Small cancellation theory
গোষ্ঠী তত্ত্বের গাণিতিক বিষয়ে, ছোট বাতিলকরণ তত্ত্ব গোষ্ঠী উপস্থাপনা দ্বারা প্রদত্ত গোষ্ঠীগুলিকে অধ্যয়ন করে যা ছোট বাতিলকরণ শর্তগুলি সন্তুষ্ট করে, যেখানে সম্পর্কগুলিকে সংজ্ঞায়িত করার ক্ষেত্রে একে অপরের সাথে "ছোট ওভারল্যাপ" থাকে। ছোট বাতিলকরণ শর্তগুলি গোষ্ঠীর বীজগাণিতিক, জ্যামিতিক এবং অ্যালগরিদমিক বৈশিষ্ট্যগুলিকে বোঝায়। সীমিতভাবে উপস্থাপিত গোষ্ঠীগুলি যথেষ্ট শক্তিশালী ছোট বাতিলকরণ শর্তগুলি সন্তুষ্ট করে শব্দ হাইপারবোলিক এবং ডেনের অ্যালগরিদম দ্বারা সমাধানযোগ্য শব্দ সমস্যা রয়েছে। টারস্কি দানব নির্মাণের জন্য এবং বার্নসাইডের সমস্যার সমাধানের জন্য ছোট বাতিলকরণ পদ্ধতিও ব্যবহার করা হয়। ছোট বাতিলকরণ তত্ত্বের অন্তর্নিহিত কিছু ধারণা 1910-এর দশকে ম্যাক্স ডেনের কাজে ফিরে যায়। ডেহন প্রমাণ করেছেন যে কমপক্ষে দুটি বংশের বদ্ধ অভিমুখী পৃষ্ঠের মৌলিক গোষ্ঠীগুলির শব্দ সমস্যা সমাধানযোগ্য যা এখন ডেহনের অ্যালগরিদম নামে পরিচিত। তাঁর প্রমাণের মধ্যে ছিল হাইপারবোলিক সমতলে এই ধরনের একটি গোষ্ঠীর কাইলি গ্রাফ আঁকা এবং কাইলি গ্রাফে একটি বদ্ধ লুপের জন্য গাউস-বনেট উপপাদ্যের মাধ্যমে বক্রতা অনুমান সম্পাদন করা যাতে এই সিদ্ধান্তে উপনীত হওয়া যায় যে এই ধরনের লুপে অবশ্যই একটি সংজ্ঞায়িত সম্পর্কের একটি বড় অংশ (অর্ধেকেরও বেশি) থাকতে হবে। 1949 সালে টার্টাকোভস্কির একটি গবেষণাপত্র ছোট বাতিলকরণ তত্ত্বের তাৎক্ষণিক অগ্রদূত ছিলঃ এই গবেষণাপত্রটি জটিল সমন্বিত শর্তগুলি সন্তুষ্টকারী গোষ্ঠীগুলির একটি শ্রেণীর জন্য সমস্যা শব্দের সমাধান সরবরাহ করেছিল, যেখানে ছোট বাতিলকরণের ধরণের অনুমানগুলি মূল ভূমিকা পালন করেছিল। ছোট বাতিলকরণ তত্ত্বের মানক সংস্করণ, যা আজ ব্যবহৃত হয়, 1960-এর দশকের গোড়ার দিকে মার্টিন গ্রিনডলিঙ্গার একাধিক গবেষণাপত্রে তৈরি করেছিলেন, যিনি প্রাথমিকভাবে "মেট্রিক" ছোট বাতিলকরণ শর্তগুলি নিয়ে কাজ করেছিলেন। বিশেষত, গ্রিনডলিঙ্গার প্রমাণ করেছেন যে সি ′ (1/6) ছোট বাতিলকরণ শর্তটি সন্তুষ্ট করে সীমাবদ্ধভাবে উপস্থাপিত গোষ্ঠীগুলির ডেনের অ্যালগরিদম দ্বারা সমাধানযোগ্য শব্দ সমস্যা রয়েছে। তত্ত্বটি লিন্ডন, শুপ এবং লিন্ডন-শুপের পরবর্তী কাজে আরও পরিমার্জিত ও আনুষ্ঠানিক করা হয়েছিল, যিনি অ-মেট্রিক ছোট বাতিলকরণ অবস্থার ক্ষেত্রেও চিকিত্সা করেছিলেন এবং একীভূত মুক্ত পণ্য এবং এইচএনএন-সম্প্রসারণের জন্য ছোট বাতিলকরণ তত্ত্বের একটি সংস্করণ তৈরি করেছিলেন। ছোট বাতিলকরণ তত্ত্বটি আলেকজান্ডার ওলশানস্কি দ্বারা আরও সাধারণীকরণ করা হয়েছিল যিনি এই তত্ত্বের একটি "শ্রেণীবদ্ধ" সংস্করণ তৈরি করেছিলেন যেখানে সংজ্ঞায়িত সম্পর্কের সেটটি একটি পরিস্রাবণের