Mutually unbiased bases
কোয়ান্টাম তথ্য তত্ত্বে, হিলবার্ট স্পেস সিডি-তে ঘাঁটির একটি সেটকে পারস্পরিক পক্ষপাতহীন বলা হয়, যার অর্থ, যদি একটি সিস্টেমকে একটি ঘাঁটির আইগেন অবস্থায় প্রস্তুত করা হয়, তবে অন্য ভিত্তির সাপেক্ষে পরিমাপের সমস্ত ফলাফল 1/ডি-এর সমান সম্ভাবনা সহ ঘটবে বলে পূর্বাভাস দেওয়া হয়। পর্যালোচনা পারস্পরিক নিরপেক্ষ ভিত্তির ধারণাটি প্রথম 1960 সালে শুইনগার দ্বারা প্রবর্তিত হয়েছিল এবং কোয়ান্টাম অবস্থা নির্ধারণের সমস্যায় ইভানোভিচ প্রথম ব্যক্তি যিনি পারস্পরিক নিরপেক্ষ ভিত্তির প্রয়োগ বিবেচনা করেছিলেন। এম. ইউ. বি এবং তাদের অস্তিত্বের সমস্যা, এখন গণিত এবং কোয়ান্টাম বিজ্ঞানের অন্যান্য শাখায় বেশ কয়েকটি ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত সমস্যা এবং সমতুল্য অবতার রয়েছে, যেমন এস. আই. সি-পি. ও. ভি. এম, সীমাবদ্ধ প্রজেক্টিভ/অ্যাফিন প্লেন, জটিল হাদামার্ড ম্যাট্রিক্স ইত্যাদি। [দেখুনঃ বিস্তারিত বিবরণের জন্য নীচের অংশে সম্পর্কিত সমস্যা এবং নির্মাণ বিভাগগুলি] কোয়ান্টাম কী বিতরণের জন্য এম. ইউ. বিগুলি গুরুত্বপূর্ণ, বিশেষত নিরাপদ কোয়ান্টাম কী বিনিময়ের ক্ষেত্রে। পারস্পরিকভাবে নিরপেক্ষ ঘাঁটিগুলি অনেক প্রোটোকলে ব্যবহার করা হয় কারণ ফলাফলটি এলোমেলো হয় যখন একটি পরিমাপ নিরপেক্ষ ভিত্তিতে করা হয় যেখানে রাষ্ট্র প্রস্তুত করা হয়েছিল। যখন দুটি দূরবর্তী পক্ষ দুটি অ-অর্থোগোনাল কোয়ান্টাম অবস্থা ভাগ করে নেয়, তখন পরিমাপের মাধ্যমে এগুলির মধ্যে পার্থক্য করার জন্য একটি ইভড্রপারের প্রচেষ্টা সিস্টেমকে প্রভাবিত করবে এবং এটি সনাক্ত করা যেতে পারে। যদিও অনেক কোয়ান্টাম ক্রিপ্টোগ্রাফি প্রোটোকল 1-কিউবিট প্রযুক্তির উপর নির্ভর করেছে, তবে কুত্রিটের মতো উচ্চ-মাত্রিক অবস্থা নিযুক্ত করা, আড়াল করার বিরুদ্ধে আরও ভাল সুরক্ষার অনুমতি দেয়। এটি উচ্চ-মাত্রিক স্থানগুলিতে পারস্পরিক নিরপেক্ষ ঘাঁটির অধ্যয়নকে অনুপ্রাণিত করে। পারস্পরিক নিরপেক্ষ ভিত্তির অন্যান্য ব্যবহারের মধ্যে রয়েছে কোয়ান্টাম অবস্থা পুনর্গঠন, কোয়ান্টাম ত্রুটি সংশোধন কোড, কোয়ান্টাম এনট্যাঙ্গলমেন্ট সনাক্তকরণ এবং তথাকথিত "গড় রাজার সমস্যা"। সংজ্ঞা এবং উদাহরণ এক জোড়া অর্থোনর্মাল ঘাঁটি এবং হিলবার্ট স্পেস সিডি-তে পারস্পরিক পক্ষপাতহীন বলা হয়, যদি এবং শুধুমাত্র যদি কোনও ভিত্তির অবস্থার মধ্যে অভ্যন্তরীণ গুণফলের মাত্রার বর্গ এবং মাত্রার বিপরীতের সমান হয় d: এই ঘাঁটিগুলি নিম্নলিখিত অর্থে পক্ষপাতহীনঃ যদি একটি সিস্টেম বেসগুলির মধ্যে একটির অন্তর্গত অবস্থায় প্রস্তুত করা হয়, তবে অন্য ভিত্তির সাপেক্ষে পরিমাপের সমস্ত ফলাফল সমান সম্ভাবনার সাথে ঘটবে বলে পূর্বাভাস দেওয়া হয়। d = 2-এর উদাহরণ তিনটি ভিত্তি C2-এ পারস্পরিক নিরপেক্ষ ভিত্তির সহজতম উদাহরণ প্রদান করে। উপরের ঘাঁটিগুলি যথাক্রমে পাউলি স্পিন ম্যাট্রিক্সের আইগেনভেক্টর এবং তাদের গুণফল নিয়ে গঠিত। d = 4-এর উদাহরণ d = 4-এর জন্য, d + 1 = 5 পারস্পরিক পক্ষপাতহীন ভিত্তির একটি উদাহরণ যেখানে প্রতিটি ভিত্তিকে Mj, 0 ≤ j ≤ 4 দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, নিম্নরূপ দেওয়া হয়েছেঃ অস্তিত্ব সমস্যা আসুন d-মাত্রিক হিলবার্ট স্থান Cd-তে পারস্পরিক পক্ষপাতহীন ভিত্তির সর্বাধিক সংখ্যা নির্দেশ করি। এটি একটি উন্মুক্ত প্রশ্ন, নির্বিচারে d-এর জন্য Cd-তে কতগুলি পারস্পরিক পক্ষপাতহীন ঘাঁটি পাওয়া যায়। সাধারণভাবে, যদি d-এর মৌলিক-ঘাত গুণনফল হয়, তবে পারস্পরিক পক্ষপাতহীন ঘাঁটির সর্বাধিক সংখ্যা যা তৈরি করা যেতে পারে তা সন্তুষ্ট করে। এটি পূর্ববর্তী সমীকরণে দেখা যেতে পারে, কারণ d-এর মৌলিক সংখ্যার পচন হল। অতএব, পারস্পরিক পক্ষপাতহীন ভিত্তির সর্বাধিক সংখ্যা জানা যায় যখন d একটি মৌলিক সংখ্যার পূর্ণসংখ্যা শক্তি হয়, তবে এটি নির্বিচারে d-এর জন্য পরিচিত নয়। সম্পর্কিত সমস্যাগুলি এম. ইউ. বি-র সমস্যাটি প্রকৃতিতে SIC _ POVM-এর প্রতিসম বৈশিষ্ট্যের অনুরূপ বলে মনে হয়। উটার্স উল্লেখ করেছেন যে নিরপেক্ষ ভিত্তির একটি সম্পূর্ণ সেট একটি জ্যামিতিক কাঠামো তৈরি করে যা একটি সসীম প্রজেক্টিভ সমতল হিসাবে পরিচিত, যেখানে একটি এস. আই. সি-পি. ও. ভি. এম (যে কোনও মাত্রায় যা একটি মৌলিক শক্তি) একটি সসীম অ্যাফিন সমতল তৈরি করে, এমন এক ধরনের কাঠামো যার সংজ্ঞা একটি সসীম প্রজেক্টিভ সমতলের সাথে