Yamabe invariant
গণিতে, ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতির ক্ষেত্রে, ইয়ামাবে অপরিবর্তনীয়, যা সিগমা ধ্রুবক হিসাবেও উল্লেখ করা হয়, একটি মসৃণ ম্যানিফোল্ডের সাথে সম্পর্কিত একটি বাস্তব সংখ্যা যা ডিফিয়োমরফিজমের অধীনে সংরক্ষিত থাকে। এটি প্রথম স্বাধীনভাবে ও. কোবায়শি এবং আর. শোয়েন লিখেছিলেন এবং এইচ. ইয়ামাবের নাম থেকে এর নাম নেওয়া হয়েছে। ভিনসেন্ট মনক্রিফ এবং আর্থার ফিশার অধ্যয়নের জন্য আইনস্টাইনের সমীকরণের জন্য হ্যামিল্টনিয়ান ব্যবহার করেছিলেন। সংজ্ঞা ধরা যাক মাত্রার একটি কম্প্যাক্ট মসৃণ ম্যানিফোল্ড (সীমানা ছাড়াই)। স্বাভাবিক আইনস্টাইন-হিলবার্ট কার্যকরী একটি বাস্তব সংখ্যার উপর প্রতিটি রিম্যানিয়ান মেট্রিককে নিম্নরূপ বরাদ্দ করেঃ যেখানে এর স্কেলার বক্রতা এবং মেট্রিকের সাথে সম্পর্কিত আয়তনের ঘনত্ব। হরের সূচকটি এমনভাবে বেছে নেওয়া হয় যাতে কার্যকরী স্কেল-অপরিবর্তনীয় হয়ঃ প্রতিটি ধনাত্মক বাস্তব ধ্রুবকের জন্য, এটি সন্তুষ্ট হয়। আমরা ওভারের গড় স্কেলার বক্রতা পরিমাপ করার কথা ভাবতে পারি। ইয়ামাবে দ্বারা এটি অনুমান করা হয়েছিল যে মেট্রিকের প্রতিটি কনফরমাল ক্লাসে ধ্রুবক স্কেলার বক্রতার একটি মেট্রিক থাকে (তথাকথিত ইয়ামাবে সমস্যা); ইয়ামাবে, ট্রুডিঙ্গার, অবিন এবং শোয়েন দ্বারা এটি প্রমাণিত হয়েছিল যে প্রতিটি কনফরমাল শ্রেণীর মেট্রিকের মধ্যে ন্যূনতম মান অর্জন করা হয় এবং বিশেষত এই ন্যূনতমটি ধ্রুবক স্কেলার বক্রতার মেট্রিক দ্বারা অর্জন করা হয়। মসৃণ বাস্তব-মূল্যবান ফাংশনগুলির উপর অসীম কোথায় নেওয়া হয় তা আমরা সংজ্ঞায়িত করি। এই অসীম সীমাবদ্ধ (নয়): হল্ডারের বৈষম্য বোঝায়। সংখ্যাটিকে কখনও কখনও কনফরমাল ইয়ামাবে শক্তি বলা হয় (এবং কনফরমাল শ্রেণীতে ধ্রুবক)। আবিনের কারণে একটি তুলনামূলক যুক্তি দেখায় যে যে কোনও মেট্রিকের জন্য, উপরে দ্বারা আবদ্ধ, যেখানে-গোলকের স্ট্যান্ডার্ড মেট্রিক। এটি অনুসরণ করে যে আমরা যদি নির্ধারণ করি যে সমস্ত পরিমাপের উপর শ্রেষ্ঠত্ব কোথায় নেওয়া হয়, তবে (এবং বিশেষভাবে সীমাবদ্ধ)। বাস্তব সংখ্যাটিকে ইয়ামাবে অপরিবর্তনীয় বলা হয়। দুটি মাত্রায় ইয়ামাবে অপরিবর্তনীয় যে ক্ষেত্রে, (এম একটি বদ্ধ পৃষ্ঠ) আইনস্টাইন-হিলবার্ট কার্যকারিতা দেওয়া হয় যেখানে g এর গাউস বক্রতা কোথায়। তবে, গাউস-বনেট উপপাদ্য দ্বারা, গাউস বক্রতার অবিচ্ছেদ্য দ্বারা দেওয়া হয়, যেখানে এম এর অয়লার বৈশিষ্ট্য। বিশেষ করে, এই সংখ্যা মেট্রিকের পছন্দের উপর নির্ভর করে না। অতএব, পৃষ্ঠতলের জন্য, আমরা এই উপসংহারে পৌঁছেছি যে, উদাহরণস্বরূপ, 2-গোলকের সমান ইয়ামাবে অপরিবর্তনীয় রয়েছে এবং 2-টরসের শূন্যের সমান ইয়ামাবে অপরিবর্তনীয় রয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, 1990-এর দশকের শেষের দিকে, ক্লড লেব্রুন এবং তাঁর সহযোগীরা 4-ম্যানিফোল্ডের বড় শ্রেণীর জন্য ইয়ামাবে অপরিবর্তনীয় গণনা করেছিলেন। বিশেষত, এটি দেখানো হয়েছিল যে বেশিরভাগ কম্প্যাক্ট জটিল পৃষ্ঠের ঋণাত্মক, ঠিক গণনাযোগ্য ইয়ামাবে অপরিবর্তনীয় রয়েছে এবং ঋণাত্মক স্কেলার বক্রতার যে কোনও কেলার-আইনস্টাইন মেট্রিক মাত্রা 4-এ ইয়ামাবে অপরিবর্তনীয়কে উপলব্ধি করে। এটিও