Higher-dimensional algebra
গণিতে, বিশেষ করে (উচ্চতর) শ্রেণী তত্ত্ব, উচ্চ-মাত্রিক বীজগণিত হল শ্রেণীবদ্ধ কাঠামোর অধ্যয়ন। অ-আবেলিয়ান বীজগাণিতিক টপোলজিতে এর প্রয়োগ রয়েছে এবং বিমূর্ত বীজগণিতকে সাধারণীকরণ করে। উচ্চ-মাত্রিক বিভাগ উচ্চ-মাত্রিক বীজগণিত সংজ্ঞায়িত করার প্রথম ধাপ হল উচ্চ বিভাগ তত্ত্বের 2-বিভাগের ধারণা, তারপরে দ্বৈত বিভাগের আরও 'জ্যামিতিক' ধারণা। একটি উচ্চতর স্তরের ধারণাকে এইভাবে বিভাগগুলির একটি বিভাগ বা অতি-বিভাগ হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়, যা বিভাগের ধারণাকে উচ্চতর মাত্রায় সাধারণীকরণ করে-যে কোনও কাঠামো হিসাবে বিবেচিত যা লভেরের বিমূর্ত বিভাগগুলির প্রাথমিক তত্ত্বের (ইটিএসি) স্বতঃসিদ্ধির ব্যাখ্যা। সুতরাং, একটি সুপার-বিভাগ এবং একটি সুপার-বিভাগকে মেটা-বিভাগ, বহু-বিভাগ এবং মাল্টি-গ্রাফ, কে-পার্টাইট গ্রাফ বা রঙিন গ্রাফের ধারণার প্রাকৃতিক সম্প্রসারণ হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে (একটি রঙিন চিত্র দেখুন, এবং গ্রাফ তত্ত্বে এর সংজ্ঞাও দেখুন)। সুপার বিভাগগুলি প্রথম 1970 সালে চালু করা হয়েছিল এবং পরবর্তীকালে তাত্ত্বিক পদার্থবিজ্ঞান (বিশেষত কোয়ান্টাম ক্ষেত্র তত্ত্ব এবং টপোলজিকাল কোয়ান্টাম ক্ষেত্র তত্ত্ব) এবং গাণিতিক জীববিজ্ঞান বা গাণিতিক জৈব পদার্থবিজ্ঞানের প্রয়োগের জন্য তৈরি করা হয়েছিল। উচ্চ-মাত্রিক বীজগণিতে অন্যান্য পথের মধ্যে রয়েছেঃ দ্বি-বিভাগ, দ্বি-বিভাগের সমরূপতা, পরিবর্তনশীল বিভাগ (সূচক বা পরামিতি বিভাগ হিসাবেও পরিচিত), টোপোই, কার্যকর অবতরণ এবং সমৃদ্ধ এবং অভ্যন্তরীণ বিভাগ। দ্বৈত গ্রুপয়েড উচ্চ-মাত্রিক বীজগণিতে (এইচডিএ), একটি দ্বৈত গ্রুপয়েড হল এক-মাত্রিক গ্রুপয়েডের দুটি মাত্রার সাধারণীকরণ, এবং পরবর্তী গ্রুপয়েডকে সমস্ত বিপরীতমুখী তীর বা মরফিজম সহ একটি বিভাগের বিশেষ ক্ষেত্রে বিবেচনা করা যেতে পারে। দ্বৈত গ্রুপয়েডগুলি প্রায়শই জ্যামিতিক বস্তু সম্পর্কে তথ্য ক্যাপচার করতে ব্যবহৃত হয় যেমন উচ্চ-মাত্রিক ম্যানিফোল্ড (বা এন-মাত্রিক ম্যানিফোল্ড)। সাধারণভাবে, একটি এন-ডাইমেনশনাল ম্যানিফোল্ড হল এমন একটি স্থান যা স্থানীয়ভাবে একটি এন-ডাইমেনশনাল ইউক্লিডিয়ান স্থানের মতো দেখায়, তবে যার বৈশ্বিক কাঠামো অ-ইউক্লিডিয়ান হতে পারে। ডাবল গ্রুপয়েডগুলি প্রথম রোনাল্ড ব্রাউন দ্বারা ডাবল গ্রুপয়েড এবং ক্রসড মডিউলে (1976) চালু করা হয়েছিল এবং ননবেলিয়ান বীজগাণিতিক টপোলজিতে প্রয়োগের দিকে আরও উন্নত করা হয়েছিল। একটি সম্পর্কিত, 'দ্বৈত' ধারণা হল একটি দ্বৈত অ্যালজেব্রয়েড, এবং আর-অ্যালজেব্রয়েডের আরও সাধারণ ধারণা। নন-অ্যাবেলিয়ান বীজগাণিতিক টপোলজি দেখুন নন-অ্যাবেলিয়ান বীজগাণিতিক টপোলজি