Intrinsic dimension
একটি ডেটা সেটের অভ্যন্তরীণ মাত্রাকে ডেটার ন্যূনতম উপস্থাপনায় প্রয়োজনীয় ভেরিয়েবলের সংখ্যা হিসাবে ভাবা যেতে পারে। একইভাবে, বহুমাত্রিক সংকেতের সংকেত প্রক্রিয়াকরণে, সংকেতের অভ্যন্তরীণ মাত্রা বর্ণনা করে যে সংকেতের একটি ভাল অনুমান তৈরি করতে কতগুলি চলক প্রয়োজন। অভ্যন্তরীণ মাত্রা অনুমান করার সময়, তবে, বহুগুণ মাত্রার উপর ভিত্তি করে একটি সামান্য বিস্তৃত সংজ্ঞা প্রায়শই ব্যবহার করা হয়, যেখানে অভ্যন্তরীণ মাত্রায় একটি উপস্থাপনা শুধুমাত্র স্থানীয়ভাবে বিদ্যমান থাকা প্রয়োজন। এই ধরনের অভ্যন্তরীণ মাত্রা অনুমান পদ্ধতিগুলি এইভাবে ডেটা সেটের বিভিন্ন অংশে বিভিন্ন অভ্যন্তরীণ মাত্রা সহ ডেটা সেটগুলি পরিচালনা করতে পারে। এটিকে প্রায়শই স্থানীয় অভ্যন্তরীণ মাত্রা হিসাবে উল্লেখ করা হয়। অভ্যন্তরীণ মাত্রাটি একটি নিম্ন সীমা হিসাবে ব্যবহার করা যেতে পারে যা মাত্রা হ্রাসের মাধ্যমে একটি ডেটা সেটকে সংকুচিত করা সম্ভব, তবে এটি ডেটা সেট বা সংকেতের জটিলতার পরিমাপ হিসাবেও ব্যবহার করা যেতে পারে। একটি ডেটা সেট বা এন ভেরিয়েবলের সংকেতের জন্য, এর অভ্যন্তরীণ মাত্রা এম 0 ≤ এম ≤ এন সন্তুষ্ট করে, যদিও প্রাক্কলনকারীরা উচ্চতর মান দিতে পারে। উদাহরণস্বরূপ ধরা যাক একটি দ্বি-পরিবর্তনশীল ফাংশন (বা সংকেত) যা কোনও এক-পরিবর্তনশীল ফাংশন g-এর মতো যা ধ্রুবক নয়। এর অর্থ হল, প্রথম চলকের সঙ্গে বা প্রথম স্থানাঙ্কের সঙ্গে f, g অনুসারে পরিবর্তিত হয়। অন্যদিকে, f দ্বিতীয় চলকের সাপেক্ষে বা দ্বিতীয় স্থানাঙ্ক বরাবর ধ্রুবক। f-এর মান নির্ধারণের জন্য শুধুমাত্র প্রথম চলকের মান জানা প্রয়োজন। অতএব, এটি একটি দ্বি-চলক ফাংশন তবে এর অভ্যন্তরীণ মাত্রা এক। একটি উদাহরণ একটু জটিল। f এখনও অভ্যন্তরীণ এক-মাত্রিক, যা একটি পরিবর্তনশীল রূপান্তর করে দেখা যায় এবং যা দেয়। যেহেতু f-এর তারতম্য একক পরিবর্তনশীল y1 দ্বারা বর্ণনা করা যেতে পারে, তাই এর অভ্যন্তরীণ মাত্রা এক। যদি f ধ্রুবক হয়, তবে এর অভ্যন্তরীণ মাত্রা শূন্য, কারণ বৈচিত্র্য বর্ণনা করার জন্য কোনও চলকের প্রয়োজন হয় না। সাধারণ ক্ষেত্রে, যখন দুই-পরিবর্তনশীল ফাংশন f-এর অভ্যন্তরীণ মাত্রা শূন্য বা এক নয়, তখন এটি দুই হয়। সাহিত্যে, অভ্যন্তরীণ মাত্রার শূন্য, এক বা দুটি ফাংশনকে কখনও কখনও যথাক্রমে আই0ডি, আই1ডি বা আই2ডি হিসাবে উল্লেখ করা হয়। সংকেতের আনুষ্ঠানিক সংজ্ঞা একটি এন-ভেরিয়েবল ফাংশন f-এর জন্য, ভেরিয়েবলের সেটকে একটি এন-মাত্রিক ভেক্টর x হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারেঃ যদি কোনও এম-ভেরিয়েবল ফাংশন g এবং M × N ম্যাট্রিক্স A-এর ক্ষেত্রে সমস্ত x-এর ক্ষেত্রে M হল ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যার জন্য f এবং g-এর মধ্যে উপরের সম্পর্কটি পাওয়া যায়, তাহলে f-এর অভ্যন্তরীণ মাত্রা হল M। অর্থাৎ, যদি উপরের সম্পর্কটি কিছু f, g এবং A-এর জন্য সন্তুষ্ট হয়, তবে এটি অবশ্যই একই f এবং g′ এবং A′-এর জন্য সন্তুষ্ট হতে হবে এবং যেখানে B একটি অ-একক M × M ম্যাট্রিক্স। নিম্ন অভ্যন্তরীণ মাত্রার সংকেতের ফুরিয়ার রূপান্তর একটি এন পরিবর্তনশীল ফাংশন যার অভ্যন্তরীণ মাত্রা এম <এন রয়েছে তার একটি চরিত্রগত ফুরিয়ার রূপান্তর রয়েছে। স্বজ্ঞাতভাবে, যেহেতু এই ধরনের ফাংশন এক বা একাধিক মাত্রা বরাবর স্থির থাকে, তাই এর ফুরিয়ার রূপান্তর অবশ্যই ফ্রিকোয়েন্সি ডোমেনে একই মাত্রা বরাবর একটি প্রবণতার (একটি ধ্রুবকের ফুরিয়ার রূপান্তর) মতো প্রদর্শিত হতে হবে। একটি সহজ উদাহরণ ধরা যাক f একটি দ্বি-পরিবর্তনশীল ফাংশন যা i1D। এর মানে হল যে একটি স্বাভাবিক ভেক্টর এবং একটি এক-পরিবর্তনশীল ফাংশন g রয়েছে যা সকলের জন্য। যদি F হল f-এর ফুরিয়ার রূপান্তর (উভয়ই দুই-পরিবর্তনশীল ফাংশন) হয় তবে অবশ্যই তা হতে হবে। এখানে G হল g-এর ফুরিয়ার রূপান্তর (উভয়ই এক-পরিবর্তনশীল ফাংশন), δ হল ডিরাক ইমপালস ফাংশন এবং m হল n-এর লম্বভাবে একটি স্বাভাবিক ভেক্টর। এর অর্থ হল যে F এমন একটি রেখা ছাড়া সর্বত্র অদৃশ্য হয়ে যায় যা ফ্রিকোয়েন্সি ডোমেনের উৎসের মধ্য দিয়ে যায় এবং m-এর সমান্তরাল। এই রেখা বরাবর F G অনুসারে পরিবর্তিত হয়। সাধারণ ক্ষেত্রে ধরা যাক f একটি N-পরিবর্তনশীল ফাংশন যার অভ্যন্তরীণ মাত্রা M রয়েছে, অর্থাৎ, একটি M-পরিবর্তনশীল ফাংশন g এবং M × N ম্যাট্রিক্স A রয়েছে। এর ফুরিয়ার রূপান্তর F তারপর নিম্নরূপ বর্ণনা করা যেতে পারেঃ F মাত্রা M এর একটি সাবস্পেস ব্যতীত সর্বত্র অদৃশ্য হয়ে যায় সাবস্পেস M ম্যাট্রিক্স A এর সারি দ্বারা বিস্তৃত হয় সাবস্পেসে, F G সাধারণকরণের ফুরিয়ার রূপান্তর অনুসারে পরিবর্তিত হয় উপরে বর্ণিত অভ্যন্তরীণ মাত্রার ধরণটি ধরে নেয় যে F-এর প্রতিটি মান প্রতিনিধিত্ব করার