Pivot element
পিভট বা পিভট উপাদান হল একটি ম্যাট্রিক্সের উপাদান, বা একটি অ্যারে, যা প্রথমে একটি অ্যালগরিদম দ্বারা নির্বাচিত হয় (যেমন। গাউসিয়ান এলিমিনেশন, সিম্প্লেক্স অ্যালগরিদম ইত্যাদি। ), নির্দিষ্ট গণনা করতে। ম্যাট্রিক্স অ্যালগরিদমের ক্ষেত্রে, একটি পিভট এন্ট্রি সাধারণত শূন্য থেকে অন্তত আলাদা হতে হবে এবং প্রায়শই এটি থেকে দূরে থাকতে হবে; এই ক্ষেত্রে এই উপাদানটি খুঁজে বের করাকে পিভটিং বলা হয়। পিভোটিং-এর পরে সারি বা কলামের আদান-প্রদান করা যেতে পারে যাতে পিভটকে একটি নির্দিষ্ট অবস্থানে আনা যায় এবং অ্যালগরিদম সফলভাবে এগিয়ে যেতে পারে, এবং সম্ভবত রাউন্ড-অফ ত্রুটি কমাতে পারে। এটি প্রায়শই সারি ইকোলন ফর্ম যাচাই করার জন্য ব্যবহৃত হয়। পিভোটিংকে একটি ম্যাট্রিক্সে সারি বা কলামগুলি অদলবদল বা বাছাই করা হিসাবে ভাবা যেতে পারে এবং এইভাবে এটি ক্রমাঙ্কন ম্যাট্রিক্স দ্বারা গুণ হিসাবে প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে। যাইহোক, অ্যালগরিদমগুলি খুব কমই ম্যাট্রিক্স উপাদানগুলিকে সরিয়ে দেয় কারণ এর জন্য খুব বেশি সময় লাগবে; পরিবর্তে, তারা কেবল বিন্যাসগুলির উপর নজর রাখে। সামগ্রিকভাবে, পিভোটিং একটি অ্যালগরিদমের গণনামূলক ব্যয়ে আরও অপারেশন যোগ করে। অ্যালগরিদমটি আদৌ কাজ করার জন্য কখনও কখনও এই অতিরিক্ত ক্রিয়াকলাপগুলির প্রয়োজন হয়। অন্যান্য সময়ে এই অতিরিক্ত ক্রিয়াকলাপগুলি সার্থক কারণ তারা চূড়ান্ত ফলাফলে সংখ্যাসূচক স্থিতিশীলতা যোগ করে। যে ব্যবস্থাগুলির পিভোটিং প্রয়োজন তার উদাহরণ গাউসিয়ান অপসারণের ক্ষেত্রে, অ্যালগরিদমের জন্য পিভট উপাদানগুলি শূন্য না হওয়া প্রয়োজন। শূন্য পিভট উপাদানের ক্ষেত্রে সারি বা কলামগুলি বিনিময় করা প্রয়োজন। নীচের ব্যবস্থাটিতে অপসারণ সম্পাদনের জন্য সারি 2 এবং 3-এর বিনিময় প্রয়োজন। পিভোটিং থেকে যে সিস্টেমটি ফলাফল হয় তা নিম্নরূপ এবং এটি এলিমিনেশন অ্যালগরিদম এবং ব্যাকওয়ার্ড প্রতিস্থাপনকে সিস্টেমে সমাধান আউটপুট করার অনুমতি দেবে। উপরন্তু, গাউসিয়ান নির্মূলের ক্ষেত্রে সাধারণত বড় পরম মান সহ একটি পিভট উপাদান বেছে নেওয়া বাঞ্ছনীয়। এটি সংখ্যাসূচক স্থায়িত্বকে উন্নত করে। নিম্নলিখিত পদ্ধতিটি রাউন্ড-অফ ত্রুটির দ্বারা নাটকীয়ভাবে প্রভাবিত হয় যখন গাউসিয়ান এলিমিনেশন এবং ব্যাকওয়ার্ড প্রতিস্থাপন করা হয়। এই সিস্টেমে x1 = 10.00 এবং x2 = 1.000 এর সঠিক সমাধান রয়েছে, কিন্তু যখন এলিমিনেশন অ্যালগরিদম এবং ব্যাকওয়ার্ড প্রতিস্থাপন চার-সংখ্যার পাটিগণিত ব্যবহার করে সঞ্চালিত হয়, তখন a11-এর ছোট মানটি ছোট রাউন্ড-অফ ত্রুটিগুলি প্রচার করে। পিভোটিং ছাড়া অ্যালগরিদম x1 ≈ 9873.3 এবং x2 ≈ 4 এর আনুমানিক ফলাফল দেয়। এই ক্ষেত্রে এটি কাম্য যে আমরা দুটি সারি বিনিময় করি যাতে a21 পিভট অবস্থানে থাকে এই পদ্ধতিটি বিবেচনা করে, এলিমিনেশন অ্যালগরিদম এবং চার-সংখ্যার গাণিতিক ব্যবহার করে ব্যাকওয়ার্ড প্রতিস্থাপন সঠিক মান x1 = 10.00 এবং x2 = 1.000 প্রদান করে। আংশিক, রুক এবং সম্পূর্ণ পিভটিং আংশিক পিভটিং-এ, অ্যালগরিদম ম্যাট্রিক্সের কলাম থেকে বৃহত্তম পরম মান সহ এন্ট্রি নির্বাচন করে যা বর্তমানে পিভট উপাদান হিসাবে বিবেচিত হচ্ছে। আরও