Structure theorem for finitely generated modules over a principal ideal domain
গণিতে, বিমূর্ত বীজগণিতের ক্ষেত্রে, একটি প্রধান আদর্শ ডোমেনের উপর পরিমিতভাবে উত্পন্ন মডিউলগুলির জন্য কাঠামো উপপাদ্য হল সীমিতভাবে উত্পন্ন আবেলিয়ান গোষ্ঠীর মৌলিক উপপাদ্যের একটি সাধারণীকরণ এবং মোটামুটিভাবে বলে যে একটি প্রধান আদর্শ ডোমেনের (পি. আই. ডি) উপর সীমিতভাবে উত্পন্ন মডিউলগুলি অনন্যভাবে একইভাবে বিচ্ছিন্ন করা যেতে পারে যেমন পূর্ণসংখ্যাগুলির একটি মৌলিক গুণনফল রয়েছে। ফলাফলটি ক্ষেত্রের উপর বর্গ ম্যাট্রিক্সের জন্য বিভিন্ন ক্যানোনিকাল ফর্ম ফলাফল বোঝার জন্য একটি সহজ কাঠামো প্রদান করে। বিবৃতি যখন একটি ক্ষেত্র F-এর উপর একটি ভেক্টর স্পেসের একটি সীমাবদ্ধ জেনারেটিং সেট থাকে, তখন কেউ এটি থেকে ভেক্টরের একটি সীমাবদ্ধ সংখ্যা n নিয়ে গঠিত একটি ভিত্তি বের করতে পারে এবং তাই স্থানটি Fn-এর সমতুল্য। একটি প্রধান আদর্শ ডোমেন আর-এর জন্য সাধারণীকরণ করা এফ-এর সাথে সম্পর্কিত বিবৃতিটি আর সত্য নয়, কারণ আর-এর উপর একটি সীমাবদ্ধভাবে উত্পন্ন মডিউলের ভিত্তি বিদ্যমান নাও থাকতে পারে। যাইহোক, এই ধরনের একটি মডিউল এখনও n সসীম সহ কিছু মডিউল Rn-এর ভাগফলের সমতুল্য (এটি দেখার জন্য এটি সেই অঙ্গসংস্থান তৈরি করার জন্য যথেষ্ট যা Rn-এর ক্যানোনিকাল ভিত্তির উপাদানগুলিকে মডিউলের জেনারেটরগুলিতে প্রেরণ করে এবং ভাগফলটিকে তার কার্নেল দ্বারা গ্রহণ করে।) সেট তৈরির পছন্দ পরিবর্তন করে, কেউ প্রকৃতপক্ষে মডিউলটিকে একটি বিশেষভাবে সহজ উপ-মডিউল দ্বারা কিছু আরএন-এর ভাগফল হিসাবে বর্ণনা করতে পারে এবং এটি কাঠামোর উপপাদ্য। একটি প্রধান আদর্শ ডোমেনের উপর সীমাবদ্ধভাবে উত্পন্ন মডিউলগুলির জন্য কাঠামো উপপাদ্য সাধারণত নিম্নলিখিত দুটি রূপে উপস্থিত হয়। অপরিবর্তনীয় ফ্যাক্টর পচন একটি প্রধান আদর্শ ডোমেনের উপর প্রতিটি সীমাবদ্ধভাবে উত্পন্ন মডিউলের জন্য, সঠিক আদর্শগুলির একটি অনন্য হ্রাস ক্রম রয়েছে যা চক্রাকার মডিউলগুলির যোগফলের সমরূপঃ আদর্শগুলির জেনারেটরগুলি একটি একক দ্বারা গুণন পর্যন্ত অনন্য এবং এগুলিকে এম-এর অপরিবর্তনীয় ফ্যাক্টর বলা হয়। যেহেতু আদর্শগুলি যথাযথ হওয়া উচিত, তাই এই কারণগুলি অবশ্যই বিপরীতমুখী হওয়া উচিত নয় (এটি যোগফলের মধ্যে তুচ্ছ কারণগুলি এড়ায়), এবং আদর্শগুলির অন্তর্ভুক্তি মানে একজনের