Affine manifold
ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতিতে, একটি অ্যাফিন ম্যানিফোল্ড হল একটি সমতল, টর্জন-মুক্ত সংযোগের সাথে সজ্জিত একটি ডিফারেনশিয়েবল ম্যানিফোল্ড। সমতুল্যভাবে, এটি একটি বহুগুণ যা (যদি সংযুক্ত থাকে) একটি খোলা উপসেট দ্বারা আচ্ছাদিত, মনোড্রোমি অ্যাফিন রূপান্তর দ্বারা কাজ করে। এই সমতুল্যতা কার্টান-অ্যামব্রোস-হিক্স উপপাদ্যের একটি সহজ উপপাদ্য। সমতুল্যভাবে, এটি একটি অ্যাটলাস দিয়ে সজ্জিত একটি ম্যানিফোল্ড-যাকে অ্যাফিন স্ট্রাকচার বলা হয়-যাতে চার্টের মধ্যে সমস্ত ট্রানজিশন ফাংশন অ্যাফিন রূপান্তর হয় (অর্থাৎ, ধ্রুবক জ্যাকোবিয়ান ম্যাট্রিক্স থাকে); দুটি অ্যাটলাস সমতুল্য হয় যদি ম্যানিফোল্ড উভয়ের অধীন একটি অ্যাটলাস স্বীকার করে, উভয় অ্যাটলাস থেকে একটি ছোট অ্যাটলাসে রূপান্তরিত হয়। একটি বিশিষ্ট অ্যাফিন কাঠামোযুক্ত ম্যানিফোল্ডকে অ্যাফিন ম্যানিফোল্ড বলা হয় এবং অ্যাফিন কাঠামোর সাথে সম্পর্কিত চার্টগুলিকে অ্যাফিন চার্ট বলা হয়। প্রতিটি অ্যাফিন স্থানাঙ্ক ডোমেনে স্থানাঙ্ক ভেক্টর ক্ষেত্রগুলি সেই ডোমেনের সমান্তরাল গঠন করে, তাই প্রতিটি ডোমেনে একটি সম্পর্কিত সংযোগ রয়েছে। এই স্থানীয়ভাবে সংজ্ঞায়িত সংযোগগুলি ওভারল্যাপিং অংশগুলিতে একই, তাই একটি অ্যাফিন কাঠামোর সাথে যুক্ত একটি অনন্য সংযোগ রয়েছে। লক্ষ্য করুন যে রৈখিক সংযোগ (যাকে এফাইন সংযোগও বলা হয়) এবং একটি ওয়েবের মধ্যে একটি যোগসূত্র রয়েছে। আনুষ্ঠানিক সংজ্ঞা একটি অ্যাফিন ম্যানিফোল্ড হল চার্ট সহ একটি বাস্তব ম্যানিফোল্ড যা সকলের জন্য অ্যাফিন রূপান্তরের লাই গ্রুপকে বোঝায়। কল্পনাপ্রসূত ভাষায় এটি একটি (জি, এক্স)-ম্যানিফোল্ড যেখানে এবং অ্যাফিন রূপান্তরের গ্রুপ। একটি অ্যাফিন ম্যানিফোল্ডকে সম্পূর্ণ বলা হয় যদি এর সর্বজনীন আবরণ সমরূপ হয়। একটি কম্প্যাক্ট অ্যাফিন ম্যানিফোল্ডের ক্ষেত্রে, এর মৌলিক গোষ্ঠী এবং এর সর্বজনীন আবরণ হতে দিন। কেউ দেখাতে পারে যে প্রতিটি-মাত্রিক অ্যাফিন ম্যানিফোল্ড একটি উন্নয়নশীল মানচিত্র এবং একটি সমরূপতার সাথে আসে, যা একটি নিমজ্জন এবং সমতুল্য। একটি কম্প্যাক্ট সম্পূর্ণ ফ্ল্যাট অ্যাফিন ম্যানিফোল্ডের একটি মৌলিক গোষ্ঠীকে অ্যাফিন ক্রিস্টালোগ্রাফিক গ্রুপ বলা হয়। অ্যাফিন ক্রিস্টালোগ্রাফিক গোষ্ঠীগুলির শ্রেণিবিন্যাস একটি কঠিন সমস্যা, যার সমাধান করা খুব বেশি কঠিন নয়। ডেভিড হিলবার্টের একটি প্রশ্নের উত্তরে লুডভিগ বিবারবাখ রিমানিয়ান স্ফটিকসংক্রান্ত গোষ্ঠীগুলিকে (বিবারবাখ গোষ্ঠী নামেও পরিচিত) শ্রেণীবদ্ধ করেছিলেন। হিলবার্টের 18তম সমস্যার উপর তাঁর কাজে, বিবারবাখ প্রমাণ করেছেন যে যে কোনও রিম্যানিয়ান ক্রিস্টালোগ্রাফিক গ্রুপে সসীম সূচকের একটি আবেলিয়ান উপগোষ্ঠী রয়েছে। গুরুত্বপূর্ণ দীর্ঘস্থায়ী অনুমান অ্যাফিন ম্যানিফোল্ডের জ্যামিতি মূলত দীর্ঘস্থায়ী অনুমানের একটি নেটওয়ার্ক; তাদের বেশিরভাগই নিম্ন মাত্রায় এবং কিছু অন্যান্য বিশেষ ক্ষেত্রে প্রমাণিত। এর মধ্যে সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ হল মার্কাস কনজেকচার (1962) যেখানে বলা হয়েছে যে একটি কম্প্যাক্ট অ্যাফিন ম্যানিফোল্ড সম্পূর্ণ হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি এর সমান্তরাল আয়তন থাকে। মাত্রা 2-এ পরিচিত। আউসল্যান্ডার অনুমান (1964) উল্লেখ করে যে যে কোনও অ্যাফিন ক্রিস্টালোগ্রাফিক গ্রুপে সসীম সূচকের একটি পলিসাইক্লিক উপগোষ্ঠী থাকে। 6 পর্যন্ত মাত্রায় পরিচিত, এবং যখন সমতল সংযোগের হোলোনমি একটি লরেঞ্জ মেট্রিক সংরক্ষণ করে। যেহেতু প্রতিটি কার্যত পলিসাইক্লিক ক্রিস্টালোগ্রাফিক গ্রুপ একটি আয়তনের রূপ সংরক্ষণ করে, অস্ল্যান্ডার অনুমান মার্কাস অনুমানের "শুধুমাত্র যদি" অংশকে বোঝায়। চেরন অনুমান (1955) একটি অ্যাফিন ম্যানিফোল্ডের অয়লার শ্রেণী অদৃশ্য হয়ে যায়। নোটস রেফারেন্স গ্রুপ থিওরি অ্যাফিন জ্যামিতি স্ট্রাকচারস অন ম্যানিফোল্ডস ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতি ম্যানিফোল্ডস