Quartic reciprocity
কোয়ার্টিক বা দ্বিখণ্ডিত পারস্পরিকতা হল প্রাথমিক এবং বীজগাণিতিক সংখ্যা তত্ত্বের উপপাদ্যগুলির একটি সংগ্রহ যা এমন অবস্থার কথা বলে যার অধীনে x4 ষ্ণ p (মড q) সমাধানযোগ্য; "পারস্পরিকতা" শব্দটি এই উপপাদ্যগুলির মধ্যে কয়েকটি থেকে এসেছে, যাতে তারা x4 ষ্ণ p (মোড q)-এর সঙ্গতির সমাধানযোগ্যতাকে x4 ষ্ণ q (মোড p)-এর সাথে সম্পর্কিত করে। ইতিহাস অয়লার দ্বিমাত্রিক পারস্পরিকতা সম্পর্কে প্রথম অনুমান করেছিলেন। গাউস দ্বিপদী পারস্পরিকতার উপর দুটি মনোগ্রাফ প্রকাশ করেছিলেন। প্রথমটিতে (1828) তিনি 2-এর দ্বৈত চরিত্র সম্পর্কে অয়লারের অনুমানকে প্রমাণ করেছিলেন। দ্বিতীয়টিতে (1832) তিনি গাউসীয় পূর্ণসংখ্যার জন্য দ্বিখণ্ডিত পারস্পরিকতার সূত্র উল্লেখ করেন এবং পরিপূরক সূত্রগুলি প্রমাণ করেন। তিনি বলেছিলেন যে সাধারণ উপপাদ্যের প্রমাণ সহ একটি তৃতীয় মনোগ্রাফ আসতে চলেছে, তবে এটি কখনই উপস্থিত হয়নি। জ্যাকোবি তার কনিসবার্গ বক্তৃতায় 1836-37-এর প্রমাণ উপস্থাপন করেছেন। প্রথম প্রকাশিত প্রমাণ ছিল আইজেনস্টাইনের। তারপর থেকে ধ্রুপদী (গাউসিয়ান) সংস্করণের আরও বেশ কয়েকটি প্রমাণ পাওয়া গেছে, পাশাপাশি বিকল্প বিবৃতিও পাওয়া গেছে। লেমারমেয়ার বলেছেন যে 1970-এর দশক থেকে যুক্তিসঙ্গত পারস্পরিক আইনের প্রতি আগ্রহের বিস্ফোরণ ঘটেছে। পূর্ণসংখ্যা একটি কোয়ার্টিক বা দ্বিখণ্ডিত অবশিষ্টাংশ (মোড পি) হল একটি পূর্ণসংখ্যার (মোড পি) চতুর্থ ঘাতের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ যে কোনও সংখ্যা। যদি x4 ষ্ণ a (মড p)-এর কোনও পূর্ণসংখ্যা সমাধান না থাকে, তবে a হল একটি কোয়ার্টিক বা দ্বিঘাত অ-অবশিষ্টাংশ (মোড p)। সংখ্যা তত্ত্বের ক্ষেত্রে প্রায়শই যেমন হয়, মডুলো মৌলিক সংখ্যা নিয়ে কাজ করা সবচেয়ে সহজ, তাই এই বিভাগে সমস্ত মডুলি পি, কিউ ইত্যাদি ধনাত্মক, বিজোড় মৌলিক সংখ্যা বলে ধরে নেওয়া হয়। পূর্ণসংখ্যার Z বলয়ের মধ্যে কাজ করার সময় প্রথম যে বিষয়টি লক্ষ্য করতে হবে তা হল মৌলিক সংখ্যা q যদি ষ্ণ 3 (মড 4) হয় তবে একটি অবশিষ্টাংশ r একটি দ্বিঘাত অবশিষ্টাংশ (মোড q) হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি এটি একটি দ্বিঘাত অবশিষ্টাংশ (মোড q) হয়। প্রকৃতপক্ষে, দ্বিঘাত পারস্পরিকতার প্রথম পরিপূরক বলে যে-1 একটি দ্বিঘাত অ-অবশিষ্টাংশ (মোড q), যাতে যে কোনও পূর্ণসংখ্যা x-এর জন্য, x এবং-x-এর মধ্যে একটি দ্বিঘাত অবশিষ্টাংশ এবং অন্যটি একটি অ-অবশিষ্টাংশ। সুতরাং, যদি r ষ্ণ a2 (মড q) একটি দ্বিঘাত অবশিষ্টাংশ হয়, তবে যদি a ষ্ণ b2 একটি অবশিষ্টাংশ হয়, তবে r ষ্ণ a2 ষ্ণ b4 (মোড q) একটি দ্বিখণ্ডিত অবশিষ্টাংশ, এবং যদি a একটি অ-অবশিষ্টাংশ হয়, তবে − a একটি অবশিষ্টাংশ, − a ষ্ণ b2, এবং আবার, r ষ্ণ (− a) 2 ষ্ণ b4 (মোড q) একটি দ্বিখণ্ডিত অবশিষ্টাংশ। অতএব, একমাত্র আকর্ষণীয় ঘটনা হল যখন মডুলাস p ষ্ণ 1 (মড 4)। গাউস প্রমাণ করেন যে, যদি p ষ্ণ 1 (মড 4) হয়, তাহলে অ-শূন্য অবশিষ্টাংশ শ্রেণীগুলিকে (মোড p) চারটি সেটে ভাগ করা যেতে পারে, যার প্রত্যেকটিতে (p−1)/4 সংখ্যা থাকে। ধরা যাক e একটি দ্বিঘাত অ-অবশিষ্টাংশ। প্রথম সেটটি হল কোয়ার্টিক অবশিষ্টাংশ; দ্বিতীয়টি হল প্রথম সেটের সংখ্যার e গুণ, তৃতীয়টি হল প্রথম সেটের সংখ্যার e2 গুণ, এবং চতুর্থটি হল প্রথম সেটের সংখ্যার e3 গুণ। এই বিভাজনকে বর্ণনা করার আরেকটি উপায় হল জি-কে একটি আদিম মূল (মোড পি) হিসাবে ধরা; তারপর প্রথম সেটটি হল সেই সমস্ত সংখ্যা যার এই মূলের সাপেক্ষে সূচকগুলি হল ষ্ণ 0 (মোড 4), দ্বিতীয় সেটটি হল সেই সমস্ত সংখ্যা যাদের সূচকগুলি হল ষ্ণ 1 (মোড 4) ইত্যাদি। গ্রুপ তত্ত্বের শব্দভাণ্ডারে, প্রথম সেটটি হল সূচক 4-এর একটি উপগোষ্ঠী (গুণিতক গ্রুপ Z/pZ ×-এর), এবং বাকি তিনটি হল এর কোসেট। প্রথম সেটটি হল দ্বিখণ্ডিত অবশিষ্টাংশ, তৃতীয় সেটটি হল দ্বিখণ্ডিত অবশিষ্টাংশ যা কোয়ার্টিক অবশিষ্টাংশ নয় এবং দ্বিতীয় এবং চতুর্থ সেটগুলি হল দ্বিখণ্ডিত অ-অবশিষ্টাংশ। গাউস প্রমাণ করেন যে-1 হল একটি দ্বি-ক্রমানুসারে অবশিষ্টাংশ যদি p ষ্ণ 1 (মড 8) হয় এবং একটি দ্বি-ক্রমানুসারে, কিন্তু দ্বি-ক্রমানুসারে নয়, অবশিষ্টাংশ, যখন p ষ্ণ 5 (মোড 8) হয়। 