Content (measure theory)
গণিতে, বিশেষত পরিমাপ তত্ত্বে, একটি বিষয়বস্তু হল একটি বাস্তব-মূল্যবান ফাংশন যা উপসেটগুলির সংগ্রহের উপর সংজ্ঞায়িত করা হয় যেমন একটি বিষয়বস্তু হল একটি পরিমাপের সাধারণীকরণঃ যদিও পরেরটি অবশ্যই গণনাযোগ্যভাবে যোগাত্মক হতে হবে, তবে প্রথমটি অবশ্যই সীমাবদ্ধভাবে যোগাত্মক হতে হবে। অনেক গুরুত্বপূর্ণ প্রয়োগগুলিতে সেটগুলির একটি রিং বা কমপক্ষে সেটগুলির একটি সেমিয়ারিং হিসাবে বেছে নেওয়া হয় যার ক্ষেত্রে কিছু অতিরিক্ত বৈশিষ্ট্য অনুমান করা যেতে পারে যা নীচে বর্ণনা করা হয়েছে। এই কারণে কিছু লেখক শুধুমাত্র সেমিরিং বা এমনকি রিংয়ের ক্ষেত্রে বিষয়বস্তু সংজ্ঞায়িত করতে পছন্দ করেন। যদি কোনও বিষয়বস্তু অতিরিক্তভাবে σ-যোগাত্মক হয় তবে এটিকে প্রাক-পরিমাপ বলা হয় এবং যদি আরও একটি σ-বীজগণিত হয় তবে বিষয়বস্তুকে পরিমাপ বলা হয়। অতএব প্রতিটি (প্রকৃত-মূল্যবান) পরিমাপ একটি বিষয়বস্তু, তবে এর বিপরীত নয়। বিষয়বস্তুগুলি একটি স্থানে সীমাবদ্ধ ফাংশনগুলিকে সংহত করার একটি ভাল ধারণা দেয় তবে সীমাহীন ফাংশনগুলিকে সংহত করার সময় খারাপ আচরণ করতে পারে, অন্যদিকে পরিমাপগুলি সীমাহীন ফাংশনগুলিকে সংহত করার একটি ভাল ধারণা দেয়। উদাহরণ একটি ধ্রুপদী উদাহরণ হল সমস্ত অর্ধ-উন্মুক্ত বিরতিতে একটি বিষয়বস্তুকে তাদের বিষয়বস্তুকে ব্যবধানের দৈর্ঘ্যের সাথে সেট করে সংজ্ঞায়িত করা, অর্থাৎ, একজন আরও দেখাতে পারে যে এই বিষয়বস্তু আসলে σ-যোগাত্মক এবং এইভাবে সমস্ত অর্ধ-উন্মুক্ত ব্যবধানের সেমিয়ারিংয়ের উপর একটি প্রাক-পরিমাপকে সংজ্ঞায়িত করে। এটি ক্যারাথিওডোরির এক্সটেনশন উপপাদ্য ব্যবহার করে বাস্তব সংখ্যা রেখার জন্য লেবস্গু পরিমাপ তৈরি করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। সাধারণ গঠন সম্পর্কে আরও বিস্তারিত জানার জন্য লেবস্গু পরিমাপের নিবন্ধটি দেখুন। σ-বীজগণিতে পরিমাপ নয় এমন একটি বিষয়বস্তুর উদাহরণ হল ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার সমস্ত উপসেটের বিষয়বস্তু যার যে কোনও পূর্ণসংখ্যার মান রয়েছে এবং যে কোনও অসীম উপসেটে অসীম। ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার একটি বিষয়বস্তুর উদাহরণ নিম্নরূপ দেওয়া যেতে পারে যা সর্বদা সসীম কিন্তু পরিমাপ নয়। সীমাবদ্ধ ক্রমের উপর একটি ধনাত্মক রৈখিক কার্যকরী গ্রহণ করুন যা 0 হয় যদি ক্রমটিতে শুধুমাত্র একটি সীমাবদ্ধ সংখ্যক অ-শূন্য উপাদান থাকে এবং ক্রমের উপর 1 মান নেয় যাতে কোনও অর্থে কার্যকরী কোনও সীমাবদ্ধ ক্রমের একটি "গড় মান" দেয়। (এই ধরনের কার্যকারিতা স্পষ্টভাবে নির্মাণ করা যায় না, তবে হান-বানাচ উপপাদ্য দ্বারা বিদ্যমান।) তারপর ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার একটি সেটের বিষয়বস্তু হল ক্রমের গড় মান যা এই সেটে 1 এবং অন্য কোথাও 0। অনানুষ্ঠানিকভাবে, পূর্ণসংখ্যার একটি উপসেটের বিষয়বস্তুকে "সুযোগ" হিসাবে ভাবা যেতে পারে যে একটি এলোমেলোভাবে নির্বাচিত পূর্ণসংখ্যা এই উপসেটে রয়েছে (যদিও এটি সম্ভাব্যতা তত্ত্বের সুযোগের স্বাভাবিক সংজ্ঞাগুলির সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ নয়, যা গণনাযোগ্য সংযোজন অনুমান করে)। বৈশিষ্ট্যগুলি প্রায়শই বিষয়বস্তুগুলি সেটগুলির সংগ্রহে সংজ্ঞায়িত করা হয় যা আরও সীমাবদ্ধতা পূরণ করে। এই ক্ষেত্রে অতিরিক্ত বৈশিষ্ট্যগুলি অনুমান করা যেতে পারে যা সেটগুলির কোনও সংগ্রহে সংজ্ঞায়িত বিষয়বস্তুর জন্য সাধারণভাবে ধরে রাখতে ব্যর্থ হয়। সেমিরিং-এ যদি সেটগুলির একটি সেমিয়ারিং তৈরি হয় তবে নিম্নলিখিত বিবৃতিগুলি অনুমান করা যেতে পারেঃ প্রতিটি বিষয়বস্তু মনোটোন অর্থাৎ, প্রতিটি বিষয়বস্তু এমনভাবে সাবঅ্যাডিটিভ, অর্থাৎ অন রিং-এর জন্য যদি সেটগুলির একটি রিং থাকে তবে অতিরিক্ত পাওয়া যায়ঃ সাবট্র্যাক্টিভিটিঃ এটি সন্তুষ্ট করার জন্য সাবঅ্যাডিটিভিটি অনুসরণ করেঃ-সুপারঅ্যাডিটিভিটিঃ যে কোনও জোড়ার দিক থেকে বিচ্ছিন্ন সন্তুষ্টির জন্য আমাদের যদি একটি সীমাবদ্ধ বিষয়বস্তু থাকে, অর্থাৎ, তখন অন্তর্ভুক্তি-বর্জন নীতি প্রযোজ্য হয়ঃ যেখানে সীমাবদ্ধ ফাংশনের সমস্ত একীকরণের জন্য একটি বিষয়বস্তুর ক্ষেত্রে ফাংশনের সাধারণ সংহতকরণ ভাল আচরণ করে না। তবে সংহতকরণের একটি সুচিন্তিত ধারণা রয়েছে যে ফাংশনটি সীমাবদ্ধ এবং স্থানটির মোট বিষয়বস্তু সীমাবদ্ধ, নিম্নরূপ দেওয়া হয়েছে। ধরুন, একটি জায়গার মোট পরিমাণ সীমাবদ্ধ। যদি স্থানের উপর একটি আবদ্ধ ফাংশন হয় যাতে রিয়েলের যে কোনও খোলা উপসেটের বিপরীত চিত্রের একটি বিষয়বস্তু থাকে, তবে আমরা বিষয়বস্তুর সাপেক্ষে এর ইন্টিগ্রালকে সংজ্ঞায়িত করতে পারি যেখানে বিচ্ছিন্ন অর্ধ-খোলা সেটগুলির একটি সীমাবদ্ধ সংগ্রহ গঠন করে যার ইউনিয়ন পরিসীমা জুড়ে থাকে এবং যে কোনও উপাদান এবং যেখানে সীমাটি সেটগুলির ব্যাস হিসাবে নেওয়া হয় 0। বাউন্ডেড ফাংশনের স্পেসের ডুয়াল মনে করুন যে এটি কোনও স্থানের একটি পরিমাপ বাউন্ডেড পরিমাপযোগ্য ফাংশনগুলি সর্বোচ্চ আদর্শের সাপেক্ষে একটি বানাচ স্পেস গঠন করে। এই স্থানের দ্বৈতের ধনাত্মক উপাদানগুলি অবিচ্ছেদ্য দ্বারা প্রদত্ত মানের সাথে আবদ্ধ বিষয়বস্তুর সাথে মিলে যায় একইভাবে একজন অপরিহার্যভাবে আবদ্ধ ফাংশনের স্থান গঠন করতে পারে, অপরিহার্য সর্বোচ্চ দ্বারা প্রদত্ত আদর্শ সহ, এবং এই