Erdős–Diophantine graph
একটি এরডোস-ডায়োফ্যান্টাইন গ্রাফ ডায়োফ্যান্টাইন সমীকরণের গাণিতিক বিষয়ের একটি বস্তু যা সমতলে পূর্ণসংখ্যা দূরত্বে পূর্ণসংখ্যা বিন্দুর একটি সেট নিয়ে গঠিত যা কোনও অতিরিক্ত বিন্দু দ্বারা বাড়ানো যায় না। সমতুল্যভাবে, জ্যামিতিক গ্রাফ তত্ত্বে, এটিকে পূর্ণসংখ্যা বর্গ গ্রিডে অবস্থিত শীর্ষগুলির সাথে একটি সম্পূর্ণ গ্রাফ হিসাবে বর্ণনা করা যেতে পারে যাতে শীর্ষগুলির মধ্যে সমস্ত পারস্পরিক দূরত্ব পূর্ণসংখ্যা হয়, যেখানে অন্যান্য সমস্ত গ্রিড পয়েন্টের কমপক্ষে একটি শীর্ষে একটি অ-পূর্ণসংখ্যা দূরত্ব থাকে। আলেকজান্দ্রিয়ার পল এরদোস এবং ডায়োফান্টাসের নামে এরদোস-ডায়োফান্টাইন গ্রাফের নামকরণ করা হয়েছে। এগুলি ডায়োফ্যান্টাইন পরিসংখ্যানের একটি উপসেট গঠন করে, যা ডায়োফ্যান্টাইন সমতলে সম্পূর্ণ গ্রাফ হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় যার জন্য সমস্ত প্রান্তের দৈর্ঘ্য পূর্ণসংখ্যা (একক দূরত্ব গ্রাফ)। সুতরাং, এরদোস-ডায়োফ্যান্টাইন গ্রাফগুলি ঠিক ডায়োফ্যান্টাইন পরিসংখ্যান যা বাড়ানো যায় না। এরদোস-ডায়োফ্যান্টাইন গ্রাফের অস্তিত্ব এরদোস-অ্যানিং উপপাদ্য থেকে পাওয়া যায়, যা অনুসারে ডায়োফ্যান্টাইন সমতলে অসীম ডায়োফ্যান্টাইন চিত্রগুলি অবশ্যই সমান্তরাল হতে হবে। অতএব, শীর্ষগুলি যোগ করে একটি অ-কোলিনিয়ার ডায়োফ্যান্টাইন চিত্র প্রসারিত করার যে কোনও প্রক্রিয়া অবশেষে এমন একটি সংখ্যায় পৌঁছাতে হবে যা আর বাড়ানো যায় না। উদাহরণ শূন্য বা এক বিন্দুর যে কোনও সেটকে তুচ্ছভাবে প্রসারিত করা যেতে পারে এবং দুটি বিন্দুর যে কোনও ডায়োফ্যান্টাইন সেটকে একই লাইনে আরও পয়েন্ট দ্বারা প্রসারিত করা যেতে পারে। অতএব, তিনটি নোডের কম সহ সমস্ত ডায়োফ্যান্টাইন সেট প্রসারিত করা যেতে পারে, তাই তিনটি নোডের কম এর্ডোস-ডায়োফ্যান্টাইন গ্রাফের অস্তিত্ব থাকতে পারে না। সংখ্যাসূচক অনুসন্ধানের মাধ্যমে, দেখানো হয়েছে যে তিন-নোড এরডস-ডায়োফ্যান্টাইন গ্রাফ বিদ্যমান। ক্ষুদ্রতম এরদোস-ডায়োফ্যান্টাইন ত্রিভুজটির প্রান্ত দৈর্ঘ্য 2066,1803 এবং 505 দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। পরবর্তী বৃহত্তর এরদোস-ডায়োফ্যান্টাইন ত্রিভুজের প্রান্ত 2549,2307 এবং 1492। উভয় ক্ষেত্রেই, তিনটি প্রান্ত-দৈর্ঘ্যের যোগফল হল জোড়। ব্রাঞ্চেভা প্রমাণ করেছেন যে এই বৈশিষ্ট্যটি সমস্ত এরদোস-ডায়োফ্যান্টাইন ত্রিভুজের জন্য প্রযোজ্য। আরও সাধারণভাবে, একটি এরডোস-ডায়োফ্যান্টাইন গ্রাফের যে কোনও বদ্ধ পথের মোট দৈর্ঘ্য সর্বদা জোড় হয়। 4-নোড এরডোস-ডায়োফ্যান্টাইন গ্রাফের একটি উদাহরণ 4 এবং 3 পার্শ্বযুক্ত একটি আয়তক্ষেত্রের শীর্ষে অবস্থিত চারটি নোড দ্বারা গঠিত সম্পূর্ণ গ্রাফ দ্বারা সরবরাহ করা হয়। তথ্যসূত্র ডায়োফ্যান্টাইন গ্রাফ ডায়োফ্যান্টাইন সমীকরণ বীজগাণিতিক জ্যামিতি পৃথক জ্যামিতি জ্যামিতিক গ্রাফ সমতল জ্যামিতির গাণিতিক সমস্যা