Sample mean and covariance
নমুনা গড় (নমুনা গড়) বা অভিজ্ঞতাগত গড় (অভিজ্ঞতাগত গড়), এবং নমুনা সহপরিবর্তন বা অভিজ্ঞতাগত সহপরিবর্তন হল এক বা একাধিক এলোমেলো চলকের উপর তথ্যের নমুনা থেকে গণনা করা পরিসংখ্যান। নমুনা গড় হল সংখ্যার একটি বৃহত্তর জনসংখ্যা থেকে নেওয়া সংখ্যার নমুনার গড় মান (বা গড় মান), যেখানে "জনসংখ্যা" মানুষের সংখ্যা নয় বরং প্রাসঙ্গিক তথ্যের সম্পূর্ণতা নির্দেশ করে, তা সংগ্রহ করা হোক বা না হোক। ফরচুন 500 থেকে 40টি কোম্পানির বিক্রির একটি নমুনা জনসংখ্যার দিকে তাকানোর পরিবর্তে সুবিধার জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে, সমস্ত 500টি কোম্পানির বিক্রয়। নমুনা গড় জনসংখ্যার গড়ের জন্য একটি প্রাক্কলনকারী হিসাবে ব্যবহৃত হয়, সমগ্র জনসংখ্যার গড় মান, যেখানে নমুনাটি বড় এবং প্রতিনিধিত্বমূলক হলে অনুমানটি জনসংখ্যার কাছাকাছি হওয়ার সম্ভাবনা বেশি। নমুনা গড়ের নির্ভরযোগ্যতা স্ট্যান্ডার্ড ত্রুটি ব্যবহার করে অনুমান করা হয়, যা পালাক্রমে নমুনার বৈচিত্র্য ব্যবহার করে গণনা করা হয়। যদি নমুনাটি এলোমেলো হয়, তবে স্ট্যান্ডার্ড ত্রুটিটি নমুনার আকারের সাথে পড়ে এবং নমুনার আকার বাড়ার সাথে সাথে নমুনা গড়ের বিতরণ স্বাভাবিক বিতরণের কাছে পৌঁছায়। "নমুনা গড়" শব্দটি গড় মানের একটি ভেক্টরকে বোঝাতেও ব্যবহার করা যেতে পারে যখন পরিসংখ্যানবিদ নমুনার বিভিন্ন চলকের মান দেখছেন, যেমন। ফরচুন 500 কোম্পানির একটি নমুনার বিক্রয়, মুনাফা এবং কর্মচারী। এই ক্ষেত্রে, প্রতিটি চলকের জন্য শুধুমাত্র একটি নমুনা বৈচিত্র্য নয়, বরং একটি নমুনা বৈচিত্র্য-সহপরিবর্তন ম্যাট্রিক্স (বা কেবল সহপরিবর্তন ম্যাট্রিক্স) রয়েছে যা প্রতিটি চলক জুটির মধ্যে সম্পর্কও দেখায়। যখন 3টি ভেরিয়েবল বিবেচনা করা হবে তখন এটি একটি 3×3 ম্যাট্রিক্স হবে। নমুনা কোভ্যারিয়েন্স প্রাক্কলনকারী হিসাবে নমুনা মাধ্যমের নির্ভরযোগ্যতা বিচার করতে কার্যকর এবং জনসংখ্যার কোভ্যারিয়েন্স ম্যাট্রিক্সের অনুমান হিসাবেও কার্যকর। তাদের গণনার সহজতা এবং অন্যান্য কাঙ্ক্ষিত বৈশিষ্ট্যের কারণে, নমুনা গড় এবং নমুনা সহপরিবর্তন ব্যাপকভাবে পরিসংখ্যানে ব্যবহৃত হয় নমুনায় মানগুলির বিতরণের অবস্থান এবং বিচ্ছুরণের প্রতিনিধিত্ব করতে এবং জনসংখ্যার জন্য মানগুলি অনুমান করতে। নমুনার গড়ের সংজ্ঞা নমুনার গড় হল একটি নমুনায় একটি পরিবর্তনশীলের মানগুলির গড়, যা সেই