Undefined (mathematics)
গণিতে, অনির্ধারিত শব্দটি প্রায়শই এমন একটি অভিব্যক্তি বোঝাতে ব্যবহৃত হয় যা একটি ব্যাখ্যা বা একটি মান বরাদ্দ করা হয় না (যেমন একটি অনির্দিষ্ট রূপ, যার বিভিন্ন মান ধরে নেওয়ার সম্ভাবনা রয়েছে)। প্রসঙ্গের উপর নির্ভর করে এই শব্দটির বিভিন্ন অর্থ হতে পারে। উদাহরণস্বরূপঃ গণিতের বিভিন্ন শাখায়, নির্দিষ্ট ধারণাগুলি আদিম ধারণা হিসাবে প্রবর্তিত হয় (যেমন, জ্যামিতিতে "বিন্দু", "রেখা" এবং "সমতল" শব্দগুলি)। যেহেতু এই পদগুলি অন্যান্য ধারণার পরিপ্রেক্ষিতে সংজ্ঞায়িত করা হয় না, তাই এগুলিকে "অনির্ধারিত পদ" হিসাবে উল্লেখ করা যেতে পারে। একটি ফাংশনকে তার ক্ষেত্রের বাইরের বিন্দুতে "অনির্ধারিত" বলা হয়-উদাহরণস্বরূপ, বাস্তব-মূল্যবান ফাংশনটি ঋণাত্মকের জন্য অনির্ধারিত (অর্থাৎ, এটি ঋণাত্মক আর্গুমেন্টের কোনও মূল্য নির্ধারণ করে না)। বীজগণিতে, কিছু গাণিতিক ক্রিয়াকলাপ তার অপারেন্ডগুলির নির্দিষ্ট মানগুলিকে একটি অর্থ নির্ধারণ করতে পারে না (যেমন, শূন্য দ্বারা বিভাজন)। এই ক্ষেত্রে, এই ধরনের অপারেন্ডের সাথে জড়িত অভিব্যক্তিগুলিকে "অনির্ধারিত" বলা হয়। বর্গমূলগুলিতে, যে কোনও ঋণাত্মক সংখ্যার বর্গমূলগুলি অনির্ধারিত কারণ আপনি ঋণাত্মক সংখ্যা পাওয়ার জন্য একই ধনাত্মক বা ঋণাত্মক সংখ্যার 2 কে গুণ করতে পারবেন না, যেমন-4,-9,-16 ইত্যাদি। (উদাঃ 6x6 = 36 এবং-6x-6 = 36)। অনির্ধারিত পদ প্রাচীনকালে, জ্যামিতিবিদরা প্রতিটি শব্দকে সংজ্ঞায়িত করার চেষ্টা করেছিলেন। উদাহরণস্বরূপ, ইউক্লিড একটি বিন্দুকে "যার কোনও অংশ নেই" হিসাবে সংজ্ঞায়িত করেছেন। আধুনিক যুগে, গণিতবিদরা স্বীকার করেন যে প্রতিটি শব্দকে সংজ্ঞায়িত করার প্রচেষ্টা অনিবার্যভাবে বৃত্তাকার সংজ্ঞার দিকে পরিচালিত করে এবং তাই কিছু শব্দ (যেমন "বিন্দু") অনির্ধারিত রেখে যায় (আরও জানার জন্য আদিম ধারণা দেখুন)। এই আরও বিমূর্ত পদ্ধতিটি ফলপ্রসূ সাধারণীকরণের অনুমতি দেয়। টপোলজিতে, একটি টপোলজিকাল স্থানকে নির্দিষ্ট বৈশিষ্ট্যযুক্ত বিন্দুগুলির একটি সেট হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে, তবে সাধারণ পরিবেশে, এই "বিন্দুগুলির" প্রকৃতি সম্পূর্ণরূপে অনির্ধারিত থাকে। একইভাবে, বিভাগ তত্ত্বে, একটি বিভাগ "বস্তু" এবং "তীর" নিয়ে গঠিত, যা আবার আদিম, অনির্ধারিত শব্দ। এটি এই ধরনের বিমূর্ত গাণিতিক তত্ত্বগুলিকে খুব বৈচিত্র্যময় বাস্তব পরিস্থিতিতে প্রয়োগ করার অনুমতি দেয়। গাণিতিকভাবে অভিব্যক্তিটি গাণিতিকভাবে অনির্ধারিত, যেমন শূন্য দ্বারা বিভাজনে ব্যাখ্যা করা হয়েছে (অভিব্যক্তিটি ক্যালকুলাসে একটি অনির্দিষ্ট রূপের প্রতিনিধিত্ব করতে ব্যবহৃত হয়)। 