Mathematics of apportionment
বিভাজনের গণিত বিভিন্ন অধিকার সহ দলগুলির মধ্যে অভিন্ন আইটেমগুলির ন্যায্য বরাদ্দের জন্য গাণিতিক নীতি এবং অ্যালগরিদম বর্ণনা করে। এই নীতিগুলি যুক্তরাষ্ট্রীয় রাজ্য বা রাজনৈতিক দলগুলির মধ্যে সংসদে আসন ভাগ করার জন্য ব্যবহৃত হয়। ভাগ করা সম্পর্কিত আরও সুনির্দিষ্ট নীতি এবং বিষয়গুলির জন্য ভাগ করা (রাজনীতি) এবং বিশ্বজুড়ে ব্যবহৃত ব্যবহারিক পদ্ধতির জন্য দেশ দ্বারা ভাগ করা দেখুন। গাণিতিকভাবে, একটি আবণ্টন পদ্ধতি হল ভগ্নাংশকে পূর্ণসংখ্যায় বৃত্তাকার করার একটি পদ্ধতি। শুনতে যতই সহজ মনে হোক না কেন, বৃত্তাকার করার প্রতিটি পদ্ধতিতে এক বা একাধিক বৈপরীত্য রয়েছে। বিভাজনের গাণিতিক তত্ত্বের লক্ষ্য হল সিদ্ধান্ত নেওয়া যে কোন প্যারাডক্সগুলি এড়ানো যেতে পারে, বা অন্য কথায়, একটি বরাদ্দ পদ্ধতি থেকে কোন বৈশিষ্ট্যগুলি আশা করা যেতে পারে। 1907 খ্রিষ্টাব্দের গোড়ার দিকে গণিতবিদ অ্যাগনার ক্রারুপ এরলাং দ্বারা গাণিতিক তত্ত্ব অধ্যয়ন করা হয়েছিল। এটি পরে গণিতবিদ মিশেল বালিনস্কি এবং অর্থনীতিবিদ পেটন ইয়ং দ্বারা একটি দুর্দান্ত বিশদে বিকশিত হয়েছিল। রাজনৈতিক দলগুলিতে এর প্রয়োগ ছাড়াও, এটি ন্যায্য পণ্য বরাদ্দের ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য যখন এজেন্টদের বিভিন্ন অধিকার থাকে। এটি জনবল পরিকল্পনার ক্ষেত্রেও প্রাসঙ্গিক-যেখানে শ্রম পুলের বৈশিষ্ট্য, পরিসংখ্যানের অনুপাতে চাকরি বরাদ্দ করা উচিত-যেখানে শতাংশের বৃত্তাকার সংখ্যার যোগফল 100% হওয়া উচিত এবং দেউলিয়া সমস্যার ক্ষেত্রেও প্রাসঙ্গিক। সংজ্ঞা ইনপুট একটি আবণ্টন পদ্ধতির ইনপুটগুলি হলঃ একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা যা বরাদ্দ করার জন্য মোট আইটেমের সংখ্যা উপস্থাপন করে। এটিকে বাড়ির আকারও বলা হয়, কারণ অনেক ক্ষেত্রে বরাদ্দ করা জিনিসগুলি হল প্রতিনিধিদলের আসন। একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা এজেন্টের সংখ্যা প্রতিনিধিত্ব করে যা আইটেমগুলি বরাদ্দ করা উচিত। উদাহরণস্বরূপ, এগুলি যুক্তরাষ্ট্রীয় রাজ্য বা রাজনৈতিক দল হতে পারে। অধিকারের প্রতিনিধিত্বকারী সংখ্যার একটি ভেক্টর-এজেন্টের অধিকারের প্রতিনিধিত্ব করে, অর্থাৎ, যে পরিমাণ আইটেমগুলির অধিকারী (মোটের মধ্যে)। এই অধিকারগুলি প্রায়শই এমনভাবে স্বাভাবিক করা হয়। বিকল্পভাবে, এগুলিকে এমনভাবে স্বাভাবিক করা যেতে পারে যাতে তাদের যোগফল হয়; এই ক্ষেত্রে অধিকারগুলিকে কোটা বলা হয় এবং দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, যেখানে এবং। বিকল্পভাবে, একজনকে জনসংখ্যার একটি ভেক্টর দেওয়া হয়; এখানে, এজেন্টের অধিকার হল। আউটপুট হল পূর্ণসংখ্যার একটি ভেক্টর, যাকে একটি বরাদ্দ বলা হয়, যেখানে এজেন্ট i-কে বরাদ্দ করা আইটেমের সংখ্যা। প্রতিটি প্রতিনিধির জন্য, প্রকৃত সংখ্যাটিকে কোটা বলা হয়, এবং যে জিনিসগুলি দেওয়া উচিত তার সঠিক সংখ্যা নির্দেশ করে। সাধারণভাবে, একটি "ন্যায্য" বরাদ্দ এমন একটি বিষয় যেখানে