Limit point compact
গণিতে, একটি টপোলজিকাল স্থানকে সীমিত বিন্দু কম্প্যাক্ট বা দুর্বলভাবে গণনাযোগ্যভাবে কম্প্যাক্ট বলা হয় যদি এর প্রতিটি অসীম উপসেটের একটি সীমা বিন্দু থাকে। একটি মেট্রিক স্পেসে, লিমিট পয়েন্ট কম্প্যাক্টনেস, কম্প্যাক্টনেস এবং ক্রমিক কম্প্যাক্টনেস সবই সমতুল্য। সাধারণ টপোলজিকাল স্পেসের জন্য, তবে, কম্প্যাক্টনেসের এই তিনটি ধারণা সমতুল্য নয়। বৈশিষ্ট্য এবং উদাহরণ একটি টপোলজিকাল স্পেসে, সীমা বিন্দু ছাড়া উপসেটগুলি ঠিক সেগুলি যা সাবস্পেস টপোলজিতে বন্ধ এবং বিচ্ছিন্ন। সুতরাং একটি স্থান সীমিত বিন্দু কম্প্যাক্ট হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি তার সমস্ত বদ্ধ বিচ্ছিন্ন উপসেটগুলি সীমাবদ্ধ হয়। একটি স্থান সীমিত বিন্দু কম্প্যাক্ট হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি এটির একটি অসীম বন্ধ বিচ্ছিন্ন সাবস্পেস থাকে। যেহেতু একটি বদ্ধ বিচ্ছিন্ন উপসেটের যে কোনও উপসেট নিজেই বন্ধ এবং বিচ্ছিন্ন হয়, তাই এটি এমন প্রয়োজনের সমতুল্য যার একটি গণনাযোগ্য অসীম বন্ধ বিচ্ছিন্ন সাবস্পেস রয়েছে। শূন্যস্থানের কিছু উদাহরণ যা সীমিত বিন্দু সংহত নয়ঃ (1) সমস্ত বাস্তব সংখ্যার সেট তার স্বাভাবিক টপোলজি সহ, যেহেতু পূর্ণসংখ্যাগুলি একটি অসীম সেট কিন্তু একটি সীমা বিন্দু নেই; (2) বিচ্ছিন্ন টপোলজি সহ একটি অসীম সেট; (3) একটি অগণিত সেটের গণনাযোগ্য পরিপূরক টপোলজি। প্রতিটি গণনাযোগ্য কম্প্যাক্ট স্পেস (এবং তাই প্রতিটি কম্প্যাক্ট স্পেস) হল লিমিট পয়েন্ট কম্প্যাক্ট। টি1 স্পেসের জন্য, লিমিট পয়েন্ট কম্প্যাক্টনেস গণনাযোগ্য কম্প্যাক্টনেসের সমতুল্য। সীমা বিন্দু কম্প্যাক্ট স্পেসের একটি উদাহরণ যা গণনাযোগ্যভাবে কম্প্যাক্ট নয় তা "পূর্ণসংখ্যা দ্বিগুণ করে" প্রাপ্ত হয়, যথা, পণ্যটি গ্রহণ করা যেখানে বিচ্ছিন্ন টপোলজির সাথে সমস্ত পূর্ণসংখ্যার সেট এবং নির্বিচারে টপোলজি রয়েছে। স্থানটি বিজোড়-বিজোড় টপোলজির সমরূপ। এই স্থানটি T0 নয়। এটি লিমিট পয়েন্ট কম্প্যাক্ট কারণ প্রতিটি নন-এম্প্টি সাবসেটের একটি লিমিট পয়েন্ট থাকে। T0 স্থানের একটি উদাহরণ যা সীমিত বিন্দু কম্প্যাক্ট এবং গণনাযোগ্যভাবে কম্প্যাক্ট নয় তা হল সঠিক ক্রমের টপোলজি সহ সমস্ত বাস্তব সংখ্যার সেট, অর্থাৎ, সমস্ত ব্যবধান দ্বারা উত্পন্ন টপোলজি স্থানটি সীমিত বিন্দু কম্প্যাক্ট কারণ যে কোনও বিন্দু দেওয়া হলে প্রতিটি হল একটি সীমা বিন্দু পরিমাপযোগ্য স্থানের জন্য, কম্প্যাক্টনেস, গণনাযোগ্য কম্প্যাক্টনেস, সীমা বিন্দু কম্প্যাক্টনেস এবং ক্রমিক কম্প্যাক্টনেস সবই সমতুল্য। একটি লিমিট পয়েন্ট কম্প্যাক্ট স্পেসের ক্লোজড সাবস্পেসগুলি লিমিট পয়েন্ট কম্প্যাক্ট হয়। একটি লিমিট পয়েন্ট কম্প্যাক্ট স্পেসের অবিচ্ছিন্ন চিত্রটি লিমিট পয়েন্ট কম্প্যাক্ট হওয়ার দরকার নেই। উদাহরণস্বরূপ, যদি উপরের উদাহরণের মতো বিচ্ছিন্ন এবং অনির্দিষ্ট হয়, তবে প্রথম স্থানাঙ্কের উপর অভিক্ষেপ দ্বারা প্রদত্ত মানচিত্রটি অবিচ্ছিন্ন, তবে সীমাবদ্ধ বিন্দু সংক্ষিপ্ত নয়। একটি লিমিট পয়েন্ট কম্প্যাক্ট স্পেস সিউডো-কম্প্যাক্ট হওয়ার প্রয়োজন নেই। একটি উদাহরণ দেওয়া হয়েছে নির্বিচারে দুই-বিন্দু স্থান সহ এবং যে মানচিত্রের চিত্রটি একটি সিউডোকম্প্যাক্ট স্পেসে আবদ্ধ নয় তার সীমা বিন্দু কম্প্যাক্ট হওয়ার দরকার নেই। একটি উদাহরণ কোকাউন্টেবল টপোলজি সহ একটি অগণিত সেট দ্বারা দেওয়া হয়। প্রতিটি সাধারণ সিউডোকম্প্যাক্ট স্থান হল সীমা বিন্দু compact.Proof: ধরুন এটি একটি স্বাভাবিক স্থান যা সীমা বিন্দু কম্প্যাক্ট নয়। টিটজে এক্সটেনশন উপপাদ্য দ্বারা সংজ্ঞায়িত অবিচ্ছিন্ন ফাংশনটি একটি (সীমাহীন) বাস্তব-মূল্যবান অবিচ্ছিন্ন ফাংশনে প্রসারিত করা যেতে পারে তাই সিউডোকম্প্যাক্ট নয়। সীমা বিন্দু কম্প্যাক্ট স্পেসের গণনাযোগ্য ব্যাপ্তি রয়েছে। যদি এবং যদি টপোলজিক্যাল স্পেসগুলি এর চেয়ে সূক্ষ্ম হয় এবং সীমাবদ্ধ পয়েন্ট কম্প্যাক্ট হয়, তবে তাই হয় আরও দেখুন টপোলজিকাল স্পেসগুলির রেফারেন্স বৈশিষ্ট্য কম্প্যাক্টনেস (গণিত)