অ্যাপ্লিকেশন তাত্ত্বিক পদার্থবিজ্ঞান কোয়ান্টাম ক্ষেত্র তত্ত্বে, কোয়ান্টাম বিভাগ রয়েছে। এবং কোয়ান্টাম ডাবল গ্রুপয়েড। কোয়ান্টাম ডাবল গ্রুপয়েডকে একটি 2-ফাংক্টরের মাধ্যমে সংজ্ঞায়িত মৌলিক গ্রুপয়েড হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে, যা একজনকে দ্বি-বিভাগের স্প্যান (গ্রুপয়েড)-এর পরিপ্রেক্ষিতে কোয়ান্টাম মৌলিক গ্রুপয়েডের (কিউএফজি) শারীরিকভাবে আকর্ষণীয় কেস সম্পর্কে চিন্তা করতে এবং তারপরে ম্যানিফোল্ড এবং কোবোর্ডিজমের জন্য 2-হিলবার্ট স্পেস এবং 2-রৈখিক মানচিত্র তৈরি করতে দেয়। পরবর্তী ধাপে, এই ধরনের 2-ফাংশনের প্রাকৃতিক রূপান্তরের মাধ্যমে কোণ সহ কোবোর্ডিজম অর্জন করা যায়। এরপরে একটি দাবি করা হয়েছিল যে, গেজ গ্রুপ এস. ইউ (2)-এর সাথে, "বর্ধিত টি. কিউ. এফ. টি, বা ই. টি. কিউ. এফ. টি, কোয়ান্টাম মাধ্যাকর্ষণের পনজানো-রেজ মডেলের সমতুল্য একটি তত্ত্ব দেয়"; একইভাবে, তুরায়েভ-ভাইরো মডেলটি তখন এস. ইউ. কিউ (2)-এর উপস্থাপনা সহ প্রাপ্ত হবে। অতএব, একটি গেজ তত্ত্বের স্টেট স্পেস-বা অনেক ধরনের কোয়ান্টাম ফিল্ড তত্ত্ব (কিউএফটি) এবং স্থানীয় কোয়ান্টাম পদার্থবিজ্ঞান, প্রতিসাম্য দ্বারা প্রদত্ত রূপান্তর গ্রুপয়েডের পরিপ্রেক্ষিতে, উদাহরণস্বরূপ একটি গেজ তত্ত্বের ক্ষেত্রে, গেজ রূপান্তর দ্বারা বর্ণনা করা যেতে পারে, যা এই ক্ষেত্রে, সংযোগের অবস্থার উপর কাজ করে। কোয়ান্টাম গ্রুপের সাথে সম্পর্কিত প্রতিসাম্যের ক্ষেত্রে, এমন কাঠামো পাওয়া যাবে যা কোয়ান্টাম গ্রুপয়েডের প্রতিনিধিত্বমূলক বিভাগ, 2-ভেক্টর স্পেসের পরিবর্তে যা গ্রুপয়েডের প্রতিনিধিত্বমূলক বিভাগ। কোয়ান্টাম পদার্থবিজ্ঞান আরও দেখুন নোটস আরও পড়া (ডাউনলোডযোগ্য পিডিএফ উপলব্ধ) এটি গ্রুপয়েডের কিছু ইতিহাস দেয়, যেমন দ্বিঘাত আকারে হেনরিচ ব্র্যান্ডের কাজের উৎস এবং 160 টি রেফারেন্স সহ 1987 সাল পর্যন্ত পরবর্তী কাজের একটি ইঙ্গিত। গ্রুপয়েড ধারণাটি কীভাবে উচ্চ-মাত্রিক গ্রুপয়েডের ধারণার দিকে পরিচালিত করেছে তা ব্যাখ্যা করে অনেক রেফারেন্স সহ একটি ওয়েব নিবন্ধ, যা হোমোটপি তত্ত্ব এবং গ্রুপ কোহোমোলজিতে প্রয়োগ সহ গ্রুপ তত্ত্বে উপলব্ধ নয়। পূর্বে 1968 এবং 1988 সালে প্রকাশিত একটি বইয়ের সংশোধিত এবং বর্ধিত সংস্করণ। ওয়েবসাইট থেকে ই-সংস্করণ পাওয়া যায়। গালোয়া তত্ত্বের সাধারণীকরণগুলি কীভাবে গালোয়া গোষ্ঠীভুক্তদের দিকে পরিচালিত করে তা দেখায়। । উচ্চ বিভাগ তত্ত্ব বিভাগ তত্ত্ব বীজগাণিতিক টপোলজি বীজগাণিতিক যুক্তি বিভাগগত যুক্তি ডিঃ গ্রুপপয়েড (ক্যাটাগরিওরিএনথিওরি) এসঃ গ্রুপপয়েড ফ্রঃ ক্যাটেগরি গ্রুপওইড কোঃ এটিঃ গ্রুপপয়েড (তেওরিয়া ডেলে শ্রেণীবিভাগ) পিটিঃ গ্রুপপয়েড (তেওরিয়া দাস শ্রেণীবিভাগ)