সাথে সজ্জিত থাকে এবং যেখানে একটি নির্দিষ্ট গ্রেডের সংজ্ঞায়িত রিলেটরকে উচ্চতর গ্রেডের সংজ্ঞায়িত রিলেটরের সাথে একটি বড় ওভারল্যাপ করার অনুমতি দেওয়া হয়। ওলশাস্কি শ্রেণীবদ্ধ ছোট বাতিলকরণ তত্ত্ব ব্যবহার করে টারস্কি দানব সহ বিভিন্ন "দানব" গোষ্ঠী তৈরি করেন এবং একটি নতুন প্রমাণ দেন যে বড় বিজোড় সূচকের মুক্ত বার্নসাইড গোষ্ঠীগুলি অসীম (এই ফলাফলটি মূলত 1968 সালে অ্যাডিয়ান এবং নোভিকভ আরও সংমিশ্রণ পদ্ধতি ব্যবহার করে প্রমাণ করেছিলেন)। ছোট বাতিলকরণ তত্ত্ব শব্দ-হাইপারবোলিক গোষ্ঠীর তত্ত্বের জন্য উদাহরণ এবং ধারণার একটি মৌলিক সেট সরবরাহ করেছিল যা গ্রোমভ 1987 সালের একটি মৌলিক মনোগ্রাফ "হাইপারবোলিক গ্রুপ"-এ সামনে রেখেছিলেন। প্রধান সংজ্ঞাগুলি নীচের ব্যাখ্যাটি মূলত চ-কে অনুসরণ করে। লিন্ডন এবং শুপ বইয়ের ভি। আসুন একটি গোষ্ঠী উপস্থাপনা হতে দিন যেখানে আর-এফ (এক্স) মুক্ত গোষ্ঠী এফ (এক্স)-এ অবাধে হ্রাসপ্রাপ্ত এবং চক্রাকারভাবে হ্রাসপ্রাপ্ত শব্দের একটি সেট যাতে আর প্রতিসম হয়, অর্থাৎ, চক্রীয় বিন্যাস এবং বিপরীত গ্রহণের অধীনে বন্ধ থাকে। F (X)-এ একটি অ-তুচ্ছ মুক্তভাবে হ্রাসকৃত শব্দ u-কে (঱্঱ং)-এর সাপেক্ষে একটি অংশ বলা হয় যদি R-এ দুটি স্বতন্ত্র উপাদান r1, r2 থাকে যার u সর্বাধিক সাধারণ প্রাথমিক অংশ হিসাবে থাকে। লক্ষ্য করুন যে যদি একটি গোষ্ঠী উপস্থাপনা হয় যেখানে রিলেটর S সংজ্ঞায়িত করার সেটটি প্রতিসম না হয়, তবে আমরা সর্বদা S এর প্রতিসম ক্লোজার R নিতে পারি, যেখানে R S এবং S−1 এর উপাদানগুলির সমস্ত চক্রীয় বিন্যাস নিয়ে গঠিত। তারপর R-কে প্রতিসম করা হয় এবং এটি G-এর একটি উপস্থাপনা। উপরের মত উপস্থাপনা (঱্঱ং)-কে C′ (λ) ছোট বাতিলকরণ শর্তটি সন্তুষ্ট করতে বলা হয় যদি যখনই u (঱্঱ং)-এর সাপেক্ষে একটি অংশ হয় এবং u কোনও r ωR-এর একটি উপশব্দ হয়, তখন |u। <λ |r।। এখানে |v। হল একটি শব্দের দৈর্ঘ্য v। C′ (λ) শর্তটিকে কখনও কখনও মেট্রিক ছোট বাতিলকরণ শর্ত বলা হয়। অ-মেট্রিক ছোট বাতিলকরণ শর্তগুলি ধরা যাক p ± 3 একটি পূর্ণসংখ্যা। উপরের মতো একটি গ্রুপ উপস্থাপনা (঱্঱ং) সি (পি) ছোট বাতিলকরণ শর্তটি সন্তুষ্ট করে বলে মনে করা হয় যদি যখনই r ± আর হয় এবং যেখানে ইউআই টুকরো হয় এবং যেখানে উপরের পণ্যটি লিখিত হিসাবে অবাধে হ্রাস করা হয়, তখন এম ± পি। অর্থাৎ, কোনও সংজ্ঞায়িত রিলেটরকে পি টুকরোর চেয়ে কম হ্রাস পণ্য হিসাবে লেখা যেতে পারে না। ধরা যাক q ± 3 একটি পূর্ণসংখ্যা। উপরের মতো একটি গ্রুপ উপস্থাপনা (঱্঱ং) টি (কিউ) ছোট বাতিলকরণ শর্তটি সন্তুষ্ট করে বলে মনে করা হয় যদি যখনই 3 ≤ টি <কিউ এবং আর1,., আরটিতে rt এমন হয় যে r1 ষ্ণ r2 − 1,., rt ষ্ণ r1 − 1 হয় তখন কমপক্ষে