Permutohedron
গণিতে, n ক্রমের পারমুটোহেড্রন (পারমুতাহেড্রন বানানও করা হয়) হল একটি (n−1)-মাত্রিক পলিটোপ যা একটি n-মাত্রিক স্থানে এম্বেড করা থাকে। এর শীর্ষ স্থানাঙ্ক (লেবেল) হল প্রথম n প্রাকৃতিক সংখ্যার বিন্যাস। প্রান্তগুলি সংক্ষিপ্ততম সম্ভাব্য পথগুলি (স্থানান্তরের সেট) চিহ্নিত করে যা দুটি শীর্ষকে (বিন্যাস) সংযুক্ত করে। একটি প্রান্ত দ্বারা সংযুক্ত দুটি বিন্যাস শুধুমাত্র দুটি স্থানে পৃথক হয় (একটি স্থানান্তর), এবং এই স্থানগুলির সংখ্যাগুলি প্রতিবেশী (1 দ্বারা মানের পার্থক্য)। ডানদিকের চিত্রটি ক্রম 4-এর পারমুটোহেড্রন দেখায়, যা কাটা অক্টাহেড্রন। এর শীর্ষগুলি হল (1,2,3,4) এর 24টি বিন্যাস। সমান্তরাল প্রান্তগুলির একই প্রান্তের রঙ থাকে। 6টি প্রান্তের রঙগুলি 4টি উপাদানের 6টি সম্ভাব্য স্থানান্তরের সাথে মিলে যায়, অর্থাৎ। তারা নির্দেশ করে যে কোন দুটি জায়গায় সংযুক্ত বিন্যাসগুলি পৃথক হয়। (যেমন। লাল প্রান্তগুলি ক্রমাঙ্কনগুলিকে সংযুক্ত করে যা শেষ দুটি জায়গায় পৃথক হয়।) ইতিহাস অনুসারে, পারমুটোহেড্রা প্রথম অধ্যয়ন করা হয়েছিল। পারমুটোড্রে নামটি তৈরি করেছিলেন। তারা শব্দটিকে বর্বর হিসাবে বর্ণনা করে, কিন্তু মনে রাখা সহজ, এবং তাদের পাঠকদের সমালোচনার কাছে এটি জমা দেয়। কখনও কখনও বিকল্প বানান পারমুতাহেড্রনও ব্যবহার করা হয়। পারমুটোহেড্রাকে কখনও কখনও পারমুটেশন পলিটোপ বলা হয়, তবে এই পরিভাষাটি সম্পর্কিত বারখফ পলিটোপের জন্যও ব্যবহৃত হয়, যা পারমুটেশন ম্যাট্রিক্সের উত্তল হুল হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। আরও সাধারণভাবে, যে কোনও পলিটোপের জন্য এই শব্দটি ব্যবহার করা হয় যার শীর্ষে কিছু সেটের বিন্যাসের সাথে একটি বাইজেকশন থাকে। উল্লম্বতা, প্রান্ত এবং দিক ক্রমের পারমুটোহেড্রনের উল্লম্বতা রয়েছে, যার প্রতিটি অন্যটির সংলগ্ন। প্রান্তের সংখ্যা হল এবং তাদের দৈর্ঘ্য হল। দুটি সংযুক্ত শীর্ষ দুটি স্থানাঙ্ক অদলবদল করে পৃথক হয়, যার মান 1 দ্বারা পৃথক হয়। অদলবদল করা জায়গার জোড়া প্রান্তের দিকের সাথে মিলে যায়। (উদাহরণস্বরূপ ছবিতে শীর্ষগুলি এবং একটি নীল প্রান্ত দ্বারা সংযুক্ত এবং প্রথম দুটি স্থানে 2 এবং 3 অদলবদল করে পৃথক হয়। 2 এবং 3 এর মান 1 দ্বারা পৃথক হয়। সমস্ত নীল প্রান্ত প্রথম দুটি স্থানের স্থানাঙ্কের বিনিময়ের সাথে মিলে যায়।) দিকগুলির সংখ্যা হল, কারণ তারা এর অ-খালি যথাযথ উপসেটগুলির সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ। উপসেট সম্পর্কিত একটি দিকের শীর্ষগুলির মধ্যে মিল রয়েছে, যে স্থানগুলিতে তাদের স্থানাঙ্কগুলি বাকিদের তুলনায় ছোট। আরও সাধারণভাবে, 0 (শীর্ষ) থেকে (পারমুটোহেড্রন নিজেই) মাত্রার মুখগুলি সেটের কঠোর দুর্বল ক্রমের সাথে মিলে যায়। সুতরাং সমস্ত মুখের সংখ্যা হল-তম ক্রমযুক্ত ঘণ্টা সংখ্যা। মাত্রার একটি মুখ সমতুল্য শ্রেণীর সাথে একটি ক্রমের সাথে মিলে যায়। ।