Absorbing Markov chain
সম্ভাবনার গাণিতিক তত্ত্বে, একটি শোষণকারী মার্কভ শৃঙ্খল হল একটি মার্কভ শৃঙ্খল যেখানে প্রতিটি অবস্থা একটি শোষণকারী অবস্থায় পৌঁছতে পারে। একটি শোষণকারী অবস্থা হল এমন একটি অবস্থা যা একবার প্রবেশ করলে ছেড়ে দেওয়া যায় না। সাধারণ মার্কভ চেইনের মতো, একটি অসীম স্থিতি স্থান সহ অবিচ্ছিন্ন-সময় শোষণকারী মার্কভ চেইন থাকতে পারে। যাইহোক, এই নিবন্ধটি বিচ্ছিন্ন-সময় বিচ্ছিন্ন-রাষ্ট্র-স্থান মামলার উপর দৃষ্টি নিবদ্ধ করে। আনুষ্ঠানিক সংজ্ঞা একটি মার্কভ শৃঙ্খল হল একটি শোষণকারী শৃঙ্খল যদি কমপক্ষে একটি শোষণকারী অবস্থা থাকে এবং সীমিত সংখ্যক ধাপে যে কোনও অবস্থা থেকে কমপক্ষে একটি শোষণকারী অবস্থায় যাওয়া সম্ভব হয়। একটি শোষণকারী মার্কভ শৃঙ্খলে, যে অবস্থাটি শোষণ করে না তাকে ক্ষণস্থায়ী বলা হয়। ক্যানোনিকাল ফর্ম আসুন ট্রানজিশন ম্যাট্রিক্স পি সহ একটি শোষণকারী মার্কভ চেইনের ক্ষণস্থায়ী অবস্থা এবং r শোষণকারী অবস্থা থাকে। একটি সাধারণ ট্রানজিশন ম্যাট্রিক্সের বিপরীতে, পি-এর সারিগুলি উৎসের প্রতিনিধিত্ব করে, যেখানে কলামগুলি গন্তব্যের প্রতিনিধিত্ব করে। তারপর যেখানে Q হল একটি t-বাই-t ম্যাট্রিক্স, R হল একটি অ-শূন্য t-বাই-r ম্যাট্রিক্স, 0 হল একটি r-বাই-t শূন্য ম্যাট্রিক্স, এবং IR হল r-বাই-r আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্স। সুতরাং, Q কিছু ক্ষণস্থায়ী অবস্থা থেকে অন্য ক্ষণস্থায়ী অবস্থায় উত্তরণের সম্ভাবনা বর্ণনা করে যেখানে R কিছু ক্ষণস্থায়ী অবস্থা থেকে কিছু শোষণকারী অবস্থায় উত্তরণের সম্ভাবনা বর্ণনা করে। ঠিক কে ধাপে আই থেকে জে-তে রূপান্তরের সম্ভাবনা হল পিকে-র (আই, জে)-এন্ট্রি, যা নীচে আরও গণনা করা হয়েছে। শুধুমাত্র ক্ষণস্থায়ী অবস্থা বিবেচনা করার সময়, পিকে-এর উপরের বাম দিকে পাওয়া সম্ভাবনা, কিউকে-এর (আই, জে)-এন্ট্রি। মৌলিক ম্যাট্রিক্স একটি ক্ষণস্থায়ী অবস্থায় পরিদর্শনের প্রত্যাশিত সংখ্যা একটি শোষক মার্কভ শৃঙ্খল সম্পর্কে একটি মৌলিক বৈশিষ্ট্য হল একটি ক্ষণস্থায়ী অবস্থা থেকে শুরু করে একটি ক্ষণস্থায়ী অবস্থা জে-তে পরিদর্শনের প্রত্যাশিত সংখ্যা i (শোষিত হওয়ার আগে)। এটি তথাকথিত মৌলিক ম্যাট্রিক্স N-এর (i, j) এন্ট্রি দ্বারা দেওয়া যেতে পারে, যা সমস্ত k-এর (0 থেকে φ পর্যন্ত) জন্য Qk যোগ করে প্রাপ্ত হয়। এটি প্রমাণ করা যেতে পারে যে এটি টি-বাই-টি আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্স। এই সূত্রের গণনা হল স্কেলারের জ্যামিতিক সিরিজের সমতুল্য ম্যাট্রিক্স। হাতে ম্যাট্রিক্স এন সহ, মার্কভ চেইনের অন্যান্য বৈশিষ্ট্যগুলিও সহজেই পাওয়া যায়। শোষিত হওয়ার আগে পদক্ষেপের