Beth definability
গাণিতিক যুক্তিতে, বেথ সংজ্ঞা হল এমন একটি ফলাফল যা কোনও সম্পত্তির অন্তর্নিহিত সংজ্ঞাকে তার স্পষ্ট সংজ্ঞার সাথে সংযুক্ত করে। বিশেষত বেথের সংজ্ঞাটি বলে যে সংজ্ঞার দুটি ইন্দ্রিয় সমতুল্য। ফার্স্ট-অর্ডার লজিকের বেথ সংজ্ঞায়িত করার বৈশিষ্ট্য রয়েছে। প্রথম-ক্রম যুক্তির জন্য, উপপাদ্যটি বলে যে, L 'L ভাষায় একটি তত্ত্ব T এবং L' ভাষায় একটি সূত্র φ দেওয়া হলে, নিম্নলিখিতগুলি সমতুল্যঃ T-এর যে কোনও দুটি মডেল A এবং B-এর জন্য যাতে A|L = B|L (যেখানে A|L হল A থেকে L-এর হ্রাস), এটি হল যে A φ [a] যদি এবং শুধুমাত্র যদি B φ [a] (A-এর সমস্ত টুপল a-এর জন্য); φ হল L-এর একটি সূত্রের সমতুল্য মডুলো T। স্পষ্টতই বিপরীতটিও ধারণ করে, যাতে আমাদের অন্তর্নিহিত এবং স্পষ্ট সংজ্ঞার মধ্যে একটি সমতা থাকে। অর্থাৎ, একটি "সম্পত্তি" একটি তত্ত্বের ক্ষেত্রে স্পষ্টভাবে সংজ্ঞায়িত করা যায় যদি এবং শুধুমাত্র যদি এটি অন্তর্নিহিতভাবে সংজ্ঞায়িত করা যায়। শর্তটি সীমাবদ্ধ মডেলের মধ্যে সীমাবদ্ধ থাকলে উপপাদ্যটি ধরে রাখে না। আমাদের A′φ [a] থাকতে পারে যদি এবং শুধুমাত্র যদি B′φ [a] সমস্ত জোড়া A, সীমাবদ্ধ মডেলের B এর জন্য φ মডুলো T এর সমতুল্য কোনও L-সূত্র না থাকে। ফলাফলটি প্রথম প্রমাণিত হয়েছিল এভার্ট উইলেম বেথ দ্বারা। আরও দেখুন সোর্স উইলফ্রিড হজস এ শর্টার মডেল থিওরি। কেমব্রিজ ইউনিভার্সিটি প্রেস, 1997। গাণিতিক যুক্তি গাণিতিক কাঠামো মডেল তত্ত্ব গণিতের ভিত্তির উপপাদ্য