Microcontinuity
অ-মানক বিশ্লেষণে, ধ্রুপদী গণিতের মধ্যে একটি শাখা, একটি বিন্দুতে একটি অভ্যন্তরীণ ফাংশন f-এর মাইক্রো কন্টিনিউয়িটি (বা S-কন্টিনিউয়িটি) নিম্নরূপ সংজ্ঞায়িত করা হয়ঃ a-এর অসীম কাছাকাছি সমস্ত x-এর জন্য, f (x)-এর মান f (a)-এর অসীম কাছাকাছি। এখানে x, f-এর ক্ষেত্রের মধ্য দিয়ে যায়। সূত্রগুলিতে, এটি নিম্নরূপ প্রকাশ করা যেতে পারেঃ যদি তাই হয়। f-এর উপর সংজ্ঞায়িত একটি ফাংশনের জন্য, সংজ্ঞাটি হ্যালো-র পরিপ্রেক্ষিতে নিম্নরূপ প্রকাশ করা যেতে পারেঃ যদি এবং শুধুমাত্র তখনই f মাইক্রোকন্টিনিউয়াস হয়, যেখানে হাইপাররিয়ালগুলিতে f-এর প্রাকৃতিক সম্প্রসারণ এখনও f-কে বোঝানো হয়। বিকল্পভাবে, c-তে মাইক্রোকন্টিনিউইটির বৈশিষ্ট্যটি এই বলে প্রকাশ করা যেতে পারে যে গঠনটি c-এর হ্যালোতে ধ্রুবক, যেখানে "st" হল স্ট্যান্ডার্ড পার্ট ফাংশন। একটি ফাংশনের ধারাবাহিকতার আধুনিক বৈশিষ্ট্য প্রথম 1817 সালে বোলজানো দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়েছিল। যাইহোক, 1860-এর দশকে হাইনে পুনরায় আবিষ্কার না হওয়া পর্যন্ত বৃহত্তর গাণিতিক সম্প্রদায়ের দ্বারা বলজানোর কাজ লক্ষ্য করা যায়নি। এদিকে, কাউচির পাঠ্যপুস্তক কোর্স ডি অ্যানালাইস 1821 সালে উপরের মতো অসীম ব্যবহার করে ধারাবাহিকতার সংজ্ঞা দেয়। ধারাবাহিকতা এবং অভিন্ন ধারাবাহিকতা মাইক্রো কন্টিনিউইটির বৈশিষ্ট্য সাধারণত একটি বাস্তব ফাংশন f * এর প্রাকৃতিক সম্প্রসারণে প্রয়োগ করা হয়। সুতরাং, একটি বাস্তব ব্যবধান I-এর উপর সংজ্ঞায়িত f অবিচ্ছিন্ন হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি f * I-এর প্রতিটি বিন্দুতে মাইক্রো কন্টিনিউয়াস হয়। এদিকে, f সমানভাবে I-এর উপর অবিচ্ছিন্ন হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি f * তার ডোমেন I-এর প্রাকৃতিক এক্সটেনশন I *-এর প্রতিটি বিন্দুতে (মানক এবং অ-মানক) মাইক্রো কন্টিনিউয়াস হয় (ডেভিস, 1977, পৃ. 96 দেখুন)। উদাহরণ 1 খোলা ব্যবধানের (0,1) প্রকৃত ফাংশনটি অভিন্নভাবে অবিচ্ছিন্ন নয় কারণ f-এর প্রাকৃতিক এক্সটেনশন f * একটি অসীম স্তরে মাইক্রো কন্টিনিউয়াস হতে ব্যর্থ হয়। প্রকৃতপক্ষে, এই ধরনের a-এর জন্য, a এবং 2a মানগুলি অসীম কাছাকাছি, কিন্তু f *-এর মানগুলি অসীম কাছাকাছি নয়। উদাহরণ 2 ফাংশনটি অভিন্নভাবে অবিচ্ছিন্ন নয় কারণ f * একটি অসীম বিন্দুতে মাইক্রো কন্টিনিউয়াস হতে ব্যর্থ হয়। অর্থাৎ, সেটিং এবং K = H + e, সহজেই দেখা যায় যে H এবং K অসীম কাছাকাছি কিন্তু f * (H) এবং f * (K) অসীম কাছাকাছি নয়। ইউনিফর্ম কনভারজেন্স একইভাবে একটি হাইপাররিয়াল সেটিংসে একটি সরলীকৃত সংজ্ঞা স্বীকার করে। সুতরাং, একটি ক্রম অভিন্নভাবে f তে রূপান্তরিত হয় যদি f * ডোমেনের সমস্ত x এবং সমস্ত অসীম n এর জন্য, অসীম কাছাকাছি হয়। আরও দেখুন স্ট্যান্ডার্ড পার্ট ফাংশন গ্রন্থপঞ্জি মার্টিন ডেভিস (1977) ফলিত অ-মানক বিশ্লেষণ। বিশুদ্ধ ও ফলিত গণিত। উইলি-ইন্টারসায়েন্স [জন উইলি অ্যান্ড সন্স], নিউ ইয়র্ক-লন্ডন-সিডনি। xii + 181 পিপি। গর্ডন, ই. আই.; কুসরেভ, এ. জি.; কুতাটেলাদজে, এস. এস.: অসীম বিশ্লেষণ। 2001 সালের রাশিয়ান মূলের হালনাগাদ এবং সংশোধিত অনুবাদ। অনুবাদ করেছেন কুতাটেলাদজে। গণিত এবং এর প্রয়োগ, 544। ক্লুয়ার অ্যাকাডেমিক পাবলিশার্স, ডর্ড্রেক্ট, 2002। তথ্যসূত্র মানহীন বিশ্লেষণ