Fair division among groups
গোষ্ঠীগুলির (বা পরিবারগুলির) মধ্যে ন্যায্য বিভাজন হল ন্যায্য বিভাজন সমস্যার একটি শ্রেণী, যেখানে সম্পদগুলি পৃথক এজেন্টদের পরিবর্তে এজেন্টদের গোষ্ঠীর মধ্যে বরাদ্দ করা হয়। বিভাজনের পরে, প্রতিটি গোষ্ঠীর সমস্ত সদস্য একই অংশ গ্রহণ করে, তবে তাদের পছন্দ আলাদা হতে পারে; অতএব, বরাদ্দ ন্যায্য কিনা তা নিয়ে একই গোষ্ঠীর বিভিন্ন সদস্য দ্বিমত পোষণ করতে পারে। গোষ্ঠী মেলা বিভাগের কিছু উদাহরণ হলঃ অনেক ভাইবোন তাদের পিতামাতার কাছ থেকে কিছু বাড়ি উত্তরাধিকার সূত্রে পেয়েছিল এবং তাদের ভাগ করতে হয়েছিল। প্রতিটি ভাইবোনের একটি পরিবার থাকে, যার সদস্যদের কোন বাড়িটি ভাল সে সম্পর্কে ভিন্ন মতামত থাকতে পারে। একটি অংশীদারিত্ব ভেঙে দেওয়া হয় এবং এর সম্পদ অংশীদারদের মধ্যে ভাগ করা উচিত। অংশীদাররা হল সংস্থা; প্রতিটি সংস্থার বেশ কয়েকজন শেয়ারহোল্ডার রয়েছে, যারা কোন সম্পদটি বেশি গুরুত্বপূর্ণ তা নিয়ে দ্বিমত পোষণ করতে পারে। বিশ্ববিদ্যালয় প্রশাসন তাদের বিভাগগুলির মধ্যে কিছু মিটিং-রুম বরাদ্দ করতে চায়। প্রতিটি বিভাগে বেশ কয়েকজন অনুষদ সদস্য রয়েছেন, কোন কক্ষগুলি আরও ভাল সে সম্পর্কে বিভিন্ন মতামত রয়েছে। দুটি প্রতিবেশী দেশ তাদের মধ্যে একটি বিতর্কিত অঞ্চল ভাগ করতে চায়। প্রতিটি দেশের নাগরিকরা এই অঞ্চলের কোন অংশটি বেশি গুরুত্বপূর্ণ তা নিয়ে ভিন্নমত পোষণ করে। আন্তর্জাতিক বিরোধ নিষ্পত্তির ক্ষেত্রে এটি একটি সাধারণ বাধা। "এজেন্টদের গোষ্ঠী" একজন ব্যক্তির বিভিন্ন পরস্পরবিরোধী পছন্দের প্রতিনিধিত্ব করতে পারে। আচরণগত অর্থনীতিতে যেমন দেখা যায়, মানুষ প্রায়শই মনের বিভিন্ন কাঠামো বা বিভিন্ন মেজাজ অনুযায়ী তাদের পছন্দ পরিবর্তন করে। এই ধরনের ব্যক্তিদের এজেন্টদের একটি গোষ্ঠী হিসাবে প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে, যাদের প্রত্যেকেরই আলাদা পছন্দ রয়েছে। উপরের সমস্ত উদাহরণে, গোষ্ঠীগুলি আগে থেকে স্থির করা হয়। কিছু কিছু ক্ষেত্রে, গোষ্ঠীগুলি অস্থায়ীভাবে নির্ধারণ করা যেতে পারে, অর্থাৎ, লোকেদের তাদের পছন্দের ভিত্তিতে গোষ্ঠীভুক্ত করা যেতে পারে। এই ধরনের পরিবেশের একটি উদাহরণ হলঃ প্রায় 30 জন লোক স্থানীয় বাস্কেটবল কোর্ট ব্যবহার করতে চায়। প্রতিটি খেলায় 10 জন খেলোয়াড় থাকে যাদের বিভিন্ন পছন্দ থাকে যে কোন সময়টি ভালো। দিনের সময়কে 3টি ভাগে ভাগ করতে হবে এবং খেলোয়াড়দের 3টি গ্রুপে ভাগ করতে হবে এবং প্রতিটি টাইম-স্লটে একটি করে গ্রুপ বরাদ্দ করতে হবে। ন্যায্যতার মানদণ্ড সাধারণ ন্যায্যতার মানদণ্ড, যেমন আনুপাতিকতা এবং ঈর্ষা-স্বাধীনতা, একক অভিকর্তার দৃষ্টিকোণ থেকে, একক পছন্দের সম্পর্ক সহ বিভাজনকে বিচার করে। গোষ্ঠীগুলির মধ্যে ন্যায্য বিভাজনের জন্য এই মানদণ্ডগুলি প্রসারিত করার বিভিন্ন উপায় রয়েছে। সর্বসম্মত ন্যায্যতার জন্য সমস্ত গোষ্ঠীর সমস্ত এজেন্টের চোখে বরাদ্দকে ন্যায্য বলে বিবেচনা করা প্রয়োজন। উদাহরণস্বরূপঃ একটি বিভাগকে সর্বসম্মত-আনুপাতিক বলা হয় যদি প্রতিটি গোষ্ঠীর প্রতিটি প্রতিনিধি তার দলের অংশকে মোট মূল্যের কমপক্ষে 1/কে হিসাবে মূল্য দেয়, যেখানে কে হল গোষ্ঠীর সংখ্যা। একটি বিভাগকে সর্বসম্মতভাবে-হিংসা-মুক্ত বলা হয় যদি প্রতিটি গোষ্ঠীর প্রতিটি প্রতিনিধি তার দলের অংশকে কমপক্ষে অন্য কোনও গোষ্ঠীর অংশের মতো মূল্য দেয়। সর্বসম্মত ন্যায্যতা একটি শক্তিশালী প্রয়োজনীয়তা, এবং প্রায়শই সন্তুষ্ট করা যায় না। সমষ্টিগত ন্যায্যতা প্রতিটি গোষ্ঠীকে একটি নির্দিষ্ট সমষ্টিগত ফাংশন বরাদ্দ করে, যেমনঃ যোগফল, গুণফল, গাণিতিক গড় বা জ্যামিতিক গড়। এর জন্য আবণ্টনকে এই সমষ্টিগত কার্য অনুসারে ন্যায্য বলে বিবেচনা করা প্রয়োজন। উদাহরণস্বরূপঃ একটি বিভাগকে গড়-আনুপাতিক বলা হয় যদি, প্রতিটি গোষ্ঠীর জন্য, গোষ্ঠী ভাগের সাথে এজেন্টের মানগুলির গাণিতিক গড় মোট মানের কমপক্ষে 1/কে হয়। একটি বিভাগকে পণ্য-বিদ্বেষ-মুক্ত বলা হয়, যদি প্রতিটি গোষ্ঠীর জন্য, গোষ্ঠীর অংশীদারিত্বের এজেন্টদের মূল্যবোধের গুণফল কমপক্ষে অন্য কোনও গোষ্ঠীর অংশীদারিত্বের মূল্যবোধের গুণফল হয়। গণতান্ত্রিক ন্যায্যতার জন্য প্রয়োজন, প্রতিটি গোষ্ঠীতে, এজেন্টদের একটি নির্দিষ্ট ভগ্নাংশ একমত হয় যে বিভাজনটি ন্যায্য; পছন্দসইভাবে এই ভগ্নাংশটি কমপক্ষে 1/2 হওয়া উচিত। একটি ব্যবহারিক পরিস্থিতি যেখানে এই ধরনের প্রয়োজনীয়তা কার্যকর হতে পারে তা হল যখন দুটি গণতান্ত্রিক দেশ তাদের মধ্যে একটি নির্দিষ্ট বিতর্কিত জমি ভাগ করতে সম্মত হয় এবং চুক্তিটি উভয় দেশে গণভোটের মাধ্যমে অনুমোদিত হওয়া উচিত। সর্বসম্মত-নিরপেক্ষতা সমষ্টিগত-নিরপেক্ষতা এবং গণতান্ত্রিক-নিরপেক্ষতা উভয়কেই বোঝায়। সমষ্টিগত-ন্যায্যতা এবং গণতান্ত্রিক ন্যায্যতা স্বাধীন-এগুলির কোনওটিই অন্যটিকে বোঝায় না। প্যারেটো দক্ষতা