Netto's theorem
গাণিতিক বিশ্লেষণে, নেটোর উপপাদ্য বলে যে মসৃণ ম্যানিফোল্ডের অবিচ্ছিন্ন বাইজেকশনগুলি মাত্রা সংরক্ষণ করে। অর্থাৎ, বিভিন্ন মাত্রার দুটি মসৃণ ম্যানিফোল্ডের মধ্যে একটি অবিচ্ছিন্ন বাইজেকশন বিদ্যমান নেই। এটি ইউজেন নেটোর নামে নামকরণ করা হয়েছে। 1878 সালে জ্যাকব লুরোথ মধ্যবর্তী মান উপপাদ্য ব্যবহার করে উচ্চ-মাত্রিক ম্যানিফোল্ড থেকে এক-মাত্রিক ম্যানিফোল্ড পর্যন্ত মানচিত্রের বিষয়টি প্রমাণ করেছিলেন, যা দেখায় যে কোনও টপোলজিকাল বৃত্তযুক্ত কোনও ম্যানিফোল্ডকে বাস্তব লাইনের সাথে অবিচ্ছিন্নভাবে এবং দ্বিমুখীভাবে ম্যাপ করা যায় না। 1878 সালে নেটো এবং 1879 সালে জর্জ ক্যান্টর উভয়ই সাধারণ উপপাদ্যের ত্রুটিপূর্ণ প্রমাণ দিয়েছিলেন। ত্রুটিগুলি পরে শনাক্ত করা হয় এবং সংশোধন করা হয়। এই উপপাদ্যের একটি গুরুত্বপূর্ণ বিশেষ ক্ষেত্রে বাস্তব রেখা বা একক ব্যবধানের মতো এক-মাত্রিক স্থান থেকে ইউক্লিডীয় সমতল বা একক বর্গক্ষেত্রের মতো দ্বি-মাত্রিক স্থানগুলিতে অবিচ্ছিন্ন বিভাজনের অস্তিত্বের সাথে সম্পর্কিত। উপপাদ্যের শর্তগুলি এক-মাত্রিক স্থান থেকে দ্বি-মাত্রিক স্থান পর্যন্ত আকর্ষণীয় শ্রেণীর ফাংশন প্রাপ্ত করার জন্য বিভিন্ন উপায়ে শিথিল করা যেতে পারেঃ স্থান-পূরণকারী বক্ররেখা এক-মাত্রিক স্থান থেকে দ্বি-মাত্রিক স্থান পর্যন্ত সর্জেক্টিভ অবিচ্ছিন্ন ফাংশন। তারা সমতলের প্রতিটি বিন্দু বা একটি একক বর্গক্ষেত্রকে একটি রেখা বা একক ব্যবধানের চিত্র দ্বারা আবৃত করে। উদাহরণের মধ্যে রয়েছে পেনো বক্ররেখা এবং হিলবার্ট বক্ররেখা। এই উদাহরণগুলির কোনওটিরই কোনও স্ব-ক্রসিং নেই, তবে নেটোর উপপাদ্য অনুসারে বর্গক্ষেত্রের অনেকগুলি বিন্দু রয়েছে যা এই বক্ররেখা দ্বারা একাধিকবার আবৃত। অসগুড বক্ররেখা হল এক-মাত্রিক স্থান থেকে সমতলের উপসেট পর্যন্ত অবিচ্ছিন্ন বাইজেকশন যার শূন্যেতর এলাকা রয়েছে। তারা সমতলে জর্ডান বক্ররেখা গঠন করে। যাইহোক, নেটোর উপপাদ্য অনুসারে, তারা পুরো সমতল, একক বর্গক্ষেত্র বা অন্য কোনও দ্বি-মাত্রিক অঞ্চল জুড়ে থাকতে পারে না। যদি কেউ ধারাবাহিকতার প্রয়োজনীয়তা শিথিল করে, তবে সীমাবদ্ধ মাত্রার সমস্ত মসৃণ ম্যানিফোল্ডের সমান কার্ডিনালিটি থাকে, যা ধারাবাহিকতার কার্ডিনালিটি। অতএব, 1878 সালে জর্জ ক্যান্টর যেমন দেখিয়েছিলেন, তাদের মধ্যে যে কোনও দুটির মধ্যে বিচ্ছিন্ন দ্বি-সংক্রমণ রয়েছে। ক্যান্টরের ফলাফল অনেক গণিতবিদকে অবাক করে দিয়েছিল এবং গবেষণার ধারা শুরু করে দিয়েছিল যা স্থান-ভরাট বক্ররেখা, অসগুড বক্ররেখা এবং নেটোর উপপাদ্যের দিকে পরিচালিত করেছিল। বর্গক্ষেত্রের বিন্দুগুলির কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্কের দশমিক উপস্থাপনার অঙ্কগুলি পরস্পর সংযুক্ত করে একক বর্গক্ষেত্র থেকে একক ব্যবধানের কাছাকাছি বিভাজন পাওয়া যেতে পারে। দশমিকের অস্পষ্টতা, 1 = 0.999 এর দুটি দশমিক উপস্থাপনা দ্বারা উদাহরণস্বরূপ, এটি একটি বাইজেকশনের পরিবর্তে একটি ইনজেকশন হতে পারে, তবে শ্রোডার-বার্নস্টাইন উপপাদ্য ব্যবহার করে এই সমস্যাটি মেরামত করা যেতে পারে। তথ্যসূত্র আয়তন তত্ত্ব টপোলজিতে উপপাদ্য