Construction of t-norms
গণিতে, টি-নর্ম হল বাস্তব একক ব্যবধানের [0,1] উপর একটি বিশেষ ধরনের বাইনারি অপারেশন। টি-নর্মের বিভিন্ন গঠন, স্পষ্ট সংজ্ঞা দ্বারা বা পূর্বে পরিচিত ফাংশন থেকে রূপান্তর দ্বারা, টি-নর্মের উদাহরণ এবং শ্রেণীর একটি পূর্ণাঙ্গতা প্রদান করে। এটি গুরুত্বপূর্ণ, উদাহরণস্বরূপ, পাল্টা-উদাহরণ খুঁজে বের করার জন্য বা অস্পষ্ট যুক্তির প্রকৌশল প্রয়োগগুলিতে ব্যবহারের জন্য নির্দিষ্ট বৈশিষ্ট্য সহ টি-আদর্শ সরবরাহ করার জন্য। টি-নর্ম নির্মাণের প্রধান উপায়গুলির মধ্যে রয়েছে জেনারেটর ব্যবহার করা, টি-নর্মের প্যারামেট্রিক শ্রেণীগুলি সংজ্ঞায়িত করা, ঘূর্ণন বা টি-নর্মের ক্রমিক যোগফল। প্রাসঙ্গিক পটভূমি টি-নর্মস সম্পর্কিত নিবন্ধে পাওয়া যাবে। টি-নর্মের জেনারেটর জেনারেটর দ্বারা টি-নর্ম তৈরির পদ্ধতিটি একটি ইউনারি ফাংশন (জেনারেটর) ব্যবহার করে কিছু পরিচিত বাইনারি ফাংশনকে (প্রায়শই, যোগ বা গুণ) টি-নর্মের মধ্যে রূপান্তরিত করে। নন-বাইজেক্টিভ জেনারেটর ব্যবহার করার অনুমতি দেওয়ার জন্য, যার বিপরীত ফাংশন নেই, সিউডো-ইনভার্স ফাংশনের নিম্নলিখিত ধারণাটি নিযুক্ত করা হয়েছেঃ ধরা যাক f: [a, b] → [c, d] বর্ধিত বাস্তব রেখার দুটি বদ্ধ উপ-ব্যবধানের মধ্যে একটি মনোটোন ফাংশন। যোগাত্মক জেনারেটর দ্বারা টি-নিয়মের গঠন নিম্নলিখিত উপপাদ্যের উপর ভিত্তি করেঃ ধরা যাক f: [0,1] → [0, + ≤] একটি কঠোরভাবে হ্রাসমান ফাংশন যাতে f (1) = 0 এবং f (x) + f (y) f এর পরিসরে থাকে বা সমস্ত x এর জন্য f (0 +) বা + ≤ এর সমান হয়। তারপর T (x, y) = f (-1) (f (x) + f (y)) হিসাবে সংজ্ঞায়িত T: [0,1] 2 → [0,1] ফাংশনটি একটি t-আদর্শ। বিকল্পভাবে, সিউডো-ইনভার্স ফাংশনের ধারণা ব্যবহার করা এড়ানো যেতে পারে। সংশ্লিষ্ট অবশিষ্টাংশ তারপর হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে। এবং বাইরেসিডুম হিসাবে। যদি একটি টি-নর্ম টি একটি ফাংশন f দ্বারা পরবর্তী গঠন থেকে ফলাফল হয় যা 0-এ ডান-ধারাবাহিক হয়, তবে f কে টি-এর যোগাত্মক জেনারেটর বলা হয়। উদাহরণস্বরূপঃ [0,1]-এ x-এর জন্য f (x) = 1-x ফাংশনটি লুকাসিভিচ টি-নর্মের একটি যোগাত্মক জেনারেটর। f ফাংশনটিকে f (x) =-log (x) হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় যদি 0 <x ≤ 1 এবং f (0) = + ≤ গুণফল টি-নর্মের একটি যোগাত্মক উৎপাদক হয়। f ফাংশনটিকে