Semi-implicit Euler method
গণিতে, আধা-সুস্পষ্ট অয়লার পদ্ধতি, যাকে সিমপ্লেক্টিক অয়লার, আধা-সুস্পষ্ট অয়লার, অয়লার-ক্রোমার এবং নিউটন-স্টর্মার-ভারলেট (এন. এস. ভি) বলা হয়, হ্যামিল্টনের সমীকরণ সমাধানের জন্য অয়লার পদ্ধতির একটি পরিবর্তন, যা শাস্ত্রীয় বলবিজ্ঞানে উদ্ভূত সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একটি ব্যবস্থা। এটি একটি সিমপ্লেক্টিক ইন্টিগ্রেটর এবং তাই এটি স্ট্যান্ডার্ড অয়লার পদ্ধতির চেয়ে ভাল ফলাফল দেয়। অর্ধ-অন্তর্নিহিত অয়লার পদ্ধতিটি সেই ফর্মের এক জোড়া ডিফারেনশিয়াল সমীকরণে প্রয়োগ করা যেতে পারে যেখানে f এবং g-কে ফাংশন দেওয়া হয়। এখানে, x এবং v হয় স্কেলার বা ভেক্টর হতে পারে। হ্যামিল্টনিয়ান বলবিজ্ঞানে গতির সমীকরণগুলি এই রূপ নেয় যদি হ্যামিল্টনিয়ান ফর্মের হয় তবে ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলি প্রাথমিক শর্তের সাথে সমাধান করতে হবে পদ্ধতি আধা-অন্তর্নিহিত অয়লার পদ্ধতিটি পুনরাবৃত্তি করে একটি আনুমানিক বিচ্ছিন্ন সমাধান তৈরি করে যেখানে δt হল সময় ধাপ এবং tn = t0 + nδt হল n ধাপের পরের সময়। স্ট্যান্ডার্ড অয়লার পদ্ধতির সাথে পার্থক্য হল যে সেমি-ইমপ্লিসিট অয়লার পদ্ধতি xn + 1 এর সমীকরণে vn + 1 ব্যবহার করে, যেখানে অয়লার পদ্ধতি vn ব্যবহার করে। থেকে গণনা এবং পুনর্বিন্যাসের জন্য নেতিবাচক সময় ধাপের সাথে পদ্ধতিটি প্রয়োগ করা আধা-অন্তর্নিহিত অয়লার পদ্ধতির দ্বিতীয় রূপের দিকে পরিচালিত করে যার অনুরূপ বৈশিষ্ট্য রয়েছে। সেমি-ইমপ্লিসিট অয়লার একটি ফার্স্ট অর্ডার ইন্টিগ্রেটর, ঠিক যেমন স্ট্যান্ডার্ড অয়লার পদ্ধতি। এর মানে হল যে এটি Δt-এর ক্রমের একটি বিশ্বব্যাপী ত্রুটি করে। তবে, আধা-অন্তর্নিহিত অয়লার পদ্ধতিটি আদর্শ পদ্ধতির বিপরীতে একটি সিমপ্লেক্টিক ইন্টিগ্রেটর। ফলস্বরূপ, আধা-অন্তর্নিহিত অয়লার পদ্ধতি প্রায় শক্তি সংরক্ষণ করে (যখন হ্যামিল্টনিয়ান সময়-স্বাধীন হয়)। প্রায়শই, আদর্শ অয়লার পদ্ধতি প্রয়োগ করা হলে শক্তি ক্রমাগত বৃদ্ধি পায়, যা এটিকে অনেক কম নির্ভুল করে তোলে। আধা-অন্তর্নিহিত অয়লার পদ্ধতির দুটি রূপের মধ্যে বিকল্পের ফলে স্টর্মার-ভারলেট সংহতকরণের একটি সরলীকরণ এবং লিপফ্রগ সংহতকরণের সামান্য ভিন্ন সরলীকরণ ঘটে, যা ত্রুটির ক্রম এবং শক্তি সংরক্ষণের ক্রম উভয়ই বৃদ্ধি করে। আধা-অন্তর্নিহিত পদ্ধতির স্থায়িত্ব অঞ্চলটি নিরানেন দ্বারা উপস্থাপিত হয়েছিল যদিও অর্ধ-অন্তর্নিহিত অয়লারকে তার গবেষণাপত্রে বিভ্রান্তিকরভাবে প্রতিসম অয়লার বলা হয়েছিল। আধা-অন্তর্নিহিত পদ্ধতিটি সিমুলেটেড সিস্টেমকে সঠিকভাবে মডেল করে যদি চরিত্রগত সমীকরণের জটিল মূলগুলি নীচে দেখানো বৃত্তের মধ্যে থাকে। বাস্তব শিকড়ের জন্য স্থায়িত্ব অঞ্চলটি বৃত্তের বাইরে প্রসারিত হয় যার জন্য মানদণ্ডটি হল যেমনটি দেখা যায়, আধা-অন্তর্নিহিত পদ্ধতিটি বাম অর্ধ সমতলে শিকড় রয়েছে এমন স্থিতিশীল সিস্টেম এবং ডান অর্ধ সমতলে শিকড় রয়েছে এমন অস্থির সিস্টেম উভয়কেই সঠিকভাবে অনুকরণ করতে পারে। এটি ফরওয়ার্ড (স্ট্যান্ডার্ড) অয়লার এবং ব্যাকওয়ার্ড অয়লারের তুলনায় স্পষ্ট সুবিধা। মূলের ঋণাত্মক বাস্তব অংশগুলি যখন কাল্পনিক অক্ষের কাছাকাছি চলে যায় তখন অগ্রবর্তী অয়লারের প্রকৃত সিস্টেমের তুলনায় কম স্যাঁতসেঁতে হওয়ার প্রবণতা থাকে এবং পশ্চাৎমুখী অয়লার দেখাতে পারে যে মূলগুলি ডান অর্ধেক সমতলে থাকলেও সিস্টেমটি স্থিতিশীল। উদাহরণ হুকের সূত্রকে সন্তুষ্ট করে এমন একটি স্প্রিং-এর গতি এই সমীকরণের জন্য অর্ধ-অন্তর্নিহিত অয়লার দ্বিতীয় সমীকরণে প্রথম সমীকরণ দ্বারা প্রদত্ত অভিব্যক্তিটি প্রতিস্থাপন করে, পুনরাবৃত্তিটি নিম্নলিখিত ম্যাট্রিক্স আকারে প্রকাশ করা যেতে পারে এবং যেহেতু ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক 1 তাই রূপান্তরটি এলাকা-সংরক্ষণ করে। পুনরাবৃত্তি পরিবর্তিত শক্তি কার্যকরীভাবে সংরক্ষণ করে, যা স্থিতিশীল পর্যায়ক্রমিক কক্ষপথের (যথেষ্ট ছোট ধাপের আকারের জন্য) দিকে পরিচালিত করে যা সঠিক কক্ষপথ থেকে বিচ্যুত হয়। সঠিক বৃত্তাকার ফ্রিকোয়েন্সি একটি ফ্যাক্টর দ্বারা সংখ্যাসূচক আনুমানিক বৃদ্ধি পায়। তথ্যসূত্র সংখ্যাসূচক অবকল সমীকরণ