Lentz's algorithm
গণিতে, লেন্টজের অ্যালগরিদম হল একটি অ্যালগরিদম যা ক্রমাগত ভগ্নাংশ মূল্যায়ন করে এবং গোলাকার বেসেল ফাংশনের টেবিল গণনা করে। সাধারণত এখন ব্যবহৃত সংস্করণটি থম্পসন এবং বার্নেটের কারণে। এই ধারণাটি 1973 সালে উইলিয়াম জে লেন্টজ দ্বারা প্রবর্তিত হয়েছিল এবং 1982 সালে তাঁর দ্বারা সরলীকৃত হয়েছিল। লেন্টজ পরামর্শ দিয়েছিলেন যে জটিল আর্গুমেন্টের গোলাকার বেসেল ফাংশনের অনুপাত গণনা করা কঠিন হতে পারে। তিনি ধারাবাহিক ক্রমের গোলাকার বেসেল ফাংশনের অনুপাত গণনা করার জন্য একটি নতুন অব্যাহত ভগ্নাংশ কৌশল তৈরি করেছিলেন। এই পদ্ধতিটি অন্যান্য পদ্ধতির তুলনায় একটি উন্নতি ছিল কারণ এটি লেজের পরিবর্তে অব্যাহত ভগ্নাংশের শুরু থেকেই শুরু হয়েছিল, অভিসারের জন্য একটি অন্তর্নির্মিত চেক ছিল এবং সংখ্যার দিক থেকে স্থিতিশীল ছিল। মূল অ্যালগরিদমটি সংখ্যা বা হরের মধ্যে শূন্যকে বাইপাস করতে বীজগণিত ব্যবহার করে। অবাঞ্ছিত শূন্য পদগুলি অতিক্রম করার জন্য সহজতর উন্নতির মধ্যে রয়েছে 1981 সালে জাস্কেলাইনেন এবং রুসকানেন দ্বারা প্রস্তাবিত একটি পরিবর্তিত পুনরাবৃত্তি সম্পর্ক বা 1986 সালে থম্পসন এবং বার্নেটের পরামর্শ অনুযায়ী খুব কম সংখ্যায় হরটির একটি সহজ স্থানান্তর। প্রাথমিক কাজ এই তত্ত্বটি প্রাথমিকভাবে মাই বিচ্ছুরণের জন্য প্রয়োজনীয় গোলাকার বেসেল ফাংশনের অনুপাতের সঠিক গণনার জন্য লেন্টজের প্রয়োজনীয়তা দ্বারা অনুপ্রাণিত হয়েছিল। তিনি একটি নতুন অবিরত ভগ্নাংশ অ্যালগরিদম তৈরি করেছেন যা অবিরত ভগ্নাংশের শুরু থেকে শুরু হয় এবং শেষ প্রান্তে নয়। এটি সংশ্লেষের জন্য অব্যাহত ভগ্নাংশের কতগুলি পদ প্রয়োজন তা অনুমান করা বাদ দেয়। উপরন্তু, বেসেল ফাংশনের অনুপাত এবং ধারাবাহিক ক্রমের গোলাকার বেসেল ফাংশন উভয়ের জন্য অব্যাহত ভগ্নাংশ উপস্থাপনাগুলি লেন্টজের অ্যালগরিদম দিয়ে গণনা করা যেতে পারে। অ্যালগরিদমটি পরামর্শ দিয়েছিল যে তুলনামূলকভাবে ছোট হলে অব্যাহত ভগ্নাংশের মূল্যায়ন বন্ধ করা সম্ভব। অ্যালগরিদম লেন্টজের অ্যালগরিদম ওয়ালিস-অয়লার সম্পর্কের উপর ভিত্তি করে তৈরি। যদি ইত্যাদি, বা বিগ-কে নোটেশন ব্যবহার করে, যদি তম কনভার্জেন্ট হয় তবে কোথায় এবং ওয়ালিস-অয়লার পুনরাবৃত্তির সম্পর্ক দ্বারা দেওয়া হয় লেন্টজের পদ্ধতিটি সংজ্ঞায়িত করে যাতে তম কনভার্জেন্ট হয় এবং পুনরাবৃত্তির সম্পর্কগুলি ব্যবহার করে যখন পণ্যটি বৃদ্ধির সাথে একতার কাছে পৌঁছায়, এটি আশা করা হয় যে এতে একত্রিত হয়েছে। অ্যাপ্লিকেশন লেন্টজের অ্যালগরিদম বিংশ শতাব্দীর শেষের দিকে ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়েছিল। এটি প্রস্তাব করা হয়েছিল যে এতে ত্রুটি প্রচারের কোনও কঠোর বিশ্লেষণ নেই। যাইহোক, কয়েকটি পরীক্ষামূলক পরীক্ষা থেকে জানা যায় যে এটি অন্তত অন্যান্য পদ্ধতির মতোই ভাল। উদাহরণস্বরূপ, এটি এক্সপোনেনশিয়াল ইন্টিগ্রাল ফাংশন মূল্যায়নের জন্য প্রয়োগ করা হয়েছিল। এই অ্যাপ্লিকেশনটিকে তখন পরিবর্তিত লেন্টজ অ্যালগরিদম বলা হত। এটিও বলা হয়েছে যে লেন্টজ অ্যালগরিদম প্রতিটি গণনার জন্য প্রযোজ্য নয়, এবং কিছু অব্যাহত ভগ্নাংশের জন্য অভিসরণ বেশ দ্রুত হতে পারে এবং অন্যদের জন্য তদ্বিপরীত হতে পারে। তথ্যসূত্র বিশেষ হাইপারজিওমেট্রিক ফাংশন