Resolution of singularities
বীজগাণিতিক জ্যামিতিতে, এককত্বের রেজোলিউশনের সমস্যাটি জিজ্ঞাসা করে যে প্রতিটি বীজগাণিতিক বৈচিত্র্য V-এর একটি রেজোলিউশন আছে কিনা, একটি সঠিক দ্বি-বংশানুক্রমিক মানচিত্র W → V সহ একটি অ-একক বৈচিত্র্য W। বৈশিষ্ট্যযুক্ত 0 ক্ষেত্রের উপর জাতের জন্য এটি হিরোনাকা (1964)-তে প্রমাণিত হয়েছিল, যেখানে বৈশিষ্ট্যযুক্ত পি ক্ষেত্রের উপর জাতের জন্য এটি কমপক্ষে 4 মাত্রায় একটি উন্মুক্ত সমস্যা। সংজ্ঞাগুলি মূলত এককত্বের সমাধানের সমস্যাটি ছিল বিভিন্ন এক্স-এর ফাংশন ক্ষেত্রের জন্য একটি অ-সিঙ্গুলার মডেল খুঁজে বের করা, অন্য কথায় একই ফাংশন ক্ষেত্রের সাথে একটি সম্পূর্ণ অ-সিঙ্গুলার বৈচিত্র্য এক্স। বাস্তবে নিম্নরূপ একটি ভিন্ন শর্তের জন্য জিজ্ঞাসা করা আরও সুবিধাজনকঃ একটি বৈচিত্র্য X-এর এককত্বের একটি রেজোলিউশন থাকে যদি আমরা একটি অ-একক বৈচিত্র্য X′ এবং X′ থেকে X পর্যন্ত একটি যথাযথ দ্বি-জন্মগত মানচিত্র খুঁজে পেতে পারি। মানচিত্রটি যথাযথ হওয়ার শর্তটি তুচ্ছ সমাধানগুলি বাদ দেওয়ার জন্য প্রয়োজন, যেমন X′ কে X-এর অ-একক বিন্দুর উপ-বৈচিত্র্য হিসাবে নেওয়া। আরও সাধারণভাবে, এটি প্রায়শই একটি বৃহত্তর বৈচিত্র্যের ডাব্লু-তে এম্বেড করা বিভিন্ন ধরণের এক্স-এর এককত্বগুলি সমাধান করতে কার্যকর হয়। ধরুন আমাদের একটি নিয়মিত বৈচিত্র্যের ডাব্লু-তে এক্স-এর একটি বদ্ধ এম্বেডিং রয়েছে। নিম্নলিখিত কয়েকটি শর্ত সাপেক্ষে নিয়মিত বৈচিত্র্য ডাব্লু থেকে ডাব্লু থেকে যথাযথ দ্বি-বৈকল্পিক মরফিজম দ্বারা এক্স-এর একটি শক্তিশালী বিচ্ছিন্নকরণ দেওয়া হয় (শর্তগুলির সঠিক পছন্দ লেখকের উপর নির্ভর করে): এক্স-এর কঠোর রূপান্তর এক্স 'নিয়মিত, এবং রেজোলিউশন মরফিজমের ব্যতিক্রমী লোকাসে বিপরীত (তাই বিশেষত এটি এক্স-এর এককত্বগুলি সমাধান করে)। X′ থেকে X-এ কঠোর রূপান্তরের মানচিত্রটি XW′-এর একক বিন্দু থেকে দূরে একটি সমরূপতা। এটি W-এর নিয়মিত বদ্ধ উপ-বৈচিত্র্য বা X-এর আরও দৃঢ়ভাবে নিয়মিত উপ-বৈচিত্র্যকে বারবার উড়িয়ে দিয়ে তৈরি করা হয়, যা পূর্ববর্তী বিস্ফোরণগুলির ব্যতিক্রমী লোকাসে অতিক্রম করে। W′-এর গঠন W-এর মসৃণ অঙ্গসংস্থান এবং W-কে বৃহত্তর বৈচিত্র্যে অন্তর্ভুক্ত করার জন্য কার্যকরী। (এটিকে কোনও যুক্তিসঙ্গত উপায়ে সকলের জন্য কার্যকরী করা যায় না (অগত্যা মসৃণ নয়)।) এক্স থেকে এক্স পর্যন্ত অঙ্গসংস্থান ডাব্লু-তে এক্স-এর এম্বেডিংয়ের উপর নির্ভর করে না। অথবা সাধারণভাবে, মসৃণ অঙ্গসংস্থানের ক্ষেত্রে বিস্ফোরণের ক্রমটি কার্যকরী। হিরোনাকা দেখিয়েছেন যে, যখনই এক্স-কে 0-এর একটি ক্ষেত্রের উপর সংজ্ঞায়িত করা হয় তখন উপরের প্রথম তিনটি শর্তকে সন্তুষ্ট করার জন্য একটি শক্তিশালী বিচ্ছিন্নকরণ রয়েছে এবং তার নির্মাণটি বেশ কয়েকজন লেখক দ্বারা উন্নত করা হয়েছিল (নীচে দেখুন) যাতে এটি উপরের সমস্ত শর্তকে সন্তুষ্ট করে। বক্ররেখার এককত্বের রেজোলিউশন প্রতিটি বীজগাণিতিক বক্ররেখার একটি অনন্য ননসিঙ্গুলার প্রজেক্টিভ মডেল থাকে, যার অর্থ হল যে সমস্ত রেজোলিউশন পদ্ধতি মূলত একই কারণ তারা সকলেই এই মডেলটি তৈরি করে। উচ্চতর মাত্রায় এটি আর সত্য নয়ঃ বিভিন্ন জাতের বিভিন্ন ননসিঙ্গুলার প্রজেক্টিভ মডেল থাকতে পারে। বক্ররেখার এককত্বের সমাধান প্রমাণ করার প্রায় 20টি উপায় তালিকাভুক্ত করে। নিউটনের পদ্ধতি বক্ররেখার এককত্বের রেজোলিউশন মূলত দ্বারা প্রমাণিত হয়েছিল, যিনি এমন একটি বক্ররেখার জন্য পুইসাক্স সিরিজের অস্তিত্ব দেখিয়েছিলেন যা থেকে রেজোলিউশন সহজেই অনুসরণ করে। রিম্যানের পদ্ধতি রিম্যান একটি জটিল বীজগাণিতিক বক্ররেখার ফাংশন ক্ষেত্র থেকে