মানগুলির সমষ্টি যা মানগুলির সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা হয়। গাণিতিক স্বরলিপি ব্যবহার করে, যদি পরিবর্তনশীল X-এর উপর N পর্যবেক্ষণের একটি নমুনা জনসংখ্যা থেকে নেওয়া হয়, তবে নমুনা গড়টি হলঃ এই সংজ্ঞার অধীনে, যদি নমুনাটি (1,4,1) জনসংখ্যা থেকে নেওয়া হয় (1,1,3,4,0,2,1,0), তবে নমুনা গড় হল, জনসংখ্যার গড়ের তুলনায়। এমনকি যদি একটি নমুনা এলোমেলো হয়, তবে এটি খুব কমই নিখুঁতভাবে প্রতিনিধিত্ব করে এবং অন্যান্য নমুনার অন্যান্য নমুনা অর্থ থাকবে এমনকি যদি সমস্ত নমুনা একই জনসংখ্যার হয়। উদাহরণস্বরূপ, নমুনাটির (2,1,0) গড় 1 হবে। যদি পরিসংখ্যানবিদ একের পরিবর্তে কে ভেরিয়েবলের প্রতি আগ্রহী হন, প্রতিটি পর্যবেক্ষণের প্রতিটি কে ভেরিয়েবলের জন্য একটি মান থাকে, সামগ্রিক নমুনা গড় পৃথক ভেরিয়েবলের জন্য কে নমুনা মানে নিয়ে গঠিত। ধরা যাক, জে-তম এলোমেলো চলকের (জে = 1,., কে) উপর স্বাধীনভাবে অঙ্কিত পর্যবেক্ষণ (আই = 1,., এন)। এই পর্যবেক্ষণগুলি এন কলাম ভেক্টরগুলিতে সাজানো যেতে পারে, প্রতিটি কে এন্ট্রি সহ, কে × 1 কলাম ভেক্টর সমস্ত চলকের i-তম পর্যবেক্ষণ দেয় (i = 1,., N)। নমুনা গড় ভেক্টর হল একটি কলাম ভেক্টর যার জে-তম উপাদান হল জে-তম চলকের এন পর্যবেক্ষণের গড় মানঃ সুতরাং, নমুনা গড় ভেক্টর প্রতিটি চলকের জন্য পর্যবেক্ষণের গড় ধারণ করে এবং নমুনা সহপরিবর্তনের সংজ্ঞা লেখা হয় নমুনা সহপরিবর্তন ম্যাট্রিক্স হল একটি কে-বাই-কে ম্যাট্রিক্স যেখানে তথ্যের অন্তর্নিহিত জনসংখ্যার তম চলক এবং তম চলকের মধ্যে সহপরিবর্তনের একটি অনুমান রয়েছে। পর্যবেক্ষণ ভেক্টরের পরিপ্রেক্ষিতে, নমুনা সহপরিবর্তন বিকল্পভাবে, পর্যবেক্ষণ ভেক্টরগুলিকে একটি ম্যাট্রিক্সের কলাম হিসাবে সাজানো হয়, যাতে, যা কে সারি এবং এন কলামের একটি ম্যাট্রিক্স হয়। এখানে, নমুনা কোভ্যারিয়েন্স ম্যাট্রিক্সটি গণনা করা যেতে পারে, যেখানে একের ভেক্টর দ্বারা একটি এন। যদি পর্যবেক্ষণগুলি কলামের পরিবর্তে সারি হিসাবে সাজানো হয়, তবে এখন এটি একটি 1 × কে সারি ভেক্টর এবং একটি এন × কে ম্যাট্রিক্স যার কলাম জে পরিবর্তনশীল জে-এর উপর এন পর্যবেক্ষণের ভেক্টর, তারপর উপযুক্ত জায়গায় ট্রান্সপোজ প্রয়োগ করলে ফলন পাওয়া যায়। এটি প্রমাণ করার জন্য, মনে রাখবেন যে কোনও ম্যাট্রিক্সের জন্য ম্যাট্রিক্সটি ধনাত্মক আধা-নির্দিষ্ট। উপরন্তু, একটি কোভ্যারিয়েন্স ম্যাট্রিক্স