Homogeneous relation
গণিতে, একটি সেট এক্স-এর উপর একটি সমজাতীয় সম্পর্ক (যাকে এন্ডোরিলেশনও বলা হয়) হল এক্স এবং নিজের মধ্যে একটি বাইনারি সম্পর্ক, অর্থাৎ। এটি কার্টেসিয়ান পণ্যের একটি উপসেট। এটিকে সাধারণত "এক্স-এর উপর একটি সম্পর্ক" বা "এক্স-এর উপর একটি (বাইনারি) সম্পর্ক" হিসাবে বর্ণনা করা হয়। সমজাতীয় সম্পর্কের একটি উদাহরণ হল আত্মীয়তার সম্পর্ক, যেখানে মানুষের মধ্যে সম্পর্ক থাকে। এন্ডোরিলেশনের সাধারণ প্রকারের মধ্যে রয়েছে অর্ডার, গ্রাফ এবং সমতুল্য। ক্রম তত্ত্ব এবং গ্রাফ তত্ত্বের বিশেষ গবেষণায় এন্ডোরিলেশন সম্পর্কে বোঝার বিকাশ হয়েছে। গ্রাফ তত্ত্বের জন্য নির্দিষ্ট পরিভাষা বর্ণনার জন্য ব্যবহৃত হয়, একটি সাধারণ (অনির্দিষ্ট) গ্রাফ একটি প্রতিসম সম্পর্কের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ বলে ধরে নেওয়া হয় এবং একটি নির্দেশিত গ্রাফের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ একটি সাধারণ এন্ডোরিলেশন। একটি এন্ডোরিলেশন আর 0s এবং 1s এর যৌক্তিক ম্যাট্রিক্সের সাথে মিলে যায়, যেখানে xRy অভিব্যক্তিটি গ্রাফে x এবং y এর মধ্যে একটি প্রান্তের সাথে এবং R এর বর্গ ম্যাট্রিক্সের একটি 1 এর সাথে মিলে যায়। এটিকে গ্রাফ পরিভাষায় একটি সংলগ্ন ম্যাট্রিক্স বলা হয়। নির্দিষ্ট সমজাতীয় সম্পর্ক একটি সেট এক্স-এর উপর কিছু নির্দিষ্ট সমজাতীয় সম্পর্ক (নির্বিচারে উপাদান সহ) হলঃ খালি সম্পর্ক; অর্থাৎ, কখনই ধরে রাখে না; সর্বজনীন সম্পর্ক; অর্থাৎ, সর্বদা ধরে রাখে; পরিচয় সম্পর্ক (আইডেন্টিটি ফাংশনও দেখুন)}; অর্থাৎ, যদি এবং শুধুমাত্র যদি ধরে রাখে। উদাহরণস্বরূপ, পৃথিবীর ভূত্বকের পনেরোটি বড় টেকটোনিক প্লেট সমজাতীয় সম্পর্কে একে অপরের সাথে যোগাযোগ করে। সম্পর্কটি একটি লজিক্যাল ম্যাট্রিক্স হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে যেখানে 1 যোগাযোগ নির্দেশ করে এবং 0 কোনও যোগাযোগ নেই। এই উদাহরণটি একটি প্রতিসম সম্পর্ক প্রকাশ করে। বৈশিষ্ট্য একটি সেটের উপর একটি সমজাতীয় সম্পর্কের কিছু গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য হতে পারেঃ সকলের জন্য,। উদাহরণস্বরূপ, ω একটি প্রতিফলিত সম্পর্ক কিন্তু> নয়। (বা) সকলের জন্য নয়। উদাহরণস্বরূপ,> একটি অপরিবর্তনীয় সম্পর্ক, কিন্তু ω নয়। সবার জন্য, যদি তাই হয়। উদাহরণস্বরূপ, পূর্ণসংখ্যার উপর যে সম্পর্কটিতে প্রতিটি বিজোড় সংখ্যা নিজের সাথে সম্পর্কিত তা একটি কোরফ্লেক্সিভ সম্পর্ক। সমতা সম্পর্ক হল রিফ্লেক্সিভ এবং কোরফ্লেক্সিভ উভয়ের সম্পর্কের একমাত্র উদাহরণ এবং যে কোনও কোরফ্লেক্সিভ সম্পর্ক হল পরিচয় সম্পর্কের একটি উপসেট। সবার জন্য, যদি তাই হয়। সবার জন্য, যদি