Householder's method
গণিতে, এবং আরও সুনির্দিষ্টভাবে সংখ্যাসূচক বিশ্লেষণে, হাউজহোল্ডারের পদ্ধতিগুলি মূল-সন্ধানকারী অ্যালগরিদমগুলির একটি শ্রেণী যা কোনও ক্রম পর্যন্ত অবিচ্ছিন্ন ডেরিভেটিভ সহ একটি বাস্তব চলকের ফাংশনের জন্য ব্যবহৃত হয়। এই পদ্ধতিগুলির প্রত্যেকটি সংখ্যা দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, যা পদ্ধতির ক্রম হিসাবে পরিচিত। অ্যালগরিদমটি পুনরাবৃত্তিমূলক এবং এর একত্রীকরণের হার রয়েছে। এই পদ্ধতিগুলি মার্কিন গণিতবিদ অ্যালস্টন স্কট হাউজহোল্ডারের নামে নামকরণ করা হয়েছে। পদ্ধতি হাউজহোল্ডার পদ্ধতি হল সমীকরণ সমাধানের জন্য একটি সংখ্যাসূচক অ্যালগরিদম। এই ক্ষেত্রে, ফাংশনটিকে একটি বাস্তব চলকের ফাংশন হতে হবে। পদ্ধতিটি প্রাথমিক অনুমান দিয়ে শুরু হওয়া পুনরাবৃত্তির একটি ক্রম নিয়ে গঠিত। যদি একটি গুণ অবিচ্ছিন্নভাবে অবকলনীয় ফাংশন হয় এবং এর শূন্য হয় তবে এর অন্তরজ নয়, তবে, এর আশেপাশে, পুনরাবৃত্তিগুলি সন্তুষ্ট করেঃ, কিছু লোকের জন্য এর অর্থ হল যে প্রাথমিক অনুমানটি যথেষ্ট কাছাকাছি থাকলে পুনরাবৃত্তিগুলি শূন্যে একত্রিত হয় এবং অভিসারের ক্রম বা আরও ভাল থাকে। উপরন্তু, যখন যথেষ্ট কাছাকাছি, এটি সাধারণত কারো কারো ক্ষেত্রে হয়। বিশেষত, যদি জোড় হয় এবং তারপর ডান দিক থেকে অভিসরণ হবে; যদি জোড় হয় এবং তারপর বাম দিক থেকে অভিসরণ হবে; যদি বিজোড় হয় এবং তারপর যেখানে এটি শুরু হয় সেই দিক থেকে অভিসরণ হবে; এবং যদি বিজোড় হয় এবং তারপর বিকল্প দিকে অভিসরণ হবে। তাদের একত্রীকরণের ক্রম সত্ত্বেও, এই পদ্ধতিগুলি ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয় না কারণ নির্ভুলতার লাভ বড় প্রচেষ্টার বৃদ্ধির সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ নয়। অস্ট্রোস্কি সূচক পুনরাবৃত্তি গণনার পরিবর্তে ফাংশন মূল্যায়নের সংখ্যায় ত্রুটি হ্রাস প্রকাশ করে। পলিনোমিয়ালের জন্য, হর্নার পদ্ধতি ব্যবহার করে প্রথম ডেরিভেটিভের মূল্যায়নে পলিনোমিয়াল মূল্যায়নের একটি প্রচেষ্টা রয়েছে। যেহেতু পুনরাবৃত্তির উপর মূল্যায়নগুলি একটি ত্রুটি সূচক দেয়, তাই একটি ফাংশন মূল্যায়নের সূচক হল, সংখ্যাসূচকভাবে, জন্য, এবং তার পরে পড়ে যাওয়া। এই মানদণ্ড অনুসারে, কেসটি (হ্যালির পদ্ধতি) এর সর্বোত্তম