Kaniadakis statistics
কানিয়াডাকিস পরিসংখ্যান (κ-পরিসংখ্যান নামেও পরিচিত) হল বোল্টজম্যান-গিবস পরিসংখ্যানগত বলবিজ্ঞানের একটি সাধারণীকরণ, যা ধ্রুপদী বোল্টজম্যান-গিবস-শ্যানন এনট্রপির আপেক্ষিক সাধারণীকরণের উপর ভিত্তি করে (সাধারণত কানিয়াডাকিস এনট্রপি বা κ-এনট্রপি হিসাবে উল্লেখ করা হয়)। 2001 সালে গ্রীক ইতালীয় পদার্থবিজ্ঞানী জর্জিও কানিয়াডাকিস দ্বারা প্রবর্তিত, κ-পরিসংখ্যানগত বলবিজ্ঞান সাধারণ পরিসংখ্যানগত বলবিজ্ঞানের প্রধান বৈশিষ্ট্যগুলি সংরক্ষণ করে এবং সাম্প্রতিক বছরগুলিতে অনেক গবেষকের আগ্রহ আকর্ষণ করেছে। κ-ডিস্ট্রিবিউশন বর্তমানে পাওয়ার-ল টেলড স্ট্যাটিস্টিক্যাল ডিস্ট্রিবিউশন জড়িত জটিল শারীরিক, প্রাকৃতিক বা কৃত্রিম সিস্টেম ব্যাখ্যা করার জন্য সবচেয়ে কার্যকর প্রার্থীদের মধ্যে একটি হিসাবে বিবেচিত হয়। কনিয়াডাকির পরিসংখ্যান মহাজাগতিক, জ্যোতিঃপদার্থবিজ্ঞান, ঘনীভূত পদার্থ, কোয়ান্টাম পদার্থবিজ্ঞান, ভূমিকম্পবিদ্যা, জিনোমিক্স, অর্থনীতি, মহামারীবিদ্যা এবং আরও অনেক ক্ষেত্রে বিভিন্ন ব্যবস্থার বর্ণনায় সফলভাবে গৃহীত হয়েছে। গাণিতিক আনুষ্ঠানিকতা κ-পরিসংখ্যানবিদ্যার গাণিতিক আনুষ্ঠানিকতা κ-বিকৃত ফাংশন, বিশেষ করে κ-এক্সপোনেন্সিয়াল ফাংশন দ্বারা উৎপন্ন হয়। κ-এক্সপোনেনশিয়াল ফাংশন কানিয়াডাকিস এক্সপোনেনশিয়াল (বা κ-এক্সপোনেনশিয়াল) ফাংশন হল একটি এক্সপোনেনশিয়াল ফাংশনের এক-পরামিতি সাধারণীকরণ, যা দ্বারা প্রদত্তঃ সঙ্গে। জন্য κ-এক্সপোনেনশিয়ালটি এই আকারেও লেখা যেতে পারেঃ এর টেলর সম্প্রসারণের প্রথম পাঁচটি পদ দেওয়া হয়েছেঃ যেখানে প্রথম তিনটি একটি সাধারণ এক্সপোনেনশিয়াল ফাংশনের সমান। মৌলিক বৈশিষ্ট্য κ-এক্সপোনেনশিয়াল ফাংশনের একটি এক্সপোনেনশিয়াল ফাংশনের নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্য রয়েছেঃ একটি বাস্তব সংখ্যার জন্য, κ-এক্সপোনেনশিয়ালের বৈশিষ্ট্য রয়েছেঃ κ-লগারিদম ফাংশন কানিয়াডাকিস লগারিদম (বা κ-লগারিদম) হল সাধারণ লগারিদম ফাংশনের একটি আপেক্ষিক এক-পরামিতি সাধারণীকরণ, যা κ-এক্সপোনেনশিয়ালের বিপরীত ফাংশনঃ κ-লগারিদম ফরটিও এই আকারে লেখা যেতে পারেঃ এর টেলর সম্প্রসারণের প্রথম তিনটি পদ দেওয়া হয়েছেঃ নিয়ম অনুসরণ করে, এবং কোথায় এবং কোথায়। টেইলর সম্প্রসারণের প্রথম দুটি পদ একটি সাধারণ লগারিদমিক ফাংশনের মতোই। মৌলিক বৈশিষ্ট্য κ-লগারিদম ফাংশনের একটি লগারিদমিক ফাংশনের নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্য