তাই হয়। সবার জন্য, যদি তারপর এবং। একটি সম্পর্ক আধা-প্রতিফলিত হয় যদি, এবং শুধুমাত্র যদি, এটি বাম এবং ডান উভয় অর্ধ-প্রতিফলিত হয়। পূর্ববর্তী 6টি বিকল্প সম্পূর্ণ হওয়া থেকে অনেক দূরে; উদাহরণস্বরূপ, দ্বারা সংজ্ঞায়িত বাইনারি সম্পর্কটি অপরিবর্তনীয়, না কোরফ্লেক্সিভ, না রিফ্লেক্সিভ, কারণ এতে যথাক্রমে জোড়া রয়েছে, এবং, কিন্তু নেই। পরের দুটি তথ্য (যে কোনও ধরনের) অর্ধ-নমনীয়তাকেও বাতিল করে দেয়। সবার জন্য, যদি তাই হয়। উদাহরণস্বরূপ, "একটি রক্তের আপেক্ষিক" একটি প্রতিসম সম্পর্ক, কারণ এটি একটি রক্তের আপেক্ষিক যদি এবং শুধুমাত্র যদি রক্তের আপেক্ষিক হয়। সবার জন্য, যদি এবং তারপর। উদাহরণস্বরূপ, ± একটি প্রতিসম সম্পর্ক; তাই হল>, কিন্তু শূন্যভাবে (সংজ্ঞার শর্তটি সর্বদা মিথ্যা)। সবার জন্য, যদি না হয়। একটি সম্পর্ক অসমমিত হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি এটি প্রতিসম এবং অপরিবর্তনীয় উভয়ই হয়। উদাহরণস্বরূপ,> একটি অসম সম্পর্ক, কিন্তু ω নয়। আবার, পূর্ববর্তী 3টি বিকল্প সম্পূর্ণ হওয়া থেকে অনেক দূরে; প্রাকৃতিক সংখ্যার উপর একটি উদাহরণ হিসাবে, দ্বারা সংজ্ঞায়িত সম্পর্কটি প্রতিসম বা প্রতিসম নয়, অসমমিতির কথা তো বাদই দিন। সবার জন্য, যদি এবং তারপর। একটি ক্ষণস্থায়ী সম্পর্ক অপরিবর্তনীয় হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি এটি অসমমিত হয়। উদাহরণস্বরূপ, "এর পূর্বপুরুষ" একটি ক্ষণস্থায়ী সম্পর্ক, যেখানে "এর পিতামাতা" নয়। সবার জন্য, যদি এবং তারপর কখনই না। যদি R-এর পরিপূরক ক্ষণস্থায়ী হয়। অর্থাৎ, সকলের জন্য, যদি, তাহলে বা। এটি গঠনমূলক গণিতে ছদ্ম-ক্রমে ব্যবহৃত হয়। সবার জন্য, যদি এবং কিন্তু না বা না, তারপর কিন্তু না। সকলের জন্য, যদি এবং এর ক্ষেত্রে অতুলনীয় হয় এবং যদি একই সত্য হয় এবং, তাহলে এবং এর ক্ষেত্রেও অতুলনীয়। এটি দুর্বল ক্রমে ব্যবহৃত হয়। আবার, আগের 5টি বিকল্প সম্পূর্ণ নয়। উদাহরণস্বরূপ, সম্পর্কটি যদি (বা) এই বৈশিষ্ট্যগুলির কোনওটিকেই সন্তুষ্ট না করে। অন্যদিকে, শূন্য সম্পর্কটি তাদের সকলকে তুচ্ছভাবে সন্তুষ্ট করে। এই সমস্ত কিছুর জন্য, এমন কিছু আছে যা এবং। এটি ঘন অর্ডারে ব্যবহৃত হয়। সবার জন্য, যদি হয়। এই বৈশিষ্ট্যটিকে কখনও কখনও "মোট" বলা হয়, যা নীচে দেওয়া "বাম/ডান-মোট" সংজ্ঞা থেকে আলাদা। সবার জন্য, বা। এই বৈশিষ্ট্যটিকেও কখনও কখনও "মোট" বলা হয়, যা নীচে দেওয়া "বাম/ডান-মোট" সংজ্ঞা থেকে আলাদা। সকলের জন্য, ঠিক একটি, বা ধরে রাখে। উদাহরণস্বরূপ,> একটি ত্রিকোণীয় সম্পর্ক, যেখানে স্বাভাবিক সংখ্যার উপর "ভাগ" সম্পর্কটি নয়। (বা শুধু) সবার জন্য, যদি এবং তারপর। উদাহরণস্বরূপ, = একটি