Population balance equation
আধুনিক বিজ্ঞানের বিভিন্ন শাখায়, প্রধানত রাসায়নিক প্রকৌশলের ক্ষেত্রে, কণার জনসংখ্যার বিবর্তন বর্ণনা করার জন্য জনসংখ্যা ভারসাম্য সমীকরণ (পিবিই) চালু করা হয়েছে। এর মধ্যে রয়েছে ক্রিস্টালাইজেশন, লিচিং (ধাতুবিদ্যা), তরল-তরল নিষ্কাশন, গ্যাস-তরল বিচ্ছুরণ যেমন জল তড়িৎ বিশ্লেষণ, তরল-তরল প্রতিক্রিয়া, কমিনিউশন, অ্যারোসল ইঞ্জিনিয়ারিং, জীববিজ্ঞান (যেখানে পৃথক সত্তা তাদের আকার বা আন্তঃকোষীয় প্রোটিনের উপর ভিত্তি করে কোষ), পলিমারাইজেশন ইত্যাদি। জনসংখ্যার ভারসাম্য সমীকরণগুলি স্মোলুচোভস্কি জমাট সমীকরণের একটি সম্প্রসারণ হিসাবে উদ্ভূত বলে মনে করা যেতে পারে যা শুধুমাত্র কণাগুলির সমন্বয় বর্ণনা করে। পি. বি. ই, আরও সাধারণভাবে, সংজ্ঞায়িত করে যে সময়ের সাথে সাথে নির্দিষ্ট বৈশিষ্ট্যগুলিতে পৃথক সত্তার জনসংখ্যা কীভাবে বিকশিত হয়। এগুলি ইন্টিগ্রো-পার্শিয়াল ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একটি সেট যা স্থানীয় পরিস্থিতিতে একক কণার আচরণের বিশ্লেষণ থেকে কণাগুলির জনসংখ্যার গড়-ক্ষেত্রের আচরণ দেয়। পার্টিকুলেট সিস্টেমগুলি কণার জন্ম এবং মৃত্যু দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, বৃষ্টিপাত প্রক্রিয়া (তরল দ্রবণ থেকে কঠিন গঠন) বিবেচনা করুন যার উপপ্রক্রিয়া নিউক্লিয়েশন, সমষ্টি, ভাঙ্গন ইত্যাদি রয়েছে, যার ফলে একটি নির্দিষ্ট ব্যাসার্ধের কণাগুলির সংখ্যা বৃদ্ধি বা হ্রাস পায় (গোলাকার কণার গঠন ধরে নিয়ে)। জনসংখ্যার ভারসাম্য একটি নির্দিষ্ট অবস্থার কণাগুলির সংখ্যার ভারসাম্য ছাড়া আর কিছুই নয় (এই উদাহরণে, আকার)। পিবিই-র গঠন একটি কণা অবস্থা ভেক্টর (x, r) দ্বারা চিহ্নিত কণার বৈশিষ্ট্যযুক্ত কণাগুলির গড় সংখ্যা বিবেচনা করুন (যেখানে x কণার বৈশিষ্ট্য যেমন আকার, ঘনত্ব ইত্যাদির সাথে মিলে যায়। অভ্যন্তরীণ স্থানাঙ্ক হিসাবেও পরিচিত এবং, r স্থানিক অবস্থান বা বাহ্যিক স্থানাঙ্কের সাথে মিলে যায়) একটি ফেজ ভেক্টর Y (r, t) দ্বারা সংজ্ঞায়িত একটি অবিচ্ছিন্ন পর্যায়ে ছড়িয়ে পড়ে (যা আবার এমন সমস্ত ভেক্টরের একটি ফাংশন যা বিভিন্ন স্থানে ফেজ বৈশিষ্ট্যগুলি নির্দেশ করে) দ্বারা চিহ্নিত করা হয় f (x, r, t)। তাই এটি বৈশিষ্ট্য এবং স্থান ক্ষেত্রে কণার বৈশিষ্ট্য প্রদান করে। ধরা যাক এইচ (এক্স, আর, ওয়াই, টি) কণা অবস্থার স্থানের প্রতি একক আয়তনে কণাগুলির জন্ম হারকে বোঝায়, তাই সংখ্যা সংরক্ষণকে এভাবে লেখা যেতে পারে এটি পিবিই-এর একটি সাধারণীকৃত রূপ। পি. বি. ই মন্টে কার্লো পদ্ধতির সমাধান, বিচক্ষণকরণ পদ্ধতি এবং মুহূর্ত পদ্ধতি মূলত এই সমীকরণগুলি সমাধান করতে ব্যবহৃত হয়। পছন্দটি নির্ভর করে অ্যাপ্লিকেশন এবং কম্পিউটিং পরিকাঠামোর উপর। তথ্যসূত্র আংশিক অবকল সমীকরণ গাণিতিক ও তাত্ত্বিক জীববিজ্ঞান