Categorical distribution
সম্ভাব্যতা তত্ত্ব এবং পরিসংখ্যানে, একটি শ্রেণীবিভাগীয় বন্টন (যাকে সাধারণীকৃত বার্নৌলি বন্টন, মাল্টিনৌলি বন্টনও বলা হয়) হল একটি বিচ্ছিন্ন সম্ভাব্যতা বন্টন যা একটি এলোমেলো চলকের সম্ভাব্য ফলাফল বর্ণনা করে যা প্রতিটি বিভাগের সম্ভাব্যতা পৃথকভাবে নির্দিষ্ট করে কে সম্ভাব্য বিভাগগুলির মধ্যে একটি নিতে পারে। এই ফলাফলগুলির কোনও সহজাত অন্তর্নিহিত ক্রম নেই, তবে বিতরণ বর্ণনা করার সুবিধার জন্য সংখ্যাসূচক লেবেলগুলি প্রায়শই সংযুক্ত করা হয়, (যেমন। 1 থেকে কে)। কে-মাত্রিক শ্রেণীবিভাগীয় বন্টন একটি কে-ওয়ে ইভেন্টের উপর সবচেয়ে সাধারণ বন্টন; একটি আকার-কে নমুনা স্থানের উপর অন্য কোনও বিচ্ছিন্ন বন্টন একটি বিশেষ ক্ষেত্রে। প্রতিটি সম্ভাব্য ফলাফলের সম্ভাব্যতা নির্দিষ্ট করে এমন প্যারামিটারগুলি কেবল এই সত্য দ্বারা সীমাবদ্ধ যে প্রতিটি অবশ্যই 0 থেকে 1 এর মধ্যে থাকতে হবে এবং সমস্তগুলির যোগফল অবশ্যই 1 হতে হবে। শ্রেণীবিভাগীয় বন্টন হল একটি শ্রেণীবিভাগীয় এলোমেলো চলকের জন্য বার্নৌলি বণ্টনের সাধারণীকরণ, অর্থাৎ। পাশার রোলের মতো দুটিরও বেশি সম্ভাব্য ফলাফল সহ একটি পৃথক চলকের জন্য। অন্যদিকে, শ্রেণীবিভাগীয় বন্টন হল বহুমাত্রিক বন্টনের একটি বিশেষ ক্ষেত্রে, যেখানে এটি একাধিক অঙ্কনের পরিবর্তে একক অঙ্কনের সম্ভাব্য ফলাফলের সম্ভাবনা প্রদান করে। পরিভাষা মাঝে মাঝে, শ্রেণীবদ্ধ বিতরণকে "বিচ্ছিন্ন বিতরণ" বলা হয়। যাইহোক, এটি যথাযথভাবে বিতরণের একটি নির্দিষ্ট পরিবারকে বোঝায় না বরং বিতরণের একটি সাধারণ শ্রেণীকে বোঝায়। কিছু ক্ষেত্রে, যেমন মেশিন লার্নিং এবং প্রাকৃতিক ভাষা প্রক্রিয়াকরণ, শ্রেণীগত এবং বহুনামযুক্ত বিতরণগুলি একত্রিত করা হয় এবং যখন একটি "শ্রেণীগত বিতরণ" আরও সুনির্দিষ্ট হবে তখন "বহুনামযুক্ত বিতরণ" সম্পর্কে কথা বলা সাধারণ। এই অসম্পূর্ণ ব্যবহারটি এই সত্য থেকে উদ্ভূত হয় যে, কখনও কখনও একটি শ্রেণীবিভাগীয় বন্টনের ফলাফলকে 1 থেকে কে পরিসরে একটি পূর্ণসংখ্যা হিসাবে প্রকাশ করার পরিবর্তে "1-এর-কে" ভেক্টর (একটি ভেক্টর যার একটি উপাদানের সাথে একটি 1 এবং অন্যান্য সমস্ত উপাদানের সাথে একটি 0 থাকে) হিসাবে প্রকাশ করা সুবিধাজনক; এই আকারে, একটি শ্রেণীবিভাগীয় বন্টন একক পর্যবেক্ষণের জন্য একটি বহুমাত্রিক বন্টনের সমতুল্য (নীচে দেখুন)। যাইহোক, শ্রেণীগত এবং বহুমাত্রিক বিতরণের সংমিশ্রণ সমস্যার কারণ হতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, একটি ডিরিচলেট-মাল্টিনোমিয়াল ডিস্ট্রিবিউশনে, যা