Mimetic interpolation
গণিতে, মিমেটিক ইন্টারপোলেশন হল ডিফারেনশিয়াল ফর্মগুলিকে ইন্টারপোলেট করার একটি পদ্ধতি। অন্যান্য ইন্টারপোলেশন পদ্ধতির বিপরীতে, যা পার্শ্ববর্তী বিন্দুতে তার মান দেওয়া একটি স্থানে একটি ক্ষেত্র অনুমান করে, পার্শ্ববর্তী গ্রিড উপাদানগুলিতে ক্ষেত্রের অভিক্ষেপ দেওয়া অনুকরণীয় ইন্টারপোলেশন ক্ষেত্রের-রূপ অনুমান করে। গ্রিডের উপাদানগুলি তার উপর নির্ভর করে গ্রিড পয়েন্টের পাশাপাশি কোষের প্রান্ত বা মুখ হতে পারে। ভেক্টর এবং সিউডো-ভেক্টর ক্ষেত্রের প্রসঙ্গে মাইমেটিক ইন্টারপোলেশন বিশেষভাবে প্রাসঙ্গিক কারণ পদ্ধতিটি যথাক্রমে লাইন ইন্টিগ্রাল এবং ফ্লাক্স সংরক্ষণ করে। ইন্টিগ্রেটেড ফর্মগুলির ইন্টারপোলেশন একটি ডিফারেনশিয়াল-ফর্ম হতে দিন, তারপর মিমেটিক ইন্টারপোলেশন হল রৈখিক সংমিশ্রণ যেখানে ইন্টারপোলেশন হয়, এবং সহগগুলি গ্রিড উপাদানের উপর ক্ষেত্রের শক্তিকে উপস্থাপন করে। এর উপর নির্ভর করে, একটি নোড (), একটি কোষ প্রান্ত (), একটি কোষ মুখ () বা একটি কোষের আয়তন () হতে পারে। উপরেরগুলিতে, ইন্টারপোলেটিং-ফর্মগুলি রয়েছে, যা তাঁবুর ক্রিয়াকলাপের মতো কেন্দ্রীভূত এবং ক্ষয়প্রাপ্ত। এর উদাহরণ হল মাত্রায় সরল জালের জন্য হুইটনি ফর্ম। অন্যান্য ইন্টারপোলেশন পদ্ধতির তুলনায় মিমেটিক ইন্টারপোলেশনের একটি গুরুত্বপূর্ণ সুবিধা হল ক্ষেত্রের শক্তি স্কেলার এবং এইভাবে সিস্টেম অপরিবর্তনীয় সমন্বয় করে। ইন্টারপোলেটিং ফর্মগুলি অনেক ক্ষেত্রে ইন্টারপোলেটিং ফর্মগুলির জন্য অন্যের হস্তক্ষেপ ছাড়াই নির্দিষ্ট গ্রিড উপাদানগুলির উপর ক্ষেত্রের শক্তি নির্বাচন করা কাম্য। এটি নির্দিষ্ট গ্রিড উপাদানগুলিতে ক্ষেত্রের মান নির্ধারণ করার অনুমতি দেয়, যা তারপর মাঝখানে ইন্টারপোলেট করা যেতে পারে। একটি সাধারণ ঘটনা হল রৈখিক ইন্টারপোলেশন যার জন্য ইন্টারপোলেটিং ফাংশনগুলি (-ফর্মগুলি) একটি ব্যতীত সমস্ত নোডে শূন্য হয়, যেখানে ইন্টারপোলেটিং ফাংশনটি এক। একটি অনুরূপ গঠন অনুকরণীয় ইন্টারপোলেশনের ক্ষেত্রে প্রয়োগ করা যেতে পারে অর্থাৎ, সমস্ত কোষ উপাদানের অবিচ্ছেদ্য শূন্য, যেখানে অবিচ্ছেদ্যটি একটি ফেরত দেয় তা ব্যতীত। এর জন্য একটি গ্রিড পয়েন্ট কোথায়। কারণ ইন্টিগ্রালটি প্রান্তের উপর এবং তাই ইন্টিগ্রালটি প্রান্তে শূন্য প্রত্যাশিত। ইন্টিগ্রালের জন্য মুখের উপর এবং কোষের আয়তনের জন্য। সংরক্ষণ বৈশিষ্ট্য মাইমেটিক ইন্টারপোলেশন ডিফারেনশিয়াল ফর্মের বৈশিষ্ট্যগুলিকে সম্মান করে। বিশেষ করে, স্টোকসের উপপাদ্য এর অন্তরণ নির্দেশ করে সন্তুষ্ট। এখানে, বাহ্যিক ডেরিভেটিভ হল, যে কোনও মাত্রার ম্যানিফোল্ড এবং এর সীমানা। এটি অনুকরণীয় ইন্টারপোলেশন সংরক্ষণ বৈশিষ্ট্য প্রদান করে, যা সাধারণত অন্যান্য ইন্টারপোলেশন পদ্ধতি দ্বারা ভাগ করা হয় না। ইন্টারপোলেশন অপারেটর এবং বাহ্যিক ডেরিভেটিভের মধ্যে কমিউটেটিভিটি অনুকরণীয় হওয়ার জন্য, ইন্টারপোলেশনকে অবশ্যই সন্তুষ্ট করতে হবে