আরেকটি গুরুত্বপূর্ণ মানদণ্ড যা ন্যায্যতার পাশাপাশি প্রয়োজন। এটি স্বাভাবিকভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছেঃ কোনও বরাদ্দ কমপক্ষে একজন পৃথক প্রতিনিধির জন্য ভাল নয় এবং কমপক্ষে সমস্ত পৃথক প্রতিনিধির জন্য ভাল। বিভাজ্য সম্পদের জন্য ফলাফল ন্যায্য কেক কাটার প্রসঙ্গে, নিম্নলিখিত ফলাফলগুলি জানা যায় (যেখানে কে হল গোষ্ঠীর সংখ্যা, এবং এন হল সমস্ত গোষ্ঠীর এজেন্টের সংখ্যা)। সর্বসম্মত ন্যায্যতাঃ সর্বসম্মত-আনুপাতিক এবং সর্বসম্মত-হিংসা-মুক্ত বরাদ্দ সর্বদা বিদ্যমান। যাইহোক, তারা সংযোগ বিচ্ছিন্ন হতে পারেঃ কমপক্ষে এন সংযুক্ত উপাদানগুলির প্রয়োজন হতে পারে। দুটি গ্রুপের সাথে, n উপাদানগুলি সর্বদা যথেষ্ট। কে> 2 গ্রুপের ক্ষেত্রে, ও (এন লগ কে) উপাদানগুলি সর্বসম্মত-আনুপাতিক বরাদ্দের জন্য সর্বদা যথেষ্ট, এবং ও (এন কে) উপাদানগুলি সর্বসম্মত-হিংসা-মুক্ত বরাদ্দের জন্য সর্বদা যথেষ্ট। এটি একটি উন্মুক্ত প্রশ্ন যে n উপাদানগুলি সর্বদা যথেষ্ট কিনা। সামগ্রিক ন্যায্যতাঃ গড়-আনুপাতিক এবং গড়-হিংসা-মুক্ত বরাদ্দ সর্বদা বিদ্যমান থাকে এবং শুধুমাত্র কে সংযুক্ত উপাদানগুলির প্রয়োজন হয় (অর্থাৎ, প্রতিটি গোষ্ঠী একটি সংযুক্ত অংশ পেতে পারে)। যাইহোক, রবার্টসন-ওয়েব ক্যোয়ারি মডেলের একটি সীমাবদ্ধ অ্যালগরিদম ব্যবহার করে এগুলি খুঁজে পাওয়া যায় না। গণতান্ত্রিক ন্যায্যতাঃ এক-তৃতীয়াংশ গণতান্ত্রিক আনুপাতিক এবং এক-তৃতীয়াংশ গণতান্ত্রিক হিংসা-মুক্ত বরাদ্দ সর্বদা বিদ্যমান। দুটি গ্রুপের সাথে, এমন বরাদ্দ রয়েছে যা সংযুক্ত এবং এগুলি বহুপদী সময়ে পাওয়া যেতে পারে। কে> 2 গোষ্ঠীর ক্ষেত্রে, সংযুক্ত 1/2-গণতান্ত্রিক ন্যায্য বরাদ্দের অস্তিত্ব নাও থাকতে পারে, তবে সর্বসম্মত-আনুপাতিক বরাদ্দের তুলনায় প্রয়োজনীয় উপাদানের সংখ্যা কম। ন্যায্যতা এবং দক্ষতাঃ অনুপাতের তিনটি রূপই যে কোনও সংখ্যক গোষ্ঠীর জন্য পারেটো-দক্ষতার সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ। সর্বসম্মত-ঈর্ষা-স্বাধীনতা 2টি গ্রুপের জন্য পেরেটো-দক্ষতার সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ, তবে 3 বা ততোধিক গোষ্ঠীর জন্য নয়। 