Square root of 5
5-এর বর্গমূল হল ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যা, যা নিজের দ্বারা গুণ করলে মৌলিক সংখ্যাটি 5 হয়। এটিকে আরও সুনির্দিষ্টভাবে 5-এর প্রধান বর্গমূল বলা হয়, একই বৈশিষ্ট্যযুক্ত ঋণাত্মক সংখ্যা থেকে আলাদা করার জন্য। এই সংখ্যাটি স্বর্ণ অনুপাতের ভগ্নাংশ অভিব্যক্তিতে প্রদর্শিত হয়। এটিকে সার্ড আকারে চিহ্নিত করা যেতে পারেঃ এটি একটি অযৌক্তিক বীজগাণিতিক সংখ্যা। এর দশমিক সম্প্রসারণের প্রথম ষাটটি উল্লেখযোগ্য সংখ্যা হলঃ যা 2.236 থেকে 99.99% নির্ভুলতার মধ্যে পূর্ণ করা যেতে পারে। পাঁচটির বর্গমূলের জন্য আনুমানিক (≈ 2.23611) ব্যবহার করা যেতে পারে। মাত্র 72-এর হর থাকা সত্ত্বেও, এটি সঠিক মান থেকে (আনুমানিক) কম দ্বারা পৃথক হয়। )। জানুয়ারী 2022 পর্যন্ত, দশমিক হিসাবে এর সংখ্যাসূচক মান কমপক্ষে 2,250,000,000,000 সংখ্যায় গণনা করা হয়েছে। যুক্তিসঙ্গত অনুমান 5-এর বর্গমূলকে অবিরত ভগ্নাংশ হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে অবিরত ভগ্নাংশের ধারাবাহিক আংশিক মূল্যায়ন, যাকে তার অভিসারী বলা হয়, পদ্ধতিঃ তাদের সংখ্যা হল 2,9,38,161, এবং তাদের হর হল 1,4,17,72,। এগুলির প্রত্যেকটির একটি সর্বোত্তম যুক্তিসঙ্গত অনুমান; অন্য কথায়, এটি একটি ছোট হর সহ যে কোনও মূলদ সংখ্যার কাছাকাছি। যখন ব্যাবিলনীয় পদ্ধতির সাথে আনুমানিক করা হয়, শুরু এবং ব্যবহার করা হয়, তখন th আনুমানিক অবিচ্ছিন্ন ভগ্নাংশের th অভিসারের সমান হয়ঃ ব্যাবিলনীয় পদ্ধতিটি পলিনোমিয়ালে প্রয়োগ করা মূল অনুসন্ধানের জন্য নিউটনের পদ্ধতির সমতুল্য। নিউটনের পদ্ধতি আপডেট, কখন এর সমান। পদ্ধতিটি তাই চতুর্ভুজভাবে একত্রিত হয়। স্বর্ণ অনুপাত এবং ফিবোনাচ্চি সংখ্যার সাথে সম্পর্ক স্বর্ণ অনুপাত হল 1 এবং 1 এর গাণিতিক গড়। স্বর্ণ অনুপাত এবং স্বর্ণ অনুপাত ()-এর সংমিশ্রণের মধ্যে বীজগাণিতিক সম্পর্ক নিম্নলিখিত সূত্রে প্রকাশ করা হয়েছেঃ (একটি আয়তক্ষেত্রের পচন হিসাবে তাদের জ্যামিতিক ব্যাখ্যার জন্য নীচের বিভাগটি দেখুন।) তারপর স্বাভাবিকভাবেই ফিবোনাচ্চি সংখ্যার জন্য বদ্ধ ফর্ম অভিব্যক্তিতে পরিসংখ্যান, একটি সূত্র যা সাধারণত সুবর্ণ অনুপাতের পরিপ্রেক্ষিতে লেখা হয়ঃ এর ভাগফল এবং (বা এবং এর গুণফল), এবং এর পারস্পরিক, অব্যাহত ভগ্নাংশের একটি আকর্ষণীয় প্যাটার্ন প্রদান করে এবং ফিবোনাচ্চি সংখ্যা এবং লুকাস সংখ্যার মধ্যে অনুপাতের সাথে সম্পর্কিত হয়ঃ এই মানগুলির