Out(Fn)
গণিতে, আউট (এফএন) হল এন জেনারেটরের উপর একটি মুক্ত গোষ্ঠীর বাইরের অটোমরফিজম গ্রুপ। এই গোষ্ঠীগুলি জ্যামিতিক গোষ্ঠী তত্ত্বে গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে। আউটার স্পেস আউট (এফএন) কুলার-ভগটম্যান আউটার স্পেস নামে পরিচিত একটি কোষ কমপ্লেক্সের উপর জ্যামিতিকভাবে কাজ করে, যা বৃত্তের একটি গুচ্ছের জন্য টেকমুলার স্থান হিসাবে চিন্তা করা যেতে পারে। সংজ্ঞা বাইরের স্থানের একটি বিন্দু মূলত একটি-গ্রাফ এক্স হোমোটপি যা এন বৃত্তের একটি গুচ্ছের সমতুল্য এবং এক্স থেকে এন বৃত্তের গুচ্ছের সমতুল্য একটি হোমোটপি শ্রেণীর একটি নির্দিষ্ট পছন্দ। একটি-গ্রাফ কেবল একটি ওজনযুক্ত গ্রাফ যার ওজন রয়েছে। সমস্ত ওজনের যোগফল 1 হওয়া উচিত এবং সমস্ত ওজন ধনাত্মক হওয়া উচিত। অস্পষ্টতা এড়াতে (এবং একটি সীমাবদ্ধ মাত্রিক স্থান পেতে) প্রতিটি শীর্ষের সংযোজকতা কমপক্ষে 3 হওয়া প্রয়োজন। হোমোটপি সমতুল্য f এড়ানো আরও বর্ণনামূলক দৃষ্টিভঙ্গি নিম্নরূপ। আমরা n চলকের মুক্ত গোষ্ঠীর সাথে n বৃত্তের গুচ্ছের মৌলিক গোষ্ঠীর একটি সনাক্তকরণ স্থির করতে পারি। উপরন্তু, আমরা এক্স-এ একটি সর্বাধিক গাছ বেছে নিতে পারি এবং প্রতিটি অবশিষ্ট প্রান্তের জন্য একটি দিক বেছে নিতে পারি। আমরা এখন প্রতিটি অবশিষ্ট প্রান্তকে নিম্নলিখিত উপায়ে একটি শব্দ বরাদ্দ করব। ই দিয়ে শুরু হওয়া বন্ধ পথটি বিবেচনা করুন এবং তারপর ম্যাক্সিমাল ট্রি-তে ই-এর উৎসে ফিরে যান। এই পথটি f দিয়ে রচনা করলে আমরা n বৃত্তের একটি গুচ্ছের মধ্যে একটি বদ্ধ পথ পাই এবং তাই এর মৌলিক গোষ্ঠীর একটি উপাদান। এই উপাদানটি সঠিকভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়নি; যদি আমরা একটি মুক্ত হোমোটপি দ্বারা f পরিবর্তন করি তবে আমরা অন্য একটি উপাদান পাই। দেখা যাচ্ছে যে, এই দুটি উপাদান একে অপরের সাথে সংযুক্ত, এবং তাই আমরা এই সংযুক্তি শ্রেণীতে অনন্য চক্রাকারভাবে হ্রাসকৃত উপাদানটি বেছে নিতে পারি। এই তথ্যগুলি থেকে মুক্ত হোমোটপি ধরনের এফ পুনর্গঠন করা সম্ভব। এই দৃষ্টিভঙ্গির সুবিধা হল, এটি f-এর অতিরিক্ত পছন্দকে এড়িয়ে চলে এবং এর অসুবিধা হল যে অতিরিক্ত অস্পষ্টতা দেখা দেয়, কারণ একজনকে একটি সর্বাধিক গাছ এবং অবশিষ্ট প্রান্তগুলির একটি অভিযোজন বেছে নিতে হয়। বাইরের মহাকাশে আউট (এফএন)-এর ক্রিয়াকলাপ নিম্নরূপ সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে। প্রতিটি অটোমরফিজম g এর n বৃত্তের গুচ্ছের একটি স্ব-সমস্থানিক সমতুল্য g′ প্ররোচিত করে। g′ দিয়ে f রচনা করলে কাঙ্ক্ষিত ক্রিয়াটি পাওয়া যায়। এবং অন্য মডেলে এটি কেবল জি-এর প্রয়োগ এবং ফলস্বরূপ শব্দটিকে চক্রাকারে হ্রাস করা। দৈর্ঘ্য ফাংশনের সাথে সংযোগ বাইরের স্থানের প্রতিটি বিন্দু একটি অনন্য দৈর্ঘ্য ফাংশন নির্ধারণ করে। একটি শব্দ নির্বাচিত হোমোটপি সমতুল্যতার মাধ্যমে এক্স-এ একটি বদ্ধ পথ নির্ধারণ করে। শব্দের দৈর্ঘ্য তখন সেই বন্ধ পথের মুক্ত হোমোটপি শ্রেণীর একটি পথের ন্যূনতম দৈর্ঘ্য। এই ধরনের দৈর্ঘ্যের ফাংশন প্রতিটি কনজুগেসি ক্লাসে ধ্রুবক। অ্যাসাইনমেন্টটি বাইরের স্থানটিকে কিছু অসীম মাত্রিক প্রজেক্টিভ স্পেসে এম্বেড করার সংজ্ঞা দেয়। বাইরের স্থানের সরল কাঠামো দ্বিতীয় মডেলে সেই সমস্ত-গ্রাফ দ্বারা একটি উন্মুক্ত সিম্প্লেক্স দেওয়া হয়, যার সম্মিলিতভাবে একই অন্তর্নিহিত গ্রাফ রয়েছে এবং একই প্রান্তগুলি একই শব্দের সাথে লেবেল করা হয়েছে (শুধুমাত্র প্রান্তের দৈর্ঘ্য ভিন্ন হতে পারে)। এই ধরনের সিমপ্লেক্সের সীমানা সরলীকরণগুলি সমস্ত গ্রাফ নিয়ে গঠিত, যা একটি প্রান্ত ভেঙে এই গ্রাফ থেকে উদ্ভূত হয়। যদি সেই প্রান্তটি একটি লুপ হয় তবে গ্রাফের হোমোটপির ধরণ পরিবর্তন না করে এটি ভেঙে ফেলা যায় না। সুতরাং কোনও সীমানা সরলতা নেই। সুতরাং কেউ বাইরের স্থানটিকে একটি সরল জটিল হিসাবে ভাবতে পারে যার কিছু সরলতা সরানো হয়েছে। এটি যাচাই করা সহজ, যে এর ক্রিয়াটি সরল এবং এর সীমাবদ্ধ আইসোট্রপি গ্রুপ রয়েছে। কাঠামো আবেলিয়ানাইজেশন মানচিত্রটি সাধারণ রৈখিক গোষ্ঠী থেকে একটি সমরূপতাকে প্ররোচিত করে, পরেরটি হল অটোমরফিজম গ্রুপ। এই মানচিত্রটি একটি গ্রুপ এক্সটেনশন তৈরি করছে। কার্নেল হল টোরেলি গ্রুপ। এই ক্ষেত্রে, মানচিত্রটি একটি সমরূপতা। ম্যাপিং শ্রেণী গোষ্ঠীর সাথে সাদৃশ্য কারণ এটি n বৃত্তের একটি গুচ্ছের মৌলিক গোষ্ঠী, একটি বদ্ধ পৃষ্ঠের ম্যাপিং শ্রেণী গোষ্ঠীর সাদৃশ্য হিসাবে, যা সেই পৃষ্ঠের মৌলিক গোষ্ঠীর বাইরের অটোমরফিজম গোষ্ঠীর সমতুল্য, টপোলজিক্যালি n বৃত্তের একটি গুচ্ছের ম্যাপিং শ্রেণী গোষ্ঠী (হোমোটপি বিভাগে) হিসাবে বর্ণনা করা যেতে পারে। আরও দেখুন ট্রেন ট্র্যাক ম্যাপ একটি মুক্ত গোষ্ঠীর অটোমর্ফিজম গ্রুপ আউটার স্পেস রেফারেন্স জ্যামিতিক গ্রুপ তত্ত্ব