Proof that π is irrational
1760-এর দশকে, জোহান হাইনরিখ ল্যামবার্ট প্রথম প্রমাণ করেছিলেন যে সংখ্যাটি অযৌক্তিক, যার অর্থ এটি একটি ভগ্নাংশ হিসাবে প্রকাশ করা যায় না, যেখানে এবং উভয়ই পূর্ণসংখ্যা। ঊনবিংশ শতাব্দীতে, চার্লস হার্মাইট এমন একটি প্রমাণ খুঁজে পান যার জন্য মৌলিক গণনার বাইরে কোনও পূর্বশর্ত জ্ঞানের প্রয়োজন হয় না। হার্মাইটের প্রমাণের তিনটি সরলীকরণ মেরি কার্টরাইট, ইভান নিভেন এবং নিকোলাস বোরবাকির কারণে হয়েছে। আরেকটি প্রমাণ, যা ল্যাম্বার্টের প্রমাণের সরলীকরণ, মিক্লোস ল্যাজকোভিচের কারণে। এগুলির মধ্যে অনেকগুলিই দ্বন্দ্বের প্রমাণ। 1882 সালে, ফার্দিনান্দ ভন লিন্ডম্যান প্রমাণ করেছিলেন যে এটি কেবল অযৌক্তিক নয়, বরং অতীন্দ্রিয়ও। ল্যাম্বার্টের প্রমাণ 1761 সালে, ল্যাম্বার্ট প্রমাণ করেন যে এটি অযৌক্তিক, প্রথমে দেখিয়ে যে এই অব্যাহত ভগ্নাংশ সম্প্রসারণ ধারণ করেঃ তারপর ল্যাম্বার্ট প্রমাণ করেন যে যদি অ-শূন্য এবং যুক্তিসঙ্গত হয়, তবে এই অভিব্যক্তিটি অবশ্যই অযৌক্তিক হতে হবে। যেহেতু, এটি অনুসরণ করে যা অযৌক্তিক, এবং তাই অযৌক্তিকও। ল্যাম্বার্টের প্রমাণের একটি সরলীকরণ নীচে দেওয়া হল। হার্মাইটের প্রমাণ 1873 সালে লেখা, এই প্রমাণটি ক্ষুদ্রতম ধনাত্মক সংখ্যা হিসাবে চিহ্নিতকরণ ব্যবহার করে যার অর্ধেক কোসাইন ফাংশনের শূন্য এবং এটি আসলে প্রমাণ করে যে এটি অযৌক্তিক। অযৌক্তিকতার অনেক প্রমাণের মতো, এটি দ্বন্দ্ব দ্বারা একটি প্রমাণ। বাস্তব ফাংশনের ক্রমগুলি বিবেচনা করুন এবং এর দ্বারা সংজ্ঞায়িত করার জন্যঃ ইন্ডাকশন ব্যবহার করে আমরা তা প্রমাণ করতে পারি এবং তাই আমাদের আছেঃ সুতরাং যা সমতুল্য ক্রমের সংজ্ঞা ব্যবহার করে এবং ইন্ডাকশন নিয়োগ করে আমরা দেখাতে পারি যে পূর্ণসংখ্যা সহগের সাথে বহুপদী ফাংশনগুলি কোথায় এবং কোথায় এবং এর ডিগ্রি তার চেয়ে ছোট বা সমান। প্রথমত, এই দাবিটি আনয়ন দ্বারা অগ্রসর হওয়ার সমতুল্য, গ্রহণ করুন এবং, আনয়নমূলক পদক্ষেপের জন্য, যে কোনও প্রাকৃতিক সংখ্যা বিবেচনা করুন যদি তারপর, অংশ দ্বারা ইন্টিগ্রেশন এবং লাইবনিজের নিয়ম ব্যবহার করে, কেউ যদি পায় তাহলে, যেহেতু এর সহগগুলি পূর্ণসংখ্যা এবং এর ডিগ্রি কিছু পূর্ণসংখ্যার চেয়ে ছোট বা সমান। হার্মাইট তাঁর প্রমাণকে নিজের মধ্যে একটি শেষ হিসাবে উপস্থাপন করেননি, বরং তিনি অনুপ্রাণিত করতে এবং একটি সুবিধাজনক অবিচ্ছেদ্য প্রতিনিধিত্ব অর্জনের জন্য পুনরাবৃত্তির সম্পর্ক নিয়ে আলোচনা করেছিলেন। একবার এই অবিচ্ছেদ্য উপস্থাপনাটি প্রাপ্ত হয়ে গেলে, অবিচ্ছেদ্য থেকে শুরু করে একটি সংক্ষিপ্ত এবং স্বয়ংসম্পূর্ণ প্রমাণ উপস্থাপন করার বিভিন্ন উপায় রয়েছে (যেমন কার্টরাইটের, বোরবাকির