Analytic function of a matrix
গণিতে, প্রতিটি বিশ্লেষণাত্মক ফাংশন একটি ম্যাট্রিক্স ফাংশন সংজ্ঞায়িত করার জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে যা একই আকারের বর্গ ম্যাট্রিক্সগুলিতে জটিল এন্ট্রি সহ বর্গ ম্যাট্রিক্সকে ম্যাপ করে। এটি একটি ম্যাট্রিক্সের সূচকীয় সংজ্ঞায়িত করার জন্য ব্যবহৃত হয়, যা রৈখিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সিস্টেমের বদ্ধ-ফর্ম সমাধানের সাথে জড়িত। স্কেলর ফাংশনকে ম্যাট্রিক্স ফাংশনে প্রসারিত করা একটি বাস্তব ফাংশনকে একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স ফাংশনে তোলার জন্য বেশ কয়েকটি কৌশল রয়েছে যাতে আকর্ষণীয় বৈশিষ্ট্য বজায় রাখা হয়। নিম্নলিখিত সমস্ত কৌশল একই ম্যাট্রিক্স ফাংশন প্রদান করে, তবে যে ক্ষেত্রগুলিতে ফাংশনটি সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে তা ভিন্ন হতে পারে। পাওয়ার সিরিজ যদি বিশ্লেষণাত্মক ফাংশনে টেলর সম্প্রসারণ থাকে তবে একটি ম্যাট্রিক্স ফাংশনকে একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স দ্বারা প্রতিস্থাপিত করে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারেঃ শক্তিগুলি ম্যাট্রিক্স শক্তিতে পরিণত হয়, সংযোজনগুলি ম্যাট্রিক্স যোগফল হয়ে যায় এবং সহগ দ্বারা গুণগুলি স্কেলার গুণফল হয়ে যায়। যদি সিরিজটি এর জন্য একত্রিত হয়, তবে সংশ্লিষ্ট ম্যাট্রিক্স সিরিজটি ম্যাট্রিক্সের জন্য এমনভাবে একত্রিত হয় যে কোনও ম্যাট্রিক্স আদর্শের জন্য যা সন্তুষ্ট হয়। একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স তির্যকযোগ্য, যদি একটি বিপরীতমুখী ম্যাট্রিক্স থাকে যেমন একটি তির্যক ম্যাট্রিক্স, অর্থাৎ, আকৃতি থাকে কারণ এটি সেট করা স্বাভাবিক এটি যাচাই করা যেতে পারে যে ম্যাট্রিক্স একটি নির্দিষ্ট পছন্দের উপর নির্ভর করে না। উদাহরণস্বরূপ, ধরুন কেউ সূত্রটির প্রয়োগের জন্য একটির সন্ধান করছে তবে কেবল ফল দেয় একইভাবে, জর্ডান ডিকম্পোসিশন সমস্ত জটিল ম্যাট্রিক্স, সেগুলি তির্যক হোক বা না হোক, তাদের একটি জর্ডান স্বাভাবিক রূপ রয়েছে, যেখানে ম্যাট্রিক্স জে জর্ডান ব্লক নিয়ে গঠিত। এই ব্লকগুলি আলাদাভাবে বিবেচনা করুন এবং একটি জর্ডান ব্লকে পাওয়ার সিরিজ প্রয়োগ করুনঃ এই সংজ্ঞাটি ম্যাট্রিক্স ফাংশনের ডোমেনকে ম্যাট্রিক্সের সেটের বাইরে প্রসারিত করতে ব্যবহার করা যেতে পারে যার বর্ণালী ব্যাসার্ধ পাওয়ার সিরিজের অভিসারের ব্যাসার্ধের চেয়ে ছোট। লক্ষ্য করুন যে বিভক্ত পার্থক্যের সাথেও একটি সংযোগ রয়েছে। একটি সম্পর্কিত ধারণা হল