Group Hopf algebra
গণিতে, প্রদত্ত গোষ্ঠীর হপফ বীজগণিত গোষ্ঠী ক্রিয়াগুলির প্রতিসাম্য সম্পর্কিত একটি নির্দিষ্ট গঠন। কোয়ান্টাম গ্রুপ তত্ত্বের ভিত্তি হপফ অ্যালজেব্রার গোষ্ঠীগুলির বিকৃতি। সংজ্ঞা ধরা যাক জি একটি গ্রুপ এবং কে একটি ক্ষেত্র। G-এর উপর k-এর হোপফ বীজগণিত গোষ্ঠী, যাকে kG (বা k [G]) বলা হয়, একটি সেট (এবং একটি ভেক্টর স্পেস) হিসাবে G-এর উপর k-এর মুক্ত ভেক্টর স্থান। একটি বীজগণিত হিসাবে, এর গুণফলকে G-তে গ্রুপ গঠনের রৈখিক সম্প্রসারণ দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়, যার গুণিতক একক হল G-এর পরিচয়; এই গুণফলটি কনভোলিউশন নামেও পরিচিত। লক্ষ্য করুন যে একটি সীমাবদ্ধ গোষ্ঠীর গ্রুপ বীজগণিতকে গ্রুপের ফাংশনের স্থান দিয়ে চিহ্নিত করা যেতে পারে, তবে একটি অসীম গোষ্ঠীর জন্য এগুলি আলাদা। গোষ্ঠী বীজগণিত, সসীম যোগফল নিয়ে গঠিত, সেই গোষ্ঠীর ফাংশনের সাথে মিলে যায় যা সসীমভাবে অনেক পয়েন্টের জন্য অদৃশ্য হয়ে যায়; টপোলজিক্যালি (বিচ্ছিন্ন টপোলজি ব্যবহার করে), এগুলি এমন ফাংশনের সাথে মিলে যায় যা শুধুমাত্র একটি সসীম সেটে অ-শূন্য। যাইহোক, গ্রুপ বীজগণিত এবং-G গুণিত k-এর ফাংশনের বিনিময় বীজগণিত-দ্বৈতঃ গ্রুপ বীজগণিতের একটি উপাদান এবং গ্রুপের একটি ফাংশন দেওয়া হলে এই জুটি k-এর একটি উপাদান দেয় যার মাধ্যমে এটি একটি সুনির্দিষ্ট যোগফল কারণ এটি সীমাবদ্ধ। হপফ বীজগণিত কাঠামো আমরা জি-তে সংজ্ঞায়িত নিম্নলিখিত মানচিত্রগুলির রৈখিক সম্প্রসারণ হিসাবে সহ-উৎপাদন, কাউন্টি এবং অ্যান্টিপোডকে সংজ্ঞায়িত করে কে. জি-কে একটি কোকম্যুটেটিভ হপফ বীজগণিতের কাঠামো দিচ্ছিঃ প্রয়োজনীয় হপফ বীজগণিত সামঞ্জস্য স্বতঃসিদ্ধগুলি সহজেই পরীক্ষা করা হয়। লক্ষ্য করুন যে, কে. জি-র গোষ্ঠী-সদৃশ উপাদানগুলির সমষ্টি (অর্থাৎ। উপাদান যেমন যে এবং), সুনির্দিষ্টভাবে জি। গোষ্ঠী ক্রিয়াগুলির প্রতিসাম্য ধরা যাক জি একটি গোষ্ঠী এবং এক্স একটি টপোলজিকাল স্থান। X-এর উপর G-এর যে কোনও ক্রিয়া একটি সমরূপতা প্রদান করে, যেখানে F (X) হল k-মানযুক্ত ফাংশনের একটি উপযুক্ত বীজগণিত, যেমন অনন্ততায় অদৃশ্য হয়ে যাওয়া অবিচ্ছিন্ন ফাংশনের গেলফ্যান্ড-নাইমার্ক বীজগণিত। সমরূপতা দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়, এবং দ্বারা সংজ্ঞায়িত সংযোজন সহ। এটি একটি রৈখিক ম্যাপিং দ্বারা বর্ণনা করা যেতে পারে যেখানে, জি-এর উপাদানগুলি এবং, যার এমন বৈশিষ্ট্য রয়েছে যে গোষ্ঠী-সদৃশ উপাদানগুলি এফ (এক্স)-এর অটোমরফিজমের জন্ম দেয়। নীচে বর্ণিত একটি গুরুত্বপূর্ণ অতিরিক্ত কাঠামো সহ এফ (এক্স) প্রদান করে। হপফ মডিউল অ্যালজেব্রা এবং হপফ স্ম্যাশ পণ্য এইচ একটি হপফ বীজগণিত হতে দিন। একটি (বামে) হপফ এইচ-মডিউল বীজগণিত এ হল একটি বীজগণিত যা বীজগণিত এইচ-এর উপর একটি (বামে) মডিউল যাতে এবং যখনই, এবং যোগফলহীন সুইডলার স্বরলিপিতে। যখন পূর্ববর্তী বিভাগ হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে, এটি এফ (এক্স) কে একটি বাম হপফ কেজি-মডিউল বীজগণিতে পরিণত করে, যা নিম্নলিখিত নির্মাণের অনুমতি দেয়। ধরা যাক এইচ একটি হপফ বীজগণিত এবং এ একটি বাম হপফ এইচ-মডিউল বীজগণিত। স্ম্যাশ প্রোডাক্ট বীজগণিত হল প্রোডাক্টের সাথে ভেক্টর স্পেস, এবং আমরা এই প্রসঙ্গে লিখি। আমাদের ক্ষেত্রে, এবং, এবং আমাদের আছে। এই ক্ষেত্রে স্ম্যাশ পণ্য বীজগণিতও দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। হপফ স্ম্যাশ পণ্যগুলির চক্রীয় সমরূপতা গণনা করা হয়েছে। যাইহোক, সেখানে স্ম্যাশ পণ্যটিকে একটি ক্রস করা পণ্য বলা হয় এবং চিহ্নিত করা হয়-- ডাইনামিক্যাল সিস্টেম থেকে প্রাপ্ত ক্রস করা পণ্যের সাথে বিভ্রান্ত হবেন না। তথ্যসূত্র হপফ আলজেব্রা কোয়ান্টাম গ্রুপ