Discontinuous Galerkin method
ফলিত গণিতে, বিচ্ছিন্ন গ্যালারকিন পদ্ধতি (ডিজি পদ্ধতি) ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সমাধানের জন্য সংখ্যাসূচক পদ্ধতির একটি শ্রেণী গঠন করে। এগুলি সসীম উপাদান এবং সসীম আয়তন কাঠামোর বৈশিষ্ট্যগুলিকে একত্রিত করে এবং বিস্তৃত প্রয়োগ থেকে উদ্ভূত হাইপারবোলিক, উপবৃত্তাকার, প্যারাবোলিক এবং মিশ্র ফর্ম সমস্যাগুলিতে সফলভাবে প্রয়োগ করা হয়েছে। ডিজি পদ্ধতিগুলি বিশেষত একটি প্রভাবশালী প্রথম-ক্রম অংশের সমস্যাগুলির জন্য যথেষ্ট আগ্রহ পেয়েছে, যেমন। তড়িৎগতিবিদ্যা, তরল বলবিজ্ঞান এবং প্লাজমা পদার্থবিজ্ঞানে। 1970-এর দশকের গোড়ার দিকে আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলি সংখ্যাসূচকভাবে সমাধান করার কৌশল হিসাবে বিচ্ছিন্ন গ্যালারকিন পদ্ধতিগুলি প্রথম প্রস্তাবিত এবং বিশ্লেষণ করা হয়েছিল। 1973 সালে রিড এবং হিল হাইপারবোলিক নিউট্রন পরিবহন সমীকরণ সমাধানের জন্য একটি ডিজি পদ্ধতি চালু করেন। উপবৃত্তাকার সমস্যার জন্য ডিজি পদ্ধতির উৎপত্তি একটি একক প্রকাশনায় খুঁজে পাওয়া যায় না কারণ আধুনিক অর্থে জাম্প পেনালাইজেশনের মতো বৈশিষ্ট্যগুলি ধীরে ধীরে বিকশিত হয়েছিল। তবে, প্রথম দিকের প্রভাবশালী অবদানকারীদের মধ্যে ছিলেন বাবুস্কা, জে. এল. লায়ন্স, জোয়াকিম নিৎশে এবং মিলোস জ্লামাল। 1977 সালে চতুর্থ ক্রমের সমীকরণ স্থাপনের সময় গার্থ বেকার একটি গবেষণাপত্রে উপবৃত্তাকার সমস্যার জন্য ডিজি পদ্ধতি তৈরি করেছিলেন। ঐতিহাসিক বিকাশের আরও সম্পূর্ণ বিবরণ এবং উপবৃত্তাকার সমস্যার জন্য ডিজি পদ্ধতির একটি ভূমিকা আর্নল্ড, ব্রেজি, ককবার্ন এবং মারিনির একটি প্রকাশনায় দেওয়া হয়েছে। ককবার্ন, কর্ণিয়াদাকিস এবং শু সম্পাদিত কার্যধারা খণ্ডে ডিজি পদ্ধতির উপর বেশ কয়েকটি গবেষণা নির্দেশনা এবং চ্যালেঞ্জ সংগ্রহ করা হয়েছে। সংক্ষিপ্ত বিবরণ অবিচ্ছিন্ন গ্যালারকিন (সিজি) পদ্ধতির মতোই, বিচ্ছিন্ন গ্যালারকিন (ডিজি) পদ্ধতি একটি নির্দিষ্ট মডেল সিস্টেমের দুর্বল গঠনের সাথে সম্পর্কিত একটি সীমাবদ্ধ উপাদান পদ্ধতি। প্রচলিত সিজি পদ্ধতির বিপরীতে, ডিজি পদ্ধতিটি এমন ফাংশনের একটি ট্রায়াল স্পেসে কাজ করে যা শুধুমাত্র পিসওয়াইজ কন্টিনিউয়াস, এবং এইভাবে প্রায়শই সামঞ্জস্যপূর্ণ পদ্ধতিতে ব্যবহৃত সীমাবদ্ধ-মাত্রিক অভ্যন্তরীণ পণ্য সাবস্পেসের তুলনায় আরও বেশি অন্তর্ভুক্তিমূলক ফাংশন স্পেস নিয়ে গঠিত। উদাহরণস্বরূপ, "উৎস" বা "ডুব" ছাড়া একটি স্থানিক ডোমেনে অজানা স্কেলারের ধারাবাহিকতা সমীকরণ বিবেচনা করুনঃ এর প্রবাহ কোথায়। এখন একটি বিচ্ছিন্ন ত্রিভুজের মধ্যে সীমাবদ্ধ স্থানিক ডোমেনের উপর বিচ্ছিন্ন পিসওয়াইজ পলিনোমিয়াল ফাংশনের সসীম-মাত্রিক স্থান বিবেচনা করুন, যা দ্বারা সূচিবদ্ধ ওভার এলিমেন্টের চেয়ে কম বা সমান ডিগ্রি সহ পলিনোমিয়ালের স্থান হিসাবে লেখা হয়। তারপরে সসীম উপাদান আকৃতির ফাংশনের জন্য সমাধানটি দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয় তারপর একইভাবে একটি পরীক্ষা ফাংশন নির্বাচন করে ধারাবাহিকতা সমীকরণকে গুণ করে এবং স্থানের অংশ দ্বারা সংহত করে, সেমিডিস্ক্রিট ডিজি সূত্রটি হয়ে যায়ঃ স্কেলার হাইপারবোলিক সংরক্ষণ আইন একটি স্কেলার হাইপারবোলিক সংরক্ষণ আইন এমন একটি রূপ যেখানে কেউ অজানা স্কেলার ফাংশনের জন্য সমাধান করার চেষ্টা করে এবং ফাংশনগুলি সাধারণত দেওয়া হয়। স্পেস ডিসক্রিটাইজেশন-স্পেসকে এইভাবে ডিসক্রিটাইজ করা হবে। উপরন্তু, ফাংশন স্পেসের জন্য আমাদের নিম্নলিখিত সংজ্ঞাগুলি প্রয়োজন। আমরা আমাদের সমাধানের ফাংশন স্পেসের জন্য ভিত্তি উপস্থাপনা অর্জন করি। ফাংশন স্পেসকে সংজ্ঞায়িত করা হয় যেখানে ব্যবধানের উপর সীমাবদ্ধতা নির্দেশ করে এবং সর্বাধিক মাত্রার বহুপদের স্থান নির্দেশ করে। সূচকটি দ্বারা প্রদত্ত একটি অন্তর্নিহিত বিচ্যুতির সাথে সম্পর্ক দেখানো উচিত। এখানে লক্ষ্য করুন যে ছেদ বিন্দুতে অনন্যভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়নি। প্রথমে আমরা ব্যবধানের উপর একটি নির্দিষ্ট বহুপদী ভিত্তি ব্যবহার করি, লেজেন্ড্রে বহুপদী, অর্থাৎ, বিশেষত অর্থোগোনালিটি সম্পর্কগুলি লক্ষ্য করুন ব্যবধানের উপর রূপান্তর, এবং স্বাভাবিককরণ এমন ফাংশন দ্বারা অর্জন করা হয় যা অর্থোনর্মালিটি সম্পর্ককে পূরণ করে একটি ব্যবধানের উপর রূপান্তর দেওয়া হয় যার দ্বারা আমরা সংজ্ঞায়িত করি-স্বাভাবিককরণের জন্য, এবং-স্বাভাবিককরণের জন্য আমরা সংজ্ঞায়িত করি, এস. টি। পরিশেষে, আমরা আমাদের সমাধানগুলির ভিত্তি উপস্থাপনাকে সংজ্ঞায়িত করতে পারি এখানে উল্লেখ করুন, যা