে সম্পর্কিত হতে পারে না, যদি না এটি একটি বৃত্তের মতো বিশেষভাবে সহজ পথে থাকে। অর্থাৎ, গুণগত দৃষ্টিকোণ থেকে, একটি বিমানের পথ একটি বৃত্তের বৃত্ত দ্বারা সীমিত সময়ের জন্য আনুমানিক করা যেতে পারে এবং সীমিত সময়ের জন্য একটি নির্দিষ্ট ব্যাসার্ধের বক্রতা প্রযোজ্য হলে, কেন্দ্রত্যাগী এবং অয়লার বল বিশ্লেষণ করা যেতে পারে সেই ব্যাসার্ধের সাথে বৃত্তাকার গতির ভিত্তিতে (একটি বিমান ঘুরিয়ে দেওয়ার বিষয়ে আলোচনা করা নিবন্ধটি দেখুন)। এরপরে, একটি নির্দিষ্ট অক্ষের চারপাশে ঘূর্ণায়মান রেফারেন্স ফ্রেমগুলি আরও বিস্তারিতভাবে আলোচনা করা হয়েছে। মেরু স্থানাঙ্কে কাল্পনিক বল অ-কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় কণার গতির বর্ণনা প্রায়শই সহজ হয়, উদাহরণস্বরূপ, মেরু স্থানাঙ্ক। যখন গতির সমীকরণগুলি কোনও বক্ররেখা স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করা হয়, তখন অতিরিক্ত পদগুলি প্রদর্শিত হয় যা স্থানাঙ্ক পরিবর্তনের সাথে সাথে ভিত্তি ভেক্টরগুলি কীভাবে পরিবর্তিত হয় তা উপস্থাপন করে। এই পদগুলি মেরু (বা নলাকার) স্থানাঙ্কে রূপান্তরিত হওয়ার পরে স্বয়ংক্রিয়ভাবে উদ্ভূত হয় এবং এইভাবে কাল্পনিক শক্তি নয়, বরং মেরু স্থানাঙ্কে ত্বরণের ক্ষেত্রে কেবল পদগুলি যুক্ত করা হয়। দুটি পরিভাষা বিশুদ্ধ গাণিতিক চিকিৎসায়, স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা যে কাঠামোর সঙ্গে যুক্ত (জড় বা অ-জড়) তা নির্বিশেষে, বক্ররেখা স্থানাঙ্ক ব্যবহার করার সময় একটি পর্যবেক্ষিত কণার ত্বরণে অতিরিক্ত পদ প্রদর্শিত হয়। উদাহরণস্বরূপ, মেরু স্থানাঙ্কে ত্বরণ দ্বারা দেওয়া হয় (বিস্তারিত বিবরণের জন্য নীচে দেখুন): যার মধ্যে স্থানাঙ্কের কেবল দ্বিগুণ সময় ব্যুৎপত্তিই নয়, যোগ করা পদও রয়েছে। এই উদাহরণটি মেরু স্থানাঙ্ক ব্যবহার করে, তবে আরও সাধারণভাবে যুক্ত পদগুলি নির্ভর করে কোন স্থানাঙ্ক ব্যবস্থাটি বেছে নেওয়া হয় (অর্থাৎ, মেরু, উপবৃত্তাকার বা অন্য কোনও ব্যবস্থা)। কখনও কখনও এই স্থানাঙ্ক-ব্যবস্থার উপর নির্ভরশীল পদগুলিকে "কাল্পনিক শক্তি" হিসাবেও উল্লেখ করা হয়, যা "কাল্পনিক শক্তি"-র জন্য একটি দ্বিতীয় অর্থ প্রবর্তন করে, যদিও এই পদগুলিতে শক্তির প্রত্যাশিত ভেক্টর রূপান্তর বৈশিষ্ট্য নেই। উদাহরণস্বরূপ, শঙ্কর এবং হিল্ডেব্র্যান্ড দেখুন। এই পরিভাষা অনুসারে, কাল্পনিক বলগুলি স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার দ্বারা আংশিকভাবে নির্ধারিত হয়, এটি যে কাঠামোর সাথে সংযুক্ত তা নির্বিশেষে, অর্থাৎ স্থানাঙ্ক ব্যবস্থাটি কোনও জড় বা অ-জড় কাঠামোর সাথে সংযুক্ত কিনা তা নির্বিশেষে। বিপরীতে, পর্যবেক্ষকের গতির অবস্থার পরিপ্রেক্ষিতে সংজ্ঞায়িত কাল্পনিক শক্তিগুলি ইনার্শিয়াল ফ্রেম অফ রেফারেন্স-এ অদৃশ্য হয়ে যায়। এই দুটি পরিভাষাকে আলাদা করার জন্য, যে কাল্পনিক শক্তিগুলি রেফারেন্সের একটি জড় কাঠামোতে অদৃশ্য হয়ে যায়, নিউটনীয় বলবিজ্ঞানের জড় শক্তিকে এই নিবন্ধে "গতির অবস্থা" কাল্পনিক শক্তি বলা হয়েছে এবং যেগুলি নির্দিষ্ট স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় সময় ব্যুৎপত্তিগুলির ব্যাখ্যায় উদ্ভূত হয় তাদের "স্থানাঙ্ক" কাল্পনিক শক্তি বলা হয়। "গতির অবস্থা" এবং "স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা" আলাদা বলে ধরে নিলে, এটি অনুসরণ করা হয় যে "গতির অবস্থা"-র উপর কেন্দ্রত্যাগী শক্তির নির্ভরতা (এই নিবন্ধের মতো) এবং "স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা" থেকে এর স্বাধীনতা, যা ঠিক বিপরীত নির্ভরতার সাথে "স্থানাঙ্ক" সংস্করণের বিপরীতে, ইঙ্গিত দেয় যে দুটি ভিন্ন ধারণাকে "কাল্পনিক শক্তি" পরিভাষা দ্বারা উল্লেখ করা হয়। বর্তমান নিবন্ধটি