Skew lattice
বিমূর্ত বীজগণিতে, একটি তির্যক জাল হল একটি বীজগাণিতিক কাঠামো যা একটি জালকের অ-বিনিময়মূলক সাধারণীকরণ। যদিও স্ক্যু ল্যাটিস শব্দটি কোনও ল্যাটিসের যে কোনও অ-বিনিময়মূলক সাধারণীকরণকে বোঝাতে ব্যবহার করা যেতে পারে, 1989 সাল থেকে এটি প্রাথমিকভাবে নিম্নরূপ ব্যবহার করা হয়েছে। সংজ্ঞা একটি তির্যক জাল হল একটি সেট এস যা দুটি সহযোগী, আইডেম্পোটেন্ট বাইনারি অপারেশন দিয়ে সজ্জিত এবং, যাকে বলা হয় মিট অ্যান্ড জয়েন, যা নিম্নলিখিত দ্বৈত জোড়া শোষণ আইনকে বৈধতা দেয়। প্রদত্ত যে এবং সহযোগী এবং স্বতন্ত্র, এই পরিচয়গুলি নিম্নলিখিত দ্বৈত জোড়া বিবৃতিগুলিকে বৈধ করার সমতুল্যঃ যদি, যদি। ঐতিহাসিক পটভূমি 60 বছরেরও বেশি সময় ধরে, জালের অপরিবর্তনীয় বৈচিত্র্যগুলি বিভিন্ন অনুপ্রেরণার সাথে অধ্যয়ন করা হয়েছে। কারো কারো জন্য অনুপ্রেরণা জাল তত্ত্বের ধারণাগত সীমানার প্রতি আগ্রহ ছিল; অন্যদের জন্য এটি যুক্তি এবং বুলিয়ান বীজগণিতের অ-বিনিময়যোগ্য রূপগুলির অনুসন্ধান ছিল; এবং অন্যদের জন্য এটি রিংয়ে আইডেম্পোটেন্টগুলির আচরণ ছিল। একটি নন-কমিউটেটিভ ল্যাটিস, সাধারণভাবে বলতে গেলে, একটি বীজগণিত যেখানে এবং সহযোগী, আইডেম্পোটেন্ট বাইনারি অপারেশন যা শোষণ পরিচয়ের দ্বারা সংযুক্ত থাকে যা কোনওভাবে দ্বৈতকরণের নিশ্চয়তা দেয়। নির্বাচিত সুনির্দিষ্ট পরিচয়গুলি অন্তর্নিহিত প্রেরণার উপর নির্ভর করে, বিভিন্ন পছন্দগুলি স্বতন্ত্র ধরনের অ্যালজেব্রা তৈরি করে। পাস্কুয়াল জর্ডান, কোয়ান্টাম লজিকের প্রশ্ন দ্বারা অনুপ্রাণিত হয়ে, তাঁর 1949 সালের গবেষণাপত্রে, উবের নিক্টকোমুটেটিভ ভারব্যান্ডে, অবশোষণ পরিচয়গুলি বেছে নিয়ে নন-কমিউটেটিভ ল্যাটিসগুলির একটি অধ্যয়ন শুরু করেছিলেন তিনি সেই অ্যালজেব্রাগুলিকে শ্রাগভারব্যান্ডে হিসাবে সন্তোষজনক হিসাবে উল্লেখ করেছিলেন। এই পরিচয়গুলি পরিবর্তন বা বৃদ্ধি করে, জর্ডান এবং অন্যান্যরা বিভিন্ন ধরনের অ-বিনিময়যোগ্য জালিকা অর্জন করেছিল। জোনাথন লিচের 1989 সালের গবেষণাপত্র থেকে শুরু করে, রিংয়ে স্ক্যু ল্যাটিস, উপরে সংজ্ঞায়িত স্ক্যু ল্যাটিসগুলি অধ্যয়নের প্রাথমিক বিষয় হয়ে দাঁড়িয়েছে। এটি ব্যান্ড সম্পর্কে পূর্ববর্তী ফলাফল দ্বারা সহায়তা করা হয়েছিল। বিশেষ করে অনেক