Finite sphere packing
গণিতে, সসীম গোলক প্যাকিং তত্ত্বটি এই প্রশ্নের সাথে সম্পর্কিত যে কীভাবে সমান আকারের গোলকগুলির একটি সসীম সংখ্যা সবচেয়ে দক্ষতার সাথে প্যাক করা যেতে পারে। সীমিতভাবে অনেক গোলকের প্যাকিংয়ের প্রশ্নটি সাম্প্রতিক দশকগুলিতে কেবল বিস্তারিতভাবে তদন্ত করা হয়েছে, বেশিরভাগ ভিত্তি লাস্লো ফেজেস টোথ দ্বারা স্থাপন করা হয়েছে। অসীম অনেক ক্ষেত্রের জন্য অনুরূপ সমস্যার তদন্তের একটি দীর্ঘ ইতিহাস রয়েছে, যেখান থেকে কেপলার অনুমানটি সবচেয়ে সুপরিচিত। স্ফটিক কাঠামোর পরমাণুগুলিকে সরলভাবে ঘনিষ্ঠভাবে প্যাক করা গোলক হিসাবে দেখা যেতে পারে এবং তাদের বিশাল সংখ্যার জন্য অসীম গোলক প্যাকিং হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে। প্রদত্ত পাত্রে প্যাকিং এবং বিনামূল্যে প্যাকিংয়ের মধ্যে গোলক প্যাকিং সমস্যাগুলি আলাদা করা হয়। এই নিবন্ধটি মূলত বিনামূল্যে প্যাকিং নিয়ে আলোচনা করে। প্যাকিং এবং উত্তল কাঠামো সাধারণভাবে, একটি প্যাকিং বলতে স্থানগতভাবে সংযুক্ত, সম্ভবত ভিন্ন আকারের বা ভিন্ন আকারের বস্তুর যে কোনও বিন্যাসকে বোঝায় যাতে তাদের কোনওটিই ওভারল্যাপ না হয়। সীমাবদ্ধ গোলক প্যাকিং সমস্যার ক্ষেত্রে, এই বস্তুগুলি সমান আকারের গোলকের মধ্যে সীমাবদ্ধ। গোলকের এই ধরনের প্যাকিং একটি নির্দিষ্ট আয়তন নির্ধারণ করে যা প্যাকিংয়ের উত্তল হুল নামে পরিচিত, যা সমস্ত গোলকের অন্তর্ভুক্ত ক্ষুদ্রতম উত্তল সেট হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। প্যাকিং আকার গোলক সাজানোর অনেক সম্ভাব্য উপায় রয়েছে, যা তিনটি মৌলিক গ্রুপে শ্রেণীবদ্ধ করা যেতে পারেঃ সসেজ, পিৎজা এবং ক্লাস্টার প্যাকিং। সসেজ প্যাকিং এমন একটি ব্যবস্থা যেখানে সমস্ত গোলকের মধ্যবিন্দু একটি সরলরেখার উপর থাকে তাকে সসেজ প্যাকিং বলা হয়, কারণ উত্তল কাঠামোটি সসেজের মতো আকৃতির হয়। বাস্তব জীবনে একটি আনুমানিক উদাহরণ হল একটি নলের মধ্যে টেনিস বলের প্যাকিং, যদিও প্রকৃত উত্তল কাঠামোর সাথে মিলিত হওয়ার জন্য নলটির প্রান্তগুলি অবশ্যই গোলাকার হতে হবে। পিৎজা প্যাকিং যদি সমস্ত মিডপয়েন্ট একটি প্লেনে থাকে তবে প্যাকিংটি একটি পিৎজা প্যাকিং। এই ধরনের প্যাকিংয়ের আনুমানিক বাস্তব জীবনের উদাহরণগুলির মধ্যে রয়েছে বিলিয়ার্ড বলগুলি একটি ত্রিভুজে প্যাক করা হয় যখন সেগুলি স্থাপন করা হয়। এটি ত্রিমাত্রিক ইউক্লিডীয় স্থানে