Balance of angular momentum
ধ্রুপদী বলবিজ্ঞানে কৌণিক ভরবেগের ভারসাম্য বা অয়লারের দ্বিতীয় সূত্র হল পদার্থবিজ্ঞানের একটি সূত্র, যেখানে বলা হয়েছে যে কোনও বস্তুর কৌণিক ভরবেগকে পরিবর্তন করতে অবশ্যই একটি টর্ক প্রয়োগ করতে হবে। ব্যবহারের একটি উদাহরণ হল ছবিতে খেলার মাঠের মেরি-গো-রাউন্ড। এটিকে আবর্তনে রাখার জন্য এটিকে অবশ্যই ধাক্কা দিতে হবে। প্রযুক্তিগতভাবে একজন এমন একটি টর্ক আহ্বান করে যা মেরি-গো-রাউন্ডে কৌণিক গতিবেগ সরবরাহ করে। ভারবহন এবং টানতে ঘর্ষণ শক্তির টর্ক, তবে, একটি প্রতিরোধী টর্ক তৈরি করে যা ধীরে ধীরে কৌণিক গতিবেগকে হ্রাস করবে এবং শেষ পর্যন্ত ঘূর্ণন বন্ধ করে দেবে। গাণিতিক সূত্রটি বলে যে একটি বিন্দু সম্পর্কে কৌণিক ভরবেগের পরিবর্তনের হার, সেই বিন্দু সম্পর্কে সেই বস্তুর উপর কাজ করা বাহ্যিক টর্কের যোগফলের সমানঃ বিন্দুটি একটি জড় ব্যবস্থার একটি নির্দিষ্ট বিন্দু বা বস্তুর ভরের কেন্দ্র। বিশেষ ক্ষেত্রে, যখন বাহ্যিক টর্কগুলি অদৃশ্য হয়ে যায়, তখন এটি দেখায় যে কৌণিক ভরবেগ সংরক্ষিত রয়েছে। ডি 'আলেমবার্ট বল কৌণিক ভরবেগের পরিবর্তনকে প্রতিহত করে একটি জাইরোস্কোপিক প্রভাব হিসাবে দেখায়। কৌণিক ভরবেগের ভারসাম্য থেকে সংশ্লিষ্ট শিয়ার স্ট্রেসের সমতা বা কাউচি স্ট্রেস টেনসরের প্রতিসাম্য অনুসরণ করা হয়। বোল্টজম্যান স্বতঃসিদ্ধ থেকে একই অনুসরণ করা হয়, যা অনুযায়ী একটি ধারাবাহিকতায় অভ্যন্তরীণ শক্তি টর্ক-মুক্ত হয়। সুতরাং কৌণিক ভরবেগের ভারসাম্য, কচি স্ট্রেস টেনসরের প্রতিসাম্য এবং কন্টিনিউয়াম মেকানিক্সে বোল্টজম্যান স্বতঃসিদ্ধ সম্পর্কিত পদ। বিশেষ করে শীর্ষ তত্ত্বের ক্ষেত্রে কৌণিক ভরবেগের ভারসাম্য একটি গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে। কন্টিনিউয়াম মেকানিক্সে এটি স্ট্রেস টেনসরের তির্যক-প্রতিসম অংশটি সঠিকভাবে নির্ধারণ করতে কাজ করে। নিউটনীয় সূত্র ছাড়াও কৌণিক ভরবেগের ভারসাম্য একটি মৌলিক ও স্বাধীন নীতি এবং 1775 সালে সুইস গণিতবিদ ও পদার্থবিজ্ঞানী লিওনহার্ড অয়লার এটি প্রথম প্রবর্তন করেছিলেন। ইতিহাস সুইস গণিতবিদ প্রথম জ্যাকব বার্নৌলি 1703 সালে কৌণিক ভরবেগের ভারসাম্য প্রয়োগ করেছিলেন-এটি স্পষ্টভাবে তৈরি না করে-একটি পেন্ডুলামের দোলন কেন্দ্র খুঁজে বের করার জন্য, যা তিনি ইতিমধ্যে 1686 সালে প্রথম, কিছুটা ভুল পদ্ধতিতে করেছিলেন। কৌণিক ভরবেগের ভারসাম্য এইভাবে নিউটনের সূত্রগুলির আগে ছিল, যা 1687 সালে প্রথম প্রকাশিত হয়েছিল। 1744 খ্রিষ্টাব্দে অয়লার প্রথম কোনও ব্যবস্থার গতির সমীকরণ বর্ণনা করতে ভরবেগ এবং কৌণিক ভরবেগের নীতি ব্যবহার করেন। 