1/2-গণতান্ত্রিক ঈর্ষা-স্বাধীনতা 2টি গোষ্ঠীর জন্য পেরেটো-দক্ষতার সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ, তবে 5 বা তার বেশি গোষ্ঠীর জন্য নয়। তারা 3 বা 4 টি গ্রুপের জন্য সামঞ্জস্যপূর্ণ কিনা তা উন্মুক্ত। যখন এজেন্টদের তাদের পছন্দের উপর ভিত্তি করে অ্যাড-হক গোষ্ঠীভুক্ত করা যায় তখন বিভাজন সমস্যাটি সহজ হয়। এই ক্ষেত্রে, প্রতিটি গোষ্ঠীর যে কোনও সংখ্যক গোষ্ঠী এবং যে কোনও সংখ্যক এজেন্টের জন্য একটি সর্বসম্মত হিংসা-মুক্ত সংযুক্ত বরাদ্দ রয়েছে। সর্বসম্মত আনুপাতিকতা এবং সঠিক বিভাজন একটি সঠিক বিভাগে (যাকে ঐকমত্য বিভাগও বলা হয়), এন এজেন্ট রয়েছে এবং লক্ষ্য হল কেকটিকে কে টুকরোতে এমনভাবে ভাগ করা যাতে সমস্ত এজেন্ট সমস্ত টুকরোকে ঠিক 1/কে-তে মূল্য দেয়। এটি জানা যায় যে n (k-1) সহ একটি সঠিক বিভাজন সর্বদা বিদ্যমান। যাইহোক, এমনকি কে = 2-এর জন্যও, এন কাট সহ একটি সঠিক বিভাগ খুঁজে পাওয়া কঠিন, এবং এন কাট সহ একটি আনুমানিক সঠিক বিভাগ খুঁজে পাওয়া পিপিএ-সম্পূর্ণ (আরও তথ্যের জন্য সঠিক বিভাগ দেখুন)। এটি প্রমাণ করা যেতে পারে যে সর্বসম্মত-আনুপাতিকতা নিম্নলিখিত অর্থে সর্বসম্মত বিভাজনের সমতুল্যঃ প্রতিটি n এবং k-এর জন্য, k পরিবারে গোষ্ঠীভুক্ত n (k-1) + 1 এজেন্টের মধ্যে সর্বসম্মত-আনুপাতিক বিভাজনের একটি সমাধান k পিস সহ n এজেন্টের মধ্যে সর্বসম্মত বিভাজনের একটি সমাধান বোঝায়। বিশেষত, এটি বোঝায় যে সর্বসম্মত-আনুপাতিক বিভাগের জন্য কমপক্ষে এন-1 কাটা (এন উপাদান) প্রয়োজন, এন-1 কাটা সহ একটি সর্বসম্মত-আনুপাতিক বিভাগ খুঁজে পাওয়া ফিক্স-হার্ড, এবং এন-1 কাটা সহ একটি আনুমানিক সর্বসম্মত-আনুপাতিক বিভাগ খুঁজে পাওয়া পিপিএ-হার্ড। প্রতিটি এন এবং কে-এর জন্য, এন এজেন্ট এবং কে পিসের মধ্যে সঠিক-বিভাজনের একটি সমাধান কে পরিবারে গোষ্ঠীভুক্ত এন + 1 এজেন্টের মধ্যে সর্বসম্মত-আনুপাতিক বিভাজনের একটি সমাধান বোঝায়। বিশেষত, এটি বোঝায় যে সঠিক সর্বসম্মত-আনুপাতিক বিভাজন (এন-1) (কে-1) কাট দিয়ে করা যেতে পারে এবং আনুমানিক সর্বসম্মত-আনুপাতিক বিভাগ খুঁজে পাওয়া পিপিএ-তে রয়েছে। কে = 2 পরিবারের জন্য কাটের সংখ্যা কম কিন্তু কে> 2-এর জন্য নয়। অবিভাজ্য পণ্যের ফলাফল ন্যায্য পণ্য বরাদ্দের প্রেক্ষাপটে নিম্নলিখিত ফলাফলগুলি জানা যায়। সর্বসম্মত আনুমানিক সর্বাধিক-শেয়ার ন্যায্যতাঃ যখন দুটি গোষ্ঠী থাকে, তখন এম. এম. এস-ন্যায্যতার একটি ইতিবাচক গুণিতক অনুমান নিশ্চিত করা যেতে পারে যদি-এবং-শুধুমাত্র-যদি গোষ্ঠীতে এজেন্টের সংখ্যা (1, এন-1) বা (2,2) বা (2,3) হয়। ইতিবাচক ফলাফলগুলি