Multiplicative cascade
গণিতে, একটি গুণনীয়ক ক্যাসকেড হল একটি পুনরাবৃত্তিমূলক এবং গুণনীয়ক এলোমেলো প্রক্রিয়ার মাধ্যমে উত্পাদিত পয়েন্টগুলির একটি ফ্র্যাক্টাল/মাল্টিফ্র্যাক্টাল বন্টন। সংজ্ঞা উপরের প্লটগুলি মাল্টিপ্লিকেটিভ ক্যাসকেড মাল্টিফ্র্যাক্টালের উদাহরণ। এই বিতরণগুলি তৈরি করতে কয়েকটি পদক্ষেপ নিতে হবে। প্রথমত, আমাদের অবশ্যই কোষের একটি জাল তৈরি করতে হবে যা আমাদের অন্তর্নিহিত সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ক্ষেত্র হবে। দ্বিতীয়ত, জালের একাধিক স্তর তৈরি করার জন্য একটি পুনরাবৃত্তিমূলক প্রক্রিয়া অনুসরণ করা হয়ঃ প্রতিটি পুনরাবৃত্তিতে কোষগুলি চারটি সমান অংশে (কোষ) বিভক্ত হয়। প্রতিটি নতুন কোষকে প্রতিস্থাপন ছাড়াই সেট থেকে এলোমেলোভাবে একটি সম্ভাব্যতা বরাদ্দ করা হয়, যেখানে। এই প্রক্রিয়াটি নবম স্তর পর্যন্ত অব্যাহত রয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, 8ম স্তর পর্যন্ত এই ধরনের একটি মডেল তৈরি করার সময় আমরা 48টি কোষের বিন্যাস তৈরি করি। তৃতীয়ত, কোষগুলি নিম্নরূপ পূর্ণ করা হয়ঃ আমরা একটি কোষ দখল হওয়ার সম্ভাবনাকে কোষের নিজস্ব পাই এবং তার সমস্ত পিতামাতার গুণফল হিসাবে গ্রহণ করি (স্তর 1 পর্যন্ত)। একটি মন্টে কার্লো প্রত্যাখ্যান পদ্ধতি বারবার ব্যবহার করা হয় যতক্ষণ না কাঙ্ক্ষিত কোষের জনসংখ্যা পাওয়া যায়, নিম্নরূপঃ x এবং y কোষ স্থানাঙ্ক এলোমেলোভাবে বেছে নেওয়া হয়, এবং 0 এবং 1 এর মধ্যে একটি এলোমেলো সংখ্যা বরাদ্দ করা হয়; (x, y) কোষটি তখন নির্ধারিত সংখ্যার চেয়ে কম (ফলাফলঃ জনবহুল নয়) বা কোষের দখল সম্ভাবনার (ফলাফলঃ জনবহুল) চেয়ে বেশি বা সমান কিনা তার উপর নির্ভর করে জনবহুল হয়। উদাহরণ উপরের প্লটগুলি তৈরি করার জন্য আমরা 256x256 এর জায়গায় 5,000 পয়েন্ট দিয়ে সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ক্ষেত্রটি পূরণ করেছি। সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ক্ষেত্রের একটি উদাহরণ হল ফ্র্যাক্টালগুলি সাধারণত স্কেল-ইনভ্যারিয়েন্ট নয় এবং তাই স্ট্যান্ডার্ড ফ্র্যাক্টাল হিসাবে বিবেচিত হতে পারে না। তবে এগুলিকে বহুমাত্রিক হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে। রেনি (সাধারণীকৃত) মাত্রা তাত্ত্বিকভাবে অনুমান করা যেতে পারে। এটি দেখানো যেতে পারে যে, যেখানে এন হল গ্রিড পরিশোধন স্তর এবং, এছাড়াও দেখুন ফ্র্যাক্টাল মাত্রা হাউজডর্ফ মাত্রা স্কেল অপরিবর্তিতা রেফারেন্স ফ্র্যাক্টাল