Homotopy category of chain complexes
গণিতে সমজাতীয় বীজগণিতে, যোগাত্মক বিভাগ এ-তে চেইন কমপ্লেক্সগুলির সমস্থানিক বিভাগ কে (এ) চেইন সমস্থানিক এবং সমস্থানিক সমতুল্যগুলির সাথে কাজ করার জন্য একটি কাঠামো। এটি চেইন কমপ্লেক্সের বিভাগ এ-এর কম (এ) এবং এ-এর উদ্ভূত বিভাগ ডি (এ)-এর মধ্যে মধ্যবর্তী স্থানে অবস্থিত যখন এ আবেলিয়ান হয়; প্রথমটির বিপরীতে এটি একটি ত্রিভুজাকার বিভাগ, এবং পরেরটির বিপরীতে এর গঠনের জন্য এ আবেলিয়ান হওয়ার প্রয়োজন হয় না। দার্শনিকভাবে, ডি (এ) আইসোমরফিজমে পরিণত হলেও কম (এ), কে (এ)-তে অর্ধ-আইসোমরফিজমযুক্ত জটিলতার যে কোনও মানচিত্র কেবল "ভাল কারণ"-এর জন্য অর্ধ-আইসোমরফিজমগুলির জন্য তা করে, যথা প্রকৃতপক্ষে সমস্থানিক সমতুল্যতা পর্যন্ত বিপরীত। সুতরাং, কে (এ) ডি (এ) এর চেয়ে বেশি বোধগম্য। সংজ্ঞা A কে একটি যোগাত্মক বিভাগ হতে দিন। হোমোটপি বিভাগ কে (এ) নিম্নলিখিত সংজ্ঞার উপর ভিত্তি করেঃ যদি আমাদের কমপ্লেক্স এ, বি এবং মানচিত্র এফ, জি থেকে এ থেকে বি পর্যন্ত থাকে, তবে এফ থেকে জি পর্যন্ত একটি চেইন হোমোটপি হল মানচিত্রের সংগ্রহ (কমপ্লেক্সের মানচিত্র নয়) যেমন বা সহজভাবে এটি চিত্রিত করা যেতে পারেঃ আমরা আরও বলি যে এফ এবং জি চেইন হোমোটপিক, বা এটি নাল-হোমোটপিক বা হোমোটপিক থেকে 0। এই সংজ্ঞা থেকে এটা স্পষ্ট যে, জটিলতার যে মানচিত্রগুলি নাল-হোমোটোপিক, সেগুলি সংযোজনের অধীনে একটি গোষ্ঠী গঠন করে। চেইন কমপ্লেক্স কে (এ)-এর হোমোটপি বিভাগকে তারপর নিম্নরূপ সংজ্ঞায়িত করা হয়ঃ এর বস্তুগুলি কম (এ)-এর বস্তুর মতো, যথা চেইন কমপ্লেক্স। এর অঙ্গসংস্থানগুলি হল "জটিল মডুলো হোমোটপির মানচিত্র": অর্থাৎ, আমরা একটি সমতুল্য সম্পর্ক সংজ্ঞায়িত করি যদি f, g-এর সমস্থানিক হয় এবং এই সম্পর্ক দ্বারা ভাগফল হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। এটা স্পষ্ট যে এটি একটি যোগাত্মক বিভাগে পরিণত হয় যদি কেউ লক্ষ্য করে যে এটি নাল-হোমোটোপিক মানচিত্রের উপগোষ্ঠী দ্বারা ভাগফল গ্রহণের সমান। সংজ্ঞাটির নিম্নলিখিত রূপগুলিও ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়ঃ যদি কেউ কেবল সীমাবদ্ধ-নীচের দিকে (এন <<0-এর জন্য এন = 0), সীমাবদ্ধ-উপরে (এন>> 0-এর জন্য এন = 0), বা সীমাবদ্ধ (এন = 0 |n।