Kinematics of the cuboctahedron
একটি কিউবোক্টাহেড্রনের কঙ্কাল, এর প্রান্তগুলিকে তার শীর্ষে নমনীয় জয়েন্টগুলিতে সংযুক্ত অনমনীয় মরীচি হিসাবে বিবেচনা করে তবে এর মুখগুলি বাদ দিয়ে, কাঠামোগত অনমনীয়তা থাকে না এবং ফলস্বরূপ এর শীর্ষগুলি প্রান্ত এবং মুখের তির্যকগুলিতে ভাঁজ করে (ডাইহেড্রাল কোণ পরিবর্তন করে) প্রতিস্থাপন করা যেতে পারে। কিউবোক্টাহেড্রনের গতিবিদ্যা উল্লেখযোগ্য যে এর শীর্ষগুলি আইকোসাহেড্রনের পাইরিটোহেড্রাল প্রতিসাম্য অনুসারে নিয়মিত আইকোসাহেড্রন, জেসনের আইকোসাহেড্রন এবং নিয়মিত অক্টাহেড্রনের শীর্ষস্থানগুলিতে প্রতিস্থাপন করা যেতে পারে। শক্ত এবং কাইনেমেটিক কিউবোক্টাহেড্রা যখন শক্ত সমতল মুখের একটি কাঠামো হিসাবে ব্যাখ্যা করা হয়, যা কব্জি দ্বারা প্রান্ত বরাবর সংযুক্ত থাকে, তখন কিউবোক্টাহেড্রন একটি অনমনীয় কাঠামো, যেমন কাউচির উপপাদ্য অনুসারে সমস্ত উত্তল পলিহেড্রা। যাইহোক, যখন মুখগুলি সরানো হয়, শীর্ষে নমনীয় জয়েন্ট দ্বারা সংযুক্ত কেবল অনমনীয় প্রান্তগুলি রেখে, ফলাফলটি একটি অনমনীয় ব্যবস্থা নয় (পলিহেড্রার মতো নয় যার মুখগুলি সমস্ত ত্রিভুজ, যেখানে অনুপস্থিত মুখ থাকা সত্ত্বেও কাউচির উপপাদ্য প্রযোজ্য)। অন্যান্য সমস্ত শীর্ষে অনমনীয় প্রান্ত দ্বারা সংযুক্ত একটি কেন্দ্রীয় শীর্ষ যোগ করা, কিউবোক্টাহেড্রনকে বর্গাকার পিরামিড এবং টেট্রাহেড্রায় বিভক্ত করে, কেন্দ্রীয় শীর্ষে মিলিত হয়। কিউবোক্টাহেড্রনের বিপরীতে, প্রান্ত এবং জয়েন্টগুলির ফলস্বরূপ সিস্টেমটি অনমনীয় এবং অসীম অক্টেট ট্রাস কাঠামোর অংশ গঠন করে। চক্রাকার কিউবোক্টেহেড্রন রূপান্তর কিউবোক্টেহেড্রনকে চারটি পলিহেড্রার মাধ্যমে চক্রাকারে রূপান্তরিত করা যেতে পারে, চক্রটি অবিরাম পুনরাবৃত্তি করে। টপোলজিক্যালি রূপান্তরটি একটি মোবিয়াস লুপ অনুসরণ করেঃ এটি অষ্টতলকের একটি অভিমুখী দ্বৈত আবরণ। তাদের স্থানিক সম্পর্কের মধ্যে কিউবোক্টাহেড্রন, আইকোসাহেড্রন, জেসনের আইকোসাহেড্রন এবং রাশিয়ান পুতুলের মতো অক্টাহেড্রন বাসা এবং একটি হেলিকাল সংকোচন দ্বারা সম্পর্কিত। কিউবোক্টাহেড্রনের বর্গাকার মুখগুলি তাদের তির্যক বরাবর ভিতরের দিকে ভাঁজ করে ত্রিভুজ জোড়া তৈরি করার মাধ্যমে সংকোচন শুরু হয়। কিউবোক্টাহেড্রন সর্পিলের 12টি শীর্ষগুলি ভিতরের দিকে (কেন্দ্রের দিকে) এবং যতক্ষণ না তারা একটি নিয়মিত আইকোসাহেড্রন গঠন করে এমন বিন্দুতে পৌঁছায় ততক্ষণ পর্যন্ত তারা কাছাকাছি চলে যায়; যতক্ষণ না তারা একটি জেসনের আইকোসাহেড্রন গঠন করে ততক্ষণ পর্যন্ত তারা একে অপরের কাছাকাছি চলে যায়; এবং যতক্ষণ না