ইন্টারফেসের অবস্থানগুলিতে সংজ্ঞায়িত করা হয় না। এছাড়াও, প্রিজম ঘাঁটিগুলি প্ল্যানারের মতো কাঠামোর জন্য নিযুক্ত করা হয় এবং 2-ডি/3-ডি সংকরকরণের জন্য সক্ষম। ডিজি-স্কিম সংরক্ষণ আইনটি পরীক্ষার ফাংশনগুলির সাথে গুণ করে এবং পরীক্ষার বিরতিতে সংহতকরণের মাধ্যমে তার দুর্বল আকারে রূপান্তরিত হয় আংশিক সংহতকরণ ব্যবহার করে একটি অবশিষ্ট থাকে ইন্টারফেসে ফ্লাক্সগুলি সংখ্যাসূচক ফ্লাক্স দ্বারা আনুমানিক হয় যেখানে বাম এবং ডান দিকের সীমা বোঝায়। পরিশেষে, ডিজি-স্কিমকে স্কেলার উপবৃত্তাকার সমীকরণ হিসাবে লেখা যেতে পারে একটি স্কেলার উপবৃত্তাকার সমীকরণ এই সমীকরণটি স্থির-অবস্থা তাপ সমীকরণ, যেখানে তাপমাত্রা। স্পেস ডিসক্রেটাইজেশন উপরের মতোই। আমরা স্মরণ করি যে ব্যবধানটি দৈর্ঘ্যের ব্যবধানগুলিতে বিভক্ত করা হয়। আমরা নোডে ফাংশনগুলির লাফ এবং গড় প্রবর্তন করিঃ অভ্যন্তরীণ পেনাল্টি বিচ্ছিন্ন গ্যালারকিন (আই. পি. ডি. জি) পদ্ধতিটি হ 'লঃ যেখানে দ্বিমাত্রিক গঠন হয় এবং আছে এবং আছে সেখানে সন্তোষজনক খুঁজে বের করুন। এর মান বৃদ্ধি করলে বিচ্ছিন্ন দ্রবণে লাফ কমবে। এই শব্দটি প্রতিসম অভ্যন্তরীণ পেনাল্টি গ্যালারকিন পদ্ধতির জন্য সমান হিসাবে বেছে নেওয়া হয়েছে; এটি অসমমিত অভ্যন্তরীণ পেনাল্টি গ্যালারকিন পদ্ধতির জন্য সমান। সরাসরি বিচ্ছিন্ন গ্যালারকিন পদ্ধতি সরাসরি বিচ্ছিন্ন গ্যালারকিন (ডিডিজি) পদ্ধতি হল বিচ্ছুরণ সমস্যা সমাধানের জন্য একটি নতুন বিচ্ছিন্ন গ্যালারকিন পদ্ধতি। 2009 সালে, লিউ এবং ইয়ান প্রথম ডিফিউশন সমীকরণ সমাধানের জন্য ডিডিজি পদ্ধতির প্রস্তাব করেছিলেন। বিচ্ছিন্ন গ্যালারকিন পদ্ধতির তুলনায় এই পদ্ধতির সুবিধাগুলি হল যে সরাসরি বিচ্ছিন্ন গ্যালারকিন পদ্ধতিটি মধ্যবর্তী চলক প্রবর্তন না করে সরাসরি ফাংশনের সংখ্যাসূচক প্রবাহ এবং প্রথম ডেরিভেটিভ শব্দটি গ্রহণ করে সংখ্যাসূচক বিন্যাস অর্জন করে। আমরা এখনও এই পদ্ধতিটি ব্যবহার করে একটি যুক্তিসঙ্গত সংখ্যাসূচক ফলাফল পেতে পারি, এবং ব্যুৎপত্তি প্রক্রিয়াটি আরও সহজ, গণনার পরিমাণ ব্যাপকভাবে হ্রাস পায়। ডাইরেক্ট ডিসকন্টিনিউয়াস ফাইনাইট এলিমেন্ট পদ্ধতি হল ডিসকন্টিনিউয়াস গ্যালারকিন পদ্ধতির একটি শাখা। এর মধ্যে রয়েছে মূলত সমস্যাটিকে বৈচিত্র্যময় আকারে রূপান্তরিত