Nevanlinna's criterion
গণিতে, জটিল বিশ্লেষণে নেভানলিন্নার মানদণ্ড, যা 1920 সালে ফিনিশ গণিতবিদ রল্ফ নেভানলিন্না দ্বারা প্রমাণিত হয়, একক ডিস্কে হোলমর্ফিক অভিন্ন ফাংশনগুলিকে চিহ্নিত করে যা তারার মতো। নেভানলিনা তারার মতো অভিন্ন ক্রিয়াকলাপের জন্য বিবারবাখের অনুমানকে প্রমাণ করতে এই মানদণ্ডটি ব্যবহার করেছিলেন। মানদণ্ডের বিবৃতি একক ডিস্কে এইচ (0) = 0 এবং এইচ (0) = 1-কে সন্তুষ্ট করে এমন একটি অভিন্ন ফাংশন হল স্টার সদৃশ, অর্থাৎ। [0,1]-এ বাস্তব সংখ্যা দ্বারা গুণনের অধীনে চিত্র অপরিবর্তনীয় থাকে, যদি এবং শুধুমাত্র যদি |z। <1-এর জন্য ধনাত্মক বাস্তব অংশ থাকে এবং 0-এ 1 মান নেয়। লক্ষ্য করুন যে, a·h (rz)-এ ফলাফল প্রয়োগ করে, মানদণ্ডটি যে কোনও |z। <r ডিস্কে প্রযোজ্য হয় শুধুমাত্র এই প্রয়োজনীয়তার সাথে যে f (0) = 0 এবং f "'(0)  ঒ত্ত 0। মানদণ্ডের প্রমাণ ধরা যাক, |z। <1-এ h (0) = 0 এবং h (0) = 1 সহ h (z) একটি তারার মতো অভিন্ন ফাংশন। টি <0-এর জন্য, ডি-এর হোলোমর্ফিক ম্যাপিং-এর একটি সেমিগ্রুপকে 0 স্থির করে সংজ্ঞায়িত করুন। উপরন্তু এইচ হল সেমিগ্রুপ ফুট-এর জন্য কোয়েনিগস ফাংশন। শোয়ার্জ লেম্মা অনুসারে, |ft (z)। টি বাড়ার সাথে সাথে হ্রাস পায়। সুতরাং, তাই, |w |2 দ্বারা ভাগ করলে, পারস্পরিক গ্রহণ এবং t কে 0-তে যেতে দিলে সমস্ত |z। <1-এর জন্য পাওয়া যায়। যেহেতু বাম দিকটি একটি সুরেলা ফাংশন, তাই সর্বাধিক নীতিটি বোঝায় যে বৈষম্য কঠোর। বিপরীতভাবে যদি ধনাত্মক বাস্তব অংশ এবং g (0) = 1 থাকে, তবে h শুধুমাত্র 0-তে অদৃশ্য হয়ে যেতে পারে, যেখানে এটির অবশ্যই একটি সাধারণ শূন্য থাকতে হবে। এখন এইভাবে z বৃত্তটি চিহ্নিত করার সাথে সাথে চিত্রটির যুক্তি কঠোরভাবে বৃদ্ধি পায়। যুক্তির নীতি অনুসারে, যেহেতু 0-তে একটি সাধারণ শূন্য রয়েছে, তাই এটি উৎসকে মাত্র একবার প্রদক্ষিণ করে। এটি যে বক্ররেখা চিহ্নিত করে তা দ্বারা বেষ্টিত অঞ্চলের অভ্যন্তরটি তাই তারার মতো। যদি a অভ্যন্তরের একটি বিন্দু হয় তবে |z। <r সহ h (z) = a এর N (a) সমাধানের সংখ্যা দ্বারা দেওয়া হয়। যেহেতু এটি একটি পূর্ণসংখ্যা, এটি ক্রমাগত a এবং N (0) = 1 এর উপর নির্ভর করে, এটি অভিন্নভাবে 1। সুতরাং প্রতিটি ডিস্কে |z। <r এবং তাই সর্বত্র h অভিন্ন এবং তারার মতো। কারাথিওডোরির লেম্মা কনস্ট্যান্টিন কারাথিওডোরির প্রয়োগ 1907 সালে প্রমাণ করে যে যদি ধনাত্মক বাস্তব অংশ সহ একক ডিস্ক ডি-তে একটি হোলোমরফিক ফাংশন হয়, তবে প্রকৃতপক্ষে যে কোনও r <1-এর জন্য g-এর পরিবর্তে g (z) = g (rz) দিয়ে ফলাফল দেখানো এবং তারপর r = 1 সীমায় পাস করা যথেষ্ট। সেক্ষেত্রে g ধনাত্মক বাস্তব অংশ সহ বদ্ধ ডিস্কের একটি অবিচ্ছিন্ন ফাংশনে প্রসারিত হয় এবং শোয়ার্জ সূত্র দ্বারা এটি অনুসরণ করে যে পরিচয়টি ব্যবহার করে, তাই একটি সম্ভাব্যতা পরিমাপকে সংজ্ঞায়িত করে, এবং তাই তারার মতো ফাংশনের জন্য প্রমাণ আসুন |z। <1-এ একটি অবিচ্ছেদ্য তারার মতো ফাংশন হতে হবে। প্রকৃতপক্ষে নেভানলিন্নার মানদণ্ড দ্বারা |z। <1-এর জন্য ধনাত্মক বাস্তব অংশ রয়েছে। অন্যদিকে ক্যারাথিওডোরির লেমা দ্বারা পুনরাবৃত্তির সম্পর্ক দেওয়া হয়েছে যেখানে a "1 = 1। সুতরাং এটি আনয়ন দ্বারা অনুসরণ করে যে নোটস রেফারেন্স বিশ্লেষণাত্মক ফাংশন