মান। সাধারণ ফাংশনের জন্য স্বয়ংক্রিয় পৃথকীকরণের টেলর গাণিতিক ব্যবহার করে ডেরিভেটিভ মূল্যায়নের জন্য ফাংশন মূল্যায়নের সমতুল্য প্রয়োজন। একটি ফাংশন মূল্যায়ন এইভাবে একটি সূচক দ্বারা ত্রুটি হ্রাস করে, যা নিউটনের পদ্ধতির জন্য, হ্যালির পদ্ধতির জন্য এবং উচ্চতর ক্রম পদ্ধতির জন্য 1 বা রৈখিক অভিসারের দিকে পড়ে। অনুপ্রেরণা প্রথম পদ্ধতি ধরুন এবং এর আশেপাশে বিশ্লেষণাত্মক। তারপর একটি টেলর সিরিজ আছে এবং এর ধ্রুবক পদ শূন্য। যেহেতু এই ধ্রুবক পদটি শূন্য, তাই ফাংশনের একটি টেলর সিরিজ থাকবে এবং কখন এর ধ্রুবক পদটি শূন্য হবে না। যেহেতু সেই ধ্রুবক পদটি শূন্য নয়, তাই এটি অনুসরণ করে যে পারস্পরিকের একটি টেলর সিরিজ রয়েছে, যা আমরা হিসাবে লিখব এবং এর ধ্রুবক পদটি শূন্য হবে না। সেই টেলর সিরিজ ব্যবহার করে আমরা লিখতে পারি যখন আমরা এর-তম ডেরিভেটিভ গণনা করি, তখন আমরা লক্ষ্য করি যে সুবিধামত পদগুলি অদৃশ্য হয়ে যায়ঃ বড় ও স্বরলিপি ব্যবহার করে। এইভাবে আমরা পাই যে অনুপাতটি যদি এর শূন্য সবচেয়ে কাছাকাছি হয় তবে দ্বিতীয় ফ্যাক্টরটি 1-এ যায় এবং অনন্তের দিকে যায়। দ্বিতীয় পদ্ধতিটি ধরুন একটি সহজ মূল। তারপর কাছাকাছি, একটি মেরোমর্ফিক ফাংশন। ধরুন আমাদের টেলর সম্প্রসারণ রয়েছেঃ এমন একটি বিন্দুর কাছাকাছি যা অন্য যে কোনও শূন্যের কাছাকাছি। কনিগের উপপাদ্য অনুসারে, আমাদের রয়েছেঃ এগুলি পরামর্শ দেয় যে হাউজহোল্ডারের পুনরাবৃত্তি একটি ভাল অভিসারী পুনরাবৃত্তি হতে পারে। সংমিশ্রণের প্রকৃত প্রমাণও এই ধারণাগুলির উপর ভিত্তি করে। লোয়ার অর্ডার হাউজহোল্ডারের অর্ডার 1 পদ্ধতির পদ্ধতিগুলি নিউটনের পদ্ধতি, যেহেতুঃ হাউজহোল্ডারের অর্ডার 2 পদ্ধতির জন্য একটি হ্যালির পদ্ধতি পায়, যেহেতু আইডেন্টিটি এবং ফলাফল শেষ লাইনে, বিন্দুতে নিউটন পুনরাবৃত্তির আপডেট। নিউটনের সহজ পদ্ধতির মধ্যে পার্থক্য কোথায় তা দেখানোর জন্য এই লাইনটি যুক্ত করা হয়েছিল। থার্ড অর্ডার পদ্ধতিটি থার্ড অর্ডার ডেরিভেটিভের পরিচয় থেকে প্রাপ্ত হয় এবং এর সূত্র ইত্যাদি রয়েছে। উদাহরণ নিউটন-রাফসন-সিম্পসন পদ্ধতিতে নিউটন দ্বারা সমাধান করা প্রথম সমস্যাটি ছিল বহুপদী সমীকরণ। তিনি লক্ষ্য করেছেন যে 2-এর কাছাকাছি একটি সমাধান থাকা উচিত। প্রতিস্থাপন সমীকরণটিকে রূপান্তরিত করে। পারস্পরিক