Vietoris–Rips complex
টপোলজিতে, ভিয়েটরিস-রিপস কমপ্লেক্স, যা ভিয়েটরিস কমপ্লেক্স বা রিপস কমপ্লেক্স নামেও পরিচিত, হল বিন্দুগুলির একটি সেটের মধ্যে দূরত্ব থেকে একটি টপোলজিকাল স্থান গঠনের একটি উপায়। এটি একটি বিমূর্ত সরল জটিল যা যে কোনও মেট্রিক স্থান M এবং দূরত্ব δ থেকে সর্বাধিক δ ব্যাসযুক্ত প্রতিটি সসীম বিন্দুর জন্য একটি সিম্প্লেক্স গঠন করে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। অর্থাৎ, এটি এম-এর সসীম উপসেটগুলির একটি পরিবার, যেখানে আমরা কে পয়েন্টগুলির একটি উপসেটকে একটি (কে-1)-মাত্রিক সিমপ্লেক্স (দুই পয়েন্টের জন্য একটি প্রান্ত, তিন পয়েন্টের জন্য একটি ত্রিভুজ, চার পয়েন্টের জন্য একটি টেট্রাহেড্রন ইত্যাদি) গঠন করে বলে মনে করি। ); যদি একটি সসীম সেট S-এর বৈশিষ্ট্য থাকে যে S-এর প্রতিটি জোড়া বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব সর্বাধিক δ হয়, তবে আমরা S-কে কমপ্লেক্সে একটি সিম্প্লেক্স হিসাবে অন্তর্ভুক্ত করি। ইতিহাস ভিয়েতোরিস-রিপস কমপ্লেক্সকে মূলত ভিয়েতোরিস কমপ্লেক্স বলা হত, লিওপোল্ড ভিয়েতোরিসের জন্য, যিনি এটিকে সরল জটিল থেকে মেট্রিক স্পেসে সমতাত্ত্বিক তত্ত্ব সম্প্রসারণের মাধ্যম হিসাবে প্রবর্তন করেছিলেন। এলিয়াহু রিপস হাইপারবোলিক গোষ্ঠীগুলির অধ্যয়নে একই জটিল প্রয়োগ করার পরে, এর ব্যবহার জনপ্রিয় হয়েছিল, যিনি এটিকে রিপস জটিল বলে অভিহিত করেছিলেন। "ভিয়েটরিস-রিপস কমপ্লেক্স" নামটি এর কারণে। চেচ কমপ্লেক্সের সাথে সম্পর্ক ভিয়েটরিস-রিপস কমপ্লেক্স বলের একটি সেটের চেচ কমপ্লেক্সের (বা স্নায়ু) সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত, যার খালি ছেদহীন বলের প্রতিটি সীমাবদ্ধ উপসেটের জন্য একটি সিম্প্লেক্স রয়েছে। একটি ভূগণিতগতভাবে উত্তল স্থান Y-তে, দূরত্ব δ-এর জন্য যে কোনও উপস্থান X′Y-এর ভিয়েটরিস-রিপস কমপ্লেক্সের X-এর বিন্দুতে কেন্দ্রিক Y-তে δ/2 ব্যাসার্ধের বলের সেটের চেচ কমপ্লেক্সের মতো একই বিন্দু এবং প্রান্ত রয়েছে। যাইহোক, চেচ কমপ্লেক্সের বিপরীতে, এক্স-এর ভিয়েটরিস-রিপস কমপ্লেক্স শুধুমাত্র এক্স-এর অভ্যন্তরীণ জ্যামিতির উপর নির্ভর করে, এবং কোনও বৃহত্তর স্থানে এক্স-এর কোনও এম্বেডিংয়ের উপর নয়। উদাহরণস্বরূপ, একে অপরের থেকে একক দূরত্বে তিনটি বিন্দু নিয়ে গঠিত অভিন্ন মেট্রিক স্থান এম3-এর কথা বিবেচনা করুন। এম3-এর ভিয়েটরিস-রিপস জটিল, δ = 1-এর জন্য, এম3-এর প্রতিটি উপসেটের জন্য একটি সিম্প্লেক্স অন্তর্ভুক্ত করে, যার মধ্যে এম3-এর জন্য একটি ত্রিভুজ রয়েছে। যদি আমরা ইউক্লিডীয় সমতলে একটি সমবাহু ত্রিভুজ হিসাবে এম3 যুক্ত করি, তবে এম3-এর বিন্দুগুলিতে কেন্দ্রিক ব্যাসার্ধ-1/2 বলের চেচ কমপ্লেক্সে ভিয়েটরিস-রিপস কমপ্লেক্সের অন্যান্য সমস্ত সিম্প্লেক্স থাকবে তবে এই ত্রিভুজটি থাকবে না, কারণ তিনটি বলের মধ্যে সমতলের কোনও বিন্দু নেই। যাইহোক, যদি M3 এর পরিবর্তে একটি মেট্রিক স্পেসে এম্বেড করা হয় যাতে M3 এর তিনটি বিন্দুর প্রতিটি থেকে 1/2 দূরত্বে একটি চতুর্থ বিন্দু থাকে, তবে এই স্থানের ব্যাসার্ধ-1/2 বলের চেচ কমপ্লেক্সে ত্রিভুজটি