Hyperfinite equivalence relation
বর্ণনামূলক সেট তত্ত্ব এবং গণিতের সম্পর্কিত ক্ষেত্রগুলিতে, একটি আদর্শ বোরেল স্থান X-এর উপর একটি হাইপারফাইনাইট ইকুইভ্যালেন্স সম্পর্ক হল গণনাযোগ্য শ্রেণীগুলির সাথে একটি বোরেল ইকুইভ্যালেন্স সম্পর্ক E, যা একটি নির্দিষ্ট অর্থে, বোরেল ইকুইভ্যালেন্স সম্পর্ক দ্বারা আনুমানিক হতে পারে যার সীমাবদ্ধ শ্রেণী রয়েছে। সংজ্ঞা সংজ্ঞা 1। ধরা যাক এক্স একটি আদর্শ বোরেল স্থান, অর্থাৎ এটি একটি পরিমাপযোগ্য স্থান যা একটি পোলিশ স্থান এক্সকে তার বোরেল উপসেটগুলির σ-বীজগণিত দিয়ে সজ্জিত করে (এবং টপোলজি ভুলে গিয়ে) উদ্ভূত হয়। ধরা যাক, E হল X-এর সমতুল্য সম্পর্ক। আমরা বলব যে E হল বোরেল, যদি E হল X-এর কার্টেসিয়ান গুণফলের একটি বোরেল উপসেট, যখন গুণফল σ-বীজগণিত দিয়ে সজ্জিত থাকে। আমরা বলব যে E সসীম (যথাক্রমে, গণনাযোগ্য) যদি E-এর সসীম (যথাক্রমে, গণনাযোগ্য) শ্রেণী থাকে। উপরের নামগুলি বিভ্রান্তিকর হতে পারে, কারণ যদি এক্স একটি অগণিত স্ট্যান্ডার্ড বোরেল স্পেস হয়, তবে এক্স থেকে ক্রমযুক্ত জোড়ার একটি সেট হিসাবে বিবেচনা করা হলে সমতুল্য সম্পর্ক অগণিত হবে। সংজ্ঞা 2। ধরা যাক E একটি স্ট্যান্ডার্ড বোরেল স্পেস X-এ একটি গণনাযোগ্য বোরেল সমতুল্য সম্পর্ক। আমরা বলব যে E হাইপারফাইনাইট যদি, যেখানে X-এর উপর সসীম বোরেল সমতুল্য সম্পর্কের ক্রমবর্ধমান ক্রম হয়। স্বজ্ঞাতভাবে, এর অর্থ হল যে এক্স-এর উপর একটি সিকোয়েন্স সসীম সমতুল্য সম্পর্ক রয়েছে, প্রতিটি তার পূর্বসূরীদের চেয়ে সূক্ষ্ম, ইচ্ছাকৃতভাবে ভালভাবে আনুমানিক ই। আলোচনা বর্ণনামূলক সেট তত্ত্বের গবেষণার একটি প্রধান ক্ষেত্র হল বোরেল সমতুল্য সম্পর্কের শ্রেণিবিন্যাস, এবং বিশেষ করে যেগুলি গণনাযোগ্য। এর মধ্যে, সীমাবদ্ধ সমতুল্য সম্পর্ককে সবচেয়ে সহজ বলে মনে করা হয় (উদাহরণস্বরূপ, তারা বোরেল ট্রান্সভার্সাল স্বীকার করে)। অতএব, নির্দিষ্ট সমতুল্য সম্পর্কগুলি, যা অগত্যা সীমাবদ্ধ নয়, সীমাবদ্ধ সমতুল্য সম্পর্ক দ্বারা আনুমানিক করা যেতে পারে কিনা তা জিজ্ঞাসা করা স্বাভাবিক। এটি এমন একটি ধারণায় পরিণত হয় যা গণিতে উপস্থিত অনেক প্রাকৃতিক সমতুল্য সম্পর্ককে অন্তর্ভুক্ত করার জন্য যথেষ্ট সমৃদ্ধ, তবে গভীর উপপাদ্যগুলিকে বিকাশের অনুমতি দেওয়ার জন্য যথেষ্ট সীমাবদ্ধ। এটিও লক্ষণীয় যে যে কোনও গণনাযোগ্য সমতুল্য সম্পর্ক E-কে সীমাবদ্ধ সমতুল্য সম্পর্কের ক্রমবর্ধমান মিলন হিসাবে লেখা যেতে পারে। এটি