Toral subalgebra
গণিতে, একটি টোরাল সাবঅ্যালজেব্রা হল একটি সাধারণ রৈখিক লাই বীজগণিতের একটি লাই সাবঅ্যালজেব্রা যার সমস্ত উপাদান অর্ধ-সরল (বা বীজগাণিতিকভাবে বন্ধ ক্ষেত্রের উপর তির্যক)। সমতুল্যভাবে, একটি লাই বীজগণিত টোরাল হয় যদি এতে কোনও শূন্যেতর নিলপোটেন্ট উপাদান না থাকে। একটি বীজগাণিতিকভাবে বদ্ধ ক্ষেত্রের উপর, প্রতিটি তোরাল লাই বীজগণিত আবেলিয়ান হয়; সুতরাং, এর উপাদানগুলি একই সাথে তির্যকযোগ্য। সেমিসিম্পল এবং রিডাক্টিভ লাই অ্যালজেব্রাতে একটি সেমিসিম্পল লাই বীজগণিতের একটি সাবঅ্যালজেব্রাকে টরাল বলা হয় যদি অন-এর সংলগ্ন উপস্থাপনাটি একটি টরাল সাবঅ্যালজেব্রা হয়। একটি সসীম-মাত্রিক অর্ধ-সরল লাই বীজগণিতের একটি ম্যাক্সিমাল টরাল লাই সাবঅ্যালজেব্রা, বা আরও সাধারণভাবে একটি সসীম-মাত্রিক হ্রাসকারী লাই বীজগণিত, একটি বীজগাণিতিকভাবে বন্ধ ক্ষেত্রের বৈশিষ্ট্য 0-এর উপর একটি কার্টান সাবঅ্যালজেব্রা এবং তদ্বিপরীত। বিশেষত, এই বিন্যাসে একটি ম্যাক্সিমাল টরাল লাই সাবঅ্যালজেব্রা স্ব-স্বাভাবিক, তার সেন্ট্রালাইজারের সাথে মিলে যায় এবং কিলিং ফর্মটি ননডিজেনারেট হয়। আরও সাধারণ লাই অ্যালজেব্রার জন্য, একটি কার্টান সাবঅ্যালজেব্রা সর্বাধিক টরাল সাবঅ্যালজেব্রা থেকে পৃথক হতে পারে। একটি সীমাবদ্ধ-মাত্রিক অর্ধ-সরল লাই বীজগণিতে একটি বৈশিষ্ট্য শূন্যের বীজগাণিতিকভাবে বন্ধ ক্ষেত্রের উপর, একটি টোরাল উপ-বীজগণিত বিদ্যমান। প্রকৃতপক্ষে, যদি শুধুমাত্র নিলপোটেন্ট উপাদান থাকে, তবে এটি নিলপোটেন্ট (এঙ্গেলের উপপাদ্য), তবে এর কিলিং ফর্মটি অভিন্নভাবে শূন্য, যা আধা-সরলীকরণের বিরোধিতা করে। অতএব, অবশ্যই একটি অ-শূন্য অর্ধ-সরল উপাদান থাকতে হবে, ধরুন x; x-এর রৈখিক বিস্তার তখন একটি তোরাল উপ-বীজগণিত। আরও দেখুন লাই গ্রুপের তত্ত্বের সর্বাধিক টরাস, লাই অ্যালজেব্রার রেফারেন্স বৈশিষ্ট্য