Buffon's noodle
জ্যামিতিক সম্ভাবনায়, বুফনের নুডলের সমস্যাটি বুফনের সুইয়ের সুপরিচিত সমস্যার একটি বৈচিত্র্য, যা 18 শতকে বসবাসকারী জর্জেস-লুই লেক্লার্ক, কম্টে ডি বুফনের নামে নামকরণ করা হয়েছে। সমস্যাটির এই পদ্ধতিটি 1860 সালে জোসেফ-এমিল বারবিয়ার প্রকাশ করেছিলেন। বুফনের সুই ধরুন অসীমভাবে অনেক সমান ব্যবধানের সমান্তরাল রেখা রয়েছে এবং আমাদের এলোমেলোভাবে একটি সুই নিক্ষেপ করতে হবে যার দৈর্ঘ্য সংলগ্ন রেখার মধ্যে দূরত্বের চেয়ে কম বা সমান। অবতরণের সময় সুইটি একটি রেখা জুড়ে থাকার সম্ভাবনা কত? এই সমস্যাটি সমাধান করার জন্য, সুইটির দৈর্ঘ্য এবং দুটি সংলগ্ন রেখার মধ্যে দূরত্ব হতে দিন। তারপরে, সুইটি অনুভূমিকভাবে যে তীব্র কোণ তৈরি করে তা হতে দিন এবং সুইটির কেন্দ্র থেকে নিকটতম রেখার দূরত্ব হতে দিন। সুইটি নিকটতম রেখা জুড়ে থাকে যদি এবং শুধুমাত্র যদি। সুই দ্বারা গঠিত ডান ত্রিভুজ, নিকটতম রেখা এবং দৈর্ঘ্যের রেখা থেকে আমরা এই অবস্থাটি দেখতে পাই যখন সুইটি নিকটতম রেখা জুড়ে থাকে। এখন, আমরা ধরে নিই যে এর মানগুলি এলোমেলোভাবে নির্ধারিত হয় যখন তারা অবতরণ করে, কোথায়, যেহেতু, এবং। নমুনা স্থানটি এইভাবে পার্শ্ব দৈর্ঘ্যের একটি আয়তক্ষেত্র এবং। সুইটি নিকটতম রেখা জুড়ে অবস্থিত হওয়ার সম্ভাবনা হল নমুনা স্থানের ভগ্নাংশ যা এর সাথে ছেদ করে। যেহেতু, এই ছেদস্থলের আয়তন দ্বারা দেওয়া হয়েছে এখন, নমুনা স্থানের আয়তন হল তাই, ঘটনার সম্ভাবনা হল সুই বাঁকানো সূত্রটি একই থাকে এমনকি যখন সুইটি যে কোনও উপায়ে বাঁকানো থাকে (এই সীমাবদ্ধতার সাপেক্ষে যে এটি অবশ্যই একটি সমতলে থাকতে হবে), যা এটিকে একটি "নুডল"-একটি অনমনীয় সমতল বক্ররেখা করে তোলে। আমরা এই ধারণাটি বাদ দিই যে নুডলের দৈর্ঘ্য সমান্তরাল রেখার মধ্যে দূরত্বের চেয়ে বেশি নয়। ক্রসিংয়ের সংখ্যার সম্ভাব্যতা বন্টন নুডলের আকৃতির উপর নির্ভর করে, তবে ক্রসিংয়ের প্রত্যাশিত সংখ্যা তা করে না; এটি কেবল নুডলের দৈর্ঘ্য এল এবং সমান্তরাল রেখার মধ্যে দূরত্ব ডি-এর উপর নির্ভর করে (লক্ষ্য করুন যে একটি বাঁকা নুডল একটি লাইন একাধিকবার অতিক্রম করতে পারে)। এই সত্যটি নিম্নরূপ প্রমাণিত হতে পারে (ক্লেইন এবং রোটা দেখুন)। প্রথমে মনে করুন নুডলটি পিসওয়াইজ লিনিয়ার, অর্থাৎ। এন সোজা টুকরা নিয়ে গঠিত। ধরা যাক xi কতবার ith টুকরা সমান্তরাল রেখা অতিক্রম করে। এই র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলি স্বাধীন নয়, তবে প্রত্যাশার রৈখিকতার কারণে প্রত্যাশাগুলি এখনও যোগাত্মকঃ একটি বাঁকা নুডলকে পিসওয়াইজ লিনিয়ার নুডলসের ক্রমের সীমা হিসাবে বিবেচনা করে, আমরা এই সিদ্ধান্তে পৌঁছেছি যে প্রতি টসে ক্রসিংয়ের প্রত্যাশিত সংখ্যা দৈর্ঘ্যের সাথে আনুপাতিক; এটি দৈর্ঘ্য এল এর কিছু ধ্রুবক গুণ। যদি নুডল সমান্তরাল রেখার মধ্যে দূরত্ব ডি-এর সমান ব্যাসের একটি বৃত্ত হয়, তবে এল = ডি এবং ক্রসিংয়ের সংখ্যা ঠিক 2, সম্ভাবনা 1 সহ। সুতরাং যখন L = D তখন ক্রসিংয়ের প্রত্যাশিত সংখ্যা হল 2। অতএব, ক্রসিংয়ের প্রত্যাশিত সংখ্যা অবশ্যই 2 এল/(ডি) হতে হবে। বারবিয়ারের উপপাদ্য এই যুক্তিটিকে সামান্য প্রসারিত করে, যদি একটি উত্তল কম্প্যাক্ট উপসেট হয়, তবে ছেদকারী রেখার প্রত্যাশিত সংখ্যাটি পরিসীমা ছেদকারী রেখার প্রত্যাশিত সংখ্যার অর্ধেকের সমান, যা হল। বিশেষত, যদি নুডলটি ধ্রুবক প্রস্থ ডি-এর কোনও বদ্ধ বক্ররেখা হয়, তবে ক্রসিংয়ের সংখ্যাও ঠিক 2। এর অর্থ হল পরিধির দৈর্ঘ্য একটি বৃত্তের সমান, যা বারবিয়ারের উপপাদ্যকে প্রমাণ করে। নোটস রেফারেন্স কাট-দ্য-নট ওয়েবসাইটে ইন্টারেক্টিভ গণিত পৃষ্ঠার বাহ্যিক লিঙ্ক ইন্টারেক্টিভ ওল্ফ্র্যাম সিডিএফ প্রদর্শন ইন্টিগ্রাল জ্যামিতি