Data transformation (statistics)
পরিসংখ্যানে, ডেটা রূপান্তর হল একটি ডেটা সেটের প্রতিটি বিন্দুতে একটি নির্ধারক গাণিতিক ফাংশনের প্রয়োগ-অর্থাৎ, প্রতিটি ডেটা পয়েন্ট জি রূপান্তরিত মান yi = f (zi) দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়, যেখানে f একটি ফাংশন। রূপান্তরগুলি সাধারণত প্রয়োগ করা হয় যাতে ডেটা আরও ঘনিষ্ঠভাবে একটি পরিসংখ্যানগত অনুমান পদ্ধতির অনুমানগুলি পূরণ করে যা প্রয়োগ করা হবে, বা গ্রাফের ব্যাখ্যাযোগ্যতা বা চেহারা উন্নত করার জন্য। প্রায় সবসময়, তথ্য রূপান্তর করতে যে ফাংশনটি ব্যবহার করা হয় তা বিপরীতমুখী এবং সাধারণত অবিচ্ছিন্ন। রূপান্তরটি সাধারণত তুলনীয় পরিমাপের সংগ্রহে প্রয়োগ করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, আমরা যদি কোনও মুদ্রা ইউনিটে মানুষের আয়ের তথ্য নিয়ে কাজ করি, তবে লগারিদম ফাংশন দ্বারা প্রতিটি ব্যক্তির আয়ের মূল্যকে রূপান্তরিত করা সাধারণ বিষয় হবে। তথ্য কীভাবে রূপান্তরিত করা উচিত, বা কোনও রূপান্তর আদৌ প্রয়োগ করা উচিত কিনা তার জন্য অনুপ্রেরণা নির্দেশিকা নির্দিষ্ট পরিসংখ্যানগত বিশ্লেষণ থেকে আসা উচিত। উদাহরণস্বরূপ, জনসংখ্যার গড়ের জন্য আনুমানিক 95 শতাংশ আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান তৈরি করার একটি সহজ উপায় হল নমুনা গড় যোগ বা বিয়োগ দুটি মানক ত্রুটি ইউনিট নেওয়া। যাইহোক, এখানে ব্যবহৃত ধ্রুবক ফ্যাক্টর 2 স্বাভাবিক বণ্টনের জন্য নির্দিষ্ট, এবং শুধুমাত্র প্রযোজ্য যদি নমুনা গড় প্রায় স্বাভাবিকভাবে পরিবর্তিত হয়। কেন্দ্রীয় সীমা উপপাদ্য বলে যে অনেক পরিস্থিতিতে, নমুনা গড় সাধারণত পরিবর্তিত হয় যদি নমুনার আকার যুক্তিসঙ্গতভাবে বড় হয়। যাইহোক, যদি জনসংখ্যা যথেষ্ট পরিমাণে তির্যক হয় এবং নমুনার আকার সর্বাধিক মাঝারি হয়, তবে কেন্দ্রীয় সীমা উপপাদ্য দ্বারা প্রদত্ত আনুমানিক দুর্বল হতে পারে এবং ফলস্বরূপ আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানের সম্ভবত ভুল কভারেজ সম্ভাবনা থাকবে। সুতরাং, যখন তথ্যের মধ্যে যথেষ্ট তির্যকতার প্রমাণ পাওয়া যায়, তখন একটি আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান তৈরি করার আগে তথ্যকে প্রতিসম বিতরণে রূপান্তরিত করা সাধারণ বিষয়। যদি ইচ্ছা হয়, তবে আস্থার ব্যবধানটি তথ্যের উপর প্রয়োগ করা রূপান্তরটির বিপরীত ব্যবহার করে মূল স্কেলে রূপান্তরিত করা যেতে পারে। ডেটা রূপান্তরিত করা যেতে পারে যাতে সেগুলি সহজেই কল্পনা করা যায়। উদাহরণস্বরূপ, ধরুন আমাদের একটি স্ক্যাটারপ্লট রয়েছে যেখানে পয়েন্টগুলি হল বিশ্বের দেশগুলি, এবং প্লট করা ডেটা মানগুলি হল প্রতিটি দেশের ভূমি এলাকা এবং জনসংখ্যা। যদি প্লটটি অপরিবর্তিত তথ্য ব্যবহার করে তৈরি করা হয় (যেমন। আয়তনের জন্য বর্গ কিলোমিটার এবং জনসংখ্যার জন্য মানুষের সংখ্যা), বেশিরভাগ দেশ গ্রাফের নীচের বাম কোণে পয়েন্টের টাইট ক্লাস্টারে প্লট করা হবে। খুব বড় এলাকা এবং/অথবা জনসংখ্যা সহ কয়েকটি দেশ গ্রাফের বেশিরভাগ এলাকার চারপাশে খুব কমই ছড়িয়ে থাকবে। কেবলমাত্র ইউনিটগুলি পুনরুদ্ধার করা (উদাহরণস্বরূপ, হাজার বর্গ কিলোমিটার বা লক্ষ লক্ষ মানুষের কাছে) এটি পরিবর্তন করবে না। যাইহোক, এলাকা এবং জনসংখ্যা উভয়ের লগারিদমিক রূপান্তর অনুসরণ করে, বিন্দুগুলি গ্রাফে আরও অভিন্নভাবে ছড়িয়ে পড়বে। তথ্য রূপান্তর প্রয়োগের আরেকটি কারণ হল ব্যাখ্যার উন্নতি করা, এমনকি যদি কোনও আনুষ্ঠানিক পরিসংখ্যানগত বিশ্লেষণ বা দৃশ্যায়ন করা না হয়। উদাহরণস্বরূপ, ধরুন আমরা গাড়িগুলিকে তাদের জ্বালানি সাশ্রয়ের পরিপ্রেক্ষিতে তুলনা করছি। এই তথ্যগুলি সাধারণত "প্রতি লিটারে কিলোমিটার" বা "প্রতি গ্যালনে মাইল" হিসাবে উপস্থাপন করা হয়। যাইহোক, যদি লক্ষ্যটি মূল্যায়ন করা হয় যে একজন ব্যক্তি একটি গাড়ি চালানোর সময় অন্য বছরের তুলনায় এক বছরে কতটা অতিরিক্ত জ্বালানী ব্যবহার করবে, তবে পারস্পরিক ফাংশন প্রয়োগ করে রূপান্তরিত তথ্য নিয়ে কাজ করা আরও স্বাভাবিক, প্রতি কিলোমিটার লিটার বা গ্যালন প্রতি মাইল। রিগ্রেশনে ডেটা রূপান্তরকে একটি প্রতিকারমূলক পরিমাপ হিসাবে ব্যবহার করা যেতে পারে যাতে ডেটা রৈখিক রিগ্রেশনের সাথে মডেলিংয়ের জন্য উপযুক্ত হয় যদি মূল ডেটা রৈখিক রিগ্রেশনের এক বা একাধিক অনুমান লঙ্ঘন করে। উদাহরণস্বরূপ, সহজতম রৈখিক প্রতিগমন মডেলগুলি Y-এর প্রত্যাশিত মান (যে প্রতিক্রিয়া পরিবর্তনশীলটির পূর্বাভাস দেওয়া হবে) এবং প্রতিটি স্বাধীন পরিবর্তনশীলের (যখন অন্যান্য স্বাধীন পরিবর্তনশীলগুলিকে স্থির রাখা হয়) মধ্যে একটি রৈখিক সম্পর্ক ধরে নেয়। যদি রৈখিকতা ধরে রাখতে ব্যর্থ হয়, এমনকি প্রায়, কখনও কখনও রৈখিকতা উন্নত করার জন্য রিগ্রেশন মডেলের স্বাধীন বা নির্ভরশীল চলকগুলিকে রূপান্তর করা সম্ভব