সাধারণত প্রাকৃতিক ভাষা প্রক্রিয়াকরণ মডেলগুলিতে উদ্ভূত হয় (যদিও সাধারণত এই নামে নয়) গিবস স্যাম্পলিং ভেঙে যাওয়ার ফলে যেখানে ডিরিচলেট ডিস্ট্রিবিউশনগুলি একটি শ্রেণিবদ্ধ বায়েসিয়ান মডেল থেকে ভেঙে যায়, বহুনাম থেকে শ্রেণীবিভাগের পার্থক্য করা খুব গুরুত্বপূর্ণ। একই ডিরিচলেট-মাল্টিনোমিয়াল ডিস্ট্রিবিউশনের সাথে একই ভেরিয়েবলের যৌথ বিতরণের দুটি ভিন্ন রূপ রয়েছে যা নির্ভর করে যে এটি এমন একটি ডিস্ট্রিবিউশন হিসাবে চিহ্নিত করা হয় যার ডোমেন পৃথক শ্রেণীবদ্ধ নোডের উপর বা প্রতিটি নির্দিষ্ট বিভাগে নোডের মাল্টিনোমিয়াল-স্টাইল গণনার উপর (বার্নৌলি-ডিস্ট্রিবিউটেড নোডের একটি সেট এবং একক দ্বিপদী-ডিস্ট্রিবিউটেড নোডের মধ্যে পার্থক্যের অনুরূপ)। উভয় রূপেরই খুব অনুরূপ-চেহারার সম্ভাব্যতা ভর ফাংশন (পি. এম. এফ) রয়েছে, যা উভয়ই একটি বিভাগে নোডের মাল্টিনোমিয়াল-স্টাইল গণনার উল্লেখ করে। যাইহোক, বহুমাত্রিক-শৈলীর পি. এম. এফ-এর একটি অতিরিক্ত গুণক রয়েছে, একটি বহুমাত্রিক সহগ, যা শ্রেণীবদ্ধ-শৈলীর পি. এম. এফ-এর 1-এর সমান একটি ধ্রুবক। এই দুটিকে বিভ্রান্ত করলে সহজেই সেটিংসে ভুল ফলাফল হতে পারে যেখানে সুদের বিতরণের ক্ষেত্রে এই অতিরিক্ত ফ্যাক্টরটি স্থির থাকে না। গিবস স্যাম্পলিং-এ ব্যবহৃত সম্পূর্ণ শর্তাবলী এবং বৈচিত্র্যময় পদ্ধতিতে সর্বোত্তম বিতরণে ফ্যাক্টরটি প্রায়শই স্থির থাকে। গঠনমূলক বন্টন একটি শ্রেণীগত বন্টন হল একটি বিচ্ছিন্ন সম্ভাব্যতা বন্টন যার নমুনা স্থান হল পৃথকভাবে চিহ্নিত কে আইটেমগুলির সেট। এটি একটি শ্রেণীগত এলোমেলো চলকের জন্য বার্নৌলি বিতরণের সাধারণীকরণ। বিতরণের একটি গঠনে, নমুনা স্থানটিকে পূর্ণসংখ্যার একটি সীমাবদ্ধ ক্রম হিসাবে নেওয়া হয়। লেবেল হিসাবে ব্যবহৃত সঠিক পূর্ণসংখ্যাগুলি গুরুত্বহীন; সেগুলি হতে পারে {0,1,., k−1} অথবা {1,2,., k} অথবা অন্য কোনও নির্বিচারে মানের সেট। নিম্নলিখিত বর্ণনায়, আমরা সুবিধার জন্য {1,2,., k} ব্যবহার করি, যদিও এটি বার্নৌলি বিতরণের ধারণার সাথে একমত নয়, যা {0,1} ব্যবহার করে। এই ক্ষেত্রে, সম্ভাব্যতা ভর ফাংশন f হলঃ যেখানে, উপাদান i এবং দেখার সম্ভাব্যতা উপস্থাপন করে। আরেকটি সূত্র যা আরও জটিল বলে মনে হয় কিন্তু গাণিতিক কারসাজি সহজতর করে তা হল আইভারসন বন্ধনী ব্যবহার করেঃ যেখানে 1 যদি, 0 অন্যথায় মূল্যায়ন করা হয়। এই গঠনের বিভিন্ন সুবিধা রয়েছে, যেমন। : স্বাধীনভাবে অভিন্নভাবে বিতরণকৃত শ্রেণীগত চলকগুলির একটি সেটের সম্ভাব্যতা ফাংশনটি লেখা সহজ। এটি ক্যাটাগরিকাল