Differentiation of trigonometric functions
ত্রিকোণমিতি ফাংশনের পৃথকীকরণ হল একটি ত্রিকোণমিতি ফাংশনের অন্তরজ বা একটি চলকের সাপেক্ষে তার পরিবর্তনের হার খুঁজে বের করার গাণিতিক প্রক্রিয়া। উদাহরণস্বরূপ, সাইন ফাংশনের অন্তরজকে sin′ (a) = cos (a) লেখা হয়, যার অর্থ x = a একটি নির্দিষ্ট কোণে sin (x)-এর পরিবর্তনের হার সেই কোণের কোসাইন দ্বারা দেওয়া হয়। ট্যান (x) = sin (x)/cos (x)-এর মতো ফাংশনের ক্ষেত্রে প্রয়োগ করা ভাগফল নিয়মের মাধ্যমে বৃত্তাকার ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের সমস্ত ব্যুৎপত্তিগুলি sin (x) এবং cos (x) থেকে পাওয়া যায়। এই ব্যুৎপত্তিগুলি জেনে, বিপরীত ত্রিকোণমিতি ফাংশনের ব্যুৎপত্তিগুলি অন্তর্নিহিত পৃথকীকরণ ব্যবহার করে পাওয়া যায়। ত্রিকোণমিতি ফাংশনের ব্যুৎপত্তিগুলির প্রমাণ sin (θ)/θ-এর সীমা যেমন θ 0-এর দিকে থাকে ডানদিকের চিত্রটি কেন্দ্র O এবং ব্যাসার্ধ r = 1 সহ একটি বৃত্ত দেখায়। ধরা যাক দুটি ব্যাসার্ধ OA এবং OB θ রেডিয়ানের একটি বৃত্ত তৈরি করে। যেহেতু আমরা সীমাটি বিবেচনা করছি কারণ θ শূন্যের দিকে ঝুঁকছে, তাই আমরা ধরে নিতে পারি যে θ একটি ছোট ধনাত্মক সংখ্যা, ধরুন প্রথম চতুর্থাংশে 0 <θ <1⁄2π। রেখাচিত্রে, ধরা যাক R1 ত্রিভুজ OAB, R2 বৃত্তাকার সেক্টর OAB, এবং R3 ত্রিভুজ OAC। ত্রিভুজ ও. এ. বি-র আয়তন হলঃ বৃত্তাকার সেক্টর ও. এ. বি-এর আয়তন এবং ত্রিভুজ ও. এ. সি-এর আয়তন নিম্নরূপঃ যেহেতু প্রতিটি অঞ্চল পরের অংশে রয়েছে, একটিতে রয়েছেঃ উপরন্তু, যেহেতু প্রথম চতুর্থাংশে, আমরা 1⁄2 দ্বারা ভাগ করতে পারি, যা দেয়ঃ শেষ ধাপে আমরা তিনটি ধনাত্মক পদের পারস্পরিকতা নিয়েছি, বৈষম্যকে বিপরীত করে। আমরা উপসংহারে পৌঁছেছি যে, 0 <θ <1⁄2π-এর জন্য, পরিমাণ সর্বদা 1-এর চেয়ে কম এবং সর্বদা cos (θ)-এর চেয়ে বেশি। সুতরাং, θ যখন 0-এর কাছাকাছি চলে আসে, তখন উচ্চতা 1-এ একটি ছাদ এবং উচ্চতায় একটি তলের মধ্যে "সঙ্কুচিত" হয়, যা 1-এর দিকে বৃদ্ধি পায়; অতএব sin (θ)/θ অবশ্যই 1-এর দিকে ঝুঁকতে হবে কারণ θ ধনাত্মক দিক থেকে 0-এর দিকে ঝুঁকছেঃ যেখানে θ একটি ছোট ঋণাত্মক সংখ্যা-1⁄2 π <θ <0, আমরা এই সত্যটি ব্যবহার করি যে সাইন একটি বিজোড় ফাংশনঃ (cos (θ)-1)/θ-এর সীমা যেহেতু θ 0-এর দিকে ঝুঁকছে শেষ বিভাগটি আমাদের এই নতুন সীমাটি তুলনামূলকভাবে সহজেই গণনা করতে সক্ষম করে। এটি একটি