Homoscedasticity and heteroscedasticity
পরিসংখ্যানে, র্যান্ডম ভেরিয়েবলের একটি ক্রম (বা একটি ভেক্টর) হোমোসেডাস্টিক () হয় যদি এর সমস্ত র্যান্ডম ভেরিয়েবলের একই সীমাবদ্ধ বৈচিত্র্য থাকে; এটি বৈচিত্র্যের সমরূপতা হিসাবেও পরিচিত। পরিপূরক ধারণাকে বলা হয় হেটেরোসেডাস্টিসিটি, যা বৈচিত্র্যের হেটেরোজেনিটি নামেও পরিচিত। হোমোস্কেডাস্টিসিটি এবং হেটেরোস্কেডাস্টিসিটি বানানগুলিও প্রায়শই ব্যবহৃত হয়। একটি পরিবর্তনশীলকে হোমোসেডাস্টিক ধরে নেওয়া হয় যখন বাস্তবে এটি হেটেরোসেডাস্টিক () হয় যার ফলে নিরপেক্ষ কিন্তু অদক্ষ পয়েন্ট অনুমান এবং মানক ত্রুটির পক্ষপাতদুষ্ট অনুমান হয় এবং এর ফলে পিয়ারসন সহগ দ্বারা পরিমাপ করা উপযুক্ততার গুণমানকে অতিরিক্ত মূল্যায়ন করা যেতে পারে। প্রতিগমন বিশ্লেষণ এবং বৈচিত্র্যের বিশ্লেষণে হেটেরোসেডাস্টিসিটির অস্তিত্ব একটি প্রধান উদ্বেগের বিষয়, কারণ এটি তাৎপর্যের পরিসংখ্যানগত পরীক্ষাগুলিকে অকার্যকর করে দেয় যা ধরে নেয় যে মডেলিং ত্রুটির সবগুলিরই একই বৈচিত্র্য রয়েছে। যদিও সাধারণ সর্বনিম্ন বর্গ প্রাক্কলনকারী হেটেরোস্কেডাস্টিসিটির উপস্থিতিতে এখনও নিরপেক্ষ, এটি অকার্যকর এবং হোমোস্কেডাস্টিসিটির অনুমানের উপর ভিত্তি করে অনুমান বিভ্রান্তিকর। সেক্ষেত্রে, অতীতে সাধারণীকৃত ন্যূনতম বর্গক্ষেত্র (জি. এল. এস) প্রায়শই ব্যবহৃত হত। আজকাল, অর্থনীতিতে আদর্শ অনুশীলন হল জি. এল. এস ব্যবহারের পরিবর্তে হেটেরোস্কেডাস্টিসিটি-সামঞ্জস্যপূর্ণ মানক ত্রুটিগুলি অন্তর্ভুক্ত করা, কারণ প্রকৃত স্কেডাস্টিক ফাংশন অজানা থাকলে জি. এল. এস ছোট নমুনায় শক্তিশালী পক্ষপাত প্রদর্শন করতে পারে। যেহেতু হেটেরোসেডাস্টিসিটি ত্রুটির দ্বিতীয় মুহূর্তের প্রত্যাশার সাথে সম্পর্কিত, তাই এর উপস্থিতিকে দ্বিতীয় ক্রমের ভুল নির্ধারণ হিসাবে উল্লেখ করা হয়। অর্থনীতিবিদ রবার্ট এঙ্গেল 2003 সালে হেটেরোসেডাস্টিসিটির উপস্থিতিতে রিগ্রেশন বিশ্লেষণের উপর গবেষণার জন্য অর্থনীতিতে নোবেল স্মারক পুরস্কার লাভ করেন, যার ফলে তিনি অটোরেগ্রেসিভ কন্ডিশনাল হেটেরোসেডাস্টিসিটি (এআরসিএইচ) মডেলিং কৌশল প্রণয়ন করেন। সংজ্ঞা লিনিয়ার রিগ্রেশন সমীকরণটি বিবেচনা করুন যেখানে নির্ভরশীল র্যান্ডম ভেরিয়েবল নির্ধারণমূলক ভেরিয়েবল গুণ সহগ এবং একটি র্যান্ডম ডিস্টার্ব্যান্স শব্দের সমান