তারা অক্টাহেড্রনের 6টি শীর্ষ হিসাবে জোড়ায় মিলিত হয় ততক্ষণ পর্যন্ত তারা একে অপরের দিকে সর্পিল হতে থাকে। সাধারণ কিউবোক্টেহেড্রন রূপান্তরটি দুটি সীমা-ক্ষেত্রে বিশেষ-কেস রূপান্তরগুলির ধারাবাহিকতা বরাবর পরামিতি করা যেতে পারেঃ একটি যেখানে কিউবোক্টেহেড্রনের প্রান্তগুলি অনমনীয় এবং একটি যেখানে তারা স্থিতিস্থাপক। কঠোর-প্রান্তের রূপান্তর কঠোর-প্রান্তের কিউবোক্যাথেড্রন রূপান্তর প্রতিসমভাবে কিউবোক্যাথেড্রনকে একটি নিয়মিত আইকোসাহেড্রন, একটি জেসনের আইকোসাহেড্রন এবং একটি নিয়মিত অক্টাহেড্রনে রূপান্তরিত করে, এই অর্থে যে পলিহেড্রনের শীর্ষগুলি ধারাবাহিকভাবে সেই পলিহেড্রার শীর্ষস্থানগুলি গ্রহণ করে। কিউবোক্টেহেড্রন আসলে সেই অন্যান্য পলিহেড্রায় পরিণত হয় না এবং তারা একে অপরের মধ্যে রূপান্তরিত হতে পারে না (যদি তাদের অনমনীয় প্রান্ত থাকে), কারণ কিউবোক্টেহেড্রনের বিপরীতে তাদের কেবল ত্রিভুজাকার মুখ থাকার ফলস্বরূপ কাঠামোগত অনমনীয়তা থাকে। কঠিন প্রান্তযুক্ত কিউবোক্টেহেড্রন আসলে (এবং এর মাধ্যমে) যা রূপান্তরিত করতে পারে তা হল একটি নিয়মিত আইকোসেহেড্রন যা থেকে 6টি প্রান্ত অনুপস্থিত (একটি সিউডোআইকোসেহেড্রন), একটি জেসেনের আইকোসেহেড্রন যেখানে 6টি রিফ্লেক্স প্রান্ত অনুপস্থিত বা স্থিতিস্থাপক, এবং অক্টাহেড্রনের একটি দ্বৈত আবরণ যার দুটি কাকতালীয় অনমনীয় প্রান্ত রয়েছে যা প্রতিটি জোড়া শীর্ষকে সংযুক্ত করে (কিউবোক্টেহেড্রন শীর্ষগুলির জোড়া তৈরি করে গঠিত)। স্থিতিস্থাপক-প্রান্ত রূপান্তর একটি টেনসগ্রিটি পলিহেড্রন রয়েছে যা ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত স্থিতিস্থাপক-প্রান্ত কিউবোক্টেহেড্রন রূপান্তরকে মূর্ত করে এবং প্রয়োগ করে। টেনসগ্রিটি আইকোসাহেড্রনের একটি গতিশীল কাঠামোগত অনমনীয়তা রয়েছে যাকে অসীম গতিশীলতা বলা হয় এবং কেবল কিউবোক্টাহেড্রন থেকে অক্টাহেড্রন পর্যন্ত সেই বর্ণালী বরাবর প্রতিসম পলিহেড্রায় বিকৃত করা যেতে পারে। এটিকে টেনসগ্রিটি আইকোসাহেড্রন বলা হয় কারণ এর মধ্যবর্তী স্থিতিশীল রূপ হল জেসনের আইকোসাহেড্রন। যদিও রূপান্তরটি উপরে কিউবোক্টাহেড্রনের সংকোচন হিসাবে বর্ণনা করা হয়েছে, টেনসগ্রিটির স্থিতিশীল ভারসাম্য বিন্দু হল জেসনের আইকোসাহেড্রন; টেনসগ্রিটি আইকোসাহেড্রন সেই আকৃতি থেকে বিকৃত হওয়ার বিরুদ্ধে প্রতিরোধ করে এবং এটি থেকে কেবল প্রসারিত বা সঙ্কুচিত হতে বাধ্য করা যেতে পারে যাতে এর প্রান্তগুলি স্থিতিস্থাপক হয় (টেনশনে দীর্ঘ হতে সক্ষম)। পলিহেড্রনকে তার স্থিতিশীল বিশ্রামের আকৃতি (উভয় দিকে) থেকে দূরে