Flat manifold
গণিতে, একটি রিম্যানিয়ান ম্যানিফোল্ডকে সমতল বলা হয় যদি তার রিম্যান বক্রতা টেনসর সর্বত্র শূন্য হয়। স্বজ্ঞাতভাবে, একটি সমতল বহুগুণ হল যা দূরত্ব এবং কোণের দিক থেকে "স্থানীয়ভাবে ইউক্লিডীয় স্থানের মতো দেখায়", যেমন। একটি ত্রিভুজের অভ্যন্তরীণ কোণ 180° পর্যন্ত যোগ হয়। একটি সম্পূর্ণ সমতল বহুগুণের সর্বজনীন আবরণ হল ইউক্লিডীয় স্থান। এটি এই উপপাদ্যটি প্রমাণ করতে ব্যবহার করা যেতে পারে যে সমস্ত কম্প্যাক্ট ফ্ল্যাট ম্যানিফোল্ডগুলি সীমিতভাবে টোরি দ্বারা আচ্ছাদিত; ত্রিমাত্রিক কেসটি এর আগে দ্বারা প্রমাণিত হয়েছিল। উদাহরণ নিম্নলিখিত ম্যানিফোল্ডগুলিকে একটি সমতল মেট্রিক দিয়ে সমৃদ্ধ করা যেতে পারে। মনে রাখবেন যে এটি তাদের 'স্ট্যান্ডার্ড' মেট্রিক নাও হতে পারে (উদাহরণস্বরূপ, 2-মাত্রিক টরাসের সমতল মেট্রিকটি তার স্বাভাবিক এম্বেডিং দ্বারা প্ররোচিত মেট্রিক নয়)। মাত্রা 1 প্রতিটি এক-মাত্রিক রিম্যানিয়ান ম্যানিফোল্ড সমতল। বিপরীতভাবে, প্রদত্ত যে প্রতিটি সংযুক্ত এক-মাত্রিক মসৃণ ম্যানিফোল্ড দুটির মধ্যে যে কোনও একটির জন্য ডিফিয়োমরফিক বা এটি দেখতে সহজ যে প্রতিটি সংযুক্ত এক-মাত্রিক রিম্যানিয়ান ম্যানিফোল্ড নিম্নলিখিতগুলির মধ্যে একটির আইসোমেট্রিক (প্রতিটি তাদের স্ট্যান্ডার্ড রিম্যানিয়ান কাঠামোর সাথে): বাস্তব রেখাটি কিছু সংখ্যার জন্য খোলা ব্যবধান, খোলা ব্যবধান, কোনও সংখ্যার জন্য ব্যাসার্ধের বৃত্ত শুধুমাত্র প্রথম এবং শেষটি সম্পূর্ণ। যদি রিমানিয়ান ম্যানিফোল্ড-সহ-সীমানা অন্তর্ভুক্ত থাকে, তবে অর্ধ-খোলা এবং বন্ধ ব্যবধানগুলিও অন্তর্ভুক্ত করতে হবে। এই ক্ষেত্রে একটি সম্পূর্ণ বর্ণনার সরলতা এই সত্যের সাথে যুক্ত হতে পারে যে প্রতিটি এক-মাত্রিক রিম্যানিয়ান ম্যানিফোল্ডের একটি মসৃণ একক-দৈর্ঘ্যের ভেক্টর ক্ষেত্র থাকে এবং উপরের মডেলের উদাহরণগুলির মধ্যে একটি থেকে একটি আইসোমেট্রি একটি অবিচ্ছেদ্য বক্ররেখা বিবেচনা করে সরবরাহ করা হয়। মাত্রা 2 ডিফিয়োমরফিজম পর্যন্ত পাঁচটি সম্ভাবনা যদি একটি মসৃণ দ্বি-মাত্রিক সংযুক্ত সম্পূর্ণ সমতল রিম্যানিয়ান ম্যানিফোল্ড