ডিস্ট্রিবিউশনকে সম্পর্কিত মাল্টিনোমিয়াল ডিস্ট্রিবিউশনের সাথে সংযুক্ত করে। এটি দেখায় যে কেন ডিরিচলেট ডিস্ট্রিবিউশন শ্রেণীবদ্ধ ডিস্ট্রিবিউশনের পূর্ববর্তী কনজুগেট, এবং প্যারামিটারগুলির পশ্চাদবর্তী ডিস্ট্রিবিউশন গণনা করার অনুমতি দেয়। আরও একটি সূত্র শ্রেণীবিভাগীয় বণ্টনকে বহু-নামীয় বন্টনের একটি বিশেষ ক্ষেত্রে বিবেচনা করে শ্রেণীবিভাগীয় বণ্টন এবং বহু-নামীয় বন্টনের মধ্যে সংযোগকে স্পষ্ট করে তোলে, যেখানে বহু-নামীয় বন্টনের (নমুনাকৃত বস্তুর সংখ্যা) পরামিতি n-কে 1-এ স্থির করা হয়। এই গঠনে, নমুনা স্থানটিকে 1-এর-কে এনকোডেড র্যান্ডম ভেক্টর x এর সেট হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে যার বৈশিষ্ট্য হল যে ঠিক একটি উপাদানের মান 1 এবং অন্যগুলির মান 0। 1-এর মান সহ নির্দিষ্ট উপাদানটি নির্দেশ করে যে কোন বিভাগটি বেছে নেওয়া হয়েছে। এই গঠনে সম্ভাব্যতা ভর ফাংশন f হলঃ যেখানে উপাদান i এবং দেখার সম্ভাব্যতা প্রতিনিধিত্ব করে। এটি বিশপ কর্তৃক গৃহীত সূত্র। বৈশিষ্ট্য বন্টন সম্পূর্ণরূপে প্রতিটি সংখ্যা i:, i = 1,., k, যেখানে সম্পর্কিত সম্ভাব্যতা দ্বারা দেওয়া হয়। সম্ভাবনার সম্ভাব্য সেটগুলি ঠিক স্ট্যান্ডার্ড-ডাইমেনশনাল সিম্প্লেক্সের মতো; k = 2-এর জন্য এটি বার্নৌলি বিতরণের সম্ভাব্য সম্ভাব্যতাগুলিকে 1-সিম্প্লেক্স হিসাবে হ্রাস করে, বিতরণটি একটি "মাল্টিভ্যারিয়েট বার্নৌলি বিতরণ"-এর একটি বিশেষ ক্ষেত্রে যেখানে k 0-1 ভেরিয়েবলগুলির মধ্যে ঠিক একটি মান নেয়। একটি শ্রেণীবদ্ধ বন্টন থেকে উপলব্ধি করা যাক। এলোমেলো ভেক্টর Y কে উপাদানগুলির সমন্বয়ে গঠিত হিসাবে সংজ্ঞায়িত করুনঃ যেখানে I হল সূচক ফাংশন। তারপর Y-এর একটি বন্টন রয়েছে যা পরামিতি সহ বহুমাত্রিক বন্টনের একটি বিশেষ ক্ষেত্রে। প্যারামিটারের সাথে একটি শ্রেণীবিভাগীয় বন্টন থেকে নির্মিত স্বাধীন এবং অভিন্নভাবে বিতরণ করা এই ধরনের র্যান্ডম ভেরিয়েবল Y-এর যোগফল পরামিতিগুলির সাথে বহুমাত্রিকভাবে বিতরণ করা হয় এবং একটি শ্রেণীবিভাগীয় বন্টনের পূর্ববর্তী বন্টন হল একটি ডিরিচলেট বন্টন। আরও আলোচনার জন্য নীচের বিভাগটি দেখুন। n স্বাধীন পর্যবেক্ষণ থেকে পর্যাপ্ত পরিসংখ্যান হল প্রতিটি বিভাগের পর্যবেক্ষণের গণনার (বা, সমতুল্য, অনুপাত) সেট, যেখানে পরীক্ষার মোট সংখ্যা (= n) স্থির করা হয়। একটি পর্যবেক্ষণের সূচক ফাংশন যার মান i, আইভারসন বন্ধনী ফাংশন বা ক্রোনেকার ডেল্টা ফাংশনের সমতুল্য, বার্নৌলি পূর্ববর্তী কনজুগেট ব্যবহার করে প্যারামিটার বায়েসিয়ান অনুমানের