Non-positive curvature
গণিতে, অ-ধনাত্মক বক্রতার স্থানগুলি অনেক প্রসঙ্গে ঘটে এবং হাইপারবোলিক জ্যামিতির একটি সাধারণীকরণ গঠন করে। রিমানিয়ান ম্যানিফোল্ডের বিভাগে, ম্যানিফোল্ডের বিভাগীয় বক্রতা বিবেচনা করা যেতে পারে এবং এই বক্রতা সর্বত্র শূন্যের চেয়ে কম বা সমান হওয়া প্রয়োজন। বক্রতার ধারণাটি জিওডেসিক মেট্রিক স্পেসের বিভাগ পর্যন্ত প্রসারিত, যেখানে একটি স্থানের বক্রতা পরিমাপ করতে তুলনামূলক ত্রিভুজ ব্যবহার করা যেতে পারে; এই প্রসঙ্গে, অ-ধনাত্মক বক্র স্থানগুলি (স্থানীয়ভাবে) সিএটি (0) স্পেস হিসাবে পরিচিত। রিম্যান পৃষ্ঠতল যদি একটি বদ্ধ, অভিমুখী রিম্যান পৃষ্ঠ হয় তবে এটি ইউনিফর্মাইজেশন উপপাদ্য থেকে অনুসরণ করে যা একটি সম্পূর্ণ রিম্যানিয়ান মেট্রিকের সাথে স্থির গাউসিয়ান বক্রতা সহ সম্পন্ন হতে পারে, বা। গাউস-বনেট উপপাদ্যের ফলস্বরূপ কেউ নির্ধারণ করতে পারে যে, যে পৃষ্ঠগুলির স্থির বক্রতার রিম্যানিয়ান মেট্রিক রয়েছে অর্থাৎ। রিম্যান একটি সম্পূর্ণ, অ-ইতিবাচক ধ্রুবক বক্রতার রিম্যানিয়ান মেট্রিক সহ পৃষ্ঠতলগুলি, ঠিক সেগুলি যার বংশ কমপক্ষে। ইউনিফর্মাইজেশন উপপাদ্য এবং গাউস-বনেট উপপাদ্য উভয়ই সীমানা সহ অভিমুখী রিম্যান পৃষ্ঠগুলিতে প্রয়োগ করা যেতে পারে যাতে দেখা যায় যে যে পৃষ্ঠগুলিতে অ-ধনাত্মক অয়লার বৈশিষ্ট্য রয়েছে সেগুলি ঠিক সেগুলি যা অ-ধনাত্মক বক্রতার রিম্যানিয়ান মেট্রিককে স্বীকার করে। সুতরাং এই ধরনের পৃষ্ঠতলের সমরূপতা ধরনের একটি অসীম পরিবার রয়েছে যেখানে রিমান গোলক ধ্রুবক গাউসিয়ান বক্রতার একমাত্র বদ্ধ, অভিমুখী রিমান পৃষ্ঠ। উপরের বক্রতার সংজ্ঞাটি রিমানিয়ান মেট্রিকের অস্তিত্বের উপর নির্ভর করে এবং তাই জ্যামিতির ক্ষেত্রে রয়েছে। তবে গাউস-বনেট উপপাদ্যটি নিশ্চিত করে যে কোনও পৃষ্ঠের টপোলজি সম্পূর্ণ রিমানিয়ান পরিমাপের উপর সীমাবদ্ধতা স্থাপন করে যা কোনও পৃষ্ঠের উপর চাপিয়ে দেওয়া যেতে পারে তাই অ-ধনাত্মক বক্রতার মেট্রিক স্পেসের অধ্যয়ন জ্যামিতি এবং টপোলজি উভয়ের গাণিতিক ক্ষেত্রেই গুরুত্বপূর্ণ আগ্রহের বিষয়। অ-ধনাত্মক বক্রতার পৃষ্ঠতলের ধ্রুপদী উদাহরণ হল ইউক্লিডীয় সমতল এবং সমতল টরাস (বক্রতার জন্য) এবং হাইপারবোলিক সমতল এবং সিউডোস্ফিয়ার (বক্রতার জন্য)। এই কারণে এই মেট্রিকগুলির পাশাপাশি রিম্যান পৃষ্ঠগুলি যার উপর তারা সম্পূর্ণ মেট্রিক হিসাবে থাকে যথাক্রমে ইউক্লিডিয়ান এবং হাইপারবোলিক হিসাবে উল্লেখ করা হয়। সাধারণীকরণ অ-ধনাত্মক বাঁকানো রিম্যান পৃষ্ঠের জ্যামিতির বৈশিষ্ট্যগুলি রিম্যান পৃষ্ঠের অধ্যয়নের বাইরে অ-ধনাত্মক ধারণার সাধারণীকরণ করতে ব্যবহৃত হয়। উচ্চতর মাত্রার ম্যানিফোল্ড বা অরবিফোল্ডের অধ্যয়নে, বিভাগীয় বক্রতার ধারণাটি ব্যবহার করা হয় যেখানে একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে স্পর্শক স্থানের দ্বি-মাত্রিক সাবস্পেসে একজনের মনোযোগ সীমাবদ্ধ করে। মোস্টো-প্রসাদ অনমনীয়তা উপপাদ্যের চেয়ে বড় মাত্রায় নিশ্চিত করে যে সীমাবদ্ধ এলাকার একটি হাইপারবোলিক ম্যানিফোল্ডের একটি অনন্য সম্পূর্ণ হাইপারবোলিক মেট্রিক রয়েছে তাই এই পরিবেশে হাইপারবোলিক জ্যামিতির অধ্যয়ন টপোলজি অধ্যয়নের অবিচ্ছেদ্য অংশ। একটি স্বেচ্ছাচারী জিওডেসিক মেট্রিক স্পেসে গ্রোমভ হাইপারবোলিক বা সিএটি (0) স্পেস হওয়ার ধারণাগুলি এই ধারণাকে সাধারণীকরণ করে যে অ-ধনাত্মক বক্রতার একটি রিমান পৃষ্ঠে, ত্রিভুজ যার দিকগুলি জিওডেসিক হয় সেগুলি পাতলা দেখায় যেখানে ধনাত্মক বক্রতার সেটিংসে সেগুলি মোটা দেখায়। অ-ধনাত্মক বক্রতার এই ধারণাটি অ-ধনাত্মক বক্রতার ধারণার অনুমতি দেয় যা সাধারণত গ্রাফগুলিতে প্রয়োগ করা হয় এবং তাই সংমিশ্রণ এবং জ্যামিতিক গোষ্ঠী তত্ত্বের ক্ষেত্রে এটি খুব কার্যকর। আরও দেখুন মার্গুলিস লেম্মা রেফারেন্স বক্রতা (গণিত) হাইপারবোলিক জ্যামিতি মেট্রিক জ্যামিতি