The Fifty-Nine Icosahedra
দ্য ফিফ্টি-নাইন ইকোসাহেদ্রা এইচ. এস. এম. কক্সেটার, পি. ডু ভ্যাল, এইচ. টি. ফ্ল্যাদার এবং জে. এফ. পেট্রি রচিত এবং চিত্রিত একটি বই। এটি জে. সি. পি. মিলারের দেওয়া নিয়মের একটি সেট অনুযায়ী নিয়মিত উত্তল বা প্লেটোনিক আইকোসাহেড্রনের নির্দিষ্ট স্টেলেশন গণনা করে। 1938 সালে টরন্টো বিশ্ববিদ্যালয় দ্বারা প্রথম প্রকাশিত হয় এবং 1982 সালে স্প্রিঙ্গার-ভার্লাগ দ্বারা দ্বিতীয় সংস্করণের পুনঃমুদ্রণ হয়। টারকুইনের 1999 সালের তৃতীয় সংস্করণে কে এবং ডি ক্রেনেলের নতুন রেফারেন্স উপাদান এবং ফটোগ্রাফ অন্তর্ভুক্ত ছিল। লেখকদের অবদান মিলারের নিয়মাবলী যদিও মিলার সরাসরি বইটিতে অবদান রাখেননি, তিনি কক্সেটার এবং পেট্রির ঘনিষ্ঠ সহকর্মী ছিলেন। তাঁর অবদান তাঁর নিয়মে অমর করা হয়েছে যে কোন নক্ষত্রপুঞ্জের রূপগুলিকে "যথাযথভাবে তাৎপর্যপূর্ণ এবং স্বতন্ত্র" হিসাবে বিবেচনা করা উচিতঃ (i) মুখগুলি অবশ্যই কুড়িটি সমতলে থাকতে হবে, অর্থাৎ, নিয়মিত আইকোসাহেড্রনের সীমানা সমতল। (ii) মুখগুলি রচনাকারী সমস্ত অংশ প্রতিটি সমতলে অবশ্যই একই হতে হবে, যদিও সেগুলি বেশ বিচ্ছিন্ন হতে পারে। (iii) যে কোনও একটি সমতলে অন্তর্ভুক্ত অংশগুলির অবশ্যই প্রতিফলন ছাড়াই বা প্রতিফলন সহ ত্রিকোণ সমমিতি থাকতে হবে। এটি সমগ্র কঠিন পদার্থের জন্য আইকোসাহেড্রাল প্রতিসাম্য সুরক্ষিত করে। (iv) যে কোনও সমতলে অন্তর্ভুক্ত সমস্ত অংশ সম্পূর্ণ কঠিন পদার্থের মধ্যে "সহজলভ্য" হতে হবে (অর্থাৎ। তাদের অবশ্যই "বাইরে" থাকতে হবে। কিছু কিছু ক্ষেত্রে বাইরের সমস্ত দিক দেখার জন্য আমাদের বিশাল আকারের মডেলের প্রয়োজন। সাধারণ আকারের একটি মডেলের সাহায্যে, "বাইরের" কিছু অংশ কেবল একটি হামাগুড়ি দেওয়া পোকামাকড় দ্বারা অনুসন্ধান করা যেতে পারে)। (v) আমরা বিবেচনার ক্ষেত্রে বাদ দিই যেখানে অংশগুলিকে দুটি সেটে ভাগ করা যেতে পারে, প্রতিটি সম্পূর্ণ চিত্রের সমান প্রতিসাম্য সহ একটি কঠিন পদার্থ দেয়। কিন্তু আমরা একটি এনান্টিওমরফাস জুটির সংমিশ্রণের অনুমতি দিই যার কোনও সাধারণ অংশ নেই (যা আসলে কেবল একটি ক্ষেত্রে ঘটে)। নিয়ম (i) থেকে (iii) হল মুখ সমতলের জন্য প্রতিসাম্যের প্রয়োজনীয়তা। নিয়ম (iv) কবর দেওয়া গর্তগুলি বাদ দেয়, যাতে কোনও দুটি স্টেলেশন বাহ্যিকভাবে অভিন্ন না দেখায়। নিয়ম (v) সহজ স্টেলেশনের যে কোনও সংযোগ বিচ্ছিন্ন যৌগকে বাধা দেয়। কক্সেটার