Excellent ring
বিনিময়যোগ্য বীজগণিতে, একটি অর্ধ-উৎকৃষ্ট বলয় হল একটি নোথেরিয়ান বিনিময়যোগ্য বলয় যা সমাপ্তির ক্রিয়াকলাপের ক্ষেত্রে ভাল আচরণ করে এবং যদি এটি সর্বজনীনভাবে ক্যাটেনারি হয় তবে এটিকে একটি চমৎকার বলয় বলা হয়। সংখ্যা তত্ত্ব এবং বীজগাণিতিক জ্যামিতিতে ঘটে যাওয়া বেশিরভাগ বলয় সম্বলিত "সু-আচরণ" বলয়ের একটি প্রাকৃতিক শ্রেণী খুঁজে বের করার সমস্যার একটি উত্তর হল চমৎকার বলয়। এক সময় মনে হয়েছিল যে নোথেরিয়ান বলয়ের শ্রেণী এই সমস্যার উত্তর হতে পারে, কিন্তু মাসায়োশি নাগাতা এবং অন্যান্যরা বেশ কয়েকটি অদ্ভুত পাল্টা উদাহরণ খুঁজে পেয়েছেন যা দেখায় যে সাধারণ নোথেরিয়ান বলয়ের ভাল আচরণ করার প্রয়োজন নেইঃ উদাহরণস্বরূপ, একটি সাধারণ নোথেরিয়ান স্থানীয় বলয়ের বিশ্লেষণাত্মকভাবে স্বাভাবিক হওয়ার প্রয়োজন নেই। চমৎকার বলয়ের শ্রেণীকে আলেকজান্ডার গ্রোথেন্ডিয়াক (1965) এই ধরনের ভাল আচরণের বলয়ের জন্য প্রার্থী হিসাবে সংজ্ঞায়িত করেছিলেন। অর্ধ-উৎকৃষ্ট বলয়গুলিকে ভিত্তি বলয় হিসাবে অনুমান করা হয় যার জন্য এককত্বের সমাধানের সমস্যা সমাধান করা যেতে পারে; এটি 0 বৈশিষ্ট্যযুক্ত হিসাবে দেখানো হয়েছে, তবে ধনাত্মক বৈশিষ্ট্যযুক্ত ক্ষেত্রে (2016 সালের হিসাবে) এখনও একটি বড় উন্মুক্ত সমস্যা। মূলত বীজগাণিতিক জ্যামিতি বা সংখ্যা তত্ত্বে প্রাকৃতিকভাবে ঘটে যাওয়া সমস্ত নোথেরিয়ান বলয় চমৎকার; প্রকৃতপক্ষে নোথেরিয়ান বলয়ের উদাহরণ তৈরি করা বেশ কঠিন যা চমৎকার নয়। সংজ্ঞাগুলি চমৎকার বলয়ের সংজ্ঞাটি বেশ জড়িত, তাই আমরা এটির সন্তুষ্ট প্রযুক্তিগত অবস্থার সংজ্ঞাগুলি স্মরণ করি। যদিও এটি শর্তগুলির একটি দীর্ঘ তালিকা বলে মনে হয়, তবে অনুশীলনে বেশিরভাগ বলয়গুলি দুর্দান্ত, যেমন ক্ষেত্র, বহুপদী বলয়, সম্পূর্ণ নোথেরিয়ান বলয়, বৈশিষ্ট্য 0 (যেমন)-এর উপর ডেডেকাইন্ড ডোমেন এবং এই বলয়ের ভাগফল এবং স্থানীয়করণ বলয়। প্রত্যাহারকৃত সংজ্ঞা একটি ক্ষেত্র ধারণকারী বলয়কে জ্যামিতিকভাবে রেগুলার ওভার বলা হয় যদি বলয়ের কোনও সীমাবদ্ধ সম্প্রসারণ নিয়মিত হয়। বলয়ের সমরূপতাকে নিয়মিত বলা হয় যদি এটি সমতল হয় এবং প্রত্যেকটির জন্য তন্তুটি এর অবশিষ্টাংশ ক্ষেত্রের উপর জ্যামিতিকভাবে নিয়মিত হয়। একটি বলয়কে জি-রিং (বা গ্রোথেন্ডিয়াক বলয়) বলা হয় যদি এটি নোথেরিয়ান হয় এবং এর আনুষ্ঠানিক তন্তুগুলি জ্যামিতিকভাবে নিয়মিত হয়; এর অর্থ হল যে কোনও ক্ষেত্রে, স্থানীয় বলয় থেকে এর সমাপ্তি পর্যন্ত মানচিত্রটি উপরের অর্থে নিয়মিত। পরিশেষে, একটি বলয় হল জে-2, যদি কোনও সসীম প্রকার-বীজগণিত জে-1 হয়, যার অর্থ নিয়মিত সাবসিমেমটি খোলা