Modular multiplicative inverse
গণিতে, বিশেষত গাণিতিক ক্ষেত্রে, একটি পূর্ণসংখ্যার একটি মডুলার গুণিতক বিপরীত হল এমন একটি পূর্ণসংখ্যা যা মডুলাসের সাপেক্ষে গুণফলটি 1-এর সমতুল্য। মডুলার গাণিতিকের স্ট্যান্ডার্ড নোটেশনে এই কংগ্রুয়েন্সটি এমনভাবে লেখা হয় যা বিবৃতিটি লেখার সংক্ষিপ্ত উপায় যা পরিমাণকে (সমানভাবে) ভাগ করে, অথবা, অন্যভাবে বলতে গেলে, পূর্ণসংখ্যা দ্বারা ভাগ করার পরে অবশিষ্টাংশ হল 1। যদি একটি বিপরীত মডুলো থাকে, তবে এই কংগ্রুয়েন্সের অসীম সংখ্যক সমাধান রয়েছে, যা এই মডুলাসের সাপেক্ষে একটি কংগ্রুয়েন্স শ্রেণী গঠন করে। উপরন্তু, যে কোনও পূর্ণসংখ্যা যা (অর্থাৎ, এর কংগ্রুয়েন্স শ্রেণীতে) সর্বসম, তার মডুলার গুণিতক বিপরীত হিসাবে এস কংগ্রুয়েন্স শ্রেণীর যে কোনও উপাদান থাকে। সর্বসম শ্রেণীকে নির্দেশ করার জন্য এর স্বরলিপি ব্যবহার করে, এটি এই বলে প্রকাশ করা যেতে পারে যে সর্বসম শ্রেণীর মডুলো গুণিতক বিপরীত হল সর্বসম শ্রেণী যেমনঃ যেখানে প্রতীকটি সমতুল্য শ্রেণীর মডুলোর গুণকে বোঝায়। এইভাবে লিখিত, মূলদ বা বাস্তব সংখ্যার সেটের একটি গুণিতক বিপরীতের স্বাভাবিক ধারণার সাথে সাদৃশ্য স্পষ্টভাবে উপস্থাপিত হয়, যা সংখ্যাগুলিকে কংগ্রুয়েন্স ক্লাস দ্বারা প্রতিস্থাপন করে এবং বাইনারি ক্রিয়াকলাপকে যথাযথভাবে পরিবর্তন করে। বাস্তব সংখ্যার অনুরূপ ক্রিয়াকলাপের মতো, এই ক্রিয়াকলাপের একটি মৌলিক ব্যবহার হল সমাধান করা, যখন সম্ভব, ফর্মের রৈখিক কংগ্রুয়েন্স ফাইন্ডিং মডুলার মাল্টিপ্লিকেটিভ ইনভার্সের ক্রিপ্টোগ্রাফির ক্ষেত্রেও ব্যবহারিক প্রয়োগ রয়েছে, যেমন। পাবলিক-কী ক্রিপ্টোগ্রাফি এবং আরএসএ অ্যালগরিদম। এই অ্যাপ্লিকেশনগুলির কম্পিউটার বাস্তবায়নের একটি সুবিধা হল যে একটি খুব দ্রুত অ্যালগরিদম (বর্ধিত ইউক্লিডীয় অ্যালগরিদম) রয়েছে যা মডুলার গুণিতক বিপরীত গণনার জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে। মডুলার গাণিতিক একটি প্রদত্ত ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার জন্য, দুটি পূর্ণসংখ্যা এবং, যদি তাদের পার্থক্যকে ভাগ করে তবে এগুলিকে সর্বব্যাপী মডুলো বলা হয়। এই বাইনারি সম্পর্কটি দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, এটি পূর্ণসংখ্যার সেটের একটি সমতুল্য সম্পর্ক, এবং সমতুল্য শ্রেণীগুলিকে কংগ্রুয়েন্স শ্রেণী মডুলো বা অবশিষ্ট শ্রেণী মডুলো বলা হয়। আসুন পূর্ণসংখ্যা ধারণকারী কংগ্রুয়েন্স শ্রেণীকে বোঝাই, তারপর একটি রৈখিক কংগ্রুয়েন্স হল ফর্মের একটি মডুলার কংগ্রুয়েন্স যা বাস্তব সমীকরণের বিপরীতে, রৈখিক কংগ্রুয়েন্সের শূন্য, এক বা একাধিক সমাধান থাকতে পারে। যদি একটি রৈখিক কংগ্রুয়েন্সের সমাধান হয় তবে প্রতিটি উপাদানও একটি সমাধান, তাই, একটি রৈখিক কংগ্রুয়েন্সের সমাধানের সংখ্যার কথা বলার সময় আমরা সমাধান ধারণকারী বিভিন্ন কংগ্রুয়েন্স শ্রেণীর সংখ্যা উল্লেখ করছি। যদি সবচেয়ে বড় সাধারণ বিভাজক হয় এবং তারপর রৈখিক সঙ্গতির সমাধান থাকে যদি এবং শুধুমাত্র যদি ভাগ করা হয়। যদি বিভক্ত হয়, তাহলে ঠিক সমাধান রয়েছে। মডুলাসের সাপেক্ষে একটি পূর্ণসংখ্যার মডুলার গুণিতক বিপরীত হল রৈখিক সঙ্গতির একটি সমাধান পূর্ববর্তী ফলাফল বলে যে একটি সমাধান বিদ্যমান থাকে যদি এবং শুধুমাত্র যদি, অর্থাৎ, এবং অবশ্যই তুলনামূলকভাবে মৌলিক হতে হবে (অর্থাৎ। কোপ্রাইম)। উপরন্তু, যখন এই শর্তটি থাকে, তখন ঠিক একটি সমাধান থাকে, অর্থাৎ, যখন এটি বিদ্যমান থাকে, তখন একটি মডুলার গুণিতক বিপরীত অনন্য হয়ঃ যদি এবং উভয়ই মডুলাসের সাপেক্ষে মডুলার গুণিতক বিপরীত হয়, তাহলে তাই যদি, তাহলে, এবং এমনকি একটি মডুলার গুণিতক বিপরীতও থাকবে না। অতএব, {{math|b ষ্ণ b (মড m)}}। যখন কোনও সমাধান থাকে তখন এটি প্রায়শই এইভাবে চিহ্নিত করা হয়-তবে এটি স্বরলিপির অপব্যবহার হিসাবে বিবেচিত হতে পারে কারণ এটি পারস্পরিক হিসাবে ভুল ব্যাখ্যা করা যেতে পারে (যা, মডুলার গুণিতক বিপরীতের বিপরীতে, 1 বা-1 ব্যতীত কোনও পূর্ণসংখ্যা নয়)। স্বরলিপিটি সঠিক হবে যদি সর্বসম শ্রেণীর জন্য একটি টোকেন স্ট্যান্ডিং হিসাবে ব্যাখ্যা করা হয়, কারণ একটি সর্বসম শ্রেণীর গুণিতক বিপরীতটি পরবর্তী বিভাগে সংজ্ঞায়িত গুণক সহ একটি সর্বসম শ্রেণী। ইন্টিজার মডুলো কংগ্রুয়েন্স সম্পর্ক, মডুলো, পূর্ণসংখ্যার সেটকে কংগ্রুয়েন্স ক্লাসে বিভক্ত করে। যোগ এবং গুণনের ক্রিয়াকলাপগুলি এই বস্তুগুলির উপর নিম্নলিখিত উপায়ে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারেঃ দুটি কংগ্রুয়েন্স ক্লাস যোগ বা গুণ করার জন্য, প্রথমে প্রতিটি ক্লাস থেকে একজন প্রতিনিধি (যে কোনও উপায়ে) বেছে নিন, তারপরে দুটি প্রতিনিধির পূর্ণসংখ্যার জন্য স্বাভাবিক ক্রিয়াকলাপ সম্পাদন করুন এবং অবশেষে কংগ্রুয়েন্স ক্লাসের ক্রিয়াকলাপের ফলস্বরূপ পূর্ণসংখ্যা ক্রিয়াকলাপের ফলাফলটি গ্রহণ করুন। প্রতীকে, সঙ্গতিপূর্ণ শ্রেণীর ক্রিয়াকলাপের সাথে এবং প্রতিনিধিত্ব করে, এই সংজ্ঞাগুলি হল এবং এই ক্রিয়াকলাপগুলি সু-সংজ্ঞায়িত, যার অর্থ হল যে শেষ ফলাফল ফলাফল পাওয়ার জন্য প্রতিনিধিদের পছন্দের উপর নির্ভর করে না। এই দুটি সংজ্ঞায়িত ক্রিয়াকলাপের সাথে সঙ্গতিপূর্ণ শ্রেণীগুলি একটি বলয় গঠন করে, যাকে পূর্ণসংখ্যা মডুলোর বলয় বলা হয়। এই বীজগাণিতিক বস্তুর জন্য বেশ কয়েকটি স্বরলিপি ব্যবহার করা হয়, প্রায়শই বা, তবে অন্যান্য বীজগাণিতিক বস্তুর সাথে বিভ্রান্তির সম্ভাবনা না থাকলে বেশ কয়েকটি প্রাথমিক গ্রন্থ এবং প্রয়োগের ক্ষেত্রগুলি একটি সরলীকৃত স্বরলিপি ব্যবহার করে। পূর্ণসংখ্যা মডুলোর কংগ্রুয়েন্স ক্লাসগুলি ঐতিহ্যগতভাবে রেসিডিউ ক্লাস মডুলো এম হিসাবে পরিচিত ছিল, যা এই সত্যকে প্রতিফলিত করে যে একটি কংগ্রুয়েন্স ক্লাসের সমস্ত উপাদানগুলির দ্বারা ভাগ করার পরে একই অবশিষ্টাংশ (অর্থাৎ, "অবশিষ্টাংশ") থাকে। নির্বাচিত পূর্ণসংখ্যার যে কোনও সেট যাতে প্রতিটি আলাদা কংগ্রুয়েন্স ক্লাস মডুলো m থেকে আসে তাকে অবশিষ্টাংশ মডুলোর একটি সম্পূর্ণ সিস্টেম বলা হয়। বিভাজন অ্যালগরিদম দেখায় যে পূর্ণসংখ্যার সেট, অবশিষ্টাংশ মডুলোর একটি সম্পূর্ণ সিস্টেম গঠন করে, যা সর্বনিম্ন অবশিষ্টাংশ সিস্টেম মডুলো নামে পরিচিত। গাণিতিক সমস্যা নিয়ে কাজ করার ক্ষেত্রে কখনও কখনও অবশিষ্টাংশের একটি সম্পূর্ণ সিস্টেম নিয়ে কাজ করা এবং কংগ্রুয়েন্সের ভাষা ব্যবহার করা আরও সুবিধাজনক, অন্য সময়ে রিংয়ের কংগ্রুয়েন্স ক্লাসের দৃষ্টিভঙ্গি আরও কার্যকর। পূর্ণসংখ্যা মডুলোর গুণিতক গোষ্ঠী একটি সম্পূর্ণ অবশিষ্টাংশ সিস্টেম মডুলোর প্রতিটি উপাদানের একটি মডুলার গুণিতক বিপরীত থাকে না, উদাহরণস্বরূপ, শূন্য কখনই তা করে না। একটি সম্পূর্ণ অবশিষ্টাংশ ব্যবস্থার উপাদানগুলি অপসারণ করার পরে যা তুলনামূলকভাবে মৌলিক নয়, যা অবশিষ্ট থাকে তাকে হ্রাসকৃত অবশিষ্টাংশ ব্যবস্থা বলা হয়, যার সমস্ত উপাদানগুলির মডুলার গুণিতক বিপরীত রয়েছে। একটি হ্রাসকৃত অবশিষ্টাংশ ব্যবস্থায় উপাদানের সংখ্যা হল, যেখানে অয়লার টোটিয়েন্ট ফাংশন, অর্থাৎ, তার চেয়ে কম ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার সংখ্যা তুলনামূলকভাবে মৌলিক। ঐক্য সহ একটি সাধারণ বলয়ে প্রতিটি উপাদানের গুণিতক বিপরীত থাকে না এবং যেগুলি করে সেগুলিকে একক বলা হয়। যেহেতু দুটি ইউনিটের গুণফল একটি ইউনিট, একটি রিংয়ের ইউনিটগুলি একটি গ্রুপ গঠন করে, রিংয়ের ইউনিটগুলির গ্রুপ এবং প্রায়শই রিংয়ের নাম যদি দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। পূর্ণসংখ্যা মডুলোর বলয়ের একক গোষ্ঠীকে পূর্ণসংখ্যা মডুলোর গুণিতক গোষ্ঠী বলা হয় এবং এটি একটি হ্রাসকৃত অবশিষ্টাংশ ব্যবস্থার সমরূপ। বিশেষ করে, এটির ক্রম (আকার) রয়েছে। যদি একটি মৌলিক সংখ্যা হয়, তাহলে বলুন, এবং এর সমস্ত অ-শূন্য উপাদানগুলির গুণিতক বিপরীত থাকে, সুতরাং এটি একটি সসীম ক্ষেত্র। এই ক্ষেত্রে, পূর্ণসংখ্যা মডুলোর গুণিতক গোষ্ঠী ক্রমানুসারে একটি চক্রাকার গোষ্ঠী গঠন করে। উদাহরণ যে কোনও পূর্ণসংখ্যার ক্ষেত্রে, এটি সর্বদা মডুলাসের সাপেক্ষে মডুলার গুণিতক বিপরীত হয়। উদাহরণ হল, ইত্যাদি। নিম্নলিখিত উদাহরণটি মডুলাস 10 ব্যবহার করেঃ দুটি পূর্ণসংখ্যা সর্বসম মোড 10 হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি তাদের পার্থক্য 10 দ্বারা বিভাজ্য হয়, উদাহরণস্বরূপ যেহেতু 10 32−2 = 30 কে ভাগ করে এবং যেহেতু 10 111−1 = 110 কে ভাগ করে। এই মডুলাসের ক্ষেত্রে দশটি কংগ্রুয়েন্স ক্লাসের মধ্যে কয়েকটি হলঃ এবং রৈখিক কংগ্রুয়েন্সের কোনও সমাধান নেই কারণ 5 (অর্থাৎ, যেগুলিতে রয়েছে)-এর সঙ্গে কংগ্রুয়েন্ট পূর্ণসংখ্যাগুলি বিজোড় হলেও সবসময় জোড় হয়। তবে, রৈখিক সঙ্গতির দুটি সমাধান রয়েছে, যথা, এবং। দ্য এবং 2 5 কে ভাগ করে না, তবে 6 কে ভাগ করে। যেহেতু, লিনিয়ার কংগ্রুয়েন্সের সমাধান থাকবে, অর্থাৎ 3 মডুলো 10-এর মডুলার মাল্টিপ্লিকেটিভ ইনভার্স থাকবে। প্রকৃতপক্ষে, 7 এই ঐক্যকে সন্তুষ্ট করে (অর্থাৎ, 21−1 = 20)। যাইহোক, অন্যান্য পূর্ণসংখ্যাও সঙ্গতি পূরণ করে, উদাহরণস্বরূপ 17 এবং −3 (অর্থাৎ, 3 (17) −1 = 50 এবং 3 (−3) −1 = −10)। বিশেষত, প্রতিটি পূর্ণসংখ্যা সর্বসমতা পূরণ করবে কারণ এই পূর্ণসংখ্যাগুলির কিছু পূর্ণসংখ্যার রূপ রয়েছে এবং 10 দ্বারা বিভাজ্য। এই কংগ্রুয়েন্সের শুধুমাত্র এই একটি কংগ্রুয়েন্স শ্রেণীর সমাধান রয়েছে। এই ক্ষেত্রে সমাধানটি সমস্ত সম্ভাব্য কেসগুলি পরীক্ষা করে পাওয়া যেত, তবে বৃহত্তর মডুলির জন্য পদ্ধতিগত অ্যালগরিদমের প্রয়োজন হবে এবং এগুলি পরবর্তী বিভাগে দেওয়া হবে। সঙ্গতি শ্রেণীর গুণফল এবং একটি উপাদান নির্বাচন করে প্রাপ্ত করা যেতে পারে, ধরুন 25, এবং একটি উপাদান, ধরুন −2, এবং পর্যবেক্ষণ করে যে তাদের গুণফল (25) (−2) = −50 সঙ্গতি শ্রেণীতে রয়েছে। তাই,। সংযোজনকে একইভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। সঙ্গতি শ্রেণীর যোগ এবং গুণনের এই ক্রিয়াকলাপগুলির সাথে দশটি সঙ্গতি শ্রেণী একত্রিত হয়ে পূর্ণসংখ্যা মডুলো 10, অর্থাৎ,-এর বলয় গঠন করে। একটি সম্পূর্ণ অবশিষ্টাংশ সিস্টেম মডুলো 10 সেট হতে পারে {10, −9,2,13,24, −15,26,37,8,9} যেখানে প্রতিটি পূর্ণসংখ্যা একটি ভিন্ন কংগ্রুয়েন্স ক্লাস মডুলো 10-এ থাকে। অনন্য ন্যূনতম অবশিষ্টাংশ সিস্টেম মডুলো 10 হল {0,1,2,., 9}। একটি হ্রাসকৃত অবশিষ্টাংশ পদ্ধতি মডুলো 10 হতে পারে {1,3,7,9}। এই সংখ্যা দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা যে কোনও দুটি কংগ্রুয়েন্স শ্রেণীর গুণফল আবার এই চারটি কংগ্রুয়েন্স শ্রেণীর মধ্যে একটি। এটি বোঝায় যে এই চারটি কংগ্রুয়েন্স ক্লাস একটি গ্রুপ গঠন করে, এই ক্ষেত্রে চতুর্থ ক্রমের চক্রাকার গ্রুপ, একটি (গুণক) জেনারেটর হিসাবে 3 বা 7 রয়েছে। উপস্থাপিত কংগ্রুয়েন্স ক্লাসগুলি রিংয়ের ইউনিটগুলির গ্রুপ গঠন করে। এই কংগ্রুয়েন্স ক্লাসগুলি সঠিকভাবে মডুলার মাল্টিপ্লিকেটিভ ইনভার্স রয়েছে। গণনা সম্প্রসারিত ইউক্লিডীয় অ্যালগরিদম সম্প্রসারিত ইউক্লিডীয় অ্যালগরিদম ব্যবহার করে মডুলোর একটি মডুলার গুণিতক বিপরীত খুঁজে পাওয়া যায়। ইউক্লিডীয় অ্যালগরিদম দুটি পূর্ণসংখ্যার সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ বিভাজক (জি. সি. ডি) নির্ধারণ করে, ধরুন এবং। যদি একটি গুণিতক বিপরীত মডুলো থাকে, তবে এই জিসিডি অবশ্যই 1 হতে হবে। অ্যালগরিদম দ্বারা উত্পাদিত বেশ কয়েকটি সমীকরণের