Quasi-isometry
গণিতে, একটি আধা-আইসোমেট্রি হল দুটি মেট্রিক স্পেসের মধ্যে একটি ফাংশন যা এই স্পেসগুলির বড় আকারের জ্যামিতিকে সম্মান করে এবং তাদের ছোট আকারের বিবরণ উপেক্ষা করে। দুটি মেট্রিক স্পেস আধা-আইসোমেট্রিক হয় যদি তাদের মধ্যে একটি আধা-আইসোমেট্রি থাকে। আধা-আইসোমেট্রিক হওয়ার বৈশিষ্ট্য মেট্রিক স্পেসের শ্রেণিতে সমতুল্য সম্পর্কের মতো আচরণ করে। গ্রোমভের কাজ অনুসরণ করে জ্যামিতিক গোষ্ঠী তত্ত্বে আধা-সমমিতির ধারণাটি বিশেষভাবে গুরুত্বপূর্ণ। সংজ্ঞা ধরুন এটি একটি মেট্রিক স্থান থেকে দ্বিতীয় মেট্রিক স্থান পর্যন্ত একটি (অপরিহার্যভাবে অবিচ্ছিন্ন নয়) ফাংশন। তারপর একটি আধা-আইসোমেট্রি বলা হয় থেকে যদি ধ্রুবক বিদ্যমান থাকে, এবং নিম্নলিখিত দুটি বৈশিষ্ট্য উভয়ই ধারণ করেঃ প্রতি দুটি বিন্দুর জন্য এবং তাদের চিত্রগুলির মধ্যে দূরত্ব তাদের মূল দূরত্বের একটি ফ্যাক্টরের মধ্যে যোগাত্মক ধ্রুবক পর্যন্ত হয়। আরও আনুষ্ঠানিকভাবেঃ এর প্রতিটি বিন্দু একটি চিত্র বিন্দুর ধ্রুবক দূরত্বের মধ্যে থাকে। আরও আনুষ্ঠানিকভাবেঃ দুটি মেট্রিক স্পেস এবং যদি থেকে থেকে একটি আধা-আইসোমেট্রি বিদ্যমান থাকে তবে তাদের আধা-আইসোমেট্রিক বলা হয়। একটি মানচিত্রকে আধা-আইসোমেট্রিক এম্বেডিং বলা হয় যদি এটি প্রথম শর্তটি পূরণ করে তবে অগত্যা দ্বিতীয়টি নয় (অর্থাৎ। এটি মোটা লিপস্কিটজ তবে মোটা সার্জেক্টিভ হতে ব্যর্থ হতে পারে)। অন্য কথায়, যদি মানচিত্রের মাধ্যমে, এর একটি সাবস্পেসের অর্ধ-আইসোমেট্রিক হয়। দুটি মেট্রিক স্পেস এম1 এবং এম2-কে অর্ধ-আইসোমেট্রিক বলা হয়, যদি একটি অর্ধ-আইসোমেট্রি থাকে। উদাহরণস্বরূপ, ইউক্লিডীয় সমতল এবং ম্যানহাটন দূরত্ব সহ সমতলের মধ্যে যে মানচিত্র প্রতিটি বিন্দুকে নিজের কাছে পাঠায় তা একটি আধা-সমমিতিঃ এতে, দূরত্বকে সর্বাধিক একটি গুণক দ্বারা গুণ করা হয়। লক্ষ্য করুন যে কোনও আইসোমেট্রি থাকতে পারে না, কারণ, উদাহরণস্বরূপ, ম্যানহাটন দূরত্বে পয়েন্টগুলি একে অপরের সমান দূরত্বের, কিন্তু ইউক্লিডীয় সমতলে, এমন কোনও 4টি পয়েন্ট নেই যা একে অপরের সমান দূরত্বের। মানচিত্রটি (উভয়ই ইউক্লিডীয় মেট্রিক সহ) যা পূর্ণসংখ্যার প্রতিটি-টুপলকে নিজের কাছে পাঠায় তা একটি আধা-আইসোমেট্রিঃ দূরত্বগুলি ঠিক সংরক্ষণ করা হয় এবং প্রতিটি বাস্তব টুপল একটি পূর্ণসংখ্যা টুপলের দূরত্বের মধ্যে থাকে। অন্য দিকে, অবিচ্ছিন্ন ফাংশন যা বাস্তব সংখ্যার প্রতিটি টুপলকে নিকটতম পূর্ণসংখ্যা টুপলের সাথে বৃত্তাকার করে তা একটি আধা-আইসোমেট্রিঃ প্রতিটি বিন্দু এই মানচিত্র দ্বারা তার দূরত্বের মধ্যে একটি বিন্দুতে নিয়ে যাওয়া হয়, তাই বৃত্তাকার সর্বাধিক যোগ বা বিয়োগ করে জোড়াগুলির মধ্যে দূরত্ব পরিবর্তন করে। সসীম বা সীমাবদ্ধ মেট্রিক স্পেসের প্রতিটি জোড়া আধা-আইসোমেট্রিক। এই ক্ষেত্রে, এক স্থান থেকে অন্য স্থানে প্রতিটি ফাংশন একটি আধা-সমমিতি। সমতুল্য সম্পর্ক যদি একটি আধা-সমমিতি হয়, তবে একটি অর্ধ-সমমিতি বিদ্যমান। প্রকৃতপক্ষে, এর চিত্রের যে কোনও বিন্দু দূরত্বের মধ্যে থাকা এবং যে কোনও বিন্দু হতে দেওয়া দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। যেহেতু পরিচয়ের মানচিত্রটি একটি আধা-সমমিতি, এবং দুটি অর্ধ-সমমিতির গঠন একটি অর্ধ-সমমিতি, তাই এটি অনুসরণ করে যে আধা-সমমিতি হওয়ার বৈশিষ্ট্যটি মেট্রিক স্পেসের শ্রেণীর সমতুল্য সম্পর্কের মতো আচরণ করে। জ্যামিতিক গোষ্ঠী তত্ত্বে ব্যবহার একটি সীমাবদ্ধভাবে উৎপন্ন গ্রুপ জি-এর একটি সীমাবদ্ধ উৎপাদনকারী সেট এস দেওয়া হলে, আমরা এস এবং জি-এর সংশ্লিষ্ট কেলি গ্রাফ তৈরি করতে পারি। এই গ্রাফটি একটি মেট্রিক স্পেসে পরিণত হয় যদি আমরা প্রতিটি প্রান্তের দৈর্ঘ্য 1 বলে ঘোষণা করি। একটি ভিন্ন সসীম উৎপাদনকারী সেট টি গ্রহণের ফলে একটি ভিন্ন গ্রাফ এবং একটি ভিন্ন মেট্রিক স্থান পাওয়া যায়, তবে দুটি স্থান আধা-আইসোমেট্রিক। এই আধা-আইসোমেট্রি শ্রেণীটি এইভাবে গ্রুপ জি-এর একটি অপরিবর্তনীয়। মেট্রিক স্পেসের যে কোনও বৈশিষ্ট্য যা কেবল একটি স্থানের আধা-আইসোমেট্রি শ্রেণীর উপর নির্ভর করে তা অবিলম্বে গ্রুপগুলির আরেকটি অপরিবর্তনীয় ফলাফল দেয়, যা গ্রুপ তত্ত্বের ক্ষেত্রটিকে জ্যামিতিক পদ্ধতিতে উন্মুক্ত করে। আরও সাধারণভাবে, ষ্ভার্ক-মিলনর লেম্মাতে বলা হয়েছে যে যদি একটি গ্রুপ জি একটি যথাযথ জিওডেসিক স্পেস এক্স-এ কম্প্যাক্ট ভাগফলের সাথে সঠিকভাবে বিচ্ছিন্নভাবে কাজ করে তবে জি এক্স-এর আধা-আইসোমেট্রিক (অর্থাৎ জি-এর জন্য যে কোনও কেলি