CAT(k) space
গণিতে, একটি স্থান, যেখানে একটি বাস্তব সংখ্যা, একটি নির্দিষ্ট ধরনের মেট্রিক স্থান। স্বজ্ঞাতভাবে, একটি স্থানের ত্রিভুজগুলি ধ্রুবক বক্রতার একটি আদর্শ স্থানে সংশ্লিষ্ট "মডেল ত্রিভুজগুলির" তুলনায় "পাতলা" হয়। একটি স্থানে, বক্রতা উপর থেকে দ্বারা আবদ্ধ থাকে। একটি উল্লেখযোগ্য বিশেষ উদাহরণ হল; ফরাসি গণিতবিদ জ্যাক হ্যাডামার্ডের নামে সম্পূর্ণ স্থানগুলি "হ্যাডামার্ড স্পেস" নামে পরিচিত। মূলত, আলেকজান্ডারভ এই স্থানগুলিকে "ডোমেন" বলে অভিহিত করেছিলেন। এই পরিভাষাটি 1987 সালে মিখাইল গ্রোমভ দ্বারা উদ্ভাবিত হয়েছিল এবং এটি এলি কার্টান, আলেকজান্ডার ড্যানিলোভিচ আলেকজান্ডারভ এবং ভিক্টর আন্দ্রিভিচ টোপোনোগভের সংক্ষিপ্ত রূপ (যদিও টোপোনোগভ কখনই প্রকাশনাগুলিতে উপরে আবদ্ধ বক্রতা অন্বেষণ করেননি)। সংজ্ঞা একটি বাস্তব সংখ্যার জন্য, স্থির বক্রতা সহ অনন্য সম্পূর্ণ সরলভাবে সংযুক্ত পৃষ্ঠকে (বাস্তব 2-মাত্রিক রিম্যানিয়ান ম্যানিফোল্ড) নির্দেশ করা যাক। এর ব্যাস দ্বারা চিহ্নিত করুন, যা হল যদি এবং হল যদি। ধরা যাক একটি জিওডেসিক মেট্রিক স্পেস, অর্থাৎ। একটি মেট্রিক স্থান যার জন্য প্রতি দুটি বিন্দু একটি জিওডেসিক বিভাগ দ্বারা যুক্ত হতে পারে, একটি চাপ দৈর্ঘ্যের প্যারামিট্রাইজড অবিচ্ছিন্ন বক্ররেখা, যার দৈর্ঘ্য সঠিকভাবে। ধরা যাক একটি ত্রিভুজ যার পার্শ্বে ভূগণিতের অংশ রয়েছে। বলা হয় যে, মডেল স্পেসে যদি একটি তুলনামূলক ত্রিভুজ থাকে, যার দিকগুলি একই দৈর্ঘ্যের হয়, যেমন উপরের বিন্দুগুলির মধ্যে দূরত্ব সংশ্লিষ্ট বিন্দুগুলির মধ্যে দূরত্বের চেয়ে কম বা সমান হয়। জিওডেসিক মেট্রিক স্পেসকে একটি স্থান বলা হয় যদি প্রতিটি জিওডেসিক ত্রিভুজ অসমানতাকে সন্তুষ্ট করে যার পরিধি তার চেয়ে কম হয়। একটি (অপ্রয়োজনীয়-জিওডেসিক) মেট্রিক স্থানকে বক্রতা সহ একটি স্থান বলা হয় যদি প্রতিটি বিন্দুর একটি জিওডেসিক্যালি উত্তল প্রতিবেশী থাকে। বক্রতা সহ একটি স্থানের অ-ধনাত্মক বক্রতা থাকতে পারে। উদাহরণ যে কোনও স্থান সকলের জন্যও একটি স্থান। প্রকৃতপক্ষে, বিপরীতটি ধারণ করেঃ যদি সকলের জন্য একটি স্থান হয়, তবে এটি একটি স্থান। স্বাভাবিক মেট্রিক সহ-মাত্রিক ইউক্লিডীয় স্থান হল একটি স্থান। আরও সাধারণভাবে, যে কোনও বাস্তব অভ্যন্তরীণ পণ্য স্থান (অপরিহার্যভাবে সম্পূর্ণ নয়) একটি স্থান; বিপরীতভাবে, যদি একটি বাস্তব আদর্শ ভেক্টর স্থান কিছু বাস্তব স্থানের জন্য একটি স্থান হয়, তবে এটি একটি অভ্যন্তরীণ পণ্য স্থান। তার স্বাভাবিক মেট্রিক সহ-মাত্রিক হাইপারবোলিক স্থানটি একটি স্থান, এবং তাই একটি স্থানও। - মাত্রিক একক গোলক হল একটি স্থান। আরও সাধারণভাবে, স্ট্যান্ডার্ড স্পেস হল একটি স্পেস। সুতরাং, উদাহরণস্বরূপ, মাত্রা নির্বিশেষে, ব্যাসার্ধের গোলক (এবং ধ্রুবক বক্রতা) একটি স্থান। লক্ষ্য করুন যে গোলকের ব্যাস (গোলকের পৃষ্ঠে পরিমাপ করা হয়) নয় (গোলকের কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে গিয়ে পরিমাপ করা হয়)। ছিদ্রযুক্ত সমতলটি একটি স্থান নয় কারণ এটি ভূগণিতগতভাবে উত্তল নয় (উদাহরণস্বরূপ, বিন্দুগুলি এবং চাপের দৈর্ঘ্য 2 সহ একটি ভূগণিত দ্বারা যুক্ত করা যায় না), তবে এর প্রতিটি বিন্দুর একটি ভূগণিতগতভাবে উত্তল প্রতিবেশী থাকে, তাই এটি একটি বক্রতার স্থান। প্রবর্তিত দৈর্ঘ্যের মেট্রিক দিয়ে সজ্জিত দ্বারা প্রদত্ত বদ্ধ সাবস্পেস কোনওটির জন্য স্থান নয়। স্থানের যে কোনও পণ্য। (এটি নেতিবাচক যুক্তির জন্য প্রযোজ্য নয়।) হ্যাডামার্ড স্পেস একটি বিশেষ ক্ষেত্রে, একটি সম্পূর্ণ সিএটি (0) স্পেস হ্যাডামার্ড স্পেস নামেও পরিচিত; এটি হ্যাডামার্ড ম্যানিফোল্ডের পরিস্থিতির সাথে সাদৃশ্যপূর্ণ। একটি হ্যাডামার্ড স্থান সংকুচিত (এটির একটি বিন্দুর সমস্থানিক প্রকার রয়েছে) এবং একটি হ্যাডামার্ড স্থানের যে কোনও দুটি বিন্দুর মধ্যে একটি অনন্য ভূগণিত বিভাগ রয়েছে যা তাদের সংযুক্ত করে (প্রকৃতপক্ষে, উভয় বৈশিষ্ট্যই সাধারণ, সম্ভবত অসম্পূর্ণ, সিএটি (0) স্থানের জন্যও ধারণ করে)। সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ বিষয় হল, হ্যাডামার্ড স্পেসে দূরত্ব ফাংশনগুলি উত্তল হয়ঃ যদি X-এ দুটি ভূগণিত একই সময়ের ব্যবধান I-এ সংজ্ঞায়িত করা হয়, তবে দ্বারা প্রদত্ত ফাংশনটি t-তে উত্তল। তারপরে নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্যগুলি ধারণ করেঃ যে কোনও দুটি পয়েন্ট (যদি সহ) দেওয়া হলে, একটি অনন্য জিওডেসিক বিভাগ রয়েছে যা যুক্ত হয়; উপরন্তু, এই বিভাগটি তার শেষ পয়েন্টগুলির একটি ফাংশন হিসাবে ক্রমাগত পরিবর্তিত হয়। প্রতিটি স্থানীয় জিওডেসিকের