দেখানো হয়েছিল যে এর ইয়ামাবে অপরিবর্তনীয় ফুবিনি-স্টাডি মেট্রিক দ্বারা উপলব্ধি করা হয়, এবং তাই 4-গোলকের চেয়ে কম। এই যুক্তিগুলির বেশিরভাগই সাইবার্গ-উইটেন তত্ত্বের সাথে জড়িত, এবং তাই মাত্রা 4-এর জন্য নির্দিষ্ট। পিটিয়ানের কারণে একটি গুরুত্বপূর্ণ ফলাফল বলে যে যদি কেবল সংযুক্ত থাকে এবং এর মাত্রা থাকে, তাহলে। পেরেলম্যানের পয়েনকারে অনুমানের সমাধানের আলোকে, এটি অনুসরণ করা হয় যে একটি সহজভাবে সংযুক্ত-ম্যানিফোল্ডের নেতিবাচক ইয়ামাবে অপরিবর্তনীয় থাকতে পারে যদি। অন্যদিকে, যেমনটি ইতিমধ্যে নির্দেশিত হয়েছে, সহজভাবে সংযুক্ত-ম্যানিফোল্ডগুলিতে প্রায়শই নেতিবাচক ইয়ামাবে অপরিবর্তনীয় থাকে। নীচে পরিচিত ইয়ামাবে অপরিবর্তনীয় মাত্রা তিন-এর কিছু মসৃণ ম্যানিফোল্ডের একটি টেবিল রয়েছে। মাত্রা 3-এ, সংখ্যাটি সমান এবং প্রায়শই চিহ্নিত করা হয়। অ্যান্ডারসনের কারণে একটি যুক্তি দ্বারা, রিচি প্রবাহের উপর পেরেলম্যানের ফলাফলগুলি বোঝায় যে কোনও হাইপারবোলিক 3-ম্যানিফোল্ডের ধ্রুবক-বক্রতা মেট্রিক ইয়ামাবে অপরিবর্তনীয়কে উপলব্ধি করে। এটি আমাদের 3-ম্যানিফোল্ডের অসীম উদাহরণ প্রদান করে যার জন্য অপরিবর্তনীয় উভয়ই ঋণাত্মক এবং সঠিকভাবে গণনাযোগ্য। টপোলজিক্যাল তাৎপর্য ইয়ামাবের অপরিবর্তনীয় চিহ্নটি গুরুত্বপূর্ণ টপোলজিকাল তথ্য ধারণ করে। উদাহরণস্বরূপ, ধনাত্মক হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি ধনাত্মক স্কেলার বক্রতার একটি মেট্রিক গ্রহণ করা হয়। এই সত্যের তাৎপর্য হল যে ধনাত্মক স্কেলার বক্রতার মেট্রিক্স সহ ম্যানিফোল্ডের টপোলজি সম্পর্কে অনেক কিছু জানা যায়। এছাড়াও ইয়ামাবে প্রবাহ ইয়ামাবে সমস্যা ওবাটার উপপাদ্য নোটস রেফারেন্স এম. টি দেখুন। অ্যান্ডারসন, "3-ম্যানিফোল্ড এবং 4-ম্যানিফোল্ডের উপর ক্যানোনিকাল মেট্রিক্স", এশিয়ান জে। গণিত। 10 127-163 (2006)। কে. আকুতাগাওয়া, এম. ইশিদা, এবং সি. লেব্রুন, "পেরেলম্যানের অপরিবর্তনীয়, রিচি প্রবাহ, এবং মসৃণ ম্যানিফোল্ডের ইয়ামাবে অপরিবর্তনীয়", আর্চ। গণিত। 88, 71-76 (2007)। এইচ. ব্রে এবং এ. নেভেস, "ইয়ামাবে অপরিবর্তনীয় বৃহত্তর সহ মৌলিক 3-ম্যানিফোল্ডের শ্রেণিবিন্যাস", অ্যান। গণিত থেকে। 159, 407-424 (2004)। এম. জে. গার্স্কি এবং সি. লেব্রুন, "ইয়ামাবে অপরিবর্তনীয় এবং কাঠামো", জিওম। কার্যকরী। অ্যানাল। 8965-977 (1998)। ও. কোবায়শি, "একক আয়তনের সাথে একটি মেট্রিকের স্কেলার বক্রতা", গণিত। অ্যান। 279, 253-265,1987। সি. লেব্রুন, "চার-ম্যানিফোল্ডস উইদাউট আইনস্টাইন মেট্রিক্স", গণিত। রেস। যাক। 3 133-147 (1996)। সি. লেব্রুন, "কোডাইরা ডাইমেনশন অ্যান্ড দ্য ইয়ামাবে প্রবলেম", কম। অ্যানাল। জিওম। 7 133-156 (1999)। জে. পিটিয়ান, "সহজভাবে সংযুক্ত ম্যানিফোল্ডের ইয়ামাবে অপরিবর্তনীয়", জে. রেইন অ্যাঞ্জু। গণিত। 523 225-231 (2000)। আর. শোয়েন, "রিম্যানিয়ান মেট্রিক্স এবং সম্পর্কিত বিষয়গুলির জন্য মোট স্কেলার বক্রতার কার্যকারিতার জন্য বৈচিত্র্য তত্ত্ব", বৈচিত্র্যের ক্যালকুলাসের বিষয়, লেকচার। নোটস ম্যাথ। 1365, স্প্রিঙ্গার, বার্লিন, 120-154,1989। ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতি ডিফারেনশিয়াল টপোলজি