প্রতিটি বরাদ্দ কোটার যতটা সম্ভব কাছাকাছি থাকে। একটি আবণ্টন পদ্ধতি আবণ্টন ভেক্টরের একটি সেট ফেরত দিতে পারে (অন্য কথায়ঃ এটি একটি বহুমূল্যবান ফাংশন)। এটি প্রয়োজন, কারণ কিছু ক্ষেত্রে দুটি সম্ভাব্য সমাধানের মধ্যে পার্থক্য করার কোনও ন্যায্য উপায় নেই। উদাহরণস্বরূপ, যদি (বা অন্য কোনও বিজোড় সংখ্যা) এবং, তাহলে (50,51) এবং (51,50) উভয়ই সমানভাবে যুক্তিসঙ্গত সমাধান হয় এবং অন্যটির উপর একটি বেছে নেওয়ার কোনও গাণিতিক উপায় নেই। যদিও বাস্তবে এই ধরনের সম্পর্ক অত্যন্ত বিরল, তত্ত্বটি অবশ্যই তাদের জন্য হিসাব করতে হবে (বাস্তবে, যখন একটি বরাদ্দ পদ্ধতি একাধিক আউটপুট প্রদান করে, তখন তাদের মধ্যে একটি কিছু বাহ্যিক অগ্রাধিকার নিয়ম দ্বারা বা মুদ্রা উল্টানোর মাধ্যমে বেছে নেওয়া যেতে পারে, তবে এটি গাণিতিক বরাদ্দ তত্ত্বের আওতার বাইরে)। একটি আবণ্টন পদ্ধতি একটি বহুমূল্য ফাংশন দ্বারা চিহ্নিত করা হয়; একটি নির্দিষ্ট-সমাধান একটি একক-মূল্যবান ফাংশন যা একটি একক আবণ্টন নির্বাচন করে। একটি আংশিক আবণ্টন পদ্ধতি হল এবং-এর নির্দিষ্ট নির্দিষ্ট মানগুলির জন্য একটি আবণ্টন পদ্ধতি; এটি একটি বহুমূল্যবান ফাংশন যা শুধুমাত্র একটি-ভেক্টর গ্রহণ করে। ভ্যারিয়েন্ট কখনও কখনও, ইনপুটটিতে ন্যূনতম প্রয়োজনীয়তার প্রতিনিধিত্বকারী পূর্ণসংখ্যার একটি ভেক্টরও থাকে-এজেন্টের প্রাপ্য অধিকার নির্বিশেষে সবচেয়ে কম সংখ্যক আইটেমকে উপস্থাপন করে। সুতরাং আউটপুটের উপর একটি অতিরিক্ত প্রয়োজনীয়তা রয়েছেঃ সকলের জন্য। যখন এজেন্টরা রাজনৈতিক দল হয়, তখন এই সংখ্যাগুলি সাধারণত 0 হয়, তাই এই ভেক্টরটি বাদ দেওয়া হয়। কিন্তু যখন এজেন্টরা রাজ্য বা জেলা হয়, তখন এই সংখ্যাগুলি প্রায়শই ইতিবাচক হয় যাতে নিশ্চিত করা যায় যে সমস্ত প্রতিনিধিত্ব করা হয়। এগুলি সমস্ত এজেন্টের জন্য একই হতে পারে (যেমন। মার্কিন যুক্তরাষ্ট্রের রাজ্যগুলির জন্য 1, ফ্রান্সের জেলাগুলির জন্য 2), বা ভিন্ন (যেমন। কানাডা বা ইউরোপীয় পার্লামেন্টে)। কখনও কখনও সর্বাধিক প্রয়োজনীয়তার একটি ভেক্টরও থাকে, তবে এটি কম প্রচলিত। মৌলিক প্রয়োজনীয়তাগুলি এমন মৌলিক বৈশিষ্ট্য রয়েছে যা যে কোনও যুক্তিসঙ্গত বরাদ্দ পদ্ধতি দ্বারা সন্তুষ্ট করা উচিত। বিভিন্ন লেখক তাদের বিভিন্ন নাম দিয়েছিলেনঃ বাম দিকের নামগুলি পুকেলশেইম থেকে; ডান দিকের বন্ধনীতে নামগুলি বালিনস্কি এবং ইয়ং থেকে। বেনামী (= প্রতিসাম্য) মানে হল যে বরাদ্দকরণ এজেন্টদের নাম বা সূচকের উপর নির্ভর করে না। আনুষ্ঠানিকভাবে, যদি কোনও বিন্যাস হয়, তবে বিন্যাসগুলি ঠিক বিন্যাসগুলির সংশ্লিষ্ট বিন্যাস। এই প্রয়োজনীয়তা তখনই বোধগম্য হয় যখন কোনও ন্যূনতম প্রয়োজনীয়তা থাকে না, অথবা যখন প্রয়োজনীয়তাগুলি একই হয়; যদি সেগুলি একই না হয়, তবে গোপনীয়তা বজায় রাখা উচিত প্রয়োজনীয়তাগুলি পূরণ করা সাপেক্ষে। ভারসাম্য (= ভারসাম্য) মানে হল যে যদি দুই এজেন্টের সমান অধিকার থাকে, তবে তাদের বরাদ্দ সর্বাধিক 1 দ্বারা পৃথক হওয়া উচিতঃ বোঝায়। সমন্বয় (= দুর্বল