Generalized Dirichlet distribution
পরিসংখ্যানে, সাধারণীকৃত ডিরিচলেট ডিস্ট্রিবিউশন (জিডি) হল ডিরিচলেট ডিস্ট্রিবিউশনের একটি সাধারণীকরণ যা আরও সাধারণ সহপরিবর্তন কাঠামো এবং পরামিতিগুলির সংখ্যার প্রায় দ্বিগুণ। জিডি বিতরণ সহ এলোমেলো ভেক্টরগুলি সম্পূর্ণ নিরপেক্ষ। এর ঘনত্ব ফাংশন হল যেখানে আমরা সংজ্ঞায়িত করি। এখানে বিটা ফাংশন বোঝানো হয়েছে। এটি স্ট্যান্ডার্ড ডিরিচলেট ডিস্ট্রিবিউশনে হ্রাস পায় যদি (নির্বিচারে হয়)। উদাহরণস্বরূপ, যদি k = 4 হয়, তবে এর ঘনত্ব ফাংশন হল কোথায় এবং। কনর এবং মোসিম্যান পিডিএফকে সংজ্ঞায়িত করেছেন যেমনটি তারা নিম্নলিখিত কারণে করেছিলেন। এর সাথে র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলি সংজ্ঞায়িত করুন। তারপর সাধারণীকৃত ডিরিচলেট ডিস্ট্রিবিউশনকে উপরে প্যারামিট্রাইজড করুন, যদি এগুলি প্যারামিটার সহ স্বাধীন বিটা হয়। ওয়াং ওয়াং দ্বারা প্রদত্ত বিকল্প ফর্মটি কোথায় এবং এর জন্য কিছুটা সংক্ষিপ্ত ফর্ম দেয়। লক্ষ্য করুন যে ওং একটি মাত্রিক স্থানের উপর একটি বিতরণকে সংজ্ঞায়িত করে (অন্তর্নিহিতভাবে সংজ্ঞায়িত) যেখানে কনর এবং মোসিম্যান একটি মাত্রিক স্থান ব্যবহার করে। সাধারণ মুহূর্ত ফাংশন যদি, তাহলে কোথায় এবং এর জন্য। এইভাবে স্ট্যান্ডার্ড ডিরিচলেট বিতরণে হ্রাস যেমন উপরে বলা হয়েছে, যদি তার জন্য বিতরণ একটি স্ট্যান্ডার্ড ডিরিচলেট হয়ে যায়। এই শর্তটি স্বাভাবিক ক্ষেত্রে থেকে আলাদা, যেখানে সাধারণীকৃত বিতরণের অতিরিক্ত পরামিতিগুলিকে শূন্যে সেট করার ফলে মূল বিতরণ হয়। যাইহোক, জিডিডি-র ক্ষেত্রে, এর ফলে একটি খুব জটিল ঘনত্ব ফাংশন হয়। বায়েসিয়ান বিশ্লেষণ ধরুন ডিরিচলেটকে সাধারণীকরণ করা হয়েছে, এবং এটি ট্রায়াল সহ বহুমাত্রিক (এখানে)। এর জন্য এবং যৌথ পোস্টেরিয়র লেখা একটি সাধারণীকৃত ডিরিচলেট ডিস্ট্রিবিউশন যেখানে এবং নমুনা পরীক্ষার জন্য ওয়াং ডিরিচলেট এবং সাধারণীকৃত ডিরিচলেট ডিস্ট্রিবিউশনের মধ্যে পার্থক্যের উদাহরণ হিসাবে নিম্নলিখিত পদ্ধতিটি দেয়। তিনি মনে করেন যে একটি বড় পাত্রে বিভিন্ন রঙের বল থাকে। প্রতিটি রঙের অনুপাত অজানা। পাত্রের রঙ সহ বলের অনুপাত লিখুন। পরীক্ষা 1। বিশ্লেষক 1 বিশ্বাস করেন যে (অর্থাৎ, পরামিতি সহ ডিরিচলেট)। বিশ্লেষক তারপর কাচের বাক্স তৈরি করেন এবং বাক্সে রঙিন মার্বেল রাখেন (এটি ধরে নেওয়া