Anisohedral tiling
জ্যামিতিতে, একটি আকৃতিকে অ্যানিসোহেড্রাল বলা হয় যদি এটি একটি টাইলিং গ্রহণ করে, তবে এই ধরনের কোনও টাইলিং আইসোহেড্রাল (টাইল-ট্রানজিটিভ) নয়; অর্থাৎ, সেই আকৃতির যে কোনও টাইলিংয়ে দুটি টাইল থাকে যা টাইলিংয়ের কোনও প্রতিসাম্যের অধীনে সমতুল্য নয়। একটি অ্যানিসোহেড্রাল টাইল দ্বারা একটি টাইলিং একটি অ্যানিসোহেড্রাল টাইলিং হিসাবে উল্লেখ করা হয়। অস্তিত্ব হিলবার্টের অষ্টাদশ সমস্যার প্রথম অংশে জিজ্ঞাসা করা হয়েছিল যে ইউক্লিডিয়ান 3-স্পেসে কোনও অ্যানিসোহেড্রাল পলিহেড্রন রয়েছে কিনা; গ্রুনবাম এবং শেফার্ড পরামর্শ দিয়েছিলেন যে হিলবার্ট ধরে নিয়েছিলেন যে সমতলে এমন কোনও টাইলের অস্তিত্ব নেই। রেইনহার্ড্ট 1928 সালে হিলবার্টের সমস্যার উত্তর দেন এই ধরনের পলিহেড্রার উদাহরণ খুঁজে বের করে এবং জোর দিয়ে বলেন যে, সমতলে এই ধরনের কোনও টাইলের অস্তিত্ব নেই বলে তাঁর প্রমাণ শীঘ্রই উপস্থিত হবে। যাইহোক, হেশ 1935 সালে সমতলে একটি অ্যানিসোহেড্রাল টাইলের উদাহরণ দেন। কনভেক্স টাইলস রেইনহার্ড্ট পূর্বে অ্যানিসোহেড্রাল উত্তল বহুভুজগুলির প্রশ্ন বিবেচনা করেছিলেন, যা দেখায় যে কোনও অ্যানিসোহেড্রাল উত্তল ষড়ভুজ ছিল না তবে এই জাতীয় কোনও উত্তল পঞ্চভুজ ছিল না তা দেখাতে অক্ষম ছিল, যখন সমতলকে আইসোহেড্রালভাবে পাঁচ ধরনের উত্তল পঞ্চভুজ টাইলিং খুঁজে পেয়েছিল। কার্শনার 1968 সালে তিন ধরনের অ্যানিসোহেড্রাল উত্তল পঞ্চভুজ দিয়েছিলেন; এই টাইলগুলির মধ্যে একটি প্রতিফলন বা গ্লাইড প্রতিফলন ছাড়াই কেবল সরাসরি আইসোমেট্রি ব্যবহার করে, তাই হেশের একটি প্রশ্নের উত্তর দেয়। আইসোহেড্রাল সংখ্যা অ্যানিসোহেড্রাল টাইলিংয়ের সমস্যাটিকে এই বলে সাধারণীকরণ করা হয়েছে যে কোনও টাইলের আইসোহেড্রাল সংখ্যা সেই টাইলের প্রতিসাম্য গোষ্ঠীর ক্রিয়ার অধীনে সেই টাইলের যে কোনও টাইলের সর্বনিম্ন সংখ্যার কক্ষপথ (সমতুল্য শ্রেণী) এবং আইসোহেড্রাল সংখ্যা k সহ একটি টাইল কে-অ্যানিসোহেড্রাল। বারগ্লান্ড জিজ্ঞাসা করেছিলেন যে সমস্ত কে-এর জন্য কে-অ্যানিসোহেড্রাল টাইল রয়েছে কিনা, কে ≤ 4-এর উদাহরণ দিয়ে (2-অ্যানিসোহেড্রাল এবং 3-অ্যানিসোহেড্রাল টাইলের উদাহরণ পূর্বে জানা ছিল, যেখানে দেওয়া 4-অ্যানিসোহেড্রাল টাইল ছিল প্রথম প্রকাশিত টাইল)। গুডম্যান-স্ট্রস একটি প্রদত্ত টাইল বা টাইলের সেটের আচরণ কতটা জটিল হতে পারে সে সম্পর্কে সাধারণ প্রশ্নের প্রেক্ষাপটে এটি বিবেচনা করেছিলেন, মায়ার্সের একটি 10-অ্যানিসোহেড্রাল উদাহরণ উল্লেখ করে। গ্রুনবাম এবং শেফার্ড এর আগে একই প্রশ্নের সামান্য বৈচিত্র্য তুলে ধরেছিলেন। 2007 সালে সোকোলার দেখিয়েছিলেন যে টাইলটি সংযোগ বিচ্ছিন্ন করা হলে বা কোন রঙগুলি সংলগ্ন হতে পারে তার সীমাবদ্ধতার সাথে রঙিন প্রান্ত থাকলে এবং রঙ ছাড়াই সংযুক্ত টাইল সহ তিনটি মাত্রায় নির্বিচারে উচ্চ আইসোহেড্রাল সংখ্যা দুটি মাত্রায় অর্জন করা যেতে পারে, উল্লেখ করে যে রঙ ছাড়াই সংযুক্ত টাইলের জন্য দুটি মাত্রায় সর্বাধিক পরিচিত আইসোহেড্রাল সংখ্যা হল 10। জোসেফ মায়ার্স উচ্চ আইসোহেড্রাল সংখ্যা সহ টাইলের একটি সংগ্রহ তৈরি করেছেন, বিশেষত আইসোহেড্রাল সংখ্যা 10 সহ একটি বহুভুজ (অনুবাদের অধীনে 20 টি কক্ষপথে ঘটে) এবং অন্যটি আইসোহেড্রাল সংখ্যা 9 সহ (অনুবাদের অধীনে 36 টি কক্ষপথে ঘটে)। তথ্যসূত্র বাইরের লিঙ্ক জন বারগ্লান্ড, অ্যানিসোহেড্রাল টিলিংস পেজ জোসেফ মায়ার্স, পলিওমিনো, পলিহেক্স এবং পলিয়ামন্ড টাইলিং টেসেলেশন