মৌলিক সম্পত্তির ক্ষেত্রে এটি ছিল। মৌলিক বৈশিষ্ট্য প্রাকৃতিক আংশিক ক্রম এবং প্রাকৃতিক অর্ধক্রম একটি তির্যক জালিতে, প্রাকৃতিক আংশিক ক্রমটি যদি, বা দ্বৈতভাবে, দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়। স্বাভাবিক প্রি-অর্ডারটি যদি বা দ্বৈতভাবে দেওয়া হয়। যদিও এবং ল্যাটিসের সাথে একমত, অ-বিনিময়মূলক ক্ষেত্রে সঠিকভাবে পরিমার্জন করে। প্ররোচিত প্রাকৃতিক সমতুল্যতা যদি, অর্থাৎ, এবং অথবা দ্বৈতভাবে, এবং দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়। পার্টিশনের ব্লকগুলি যদি দ্বারা ক্রমবদ্ধ জাল এবং এমনভাবে বিদ্যমান। এটি আমাদের নিম্নলিখিত জুটির মতো তির্যক জালের হাস রেখাচিত্র আঁকার অনুমতি দেয়ঃ উদাহরণস্বরূপ, উপরের বাম দিকের রেখাচিত্রে, যা এবং সম্পর্কিত তা ড্যাশ করা অংশ দ্বারা প্রকাশ করা হয়। তির্যক রেখাগুলি স্বতন্ত্র শ্রেণীর উপাদানগুলির মধ্যে প্রাকৃতিক আংশিক ক্রম প্রকাশ করে। উপাদানগুলি, এবং সিঙ্গেলটন-শ্রেণী গঠন করে। আয়তক্ষেত্রাকার তির্যক জালগুলি একটি একক শ্রেণীর সমন্বয়ে গঠিত তির্যক জালগুলিকে আয়তক্ষেত্রাকার বলা হয়। এগুলি সমতুল্য পরিচয় দ্বারা চিহ্নিত করা হয়ঃ, এবং। আয়তক্ষেত্রাকার তির্যক জালগুলি নিম্নলিখিত গঠনযুক্ত তির্যক জালগুলির সমতুল্য (এবং বিপরীতভাবে): খালি নয় এমন সেট দেওয়া হয়েছে এবং, সংজ্ঞায়িত এবং। একটি তির্যক জালকের-শ্রেণীর বিভাজন, যেমন উপরের চিত্রগুলিতে নির্দেশিত হয়েছে, তার সর্বাধিক আয়তক্ষেত্রাকার সাবঅ্যালজেব্রার মধ্যে অনন্য বিভাজন, উপরন্তু, প্রবর্তিত ভাগফল বীজগণিতের সর্বাধিক জালের চিত্রের সাথে একটি সঙ্গতি, এইভাবে প্রতিটি তির্যক জালকে আয়তক্ষেত্রাকার সাবঅ্যালজেব্রার জাল তৈরি করে। এটি স্ক্যু ল্যাটিসের জন্য ক্লিফোর্ড-ম্যাকলিন উপপাদ্য, যা ক্লিফোর্ড এবং ম্যাকলিন দ্বারা পৃথকভাবে ব্যান্ডগুলির জন্য প্রথম দেওয়া হয়েছিল। এটি তির্যক জালের জন্য প্রথম পচন উপপাদ্য হিসাবেও পরিচিত। ডান (বাম) হাতের তির্যক জাল এবং কিমুরা ফ্যাক্টরাইজেশন একটি তির্যক জাল ডানহাতি হয় যদি এটি পরিচয়কে সন্তুষ্ট করে বা দ্বৈতভাবে হয়। এই পরিচয়গুলি মূলত এবং প্রতিটি শ্রেণীতে তা দাবি করে। প্রতিটি তির্যক জালকের একটি অনন্য সর্বোচ্চ ডান হাতের চিত্র থাকে