Diophantus II.VIII
ডায়োফান্টাসের দ্বিতীয় বই অ্যারিথমেটিকার অষ্টম সমস্যা হল একটি বর্গকে দুটি বর্গের যোগফলের মধ্যে ভাগ করা। ডায়োফান্টাস ডায়োফান্টাস প্রদত্ত সমাধানটি বর্গক্ষেত্রটিকে 16 হিসাবে গ্রহণ করে এবং সমস্যাটি নিম্নরূপ সমাধান করেঃ একটি প্রদত্ত বর্গক্ষেত্রকে দুটি বর্গের যোগফলের মধ্যে ভাগ করা। 16 কে দুটি বর্গের যোগফলের মধ্যে ভাগ করা। প্রথম যোগফলটি এবং এইভাবে দ্বিতীয়টি হতে দিন। পরেরটি হবে একটি বর্গক্ষেত্র। আমি x-এর একটি স্বেচ্ছাচারী গুণিতক পার্থক্যের বর্গ গঠন করি যা [এর] 16-এর মূল দ্বারা হ্রাস পায়, অর্থাৎ 4 দ্বারা হ্রাস পায়। আমি, উদাহরণস্বরূপ, 2x−4 এর বর্গ গঠন করি। এটা তো বটেই। আমি এই অভিব্যক্তিটিকে সমান রেখেছি। আমি উভয় দিকে যোগ করি এবং 16 বিয়োগ করি। এইভাবে আমি পাই, তাই। সুতরাং একটি সংখ্যা হল 256/25 এবং অন্যটি হল 144/25। এই সংখ্যাগুলির যোগফল 16 এবং প্রতিটি যোগফল একটি বর্গক্ষেত্র। জ্যামিতিকভাবে জ্যামিতিক ব্যাখ্যা, আমরা x2 + y2 = 42 বৃত্ত এবং y = 2x-4 রেখা অঙ্কন করে এই পদ্ধতিটি ব্যাখ্যা করতে পারি। তারপর যে জোড়া বর্গক্ষেত্র চাওয়া হয় তা হল x02 এবং y02, যেখানে (x0, y0) হল সেই বিন্দু যা y-অক্ষের উপর নয় যেখানে রেখা এবং বৃত্ত ছেদ করে। এটি সংলগ্ন রেখাচিত্রে দেখানো হয়েছে। ডায়োফান্টাসের সমাধানের সাধারণীকরণ আমরা যে কোনও প্রদত্ত বর্গক্ষেত্রের সমস্যা সমাধানের জন্য ডায়োফান্টাসের সমাধানকে সাধারণীকরণ করতে পারি, যা আমরা বীজগাণিতিকভাবে a2 হিসাবে উপস্থাপন করব। এছাড়াও, যেহেতু ডায়োফ্যান্টাস x-এর একটি স্বেচ্ছাচারী গুণিতককে বোঝায়, তাই আমরা স্বেচ্ছাচারী গুণিতককে tx হিসাবে নেব। তারপরঃ অতএব, আমরা দেখতে পাই যে যোগফলগুলির মধ্যে একটি হল এবং অন্যটি হল। এই সংখ্যাগুলির যোগফল হল এবং প্রতিটি যোগফল একটি বর্গক্ষেত্র। জ্যামিতিকভাবে, আমরা বৃত্ত x2 + y2 = a2 কে y = tx-a রেখার সাথে ছেদ করেছি, যা সংলগ্ন রেখাচিত্রে দেখানো হয়েছে। ত্রিভুজ ও. এ. বি-এর পার্শ্বগুলির দৈর্ঘ্য, ও. বি, ও. এ এবং এ. বি-কে একটি ক্রমযুক্ত টুপল হিসাবে লিখে, আমরা ত্রিগুণ পাই। ডায়োফ্যান্টাস দ্বারা প্রাপ্ত নির্দিষ্ট ফলাফলটি a = 4 এবং t = 2 গ্রহণ করে পাওয়া যেতে পারেঃ আমরা দেখতে পাই যে ডায়োফ্যান্টাসের নির্দিষ্ট সমাধান আসলে একটি সূক্ষ্মভাবে ছদ্মবেশী (3,4,5) তিনগুণ। যাইহোক, যেহেতু a এবং t যুক্তিসঙ্গত হওয়া পর্যন্ত ত্রয়ী সর্বদা যুক্তিসঙ্গত থাকবে, তাই আমরা t-এর মান পরিবর্তন করে এবং তাই x-এর নির্বিচারে গুণিতকের মান পরিবর্তন করে যুক্তিসঙ্গত ত্রয়ীগুলির একটি অনন্ততা অর্জন করতে পারি। এই বীজগাণিতিক সমাধানের প্লেটোনিক ক্রমে পৌঁছানোর জন্য শুধুমাত্র একটি অতিরিক্ত ধাপের প্রয়োজন এবং তা হল উপরের তিনগুণের সমস্ত দিককে একটি গুণক দ্বারা গুণ করা। আরও লক্ষ্য করুন যে, যদি a = 1 হয়, তবে পার্শ্বগুলি [OB, OA, AB] কমে [OB, OA, AB] হয়ে যায়। ডায়োফান্টাসের দেওয়া বিশেষ উদাহরণে, t-এর মান 2, যা x-এর নির্বিচারে গুণক। হরগুলি পরিষ্কার করার পরে, এই অভিব্যক্তিটি পাইথাগোরিয়ান ট্রিপল তৈরি করবে। কৌতূহলোদ্দীপকভাবে, x-এর নির্বিচারে গুণক জেনারেটর এক্সপ্রেশন (গুলি)-এর ভিত্তি হয়ে উঠেছে। ডায়োফান্টাস II.IX আরও দ্রুত পথে একই দ্রবণে পৌঁছায় যা উপরের 'সাধারণীকৃত দ্রবণ'-এর অনুরূপ। আরও একবার সমস্যা হল 16 কে দুটি বৃত্তে ভাগ করা। ধরা যাক প্রথম সংখ্যাটি এন এবং দ্বিতীয়টি এন-এর একটি নির্বিচারে গুণিতক যা মূল (এর) 16 দ্বারা হ্রাস পেয়েছে। উদাহরণস্বরূপ 2N−4। তারপরঃ ফার্মাটের বিখ্যাত মন্তব্য যা পরে ফার্মাটের শেষ উপপাদ্য হয়ে ওঠে তা 1670 সালের অ্যারিথমেটিকার সংস্করণের 61 পৃষ্ঠায় 'কোয়েস্টিও VIII' এবং 'কোয়েস্টিও IX' এর মধ্যে স্যান্ডউইচ করা হয়েছে। আরও দেখুন ফার্মাটের শেষ উপপাদ্য এবং ডায়োফান্টাস II.VIII রেফারেন্স ডায়োফ্যান্টাইন সমীকরণ