মধ্যে শেষটি এই জি. সি. ডি-র জন্য সমাধান করা যেতে পারে। তারপর, "ব্যাক প্রতিস্থাপন" নামক একটি পদ্ধতি ব্যবহার করে, একটি অভিব্যক্তি যা মূল পরামিতি এবং এই জিসিডি-কে সংযুক্ত করে তা পাওয়া যেতে পারে। অন্য কথায়, পূর্ণসংখ্যা এবং বেজাউটের পরিচয়কে সন্তুষ্ট করার জন্য পাওয়া যেতে পারে, পুনরায় লিখিত, এটি হল, তাই, এর একটি মডুলার গুণিতক বিপরীত গণনা করা হয়েছে। অ্যালগরিদমের আরও কার্যকর সংস্করণ হল বর্ধিত ইউক্লিডীয় অ্যালগরিদম, যা সহায়ক সমীকরণ ব্যবহার করে অ্যালগরিদমের মধ্য দিয়ে দুটি পাস কমিয়ে দেয় (ব্যাক প্রতিস্থাপনকে বিপরীতভাবে অ্যালগরিদমের মধ্য দিয়ে যাওয়া হিসাবে ভাবা যেতে পারে)। বড় ও স্বরলিপিতে, এই অ্যালগরিদমটি সময়মতো চলে এবং এটি তার বিকল্প, সূচকের তুলনায় খুব দ্রুত এবং সাধারণত আরও কার্যকর বলে মনে করা হয়। ইউলারের উপপাদ্য ব্যবহার করে বর্ধিত ইউক্লিডীয় অ্যালগরিদমের বিকল্প হিসাবে, ইউলারের উপপাদ্যটি মডুলার বিপরীত গণনা করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। অয়লারের উপপাদ্য অনুসারে, যদি সহমৌলিক হয়, অর্থাৎ, তাহলে অয়লারের টোটিয়েন্ট ফাংশন কোথায়। যদি এবং শুধুমাত্র যদি সহমৌলিক হয় তবে এটি গুণক গোষ্ঠী x এর অন্তর্গত। অতএব, একটি মডুলার মাল্টিপ্লিকেটিভ ইনভার্স সরাসরি পাওয়া যেতে পারেঃ বিশেষ ক্ষেত্রে যেখানে একটি মৌলিক সংখ্যা, এবং একটি মডুলার ইনভার্স দ্বারা দেওয়া হয় এই পদ্ধতিটি সাধারণত বর্ধিত ইউক্লিডিয়ান অ্যালগরিদমের তুলনায় ধীর হয়, তবে কখনও কখনও যখন মডুলার সূচকের জন্য একটি বাস্তবায়ন ইতিমধ্যে উপলব্ধ থাকে তখন এটি ব্যবহার করা হয়। এই পদ্ধতির কিছু অসুবিধাগুলির মধ্যে রয়েছেঃ মানটি অবশ্যই জানতে হবে এবং সর্বাধিক দক্ষ গণনার জন্য ফ্যাক্টরাইজেশন প্রয়োজন। ফ্যাক্টরাইজেশন ব্যাপকভাবে একটি গণনামূলকভাবে কঠিন সমস্যা বলে মনে করা হয়। যাইহোক, গণনা করা সহজবোধ্য যখন এর মৌলিক গুণনফল জানা যায়। সূচকীকরণের আপেক্ষিক খরচ। যদিও এটি মডুলার সূচক ব্যবহার করে আরও দক্ষতার সাথে প্রয়োগ করা যেতে পারে, যখন এর বড় মানগুলি জড়িত থাকে তখন এটি মন্টগোমেরি হ্রাস পদ্ধতির সাথে সবচেয়ে দক্ষতার সাথে গণনা করা হয়, সেই পদ্ধতিটি নিজেই, একটি মডুলার বিপরীত মোডের প্রয়োজন