রয়েছেঃ একটি বাস্তব সংখ্যার জন্য, κ-লগারিদমের বৈশিষ্ট্য রয়েছেঃ κ-বীজগণিত κ-সমষ্টি যে কোনও এবং, কানিয়াডাকিস যোগফল (বা κ-সমষ্টি) নিম্নলিখিত রচনা আইন দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়ঃ, এটি আকারেও লেখা যেতে পারেঃ, যেখানে সাধারণ যোগফলটি শাস্ত্রীয় সীমার একটি নির্দিষ্ট ক্ষেত্রেঃ সাধারণ যোগফলের মতো κ-সমষ্টিটিরও নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্য রয়েছেঃ κ-পার্থক্য দ্বারা দেওয়া হয়। মৌলিক বৈশিষ্ট্যটি নীচের আরও সাধারণ অভিব্যক্তিটির একটি বিশেষ ক্ষেত্রে উদ্ভূত হয়ঃ উপরন্তু, κ-ফাংশন এবং κ-সমষ্টি নিম্নলিখিত সম্পর্কগুলি উপস্থাপন করেঃ κ-পণ্য যে কোনও এবং, কানিয়াডাকিস পণ্য (বা κ-পণ্য) নিম্নলিখিত গঠন আইন দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়ঃ, যেখানে সাধারণ পণ্যটি শাস্ত্রীয় সীমার একটি নির্দিষ্ট ক্ষেত্রেঃ সাধারণ পণ্যের মতো κ-পণ্যেরও নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্য রয়েছেঃ κ-বিভাজন দ্বারা দেওয়া হয়। κ-সমষ্টি এবং κ-পণ্য বিতরণ আইন মেনে চলেঃ মৌলিক বৈশিষ্ট্যটি নীচের আরও সাধারণ অভিব্যক্তিটির একটি বিশেষ ক্ষেত্রে উদ্ভূত হয়ঃ উপরন্তু, κ-ফাংশন এবং κ-পণ্য নিম্নলিখিত সম্পর্কগুলি উপস্থাপন করেঃ κ-ক্যালকুলাস κ-ডিফারেনশিয়াল এর কানিয়াডাকিস ডিফারেনশিয়াল (বা κ-ডিফারেনশিয়াল) দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়ঃ সুতরাং, একটি ফাংশনের κ-ডেরিভেটিভ লাইবনিজ ডেরিভেটিভের সাথে সম্পর্কিতঃ, যেখানে লরেঞ্জ ফ্যাক্টর। সাধারণ ব্যুৎপত্তিটি শাস্ত্রীয় সীমার মধ্যে κ-ব্যুৎপত্তিগত একটি বিশেষ ক্ষেত্রে হয়। κ-ইন্টিগ্রাল কানিয়াডাকিস ইন্টিগ্রাল (বা κ-ইন্টিগ্রাল) হল দ্বারা সংজ্ঞায়িত κ-ডেরিভেটিভের বিপরীত অপারেটর, যা শাস্ত্রীয় সীমার সাধারণ ইন্টিগ্রাল পুনরুদ্ধার করে। κ-ট্রাইগোনোমেট্রি κ-সাইক্লিক ট্রাইগোনোমেট্রি কানিয়াডাকিস সাইক্লিক ট্রাইগোনোমেট্রি (বা κ-সাইক্লিক ট্রাইগোনোমেট্রি) κ-সাইক্লিক সাইন (বা κ-সাইন) এবং κ-সাইক্লিক কোসাইন (বা κ-কোসিন) ফাংশনের উপর ভিত্তি করে সংজ্ঞায়িত করা হয়ঃ, যেখানে κ-সাধারণীকৃত অয়লার সূত্রটি হল। : κ-চক্রীয় ত্রিকোণমিতিতে সাধারণ চক্রীয় ত্রিকোণমিতির মৌলিক অভিব্যক্তি সংরক্ষণ করা হয়, যা κ → 0 সীমার একটি বিশেষ ক্ষেত্রে, যেমনঃ κ-সাইক্লিক ট্যানজেন্ট এবং κ-সাইক্লিক কোট্যানজেন্ট ফাংশনগুলি