1-এর সমান হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা উচিত, নাকি অনির্ধারিত রেখে দেওয়া উচিত সে সম্পর্কে গণিতবিদদের ভিন্ন মতামত রয়েছে। যে মানগুলির জন্য ফাংশনগুলি অনির্ধারিত সেই সংখ্যাগুলির সেট যার জন্য একটি ফাংশন সংজ্ঞায়িত করা হয় তাকে ফাংশনের ডোমেন বলা হয়। যদি কোনও সংখ্যা কোনও ফাংশনের ডোমেনে না থাকে, তবে সেই সংখ্যাটির জন্য ফাংশনটিকে "অনির্ধারিত" বলা হয়। দুটি সাধারণ উদাহরণ হল, যার জন্য অনির্ধারিত, এবং, যা (বাস্তব সংখ্যা পদ্ধতিতে) ঋণাত্মকের জন্য অনির্ধারিত। ত্রিকোণমিতিতে, সকলের জন্য, ফাংশন এবং ফাংশনগুলি সকলের জন্য অনির্ধারিত, এবং ফাংশন এবং ফাংশনগুলি সকলের জন্য অনির্ধারিত। জটিল বিশ্লেষণে, একটি বিন্দু যেখানে একটি হোলোমর্ফিক ফাংশন অনির্ধারিত, তাকে সিঙ্গুলারিটি বলা হয়। একটি অপসারণযোগ্য এককত্ব (অর্থাৎ, ফাংশনটিকে হোলোমরফিকভাবে প্রসারিত করা যেতে পারে), মেরু (অর্থাৎ, ফাংশনটিকে মেরোমর্ফিকভাবে প্রসারিত করা যেতে পারে) এবং অপরিহার্য এককত্বের (অর্থাৎ, কোনও মেরোমর্ফিক এক্সটেনশন বিদ্যমান থাকতে পারে না) মধ্যে পার্থক্য করে। কম্পিউটার বিজ্ঞানে নোটেশন ব্যবহার করে এবং গণনাযোগ্যতা তত্ত্বে, যদি একটি আংশিক ফাংশন হয় এবং এর একটি উপাদান হয়, তবে এটি হিসাবে লেখা হয়, এবং "f (a) সংজ্ঞায়িত করা হয়" হিসাবে পড়া হয়। যদি এর ডোমেনে না থাকে, তবে এটি হিসাবে লেখা হয়, এবং "অনির্ধারিত" হিসাবে পড়া হয়। অনন্তের প্রতীক বিশ্লেষণ, পরিমাপ তত্ত্ব এবং অন্যান্য গাণিতিক শাখায়, প্রতীকটি প্রায়শই তার ঋণাত্মক সহ একটি অসীম ছদ্ম-সংখ্যা বোঝাতে ব্যবহৃত হয়। প্রতীকটির নিজস্ব কোনও সুনির্দিষ্ট অর্থ নেই, তবে একটি অভিব্যক্তি একটি ভিন্ন ক্রমের জন্য সংক্ষিপ্তসার, যা কোনও সময়ে যে কোনও প্রদত্ত বাস্তব সংখ্যার চেয়ে বড় হয়। চিহ্নগুলির সাথে মানক গাণিতিক ক্রিয়াকলাপ সম্পাদন করা অনির্ধারিত। কিছু এক্সটেনশন, যদিও, যোগ এবং গুণনের নিম্নলিখিত নিয়মগুলিকে সংজ্ঞায়িত করেঃ সকলের জন্য। সবার জন্য। সবার জন্য। নিম্নলিখিত ক্ষেত্রে যোগ এবং গুণনের কোনও যুক্তিসঙ্গত সম্প্রসারণ বিদ্যমান নেইঃ (যদিও পরিমাপ তত্ত্বে, এটি প্রায়শই হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়) আরও বিশদ বিবরণের জন্য, বর্ধিত বাস্তব সংখ্যা রেখা দেখুন। তথ্যসূত্র গাণিতিক পরিভাষা আরও পড়া ক্যালকুলাস