এই দুটি ধারণার ("গতির অবস্থা") একটির উপর জোর দেয়, যদিও অন্যটিও বর্ণনা করা হয়েছে। নীচে, মেরু স্থানাঙ্কগুলি (প্রথম) একটি ইনার্শিয়াল ফ্রেম অফ রেফারেন্স এবং তারপর (দ্বিতীয়) একটি ঘূর্ণায়মান ফ্রেম অফ রেফারেন্স-এ ব্যবহারের জন্য চালু করা হয়েছে। "কাল্পনিক শক্তি" শব্দটির দুটি ভিন্ন ব্যবহার উল্লেখ করা হয়েছে। তবে, প্রথমে, কাল্পনিক শক্তির জন্য "সমন্বয়" পরিভাষাটি কীভাবে উদ্ভূত হয়েছে তা আরও ব্যাখ্যা করার জন্য একটি সংক্ষিপ্ত বিষয়ান্তর অনুসরণ করা হয়েছে। ল্যাগ্রেঞ্জিয়ান পদ্ধতি "গাণিতিক সুবিধার" একটি রেফারেন্সের চেয়ে বেশি "স্থানাঙ্ক" জড় শক্তির প্রবর্তনকে অনুপ্রাণিত করার জন্য, যা অনুসরণ করা হয় তা হল এই বলগুলি দেখানোর জন্য একটি বিচ্যুতি যা কিছু লেখক যাকে "সাধারণীকৃত" কাল্পনিক বল বা "সাধারণীকৃত জড়তা বল" বলে অভিহিত করেন তার সাথে মিলে যায়। এই বলগুলি সাধারণত {qk} হিসাবে চিহ্নিত সাধারণীকৃত স্থানাঙ্ক দ্বারা একটি সিস্টেম বর্ণনা করার উপর ভিত্তি করে বলবিজ্ঞানের ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান বলবিজ্ঞান পদ্ধতির মাধ্যমে প্রবর্তিত হয়। এই স্থানাঙ্কগুলির একমাত্র প্রয়োজনীয়তা হল যে এগুলি সিস্টেমের অবস্থাকে অনন্যভাবে চিহ্নিত করার জন্য প্রয়োজনীয় এবং যথেষ্টঃ এগুলি সিস্টেমের কণাগুলির স্থানাঙ্ক হতে হবে না (যদিও তারা হতে পারে)। পরিবর্তে, উদাহরণস্বরূপ, তারা একটি রোবট বাহুতে লিঙ্কগুলির কোণ এবং সম্প্রসারণ হতে পারে। যদি একটি যান্ত্রিক ব্যবস্থা এন কণা নিয়ে গঠিত হয় এবং সেখানে এম স্বাধীন গতিবিদ্যার শর্ত আরোপ করা হয়, তবে এন = 3এন-এম স্বাধীন সাধারণীকৃত স্থানাঙ্ক দ্বারা সিস্টেমটিকে অনন্যভাবে চিহ্নিত করা সম্ভব। ধ্রুপদী বলবিজ্ঞানে, ল্যাগ্রাঞ্জিয়ানকে সংজ্ঞায়িত করা হয়, সিস্টেমের গতিশক্তি বিয়োগ তার সম্ভাব্য শক্তি হিসাবে। প্রতীকে, ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান বলবিজ্ঞানে দেওয়া শর্তে, যদি কোনও সিস্টেমের ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান জানা যায়, তবে সিস্টেমের গতির সমীকরণগুলি ল্যাগ্রাঞ্জিয়ানের অভিব্যক্তিটিকে ইউলার-ল্যাগ্রাঞ্জ সমীকরণে সরাসরি প্রতিস্থাপনের মাধ্যমে প্রাপ্ত করা যেতে পারে, যা আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একটি নির্দিষ্ট পরিবার। এখানে কিছু সংজ্ঞা রয়েছেঃ সংজ্ঞাঃ ল্যাগ্রাঞ্জ ফাংশন বা ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান, qi হল সাধারণীকৃত স্থানাঙ্ক, সাধারণীকৃত বেগ, সাধারণীকৃত ভরবেগ, সাধারণীকৃত বল, ল্যাগ্রাঞ্জের সমীকরণ। ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান বলবিজ্ঞান কীভাবে কাজ করে তার রূপরেখা তৈরি করা এখানে উদ্দেশ্য নয়। আগ্রহী পাঠক এই পদ্ধতির ব্যাখ্যাকারী অন্যান্য নিবন্ধগুলি দেখতে পারেন। এই মুহুর্তে, লক্ষ্যটি কেবল এটি দেখানো যে ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান পদ্ধতিটি "সাধারণীকৃত কাল্পনিক শক্তির" দিকে পরিচালিত করতে পারে যা জড়তার ফ্রেমে অদৃশ্য হয় না। এখানে যা প্রাসঙ্গিক তা হল একটি একক কণার ক্ষেত্রে, ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান পদ্ধতির ব্যবস্থা করা যেতে পারে ঠিক সেই "স্থানাঙ্ক" কাল্পনিক শক্তিকে ধরার জন্য যা সদ্য প্রবর্তিত হয়েছে। এগিয়ে যাওয়ার জন্য, একটি একক কণা বিবেচনা করুন এবং সাধারণ স্থানাঙ্ককে {qk} = (r, θ) হিসাবে উপস্থাপন করুন। তারপর হিলডেব্র্যান্ড দেখায় যে qk = (r, θ)-এর সাথে মেরু স্থানাঙ্কে "সাধারণীকৃত মোমেন্টা" হলঃ উদাহরণস্বরূপ, সাধারণীকৃত বলের দিকে অগ্রসর হয়ঃ qr-এর সাথে প্রভাবিত রেডিয়াল বল। "সাধারণীকৃত বল" এবং নিউটনীয় বলের মধ্যে সংযোগ স্থানাঙ্ক নির্বাচনের