Singular integral
গণিতে, একক ইন্টিগ্রালগুলি সুরেলা বিশ্লেষণের কেন্দ্রবিন্দু এবং আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের অধ্যয়নের সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সংযুক্ত। মোটামুটিভাবে বলতে গেলে একটি সিঙ্গুলার ইন্টিগ্রাল হল একটি ইন্টিগ্রাল অপারেটর যার কার্নেল ফাংশন K: Rn × Rn → R তির্যক x = y বরাবর সিঙ্গুলার। বিশেষত, এককত্বটি এমন যে |K (x, y)। আকারের |x −y। −n উপসর্গহীনভাবে |x −y। → 0। যেহেতু এই জাতীয় ইন্টিগ্রালগুলি সাধারণভাবে সম্পূর্ণরূপে ইন্টিগ্রেবল নাও হতে পারে, তাই একটি কঠোর সংজ্ঞা অবশ্যই তাদের |y −x।> ε-এর উপর ইন্টিগ্রালের সীমা হিসাবে ε → 0 হিসাবে সংজ্ঞায়িত করতে হবে, তবে বাস্তবে এটি একটি প্রযুক্তিগততা। সাধারণত এল. পি (আর. এন)-এর উপর তাদের সীমাবদ্ধতার মতো ফলাফল পাওয়ার জন্য আরও অনুমানের প্রয়োজন হয়। হিলবার্ট রূপান্তর প্রত্নতাত্ত্বিক একক অবিচ্ছেদ্য অপারেটর হল হিলবার্ট রূপান্তর এইচ। এটি R-এ x-এর জন্য কার্নেল K (x) = 1/(πx)-এর বিপরীতে কনভোলিউশন দ্বারা দেওয়া হয়। আরও সুনির্দিষ্টভাবে বলতে গেলে, এগুলির মধ্যে সবচেয়ে সরল উচ্চতর মাত্রার অ্যানালগগুলি হল Riesz রূপান্তর, যা K (x) = 1/x-কে যেখানে i = 1,., n-এর সাথে প্রতিস্থাপন করে এবং Rn-এ x-এর i-তম উপাদান। এই সমস্ত অপারেটর এল. পি-তে আবদ্ধ এবং দুর্বল-ধরনের (1,1) অনুমানগুলি পূরণ করে। কনভোলিউশন প্রকারের একক ইন্টিগ্রাল হল কনভোলিউশন প্রকারের একক ইন্টিগ্রাল একটি অপারেটর টি যা একটি কার্নেল K-এর সাথে কনভোলিউশন দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয় যা Rn\ {0}-এ স্থানীয়ভাবে ইন্টিগ্রেবল, এই অর্থে যে ধরুন যে কার্নেলটি সন্তুষ্ট করেঃ K-এর ফুরিয়ার রূপান্তরের আকারের শর্ত মসৃণতা শর্তঃ কিছু C> 0-এর জন্য, এটি দেখানো যেতে পারে যে T Lp (Rn)-এ আবদ্ধ এবং একটি দুর্বল-প্রকার (1,1) অনুমানকে সন্তুষ্ট করে। বৈশিষ্ট্য 1. টেম্পারড ডিস্ট্রিবিউশন পি. ভি-এর সাথে সেই কনভোলিউশন () নিশ্চিত করার জন্য প্রয়োজন। মূল মান ইন্টিগ্রাল দ্বারা প্রদত্ত K হল L2-এর উপর একটি সুনির্দিষ্ট ফুরিয়ার গুণক। 1. বা 2. বৈশিষ্ট্যগুলির কোনওটিই অবশ্যই যাচাই করা সহজ নয় এবং বিভিন্ন পর্যাপ্ত শর্ত বিদ্যমান। সাধারণত অ্যাপ্লিকেশনগুলিতে, একটির বাতিলকরণ শর্তও থাকে যা পরীক্ষা করা বেশ সহজ। এটি স্বয়ংক্রিয়, উদাহরণস্বরূপ, যদি কে একটি বিজোড় ফাংশন হয়। যদি, উপরন্তু, একজন 2. এবং নিম্নলিখিত আকারের শর্তটি ধরে নেয় তবে এটি দেখানো যেতে পারে যে 1. অনুসরণ করে। মসৃণতা শর্ত 2. প্রায়শই নীতিগতভাবে পরীক্ষা করা কঠিন, একটি কার্নেল কে-এর নিম্নলিখিত পর্যাপ্ত শর্তটি ব্যবহার করা যেতে পারেঃ লক্ষ্য করুন যে হিলবার্ট এবং রিজ রূপান্তরের জন্য এই শর্তগুলি সন্তুষ্ট, তাই এই ফলাফলটি সেই ফলাফলগুলির একটি সম্প্রসারণ। নন-কনভোলিউশন ধরনের সিঙ্গুলার ইন্টিগ্রালগুলি আরও বেশি সাধারণ অপারেটর। যাইহোক, যেহেতু আমাদের অনুমানগুলি এত দুর্বল, তাই এই অপারেটরগুলি এলপিতে আবদ্ধ হওয়ার বিষয়টি অগত্যা নয়। ক্যালডেরন-জাইগমন্ড কার্নেল একটি ফাংশনকে ক্যালডেরন-জাইগমন্ড কার্নেল বলা হয় যদি এটি কিছু ধ্রুবক C> 0 এবং δ> 0 এর জন্য নিম্নলিখিত শর্তগুলি পূরণ করে। অ-কনভোলিউশন প্রকার টি-এর একক ইন্টিগ্রালগুলি ক্যালডেরন-জাইগমন্ড কার্নেল কে-এর সাথে যুক্ত অ-কনভোলিউশন প্রকারের একক ইন্টিগ্রাল অপারেটর হিসাবে বলা হয় যদি যখনই এফ এবং জি মসৃণ হয় এবং তাদের বিচ্ছিন্ন সমর্থন থাকে। এই ধরনের অপারেটরদের এল. পি. ক্যালডেরন-জাইগমন্ড অপারেটরদের দ্বারা আবদ্ধ হওয়ার প্রয়োজন নেই একটি ক্যালডেরন-জাইগমন্ড কার্নেল কে-এর সাথে যুক্ত নন-কনভোলিউশন টাইপ টি-এর একক ইন্টিগ্রালকে ক্যালডেরন-জাইগমন্ড অপারেটর বলা হয় যখন এটি এল 2-এর উপর আবদ্ধ থাকে, অর্থাৎ, একটি সি> 0 থাকে যাতে সমস্ত মসৃণ কম্প্যাক্টভাবে সমর্থিত এফ-এর জন্য। এটি প্রমাণ করা যেতে পারে যে এই ধরনের অপারেটররা আসলে 1 <p <ν দিয়ে সমস্ত Lp-তে আবদ্ধ। টি (বি) উপপাদ্য টি (বি) উপপাদ্যটি একটি একক ইন্টিগ্রাল অপারেটরের জন্য ক্যালডেরন-জাইগমুন্ড অপারেটর হওয়ার জন্য পর্যাপ্ত শর্ত প্রদান করে, যা একটি ক্যালডেরন-জাইগমুন্ড কার্নেলের সাথে যুক্ত একক ইন্টিগ্রাল অপারেটরের জন্য এল 2-এ আবদ্ধ হওয়ার জন্য। ফলাফলটি বলার জন্য আমাদের প্রথমে কিছু শর্তাবলী নির্ধারণ করতে হবে। একটি স্বাভাবিক বাম্প হল একটি মসৃণ ফাংশন φ যা Rn-এর উপর 1 ব্যাসার্ধের একটি বল-এ সমর্থিত এবং উৎপত্তিস্থলে এমনভাবে কেন্দ্রীভূত থাকে যে, সমস্ত বহু-সূচক |α। ≤ n + 2-এর জন্য। Rn এবং r> 0-এর সমস্ত x-এর জন্য τx (φ) (y) = φ (y − x) এবং φr (x) = r − nφ (x/r) দ্বারা চিহ্নিত করুন। একটি অপারেটরকে দুর্বলভাবে আবদ্ধ বলা হয় যদি একটি ধ্রুবক সি থাকে যা সমস্ত স্বাভাবিক বাম্পের জন্য φ এবং si হয়। একটি ফাংশনকে অ্যাক্রিটিভ বলা হয় যদি একটি ধ্রুবক c> 0 থাকে যা R-এ সমস্ত x-এর জন্য Re (b) (x) ≤ c হয়। টি (বি) উপপাদ্যটি বলে যে, ক্যালডেরন-জাইগমন্ড কার্নেলের সঙ্গে যুক্ত একটি একক ইন্টিগ্রাল অপারেটর টি এল2-এর উপর আবদ্ধ থাকে যদি এটি কিছু আবদ্ধ অ্যাক্রিটিভ ফাংশন বি1 এবং বি2-এর জন্য নিম্নলিখিত তিনটি শর্ত পূরণ করেঃ দুর্বলভাবে আবদ্ধ; বি. এম. ও-তে রয়েছে; বি. এম. ও-তে রয়েছে, যেখানে টি. টি হল টি-এর ট্রান্সপোজ অপারেটর। । । (রুশ ভাষায়)। । , (ইউরোপীয় সংস্করণঃ)। বাহ্যিক যোগসূত্র হারমোনিক বিশ্লেষণ বাস্তব বিশ্লেষণ