Ideal (set theory)
সেট তত্ত্বের গাণিতিক ক্ষেত্রে, একটি আদর্শ হল সেটগুলির একটি আংশিক ক্রমযুক্ত সংগ্রহ যা "ছোট" বা "নগণ্য" হিসাবে বিবেচিত হয়। আদর্শের একটি উপাদানের প্রতিটি উপসেট অবশ্যই আদর্শের মধ্যে থাকতে হবে (এটি এই ধারণাকে বিধিবদ্ধ করে যে একটি আদর্শ ক্ষুদ্রতার ধারণা), এবং আদর্শের যে কোনও দুটি উপাদানের মিলনও আদর্শের মধ্যে থাকতে হবে। আরও আনুষ্ঠানিকভাবে, একটি সেটকে একটি আইডিয়াল অন দেওয়া হলে তার পাওয়ারসেটের একটি নন-এম্প্টি সাবসেট হয় যেঃ যদি এবং তারপর এবং যদি তারপর কিছু লেখক একটি চতুর্থ শর্ত যোগ করেন যা নিজেই নেই; এই অতিরিক্ত বৈশিষ্ট্য সহ আইডিয়ালগুলিকে বলা হয়। সেট-তাত্ত্বিক অর্থে আদর্শগুলি অর্ডার-তাত্ত্বিক অর্থে ঠিক আদর্শ, যেখানে প্রাসঙ্গিক ক্রম সেট অন্তর্ভুক্তি হয়। এছাড়াও, তারা অন্তর্নিহিত সেটের পাওয়ারসেট দ্বারা গঠিত বুলিয়ান রিংয়ের রিং-তাত্ত্বিক অর্থে ঠিক আদর্শ। একটি আদর্শের দ্বৈত ধারণা হল একটি ফিল্টার। পরিভাষা একটি আদর্শের একটি উপাদানকে বলা হয় বা, বা সহজভাবে বা যদি আদর্শটি প্রসঙ্গ থেকে বোঝা যায়। যদি একটি আদর্শ হয় তবে এর একটি উপসেটকে বলা হয় (বা ন্যায়সঙ্গত) যদি এটি একটি উপাদান হয়। আদর্শের উদাহরণ সাধারণ উদাহরণ যে কোনও সেটের জন্য এবং যে কোনও নির্বিচারে নির্বাচিত উপসেটগুলির জন্য একটি আদর্শ গঠনের উপসেট সীমাবদ্ধতার জন্য সমস্ত আদর্শ এই রূপের হয়। যে কোনও পরিমাপের স্থানের জন্য, শূন্য পরিমাপের সেটের উপসেটগুলির জন্য যে কোনও সেটের সীমাবদ্ধ উপসেটগুলি একটি আদর্শ গঠন করে। যে কোনও পরিমাপের স্থানের জন্য, সীমাবদ্ধ পরিমাপের সেট। এটি সীমাবদ্ধ উপসেট (গণনা পরিমাপ ব্যবহার করে) এবং নীচের ছোট সেটগুলিকে অন্তর্ভুক্ত করে। একটি সেটের উপর একটি বার্নোলজি একটি আদর্শ যা অন্তর্ভুক্ত করে একটি শূন্য নয় এমন উপসেটগুলির পরিবার একটি সঠিক আদর্শ যদি এবং কেবল তখনই হয় যদি এটির দ্বারা চিহ্নিত এবং সংজ্ঞায়িত করা হয় একটি সঠিক ফিল্টার চালু থাকে (একটি ফিল্টার যদি এটি সমান না হয়)। পাওয়ার সেটের দ্বৈত নিজেই; অর্থাৎ, একটি অ-খালি পরিবার একটি আদর্শ যদি এবং শুধুমাত্র যদি তার দ্বৈত একটি দ্বৈত আদর্শ হয় (যা সংজ্ঞা অনুসারে হয় পাওয়ার সেট বা অন্যথায় একটি যথাযথ ফিল্টার চালু)। স্বাভাবিক সংখ্যার আদর্শ প্রাকৃতিক সংখ্যার সমস্ত সসীম সেটের আদর্শকে ফিন হিসাবে চিহ্নিত করা হয়। প্রাকৃতিক সংখ্যার উপর, প্রাকৃতিক সংখ্যার সমস্ত সেটের