সাথে কনভারজেন্টগুলির সিরিজে ফিবোনাচ্চি সংখ্যার সিরিজ এবং যথাক্রমে সংখ্যাসূচক এবং হর হিসাবে লুকাস সংখ্যার সিরিজ বৈশিষ্ট্যযুক্ত এবং তদ্বিপরীতঃ প্রকৃতপক্ষে, লুকাস সংখ্যা এবং ফিবোনাচ্চি সংখ্যার ভাগফলের সীমা সরাসরি এর বর্গমূলের সমানঃ জ্যামিতিকভাবে জ্যামিতি, ডি-এর সাথে মিলে যায়। এই ধরনের আয়তক্ষেত্র একটি বর্গক্ষেত্রকে অর্ধেক করে বা পাশাপাশি দুটি সমান বর্গক্ষেত্র স্থাপন করে পাওয়া যেতে পারে। এটি একটি বর্গাকার গ্রিডকে পাঁচগুণ বেশি বর্গাকার একটি হেলানো বর্গাকার গ্রিডে বিভক্ত করতে ব্যবহার করা যেতে পারে, যা একটি উপবিভাগ পৃষ্ঠের ভিত্তি গঠন করে। এবং এর মধ্যে বীজগাণিতিক সম্পর্কের সাথে, এটি একটি বর্গক্ষেত্র থেকে একটি সুবর্ণ আয়তক্ষেত্রের জ্যামিতিক নির্মাণের ভিত্তি তৈরি করে এবং একটি নিয়মিত পঞ্চভুজ নির্মাণের জন্য তার দিকটি দেওয়া হয় (যেহেতু একটি নিয়মিত পঞ্চভুজের পার্শ্ব-থেকে-তির্যক অনুপাত হল)। যেহেতু একটি ঘনকের দুটি সংলগ্ন মুখ 1ঃ2 আয়তক্ষেত্রে প্রসারিত হবে, তাই ঘনকের পৃষ্ঠ অতিক্রম করার সময় ঘনকের প্রান্তের দৈর্ঘ্য এবং তার একটি শীর্ষ থেকে বিপরীত প্রান্তের মধ্যে স্বল্পতম দূরত্বের মধ্যে অনুপাত হল। বিপরীতে, ঘনকের অভ্যন্তর দিয়ে অতিক্রম করার সময় সবচেয়ে কম দূরত্ব ঘনক তির্যকের দৈর্ঘ্যের সাথে মিলে যায়, যা প্রান্তের তিনগুণ বর্গমূল। পার্শ্ব অনুপাত 1 সহ একটি আয়তক্ষেত্রকে মূল-পাঁচ আয়তক্ষেত্র বলা হয় এবং এটি মূল আয়তক্ষেত্রের সিরিজের অংশ, গতিশীল আয়তক্ষেত্রের একটি উপসেট, যা একটি বর্গক্ষেত্র থেকে শুরু করে পূর্ববর্তী মূল আয়তক্ষেত্রের তির্যক ব্যবহার করে ধারাবাহিকভাবে নির্মিত হয়। একটি মূল-5 আয়তক্ষেত্র বিশেষভাবে উল্লেখযোগ্য যে এটি একটি বর্গক্ষেত্র এবং দুটি সমান সোনার আয়তক্ষেত্রে (মাত্রার) বা বিভিন্ন আকারের দুটি সোনার আয়তক্ষেত্রে (মাত্রা এবং) বিভক্ত করা যেতে পারে। এটি দুটি সমান সুবর্ণ আয়তক্ষেত্রের (মাত্রার) মিলন হিসাবেও বিচ্ছিন্ন হতে পারে যার ছেদ একটি বর্গক্ষেত্র গঠন করে। এই সমস্ত কিছুকে, এবং উপরে উল্লিখিত মধ্যে বীজগাণিতিক সম্পর্কের জ্যামিতিক ব্যাখ্যা হিসাবে দেখা যেতে পারে। মূল-5 আয়তক্ষেত্রটি 1ঃ2 আয়তক্ষেত্র (মূল-4 আয়তক্ষেত্র) থেকে বা সরাসরি একটি বর্গক্ষেত্র থেকে চিত্রে দেখানো সোনার আয়তক্ষেত্রের মতো করে তৈরি করা যেতে পারে, তবে দৈর্ঘ্যের চাপটি উভয় দিকে প্রসারিত করা যেতে পারে। ত্রিকোণমিতি এবং এর মতো, 5 এর বর্গমূল