Functional-theoretic algebra
যে কোনও ভেক্টর স্থানকে একটি একক সহযোগী বীজগণিতে পরিণত করা যেতে পারে, যাকে কার্যকরী-তাত্ত্বিক বীজগণিত বলা হয়, দুটি রৈখিক কার্যকারিতার পরিপ্রেক্ষিতে পণ্যগুলিকে সংজ্ঞায়িত করে। সাধারণভাবে, এটি একটি অ-বিনিময়যোগ্য বীজগণিত। দুটি কার্যকারিতা একই হলে এটি বিনিময়যোগ্য হয়ে ওঠে। সংজ্ঞা এএফ-কে একটি ক্ষেত্র এফ-এর উপর একটি ভেক্টর স্থান হিসাবে ধরা যাক এবং এএফ-এ কিছু ই-এর জন্য এল1 (ই) = এল2 (ই) = 1এফ বৈশিষ্ট্য সহ এল1 এবং এল2-কে দুটি রৈখিক কার্যকরী হিসাবে ধরা যাক। আমরা এএফ দ্বারা x, y দুটি উপাদানের গুণকে সংজ্ঞায়িত করি এটি যাচাই করা যেতে পারে যে উপরের গুণটি সহযোগী এবং ই এই গুণের পরিচয়। সুতরাং, এ. এফ একক ই-এর সাথে একটি সহযোগী বীজগণিত গঠন করে এবং এটিকে কার্যকরী তাত্ত্বিক বীজগণিত (এফ. টি. এ) বলা হয়। ধরুন দুটি রৈখিক ফাংশনাল L1 এবং L2 একই, ধরুন L। তারপর এএফ একটি বিনিময়যোগ্য বীজগণিতে পরিণত হয় যার গুণন উদাহরণ দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয় X একটি অ-খালি সেট এবং F একটি ক্ষেত্র। এফএক্স হল এক্স থেকে এফ পর্যন্ত ফাংশনের সেট। যদি এফ, জি এফএক্স-এ থাকে, এক্স-এ এক্স এবং এফ-এ α হয়, তাহলে সংজ্ঞায়িত করুন এবং যোগ এবং স্কেলার গুণনের সাথে এইভাবে সংজ্ঞায়িত করুন, এফএক্স হল এফ-এর উপর একটি ভেক্টর স্থান। এখন, এক্স-এ দুটি উপাদান এ, বি স্থির করুন এবং এক্স-এ সমস্ত এক্স-এর জন্য ই থেকে এফ দ্বারা ই (এক্স) = 1এফ দ্বারা একটি ফাংশন সংজ্ঞায়িত করুন। L1 (f) = f (a) এবং L2 (f) = f (b) দ্বারা FX থেকে F পর্যন্ত L1 এবং L2 সংজ্ঞায়িত করুন। তারপর L1 এবং L2 হল FX-এর দুটি রৈখিক ক্রিয়ামূলক যেমন L1 (e) = L2 (e) = 1F f-এর জন্য, FX-এ g সংজ্ঞায়িত করে তারপর FX একটি অ-বিনিময়যোগ্য ফাংশন বীজগণিতে পরিণত হয় যার গুণনের পরিচয় e। লক্ষ্য করুন যে জটিল প্লেনে বক্ররেখার এফটিএ ধরা যাক সি জটিল সংখ্যার ক্ষেত্রকে বোঝায়। বাস্তব সংখ্যার বন্ধ ব্যবধান [0,1] থেকে ক্ষেত্র সি পর্যন্ত একটি অবিচ্ছিন্ন ফাংশনকে বক্ররেখা বলা হয়। জটিল সংখ্যা γ (0) এবং γ (1) যথাক্রমে বক্ররেখার প্রাথমিক এবং শেষ বিন্দু। যদি সেগুলি মিলে যায়, তবে বক্ররেখাটিকে লুপ বলা হয়। সমস্ত বক্ররেখার সেট V [0,1] হল C-এর উপর একটি ভেক্টর স্থান। আমরা উপরের হিসাবে গুণকে সংজ্ঞায়িত করে বক্ররেখার এই ভেক্টর স্থানটিকে বীজগণিতে পরিণত করতে পারি। আমাদের বেছে নেওয়ার জন্য α, C তে β [0,1], তারপর, V [0,1] হল একটি অ-বিনিময়যোগ্য বীজগণিত যার একক হল e। আমরা একটি উদাহরণ দিয়ে বিষয়টি ব্যাখ্যা করছি। বক্ররেখার এফ-প্রোডাক্টের উদাহরণ আসুন আমরা (1) বিন্দু (1,0) এবং (0,1) এর সঙ্গে যুক্ত রেখাখন্ড এবং (2) উৎপত্তিস্থলে কেন্দ্র সহ একক বৃত্তটি নিই। V [0,1]-এ বক্ররেখা হিসাবে, তাদের সমীকরণগুলি এইভাবে পাওয়া যেতে পারে যেহেতু বৃত্ত g একটি লুপ। লাইন সেগমেন্ট f শুরু হয়ঃ থেকে এবং শেষ হয়ঃ এখন, আমরা প্রদত্ত দুটি f-পণ্য পাই এবং চিত্রটি দেখুন। লক্ষ্য করুন যে গুণন অ-বিনিময়যোগ্য। এছাড়াও উভয় পণ্যই এন-কার্ভ রেফারেন্স সেবাস্টিয়ান ভট্টামাট্টম এবং আর. শিবরামাকৃষ্ণন, এ নোট অন কনভোলিউশন অ্যালজেব্রাস, ইন রিসেট ট্রেন্ডস ইন ম্যাথমেটিকাল অ্যানালাইসিস, অ্যালাইড পাবলিশার্স, 2003 থেকে শুরু হয়। সেবাস্টিয়ান ভট্টামাট্টম এবং আর. শিবরামাকৃষ্ণন, অ্যাসোসিয়েটিভ আলজেব্রাস ভায়া লিনিয়ার ফাংশনালস, কে. এম. এ-এর বার্ষিক সম্মেলনের কার্যধারা, জানুয়ারি 17-19,2000, পৃ. 81-89 সেবাস্টিয়ান ভট্টামাট্টম, নন-কমিউটেটিভ ফাংশন অ্যালজেব্রা, ইন বুলেটিন অফ কেরালা ম্যাথমেটিকাল অ্যাসোসিয়েশন, খণ্ড। 4, নং। 2 ডিসেম্বর, 2007 সেবাস্টিয়ান ভট্টামাট্টম, ট্রান্সফর্মিং কার্ভস বাই এন-কার্ভিং, ইন বুলেটিন অফ কেরালা ম্যাথমেটিক্স অ্যাসোসিয়েশন, খণ্ড। 5, নং। 1 ডিসেম্বর, 2008 সেবাস্টিয়ান ভট্টামাট্টম, বুক অফ বিউটিফুল কার্ভস, জানুয়ারী 2015 বুক অফ বিউটিফুল কার্ভস আর. শিবরামাকৃষ্ণন, সার্টেন নম্বর থিওরেটিক এপিসোডস ইন অ্যালজেব্রা, চ্যাপম্যান এবং হল/সিআরসি সার্টেন নম্বর থিওরেটিক এপিসোডস ইন অ্যালজেব্রা অ্যালজেব্রা