Lonely runner conjecture
সংখ্যা তত্ত্বে, বিশেষত ডায়োফ্যান্টাইন আনুমানিক অধ্যয়নে, একাকী দৌড়বিদের অনুমান একটি বৃত্তাকার ট্র্যাকে দৌড়বিদদের দীর্ঘমেয়াদী আচরণ সম্পর্কে একটি অনুমান। এতে বলা হয়েছে যে একক দৈর্ঘ্যের ট্র্যাকে দৌড়বিদরা, স্থির গতি সহ একে অপরের থেকে আলাদা, প্রত্যেকে কোনও না কোনও সময়ে একাকী থাকবে-অন্য সকলের থেকে কমপক্ষে একক দূরে। 1967 সালে জার্মান গণিতবিদ জর্গ এম. উইলস বিশুদ্ধভাবে সংখ্যা-তাত্ত্বিক পরিভাষায় এবং স্বাধীনভাবে 1974 সালে টি. ডব্লিউ. কুসিক দ্বারা এই অনুমানটি প্রথম উত্থাপন করা হয়েছিল; এর দৃষ্টান্তমূলক এবং এখন-জনপ্রিয় সূত্রটি 1998 সালের। অনুমানটি 7 জন বা তার কম রানারের ক্ষেত্রে সত্য বলে জানা যায়, তবে সাধারণ মামলাটি অমীমাংসিত রয়ে গেছে। অনুমানের প্রভাবগুলির মধ্যে রয়েছে নির্দিষ্ট গ্রাফের ক্রোমাটিক সংখ্যার সাথে সম্পর্কিত বৈশিষ্ট্যগুলির উপর দৃষ্টি-বাধা সমস্যা এবং সীমার সমাধান। গঠন একক দৈর্ঘ্যের একটি বৃত্তাকার পথের উপর দৌড়বিদদের বিবেচনা করুন। প্রাথমিক সময়ে, সমস্ত দৌড়বিদ একই অবস্থানে থাকে এবং দৌড়াতে শুরু করে; দৌড়বিদদের গতি স্থির, সমস্ত স্বতন্ত্র এবং নেতিবাচক হতে পারে। একজন দৌড়বিদকে এক সময়ে নিঃসঙ্গ বলা হয় যদি তারা অন্ততপক্ষে অন্য প্রত্যেক দৌড়বিদের থেকে দূরে (বৃত্ত বরাবর পরিমাপ করা হয়) থাকে। একাকী দৌড়বিদের অনুমান বলে যে প্রতিটি দৌড়বিদ কোনও না কোনও সময়ে একাকী থাকে, গতির পছন্দ যাই হোক না কেন। অনুমানের এই চাক্ষুষ সূত্রটি 1998 সালে প্রথম প্রকাশিত হয়েছিল। জর্গ এম. উইলসের মূল রচনা সহ অনেক গঠনে কিছু সরলীকরণ করা হয়েছে। যে দৌড়বিদ একাকী হবেন তিনি 0-তে (শূন্য গতিতে) স্থির থাকবেন, এবং তাই শূন্য নয় এমন গতি সহ অন্যান্য দৌড়বিদদের বিবেচনা করা হয়। চলমান দৌড়বিদরা কেবলমাত্র ধনাত্মক গতিতে সীমাবদ্ধ থাকতে পারেঃ প্রতিসাম্য দ্বারা, গতি সহ দৌড়বিদ এবং সর্বদা 0 থেকে একই দূরত্ব থাকে এবং তাই মূলত সমতুল্য। যে কোনও স্থির দৌড়বিদের জন্য ফলাফল প্রমাণ করা সমস্ত দৌড়বিদদের জন্য সাধারণ ফলাফল বোঝায়, কারণ সমস্ত দৌড়বিদদের থেকে তাদের গতি বিয়োগ করে শূন্য গতিতে রেখে তাদের স্থির করা যেতে পারে। অনুমানটি তখন বলে যে, ধনাত্মক, স্বতন্ত্র গতির যে কোনও সংগ্রহের জন্য এমন কিছু সময় বিদ্যমান থাকে যেখানে এর ভগ্নাংশ অংশকে বোঝায়। দৃশ্যত ব্যাখ্যা করা হয়, যদি দৌড়বিদরা ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে দৌড়াচ্ছে, তবে বৈষম্যের মধ্যবর্তী সময়টি হল ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে পরিমাপ করা মূল থেকে