বিভাজ্যতা রয়েছে। মুক্ত অংশটি কারণগুলির সাথে সম্পর্কিত পচনের অংশে দৃশ্যমান। এই ধরনের কারণগুলি, যদি থাকে, অনুক্রমের শেষে ঘটে। যদিও সরাসরি যোগফল অনন্যভাবে দ্বারা নির্ধারিত হয়, আইসোমরফিজম নিজেই পচন প্রদান করে সাধারণভাবে অনন্য নয়। উদাহরণস্বরূপ, যদি আসলে একটি ক্ষেত্র হয়, তবে সমস্ত উপস্থিত আদর্শ অবশ্যই শূন্য হতে হবে, এবং একজন একটি সসীম মাত্রিক ভেক্টর স্থানের পচনকে এক-মাত্রিক সাবস্পেসের সরাসরি যোগফলের মধ্যে অর্জন করে; এই ধরনের কারণগুলির সংখ্যা স্থির করা হয়, যথা স্থানের মাত্রা, তবে সাবস্পেসগুলি বেছে নেওয়ার জন্য প্রচুর স্বাধীনতা রয়েছে (যদি)। অ-শূন্য উপাদানগুলি, যার সংখ্যা শূন্য, মডিউলটির জন্য অপরিবর্তনীয়গুলির একটি সম্পূর্ণ সেট গঠন করে। স্পষ্টতই, এর অর্থ হল যে কোনও দুটি মডিউল একই অপরিবর্তনীয় সেট ভাগ করে নিলে তা অবশ্যই সমরূপ। কেউ কেউ 'এম'-এর মুক্ত অংশকে আলাদাভাবে লিখতে পছন্দ করেনঃ যেখানে দৃশ্যমান সংখ্যা শূন্য নয় এবং 'এফ' হল মূল ক্রমের 'এস'-এর সংখ্যা যা 0। প্রাইমারি ডিকম্পোসিশন একটি প্রধান আদর্শ ডোমেইন R-এর উপর প্রতিটি ফাইনাইটলি জেনারেটেড মডিউল M, যেখানে এবং যেখানে প্রাথমিক আদর্শগুলির মধ্যে একটির সমরূপ। এগুলি অনন্য (একক দ্বারা গুণন পর্যন্ত)। উপাদানগুলিকে এম-এর প্রাথমিক বিভাজক বলা হয়। পি. আই. ডি-তে, অ-শূন্য প্রাথমিক আদর্শগুলি মৌলিক সংখ্যার ঘাত, এবং তাই। যখন, ফলস্বরূপ অদলবদলযোগ্য মডিউলটি নিজেই হয়, এবং এটি এম-এর অংশের ভিতরে থাকে যা একটি মুক্ত মডিউল। যোগফলগুলি অপরিবর্তনীয়, তাই প্রাথমিক পচন হল অপরিবর্তনীয় মডিউলে একটি পচন, এবং এইভাবে একটি পি. আই. ডি-তে প্রতিটি সীমাবদ্ধভাবে উত্পন্ন মডিউল একটি সম্পূর্ণরূপে পচনশীল মডিউল। যেহেতু পি. আই. ডি হল নোথেরিয়ান বলয়, তাই এটিকে ল্যাস্কার-নোইথার উপপাদ্যের প্রকাশ হিসাবে দেখা যেতে পারে। আগের মতো, মুক্ত অংশ (যেখানে) আলাদাভাবে লেখা এবং এম হিসাবে প্রকাশ করা সম্ভবঃ যেখানে দৃশ্যমান শূন্য নয়। প্রমাণ একটি প্রমাণ নিম্নরূপঃ একটি পি. আই. ডি-র উপর প্রতিটি চূড়ান্তভাবে উত্পন্ন মডিউলও চূড়ান্তভাবে উপস্থাপিত হয় কারণ একটি পি. আই. ডি হল নোথেরিয়ান, যা সঙ্গতির চেয়ে আরও শক্তিশালী অবস্থা। একটি উপস্থাপনা নিন, যা একটি মানচিত্র (জেনারেটরের সাথে সম্পর্ক), এবং এটি স্মিথ স্বাভাবিক আকারে রাখুন। এটি