ধনাত্মক নির্দিষ্ট হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি ভেক্টরগুলির র্যাঙ্ক K হয়। নিরপেক্ষতা নমুনা গড় এবং নমুনা কোভ্যারিয়েন্স ম্যাট্রিক্স র্যান্ডম ভেক্টরের গড় এবং কোভ্যারিয়েন্স ম্যাট্রিক্সের নিরপেক্ষ অনুমান হয়, একটি সারি ভেক্টর যার jth উপাদান (j = 1,, K) র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলির মধ্যে একটি। নমুনা কোভ্যারিয়েন্স ম্যাট্রিক্স বেসেলের সংশোধনের একটি বৈকল্পিকের পরিবর্তে হরের মধ্যে রয়েছেঃ সংক্ষেপে, নমুনা কোভ্যারিয়েন্স প্রতিটি পর্যবেক্ষণ এবং নমুনা গড়ের মধ্যে পার্থক্যের উপর নির্ভর করে, তবে নমুনা গড় প্রতিটি পর্যবেক্ষণের সাথে সামান্য সম্পর্কযুক্ত কারণ এটি সমস্ত পর্যবেক্ষণের পরিপ্রেক্ষিতে সংজ্ঞায়িত করা হয়। যদি জনসংখ্যার গড় জানা যায়, তাহলে জনসংখ্যার গড় ব্যবহার করে অনুরূপ নিরপেক্ষ অনুমানটি হরের মধ্যে থাকে। এটি একটি উদাহরণ যে কেন সম্ভাব্যতা এবং পরিসংখ্যানে র্যান্ডম ভেরিয়েবল (বড় হাতের অক্ষর) এবং র্যান্ডম ভেরিয়েবলের (ছোট হাতের অক্ষর) উপলব্ধির মধ্যে পার্থক্য করা অপরিহার্য। গাউসিয়ান ডিস্ট্রিবিউশন ক্ষেত্রে কোভ্যারিয়েন্সের সর্বাধিক সম্ভাব্যতা অনুমানের হরটিতেও এন রয়েছে। 1/এন থেকে 1/(এন-1) এর অনুপাত বড় এন-এর জন্য 1-এর কাছাকাছি, তাই নমুনাটি বড় হলে সর্বাধিক সম্ভাব্যতা অনুমান প্রায় নিরপেক্ষ অনুমানের সমান হয়। প্রতিটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য, নমুনা গড় হল জনসংখ্যার গড়ের একটি ভাল প্রাক্কলনকারী, যেখানে একজন "ভাল" প্রাক্কলনকারীকে দক্ষ এবং নিরপেক্ষ হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। অবশ্যই প্রাক্কলনকারী সম্ভবত জনসংখ্যার গড়ের প্রকৃত মান হবে না কারণ একই বন্টন থেকে নেওয়া বিভিন্ন নমুনা বিভিন্ন নমুনা মাধ্যম দেবে এবং তাই প্রকৃত গড়ের বিভিন্ন অনুমান দেবে। সুতরাং নমুনা গড় একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল, ধ্রুবক নয় এবং ফলস্বরূপ এর নিজস্ব বন্টন রয়েছে। জে. টি. এইচ র্যান্ডম ভেরিয়েবলের উপর এন পর্যবেক্ষণের একটি র্যান্ডম নমুনার জন্য, নমুনা গড়ের বন্টন নিজেই জনসংখ্যার গড়ের সমান এবং জনসংখ্যার বৈকল্পিকতা কোথায় তার সমান। একটি জনসংখ্যার গাণিতিক গড়, বা জনসংখ্যার গড়, প্রায়শই চিহ্নিত করা হয়। নমুনা গড় (জনসংখ্যা থেকে নেওয়া মানগুলির নমুনার গাণিতিক গড়) জনসংখ্যার গড়ের