কক্সেটার এই কাজের পিছনে প্রধান চালিকা শক্তি ছিলেন। তিনি মিলারের নিয়মের উপর ভিত্তি করে মূল বিশ্লেষণটি পরিচালনা করেছিলেন, সংমিশ্রণ এবং বিমূর্ত গ্রাফ তত্ত্বের মতো বেশ কয়েকটি কৌশল গ্রহণ করেছিলেন যার জ্যামিতিক প্রসঙ্গে ব্যবহার তখন অভিনব ছিল। তিনি লক্ষ্য করেছেন যে নক্ষত্রপুঞ্জের রেখাচিত্রটি অনেকগুলি রেখা বিভাগ নিয়ে গঠিত। তারপরে তিনি মিলারের নিয়মের অধীনে অনুমোদিত সংমিশ্রণগুলি আনুষ্ঠানিকভাবে গণনা করার জন্য সংলগ্ন সমতল অঞ্চলের সংমিশ্রণগুলি পরিচালনা করার পদ্ধতি তৈরি করেছিলেন। তাঁর গ্রাফ, এখানে পুনরুত্পাদন করা হয়েছে, স্টেলেশন রেখাচিত্রে চিহ্নিত বিভিন্ন মুখের সংযোগ দেখায় (নীচে দেখুন)। গ্রীক প্রতীকগুলি সম্ভাব্য বিকল্পগুলির সেটের প্রতিনিধিত্ব করেঃ λ হতে পারে 3 অথবা 4 μ হতে পারে 7 অথবা 8 ν হতে পারে 11 অথবা 12 ডু ভ্যাল ডু ভ্যাল এই পর্যবেক্ষণের উপর ভিত্তি করে যে তারা মূল আইকোসাহেড্রনের চারপাশে "শেল"-এ রয়েছে, সঙ্গতিপূর্ণ কোষের সেটগুলি সনাক্ত করার জন্য একটি প্রতীকী স্বরলিপি তৈরি করেছে। এর উপর ভিত্তি করে তিনি মিলারের নিয়মের বিরুদ্ধে সমস্ত সম্ভাব্য সংমিশ্রণ পরীক্ষা করেছিলেন, যা কক্সেটারের আরও বিশ্লেষণাত্মক পদ্ধতির ফলাফল নিশ্চিত করে। ফ্লাদার ফ্লাদারের অবদান ছিল পরোক্ষঃ তিনি 59টি কার্ডের মডেল তৈরি করেছিলেন। যখন তিনি প্রথম কক্সেটারের সাথে দেখা করেছিলেন তখন তিনি ইতিমধ্যে কিছু "অ-মিলার" উদাহরণ সহ অনেক স্টেলেশন তৈরি করেছিলেন। তিনি 59টি সিরিজের কাজ শেষ করেন, যা ইংল্যান্ডের কেমব্রিজ বিশ্ববিদ্যালয়ের গণিত গ্রন্থাগারে সংরক্ষিত রয়েছে। গ্রন্থাগারে কিছু অ-মিলার মডেলও রয়েছে, তবে এগুলি ফ্ল্যাদার বা মিলারের পরবর্তী ছাত্রদের দ্বারা তৈরি হয়েছিল কিনা তা জানা যায় না। পেট্রি জন ফ্লিন্ডার্স পেট্রি কক্সেটারের আজীবন বন্ধু ছিলেন এবং চার-মাত্রিক জ্যামিতি কল্পনা করার একটি উল্লেখযোগ্য ক্ষমতা ছিল। তিনি এবং কক্সেটার অনেক গাণিতিক সমস্যা নিয়ে একসঙ্গে কাজ করেছেন। 59টি আইকোসাহেদ্রায় তাঁর সরাসরি অবদান ছিল ত্রিমাত্রিক অঙ্কনের চমৎকার সেট যা প্রকাশিত কাজের বেশিরভাগ আকর্ষণ প্রদান করে। দ্য ক্রেনেলস ফর দ্য থার্ড এডিশন, কেট এবং ডেভিড ক্রেনেল পাঠ্যটি পুনরায় সেট করেন এবং রেখাচিত্রগুলি পুনরায় তৈরি করেন। তারা কেমব্রিজের কিছু মডেলের (যা সেই সময়ে ফ্লাদারের বলে মনে করা হত) টেবিল, রেখাচিত্র এবং ফটোগ্রাফ সম্বলিত