Hartman–Grobman theorem
গণিতে, গতিশীল ব্যবস্থার অধ্যয়নে, হার্টম্যান-গ্রবম্যান উপপাদ্য বা রৈখিককরণ উপপাদ্য হল একটি হাইপারবোলিক ভারসাম্য বিন্দুর আশেপাশে গতিশীল ব্যবস্থার স্থানীয় আচরণ সম্পর্কে একটি উপপাদ্য। এটি দাবি করে যে রৈখিককরণ-ব্যবস্থার একটি প্রাকৃতিক সরলীকরণ-আচরণের গুণগত নিদর্শনগুলির পূর্বাভাস দিতে কার্যকর। এই উপপাদ্যটির নাম দেওয়া হয়েছে ফিলিপ হার্টম্যান এবং ডেভিড এম গ্রোবম্যানের নামে। উপপাদ্যটি বলে যে একটি হাইপারবোলিক ভারসাম্য বিন্দুর কাছাকাছি একটি ডোমেনে একটি গতিশীল ব্যবস্থার আচরণ গুণগতভাবে এই ভারসাম্য বিন্দুর কাছাকাছি তার রৈখিককরণের আচরণের মতোই, যেখানে হাইপারবোলিসিটির অর্থ হল যে রৈখিককরণের কোনও আইগেনভ্যালুতে শূন্যের সমান বাস্তব অংশ নেই। অতএব, এই ধরনের গতিশীল ব্যবস্থার সাথে কাজ করার সময় ভারসাম্যের চারপাশে এর আচরণ বিশ্লেষণ করতে সিস্টেমের সহজ রৈখিককরণ ব্যবহার করা যেতে পারে। প্রধান উপপাদ্য এমন একটি পদ্ধতির কথা বিবেচনা করুন যা সময়ের সঙ্গে সঙ্গে অবস্থার বিবর্তন ঘটায় যা কিছু মসৃণ মানচিত্রের জন্য ডিফারেনশিয়াল সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে। এখন ধরুন মানচিত্রে একটি হাইপারবোলিক ভারসাম্য অবস্থা রয়েছেঃ অর্থাৎ, এট স্টেটের জ্যাকোবিয়ান ম্যাট্রিক্সের কোনও আইগেনভ্যালু নেই যার বাস্তব অংশ শূন্যের সমান। তারপরে ভারসাম্য এবং একটি সমরূপতার একটি প্রতিবেশী রয়েছে, যেমন এবং এমন যে আশেপাশে এর প্রবাহটি তার রৈখিককরণের প্রবাহের সাথে অবিচ্ছিন্ন মানচিত্র দ্বারা টপোলজিক্যালি সংযুক্ত হয়। এমনকি অসীম পৃথকীকরণযোগ্য মানচিত্রের ক্ষেত্রেও, সমরূপতা মসৃণ হওয়ার প্রয়োজন নেই, এমনকি স্থানীয়ভাবেও লিপশিটজ হওয়ার প্রয়োজন নেই। যাইহোক, এর হাইপারবোলিসিটির ধ্রুবকের উপর নির্ভর করে একটি সূচক সহ এটি হল্ডার অবিচ্ছিন্ন বলে প্রমাণিত হয়। হার্টম্যান-গ্রবম্যান উপপাদ্যটি অসীম-মাত্রিক বানাচ স্পেস, অ-স্বায়ত্তশাসিত সিস্টেম (সম্ভাব্য স্টোকাস্টিক) এবং শূন্য বা শূন্যের কাছাকাছি বাস্তব-অংশ সহ আইগেনভ্যালু থাকলে ঘটে যাওয়া টপোলজিকাল পার্থক্যগুলি পূরণ করার জন্য প্রসারিত করা হয়েছে। উদাহরণ এই উদাহরণের জন্য প্রয়োজনীয় বীজগণিত সহজেই একটি ওয়েব পরিষেবা দ্বারা পরিচালিত হয় যা স্বায়ত্বশাসিত বা অ-স্বায়ত্তশাসিত, নির্ধারণমূলক বা যাদৃচ্ছিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সিস্টেমগুলির স্বাভাবিক ফর্ম স্থানাঙ্ক রূপান্তর গণনা করে। কাপল্ড ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের জোড়া অনুসারে বিবর্তিত চলকগুলিতে 2ডি সিস্টেমটি বিবেচনা করুন সরাসরি গণনার মাধ্যমে এটি দেখা যায় যে এই সিস্টেমের একমাত্র ভারসাম্য মূল স্থানে রয়েছে, অর্থাৎ। স্থানাঙ্ক রূপান্তর, যেখানে, মূল এবং নতুন স্থানাঙ্কের মধ্যে একটি মসৃণ মানচিত্র দেওয়া হয়েছে, অন্তত উৎপত্তির ভারসাম্যের কাছাকাছি। নতুন স্থানাঙ্কে গতিশীল ব্যবস্থা তার রৈখিককরণে রূপান্তরিত হয় অর্থাৎ, রৈখিককরণের একটি বিকৃত সংস্করণ কিছু সীমাবদ্ধ পাড়ায় মূল গতিবিদ্যা দেয়। আরও দেখুন রৈখিক আনুমানিক স্থিতিশীল বহুগুণিত উপপাদ্য রেফারেন্স আরও পড়া বাহ্যিক লিঙ্ক বিশ্লেষণে উপপাদ্য গতিশীল ব্যবস্থার আনুমানিক উপপাদ্য