করা যেতে পারে, উদাহরণস্বরূপ, প্রতিটি শ্রেণীকে দ্বিতীয় আকারের শ্রেণীতে বিভক্ত করে, তারপর একই ই-শ্রেণীর মধ্যে থাকা নতুন সমতুল্য সম্পর্কের দুটি শ্রেণীতে যোগ দিয়ে চতুর্থ আকারের শ্রেণীগুলির সাথে একটি বিভাজন তৈরি করা যেতে পারে। মূল পর্যবেক্ষণটি হল যে এই প্রক্রিয়াটির জন্য সাধারণভাবে পছন্দের স্বতঃসিদ্ধির প্রয়োজন হয় এবং তাই এটি স্পষ্ট নয় যে এই প্রক্রিয়াটি বোরেল অনুমান তৈরি করে। প্রকৃতপক্ষে, গণনাযোগ্য বোরেল সমতুল্য সম্পর্ক রয়েছে যা হাইপারফাইনাইট নয়, এবং তাই বিশেষ করে উপরে বর্ণিত প্রক্রিয়াটি বৃহত্তর সমতুল্য সম্পর্কের আনুমানিক বোরেল সমতুল্য সম্পর্ক তৈরি করতে ব্যর্থ হবে। উদাহরণ এবং অ-উদাহরণ যে কোনও সসীম বোরেল সমতুল্য সম্পর্ক হাইপারফাইনাইট। প্রকৃতপক্ষে, এটি নিজের একটি সীমাবদ্ধ অনুমান। একটি হাইপারফাইনাইট সমতুল্য সম্পর্কের একটি সাবইকুইভ্যালেন্স সম্পর্ক হল হাইপারফাইনাইট। ধরুন জি একটি স্থানীয়ভাবে সীমাবদ্ধ গ্রুপ যা বোরেল-পরিমাপযোগ্যভাবে একটি স্ট্যান্ডার্ড বোরেল স্পেস এক্স-এ কাজ করে। তারপর সসীম উপগোষ্ঠীর মধ্যে একটি পরিস্রাবণ স্বাভাবিকভাবেই X-এর উপর G-এর ক্রিয়ার কক্ষপথের সমতুল্য সম্পর্ককে সসীম বোরেল সমতুল্য সম্পর্কের মধ্যে পরিস্রাবণের জন্ম দেয়, যার ফলে এর অতিপরিমিততা প্রমাণিত হয়। যদি ই একটি গণনাযোগ্য সমতুল্য সম্পর্ক হয় এবং হাইপারফাইনাইট এবং সসীম সূচকের হয় (অর্থাৎ প্রতিটি ই-শ্রেণীতে সীমাবদ্ধভাবে অনেকগুলি ই '-শ্রেণী থাকে), তাহলে ই হাইপারফাইনাইট। যে কোনও গণনাযোগ্য বোরেল সমতুল্য সম্পর্ক যা বোরেল ট্রান্সভার্সালকে স্বীকার করে তা হাইপারফাইনাইট; এটি ফেল্ডম্যান-মুর উপপাদ্যের একটি সহজ প্রয়োগ দ্বারা দেখানো যেতে পারে। একটি স্ট্যান্ডার্ড বোরেল স্পেসে পূর্ণসংখ্যার যে কোনও বোরেল ক্রিয়া একটি হাইপারফাইনাইট কক্ষপথের সমতুল্য সম্পর্ক তৈরি করে (মনে রাখবেন যে একটি স্ট্যান্ডার্ড বোরেল স্পেস এক্স-এ একটি গণনাযোগ্য গ্রুপ জি-এর বোরেল ক্রিয়া একটি বোরেল-পরিমাপযোগ্য ক্রিয়া, যেখানে জি তার সমস্ত উপসেটগুলির σ-বীজগণিতে সজ্জিত)। অধিকন্তু, দেখা যায় যে কোনও হাইপারফাইনাইট সমতুল্য সম্পর্ক পূর্ণসংখ্যার কিছু বোরেল ক্রিয়া দ্বারা উত্পন্ন কক্ষপথ সমতুল্য সম্পর্কের সমান, যা এটিকে হাইপারফাইনিটনেসের সমতুল্য সংজ্ঞায় পরিণত করে যা প্রায়শই আরও সহজলভ্য। আরও সাধারণভাবে, একটি স্ট্যান্ডার্ড বোরেল স্পেসে একটি গণনাযোগ্য আবেলিয়ান গ্রুপের যে