প্রত্যাশিত সংখ্যা যে কোনও শোষণকারী অবস্থায় শোষিত হওয়ার আগে পদক্ষেপের প্রত্যাশিত সংখ্যা, ক্ষণস্থায়ী অবস্থায় শুরু করার সময় ক্ষণস্থায়ী অবস্থার যোগফলের মাধ্যমে গণনা করা যেতে পারে। মানটি ভেক্টরের ith এন্ট্রি দ্বারা দেওয়া হয় যেখানে 1 একটি দৈর্ঘ্য-t কলাম ভেক্টর যার সমস্ত এন্ট্রি 1। প্রবর্তন দ্বারা, ক্ষণস্থায়ী অবস্থা i থেকে শুরু করার সময় অবশেষে শোষণকারী অবস্থা j-তে শোষিত হওয়ার সম্ভাবনা ম্যাট্রিক্সের (i, j)-এন্ট্রি দ্বারা দেওয়া হয়। এই ম্যাট্রিক্সের কলামের সংখ্যা শোষণকারী অবস্থার সংখ্যার সমান r। এই সম্ভাবনার একটি আনুমানিক মান সরাসরি (i, j)-এন্ট্রি থেকে পাওয়া যেতে পারে, যখন k-এর যথেষ্ট বড় মান, যখন i একটি ক্ষণস্থায়ী সূচক, এবং j একটি শোষণকারী অবস্থার সূচক। এর কারণ এই যে। ক্ষণস্থায়ী পরিদর্শনের সম্ভাবনা ক্ষণস্থায়ী অবস্থা i থেকে শুরু করার সময় ক্ষণস্থায়ী অবস্থা j পরিদর্শনের সম্ভাবনা হল ম্যাট্রিক্সের (i, j)-এন্ট্রি যেখানে Ndg হল N-এর মতো একই তির্যক সহ তির্যক ম্যাট্রিক্স। ক্ষণস্থায়ী পরিদর্শনের সংখ্যার উপর বৈচিত্র্য একটি ক্ষণস্থায়ী অবস্থা j-এ পরিদর্শনের সংখ্যার উপর বৈচিত্র্য একটি ক্ষণস্থায়ী অবস্থা i (শোষিত হওয়ার আগে) থেকে শুরু করে ম্যাট্রিক্সের (i, j)-এন্ট্রি যেখানে Nsq হল নিজের সাথে N-এর হ্যাডামার্ড গুণফল (অর্থাৎ। এন-এর প্রতিটি এন্ট্রি বর্গাকার)। ক্ষণস্থায়ী অবস্থায় শুরু করার সময় শোষিত হওয়ার আগে ধাপের সংখ্যার পার্থক্য হল ভেক্টরের ith এন্ট্রি যেখানে tsq হল নিজের সাথে t-এর হাদামার্ড গুণফল (অর্থাৎ, Nsq-এর মতো, t-এর প্রতিটি এন্ট্রি বর্গ)। স্ট্রিং প্রজন্মের উদাহরণ একটি ন্যায্য মুদ্রা বারবার উল্টানোর প্রক্রিয়াটি বিবেচনা করুন যতক্ষণ না ক্রমটি (মাথা, লেজ, মাথা) প্রদর্শিত হয়। এই প্রক্রিয়াটি ট্রানজিশন ম্যাট্রিক্স সহ একটি শোষণকারী মার্কভ চেইন দ্বারা মডেল করা হয় প্রথম অবস্থাটি খালি স্ট্রিংকে উপস্থাপন করে, দ্বিতীয় অবস্থাটি স্ট্রিং "এইচ", তৃতীয় অবস্থাটি স্ট্রিং "এইচটি" এবং চতুর্থ অবস্থাটি স্ট্রিং "এইচটিএইচ"। যদিও বাস্তবে, "এইচটিএইচ" স্ট্রিং তৈরি হওয়ার পরে মুদ্রা উল্টানো বন্ধ হয়ে যায়, শোষণকারী মার্কভ চেইনের দৃষ্টিভঙ্গি হল যে প্রক্রিয়াটি "এইচটিএইচ" স্ট্রিংয়ের প্রতিনিধিত্বকারী শোষণকারী অবস্থায় রূপান্তরিত হয়েছে এবং তাই এটি ছেড়ে যেতে পারে না। এই শোষক মার্কভ শৃঙ্খলের জন্য, মৌলিক ম্যাট্রিক্স হল প্রতিটি ক্ষণস্থায়ী অবস্থা থেকে শুরু হওয়া পদক্ষেপের প্রত্যাশিত সংখ্যা হল 10। অতএব, ক্রমটি (মাথা, লেজ, মাথা) পর্যবেক্ষণ করার আগে মুদ্রা উল্টানোর প্রত্যাশিত সংখ্যা হল 10, যা খালি স্ট্রিংয়ের