ইউক্লিডীয় সম্পর্ক কারণ যদি এবং তারপর। সবার জন্য, যদি এবং তারপর। এর প্রতিটি নন-এম্প্টি উপসেটে একটি ন্যূনতম উপাদান থাকে। সুপ্রতিষ্ঠিততা অবরোহী শৃঙ্খলের অবস্থাকে বোঝায় (অর্থাৎ, কোনও অসীম শৃঙ্খল বিদ্যমান থাকতে পারে না)। যদি নির্ভরশীল পছন্দের স্বতঃসিদ্ধ অনুমান করা হয়, তবে উভয় শর্তই সমতুল্য। উপরন্তু, সাধারণভাবে বাইনারি সম্পর্কের সমস্ত বৈশিষ্ট্য সমজাতীয় সম্পর্কের ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য হতে পারেঃ সকলের জন্য, এমন সমস্ত শ্রেণীর যা একটি সেট। (এটি কেবল তখনই যুক্তিসঙ্গত হয় যখন যথাযথ শ্রেণীর উপর সম্পর্কের অনুমতি দেওয়া হয়।) সবার জন্য, যদি এবং তারপর। সবার জন্য, যদি এবং তারপর। (যাকে লেফট-টোটালও বলা হয়) সকলের জন্য এমন একটি অস্তিত্ব রয়েছে। এই বৈশিষ্ট্যটি সংযুক্তের সংজ্ঞা থেকে আলাদা (কিছু লেখক দ্বারা মোটও বলা হয়)। (যাকে রাইট-টোটালও বলা হয়) সকলের জন্য, xRy-এর মতো একটি অস্তিত্ব রয়েছে। এ হল এমন একটি সম্পর্ক যা প্রতিফলিত এবং ক্ষণস্থায়ী। এ, যাকে বা বলা হয়, এমন একটি সম্পর্ক যা প্রতিফলিত, ক্ষণস্থায়ী এবং সংযুক্ত। এ, যাকে বলা হয়, এমন একটি সম্পর্ক যা রিফ্লেক্সিভ, অ্যান্টিসিমেট্রিক এবং ট্রানজিটিভ। এ, যাকে বলা হয়, এমন একটি সম্পর্ক যা অপরিবর্তনীয়, প্রতিসম এবং ক্ষণস্থায়ী। এ, যাকে বলা হয়, বা, এমন একটি সম্পর্ক যা প্রতিফলিত, প্রতিসম, ক্ষণস্থায়ী এবং সংযুক্ত। এ, যাকে বলা হয়, বা, এমন একটি সম্পর্ক যা অপরিবর্তনীয়, প্রতিসম, ক্ষণস্থায়ী এবং সংযুক্ত। এ হল এমন একটি সম্পর্ক যা প্রতিসম এবং ক্ষণস্থায়ী। একটি হল এমন একটি সম্পর্ক যা প্রতিফলিত, প্রতিসম এবং ক্ষণস্থায়ী। এটি এমন একটি সম্পর্ক যা প্রতিসম, ক্ষণস্থায়ী এবং মোট, কারণ এই বৈশিষ্ট্যগুলি প্রতিফলনশীলতাকে বোঝায়। ক্রিয়াকলাপ যদি আর একটি সেট এক্স-এর উপর একটি সমজাতীয় সম্পর্ক হয় তবে নিম্নলিখিতগুলির প্রত্যেকটি এক্স-এর উপর একটি সমজাতীয় সম্পর্কঃ, আর = হিসাবে সংজ্ঞায়িত বা আর ধারণকারী এক্স-এর উপর সবচেয়ে ছোট প্রতিচ্ছবি সম্পর্ক। এটি আর, আর ≤ হিসাবে সংজ্ঞায়িত বা আর, আর + এ থাকা এক্স-এর উপর সবচেয়ে বড় অপরিবর্তনীয় সম্পর্কযুক্ত সমস্ত প্রতিচ্ছবি সম্পর্কের ছেদনের সমান হিসাবে প্রমাণিত হতে পারে। এটি আর, আর * ধারণকারী এক্স-এর উপর সবচেয়ে ছোট ক্ষণস্থায়ী সম্পর্ক হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। এটি আর, আর * ধারণকারী সমস্ত ক্ষণস্থায়ী সম্পর্কের ছেদনের সমান হিসাবে দেখা যেতে পারে। {। শ্রেণী = "উইকযোগ্য বাছাইযোগ্য" শৈলী = "টেক্সট-সারিবদ্ধকরণঃ কেন্দ্র;"। + বৈশিষ্ট্য অনুসারে সমজাতীয় সম্পর্ক।-! ! রিফ্লেক্সিভিটি! প্রতিসাম্য! পরিবহিতা! সংযোগ! প্রতীক! উদাহরণ।-! নির্দেশিত গ্রাফ।।।।।।।।-! অনির্দিষ্ট গ্রাফ।।।।।।।-! নির্ভরতা।।।।।।।-! টুর্নামেন্ট।।।। পেক্কিং অর্ডার।-! প্রি-অর্ডার করুন।।।। ≤। পছন্দ।-! মোট প্রি-অর্ডার।।।। ≤।।-! আংশিক ক্রম।।।। ≤। উপসেট।-! কঠোর আংশিক ক্রম।।।।। <। কঠোর উপসেট।-! মোট ক্রম।।। ≤। বর্ণানুক্রমিক ক্রম।-! কঠোর মোট ক্রম।।।। <। কঠোর বর্ণানুক্রমিক ক্রম।-! আংশিক সমতুল্য সম্পর্ক।।।।।।।-! সমতুল্য সম্পর্ক।। ̃, ষ্ণ। সমতা।} গণনা একটি সেট X-এর উপর সমস্ত সমজাতীয় সম্পর্কের সেট হল একটি সেট যা একটি বুলিয়ান বীজগণিত যা তার বিপরীত সম্পর্কের সাথে একটি সম্পর্কের ম্যাপিংয়ের প্রবৃত্তির সাথে বর্ধিত হয়। একটি বাইনারি অপারেশন হিসাবে সম্পর্কের গঠন বিবেচনা করে, এটি ইনভোলুশন সহ একটি মনোয়েড গঠন করে যেখানে পরিচয় উপাদানটি পরিচয় সম্পর্ক। একটি এন-উপাদান সেটের উপর স্বতন্ত্র সমজাতীয় সম্পর্কের সংখ্যা হলঃ দ্রষ্টব্যঃ অপরিবর্তনীয় সম্পর্কের সংখ্যা প্রতিফলিত সম্পর্কের সমান। কঠোর আংশিক ক্রমের সংখ্যা (অপরিবর্তনীয় ক্ষণস্থায়ী সম্পর্ক) আংশিক ক্রমের সমান। কঠোর দুর্বল অর্ডারের সংখ্যা মোট প্রি-অর্ডারের সমান। মোট অর্ডারগুলি হল আংশিক অর্ডার যা মোট প্রি-অর্ডারও হয়। প্রি-অর্ডারের সংখ্যা যা আংশিক ক্রম বা মোট প্রি-অর্ডার নয়, তাই, প্রি-অর্ডারের সংখ্যা, বিয়োগ আংশিক অর্ডারের সংখ্যা, বিয়োগ মোট প্রি-অর্ডারের সংখ্যা, যোগ মোট অর্ডারের সংখ্যাঃ যথাক্রমে 0,0,0,3 এবং 85। সমতুল্য সম্পর্কের সংখ্যা হল বিভাজনের সংখ্যা, যা হল বেল সংখ্যা। সমজাতীয় সম্পর্কগুলিকে জোড়ায় (সম্পর্ক, পরিপূরক) শ্রেণীবদ্ধ করা যেতে পারে, তবে সম্পর্কের জন্য এটি তার নিজস্ব পরিপূরক। অসমমিতিকে চার ভাগে ভাগ করা যেতে পারে (সম্পর্ক, পরিপূরক, বিপরীত, বিপরীত পরিপূরক)। উদাহরণস্বরূপ, কঠোর ক্রম সহ ক্রমের সম্পর্কঃ বৃহত্তরের চেয়ে বড় বা সমানের থেকে কমের সমান ভাগ (সমানভাবে) সমতুল্য সম্পর্কের উপসেটঃ সমতুল্যতা সমতুল্য বা সমতুল্য সমতুল্য সমতুল্য সমতুল্য সমতুল্য সমতুল্য সমতুল্য সমতুল্য সমতুল্য সমতুল্য সমতুল্য সমতুল্য সমতুল্য সমতুল্য সমতুল্য সমতুল্য সমতুল্য সমতুল্য সমতুল্য সমতুল্য সমতুল্য সমতুল্য সমতুল্য সমতুল্য সমতুল্য সমতুল্য সমতুল্য সমতুল্য সমতুল্য সমতুল্য সমতুল্য সমতুল্য সমতুল্য সমতুল্য সমতুল্য সমতুল্য সমতুল্য সমতুল্য সমতুল্য সমতুল্য সমতুল্য সমতুল্য সমতুল্য সমতুল্য সমতুল্য সমতুল্য সমতুল্য সমতুল্য সমতুল্য সমতুল্য সমতুল্য সমতুল্য সমতুল্য একটি সীমাবদ্ধ সম্পর্ক হল কিছু প্রাকৃতিক সংখ্যা n-এর জন্য একটি উপসেট R. X1 ×. × Xn এবং নির্বিচারে সেট X1,., Xn, এটিকে একটি n-ary সম্পর্কও বলা হয়। তথ্যসূত্র বাইনারি সম্পর্ক