Flat (geometry)
জ্যামিতিতে, একটি সমতল বা অ্যাফিন সাবস্পেস হল একটি অ্যাফিন স্পেসের একটি উপসেট যা নিজেই একটি অ্যাফিন স্পেস (সমান বা নিম্ন মাত্রার)। যদি মূল স্থানটি ইউক্লিডীয় হয়, একটি সমতল হল একটি ইউক্লিডীয় উপস্থান যা তার মূল স্থান থেকে দূরত্বের ধারণাটি উত্তরাধিকার সূত্রে পায়। একটি সমতলে সমতলগুলি (দ্বি-মাত্রিক স্থান) হল বিন্দু, রেখা এবং সমতল নিজেই; ত্রিমাত্রিক স্থানের সমতলগুলি হল বিন্দু, রেখা, সমতল এবং স্থান নিজেই। একটি-মাত্রিক স্থানে, 0 থেকে; পর্যন্ত প্রতিটি মাত্রার-সমতল থাকে; মূল স্থানের চেয়ে একটি মাত্রা কম উপস্থান,-সমতলকে হাইপারপ্লেন বলা হয়। ফ্ল্যাটগুলি রৈখিক বীজগণিতে ঘটে, রৈখিক সমীকরণের সিস্টেমগুলির সমাধান সেটগুলির জ্যামিতিক উপলব্ধি হিসাবে। একটি সমতল একটি বহুগুণিত এবং একটি বীজগাণিতিক বৈচিত্র্য, এবং কখনও কখনও এটিকে অন্যান্য বহুগুণিত বা বৈচিত্র্য থেকে আলাদা করার জন্য একটি রৈখিক বহুগুণিত বা রৈখিক বৈচিত্র্য বলা হয়। সমীকরণ দ্বারা বর্ণনা একটি সমতলকে রৈখিক সমীকরণের একটি পদ্ধতি দ্বারা বর্ণনা করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, দ্বি-মাত্রিক স্থানের একটি রেখাকে একটি একক রৈখিক সমীকরণ দ্বারা বর্ণনা করা যেতে পারে এবংঃ ত্রিমাত্রিক স্থানে, একটি একক রৈখিক সমীকরণ একটি সমতলকে অন্তর্ভুক্ত করে এবং সংজ্ঞায়িত করে, যেখানে এক জোড়া রৈখিক সমীকরণ একটি রেখা বর্ণনা করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। সাধারণভাবে, চলকের মধ্যে একটি রৈখিক সমীকরণ একটি হাইপারপ্লেন বর্ণনা করে এবং রৈখিক সমীকরণের একটি ব্যবস্থা সেই হাইপারপ্লেনগুলির ছেদ বর্ণনা করে। সমীকরণগুলি সামঞ্জস্যপূর্ণ এবং রৈখিকভাবে স্বাধীন বলে ধরে নিলে, সমীকরণের একটি পদ্ধতি মাত্রার একটি সমতলকে বর্ণনা করে। পরামিতি একটি সমতলকে রৈখিক পরামিতি সমীকরণের একটি পদ্ধতি দ্বারাও বর্ণনা করা যেতে পারে। একটি রেখাকে একটি প্যারামিটার যুক্ত সমীকরণ দ্বারা বর্ণনা করা যেতে পারেঃ যেখানে একটি সমতলের বর্ণনার জন্য দুটি প্যারামিটারের প্রয়োজন হবেঃ সাধারণভাবে, মাত্রার একটি সমতলের প্যারামিটারাইজেশনের জন্য প্যারামিটারের প্রয়োজন হবে। ফ্ল্যাট ইন্টারসেক্টিং, সমান্তরাল এবং তির্যক ফ্ল্যাটগুলির ক্রিয়াকলাপ এবং সম্পর্ক ফ্ল্যাটগুলির একটি ছেদ হয় একটি ফ্ল্যাট বা খালি সেট। যদি একটি ফ্ল্যাট থেকে প্রতিটি লাইন অন্য ফ্ল্যাট থেকে কোনও লাইনের সমান্তরাল হয়, তবে এই দুটি ফ্ল্যাট সমান্তরাল। একই মাত্রার দুটি সমান্তরাল সমতল হয় মিলে যায় বা ছেদ করে না; সেগুলিকে রৈখিক সমীকরণের দুটি পদ্ধতি দ্বারা বর্ণনা করা