f (x) = 2-x হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় যদি 0 ≤ x <1 এবং f (1) = 0 কঠোর t-আদর্শের একটি যোগাত্মক উৎপাদক হয়। যোগাত্মক জেনারেটরের মৌলিক বৈশিষ্ট্যগুলি নিম্নলিখিত উপপাদ্য দ্বারা সংক্ষিপ্ত করা হয়েছেঃ ধরা যাক f: [0,1] → [0, + φ] একটি টি-নর্ম টি-এর যোগাত্মক জেনারেটর। তারপরঃ টি একটি আর্কিমিডিয়ান টি-নর্ম। টি অবিচ্ছিন্ন হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি f অবিচ্ছিন্ন হয়। টি কঠোরভাবে একক স্বর হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি f (0) = + φ হয়। (0,1) এর প্রতিটি উপাদান টি-এর একটি নিলপোটেন্ট উপাদান যদি এবং শুধুমাত্র যদি f (0) <+ φ হয়। একটি ধনাত্মক ধ্রুবক দ্বারা f-এর গুণিতকও টি. টি-র একটি যোগাত্মক উৎপাদক। (ফলস্বরূপ, উদাহরণস্বরূপ, ন্যূনতম টি-নর্মের কোনও যোগাত্মক জেনারেটর নেই।) মাল্টিপ্লিকেটিভ জেনারেটর লগারিদম এবং এক্সপোনেনশিয়াল ফাংশন দ্বারা [0, + ν]-এর যোগ এবং [0,1]-এর গুণনের মধ্যে আইসোমরফিজম একটি টি-নর্মের অ্যাডিটিভ এবং মাল্টিপ্লিকেটিভ জেনারেটরের মধ্যে দ্বিমুখী রূপান্তরের অনুমতি দেয়। যদি f একটি t-আদর্শ T-এর যোগাত্মক উৎপাদক হয়, তাহলে h: [0,1] → [0,1] ফাংশনটিকে h (x) = e − f (x) হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়, যা হল T-এর একটি গুণনীয়ক উৎপাদক, অর্থাৎ, এমন একটি ফাংশন যে h কঠোরভাবে বৃদ্ধি পাচ্ছে h (1) = 1h (x)·h (y) হল h-এর পরিসরে বা সমস্ত x-এর জন্য 0 বা h (0 +)-এর সমান, y হল [0,1] h-এ 0 T (x, y) = h (−1) (h (x)·h (y)-এ ডান-ধারাবাহিক। তদ্বিপরীত, যদি h হল T-এর গুণিতক উৎপাদক হয়, তাহলে f: [0,1] → [0, + φ] যা f (x) = − log (h (x)) দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে, তা হল T-এর একটি যোগাত্মক উৎপাদক। তালিকায় নিম্নলিখিত সংজ্ঞাগুলি ব্যবহার করা হবেঃ পি দ্বারা প্যারামিটারাইজড টি-নর্মের একটি পরিবার Tp বৃদ্ধি পাচ্ছে যদি Tp (x, y) ≤ Tq (x, y) সমস্ত x এর জন্য, y [0,1] এ যখনই p ≤ q (একইভাবে হ্রাস এবং কঠোরভাবে বৃদ্ধি বা হ্রাসের জন্য)। টি-নর্মস টি. পি-র একটি পরিবার যদি প্যারামিটারের সমস্ত মানের জন্য p0 হয় তবে প্যারামিটার p-এর সাপেক্ষে অবিচ্ছিন্ন। শোয়েজার-স্ক্লার টি-নর্ম 1960-এর দশকের গোড়ার দিকে বার্থোল্ড শোয়েজার এবং আবে স্ক্লার দ্বারা