একটি মসৃণ রিম্যান পৃষ্ঠ তৈরি করেছিলেন, যা তার এককত্বের একটি রেজোলিউশন দেয়। রিম্যান পৃষ্ঠের বিকল্প হিসাবে ক্ষেত্রের পৃথক মূল্যায়ন বলয়ের সেট ব্যবহার করে এটি আরও সাধারণ ক্ষেত্রগুলিতে করা যেতে পারে। আলবানিজ পদ্ধতির মধ্যে রয়েছে একটি বক্ররেখা যা যথেষ্ট বড় মাত্রার (বক্ররেখার মাত্রার দ্বিগুণেরও বেশি) একটি প্রজেক্টিভ স্থান বিস্তৃত করে এবং বারবার একক বিন্দু থেকে ছোট মাত্রার প্রজেক্টিভ স্থানগুলিতে প্রক্ষেপিত হয়। এই পদ্ধতিটি উচ্চ-মাত্রিক জাতগুলিতে প্রসারিত হয় এবং দেখায় যে যে কোনও এন-মাত্রিক বৈচিত্র্যের সর্বাধিক এন!-এ বহুগুণের এককত্ব সহ একটি প্রজেক্টিভ মডেল রয়েছে। একটি বক্ররেখার জন্য, n = 1, এবং তাই কোনও একক বিন্দু নেই। স্বাভাবিককরণ বক্ররেখার স্বাভাবিককরণ গ্রহণ করে একটি বক্ররেখার এককত্ব সমাধানের একটি পদক্ষেপ পদ্ধতি দিয়েছে। সাধারণীকরণ কোডিমেনশন 1-এর সমস্ত এককত্বকে সরিয়ে দেয়, তাই এটি বক্ররেখার জন্য কাজ করে তবে উচ্চতর মাত্রায় নয়। মূল্যায়ন রিং একটি বক্ররেখার এককত্ব সমাধানের আরেকটি এক-পদক্ষেপ পদ্ধতি হল বক্ররেখার ফাংশন ক্ষেত্রের মূল্যায়ন রিংয়ের একটি স্থান নেওয়া। এই স্থানটিকে মূল বক্ররেখার দ্বিমাত্রিক একটি ননসিঙ্গুলার প্রজেক্টিভ বক্ররেখায় পরিণত করা যেতে পারে। একটি বক্ররেখার একক বিন্দুকে বারবার উড়িয়ে দিলে অবশেষে এককত্বের সমাধান হবে। এই পদ্ধতির প্রধান কাজ হল এককত্বের জটিলতা পরিমাপ করার একটি উপায় খুঁজে বের করা এবং দেখানো যে উড়িয়ে দেওয়া এই পরিমাপের উন্নতি করে। এটি করার অনেকগুলি উপায় রয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, বক্ররেখার গাণিতিক গণ ব্যবহার করা যেতে পারে। নোইথারের পদ্ধতি নোইথারের পদ্ধতি একটি সমতল বক্ররেখা গ্রহণ করে এবং বারবার দ্বিঘাত রূপান্তর প্রয়োগ করে (একটি একক বিন্দু এবং সাধারণ অবস্থানে দুটি বিন্দু দ্বারা নির্ধারিত)। অবশেষে এটি একটি সমতল বক্ররেখা তৈরি করে যার এককত্বগুলি হল সাধারণ একাধিক বিন্দু (সমস্ত স্পর্শক রেখার বহুগুণ দুটি থাকে)। বার্টিনির পদ্ধতি বার্টিনির পদ্ধতির অনুরূপ। এটি একটি সমতল বক্ররেখা দিয়ে শুরু হয় এবং বক্ররেখার উন্নতির জন্য সমতলে বারবার জন্মগত রূপান্তর প্রয়োগ করে। নোইথারের পদ্ধতিতে ব্যবহৃত দ্বিঘাত রূপান্তরগুলির তুলনায় জন্মগত রূপান্তরগুলি আরও জটিল, তবে আরও ভাল ফলাফল তৈরি করে যে একমাত্র এককত্বগুলি সাধারণ দ্বৈত বিন্দু। পৃষ্ঠতলের এককত্বের রেজোলিউশনে অনেকগুলি ভিন্ন নন-সিঙ্গুলার প্রজেক্টিভ মডেল রয়েছে (বক্ররেখার ক্ষেত্রে যেখানে নন-সিঙ্গুলার প্রজেক্টিভ মডেলটি অনন্য)। তবে একটি পৃষ্ঠের এখনও একটি অনন্য ন্যূনতম রেজোলিউশন রয়েছে, যা অন্য সমস্ত ফ্যাক্টর (অন্য সমস্তগুলি এটির রেজোলিউশন)। উচ্চতর মাত্রায় ন্যূনতম রেজোলিউশনের প্রয়োজন হয় না। জটিল সংখ্যার উপর,,, এবং দ্বারা পৃষ্ঠতলের জন্য রেজোলিউশন প্রমাণ করার বেশ কয়েকটি প্রচেষ্টা করা হয়েছিল, তবে উল্লেখ করা হয়েছে যে এই প্রাথমিক প্রচেষ্টার কোনওটিই সম্পূর্ণ নয় এবং যুক্তির কোনও সমালোচনামূলক বিন্দুতে সমস্তই অস্পষ্ট (বা এমনকি ভুল)। প্রথম কঠোর প্রমাণটি দ্বারা দেওয়া হয়েছিল, এবং 0 বৈশিষ্ট্যের সমস্ত ক্ষেত্রের জন্য একটি বীজগাণিতিক প্রমাণ দ্বারা দেওয়া হয়েছিল। অ-শূন্য বৈশিষ্ট্যযুক্ত পৃষ্ঠের জন্য একটি প্রমাণ দিয়েছেন। সমস্ত চমৎকার দ্বিমাত্রিক পরিকল্পনার (সমস্ত গাণিতিক পৃষ্ঠ সহ) জন্য এককত্বের রেজোলিউশনও দেখানো হয়েছে। জারিস্কির পদ্ধতি জারিস্কির পৃষ্ঠতলের এককত্বের রেজোলিউশনের পদ্ধতি হল বার বার বিন্দুগুলিকে উড়িয়ে দিয়ে পৃষ্ঠকে স্বাভাবিক করা (যা কোডিমেনশন 