Method of moments (electromagnetics)
মুহূর্তের পদ্ধতি (এমওএম), যা মুহূর্ত পদ্ধতি এবং ওজনযুক্ত অবশিষ্টাংশের পদ্ধতি নামেও পরিচিত, গণনামূলক বৈদ্যুতিন চৌম্বকবিদ্যার একটি সংখ্যাসূচক পদ্ধতি। এটি কম্পিউটার প্রোগ্রামগুলিতে ব্যবহৃত হয় যা বৈদ্যুতিন চৌম্বকীয় ক্ষেত্রের মিথস্ক্রিয়া অনুকরণ করে যেমন পদার্থের সাথে রেডিও তরঙ্গ, উদাহরণস্বরূপ এনইসি-র মতো অ্যান্টেনা সিমুলেশন প্রোগ্রাম যা অ্যান্টেনার বিকিরণ প্যাটার্ন গণনা করে। সাধারণত একটি ফ্রিকোয়েন্সি-ডোমেন পদ্ধতি হওয়ায়, এটি উপযুক্ত সীমানা শর্ত প্রয়োগের মাধ্যমে রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেমে একটি অবিচ্ছেদ্য সমীকরণের অভিক্ষেপ জড়িত। এটি প্রায়শই পৃষ্ঠের জন্য সীমাবদ্ধ পার্থক্য এবং সীমাবদ্ধ উপাদান পদ্ধতিতে পৃথক জাল ব্যবহার করে করা হয়। সমাধানগুলি পূর্ব-সংজ্ঞায়িত বেসিস ফাংশনের রৈখিক সংমিশ্রণের সাথে প্রতিনিধিত্ব করা হয়; সাধারণত, এই বেসিস ফাংশনের সহগগুলি চাওয়া অজানা। গ্রীনের ফাংশন এবং গ্যালারকিন পদ্ধতি মুহূর্তের পদ্ধতিতে একটি কেন্দ্রীয় ভূমিকা পালন করে। অনেক প্রয়োগের জন্য, মুহুর্তের পদ্ধতি সীমানা উপাদান পদ্ধতির অনুরূপ। এটি মাইক্রোওয়েভ এবং অ্যান্টেনা ইঞ্জিনিয়ারিংয়ের সবচেয়ে সাধারণ পদ্ধতিগুলির মধ্যে একটি। বিভিন্ন প্রকৌশল প্রয়োগের জন্য সীমানা উপাদান পদ্ধতি এবং অন্যান্য অনুরূপ পদ্ধতির বিকাশ 1960-এর দশকে ডিজিটাল কম্পিউটিংয়ের আবির্ভাবের সাথে যুক্ত। এর আগে, দ্বিতীয় বিশ্বযুদ্ধের সময় মাইক্রোওয়েভ ফ্রিকোয়েন্সিতে প্রকৌশল সমস্যার ক্ষেত্রে বৈচিত্র্যময় পদ্ধতি প্রয়োগ করা হয়েছিল। যদিও জুলিয়ান শুঙ্গার এবং নাথান মার্কুভিটস যথাক্রমে এই কাজগুলিকে বক্তৃতা নোট এবং পাঠ্যপুস্তকে সংকলিত করেছেন, ভিক্টর এইচ. রামসে 1954 সালে এই পদ্ধতিগুলিকে "প্রতিক্রিয়া ধারণা" হিসাবে প্রণয়ন করেছেন। ধারণাটি পরে গ্যালারকিন পদ্ধতির সমতুল্য হিসাবে দেখানো হয়েছিল। 1950-এর দশকের শেষের দিকে, ইলিনয় বিশ্ববিদ্যালয়ের তড়িৎচুম্বকীয় তত্ত্বের গাণিতিক পদ্ধতির উপর একটি কোর্সে ইউয়েন জে লো মুহুর্তের পদ্ধতির একটি প্রাথমিক সংস্করণ চালু করেছিলেন। 