সুনির্দিষ্টভাবে, একটি ম্যাট্রিক্সকে সারি ইকোলন আকারে হ্রাস করার সময়, কলামের সারি হ্রাসের আগে আংশিক পিভটিং অদলবদল করে একই কলামের নীচের উপাদানগুলির তুলনায় পিভট উপাদানটির বৃহত্তম পরম মান তৈরি করে। আংশিক পিভোটিং সাধারণত রাউন্ড-অফ ত্রুটি পর্যাপ্তভাবে হ্রাস করার জন্য যথেষ্ট। যাইহোক, নির্দিষ্ট সিস্টেম এবং অ্যালগরিদমের জন্য, গ্রহণযোগ্য নির্ভুলতার জন্য সম্পূর্ণ পিভোটিং (বা সর্বাধিক পিভোটিং) প্রয়োজন হতে পারে। ম্যাট্রিক্সের বৃহত্তম (পরম মান দ্বারা) উপাদানটিকে পিভট হিসাবে ব্যবহার করার জন্য সম্পূর্ণ পিভটিং সারি এবং কলাম উভয়কেই বিনিময় করে। সংখ্যাসূচক স্থায়িত্ব নিশ্চিত করার জন্য সাধারণত সম্পূর্ণ পিভোটিং-এর প্রয়োজন হয় না এবং সর্বাধিক উপাদান অনুসন্ধানের অতিরিক্ত ব্যয়ের কারণে, সংখ্যাসূচক স্থায়িত্বের উন্নতি যা এটি সরবরাহ করে তা সাধারণত ক্ষুদ্রতম ম্যাট্রিক্স ব্যতীত সকলের জন্য তার হ্রাস দক্ষতার চেয়ে বেশি হয়। তাই এটি খুব কমই ব্যবহার করা হয়। আরেকটি কৌশল, যা রুক পিভটিং নামে পরিচিত, সারি এবং কলাম উভয়কেই বিনিময় করে কিন্তু শুধুমাত্র গ্যারান্টি দেয় যে নির্বাচিত পিভট একই সাথে তার সারিতে বৃহত্তম সম্ভাব্য প্রবেশ এবং তার কলামে বৃহত্তম সম্ভাব্য প্রবেশ, পুরো অবশিষ্ট সাবম্যাট্রিক্সের বৃহত্তম সম্ভাব্যের বিপরীতে। সিরিয়াল কম্পিউটারে বাস্তবায়িত হলে এই কৌশলটি আংশিক পিভোটিংয়ের তুলনায় মাত্র তিনগুণ ব্যয় আশা করা হয়েছে এবং তাই সম্পূর্ণ পিভোটিংয়ের চেয়ে সস্তা। তাত্ত্বিক এবং বাস্তবে আংশিক পিভটিংয়ের তুলনায় রুক পিভটিং আরও স্থিতিশীল বলে প্রমাণিত হয়েছে। স্কেলড পিভোটিং আংশিক পিভোটিং কৌশলের একটি বৈচিত্র্য হল স্কেলড পিভোটিং। এই পদ্ধতিতে, অ্যালগরিদমটি পিভট উপাদান হিসাবে নির্বাচন করে যা তার সারির এন্ট্রিগুলির তুলনায় বৃহত্তম এন্ট্রি। এই কৌশলটি কাম্য যখন এন্ট্রিগুলির মাত্রায় বড় পার্থক্য রাউন্ড-অফ ত্রুটির প্রচারের দিকে পরিচালিত করে। স্কেলড পিভোটিং নীচের মত একটি সিস্টেমে ব্যবহার করা উচিত যেখানে একটি সারির এন্ট্রিগুলি মাত্রায় ব্যাপকভাবে পরিবর্তিত হয়। নীচের উদাহরণে, দুটি সারি বিনিময় করা বাঞ্ছনীয় হবে কারণ বর্তমান পিভট উপাদান 30 5.291 এর চেয়ে বড় তবে এটি তার সারির অন্যান্য এন্ট্রির তুলনায় তুলনামূলকভাবে ছোট। এই ক্ষেত্রে সারি বিনিময় ছাড়া, বৃত্তাকার ত্রুটিগুলি পূর্ববর্তী উদাহরণের মতো প্রচারিত হবে। পিভট অবস্থান একটি ম্যাট্রিক্সের একটি পিভট অবস্থান, এ, ম্যাট্রিক্সের একটি অবস্থান যা এ-এর হ্রাসকৃত সারি ইকোলন আকারে সারির শীর্ষস্থানীয় 1-এর সাথে মিলে যায়। যেহেতু এ-এর হ্রাসকৃত সারি ইকোলন ফর্মটি অনন্য, তাই পিভট অবস্থানগুলি অনন্যভাবে নির্ধারিত হয় এবং হ্রাস প্রক্রিয়াতে সারি ইন্টারচেঞ্জগুলি সঞ্চালিত হয় কিনা তার উপর নির্ভর করে না। এছাড়াও, একটি সারির পিভট অবশ্যই উপরের সারির পিভটের ডানদিকে সারি ইকোলন আকারে উপস্থিত হতে হবে। রেফারেন্স আর. এল. বার্ডেন, জে. ডি. ফেয়ার্স, সংখ্যাসূচক বিশ্লেষণ, 8ম সংস্করণ, থমসন ব্রুকস/কোল, 2005। জি. এইচ. গোলুব, সি. এফ. লোন, ম্যাট্রিক্স কম্পিউটেশন্স, 3য় সংস্করণ, জনস হপকিন্স, 1996। সংখ্যাসূচক রৈখিক বীজগণিত বিনিময় অ্যালগরিদম এসভিঃ মূল উপাদান