Word (group theory)
গোষ্ঠী তত্ত্বে, একটি শব্দ হল গোষ্ঠী উপাদান এবং তাদের বিপরীতগুলির যে কোনও লিখিত গুণফল। উদাহরণস্বরূপ, যদি x, y এবং z একটি গ্রুপ G-এর উপাদান হয়, তাহলে xy, z−1xzz এবং y−1zx−1yz−1 হল সেট {x, y, z}-এর শব্দ। দুটি ভিন্ন শব্দ জি-তে বা এমনকি প্রতিটি গোষ্ঠীতে একই মানের মূল্যায়ন করতে পারে। শব্দগুলি মুক্ত গোষ্ঠী এবং উপস্থাপনার তত্ত্বে গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে এবং সমন্বিত গোষ্ঠী তত্ত্বে অধ্যয়নের কেন্দ্রীয় বিষয়। সংজ্ঞাগুলি ধরা যাক জি একটি গ্রুপ, এবং এস জি-এর একটি উপসেট। এস-এ একটি শব্দ সেই ফর্মের যে কোনও অভিব্যক্তি যেখানে এস1,., এসএন এস-এর উপাদান, যাকে জেনারেটর বলা হয়, এবং প্রতিটি εi হল ±1। n সংখ্যাটি শব্দের দৈর্ঘ্য হিসাবে পরিচিত। এস-এর প্রতিটি শব্দ জি-এর একটি উপাদানকে উপস্থাপন করে, অর্থাৎ অভিব্যক্তিটির গুণফল। প্রচলিত রীতি অনুসারে, অনন্য পরিচয় উপাদানটি খালি শব্দ দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে, যা শূন্য দৈর্ঘ্যের অনন্য শব্দ। স্বরলিপি শব্দ লেখার সময়, সংক্ষেপণ হিসাবে সূচকীয় স্বরলিপি ব্যবহার করা সাধারণ। উদাহরণস্বরূপ, শব্দটি এইভাবে লেখা যেতে পারে এই পরবর্তী অভিব্যক্তিটি নিজেই একটি শব্দ নয়-এটি কেবল মূলটির জন্য একটি সংক্ষিপ্ত স্বরলিপি। দীর্ঘ শব্দের সাথে কাজ করার সময়, এস-এর উপাদানগুলির বিপরীতকে বোঝাতে একটি ওভারলাইন ব্যবহার করা সহায়ক হতে পারে। ওভারলাইন স্বরলিপি ব্যবহার করে, উপরের শব্দটি নিম্নরূপ লেখা হবেঃ হ্রাসকৃত শব্দ যে কোনও শব্দ যেখানে একটি জেনারেটর তার নিজস্ব বিপরীত (xx−1 বা x−1x) এর পাশে উপস্থিত হয় তা অপ্রয়োজনীয় জোড়া বাদ দিয়ে সরলীকৃত করা যেতে পারেঃ এই ক্রিয়াকে হ্রাস বলা হয়, এবং এটি শব্দ দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা গ্রুপ উপাদানটিকে পরিবর্তন করে না। হ্রাসকে সম্পর্ক হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে (নীচে সংজ্ঞায়িত) যা গোষ্ঠী স্বতঃসিদ্ধ থেকে অনুসরণ করে। একটি হ্রাসকৃত শব্দ হল এমন একটি শব্দ যাতে কোনও অপ্রয়োজনীয় জোড়া থাকে না। যে কোনও শব্দকে হ্রাসের ক্রম সম্পাদন করে হ্রাসকৃত শব্দে সরলীকৃত করা যেতে পারেঃ ফলাফল নির্ভর করে না যে ক্রম অনুসারে হ্রাসগুলি সম্পাদন করা হয়। একটি শব্দ চক্রাকারে হ্রাস করা হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি শব্দের প্রতিটি চক্রাকার বিন্যাস হ্রাস করা হয়। শব্দের উপর ক্রিয়াকলাপ দুটি শব্দের গুণফল সংযোজন দ্বারা প্রাপ্ত হয়ঃ দুটি শব্দ হ্রাস করা হলেও, গুণফলটি নাও হতে পারে। একটি শব্দের বিপরীত প্রতিটি জেনারেটরকে বিপরীত করে এবং উপাদানগুলির ক্রমকে