হয়। উদাহরণস্বরূপ, মূল স্বাধীন চলকগুলির চতুর্ভুজ ফাংশনের সংযোজন Y-এর প্রত্যাশিত মানের সাথে একটি রৈখিক সম্পর্কের দিকে পরিচালিত করতে পারে, যার ফলে একটি বহুপদী রিগ্রেশন মডেল তৈরি হয়, যা রৈখিক রিগ্রেশন-এর একটি বিশেষ ক্ষেত্রে। রৈখিক প্রতিগমনের আরেকটি অনুমান হল সমস্থানিকতা, অর্থাৎ ভবিষ্যদ্বাণীকারীদের মান নির্বিশেষে ত্রুটির বৈচিত্র্য অবশ্যই একই হতে হবে। যদি এই ধারণাটি লঙ্ঘন করা হয় (অর্থাৎ। যদি তথ্যটি হেটেরোসেডাস্টিক হয়), তবে শুধুমাত্র ওয়াই-এর রূপান্তর বা এক্স (ভবিষ্যদ্বাণীকারী চলক) এবং ওয়াই উভয়ের রূপান্তর খুঁজে পাওয়া সম্ভব হতে পারে, যাতে হোমোসেডাস্টিসিটি অনুমান (রৈখিকতা অনুমান ছাড়াও) রূপান্তরিত চলকগুলির উপর সত্য হয় এবং রৈখিক রিগ্রেশন প্রয়োগ করা যেতে পারে। তথ্য রূপান্তরের আরেকটি প্রয়োগ হল ত্রুটির পরিপ্রেক্ষিতে স্বাভাবিকতার অভাবের সমস্যা সমাধান করা। রিগ্রেশন প্যারামিটারগুলির ন্যূনতম বর্গ অনুমানের অর্থবহ হওয়ার জন্য অভিন্ন স্বাভাবিকতার প্রয়োজন নেই (গাউস-মার্কভ উপপাদ্য দেখুন)। তবে কনফিডেন্স ইন্টারভ্যাল এবং হাইপোথিসিস পরীক্ষার আরও ভাল পরিসংখ্যানগত বৈশিষ্ট্য থাকবে যদি ভেরিয়েবলগুলি মাল্টিভ্যারিয়েট নর্মালিটি প্রদর্শন করে। পরিবর্তনগুলি যা ত্রুটি পদগুলির বৈচিত্র্যকে স্থিতিশীল করে (অর্থাৎ। যারা হেটেরোসেড্যাটিসিটিকে সম্বোধন করে) প্রায়শই ত্রুটি পদগুলিকে প্রায় স্বাভাবিক করতে সহায়তা করে। উদাহরণ সমীকরণঃ অর্থঃ X-এর একটি একক বৃদ্ধি Y-এর গড় b একক বৃদ্ধির সঙ্গে যুক্ত। সমীকরণঃ (সমীকরণের উভয় দিককে সূচিবদ্ধ করা থেকেঃ) অর্থঃ X-এ একটি একক বৃদ্ধি b এককগুলির গড় বৃদ্ধির সাথে যুক্ত, বা সমতুল্যভাবে, Y এর গুণনীয়ক দ্বারা গড়ে বৃদ্ধি পায়। দৃষ্টান্তমূলক উদ্দেশ্যে, যদি উপরের রূপান্তরটিতে প্রাকৃতিক লগারিদমের পরিবর্তে বেস-10 লগারিদম ব্যবহার করা হয় এবং রিগ্রেশন সহগগুলি বোঝাতে একই চিহ্ন (এ এবং বি) ব্যবহার করা হয়, তবে এক্স-এর একক বৃদ্ধি গড়ে ওয়াই-এর গুণ বৃদ্ধি ঘটাবে। যদি বি 1 হয়, তবে এটি এক্স সমীকরণে একক বৃদ্ধির জন্য ওয়াই-তে 10 গুণ বৃদ্ধি বোঝায়ঃ অর্থঃ এক্স-এ কে-গুণ বৃদ্ধি ওয়াই-এর গড় একক বৃদ্ধির সাথে যুক্ত। দৃষ্টান্তমূলক উদ্দেশ্যে, যদি উপরের রূপান্তরটিতে প্রাকৃতিক লগারিদমের পরিবর্তে বেস-10 লগারিদম ব্যবহার করা হয় এবং রিগ্রেশন সহগগুলি বোঝাতে একই চিহ্ন (a এবং b) ব্যবহার করা