1 এককত্বকে হত্যা করে) (যা কোডিমেনশন 2 এককত্বকে আরও ভাল করে তোলে, তবে নতুন কোডিমেনশন 1 এককত্ব প্রবর্তন করতে পারে)। যদিও এটি পৃষ্ঠের এককত্বকে নিজেই সমাধান করবে, জারিস্কি আরও বৃত্তাকার পদ্ধতি ব্যবহার করেছিলেনঃ তিনি প্রথমে একটি স্থানীয় ইউনিফর্মাইজেশন উপপাদ্য প্রমাণ করেছিলেন যা দেখায় যে কোনও পৃষ্ঠের প্রতিটি মূল্যায়ন সমাধান করা যেতে পারে, তারপরে জারিস্কি-রিম্যান পৃষ্ঠের কম্প্যাক্টনেস ব্যবহার করে দেখিয়েছিলেন যে পৃষ্ঠের একটি সীমাবদ্ধ সেট খুঁজে পাওয়া সম্ভব যাতে প্রতিটি মূল্যায়নের কেন্দ্রটি কমপক্ষে এই পৃষ্ঠের একটিতে সহজ হয় এবং অবশেষে পৃষ্ঠের মধ্যে দ্বি-বৈশ্বিক মানচিত্র অধ্যয়ন করে দেখা যায় যে এই সীমাবদ্ধ পৃষ্ঠতলগুলি একটি একক অ-একক পৃষ্ঠ দ্বারা প্রতিস্থাপিত হতে পারে। জং-এর পদ্ধতি বক্ররেখার জন্য শক্তিশালী এম্বেডেড রেজোলিউশন প্রয়োগ করে, কেবলমাত্র বিশেষ এককত্ব (আবেলিয়ান ভাগফল এককত্ব) সহ একটি পৃষ্ঠে হ্রাস পায় যা পরে স্পষ্টভাবে মোকাবেলা করা হয়। এই পদ্ধতির উচ্চ-মাত্রিক সংস্করণ হল ডি জং-এর পদ্ধতি। আলবানিজ পদ্ধতি সাধারণভাবে বক্ররেখার জন্য আলবানিজ পদ্ধতির এনালগ দেখায় যে যে কোনও বৈচিত্র্যের জন্য সর্বাধিক n! ক্রমে এককত্ব হ্রাস করা যেতে পারে, যেখানে n হল মাত্রা। পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রে এটি ক্রম 2-এর এককত্বের ক্ষেত্রে হ্রাস পায়, যা স্পষ্টভাবে করা যথেষ্ট সহজ। অভ্যাঙ্করের পদ্ধতি মূল্যায়ন বলয়ের জন্য একটি স্থানীয় অভিন্নকরণ উপপাদ্য প্রমাণ করে যে কোনও বৈশিষ্ট্যযুক্ত ক্ষেত্রের উপর পৃষ্ঠের জন্য এককত্বের রেজোলিউশন প্রমাণ করে। সবচেয়ে কঠিন ক্ষেত্রে র্যাঙ্ক 1-এর মূল্যায়ন চক্র যার মূল্যায়ন গোষ্ঠীটি যুক্তিসঙ্গত সংখ্যার একটি অ-বিচ্ছিন্ন উপগোষ্ঠী। বাকি প্রমাণ জারিস্কির পদ্ধতি অনুসরণ করে। হিরোনাকার পদ্ধতি নির্বিচারে চরিত্রগত বৈচিত্র্যের জন্য হিরোনাকার পদ্ধতি পৃষ্ঠতলের জন্য একটি রেজোলিউশন পদ্ধতি দেয়, যার মধ্যে একক সেটের মধ্যে বারবার বিন্দু বা মসৃণ বক্ররেখা উড়িয়ে দেওয়া জড়িত। লিপম্যানের পদ্ধতি দেখায় যে একটি পৃষ্ঠ Y (একটি দ্বিমাত্রিক হ্রাস নোথেরিয়ান স্কিম)-এর একটি বিচ্ছিন্নকরণ থাকে যদি এবং শুধুমাত্র যদি এর স্বাভাবিককরণ Y-এর উপর সীমাবদ্ধ হয় এবং বিশ্লেষণাত্মকভাবে স্বাভাবিক হয় (এর একক বিন্দুর সম্পূর্ণতা স্বাভাবিক হয়) এবং কেবলমাত্র সীমাবদ্ধভাবে অনেকগুলি একক বিন্দু থাকে। বিশেষ করে যদি ওয়াই চমৎকার হয় তবে এর একটি বিচ্ছিন্নকরণ রয়েছে। তাঁর পদ্ধতি ছিল স্বাভাবিক পৃষ্ঠতল Z-কে Y-এর দ্বি-জন্মগত সঠিক মানচিত্র সহ বিবেচনা করা এবং দেখানো যে ন্যূনতম সম্ভাব্য গাণিতিক গণের সাথে ন্যূনতম একটি রয়েছে। তারপরে তিনি দেখান যে এই ন্যূনতম জেড-এর সমস্ত এককত্ব ছদ্ম যুক্তিসঙ্গত, এবং দেখান যে ছদ্ম যুক্তিসঙ্গত এককত্বগুলি বারবার পয়েন্ট উড়িয়ে দিয়ে সমাধান করা যেতে পারে। উচ্চতর মাত্রায় এককত্বের সমাধান উচ্চতর মাত্রায় এককত্বের সমাধানের সমস্যা অনেক ভুল প্রকাশিত প্রমাণ এবং প্রমাণের ঘোষণার জন্য কুখ্যাত যা কখনও প্রকাশিত হয়নি। জারিস্কির পদ্ধতি 3-ভাঁজগুলির জন্য এককত্বের রেজোলিউশনটি 0 দ্বারা বৈশিষ্ট্যযুক্ত প্রমাণিত হয়েছিল। তিনি প্রথমে মূল্যায়ন বলয়ের স্থানীয় অভিন্নকরণ সম্পর্কে একটি উপপাদ্য প্রমাণ করেছিলেন, যা বৈশিষ্ট্য 0-এর যে কোনও ক্ষেত্রের যে কোনও মাত্রার বৈচিত্র্যের জন্য বৈধ। তারপরে তিনি দেখিয়েছিলেন যে মূল্যায়নের জারিস্কি-রিম্যান স্থানটি আধা-সংক্ষিপ্ত (যে কোনও ক্ষেত্রের যে কোনও মাত্রার জন্য), যা বোঝায় যে কোনও প্রজেক্টিভ বৈচিত্র্যের মডেলের