প্রতিনিধিত্বকারী অবস্থার জন্য প্রবেশ। সম্পূর্ণরূপে সুযোগের উপর ভিত্তি করে গেমগুলি একটি শোষক মার্কভ চেইন দ্বারা মডেল করা যেতে পারে। এর একটি সর্বোত্তম উদাহরণ হল প্রাচীন ভারতীয় বোর্ড গেম সাপ এবং মই। বাম দিকের গ্রাফটি সম্ভাব্যতা ভরকে একাকী শোষণকারী অবস্থায় প্লট করে যা ট্রানজিশন ম্যাট্রিক্সকে বৃহত্তর এবং বৃহত্তর শক্তিতে উন্নীত করার সাথে সাথে চূড়ান্ত বর্গক্ষেত্রকে উপস্থাপন করে। খেলাটি সম্পূর্ণ করার জন্য প্রত্যাশিত সংখ্যক মোড় নির্ধারণ করতে, উপরে বর্ণিত ভেক্টর টি গণনা করুন এবং টি-স্টার্ট পরীক্ষা করুন, যা প্রায় 39.2। সংক্রামক রোগ পরীক্ষা, সংক্রামক রোগ পরীক্ষা, রক্তের পণ্য বা চিকিৎসা ক্লিনিকগুলিতে, প্রায়শই একটি শোষক মার্কভ চেইনের উদাহরণ হিসাবে শেখানো হয়। উদাহরণস্বরূপ, এইচআইভি এবং হেপাটাইটিস বি-এর জন্য মার্কিন যুক্তরাষ্ট্রের রোগ নিয়ন্ত্রণ ও প্রতিরোধ কেন্দ্রগুলির (সিডিসি) মডেলটি দেখায় যে মার্কভ চেইনগুলি শোষণ করলে রোগ সনাক্তকরণ হতে পারে, বনাম অন্যান্য উপায়ে সনাক্তকরণের ক্ষতি হতে পারে। স্ট্যান্ডার্ড সিডিসি মডেলে, মার্কভ চেইনের পাঁচটি রাজ্য রয়েছে, এমন একটি রাজ্য যেখানে ব্যক্তিটি সংক্রামিত নয়, তারপরে সংক্রামিত কিন্তু সনাক্ত করা যায় না এমন ভাইরাস সহ একটি রাজ্য, সনাক্তযোগ্য ভাইরাস সহ একটি রাজ্য এবং ক্লিনিক ছেড়ে দেওয়ার/হারিয়ে যাওয়ার বা সনাক্ত হওয়ার (লক্ষ্য) অবস্থা শোষণ করে। মার্কভ রাজ্যের মধ্যে পরিবর্তনের সাধারণ হারগুলি হল ভাইরাস দ্বারা সংক্রামিত হওয়ার প্রতি একক সময়ের সম্ভাবনা পি, উইন্ডো পিরিয়ড অপসারণের হারের জন্য ডাব্লু (ভাইরাস সনাক্তযোগ্য না হওয়া পর্যন্ত সময়), সিস্টেম থেকে প্রস্থান/ক্ষতির হারের জন্য কিউ, এবং সনাক্তকরণের জন্য ডি, একটি সাধারণ হার ধরে নিয়ে যা স্বাস্থ্য ব্যবস্থা রক্তের পণ্য বা প্রশ্নযুক্ত রোগীদের পরীক্ষা পরিচালনা করে। এটি অনুসরণ করে যে আমরা মার্কভ মডেলের সাথে "হাঁটতে" পারি যাতে কোনও ব্যক্তির সনাক্তকরণের সামগ্রিক সম্ভাবনা সনাক্ত করা যায় যা সনাক্ত না হওয়া হিসাবে শুরু হয়, মডেলের প্রতিটি পরবর্তী অবস্থায় রূপান্তরের সম্ভাবনাকে গুণ করেঃ পরবর্তী মিথ্যা নেতিবাচক পরীক্ষার মোট সংখ্যা-প্রাথমিক সিডিসি উদ্বেগ-তখন পরীক্ষার হার হবে, সংক্রামিত কিন্তু সনাক্তযোগ্য অবস্থায় পৌঁছানোর সম্ভাবনা দ্বারা গুণিত, সংক্রামিত সনাক্তযোগ্য অবস্থায় থাকার সময়কালের গুণিতঃ আরও দেখুন ডিসক্রিট ফেজ-টাইপ ডিস্ট্রিবিউশন অ্যাবসর্বিং সেট (র্যান্ডম ডাইনামিক্যাল সিস্টেম) রেফারেন্স এক্সটার্নাল লিঙ্কস ওল্ফরাম ডেমন্সট্রেশন প্রজেক্টঃ অ্যাবসর্বিং মার্কভ চেইন মনোপলি মার্কভ চেইন মার্কভ মডেলগুলি প্রক্রিয়া করে