Heteroskedasticity-consistent standard errors
লিনিয়ার রিগ্রেশন এবং টাইম সিরিজ বিশ্লেষণের প্রেক্ষাপটে পরিসংখ্যান এবং অর্থনীতিতে হেটেরোস্কেডাস্টিসিটি-কনসিস্ট্যান্ট (এইচসি) স্ট্যান্ডার্ড ত্রুটির বিষয়টি উদ্ভূত হয়। ফ্রিডহেল্ম আইকার, পিটার জে হুবার এবং হ্যালবার্ট হোয়াইটের অবদানকে স্বীকৃতি দেওয়ার জন্য এগুলি হেটেরোস্কেডাস্টিসিটি-রোবাস্ট স্ট্যান্ডার্ড ত্রুটি (বা কেবল শক্তিশালী স্ট্যান্ডার্ড ত্রুটি), আইকার-হুবার-হোয়াইট স্ট্যান্ডার্ড ত্রুটি (হুবার-হোয়াইট স্ট্যান্ডার্ড ত্রুটি বা হোয়াইট স্ট্যান্ডার্ড ত্রুটি) নামেও পরিচিত। রিগ্রেশন এবং টাইম-সিরিজ মডেলিং-এ, মডেলগুলির মৌলিক রূপগুলি এই ধারণাটি ব্যবহার করে যে ত্রুটি বা ব্যাঘাতগুলি সমস্ত পর্যবেক্ষণ বিন্দুতে একই বৈচিত্র্য রয়েছে। যখন এটি হয় না, তখন ত্রুটিগুলিকে হেটেরোস্কেডাস্টিক বা হেটেরোস্কেডাস্টিসিটি বলা হয় এবং এই আচরণটি একটি ফিট করা মডেল থেকে আনুমানিক অবশিষ্টাংশগুলিতে প্রতিফলিত হবে। হেটেরোস্কেডাস্টিসিটি-সামঞ্জস্যপূর্ণ স্ট্যান্ডার্ড ত্রুটিগুলি এমন একটি মডেলের ফিটিংয়ের অনুমতি দেওয়ার জন্য ব্যবহৃত হয় যাতে হেটেরোস্কেডাস্টিক অবশিষ্টাংশ থাকে। এই ধরনের প্রথম পদ্ধতির প্রস্তাব করেছিলেন হুবার (1967), এবং তখন থেকে ক্রস-সেকশনাল ডেটা, টাইম-সিরিজ ডেটা এবং GARCH অনুমানের জন্য আরও উন্নত পদ্ধতি তৈরি করা হয়েছে। হেটেরোস্কেডাস্টিসিটি-সামঞ্জস্যপূর্ণ স্ট্যান্ডার্ড ত্রুটিগুলি যা শাস্ত্রীয় স্ট্যান্ডার্ড ত্রুটিগুলির থেকে পৃথক মডেলের ভুল নির্দিষ্টকরণ নির্দেশ করতে পারে। হেটেরোস্কেডাস্টিসিটি-সামঞ্জস্যপূর্ণ স্ট্যান্ডার্ড ত্রুটিগুলি প্রতিস্থাপন করা এই ভুল নির্ধারণের সমাধান করে না, যা সহগগুলিতে পক্ষপাতের দিকে নিয়ে যেতে পারে। বেশিরভাগ ক্ষেত্রেই সমস্যাটি খুঁজে বের করে সমাধান করা উচিত। অন্যান্য ধরনের স্ট্যান্ডার্ড ত্রুটি সমন্বয়, যেমন ক্লাস্টার্ড স্ট্যান্ডার্ড ত্রুটি বা এইচ. এ. সি স্ট্যান্ডার্ড ত্রুটি, এইচ. সি স্ট্যান্ডার্ড ত্রুটির এক্সটেনশন হিসাবে বিবেচিত হতে পারে। ইতিহাস হেটেরোস্কেডাস্টিসিটি-সামঞ্জস্যপূর্ণ মানক ত্রুটিগুলি ফ্রিডহেল্ম আইকার দ্বারা প্রবর্তিত হয়েছে এবং হালবার্ট হোয়াইট দ্বারা অর্থনীতিতে জনপ্রিয় করা হয়েছে। সমস্যা স্কেলারের জন্য রৈখিক রিগ্রেশন মডেল বিবেচনা করুন। যেখানে ব্যাখ্যামূলক চলকের (বৈশিষ্ট্য) একটি k x 1 কলাম ভেক্টর, অনুমান করা প্যারামিটারগুলির একটি k × 1 কলাম ভেক্টর, এবং অবশিষ্ট ত্রুটি। সাধারণ সর্বনিম্ন বর্গ (ও. এল. এস) প্রাক্কলনকারী হল যেখানে পর্যবেক্ষণের একটি ভেক্টর, এবং ডেটাতে পর্যবেক্ষণ করা স্ট্যাক করা মানগুলির ম্যাট্রিক্সকে বোঝায়। যদি