হয়, যা প্রথম স্থানে গণনা করা হয়েছিল। মন্টগোমেরি পদ্ধতি ছাড়া, স্ট্যান্ডার্ড বাইনারি এক্সপোনেন্টিয়েশন, যার জন্য প্রতিটি ধাপে ডিভিশন মোড প্রয়োজন, বড় হলে এটি একটি ধীর অপারেশন। এই কৌশলটির একটি উল্লেখযোগ্য সুবিধা হল যে এর কোনও শর্তাধীন শাখা নেই যা এর মূল্যের উপর নির্ভর করে এবং এইভাবে এর মূল্য, যা পাবলিক-কী ক্রিপ্টোগ্রাফিতে একটি গুরুত্বপূর্ণ গোপন বিষয় হতে পারে, পার্শ্ব-চ্যানেল আক্রমণ থেকে রক্ষা করা যেতে পারে। এই কারণে, বক্ররেখা 25519-এর মান প্রয়োগ একটি বিপরীত গণনা করার জন্য এই কৌশলটি ব্যবহার করে। একাধিক বিপরীত ইউক্লিডীয় অ্যালগরিদমের একক আহ্বান এবং অতিরিক্ত ইনপুট প্রতি তিনটি গুণন সহ একাধিক সংখ্যার বিপরীত গণনা করা সম্ভব। মূল ধারণাটি হল সমস্ত কিছুর গুণফল গঠন করা, সেটিকে উল্টানো, তারপর কেবল কাঙ্ক্ষিত রেখে যাওয়ার জন্য সকলের দ্বারা গুণ করা। আরও সুনির্দিষ্টভাবে, অ্যালগরিদমটি হল (সমস্ত গাণিতিক সঞ্চালিত মডুলো): সকলের জন্য উপসর্গ পণ্যগুলি গণনা করুন। যেকোনও উপলব্ধ অ্যালগরিদম ব্যবহার করে গণনা করুন। নিচে থেকে 2 পর্যন্ত, এবং গণনা করুন। অবশেষে,। সমান্তরাল গণনার কাজে রৈখিকভাবে ব্যবহার করার পরিবর্তে একটি গাছের কাঠামোতে গুণন করা সম্ভব। একটি মডুলার মাল্টিপ্লিকেটিভ ইনভার্স খোঁজার অ্যালগরিদমগুলিতে অনেক প্রয়োগ রয়েছে যা মডুলার গাণিতিক তত্ত্বের উপর নির্ভর করে। উদাহরণস্বরূপ, ক্রিপ্টোগ্রাফিতে মডুলার পাটিগণিতের ব্যবহার কিছু ক্রিয়াকলাপকে আরও দ্রুত এবং কম সংরক্ষণের প্রয়োজনীয়তার সাথে সম্পন্ন করার অনুমতি দেয়, যেখানে অন্যান্য ক্রিয়াকলাপগুলি আরও কঠিন হয়ে পড়ে। এই দুটি বৈশিষ্ট্যই কাজে লাগানো যেতে পারে। বিশেষত, আরএসএ অ্যালগরিদমে, একটি বার্তা এনক্রিপ্ট এবং ডিক্রিপ্ট করা হয় এক জোড়া সংখ্যা ব্যবহার করে যা যত্ন সহকারে নির্বাচিত মডুলাসের সাপেক্ষে গুণিতক বিপরীত। এই নম্বরগুলির মধ্যে একটি জনসমক্ষে প্রকাশ করা হয় এবং দ্রুত এনক্রিপশন পদ্ধতিতে ব্যবহার করা যেতে পারে, অন্যটি, যা ডিক্রিপশন পদ্ধতিতে ব্যবহৃত হয়, তা লুকিয়ে রাখা হয়। পাবলিক নম্বর থেকে লুকানো নম্বর নির্ধারণ করা গণনামূলকভাবে অসম্ভব বলে মনে করা হয় এবং এটিই গোপনীয়তা নিশ্চিত করার জন্য সিস্টেমটিকে কাজ করে। একটি