প্রবর্তিত শোয়েজার-স্ক্লার টি-নর্মের পরিবারটি প্যারামেট্রিক সংজ্ঞা দ্বারা দেওয়া হয় এ শোয়েজার-স্ক্লার টি-নর্ম আর্কিমিডিয়ান হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি পি> − φ অবিচ্ছিন্ন হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি পি <+ φ কঠোর হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি − φ <পি ≤ 0 (পি = −1 এর জন্য এটি হামাচার পণ্য) নিলপোটেন্ট যদি এবং শুধুমাত্র যদি 0 <পি <+ ≤ (পি = 1 এর জন্য এটি লুকাসিভিজ টি-নর্ম) হয়। পরিবারটি p ≤ 0-এর জন্য কঠোরভাবে হ্রাস পাচ্ছে এবং [− ≤, + ≤]-এ p-এর সাপেক্ষে অবিচ্ছিন্ন। 1970-এর দশকের শেষের দিকে হর্স্ট হ্যাম্যাচার দ্বারা প্রবর্তিত হ্যাম্যাচার টি-নর্মের পরিবারটি 0 ≤ পি ≤ + ≤-এর জন্য নিম্নলিখিত প্যারামেট্রিক সংজ্ঞা দ্বারা দেওয়া হয়েছেঃ টি-নর্মকে হ্যাম্যাচার পণ্য বলা হয়। হামাচার টি-নর্ম হল একমাত্র টি-নর্ম যা যুক্তিসঙ্গত ফাংশন। হামাচার টি-আদর্শ কঠোর হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি পি <+ ν হয় (পি = 1 এর জন্য এটি গুণফল টি-আদর্শ হয়)। পরিবারটি পি-এর ক্ষেত্রে কঠোরভাবে হ্রাস পাচ্ছে এবং অবিচ্ছিন্ন। পি-এর জন্য একটি যোগাত্মক জেনারেটর হল ফ্রাঙ্ক টি-নর্ম 1970-এর দশকের শেষের দিকে এম. জে. ফ্রাঙ্ক দ্বারা প্রবর্তিত ফ্রাঙ্ক টি-নর্মের পরিবারটি 0 ≤ পি ≤ + ≤-এর প্যারামেট্রিক সংজ্ঞা দ্বারা নিম্নরূপ দেওয়া হয়েছেঃ ফ্রাঙ্ক টি-নর্ম কঠোর যদি পি <+ ≤ হয়। পরিবারটি পি-এর ক্ষেত্রে কঠোরভাবে হ্রাস পাচ্ছে এবং অবিচ্ছিন্ন। এর জন্য একটি যোগাত্মক জেনারেটর হল ইয়াগার টি-নর্মস 1980-এর দশকের গোড়ার দিকে রোনাল্ড আর. ইয়াগার দ্বারা প্রবর্তিত ইয়াগার টি-নর্মসের পরিবারটি 0 ≤ পি ≤ + ≤ এর জন্য দেওয়া হয়। পরিবারটি পি-এর সাপেক্ষে কঠোরভাবে বৃদ্ধি পাচ্ছে এবং অবিচ্ছিন্ন। 0 <পি <+ φ-এর জন্য ইয়াগার টি-নিয়মটি তার যোগাত্মক জেনারেটরকে পি-এর শক্তিতে উন্নীত করে লুকাসিভিচ টি-নিয়ম থেকে উদ্ভূত হয়। 0 <পি <+ φ-এর জন্য একটি যোগাত্মক জেনারেটর হল অ্যাকজেল-আলসিনা টি-নিয়ম 1980-এর দশকের গোড়ার দিকে জ্যানোস অ্যাকজেল এবং ক্লাউডি আলসিনা দ্বারা প্রবর্তিত অ্যাকজেল-আলসিনা টি-নিয়মের পরিবারটি 0 ≤ পি ≤ + φ-এর জন্য দেওয়া হয়। অ্যাকজেল-আলসিনা টি-নিয়মটি কঠোর হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি 0 <পি <+ ≤ (পি = 1-এর জন্য) পরিবারটি পি-এর সাপেক্ষে কঠোরভাবে বৃদ্ধি পাচ্ছে এবং অবিচ্ছিন্নভাবে চলছে। 