পলিনোমিয়াল-টাইম অ্যালগরিদম দ্বারা অর্জনযোগ্য। অন্যান্য সমস্ত ক্ষেত্রে, এমন উদাহরণ রয়েছে যেখানে ইতিবাচক এমএমএস সহ কমপক্ষে একজন প্রতিনিধি সমস্ত বরাদ্দে শূন্য মান পান। যখন তিন বা ততোধিক গোষ্ঠী থাকে, তখন এম. এম. এস-ন্যায্যতার একটি ধনাত্মক গুণিতক আনুমানিক অর্জন করা যেতে পারে যদি কে-1 গোষ্ঠীতে একটি একক প্রতিনিধি থাকে; বিপরীতে, যদি সমস্ত গোষ্ঠীতে 2টি প্রতিনিধি থাকে এবং একটি গোষ্ঠীতে কমপক্ষে 5টি প্রতিনিধি থাকে, তবে কোনও ধনাত্মক আনুমানিক অনুমান সম্ভব নয়। সর্বসম্মত আনুমানিক ঈর্ষা-স্বাধীনতাঃ যখন বাইনারি সংযোজনমূলক মূল্যায়নের সাথে এজেন্টদের দুটি গ্রুপ থাকে, তখন একটি সর্বসম্মত-ই. এফ. 1 বরাদ্দ বিদ্যমান থাকে যদি গ্রুপের আকার (1,5) বা (2,3) হয়, তবে গোষ্ঠীর আকার (1,6) বা (2,4) বা (3,3) হলে বিদ্যমান নাও থাকতে পারে। সাধারণভাবে, একটি ই. এফ. সি বরাদ্দ বিদ্যমান নাও থাকতে পারে যদি গ্রুপের আকার হয়। মনে রাখবেন যে, বাইনারি মূল্যায়নের ক্ষেত্রে EF1 হল EFX-এর সমতুল্য, কিন্তু EFX0-এর তুলনায় দুর্বল। একটি সর্বসম্মত-ই. এফ. এক্স. 0 বরাদ্দ বিদ্যমান নাও থাকতে পারে যদি গোষ্ঠীর আকার (1,2) হয়; এটি পৃথক এজেন্টের পরিস্থিতির বিপরীতে, অর্থাৎ গোষ্ঠীর আকার (1,1), যেখানে একটি ই. এফ. এক্স. 0 বরাদ্দ সর্বদা এমনকি মনোটোন মূল্যায়নের জন্যও বিদ্যমান। একটি প্রদত্ত উদাহরণ সর্বসম্মতভাবে-ই. এফ. 1 বরাদ্দ স্বীকার করে কিনা তা নির্ধারণ করা এন. পি-কঠিন। যখন প্রতিক্রিয়াশীল মূল্যায়নের সাথে এজেন্টদের দুটি গ্রুপ থাকে (যোগাত্মক মূল্যায়নের একটি সুপারসেট), একটি সর্বসম্মত-ই. এফ. 1 ভারসাম্যপূর্ণ বরাদ্দ বিদ্যমান যদি গ্রুপের আকার (1,2) হয়। যদি নেসার গ্রাফের উপর একটি নির্দিষ্ট অনুমান সত্য হয়, তবে গোষ্ঠী আকার (1,4), (2,3) এবং নির্বিচারে মনোটোন মূল্যায়নের জন্যও একটি সর্বসম্মত-ই. এফ. 1 ভারসাম্যপূর্ণ বরাদ্দ বিদ্যমান। একটি সর্বসম্মত-ই. এফ. এক্স বরাদ্দ বিদ্যমান নাও থাকতে পারে যদি দলের আকার (1,2) হয়। দুটি অ্যাড-হক গ্রুপের জন্য, নির্বিচারে মনোটোন মূল্যায়ন সহ যে কোনও সংখ্যক এজেন্টের সাথে, একটি সর্বসম্মত-ই. এফ. 1 বরাদ্দ রয়েছে। এজেন্টদের একটি ভারসাম্যপূর্ণ বিভাজন এবং পণ্যগুলির সর্বসম্মত-ই. এফ. 1 ভারসাম্যপূর্ণ বরাদ্দও রয়েছে। যোগাত্মক মূল্যায়নের মাধ্যমেও ই. এফ. 1-কে ই. এফ. এক্স-এ শক্তিশালী করা যায় না। কে