জর্ডান-চেভালি পচন যা একটি ম্যাট্রিক্সকে একটি তির্যক এবং একটি নিলপোটেন্ট অংশের যোগফল হিসাবে প্রকাশ করে। হার্মিশিয়ান ম্যাট্রিক্স একটি হার্মিশিয়ান ম্যাট্রিক্সের সমস্ত বাস্তব আইগেনভ্যালু রয়েছে এবং বর্ণালী উপপাদ্য অনুসারে সর্বদা একটি একক ম্যাট্রিক্স পি দ্বারা তির্যক করা যেতে পারে। এই ক্ষেত্রে, জর্ডানের সংজ্ঞাটি স্বাভাবিক। উপরন্তু, এই সংজ্ঞাটি একজনকে বাস্তব ফাংশনের জন্য আদর্শ বৈষম্য প্রসারিত করার অনুমতি দেয়ঃ যদি এর সমস্ত আইগেনভ্যালুগুলির জন্য, তাহলে। (একটি প্রথা হিসাবে, এটি একটি ধনাত্মক-সেমিডিফাইনাইট ম্যাট্রিক্স।) প্রমাণটি সরাসরি সংজ্ঞা থেকে অনুসরণ করে। জটিল বিশ্লেষণ থেকে কচি ইন্টিগ্রাল কচি-র ইন্টিগ্রাল সূত্রটি ম্যাট্রিক্স ফাংশনে স্কেলার ফাংশনগুলিকে সাধারণীকরণ করতেও ব্যবহার করা যেতে পারে। কাউচির অবিচ্ছেদ্য সূত্রটি বলে যে কোনও সেটের উপর সংজ্ঞায়িত যে কোনও বিশ্লেষণাত্মক ফাংশনের জন্য, ডোমেনের ভিতরে একটি বদ্ধ সহজ বক্ররেখা রয়েছে। এখন, একটি ম্যাট্রিক্স দ্বারা প্রতিস্থাপন করুন এবং ভিতরে এমন একটি পথ বিবেচনা করুন যা এর সমস্ত আইগেনভ্যালুগুলিকে আবদ্ধ করে। এটি অর্জনের একটি সম্ভাবনা হ 'ল একটি নির্বিচারে ম্যাট্রিক্স আদর্শের চেয়ে বড় ব্যাসার্ধ সহ উত্সের চারপাশে একটি বৃত্ত হতে দেওয়া। তারপর, দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা যায় এই ইন্টিগ্রালটি সহজেই ট্র্যাপিজিয়াম নিয়ম ব্যবহার করে সংখ্যাসূচকভাবে মূল্যায়ন করা যেতে পারে, যা এই ক্ষেত্রে সূচকীয়ভাবে একত্রিত হয়। অর্থাৎ নোডের সংখ্যা দ্বিগুণ হলে ফলাফলের নির্ভুলতা দ্বিগুণ হয়। নিয়মিত ক্ষেত্রে, এটি সিলভেস্টারের সূত্র দ্বারা বাইপাস করা হয়। এই ধারণাটি বানাচ স্পেসে আবদ্ধ রৈখিক অপারেটরদের ক্ষেত্রে প্রয়োগ করা হয়, যা অসীম ম্যাট্রিক্স হিসাবে দেখা যেতে পারে, যা হলমর্ফিক কার্যকরী ক্যালকুলাসের দিকে পরিচালিত করে। ম্যাট্রিক্স বিশৃঙ্খলা উপরের টেলর পাওয়ার সিরিজটি স্কেলারকে ম্যাট্রিক্স দ্বারা প্রতিস্থাপিত করার অনুমতি দেয়। এটি সাধারণভাবে সত্য নয় যখন প্রায় বিস্তৃত হয় যদি না হয়। একটি পাল্টা উদাহরণ হল, যার একটি সীমাবদ্ধ দৈর্ঘ্যের টেলর সিরিজ রয়েছে। আমরা এটিকে দুটি উপায়ে গণনা করি, ডিস্ট্রিবিউটিভ আইনঃ স্কেলার টেলর সম্প্রসারণ ব্যবহার করে এবং স্কেলরগুলিকে শেষে ম্যাট্রিক্স দিয়ে প্রতিস্থাপন করেঃ স্কেলার অভিব্যক্তিটি বিনিময়যোগ্যতা ধরে নেয় এবং ম্যাট্রিক্স অভিব্যক্তিটি গ্রহণ করে না, এবং তাই এগুলি সরাসরি সমান করা যায় না যদি না। কিছু f (x)-এর জন্য এটি স্কেলার টেলর সিরিজের