জনসংখ্যার একঘেয়েমি) মানে হল যে কঠোরভাবে উচ্চতর অধিকার সহ একজন প্রতিনিধি কমপক্ষে যতগুলি আইটেম পায়ঃ শালীনতা (= সমজাতীয়তা) মানে হল অধিকার ভেক্টরকে স্কেল করা ফলাফল পরিবর্তন করে না। আনুষ্ঠানিকভাবে, প্রতিটি ধ্রুবক সি-এর জন্য (যদি বরাদ্দ পদ্ধতিতে ইনপুট স্বাভাবিক করা হয় তবে এটি স্বয়ংক্রিয়ভাবে সন্তুষ্ট হয়)। সঠিকতা (= দুর্বল আনুপাতিকতা) মানে যদি একটি নিখুঁত সমাধান বিদ্যমান থাকে তবে তা অবশ্যই নির্বাচন করতে হবে। আনুষ্ঠানিকভাবে, যদি প্রতিটি এজেন্টের কোটা একটি পূর্ণসংখ্যা হয়, তবে অবশ্যই একটি অনন্য ভেক্টর থাকতে হবে। অন্য কথায়, যদি একটি এইচ-বরাদ্দ ঠিক আনুপাতিক হয়, তবে এটি এর অনন্য উপাদান হওয়া উচিত। দৃঢ় নির্ভুলতার অর্থ হল যে নির্ভুলতাও "সীমার মধ্যে" রয়েছে। অর্থাৎ, যদি এনটাইটেলমেন্ট ভেক্টরের একটি ক্রম একটি পূর্ণসংখ্যা কোটা ভেক্টরের সাথে মিলিত হয়, তবে ক্রমের সমস্ত উপাদানের মধ্যে একমাত্র বরাদ্দ ভেক্টর হল। দুর্বল নির্ভুলতা থেকে পার্থক্য দেখতে, নিম্নলিখিত নিয়মটি বিবেচনা করুন। (ক) প্রত্যেক প্রতিনিধি-কে তার কোটা নির্দিষ্ট করে দিন; (খ) অবশিষ্ট আসনগুলি বার বার বৃহত্তম দলগুলিকে দিন। এই নিয়মটি দুর্বলভাবে সঠিক, তবে দৃঢ়ভাবে সঠিক নয়। উদাহরণস্বরূপ, ধরুন h = 6 এবং কোটা ভেক্টরের ক্রম বিবেচনা করুন (4 + 1/k, 2-1/k)। উপরের নিয়মটি সমস্ত k-এর জন্য বরাদ্দ (5,1) প্রদান করে, যদিও k-এর পূর্ণসংখ্যা ভেক্টরের (4,2) সীমা। শক্তিশালী আনুপাতিকতা মানে হল, উপরন্তু, যদি, এবং, এবং কিছু এইচ-বরাদ্দ রয়েছে যা ঠিক আনুপাতিক, তবে এটি এর অনন্য উপাদান হওয়া উচিত। উদাহরণস্বরূপ, যদি একটি সমাধান (3,3) হয়, তবে একমাত্র সমাধান অবশ্যই (2,2) হতে হবে। সম্পূর্ণতার অর্থ হল, যদি এনটাইটেলমেন্ট ভেক্টরগুলির একটি রূপান্তরকারী ক্রমের জন্য কিছু বরাদ্দ ফেরত দেওয়া হয়, তবে তাদের সীমা ভেক্টরের জন্যও ফেরত দেওয়া হয়। অন্য কথায়, সেট-এনটাইটেলমেন্ট ভেক্টরের সেট যার জন্য একটি সম্ভাব্য বরাদ্দ-টপোলজিক্যালি বন্ধ। একটি অসম্পূর্ণ পদ্ধতি যে কোনও সীমার অধিকারের সাথে বরাদ্দ যুক্ত করে "সম্পূর্ণ" করা যেতে পারে যদি এবং শুধুমাত্র যদি এটি ক্রমের প্রতিটি অধিকারের অন্তর্গত হয়। একটি প্রতিসম এবং আনুপাতিক বিভাজন পদ্ধতির সমাপ্তি সম্পূর্ণ, প্রতিসম এবং আনুপাতিক। বাহ্যিক টাই-ব্রেকিং নিয়ম প্রয়োগ করে এমন পদ্ধতিগুলির দ্বারা সম্পূর্ণতা লঙ্ঘন করা হয়, যেমনটি বাস্তবে অনেক দেশে করা হয়। টাই-ব্রেকিং নিয়ম শুধুমাত্র সীমার ক্ষেত্রে প্রযোজ্য, তাই এটি সম্পূর্ণতা ভেঙে দিতে পারে। সম্পূর্ণতা এবং দুর্বলতা-সঠিকতা একসাথে শক্তিশালী-সঠিকতা বোঝায়। যদি একটি সম্পূর্ণ এবং দুর্বলভাবে-সঠিক পদ্ধতি একটি উপযুক্ত টাই-ব্রেকিং নিয়ম যোগ করে সংশোধন করা হয়, তবে ফলস্বরূপ নিয়মটি আর সম্পূর্ণ হয় না, তবে এটি এখনও দৃঢ়ভাবে-সঠিক। অন্যান্য বিবেচনার বিষয় আসন-থেকে-ভোটের অনুপাত এবং গ্যালাগার সূচক দ্বারা ভাগের আনুপাতিকতা পরিমাপ করা যেতে পারে। নির্বাচনী