Dual cone and polar cone
দ্বৈত শঙ্কু এবং মেরু শঙ্কু উত্তল বিশ্লেষণে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত ধারণা, যা গণিতের একটি শাখা। দ্বৈত শঙ্কু একটি ভেক্টর স্পেসে একটি উপসেট সি-এর দ্বৈত শঙ্কু সি একটি রৈখিক স্থান এক্স-এ রিয়েলগুলির উপর, যেমন। ইউক্লিডীয় স্থান আরএন, দ্বৈত স্থান এক্স সহ সেট যেখানে এক্স এবং এক্স এর মধ্যে দ্বৈততা জুটি, অর্থাৎ। । সি সর্বদা একটি উত্তল শঙ্কু, যদিও সি উত্তল বা শঙ্কু নয়। একটি টপোলজিকাল ভেক্টর স্পেসে যদি X বাস্তব বা জটিল সংখ্যার উপর একটি টপোলজিকাল ভেক্টর স্পেস হয়, তবে একটি উপসেট C′X-এর দ্বৈত শঙ্কু হল X: এর উপর অবিচ্ছিন্ন রৈখিক কার্যকারিতার নিম্নলিখিত সেট, যা সেট-C-এর মেরু। C যাই হোক না কেন, একটি উত্তল শঙ্কু হবে। যদি C ষ্ {0} তাহলে। হিলবার্ট স্পেসে (অভ্যন্তরীণ দ্বৈত শঙ্কু) বিকল্পভাবে, অনেক লেখক দ্বৈত শঙ্কুটিকে একটি বাস্তব হিলবার্ট স্পেসের প্রসঙ্গে (যেমন ইউক্লিডীয় অভ্যন্তরীণ পণ্য দিয়ে সজ্জিত আরএন) সংজ্ঞায়িত করেছেন যা কখনও কখনও অভ্যন্তরীণ দ্বৈত শঙ্কু বলা হয়। সি-এর জন্য এই পরবর্তী সংজ্ঞাটি ব্যবহার করে, আমাদের আছে যে যখন সি একটি শঙ্কু হয়, তখন নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্যগুলি ধারণ করেঃ একটি অ-শূন্য ভেক্টর ওয়াই সি-তে থাকে যদি এবং শুধুমাত্র যদি নিম্নলিখিত উভয় শর্তই ধরে থাকেঃ ওয়াই একটি হাইপারপ্লেনের উৎসে একটি স্বাভাবিক যা সি-কে সমর্থন করে এবং সি সেই সমর্থনকারী হাইপারপ্লেনের একই দিকে থাকে। সি বন্ধ এবং উত্তল। বোঝায়। যদি সি-এর অভ্যন্তরে খালি না থাকে, তাহলে সি-কে নির্দেশিত করা হয়, অর্থাৎ। সি *-তে সম্পূর্ণরূপে কোনও লাইন নেই। যদি সি একটি শঙ্কু হয় এবং সি-এর বন্ধটি নির্দেশিত হয়, তবে সি-এর অভ্যন্তরটি খালি থাকে না। সি হ 'ল সি ধারণকারী ক্ষুদ্রতম উত্তল শঙ্কু (হাইপারপ্লেন পৃথকীকরণ উপপাদ্যের ফলস্বরূপ) স্ব-দ্বৈত শঙ্কু একটি ভেক্টর স্পেস এক্স-এ একটি শঙ্কু সি-কে স্ব-দ্বৈত বলা হয় যদি এক্স-কে একটি অভ্যন্তরীণ গুণফলের সাথে এমনভাবে সজ্জিত করা যায় যে এই অভ্যন্তরীণ গুণফলের সাথে সম্পর্কিত অভ্যন্তরীণ দ্বৈত শঙ্কু সি-এর সমান হয়। যে লেখকরা দ্বৈত শঙ্কুটিকে একটি বাস্তব হিলবার্ট স্পেসে অভ্যন্তরীণ দ্বৈত শঙ্কু হিসাবে সংজ্ঞায়িত করেন তারা সাধারণত বলেন যে একটি শঙ্কু স্ব-দ্বৈত হয় যদি এটি তার অভ্যন্তরীণ দ্বৈতের সমান হয়। এটি উপরের সংজ্ঞা থেকে কিছুটা আলাদা, যা অভ্যন্তরীণ পণ্যের পরিবর্তনের অনুমতি দেয়। উদাহরণস্বরূপ, উপরের সংজ্ঞাটি Rn-এ উপবৃত্তাকার ক্ষার স্ব-দ্বৈত সহ একটি শঙ্কু তৈরি করে, কারণ ভিতরের গুণফলটি বেসকে গোলাকার করার জন্য পরিবর্তন করা যেতে পারে এবং Rn-এ গোলাকার ক্ষার সহ একটি শঙ্কু তার অভ্যন্তরীণ দ্বৈতের সমান। Rn-এর অ-ঋণাত্মক অর্থান্ট এবং সমস্ত ধনাত্মক সেমিডিফাইনাইট ম্যাট্রিক্সের স্থান স্ব-দ্বৈত, যেমন উপবৃত্তাকার ভিত্তিযুক্ত শঙ্কুগুলি (প্রায়শই "গোলাকার শঙ্কু", "লরেঞ্জ শঙ্কু" বা কখনও কখনও "আইসক্রিম শঙ্কু" বলা হয়)। একইভাবে R3-এর সমস্ত শঙ্কু রয়েছে যার ভিত্তি একটি নিয়মিত বহুভুজের উত্তল কাঠামো যা বিজোড় সংখ্যক শীর্ষযুক্ত। একটি কম নিয়মিত উদাহরণ হল R3-এর শঙ্কু যার ভিত্তি হল "ঘর": একটি বর্গক্ষেত্রের উত্তল কাঠামো এবং বর্গক্ষেত্রের বাইরে একটি বিন্দু বর্গক্ষেত্রের একটি দিকের সাথে একটি সমবাহু ত্রিভুজ (উপযুক্ত উচ্চতার) গঠন করে। পোলার শঙ্কু X-এ একটি সেট C-এর জন্য, C-এর পোলার শঙ্কু হল সেট এটি দেখা যায় যে পোলার শঙ্কু দ্বৈত শঙ্কু-এর ঋণাত্মকের সমান, অর্থাৎ। কো =-সি। এক্স-এ একটি বদ্ধ উত্তল শঙ্কু সি-এর জন্য, মেরু শঙ্কু সি-এর জন্য মেরু সেটের সমতুল্য। আরও দেখুন দ্বি-মেরু উপপাদ্য মেরু সেট রেফারেন্স গ্রন্থপঞ্জি কনভেক্স বিশ্লেষণ কনভেক্স জ্যামিতি রৈখিক প্রোগ্রামিং