Theories of iterated inductive definitions
সেট তত্ত্ব এবং যুক্তিতে, বুচোলজের আইডি শ্রেণিবিন্যাস হল প্রথম-ক্রমের গাণিতিক উপ-ব্যবস্থার একটি শ্রেণিবিন্যাস। পদ্ধতি/তত্ত্বগুলিকে "ν-বার পুনরাবৃত্ত সূচক সংজ্ঞাগুলির আনুষ্ঠানিক তত্ত্ব" হিসাবে উল্লেখ করা হয়। আই. ডি. এন. মোনোটোন অপারেটরদের ν পুনরাবৃত্ত ন্যূনতম স্থির পয়েন্ট দ্বারা পিএ প্রসারিত করে। সংজ্ঞা মূল সংজ্ঞা আই. ডি. ω (এবং সাধারণভাবে আই. ডি. এন.) হল পিঅ্যানো গাণিতিকের একটি সম্প্রসারণ, যা এল. আই. ডি ভাষায় নিম্নলিখিত স্বতঃসিদ্ধ দ্বারা প্রণয়ন করা হয়েছেঃ প্রতিটি এল. আই. ডি-সূত্র এফ (এক্স)-এর জন্য ν ≤ ω সহ আই. ডি. এন. তত্ত্বটি এইভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছেঃ প্রতিটি এল. আই. ডি-সূত্র এফ (এক্স)-এর জন্য এবং প্রতিটি ইউ <ν ব্যাখ্যা/বিকল্প সংজ্ঞা আই. ডি1 এ সেটকে ইন্ডাক্টিভভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় যদি কোনও একঘেয়ে অপারেটরের জন্য, যেখানে এর সর্বনিম্ন নির্দিষ্ট বিন্দু বোঝায়। আইডি1-এর ভাষা, প্রথম ক্রমের সংখ্যা তত্ত্ব থেকে প্রাপ্ত হয়, এলএন [এক্স]-এ প্রতিটি এক্স-পজিটিভ সূত্র এ (এক্স, এক্স)-এর জন্য একটি সেট (বা প্রেডিকেট) ধ্রুবক আইএ যোগ করে যা শুধুমাত্র এক্স (একটি নতুন সেট পরিবর্তনশীল) এবং এক্স (একটি সংখ্যা পরিবর্তনশীল) মুক্ত পরিবর্তনশীল হিসাবে ধারণ করে। এক্স-পজিটিভ শব্দের অর্থ হল যে এক্স শুধুমাত্র এ-তে ইতিবাচকভাবে ঘটে (এক্স কখনই কোনও প্রভাবের বাম দিকে থাকে না)। আমরা নিজেদেরকে কিছুটা সেট-তাত্ত্বিক স্বরলিপির অনুমতি দিইঃ মানে দুটি সূত্রের জন্য এবং, মানে। তারপর আইডি1-এ ফার্স্ট-অর্ডার নম্বর থিওরি (পিএ)-র স্বতঃসিদ্ধ রয়েছে যার সাথে নতুন ভাষার পাশাপাশি এই স্বতঃসিদ্ধগুলিতে প্রসারিত ইন্ডাকশন স্কিম রয়েছেঃ যেখানে সমস্ত সূত্রের পরিসর রয়েছে। লক্ষ্য করুন যেটি গাণিতিকভাবে সংজ্ঞায়িত সেট অপারেটরের অধীনে বন্ধ করে দেওয়া হয়েছে, যখন যেটি সবচেয়ে কম (অন্তত সংজ্ঞায়িত সেটগুলির মধ্যে) প্রকাশ করে। সুতরাং, সর্বনিম্ন পূর্বনির্ধারিত বিন্দু এবং তাই অপারেটরের সর্বনিম্ন নির্দিষ্ট বিন্দু বোঝানো হয়। ν-বার পুনরাবৃত্ত সূচক সংজ্ঞাগুলির সিস্টেমকে