সাথে বিতরণ করা হয়। বায়েসিয়ান পরিসংখ্যানে, ডিরিচলেট বিতরণ হল শ্রেণীগত বিতরণের পূর্ববর্তী কনজুগেট বিতরণ (এবং মাল্টিনোমিয়াল ডিস্ট্রিবিউশনও)। এর মানে হল যে অজানা প্যারামিটার ভেক্টর পি-এর সাথে শ্রেণীবদ্ধ বিতরণ সহ একটি ডেটা পয়েন্টের সমন্বয়ে গঠিত একটি মডেলে এবং (স্ট্যান্ডার্ড বায়েসিয়ান স্টাইলে) আমরা এই প্যারামিটারটিকে একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল হিসাবে বিবেচনা করতে পছন্দ করি এবং এটিকে একটি ডিরিচলেট ডিস্ট্রিবিউশন ব্যবহার করে সংজ্ঞায়িত একটি পূর্ববর্তী বিতরণ দিই, তারপরে পর্যবেক্ষিত ডেটা থেকে প্রাপ্ত জ্ঞানকে অন্তর্ভুক্ত করার পরে প্যারামিটারের পশ্চাৎ বিতরণটিও একটি ডিরিচলেট। স্বজ্ঞাতভাবে, এই জাতীয় ক্ষেত্রে, ডেটা পয়েন্ট পর্যবেক্ষণের আগে প্যারামিটার সম্পর্কে যা জানা যায় তা থেকে শুরু করে, ডেটা পয়েন্টের উপর ভিত্তি করে জ্ঞান আপডেট করা যেতে পারে, যা পুরানোটির মতো একই ফর্মের একটি নতুন বিতরণ প্রদান করে। এইভাবে, গাণিতিক সমস্যার সম্মুখীন না হয়ে একবারে নতুন পর্যবেক্ষণগুলি অন্তর্ভুক্ত করে একটি পরামিতি সম্পর্কে জ্ঞান ধারাবাহিকভাবে আপডেট করা যেতে পারে। আনুষ্ঠানিকভাবে, এটি নিম্নরূপ প্রকাশ করা যেতে পারে। একটি মডেল দেওয়া হলে নিম্নলিখিতটি ধারণ করেঃ এই সম্পর্কটি বায়েসিয়ান পরিসংখ্যানে এন নমুনার সংগ্রহের ভিত্তিতে একটি শ্রেণীবদ্ধ বিতরণের অন্তর্নিহিত পরামিতি পি অনুমান করতে ব্যবহৃত হয়। স্বজ্ঞাতভাবে, আমরা হাইপারপ্রিওর ভেক্টর α কে সিউডোকন্ট হিসাবে দেখতে পারি, অর্থাৎ। প্রতিটি বিভাগে পর্যবেক্ষণের সংখ্যার প্রতিনিধিত্ব হিসাবে যা আমরা ইতিমধ্যে দেখেছি। তারপর আমরা কেবল সমস্ত নতুন পর্যবেক্ষণের (ভেক্টর সি) গণনা যোগ করি যাতে পশ্চাৎ বণ্টন পাওয়া যায়। আরও অন্তর্দৃষ্টি আসে পোস্টেরিয়র ডিস্ট্রিবিউশনের প্রত্যাশিত মান থেকে (ডিরিচলেট ডিস্ট্রিবিউশন সম্পর্কিত নিবন্ধটি দেখুন): এটি বলে যে পোস্টেরিয়র ডিস্ট্রিবিউশন দ্বারা উত্পন্ন বিভিন্ন বিচ্ছিন্ন ডিস্ট্রিবিউশনের মধ্যে একটি বিভাগ i দেখার প্রত্যাশিত সম্ভাবনা প্রকৃতপক্ষে ডেটাতে দেখা সেই বিভাগের ঘটনার অনুপাতের সমান, পূর্ববর্তী ডিস্ট্রিবিউশনের সিউডোকাউন্ট সহ। এটি অনেক বেশি স্বজ্ঞাত বোধ তৈরি করেঃ উদাহরণস্বরূপ, যদি তিনটি সম্ভাব্য বিভাগ থাকে এবং 40 শতাংশ সময় পর্যবেক্ষিত তথ্যের মধ্যে 1ম বিভাগটি দেখা যায়, তাহলে একজন গড়পড়তাভাবে পরবর্তী বণ্টনেও সময়ের 1 40% বিভাগটি দেখতে পাবে বলে আশা করবে। (এই অন্তর্দৃষ্টি পূর্ববর্তী বিতরণের প্রভাবকে উপেক্ষা করছে। উপরন্তু, পোস্টেরিয়র হল বিতরণের উপর একটি বিতরণ। পোস্টেরিয়র ডিস্ট্রিবিউশন সাধারণভাবে প্রশ্নযুক্ত প্যারামিটারটি বর্ণনা করে এবং এই ক্ষেত্রে প্যারামিটারটি নিজেই একটি বিচ্ছিন্ন সম্ভাব্যতা বিতরণ, অর্থাৎ। প্রকৃত শ্রেণীবদ্ধ বিতরণ যা তথ্য তৈরি করে। উদাহরণস্বরূপ, যদি 40:5:55 অনুপাতের 3টি বিভাগ পর্যবেক্ষিত তথ্যের মধ্যে থাকে, তাহলে পূর্ববর্তী বণ্টনের প্রভাবকে উপেক্ষা করে, প্রকৃত পরামিতি-অর্থাৎ। সত্য, অন্তর্নিহিত বিতরণ যা আমাদের পর্যবেক্ষিত তথ্য তৈরি করেছে-এর গড় মান (0.40,0.05,0.55) হবে বলে আশা করা হবে, যা প্রকৃতপক্ষে পোস্টেরিয়র প্রকাশ করে। যাইহোক, প্রকৃত বন্টন আসলে হতে পারে (0.35,0.07,0.58) বা (0.42,0.04,0.54) বা অন্যান্য কাছাকাছি সম্ভাবনা। এখানে জড়িত অনিশ্চয়তার পরিমাণ পোস্টেরিয়রের বৈচিত্র্য দ্বারা নির্দিষ্ট করা হয়, যা মোট পর্যবেক্ষণের সংখ্যা দ্বারা নিয়ন্ত্রিত হয়-যত বেশি তথ্য পর্যবেক্ষণ করা হয়, প্রকৃত পরামিতি সম্পর্কে তত কম অনিশ্চয়তা।) (প্রযুক্তিগতভাবে, পূর্ববর্তী পরামিতিটি প্রকৃতপক্ষে বিভাগের পূর্ববর্তী পর্যবেক্ষণের প্রতিনিধিত্ব হিসাবে দেখা উচিত। তারপর, আপডেটেড পোস্টেরিয়র প্যারামিটারটি পোস্টেরিয়র পর্যবেক্ষণের প্রতিনিধিত্ব করে। এটি এই সত্যকে প্রতিফলিত করে যে একটি ডিরিচলেট বিতরণের সম্পূর্ণ সমতল আকৃতি রয়েছে-মূলত, পি-এর সম্ভাব্য মানগুলির সিম্প্লেক্সের উপর একটি অভিন্ন বিতরণ। যৌক্তিকভাবে, এই ধরণের একটি সমতল বিতরণ সম্পূর্ণ অজ্ঞতার প্রতিনিধিত্ব করে, যা কোনও ধরণের পর্যবেক্ষণের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ নয়। যাইহোক, যদি আমরা শব্দটিকে উপেক্ষা করি এবং কেবল α ভেক্টরকে সরাসরি ছদ্ম হিসাবের একটি সেটের প্রতিনিধিত্ব করে বলে মনে করি তবে পোস্টেরিয়রের গাণিতিক আপডেটটি ভাল কাজ করে। উপরন্তু, এটি করলে 1-এর কম মান ব্যাখ্যা করার সমস্যা এড়ানো যায়।) এমএপি অনুমান উপরের মডেলে প্যারামিটার পি-এর সর্বাধিক-এ-পোস্টেরিওরি অনুমান কেবল পোস্টেরিয়র ডিরিচলেট বিতরণের পদ্ধতি, অর্থাৎ, অনেক ব্যবহারিক প্রয়োগে, সমস্ত আই-এর জন্য যে শর্ত নির্ধারণ করা হবে তা নিশ্চিত করার একমাত্র উপায়। উপরের মডেলে, পর্যবেক্ষণের প্রান্তিক সম্ভাবনা (অর্থাৎ। পর্যবেক্ষণগুলির যৌথ বন্টন, পূর্ববর্তী পরামিতি প্রান্তিককরণ সহ) একটি ডিরিচলেট-মাল্টিনোমিয়াল বন্টনঃ এই বন্টন শ্রেণিবদ্ধ বায়েসিয়ান মডেলগুলিতে একটি গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে, কারণ গিবস স্যাম্পলিং বা ভেরিয়েশনাল বায়েসের মতো পদ্ধতি ব্যবহার করে এই ধরনের মডেলগুলির উপর অনুমান করার সময়, ডিরিচলেট পূর্ববর্তী বিতরণগুলি প্রায়শই প্রান্তিককরণ করা হয়। আরও বিস্তারিত জানার জন্য এই বিতরণ সম্পর্কিত নিবন্ধটি দেখুন। পরবর্তী ভবিষ্যদ্বাণীমূলক বন্টন উপরের মডেলে একটি নতুন পর্যবেক্ষণের পরবর্তী ভবিষ্যদ্বাণীমূলক বন্টন হল সেই বন্টন যা একটি নতুন পর্যবেক্ষণ এন শ্রেণীগত পর্যবেক্ষণের সেটের ভিত্তিতে গ্রহণ করবে। ডিরিচলেট-মাল্টিনোমিয়াল ডিস্ট্রিবিউশন নিবন্ধে যেমন দেখানো হয়েছে, এর একটি খুব সহজ রূপ রয়েছেঃ এই সূত্র এবং পূর্ববর্তীগুলির মধ্যে বিভিন্ন সম্পর্ক রয়েছেঃ একটি নির্দিষ্ট বিভাগ দেখার পরবর্তী ভবিষ্যদ্বাণীমূলক সম্ভাবনা সেই বিভাগের পূর্ববর্তী পর্যবেক্ষণগুলির আপেক্ষিক অনুপাতের সমান (পূর্বের ছদ্ম-পর্যবেক্ষণ সহ)। এটি যৌক্তিক বোধ তৈরি করে-স্বজ্ঞাতভাবে, আমরা সেই বিভাগের ইতিমধ্যে পর্যবেক্ষণ করা ফ্রিকোয়েন্সি অনুসারে একটি নির্দিষ্ট বিভাগ দেখতে আশা করব। পশ্চাৎ ভবিষ্যদ্বাণীমূলক সম্ভাবনা পশ্চাৎ বণ্টনের প্রত্যাশিত মানের সমান। এটি নীচে আরও ব্যাখ্যা করা হয়েছে। ফলস্বরূপ, এই সূত্রটি সহজভাবে "একটি বিভাগ দেখার পশ্চাৎ ভবিষ্যদ্বাণীমূলক সম্ভাবনা সেই বিভাগের মোট পর্যবেক্ষিত গণনার সাথে আনুপাতিক" হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে, অথবা "একটি বিভাগের প্রত্যাশিত গণনা বিভাগের মোট পর্যবেক্ষিত গণনার সমান" হিসাবে, যেখানে "পর্যবেক্ষিত গণনা" পূর্বের ছদ্ম-পর্যবেক্ষণগুলি অন্তর্ভুক্ত করার জন্য নেওয়া হয়। পোস্টেরিয়র প্রেডিকটিভ প্রোব্যাবিলিটি এবং পি-এর পোস্টেরিয়র ডিস্ট্রিবিউশনের প্রত্যাশিত মানের মধ্যে সমতুল্যতার কারণ উপরের সূত্রটির পুনরায় পরীক্ষার মাধ্যমে স্পষ্ট হয়। পোস্টেরিয়র প্রেডিকটিভ ডিস্ট্রিবিউশন নিবন্ধে যেমন ব্যাখ্যা করা হয়েছে, পোস্টেরিয়র প্রেডিকটিভ সম্ভাবনার সূত্রটি পোস্টেরিয়র ডিস্ট্রিবিউশনের সাপেক্ষে একটি প্রত্যাশিত মানের রূপ ধারণ করেঃ উপরের গুরুত্বপূর্ণ লাইনটি হল তৃতীয়টি। দ্বিতীয়টি প্রত্যাশিত মূল্যের সংজ্ঞা থেকে সরাসরি অনুসরণ করে। তৃতীয় লাইনটি বিশেষভাবে শ্রেণীবিভাগীয় বন্টনের জন্য, এবং এই সত্যটি অনুসরণ করে যে, বিশেষভাবে শ্রেণীবিভাগীয় বন্টনে, একটি নির্দিষ্ট মান i দেখার প্রত্যাশিত মান সরাসরি সংশ্লিষ্ট পরামিতি পাই দ্বারা নির্দিষ্ট করা হয়। চতুর্থ লাইনটি কেবল একটি ভিন্ন স্বরলিপিতে তৃতীয়টির পুনর্লিখন, প্যারামিটারগুলির পশ্চাৎ বণ্টনের ক্ষেত্রে প্রত্যাশার জন্য স্বরলিপিটিকে