দশম দৌড়বিদের দূরত্ব। এই ধারাটি এই নিবন্ধের বাকি অংশের জন্য ব্যবহার করা হয়েছে। উইলসের অনুমান তাঁর ডায়োফ্যান্টাইন আনুমানিক কাজের অংশ ছিল, ভগ্নাংশগুলি অযৌক্তিক সংখ্যাকে কতটা ঘনিষ্ঠভাবে অনুমান করতে পারে তার অধ্যয়ন। প্রভাবগুলি ধরুন-মাত্রিক স্থান ()-এ পার্শ্ব দৈর্ঘ্যের একটি-হাইপারকিউব। প্রতিটি বিন্দুতে অর্ধ-পূর্ণসংখ্যা স্থানাঙ্ক সহ একটি কেন্দ্রিক অনুলিপি রাখুন। উৎস থেকে একটি রশ্মি হয় সমস্ত অনুলিপি মিস করতে পারে, সেক্ষেত্রে একটি (অসীম) ফাঁক থাকে, অথবা কমপক্ষে একটি অনুলিপিতে আঘাত করতে পারে। এই প্রসঙ্গে একাকী রানার অনুমানের একটি স্বাধীন সূত্র তৈরি করা হয়েছে; অনুমানটি বোঝায় যে যদি এবং শুধুমাত্র যদি, স্থানাঙ্ক হাইপারপ্লেনের একটিতে থাকা রশ্মি উপেক্ষা করা হয় তবে ফাঁক রয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, দ্বিমাত্রিক স্থানে স্থাপন করা, পার্শ্ব দৈর্ঘ্যের চেয়ে ছোট যে কোনও বর্গক্ষেত্র ফাঁক ছেড়ে দেবে, যেমন দেখানো হয়েছে, এবং পার্শ্ব দৈর্ঘ্য বা তার বেশি বর্গক্ষেত্রগুলি অক্ষের সমান্তরাল নয় এমন প্রতিটি রশ্মির ক্ষেত্রে বাধা সৃষ্টি করবে। অনুমানটি এই পর্যবেক্ষণকে যে কোনও সংখ্যক মাত্রায় সাধারণীকরণ করে। গ্রাফ তত্ত্বে, পূর্ণসংখ্যার সেটের উপর একটি দূরত্ব গ্রাফ, এবং ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা দূরত্বের কিছু সীমাবদ্ধ সেট ব্যবহার করে, যদি এবং শুধুমাত্র যদি এর মধ্যে একটি প্রান্ত থাকে। উদাহরণস্বরূপ, যদি জোড় পূর্ণসংখ্যা এবং বিজোড় পূর্ণসংখ্যার প্রতিটি ধারাবাহিক জোড়া সংলগ্ন হয়, তবে সবগুলি একসাথে দুটি সংযুক্ত উপাদান গঠন করে। পর্যায় সহ পূর্ণসংখ্যার একটি-নিয়মিত রঙ প্রতিটি পূর্ণসংখ্যাকে মডুলোর অবশিষ্টাংশের উপর ভিত্তি করে একটি করে রঙ বরাদ্দ করে। উদাহরণস্বরূপ, যদি রঙ প্রতিটি পূর্ণসংখ্যার পুনরাবৃত্তি করে এবং প্রতিটি জোড়া পূর্ণসংখ্যা একই রঙের হয়। একক রানার অনুমানটি কিছু ধাপের মানের জন্য একটি সঠিক-নিয়মিত রঙ (অর্থাৎ, প্রতিটি নোড তার সংলগ্নতার চেয়ে আলাদা রঙিন) স্বীকার করে। উদাহরণস্বরূপ, দ্বারা উত্পন্ন দূরত্ব গ্রাফের উপর একটি সঠিক রঙ তৈরি করে। (এর নিয়মিত ক্রোমাটিক সংখ্যা হিসাবে পরিচিত।) একটি নির্দেশিত গ্রাফ দেওয়া হলে, কোথাও-শূন্য প্রবাহ প্রতিটি প্রান্তে একটি ধনাত্মক মান সংযুক্ত করে, যাতে প্রতিটি নোড থেকে বাইরের দিকে প্রবাহটি ভিতরের প্রবাহের সমান হয়। একাকী রানার অনুমানটি বোঝায় যে, যদি সর্বাধিক স্বতন্ত্র পূর্ণসংখ্যার মান সহ কোথাও-শূন্য প্রবাহ থাকে, তবে কেবলমাত্র মান সহ কোথাও-শূন্য প্রবাহ থাকে (সম্ভবত