একটি সীমাবদ্ধ পরিবার রয়েছে যাতে যে কোনও মূল্যায়নের কমপক্ষে একটির উপর একটি মসৃণ কেন্দ্র থাকে। প্রমাণের চূড়ান্ত এবং কঠিন অংশ, যা এই সত্যটি ব্যবহার করে যে বৈচিত্রটি মাত্রা 3-এর কিন্তু যা সমস্ত বৈশিষ্ট্যের জন্য কাজ করে, তা হল দেখানো যে প্রদত্ত 2টি মডেলের মধ্যে একটি তৃতীয়াংশ খুঁজে পাওয়া যায় যা প্রদত্ত দুটি মডেলের প্রত্যেকটির এককত্বের সমাধান করে। অভ্যঙ্করের পদ্ধতি 6-এর চেয়ে বড় বৈশিষ্ট্যযুক্ত 3-ভাঁজগুলির এককত্বের সমাধান প্রমাণ করে। বৈশিষ্ট্যের উপর সীমাবদ্ধতা দেখা দেয় কারণ অভ্যাঙ্কর দেখান যে বৈশিষ্ট্যের চেয়ে 3 গুণ কম গুণের যে কোনও এককত্ব সমাধান করা সম্ভব, এবং তারপর আলবানিজ পদ্ধতি ব্যবহার করে দেখান যে এককত্বকে সর্বাধিক বহুগুণে হ্রাস করা যেতে পারে (মাত্রা)! = 3! = 6. অভয়ঙ্করের প্রমাণের একটি সরলীকৃত সংস্করণ দিয়েছেন। সর্বাধিক 3 মাত্রায় স্থানীয় অভিন্নকরণ প্রমাণ করে এবং তারপরে জারিস্কির প্রমাণ যে এটি 3-ভাঁজগুলির জন্য রেজোলিউশন বোঝায় তা পরীক্ষা করে সমস্ত বৈশিষ্ট্যগুলিতে 3-ভাঁজগুলির এককত্বের রেজোলিউশন প্রমাণিত হয়েছে, এখনও ইতিবাচক বৈশিষ্ট্যের ক্ষেত্রে কাজ করে। হিরোনাকার পদ্ধতি সমস্ত মাত্রায় 0 বৈশিষ্ট্যযুক্ত এককত্বের রেজোলিউশন প্রথম প্রমাণিত হয়েছিল তিনি প্রমাণ করেছিলেন যে মাত্রার উপর আনয়ন দ্বারা একটি অত্যন্ত জটিল যুক্তি ব্যবহার করে অ-একক উপ-বৈচিত্র্যগুলির সাথে বারবার উড়িয়ে দিয়ে বৈশিষ্ট্যযুক্ত 0 ক্ষেত্রের উপর বৈচিত্র্যের এককত্বগুলি সমাধান করা সম্ভব। তাঁর দুর্ভেদ্য প্রমাণের সরলীকৃত সংস্করণগুলি,,,,,, সহ বেশ কয়েকজন ব্যক্তি দ্বারা দেওয়া হয়েছিল। সাম্প্রতিক কিছু প্রমাণ হিরোনাকার মূল প্রমাণের দৈর্ঘ্যের প্রায় দশমাংশ, এবং একটি প্রারম্ভিক স্নাতক কোর্সে দেওয়ার জন্য যথেষ্ট সহজ। উপপাদ্যটির একটি ব্যাখ্যামূলক বিবরণের জন্য, দেখুন এবং একটি ঐতিহাসিক আলোচনার জন্য দেখুন। ডি জং-এর পদ্ধতি এককত্বের রেজোলিউশনের ক্ষেত্রে একটি ভিন্ন পদ্ধতি খুঁজে পেয়েছিল, যা পৃষ্ঠের জন্য জং-এর পদ্ধতিকে সাধারণীকরণ করেছিল, যা বৈশিষ্ট্য 0-এ এককত্বের রেজোলিউশন প্রমাণ করতে এবং দ্বারা ব্যবহৃত হয়েছিল। ডি জং-এর পদ্ধতিটি বৈশিষ্ট্যযুক্ত পি-তে সমস্ত মাত্রার বৈচিত্র্যের জন্য একটি দুর্বল ফলাফল দিয়েছে, যা অনেক উদ্দেশ্যে রেজোলিউশনের বিকল্প হিসাবে কাজ করার জন্য যথেষ্ট শক্তিশালী ছিল। ডি জং প্রমাণ করেছেন যে একটি ক্ষেত্রের উপর যে কোনও প্রকারের এক্স-এর জন্য একটি প্রভাবশালী যথাযথ অঙ্গসংস্থান রয়েছে যা একটি নিয়মিত প্রকার থেকে এক্স-এর মাত্রা সংরক্ষণ করে। এটি একটি জন্মগত মানচিত্র হওয়ার প্রয়োজন নেই, তাই এটি এককত্বের একটি রেজোলিউশন নয়, কারণ এটি সাধারণভাবে একটির জন্য সীমাবদ্ধ হতে পারে এবং তাই এক্স-এর ফাংশন ক্ষেত্রের একটি সীমাবদ্ধ সম্প্রসারণ জড়িত। ডি জং-এর ধারণা ছিল একটি ছোট স্থান Y-এর উপর তন্তুযুক্ত তন্তু সহ একটি তন্তু হিসাবে X-কে উপস্থাপন করার চেষ্টা করা যা বক্ররেখা (এতে X-কে সংশোধন করা জড়িত থাকতে পারে), তারপর মাত্রায় আনয়ন দ্বারা Y-এর এককত্বগুলি দূর করা, তারপর তন্তুগুলির এককত্বগুলি দূর করা। প্রকল্পগুলির জন্য সমাধান এবং সমস্যার অবস্থা সমাধানের সংজ্ঞাটি সমস্ত প্রকল্পে প্রসারিত করা সহজ। সমস্ত পরিকল্পনার এককত্বের রেজোলিউশন নেইঃ দেখিয়েছেন যে যদি স্থানীয়ভাবে একটি নোথেরিয়ান স্কিম X-এর এমন বৈশিষ্ট্য থাকে যে কেউ X-এর উপর যে কোনও সীমাবদ্ধ ইন্টিগ্রাল স্কিমের এককত্বের সমাধান করতে পারে, তবে X-কে অবশ্যই আধা-উৎকৃষ্ট হতে হবে। গ্রোথেন্ডিয়াক আরও পরামর্শ দিয়েছিলেন যে বিপরীতটি ধারণ করতে পারেঃ অন্য কথায়, যদি স্থানীয়ভাবে একটি নোথেরিয়ান স্কিম এক্স হ্রাস করা হয় এবং আধা চমৎকার হয়, তবে এর এককত্বগুলি সমাধান করা সম্ভব। যখন X-কে 0-এর একটি ক্ষেত্রের উপর সংজ্ঞায়িত করা হয় এবং এটি নোথেরিয়ান হয়, তখন এটি হিরোনাকার উপপাদ্য থেকে অনুসরণ করা হয় এবং যখন X-এর মাত্রা সর্বাধিক 2 হয় তখন এটি লিপম্যান দ্বারা প্রমাণিত হয়। অমীমাংসিত বৈশিষ্ট্যযুক্ত পি রেজোলিউশন সমস্যার উপর কাজের একটি সমীক্ষা দিয়েছেন। বৈশিষ্ট্য শূন্যে প্রমাণের পদ্ধতি শক্তিশালী বিচ্ছিন্নকরণের অনেক গঠন রয়েছে তবে সেগুলির সবগুলিই মূলত একই ফলাফল দেয়। প্রতিটি ক্ষেত্রে গ্লোবাল অবজেক্ট (যে বৈচিত্র্যকে বিচ্ছিন্ন করা হবে) স্থানীয় তথ্য দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয় (বৈচিত্র্যের আদর্শ আবরণ এবং ব্যতিক্রমী বিভাজকের এবং কিছু ক্রম যা প্রতিনিধিত্ব করে যে সেই ধাপে আদর্শটিকে কতটা সমাধান করা উচিত)। এই স্থানীয় তথ্যের সাহায্যে বিস্ফোরণের কেন্দ্রগুলি সংজ্ঞায়িত করা হয়। কেন্দ্রগুলি স্থানীয়ভাবে সংজ্ঞায়িত করা হবে এবং তাই এগুলি একটি বৈশ্বিক কেন্দ্রের সাথে মিলবে কিনা তা নিশ্চিত করা একটি সমস্যা। প্রতিটি আদর্শের সমাধানের জন্য কোন বিস্ফোরণের অনুমতি দেওয়া হয় তা সংজ্ঞায়িত করে এটি করা যেতে পারে। যথাযথভাবে সম্পন্ন হলে, এটি কেন্দ্রগুলিকে স্বয়ংক্রিয়ভাবে মিলবে। আরেকটি উপায় হল বৈচিত্র্য এবং রেজোলিউশনের ইতিহাসের (পূর্ববর্তী স্থানীয় কেন্দ্রগুলি) উপর নির্ভর করে একটি স্থানীয় অপরিবর্তনীয়কে সংজ্ঞায়িত করা যাতে কেন্দ্রগুলি অপরিবর্তনীয়ের সর্বাধিক লোকাস নিয়ে গঠিত হয়। এর সংজ্ঞাটি এমনভাবে তৈরি করা হয়েছে যে এই পছন্দটি করা অর্থবহ, যা ব্যতিক্রমী বিভাজকগুলিকে মসৃণ কেন্দ্রগুলিকে ট্রান্সভার্সাল দেয়। উভয় ক্ষেত্রেই আদর্শ শিফ এবং অতিরিক্ত তথ্য (ব্যতিক্রমী বিভাজক এবং ক্রম, ডি, যার জন্য রেজোলিউশনটি সেই আদর্শের জন্য যেতে হবে) দ্বারা গঠিত টুপলের এককত্বগুলি সমাধান করার জন্য সমস্যাটি হ্রাস করা হয়। এই টুপলকে একটি চিহ্নিত আদর্শ বলা হয় এবং যে বিন্দুতে আদর্শের ক্রম d-এর চেয়ে বড় হয় তাকে তার সহ-সমর্থন বলা হয়। চিহ্নিত আদর্শগুলির জন্য একটি রেজোলিউশন রয়েছে তার প্রমাণ মাত্রার উপর আনয়ন দ্বারা করা হয়। ইন্ডাকশন দুটি ধাপে বিভক্ত হয়ঃ মাত্রা n−1-এর চিহ্নিত আদর্শের ফাংক্টোরিয়াল ডিসিনগুলারাইজেশন মানে মাত্রা n-এর সর্বাধিক ক্রমের চিহ্নিত আদর্শগুলির ফাংক্টোরিয়াল ডিসিনগুলারাইজেশন। মাত্রা n-এর সর্বাধিক ক্রমের চিহ্নিত আদর্শগুলির ফাংক্টোরিয়াল ডিসিনগুলারাইজেশন মানে মাত্রা n-এর চিহ্নিত আদর্শের (একটি সাধারণ) ফাংক্টোরিয়াল ডিসিনগুলারাইজেশন। এখানে আমরা বলি যে একটি চিহ্নিত আদর্শ সর্বাধিক ক্রমের হয় যদি তার সহ-সমর্থনের কোনও সময়ে আদর্শের ক্রমটি d-এর সমান হয়। শক্তিশালী রেজোলিউশনের একটি মূল উপাদান হল বৈচিত্র্যের বিন্দুগুলির স্থানীয় বলয়ের হিলবার্ট-স্যামুয়েল ফাংশন ব্যবহার করা। এটি রেজোলিউশনের অপরিবর্তনীয় উপাদানগুলির মধ্যে একটি। উদাহরণস্বরূপ, একটি এককত্বের সবচেয়ে সুস্পষ্ট অপরিবর্তনীয় হল তার বহুগুণ। তবে এটি ব্লোআপের অধীনে হ্রাস করার দরকার নেই, তাই উন্নতি পরিমাপ করতে আরও সূক্ষ্ম অপরিবর্তনীয় ব্যবহার করা প্রয়োজন। উদাহরণস্বরূপ, র্যাম্ফয়েড কাস্প y2 = x5-এর উৎপত্তিস্থলে ক্রম 2-এর এককত্ব রয়েছে। একক বিন্দুতে বিস্ফোরিত হওয়ার পরে এটি সাধারণ কুস্প y2 = x3 হয়ে যায়, যার এখনও বহুগুণ 2 রয়েছে। এটা স্পষ্ট যে এককত্বের উন্নতি হয়েছে, যেহেতু বহুপদী সংজ্ঞায়িত করার মাত্রা হ্রাস পেয়েছে। সাধারণভাবে এমনটা