সীমার সঙ্গে ভাগের আনুপাতিকতা রাজনৈতিক বিভাজন এবং রাজনৈতিক প্রতিযোগিতায় প্রবেশের ক্ষেত্রে বাধা সৃষ্টি করে। সাধারণ বিভাজন পদ্ধতি অনেকগুলি বিভাজন পদ্ধতি রয়েছে এবং এগুলিকে বিভিন্ন পদ্ধতিতে শ্রেণীবদ্ধ করা যেতে পারে। বৃহত্তম অবশিষ্ট পদ্ধতিগুলি বৃত্তাকার কোটার ভেক্টর গণনা করে শুরু হয়, অর্থাৎ। যদি এই বৃত্তাকার মানগুলির যোগফল ঠিক হয়, তবে এই ভেক্টরটি অনন্য বরাদ্দ হিসাবে ফেরত দেওয়া হয়। সাধারণত, যোগফল এর চেয়ে ছোট হয়। এই ক্ষেত্রে, অবশিষ্ট আইটেমগুলি তাদের অবশিষ্টাংশ অনুসারে এজেন্টদের মধ্যে বরাদ্দ করা হয়ঃ সবচেয়ে বড় অবশিষ্টাংশ সহ এজেন্ট একটি আসন পায়, তারপরে দ্বিতীয় বৃহত্তম অবশিষ্টাংশ সহ এজেন্ট একটি আসন পায় এবং আরও অনেক কিছু, যতক্ষণ না সমস্ত আইটেম বরাদ্দ করা হয়। কোন কোটা ব্যবহার করা হয় তার উপর নির্ভর করে এলআর পদ্ধতির বিভিন্ন রূপ রয়েছেঃ সাধারণ কোটা, যাকে হরে কোটাও বলা হয়। হেয়ার কোটার সাথে এলআর ব্যবহার হ্যামিল্টনের পদ্ধতির দিকে পরিচালিত করে। হ্যাগেনবাখ-বিসচফ কোটা, যাকে সঠিক ড্রুপ কোটাও বলা হয়। এই পদ্ধতিতে কোটাগুলি বড়, তাই কম অবশিষ্ট আইটেম রয়েছে। তত্ত্বগতভাবে, এটি সম্ভব যে বৃত্তাকার-ডাউন কোটার যোগফল এর চেয়ে বড় হবে, তবে বাস্তবে এটি খুব কমই ঘটে। ইম্পেরিয়ালি কোটা হল। এই কোটা কম প্রচলিত, কারণ বৃত্তাকার-ডাউন কোটার যোগফল এর চেয়ে বেশি হওয়ার সম্ভাবনা বেশি। বিভাজক পদ্ধতি, কোটায় একটি নির্দিষ্ট গুণক ব্যবহার করার পরিবর্তে (যেমন বা), গুণকটি এমনভাবে বেছে নিন যাতে বৃত্তাকার কোটার যোগফল ঠিক সমান হয়, তাই বরাদ্দ করার জন্য কোনও অবশিষ্ট আইটেম নেই। আনুষ্ঠানিক ভাবে। বিভাজক পদ্ধতিগুলি বৃত্তাকার করার জন্য ব্যবহৃত পদ্ধতির দ্বারা পৃথক হয়। একটি বিভাজক পদ্ধতি একটি বিভাজক ফাংশন দ্বারা প্যারামিট্রাইজ করা হয় যা প্রতিটি পূর্ণসংখ্যার জন্য ব্যবধানের একটি বাস্তব সংখ্যা নির্দিষ্ট করে। এর অর্থ হল যে সমস্ত সংখ্যাকে বৃত্তাকার করা উচিত এবং সমস্ত সংখ্যাকে বৃত্তাকার করা উচিত। বৃত্তাকার ফাংশনটি দ্বারা চিহ্নিত করা হয় এবং একটি পূর্ণসংখ্যা প্রদান করে। সংখ্যাটি নিজেই উপরে এবং নিচে উভয়ই বৃত্তাকার করা যেতে পারে, তাই বৃত্তাকার ফাংশনটি বহু-মূল্যবান। উদাহরণস্বরূপ, অ্যাডামসের পদ্ধতি ব্যবহার করে, যা বৃত্তাকার করার সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ; ডি 'হন্ড/জেফারসন পদ্ধতি ব্যবহার করে, যা বৃত্তাকার করার সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ; এবং ওয়েবস্টার/সেন্ট-ল্যাগু পদ্ধতি ব্যবহার করে, যা নিকটতম পূর্ণসংখ্যার সাথে বৃত্তাকার করার সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ। একটি বিভাজক পদ্ধতিও পুনরাবৃত্তভাবে গণনা করা যেতে পারেঃ প্রাথমিকভাবে, সমস্ত পক্ষের জন্য 0 সেট করা হয়। তারপর, প্রতিটি পুনরাবৃত্তিতে, পরবর্তী আসনটি এমন একটি দলকে বরাদ্দ করা হয় যা অনুপাতকে সর্বাধিক করে। র্যাঙ্ক-ইনডেক্স পদ্ধতিগুলি এমন একটি ফাংশন দ্বারা প্যারামিট্রাইজ করা হয় যা হ্রাস পাচ্ছে। বিভাজনটি পুনরাবৃত্তিমূলকভাবে গণনা করা হয়। প্রাথমিকভাবে, সমস্ত পক্ষের জন্য 0-এ সেট করুন। তারপর, প্রতিটি পুনরাবৃত্তিতে, পরবর্তী আসনটি একজন এজেন্টকে বরাদ্দ করুন যা সর্বাধিক হয়। ডিভিজার পদ্ধতিগুলি র্যাঙ্ক-ইনডেক্স পদ্ধতির একটি বিশেষ ক্ষেত্রেঃ ডিভিজার ফাংশন সহ একটি ডিভিজার পদ্ধতি র্যাঙ্ক-ইনডেক্স সহ একটি র্যাঙ্ক-ইনডেক্স পদ্ধতির সমতুল্য। অপ্টিমাইজেশন-ভিত্তিক পদ্ধতিগুলির লক্ষ্য হল, প্রতিটি ক্ষেত্রে, এমন একটি বরাদ্দ অর্জন করা যা এই উদাহরণের জন্য "যতটা সম্ভব ন্যায্য"। একটি বরাদ্দ "ন্যায্য" যদি সমস্ত এজেন্টের জন্য i; এই ক্ষেত্রে, আমরা বলি যে বরাদ্দের "অন্যায়" হল 0। যদি এই সমতা লঙ্ঘিত হয়, তবে কেউ "সম্পূর্ণ অন্যায়"-এর একটি পরিমাপ সংজ্ঞায়িত করতে পারে এবং এটিকে হ্রাস করার চেষ্টা করতে পারে। কেউ অন্যায়ের মাত্রা বা সর্বোচ্চ অন্যায়ের মাত্রা হ্রাস করতে পারে। প্রতিটি অপ্টিমাইজেশনের মানদণ্ড একটি ভিন্ন নিয়মের দিকে পরিচালিত করে। কোটার মধ্যে থাকা এজেন্টের সঠিক কোটা হল। একটি আবণ্টন পদ্ধতি থেকে একটি মৌলিক প্রয়োজনীয়তা হল যে এটি প্রতিটি এজেন্টকে তার কোটা বরাদ্দ করে যদি এটি একটি পূর্ণসংখ্যা হয়; অন্যথায়, এটি একটি পূর্ণসংখ্যা বরাদ্দ করা উচিত যা সঠিক কোটার কাছাকাছি, অর্থাৎ, তার নিম্ন কোটা বা তার উপরের কোটা। আমরা বলি যে একটি বরাদ্দ পদ্ধতি-যদি সবার জন্য হয় তবে কম কোটাকে সন্তুষ্ট করে (এটি আই. এফ. এফ ধারণ করে)। উপরের কোটা সন্তুষ্ট করে যদি সবার জন্য (এটি আই. এফ. এফ ধারণ করে)। যদি উপরের উভয় শর্তই বজায় থাকে (এটি আই. এফ. এফ ধারণ করে) তবে উভয় কোটাই সন্তুষ্ট হয়। হ্যামিল্টনের বৃহত্তম-অবশিষ্ট পদ্ধতিটি নির্মাণের মাধ্যমে নিম্ন কোটা এবং উচ্চ কোটা উভয়কেই সন্তুষ্ট করে। বিভাজক পদ্ধতির ক্ষেত্রে এটি প্রযোজ্য নয়ঃ 2টি প্রতিনিধি থাকলে সমস্ত বিভাজক পদ্ধতি উভয় কোটাকে সন্তুষ্ট করে; ওয়েবস্টারের পদ্ধতি হল একমাত্র বিভাজক পদ্ধতি যা 3টি প্রতিনিধির জন্য উভয় কোটাকে সন্তুষ্ট করে; অ্যাডামসের পদ্ধতি হল একমাত্র বিভাজক পদ্ধতি যা যে কোনও সংখ্যক প্রতিনিধির জন্য উচ্চ কোটাকে সন্তুষ্ট করে; জেফারসনের পদ্ধতি হল একমাত্র বিভাজক পদ্ধতি যা যে কোনও সংখ্যক প্রতিনিধির জন্য নিম্ন কোটাকে সন্তুষ্ট করে; কোনও বিভাজক পদ্ধতি একই সাথে একটি প্রতিনিধির জন্য উচ্চ কোটা লঙ্ঘন করে না এবং অন্য প্রতিনিধির জন্য নিম্ন কোটা লঙ্ঘন করে। অতএব, কোনও বিভাজক পদ্ধতি কোনও সংখ্যক এজেন্টের জন্য উচ্চ কোটা এবং নিম্ন কোটা উভয়কেই সন্তুষ্ট করে না। জেফারসন এবং অ্যাডামসের অনন্যতা র্যাঙ্ক-ইনডেক্স পদ্ধতির অনেক বড় শ্রেণীতেও রয়েছে। এটিকে বিভাজক পদ্ধতির একটি অসুবিধা হিসাবে দেখা যেতে পারে, তবে এটিকে কোটার মানদণ্ডের একটি অসুবিধা হিসাবেও বিবেচনা করা যেতে পারেঃ "উদাহরণস্বরূপ, সারণি 10.1-এ 25টি আসনের পরিবর্তে ডি 26 দেওয়ার অর্থ হল ছোট রাজ্য এ, বি বা সি-এর মধ্যে একটি থেকে আসন নেওয়া। অনুরূপ উদাহরণ উদ্ভাবন করা যেতে