Baum–Sweet sequence
গণিতে বাউম-মিষ্টি ক্রম হল 0s এবং 1s-এর একটি অসীম স্বয়ংক্রিয় ক্রম যা এই নিয়ম দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়েছেঃ bn = 1 যদি n-এর বাইনারি উপস্থাপনায় বিজোড় দৈর্ঘ্যের পরপর 0s-এর কোনও ব্লক না থাকে; bn = 0 অন্যথায়; n ≤ 0-এর জন্য। উদাহরণস্বরূপ, b4 = 1 কারণ 4 এর বাইনারি উপস্থাপনা 100, যার দৈর্ঘ্য 2 এর পরপর 0s এর একটি ব্লক রয়েছে; যেখানে b5 = 0 কারণ 5 এর বাইনারি উপস্থাপনা 101, যার দৈর্ঘ্য 1 এর পরপর 0s এর একটি ব্লক রয়েছে। n = 0 থেকে শুরু করে, বাউম-মিষ্টি অনুক্রমের প্রথম কয়েকটি পদ হলঃ 1,1,0,1,0,0,1,0,0,1,0,1,0,0,0,1। 1976 সালে লিওনার্ড ই. বাউম এবং মেলভিন এম. সুইট এই ক্রমের বৈশিষ্ট্যগুলি প্রথম অধ্যয়ন করেন। 1949 সালে, খিনচিন অনুমান করেছিলেন যে একটি অ-চতুর্ভুজ বীজগাণিতিক বাস্তব সংখ্যা বিদ্যমান নেই যার অবিচ্ছিন্ন ভগ্নাংশ সম্প্রসারণে সীমাবদ্ধ আংশিক অনুপাত রয়েছে। এই অনুমানের বিপরীত উদাহরণ এখনও জানা যায়নি। বাউম এবং সুইটের গবেষণাপত্রে দেখা গেছে যে বীজগাণিতিক শক্তি সিরিজের জন্য একই প্রত্যাশা পূরণ হয় না। তারা কিউবিক পাওয়ার সিরিজের একটি উদাহরণ দিয়েছেন যার আংশিক অনুপাতগুলি আবদ্ধ। (বাউম এবং সুইটের ফলাফলে পাওয়ার সিরিজের মাত্রা খিঞ্চিনের অনুমানের বীজগাণিতিক বাস্তবতার সাথে যুক্ত ক্ষেত্র সম্প্রসারণের মাত্রার অনুরূপ।) বাউম এবং সুইটের গবেষণাপত্রে বিবেচিত সিরিজগুলির মধ্যে একটি হল ডিগ্রির মূল। লেখকরা দেখান যে হেনসেলের লেমা দ্বারা, মডুলোর সংজ্ঞায়িত সমীকরণকে হ্রাস করার কারণে এই ধরনের একটি অনন্য মূল রয়েছে, যা তারা প্রমাণ করে যে এই অনন্য মূলটির ডিগ্রির আংশিক অংশ রয়েছে। এটি করার আগে, তারা বলে (উপপাদ্য 2, পৃ. 598-এর পরবর্তী মন্তব্যে) যে মূলটি কোথায় এবং যদি এবং কেবল তখনই লেখা যেতে পারে যদি এর বাইনারি সম্প্রসারণে শুধুমাত্র 's'-এর জোড় দৈর্ঘ্যের ব্লক থাকে। এটি বাউম-মিষ্টি অনুক্রমের উৎস। মকাউয়ার এবং ইয়াও প্রমাণ করেছেন যে উপরের জন্য অব্যাহত ভগ্নাংশের আংশিক অনুপাতগুলি একটি স্বয়ংক্রিয় ক্রম গঠন করে না। যাইহোক, আংশিক কোটিয়েন্টের ক্রম একটি অ-অভিন্ন অঙ্গসংস্থান দ্বারা তৈরি করা যেতে পারে। বৈশিষ্ট্য বাউম-মিষ্টি ক্রমটি একটি 3-স্টেট অটোমেটন দ্বারা তৈরি করা যেতে পারে। বাউম-মিষ্টি ক্রমে bn শব্দের মান নিম্নরূপ পুনরাবৃত্তভাবে পাওয়া যায়। যদি n = m·4k হয়, যেখানে m 4 দ্বারা বিভাজ্য নয় (বা 0 হয়), তাহলে b76 = b9 = b4 = b0 = 1, যা পর্যবেক্ষণ করে যাচাই করা যেতে পারে যে 76-এর বাইনারি উপস্থাপনা, যা 1001100, বিজোড় দৈর্ঘ্যের সাথে 0-এর কোনও ধারাবাহিক ব্লক ধারণ করে না। বাউম-মিষ্টি শব্দ 1101100101001001., যা বাউম-মিষ্টি অনুক্রমের শর্তাবলী একত্রিত করে তৈরি করা হয়েছে, এটি রূপবাদ বা স্ট্রিং প্রতিস্থাপন নিয়মের একটি নির্দিষ্ট বিন্দু যা নিম্নরূপঃ 11 → 1101 → 11011001 → 11011001 → 1101100101001001 → 1101100101001001000001001001001। রূপবাদ নিয়ম থেকে দেখা যায় যে বাউম-মিষ্টি শব্দটিতে যে কোনও দৈর্ঘ্যের পরপর 0-এর ব্লক রয়েছে (5.2k ≤ n <6.2k পরিসরে সমস্ত 2k পূর্ণসংখ্যার জন্য bn = 0)। আরও সংক্ষেপে, কোভামের ক্ষুদ্র উপপাদ্য দ্বারা বাউম-মিষ্টি শব্দটিকে একটি অভিন্ন অঙ্গসংস্থানের নির্দিষ্ট বিন্দুতে প্রয়োগ করা কোডিং হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে। প্রকৃতপক্ষে, রূপবাদ এবং কোডিং সেইভাবে শব্দটি তৈরি করে। নোটস রেফারেন্স বাইনারি ক্রম