হয়, তবে X-এর দশগুণ বৃদ্ধির ফলে Y সমীকরণে এককগুলির গড় বৃদ্ধি হবেঃ (সমীকরণের উভয় দিককে সূচিবদ্ধ করা থেকেঃ) অর্থঃ X-এর একটি k-গুণ বৃদ্ধি গড়ে Y-এর গুণিতক বৃদ্ধির সাথে যুক্ত। সুতরাং যদি X দ্বিগুণ হয়, তবে এর ফলস্বরূপ Y এর গুণনীয়ক দ্বারা পরিবর্তিত হবে। বিকল্প সাধারণীকৃত রৈখিক মডেল (জি. এল. এম) সাধারণ রৈখিক রিগ্রেশন-এর একটি নমনীয় সাধারণীকরণ প্রদান করে যা স্বাভাবিক বন্টন ব্যতীত ত্রুটি বিতরণ মডেল রয়েছে এমন প্রতিক্রিয়া চলকগুলির জন্য অনুমতি দেয়। জি. এল. এম রৈখিক মডেলটিকে একটি লিঙ্ক ফাংশনের মাধ্যমে প্রতিক্রিয়া পরিবর্তনশীলের সাথে সম্পর্কিত হতে দেয় এবং প্রতিটি পরিমাপের বৈচিত্র্যের মাত্রাকে তার পূর্বাভাস মানের একটি ফাংশন হতে দেয়। সাধারণ ক্ষেত্রে লগারিদম রূপান্তর এবং বর্গমূল রূপান্তর সাধারণত ধনাত্মক তথ্যের জন্য ব্যবহৃত হয় এবং গুণিতক বিপরীত রূপান্তর (পারস্পরিক রূপান্তর) অ-শূন্য তথ্যের জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে। শক্তি রূপান্তর একটি অ-ঋণাত্মক মান λ দ্বারা প্যারামিটারাইজড রূপান্তরগুলির একটি পরিবার যা বিশেষ ক্ষেত্রে লগারিদম, বর্গমূল এবং গুণিতক বিপরীত রূপান্তরগুলি অন্তর্ভুক্ত করে। পদ্ধতিগতভাবে তথ্য রূপান্তরের দিকে এগিয়ে যাওয়ার জন্য, শক্তি রূপান্তরের পরামিতি λ অনুমান করার জন্য পরিসংখ্যানগত অনুমান কৌশল ব্যবহার করা সম্ভব, যার ফলে প্রদত্ত পরিবেশে প্রায় সবচেয়ে উপযুক্ত রূপান্তরটি চিহ্নিত করা যায়। যেহেতু শক্তি রূপান্তর পরিবারে পরিচয় রূপান্তরও অন্তর্ভুক্ত রয়েছে, তাই এই পদ্ধতিটি নির্দেশ করতে পারে যে কোনও রূপান্তর ছাড়াই তথ্য বিশ্লেষণ করা সর্বোত্তম হবে কিনা। রিগ্রেশন বিশ্লেষণে, এই পদ্ধতিটি বক্স-কক্স রূপান্তর হিসাবে পরিচিত। পারস্পরিক রূপান্তর, কিছু শক্তি রূপান্তর যেমন ইয়েও-জনসন রূপান্তর, এবং কিছু অন্যান্য রূপান্তর যেমন বিপরীত হাইপারবোলিক সাইন প্রয়োগ, অর্থবহভাবে ধনাত্মক এবং ঋণাত্মক উভয় মান অন্তর্ভুক্ত তথ্যের ক্ষেত্রে প্রয়োগ করা যেতে পারে (λ একটি বিজোড় পূর্ণসংখ্যা হলে সমস্ত বাস্তব সংখ্যার উপর শক্তি রূপান্তরটি বিপরীতমুখী হয়)। যাইহোক, যখন নেতিবাচক এবং ইতিবাচক উভয় মানই পর্যবেক্ষণ করা হয়, তখন কখনও কখনও সমস্ত মানের সাথে একটি ধ্রুবক যোগ করে শুরু করা সাধারণ, অ-নেতিবাচক তথ্যের একটি সেট তৈরি করে যাতে যে কোনও শক্তি রূপান্তর