বা নিভনের উপস্থাপনাগুলিতে), যা হার্মাইট সহজেই দেখতে পেতেন (যেমন তিনি তাঁর অতীততার প্রমাণ হিসাবে করেছিলেন)। অধিকন্তু, হার্মাইটের প্রমাণ ল্যাম্বার্টের প্রমাণের যতটা মনে হয় তার চেয়ে বেশি কাছাকাছি। প্রকৃতপক্ষে, কার্টরাইটের প্রমাণের জন্য ল্যাম্বার্টের অব্যাহত ভগ্নাংশের "অবশিষ্টাংশ" (বা "অবশিষ্টাংশ") কি হ্যারল্ড জেফ্রেস লিখেছেন যে এই প্রমাণটি মেরি কার্টরাইট দ্বারা 1945 সালে কেমব্রিজ বিশ্ববিদ্যালয়ের একটি পরীক্ষায় একটি উদাহরণ হিসাবে স্থাপন করা হয়েছিল, তবে তিনি এর উৎস খুঁজে পাননি। কেমব্রিজ বিশ্ববিদ্যালয়ের অ্যানালাইসিস আই. এ কোর্সের জন্য এটি আজও 4র্থ সমস্যাপত্রে রয়েছে। ইন্টিগ্রালগুলি বিবেচনা করুন যেখানে একটি অ-ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা রয়েছে। অংশ দ্বারা দুটি সংহতকরণ পুনরাবৃত্তির সম্পর্ক দেয় যদি তখন এটি আরও বেশি হয়ে যায়, এবং তাই সমস্ত যেখানে এবং ডিগ্রির বহুপদী এবং পূর্ণসংখ্যা সহগের সাথে (নেওয়ার উপর নির্ভর করে এবং যদি সম্ভব হয় তবে ধরে নিন যে কোথায় এবং প্রাকৃতিক সংখ্যা (অর্থাৎ, ধরে নিন যে এটি মূলদ)। তারপর ডান দিকটি একটি পূর্ণসংখ্যা। কিন্তু যেহেতু ব্যবধানটির দৈর্ঘ্য রয়েছে এবং সংহত হওয়া ফাংশনটি শুধুমাত্র এবং এর মধ্যে মান নেয়। অন্যদিকে, যথেষ্ট বড় হওয়ার জন্য, আমরা এবং এর মধ্যে একটি পূর্ণসংখ্যা খুঁজে পেতে পারি। এই প্রমাণটি হার্মাইটের প্রমাণের অনুরূপ। প্রকৃতপক্ষে, তবে, এটি স্পষ্টতই সহজ। এটি ফাংশনের ইন্ডাক্টিভ সংজ্ঞা বাদ দিয়ে এবং একটি প্রারম্ভিক বিন্দু হিসাবে তাদের অভিব্যক্তিটিকে একটি অবিচ্ছেদ্য হিসাবে গ্রহণ করে অর্জন করা হয়। নিভেনের প্রমাণ এই প্রমাণটি সাইন ফাংশনের ক্ষুদ্রতম ধনাত্মক শূন্য হিসাবে এর বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করে। ধরুন এটি যুক্তিসঙ্গত, অর্থাৎ। কিছু পূর্ণসংখ্যার জন্য এবং যা সাধারণতা না হারিয়ে উভয়কেই ধনাত্মক হিসাবে নেওয়া যেতে পারে। যে কোনও ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার পরিপ্রেক্ষিতে আমরা বহুপদী ফাংশনকে সংজ্ঞায়িত করিঃ এবং, প্রত্যেকটির জন্য দাবি 1: একটি পূর্ণসংখ্যা। প্রমাণঃ একবচনগুলির সমষ্টি হিসাবে প্রসারিত হলে, এর সহগ হল সেই ফর্মের একটি সংখ্যা যেখানে একটি পূর্ণসংখ্যা, যা হল যদি তাই, কখন এবং প্রতিটি ক্ষেত্রে এটি যদি এর সমান হয়, এটি একটি পূর্ণসংখ্যা এবং তাই এটি একটি পূর্ণসংখ্যা। অন্যদিকে, এবং তাই প্রতিটি অ-ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যার জন্য বিশেষত, অতএব, এটি একটি পূর্ণসংখ্যা এবং একটি পূর্ণসংখ্যাও (প্রকৃতপক্ষে, এটি সহজেই দেখা যায় যে যেহেতু