সাথে পরিবর্তিত হয়। এই ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান সূত্রটি উপরে উল্লিখিত কাল্পনিক শক্তির ঠিক "স্থানাঙ্ক" রূপের পরিচয় দেয় যা জড়তার ফ্রেমে "কাল্পনিক" (সাধারণীকৃত) শক্তির অনুমতি দেয়, উদাহরণস্বরূপ, হিল্ডেব্র্যান্ডের যত্নশীল পাঠ শব্দটি দেখায় যে তিনি "রেফারেন্সের জড়তার ফ্রেম"-এর ভূমিকা নিয়ে আলোচনা করেন না এবং প্রকৃতপক্ষে, বলে যে "[জড়তার শক্তির] উপস্থিতি বা অনুপস্থিতি নির্ভর করে, হাতে থাকা নির্দিষ্ট সমস্যার উপর নয় বরং নির্বাচিত স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার উপর।" স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা দ্বারা সম্ভবত {qk}-এর পছন্দ বোঝানো হয়। পরে তিনি বলেন, "যদি সাধারণীকৃত স্থানাঙ্কের সাথে সম্পর্কিত ত্বরণগুলি প্রধান আগ্রহের হয় (যেমন সাধারণত হয়), তবে [অ-ত্বরণীয়] পদগুলি সুবিধামত ডানদিকে স্থানান্তরিত হতে পারে এবং অতিরিক্ত (সাধারণীকৃত) জড়তা বল হিসাবে বিবেচিত হতে পারে। এই ধরনের জড়তা বলকে প্রায়শই কোরিওলিস ধরনের বলা হয়। সংক্ষেপে, কিছু লেখক স্থানাঙ্ক এবং তাদের ব্যুৎপত্তিগুলির উপর জোর দেওয়া এবং তাদের (সাধারণীকৃত) কাল্পনিক শক্তির প্রবর্তন যা রেফারেন্সের জড় ফ্রেমগুলিতে অদৃশ্য হয় না তা ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান বলবিজ্ঞানে সাধারণীকৃত স্থানাঙ্কের ব্যবহারের একটি বৃদ্ধি। উদাহরণস্বরূপ, ম্যাককুয়েরি হিল্ডেব্র্যান্ড এবং ভন শোয়েরিন দেখুন। নীচে রোবোটিক ম্যানিপুলেটরগুলির নকশায় ব্যবহৃত এই ব্যবহারের একটি উদাহরণ দেওয়া হলঃ একটি রোবট ম্যানিপুলেটরের জন্য, সমীকরণগুলি ক্রিস্টোফেল প্রতীক γijk ব্যবহার করে একটি আকারে লেখা যেতে পারে (নীচে আরও আলোচনা করা হয়েছে) যেখানে M হল "ম্যানিপুলেটর ইনার্শিয়া ম্যাট্রিক্স" এবং V হল মাধ্যাকর্ষণের কারণে সম্ভাব্য শক্তি (উদাহরণস্বরূপ), এবং জয়েন্ট i-এর সাধারণ বল। ক্রিস্টোফেল প্রতীকগুলির সাথে জড়িত পদগুলি তাই "সাধারণীকৃত কেন্দ্রত্যাগী" এবং "সাধারণীকৃত কোরিওলিস" পদগুলি নির্ধারণ করে। সাধারণীকৃত কাল্পনিক শক্তির প্রবর্তন প্রায়শই বিজ্ঞপ্তি ছাড়াই এবং "সাধারণীকৃত" শব্দটি নির্দিষ্ট না করেই করা হয়। পরিভাষার এই ব্যবহার বিভ্রান্তির সৃষ্টি করতে পারে কারণ সাধারণ কাল্পনিক শক্তিগুলি, আদর্শ "গতির অবস্থা" কাল্পনিক শক্তির বিপরীতে, রেফারেন্সের জড় ফ্রেমগুলিতে অদৃশ্য হয় না। একটি ইনার্শিয়াল ফ্রেমে পোলার স্থানাঙ্ক নীচে, একটি কণার ত্বরণ পোলার স্থানাঙ্ক ব্যবহার করে একটি ইনার্শিয়াল ফ্রেমে দেখা যায়। সংজ্ঞা অনুসারে, একটি জড় ফ্রেমে কোনও "স্টেট-অফ-মোশন" কাল্পনিক শক্তি নেই। সেই উপস্থাপনা অনুসরণ করে, এই "শক্তিগুলির" অ-ভেক্টোরিয়াল রূপান্তর আচরণের ভিত্তিতে "সমন্বয়" কাল্পনিক শক্তির বিপরীত পরিভাষা উপস্থাপন করা হয় এবং সমালোচনা করা হয়। একটি জড় ফ্রেমে, একটি চলমান কণার অবস্থান ভেক্টর হতে দিন। এর কার্টেসিয়ান উপাদানগুলি (x, y) হলঃ সময় t-এর উপর নির্ভর করে মেরু স্থানাঙ্ক r এবং θ সহ। একক ভেক্টরগুলি রেডিয়ালভাবে বাইরের দিকে সংজ্ঞায়িত করা হয়ঃ এবং সমকোণের দিকেঃ এই একক ভেক্টরগুলি সময়ের সাথে দিক পরিবর্তন করেঃ এবংঃ এই ডেরিভেটিভগুলি ব্যবহার করে, অবস্থানের প্রথম এবং দ্বিতীয় ডেরিভেটিভগুলি হলঃ এবং যেখানে বিন্দু-ওভারমার্কিং সময় পার্থক্য নির্দেশ করে। ত্বরণের জন্য এই ফর্মের সাথে, রেফারেন্সের একটি জড় ফ্রেমে নিউটনের দ্বিতীয় সূত্রটি মেরু স্থানাঙ্কে প্রকাশিত হয়ঃ যেখানে F হল কণার উপর নেট বাস্তব বল। কোনও কাল্পনিক শক্তি উপস্থিত হয় না কারণ সমস্ত কাল্পনিক শক্তি একটি জড় ফ্রেমে সংজ্ঞা অনুসারে শূন্য। গাণিতিক দৃষ্টিকোণ থেকে, তবে, কখনও কখনও এই সমীকরণের ডান দিকে শুধুমাত্র