Quadrature of the Parabola
চতুর্ভুজ হল জ্যামিতির উপর একটি গ্রন্থ, যা খ্রিষ্টপূর্ব 3য় শতাব্দীতে আর্কিমিডিস লিখেছিলেন এবং তাঁর আলেকজান্দ্রিয়ার পরিচিত ডোসিথিয়াসকে সম্বোধন করেছিলেন। এতে প্যারাবোলাস সম্পর্কিত 24টি প্রস্তাব রয়েছে, যা দুটি প্রমাণের মধ্যে শেষ হয় যা দেখায় যে একটি প্যারাবোলিক বিভাগের (একটি প্যারাবোলা এবং একটি রেখা দ্বারা বেষ্টিত অঞ্চল) এলাকা একটি নির্দিষ্ট খোদাই করা ত্রিভুজের সমান। এটি আর্কিমিডিসের সর্বাধিক পরিচিত কাজগুলির মধ্যে একটি, বিশেষত ক্লান্তির পদ্ধতির দক্ষ ব্যবহারের জন্য এবং জ্যামিতিক সিরিজের দ্বিতীয় অংশে। আর্কিমিডিস এই অঞ্চলটিকে অসীম সংখ্যক ত্রিভুজে বিভক্ত করেন যার আয়তন জ্যামিতিক অগ্রগতি গঠন করে। তারপরে তিনি ফলস্বরূপ জ্যামিতিক সিরিজের যোগফল গণনা করেন এবং প্রমাণ করেন যে এটি প্যারাবলিক বিভাগের এলাকা। এটি প্রাচীন গ্রীক গণিতে রিডাক্টিও অ্যাড অ্যাবসর্ডাম যুক্তির সবচেয়ে পরিশীলিত ব্যবহারের প্রতিনিধিত্ব করে এবং 17 শতকে ইন্টিগ্রাল ক্যালকুলাসের বিকাশ না হওয়া পর্যন্ত আর্কিমিডিসের সমাধান অতুলনীয় ছিল, যা ক্যাভালিয়েরির চতুর্ভুজ সূত্র দ্বারা সফল হয়েছিল। প্রধান উপপাদ্য একটি প্যারাবলিক বিভাগ হল একটি প্যারাবোলা এবং রেখা দ্বারা বেষ্টিত অঞ্চল। একটি প্যারাবলিক বিভাগের ক্ষেত্রফল খুঁজে বের করার জন্য আর্কিমিডিস একটি নির্দিষ্ট খোদাই করা ত্রিভুজ বিবেচনা করেন। এই ত্রিভুজের ভিত্তি হল প্যারাবোলার প্রদত্ত কর্ড, এবং তৃতীয় শীর্ষটি হল প্যারাবোলার বিন্দু যাতে সেই বিন্দুতে প্যারাবোলার স্পর্শকটি কর্ডের সমান্তরাল হয়। কাজের প্রস্তাব 1-এ বলা হয়েছে যে অক্ষের সমান্তরালে টানা তৃতীয় শীর্ষ থেকে একটি রেখা কর্ডকে সমান অংশে বিভক্ত করে। মূল উপপাদ্যটি দাবি করে যে প্যারাবলিক বিভাগের ক্ষেত্রফল খোদাই করা ত্রিভুজের সমান। প্যারাবোলার মতো কনিক বিভাগের গঠন আর্কিমিডিসের সময়ে ইতিমধ্যে সুপরিচিত ছিল, এক শতাব্দী আগে মেনেকমাসের জন্য ধন্যবাদ। তবে, ডিফারেনশিয়াল এবং ইন্টিগ্রাল ক্যালকুলাসের আবির্ভাবের আগে, শঙ্কু বিভাগের ক্ষেত্রফল খুঁজে বের করার কোনও সহজ উপায় ছিল না। আর্কিমিডিস একটি প্যারাবোলা এবং একটি কর্ড দ্বারা বেষ্টিত এলাকায় বিশেষভাবে মনোনিবেশ করে এই সমস্যার প্রথম প্রত্যয়িত সমাধান প্রদান করেন। আর্কিমিডিস মূল উপপাদ্যের দুটি প্রমাণ দিয়েছেনঃ একটি বিমূর্ত বলবিজ্ঞান ব্যবহার করে এবং অন্যটি বিশুদ্ধ জ্যামিতি দ্বারা। প্রথম প্রমাণের মধ্যে, আর্কিমিডিস মাধ্যাকর্ষণ ক্রিয়ার অধীনে ভারসাম্যপূর্ণ একটি লিভার বিবেচনা করেন, যেখানে একটি প্যারাবোলা এবং একটি ত্রিভুজের ওজনযুক্ত অংশগুলি ফুলক্রাম থেকে নির্দিষ্ট দূরত্বে একটি লিভারের বাহু বরাবর ঝুলানো থাকে। যখন ত্রিভুজের মাধ্যাকর্ষণ কেন্দ্রটি জানা যায়, তখন লিভারের ভারসাম্য ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের পরিপ্রেক্ষিতে প্যারাবোলার ক্ষেত্রফল অর্জন করে যার একই ভিত্তি এবং সমান উচ্চতা রয়েছে। আর্কিমিডিস এখানে অন দ্য ইকুইলিব্রিয়াম অফ প্লেনে পাওয়া পদ্ধতি থেকে বিচ্যুত হয়েছেন যে তার ভারসাম্যের নিচে একটি স্তরে মাধ্যাকর্ষণ কেন্দ্র রয়েছে। দ্বিতীয় এবং আরও বিখ্যাত প্রমাণটি বিশুদ্ধ জ্যামিতি ব্যবহার করে, বিশেষ করে একটি জ্যামিতিক সিরিজের যোগফল। চব্বিশটি