সরিয়ে রাখার সঙ্গে তার 24টি ছোট প্রান্তকে সামান্য এবং সমানভাবে প্রসারিত করা জড়িত। সমান্তরাল লম্বা প্রান্তের যে কোনও জোড়ায় প্রয়োগ করা বল, তাদের কাছাকাছি বা আরও দূরে সরিয়ে নিয়ে যাওয়ার জন্য, সমস্ত ছোট প্রান্তকে অভিন্নভাবে প্রসারিত করার জন্য স্বয়ংক্রিয়ভাবে স্থানান্তরিত হয়, পলিহেড্রনকে তার মাঝারি আকারের জেসনের আইকোসাহেড্রন থেকে ছোট অক্টাহেড্রনের দিকে সঙ্কুচিত করে, বা যথাক্রমে বৃহত্তর নিয়মিত আইকোসাহেড্রন এবং আরও বড় কিউবোক্টাহেড্রনের দিকে প্রসারিত করে। বল ছাড়ার ফলে পলিহেড্রন তার জেসনের আইকোসাহেড্রন বিশ্রামের আকারে ফিরে আসে। স্থিতিস্থাপক-প্রান্ত রূপান্তরের ক্ষেত্রে কিউবোক্টেহেড্রনের প্রান্তগুলি অনমনীয় নয় (যদিও জেসনের আইকোসাহেড্রনের 6টি দীর্ঘ প্রান্ত রয়েছে)। কিউবোক্টাহেড্রন প্রকৃতপক্ষে যা রূপান্তরিত হয় তা হল ছোট ব্যাসার্ধ এবং ছোট প্রান্ত দৈর্ঘ্যের একটি নিয়মিত আইকোসাহেড্রন, এখনও ছোট ব্যাসার্ধ এবং (ন্যূনতম) প্রান্ত দৈর্ঘ্যের একটি জেসেনের আইকোসাহেড্রন এবং অবশেষে এখনও ছোট ব্যাসার্ধের একটি অক্টাহেড্রন তবে কিউবোক্টাহেড্রনের মতো একই (সর্বাধিক) প্রান্ত দৈর্ঘ্য (তবে কেবল প্রান্তগুলি আবার ছোট এবং দীর্ঘ হওয়ার পরে এবং কাকতালীয় জোড়ায় একত্রিত হওয়ার পরে)। অনমনীয়-প্রান্ত এবং স্থিতিস্থাপক-প্রান্ত রূপান্তরের দ্বৈততা অনমনীয়-প্রান্ত এবং স্থিতিস্থাপক-প্রান্ত কিউবোক্টেহেড্রন রূপান্তরগুলি কেবল পারস্পরিক পরামিতিগুলির ক্ষেত্রে পৃথক হয়ঃ স্থিতিস্থাপক-প্রান্ত রূপান্তরের ক্ষেত্রে জেসনের আইকোসাহেড্রনের ছোট প্রান্ত প্রসারিত হয় এবং এর দীর্ঘ প্রান্তগুলি অনমনীয় হয় এবং অনমনীয়-প্রান্ত রূপান্তরের ক্ষেত্রে এর দীর্ঘ প্রান্তগুলি সংকুচিত হয় এবং এর ছোট প্রান্তগুলি অনমনীয় হয়। মেট্রিক্স ব্যতীত উপরের বর্ণনার সবকিছুই সমস্ত কিউবোক্টেহেড্রন রূপান্তরের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য। বিশেষত, কিউবোক্টেহেড্রন অক্টা-হেড্রনে রূপান্তরিত হওয়ার সাথে সাথে শীর্ষগুলি সর্বদা হেলিকেসে কেন্দ্রের দিকে সরে যায় এবং জেসেনের আইকোসাহেড্রন (90° ডাইহেড্রাল কোণ সহ) সর্বদা মধ্যবিন্দু হয়, যা প্রসারিত বা সংকোচনের প্রতিরোধের পরিমাণ পর্যন্ত স্থিতিশীল। স্থিতিস্থাপক-প্রান্তের কিউবোক্টেহেড্রন রূপান্তরটি সাধারণত টেনসগ্রিটি আইকোসাহেড্রনের গণিত হিসাবে দেওয়া হয় কারণ এটি বেশিরভাগ প্রকৃত টেনসগ্রিটি আইকোসাহেড্রন কাঠামো কীভাবে আচরণ করে তার মডেলিংয়ের কাছাকাছি আসে। যাইহোক, কেউ অবশ্যই একটি টেনসগ্রিটি আইকোসাহেড্রন তৈরি করতে পারে যেখানে ছোট