1750 সালে, তাঁর গ্রন্থ "মেকানিক্সের একটি নতুন নীতি আবিষ্কার"-এ তিনি অয়লারের অনমনীয় বস্তু গতিবিদ্যার সমীকরণ প্রকাশ করেন, যা আজ কৌণিক ভরবেগের ভারসাম্য থেকে উদ্ভূত, যা অয়লার অবশ্য নিউটনের দ্বিতীয় সূত্র থেকে অনমনীয় বস্তুর জন্য অনুমান করতে পারেন। সমতল স্থিতিস্থাপক কন্টিনিউয়া নিয়ে গবেষণার পর, যা টর্কের ভারসাম্যের জন্য অপরিহার্য, অয়লার 1775 সালে বস্তুর গতি গণনা করার জন্য কৌণিক ভরবেগের ভারসাম্যকে একটি স্বাধীন নীতিতে উন্নীত করেন। 1822 খ্রিষ্টাব্দে ফরাসি গণিতবিদ অগাস্টিন-লুই কাউচি স্ট্রেস টেনসর প্রবর্তন করেন যার প্রতিসাম্য রৈখিক ভরবেগের ভারসাম্যের সংমিশ্রণে বিকৃত বস্তুর সাধারণ ক্ষেত্রে কৌণিক ভরবেগের ভারসাম্যের পরিপূর্ণতা নিশ্চিত করে। কৌণিক ভরবেগের ভারসাম্যের ব্যাখ্যাটি 1851 সালে এম. পি. সেন্ট-গিলহেম প্রথম উল্লেখ করেছিলেন। ঘূর্ণনের গতিবিদ্যা যান্ত্রিক ভারসাম্যে নেই এমন অবস্থার সাথে সম্পর্কিত। নিউটনের দ্বিতীয় সূত্র অনুসারে, একটি বাহ্যিক বল একটি বস্তুর বেগের (ত্বরণ) পরিবর্তনের দিকে পরিচালিত করে। অনুরূপভাবে বাহ্যিক টর্ক মানে কৌণিক বেগের পরিবর্তন যার ফলে কৌণিক ত্বরণ হয়। ঘূর্ণন সম্পর্কিত জড়তা শুধুমাত্র একটি বস্তুর ভরের উপর নয়, তার স্থানিক বণ্টনের উপরও নির্ভর করে। একটি অনমনীয় বস্তুর সাথে এটি জড়তার মুহূর্ত দ্বারা প্রকাশ করা হয়। একটি নির্দিষ্ট অক্ষের চারপাশে ঘূর্ণন সহ, টর্কটি কৌণিক ত্বরণের সাথে আনুপাতিক ফ্যাক্টর হিসাবে জড়তার মুহুর্তের সাথে আনুপাতিক। এখানে উল্লেখ করা যেতে পারে যে, জড়তার মুহূর্ত শুধুমাত্র ঘূর্ণন অক্ষের অবস্থানের উপর নির্ভরশীল নয় (স্টেইনার উপপাদ্য দেখুন), বরং তার দিকের উপরও নির্ভরশীল। উপরের সূত্রটি যদি ঘূর্ণনের যে কোনও অক্ষের জন্য আরও সাধারণভাবে প্রণয়ন করা হয় তবে অবশ্যই জড়তা টেনসর ব্যবহার করতে হবে। দ্বি-মাত্রিক বিশেষ ক্ষেত্রে, একটি টর্ক শুধুমাত্র একটি ত্বরণ বা একটি ঘূর্ণন ধীর হয়ে যায়। সাধারণ ত্রিমাত্রিক ক্ষেত্রে, তবে, এটি অক্ষের দিক পরিবর্তন করতে পারে। ফর্মুলেশন অনমনীয় দেহের গতিবিদ্যায় কৌণিক ভরবেগের ভারসাম্য অয়লারের সমীকরণের দিকে পরিচালিত করে। কন্টিনিউয়াম মেকানিক্সে কৌণিক ভরবেগের ভারসাম্য কাউচির গতির দ্বিতীয় সূত্রের দিকে পরিচালিত করে, যা কাউচি স্ট্রেস টেনসরের প্রতিসাম্য বর্ণনা করে। বোল্টজম্যান স্বতঃসিদ্ধের একই পরিণতি রয়েছে। 