প্যাকিংয়ের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য। ক্লাস্টার প্যাকিং যদি গোলকের মধ্যবিন্দুগুলি 3ডি স্থান জুড়ে সাজানো থাকে তবে প্যাকিংকে ক্লাস্টার প্যাকিং বলা হয়। বাস্তব জীবনের আনুমানিকতার মধ্যে রয়েছে একটি বাক্সে একাধিক স্তরে ফল প্যাক করা। প্যাকিংয়ের প্রকারের মধ্যে সম্পর্ক প্রদত্ত সংজ্ঞা অনুসারে, যে কোনও সসেজ প্যাকিং প্রযুক্তিগতভাবে একটি পিৎজা প্যাকিং, এবং যে কোনও পিৎজা প্যাকিং প্রযুক্তিগতভাবে একটি ক্লাস্টার প্যাকিং। মাত্রার আরও সাধারণ ক্ষেত্রে, "সসেজ" বলতে এক-মাত্রিক বিন্যাস, "ক্লাস্টার" থেকে-মাত্রিক বিন্যাস এবং "পিজ্জা" বোঝায় যার মধ্যে মাত্রার সংখ্যা রয়েছে। একটি বা দুটি গোলক সর্বদা সসেজ তৈরি করে। তিনটি দিয়ে, একটি পিৎজা প্যাকিং (যা সসেজও নয়) সম্ভব হয় এবং চার বা ততোধিক দিয়ে, ক্লাস্টার (যা পিজ্জাও নয়) সম্ভব হয়। সর্বোত্তম প্যাকিং গোলকের মধ্যে খালি জায়গা প্যাকিংয়ের ধরণের উপর নির্ভর করে পরিবর্তিত হয়। খালি জায়গার পরিমাণ প্যাকিং ঘনত্বে পরিমাপ করা হয়, যা মোট উত্তল কাঠামোর আয়তনের সাথে গোলকের আয়তনের অনুপাত হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। প্যাকিং ঘনত্ব যত বেশি হবে, প্যাকিংয়ে তত কম খালি জায়গা থাকবে এবং এইভাবে হুলের আয়তন তত কম হবে (একই সংখ্যা এবং গোলকের আকারের অন্যান্য প্যাকিংয়ের তুলনায়)। গোলাগুলি দক্ষতার সাথে প্যাক করার জন্য, এটি জিজ্ঞাসা করা যেতে পারে যে কোন প্যাকিংয়ের সর্বাধিক সম্ভাব্য ঘনত্ব রয়েছে। এটি দেখতে সহজ যে এই ধরনের প্যাকিংয়ের এমন সম্পত্তি থাকা উচিত যে গোলকগুলি একে অপরের পাশে অবস্থিত, অর্থাৎ, প্রতিটি গোলক পৃষ্ঠের উপর অন্যটিকে স্পর্শ করা উচিত। আরও সঠিক শব্দবিন্যাস হল একটি গ্রাফ তৈরি করা যা প্রতিটি গোলকের জন্য একটি শীর্ষ নির্ধারণ করে এবং যখনই সংশ্লিষ্ট গোলকগুলি স্পর্শ করে তখন প্রান্তগুলির সাথে শীর্ষগুলিকে সংযুক্ত করে। তারপর সর্বোচ্চ ঘনত্বের প্যাকিং অবশ্যই সংশ্লিষ্ট গ্রাফ সংযুক্ত বৈশিষ্ট্যটি সন্তুষ্ট করতে হবে। সসেজ বিপর্যয় তিন বা চারটি গোলক সহ, সসেজ প্যাকিং সর্বোত্তম। এটি বিশ্বাস করা হয় যে এটি যে কোনও সময়ের জন্য সত্য। এবং এর জন্য, একটি ক্লাস্টার প্যাকিং বিদ্যমান যা সসেজ প্যাকিংয়ের চেয়ে বেশি দক্ষ, যেমনটি 1992 সালে জর্গ উইলস এবং পিয়ের মারিও গ্যান্ডিনি দ্বারা দেখানো হয়েছিল। এই সবচেয়ে