Triangulation (computer vision)
কম্পিউটার দৃষ্টিতে, ত্রিভুজ বলতে দুটি বা ততোধিক চিত্রের উপর তার অভিক্ষেপ দেওয়া 3ডি স্পেসে একটি বিন্দু নির্ধারণের প্রক্রিয়াকে বোঝায়। এই সমস্যা সমাধানের জন্য ক্যামেরা ম্যাট্রিক্স দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা সহজতম ক্ষেত্রে জড়িত ক্যামেরাগুলির জন্য 3ডি থেকে 2ডি পর্যন্ত ক্যামেরা প্রজেকশন ফাংশনের পরামিতিগুলি জানা প্রয়োজন। ত্রিভুজকে কখনও কখনও পুনর্গঠন বা ছেদ হিসাবেও উল্লেখ করা হয়। ত্রিভুজ সমস্যাটি নীতিগতভাবে তুচ্ছ। যেহেতু একটি চিত্রের প্রতিটি বিন্দু 3ডি স্থানের একটি রেখার সাথে মিলে যায়, তাই 3ডি-তে লাইনের সমস্ত বিন্দু চিত্রের বিন্দুতে অভিক্ষিপ্ত হয়। যদি দুটি বা ততোধিক ছবিতে সংশ্লিষ্ট বিন্দুর একটি জোড়া পাওয়া যায় তবে এটি অবশ্যই একটি সাধারণ 3D বিন্দু x-এর অভিক্ষেপ হতে হবে। চিত্রবিন্দু দ্বারা উৎপন্ন রেখার সেটকে অবশ্যই x (3D বিন্দু) এ ছেদ করতে হবে এবং x (3D বিন্দু) এর স্থানাঙ্কের বীজগাণিতিক গঠন বিভিন্ন উপায়ে গণনা করা যেতে পারে, যেমনটি নীচে উপস্থাপন করা হয়েছে। বাস্তবে, চিত্র বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্বিচারে নির্ভুলতার সাথে পরিমাপ করা যায় না। পরিবর্তে, বিভিন্ন ধরনের শব্দ, যেমন লেন্স বিকৃতি থেকে জ্যামিতিক শব্দ বা সুদ বিন্দু সনাক্তকরণ ত্রুটি, পরিমাপ করা চিত্র স্থানাঙ্কে ভুলের দিকে পরিচালিত করে। ফলস্বরূপ, সংশ্লিষ্ট চিত্র বিন্দু দ্বারা উত্পন্ন রেখাগুলি সর্বদা থ্রিডি স্পেসে ছেদ করে না। সমস্যাটি হল, একটি 3ডি পয়েন্ট খুঁজে বের করা যা পরিমাপ করা ইমেজ পয়েন্টগুলির সাথে সর্বোত্তমভাবে খাপ খায়। সাহিত্যে অনুকূলতাকে কীভাবে সংজ্ঞায়িত করা যায় এবং সর্বোত্তম থ্রিডি পয়েন্টটি কীভাবে খুঁজে বের করা যায় তার জন্য একাধিক প্রস্তাব রয়েছে। যেহেতু এগুলি বিভিন্ন অনুকূলতার মানদণ্ডের উপর ভিত্তি করে, তাই বিভিন্ন পদ্ধতি 3ডি বিন্দু x-এর বিভিন্ন অনুমান তৈরি করে যখন গোলমাল জড়িত থাকে। ভূমিকা নিম্নলিখিতগুলিতে, এটি অনুমান করা হয় যে পিনহোল ক্যামেরা দ্বারা উত্পন্ন দুটি দৃশ্য থেকে সংশ্লিষ্ট চিত্র বিন্দুতে ত্রিভুজ তৈরি করা হয়। এই অনুমানগুলি থেকে সাধারণীকরণ এখানে আলোচনা করা হয়েছে। বাম দিকের চিত্রটি পিনহোল মডেলের এক জোড়া স্টেরিও ক্যামেরার এপিপোলার জ্যামিতি চিত্রিত করে। 