1960-এর দশকে এই পদ্ধতির উপর প্রাথমিক গবেষণা কে. মেই এবং জে. ভ্যান ব্লাডেল। এবং জে এইচ রিচমন্ড। একই দশকে, বৈদ্যুতিন চৌম্বকবিদ্যায় মুহুর্তের পদ্ধতির জন্য নিয়মতান্ত্রিক তত্ত্বটি মূলত রজার এফ হ্যারিংটন দ্বারা আনুষ্ঠানিক করা হয়েছিল। "দ্য মেথড অফ মোমেন্টস" শব্দটি আগে লিওনিড কান্টোরোভিচ এবং গ্লেব পি আকিলভ অনুরূপ সংখ্যাসূচক প্রয়োগের জন্য তৈরি করেছিলেন, হ্যারিংটন বৈদ্যুতিন চৌম্বকীয় গঠনের জন্য শব্দটি গ্রহণ করেছেন। হ্যারিংটন 1968 সালে ফিল্ড কম্পিউটশন বাই মোমেন্ট মেথডস অন দ্য মোমেন্ট মেথড নামে একটি মৌলিক পাঠ্যপুস্তক প্রকাশ করেন। পদ্ধতির বিকাশ এবং রাডার এবং অ্যান্টেনা ইঞ্জিনিয়ারিংয়ের ক্ষেত্রে এর ইঙ্গিতগুলি আগ্রহ আকর্ষণ করেছিল; এমওএম গবেষণা পরবর্তীকালে মার্কিন যুক্তরাষ্ট্র সরকারকে সমর্থন করেছিল। পদ্ধতিটি আরও জনপ্রিয় হয়েছিল সাধারণ অ্যান্টেনা মডেলিং কোড যেমন সংখ্যাসূচক বৈদ্যুতিন চৌম্বক কোড প্রবর্তনের মাধ্যমে, যা 1980-এর দশকের শেষের দিকে মার্কিন যুক্তরাষ্ট্র সরকার দ্বারা পাবলিক ডোমেনে প্রকাশিত হয়েছিল। 1990-এর দশকে, দ্রুত বহু-মেরু এবং বহু-স্তরের দ্রুত বহু-মেরু পদ্ধতির প্রবর্তন লক্ষ লক্ষ অজানা সমস্যার দক্ষ এমওএম সমাধানকে সক্ষম করে। আরএফ এবং মাইক্রোওয়েভ ইঞ্জিনিয়ারিংয়ের অন্যতম সাধারণ সিমুলেশন কৌশল হওয়ার কারণে, মুহূর্তের পদ্ধতিটি এফইকেও-র মতো অনেক বাণিজ্যিক নকশা সফ্টওয়্যারের ভিত্তি গঠন করে। বিভিন্ন পরিশীলনের অনেক অ-বাণিজ্যিক এবং পাবলিক ডোমেইন কোডও পাওয়া যায়। বৈদ্যুতিক প্রকৌশলের ক্ষেত্রে এর ব্যবহার ছাড়াও, আলোর বিচ্ছুরণ এবং প্লাজমোনিক সমস্যাগুলির ক্ষেত্রে মুহূর্তের পদ্ধতি প্রয়োগ করা হয়েছে। পটভূমি মৌলিক ধারণাগুলি একটি অসমজাতীয় অবিচ্ছেদ্য সমীকরণকে এভাবে প্রকাশ করা যেতে পারেঃ যেখানে একটি রৈখিক অপারেটরকে বোঝায়, পরিচিত ফোর্সিং ফাংশনকে বোঝায় এবং অজানা ফাংশনকে বোঝায়। সীমাবদ্ধ সংখ্যক বেসিস ফাংশন () দ্বারা আনুমানিক করা যেতে পারেঃ রৈখিকতা দ্বারা, সমীকরণ উৎপাদনে এই অভিব্যক্তিটির প্রতিস্থাপনঃ আমরা এই অভিব্যক্তিটির জন্য একটি অবশিষ্টাংশও সংজ্ঞায়িত করতে পারি, যা প্রকৃত এবং আনুমানিক সমাধানের মধ্যে পার্থক্য নির্দেশ করেঃ মুহুর্তের পদ্ধতির লক্ষ্য হল এই অবশিষ্টাংশকে হ্রাস করা, যা উপযুক্ত ওজন বা পরীক্ষার ফাংশন ব্যবহার করে করা যেতে পারে, তাই ওজনযুক্ত অবশিষ্টাংশের নাম পদ্ধতি। সমস্যার জন্য একটি উপযুক্ত অভ্যন্তরীণ গুণফল নির্ধারণের পরে, অভিব্যক্তিটি তখন হয়ে যায়ঃ সুতরাং, অভিব্যক্তিটি ম্যাট্রিক্স আকারে উপস্থাপন করা যেতে পারেঃ ফলস্বরূপ ম্যাট্রিক্সকে প্রায়শই প্রতিবন্ধকতা ম্যাট্রিক্স হিসাবে উল্লেখ করা হয়। ভিত্তি ফাংশনের সহগগুলি ম্যাট্রিক্সকে উল্টানোর মাধ্যমে পাওয়া যেতে পারে। বিপুল সংখ্যক অজানা বড় ম্যাট্রিক্সের জন্য, ত্বরণের