প্রয়োগ করা যেতে পারে। একটি সাধারণ পরিস্থিতি যেখানে একটি তথ্য রূপান্তর প্রয়োগ করা হয় তা হল যখন সুদের মান মাত্রার বিভিন্ন ক্রমের মধ্যে থাকে। অনেক শারীরিক ও সামাজিক ঘটনা এই ধরনের আচরণ প্রদর্শন করে-আয়, প্রজাতির জনসংখ্যা, ছায়াপথের আকার এবং বৃষ্টিপাতের পরিমাণ। শক্তি রূপান্তর, এবং বিশেষ করে লগারিদম, প্রায়শই এই ধরনের উপাত্তে প্রতিসাম্য প্ররোচিত করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। লগারিদম প্রায়শই অনুকূল হয় কারণ এর ফলাফলকে "ভাঁজ পরিবর্তনের" পরিপ্রেক্ষিতে ব্যাখ্যা করা সহজ। লগারিদম অনুপাতের উপরও একটি দরকারী প্রভাব ফেলে। যদি আমরা এক্স/ওয়াই অনুপাত ব্যবহার করে ধনাত্মক পরিমাণ এক্স এবং ওয়াই-এর তুলনা করি, তাহলে যদি এক্স <ওয়াই হয়, তবে অনুপাতটি ব্যবধান (0,1)-এ থাকে, যেখানে এক্স> ওয়াই হলে, অনুপাতটি অর্ধ-রেখায় (1, φ) থাকে, যেখানে 1-এর অনুপাত সমতার সাথে মিলে যায়। একটি বিশ্লেষণে যেখানে এক্স এবং ওয়াই-কে প্রতিসমভাবে বিবেচনা করা হয়, সেখানে সমতার ক্ষেত্রে লগ-অনুপাত লগ (এক্স/ওয়াই) শূন্য হয় এবং এর বৈশিষ্ট্য হল যে যদি এক্স ওয়াই-এর চেয়ে কে গুণ বেশি হয়, তবে লগ-অনুপাত শূন্য থেকে সমদূরত্বে থাকে যেমনটি এমন পরিস্থিতিতে যেখানে ওয়াই এক্স-এর চেয়ে কে গুণ বেশি হয় (লগ-অনুপাতগুলি এই দুটি পরিস্থিতিতে লগ (কে) এবং-লগ (কে) হয়)। যদি মানগুলি স্বাভাবিকভাবেই 0 থেকে 1-এর মধ্যে সীমাবদ্ধ থাকে, শেষ-বিন্দুগুলি সহ নয়, তবে একটি লজিট রূপান্তর উপযুক্ত হতে পারেঃ এটি পরিসরে মান দেয় (− φ, φ)। 1. স্বাভাবিকতায় রূপান্তর। কোনও ডেটা সেটকে স্বাভাবিক বণ্টনের মতো করে রূপান্তর করা সবসময় প্রয়োজনীয় বা কাম্য নয়। যাইহোক, যদি প্রতিসাম্য বা স্বাভাবিকতা কাঙ্ক্ষিত হয়, তবে সেগুলি প্রায়শই একটি শক্তি রূপান্তরের মাধ্যমে প্ররোচিত করা যেতে পারে। 2. একটি ভাষাগত শক্তি ফাংশন জিপফ-ম্যান্ডেলব্রট আইন অনুসারে বিতরণ করা হয়। বিতরণটি অত্যন্ত স্পাইক এবং লেপটোকার্টিক, এই কারণেই গবেষকদের উদাহরণস্বরূপ সমাধান করার জন্য পরিসংখ্যানের দিকে ফিরে যেতে হয়েছিল। লেখকত্ব অ্যাট্রিবিউশন সমস্যা। তা সত্ত্বেও, তথ্য রূপান্তর প্রয়োগের মাধ্যমে গাউসিয়ান পরিসংখ্যানের ব্যবহার পুরোপুরি সম্ভব। 