অভিন্ন, যেখানে পয়েন্ট এবং লাইনগুলির ভূমিকা বিনিময় হয়। এই অর্থে, এস. আই. সি-পি. ও. ভি. এম এবং পারস্পরিক নিরপেক্ষ ভিত্তির সমস্যাগুলি একে অপরের দ্বৈত। মাত্রায়, সাদৃশ্যটি আরও এগিয়ে নিয়ে যাওয়া যেতে পারেঃ পারস্পরিক নিরপেক্ষ ঘাঁটির একটি সম্পূর্ণ সেট সরাসরি একটি এস. আই. সি-পি. ও. ভি. এম থেকে তৈরি করা যেতে পারে। এস. আই. সি-পি. ও. ভি. এম-এর 9টি ভেক্টর, পারস্পরিক নিরপেক্ষ ঘাঁটির 12টি ভেক্টরের সাথে মিলে একটি সেট তৈরি করে যা কোচেন-স্পিকার প্রুফে ব্যবহার করা যেতে পারে। যাইহোক, 6-মাত্রিক হিলবার্ট স্পেসে, একটি এস. আই. সি-পি. ও. ভি. এম জানা যায়, তবে পারস্পরিক নিরপেক্ষ ঘাঁটির কোনও সম্পূর্ণ সেট এখনও আবিষ্কৃত হয়নি, এবং এটি ব্যাপকভাবে বিশ্বাস করা হয় যে এই ধরনের কোনও সেট বিদ্যমান নেই। পারস্পরিক পক্ষপাতহীন ঘাঁটি খুঁজে বের করার পদ্ধতি ওয়েইল গ্রুপ পদ্ধতি ধরা যাক এবং হিলবার্ট স্পেস সিডি-তে দুটি একক অপারেটর হতে হবে যাতে কিছু ফেজ ফ্যাক্টরের জন্য। উদাহরণস্বরূপ, যদি ঐক্যের একটি আদিম মূল হয়, তবে এবং এর আইগেনবেসগুলি পারস্পরিক নিরপেক্ষ। আইগেনবেসিসকে স্ট্যান্ডার্ড বেসিস হিসাবে বেছে নিয়ে আমরা ফুরিয়ার ম্যাট্রিক্স ব্যবহার করে এর নিরপেক্ষ আরেকটি বেসিস তৈরি করতে পারি। ফুরিয়ার ম্যাট্রিক্সের উপাদানগুলি অন্যান্য বেস দ্বারা দেওয়া হয় যা স্ট্যান্ডার্ড বেসিস এবং ফুরিয়ার ম্যাট্রিক্স দ্বারা উত্পন্ন বেসিস উভয়ের প্রতি পক্ষপাতহীন এবং ওয়েল গ্রুপ ব্যবহার করে তৈরি করা যেতে পারে। ওয়েল গ্রুপ ব্যবহার করে পারস্পরিক নিরপেক্ষ ঘাঁটির সেট তৈরি করার সময় হিলবার্ট স্থানের মাত্রা গুরুত্বপূর্ণ। যখন d একটি মৌলিক সংখ্যা হয়, তখন সাধারণ d + 1 পারস্পরিক নিরপেক্ষ ঘাঁটিগুলি ওয়েইল গ্রুপ ব্যবহার করে তৈরি করা যেতে পারে। যখন d একটি মৌলিক সংখ্যা নয়, তখন এটি সম্ভব যে এই পদ্ধতি ব্যবহার করে তৈরি করা যেতে পারে এমন পারস্পরিক নিরপেক্ষ ভিত্তির সর্বাধিক সংখ্যা হল 3। সীমাবদ্ধ ক্ষেত্র ব্যবহার করে একক অপারেটর পদ্ধতি যখন d = p মৌলিক হয়, তখন আমরা একক অপারেটরগুলিকে সংজ্ঞায়িত করি এবং যেখানে মানক ভিত্তি এবং একতার মূল। তারপর নিম্নলিখিত ডি + 1 