(2,3,7) triangle group
রিম্যান পৃষ্ঠতল এবং হাইপারবোলিক জ্যামিতি তত্ত্বে, ত্রিভুজ গোষ্ঠীটি (2,3,7) হারউইৎজ পৃষ্ঠতলের সাথে সংযোগের জন্য বিশেষভাবে গুরুত্বপূর্ণ, যেমন তার অটোমরফিজম গোষ্ঠীর বৃহত্তম সম্ভাব্য ক্রম, 84 (জি−1) সহ জি গণের রিম্যান পৃষ্ঠতল। "(2,3,7) ত্রিভুজ গোষ্ঠী" শব্দটি প্রায়শই পূর্ণ ত্রিভুজ গোষ্ঠীকে (2,3,7) (শোয়ার্জ ত্রিভুজ সহ কক্সেটার গোষ্ঠী (2,3,7) বা হাইপারবোলিক প্রতিফলন গোষ্ঠী হিসাবে একটি উপলব্ধি) বোঝায় না, বরং অভিযোজন-সংরক্ষণকারী মানচিত্রের (ঘূর্ণন গোষ্ঠী) সাধারণ ত্রিভুজ গোষ্ঠীকে (ভন ডাইক গোষ্ঠী) D (2,3,7) বোঝায়, যা সূচক 2। (2,3,7) ত্রিভুজ গোষ্ঠীর টর্জন-মুক্ত স্বাভাবিক উপগোষ্ঠীগুলি হল হারউইৎজ পৃষ্ঠের সাথে যুক্ত ফুচসিয়ান গোষ্ঠী, যেমন ক্লেইন কোয়ার্টিক, ম্যাকবিথ পৃষ্ঠ এবং ফার্স্ট হারউইৎজ ট্রিপলেট। গঠন হাইপারবোলিক গঠন ত্রিভুজ গোষ্ঠী গঠন করতে, π/2, π/3, এবং π/7 কোণ সহ একটি হাইপারবোলিক ত্রিভুজ দিয়ে শুরু করুন। এই ত্রিভুজটি, ক্ষুদ্রতম হাইপারবোলিক শোয়ার্জ ত্রিভুজ, তার পার্শ্বে প্রতিফলন দ্বারা সমতলকে টাইল করে। তারপর ত্রিভুজের পার্শ্বে প্রতিফলন দ্বারা উত্পন্ন গোষ্ঠীটি বিবেচনা করুন, যা (যেহেতু ত্রিভুজ টাইলগুলি) মৌলিক ডোমেনের জন্য এই ত্রিভুজ সহ একটি অ-ইউক্লিডীয় স্ফটিকসংক্রান্ত গোষ্ঠী (হাইপারবোলিক আইসোমেট্রিগুলির একটি বিচ্ছিন্ন উপগোষ্ঠী); সংশ্লিষ্ট টাইলিং হল ক্রম-3 দ্বিখণ্ডিত অষ্টভুজাকার টাইলিং। (2,3,7) ত্রিভুজ গোষ্ঠীকে সূচক 2 উপগোষ্ঠী হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় যা অভিযোজন-সংরক্ষণকারী আইসোমেট্রি নিয়ে গঠিত, যা একটি ফুচসিয়ান গোষ্ঠী (অভিযোজন-সংরক্ষণকারী এনইসি গোষ্ঠী)। গোষ্ঠী উপস্থাপনা এটিতে এক জোড়া জেনারেটর, জি2, জি3, মডুলোর পরিপ্রেক্ষিতে নিম্নলিখিত সম্পর্কগুলির একটি উপস্থাপনা রয়েছেঃ জ্যামিতিকভাবে, এগুলি শোয়ার্জ ত্রিভুজের শীর্ষগুলির দ্বারা এবং প্রায় আবর্তনের সাথে মিলে যায়। কোয়াটারনিয়ন বীজগণিত (2,3,7) ত্রিভুজ গোষ্ঠী একটি কোয়াটারনিয়ন