দ্বারা দেওয়া হয়ঃ κ-চক্রাকার ত্রিকোণমিতি ফাংশনগুলি শাস্ত্রীয় সীমার সাধারণ ত্রিকোণমিতি ফাংশনে পরিণত হয়। কানিয়াডাকিস ইনভার্স সাইক্লিক ফাংশন (বা κ-ইনভার্স সাইক্লিক ফাংশন) κ-লগারিদমের সাথে যুক্তঃ,,,। κ-হাইপারবোলিক ত্রিকোণমিতি কানিয়াডাকিস হাইপারবোলিক ত্রিকোণমিতি (বা κ-হাইপারবোলিক ত্রিকোণমিতি) κ-হাইপারবোলিক সাইন এবং κ-হাইপারবোলিক কোসাইন দ্বারা প্রদত্ত উপর ভিত্তি করেঃ, যেখানে κ-অয়লার সূত্রটি হল। κ-হাইপারবোলিক স্পর্শক এবং κ-হাইপারবোলিক কোট্যাঞ্জেন্ট ফাংশনগুলি দ্বারা দেওয়া হয়ঃ κ-হাইপারবোলিক ত্রিকোণমিতি ফাংশনগুলি ধ্রুপদী সীমার সাধারণ হাইপারবোলিক ত্রিকোণমিতি ফাংশনে পরিণত হয়। κ-অয়লার সূত্র এবং বৈশিষ্ট্য থেকে κ-হাইপারবোলিক ত্রিকোণমিতির মৌলিক অভিব্যক্তিটি নিম্নরূপ দেওয়া হয়েছেঃ κ-বিপরীত হাইপারবোলিক ফাংশন কানিয়াডাকিস বিপরীত হাইপারবোলিক ফাংশন (বা κ-বিপরীত হাইপারবোলিক ফাংশন) κ-লগারিদমের সাথে যুক্তঃ,,, যার মধ্যে নিম্নলিখিত সম্পর্কগুলি বৈধঃ,,। κ-চক্রাকার এবং κ-হাইপারবোলিক ত্রিকোণমিতি ফাংশনগুলি নিম্নলিখিত সম্পর্ক দ্বারা সংযুক্ত থাকেঃ,,,,,,,। কানিয়াডাকিস এনট্রপি কানিয়াডাকিস পরিসংখ্যান কানিয়াডাকিস κ-এনট্রপির উপর ভিত্তি করে তৈরি, যা সংজ্ঞায়িত করা হয়ঃ যেখানে একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য একটি সম্ভাব্যতা বিতরণ ফাংশন সংজ্ঞায়িত করা হয় এবং এটি এনট্রপিক সূচক। কানিয়াডাকিস κ-এনট্রপি তাপগতিবিদ্যার দিক থেকে এবং লেশে স্থিতিশীল এবং ধারাবাহিকতা, সর্বাধিকতা, সাধারণীকৃত সংযোজনশীলতা এবং সম্প্রসারণযোগ্যতার শ্যানন-খিঞ্চিন স্বতঃসিদ্ধগুলি মেনে চলে। কানিয়াডাকিস ডিস্ট্রিবিউশন (অথবা κ-ডিস্ট্রিবিউশন) হল একটি সম্ভাব্যতা বন্টন যা উপযুক্ত সীমাবদ্ধতার মধ্যে কানিয়াডাকিস এনট্রপির সর্বাধিককরণ থেকে উদ্ভূত হয়। এই ক্ষেত্রে, পরীক্ষামূলক শক্তি-আইন-ভিত্তিক পরিসংখ্যানগত বিতরণের সাথে যুক্ত বিভিন্ন ধরনের ঘটনাবিদ্যা বিশ্লেষণের জন্য বেশ কয়েকটি সম্ভাব্যতা বিতরণ উদ্ভূত হয়। κ-এক্সপোনেনশিয়াল ডিস্ট্রিবিউশন κ-গাউসীয় ডিস্ট্রিবিউশন κ-গামা ডিস্ট্রিবিউশন κ-ওয়েইবুল ডিস্ট্রিবিউশন κ-লজিস্টিক ডিস্ট্রিবিউশন কানিয়াডাকিস ইন্টিগ্রাল ট্রান্সফর্ম κ-ল্যাপ্লাস ট্রান্সফর্ম কানিয়াডাকিস ল্যাপ্লাস ট্রান্সফর্ম (বা κ-ল্যাপ্লাস ট্রান্সফর্ম) হল সাধারণ ল্যাপ্লাস ট্রান্সফর্মের একটি κ-বিকৃত ইন্টিগ্রাল ট্রান্সফর্ম। κ-ল্যাপ্লাস রূপান্তর