দ্বিতীয়-ক্রমের ব্যুৎপত্তিগুলি রাখা সহজ; অর্থাৎ আমরা পদগুলির পুনর্বিন্যাস দ্বারা উপরের সমীকরণটি লিখিঃ যেখানে "ত্বরণ"-এর একটি "স্থানাঙ্ক" সংস্করণ চালু করা হয়ঃ স্থানাঙ্ক r এবং θ-এর শুধুমাত্র দ্বিতীয়-ক্রমের সময় ব্যুৎপত্তি নিয়ে গঠিত। সমীকরণের বলের দিকে সরানো পদগুলিকে এখন অতিরিক্ত "কাল্পনিক বল" হিসাবে বিবেচনা করা হয় এবং বিভ্রান্তিকরভাবে, ফলস্বরূপ বলগুলিকে "কেন্দ্রত্যাগী" এবং "কোরিওলিস" বলও বলা হয়। এই নতুন সংজ্ঞায়িত "বলগুলি" একটি জড় ফ্রেমে অ-শূন্য, এবং তাই অবশ্যই পূর্বে চিহ্নিত কাল্পনিক বলগুলির মতো নয় যা একটি জড় ফ্রেমে শূন্য এবং শুধুমাত্র অ-জড় ফ্রেমে অ-শূন্য। এই অনুচ্ছেদে, এই নতুন সংজ্ঞায়িত বলগুলিকে "স্থানাঙ্ক" কেন্দ্রাতিগ বল এবং "স্থানাঙ্ক" কোরিওলিস বল বলা হয়েছে যা তাদের "গতির অবস্থা" বল থেকে পৃথক করে। উৎপত্তির পরিবর্তন এখানে একটি দৃষ্টান্ত দেখানো হয়েছে যে "কেন্দ্রত্যাগী শব্দ" একটি প্রকৃত শক্তি হিসাবে রূপান্তরিত হয় না। ধরুন S ফ্রেমে একটি কণা স্থির গতিতে উৎপত্তিস্থল থেকে রেডিয়ালভাবে দূরে সরে যায়। চিত্র 2 দেখুন। নিউটনের প্রথম সূত্র অনুযায়ী কণার উপর বল শূন্য। এখন আমরা ফ্রেম এস 'থেকে একই জিনিসটি দেখি, যা একই, কিন্তু উৎপত্তিস্থলে স্থানচ্যুত। S '-এ কণাটি স্থির গতিতে সরলরেখার গতিতে থাকে, তাই আবার বল শূন্য হয়। যদি দুটি ফ্রেমে মেরু স্থানাঙ্ক ব্যবহার করা হয় তাহলে কী হবে? ফ্রেম এস-এ রেডিয়াল গতি ধ্রুবক এবং কোনও কৌণিক গতি নেই। অতএব, ত্বরণ হলঃ এবং প্রতিটি পদ পৃথকভাবে শূন্য কারণ এবং। ফ্রেম এস-এ কোনও "বল" সহ কোনও বল নেই। ফ্রেম এস-এ, তবে, আমাদের রয়েছেঃ এই ক্ষেত্রে অ্যাজিমুথাল শব্দটি শূন্য, যা কৌণিক ভরবেগের পরিবর্তনের হার। রেডিয়াল দিকে শূন্য ত্বরণ পেতে, আমাদের প্রয়োজনঃ ডান দিকটি অ-শূন্য, যেহেতু শূন্য বা শূন্য নয়। অর্থাৎ, আমরা শূন্য বল (শূন্য) পেতে পারি না যদি আমরা কেবল ত্বরণ হিসাবে ধরে রাখি; আমাদের উভয় পদই প্রয়োজন। উপরের তথ্যগুলি সত্ত্বেও, ধরুন কেউ মেরু স্থানাঙ্ক গ্রহণ করবে, এবং বলতে চায় যে এটি "কেন্দ্রাতিগ বল", এবং "ত্বরণ" হিসাবে পুনরায় ব্যাখ্যা করবে (কোনও সম্ভাব্য যৌক্তিকতার উপর নির্ভর না করে)। যখন কেউ বিবেচনা করে যে পদার্থবিজ্ঞানের একটি সঠিক গঠন জ্যামিতি এবং স্থানাঙ্ক-স্বাধীন, তখন এই সিদ্ধান্তের মূল্য কেমন হয়? সাধারণ কোভ্যারিয়েন্স সম্পর্কিত নিবন্ধটি দেখুন। একটি কোভ্যারিয়েন্ট অভিব্যক্তি গঠনের চেষ্টা করার জন্য, এই তথাকথিত কেন্দ্রাতিগ বলকে ভেক্টর স্বরলিপিতে এইভাবে রাখা যেতে পারেঃ সহঃ এবং গতির সমতলে একটি একক ভেক্টর স্বাভাবিক। দুর্ভাগ্যবশত, যদিও এই অভিব্যক্তিটি আনুষ্ঠানিকভাবে একটি ভেক্টরের মতো দেখায়, যখন কোনও পর্যবেক্ষক পরিবর্তনের মান পরিবর্তন করেন (চিত্র 2 দেখুন), তাই বিভিন্ন রাস্তার কোণে দাঁড়িয়ে থাকা রেফারেন্সের একই ফ্রেমে পর্যবেক্ষকরা বিভিন্ন "শক্তি" দেখতে পান যদিও প্রকৃত ঘটনাগুলি তারা প্রত্যক্ষ করেন অভিন্ন। কিভাবে একটি শারীরিক শক্তি (তা কাল্পনিক হোক বা বাস্তব) একটি ফ্রেম এস-এ শূন্য হতে পারে, কিন্তু অন্য ফ্রেম এস-এ অ-শূন্য হতে পারে, কিন্তু কয়েক ফুট দূরে? এমনকি ঠিক একই কণার আচরণের জন্যও অভিব্যক্তিটি রেফারেন্সের প্রতিটি ফ্রেমে আলাদা, এমনকি ফ্রেমের মধ্যে খুব তুচ্ছ পার্থক্যের জন্যও। সংক্ষেপে, আমরা যদি "কেন্দ্রত্যাগী বল" হিসাবে গ্রহণ করি, তবে এর সর্বজনীন তাৎপর্য নেইঃ এটি অ-শারীরিক। এই সমস্যার বাইরে, প্রকৃত প্রভাবিত মোট শক্তি শূন্য। (স্থির গতিতে সরলরেখার গতিতে কোনও প্রকৃত প্রভাবিত বল নেই)। যদি কেউ মেরু স্থানাঙ্ক গ্রহণ করে, এবং এটি "কেন্দ্রাতিগ বল" বলতে চায়, এবং "ত্বরণ" হিসাবে পুনরায় ব্যাখ্যা করতে চায়, তবে অযুগ্মতার ফলে ফ্রেম