অপারেটরের আইগেনবেসগুলি পারস্পরিক পক্ষপাতহীনঃ বিজোড় ডি-এর জন্য, অপারেটরের টি-তম আইগেনভেক্টরটি স্পষ্টভাবে দেওয়া হয় যখন একটি মৌলিক শক্তির শক্তি হয়, তখন আমরা সসীম ক্ষেত্রটি ব্যবহার করে ডি + 1 পারস্পরিক পক্ষপাতহীন ঘাঁটির সর্বাধিক সেট তৈরি করি। আমরা সীমাবদ্ধ ক্ষেত্র ব্যবহার করে সিডি-র গণনামূলক ভিত্তির উপাদানগুলিকে লেবেল করিঃ আমরা অপারেটরগুলিকে সংজ্ঞায়িত করি এবং নিম্নলিখিত উপায়ে যেখানে ক্ষেত্রের উপর একটি যোগাত্মক অক্ষর এবং কেটগুলিতে যোগ এবং গুণ এবং এর। তারপর আমরা যাতায়াতকারী একক অপারেটরদের ডি + 1 সেট গঠন করিঃ এবং প্রত্যেকের জন্য একটি সেটের অপারেটরদের যৌথ আইগেনবেসগুলি অন্য কোনও সেটের সাথে পারস্পরিকভাবে পক্ষপাতহীন। এইভাবে আমাদের ডি + 1 পারস্পরিক নিরপেক্ষ ঘাঁটি রয়েছে। হ্যাডামার্ড ম্যাট্রিক্স পদ্ধতি প্রদত্ত যে হিলবার্ট স্পেসে একটি বেসিস হল স্ট্যান্ডার্ড বেসিস, তাহলে এই বেসিসের ক্ষেত্রে নিরপেক্ষ সমস্ত বেস একটি জটিল হ্যাডামার্ড ম্যাট্রিক্সের কলাম দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে যা একটি স্বাভাবিককরণ ফ্যাক্টর দ্বারা গুণিত হয়। d = 3-এর জন্য এই ম্যাট্রিক্সগুলির রূপ হবে k + 1 পারস্পরিক পক্ষপাতহীন ভিত্তির একটি সেট খুঁজে বের করার সমস্যা তাই k পারস্পরিক পক্ষপাতহীন জটিল হ্যাডামার্ড ম্যাট্রিক্স খুঁজে বের করার সাথে মিলে যায়। 4-মাত্রিক হিলবার্ট স্পেসে হ্যাডামার্ড ম্যাট্রিক্সের এক পরামিতি পরিবারের একটি উদাহরণ হল এমইউবি-র একটি সর্বাধিক সেট খুঁজে বের করার সমস্যা যখন d = 6 একটি মৌলিকের পূর্ণসংখ্যা শক্তি নয় এমন ক্ষুদ্রতম মাত্রা হল d = 6। এটি সবচেয়ে ছোট মাত্রা যার জন্য পারস্পরিক নিরপেক্ষ ভিত্তির সংখ্যা জানা যায় না। যখন d একটি মৌলিক সংখ্যার পূর্ণসংখ্যা শক্তি হয় তখন পারস্পরিক নিরপেক্ষ ভিত্তির সংখ্যা নির্ধারণের জন্য ব্যবহৃত পদ্ধতিগুলি এই ক্ষেত্রে ব্যবহার করা যাবে না। হ্যাডামার্ড ম্যাট্রিক্স এবং সংখ্যাসূচক পদ্ধতি উভয়ই ব্যবহার করে d = 6 হলে চারটি পারস্পরিক নিরপেক্ষ ভিত্তির একটি সেটের অনুসন্ধান ব্যর্থ হয়েছে। সাধারণ বিশ্বাস হল যে, d = 6-এর জন্য পারস্পরিক নিরপেক্ষ ভিত্তির