Gromov product
গণিতে, গ্রোমভ পণ্য মেট্রিক স্পেস তত্ত্বের একটি ধারণা যা গণিতবিদ মিখাইল গ্রোমভের নামে নামকরণ করা হয়েছে। গ্রোমভ পণ্যটি গ্রোমভ অর্থে δ-হাইপারবোলিক মেট্রিক স্পেস সংজ্ঞায়িত করতেও ব্যবহার করা যেতে পারে। সংজ্ঞা ধরা যাক (এক্স, ডি) একটি মেট্রিক স্পেস এবং ধরা যাক এক্স, ওয়াই, জেড এক্স। তারপর x-এ y এবং z-এর গ্রোমোভ গুণফল, যা (y, z) x দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, তা অনুপ্রেরণা দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয় মেট্রিক স্পেস X-এ তিনটি বিন্দু x, y, z দেওয়া হলে, ত্রিভুজ বৈষম্য দ্বারা অ-ঋণাত্মক সংখ্যা a, b, c বিদ্যমান থাকে। তারপর হল গ্রোমোভ পণ্য। যদি x, y, z বিন্দুগুলি একটি ট্রাইপডের বাইরের নোড হয় তবে এই গ্রোমোভ পণ্যগুলি প্রান্তের দৈর্ঘ্য। হাইপারবোলিক, গোলাকার বা ইউক্লিডীয় সমতলে, গ্রোমভ পণ্য (এ, বি) সি, সি এবং সেই বিন্দুর মধ্যে দূরত্বের সমান যেখানে জিওডেসিক ত্রিভুজ এবিসির অন্তঃবৃত্তটি সিবি বা সিএ প্রান্তকে স্পর্শ করে। প্রকৃতপক্ষে রেখাচিত্র থেকে, তাই। সুতরাং যে কোনও মেট্রিক স্থানের জন্য, (এ, বি) সি-এর একটি জ্যামিতিক ব্যাখ্যা ইউক্লিডীয় সমতলে আইসোমেট্রিকভাবে (এ, বি, সি) এম্বেড করে পাওয়া যায়। বৈশিষ্ট্য গ্রোমোভ গুণফল প্রতিসম হয়ঃ (y, z) x = (z, y) x। গ্রোমভ পণ্যটি শেষ বিন্দুতে অধঃপতিত হয়ঃ (y, z) y = (y, z) z = 0। যে কোনও বিন্দু p, q, x, y এবং z-এর জন্য, অসীম বিন্দুগুলি হাইপারবোলিক স্থান Hn বিবেচনা করুন। একটি বেস পয়েন্ট p স্থির করুন এবং অনন্ততায় দুটি স্বতন্ত্র পয়েন্ট হতে দিন। তারপর সীমা বিদ্যমান এবং সীমাবদ্ধ, এবং তাই একটি সাধারণীকৃত গ্রোমভ পণ্য হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে। এটি আসলে সূত্র দ্বারা দেওয়া হয় যেখানে জিওডেসিক রশ্মি এবং এর মধ্যে কোণটি কোথায়। δ-হাইপারবোলিক স্পেস এবং ভূগণিতের বিচ্যুতি গ্রোমভ পণ্যটি গ্রোমভের অর্থে δ-হাইপারবোলিক স্পেস সংজ্ঞায়িত করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। : (এক্স, ডি) কে δ-হাইপারবোলিক বলা হয় যদি, এক্স-এর সমস্ত পি, এক্স, ওয়াই এবং জেড-এর জন্য, এই ক্ষেত্রে। গ্রোমোভ পণ্য পরিমাপ করে যে জিওডেসিক কতক্ষণ একসঙ্গে থাকে। অর্থাৎ, যদি x, y এবং z একটি δ-হাইপারবোলিক মেট্রিক স্থানের তিনটি বিন্দু হয়, তবে x থেকে y এবং x থেকে z পর্যন্ত ভূগণিতের দৈর্ঘ্যের (y, z) x-এর প্রাথমিক অংশগুলি 2δ-এর বেশি দূরে নয় (বদ্ধ সেটগুলির মধ্যে হাউসডর্ফ দূরত্বের অর্থে)। উদ্ধৃতি মেট্রিক জ্যামিতি হাইপারবোলিক মেট্রিক স্পেস