সহজ কৌশল ব্যবহার করে করা হয়। এই গণনায়, θ-এর চিহ্নটি গুরুত্বহীন। একটি পণ্যের সীমা হল সীমার গুণফল এবং পূর্ববর্তী বিভাগ থেকে সীমার ফলাফল ব্যবহার করে, আমরা দেখতে পাই যেঃ θ হিসাবে ট্যান (θ)/θ-এর সীমা 0 হয়ে যায় সাইন ফাংশনের সীমা ব্যবহার করে, স্পর্শক ফাংশনটি বিজোড় এবং একটি পণ্যের সীমা সীমার গুণফল, এই সত্যটি ব্যবহার করে আমরা দেখতে পাইঃ সাইন ফাংশনের উদ্ভূত আমরা সীমা সংজ্ঞা থেকে সাইন ফাংশনের উদ্ভূত গণনা করিঃ কোণ সংযোজন সূত্র ব্যবহার করে, আমাদের আছেঃ সাইন এবং কোসাইন ফাংশনের সীমা ব্যবহার করেঃ কোসাইন ফাংশনের উদ্ভূত আমরা আবার সীমা সংজ্ঞা থেকে কোসাইন ফাংশনের উদ্ভূত গণনা করিঃ কোণ ব্যবহার করেঃ এই তিনটি তথ্য ব্যবহার করে, আমরা নিম্নলিখিতগুলি লিখতে পারি, আমরা চেইন রুল ব্যবহার করে এটিকে আলাদা করতে পারি। লেটিং, আমাদের আছেঃ তাই আমরা তা প্রমাণ করেছি। স্পর্শক ফাংশনের উদ্ভূত। ব্যুৎপত্তিগত সংজ্ঞা থেকে স্পর্শক ফাংশনের ব্যুৎপত্তি গণনা করতে, আমরা প্রথম নীতিগুলি ব্যবহার করি। সংজ্ঞা অনুসারেঃ সুপরিচিত কোণ সূত্র ব্যবহার করে, আমাদের আছেঃ একটি পণ্যের সীমা হল সীমার গুণফল এই সত্যটি ব্যবহার করেঃ স্পর্শক ফাংশনের জন্য সীমা ব্যবহার করে, এবং ট্যান δ 0-তে থাকে কারণ δ 0-তে থাকেঃ আমরা অবিলম্বে দেখতে পাই যেঃ ভাগফল নিয়ম থেকে একজন ভাগফল নিয়ম ব্যবহার করে স্পর্শক ফাংশনের অন্তরজও গণনা করতে পারে। পাইথাগোরিয়ান আইডেন্টিটি দ্বারা সংখ্যাটিকে 1-এ সরলীকৃত করা যেতে পারে, যা আমাদের দেয়, অতএব, বিপরীত ত্রিকোণমিতি ফাংশনের ডেরিভেটিভের প্রমাণ নিম্নলিখিত ডেরিভেটিভগুলি বিপরীত ত্রিকোণমিতি ফাংশনের সমান একটি পরিবর্তনশীল y স্থাপন করে পাওয়া যায় যার আমরা ডেরিভেটিভ নিতে চাই। অন্তর্নিহিত পার্থক্য ব্যবহার করে এবং তারপর dy/dx-এর জন্য সমাধান করে, বিপরীত ফাংশনের অন্তরজ y-এর পরিপ্রেক্ষিতে পাওয়া যায়। x-এর পরিপ্রেক্ষিতে dy/dx-কে আবার অস্তিত্বে রূপান্তর করতে, আমরা একক বৃত্তের উপর একটি রেফারেন্স ত্রিভুজ আঁকতে পারি, θ কে y হতে দিই। পাইথাগোরীয় উপপাদ্য এবং নিয়মিত ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের সংজ্ঞা ব্যবহার করে, আমরা অবশেষে x-এর পরিপ্রেক্ষিতে dy/dx প্রকাশ করতে পারি। বিপরীত সাইন ফাংশনকে আমরা কোথায় প্রকাশ করতে পারি। তারপর উভয় পক্ষের সাপেক্ষে অন্তরজ নিয়ে এবং dy/dx-এর জন্য সমাধানঃ উপর থেকে প্রতিস্থাপন