নমুনা ত্রুটিগুলির সমান বৈচিত্র্য থাকে এবং সম্পর্কহীন হয়, তবে সর্বনিম্ন-বর্গক্ষেত্রের অনুমান হল নীল (সেরা রৈখিক নিরপেক্ষ প্রাক্কলনকারী), এবং এর বৈচিত্র্য অনুমান করা হয় যেখানে রিগ্রেশন অবশিষ্টাংশ রয়েছে। যখন ত্রুটি পদগুলির ধ্রুবক বৈচিত্র্য থাকে না (অর্থাৎ, এর অনুমান অসত্য), তখন ও. এল. এস প্রাক্কলনকারী তার কাঙ্ক্ষিত বৈশিষ্ট্যগুলি হারায়। বৈচিত্র্যের সূত্রটি এখন সহজ করা যায় নাঃ যেখানে ও. এল. এস পয়েন্ট প্রাক্কলনকারী নিরপেক্ষ থাকলেও, ন্যূনতম গড় বর্গ ত্রুটি থাকার অর্থে এটি "সেরা" নয় এবং ও. এল. এস বৈচিত্র্য প্রাক্কলনকারী ও. এল. এস অনুমানের বৈচিত্র্যের একটি সামঞ্জস্যপূর্ণ অনুমান প্রদান করে না। যাইহোক, যে কোনও অ-রৈখিক মডেলের জন্য (উদাহরণস্বরূপ লজিট এবং প্রবিট মডেল), হেটেরোস্কেডাস্টিসিটির আরও গুরুতর পরিণতি রয়েছেঃ পরামিতিগুলির সর্বাধিক সম্ভাব্যতা অনুমান পক্ষপাতদুষ্ট (একটি অজানা দিকে), পাশাপাশি অসঙ্গতিপূর্ণ (যদি না সম্ভাব্যতা ফাংশনটি সঠিকভাবে হেটেরোস্কেডাস্টিসিটির সুনির্দিষ্ট রূপটি বিবেচনা করার জন্য সংশোধন করা হয়)। গ্রিন যেমন উল্লেখ করেছেন, "অন্যথায় অসঙ্গতিপূর্ণ প্রাক্কলনকারীর জন্য কেবল একটি শক্তিশালী কোভ্যারিয়েন্স ম্যাট্রিক্স গণনা করা এটিকে মুক্তি দেয় না।" সমাধান যদি রিগ্রেশন ত্রুটিগুলি স্বাধীন হয়, তবে স্বতন্ত্র বৈচিত্র্য থাকে, তবে যার সাথে অনুমান করা যেতে পারে। এটি হোয়াইটের (1980) প্রাক্কলনকারী প্রদান করে, যা প্রায়শই এইচ. সি. ই (হেটেরোস্কেডাস্টিসিটি-কন্সিস্ট্যান্ট প্রাক্কলনকারী) হিসাবে উল্লেখ করা হয়ঃ যেখানে উপরের হিসাবে ডেটা থেকে স্ট্যাক করা মানগুলির ম্যাট্রিক্স বোঝায়। প্রাক্কলনকারীকে জেনারেলাইজড মেথড অফ মোমেন্টস (জি. এম. এম)-এর পরিপ্রেক্ষিতে বের করা যেতে পারে। এছাড়াও সাহিত্যে প্রায়শই আলোচনা করা হয় (হোয়াইটের গবেষণাপত্র সহ)-সামঞ্জস্যপূর্ণ সীমাবদ্ধ বিতরণের কোভ্যারিয়েন্স ম্যাট্রিক্সঃ কোথায় এবং এইভাবে, এবং সুনির্দিষ্টভাবে কোন কোভ্যারিয়েন্স ম্যাট্রিক্স উদ্বেগের বিষয়। ম্যাককিনন অ্যান্ড হোয়াইট (1985)-এ বিকল্প অনুমানকারীদের প্রস্তাব করা হয়েছে যা বিভিন্ন লিভারেজ-এর কারণে রিগ্রেশন অবশিষ্টাংশের অসম বৈচিত্র্যের জন্য সঠিক। অ্যাসিম্পটোটিক হোয়াইটের প্রাক্কলনকারীর বিপরীতে, তাদের প্রাক্কলনকারীরা নিরপেক্ষ হয় যখন তথ্যগুলি সমস্থানিক হয়। চারটি ব্যাপকভাবে উপলব্ধ বিভিন্ন বিকল্পের মধ্যে, যা প্রায়শই এইচসি0-এইচসি3 হিসাবে চিহ্নিত করা হয়, এইচসি3 নির্দিষ্টকরণটি সবচেয়ে ভাল কাজ করে বলে মনে হয়, পরীক্ষাগুলি এইচসি3 প্রাক্কলনকারীর উপর নির্ভর করে যা আরও ভাল শক্তি এবং লক্ষ্যযুক্ত আকারের