Pseudoelementary class
যুক্তিতে, একটি ছদ্ম উপাদান শ্রেণী হল একটি প্রাথমিক শ্রেণী থেকে উদ্ভূত কাঠামোর একটি শ্রেণী (যা প্রথম-ক্রম যুক্তিতে সংজ্ঞায়িত করা যায়) যার কিছু প্রকার এবং সম্পর্ক বাদ দিয়ে। এটি একটি ভুলে যাওয়া ফাংশনের (কোডোমেইন) বিভাগ তত্ত্বের ধারণার গাণিতিক যুক্তির প্রতিরূপ এবং পদার্থবিজ্ঞানে (অনুমান করা) লুকানো পরিবর্তনশীল তত্ত্বগুলি কোয়ান্টাম মেকানিক্স ব্যাখ্যা করার উদ্দেশ্যে। প্রাথমিক শ্রেণীগুলি (শূন্যভাবে) ছদ্ম উপাদানযুক্ত তবে বিপরীতটি সর্বদা সত্য নয়; তবুও ছদ্ম উপাদানযুক্ত শ্রেণীগুলি প্রাথমিক শ্রেণীর কিছু বৈশিষ্ট্য ভাগ করে নেয় যেমন আল্ট্রাপ্রডাক্টগুলির অধীনে বন্ধ থাকা। সংজ্ঞা একটি ছদ্ম উপাদান শ্রেণী হল একটি প্রাথমিক শ্রেণীর হ্রাস। অর্থাৎ, এটি একটি (বহু-সাজানো) প্রাথমিক শ্রেণীর কিছু প্রকার এবং সম্পর্ক বাদ দিয়ে প্রাপ্ত হয়। উদাহরণস্বরূপ ইউনিয়ন এবং ছেদনের অধীনে সেটগুলির সমতা সহ তত্ত্ব, যার কাঠামোগুলি (W, ≤, ≤) রূপের হয়, সরলভাবে এই ফর্মের (A, W, ≤, ≤, ≤) দুটি সাজানো প্রাথমিক শ্রেণীর কাঠামো থেকে গঠিত ছদ্ম উপাদান শ্রেণী হিসাবে বোঝা যেতে পারে যেখানে ≤ A × W এবং ≤ এবং ≤ ডাব্লু-এর উপর বাইনারি অপারেশন (কোয়া টার্নারি সম্পর্ক)। পরবর্তী শ্রেণীর তত্ত্বটি এক্স, ওয়াই ≤ ডাব্লু দ্বারা স্বতঃসিদ্ধ। [a ω X ω Y ω a ω X ω a ω Y] ω X, Y ω W. ω a ω A। [a ωx ωx ωx ωx ωx ωx ωx ωx ωx ωx ωx ωx ωx ωx ωx ωx ωx ωx ωx ωx ωx ωx ωx ωx ωx ωx ωx ωx ωx ωx ωx ωx ωx ωx ωx ωx ωx ωx ωx ωx ωx ωx ωx ωx ωx ωx ωx ωx ωx ωx ωx ωx ωx ωx ωx ωx ωx ωx ωx ωx ωx ωx ωx ωx ωx ωx [(আ আ আ আ। উদ্দেশ্যমূলক ব্যাখ্যায় A হল a, b, পরমাণুর একটি সেট, W হল X, Y পরমাণুর সেটের একটি সেট এবং bul হল পরমাণু ও সেটের মধ্যে সদস্যতার সম্পর্ক। এই স্বতঃসিদ্ধগুলির পরিণতির মধ্যে বিতরণমূলক জালের সমস্ত আইন অন্তর্ভুক্ত রয়েছে। যেহেতু পরবর্তী সূত্রগুলি পরমাণুর কোনও উল্লেখ করে না, তাই উপরের তত্ত্বের মডেলগুলি থেকে প্রাপ্ত কাঠামোগুলির জন্য এগুলি পরমাণুর প্রকার এ এবং সদস্যতার সম্পর্ক বাদ দিয়ে অর্থবহ থাকে। সমস্ত ডিস্ট্রিবিউটিভ ল্যাটিসগুলি ইউনিয়ন এবং ছেদনের অধীনে সেটের সেট হিসাবে প্রতিনিধিত্বযোগ্য, যেখান