Mabuchi functional
গণিতে, এবং বিশেষত জটিল জ্যামিতিতে, মাবুচি কার্যকরী বা কে-শক্তি কার্যকরী একটি কম্প্যাক্ট কেলার ম্যানিফোল্ডের কেলার সম্ভাবনার স্থানের উপর একটি কার্যকরী যার সমালোচনামূলক বিন্দুগুলি ধ্রুবক স্কেলার বক্রতা কেলার মেট্রিক্স। মাবুচি কার্যকরী 1985 সালে তোশিকি মাবুচি দ্বারা একটি কার্যকরী হিসাবে চালু করা হয়েছিল যা ফুটাকি অপরিবর্তনীয়কে সংহত করে, যা একটি ফানো ম্যানিফোল্ডে কেলার-আইনস্টাইন মেট্রিকের অস্তিত্বের জন্য একটি বাধা। মাবুচি কার্যকরী জ্যামিতিক অপরিবর্তনীয় তত্ত্ব এবং সিমপ্লেক্টিক হ্রাসের ক্ষেত্রে মুহূর্তের মানচিত্রের লগ-নর্ম কার্যকারিতার একটি উপমা। মাবুচি কার্যকরী কে-স্থিতিশীলতার তত্ত্বে একটি বিশ্লেষণাত্মক কার্যকরী হিসাবে উপস্থিত হয় যা ধ্রুবক স্কেলার বক্রতা কেলার মেট্রিকের অস্তিত্বকে চিহ্নিত করে। কাহলার সম্ভাবনার স্থানের যে কোনও ভূগাণিতিক রশ্মি বরাবর মাবুচির অসীম কার্যকারিতার ঢাল একটি সংশ্লিষ্ট পরীক্ষার বিন্যাসের ডোনাল্ডসন-ফুটাকি অপরিবর্তনীয় দ্বারা দেওয়া হয়। ফানো জাতের উপর কেলার-আইনস্টাইন মেট্রিক্সের অধ্যয়নে বারম্যান-বুকসম-জনসনের বৈচিত্র্যময় কৌশলগুলির কারণে, ফানো জাতের কে-স্থিতিশীলতার অধ্যয়নে, বিশেষত এককত্বের সাথে সেটিংসে, এর মাবুচি কার্যকরী এবং বিভিন্ন সাধারণীকরণ সমালোচনামূলকভাবে গুরুত্বপূর্ণ হয়ে উঠেছে। সংজ্ঞা মাবুচি কার্যকরী একটি কম্প্যাক্ট কমপ্লেক্স ম্যানিফোল্ডের উপর একটি নির্দিষ্ট কেলার কোহোমোলজি ক্লাসের ভিতরে কেলার সম্ভাবনার স্থানের উপর সংজ্ঞায়িত করা হয়। ধরা যাক একটি নির্দিষ্ট কেলার মেট্রিক সহ একটি কম্প্যাক্ট কেলার ম্যানিফোল্ড। তারপর-লেমা দ্বারা, ডি রাম কোহোমোলজির শ্রেণীর অন্য যে কোনও কেলার মেট্রিক একটি মসৃণ ফাংশন, কেলার সম্ভাবনার সাথে সম্পর্কিত হতে পারেঃ এই নতুন দ্বি-রূপটি একটি কেলার মেট্রিক নিশ্চিত করার জন্য, এটি অবশ্যই একটি ধনাত্মক রূপ হতে হবেঃ এই দুটি শর্ত কেলার সম্ভাবনার স্থানকে সংজ্ঞায়িত করে যেহেতু কোনও দুটি কেলার সম্ভাব্যতা যা একটি ধ্রুবক ফাংশন দ্বারা পৃথক হয় একই কেলার মেট্রিককে সংজ্ঞায়িত করে, ক্লাসে কেলার মেট্রিকের স্থানটি চিহ্নিত করা যেতে পারে, কেলার সম্ভাব্যতা মডুলো ধ্রুবক ফাংশন। পরিবর্তে কেউ সেই কেলার সম্ভাবনার মধ্যে সীমাবদ্ধ থাকতে পারে যা স্বাভাবিক হয়ে যায় যাতে তাদের অবিচ্ছেদ্য ওভার অদৃশ্য হয়ে যায়। স্পর্শক স্থানটি মসৃণ বাস্তব-মূল্যবান ফাংশনের স্থান দিয়ে চিহ্নিত করা যেতে পারে। আসুন রিমানিয়ান মেট্রিকের স্কেলার বক্রতা নির্দেশ করি এবং এই স্কেলার বক্রতার গড় নির্দেশ করি, যা স্টোকস উপপাদ্য দ্বারা পছন্দের উপর নির্ভর করে না। কাহলার সম্ভাবনার স্থানের উপর একটি ডিফারেনশিয়াল এক-ফর্ম সংজ্ঞায়িত করুন এই এক-ফর্মটি বন্ধ। যেহেতু একটি সঙ্কুচিত স্থান, এই এক-রূপটি সঠিক, এবং একটি কার্যকরী স্বাভাবিককরণ বিদ্যমান যাতে, মাবুচি কার্যকরী বা কে-শক্তি। মাবুচি কার্যকারিতার একটি স্পষ্ট বর্ণনা রয়েছে যা একটি পথ বরাবর এক-রূপকে সংহত করে দেওয়া হয়েছে। ধরা যাক একটি নির্দিষ্ট কেলার সম্ভাব্যতা, যা হিসাবে নেওয়া যেতে পারে, এবং যাক, এবং থেকে একটি পথ হতে পারে। তারপর এই ইন্টিগ্রালটিকে পথের পছন্দ থেকে স্বাধীন হিসাবে দেখানো যেতে পারে। স্থির স্কেলার বক্রতা কেলার মেট্রিক্স এক-রূপের পরিপ্রেক্ষিতে মাবুচি কার্যকারিতার সংজ্ঞা থেকে, এটি দেখা যায় যে একটি কেলার সম্ভাবনার জন্য, সমস্ত স্পর্শক ভেক্টরের জন্য প্রকরণটি অদৃশ্য হয়ে যায় যদি এবং শুধুমাত্র যদি। অর্থাৎ, মাবুচি কার্যকারিতার গুরুত্বপূর্ণ বিন্দুগুলি হল সুনির্দিষ্টভাবে কেলার সম্ভাব্যতা যার ধ্রুবক স্কেলার বক্রতা রয়েছে। তথ্যসূত্র ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতি