Liouville's equation
গতিশীল পদ্ধতিতে লিউভিলের সমীকরণের জন্য, লিউভিলের উপপাদ্য (হ্যামিল্টনিয়ান) দেখুন। কোয়ান্টাম বলবিজ্ঞানে লিউভিলের সমীকরণের জন্য, ভন নিউম্যান সমীকরণ দেখুন। ইউক্লিডীয় স্থানে লিউভিলের সমীকরণের জন্য, লিউভিল-ব্রাটু-গেলফান্ড সমীকরণ দেখুন। ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতিতে, জোসেফ লিউভিলের নামে নামকরণ করা লিউভিলের সমীকরণ হল একটি অরৈখিক আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ যা স্থির গাউসিয়ান বক্রতার পৃষ্ঠে একটি মেট্রিকের কনফরমাল ফ্যাক্টর দ্বারা সন্তুষ্ট হয়ঃ যেখানে সমতল ল্যাপ্লাস অপারেটর লিউভিলের সমীকরণ ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতিতে আইসোথার্মাল স্থানাঙ্কের অধ্যয়নে উপস্থিত হয়ঃ স্বাধীন চলকগুলি স্থানাঙ্ক, তবে সমতল মেট্রিকের সাপেক্ষে কনফরমাল ফ্যাক্টর হিসাবে বর্ণনা করা যেতে পারে। মাঝে মাঝে এটি বর্গক্ষেত্র যা নিজের পরিবর্তে কনফরমাল ফ্যাক্টর হিসাবে উল্লেখ করা হয়। ডেভিড হিলবার্ট তাঁর ঊনবিংশ সমস্যা গঠনে লিউভিলের সমীকরণকেও একটি উদাহরণ হিসাবে গ্রহণ করেছিলেন। লিউভিলের সমীকরণের অন্যান্য সাধারণ রূপগুলি চলকের পরিবর্তন ব্যবহার করে, লিউভিলের সমীকরণের আরেকটি সাধারণ রূপ পাওয়া যায়ঃ সমীকরণের অন্যান্য দুটি রূপ, যা সাধারণত সাহিত্যে পাওয়া যায়, চলকের পূর্ববর্তী পরিবর্তনের সামান্য বৈকল্পিক এবং ওয়ার্টিংার ক্যালকুলাস ব্যবহার করে প্রাপ্ত হয়ঃ লক্ষ্য করুন যে ডেভিড হিলবার্ট তাঁর ঊনবিংশ সমস্যা গঠনে লিউভিলের সমীকরণটি উল্লেখ করেছিলেন। ল্যাপ্লাস-বেলট্রামি অপারেটর ব্যবহার করে একটি সূত্র আরও অপরিবর্তনীয় পদ্ধতিতে, সমীকরণটি অভ্যন্তরীণ ল্যাপ্লাস-বেলট্রামি অপারেটরের পরিপ্রেক্ষিতে নিম্নরূপ লেখা যেতে পারেঃ গাউস-কোডাজি সমীকরণের সাথে বৈশিষ্ট্যের সম্পর্ক লিউভিলের সমীকরণটি 3-স্পেসে ন্যূনতম নিমজ্জনের জন্য গাউস-কোডাজি সমীকরণের সমতুল্য, যখন মেট্রিকটি আইসোথার্মাল স্থানাঙ্কে লেখা হয় যাতে হপফ ডিফারেনশিয়াল হয়। সমীকরণের সাধারণ সমাধান একটি সহজভাবে সংযুক্ত ডোমেনে, ওয়ার্টিংজার ক্যালকুলাস ব্যবহার করে লিউভিলের সমীকরণের সাধারণ সমাধান খুঁজে পাওয়া যায়। এর রূপটি এমন কোনও মেরোমর্ফিক ফাংশন দ্বারা দেওয়া হয় যেখানে প্রত্যেকটির জন্য। সবচেয়ে সহজ খুঁটি রয়েছে। প্রয়োগ লিউভিলের সমীকরণটি পৃষ্ঠতলের জন্য নিম্নলিখিত শ্রেণীবিভাগের ফলাফল প্রমাণ করতে ব্যবহার করা যেতে পারেঃ ইউক্লিডীয় 3-স্থানের একটি পৃষ্ঠ মেট্রিক সহ, এবং ধ্রুবক স্কেলার বক্রতা সহ স্থানীয়ভাবে আইসোমেট্রিক হয়ঃ গোলক যদি; ইউক্লিডীয় সমতল যদি; লোবাচেভস্কিয়ান সমতল যদি। আরও দেখুন লিউভিল ক্ষেত্র তত্ত্ব, একটি দ্বি-মাত্রিক সামঞ্জস্যপূর্ণ ক্ষেত্র তত্ত্ব যার গতির ধ্রুপদী সমীকরণ লিউভিলের সমীকরণের একটি সাধারণীকরণ। । , হিসাবে ইংরেজিতে অনুবাদ করেছেন মেরি ফ্রান্সেস উইনস্টন নিউসন। ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতি