Diffraction from slits
তরঙ্গকে প্রভাবিত করে এমন বিচ্ছুরণ প্রক্রিয়াগুলি পরিমাণগত বর্ণনা এবং বিশ্লেষণের জন্য উপযুক্ত। এই ধরনের চিকিৎসা এক বা একাধিক ছিদ্রের মধ্য দিয়ে যাওয়া তরঙ্গের ক্ষেত্রে প্রয়োগ করা হয় যার প্রস্থ তরঙ্গদৈর্ঘ্যের অনুপাত হিসাবে নির্দিষ্ট করা হয়। ফ্রেন্সেল এবং ফ্রাউনহোফার আনুমানিক সহ সংখ্যাসূচক আনুমানিক ব্যবহার করা যেতে পারে। সাধারণ বিচ্ছুরণ কারণ বিচ্ছুরণ হল সমস্ত অবরুদ্ধ পথ বরাবর সমস্ত তরঙ্গের (প্রদত্ত তরঙ্গদৈর্ঘ্যের) যোগের ফলাফল, স্বাভাবিক পদ্ধতি হল একটি নির্দিষ্ট পথের চারপাশে একটি অসীমভাবে ছোট পাড়ার অবদান বিবেচনা করা (এই অবদানকে সাধারণত একটি তরঙ্গ বলা হয়) এবং তারপর উৎস থেকে আবিষ্কারক (বা পর্দায় প্রদত্ত বিন্দু) পর্যন্ত সমস্ত পথে (= সমস্ত তরঙ্গ যোগ করুন) সংহত করা। এইভাবে বিচ্ছুরণ দ্বারা উত্পাদিত প্যাটার্ন নির্ধারণ করার জন্য, প্রতিটি তরঙ্গের পর্যায় এবং প্রশস্ততা গণনা করা হয়। অর্থাৎ, স্থানের প্রতিটি বিন্দুতে আমাদের অবশ্যই আগত তরঙ্গমুখের প্রতিটি সহজ উৎসের দূরত্ব নির্ধারণ করতে হবে। যদি প্রতিটি সহজ উৎসের দূরত্ব তরঙ্গদৈর্ঘ্যের একটি পূর্ণসংখ্যা দ্বারা পৃথক হয়, তবে সমস্ত তরঙ্গগুলি পর্যায়ক্রমে থাকবে, যার ফলে গঠনমূলক হস্তক্ষেপ ঘটবে। যদি প্রতিটি উৎসের দূরত্ব একটি পূর্ণসংখ্যা এবং তরঙ্গদৈর্ঘ্যের অর্ধেক হয়, তবে সম্পূর্ণ ধ্বংসাত্মক হস্তক্ষেপ হবে। সাধারণত, পর্যবেক্ষিত বিচ্ছুরণ প্রভাবগুলি ব্যাখ্যা করার জন্য এই মিনিমা এবং ম্যাক্সিমা নির্ধারণ করা যথেষ্ট। বিচ্ছুরণের সহজতম বর্ণনাগুলি হল সেগুলি যেখানে পরিস্থিতিকে দ্বি-মাত্রিক সমস্যায় হ্রাস করা যেতে পারে। জল তরঙ্গের ক্ষেত্রে, এটি ইতিমধ্যেই প্রযোজ্য, কারণ জল তরঙ্গ শুধুমাত্র জলের পৃষ্ঠে ছড়িয়ে পড়ে। আলোর ক্ষেত্রে, আমরা প্রায়শই একটি মাত্রাকে অবহেলা করতে পারি যদি বিচ্ছুরণকারী বস্তুটি তরঙ্গদৈর্ঘ্যের চেয়ে অনেক বেশি দূরত্বে সেই দিকে প্রসারিত হয়। ছোট বৃত্তাকার ছিদ্রের মধ্য দিয়ে আলো জ্বললে আমাদের সমস্যার পূর্ণ ত্রিমাত্রিক প্রকৃতি বিবেচনা করতে হবে। সাধারণভাবে বিচ্ছুরণ সম্পর্কে বেশ কয়েকটি গুণগত পর্যবেক্ষণ করা যেতে পারেঃ বিচ্ছুরণ প্যাটার্নে বৈশিষ্ট্যগুলির