হয় না। একটি উদাহরণ যেখানে এটি নেই তা উৎপত্তিস্থলে x2 + y3z + z3 = 0 এর বিচ্ছিন্ন এককত্ব দ্বারা দেওয়া হয়। এটিকে উড়িয়ে দিলে এককত্ব x2 + y2z + yz3 = 0 পাওয়া যায়। এটি অবিলম্বে স্পষ্ট নয় যে এই নতুন এককত্বটি আরও ভাল, কারণ উভয় এককত্বের গুণিতক 2 রয়েছে এবং 2,3 এবং 4 মাত্রার একবচনগুলির যোগফল দ্বারা দেওয়া হয়। এককত্বের উন্নতির জন্য একটি স্বাভাবিক ধারণা হল "সবচেয়ে খারাপ" একক বিন্দুর অবস্থানকে উড়িয়ে দেওয়া। হুইটনি ছাতা x2 = y2z এককভাবে z অক্ষ সেট করে, যার বেশিরভাগ বিন্দু সাধারণ দ্বৈত বিন্দু, তবে উৎসে আরও জটিল পিঞ্চ বিন্দু এককত্ব রয়েছে, তাই সবচেয়ে খারাপ একক বিন্দুগুলিকে উড়িয়ে দেওয়ার পরামর্শ দেওয়া হয় যে একজনের মূলটিকে উড়িয়ে দিয়ে শুরু করা উচিত। তবে মূলটিকে উড়িয়ে দেওয়া সমন্বয় চার্টগুলির একটিতে একই এককত্ব পুনরুত্পাদন করে। সুতরাং (আপাতদৃষ্টিতে) "সবচেয়ে খারাপ" একক বিন্দুগুলিকে উড়িয়ে দেওয়া এককত্বের উন্নতি করে না। পরিবর্তে জেড-অক্ষ বরাবর উড়িয়ে এককত্বের সমাধান করা যেতে পারে। কিছু অ্যালগরিদম রয়েছে যা কিছু অর্থে "সবচেয়ে খারাপ" একক পয়েন্টগুলিকে উড়িয়ে দিয়ে কাজ করে, যেমন, তবে এই উদাহরণটি দেখায় যে "সবচেয়ে খারাপ" পয়েন্টগুলির সংজ্ঞাটি বেশ সূক্ষ্ম হওয়া দরকার। আরও জটিল এককত্বের জন্য, যেমন x2 = ymzn যা x = yz = 0 বরাবর একবচন, উৎপত্তিস্থলে সবচেয়ে খারাপ এককত্বকে উড়িয়ে দিয়ে এককত্ব x2 = ym + n − 2zn এবং x2 = ymzm + n − 2 উৎপন্ন করে যা মূল এককত্বের চেয়ে খারাপ যদি m এবং n উভয়ই কমপক্ষে 3 হয়। রেজোলিউশনের পরে, মোট রূপান্তর (কঠোর রূপান্তর এবং ব্যতিক্রমী বিভাজকের মিলন) সাধারণ স্বাভাবিক ক্রসিং প্রকারের এককত্ব সহ একটি বৈচিত্র্য। এই ধরনের এককত্বের সমাধান না করে এককত্বের সমাধানের সম্ভাবনা বিবেচনা করা স্বাভাবিক, এটি এমন একটি রেজোলিউশন খুঁজে বের করা যা মসৃণ এবং সহজ স্বাভাবিক ক্রসিং পয়েন্টের সেটের উপর একটি সমরূপতা। যখন কঠোর রূপান্তরটি একটি বিভাজক হয় (অর্থাৎ, একটি মসৃণ বৈচিত্র্যে একটি উপ-বৈচিত্র্য কোডাইমেনশন হিসাবে এম্বেড করা যেতে পারে) তখন এটি জানা যায় যে সাধারণ স্বাভাবিক ক্রসিং পয়েন্টগুলি এড়িয়ে একটি শক্তিশালী রেজোলিউশন বিদ্যমান। হুইটনির ছাতা দেখায় যে স্বাভাবিক ক্রসিং এককত্বকে উড়িয়ে দেওয়া এড়ানো এককত্বের সমাধান করা সম্ভব নয়। ইনক্রিমেন্টাল রেজোলিউশন পদ্ধতির জন্য মেমরির প্রয়োজন এককত্বগুলি সমাধান করার একটি স্বাভাবিক উপায় হল ক্যানোনিকালভাবে নির্বাচিত কিছু মসৃণ উপ-বৈচিত্র্যকে বারবার উড়িয়ে দেওয়া। এটি নিম্নলিখিত সমস্যার মধ্যে পড়ে। x2 = y2z2 এর একক সেট হল y এবং z অক্ষ দ্বারা প্রদত্ত রেখার জোড়া। উড়িয়ে দেওয়ার জন্য একমাত্র যুক্তিসঙ্গত জাতগুলি হল মূল, এই দুটি অক্ষের মধ্যে একটি, বা পুরো একক সেট (উভয় অক্ষ)। তবে পুরো একবচন সেটটি ব্যবহার করা যায় না কারণ এটি মসৃণ নয় এবং দুটি অক্ষের মধ্যে একটি বেছে নেওয়া তাদের মধ্যে প্রতিসাম্য ভেঙে দেয় তাই ক্যানোনিকাল নয়। এর অর্থ হল আমাদের উৎপত্তিস্থলকে উড়িয়ে দিয়ে শুরু করতে হবে, তবে এটি মূল এককত্বকে পুনরুত্পাদন করে, তাই আমরা বৃত্তাকারে ঘুরছি বলে মনে হয়। এই সমস্যার সমাধান হল যে যদিও উৎপত্তিস্থলকে উড়িয়ে দেওয়া এককত্বের ধরন পরিবর্তন করে না, এটি একটি সূক্ষ্ম উন্নতি দেয়ঃ এটি দুটি একক অক্ষের মধ্যে প্রতিসাম্যকে ভেঙে দেয় কারণ তাদের মধ্যে একটি পূর্ববর্তী বিস্ফোরণের জন্য একটি ব্যতিক্রমী বিভাজক, তাই এখন এগুলির মধ্যে কেবল একটি উড়িয়ে দেওয়ার অনুমতি রয়েছে। যাইহোক, এটিকে কাজে লাগানোর জন্য রেজোলিউশন