একটি বাস্তব চলকের একটি ফাংশনকে জটিল ফ্রিকোয়েন্সি ডোমেনে একটি নতুন ফাংশনে রূপান্তরিত করে, যা জটিল চলক দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করে। এই κ-ইন্টিগ্রাল রূপান্তরকে এভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছেঃ বিপরীত κ-ল্যাপ্লাস রূপান্তরটি দেওয়া হয়েছেঃ সাধারণ ল্যাপ্লাস রূপান্তর এবং এর বিপরীত রূপান্তরটি পুনরুদ্ধার করা হয়েছে। বৈশিষ্ট্য দুটি ফাংশন এবং, এবং তাদের নিজ নিজ κ-ল্যাপ্লাস রূপান্তরিত হয় এবং, নিম্নলিখিত টেবিলটি κ-ল্যাপ্লাস রূপান্তরের প্রধান বৈশিষ্ট্যগুলি উপস্থাপন করেঃ পরবর্তী টেবিলে উপস্থাপিত κ-ল্যাপ্লাস রূপান্তরগুলি শাস্ত্রীয় সীমাতে সংশ্লিষ্ট সাধারণ ল্যাপ্লাস রূপান্তরগুলিতে হ্রাস পায়। কানিয়াডাকিস ফুরিয়ার রূপান্তর (অথবা κ-ফুরিয়ার রূপান্তর) হল সাধারণ ফুরিয়ার রূপান্তরের একটি κ-বিকৃত অবিচ্ছেদ্য রূপান্তর, যা κ-বীজগণিত এবং κ-ক্যালকুলাসের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ। κ-ফুরিয়ার রূপান্তরকে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছেঃ যা কোথায় এবং হিসাবে পুনর্লিখন করা যেতে পারে। κ-ফুরিয়ার রূপান্তরটি প্যারামিটারগুলিকে বিকৃত করে এবং একটি ড্যাম্পিং ফ্যাক্টর ছাড়াও একটি অ্যাসিম্পটোটিকভাবে লগ-পিরিয়ডিক আচরণ আরোপ করে। κ-ফুরিয়ার রূপান্তরের কার্নেলটি নিম্নরূপঃ বিপরীত κ-ফুরিয়ার রূপান্তরকে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছেঃ ধরা যাক, নিম্নলিখিত টেবিলটি বেশ কয়েকটি উল্লেখযোগ্য ফাংশনের κ-ফুরিয়ার রূপান্তর দেখায়ঃ ফুরিয়ার রূপান্তরের κ-বিকৃত সংস্করণটি সাধারণ ফুরিয়ার রূপান্তরের প্রধান বৈশিষ্ট্যগুলি সংরক্ষণ করে, যেমনটি নিম্নলিখিত টেবিলে সংক্ষিপ্ত করা হয়েছে। পরবর্তী সারণিতে উপস্থাপিত κ-ফুরিয়ার রূপান্তরের বৈশিষ্ট্যগুলি শাস্ত্রীয় সীমাতে সংশ্লিষ্ট সাধারণ ফুরিয়ার রূপান্তরগুলিতে হ্রাস পায়। আরও দেখুন জর্জিও কানিয়াডাকিস কানিয়াডাকিস ডিস্ট্রিবিউশন কানিয়াডাকিস κ-এক্সপোনেনশিয়াল ডিস্ট্রিবিউশন কানিয়াডাকিস κ-গাউসিয়ান ডিস্ট্রিবিউশন কানিয়াডাকিস κ-গামা ডিস্ট্রিবিউশন কানিয়াডাকিস κ-ওয়েইবুল ডিস্ট্রিবিউশন কানিয়াডাকিস κ-লজিস্টিক ডিস্ট্রিবিউশন কানিয়াডাকিস κ-এরলাং ডিস্ট্রিবিউশন রেফারেন্স এক্সটার্নাল লিঙ্ক জর্জিও কানিয়াডাকিস গুগল স্কলার পেজ কানিয়াডাকিস স্ট্যাটিস্টিক্স অন arXiv.org স্ট্যাটিস্টিক্যাল মেকানিক্স