Freiheitssatz
গণিতে, ফ্রেইহিটস্যাটজ (জার্মানঃ "স্বাধীনতা/স্বাধীনতা উপপাদ্য": ফ্রেইহাইট + স্যাটজ) হল গোষ্ঠীগুলির উপস্থাপনা তত্ত্বের একটি ফলাফল, যা বলে যে এক-রিলেটর গোষ্ঠীর নির্দিষ্ট উপগোষ্ঠীগুলি মুক্ত গোষ্ঠী। বিবৃতি জেনারেটর দ্বারা প্রদত্ত একটি গ্রুপ উপস্থাপনা এবং একটি একক চক্রাকারভাবে হ্রাস রিলেটর বিবেচনা করুন। যদি প্রদর্শিত হয়, তবে (ফ্রাইহিটস্যাটজ অনুসারে) দ্বারা উত্পন্ন উপগোষ্ঠীটি একটি মুক্ত গোষ্ঠী, যা দ্বারা অবাধে উত্পন্ন হয়। অন্য কথায়, জড়িত একমাত্র সম্পর্কগুলি হল তুচ্ছ। জার্মান গণিতবিদ ম্যাক্স ডেন এই ফলাফলটি প্রস্তাব করেছিলেন এবং তাঁর ছাত্র উইলহেলম ম্যাগনাস তাঁর ডক্টরেট থিসিসে প্রমাণ করেছিলেন। যদিও ডেহন আশা করেছিলেন যে ম্যাগনাস একটি টপোলজিক্যাল প্রমাণ খুঁজে পাবেন, পরিবর্তে ম্যাগনাস গাণিতিক প্রবর্তন এবং গোষ্ঠীগুলির সমন্বিত পণ্যগুলির উপর ভিত্তি করে একটি প্রমাণ খুঁজে পেয়েছেন। বিভিন্ন ইন্ডাকশন-ভিত্তিক প্রমাণ পরে এবং দ্বারা দেওয়া হয়েছিল। তাৎপর্য ফ্রাইহিটস্যাটজ "এক-রিলেটর গ্রুপ তত্ত্বের ভিত্তি" হয়ে উঠেছে এবং একীভূত পণ্য তত্ত্বের বিকাশকে অনুপ্রাণিত করেছে। এটি নন-কমিউটেটিভ গ্রুপ তত্ত্বে ভেক্টর স্পেস এবং অন্যান্য কমিউটেটিভ গ্রুপের উপর নির্দিষ্ট ফলাফলের একটি এনালগ প্রদান করে। তথ্যসূত্র যৌথ গোষ্ঠী তত্ত্ব