Erdős–Anning theorem
এরদোস-অ্যানিং উপপাদ্য বলে যে সমতলে অসীম সংখ্যক বিন্দুর পারস্পরিক পূর্ণসংখ্যা দূরত্ব কেবল তখনই থাকতে পারে যদি সমস্ত বিন্দু একটি সরলরেখায় থাকে। পল এরদোস এবং নরম্যান এইচ. অ্যানিংয়ের নামে এর নামকরণ করা হয়েছে, যিনি 1945 সালে এর একটি প্রমাণ প্রকাশ করেছিলেন। যুক্তিসঙ্গত বনাম অবিচ্ছেদ্যতা যদিও পূর্ণসংখ্যার দূরত্ব সহ বিন্দুর কোনও অসীম অ-কোলিনিয়ার সেট থাকতে পারে না, তবে অসীম অ-কোলিনিয়ার সেট রয়েছে যার দূরত্বগুলি মূলদ সংখ্যা। উদাহরণস্বরূপ, একটি 3-4-5 ডান ত্রিভুজের তীক্ষ্ণ কোণ দ্বারা বারবার ঘোরার মাধ্যমে প্রাপ্ত একক বৃত্তের বিন্দুগুলির উপসেটটির এই বৈশিষ্ট্য রয়েছে। এটি বৃত্তের মধ্যে একটি ঘন সেট গঠন করে। (এখনও অমীমাংসিত) এরদোস-উলাম সমস্যাটি জিজ্ঞাসা করে যে একে অপরের থেকে যুক্তিসঙ্গত দূরত্বে বিন্দুর একটি সেট থাকতে পারে কিনা যা পুরো ইউক্লিডীয় সমতলের জন্য একটি ঘন সেট গঠন করে। এরদোসের মতে, এরদোসের কাছ থেকে এরদোস-অ্যানিং উপপাদ্য সম্পর্কে শোনার পর স্ট্যানিসল উলাম এই প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করতে অনুপ্রাণিত হয়েছিলেন। একে অপরের থেকে যুক্তিসঙ্গত দূরত্বে বিন্দুর যে কোনও সসীম সেট এস-এর জন্য, একে অপরের থেকে পূর্ণসংখ্যা দূরত্বে একই ধরনের বিন্দুর সেট খুঁজে পাওয়া সম্ভব, এস-এ দূরত্বের সর্বনিম্ন সাধারণ হরের একটি ফ্যাক্টর দ্বারা এস-কে প্রসারিত করে। এইভাবে একক বৃত্ত গঠনের একটি সসীম উপসেট প্রসারিত করে, কেউ একে অপরের থেকে পূর্ণসংখ্যা দূরত্ব সহ অ-কোলিনিয়ার পয়েন্টগুলির নির্বিচারে বড় সসীম সেট তৈরি করতে পারে। যাইহোক, এস-এ আরও পয়েন্ট অন্তর্ভুক্ত করার ফলে সম্প্রসারণ ফ্যাক্টর বৃদ্ধি পেতে পারে, তাই এই গঠনটি যুক্তিসঙ্গত দূরত্বে অসীম পয়েন্টের সেটকে পূর্ণসংখ্যা দূরত্বে অসীম পয়েন্টের সেটে রূপান্তরিত করার অনুমতি দেয় না। এরদোস-অ্যানিং উপপাদ্যের মূল প্রকাশের অল্প সময়ের মধ্যেই এরদোস নিম্নলিখিত সহজ প্রমাণ প্রদান করেন। প্রমাণের মধ্যে রয়েছে বক্ররেখার একটি ব্যবস্থা খুঁজে বের করা যাতে সেটের প্রতিটি বিন্দু দুটি বক্ররেখার একটি ক্রসিংয়ে থাকে। পূর্ণসংখ্যার দূরত্ব সহ পয়েন্টগুলির একটি সেট দেওয়া, সমস্ত একটি লাইনে নয়, নির্বিচারে তিনটি পয়েন্ট দ্বারা গঠিত একটি ত্রিভুজ নির্বাচন করুন। ইউক্লিডীয় দূরত্ব ফাংশনকে বোঝানো যাক। যে কোনও নির্দিষ্ট বিন্দুর জন্য, ত্রিভুজ বৈষম্য দ্বারা পূর্ণসংখ্যা