2 একটি দ্বিঘাত অবশিষ্টাংশ মোড পি যদি এবং শুধুমাত্র যদি পি ষ্ণ ± 1 (মোড 8) হয়। যেহেতু p হল ষ্ণ 1 (মড 4), এর অর্থ হল p ষ্ণ 1 (মোড 8)। এই ধরনের প্রতিটি মৌলিক সংখ্যা একটি বর্গক্ষেত্র এবং দ্বিগুণ একটি বর্গক্ষেত্রের যোগফল। গাউস প্রমাণ করেছেন যে q = a2 + 2b2 ষ্ণ 1 (মড 8) একটি মৌলিক সংখ্যা। তারপর 2 হল একটি দ্বিখণ্ডিত অবশিষ্টাংশ (মোড q) যদি এবং শুধুমাত্র যদি একটি ষ্ণ ± 1 (মোড 8), এবং 2 একটি দ্বিখণ্ডিত, কিন্তু একটি দ্বিখণ্ডিত নয়, অবশিষ্টাংশ (মোড q) যদি এবং শুধুমাত্র যদি একটি ষ্ণ ± 3 (মোড 8) হয়। প্রতিটি মৌলিক সংখ্যা p ষ্ণ 1 (মড 4) হল দুটি বর্গের যোগফল। যদি p = a2 + b2 যেখানে a বিজোড় এবং b জোড় হয়, গাউস প্রমাণ করেন যে 2 উপরে সংজ্ঞায়িত প্রথম (যথাক্রমে দ্বিতীয়, তৃতীয় বা চতুর্থ) শ্রেণীর অন্তর্গত যদি এবং শুধুমাত্র যদি b ষ্ণ 0 (রেসপ) হয়। 2, 4, বা 6) (মোড 8)। এর প্রথম উদাহরণ হল অয়লারের অনুমানগুলির মধ্যে একটিঃ 2 হল একটি মৌলিক p ষ্ণ 1 (মড 4)-এর একটি দ্বিখণ্ডিত অবশিষ্টাংশ যদি এবং শুধুমাত্র যদি p = a2 + 64b2 হয়। ডিরিচলেট একটি বিজোড় মৌলিক সংখ্যা p এবং একটি দ্বিঘাত অবশিষ্টাংশ a (মোড p)-এর জন্য, অয়লারের মানদণ্ড বলে যে, যদি p ষ্ণ 1 (মোড 4) হয়, তবে মৌলিক সংখ্যা p ষ্ণ 1 (মোড 4) এবং দ্বিঘাত অবশিষ্টাংশ a (মোড p)-এর জন্য যুক্তিসঙ্গত চতুর্ভুজ অবশিষ্ট চিহ্নটি সংজ্ঞায়িত করুন। তারপর (লক্ষ্য করুন যে i2 ষ্ণ −1 (মড p)।) প্রকৃতপক্ষে, ধরা যাক p = a2 + b2 = c2 + 2d2 = e2 − 2f2 ষ্ণ 1 (মড 8) মৌলিক সংখ্যা, এবং ধরে নেওয়া যাক a বিজোড়। তাহলে সাধারণ কিংবদন্তী প্রতীক কোথায়? 2-এর অক্ষরের বাইরে গিয়ে, মৌলিক সংখ্যা p = a2 + b2 যেখানে b জোড়, এবং q-কে এমন একটি মৌলিক সংখ্যা হিসাবে ধরা যাক যাতে চতুর্ভুজ পারস্পরিকতা বলে যে যেখানে σ2 ষ্ণ p (মড q)। তারপর এটি বোঝায় যে প্রথম কয়েকটি উদাহরণ হলঃ অয়লার 2,3 এবং 5-এর জন্য নিয়মগুলি অনুমান করেছিলেন, তবে সেগুলির কোনওটিই প্রমাণ করেননি। ডিরিচলেট আরও প্রমাণ করেছেন যে যদি p ষ্ণ 1 (মড 4) মৌলিক হয় এবং তারপর এটি ব্রাউন এবং লেহমার দ্বারা 17 থেকে 17,73,97 এবং 193 পর্যন্ত বাড়ানো হয়েছে। বার্ডের যুক্তিসঙ্গত দ্বিঘাত পারস্পরিকতা আইনটি বর্ণনা করার বেশ কয়েকটি সমতুল্য উপায় রয়েছে। তারা