কোনও বোরেল ক্রিয়া একটি হাইপারফাইনাইট কক্ষপথের সমতুল্য সম্পর্ককে প্ররোচিত করে। যদি একটি স্ট্যান্ডার্ড বোরেল স্পেস X-এর উপর F একটি গণনাযোগ্য বোরেল সমতুল্য সম্পর্ক হয়, E একটি স্ট্যান্ডার্ড বোরেল স্পেস Y-এর উপর একটি হাইপারফাইনাইট সমতুল্য সম্পর্ক এবং F থেকে E-এর একটি বোরেল হ্রাস হয়, তাহলে F হাইপারফাইনাইট (মনে রাখবেন যে উপরের হিসাবে বোরেল হ্রাস যখনই সন্তুষ্ট হয়)। লক্ষ্য করুন যে, যদি আমরা এফ-এর গণনাযোগ্য হওয়ার ধারণাটি সরিয়ে ফেলি, তবে উপরেরটি প্রযোজ্য হবে না; প্রতিটি দুটি বিন্দুকে চিহ্নিতকারী বাস্তব রেখার সমতুল্য সম্পর্কটি বোরেল এবং এটি অন্য যে কোনও বোরেল সমতুল্য সম্পর্কের মধ্যে হ্রাস করা যেতে পারে, এবং বিশেষত যে কোনও হাইপারফাইনাইট বোরেল সমতুল্য সম্পর্কের ক্ষেত্রে, তবে এর একটি অগণিত শ্রেণী রয়েছে, তাই এটি হাইপারফাইনাইট হতে পারে না। একটি স্ট্যান্ডার্ড বোরেল স্পেসে বহুপদী বৃদ্ধির সাথে একটি সীমাবদ্ধ-উত্পাদিত গোষ্ঠীর যে কোনও বোরেল ক্রিয়া একটি হাইপারফাইনাইট কক্ষপথের সমতুল্য সম্পর্ককে প্ররোচিত করে। তার গ্রোমভ সীমানায় একটি সীমাবদ্ধভাবে সৃষ্ট হাইপারবোলিক গ্রুপের ক্রিয়া হাইপারফাইনাইট। যে কোনও গণনাযোগ্য বোরেল সমতুল্য সম্পর্ক একটি কমাগ্রে সেটের মধ্যে সীমাবদ্ধ থাকতে পারে যার উপর এটি হাইপারফাইনাইট। স্পষ্টতই, এর অর্থ হল যে কেউ সমতুল্য শ্রেণীর একটি সংগ্রহ সরিয়ে ফেলতে পারে যা সামান্য, এবং পেতে পারে যে সমতুল্য সম্পর্কটি অবশিষ্ট স্থানে হাইপারফাইনাইট। যে কোনও গোষ্ঠী যা গ্রহণযোগ্য নয়, একটি আদর্শ বোরেল স্পেসে একটি বোরেল ক্রিয়া স্বীকার করে যা একটি সমতুল্য সম্পর্ককে প্ররোচিত করে যা হাইপারফাইনাইট নয়। স্থানান্তর মানচিত্র দ্বারা স্থানের দুটি জেনারেটরের উপর মুক্ত গোষ্ঠীর ক্রিয়া হাইপারফাইনাইট নয়। এই সত্যটিকে প্রায়শই বানাচ-তারস্কি প্যারাডক্সের একটি সমন্বিত রূপ হিসাবে বিবেচনা করা হয়। উন্মুক্ত সমস্যা ওয়েইসের অনুমান উপরের উদাহরণগুলি ইঙ্গিত করে বলে মনে হয় যে "নিয়ন্ত্রিত" গণনাযোগ্য গোষ্ঠীর বোরেল ক্রিয়াগুলি হাইপারফাইনাইট সমতুল্য সম্পর্ককে প্ররোচিত করে। ওয়েইস অনুমান করেছিলেন যে একটি স্ট্যান্ডার্ড বোরেল স্পেসে একটি গণনাযোগ্য সহজ গোষ্ঠীর যে কোনও বোরেল ক্রিয়া একটি হাইপারফাইনাইট কক্ষপথের সমতুল্য সম্পর্ককে প্ররোচিত করে। যদিও এটি এখনও একটি উন্মুক্ত সমস্যা, কিছু আংশিক ফলাফল জানা যায়। ইউনিয়ন সমস্যা এই অঞ্চলের আরেকটি