যেখানে যদি উভয় এবং (বা দ্বৈতভাবে, এবং) দ্বারা কংগ্রুয়েন্স সংজ্ঞায়িত করা হয়। একইভাবে প্রতিটি শ্রেণীতে বাঁ-হাতি জাল বাঁ-হাতি হয়। আবার একটি তির্যক জালের সর্বাধিক বাম হাতের চিত্র হল সেই চিত্র যেখানে দ্বৈত পদ্ধতিতে সঙ্গতি সংজ্ঞায়িত করা হয়। তির্যক জালের অনেক উদাহরণ হয় ডানহাতি বা বাঁ-হাতি। সঙ্গতির জালিতে, এবং এটি পরিচয়ের সঙ্গতি। প্ররোচিত এপিমরফিজম এবং উভয়ের মাধ্যমে প্ররোচিত এপিমরফিজম ফ্যাক্টর। সেটিং, দ্বারা সংজ্ঞায়িত সমরূপতা, একটি সমরূপতা প্ররোচিত করে। এটি তার সর্বাধিক ডান এবং বাম হাতের চিত্রের একটি তন্তুযুক্ত পণ্যের কিমুরা ফ্যাক্টরাইজেশন। ক্লিফোর্ড-ম্যাকলিন উপপাদ্যের মতো, কিমুরা ফ্যাক্টরাইজেশন (বা স্ক্যু ল্যাটিসের জন্য দ্বিতীয় পচন উপপাদ্য) প্রথম নিয়মিত ব্যান্ডগুলির জন্য দেওয়া হয়েছিল (ব্যান্ডগুলি যা মধ্য শোষণ পরিচয়কে সন্তুষ্ট করে)। প্রকৃতপক্ষে, এবং উভয়ই নিয়মিত ব্যান্ড অপারেশন। উপরের প্রতীকগুলি, এবং অবশ্যই, মৌলিক সেমিগ্রুপ তত্ত্ব থেকে এসেছে। স্ক্যু ল্যাটিসের উপ-বৈচিত্র্য স্ক্যু ল্যাটিসের বৈচিত্র্য তৈরি করে। আয়তক্ষেত্রাকার তির্যক জালিকা, বাঁ-হাতি এবং ডান-হাতি তির্যক জালিকা সবগুলিই তির্যক জালিকার মৌলিক কাঠামো তত্ত্বের কেন্দ্রবিন্দু। এখানে আরও কয়েকটির উল্লেখ আছে। প্রতিসম তির্যক জাল একটি তির্যক জাল S যদি থাকে তবে প্রতিসম। এই ধরনের তির্যক জালগুলির জন্য যাতায়াতের ঘটনাগুলি দ্ব্যর্থহীন, যেখানে যুগ্মভাবে যাতায়াতকারী উপাদানগুলির উপসেটগুলি বিনিময়যোগ্য সাবঅ্যালজেব্রা, অর্থাৎ সাবল্যাটিস তৈরি করে। (এটি সাধারণভাবে তির্যক জালের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য নয়।) এই উপ-বৈচিত্র্যের জন্য সমীকরণগত ভিত্তি, যা প্রথমে স্পিঙ্কস দ্বারা দেওয়া হয়েছেঃ এবং। একটি তির্যক জালের একটি জাল বিভাগ হল একটি একক উপাদানের প্রতিটি শ্রেণীর সাথে মিলিত হওয়ার একটি উপ জাল। এইভাবে এটি জালের একটি অভ্যন্তরীণ অনুলিপি যার গঠনটি একটি সমরূপতা। সমস্ত প্রতিসম তির্যক জাল যার জন্য একটি জাল বিভাগ থাকে। প্রতিসম হোক বা না হোক, একটি জাল বিভাগ থাকার নিশ্চয়তা দেয় যে এর অভ্যন্তরীণ অনুলিপি রয়েছে এবং যথাক্রমে এবং দ্বারা দেওয়া হয়েছে, কোথায় এবং কোথায় এবং কোথায় এবং কোথায় এবং কোথায় এবং কোথায় এবং কোথায় এবং কোথায় এবং কোথায় এবং কোথায় এবং কোথায় এবং কোথায় এবং কোথায় এবং কোথায় এবং কোথায় এবং কোথায় এবং কোথায় এবং কোথায় এবং কোথায় এবং কোথায় এবং কোথায় এবং কোথায় এবং কোথায় এবং কোথায় এবং কোথায় এবং কোথায় এবং কোথায় এবং কোথায় এবং কোথায় এবং কোথায় এবং কোথায় এবং কোথায় এবং কোথায় এবং কোথায় এবং কোথায় এবং কোথায় এবং কোথায় এবং কোথায় এবং কোথায় এবং কোথায় এবং কোথায় এবং কোথায় এবং কোথায় এবং কোথায় এবং কোথায় এবং কোথায় এবং কোথায় এবং কোথায় এবং কোথায় এবং কোথায় এবং কোথায় এবং কোথায় এবং কোথায় এবং কোথায় এবং কোথায় এবং কোথায় এবং কোথায় এবং কোথায় এবং কোথায় এবং কোথায় এবং কোথায় এবং কোথায় এবং কোথায় এবং কোথায় এবং কোথায় এবং কোথায় এবং কোথায় এবং কোথায় এবং কোথায় এবং কোথায় এবং কোথায় এবং কোথায় এবং কোথায় এবং কোথায় এবং কোথায় এবং কোথায় এবং কোথায় এবং কোথায় এবং কোথায় এবং কোথায় এবং কোথায় এবং কোথায় এবং কোথায় এবং কোথায় এবং কোথায় এবং কোথায় এবং কোথায় এবং এইভাবে এবং হল আইসোমরফিজম। এটি পূর্ববর্তী কিমুরা রেখাচিত্রকে দ্বিগুণ করার জন্য একটি যাতায়াতের রেখাচিত্রের দিকে পরিচালিত করে। বাতিলকারী তির্যক জাল একটি তির্যক জাল বাতিলকারী যদি এবং বোঝায় এবং একইভাবে এবং বোঝায়। ক্যানসেলেটিস স্ক্যু ল্যাটিসগুলি প্রতিসম এবং একটি বৈচিত্র্য তৈরি করতে দেখানো যেতে পারে। জালের মতো নয়, এগুলি বিতরণমূলক এবং বিপরীতভাবে হওয়ার দরকার নেই। ডিস্ট্রিবিউটিভ স্ক্যু ল্যাটিস ডিস্ট্রিবিউটিভ স্ক্যু ল্যাটিসগুলি পরিচয় দ্বারা নির্ধারিত হয়ঃ (ডি1) (ডি1) ল্যাটিসের বিপরীতে, (ডি1) এবং (ডি1) সাধারণভাবে স্ক্যু ল্যাটিসের সমতুল্য নয়, তবে সেগুলি প্রতিসম স্ক্যু ল্যাটিসের জন্য। শর্তটি (ডি1) শক্তিশালী করে (ডি2) করা যেতে পারে যার ক্ষেত্রে (ডি '1) একটি পরিণতি। একটি তির্যক জাল (ডি2) এবং তার দ্বৈত উভয়কেই সন্তুষ্ট করে, যদি এবং শুধুমাত্র যদি এটি একটি বিতরণকারী জাল এবং একটি আয়তক্ষেত্রাকার তির্যক জালের গুণফল হিসাবে বিবেচনা করা হয়। এই পরবর্তী ক্ষেত্রে (ডি2) কে এবং-এ শক্তিশালী করা যেতে পারে। (D3) যখন প্রতিসাম্য যোগ করা হয়, তখন নিজেই (D3) সমতুল্য হয় (D2)। এইভাবে আমাদের স্ক্যু ল্যাটিসের ছয়টি উপপ্রজাতি রয়েছে যা যথাক্রমে (ডি1), (ডি2), (ডি3) এবং তাদের ডুয়াল দ্বারা নির্ধারিত হয়। উপরে যেমন দেখা গেছে, স্বাভাবিক তির্যক জাল, এবং পরিচয়কে সন্তুষ্ট করে। শক্তিশালী পরিচয়কে সন্তুষ্ট করে এমন ব্যান্ডগুলিকে স্বাভাবিক বলা হয়। একটি তির্যক জাল স্বাভাবিক তির্যক হয় যদি এটি সন্তুষ্ট হয় একটি সাধারণ তির্যক জালের প্রতিটি উপাদানের জন্য, {} বা সমতুল্য {} দ্বারা সংজ্ঞায়িত সেটটি একটি সাবল্যাটিস, এবং বিপরীতভাবে। (সুতরাং সাধারণ তির্যক জালগুলিকে স্থানীয় জালও বলা হয়।) যখন উভয়ই এবং স্বাভাবিক হয়, তখন সমরূপভাবে একটি জাল এবং একটি আয়তক্ষেত্রাকার তির্যক জালের গুণফলের মধ্যে বিভক্ত হয় এবং বিপরীতভাবে। এইভাবে সাধারণ তির্যক জাল এবং বিভক্ত তির্যক জাল উভয়ই বিভিন্ন প্রকার গঠন করে। বিতরণে ফিরে আসা, যাতে বিতরণমূলক, স্বাভাবিক তির্যক জালগুলির বৈচিত্র্যকে চিহ্নিত করে এবং (ডি3) প্রতিসম, বিতরণমূলক, স্বাভাবিক তির্যক জালগুলির বৈচিত্র্যকে চিহ্নিত করে। শ্রেণীবদ্ধ তির্যক জাল একটি তির্যক জাল শ্রেণীবদ্ধ হয় যদি কোসেট বাইজেকশনগুলির অ-খালি সংমিশ্রণগুলি কোসেট বাইজেকশন হয়। শ্রেণীবদ্ধ তির্যক জাল বিভিন্ন ধরনের গঠন করে। বলয়ের তির্যক জাল এবং সাধারণ তির্যক জাল এই বৈচিত্র্যের অ্যালজেব্রার উদাহরণ। সহ, এবং, থেকে নেওয়া পর্যন্ত কোসেট বাইজেকশন হতে দিন, থেকে নেওয়া পর্যন্ত কোসেট বাইজেকশন হতে দিন এবং অবশেষে থেকে নেওয়া পর্যন্ত কোসেট বাইজেকশন হতে দিন। একটি তির্যক জাল শ্রেণীবদ্ধ হয় যদি একজনের সর্বদা সমতা থাকে, অর্থাৎ। , যদি যৌগিক আংশিক বাইজেকশনটি খালি না হয় তবে একটি-কোসেট থেকে একটি-কোসেট পর্যন্ত একটি কোসেট বাইজেকশন হয়। সেটা তো বটেই। সমস্ত বিতরণমূলক তির্যক জালগুলি শ্রেণীবদ্ধ। যদিও প্রতিসম তির্যক জালিকা নাও হতে পারে। এক অর্থে তারা প্রতিসাম্য এবং বিতরণের বৈশিষ্ট্যগুলির মধ্যে স্বাধীনতা প্রকাশ করে। স্ক্যু বুলিয়ান অ্যালজেব্রা একটি স্ক্যু ল্যাটিস S-এর একটি শূন্য উপাদান হল S-এর একটি উপাদান 0 যাতে সকলের জন্য, দ্বৈতভাবে, (0) একটি বুলিয়ান স্ক্যু ল্যাটিস হল 0 সহ একটি প্রতিসম, বিতরণমূলক স্বাভাবিক স্ক্যু ল্যাটিস, যা