Stack (mathematics)
গণিতে একটি স্ট্যাক বা 2-শেফ, মোটামুটিভাবে বলতে গেলে, এমন একটি শেফ যা সেটের পরিবর্তে বিভাগগুলিতে মান নেয়। স্ট্যাকগুলি অবতরণ তত্ত্বের কিছু প্রধান গঠনকে আনুষ্ঠানিক করতে এবং সূক্ষ্ম মডুলি স্পেস না থাকলে সূক্ষ্ম মডুলি স্ট্যাক তৈরি করতে ব্যবহৃত হয়। অবতরণ তত্ত্ব এমন পরিস্থিতির সাধারণীকরণের সাথে সম্পর্কিত যেখানে সমরূপ, সামঞ্জস্যপূর্ণ জ্যামিতিক বস্তু (যেমন টপোলজিকাল স্পেসে ভেক্টর বান্ডিল) টপোলজিকাল ভিত্তির সীমাবদ্ধতার মধ্যে "একসঙ্গে আঠালো" করা যেতে পারে। আরও সাধারণ সেট-আপে বিধিনিষেধগুলি পুলব্যাক দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়; তন্তুযুক্ত বিভাগগুলি তখন এই ধরনের আঠালো হওয়ার সম্ভাবনা নিয়ে আলোচনা করার জন্য একটি ভাল কাঠামো তৈরি করে। একটি স্ট্যাকের স্বজ্ঞাত অর্থ হল এটি একটি তন্তুযুক্ত বিভাগ যাতে "সমস্ত সম্ভাব্য আঠালো কাজ করে"। গ্লুয়িং-এর নির্দিষ্টকরণের জন্য আবরণের একটি সংজ্ঞা প্রয়োজন যার সাথে গ্লুয়িং বিবেচনা করা যেতে পারে। দেখা যাচ্ছে যে এই আচ্ছাদনগুলি বর্ণনা করার জন্য সাধারণ ভাষা হল গ্রোথেন্ডিক টপোলজি। এইভাবে একটি স্ট্যাককে আনুষ্ঠানিকভাবে অন্য বেস বিভাগের উপর একটি ফাইবারযুক্ত বিভাগ হিসাবে দেওয়া হয়, যেখানে বেসের একটি গ্রোথেন্ডিক টপোলজি রয়েছে এবং যেখানে ফাইবারযুক্ত বিভাগটি কয়েকটি স্বতঃসিদ্ধকে সন্তুষ্ট করে যা গ্রোথেন্ডিক টপোলজির ক্ষেত্রে নির্দিষ্ট গ্লুইংয়ের অস্তিত্ব এবং স্বতন্ত্রতা নিশ্চিত করে। স্ট্যাকগুলি বীজগাণিতিক স্ট্যাক (আর্টিন স্ট্যাক নামেও পরিচিত) এবং ডেলিগনে-মামফোর্ড স্ট্যাকের অন্তর্নিহিত কাঠামো, যা স্কিম এবং বীজগাণিতিক স্থানগুলিকে সাধারণীকরণ করে এবং যা মডুলি স্থান অধ্যয়নে বিশেষভাবে কার্যকর। অন্তর্ভুক্ত রয়েছেঃ স্কিমগুলি-বীজগাণিতিক স্থান-ডেলিগনে-মামফোর্ড স্ট্যাক-বীজগাণিতিক স্ট্যাক (আর্টিন স্ট্যাক)-স্ট্যাক। এবং স্ট্যাকগুলির একটি সংক্ষিপ্ত প্রারম্ভিক বিবরণ দিন, এবং আরও বিস্তারিত ভূমিকা দিন, এবং আরও উন্নত তত্ত্ব বর্ণনা করুন। অনুপ্রেরণা এবং ইতিহাস স্ট্যাকের ধারণার উৎপত্তি কার্যকর বংশোদ্ভূত তথ্যের সংজ্ঞায়। 1959 সালে সেরের কাছে লেখা একটি চিঠিতে, গ্রোথেন্ডিয়াক পর্যবেক্ষণ করেছিলেন যে ভাল মডুলি স্পেস নির্মাণের ক্ষেত্রে একটি মৌলিক বাধা হল অটোমরফিজমের অস্তিত্ব। স্ট্যাকগুলির জন্য একটি প্রধান প্রেরণা হল যে অটোমরফিজমের অস্তিত্বের কারণে যদি কোনও সমস্যার জন্য একটি মডুলি স্থান বিদ্যমান না থাকে, তবুও একটি মডুলি স্ট্যাক তৈরি করা সম্ভব হতে পারে। স্ট্যাকগুলি সংজ্ঞায়িত হওয়ার আগে উপবৃত্তাকার বক্ররেখার মডুলি স্ট্যাকের পিকার্ড গ্রুপ অধ্যয়ন করা হয়েছিল। স্ট্যাকগুলি প্রথম দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়েছিল, এবং "স্ট্যাক" শব্দটি মূল ফরাসি শব্দ "চ্যাম্প"-এর জন্য প্রবর্তিত হয়েছিল যার অর্থ "ক্ষেত্র"। এই গবেষণাপত্রে তারা ডেলিগনে-মামফোর্ড স্ট্যাকগুলিও প্রবর্তন করেছিল, যাকে তারা বীজগাণিতিক স্ট্যাক বলে, যদিও "বীজগাণিতিক স্ট্যাক" শব্দটি এখন সাধারণত আর্টিন স্ট্যাকগুলির দ্বারা