সকলেই ধরে নেয় যে, p = a2 + b2 এবং q = c2 + d2 হল মৌলিক সংখ্যা যেখানে b এবং d জোড়, এবং গসেট-এর সংস্করণ হল লেটিং i2 ষ্ণ −1 (মড p) এবং j2 ষ্ণ −1 (মোড q), ফ্রলিচের সূত্র হল বার্ডে-কে এই রূপে বর্ণনা করা হয়েছেঃ লক্ষ্য করুন যে, মিসেলানি ধরা যাক, p ষ্ণ q ষ্ণ ষ্ণ −1 (মোড 4) মৌলিক সংখ্যা এবং ধরে নেওয়া যাক। তারপর e2 = p f2 + q g2-এর অ-তুচ্ছ পূর্ণসংখ্যা সমাধান রয়েছে এবং ধরা যাক p ষ্ণ q ষ্ণ 1 (মড 4) মৌলিক সংখ্যা এবং ধরে নেওয়া যাক p = r2 + q s2। তারপর ধরা যাক p = 1 + 4x2 মৌলিক সংখ্যা, a যেকোন বিজোড় সংখ্যা যা x কে ভাগ করে, এবং ধরা যাক a * হল একটি দ্বিঘাত অবশিষ্টাংশ (মড p)। ধরা যাক p = a2 + 4b2 = c2 + 2d2 ষ্ণ 1 (মড 8) মৌলিক সংখ্যা। তারপর c4 − p a2-এর সমস্ত বিভাজকগুলি দ্বিখণ্ডিত অবশিষ্টাংশ (মোড p)। d4 − p b2-এর সমস্ত বিভাজকের ক্ষেত্রেও একই কথা প্রযোজ্য। গাউসীয় পূর্ণসংখ্যা পটভূমি দ্বিখণ্ডিত পারস্পরিকতার উপর তাঁর দ্বিতীয় মনোগ্রাফটিতে গাউস কিছু উদাহরণ প্রদর্শন করেছেন এবং অনুমান করেছেন যা ছোট মৌলিক সংখ্যার দ্বিখণ্ডিত চরিত্রের জন্য উপরে তালিকাভুক্ত উপপাদ্যগুলিকে বোঝায়। তিনি কিছু সাধারণ মন্তব্য করেন এবং স্বীকার করেন যে কাজ করার ক্ষেত্রে কোনও সুস্পষ্ট সাধারণ নিয়ম নেই। তিনি আরও বলেন, দ্বিখণ্ডিত অবশিষ্টাংশের উপপাদ্যগুলি সর্বাধিক সরলতা এবং প্রকৃত সৌন্দর্যের সাথে তখনই ঝলমল করে যখন গাণিতিক ক্ষেত্রটি কাল্পনিক সংখ্যায় প্রসারিত হয়, যাতে কোনও সীমাবদ্ধতা ছাড়াই, a + b ফর্মের সংখ্যাগুলি অধ্যয়নের বস্তু গঠন করে। আমরা এই সংখ্যাগুলিকে অবিচ্ছেদ্য জটিল সংখ্যা বলি। এই সংখ্যাগুলিকে এখন গাউসীয় পূর্ণসংখ্যার বলয় বলা হয়, যা Z [i] দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। মনে রাখবেন যে, i হল 1-এর চতুর্থ মূল। একটি পাদলিপিতে তিনি যোগ করেছেন যে ঘন অবশিষ্টাংশের তত্ত্বটি অবশ্যই a + bh ফর্মের সংখ্যার বিবেচনার উপর একইভাবে ভিত্তি করে হতে হবে যেখানে h হল সমীকরণের একটি কাল্পনিক মূল h3 = 1. এবং একইভাবে উচ্চতর শক্তির অবশিষ্টাংশের তত্ত্ব অন্যান্য কাল্পনিক পরিমাণের প্রবর্তনের দিকে পরিচালিত