হয় যে এগুলি পূর্ণসংখ্যা)। তারপর বিশ্লেষক 1 পাত্র থেকে একটি বল বের করে, তার রঙ (রঙ বলুন) পর্যবেক্ষণ করে বাক্সে রাখে। তিনি সঠিক বাক্সটি সনাক্ত করতে পারেন কারণ সেগুলি স্বচ্ছ এবং ভিতরে মার্বেলের রঙ দৃশ্যমান। বল টানা না হওয়া পর্যন্ত প্রক্রিয়াটি চলতে থাকে। পরবর্তী বন্টনটি তখন ডিরিচলেট হয় যার পরামিতিগুলি প্রতিটি বাক্সে মার্বেলের সংখ্যা। 2য় পরীক্ষা। বিশ্লেষক 2 বিশ্বাস করেন যে একটি সাধারণীকৃত ডিরিচলেট বিতরণ অনুসরণ করেঃ সমস্ত পরামিতিগুলি আবার ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা হিসাবে ধরে নেওয়া হয়। বিশ্লেষক কাঠের বাক্স তৈরি করেন। বাক্সগুলির দুটি এলাকা রয়েছেঃ একটি বলের জন্য এবং একটি মার্বেলের জন্য। বলগুলি রঙিন হলেও মার্বেল রঙিন নয়। তারপর, তিনি বাক্সে রঙিন বল এবং মার্বেল রাখেন। তারপর সে বাক্সে একটি রঙিন বল রাখে। বিশ্লেষক তখন পাত্র থেকে একটি বল টেনে আনেন। কারণ বাক্সগুলি কাঠের, বিশ্লেষক বলটি কোন বাক্সে রাখবেন তা বলতে পারেন না (যেমনটি তিনি উপরের 1ম পরীক্ষায় করতে পারেন); তাঁর স্মৃতিশক্তিও দুর্বল এবং কোন বাক্সে কোন রঙের বল রয়েছে তা মনে করতে পারেন না। বল ঢুকিয়ে দেওয়ার জন্য কোন বাক্সটি সঠিক তা তাকে খুঁজে বের করতে হবে। তিনি বক্স 1 খুলে এবং এর মধ্যে থাকা বলগুলিকে ড্র হওয়া বলের সাথে তুলনা করে এটি করেন। যদি রঙ আলাদা হয়, তাহলে বাক্সটি ভুল। বিশ্লেষক 1 নং বাক্সে একটি মার্বেল (এস. আই. সি) রাখেন এবং 2 নং বাক্সে চলে যান। তিনি প্রক্রিয়াটি পুনরাবৃত্তি করেন যতক্ষণ না বাক্সের বলগুলি ড্র হওয়া বলের সাথে মেলে, যে সময়ে তিনি বলটি (সিক) অন্যান্য রঙের বলের সাথে বাক্সে রাখেন। বিশ্লেষক তখন কলস থেকে আরেকটি বল টানেন এবং বল টানা না হওয়া পর্যন্ত পুনরাবৃত্তি করেন। প্রতিটি বাক্সে বলের সংখ্যা এবং মার্বেলের সংখ্যা হিসাবে পরামিতি সহ পোস্টেরিয়ারটি তখন সাধারণকরণ করা হয় ডিরিচলেট। লক্ষ্য করুন যে পরীক্ষা 2-এ, বাক্সগুলির ক্রম পরিবর্তন করার একটি অ-তুচ্ছ প্রভাব রয়েছে, পরীক্ষা 1-এর বিপরীতে। আরও দেখুন ডিরিচলেট-মাল্টিনোমিয়াল ডিস্ট্রিবিউশন লুকাক্সের অনুপাত-সমষ্টি স্বাধীনতা উপপাদ্য রেফারেন্স কন্টিনিউয়াস ডিস্ট্রিবিউশন মাল্টিভ্যারিয়েট কন্টিনিউয়াস ডিস্ট্রিবিউশন কনজুগেট পূর্ববর্তী ডিস্ট্রিবিউশন এক্সপোনেনশিয়াল পারিবারিক ডিস্ট্রিবিউশন