Outer space (mathematics)
জ্যামিতিক গোষ্ঠী তত্ত্বের গাণিতিক বিষয়ে, কুলার-ভগটম্যান আউটার স্পেস বা একটি মুক্ত গোষ্ঠী এফএন-এর কেবল আউটার স্পেস হল একটি টপোলজিকাল স্পেস যা এফএন-এর উপর ভলিউম 1-এর তথাকথিত "চিহ্নিত মেট্রিক গ্রাফ কাঠামো" নিয়ে গঠিত। বাইরের স্থান, যা এক্সএন বা সিভিএন দ্বারা চিহ্নিত, এফএন-এর বাইরের অটোমরফিজম আউট (এফএন) গোষ্ঠীর একটি প্রাকৃতিক ক্রিয়ায় সজ্জিত। বাইরের স্থানটি 1986 সালে মার্ক কুলার এবং কারেন ভগটম্যানের একটি গবেষণাপত্রে প্রবর্তিত হয়েছিল এবং এটি একটি হাইপারবোলিক পৃষ্ঠের টেইচমুলার স্থানের একটি মুক্ত গ্রুপ এনালগ হিসাবে কাজ করে। আউটার স্পেস আউট (এফএন)-এর সমরূপতা এবং সমরূপতা গোষ্ঠীগুলি অধ্যয়ন করতে এবং আউট (এফএন)-এর বীজগাণিতিক, জ্যামিতিক এবং গতিশীল বৈশিষ্ট্য, এর উপগোষ্ঠী এবং এফএন-এর পৃথক বাহ্যিক অটোমরফিজম সম্পর্কে তথ্য পেতে ব্যবহৃত হয়। স্পেস এক্সএন-কে আর-ট্রি টি-তে এফএন-এর উপর এফএন-এর ন্যূনতম মুক্ত বিচ্ছিন্ন আইসোমেট্রিক ক্রিয়ার আইসোমেট্রি ধরণের সেট হিসাবেও ভাবা যেতে পারে যাতে ভাগফল মেট্রিক গ্রাফ টি/এফএন-এর আয়তন 1 থাকে। ইতিহাস বাইরের স্থানটি 1986 সালে মার্ক কুলার এবং কারেন ভগটম্যানের একটি গবেষণাপত্রে প্রবর্তিত হয়েছিল, যা একটি হাইপারবোলিক পৃষ্ঠের টেইচমুলার স্থানের সাথে সাদৃশ্য দ্বারা অনুপ্রাণিত হয়েছিল। তারা দেখিয়েছেন যে অন-এর স্বাভাবিক ক্রিয়াটি যথাযথভাবে বিচ্ছিন্ন, এবং এটি সঙ্কুচিত। একই গবেষণাপত্রে কুলার এবং ভগটম্যান অসীম-মাত্রিক প্রজেক্টিভ স্পেসে অনুবাদ দৈর্ঘ্যের ফাংশনের মাধ্যমে একটি এম্বেডিং তৈরি করেছেন, যেখানে এর উপাদানগুলির অ-তুচ্ছ সংমিশ্রণ শ্রেণীর সেট রয়েছে। তারা এটাও প্রমাণ করেছে যে ইন-এর ক্লোজার কম্প্যাক্ট। পরে কোহেন এবং লুস্টিগ এবং বেস্টভিনা এবং ফেইঘনের ফলাফলের সংমিশ্রণে গাছের উপর "খুব ছোট" ন্যূনতম আইসোমেট্রিক ক্রিয়াগুলির প্রজেক্টিভ শ্রেণীর স্থানের সাথে স্থান চিহ্নিত করা হয়েছে (এর ধারা 1.3 দেখুন)। আনুষ্ঠানিক সংজ্ঞা চিহ্নিত মেট্রিক গ্রাফ ধরা যাক n ≤ 2। মুক্ত গোষ্ঠী Fn-এর জন্য একটি "গোলাপ" Rn ঠিক করুন, যা একটি পাঁজর, একটি শীর্ষ v-এ আবদ্ধ n বৃত্তের, এবং Fn এবং Rn-এর মৌলিক গোষ্ঠী 1 (Rn, v)-এর মধ্যে একটি সমরূপতা ঠিক করুন। এই বিন্দু থেকে আমরা এই সমরূপতার মাধ্যমে Fn এবং 1 (Rn, v) চিহ্নিত করি। Fn-এ একটি চিহ্নিতকরণ একটি সমতুল্য সমতুল্য f: Rn → γ নিয়ে