Cohomological dimension
বিমূর্ত বীজগণিতে, সমতাত্ত্বিক মাত্রা হল একটি গোষ্ঠীর অপরিবর্তনীয় যা তার উপস্থাপনাগুলির সমতাত্ত্বিক জটিলতা পরিমাপ করে। জ্যামিতিক গোষ্ঠী তত্ত্ব, টপোলজি এবং বীজগাণিতিক সংখ্যা তত্ত্বে এর গুরুত্বপূর্ণ প্রয়োগ রয়েছে। একটি গোষ্ঠীর কোহোমোলজিকাল মাত্রা বেশিরভাগ কোহোমোলজিকাল অপরিবর্তনীয় হিসাবে, কোহোমোলজিকাল মাত্রায় একটি "সহগের বলয়" R-এর একটি পছন্দ জড়িত থাকে, যার একটি বিশিষ্ট বিশেষ কেস R = Z দ্বারা দেওয়া হয়, যা পূর্ণসংখ্যার বলয়। ধরা যাক জি একটি বিচ্ছিন্ন গ্রুপ, আর একটি একক সহ অ-শূন্য রিং এবং আরজি গ্রুপ রিং। গ্রুপ জি-এর কোহোমোলজিক্যাল মাত্রা n-এর চেয়ে কম বা সমান, যা cdR (G) ≤ n হিসাবে চিহ্নিত করা হয়, যদি তুচ্ছ RG-মডিউল R-এর দৈর্ঘ্য n, অর্থাৎ প্রজেক্টিভ রেজোলিউশন থাকে। প্রজেক্টিভ RG-মডিউল P0,., Pn এবং RG-মডিউল সমরূপতা dk: PkPk−1 (k = 1,., n) এবং d0: P0R রয়েছে, যাতে dk-এর চিত্র k = 1,., n-এর জন্য dk−1-এর কার্নেলের সাথে মিলে যায় এবং dn-এর কার্নেলটি তুচ্ছ। সমতুল্যভাবে, কোহোমোলজিক্যাল মাত্রাটি n-এর চেয়ে কম বা সমান হয় যদি একটি নির্বিচারে RG-মডিউল M-এর জন্য, M-এর সহগ সহ G-এর কোহোমোলজি k> n মাত্রায় অদৃশ্য হয়ে যায়, অর্থাৎ Hk (G, M) = 0 যখনই k> n হয়। G-এর কোহোমোলজিক্যাল মাত্রা n-এর চেয়ে কম বা সমান এমন ক্ষুদ্রতম n হল G-এর কোহোমোলজিক্যাল মাত্রা (সহগুণক R সহ), যা চিহ্নিত করা হয়। একটি সংকুচিত টপোলজিকাল স্পেস এক্স-এ গ্রুপ জি-এর একটি মুক্ত ক্রিয়া থেকে একটি মুক্ত রেজোলিউশন পাওয়া যেতে পারে। বিশেষত, যদি এক্স একটি সঙ্কুচিত সিডব্লিউ কমপ্লেক্স হয় যার মাত্রা n এবং একটি পৃথক গ্রুপ জি-এর মুক্ত ক্রিয়া থাকে যা কোষগুলিকে পারমিউট করে, তাহলে। উদাহরণস্বরূপ, উদাহরণের প্রথম গ্রুপে, সহগের রিং আর হতে দিন। একটি মুক্ত গোষ্ঠীর কোহোমোলজিকাল মাত্রা রয়েছে। জন স্ট্যালিংস (সীমিতভাবে সৃষ্ট গোষ্ঠীর জন্য) এবং রিচার্ড সোয়ান (সম্পূর্ণ সাধারণভাবে) যেমন দেখিয়েছেন, এই বৈশিষ্ট্যটি মুক্ত গোষ্ঠীগুলিকে চিহ্নিত করে। এই ফলাফলটি স্ট্যালিংস-সোয়ান উপপাদ্য নামে পরিচিত। একটি গ্রুপ জি-এর জন্য স্ট্যালিংস-সোয়ান উপপাদ্য বলে যে জি মুক্ত হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি আবেলিয়ান কার্নেল সহ জি দ্বারা প্রতিটি এক্সটেনশন বিভক্ত হয়। গোলক ব্যতীত অন্য একটি কম্প্যাক্ট, সংযুক্ত, অভিমুখী রিম্যান পৃষ্ঠের মৌলিক গোষ্ঠীর কোহোমোলজিকাল মাত্রা দুই রয়েছে। আরও সাধারণভাবে, n মাত্রার একটি বদ্ধ, সংযুক্ত, অভিমুখী অ্যাসফেরিকাল ম্যানিফোল্ডের মৌলিক গোষ্ঠীর কোহোমোলজিকাল মাত্রা n রয়েছে। বিশেষত, একটি বদ্ধ অভিমুখী হাইপারবোলিক এন-ম্যানিফোল্ডের মৌলিক গোষ্ঠীর কোহোমোলজিকাল মাত্রা n রয়েছে। ননট্রিভিয়াল সসীম গোষ্ঠীগুলির অসীম কোহোমোলজিকাল মাত্রা রয়েছে। আরও সাধারণভাবে, অ-তুচ্ছ টর্জনযুক্ত গোষ্ঠীগুলির ক্ষেত্রেও একই কথা প্রযোজ্য। এখন একটি সাধারণ বলয় আর-এর ক্ষেত্রে বিবেচনা করুন। একটি গ্রুপ জি-এর কোহোমোলজিকাল মাত্রা 0 থাকে যদি এবং শুধুমাত্র যদি তার গ্রুপ রিং আরজি আধা-সহজ হয়। সুতরাং একটি সসীম গোষ্ঠীর কোহোমোলজিকাল মাত্রা 0 থাকে যদি এবং শুধুমাত্র যদি তার ক্রম (বা, সমতুল্যভাবে, তার উপাদানগুলির ক্রম) আর-এ বিপরীতমুখী হয়। স্ট্যালিংস-সোয়ান উপপাদ্যকে সাধারণীকরণ করে, মার্টিন ডানউডি প্রমাণ করেছিলেন যে একটি গোষ্ঠীর একটি স্বেচ্ছাচারী বলয় আর-এর উপর সর্বাধিক একটিতে কোহোমোলজিকাল মাত্রা থাকে যদি এবং কেবলমাত্র যদি এটি সসীম গোষ্ঠীগুলির সংযুক্ত গ্রাফের মৌলিক গোষ্ঠী হয় যার ক্রমগুলি আর-এ বিপরীতমুখী হয়। একটি ক্ষেত্রের কোহোমোলজিকাল মাত্রা একটি ক্ষেত্রের পি-অ্যালকোহমোলজিকাল মাত্রা কে-এর পৃথক বন্ধযোগ্য গ্যালোইস গোষ্ঠীর পি-অ্যালকোহমোলজিকাল মাত্রা। কে-এর কোহোমোলজিকাল মাত্রা সর্বত্র পি-অ্যালকোহমোলজিকাল মাত্রার সর্বোচ্চ। প্রতিটি সসীম ক্ষেত্রের পরম গ্যালোয়া গোষ্ঠীর সমরূপতা রয়েছে এবং তাই কোহোমোলজিকাল মাত্রা 1 রয়েছে। একটি অ-শূন্য বৈশিষ্ট্যযুক্ত বীজগাণিতিকভাবে বদ্ধ ক্ষেত্র k-এর উপর আনুষ্ঠানিক লরেন্ট সিরিজের ক্ষেত্রের পরম গ্যালোইস গ্রুপ সমরূপ এবং তাই সমধর্মী মাত্রা 1 রয়েছে। আরও দেখুন আইলেনবার্গ-গানিয়া অনুমান গ্রুপ কোহোমোলজি গ্লোবাল ডাইমেনশন রেফারেন্স গ্রুপ তত্ত্ব হোমোলজিকাল বীজগণিত