অ্যাড-হক গ্রুপগুলির জন্য, যোগাত্মক মূল্যায়ন সহ যে কোনও সংখ্যক এজেন্টের সাথে, একটি সর্বসম্মত-প্রোপ * 1 বরাদ্দ রয়েছে। স্বেচ্ছাচারীভাবে কে গ্রুপে বিভক্ত এন এজেন্টদের জন্য, সর্বদা একটি বরাদ্দ বিদ্যমান যা সি আইটেম পর্যন্ত ঈর্ষাহীন, যেখানে। সি আইটেম পর্যন্ত আনুপাতিকতার ক্ষেত্রেও একই কথা প্রযোজ্য। সর্বসম্মত বিভাজনের জন্য সীমাবদ্ধতা রয়েছে। গোষ্ঠীগুলির সংখ্যা স্থির থাকলে সমস্ত সীমানা উপসর্গহীনভাবে আঁটসাঁট হয়। প্রমাণগুলি অসামঞ্জস্য তত্ত্ব ব্যবহার করে। উচ্চ সম্ভাবনার সাথে সর্বসম্মত ঈর্ষা-স্বাধীনতাঃ যখন সমস্ত কে গ্রুপে একই সংখ্যক এজেন্ট থাকে এবং তাদের মূল্যায়ন এলোমেলোভাবে টানা হয়, তখন একটি ঈর্ষা-মুক্ত বরাদ্দ উচ্চ সম্ভাবনার সাথে বিদ্যমান থাকে যদি পণ্যের সংখ্যা থাকে এবং একটি লোভী অ্যালগরিদম দ্বারা অর্জন করা যেতে পারে যা উপযোগিতার যোগফলকে সর্বাধিক করে। ফলাফলগুলি বিভিন্ন আকারের দুটি গ্রুপে প্রসারিত করা যেতে পারে। একটি সত্যবাদী প্রক্রিয়াও রয়েছে যা উচ্চ সম্ভাবনার সাথে প্রায়-হিংসা-মুক্ত বরাদ্দ অর্জন করে। যদি পণ্যের সংখ্যা n-এর কম হয়, তবে উচ্চ সম্ভাবনার সাথে, একটি ঈর্ষাহীন বরাদ্দের অস্তিত্ব নেই। গণতান্ত্রিক ন্যায্যতাঃ বাইনারি অ্যাডিটিভ ভ্যালুয়েশন (যে কোনও সংখ্যক এজেন্ট সহ) সহ দুটি গোষ্ঠীর জন্য সর্বদা 1-2-গণতান্ত্রিক ঈর্ষা-মুক্ত-ব্যতীত-1 বরাদ্দ থাকে। যদি আমরা কোনও ধ্রুবকের জন্য ঈর্ষা-মুক্ত-ব্যতীত-সি বরাদ্দের অনুমতি দিই, তবুও 1/2 ধ্রুবকটি শক্ত হয়। একই কথা আনুপাতিকতা-ব্যতীত-সি-এর ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য। একটি ভিন্ন ন্যায্যতা ধারণা, যা প্রতিটি গোষ্ঠীর 1/2 টিরও বেশি এজেন্টের জন্য নিশ্চিত করা যেতে পারে, তা হল অর্ডিনাল ম্যাক্সিমিন-শেয়ার আনুমানিক। প্রতিটি পূর্ণসংখ্যা সি-এর জন্য একটি-গণতান্ত্রিক 1-আউট-অফ-সি এমএমএস-ন্যায্য বরাদ্দ রয়েছে। রাউন্ড-রবিন আইটেম বরাদ্দের একটি বৈকল্পিক ব্যবহার করে এই বরাদ্দগুলি দক্ষতার সাথে পাওয়া যেতে পারে, প্রতিটি গোষ্ঠীর মধ্যে ওজনযুক্ত অনুমোদনের ভোটদান সহ। এজেন্টদের ভগ্নাংশের উপরের সীমা যা তাদের সেরা সি আইটেমগুলির (1-আউট-অফ-সি এমএমএসের চেয়ে দুর্বল একটি সম্পত্তি) গ্যারান্টি দেওয়া যেতে পারে। কারণ, 1-আউট-অফ-বেস্ট-সি বরাদ্দের জন্য নিম্ন সীমাটি 1/2 থেকে 3/5-এ উন্নীত করা যেতে পারে; এটি একটি উন্মুক্ত প্রশ্ন