দৈর্ঘ্য সর্বাধিক একটি জিওডেসিক। ব্যাসার্ধের মধ্যে-বলগুলি (ভৌগোলিকভাবে) উত্তলের চেয়ে কম। এর চেয়ে কম ব্যাসার্ধের বলগুলি সংকুচিত হয়। আনুমানিক মধ্যবিন্দুগুলি নিম্নলিখিত অর্থে মধ্যবিন্দুগুলির কাছাকাছিঃ প্রতিটি এবং প্রত্যেকের জন্য এমন একটি বিদ্যমান যে, যদি একটি ভূগণিত বিভাগের মধ্যবিন্দু হয় এবং তারপর। এই বৈশিষ্ট্যগুলি থেকে জানা যায় যে, প্রতিটি স্থানের সর্বজনীন আবরণ সঙ্কুচিত হতে পারে; বিশেষত, এই ধরনের স্থানের উচ্চতর হোমোটপি গোষ্ঠীগুলি তুচ্ছ। যেমন-গোলকটির উদাহরণ দেখায়, সাধারণভাবে, কোনও স্থান সংকুচিত হওয়ার কোনও আশা নেই। অ-ধনাত্মক বক্রতার পৃষ্ঠতল এমন একটি অঞ্চলে যেখানে পৃষ্ঠের বক্রতা সন্তুষ্ট হয়, ভূগাণিতিক ত্রিভুজগুলি কার্টান, আলেকজাণ্ডারভ এবং টোপোনোগভ দ্বারা অধ্যয়ন করা তুলনামূলক জ্যামিতির সিএটি (0) বৈষম্যকে সন্তুষ্ট করে এবং ব্রুহাত এবং টিটস দ্বারা পরে ভিন্ন দৃষ্টিকোণ থেকে বিবেচনা করা হয়; গ্রোমভের দৃষ্টিভঙ্গির জন্য ধন্যবাদ, অন্তর্নিহিত মেট্রিক স্থানের পরিপ্রেক্ষিতে অ-ধনাত্মক বক্রতার এই বৈশিষ্ট্য আধুনিক জ্যামিতি এবং বিশেষত জ্যামিতিক গ্রুপ তত্ত্বের উপর গভীর প্রভাব ফেলেছে। মসৃণ পৃষ্ঠতল এবং তাদের ভূগণিতের জন্য পরিচিত অনেক ফলাফল, যেমন বারখফের বক্ররেখা-সংক্ষিপ্তকরণ প্রক্রিয়া দ্বারা ভূগণিত গঠনের পদ্ধতি বা ভ্যান ম্যাঙ্গোল্ট এবং হ্যাডামার্ডের উপপাদ্য যে অ-ধনাত্মক বক্রতার একটি সহজভাবে সংযুক্ত পৃষ্ঠ সমতলের সমরূপ, এই আরও সাধারণ পরিবেশে সমানভাবে বৈধ। আলেকজান্দ্রোভের তুলনামূলক অসমতা তুলনামূলক অসমতার সহজতম রূপ, যা 1940 সালের দিকে আলেকজান্দ্রোভের দ্বারা পৃষ্ঠতলের জন্য প্রথম প্রমাণিত হয়েছিল, বলে যে অসমতা এই সত্য থেকে অনুসরণ করে যে যদি আর্ক্লেন্থ দ্বারা জ্যামিতিক পরামিতি বর্ণনা করা হয় এবং এটি একটি নির্দিষ্ট বিন্দু হয়, তবে এটি একটি উত্তল ফাংশন, অর্থাৎ। উৎপত্তির সাথে ভূগাণিতিক মেরু স্থানাঙ্ক গ্রহণ করলে, উত্তলতা স্বাভাবিক স্থানাঙ্কে পরিবর্তনের সমতুল্য হয়, এ, এই বৈষম্য হয়ে যায়, যেখানে একক ভেক্টরের সাথে মিলে যায়। এটি অসমানতাকে অনুসরণ করে, যা স্টর্ম-লিউভিল তত্ত্বের ব্রনস্কিয়ানের এবং এর থেকে উদ্ভূত অ-নেতিবাচকতার একটি পরিণতি। আরও দেখুন কার্টান-হ্যাডামার্ড উপপাদ্য রেফারেন্স মেট্রিক জ্যামিতি