প্রবর্তিত আরও সাধারণ স্ট্যাকগুলিকে বোঝায়। গোষ্ঠী ক্রিয়া দ্বারা পরিকল্পনার ভাগফল সংজ্ঞায়িত করার সময়, ভাগফলের জন্য একটি পরিকল্পনা হওয়া প্রায়শই অসম্ভব এবং তবুও একটি ভাগফলের জন্য কাঙ্ক্ষিত বৈশিষ্ট্যগুলি সন্তুষ্ট করে। উদাহরণস্বরূপ, যদি কয়েকটি পয়েন্টে অ-তুচ্ছ স্থিতিশীল থাকে, তবে স্কিমগুলির মধ্যে শ্রেণীগত ভাগফল বিদ্যমান থাকবে না, তবে এটি একটি স্ট্যাক হিসাবে বিদ্যমান থাকবে। একইভাবে, বক্ররেখা, ভেক্টর বান্ডিল বা অন্যান্য জ্যামিতিক বস্তুর মডুলি স্পেসগুলি প্রায়শই স্কিমের পরিবর্তে স্ট্যাক হিসাবে সর্বোত্তমভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। মডুলি স্থানগুলির নির্মাণ প্রায়শই প্রশ্নযুক্ত বস্তুগুলিকে প্যারামিট্রাইজ করে একটি বৃহত্তর স্থান তৈরি করে এগিয়ে যায় এবং তারপরে অটোমরফিজমযুক্ত বস্তুর জন্য গোষ্ঠী ক্রিয়া দ্বারা ভাগফল তৈরি করে যা অতিরিক্ত গণনা করা হয়েছে। সংজ্ঞা বিমূর্ত স্ট্যাক একটি বিভাগে একটি ফাংক্টর সহ একটি বিভাগকে ফাইবারযুক্ত বিভাগ বলা হয় যদি কোনও রূপবাদের জন্য এবং কোনও বস্তুর সাথে চিত্রের জন্য (ফাংক্টরের নীচে), বাই-এর একটি পুলব্যাক থাকে। এর অর্থ হল চিত্রের সাথে এমন একটি রূপবাদ যাতে চিত্রের সাথে যে কোনও রূপবাদকে এমন একটি অনন্য রূপবাদ দ্বারা ফ্যাক্টর করা যেতে পারে যাতে ফাংক্টর মানচিত্র তৈরি করে। উপাদানটিকে পুলব্যাক অফ অ্যাঙ্গ বলা হয় এবং ক্যানোনিকাল আইসোমরফিজম পর্যন্ত অনন্য। 'সি' বিভাগকে 'সি' বিভাগের উপরে 'গ্রথেন্ডিক টপোলজি' সহ 'প্রিস্ট্যাক' বলা হয়, যদি এটি 'সি'-র উপর আঁকা থাকে এবং 'সি'-র 'ইউ' এবং 'সি'-র 'এক্স', 'ওয়াই'-র জন্য 'ইউ' ছবি সহ, 'সি/ইউ'-এর উপরের বিভাগ থেকে 'এফঃ ভি', 'ইউ' থেকে 'হোম' (এফ * এক্স, এফ * ওয়াই)-কে নেওয়া ফাংক্টর একটি শেফ। এই পরিভাষাটি শেভের পরিভাষার সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ নয়ঃ প্রিস্ট্যাকগুলি প্রিশেভের পরিবর্তে পৃথক প্রিশেভের অনুরূপ। কিছু লেখক এটিকে প্রিস্ট্যাকের পরিবর্তে স্ট্যাকের সম্পত্তি হিসাবে চান। 'সি' বিভাগকে 'সি' বিভাগের উপরে একটি স্ট্যাক বলা হয়, যেখানে 'গ্রোথেন্ডিক টপোলজি' রয়েছে, যদি এটি 'সি'-র উপরে একটি প্রিস্ট্যাক হয় এবং প্রতিটি অবতরণ ডেটাম কার্যকর হয়। একটি অবতরণ ডেটাম মোটামুটিভাবে একটি পরিবার ভি দ্বারা সি-এর একটি বস্তুর আচ্ছাদন, ভি-এর উপর ফাইবারের উপাদান xi, এবং xi এবং xj থেকে ভিজ = ভি × ভিভিজে-এর সীমাবদ্ধতার মধ্যে রূপবাদ fji নিয়ে গঠিত যা সামঞ্জস্যতা শর্ত fki = fkjfj কে সন্তুষ্ট করে। অবতরণ ডেটামকে কার্যকর বলা হয় যদি উপাদান xi মূলত ছবি V সহ একটি উপাদান x-এর পুলব্যাক হয়। একটি স্ট্যাককে গ্রুপয়েডে স্ট্যাক বলা হয় বা (2,1)-শিফ বলা হয় যদি এটি গ্রুপয়েডেও ফাইবার করা হয়, যার অর্থ এর তন্তুগুলি (সি-এর বস্তুর বিপরীত চিত্র) গ্রুপয়েড হয়। কিছু লেখক গ্রুপয়েডে স্ট্যাকের আরও সীমাবদ্ধ ধারণাকে বোঝাতে "স্ট্যাক" শব্দটি ব্যবহার করেন। একটি বীজগাণিতিক স্ট্যাক বা আর্টিন স্ট্যাক হল এফ. পি. পি. এফ সাইটের উপর গ্রুপয়েড এক্স-এর একটি স্ট্যাক