থাকবে। সুতরাং, এম3-কে কেন্দ্র করে স্থির-ব্যাসার্ধ বলের চেচ কমপ্লেক্সটি কোন বৃহত্তর স্থান এম3-তে এম্বেড করা যেতে পারে তার উপর নির্ভর করে পরিবর্তিত হয়, যখন ভিয়েটরিস-রিপস কমপ্লেক্স অপরিবর্তিত থাকে। যদি কোনও মেট্রিক স্পেস X একটি ইনজেকটিভ মেট্রিক স্পেস Y-তে এম্বেড করা থাকে, তবে দূরত্ব δ এবং X-এর জন্য ভিয়েটরিস-রিপস কমপ্লেক্সটি Y-তে X-এর বিন্দুতে কেন্দ্রিক δ/2 ব্যাসার্ধের বলের চেচ কমপ্লেক্সের সাথে মিলে যায়। সুতরাং, যে কোনও মেট্রিক স্পেস এম-এর ভিয়েটরিস-রিপস কমপ্লেক্স এম-এর টাইট স্প্যানের বল সিস্টেমের চেচ কমপ্লেক্সের সমান। ইউনিট ডিস্ক গ্রাফ এবং ক্লিক কমপ্লেক্সের সাথে সম্পর্ক δ = 1-এর জন্য ভিয়েটরিস-রিপস কমপ্লেক্সে প্রদত্ত মেট্রিক স্পেসে একক দূরত্ব বা তার কম থাকা প্রতিটি জোড়া পয়েন্টের জন্য একটি প্রান্ত থাকে। এইভাবে, এর 1-কঙ্কাল হল এর বিন্দুর একক ডিস্ক গ্রাফ। এটি একক ডিস্ক গ্রাফের প্রতিটি চক্রের জন্য একটি সিম্প্লেক্স ধারণ করে, তাই এটি একক ডিস্ক গ্রাফের চক্র জটিল বা ফ্ল্যাগ জটিল। আরও সাধারণভাবে, যে কোনও গ্রাফ জি-এর চক্র জটিল হল মেট্রিক স্থানের জন্য একটি ভিয়েটরিস-রিপস জটিল, যার বিন্দু হিসাবে জি-এর শীর্ষগুলি থাকে এবং এর দূরত্ব হিসাবে জি-তে সংক্ষিপ্ততম পথের দৈর্ঘ্য থাকে। অন্যান্য ফলাফল যদি এম একটি বদ্ধ রিম্যানিয়ান বহুগুণ হয়, তবে δ-এর পর্যাপ্ত ছোট মানের জন্য এম-এর ভিয়েটরিস-রিপস জটিল, বা এম-এর যথেষ্ট কাছাকাছি স্থানগুলির জন্য, এম-এর সমতুল্য হোমোটপি হয়। ইউক্লিডীয় সমতলে সেট করা কোনও সীমাবদ্ধ বিন্দুর রিপস কমপ্লেক্সে প্রদত্ত চক্রটি সঙ্কুচিত হতে পারে কিনা তা নির্ধারণের জন্য দক্ষ অ্যালগরিদমগুলি বর্ণনা করুন। ইউনিট ডিস্ক গ্রাফের মতো, ভিয়েটরিস-রিপস কমপ্লেক্স কম্পিউটার বিজ্ঞানে অ্যাডহক ওয়্যারলেস যোগাযোগ নেটওয়ার্কের টপোলজি মডেল করার জন্য প্রয়োগ করা হয়েছে। এই অ্যাপ্লিকেশনটিতে ভিয়েটরিস-রিপস কমপ্লেক্সের একটি সুবিধা হল যে এটি কেবল যোগাযোগ নোডগুলির মধ্যে দূরত্ব থেকে নির্ধারণ করা যেতে পারে, তাদের সঠিক ভৌত অবস্থান অনুমান না করেই। একটি অসুবিধা হল যে, চেচ কমপ্লেক্সের বিপরীতে, ভিয়েটরিস-রিপস কমপ্লেক্স সরাসরি যোগাযোগ কভারেজের ফাঁক সম্পর্কে তথ্য সরবরাহ করে না, তবে এই ত্রুটিটি δ এর বিভিন্ন মানের জন্য দুটি ভিয়েটরিস-রিপস কমপ্লেক্সের মধ্যে চেচ কমপ্লেক্সকে স্যান্ডউইচ করে সংশোধন করা যেতে পারে। ভিয়েটরিস-রিপস কমপ্লেক্সের একটি বাস্তবায়ন টিডিএস্ট্যাট আর প্যাকেজে পাওয়া যাবে। ভিয়েটরিস-রিপস কমপ্লেক্সগুলি ডিজিটাল ইমেজ ডেটাতে বৈশিষ্ট্য-উত্তোলনের জন্যও প্রয়োগ করা হয়েছে; এই অ্যাপ্লিকেশনটিতে, কমপ্লেক্সটি একটি উচ্চ-মাত্রিক মেট্রিক স্থান থেকে নির্মিত হয়েছে যেখানে পয়েন্টগুলি নিম্ন-স্তরের চিত্র বৈশিষ্ট্যগুলি উপস্থাপন করে। সমস্ত ভিয়েটরিস-রিপস কমপ্লেক্সের সংগ্রহ স্থায়ী সমসংস্থান এবং টপোলজিকাল ডেটা বিশ্লেষণে একটি সাধারণভাবে প্রয়োগ করা নির্মাণ, এবং এটি রিপস পরিস্রাবণ হিসাবে পরিচিত। উল্লেখগুলি উল্লেখ করুন। । । । । । । । । । । বীজগাণিতিক টপোলজি জ্যামিতিক গ্রাফ তত্ত্ব সরল সেট