1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯
গণিতে, অসীম সিরিজ গণিতের ইতিহাসে সংক্ষিপ্ত করা প্রথম অসীম সিরিজের একটি উদাহরণ; এটি আর্কিমিডিস প্রায় 250-200 খ্রিস্টপূর্বাব্দে ব্যবহার করেছিলেন। যেহেতু এটি প্রথম পদ এবং সাধারণ অনুপাত সহ একটি জ্যামিতিক সিরিজ, তাই এর যোগফল হল ভিজ্যুয়াল প্রদর্শন সিরিজটি কিছু বিশেষভাবে সহজ ভিজ্যুয়াল প্রদর্শনের জন্য নিজেকে ধার দেয় কারণ একটি বর্গক্ষেত্র এবং একটি ত্রিভুজ উভয়ই চারটি অনুরূপ টুকরোতে বিভক্ত, যার প্রত্যেকটিতে মূলটির ক্ষেত্রফল রয়েছে। বাম দিকের চিত্রে, যদি বড় বর্গক্ষেত্রটির আয়তন 1 বলে ধরা হয়, তবে বৃহত্তম কালো বর্গক্ষেত্রটির আয়তন × =। একইভাবে, দ্বিতীয় বৃহত্তম কালো বর্গক্ষেত্রের আয়তন এবং তৃতীয় বৃহত্তম কালো বর্গক্ষেত্রের আয়তন রয়েছে। সমস্ত কালো বর্গক্ষেত্র একসঙ্গে যে এলাকা দখল করে এবং এটি ধূসর বর্গক্ষেত্র এবং সাদা বর্গক্ষেত্রও দখল করে। যেহেতু এই তিনটি ক্ষেত্র একক বর্গক্ষেত্রকে আচ্ছাদিত করে, তাই চিত্রটি দেখায় যে আর্কিমিডিসের নিজস্ব চিত্র, শীর্ষে অভিযোজিত, কিছুটা আলাদা ছিল, সমীকরণের কাছাকাছি হওয়ায় আর্কিমিডিসের ব্যাখ্যার বিশদ বিবরণের জন্য নীচে দেখুন। একই জ্যামিতিক কৌশল ত্রিভুজের ক্ষেত্রেও কাজ করে, যেমন ডানদিকের চিত্রটিতেঃ যদি বড় ত্রিভুজের আয়তন 1 হয়, তবে বৃহত্তম কালো ত্রিভুজের আয়তন ইত্যাদি থাকে। বৃহত্তর ত্রিভুজ এবং এর উপরের উপ-ত্রিভুজের মধ্যে সামগ্রিকভাবে চিত্রটির একটি স্ব-সাদৃশ্য রয়েছে। একটি সম্পর্কিত নির্মাণ যা চিত্রটিকে তার তিনটি কোণের টুকরোর অনুরূপ করে তোলে, সিয়েরপিন্সকি ত্রিভুজ তৈরি করে। আর্কিমিডিসের প্রমাণ তাঁর 'কোয়াড্রেচার অফ দ্য প্যারাবোলা "গ্রন্থে এই সিরিজের মুখোমুখি হয়েছেন। তিনি ক্লান্তির পদ্ধতিতে একটি প্যারাবোলার অভ্যন্তরের অঞ্চলটি খুঁজে পান এবং তিনি একাধিক ত্রিভুজ পান; নির্মাণের প্রতিটি পর্যায় পূর্ববর্তী পর্যায়ের ক্ষেত্রফলের একটি এলাকা গুণ যোগ করে। তার কাঙ্ক্ষিত ফলাফল হল যে মোট আয়তন প্রথম পর্যায়ের আয়তনের গুণ। সেখানে পৌঁছানোর জন্য, তিনি একটি বীজগাণিতিক লেমা প্রবর্তন করতে প্যারাবোলাস থেকে বিরতি নেনঃ প্রস্তাবনা 23। ক্ষেত্রের একটি সিরিজ দেওয়া হয়েছে, যার মধ্যে A সর্বশ্রেষ্ঠ, এবং প্রতিটি ক্রমানুসারে পরবর্তীটির চারগুণের সমান, তারপর আর্কিমিডিস প্রথমে গণনা করে প্রস্তাবটি প্রমাণ করেন। অন্যদিকে, পূর্ববর্তী সমীকরণ থেকে এই সমীকরণটি বাদ দিলে এবং উভয় পাশে A যোগ করলে কাঙ্ক্ষিত ফলাফল পাওয়া যায়। আজ, আর্কিমিডিসের প্রস্তাবের আরও একটি আদর্শ শব্দবিন্যাস হল যে সিরিজের আংশিক যোগফল হলঃ এই রূপটি উভয় পক্ষকে 1-দ্বারা গুণ করে প্রমাণ করা যেতে পারে এবং পর্যবেক্ষণ করা যেতে পারে যে সমীকরণের বাম দিকের প্রথম এবং শেষ পদগুলি ছাড়া বাকি সবগুলি জোড়ায় বাতিল হয়ে যায়। একই কৌশল যে কোনও সীমাবদ্ধ জ্যামিতিক সিরিজের জন্য কাজ করে। আর্কিমিডিসের প্রস্তাবনা 24-এর সীমাটি প্রস্তাবনা 23-এর সসীম (কিন্তু অনির্দিষ্ট) যোগফলকে একটি প্যারাবোলার অভ্যন্তরে ডাবল রিডাক্টিও অ্যাড অ্যাবসর্ডাম দ্বারা প্রয়োগ করে। তিনি উপরের আংশিক যোগফলের সীমাটি সম্পূর্ণরূপে গ্রহণ করেন না, তবে আধুনিক গণনায় এই পদক্ষেপটি যথেষ্ট সহজঃ যেহেতু একটি অসীম সিরিজের যোগফলকে তার আংশিক যোগফলের সীমা হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়, তাই এইচটিএমএল-এ পৃষ্ঠার চিত্রগুলি জ্যামিতিক সিরিজে চিত্র এবং ভাষ্য সহ উল্লেখ করা হয়েছে।