কৌণিক ব্যবধান বিচ্ছুরণ ঘটায় এমন বস্তুর মাত্রার সাথে বিপরীত আনুপাতিক। অন্য কথায়ঃ বিচ্ছুরণকারী বস্তু যত ছোট হয়, ফলস্বরূপ বিচ্ছুরণ প্যাটার্ন তত প্রশস্ত হয় এবং তদ্বিপরীত হয়। (আরও সুনির্দিষ্টভাবে, কোণগুলির সাইনগুলির ক্ষেত্রে এটি সত্য।) বিচ্ছুরণ কোণগুলি স্কেলিংয়ের অধীনে অপরিবর্তনীয়; অর্থাৎ, তারা কেবল তরঙ্গদৈর্ঘ্যের সাথে বিচ্ছুরিত বস্তুর আকারের অনুপাতের উপর নির্ভর করে। যখন বিচ্ছুরণকারী বস্তুটির একটি পর্যায়ক্রমিক কাঠামো থাকে, উদাহরণস্বরূপ একটি বিচ্ছুরণ গ্রেটে, বৈশিষ্ট্যগুলি সাধারণত তীক্ষ্ণ হয়ে ওঠে। উদাহরণস্বরূপ, চতুর্থ চিত্রটি পাঁচটি স্লিট দ্বারা গঠিত একটি প্যাটার্নের সাথে একটি ডাবল-স্লিট প্যাটার্নের তুলনা দেখায়, উভয় সেটের একটি স্লিটের কেন্দ্র এবং পরেরটির মধ্যে একই ব্যবধান রয়েছে। আনুমানিক একটি বিচ্ছুরিত তরঙ্গ দেখতে কেমন তা গণনা করার সমস্যা হল আগত তরঙ্গের সম্মুখভাগের প্রতিটি সহজ উৎসের পর্যায় নির্ধারণের সমস্যা। গাণিতিকভাবে ফার-ফিল্ড বা ফ্রাউনহোফার বিচ্ছুরণের বিষয়টি বিবেচনা করা সহজ, যেখানে পর্যবেক্ষণের বিন্দু বিচ্ছুরণকারী বাধা থেকে অনেক দূরে এবং ফলস্বরূপ, নিকট-ক্ষেত্র বা ফ্রেন্সেল বিচ্ছুরণের আরও সাধারণ ক্ষেত্রে কম জটিল গণিত জড়িত। এই বিবৃতিটিকে আরও পরিমাণগত করার জন্য, উৎপত্তিস্থলে একটি আকারের বিচ্ছুরিত বস্তুর কথা বিবেচনা করুন। সুনির্দিষ্টতার জন্য ধরা যাক আমরা আলোর বিচ্ছুরণ করছি এবং বস্তু থেকে দূরে একটি পর্দায় তীব্রতা কেমন দেখায় তা নিয়ে আমরা আগ্রহী। পর্দার কোনও এক বিন্দুতে বস্তুর এক পাশের পথের দৈর্ঘ্য পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্য দ্বারা দেওয়া হয় যদি আমরা এখন পরিস্থিতিটি বিবেচনা করি যেখানে, পথের দৈর্ঘ্য হয়ে যায়। জিনিসগুলিকে আরও সহজ করার জন্যঃ যদি বিচ্ছুরণকারী বস্তুটি দূরত্বের তুলনায় অনেক ছোট হয়, তবে শেষ পদটি পথের দৈর্ঘ্যে তরঙ্গদৈর্ঘ্যের তুলনায় অনেক কম অবদান রাখবে এবং তারপরে পর্যায়টিকে প্রশংসনীয়ভাবে পরিবর্তন করবে না। সেটা তো বটেই। ফলাফল হল ফ্রাউনহোফার আনুমানিক, যা শুধুমাত্র বস্তু থেকে অনেক দূরে বৈধ বিচ্ছুরণ বস্তুর আকার, বস্তুর দূরত্ব এবং তরঙ্গদৈর্ঘ্যের