একটি রেফারেন্স বিভাগও যুক্ত করেছিল। এই সংস্করণের সংশোধনগুলি অনলাইনে প্রকাশিত হয়েছে। কক্সেটারের আগে 59টি আইকোসাহেড্রার তালিকা, শুধুমাত্র ব্রুকনার এবং হুইলার কোনও উল্লেখযোগ্য স্টেলেশন রেকর্ড করেছিলেন, যদিও গ্রেট আইকোসাহেড্রনের মতো কয়েকটি দীর্ঘ সময়ের জন্য পরিচিত ছিল। দ্য 59 প্রকাশের পর থেকে, ওয়েনিঙ্গার কিছু মডেল তৈরির নির্দেশাবলী প্রকাশ করেছিলেন; তাঁর বইয়ে ব্যবহৃত সংখ্যায়ন পদ্ধতিটি ব্যাপকভাবে উল্লেখ করা হয়েছে, যদিও তিনি কেবল কয়েকটি স্টেলেশন রেকর্ড করেছেন। তালিকার সূচক সংখ্যার নোটগুলি ক্রেনেলস হয় যদি না অন্যথায় বলা হয়ঃ ক্রেনেল ক্রেনেলস দ্বারা তৃতীয় সংস্করণে যোগ করা সূচক সংখ্যায়, প্রথম 32 টি ফর্ম (সূচক 1-32) প্রতিফলিত মডেল এবং শেষ 27 টি (সূচক 33-59) কেবল ডান হাতের ফর্ম তালিকাভুক্ত করে কাইরাল হয়। এটি সেই ক্রম অনুসরণ করে যেখানে স্টেলেশনগুলি বইটিতে চিত্রিত করা হয়েছে। ডু ভ্যালের স্বরলিপিতে, প্রতিটি কোষকে গাঢ় ধরনের চিহ্নিত করা হয়, যা মূল আইকোসাহেড্রন সহ এ, বি, সি, এইচ হিসাবে বাইরের দিকে কাজ করে। কিছু কোষ দুই ধরনের কোষে বিভক্ত হয়, উদাহরণস্বরূপ ই-তে ই1 এবং ই2 থাকে। সেট এফ1 আরও ডান এবং বাম হাতের ফর্মগুলিতে বিভক্ত হয়, যথাক্রমে এফ1 (প্লেইন টাইপ) এবং এফ1 (ইটালিক)। যেখানে একটি নক্ষত্রপুঞ্জের বাইরের শেলের মধ্যে সমস্ত কোষ উপস্থিত থাকে, বাইরের শেলটি বড় হাতের হয় এবং ভিতরেরটি বাদ দেওয়া হয়, উদাহরণস্বরূপ a + b + c + e1 কে Ce1 হিসাবে লেখা হয়। সমস্ত স্টেলেশন একটি স্টেলেশন ডায়াগ্রাম দ্বারা নির্দিষ্ট করা যেতে পারে। এখানে দেখানো চিত্রটিতে, পূর্ণ আইকোসাহেড্রাল প্রতিসাম্য বজায় রাখতে হলে সংখ্যাযুক্ত রঙগুলি স্টেলেশন চিত্রের অঞ্চলগুলিকে নির্দেশ করে যা একটি সেট হিসাবে একসাথে ঘটতে হবে। এই রেখাচিত্রে এরকম 13টি সেট রয়েছে। এর মধ্যে কিছু কাইরাল জোড়ায় বিভক্ত হয় (দেখানো হয়নি), যা আবর্তনীয় কিন্তু প্রতিফলিত প্রতিসাম্য নয় এমন স্টেলেশনগুলিকে অনুমতি দেয়। টেবিলে, যে মুখগুলি নীচে থেকে দেখা যায় সেগুলি একটি অ্যাপোস্ট্রোফি দ্বারা নির্দেশিত হয়, উদাহরণস্বরূপ 3। সূচক সংখ্যা এবং সংখ্যাযুক্ত নামগুলি ওয়েনিঞ্জারের প্রকাশক তাঁর বই পলিহেড্রন মডেলগুলিতে তাদের উপস্থিতি অনুসারে নির্বিচারে বরাদ্দ করেছিলেন এবং কোনও গাণিতিক অনুক্রমের সাথে কোনও সম্পর্ক রাখে না। তাঁর মডেলগুলির মধ্যে মাত্র