কিছু বৃত্তের দিক বিপরীত করার পরে)। এই ফলাফলটি পৃথক পদ্ধতির মাধ্যমে প্রমাণিত হয়েছিল এবং একাকী রানার অনুমানের ছোট ছোট ক্ষেত্রে নিষ্পত্তি হওয়ার কারণে সম্পূর্ণ উপপাদ্যটি প্রমাণিত হয়। পরিচিত ফলাফল দৌড়বিদদের একটি নির্দিষ্ট সেটআপের জন্য, আসুন দৌড়বিদদের একাকীত্বের সর্বোচ্চ দূরত্বের মধ্যে সবচেয়ে ছোটটিকে নির্দেশ করি এবং একাকীত্বের ব্যবধানটি দৌড়বিদদের সাথে সমস্ত সেটআপের মধ্যে সর্বনিম্নকে নির্দেশ করে। এই স্বরলিপিতে, অনুমানটি দাবি করে যে, একটি সীমা, যা সঠিক হলে, উন্নত করা যাবে না। উদাহরণস্বরূপ, যদি একাকী দৌড়বিদ স্থির থাকে এবং গতি বেছে নেওয়া হয়, তবে এমন কোনও সময় নেই যখন তারা অন্য সকলের থেকে একক দূরত্বের চেয়ে কঠোরভাবে বেশি হয়, যা তা দেখায়। বিকল্পভাবে, এই উপসংহারটি দ্রুত ডিরিচলেট আনুমানিক উপপাদ্য থেকে উদ্ভূত করা যেতে পারে। একটি সাধারণ নিম্ন সীমা একটি সম্ভাব্যতা যুক্তির মাধ্যমে প্রাপ্ত করা যেতে পারে। দৌড়বিদদের গতি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যায় সীমাবদ্ধ করার জন্য অনুমানটি হ্রাস করা যেতে পারেঃ পূর্ণসংখ্যার গতিসম্পন্ন দৌড়বিদদের ক্ষেত্রে যদি অনুমানটি সত্য হয়, তবে বাস্তব গতির দৌড়বিদদের ক্ষেত্রে এটি সত্য। শক্ত সীমানা নিম্ন সীমানায় সামান্য উন্নতি জানা যায়। তার জন্য দেখানো হয়েছে যদি মৌলিক হয়, তাহলে, এবং যদি মৌলিক হয়, তাহলে। যথেষ্ট বড়ের জন্য শর্তহীনভাবে দেখানো হয়েছে যা বর্তমান সর্বাধিক পরিচিত অ্যাসিম্পটোটিক ফলাফল প্রমাণ করেছেঃ পর্যাপ্ত বড়ের জন্য, কিছু ধ্রুবকের জন্য। তিনি আরও দেখিয়েছেন যে পূর্ণ অনুমানটি আকারের পূর্ণসংখ্যার গতির অনুমানকে প্রমাণ করে বোঝানো হয়েছে (বড় ও স্বরলিপি দেখুন)। এই নিহিতার্থ তাত্ত্বিকভাবে একটি নির্দিষ্ট সংখ্যক কেস পরীক্ষা করে প্রদত্ত অনুমানকে প্রমাণ করার অনুমতি দেয়, তবে কেসের সংখ্যা ব্যবহারিক হওয়ার জন্য খুব দ্রুত বৃদ্ধি পায়। দৌড়বিদদের গতির উপর নির্দিষ্ট অনুমানের অধীনে অনুমানটি প্রমাণিত হয়েছে। যথেষ্ট বড় হলে, এটি সত্য হয় যদি অন্য কথায়, গতি যথেষ্ট দ্রুত বৃদ্ধি পেলে অনুমানটি বড়ের জন্য সত্য হয়। যদি ধ্রুবক 22 কে 33 দ্বারা প্রতিস্থাপিত করা হয়, তবে অনুমানটি এর জন্য সত্য। যথেষ্ট বড় জন্য একটি অনুরূপ ফলাফল শুধুমাত্র জন্য একটি অনুরূপ অনুমান প্রয়োজন। শর্তহীনভাবে, অনুমানটি যদি সবার জন্য সত্য হয়। নির্দিষ্টভাবে অনুমানটি দৌড়বিদদের ক্ষেত্রে সত্য। প্রমাণগুলি প্রাথমিক; মামলাটি 1972 সালে প্রতিষ্ঠিত হয়েছিল। , এবং মামলাগুলি যথাক্রমে 1984,2001 এবং 2008 সালে নিষ্পত্তি করা হয়েছিল। প্রথম