গ্রাফ)। এটি একে অপরের জন্য আধা-সমমিতিক গোষ্ঠীর নতুন উদাহরণ দেয়ঃ যদি জি 'জি-তে সসীম সূচকের একটি উপগোষ্ঠী হয় তবে জি' জি-এর জন্য আধা-সমমিতিক; যদি জি এবং এইচ একই মাত্রার দুটি কম্প্যাক্ট হাইপারবোলিক ম্যানিফোল্ডের মৌলিক গোষ্ঠী হয় তবে তারা উভয়ই হাইপারবোলিক স্পেস এইচডি-এর জন্য আধা-সমমিতিক এবং তাই একে অপরের জন্য; অন্যদিকে সসীম-ভলিউমের মৌলিক গোষ্ঠীর অসীম সংখ্যক আধা-সমমিতিক শ্রেণী রয়েছে। কোয়াসিজিওডেসিকস এবং মোর্স লেম্মা একটি মেট্রিক স্পেসে একটি আধা-জিওডেসিক হল একটি আধা-আইসোমেট্রিক এম্বেডিং। আরও সুনির্দিষ্টভাবে একটি মানচিত্র রয়েছে যাতে একটি-আধা-ভূতাত্ত্বিক বলা হয়। স্পষ্টতই ভূগণিত (আর্ক্লেন্থ দ্বারা প্যারামিটারাইজড) আধা-ভূগণিত। সত্য যে কিছু জায়গায় বিপরীতটি মোটামুটি সত্য, অর্থাৎ। প্রতিটি আধা-ভূতাত্ত্বিক একটি প্রকৃত ভূতাত্ত্বিকের সীমাবদ্ধ দূরত্বের মধ্যে থাকে, যাকে মোর্স লেমা বলা হয় (ডিফারেনশিয়াল টপোলজিতে মোর্স লেমার সাথে বিভ্রান্ত হবেন না)। আনুষ্ঠানিকভাবে বিবৃতিটি হ 'লঃ একটি যথাযথ δ-হাইপারবোলিক স্থান। এমন একটি অস্তিত্ব রয়েছে যে কোনও-আধা-ভূতাত্ত্বিকের জন্য এমন একটি ভূতাত্ত্বিক অস্তিত্ব রয়েছে যা সকলের জন্য। এটি জ্যামিতিক গোষ্ঠী তত্ত্বের একটি গুরুত্বপূর্ণ হাতিয়ার। একটি তাৎক্ষণিক প্রয়োগ হল যে সঠিক হাইপারবোলিক স্পেসের মধ্যে যে কোনও আধা-আইসোমেট্রি তাদের সীমানার মধ্যে একটি সমরূপতা প্ররোচিত করে। এই ফলাফলটি মোস্টো রিগিডিটি উপপাদ্যের প্রমাণের প্রথম ধাপ। উপরন্তু, এই ফলাফলটি গুগল ম্যাপের মতো অ্যাপ্লিকেশনগুলিতে ব্যবহারকারীর মিথস্ক্রিয়া নকশা বিশ্লেষণে উপযোগিতা খুঁজে পেয়েছে। গোষ্ঠীগুলির আধা-সমমিতির অপরিবর্তনীয়তার উদাহরণ নিম্নরূপ গোষ্ঠী কেলি গ্রাফের বৈশিষ্ট্যগুলির কয়েকটি উদাহরণ যা অর্ধ-সমমিতির অধীনে অপরিবর্তনীয়ঃ হাইপারবোলিসিটি একটি গোষ্ঠীকে হাইপারবোলিক বলা হয় যদি এর একটি কেলি গ্রাফ কিছু δ-এর জন্য একটি δ-হাইপারবোলিক স্থান হয়। হাইপারবোলিসিটির বিভিন্ন সংজ্ঞার মধ্যে অনুবাদ করার সময়, δ-এর নির্দিষ্ট মান পরিবর্তিত হতে পারে, তবে একটি হাইপারবোলিক গ্রুপের ফলস্বরূপ ধারণাগুলি সমতুল্য বলে প্রমাণিত হয়। হাইপারবোলিক গোষ্ঠীগুলির