Preissmann's theorem
গণিতের একটি ক্ষেত্র রিম্যানিয়ান জ্যামিতিতে, প্রেইসম্যানের উপপাদ্য এমন একটি বিবৃতি যা নেতিবাচকভাবে বাঁকা কম্প্যাক্ট রিম্যানিয়ান ম্যানিফোল্ডের সম্ভাব্য টপোলজিকে সীমাবদ্ধ করে। এটি আলেকজান্ডার প্রেইসম্যানের নামে নামকরণ করা হয়েছে, যিনি 1943 সালে একটি প্রমাণ প্রকাশ করেছিলেন। প্রেইসম্যানের উপপাদ্য ঋণাত্মক বিভাগীয় বক্রতার একটি রিম্যানিয়ান মেট্রিক সহ একটি বদ্ধ বহুগুণ বিবেচনা করুন। প্রেইসম্যানের উপপাদ্য বলে যে মৌলিক গোষ্ঠীর প্রতিটি অ-তুচ্ছ আবেলিয়ান উপগোষ্ঠী অবশ্যই পূর্ণসংখ্যার যোগাত্মক গোষ্ঠীর সমতুল্য হতে হবে। এটিকে শিথিলভাবে এই বলে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে যে এই ধরনের বহুগুণের মৌলিক গোষ্ঠীটি অবশ্যই অত্যন্ত অ-আবেলিয়ান হতে হবে। উপরন্তু, মৌলিক গোষ্ঠীটি নিজেই আবেলিয়ান হতে পারে না। উদাহরণস্বরূপ, প্রেইসম্যানের উপপাদ্যটি বোঝায় যে-মাত্রিক টরাস কঠোরভাবে নেতিবাচক বিভাগীয় বক্রতার কোনও রিমানিয়ান মেট্রিক গ্রহণ করে না (যদি না দুটি হয়)। আরও সাধারণভাবে, ধনাত্মক মাত্রার দুটি বদ্ধ ম্যানিফোল্ডের গুণফল কঠোরভাবে ঋণাত্মক বিভাগীয় বক্রতার একটি রিমানিয়ান মেট্রিককে গ্রহণ করে না। প্রিজম্যানের উপপাদ্যের আদর্শ প্রমাণ ভূগণিতের দৈর্ঘ্য এবং কোণের উপর ঋণাত্মক বক্রতা যে সীমাবদ্ধতাগুলি তৈরি করে তার সাথে সম্পর্কিত। যাইহোক, এটি আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের কৌশল দ্বারাও প্রমাণিত হতে পারে, যা সুরেলা মানচিত্রে জেমস ইলস এবং জোসেফ স্যাম্পসনের মৌলিক উপপাদ্যের একটি সরাসরি উপপাদ্য। ফ্ল্যাট টরাস উপপাদ্য প্রেইসম্যান উপপাদ্যকে ডেটলেফ গ্রোমোল এবং জোসেফ ওল্ফ এবং স্বাধীনভাবে ব্লেইন লসন এবং শিং-টুং ইয়াউ দ্বারা প্রাপ্ত আরও শক্তিশালী ফ্ল্যাট টরাস উপপাদ্যের একটি বিশেষ উদাহরণ হিসাবে দেখা যেতে পারে। এটি প্রতিষ্ঠিত করে যে, বিভাগীয় বক্রতার অ-ইতিবাচকতার অধীনে, মৌলিক গোষ্ঠীর আবেলিয়ান উপগোষ্ঠীগুলি জ্যামিতিকভাবে বিশেষ সাবম্যানিফোল্ড দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়ঃ একটি সমতল টরাসের সম্পূর্ণরূপে জিওডেসিক আইসোমেট্রিক নিমজ্জন। আলেকজান্দ্রোভ স্পেসের একটি সু-বিকশিত তত্ত্ব রয়েছে যা বিভাগীয় বক্রতার উপর উচ্চ সীমার তত্ত্বকে মেট্রিক স্পেসের প্রসঙ্গে প্রসারিত করে। প্রিসম্যান উপপাদ্যের বিশেষ কেস সহ ফ্ল্যাট টরাস উপপাদ্যকে এই বিস্তৃত প্রসঙ্গে রাখা যেতে পারে। রেফারেন্স বই। রিমানীয় জ্যামিতিতে উপপাদ্য