Intercept theorem
থেলসের উপপাদ্য, মৌলিক আনুপাতিকতা উপপাদ্য বা পার্শ্ব স্প্লিটার উপপাদ্য নামেও পরিচিত ইন্টারসেপ্ট উপপাদ্যটি প্রাথমিক জ্যামিতিতে বিভিন্ন রেখা বিভাগের অনুপাত সম্পর্কে একটি গুরুত্বপূর্ণ উপপাদ্য যা তৈরি হয় যদি একটি সাধারণ প্রারম্ভিক বিন্দু সহ দুটি রশ্মি সমান্তরাল জোড়া দ্বারা বাধা দেওয়া হয়। এটি অনুরূপ ত্রিভুজের অনুপাত সম্পর্কে উপপাদ্যের সমতুল্য। এটি ঐতিহ্যগতভাবে গ্রীক গণিতবিদ থেলসকে দায়ী করা হয়। এটি প্রাচীন ব্যাবিলনীয় এবং মিশরীয়দের কাছে পরিচিত ছিল, যদিও এর প্রথম পরিচিত প্রমাণ ইউক্লিডের এলিমেন্টস-এ পাওয়া যায়। উপপাদ্যটির গঠন ধরা যাক S হল দুটি রশ্মির সাধারণ সূচনা বিন্দু এবং A, B হল দুটি সমান্তরাল প্রথম রশ্মির ছেদ, যেমন B হল A থেকে S থেকে আরও দূরে, এবং একইভাবে C, D হল দুটি সমান্তরাল রশ্মির ছেদ, যেমন D হল C থেকে আরও দূরে। এই বিন্যাসে নিম্নলিখিত বিবৃতিগুলি ধারণ করেঃ প্রথম রশ্মির যে কোনও দুটি বিভাগের অনুপাত দ্বিতীয় রশ্মির বিভাগ অনুসারে অনুপাতের সমানঃ, S থেকে শুরু হওয়া একই রশ্মির দুটি বিভাগের অনুপাত সমান্তরাল অংশগুলির অনুপাতের সমানঃ প্রথম বিবৃতির বিপরীতটিও সত্য, অর্থাৎ। যদি দুটি রশ্মি দুটি নির্বিচারে রেখা দ্বারা আটকানো হয় এবং ধরে রাখা হয় তবে দুটি বাধা রেখা সমান্তরাল হয়। তবে, দ্বিতীয় বিবৃতির বিপরীতটি সত্য নয় (একটি বিপরীত উদাহরণের জন্য গ্রাফিক দেখুন)। সম্প্রসারণ এবং উপসংহার প্রথম দুটি বিবৃতি সত্য থাকে যদি দুটি রশ্মি ছেদকারী দুটি রেখা দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়। এই ক্ষেত্রে দুটি পরিস্থিতি রয়েছে, হয় এটি 2টি সমান্তরালের (এক্স চিত্র) মধ্যে অবস্থিত অথবা এটি (ভি চিত্র) নয়। যদি দুটি সমান্তরালের মধ্যে অবস্থিত না হয়, তবে মূল উপপাদ্যটি সরাসরি প্রযোজ্য। যদি দুটি সমান্তরালের মধ্যে থাকে, তবে একটি প্রতিফলন এবং ফলন একই পরিমাপের সাথে V চিত্র দেয় যার জন্য মূল উপপাদ্যটি এখন প্রযোজ্য। তৃতীয় বিবৃতিটি (বিপরীত) অবশ্য লাইনের ক্ষেত্রে সত্য নয়। যদি দুটির বেশি রশ্মি থেকে শুরু হয় বা দুটির বেশি রেখা ছেদ করে, তবে প্রতিটি সমান্তরালে একাধিক লাইন সেগমেন্ট থাকে এবং এক সমান্তরালে দুটি লাইন সেগমেন্টের অনুপাত অন্য সমান্তরালে লাইন সেগমেন্ট অনুসারে