কাছাকাছি, বিশেষত ছোট নমুনায়। নমুনা যত বড় হবে, বিভিন্ন প্রাক্কলনকারীদের মধ্যে পার্থক্য তত কম হবে। স্পষ্টভাবে হেটেরোস্কেডাস্টিসিটির মডেলিংয়ের একটি বিকল্প হল ওয়াইল্ড বুটস্ট্র্যাপের মতো একটি পুনঃসাম্পলিং পদ্ধতি ব্যবহার করা। যেহেতু স্টুডেন্টাইজড বুটস্ট্র্যাপ, যা তার স্ট্যান্ডার্ড ত্রুটি দ্বারা পুনরায় নমুনাকৃত পরিসংখ্যানকে প্রমিত করে, একটি অ্যাসিম্পটোটিক পরিশোধন প্রদান করে, হেটেরোস্কেডাস্টিসিটি-রোবাস্ট স্ট্যান্ডার্ড ত্রুটিগুলি তবুও কার্যকর থাকে। হেটেরোস্কেডাস্টিক ত্রুটিগুলির হিসাব করার পরিবর্তে, বেশিরভাগ রৈখিক মডেলগুলিকে বৈশিষ্ট্যযুক্ত হোমোস্কেডাস্টিক ত্রুটি পদগুলিতে রূপান্তরিত করা যেতে পারে (যদি না ত্রুটি শব্দটি নির্মাণের দ্বারা হেটেরোস্কেডাস্টিক হয়, যেমন। একটি রৈখিক সম্ভাব্যতা মডেল)। এটি করার একটি উপায় হল ওজনযুক্ত সর্বনিম্ন বর্গক্ষেত্র ব্যবহার করা, যা উন্নত দক্ষতার বৈশিষ্ট্যও দেখায়। আরও দেখুন ডেল্টা পদ্ধতি সাধারণীকৃত ন্যূনতম বর্গ সাধারণীকৃত অনুমান সমীকরণ ওজনযুক্ত ন্যূনতম বর্গ, একটি বিকল্প সূত্র সাদা পরীক্ষা-হেটেরোস্কেডাস্টিসিটি উপস্থিত আছে কিনা তার জন্য একটি পরীক্ষা। নিউই-ওয়েস্ট প্রাক্কলনকারী কোয়াসি-ম্যাক্সিমাম সম্ভাব্যতা প্রাক্কলন সফ্টওয়্যার ইভিউসঃ ইভিউস সংস্করণ 8 শক্তিশালী ন্যূনতম বর্গের জন্য তিনটি ভিন্ন পদ্ধতি প্রদান করেঃ এম-প্রাক্কলন (হুবার, 1973), এস-প্রাক্কলন (রুসিউ এবং ইয়োহাই, 1984), এবং এমএম-প্রাক্কলন (ইয়োহাই 1987)। জুলিয়াঃ কোভারিয়েন্সম্যাট্রিক্স প্যাকেজ হেটেরোস্কেডাস্টিক শক্তিশালী বৈচিত্র্য কোভারিয়েন্স ম্যাট্রিক্সের জন্য বিভিন্ন পদ্ধতি সরবরাহ করে। ম্যাটল্যাবঃ ইকোনমেট্রিক্স টুলবক্সে এইচ. এ. সি ফাংশন দেখুন। পাইথনঃ স্ট্যাটসমডেল প্যাকেজ বিভিন্ন শক্তিশালী স্ট্যান্ডার্ড ত্রুটির অনুমান প্রদান করে, আরও বর্ণনার জন্য statsmodels.regression.linear_model.RegressionResults দেখুন R: প্যাকেজ থেকে vcovHC () কমান্ড। আরএটিএসঃ বিকল্পটি অনেক রিগ্রেশন এবং অপ্টিমাইজেশন কমান্ডে (,, ইত্যাদি) পাওয়া যায়। স্থিতিঃ অনেক ছদ্ম-জীবিকা ভিত্তিক পদ্ধতিতে প্রযোজ্য শক্তিশালী বিকল্প। গ্রেটলঃ বিকল্প-- ক্রস-সেকশনাল ডেটাসেটের প্রেক্ষাপটে বেশ কয়েকটি অনুমান কমান্ড (যেমন ওএলএস) শক্তিশালী মানক ত্রুটি তৈরি করে। বুজা, আন্দ্রেয়াস এবং অন্যান্যদের সম্পর্কে আরও তথ্যসূত্র। "আনুমানিক মডেল-প্রতিগমনের শাস্ত্রীয় অনুমানের বিরুদ্ধে এলোমেলো প্রতিগামী এবং মডেল বিচ্যুতির একটি ষড়যন্ত্র।" পরিসংখ্যান বিজ্ঞান (2015): 1. পিডিএফ রিগ্রেশন বিশ্লেষণ একযোগে সমীকরণ পদ্ধতি (অর্থনীতি) অনুমান পদ্ধতি সময় সিরিজের কাঠামোর সাথে রিগ্রেশন