Partition algebra
পার্টিশন বীজগণিত হল একটি সহযোগী বীজগণিত যার ভিত্তি হল সেট-পার্টিশন ডায়াগ্রাম এবং ডায়াগ্রাম কনক্যাটেনেশন দ্বারা প্রদত্ত গুণন। এর সাবঅ্যালজেব্রাগুলির মধ্যে রয়েছে ডায়াগ্রাম অ্যালজেব্রা যেমন ব্রাউয়ার বীজগণিত, টেম্পারলি-লিব বীজগণিত বা প্রতিসম গোষ্ঠীর গ্রুপ বীজগণিত। বিভাজন বীজগণিতের উপস্থাপনাগুলি চিত্রের সেট এবং প্রতিসম গোষ্ঠীর উপস্থাপনা থেকে তৈরি করা হয়। সংজ্ঞায়িত রেখাচিত্র লেবেলযুক্ত উপাদানগুলির একটি বিভাজনকে একটি রেখাচিত্র হিসাবে উপস্থাপন করা হয়, যেখানে একই উপসেটে উপাদানগুলিকে সংযুক্ত করে এমন রেখা থাকে। নিম্নলিখিত উদাহরণে, উপসেটটি রেখার জন্ম দেয় এবং সমতুল্যভাবে লাইন দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে (উদাহরণস্বরূপ)। এবং-এর জন্য, বিভাজনের বীজগণিতকে বিভাজনের তৈরি একটি-ভিত্তি দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়, এবং ডায়াগ্রাম কনক্যাটেনেশন দ্বারা প্রদত্ত একটি গুণন। সংযুক্ত চিত্রটি একটি ফ্যাক্টরের সাথে আসে, যেখানে সংযুক্ত উপাদানগুলির সংখ্যা যা উপরের এবং নীচের উপাদানগুলি থেকে বিচ্ছিন্ন। জেনারেটর এবং সম্পর্ক বিভাজন বীজগণিত যে ধরনের উপাদান দ্বারা উৎপন্ন হয় এই জেনারেটরগুলি সেই ধরনের সম্পর্ক মেনে চলে যার মধ্যে রয়েছে অন্যান্য উপাদান যা সাবঅ্যালজেব্রা উৎপাদনের জন্য দরকারী। এটির একটি গুণিতক পরিচয় রয়েছে পার্টিশন বীজগণিত এর জন্য আধা-সহজ। এই সেটের যে কোনও দুটির জন্য, অ্যালজেব্রা এবং আইসোমরফিক। বিভাজনের বীজগণিতটি সসীম-মাত্রিক, (একটি ঘণ্টা সংখ্যা) সহ। বিভাজন বীজগণিতের আটটি উপ-উপ-উপ-উপ-উপ-উপ-উপ-উপ-উপ-উপ-উপ-উপ-উপ-উপ-উপ-উপ-উপ-উপ-উপ-উপ-উপ-উপ-উপ-উপ-উপ-উপ-উপ-উপ-উপ-উপ-উপ-উপ-উপ-উপ-উপ-উপ-উপ-উপ-উপ-উপ-উপ-উপ-উপ-উপ-উপ-উপ-উপ-উপ-উপ-উপ-উপ-উপ-উপ-উপ-উপ-উপ-উপ-উপ-উপ-উপ-উপ-উপ-উপ-উপ-উপ-উপ-উপ-উপ-উপ-উপ-উপ-উপ-উপ-উপ-উপ-উপ-উপ-উপ-উপ-উপ-উপ-উপ-উপ-উপ-উপ-উপ-উপ-উপ-উপ-উপ-উপ-উপ-উপ-উপ-উপ-উপ-উপ রেখা রেখাচিত্রে অতিক্রম করতে পারে কিনা। উপসেটগুলি যে কোনও আকার, বা আকার, বা শুধুমাত্র আকারের জন্য অনুমোদিত কিনা। আমরা উপরের-উপরের এবং নীচের-নীচের লাইনগুলিকে অনুমতি দিই, অথবা শুধুমাত্র উপরের-নীচের লাইনগুলিকে। পরের ক্ষেত্রে, প্যারামিটারটি অনুপস্থিত, বা দ্বারা বাদ দেওয়া যেতে পারে। এই বৈশিষ্ট্যগুলির সংমিশ্রণে পার্টিশন বীজগণিত ছাড়াও 8টি অ-তুচ্ছ সাবঅ্যালজেব্রার জন্ম হয়ঃ প্রতিসম গোষ্ঠী বীজগণিত হল প্রতিসম গোষ্ঠীর গ্রুপ রিং। মটজকিন বীজগণিতকে কখনও কখনও পদার্থবিজ্ঞান সাহিত্যে পাতলা