Peridynamics
পেরিডায়নামিক্স হল কন্টিনিউয়াম মেকানিক্সের একটি অ-স্থানীয় গঠন যা বিচ্ছিন্নতা, বিশেষত ফ্র্যাকচার সহ বিকৃতির দিকে পরিচালিত হয়। মূলত, বন্ধন-ভিত্তিক পেরিডায়নামিক চালু করা হয়েছে, যেখানে, একটি বস্তু বিন্দু এবং অন্যান্য সমস্ত যার সাথে এটি মিথস্ক্রিয়া করতে পারে তার মধ্যে অভ্যন্তরীণ মিথস্ক্রিয়া বলকে একটি কেন্দ্রীয় বল ক্ষেত্র হিসাবে মডেল করা হয়। এই ধরনের বল ক্ষেত্রকে বস্তুর প্রতিটি বিন্দুকে একটি নির্দিষ্ট দূরত্বের মধ্যে প্রতিটি মিথস্ক্রিয়া বিন্দুর সাথে সংযুক্তকারী বন্ধনের জাল হিসাবে কল্পনা করা যেতে পারে যা বস্তুগত বৈশিষ্ট্যের উপর নির্ভর করে, যাকে পেরিডায়নামিক দিগন্ত বলা হয়। পরে, উপাদান পয়সনের অনুপাতের জন্য বন্ধন-ভিত্তিক কাঠামোর সীমাবদ্ধতা কাটিয়ে উঠতে (সমতল চাপের জন্য এবং দ্বি-মাত্রিক বিন্যাসে সমতল স্ট্রেনের জন্য; ত্রিমাত্রিকগুলির জন্য), অবস্থা-বেস পেরিডায়নামিক্স প্রণয়ন করা হয়েছে। এর বৈশিষ্ট্য হল যে একটি বিন্দু এবং অন্যটির মধ্যে বিনিময় হওয়া বল তার মিথস্ক্রিয়া অঞ্চলের সাথে সম্পর্কিত অন্যান্য সমস্ত বন্ধনের বিকৃতি অবস্থা দ্বারা প্রভাবিত হয়। পেরিডায়নামিক্সের বৈশিষ্ট্য, যা এটিকে ধ্রুপদী স্থানীয় বলবিজ্ঞান থেকে আলাদা করে তোলে, তা হল বস্তুগত বস্তুর যে কোনও দুটি বিন্দুর মধ্যে সীমাবদ্ধ-পরিসীমা বন্ধনের উপস্থিতিঃ এটি এমন একটি বৈশিষ্ট্য যা পদার্থের পৃথক মেসো-স্কেল তত্ত্বগুলির জন্য এই ধরনের সূত্রগুলির কাছে পৌঁছায়। ব্যুৎপত্তি পেরিডায়নামিক শব্দটি, একটি বিশেষণ হিসাবে, 2000 সালে প্রস্তাবিত হয়েছিল এবং উপসর্গ পেরি থেকে এসেছে, যার অর্থ চারপাশে, কাছাকাছি বা চারপাশে; এবং মূল ডায়না, যার অর্থ শক্তি বা শক্তি। পেরিডায়নামিক্স শব্দটি, একটি বিশেষ্য হিসাবে, কঠিন বলবিজ্ঞানের পেরিডায়নামিক মডেল বাক্যাংশের একটি সংক্ষিপ্ত রূপ। উদ্দেশ্য ফ্র্যাকচার হল একটি গাণিতিক এককত্ব যেখানে ধারাবাহিক বলবিজ্ঞানের ধ্রুপদী সমীকরণগুলি সরাসরি প্রয়োগ করা যায় না। পেরিডায়নামিক তত্ত্বটি গাণিতিক মডেল ফ্র্যাকচার গঠন এবং স্থিতিস্থাপক পদার্থে গতিশীল করার উদ্দেশ্যে প্রস্তাব করা হয়েছে। এটি অবিচ্ছেদ্য সমীকরণের উপর ভিত্তি করে, শাস্ত্রীয় কন্টিনিউয়াম মেকানিক্সের বিপরীতে, যা আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের উপর ভিত্তি করে। যেহেতু ক্র্যাক পৃষ্ঠ এবং অন্যান্য জ্যামিতিক এককত্বগুলিতে আংশিক ব্যুৎপত্তি বিদ্যমান থাকে না, তাই ধারাবাহিক বলবিজ্ঞানের ধ্রুপদী সমীকরণগুলি সরাসরি প্রয়োগ করা যায় না যখন এই ধরনের বৈশিষ্ট্যগুলি কোনও বিকৃতিতে উপস্থিত থাকে। পেরিডায়নামিক তত্ত্বের অবিচ্ছেদ্য সমীকরণগুলি এককত্বের ক্ষেত্রেও সত্য এবং সরাসরি প্রয়োগ করা যেতে পারে, কারণ এগুলির জন্য আংশিক ব্যুৎপত্তি প্রয়োজন হয় না। একটি বিকৃত কাঠামোর গাণিতিক মডেলের সমস্ত বিন্দুতে সরাসরি একই সমীকরণ প্রয়োগ করার ক্ষমতা xFEM-এর মতো ফ্র্যাকচার মেকানিক্সের বিশেষ কৌশলগুলির প্রয়োজনীয়তা এড়াতে পেরিডায়নামিক পদ্ধতিকে সহায়তা করে। উদাহরণস্বরূপ, পেরিডায়নামিক্সে, স্ট্রেস ইন্টেন্সিটি ফ্যাক্টরের উপর ভিত্তি করে একটি পৃথক ক্র্যাক বৃদ্ধির আইনের প্রয়োজন নেই। সংজ্ঞা এবং মৌলিক পরিভাষা পেরিডায়নামিক তত্ত্বের প্রসঙ্গে, ভৌত বস্তুগুলিকে একটি অবিচ্ছিন্ন বিন্দু জাল দ্বারা গঠিত হিসাবে বিবেচনা করা হয় যা সর্বাধিক এবং সুপ্রতিষ্ঠিত দূরত্বের মধ্যে দীর্ঘ-পরিসীমা পারস্পরিক মিথস্ক্রিয়া শক্তি বিনিময় করতে পারেঃ পেরিডায়নামিক দিগন্ত ব্যাসার্ধ। এই দৃষ্টিভঙ্গি ম্যাক্রোস্কোপিক বস্তুর তুলনায় আণবিক গতিবিদ্যার দিকে অনেক বেশি অগ্রসর হয় এবং ফলস্বরূপ, স্ট্রেস টেনসর (যা একটি স্থানীয় ধারণা) ধারণার উপর ভিত্তি করে নয় এবং একটি উপাদান বিন্দু তার পেরিডায়নামিক দিগন্তের মধ্যে বিনিময় করে এমন জোড় ভিত্তিক বলের ধারণার দিকে সরে যায়। একটি ল্যাগ্রেঞ্জিয়ান দৃষ্টিকোণের সাথে, ছোট স্থানচ্যুতির জন্য উপযুক্ত, পেরিডায়নামিক দিগন্তকে রেফারেন্স কনফিগারেশনে স্থির বলে মনে করা হয় এবং তারপরে, বস্তুর সাথে বিকৃত হয়। দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা একটি বস্তুগত বস্তুর কথা বিবেচনা করুন, যেখানে 1,2 বা 3 হতে পারে। শরীরের একটি ইতিবাচক ঘনত্ব রয়েছে। প্রাথমিক সময়ে এর রেফারেন্স বিন্যাস দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। এটি লক্ষ করা গুরুত্বপূর্ণ যে রেফারেন্স কনফিগারেশনটি হয় চাপ-মুক্ত কনফিগারেশন বা রেফারেন্স হিসাবে নির্বাচিত শরীরের একটি নির্দিষ্ট কনফিগারেশন