Development (differential geometry)
ধ্রুপদী ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতিতে, বিকাশ বলতে ইউক্লিডীয় স্থানে একটি মসৃণ পৃষ্ঠকে অন্যটির উপর ঘূর্ণায়মান করার সহজ ধারণাকে বোঝায়। উদাহরণস্বরূপ, একটি বিন্দুতে কোনও পৃষ্ঠের (যেমন গোলক বা সিলিন্ডার) স্পর্শক সমতলকে অন্যান্য বিন্দুতে স্পর্শক সমতল পেতে পৃষ্ঠের চারপাশে ঘোরানো যেতে পারে। বৈশিষ্ট্যগুলি একে অপরের উপর ঘূর্ণিত পৃষ্ঠগুলির মধ্যে স্পর্শক সংযোগ দুটি পৃষ্ঠের বিন্দুর মধ্যে একটি সম্পর্ক প্রদান করে। যদি এই সম্পর্কটি (সম্ভবত শুধুমাত্র একটি স্থানীয় অর্থে) পৃষ্ঠের মধ্যে একটি বাইজেকশন হয়, তবে দুটি পৃষ্ঠকে একে অপরের উপর বিকাশযোগ্য বা একে অপরের বিকাশযোগ্য বলা হয়। ভিন্নভাবে বললে, চিঠিপত্র দুটি পৃষ্ঠের মধ্যে স্থানীয়ভাবে একটি আইসোমেট্রি প্রদান করে। বিশেষত, যদি পৃষ্ঠগুলির মধ্যে একটি সমতল হয়, তবে অন্যটিকে বিকাশযোগ্য পৃষ্ঠ বলা হয়ঃ সুতরাং একটি বিকাশযোগ্য পৃষ্ঠ এমন একটি যা স্থানীয়ভাবে একটি সমতলের সমতুল্য। সিলিন্ডারটি বিকাশযোগ্য, তবে গোলকটি নয়। সমতল সংযোগগুলি ব্যবহার করে উন্নয়নকে আরও সাধারণীকরণ করা যেতে পারে। এই দৃষ্টিকোণ থেকে, একটি পৃষ্ঠের উপর স্পর্শক সমতলকে ঘোরানো পৃষ্ঠের উপর একটি অ্যাফিন সংযোগকে সংজ্ঞায়িত করে (এটি একটি বক্ররেখা বরাবর সমান্তরাল পরিবহনের একটি উদাহরণ প্রদান করে), এবং একটি বিকাশযোগ্য পৃষ্ঠ যার জন্য এই সংযোগটি সমতল। আরও সাধারণভাবে কোনও ম্যানিফোল্ডে যে কোনও ফ্ল্যাট কার্টান সংযোগ মডেল স্পেসে সেই ম্যানিফোল্ডের বিকাশকে সংজ্ঞায়িত করে। সম্ভবত সবচেয়ে বিখ্যাত উদাহরণ হল সামঞ্জস্যপূর্ণভাবে সমতল এন-ম্যানিফোল্ডের বিকাশ, যেখানে মডেল-স্পেস হল এন-গোলক। একটি সামঞ্জস্যপূর্ণভাবে সমতল ম্যানিফোল্ডের বিকাশ হল ম্যানিফোল্ডের সার্বজনীন আবরণ থেকে এন-গোলক পর্যন্ত একটি সামঞ্জস্যপূর্ণ স্থানীয় ডিফিয়োমরফিজম। অবিকশিত পৃষ্ঠতল দ্বিমুখী পৃষ্ঠতলের শ্রেণীতে (অবিকশিত পৃষ্ঠতল) এমন বস্তু থাকে যা সহজভাবে উন্মোচিত (বিকশিত) করা যায় না। এই ধরনের পৃষ্ঠগুলি শুধুমাত্র রৈখিক পৃষ্ঠ উপাদানগুলির কিছু বিকৃতি দিয়ে গড়ে তোলা যেতে পারে (প্রসারিত গ্রিড পদ্ধতি দেখুন) আরও দেখুন বিকাশযোগ্য পৃষ্ঠ নিয়ন্ত্রিত পৃষ্ঠ রেফারেন্স ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতি সংযোগ (গণিত)