Quasicircle
গণিতে, একটি চতুষ্কোণ হল জটিল সমতলে একটি জর্ডান বক্ররেখা যা সমতলে একটি চতুষ্কোণীয় ম্যাপিংয়ের অধীনে একটি বৃত্তের চিত্র। মূলত এবং দ্বারা স্বাধীনভাবে প্রবর্তিত, পুরানো সাহিত্যে (জার্মান ভাষায়) এগুলিকে কোয়াসিকোফর্মাল বক্ররেখা হিসাবে উল্লেখ করা হয়েছিল, একটি পরিভাষা যা বৃত্তের ক্ষেত্রেও প্রয়োগ করা হয়। জটিল বিশ্লেষণ এবং জ্যামিতিক ফাংশন তত্ত্বে, বৃত্তের কোয়াসিসিমেট্রিক সমরূপতার মাধ্যমে সার্বজনীন টেইচমুলার স্থানের বর্ণনায় কোয়াসিসার্কেলগুলি একটি মৌলিক ভূমিকা পালন করে। জটিল গতিশীল ব্যবস্থাতেও চতুষ্কোণগুলি গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে। সংজ্ঞাসমূহ একটি চতুষ্কোণকে বর্ধিত জটিল সমতলে একটি চতুষ্কোণীয় মানচিত্রের অধীনে একটি বৃত্তের চিত্র হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। এটিকে কে-কোয়াসিসার্কেল বলা হয় যদি কোয়াসিকোফর্মাল ম্যাপিং-এ বিস্তার কে থাকে। কোয়াসিসার্কেলের সংজ্ঞাটি সমতলের সমরূপতার অধীনে একটি বৃত্তের চিত্র হিসাবে জর্ডান বক্ররেখার বৈশিষ্ট্যকে সাধারণীকরণ করে। বিশেষ করে একটি অর্ধবৃত্ত হল একটি জর্ডান বক্ররেখা। একটি অর্ধবৃত্তের অভ্যন্তরভাগকে বলা হয় অর্ধবৃত্তাকার। যেমন দেখানো হয়েছে, যেখানে পুরানো শব্দ "কোয়াসিকোফর্মাল বক্ররেখা" ব্যবহার করা হয়, যদি একটি জর্ডান বক্ররেখা বক্ররেখার আশেপাশে একটি কোয়াসিকোফর্মাল মানচিত্রের নীচে একটি বৃত্তের চিত্র হয়, তবে এটি একটি কোয়াসিকোফর্মাল ম্যাপিংয়ের অধীনে একটি বৃত্তের চিত্রও হয়। "কোয়াসিকোফর্মাল আর্ক"-এর ক্ষেত্রেও একই কথা প্রযোজ্য, যা একটি খোলা সেটে বা বর্ধিত সমতলে সমতুল্যভাবে একটি বৃত্তাকার আর্কের কোয়াসিকোফর্মাল চিত্র হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। জ্যামিতিক বৈশিষ্ট্যগুলি জর্ডান বক্ররেখা হিসাবে অর্ধবৃত্তগুলির একটি জ্যামিতিক বৈশিষ্ট্য প্রদান করে যার জন্য যে কোনও চারটি বিন্দুর ক্রস-অনুপাতের পরম মান, চক্রাকার ক্রমে নেওয়া হয়, নীচে একটি ধনাত্মক ধ্রুবক দ্বারা আবদ্ধ থাকে। আহলফর্স আরও প্রমাণ করেন যে, তিনটি বিন্দুর জন্য বিপরীত ত্রিভুজ বৈষম্যের পরিপ্রেক্ষিতে অর্ধবৃত্তগুলিকে চিহ্নিত করা যেতে পারেঃ একটি ধ্রুবক C থাকা উচিত যাতে দুটি বিন্দু z1 এবং z2 বক্ররেখার উপর বেছে নেওয়া হয় এবং z3 ফলস্বরূপ বৃত্তের ছোট অংশে থাকে, তবে এই বৈশিষ্ট্যটিকে আবদ্ধ বাঁকানো বা চাপের অবস্থাও বলা হয়। জর্ডান বক্ররেখার জন্য, প্রসারিত সমতলে ν এর মধ্য দিয়ে যাওয়া, একটি সহজ প্রয়োজনীয় এবং পর্যাপ্ত শর্ত দেয় একটি অর্ধবৃত্তাকার হওয়ার জন্য। একটি ধ্রুবক C> 0 রয়েছে যাতে যদি z1, z2 বক্ররেখার কোনও বিন্দু হয় এবং z3 তাদের মধ্যবর্তী অংশে থাকে, তবে এই মেট্রিক বৈশিষ্ট্যগুলি বোঝায় যে কোনও চাপ বা বদ্ধ বক্ররেখা যখনই কোনও ব্যবধানের চিত্র হিসাবে বা দ্বি-লিপস্কিটজ মানচিত্র f এর অধীনে বৃত্ত হিসাবে উদ্ভূত হয়, অর্থাৎ। ধনাত্মক ধ্রুবক সি আই-এর জন্য সন্তোষজনক। যদি φ বৃত্তের একটি কোয়াসিসিমেট্রিক হোমিওমরফিজম হয়, তবে [z। <1 এর f এবং |z।