এবং পূর্ণসংখ্যা, তাই তাদের যোগফলও। দাবি 2: প্রমাণঃ যেহেতু শূন্য বহুপদী, তাই আমাদের কাছে সাইন এবং কোসাইন ফাংশনের ব্যুৎপত্তিগুলি sin '= cos এবং cos' = − sin দ্বারা দেওয়া হয়। সুতরাং গুণফলের নিয়মটি ক্যালকুলাসের মৌলিক উপপাদ্য দ্বারা বোঝায় যেহেতু এবং (এখানে আমরা সাইন ফাংশনের শূন্য হিসাবে উপরে উল্লিখিত বৈশিষ্ট্যটি ব্যবহার করি), দাবি 2 অনুসরণ করে। উপসংহারঃ যেহেতু এবং জন্য (কারণ সাইন ফাংশনের ক্ষুদ্রতম ধনাত্মক শূন্য), দাবি 1 এবং 2 দেখায় যে এটি একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা। যেহেতু এবং আমাদের কাছে রয়েছে, যার মূল সংজ্ঞা অনুসারে বড়ের তুলনায় ছোট তাই দাবি 2 দ্বারা এগুলির জন্য। ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার জন্য এটি অসম্ভব এটি দেখায় যে মূল অনুমান যা যুক্তিসঙ্গত তা একটি দ্বন্দ্বের দিকে পরিচালিত করে, যা প্রমাণের সমাপ্তি ঘটায়। উপরের প্রমাণটি একটি পালিশ করা সংস্করণ, যা পূর্বশর্ত সম্পর্কে যতটা সম্ভব সহজ রাখা হয়, সূত্রটির বিশ্লেষণ যা অংশ দ্বারা একীকরণের মাধ্যমে প্রাপ্ত হয়। দাবি 2 মূলত এই সূত্রটি প্রতিষ্ঠা করে, যেখানে এর ব্যবহার অংশ দ্বারা পুনরাবৃত্ত ইন্টিগ্রেশনকে লুকিয়ে রাখে। শেষ ইন্টিগ্রালটি অদৃশ্য হয়ে যায় কারণ এটি শূন্য পলিনোমিয়াল। দাবি 1 দেখায় যে অবশিষ্ট যোগফল একটি পূর্ণসংখ্যা। নিভেনের প্রমাণ কার্টরাইটের (এবং তাই হার্মাইটের) প্রমাণের কাছাকাছি, যা প্রথম দর্শনে দেখা যায়। প্রকৃতপক্ষে, অতএব, প্রতিস্থাপন এই অবিচ্ছেদ্যকে বিশেষত, প্রমাণগুলির মধ্যে আরেকটি সংযোগ এই সত্যের মধ্যে নিহিত যে হারমাইট ইতিমধ্যে উল্লেখ করেছে যে যদি একটি বহুপদী ফাংশন এবং তারপরে এটি অনুসরণ করে যে বোরবাকির প্রমাণ বোরবাকির প্রমাণ তার ক্যালকুলাস গ্রন্থে একটি অনুশীলন হিসাবে বর্ণিত হয়েছে। প্রতিটি স্বাভাবিক সংখ্যা b এবং প্রতিটি অ-ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যার জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে যেহেতু এটি এমন একটি ফাংশনের অবিচ্ছেদ্য অংশ যার উপর সংজ্ঞায়িত মানটি থাকে এবং যা অন্যথায় তার চেয়ে বড়, এছাড়াও, প্রতিটি স্বাভাবিক সংখ্যার জন্য যদি যথেষ্ট বড় হয়, কারণ এবং তাই। অন্যদিকে, অংশ দ্বারা পুনরাবৃত্ত ইন্টিগ্রেশন আমাদের অনুমান করতে দেয় যে, যদি এবং প্রাকৃতিক সংখ্যাগুলি এমন হয় এবং তখন দ্বারা সংজ্ঞায়িত পলিনোমিয়াল ফাংশন হয়ঃ এই শেষ ইন্টিগ্রালটি যেহেতু নাল ফাংশন (কারণ এটি ডিগ্রির একটি পলিনোমিয়াল ফাংশন) যেহেতু প্রতিটি ফাংশন (পূর্ণসংখ্যার মান নিয়ে এবং এবং যেহেতু সাইন এবং কোসাইন ফাংশনের ক্ষেত্রে একই জিনিস ঘটে, এটি প্রমাণ করে যে এটি একটি পূর্ণসংখ্যা। যেহেতু এটি একটি স্বাভাবিক সংখ্যা হতে হবে তার চেয়েও বড়। কিন্তু এটিও প্রমাণিত হয়েছিল যে যদি যথেষ্ট বড় হয়, যার ফলে একটি দ্বন্দ্বে পৌঁছায়। এই প্রমাণটি নিভেনের প্রমাণের বেশ কাছাকাছি, তাদের মধ্যে প্রধান পার্থক্য হল সংখ্যাগুলি পূর্ণসংখ্যা প্রমাণ করার উপায়। ল্যাকজকোভিচের প্রমাণ মিকলেস ল্যাকজকোভিচের প্রমাণ ল্যাম্বার্টের মূল প্রমাণের সরলীকরণ। তিনি ফাংশনগুলি বিবেচনা করেন দাবি 1 ছাড়াও যে কোনও বাস্তব সংখ্যার জন্য এই ফাংশনগুলি স্পষ্টভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়ঃ নিম্নলিখিত পুনরাবৃত্তির সম্পর্ক যে কোনও বাস্তব সংখ্যার জন্য প্রমাণ ধারণ করেঃ দাবি 2-এর শক্তির সহগগুলির তুলনা করে এটি প্রমাণ করা যেতে পারেঃ প্রতিটি বাস্তব সংখ্যার জন্য প্রমাণঃ প্রকৃতপক্ষে, ক্রমটি সীমাবদ্ধ (যেহেতু এটি একটি উপরের সীমার সাথে মিলিত হয় এবং যদি তা হয় তবে দাবি 3: যদি যুক্তিসঙ্গত হয়, এবং তারপর প্রমাণঃ অন্যথায়, একটি সংখ্যা এবং পূর্ণসংখ্যা থাকবে এবং এমনভাবে এবং কেন তা দেখতে, পূর্ণসংখ্যা নিন এবং যদি অন্যথায়, পূর্ণসংখ্যা নির্বাচন করুন এবং সংজ্ঞায়িত করুন প্রতিটি ক্ষেত্রে, এমন হতে পারে না কারণ অন্যথায় দাবি 1 থেকে অনুসরণ করা হবে যে প্রতিটি () হবে যা দাবি 2-এর বিরোধিতা করবে। এখন, একটি স্বাভাবিক সংখ্যা নিন যাতে তিনটি সংখ্যাই পূর্ণসংখ্যা হয় এবং ক্রমটি বিবেচনা করুন তারপর অন্যদিকে, এটি দাবি 1 থেকে অনুসরণ করে যা পূর্ণসংখ্যা সহগের একটি রৈখিক সংমিশ্রণ। সুতরাং, প্রতিটি হল একটি পূর্ণসংখ্যার গুণিতক ছাড়াও, এটি দাবি 2 থেকে অনুসরণ করে যে প্রতিটি তার চেয়ে বড় (এবং তাই যদি যথেষ্ট বড় হয় এবং সমস্ত সংখ্যার ক্রম একত্রিত হয় তবে তার চেয়ে বড় বা সমান সংখ্যার ক্রম একত্রিত হতে পারে না। অন্যদিকে, যেহেতু দাবি 3-এর আরেকটি পরিণতি হল যে, যদি তা হয় তবে তা অযৌক্তিক। ল্যাকজকোভিচের প্রমাণ আসলে হাইপারজিওমেট্রিক ফাংশন সম্পর্কে। প্রকৃতপক্ষে, এবং গাউস তার কার্যকরী সমীকরণ ব্যবহার করে হাইপারজিওমেট্রিক ফাংশনের একটি অবিচ্ছিন্ন ভগ্নাংশ সম্প্রসারণ খুঁজে পেয়েছেন। এটি ল্যাকজকোভিচকে এই সত্যের একটি নতুন এবং সহজ প্রমাণ খুঁজে পেতে সহায়তা করেছিল যে স্পর্শক ফাংশনের ক্রমাগত ভগ্নাংশ সম্প্রসারণ রয়েছে যা ল্যামবার্ট আবিষ্কার করেছিলেন। ল্যাকজকোভিচের ফলাফল প্রথম ধরনের বেসেল ফাংশনেও প্রকাশ করা যেতে পারে। প্রকৃতপক্ষে, (যেখানে গামা ফাংশন)। সুতরাং ল্যাকজকোভিচের ফলাফল সমতুল্যঃ যদি যুক্তিসঙ্গত হয়, এবং তারপরে আরও প্রমাণ দেখুন যে ই অযৌক্তিক প্রমাণ যা অতীন্দ্রিয় রেফারেন্স পাই নিবন্ধ প্রমাণ অযৌক্তিক সংখ্যা