গঠিত যেখানে γ হল ডিগ্রি-1 এবং ডিগ্রি-2 শীর্ষ ছাড়াই একটি সীমাবদ্ধ সংযুক্ত গ্রাফ। একটি (মুক্ত) সমস্থানিক পর্যন্ত, f অনন্যভাবে আইসোমরফিজম f #দ্বারা নির্ধারিত হয়, অর্থাৎ একটি আইসোমরফিজম দ্বারা একটি মেট্রিক গ্রাফ হল একটি সীমাবদ্ধ সংযুক্ত গ্রাফ যা একটি ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যা L (e)-এর প্রতিটি টপোলজিকাল প্রান্ত e-কে বরাদ্দ করে যাকে e-এর দৈর্ঘ্য বলা হয়। একটি মেট্রিক গ্রাফের আয়তন হল তার টপোলজিকাল প্রান্তের দৈর্ঘ্যের সমষ্টি। Fn-এ একটি চিহ্নিত মেট্রিক গ্রাফ কাঠামো একটি চিহ্নিতকরণ f: Rn → িংগু সহ একটি মেট্রিক গ্রাফ কাঠামো L নিয়ে গঠিত। দুটি চিহ্নিত মেট্রিক গ্রাফ কাঠামো f1: Rn → γ1 এবং f2: Rn → γ2 সমতুল্য যদি একটি আইসোমেট্রি θ: γ1 → γ2 থাকে যাতে, মুক্ত সমস্থানিক পর্যন্ত, আমাদের θo f1 = f2 থাকে। আউটার স্পেস এক্সএন এফএন-এ সমস্ত ভলিউম-এক চিহ্নিত মেট্রিক গ্রাফ কাঠামোর সমতুল্য শ্রেণী নিয়ে গঠিত। বাইরের স্থানের দুর্বল টপোলজি উন্মুক্ত সরলীকরণ ধরা যাক f: Rn → γ যেখানে γ একটি চিহ্নিতকারী এবং k কে γ-তে টপোলজিকাল প্রান্তের সংখ্যা হিসাবে ধরা যাক। আমরা e1,., ek হিসাবে  তাই এর প্রান্তগুলি অর্ডার করি। Rk-এ স্ট্যান্ডার্ড (k−1)-ডাইমেনশনাল ওপেন সিম্প্লেক্স ধরা যাক। f দেওয়া হলে, একটি প্রাকৃতিক মানচিত্র থাকে, যেখানে x = (x1,., xk) ωk-এর জন্য, xn-এর বিন্দু j (x) মেট্রিক গ্রাফ কাঠামো L-এর সাথে f চিহ্নিতকরণ দ্বারা দেওয়া হয় যাতে i = 1,,, k-এর জন্য L (ei) = xi হয়। কেউ দেখাতে পারে যে j আসলে একটি ইনজেকটিভ মানচিত্র, অর্থাৎ, αk-এর স্বতন্ত্র বিন্দুগুলি Fn-এর অ-সমতুল্য চিহ্নিত মেট্রিক গ্রাফ কাঠামোর সাথে মিলে যায়। সেট জে (Δk) কে এক্সএন-এ এফ-এর সাথে সম্পর্কিত ওপেন সিম্প্লেক্স বলা হয় এবং এটি এস (এফ) দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। নির্মাণের মাধ্যমে, এক্সএন হ 'ল এফএন-এর সমস্ত চিহ্নের সাথে সম্পর্কিত উন্মুক্ত সরলীকরণের মিলন। লক্ষ্য করুন যে এক্সএন-এ দুটি উন্মুক্ত সরলীকরণ হয় বিচ্ছিন্ন বা মিলে যায়। ক্লোজড সিম্প্লিসেস ধরা যাক f: Rn → γ যেখানে γ একটি চিহ্নিতকারী এবং k কে γ-তে টপোলজিকাল প্রান্তের সংখ্যা হিসাবে ধরা যাক। আগের মতোই, আমরা e1,., ek হিসাবে জাতের প্রান্তগুলি অর্ডার করি। সমস্ত x = (x1,., xk) ωRk-এর সেট হিসাবে ωRk-কে সংজ্ঞায়িত করুন, যাতে, প্রতিটি xi ω0 এবং এমন হয় যে xi = 0 সহ সমস্ত প্রান্তের সেট ω একটি উপবন হয়। মানচিত্রটি নিম্নরূপ একটি মানচিত্র h: Δk′ → Xn পর্যন্ত প্রসারিত। x-এর জন্য Δk-এ h (x) = j (x) রাখুন। x ω ω k′ − ω k-এর জন্য xn-এর বিন্দু h (x) পাওয়া যায় f চিহ্নিতকরণ গ্রহণ করে, xi = 0-এর সাথে সমস্ত প্রান্ত সংকুচিত করে একটি নতুন চিহ্নিতকরণ f1: Rn → γ1 অর্জন করে এবং তারপরে প্রতিটি বেঁচে থাকা প্রান্তকে γ1 দৈর্ঘ্য xi> 0 নির্ধারণ করে। এটি দেখানো যেতে পারে যে প্রতিটি f চিহ্নিতকরণের জন্য মানচিত্র h: Δk′ → Xn এখনও ইনজেকটিভ। এইচ-এর চিত্রটিকে এফ-এর সাথে সম্পর্কিত এক্সএন-এ ক্লোজড সিম্প্লেক্স বলা হয় এবং এস′ (এফ) দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। Xn-এর প্রতিটি বিন্দু সীমাবদ্ধভাবে অনেকগুলি বদ্ধ সরলীকরণের অন্তর্গত এবং Xn-এর একটি বিন্দু একটি চিহ্নিতকরণ f: Rn →  তাই দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয় যেখানে গ্রাফটি ত্রি-ভ্যালেন্ট Xn-এর একটি অনন্য বদ্ধ সিম্প্লেক্সের অন্তর্গত, যথা S′ (f)। বাইরের স্থান Xn-এর দুর্বল টপোলজিকে এই বলে সংজ্ঞায়িত করা হয় যে, Xn-এর একটি উপসেট C বন্ধ করা হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি প্রতিটি চিহ্নিতকরণ f: Rn → িংগু-এর জন্য সেট h−1 (C) Δk′-এ বন্ধ করা হয়। বিশেষ করে, মানচিত্র h: Δk′ → Xn একটি টপোলজিকাল এম্বেডিং। গাছের উপর ক্রিয়া হিসাবে বাইরের স্থানের বিন্দুগুলি ধরা যাক x হল Xn-এ একটি বিন্দু যা একটি চিহ্নিত f: Rn → γ দ্বারা দেওয়া হয়েছে যার সাথে একটি আয়তন-এক মেট্রিক গ্রাফ কাঠামো L রয়েছে। ধরা যাক T হল  তাই এর সর্বজনীন আবরণ। সুতরাং টি একটি সহজভাবে সংযুক্ত গ্রাফ, অর্থাৎ টি একটি টপোলজিকাল গাছ। আমরা টি-এর প্রতিটি প্রান্তকে তার চিত্রের দৈর্ঘ্যের সমান দৈর্ঘ্য দিয়ে মেট্রিক কাঠামো এল থেকে টি পর্যন্ত তুলতে পারি। এটি টি-কে একটি মেট্রিক স্পেসে (টি, ডি) পরিণত করে যা একটি বাস্তব গাছ। মৌলিক গ্রুপ 1 (জাত) টি-তে রূপান্তরগুলি কভার করে কাজ করে যা (টি, ডি) এর আইসোমেট্রি, ভাগফল স্থান টি/1 (জাত) = জাত সহ। যেহেতু প্ররোচিত সমরূপতা f #হল Fn = 1 (Rn) এবং 1 (জাত)-এর মধ্যে একটি সমরূপতা, তাই আমরা T/Fn = জাত সহ T-এর উপর Fn-এর একটি সমমিতিক ক্রিয়াও পাই। এই কাজটি স্বাধীন এবং স্বতন্ত্র। যেহেতু γ একটি সীমাবদ্ধ সংযুক্ত গ্রাফ যার কোনও ডিগ্রি-এক শীর্ষ নেই, তাই এই ক্রিয়াটিও