একটি সমাধানযোগ্য শব্দ সমস্যা রয়েছে। এগুলি দ্বি-স্বয়ংক্রিয় এবং স্বয়ংক্রিয়। : প্রকৃতপক্ষে, এগুলি দৃঢ়ভাবে ভূগণিতগতভাবে স্বয়ংক্রিয়, অর্থাৎ, গোষ্ঠীতে একটি স্বয়ংক্রিয় কাঠামো রয়েছে, যেখানে গ্রহণকারী শব্দ দ্বারা গৃহীত ভাষাটি সমস্ত ভূগণিত শব্দের সমষ্টি। বৃদ্ধি একটি প্রতিসম উৎপাদনকারী সেটের সাপেক্ষে একটি গোষ্ঠীর বৃদ্ধির হার দলের বলের আকার বর্ণনা করে। গোষ্ঠীর প্রতিটি উপাদানকে জেনারেটরের গুণফল হিসাবে লেখা যেতে পারে এবং বৃদ্ধির হার সেই উপাদানগুলির সংখ্যা গণনা করে যা দৈর্ঘ্য n-এর গুণফল হিসাবে লেখা যেতে পারে। গ্রোমভের উপপাদ্য অনুসারে, বহুপদী বৃদ্ধির একটি গোষ্ঠী কার্যত নিলপোটেন্ট, অর্থাৎ। এটির সসীম সূচকের একটি নিলপোটেন্ট উপগোষ্ঠী রয়েছে। বিশেষ করে, বহুপদী বৃদ্ধির ক্রম অবশ্যই একটি স্বাভাবিক সংখ্যা হতে হবে। যদি কোনও সূচকীয় ফাংশনের তুলনায় ধীরে ধীরে বৃদ্ধি পায়, তবে জি-এর একটি উপ-সূচকীয় বৃদ্ধির হার রয়েছে। এই ধরনের যে কোনও গোষ্ঠী গ্রহণযোগ্য। মোটামুটিভাবে বলতে গেলে, একটি টপোলজিকাল স্থানের প্রান্তগুলি স্থানটির "আদর্শ সীমানা"-র সংযুক্ত উপাদান। অর্থাৎ, প্রতিটি প্রান্ত স্থানের মধ্যে অনন্তের দিকে যাওয়ার একটি টপোলজিক্যালি স্বতন্ত্র উপায়ের প্রতিনিধিত্ব করে। প্রতিটি প্রান্তে একটি বিন্দু যোগ করলে মূল স্থানের একটি সংকোচন ঘটে, যা শেষ সংকোচন হিসাবে পরিচিত। একটি সীমাবদ্ধভাবে উৎপন্ন গোষ্ঠীর প্রান্তগুলি সংশ্লিষ্ট কেলি গ্রাফের প্রান্ত হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়; এই সংজ্ঞাটি একটি সীমাবদ্ধ উৎপাদনকারী সেটের পছন্দ থেকে স্বাধীন। প্রতিটি চূড়ান্তভাবে সৃষ্ট অসীম গোষ্ঠীর হয় 0,1,2 বা অসীম সংখ্যক প্রান্ত থাকে এবং গোষ্ঠীর প্রান্ত সম্পর্কে স্ট্যালিংসের উপপাদ্য একাধিক প্রান্তের গোষ্ঠীর জন্য একটি পচন প্রদান করে। যদি দুটি সংযুক্ত স্থানীয়ভাবে সীমাবদ্ধ গ্রাফ অর্ধ-সমমিতিযুক্ত হয় তবে তাদের একই সংখ্যক প্রান্ত থাকে। বিশেষত, দুটি আধা-আইসোমেট্রিক ফাইনাইলি জেনারেটেড গ্রুপের একই সংখ্যক প্রান্ত রয়েছে। একটি সহজ গ্রুপ হল একটি স্থানীয়ভাবে কম্প্যাক্ট টপোলজিকাল গ্রুপ জি যা সীমাবদ্ধ ফাংশনের উপর এক ধরনের গড় অপারেশন বহন করে যা গ্রুপ উপাদান দ্বারা অনুবাদের অধীনে অপরিবর্তনীয়। মূল সংজ্ঞাটি, জি-এর উপসেটগুলিতে একটি সীমাবদ্ধ যোগাত্মক অপরিবর্তনীয় পরিমাপের (বা গড়) পরিপ্রেক্ষিতে, 1929 সালে জন ভন নিউম্যান বানাচ-টারস্কি প্যারাডক্সের প্রতিক্রিয়ায় জার্মান নাম "মেসবার" (ইংরেজিতে "পরিমাপযোগ্য") এর অধীনে প্রবর্তন করেছিলেন। 1949 সালে মাহলন এম. ডে স্পষ্টতই একটি শ্লেষ হিসাবে ইংরেজি অনুবাদ "অ্যামনেবল" চালু করেন। বিচ্ছিন্ন গোষ্ঠী তত্ত্বে, যেখানে জি-এর পৃথক টপোলজি রয়েছে, সেখানে একটি সহজ সংজ্ঞা ব্যবহার করা হয়। এই পরিবেশে, একটি গোষ্ঠী গ্রহণযোগ্য যদি কেউ বলতে পারে যে কোনও প্রদত্ত উপসেট জি-এর কত অনুপাত গ্রহণ করে। যদি কোনও গোষ্ঠীর একটি ফোলনার ক্রম থাকে তবে এটি স্বয়ংক্রিয়ভাবে উপযুক্ত। অ্যাসিম্পটোটিক শঙ্কু একটি অতিসীমা হল একটি জ্যামিতিক গঠন যা মেট্রিক স্পেস Xn একটি সীমিত মেট্রিক স্পেসের ক্রমকে বরাদ্দ করে। অতি সীমার একটি গুরুত্বপূর্ণ শ্রেণী হল মেট্রিক স্পেসের তথাকথিত অ্যাসিম্পটোটিক শঙ্কু। ধরা যাক (X, d) একটি মেট্রিক স্পেস, ধরা যাক ω একটি অ-প্রধান আল্ট্রাফিল্টার চালু এবং ধরা যাক pn bul X বেস-পয়েন্টের একটি ক্রম। তারপর ক্রমের ω-আল্ট্রালিমিটকে ω এবং এবং-এর সাপেক্ষে X-এর অ্যাসিম্পটোটিক শঙ্কু বলা হয়। একটি প্রায়শই বেস-পয়েন্ট ক্রমকে ধ্রুবক হিসাবে গ্রহণ করে, কিছু p ωX-এর জন্য pn = p; এই ক্ষেত্রে অ্যাসিম্পটোটিক শঙ্কু p ωX-এর পছন্দের উপর নির্ভর করে না এবং দ্বারা বা ঠিক দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। একটি অ্যাসিম্পটোটিক শঙ্কু ধারণা জ্যামিতিক গোষ্ঠী তত্ত্বে একটি গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে কারণ অ্যাসিম্পটোটিক শঙ্কু (বা, আরও সুনির্দিষ্টভাবে, তাদের টপোলজিকাল প্রকার এবং দ্বি-লিপস্কিটজ প্রকার) সাধারণভাবে মেট্রিক স্পেস এবং বিশেষত সীমাবদ্ধভাবে উত্পন্ন গোষ্ঠীর আধা-আইসোমেট্রি অপরিবর্তনীয় সরবরাহ করে। অ্যাসিম্পটোটিক শঙ্কুগুলি তুলনামূলকভাবে হাইপারবোলিক গোষ্ঠী এবং তাদের সাধারণীকরণের অধ্যয়নে একটি দরকারী হাতিয়ার হিসাবেও পরিণত হয়। আরও দেখুন আইসোমেট্রি মোটা কাঠামো তথ্যসূত্র জ্যামিতিক গোষ্ঠী তত্ত্ব মেট্রিক জ্যামিতি সমতা (গণিত)