মতো একই পদ্ধতি ব্যবহার করে মোকাবিলা করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ,। যদি থাকে তাহলে। প্রথম টার্মের সম্প্রসারণ তারপর উপরে দেওয়া পাওয়ার সিরিজ অনুসরণ করে, পাওয়ার সিরিজের কনভারজেন্স মানদণ্ড তারপর প্রযোজ্য হয়, উপযুক্ত ম্যাট্রিক্স আদর্শের অধীনে যথেষ্ট ছোট হওয়া প্রয়োজন। আরও সাধারণ সমস্যার জন্য, যা এমনভাবে পুনর্লিখন করা যায় না যে দুটি ম্যাট্রিক্স যাতায়াত করে, লাইবনিজ নিয়মের পুনরাবৃত্তি প্রয়োগের মাধ্যমে উত্পাদিত ম্যাট্রিক্স পণ্যগুলির ক্রম অবশ্যই অনুসরণ করতে হবে। একটি 2 × 2 ম্যাট্রিক্সের স্বেচ্ছাচারী ফাংশন একটি 2 × 2 ম্যাট্রিক্স এ-এর স্বেচ্ছাচারী ফাংশন f (A) এর সিলভেস্টারের সূত্রটি তার বৈশিষ্ট্যমূলক সমীকরণের আইগেনভ্যালুগুলি কোথায় রয়েছে তা সহজতর করে এবং ম্যাট্রিক্স পলিনোমিয়াল ম্যাট্রিক্স রুট ম্যাট্রিক্স লগারিদম ম্যাট্রিক্স এক্সপোনেনশিয়াল ম্যাট্রিক্স সাইন ফাংশন দ্বারা দেওয়া হয় ম্যাট্রিক্স ফাংশনের ক্লাসগুলি সেমিডিফাইনাইট অর্ডারিং ব্যবহার করে (ধনাত্মক-সেমিডিফাইনাইট এবং ধনাত্মক নির্দিষ্ট), স্কেলার ফাংশনের কিছু শ্রেণী হার্মিসিয়ান ম্যাট্রিক্সের ম্যাট্রিক্স ফাংশনে প্রসারিত করা যেতে পারে। অপারেটর মনোটোন একটি ফাংশনকে অপারেটর মনোটোন বলা হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি এর ডোমেনে বর্ণালী সহ সমস্ত স্ব-সংযুক্ত ম্যাট্রিক্সের জন্য। এটি স্কেলারের ক্ষেত্রে মনোটোন ফাংশনের অনুরূপ। অপারেটর অবতল/উত্তল একটি ফাংশনকে অপারেটর অবতল বলা হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি এবং এর ডোমেনে বর্ণালী সহ সমস্ত স্ব-সংযুক্ত ম্যাট্রিক্সের জন্য। এই সংজ্ঞাটি একটি অবতল স্কেলার ফাংশনের অনুরূপ। একটি অপারেটর উত্তল ফাংশনকে উপরের সংজ্ঞায় পরিবর্তন করা হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। উদাহরণ ম্যাট্রিক্স লগ অপারেটর মনোটোন এবং অপারেটর অবতল উভয়ই। ম্যাট্রিক্স বর্গ হল অপারেটর উত্তল। ম্যাট্রিক্স এক্সপোনেনশিয়াল এগুলির কোনওটিই নয়। লোউনারের উপপাদ্য বলে যে একটি মুক্ত ব্যবধানের একটি ফাংশন অপারেটর মনোটোন হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি এটির উপরের এবং নীচের জটিল অর্ধ সমতলে একটি বিশ্লেষণাত্মক সম্প্রসারণ থাকে যাতে উপরের অর্ধেক সমতলটি নিজের সাথে ম্যাপ করা হয়। আরও দেখুন বীজগাণিতিক রিকাতি সমীকরণ সিলভেস্টারের সূত্র লোউনার অর্ডার ম্যাট্রিক্স ক্যালকুলাস ট্রেস অসমতা ম্যাট্রিক্সের ত্রিকোণমিতি ফাংশন নোটস রেফারেন্স ম্যাট্রিক্স তত্ত্ব গাণিতিক পদার্থবিজ্ঞান