যেখানে একটি-ফর্মের ইন্টারপোলেশন অপারেটর, অর্থাৎ। । অন্য কথায়, ইন্টারপোলেশন অপারেটর এবং এক্সটার্নাল ডেরিভেটিভস কমিউট করে। লক্ষ্য করুন যে প্রতিটি ধরনের ফর্ম () এর জন্য বিভিন্ন ইন্টারপোলেশন পদ্ধতি প্রয়োজন। উপরের সমীকরণটি ইন্টারপোলেটেড ফর্মের জন্য স্টোকসের উপপাদ্যকে সন্তুষ্ট করার জন্য প্রয়োজনীয় অন্যান্য ক্যালকুলাস বৈশিষ্ট্যগুলি ইন্টারপোলেশন এবং এর মধ্যে কমিউটেটিভিটি থেকে উদ্ভূত। উদাহরণস্বরূপ, শেষ ধাপটি সীমানার উপর একত্রিত হওয়ার পর থেকে শূন্য দেয়। প্রজেকশন ইন্টারপোলেটেড প্রায়শই একটি লক্ষ্য,-মাত্রিক, ওরিয়েন্টেড ম্যানিফোল্ডের উপর অভিক্ষিপ্ত হয়, কারণ লক্ষ্যটি একটি বিন্দু, কারণ এটি একটি রেখা, একটি এলাকার জন্য ইত্যাদি। প্রয়োগ অনেক ভৌত ক্ষেত্রকে-ফর্ম হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে। সংখ্যাসূচক মডেলিং-এ ক্ষেত্রগুলিকে পৃথক করার সময়, প্রতিটি ধরনের-ফর্ম প্রায়শই সংখ্যাসূচক স্থায়িত্বের প্রয়োজনীয়তা অনুসারে তার নিজস্ব চমকপ্রদ অর্জন করে, যেমন। চেকারবোর্ডের অস্থিতিশীলতা প্রতিরোধ করার প্রয়োজন। এর ফলে বাহ্যিক সীমাবদ্ধ উপাদান এবং বিচ্ছিন্ন বাহ্যিক ক্যালকুলাস পদ্ধতির বিকাশ ঘটে, যা উভয়ই ক্ষেত্রের প্রকারের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ ক্ষেত্রের বিচক্ষণতার উপর নির্ভর করে। নীচের সারণিতে ভৌত ক্ষেত্রের কিছু উদাহরণ, তাদের ধরন, তাদের সংশ্লিষ্ট রূপ এবং ইন্টারপোলেশন পদ্ধতির পাশাপাশি এমন সফ্টওয়্যার তালিকাভুক্ত করা হয়েছে যা ক্ষেত্রটিকে ইন্টারপোলেট, রিমেপ বা রিগ্রাইড করতে ব্যবহার করা যেতে পারেঃ উদাহরণস্বরূপ ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে সূচকযুক্ত নোড সহ দুটি মাত্রায় চতুর্ভুজ কোষ বিবেচনা করুন। উপরন্তু, প্রতিটি কোষের প্যারামেট্রিক স্থানাঙ্ক () হতে দিন। তারপর একক বর্গক্ষেত্র ()-এর দ্বিমাত্রিক অন্তর্বর্তী রূপগুলি রয়েছে। সংশ্লিষ্ট প্রান্ত ইন্টারপোলেটিং ফর্মগুলি আমরা ধরে নিয়েছিলাম যে প্রান্তগুলি ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে এবং পূর্ব ও উত্তর দিকে নির্দেশ করে সূচক করা হয়েছে। সর্বনিম্ন ক্রমে, ওয়েজ প্রোডাক্ট কোথায় তার জন্য শুধুমাত্র একটি ইন্টারপোলেটিং ফর্ম রয়েছে। আমরা যাচাই করতে পারি যে উপরের ইন্টারপোলেটিং ফর্মগুলি অনুকরণীয় শর্তগুলি পূরণ করে এবং। উদাহরণস্বরূপ, যেখানে, এবং একক বর্গক্ষেত্রের চতুর্ভুজের কোণে মূল্যায়ন করা ক্ষেত্রের মানগুলি নিন। একইভাবে, আমাদের কাছে রয়েছে, 1-ফর্মটি প্রান্তে প্রক্ষিপ্ত হচ্ছে। লক্ষ্য করুন যেটি পুলব্যাক নামেও পরিচিত। যদি মানচিত্রটি প্রান্তকে প্যারামিট্রাইজ করে, তবে যেখানে ইন্টিগ্রেশনটি স্পেসে সঞ্চালিত হয়। উদাহরণস্বরূপ, প্রান্তটি বিবেচনা করুন, তারপর শুরু এবং পয়েন্টগুলি দিয়ে এবং নির্দেশ করুন। একটি সাধারণ 1-ফর্মের জন্য, একটি পায়। রেফারেন্স ইন্টারপোলেশন ডিফারেনশিয়াল ফর্ম