Quasiconvexity (calculus of variations)
বৈচিত্র্যের গণনায়, গণিতের একটি উপক্ষেত্র, কোয়াসিকোভেক্সিটি হল উত্তলতার ধারণার একটি সাধারণীকরণ। এটি একটি কার্যকরী এবং মিনিমাইজারের অস্তিত্বের সাথে সম্পর্কিত ইন্টিগ্র্যাণ্ডকে চিহ্নিত করতে ব্যবহৃত হয়। কিছু প্রাকৃতিক পরিস্থিতিতে, পর্যাপ্ত নিয়মিত ডোমেনের জন্য, দুর্বল টপোলজিতে একটি কার্যকরী নিম্ন আধা-ধারাবাহিক হওয়ার জন্য ইন্টিগ্র্যান্ডের কোয়াসিকোভেক্সিটি একটি প্রয়োজনীয় এবং পর্যাপ্ত শর্ত। কম্প্যাক্টনেস আর্গুমেন্ট (বানাচ-আলাওগ্লু উপপাদ্য) দ্বারা দুর্বলভাবে নিম্ন অর্ধ-ধ্রুবক কার্যকারিতার মিনিমাইজারের অস্তিত্ব সরাসরি পদ্ধতি থেকে অনুসরণ করা যেতে পারে। এই ধারণাটি 1952 সালে মোরি দ্বারা প্রবর্তিত হয়েছিল। এই সাধারণীকরণকে একই নামের কোয়াসিকোভেক্স ফাংশনের একই ধারণার সাথে বিভ্রান্ত করা উচিত নয়। সংজ্ঞা একটি স্থানীয়ভাবে আবদ্ধ বোরেল-পরিমাপযোগ্য ফাংশনকে কোয়াসিকোভেক্স বলা হয় যদি সকলের জন্য, একক বলটি কোথায় এবং মূলত আবদ্ধ অন্তরজ এবং বিলুপ্ত ট্রেস সহ মূলত আবদ্ধ ফাংশনের সোবোলেভ স্থান। কোয়াসিকোভেক্স ফাংশনের বৈশিষ্ট্য ডোমেনটি অন্য যে কোনও আবদ্ধ লিপশিটজ ডোমেন দ্বারা প্রতিস্থাপিত হতে পারে। কোয়াসিকোভেক্স ফাংশনগুলি স্থানীয়ভাবে লিপস্কিটজ-ধারাবাহিক। সংজ্ঞায় স্থানটি পর্যায়ক্রমিক সোবোলেভ ফাংশন দ্বারা প্রতিস্থাপিত হতে পারে। উত্তলতার অন্যান্য ধারণার সাথে সম্পর্ক কোয়াসিকোভেক্সিটি ম্যাট্রিক্সগুলিতে সংজ্ঞায়িত ফাংশনের জন্য উত্তলতার একটি সাধারণীকরণ, এটি দেখতে এবং এর সাথে। রিয়েজ-মার্কভ-কাকুতানি উপস্থাপনা উপপাদ্য বলে যে এর দ্বৈত স্থানটি স্বাক্ষরিত, সীমাবদ্ধ রেডনের পরিমাপের স্থান দিয়ে চিহ্নিত করা যেতে পারে। আমরা একটি রেডনের পরিমাপকে এর দ্বারা সংজ্ঞায়িত করি। এটি যাচাই করা যেতে পারে যে এটি একটি সম্ভাব্যতা পরিমাপ এবং এর ব্যারিসেন্টার দেওয়া হয় যদি একটি উত্তল ফাংশন হয়, তবে জেনসেন্সের অসমতা দেয় এটি বিশেষভাবে ধরে রাখে যদি এটি সাধারণ স্টোক্সের উপপাদ্য দ্বারা উদ্ভূত হয়। নির্ধারক একটি কোয়াসিকোভেক্স ফাংশনের একটি উদাহরণ, যা উত্তল নয়। নির্ধারক উত্তল নয় তা দেখার জন্য, বিবেচনা করুন যে এটি তখন ধরে রাখে কিন্তু আমাদের আছে। এটি দেখায় যে নির্ধারক গেম তত্ত্বের মতো একটি কোয়াসিকোভেক্স ফাংশন নয় এবং এইভাবে উত্তলতার একটি স্বতন্ত্র ধারণা। ভ্যারিয়েশন ক্যালকুলাসের ভেক্টরিয়াল ক্ষেত্রে উত্তলতার অন্যান্য ধারণা রয়েছে। একটি ফাংশনের জন্য এটি ধারণ করে যে এই ধারণাগুলি সমস্ত সমতুল্য যদি বা। ইতিমধ্যে 1952 সালে, মোরে অনুমান করেছিলেন যে র্যাঙ্ক-1-কনভেক্সিটির অর্থ কোয়াসিকোভেক্সিটি নয়। কালকুলাস অফ ভ্যারিয়েশনস-এ এটি একটি প্রধান অমীমাংসিত সমস্যা ছিল, যতক্ষণ না স্ভেরাক 1993 সালে এই মামলার জন্য একটি পাল্টা উদাহরণ দেন। মামলাটি বা এখনও একটি উন্মুক্ত সমস্যা, যা মোরির অনুমান নামে পরিচিত। দুর্বল নিম্ন আধা-ধারাবাহিকতার সাথে সম্পর্ক ইন্টিগ্র্যান্ডের নির্দিষ্ট বৃদ্ধির অবস্থার অধীনে, একটি উপযুক্ত সোবোলেভ স্থানে একটি অবিচ্ছেদ্য কার্যকারিতার ক্রমিক দুর্বলভাবে নিম্ন আধা-ধারাবাহিকতা (এস. ডব্লিউ. এল. এস. সি) ইন্টিগ্র্যান্ডের কোয়াসিকোভেক্সিটির সমতুল্য। এসারবি এবং ফুস্কো নিম্নলিখিত উপপাদ্যটি প্রমাণ করেছেনঃ উপপাদ্যঃ যদি ক্যারাথিওডরি ফাংশন হয় এবং এটি ধারণ করে। তারপর কার্যকরী হল সোবোলেভ স্পেসে এস. ডব্লিউ. এল. এস. সি, যদি এবং শুধুমাত্র যদি কোয়াসিকোভেক্স হয়। এখানে একটি ধনাত্মক ধ্রুবক এবং একটি অবিচ্ছেদ্য ফাংশন রয়েছে। অন্যান্য লেখকরা বিভিন্ন বৃদ্ধির শর্ত এবং বিভিন্ন প্রমাণ শর্ত ব্যবহার করেন। এর প্রথম প্রমাণ তাঁর গবেষণাপত্রে মোরির কারণে ছিল, তবে তাঁর অতিরিক্ত অনুমানের প্রয়োজন ছিল। তথ্যসূত্র বৈচিত্র্যের গণনা