উপর নির্ভর করে, ফ্রেন্সেল আনুমানিক, ফ্রাউনহোফার আনুমানিক বা উভয়ই আনুমানিক বৈধ হতে পারে না। পরিমাপ করা বিচ্ছুরণ বিন্দু এবং বাধা বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব বাড়ার সাথে সাথে বিচ্ছুরণ নিদর্শন বা পূর্বাভাসকৃত ফলাফলগুলি ফ্রনহোফার বিচ্ছুরণের দিকে একত্রিত হয়, যা দৃশ্যমান আলোর অত্যন্ত ছোট তরঙ্গদৈর্ঘ্যের কারণে প্রকৃতিতে প্রায়শই দেখা যায়। একাধিক সংকীর্ণ ছিদ্র একটি সহজ পরিমাণগত বিবরণ একাধিক-ছিদ্র বিন্যাসকে গাণিতিকভাবে একাধিক সহজ তরঙ্গ উৎস হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে, যদি ছিদ্রগুলি যথেষ্ট সংকীর্ণ হয়। আলোর ক্ষেত্রে, একটি ছিদ্র এমন একটি ছিদ্র যা একটি মাত্রায় অসীমভাবে প্রসারিত হয় এবং এটি 3ডি-স্পেসে একটি তরঙ্গ সমস্যাকে 2ডি-স্পেসে একটি সহজ সমস্যায় হ্রাস করার প্রভাব ফেলে। সবচেয়ে সহজ উদাহরণ হল দুটি সংকীর্ণ ছিদ্র, যা একটি দূরত্বের ব্যবধানে অবস্থিত। প্রশস্ততায় ম্যাক্সিমা এবং মিনিমা নির্ধারণ করতে আমাদের অবশ্যই প্রথম ছিদ্র এবং দ্বিতীয় ছিদ্রের পথের পার্থক্য নির্ধারণ করতে হবে। ফ্রাউনহোফার সন্নিকটে, পর্যবেক্ষক ছিদ্র থেকে অনেক দূরে থাকলে, দুটি ছিদ্রের পথের দৈর্ঘ্যের পার্থক্য চিত্র থেকে দেখা যায় যে তীব্রতায় ম্যাক্সিমা হতে পারে যদি এই পথের দৈর্ঘ্যের পার্থক্য তরঙ্গদৈর্ঘ্যের একটি পূর্ণসংখ্যা হয়। যেখানে একটি পূর্ণসংখ্যা যা প্রতিটি সর্বাধিকের ক্রমকে লেবেল করে, তরঙ্গদৈর্ঘ্য, ছিদ্রগুলির মধ্যে দূরত্ব এবং যে কোণে গঠনমূলক হস্তক্ষেপ ঘটে। সংশ্লিষ্ট মিনিমা একটি পূর্ণসংখ্যা সংখ্যা এবং তরঙ্গদৈর্ঘ্যের অর্ধেকের পথের পার্থক্যের মধ্যে থাকেঃ স্লিটের একটি অ্যারের জন্য, মিনিমা এবং ম্যাক্সিমার অবস্থান পরিবর্তন করা হয় না, তবে একটি পর্দায় দৃশ্যমান প্রান্তগুলি আরও তীক্ষ্ণ হয়ে যায়, যা ছবিতে দেখা যায়। গাণিতিক বিবরণ এই তীব্রতার প্যাটার্নটি গণনা করার জন্য, আরও কিছু পরিশীলিত পদ্ধতি প্রবর্তন করতে হবে। একটি রেডিয়াল তরঙ্গের গাণিতিক উপস্থাপনাটি দেওয়া হয় যেখানে, তরঙ্গদৈর্ঘ্য, তরঙ্গের ফ্রিকোয়েন্সি এবং t = 0 সময়ে স্লিটগুলিতে তরঙ্গের পর্যায়। ছিদ্রের সমতল থেকে কিছু দূরে একটি পর্দার