একটি পণ্য r1r2,., rt − 1rt, rt1 অবাধে লিখিত হিসাবে হ্রাস করা হয়। জ্যামিতিকভাবে, শর্ত টি (কিউ) মূলত বোঝায় যে যদি ডি একটি হ্রাসপ্রাপ্ত ভ্যান কাম্পেন রেখাচিত্র হয় তবে কমপক্ষে তিন ডিগ্রির ডি-এর প্রতিটি অভ্যন্তরীণ শীর্ষে প্রকৃতপক্ষে কমপক্ষে q ডিগ্রি থাকে। উদাহরণ হিসেবে ধরা যাক দ্বিতীয় পদমর্যাদার মুক্ত আবেলিয়ান গোষ্ঠীর আদর্শ উপস্থাপনা। তারপর এই উপস্থাপনার প্রতিসম বন্ধের জন্য শুধুমাত্র 1 দৈর্ঘ্যের শব্দ রয়েছে। এই প্রতিসম রূপটি C (4)-T (4) ছোট বাতিলকরণ শর্ত এবং যে কোনও 1> λ> 1/4 এর জন্য C′ (λ) শর্তকে সন্তুষ্ট করে। ধরা যাক, যেখানে k ± 2, গণ k-এর একটি বদ্ধ অভিমুখী পৃষ্ঠের মৌলিক গোষ্ঠীর মানক উপস্থাপনা। তারপর এই উপস্থাপনার প্রতিসাম্যকরণের জন্য শুধুমাত্র 1 দৈর্ঘ্যের শব্দ এবং এই প্রতিসাম্যকরণ C′ (1/7) এবং C (8) ছোট বাতিলকরণ শর্তগুলি সন্তুষ্ট করে। যাক। তারপর, বিপরীতমুখী হওয়া পর্যন্ত, এই উপস্থাপনার প্রতিসম সংস্করণের জন্য প্রতিটি অংশের রূপ হল বায়াবজ বা বাই, যেখানে 0 ≤ আই, জে ≤ 100। এই প্রতিসাম্য C′ (1/20) ছোট বাতিলকরণ শর্তকে সন্তুষ্ট করে। যদি একটি প্রতিসম উপস্থাপনা C′ (1/m) শর্তটি সন্তুষ্ট করে তবে এটি C (m) শর্তটিও সন্তুষ্ট করে। ধরা যাক r ωF (X) একটি অ-তুচ্ছ চক্রাকারভাবে হ্রাসকৃত শব্দ যা F (X)-এ যথাযথ শক্তি নয় এবং ধরা যাক n ω2। তারপর উপস্থাপনার প্রতিসম সমাপ্তি সি (2এন) এবং সি ′ (1/এন) ছোট বাতিলকরণ শর্তগুলি সন্তুষ্ট করে। ছোট বাতিলকরণ তত্ত্বের মৌলিক ফলাফল গ্রিনডলিঙ্গারের লেমা মেট্রিক ছোট বাতিলকরণ শর্ত সম্পর্কিত প্রধান ফলাফল হল নিম্নলিখিত বিবৃতি (Ch-এ উপপাদ্য 4.4 দেখুন। V এর) যাকে সাধারণত গ্রিনডলিঙ্গারের লেম্মা বলা হয়ঃ ধরা যাক (঱্঱ং) একটি গ্রুপ উপস্থাপনা যা উপরে C′ (λ) ছোট বাতিলকরণ শর্তকে সন্তুষ্ট করে যেখানে 0 ≤ λ ≤ 1/6। ধরা যাক, ডাব্লু ω এফ (এক্স) একটি অ-তুচ্ছ মুক্তভাবে হ্রাসকৃত শব্দ যাতে জি-তে ডাব্লু = 1 থাকে। তারপর ডাব্লু-এর একটি উপশব্দ ভি এবং একটি সংজ্ঞায়িত রিলেটর আর রয়েছে যাতে ভিও আর-এর একটি উপশব্দ এবং লক্ষ্য করুন যে λ ≤ 1/6 অনুমানটি বোঝায় যে (1 − 3λ) ≤ 1/2, যাতে ডাব্লু কিছু সংজ্ঞায়িত রিলেটরের অর্ধেকেরও বেশি একটি উপশব্দ ধারণ করে। গ্রিনডলিঙ্গারের লেম্মা নিম্নলিখিত জ্যামিতিক বিবৃতির একটি উপসংহার হিসাবে প্রাপ্ত হয়ঃ গ্রিনডলিঙ্গারের লেমার অনুমানের অধীনে, ধরা যাক ডি একটি চক্রাকারভাবে হ্রাসকৃত সীমানা লেবেল সহ (঱্঱ং) এর উপরে একটি হ্রাসকৃত ভ্যান কাম্পেন চিত্র যাতে ডি-তে কমপক্ষে দুটি অঞ্চল থাকে। তারপর ডি-তে দুটি স্বতন্ত্র অঞ্চল ডি1 এবং ডি2 রয়েছে যাতে জে = 1,2-এর জন্য ডিজে অঞ্চলটি ডি-এর সীমানা চক্রকে একটি সাধারণ বৃত্তাকারে ছেদ করে যার দৈর্ঘ্য (1−3λ)। ডিজে।