Kasch ring
বলয় তত্ত্বে, বিমূর্ত বীজগণিতের একটি উপক্ষেত্র, একটি ডান কাস্চ বলয় হল একটি বলয় আর যার জন্য প্রতিটি সহজ ডান আর মডিউল আর-এর একটি ডান আদর্শের সমতুল্য। অনুরূপভাবে একটি বাম কাস্চ বলয়ের ধারণা সংজ্ঞায়িত করা হয় এবং দুটি বৈশিষ্ট্য একে অপরের থেকে স্বাধীন। গণিতবিদ ফ্রেডরিক ক্যাসের সম্মানে ক্যাস রিংয়ের নামকরণ করা হয়েছে। ক্যাসকে মূলত আর্টিনিয়ান রিং বলা হত যার সঠিক আদর্শগুলিতে নন-জিরো অ্যানহিলেটর এস-রিং থাকে। নীচের বৈশিষ্ট্যগুলি দেখায় যে ক্যাস্চ রিং এস-রিংকে সাধারণীকরণ করে। সংজ্ঞা সমতুল্য সংজ্ঞাগুলি শুধুমাত্র ডান হাতের সংস্করণের জন্য চালু করা হবে, এই বোঝার সাথে যে বাম হাতের সাদৃশ্যগুলিও সত্য। ক্যাস্চ শর্তাবলীতে অ্যানিহিলেটরের ধারণা ব্যবহার করে কয়েকটি সমতুল্য বিবৃতি রয়েছে এবং এই নিবন্ধটি অ্যানিহিলেটর নিবন্ধে প্রদর্শিত একই স্বরলিপি ব্যবহার করে। ভূমিকায় প্রদত্ত সংজ্ঞা ছাড়াও, নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্যগুলি একটি রিং আর-এর সঠিক ক্যাস হওয়ার সমতুল্য সংজ্ঞা। এগুলি প্রদর্শিত হয়ঃ প্রতিটি সরল ডানদিকের আর মডিউল এম-এর জন্য, এম থেকে আর-এর মধ্যে একটি অ-শূন্য মডিউল সমরূপতা রয়েছে। আর-এর সর্বাধিক ডানদিকের আদর্শগুলি বলয় উপাদানগুলির ডানদিকের অ্যানিহিলেটর, অর্থাৎ, প্রতিটিটি সেই আকারের যেখানে এক্স আর-এ রয়েছে। আর-এর যে কোনও সর্বাধিক ডানদিকের আদর্শ টি-এর জন্য,। R-এর যে কোনও সঠিক আদর্শ T-এর জন্য,। R-এর যে কোনও সর্বোচ্চ সঠিক আদর্শ T-এর জন্য,। আর ছাড়া আর-এর কোনও ঘন ডান আদর্শ নেই। উদাহরণ নীচের বিষয়বস্তু রেফারেন্সগুলিতে পাওয়া যেতে পারে যেমন,,। ধরা যাক আর জ্যাকবসন র্যাডিকেল জে-এর সাথে একটি আধা-প্রাথমিক বলয়। যদি R বিনিময়যোগ্য হয়, অথবা যদি R/J একটি সাধারণ বলয় হয়, তাহলে R হল ডান (এবং বাম) অংশ। বিশেষত, বিনিময়যোগ্য আর্টিনিয়ান বলয়গুলি ডান এবং বাম দিকে রয়েছে। একটি ডিভিশন রিং k-এর জন্য, k থেকে এন্ট্রি সহ চার-বাই-চার ম্যাট্রিক্স রিংয়ের একটি নির্দিষ্ট সাব-রিং R বিবেচনা করুন। সাব-রিং R নিম্নলিখিত ফর্মের ম্যাট্রিক্স নিয়ে গঠিতঃ এটি একটি ডান এবং বাম আর্টিনিয়ান রিং যা ডান কাসচ, তবে বাম কাসচ নয়। ধরা যাক, F ক্ষেত্রের সহগ সহ দুটি অ-বিনিময়শীল চলক X এবং Y-এর উপর S হল পাওয়ার সিরিজের বলয়। ধরা যাক, আদর্শ A হল দুটি উপাদান YX এবং Y2 দ্বারা উৎপন্ন আদর্শ। ভাগফল বলয় এস/এ হল একটি স্থানীয় বলয় যা ডান দিকের কাসচ কিন্তু বাম দিকের কাসচ নয়। ধরুন, আর হল একে লেবেলযুক্ত অসীম সংখ্যক শূন্যেতর বলয়ের একটি বলয়ের সরাসরি গুণফল। আকের সরাসরি যোগফল আর-এর একটি সঠিক আদর্শ গঠন করে। এটি সহজেই পরীক্ষা করা যায় যে এই আদর্শের বাম এবং ডান অ্যানিহিলেটরগুলি শূন্য, এবং তাই আর ডান বা বাম কাস্চ নয়। দুই-বাই-দুই উপরের (বা নীচের) ত্রিভুজাকার ম্যাট্রিক্স বলয়টি ডান বা বাম কাস্চ নয়। ডানদিকের সোক্ল শূন্য সহ একটি রিং (অর্থাৎ) সঠিক ক্যাস্চ হতে পারে না, কারণ রিংয়ে কোনও ন্যূনতম সঠিক আদর্শ নেই। সুতরাং, উদাহরণস্বরূপ, যে ডোমেনগুলি ডিভিশন রিং নয় সেগুলি ডান বা বাম কাস্চ নয়। তথ্যসূত্র বীজগাণিতিক কাঠামো রিং তত্ত্ব