যাতে এক্স-এর তির্যক মানচিত্রটি প্রতিনিধিত্বযোগ্য হয় এবং একটি স্কিম (স্ট্যাকের সাথে যুক্ত) থেকে এক্স-এ একটি মসৃণ সারজেকশন বিদ্যমান থাকে। স্ট্যাকের একটি অঙ্গসংস্থান Y X প্রতিনিধিত্বযোগ্য যদি, প্রতিটি অঙ্গসংস্থান S X-এর জন্য একটি স্কিম (স্ট্যাকের সাথে যুক্ত) থেকে X পর্যন্ত, ফাইবার পণ্য Y × X S একটি বীজগাণিতিক স্থানের (স্ট্যাকের সাথে যুক্ত) সমরূপ হয়। স্ট্যাকের ফাইবার পণ্যটি সাধারণ সার্বজনীন বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করে সংজ্ঞায়িত করা হয় এবং ডায়াগ্রামগুলি 2-যাতায়াতের প্রয়োজনীয়তার সাথে যাতায়াতের প্রয়োজনীয়তা পরিবর্তন করে। আরও তথ্যের জন্য বীজগাণিতিক স্ট্যাকের অঙ্গসংস্থান দেখুন। তির্যকের প্রতিনিধিত্বযোগ্যতার পিছনে অনুপ্রেরণাটি নিম্নরূপঃ তির্যক অঙ্গসংস্থান প্রতিনিধিত্বযোগ্য যদি এবং শুধুমাত্র যদি বীজগাণিতিক স্থানগুলির কোনও জোড়া অঙ্গসংস্থানের জন্য, তাদের তন্তু পণ্য প্রতিনিধিত্বযোগ্য হয়। একটি ডেলিগনে-মামফোর্ড স্ট্যাক হল একটি বীজগাণিতিক স্ট্যাক X যাতে একটি স্কিম থেকে X-এ একটি étale সারজেকশন থাকে। মোটামুটিভাবে বলতে গেলে, ডেলিগনে-মামফোর্ড স্ট্যাকগুলিকে বীজগাণিতিক স্ট্যাক হিসাবে ভাবা যেতে পারে যার বস্তুর কোনও অসীম অটোমরফিজম নেই। বীজগাণিতিক স্ট্যাকগুলির স্থানীয় কাঠামো বীজগাণিতিক স্ট্যাকগুলির সূচনা থেকেই এটি আশা করা হয়েছিল যে তারা স্থানীয়ভাবে ভাগফলের স্ট্যাক যেখানে একটি রৈখিকভাবে হ্রাসকারী বীজগাণিতিক গ্রুপ। সম্প্রতি এটি প্রমাণিত হয়েছেঃ একটি বীজগাণিতিকভাবে বদ্ধ ক্ষেত্রের উপর স্থানীয়ভাবে সীমাবদ্ধ ধরনের একটি আধা-বিচ্ছিন্ন বীজগাণিতিক স্ট্যাক দেওয়া হয়েছে যার স্টেবিলাইজারগুলি অ্যাফাইন, এবং রৈখিকভাবে রিডাক্টিভ স্টেবিলাইজার গ্রুপের সাথে একটি মসৃণ এবং বন্ধ বিন্দু, জি. আই. টি ভাগফলের একটি ইটেল আবরণ বিদ্যমান, যেখানে, যেমন রেখাচিত্র কার্টেসিয়ান, এবং একটি ইটেল মরফিজম বিদ্যমান যা এবং এ স্টেবিলাইজার গোষ্ঠীগুলির একটি আইসোমরফিজমকে প্ররোচিত করে। উদাহরণ প্রাথমিক গ্রোথেন্ডিয়াক টপোলজি সহ একটি বিভাগ থেকে প্রতিটি শেফকে ক্যানোনিকালভাবে একটি স্ট্যাকে পরিণত করা যেতে পারে। একটি বস্তুর জন্য, একটি সেটের পরিবর্তে একটি গ্রুপয়েড থাকে যার বস্তুগুলি এর উপাদান এবং তীরগুলি পরিচয় অঙ্গসংস্থান। আরও সুনির্দিষ্টভাবে, আসুন একটি বিপরীতমুখী ক্রিয়াশীল ক্রিয়াশীল ক্রিয়াশীল ক্রিয়াশীল ক্রিয়াশীল ক্রিয়াশীল ক্রিয়াশীল ক্রিয়াশীল ক্রিয়াশীল ক্রিয়াশীল ক্রিয়াশীল ক্রিয়াশীল ক্রিয়াশীল ক্রিয়াশীল ক্রিয়াশীল ক্রিয়াশীল ক্রিয়াশীল ক্রিয়াশীল ক্রিয়াশীল ক্রিয়াশীল ক্রিয়াশীল ক্রিয়াশীল ক্রিয়াশীল ক্রিয়াশীল ক্রিয়াশীল ক্রিয়াশীল ক্রিয়াশীল ক্রিয়াশীল ক্রিয়াশীল ক্রিয়াশীল ক্রিয়াশীল ক্রিয়াশীল ক্রিয়াশীল ক্রিয়াশীল ক্রিয়াশীল ক্রিয়াশীল ক্রিয়াশীল ক্রিয়াশীল ক্রিয়াশীল ক্রিয়াশীল ক্রিয়াশীল ক্রিয়াশীল ক্রিয়াশীল ক্রিয়াশীল ক্রিয়াশীল ক্রিয়াশীল ক্রিয়াশীল ক্রিয়াশীল ক্রিয়াশীল ক্রিয়াশীল ক্রিয়াশীল ক্রিয়াশীল ক্রিয়াশীল ক্রিয়াশীল। ভুলে