হতে পারে। পেরিডায়নামিক্সের প্রসঙ্গে, প্রতিটি বিন্দু দ্বারা সংজ্ঞায়িত একটি নির্দিষ্ট পাড়ার মধ্যে সমস্ত বিন্দুর সাথে মিথস্ক্রিয়া করে, যেখানে এবং একটি উপযুক্ত দূরত্ব ফাংশনকে উপস্থাপন করে। এই প্রতিবেশীকে প্রায়শই সাহিত্যে উল্লেখ করা হয়। এটি সাধারণত দিগন্ত বা এর পরিবার হিসাবে পরিচিত। এর গতিবিদ্যা রেফারেন্স অবস্থান থেকে এর স্থানচ্যুতির পরিপ্রেক্ষিতে বর্ণনা করা হয়, যা হিসাবে চিহ্নিত করা হয়। ফলস্বরূপ, একটি নির্দিষ্ট সময়ের অবস্থান দ্বারা নির্ধারিত হয়। উপরন্তু, মিথস্ক্রিয়া বিন্দুর প্রতিটি জোড়ের জন্য, প্রাথমিক বিন্যাসের সাথে সম্পর্কিত বন্ধনের দৈর্ঘ্যের পরিবর্তন আপেক্ষিক স্ট্রেনের মাধ্যমে সময়ের সাথে ট্র্যাক করা হয়, যা এইভাবে প্রকাশ করা যেতে পারেঃ যেখানে ইউক্লিডীয় আদর্শকে বোঝায় এবং। যে কোনও এবং এর মধ্যে মিথস্ক্রিয়াকে একটি বন্ধন হিসাবে উল্লেখ করা হয়। প্রতি একক আয়তনের বর্গ বলের প্রতিক্রিয়ায় সময়ের সাথে সাথে এই জোড়া বন্ডগুলির দৈর্ঘ্য পরিবর্তিত হয়, যা হিসাবে চিহ্নিত করা হয়। এই বলটি সাধারণত পেয়ারওয়াইজ ফোর্স ফাংশন বা পেরিডায়নামিক কার্নেল নামে পরিচিত এবং এটি সমস্ত গঠনমূলক (উপাদান-নির্ভর) বৈশিষ্ট্যগুলিকে অন্তর্ভুক্ত করে। এটি বর্ণনা করে যে কীভাবে অভ্যন্তরীণ শক্তিগুলি বিকৃতিটির উপর নির্ভর করে। এটি লক্ষণীয় যে স্বরলিপির সরলতার জন্য এখানে নির্ভরশীলতা বাদ দেওয়া হয়েছে। উপরন্তু, একটি বাহ্যিক বল প্রয়োগকারী শব্দ,, চালু করা হয়, যার ফলস্বরূপ গতির নিম্নলিখিত সমীকরণ তৈরি হয়, যা পেরিডায়নামিক্সের মৌলিক সমীকরণকে উপস্থাপন করেঃ যেখানে অবিচ্ছেদ্য শব্দটি সমস্ত অভ্যন্তরীণ এবং বাহ্যিক প্রতি-একক-ভলিউম বলের সমষ্টি যার উপর কাজ করেঃ ভেক্টর মূল্যবান ফাংশন হল সেই বলের ঘনত্ব যা প্রয়োগ করে। এই বলের ঘনত্ব নির্ভর করে এবং এর মধ্যে আপেক্ষিক স্থানচ্যুতি এবং আপেক্ষিক অবস্থান ভেক্টরের উপর। এর মাত্রা হল। বন্ধন-ভিত্তিক পেরিডায়নামিক্স পেরিডায়নামিক্সের এই গঠনে, কার্নেলটি অভ্যন্তরীণ শক্তি এবং শারীরিক সীমাবদ্ধতার প্রকৃতি দ্বারা নির্ধারিত হয় যা শুধুমাত্র দুটি উপাদান বিন্দুর মধ্যে মিথস্ক্রিয়া পরিচালনা করে। সংক্ষিপ্ততার জন্য, নিম্নলিখিত পরিমাণগুলি সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে এবং যাতে অ্যাক্টিও এট রিঅ্যাক্টিও নীতি যে কোনও এবং পাড়ার অন্তর্গত, নিম্নলিখিত সম্পর্কটি ধারণ করেঃ এই অভিব্যক্তিটি ক্রিয়া ও প্রতিক্রিয়ার নীতি প্রতিফলিত করে, যা সাধারণত নিউটনের তৃতীয় সূত্র নামে পরিচিত। এটি পারস্পরিক মিথস্ক্রিয়াশীল কণাগুলির সমন্বয়ে গঠিত একটি সিস্টেমে রৈখিক ভরবেগ সংরক্ষণের নিশ্চয়তা দেয়। কৌণিক ভরবেগ সংরক্ষণ আশেপাশের যে কোনও অঞ্চলের জন্য, নিম্নলিখিত শর্তটি রয়েছেঃ এই অবস্থাটি আপেক্ষিক বিকৃত রশ্মি-ভেক্টর সংযোগ এবং হিসাবে বিবেচনা করার ফলে উদ্ভূত হয়। শর্তটি সন্তুষ্ট হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি জোড়া বল ঘনত্ব ভেক্টরের আপেক্ষিক বিকৃত রশ্মি-ভেক্টরের মতো একই দিক থাকে। অন্য কথায়, সকলের জন্য এবং, যেখানে একটি স্কেলার-ভ্যালুড ফাংশন। হাইপারিলাস্টিক উপাদান একটি হাইপারিলাস্টিক উপাদান এমন একটি উপাদান যার গঠনমূলক সম্পর্ক রয়েছে যেমনঃ বা, সমতুল্যভাবে, স্টোকসের উপপাদ্য দ্বারা, এবং এইভাবে, উপরের সমীকরণে স্কেলারের মূল্যবান সম্ভাব্য ফাংশনটি রয়েছে। কৌণিক ভরবেগ সংরক্ষণের প্রয়োজনীয়তার কারণে, স্কেলার মূল্যবান ফাংশনের উপর নীচের শর্তটি অনুসরণ করে যেখানে একটি স্কেলার মূল্যবান ফাংশন। সমীকরণের উভয় পক্ষকে একীভূত করলে, একটি স্কেলার মূল্যবান ফাংশনের জন্য নিম্নলিখিত শর্তটি পাওয়া যায়। এর স্থিতিস্থাপক প্রকৃতি স্পষ্টঃ মিথস্ক্রিয়া বল শুধুমাত্র বিন্দু এবং তাদের আপেক্ষিক অবস্থানের মডুলাসের মধ্যে প্রাথমিক আপেক্ষিক অবস্থানের উপর নির্ভর করে, সময়ে বিকৃত বিন্যাসে। আইসোট্রপি অনুমান প্রয়োগ করে, ভেক্টরের উপর নির্ভরতা তার মডুলাসের উপর নির্ভরতার সাথে প্রতিস্থাপিত করা যেতে পারে, বন্ড বাহিনীকে, এইভাবে, একটি স্প্রিং নেট মডেলিং হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে যা প্রতিটি বিন্দুকে জোড়ার সাথে সংযুক্ত করে। রৈখিক স্থিতিস্থাপক উপাদান যদি, পেরিডায়নামিক কার্নেলকে চারপাশে রৈখিক করা যায়ঃ তাহলে, একটি দ্বিতীয়-ক্রমের মাইক্রো-মডুলাস টেনসরকে কোথায় এবং কোথায় আইডেন্টিটি টেনসর হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। রৈখিক ভরবেগ ভারসাম্য, স্থিতিস্থাপকতা এবং আইসোট্রপি অবস্থার