Stable normal bundle
অস্ত্রোপচার তত্ত্বে, গণিতের একটি শাখা, একটি ডিফারেনশিয়েবল ম্যানিফোল্ডের স্থিতিশীল স্বাভাবিক বান্ডিল হল একটি অপরিবর্তনীয় যা স্থিতিশীল স্বাভাবিক (দ্বৈত, স্পর্শক) তথ্যকে এনকোড করে। ম্যানিফোল্ডের সাধারণীকরণের জন্য অ্যানালগ রয়েছে, বিশেষত পিএল-ম্যানিফোল্ড এবং টপোলজিকাল ম্যানিফোল্ড। মাইকেল স্পিভাকের নামে নামকরণ করা স্পিভাক গোলাকার ফাইব্রেশন, পয়েনকারে স্পেসের জন্য সমস্থানিক তত্ত্বের একটি এনালগও রয়েছে। এম্বেডিংয়ের মাধ্যমে নির্মাণ ইউক্লিডীয় স্থানে (হ্যাসলার হুইটনির উপপাদ্য দ্বারা প্রদত্ত) একটি বহুগুণের এম্বেডিং দেওয়া হলে, এটির একটি স্বাভাবিক বান্ডিল রয়েছে। এম্বেডিং অনন্য নয়, তবে ইউক্লিডীয় স্থানের উচ্চ মাত্রার জন্য এটি আইসোটোপি পর্যন্ত অনন্য, সুতরাং (শ্রেণীর) বান্ডিলটি অনন্য, এবং স্থিতিশীল স্বাভাবিক বান্ডিল বলা হয়। এই নির্মাণটি যে কোনও পয়েনকারে স্পেস এক্স-এর জন্য কাজ করেঃ একটি সীমাবদ্ধ সিডব্লিউ-কমপ্লেক্স সাধারণ অবস্থানের মাধ্যমে ইউক্লিডীয় স্পেসে একটি স্থিতিশীল অনন্য (হোমোটপি পর্যন্ত) এম্বেডিং স্বীকার করে এবং এই এম্বেডিং এক্স-এর উপর একটি গোলাকার ফাইব্রেশন উৎপন্ন করে। আরও সীমাবদ্ধ স্থানের জন্য (বিশেষত পিএল-ম্যানিফোল্ড এবং টপোলজিকাল ম্যানিফোল্ড), একজন আরও শক্তিশালী তথ্য পায়। বিবরণ দুটি এম্বেডিং সমস্থানিক হয় যদি সেগুলি এম্বেডিংয়ের মাধ্যমে সমস্থানিক হয়। একটি বহুগুণ বা অন্যান্য উপযুক্ত স্থান X দেওয়া হলে, ইউক্লিডীয় স্থানে দুটি এম্বেডিং সহ এগুলি সাধারণভাবে আইসোটোপিক হবে না, এমনকি একই স্থানের মানচিত্রও হবে না (সমান প্রয়োজন হবে না)। যাইহোক, শেষ স্থানাঙ্কগুলি 0 হতে দিয়ে এগুলি একটি বৃহত্তর স্থানে এম্বেড করা যেতে পারেঃ ইউক্লিডীয় স্থানের সংলগ্ন তুচ্ছ প্রতিলিপির এই প্রক্রিয়াকে স্থিতিশীলতা বলা হয়। এইভাবে ইউক্লিডীয় স্থানে যে কোনও দুটি এম্বেডিংয়ের ব্যবস্থা করা যেতে পারে যাতে একই ইউক্লিডীয় স্থানে মানচিত্র তৈরি করা যায় (নেওয়া), এবং আরও, যদি যথেষ্ট বড় হয়, তবে এই এম্বেডিংগুলি আইসোটোপিক, যা একটি উপপাদ্য। এইভাবে এম্বেডিংয়ের একটি অনন্য স্থিতিশীল আইসোটোপি শ্রেণী রয়েছেঃ এটি কোনও নির্দিষ্ট এম্বেডিং নয় (কারণ অনেকগুলি এম্বেডিং রয়েছে), বা কোনও আইসোটোপি শ্রেণীও নয় (কারণ লক্ষ্যস্থান নির্দিষ্ট নয়ঃ এটি কেবল "পর্যাপ্ত পরিমাণে বড় ইউক্লিডিয়ান স্থান"), বরং মানচিত্রের একটি স্থিতিশীল আইসোটোপি শ্রেণী। এই (স্থিতিশীল শ্রেণীর) এম্বেডিংয়ের সাথে যুক্ত স্বাভাবিক বান্ডিলটি তখন স্থিতিশীল স্বাভাবিক বান্ডিল হয়। লক্ষ্যস্থান নির্ধারণ করে এই স্থিতিশীল আইসোটোপি শ্রেণীকে একটি প্রকৃত আইসোটোপি শ্রেণী দিয়ে প্রতিস্থাপন করা যেতে পারে, হয় লক্ষ্যস্থান হিসাবে হিলবার্ট স্থান ব্যবহার করে, অথবা (ম্যানিফোল্ডের একটি নির্দিষ্ট মাত্রার জন্য) যথেষ্ট বড় একটি স্থির ব্যবহার করে, কারণ এন শুধুমাত্র এন-এর উপর নির্ভর করে, প্রশ্নযুক্ত ম্যানিফোল্ডের উপর নয়। আরও বিমূর্তভাবে, এম্বেডিংকে স্থিতিশীল করার পরিবর্তে, যে কেউ যে