0 <পি <+ φ-এর জন্য অ্যাকজেল-আলসিনা টি-নিয়মটি পণ্য টি-নিয়ম থেকে উদ্ভূত হয় তার যোগাত্মক জেনারেটরকে পি-এর শক্তিতে উন্নীত করে। 0 <পি <+ φ-এর জন্য একটি যোগাত্মক জেনারেটর হল ডোম্বি টি-নিয়ম। জোজেফ ডোম্বি (1982) দ্বারা প্রবর্তিত ডোম্বি টি-নিয়মের পরিবারটি 0 ≤ পি ≤ + ≤ দ্বারা দেওয়া হয়। ডোম্বি টি-নিয়মটি কঠোর হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি 0 <পি <+ ≤ (পি = 1-এর জন্য এটি হামাচার পণ্য হয়)। পরিবারটি পি-এর ক্ষেত্রে কঠোরভাবে বৃদ্ধি পাচ্ছে এবং অবিচ্ছিন্নভাবে চলছে। হামাচার পণ্য টি-নিয়ম থেকে 0 <পি <+ φ-এর জন্য ডম্বি টি-নিয়মটি উদ্ভূত হয় তার যোগাত্মক জেনারেটরকে পি-এর শক্তিতে উন্নীত করে। 0 <পি <+ φ-এর জন্য একটি যোগাত্মক জেনারেটর হল সুগেনো-ওয়েবার টি-নিয়ম সুগেনো-ওয়েবার টি-নিয়মের পরিবারটি 1980-এর দশকের গোড়ার দিকে সিগফ্রিড ওয়েবার দ্বারা চালু করা হয়েছিল; দ্বৈত টি-নিয়মগুলি ইতিমধ্যে 1970-এর দশকের গোড়ার দিকে মিচিও সুগেনো দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়েছিল। সুগেনো-ওয়েবার টি-নিয়মটি নিলপোটেন্ট হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি −1 <পি <+ φ (পি = 0 এর জন্য এটি লুকাসিভিচ টি-নিয়ম) হয়। পরিবারটি p-এর সাপেক্ষে কঠোরভাবে বৃদ্ধি পাচ্ছে এবং অবিচ্ছিন্ন। 0 <p <+ φ [sic]-এর জন্য একটি যোগাত্মক উৎপাদক হল অর্ডিনাল যোগফল। অর্ডিনাল যোগফল টি-নর্মের একটি পরিবার থেকে একটি টি-নর্ম তৈরি করে, তাদের ব্যবধানের [0,1] বিচ্ছিন্ন উপ-অন্তরালে সঙ্কুচিত করে এবং একক বর্গক্ষেত্রের বাকি অংশে ন্যূনতম ব্যবহার করে টি-নর্ম সম্পূর্ণ করে। এটি নিম্নলিখিত উপপাদ্যের উপর ভিত্তি করেঃ ধরা যাক, একটি সূচক সেট I-এ i-এর জন্য Ti হল t-আদর্শের একটি পরিবার এবং (এআই, বিআই) [0,1]-এর জোড়া ভিত্তিক বিচ্ছিন্ন (অ-খালি) খোলা উপ-ব্যবধানের একটি পরিবার। তারপর ফাংশন টিঃ [0,1] 2 → [0,1] একটি টি-আদর্শ হিসাবে সংজ্ঞায়িত।] ফলস্বরূপ টি-নর্মকে বলা হয় আই-এর মধ্যে আই-এর জন্য যোগফলের ক্রমিক যোগফল (টি, আই, বি), যা দ্বারা চিহ্নিত করা হয় বা যদি আই সীমাবদ্ধ হয়। টি-নর্মের অর্ডিনাল যোগফল নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্যগুলি