ন্যূনতম, যার অর্থ টি-এর কোনও যথাযথ এফএন-ইনভ্যারিয়েন্ট সাবট্রি নেই। উপরন্তু, একটি বাস্তব গাছের উপর Fn-এর প্রতিটি ন্যূনতম মুক্ত এবং বিচ্ছিন্ন আইসোমেট্রিক ক্রিয়া যার ভাগফল হল আয়তনের একটি মেট্রিক গ্রাফ যা Xn-এর কিছু বিন্দু x থেকে এই পদ্ধতিতে উদ্ভূত হয়। এটি Xn এবং আয়তন-এক কোটিয়েন্ট সহ একটি বাস্তব গাছের উপর Fn-এর ন্যূনতম মুক্ত এবং বিচ্ছিন্ন আইসোমেট্রিক ক্রিয়ার সমতুল্য শ্রেণীর সেটের মধ্যে একটি বাইজেক্টিভ চিঠিপত্রকে সংজ্ঞায়িত করে। এখানে বাস্তব গাছ T1 এবং T2-এর উপর Fn-এর দুটি ক্রিয়া সমতুল্য যদি T1 এবং T2-এর মধ্যে একটি Fn-সমতুল্য আইসোমেট্রি বিদ্যমান থাকে। দৈর্ঘ্য ফাংশন একটি বাস্তব গাছ T-এর উপর Fn-এর একটি ক্রিয়া দিন, এই ক্রিয়ার সাথে সম্পর্কিত অনুবাদ দৈর্ঘ্য ফাংশনটি সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারেঃ g ষ্ণ 1-এর জন্য T-তে R-এর একটি (অনন্য) আইসোমেট্রিকভাবে এমবেডেড অনুলিপি রয়েছে, যাকে g-এর অক্ষ বলা হয়, যাতে g এই অক্ষের উপর মাত্রার অনুবাদ দ্বারা কাজ করে। এই কারণে এটিকে জি-এর অনুবাদ দৈর্ঘ্য বলা হয়। আমাদের যে কোনও জি-এর জন্য, এফএন-এ ইউ, অর্থাৎ জি-তে প্রতিটি কনজুগেসি ক্লাসে ফাংশনটি ধ্রুবক। আউটার স্পেস ট্রান্সলেশন দৈর্ঘ্যের চিহ্নিত মেট্রিক গ্রাফ মডেলে ফাংশনগুলিকে নিম্নরূপ ব্যাখ্যা করা যেতে পারে। ধরা যাক, Xn-এ T-কে একটি চিহ্নিতকরণ f: Rn → িংগু দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়, যার সাথে একটি ভলিউম-এক মেট্রিক গ্রাফ কাঠামো L রয়েছে। ধরা যাক g ωFn = 1 (Rn)। প্রথমে f #এর মাধ্যমে g কে এগিয়ে ঠেলে একটি বদ্ধ লুপ পেতে এবং তারপর এই লুপটিকে একটি নিমজ্জিত বর্তনীতে শক্ত করে তুলুন। এই বর্তনীর এল-দৈর্ঘ্য হল জি-এর অনুবাদ দৈর্ঘ্য। প্রকৃত গাছের উপর গোষ্ঠী ক্রিয়া তত্ত্বের একটি মৌলিক সাধারণ তথ্য বলে যে বাইরের স্থানের একটি বিন্দু তার অনুবাদ দৈর্ঘ্যের ফাংশন দ্বারা অনন্যভাবে নির্ধারিত হয়। অর্থাৎ যদি Fn-এর ন্যূনতম মুক্ত আইসোমেট্রিক ক্রিয়া সহ দুটি গাছ Fn-এর উপর সমান অনুবাদ দৈর্ঘ্যের ফাংশন সংজ্ঞায়িত করে তবে দুটি গাছ Fn-সমতুল্য আইসোমেট্রিক। তাই এফএন-এ এক্সএন থেকে আর-মানযুক্ত ফাংশনের সেটের মানচিত্রটি ইনজেকটিভ। একটি নিম্নরূপ এক্সএন-এর দৈর্ঘ্য ফাংশন টপোলজি বা অক্ষ টপোলজিকে সংজ্ঞায়িত করে। Xn-এর প্রতিটি T-এর জন্য, Fn-এর প্রতিটি সসীম উপসেট K এবং প্রতিটি ε> 