যাওয়া ফাংশনের মাধ্যমে, বিভাগটি একটি ফাইবারযুক্ত বিভাগ। উদাহরণস্বরূপ, যদি একটি স্কিম হয়, তবে এটি বিপরীতমুখী ফাংক্টর নির্ধারণ করে এবং সংশ্লিষ্ট ফাইবারযুক্ত বিভাগটি হল। স্ট্যাক (বা প্রিস্ট্যাক) এই নির্মাণের একটি বৈকল্পিক হিসাবে নির্মাণ করা যেতে পারে। প্রকৃতপক্ষে, আধা-সংক্ষিপ্ত তির্যক সহ যে কোনও স্কিম এই স্কিমের সাথে যুক্ত একটি বীজগাণিতিক স্ট্যাক। বস্তুর স্ট্যাক একটি গ্রুপ-স্ট্যাক। ভেক্টর বান্ডিলগুলির মডুলি স্ট্যাকঃ ভেক্টর বান্ডিলগুলির বিভাগ V → S হল টপোলজিকাল স্পেস S বিভাগের উপর একটি স্ট্যাক। V → S থেকে W → T পর্যন্ত একটি মরফিজম S থেকে T এবং V থেকে W (ফাইবারের উপর রৈখিক) পর্যন্ত অবিচ্ছিন্ন মানচিত্র নিয়ে গঠিত যাতে সুস্পষ্ট বর্গ যাতায়াত করে। এটি একটি ফাইবারযুক্ত বিভাগ হওয়ার শর্তটি অনুসরণ করা হয় কারণ কেউ টপোলজিকাল স্পেসের অবিচ্ছিন্ন মানচিত্রে ভেক্টর বান্ডিলগুলির পুলব্যাক নিতে পারে এবং একটি অবতরণ ডেটাম কার্যকর হওয়ার শর্তটি অনুসরণ করা হয় কারণ কেউ ভেক্টর বান্ডিলগুলি একসাথে আঠালো করে একটি স্থানের উপর একটি ভেক্টর বান্ডিল তৈরি করতে পারে। অর্ধ-সুসঙ্গত বিন্যাসের বিন্যাস (এফ. পি. কিউ. সি-টপোলজি এবং দুর্বল টপোলজি সম্পর্কিত) একটি ভিত্তি বিন্যাসে এফাইন বিন্যাসের বিন্যাস (আবার এফ. পি. কিউ. সি টপোলজি বা দুর্বলের সাথে সম্পর্কিত) স্ট্যাক কোটিয়েন্ট সহ নির্মাণ যদি একটি বিন্যাস হয় এবং একটি মসৃণ এফাইন গ্রুপ স্কিম কাজ করে, তবে একটি ভাগফল বীজগাণিতিক বিন্যাস থাকে, যা-স্কিমের উপর-টরসের গ্রুপয়েডে-সমতুল্য মানচিত্রের সাথে একটি বিন্যাস নিয়ে যায়। স্পষ্টতই, একটি-ক্রিয়া সহ একটি স্থান দেওয়া হলে, স্ট্যাক গঠন করে যা (স্বজ্ঞাতভাবে বলতে গেলে) পুলব্যাক চিত্রের গ্রুপয়েডে একটি স্থান পাঠায় যেখানে স্থানগুলির একটি-সমতুল্য মরফিজম এবং এটি একটি প্রধান-বান্ডিল। এই বিভাগের মরফিজমগুলি কেবল চিত্রের মরফিজম যেখানে ডান দিকের তীরগুলি সমান এবং বাম দিকের তীরগুলি প্রধান-বান্ডিলগুলির মরফিজম। স্ট্যাকগুলির শ্রেণিবিন্যাস এর একটি বিশেষ ক্ষেত্রে যখন এক্স একটি বিন্দু হয় তখন একটি মসৃণ অ্যাফিন গ্রুপ স্কিম জি-এর শ্রেণিবিন্যাস স্ট্যাক বিজি দেয়ঃ এটির নামকরণ করা হয়েছে যেহেতু বিভাগটি, ওয়াই-এর উপর ফাইবার, সঠিকভাবে প্রধান-বান্ডিলগুলির বিভাগ। লক্ষ্য করুন যে নিজেই একটি স্ট্যাক হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে, Y-এর উপর প্রধান জি-বান্ডিলগুলির মডুলি স্ট্যাক। এই নির্মাণের একটি গুরুত্বপূর্ণ উপ-উদাহরণ হল প্রধান-বান্ডিলগুলির মডুলি স্ট্যাক। যেহেতু একটি প্রধান-বান্ডিলের তথ্য একটি র্যাঙ্ক ভেক্টর বান্ডিলের তথ্যের সমতুল্য, তাই এটি র্যাঙ্ক ভেক্টর বান্ডিলের মডুলি স্ট্যাকের সমরূপ। লাইন বান্ডিলগুলির মডুলি স্ট্যাক লাইন বান্ডিলগুলির মডুলি স্ট্যাক হল যেহেতু প্রতিটি লাইন বান্ডিল একটি প্রধান-বান্ডিলের সমতুল্য। প্রকৃতপক্ষে, একটি স্কিমের উপর একটি লাইন বান্ডিল দেওয়া হলে, আপেক্ষিক একটি জ্যামিতিক লাইন বান্ডিল নির্দিষ্ট করে। শূন্য বিভাগের চিত্রটি সরিয়ে ফেললে, একটি প্রধান-বান্ডিল পাওয়া যায়। বিপরীতভাবে, উপস্থাপনা থেকে, সংশ্লিষ্ট লাইন বান্ডিলটি পুনর্গঠন করা যেতে পারে। জার্বস এ জার্ব হল গ্রুপয়েডের একটি স্তুপ যার সর্বদা একটি অ-খালি বিভাগ থাকে। উদাহরণস্বরূপ, কিছু গোষ্ঠীর জন্য প্রতিটি পরিকল্পনায় মূল-বান্ডিলের গ্রুপয়েড বরাদ্দ করা তুচ্ছ জীবাণু। আপেক্ষিক স্পেক এবং প্রজেক্ট যদি A একটি বীজগাণিতিক স্ট্যাক X-এ একটি স্কিম S-এর উপর অ্যালজেব্রার একটি আধা-সুসঙ্গত শেফ হয়, তবে একটি স্ট্যাক স্পেক (A) থাকে যা একটি বিনিময়যোগ্য বলয় A-এর বর্ণালী স্পেক (A)-এর গঠনকে সাধারণীকরণ করে। স্পেক্স (এ)-এর একটি বস্তু একটি এস-স্কিম টি দ্বারা দেওয়া হয়, এক্স (টি)-এর একটি বস্তু এক্স, এবং এক্স * (এ) থেকে টি-এর স্থানাঙ্ক বলয় ও (টি) পর্যন্ত অ্যালজেব্রার শেভগুলির একটি অঙ্গসংস্থান। যদি এ একটি স্কিম এস-এর উপর একটি বীজগাণিতিক স্ট্যাক এক্স-এ গ্রেডেড অ্যালজেব্রার একটি আধা-সুসঙ্গত শেফ হয়, তবে একটি গ্রেডেড রিং এ-এর প্রজেক্টিভ স্কিম প্রোজ (এ)-এর নির্মাণকে সাধারণীকরণ করে একটি স্ট্যাক প্রোজ (এ) থাকে। মডুলি স্ট্যাকগুলি বক্ররেখার মডুলি অধ্যয়নরত উপবৃত্তাকার বক্ররেখার মডুলি স্ট্যাক এম111 অধ্যয়নরত, এবং দেখায় যে এর পিকার্ড গ্রুপটি 12 ক্রমের চক্রাকার। জটিল সংখ্যার উপর উপবৃত্তাকার বক্ররেখার জন্য সংশ্লিষ্ট স্ট্যাকটি মডুলার গ্রুপের ক্রিয়া দ্বারা উপরের অর্ধ-সমতলের একটি ভাগফলের অনুরূপ। প্রদত্ত বংশের মসৃণ বক্ররেখার সর্বজনীন পরিবার হিসাবে সংজ্ঞায়িত বীজগাণিতিক বক্ররেখার মডুলি স্থানটি বীজগাণিতিক বৈচিত্র হিসাবে বিদ্যমান নয় কারণ বিশেষত অ-তুচ্ছ অটোমরফিজমগুলি স্বীকার করে এমন বক্ররেখা রয়েছে। তবে একটি মডুলি স্ট্যাক রয়েছে যা মসৃণ বংশের বক্ররেখার অস্তিত্বহীন সূক্ষ্ম মডুলি স্থানের জন্য একটি ভাল বিকল্প। আরও সাধারণভাবে চিহ্নিত বিন্দু সহ বংশের বক্ররেখার একটি মডুলি স্ট্যাক রয়েছে। সাধারণভাবে এটি একটি বীজগাণিতিক স্ট্যাক, এবং এর জন্য একটি ডেলিগনে-মামফোর্ড স্ট্যাক বা (অন্য কথায় যখন বক্ররেখার অটোমরফিজম গ্রুপগুলি সীমাবদ্ধ হয়)। এই মডুলি স্ট্যাকের একটি সমাপ্তি রয়েছে যা স্থিতিশীল বক্ররেখার মডুলি স্ট্যাক (প্রদত্ত এবং জন্য) নিয়ে গঠিত যা স্পেক জেড-এর উপর সঠিক। উদাহরণস্বরূপ, এটি প্রজেক্টিভ সাধারণ রৈখিক গোষ্ঠীর শ্রেণীবদ্ধকরণ স্ট্যাক। (সংজ্ঞায়িত করার ক্ষেত্রে একটি সূক্ষ্মতা রয়েছে, কারণ এটি তৈরি করার জন্য পরিকল্পনার পরিবর্তে বীজগাণিতিক স্থান ব্যবহার করতে হয়।) কনটসেভিচ মডুলি স্পেস মডুলি স্পেসের আরেকটি ব্যাপকভাবে অধ্যয়নরত শ্রেণী হল কনটসেভিচ মডুলি স্পেস যা একটি নির্দিষ্ট প্রজাতির বক্ররেখার মধ্যে স্থিতিশীল মানচিত্রের স্থানকে একটি নির্দিষ্ট স্থানে পরিমাপ করে যার চিত্র একটি নির্দিষ্ট কোহোমোলজি শ্রেণীর প্রতিনিধিত্ব করে। এই মডুলি স্থানগুলি চিহ্নিত করা হয় এবং বন্য আচরণ থাকতে পারে, যেমন হ্রাসযোগ্য স্ট্যাক যার উপাদানগুলি অ-সমান মাত্রা। উদাহরণস্বরূপ, মডুলি স্ট্যাকের একটি খোলা উপসেট দ্বারা পরামিতি করা মসৃণ বক্ররেখা রয়েছে। মডুলি স্থানের সীমানায়, যেখানে বক্ররেখা