টেম্পারলি-লিব বীজগণিত বলা হয়। বৈশিষ্ট্য তালিকাভুক্ত সাবঅ্যালজেব্রা এর জন্য আধা-সহজ। নন-প্ল্যানার অ্যালজেব্রাগুলিতে প্ল্যানারের অন্তর্ভুক্তিঃ উপসেট আকারের সীমাবদ্ধতা থেকে অন্তর্ভুক্তিঃ উপরের-উপর এবং নীচের-নীচের রেখাগুলিকে অনুমতি দেওয়া থেকে অন্তর্ভুক্তিঃ আমাদের আইসোমরফিজম রয়েছেঃ আরও সাবঅ্যালজেব্রা উপরে বর্ণিত আটটি সাবঅ্যালজেব্রা ছাড়াও, অন্যান্য সাবঅ্যালজেব্রা সংজ্ঞায়িত করা হয়েছেঃ সম্পূর্ণরূপে প্রচারিত বিভাজন সাবঅ্যালজেব্রা চিত্র দ্বারা উত্পন্ন হয় যার সমস্ত ব্লক প্রসারিত হয়, অর্থাৎ। পার্টিশন যার সমস্ত উপসেট উপরের এবং নীচের উপাদানগুলি ধারণ করে। এই চিত্রগুলি দ্বৈত প্রতিসম বিপরীত মনোয়েড থেকে, যা দ্বারা উত্পন্ন হয়। আধা-বিভাজন বীজগণিত কমপক্ষে দুটি আকারের উপসেট দ্বারা উত্পন্ন হয়। এর জেনারেটর হল এবং এর মাত্রা হল। ইউনিফর্ম ব্লক পারমুটেশন বীজগণিত নীচের উপাদানগুলির মতো অনেকগুলি শীর্ষ উপাদান সহ উপসেট দ্বারা উত্পন্ন হয়। এটি দ্বারা উৎপন্ন হয়। অর্ধ-পূর্ণসংখ্যা সূচক সহ একটি বীজগণিতকে উপাদানগুলির বিভাজন থেকে সংজ্ঞায়িত করা হয় এবং এটি একই উপসেটে থাকে। উদাহরণস্বরূপ, এর দ্বারা উৎপন্ন হয় যাতে, এবং। পর্যায়ক্রমিক সাবঅ্যালজেব্রা রেখাচিত্র দ্বারা তৈরি করা হয় যা লাইন ক্রসিং ছাড়াই একটি অ্যানুলাসে আঁকা যেতে পারে। এই ধরনের সাবঅ্যালজেব্রাগুলিতে এমন একটি অনুবাদ উপাদান অন্তর্ভুক্ত থাকে। অনুবাদ উপাদান এবং এর ক্ষমতা হল একমাত্র সংমিশ্রণ যা পর্যায়ক্রমিক সাবঅ্যালজেব্রার অন্তর্গত। উপস্থাপনা কাঠামো একটি পূর্ণসংখ্যার জন্য, উপাদানগুলির (নীচে) এবং (উপরে) বিভাজনের সেট হতে দিন, যাতে কোনও দুটি শীর্ষ উপাদান একই উপসেটে না থাকে এবং কোনও শীর্ষ উপাদান একা না থাকে। এই ধরনের বিভাজনগুলি প্রতিটি শীর্ষ উপাদানের জন্য কমপক্ষে একটি লাইন সহ কোনও শীর্ষ-শীর্ষ রেখা ছাড়াই চিত্র দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, ক্ষেত্রেঃ পার্টিশন রেখাচিত্রগুলি নীচে থেকে কাজ করে, যখন প্রতিসম গোষ্ঠীটি উপরে থেকে কাজ করে। এই উপস্থাপনার মাত্রা হল যেখানে দ্বিতীয় ধরনের একটি স্টার্লিং সংখ্যা, একটি দ্বিপদী সহগ, এবং হুক দৈর্ঘ্যের সূত্র দ্বারা দেওয়া হয়। সেট-পার্টিশন ট্যাবলোর পরিপ্রেক্ষিতে একটি ভিত্তিকে সমন্বিতভাবে বর্ণনা করা যেতে পারেঃ তরুণ ট্যাবলোগুলি যার বাক্সগুলি একটি সেট পার্টিশনের ব্লক দিয়ে ভরা হয়। যদি ধরে নেওয়া হয় যে এটি আধা-সরল, তবে উপস্থাপনাটি অপরিবর্তনীয়, এবং পার্টিশন বীজগণিতের অপরিবর্তনীয় সীমাবদ্ধ-মাত্রিক উপস্থাপনাগুলির