Aronszajn tree
সেট তত্ত্বে, অ্যারোনসজান গাছ হল অগণিত উচ্চতার একটি গাছ যার কোনও অগণিত শাখা নেই এবং কোনও অগণিত স্তর নেই। উদাহরণস্বরূপ, প্রতিটি সুসলিন গাছ একটি অ্যারোনসজান গাছ। আরও সাধারণভাবে, একটি কার্ডিনাল κ-এর জন্য, একটি κ-অ্যারোনজাজন গাছ হল উচ্চতার একটি গাছ যার সমস্ত স্তরের আকার κ-এর চেয়ে কম এবং সমস্ত শাখার উচ্চতা κ-এর চেয়ে কম (তাই অ্যারোনজাজন গাছগুলি-অ্যারোনজাজন গাছের মতোই)। এগুলির নামকরণ করা হয়েছে নাচমান অ্যারোনসজানের নামে, যিনি 1934 সালে একটি অ্যারোনসজান গাছ নির্মাণ করেছিলেন। একটি কার্ডিনাল κ যার জন্য কোনও κ-অ্যারোনজাজন গাছ বিদ্যমান নেই তার গাছের সম্পত্তি রয়েছে বলে বলা হয় (কখনও কখনও শর্ত যে κ নিয়মিত এবং অগণিত অন্তর্ভুক্ত করা হয়)। κ-অ্যারোনজাজন গাছের অস্তিত্ব কনিগের লেম্মায় বলা হয়েছে যে-অ্যারোনজাজন গাছের অস্তিত্ব নেই। অ্যারোনসজান গাছের (-অ্যারোনসজান গাছ) অস্তিত্ব নাচমান অ্যারোনসজান দ্বারা প্রমাণিত হয়েছিল এবং বোঝায় যে কনিগের লেম্মার এনালগ অগণিত গাছের জন্য ধারণ করে না। জেডএফসি-তে-অ্যারোনজাজন গাছের অস্তিত্ব অনিশ্চিতঃ আরও সুনির্দিষ্টভাবে, কন্টিনিউয়াম হাইপোথিসিস একটি-অ্যারোনজাজন গাছের অস্তিত্বকে বোঝায় এবং মিচেল এবং সিলভার দেখিয়েছেন যে এটি সামঞ্জস্যপূর্ণ (দুর্বলভাবে কম্প্যাক্ট কার্ডিনালের অস্তিত্বের সাথে সম্পর্কিত) যে কোনও-অ্যারোনজাজন গাছের অস্তিত্ব নেই। জেনসেন প্রমাণ করেন যে, V = L বোঝায় যে, প্রতিটি অসীম উত্তরসূরি কার্ডিনাল κ-এর জন্য একটি κ-অ্যারোনজাজন গাছ (প্রকৃতপক্ষে একটি κ-সুসলিন গাছ) রয়েছে। (একটি বড় কার্ডিনাল স্বতঃসিদ্ধ ব্যবহার করে) এটি সুসংগত যে, 1 ছাড়া অন্য কোনও সসীম n-এর জন্য কোনও-অ্যারোনজাজন গাছ বিদ্যমান নেই। যদি κ দুর্বলভাবে কম্প্যাক্ট হয় তবে কোনও κ-অ্যারোনজাজন গাছ বিদ্যমান নেই। বিপরীতভাবে, যদি κ অ্যাক্সেসযোগ্য না হয় এবং কোনও κ-অ্যারোনজাজন গাছ বিদ্যমান না থাকে, তবে κ দুর্বলভাবে কম্প্যাক্ট হয়। বিশেষ অ্যারোনসজান গাছ একটি অ্যারোনসজান গাছকে বিশেষ বলা হয় যদি গাছ থেকে যুক্তিসঙ্গত পর্যন্ত কোনও ফাংশন থাকে যাতে f (x) <f (y) যখনই x <y হয়। মার্টিনের স্বতঃসিদ্ধ এমএ () বোঝায় যে সমস্ত অ্যারোনসজান গাছ বিশেষ, কখনও কখনও ইএটিএস দ্বারা সংক্ষিপ্ত করা হয়। শক্তিশালী যথাযথ বলপ্রয়োগ স্বতঃসিদ্ধটি এই দৃঢ় বক্তব্যকে বোঝায় যে যে কোনও দুটি অ্যারোনজাজন গাছের জন্য স্তরগুলির একটি ক্লাব সেট রয়েছে যাতে এই স্তরগুলির সেটের গাছগুলির সীমাবদ্ধতা আইসোমরফিক হয়, যা বলে যে কোনও