আরও উপরে ব্যবহার করে। ডেটা পয়েন্টগুলি একের পর এক পর্যবেক্ষণ করুন এবং প্রতিবার ডেটা পয়েন্টটি পর্যবেক্ষণ এবং পোস্টেরিয়র আপডেট করার আগে তাদের ভবিষ্যদ্বাণীমূলক সম্ভাবনা বিবেচনা করুন। যে কোনও প্রদত্ত ডেটা পয়েন্টের জন্য, একটি প্রদত্ত বিভাগ ধরে নেওয়ার জন্য সেই বিন্দুর সম্ভাবনা সেই বিভাগে ইতিমধ্যে থাকা ডেটা পয়েন্টের সংখ্যার উপর নির্ভর করে। এই পরিস্থিতিতে, যদি কোনও বিভাগে ঘটনার উচ্চ ফ্রিকোয়েন্সি থাকে, তবে নতুন ডেটা পয়েন্টগুলি সেই বিভাগে যোগ দেওয়ার সম্ভাবনা বেশি-একই বিভাগকে আরও সমৃদ্ধ করে। এই ধরনের দৃশ্যপটকে প্রায়শই একটি পছন্দসই সংযুক্তি (বা "ধনী আরও ধনী হয়") মডেল বলা হয়। এটি অনেক বাস্তব-জগতের প্রক্রিয়াগুলির মডেল তৈরি করে এবং এই ধরনের ক্ষেত্রে প্রথম কয়েকটি ডেটা পয়েন্ট দ্বারা করা পছন্দগুলি বাকি ডেটা পয়েন্টগুলির উপর একটি বহিরাগত প্রভাব ফেলে। গিবস স্যাম্পলিং-এ, একজনকে সাধারণত মাল্টি-ভেরিয়েবল বায়েস নেটওয়ার্কে শর্তাধীন ডিস্ট্রিবিউশন থেকে আঁকতে হয় যেখানে প্রতিটি ভেরিয়েবল অন্য সকলের উপর শর্তযুক্ত। যেসব নেটওয়ার্কে ডিরিচলেট প্রাইয়ার্স সহ শ্রেণীবদ্ধ পরিবর্তনশীল রয়েছে (যেমন। মিশ্রণ মডেল এবং মিশ্রণ উপাদান সহ মডেল), ডিরিচলেট বিতরণগুলি প্রায়শই নেটওয়ার্কের "ভেঙে যায়" (প্রান্তিককরণ করা হয়), যা একটি প্রদত্ত পূর্বের উপর নির্ভরশীল বিভিন্ন শ্রেণীবদ্ধ নোডের মধ্যে নির্ভরতা প্রবর্তন করে (বিশেষত, তাদের যৌথ বিতরণ একটি ডিরিচলেট-মাল্টিনোমিয়াল বিতরণ)। এটি করার একটি কারণ হ 'ল এই জাতীয় ক্ষেত্রে, অন্যগুলিকে দেওয়া একটি শ্রেণীবদ্ধ নোডের বিতরণ ঠিক অবশিষ্ট নোডগুলির পশ্চাৎ ভবিষ্যদ্বাণীমূলক বিতরণ। অর্থাৎ, নোডের একটি সেটের জন্য, যদি প্রশ্নযুক্ত নোডটিকে হিসাবে চিহ্নিত করা হয় এবং অবশিষ্টাংশটি হিসাবে চিহ্নিত করা হয়, তবে নোডের মধ্যে নোডের সংখ্যা কোথায় নোড n ব্যতীত অন্য নোডের মধ্যে বিভাগ i রয়েছে। স্যাম্পলিং বেশ কয়েকটি পদ্ধতি রয়েছে, তবে একটি শ্রেণীবদ্ধ বিতরণ থেকে নমুনা নেওয়ার সবচেয়ে সাধারণ উপায়টি এক ধরণের বিপরীত রূপান্তর স্যাম্পলিং ব্যবহার করেঃ ধরে নিন যে একটি বিতরণ কিছু অভিব্যক্তির "আনুপাতিক" হিসাবে প্রকাশ করা হয়, অজানা স্বাভাবিককরণ ধ্রুবক সহ। কোনও নমুনা নেওয়ার আগে, নিম্নলিখিত কিছু মান প্রস্তুত করুনঃ প্রতিটি বিভাগের জন্য বিতরণের অস্বাভাবিক মান গণনা করুন। তাদের যোগ করুন এবং প্রতিটি মানকে এই যোগফল দিয়ে ভাগ করুন, যাতে তাদের স্বাভাবিক করা যায়। বিভাগগুলির উপর কিছু অর্ডার