Subnet (mathematics)
টপোলজি এবং গণিতের সম্পর্কিত ক্ষেত্রে, একটি সাবনেট হল জালের ক্ষেত্রে পরবর্তী ধারণার একটি সাধারণীকরণ। নেটের জন্য "অনুসরণ"-এর সাদৃশ্য হল একটি "সাবনেট"-এর ধারণা। সংজ্ঞাটি সম্পূর্ণ সোজা নয়, তবে ধারাবাহিকতা সম্পর্কে যতগুলি উপপাদ্যকে যতটা সম্ভব নেটগুলিতে সাধারণীকরণ করার অনুমতি দেওয়ার জন্য ডিজাইন করা হয়েছে। "সাবনেট"-এর তিনটি অ-সমতুল্য সংজ্ঞা রয়েছে। সাবনেটের প্রথম সংজ্ঞাটি 1955 সালে জন এল. কেলি প্রবর্তন করেছিলেন এবং পরে, স্টিফেন উইলার্ড 1970 সালে কেলির সংজ্ঞার নিজস্ব (অ-সমতুল্য) রূপটি প্রবর্তন করেছিলেন। উইলার্ড অর্থে সাবনেট এবং কেলি অর্থে সাবনেট হল "সাবনেট"-এর সর্বাধিক ব্যবহৃত সংজ্ঞা তবে এগুলি প্রতিটি "অধস্তন ফিল্টার" ধারণার সমতুল্য, যা ফিল্টারগুলির জন্য "পরবর্তী"-এর সমতুল্য (এগুলি এই অর্থে সমতুল্য নয় যে অধস্তন ফিল্টার রয়েছে যার ফিল্টার/অধস্তন-ফিল্টার সম্পর্ক সংশ্লিষ্ট নেট/সাবনেট সম্পর্কের পরিপ্রেক্ষিতে বর্ণনা করা যায় না)। "সাবনেট"-এর একটি তৃতীয় সংজ্ঞা (কেলি বা উইলার্ড দ্বারা প্রদত্ত সমতুল্য নয়) যা "অধস্তন ফিল্টার" ধারণার সমতুল্য স্মাইলি (1957), আর্নেস অ্যান্ড অ্যান্ডনেস (1972), মুরদেশ্বর (1983) এবং সম্ভবত অন্যান্যরা স্বাধীনভাবে প্রবর্তন করেছিলেন, যদিও এটি প্রায়শই ব্যবহৃত হয় না। এই নিবন্ধটি উইলার্ডের কারণে সংজ্ঞাটি নিয়ে আলোচনা করেছে (অন্যান্য সংজ্ঞাগুলি topology#Subnets-এ নিবন্ধ ফিল্টারগুলিতে বর্ণনা করা হয়েছে)। সংজ্ঞাগুলি "সাবনেট"-এর বেশ কয়েকটি ভিন্ন অ-সমতুল্য সংজ্ঞা রয়েছে এবং এই নিবন্ধটি স্টিফেন উইলার্ড দ্বারা 1970 সালে প্রবর্তিত সংজ্ঞাটি ব্যবহার করবে, যা নিম্নরূপঃ যদি এবং যথাক্রমে নির্দেশিত সেট থেকে একটি সেটে নেট হয়, তবে বলা হয় a এর (বা a) যদি একটি মনোটোন চূড়ান্ত ফাংশন বিদ্যমান থাকে যেমন A ফাংশন, এবং একটি যদি যখনই এবং এটি বলা হয় যদি তার চিত্রটি কো-ফাইনাল হয় সেটের অর্থ হল যে প্রত্যেকের জন্য এমন কিছু বিদ্যমান থাকে যা হল, প্রত্যেকের জন্য এমন একটি বিদ্যমান থাকে যে যেহেতু নেট হল ফাংশন এবং নেট হল ফাংশন সংজ্ঞায়িত শর্তটি আরও সংক্ষিপ্ত এবং পরিষ্কারভাবে লেখা যেতে পারে বা যেখানে ফাংশন গঠনকে বোঝায় এবং এটি কেবল নোটেশন। স্পষ্টতই, একটি ক্রমকে a বলা হয় যদি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার একটি কঠোরভাবে ক্রমবর্ধমান ক্রম বিদ্যমান থাকে যেমন প্রত্যেকের জন্য (অর্থাৎ, যেমন)। এইভাবে একটি ক্রম হল একটি ধারাবাহিকতা যদি এবং শুধুমাত্র যদি একটি কঠোরভাবে ক্রমবর্ধমান ফাংশন বিদ্যমান থাকে যেমন অনুক্রমগুলি সাবনেট হয় প্রতিটি ধারাবাহিকতা একটি সাবনেট কারণ যদি এর একটি ধারাবাহিকতা হয় তবে দ্বারা সংজ্ঞায়িত মানচিত্রটি একটি ক্রম-সংরক্ষণকারী মানচিত্র যার চিত্রটি তার কোডোমেইনে কো-ফাইনাল এবং সমস্ত ক্রম এবং সাবনেটের জন্য সন্তুষ্ট করে তবে একটি ধারাবাহিকতা নয় ক্রমটি একটি ধারাবাহিকতা নয় যদিও এটি একটি সাবনেট কারণ দ্বারা সংজ্ঞায়িত মানচিত্রটি একটি ক্রম-সংরক্ষণকারী মানচিত্র যার চিত্র সকলের জন্য সন্তুষ্ট। মূল পার্থক্যটি হল যে সাবনেটগুলি নেটের মধ্যে একই বিন্দু একাধিকবার ব্যবহার করতে পারে এবং সাবনেটের সূচক সেটের অনেক বড় কার্ডিনালিটি থাকতে পারে। আরও সাধারণ সংজ্ঞা ব্যবহার করে যেখানে আমাদের একঘেয়েমির প্রয়োজন হয় না, একটি ক্রম একটি প্রদত্ত ক্রমের একটি সাবনেট, যদি এবং শুধুমাত্র যদি এটি তার শর্তাবলী পুনরাবৃত্তি করে এবং তাদের পুনর্বিন্যাস করে কিছু পরবর্তী থেকে প্রাপ্ত করা যায়। একটি সিকোয়েন্সের সাবনেট যা একটি সিকোয়েন্স নয় একটি সিকোয়েন্সের সাবনেট অবশ্যই একটি সিকোয়েন্স। উদাহরণস্বরূপ, আসুন স্বাভাবিক ক্রম দ্বারা পরিচালিত করা যাক এবং তারপরের সিলিং দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা যাক একটি অর্ডার-সংরক্ষণকারী মানচিত্র (কারণ এটি একটি অ-হ্রাসকারী ফাংশন) যার চিত্রটি তার কোডোমেইনের একটি কো-ফাইনাল উপসেট। ধরা যাক যে কোনও ক্রম (যেমন একটি ধ্রুবক ক্রম, উদাহরণস্বরূপ) এবং প্রত্যেকের জন্য ধরা যাক (অন্য কথায়, ধরা যাক)। এই নেট একটি ক্রম নয় কারণ এর ডোমেনটি একটি অগণিত সেট। যাইহোক, ক্রমের একটি সাবনেট যেহেতু (সংজ্ঞা অনুসারে) প্রতিটি জন্য ধারণ করে সুতরাং এর একটি সাবনেট একটি ক্রম নয়। উপরন্তু, ক্রমটিও একটি সাবনেট যেহেতু অন্তর্ভুক্তি মানচিত্র (যা পাঠায়) একটি অর্ডার-সংরক্ষণকারী মানচিত্র যার চিত্রটি তার কোডোমেইনের একটি কো-ফাইনাল সাবসেট এবং সমস্ত এইভাবে ধরে রাখে এবং (একই সাথে) একে অপরের সাবনেট। উপসেট দ্বারা প্ররোচিত সাবনেটগুলি মনে করুন একটি অসীম সেট এবং এটি একটি ক্রম। তারপরে একটি নেট রয়েছে যা