Waldhausen category
গণিতে, ওয়াল্ডহাউসেন বিভাগ হল একটি বিভাগ সি যা কিছু অতিরিক্ত তথ্য দিয়ে সজ্জিত, যা তথাকথিত এস-নির্মাণ ব্যবহার করে সি-এর কে-তত্ত্ব বর্ণালী তৈরি করা সম্ভব করে তোলে। এটি ফ্রিডহেল্ম ওয়াল্ডহাউসেনের নামে নামকরণ করা হয়েছে, যিনি বীজগাণিতিক কে-তত্ত্বের পদ্ধতিগুলিকে বীজগাণিতিক উৎসের নয় এমন বিভাগগুলিতে প্রসারিত করার জন্য এই ধারণাটি (কোফিব্রেশন এবং দুর্বল সমতুল্য শব্দ বিভাগের অধীনে) প্রবর্তন করেছিলেন, উদাহরণস্বরূপ টপোলজিকাল স্পেসের বিভাগ। সংজ্ঞা ধরা যাক সি একটি বিভাগ, সি-তে কো (সি) এবং আমরা (সি) দুটি শ্রেণীর মরফিজম, যাকে যথাক্রমে কোফিব্রেশন এবং দুর্বল সমতুল্য বলা হয়। ট্রিপল (সি, কো (সি), আমরা (সি)) কে ওয়াল্ডহাউসেন বিভাগ বলা হয় যদি এটি নিম্নলিখিত স্বতঃসিদ্ধগুলিকে সন্তুষ্ট করে, যা টপোলজিকাল স্পেসের কোফিব্রেশন এবং দুর্বল সমস্থানিক সমতুল্যতার ধারণার জন্য অনুরূপ বৈশিষ্ট্য দ্বারা অনুপ্রাণিত হয়ঃ সি-এর একটি শূন্য বস্তু রয়েছে, যা 0 দ্বারা চিহ্নিত করা হয়; আইসোমরফিজমগুলি কো (সি) এবং আমরা (সি) উভয় ক্ষেত্রেই অন্তর্ভুক্ত করা হয়; কো (সি) এবং আমরা (সি) গঠনের অধীনে বন্ধ থাকে; প্রতিটি বস্তুর জন্য এ ωC অনন্য মানচিত্র 0 → এ একটি কোফিব্রেশন, অর্থাৎ। কো (সি) এর একটি উপাদান; কো (সি) এবং আমরা (সি) একটি নির্দিষ্ট অর্থে পুশআউটের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ। উদাহরণস্বরূপ, যদি একটি কোফিব্রেশন হয় এবং কোনও মানচিত্র হয়, তবে অবশ্যই একটি পুশআউট থাকতে হবে, এবং প্রাকৃতিক মানচিত্রটি কোফিব্রেশন হওয়া উচিতঃ অন্যান্য ধারণার সাথে সম্পর্ক বীজগাণিতিক কে-তত্ত্ব এবং হোমোটপি তত্ত্বে কিছু নির্দিষ্ট শ্রেণীর মরফিজমের সাথে সজ্জিত বিভাগগুলির বেশ কয়েকটি ধারণা রয়েছে। যদি সি-এর একটি সঠিক বিভাগের কাঠামো থাকে, তবে আমরা (সি) কে আইসোমরফিজম হিসাবে, সহ (সি) কে গ্রহণযোগ্য মনোমরফিজম হিসাবে সংজ্ঞায়িত করে, একজন সি-এর উপর ওয়াল্ডহাউসেন বিভাগের একটি কাঠামো অর্জন করে। উভয় ধরনের কাঠামো সি-এর কে-তত্ত্বকে সংজ্ঞায়িত করতে ব্যবহার করা যেতে পারে, একটি সঠিক কাঠামোর জন্য কিউ-নির্মাণ এবং ওয়াল্ডহাউসেন কাঠামোর জন্য এস-নির্মাণ ব্যবহার করে। একটি গুরুত্বপূর্ণ বিষয় হল যে ফলস্বরূপ কে-তত্ত্বের স্থানগুলি সমস্থানিক সমতুল্য। যদি সি একটি শূন্য বস্তু সহ একটি মডেল বিভাগ হয়, তবে সি-তে কোফিব্র্যান্ট বস্তুর সম্পূর্ণ উপবিভাগকে একটি ওয়াল্ডহাউসেন কাঠামো দেওয়া যেতে পারে। এস-নির্মাণ ওয়াল্ডহাউসেন এস-নির্মাণ ওয়াল্ডহাউসেন বিভাগ সি থেকে কান কমপ্লেক্সের একটি ক্রম তৈরি করে, যা একটি বর্ণালী গঠন করে। এর জ্যামিতিক উপলব্ধির লুপের স্থান নির্দেশ করা যাক। তারপর গ্রুপটি হল সি-এর এন-তম কে-গ্রুপ। সুতরাং, এটি উচ্চতর কে-গ্রুপগুলিকে সংজ্ঞায়িত করার একটি উপায় দেয়। উচ্চতর কে-তত্ত্বের আরেকটি পদ্ধতি হল কুইলেনের কিউ-নির্মাণ। নির্মাণটি ফ্রিডহেল্ম ওয়াল্ডহাউসেনের কারণে। বাইওয়াল্ডহাউসেন বিভাগ এ বিভাগ সি বাইফিব্রেশন দিয়ে সজ্জিত যদি এর কোফিব্রেশন থাকে এবং এর বিপরীত বিভাগ সিওপি-ও তাই করে। সেক্ষেত্রে, আমরা সিওপি-র তন্তুগুলিকে কোট (সি) দ্বারা চিহ্নিত করি। সেক্ষেত্রে, সি একটি দ্বি-ওয়াল্ডহাউসেন বিভাগ, যদি সি-এর দ্বি-বিভাজন এবং দুর্বল সমতুল্যতা থাকে, যেমন (সি, কো (সি), উই) এবং (সিওপি, কোট (সি), উইওপি) উভয়ই ওয়াল্ডহাউসেন বিভাগ। ওয়াল্ডহাউসেন এবং বাইওয়াল্ডহাউসেন বিভাগগুলি বীজগাণিতিক কে-তত্ত্বের সাথে যুক্ত। সেখানে, অনেক আকর্ষণীয় বিভাগ হল জটিল দ্বি-ওয়াল্ডহাউসেন বিভাগ। উদাহরণস্বরূপঃ একটি সঠিক বিভাগে আবদ্ধ চেইন কমপ্লেক্সের বিভাগ। যখন তা হয় তখন ফাংশনের বিভাগ। এবং একটি রেখাচিত্র দেওয়া হলে, এটি একটি সুন্দর জটিল দ্বি-ওয়াল্ডহাউসেন বিভাগ। তথ্যসূত্র সি. ওয়েইবেল, দ্য কে-বুক, বীজগাণিতিক কে-তত্ত্বের একটি ভূমিকা-http://www.math.rutgers.edu ~ ওয়েইবেল/কেবুক. এইচটিএমএল জি. গারকুশা, সিস্টেম অফ ডায়াগ্রাম বিভাগ এবং কে-তত্ত্ব-https://arxiv.org/abs/math/0401062 আরও দেখুন সম্পূর্ণ সেগাল স্থান বাহ্যিক লিঙ্ক বিভাগ তত্ত্ব বীজগাণিতিক কে-তত্ত্ব