চাপিয়ে দিন (যেমন। একটি সূচক দ্বারা যা 1 থেকে k পর্যন্ত চলে, যেখানে k হল বিভাগগুলির সংখ্যা)। প্রতিটি মানকে পূর্ববর্তী সমস্ত মানের যোগফল দিয়ে প্রতিস্থাপন করে মানগুলিকে একটি ক্রমবর্ধমান বন্টন ফাংশনে (সি. ডি. এফ) রূপান্তর করুন। এটি ও (কে) সময়ে করা যেতে পারে। প্রথম বিভাগের ফলস্বরূপ মান হবে 0। তারপর, প্রতিবার একটি মান নমুনা করা প্রয়োজনঃ 0 এবং 1 এর মধ্যে একটি অভিন্নভাবে বিতরণকৃত সংখ্যা বেছে নিন। সি. ডি. এফ-এ সবচেয়ে বড় সংখ্যাটি খুঁজে বের করুন যার মান সদ্য নির্বাচিত সংখ্যার চেয়ে কম বা সমান। এটি বাইনারি অনুসন্ধানের মাধ্যমে ও (লগ (কে)) সময়ে করা যেতে পারে। এই সি. ডি. এফ মানের সাথে সম্পর্কিত বিভাগটি ফেরত দিন। যদি একই শ্রেণীবিভাগীয় বন্টন থেকে অনেকগুলি মান আঁকার প্রয়োজন হয়, তবে নিম্নলিখিত পদ্ধতিটি আরও কার্যকর। এটি ও (এন) সময়ে এন নমুনা আঁকে (ধরে নেওয়া যায় যে একটি ও (1) আনুমানিক দ্বিপদী বন্টন থেকে মান আঁকতে ব্যবহৃত হয়)। ফাংশন ড্র _ ক্যাটাগরিকাল (এন)// যেখানে এন হল শ্রেণীবিভাগীয় বন্টন থেকে আঁকার জন্য নমুনার সংখ্যা r = 1s = 0 i এর জন্য 1 থেকে k// যেখানে k হল শ্রেণীগুলির সংখ্যা v = একটি দ্বিপদী (এন, পি [আই]/আর) বন্টন থেকে আঁকা// যেখানে পি [আই] হল 1 থেকে ভি জেড [এস + +] = আই// পর্যন্ত জে-এর জন্য বিভাগ আই-এর সম্ভাবনা যেখানে জেড হল একটি অ্যারে যেখানে ফলাফলগুলি এন = এন-ভি আর = আর-পি [আই] শাফেল (এলোমেলোভাবে পুনরায় অর্ডার) সংরক্ষণ করা হয় এবং গাম্বেল বন্টনের মাধ্যমে জেড রিটার্ন জেড স্যাম্পলিংয়ের উপাদানগুলি মেশিন লার্নিং-এ শ্রেণীবিভাগের মাধ্যমে প্যারামিট্রাইজ করা সাধারণ। এই উপস্থাপনাটি দেওয়া হলে, সফ্টম্যাক্স ফাংশন ব্যবহার করে পুনরুদ্ধার করা যেতে পারে, যা পরে উপরে বর্ণিত কৌশলগুলি ব্যবহার করে নমুনা করা যেতে পারে। তবে আরও একটি সরাসরি নমুনা পদ্ধতি রয়েছে যা গাম্বেল বিতরণ থেকে নমুনা ব্যবহার করে। ধরা যাক স্ট্যান্ডার্ড গাম্বেল ডিস্ট্রিবিউশন থেকে k স্বাধীন ড্র হয়, তারপর পছন্দসই শ্রেণীগত ডিস্ট্রিবিউশন থেকে একটি নমুনা হবে। (যদি স্ট্যান্ডার্ড ইউনিফর্ম ডিস্ট্রিবিউশন থেকে একটি নমুনা হয়, তবে স্ট্যান্ডার্ড গাম্বেল ডিস্ট্রিবিউশন থেকে একটি নমুনা।) আরও দেখুন ক্যাটাগরিকাল ভেরিয়েবল রিলেটেড ডিস্ট্রিবিউশন ডিরিচলেট ডিস্ট্রিবিউশন মাল্টিনোমিয়াল ডিস্ট্রিবিউশন ডিরিচলেট-মাল্টিনোমিয়াল ডিস্ট্রিবিউশন নোটস রেফারেন্স ক্যাটাগরিকাল ডেটা ডিসক্রিট ডিস্ট্রিবিউশন এক্সপোনেনশিয়াল ফ্যামিলি ডিস্ট্রিবিউশন