Filling radius
রিমানীয় জ্যামিতিতে, একটি রিমানীয় বহুগুণিত এক্স-এর ভরাট ব্যাসার্ধ হল এক্স-এর একটি মেট্রিক অপরিবর্তনীয়। এটি মূলত 1983 সালে মিখাইল গ্রোমভ দ্বারা প্রবর্তিত হয়েছিল, যিনি প্রয়োজনীয় ম্যানিফোল্ডের জন্য তার সিস্টোলিক বৈষম্য প্রমাণ করতে এটি ব্যবহার করেছিলেন, লোউনারের টরাস বৈষম্য এবং প্রকৃত প্রজেক্টিভ সমতলের জন্য পু-এর বৈষম্যকে ব্যাপকভাবে সাধারণীকরণ করেছিলেন এবং তার আধুনিক আকারে সিস্টোলিক জ্যামিতি তৈরি করেছিলেন। সমতলে একটি সাধারণ লুপ সি-এর ভরাট ব্যাসার্ধকে একটি বৃত্তের বৃহত্তম ব্যাসার্ধ, আর> 0 হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় যা সি-এর ভিতরে ফিট করেঃ আশেপাশের মাধ্যমে দ্বৈত সংজ্ঞা এক ধরণের দ্বৈত দৃষ্টিভঙ্গি রয়েছে যা একজনকে এই ধারণাকে অত্যন্ত ফলপ্রসূ উপায়ে সাধারণীকরণ করতে দেয়, যেমনটি গ্রোমোভ দ্বারা দেখানো হয়েছে। অর্থাৎ, আমরা লুপ সি-এর-প্রতিবেশীদের বিবেচনা করি, যা বৃদ্ধি হিসাবে চিহ্নিত করা হয়,-প্রতিবেশীরা লুপের অভ্যন্তরের আরও বেশি করে গ্রাস করে। গিলে ফেলার শেষ বিন্দুটি সঠিকভাবে একটি বৃহত্তম খোদাই করা বৃত্তের কেন্দ্র। অতএব, আমরা উপরের সংজ্ঞাটিকে এমনভাবে সংজ্ঞায়িত করতে পারি যাতে লুপ সি একটি বিন্দুতে সংকুচিত হয়। উদাহরণস্বরূপ, ইউক্লিডীয় স্থান E-তে একটি কম্প্যাক্ট ম্যানিফোল্ড X দেওয়া হলে, আমরা আশেপাশের আকারকে কমিয়ে দিয়ে, যার মধ্যে X-কে ছোট মাত্রার কিছুতে সমস্থানিক করা যেতে পারে, যেমন একটি নিম্ন-মাত্রিক পলিহেড্রন। প্রযুক্তিগতভাবে একটি সমতাত্ত্বিক সংজ্ঞা নিয়ে কাজ করা আরও সুবিধাজনক। সমতাত্ত্বিক সংজ্ঞা গুণাংক বলয় A দ্বারা নির্দেশ করুন অথবা, X অভিমুখযোগ্য কিনা তার উপর নির্ভর করে। তারপর একটি কম্প্যাক্ট এন-ডাইমেনশনাল ম্যানিফোল্ড এক্স-এর [এক্স] চিহ্নিত মৌলিক শ্রেণীটি হল হোমোলজি গ্রুপের একটি জেনারেটর, এবং আমরা সেট করি যেখানে অন্তর্ভুক্তি সমরূপতা রয়েছে। এমন একটি পরিস্থিতিতে একটি পরম ভরাট ব্যাসার্ধ সংজ্ঞায়িত করতে যেখানে এক্স একটি রিম্যানিয়ান মেট্রিক গ্রাম দিয়ে সজ্জিত, গ্রোমোভ নিম্নরূপ এগিয়ে যায়। একটি কারাটভস্কি এম্বেডিংকে কাজে লাগায়। একটি এক্স-এর উপর আবদ্ধ বোরেল ফাংশনের বানাচ স্পেসে এক্স-কে অন্তর্ভুক্ত করে, যা সুপার নর্ম