বীজগণিতে উপযুক্ত ক্রমে আদর্শ 1-এর কোয়াটারনিয়ন গোষ্ঠীর পরিপ্রেক্ষিতে একটি উপস্থাপনা গ্রহণ করে। আরও সুনির্দিষ্টভাবে, ত্রিভুজ গোষ্ঠীটি তার কেন্দ্র ±1 দ্বারা চতুর্ভুজ গোষ্ঠীর ভাগফল। ধরা যাক η = 2cos (2π/7)। তারপর পরিচয় থেকে আমরা দেখতে পাই যে Q (η) হল Q-এর সম্পূর্ণ বাস্তব ঘন সম্প্রসারণ। (2,3,7) হাইপারবোলিক ত্রিভুজ গ্রুপ হল কোয়াটারনিয়ন বীজগণিতে আদর্শ 1 উপাদানের গ্রুপের একটি উপগোষ্ঠী যা i, j জেনারেটর এবং সম্পর্ক i2 = j2 = η, ij = −i দ্বারা সহযোগী বীজগণিত হিসাবে উত্পন্ন হয়। কোয়াটারনিয়ন বীজগণিতে একটি উপযুক্ত হারউইৎজ কোয়াটারনিয়ন ক্রম বেছে নেওয়া হয়। এখানে ক্রমটি উপাদান দ্বারা উৎপন্ন হয় প্রকৃতপক্ষে, ক্রমটি একটি মুক্ত Z [η]-মডিউল। এখানে জেনারেটরগুলি কেন্দ্র দ্বারা ভাগফলের পরে ত্রিভুজ গোষ্ঠীর উপযুক্ত সম্পর্কের দিকে নেমে আসা সম্পর্কগুলিকে সন্তুষ্ট করে। এস. এল (2, আর)-এর সাথে সম্পর্ক Q (η) থেকে R পর্যন্ত স্কেলারগুলি প্রসারিত করে (স্ট্যান্ডার্ড ইমবেডিংয়ের মাধ্যমে), কোয়াটারনিয়ন বীজগণিত এবং বাস্তব 2 বাই 2 ম্যাট্রিক্সের বীজগণিত এম (2, আর)-এর মধ্যে একটি সমরূপতা পাওয়া যায়। একটি কংক্রিট আইসোমরফিজম বেছে নেওয়ার ফলে এসএল (2, আর)-এ একটি নির্দিষ্ট ফুচসিয়ান গ্রুপ হিসাবে (2,3,7) ত্রিভুজ গ্রুপটি প্রদর্শন করা যায়, বিশেষত মডুলার গ্রুপের ভাগফল হিসাবে। এটি সংশ্লিষ্ট টিলিং দ্বারা দৃশ্যমান করা যেতে পারে, যেমনটি ডানদিকে চিত্রিত করা হয়েছেঃ পয়েনকারে ডিস্কে (2,3,7) টাইলিং হল উপরের অর্ধ-সমতলে মডুলার টাইলিংয়ের একটি ভাগফল। অনেক কারণে, সুস্পষ্ট সমরূপতা অপ্রয়োজনীয়। সুতরাং, গোষ্ঠী উপাদানগুলির চিহ্নগুলি (এবং তাই উপরের অর্ধ-সমতলে কাজ করা হাইপারবোলিক উপাদানগুলির অনুবাদ দৈর্ঘ্য, পাশাপাশি ফুচসিয়ান উপগোষ্ঠীর সিস্টোলগুলিও) কোয়াটারনিয়ন বীজগণিতে হ্রাসপ্রাপ্ত ট্রেসের মাধ্যমে গণনা করা যেতে পারে, এবং সূত্র রেফারেন্স জ্যামিতিক গ্রুপ তত্ত্ব রিমান পৃষ্ঠতল হাইপারবোলিক টিলিং সিস্টোলিক জ্যামিতি ক্লেইনীয় গ্রুপ