Tits alternative
গণিতে, জ্যাক টিটসের নামে নামকরণ করা টিটস বিকল্প, সীমাবদ্ধভাবে উত্পন্ন রৈখিক গোষ্ঠীর কাঠামো সম্পর্কে একটি গুরুত্বপূর্ণ উপপাদ্য। বিবৃতি টিটস দ্বারা প্রমাণিত উপপাদ্যটি নিম্নরূপ বর্ণিত হয়েছে। ফলস্বরূপ একটি রৈখিক গোষ্ঠী গ্রহণযোগ্য নয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি এতে একটি অ-আবেলিয়ান মুক্ত গোষ্ঠী থাকে (এইভাবে ভন নিউম্যান অনুমান, সাধারণভাবে সত্য না হলেও, রৈখিক গোষ্ঠীগুলির জন্য প্রযোজ্য)। টিটস বিকল্পটি বহুপদী বৃদ্ধির গোষ্ঠীগুলির উপর গ্রোমভের উপপাদ্যের প্রমাণের একটি গুরুত্বপূর্ণ উপাদান। প্রকৃতপক্ষে বিকল্পটি মূলত রৈখিক গোষ্ঠীগুলির জন্য ফলাফল প্রতিষ্ঠা করে (এটি এটিকে সমাধানযোগ্য গোষ্ঠীগুলির ক্ষেত্রে হ্রাস করে, যা প্রাথমিক উপায়ে মোকাবিলা করা যেতে পারে)। জ্যামিতিক গোষ্ঠী তত্ত্বে, একটি গ্রুপ জি-কে টিটস বিকল্পকে সন্তুষ্ট করতে বলা হয় যদি জি-এর প্রতিটি উপগোষ্ঠী এইচ-এর জন্য এইচ কার্যত সমাধানযোগ্য হয় বা এইচ-এ একটি অ-অ্যাবেলিয়ান মুক্ত উপগোষ্ঠী থাকে (সংজ্ঞার কিছু সংস্করণে এই শর্তটি কেবল জি-এর সমস্ত সীমাবদ্ধভাবে উত্পন্ন উপগোষ্ঠীর জন্য সন্তুষ্ট হওয়া প্রয়োজন)। টিটস বিকল্পকে সন্তুষ্ট করে এমন গোষ্ঠীগুলির উদাহরণ যা হয় রৈখিক নয়, বা কমপক্ষে রৈখিক হিসাবে পরিচিত নয়, সেগুলি হলঃ হাইপারবোলিক গ্রুপ ম্যাপিং ক্লাস গ্রুপ; আউট (এফএন); বীজগাণিতিক পৃষ্ঠের জন্মগত রূপান্তরের কিছু গ্রুপ। টিটস বিকল্পকে সন্তুষ্ট না করা গোষ্ঠীগুলির উদাহরণগুলি হলঃ গ্রিগরচুক গ্রুপ; থম্পসনের গ্রুপ এফ. প্রুফ মূল টিটস বিকল্পের প্রমাণ হল জারিস্কি ক্লোজার অফ ইন-এর দিকে নজর দেওয়া। যদি এটি সমাধানযোগ্য হয় তবে গ্রুপটি সমাধানযোগ্য। অন্যথায় কেউ লেভি উপাদানের চিত্রের দিকে তাকায়। যদি এটি অ-সংক্ষিপ্ত হয় তবে একটি পিং-পং যুক্তি প্রমাণটি শেষ করে। যদি এটি সংক্ষিপ্ত হয় তবে চিত্রের উপাদানগুলির সমস্ত আইগেনভ্যালু হয় ঐক্যের মূল এবং তারপরে চিত্রটি সীমাবদ্ধ, অথবা কেউ একটি এম্বেডিং খুঁজে পেতে পারে যার মধ্যে কেউ পিং-পং কৌশল প্রয়োগ করতে পারে। লক্ষ্য করুন যে উপরের সমস্ত সাধারণীকরণের প্রমাণও পিং-পং যুক্তির উপর নির্ভর করে। তথ্যসূত্র অসীম গোষ্ঠী তত্ত্ব জ্যামিতিক গোষ্ঠী তত্ত্ব গোষ্ঠী তত্ত্বের উপপাদ্য