Weyl law
গণিতে, বিশেষ করে বর্ণালী তত্ত্বে, ওয়েইলের সূত্র ল্যাপ্লাস-বেলট্রামি অপারেটরের আইগেনভ্যালুগুলির অ্যাসিম্পটোটিক আচরণ বর্ণনা করে। এই বর্ণনাটি 1911 সালে (ক্ষেত্রে) হারমান ওয়েইল দ্বারা ল্যাপ্লাস-বেলট্রামি অপারেটরের জন্য আইগেনভ্যালুগুলির জন্য আবিষ্কৃত হয়েছিল যা একটি সীমাবদ্ধ ডোমেনের সীমানায় অদৃশ্য হয়ে যাওয়া ফাংশনের উপর কাজ করে। বিশেষত, তিনি প্রমাণ করেছিলেন যে ডিরিচলেট আইগেনভ্যালুগুলির সংখ্যা (তাদের গুণিতক গণনা) একক বলের আয়তনের পরিমাণের তুলনায় কম বা সমান। 1912 সালে তিনি বৈচিত্র্যময় পদ্ধতির উপর ভিত্তি করে একটি নতুন প্রমাণ প্রদান করেন। সাধারণীকরণ ওয়েইল আইন আরও সাধারণ ডোমেন এবং অপারেটরদের মধ্যে প্রসারিত করা হয়েছে। শ্রোডিঙ্গার অপারেটরের জন্য এটি অপরিহার্য বর্ণালী এবং/অথবা এর নীচে বা নীচে প্রসারিত করা হয়েছিল। এখানে নীচের আইগেনভ্যালুগুলির সংখ্যা রয়েছে যদি না নীচে প্রয়োজনীয় বর্ণালী থাকে। বর্ণালী অ্যাসিম্পটোটিক্সের বিকাশে, বৈচিত্র্যমূলক পদ্ধতি এবং মাইক্রোলোকাল বিশ্লেষণ দ্বারা গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করা হয়েছিল। পাল্টা-উদাহরণ বর্ধিত ওয়েল আইন নির্দিষ্ট পরিস্থিতিতে ব্যর্থ হয়। বিশেষত, সম্প্রসারিত ওয়েইল আইন দাবি করে যে কোনও অপরিহার্য বর্ণালী নেই যদি এবং শুধুমাত্র যদি ডান হাতের অভিব্যক্তি সকলের জন্য সীমাবদ্ধ হয়। যদি কেউ কুস্পস সহ ডোমেইন বিবেচনা করে (অর্থাৎ। "সঙ্কুচিত প্রস্থান অনন্তের দিকে") তারপর (বর্ধিত) ওয়েল আইন দাবি করে যে কোনও প্রয়োজনীয় বর্ণালী নেই যদি এবং কেবলমাত্র আয়তন সীমাবদ্ধ হয়। যাইহোক, ডিরিচলেট ল্যাপলেসিয়ানের জন্য কোনও অপরিহার্য বর্ণালী নেই, এমনকি আয়তন অসীম হলেও যতক্ষণ পর্যন্ত কুস্পস অনন্ততায় সঙ্কুচিত হয় (তাই আয়তনের সীমাবদ্ধতার প্রয়োজন হয় না)। অন্যদিকে, নিউম্যান ল্যাপলেসিয়ানের জন্য একটি অপরিহার্য বর্ণালী রয়েছে যদি না কুস্পস ঋণাত্মক সূচকের চেয়ে দ্রুত অনন্ততায় সঙ্কুচিত হয় (তাই আয়তনের সীমাবদ্ধতা যথেষ্ট নয়)। ওয়েইল অনুমান করেছিলেন যে যেখানে অবশিষ্ট পদটি ডিরিচলেট সীমানা অবস্থার জন্য ঋণাত্মক এবং নিউম্যানের জন্য ধনাত্মক। অবশিষ্ট অনুমান অনেক গণিতবিদ দ্বারা উন্নত করা হয়েছিল। 1922 সালে, রিচার্ড কুরান্ট একটি সীমাবদ্ধতা প্রমাণ করেছিলেন। 1952 সালে, বরিস লেভিটান কম্প্যাক্ট ক্লোজড ম্যানিফোল্ডের জন্য আরও কঠোর সীমাবদ্ধতা প্রমাণ করেছিলেন। রবার্ট সেলি 1978 সালে কিছু ইউক্লিডীয় অঞ্চল অন্তর্ভুক্ত করার জন্য এটি প্রসারিত করেছিলেন। 1975 সালে, হ্যান্স ডুইস্টারমাট এবং ভিক্টর গুইলেমিন প্রমাণ করেছিলেন যে পর্যায়ক্রমিক দ্বি-বৈশিষ্ট্যবিদ্যার সেটটি কখন 0 পরিমাপ করে। অবশেষে 1980 সালে ভিক্টর আইভরি এটিকে সাধারণীকরণ করেন। এই সাধারণীকরণটি ধরে নেয় যে একটি বিলিয়ার্ডের পর্যায়ক্রমিক গতিপথের সেটের পরিমাপ 0, যা আইভরি অনুমান করেছিলেন যে মসৃণ সীমানা সহ সমস্ত আবদ্ধ ইউক্লিডীয় ডোমেনের জন্য পূরণ করা হয়। তারপর থেকে, বৃহত্তর শ্রেণীর অপারেটরদের জন্য অনুরূপ ফলাফল পাওয়া গেছে। তথ্যসূত্র আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ বর্ণালী তত্ত্ব