> 1 এর g-এর অনুরূপ মানচিত্রগুলি বিচ্ছিন্ন অঞ্চলে রয়েছে যাতে f এবং g-এর চিত্রগুলির পরিপূরক একটি জর্ডান বক্ররেখা হয়। মানচিত্র f এবং g ক্রমাগত বৃত্ত |z। = 1 পর্যন্ত প্রসারিত হয় এবং সেলাই সমীকরণটি ধরে রাখে। বৃত্তের চিত্রটি একটি অর্ধবৃত্তাকার। বিপরীতভাবে, রিম্যান ম্যাপিং উপপাদ্য ব্যবহার করে, একটি অর্ধবৃত্তের বাইরের অংশকে অভিন্ন করে f এবং g-এর সামঞ্জস্যপূর্ণ মানচিত্রগুলি উপরের সমীকরণের মাধ্যমে একটি অর্ধসমমিত সমরূপতার জন্ম দেয়। মোবিয়াস রূপান্তরের উপগোষ্ঠী দ্বারা কোয়াসিসিমেট্রিক হোমিওমরফিজমের গোষ্ঠীর ভাগফল স্থান সর্বজনীন টেইচমুলার স্থানের একটি মডেল সরবরাহ করে। উপরের চিঠিপত্রটি দেখায় যে অর্ধবৃত্তের স্থানকেও একটি মডেল হিসাবে নেওয়া যেতে পারে। জর্ডান বক্ররেখার একটি কোয়াসিকোফর্মাল প্রতিফলন হল পর্যায় 2-এর একটি অভিযোজন-বিপরীত কোয়াসিকোফর্মাল মানচিত্র যা বক্ররেখার উপর বক্ররেখা স্থিরকরণ বিন্দুর ভিতর এবং বাইরের দিক পরিবর্তন করে। যেহেতু মানচিত্রটি একক বৃত্তের জন্য এই ধরনের প্রতিফলন প্রদান করে, তাই যে কোনও অর্ধবৃত্ত একটি অর্ধ-আনুষ্ঠানিক প্রতিফলন স্বীকার করে। প্রমাণ করে যে এই বৈশিষ্ট্যটি অর্ধবৃত্তের বৈশিষ্ট্য। আহলফর্স উল্লেখ করেছেন যে এই ফলাফলটি একক ডিস্ক ডি-তে অভিন্নভাবে আবদ্ধ হোলোমর্ফিক অভিন্ন ফাংশন f (z)-এর ক্ষেত্রে প্রয়োগ করা যেতে পারে। ধরা যাক ω = f (D)। ক্যারাথিওডোরি যেমন তাঁর মৌলিক প্রান্তের তত্ত্ব ব্যবহার করে প্রমাণ করেছিলেন, f একক বৃত্ত পর্যন্ত অবিচ্ছিন্নভাবে প্রসারিত হয় যদি এবং কেবলমাত্র যদি স্থানীয়ভাবে সংযুক্ত থাকে, অর্থাৎ। নির্বিচারে ছোট ব্যাসের সীমিতভাবে অনেকগুলি কম্প্যাক্ট সংযুক্ত সেট দ্বারা একটি আবরণ স্বীকার করে। বৃত্তের এক্সটেনশনটি 1-1 হয় যদি এবং কেবলমাত্র যদি কোনও কাট পয়েন্ট না থাকে, অর্থাৎ। যে পয়েন্টগুলি ষ্ণুল ওহম থেকে সরানো হলে একটি সংযোগ বিচ্ছিন্ন সেট পাওয়া যায়। ক্যারাথিওডোরির উপপাদ্য দেখায় যে কাটা বিন্দু ছাড়া একটি স্থানীয় সেট কেবল একটি জর্ডান বক্ররেখা এবং সুনির্দিষ্টভাবে এই ক্ষেত্রে বন্ধ একক ডিস্কে f-এর সম্প্রসারণ একটি সমরূপতা। যদি f বর্ধিত জটিল সমতলের একটি কোয়াসিকোফর্মাল ম্যাপিং পর্যন্ত প্রসারিত হয় তবে সংজ্ঞা অনুসারে ষ্ণ একটি কোয়াসিসর্কেল। বিপরীতভাবে পর্যবেক্ষণ করা হয়েছে যে, যদি একটি অর্ধবৃত্তাকার হয় এবং R1 একটি অর্ধবৃত্তাকার প্রতিফলনকে নির্দেশ করে, তাহলে |z।