প্রয়োগ অনুসরণ করে, মাইক্রো-মডুলাস টেনসরকে এই আকারে প্রকাশ করা যেতে পারে তাই একটি রৈখিক হাইপারিলাস্টিক উপাদানের জন্য, এর পেরিডায়নামিক কার্নেল নিম্নলিখিত কাঠামো ধারণ করে পেরিডায়নামিক কার্নেলের জন্য অভিব্যক্তি পেরিডায়নামিক কার্নেল একটি বহুমুখী ফাংশন যা পেরিডায়নামিক তত্ত্বের কাঠামোর মধ্যে উপকরণগুলির গঠনমূলক আচরণকে চিহ্নিত করে। কার্নেলের একটি সাধারণভাবে ব্যবহৃত গঠন প্রোটোটাইপ মাইক্রো-ইলাস্টিক ভঙ্গুর (পিএমবি) উপকরণ হিসাবে পরিচিত উপকরণের একটি শ্রেণী বর্ণনা করতে ব্যবহৃত হয়। আইসোট্রপিক পিএমবি পদার্থের ক্ষেত্রে, জোড় ভিত্তিক বলটি উপাদান দ্বারা অভিজ্ঞ সীমাবদ্ধ প্রসারিতের রৈখিকভাবে আনুপাতিক বলে ধরে নেওয়া হয়, যাতে স্কেলার ফাংশনটি কোথায় এবং কোথায় অনুসরণ হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় ধ্রুবককে মাইক্রো-মডুলাস ধ্রুবক হিসাবে উল্লেখ করা হয় এবং ফাংশনটি নির্দেশ করে যে, একটি নির্দিষ্ট সময়ে, জুটির সাথে সম্পর্কিত বন্ধন প্রসারিত সমালোচনামূলক মান অতিক্রম করেছে কিনা। যদি সমালোচনামূলক মান অতিক্রম করা হয়, তবে বন্ধনটিকে ভাঙ্গা বলে মনে করা হয় এবং শূন্যের একটি জোড় ভিত্তিক বল সকলের জন্য বরাদ্দ করা হয়। পেরিডায়নামিক্স এবং ক্লাসিক্যাল কন্টিনিউয়াম থিওরি ফ্রেমওয়ার্ক ব্যবহার করে যথাক্রমে আইসোট্রপিক এক্সটেনশনের অধীনে প্রাপ্ত স্ট্রেন শক্তির ঘনত্বের মানের মধ্যে তুলনা করার পরে, মাইক্রো-মডুলাসের শারীরিক সুসঙ্গত মান পাওয়া যায় যেখানে উপাদান বাল্ক মডুলাস রয়েছে। একই পদ্ধতি অনুসরণ করে মাইক্রো-মডুলাস ধ্রুবকটি প্রসারিত করা যেতে পারে, যেখানে এখন একটি মাইক্রো-মডুলাস ফাংশন। এই ফাংশনটি পেরিডায়নামিক দিগন্তের উপর জোড়া বলের তীব্রতা কীভাবে বিতরণ করা হয় তার আরও বিশদ বিবরণ প্রদান করে। স্বজ্ঞাতভাবে, এবং বৃদ্ধির মধ্যে দূরত্বের সাথে সাথে বলের তীব্রতা হ্রাস পায়, তবে যে নির্দিষ্ট পদ্ধতিতে এই হ্রাস ঘটে তা পরিবর্তিত হতে পারে। মাইক্রো-মডুলাস ফাংশনটি এমনভাবে প্রকাশ করা হয় যেখানে ধ্রুপদী যান্ত্রিক তত্ত্বগুলির সাথে পেরিডায়নামিক স্ট্রেন ঘনত্বের তুলনা করে ধ্রুবকটি প্রাপ্ত হয়; নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্যগুলির সাথে সংজ্ঞায়িত একটি