পারে যেখানে কিছু রাজ্য যুক্তিসঙ্গতভাবে তার উচ্চ কোটার চেয়ে বেশি পেতে পারে। এটা যুক্তি দেওয়া যেতে পারে যে কোটার মধ্যে থাকা প্রকৃতপক্ষে আনুপাতিকতা ধারণার সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ নয়, কারণ এটি বড় রাজ্যগুলির তুলনায় ছোট রাজ্যগুলির মাথাপিছু প্রতিনিধিত্বে অনেক বেশি বৈচিত্র্যকে অনুমতি দেয়। মন্টে-কার্লো সিমুলেশনে, ওয়েবস্টারের পদ্ধতি খুব উচ্চ সম্ভাবনার সাথে উভয় কোটাকে সন্তুষ্ট করে। উপরন্তু, ওয়েসবটারের পদ্ধতি হল একমাত্র বিভাজন পদ্ধতি যা কোটার কাছাকাছি সন্তুষ্ট করেঃ এমন কোনও এজেন্ট নেই যা থেকে একটি আসন সরানো তাদের উভয়কে তাদের কোটার কাছাকাছি নিয়ে আসেঃ। জেফারসনের পদ্ধতিটি কোটা-জেফারসন পদ্ধতি প্রদান করে উভয় কোটাকে সন্তুষ্ট করার জন্য সংশোধন করা যেতে পারে। উপরন্তু, যে কোনও বিভাজক পদ্ধতি উভয় কোটাকে সন্তুষ্ট করার জন্য সংশোধন করা যেতে পারে। এর ফলে কোটা-ওয়েবস্টার পদ্ধতি, কোটা-হিল পদ্ধতি ইত্যাদি পাওয়া যায়। পদ্ধতির এই পরিবারকে প্রায়শই কোয়াটাটোন পদ্ধতি বলা হয়, কারণ তারা কোটা এবং হাউস-মনোটোনিসিটি উভয়কেই সন্তুষ্ট করে। যুগ্মভাবে বৈষম্য হ্রাস করা আবণ্টন পদ্ধতিগুলি মূল্যায়নের একটি উপায় হল তারা যুগ্ম এজেন্টের মধ্যে বৈষম্যের পরিমাণ হ্রাস করে কিনা। স্পষ্টতই, বৈষম্যের বিভিন্ন অধিকার বিবেচনা করা উচিতঃ যদি এজেন্টদের সাথে "সমান" আচরণ করা হয় (ডব্লিউ. আর. টি। তাদের অধিকারের জন্য); অন্যথায়, যদি এজেন্ট পছন্দ করা হয়, এবং যদি তখন এজেন্ট পছন্দ করা হয়। যাইহোক, যেহেতু সমতা পুনর্বিন্যাস করার 16টি উপায় রয়েছে, সেই অনুযায়ী অসমতা সংজ্ঞায়িত করার অনেকগুলি উপায় রয়েছে। । ওয়েবস্টারের পদ্ধতি হল অনন্য বরাদ্দ পদ্ধতি যেখানে, প্রতিটি জোড়া এজেন্টের জন্য এবং, এই পার্থক্যটি হ্রাস করা হয় (অর্থাৎ, একটি আসন থেকে বা তদ্বিপরীত দিকে সরানো পার্থক্যকে ছোট করবে না)। কারণ এটি অ্যাডামসের পদ্ধতির দিকে পরিচালিত করে। জন্য। এটি জেফারসনের পদ্ধতির দিকে পরিচালিত করে। । এটি ডিনের পদ্ধতির দিকে পরিচালিত করে। । এটি হান্টিংটন-হিল পদ্ধতির দিকে পরিচালিত করে। 1920-এর দশকে হান্টিংটন এই বিশ্লেষণ করেন। কিছু সম্ভাবনা একটি স্থিতিশীল সমাধানের দিকে পরিচালিত করে না। উদাহরণস্বরূপ, যদি আমরা বৈষম্যকে সংজ্ঞায়িত করি, তবে এমন কিছু উদাহরণ রয়েছে যেখানে, যে কোনও বরাদ্দের জন্য, একটি আসনকে এক প্রতিনিধি থেকে অন্য প্রতিনিধি-তে স্থানান্তরিত করা তাদের যুগ্ম বৈষম্যকে হ্রাস করতে পারে। জনসংখ্যা (737,534,329) এবং 16টি আসন সহ 3টি রাজ্যের একটি উদাহরণ রয়েছে। বড়/ছোট এজেন্টদের প্রতি পক্ষপাত যখন এজেন্টরা যুক্তরাষ্ট্রীয় রাজ্য হয়, তখন বড় রাজ্য এবং ছোট রাজ্যের মধ্যে পক্ষপাত এড়ানো বিশেষভাবে গুরুত্বপূর্ণ। এই পক্ষপাতটি আনুষ্ঠানিকভাবে পরিমাপ করার বিভিন্ন উপায় রয়েছে। সমস্ত পরিমাপ এই উপসংহারে নিয়ে যায় যে জেফারসনের পদ্ধতিটি বড় অবস্থার পক্ষে পক্ষপাতদুষ্ট, অ্যাডামসের পদ্ধতিটি ছোট অবস্থার পক্ষে