Breather surface
ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতিতে, একটি ব্রেদার পৃষ্ঠ হল গাণিতিক পৃষ্ঠের এক-পরামিতি পরিবার যা সাইন-গর্ডন সমীকরণের ব্রেদার সমাধানের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ, যা তাত্ত্বিক পদার্থবিজ্ঞানে প্রদর্শিত একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ। পৃষ্ঠতলগুলির একটি উল্লেখযোগ্য বৈশিষ্ট্য রয়েছে যে তাদের ধ্রুবক বক্রতা রয়েছে, যেখানে বক্রতা ভালভাবে সংজ্ঞায়িত। এটি তাদের সাধারণীকৃত ছদ্মক্ষেত্রের উদাহরণ করে তোলে। গাণিতিক পটভূমি ধ্রুবক-1 বক্রতার এমবেডেড পৃষ্ঠগুলির মধ্যে একটি যোগাযোগ রয়েছে, যা সিউডোস্ফিয়ার নামে পরিচিত এবং সাইন-গর্ডন সমীকরণের সমাধান। এই যোগাযোগটি একটি সিউডোস্ফিয়ারের সহজতম উদাহরণ, ট্র্যাক্ট্রয়েড দিয়ে শুরু করা যেতে পারে। অ্যাসিম্পটোটিক স্থানাঙ্ক নামে পরিচিত স্থানাঙ্কের একটি বিশেষ সেটে, গাউস-কোডাজি সমীকরণগুলি, যা ধারাবাহিকতা সমীকরণ যা নির্ধারণ করে যে নির্ধারিত প্রথম এবং দ্বিতীয় মৌলিক রূপের একটি পৃষ্ঠকে সমতল মেট্রিকের সাথে ত্রিমাত্রিক স্থানে এম্বেড করা যেতে পারে, সাইন-গর্ডন সমীকরণে হ্রাস পায়। চিঠিপত্রের ক্ষেত্রে, ট্র্যাক্ট্রয়েডটি সাইন-গর্ডন দ্রবণের স্থির 1-সোলিটন সমাধানের সাথে মিলে যায়। সাইন-গর্ডনের লরেঞ্জ অপরিবর্তনীয়তার কারণে, লরেঞ্জ বুস্টগুলির একটি এক-পরামিতি পরিবার নতুন সমাধান পাওয়ার জন্য স্থির সমাধানে প্রয়োগ করা যেতে পারেঃ সিউডোস্ফিয়ারের দিকে, এগুলি লাই রূপান্তর হিসাবে পরিচিত, যা ট্র্যাক্ট্রয়েডকে ডিনির পৃষ্ঠ হিসাবে পরিচিত পৃষ্ঠের এক-পরামিতি পরিবারে বিকৃত করে। ব্যাক্লুন্ড রূপান্তর পদ্ধতিটি বহু-সোলিটন সমাধান, সাইন-গর্ডন সমীকরণের বিপুল সংখ্যক স্বতন্ত্র সমাধান নির্মাণের অনুমতি দেয়। উদাহরণস্বরূপ, 2-সোলিটন কুয়েন পৃষ্ঠের সাথে মিলে যায়। যাইহোক, যদিও এটি সমাধানের একটি অসীম পরিবার তৈরি করে, তবে শ্বাস-প্রশ্বাসের সমাধানগুলি তাদের মধ্যে নেই। এর পরিবর্তে সাইন-গর্ডন সমীকরণের বিপরীত বিচ্ছুরণ পদ্ধতি থেকে শ্বাস-প্রশ্বাসের সমাধানগুলি উদ্ভূত হয়। এগুলি মহাকাশে স্থানীয় কিন্তু সময়ের সাথে সাথে দোলন করে। সাইন-গর্ডন সমীকরণের প্রতিটি সমাধান একটি প্রথম এবং দ্বিতীয় মৌলিক রূপ দেয় যা গাউস-কোডাজি সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে। পৃষ্ঠ তত্ত্বের মৌলিক উপপাদ্যটি তখন নিশ্চিত করে যে একটি প্যারামিটারাইজড পৃষ্ঠ রয়েছে যা নির্ধারিত প্রথম এবং দ্বিতীয় মৌলিক রূপগুলি পুনরুদ্ধার করে। স্থানীয়ভাবে প্যারামিটারাইজেশন ভাল আচরণ করে, তবে নির্বিচারে প্রসারিত ফলস্বরূপ পৃষ্ঠের স্ব-ছেদ এবং কুস্প থাকতে পারে। প্রকৃতপক্ষে, হিলবার্টের একটি উপপাদ্য বলে যে কোনও সিউডোস্ফিয়ার নিয়মিতভাবে (মোটামুটিভাবে, যার অর্থ কুস্পস ছাড়া) অন্তর্ভুক্ত করা যায় না। প্যারামিটারাইজেশন প্যারামিটার সহ প্যারামিটারাইজেশন রেফারেন্স দ্বারা দেওয়া হয় এক্সটার্নাল লিঙ্ক এক্সাহ লি ওয়েব-সারফেস গ্যালারি ভার্চ্যুয়াল ম্যাথ মিউজিয়ামে ব্রেদার সারফেস গণিত নিবন্ধগুলিতে বিশেষজ্ঞের মনোযোগের প্রয়োজন ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