থেকে এই সিউডোলেমেন্টারি ক্লাসটি আসলে একটি প্রাথমিক শ্রেণী, যথা ডিস্ট্রিবিউটিভ ল্যাটিসের বিভিন্নতা। এই উদাহরণে উভয় শ্রেণীই (যথাক্রমে বাদ দেওয়ার আগে এবং পরে) সীমাবদ্ধভাবে স্বতঃসিদ্ধ প্রাথমিক শ্রেণী। কিন্তু যেখানে পরবর্তী শ্রেণীকে স্বতঃসিদ্ধ করার মানক পদ্ধতিতে একটি বিতরণমূলক জালকে স্বতঃসিদ্ধ করার জন্য নয়টি সমীকরণ ব্যবহার করা হয়, সেখানে পূর্ববর্তী শ্রেণীতে কেবল উপরের তিনটি স্বতঃসিদ্ধের প্রয়োজন হয়, যা পরবর্তী শ্রেণীকে সরাসরি আগেরটির হ্রাস হিসাবে সংজ্ঞায়িত করতে দ্রুততর করে তোলে। R ≤ S, ছেদ R ≤ S, পরিপূরক R −, সম্পর্কিত গঠন R; S, এবং সম্পর্কিত বিপরীত R, যার কাঠামো (W, ≤, ≤, ≤, ≤), এই গঠনের অধীনে বাইনারি সম্পর্কের সমতার তত্ত্বটি তিনটি সাজানো প্রাথমিক শ্রেণীর কাঠামো থেকে গঠিত ছদ্ম উপাদান শ্রেণী হিসাবে বোঝা যেতে পারে (A, P, W, ≤, ≤, ≤, ≤)। তিনটি প্রকারের উদ্দেশ্যমূলক ব্যাখ্যা হল পরমাণু, জোড়া পরমাণু এবং জোড়া পরমাণুর সেট, π: A ×; A → P এবং λ, ρ: P → A হল স্পষ্ট জোড়া গঠনকারী এবং ধ্বংসকারী, এবং Π ×; W হল জোড়া এবং সম্পর্কের মধ্যে সদস্যপদ সম্পর্ক (জোড়ার সেট হিসাবে)। উদাহরণ 1-এর সাথে সাদৃশ্যের মাধ্যমে, W-এর উপর সংজ্ঞায়িত বিশুদ্ধ আপেক্ষিক সংযোগগুলিকে প্রারম্ভিক পাঠ্যের প্রথাগত পদ্ধতিতে পরমাণু এবং জোড়ার দিক থেকে সরলভাবে স্বতঃসিদ্ধ করা যেতে পারে। বাইনারি সম্পর্কের বিশুদ্ধ তত্ত্বটি তখন এই প্রাথমিক শ্রেণীর মডেলগুলির হ্রাসের ছদ্ম উপাদান শ্রেণীর তত্ত্ব হিসাবে পাওয়া যেতে পারে যা পরমাণু এবং জোড়া ধরণের এবং বাদ দেওয়া ধরণের সাথে জড়িত সমস্ত সম্পর্ক বাদ দিয়ে প্রাপ্ত হয়। এই উদাহরণে উভয় শ্রেণীই প্রাথমিক, তবে শুধুমাত্র পূর্ববর্তী শ্রেণীটি সীমাবদ্ধভাবে স্বতঃসিদ্ধ, যদিও 1955 সালে তারস্কি দ্বারা পরবর্তী শ্রেণীটি (হ্রাস) তবুও একটি বৈচিত্র্য হিসাবে দেখানো হয়েছিল, যথা আর. আর. এ, প্রতিনিধিত্বযোগ্য সম্পর্ক বীজগণিত। একটি আদিম বলয় হল সরল বলয়ের ধারণার একটি সাধারণীকরণ। এটি একটি বলয়ের উপাদান এবং আদর্শের পরিপ্রেক্ষিতে প্রাথমিক (প্রথম-ক্রম) ভাষায় সংজ্ঞায়িত করা যায়, যা বলয় এবং আদর্শ সমন্বিত দ্বি-সাজানো কাঠামোর একটি প্রাথমিক শ্রেণীর জন্ম দেয়। আদর্শের সাথে