তরঙ্গ প্রতিটি ছিদ্র থেকে নির্গত তরঙ্গের সমষ্টি দ্বারা দেওয়া হয়। এই সমস্যাটিকে একটু সহজ করার জন্য, আমরা জটিল তরঙ্গের প্রবর্তন করি, যার আসল অংশটি সমান এই ফাংশনের পরম মান তরঙ্গের প্রশস্ততা দেয় এবং ফাংশনের জটিল পর্যায়টি তরঙ্গের পর্যায়ের সাথে মিলে যায়। জটিল প্রশস্ততা হিসাবে উল্লেখ করা হয়। যেহেতু আমরা এই মুহুর্তে শুধুমাত্র প্রশস্ততা এবং আপেক্ষিক পর্যায়ে আগ্রহী, তাই আমরা যে কোনও সামগ্রিক পর্যায়ের কারণগুলিকে উপেক্ষা করতে পারি যা বা-এর উপর নির্ভরশীল নয়। আমরা আনুমানিক। ফ্রাউনহোফার সীমাতে আমরা সূচকীয় এবং হরের সাথে জড়িত যে কোনও পদকে অগ্রাহ্য করতে পারি। যোগফল হয়ে ওঠে যোগফলের একটি জ্যামিতিক যোগফলের রূপ রয়েছে এবং এটি দেওয়ার জন্য মূল্যায়ন করা যেতে পারে তীব্রতা জটিল প্রশস্ততা বর্গের পরম মান দ্বারা দেওয়া হয় যেখানে এর জটিল সংমিশ্রণকে বোঝায়। একক ছিদ্র উদাহরণস্বরূপ, একক ছিদ্র বিচ্ছুরণের ক্ষেত্রে কোণের ফাংশন হিসাবে বিচ্ছুরণ প্যাটার্নের তীব্রতার জন্য এখন একটি সঠিক সমীকরণ পাওয়া যেতে পারে। একটি সমীকরণ শুরু করার জন্য হিউজেন্সের নীতির একটি গাণিতিক উপস্থাপনা ব্যবহার করা যেতে পারে। a প্রস্থের একটি ছিদ্রের উপর λ তরঙ্গদৈর্ঘ্যের একটি একবর্ণসংক্রান্ত সমতল তরঙ্গের ঘটনা বিবেচনা করুন। যদি ছিদ্রটি x′-y′ সমতলে থাকে, যার উৎপত্তিস্থলটি কেন্দ্রে থাকে, তবে এটি ধরে নেওয়া যেতে পারে যে বিচ্ছুরণ একটি জটিল তরঙ্গ তৈরি করে, যা ছিদ্র থেকে দূরে r দিকে রেডিয়ালভাবে ভ্রমণ করে এবং এটি দ্বারা দেওয়া হয়ঃ আসুন সেই ছিদ্রের ভিতরে একটি বিন্দু হতে দিন যার উপর এটি সংহত করা হচ্ছে। যদি সেই স্থানে বিচ্ছুরণ প্যাটার্নের তীব্রতা গণনা করা হয়, তবে ছিদ্রটি থেকে এবং থেকে পর্যন্ত প্রসারিত হয়। স্লট থেকে দূরত্ব r হলঃ ফ্রাউনহোফার বিচ্ছুরণ ধরে নিলে উপসংহার হবে। অন্য কথায়, লক্ষ্যের দূরত্ব লক্ষ্যের বিচ্ছুরণ প্রস্থের তুলনায় অনেক বেশি। দ্বিপদী সম্প্রসারণ নিয়ম অনুসারে, দ্বিঘাত এবং উচ্চতর পদগুলি উপেক্ষা করে, ডানদিকের পরিমাণটি অনুমান করা যেতে পারেঃ এটি দেখা যায় যে সমীকরণের সামনে 1/r অ-দোলক, অর্থাৎ। তীব্রতার মাত্রায় এর অবদান আমাদের সূচকীয় কারণগুলির