একটি সাবনেটও (অন্তর্ভুক্তি মানচিত্র হিসাবে গ্রহণ করুন)। এই সাবনেট পালাক্রমে ক্ষুদ্রতম মান হিসাবে সংজ্ঞায়িত করে একটি ধারাবাহিকতা প্ররোচিত করে (অর্থাৎ, প্রতিটি পূর্ণসংখ্যার জন্য যাক এবং যাক)। এইভাবে, প্রতিটি অসীম উপসেট একটি ক্যানোনিকাল সাবনেটকে প্ররোচিত করে যা পরবর্তী হিসাবে লেখা যেতে পারে। যাইহোক, নীচে যেমন দেখানো হয়েছে, একটি ক্রমের প্রতিটি সাবনেট একটি ধারাবাহিকতা নয়। অ্যাপ্লিকেশন সংজ্ঞাটি ধারাবাহিকতা সম্পর্কে কিছু মূল উপপাদ্যকে সাধারণীকরণ করেঃ একটি নেট তখনই একত্রিত হয় যখন একটি নেটের প্রতিটি সাবনেটের একটি ক্লাস্টার পয়েন্ট থাকে যদি এবং কেবল তখনই যদি এটির একটি সাবনেট থাকে যা একটি টপোলজিকাল স্পেসে একত্রিত হয় যদি এবং কেবলমাত্র যদি প্রতিটি নেটের একটি অভিসারী সাবনেট থাকে (প্রমাণের জন্য নেট দেখুন)। "সাবনেট"-এর সংজ্ঞায় আইডেন্টিটি ম্যাপ হিসাবে গ্রহণ করা এবং a-এর ধারণার দিকে নেতৃত্বের একটি কো-ফাইনাল উপসেট হওয়ার প্রয়োজন, যা অপর্যাপ্ত বলে প্রমাণিত হয়, উদাহরণস্বরূপ, উপরের দ্বিতীয় উপপাদ্যটি টাইকনোফ প্ল্যাঙ্কের জন্য ব্যর্থ হয় যদি আমরা নিজেদেরকে কো-ফাইনাল সাবনেটের মধ্যে সীমাবদ্ধ রাখি। ক্লাস্টারিং এবং ক্লোজার যদি একটি উপসেটে একটি নেট হয় এবং যদি একটি ক্লাস্টার পয়েন্ট হয় তবে অন্য কথায়, একটি উপসেটে একটি নেটের প্রতিটি ক্লাস্টার পয়েন্ট সেই সেটের ক্লোজারের অন্তর্গত। যদি একটি নেট হয় তবে সমস্ত ক্লাস্টার পয়েন্টের সেট প্রতিটি কনভার্জেন্স বনাম ক্লাস্টারিংয়ের জন্য যেখানে সমান হয় যদি একটি নেট একটি বিন্দুতে একত্রিত হয় তবে অবশ্যই সেই নেটের একটি ক্লাস্টার পয়েন্ট। বিপরীতটি সাধারণভাবে নিশ্চিত করা হয় না। অর্থাৎ, একটি নেটের একটি ক্লাস্টার পয়েন্ট হওয়া সম্ভব, তবে এতে একত্রিত হওয়ার জন্য। তবে, যদি ক্লাস্টার থাকে তবে সেখানে একটি সাবনেট থাকে যা একত্রিত হয়। এই সাবনেটটি স্পষ্টভাবে তৈরি করা যেতে পারে এবং আশেপাশের ফিল্টারটি নিম্নরূপঃ এটি ঘোষণা করে একটি নির্দেশিত সেট তৈরি করুন এবং এটি একটি সাবনেট যেহেতু মানচিত্রটি একটি মনোটোন ফাংশন যার চিত্রটি একটি কো-ফাইনাল উপসেট এবং সুতরাং, একটি বিন্দু একটি প্রদত্ত নেটের একটি ক্লাস্টার পয়েন্ট যদি এবং শুধুমাত্র যদি এটির একটি সাবনেট থাকে যা একত্রিত হয় নোটস সাইটেশন রেফারেন্স টপোলজি দেখুন।