একটি ভাল অনুমানকারী করে তোলে, কারণ এর প্রত্যাশিত মান জনসংখ্যার গড়ের সমান (অর্থাৎ, এটি একটি নিরপেক্ষ অনুমানকারী)। নমুনা গড় একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল, ধ্রুবক নয়, কারণ জনসংখ্যার কোন সদস্যদের নমুনা নেওয়া হয় তার উপর নির্ভর করে এর গণনা করা মান এলোমেলোভাবে পরিবর্তিত হবে এবং ফলস্বরূপ এর নিজস্ব বিতরণ থাকবে। n স্বাধীন পর্যবেক্ষণের একটি এলোমেলো নমুনার জন্য, নমুনা গড়ের প্রত্যাশিত মান হল এবং নমুনা গড়ের বৈচিত্র্য হল যদি নমুনাগুলি স্বাধীন না হয়, তবে পরস্পর সম্পর্কিত হয়, তবে ছদ্ম-প্রতিলিপির সমস্যা এড়ানোর জন্য বিশেষ যত্ন নিতে হবে। যদি জনসংখ্যা সাধারণত বিতরণ করা হয়, তবে নমুনা গড় সাধারণত নিম্নরূপ বিতরণ করা হয়ঃ যদি জনসংখ্যা সাধারণত বিতরণ না করা হয়, তবে নমুনা গড় প্রায় সাধারণত বিতরণ করা হয় যদি n বড় হয় এবং σ2/n <+ φ হয়। এটি কেন্দ্রীয় সীমা উপপাদ্যের একটি পরিণতি। ওজনযুক্ত নমুনা একটি ওজনযুক্ত নমুনায়, প্রতিটি ভেক্টরকে (প্রতিটি কে র্যান্ডম ভেরিয়েবলের উপর একক পর্যবেক্ষণের প্রতিটি সেট) একটি ওজন বরাদ্দ করা হয়। সাধারণতা না হারিয়ে, ধরে নিন যে ওজনগুলি স্বাভাবিক করা হয়েছেঃ (যদি তা না হয়, তবে ওজনগুলিকে তাদের যোগফল দিয়ে ভাগ করুন)। তারপর ওজনযুক্ত গড় ভেক্টর দ্বারা দেওয়া হয় এবং ওজনযুক্ত কোভ্যারিয়েন্স ম্যাট্রিক্সের উপাদানগুলি হল যদি সমস্ত ওজন একই হয়, তবে ওজনযুক্ত গড় এবং কোভ্যারিয়েন্স উপরে উল্লিখিত (পক্ষপাতদুষ্ট) নমুনা গড় এবং কোভ্যারিয়েন্সে হ্রাস পায়। সমালোচনা নমুনা গড় এবং নমুনা সহপরিবর্তন শক্তিশালী পরিসংখ্যান নয়, যার অর্থ তারা বহিরাগতদের প্রতি সংবেদনশীল। যেহেতু দৃঢ়তা প্রায়শই একটি কাঙ্ক্ষিত বৈশিষ্ট্য, বিশেষত বাস্তব-বিশ্বের প্রয়োগগুলিতে, শক্তিশালী বিকল্পগুলি পছন্দসই প্রমাণিত হতে পারে, বিশেষত পরিমাণ-ভিত্তিক পরিসংখ্যান যেমন অবস্থানের জন্য নমুনা মধ্যমা এবং বিচ্ছুরণের জন্য আন্তঃকোয়ার্টাইল রেঞ্জ (আইকিউআর)। অন্যান্য বিকল্পগুলির মধ্যে রয়েছে ছাঁটা এবং উইন্সোরাইজিং, যেমন ছাঁটা গড় এবং উইন্সোরাইজড গড়। আরও দেখুন কোভ্যারিয়েন্স ম্যাট্রিক্সের অনুমান স্ক্যাটার ম্যাট্রিক্স স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি রেফারেন্সের নিরপেক্ষ অনুমান কোভ্যারিয়েন্স এবং পারস্পরিক সম্পর্ক অনুমান পদ্ধতি সংক্ষিপ্ত পরিসংখ্যান ম্যাট্রিক্স ইউ-পরিসংখ্যান