Bolza surface
গণিতে, বোলজা পৃষ্ঠ, বিকল্পভাবে, জটিল বীজগাণিতিক বোলজা বক্ররেখা (দ্বারা প্রবর্তিত), এই গণের কনফরমাল অটোমরফিজম গ্রুপের সর্বোচ্চ সম্ভাব্য ক্রম সহ গণের একটি কম্প্যাক্ট রিমান পৃষ্ঠ, যথা অর্ডার 48 (সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের উপর ম্যাট্রিক্সের সাধারণ রৈখিক গ্রুপ)। পূর্ণ অটোমরফিজম গ্রুপ (প্রতিফলন সহ) হল অর্ডার 96-এর আধা-সরাসরি গুণফল। বলজা পৃষ্ঠের জন্য একটি অ্যাফিন মডেল সমীকরণের লোকাস হিসাবে পাওয়া যেতে পারে। বোলজা পৃষ্ঠ হল অ্যাফিন বক্ররেখার মসৃণ সমাপ্তি। সমস্ত প্রজাতির হাইপারবোলিক পৃষ্ঠের মধ্যে, বোলজা পৃষ্ঠ সিস্টোলের দৈর্ঘ্য সর্বাধিক করে। একটি উপবৃত্তাকার রিম্যান পৃষ্ঠ হিসাবে, এটি রিম্যান গোলকের রামিফাইড ডাবল কভার হিসাবে উদ্ভূত হয়, গোলকের মধ্যে একটি নিয়মিত অষ্টতলকের ছয়টি শীর্ষে রামিফিকেশন লোকাস খোদাই করা থাকে, যা উপরের সমীকরণ থেকে সহজেই দেখা যায়। বোলজা পৃষ্ঠ পদার্থবিদদের দৃষ্টি আকর্ষণ করেছে, কারণ এটি কোয়ান্টাম বিশৃঙ্খলার জন্য তুলনামূলকভাবে সহজ মডেল সরবরাহ করে; এই প্রসঙ্গে, এটি সাধারণত হ্যাডামার্ড-গুট্জউইলার মডেল হিসাবে উল্লেখ করা হয়। বোলজা পৃষ্ঠের ক্রিয়াকলাপের উপর কাজ করা ল্যাপ্লাস-বেলট্রামি অপারেটরের বর্ণালী তত্ত্ব গণিতবিদ এবং পদার্থবিজ্ঞানী উভয়ের কাছেই আগ্রহের বিষয়, কারণ স্থির ঋণাত্মক বক্রতা সহ বংশের সমস্ত কম্প্যাক্ট, বদ্ধ রিম্যান পৃষ্ঠের মধ্যে ল্যাপ্লাসিয়ানের প্রথম ধনাত্মক আইগেনভ্যালু সর্বাধিক করার জন্য পৃষ্ঠটি অনুমান করা হয়। ত্রিভুজ পৃষ্ঠ বলজা পৃষ্ঠ একটি ত্রিভুজ পৃষ্ঠ-দেখুন শোয়ার্জ ত্রিভুজ। আরও সুনির্দিষ্টভাবে, বোলজা পৃষ্ঠকে সংজ্ঞায়িত করা ফুচসিয়ান গ্রুপটি কোণ সহ একটি হাইপারবোলিক ত্রিভুজের পাশে প্রতিফলন দ্বারা উত্পন্ন গোষ্ঠীর একটি উপগোষ্ঠী। অভিমুখীকরণ সংরক্ষণকারী আইসোমেট্রিগুলির গোষ্ঠীটি প্রতিফলন গোষ্ঠীর সূচক-দুটি উপগোষ্ঠীর একটি উপগোষ্ঠী, যা জোড় সংখ্যক প্রতিফলনের পণ্য নিয়ে গঠিত, যার জেনারেটর এবং সম্পর্কের পাশাপাশি একটি বিমূর্ত উপস্থাপনা রয়েছে। বোলজা পৃষ্ঠকে সংজ্ঞায়িত করা ফুচসিয়ান গোষ্ঠীটিও (3,3,4) ত্রিভুজ গোষ্ঠীর একটি উপগোষ্ঠী, যা ত্রিভুজ গোষ্ঠীর সূচক 2-এর একটি উপগোষ্ঠী। কোয়াটারনিয়ন বীজগণিতের পরিপ্রেক্ষিতে গোষ্ঠীটির কোনও উপলব্ধি নেই, তবে গোষ্ঠীটি তা করে। পয়েনকেয়ার ডিস্কের ক্রিয়ার অধীনে, বলজা পৃষ্ঠের মৌলিক ক্ষেত্রটি একটি নিয়মিত অষ্টভুজ যেখানে কোণ এবং কোণ রয়েছে। অষ্টকোণের বিপরীত দিকগুলি ফুচসিয়ান গোষ্ঠীর ক্রিয়ার অধীনে চিহ্নিত করা হয়। এর জেনারেটরগুলি হল ম্যাট্রিক্স যেখানে এবং, তাদের বিপরীত সহ। জেনারেটরগুলি সম্পর্ককে সন্তুষ্ট করে এই জেনারেটরগুলি দৈর্ঘ্যের বর্ণালীর সাথে সংযুক্ত, যা জিওডেসিক লুপগুলির সমস্ত সম্ভাব্য দৈর্ঘ্য দেয়। এই ধরনের সংক্ষিপ্ততম দৈর্ঘ্যকে পৃষ্ঠের সিস্টোল বলা হয়। বোলজা পৃষ্ঠের সিস্টোল হল বোলজা পৃষ্ঠের দৈর্ঘ্যের বর্ণালীর উপাদানটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার মধ্য দিয়ে যায় (তবে 4,24,48,72,140 এবং বিভিন্ন