হ্রাসযোগ্য বক্ররেখায় অবনমিত হতে পারে, সেখানে একটি সাবস্ট্যাক প্যারামিটারাইজিং হ্রাসযোগ্য বক্ররেখা রয়েছে যার সাথে একটি গণ উপাদান এবং একটি গণ উপাদান এক বিন্দুতে ছেদ করে এবং মানচিত্রটি গণ বক্ররেখাকে একটি বিন্দুতে পাঠায়। যেহেতু এই জাতীয় সমস্ত বংশের বক্ররেখা দ্বারা প্যারামিট্রাইজ করা হয়, এবং এই বক্ররেখাটি বংশের বক্ররেখার উপর কোথায় ছেদ করে তার একটি অতিরিক্ত মাত্রিক পছন্দ রয়েছে, সীমানা উপাদানটির মাত্রা রয়েছে। অন্যান্য মডুলি স্ট্যাক একটি পিকার্ড স্ট্যাক একটি পিকার্ড বৈচিত্র্যকে সাধারণীকরণ করে। আনুষ্ঠানিক গোষ্ঠী আইনের মডুলি স্ট্যাক আনুষ্ঠানিক গোষ্ঠী আইনগুলিকে শ্রেণীবদ্ধ করে। একটি ইন্ড-স্কিম যেমন একটি অসীম প্রজেক্টিভ স্পেস এবং একটি আনুষ্ঠানিক স্কিম হল একটি স্ট্যাক। জ্যামিতিক ল্যাংল্যান্ডস প্রোগ্রামে শ্টুকার একটি মডুলি স্ট্যাক ব্যবহার করা হয়। (এছাড়াও শতকরা দেখুন।) জ্যামিতিক স্ট্যাক ওজনযুক্ত প্রজেক্টিভ স্ট্যাক ওজনযুক্ত প্রজেক্টিভ স্পেস তৈরি করার সাথে একটি-অ্যাকশন দ্বারা কিছু ভাগফলের বৈচিত্র্য নেওয়া জড়িত। বিশেষত, ক্রিয়াটি একটি টুপল পাঠায় এবং এই ক্রিয়ার ভাগফল ওজনযুক্ত প্রজেক্টিভ স্থান দেয়। যেহেতু এটি পরিবর্তে একটি স্ট্যাক ভাগফল হিসাবে নেওয়া যেতে পারে, তাই ওজনযুক্ত প্রজেক্টিভ স্ট্যাক পি. জি. 30 হল একটি লাইনের বান্ডেলে একটি ওজনযুক্ত বহুপদের অদৃশ্য হয়ে যাওয়া লোকাস গ্রহণ করা একটি স্ট্যাকি ওজনযুক্ত প্রজেক্টিভ বৈচিত্র্য দেয়। স্ট্যাকি বক্ররেখা স্ট্যাকি বক্ররেখা বা অরবিকার্ভগুলি জেনেরিক পয়েন্টগুলির উপর কভারের মনোড্রোমি গ্রুপ দ্বারা বক্ররেখার একটি মরফিজমের স্ট্যাক ভাগফল নিয়ে তৈরি করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, একটি প্রজেক্টিভ মরফিজম নিন, যা সাধারণভাবে ইটাল। দ্বারা ডোমেনের স্ট্যাক ভাগফল স্ট্যাকি পয়েন্টগুলির সাথে একটি স্ট্যাকি দেয় যার-চার্টে ঐক্যের পঞ্চম মূলে স্টেবিলাইজার গ্রুপ রয়েছে। এর কারণ হল এই পয়েন্টগুলি যেখানে কভারটি প্রসারিত হয়। নন-অ্যাফিন স্ট্যাক একটি নন-অ্যাফিন স্ট্যাকের উদাহরণ দুটি স্ট্যাকি উত্স সহ অর্ধ-লাইন দ্বারা দেওয়া হয়। এটি দুটি অন্তর্ভুক্তির কলিমিট হিসাবে তৈরি করা যেতে পারে। বীজগাণিতিক স্ট্যাকের উপর আধা-সুসঙ্গত শেভ একটি বীজগাণিতিক স্ট্যাকের উপর একটি স্কিমের উপর আধা-সুসঙ্গত শেভের বিভাগের অনুরূপ আধা-সুসঙ্গত শেভের একটি বিভাগ তৈরি করা যেতে পারে। একটি আধা-সুসঙ্গত শেফ মোটামুটিভাবে এমন একটি যা স্থানীয়ভাবে একটি রিংয়ের উপর একটি মডিউলের শেফের মতো দেখায়। প্রথম সমস্যাটি হল "স্থানীয়ভাবে" বলতে কি বোঝায় তা নির্ধারণ করাঃ এর সঙ্গে একটি গ্রোথেন্ডিক টপোলজি বেছে নেওয়া জড়িত, এবং এর জন্য অনেকগুলি সম্ভাব্য বিকল্প রয়েছে, যার সবকটিতেই কিছু সমস্যা রয়েছে এবং যার কোনওটিই সম্পূর্ণ সন্তোষজনক বলে মনে হয় না। গ্রোথেন্ডিয়াক টপোলজি যথেষ্ট শক্তিশালী হওয়া উচিত যাতে স্ট্যাকটি এই টপোলজিতে স্থানীয়ভাবে সংযুক্ত থাকেঃ স্কিমগুলি জারিস্কি টপোলজিতে স্থানীয়ভাবে সংযুক্ত থাকে তাই সের আবিষ্কৃত স্কিমগুলির