3. রূপান্তরের পরে স্বাভাবিকতা অর্জন করা হয়েছে কিনা তা মূল্যায়নের জন্য, যে কোনও মানক স্বাভাবিকতা পরীক্ষা ব্যবহার করা যেতে পারে। একটি গ্রাফিকাল পদ্ধতি সাধারণত একটি আনুষ্ঠানিক পরিসংখ্যানগত পরীক্ষার চেয়ে বেশি তথ্যবহুল এবং তাই একটি সাধারণ পরিমাণগত প্লট সাধারণত একটি সাধারণ জনসংখ্যার জন্য একটি ডেটা সেটের মাপকাঠি মূল্যায়ন করতে ব্যবহৃত হয়। বিকল্পভাবে, নমুনা তির্যকতা এবং কুর্টোসিসের উপর ভিত্তি করে থাম্বের নিয়মও প্রস্তাব করা হয়েছে। একটি অভিন্ন বন্টন বা একটি নির্বিচারে বন্টনে রূপান্তরিত হওয়া যদি আমরা কোনও বন্ধন ছাড়াই x1,., xn এর n মানগুলির একটি সেট পর্যবেক্ষণ করি (অর্থাৎ, n স্বতন্ত্র মান রয়েছে), আমরা xi কে রূপান্তরিত মান y = k দিয়ে প্রতিস্থাপন করতে পারি, যেখানে k কে এমনভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় যে x সমস্ত মানের মধ্যে kth বৃহত্তম। একে র্যাঙ্ক ট্রান্সফর্ম বলা হয়, এবং একটি অভিন্ন বিতরণের জন্য নিখুঁত ফিট সহ ডেটা তৈরি করে। এই পদ্ধতির একটি জনসংখ্যা অ্যানালগ রয়েছে। সম্ভাব্যতা অবিচ্ছেদ্য রূপান্তর ব্যবহার করে, যদি এক্স কোনও এলোমেলো পরিবর্তনশীল হয় এবং এফ এক্স-এর ক্রমবর্ধমান বন্টন ফাংশন হয়, তবে যতক্ষণ পর্যন্ত এফ বিপরীতমুখী হয়, ততক্ষণ এলোমেলো পরিবর্তনশীল ইউ = এফ (এক্স) একক ব্যবধান [0,1]-এ একটি অভিন্ন বন্টন অনুসরণ করে। একটি অভিন্ন বন্টন থেকে, আমরা একটি বিপরীতমুখী ক্রমবর্ধমান বন্টন ফাংশন সহ যে কোনও বন্টনে রূপান্তরিত হতে পারি। যদি জি একটি বিপরীতমুখী ক্রমবর্ধমান বন্টন ফাংশন হয়, এবং ইউ একটি অভিন্নভাবে বণ্টিত যাদৃচ্ছিক পরিবর্তনশীল হয়, তাহলে ক্রমবর্ধমান পরিবর্তনশীল জি-1 (ইউ) এর ক্রমবর্ধমান বন্টন ফাংশন হিসাবে জি রয়েছে। দুটোকে একত্রে বললে, যদি এক্স কোনও এলোমেলো পরিবর্তনশীল হয়, এফ হল এক্স-এর বিপরীতমুখী ক্রমবর্ধমান বন্টন ফাংশন, এবং জি একটি বিপরীতমুখী ক্রমবর্ধমান বন্টন ফাংশন হয়, তাহলে এলোমেলো পরিবর্তনশীল জি-1 (এফ (এক্স))-এর ক্রমবর্ধমান বন্টন ফাংশন হিসাবে জি রয়েছে। বৈচিত্র্য স্থিতিশীল রূপান্তর অনেক ধরনের পরিসংখ্যানগত তথ্য একটি "বৈচিত্র্য-উপর-অর্থ সম্পর্ক" প্রদর্শন করে, যার অর্থ হল যে বিভিন্ন প্রত্যাশিত মান সহ ডেটা মানগুলির জন্য পরিবর্তনশীলতা আলাদা। উদাহরণস্বরূপ, বিশ্বের বিভিন্ন জনসংখ্যার তুলনায়, আয়ের পার্থক্য গড় আয়ের সাথে বৃদ্ধি পায়। যদি আমরা বেশ কয়েকটি ছোট এলাকা ইউনিট (যেমন, মার্কিন যুক্তরাষ্ট্রের কাউন্টি) বিবেচনা করি এবং প্রতিটি কাউন্টির