3ডি স্পেসে একটি বিন্দু x (3ডি বিন্দু) একটি রেখা (সবুজ) বরাবর সংশ্লিষ্ট চিত্র সমতলে প্রক্ষেপিত হয় যা ক্যামেরার কেন্দ্রবিন্দু দিয়ে যায় এবং এর ফলে দুটি সংশ্লিষ্ট চিত্র বিন্দু এবং। যদি এবং দেওয়া হয় এবং দুটি ক্যামেরার জ্যামিতি জানা যায়, তবে দুটি অভিক্ষেপ রেখা (সবুজ রেখা) নির্ধারণ করা যেতে পারে এবং এটি অবশ্যই হতে হবে যে তারা x বিন্দুতে (3D বিন্দু) ছেদ করে। মৌলিক রৈখিক বীজগণিত ব্যবহার করে যে ছেদ বিন্দুটি সোজা উপায়ে নির্ধারণ করা যেতে পারে। ডানদিকের ছবিটি আসল ঘটনা দেখায়। চিত্রের অবস্থান নির্দেশ করে এবং সঠিকভাবে পরিমাপ করা যায় না। এর কারণ হল জ্যামিতিক বিকৃতি, উদাহরণস্বরূপ লেন্স বিকৃতি, যার অর্থ ক্যামেরার 3ডি থেকে 2ডি ম্যাপিং পিনহোল ক্যামেরা মডেল থেকে বিচ্যুত হয়। কিছু পরিমাণে এই ত্রুটিগুলির জন্য ক্ষতিপূরণ দেওয়া যেতে পারে, একটি অবশিষ্ট জ্যামিতিক ত্রুটি রেখে। এক্স (থ্রিডি পয়েন্ট) থেকে আলোর একটি একক রশ্মি একটি পয়েন্ট স্প্রেড ফাংশন অনুযায়ী ক্যামেরার লেন্স সিস্টেমে ছড়িয়ে দেওয়া হয়। চিত্রগুলিতে ছড়িয়ে ছিটিয়ে থাকা তীব্রতার ক্রিয়াকলাপের পরিমাপ থেকে সংশ্লিষ্ট চিত্র বিন্দুর পুনরুদ্ধার ত্রুটি দেয়। একটি ডিজিটাল ক্যামেরায়, চিত্রের তীব্রতার কার্যকারিতা শুধুমাত্র বিচ্ছিন্ন সংবেদক উপাদানগুলিতে পরিমাপ করা হয়। প্রকৃতটিকে পুনরুদ্ধারের জন্য বিচ্ছিন্ন তীব্রতা ফাংশনের নিষ্ক্রিয় ইন্টারপোলেশন ব্যবহার করতে হবে। ত্রিভুজের জন্য ব্যবহৃত চিত্র বিন্দু y1 'এবং y2' প্রায়শই বিভিন্ন ধরনের বৈশিষ্ট্য এক্সট্র্যাক্টর ব্যবহার করে পাওয়া যায়, উদাহরণস্বরূপ সাধারণভাবে কোণ বা সুদ বিন্দু। আশেপাশের ক্রিয়াকলাপের উপর ভিত্তি করে যে কোনও ধরণের বৈশিষ্ট্য উত্তোলনের জন্য একটি সহজাত স্থানীয়করণ ত্রুটি রয়েছে। ফলস্বরূপ, পরিমাপ করা চিত্র বিন্দুগুলি এবং এর পরিবর্তে এবং। যাইহোক, তাদের অভিক্ষেপ রেখাগুলি (নীল) 3D স্থানে ছেদ করতে হবে না বা x-এর কাছাকাছি আসতে হবে না। প্রকৃতপক্ষে, এই রেখাগুলি তখনই ছেদ করে যখন মৌলিক ম্যাট্রিক্স দ্বারা সংজ্ঞায়িত এপিপোলার সীমাবদ্ধতা পূরণ করে। পরিমাপের গোলমালের পরিপ্রেক্ষিতে এবং এটি সম্ভবত এপিপোলার