করা, আঞ্চলিক একক বিভাজন, ভিত্তি ফাংশন তৈরি করা, বিচ্ছিন্ন সীমাবদ্ধ উপাদান সমীকরণ গঠন ও সমাধান করা এবং অভিসরণ ও ত্রুটি বিশ্লেষণ। উদাহরণস্বরূপ, একটি অরৈখিক বিচ্ছুরণ সমীকরণ বিবেচনা করুন, যা এক-মাত্রিকঃ, যেখানে স্পেস ডিসক্রেটাইজেশন প্রথমত, এবং সংজ্ঞায়িত করে। অতএব আমরা এর স্থান বিচক্ষণকরণ করেছি। এছাড়াও, সংজ্ঞায়িত করুন। আমরা এমন একটি আনুমানিক অনুমান খুঁজে পেতে চাই যে,, সর্বাধিক ডিগ্রি সহ পলিনোমিয়ালের স্থান। ফ্লাক্স স্কিমের গঠনঃ : সমীকরণের সঠিক সমাধান। সমীকরণটিকে একটি মসৃণ ফাংশনের সাথে গুণ করুন যাতে আমরা নিম্নলিখিত সমীকরণগুলি পেতে পারিঃ এখানে স্বেচ্ছাচারী, সমীকরণের সঠিক সমাধানটি আনুমানিক সমাধান দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়, অর্থাৎ, আমাদের প্রয়োজনীয় সংখ্যাসূচক সমাধানটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলি সমাধান করে প্রাপ্ত হয়। ডিডিজি পদ্ধতির নির্ভুলতার জন্য একটি সঠিক সংখ্যাসূচক প্রবাহ নির্বাচন করা গুরুত্বপূর্ণ। সংখ্যাসূচক প্রবাহকে নিম্নলিখিত শর্তগুলি পূরণ করতে হবেঃ এটি এর সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ। এর-স্থিতিশীলতা রয়েছে; এটি পদ্ধতির নির্ভুলতার উন্নতি করতে পারে। সুতরাং, সংখ্যাসূচক প্রবাহের জন্য একটি সাধারণ স্কিম দেওয়া হয়েছেঃ এই প্রবাহের মধ্যে, দুটি প্রতিবেশী কম্পিউটিং ইউনিটে বহুপদের সর্বোচ্চ ক্রম। এটি একটি ফাংশনের লাফ। মনে রাখবেন যে অ-অভিন্ন গ্রিডে, অভিন্ন গ্রিডে থাকা উচিত। ত্রুটি অনুমান নির্দেশ করে যে সঠিক সমাধান এবং সংখ্যাসূচক সমাধানের মধ্যে ত্রুটি হল। আমরা নিম্নলিখিত নিয়মের সাথে ত্রুটিটি পরিমাপ করিঃ এবং আমাদের আছে, গ্যালারকিন পদ্ধতি রেফারেন্স ডি. এন. দেখুন। আর্নল্ড, এফ. ব্রেজি, বি. ককবার্ন এবং এল. ডি। মারিনি, উপবৃত্তাকার সমস্যার জন্য বিচ্ছিন্ন গ্যালারকিন পদ্ধতির একীভূত বিশ্লেষণ, সিয়াম জে. নুমার। অ্যানাল। 39 (5): 1749-1779,2002। জি. বেকার, অসঙ্গতিপূর্ণ উপাদান ব্যবহার করে উপবৃত্তাকার সমীকরণের জন্য সীমাবদ্ধ উপাদান পদ্ধতি, গণিত। কম্পিটিশন। 31 (1977), নং। 