যার গড় শূন্য। যদি এর বৈচিত্র্য একটি ধ্রুবক হয় তবে ব্যাঘাতগুলি হোমোসেডাস্টিক হয়; অন্যথায়, তারা হেটেরোসেডাস্টিক হয়। বিশেষত, ব্যাঘাতগুলি হেটেরোসেডেস্টিক হয় যদি এর বৈচিত্র্য এর মানের উপর বা তার উপর নির্ভর করে। একটি উপায়ে তারা হেটেরোসেডাস্টিক হতে পারে যদি (একটি স্কেডাস্টিক ফাংশনের একটি উদাহরণ), তাই বৈকল্পিকতা এর মানের সাথে আনুপাতিক। আরও সাধারণভাবে, যদি বিশৃঙ্খলার বৈচিত্র্য-সহপরিবর্তন ম্যাট্রিক্সের একটি অবিচ্ছিন্ন তির্যক থাকে, তবে ব্যাঘাতটি হেটেরোসেডাস্টিক হয়। যখন সময় জুড়ে মাত্র তিনটি পর্যবেক্ষণ থাকে তখন নীচের ম্যাট্রিক্সগুলি কোভারিয়েন্স হয়। ম্যাট্রিক্স এ-তে বিঘ্ন হল সমস্থানিক; এটি একটি সহজ ঘটনা যেখানে ওএলএস হল সর্বোত্তম রৈখিক নিরপেক্ষ প্রাক্কলনকারী। ম্যাট্রিক্স বি এবং সি-তে ব্যাঘাতগুলি হেটেরোসেডাস্টিক। ম্যাট্রিক্স বি-তে, বৈকল্পিকতা সময়-পরিবর্তিত হয়, সময় জুড়ে অবিচ্ছিন্নভাবে বৃদ্ধি পায়; ম্যাট্রিক্স সি-তে, বৈকল্পিকতা এর মানের উপর নির্ভর করে। ম্যাট্রিক্স ডি-তে বিঘ্নটি সমস্থানিক কারণ তির্যক বৈচিত্রগুলি ধ্রুবক, যদিও অফ-ডায়াগোনাল কোভ্যারিয়েন্সগুলি অ-শূন্য এবং সাধারণ সর্বনিম্ন বর্গগুলি অন্য একটি কারণে অকার্যকরঃ ক্রমিক সম্পর্ক। উদাহরণস্বরূপ, পর্যবেক্ষণের আকারের মধ্যে একটি বড় পার্থক্য থাকলে প্রায়শই হেটেরোসেডাস্টিসিটি ঘটে। হেটেরোস্কেডাস্টিসিটির একটি সর্বোত্তম উদাহরণ হল আয় বনাম খাবারের ব্যয়। একজন ধনী ব্যক্তি কখনও সস্তা খাবার এবং কখনও দামি খাবার খেতে পারেন। একজন দরিদ্র মানুষ প্রায় সবসময়ই সস্তা খাবার খাবে। অতএব, উচ্চ আয়ের লোকেরা খাদ্যের ব্যয়ের ক্ষেত্রে আরও বেশি পরিবর্তনশীলতা প্রদর্শন করে। রকেট উৎক্ষেপণের সময়, একজন পর্যবেক্ষক প্রতি সেকেন্ডে একবার রকেট দ্বারা ভ্রমণ করা দূরত্ব পরিমাপ করেন। প্রথম কয়েক সেকেন্ডের মধ্যে, পরিমাপ নিকটতম সেন্টিমিটার পর্যন্ত সঠিক হতে পারে। পাঁচ মিনিট পর, বর্ধিত দূরত্ব, বায়ুমণ্ডলীয় বিকৃতি এবং অন্যান্য বিভিন্ন কারণের কারণে পরিমাপের নির্ভুলতা শুধুমাত্র 100 মিটার পর্যন্ত ভাল হতে পারে। সুতরাং দূরত্বের পরিমাপ হেটেরোস্কেডাস্টিসিটি প্রদর্শন করতে পারে। ফলস্বরূপ ধ্রুপদী রৈখিক রিগ্রেশন মডেলের একটি অনুমান হল যে কোনও হেটেরোসেডাস্টিসিটি নেই। এই অনুমান ভঙ্গ করার অর্থ হল যে গাউস-মার্কভ উপপাদ্য প্রযোজ্য নয়, যার অর্থ হল যে ও. এল. এস প্রাক্কলনকারীরা সেরা রৈখিক পক্ষপাতহীন প্রাক্কলনকারী (বি. এল. ইউ. ই) নয় এবং তাদের বৈচিত্র্য অন্যান্য সমস্ত পক্ষপাতহীন প্রাক্কলনকারীদের মধ্যে সর্বনিম্ন নয়। হেটেরোস্কেডাস্টিসিটি সাধারণ ন্যূনতম বর্গ গুণাঙ্কের অনুমানকে পক্ষপাতদুষ্ট করে না, যদিও এটি সহগের সাধারণ ন্যূনতম বর্গের অনুমানকে পক্ষপাতদুষ্ট হতে পারে, সম্ভবত জনসংখ্যার পার্থক্যের সত্যের উপরে বা নীচে। সুতরাং, হেটেরোসেডাস্টিক ডেটা ব্যবহার করে রিগ্রেশন বিশ্লেষণ এখনও ভবিষ্যদ্বাণীকারী পরিবর্তনশীল এবং ফলাফলের মধ্যে সম্পর্কের জন্য একটি নিরপেক্ষ অনুমান প্রদান করবে, তবে মানক ত্রুটি এবং তাই ডেটা বিশ্লেষণ থেকে প্রাপ্ত অনুমানগুলি সন্দেহজনক। পক্ষপাতদুষ্ট মানগত ত্রুটিগুলি পক্ষপাতদুষ্ট অনুমানের দিকে পরিচালিত করে, তাই অনুমান পরীক্ষার ফলাফল সম্ভবত ভুল। উদাহরণস্বরূপ, যদি ওএলএস একটি হেটেরোসেডাস্টিক ডেটা সেটে সঞ্চালিত হয়, পক্ষপাতদুষ্ট স্ট্যান্ডার্ড ত্রুটি অনুমান প্রদান করে, তবে একজন গবেষক একটি প্রদত্ত তাৎপর্য স্তরে একটি নাল হাইপোথিসিস প্রত্যাখ্যান করতে ব্যর্থ হতে পারেন, যখন সেই নাল হাইপোথিসিস আসলে প্রকৃত জনসংখ্যার বৈশিষ্ট্যহীন ছিল (টাইপ II ত্রুটি তৈরি করে)। নির্দিষ্ট কিছু অনুমানের অধীনে, ওএলএস প্রাক্কলনকারীর একটি স্বাভাবিক অ্যাসিম্পটোটিক ডিস্ট্রিবিউশন থাকে যখন সঠিকভাবে স্বাভাবিক এবং কেন্দ্রীভূত হয় (এমনকি যখন তথ্য একটি স্বাভাবিক ডিস্ট্রিবিউশন থেকে আসে না)। এই ফলাফলটি একটি অনুমান পরীক্ষা পরিচালনা করার সময় একটি স্বাভাবিক বন্টন, বা একটি চি বর্গ বন্টন (পরীক্ষার পরিসংখ্যান কীভাবে গণনা করা হয় তার উপর নির্ভর করে) ব্যবহার করে ন্যায্যতা প্রমাণ করতে ব্যবহৃত হয়। এটি এমনকি হেটেরোস্কেডাস্টিসিটির অধীনেও থাকে। আরও সুনির্দিষ্টভাবে বলতে গেলে, হেটেরোসেডাস্টিসিটির উপস্থিতিতে ওএলএস প্রাক্কলনকারী উপসর্গহীনভাবে স্বাভাবিক, যখন সঠিকভাবে স্বাভাবিক এবং কেন্দ্রীভূত হয়, একটি বৈচিত্র্য-সহপরিবর্তন ম্যাট্রিক্স সহ যা হোমোসেডাস্টিসিটির ক্ষেত্রে থেকে আলাদা। 1980 সালে, হোয়াইট ওএলএস প্রাক্কলনকারীর অ্যাসিম্পটোটিক ডিস্ট্রিবিউশনের ভ্যারিয়েন্স-কোভ্যারিয়েন্স ম্যাট্রিক্সের জন্য একটি সামঞ্জস্যপূর্ণ প্রাক্কলনকারীর প্রস্তাব করেছিলেন। এটি হেটেরোস্কেডাস্টিসিটির অধীনে ওএলএস প্রাক্কলনকারী এবং হোয়াইটের ভ্যারিয়েন্স-কোভ্যারিয়েন্স প্রাক্কলনকারী ব্যবহার করে অনুমান পরীক্ষার ব্যবহারকে বৈধতা দেয়। হেটেরোসেডাস্টিসিটিও একটি প্রধান ব্যবহারিক সমস্যা যা এ. এন. ও. ভি. এ সমস্যার সম্মুখীন হয়। এফ পরীক্ষা এখনও কিছু পরিস্থিতিতে ব্যবহার করা যেতে পারে। যাইহোক, বলা হয়েছে যে অর্থনীতিবিদ্যার শিক্ষার্থীদের হেটেরোস্কেডাস্টিসিটির প্রতি অতিরিক্ত প্রতিক্রিয়া দেখানো উচিত নয়। একজন লেখক লিখেছেন, "অসম ত্রুটির বৈচিত্র্য কেবল তখনই সংশোধন করার যোগ্য যখন সমস্যাটি গুরুতর হয়।" উপরন্তু, সতর্কতার আরেকটি শব্দ ছিল, "হেটেরোস্কেডাস্টিসিটি কখনও অন্যথায় একটি ভাল মডেলকে ফেলে দেওয়ার কারণ হয়নি"। হেটেরোস্কেডাস্টিসিটি-সামঞ্জস্যপূর্ণ স্ট্যান্ডার্ড ত্রুটির আবির্ভাবের সাথে সাথে ত্রুটি পদের শর্তাধীন দ্বিতীয় মুহূর্ত নির্দিষ্ট না করে অনুমানের অনুমতি দেয়, শর্তাধীন হোমোস্কেডাস্টিসিটি পরীক্ষা করা অতীতের মতো গুরুত্বপূর্ণ নয়। যাইহোক, যে কোনও অ-রৈখিক মডেলের জন্য (উদাহরণস্বরূপ লজিট এবং প্রবিট মডেল), হেটেরোসেডাস্টিসিটির আরও গুরুতর পরিণতি রয়েছেঃ পরামিতিগুলির সর্বাধিক সম্ভাব্যতা অনুমান (এম. এল. ই) সাধারণত পক্ষপাতদুষ্ট, পাশাপাশি অসঙ্গতিপূর্ণ হবে (যদি না সম্ভাব্যতা ফাংশনটি সঠিকভাবে বিবেচনা করার জন্য সংশোধন করা হয় হেটেরোসেডাস্টিসিটির সুনির্দিষ্ট রূপ বা বিতরণ রৈখিক সূচকীয় পরিবারের সদস্য এবং শর্তাধীন প্রত্যাশা ফাংশনটি সঠিকভাবে নির্দিষ্ট করা হয়)। তবুও, বাইনারি পছন্দের মডেলগুলির (লজিট বা প্রোবিট) প্রসঙ্গে, হেটেরোসেডাস্টিসিটি শুধুমাত্র ভুল-নির্দিষ্ট এম. এল. ই-এর অ্যাসিম্পটোটিক গড়ের উপর একটি ইতিবাচক স্কেলিং প্রভাব ফেলবে। মডেল যা হেটেরোস্কেডাস্টিসিটি উপেক্ষা করে)। ফলস্বরূপ, ভুলভাবে চিহ্নিত এম. এল. ই-এর উপর ভিত্তি করে করা ভবিষ্যদ্বাণীগুলি সঠিক থাকবে। উপরন্তু, ভুল-নির্দিষ্ট প্রবিট এবং লগিট এম. এল. ই সাধারণত অ্যাসিম্পটোটিকভাবে বিতরণ করা হবে যা স্বাভাবিক তাৎপর্য পরীক্ষা (উপযুক্ত বৈকল্পিকতা-সহপরিবর্তন ম্যাট্রিক্স সহ) সম্পাদন করার অনুমতি দেয়। যাইহোক, সাধারণ অনুমান পরীক্ষা সম্পর্কে, যেমন গ্রিন উল্লেখ করেছেন, "অন্যথায় অসঙ্গতিপূর্ণ প্রাক্কলনকারীর জন্য একটি শক্তিশালী কোভ্যারিয়েন্স ম্যাট্রিক্স গণনা করা এটিকে মুক্তি দেয় না। ফলস্বরূপ, এই পরিবেশে একটি শক্তিশালী কোভ্যারিয়েন্স ম্যাট্রিক্সের গুণ অস্পষ্ট। "সংশোধন হেটেরোস্কেডাস্টিসিটির জন্য বেশ কয়েকটি সাধারণ সংশোধন রয়েছে। সেগুলি হলঃ তথ্যের একটি স্থিতিশীল রূপান্তর, যেমন। লগারিদমাইজড ডেটা। অ-লগারিদমাইজড সিরিজগুলি যা তাত্পর্যপূর্ণভাবে বৃদ্ধি পাচ্ছে প্রায়শই সময়ের সাথে সাথে সিরিজটি বাড়ার সাথে সাথে ক্রমবর্ধমান পরিবর্তনশীলতা রয়েছে বলে মনে হয়। তবে, শতাংশের পরিপ্রেক্ষিতে পরিবর্তনশীলতা বরং স্থিতিশীল হতে পারে। মডেলের জন্য একটি ভিন্ন নির্দিষ্টকরণ ব্যবহার করুন (বিভিন্ন এক্স ভেরিয়েবল, বা সম্ভবত এক্স ভেরিয়েবলের অ-রৈখিক রূপান্তর)। একটি ওজনযুক্ত সর্বনিম্ন বর্গ অনুমান পদ্ধতি প্রয়োগ করুন, যেখানে এক্স এবং ওয়াই-এর রূপান্তরিত বা ওজনযুক্ত মানগুলিতে ওএলএস প্রয়োগ করা হয়। ওজনগুলি পর্যবেক্ষণের উপর নির্ভর করে, সাধারণত পরিবর্তিত ত্রুটির বৈচিত্র্যের উপর নির্ভর করে। একটি বৈচিত্র্যে ওজনগুলি নির্ভরশীল চলকের মাত্রার সাথে সরাসরি সম্পর্কিত এবং এটি সর্বনিম্ন বর্গ শতাংশ প্রতিগমনের সাথে মিলে যায়। হেটেরোসেডাস্টিসিটি-কনসিস্ট্যান্ট স্ট্যান্ডার্ড এরর (এইচ. সি. এস. ই), যদিও এখনও পক্ষপাতদুষ্ট, ও. এল. এস অনুমানের উপর উন্নতি করে। এইচ. সি. এস. ই হেটেরোসেডাস্টিসিটি সহ রিগ্রেশন মডেলগুলিতে স্ট্যান্ডার্ড ত্রুটির একটি সামঞ্জস্যপূর্ণ অনুমানকারী। এই পদ্ধতিটি সহগের মান পরিবর্তন না করে হেটেরোসেডাস্টিসিটির জন্য সংশোধন করে। এই পদ্ধতিটি নিয়মিত ওএলএস-এর চেয়ে উচ্চতর হতে পারে কারণ যদি হেটেরোসেডাস্টিসিটি উপস্থিত থাকে তবে এটি এটির জন্য সংশোধন করে, তবে, যদি তথ্যটি হোমোসেডাস্টিক হয়, তবে স্ট্যান্ডার্ড ত্রুটিগুলি ওএলএস দ্বারা অনুমান করা প্রচলিত স্ট্যান্ডার্ড ত্রুটির সমতুল্য। হেটেরোসেডাস্টিসিটি-সামঞ্জস্যপূর্ণ স্ট্যান্ডার্ড ত্রুটিগুলি গণনা করার সাদা পদ্ধতির বেশ কয়েকটি পরিবর্তন উচ্চতর সীমাবদ্ধ নমুনা বৈশিষ্ট্যগুলির সাথে সংশোধন হিসাবে প্রস্তাব করা হয়েছে। ওয়াইল্ড বুটস্ট্র্যাপিং একটি রিস্যাম্পলিং পদ্ধতি হিসাবে ব্যবহার করা যেতে পারে যা ত্রুটি শব্দের শর্তাধীন বৈচিত্র্যের পার্থক্যকে সম্মান করে। একটি বিকল্প হল ত্রুটির পরিবর্তে পর্যবেক্ষণগুলি পুনরায় নমুনা করা। পর্যবেক্ষণের অধিভুক্ত মানগুলির প্রতি