পদ্ধতির এই দুটি এককত্বকে ভিন্নভাবে বিবেচনা করা প্রয়োজন, যদিও তারা স্থানীয়ভাবে একই। এটি কখনও কখনও রেজোলিউশন পদ্ধতিকে কিছু মেমরি দিয়ে করা হয়, তাই প্রতিটি ধাপে ব্লোআপের কেন্দ্রটি কেবল এককত্বের উপর নির্ভর করে না, বরং এটি তৈরি করতে ব্যবহৃত পূর্ববর্তী ব্লোআপগুলির উপর নির্ভর করে। রেজোলিউশনগুলি কার্যকরী নয় কিছু রেজোলিউশন পদ্ধতি (0 বৈশিষ্ট্যযুক্ত) সমস্ত মসৃণ অঙ্গসংস্থানের জন্য কার্যকরী। তবে সমস্ত (সম্ভবত অ-মসৃণ) মরফিজমের জন্য একটি শক্তিশালী রেজোলিউশন ফাংক্টোরিয়াল খুঁজে পাওয়া সম্ভব নয়। মানচিত্র দ্বারা একটি উদাহরণ দেওয়া হয়েছে অ্যাফিন সমতল A2 থেকে শঙ্কু এককত্ব x2 + y2 = z2 পর্যন্ত (X, Y) থেকে (2XY, X2 − Y2, X2 + Y2)। এক্সওয়াই-তলটি ইতিমধ্যেই অ-সিঙ্গুলার তাই রেজোলিউশন দ্বারা পরিবর্তন করা উচিত নয়, এবং শঙ্কু এককত্বের যে কোনও রেজোলিউশন একক বিন্দুটিকে উড়িয়ে দিয়ে প্রদত্ত ন্যূনতম রেজোলিউশনের মাধ্যমে ফ্যাক্টরাইজ করে। তবে এক্সওয়াই-প্লেন থেকে এই বিস্ফোরণ পর্যন্ত যুক্তিসঙ্গত মানচিত্রটি নিয়মিত মানচিত্রে প্রসারিত হয় না। ন্যূনতম রেজোলিউশনগুলির ন্যূনতম রেজোলিউশন (রেজোলিউশনগুলি যেমন তাদের মাধ্যমে প্রতিটি রেজোলিউশন ফ্যাক্টর) 1 এবং 2 মাত্রায় বিদ্যমান থাকে না, তবে সর্বদা উচ্চতর মাত্রায় থাকে না। আতিয়া ফ্লপ কোনও ন্যূনতম রেজোলিউশন ছাড়াই এককত্বের 3 মাত্রায় একটি উদাহরণ দেয়। ধরা যাক, A4-এ Y হল xy = zw-এর শূন্য, এবং V হল উৎপত্তিস্থলে Y-এর বিস্ফোরণ। এই বিস্ফোরণের ব্যতিক্রমী স্থানটি পি1 × পি1-এর সমতুল্য, এবং দুটি ভিন্ন উপায়ে পি1-এ নামানো যেতে পারে, যা ওয়াই-এর দুটি ছোট রেজোলিউশন এক্স1 এবং এক্স2 দেয়, যার কোনওটিকেই আর উড়িয়ে দেওয়া যায় না। রেজোলিউশনগুলি পণ্যগুলির সাথে যাতায়াত করা উচিত নয় নিম্নলিখিত উদাহরণটি দেখায় যে পণ্যগুলির সাথে যাতায়াতের জন্য পর্যাপ্ত ভাল রেজোলিউশন পদ্ধতি আশা করা যায় না। যদি f: A → B অ্যাফাইন 3-স্পেসে একটি চতুর্ভুজ শঙ্কু B-এর উৎপত্তির বিস্ফোরণ হয়, তবে f × f: A × A → B × B একটি স্থানীয় রেজোলিউশন পদ্ধতি দ্বারা উত্পাদিত হতে পারে না, মূলত কারণ ব্যতিক্রমী লোকাসের 2 টি উপাদান রয়েছে যা ছেদ করে। টরিক জাতের এককত্ব টরিক জাতের এককত্ব উচ্চ-মাত্রিক এককত্বের উদাহরণ দেয় যা স্পষ্টভাবে সমাধান করা সহজ। একটি টরিক বৈচিত্র্য একটি পাখা দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়, একটি জালিতে শঙ্কুগুলির সংগ্রহ। এককত্বগুলি সমাধান করা যেতে পারে প্রতিটি শঙ্কুকে শঙ্কুগুলির একটি ইউনিয়নে বিভক্ত করে যার প্রতিটি জালের জন্য একটি ভিত্তি দ্বারা উত্পন্ন হয় এবং সংশ্লিষ্ট টরিক বৈচিত্র্য গ্রহণ করে। যে কেন্দ্রগুলি এক্স-এর নিয়মিত উপপ্রজাতি, সেগুলি নির্বাচন করা বিভিন্ন ধরনের এক্স-এর বিচ্ছিন্নকরণের কেন্দ্রগুলি এক্স-এর মসৃণ উপপ্রজাতিগুলির মতো বিস্ফোরণের কেন্দ্র তৈরি করতে পারে না। একটি বিমূর্ত বৈচিত্র্য X-এর বিচ্ছিন্নকরণের অনেক নির্মাণ স্থানীয়ভাবে একটি মসৃণ বৈচিত্র্য W-এ X-কে এম্বেড করে, W-এ এর আদর্শ বিবেচনা করে এবং এই আদর্শের একটি প্রামাণিক বিচ্ছিন্নকরণ গণনা করে এগিয়ে যায়। আদর্শের বিচ্ছিন্নকরণ আদর্শের ক্রমকে আদর্শ কতটা একক তার পরিমাপ হিসাবে ব্যবহার করে। আদর্শের বিচ্ছিন্নকরণ এমনভাবে করা যেতে পারে যাতে কেউ যুক্তি দিতে পারে যে স্থানীয় কেন্দ্রগুলি বিশ্বব্যাপী কেন্দ্রগুলি দেওয়ার জন্য একত্রিত হয়। হিরোনাকার মূল প্রমাণের তুলনায় এই পদ্ধতিটি এমন একটি প্রমাণের দিকে পরিচালিত করে যা উপস্থাপন করা তুলনামূলকভাবে সহজ, যা হিলবার্ট-স্যামুয়েল ফাংশনকে