Hurwitz surface
রিম্যান পৃষ্ঠ তত্ত্ব এবং হাইপারবোলিক জ্যামিতিতে, অ্যাডলফ হারউইৎজের নামে নামকরণ করা একটি হারউইৎজ পৃষ্ঠ হল একটি কম্প্যাক্ট রিম্যান পৃষ্ঠ যা সঠিকভাবে 84 (জি-1) অটোমরফিজম সহ, যেখানে জি হল পৃষ্ঠের গণ। অটোমরফিজমের উপর হারউইৎজের উপপাদ্যের ভিত্তিতে এই সংখ্যাটি সর্বাধিক। এগুলিকে জটিল বীজগাণিতিক বক্ররেখা (জটিল মাত্রা 1 = বাস্তব মাত্রা 2) হিসাবে ব্যাখ্যা করে হারউইৎজ বক্ররেখা হিসাবেও উল্লেখ করা হয়। একটি হারউইৎজ পৃষ্ঠের ফুচসিয়ান গোষ্ঠী হল (সাধারণ) (2,3,7) ত্রিভুজ গোষ্ঠীর একটি সসীম সূচক টর্জন-মুক্ত স্বাভাবিক উপগোষ্ঠী। সসীম ভাগফল গ্রুপটি সঠিকভাবে অটোমরফিজম গ্রুপ। জটিল বীজগাণিতিক বক্ররেখার অটোমর্ফিজমগুলি অন্তর্নিহিত বাস্তব পৃষ্ঠের অভিযোজন-সংরক্ষণকারী অটোমর্ফিজম; যদি কেউ অভিযোজন-বিপরীত আইসোমেট্রিগুলিকে অনুমতি দেয়, তবে এটি 168 (g−1) ক্রমের দ্বিগুণ বড় একটি গ্রুপ তৈরি করে, যা কখনও কখনও আগ্রহের বিষয়। পরিভাষার উপর একটি নোট-এই এবং অন্যান্য প্রসঙ্গে, "(2,3,7) ত্রিভুজ গোষ্ঠী" প্রায়শই পূর্ণ ত্রিভুজ গোষ্ঠীকে (2,3,7) (শোয়ার্জ ত্রিভুজ (2,3,7) সহ কক্সেটার গোষ্ঠী বা একটি হাইপারবোলিক প্রতিফলন গোষ্ঠী হিসাবে উপলব্ধি) বোঝায় না, বরং অভিযোজন-সংরক্ষণকারী মানচিত্রের (ঘূর্ণন গোষ্ঠী) সাধারণ ত্রিভুজ গোষ্ঠীকে (ভন ডাইক গোষ্ঠী) D (2,3,7) বোঝায়, যা সূচক 2। জটিল অটোমরফিজমের গ্রুপটি সাধারণ (অভিযোজন-সংরক্ষণ) ত্রিভুজ গোষ্ঠীর একটি ভাগফল, যেখানে (সম্ভবত অভিযোজন-বিপরীত) আইসোমেট্রিগুলির গ্রুপটি পূর্ণ ত্রিভুজ গোষ্ঠীর একটি ভাগফল। গণ অনুসারে শ্রেণীবিভাগ শুধুমাত্র প্রতিটি গণের সাথে সীমাবদ্ধভাবে অনেকগুলি হারউইৎজ পৃষ্ঠতল দেখা যায়। এই গণের হারউইৎজ পৃষ্ঠের সংখ্যার সাথে গণের ম্যাপিং ফাংশনটি সীমাহীন, যদিও এর বেশিরভাগ মান শূন্য। সমষ্টিটি এর জন্য একত্রিত হয়, যা আনুমানিক অর্থে বোঝায় যে হারউইৎজ পৃষ্ঠের গণটি কমপক্ষে এর একটি ঘন ফাংশন হিসাবে বৃদ্ধি পায়। কনিষ্ঠতম বংশের হারউইৎজ পৃষ্ঠটি হল 3য় বংশের ক্লেইন কোয়ার্টিক, অটোমরফিজম গ্রুপ সহ প্রজেক্টিভ বিশেষ রৈখিক গ্রুপ পিএসএল (2,7), ক্রম 84 (3−1) = 168 = 23·3·7, যা একটি সহজ গ্রুপ; (অথবা ক্রম 336 যদি কেউ অভিযোজন-বিপরীত সমমিতির অনুমতি দেয়)। পরবর্তী সম্ভাব্য প্রজাতি হল 7, যা ম্যাকবিথ পৃষ্ঠ দ্বারা অধিকৃত, অটোমরফিজম গ্রুপ পিএসএল (2,8) সহ, যা 84 (7−1) = 504 = 23·32·7 ক্রমের সহজ গ্রুপ; যদি একটিতে অভিযোজন-বিপরীতকারী আইসোমেট্রি অন্তর্ভুক্ত থাকে, তবে গ্রুপটি 1,008 ক্রমের। একটি আকর্ষণীয় ঘটনা পরবর্তী সম্ভাব্য গণের মধ্যে ঘটে, যথা 14। এখানে অভিন্ন অটোমরফিজম গ্রুপের (84 (14−1) = 1092 = 22·3·7·13 ক্রমের) সঙ্গে স্বতন্ত্র রিম্যান পৃষ্ঠের তিনগুণ রয়েছে। এই ঘটনার ব্যাখ্যা হল গাণিতিক। অর্থাৎ, উপযুক্ত সংখ্যা ক্ষেত্রের পূর্ণসংখ্যার বলয়ে, মূলদ মৌলিক সংখ্যা 13 তিনটি স্বতন্ত্র মৌলিক আদর্শের গুণফল হিসাবে বিভক্ত হয়। মৌলিক সংখ্যার ত্রিগুণ দ্বারা সংজ্ঞায়িত প্রধান সঙ্গতিপূর্ণ উপগোষ্ঠীগুলি প্রথম হারউইৎজ ত্রিগুণের সাথে সম্পর্কিত ফুচসিয়ান গোষ্ঠী তৈরি করে। একটি হারউইৎজ পৃষ্ঠের গণের জন্য অনুমোদিত মানগুলির ক্রম শুরু হয় 3,7,14,17,118,129,146,385,411,474,687,769,1009,1025,1459,1537,2091 থেকে। আরও দেখুন হারউইৎজ কোয়াটারনিয়ন ক্রম রেফারেন্স এলকিজ, এন.: শিমুরা বক্ররেখা গণনা। অ্যালগরিদমিক নম্বর থিওরি (পোর্টল্যান্ড, ওআর, 1998), 1-47, লেকচার নোটস ইন কম্পিউটার সায়েন্স, 1423, স্প্রিঙ্গার, বার্লিন, 1998। কাটজ, এম.; স্ক্যাপস, এম.; ভিশনে, ইউ. দেখুনঃ সঙ্গতিপূর্ণ উপগোষ্ঠীগুলির সাথে গাণিতিক রিম্যান পৃষ্ঠের সিস্টোলের লগারিদমিক বৃদ্ধি। জে। ডিফারেনশিয়াল জিওম। 76 (2007), নং। 3, 399-422। রিম্যান পৃষ্ঠে পাওয়া যায় সিস্টোলিক জ্যামিতি