যেতে পারে যা শুধুমাত্র তাদের ডানদিকের দিক থেকে পৃথক। যদি ফ্ল্যাটগুলি ছেদ না করে এবং প্রথম ফ্ল্যাট থেকে কোনও লাইন দ্বিতীয় ফ্ল্যাট থেকে কোনও লাইনের সমান্তরাল না হয়, তবে এগুলি তির্যক ফ্ল্যাট। এটি তখনই সম্ভব যখন তাদের মাত্রার যোগফল পরিবেষ্টিত স্থানের মাত্রার চেয়ে কম হয়। মাত্রার দুটি ফ্ল্যাট যুক্ত করুন এবং সেখানে ন্যূনতম ফ্ল্যাট রয়েছে যা তাদের ধারণ করে, সর্বাধিক মাত্রার। যদি দুটি সমতল ছেদ করে, তবে ধারণকারী সমতলের মাত্রা ছেদটির মাত্রাকে বিয়োগের সমান। ক্রিয়াকলাপের বৈশিষ্ট্য এই দুটি ক্রিয়াকলাপ (মিলিত এবং সংযুক্ত হিসাবে উল্লেখ করা হয়) ইউক্লিডীয়-স্থানের সমস্ত ফ্ল্যাটগুলির সেটকে একটি জাল তৈরি করে এবং যে কোনও মাত্রায় ফ্ল্যাটগুলির জন্য পদ্ধতিগত স্থানাঙ্ক তৈরি করতে পারে, যা গ্রাসম্যান স্থানাঙ্ক বা দ্বৈত গ্রাসম্যান স্থানাঙ্কের দিকে পরিচালিত করে। উদাহরণস্বরূপ, ত্রিমাত্রিক স্থানে একটি রেখা দুটি স্বতন্ত্র বিন্দু বা দুটি স্বতন্ত্র সমতল দ্বারা নির্ধারিত হয়। তবে, সমস্ত ফ্ল্যাটগুলির জাল একটি বিতরণমূলক জাল নয়। যদি দুটি রেখা ছেদ করে, তাহলে একটি বিন্দু হবে। যদি একটি বিন্দু একই সমতলে না থাকে, তবে উভয়ই একটি রেখার প্রতিনিধিত্ব করে। কিন্তু যখন এবং সমান্তরাল হয়, তখন এই বিতরণ ব্যর্থ হয়, যা বাম দিকে এবং ডান দিকে একটি তৃতীয় সমান্তরাল রেখা দেয়। ইউক্লিডীয় জ্যামিতি পূর্বোক্ত তথ্যগুলি ইউক্লিডীয় স্থানের কাঠামোর উপর নির্ভর করে না (অর্থাৎ, ইউক্লিডীয় দূরত্বের সাথে জড়িত) এবং যে কোনও অ্যাফিন স্পেসে সঠিক। একটি ইউক্লিডীয় স্থানেঃ একটি সমতল এবং একটি বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব থাকে। (উদাহরণস্বরূপ একটি বিন্দু থেকে সমতলের দূরত্ব এবং একটি বিন্দু থেকে রেখার দূরত্ব দেখুন।) দুটি সমতলের মধ্যে দূরত্ব রয়েছে, যদি তারা ছেদ করে তবে 0 এর সমান। (উদাহরণস্বরূপ দুটি রেখার মধ্যে দূরত্ব (একই সমতলে) এবং দেখুন।) দুটি সমতলের মধ্যে একটি কোণ রয়েছে, যা 0 এবং সমকোণের মধ্যবর্তী ব্যবধানের অন্তর্গত। (উদাহরণস্বরূপ ডাইহেড্রাল কোণ (দুটি সমতলের মধ্যে) দেখুন। ফ্ল্যাটগুলির মধ্যে কোণগুলিও দেখুন।) আরও দেখুন এন-ডাইমেনশনাল স্পেস ম্যাট্রয়েড কপ্ল্যানারিটি আইসোমেট্রি নোটস রেফারেন্স হেনরিচ গুগেনহেইমার (1977) অ্যাপ্লিকেবল জ্যামিতি, পৃষ্ঠা 7, ক্রিগার, নিউ ইয়র্ক। মূল স্ট্যানফোর্ড পিএইচডি গবেষণাপত্র থেকে, প্রিমিটিভস ফর কম্পিউটশনাল জ্যামিতি, ডিইসি এসআরসি রিসার্চ রিপোর্ট 36 হিসাবে উপলব্ধ। বাহ্যিক সংযোগ ইউক্লিডীয় জ্যামিতি সম্পর্ক জ্যামিতি রৈখিক বীজগণিত ফরঃ হাইপারপ্ল্যান