} ক্রমের পারমুটোহেড্রনে মাত্রার মুখের সংখ্যা ত্রিভুজ দ্বারা দেওয়া হয়ঃ দ্বিতীয় ধরনের স্টার্লিং সংখ্যার প্রতিনিধিত্ব সহ এটি ডানদিকে তার সারির যোগফল, ক্রমযুক্ত বেল সংখ্যার সাথে দেখানো হয়েছে। অন্যান্য বৈশিষ্ট্য পারমুটোহেড্রন হল ভার্টেক্স-ট্রানজিটিভঃ প্রতিসম গ্রুপ এস. এন স্থানাঙ্কের বিন্যাস দ্বারা পারমুতোহেড্রনের উপর কাজ করে। পারমুটোহেড্রন একটি জোনোটপ; পারমুটোহেড্রনের একটি অনুবাদিত অনুলিপি n (n−1)/2 লাইন বিভাগের মিনকোভস্কি যোগফল হিসাবে তৈরি করা যেতে পারে যা স্ট্যান্ডার্ড বেসিস ভেক্টরের জোড়াগুলিকে সংযুক্ত করে। পারমুটোহেড্রনের শীর্ষ এবং প্রান্তগুলি প্রতিসম গোষ্ঠীর কাইলি গ্রাফগুলির মধ্যে একটির সমতুল্য, যথা ট্রান্সপজিশন দ্বারা উত্পন্ন যা পরপর উপাদানগুলিকে অদলবদল করে। কাইলি গ্রাফের শীর্ষগুলি হল পারমুটোহেড্রনের বিপরীত বিন্যাস। ডানদিকের ছবিটি এস4-এর কাইলি গ্রাফ দেখায়। এর প্রান্তের রঙগুলি 3টি উৎপন্নকারী রূপান্তরের প্রতিনিধিত্ব করেঃ,, এই কেলি গ্রাফটি হ্যামিল্টনিয়ান; একটি হ্যামিল্টনিয়ান চক্র স্টাইনহাউস-জনসন-ট্রটার অ্যালগরিদম দ্বারা পাওয়া যেতে পারে। স্থানের টেসেলেশন n ক্রমের পারমুটোহেড্রন সম্পূর্ণরূপে ()-মাত্রিক হাইপারপ্লেনে অবস্থিত যা সমস্ত বিন্দুর সমন্বয়ে গঠিত যার স্থানাঙ্ক 1 + 2 +. + n = n (n + 1)/2 সংখ্যার সমষ্টি। উপরন্তু, এই হাইপারপ্লেনটি পারমুটোহেড্রনের অসীম অনেক অনুবাদিত অনুলিপি দ্বারা টাইল করা যেতে পারে। এগুলির প্রত্যেকটি মৌলিক পারমুটোহেড্রন থেকে একটি নির্দিষ্ট (এন-1)-মাত্রিক জালের একটি উপাদান দ্বারা পৃথক হয়, যা শূন্যের সমষ্টি পূর্ণসংখ্যার এন-টুপল নিয়ে গঠিত এবং যার অবশিষ্টাংশগুলি (মডুলো এন) সবই সমানঃ x1 + x2 +. + xn = 0 x1 ষ্ণ x2 ষ্ণ. ষ্ণ xn (মোড এন)। এটি হল জাল, মূল জালের দ্বৈত জাল। অন্য কথায়, পারমুটোহেড্রন হল ভোরোনোই কোষ। তদনুসারে, এই জালটিকে কখনও কখনও পারমুটোহেড্রাল জাল বলা হয়। এইভাবে, উপরে দেখানো ক্রম 4-এর পারমুটোহেড্রন অনুবাদ দ্বারা ত্রিমাত্রিক স্থানকে টাইলস করে। এখানে ত্রিমাত্রিক স্থান হল x, y, z, w স্থানাঙ্ক সহ 4-মাত্রিক স্থান R4-এর অ্যাফাইন সাবস্পেস যা বাস্তব সংখ্যার 4-জোড়া নিয়ে গঠিত যার যোগফল 10, x + y + z + w = 10। নিচের চারটি ভেক্টর, (1,1,1, −3), (1,1, −3,1), (1, − 3,1,1) এবং (−3,1,1,1)-এর প্রত্যেকটির জন্য স্থানাঙ্কের যোগফল শূন্য এবং সমস্ত স্থানাঙ্ক 1 (মড 4)-এর সমতুল্য। এই ভেক্টরগুলির মধ্যে যে কোনও তিনটি ট্রান্সলেশন ল্যাটিস তৈরি করে। যথাক্রমে অর্ডার-2, অর্ডার-3 এবং অর্ডার-4 পারমুটোহেড্রা থেকে এইভাবে গঠিত টেসেলেশনগুলি হল এপিরোগন, নিয়মিত ষড়ভুজাকার টাইলিং এবং বিট্রাঙ্কেটেড কিউবিক মধুচক্র। দ্বৈত টেসেলেশনে সমস্ত সিম্প্লেক্স দিক থাকে, যদিও এগুলি অর্ডার-3-এর বাইরে নিয়মিত পলিটোপ নয়। আরও উদাহরণ দেখুন অ্যাসোসিয়াহেড্রন সাইক্লোহেড্রন পারমুটোসিয়াহেড্রন নোটস রেফারেন্স। । । । গুগলবুক, 370-381 এছাড়াও অনলাইনে কেএনএডাব্লু ডিজিটাল লাইব্রেরিতে http://www.dwc.knaw.nl/toegangen/digital-library-knaw/?pagetype=publDetail&pId=PU00011495 এ। । আরও পড়ুন। বাহ্যিক সংযোগ বিন্যাস পলিটোপ