পক্ষপাতদুষ্ট এবং ওয়েবস্টারের পদ্ধতিটি সবচেয়ে কম পক্ষপাতদুষ্ট বিভাজক পদ্ধতি। সামঞ্জস্য বৈশিষ্ট্য হল এমন বৈশিষ্ট্য যা একটি নির্দিষ্ট ভাগের পরিবর্তে একটি ভাগ করার পদ্ধতিকে চিহ্নিত করে। প্রতিটি সামঞ্জস্য বৈশিষ্ট্য বিভিন্ন ইনপুটের উপর একটি নির্দিষ্ট পদ্ধতির ফলাফলের তুলনা করে। এই ধরনের বেশ কয়েকটি বৈশিষ্ট্য নিয়ে গবেষণা করা হয়েছে। রাষ্ট্র-জনসংখ্যার একঘেয়েমি মানে হল, যদি কোনও প্রতিনিধির অধিকার বৃদ্ধি পায়, তবে তার বরাদ্দ হ্রাস করা উচিত নয়। নামটি সেই সেটিং থেকে এসেছে যেখানে এজেন্টরা ফেডারেল রাজ্য, যাদের অধিকার তাদের জনসংখ্যা দ্বারা নির্ধারিত হয়। এই সম্পত্তি লঙ্ঘনকে জনসংখ্যা প্যারাডক্স বলা হয়। এই সম্পত্তির বিভিন্ন রূপ রয়েছে। একটি রূপ-পেয়ারওয়াইজ পিএম-শুধুমাত্র বিভাজক পদ্ধতি দ্বারা সন্তুষ্ট হয়। অর্থাৎ, একটি আবণ্টন পদ্ধতি হল জোড়ভিত্তিক পিএম যদি-এবং-শুধুমাত্র-যদি এটি একটি বিভাজক পদ্ধতি হয়। কখন এবং কখন কোনও আংশিক বরাদ্দ পদ্ধতি যুগ্মভাবে সন্তুষ্ট করে না-পিএম, নিম্ন কোটা এবং উচ্চ কোটা। পূর্ববর্তী বিবৃতিগুলির সাথে মিলিত হয়ে, এটি বোঝায় যে কোনও বিভাজক পদ্ধতি উভয় কোটাকে সন্তুষ্ট করে না। হাউস একঘেয়েমি মানে হল, যখন মোট আসনের সংখ্যা বৃদ্ধি পায়, তখন কোনও এজেন্ট একটি আসন হারায় না। এই সম্পত্তি লঙ্ঘনকে আলাবামা প্যারাডক্স বলা হয়। মার্কিন যুক্তরাষ্ট্রের শুরুর দিনগুলিতে এটি বিশেষভাবে গুরুত্বপূর্ণ বলে মনে করা হত, যখন প্রতি দশ বছরে কংগ্রেসের আকার বৃদ্ধি পেত। গৃহ-একঘেয়েমি যুগ্ম-প্রধানমন্ত্রীর তুলনায় দুর্বল। সমস্ত র্যাঙ্ক-ইনডেক্স পদ্ধতি (তাই সমস্ত বিভাজক পদ্ধতি) হল হাউস-মনোটোন-এটি স্পষ্টভাবে পুনরাবৃত্তিমূলক পদ্ধতি থেকে অনুসরণ করা হয়। বিভাজক পদ্ধতি ছাড়াও, অন্যান্য হাউস-মনোটোন পদ্ধতি রয়েছে এবং তাদের মধ্যে কয়েকটি উভয় কোটাকে সন্তুষ্ট করে। উদাহরণস্বরূপ, বালিনস্কি এবং ইয়ং-এর কোটা পদ্ধতি নির্মাণের মাধ্যমে ঘর-একঘেয়েমি এবং উচ্চ-কোটাকে সন্তুষ্ট করে এবং এটি প্রমাণ করা যেতে পারে যে এটি নিম্ন-কোটাকেও সন্তুষ্ট করে। এটি সাধারণীকরণ করা যেতে পারেঃ একটি সাধারণ অ্যালগরিদম রয়েছে যা সমস্ত বরাদ্দ পদ্ধতি প্রদান করে যা উভয়ই হাউস-মনোটোন এবং উভয় কোটাকে সন্তুষ্ট করে। তবে, এই সমস্ত কোটা-ভিত্তিক পদ্ধতি (কোটা-জেফারসন, কোটা-হিল ইত্যাদি) যুগ্মভাবে প্রধানমন্ত্রীকে লঙ্ঘন করতে পারেঃ এমন কিছু উদাহরণ রয়েছে যেখানে একজন প্রতিনিধি জনসংখ্যায় লাভ করে কিন্তু আসন হারায়। অভিন্নতার (যাকে সঙ্গতিও বলা হয়) অর্থ হল, যদি আমরা এজেন্টগুলির কিছু উপসেট নিই এবং তাদের সম্মিলিত বরাদ্দের ক্ষেত্রে একই পদ্ধতি প্রয়োগ করি, তবে ফলাফল হল ভেক্টর। সমস্ত র্যাঙ্ক-ইনডেক্স পদ্ধতি (তাই সমস্ত বিভাজক পদ্ধতি) অভিন্ন, কারণ তারা একটি পূর্বনির্ধারিত পদ্ধতিতে এজেন্টদের আসন বরাদ্দ করে-দ্বারা নির্ধারিত, এবং এই ক্রমটি অন্যান্য এজেন্টদের উপস্থিতি বা অনুপস্থিতির উপর নির্ভর করে না। উপরন্তু, প্রতিটি অভিন্ন পদ্ধতি যা বেনামী