থাকে। (আধা-) শ্রেষ্ঠত্বের সংজ্ঞা একটি রিংকে অর্ধ-শ্রেষ্ঠ বলা হয় যদি এটি একটি জি-রিং এবং জে-2 রিং হয়। যদি এটি অর্ধ-উৎকৃষ্ট এবং সর্বজনীনভাবে ক্যাটেনারি হয় তবে এটিকে এক্সটেন্সেলপিজি 214 বলা হয়। বাস্তবে প্রায় সমস্ত নোথেরিয়ান বলয় সর্বজনীনভাবে ক্যাটেনারি, তাই চমৎকার এবং আধা-দুর্দান্ত বলয়ের মধ্যে খুব কম পার্থক্য রয়েছে। একটি স্কিমকে এক্সেলেন্ট বা আধা-এক্সেলেন্ট বলা হয় যদি এটির একই সম্পত্তির সাথে ওপেন অ্যাফিন সাবসিমে দ্বারা একটি কভার থাকে, যা বোঝায় যে প্রতিটি ওপেন অ্যাফিন সাবসিমে এই বৈশিষ্ট্যটি রয়েছে। বৈশিষ্ট্য কারণ একটি চমৎকার বলয় হল একটি জি-বলয়, সংজ্ঞা অনুসারে এটি নোথেরিয়ান। যেহেতু এটি সর্বজনীনভাবে ক্যাটেনারি, তাই মৌলিক আদর্শের প্রতিটি সর্বোচ্চ শৃঙ্খলের দৈর্ঘ্য একই। এই ধরনের বলয়ের মাত্রা তত্ত্ব অধ্যয়নের জন্য এটি কার্যকর কারণ তাদের মাত্রা একটি নির্দিষ্ট সর্বাধিক শৃঙ্খল দ্বারা আবদ্ধ হতে পারে। বাস্তবে, এর অর্থ হল অসীম-মাত্রিক নোথেরিয়ান বলয় যা মৌলিক আদর্শের সর্বাধিক শৃঙ্খলের একটি সূচক সংজ্ঞা রয়েছে, যা একটি অসীম-মাত্রিক বলয় প্রদান করে, তা নির্মাণ করা যায় না। স্কিমগুলি একটি চমৎকার স্কিম এবং একটি স্থানীয়ভাবে সীমাবদ্ধ ধরনের মরফিজম দেওয়া হলে, তারপর চমৎকার পি. জি 217 হয়। আধা-শ্রেষ্ঠত্ব যে কোনও আধা-শ্রেষ্ঠ বলয় হল একটি নাগাটা বলয়। যে কোনও অর্ধ-উৎকৃষ্ট হ্রাসকৃত স্থানীয় বলয় বিশ্লেষণাত্মকভাবে হ্রাস করা হয়। যে কোনও অর্ধ-উৎকৃষ্ট স্বাভাবিক স্থানীয় বলয় বিশ্লেষণাত্মকভাবে স্বাভাবিক। উদাহরণস্বরূপ, সংখ্যা তত্ত্ব বা বীজগাণিতিক জ্যামিতিতে বেশিরভাগ স্বাভাবিকভাবে ঘটে যাওয়া বিনিময়যোগ্য বলয়গুলি চমৎকার। বিশেষতঃ সমস্ত সম্পূর্ণ নোথেরিয়ান স্থানীয় বলয়, উদাহরণস্বরূপ সমস্ত ক্ষেত্র এবং-অ্যাডিক পূর্ণসংখ্যার বলয়, চমৎকার। বৈশিষ্ট্যের সমস্ত ডেডেকাইন্ড ক্ষেত্রগুলি দুর্দান্ত। বিশেষ করে পূর্ণসংখ্যার বলয়টি চমৎকার। প্রয়োজনের চেয়ে বড় বৈশিষ্ট্যের ক্ষেত্রগুলিতে ডিডেকাইন্ড ডোমেনগুলি দুর্দান্ত হবে না। কনভার্জেন্ট পাওয়ার সিরিজের বলয়গুলি সীমিত সংখ্যক চলকের উপর বা তার উপরে চমৎকার। একটি দুর্দান্ত রিংয়ের যে কোনও স্থানীয়করণ দুর্দান্ত। একটি চমৎকার বলয়ের উপর যে কোনও পরিমিতভাবে উৎপন্ন বীজগণিত চমৎকার। এর মধ্যে রয়েছে চমৎকার সমস্ত বহুপদী বীজগণিত। এর অর্থ হল বীজগাণিতিক জ্যামিতিতে বিবেচিত বেশিরভাগ বলয় চমৎকার। একটি জে-2 রিং যা জি-রিং নয় এখানে মাত্রা এবং বৈশিষ্ট্যের একটি পৃথক মূল্যায়ন রিংয়ের একটি উদাহরণ যা একটি-রিং নয় এবং তাই আধা-দুর্দান্ত নয়। যদি বৈশিষ্ট্যের কোনও ক্ষেত্র থাকে এবং শক্তি