Mean line segment length
জ্যামিতিতে, গড় রেখাখন্ডের দৈর্ঘ্য হল একটি নির্দিষ্ট আকারে এলোমেলোভাবে নির্বাচিত দুটি বিন্দুকে সংযুক্ত করে একটি রেখাখন্ডের গড় দৈর্ঘ্য। অন্য কথায়, এটি দুটি এলোমেলো বিন্দুর মধ্যে প্রত্যাশিত ইউক্লিডীয় দূরত্ব, যেখানে আকৃতির প্রতিটি বিন্দু সমানভাবে নির্বাচিত হওয়ার সম্ভাবনা রয়েছে। এমনকি একটি বর্গক্ষেত্র বা ত্রিভুজের মতো সহজ আকারের ক্ষেত্রেও, তাদের গড় রেখা বিভাগের দৈর্ঘ্যের সঠিক মান সমাধান করা কঠিন হতে পারে কারণ তাদের বদ্ধ-রূপের অভিব্যক্তিগুলি বেশ জটিল হতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, নিম্নলিখিত প্রশ্নটি বিবেচনা করুনঃ 1 নং পার্শ্ব দৈর্ঘ্যের একটি বর্গক্ষেত্রের অভ্যন্তরে এলোমেলোভাবে নির্বাচিত দুটি বিন্দুর মধ্যে গড় দূরত্ব কত? যদিও প্রশ্নটি সহজ বলে মনে হতে পারে, তবে এর মোটামুটি জটিল উত্তর রয়েছে; এর সঠিক মান হল। আনুষ্ঠানিক সংজ্ঞা একটি এন-মাত্রিক আকৃতি এস-এর জন্য গড় রেখা বিভাগের দৈর্ঘ্যকে আনুষ্ঠানিকভাবে দুটি এলোমেলো বিন্দু x এবং y-এর মধ্যে প্রত্যাশিত ইউক্লিডীয় দূরত্ব।।। হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে, যেখানে λ হল এন-মাত্রিক লেবস্গু পরিমাপ। দ্বিমাত্রিক ক্ষেত্রে, এটি দুটি বিন্দু (x1, y1) এবং (x2, y2) আনুমানিক পদ্ধতির জন্য দূরত্ব সূত্র ব্যবহার করে সংজ্ঞায়িত করা হয় যেহেতু গড় রেখা বিভাগের দৈর্ঘ্য গণনায় বহুমাত্রিক ইন্টিগ্রাল গণনা করা জড়িত, যে কোনও আকৃতির জন্য এই মানটি আনুমানিক করার জন্য সংখ্যাসূচক ইন্টিগ্রেশনের বিভিন্ন পদ্ধতি ব্যবহার করা যেতে পারে। এরকম একটি পদ্ধতি হল মন্টে কার্লো পদ্ধতি। একটি প্রদত্ত আকৃতির গড় রেখার অংশের দৈর্ঘ্য অনুমান করার জন্য, এর অভ্যন্তরে দুটি বিন্দু এলোমেলোভাবে বেছে নেওয়া হয় এবং দূরত্ব পরিমাপ করা হয়। এই ধাপগুলির বেশ কয়েকটি পুনরাবৃত্তির পরে, এই দূরত্বগুলির গড় অবশেষে প্রকৃত মানে একত্রিত হবে। এই পদ্ধতিগুলি শুধুমাত্র একটি আনুমানিক পরিমাণ দিতে পারে; এগুলি এর সঠিক মান নির্ধারণ করতে ব্যবহার করা যাবে না। সূত্র রেখা বিভাগ দৈর্ঘ্যের একটি রেখা বিভাগের জন্য, দুটি বিন্দুর মধ্যে গড় দূরত্ব হল। ত্রিভুজ পার্শ্ব দৈর্ঘ্যের একটি ত্রিভুজের জন্য, এবং, এর অভ্যন্তরে দুটি বিন্দুর মধ্যে গড় দূরত্ব সূত্র দ্বারা দেওয়া হয় যেখানে অর্ধপরিমাপ, এবং নির্দেশ করে। পার্শ্ব দৈর্ঘ্য a সহ একটি সমবাহু ত্রিভুজের জন্য, এটি বর্গক্ষেত্র এবং আয়তক্ষেত্রের সমান পার্শ্ব দৈর্ঘ্য s সহ একটি বর্গক্ষেত্রের অভ্যন্তরে দুটি বিন্দুর মধ্যে গড় দূরত্ব হল আরও সাধারণভাবে, পার্শ্ব দৈর্ঘ্য l এবং w সহ একটি আয়তক্ষেত্রের গড় রেখা বিভাগের দৈর্ঘ্য যেখানে আয়তক্ষেত্রের তির্যকের দৈর্ঘ্য। পরিবর্তে যদি দুটি বিন্দুকে বর্গক্ষেত্রের বিভিন্ন দিকে বেছে নেওয়া হয়, তবে গড় দূরত্বটি কিউব এবং হাইপারকিউব দ্বারা দেওয়া হয় একটি এন-মাত্রিক একক হাইপারকিউবের অভ্যন্তরে বিন্দুর মধ্যে গড় দূরত্ব হিসাবে চিহ্নিত করা হয় এবং হিসাবে দেওয়া হয়। ত্রি-মাত্রিক ক্ষেত্রে, একটি একক ঘনক্ষেত্রের গড় রেখা বিভাগের দৈর্ঘ্য রবিন্স ধ্রুবক নামেও পরিচিত, যা ডেভিড পি রবিন্সের নামে নামকরণ করা হয়েছে। এই ধ্রুবকটির একটি বদ্ধ রূপ রয়েছে, এর সংখ্যাসূচক মান প্রায় অ্যান্ডারসন এট। আল। (1976) দেখিয়েছেন যে সীমাকে সন্তুষ্ট করে একক ঘনকের দুটি ভিন্ন মুখ থেকে বেছে নেওয়া বিন্দুগুলিও একটি বদ্ধ রূপের সাথে একটি ফলাফল দেয়, যা দ্বারা দেওয়া হয়েছে, বৃত্ত এবং গোলক ব্যাসার্ধের একটি বৃত্তের পরিধির পয়েন্টগুলির মধ্যে গড় কর্ড দৈর্ঘ্য r এবং ব্যাসার্ধ r সহ একটি গোলকের পৃষ্ঠের পয়েন্টগুলি বাছাই করা ডিস্ক r ব্যাসার্ধের ডিস্কের অভ্যন্তরে পয়েন্টগুলির মধ্যে গড় দূরত্ব হল অর্ধ ডিস্ক এবং চতুর্থাংশ ডিস্কের মানগুলিও জানা যায়। 1 ব্যাসার্ধের অর্ধ ডিস্কের জন্যঃ 1 ব্যাসার্ধের এক চতুর্থাংশ ডিস্কের জন্যঃ বল একটি ত্রিমাত্রিক বলের জন্য, এটি আরও সাধারণভাবে, একটি এন-বলের গড় লাইন সেগমেন্টের দৈর্ঘ্য যেখানে এর সমতার উপর নির্ভর করে, সাধারণ সীমা বার্গস্টলার এবং পিল্লিচশ্যামার (2008) দেখিয়েছেন যে 1 ব্যাসযুক্ত এন-মাত্রিক ইউক্লিডিয়ান স্থানের একটি সংক্ষিপ্ত উপসেটের জন্য, এর গড় লাইন সেগমেন্টের দৈর্ঘ্য এল সন্তুষ্ট করে যেখানে গামা ফাংশনকে বোঝায়। n = 2-এর জন্য, একটি শক্তিশালী সীমা বিদ্যমান। তথ্যসূত্র বাহ্যিক সংযোগ জ্যামিতি