সম্মান না রেখে পুনঃসাম্পলিং ত্রুটিগুলি হোমোস্কেডাস্টিসিটি প্রয়োগ করে এবং এইভাবে ভুল অনুমান দেয়। এম. আই. এন. কিউ. ইউ. ই বা এমনকি প্রথাগত প্রাক্কলনকারী (প্রতিটি পর্যবেক্ষণ সহ স্বাধীন নমুনার জন্য) ব্যবহার করুন, যার দক্ষতা হ্রাস উল্লেখযোগ্য নয় যখন প্রতি নমুনায় পর্যবেক্ষণের সংখ্যা বেশি হয় (), বিশেষ করে অল্প সংখ্যক স্বাধীন নমুনার জন্য। ব্রেউশ-প্যাগান পরীক্ষা ব্যবহার করে অবশিষ্টাংশ পরীক্ষার জন্য সমস্থানিকতার জন্য পরীক্ষা করা যেতে পারে, যা স্বাধীন চলকের উপর বর্গ অবশিষ্টাংশের একটি সহায়ক প্রতিগমন সম্পাদন করে। এই অক্জিলিয়ারি রিগ্রেশন থেকে, বর্গের বর্ণিত যোগফল ধরে রাখা হয়, দুই দ্বারা ভাগ করা হয়, এবং তারপর স্বাধীন চলকের সংখ্যার সমান স্বাধীনতার মাত্রা সহ একটি কাই-বর্গ বণ্টনের জন্য পরীক্ষার পরিসংখ্যান হয়ে ওঠে। এই চি-বর্গ পরীক্ষার নাল হাইপোথিসিস হল হোমোসেডাস্টিসিটি, এবং বিকল্প হাইপোথিসিস হেটেরোসেডাস্টিসিটি নির্দেশ করবে। যেহেতু ব্রুসচ-প্যাগান পরীক্ষা স্বাভাবিকতা বা ছোট নমুনা আকার থেকে প্রস্থানের প্রতি সংবেদনশীল, তাই এর পরিবর্তে কোয়েঙ্কার-বাসেট বা 'সাধারণীকৃত ব্রুসচ-প্যাগান' পরীক্ষা সাধারণত ব্যবহার করা হয়। অক্জিলিয়ারি রিগ্রেশন থেকে, এটি আর-বর্গ মান ধরে রাখে যা তারপর নমুনা আকার দ্বারা গুণিত হয়, এবং তারপর একটি চি-বর্গ বিতরণের জন্য পরীক্ষার পরিসংখ্যান হয়ে ওঠে (এবং স্বাধীনতার একই মাত্রা ব্যবহার করে)। যদিও কোয়েঙ্কার-বাসেট পরীক্ষার জন্য এটি প্রয়োজনীয় নয়, ব্রুশ-প্যাগান পরীক্ষার জন্য প্রয়োজন যে বর্গ অবশিষ্টাংশগুলিকেও নমুনার আকার দ্বারা ভাগ করা অবশিষ্ট বর্গের যোগফল দ্বারা ভাগ করা হবে। গোল্ডফেল্ড-কুয়ান্ড্ট পরীক্ষার মাধ্যমে দলগতভাবে হেটেরোসেডাস্টিসিটির পরীক্ষা করা যেতে পারে। হেটেরোস্কেডাস্টিসিটি-সামঞ্জস্যপূর্ণ স্ট্যান্ডার্ড ত্রুটির মানক ব্যবহার এবং প্রাক-পরীক্ষার সমস্যার কারণে, অর্থনীতিবিদরা আজকাল শর্তাধীন হেটেরোস্কেডাস্টিসিটির জন্য খুব কমই পরীক্ষা ব্যবহার করেন। পরীক্ষার তালিকা যদিও গোষ্ঠীগুলির মধ্যে হেটেরোসেডাস্টিসিটির পরীক্ষাগুলি আনুষ্ঠানিকভাবে রিগ্রেশন মডেলের মধ্যে পরীক্ষার একটি বিশেষ ক্ষেত্রে হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে, কিছু পরীক্ষার এই ক্ষেত্রে নির্দিষ্ট কাঠামো