Bartlett's bisection theorem
বার্টলেটের দ্বি-বিভাজন উপপাদ্য হল নেটওয়ার্ক বিশ্লেষণের একটি বৈদ্যুতিক উপপাদ্য যা অ্যালবার্ট চার্লস বার্টলেটকে দায়ী করা হয়। উপপাদ্যটি দেখায় যে কোনও প্রতিসম দুই-বন্দর নেটওয়ার্ককে জালের নেটওয়ার্কে রূপান্তরিত করা যেতে পারে। উপপাদ্যটি প্রায়শই ফিল্টার তত্ত্বে প্রদর্শিত হয় যেখানে ল্যাটিস নেটওয়ার্কটি কখনও কখনও ফিল্টার এক্স-সেকশন হিসাবে পরিচিত হয় যা বর্ণানুক্রমিক অক্ষরের পরে বিভাগগুলির নামকরণের সাধারণ ফিল্টার তত্ত্বের অনুশীলন অনুসরণ করে যার সাথে তারা সাদৃশ্য বহন করে। মূলত বার্টলেট দ্বারা বর্ণিত উপপাদ্যটির জন্য নেটওয়ার্কের দুটি অংশকে টপোলজিক্যালি প্রতিসম হতে হবে। এই উপপাদ্যটি পরে উইলহেলম কাউয়ার দ্বারা বৈদ্যুতিকভাবে প্রতিসম সমস্ত নেটওয়ার্কে প্রয়োগ করার জন্য প্রসারিত করা হয়েছিল। অর্থাৎ, নেটওয়ার্কের প্রকৃত রূপায়ণের কোনও প্রাসঙ্গিকতা নেই। এটি শুধুমাত্র প্রয়োজন যে উভয় অর্ধে এর প্রতিক্রিয়া প্রতিসম হবে। অ্যাপ্লিকেশন ল্যাটিস টপোলজি ফিল্টার খুব সাধারণ নয়। এর কারণ হল তাদের অন্যান্য ডিজাইনের তুলনায় বেশি উপাদান (বিশেষ করে ইন্ডাক্টর) প্রয়োজন। ল্যাডার টপোলজি অনেক বেশি জনপ্রিয়। যাইহোক, তাদের অভ্যন্তরীণভাবে ভারসাম্যপূর্ণ হওয়ার বৈশিষ্ট্য রয়েছে এবং অন্য টপোলজির একটি সুষম সংস্করণ, যেমন টি-সেকশন, আসলে আরও সূচক ব্যবহার করে শেষ হতে পারে। একটি অ্যাপ্লিকেশন হল ভারসাম্যপূর্ণ টেলিযোগাযোগ লাইনে অল-পাস ফেজ সংশোধন ফিল্টারগুলির জন্য। এই উপপাদ্যটি আরএফ ফ্রিকোয়েন্সিগুলিতে স্ফটিক ফিল্টারগুলির নকশাতেও উপস্থিত হয়। এখানে ল্যাডার টপোলজির কিছু অবাঞ্ছিত বৈশিষ্ট্য রয়েছে, তবে একটি সাধারণ নকশা কৌশল হল এর সরলতার কারণে একটি ল্যাডার বাস্তবায়ন থেকে শুরু করা। বার্টলেটের উপপাদ্যটি চূড়ান্ত বাস্তবায়নের দিকে একটি পদক্ষেপ হিসাবে নকশাকে একটি মধ্যবর্তী পর্যায়ে রূপান্তর করতে ব্যবহৃত হয় (একটি ট্রান্সফরমার ব্যবহার করে ল্যাটিস টপোলজির একটি ভারসাম্যহীন সংস্করণ তৈরি করতে)। সংজ্ঞা এবং প্রমাণ সংজ্ঞা দুটি বন্দরের মধ্যে প্রতিসাম্যের সমতল সহ একটি দুই-বন্দর নেটওয়ার্ক, এন দিয়ে শুরু করুন। এরপরে N কে তার প্রতিসাম্য সমতলের মধ্য দিয়ে কেটে দুটি নতুন অভিন্ন দুই-বন্দর, 1⁄2N গঠন করে। দুটি অভিন্ন ভোল্টেজ জেনারেটরকে