Convex cap
একটি উত্তল টুপি, যা উত্তল ভাসমান বস্তু বা কেবল ভাসমান বস্তু নামেও পরিচিত, গণিতে একটি সুনির্দিষ্ট কাঠামো যা সাধারণত উত্তল আকারের আনুমানিক অনুমানের জন্য উত্তল বিশ্লেষণে ব্যবহৃত হয়। সাধারণভাবে এটি একটি অর্ধ-স্থানের সাথে একটি উত্তল পলিটোপের ছেদ হিসাবে মনে করা যেতে পারে। সংজ্ঞা একটি ক্যাপ, একটি উত্তল সেটের সাথে একটি অর্ধ-স্থানের ছেদ হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। মনে রাখবেন যে ক্যাপটি যে কোনও মাত্রিক স্থানে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। প্রদত্ত a, কে মূলটির তুলনায় প্রস্থের গুণ বেশি প্রস্থের সমান্তরালে অর্ধ-স্থানের সাথে সম্পর্কিত ক্যাপ হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। একটি ক্যাপের সংজ্ঞাটি এমন একটি বিন্দুর ক্যাপ সংজ্ঞায়িত করার জন্যও প্রসারিত করা যেতে পারে যেখানে ক্যাপটিকে অর্ধ-স্থান ধারণকারী একটি উত্তল সেটের ছেদ হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। একটি পয়েন্টের ন্যূনতম ক্যাপ হল সঙ্গে একটি ক্যাপ। ভাসমান দেহ এবং ক্যাপ আমরা নিম্নলিখিত প্রক্রিয়াটি ব্যবহার করে একটি উত্তল আকৃতির ভাসমান দেহকে সংজ্ঞায়িত করতে পারি। লক্ষ্য করুন যে ভাসমান বস্তুটিও উত্তল। একটি দ্বিমাত্রিক উত্তল কম্প্যাক্ট আকৃতির ক্ষেত্রে, কিছু জায়গায় ছোট দেওয়া হয়েছে। এই দ্বিমাত্রিক আকৃতির ভাসমান বস্তুটি মূল বস্তু থেকে সমস্ত দ্বিমাত্রিক আচ্ছাদনগুলি সরিয়ে দেওয়া হয়। ফলস্বরূপ আকৃতিটি হবে আমাদের উত্তল ভাসমান বস্তু। আমরা একটি n মাত্রিক উত্তল আকৃতি দিয়ে শুরু করে এবং সংশ্লিষ্ট মাত্রায় ক্যাপগুলি সরিয়ে এই সংজ্ঞাটিকে n মাত্রায় সাধারণীকরণ করি। পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফলের সাথে সম্পর্ক যেমন, ভাসমান বস্তুটি আরও ঘনিষ্ঠভাবে আনুমানিক। এই তথ্যটি আমাদের অ্যাফিন পৃষ্ঠের আয়তন সম্পর্কে বলতে পারে যা এই পরিস্থিতিতে সীমানাটি কীভাবে আচরণ করে তা পরিমাপ করে। যদি আমরা একটি আকৃতির উত্তল ভাসমান বস্তুটি নিই, তবে আমরা লক্ষ্য করি যে ভাসমান বস্তুর সীমানা থেকে উত্তল আকৃতির সীমানা পর্যন্ত দূরত্ব উত্তল আকৃতির বক্রতার সাথে সম্পর্কিত। বিশেষত, উচ্চতর বক্রতা সহ উত্তল আকৃতির দুটি সীমানার মধ্যে দূরত্ব বেশি থাকে। মূল দেহ এবং ভাসমান দেহের ক্ষেত্রফলের পার্থক্যের দিকে নজর দেওয়া। বক্রতা এবং দূরত্বের মধ্যে সম্পর্ক ব্যবহার করে আমরা অনুমান করতে পারি যে সেটিও বক্রতার উপর নির্ভরশীল। তাই,। এই সূত্রে, এট এবং এর বক্রতা হল বক্ররেখার দৈর্ঘ্য। আমরা হাউসডর্ফ পরিমাপ ব্যবহার করে n মাত্রার জন্য দূরত্ব, ক্ষেত্রফল এবং আয়তনকে সাধারণীকরণ করতে পারি। এই সংজ্ঞা, তাহলে সবার জন্য কাজ করে। পাশাপাশি, এর শক্তি