রয়েছে। রিগ্রেশন লেভেনের পরীক্ষা গোল্ডফেল্ড-কুয়ান্ড্ট পরীক্ষা পার্ক পরীক্ষা গ্লেজার পরীক্ষা ব্রাউন-ফোরসি পরীক্ষা হ্যারিসন-ম্যাককেব পরীক্ষা ব্রুসচ-প্যাগান পরীক্ষা হোয়াইট টেস্ট কুক-ওয়েইসবার্গ পরীক্ষা গোষ্ঠীভুক্ত তথ্যের জন্য পরীক্ষা এফ-বৈচিত্র্যের সমতার পরীক্ষা কোচরানের সি পরীক্ষা হার্টলির পরীক্ষা বার্টলেটের পরীক্ষা সাধারণীকরণ সমস্থানিক বিতরণ দুই বা ততোধিক স্বাভাবিক বিতরণ, উভয়ই সমস্থানিক এবং যদি তারা তাদের সহাবস্থান ম্যাট্রিক্সে একই তির্যক ভাগ করে নেয় এবং তাদের অ-তির্যক এন্ট্রি শূন্য হয় তবে সিরিয়াল পারস্পরিক সম্পর্কের অভাব রয়েছে। হোমোসেডাস্টিক ডিস্ট্রিবিউশনগুলি পরিসংখ্যানগত প্যাটার্ন স্বীকৃতি এবং মেশিন লার্নিং অ্যালগরিদম অর্জনের জন্য বিশেষভাবে কার্যকর। হোমোসেডাস্টিসিটি ধরে নেওয়া অ্যালগরিদমের একটি জনপ্রিয় উদাহরণ হল ফিশারের রৈখিক বৈষম্যমূলক বিশ্লেষণ। সমস্থানিকতার ধারণাটি গোলকের বিতরণে প্রয়োগ করা যেতে পারে। মাল্টিভ্যারিয়েট ডেটা হোমসেডাস্টিসিটি এবং হেটেরোসেডাস্টিসিটির অধ্যয়নকে মাল্টিভ্যারিয়েট ক্ষেত্রে সাধারণীকরণ করা হয়েছে, যা স্কেলার পর্যবেক্ষণের বৈচিত্র্যের পরিবর্তে ভেক্টর পর্যবেক্ষণের কোভ্যারিয়েন্স নিয়ে কাজ করে। এর একটি সংস্করণ হল ছড়িয়ে পড়ার বহুমাত্রিক পরিমাপ হিসাবে কোভ্যারিয়েন্স ম্যাট্রিক্স ব্যবহার করা। বেশ কয়েকজন লেখক এই প্রসঙ্গে রিগ্রেশন এবং গোষ্ঠীভুক্ত-তথ্য উভয় পরিস্থিতির জন্য পরীক্ষা বিবেচনা করেছেন। গোষ্ঠীভুক্ত তথ্যের মধ্যে হেটেরোসেডাস্টিসিটির জন্য বার্টলেটের পরীক্ষা, যা সাধারণত ইউনিভ্যারিয়েট ক্ষেত্রে ব্যবহৃত হয়, মাল্টিভ্যারিয়েট ক্ষেত্রেও বাড়ানো হয়েছে, তবে একটি ট্র্যাক্টেবল সমাধান শুধুমাত্র 2টি গোষ্ঠীর জন্য বিদ্যমান। দুটিরও বেশি গোষ্ঠীর জন্য আনুমানিক অবস্থান রয়েছে এবং তাদের উভয়কেই বক্সের এম পরীক্ষা বলা হয়। আরও দেখুন হেটেরোজেনিটি গোলাকার ত্রুটি হেটেরোস্কেডাস্টিসিটি-সামঞ্জস্যপূর্ণ স্ট্যান্ডার্ড ত্রুটি উল্লেখ আরও পড়া বেশিরভাগ পরিসংখ্যানের পাঠ্যপুস্তকে হোমোস্কেডাস্টিসিটি এবং হেটেরোস্কেডাস্টিসিটি সম্পর্কিত কমপক্ষে কিছু উপাদান অন্তর্ভুক্ত থাকবে। কিছু উদাহরণ হলঃ মার্ক থোমা দ্বারা বাহ্যিক লিঙ্ক পরিসংখ্যানগত বিচ্যুতি এবং বিচ্ছুরণ রিগ্রেশন বিশ্লেষণ জাঃ এআরসিএইচ মডেল #分散不均一性