Compass equivalence theorem
জ্যামিতিতে, কম্পাস সমতুল্য উপপাদ্যটি কম্পাস এবং সোজা প্রান্তের নির্মাণে একটি গুরুত্বপূর্ণ বিবৃতি। এই নির্মাণগুলিতে প্লেটো যে সরঞ্জামটির পক্ষে সওয়াল করেছিলেন তা হল একটি বিভাজক বা ধসে পড়া কম্পাস, অর্থাৎ একটি কম্পাস যা যখনই কোনও পৃষ্ঠা থেকে তোলা হয় তখন "ধসে পড়ে", যাতে এটি সরাসরি দূরত্ব স্থানান্তর করতে ব্যবহার না করা হয়। স্থিরযোগ্য ছিদ্র সহ আধুনিক কম্পাসটি সরাসরি দূরত্ব স্থানান্তর করতে ব্যবহার করা যেতে পারে এবং তাই এটি আরও শক্তিশালী যন্ত্র বলে মনে হয়। যাইহোক, কম্পাস সমতুল্য উপপাদ্যটি বলে যে "আধুনিক কম্পাস"-এর মাধ্যমে যে কোনও নির্মাণ একটি ধসে পড়া কম্পাস দিয়ে অর্জন করা যেতে পারে। এটি স্থাপন করে দেখানো যেতে পারে যে একটি ধসে পড়া কম্পাস দিয়ে, সমতলে একটি বৃত্ত দেওয়া হলে, সমতলের যে কোনও নির্দিষ্ট বিন্দুতে কেন্দ্র করে সমান ব্যাসার্ধের আরেকটি বৃত্ত তৈরি করা সম্ভব। এই উপপাদ্যটি ইউক্লিডের উপাদানগুলির প্রথম বইয়ের দ্বিতীয় প্রস্তাবনা। এই উপপাদ্যের প্রমাণের একটি পরিবর্তনশীল ইতিহাস রয়েছে। ইউক্লিড তাঁর এলিমেন্টস-এ নিম্নলিখিত গঠন এবং সঠিকতার প্রমাণ দিয়েছেন। যদিও ইউক্লিডের চিকিৎসায় বেশ কয়েকটি কেস রয়েছে বলে মনে হয়, দ্ব্যর্থহীন নির্দেশাবলী ব্যাখ্যা করার সময় করা পছন্দগুলির উপর নির্ভর করে, সেগুলি সবই একই সিদ্ধান্তে নিয়ে যায় এবং তাই, নির্দিষ্ট পছন্দগুলি নীচে দেওয়া হয়েছে। প্রদত্ত বিন্দু, এবং, ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যকে কেন্দ্র করে একটি বৃত্ত তৈরি করুন (অর্থাৎ, কঠিন সবুজ বৃত্তের সমতুল্য, কিন্তু এ কেন্দ্রিক)। একটি বৃত্ত আঁকুন যা কেন্দ্র করে এবং এর মধ্য দিয়ে যায় এবং তদ্বিপরীত (লাল বৃত্ত)। তারা বিন্দুতে ছেদ করবে এবং সমবাহু ত্রিভুজ গঠন করবে। অতীত প্রসারিত করুন এবং এর ছেদ এবং চিহ্নিত বৃত্তটি খুঁজে বের করুন। (নীল বৃত্ত) কে কেন্দ্র করে এবং এর মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি বৃত্ত তৈরি করুন। অতীত প্রসারিত করুন এবং এর ছেদ এবং চিহ্নিত বৃত্তটি খুঁজে বের করুন। (বিন্দুযুক্ত সবুজ বৃত্ত) কে কেন্দ্র করে এবং এর মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি বৃত্ত তৈরি করুন কারণ এটি একটি সমবাহু ত্রিভুজ। কারণ এবং তারা চারপাশে একটি বৃত্তের উপর রয়েছে। অতএব, কারণ এটি বৃত্তের উপর রয়েছে। অতএব, সোজা প্রান্ত ছাড়াই বিকল্প নির্মাণ সোজা প্রান্ত ব্যবহার না করেই কম্পাস সমতুল্যতা প্রমাণ করা সম্ভব। এটি মোহর-মাসচেরনি উপপাদ্যের প্রমাণগুলিতে "স্থির কম্পাস" চালের (একটি ভিন্ন স্থানে প্রদত্ত ব্যাসার্ধের একটি বৃত্ত নির্মাণ) ব্যবহারকে ন্যায়সঙ্গত করে, যা বলে যে সোজা প্রান্ত এবং কম্পাস দিয়ে যে কোনও নির্মাণ সম্ভব শুধুমাত্র কম্পাস দিয়ে সম্পন্ন করা যেতে পারে। প্রদত্ত বিন্দু, এবং, ব্যাসার্ধকে কেন্দ্র করে একটি বৃত্ত তৈরি করুন, শুধুমাত্র একটি ধসে পড়া কম্পাস ব্যবহার করে এবং কোনও সোজা প্রান্ত নেই। একটি বৃত্ত আঁকুন যা কেন্দ্র করে এবং এর মধ্য দিয়ে যায় এবং তদ্বিপরীত (নীল বৃত্ত)। তারা পয়েন্ট এবং এ ছেদ করবে। কেন্দ্রে এবং (লাল বৃত্ত) দিয়ে বৃত্ত আঁকুন। তাদের অন্য ছেদকে লেবেল করুন। একটি বৃত্ত (সবুজ বৃত্ত) আঁকুন যার মধ্য দিয়ে কেন্দ্রটি অতিক্রম করছে। এটি প্রয়োজনীয় বৃত্ত। এই নির্মাণের সঠিকতার বেশ কয়েকটি প্রমাণ রয়েছে এবং এটি প্রায়শই পাঠকের জন্য একটি অনুশীলন হিসাবে রেখে দেওয়া হয়। এখানে রূপান্তর ব্যবহার করে একটি আধুনিক। রেখাটি এর লম্ব দ্বিখণ্ডক। এইভাবে থ্রু লাইনের প্রতিফলন হয়। নির্মাণ দ্বারা, এটি থ্রু লাইনের প্রতিফলন। যেহেতু প্রতিফলন একটি আইসোমেট্রি, তাই এটি কাঙ্ক্ষিত হিসাবে অনুসরণ করে। তথ্যসূত্র কম্পাস এবং সোজা প্রান্তের নির্মাণ