ফাংশনের টেলর সিরিজ শুরু হয় হাউজহোল্ডারের বিভিন্ন অর্ডারের পদ্ধতি প্রয়োগের ফলাফল পরবর্তী পাওয়ার সিরিজের প্রতিবেশী সহগগুলিকে ভাগ করে পাওয়া যায়। প্রথম অর্ডারের জন্য শুধুমাত্র একটি পুনরাবৃত্তি ধাপের পরে নিম্নলিখিত মানগুলি পাওয়া যায়ঃ উদাহরণস্বরূপ, তৃতীয় অর্ডারের ক্ষেত্রে, যেমন কেউ দেখতে পাচ্ছেন, প্রতিটি ক্রমের জন্য সঠিক দশমিক স্থানের চেয়ে কিছুটা বেশি রয়েছে। সঠিক সমাধানের প্রথম একশো অঙ্ক হল। আসুন কিছু সর্বনিম্ন ক্রমের জন্য মান গণনা করা যাক, এবং নিম্নলিখিত সম্পর্কগুলি ব্যবহার করে, 1ম ক্রম; 2য় ক্রম; 3য় ক্রম; ডেরিভেশন হাউজহোল্ডারের পদ্ধতির একটি সঠিক ব্যুৎপত্তি ফাংশনের ক্রমের প্যাডে আনুমানিক থেকে শুরু হয়, যেখানে রৈখিক সংখ্যাসূচক সহ আনুমানিক বেছে নেওয়া হয়। একবার এটি অর্জন করা হয়ে গেলে, পরবর্তী অনুমানের জন্য আপডেটটি সংখ্যার অনন্য শূন্য গণনা থেকে ফলাফল দেয়। প্যাডে আনুমানিক রূপটি যুক্তিসঙ্গত ফাংশনের একটি শূন্য রয়েছে। ঠিক যেমন ডিগ্রির টেইলর পলিনোমিয়ালের সহগ রয়েছে যা ফাংশনের উপর নির্ভর করে, তেমনি প্যাডে আনুমানিকতারও সহগ রয়েছে যা তার ডেরিভেটিভের উপর নির্ভর করে। আরও সুনির্দিষ্টভাবে বলতে গেলে, যে কোনও প্যাডে আনুমানিক সংখ্যায়, সংখ্যা এবং হরের বহুপদের ডিগ্রিগুলি আনুমানিক ক্রমানুসারে যোগ করতে হবে। তাই ধরে রাখতে হবে। ইউক্লিডের অ্যালগরিদম ব্যবহার করে টেলর পলিনোমিয়াল থেকে শুরু করে প্যাডে আনুমানিক নির্ধারণ করা যেতে পারে। যাইহোক, এর টেলর বহুপদী থেকে শুরু করে সংক্ষিপ্ত এবং সরাসরি প্রদত্ত সূত্রের দিকে নিয়ে যায়। যেহেতু কাঙ্ক্ষিত যুক্তিসঙ্গত ফাংশনের বিপরীতের সমান হতে হবে, তাই আমরা পাওয়ারের সাথে সমীকরণটি গুণ করার পরে পাই। এখন, সংখ্যার শূন্যের জন্য শেষ সমীকরণটি সমাধান করলে ফলাফল পাওয়া যায়। এটি পুনরাবৃত্তির সূত্রকে বোঝায়। নিউটনের পদ্ধতির সাথে বাস্তব-মূল্যবান ফাংশনের ক্ষেত্রে প্রয়োগ করা হাউজহোল্ডারের পদ্ধতিটি নিউটনের পদ্ধতিতে প্রয়োগ করা পদ্ধতির মতোইঃ বিশেষত, নিউটনের পদ্ধতিটি অপরিবর্তিত দেয় এবং হ্যালির পদ্ধতিটি দেয়। রেফারেন্স বাহ্যিক লিঙ্ক দ্রষ্টব্যঃ এই লিঙ্কের পোস্টস্ক্রিপ্ট সংস্করণটি ব্যবহার করুন; ওয়েবসাইট সংস্করণটি সঠিকভাবে সংকলিত হয়নি। রুট-ফাইন্ডিং অ্যালগরিদম