করে। এককত্বের ঘনমূল থেকে গঠিত সংখ্যাগুলিকে এখন আইজেনস্টাইন পূর্ণসংখ্যার বলয় বলা হয়। "উচ্চতর শক্তির অবশিষ্টাংশ তত্ত্বের" জন্য প্রয়োজনীয় "অন্যান্য কাল্পনিক পরিমাণ" হল সাইক্লোটোমিক সংখ্যা ক্ষেত্রের পূর্ণসংখ্যার বলয়; গাউসিয়ান এবং আইজেনস্টাইন পূর্ণসংখ্যা এগুলির সহজতম উদাহরণ। তথ্য ও পরিভাষা গাউস "অবিচ্ছেদ্য জটিল সংখ্যা"-র গাণিতিক তত্ত্বের বিকাশ ঘটান এবং দেখান যে এটি সাধারণ পূর্ণসংখ্যার গাণিতিকের সাথে বেশ মিল। এখানেই গণিতে একক, সহযোগী, আদর্শ এবং প্রাথমিক শব্দগুলি প্রবর্তিত হয়েছিল। একক হল সেই সংখ্যা যা 1 কে ভাগ করে। সেগুলি হল 1, i, −1, এবং −i। সাধারণ পূর্ণসংখ্যায় এগুলি 1 এবং-1-এর অনুরূপ, যাতে তারা প্রতিটি সংখ্যাকে ভাগ করে। এককগুলি হল আই-এর ক্ষমতা। একটি সংখ্যা λ = a + b দেওয়া হলে, এর কনজুগেট হল a − b এবং এর সহযোগী চারটি সংখ্যা হল λ = + a + b iλ = − b + এআই − λ = − a − b − iλ = + b − i যদি λ = a + b হয়, তবে λ এর আদর্শ, Nλ লেখা, হল a2 + b2 সংখ্যা। যদি λ এবং μ দুটি গাউসীয় পূর্ণসংখ্যা হয়, তাহলে Nλμ = Nλ Nμ; অন্য কথায়, আদর্শটি গুণিতক। শূন্যের আদর্শ হল শূন্য, অন্য যে কোনও সংখ্যার আদর্শ হল ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা। ε একটি একক যদি এবং শুধুমাত্র যদি Nε = 1 হয়। λ-এর আদর্শের বর্গমূল, একটি অ-ঋণাত্মক বাস্তব সংখ্যা যা গাউসিয়ান পূর্ণসংখ্যা নাও হতে পারে, হল λ-এর পরম মান। গাউস প্রমাণ করেন যে জেড [আই] একটি অনন্য ফ্যাক্টরাইজেশন ডোমেন এবং দেখায় যে মৌলিক সংখ্যাগুলি তিনটি শ্রেণীতে পড়েঃ 2 একটি বিশেষ ক্ষেত্রেঃ 2 = আই3 (1 + আই) 2। এটি Z-এ একমাত্র মৌলিক সংখ্যা যা Z [i]-এ একটি মৌলিক সংখ্যার বর্গ দ্বারা বিভাজ্য। বীজগাণিতিক সংখ্যা তত্ত্বে বলা হয়, 2 কে Z [i]-এ বিভক্ত করা হয়। Z ষ্ণ 3 (মোড 4)-এর ধনাত্মক মৌলিক সংখ্যাগুলিও Z [i]-এর মৌলিক সংখ্যা। বীজগাণিতিক সংখ্যা তত্ত্বে বলা হয় যে, এই মৌলিক সংখ্যাগুলি Z [i]-এ নিষ্ক্রিয় থাকে। Z ষ্ণ 1 (মড 4)-এ ধনাত্মক মৌলিক সংখ্যা হল Z [i]-এ দুটি সংযুক্ত মৌলিক সংখ্যার গুণফল। বীজগাণিতিক সংখ্যা তত্ত্বে বলা হয় যে, এই মৌলিক