করে, উপর থেকে প্রতিস্থাপন করে, বিপরীত কোসাইন ফাংশনকে আলাদা করে। ইনভার্স ট্যানজেন্ট ফাংশনকে ডিফারেনশিয়েট করলে আমরা কোথায় যেতে দেব তারপর উভয় পক্ষের সাপেক্ষে ডেরিভেটিভ নিয়ে এবং dy/dx-এর জন্য সমাধান করলেঃ বাম দিকেঃ পাইথাগোরিয়ান আইডেন্টিটি ব্যবহার করে ডান দিকেঃ অতএব, উপর থেকে প্রতিস্থাপন করলে, আমরা ইনভার্স কোট্যানজেন্ট ফাংশনকে ডিফারেনশিয়েট করতে পারি। তারপর উভয় পক্ষের সাপেক্ষে ব্যুৎপত্তি গ্রহণ এবং dy/dx-এর জন্য সমাধানঃ বাম দিকঃ পাইথাগোরীয় পরিচয় ডান দিক ব্যবহার করাঃ অতএব, বিকল্পভাবে, উপরে যেমন দেখানো হয়েছে তার ব্যুৎপত্তি হিসাবে প্রতিস্থাপিত করা, তারপর পরিচয় ব্যবহার করে অবিলম্বে অনুসরণ করা হয় যে অন্তর্নিহিত পার্থক্য ব্যবহার করে বিপরীত সিক্যান্ট ফাংশনকে আলাদা করা যাক তারপর (অভিব্যক্তিতে পরম মানটি প্রয়োজন কারণ y-এর ব্যবধানে সিক্যান্ট এবং স্পর্শকের গুণফল সর্বদা অ-নেতিবাচক, যেখানে র্যাডিকেল সর্বদা প্রধান বর্গমূলের সংজ্ঞা অনুসারে অ-নেতিবাচক, তাই অবশিষ্ট ফ্যাক্টরটিও অ-নেতিবাচক হতে হবে, যা x-এর পরম মান ব্যবহার করে অর্জন করা হয়।) চেইন রুল ব্যবহার করে বিকল্পভাবে, চেইন রুল ব্যবহার করে আর্কসেক্যান্টের ডেরিভেটিভটি আর্কোসিনের ডেরিভেটিভ থেকে উদ্ভূত হতে পারে। কোথায় এবং তারপর, শৃঙ্খলের নিয়মটি প্রয়োগ করা যাকঃ অন্তর্নিহিত পার্থক্য ব্যবহার করে বিপরীত কোসেকেন্ট ফাংশনকে আলাদা করা যাক তারপর (অভিব্যক্তিতে পরম মানটি প্রয়োজনীয় কারণ y এর ব্যবধানে কোসেকেন্ট এবং কোট্যাঞ্জেন্টের গুণফল সর্বদা অ-ঋণাত্মক হয়, যেখানে র্যাডিকেল সর্বদা প্রধান বর্গমূলের সংজ্ঞা অনুসারে অ-ঋণাত্মক হয়, তাই অবশিষ্ট ফ্যাক্টরটিও অ-ঋণাত্মক হতে হবে, যা x এর পরম মান ব্যবহার করে অর্জন করা হয়।) চেইন রুল ব্যবহার করে বিকল্পভাবে, চেইন রুল ব্যবহার করে আর্কোসেকেন্টের ডেরিভেটিভ আর্কসিনের ডেরিভেটিভ থেকে উদ্ভূত হতে পারে। কোথায় এবং তারপর, শৃঙ্খল নিয়ম প্রয়োগ করা যাকঃ আরও দেখুন রেফারেন্স বিব্লিওগ্রাফি হ্যান্ডবুক অফ ম্যাথমেটিকাল ফাংশনস, অ্যাব্রামোভিটস এবং স্টেগুন দ্বারা সম্পাদিত, ন্যাশনাল ব্যুরো অফ স্ট্যান্ডার্ডস, অ্যাপ্লায়েড ম্যাথমেটিক্স সিরিজ, 55 (1964) ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলাস ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের প্রমাণ সম্বলিত নিবন্ধ গাণিতিক পরিচয়