প্রত্যেকের জন্য একটি বুলিয়ান ল্যাটিস প্রদত্ত এই ধরনের স্ক্যু ল্যাটিস S, একটি পার্থক্য অপারেটরকে x\y = দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয় যেখানে বুলিয়ান ল্যাটিসের মধ্যে পরেরটির মূল্যায়ন করা হয়। একটি আদিম তির্যক বুলিয়ান বীজগণিত 0 এবং একটি অ-0 ডি-শ্রেণী নিয়ে গঠিত। সুতরাং এটি একটি 0-কে একটি আয়তক্ষেত্রাকার তির্যক জাল D-এর সাথে (0) এর মাধ্যমে, যদি এবং অন্যথায় সংযুক্ত করার ফলাফল। প্রতিটি তির্যক বুলিয়ান বীজগণিত আদিম বীজগণিতর একটি পরোক্ষ গুণফল। স্ক্যু বুলিয়ান অ্যালজেব্রা বুলিয়ান আচরণের সর্বজনীন বীজগণিতে বৈষম্যমূলক জাত এবং অন্যান্য সাধারণীকরণের অধ্যয়নে গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে। রিংয়ে স্ক্যু ল্যাটিসগুলি একটি রিং হতে দিন এবং সমস্ত আইডেম্পোট্যান্টের সেটকে বোঝাতে দিন। সব সেট এবং জন্য। স্পষ্টতই কিন্তু সহযোগীও বটে। যদি একটি উপসেট এবং এর অধীনে বন্ধ থাকে, তবে এটি একটি বিতরণমূলক, বাতিলকারী তির্যক জাল। একটিতে এই ধরনের তির্যক জাল খুঁজে পেতে ব্যান্ডগুলির দিকে তাকান, বিশেষত যেগুলি কিছু সীমাবদ্ধতার ক্ষেত্রে সর্বাধিক। প্রকৃতপক্ষে, প্রতিটি গুণনীয়ক ব্যান্ড সঠিক নিয়মিত (=) হওয়ার ক্ষেত্রে সর্বাধিক নীচেও বন্ধ থাকে এবং তাই একটি ডান হাতের তির্যক জাল গঠন করে। সাধারণভাবে, প্রতিটি ডানদিকের নিয়মিত ব্যান্ড একটি ডান হাতের তির্যক জাল তৈরি করে। বাম নিয়মিত ব্যান্ডগুলির (পরিচয়কে সন্তুষ্টকারী ব্যান্ডগুলি) জন্যও দ্বৈত মন্তব্য রয়েছে। সর্বাধিক নিয়মিত ব্যান্ডগুলি সংজ্ঞায়িত হিসাবে বন্ধ করার প্রয়োজন নেই; বহুগুণ আয়তক্ষেত্রাকার ব্যান্ড ব্যবহার করে পাল্টা উদাহরণগুলি সহজেই পাওয়া যায়। এই ক্ষেত্রেগুলি বন্ধ করা হয়, তবে, দ্বারা সংজ্ঞায়িত ঘন বৈকল্পিকের অধীনে যেহেতু এই ক্ষেত্রে দ্বৈত আয়তক্ষেত্রাকার ব্যান্ড দিতে হ্রাস পায়। নিয়মিততার শর্তকে স্বাভাবিকতা দ্বারা প্রতিস্থাপিত করে, প্রতিটি সর্বাধিক স্বাভাবিক গুণিতক ব্যান্ডটিও বন্ধ করা হয়, যেখানে, একটি বুলিয়ান তির্যক জাল গঠন করে। যখন গুণনের অধীনে নিজেকে বন্ধ করা হয়, তখন এটি একটি স্বাভাবিক ব্যান্ড হয় এবং এইভাবে একটি বুলিয়ান তির্যক জাল গঠন করে। প্রকৃতপক্ষে, যে