সর্বাধিক সংখ্যা হল। এনট্রপিক অনিশ্চয়তা সম্পর্ক এবং এমইউবি পারস্পরিক নিরপেক্ষ ভিত্তির একটি বিকল্প বৈশিষ্ট্য রয়েছে যা তাদের অনিশ্চয়তা সম্পর্কের পরিপ্রেক্ষিতে বিবেচনা করে। এনট্রপিক অনিশ্চয়তা সম্পর্ক হাইজেনবার্গ অনিশ্চয়তা নীতির অনুরূপ, এবং মাসেন এবং উফিঙ্ক খুঁজে পেয়েছেন যে যে কোনও দুটি ঘাঁটির জন্য এবংঃ কোথায় এবং এবং হল ঘাঁটির সংশ্লিষ্ট এনট্রপি এবং, একটি প্রদত্ত অবস্থা পরিমাপ করার সময়। এনট্রপিক অনিশ্চয়তা সম্পর্কগুলি প্রায়শই হাইজেনবার্গ অনিশ্চয়তা নীতির চেয়ে বেশি পছন্দসই, কারণ এগুলি পরিমাপ করার অবস্থার পরিপ্রেক্ষিতে শব্দায়িত হয় না, তবে সি-এর পরিপ্রেক্ষিতে। কোয়ান্টাম কী বিতরণের মতো পরিস্থিতিতে, আমরা পরিমাপের ভিত্তিগুলির জন্য লক্ষ্য রাখি যাতে একটি ভিত্তির ক্ষেত্রে একটি অবস্থার সম্পূর্ণ জ্ঞান অন্য ভিত্তির ক্ষেত্রে অবস্থার ন্যূনতম জ্ঞানকে বোঝায়। এটি পরিমাপের ফলাফলের একটি উচ্চ এনট্রপিকে বোঝায় এবং এইভাবে আমরা এই শক্তিশালী এনট্রপিক অনিশ্চয়তা সম্পর্কগুলিকে বলি। দুটি ভিত্তির জন্য, অনিশ্চয়তার সম্পর্কের নিম্ন সীমা সর্বাধিক হয় যখন পরিমাপের ভিত্তিগুলি পারস্পরিক পক্ষপাতহীন হয়, যেহেতু পারস্পরিক পক্ষপাতহীন ঘাঁটিগুলি সর্বাধিক অসামঞ্জস্যপূর্ণঃ যে ভিত্তিতে অবস্থাটি প্রস্তুত করা হয় তার সাথে পক্ষপাতহীন ভিত্তিতে করা পরিমাপের ফলাফল সম্পূর্ণ এলোমেলো। প্রকৃতপক্ষে, একটি ডি-মাত্রিক স্থানের জন্য, আমাদের রয়েছেঃ পারস্পরিক পক্ষপাতহীন ঘাঁটির যে কোনও জুটির জন্য এবং। এই সীমাটি সর্বোত্তমঃ যদি আমরা একটি ভিত্তি থেকে একটি অবস্থা পরিমাপ করি তবে ফলাফলের সেই ভিত্তিতে এনট্রপি 0 এবং অন্যটির একটি এনট্রপি থাকে। যদি স্থানটির মাত্রা একটি মৌলিক শক্তি হয়, তাহলে আমরা d + 1 এম. ইউ. বি তৈরি করতে পারি, এবং তারপর এটি পাওয়া গেছে যে সেটগুলি জোড়া দিয়ে এবং তারপর মাসেন এবং উফিঙ্ক সমীকরণ ব্যবহার করে আমরা যে সম্পর্কটি পাব তার চেয়ে শক্তিশালী। এইভাবে আমাদের ডি + 1 পারস্পরিক নিরপেক্ষ ভিত্তির একটি বৈশিষ্ট্য রয়েছে যার জন্য অনিশ্চয়তার সম্পর্কগুলি সবচেয়ে শক্তিশালী। যদিও দুটি ভিত্তি এবং ডি + 1 ভিত্তির ক্ষেত্রে ভালভাবে