সীমাবদ্ধতা সন্তুষ্ট হয় না এবং অভিক্ষেপ রেখাগুলি ছেদ করে না। এই পর্যবেক্ষণটি সেই সমস্যার দিকে পরিচালিত করে যা ত্রিভুজের মাধ্যমে সমাধান করা হয়। কোন 3D বিন্দু xest প্রদত্ত x এবং ক্যামেরাগুলির জ্যামিতির সর্বোত্তম অনুমান? উত্তরটি প্রায়শই একটি ত্রুটি পরিমাপ সংজ্ঞায়িত করে পাওয়া যায় যা xest-এর উপর নির্ভর করে এবং তারপরে এই ত্রুটিটি হ্রাস করে। নিম্নলিখিত বিভাগগুলিতে, সাহিত্যে উপস্থাপিত xest গণনার বিভিন্ন পদ্ধতির কয়েকটি সংক্ষেপে বর্ণনা করা হয়েছে। সমস্ত ত্রিভুজ পদ্ধতি xest = x উৎপন্ন করে এবং, অর্থাৎ, যখন এপিপোলার সীমাবদ্ধতা সন্তুষ্ট হয় (একক বিন্দু ব্যতীত, নীচে দেখুন)। যখন সীমাবদ্ধতা পূরণ হয় না তখন এটি ঘটে যা পদ্ধতিগুলির মধ্যে পৃথক হয়। বৈশিষ্ট্য একটি ত্রিভুজ পদ্ধতি এমন একটি ফাংশনের পরিপ্রেক্ষিতে বর্ণনা করা যেতে পারে যেখানে সনাক্ত করা চিত্র বিন্দুর সমজাতীয় স্থানাঙ্ক এবং ক্যামেরা ম্যাট্রিক্স। x (3D বিন্দু) হল 3D বিন্দুর সমজাতীয় উপস্থাপনা। চিহ্নটি বোঝায় যে শুধুমাত্র একটি ভেক্টর তৈরি করা প্রয়োজন যা x-এর সমান এবং একটি অ-শূন্য স্কেলার দ্বারা গুণিত হওয়া পর্যন্ত, যেহেতু সমজাতীয় ভেক্টর জড়িত। নির্দিষ্ট পদ্ধতিগুলি, অর্থাৎ নির্দিষ্ট ফাংশনগুলি দেখার আগে, পদ্ধতিগুলির সাথে সম্পর্কিত কিছু সাধারণ ধারণা রয়েছে যা ব্যাখ্যা করা প্রয়োজন। একটি নির্দিষ্ট সমস্যার জন্য কোন ত্রিভুজ পদ্ধতিটি বেছে নেওয়া হয় তা এই বৈশিষ্ট্যগুলির উপর কিছুটা নির্ভর করে। এককত্ব কিছু পদ্ধতি x (3D বিন্দু)-এর একটি অনুমান সঠিকভাবে গণনা করতে ব্যর্থ হয় যদি এটি 3D স্থানের একটি নির্দিষ্ট উপসেটে থাকে, যা এর কিছু সংমিশ্রণের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ। এই উপসেটের একটি বিন্দু তখন ত্রিভুজ পদ্ধতির এককত্ব। ব্যর্থতার কারণ হতে পারে যে কিছু সমীকরণ ব্যবস্থা যা সমাধান করা হবে তা অনির্ধারিত বা xest-এর প্রজেক্টিভ উপস্থাপনা একক বিন্দুর জন্য শূন্য ভেক্টর হয়ে যায়। কিছু প্রয়োগে, এটি কাম্য যে ত্রিভুজটি 3D বিন্দু উপস্থাপন করতে ব্যবহৃত স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা থেকে স্বাধীন; যদি ত্রিভুজ সমস্যাটি একটি স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় প্রণয়ন করা হয় এবং তারপর অন্যটিতে রূপান্তরিত হয় তবে ফলস্বরূপ অনুমান xest একইভাবে রূপান্তরিত হওয়া উচিত। এই বৈশিষ্ট্যটিকে সাধারণত ইনভারিয়েন্স হিসাবে উল্লেখ করা হয়। প্রতিটি ত্রিভুজ পদ্ধতি অপরিবর্তনীয়তার নিশ্চয়তা দেয় না, অন্তত সাধারণ ধরনের স্থানাঙ্ক রূপান্তরের জন্য নয়। 