জন্য এটি একটি ভাল পছন্দ, বীজগাণিতিক স্থান এবং ডেলিগনে-মামফোর্ড স্ট্যাকগুলি স্থানীয়ভাবে ইটেল টপোলজিতে সংযুক্ত থাকে তাই কেউ সাধারণত এগুলির জন্য ইটেল টপোলজি ব্যবহার করে, যখন বীজগাণিতিক স্ট্যাকগুলি মসৃণ টপোলজিতে স্থানীয়ভাবে সংযুক্ত থাকে যাতে কেউ এই ক্ষেত্রে মসৃণ টপোলজি ব্যবহার করতে পারে। সাধারণ বীজগাণিতিক স্ট্যাকগুলির জন্য ইটেল টপোলজিতে পর্যাপ্ত খোলা সেট নেইঃ উদাহরণস্বরূপ, যদি জি একটি মসৃণ সংযুক্ত গ্রুপ হয় তবে শ্রেণীবদ্ধকরণ স্ট্যাক বিজি-র একমাত্র ইটেল কভারগুলি বিজি-র অনুলিপিগুলির ইউনিয়ন, যা সঠিক তত্ত্ব দেওয়ার জন্য যথেষ্ট নয়। বীজগাণিতিক স্ট্যাকের জন্য মসৃণ টপোলজি ব্যবহার করার পরিবর্তে প্রায়শই এর একটি পরিবর্তন ব্যবহার করা হয় যাকে বলা হয় লিস-এট টপোলজি (লিসে-ইটেলের সংক্ষিপ্ত রূপঃ লিসে মসৃণের জন্য ফরাসি শব্দ), যার মসৃণ টপোলজির মতো একই খোলা সেট রয়েছে তবে খোলা আবরণ মসৃণ মানচিত্রের পরিবর্তে ইটেল দ্বারা দেওয়া হয়। এটি সাধারণত অর্ধ-সুসঙ্গত শেভের সমতুল্য বিভাগের দিকে পরিচালিত করে বলে মনে হয়, তবে এটি ব্যবহার করা সহজঃ উদাহরণস্বরূপ, বীজগাণিতিক স্থানগুলির ইটেল টপোলজির সাথে তুলনা করা সহজ। লিস-এট টপোলজির একটি সূক্ষ্ম প্রযুক্তিগত সমস্যা রয়েছেঃ স্ট্যাকগুলির মধ্যে একটি অঙ্গসংস্থান সাধারণভাবে সংশ্লিষ্ট টোপোইগুলির মধ্যে একটি অঙ্গসংস্থান দেয় না। (সমস্যাটি হল যে টোপোই-এর জ্যামিতিক অঙ্গবিন্যাসের জন্য প্রয়োজন অনুযায়ী একজোড়া সংলগ্ন ফাঙ্কটর f *, f * তৈরি করা যেতে পারে, তবে সাধারণভাবে ফাঙ্কটর f * সঠিকভাবে অবশিষ্ট থাকে না। এই সমস্যাটি প্রকাশিত কাগজপত্র এবং বইগুলিতে কিছু ত্রুটি ঘটানোর জন্য কুখ্যাত)। এর মানে হল যে স্ট্যাকের একটি অঙ্গসংস্থানের অধীনে একটি কোয়াসিকোহের্যান্ট শিফের পুলব্যাক নির্মাণের জন্য কিছু অতিরিক্ত প্রচেষ্টার প্রয়োজন। সূক্ষ্মতর টপোলজি ব্যবহার করাও সম্ভব। বেশিরভাগ যুক্তিসঙ্গত "যথেষ্ট বড়" গ্রোথেন্ডিয়াক টপোলজিগুলি অর্ধ-সুসঙ্গত শেভের সমতুল্য বিভাগগুলির দিকে পরিচালিত করে বলে মনে হয়, তবে বৃহত্তর টপোলজি পরিচালনা করা যত কঠিন হয়, তাই একজন সাধারণত ছোট টপোলজি ব্যবহার করতে পছন্দ করে যতক্ষণ না তাদের পর্যাপ্ত খোলা সেট থাকে। উদাহরণস্বরূপ, বড় এফ. পি. পি. এফ টপোলজি মূলত লিস-এট টপোলজির মতো আধা-সুসঙ্গত শেভের একই বিভাগের দিকে পরিচালিত করে, তবে এর একটি সূক্ষ্ম সমস্যা রয়েছেঃ এই টপোলজিতে ও. এক্স মডিউলগুলিতে আধা-সুসঙ্গত শেভের প্রাকৃতিক এম্বেডিং সঠিক নয় (এটি সাধারণভাবে কার্নেল সংরক্ষণ করে না)। অন্যান্য ধরনের স্ট্যাক ডিফারেনশিয়েবল স্ট্যাক এবং টপোলজিকাল স্ট্যাকগুলিকে বীজগাণিতিক স্ট্যাকের মতো সংজ্ঞায়িত করা হয়, তবে অ্যাফিন স্কিমগুলির অন্তর্নিহিত বিভাগটি মসৃণ ম্যানিফোল্ড বা টপোলজিকাল স্পেসের বিভাগ দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়। আরও সাধারণভাবে একটি এন-শেফ বা এন-1 স্ট্যাকের ধারণাকে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে, যা মোটামুটিভাবে এক ধরনের শেফ যা এন-1 বিভাগে মান গ্রহণ করে। এটি করার বেশ কয়েকটি অসম উপায় রয়েছে। 