সংখ্যাগুলি Z [i]-এ বিভক্ত। সুতরাং, নিষ্ক্রিয় মৌলিক সংখ্যা হল 3,7,11,19, এবং বিভক্ত মৌলিক সংখ্যার গুণনীয়ক হল 5 = (2 + i) × (2−i), 13 = (2 + 3i) × (2−3i), 17 = (4 + i) × (4−i), 29 = (2 + 5i) × (2−5i),। একটি মৌলিক সংখ্যার সহযোগী এবং সংমিশ্রণও মৌলিক সংখ্যা। লক্ষ্য করুন যে একটি নিষ্ক্রিয় মৌলিক সংখ্যা q-এর আদর্শ হল Nq = q2 ষ্ণ 1 (মড 4); সুতরাং 1 + i এবং তার সহযোগী ব্যতীত অন্যান্য সমস্ত মৌলিক সংখ্যার আদর্শ হল ষ্ণ 1 (মোড 4)। গাউস একটি সংখ্যাকে Z [i] বিজোড় বলে ডাকে যদি তার আদর্শ একটি বিজোড় পূর্ণসংখ্যা হয়। সুতরাং 1 + i এবং এর সহযোগী ব্যতীত সমস্ত মৌলিক সংখ্যা বিজোড়। দুটি বিজোড় সংখ্যার গুণফল বিজোড় এবং একটি বিজোড় সংখ্যার সংযুগ্ম ও সহযোগী বিজোড়। অনন্য ফ্যাক্টরাইজেশন উপপাদ্যটি বর্ণনা করার জন্য, একটি সংখ্যার সহযোগীগুলির মধ্যে একটিকে আলাদা করার একটি উপায় থাকা প্রয়োজন। গাউস একটি বিজোড় সংখ্যাকে প্রাথমিক হিসাবে সংজ্ঞায়িত করে যদি এটি ষ্ণ 1 (মোড (1 + i) 3) হয়। এটা দেখানো সোজা যে প্রতিটি বিজোড় সংখ্যার ঠিক একটি প্রাথমিক সহযোগী থাকে। একটি বিজোড় সংখ্যা λ = a + b প্রাথমিক হয় যদি a + b ষ্ণ a − b ষ্ণ 1 (মড 4); অর্থাৎ, a ষ্ণ 1 এবং b ষ্ণ 0, অথবা a ষ্ণ 3 এবং b ষ্ণ 2 (মোড 4) হয়। দুটি প্রাথমিক সংখ্যার গুণফল হল প্রাথমিক এবং একটি প্রাথমিক সংখ্যার সংমিশ্রণও প্রাথমিক। Z [i]-এর জন্য অনন্য ফ্যাক্টরাইজেশন উপপাদ্যটি হ 'লঃ যদি λ ষ্ণুত 0 হয়, তবে যেখানে 0 ≤ μ ≤ 3, ν ≤ 0, π হল প্রাথমিক মৌলিক সংখ্যা এবং α হল ≤ 1, এবং এই উপস্থাপনাটি অনন্য, কারণগুলির ক্রম পর্যন্ত। সঙ্গতি এবং সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ বিভাজকের ধারণাগুলি Z [i]-এ একইভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে যেমন তারা সাধারণ পূর্ণসংখ্যা Z-এর জন্য। যেহেতু এককগুলি সমস্ত সংখ্যাকে ভাগ করে, তাই একটি কংগ্রুয়েন্স (মোড λ) λ-এর যে কোনও সহযোগীর জন্য সত্য মডুলো এবং একটি GCD-এর যে কোনও সহযোগীও একটি GCD। কোয়ার্টিক অবশিষ্টাংশ চরিত্র গাউস ফার্মাটের উপপাদ্যের সাদৃশ্য প্রমাণ করেঃ যদি α একটি