Plethystic exponential
গণিতে, প্লিথিস্টিক এক্সপোনেনশিয়াল হল একটি নির্দিষ্ট অপারেটর যা (আনুষ্ঠানিক) পাওয়ার সিরিজের উপর সংজ্ঞায়িত করা হয়, যা সাধারণ এক্সপোনেনশিয়াল ফাংশনের মতো যোগকে গুণনে অনুবাদ করে। এই এক্সপোনেনশিয়াল অপারেটরটি স্বাভাবিকভাবেই প্রতিসম ফাংশনের তত্ত্বে উপস্থিত হয়, প্রাথমিক, সম্পূর্ণ এবং শক্তির জন্য জেনারেটিং সিরিজের মধ্যে একটি সংক্ষিপ্ত সম্পর্ক হিসাবে অনেক চলকের সমজাতীয় প্রতিসম বহুপদী যোগ করে। এর নাম তথাকথিত ল্যাম্বডা রিংয়ের প্রেক্ষাপটে সংজ্ঞায়িত প্লেথিসম নামক অপারেশন থেকে এসেছে। সংমিশ্রণে, প্লিথিস্টিক এক্সপোনেনশিয়াল হল পূর্ণসংখ্যা, বহুপদী বা পাওয়ার সিরিজের অনেক সু-অধ্যয়িত ক্রমের জন্য একটি উৎপাদনকারী ফাংশন, যেমন পূর্ণসংখ্যা বিভাজনের সংখ্যা। লেবেলবিহীন গ্রাফ এবং অন্যান্য অনেক সমন্বিত বস্তুর গণনামূলক সমন্বয়ের ক্ষেত্রেও এটি একটি গুরুত্বপূর্ণ কৌশল। জ্যামিতি এবং টপোলজিতে, একটি স্থানের একটি নির্দিষ্ট জ্যামিতিক/টপোলজিক অপরিবর্তনীয়ের প্লিথিস্টিক সূচকীয় তার প্রতিসম পণ্যগুলির সংশ্লিষ্ট অপরিবর্তনীয় নির্ধারণ করে। সংজ্ঞা, প্রধান বৈশিষ্ট্য এবং মৌলিক উদাহরণগুলি আসুন একটি বিনিময়যোগ্য বলয়ে সহগ সহ চলকের মধ্যে আনুষ্ঠানিক শক্তি সিরিজের একটি বলয় হতে হবে। ধ্রুবক পদ ছাড়াই পাওয়ার সিরিজের সমন্বয়ে গঠিত আদর্শ দ্বারা চিহ্নিত করুন। তারপর, প্রদত্ত, এর প্লিথিস্টিক এক্সপোনেনশিয়াল দেওয়া হয় যেখানে স্বাভাবিক এক্সপোনেনশিয়াল ফাংশন। এটি সহজেই যাচাই করা যায় যে (পরিবর্তনশীলটি বোঝা গেলে কেবল লেখা): কিছু মৌলিক উদাহরণ হলঃ এই শেষ উদাহরণে, এর বিভাজনের সংখ্যা। প্লিথিস্টিক সূচকীয়কে অনেক চলকের পাওয়ার সিরিজ রিংয়ের জন্যও সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। পণ্য-সমষ্টি সূত্র প্লিথিস্টিক এক্সপোনেনশিয়াল অসংখ্য পণ্য-সমষ্টি পরিচয় প্রদান করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। এটি প্লিথিস্টিক এক্সপোনেনশিয়ালগুলির জন্য একটি পণ্য সূত্রের একটি পরিণতি। যদি বাস্তব সহগ সহ একটি আনুষ্ঠানিক পাওয়ার সিরিজ নির্দেশ করা হয়, তবে এটি দেখানো কঠিন নয় যেঃ অনুরূপ পণ্য অভিব্যক্তিটি অনেক চলকের ক্ষেত্রেও ধারণ করে। একটি বিশেষ আকর্ষণীয় ঘটনা হল পূর্ণসংখ্যা বিভাজন এবং প্রতিসম গোষ্ঠীর চক্র সূচকের সাথে এর সম্পর্ক। প্রতিসম ফাংশনের সঙ্গে সম্পর্ক চলকের সঙ্গে কাজ করলে, সম্পূর্ণ সমজাতীয় প্রতিসম বহুপদী দ্বারা বোঝানো হয়, যা চলকের ডিগ্রি k-এর সমস্ত এককগুলির যোগফল এবং প্রাথমিক প্রতিসম বহুপদী দ্বারা বোঝানো হয়। তারপর, দ্য এবং দ্য শক্তি যোগফলের বহুপদগুলির সাথে সম্পর্কিতঃ নিউটনের পরিচয় অনুসারে, যা প্লিথিস্টিক এক্সপোনেনশিয়াল ব্যবহার করে সংক্ষিপ্তভাবে লেখা যেতে পারে, যেমনঃ ম্যাকডোনাল্ডের প্রতিসম পণ্যগুলির সূত্র ধরা যাক এক্স একটি সীমাবদ্ধ সিডব্লিউ জটিল, মাত্রা ডি, পয়েনকারে বহুপদী সহ যেখানে এর কে-তম বেট্টি সংখ্যা রয়েছে। তারপর এক্স-এর নবম প্রতিসম গুণফলের পয়েনকারে বহুপদী, যা চিহ্নিত করা হয়, সিরিজ সম্প্রসারণ থেকে প্রাপ্ত হয়ঃ পদার্থবিজ্ঞানে প্লিথিস্টিক প্রোগ্রাম একাধিক নিবন্ধে, বো ফেং, আমিহাই হানানি এবং ইয়াং-হুই হে সহ তাত্ত্বিক পদার্থবিজ্ঞানীদের একটি দল সুপারসিমেট্রিক গেজ তত্ত্বের একক এবং বহু-ট্রেস গেজ অপরিবর্তনীয় অপারেটরদের পদ্ধতিগতভাবে গণনা করার জন্য একটি প্রোগ্রামের প্রস্তাব দেয়। ক্যালাবি-ইউ এককত্বের অনুসন্ধানকারী ডি-ব্রেনের কুইভার গেজ তত্ত্বের ক্ষেত্রে, এই গণনাটি এককত্বের হিলবার্ট সিরিজের প্লিথিস্টিক সূচকে বিধিবদ্ধ করা হয়। তথ্যসূত্র প্রতিসম ফাংশন