Category of manifolds
গণিতে, ম্যানিফোল্ডের বিভাগ, যা প্রায়শই ম্যান্প হিসাবে চিহ্নিত করা হয়, সেই বিভাগ যার বস্তুগুলি মসৃণতা শ্রেণীর সিপি-এর ম্যানিফোল্ড এবং যার মরফিজমগুলি পি-বার ক্রমাগত ডিফারেন্সিয়ালযোগ্য মানচিত্র। এটি একটি বিভাগ কারণ দুটি সিপি মানচিত্রের গঠন আবার অবিচ্ছিন্ন এবং সিপি শ্রেণীর। একজন প্রায়শই শুধুমাত্র একটি নির্দিষ্ট বিভাগ এ-তে স্থানগুলির উপর মডেল করা সিপি-ম্যানিফোল্ডগুলিতে আগ্রহী হয় এবং এই ধরনের ম্যানিফোল্ডের বিভাগটিকে ম্যান্প (এ) হিসাবে চিহ্নিত করা হয়। একইভাবে, একটি নির্দিষ্ট স্থান ই-এর উপর মডেল করা সিপি-ম্যানিফোল্ডের বিভাগটিকে ম্যান্প (ই) হিসাবে চিহ্নিত করা হয়। কেউ মসৃণ ম্যানিফোল্ডের বিভাগ, ম্যান φ, বা বিশ্লেষণাত্মক ম্যানিফোল্ডের বিভাগ, ম্যান ω-এর কথাও বলতে পারেন। ম্যান্প একটি সুনির্দিষ্ট বিভাগ অনেক বিভাগের মতো, ম্যান্প বিভাগটি একটি সুনির্দিষ্ট বিভাগ, যার অর্থ এর বস্তুগুলি অতিরিক্ত কাঠামো সহ সেট (অর্থাৎ। একটি টপোলজি এবং একটি সিপি-ডিফারেনশিয়াল কাঠামো সংজ্ঞায়িত চার্টের অ্যাটলেসের একটি সমতুল্য শ্রেণী) এবং এর অঙ্গসংস্থানগুলি এই কাঠামোকে সংরক্ষণ করে। টপোলজিকাল স্পেসের বিভাগে একটি প্রাকৃতিক ভুলে যাওয়া ফাংক্টর U: Manp → Top রয়েছে যা প্রতিটি অন্তর্নিহিত টপোলজিকাল স্পেসকে বহুগুণিত করে এবং প্রতিটি p-বার ক্রমাগত ডিফারেনশিয়েবল ফাংশনকে টপোলজিকাল স্পেসের অন্তর্নিহিত অবিচ্ছিন্ন ফাংশন বরাদ্দ করে। একইভাবে, একটি স্বাভাবিক ভুলে যাওয়া ফাংক্টর U′ রয়েছেঃ ম্যান্প → সেটের বিভাগে সেট করুন যা প্রতিটি অন্তর্নিহিত সেটকে বহুগুণ করে এবং প্রতিটি পি-টাইমের জন্য অবিচ্ছিন্নভাবে অন্তর্নিহিত ফাংশনকে আলাদা করে দেয়। পয়েন্টযুক্ত ম্যানিফোল্ড এবং স্পর্শক স্থান ফাংক্টর একটি বিশিষ্ট বিন্দু সহ ম্যানিফোল্ডের বিভাগের সাথে কাজ করা প্রায়শই সুবিধাজনক বা প্রয়োজনীয়ঃ ম্যান পি শীর্ষের অনুরূপ-পয়েন্টযুক্ত স্থানের বিভাগ। ম্যান পি-এর বস্তুগুলি হল জোড়া যেখানে একটি বেসপয়েন্ট সহ একটি বহুগুণ এবং এর অঙ্গসংস্থানগুলি বেসপয়েন্ট-সংরক্ষণকারী পি-বার ক্রমাগত পৃথকীকরণযোগ্য মানচিত্রঃ যেমন। যাতে পয়েন্টযুক্ত ম্যানিফোল্ডের বিভাগটি কমা বিভাগের একটি উদাহরণ-ম্যান পি ঠিক যেখানে একটি নির্বিচারে সিঙ্গেলটন সেটকে উপস্থাপন করে এবং সেই সিঙ্গেলটন থেকে ম্যানপের একটি উপাদানের একটি মানচিত্রকে উপস্থাপন করে, একটি বেসপয়েন্ট বেছে নেয়। স্পর্শক স্থান গঠনকে ম্যান পি থেকে ভেক্টর পর্যন্ত একটি ফাংশানকারী হিসাবে নিম্নরূপ দেখা যেতে পারেঃ পয়েন্টযুক্ত ম্যানিফোল্ড দেওয়া এবং তাদের মধ্যে একটি মানচিত্র দিয়ে, আমরা ভেক্টর স্পেসগুলি বরাদ্দ করতে পারি এবং তাদের মধ্যে একটি রৈখিক মানচিত্র দিয়ে পুশ ফরোয়ার্ড (ডিফারেনশিয়াল) দ্বারা দেওয়া যেতে পারেঃ এই নির্মাণটি একটি প্রকৃত ফাংশানকারী কারণ পরিচয় মানচিত্রের পুশ ফরোয়ার্ড ভেক্টর স্পেস আইসোমরফিজম এবং চেইন নিয়ম নিশ্চিত করে যে রেফারেন্সগুলি ম্যানিফোল্ড করে।