0-এর দৈর্ঘ্য ফাংশন টপোলজিতে Xn-এর প্রতিটি T-এর জন্য Xn-এ T-এর আশেপাশের একটি ভিত্তি VT (K, ε) পরিবার দ্বারা দেওয়া হয় যেখানে K হল Fn-এর একটি সসীম উপসেট এবং যেখানে ε> 0। দৈর্ঘ্য ফাংশন টপোলজিতে ক্রমের সংমিশ্রণ নিম্নরূপ চিহ্নিত করা যেতে পারে। Xn-এ T-এর জন্য এবং Xn-এ একটি ক্রম Ti-এর জন্য আমাদের যদি এবং কেবল তখনই থাকে যদি Fn-এ প্রতিটি g-এর জন্য আমাদের গ্রোমোভ টপোলজি থাকে আরেকটি টপোলজি হল তথাকথিত গ্রোমোভ টপোলজি বা ইকুইভ্যারিয়েন্ট গ্রোমোভ-হাউসডর্ফ কনভারজেন্স টপোলজি, যা একটি আইসোমেট্রিক গ্রুপ ক্রিয়ার সেটিং-এর সাথে খাপ খাইয়ে নেওয়া গ্রোমোভ-হাউসডর্ফ কনভারজেন্সের একটি সংস্করণ সরবরাহ করে। গ্রোমভ টপোলজিকে সংজ্ঞায়িত করার সময়, পয়েন্টগুলিকে গাছের উপরের ক্রিয়া হিসাবে ভাবা উচিত। অনানুষ্ঠানিকভাবে, একটি গাছ দেওয়া হলে, গ্রোমভ টপোলজিতে অন্য একটি গাছ "কাছাকাছি" হয়, যদি কিছু বড় সসীম সাবট্রি এবং একটি বড় সসীম সাবসেটের জন্য এবং যার সাথে সম্পর্কিত (আংশিক) ক্রিয়াগুলি প্রায় একমত হয় তার মধ্যে একটি "প্রায় আইসোমেট্রি" বিদ্যমান থাকে। গ্রোমোভ টপোলজির আনুষ্ঠানিক সংজ্ঞার জন্য দেখুন। দুর্বল, দৈর্ঘ্য ফাংশন এবং গ্রোমভ টপোলজির সংযোগ একটি গুরুত্বপূর্ণ মৌলিক ফলাফল বলে যে গ্রোমভ টপোলজি, দুর্বল টপোলজি এবং এক্সএন-এর দৈর্ঘ্য ফাংশন টপোলজি মিলে যায়। বহির্মুখী স্থানে অ্যাকশন অফ আউট (এফএন) গ্রুপ আউট (এফএন) এক্সএন-এর উপর সমরূপতা দ্বারা একটি প্রাকৃতিক সঠিক ক্রিয়া স্বীকার করে। প্রথমে আমরা এক্সএন-এ অটোমরফিজম গ্রুপ অট (এফএন)-এর ক্রিয়াকে সংজ্ঞায়িত করি। ধরা যাক αωt (Fn) হল Fn-এর একটি অটোমরফিজম। ধরা যাক x হল Xn-এর একটি বিন্দু যা একটি চিহ্নিতকারী f: Rn → িংগু দ্বারা দেওয়া হয়েছে যার সাথে একটি ভলিউম-এক মেট্রিক গ্রাফ কাঠামো L রয়েছে। ধরা যাক τ: Rn → Rn একটি সমস্থানিক সমতুল্য যার মৌলিক গোষ্ঠী স্তরে প্ররোচিত সমরূপতা হল Fn = 1 (Rn) এর স্বয়ংক্রিয়তা α। এক্সএন-এর xα উপাদানটি মেট্রিক কাঠামো L-এর সাথে f.65 τ: Rn → γ চিহ্নিতকরণ দ্বারা দেওয়া হয়। অর্থাৎ, x থেকে xα পেতে আমরা কেবল x কে τ দিয়ে সংজ্ঞায়িত করার পূর্বনির্ধারণ করি। প্রকৃত বৃক্ষের মডেলে এই ক্রিয়াকে নিম্নরূপ বর্ণনা করা যেতে পারে। ধরা যাক Xn-এ T একটি বাস্তব গাছ যার Fn-এর ন্যূনতম মুক্ত এবং বিচ্ছিন্ন সহ-ভলিউম-এক আইসোমেট্রিক ক্রিয়া রয়েছে। ধরা যাক α bul স্বয়ংক্রিয় (Fn)। একটি