-এর চেয়ে বড়। এই ফলাফলটি ডি-এর জন্য একটি দ্বৈত চিত্র বিবেচনা করে প্রমাণিত হয়। সেখানে একজন বক্রতার একটি সমন্বিত ধারণাকে সংজ্ঞায়িত করে (যা, ছোট বাতিলকরণ অনুমান দ্বারা, প্রতিটি অভ্যন্তরীণ শীর্ষে ঋণাত্মক), এবং তারপর একজন গাউস-বনেট উপপাদ্যের একটি সমন্বিত সংস্করণ অর্জন করে। গ্রিনডলিঙ্গারের লেম্মা এই বিশ্লেষণের ফলস্বরূপ প্রমাণিত হয়েছে এবং এইভাবে প্রমাণটি পৃষ্ঠের গোষ্ঠীর ক্ষেত্রে ডেনের মূল প্রমাণের ধারণাগুলি জাগিয়ে তোলে। ডেহনের অ্যালগরিদম যে কোনও প্রতিসম গোষ্ঠী উপস্থাপনার জন্য, নিম্নলিখিত বিমূর্ত পদ্ধতিকে ডেহনের অ্যালগরিদম বলা হয়ঃ এক্স ± 1-এ একটি অবাধে হ্রাসকৃত শব্দ ডাব্লু দেওয়া হলে, অবাধে হ্রাসকৃত শব্দের একটি ক্রম তৈরি করুন ডাব্লু = ডাব্লু 0, ডাব্লু 1, ডাব্লু 2, নিম্নরূপ। ধরুন ডাব্লুজে ইতিমধ্যে নির্মিত হয়েছে। যদি এটি খালি শব্দ হয়, তাহলে অ্যালগরিদমটি শেষ করুন। অন্যথায় পরীক্ষা করুন যে ডাব্লুজে-তে এমন কোনও উপশব্দ রয়েছে কিনা যাতে ভি এমন কিছু সংজ্ঞায়িত রিলেটর r = vu ωR-এর একটি উপশব্দ হয় যাতে |v।> |r।// 2। যদি না হয়, তাহলে আউটপুট ডাব্লুজে দিয়ে অ্যালগরিদমটি শেষ করুন। যদি হ্যাঁ হয়, তবে ডাব্লুজে-তে ভি-কে ইউ-1 দ্বারা প্রতিস্থাপন করুন, তারপরে অবাধে হ্রাস করুন, ফলস্বরূপ অবাধে হ্রাস হওয়া শব্দটিকে ডাব্লুজে + 1 দ্বারা নির্দেশ করুন এবং অ্যালগরিদমের পরবর্তী ধাপে যান। মনে রাখবেন যে আমাদের সর্বদা |w 0।> |w1।> |w 2।> থাকে যা বোঝায় যে প্রক্রিয়াটি সর্বাধিক |w। ধাপে শেষ করতে হবে। উপরন্তু, সমস্ত শব্দ ডাব্লুজে ডাব্লু-এর মতো জি-এর একই উপাদানকে উপস্থাপন করে এবং তাই যদি প্রক্রিয়াটি খালি শব্দের সাথে শেষ হয়, তবে ডাব্লু জি-এর পরিচয় উপাদানকে উপস্থাপন করে। একটি বলে যে একটি প্রতিসম উপস্থাপনের জন্য ডেহনের অ্যালগরিদম জি-তে শব্দ সমস্যার সমাধান করে যদি বিপরীতটিও সত্য হয়, অর্থাৎ যদি এফ (এক্স)-এ কোনও অবাধে হ্রাসপ্রাপ্ত শব্দের জন্য ডাব্লু এই শব্দটি জি-এর পরিচয় উপাদানকে উপস্থাপন করে যদি এবং কেবলমাত্র যদি ডেহনের অ্যালগরিদম, ডাব্লু থেকে শুরু করে, খালি শব্দে শেষ হয়। গ্রিনডলিঙ্গারের লেম্মা বোঝায় যে একটি সি '(1/6) উপস্থাপনার জন্য ডেনের অ্যালগরিদম সমস্যা শব্দের সমাধান করে। যদি একটি C′ (1/6) উপস্থাপনা সসীম হয় (অর্থাৎ X এবং R উভয়ই সসীম), তাহলে পুনরাবৃত্তি তত্ত্বের অর্থে ডেহনের অ্যালগরিদম একটি প্রকৃত অ-নির্ধারক অ্যালগরিদম। যাইহোক, যদিও (≤) একটি অসীম সি′ (1/6) উপস্থাপনা, ডেহনের অ্যালগরিদম, একটি বিমূর্ত পদ্ধতি হিসাবে বোঝা যায়, তবুও সঠিকভাবে সিদ্ধান্ত নেয় যে জেনারেটরের একটি শব্দ এক্স ± 1 জি-এর পরিচয় উপাদানকে উপস্থাপন করে কিনা। অ্যাসফেরিসিটি ধরা যাক (≤) একটি সি′ (1/6) বা আরও সাধারণভাবে, সি (6) উপস্থাপনা যেখানে প্রতিটি আর ± আর এফ (এক্স)-এ যথাযথ শক্তি নয়, তবে জি নিম্নলিখিত অর্থে অ্যাসফেরিকাল। R-এর একটি ন্যূনতম উপসেট S-কে বিবেচনা করুন যাতে S-এর প্রতিসম বন্ধ R-এর সমান হয়। সুতরাং যদি r এবং s S-এর স্বতন্ত্র উপাদান হয় তবে r হল s ±1-এর একটি চক্রাকার বিন্যাস নয় এবং এটি G-এর জন্য আরেকটি উপস্থাপনা। ধরা যাক Y হল এই উপস্থাপনার জন্য উপস্থাপনা জটিল। তারপর (দেখুন এবং উপপাদ্য 13.3 ইঞ্চি), উপরের অনুমানের অধীনে, Y হল G-এর জন্য একটি শ্রেণীবদ্ধ স্থান, অর্থাৎ G = π1 (Y) এবং Y-এর সর্বজনীন আবরণ সংকুচিতযোগ্য। বিশেষত, এটি বোঝায় যে জি টর্জন-মুক্ত এবং এর কোহোমোলজিকাল মাত্রা দুই রয়েছে। আরও সাধারণ বক্রতা আরও সাধারণভাবে, যে কোনও ভ্যান কাম্পেন রেখাচিত্রে বিভিন্ন ধরনের স্থানীয় "বক্রতা" কে সংজ্ঞায়িত করা সম্ভব-খুব মোটামুটিভাবে-এর গড় অতিরিক্ত (যা, অয়লারের সূত্র অনুসারে, মোট 2 হতে হবে) এবং, একটি নির্দিষ্ট গোষ্ঠীতে দেখিয়ে যে এটি সর্বদা অ-ইতিবাচক (বা-এমনকি আরও ভাল-নেতিবাচক) অভ্যন্তরীণভাবে, দেখায় যে বক্রতা অবশ্যই সীমানার উপর বা কাছাকাছি থাকতে হবে এবং এর ফলে সমস্যা শব্দের একটি সমাধান পাওয়ার চেষ্টা করতে হবে। উপরন্তু, কেউ এমন চিত্রগুলিতে মনোযোগ সীমাবদ্ধ করতে পারে যা "অঞ্চল"-এর কোনও সেট ধারণ করে না যেমন একই সীমানা সহ একটি "ছোট" অঞ্চল রয়েছে। ছোট বাতিলকরণ গোষ্ঠীর অন্যান্য মৌলিক বৈশিষ্ট্যগুলি ধরা যাক (঱্঱ং) একটি C′ (1/6) উপস্থাপনা। তারপর G-তে একটি উপাদান g-এর ক্রম n> 1 হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি F (X)-এ r = sn ফর্মের R-এ এমন একটি রিলেটর r থাকে যে g G-তে s-এর সাথে সংযুক্ত থাকে। বিশেষ করে, যদি R-এর সমস্ত উপাদান F (X)-এ যথাযথ শক্তি না হয় তবে G টর্জন-মুক্ত হয়। যদি (঱্঱ং) একটি সীমাবদ্ধ সি′ (1/6) উপস্থাপনা হয়, তবে গ্রুপ জি শব্দ-হাইপারবোলিক। যদি R এবং S, F (X)-এ সমান স্বাভাবিক বন্ধ সহ F (X)-এর সসীম প্রতিসম উপসেট হয়, যাতে উভয় উপস্থাপনা এবং C′ (1/6) শর্তটি সন্তুষ্ট হয়, তাহলে R = S। যদি একটি সসীম উপস্থাপনা C′ (1/6), C′ (1/4)-T (4), C (6), C (4)-T (4), C (3)-T (6)-এর মধ্যে একটিকে সন্তুষ্ট করে, তাহলে G গ্রুপের সমাধানযোগ্য শব্দ সমস্যা এবং সমাধানযোগ্য সংযোগ সমস্যা রয়েছে। সীমাবদ্ধভাবে উপস্থাপিত সি ′ (1/6) ছোট বাতিলকরণ গোষ্ঠীগুলি শব্দ-হাইপারবোলিক গোষ্ঠীর মৌলিক উদাহরণ। শব্দ-হাইপারবোলিক গোষ্ঠীগুলির সমতুল্য বৈশিষ্ট্যগুলির মধ্যে একটি হল সীমাবদ্ধ উপস্থাপনাগুলি স্বীকার করা যেখানে ডেনের