বিজোড় মৌলিক সংখ্যা π দ্বারা বিভাজ্য না হয়, তাহলে যেহেতু Nπ ষ্ণ 1 (মোড 4), অর্থবহ, এবং একটি অনন্য একক ik-এর জন্য। এই এককটিকে α (মোড π)-এর কোয়ার্টিক বা দ্বিখণ্ডিত অবশিষ্টাংশ অক্ষর বলা হয় এবং এটি দ্বারা চিহ্নিত করা হয় এটির আনুষ্ঠানিক বৈশিষ্ট্যগুলি লেজেন্ড্রে প্রতীকের অনুরূপ। যদি এবং শুধুমাত্র যদি বারটি জটিল সংমিশ্রণকে নির্দেশ করে তবে Z [i]-এ সঙ্গতি সমাধানযোগ্য। যদি π এবং θ সহযোগী হয়, যদি α ষ্ণ β (মোড π) হয়, তবে দ্বিখণ্ডিত অক্ষরটি "হর"-এর বিজোড় যৌগিক সংখ্যায় প্রসারিত করা যেতে পারে একইভাবে লেজেন্ড্রে প্রতীকটি জ্যাকোবি প্রতীকে সাধারণীকরণ করা হয়। সেই ক্ষেত্রে, যদি "বিভাজক" যৌগিক হয়, তবে প্রতীকটি সর্বসমতা সমাধানযোগ্য না হয়েও একটির সমান হতে পারেঃ যেখানে a এবং b যদি সাধারণ পূর্ণসংখ্যা হয়, a ষ্ণ 0, |b।> 1, gcd (a, b) = 1, তাহলে গাউস উপপাদ্যের বিবৃতিগুলি এই আকারে দ্বিঘাত পারস্পরিকতার সূত্রটি উল্লেখ করেঃ ধরা যাক π এবং θ হল Z [i]-এর স্বতন্ত্র প্রাথমিক মৌলিক সংখ্যা। তারপর যদি π বা θ অথবা উভয়ই ষ্ণ 1 (মড 4) হয়, কিন্তু যদি π এবং θ উভয়ই ষ্ণ 3 + 2i (মোড 4) হয়, তাহলে ঠিক যেমন কিংবদন্তী প্রতীকের জন্য দ্বিঘাত পারস্পরিকতা আইন জ্যাকোবি প্রতীকের জন্যও সত্য, সংখ্যাগুলি মৌলিক হওয়ার প্রয়োজনীয়তার প্রয়োজন নেই; এটি যথেষ্ট যে তারা বিজোড় তুলনামূলকভাবে মৌলিক অ-একক হবে। সম্ভবত সবচেয়ে সুপরিচিত বিবৃতিটি হলঃ ধরা যাক π এবং θ প্রাথমিক তুলনামূলকভাবে মৌলিক অ-একক। তারপর এককগুলির জন্য সম্পূরক উপপাদ্য রয়েছে এবং অর্ধ-জোড় মৌলিক সংখ্যা 1 + i. যদি π = a + b একটি প্রাথমিক মৌলিক সংখ্যা হয়, তাহলে এবং এইভাবে। জ্যাকোবি π = a + b কে প্রাথমিক হিসাবে সংজ্ঞায়িত করেছেন যদি a ষ্ণ 1 (মড 4) হয়। এই স্বাভাবিকীকরণের সাথে, সূত্রটি এই রূপ নেয় ধরা যাক α = a + b এবং β = c + d যেখানে a ষ্ণ c ষ্ণ 1 (মড 4) এবং b এবং d তুলনামূলকভাবে মৌলিক অ-একক। তারপর নিম্নলিখিত সংস্করণটি গাউসের অপ্রকাশিত পাণ্ডুলিপিতে পাওয়া যায়। ধরা যাক α = a + 2bi এবং β = c + 2di যেখানে a এবং c বিজোড় তুলনামূলকভাবে মৌলিক অ-একক। তারপর