অনুপাতের সমান। উদাহরণস্বরূপ, যদি কোনও তৃতীয় রশ্মি সমান্তরালগুলি থেকে শুরু করে এবং ছেদ করে, যা তার থেকে আরও দূরে থাকে, তবে নিম্নলিখিত সমতা বজায় থাকেঃ, দ্বিতীয় সমীকরণের জন্য বিপরীতটিও সত্য, অর্থাৎ যদি 3 টি রশ্মি দুটি রেখা দ্বারা বাধা দেওয়া হয় এবং প্রতিটি লাইনের রেখা বিভাগের অনুপাত সমান হয়, তবে সেই 2 টি রেখা অবশ্যই সমান্তরাল হতে হবে। সম্পর্কিত ধারণাগুলি সাদৃশ্য এবং অনুরূপ ত্রিভুজ ইন্টারসেপ্ট উপপাদ্য সাদৃশ্যের সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত। এটি অনুরূপ ত্রিভুজ ধারণার সমতুল্য, অর্থাৎ। এটি অনুরূপ ত্রিভুজের বৈশিষ্ট্য প্রমাণ করতে ব্যবহার করা যেতে পারে এবং অনুরূপ ত্রিভুজগুলি ইন্টারসেপ্ট উপপাদ্য প্রমাণ করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। অভিন্ন কোণের সাথে মিলে আপনি সর্বদা দুটি অনুরূপ ত্রিভুজকে একে অপরের মধ্যে স্থাপন করতে পারেন যাতে আপনি সেই কনফিগারেশনটি পান যেখানে ইন্টারসেপ্ট উপপাদ্যটি প্রযোজ্য হয় এবং বিপরীতভাবে ইন্টারসেপ্ট উপপাদ্য কনফিগারেশনে সর্বদা দুটি অনুরূপ ত্রিভুজ থাকে। ভেক্টর স্পেসে স্কেলার গুণন একটি আদর্শ ভেক্টর স্পেসে, স্কেলার গুণন সম্পর্কিত স্বতঃসিদ্ধগুলি (বিশেষত এবং) নিশ্চিত করে যে ইন্টারসেপ্ট উপপাদ্যটি ধারণ করে। প্রথমটির প্রয়োগ কম্পাস এবং শাসক নির্মাণের বীজগাণিতিক গঠন প্রাথমিক জ্যামিতিতে তিনটি বিখ্যাত সমস্যা রয়েছে যা গ্রীকদের দ্বারা কম্পাস এবং সোজা প্রান্ত নির্মাণের ক্ষেত্রে উত্থাপিত হয়েছিলঃ কোণটিকে দ্বিগুণ করে ঘনককে বৃত্তের বর্গক্ষেত্র করতে 2000 বছরেরও বেশি সময় লেগেছিল যতক্ষণ না তিনটিই শেষ পর্যন্ত অসম্ভব বলে প্রমাণিত হয়। এটি 19 শতকে বীজগাণিতিক পদ্ধতির সাহায্যে অর্জন করা হয়েছিল, যা ততদিনে উপলব্ধ হয়ে গিয়েছিল। ক্ষেত্র সম্প্রসারণ ব্যবহার করে বীজগাণিতিক পরিভাষায় তিনটি সমস্যাকে পুনর্গঠন করার জন্য, কম্পাস এবং সোজা প্রান্তের নির্মাণের সাথে ক্ষেত্রের ক্রিয়াকলাপের মিল করতে হবে (গঠনযোগ্য সংখ্যা দেখুন)। বিশেষত এটি নিশ্চিত করা গুরুত্বপূর্ণ যে দুটি প্রদত্ত লাইন সেগমেন্টের জন্য একটি নতুন লাইন সেগমেন্ট তৈরি করা যেতে পারে, যাতে এর দৈর্ঘ্য অন্য দুটির দৈর্ঘ্যের গুণফলের সমান হয়। একইভাবে দৈর্ঘ্যের একটি লাইন সেগমেন্টের জন্য