137, 45-59। এ. ক্যাঙ্গিয়ানি, জেড. ডং, ই. এইচ. জর্জুলিস, এবং পি. হিউস্টন, এইচপি-ভার্সন ডিসকন্টিনিউয়াস গ্যালারকিন মেথডস অন পলিগনাল অ্যান্ড পলিহেড্রাল মেশ, স্প্রিংগারব্রিফস ইন ম্যাথমেটিক্স, (ডিসেম্বর 2017)। ডব্লিউ. মাই, জে. হু, পি. লি, এবং এইচ. ঝাও, "বিচ্ছুরিত সমান্তরাল-প্লেট জুটিতে নির্বিচারে আকৃতির অ্যান্টিপ্যাডগুলির জন্য অভিযোজিত মানদণ্ড সহ একটি দক্ষ এবং স্থিতিশীল 2-ডি/3-ডি হাইব্রিড বিচ্ছিন্ন গ্যালারকিন সময়-ডোমেন বিশ্লেষণ", আই. ই. ই. ই ট্রান্স। মাইক্রো। থিওরি টেক., ভলিউম। 65, না। 10, পিপি। 3671-3681, অক্টোবর 2017। ডব্লিউ. মাই এবং অন্যান্যরা বলেন, "তুলনামূলক ত্রুটি নিয়ন্ত্রণের জন্য 2-ডি/3-ডি হাইব্রিড বিচ্ছিন্ন গ্যালারকিন সময়-ডোমেন পদ্ধতির জন্য একটি সহজ আপডেট মানদণ্ড", আই. ই. ই. ই ট্রান্স। মাইক্রো। থিওরি টেক., ভলিউম। 66, না। 4, পিপি। 1713-1722, এপ্রিল। 2018 সালে। বি. ককবার্ন, জি. ই. কর্ণিয়াদাকিস এবং সি. ডব্লিউ. শু (সংস্করণ। ), বিচ্ছিন্ন গ্যালারকিন পদ্ধতি। তত্ত্ব, গণনা এবং প্রয়োগ, গণনামূলক বিজ্ঞান ও প্রকৌশল বিষয়ে লেকচার নোট, 11। স্প্রিঙ্গার-ভার্লাগ, বার্লিন, 2000। পি. লেসেন্ট এবং পি. এ. রাভিয়ার্ট। "নিউট্রন পরিবহন সমীকরণ সমাধানের জন্য একটি সীমাবদ্ধ উপাদান পদ্ধতিতে"। আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণে সীমাবদ্ধ উপাদানগুলির গাণিতিক দিক 33 (1974): 89-123। ডি. এ ডি পিয়েত্রো এবং এ. আর্ন, বিচ্ছিন্ন গ্যালারকিন পদ্ধতির গাণিতিক দিক। গাণিতিক ও প্রয়োগ, খণ্ড। 69, স্প্রিঙ্গার-ভার্লাগ, বার্লিন, 2011। জে. এস হেস্টহেভেন এবং টি. ওয়ারবার্টন, নোডাল ডিসকন্টিনিউয়াস গ্যালারকিন পদ্ধতিঃ অ্যালগরিদম, বিশ্লেষণ এবং প্রয়োগ। স্প্রিংগার টেক্সটস ইন অ্যাপ্লায়েড ম্যাথমেটিক্স 54। স্প্রিঙ্গার ভার্লাগ, নিউ ইয়র্ক, 2008। বি. রিভিয়ের, উপবৃত্তাকার এবং প্যারাবলিক সমীকরণ সমাধানের জন্য বিচ্ছিন্ন গ্যালারকিন পদ্ধতিঃ তত্ত্ব এবং বাস্তবায়ন। সিয়াম ফ্রন্টিয়ার্স ইন অ্যাপ্লায়েড ম্যাথমেটিক্স, 2008। সি. এফ. ডি উইকি http://www.cfd-online.com/Wiki/Discontinuous_Galerkin ডব্লিউ. এইচ. রিড এবং টি. আর. নিউট্রন পরিবহন সমীকরণের জন্য পাহাড়, ত্রিভুজাকার জাল পদ্ধতি, টেক। রিপোর্ট এলএ-ইউআর-73-479, লস আলামোস সায়েন্টিফিক ল্যাবরেটরি, 1973। সংখ্যাসূচক অবকল সমীকরণ আংশিক অবকল সমীকরণ সীমাবদ্ধ উপাদান পদ্ধতি