কার্যকর ক্লাস্টার প্যাকিংগুলি দেখতে কেমন তা অজানা রয়ে গেছে। উদাহরণস্বরূপ, ক্ষেত্রে, এটি জানা যায় যে সর্বোত্তম প্যাকিংটি কামান বলের ধ্রুপদী প্যাকিংয়ের মতো একটি টেট্রাহেড্রাল প্যাকিং নয়, তবে সম্ভবত এক ধরনের অষ্টতল আকৃতির। সর্বোত্তম প্যাকিং আকৃতির আকস্মিক রূপান্তরটি কিছু গণিতবিদ রসিকতার সাথে সসেজ বিপর্যয় (উইলস, 1985) হিসাবে পরিচিত। উপাধি বিপর্যয়টি এই সত্য থেকে আসে যে সর্বোত্তম প্যাকিং আকৃতি হঠাৎ করে সুশৃঙ্খল সসেজ প্যাকিং থেকে তুলনামূলকভাবে অনিয়ন্ত্রিত ক্লাস্টার প্যাকিংয়ে স্থানান্তরিত হয় এবং এর বিপরীতে কেন এটি ঘটে তার সন্তোষজনক ব্যাখ্যা ছাড়াই একটি সংখ্যা থেকে অন্য সংখ্যায় যায়। তা সত্ত্বেও, তিনটি মাত্রায় রূপান্তর তুলনামূলকভাবে নমনীয়; মাত্রায় আকস্মিক রূপান্তরটি প্রায় 377000 গোলকের কাছাকাছি ঘটবে বলে অনুমান করা হয়। মাত্রার দিক থেকে, সর্বোত্তম প্যাকিং সবসময় হয় সসেজ বা ক্লাস্টার, পিৎজা নয়। এটি সমস্ত মাত্রার জন্য সত্য কিনা তা একটি উন্মুক্ত সমস্যা। এই ফলাফলটি শুধুমাত্র গোলকের সাথে সম্পর্কিত এবং অন্যান্য উত্তল বস্তুর সাথে সম্পর্কিত নয়; প্রকৃতপক্ষে গ্রিট্জম্যান এবং আরহেলগার পর্যবেক্ষণ করেছেন যে যে কোনও মাত্রার জন্য একটি উত্তল আকৃতি বিদ্যমান যার জন্য নিকটতম প্যাকিং হল একটি পিৎজা। সসেজ প্যাকিং অপ্টিম্যাল হওয়ার উদাহরণ নিম্নলিখিত বিভাগে দেখানো হয়েছে যে 455টি গোলকের জন্য সসেজ প্যাকিং অপ্টিম্যাল এবং এর পরিবর্তে একটি বিশেষ ক্লাস্টার প্যাকিং রয়েছে যা একটি ছোট ভলিউম দখল করে। ব্যাসার্ধের গোলক সহ একটি সসেজ প্যাকিংয়ের উত্তল কাঠামোর আয়তন প্রাথমিক জ্যামিতির সাহায্যে গণনা করা যায়। হুলের মাঝখানের অংশটি দৈর্ঘ্যের একটি সিলিন্ডার এবং শেষে ক্যাপগুলি ব্যাসার্ধ সহ অর্ধ-গোলক। মোট আয়তন তাই দ্বারা দেওয়া হয়। একইভাবে, একটি টেট্রাহেড্রাল প্যাকিংয়ের উত্তল কাঠামোর আয়তন খুঁজে পাওয়া সম্ভব, যেখানে গোলকগুলি এমনভাবে সাজানো হয় যাতে তারা একটি টেট্রাহেড্রাল আকৃতি তৈরি করে, যা শুধুমাত্র নির্দিষ্ট সংখ্যক গোলকের জন্য সম্পূর্ণরূপে ভরা টেট্রাহেড্রার দিকে পরিচালিত করে। যদি টেট্রাহেড্রনের এক প্রান্ত বরাবর গোলক থাকে, তবে মোট গোলকের সংখ্যা দ্বারা দেওয়া হয়। এখন পার্শ্ব দৈর্ঘ্য সহ একটি টেট্রাহেড্রালের ব্যাসার্ধ হল। এর থেকে আমরা পেয়ে গেছি। টেট্রাহেড্রনের আয়তন তারপর সূত্র দ্বারা দেওয়া হয় একটি টেট্রাহেড্রনের ভিতরে সাজানো অনেক গোলকের ক্ষেত্রে, একটি প্রান্তের দৈর্ঘ্য প্রতিটি নতুন স্তরের জন্য একটি গোলকের ব্যাসার্ধের দ্বিগুণ বৃদ্ধি পায়, যার অর্থ স্তরগুলির জন্য পাশের দৈর্ঘ্য হয়ে যায়। এই মানটিকে টেট্রাহেড্রনের আয়তন সূত্রে প্রতিস্থাপন করে, আমরা জানি যে উত্তল কাঠামোর আয়তন অবশ্যই টেট্রাহেড্রনের চেয়ে কম হতে হবে, যাতে। স্তরগুলির একটি টেট্রাহেড্রনে গোলকের সংখ্যা গ্রহণ করে এবং একই সংখ্যক গোলকের সাথে একটি সসেজ প্যাকিংয়ের উত্তল হুলের আয়তন পেতে পূর্ববর্তী অভিব্যক্তিতে প্রতিস্থাপন করে, আমাদের আছে। কারণ, যা গোলককে অনুবাদ করে, তার সামনের সহগটি টেট্রাহেড্রাল প্যাকিংয়ের জন্য প্রায় 2845 এবং সসেজ প্যাকিংয়ের জন্য 2856, যা বোঝায় যে এই সংখ্যক গোলকের জন্য টেট্রাহেড্রন আরও ঘনিষ্ঠভাবে প্যাক করা হয়। টেট্রাহেড্রাল উত্তল কাঠামোর আয়তনের সঠিক সূত্র বের করার জন্য আরও কিছু প্রচেষ্টার মাধ্যমে এটি সম্ভব, যার মধ্যে টেট্রাহেড্রনের কোণ এবং প্রান্তে অতিরিক্ত আয়তন বিয়োগ করা জড়িত। এটি সসেজ প্যাকিংকে এবং তাই এর ছোট মানের জন্য অ-সর্বোত্তম প্রমাণিত হতে দেয়। সসেজ অনুমান সসেজ শব্দটি এসেছে গণিতবিদ লাস্লো ফেজেস টোথ থেকে, যিনি 1975 সালে সসেজ অনুমানটি উপস্থাপন করেছিলেন, যা গোলক, উত্তল হুল এবং উচ্চতর মাত্রায় আয়তনের সমস্যার একটি সাধারণ সংস্করণের সাথে সম্পর্কিত। মাত্রায় একটি সাধারণীকৃত গোলক হল একটি-মাত্রিক বস্তু যেখানে প্রতিটি সীমানা বিন্দু মধ্যবিন্দু থেকে সমানভাবে দূরে অবস্থিত। ফেজস টোথের সসেজ অনুমানটি তখন বলে যে উপরের দিক থেকে গোলকগুলিকে একটি সরলরেখা বরাবর সাজানো সর্বদা সর্বোত্তম। অর্থাৎ, একবার আমরা 4 মাত্রার উপরে গেলে সসেজ বিপর্যয় আর ঘটে না। সামগ্রিক অনুমান এখনও খোলা রয়েছে। এখন পর্যন্ত সেরা ফলাফলগুলি হল উলরিচ বেটকে আন্ড মার্টিন হেঙ্কের, যিনি 42 এবং তার বেশি মাত্রার জন্য অনুমানটি প্রমাণ করেছিলেন। প্যারামেট্রিক ঘনত্ব এবং সম্পর্কিত পদ্ধতিগুলি যদিও এটি প্রমাণিত হতে পারে যে সসেজ প্যাকিং 56টি গোলকের জন্য সর্বোত্তম নয় এবং আরও কিছু সর্বোত্তম প্যাকিং থাকতে হবে, তবে সর্বোত্তম প্যাকিংটি দেখতে কেমন তা জানা যায় না। সর্বোত্তম প্যাকিং খুঁজে পাওয়া কঠিন কারণ নির্বিচারে আকৃতির গুচ্ছের আয়তনের জন্য কোনও "সহজ" সূত্র নেই। ব্রুন-মিনকোভস্কি বৈষম্য, মিশ্র মিনকোভস্কি