যে 3/4-এর উপরের সীমাটি সর্বদা অর্জন করা যেতে পারে কিনা। একটি প্রদত্ত উদাহরণ এমন একটি বরাদ্দ স্বীকার করে কিনা যা প্রতিটি এজেন্টকে একটি ইতিবাচক উপযোগিতা দেয় তা নির্ধারণ করা এনপি-কঠিন। সাধারণ একক স্বরের মূল্যায়ন সহ দুটি গোষ্ঠীর জন্য, সর্বদা একটি 1/2-গণতান্ত্রিক ঈর্ষা-মুক্ত-ব্যতীত-1 বরাদ্দ থাকে এবং এটি একটি দক্ষ অ্যালগরিদম দ্বারা পাওয়া যেতে পারে। বাইনারি অ্যাডিটিভ ভ্যালুয়েশন সহ তিন বা ততোধিক গোষ্ঠীর জন্য, সর্বদা একটি 1/কে-গণতান্ত্রিক ঈর্ষা-মুক্ত-ব্যতীত-1 বরাদ্দ থাকে; সাধারণ একমুখী মূল্যায়নের সাথে, সর্বদা একটি 1/কে-গণতান্ত্রিক ঈর্ষা-মুক্ত-ব্যতীত-2 বরাদ্দ থাকে। যে কোনও ধ্রুবক সি-এর জন্য ঈর্ষা-মুক্ত-ব্যতীত-সি বরাদ্দের জন্য 1/কে ফ্যাক্টরটি শক্ত। যদি ঈর্ষা-স্বাধীনতা আনুপাতিকতা বা ম্যাক্সিমিন-শেয়ারের জন্য শিথিল করা হয়, তবে বহুপদী-সময় অ্যালগরিদম ব্যবহার করে অনুরূপ গ্যারান্টি অর্জন করা যেতে পারে। যোগাত্মক মূল্যায়ন সহ গোষ্ঠীগুলির জন্য, 1/3-গণতান্ত্রিক 1-আউট-অফ-বেস্ট-কে বরাদ্দ খুঁজে পেতে রাউন্ড-রবিন আইটেম বরাদ্দের একটি রূপ ব্যবহার করা যেতে পারে। জিনিসপত্র ও অর্থের সমষ্টিগত ন্যায্য বিভাজন ভাড়া সামঞ্জস্যের (ঘর ও ভাড়া ঈর্ষাহীনভাবে ভাগ করা) প্রেক্ষাপটে নিম্নলিখিত ফলাফলগুলি জানা যায়। সর্বসম্মত ঈর্ষা-স্বাধীনতা (কাগজে শক্তিশালী ঈর্ষা-স্বাধীনতা বলা হয়) বিদ্যমান নাও থাকতে পারে যখন ব্যয়-ভাগাভাগি নীতি সমান বা আনুপাতিক হয়, তবে সর্বদা বিনামূল্যে ব্যয়-ভাগাভাগি নীতির সাথে বিদ্যমান থাকে। উপরন্তু, বিনামূল্যে খরচ ভাগাভাগি সহ একটি সর্বসম্মত-ঈর্ষাহীন বরাদ্দ যা মোট ভাড়া সর্বাধিক করে বহুপদী সময়ে পাওয়া যেতে পারে। অ্যাড-হক গোষ্ঠীগুলির ক্ষেত্রে, সর্বসম্মত ঈর্ষা-স্বাধীনতা এমনকি সমান ব্যয়-ভাগাভাগি নীতির ক্ষেত্রেও বিদ্যমান। গড় ঈর্ষা-স্বাধীনতা (কাগজে সামগ্রিক ঈর্ষা-স্বাধীনতা বলা হয়) সর্বদা বিদ্যমান থাকে যখন ব্যয়-ভাগাভাগি নীতি সমান বা আনুপাতিক বা মুক্ত হয়। টিকিট লটারির ন্যায্য বিভাজন গোষ্ঠীগুলির মধ্যে ন্যায্য বিভাজনের একটি ব্যবহারিক প্রয়োগ হল সীমিত ক্ষমতা সহ পার্ক বা অন্যান্য অভিজ্ঞতার টিকিট ভাগ করা। প্রায়শই, টিকিট এলোমেলোভাবে ভাগ করা হয়। যখন লোকেরা নিজেরাই আসে, তখন সমস্ত প্রার্থীদের মধ্যে একটি সাধারণ অভিন্ন-এলোমেলো লটারি একটি ন্যায্য সমাধান। কিন্তু লোকেরা