প্রস্তাবের মধ্যে, প্রথম তিনটি ইউক্লিডের এলিমেন্টস অফ কনিক্স (শঙ্কু বিভাগের উপর ইউক্লিডের একটি হারিয়ে যাওয়া কাজ) থেকে প্রমাণ ছাড়াই উদ্ধৃত করা হয়েছে। প্রস্তাব 4 এবং 5 প্যারাবোলার প্রাথমিক বৈশিষ্ট্য স্থাপন করে। প্রস্তাবনা 6-17 প্রধান উপপাদ্যের যান্ত্রিক প্রমাণ দেয়; প্রস্তাবনা 18-24 জ্যামিতিক প্রমাণ উপস্থাপন করে। প্যারাবলিক বিভাগের জ্যামিতিক প্রমাণ বিভাজন প্রমাণের মূল ধারণা হল প্যারাবলিক অংশটিকে অসীম সংখ্যক ত্রিভুজে বিভক্ত করা, যা ডানদিকের চিত্রে দেখানো হয়েছে। এই ত্রিভুজগুলির প্রত্যেকটি তার নিজস্ব প্যারাবলিক অংশে একইভাবে খোদাই করা হয়েছে যেমন নীল ত্রিভুজটি বড় অংশে খোদাই করা হয়েছে। আঠারো থেকে একুশ নং প্রস্তাবনায় আর্কিমিডিস প্রমাণ করেছেন যে প্রতিটি সবুজ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল হল নীল ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল, যাতে উভয় সবুজ ত্রিভুজ একসঙ্গে নীল ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের যোগফল হয়। আধুনিক দৃষ্টিকোণ থেকে, এর কারণ হল সবুজ ত্রিভুজের নীল ত্রিভুজের প্রস্থ এবং উচ্চতা রয়েছেঃ একই যুক্তি অনুসরণ করে, প্রতিটি হলুদ ত্রিভুজের একটি সবুজ ত্রিভুজ বা নীল ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল রয়েছে, যা নীল ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের সমষ্টি; প্রতিটি লাল ত্রিভুজের একটি হলুদ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল রয়েছে, যা নীল ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের সমষ্টি; ইত্যাদি। ক্লান্তি পদ্ধতি ব্যবহার করে, এটি অনুসরণ করা হয় যে প্যারাবলিক বিভাগের মোট আয়তন দ্বারা দেওয়া হয় এখানে টি বড় নীল ত্রিভুজের আয়তনকে উপস্থাপন করে, দ্বিতীয় পদটি দুটি সবুজ ত্রিভুজের মোট আয়তনকে উপস্থাপন করে, তৃতীয় পদটি চারটি হলুদ ত্রিভুজের মোট আয়তনকে উপস্থাপন করে, ইত্যাদি। প্রমাণটি সম্পূর্ণ করার জন্য, আর্কিমিডিস দেখান যে উপরের সূত্রটি একটি জ্যামিতিক সিরিজ-প্রতিটি ধারাবাহিক পদ পূর্ববর্তী পদের এক চতুর্থাংশ। আধুনিক গণিতে, এই সূত্রটি একটি জ্যামিতিক সিরিজের সমষ্টি সূত্রের একটি বিশেষ উদাহরণ। আর্কিমিডিস একটি সম্পূর্ণ জ্যামিতিক পদ্ধতি ব্যবহার করে যোগফলের মূল্যায়ন করেন, যা সংলগ্ন ছবিতে চিত্রিত করা হয়েছে। এই ছবিটি একটি একক বর্গক্ষেত্র দেখায় যা ছোট বর্গক্ষেত্রের অনন্ততায় বিভক্ত করা হয়েছে। প্রতিটি পরপর বেগুনি বর্গক্ষেত্রের পূর্ববর্তী বর্গক্ষেত্রের এক চতুর্থাংশ এলাকা রয়েছে, যার মধ্যে মোট বেগুনি আয়তনের সমষ্টি হল যোগফল। তবে, বেগুনি বর্গক্ষেত্রগুলি হলুদ বর্গক্ষেত্রের উভয় সেটের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ, এবং তাই একক বর্গক্ষেত্রের আয়তনের আবরণ। এটি অনুসরণ করে যে উপরের সিরিজটি যোগফল (যেহেতু চতুর্ভুজ (জ্যামিতি) দেখুন) ক্যালকুলাসের ইতিহাস আরও পড়ুন। ডিজকস্টারহুইস, ই. জে। (1987) আর্কিমিডিস, প্রিন্সটন ইউ। প্রেস করুন। । । । বাহ্যিক লিঙ্ক সম্পূর্ণ লেখা, টি. এল. দ্বারা অনুবাদিত। হিথ। । মন্তব্য সহ প্রস্তাবনা 1-3 এবং 20-24-এর পাঠ্য। http://planetmath.org/ArchimedesCalculus আর্কিমিডিসের প্রাচীন গ্রীক গাণিতিক কাজ আর্কিমিডিসের কাজ গণিতের ইতিহাস