প্রাথমিকের ধারণাটি ব্যবহার না করেই সূত্রটি বলা যেতে পারেঃ যদি λ বিজোড় হয়, তবে ε (λ) কে λ (মড (1 + i) 3)-এর অনন্য একক হিসাবে ধরা যাক; অর্থাৎ, ε (λ) = ik ষ্ণ λ (মোড 2 + 2i), যেখানে 0 ≤ k ≤ 3। তারপর বিজোড় এবং তুলনামূলকভাবে মৌলিক α এবং β-এর জন্য, একটিও একক নয়, বিজোড় λ-এর জন্য, ধরা যাক তারপর যদি λ এবং μ তুলনামূলকভাবে মৌলিক একক না হয়, আইজেনস্টাইন প্রমাণ করেন যে চতুর্ভুজ পারস্পরিকতা ঘন পারস্পরিকতা আইজেনস্টাইন পারস্পরিকতা আর্টিন পারস্পরিকতা নোট A.Here, "যুক্তিসঙ্গত" মানে এমন আইন যা কিছু বীজগাণিতিক সংখ্যা ক্ষেত্রের পূর্ণসংখ্যার পরিবর্তে সাধারণ পূর্ণসংখ্যার পরিপ্রেক্ষিতে বর্ণিত হয়। রেফারেন্স সাহিত্য ইউলার, ডিরিচলেট এবং আইজেনস্টাইনের মূল গবেষণাপত্রের উল্লেখগুলি লেমারমেয়ার এবং কক্সের গ্রন্থপঞ্জি থেকে অনুলিপি করা হয়েছিল এবং এই নিবন্ধের প্রস্তুতিতে ব্যবহার করা হয়নি। অয়লার এটি আসলে 1748-1750 লেখা হয়েছিল, কিন্তু শুধুমাত্র মরণোত্তর প্রকাশিত হয়েছিল; এটি পঞ্চম খণ্ডে, পৃ. গাউসের 182-283 দ্বিখণ্ডিত পারস্পরিকতার উপর প্রকাশিত গাউসের দুটি মনোগ্রাফ ধারাবাহিকভাবে সংখ্যাযুক্ত বিভাগ রয়েছেঃ প্রথমটিতে §§ 1-23 এবং দ্বিতীয়টিতে §§ 24-76 রয়েছে। এগুলিকে উল্লেখ করা পাদটীকা "গাউস, বি কিউ, § এন" আকারে রয়েছে। ডিসকুইজিশনস অ্যারিথমেটিকাকে উল্লেখ করা পাদটীকা "গাউস, ডিএ, আর্ট" আকারে রয়েছে। এন "। এগুলি গাউস ওয়ার্কের দ্বিতীয় খণ্ডে রয়েছে। 65-92 এবং 93-148 জার্মান অনুবাদগুলি পিপিতে রয়েছে। নিম্নলিখিতগুলির মধ্যে 511-533 এবং 534-586, যার সংখ্যা তত্ত্বের উপর ডিসকুইজিশনস অ্যারিথমেটিকা এবং গাউসের অন্যান্য গবেষণাপত্রও রয়েছে। আইজেনস্টাইন এই সমস্ত কাগজপত্র তাঁর ওয়ার্কের প্রথম খণ্ডে রয়েছে। এই দুটিই ডিরিচলেট তাঁর ওয়ার্কের প্রথম খণ্ডে রয়েছে। আধুনিক লেখক বাহ্যিক যোগসূত্র ফ্রাঞ্জ লেমারমেয়ারের এই দুটি গবেষণাপত্রে বার্ডের সূত্র এবং সম্পর্কিত ফলাফলের প্রমাণ রয়েছেঃ যুক্তিসঙ্গত কোয়ার্টিক পারস্পরিকতা যুক্তিসঙ্গত কোয়ার্টিক পারস্পরিকতা II বীজগাণিতিক সংখ্যা তত্ত্ব সংখ্যা তত্ত্বে মডুলার গাণিতিক উপপাদ্য