উচ্চতর মান বাদ দিয়ে) এবং অনন্য বিজোড় পূর্ণসংখ্যা কোথায় যা সর্বনিম্ন করে ত্রিভুজ গোষ্ঠী থেকে সরাসরি সিস্টোলের সমতুল্য বদ্ধ রূপ পাওয়া সম্ভব। একটি (2,3,8) ত্রিভুজের পার্শ্ব দৈর্ঘ্য স্পষ্টভাবে গণনা করার জন্য সূত্র বিদ্যমান। একটি (2,3,8) ত্রিভুজের মধ্যবর্তী দৈর্ঘ্যের পাশের দৈর্ঘ্যের চারগুণের সমান সিস্টোল, অর্থাৎ ভূগণতাত্ত্বিক দৈর্ঘ্য পৃষ্ঠের ফেনচেল-নিলসেন স্থানাঙ্কেও প্রদর্শিত হয়। 2য় বংশের একটি পৃষ্ঠের জন্য ফেনচেল-নিলসেনের স্থানাঙ্কের একটি সেট তিনটি জোড়া নিয়ে গঠিত, প্রতিটি জোড়া দৈর্ঘ্য এবং মোচড়যুক্ত। সম্ভবত বলজা পৃষ্ঠের জন্য স্থানাঙ্কের সবচেয়ে সহজ সেট হল, কোথায়। স্থানাঙ্কের একটি "প্রতিসম" সেটও রয়েছে, যেখানে দৈর্ঘ্যের তিনটিই সিস্টোল এবং তিনটি মোচড়ই পৃষ্ঠের প্রতিসাম্য দ্বারা দেওয়া হয় বলজা পৃষ্ঠের মৌলিক ক্ষেত্রটি পয়েনকারে ডিস্কে একটি নিয়মিত অষ্টভুজ; চারটি প্রতিসম ক্রিয়া যা (পূর্ণ) প্রতিসাম্য গ্রুপ তৈরি করেঃ আর-অষ্টকোণের কেন্দ্র সম্পর্কে ক্রম 8 এর ঘূর্ণন; এস-বাস্তব রেখায় প্রতিফলন; টি-16 (4,4,4) ত্রিভুজের একটির পাশে প্রতিফলন যা অষ্টকোণকে টেসলেট করে; ইউ-একটি (4,4,4) ত্রিভুজের কেন্দ্র সম্পর্কে ক্রম 3 এর ঘূর্ণন। এগুলি সংলগ্ন চিত্রের গাঢ় রেখা দ্বারা দেখানো হয়েছে। তারা নিম্নলিখিত সম্পর্কগুলিকে সন্তুষ্ট করেঃ তুচ্ছ (পরিচয়) ক্রিয়াটি কোথায়। গোষ্ঠীর প্রতিনিধিত্ব তত্ত্ব সম্পর্কে তথ্য পুনরুদ্ধারের জন্য জিএপি-তে সম্পর্কের এই সেটটি ব্যবহার করা যেতে পারে। বিশেষত, চারটি 1-মাত্রিক, দুটি 2-মাত্রিক, চারটি 3-মাত্রিক এবং তিনটি 4-মাত্রিক অপরিবর্তনীয় উপস্থাপনা রয়েছে এবং যেমনটি আশা করা হয়েছিল। বর্ণালী তত্ত্ব এখানে, বর্ণালী তত্ত্ব ল্যাপলেসিয়ান বর্ণালীকে বোঝায়। বোলজা পৃষ্ঠের প্রথম আইগেনস্পেস (অর্থাৎ, প্রথম ধনাত্মক আইগেনভ্যালু সম্পর্কিত আইগেনস্পেস) ত্রিমাত্রিক এবং দ্বিতীয়, চার-মাত্রিক। মনে করা হয় যে টেইচমুলার স্পেসে প্রথম আইগেনস্পেসে ফাংশনের নোডাল লাইনের বিশৃঙ্খলা অনুসন্ধানের ফলে ভূমিকায় অনুমান করা ফলাফল পাওয়া যাবে। এই অনুমানটি পৃষ্ঠ এবং 2য় বংশের অন্যান্য পৃষ্ঠের আইগেনভ্যালুগুলির বিস্তৃত সংখ্যাসূচক গণনার উপর ভিত্তি করে করা হয়েছে। বিশেষ করে, বোলজা পৃষ্ঠের বর্ণালী খুব উচ্চ নির্ভুলতার জন্য পরিচিত। নিম্নলিখিত টেবিলটি বোলজা পৃষ্ঠের প্রথম দশটি ধনাত্মক আইগেনভ্যালু দেয়। বলজা পৃষ্ঠের বর্ণালী নির্ধারক এবং কাসিমির শক্তি যথাক্রমে এবং যেখানে সমস্ত দশমিক স্থান সঠিক বলে মনে করা হয়। এটি অনুমান করা হয় যে বোলজা পৃষ্ঠের জন্য 2 নং গণের বর্ণালী নির্ধারক সর্বাধিক হয়। কোয়াটারনিয়ন বীজগণিত ম্যাকলাক্লান এবং রিডের পরে, কোয়াটারনিয়ন বীজগণিতকে জেনারেটর i, j এবং একটি ক্রমের উপযুক্ত পছন্দের সাথে সম্পর্ক দ্বারা সহযোগী বীজগণিত হিসাবে উত্পন্ন বীজগণিত হিসাবে নেওয়া যেতে পারে। আরও দেখুন হাইপারেলিপটিক বক্ররেখা ক্লেইন কোয়ার্টিক নিয়ে আসুন ম্যাকবিথের বক্ররেখা পৃষ্ঠ প্রথম হারউইটস ট্রিপল রেফারেন্স নির্দিষ্ট রিম্যান পৃষ্ঠতল সিস্টোলিক জ্যামিতি