এন-এর দুটি বন্দরের সাথে সংযুক্ত করুন। প্রতিসাম্য থেকে এটা স্পষ্ট যে প্রতিসাম্য সমতলের মধ্য দিয়ে যাওয়া কোনও শাখার মধ্য দিয়ে কোনও বিদ্যুৎ প্রবাহিত হবে না। এই পরিস্থিতিতে N-এর বন্দরে পরিমাপ করা প্রতিবন্ধকতা পরিমাপ করা প্রতিবন্ধকতার সমান হবে যদি প্রতিসাম্য সমতলের মধ্য দিয়ে যাওয়া সমস্ত শাখা উন্মুক্ত বর্তনী হয়। সুতরাং এটি 1⁄2 এন এর ওপেন সার্কিট প্রতিবন্ধকতা হিসাবে একই প্রতিবন্ধকতা। আসুন আমরা সেই প্রতিবন্ধকতাকে বলি। এখন পোর্টের সাথে সংযুক্ত দুটি অভিন্ন ভোল্টেজ জেনারেটর সহ কিন্তু বিপরীত মেরুতা সহ নেটওয়ার্ক এন বিবেচনা করুন। সমমিতির সমতলে শাখাগুলির মধ্য দিয়ে স্রোতের সুপারপজিশন যেমন পূর্ববর্তী ক্ষেত্রে শূন্য হতে হবে, অনুরূপভাবে এবং দ্বৈততার নীতি প্রয়োগ করে, সমমিতির সমতলে নোডগুলির মধ্যে ভোল্টেজের সুপারপজিশনও একইভাবে শূন্য হতে হবে। ইনপুট প্রতিবন্ধকতা এইভাবে 1⁄2 এন এর শর্ট সার্কিট প্রতিবন্ধকতার সমান। আসুন আমরা সেই প্রতিবন্ধকতাকে বলি। বার্টলেটের দ্বিখণ্ডন উপপাদ্য বলে যে নেটওয়ার্ক এন একটি জাল নেটওয়ার্কের সমতুল্য যার সিরিজ শাখা এবং ক্রস শাখা রয়েছে। প্রমাণ প্রতিটি বন্দরের সাথে সংযুক্ত অভিন্ন জেনারেটর, ই দিয়ে দেখানো জাল নেটওয়ার্কটি বিবেচনা করুন। প্রতিসাম্য এবং সুপারপজিশন থেকে এটা স্পষ্ট যে সিরিজ শাখাগুলিতে কোনও বিদ্যুৎ প্রবাহিত হচ্ছে না। এইভাবে সেই শাখাগুলি সরানো যেতে পারে এবং সার্কিটের বাকি অংশে কোনও প্রভাব না ফেলে খোলা সার্কিট ছেড়ে দেওয়া যেতে পারে। এটি 2E এর ভোল্টেজ এবং এর লুপে বিদ্যুৎ দেওয়ার প্রতিবন্ধকতা সহ একটি সার্কিট লুপ ছেড়ে দেয়; এবং একটি ইনপুট প্রতিবন্ধকতা; কারণ এটি মূল দুই-পোর্টের সমতুল্য হওয়ার জন্য প্রয়োজন। একইভাবে, একটি জেনারেটরের বিপরীত ফলাফল, একটি অভিন্ন যুক্তি দ্বারা, একটি লুপে একটি প্রতিবন্ধকতা এবং একটি ইনপুট প্রতিবন্ধকতা সহ; এই জেনারেটর কনফিগারেশনগুলি সঠিক উপায় যা মূল দুই-পোর্টে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছিল তা স্মরণ করে এটি প্রমাণিত হয় যে জালটি সেই দুটি ক্ষেত্রে সমতুল্য। অন্যান্য সমস্ত ইনপুট এবং আউটপুট শর্তগুলি ইতিমধ্যে প্রমাণিত দুটি ক্ষেত্রে রৈখিক সুপারপজিশন হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে তা বিবেচনা করে এটি প্রমাণিত হয় যে