জন্য প্রয়োজনীয় M ভেরিয়েবল তৈরি করতে N-ভেরিয়েবল ফাংশন f-এর স্থানাঙ্কে একটি রৈখিক রূপান্তর প্রয়োগ করা হয়। এর অর্থ হল যে F লাইন, প্লেন বা হাইপারপ্লেনের সাথে ধ্রুবক, N এবং M-এর উপর নির্ভর করে। সাধারণ ক্ষেত্রে, f-এর অভ্যন্তরীণ মাত্রা M থাকে যদি M ফাংশন a1, a2, aM এবং একটি M-ভেরিয়েবল ফাংশন থাকে। স্থানীয় অভ্যন্তরীণ মাত্রিকতা (এল. আই. ডি) এই পর্যবেক্ষণকে বোঝায় যে প্রায়শই তথ্য একটি নিম্ন-মাত্রিক বহুগুণে বিতরণ করা হয় যখন শুধুমাত্র তথ্যের নিকটবর্তী উপসেট বিবেচনা করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, ফাংশনটিকে এক-মাত্রিক হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে যখন y 0 এর কাছাকাছি থাকে (একটি পরিবর্তনশীল x সহ), দ্বি-মাত্রিক যখন y 1 এর কাছাকাছি থাকে এবং আবার এক-মাত্রিক যখন y ধনাত্মক হয় এবং 1 এর চেয়ে অনেক বড় হয় (পরিবর্তনশীল x + y সহ)। স্থানীয় অভ্যন্তরীণ মাত্রিকতা প্রায়শই তথ্যের ক্ষেত্রে ব্যবহৃত হয়। এটি সাধারণত একটি তথ্য বিন্দুর নিকটতম প্রতিবেশী k-এর উপর ভিত্তি করে অনুমান করা হয়, প্রায়শই গণিতে দ্বিগুণ মাত্রা সম্পর্কিত একটি ধারণার উপর ভিত্তি করে। যেহেতু একটি ডি-গোলকের আয়তন ডি-তে তাত্পর্যপূর্ণভাবে বৃদ্ধি পায়, তাই অনুসন্ধান ব্যাসার্ধ বৃদ্ধির সাথে সাথে নতুন প্রতিবেশীদের যে হারে পাওয়া যায় তা স্থানীয় অভ্যন্তরীণ মাত্রা (যেমন, জিইডি অনুমান) অনুমান করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। যাইহোক, অনুমানের বিকল্প পদ্ধতির প্রস্তাব দেওয়া হয়েছে, উদাহরণস্বরূপ কোণ-ভিত্তিক অনুমান। অভ্যন্তরীণ মাত্রা অনুমান ডেটা ম্যানিফোল্ডের অভ্যন্তরীণ মাত্রা অনেক পদ্ধতি দ্বারা অনুমান করা যেতে পারে, যা ডেটা ম্যানিফোল্ডের অনুমানের উপর নির্ভর করে। 2016 সালের একটি পর্যালোচনা হল। দুই-নিকটতম প্রতিবেশী (টুএনএন) পদ্ধতি হল একটি নিমজ্জিত রিম্যানিয়ান ম্যানিফোল্ডের অভ্যন্তরীণ মাত্রা অনুমান করার একটি পদ্ধতি। অ্যালগরিদমটি নিম্নরূপঃ ম্যানিফোল্ডে কিছু পয়েন্ট ছড়িয়ে দিন। অনেক বিন্দুর জন্য পরিমাপ করুন, বিন্দুর দুটি নিকটতম প্রতিবেশীদের দূরত্ব কোথায়। অভিজ্ঞতাগত সি. ডি. এফ-এর সাথে মানানসই করুন। ফিরে আসুন। ইতিহাস 1950-এর দশকে সমাজ বিজ্ঞানে তথাকথিত "স্কেলিং" পদ্ধতিগুলি বিকশিত হয়েছিল বহুমাত্রিক ডেটা সেটগুলি অন্বেষণ এবং সংক্ষিপ্ত করার জন্য। 