3ডি স্থানাঙ্কের একটি সমজাতীয় উপস্থাপনার জন্য, সবচেয়ে সাধারণ রূপান্তর হল একটি প্রজেক্টিভ রূপান্তর, যা একটি ম্যাট্রিক্স দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়। যদি সমজাতীয় স্থানাঙ্কগুলি সেই অনুযায়ী রূপান্তরিত হয় তবে ক্যামেরা ম্যাট্রিক্সগুলিকে একই সমজাতীয় চিত্র স্থানাঙ্ক (yk) তৈরি করতে অবশ্যই (Ck) হিসাবে রূপান্তরিত হতে হবে যদি ত্রিভুজ ফাংশনটি অপরিবর্তনীয় হয় তবে নিম্নলিখিত সম্পর্কটি অবশ্যই বৈধ হতে হবে যা থেকে অনুসরণ করা হয় প্রতিটি ত্রিভুজ পদ্ধতির জন্য, এই শেষ সম্পর্কটি বৈধ কিনা তা নির্ধারণ করা যেতে পারে। যদি তা হয়, তবে এটি শুধুমাত্র প্রজেক্টিভ রূপান্তরগুলির একটি উপসেটের জন্য সন্তুষ্ট হতে পারে, উদাহরণস্বরূপ, অনমনীয় বা অ্যাফিন রূপান্তর। গণনামূলক জটিলতা ফাংশনটি শুধুমাত্র একটি গণনার একটি বিমূর্ত উপস্থাপনা যা বাস্তবে তুলনামূলকভাবে জটিল হতে পারে। কিছু পদ্ধতির ফলে একটি বদ্ধ-ফর্ম অবিচ্ছিন্ন ফাংশন হয় যেখানে অন্যদের গণনামূলক পদক্ষেপের একটি সিরিজে বিভক্ত করা প্রয়োজন, উদাহরণস্বরূপ, এসভিডি বা একটি বহুপদের মূল খুঁজে বের করা। পদ্ধতির আরেকটি শ্রেণীর ফলাফল যা কিছু পরামিতিগুলির পুনরাবৃত্তিমূলক অনুমানের উপর নির্ভর করতে হবে। এর মানে হল যে গণনার সময় এবং জড়িত ক্রিয়াকলাপগুলির জটিলতা উভয়ই বিভিন্ন পদ্ধতির মধ্যে পরিবর্তিত হতে পারে। পদ্ধতি মধ্য-বিন্দু পদ্ধতি দুটি চিত্রের প্রতিটি পয়েন্ট এবং একটি সংশ্লিষ্ট অভিক্ষেপ রেখা (উপরের ডান ছবিতে নীল) রয়েছে, যা এখানে এবং হিসাবে চিহ্নিত করা হয়েছে, যা ক্যামেরা ম্যাট্রিক্সের ভিত্তিতে নির্ধারণ করা যেতে পারে। ধরা যাক একটি (3ডি লাইন) এল এবং একটি এক্স (3ডি পয়েন্ট)-এর মধ্যে এমন একটি দূরত্ব ফাংশন যা এবং-এর মধ্যে ইউক্লিডীয় দূরত্ব। মধ্যবিন্দু পদ্ধতিটি বিন্দু xest খুঁজে পায় যা ন্যূনতম করে এটি প্রমাণিত হয় যে xest সংক্ষিপ্ততম রেখা বিভাগের ঠিক মাঝখানে