সর্বাধিক হয়। সুতরাং, হাইপারবোলের মধ্যে একটি রয়েছে, যার সাথে ফর্মের সমীকরণ দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে। একটি প্রতিসম যুক্তি দ্বারা, ফর্মের সমীকরণ দ্বারা সংজ্ঞায়িত হাইপারবোলের একটির উপরও থাকতে হবে। দুটি হাইপারবোলা সমন্বিত সংযোগ হতে পারে না, তাই অবশ্যই এমন একটি বিন্দু হতে হবে যেখানে তারা ছেদ করে। বেজাউটের উপপাদ্য অনুসারে প্রতিটি পছন্দের জন্য এবং সর্বাধিক চারটি ছেদ বিন্দু রয়েছে। যেহেতু প্রতিটি প্রদত্ত বিন্দু অবশ্যই এই ছেদ বিন্দুর মধ্যে একটি হতে হবে, তাই প্রদত্ত বিন্দুর সেটটিতে অবশ্যই সর্বাধিক বিন্দুতে একটি সসীম সংখ্যা থাকতে হবে। একই প্রমাণ দেখায় যে, যখন পূর্ণসংখ্যা দূরত্ব সহ বিন্দুর একটি সেটের ব্যাস হয়, তখন সর্বাধিক বিন্দু থাকে। এই বাউন্ড অন-এর দ্বিঘাত নির্ভরতা উন্নত করা যেতে পারে, একটি অনুরূপ প্রমাণ ব্যবহার করে কিন্তু হাইপারবোলের পরিবারগুলিকে সংজ্ঞায়িত করতে ব্যবহৃত বিন্দুর জোড়গুলির আরও যত্নশীল পছন্দের সাথেঃ পূর্ণসংখ্যা দূরত্ব এবং ব্যাসের সাথে সেট করা প্রতিটি বিন্দুর আকার থাকে। যাইহোক, পয়েন্টগুলির মধ্যে ন্যূনতম দূরত্ব দ্বারা প্রতিস্থাপন করা সম্ভব নয়ঃ পূর্ণসংখ্যা দূরত্ব এবং ন্যূনতম দূরত্ব দুই সহ নির্বিচারে বড় অ-কোলিনিয়ার পয়েন্ট সেট রয়েছে। অবিচ্ছেদ্য দূরত্ব সহ সর্বাধিক বিন্দু সেট উপপাদ্যটি বর্ণনা করার একটি বিকল্প উপায় হল যে পূর্ণসংখ্যা দূরত্ব সহ সমতলে বিন্দুর একটি অ-কোলিনিয়ার সেট কেবলমাত্র সীমিতভাবে অনেক অতিরিক্ত পয়েন্ট যোগ করে বাড়ানো যেতে পারে, এর আগে আর কোনও পয়েন্ট যোগ করা যায় না। পূর্ণসংখ্যা স্থানাঙ্ক এবং পূর্ণসংখ্যা দূরত্ব উভয় সহ বিন্দুর একটি সেট, যেখানে উভয় বৈশিষ্ট্য সংরক্ষণের সময় আর যোগ করা যায় না, একটি এরডোস-ডায়োফ্যান্টাইন গ্রাফ গঠন করে। পূর্ণসংখ্যা দূরত্ব সহ পূর্ণসংখ্যা বিন্দুর একটি প্রদত্ত সেট একটি এরডস-ডায়োফ্যান্টাইন গ্রাফ গঠন করে কিনা তা পরীক্ষা করার জন্য একটি অ্যালগরিদমে এরডস-অ্যানিং উপপাদ্যের প্রমাণ ব্যবহার করা যেতে পারেঃ কেবল প্রমাণটিতে ব্যবহৃত হাইপারবোলের সমস্ত ক্রসিং পয়েন্টগুলি খুঁজে বের করুন এবং ফলাফলের যে কোনও বিন্দুর প্রদত্ত সেট থেকে পূর্ণসংখ্যা স্থানাঙ্ক এবং পূর্ণসংখ্যা দূরত্ব রয়েছে কিনা তা পরীক্ষা করুন। তথ্যসূত্র সমতল জ্যামিতির গাণিতিক সমস্যা বিচ্ছিন্ন গণিতে উপপাদ্য প্রমাণ সম্বলিত নিবন্ধ বিচ্ছিন্ন জ্যামিতিতে উপপাদ্য অ্যানিং উপপাদ্য