সিরিজের বলয়টি এমন হয় যা সীমাবদ্ধ হয় তবে এর আনুষ্ঠানিক তন্তুগুলি জ্যামিতিকভাবে নিয়মিত নয় তাই একটি-বলয় নয়। এটি একটি বলয়, কারণ সমস্ত নোথেরিয়ান স্থানীয় বলয়গুলি সর্বাধিক বলয়। এটি একটি ডেডেকাইন্ড ডোমেন হওয়ায় এটি সর্বজনীনভাবে ক্যাটেনারি। এখানে ফ্রোবেনিয়াস মরফিজমের অধীনে এর চিত্রকে বোঝানো হয়েছে। একটি জি-রিং যা জে-2 রিং নয় এখানে একটি রিংয়ের উদাহরণ যা একটি জি-রিং তবে জে-2 রিং নয় এবং তাই অর্ধ-দুর্দান্ত নয়। যদি সমস্ত জেনারেটরের বর্গ এবং কিউব দ্বারা উত্পন্ন অসীম সংখ্যক জেনারেটরে বহুপদী বলয়ের সাব-রিং হয়, এবং কিছু দ্বারা উত্পন্ন কোনও আদর্শের মধ্যে নয় এমন সমস্ত উপাদানের সংলগ্ন বিপরীত দ্বারা প্রাপ্ত হয়, তবে এটি একটি 1-মাত্রিক নোথেরিয়ান ডোমেন যা একটি রিং নয় কারণ প্রতিটি বদ্ধ বিন্দুতে একটি কুস্প সিঙ্গুলারিটি রয়েছে, তাই একক বিন্দুর সেটটি বন্ধ হয় না, যদিও এটি একটি জি-রিং। এই বলয়টি সর্বজনীনভাবে ক্যাটেনারি, কারণ প্রতিটি মৌলিক আদর্শে এর স্থানীয়করণ একটি নিয়মিত বলয়ের ভাগফল। একটি আধা-উৎকৃষ্ট বলয় যা নাগাটার একটি দ্বিমাত্রিক নোথেরিয়ান স্থানীয় বলয়ের চমৎকার উদাহরণ নয় যা ক্যাটেনারি কিন্তু সর্বজনীনভাবে ক্যাটেনারি নয়, এটি একটি জি-রিং, এবং এটি একটি জে-2 বলয়ও কারণ যে কোনও স্থানীয় জি-রিং একটি জে-2 বলয়। সুতরাং এটি একটি আধা-দুর্দান্ত ক্যাটেনারি স্থানীয় রিং যা দুর্দান্ত নয়। এককত্বের রেজোলিউশন অর্ধ-দুর্দান্ত বলয়গুলি এককত্বের রেজোলিউশনের সমস্যার সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত এবং এটি তাদের সংজ্ঞায়িত করার জন্য গ্রোথেন্ডিকের প্রেরণা ছিল বলে মনে করা হয়। গ্রোথেন্ডিয়াক (1965) পর্যবেক্ষণ করেছেন যে, যদি সমস্ত সম্পূর্ণ অবিচ্ছেদ্য স্থানীয় নোথেরিয়ান বলয়ের এককত্ব সমাধান করা সম্ভব হয়, তবে সমস্ত হ্রাসকৃত অর্ধ-উৎকৃষ্ট বলয়ের এককত্ব সমাধান করা সম্ভব। হিরোনাকা (1964) বৈশিষ্ট্য 0-এর ক্ষেত্রের উপর সমস্ত সম্পূর্ণ অবিচ্ছেদ্য নোথেরিয়ান স্থানীয় বলয়ের জন্য এটি প্রমাণ করেছিলেন, যা তাঁর উপপাদ্যকে বোঝায় যে বৈশিষ্ট্য 0-এর ক্ষেত্রের উপর চমৎকার পরিকল্পনার সমস্ত এককত্ব সমাধান করা যেতে পারে। বিপরীতভাবে, যদি একটি নোথেরিয়ান বলয় R-এর উপর সমস্ত অবিচ্ছেদ্য সসীম বীজগণিতে বর্ণালীর সমস্ত এককত্ব সমাধান করা সম্ভব হয়, তবে বলয় R অর্ধ-উৎকৃষ্ট। আরও দেখুন রেজোলিউশন অফ সিঙ্গুলারিটি রেফারেন্স আলেকজান্ডার গ্রোথেন্ডিয়েক, জিন ডিউডোন, এলিমেন্টস ডি জিওমেট্রি অ্যালজেব্রিক চতুর্থ প্রকাশনা ম্যাথমেটিক্স ডি এল 'আই. এইচ. ই. এস 24 (1965), বিভাগ 7 বীজগাণিতিক জ্যামিতি বিনিময় বীজগণিত