Generic property
গণিতে, যে বৈশিষ্ট্যগুলি "সাধারণ" উদাহরণ ধারণ করে সেগুলিকে জেনেরিক বৈশিষ্ট্য বলা হয়। উদাহরণস্বরূপ, ফাংশনের একটি শ্রেণীর জেনেরিক বৈশিষ্ট্য হল সেই ফাংশনের "প্রায় সমস্ত"-এর ক্ষেত্রে সত্য, যেমন বিবৃতিগুলিতে, "একটি জেনেরিক পলিনোমিয়ালের শূন্যের মূল নেই", বা "একটি জেনেরিক বর্গ ম্যাট্রিক্স বিপরীতমুখী"। আরেকটি উদাহরণ হিসাবে, একটি স্থানের একটি সাধারণ বৈশিষ্ট্য হল এমন একটি বৈশিষ্ট্য যা স্থানের "প্রায় সমস্ত" বিন্দুতে ধারণ করে, যেমন বিবৃতিতে বলা হয়েছে, "যদি মসৃণ ম্যানিফোল্ডের মধ্যে একটি মসৃণ ফাংশন হয়, তবে এর একটি সাধারণ বিন্দু একটি সমালোচনামূলক মান নয়"। (এটি সার্দের উপপাদ্য অনুসারে।) গণিতে "জেনেরিক" (যা "প্রায় সমস্ত" দ্বারা বোঝানো হয়) এর অনেকগুলি ভিন্ন ধারণা রয়েছে, যার সাথে "প্রায় কিছুই নয়" (নগণ্য সেট) এর অনুরূপ দ্বৈত ধারণা রয়েছে; দুটি প্রধান শ্রেণী হলঃ পরিমাপ তত্ত্বে, একটি জেনেরিক সম্পত্তি এমন একটি যা প্রায় সর্বত্র ধারণ করে, দ্বৈত ধারণাটি নাল সেট সহ, যার অর্থ "সম্ভাব্যতা 0 সহ"। টপোলজি এবং বীজগাণিতিক জ্যামিতিতে, একটি সাধারণ বৈশিষ্ট্য হল এমন একটি যা একটি ঘন খোলা সেট ধরে রাখে, বা আরও সাধারণভাবে একটি অবশিষ্ট সেটের উপর, দ্বৈত ধারণাটি কোথাও ঘন সেট নয়, বা আরও সাধারণভাবে একটি সামান্য সেট। বেশ কয়েকটি প্রাকৃতিক উদাহরণ রয়েছে যেখানে এই ধারণাগুলি সমান নয়। উদাহরণস্বরূপ, লিউভিল সংখ্যার সেটটি টপোলজিকাল অর্থে সাধারণ, তবে লেবস্গু পরিমাপ শূন্য। পরিমাপ তত্ত্বে, পরিমাপ তত্ত্বে, একটি সাধারণ বৈশিষ্ট্য হল যা প্রায় সর্বত্রই থাকে। দ্বৈত ধারণাটি একটি নাল সেট, অর্থাৎ শূন্য পরিমাপের একটি সেট। সম্ভাব্যতায়, একটি সাধারণ বৈশিষ্ট্য হল এমন একটি ঘটনা যা প্রায় নিশ্চিতভাবে ঘটে, যার অর্থ এটি সম্ভাবনা 1-এর সাথে ঘটে। উদাহরণস্বরূপ, বড় সংখ্যার আইনে বলা হয়েছে যে নমুনা গড় প্রায় নিশ্চিতভাবে জনসংখ্যার গড়ের সাথে মিলিত হয়। এটি একটি সম্ভাব্যতা স্থানের জন্য বিশেষায়িত পরিমাপ তত্ত্বের ক্ষেত্রে সংজ্ঞা। বিচ্ছিন্ন গণিতে, কেউ কেউ প্রায় সমস্ত শব্দটি ব্যবহার করে যার অর্থ অসীম (সমস্ত তবে সীমাবদ্ধভাবে অনেক), গণনাযোগ্য (সমস্ত তবে গণনাযোগ্যভাবে অনেক), পর্যাপ্ত বড় সংখ্যার জন্য, বা, কখনও কখনও, অ্যাসিম্পটোটিকভাবে প্রায় নিশ্চিত। র্যান্ডম গ্রাফের অধ্যয়নে ধারণাটি বিশেষভাবে গুরুত্বপূর্ণ। টপোলজিতে