Catenary ring
গণিতে, একটি বিনিময়যোগ্য বলয় আর হল ক্যাটেনারি, যদি মৌলিক আদর্শের যে কোনও জোড়া পি, কিউ, যে কোনও দুটি কঠোরভাবে ক্রমবর্ধমান শৃঙ্খলের জন্য পি = পি0 পি1। মৌলিক আদর্শের পিএন = কিউ একই (সীমাবদ্ধ) দৈর্ঘ্যের পি থেকে কিউ পর্যন্ত সর্বাধিক কঠোরভাবে ক্রমবর্ধমান শৃঙ্খলে থাকে। একটি জ্যামিতিক পরিস্থিতিতে, যেখানে মৌলিক আদর্শটি বড় হওয়ার সাথে সাথে একটি মৌলিক আদর্শের সাথে সংযুক্ত বীজগাণিতিক বৈচিত্র্যের মাত্রা হ্রাস পাবে, এই ধরনের একটি শৃঙ্খলের দৈর্ঘ্য সাধারণত মাত্রার পার্থক্য। একটি বলয়কে সর্বজনীনভাবে ক্যাটেনারি বলা হয় যদি এর উপর সমস্ত সীমাবদ্ধভাবে উত্পন্ন অ্যালজেব্রা ক্যাটেনারি বলয় হয়। 'ক্যাটেনারি' শব্দটি ল্যাটিন শব্দ ক্যাটেনা থেকে এসেছে, যার অর্থ 'চেইন'। অন্তর্ভুক্তির নিম্নলিখিত শৃঙ্খলা রয়েছে। আয়তনের সূত্র ধরুন, এ হল একটি নোথেরিয়ান ডোমেন এবং বি হল একটি ডোমেন যার মধ্যে এ রয়েছে যা এ-এর উপর সীমাবদ্ধভাবে উৎপন্ন হয়। যদি পি, বি-এর একটি মৌলিক আদর্শ হয় এবং পি, এ-এর সাথে ছেদ করে, তাহলে সর্বজনীনভাবে ক্যাটেনারি বলয়ের মাত্রার সূত্রটি বলে যে, এ সর্বজনীনভাবে ক্যাটেনারি হলে সমতা বজায় থাকে। এখানে κ (P) হল P এবং tr.deg-এর অবশিষ্টাংশ ক্ষেত্র। এর অর্থ হল উত্তরণ ডিগ্রি (ভাগফল ক্ষেত্রের)। প্রকৃতপক্ষে, যখন এ সর্বজনীনভাবে ক্যাটেনারি নয়, তবে সমতাও বজায় থাকে। উদাহরণস্বরূপ, বীজগাণিতিক জ্যামিতিতে প্রদর্শিত প্রায় সমস্ত নোথেরিয়ান বলয় সর্বজনীনভাবে ক্যাটেনারি। বিশেষত নিম্নলিখিত বলয়গুলি সর্বজনীনভাবে ক্যাটেনারিঃ সম্পূর্ণ নোথেরিয়ান স্থানীয় বলয় ডেডেকাইন্ড ক্ষেত্র (এবং ক্ষেত্র) কোহেন-ম্যাকালে বলয় (এবং নিয়মিত স্থানীয় বলয়) সর্বজনীন ক্যাটেনারি বলয়ের যে কোনও স্থানীয়করণ সর্বজনীন ক্যাটেনারি বলয়ের উপর যে কোনও সীমাবদ্ধভাবে উত্পন্ন বীজগণিত। একটি রিং যা ক্যাটেনারি কিন্তু সর্বজনীনভাবে ক্যাটেনারি নয়, সর্বজনীনভাবে ক্যাটেনারি নয় এমন নোথেরিয়ান রিংয়ের উদাহরণ তৈরি করা সূক্ষ্ম। প্রথম উদাহরণটি পাওয়া গেছে, যিনি একটি দ্বিমাত্রিক নোথেরিয়ান স্থানীয় ডোমেন খুঁজে পেয়েছেন যা ক্যাটেনারি তবে সর্বজনীনভাবে ক্যাটেনারি নয়। নাগতার উদাহরণ নিম্নরূপ। একটি ফিল্ড k