Erdős–Mordell inequality
ইউক্লিডীয় জ্যামিতিতে, এরডস-মর্ডেল বৈষম্য বলে যে, এ. বি. সি-র অভ্যন্তরে যে কোনও ত্রিভুজ এ. বি. সি এবং বিন্দু পি-এর জন্য, পি থেকে পার্শ্বে দূরত্বের যোগফল পি থেকে শীর্ষে দূরত্বের যোগফলের অর্ধেকের কম বা সমান। পল এরদোস এবং লুই মর্ডেলের নামে এর নামকরণ করা হয়েছে। অসমতা প্রমাণের সমস্যা উত্থাপন করেছিল; দুই বছর পরে একটি প্রমাণ প্রদান করা হয়েছিল। এই সমাধানটি অবশ্য খুব প্রাথমিক ছিল না। পরবর্তী সহজ প্রমাণগুলি তখন, এবং দ্বারা পাওয়া যায়। ব্যারো 'স ইনইকুয়েন্টি হল এরডোস-মর্ডেল ইনইকুয়েন্টির একটি শক্তিশালী সংস্করণ যেখানে পি থেকে পার্শ্বের দূরত্বগুলি পি থেকে সেই বিন্দুগুলির দূরত্ব দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয় যেখানে এ. পি. বি, এ. পি. পি এবং এ. পি. পি-র দ্বিখণ্ডিত কোণগুলি পার্শ্বগুলি অতিক্রম করে। যদিও প্রতিস্থাপিত দূরত্বগুলি দীর্ঘ, তবুও তাদের যোগফল শীর্ষে দূরত্বের যোগফলের অর্ধেকের চেয়ে কম বা সমান। বিবৃতি একটি প্রদত্ত ত্রিভুজের অভ্যন্তরে একটি স্বেচ্ছাচারী বিন্দু P হতে হবে, এবং ত্রিভুজের পাশ থেকে লম্ব হতে হবে। (যদি ত্রিভুজটি তির্যক হয়, তবে এই লম্বগুলির মধ্যে একটি ত্রিভুজের একটি ভিন্ন দিক অতিক্রম করতে পারে এবং একটি দিককে সমর্থনকারী রেখায় শেষ হতে পারে।) তারপর অসমতা বলে যে প্রমাণ ABC-র দিকগুলি A-এর বিপরীতে, b-কে B-এর বিপরীতে এবং c-কে C-এর বিপরীতে হতে দিন; এছাড়াও PA = p, PB = q, PC = r, dist (P; BC) = x, Dist (P; CA) = y, Dist (P; AB) = z। প্রথমত, আমরা প্রমাণ করি যে এটি সমতুল্য ডান দিকটি ত্রিভুজ ABC-র ক্ষেত্রফল, কিন্তু বাম দিকে, r + z কমপক্ষে ত্রিভুজের উচ্চতা; ফলস্বরূপ, বাম দিকটি ডান দিকের চেয়ে ছোট হতে পারে না। এখন সি-তে দ্বিখণ্ডিত কোণে পি প্রতিফলিত করুন। আমরা পাই যে পি-এর প্রতিফলনের জন্য সিআর ±এওয়াই + বিএক্স। একইভাবে, bq ≤ az + cx এবং ap ≤ bz + cy। আমরা r, q, এবং p-এর জন্য এই বৈষম্যগুলি সমাধান করিঃ তিনটি যোগ করলে, আমরা পাই। সমতা শুধুমাত্র সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য, যেখানে পি হল এর কেন্দ্রবিন্দু। আরেকটি শক্তিশালী সংস্করণ ধরা যাক, এ. বি. সি একটি ত্রিভুজ যা একটি বৃত্তে (ও) খোদাই করা আছে এবং পি হল এ. বি. সি-র অভ্যন্তরে একটি বিন্দু। ধরা যাক D, E, F হল BC, CA, AB-তে P-এর অর্থোগোনাল প্রজেকশন। এম, এন, কিউ যথাক্রমে এ, বি, সি-তে (ও)-এর স্পর্শকের উপর পি-এর অর্থোগোনাল প্রজেকশন হবে, তারপরঃ সমতা বজায় থাকে যদি এবং শুধুমাত্র যদি ত্রিভুজ এবিসি সমবাহু হয় (;) একটি সাধারণীকরণ ধরা যাক একটি উত্তল বহুভুজ, এবং এর একটি অভ্যন্তরীণ বিন্দু হতে হবে। ধরা যাক শীর্ষ থেকে দূরত্ব, পাশ থেকে দূরত্ব, কোণের দ্বিখণ্ডকের অংশটি কোণের সাথে তার ছেদ পর্যন্ত তারপরঃ পরম জ্যামিতিতে এরডস-মর্ডেল বৈষম্য সমতুল্য, যেমন প্রমাণিত হয়েছে, এই বিবৃতির সমতুল্য যে একটি ত্রিভুজের কোণগুলির যোগফল দুটি সমকোণের চেয়ে কম বা সমান। আরও দেখুন ত্রিভুজ বৈষম্যের তালিকা। । । । । । । । । বাহ্যিক সংযোগগুলি কাট-দ্য-নট থেকে আলেকজান্ডার বোগোমোলনি, "এরডোস-মর্ডেল ইনইকুয়ালিটি"। ত্রিভুজ বৈষম্য