উন্মুক্ত সমস্যা হল হাইপারফাইনাইট সমতুল্য সম্পর্কের একটি গণনাযোগ্য ক্রমবর্ধমান ইউনিয়ন হাইপারফাইনাইট কিনা। এটিকে প্রায়শই ইউনিয়ন সমস্যা হিসাবে উল্লেখ করা হয়। নির্দিষ্ট কিছু পরিস্থিতিতে, এটি জানা যায় যে হাইপারফাইনাইট সমতুল্য সম্পর্কের একটি গণনাযোগ্য ক্রমবর্ধমান মিলন হাইপারফাইনাইট। উদাহরণস্বরূপ, যদি সমতুল্য সম্পর্কের সংযোগের একটি বৈশিষ্ট্য থাকে যা "বোরেল-বাউন্ডনেস" নামে পরিচিত (যার মোটামুটি অর্থ হল যে স্থানের বিন্দুতে ফাংশনের যে কোনও বোরেল অ্যাসাইনমেন্টকে এই ধরনের বোরেল অ্যাসাইনমেন্ট দ্বারা "শেষ পর্যন্ত আবদ্ধ" করা যেতে পারে যা সমতুল্য শ্রেণীর উপর ধ্রুবক), তবে এটি হাইপারফাইনাইট। তবে, এই ধরনের প্রতিটি ইউনিয়ন এই সম্পত্তিকে সন্তুষ্ট করে কিনা তা অজানা। পরিমাপ-তাত্ত্বিক ফলাফল এই ধারণার অধীনে যে অন্তর্নিহিত স্থান এক্স একটি বোরেল সম্ভাব্যতা পরিমাপের সাথে সজ্জিত এবং যে কেউ শূন্য পরিমাপের সেটগুলি অপসারণ করতে ইচ্ছুক, তত্ত্বটি আরও ভালভাবে বোঝা যায়। উদাহরণস্বরূপ, যদি সমতুল্য সম্পর্কটি একটি গণনাযোগ্য সমতুল্য গোষ্ঠীর বোরেল ক্রিয়া দ্বারা তৈরি হয়, তবে ফলস্বরূপ কক্ষপথের সমতুল্য সম্পর্কটি "μ-হাইপারফাইনাইট", যার অর্থ এটি পূর্ণ পরিমাপের স্থানের একটি উপসেটে হাইপারফাইনাইট (এটি লক্ষণীয় যে ক্রিয়াটি পরিমাপ-সংরক্ষণ বা এমনকি আধা-পরিমাপ সংরক্ষণের প্রয়োজন নেই)। যেহেতু একটি আদর্শ অ-পারমাণবিক বোরেল সম্ভাব্যতা স্থানের (এক্স,) উপর প্রতিটি গণনাযোগ্য বোরেল সমতুল্য সম্পর্ক ই, যা একটি বোরেল ট্রান্সভার্সালকে স্বীকার করে, তা পূর্ণ পরিমাপের একটি উপসেটের উপর একটি সীমাবদ্ধ সমতুল্য সম্পর্ক (এটি মূলত ফেল্ডম্যান-মুর, ভিটালির যুক্তির সাথে তার বাস্তব রেখার সমস্ত উপসেটগুলির-বীজগণিতে একটি অ-তুচ্ছ অপরিবর্তনীয় পরিমাপের অস্তিত্বের শাস্ত্রীয় প্রমাণ), উপরেরটি আমাদের দেখায় যে সমতুল্য সম্পর্কের বিপরীতে যা ট্রান্সভার্সালকে স্বীকার করে, গ্রুপ ক্রিয়াগুলির অনেক উদাহরণ যা এরগোডিক তত্ত্বে স্বাভাবিকভাবে প্রদর্শিত হয় তা হাইপারফাইনাইট অরবিট সমতুল্য সম্পর্কের জন্ম দেয় (বিশেষত, যখনই অন্তর্নিহিত স্থানটি একটি আদর্শ বোরেল স্পেস হয়)। একইভাবে, এই ধরনের স্থানে হাইপারফাইনাইট সমতুল্য সম্পর্কের একটি গণনাযোগ্য ক্রমবর্ধমান মিলনও হল '-হাইপারফাইনাইট'। আরও দেখুন হাইপারফাইনাইট টাইপ II ফ্যাক্টর বোরেল সমতুল্য সম্পর্ক বিবরণ বর্ণনামূলক সেট তত্ত্ব সমতুল্য (গণিত)