Newton's sine-square law of air resistance
আইজাক নিউটনের বায়ু প্রতিরোধের সাইন-বর্গ সূত্রটি এমন একটি সূত্র যা বোঝায় যে একটি চলমান তরলে নিমজ্জিত একটি সমতল প্লেটের বল আক্রমণ কোণের সাইন বর্গের সমানুপাতিক। যদিও নিউটন নিজে একটি সমতল প্লেটের উপর বল বিশ্লেষণ করেননি, তবে গোলক, সিলিন্ডার এবং শঙ্কুযুক্ত বস্তুর জন্য তিনি যে কৌশলগুলি ব্যবহার করেছিলেন তা পরে এই সূত্রে পৌঁছানোর জন্য একটি সমতল প্লেটে প্রয়োগ করা হয়েছিল। 1687 খ্রিষ্টাব্দে নিউটন তাঁর প্রিন্সিপিয়া ম্যাথমেটিকার দ্বিতীয় খণ্ডটি তরল বলবিজ্ঞানের জন্য উৎসর্গ করেন। বিশ্লেষণটি ধরে নেয় যে তরল কণাগুলি প্লেটকে প্রভাবিত করার আগে অভিন্ন গতিতে চলছে এবং তারপরে স্পর্শের পরে প্লেটের পৃষ্ঠকে অনুসরণ করে। প্লেটের উপরে এবং নীচে প্রবাহিত কণাগুলি অপ্রভাবিত বলে মনে করা হয় এবং কোনও কণা-থেকে-কণার মিথস্ক্রিয়া উপেক্ষা করা হয়। এটি নিম্নলিখিত সূত্রের দিকে নিয়ে যায়ঃ যেখানে F হল প্লেটের উপর বল (প্লেটের লম্বমুখী), তরলের ঘনত্ব, v হল তরলের বেগ, S হল প্লেটের পৃষ্ঠ এলাকা এবং আক্রমণের কোণ। আরও পরিশীলিত বিশ্লেষণ এবং পরীক্ষামূলক প্রমাণ দেখিয়েছে যে এই সূত্রটি ভুল; যদিও নিউটনের বিশ্লেষণ সঠিকভাবে ভবিষ্যদ্বাণী করেছিল যে বলটি ঘনত্ব, প্লেটের পৃষ্ঠ এলাকা এবং বেগের বর্গের সাথে আনুপাতিক ছিল, তবে আক্রমণ কোণের সাইন বর্গের আনুপাতিকতা ভুল। বলটি আক্রমণ কোণের সাইন বা নিজের ছোট মানগুলির সাথে সরাসরি আনুপাতিক। সাইন-এর বর্গক্ষেত্রের সাথে অনুমিত বৈচিত্র্য ভবিষ্যদ্বাণী করেছিল যে উত্তোলন উপাদানটি আসলে তার চেয়ে অনেক ছোট হবে। এটি প্রায়শই বায়ুর চেয়ে ভারী উড়ানের বিরোধীদের দ্বারা এটি অসম্ভব বা অবাস্তব প্রমাণ করার জন্য উদ্ধৃত করা হয়েছিল। হাস্যকরভাবে, আধুনিক বায়ুগতিবিদ্যায় সাইন বর্গ সূত্রের পুনর্জন্ম হয়েছে; আয়তাকার প্রবাহ এবং কণাগুলির মধ্যে অ-মিথস্ক্রিয়ার অনুমানগুলি হাইপারসনিক গতিতে প্রযোজ্য এবং সাইন-বর্গ সূত্রটি যুক্তিসঙ্গত ভবিষ্যদ্বাণীর দিকে পরিচালিত করে। 1744 খ্রিষ্টাব্দে, নিউটনের মৃত্যুর 17 বছর পর, ফরাসি গণিতবিদ জাঁ লে রন্ড ডি 'আলেমবার্ট সেই সময়ের গাণিতিক পদ্ধতিগুলি ব্যবহার করে কোনও তরলের আপেক্ষিকভাবে চলন্ত বস্তুর উপর কার্যকরী বলকে বর্ণনা ও পরিমাপ করার চেষ্টা করেছিলেন। এটি অসম্ভব প্রমাণিত হয় এবং ডি 'আলেমবার্ট এই সিদ্ধান্তে আসতে বাধ্য হন যে তিনি কোনও বস্তুর উপর বলকে বর্ণনা করার জন্য কোনও গাণিতিক পদ্ধতি উদ্ভাবন করতে পারেননি, যদিও ব্যবহারিক অভিজ্ঞতা দেখায় যে এই ধরনের বল সর্বদা বিদ্যমান। এটি ডি 'আলেমবার্টের প্যারাডক্স নামে পরিচিত হয়ে উঠেছে। তথ্যসূত্র বায়ুগতিবিদ্যা ধ্রুপদী বলবিজ্ঞান