1-শেভগুলি শেভগুলির মতো এবং 2-শেভগুলি স্ট্যাকের মতো। এগুলিকে উচ্চতর স্ট্যাক বলা হয়। একটি খুব অনুরূপ এবং অনুরূপ সম্প্রসারণ হল অ-বিচ্ছিন্ন বস্তুর উপর স্ট্যাক তত্ত্ব বিকাশ করা (অর্থাৎ, একটি স্থান আসলে বীজগাণিতিক টপোলজিতে একটি বর্ণালী)। ফলস্বরূপ স্ট্যাকি বস্তুগুলিকে উদ্ভূত স্ট্যাক (বা বর্ণালী স্ট্যাক) বলা হয়। জ্যাকব লুরির নির্মাণাধীন বই স্পেকট্রাল অ্যালজেব্রিক জ্যামিতি একটি সাধারণীকরণ অধ্যয়ন করে যা তিনি একটি বর্ণালী ডেলিগনে-মামফোর্ড স্ট্যাক বলে অভিহিত করেন। সংজ্ঞা অনুসারে, এটি একটি রিংযুক্ত α-টোপোস যা স্থানীয়ভাবে একটি E α-রিংয়ের α-টেল বর্ণালী (এই ধারণাটি একটি উদ্ভূত পরিকল্পনার অন্তর্ভুক্ত, অন্তত বৈশিষ্ট্য শূন্যের মধ্যে)। সেট-তাত্ত্বিক সমস্যা স্ট্যাক তত্ত্বের স্বাভাবিক ভিত্তির সাথে কিছু ছোট সেট তাত্ত্বিক সমস্যা রয়েছে, কারণ স্ট্যাকগুলি প্রায়শই সেটের বিভাগের নির্দিষ্ট ফাংক্টর হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় এবং তাই সেট হয় না। এই সমস্যাটি মোকাবেলা করার বিভিন্ন উপায় রয়েছেঃ কেউ গ্রোথেন্ডিক মহাবিশ্বের সাথে কাজ করতে পারেঃ একটি স্ট্যাক তখন কিছু নির্দিষ্ট গ্রোথেন্ডিক মহাবিশ্বের শ্রেণীর মধ্যে একটি ফাংক্টর হয়, তাই এই শ্রেণীগুলি এবং স্ট্যাকগুলি একটি বৃহত্তর গ্রোথেন্ডিক মহাবিশ্বে সেট করা হয়। এই পদ্ধতির অসুবিধা হল যে একজনকে যথেষ্ট গ্রোথেন্ডিক মহাবিশ্বের অস্তিত্ব অনুমান করতে হবে, যা মূলত একটি বড় মূল স্বতঃসিদ্ধ। একজন স্ট্যাককে যথেষ্ট বড় র্যাঙ্কের সেটের ফাংক্টর হিসাবে সংজ্ঞায়িত করতে পারেন এবং যে সেটগুলি ব্যবহার করেন সেগুলির র্যাঙ্কের যত্ন সহকারে নজর রাখতে পারেন। এর সাথে সমস্যা হল যে এতে কিছু অতিরিক্ত বরং ক্লান্তিকর হিসাবরক্ষণ জড়িত। সেট তত্ত্ব থেকে প্রতিফলন নীতিগুলি ব্যবহার করা যেতে পারে যা বলে যে কেউ জেডএফসি-র স্বতঃসিদ্ধগুলির যে কোনও সীমাবদ্ধ খণ্ডের সেট মডেলগুলি খুঁজে পেতে পারে যা দেখায় যে কেউ স্বয়ংক্রিয়ভাবে এমন সেটগুলি খুঁজে পেতে পারে যা সমস্ত সেটের মহাবিশ্বের যথেষ্ট কাছাকাছি। কেউ কেবল সমস্যাটিকে উপেক্ষা করতে পারে। এই পদ্ধতিটি অনেক লেখক গ্রহণ করেছেন। আরও দেখুন একটি স্ট্যাকের বীজগাণিতিক স্ট্যাক চাউ গ্রুপ ডেলিন-মামফোর্ড স্ট্যাক বীজগাণিতিক জ্যামিতির শব্দকোষ স্ট্যাকগুলি অনুসরণ করা একটি বীজগাণিতিক স্ট্যাকের পরিমাণ স্থান মডুলার ফর্মের রিং সহজতর প্রিশেফ স্ট্যাক প্রকল্প টরিক স্ট্যাক রেফারেন্স শিক্ষামূলক একটি প্রদর্শনী নিবন্ধ যা উদাহরণ সহ স্ট্যাকের মূল বিষয়গুলি বর্ণনা করে। সাহিত্যের দিকে নির্দেশ করে https://maths-people.anu.edu.au ~ আলপারজ/পেপারস/স্ট্যাকস-guide.pdf http://stacks.math.columbia.edu/tag/03B0 রেফারেন্স দুর্ভাগ্যবশত এই বইটি ভুল দাবি ব্যবহার করে যে বীজগাণিতিক স্ট্যাকের মরফিজমগুলি লিসে-এটেল টোপোইয়ের মরফিজমকে প্ররোচিত করে। এর মধ্যে কিছু ত্রুটি সংশোধন করা হয়েছে। আরও পড়া বাহ্যিক লিঙ্কগুলি "বীজগাণিতিক স্ট্যাকগুলির উপর ভাল প্রারম্ভিক রেফারেন্স?" বীজগাণিতিক জ্যামিতি বিভাগ তত্ত্ব