অধ্যয়ন করা হয়েছে, অন্যান্য পরিস্থিতিতে পারস্পরিক নিরপেক্ষ ভিত্তির জন্য অনিশ্চয়তার সম্পর্ক সম্পর্কে খুব কমই জানা যায়। দুটির বেশি এবং ভিত্তির চেয়ে কম বিবেচনা করার সময় জানা যায় যে পারস্পরিক নিরপেক্ষ ভিত্তির বড় সেট বিদ্যমান যা খুব কম অনিশ্চয়তা প্রদর্শন করে। এর অর্থ কেবলমাত্র পারস্পরিক নিরপেক্ষ হওয়া উচ্চ অনিশ্চয়তার দিকে পরিচালিত করে না, কেবলমাত্র দুটি ভিত্তিতে পরিমাপ বিবেচনা করা ছাড়া। তবুও অন্যান্য পরিমাপ রয়েছে যা খুব অনিশ্চিত। অসীম মাত্রায় পারস্পরিক নিরপেক্ষ ঘাঁটি হিলবার্ট স্পেস যদিও অসীম মাত্রায় হিলবার্ট স্পেসে পারস্পরিক নিরপেক্ষ ঘাঁটিগুলির তদন্ত করা হয়েছে, তাদের অস্তিত্ব একটি উন্মুক্ত প্রশ্ন হিসাবে রয়ে গেছে। এটি অনুমান করা হয় যে একটি অবিচ্ছিন্ন হিলবার্ট স্পেসে, দুটি অর্থোনর্মাল ঘাঁটি এবং পারস্পরিক নিরপেক্ষ বলা হয় যদি সাধারণীকৃত অবস্থান এবং ভরবেগ আইগেনস্টেটের জন্য এবং, k এর মান হল একটি অবিচ্ছিন্ন হিলবার্ট স্পেসে পারস্পরিক নিরপেক্ষ ঘাঁটির অস্তিত্ব বিতর্কের জন্য উন্মুক্ত থাকে, কারণ কোনও সিদ্ধান্তে পৌঁছানোর আগে তাদের অস্তিত্ব সম্পর্কে আরও গবেষণা প্রয়োজন। অবস্থান অবস্থা এবং ভরবেগ অবস্থা যথাক্রমে হার্মিসিয়ান অপারেটরের আইগেনভেক্টর এবং। ওয়েইগার্ট এবং উইলকিনসন প্রথম লক্ষ্য করেন যে এই অপারেটরগুলির একটি রৈখিক সংমিশ্রণে আইগেনবেস রয়েছে, যার পারস্পরিক নিরপেক্ষ ঘাঁটির জন্য কিছু বৈশিষ্ট্য রয়েছে। একটি অপারেটরের আইগেনফাংশনের সঙ্গে এবং সংশ্লিষ্ট আইগেনভ্যালুগুলির আনুপাতিক থাকে। যদি আমরা প্যারামিট্রাইজ করি এবং এবং হিসাবে, রৈখিক সংমিশ্রণের যে কোনও আইগেনস্টেট এবং অবস্থান অপারেটরের যে কোনও আইগেনস্টেটের মধ্যে ওভারল্যাপ স্থির থাকে, তবে নির্ভর করেঃ এবং এর আইগেনফাংশনের জন্য কোথায় এবং কোথায় দাঁড়ায়। আরও দেখুন কোয়ান্টাম মেকানিক্সে পরিমাপ পিওভিএম এসআইসি-পিওভিএম কিউবিজম রেফারেন্স কোয়ান্টাম পরিমাপ পদার্থবিজ্ঞানে অমীমাংসিত সমস্যা গণিতে অমীমাংসিত সমস্যা হিলবার্ট স্পেস অপারেটর তত্ত্ব ঘটনা জ্যামিতি ইউক্লিডীয় সমতল জ্যামিতি বীজগাণিতিক জ্যামিতি হাইপারগ্রাফ কম্পিউটার-সমর্থিত প্রমাণ