অর্থে যে কোনও দুটি অ্যারোনজাজন গাছ মূলত আইসোমরফিক। অন্যদিকে, এটি সামঞ্জস্যপূর্ণ যে অ-বিশেষ অ্যারোনসজান গাছ বিদ্যমান, এবং এটি সাধারণীকৃত ধারাবাহিকতা অনুমান এবং সুসলিনের অনুমানের সাথেও সামঞ্জস্যপূর্ণ। একটি বিশেষ অ্যারোনসজান গাছ নির্মাণ একটি বিশেষ অ্যারোনসজান গাছ নিম্নরূপ নির্মাণ করা যেতে পারে। গাছের উপাদানগুলি হল যুক্তিসঙ্গত বা − ≤ যুক্তিসঙ্গত সংখ্যার নির্দিষ্ট সুশৃঙ্খল সেট। যদি x এবং y এই সেটগুলির মধ্যে দুটি হয় তবে আমরা x ≤ y (বৃক্ষ ক্রমে) সংজ্ঞায়িত করি যার অর্থ x হল ক্রমবদ্ধ সেট y-এর একটি প্রাথমিক অংশ। প্রতিটি গণনাযোগ্য অর্ডিনাল α-এর জন্য আমরা α স্তরের গাছের উপাদানগুলির জন্য Uα লিখি, যাতে Uα-এর উপাদানগুলি α ক্রমের সাথে যুক্তিসঙ্গতগুলির নির্দিষ্ট সেট হয়। বিশেষ অ্যারোনসজান ট্রি টি হল সমস্ত গণনাযোগ্য α-এর জন্য সেট Uα-এর মিলন। আমরা গণনাযোগ্য স্তরগুলি Uα গঠন করি α-এর উপর ট্রান্সফাইনাইট ইন্ডাকশন দ্বারা নিম্নরূপ U0 হিসাবে খালি সেট দিয়ে শুরু করেঃ যদি α + 1 একটি উত্তরসূরি হয় তবে Uα + 1 একটি ক্রম x-এর সমস্ত এক্সটেনশন নিয়ে গঠিত যা সুপার x-এর চেয়ে বেশি মূলদ। Uα + 1 গণনাযোগ্য কারণ এটি Uα-এর প্রতিটি গণনাযোগ্য অনেক উপাদানের গণনাযোগ্য অনেক এক্সটেনশন নিয়ে গঠিত। যদি α একটি সীমা হয় তবে Tα কে α এর চেয়ে কম স্তরের সমস্ত বিন্দুর গাছ হতে দিন। Tα-র প্রতিটি x-এর জন্য এবং সুপার x-এর চেয়ে বড় প্রতিটি মূলদ সংখ্যা q-এর জন্য, সর্বোচ্চ q সহ x ধারণকারী Tα-এর একটি স্তর α শাখা বেছে নিন। তারপর Uα এই শাখাগুলি নিয়ে গঠিত। Uα গণনাযোগ্য কারণ এটি Tα-এর গণনাযোগ্য অনেকগুলি উপাদানের প্রত্যেকটির জন্য গণনাযোগ্যভাবে অনেকগুলি শাখা নিয়ে গঠিত। f (x) = sup x ফাংশনটি মূলদ বা − ini, এবং এর বৈশিষ্ট্য হল যে যদি x <y হয় তবে f (x) <f (y)। টি-র যে কোনও শাখা গণনা করা যায় কারণ f শাখা গুলি − ν এবং যুক্তিসঙ্গতগুলিতে ইনজেকটিভভাবে ম্যাপ করে। টি অগণিত কারণ এর প্রতিটি গণনাযোগ্য অর্ডিনাল α-এর জন্য একটি অ-খালি স্তর Uα রয়েছে যা প্রথম অগণিত অর্ডিনাল তৈরি করে। এটি প্রমাণ করে যে টি একটি বিশেষ অ্যারোনসজান গাছ। এই গঠনটি κ-অ্যারোনজাজন গাছ তৈরিতে ব্যবহার করা যেতে পারে যখনই κ একটি নিয়মিত কার্ডিনালের উত্তরসূরি হয় এবং সাধারণীকৃত কন্টিনিউয়াম হাইপোথিসিস ধারণ করে, যৌক্তিক সংখ্যাগুলিকে আরও সাধারণ η সেট দ্বারা প্রতিস্থাপন করে। আরও দেখুন কুরেপা গাছ অ্যারোনসজান লাইন রেফারেন্স বাহ্যিক লিঙ্ক প্ল্যানেটম্যাথ গাছ (সেট তত্ত্ব) স্বাধীনতা ফলাফল