Thomas–Yau conjecture
গণিতে, এবং বিশেষত সিমপ্লেক্টিক জ্যামিতিতে, থমাস-ইউ অনুমানটি একটি স্থিতিশীল অবস্থার অস্তিত্বের জন্য জিজ্ঞাসা করে, যা বীজগাণিতিক জ্যামিতিতে প্রদর্শিত হয়, যা হ্যামিল্টনিয়ান আইসোটোপি শ্রেণীর ভিতরে বিশেষ ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান সমীকরণের একটি সমাধানের অস্তিত্বের নিশ্চয়তা দেয়। বিশেষত অনুমানটিতে দুটি অসুবিধা রয়েছেঃ প্রথমত এটি জিজ্ঞাসা করে যে উপযুক্ত স্থায়িত্বের অবস্থা কী হতে পারে এবং দ্বিতীয়ত যদি কোনও আইসোটোপি শ্রেণীর স্থায়িত্ব প্রমাণ করা যায় যদি এবং কেবল যদি এতে কোনও বিশেষ ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান প্রতিনিধি থাকে। থমাস-ইউ অনুমানটি 2001 সালে রিচার্ড থমাস এবং শিং-টুং ইয়াউ দ্বারা প্রস্তাবিত হয়েছিল এবং জ্যামিতিক আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ এবং স্থিতিশীলতার অবস্থার সমাধানের অস্তিত্ব সম্পর্কিত বীজগাণিতিক জ্যামিতিতে অনুরূপ উপপাদ্য দ্বারা অনুপ্রাণিত হয়েছিল, বিশেষত হারমিটিয়ান ইয়াং-মিলস মেট্রিকের সাথে ঢাল স্থিতিশীল ভেক্টর বান্ডিল সম্পর্কিত কোবায়শি-হিচিন চিঠিপত্র। অনুমানটি আয়না প্রতিসাম্যের সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত, স্ট্রিং তত্ত্ব এবং গাণিতিক পদার্থবিজ্ঞানের একটি অনুমান যা সেই আয়নাকে একটি সিমপ্লেক্টিক ম্যানিফোল্ডের (যা একটি ক্যালাবি-ইউ ম্যানিফোল্ড) পূর্বাভাস দেয়, সেখানে আরেকটি ক্যালাবি-ইউ ম্যানিফোল্ড থাকা উচিত যার জন্য সিমপ্লেক্টিক কাঠামোটি জটিল কাঠামোর সাথে বিনিময় করা হয়। বিশেষ করে আয়না প্রতিসাম্য ভবিষ্যদ্বাণী করে যে, বিশেষ ল্যাগ্রেঞ্জিয়ানদের, যা বিপিএস ডি-ব্রেনের টাইপ IIA স্ট্রিং তত্ত্ব মডেল, টাইপ IIB মডেলের একই কাঠামোর সাথে বিনিময় করা উচিত, যা হয় স্থিতিশীল ভেক্টর বান্ডিল বা ভেক্টর বান্ডিল দ্বারা দেওয়া হয় যা হার্মিটিয়ান ইয়াং-মিলস বা সম্ভবত বিকৃত হার্মিটিয়ান ইয়াং-মিলস মেট্রিক্স গ্রহণ করে। এর দ্বারা অনুপ্রাণিত হয়ে, ডমিনিক জয়েস 2014 সালে থমাস-ইউ অনুমানটি পুনর্বিবেচনা করেছিলেন, ভবিষ্যদ্বাণী করেছিলেন যে স্থায়িত্বের অবস্থাটি ক্যালাবি-ইউ ম্যানিফোল্ডের ফুকায়া বিভাগের উপর সংজ্ঞায়িত ব্রিজল্যান্ড স্থায়িত্ব অবস্থার তত্ত্ব ব্যবহার করে বোঝা যেতে পারে, যা কনটসেভিচের সমতাত্ত্বিক আয়না প্রতিসাম্য অনুমানের মধ্যে উপস্থিত একটি ত্রিভুজ বিভাগ। বিবৃতি থমাস-ইউ অনুমানের বিবৃতিটি সম্পূর্ণ নির্ভুল নয়, কারণ নির্দিষ্ট স্থিতিশীলতার অবস্থা এখনও জানা যায়নি। থমাস এবং থমাস-ইউ-এর কাজে, স্থায়িত্বের শর্তটি ল্যাগ্রাঞ্জিয়ানের হ্যামিল্টনিয়ান আইসোটোপি শ্রেণীর অভ্যন্তরে ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান গড় বক্রতার প্রবাহের পরিপ্রেক্ষিতে দেওয়া হয়েছিল, তবে জয়েসের অনুমানের পুনর্বিবেচনা পূর্বাভাস দেয় যে এই স্থায়িত্বের অবস্থাকে ব্রিজল্যান্ড স্থিতিশীলতার অবস্থার পরিপ্রেক্ষিতে একটি শ্রেণীবদ্ধ বা বীজগাণিতিক রূপ দেওয়া যেতে পারে। বিশেষ ল্যাগ্রেঞ্জিয়ান সাবম্যানিফোল্ড জটিল মাত্রার একটি ক্যালাবি-ইউ ম্যানিফোল্ড বিবেচনা করুন, যা বিশেষত মাত্রার একটি প্রকৃত সিমপ্লেক্টিক ম্যানিফোল্ড। তারপর একটি ল্যাগ্রেঞ্জিয়ান সাবম্যানিফোল্ড একটি বাস্তব-মাত্রিক সাবম্যানিফোল্ড যাতে সীমাবদ্ধ থাকলে সিমপ্লেক্টিক ফর্মটি একইভাবে শূন্য হয়, অর্থাৎ। হলমর্ফিক আয়তনের রূপটি, যখন একটি ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান সাবম্যানিফোল্ডের মধ্যে সীমাবদ্ধ থাকে, তখন এটি একটি শীর্ষ ডিগ্রি ডিফারেনশিয়াল আকারে পরিণত হয়। যদি ল্যাগ্রাঞ্জিয়ানটি অভিমুখী হয়, তবে একটি আয়তন রূপ বিদ্যমান থাকে এবং কেউ এই আয়তন রূপটিকে কিছু জটিল-মূল্যবান ফাংশনের জন্য হোলোমরফিক আয়তন রূপের সীমাবদ্ধতার সাথে তুলনা করতে পারে। যে শর্তটি ক্যালাবি-ইউ ম্যানিফোল্ড বোঝায় যে ফাংশনের আদর্শ 1 রয়েছে, তাই আমাদের কাছে ফাংশনের ফেজ কোণটি কোথায় রয়েছে। নীতিগতভাবে এই পর্যায় ফাংশনটি শুধুমাত্র স্থানীয়ভাবে অবিচ্ছিন্ন, এবং এর মান লাফিয়ে উঠতে পারে। একটি শ্রেণীবদ্ধ ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান হল একটি ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান, যার পর্যায় কোণটি একসাথে উত্তোলন করা হয়, যা সর্বত্র সন্তুষ্ট করে। একটি ওরিয়েন্টেড, গ্রেডেড ল্যাগ্রাঞ্জিয়ানকে একটি বিশেষ ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান সাবম্যানিফোল্ড বলা হয় যদি ফেজ অ্যাঙ্গেল ফাংশন স্থির থাকে। এই ফাংশনের গড় মান, চিহ্নিত, ভলিউম ফর্ম ব্যবহার করে গণনা করা যেতে পারে এবং শুধুমাত্র এর হ্যামিল্টনিয়ান আইসোটোপি শ্রেণীর উপর নির্ভর করে। এই গড় মান ব্যবহার করে, ধ্রুবক অবস্থাটি নিম্নলিখিত আকারে লেখা যেতে পারে, যা সাধারণত সাহিত্যে দেখা যায়। এটি একটি বিশেষ ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান সাবমানিফোল্ডের সংজ্ঞাঃ হ্যামিল্টনিয়ান আইসোটোপি ক্লাস একটি বিশেষ ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান হওয়ার শর্ত সমস্ত ল্যাগ্রাঞ্জিয়ানদের জন্য সন্তুষ্ট নয়, তবে স্ট্রিং তত্ত্বে ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান সাবমানিফোল্ডের জ্যামিতিক এবং বিশেষত শারীরিক বৈশিষ্ট্যগুলি কেবল ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান সাবমানিফোল্ডের হ্যামিল্টনিয়ান আইসোটোপি শ্রেণীর উপর নির্ভর করে বলে পূর্বাভাস দেওয়া হয়েছে। একটি আইসোটোপি হল একটি পরিবেষ্টিত ম্যানিফোল্ডের ভিতরে একটি সাবম্যানিফোল্ডের রূপান্তর যা এম্বেডিং দ্বারা একটি হোমোটপি। একটি সিমপ্লেক্টিক ম্যানিফোল্ডে, একটি সিমপ্লেক্টিক আইসোটোপির জন্য প্রয়োজন যে এই এম্বেডিংগুলি সিমপ্লেক্টমর্ফিজম দ্বারা হয় এবং একটি হ্যামিল্টনিয়ান আইসোটোপি একটি সিমপ্লেক্টিক আইসোটোপি যার জন্য সিমপ্লেক্টমর্ফিজমগুলি হ্যামিল্টনিয়ান ফাংশন দ্বারা উত্পন্ন হয়। একটি ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান সাবম্যানিফোল্ডের