উপভোগ করেঃ প্রতিটি টি-নর্ম পুরো ব্যবধানের [0,1] একটি তুচ্ছ অর্ডিনাল যোগফল। খালি অর্ডিনাল যোগফল (খালি সূচক সেটের জন্য) ন্যূনতম টি-নর্ম টি-মিনিট প্রদান করে। ন্যূনতম টি-নর্ম সহ সংক্ষিপ্তসারগুলি ইচ্ছাকৃতভাবে যোগ করা বা বাদ দেওয়া যেতে পারে ফলস্বরূপ টি-নর্ম পরিবর্তন না করেই। সাধারণতা না হারিয়ে ধরে নেওয়া যেতে পারে যে সূচক সেটটি গণনাযোগ্য, কারণ প্রকৃত রেখায় কেবল সর্বাধিক গণনাযোগ্যভাবে অনেকগুলি বিচ্ছিন্ন উপ-ব্যবধান থাকতে পারে। টি-নর্মের একটি ক্রমিক যোগফল অবিচ্ছিন্ন হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি প্রতিটি যোগফল একটি অবিচ্ছিন্ন টি-নর্ম হয়। (বাম-ধারাবাহিকতার জন্য অনুরূপ।) একটি অর্ডিনাল যোগফল আর্কিমিডিয়ান হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি এটি পুরো একক বিরতিতে একটি আর্কিমিডিয়ান টি-নর্মের একটি তুচ্ছ যোগফল হয়। একটি অর্ডিনাল যোগফলের শূন্য ভাজক থাকে যদি এবং শুধুমাত্র যদি কিছু সূচকের জন্য i, এআই = 0 এবং টিআই-এর শূন্য ভাজক থাকে। (অনুরূপভাবে নিলপোটেন্ট উপাদানগুলির জন্য।) যদি একটি বাম-ধারাবাহিক টি-নর্ম হয়, তবে তার অবশিষ্টাংশ আর নিম্নরূপ দেওয়া হয়ঃ যেখানে রি হল টিআই-এর অবশিষ্টাংশ, প্রতিটি আই-এর জন্য। অবিচ্ছিন্ন টি-নর্মের অর্ডিনাল যোগফল অবিচ্ছিন্ন টি-নর্মের একটি পরিবারের অর্ডিনাল যোগফল একটি অবিচ্ছিন্ন টি-নর্ম। মোস্টার্ট-শিল্ডস উপপাদ্য অনুসারে, প্রতিটি অবিচ্ছিন্ন টি-নর্ম আর্কিমিডিয়ান অবিচ্ছিন্ন টি-নর্মের ক্রমিক যোগফল হিসাবে প্রকাশযোগ্য। যেহেতু পরেরটি হয় নিলপোটেন্ট (এবং তারপর লুকাসিভিচ টি-নর্মের সমরূপ) বা কঠোর (তারপর গুণফল টি-নর্মের সমরূপ), তাই প্রতিটি অবিচ্ছিন্ন টি-নর্ম লুকাসিভিচ এবং গুণফল টি-নর্মের ক্রমিক যোগফলের সমরূপ। ধারাবাহিক টি-নর্মের ক্রমিক যোগফলের গুরুত্বপূর্ণ উদাহরণগুলি নিম্নরূপঃ 1980-এর দশকের গোড়ার দিকে ডিডিয়ার ডুবোইস এবং হেনরি প্র্যাড দ্বারা প্রবর্তিত ডুবোইস-প্র্যাড টি-নর্মগুলি হল [0, পি]-তে গুণফল টি-নর্মের ক্রমিক যোগফল, [0,1]-এ একটি প্যারামিটার পি-এর জন্য এবং বাকি একক ব্যবধানের (ডিফল্ট) ন্যূনতম টি-নর্ম। 