হয়, তবে অবশ্যই মোবিয়াস স্ট্রিপ বা ক্লেইন বোতলের সাথে ডিফিয়োমরফিক হতে হবে। লক্ষ্য করুন যে একমাত্র সংক্ষিপ্ত সম্ভাবনাগুলি হল এবং ক্লেইন বোতল, যদিও একমাত্র অভিমুখী সম্ভাবনাগুলি হল এবং এই জায়গাগুলিতে স্বতন্ত্র সম্পূর্ণ সমতল রিম্যানিয়ান মেট্রিকগুলি বর্ণনা করতে আরও বেশি প্রচেষ্টা লাগে। উদাহরণস্বরূপ, এর দুটি কারণের ব্যাসার্ধ হিসাবে যে কোনও দুটি বাস্তব সংখ্যা থাকতে পারে। এই মেট্রিকগুলি তাদের দুটি ব্যাসার্ধের অনুপাত দ্বারা একে অপরের থেকে আলাদা করা হয়, তাই এই স্থানটিতে অসীমভাবে অনেকগুলি ভিন্ন সমতল পণ্য মেট্রিক রয়েছে যা একটি স্কেল ফ্যাক্টর পর্যন্ত আইসোমেট্রিক নয়। পাঁচটি সম্ভাবনা সম্পর্কে অভিন্নভাবে কথা বলার জন্য, এবং বিশেষত মোবিয়াস স্ট্রিপ এবং ক্লেইন বোতলকে বিমূর্ত বহুগুণ হিসাবে সুনির্দিষ্টভাবে কাজ করার জন্য, গোষ্ঠী ক্রিয়াকলাপের ভাষা ব্যবহার করা দরকারী। প্রদত্ত আইসোমেট্রি পর্যন্ত পাঁচটি সম্ভাবনা, প্রদত্ত দ্বারা প্রদত্ত অনুবাদকে বোঝানো যাক, প্রদত্ত দুটি ধনাত্মক সংখ্যার দ্বারা প্রদত্ত প্রতিফলনকে বোঝানো যাক, তার আদর্শ মেট্রিকের সাথে আইসোমেট্রি গোষ্ঠীর নিম্নলিখিত উপগোষ্ঠীগুলি বিবেচনা করুন। এই সমস্ত গোষ্ঠীগুলি স্বাধীনভাবে এবং সঠিকভাবে বিচ্ছিন্নভাবে কাজ করে এবং তাই বিভিন্ন কোসেট স্পেসগুলির মধ্যে স্বাভাবিকভাবেই দ্বিমাত্রিক সম্পূর্ণ সমতল রিমানিয়ান ম্যানিফোল্ডের কাঠামো রয়েছে। এগুলির কোনওটিই একে অপরের আইসোমেট্রিক নয় এবং যে কোনও মসৃণ দ্বি-মাত্রিক সম্পূর্ণ সমতল সংযুক্ত রিমানিয়ান ম্যানিফোল্ড তাদের একটির আইসোমেট্রিক। অরবিফোল্ডের উপর নিবন্ধে তালিকাভুক্ত সমতল মেট্রিক (টরাস এবং ক্লেইন বোতল সহ) সহ 17টি কম্প্যাক্ট দ্বিমাত্রিক অরবিফোল্ড রয়েছে, যা 17টি ওয়ালপেপার গ্রুপের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ। মন্তব্যগুলি লক্ষ্য করুন যে ডোনাট হিসাবে টরাসের আদর্শ 'ছবি' এটিকে একটি সমতল মেট্রিকের সাথে উপস্থাপন করে না, কারণ কেন্দ্র থেকে সবচেয়ে দূরের বিন্দুগুলিতে ধনাত্মক বক্রতা থাকে এবং কেন্দ্রের নিকটতম বিন্দুগুলিতে ঋণাত্মক বক্রতা থাকে। কুইপারের ন্যাশ এম্বেডিং উপপাদ্যের সূত্র অনুসারে, এমন একটি এম্বেডিং রয়েছে যা যে কোনও সমতল পণ্য মেট্রিক্সকে প্ররোচিত করে যা বিদ্যমান তবে এগুলি সহজেই দৃশ্যমান নয়। যেহেতু যে কোনও (সমতল) পণ্য কাঠামোর একটি এমবেডেড সাবম্যানিফোল্ড হিসাবে উপস্থাপিত হয় যা স্বাভাবিকভাবেই এর সাবম্যানিফোল্ড হিসাবে উপস্থাপিত হয় একইভাবে, ক্লেইন বোতলের আদর্শ ত্রিমাত্রিক দৃশ্যায়নগুলি একটি সমতল মেট্রিক উপস্থাপন করে না। একটি মোবিয়াস স্ট্রিপের স্ট্যান্ডার্ড নির্মাণ, একসাথে কাগজের স্ট্রিপের প্রান্তগুলি আঠালো করে, প্রকৃতপক্ষে এটিকে একটি সমতল মেট্রিক দেয়, তবে এটি সম্পূর্ণ নয়। মাত্রা 3 এখানে 6টি ওরিয়েন্টেবল এবং 4টি নন-ওরিয়েন্টেবল কম্প্যাক্ট ফ্ল্যাট 3-ম্যানিফোল্ড রয়েছে, যেগুলি সবই সাইফার্ট ফাইবার স্পেস; এগুলি 10টি টর্জন-মুক্ত ক্রিস্টালোগ্রাফিক গ্রুপের ভাগফল গোষ্ঠী। এছাড়াও 4টি ওরিয়েন্টেবল এবং 4টি নন-ওরিয়েন্টেবল নন-কমপ্যাক্ট স্পেস রয়েছে। ওরিয়েন্টেবল 10টি ওরিয়েন্টেবল ফ্ল্যাট 3-ম্যানিফোল্ড হল ইউক্লিডিয়ান 3-স্পেস,। 3-টরস, একটি ঘনক্ষেত্রের বিপরীত মুখগুলি আঠালো করে তৈরি করা হয়। একটি জোড়ায় অর্ধেক বাঁক দিয়ে একটি ঘনক্ষেত্রের বিপরীত মুখগুলিকে আঠালো করে বহুগুণিত করা হয়। একটি জোড়া উপর 1/4 মোড় সঙ্গে একটি ঘনক্ষেত্রের বিপরীত মুখ gluing দ্বারা তৈরি ম্যানিফোল্ড। ষড়ভুজাকার প্রিজমের বিপরীত মুখগুলিকে ষড়ভুজাকার মুখগুলিতে 1/3 মোড় দিয়ে আঁকড়ে ধরে বহুগুণ তৈরি করা হয়। ষড়ভুজাকার প্রিজমের বিপরীত মুখগুলিকে ষড়ভুজাকার মুখগুলিতে 1/6 মোড় দিয়ে আঠালো করে বহুগুণিত করা হয়। হান্টশে-ওয়েন্ট বহুগুণিত। ম্যানিফোল্ডটি দুটি সমান্তরাল সমতলের মধ্যে স্থান হিসাবে তৈরি করা হয়েছে যা একসাথে আঠালো। একটি অসীম বর্গাকার চিমনির বিপরীত দেয়ালে আঠালো দিয়ে তৈরি বহুগুণ। একটি জোড়ায় অর্ধেক বাঁক সহ একটি অসীম বর্গাকার চিমনির বিপরীত দেওয়ালে আঠালো করে বহুগুণ তৈরি করা হয়। অ-অভিমুখী 8টি অ-অভিমুখী 3-ম্যানিফোল্ড হলঃ একটি বৃত্ত এবং একটি ক্লেইন বোতলের কার্টেসিয়ান পণ্য। পূর্বোক্তটির