দৈর্ঘ্যের একটি নতুন লাইন সেগমেন্ট তৈরি করতে সক্ষম হতে হবে। ইন্টারসেপ্ট উপপাদ্যটি ব্যবহার করে দেখানো যেতে পারে যে উভয় ক্ষেত্রেই এই ধরনের নির্মাণ সম্ভব। একটি রেখার অংশকে প্রদত্ত অনুপাতে ভাগ করে চেওপস পিরামিডের উচ্চতা পরিমাপ ও জরিপ করা কিছু ঐতিহাসিক সূত্র অনুসারে গ্রীক গণিতবিদ থেলস চেওপস পিরামিডের উচ্চতা নির্ধারণের জন্য ইন্টারসেপ্ট উপপাদ্য প্রয়োগ করেছিলেন। নিম্নলিখিত বর্ণনাটি পিরামিডের উচ্চতা গণনার জন্য ইন্টারসেপ্ট উপপাদ্যের ব্যবহারকে চিত্রিত করে। তবে, এটি থেলসের হারিয়ে যাওয়া মূল কাজের বিবরণ দেয় না। থেলস পিরামিডের ভিত্তির দৈর্ঘ্য এবং তার খুঁটির উচ্চতা পরিমাপ করেছিলেন। তারপর দিনের একই সময়ে তিনি পিরামিডের ছায়ার দৈর্ঘ্য এবং খুঁটির ছায়ার দৈর্ঘ্য পরিমাপ করেন। এর থেকে নিম্নলিখিত তথ্য পাওয়া যায়ঃ মেরুটির উচ্চতা (এ): মেরুটির ছায়া (বি): পিরামিডের ভিত্তির দৈর্ঘ্য 2 মিটারঃ পিরামিডের ছায়া 230 মিটারঃ 65 মিটার। এর থেকে তিনি এ, বি এবং সি জেনে তিনি এখন ট্রায়াঙ্গল এবং ট্র্যাপিজয়েডে সমান্তরাল রেখার প্রস্থ পরিমাপ করার জন্য ইন্টারসেপ্ট উপপাদ্য প্রয়োগ করতে সক্ষম হন। ইন্টারসেপ্ট উপপাদ্যটি প্রমাণ করতে ব্যবহার করা যেতে পারে যে একটি নির্দিষ্ট নির্মাণ সমান্তরাল রেখা (বিভাগ) এস প্রদান করে। ঐতিহাসিক দিক এই উপপাদ্যটি ঐতিহ্যগতভাবে গ্রীক গণিতবিদ থেলস অফ মিলেটাসকে দায়ী করা হয়, যিনি মিশরে পিরামিডের উচ্চতা নির্ধারণ করতে এবং তীর থেকে জাহাজের দূরত্ব গণনা করতে উপপাদ্যটির কিছু রূপ ব্যবহার করেছিলেন। প্রমাণ উপপাদ্যটির একটি প্রাথমিক প্রমাণ অনুপাত সম্পর্কে মৌলিক বিবৃতি পেতে সমান ক্ষেত্রফলের ত্রিভুজ ব্যবহার করে (দাবি 1)। অন্যান্য দাবিগুলি প্রথম দাবি এবং দ্বন্দ্ব প্রয়োগ করে অনুসরণ করে। দাবি 1 দাবি 2 দাবি 3 নোট রেফারেন্স () () () () লরেঞ্জ হালবাইসেন, নরবার্ট হাঙ্গারবুহলার, হুয়ান লুচলিঃ মিট হারমোনিশেন ভারহাল্টনিসেন জু কেগেলসচিটেনঃ পার্লেন ডার ক্লাসিসচেন জ্যামিতি। স্প্রিঙ্গার 2016, পৃ. 191-208 (জার্মান) বাহ্যিক যোগসূত্র প্ল্যানেটম্যাথে ইন্টারসেপ্ট উপপাদ্য আলেকজান্ডার বোগোমোলনিঃ থেলসের উপপাদ্য এবং বিশেষত থেলসের উপপাদ্য কাট-দ্য-নট ইন্টারসেপ্ট উপপাদ্য সমতল জ্যামিতিতে ইন্টারেক্টিভ ইউক্লিডীয় জ্যামিতি উপপাদ্য