টপোলজি এবং বীজগাণিতিক জ্যামিতিতে, একটি সাধারণ বৈশিষ্ট্য হল এমন একটি যা একটি ঘন খোলা সেট ধরে রাখে, বা আরও সাধারণভাবে একটি অবশিষ্ট সেট (ঘন খোলা সেটগুলির একটি গণনাযোগ্য ছেদ), দ্বৈত ধারণাটি একটি বন্ধ কোথাও ঘন সেট, বা আরও সাধারণভাবে একটি ক্ষুদ্র সেট (কোথাও ঘন বন্ধ সেটগুলির একটি গণনাযোগ্য ইউনিয়ন)। যাইহোক, শুধুমাত্র ঘনত্ব একটি সাধারণ বৈশিষ্ট্য চিহ্নিত করার জন্য যথেষ্ট নয়। এটি এমনকি বাস্তব সংখ্যাতেও দেখা যায়, যেখানে মূলদ সংখ্যা এবং তাদের পরিপূরক, অযৌক্তিক সংখ্যা উভয়ই ঘন। যেহেতু এটি বলার কোনও মানে হয় না যে একটি সেট এবং এর পরিপূরক উভয়ই সাধারণ আচরণ প্রদর্শন করে, তাই যুক্তিসঙ্গত এবং অযৌক্তিক উভয়ই সাধারণ হওয়ার মতো যথেষ্ট বড় সেটের উদাহরণ হতে পারে না। ফলস্বরূপ, আমরা উপরের শক্তিশালী সংজ্ঞার উপর নির্ভর করি যা বোঝায় যে অযৌক্তিকগুলি সাধারণ এবং যৌক্তিকগুলি নয়। প্রয়োগের ক্ষেত্রে, যদি কোনও সম্পত্তি একটি অবশিষ্ট সেট ধরে রাখে, তবে এটি প্রতিটি পয়েন্টের জন্য ধরে রাখতে পারে না, তবে এটিকে সামান্য বিচলিত করলে সাধারণত অবশিষ্ট সেটের ভিতরে একটি অবতরণ করবে (কোথাও স্বল্প সেটের উপাদানগুলির ঘনত্ব দ্বারা), এবং এইভাবে উপপাদ্য এবং অ্যালগরিদমগুলিতে সম্বোধন করার জন্য এগুলি সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ কেস। ফাংশন স্পেসে একটি সম্পত্তি সিআর-তে সাধারণ হয় যদি এই সম্পত্তি ধারণকারী সেটটিতে সিআর টপোলজিতে একটি অবশিষ্ট উপসেট থাকে। এখানে সিআর হল ফাংশন স্পেস যার সদস্যরা একটি ম্যানিফোল্ড এম থেকে একটি ম্যানিফোল্ড এন পর্যন্ত r অবিচ্ছিন্ন ডেরিভেটিভ সহ অবিচ্ছিন্ন ফাংশন। এম এবং এন-এর মধ্যে সিআর ম্যাপিংয়ের স্থান সিআর (এম, এন) একটি বেয়ার স্পেস, তাই যে কোনও অবশিষ্ট সেট ঘন। ফাংশন স্পেসের এই বৈশিষ্ট্যটি জেনেরিক বৈশিষ্ট্যগুলিকে সাধারণ করে তোলে। বীজগাণিতিক জ্যামিতিতে বীজগাণিতিক বৈচিত্র্য একটি অপরিবর্তনীয় বীজগাণিতিক বৈচিত্র্য X-এর একটি বৈশিষ্ট্যকে সাধারণভাবে সত্য বলা হয় যদি এটি X-এর একটি যথাযথ জারিস্কি-বদ্ধ উপসেট ব্যতীত থাকে, অন্য কথায়, যদি এটি একটি অ-খালি জারিস্কি-খোলা উপসেট ধারণ করে। এই সংজ্ঞাটি উপরের টপোলজিক্যালটির সাথে একমত, কারণ অপরিবর্তনীয় বীজগাণিতিক বৈচিত্র্যের জন্য যে কোনও অ-খালি খোলা সেট ঘন। উদাহরণস্বরূপ, নিয়মিততার জন্য জ্যাকোবিয়ান মানদণ্ড অনুসারে, বৈশিষ্ট্য