Eilenberg–Niven theorem
আইলেনবার্গ-নিভেন উপপাদ্য হল একটি উপপাদ্য যা বীজগণিতের মৌলিক উপপাদ্যকে কোয়াটারনিয়নিক পলিনোমিয়াল, অর্থাৎ কোয়াটারনিয়ন সহগ এবং চলক সহ পলিনোমিয়ালগুলিতে সাধারণীকরণ করে। এটি স্যামুয়েল আইলেনবার্গ এবং ইভান এম. নিভেন দ্বারা সৃষ্ট। বিবৃতি ধরা যাক, যেখানে x, a0, a1,.., an হল অ-শূন্য চতুর্ভুজ এবং φ (x) হল প্রথম পদের অনুরূপ কিন্তু n-এর চেয়ে কম মাত্রার মনোমিয়ালের একটি সসীম যোগফল। তাহলে P (x) = 0-এর অন্তত একটি সমাধান থাকে। সাধারণীকরণ যদি সর্বোচ্চ মাত্রার সাথে একাধিক একবচনকে অনুমতি দেওয়া হয়, তবে উপপাদ্যটি ধরে রাখে না এবং পি (এক্স) = এক্স + ইক্সি + 1 = 0 একটি পাল্টা উদাহরণ যার কোনও সমাধান নেই। আইলেনবার্গ-নিভেন উপপাদ্যকে অষ্টকগুলিতেও সাধারণীকরণ করা যেতে পারেঃ উচ্চতর মাত্রার একটি অনন্য একক সহ সমস্ত অষ্টক-আয়নিক বহুপদীর অন্তত একটি সমাধান থাকে, যা বন্ধনীর ক্রম থেকে স্বাধীন (অষ্টকগুলি একটি অ-সম্পর্কিত বীজগণিত)। কোয়াটারনিয়ন থেকে ভিন্ন, তবে, মনিক এবং অ-মনিক অক্টোনিওনিক বহুপদীগুলির সর্বদা শূন্যের একই সেট থাকে না। বহুপদী সম্পর্কে তথ্যসূত্র উপপাদ্য