যেখানে মাত্রার সংখ্যা তার বিপরীতের সাথে সম্পর্কিত। সুতরাং, একটি এন-মাত্রিক উত্তল আকৃতির জন্য অ্যাফিন পৃষ্ঠ এলাকা হল যেখানে-মাত্রিক হাউজডর্ফ পরিমাপ। একটি উত্তল বস্তুর আর্দ্র অংশ একটি উত্তল বস্তুর আর্দ্র অংশকে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে যেখানে কোনও বাস্তব সংখ্যা আর্দ্র অংশের সর্বাধিক আয়তন বর্ণনা করে এবং। আমরা দেখতে পাচ্ছি যে একটি অ-অবনমিত রৈখিক রূপান্তর ব্যবহার করে (যার ম্যাট্রিক্স বিপরীতমুখী) এর যে কোনও বৈশিষ্ট্য সংরক্ষণ করে। সুতরাং, আমরা বলতে পারি যে এই ধরনের রূপান্তরের অধীনে এটি সমতুল্য। এই স্বরলিপি ব্যবহার করে,। লক্ষ্য করুন যে এটি অ-ডিজেনারেট রৈখিক রূপান্তরের অধীনেও সমতুল্য। আনুমানিকতার জন্য ক্যাপগুলি অনুমান করুন এবং এলোমেলোভাবে, স্বাধীনভাবে এবং থেকে অভিন্ন বিতরণ অনুযায়ী নির্বাচন করুন। তারপর, একটি র্যান্ডম পলিটোপ। স্বজ্ঞাতভাবে, এটা স্পষ্ট যে, যতই এগিয়ে আসছে। আনুমানিক পরিমাপের বিভিন্ন পরিমাপে আমরা কতটা আনুমানিক তা নির্ধারণ করতে পারি, তবে আমরা মূলত আয়তনের দিকে মনোনিবেশ করি। সুতরাং, আমরা সংজ্ঞায়িত করি, কখন প্রত্যাশিত মানকে বোঝায়। আমরা এর ভেজা অংশ এবং ভাসমান অংশ হিসাবে ব্যবহার করি। নিম্নলিখিত উপপাদ্যটি বলে যে, নিয়ন্ত্রিত সাধারণ নীতিটি আর্দ্র অংশের আয়তনের মাত্রার সাথে একই ক্রমের। জন্য উপপাদ্য এবং,। এই উপপাদ্যের প্রমাণ এম-অঞ্চল এবং ক্যাপ আবরণের কৌশলের উপর ভিত্তি করে। আমরা ন্যূনতম ক্যাপ ব্যবহার করতে পারি যা একটি ক্যাপ ধারণকারী এবং সন্তোষজনক। যদিও ন্যূনতম ক্যাপটি অনন্য নয়, তবে এটি উপপাদ্যের প্রমাণের উপর কোনও প্রভাব ফেলে না। লেম্মা ইফ এবং, তারপর প্রতিটি ন্যূনতম ক্যাপের জন্য। যেহেতু, এই লেম্মা এম-অঞ্চলগুলির সমতুল্যতা এবং একটি ন্যূনতম ক্যাপ প্রতিষ্ঠা করেঃ অন্তর্ভুক্তগুলির একটি প্রস্ফুটিত অনুলিপি এবং অন্তর্ভুক্তগুলির একটি প্রস্ফুটিত অনুলিপি। সুতরাং, এম-অঞ্চল এবং ন্যূনতম ক্যাপগুলি অনুমানের একটি ধ্রুবক ফ্যাক্টরের চেয়ে বেশি না হারিয়ে অবাধে বিনিময় করা যেতে পারে। অর্থনৈতিক ক্যাপ আচ্ছাদন একটি ক্যাপ আচ্ছাদনকে ক্যাপের সেট হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে যা সম্পূর্ণরূপে কিছু সীমানা আচ্ছাদন করে। প্রতিটি ক্যাপের আকার কমিয়ে আমরা ক্যাপের সেটের আকার কমিয়ে একটি নতুন সেট তৈরি করতে পারি। ন্যূনতম আয়তনের ক্যাপগুলির এই সেটটিকে অর্থনৈতিক ক্যাপ আচ্ছাদন বলা হয় এবং স্পষ্টভাবে কিছু সীমানা আচ্ছাদনকারী ক্যাপগুলির সেট হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে যেখানে প্রত্যেকটির কিছু ন্যূনতম প্রস্থ থাকে এবং এই আচ্ছাদনটির মোট আয়তন হয়। তথ্যসূত্র মেট্রিক জ্যামিতি কনভেক্স বিশ্লেষণ গণনামূলক জ্যামিতি