Local flatness
টপোলজিতে, গণিতের একটি শাখা, স্থানীয় সমতলতা একটি মসৃণতা অবস্থা যা টপোলজিকাল সাবম্যানিফোল্ডের উপর চাপিয়ে দেওয়া যেতে পারে। টপোলজিক্যাল ম্যানিফোল্ডের বিভাগে, স্থানীয়ভাবে সমতল সাবম্যানিফোল্ড মসৃণ ম্যানিফোল্ডের বিভাগে এমবেডেড সাবম্যানিফোল্ডের মতো ভূমিকা পালন করে। স্থানীয় সমতলতার লঙ্ঘনগুলি উপকরণ প্রক্রিয়াকরণ এবং যান্ত্রিক প্রকৌশলের প্রয়োগ সহ শৈলশিরার নেটওয়ার্ক এবং চূর্ণবিচূর্ণ কাঠামো বর্ণনা করে। সংজ্ঞা ধরুন একটি ডি-ডাইমেনশনাল ম্যানিফোল্ড এন একটি এন-ডাইমেনশনাল ম্যানিফোল্ড এম (যেখানে ডি <এন)-এর মধ্যে এম্বেড করা আছে। যদি আমরা বলি যে এন x-এ স্থানীয়ভাবে সমতল হয় যদি x-এর এমন একটি প্রতিবেশী থাকে যে টপোলজিকাল জোড়াটি এই জুটির সমরূপ, যার স্ট্যান্ডার্ড অন্তর্ভুক্তি হল, একটি সমরূপতা বিদ্যমান যাতে এর চিত্রটি এর সাথে মিলে যায়। রেখাচিত্রের পরিপ্রেক্ষিতে, নিম্নলিখিত বর্গক্ষেত্রটিকে অবশ্যই যাতায়াত করতে হবেঃ আমরা এন-কে এম-এ স্থানীয়ভাবে সমতল বলি যদি প্রতিটি বিন্দুতে এন স্থানীয়ভাবে সমতল হয়। একইভাবে, একটি মানচিত্রকে স্থানীয়ভাবে সমতল বলা হয়, যদিও এটি একটি এম্বেডিং নয়, যদি N-এর প্রতিটি x-এর একটি প্রতিবেশী U থাকে যার চিত্রটি M-এ স্থানীয়ভাবে সমতল হয়। সীমানা সহ ম্যানিফোল্ডগুলিতে উপরের সংজ্ঞাটি ধরে নেয় যে, যদি M-এর একটি সীমানা থাকে তবে x, M-এর একটি সীমানা বিন্দু নয়। যদি x, M-এর সীমানায় একটি বিন্দু হয় তবে সংজ্ঞাটি নিম্নরূপ সংশোধন করা হয়। আমরা বলি যে এম-এর একটি সীমানা বিন্দু x-এ এন স্থানীয়ভাবে সমতল হয় যদি x-এর এমন একটি প্রতিবেশী থাকে যে টপোলজিকাল জোড়াটি জুটির সমরূপ, যেখানে একটি আদর্শ অর্ধ-স্থান এবং তার সীমানার একটি আদর্শ সাবস্পেস হিসাবে অন্তর্ভুক্ত করা হয়। ফলাফল একটি এম্বেডিংয়ের স্থানীয় সমতলতা বোঝায় শক্তিশালী বৈশিষ্ট্য যা সমস্ত এম্বেডিং দ্বারা ভাগ করা হয় না। ব্রাউন (1962) প্রমাণ করেন যে, যদি d = n−1 হয়, তাহলে N-কে কলার করা হয়; অর্থাৎ, এর এমন একটি প্রতিবেশী রয়েছে যা N × [0,1]-এর সমরূপ এবং N নিজেই N × 1/2 (যদি N, M-এর অভ্যন্তরে থাকে) অথবা N × 0 (যদি N, M-এর সীমানায় থাকে)-এর সঙ্গে সামঞ্জস্যপূর্ণ। আরও দেখুন ইউক্লিডীয় স্থান নিখুঁত সাবম্যানিফোল্ড রেফারেন্স ব্রাউন, মর্টন (1962), টপোলজিকাল ম্যানিফোল্ডের স্থানীয়ভাবে সমতল অন্তঃস্থল। অ্যানালস অফ ম্যাথমেটিক্স, দ্বিতীয় সিরিজ, খণ্ড। 75 (1962), পৃ. 331-341। মাজুর, ব্যারি। গোলকের এম্বেডিং সম্পর্কে। বুলেটিন অফ দ্য আমেরিকান ম্যাথমেটিকাল সোসাইটি, খণ্ড। 65 (1959), নং। 2, পৃ. 59-65। http://projecteuclid.org/euclid.bams/1183523034। টপোলজি জ্যামিতিক টপোলজি