কোনও তির্যক বুলিয়ান বীজগণিতকে এই ধরনের বীজগণিতে অন্তর্ভুক্ত করা যেতে পারে। যখন A-এর একটি গুণিতক পরিচয় থাকে, তখন যে শর্তটি গুণগতভাবে বন্ধ থাকে তা বোঝায় যে এটি একটি বুলিয়ান বীজগণিত গঠন করে। রিংয়ের তির্যক জালগুলি উদাহরণ এবং অনুপ্রেরণার একটি ভাল উৎস হিসাবে অব্যাহত রয়েছে। ঠিক দুটি ডি-শ্রেণীর সমন্বয়ে গঠিত আদিম তির্যক জালগুলিকে আদিম তির্যক জাল বলা হয়। - শ্রেণী সহ এই ধরনের একটি তির্যক জাল দেওয়া হলে, যে কোনও এবং এর জন্য, উপসেট {} এবং {} যথাক্রমে, বি-তে এ-এর কোসেট এবং এ-তে বি-এর কোসেট বলা হয়। এই কোসেটগুলি বি এবং এ-কে এবং-এর সাথে ভাগ করে। কোসেটগুলি সর্বদা তাদের-শ্রেণীতে আয়তক্ষেত্রাকার সাবঅ্যালজেব্রা হয়। আরও কী, আংশিক ক্রমটি দ্বারা সংজ্ঞায়িত একটি কোসেট বাইজেকশনকে প্ররোচিত করেঃ আই. এফ. এফ, ফর এবং। সমষ্টিগতভাবে, কোসেট বাইজেকশনগুলি উপসেট এবং এর মধ্যে বর্ণনা করে। তারা পৃথক-শ্রেণী থেকে উপাদানগুলির জোড়ার জন্যও নির্ধারণ করে। প্রকৃতপক্ষে, দেওয়া এবং, ভিতরে এবং ভিতরে কোসেটগুলির মধ্যে ব্যয়ের বাইজেকশন হতে দিন। তারপরঃ এবং। সাধারণভাবে, দেওয়া এবং সহ এবং, তারপর একটি সাধারণ-কোসেটের অন্তর্গত এবং যদি এবং শুধুমাত্র যদি একটি সাধারণ-কোসেটের অন্তর্গত। সুতরাং প্রতিটি কোসেট বাইজেকশন, কিছু অর্থে, পারস্পরিক সমান্তরাল জোড়ার একটি সর্বাধিক সংগ্রহ। প্রতিটি আদিম তির্যক জাল তার সর্বাধিক বাম এবং ডান হাতের আদিম চিত্রের তন্তুযুক্ত পণ্য হিসাবে কাজ করে। ডান হাতের আদিম তির্যক জালগুলি নিম্নরূপ নির্মিত হয়। আসুন এবং বিচ্ছিন্ন অ-খালি সেটগুলির পার্টিশন হতে দিন এবং যেখানে সমস্ত এবং একটি সাধারণ আকার ভাগ করে। প্রতিটি জুটির জন্য উপর থেকে একটি নির্দিষ্ট বাইজেকশন বেছে নিন। চালু এবং পৃথকভাবে সেট এবং; কিন্তু দেওয়া এবং, সেট এবং যেখানে এবং এর কোষের অন্তর্গত এবং এর কোষের অন্তর্গত। বিভিন্ন হল কোসেট বাইজেকশন। এটি নিম্নলিখিত আংশিক হাস রেখাচিত্রে চিত্রিত করা হয়েছে যেখানে এবং তীরগুলি-আউটপুট এবং থেকে এবং নির্দেশ করে। একটি দ্বৈত পদ্ধতিতে বাঁ-হাতি আদিম তির্যক জাল তৈরি করে। সমস্ত ডান [বাম] হাতের আদিম তির্যক জালগুলি এই পদ্ধতিতে তৈরি করা যেতে পারে। তির্যক জালকের কোসেট কাঠামো একটি