এস 'হয় যে ধ্রুবক গতিতে সরলরেখার গতির জন্য মেরু স্থানাঙ্কে একটি নিট বলের প্রয়োজন হয়, তবে কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্কে নয়। উপরন্তু, এই বিভ্রান্তি ফ্রেম এস-এ প্রযোজ্য, তবে ফ্রেম এস-এ নয়। এর আচরণ নির্দেশ করে যে একজনকে অবশ্যই বলতে হবে যে এটি কেন্দ্রাতিগ বল নয়, তবে ত্বরণের দুটি পদের মধ্যে একটি। এই দৃষ্টিভঙ্গি, যে ত্বরণ দুটি পদ নিয়ে গঠিত, ফ্রেম-স্বাধীনঃ যে কোনও এবং প্রতিটি জড় ফ্রেমে শূন্য কেন্দ্রাতিগ বল রয়েছে। এটি স্থানাঙ্ক-ব্যবস্থা স্বাধীন, যার অর্থ হল যে কেউ কার্টেসিয়ান, মেরু বা অন্য কোনও বক্ররেখা ব্যবস্থা ব্যবহার করতে পারে কারণ তারা সবগুলিই শূন্য উৎপাদন করে। উপরের ভৌত যুক্তিগুলি ছাড়াও, অবশ্যই, পৃথকীকরণের গাণিতিক নিয়মগুলির প্রয়োগের উপর ভিত্তি করে উপরের ব্যুৎপত্তিটি দেখায় যে রেডিয়াল ত্বরণ প্রকৃতপক্ষে দুটি পদ নিয়ে গঠিত। বলা যায়, পরবর্তী উপবিভাগটি দেখায় যে এই কেন্দ্রত্যাগী এবং কোরিওলিস পদগুলির মধ্যে একটি সংযোগ রয়েছে এবং কাল্পনিক শক্তিগুলি যা একটি নির্দিষ্ট ঘূর্ণায়মান ফ্রেম অফ রেফারেন্সের সাথে সম্পর্কিত (একটি জড় ফ্রেম থেকে আলাদা)। সহ-ঘূর্ণন কাঠামো একটি কণার সমতলীয় গতির ক্ষেত্রে, উপরের "স্থানাঙ্ক" কেন্দ্রত্যাগী এবং কোরিওলিস ত্বরণ পদগুলি একটি জড় ফ্রেমে অ-শূন্য হিসাবে পাওয়া যায় যা "স্টেট-অফ-মোশন" কেন্দ্রত্যাগী এবং কোরিওলিস পদগুলির নেতিবাচক হিসাবে দেখানো যেতে পারে যা একটি খুব নির্দিষ্ট অ-জড় সহ-ঘূর্ণন ফ্রেমে প্রদর্শিত হয় (পরবর্তী উপবিভাগ দেখুন)। চিত্র 3 দেখুন। একটি সহ-ঘূর্ণন কাঠামো সংজ্ঞায়িত করতে, প্রথমে একটি উৎস নির্বাচন করা হয় যা থেকে কণার r (t) দূরত্ব সংজ্ঞায়িত করা হয়। ঘূর্ণনের একটি অক্ষ স্থাপন করা হয় যা কণার গতির সমতলে লম্বভাবে থাকে এবং এই উৎসের মধ্য দিয়ে যায়। তারপর, নির্বাচিত মুহুর্তে t, সহ-ঘূর্ণায়মান ফ্রেমের ঘূর্ণনের হার এই অক্ষের চারপাশে কণার ঘূর্ণনের হারের সাথে মেলে, dθ/dt। সহ-ঘূর্ণন কাঠামোটি শুধুমাত্র এক মুহূর্তের জন্য প্রযোজ্য, এবং কণাটি নড়াচড়া করার সাথে সাথে ক্রমাগত পুনরায় নির্বাচিত হতে হবে। আরও বিশদ বিবরণের জন্য, পোলার স্থানাঙ্ক, কেন্দ্রাতিগ এবং কোরিওলিস পদ দেখুন। একটি ঘূর্ণায়মান রেফারেন্স ফ্রেমে মেরু স্থানাঙ্ক পরবর্তী, একটি (অ-জড়) ঘূর্ণায়মান ফ্রেমের কাল্পনিক শক্তি খুঁজে বের করতে একই পদ্ধতি ব্যবহার করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, পর্যবেক্ষণের একটি ঘূর্ণায়মান কাঠামোতে ব্যবহারের জন্য যদি একটি ঘূর্ণায়মান মেরু স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা গ্রহণ করা হয়, উভয়ই একই ধ্রুবক ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে ঘূর্ণায়মান হয়, তবে এই ফ্রেমে গতির সমীকরণগুলি নিম্নরূপ খুঁজে পাওয়া যাবেঃ ঘূর্ণায়মান ফ্রেমে রেডিয়াল স্থানাঙ্কটি r হিসাবে নেওয়া হয়, তবে ঘূর্ণায়মান ফ্রেমে কোণ θ 'সময়ের সাথে পরিবর্তিত হয়ঃ ফলস্বরূপ, পূর্ববর্তী বিভাগের একক ভেক্টর ব্যবহার করে এই ফলাফলটিকে ত্বরণের সাথে সংযুক্ত করাঃ অগ্রবর্তী দুটি পদ জড় ফ্রেমে থাকা একই রূপ, এবং ফ্রেমটি ঘূর্ণায়মান না হলে তারা একমাত্র পদ, অর্থাৎ, যদি ω = 0 হয়। যাইহোক, এই ঘূর্ণায়মান ফ্রেমে আমাদের অতিরিক্ত পদগুলি রয়েছেঃ রেডিয়াল শব্দ ω2 r হল প্রতি একক ভরের কেন্দ্রাতিগ বল যা ω হারে সিস্টেমের ঘূর্ণনের কারণে হয় এবং রেডিয়াল শব্দটি হল প্রতি একক ভরের কোরিওলিস বলের রেডিয়াল উপাদান, যেখানে ঘূর্ণায়মান ফ্রেমে কণার বেগের স্পর্শক উপাদানটি দেখা যায়। এই শব্দটি হল প্রতি একক ভরের কোরিওলিস বলের তথাকথিত আজিমুথাল উপাদান। প্রকৃতপক্ষে, এই অতিরিক্ত পদগুলি ω পরিমাপ করতে ব্যবহার করা