অ্যালগরিদম শব্দ সমস্যার সমাধান করে। সীমাবদ্ধ সি (4)-টি (4) উপস্থাপনা দ্বারা প্রদত্ত সীমাবদ্ধভাবে উপস্থাপিত গোষ্ঠীগুলি যেখানে প্রতিটি অংশের দৈর্ঘ্য রয়েছে একটি সিএটি (0) গোষ্ঠীর মৌলিক উদাহরণঃ এই ধরনের উপস্থাপনার জন্য উপস্থাপনা কমপ্লেক্সের সর্বজনীন প্রচ্ছদটি একটি সিএটি (0) বর্গাকার কমপ্লেক্স। ছোট বাতিলকরণ তত্ত্বের প্রাথমিক প্রয়োগগুলি বিভিন্ন এম্বেডেবিলিটি ফলাফল প্রাপ্তির সাথে জড়িত। উদাহরণস্বরূপ, 1974 সালের স্যাকারডোট এবং শুপ-এর একটি গবেষণাপত্রে প্রমাণ করা হয়েছে যে, কমপক্ষে তিনটি জেনারেটর সহ প্রতিটি এক-রিলেটর গ্রুপ এসকিউ-সার্বজনীন এবং 1976 সালের শুপ-এর একটি গবেষণাপত্রে প্রমাণ করা হয়েছে যে, প্রতিটি গণনাযোগ্য গ্রুপকে একটি সহজ গ্রুপে এম্বেড করা যেতে পারে যা অর্ডার দুই-এর একটি উপাদান এবং অর্ডার তিন-এর একটি উপাদান দ্বারা উৎপন্ন হয়। তথাকথিত রিপস নির্মাণ, এলিয়াহু রিপসের কারণে, শব্দ-হাইপারবোলিক গোষ্ঠীর বিভিন্ন উপগোষ্ঠীর বৈশিষ্ট্য সম্পর্কিত পাল্টা-উদাহরণের একটি সমৃদ্ধ উৎস সরবরাহ করেঃ একটি নির্বিচারে সীমিতভাবে উপস্থাপিত গ্রুপ কিউ দেওয়া, নির্মাণটি একটি সংক্ষিপ্ত সঠিক ক্রম তৈরি করে যেখানে কে দ্বি-উত্পন্ন এবং যেখানে জি টর্জন-মুক্ত এবং একটি সীমাবদ্ধ সি দ্বারা দেওয়া হয় ′ (1/6)-উপস্থাপনা (এবং এইভাবে জি শব্দ-হাইপারবোলিক)। উপগোষ্ঠীর সদস্যপদ সমস্যা, প্রজন্মের সমস্যা এবং পদমর্যাদার সমস্যা সহ শব্দ-হাইপারবোলিক গোষ্ঠীর জন্য বেশ কয়েকটি অ্যালগরিদমিক সমস্যার সমাধান না হওয়ার প্রমাণ এই নির্মাণ থেকে পাওয়া যায়। এছাড়াও, কয়েকটি ব্যতিক্রম ছাড়া, রিপস নির্মাণে গ্রুপ কে সীমাবদ্ধভাবে উপস্থাপনযোগ্য নয়। এটি বোঝায় যে এমন শব্দ-হাইপারবোলিক গোষ্ঠী রয়েছে যা সুসঙ্গত নয় যার মধ্যে এমন উপগোষ্ঠী রয়েছে যা সীমাবদ্ধভাবে উত্পন্ন হয় তবে সীমাবদ্ধভাবে উপস্থাপনযোগ্য নয়। ছোট বাতিলকরণ পদ্ধতি (অসীম উপস্থাপনার জন্য) ওলশানস্কি দ্বারা টারস্কি দানব সহ বিভিন্ন "দানব" গোষ্ঠী তৈরি করতে এবং একটি প্রমাণ দেওয়ার জন্যও ব্যবহার করা হয়েছিল যে বড় বিজোড় সূচকের মুক্ত বার্নসাইড গোষ্ঠীগুলি অসীম (একটি অনুরূপ ফলাফল মূলত অ্যাডিয়ান এবং নোভিকভ দ্বারা 1968 সালে আরও সংমিশ্রণ পদ্ধতি ব্যবহার করে প্রমাণিত হয়েছিল)। এই পদ্ধতি ব্যবহার করে ওলশানস্কি দ্বারা নির্মিত কিছু অন্যান্য "দৈত্য" গোষ্ঠীর মধ্যে রয়েছেঃ একটি অসীম সরল নোথেরিয়ান গোষ্ঠী; একটি অসীম গোষ্ঠী যেখানে প্রতিটি যথাযথ উপগোষ্ঠীর মৌলিক ক্রম থাকে এবং একই ক্রমের যে কোনও দুটি উপগোষ্ঠী সংযুক্ত থাকে; একটি অ-সামঞ্জস্যপূর্ণ গোষ্ঠী যেখানে প্রতিটি যথাযথ উপগোষ্ঠী চক্রাকার হয়; এবং অন্যান্য। বাউডিচ অসীম ছোট বাতিলকরণ উপস্থাপনা ব্যবহার করে প্রমাণ করেন যে দুই-উৎপাদক গোষ্ঠীর ক্রমাগত অনেকগুলি আধা-আইসোমেট্রি প্রকার রয়েছে। থমাস এবং ভেলিকোভিচ দুটি অ-সমরূপী অ্যাসিম্পটোটিক শঙ্কু সহ একটি সীমাবদ্ধভাবে উত্পন্ন গোষ্ঠী তৈরি করতে ছোট বাতিলকরণ তত্ত্ব ব্যবহার করেছিলেন, এইভাবে গ্রোমভের একটি প্রশ্নের উত্তর দিয়েছিলেন। ম্যাককামন্ড এবং ওয়াইজ দেখিয়েছেন যে কীভাবে রিপস নির্মাণের দ্বারা সৃষ্ট অসুবিধাগুলি কাটিয়ে ওঠা যায় এবং ছোট ছোট বাতিলকরণ গোষ্ঠীগুলির বড় শ্রেণী তৈরি করা যায় যা সুসঙ্গত (যেখানে সমস্ত সীমাবদ্ধভাবে উত্পন্ন উপগোষ্ঠীগুলি সীমাবদ্ধভাবে উপস্থাপিত হয়) এবং উপরন্তু, স্থানীয়ভাবে কোয়াসিকোভেক্স (যেখানে সমস্ত সীমাবদ্ধভাবে উত্পন্ন উপগোষ্ঠীগুলি কোয়াসিকোভেক্স হয়)। ছোট বাতিলকরণ পদ্ধতিগুলি "জেনেরিক" বা "র্যান্ডম" সীমাবদ্ধভাবে উপস্থাপিত গোষ্ঠীর বিভিন্ন মডেলের অধ্যয়নে মূল ভূমিকা পালন করে (দেখুন)। বিশেষত, জেনারেটরের একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা m ≤ 2 এবং সম্পর্ক সংজ্ঞায়িত করার একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা t ≤ 1-এর জন্য এবং যে কোনও λ <1-এর জন্য একটি এলোমেলো m-জেনারেটর t-রিলেটর গ্রুপ C′ (λ) ছোট বাতিলকরণ শর্তটি সন্তুষ্ট করে। এমনকি যদি সংজ্ঞায়িত সম্পর্কের সংখ্যা t স্থির না থাকে তবে (2m−1) εn হিসাবে বৃদ্ধি পায় (যেখানে ε ±0 হল "এলোমেলো" গোষ্ঠীর গ্রোমভের ঘনত্ব মডেলের নির্দিষ্ট ঘনত্ব পরামিতি, এবং সংজ্ঞায়িত সম্পর্কের দৈর্ঘ্য কোথায়), তবে একটি ε-এলোমেলো গোষ্ঠী ε <1/12 প্রদত্ত C′ (1/6) শর্তটি সন্তুষ্ট করে। গ্রোমভ একটি গ্রাফের সাপেক্ষে ছোট বাতিলকরণ তত্ত্বের একটি সংস্করণ ব্যবহার করেছিলেন একটি সীমাবদ্ধভাবে উপস্থাপিত গোষ্ঠীর অস্তিত্ব প্রমাণ করার জন্য যা (উপযুক্ত অর্থে) সম্প্রসারণকারীদের একটি অসীম ক্রম "ধারণ করে" এবং তাই হিলবার্ট স্পেসে একটি অভিন্ন এম্বেডিং গ্রহণ করে না। এই ফলাফলটি নোভিকভ অনুমানের পাল্টা উদাহরণ খোঁজার জন্য একটি দিকনির্দেশনা (এখন পর্যন্ত একমাত্র উপলব্ধ) প্রদান করে। ওসিন তুলনামূলকভাবে হাইপারবোলিক গোষ্ঠীর জন্য থার্স্টনের হাইপারবোলিক ডেন সার্জারি উপপাদ্যের একটি এনালগ পেতে ছোট বাতিলকরণ তত্ত্বের একটি সাধারণীকরণ ব্যবহার করেছিলেন। সাধারণীকরণ একীভূত মুক্ত পণ্য এবং এইচ. এন. এন সম্প্রসারণের ভাগফল গোষ্ঠীর জন্য ছোট বাতিলকরণ তত্ত্বের একটি সংস্করণ স্যাকেরডোট এবং শুপ-এর গবেষণাপত্রে এবং তারপর লিন্ডন এবং শুপ-এর বইয়ে তৈরি করা হয়েছিল। রিপস এবং ওলশানস্কি ছোট বাতিলকরণ তত্ত্বের একটি "স্তরীভূত" সংস্করণ তৈরি করেছিলেন যেখানে রিলেটরগুলির সেটকে স্তরের আরোহণকারী ইউনিয়ন হিসাবে ফিল্টার করা হয় (প্রতিটি স্তর একটি ছোট বাতিলকরণ শর্ত সন্তুষ্ট করে) এবং কিছু স্তর থেকে রিলেটর আর এবং উচ্চতর স্তর থেকে রিলেটর এস-এর জন্য তাদের ওভারল্যাপ |s।