ফাংশন (ভরবেগ সংরক্ষণ এবং আইসোট্রপির সীমাবদ্ধতার পরিপ্রেক্ষিতে) যেখানে ডিরাক ডেল্টা ফাংশন রয়েছে। সিলিন্ড্রিকাল মাইক্রো-মডুলাস মাইক্রো-মডুলাস ফাংশনের জন্য সবচেয়ে সহজ অভিব্যক্তি হল, যেখানেঃ উপসেটের সূচক ফাংশন, যা ত্রিভুজাকার মাইক্রো-মডুলাস হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় এটি একটি রৈখিক ফাংশন দ্বারা চিহ্নিত করা হয় সাধারণ মাইক্রো-মডুলাস যদি কেউ এই সত্যটি প্রতিফলিত করতে চায় যে বেশিরভাগ সাধারণ বিচ্ছিন্ন শারীরিক সিস্টেমগুলি ম্যাক্সওয়েল-বোল্টজম্যান বিতরণ দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, যাতে এই আচরণটি পেরিডায়নামিক্সে অন্তর্ভুক্ত করা যায়, তবে নিম্নলিখিত অভিব্যক্তিটি কোয়ার্টিক মাইক্রো-মডুলাস ব্যবহার করা যেতে পারে সাহিত্যে সামগ্রিকভাবে, মাইক্রো-মডুলাস এবং সাধারণভাবে পেরিডায়নামিক কার্নেলের জন্য নির্দিষ্ট উপাদানের বৈশিষ্ট্যের উপর নির্ভর করে বিস্তৃত অভিব্যক্তি রয়েছে। সুতরাং, উপরের তালিকাটি সম্পূর্ণ নয়। ড্যামেজ ড্যামেজ জোড়া-ভিত্তিক বল ফাংশনে অন্তর্ভুক্ত করা হয় যখন তাদের বর্ধিতকরণ কিছু নির্ধারিত মান অতিক্রম করে তখন বন্ধনগুলিকে ভাঙতে দেওয়া হয়। একটি বন্ধন ভেঙে যাওয়ার পরে, এটি আর কোনও শক্তি বজায় রাখে না এবং শেষ বিন্দুগুলি কার্যকরভাবে একে অপরের থেকে বিচ্ছিন্ন হয়ে যায়। যখন একটি বন্ধন ভেঙে যায়, তখন এটি যে শক্তি বহন করছিল তা অন্যান্য বন্ধনে পুনরায় বিতরণ করা হয় যা এখনও ভাঙা হয়নি। এই বর্ধিত বোঝা এই অন্যান্য বন্ধনগুলি ভেঙে যাওয়ার সম্ভাবনাকে আরও বাড়িয়ে তোলে। বন্ধন ভাঙ্গন এবং লোড পুনর্বণ্টন প্রক্রিয়া, যা আরও ভাঙনের দিকে পরিচালিত করে, সেটি হল পেরিডায়নামিক মডেলে ফাটল বৃদ্ধি। বিশ্লেষণাত্মকভাবে, বন্ড ব্রেকিং পেরিডায়নামিক কার্নেলের এক্সপ্রেশনের ভিতরে ফাংশন দ্বারা নির্দিষ্ট করা হয়, যদি বনাম বন্ড স্ট্রেচিং-এর গ্রাফটি অঙ্কিত করা হয়, তবে ফ্র্যাকচার গঠনে বন্ড ব্রেকিং ফাংশনের ক্রিয়া স্পষ্ট। তবে কেবল আকস্মিক ফ্র্যাকচারই পেরিডায়নামিক কাঠামোতে মডেল করা যায় না এবং আরও সাধারণ অভিব্যক্তি ব্যবহার করা যেতে পারে। রাষ্ট্র-ভিত্তিক পেরিডায়নামিক্স উপরে বর্ণিত তত্ত্বটি ধরে নেয় যে প্রতিটি পেরিডায়নামিক বন্ধন অন্য