অনুরূপ একটি ম্যানিফোল্ড, তবে গ্লাইড প্লেনের সমান্তরালে এক দিকে অনুবাদমূলকভাবে অফসেট; এই দিকে অগ্রসর হয়ে ম্যানিফোল্ডের বিপরীত দিকে ফিরে আসে। দুটি পেরেন্ডিকুলার গ্লাইড সমতল জুড়ে একটি বিন্দু প্রতিফলিত করে এবং তৃতীয় দিক বরাবর অনুবাদ করে বহুগুণিত করা হয়। পূর্বোক্তটির অনুরূপ একটি ম্যানিফোল্ড, তবে একটি গ্লাইড প্লেনের সমান্তরালে এক দিকে অনুবাদমূলকভাবে অফসেট; এই দিকে অগ্রসর হয়ে ম্যানিফোল্ডের বিপরীত দিকে ফিরে আসে। একটি বৃত্ত এবং একটি (সীমাহীন) মোবিয়াস স্ট্রিপের কার্টেসিয়ান পণ্য। একটি অক্ষ বরাবর একটি বিন্দুকে অনুবাদ করে এবং একটি লম্ব গ্লাইড সমতল জুড়ে প্রতিফলিত করে বহুগুণিত করা হয়। একটি অক্ষ বরাবর একটি বিন্দুকে অনুবাদ করে এবং একটি সমান্তরাল গ্লাইড সমতল জুড়ে প্রতিফলিত করে বহুগুণিত করা হয়। দুটি লম্ব গ্লাইড সমতল জুড়ে একটি বিন্দু প্রতিফলিত করে বহুগুণিত করা হয়। উচ্চ মাত্রার ইউক্লিডীয় স্থান টোরি ফ্ল্যাট ম্যানিফোল্ডের পণ্যগুলি স্বাধীনভাবে কাজ করা গোষ্ঠীগুলির দ্বারা ফ্ল্যাট ম্যানিফোল্ডের অনুপাত। স্বাচ্ছন্দ্যের সাথে সম্পর্ক অ-ইতিবাচক বিভাগীয় বক্রতা সহ সমস্ত বদ্ধ ম্যানিফোল্ডের মধ্যে, সমতল ম্যানিফোল্ডগুলি সুনির্দিষ্টভাবে একটি স্বাচ্ছন্দ্যপূর্ণ মৌলিক গোষ্ঠী হিসাবে চিহ্নিত করা হয়। এটি অ্যাডামস-বলম্যান উপপাদ্যের (1998) একটি পরিণতি, যা হ্যাডামার্ড স্পেসের আইসোমেট্রিগুলির বিচ্ছিন্ন কো-কমপ্যাক্ট গোষ্ঠীর আরও সাধারণ সেটিংয়ে এই বৈশিষ্ট্যটি প্রতিষ্ঠিত করে। এটি বিবারবাখের উপপাদ্যের একটি সুদূরপ্রসারী সাধারণীকরণ প্রদান করে। অ্যাডামস-বলম্যান উপপাদ্যের মধ্যে অসামঞ্জস্য অনুমান অপরিহার্যঃ অন্যথায়, শ্রেণিবিন্যাসে অবশ্যই প্রতিসম স্থান, ব্রুহাত-টিটস ভবন এবং ব্যাস-সের গাছ অন্তর্ভুক্ত থাকতে হবে ক্যাপ্রেস-মনোডের "অনির্দিষ্ট" বিবারবাখ উপপাদ্যের পরিপ্রেক্ষিতে। আরও দেখুন স্পেস ফর্ম ক্রিস্টালোগ্রাফিক গ্রুপ রিচি-ফ্ল্যাট ম্যানিফোল্ড কনফর্মালি ফ্ল্যাট ম্যানিফোল্ড অ্যাফিন ম্যানিফোল্ড রেফারেন্স নোটস বিব্লিওগ্রাফি। । । বাহ্যিক সংযোগ রিমানিয়ান ম্যানিফোল্ডস