কতটা খারাপ এককত্বের পরিমাপ হিসাবে ব্যবহার করে। উদাহরণস্বরূপ, প্রুফ ইন,, এবং এই ধারণাটি ব্যবহার করুন। যাইহোক, এই পদ্ধতিটি শুধুমাত্র ডব্লিউ-তে নিয়মিত বিস্ফোরণের কেন্দ্রগুলি নিশ্চিত করে। নিম্নলিখিত উদাহরণটি দেখায় যে এই পদ্ধতিটি এমন কেন্দ্র তৈরি করতে পারে যার এক্স-এর (কঠোর রূপান্তর) সঙ্গে অ-মসৃণ ছেদ রয়েছে। অতএব, ফলস্বরূপ বিচ্ছিন্নকরণ, যখন বিমূর্ত বৈচিত্র্য এক্স-এর মধ্যে সীমাবদ্ধ থাকে, তখন এক্স-এর নিয়মিত উপ-বৈচিত্র্যগুলিকে উড়িয়ে দিয়ে প্রাপ্ত হয় না। ধরা যাক x, y, z, w স্থানাঙ্ক সহ y2-x3 এবং x4 + xz2-w3 দ্বারা উৎপন্ন চার-মাত্রিক অ্যাফিন সমতলের উপ-বৈচিত্র্য। এই জেনারেটরগুলির সাথে আদর্শটির ক্যানোনিকাল ডিসিঙ্গুলারাইজেশন x = y = z = w = 0 দ্বারা প্রদত্ত কেন্দ্র C0 কে উড়িয়ে দেবে। x-y2 এবং y2 (y2 + z2-w3) দ্বারা উৎপন্ন হলে x-চার্টে আদর্শের রূপান্তর। সি1 উড়িয়ে দেওয়ার পরবর্তী কেন্দ্রটি x = y = 0 দ্বারা দেওয়া হয়। তবে, এক্স-এর কঠোর রূপান্তর হল এক্স1, যা এক্স-ওয়াই2 এবং ওয়াই2 + জেড2-ডাব্লু3 দ্বারা উৎপন্ন হয়। এর মানে হল যে, C1 এবং X1-এর ছেদ x = y = 0 এবং z2-w3 = 0 দ্বারা দেওয়া হয়, যা নিয়মিত নয়। বিস্ফোরণের কেন্দ্রগুলি তৈরি করতে যা এক্স-এর নিয়মিত উপ-বৈচিত্র্য, শক্তিশালী প্রমাণগুলি ডাব্লু-তে স্থানীয় এম্বেডিংয়ে তার আদর্শের ক্রমের পরিবর্তে এক্স-এর স্থানীয় বলয়ের হিলবার্ট-স্যামুয়েল ফাংশন ব্যবহার করে। এককত্বের রেজোলিউশনের অন্যান্য রূপগুলি রেজোলিউশনের পরে মোট রূপান্তর, কঠোর রূপান্তর, এক্স এবং ব্যতিক্রমী বিভাজকের মিলন, এমন একটি বৈচিত্র্য যা তৈরি করা যেতে পারে, সর্বোপরি, সহজ স্বাভাবিক ক্রসিং এককত্বের জন্য। তখন এই ধরনের এককত্বের সমাধান না করে এককত্বের সমাধানের সম্ভাবনা বিবেচনা করা স্বাভাবিক। সমস্যাটি হল মসৃণ এবং সহজ স্বাভাবিক ক্রসিং পয়েন্টগুলির সেটের উপর একটি আইসোমরফিজমের সমাধান খুঁজে বের করা। যখন X একটি বিভাজক, অর্থাৎ। এটি একটি কোডিমেনশন হিসাবে এম্বেড করা যেতে পারে-একটি মসৃণ বৈচিত্র্যে একটি উপ-বৈচিত্র্য এটি সহজ স্বাভাবিক ক্রসিং পয়েন্টগুলি এড়িয়ে শক্তিশালী রেজোলিউশনের অস্তিত্ব সত্য বলে জানা যায়। বিভিন্ন ধরনের এককত্ব এড়ানোর জন্য সাধারণ ঘটনা বা সাধারণীকরণ এখনও জানা যায়নি। কিছু এককত্ব এড়ানো অসম্ভব। উদাহরণস্বরূপ, সাধারণ ক্রসিং এককত্বকে উড়িয়ে দিয়ে এককত্বের সমাধান করা যায় না। প্রকৃতপক্ষে, পিঞ্চ পয়েন্ট সিঙ্গুলারিটি সমাধান করার জন্য পুরো সিঙ্গুলার লোকাসকে উড়িয়ে দেওয়া দরকার, যেখানে স্বাভাবিক ক্রসিং সিঙ্গুলারিটি উপস্থিত রয়েছে। রেফারেন্স গ্রন্থপঞ্জি (1998 2য় সংস্করণ) এবং (তাঁর রেজোলিউশন অফ সিঙ্গুলারিটিস-সিয়াটল লেকচারের অনুরূপ। , এক্সটার্নাল লিঙ্কস রেজোলিউশন অফ সিঙ্গুলারিটিস আই-এ পুনঃমুদ্রিত, হিরোনাকার একটি বক্তৃতার ভিডিও। বীজগাণিতিক জ্যামিতিতে এককত্বের সমাধান, হিরোনাকার একটি বক্তৃতার একটি ভিডিও। এককত্বের কিছু ছবি এবং তাদের রেজোলিউশন এককঃ এককত্ব সমাধানের জন্য প্যাকেজ সহ একটি কম্পিউটার বীজগণিত ব্যবস্থা। 1997 সালের সেপ্টেম্বরের 'ওয়ার্কিং উইক অন রেজোলিউশন অফ সিঙ্গুলারিটিজ'-এর নোট এবং বক্তৃতা, 1997 সালের সেপ্টেম্বরের 'ওবার্গার্গল, টিরোল, অস্ট্রিয়া' লেকচার নোটস ফ্রম দ্য সামার স্কুল অন রেজোলিউশন অফ সিঙ্গুলারিটিজ, জুন 2006, ট্রিস্টে, ইতালি। ডেসিং-এককত্বের সমাধানের জন্য একটি কম্পিউটার প্রোগ্রাম হাউজারের হোম পেজে এককত্বের সমাধানের উপর বেশ কয়েকটি এক্সপোজিটরি পেপার রয়েছে বীজগাণিতিক জ্যামিতি এককত্ব তত্ত্ব জ্যামিতিতে অমীমাংসিত সমস্যা