সকলের থেকে স্বাধীনভাবে প্রতিক্রিয়া জানায়। এটি বেশিরভাগ উপকরণের জন্য একটি অতিরিক্ত সরলীকরণ এবং মডেল করা যেতে পারে এমন উপকরণের ধরণের উপর বিধিনিষেধের দিকে পরিচালিত করে। বিশেষত, এই ধারণাটি বোঝায় যে কোনও আইসোট্রপিক রৈখিক স্থিতিস্থাপক কঠিন 1/4 এর পয়সন অনুপাতের মধ্যে সীমাবদ্ধ। এই সাধারণতার অভাব দূর করার জন্য পেরিডায়নামিক অবস্থার ধারণা চালু করা হয়েছিল। এটি প্রতিটি বন্ধনের বলের ঘনত্বকে তার নিজস্ব প্রসারিত অংশ ছাড়াও তার শেষ বিন্দুর সাথে সংযুক্ত সমস্ত বন্ধনের প্রসারিত অংশের উপর নির্ভর করতে দেয়। উদাহরণস্বরূপ, একটি বন্ধনের বল শেষ বিন্দুতে মোট আয়তনের পরিবর্তনের উপর নির্ভর করতে পারে। এই আয়তনের পরিবর্তনের প্রভাব, বন্ধন প্রসারিত হওয়ার প্রভাবের সাপেক্ষে, পয়সন অনুপাত নির্ধারণ করে। পেরিডায়নামিক অবস্থার ক্ষেত্রে, যে কোনও উপাদান যা কন্টিনিউয়াম মেকানিক্সের স্ট্যান্ডার্ড তত্ত্বের মধ্যে মডেল করা যেতে পারে একটি পেরিডায়নামিক উপাদান হিসাবে মডেল করা যেতে পারে, ফ্র্যাকচারের জন্য পেরিডায়নামিক তত্ত্বের সুবিধাগুলি বজায় রেখে। গাণিতিকভাবে বন্ধন-ভিত্তিক গঠনে ব্যবহৃত অভ্যন্তরীণ এবং বাহ্যিক বল শব্দের সমীকরণটি ভেক্টর বলের অবস্থা ক্ষেত্রের দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়। একটি সাধারণ এম-অর্ডার অবস্থা একটি টেনসরের অনুরূপ একটি গাণিতিক বস্তু, ব্যতিক্রম এই যে এটি সাধারণভাবে অ-রৈখিক; সাধারণভাবে অ-ধারাবাহিক; সীমাবদ্ধ মাত্রিক নয়। ভেক্টর অবস্থা হল 2-এর সমান ক্রমের অবস্থা। তথাকথিত সরল উপাদানের জন্য, সংজ্ঞায়িত করা হয় যেখানে একটি রিম্যান-ইন্টিগ্রেবল ফাংশন রয়েছে, এবং এটিকে বিকৃতি ভেক্টর অবস্থা ক্ষেত্র বলা হয় এবং নিম্নলিখিত সম্পর্ক দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয় এইভাবে বিকৃতিটির অধীনে বন্ধনের চিত্রটি এমন হয় যার অর্থ দুটি স্বতন্ত্র কণা কখনও একই বিন্দু দখল করে না যখন বিকৃতিটি অগ্রসর হয়। এটি প্রমাণ করা যেতে পারে যে রৈখিক ভরবেগের ভারসাম্য এর সংজ্ঞা থেকে অনুসরণ করা হয়, যখন, যদি গঠনমূলক সম্পর্কটি এমন হয় যে বল ভেক্টর অবস্থা ক্ষেত্র কৌণিক ভরবেগের ভারসাম্যকে সন্তুষ্ট করে। প্রয়োগ পেরিডায়নামিক্সের প্রতি ক্রমবর্ধমান আগ্রহ আসে পদার্থের