সম্পর্কিত প্রকার এবং ভাষা বাদ দিয়ে এই প্রাথমিক শ্রেণী থেকে আদিম বলয়ের শ্রেণী প্রাপ্ত হয় এবং তাই এটি একটি ছদ্ম উপাদান শ্রেণী। এই উদাহরণে এটি একটি উন্মুক্ত প্রশ্ন যে এই ছদ্ম উপাদান শ্রেণীটি প্রাথমিক কিনা। এক্সপোনেনশিয়াল ক্লোজড ফিল্ডগুলির শ্রেণী হল একটি সিউডো-এলিমেন্টারি শ্রেণী যা প্রাথমিক নয়। প্রয়োগ সার্বজনীন হর্ন তত্ত্বের মডেলের শ্রেণী হিসাবে যৌক্তিকভাবে সংজ্ঞায়িত একটি দ্বি-বৈচিত্র্যকে সমতুল্যভাবে বীজগাণিতিকভাবে আইসোমরফিজম, সাবঅ্যালজেব্রা এবং হ্রাসকৃত পণ্যগুলির অধীনে বন্ধ কাঠামোর একটি শ্রেণী হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। যেহেতু হ্রাসকৃত পণ্যের ধারণাটি প্রত্যক্ষ পণ্যের তুলনায় আরও জটিল, তাই কখনও কখনও ছদ্ম উপাদান শ্রেণীর পরিপ্রেক্ষিতে যৌক্তিক এবং বীজগাণিতিক বৈশিষ্ট্যগুলির মিশ্রণ করা দরকারী। এই ধরনের একটি মিশ্র সংজ্ঞা সমরূপতা, সাবঅ্যালজেব্রা এবং সরাসরি পণ্যের অধীনে বন্ধ একটি ছদ্ম উপাদান শ্রেণী হিসাবে একটি অর্ধ-বৈচিত্র্যকে চিহ্নিত করে (ছদ্ম উপাদান বৈশিষ্ট্যটি "হ্রাস" কে "সরাসরি" করার অনুমতি দেয়)। এই বৈশিষ্ট্যের একটি উপসংহার হল যে কেউ (অ-গঠনমূলকভাবে) একটি শ্রেণীর সর্বজনীন হর্ন স্বতঃসিদ্ধকরণের অস্তিত্ব প্রমাণ করতে পারে প্রথমে সহায়ক প্রকার এবং সম্পর্কের সাথে কাঠামোর কিছু সম্প্রসারণকে স্বতঃসিদ্ধ করে এবং তারপর দেখায় যে সহায়ক গঠনগুলি ফেলে দিয়ে প্রাপ্ত ছদ্ম উপাদান শ্রেণীটি সাবঅ্যালজেব্রা এবং সরাসরি পণ্যগুলির অধীনে বন্ধ থাকে। এই কৌশলটি উদাহরণ 2-এর জন্য কাজ করে কারণ বাইনারি সম্পর্কের অ্যালজেব্রাগুলির সাবঅ্যালজেব্রা এবং সরাসরি পণ্যগুলি নিজেই বাইনারি সম্পর্কের অ্যালজেব্রা, যা দেখায় যে প্রতিনিধিত্বযোগ্য সম্পর্ক অ্যালজেব্রাগুলির ক্লাস আরআরএ একটি কোয়াসিভেরিটি (এবং একটি প্রাথমিক শ্রেণী)। এই সংক্ষিপ্ত প্রমাণটি বিমূর্ত অর্থহীনতার একটি কার্যকর প্রয়োগ; তারস্কির দ্বারা আরও শক্তিশালী ফলাফল যে আরআরএ আসলে একটি বৈচিত্র্যের জন্য আরও সৎ পরিশ্রমের প্রয়োজন। উদ্ধৃতি পল সি একলোফ (1977), আল্ট্রা প্রোডাক্টস ফর অ্যালজেব্রিস্টস, ইন হ্যান্ডবুক অফ ম্যাথমেটিকাল লজিক (সংস্করণ। জন বারওয়াইজ), নর্থ-হল্যান্ড। মডেল তত্ত্ব সার্বজনীন বীজগণিত