1905 সালে অস্ট্রিয়ান পদার্থবিজ্ঞানী লুডভিগ বোল্টজম্যান উল্লেখ করেছিলেন যে কোনও বস্তুকে অসীমভাবে ছোট আয়তনের উপাদানগুলিতে হ্রাস করার সাথে সাথে অভ্যন্তরীণ প্রতিক্রিয়াগুলিকে যান্ত্রিক ভারসাম্যের জন্য সমস্ত স্থির শর্ত পূরণ করতে হয়। কাউচির চাপ উপপাদ্য বলের পরিপ্রেক্ষিতে ভারসাম্য পরিচালনা করে। টর্কের ক্ষেত্রে অনুরূপ বিবৃতির জন্য জার্মান গণিতবিদ জর্জ হ্যামেল বোল্টজম্যান অ্যাক্সিওম নামটি তৈরি করেছিলেন। এই স্বতঃসিদ্ধটি কচি স্ট্রেস টেনসরের প্রতিসাম্যের সমতুল্য। চাপের ফলস্বরূপ ভলিউম উপাদানের উপর টর্ক প্রয়োগ না করলে, ফলস্বরূপ বলকে অবশ্যই ভলিউম উপাদানের কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে যেতে হবে। জড়তা বলের ক্রিয়া রেখা এবং স্বাভাবিক চাপের ফলস্বরূপ σxx·dy এবং σyy·dx আয়তন উপাদানটির কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে যায়। যাতে শিয়ার স্ট্রেস ফলস্বরূপ τxy·dy এবং τyx·dx আয়তন উপাদানের কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে যেতে পারে। এটি আসলে xy সমতলে সংশ্লিষ্ট শিয়ার স্ট্রেসের সমতার বিবৃতি। কোসেরাট কন্টিনিউয়াম একটি প্রতিসম চাপ টেনসর সহ টর্ক-মুক্ত শাস্ত্রীয় কন্টিনিউয়াম ছাড়াও, কসেরাট কন্টিনিউয়া (মেরু কন্টিনিউয়া) যা টর্ক-মুক্ত নয় তাও সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে। এই ধরনের ধারাবাহিকতার একটি প্রয়োগ হল শেলের তত্ত্ব। কোসেরাট কন্টিনিউয়া শুধুমাত্র একটি ভরবেগ প্রবাহই নয়, একটি কৌণিক ভরবেগ প্রবাহও পরিবহন করতে সক্ষম। অতএব, বস্তুর অভ্যন্তরে ভরবেগ এবং কৌণিক ভরবেগের উৎসও থাকতে পারে। এখানে বোল্টজম্যান স্বতঃসিদ্ধ প্রয়োগ হয় না এবং স্ট্রেস টেনসর তির্যক-প্রতিসম হতে পারে। যদি এই প্রবাহগুলিকে কন্টিনিউয়াম মেকানিক্সে যথারীতি বিবেচনা করা হয়, তবে ক্ষেত্র সমীকরণগুলি উদ্ভূত হয় যেখানে স্ট্রেস টেনসরের তির্যক-প্রতিসম অংশটির কোনও শক্তিশালী তাৎপর্য নেই। কৌণিক ভরবেগের ভারসাম্য শক্তির ভারসাম্য থেকে স্বাধীন হয়ে যায় এবং স্ট্রেস টেনসরের তির্যক-প্রতিসম অংশ নির্ধারণ করতে ব্যবহৃত হয়। মার্কিন গণিতবিদ ক্লিফোর্ড ট্রুসডেল এতে "অয়লারের দ্বিতীয় সূত্রের প্রকৃত মৌলিক অর্থ" দেখেছিলেন। ক্ষেত্রের নিয়ম ক্ষেত্রের নিয়মটি কৌণিক ভরবেগ আইনের একটি উপপাদ্যঃ ফলস্বরূপ মুহূর্তটি দ্বিগুণ ভর এবং আঞ্চলিক বেগের সময় ব্যুৎপন্ন গুণফলের সমান। এটি রশ্মিটিকে একটি বিন্দু ভরের সাথে বোঝায় যার ভর m। এর বেগ এবং ভরবেগের সাথে কৌণিক ভরবেগ রয়েছে। অসীম সময় dt-তে গতিপথটি একটি ত্রিভুজের উপর দিয়ে প্রবাহিত হয় যার বিষয়বস্তু হল, চিত্র, আঞ্চলিক বেগ এবং ক্রস গুণফল "×" দেখুন। এইভাবে দেখা যায়ঃ অয়লারের দ্বিতীয় সূত্রের সাথে এটি হয়ে যায়ঃ সমতলের বিশেষ ক্ষেত্রে, মুহূর্ত-মুক্ত কেন্দ্রীয় বলের গতি কেপলারের দ্বিতীয় সূত্র দ্বারা বিবেচিত হয়, যা ক্ষেত্রের নিয়ম নামেও পরিচিত। তথ্যসূত্র কন্টিনিউম মেকানিক্স পদার্থবিজ্ঞানের সমীকরণ বৈজ্ঞানিক পর্যবেক্ষণ