Euclidean field
গণিতে, ইউক্লিডীয় ক্ষেত্র হল একটি ক্রমবদ্ধ ক্ষেত্র যার জন্য প্রতিটি অ-ঋণাত্মক উপাদান একটি বর্গক্ষেত্রঃ অর্থাৎ, ইন বোঝায় যে কিছু ক্ষেত্রে। গঠনযোগ্য সংখ্যাগুলি একটি ইউক্লিডীয় ক্ষেত্র গঠন করে। এটি ক্ষুদ্রতম ইউক্লিডীয় ক্ষেত্র, কারণ প্রতিটি ইউক্লিডীয় ক্ষেত্রে এটি একটি ক্রমযুক্ত উপক্ষেত্র হিসাবে থাকে। অন্য কথায়, গঠনযোগ্য সংখ্যাগুলি মূলদ সংখ্যার ইউক্লিডীয় সমাপ্তি গঠন করে। বৈশিষ্ট্য প্রতিটি ইউক্লিডীয় ক্ষেত্র একটি ক্রমযুক্ত পাইথাগোরীয় ক্ষেত্র, তবে বিপরীতটি সত্য নয়। যদি ই/এফ একটি সসীম এক্সটেনশন হয়, এবং ই ইউক্লিডীয় হয়, তাহলে এফও তাই। এই "ডাউন-ডাউন উপপাদ্য" ডিলার-ড্রেস উপপাদ্যের একটি পরিণতি। উদাহরণস্বরূপ, প্রকৃত গঠনযোগ্য সংখ্যা, সেই (স্বাক্ষরিত) দৈর্ঘ্য যা একটি যুক্তিসঙ্গত অংশ থেকে শাসক এবং কম্পাস গঠন দ্বারা তৈরি করা যেতে পারে, একটি ইউক্লিডীয় ক্ষেত্র গঠন করে। প্রতিটি প্রকৃত বদ্ধ ক্ষেত্র একটি ইউক্লিডীয় ক্ষেত্র। নিম্নলিখিত উদাহরণগুলিও বাস্তব বদ্ধ ক্ষেত্র। স্বাভাবিক ক্রিয়া এবং ক্রম সহ বাস্তব সংখ্যাগুলি একটি ইউক্লিডীয় ক্ষেত্র গঠন করে। বাস্তব বীজগাণিতিক সংখ্যার ক্ষেত্র হল একটি ইউক্লিডীয় ক্ষেত্র। অতি বাস্তব সংখ্যার ক্ষেত্র হল একটি ইউক্লিডীয় ক্ষেত্র। পাল্টা উদাহরণ স্বাভাবিক ক্রিয়া এবং ক্রম সহ মূলদ সংখ্যাগুলি ইউক্লিডীয় ক্ষেত্র গঠন করে না। উদাহরণস্বরূপ, 2 একটি বর্গক্ষেত্র নয় কারণ 2-এর বর্গমূল অযৌক্তিক। উপরের নিম্নমুখী ফলাফল অনুসারে, কোনও বীজগাণিতিক সংখ্যা ক্ষেত্র ইউক্লিডীয় হতে পারে না। জটিল সংখ্যাগুলি ইউক্লিডীয় ক্ষেত্র গঠন করে না কারণ তাদের একটি ক্রমযুক্ত ক্ষেত্রের কাঠামো দেওয়া যায় না। ইউক্লিডীয় বন্ধ একটি ক্রমযুক্ত ক্ষেত্রের ইউক্লিডীয় বন্ধ একটি বর্ধিতাংশ যা একটি ক্রমযুক্ত ক্ষেত্র হওয়ার ক্ষেত্রে সর্বাধিক যার ক্রম প্রসারিত হয়। এটি একটি ইউক্লিডীয় ক্ষেত্রের বীজগাণিতিক বন্ধের ক্ষুদ্রতম উপক্ষেত্র এবং এর একটি ক্রমযুক্ত সম্প্রসারণ। তথ্যসূত্র বাইরের লিঙ্ক ক্ষেত্র (গণিত)