দিয়ে সজ্জিত। অর্থাৎ, আমরা সকলের জন্য সূত্র দ্বারা সংজ্ঞায়িত ফাংশনের একটি বিন্দুর মানচিত্র তৈরি করি, যেখানে d হল মেট্রিক দ্বারা সংজ্ঞায়িত দূরত্ব ফাংশন। ত্রিভুজ বৈষম্য দ্বারা আমাদের রয়েছে এবং তাই অন্তর্নিবেশটি দৃঢ়ভাবে আইসোমেট্রিক, সুনির্দিষ্ট অর্থে যে অভ্যন্তরীণ দূরত্ব এবং পরিবেষ্টনের দূরত্ব মিলে যায়। যদি পরিবেষ্টিত স্থানটি হিলবার্ট স্থান হয়, এমনকি যখন এক্স রিম্যানিয়ান বৃত্ত হয় (বিপরীত বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব অবশ্যই হতে হবে, 2 নয়!), তাহলে এই ধরনের দৃঢ় আইসোমেট্রিক অন্তর্নিবেশ অসম্ভব। তারপরে আমরা উপরের সূত্রটি সেট করি এবং বৈশিষ্ট্যগুলি সংজ্ঞায়িত করি ভর্তি ব্যাসার্ধ ব্যাসের সর্বাধিক এক তৃতীয়াংশ (কাটজ, 1983)। স্থির বক্রতার মেট্রিক সহ বাস্তব প্রজেক্টিভ স্থানের ভরাট ব্যাসার্ধ তার রিমানিয়ান ব্যাসের এক তৃতীয়াংশ, দেখুন (কাটজ, 1983)। সমতুল্যভাবে, এই ক্ষেত্রে ভর্তি ব্যাসার্ধ সিস্টোলের এক ষষ্ঠাংশ। 2π দৈর্ঘ্যের রিমানীয় বৃত্তের ভরাট ব্যাসার্ধ, অর্থাৎ। প্রেরিত রিম্যানিয়ান দূরত্ব ফাংশন সহ একক বৃত্ত, π/3, অর্থাৎ সমান। তার দৈর্ঘ্যের এক ষষ্ঠাংশ। এর পরে সিস্টোলের পরিপ্রেক্ষিতে উপরে উল্লিখিত ব্যাসের উপরের সীমার সঙ্গে গ্রোমভের নীচের সীমার সংমিশ্রণ ঘটে (গ্রোমভ, 1983) একটি অপরিহার্য ম্যানিফোল্ড এম-এর সিস্টোল তার ভরাট ব্যাসার্ধের সর্বাধিক ছয়গুণ হয়, দেখুন (গ্রোমভ, 1983)। অসমতা এই অর্থে সর্বোত্তম যে সমতার সীমানা ক্ষেত্রে উপরের মতো প্রকৃত প্রজেক্টিভ স্পেস দ্বারা অর্জন করা হয়। কম্প্যাক্ট ম্যানিফোল্ডের ইনজেক্টিভিটি ব্যাসার্ধ ভরাট ব্যাসার্ধের উপর একটি নিম্ন সীমা দেয়। অর্থাৎ, আরও দেখুন প্রয়োজনীয় ম্যানিফোল্ডের জন্য গ্রোমভের সিস্টোলিক বৈষম্য পূরণ এলাকা অনুমান রেফারেন্স গ্রোমভ, এম.: ফিলিং রিমানিয়ান ম্যানিফোল্ডস, জার্নাল অফ ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতি 18 (1983), 1-147। কাটজ, এম.: দুই-বিন্দু সমজাতীয় স্থানের ভরাট ব্যাসার্ধ। জার্নাল অফ ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতি 18, সংখ্যা 3 (1983), 505-511। রিম্যানিয়ান জ্যামিতি ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতি সিস্টোলিক জ্যামিতি