জন্য কনজুগেট গ্রেডিয়েন্ট পদ্ধতির মতো পুনরাবৃত্তিমূলক পদ্ধতি ব্যবহার করা যেতে পারে। প্রকৃত ক্ষেত্রের বন্টন সহগ এবং সংশ্লিষ্ট ইন্টিগ্রাল থেকে পাওয়া যেতে পারে। এমওএম-এ প্রতিটি বেসিস ফাংশনের মধ্যে মিথস্ক্রিয়া সিস্টেমের গ্রীনের কার্যকারিতা দ্বারা নিশ্চিত করা হয়। বেসিস এবং টেস্টিং ফাংশন ডোমেনে অজানা ফাংশনের প্রত্যাশিত আচরণ মডেল করার জন্য বিভিন্ন বেসিস ফাংশন বেছে নেওয়া যেতে পারে; এই ফাংশনগুলি উপবিভাগীয় বা বৈশ্বিক হতে পারে। বেসিস ফাংশন হিসাবে ডিরাক ডেল্টা ফাংশনের পছন্দকে পয়েন্ট-ম্যাচিং বা কোলোকেশন বলা হয়। এটি বিচ্ছিন্ন বিন্দুতে সীমানা শর্ত প্রয়োগের সাথে মিলে যায় এবং প্রায়শই আনুমানিক সমাধান পেতে ব্যবহৃত হয় যখন অভ্যন্তরীণ পণ্য অপারেশন সম্পাদন করা জটিল হয়। অন্যান্য সাবসেকশনাল বেসিস ফাংশনগুলির মধ্যে রয়েছে পালস, পিসওয়াইজ ত্রিভুজাকার, পিসওয়াইজ সাইনোসয়েডাল এবং ছাদ ফাংশন। 1982 সালে এস. রাও, ডি. উইল্টন এবং এ. গ্লিসন দ্বারা প্রবর্তিত ত্রিভুজাকার প্যাচগুলি আরডব্লিউজি ভিত্তি ফাংশন হিসাবে পরিচিত এবং এমওএম-এ ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়। গণনার গতি ত্বরান্বিত করতে এবং ম্যাট্রিক্স সমীকরণ হ্রাস করতে চরিত্রগত ভিত্তি ফাংশনও চালু করা হয়েছিল। টেস্টিং এবং বেসিস ফাংশনগুলি প্রায়শই একই হিসাবে বেছে নেওয়া হয়; এটি গ্যালারকিন পদ্ধতি হিসাবে পরিচিত। প্রয়োগ এবং অধ্যয়নরত কাঠামোর উপর নির্ভর করে, সমন্বয় এবং নির্ভুলতা নিশ্চিত করার পাশাপাশি সম্ভাব্য উচ্চ ক্রমের বীজগাণিতিক এককত্ব রোধ করার জন্য পরীক্ষা এবং ভিত্তি ফাংশনগুলি যথাযথভাবে বেছে নেওয়া উচিত। ইন্টিগ্রাল সমীকরণ প্রয়োগ এবং চাওয়া চলকের উপর নির্ভর করে, এমওএম-এ বিভিন্ন ইন্টিগ্রাল বা ইন্টিগ্রো-ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ ব্যবহার করা হয়। অনেক ধরনের অ্যান্টেনার মতো পাতলা তারের কাঠামো দ্বারা বিকিরণ এবং বিচ্ছুরণ বিশেষ সমীকরণ দ্বারা মডেল করা যেতে পারে। পৃষ্ঠের সমস্যাগুলির জন্য, সাধারণ অবিচ্ছেদ্য সমীকরণ গঠনের মধ্যে রয়েছে বৈদ্যুতিক ক্ষেত্র অবিচ্ছেদ্য সমীকরণ (ই. এফ. আই. ই), চৌম্বক ক্ষেত্র অবিচ্ছেদ্য সমীকরণ (এম. এফ. আই. ই) এবং মিশ্র-সম্ভাব্যতা অবিচ্ছেদ্য সমীকরণ (এম. পি. আই. ই)। পাতলা তারের সমীকরণ যেমন অনেক অ্যান্টেনা কাঠামোকে তার হিসাবে অনুমান করা যেতে পারে, এম. ও. এম প্রয়োগগুলিতে পাতলা তারের সমীকরণগুলি আগ্রহের বিষয়। দুটি সাধারণভাবে ব্যবহৃত পাতলা-তারের সমীকরণ হল পকলিংটন এবং হ্যালেন ইন্টিগ্রো-ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ। 