অপরিবর্তনীয় ফ্যাক্টরের পচন ঘটায় এবং স্মিথ স্বাভাবিক রূপের তির্যক এন্ট্রিগুলি অপরিবর্তনীয় ফ্যাক্টর। একটি প্রমাণের আরেকটি রূপরেখাঃ টি. এম দ্বারা এম-এর টর্জন সাব-মডিউলকে নির্দেশ করুন। তারপর এম/টি. এম একটি পরিমিতভাবে উত্পন্ন টর্জন মুক্ত মডিউল, এবং একটি বিনিময়যোগ্য পি. আই. ডি-এর উপর এই ধরনের একটি মডিউল সসীম র্যাঙ্কের একটি মুক্ত মডিউল, তাই এটি একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা এন-এর জন্য সমরূপ। এই মুক্ত মডিউলটি এম-এর এফ সাব-মডিউল হিসাবে এম্বেড করা যেতে পারে, যাতে এম্বেডিং বিভাজিত হয় (একটি ডান বিপরীত) প্রজেকশন মানচিত্র; ফলস্বরূপ এটি এফ-এর প্রতিটি জেনারেটরকে এম-এ তুলতে যথেষ্ট। R-এর একটি মৌলিক উপাদান p-এর জন্য আমরা তখন কথা বলতে পারি। এটি টিএম-এর একটি উপ-মডিউল, এবং এটি প্রমাণিত হয় যে প্রতিটি এনপি চক্রাকার মডিউলগুলির একটি সরাসরি যোগফল, এবং সেই টিএম একটি সীমাবদ্ধ সংখ্যক স্বতন্ত্র মৌলিক সংখ্যা পি-এর জন্য এনপি-র একটি সরাসরি যোগফল। পূর্ববর্তী দুটি ধাপ একসাথে রেখে, এম নির্দেশিত ধরণের চক্রাকার মডিউলে বিভক্ত হয়। Corollaries এর মধ্যে একটি বিশেষ ক্ষেত্রে সীমাবদ্ধ-মাত্রিক ভেক্টর স্পেসের শ্রেণীবিভাগ অন্তর্ভুক্ত রয়েছে, যেখানে। যেহেতু ক্ষেত্রগুলির কোনও অ-তুচ্ছ আদর্শ নেই, তাই প্রতিটি সীমাবদ্ধভাবে উত্পন্ন ভেক্টর স্থান মুক্ত। ফাইনাইটলি জেনারেটেড আবেলিয়ান গ্রুপের মৌলিক উপপাদ্যটি গ্রহণ করা। T কে K-এর উপর একটি সীমাবদ্ধ-মাত্রিক ভেক্টর স্পেস V-এর উপর একটি রৈখিক অপারেটর হিসাবে ধরা যাক। T-তে মূল্যায়ন করা K-তে সহগ সহ বহুপদগুলির বীজগণিত গ্রহণ করলে, T সম্পর্কে কাঠামোর তথ্য পাওয়া যায়। শেষ অপরিবর্তনীয় গুণক হল ন্যূনতম বহুপদী, এবং অপরিবর্তনীয় গুণকগুলির গুণফল হল চরিত্রগত বহুপদী। এর জন্য একটি স্ট্যান্ডার্ড ম্যাট্রিক্স ফর্মের সাথে মিলিত হয়ে, এটি বিভিন্ন ক্যানোনিকাল ফর্ম উৎপন্ন করেঃ অপরিবর্তনীয় ফ্যাক্টর + সহচর ম্যাট্রিক্স ফল দেয় ফ্রোবেনিয়াস স্বাভাবিক ফর্ম (ওরফে, যুক্তিসঙ্গত ক্যানোনিকাল ফর্ম) প্রাথমিক পচন + সহচর ম্যাট্রিক্স ফল দেয় প্রাথমিক যুক্তিসঙ্গত ক্যানোনিকাল ফর্ম প্রাথমিক পচন + জর্ডান ব্লকগুলি জর্ডান ক্যানোনিকাল ফর্ম উৎপন্ন করে (এটি কেবল একটি বীজগাণিতিকভাবে বন্ধ ক্ষেত্রের উপর ধরে রাখে) স্বতন্ত্রতা যদিও