Niven's theorem
গণিতে, ইভান নিভেন-এর নামে নামকরণ করা নিভেন-এর উপপাদ্য বলে যে 0° ≤ θ ≤ 90° ব্যবধানের θ-এর একমাত্র মূলদ মান যার জন্য θ ডিগ্রির সাইনটিও একটি মূলদ সংখ্যাঃ রেডিয়ানগুলিতে, একজনের প্রয়োজন হবে যে 0 ≤ x ≤/2, যে x/মূলদ হবে, এবং সেই sinx মূলদ হবে। উপসংহার হল যে এই ধরনের মানগুলি হল sin 0 = 0, sin/6 = 1/2, এবং sin/2 = 1। এই উপপাদ্যটি নিভেনের অযৌক্তিক সংখ্যার বইয়ে করোলারি 3.12 হিসাবে উপস্থিত হয়। উপপাদ্যটি অন্যান্য ত্রিকোণমিতি ফাংশনেও প্রসারিত। θ-এর যুক্তিসঙ্গত মানগুলির জন্য, সাইন বা কোসাইনের একমাত্র যুক্তিসঙ্গত মানগুলি হল 0, ±1/2, এবং ±1; সেকেন্ট বা কোসেকেন্টের একমাত্র যুক্তিসঙ্গত মান হল ±1 এবং ±2; এবং স্পর্শক বা কোট্যাঞ্জেন্টের একমাত্র যুক্তিসঙ্গত মান হল 0 এবং ±1। নিভেনের তত্ত্বের প্রমাণ তাঁর 'অযৌক্তিক সংখ্যা' বইয়ে পাওয়া যায়। এর আগে, উপপাদ্যটি ডি. এইচ. লেহমার এবং জে. এম. এইচ. ওল্মস্টেড দ্বারা প্রমাণিত হয়েছিল। লেহমার তাঁর 1933 সালের গবেষণাপত্রে আরও সাধারণ ফলাফল প্রমাণ করে কোসাইন উপপাদ্যটি প্রমাণ করেছিলেন। অর্থাৎ, লেহমার দেখিয়েছেন যে তুলনামূলকভাবে মৌলিক পূর্ণসংখ্যার জন্য এবং সহ, সংখ্যাটি একটি বীজগাণিতিক ডিগ্রি, যেখানে অয়লারের টোটিয়েন্ট ফাংশনকে বোঝায়। যেহেতু মূলদ সংখ্যার ডিগ্রি 1 রয়েছে, তাই আমাদের অবশ্যই থাকতে হবে এবং তাই কেবলমাত্র সম্ভাবনাগুলি হল 1,2,3,4 বা 6। এরপরে, তিনি ত্রিকোণমিতিক পরিচয় ব্যবহার করে সাইন-এর জন্য একটি সংশ্লিষ্ট ফলাফল প্রমাণ করেছিলেন। 1956 সালে, নিভেন লেহমারের ফলাফল অন্যান্য ত্রিকোণমিতি ফাংশনে প্রসারিত করেন। অন্যান্য গণিতবিদরা পরবর্তী বছরগুলিতে নতুন প্রমাণ দিয়েছেন। আরও দেখুন পিথাগোরীয় ত্রিভুজগুলি সঠিক ত্রিভুজ গঠন করে যেখানে ত্রিকোণমিতি ফাংশনগুলি সর্বদা যুক্তিসঙ্গত মান গ্রহণ করবে, যদিও তীব্র কোণগুলি যুক্তিসঙ্গত ত্রিকোণমিতি ফাংশন নয় ত্রিকোণমিতি সংখ্যা রেফারেন্স আরও পড়া বাহ্যিক লিঙ্ক জ্যামিতিতে যুক্তিসঙ্গত সংখ্যা ত্রিকোণমিতি উপপাদ্য বীজগণিতে উপপাদ্য