Modes of convergence
গণিতে এমন অনেক ইন্দ্রিয় রয়েছে যেখানে একটি ক্রম বা একটি সিরিজকে অভিসারী বলা হয়। এই নিবন্ধটি যেখানে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে সেখানে সম্মিলনের বিভিন্ন পদ্ধতি (ইন্দ্রিয় বা প্রজাতি) বর্ণনা করে। অভিসারের পদ্ধতির একটি তালিকার জন্য, দেখুন অভিসারের পদ্ধতি (টীকাযুক্ত সূচক) লক্ষ্য করুন যে নিম্নলিখিত প্রতিটি বস্তু তার পূর্ববর্তী প্রকারের একটি বিশেষ ক্ষেত্রে রয়েছেঃ সেট, টপোলজিকাল স্পেস, ইউনিফর্ম স্পেস, টিএজি (টপোলজিকাল আবেলিয়ান গ্রুপ), আদর্শ স্পেস, ইউক্লিডীয় স্পেস এবং বাস্তব/জটিল সংখ্যা। এছাড়াও, মনে রাখবেন যে কোনও মেট্রিক স্থান একটি অভিন্ন স্থান। একটি টপোলজিকাল স্পেস কনভার্জেন্সের উপাদানগুলি প্রথম-গণনাযোগ্য স্থানগুলির ক্রমের পরিপ্রেক্ষিতে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। নেট হল ক্রমগুলির একটি সাধারণীকরণ যা প্রথমে গণনাযোগ্য নয় এমন জায়গাগুলিতে দরকারী। ফিল্টারগুলি কনভারজেন্সের ধারণাকে আরও সাধারণীকরণ করে। মেট্রিক স্পেসে কাউচি সিকোয়েন্স সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। কচি নেট এবং ফিল্টারগুলি অভিন্ন জায়গার সাধারণীকরণ। আরও সাধারণভাবে, কচি স্থানগুলি এমন স্থান যেখানে কচি ফিল্টারগুলি সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। কনভার্জেন্স বোঝায় "কচি-কনভার্জেন্স", এবং কচি-কনভার্জেন্স, একসাথে একটি কনভার্জেন্ট সিক্যুয়েন্সের অস্তিত্বের সাথে কনভার্জেন্স বোঝায়। মেট্রিক স্পেসের সম্পূর্ণতার ধারণা এবং এর সাধারণীকরণগুলি কচি সিকোয়েন্সের পরিপ্রেক্ষিতে সংজ্ঞায়িত করা হয়। একটি টপোলজিকাল আবেলিয়ান গ্রুপে উপাদানগুলির সিরিজ একটি টপোলজিকাল আবেলিয়ান গ্রুপে, একটি সিরিজের অভিসরণকে আংশিক যোগফলের ক্রমের অভিসরণ হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। সিরিজ বিবেচনা করার সময় একটি গুরুত্বপূর্ণ ধারণা হল নিঃশর্ত অভিসরণ, যা নিশ্চিত করে যে যোগফলের বিন্যাসের অধীনে সিরিজের সীমা অপরিবর্তনীয়। একটি আদর্শ ভেক্টর স্পেসে, পরম অভিসরণকে নিয়ম () সিরিজের অভিসরণ হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। পরম অভিসরণ আংশিক যোগফলের ক্রমের কৌচি অভিসরণকে বোঝায় (ত্রিভুজ বৈষম্য দ্বারা), যা ফলস্বরূপ কিছু গোষ্ঠীর পরম-অভিসরণকে বোঝায় (পুনর্বিন্যাস নয়)। গোষ্ঠীবদ্ধকরণের মাধ্যমে প্রাপ্ত আংশিক যোগফলের ক্রম হল মূল সিরিজের আংশিক যোগফলের ধারাবাহিকতা। একেবারে অভিসারী সিরিজের আদর্শ অভিসরণ একটি আদর্শ রৈখিক স্থানের জন্য একটি সমতুল্য শর্ত যা বানাচ (অর্থাৎ। : সম্পূর্ণ)। পরম অভিসরণ এবং অভিসরণ একত্রে নিঃশর্ত অভিসরণকে বোঝায়, তবে নিঃশর্ত অভিসরণ সাধারণভাবে পরম অভিসরণকে বোঝায় না, এমনকি স্থানটি বানাচ হলেও, যদিও এর তাৎপর্য রয়েছে। একটি টপোলজিকাল স্পেসে ফাংশনের ক্রমের সংমিশ্রণ ফাংশনের ক্রমের জন্য সবচেয়ে মৌলিক ধরনের সংমিশ্রণ (বিশেষত, এটি ফাংশনের ডোমেনে কোনও টপোলজিকাল কাঠামো ধরে নেয় না) হল পয়েন্টওয়াইজ কনভারজেন্স। এটি প্রতিটি বিন্দুতে ফাংশনের মানগুলির ক্রমের অভিসরণ হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। যদি ফাংশনগুলি একটি অভিন্ন স্থানে তাদের মান গ্রহণ করে, তবে কেউ পয়েন্টওয়াইজ কচি কনভারজেন্স, ইউনিফর্ম কনভারজেন্স এবং ক্রমের ইউনিফর্ম কচি কনভারজেন্স সংজ্ঞায়িত করতে পারে। পয়েন্টওয়াইজ কনভারজেন্স মানে পয়েন্টওয়াইজ কচি-কনভারজেন্স, এবং বিপরীতটি ধরে রাখে যদি ফাংশনগুলি যে স্থানে তাদের মান গ্রহণ করে তা সম্পূর্ণ হয়। ইউনিফর্ম কনভারজেন্স মানে পয়েন্টওয়াইজ কনভারজেন্স এবং ইউনিফর্ম কচি কনভারজেন্স। ইউনিফর্ম কচি কনভারজেন্স এবং একটি ধারাবাহিকতার পয়েন্টওয়াইজ কনভারজেন্স অনুক্রমের অভিন্ন কনভারজেন্সকে বোঝায় এবং যদি কোডোমেইন সম্পূর্ণ হয়, তবে ইউনিফর্ম কচি কনভারজেন্স অভিন্ন কনভারজেন্সকে বোঝায়। যদি ফাংশনের ক্ষেত্রটি একটি টপোলজিকাল স্থান হয়, তবে স্থানীয় অভিন্ন অভিসরণ (অর্থাৎ। প্রতিটি বিন্দুর আশেপাশে অভিন্ন অভিসরণ) এবং সংক্ষিপ্ত (অভিন্ন) অভিসরণ (অর্থাৎ। সমস্ত কম্প্যাক্ট উপসেটগুলিতে অভিন্ন অভিসরণ) সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। লক্ষ্য করুন যে "কম্প্যাক্ট কনভারজেন্স" সর্বদা "কম্প্যাক্ট ইউনিফর্ম কনভারজেন্স"-এর জন্য সংক্ষিপ্ত, যেহেতু "কম্প্যাক্ট পয়েন্টওয়াইজ কনভারজেন্স"-এর অর্থ হবে "পয়েন্টওয়াইজ কনভারজেন্স" (পয়েন্টগুলি সর্বদা কম্প্যাক্ট হয়)। ইউনিফর্ম কনভারজেন্স স্থানীয় ইউনিফর্ম কনভারজেন্স এবং কম্প্যাক্ট কনভারজেন্স উভয়কেই বোঝায়, কারণ উভয়ই স্থানীয় ধারণা এবং ইউনিফর্ম কনভারজেন্স বিশ্বব্যাপী। যদি X স্থানীয়ভাবে সংহত