অপরিবর্তনীয় (র্যাঙ্ক, অপরিবর্তনীয় ফ্যাক্টর এবং প্রাথমিক বিভাজক) অনন্য, এম এবং এর ক্যানোনিকাল ফর্মের মধ্যে আইসোমরফিজম অনন্য নয়, এবং সরাসরি সমষ্টি পচনও সংরক্ষণ করে না। এটি অনুসরণ করে কারণ এই মডিউলগুলির অ-তুচ্ছ অটোমরফিজম রয়েছে যা যোগফল সংরক্ষণ করে না। যাইহোক, একজনের একটি ক্যানোনিকাল টর্জন সাব-মডিউল টি এবং প্রতিটি (স্বতন্ত্র) অপরিবর্তনীয় ফ্যাক্টরের সাথে সম্পর্কিত অনুরূপ ক্যানোনিকাল সাব-মডিউল রয়েছে, যা একটি ক্যানোনিকাল ক্রম দেয়ঃ জর্ডান-হল্ডার উপপাদ্যের রচনা সিরিজের তুলনা করুন। উদাহরণস্বরূপ, যদি, এবং একটি ভিত্তি হয়, তবে এটি আরেকটি ভিত্তি, এবং ভিত্তি ম্যাট্রিক্সের পরিবর্তন যোগফলকে সংরক্ষণ করে না। যাইহোক, এটি যোগফল সংরক্ষণ করে, কারণ এটি টর্জন সাব-মডিউল (সমতুল্যভাবে এখানে, 2-টর্জন উপাদান)। সাধারণীকরণ গোষ্ঠী জর্ডান-হোল্ডার উপপাদ্যটি সীমাবদ্ধ গোষ্ঠীগুলির (বা একটি নির্বিচারে বলয়ের উপর মডিউল) জন্য আরও সাধারণ ফলাফল। এই সাধারণতায়, একটি সরাসরি যোগফলের পরিবর্তে একটি রচনা সিরিজ পাওয়া যায়। ক্রুল-শ্মিট উপপাদ্য এবং সম্পর্কিত ফলাফলগুলি এমন শর্ত দেয় যার অধীনে একটি মডিউলের প্রাথমিক পচনের মতো কিছু থাকে, যা অবিন্যস্তযোগ্য মডিউলগুলির সরাসরি যোগফল হিসাবে একটি পচন যেখানে যোগফলগুলি ক্রম অনুসারে অনন্য। প্রাথমিক পচন প্রাথমিক পচন কমিউটেটিভ নোথেরিয়ান বলয়ের উপর সীমাবদ্ধভাবে উত্পন্ন মডিউলে সাধারণীকরণ করে এবং এই ফলাফলকে ল্যাস্কার-নোইথার উপপাদ্য বলা হয়। বিপরীতে, অপরিবর্তনীয় উপ-মডিউলে অনন্য পচন যতদূর সম্ভব সাধারণীকরণ করে না এবং ব্যর্থতা আদর্শ শ্রেণী গোষ্ঠী দ্বারা পরিমাপ করা হয়, যা পিআইডি-র জন্য অদৃশ্য হয়ে যায়। যে রিংগুলি প্রধান আদর্শ ডোমেন নয়, তাদের জন্য দুটি উপাদান দ্বারা উত্পন্ন রিংয়ের উপর মডিউলগুলির জন্যও অনন্য পচন ধরে রাখার প্রয়োজন হয় না। R = Z [√−5] বলয়ের জন্য, 2 এবং 1 + ρ−5 দ্বারা উৎপন্ন মডিউল R এবং এর সাব-মডিউল M উভয়ই অপরিবর্তনীয়। যদিও R, M-এর সমতুল্য নয়, R ≤ R, M ≤ M-এর সমতুল্য; এইভাবে M সমষ্টিগুলির চিত্রগুলি অপরিবর্তনীয় উপ-মডিউল L1, L2 <R ≤ R দেয় যা R ≤ R-এর একটি ভিন্ন পচন দেয়। R ≤ R-কে অপ্রতিরোধ্য মডিউলগুলির সরাসরি যোগফলের মধ্যে অনন্যভাবে ফ্যাক্টরাইজ করার ব্যর্থতা সরাসরি (আদর্শ শ্রেণী গোষ্ঠীর মাধ্যমে) R-এর উপাদানগুলির