-এর সাপেক্ষে ছোট হতে হবে তবে |r।-এর সাপেক্ষে বড় হওয়ার অনুমতি দেওয়া হয়। এই তত্ত্বটি ওলশানস্কিকে তারস্কি দৈত্য সহ বিভিন্ন "দানব" গোষ্ঠী তৈরি করতে এবং একটি নতুন প্রমাণ দেওয়ার অনুমতি দেয় যে বড় বিজোড় সূচকের মুক্ত বার্নসাইড গোষ্ঠীগুলি অসীম। ওলশানস্কি এবং ডেলজান্ট পরে শব্দ-হাইপারবোলিক গোষ্ঠীর কোটিয়েন্টের জন্য ছোট বাতিলকরণ তত্ত্বের সংস্করণ তৈরি করেছিলেন। ম্যাককামন্ড ছোট বাতিলকরণ তত্ত্বের একটি উচ্চ-মাত্রিক সংস্করণ প্রদান করেছিলেন। ম্যাকক্যামন্ড এবং ওয়াইজ ছোট বাতিলকরণ উপস্থাপনার উপর ভ্যান কাম্পেন চিত্রের জ্যামিতি সম্পর্কিত স্ট্যান্ডার্ড স্মল বাতিলকরণ তত্ত্বের (যেমন গ্রিনডলিঙ্গারের লেম্মা) মৌলিক ফলাফলগুলিকে যথেষ্ট পরিমাণে এগিয়ে নিয়ে যান। গ্রোমভ একটি গ্রাফের সাপেক্ষে ছোট বাতিলকরণ তত্ত্বের একটি সংস্করণ ব্যবহার করেছিলেন একটি সীমাবদ্ধভাবে উপস্থাপিত গোষ্ঠীর অস্তিত্ব প্রমাণ করার জন্য যা (উপযুক্ত অর্থে) সম্প্রসারণকারীদের একটি অসীম ক্রম "ধারণ করে" এবং তাই হিলবার্ট স্পেসে একটি অভিন্ন এম্বেডিং গ্রহণ করে না। ওসিন তুলনামূলকভাবে হাইপারবোলিক গোষ্ঠীর কোটিয়ানদের জন্য ছোট বাতিলকরণ তত্ত্বের একটি সংস্করণ দিয়েছিলেন এবং থার্স্টনের হাইপারবোলিক ডেহন সার্জারি উপপাদ্যের তুলনামূলকভাবে হাইপারবোলিক সাধারণীকরণ পেতে এটি ব্যবহার করেছিলেন। মৌলিক রেফারেন্স রজার লিন্ডন এবং পল শুপ, কম্বিনেটোরিয়াল গ্রুপ তত্ত্ব। 1977 সালের সংস্করণের পুনঃমুদ্রণ। গণিতে ক্লাসিক। স্প্রিঙ্গার-ভার্লাগ, বার্লিন, 2001। আলেকজান্ডার ইউ। ওলশানস্কি, গোষ্ঠীতে সম্পর্ক সংজ্ঞায়িত করার জ্যামিতি। ইউ দ্বারা 1989 সালের রাশিয়ান মূল থেকে অনুবাদ করা হয়েছে। এ. বখতুরিন। গণিত এবং এর প্রয়োগ (সোভিয়েত সিরিজ), 70। ক্লুয়ার অ্যাকাডেমিক পাবলিশার্স গ্রুপ, ডর্ড্রেক্ট, 1991। রাল্ফ স্ট্রেবেল, পরিশিষ্ট। ছোট বাতিলকরণ গোষ্ঠী। সুর লেস গ্রুপেস হাইপারবোলিকস ডি 'আপ্রেস মিখায়েল গ্রোমভ (বার্ন, 1988), পৃ। 227-273, গণিতে অগ্রগতি, 83, বারখুসার বস্টন, বস্টন, ম্যাসাচুসেটস, 1990। মিলে ক্রাজেভস্কি, প্লেনের টিলিংস, হাইপারবোলিক গ্রুপ এবং ছোট বাতিলকরণ শর্ত। মেমোয়ার্স অফ দ্য আমেরিকান ম্যাথমেটিকাল সোসাইটি, খণ্ড। 154 (2001), নং। 733। আরও দেখুন জ্যামিতিক গোষ্ঠী তত্ত্ব শব্দ-হাইপারবোলিক গোষ্ঠী টারস্কি দৈত্য গোষ্ঠী বার্নসাইড সমস্যা চূড়ান্তভাবে উপস্থাপিত গোষ্ঠী শব্দের সমস্যা গোষ্ঠীর জন্য ভ্যান কাম্পেন রেখাচিত্র নোট গ্রুপ তত্ত্ব শব্দের উপর জ্যামিতিক গোষ্ঠী তত্ত্ব সমন্বয়