Porous set
গণিতে, একটি ছিদ্রযুক্ত সেট মেট্রিক স্পেস অধ্যয়নের একটি ধারণা। ক্ষুদ্র এবং পরিমাপ শূন্য সেটের ধারণার মতো, একটি ছিদ্রযুক্ত সেটকে "বিরল" বা "অভাবযুক্ত বাল্ক" হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে; তবে, ছিদ্রযুক্ত সেটগুলি নিম্ন সেট বা পরিমাপ শূন্য সেটের সমতুল্য নয়, যেমন নীচে দেখানো হয়েছে। সংজ্ঞা ধরা যাক (এক্স, ডি) একটি সম্পূর্ণ মেট্রিক স্পেস এবং ই এক্স-এর একটি উপসেট। ধরা যাক B (x, r) বন্ধ বলটিকে (X, d) কেন্দ্র x ωX এবং ব্যাসার্ধ r> 0 দিয়ে নির্দেশ করে। E কে ছিদ্রযুক্ত বলা হয় যদি 0 <α <1 এবং r0> 0 ধ্রুবক বিদ্যমান থাকে যাতে, প্রতিটি 0 <r ≤ r0 এবং প্রতিটি x ωX-এর জন্য, কিছু বিন্দু y ωX থাকে যার সাথে X-এর একটি উপসেটকে σ-ছিদ্রযুক্ত বলা হয় যদি এটি X-এর ছিদ্রযুক্ত উপসেটগুলির গণনাযোগ্য মিলন হয়। বৈশিষ্ট্য যে কোনও ছিদ্রযুক্ত সেট কোথাও ঘন হয় না। অতএব, সমস্ত σ-ছিদ্রযুক্ত সেটগুলি সামান্য সেট (বা প্রথম বিভাগের)। যদি এক্স একটি সসীম-মাত্রিক ইউক্লিডীয় স্থান আরএন হয়, তবে ছিদ্রযুক্ত উপসেটগুলি লেবস্গু পরিমাপ শূন্যের সেট। যাইহোক, আরএন-এর একটি অ-সিএস-ছিদ্রযুক্ত উপসেট পি রয়েছে যা প্রথম বিভাগের এবং লেবস্গু পরিমাপের শূন্য। এটি জাজিসেকের উপপাদ্য নামে পরিচিত। ছিদ্রতা এবং কোথাও ঘন না হওয়ার মধ্যে সম্পর্কটি নিম্নরূপ চিত্রিত করা যেতে পারেঃ যদি E কোথাও ঘন না হয়, তবে x ± X এবং r> 0-এর জন্য একটি বিন্দু y ± X এবং s> 0 এমন হয় যে, তবে, যদি E-ও ছিদ্রযুক্ত হয়, তবে s = αr (কমপক্ষে যথেষ্ট ছোট r-এর জন্য) নেওয়া সম্ভব, যেখানে 0 <α <1 একটি ধ্রুবক যা শুধুমাত্র E-এর উপর নির্ভর করে।