যেতে পারে এবং ফ্রেমটি আবর্তিত হচ্ছে কিনা তা দেখার জন্য একটি পরীক্ষা প্রদান করতে পারে, ঠিক যেমন অভিন্ন গোলক আবর্তনের উদাহরণে ব্যাখ্যা করা হয়েছে। নিউটনের গতির নিয়ম ব্যবহার করে পর্যবেক্ষক যদি কণার গতি বর্ণনা করতে পারেন, তাহলে পর্যবেক্ষক একটি জড়তার কাঠামোতে থাকেন যেখানে ω = 0। কণার ত্বরণের এই "অতিরিক্ত পদগুলি" হল এই ঘূর্ণায়মান কাঠামোর জন্য "গতির অবস্থা" কাল্পনিক শক্তি, কৌণিক হারে কাঠামোর ঘূর্ণন দ্বারা প্রবর্তিত শক্তি। এই ঘূর্ণায়মান ফ্রেমে, "স্থানাঙ্ক" কাল্পনিক শক্তিগুলি কী কী? আগের মতোই, ধরুন আমরা নিউটনের সূত্রের ডানদিকে শুধুমাত্র দ্বিতীয়-ক্রমের সময় ব্যুৎপত্তিগুলি রাখতে পছন্দ করিঃ যদি কেউ সুবিধার জন্য "ত্বরণ" হিসাবে বিবেচনা করতে বেছে নেয়, তবে এই পদগুলি তথাকথিত "কাল্পনিক বল"-এর সাথে যুক্ত করা হয়, যা "গতির অবস্থা" কাল্পনিক শক্তি নয়, বরং প্রকৃতপক্ষে বলের উপাদান যা ω = 0-এর পরেও বজায় থাকে, অর্থাৎ কাল্পনিক উৎসগুলি এমনকি একটি জড়তার কাঠামোতেও থেকে যায়। যেহেতু এই অতিরিক্ত পদগুলি যুক্ত করা হয়েছে, তাই "স্থানাঙ্ক" কাল্পনিক শক্তিটি "গতির অবস্থা" কাল্পনিক শক্তির মতো নয়। এই অতিরিক্ত পদগুলির কারণে, "স্থানাঙ্ক" কাল্পনিক শক্তি এমনকি রেফারেন্সের একটি জড় কাঠামোর মধ্যেও শূন্য নয়। যাইহোক, একটি ঘূর্ণায়মান ফ্রেমের ক্ষেত্রে কণার মতো একই কৌণিক হার থাকে, যাতে কোনও নির্দিষ্ট মুহুর্তে ω = dθ/dt হয় (অর্থাৎ, মেরু স্থানাঙ্কগুলি চিত্র 3-এর তাৎক্ষণিক, অ-জড় সহ-ঘূর্ণায়মান ফ্রেমে স্থাপন করা হয়)। এই ক্ষেত্রে, এই মুহূর্তে, dθ '/dt = 0। এই কো-রোটেটিং নন-ইনার্শিয়াল ফ্রেমে এই মুহুর্তে "কোঅর্ডিনেট" কাল্পনিক শক্তিগুলি কেবলমাত্র ফ্রেমের গতির কারণে হয়, অর্থাৎ, তারা "স্টেট-অফ-মোশন" কাল্পনিক শক্তির মতো, যেমনটি পূর্ববর্তী বিভাগে চিত্র 3-এর কো-রোটেটিং ফ্রেম সম্পর্কে মন্তব্যে আলোচনা করা হয়েছে। বক্ররেখার স্থানাঙ্কে কাল্পনিক বল বুল্লো এবং লুইসকে উদ্ধৃত করতেঃ "শুধুমাত্র ব্যতিক্রমী পরিস্থিতিতে একটি ভেক্টর স্পেসে একটি ভেক্টর দ্বারা ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান সিস্টেমের বিন্যাস বর্ণনা করা যেতে পারে। প্রাকৃতিক গাণিতিক পরিবেশে, সিস্টেমের কনফিগারেশন স্পেসকে আলগাভাবে একটি বাঁকা স্থান হিসাবে বা আরও সঠিকভাবে একটি ডিফারেনশিয়েবল ম্যানিফোল্ড হিসাবে বর্ণনা করা হয়। কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্কের পরিবর্তে, যখন গতির সমীকরণগুলি একটি বক্ররেখা স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় প্রকাশ করা হয়, তখন ক্রিস্টোফেল প্রতীকগুলি এই স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় প্রকাশিত একটি কণার ত্বরণে উপস্থিত হয়, যা নীচে আরও বিস্তারিতভাবে বর্ণনা করা হয়েছে। বক্ররেখার স্থানাঙ্কে রেফারেন্সের একটি জড় কাঠামোর দৃষ্টিকোণ থেকে একটি কণার গতির বিবরণ বিবেচনা করুন। ধরুন কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্কে একটি বিন্দু P-এর অবস্থান হল (x, y, z) এবং বক্ররেখার স্থানাঙ্কে হল (q1, q2)। q3)। তারপরে ফাংশনগুলি বিদ্যমান যা এই বিবরণগুলি সম্পর্কিত করেঃ এবং আরও অনেক কিছু। (মাত্রার সংখ্যা তিনটির চেয়ে বড় হতে পারে।) এই ধরনের স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার একটি গুরুত্বপূর্ণ দিক হল চাপের দৈর্ঘ্যের উপাদান যা দূরত্ব নির্ধারণ করতে দেয়। বক্ররেখার স্থানাঙ্কগুলি যদি একটি অর্থোগোনাল স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা গঠন করে, তবে চাপ দৈর্ঘ্যের ডিএস-এর উপাদানটি এইভাবে প্রকাশ করা হয়ঃ যেখানে এইচকে-এর পরিমাণকে স্কেল ফ্যাক্টর বলা হয়। qk-তে একটি পরিবর্তন qk-এর স্থানাঙ্ক রেখা