Rotor (mathematics)
একটি ঘূর্ণক হল একটি ভেক্টর স্থানের জ্যামিতিক বীজগণিতে (ক্লিফোর্ড বীজগণিত নামেও পরিচিত) একটি বস্তু যা উৎপত্তি সম্পর্কে একটি ঘূর্ণনের প্রতিনিধিত্ব করে। এই শব্দটি উইলিয়াম কিংডন ক্লিফোর্ডের কাছ থেকে উদ্ভূত হয়েছিল, যা দেখায় যে কোয়াটারনিয়ন বীজগণিত হারমান গ্রাসম্যানের "সম্প্রসারণ তত্ত্বের" (আউসডেহনংস্লেহর) একটি বিশেষ উদাহরণ মাত্র। হেস্টেনেস একটি রটারকে জ্যামিতিক বীজগণিতের যে কোনও উপাদান হিসাবে সংজ্ঞায়িত করেছেন যা জোড় সংখ্যক একক ভেক্টরের গুণফল হিসাবে লেখা যেতে পারে এবং সন্তুষ্ট করে, যেখানে "বিপরীত"-অর্থাৎ একই ভেক্টরের গুণফল, কিন্তু বিপরীত ক্রমে। সংজ্ঞাঃ গণিতে, ভেক্টর স্পেস V-এর জ্যামিতিক বীজগণিতে একটি রটার স্পিন গ্রুপ স্পিন (V)-এর একটি উপাদানের সমান। আমরা নীচে এই গোষ্ঠীটিকে সংজ্ঞায়িত করছি। ধরা যাক V একটি ভেক্টর স্পেস যা একটি ধনাত্মক নির্দিষ্ট দ্বিঘাত ফর্ম q দিয়ে সজ্জিত, এবং Cl (V) কে V এর সাথে সম্পর্কিত জ্যামিতিক বীজগণিত হতে দিন। বীজগণিত Cl (V) হল সকলের জন্য সম্পর্ক দ্বারা V এর টেনসর বীজগণিতের ভাগফল। (ক্লা (ভি)-তে টেনসর গুণফলকে জ্যামিতিক বীজগণিতে জ্যামিতিক গুণফল বলা হয় এবং এই নিবন্ধে দ্বারা চিহ্নিত করা হয়।) ভি-এর টেনসর বীজগণিতে জেড-গ্রেডিং ক্ল (ভি)-এর উপর একটি জেড/2জেড-গ্রেডিংয়ে নেমে আসে, যা আমরা এখানে দ্বারা নির্দেশ করি, ক্লিভেন (ভি) জোড়-ডিগ্রি ব্লেড দ্বারা এবং ক্লড (ভি) বিজোড়-ডিগ্রি ব্লেড দ্বারা উত্পন্ন হয়। সিএল (ভি)-এর একটি অনন্য অ্যান্টিঅটোমর্ফিজম রয়েছে যা ভি-এর আইডেন্টিটির মধ্যে সীমাবদ্ধঃ এটিকে ট্রান্সপোজ বলা হয় এবং যে কোনও মাল্টিভেক্টর এ-এর ট্রান্সপোজ দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। একটি ব্লেডে (অর্থাৎ, একটি সাধারণ টেনসর), এটি কেবল ফ্যাক্টরগুলির ক্রমকে বিপরীত করে। স্পিন গ্রুপ (ভি) কে ক্লিভেন (ভি)-এর উপগোষ্ঠী হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় যা মাল্টিভেক্টর আর নিয়ে গঠিত অর্থাৎ এটি মাল্টিভেক্টর নিয়ে গঠিত যা জোড় সংখ্যক একক ভেক্টরের গুণফল হিসাবে লেখা যেতে পারে। ভেক্টর স্পেসে ঘূর্ণন হিসাবে ক্রিয়া জ্যামিতিক বীজগণিতে একটি ভেক্টর বরাবর প্রতিফলনগুলি প্রতিফলনের হাইপারপ্লেনের লম্বভাবে একটি নন-নাল ভেক্টর v এবং সেই ভেক্টরের বিপরীত v−1:-এর