প্রমাণটি ছিল কম্পিউটার-সমর্থিত, তবে সমস্ত ক্ষেত্রেই প্রাথমিক পদ্ধতির মাধ্যমে প্রমাণিত হয়েছে। কারো কারো ক্ষেত্রে, উপরের উদাহরণটি ছাড়াও সর্বাধিক পৃথকীকরণ সহ বিক্ষিপ্ত উদাহরণ রয়েছে। কারণ, একমাত্র পরিচিত উদাহরণ (শিফট এবং স্কেলিং পর্যন্ত) হল; একমাত্র পরিচিত উদাহরণ হল; এবং পরিচিত উদাহরণগুলির জন্য হল এবং। এই ধরনের বিক্ষিপ্ত ঘটনার একটি স্পষ্ট অসীম পরিবার রয়েছে। অনুমানের একটি তীক্ষ্ণ সংস্করণ প্রণয়ন করেছে যা প্রায়-সমতার মামলাগুলিকে সম্বোধন করে। আরও সুনির্দিষ্টভাবে, তিনি অনুমান করেন যে গতির একটি নির্দিষ্ট সেটের জন্য, হয় কিছু ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার জন্য, অথবা, সেই সেটআপের একাকীত্বের ব্যবধান কোথায়। তিনি কয়েকটি বিশেষ ক্ষেত্রে এই অনুমানকে নিশ্চিত করেছেন। একজন দৌড়বিদের একাকী হওয়ার জন্য প্রয়োজনীয় সময়ের আকারের প্রশ্নটি সম্বোধন করা হয়েছিল। তিনি একটি শক্তিশালী অনুমান তৈরি করে বলেছিলেন যে প্রতিটি পূর্ণসংখ্যার জন্য একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা রয়েছে যাতে ধনাত্মক, স্বতন্ত্র গতির যে কোনও সংগ্রহের জন্য এমন কিছু সময় বিদ্যমান থাকে যা রিফফোর্ডের সাথে এই অনুমানকে নিশ্চিত করে এবং দেখায় যে প্রতিটি ক্ষেত্রে ন্যূনতম জন্য এবং জন্য দ্বারা দেওয়া হয়। পরের ফলাফলটি (ফর) দেখায় যে আমরা যদি ছয়জন দৌড়বিদকে স্থির গতি এবং স্বতন্ত্র এবং ইতিবাচক দিয়ে সময় থেকে শুরু করার কথা বিবেচনা করি তবে ধীরতম অ-স্থিতিশীল দৌড়বিদের প্রথম দুটি রাউন্ডে (তবে প্রথম রাউন্ডে প্রয়োজনীয় নয়) স্ট্যাটিক দৌড়বিদকে কমপক্ষে অন্যদের থেকে দূরত্ব দ্বারা পৃথক করা হয়। অন্যান্য ফলাফল এলোমেলোভাবে নির্বাচিত গতির জন্য আরও শক্তিশালী ফলাফল বিদ্যমান থাকেঃ স্থির-রানার কনভেনশন ব্যবহার করে, যদি এবং স্থির থাকে এবং শূন্যেতর গতিসম্পন্ন রানারদের এলোমেলোভাবে সমানভাবে বেছে নেওয়া হয়, তারপর হিসাবে। অন্য কথায়, এলোমেলো গতিসম্পন্ন দৌড়বিদরা এক পর্যায়ে "খুব নিঃসঙ্গ" হতে পারে-নিকটতম অন্য দৌড়বিদের থেকে প্রায় একক। সম্পূর্ণ অনুমানটি সত্য যদি "একাকীত্ব" কে "প্রায় একাকীত্ব" দ্বারা প্রতিস্থাপিত করা হয়, যার অর্থ সর্বাধিক একজন অন্য দৌড়বিদ একজন প্রদত্ত দৌড়বিদের মধ্যে থাকে। বীজগাণিতিক ফাংশন ক্ষেত্রগুলিতে অনুমানটিকে একটি এনালগ হিসাবে সাধারণীকরণ করা হয়েছে। নোটস এবং রেফারেন্স নোটস সাইটেশন ওয়ার্কস ওপেন প্রবলেম গার্ডেন নং-এ বাহ্যিক লিঙ্কের নিবন্ধ উদ্ধৃত করেছে। 4, 551-562। ডায়োফ্যান্টাইন সমীকরণ সংখ্যা তত্ত্বে অমীমাংসিত সমস্যাগুলি অনুমান করে