এবং ভারসাম্যপূর্ণ তা অবশ্যই একটি র্যাঙ্ক-ইনডেক্স পদ্ধতি হতে হবে। প্রতিটি অভিন্ন পদ্ধতি যা বেনামী, দুর্বল-সঠিক এবং সঙ্গতিপূর্ণ (= বোঝায়) অবশ্যই একটি বিভাজক পদ্ধতি হতে হবে। উপরন্তু, সমস্ত বেনামী পদ্ধতির মধ্যেঃ জেফারসনের পদ্ধতি হল একমাত্র অভিন্ন পদ্ধতি যা নিম্ন কোটাকে সন্তুষ্ট করে; অ্যাডামসের পদ্ধতি হল একমাত্র অভিন্ন পদ্ধতি যা উচ্চ কোটাকে সন্তুষ্ট করে; ওয়েবস্টারের পদ্ধতি হল একমাত্র অভিন্ন পদ্ধতি যা কোটার কাছাকাছি; কোনও অভিন্ন পদ্ধতি উভয় কোটাকে সন্তুষ্ট করে না। বিশেষ করে, হ্যামিল্টনের পদ্ধতি এবং কোটা পদ্ধতি অভিন্ন নয়। যাইহোক, কোটা পদ্ধতি হল একটি অনন্য পদ্ধতি যা ঘর-একঘেয়েমি এবং "কোটা-সামঞ্জস্য" ছাড়াও কোটা উভয়কেই সন্তুষ্ট করে, যা অভিন্নতার একটি দুর্বল রূপ। জোটকে উৎসাহিত করা যখন এজেন্টরা রাজনৈতিক দল হয়, তখন তারা প্রায়শই বিভক্ত বা একীভূত হয়। এই ধরনের বিভাজন/একত্রীকরণ কীভাবে বিভাজনকে প্রভাবিত করে তা রাজনৈতিক বিভাজনকে প্রভাবিত করবে। ধরুন একটি নির্দিষ্ট বরাদ্দ পদ্ধতি দুটি এজেন্টকে যথাক্রমে কিছু আসন দেয় এবং তারপরে এই দুটি এজেন্ট একটি জোট গঠন করে এবং পদ্ধতিটি পুনরায় সক্রিয় করা হয়। জোটটি যদি কমপক্ষে আসন পায় (অন্য কথায়, এটি বিভাজন-প্রতিরোধী-কোনও দল বিভক্ত হয়ে কোনও আসন অর্জন করতে পারে না) তবে একটি বরাদ্দ পদ্ধতি জোটকে উৎসাহিত করে। একটি বিভাজন পদ্ধতি বিভেদকে উৎসাহিত করে যদি জোট বেশিরভাগ আসনে জয়লাভ করে (অন্য কথায়, এটি একত্রীকরণ-প্রতিরোধী-দুটি দল একত্রীকরণের মাধ্যমে একটি আসন লাভ করতে পারে না)। বিভাজক পদ্ধতির মধ্যেঃ জেফারসনের পদ্ধতি হল অনন্য বিভাজক পদ্ধতি যা জোটকে উৎসাহিত করে; অ্যাডামসের পদ্ধতি হল অনন্য বিভাজক পদ্ধতি যা বিভেদকে উৎসাহিত করে। ওয়েবস্টারের পদ্ধতি স্প্লিট-প্রুফ বা মার্জ-প্রুফ নয়, তবে এটি "জোট নিরপেক্ষ": যখন ভোট এলোমেলোভাবে বিতরণ করা হয়, তখন একটি জোট একটি আসন হারানোর চেয়ে একটি আসন লাভ করার সমান সম্ভাবনা থাকে। যেহেতু এগুলি ভিন্ন পদ্ধতি, তাই কোনও বিভাজক পদ্ধতি প্রতিটি জোটকে সঠিক আসন দেয় না। উপরন্তু, এই অনন্যতা র্যাঙ্ক-ইনডেক্স পদ্ধতির অনেক বড় শ্রেণীতে প্রসারিত করা যেতে পারে। একটি দুর্বল বৈশিষ্ট্য, যাকে "জোট-স্থিতিশীলতা" বলা হয়, তা হল প্রতিটি জোটের মধ্যে আসন পাওয়া উচিত; তাই একটি দল একীভূত/বিভক্ত হয়ে সর্বাধিক একটি আসন লাভ করতে পারে। হ্যামিল্টন পদ্ধতিটি জোটবদ্ধভাবে স্থিতিশীল। বিভাজক সহ একটি বিভাজক পদ্ধতি হল জোটগতভাবে স্থিতিশীল আই. এফ. এফ; এটি পাঁচটি আদর্শ বিভাজক পদ্ধতির জন্য প্রযোজ্য। উপরন্তু, উভয় কোটাকে সন্তুষ্ট করার প্রতিটি পদ্ধতি "প্রায় জোটগতভাবে স্থিতিশীল"-এটি প্রতিটি জোটকে আসন প্রদান করে। সারণি আরও দেখুন আনুপাতিক উপস্থাপনা বহু-বৈশিষ্ট্য আনুপাতিক উপস্থাপনা। জনসংখ্যা গণনায় ত্রুটি থাকলে ভাগ করা হয়। বিভিন্ন অধিকারের সঙ্গে আনুপাতিক কেক কাটা ন্যায্য পণ্য বরাদ্দ তথ্যসূত্র বণ্টন (রাজনীতি) গাণিতিক উপপাদ্য বণ্টন পদ্ধতির মানদণ্ড