>> 0-এর জন্য) পরিসরগুলি সীমাহীন পরিসরের পরিবর্তে নেয়, তবে একজন সীমাবদ্ধ-নীচের সমস্থানিক বিভাগ ইত্যাদির কথা বলে। এগুলিকে যথাক্রমে কে + (এ), কে-(এ) এবং কেবি (এ) দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। একটি অঙ্গসংস্থান যা কে (এ)-তে একটি সমরূপতা, তাকে সমস্থানিক সমতুল্য বলা হয়। বিস্তারিতভাবে, এর অর্থ হল আরেকটি মানচিত্র রয়েছে, যাতে দুটি রচনা পরিচয়ের সমস্থানিক হয়ঃ এবং। "হোমোটপি" নামটি এসেছে এই সত্য থেকে যে টপোলজিকাল স্পেসের হোমোটপিক মানচিত্রগুলি একক শৃঙ্খলের হোমোটপিক (উপরের অর্থে) মানচিত্রকে প্ররোচিত করে। মন্তব্য দুটি শৃঙ্খল সমস্থানিক মানচিত্র f এবং g সমতাত্ত্বিকতার উপর একই মানচিত্রকে প্ররোচিত করে কারণ (f−g) সীমানায় চক্র পাঠায়, যা সমতাত্ত্বিকভাবে শূন্য। বিশেষ করে সমস্থানিক সমতুল্যতা একটি আধা-সমরূপতা। (বিপরীতটি সাধারণভাবে মিথ্যা।) এটি দেখায় যে উদ্ভূত বিভাগে একটি ক্যানোনিকাল ফাংক্টর রয়েছে (যদি এ আবেলিয়ান হয়)। ত্রিভুজাকার কাঠামো একটি জটিল এ-এর স্থানান্তর এ [1] হল নিম্নলিখিত জটিল (লক্ষ্য করুন যে), যেখানে ডিফারেনশিয়াল হল। একটি মরফিজম f এর শঙ্কু জন্য আমরা ম্যাপিং শঙ্কু নিতে। প্রাকৃতিক মানচিত্র রয়েছে এই চিত্রটিকে ত্রিভুজ বলা হয়। সমস্থানিক শ্রেণী কে (এ) একটি ত্রিভুজ শ্রেণী, যদি কেউ বিশিষ্ট ত্রিভুজগুলিকে সমতুল্য হিসাবে সংজ্ঞায়িত করে (কে (এ) তে, অর্থাৎ। স্বেচ্ছাচারী A, B এবং f-এর জন্য উপরের ত্রিভুজের সমতুল্য সমস্থানিক। K + (A), K− (A) এবং Kb (A)-এর ক্ষেত্রেও একই কথা প্রযোজ্য। যদিও কম (এ)-এও ত্রিভুজগুলির অর্থ বোঝা যায়, তবে এই শ্রেণীটি এই বিশিষ্ট ত্রিভুজগুলির সাপেক্ষে ত্রিভুজ নয়; উদাহরণস্বরূপ, আলাদা করা হয় না কারণ পরিচয় মানচিত্রের শঙ্কু জটিল 0-এর সমতুল্য নয় (তবে, শূন্য মানচিত্রটি একটি সমস্থানিক সমতুল্য, যাতে এই ত্রিভুজটি কে (এ)-তে আলাদা করা হয়)। উপরন্তু, একটি বিশিষ্ট ত্রিভুজের ঘূর্ণন স্পষ্টতই কম (এ)-তে আলাদা করা হয় না, তবে (কম স্পষ্টভাবে) কে (এ)-তে আলাদা করা হয়। বিস্তারিত তথ্যের জন্য রেফারেন্সগুলি দেখুন। সাধারণীকরণ আরও সাধারণভাবে, একটি ডিফারেনশিয়াল গ্রেডেড বিভাগ সি-এর হোমোটপি বিভাগ হো (সি)-কে সি-এর মতো একই বস্তু থাকার জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয়, তবে মরফিজমগুলি দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়। (এটি চেইন কমপ্লেক্সগুলির হোমোটপি পর্যন্ত ফোটে যদি সি কমপ্লেক্সগুলির বিভাগ হয় যার মরফিজমগুলিকে পার্থক্যগুলিকে সম্মান করতে হয় না)। যদি সি-এর উপযুক্ত অর্থে শঙ্কু এবং স্থানান্তর থাকে, তবে হো (সি) একটি ত্রিভুজাকার বিভাগও। তথ্যসূত্র সমজাতীয় বীজগণিত যোগাত্মক বিভাগ