বরাবর একটি স্থানচ্যুতি ঘটায়। একটি বিন্দু পি-তে, আমরা একক ভেক্টরকে প্রতিটি স্পর্শককে একটি পরিবর্তনশীল qk-এর স্থানাঙ্ক রেখায় স্থাপন করি। তারপর যে কোনও ভেক্টরকে এই বেসিস ভেক্টরের পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করা যেতে পারে, উদাহরণস্বরূপ, একটি ইনার্শিয়াল ফ্রেম অফ রেফারেন্স থেকে, P অবস্থানে t সময়ে অবস্থিত একটি চলমান কণা r-এর অবস্থান ভেক্টর হয়ে যায়ঃ যেখানে qk হল r এবং ek-এর ভেক্টর ডট গুণফল। পি-তে একটি কণার বেগ v, পি-তে এইভাবে প্রকাশ করা যেতে পারেঃ যেখানে vk হল v এবং ek-এর ভেক্টর ডট গুণফল, এবং ওভার ডটগুলি সময়ের পার্থক্য নির্দেশ করে। বেসিস ভেক্টরগুলির সময় ব্যুৎপত্তিগুলি উপরে প্রবর্তিত স্কেল ফ্যাক্টরগুলির পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপঃ অথবা, সাধারণভাবে যেখানে একক ভেক্টরের সহগগুলি স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার জন্য ক্রিস্টোফেল প্রতীক। ক্রিস্টোফেল প্রতীকগুলির জন্য সাধারণ স্বরলিপি এবং সূত্রগুলি হলঃ এবং সমস্ত সূচকগুলি ভিন্ন হলে প্রতীকটি শূন্য হয়। বিপরীতে উপস্থিত হওয়া সত্ত্বেও, ক্রিস্টোফেল প্রতীকগুলি একটি টেনসরের উপাদান গঠন করে না। উদাহরণস্বরূপ, এগুলি কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্কে শূন্য, তবে মেরু স্থানাঙ্কে নয়। এই ধরনের সম্পর্ক ব্যবহার করে, যা সব সময় ডেরিভেটিভ মূল্যায়ন করার অনুমতি দেয়। উদাহরণস্বরূপ, বেগের জন্যঃ বন্ধনী স্বরলিপির পরিবর্তে ক্রিস্টোফেল প্রতীকগুলির জন্য γ-স্বরলিপির সঙ্গে। একই পদ্ধতি ব্যবহার করে, ত্বরণ হল তারপর ত্বরণের সম্পর্কের দিকে তাকালে, প্রথম যোগফলটিতে বেগের সময় অন্তরজ থাকে, যা ত্বরণের সাথে যুক্ত হবে যদি এগুলি কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্ক হয়, এবং দ্বিতীয় যোগফলটিতে (ক্রিস্টোফেল প্রতীক সহ) সময়ের সাথে একক ভেক্টরের পরিবর্তনের সাথে সম্পর্কিত পদ রয়েছে। "স্টেট-অফ-মোশন" বনাম "কোঅর্ডিনেট" কাল্পনিক শক্তি আগে এই নিবন্ধে দুটি পরিভাষার মধ্যে একটি পার্থক্য প্রবর্তন করা হয়েছিল, যে কাল্পনিক শক্তিগুলি একটি ইনার্শিয়াল ফ্রেম অফ রেফারেন্স-এ অদৃশ্য হয়ে যায় তাদের এই নিবন্ধে "স্টেট-অফ-মোশন" কাল্পনিক শক্তি বলা হয় এবং যেগুলি একটি নির্দিষ্ট কোঅর্ডিনেট সিস্টেমে পার্থক্য থেকে উদ্ভূত হয় তাদের "কোঅর্ডিনেট" কাল্পনিক শক্তি বলা হয়। উপরের ত্বরণের জন্য অভিব্যক্তিটি ব্যবহার করে, ইনার্শিয়াল ফ্রেম অফ রেফারেন্স-এ নিউটনের গতির সূত্রটি হয়ে যায়ঃ যেখানে F হল কণার উপর নেট বাস্তব বল। কোনও "স্টেট-অফ-মোশন" কাল্পনিক শক্তি উপস্থিত নেই কারণ ফ্রেমটি জড় এবং সংজ্ঞা অনুসারে একটি জড় ফ্রেমে "স্টেট-অফ-মোশন" কাল্পনিক শক্তি শূন্য। উপরের নিউটনের সূত্রের "স্থানাঙ্ক" পদ্ধতিটি হল স্থানাঙ্কের দ্বিতীয় ক্রমের সময় ব্যুৎপত্তিগুলিকে এই সমীকরণের ডানদিকে একমাত্র পদ হিসাবে ধরে রাখা, যা পদার্থবিজ্ঞানের চেয়ে গাণিতিক সুবিধার দ্বারা বেশি অনুপ্রাণিত হয়। সেই লক্ষ্যে, বলের সূত্রটি পুনর্লিখন করা যেতে পারে, সমীকরণের বলের দিকে দ্বিতীয় যোগফলকে এইভাবে নিয়ে যাওয়া যেতে পারেঃ এই নিয়মের সাথে যে "ত্বরণ" এখনঃ উপরের অভিব্যক্তিতে, সমীকরণের বলের দিকে যোগ করা যোগফলকে এখন এমনভাবে বিবেচনা করা হয় যেন যোগ করা "বল" উপস্থিত ছিল। এই যোগসূত্র পদগুলিকে প্রথাগতভাবে এই "স্থানাঙ্ক" পদ্ধতির মধ্যে কাল্পনিক শক্তি বলা হয়, যদিও এই জড়তার কাঠামোতে সমস্ত "গতির অবস্থা" কাল্পনিক শক্তি একইভাবে শূন্য। উপরন্তু, এই "বলগুলি" ভেক্টর হিসাবে সমন্বিত রূপান্তরের অধীনে রূপান্তরিত হয় না। সুতরাং, যোগফলের পদগুলিকে "কাল্পনিক শক্তি" হিসাবে অভিহিত করার ক্ষেত্রে এই পরিভাষাটি এমন অবদানের জন্য