মেট্রিক স্থান হিসাবে, Tα হল T-এর সমান। Fn-এর ক্রিয়াটি α দ্বারা বাঁকানো হয়। অর্থাৎ, T-এর যে কোনও t-এর জন্য এবং Fn-এর g-এর জন্য আমাদের রয়েছেঃ অনুবাদ দৈর্ঘ্যের ফাংশনের স্তরে Tα গাছটি এইভাবে দেওয়া হয়ঃ তারপর একটি পরীক্ষা করে যে বাহ্যিক স্থান Xn-এর উপরের ক্রিয়ার জন্য অভ্যন্তরীণ অটোমরফিজম ইন (Fn)-এর উপগোষ্ঠীটি এই ক্রিয়ার কার্নেলে রয়েছে, অর্থাৎ প্রতিটি অভ্যন্তরীণ অটোমরফিজম Xn-এর উপর তুচ্ছভাবে কাজ করে। এটি অনুসরণ করে যে এক্সএন কোটিয়েন্টের উপর অট (এফএন)-এর ক্রিয়াটি এক্সএন-এর উপর আউট (এফএন) = অট (এফএন)/ইন (এফএন)-এর ক্রিয়ার মাধ্যমে হয়। অর্থাৎ, যদি φ ω আউট (Fn) Fn-এর একটি বাইরের অটোমরফিজম হয় এবং যদি অট (Fn)-এ α একটি প্রকৃত অটোমরফিজম হয় যা φ-কে উপস্থাপন করে তবে Xn-এর যে কোনও x-এর জন্য আমাদের xφ = xα থাকে। এক্সএন-এ আউট (এফএন)-এর ডান ক্রিয়াকে একটি আদর্শ রূপান্তর পদ্ধতির মাধ্যমে বাম ক্রিয়ায় পরিণত করা যেতে পারে। অর্থাৎ, Xn-এ φ ω আউট (Fn) এবং x-এর জন্য φx = xφ−1 সেট। এক্সএন-এর উপর আউট (এফএন)-এর এই বাম ক্রিয়াটি কখনও কখনও সাহিত্যেও বিবেচনা করা হয় যদিও বেশিরভাগ সূত্র সঠিক ক্রিয়ার সাথে কাজ করে। ভাগফল স্থান Mn = Xn/আউট (Fn) হল মডুলি স্থান যা ডিগ্রি-এক এবং ডিগ্রি-দুই শীর্ষ ছাড়াই সীমাবদ্ধ সংযুক্ত গ্রাফের আইসোমেট্রি প্রকার নিয়ে গঠিত, মৌলিক গোষ্ঠীগুলি Fn-এর সমতুল্য (অর্থাৎ, প্রথম বেট্টি সংখ্যাটি n-এর সমান) ভলিউম-এক মেট্রিক কাঠামো দিয়ে সজ্জিত। মেট্রিক গ্রাফের মধ্যে এম. এন-এর বিন্দুর প্রতিনিধিত্বকারী গ্রোমভ-হাউসডর্ফ দূরত্ব দ্বারা প্রদত্ত এম. এন-এর ভাগফলের টপোলজি একই। মডুলি স্পেস এমএন কম্প্যাক্ট নয় এবং এমএন-এ "কুস্পস" হোমোটোপিক্যালি নন-ট্রিভিয়াল সাবগ্রাফগুলির জন্য প্রান্তের শূন্য দৈর্ঘ্যের দিকে হ্রাস থেকে উদ্ভূত হয় (যেমন। একটি মেট্রিক গ্রাফের একটি অপরিহার্য সার্কিট)। আউটার স্পেস এক্সএন সম্পর্কে মৌলিক বৈশিষ্ট্য এবং তথ্যগুলি সঙ্কুচিত এবং এক্সএন-এর উপর আউট (এফএন)-এর ক্রিয়া যথাযথভাবে বিচ্ছিন্ন, যা কুলার এবং ভগটম্যান তাদের 1986 সালের মূল গবেষণাপত্রে প্রমাণ করেছিলেন যেখানে আউটার স্পেস প্রবর্তিত হয়েছিল। স্থান Xn-এর টপোলজিক্যাল মাত্রা 3n−4। কারণটি হল যে, যদি γ একটি সসীম সংযুক্ত গ্রাফ হয় যা ডিগ্রি-এক এবং ডিগ্রি-দুই শীর্ষ ছাড়াই Fn-এর সাথে মৌলিক গ্রুপ সমতুল্য হয়, তবে γ-এর