বিপরীত করে প্রাপ্ত করা হয়ঃ বিপরীত সহ একটি শব্দের গুণফলকে খালি শব্দে হ্রাস করা যেতে পারেঃ আপনি একটি শব্দের শুরু থেকে শেষ পর্যন্ত একটি জেনারেটরকে সংমিশ্রণের মাধ্যমে সরাতে পারেনঃ একটি গ্রুপের A উপসেট S-এর সেট তৈরি করাকে জেনারেটিং সেট বলা হয় যদি G-এর প্রতিটি উপাদানকে S-এর একটি শব্দ দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা যায়। যখন S, G-এর জন্য একটি জেনারেটিং সেট না হয়, তখন S-এর শব্দের দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা উপাদানগুলির সেট হল G-এর একটি উপগোষ্ঠী, যা S দ্বারা উত্পন্ন G-এর উপগোষ্ঠী হিসাবে পরিচিত এবং সাধারণত চিহ্নিত করা হয়। এটি জি-এর ক্ষুদ্রতম উপগোষ্ঠী যা এস-এর উপাদানগুলি ধারণ করে। সাধারণ রূপগুলি একটি গ্রুপ জি-এর জন্য একটি সাধারণ রূপ যা সেট এস তৈরি করে, এটি জি-এর প্রতিটি উপাদানের জন্য এস-এ একটি হ্রাসকৃত শব্দের পছন্দ। উদাহরণস্বরূপঃ 1, আই, জে, আইজ শব্দগুলি ক্লেইন চার-গোষ্ঠীর জন্য একটি স্বাভাবিক রূপ যার সাথে} এবং 1 খালি শব্দকে (গোষ্ঠীর পরিচয় উপাদান) উপস্থাপন করে। 1, r, r2,., rn-1, s, sr,., srn-1 শব্দগুলি উপরের মত ডাইহেড্রাল গ্রুপ ডিহন এবং 1-এর জন্য একটি স্বাভাবিক রূপ। xmyn ফর্মের শব্দের সেট m, n ω Z-এর জন্য চক্রাকার গোষ্ঠীগুলির সরাসরি গুণফলের জন্য একটি স্বাভাবিক রূপ এবং} সহ। এস-এ হ্রাসকৃত শব্দের সেট হল এস-এর উপর মুক্ত গোষ্ঠীর জন্য অনন্য স্বাভাবিক রূপ। সম্পর্ক এবং উপস্থাপনা যদি এস একটি গ্রুপ জি-এর জন্য একটি উৎপাদনকারী সেট হয়, তবে একটি সম্পর্ক হল এস-এ শব্দের একটি জোড়া যা জি-এর একই উপাদানকে উপস্থাপন করে। এগুলি সাধারণত সমীকরণ হিসাবে লেখা হয়, যেমন। সম্পর্কের একটি সেট জি-কে সংজ্ঞায়িত করে যদি জি-এর প্রতিটি সম্পর্ক কোনও গোষ্ঠীর জন্য স্বতঃসিদ্ধ ব্যবহারকারীদের থেকে যৌক্তিকভাবে অনুসরণ করে। জি-এর জন্য একটি উপস্থাপনা হল একটি জোড়া, যেখানে এস হল জি-এর জন্য একটি উৎপাদনকারী সেট এবং এটি সম্পর্কের একটি সংজ্ঞায়িত সেট। উদাহরণস্বরূপ, ক্লেইন চার-গোষ্ঠীকে উপস্থাপনা দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে এখানে 1 খালি শব্দকে বোঝায়, যা পরিচয় উপাদানকে উপস্থাপন করে। মুক্ত গোষ্ঠী যদি এস কোনও সেট হয়, তবে এস-এর উপরে মুক্ত গোষ্ঠী হল উপস্থাপনা সহ গোষ্ঠী। অর্থাৎ, এস-এর উপর মুক্ত গোষ্ঠী হল এস-এর উপাদান দ্বারা সৃষ্ট গোষ্ঠী, যার কোনও অতিরিক্ত সম্পর্ক নেই। মুক্ত গোষ্ঠীর প্রতিটি উপাদানকে এস-এ একটি হ্রাসকৃত শব্দ হিসাবে অনন্যভাবে লেখা যেতে পারে। এছাড়াও দেখুন শব্দের সমস্যা (গণিত) গোষ্ঠীগুলির জন্য শব্দের সমস্যা নোটস রেফারেন্স। সমন্বিত গোষ্ঠী তত্ত্ব শব্দের উপর সমষ্টি তত্ত্ব