1897 সালে হেনরি ক্যাবোর্ন পকলিংটন দ্বারা প্রবর্তিত পকলিংটনের সমীকরণটি গণনামূলক কৌশলগুলির পূর্ববর্তী। একটি রৈখিক তারের জন্য যা উৎপত্তির উপর কেন্দ্রীভূত এবং z-অক্ষের সাথে সারিবদ্ধ, সমীকরণটি এইভাবে লেখা যেতে পারেঃ যেখানে এবং যথাক্রমে মোট দৈর্ঘ্য এবং পুরুত্ব নির্দেশ করে। মুক্ত স্থানের জন্য সবুজ ফাংশন। সমীকরণটি চৌম্বকীয় ফ্রিল সহ বিভিন্ন উত্তেজনা পরিকল্পনায় সাধারণীকরণ করা যেতে পারে। 1938 সালে ই. হ্যালেন দ্বারা প্রকাশিত হ্যালেন ইন্টিগ্রাল সমীকরণটি এইভাবে দেওয়া যেতে পারেঃ এই সমীকরণটি, পকলিংটনের সমীকরণের চেয়ে বেশি ভাল আচরণ করা সত্ত্বেও, সাধারণত অ্যান্টেনা ফিড পয়েন্টে ডেল্টা-গ্যাপ ভোল্টেজ উত্তেজনার মধ্যে সীমাবদ্ধ, যা একটি প্রভাবিত বৈদ্যুতিক ক্ষেত্র হিসাবে প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে। বৈদ্যুতিক ক্ষেত্র অবিচ্ছেদ্য সমীকরণ (ই. এফ. আই. ই) বৈদ্যুতিক ক্ষেত্র অবিচ্ছেদ্য সমীকরণের (ই. এফ. আই. ই) সাধারণ রূপটি এইভাবে লেখা যেতে পারেঃ আপতিত বা প্রভাবিত বৈদ্যুতিক ক্ষেত্র কোথায়। এটি হেল্মহোল্টজ সমীকরণের জন্য সবুজ ফাংশন এবং তরঙ্গ প্রতিবন্ধকতা উপস্থাপন করে। সীমানা শর্তগুলি একটি নির্দিষ্ট পি. ই. সি পৃষ্ঠে পূরণ করা হয়। ই. এফ. আই. ই হল প্রথম ধরনের একটি ফ্রেডহলম অবিচ্ছেদ্য সমীকরণ। চৌম্বক ক্ষেত্র অবিচ্ছেদ্য সমীকরণ (এম. এফ. আই. ই) এম. ও. এম-এ আরেকটি সাধারণভাবে ব্যবহৃত অবিচ্ছেদ্য সমীকরণ হল চৌম্বক ক্ষেত্র অবিচ্ছেদ্য সমীকরণ (এম. এফ. আই. ই), যা এইভাবে লেখা যেতে পারেঃ এম. এফ. আই. ই প্রায়শই দ্বিতীয় ধরনের ফ্রেডহোল্ম অবিচ্ছেদ্য সমীকরণ হিসাবে প্রণয়ন করা হয় এবং সাধারণত সুপ্রতিষ্ঠিত হয়। তা সত্ত্বেও, গঠনটির জন্য বন্ধ পৃষ্ঠের ব্যবহার প্রয়োজন, যা এর প্রয়োগকে সীমাবদ্ধ করে। অন্যান্য গঠন এমওএম-এর জন্য বিভিন্ন পৃষ্ঠ এবং আয়তনের অবিচ্ছেদ্য গঠন বিদ্যমান। অনেক ক্ষেত্রে, ই. এফ. আই. ই-গুলি লরেঞ্জ গেজ শর্ত ব্যবহারের মাধ্যমে মিশ্র সম্ভাব্য অবিচ্ছেদ্য সমীকরণে (এম. এফ. আই. ই) রূপান্তরিত হয়; এর লক্ষ্য চৌম্বকীয় ভেক্টর এবং স্কেলার বৈদ্যুতিক সম্ভাব্যতা ব্যবহারের মাধ্যমে এককত্বের ক্রম হ্রাস করা। অস্তরক বিক্ষেপণ গণনায় অভ্যন্তরীণ অনুরণন সমস্যাকে বাইপাস করার জন্য, সম্মিলিত-ক্ষেত্র অবিচ্ছেদ্য সমীকরণ (সি. এফ. আই. ই) এবং পোগিও-মিলার-চ্যাং-হ্যারিংটন-উ-সাই (পি. এম. সি. এইচ. ডব্লিউ. টি) সূত্রগুলিও ব্যবহার করা হয়। আরেকটি পদ্ধতি, ভলিউমেট্রিক ইন্টিগ্রাল সমীকরণ, ভলিউম উপাদানগুলির পৃথকীকরণের প্রয়োজনীয়তা তৈরি করে এবং প্রায়শই গণনামূলকভাবে ব্যয়বহুল। এমওএমকে ভৌত আলোকবিজ্ঞান তত্ত্ব এবং সীমাবদ্ধ উপাদান পদ্ধতির সাথেও সংহত করা যেতে পারে। মাইক্রোস্ট্রিপ বা প্যাচ অ্যান্টেনার মতো সমতল-স্তরযুক্ত কাঠামোর পূর্ণ তরঙ্গ বিশ্লেষণের জন্য স্থানিক-ডোমেন গ্রীনের ফাংশনগুলির উৎপত্তি প্রয়োজন যা এই জ্যামিতিগুলির জন্য অদ্ভুত। তা সত্ত্বেও, এতে বর্ণালী গ্রীনের ফাংশনের বিপরীত হ্যাঙ্কেল রূপান্তর জড়িত, যা সমারফেল্ড ইন্টিগ্রেশন পথে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে। এই ইন্টিগ্রালটি বিশ্লেষণাত্মকভাবে মূল্যায়ন করা যায় না এবং দোলক কার্নেল এবং ইন্টিগ্রালের ধীরে ধীরে রূপান্তরিত প্রকৃতির কারণে এর সংখ্যাসূচক মূল্যায়ন প্রায়শই গণনামূলকভাবে ব্যয়বহুল। আধা-স্থির এবং পৃষ্ঠ মেরু উপাদানগুলির নিষ্কাশন অনুসরণ করে, এই ইন্টিগ্রালগুলি প্রনির পদ্ধতি বা সাধারণীকৃত পেন্সিল-অফ-ফাংশন পদ্ধতির মাধ্যমে ক্লোজড-ফর্ম জটিল সূচকীয় হিসাবে অনুমান করা যেতে পারে; এইভাবে, স্থানিক গ্রীনের ফাংশনগুলি সমারফেল্ড পরিচয়ের মতো উপযুক্ত পরিচয় ব্যবহারের মাধ্যমে উদ্ভূত করা যেতে পারে। এই পদ্ধতিটি গণনামূলক বৈদ্যুতিন চৌম্বকীয় সাহিত্যে বিচ্ছিন্ন জটিল চিত্র পদ্ধতি (ডি. সি. আই. এম) হিসাবে পরিচিত, কারণ গ্রীনের কার্যকারিতা কার্যকরভাবে একটি জটিল দূরত্বের মধ্যে অবস্থিত পৃথক সংখ্যক চিত্র ডাইপোলের সাথে আনুমানিক হয়। সংশ্লিষ্ট গ্রীনের ফাংশনগুলিকে ক্লোজড-ফর্ম গ্রীনের ফাংশন হিসাবে উল্লেখ করা হয়। পদ্ধতিটি নলাকার-স্তরযুক্ত কাঠামোর জন্যও প্রসারিত করা হয়েছে। যুক্তিসঙ্গত-ফাংশন ফিটিং পদ্ধতি, পাশাপাশি ডিসিআইএম-এর সাথে এর সংমিশ্রণ, ক্লোজড-ফর্ম গ্রীনের ফাংশনগুলি আনুমানিক করতেও ব্যবহার করা যেতে পারে। বিকল্পভাবে, বদ্ধ-ফর্ম গ্রীনের ফাংশনটি সবচেয়ে খাড়া অবতরণ পদ্ধতির মাধ্যমে আনুমানিক করা যেতে পারে। পর্যায়ক্রমিক কাঠামোর জন্য যেমন পর্যায়ক্রমিক অ্যারে, ইওয়াল্ড যোগফল প্রায়শই পর্যায়ক্রমিক গ্রীনের ফাংশনের গণনাকে ত্বরান্বিত করতে ব্যবহৃত হয়। আরও দেখুন বাউন্ডারি এলিমেন্ট পদ্ধতি চরিত্রগত মোড বিশ্লেষণ বিচ্ছিন্ন দ্বিমেরু আনুমানিক দ্রুত বহু-মেরু পদ্ধতি সীমাবদ্ধ উপাদান পদ্ধতি বহু-স্তর দ্রুত বহু-মেরু পদ্ধতি উল্লেখ গ্রন্থপঞ্জি গণনামূলক তড়িৎচুম্বকীয় সংখ্যাসূচক অবকল সমীকরণ