হয় (এমনকি দুর্বলতম অর্থেঃ প্রতিটি বিন্দুর সংহত প্রতিবেশী থাকে), তবে স্থানীয় অভিন্ন অভিসরণ সংহত (অভিন্ন) অভিসারের সমতুল্য। মোটামুটিভাবে বলতে গেলে, এর কারণ হল "স্থানীয়" এবং "কম্প্যাক্ট" একই জিনিসকে বোঝায়। একটি টপোলজিক্যাল আবেলিয়ান গ্রুপের ফাংশনের সিরিজ পয়েন্টওয়াইজ এবং ফাংশনের সিরিজের অভিন্ন কনভারজেন্স আংশিক যোগফলের ক্রমের কনভারজেন্সের পরিপ্রেক্ষিতে সংজ্ঞায়িত করা হয়। একটি আদর্শ রৈখিক স্থানে মান গ্রহণকারী ফাংশনের জন্য, পরম অভিসরণ ধনাত্মক, বাস্তব-মূল্যবান ফাংশনের সিরিজের অভিসরণকে বোঝায়। "পয়েন্টওয়াইজ অ্যাবসলিউট কনভারজেন্স" তখন কেবল পয়েন্টওয়াইজ কনভারজেন্স হয়। স্বাভাবিক অভিসরণ হল অভিন্ন গ্রহণ করে প্রাপ্ত অ-ঋণাত্মক বাস্তব সংখ্যার সিরিজের অভিসরণ (অর্থাৎ। "সুপার") সিরিজের প্রতিটি ফাংশনের আদর্শ (এর অভিন্ন অভিসরণ)। বানাচ স্পেসে, পয়েন্টওয়াইজ অ্যাবসলিউট কনভারজেন্স মানে পয়েন্টওয়াইজ কনভারজেন্স, এবং নরমাল কনভারজেন্স মানে ইউনিফর্ম কনভারজেন্স। একটি টপোলজিকাল স্পেসে সংজ্ঞায়িত ফাংশনের জন্য, সিরিজের আংশিক যোগফলের পরিপ্রেক্ষিতে স্থানীয় অভিন্ন অভিসরণ এবং সংক্ষিপ্ত (অভিন্ন) অভিসরণকে (উপরে হিসাবে) সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। উপরন্তু, যদি ফাংশনগুলি একটি আদর্শ রৈখিক স্থানে মান গ্রহণ করে, তবে স্থানীয় স্বাভাবিক অভিসরণ (স্থানীয়, অভিন্ন, পরম অভিসরণ) এবং কম্প্যাক্ট স্বাভাবিক অভিসরণ (কম্প্যাক্ট সেটগুলিতে পরম অভিসরণ) সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। স্বাভাবিক অভিসরণ স্থানীয় স্বাভাবিক অভিসরণ এবং কম্প্যাক্ট স্বাভাবিক অভিসরণ উভয়কেই বোঝায়। এবং যদি ডোমেইনটি স্থানীয়ভাবে কম্প্যাক্ট হয় (এমনকি দুর্বলতম অর্থেও), তবে স্থানীয় স্বাভাবিক কনভারজেন্স কম্প্যাক্ট স্বাভাবিক কনভারজেন্স বোঝায়। একটি পরিমাপ স্থানের উপর সংজ্ঞায়িত ফাংশনগুলি যদি কেউ পরিমাপযোগ্য ফাংশনের ক্রম বিবেচনা করে, তবে সংমিশ্রণের বিভিন্ন পদ্ধতি যা কেবলমাত্র টপোলজিকাল বৈশিষ্ট্যের পরিবর্তে পরিমাপ-তাত্ত্বিকের উপর নির্ভর করে, তা দেখা দেয়। এর মধ্যে রয়েছে প্রায় সর্বত্র পয়েন্টওয়াইজ কনভারজেন্স, পি-মানে কনভারজেন্স এবং পরিমাপে কনভারজেন্স। এগুলি সম্ভাব্যতা তত্ত্বে বিশেষ আগ্রহের বিষয়। আরও দেখুন টপোলজি কনভারজেন্স (গণিত)