সংজ্ঞায়িত করতে, যেখানে ν একটি অর্ডিনাল, ν অর্ডার টাইপের একটি আদিম পুনরাবৃত্তিমূলক ওয়েল-অর্ডারিং হতে দিন। ক্ষেত্রের উপাদানগুলিকে বোঝাতে আমরা গ্রীক অক্ষর ব্যবহার করি। আই. ডি. এন-এর ভাষা, প্রতিটি এক্স-পজিটিভ সূত্রের জন্য একটি বাইনারি প্রেডিকেট ধ্রুবক জে. এ যোগ করার মাধ্যমে প্রাপ্ত হয় যেখানে সর্বাধিক প্রদর্শিত মুক্ত চলক রয়েছে, যেখানে এক্স আবার একটি ইউনারি (সেট) চলক, এবং ওয়াই একটি নতুন বাইনারি প্রেডিকেট চলক। আমরা এর পরিবর্তে লিখি, পরবর্তী সূত্রে x কে একটি বিশিষ্ট পরিবর্তনশীল হিসাবে ভাবি। আইডিএন সিস্টেমটি এখন প্রথম-ক্রম সংখ্যা তত্ত্ব (পিএ) সিস্টেম থেকে নতুন ভাষায় ইন্ডাকশন স্কিমটি প্রসারিত করে এবং একটি নির্বিচারে সূত্রের পাশাপাশি স্বতঃসিদ্ধগুলির জন্য ট্রান্সফাইনাইট ইন্ডাকশন প্রকাশ করার স্কিমটি যুক্ত করে প্রাপ্ত হয়ঃ যেখানে একটি নির্বিচারে সূত্র। এবং আমরা সূত্রটির জন্য সংক্ষেপণ ব্যবহার করেছি, যেখানে বিশিষ্ট পরিবর্তনশীল। আমরা দেখতে পাই যে এগুলি প্রকাশ করে যে প্রতিটি, জন্য, অপারেটরের জন্য সর্বনিম্ন স্থির বিন্দু (সংজ্ঞায়িত সেটগুলির মধ্যে)। লক্ষ্য করুন কিভাবে পূর্ববর্তী সমস্ত সেট, জন্য, পরামিতি হিসাবে ব্যবহৃত হয়। তারপর আমরা সংজ্ঞায়িত করি। ভ্যারিয়েন্টস-এর একটি দুর্বল সংস্করণ। এর সিস্টেমে, একটি সেটকে পরিবর্তে ইন্ডাক্টিভভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় যদি কিছু একঘেয়ে অপারেটরের জন্য, সর্বনিম্ন স্থির বিন্দুর পরিবর্তে একটি নির্দিষ্ট বিন্দু হয়। এই সূক্ষ্ম পার্থক্য ব্যবস্থাটিকে উল্লেখযোগ্যভাবে দুর্বল করে তোলেঃ, যদিও। আরও দুর্বল হয়ে পড়ে। এটি শুধুমাত্র ন্যূনতম স্থির বিন্দুর পরিবর্তে নির্দিষ্ট বিন্দু ব্যবহার করে না, এবং শুধুমাত্র ধনাত্মক সূত্রের জন্য ইন্ডাকশন রয়েছে। এই আরও একবার সূক্ষ্ম পার্থক্য ব্যবস্থাটিকে আরও দুর্বল করে তোলেঃ, যদিও। ডাব্লু-প্রকারের উপর ভিত্তি করে এটি সমস্ত প্রকারের মধ্যে সবচেয়ে দুর্বল। নিয়মিত পুনরাবৃত্ত ইন্ডাকটিভ সংজ্ঞাগুলির তুলনায় দুর্বল হওয়ার পরিমাণ দ্বিতীয় ক্রমের গাণিতিক একটি নির্দিষ্ট সাবসিস্টেম দেওয়া বার ইন্ডাকশন অপসারণের অনুরূপ। , এদিকে। এটি একটি "উদ্ভাসিত" শক্তিশালীকরণ। এটি ঠিক প্রথম-ক্রমের গাণিতিক পদ্ধতি নয়, তবে ν-বার পুনরাবৃত্ত সাধারণীকৃত সূচক সংজ্ঞাগুলির উপর ভিত্তি করে ভবিষ্যদ্বাণীমূলক যুক্তি দ্বারা কী পাওয়া যায় তা ধারণ করে। শক্তির বৃদ্ধির পরিমাণ থেকেঃ, এদিকে বৃদ্ধির সমান। ফলাফল ধরা যাক ν> 0। যদি একটি bul T0-এ ν <μ সহ কোনও চিহ্ন Dμ না থাকে, তবে "a bul W0" IDν-এ প্রমাণযোগ্য। IDω এতে রয়েছে। যদি আই. ডি. এন. ও-তে একটি-বাক্য প্রমাণযোগ্য হয়, তবে এমন কিছু বিদ্যমান। যদি বাক্য A সমস্ত ν <ω-এর জন্য IDν-এ প্রমাণযোগ্য হয়, তবে k ωN এমনভাবে বিদ্যমান। প্রুফ-থিওরেটিক অর্ডিনাল আইডি <ν এর প্রুফ-থিওরেটিক অর্ডিনাল এর সমান। আই. ডি. এন. ও-এর প্রমাণ-তাত্ত্বিক অর্ডিনাল এর সমান। এর প্রমাণ-তাত্ত্বিক অর্ডিনাল সমান। ফর-এর প্রমাণ-তাত্ত্বিক অর্ডিনাল সমান। এর প্রমাণ-তাত্ত্বিক অর্ডিনাল সমান। ফর-এর প্রমাণ-তাত্ত্বিক অর্ডিনাল সমান। ফর-এর প্রমাণ-তাত্ত্বিক অর্ডিনাল সমান। এর প্রমাণ-তাত্ত্বিক অর্ডিনাল সমান। এর প্রমাণ-তাত্ত্বিক অর্ডিনাল সমান। এর প্রমাণ-তাত্ত্বিক অর্ডিনাল সমান। এর প্রমাণ-তাত্ত্বিক অর্ডিনাল সমান। এর প্রমাণ-তাত্ত্বিক অর্ডিনাল সমান। এর প্রমাণ-তাত্ত্বিক অর্ডিনাল সমান। আইডি1-এর প্রমাণ-তাত্ত্বিক অর্ডিনাল (বাকম্যান-হাওয়ার্ড অর্ডিনাল) হল, এবং-এর প্রমাণ-তাত্ত্বিক অর্ডিনাল। W-IDω () এর প্রুফ-থিওরেটিক অর্ডিনালও এর প্রুফ-থিওরেটিক অর্ডিনাল। আইডিওআর-এর প্রমাণ-তাত্ত্বিক অর্ডিনাল (টেকুটি-ফেফারম্যান-বুচোলজ অর্ডিনাল) হল এবং-এর প্রমাণ-তাত্ত্বিক অর্ডিনাল। আইডি <ω ^ ω ()-এর প্রুফ-থিওরেটিক অর্ডিনালও এর প্রুফ-থিওরেটিক অর্ডিনাল। আইডি <ε0 ()-এর প্রুফ-থিওরেটিক অর্ডিনাল হল এবং-এর প্রুফ-থিওরেটিক অর্ডিনাল। তথ্যসূত্র পুনরাবৃত্ত ইন্ডাকটিভ সংজ্ঞা এবং বিশ্লেষণের উপ-ব্যবস্থার জন্য একটি স্বাধীন ফলাফলঃ সাম্প্রতিক প্রমাণ-তাত্ত্বিক অধ্যয়ন পুনরাবৃত্ত ইন্ডাকটিভ সংজ্ঞাগুলির স্বজ্ঞাত তত্ত্বের জন্য এন. এল. এ. বি. লেম্মায় পুনরাবৃত্ত ইন্ডাকটিভ সংজ্ঞা পুনরাবৃত্ত ইন্ডাকটিভ সংজ্ঞা এবং এ. জি. ডি. এ-তে বড় গণনাযোগ্য অর্ডিনাল এবং সংখ্যা এন. এল. এ. বি-তে সাধারণ বিশ্লেষণ সাধারণ সংখ্যা প্রমাণ তত্ত্ব সেট তত্ত্ব গাণিতিক যুক্তি