পরমাণু তত্ত্ব এবং ধ্রুপদী স্থানীয় কন্টিনিউয়াম মেকানিক্সের মধ্যে ব্যবধান পূরণ করার ক্ষমতা থেকে। এটি মাইক্রো-স্কেল ঘটনাগুলিতে কার্যকরভাবে প্রয়োগ করা হয়, যেমন ফাটল গঠন এবং প্রসারণ, তরঙ্গ বিচ্ছুরণ, ইন্ট্রা-গ্রানুলার ফ্র্যাকচার। এই ঘটনাগুলি পেরিডায়নামিক দিগন্ত ব্যাসার্ধের যথাযথ সমন্বয় দ্বারা বর্ণনা করা যেতে পারে, যা উপাদানের মধ্যে পয়েন্টগুলির মধ্যে অ-স্থানীয় মিথস্ক্রিয়ার পরিমাণের সাথে সরাসরি যুক্ত। পূর্বোক্ত গবেষণা ক্ষেত্রগুলি ছাড়াও, বিচ্ছিন্নতার ক্ষেত্রে পেরিডায়নামিক্সের অ-স্থানীয় পদ্ধতির অন্যান্য বিভিন্ন ক্ষেত্রে প্রয়োগ পাওয়া গেছে। ভূ-যান্ত্রিক ক্ষেত্রে, এটি জল-প্ররোচিত মাটির ফাটল, ভূ-বস্তুগত ব্যর্থতা, পাথরের বিভাজন ইত্যাদি অধ্যয়নের জন্য নিযুক্ত করা হয়েছে। জীববিজ্ঞানে, পেরিডায়নামিক্স জীবন্ত টিস্যুতে দীর্ঘ পরিসরের মিথস্ক্রিয়া, কোষীয় ফাটল, জৈব-ঝিল্লির ফাটল এবং আরও অনেক কিছুর মডেল তৈরি করতে ব্যবহৃত হয়েছে। উপরন্তু, পেরিডায়নামিক্সকে তাপীয় বিস্তার তত্ত্ব পর্যন্ত প্রসারিত করা হয়েছে, যা বিচ্ছিন্নতা, ত্রুটি, অসমতা এবং ফাটল সহ উপকরণগুলিতে তাপ সঞ্চালনের মডেলিং সক্ষম করে। এটি বহু-পর্যায়ের তরলগুলিতে অ্যাডভেশন-বিচ্ছুরণ ঘটনা অধ্যয়ন করতে এবং ক্ষণস্থায়ী অ্যাডভেশন-বিচ্ছুরণ সমস্যার জন্য মডেল তৈরি করতেও প্রয়োগ করা হয়েছে। তার বহুমুখীতার সাথে, পেরিডায়নামিক্স বিভিন্ন বহু-পদার্থ বিশ্লেষণে ব্যবহৃত হয়েছে, যার মধ্যে রয়েছে মাইক্রো-স্ট্রাকচারাল বিশ্লেষণ, যৌগিক পদার্থে ক্লান্তি এবং তাপ সঞ্চালন, ধাতুতে গ্যালভানিক ক্ষয়, অস্তরক পদার্থে বিদ্যুৎ-প্ররোচিত ফাটল এবং আরও অনেক কিছু। আরও দেখুন কন্টিনিউম মেকানিক্স ফ্র্যাকচার মেকানিক্স মুভেবল সেলুলার অটোমেটন মলিকিউলার ডাইনামিক্স নন-লোকাল অপারেটর সিঙ্গুলারিটি রেফারেন্স আরও পড়া বাহ্যিক লিঙ্কগুলি সীমাবদ্ধ উপাদানের বাস্তবায়ন এবং নন-লোকাল মডেলগুলির সীমাবদ্ধ পার্থক্য আনুমানিক পেরিডিগম, পেরিডায়নামিক্সের জন্য একটি ওপেন-সোর্স গণনামূলক পেরিডায়নামিক্স কোড পেরিডক্স ওপেন-সোর্স রিপোজিটরি এবং এর ডকুমেন্টেশন স্যান্ডিয়া ল্যাবরেটরি-পেরিডায়নামিক্স পেরিডায়নামিক্স কন্টিনিউম মেকানিক্স ফ্র্যাকচার মেকানিক্সের ওয়েবসাইট