সর্বাধিক 3n−3 প্রান্ত থাকে এবং যখন γ ত্রিভুজ হয় তখন এর ঠিক 3n−3 প্রান্ত থাকে। অতএব, Xn-এ শীর্ষ-মাত্রিক উন্মুক্ত সিম্প্লেক্সের মাত্রা 3n−4। বাইরের স্থান Xn-এ একটি নির্দিষ্ট বিকৃতি রয়েছে যা Xn-এর Kn-কে প্রত্যাহার করে, যাকে বাইরের স্থানের মেরুদণ্ড বলা হয়। মেরুদণ্ডের Kn-এর মাত্রা 2n−3, আউট (Fn)-অপরিবর্তনীয় এবং আউট (Fn) ক্রিয়ার অধীনে কম্প্যাক্ট ভাগফল রয়েছে। অপ্রকল্পিত বাইরের স্থান অপ্রকল্পিত বাইরের স্থানটি Fn-এ চিহ্নিত সমস্ত মেট্রিক গ্রাফ কাঠামোর সমতুল্য শ্রেণী নিয়ে গঠিত যেখানে চিহ্নিতকরণে মেট্রিক গ্রাফের আয়তনকে যে কোনও ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যা হতে দেওয়া হয়। স্থানটিকে আর-গাছের উপর এফএন-এর সমস্ত মুক্ত ন্যূনতম বিচ্ছিন্ন আইসোমেট্রিক ক্রিয়ার সেট হিসাবেও বিবেচনা করা যেতে পারে, যা এফএন-সমতুল্য আইসোমেট্রি পর্যন্ত বিবেচিত হয়। অপ্রকল্পিত বাইরের স্থানটি তিনটি টপোলজি (গ্রোমভ, অক্ষ, দুর্বল) এবং একটি-অ্যাকশনের কাকতালীয় ঘটনা সহ একই কাঠামো উত্তরাধিকার সূত্রে পেয়েছে। উপরন্তু, স্কেলার গুণন দ্বারা একটি স্বাভাবিক ক্রিয়া রয়েছে। টপোলজিক্যালি, হোমোমর্ফিক। বিশেষ করে, এটিও চুক্তিবদ্ধ। প্রজেক্টিভাইজড আউটার স্পেস প্রজেক্টিভাইজড আউটার স্পেস হল স্কেলার গুণন দ্বারা অন ক্রিয়ার অধীনে ভাগফল স্থান। স্থানটি ভাগফল টপোলজিতে সজ্জিত। একটি গাছের জন্য তার প্রজেক্টিভ ইকুইভ্যালেন্স ক্লাস চিহ্নিত করা হয়। অন-এর ক্রিয়া স্বাভাবিকভাবেই অন-এর ক্রিয়ার সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ। অর্থাৎ, জন্য এবং রাখুন। একটি মূল পর্যবেক্ষণ হল যে মানচিত্রটি একটি সমতুল্য সমরূপতা। এই কারণে স্থানগুলি এবং প্রায়শই চিহ্নিত করা হয়। লিপস্কিটজ দূরত্ব বাইরের স্থানের জন্য রুডলফ লিপস্কিটজের নামে নামকরণ করা লিপস্কিটজ দূরত্ব টেইচমুলার স্পেসে থার্স্টন মেট্রিকের সাথে মিলে যায়। Xn-এ দুটি বিন্দুর জন্য (ডান) লিপস্কিটজ দূরত্বকে সর্বাধিক প্রসারিত বদ্ধ পথের (প্রাকৃতিক) লগারিদম হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়ঃ এবং এটি একটি অসমমিত মেট্রিক (কখনও কখনও একটি কোয়াসিমেট্রিকও বলা হয়), অর্থাৎ। এটি শুধুমাত্র প্রতিসাম্য ব্যর্থ করে। প্রতিসম লিপশিটজ মেট্রিক সাধারণত বোঝায়ঃ সর্বোচ্চতা সর্বদা প্রাপ্ত হয় এবং একটি সসীম সেট দ্বারা গণনা করা যেতে পারে যার তথাকথিত প্রার্থীরা। এফএন-এ কনজুগেসি ক্লাসের সীমাবদ্ধ সেটটি কোথায় যা একটি সাধারণ লুপ, আটটির একটি চিত্র বা চিহ্নিতকরণের মাধ্যমে একটি বারবেলের এম্বেডিংয়ের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ (চিত্রটি দেখুন)। স্ট্রেচিং ফ্যাক্টরটি চিহ্নিতকরণের উপর বহনকারী একটি হোমোটপি সমতুল্যের ন্যূনতম লিপশিটজ ধ্রুবকের সমান, অর্থাৎ। অবিচ্ছিন্ন ফাংশনগুলি কোথায় যেমন চিহ্নিতকরণের উপর চিহ্নিতকরণের জন্য মুক্তভাবে সমস্থানিক হয়। প্ররোচিত টপোলজি দুর্বল টপোলজির মতো এবং আইসোমেট্রি গ্রুপটি প্রতিসম এবং অসমমিত লিপস্কিটজ দূরত্ব উভয়ের জন্যই। প্রয়োগ এবং সাধারণীকরণ দৈর্ঘ্য ফাংশন টপোলজির সমাপ্তি আর-গাছের উপর এফএন-এর সমস্ত খুব ছোট ন্যূনতম আইসোমেট্রিক ক্রিয়া (এফএন-সমতুল্য আইসোমেট্রি ক্লাস) নিয়ে গঠিত বলে জানা যায়। এখানে সমতুল্য আইসোমেট্রি হিসাবে বিবেচিত-গাছের উপর সমস্ত ন্যূনতম আইসোমেট্রিক "অপরিবর্তনীয়" ক্রিয়ার জায়গায় ক্লোজার নেওয়া হয়। এটি জানা যায় যে গ্রোমভ টপোলজি এবং অক্ষের টপোলজি অপরিবর্তনীয় ক্রিয়াগুলির স্থানের সাথে মিলে যায়, তাই বন্ধটি উভয় অর্থে বোঝা যায়। ধনাত্মক স্কেলার দ্বারা গুণনের সাপেক্ষে এর প্রজেক্টিভাইজেশন স্পেস দেয় যা থার্স্টনের টেইচমুলার স্পেসের কম্প্যাক্টিফিকেশনের অনুরূপ এবং এর দৈর্ঘ্য ফাংশন কম্প্যাক্টিফিকেশন। মুক্ত পণ্যের জন্য, ডান-কোণযুক্ত আর্টিন গোষ্ঠীগুলির জন্য, গোষ্ঠী ক্রিয়াকলাপের তথাকথিত বিকৃতি স্থানগুলির জন্য এবং অন্যান্য কিছু প্রসঙ্গে বাইরের স্থানের এনালগ এবং সাধারণীকরণগুলি তৈরি করা হয়েছে। 1998 সালে হ্যাচার এবং ভগটম্যান দ্বারা বেস-পয়েন্ট সহ চিহ্নিত মেট্রিক গ্রাফের জন্য আউটার স্পেস নামে বাইরের স্থানের একটি বেস-পয়েন্টযুক্ত সংস্করণ তৈরি করা হয়েছিল। আউটার স্পেস আউটার স্পেসের সাথে অনেক বৈশিষ্ট্য ভাগ করে নেয়, তবে কেবল এর একটি ক্রিয়ার সাথে আসে। আরও দেখুন জ্যামিতিক গ্রুপ তত্ত্ব ম্যাপিং ক্লাস গ্রুপ ট্রেন ট্র্যাক ম্যাপ আউট (এফএন) রেফারেন্স আরও পড়া ম্লাদেন বেস্টভিনা, দ্য টপোলজি অফ আউট (এফএন)। প্রোসিডিংস অফ দ্য ইন্টারন্যাশনাল কংগ্রেস অফ ম্যাথমেটিশিয়ানস, খণ্ড। দ্বিতীয় (বেইজিং, 2002), পৃ. 373-384, হায়ার এডুকেশন প্রেস, বেইজিং, 2002; কারেন ভগটম্যান, অন দ্য জ্যামিতি অফ আউটার স্পেস। বুলেটিন অফ দ্য আমেরিকান ম্যাথমেটিকাল সোসাইটি 52 (2015), নং। 1, 27-46। জ্যামিতিক গোষ্ঠী তত্ত্ব জ্যামিতিক টপোলজি