1962 সালে শেপার্ড অ-মেট্রিক বহুমাত্রিক স্কেলিং চালু করার পর বহুমাত্রিক স্কেলিং (এম. ডি. এস)-এর মধ্যে অন্যতম প্রধান গবেষণা ক্ষেত্র ছিল অভ্যন্তরীণ মাত্রার অনুমান। বিষয়টি তথ্য তত্ত্বেও অধ্যয়ন করা হয়েছিল, 1965 সালে বেনেট দ্বারা প্রবর্তিত যিনি "অভ্যন্তরীণ মাত্রা" শব্দটি তৈরি করেছিলেন এবং এটি অনুমান করার জন্য একটি কম্পিউটার প্রোগ্রাম লিখেছিলেন। 1970-এর দশকে অভ্যন্তরীণ মাত্রিকতা অনুমানের পদ্ধতিগুলি তৈরি করা হয়েছিল যা এম. ডি. এস-এর মতো মাত্রিকতা হ্রাসের উপর নির্ভরশীল ছিল নাঃ স্থানীয় আইগেনভ্যালুগুলির উপর ভিত্তি করে, দূরত্ব বিতরণের উপর ভিত্তি করে এবং অন্যান্য মাত্রা-নির্ভর জ্যামিতিক বৈশিষ্ট্যগুলির উপর ভিত্তি করে সেটগুলির অভ্যন্তরীণ মাত্রা অনুমান করা এবং সম্ভাব্যতা পরিমাপগুলি গতিশীল ব্যবস্থার ক্ষেত্রে প্রায় 1980 সাল থেকে ব্যাপকভাবে অধ্যয়ন করা হয়েছে, যেখানে (অদ্ভুত) আকর্ষণের মাত্রা আগ্রহের বিষয় হয়ে দাঁড়িয়েছে। অদ্ভুত আকর্ষণগুলির জন্য কোনও বহুগুণ অনুমান নেই, এবং পরিমাপ করা মাত্রাটি ফ্র্যাক্টাল মাত্রার কিছু সংস্করণ-যা অ-পূর্ণসংখ্যাও হতে পারে। যাইহোক, ফ্র্যাক্টাল মাত্রার সংজ্ঞাগুলি বহুগুণের জন্য বহুগুণ মাত্রা প্রদান করে। 2000-এর দশকে অভ্যন্তরীণ মাত্রা অনুমান করার জন্য "মাত্রার অভিশাপ" ব্যবহার করা হয়েছে। অ্যাপ্লিকেশন একটি দ্বি-পরিবর্তনশীল সংকেত যা আই1ডি কম্পিউটার দৃষ্টি এবং চিত্র প্রক্রিয়াকরণে ঘন ঘন প্রদর্শিত হয় এবং স্থানীয় চিত্র অঞ্চলের ধারণা ধারণ করে যা রেখা বা প্রান্ত ধারণ করে। এই ধরনের অঞ্চলগুলির বিশ্লেষণের একটি দীর্ঘ ইতিহাস রয়েছে, তবে এই ধরনের ক্রিয়াকলাপগুলির আরও আনুষ্ঠানিক এবং তাত্ত্বিক চিকিত্সা শুরু না হওয়া পর্যন্ত অভ্যন্তরীণ মাত্রার ধারণাটি প্রতিষ্ঠিত হয়েছিল, যদিও নামটি পরিবর্তিত হয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, যে ধারণাকে এখানে অভ্যন্তরীণ মাত্রা 1 বা আই1ডি নেবারহুডের একটি ইমেজ নেবারহুড হিসাবে উল্লেখ করা হয়েছে তাকে নটসন (1982) দ্বারা 1-মাত্রিক, বিগান ও গ্র্যানলান্ড (1987) দ্বারা রৈখিক প্রতিসাম্য এবং গ্র্যানলান্ড ও নটসন (1995)-এর সাধারণ নেবারহুড বলা হয়। আরও দেখুন ডাইমেনশন ফ্র্যাক্টাল ডাইমেনশন হাউসডর্ফ ডাইমেনশন টপোলজিকাল ডাইমেনশন রেফারেন্স কম্পিউটার ভিশন ইমেজ প্রসেসিং