Carathéodory kernel theorem
গণিতে, ক্যারাথিওডোরি কার্নেল উপপাদ্যটি 1912 সালে গ্রীক গণিতবিদ কনস্ট্যান্টিন ক্যারাথিওডোরি দ্বারা প্রতিষ্ঠিত জটিল বিশ্লেষণ এবং জ্যামিতিক ফাংশন তত্ত্বের একটি ফলাফল। জটিল সমতলে একক ডিস্কে সংজ্ঞায়িত হোলোমর্ফিক অভিন্ন ফাংশনের ক্রমের কম্প্যাক্ট সেটের অভিন্ন অভিসরণ এবং 0 স্থিরকরণ, ফাংশনের চিত্রগুলির সীমাবদ্ধ আচরণের পরিপ্রেক্ষিতে বিশুদ্ধভাবে জ্যামিতিকভাবে প্রণয়ন করা যেতে পারে। কার্নেল উপপাদ্যের অবিচ্ছেদ্য ফাংশন তত্ত্বের ব্যাপক প্রয়োগ রয়েছে এবং বিশেষ করে লোউনার ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের জন্য জ্যামিতিক ভিত্তি প্রদান করে। খোলা সেটগুলির একটি ক্রমের কার্নেল C-তে 0 ধারণকারী খোলা সেটগুলির একটি ক্রম হতে দিন। ধরা যাক Vn হল 0 ধারণকারী অভ্যন্তরের সংযুক্ত উপাদান। ক্রমের কার্নেলকে Vn-এর মিলন হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়, যদি এটি অ-খালি হয়; অন্যথায় এটি হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। সুতরাং কার্নেলটি হয় একটি সংযুক্ত খোলা সেট যার মধ্যে 0 বা এক বিন্দু সেট থাকে। বলা হয় যে ক্রমটি একটি কার্নেলে একত্রিত হয় যদি প্রতিটি পরবর্তী অংশে একই কার্নেল থাকে। উদাহরণস্বরূপ, যদি 'আন' 0 ধারণকারী সংযুক্ত খোলা সেটগুলির ক্রমবর্ধমান ক্রম হয়, তবে কার্নেলটি কেবল ইউনিয়ন। যদি 'আন' 0 ধারণকারী সংযুক্ত খোলা সেটগুলির একটি ক্রমহ্রাসমান ক্রম হয়, তবে, যদি '0' U1 θ U2 θ এর একটি অভ্যন্তরীণ বিন্দু হয়, তবে ক্রমটি 0 ধারণকারী অভ্যন্তরের উপাদানটিতে একত্রিত হয়। অন্যথায়, যদি 0 একটি অভ্যন্তরীণ বিন্দু না হয়, তবে ক্রমটি এতে একত্রিত হয়। কার্নেল উপপাদ্য ধরা যাক, fn (z) একক ডিস্ক D-এর সমতুল্য ফাংশনের একটি ক্রম, যাতে fn (0) = 0 এবং f 'n (0)> 0 স্বাভাবিক হয়। তারপর fn, D-তে কম্প্যাক্টগুলির উপর অভিন্নভাবে f ফাংশনে রূপান্তরিত হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি Un = fn (D) তার কার্নেলের সাথে একত্রিত হয় এবং এই কার্নেলটি C না হয়। যদি কার্নেলটি হয়, তবে f = 0। অন্যথায় কার্নেলটি একটি সংযুক্ত উন্মুক্ত সেট ইউ, ডি-তে এফ সমান নয় এবং এফ (ডি) = ইউ। প্রমাণ হারউইট্জের উপপাদ্য এবং মন্টেলের উপপাদ্য ব্যবহার করে, এটি পরীক্ষা করা সোজা যে যদি fn কম্প্যাক্টাতে f-এর দিকে সমানভাবে প্রবণতা দেখায় তবে Un-এর প্রতিটি পরবর্তী অংশে কার্নেল U = f (D) থাকে। বিপরীতভাবে যদি 'আন' একটি কার্নেলে রূপান্তরিত হয় যা সি-এর সমান নয়, তবে কোয়েবে কোয়ার্টার উপপাদ্য অনুসারে 'আন'-এ কেন্দ্র 0 সহ f 'n (0)/4 ব্যাসার্ধের ডিস্ক রয়েছে। এই ধারণা যে U ষ্ণ C বোঝায় যে এই ব্যাসার্ধগুলি অভিন্নভাবে আবদ্ধ। কোয়েব বিকৃতি উপপাদ্য অনুসারে, সুতরাং fn ক্রমটি কম্প্যাক্ট সেটের উপর সমানভাবে আবদ্ধ। যদি দুটি ধারাবাহিকতা f এবং g-এর সমতুল্য সীমার সাথে মিলিত হয়, তবে f (0) = g (0) এবং f '(0), g' (0) ≤ 0-এর সাথে। প্রথম অংশ এবং অনুমান অনুসারে এটি অনুসরণ করে যে f (D) = g (D)। রিম্যান ম্যাপিং উপপাদ্যের অনন্যতা f = g কে বাধ্য করে, তাই মূল ক্রম f "n কম্প্যাক্ট সেটগুলিতে অভিন্নভাবে অভিসারী। জটিল বিশ্লেষণে তথ্যসূত্র উপপাদ্য