মধ্যে আয়ের গড় এবং বৈচিত্র্য অর্জন করি, তবে এটি সাধারণ যে উচ্চতর গড় আয়ের কাউন্টিতেও উচ্চতর বৈচিত্র্য রয়েছে। একটি ভ্যারিয়েন্স-স্টেবিলাইজিং রূপান্তরের লক্ষ্য হল একটি ভ্যারিয়েন্স-অন-মিন সম্পর্ককে সরিয়ে ফেলা, যাতে ভ্যারিয়েন্স গড়ের তুলনায় ধ্রুবক হয়ে ওঠে। বৈচিত্র্য-স্থিতিশীল রূপান্তরের উদাহরণ হল নমুনা পারস্পরিক সম্পর্ক সহগের জন্য ফিশার রূপান্তর, পয়সন তথ্যের জন্য বর্গমূল রূপান্তর বা আনসকম্ব রূপান্তর (গণনা তথ্য), রিগ্রেশন বিশ্লেষণের জন্য বক্স-কক্স রূপান্তর এবং অনুপাতের জন্য আর্কসিন বর্গমূল রূপান্তর বা কৌণিক রূপান্তর (দ্বিপদী তথ্য)। যদিও সাধারণত আনুপাতিক তথ্যের পরিসংখ্যানগত বিশ্লেষণের জন্য ব্যবহৃত হয়, আর্কসিন বর্গমূল রূপান্তরটি সুপারিশ করা হয় না কারণ লজিস্টিক রিগ্রেশন বা লজিট রূপান্তর যথাক্রমে দ্বিপদী বা অ-দ্বিপদী অনুপাতের জন্য আরও উপযুক্ত, বিশেষত টাইপ-2 ত্রুটি হ্রাসের কারণে। মাল্টিভ্যারিয়েট ডেটা ইউনিভ্যারিয়েট ফাংশনের জন্য রূপান্তরগুলি তাদের প্রান্তিক বিতরণগুলি সংশোধন করতে মাল্টিভ্যারিয়েট ডেটাতে পয়েন্ট-ভিত্তিক প্রয়োগ করা যেতে পারে। যথাযথভাবে নির্মিত রূপান্তর ব্যবহার করে মাল্টিভ্যারিয়েট ডিস্ট্রিবিউশনের কিছু বৈশিষ্ট্য পরিবর্তন করাও সম্ভব। উদাহরণস্বরূপ, সময় সিরিজ এবং অন্যান্য ধরনের ক্রমিক তথ্য নিয়ে কাজ করার সময়, স্থিরতার উন্নতির জন্য তথ্যের পার্থক্য করা সাধারণ বিষয়। যদি একটি র্যান্ডম ভেক্টর X দ্বারা উত্পন্ন ডেটা সহপরিবর্তন ম্যাট্রিক্সের সাথে পর্যবেক্ষণের ভেক্টর xi হিসাবে পর্যবেক্ষণ করা হয়, তবে ডেটা সাজানোর জন্য একটি রৈখিক রূপান্তর ব্যবহার করা যেতে পারে। এটি করার জন্য, চ 'লেস্কি পচন ব্যবহার করা হয়' এ '= এ' প্রকাশ করতে। তারপর রূপান্তরিত ভেক্টর Yi = A − 1X "i এর কোভ্যারিয়েন্স ম্যাট্রিক্স হিসাবে আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্স রয়েছে। আরও দেখুন আর্কসিন ফিচার ইঞ্জিনিয়ারিং লজিট পিয়ারসন কোরিলেশন কোএফিশিয়েন্ট পাওয়ার ট্রান্সফর্ম (বক্স-কক্স) উইলসন-হিলফার্টি ট্রান্সফর্মশন হোয়াইটিং ট্রান্সফর্মশন রেফারেন্স এক্সটার্নাল লিঙ্ক লগ ট্রান্সফর্মশনস ফর স্ক্যুড অ্যান্ড ওয়াইড ডিস্ট্রিবিউশন-লগ এবং "সাইন্ড লগারিদম" ট্রান্সফর্মশন নিয়ে আলোচনা ("প্র্যাকটিক্যাল ডেটা সায়েন্স উইথ আর" থেকে একটি অধ্যায়)। পরিসংখ্যানগত অনুমান