ভলিউম এবং স্টেইনারের সূত্রের মতো উত্তল জ্যামিতি থেকে পদ্ধতি ব্যবহার করে আয়তনের যথাযথ অনুমানের মাধ্যমে অনুকূলতা (এবং অ-অনুকূলতা) দেখানো হয়। সসীম এবং অসীম (জাল এবং অ-জাল) গোলক প্যাকিং উভয়ের সমন্বিত তত্ত্বের দিকে একটি গুরুত্বপূর্ণ পদক্ষেপ ছিল 1992 সালে জর্গ উইলস দ্বারা প্যারামেট্রিক ঘনত্বের প্রবর্তন। প্যারামেট্রিক ঘনত্ব প্যাকিংয়ের প্রান্তের প্রভাবকে বিবেচনায় নেয়। পূর্বে ব্যবহৃত ঘনত্বের সংজ্ঞাটি গোলকের (বা উত্তল বস্তু) উত্তল কাঠামোর আয়তনের সাথে সম্পর্কিতঃ গোলকের মধ্যবিন্দুগুলির উত্তল কাঠামো কোথায় (গোলকের পরিবর্তে, আমরা একটি নির্বিচারে উত্তল বস্তুও নিতে পারি)। একটি রৈখিক বিন্যাসের (সসেজ) জন্য, উত্তল কাঠামো গোলকের সমস্ত মধ্যবিন্দু দিয়ে একটি রেখা বিভাগ। সূত্রের যোগ চিহ্নটি মিনকোভস্কির সেটগুলির সংযোজনকে বোঝায়, যাতে এটি গোলকের উত্তল কাঠামোর আয়তনকে বোঝায়। এই সংজ্ঞাটি দুটি মাত্রায় কাজ করে, যেখানে লাস্লো ফেজেস-টোথ, ক্লড রজার্স এবং অন্যান্যরা সসীম এবং অসীম প্যাকিংয়ের একটি একীভূত তত্ত্ব প্রণয়নের জন্য এটি ব্যবহার করেছিলেন। তিনটি মাত্রায়, উইলস একটি সহজ যুক্তি দেন যে এই সংজ্ঞার উপর ভিত্তি করে এই ধরনের একটি একীভূত তত্ত্ব সম্ভব নয়ঃ তিনটি মাত্রায় মুদ্রার ঘনতম সীমাবদ্ধ বিন্যাস হল সসেজ। যাইহোক, সর্বোত্তম অসীম বিন্যাসটি একটি ষড়ভুজ বিন্যাস, তাই অসীম মানটি সীমাবদ্ধ মানগুলির সীমা হিসাবে প্রাপ্ত করা যায় না। এই সমস্যাটি সমাধানের জন্য, উইলস একটি ইতিবাচক পরামিতি যোগ করে সংজ্ঞাটিতে একটি পরিবর্তন প্রবর্তন করেছেনঃ প্রান্তগুলির প্রভাব বিবেচনা করার অনুমতি দেয় (উত্তল হুলকে একটি নির্দিষ্ট পুরুত্ব দেয়)। এরপরে এটি হারমান মিনকোভস্কির মিশ্র আয়তন তত্ত্ব এবং সংখ্যার জ্যামিতি তত্ত্বের পদ্ধতির সাথে মিলিত হয়। প্রতিটি মাত্রার জন্য প্যারামিটার মান রয়েছে এবং যেমন সসেজের জন্য ডেনসেনস্ট প্যাকিং (সমস্ত পূর্ণসংখ্যার জন্য), যখন ক্লাস্টারটি যথেষ্ট বড় এবং ঘন। এই পরামিতিগুলি মাত্রা-নির্দিষ্ট। দুটি মাত্রায়, যাতে সসেজ থেকে ক্লাস্টারে রূপান্তর হয় (সসেজ বিপর্যয়)। একটি বৈষম্য রয়েছেঃ যেখানে মাত্রায় একক বলের আয়তন হয়। কারণ, আমাদের আছে এবং এটি পূর্বাভাস দেওয়া হয়েছে যে এটি সমস্ত মাত্রার জন্য প্রযোজ্য, এই ক্ষেত্রে এর মান এর থেকে পাওয়া যেতে পারে। তথ্যসূত্র ইউক্লিডীয় কঠিন জ্যামিতি