1990-এর দশকের গোড়ার দিকে গ্যাসপার মেয়র এবং জোয়ান টরেন্স দ্বারা প্রবর্তিত মেয়র-টরেন্স টি-নর্মগুলি, [0,1]-এ একটি পরামিতি পি-এর জন্য [0, পি]-তে লুকাসিভিচ টি-নর্মের ক্রমিক যোগফল এবং বাকি একক ব্যবধানের জন্য (ডিফল্ট) ন্যূনতম টি-নর্ম। মেয়র-টরেন্সের টি-নিয়মের পরিবার হ্রাস পাচ্ছে এবং পি-এর ক্ষেত্রে অব্যাহত রয়েছে। আবর্তনের মাধ্যমে টি-নিয়মের নির্মাণ সান্ডোর জেনেই (2000) দ্বারা চালু করা হয়েছিল। এটি নিম্নলিখিত উপপাদ্যের উপর ভিত্তি করেঃ ধরা যাক T শূন্য বিভাজক ছাড়া একটি বাম-ধারাবাহিক t-আদর্শ, N: [0,1] → [0,1] ফাংশন যা 1 − x থেকে x এবং t = 0.5 বরাদ্দ করে। ধরা যাক T1 হল T-এর [t, 1]-এ রৈখিক রূপান্তর এবং তারপর ফাংশনটি একটি বাম-ধারাবাহিক t-আদর্শ, যাকে t-আদর্শ T-এর ঘূর্ণন বলা হয়। জ্যামিতিকভাবে, গঠনটিকে প্রথমে t-আদর্শ T-কে [0.5,1] ব্যবধানে সঙ্কুচিত করা এবং তারপর বিন্দুগুলিকে (0,0,1) এবং (1,1,0) সংযুক্তকারী রেখার চারপাশে উভয় দিকে 2π/3 কোণ দ্বারা ঘোরানো হিসাবে বর্ণনা করা যেতে পারে। উপপাদ্যটিকে সাধারণীকরণ করা যেতে পারে N-এর জন্য যে কোনও শক্তিশালী নেতিবাচকতা গ্রহণ করে, অর্থাৎ, [0,1]-এর উপর একটি অনৈচ্ছিক কঠোরভাবে হ্রাসমান অবিচ্ছিন্ন ফাংশন এবং n-এর অনন্য স্থির বিন্দু গ্রহণকারী t-এর জন্য। ফলস্বরূপ t-আদর্শটি N-এর সাপেক্ষে নিম্নলিখিত ঘূর্ণন অপরিবর্তনীয় বৈশিষ্ট্যটি উপভোগ করেঃ T (x, y) ≤ z যদি এবং শুধুমাত্র যদি T (y, N (z) ≤ N (x) সমস্ত x, y, z-এর জন্য [0,1]। ট্রট দ্বারা প্ররোচিত নেতিবাচকতা হল এন ফাংশন, অর্থাৎ, সমস্ত এক্স-এর জন্য এন (এক্স) = রট (এক্স, 0), যেখানে রট হল ট্রটের অবশিষ্টাংশ। আরও দেখুন টি-নর্ম টি-নর্ম ফাজি লজিক্স রেফারেন্স ক্লিমেন্ট, এরিক পিটার; মেসিয়ার, রাদকো; এবং প্যাপ, এন্ড্রে (2000), ত্রিভুজাকার নর্মস। ডর্ড্রেখ্টঃ ক্লুয়ার। । ফোডর, জানোস (2004), "লেফট-কন্টিনিউয়াস টি-নর্মস ইন ফাজি লজিকঃ অ্যান ওভারভিউ"। অ্যাক্টা পলিটেকনিক হাঙ্গারিকা 1 (2), আইএসএসএন 1785-8860 ডোম্বি, জোজেফ (1982), "ফাজি অপারেটরদের একটি সাধারণ শ্রেণী, ফাজি অপারেটরদের ডিমোরগান শ্রেণী এবং ফাজি অপারেটরদের দ্বারা প্ররোচিত ফাজিনেস ব্যবস্থা"। ফাজি সেট এবং সিস্টেম 8,149-163। জেনেই, স্যান্ডোর (2000), "স্ট্রাকচার অফ লেফট-কন্টিনিউয়াস টি-নর্মস উইথ স্ট্রং ইনডিউসড নেগেশনস। (1) ঘূর্ণন গঠন। জার্নাল অফ অ্যাপ্লায়েড নন-ক্লাসিক্যাল লজিক্স 10,83-92। নাভারা, মিরকো (2007), "ট্রাইয়াংগুলার নর্মস অ্যান্ড কনর্মস", স্কলারপিডিয়া। অস্পষ্ট যুক্তি