প্রান্তগুলি (তারগুলি) পুরোপুরি স্থিতিস্থাপক ছিল না এবং দীর্ঘ প্রান্তগুলি (স্ট্রুট) সংকোচনযোগ্য স্প্রিংস ছিল। এই ধরনের টেনসগ্রিটি অনমনীয়-প্রান্তের কিউবোক্টেহেড্রন রূপান্তর সম্পাদন করবে। পরিশেষে, উভয় রূপান্তরই বিশুদ্ধ বিমূর্ততা, কিউবোক্টেহেড্রন রূপান্তরের একটি অসীম পরিবারের দুটি সীমাবদ্ধ ঘটনা যেখানে দুটি স্থিতিস্থাপকতা পরামিতি রয়েছে এবং তাদের মধ্যে একটি 0 হওয়ার প্রয়োজন নেই। কোনও সীমা কেসই বেশিরভাগ বাস্তব টেনসগ্রিটি কাঠামোর ক্ষেত্রে নিখুঁতভাবে প্রয়োগ করতে উপযুক্ত নয়, যা সাধারণত তার এবং স্ট্রট উভয় ক্ষেত্রেই কিছুটা স্থিতিস্থাপকতা থাকে, যা তাদের প্রকৃত আচরণের মেট্রিক দেয় যা গণনা করা অ-তুচ্ছ। প্রকৌশল অনুশীলনে, একটি উল্লেখযোগ্য মাত্রার গতির অনুমতি দেওয়ার জন্য কেবলমাত্র অল্প পরিমাণে স্থিতিস্থাপকতা প্রয়োজন হয়, তাই বেশিরভাগ টেনসগ্রিটি কাঠামো প্রায় স্থিতিস্থাপক স্ট্রুট এবং কেবল ব্যবহার করে "ড্রাম-টাইট" হিসাবে নির্মিত হয়। একটি টেনসগ্রিটি আইকোসাহেড্রন রূপান্তর হল পারস্পরিক ছোট স্থিতিস্থাপকতা পরামিতি সহ একটি কাইনেমেটিক কিউবোক্টেহেড্রন রূপান্তর। জিটারবাগ রূপান্তর এই পলিহেড্রাগুলির মধ্যে বাঁকানো, বিস্তৃত-সংকোচনমূলক রূপান্তরগুলিকে বাকমিনস্টার ফুলার জিটারবাগ রূপান্তর নামকরণ করেছিলেন। ফুলার কোনও গণিত দেননি; তাঁর আগের অনেক মহান জ্যামিতির মতো (উদাহরণস্বরূপ অ্যালিসিয়া বুল স্টট) দেওয়ার মতো তাঁর কোনও গণিত ছিল না। কিন্তু তিনিই প্রথম কিউবোক্টাহেড্রনের রেডিয়াল সমবাহু প্রতিসাম্যের গুরুত্বের উপর জোর দিয়েছিলেন যা তিনি অকটেট ট্রাস হিসাবে কাঠামোগতভাবে (এবং পেটেন্ট করা) প্রয়োগ করেছিলেন, এটি স্বজ্ঞাত যে এটি কেবল কাঠামোগত অখণ্ডতায় নয়, পলিটোপগুলির মধ্যে মাত্রিক সম্পর্কের ক্ষেত্রেও একটি মৌলিক ভূমিকা পালন করে। তিনি কিউবোক্টাহেড্রনের গতিবিদ্যার রূপান্তর আবিষ্কার করেছিলেন, টেনসগ্রিটি আইকোসাহেড্রনের সাথে এর সম্পর্ক বুঝতে পেরেছিলেন এবং এমনকি দর্শকদের সামনে কঠোর-প্রান্তের কিউবোক্টাহেড্রন রূপান্তরের প্রদর্শনও করেছিলেন (কম্পিউটার-রেন্ডার অ্যানিমেশনের আগের দিনগুলিতে)। "ভেক্টর ইকুইলিব্রিয়াম"-এর ভাষ্য সহ তাঁর প্রদর্শন, যাকে তিনি কিউবোক্টেহেড্রন বলে অভিহিত করেছেন, এখনও এই নিবন্ধের অ্যানিমেশনের চেয়ে অনেক বেশি আলোকিত। উদ্ধৃতি গ্রন্থপঞ্জি; ভিডিওটি নিজেই দেখুন "দ্য বোরোমিয়ান রিংসঃ আইএমইউর জন্য একটি নতুন লোগো", ইন্টারন্যাশনাল ম্যাথমেটিকাল ইউনিয়ন এক্সটার্নাল লিঙ্ক আর্কিমিডিয়ান সলিড কোয়াসিরেগুলার পলিহেড্রা টেনসাইল আর্কিটেকচার