ভিন্ন প্রেক্ষাপটে আরেকটি উদাহরণ হিসাবে, কম্পিউটার বিজ্ঞানের সঠিক বিভাজন সমস্যাটি বিবেচনা করুন যেখানে আপনার কাছে বিজোড় শব্দ-আকারের সংখ্যার একটি তালিকা রয়েছে যা প্রতিটি দ্বারা বিভাজ্য এবং আপনি তাদের সবাইকে দ্বারা ভাগ করতে চান। একটি সমাধান নিম্নরূপঃ গণনার জন্য বর্ধিত ইউক্লিডীয় অ্যালগরিদম ব্যবহার করুন, যার মডুলার গুণিতক বিপরীত, যেখানে একটি শব্দের বিটের সংখ্যা। এই বিপরীতটি বিদ্যমান থাকবে কারণ সংখ্যাগুলি বিজোড় এবং মডুলাসের কোনও বিজোড় কারণ নেই। তালিকার প্রতিটি সংখ্যার জন্য, এটিকে গুণ করুন এবং ফলাফলের সবচেয়ে কম তাৎপর্যপূর্ণ শব্দটি নিন। অনেক যন্ত্রে, বিশেষত যেগুলিতে বিভাজনের জন্য হার্ডওয়্যার সমর্থন নেই, বিভাজন গুণনের চেয়ে ধীর ক্রিয়া, তাই এই পদ্ধতিটি যথেষ্ট গতি অর্জন করতে পারে। প্রথম ধাপটি তুলনামূলকভাবে ধীর তবে কেবল একবার করা দরকার। মডুলার মাল্টিপ্লিকেটিভ ইনভার্সগুলি রৈখিক সঙ্গতির একটি পদ্ধতির সমাধান পেতে ব্যবহৃত হয় যা চীনা অবশিষ্ট উপপাদ্য দ্বারা নিশ্চিত করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, সিস্টেম ষ্ণ 4 (মড 5) ষ্ণ 4 (মোড 7) ষ্ণ 6 (মোড 11) এর সাধারণ সমাধান রয়েছে কারণ 5,7 এবং 11 জোড়া সহমৌলিক। একটি সমাধান দেওয়া হয় = (7 × 11) × 4 + (5 × 11) × 4 + (5 × 7) × 6 দ্বারা যেখানে = 3 হল 7 × 11 (মোড 5)-এর মডুলার গুণিতক বিপরীত, = 6 হল 5 × 11 (মোড 7)-এর মডুলার গুণিতক বিপরীত এবং = 6 হল 5 × 7 (মোড 11)-এর মডুলার গুণিতক বিপরীত। সুতরাং, = 3 × (7 × 11) × 4 + 6 × (5 × 11) × 4 + 6 × (5 × 7) × 6 = 3504 এবং তার অনন্য হ্রাসকৃত আকারে ষ্ণ 3504 ষ্ণ 39 (মোড 385) যেহেতু 385 হল 5,7 এবং 11-এর এলসিএম। এছাড়াও, ক্লুস্টারম্যান যোগফলের সংজ্ঞায় মডুলার মাল্টিপ্লিকেটিভ ইনভার্স বিশিষ্টভাবে প্রদর্শিত হয়। আরও দেখুন ইনভারসিভ কংগ্রুয়েন্সিয়াল জেনারেটর-একটি ছদ্ম-এলোমেলো সংখ্যা জেনারেটর যা মডুলার মাল্টিপ্লিকেটিভ ইনভার্স ব্যবহার করে যুক্তিসঙ্গত পুনর্গঠন (গণিত) বিবরণ বাহ্যিক লিঙ্ক গুয়েভারা ভাস্কেজ, ফার্নান্দো ইউক্লিডের অ্যালগরিদম মডুলার অ্যারিথমেটিক বাইনারি অপারেশন ব্যবহার করে মডুলো মাল্টিপ্লিকেটিভ ইনভার্স সমাধানের একটি সমাধানকৃত উদাহরণ প্রদান করেছেন।