তুলনায় কম। অতএব, আমরা এটিকে 1/জেড হিসাবে আনুমানিক করে সামান্য নির্ভুলতা হারাব। জিনিসগুলিকে পরিষ্কার করার জন্য, সমীকরণে ধ্রুবক বোঝাতে একটি স্থানধারক সি ব্যবহার করা হয়। এটা মনে রাখা গুরুত্বপূর্ণ যে সি কাল্পনিক সংখ্যা ধারণ করতে পারে, তাই তরঙ্গ ফাংশনটি জটিল হবে। যাইহোক, শেষে, si বন্ধনী করা হবে, যা যে কোনও কাল্পনিক উপাদানকে সরিয়ে দেবে। এখন, ফ্রাউনহোফার বিচ্ছুরণে, ছোট, তাই (লক্ষ্য করুন যে এই সূচকে অংশগ্রহণ করে এবং এটি সংহত করা হচ্ছে)। বিপরীতে শব্দটি সমীকরণ থেকে বাদ দেওয়া যেতে পারে, যেহেতু বন্ধনী করা হলে এটি 1 দেয়। (একই কারণে আমরা এই শব্দটিও বাদ দিয়েছি) ফলাফল গ্রহণঃ এটি ইউলারের সূত্র এবং এর ব্যুৎপত্তিগুলির মাধ্যমে উল্লেখ করা যেতে পারে যে এবং। যেখানে (অস্বাভাবিক) সিঙ্ক ফাংশন দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়। এখন, θ কোণে বিচ্ছুরিত তরঙ্গগুলির তীব্রতা (বর্গ প্রশস্ততা) দ্বারা প্রতিস্থাপিত করা হয়ঃ একাধিক ছিদ্র আসুন আমরা আবার হিউজেন্স নীতির গাণিতিক উপস্থাপনা দিয়ে শুরু করি। প্রধান সমতলে সমান আকারের এবং অক্ষ বরাবর ছড়িয়ে থাকা ব্যবধানের ছিদ্রগুলি বিবেচনা করুন। উপরের মতো, স্লিট 1 থেকে দূরত্বটি হলঃ এটিকে স্লিটগুলিতে সাধারণীকরণ করার জন্য, আমরা পর্যবেক্ষণ করি যে স্থির থাকাকালীন এবং স্থির থাকে। সুতরাং, তরঙ্গ ফাংশনে সমস্ত অবদানের সমষ্টি হলঃ আবার লক্ষ্য করা যায় যে এটি ছোট, তাই, আমাদের আছেঃ এখন, আমরা আমাদের সমীকরণে প্রতিস্থাপিত করে নিম্নলিখিত পরিচয়টি ব্যবহার করতে পারি, আমরা দেখতে পাইঃ আমরা এখন আগের মতো প্রতিস্থাপন করি এবং 1-স্লিট বিচ্ছুরণের মতো পরিবর্তনশীল দ্বারা সমস্ত অ-দোলক ধ্রুবককে উপস্থাপন করি এবং ফলাফলটি বন্ধনী করি। মনে রাখবেন যে এটি আমাদের টেলিং সূচকটি বাতিল করার অনুমতি দেয় এবং আমাদের কাছে আমাদের উত্তর রয়েছেঃ দূরবর্তী ক্ষেত্রের জন্য সাধারণ ক্ষেত্রে, যেখানে মূলত ধ্রুবক, তারপর সমীকরণঃ প্রতিবন্ধকটির ফাঁকগুলিতে ফুরিয়ার রূপান্তর করার সমতুল্য। আরও দেখুন বিচ্ছুরণ গ্র্যাটিং খাম (তরঙ্গ) ফুরিয়ার বিশ্লেষণ এন-স্লিট ইন্টারফেরোমিটার রেডিও টেলিস্কোপ রেফারেন্স পদার্থবিজ্ঞান তরঙ্গ বলবিজ্ঞানের সমীকরণ