কোনও এম্বেডিং নিতে পারে এবং তারপরে পর্যাপ্ত সংখ্যক তুচ্ছ লাইন বান্ডিল সহ একটি ভেক্টর বান্ডিল সরাসরি যোগফল নিতে পারে; এটি স্থিতিশীল এম্বেডিংয়ের স্বাভাবিক বান্ডিলের সাথে ঠিক মিলে যায়। স্থান শ্রেণীবদ্ধকরণের মাধ্যমে নির্মাণ একটি এন-ম্যানিফোল্ড এম-এর একটি স্পর্শক বান্ডিল থাকে, যার একটি শ্রেণীবদ্ধকরণ মানচিত্র থাকে (হোমোটপি পর্যন্ত) যা স্থিতিশীল স্পর্শক বান্ডিলের অন্তর্ভুক্তি ফলন (একটি শ্রেণীবদ্ধকরণ মানচিত্রের হোমোটপি শ্রেণী) দিয়ে গঠিত। একটি এম্বেডিং (বড়) এর সাধারণ বান্ডিলটি এর জন্য একটি বিপরীত, যেমন হুইটনি যোগফলটি তুচ্ছ। কম্পোজিটের হোমোটপি শ্রেণী এম্বেডিংয়ের পছন্দ থেকে স্বাধীন, যা স্থিতিশীল স্বাভাবিক বান্ডিলকে শ্রেণীবদ্ধ করে। অনুপ্রেরণা স্পর্শক বা কোট্যাঞ্জেন্ট ভেক্টরের মতো একটি স্বাভাবিক ভেক্টরের কোনও অভ্যন্তরীণ ধারণা নেই-উদাহরণস্বরূপ, স্বাভাবিক স্থানটি নির্ভর করে কোন মাত্রায় একজন এম্বেড করছে তার উপর-তাই স্থিতিশীল স্বাভাবিক বান্ডিল পরিবর্তে একটি স্থিতিশীল স্বাভাবিক স্থানের ধারণা প্রদান করেঃ একটি স্বাভাবিক স্থান (এবং সাধারণ ভেক্টর) তুচ্ছ সমষ্টি পর্যন্ত। কেন স্থিতিশীল স্পর্শকের পরিবর্তে স্থিতিশীল স্বাভাবিক? অস্থিতিশীল স্পর্শক তথ্যের পরিবর্তে স্থিতিশীল স্বাভাবিক তথ্য ব্যবহার করা হয় কারণ বহুবিধের সাধারণীকরণের প্রাকৃতিক স্থিতিশীল স্বাভাবিক-ধরনের কাঠামো রয়েছে, যা নলাকার আশেপাশের এলাকা এবং সাধারণীকরণ থেকে আসে, তবে অস্থিতিশীল স্পর্শক কাঠামো নয়, কারণ স্থানীয় কাঠামো মসৃণ নয়। একটি স্থান X-এর উপর গোলাকার তন্তুগুলিকে মানচিত্রের সমস্থানিক শ্রেণী দ্বারা একটি শ্রেণীবদ্ধ স্থানে শ্রেণীবদ্ধ করা হয়, সমস্থানিক গোষ্ঠীগুলির সাথে গোলকের স্থিতিশীল সমস্থানিক গোষ্ঠীগুলি। ভুলে যাওয়া মানচিত্রটি একটি ফাইব্রেশন ক্রম পর্যন্ত প্রসারিত। একটি পয়েনকারে স্পেস এক্স-এর একটি স্পর্শক বান্ডিল নেই, তবে এটির একটি সুনির্দিষ্ট স্থিতিশীল গোলাকার ফাইব্রেশন রয়েছে, যা একটি ডিফারেনশিয়েবল ম্যানিফোল্ডের জন্য স্থিতিশীল স্বাভাবিক বান্ডিলের সাথে সম্পর্কিত গোলাকার ফাইব্রেশন; সুতরাং একটি ডিফারেনশিয়েবল ম্যানিফোল্ডের হোমোটপি টাইপ থাকা এক্স-এর জন্য একটি প্রাথমিক বাধা হল যে গোলাকার ফাইব্রেশন একটি ভেক্টর বান্ডিলে উঠে যায়, অর্থাৎ, স্পিভাক গোলাকার ফাইব্রেশনকে অবশ্যই উত্তোলন করতে হবে, যা মানচিত্রের নাল হোমোটোপিক হওয়ার সমতুল্য। দ্বিতীয় বাধা হল ওয়াল সার্জারির বাধা। প্রয়োগগুলি প্রাথমিক বাধা হিসাবে অস্ত্রোপচার তত্ত্বে স্থিতিশীল স্বাভাবিক বান্ডিল মৌলিকঃ একটি পয়েনকারে স্পেস এক্স-এর মসৃণ ম্যানিফোল্ডের সমস্থানিক প্রকারের জন্য, মানচিত্রটি অবশ্যই নাল সমস্থানিক হতে হবে দুটি ম্যানিফোল্ডের মধ্যে সমস্থানিক সমস্থানিক হওয়ার জন্য, এটি অবশ্যই এন-এর স্থিতিশীল স্বাভাবিক বান্ডিলিকে এম-এর স্থিতিশীল স্বাভাবিক বান্ডিলে ফিরিয়ে আনতে হবে। আরও সাধারণভাবে, এর সাধারণীকরণগুলি (অস্থির) স্পর্শক বান্ডিলের প্রতিস্থাপন হিসাবে কাজ করে। তথ্যসূত্র বিভেদক জ্যামিতি অস্ত্রোপচার তত্ত্ব