কয়েকটি আইকোসাহেদ্রার ছিল। তাঁর নামগুলি সংক্ষিপ্ত আকারে দেওয়া হয়েছে, যার মধ্যে ". অফ দ্য আইকোসাহেড্রন" অবশিষ্ট রয়েছে। হুইলার তার মূর্তি, বা আইকোসাহেড্রনের "রূপগুলি", স্টেলেশন ডায়াগ্রাম থেকে লাইন বিভাগগুলি নির্বাচন করে খুঁজে পেয়েছিলেন। তিনি যত্ন সহকারে কেপলারের ধ্রুপদী স্টেলেশন প্রক্রিয়া থেকে এটিকে আলাদা করেছিলেন। কক্সেটার এবং অন্যান্য। এই পার্থক্যটি উপেক্ষা করে এবং সেগুলিকে স্টেলেশন হিসাবে উল্লেখ করে। ব্রুকনার ম্যাক্স ব্রুকনার অনেক পলিহেড্রার মডেল তৈরি এবং ছবি তোলেন, যার মধ্যে মাত্র কয়েকটি আইকোসাহেড্র ছিল। তাফ। এটি টাফেলের একটি সংক্ষিপ্ত রূপ, জার্মান ভাষায় যার অর্থ প্লেট। মন্তব্য নং। 8 কে কখনও কখনও স্পাইনি অ্যান্টিটার বা ইকিডনার সাথে কল্পিত সাদৃশ্যের কারণে ইকিডনাহেড্রন বলা হয়। এই ব্যবহার কেপলারের তার নিয়মিত তারা পলিহেড্রাকে তার ইকিডনা হিসাবে বর্ণনা করার থেকে স্বাধীন। 59টি আইকোসাহেড্রার সারণি কিছু চিত্র এফ1 কোষের পরিবর্তে এফ1 দিয়ে আয়না-চিত্র আইকোসাহেড্রনকে চিত্রিত করে। আরও দেখুন ওয়েনিঙ্গার পলিহেড্রন মডেলের তালিকা-ওয়েনিঞ্জারের বই পলিহেড্রন মডেলগুলিতে এই 21টি স্টেলেশন অন্তর্ভুক্ত ছিল। আইকোসাহেড্রাল প্রতিসাম্য সহ কঠিন পদার্থ রেফারেন্স ব্রুকনার, ম্যাক্স (1900)। বিজ্ঞান ও প্রযুক্তিঃ তত্ত্ব ও দৃষ্টিভঙ্গি। লাইপজিগঃ বি. জি। ট্রুবনার। । ওয়ার্ল্ডক্যাট ইংলিশঃ পলিগনস অ্যান্ড পলিহেড্রাঃ থিওরি অ্যান্ড হিস্ট্রি। মডেলের ছবিঃ অষ্টম টাফেল (অষ্টম প্লেট) ইত্যাদি। হাই রেস। স্ক্যান করে। এইচ. এস. এম. কক্সেটার, প্যাট্রিক ডু ভ্যাল, এইচ. টি। ফ্ল্যাদার, জে. এফ। পেট্রি (1938) দ্য ফিফটি-নাইন ইকোসাহেদ্রা, ইউনিভার্সিটি অফ টরন্টো স্টাডিজ, গাণিতিক সিরিজ 6:1-26। তৃতীয় সংস্করণ (1999) টারকুইন ওয়েনিঙ্গার, ম্যাগনাস জে। (1983) পলিহেড্রন মডেল; কেমব্রিজ ইউনিভার্সিটি প্রেস, পেপারব্যাক সংস্করণ (2003)। । এ. এইচ. হুইলার (1924) "আইকোসাহেড্রনের নির্দিষ্ট রূপ এবং উচ্চতর পলিহেড্রা আহরণ ও মনোনীত করার জন্য একটি পদ্ধতি", গণিতবিদদের আন্তর্জাতিক কংগ্রেসের কার্যধারা, টরন্টো, খণ্ড। 1, পিপি 701-708। বাহ্যিক সংযোগ আইকোসাহেড্রনের স্টেলেশন উদাহরণ আইকোসাহেড্রনের নিয়মিত আইকোসাহেড্রন স্টেলেশনগুলির 59টি স্টেলেশন জর্জ হার্ট, আইকোসাহেড্রনের 59টি স্টেলেশন-ভিআরএমএল 3ডি ফাইল। পলিহেড্রাল স্টেলেশন গণিতের বই