অবস্থিত যা দুটি অভিক্ষেপ রেখার সাথে যুক্ত হয়। প্রয়োজনীয় ম্যাট্রিক্সের মাধ্যমে সরাসরি রৈখিক রূপান্তর সেখানে যে সমস্যাটি সমাধান করতে হবে তা হল সংশ্লিষ্ট স্বাভাবিক চিত্র স্থানাঙ্ক এবং প্রদত্ত গণনা করা। যদি অপরিহার্য ম্যাট্রিক্সটি জানা থাকে এবং সংশ্লিষ্ট ঘূর্ণন এবং অনুবাদ রূপান্তরগুলি নির্ধারণ করা হয়, তবে এই অ্যালগরিদমটি (লঙ্গুয়েট-হিগিন্সের গবেষণাপত্রে বর্ণিত) একটি সমাধান প্রদান করে। ঘূর্ণন ম্যাট্রিক্সের সারি কে-কে বোঝানো যাকঃ দুটি স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় 3ডি স্থানাঙ্কের মধ্যে উপরের সম্পর্কগুলিকে একত্রিত করে এবং আগে বর্ণিত 3ডি এবং 2ডি বিন্দুর মধ্যে ম্যাপিং করলে পাওয়া যায় বা একবার নির্ধারিত হলে, অন্য দুটি স্থানাঙ্ক গণনা করা যেতে পারে। আদর্শ ক্ষেত্রে, যখন ক্যামেরা একটি নিখুঁত পিনহোল ক্যামেরা অনুসারে 3D পয়েন্টগুলি ম্যাপ করে এবং ফলস্বরূপ 2D পয়েন্টগুলি কোনও শব্দ ছাড়াই সনাক্ত করা যায়, তখন জন্য দুটি অভিব্যক্তি সমান হয়। বাস্তবে, তবে, তারা নয় এবং উদাহরণস্বরূপ, কোনও ধরণের গড়ের পরিপ্রেক্ষিতে দুটি অনুমানকে একত্রিত করা সুবিধাজনক হতে পারে। উপরের গণনার অন্যান্য ধরনের সম্প্রসারণও রয়েছে যা সম্ভব। তারা প্রাইমড ইমেজ স্থানাঙ্কের একটি অভিব্যক্তি দিয়ে শুরু করে এবং আনপ্রাইমড সিস্টেমে 3D স্থানাঙ্ক অর্জন করে। অপ্রধান চিত্র স্থানাঙ্ক দিয়ে শুরু করা এবং প্রাথমিক 3D স্থানাঙ্ক অর্জন করাও সম্ভব, যা অবশেষে অপ্রধান 3D স্থানাঙ্কে রূপান্তরিত করা যেতে পারে। আবার, আদর্শ ক্ষেত্রে ফলাফলটি উপরের অভিব্যক্তিগুলির সমান হওয়া উচিত, তবে বাস্তবে তারা বিচ্যুত হতে পারে। একটি চূড়ান্ত মন্তব্য এই সত্যের সাথে সম্পর্কিত যে যদি প্রয়োজনীয় ম্যাট্রিক্সটি সংশ্লিষ্ট চিত্র স্থানাঙ্ক থেকে নির্ধারিত হয়, যা প্রায়শই 3 ডি পয়েন্টগুলি এইভাবে নির্ধারণ করা হয়, তবে অনুবাদ ভেক্টরটি কেবল একটি অজানা ধনাত্মক স্কেলিং পর্যন্ত জানা যায়। ফলস্বরূপ, পুনর্নির্মিত থ্রিডি পয়েন্টগুলিও একটি ইতিবাচক স্কেলিংয়ের ক্ষেত্রে অনির্ধারিত। আরও দেখুন বান্ডিল সমন্বয় লাইন-লাইন ছেদ রেফারেন্স বাহ্যিক লিঙ্ক কম্পিউটার দৃষ্টি স্টেরিওফোটোগ্রামেট্রিতে ম্যাটল্যাব জ্যামিতিতে দুটি ভিউ এবং মাল্টি-ভিউ ত্রিভুজ