প্রায়শই পরিবার বা বন্ধুদের দলে আসে, যারা একসঙ্গে প্রবেশ করতে চায়। এটি সঠিকভাবে কীভাবে লটারি ডিজাইন করা যায় সে সম্পর্কে বিভিন্ন বিবেচনার দিকে পরিচালিত করে। নিম্নলিখিত ফলাফলগুলি জানা যায়ঃ যে সেটিংসে সমস্ত গ্রুপের সদস্যদের আগে থেকে চিহ্নিত করা হয়, গ্রুপ লটারি প্রক্রিয়াটি এলোমেলোভাবে গোষ্ঠীগুলিকে আদেশ দেয় এবং যতক্ষণ ক্ষমতা উপলব্ধ থাকে ততক্ষণ সেগুলি ক্রমানুসারে প্রক্রিয়া করে। এই প্রাকৃতিক প্রক্রিয়াটি অন্যায্য এবং অদক্ষ হতে পারে; এর চেয়ে আরও ভালো বিকল্প রয়েছে। যদি এজেন্টরা তাদের দলের সদস্যদের সনাক্ত না করে একাধিক টিকিটের জন্য অনুরোধ করতে পারে, তবে স্বতন্ত্র লটারি প্রক্রিয়াটি এজেন্টদের এলোমেলোভাবে সমানভাবে অর্ডার দেয় এবং যতক্ষণ ক্ষমতা উপলব্ধ থাকে ততক্ষণ প্রত্যেককে তাদের অনুরোধ প্রদান করে। এই সাধারণ প্রক্রিয়াটি নির্বিচারে অন্যায্য এবং অদক্ষ ফলাফল দিতে পারে। ওয়েটেড ইন্ডিভিজুয়াল লটারি একটি বিকল্প প্রক্রিয়া যেখানে প্রক্রিয়াকরণ অর্ডারটি ছোট অনুরোধ সহ এজেন্টদের পক্ষে পক্ষপাতদুষ্ট। এটি প্রায় ন্যায্য এবং প্রায় কার্যকরী। পুনরাবৃত্তিমূলক সম্ভাব্যতা সর্বাধিককরণ অ্যালগরিদম একটি লটারি খুঁজে পায় যা ক্ষুদ্রতম উপযোগকে সর্বাধিক করে (সাম্যবাদী নিয়ম এবং লেক্সিমিন ক্রমের উপর ভিত্তি করে)। এটি গ্রুপ স্ট্র্যাটেজি প্রুফ, এবং সর্বাধিক ব্যবহারের 1/2-ফ্যাক্টর আনুমানিক অর্জন করে। এটি পারেতো-দক্ষ, হিংসা-মুক্ত এবং বেনামীও বটে। এর বৈশিষ্ট্যগুলি এই অর্থে সর্বাধিক যে অন্যটির ক্ষতি না করে একটি সম্পত্তির উন্নতি করা অসম্ভব। সম্পর্কিত ধারণাগুলি গোষ্ঠী ঈর্ষা-স্বাধীনতা পৃথক এজেন্টদের মধ্যে ন্যায্য বিভাজনের জন্য একটি ন্যায্য মানদণ্ড। এতে বলা হয়েছে যে, প্রতিটি পৃথক এজেন্ট তার ব্যক্তিগত অংশ পাওয়ার পরে, এজেন্টদের কোনও জোট একই আকারের অন্য জোটকে ঈর্ষান্বিত করে না। ক্লাব গুড এমন একটি সম্পদ যা একটি একক গোষ্ঠীর ("ক্লাব") সমস্ত সদস্যদের দ্বারা একযোগে ব্যবহার করা হয়, তবে অন্যান্য গোষ্ঠীর সদস্যদের থেকে বাদ দেওয়া হয়। গ্রুপ ফেয়ার ডিভিশন সমস্যায়, সমস্ত বরাদ্দকৃত পণ্যগুলি যে গোষ্ঠীতে বরাদ্দ করা হয় তার মধ্যে ক্লাব পণ্য। সম্মত উপসেট হ 'ল আইটেমগুলির একটি উপসেট যা একটি নির্দিষ্ট গোষ্ঠীর সমস্ত লোকের দ্বারা কমপক্ষে তার পরিপূরক হিসাবে বিবেচিত হয়। তথ্যসূত্র ন্যায্য বিভাগ ভোটদান