ব্যবহার করা হয় যা যে কোনও বাস্তব শক্তি থেকে সম্পূর্ণ আলাদা এবং "গতির অবস্থা" কাল্পনিক শক্তি থেকে সম্পূর্ণ আলাদা। এই বিভ্রান্তির মধ্যে যা যোগ করে তা হল এই "সমন্বিত" কাল্পনিক শক্তিকে দুটি গ্রুপে বিভক্ত করা হয় এবং "স্টেট-অফ-মোশন" কাল্পনিক শক্তির মতো একই নাম দেওয়া হয়, অর্থাৎ, তাদের "সেন্ট্রিফিউগাল" এবং "কোরিওলিস" পদগুলিতে বিভক্ত করা হয়, যদিও তাদের অন্তর্ভুক্ত পদগুলি "স্টেট-অফ-মোশন" সেন্ট্রিফিউগাল এবং কোরিওলিস পদ নয়। উদাহরণস্বরূপ, এই "স্থানাঙ্ক" কেন্দ্রত্যাগী এবং কোরিওলিস পদগুলি এমনকি একটি জড় ফ্রেম অফ রেফারেন্স-এও অ-শূন্য হতে পারে যেখানে "গতির অবস্থা" কেন্দ্রত্যাগী বল (এই নিবন্ধের বিষয়) এবং কোরিওলিস বল সর্বদা শূন্য থাকে। যদি ফ্রেমটি জড় না হয়, উদাহরণস্বরূপ, একটি ঘূর্ণায়মান রেফারেন্স ফ্রেমে, "স্টেট-অফ-মোশন" কাল্পনিক শক্তিগুলি উপরের "স্থানাঙ্ক" কাল্পনিক বল অভিব্যক্তিতে অন্তর্ভুক্ত করা হয়। এছাড়াও, যদি বেগের প্রথম-ক্রমের সময় ব্যুৎপত্তিগুলির পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশিত "ত্বরণ" এমন পদগুলিতে পরিণত হয় যা কেবল সময়ের স্থানাঙ্কের দ্বিতীয়-ক্রমের ব্যুৎপত্তি নয়, তবে এই পদগুলি যা দ্বিতীয়-ক্রম নয় সেগুলিও সমীকরণের বল-দিকে আনা হয় এবং কাল্পনিক শক্তির সাথে অন্তর্ভুক্ত করা হয়। ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান সূত্রের দৃষ্টিকোণ থেকে, এগুলিকে সাধারণীকৃত কাল্পনিক শক্তি বলা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, হিল্ডেব্র্যান্ড দেখুন। ক্রিস্টোফেল প্রতীকগুলির পরিপ্রেক্ষিতে গতিবিদ্যার গঠন এবং কাল্পনিক শক্তির "সমন্বয়" সংস্করণ প্রায়শই গতির সমীকরণগুলির ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান গঠনের সাথে সম্পর্কিত রোবটের নকশায় ব্যবহৃত হয়। কলম্বিয়া ইলেকট্রনিক এনসাইক্লোপিডিয়া এম. অ্যালোনসো এবং ই. জে.-তে নিউটনের বর্ণনা আরও পড়ুন। ফিন, ফান্ডামেন্টাল ইউনিভার্সিটি ফিজিক্স, অ্যাডিসন-ওয়েসলি সেন্ট্রিপেটাল ফোর্স বনাম সেন্ট্রিফিউগাল ফোর্স-একটি অনলাইন রিজেন্টস এক্সামিনেশন ফিজিক্স টিউটোরিয়াল থেকে অসওয়েগো সিটি স্কুল ডিস্ট্রিক্ট সেন্ট্রিফিউগাল ফোর্স হাইপারফিজিক্স ধারণার সাইটে একটি ব্ল্যাকহোল সেন্ট্রিফিউগাল ফোর্সের কাছে ভিতরের দিকে কাজ করে ব্রায়ান ফিডলার (ওকলাহোমা বিশ্ববিদ্যালয়ের স্কুল অফ মেটিওরোলজি থেকে) দ্বারা একটি সমতল পৃষ্ঠের উপর গতি। ফিসলেট একটি ঘূর্ণায়মান এবং অ-ঘূর্ণায়মান দৃষ্টিকোণ থেকে দেখা দৃষ্টিকোণ উভয়ই দেখায়। ব্রায়ান ফিডলার (ওকলাহোমা বিশ্ববিদ্যালয়ের স্কুল অফ মেটিওরোলজি থেকে) একটি প্যারাবলিক পৃষ্ঠের উপর জাভা পদার্থের গতি কাল্পনিক শক্তির চিত্র তুলে ধরেছেন। ফিসলেট একটি ঘূর্ণন থেকে দেখা এবং একটি অ-ঘূর্ণন দৃষ্টিকোণ থেকে দেখা উভয় দৃষ্টিকোণই দেখায়। একটি জড় ফ্রেম এবং রেফারেন্সের একটি ঘূর্ণায়মান ফ্রেম উভয় থেকে দেখা দৃশ্যগুলি দেখানো অ্যানিমেশন ক্লিপ, কোরিওলিস এবং কেন্দ্রাতিগ বলকে দৃশ্যমান করে। ম্যাথপেজে কেন্দ্রত্যাগী ও কেন্দ্রত্যাগী শক্তি এইচ2জি2-এ কেন্দ্রত্যাগী বল জন বায়েজঃ কেন্দ্রত্যাগী বল কি চাঁদকে উপরে ধরে রাখে? আরও দেখুন আপেক্ষিক কেন্দ্রত্যাগী বল গণনা করা কোরিওলিস বল কোরিওলিস প্রভাব (উপলব্ধি) সমতা নীতি বালতি যুক্তি রেফারেন্সের কাঠামো রেফারেন্সের জড় কাঠামো ঘূর্ণন গতি অয়লার বল-একটি বল যা প্রদর্শিত হয় যখন ফ্রেম কৌণিক ঘূর্ণনের হার পরিবর্তিত হয় কেন্দ্রত্যাগী বল প্রতিক্রিয়াশীল কেন্দ্রত্যাগী বল-একটি বল যা কেন্দ্রত্যাগী বল কেন্দ্রত্যাগী বলের কারণে প্রতিক্রিয়া হিসাবে ঘটে-একটি বল যা রেফারেন্স জি-ফোর্স অর্থোগোনাল স্থানাঙ্কের ফ্রেম পরিবর্তন করে অদৃশ্য হয়ে যেতে পারে।