1 − 2 + 4 − 8 + ⋯
গণিতে, অসীম সিরিজ যার পদগুলি পর্যায়ক্রমিক চিহ্ন সহ দুটির ধারাবাহিক শক্তি। একটি জ্যামিতিক সিরিজ হিসাবে, এটি তার প্রথম পদ, 1, এবং তার সাধারণ অনুপাত,-2 দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। বাস্তব সংখ্যার একটি সিরিজ হিসাবে এটি বিচ্ছিন্ন হয়, তাই স্বাভাবিক অর্থে এর কোনও যোগফল নেই। আরও বিস্তৃত অর্থে, সিরিজটি ν ছাড়াও অন্য একটি মানের সাথে যুক্ত, অর্থাৎ, যা 2-অ্যাডিক মেট্রিক ব্যবহার করে সিরিজের সীমা। ঐতিহাসিক যুক্তি গটফ্রিড লাইবনিজ 1673 খ্রিষ্টাব্দের গোড়ার দিকে বৈকল্পিক পর্যায়ক্রমিক সিরিজটিকে বিবেচনা করেছিলেন। তিনি যুক্তি দিয়েছিলেন যে বাম বা ডানদিকে বিয়োগ করার মাধ্যমে কেউ ধনাত্মক বা ঋণাত্মক অনন্ত তৈরি করতে পারে, এবং তাই উভয় উত্তরই ভুল এবং সমগ্রটি সীমাবদ্ধ হওয়া উচিতঃ এখন সাধারণত প্রকৃতি মাঝখানটি বেছে নেয় যদি দুটির কোনওটিরই অনুমতি না দেওয়া হয়, বা বরং যদি এটি নির্ধারণ করা যায় না যে দুটির মধ্যে কোনটি অনুমোদিত, এবং পুরোটি একটি সীমাবদ্ধ পরিমাণের সমান, লিবনিজ বেশ জোর দিয়ে বলেননি যে সিরিজের যোগফল রয়েছে, তবে তিনি মার্কেটরের পদ্ধতি অনুসরণ করার সাথে একটি সম্পর্ক অনুমান করেছিলেন। একটি সিরিজ প্রকৃতপক্ষে যোগফল হিসাবে যোগ না করে কিছু সীমাবদ্ধ পরিমাণের সমান হতে পারে এই মনোভাব 18 শতকে প্রচলিত ছিল, যদিও আধুনিক গণিতে কোনও পার্থক্য করা হয় না। 1712 খ্রিষ্টাব্দের মাঝামাঝি সময়ে ক্রিশ্চিয়ান ওল্ফ গ্রান্ডির সিরিজের লাইবনিজের বর্ণনা পড়ার পর, ওল্ফ সমাধানটি নিয়ে এতটাই সন্তুষ্ট হয়েছিলেন যে তিনি গাণিতিক গড় পদ্ধতিটি আরও বৈচিত্র্যময় সিরিজে প্রসারিত করার চেষ্টা করেছিলেন। সংক্ষেপে, যদি কেউ এই সিরিজের একটি আংশিক যোগফলকে উপান্তীয় পদের একটি ফাংশন হিসাবে প্রকাশ করে, তবে কেউ বা অর্জন করে। এই মানগুলির গড় হল, এবং ধরে নেওয়া যায় যে অনন্ততায় সিরিজের মান হিসাবে ফলন হয়। লাইবনিজের অন্তর্দৃষ্টি তাকে তার সমাধানকে এতদূর টানতে বাধা দিয়েছিল এবং তিনি লিখেছিলেন যে উলফের ধারণাটি আকর্ষণীয় তবে বিভিন্ন কারণে অবৈধ ছিল। পার্শ্ববর্তী আংশিক যোগফলের গাণিতিক মাধ্যমগুলি কোনও নির্দিষ্ট মানের সাথে একত্রিত হয় না এবং সমস্ত সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রে একটির থাকে না। সাধারণত, একটি যোগযোগ্য সিরিজের শর্তাবলী শূন্যে নেমে আসা উচিত; এমনকি এই ধরনের সিরিজের সীমা হিসাবেও প্রকাশ করা যেতে পারে। লাইবনিজ উলফকে পুনর্বিবেচনার পরামর্শ দেন যাতে তিনি "বিজ্ঞান এবং নিজের যোগ্য কিছু তৈরি করতে পারেন"। আধুনিক পদ্ধতি জ্যামিতিক সিরিজ নিয়মিততা, রৈখিকতা এবং স্থায়িত্বের বৈশিষ্ট্য ধারণকারী যে কোনও সমষ্টি পদ্ধতি একটি জ্যামিতিক সিরিজের যোগফল দেবে। তাঁর 1755 সালের ইনস্টিটিউশনে, লিওনহার্ড অয়লার কার্যকরীভাবে যা এখন অয়লার রূপান্তর নামে পরিচিত তা গ্রহণ করেছিলেন, যা অভিসারী সিরিজে পৌঁছেছিল। যেহেতু পরেরটির যোগফল হল, তাই অয়লার এই উপসংহারে পৌঁছেছেন। অসীম সিরিজের উপর তাঁর ধারণাগুলি আধুনিক পদ্ধতির অনুসরণ করে না; আজ কেউ বলে যে এটি ইউলারের যোগফল এবং এর ইউলার যোগফল। অয়লার রূপান্তর ধনাত্মক পদগুলির ক্রম দিয়ে শুরু হয়ঃ a0 = 1, a1 = 2, a2 = 4, a3 = 8,। অগ্রবর্তী পার্থক্যের ক্রমটি হল α0 = a1 − a0 = 2 − 1 = 1, α1 = a2 − a1 = 4 − 2 = 2, α2 = a3 − a2 = 8 − 4 = 4, α3 = a4 − a3 = 16 − 8 = 8, যা ঠিক একই ক্রম। তাই পুনরাবৃত্ত অগ্রবর্তী পার্থক্যের ক্রমগুলি প্রতিটি n-এর জন্য শুরু হয়। অয়লার রূপান্তর হল সিরিজ এটি একটি অভিসারী জ্যামিতিক সিরিজ যার যোগফল স্বাভাবিক সূত্র অনুসারে হয়। বোরেল যোগফল হল; 1896 সালে এমিল বোরেল যখন বোরেল যোগফলের সীমা সূত্র প্রবর্তন করেন, তখন এটি ছিল তাঁর প্রথম উদাহরণগুলির মধ্যে একটি, 1−1 + 1−1 + ꯘꯥ-adic সংখ্যার পরে 2-adic মেট্রিকের সাথে যুক্ত আংশিক যোগফলের ক্রম হল এবং যখন 2-এর পরিপূরক ব্যবহার করে বেস 2-এ প্রকাশ করা হয়, এবং এই ক্রমের সীমা হল 2-adic মেট্রিক। এইভাবে। আরও দেখুন 1 + 2 + 4 + 8 + হিউজ নোট রেফারেন্স ডাইভারজেন্ট সিরিজ জ্যামিতিক সিরিজ পি-এডিক সংখ্যা