এটি সমস্ত ক্ষেত্রেই তাই। উদাহরণ বার্টলেট রূপান্তরটি বিপরীতভাবে ব্যবহার করা সম্ভব; অর্থাৎ, একটি প্রতিসম জাল নেটওয়ার্ককে অন্য কোনও প্রতিসম টপোলজিতে রূপান্তরিত করা। উপরে দেখানো উদাহরণগুলি ঠিক একইভাবে বিপরীতভাবে দেখানো হতে পারে। যাইহোক, উপরের উদাহরণগুলির বিপরীতে, ফলাফলটি সর্বদা রৈখিক নিষ্ক্রিয় উপাদানগুলির সাথে শারীরিকভাবে উপলব্ধিযোগ্য নয়। এর কারণ হল বিপরীত রূপান্তরটি নেতিবাচক মান সহ উপাদান তৈরি করার সম্ভাবনা রয়েছে। নেতিবাচক পরিমাণগুলি কেবল নেটওয়ার্কে উপস্থিত সক্রিয় উপাদানগুলির সাথে শারীরিকভাবে উপলব্ধি করা যেতে পারে। উপপাদ্যটির সম্প্রসারণ বার্টলেটের উপপাদ্যের একটি সম্প্রসারণ রয়েছে যা অসম উৎস এবং লোড প্রতিবন্ধকতার জন্য সমান ইনপুট এবং আউটপুট প্রতিবন্ধকতা সমাপ্তির মধ্যে পরিচালিত একটি প্রতিসম ফিল্টার নেটওয়ার্ককে সংশোধন করার অনুমতি দেয়। এটি একটি প্রোটোটাইপ ফিল্টারের প্রতিবন্ধকতা স্কেলিংয়ের একটি উদাহরণ। প্রতিসম নেটওয়ার্কটি তার প্রতিসাম্য সমতল বরাবর দ্বিখণ্ডিত হয়। একটি অর্ধেক ইনপুট প্রতিবন্ধকতায় প্রতিবন্ধকতা-স্কেল করা হয় এবং অন্যটি আউটপুট প্রতিবন্ধকতায় স্কেল করা হয়। ফিল্টারের প্রতিক্রিয়া আকৃতি একই থাকে। এটি একটি ইম্পিডেন্স ম্যাচিং নেটওয়ার্কের সমান নয়, নেটওয়ার্ক পোর্টের দিকে তাকানো ইম্পিডেন্সগুলি সমাপ্তি প্রতিবন্ধকতার সাথে কোনও সম্পর্ক বহন করে না। এর মানে হল যে বার্টলেটের উপপাদ্য দ্বারা পরিকল্পিত একটি নেটওয়ার্ক, ঠিক ফিল্টার প্রতিক্রিয়ার পূর্বাভাস থাকা সত্ত্বেও, ফিল্টার প্রতিক্রিয়া ছাড়াও একটি ধ্রুবক ক্ষয় যোগ করে। ইম্পিডেন্স ম্যাচিং নেটওয়ার্কে, একটি সাধারণ নকশার মানদণ্ড হল পাওয়ার ট্রান্সফারকে সর্বাধিক করা। ইনপুট চালনাকারী তাত্ত্বিক আদর্শ জেনারেটরের ভোল্টেজের তুলনায় আউটপুট প্রতিক্রিয়া "একই আকৃতি"। এটি প্রকৃত ইনপুট ভোল্টেজের সাথে একই আপেক্ষিক নয় যা তাত্ত্বিক আদর্শ জেনারেটর দ্বারা তার লোড প্রতিবন্ধকতার মাধ্যমে সরবরাহ করা হয়। ইনপুট এবং আউটপুট প্রতিবন্ধকতার পার্থক্যের কারণে ধ্রুবক লাভটি দ্বারা দেওয়া হয়; লক্ষ্য করুন যে এটি ঐক্যের চেয়ে বড় হওয়া সম্ভব, অর্থাৎ, একটি ভোল্টেজ লাভ সম্ভব, তবে শক্তি সর্বদা হারিয়ে যায়। রেফারেন্স লিনিয়ার ফিল্টার ফিল্টার তত্ত্ব এনালগ সার্কিট ইলেকট্রনিক ডিজাইন