এবং একটি ফর্মাল পাওয়ার সিরিজ z = ssi> 0aixi ফর্মাল পাওয়ার সিরিজের S রিংয়ে x ওভার k-এ এমনভাবে বেছে নিন যাতে z এবং x বীজগাণিতিকভাবে স্বাধীন হয়। জেড1 = জেড এবং জি + 1 = জি/এক্স-আই সংজ্ঞায়িত করুন। ধরা যাক, R হল x এবং সমস্ত উপাদান zi দ্বারা উৎপন্ন (অ-নোথেরিয়ান) বলয়। ধরা যাক m হল আদর্শ (x), এবং n হল x-1 এবং সমস্ত উপাদান zi দ্বারা উৎপন্ন আদর্শ। এই উভয়ই R-এর সর্বাধিক আদর্শ, অবশিষ্ট ক্ষেত্রগুলি k-এর সমতুল্য। স্থানীয় বলয় Rm হল 1 মাত্রার একটি নিয়মিত স্থানীয় বলয় (এর প্রমাণ হল যে z এবং x বীজগাণিতিকভাবে স্বাধীন) এবং স্থানীয় বলয় Rn হল 2 মাত্রার একটি নিয়মিত নোথেরিয়ান স্থানীয় বলয়। ধরা যাক, 'বি' হল সমস্ত উপাদানের সাপেক্ষে 'আর'-এর স্থানীয়করণ, যা 'এম' বা 'এন'-এর মধ্যে নেই। তারপর 'বি' হল একটি দ্বিমাত্রিক নোথেরিয়ান আধা-স্থানীয় বলয়, যার 2টি সর্বোচ্চ আদর্শ, 'এমবি' (উচ্চতা 1) এবং 'এনবি' (উচ্চতা 2)। ধরা যাক আমি বি-এর জ্যাকবসন র্যাডিকাল, এবং ধরা যাক এ = কে + আই। রিং এ সর্বাধিক আদর্শ আই সহ মাত্রা 2-এর একটি স্থানীয় ডোমেন, তাই ক্যাটেনারি কারণ সমস্ত 2-মাত্রিক স্থানীয় ডোমেন ক্যাটেনারি। রিং এ হল নোথেরিয়ান কারণ বি হল নোথেরিয়ান এবং এটি একটি সসীম এ-মডিউল। তবে এ সর্বজনীনভাবে ক্যাটেনারি নয়, কারণ এটি যদি সর্বজনীনভাবে ক্যাটেনারি বলয়ের মাত্রার সূত্র অনুসারে বি-এর আদর্শ এমবি-র উচ্চতা এমবি θএ-এর সমান হত, তবে পরবর্তী আদর্শটির উচ্চতা ডিম (এ) = 2-এর সমান। নাগাতার উদাহরণ হল একটি অর্ধ-উৎকৃষ্ট বলয়, তাই এটি একটি অর্ধ-উৎকৃষ্ট বলয়ের উদাহরণ দেয় যা একটি উৎকৃষ্ট বলয় নয়। আরও দেখুন আনুষ্ঠানিকভাবে ক্যাটেনারি রিং (যা সর্বজনীনভাবে ক্যাটেনারি রিংয়ের মতো)। তথ্যসূত্র এইচ. মাতসুমুরা, বিনিময়যোগ্য বীজগণিত 1980। নাগাতা, মাসায়োশি স্থানীয় রিং। বিশুদ্ধ ও ফলিত গণিতে আন্তঃবিজ্ঞান ট্র্যাক্ট, নং। 13 ইন্টারসায়েন্স পাবলিশার্স জন উইলি অ্যান্ড সন্সের একটি বিভাগ, নিউ ইয়র্ক-লন্ডন 1962, আর. ই. ক্রিগার পাব দ্বারা পুনঃমুদ্রিত। কো (1975) আরও দেখুন রিং তত্ত্ব স্থানীয় রিং বিনিময়যোগ্য রিং কোহেন-ম্যাকালে রিং গোরেনস্টাইন স্থানীয় রিং বীজগাণিতিক জ্যামিতি বিনিময়যোগ্য বীজগণিত