মধ্যে একটি মাল্টিভেক্টর M-কে (বিয়োগ) স্যান্ডউইচ হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে এবং জোড় গ্রেডের হয়। রটার আর দ্বারা সৃষ্ট একটি আবর্তনের অধীনে, একটি সাধারণ মাল্টিভেক্টর এম দ্বিমুখীভাবে রূপান্তরিত হবে কারণ এই ক্রিয়াটি স্পিন (ভি) কে এস. ও (ভি) এর দ্বৈত আবরণ হিসাবে উপস্থাপন করে একটি সার্জেক্টিভ সমরূপতা দেয়। (আরও বিস্তারিত জানতে স্পিন গ্রুপ দেখুন।) সীমাবদ্ধ বিকল্প সূত্র একটি ইউক্লিডীয় স্থানের জন্য, একটি বিকল্প সূত্র বিবেচনা করা সুবিধাজনক হতে পারে এবং কিছু লেখক প্রতিফলনের ক্রিয়াকলাপকে (বিয়োগ) একটি ইউনিটের স্যান্ডউইচিং হিসাবে সংজ্ঞায়িত করেছেন (অর্থাৎ। স্বাভাবিক) মাল্টিভেক্টরঃ স্বয়ংক্রিয়ভাবে স্বাভাবিক হওয়া রটার গঠনঃ উদ্ভূত রটার ক্রিয়াটি তখন বিপরীত দিক দিয়ে একটি স্যান্ডউইচ পণ্য হিসাবে প্রকাশ করা হয়ঃ এমন একটি প্রতিফলনের জন্য যার জন্য সম্পর্কিত ভেক্টরটি একটি নেতিবাচক স্কেলারের সাথে বর্গাকার হয়, যেমন একটি ছদ্ম-ইউক্লিডীয় স্থানের ক্ষেত্রে হতে পারে, এই জাতীয় ভেক্টরটি কেবল তার বর্গক্ষেত্রের চিহ্ন পর্যন্ত স্বাভাবিক করা যেতে পারে এবং প্রয়োগের চিহ্নের অতিরিক্ত হিসাবরক্ষণ প্রয়োজন হয়। উপরের মতো বিপরীত সহ স্যান্ডউইচ পণ্যের ক্ষেত্রে গঠনের কোনও ঘাটতি নেই। মাল্টিভেক্টর এবং স্পিনারের ঘূর্ণন যাইহোক, যদিও মাল্টিভেক্টরগুলি দ্বিমুখীভাবে রূপান্তরিত হয়, রটারগুলিকে একত্রিত করা যেতে পারে এবং একটি গ্রুপ গঠন করা যেতে পারে, এবং তাই একাধিক রটার এককভাবে রচনা করে। উপরের বিকল্প সূত্রটি স্ব-স্বাভাবিক নয় এবং জ্যামিতিক বীজগণিতে স্পিনরের সংজ্ঞাকে এমন একটি বস্তু হিসাবে অনুপ্রাণিত করে যা একক-পার্শ্বীয়ভাবে রূপান্তরিত হয়-অর্থাৎ, স্পিনারগুলিকে অ-স্বাভাবিক ঘূর্ণক হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে যেখানে স্যান্ডউইচ পণ্যে বিপরীতের পরিবর্তে বিপরীতটি ব্যবহার করা হয়। সমজাতীয় উপস্থাপনা বীজগণিত সমজাতীয় উপস্থাপনা বীজগণিতে যেমন সামঞ্জস্যপূর্ণ জ্যামিতিক বীজগণিতে, উপস্থাপনা স্থানের একটি রটার একটি স্বেচ্ছাচারী বিন্দু, একটি অনুবাদ বা সম্ভবত বেস স্থানের অন্য রূপান্তর সম্পর্কে একটি ঘূর্ণনের সাথে মিলে যায়। আরও দেখুন ডাবল রোটেশন লাই গ্রুপ অয়লারের সূত্র জেনারেটর (গণিত) ভার্সন রেফারেন্স জ্যামিতিক বীজগণিত