শূন্যের ক্ষেত্রের উপর বৈচিত্র্যের একটি সাধারণ বিন্দু মসৃণ। (এই বিবৃতিটি সাধারণ মসৃণতা হিসাবে পরিচিত।) এটি সত্য কারণ জ্যাকোবিয়ান মানদণ্ডটি মসৃণ নয় এমন বিন্দুগুলির সমীকরণ খুঁজে বের করতে ব্যবহার করা যেতে পারেঃ এগুলি ঠিক সেই বিন্দু যেখানে এক্স বিন্দুর জ্যাকোবিয়ান ম্যাট্রিক্সের পূর্ণ র্যাঙ্ক নেই। চরিত্রগত শূন্যে, এই সমীকরণগুলি অ-তুচ্ছ, তাই এগুলি বৈচিত্র্যের প্রতিটি বিন্দুর জন্য সত্য হতে পারে না। ফলস্বরূপ, এক্স-এর সমস্ত অ-নিয়মিত বিন্দুর সেট হল এক্স-এর একটি যথাযথ জারিস্কি-বদ্ধ উপসেট। এখানে আরেকটি উদাহরণ দেওয়া যেতে পারে। ধরা যাক f: X → Y দুটি বীজগাণিতিক বৈচিত্র্যের মধ্যে একটি নিয়মিত মানচিত্র। Y-এর প্রতিটি বিন্দু y-এর জন্য, f-এর ফাইবারের মাত্রা y-এর উপর বিবেচনা করুন, অর্থাৎ, ম্লান f-1 (y)। সাধারণভাবে, এই সংখ্যাটি ধ্রুবক। এটি সর্বত্র অপরিবর্তনীয় নয়। যদি, ধরুন, X হল একটি বিন্দুতে Y-এর বিস্ফোরণ এবং f হল প্রাকৃতিক অভিক্ষেপ, তাহলে f-এর আপেক্ষিক মাত্রা শূন্য, শুধুমাত্র যে বিন্দুটি বিস্ফোরিত হয়, যেখানে এটি Y-1 ম্লান হয়। কিছু সম্পত্তি খুব সাধারণভাবে ধারণ করে বলে মনে করা হয়। প্রায়শই এর অর্থ হল যে স্থল ক্ষেত্রটি অগণিত এবং যথাযথ জারিস্কি-বদ্ধ উপসেটগুলির গণনাযোগ্য সংযোগ ব্যতীত সম্পত্তিটি সত্য (অর্থাৎ, সম্পত্তিটি একটি ঘন জিডি সেট ধরে রাখে)। উদাহরণস্বরূপ, যুক্তিসঙ্গত সংযোগ বিবেচনা করার সময় খুব সাধারণ এই ধারণাটি ঘটে। যাইহোক, খুব সাধারণ অন্যান্য সংজ্ঞা অন্যান্য প্রসঙ্গে ঘটতে পারে এবং ঘটতে পারে। সাধারণ বিন্দু বীজগাণিতিক জ্যামিতিতে, একটি বীজগাণিতিক বৈচিত্র্যের একটি সাধারণ বিন্দু হল এমন একটি বিন্দু যার স্থানাঙ্ক বৈচিত্র্যের প্রতিটি বিন্দু দ্বারা সন্তুষ্ট হওয়া বিন্দুর চেয়ে অন্য কোনও বীজগাণিতিক সম্পর্ককে সন্তুষ্ট করে না। উদাহরণস্বরূপ, একটি ক্ষেত্রের উপর একটি অ্যাফিন স্থানের একটি সাধারণ বিন্দু হল এমন একটি বিন্দু যার স্থানাঙ্ক বীজগাণিতিকভাবে স্বাধীন। স্কিম তত্ত্বে, যেখানে বিন্দুগুলি হল উপপ্রজাতি, একটি বৈচিত্র্যের একটি সাধারণ বিন্দু হল এমন একটি বিন্দু যার জারিস্কি টপোলজির জন্য সমাপ্তি হল সম্পূর্ণ বৈচিত্র্য। একটি সাধারণ বৈশিষ্ট্য হল সাধারণ বিন্দুর একটি বৈশিষ্ট্য। যে কোনও যুক্তিসঙ্গত সম্পত্তির ক্ষেত্রে, এটি প্রমাণিত হয় যে বৈশিষ্ট্যটি সাধারণভাবে উপ-বৈচিত্র্যের ক্ষেত্রে