অনন্য ফ্যাক্টরাইজেশনের ব্যর্থতার সাথে সম্পর্কিত। তবে, একটি ডেডেকাইন্ড ডোমেনের উপর আদর্শ শ্রেণী গোষ্ঠীটি একমাত্র বাধা, এবং কাঠামো উপপাদ্যটি সামান্য পরিবর্তন সহ একটি ডেডেকাইন্ড ডোমেনের উপর সীমাবদ্ধভাবে উত্পন্ন মডিউলগুলিকে সাধারণীকরণ করে। এখনও একটি অনন্য টর্জন অংশ রয়েছে, একটি টর্জন মুক্ত পরিপূরক (আইসোমরফিজম পর্যন্ত অনন্য) সহ, তবে একটি ডেডেকাইন্ড ডোমেনের উপর একটি টর্জন মুক্ত মডিউল আর অপরিহার্যভাবে মুক্ত নয়। একটি ডেডেকাইন্ড ডোমেনের উপর টরসিয়ন-মুক্ত মডিউলগুলি র্যাঙ্ক এবং স্টেনিৎজ শ্রেণী (যা আদর্শ শ্রেণী গোষ্ঠীতে মান নেয়) দ্বারা নির্ধারিত হয় (আইসোমরফিজম পর্যন্ত), এবং আর (র্যাঙ্ক এক মুক্ত মডিউল) এর অনুলিপিগুলির সরাসরি যোগফলের মধ্যে পচন একটি সরাসরি যোগফল দ্বারা র্যাঙ্ক এক প্রজেক্টিভ মডিউলে প্রতিস্থাপিত হয়ঃ পৃথক যোগফলগুলি অনন্যভাবে নির্ধারিত হয় না, তবে স্টেনিৎজ শ্রেণী (যোগফলের) হয়। নন-ফাইনাইটলি জেনারেটেড মডিউল একইভাবে যে মডিউলগুলি ফাইনাইটলি জেনারেটেড নয়, তাদের জন্য কেউ এত সুন্দর পচন আশা করতে পারে নাঃ এমনকি ফ্যাক্টরের সংখ্যাও পরিবর্তিত হতে পারে। কিউ4-এর জেড-সাব-মডিউল রয়েছে যা একই সাথে দুটি অনির্বচনীয় মডিউলের সরাসরি যোগফল এবং তিনটি অনির্বচনীয় মডিউলের সরাসরি যোগফল, যা দেখায় যে প্রাথমিক পচনের এনালগ অসীমভাবে উত্পন্ন মডিউলগুলির জন্য ধরে রাখতে পারে না, এমনকি পূর্ণসংখ্যার উপরেও, জেড। আরেকটি সমস্যা যা অ-চূড়ান্তভাবে উত্পন্ন মডিউলগুলির সাথে উদ্ভূত হয় তা হল টর্জন-মুক্ত মডিউল রয়েছে যা বিনামূল্যে নয়। উদাহরণস্বরূপ, পূর্ণসংখ্যার Z বলয়টি বিবেচনা করুন। তারপর Q হল একটি টর্জন-মুক্ত Z-মডিউল যা মুক্ত নয়। এই ধরনের মডিউলের আরেকটি ধ্রুপদী উদাহরণ হল বেয়ার-স্পিকার গ্রুপ, যা টার্মওয়াইজ সংযোজনের অধীনে পূর্ণসংখ্যার সমস্ত ক্রমের গ্রুপ। সাধারণভাবে, কোন প্রশ্নটি অসীমভাবে সৃষ্ট টর্জন-মুক্ত আবেলিয়ান গোষ্ঠীগুলি মুক্ত তা নির্ভর করে কোন বড় কার্ডিনালের অস্তিত্বের উপর। একটি পরিণতি হল যে অসীমভাবে উত্পন্ন মডিউলগুলির জন্য যে কোনও কাঠামো উপপাদ্য সেট তত্ত্ব স্বতঃসিদ্ধগুলির একটি পছন্দের উপর নির্ভর করে এবং একটি ভিন্ন পছন্দের অধীনে অবৈধ হতে পারে। রেফারেন্স বিমূর্ত বীজগণিতে উপপাদ্য মডিউল তত্ত্ব ডিঃ Hauptidealring#Moduln über হাউপটিডিয়ালরিঙ্গেন