পরিপ্রেক্ষিতে, ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান হওয়ার শর্তটি হ্যামিল্টনিয়ান (প্রকৃতপক্ষে সিমপ্লেক্টিক) আইসোটোপিগুলির অধীনে সংরক্ষিত থাকে এবং সমস্ত ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান সাবম্যানিফোল্ডের সংগ্রহ যা হ্যামিল্টনিয়ান আইসোটোপিককে চিহ্নিত করা হয়, যাকে হ্যামিল্টনিয়ান আইসোটোপি ক্লাস বলা হয়। ল্যাগ্রেঞ্জিয়ান গড় বক্রতা প্রবাহ এবং স্থায়িত্বের অবস্থা একটি রিম্যানিয়ান ম্যানিফোল্ড এবং একটি সাবম্যানিফোল্ড দেওয়া হলে, গড় বক্রতা প্রবাহ একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ যা কিছু ব্যবধানের জন্য সংজ্ঞায়িত এম্বেডিংয়ের এক-পরামিতি পরিবারের জন্য সন্তুষ্ট হয়, যেখানে চিত্রগুলি চিহ্নিত করা হয়। অর্থাৎ, সাব-ম্যানিফোল্ডের গড় বক্রতা থাকলে পরিবারটি গড় বক্রতা প্রবাহকে সন্তুষ্ট করে। এই প্রবাহটি রিম্যানিয়ান ম্যানিফোল্ডের সাবম্যানিফোল্ডগুলিতে কার্যকরী আয়তনের গ্রেডিয়েন্ট প্রবাহ, এবং একটি প্রদত্ত সাবম্যানিফোল্ড থেকে শুরু করে সমাধানগুলির স্বল্প সময়ের অস্তিত্ব সর্বদা বিদ্যমান থাকে। ক্যালাবি-ইউ ম্যানিফোল্ডে, যদি একজন ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান হয়, ক্যালাবি-ইউ মেট্রিকের সাপেক্ষে গড় বক্রতা প্রবাহ অধ্যয়ন করার সময় ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান হওয়ার শর্তটি সংরক্ষণ করা হয়। তাই এটিকে ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান গড় বক্রতা প্রবাহ (এল. এম. সি. এফ) বলা হয়। উপরন্তু, একটি শ্রেণীবদ্ধ ল্যাগ্রাঞ্জিয়ানের জন্য, এল. এম. সি. এফ হ্যামিল্টনিয়ান আইসোটোপি শ্রেণী সংরক্ষণ করে, তাই যেখানে এল. এম. সি. এফ সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে তাদের সকলের জন্য। থমাস ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান সংযুক্ত যোগফলগুলিতে বিভক্ত করার সময় গ্রেডিংয়ের পরিপ্রেক্ষিতে সংজ্ঞায়িত একটি অনুমানমূলক স্থিতিশীলতা শর্ত প্রবর্তন করেছিলেন। অর্থাৎ একটি শ্রেণীবদ্ধ ল্যাগ্রাঞ্জিয়ানকে স্থিতিশীল বলা হয় যদি যখনই এটি একটি শ্রেণীবদ্ধ ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান সংযুক্ত যোগফল হিসাবে লেখা হয় গড় পর্যায়গুলি বৈষম্যকে সন্তুষ্ট করে। জয়েসের পরবর্তী ভাষায় ব্রিজল্যান্ড স্থায়িত্ব অবস্থার ধারণা ব্যবহার করে, এটি আরও নিম্নরূপ ব্যাখ্যা করা হয়েছিল। একটি প্রায়-ক্যালিব্রেটেড ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান (যার অর্থ উত্তোলন পর্যায়টি এই ব্যবধানের ব্যবধান বা কিছু পূর্ণসংখ্যা স্থানান্তরের মধ্যে অবস্থিত বলে মনে করা হয়) যা প্রায়-ক্যালিব্রেটেড ল্যাগ্রাঞ্জিয়ানদের একটি শ্রেণীবদ্ধ সংযুক্ত যোগফল হিসাবে বিভক্ত হয় যা ফুকায়া বিভাগের একটি বিশিষ্ট ত্রিভুজের সাথে মিলে যায়। এই ধরনের কোনও বিশিষ্ট ত্রিভুজের জন্য, উপরের কোণের বৈষম্য বজায় থাকলে ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান স্থিতিশীল। অনুমানের বিবৃতি থমাস দ্বারা মূলত প্রস্তাবিত অনুমানটি নিম্নরূপঃ অনুমানঃ একটি ভিত্তিক, শ্রেণীবদ্ধ, প্রায়-ক্যালিব্রেটেড ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান তার হ্যামিল্টনিয়ান আইসোটোপি শ্রেণীতে একটি বিশেষ ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান প্রতিনিধিকে স্বীকার করে যদি এবং শুধুমাত্র যদি এটি উপরের sense.Following এ স্থিতিশীল হয়, থমাস-ইউ-এর কাজে, ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান গড় বক্রতা প্রবাহের আচরণও predicted.Conjecture (থমাস-ইউ) ছিলঃ যদি একটি ভিত্তিক, শ্রেণীবদ্ধ, প্রায়-ক্যালিব্রেটেড ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান স্থিতিশীল হয়, তবে ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান গড় বক্রতা প্রবাহ সর্বদা বিদ্যমান থাকে এবং হ্যামিল্টনিয়ান আইসোটোপি শ্রেণীতে একটি বিশেষ ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান প্রতিনিধিতে একত্রিত হয়। এই অনুমান বিশেষ করে জয়েস ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান গড় বক্র প্রবাহে ঘটবে বলে আশা করা হয় এমন সীমাবদ্ধ-সময়ের এককত্ব গঠনের ধরণগুলি বর্ণনা করেছেন এবং একবচন বা নিমজ্জিত ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান সাবম্যানিফোল্ডগুলি অন্তর্ভুক্ত করার জন্য অধ্যয়ন করা ল্যাগ্রাঞ্জিয়ানদের শ্রেণী সম্প্রসারণের প্রস্তাব দিয়েছেন, যা ক্যালাবি-ইউ-এর সম্পূর্ণ ফুকায়া বিভাগে উপস্থিত হওয়া উচিত। অনুমান (থমাস-ইউ-জয়েস): একটি অভিমুখী, শ্রেণীবদ্ধ, প্রায়-ক্রমাঙ্কিত ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান বিশেষ ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান সাবম্যানিফোল্ডগুলির একটি শ্রেণীবদ্ধ ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান সংযুক্ত যোগফল হিসাবে বিভক্ত হয় যা পর্যায় কোণগুলির সাথে ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান গড় বক্রতা প্রবাহের সংমিশ্রণ দ্বারা প্রদত্ত অস্ত্রোপচারের সাথে সীমাবদ্ধ সময়ের ক্রমানুসারে এককত্ব অপসারণ করে। এই অস্ত্রোপচারের পয়েন্টগুলিতে, ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান তার হ্যামিল্টনিয়ান আইসোটোপি শ্রেণী পরিবর্তন করতে পারে তবে জয়েসের অনুমান গঠনের ভাষা ফুকায়াতে তার শ্রেণী সংরক্ষণ করে, পচন একটি ভেক্টর বান্ডিলের হার্ডার-নরসিমহান পরিস্রাবণের একটি সিমপ্লেক্টিক অ্যানালগ, এবং একটি ব্রিজল্যান্ড স্থিতিশীলতার অবস্থার সাথে সম্পর্কিত ফুকায়া বিভাগে অনুমানের জয়েসের ব্যাখ্যা ব্যবহার করে, কেন্দ্রীয় চার্জটি দেওয়া হয়, স্থায়িত্বের অবস্থা সংজ্ঞায়িত টি-কাঠামোর হৃদয়টি ফুকায়া বিভাগের সেই ল্যাগ্রাঞ্জিয়ানদের দ্বারা পর্যায়ক্রমে দেওয়া হবে বলে অনুমান করা হয় এবং থমাস-ইউ-জয়েস অনুমান করে যে ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান গড় তথ্যসূত্র প্রতীকী জ্যামিতি অনুমান