সত্য (একটি খোলা ঘন উপসেটে সত্য হওয়ার অর্থে) যদি এবং কেবলমাত্র যদি বৈশিষ্ট্যটি সাধারণ বিন্দুতে সত্য হয়। ই. জি. এ 4র্থ 8-এ বিকশিত অ্যাফিন স্কিমের সীমার পদ্ধতি ব্যবহার করে এই ধরনের ফলাফল প্রায়শই প্রমাণিত হয়। সাধারণ অবস্থান বীজগাণিতিক জ্যামিতিতে একটি সম্পর্কিত ধারণা হল সাধারণ অবস্থান, যার সুনির্দিষ্ট অর্থ প্রসঙ্গের উপর নির্ভর করে। উদাহরণস্বরূপ, ইউক্লিডীয় সমতলে, সাধারণ অবস্থানে তিনটি বিন্দু সমরেখার নয়। এর কারণ হল কোলিনিয়ার না হওয়ার বৈশিষ্ট্যটি R2-এ তিনটি বিন্দুর বিন্যাস স্থানের একটি সাধারণ বৈশিষ্ট্য। গণনাযোগ্যতায় গণনাযোগ্যতা এবং অ্যালগরিদমিক র্যান্ডমনেসে, প্রাকৃতিক সংখ্যার একটি অসীম স্ট্রিংকে 1-জেনেরিক বলা হয় যদি, প্রতিটি সি. ই.-এর জন্য। সেট, হয় একটি প্রাথমিক সেগমেন্ট রয়েছে, অথবা একটি প্রাথমিক সেগমেন্ট রয়েছে যাতে প্রতিটি এক্সটেনশন ডাব্লু-তে নেই। 1-জেনেরিক গণনার ক্ষেত্রে গুরুত্বপূর্ণ, কারণ উপযুক্ত 1-জেনেরিক বিবেচনা করে অনেকগুলি নির্মাণ সরলীকৃত করা যেতে পারে। কিছু মূল বৈশিষ্ট্য হলঃ একটি 1-জেনেরিক একটি উপাদান হিসাবে প্রতিটি প্রাকৃতিক সংখ্যা ধারণ করে; কোনও 1-জেনেরিক গণনাযোগ্য নয় (বা এমনকি একটি গণনাযোগ্য ফাংশন দ্বারা আবদ্ধ); সমস্ত 1-জেনেরিককে সাধারণীকরণ করা হয় নিম্নঃ। 1-জেনেরিটি নিম্নরূপ "জেনেরিক" এর টপোলজিকাল ধারণার সাথে যুক্ত। বেয়ার স্পেসে প্রাকৃতিক সংখ্যার প্রতিটি সসীম স্ট্রিংয়ের জন্য মৌলিক উন্মুক্ত সেট সহ একটি টপোলজি রয়েছে। তারপর, একটি উপাদান 1-জেনেরিক হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি এটি কোনও খোলা সেটের সীমানায় না থাকে। বিশেষত, প্রতিটি ঘন খোলা সেট পূরণ করার জন্য 1-জেনেরিকের প্রয়োজন হয় (যদিও এটি একটি কঠোরভাবে দুর্বল বৈশিষ্ট্য, যাকে দুর্বলভাবে 1-জেনেরিক বলা হয়)। সাধারণতার ফলাফল সার্ডের উপপাদ্যঃ যদি মসৃণ ম্যানিফোল্ডের মধ্যে একটি মসৃণ ফাংশন হয়, তবে এন-এর একটি জেনেরিক বিন্দু এফ-এর সমালোচনামূলক মান নয়-এফ-এর সমালোচনামূলক মানগুলি এন-এর একটি নাল সেট। জ্যাকোবিয়ান মানদণ্ড/জেনেরিক মসৃণতাঃ বৈশিষ্ট্য শূন্যের ক্ষেত্রের উপর বৈচিত্র্যের একটি জেনেরিক বিন্দু মসৃণ। রৈখিক সময়-অপরিবর্তনীয় ব্যবস্থাগুলির নিয়ন্ত্রণযোগ্যতা এবং পর্যবেক্ষণযোগ্যতা টপোলজিকাল এবং পরিমাপ তত্ত্ব উভয় অর্থে সাধারণ। তথ্যসূত্র এককত্ব তত্ত্ব বীজগাণিতিক জ্যামিতি