Weak equivalence (homotopy theory)
গণিতে, একটি দুর্বল সমতুল্যতা হোমোটপি তত্ত্বের একটি ধারণা যা কিছু অর্থে একই "আকৃতি" রয়েছে এমন বস্তুগুলিকে চিহ্নিত করে। এই ধারণাটি একটি মডেল বিভাগের স্বতঃসিদ্ধ সংজ্ঞায় আনুষ্ঠানিক করা হয়েছে। একটি মডেল বিভাগ হল এমন একটি বিভাগ যেখানে দুর্বল সমতুল্য, ফাইব্রেশন এবং কোফিব্রেশন নামক শ্রেণীবদ্ধ অঙ্গসংস্থান রয়েছে, যা বেশ কয়েকটি স্বতঃসিদ্ধিকে সন্তুষ্ট করে। একটি মডেল বিভাগের সংশ্লিষ্ট সমস্থানিক বিভাগের একই বস্তু রয়েছে, তবে দুর্বল সমতুল্যগুলিকে সমরূপতায় পরিণত করার জন্য অঙ্গসংস্থানগুলি পরিবর্তন করা হয়। এটি একটি দরকারী পর্যবেক্ষণ যে সংশ্লিষ্ট হোমোটপি বিভাগটি কেবল দুর্বল সমতুল্যতার উপর নির্ভর করে, ফাইব্রেশন এবং কোফিব্রেশনের উপর নয়। টপোলজিক্যাল স্পেস মডেল বিভাগগুলি কুয়িলেন দ্বারা সমস্থানিক তত্ত্বের একটি স্বতঃসিদ্ধকরণ হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছিল যা টপোলজিকাল স্পেসের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য, তবে বীজগণিত এবং জ্যামিতির অন্যান্য অনেক বিভাগের ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য। যে উদাহরণটি বিষয়টিকে শুরু করেছে তা হল সের ফাইব্রেশন সহ টপোলজিকাল স্পেসের বিভাগ যা ফাইব্রেশন হিসাবে এবং দুর্বল সমতুল্য হিসাবে দুর্বল হোমোটপি সমতুল্য (এই মডেল কাঠামোর জন্য কোফিব্রেশনকে আপেক্ষিক কোষ কমপ্লেক্স এক্স ওয়াই-এর প্রত্যাহার হিসাবে বর্ণনা করা যেতে পারে)। সংজ্ঞা অনুসারে, স্থানগুলির একটি অবিচ্ছিন্ন ম্যাপিং f: X → Y কে দুর্বল সমস্থানিক সমতুল্য বলা হয় যদি পথের উপাদানগুলির সেটগুলিতে প্ররোচিত ফাংশনটি বাইজেক্টিভ হয় এবং X-এর প্রতিটি বিন্দু x এবং প্রতিটি n ≤ 1-এর জন্য, সমস্থানিক গোষ্ঠীগুলির উপর প্ররোচিত সমরূপতা বাইজেক্টিভ হয়। (এক্স এবং ওয়াই পথ-সংযুক্তির জন্য, প্রথম শর্তটি স্বয়ংক্রিয়, এবং এক্স-এ একটি একক বিন্দু এক্স-এর জন্য দ্বিতীয় শর্তটি উল্লেখ করার জন্য এটি যথেষ্ট।) সহজভাবে সংযুক্ত টপোলজিকাল স্পেস X এবং Y-এর জন্য, একটি মানচিত্র f: X → Y একটি দুর্বল সমস্থানিক সমতুল্য হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি একক সমস্থানিক গোষ্ঠীর উপর প্ররোচিত সমরূপতা f *: Hn (X, Z) → Hn (Y, Z) সমস্ত n-এর জন্য বাইজেক্টিভ হয়। একইভাবে, কেবল সংযুক্ত স্পেস X এবং Y-এর জন্য, একটি মানচিত্র f: X → Y একটি দুর্বল সমস্থানিক সমতুল্য হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি একক সমস্থানিকতার উপর পুলব্যাক সমরূপতা f *: Hn (Y, Z) → Hn (X, Z) সমস্ত n-এর জন্য বাইজেক্টিভ হয়। উদাহরণস্বরূপঃ ধরা যাক X প্রাকৃতিক সংখ্যার সেট {0,1,2,} এবং ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা n-এর জন্য 0 থেকে 0 এবং n থেকে 1/n ম্যাপিং করে f: X → Y সংজ্ঞায়িত করুন। তারপর f অবিচ্ছিন্ন, এবং আসলে একটি দুর্বল সমস্থানিক সমতুল্য, কিন্তু এটি একটি সমস্থানিক সমতুল্য নয়। টপোলজিকাল স্পেসের হোমোটপি বিভাগ (দুর্বল হোমোটপি সমতুল্যকে বিপরীত করে প্রাপ্ত) টপোলজিকাল স্পেসের বিভাগকে ব্যাপকভাবে সহজতর করে। প্রকৃতপক্ষে, এই হোমোটপি বিভাগটি সিডব্লিউ কমপ্লেক্সের বিভাগের সমতুল্য, যার মধ্যে মরফিজমগুলি অবিচ্ছিন্ন মানচিত্রের হোমোটপি শ্রেণী। টপোলজিকাল স্পেস বিভাগের অন্যান্য অনেক মডেল কাঠামোও বিবেচনা করা হয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, টপোলজিকাল স্পেসের স্ট্রম মডেল কাঠামোতে, ফাইব্রেশনগুলি হল হিউরিউইজ ফাইব্রেশন এবং দুর্বল সমতুল্যগুলি হল হোমোটপি সমতুল্য। চেইন কমপ্লেক্স কিছু অন্যান্য গুরুত্বপূর্ণ মডেল বিভাগে চেইন কমপ্লেক্স জড়িত। ধরা যাক এ একটি গ্রোথেন্ডিয়াক আবেলিয়ান বিভাগ, উদাহরণস্বরূপ একটি রিংয়ের উপর মডিউলগুলির বিভাগ বা একটি টপোলজিকাল স্পেসে আবেলিয়ান গোষ্ঠীর শেভের বিভাগ। একটি বিভাগ সি (এ)-কে সংজ্ঞায়িত করুন যার মধ্যে এ-তে বস্তুর জটিল এক্স এবং শৃঙ্খল মানচিত্রের অঙ্গসংস্থান রয়েছে। (এটি এ-এর বস্তুর "কোচেইন কমপ্লেক্স" বিবেচনা করার সমতুল্য, যেখানে সংখ্যাটি কেবল এক্সআই = এক্স-আই সংজ্ঞায়িত করে লেখা হয়।) সি (এ) বিভাগের একটি মডেল কাঠামো রয়েছে যেখানে কোফিব্রেশনগুলি মনোমরফিজম এবং দুর্বল সমতুল্যগুলি আধা-আইসোমরফিজম। সংজ্ঞা অনুসারে, একটি শৃঙ্খল মানচিত্র f: X → Y একটি আধা-সমরূপতা, যদি সমরূপতার উপর প্ররোচিত সমরূপতা সমস্ত পূর্ণসংখ্যা n-এর জন্য একটি সমরূপতা হয়। (এখানে Hn (X) হল A-এর বস্তু যা Xn → Xn−1 মডুলোর কার্নেল হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে। ফলস্বরূপ হোমোটপি বিভাগকে উদ্ভূত বিভাগ ডি (এ) বলা হয়। ট্রিভিয়াল ফাইব্রেশন এবং ট্রিভিয়াল কোফিব্রেশন যে কোনও মডেল বিভাগে, একটি দুর্বল সমতুল্য ফাইব্রেশনকে ট্রিভিয়াল (বা অ্যাসাইক্লিক) ফাইব্রেশন বলা হয়। একটি কোফিব্রেশন যা একটি দুর্বল সমতুল্য, তাকে তুচ্ছ (বা অ্যাসাইক্লিক) কোফিব্রেশন বলা হয়। উদ্ধৃতি হোমোটোপি তত্ত্ব সমতাত্ত্বিক বীজগণিত সমতা (গণিত)