সেট হল সাবঅ্যালজেব্রাগুলির প্রতিনিধিত্ব অ-প্ল্যানার সাবঅ্যালজেব্রাগুলির প্রতিনিধিত্বগুলির পার্টিশন বীজগণিতের উপস্থাপনাগুলির মতো একই কাঠামো রয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, ব্রাউয়ার বীজগণিতের ব্রাউয়ার-স্পেকট মডিউলগুলি স্পেকট মডিউল এবং পার্টিশনের নির্দিষ্ট সেট থেকে তৈরি করা হয়। প্ল্যানার সাবঅ্যালজেব্রার ক্ষেত্রে, প্ল্যানারিটি অ-তুচ্ছ বিন্যাসকে বাধা দেয় এবং স্পেকট মডিউলগুলি উপস্থিত হয় না। উদাহরণস্বরূপ, টেম্পারলি-লিব বীজগণিতের একটি স্ট্যান্ডার্ড মডিউল একটি পূর্ণসংখ্যা দ্বারা প্যারামিট্রাইজ করা হয়, এবং একটি ভিত্তি কেবল বিভাজনের একটি সেট দ্বারা দেওয়া হয়। নিম্নলিখিত সারণিতে বিভাজন বীজগণিত এবং আটটি সাবঅ্যালজেব্রার অপরিবর্তনীয় উপস্থাপনা তালিকাভুক্ত করা হয়েছে। এর অপরিবর্তনীয় উপস্থাপনাগুলি পার্টিশন দ্বারা সূচীভুক্ত করা হয় এবং তাদের মাত্রা হল। এর অপরিবর্তনীয় উপস্থাপনাগুলি পার্টিশন দ্বারা সূচীভুক্ত করা হয়। এর অপরিবর্তনীয় উপস্থাপনাগুলি বিভাজনের ক্রম দ্বারা সূচীভুক্ত করা হয়। শুর-ওয়েইল দ্বৈততা অনুমান করুন। বেসিস সহ একটি-মাত্রিক ভেক্টর স্পেসের জন্য, ভেক্টর স্পেসে পার্টিশন বীজগণিতের একটি প্রাকৃতিক ক্রিয়া রয়েছে। এই ক্রিয়াটি একটি পার্টিশনের ম্যাট্রিক্স উপাদানগুলির ভিত্তিতে সংজ্ঞায়িত করা হয়ঃ এই ম্যাট্রিক্স উপাদানটি এক যদি কোনও প্রদত্ত পার্টিশন উপসেটের সাথে সম্পর্কিত সমস্ত সূচক মিলে যায় এবং অন্যথায় শূন্য হয়। উদাহরণস্বরূপ, একটি টেম্পারলি-লিব জেনারেটরের ক্রিয়া হল বিভাজন বীজগণিত এবং প্রতিসম গোষ্ঠীর মধ্যে দ্বৈততা। আসুন আমরা প্রতিসম গোষ্ঠীর প্রাকৃতিক ক্রমবিকাশ উপস্থাপনা হিসাবে গ্রহণ করি। এই-মাত্রিক উপস্থাপনা দুটি অপরিবর্তনীয় উপস্থাপনার সমষ্টিঃ আদর্শ এবং তুচ্ছ উপস্থাপনা। তারপর পার্টিশন বীজগণিত হল টেনসর প্রোডাক্ট স্পেসের ক্রিয়ার সেন্ট্রালাইজার, উপরন্তু, একটি বাইমডিউল হিসাবে, টেনসর প্রোডাক্ট স্পেস অপরিবর্তনীয় উপস্থাপনায় বিভক্ত হয়ে যায় যেখানে প্রথম সারি যোগ করে আকারের একটি ইয়ং ডায়াগ্রাম তৈরি করা হয় এবং এটি এর সংশ্লিষ্ট স্পেকট মডিউল। প্রতিসম গোষ্ঠী এবং বিভাজন বীজগণিতের মধ্যে দ্বৈততা সাধারণ রৈখিক গোষ্ঠী এবং প্রতিসম গোষ্ঠীর মধ্যে মূল শুর-ওয়েল দ্বৈততাকে সাধারণীকরণ করে। অন্যান্য সাধারণীকরণ রয়েছে। প্রাসঙ্গিক টেনসর প্রোডাক্ট স্পেসে, আমরা প্রথম গ্রুপ বা বীজগণিতের একটি অপরিবর্তনীয়-মাত্রিক উপস্থাপনার জন্য লিখিঃ রেফারেন্স আরও পড়া উপস্থাপনা তত্ত্ব রেখাচিত্র বীজগণিত