সংগ্রহকে বোঝানো হয় যাতে যোগফল সসীম হয়। ছোট সেট দেখুন। প্রাকৃতিক সংখ্যার উপর, প্রাকৃতিক সংখ্যার সমস্ত সেটের সংগ্রহকে বোঝানো হয় যাতে তার চেয়ে কম প্রাকৃতিক সংখ্যার ভগ্নাংশ শূন্যের দিকে প্রবণতা দেখায় এবং অনন্তের দিকে প্রবণতা দেখায়। (অর্থাৎ, এর অ্যাসিম্পটোটিক ঘনত্ব শূন্য।) বাস্তব সংখ্যার আদর্শ হল বাস্তব সংখ্যার সমস্ত সেটের সংগ্রহ যাতে লেবস্গু পরিমাপ শূন্য হয়। এটি বাস্তব সংখ্যার সমস্ত ক্ষুদ্র সেটের সংগ্রহ। অন্যান্য সেটের আদর্শ যদি অগণিত কো-ফাইনালিটির একটি ক্রমিক সংখ্যা হয়, তবে অন হল সমস্ত উপসেটগুলির সংগ্রহ যা স্থির সেট নয়। এই আদর্শটি ডব্লিউ হিউ উডিন দ্বারা ব্যাপকভাবে অধ্যয়ন করা হয়েছে। আদর্শের উপর ক্রিয়াকলাপ প্রদত্ত আদর্শ এবং অন্তর্নিহিত সেটগুলিতে এবং যথাক্রমে, একজন কার্টেসিয়ান পণ্যের উপর পণ্যটি নিম্নরূপ গঠন করেঃ যে কোনও উপসেটের জন্য অর্থাৎ, পণ্য আদর্শের মধ্যে একটি সেট নগণ্য হয় যদি শুধুমাত্র-স্থানাঙ্কের একটি নগণ্য সংগ্রহ-দিকের একটি অ-নগণ্য স্লাইসের সাথে মিলে যায়। (সম্ভবত আরও স্পষ্টঃ একটি সেট পণ্যের আদর্শের মধ্যে থাকে যদি ধনাত্মকভাবে অনেকগুলি-স্থানাঙ্ক ধনাত্মক স্লাইসের সাথে মিলে যায়।) একটি সেটের একটি আদর্শ পাওয়ারসেটে একটি সমতুল্য সম্পর্ককে প্ররোচিত করে, বিবেচনা করে এবং সমতুল্য (উপসেটগুলির জন্য) হতে পারে যদি এবং শুধুমাত্র যদি এর প্রতিসম পার্থক্য এবং এর একটি উপাদান হয়। এই সমতুল্য সম্পর্কের ভাগফল হল একটি বুলিয়ান বীজগণিত, যা চিহ্নিত করা হয় (পড়ুন "মোডের পি")। প্রতিটি আদর্শের একটি সংশ্লিষ্ট ফিল্টার থাকে, যাকে বলা হয় এর। যদি একটি আদর্শ চালু থাকে, তবে এর দ্বৈত ফিল্টার হল সমস্ত সেটের সংগ্রহ যেখানে একটি উপাদান রয়েছে। (এখানে এর আপেক্ষিক পরিপূরক বোঝায়; অর্থাৎ, এর মধ্যে থাকা সমস্ত উপাদানের সংগ্রহ)। আদর্শের মধ্যে সম্পর্ক যদি এবং যথাক্রমে আদর্শ হয়, এবং যদি তারা একই আদর্শ হয় তবে তাদের অন্তর্নিহিত সেটগুলির উপাদানগুলির নাম পরিবর্তন করা ছাড়া (নগণ্য সেটগুলি উপেক্ষা করে)। আরও আনুষ্ঠানিকভাবে, প্রয়োজন হল যে কোনও উপসেটের জন্য যদি এবং শুধুমাত্র যদি 'ইফ' এবং 'কেইসলার'-এর নিচের চিত্রটি রুডিন-কেইসলার আইসোমরফিক হয়, তবে এবং বুলিয়ান অ্যালজেব্রা হিসাবে আইসোমরফিক হয়। আদর্শের রুডিন-কেইসলার আইসোমরফিজম দ্বারা প্ররোচিত ভাগফল বুলিয়ান অ্যালজেব্রার আইসোমরফিজম বলা হয়। আরও দেখুন রেফারেন্স সেট তত্ত্ব