Leibniz harmonic triangle
লাইবনিজ সুরেলা ত্রিভুজ হল একক ভগ্নাংশের একটি ত্রিভুজাকার বিন্যাস যেখানে সবচেয়ে বাইরের তির্যকগুলি সারি সংখ্যার পারস্পরিক সমন্বয়ে গঠিত এবং প্রতিটি অভ্যন্তরীণ কোষ উপরের তির্যকভাবে কোষ এবং বামদিকে বিয়োগ বামদিকের কোষ। বীজগাণিতিকভাবে বলতে গেলে, (যেখানে 1 থেকে শুরু হওয়া সারির সংখ্যা, এবং কলাম নম্বর, কখনই r-এর বেশি নয়) এবং মান প্রথম আটটি সারির মধ্যে রয়েছেঃ বিভাজকগুলি তালিকাভুক্ত করা হয়েছে, এবং সংখ্যাগুলি সমস্ত 1s। পদগুলি পুনরাবৃত্তি দ্বারা এবং স্পষ্টভাবে দ্বিপদী সহগ দ্বারা দেওয়া হয়। প্যাসকেলের ত্রিভুজের সাথে সম্পর্ক যেখানে প্যাসকেলের ত্রিভুজের প্রতিটি এন্ট্রি উপরের সারির দুটি এন্ট্রির যোগফল, লেইবনিজ ত্রিভুজের প্রতিটি এন্ট্রি তার নীচের সারির দুটি এন্ট্রির যোগফল। উদাহরণস্বরূপ, 5ম সারিতে, এন্ট্রি (1/30) হল 6ষ্ঠ সারিতে দুটি (1/60)-এর যোগফল। ঠিক যেমন প্যাসকেলের ত্রিভুজটি দ্বিপদী সহগ ব্যবহার করে গণনা করা যেতে পারে, তেমনই লাইবনিজেরঃ উপরন্তু, এই ত্রিভুজের এন্ট্রিগুলি পাস্কাল থেকে গণনা করা যেতে পারেঃ "প্রতিটি সারির পদগুলি হল প্রাথমিক পদ যা সংশ্লিষ্ট পাস্কাল ত্রিভুজ এন্ট্রি দ্বারা বিভক্ত"। প্রকৃতপক্ষে, প্রতিটি তির্যক সংশ্লিষ্ট প্যাসকেল ত্রিভুজ তির্যকগুলির সাথে সম্পর্কিতঃ প্রথম লাইবনিজ তির্যকটি 1/(1x প্রাকৃতিক সংখ্যা), 1/(2x ত্রিভুজাকার সংখ্যা)-এর দ্বিতীয়টি, 1/(3x চতুষ্কোণ সংখ্যা)-এর তৃতীয়টি ইত্যাদি নিয়ে গঠিত। উপরন্তু, হারমোনিক ত্রিভুজের প্রতিটি প্রবেশ পাস্কেলের ত্রিভুজের সংশ্লিষ্ট প্রবেশের পারস্পরিকের সমান, যা সংশ্লিষ্ট সারির পারস্পরিক দ্বারা গুণিত হয়, যেখানে হারমোনিক ত্রিভুজের প্রবেশ এবং পাস্কেলের ত্রিভুজ অসীম সিরিজে সংশ্লিষ্ট প্রবেশ। উদাহরণস্বরূপ, সহগগুলির সূত্রটি প্রতিস্থাপন করে আমরা অসীম সিরিজটি পাই, এখানে দেওয়া প্রথম উদাহরণটি মূলত 1694 এর আশেপাশে লাইবনিজের কাজের উপর প্রকাশিত হয়েছিল। উদাহরণস্বরূপ, তৃতীয় সারির জন্য, আমাদের 3 + 6 + 3 = 12 = 3 × 22 আছে। আমরা পাস্কেলের নিয়ম হকি-স্টিক আইডেন্টিটি রেফারেন্সও দেখতে পাই গটফ্রিড উইলহেম লেইবনিজ সংখ্যার ত্রিভুজ