সঠিক ত্রিকোণমিতি ধ্রুবকের সূত্রগুলিতে ব্যাপকভাবে উপস্থিত হয়, যার মধ্যে প্রতিটি কোণের সাইন এবং কোসাইন রয়েছে যার মাত্রায় পরিমাপ 3 দ্বারা বিভাজ্য তবে 15 দ্বারা নয়। এগুলির মধ্যে সবচেয়ে সহজ হল ত্রিকোণমিতি সারণী তৈরির জন্য এর মান গণনা করা গুরুত্বপূর্ণ। যেহেতু জ্যামিতিকভাবে অর্ধ-বর্গাকার আয়তক্ষেত্র এবং পেন্টাগনের সাথে যুক্ত, তাই এটি তাদের থেকে প্রাপ্ত চিত্রগুলির জ্যামিতিক বৈশিষ্ট্যগুলির জন্য সূত্রগুলিতে প্রায়শই উপস্থিত হয়, যেমন একটি ডোডেকাহেড্রনের আয়তনের সূত্র। ডায়োফ্যান্টাইন আনুমানিক হারউইট্জের উপপাদ্য ডায়োফ্যান্টাইন আনুমানিকতায় বলে যে প্রতিটি অযৌক্তিক সংখ্যাকে অসীম সংখ্যক মূলদ সংখ্যা দ্বারা এমনভাবে অনুমান করা যেতে পারে যে এবং এটি সর্বোত্তমভাবে সম্ভব, এই অর্থে যে এর চেয়ে বড় কোনও ধ্রুবকের জন্য, কিছু অযৌক্তিক সংখ্যা রয়েছে যার জন্য কেবলমাত্র সীমাবদ্ধভাবে এই ধরনের অনেকগুলি আনুমানিক সংখ্যা বিদ্যমান। এর সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত এই উপপাদ্যটি হল যে, একটি সংখ্যার যে কোনও তিনটি ধারাবাহিক অভিসারের মধ্যে, তিনটি বৈষম্যের মধ্যে কমপক্ষে একটি থাকেঃ এবং হরের মধ্যে সবচেয়ে ভাল বন্ধন সম্ভব কারণ সুবর্ণ অনুপাতের অভিসারীরা বাম দিকের পার্থক্যকে ডান দিকের মানের কাছাকাছি নির্বিচারে করে তোলে। বিশেষ করে, চার বা ততোধিক ধারাবাহিক কনভার্জেন্টের ক্রম বিবেচনা করে কেউ একটি শক্ত বন্ধন অর্জন করতে পারে না। বীজগণিত রিংয়ে ফর্মের সংখ্যা রয়েছে, যেখানে এবং পূর্ণসংখ্যা এবং এটি কাল্পনিক সংখ্যা। এই রিংটি একটি অবিচ্ছেদ্য ডোমেনের প্রায়শই উদ্ধৃত উদাহরণ যা একটি অনন্য ফ্যাক্টরাইজেশন ডোমেন নয়। এই বলয়ের মধ্যে 6 নম্বরের দুটি অসম গুণনীয়ক রয়েছেঃ অন্য যে কোনও দ্বিঘাত ক্ষেত্রের মতো এই ক্ষেত্রটিও মূলদ সংখ্যার একটি আবেলিয়ান সম্প্রসারণ। ক্রোনেকার-ওয়েবার উপপাদ্যটি নিশ্চিত করে যে, পাঁচটির বর্গমূলকে একতার মূলের যুক্তিসঙ্গত রৈখিক সংমিশ্রণ হিসাবে লেখা যেতে পারেঃ রামানুজনের পরিচয় 5-এর বর্গমূল শ্রীনিবাস রামানুজন দ্বারা আবিষ্কৃত বিভিন্ন পরিচয়ে আবির্ভূত হয় যার মধ্যে অবিচ্ছিন্ন ভগ্নাংশ রয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, রজার্স-রামানুজনের এই ক্ষেত্রে ভগ্নাংশ অব্যাহত রয়েছেঃ আরও দেখুন স্বর্ণ অনুপাত বর্গমূল বর্গমূল 2 বর্গমূল 3 বর্গমূল 6 বর্গমূল 7 তথ্যসূত্র গাণিতিক ধ্রুবক চতুর্ভুজ অযৌক্তিক সংখ্যা