স্থানের দ্বৈতের ধনাত্মক উপাদানগুলি সীমাবদ্ধ বিষয়বস্তু দ্বারা দেওয়া হয় যা পরিমাপ 0 এর সেটে অদৃশ্য হয়ে যায়। একটি বিষয়বস্তু থেকে একটি পরিমাপের নির্মাণ একটি টপোলজিকাল স্পেসে একটি বিষয়বস্তু থেকে একটি পরিমাপ তৈরি করার বিভিন্ন উপায় রয়েছে। এই বিভাগটি স্থানীয়ভাবে কম্প্যাক্ট হাউসডর্ফ স্পেসের জন্য এমন একটি পদ্ধতি দেয় যাতে সমস্ত কম্প্যাক্ট সাবসেটে বিষয়বস্তু সংজ্ঞায়িত করা হয়। সাধারণভাবে পরিমাপটি বিষয়বস্তুর সম্প্রসারণ নয়, কারণ বিষয়বস্তুটি গণনাযোগ্যভাবে যোগাত্মক হতে ব্যর্থ হতে পারে এবং বিষয়বস্তু না থাকলেও পরিমাপটি একইভাবে শূন্য হতে পারে। প্রথমে বিষয়বস্তুকে কম্প্যাক্ট সেটের মধ্যে সীমাবদ্ধ করুন। এটি নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্যগুলির সাথে কম্প্যাক্ট সেটগুলির একটি ফাংশন দেয়ঃ সমস্ত জোড়া বিচ্ছিন্ন কম্প্যাক্ট সেটের জন্য সমস্ত জোড়া কম্প্যাক্ট সেটের জন্য সমস্ত কম্প্যাক্ট সেটের জন্য। উপরের ফাংশনগুলির উদাহরণও রয়েছে যা বিষয়বস্তু থেকে তৈরি করা হয়নি। স্থানীয়ভাবে কম্প্যাক্ট গ্রুপের উপর হার পরিমাপ নির্মাণের মাধ্যমে একটি উদাহরণ দেওয়া হয়েছে। এই ধরনের হার পরিমাপ নির্মাণের একটি পদ্ধতি হল গোষ্ঠীর সংক্ষিপ্ত উপসেটগুলিতে উপরের মতো একটি বাম-অপরিবর্তনীয় ফাংশন তৈরি করা, যা পরে একটি বাম-অপরিবর্তনীয় পরিমাপে প্রসারিত করা যেতে পারে। খোলা সেটের সংজ্ঞা উপরে দেওয়া λ অনুসারে, আমরা সমস্ত খোলা সেটের উপর একটি ফাংশনকে এইভাবে সংজ্ঞায়িত করি। এর নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্য রয়েছেঃ বিচ্ছিন্ন খোলা সেটের যে কোনও সংগ্রহের জন্য খোলা সেটের যে কোনও সংগ্রহের জন্য। সমস্ত সেটের সংজ্ঞা উপরে দেওয়া হিসাবে, আমরা ফাংশনটি প্রসারিত করি টপোলজিকাল স্পেসের সমস্ত উপসেট দ্বারা এটি একটি বাহ্যিক পরিমাপ, অন্য কথায় এটির নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্য রয়েছেঃ সেটগুলির যে কোনও গণনাযোগ্য সংগ্রহের জন্য। একটি পরিমাপের গঠন উপরের ফাংশনটি সমস্ত উপসেটগুলির পরিবারের উপর একটি বাহ্যিক পরিমাপ। অতএব এটি একটি পরিমাপ হয়ে ওঠে যখন বাইরের পরিমাপের জন্য পরিমাপযোগ্য উপসেটগুলিতে সীমাবদ্ধ থাকে, যা এমন উপসেট যা সমস্ত উপসেটগুলির জন্য যদি স্থানটি স্থানীয়ভাবে কম্প্যাক্ট হয় তবে প্রতিটি খোলা সেট এই পরিমাপের জন্য পরিমাপযোগ্য। পরিমাপটি অগত্যা কমপ্যাক্ট সেটের বিষয়বস্তুর সাথে মিলে যায় না, তবে এটি এই অর্থে নিয়মিত হয় যে কোনও কমপ্যাক্টের জন্য তাদের অভ্যন্তরে থাকা কমপ্যাক্ট সেটগুলির জন্য তথ্য। আরও দেখুন রেফারেন্স পরিমাপ তত্ত্ব সেটের পরিবার