Schröder–Bernstein theorems for operator algebras
সেট তত্ত্ব থেকে শ্রোডার-বার্নস্টাইন উপপাদ্যের প্রসঙ্গ অপারেটর অ্যালজেব্রাগুলিতে এনালগ রয়েছে। এই নিবন্ধটি এই ধরনের অপারেটর-বীজগাণিতিক ফলাফল নিয়ে আলোচনা করে। ভন নিউম্যান বীজগণিতর জন্য ধরুন এম একটি ভন নিউম্যান বীজগণিত এবং ই, এফ হল এম-এর অভিক্ষেপ। ধরা যাক এম-এর উপর মারে-ভন নিউম্যান সমতুল্য সম্পর্ককে বোঝানো যাক। ই 'এফ দ্বারা অভিক্ষেপের পরিবারের উপর একটি আংশিক ক্রম সংজ্ঞায়িত করুন যদি ই ~ এফ' ≤ এফ। অন্য কথায়, ই 'এফ যদি আংশিক আইসোমেট্রি ইউ ≤ এম থাকে যেমন ইউ * ইউ = ই এবং ইউ * ≤ এফ। বদ্ধ সাবস্পেসের জন্য এম এবং এন যেখানে যথাক্রমে এম এবং এন-এর উপর পিএম এবং পিএন অভিক্ষেপ, এম, এম' এন যদি পিএম 'পিএন-এর উপাদান। শ্রোডার-বার্নস্টাইন উপপাদ্য বলে যে যদি এম "এন এবং এন" এম হয়, তবে এম ~ এন। একটি প্রমাণ, যা একটি সেট-তাত্ত্বিক যুক্তির অনুরূপ, নিম্নরূপ স্কেচ করা যেতে পারে। কথোপকথনে, N "M মানে হল যে N কে M-এ আইসোমেট্রিকভাবে এম্বেড করা যেতে পারে। সুতরাং যেখানে N0 হল M-এ N-এর একটি আইসোমেট্রিক অনুলিপি। অনুমান অনুসারে, এটিও সত্য যে, N, তাই N0, M-এর একটি আইসোমেট্রিক অনুলিপি M1 ধারণ করে। অতএব, কেউ ইন্ডাকশন দ্বারা লিখতে পারে, এটি স্পষ্ট যে সুতরাং এবং লক্ষ্য করুন উপপাদ্যটি এখন ~-এর গণনাযোগ্য সংযোজন থেকে অনুসরণ করে। সি *-অ্যালজেব্রার উপস্থাপনা সি *-অ্যালজেব্রার উপস্থাপনের জন্য শ্রোডার-বার্নস্টাইনের একটি এনালগও রয়েছে। যদি A একটি C *-বীজগণিত হয়, তবে A-এর একটি উপস্থাপনা হল A থেকে L (H)-এর মধ্যে একটি *-সমরূপতা, কিছু হিলবার্ট স্পেস H-এর সীমাবদ্ধ অপারেটর। যদি L (H)-এ একটি অভিক্ষেপ P থাকে যেখানে A-এর প্রতিটি a-এর জন্য P φ (a) = φ (a) P থাকে, তবে φ-এর একটি উপ-উপস্থাপনা প্রাকৃতিক উপায়ে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারেঃ σ (a) হল φ (a) যা P-এর পরিসরে সীমাবদ্ধ। সুতরাং φ তখন দুটি উপ-উপস্থাপনের সরাসরি যোগফল হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে φ = φ 'σ। H1 এবং H2-এর উপর যথাক্রমে φ1 এবং φ2-এর দুটি উপস্থাপনাকে এককভাবে সমতুল্য বলা হয় যদি একটি একক অপারেটর U: H2 → H1 থাকে যাতে প্রতিটি a-এর জন্য φ1 (a) U = Uφ2 (a) থাকে। এই প্রেক্ষাপটে, শ্রোডার-বার্নস্টাইন উপপাদ্যটি পড়েঃ হিলবার্ট স্পেস এইচ এবং জি-তে যদি দুটি উপস্থাপনা যথাক্রমে ρ এবং σ, প্রতিটি এককভাবে অন্যটির উপ-উপস্থাপনার সমতুল্য হয়, তবে তারা এককভাবে সমতুল্য। পূর্ববর্তী যুক্তির অনুরূপ একটি প্রমাণের রূপরেখা তৈরি করা যেতে পারে। অনুমানটি বোঝায় যে এইচ থেকে জি এবং জি থেকে এইচ পর্যন্ত সার্জেক্টিভ আংশিক আইসোমেট্রি রয়েছে। যুক্তির জন্য এই ধরনের দুটি আংশিক আইসোমেট্রি স্থির করুন। একের পরিবর্তে, আনয়ন দ্বারা, এবং এখন সরাসরি যোগফলের প্রতিটি অতিরিক্ত যোগফল দুটি স্থির আংশিক আইসোমেট্রিগুলির মধ্যে একটি ব্যবহার করে প্রাপ্ত হয়, তাই এটি উপপাদ্যটি প্রমাণ করে। এছাড়াও দেখুন পরিমাপযোগ্য স্থানের জন্য শ্রোডার-বার্নস্টাইন উপপাদ্য শ্রোডার-বার্নস্টাইন সম্পত্তি রেফারেন্স বি. ব্ল্যাকাদার, অপারেটর আলজেব্রাস, স্প্রিংগার, 2006। সি *-অ্যালজেব্রা কার্যকরী বিশ্লেষণ অপারেটর তত্ত্ব ভন নিউম্যান অ্যালজেব্রা