Banach–Stone theorem
গণিতে, বানাচ-স্টোন উপপাদ্যটি টপোলজিকাল স্পেসে অবিচ্ছিন্ন ফাংশন তত্ত্বের একটি ধ্রুপদী ফলাফল, যা গণিতবিদ স্টেফান বানাচ এবং মার্শাল স্টোনের নামে নামকরণ করা হয়েছে। সংক্ষেপে, বানাচ-স্টোন উপপাদ্যটি X-এর উপর অবিচ্ছিন্ন বাস্তব-বা জটিল-মূল্যবান ফাংশনের C (X) স্থানের বানাচ স্থান কাঠামো থেকে একটি কম্প্যাক্ট হাউসডর্ফ স্থান X পুনরুদ্ধার করার অনুমতি দেয়। যদি কাউকে সি (এক্স)-এর বীজগণিত কাঠামো আহ্বান করার অনুমতি দেওয়া হয় তবে এটি সহজ-আমরা সি (এক্স)-এর বর্ণালী দিয়ে এক্সকে সনাক্ত করতে পারি, স্কেলার ক্ষেত্রে বীজগণিত সমরূপতার সেট, যা দ্বৈত স্থান সি (এক্স) * থেকে উত্তরাধিকারসূত্রে প্রাপ্ত দুর্বল *-টপোলজি দিয়ে সজ্জিত। বানাচ-পাথর উপপাদ্যটি সি (এক্স) *-এর একক বলের চরম বিন্দু থেকে এক্স পুনরুদ্ধার করে গুণিতক কাঠামোর উল্লেখ এড়িয়ে চলে। একটি কম্প্যাক্ট হাউসডর্ফ স্পেস এক্স-এর জন্য বিবৃতি, ধরা যাক সি (এক্স) এক্স-এর উপর অবিচ্ছিন্ন বাস্তব-বা জটিল-মূল্যবান ফাংশনের বানাচ স্পেসকে নির্দেশ করে, যা সর্বোচ্চ আদর্শের সাথে সজ্জিত। কম্প্যাক্ট হাউসডর্ফ স্পেস এক্স এবং ওয়াই দেওয়া হলে, ধরুন টিঃ সি (এক্স) → সি (ওয়াই) একটি সার্জেক্টিভ রৈখিক আইসোমেট্রি। তারপর একটি সমরূপতা φ: Y → X এবং একটি ফাংশন g ωC (Y) রয়েছে যার সাথে যে ক্ষেত্রে X এবং Y কম্প্যাক্ট মেট্রিক স্পেস বানাচের কারণে, যেখানে কম্প্যাক্ট হাউসডর্ফ স্পেসের সম্প্রসারণ স্টোনের কারণে হয়। প্রকৃতপক্ষে, তারা উভয়ই সামান্য সাধারণীকরণ প্রমাণ করে-তারা ধরে নেয় না যে টি রৈখিক, শুধুমাত্র মেট্রিক স্পেসের অর্থে এটি একটি আইসোমেট্রি, এবং মাজুর-উলাম উপপাদ্য ব্যবহার করে দেখায় যে টি অ্যাফাইন, এবং তাই একটি রৈখিক আইসোমেট্রি। সাধারণীকরণ বানাচ-স্টোন উপপাদ্যটিতে কম্প্যাক্ট, হাউসডর্ফ টপোলজিকাল স্পেসে ভেক্টর-মূল্যবান অবিচ্ছিন্ন ফাংশনের জন্য কিছু সাধারণীকরণ রয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, যদি ই তুচ্ছ সেন্ট্রালাইজার সহ একটি বানাচ স্থান হয় এবং এক্স এবং ওয়াই কম্প্যাক্ট হয়, তবে সি (ওয়াই; ই)-এর উপর সি (এক্স; ই)-এর প্রতিটি রৈখিক আইসোমেট্রি একটি শক্তিশালী বানাচ-পাথরের মানচিত্র। X-এর উপর কিছু অন্যান্য ফাংশনের স্থানের ডুয়ালগুলির চরম বিন্দু থেকে একটি স্থান X পুনরুদ্ধার করতেও অনুরূপ কৌশল ব্যবহার করা হয়েছে। বানাচ-স্টোন উপপাদ্যের অ-বিনিময়মূলক সাদৃশ্য হল লোককাহিনী উপপাদ্য যে দুটি একক সি *-অ্যালজেব্রা আইসোমরফিক হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি তারা সম্পূর্ণ আইসোমেট্রিক হয় (অর্থাৎ, সমস্ত ম্যাট্রিক্স স্তরে আইসোমেট্রিক)। কেবলমাত্র আইসোমেট্রি যথেষ্ট নয়, যেমন একটি সি *-বীজগণিতের অস্তিত্ব দ্বারা দেখানো হয়েছে যা তার বিপরীত বীজগণিতের সমতুল্য নয় (যার সামান্যভাবে একই বানাচ স্থান কাঠামো রয়েছে)। আরও দেখুন রেফারেন্স থিওরি অফ কন্টিনিউয়াস ফাংশন অপারেটর থিওরি থিওরেমস ইন ফাংশনাল অ্যানালাইসিস