আয়তক্ষেত্রাকার তির্যক জাল তার সর্বাধিক আদিম তির্যক জাল দ্বারা আচ্ছাদিত থাকেঃ তুলনামূলক-শ্রেণী দেওয়া হলে, এই ধরনের উপ-বীজগণিতে অবস্থিত সর্বাধিক আদিম উপ-বীজগণিত এবং প্রতিটি-শ্রেণী গঠন করে। এই আদিম সাবঅ্যালজেব্রাগুলির উপর কোসেট কাঠামো ফলাফল নির্ধারণ করতে একত্রিত হয় এবং কমপক্ষে কখন এবং কখন এর অধীনে তুলনীয়। দেখা যাচ্ছে যে এবং সাধারণভাবে কোসেট এবং তাদের বাইজেকশন দ্বারা নির্ধারিত হয়, যদিও তুলনামূলক ক্ষেত্রে সামান্য কম সরাসরি পদ্ধতিতে। বিশেষত, দুটি অতুলনীয় ডি-শ্রেণী এ এবং বি-কে ডি-শ্রেণী জে-তে যোগ দেওয়া এবং ডি-শ্রেণীতে মিলিত করা হলে, এ এবং বি-এর ক্ষেত্রে জে (বা এম)-এর দুটি কোসেট পচনগুলির মধ্যে আকর্ষণীয় সংযোগ দেখা যায়। সুতরাং একটি তির্যক জালকে আয়তক্ষেত্রাকার তির্যক জালগুলির একটি কোসেট অ্যাটলাস হিসাবে দেখা যেতে পারে যা একটি জালের শীর্ষে এবং তাদের মধ্যে কোসেট বাইজেকশনগুলির উপর স্থাপন করা হয়, পরেরটিকে আয়তক্ষেত্রাকার অ্যালজেব্রাগুলির মধ্যে আংশিক আইসোমরফিজম হিসাবে দেখা যায় এবং প্রতিটি কোসেট বাইজেকশন একটি সংশ্লিষ্ট জোড়া কোসেট নির্ধারণ করে। এই দৃষ্টিভঙ্গি মূলত তির্যক জালের হাস রেখাচিত্র দেয়, যা তুলনামূলকভাবে ছোট ক্রমের ক্ষেত্রে সহজেই আঁকা যায়। (উপরের বিভাগ 3-এর চিত্রগুলি দেখুন।) ডি-শ্রেণীর একটি শৃঙ্খল দেওয়া হলে, একজনের তিনটি সেট কোসেট বাইজেকশন থাকেঃ এ থেকে বি, বি থেকে সি এবং এ থেকে সি। সাধারণভাবে, কোসেট বাইজেকশন দেওয়া হলে এবং, আংশিক বাইজেকশনের গঠন খালি হতে পারে। যদি তা না হয়, তবে একটি অনন্য কোসেট বাইজেকশন বিদ্যমান। (আবার, এবং এর মধ্যে এক জোড়া কোসেটগুলির মধ্যে একটি বাইজেকশন।) এই অন্তর্ভুক্তি কঠোর হতে পারে। এটি সর্বদা একটি প্রদত্ত তির্যক জাল S-এর সমতুল্য (প্রদত্ত) হয় ঠিক যখন S শ্রেণীবদ্ধ হয়। এই ক্ষেত্রে, প্রতিটি আয়তক্ষেত্রাকার ডি-শ্রেণীর পরিচয় মানচিত্র এবং যথাযথভাবে তুলনীয় ডি-শ্রেণীর মধ্যে সংলগ্ন খালি বাইজেকশনগুলি অন্তর্ভুক্ত করে, তাদের মধ্যে আয়তক্ষেত্রাকার অ্যালজেব্রা এবং কোসেট বাইজেকশনগুলির একটি বিভাগ রয়েছে। ধারা 3-এর সহজ উদাহরণগুলি শ্রেণীবদ্ধ। আরও দেখুন সেমিগ্রুপ তত্ত্ব ল্যাটিস তত্ত্ব রেফারেন্স ল্যাটিস তত্ত্ব সেমিগ্রুপ তত্ত্ব