> 1-এর জন্য বরাদ্দ বর্ধিত জটিল সমতলে f-এর একটি অর্ধবৃত্তাকার সম্প্রসারণকে সংজ্ঞায়িত করে। জটিল গতিশীল ব্যবস্থা কোয়াসিসার্কেলগুলি যুক্তিসঙ্গত মানচিত্র আর (জেড)-এর জুলিয়া সেট হিসাবে উদ্ভূত হয়েছিল বলে জানা যায়। প্রমাণ করে যে, যদি আর-এর ফাতু সেটের দুটি উপাদান থাকে এবং জুলিয়া সেটের উপর আর-এর ক্রিয়া "হাইপারবোলিক" হয়, অর্থাৎ। এখানে c> 0 এবং A> 1 ধ্রুবক রয়েছে যাতে জুলিয়া সেটে জুলিয়া সেটটি একটি অর্ধবৃত্তাকার হয়। অনেক উদাহরণ রয়েছেঃ দ্বিঘাত বহুপদ R (z) = z2 + c একটি আকর্ষণীয় স্থির বিন্দু সহ ডুয়াদি খরগোশ (c =-0.122561 + 0.744862i, যেখানে c3 + 2 c2 + c + 1 = 0) দ্বিঘাত বহুপদ z2 + λz সহ |λ। <1 কোচ স্নোফ্লেক আধা-ফুচসিয়ান গোষ্ঠী আধা-ফুচসিয়ান গোষ্ঠীগুলি ফুচসিয়ান গোষ্ঠীর আধা-আনুষ্ঠানিক বিকৃতি হিসাবে প্রাপ্ত হয়। সংজ্ঞা অনুসারে তাদের সীমা সেটগুলি অর্ধবৃত্তাকার। ধরা যাক প্রথম ধরনের একটি ফুচসিয়ান গোষ্ঠীঃ একক বৃত্ত সংরক্ষণকারী মোবিয়াস গোষ্ঠীর একটি বিচ্ছিন্ন উপগোষ্ঠী। ইউনিট ডিস্ক ডি-তে সঠিকভাবে বিচ্ছিন্নভাবে কাজ করা এবং সীমাবদ্ধতার সাথে ইউনিট বৃত্তটি সেট করুন। ধরে নেওয়া যাক যে, ডি-এর উপর একটি পরিমাপযোগ্য ফাংশন হল, যাতে μ হল  সদৃশ্য, অর্থাৎ। প্রতিটি জি-এর জন্য। (এইভাবে রিমান পৃষ্ঠে ডি/ তাই একটি "বেলট্রামি ডিফারেনশিয়াল"।) ডি-এর বাইরে μ (z) = 0 নির্ধারণ করে সি-এর উপর একটি ফাংশনে μ প্রসারিত করুন। বেলট্রামি সমীকরণটি মোবিয়াস রূপান্তরের সাথে গঠন পর্যন্ত একটি অনন্য সমাধান গ্রহণ করে। এটি বর্ধিত জটিল সমতলে একটি কোয়াসিকোফর্মাল সমরূপতা। যদি g একটি উপাদান হয়, তাহলে f (g (z)) বেলট্রামি সমীকরণের আরেকটি সমাধান দেয়, তাই এটি একটি মোবিয়াস রূপান্তর। α গ্রুপটি হল একটি আধা-ফুচশিয়ান গ্রুপ যার সীমা নির্ধারণ করা হয়েছে একক বৃত্তের চিত্র দ্বারা প্রদত্ত অর্ধবৃত্তটি f-এর অধীনে। হাউসডর্ফ মাত্রা এটি জানা যায় যে এমন কিছু অর্ধবৃত্ত রয়েছে যার জন্য কোনও বিভাগের দৈর্ঘ্য সীমাবদ্ধ নয়। কোয়াসিসার্ক্লের হাউজডর্ফ মাত্রা প্রথম তদন্ত করেছিলেন, যিনি প্রমাণ করেছিলেন যে এটি ব্যবধানের [1,2] মধ্যে সমস্ত মান নিতে পারে। , "হোলোমর্ফিক গতি"-র নতুন কৌশল ব্যবহার করে একটি কোয়াসিকোফর্মাল মানচিত্রের অধীনে যে কোনও প্ল্যানার সেটের হাউজডর্ফ মাত্রার পরিবর্তনকে প্রসারিত কে সহ অনুমান করতে সক্ষম হয়েছিল। কোয়াসিসার্কেল সি-এর জন্য, হাউজডর্ফ মাত্রার জন্য একটি অপরিশোধিত অনুমান ছিল যেখানে অন্যদিকে, জুলিয়া সেটের জন্য হাউজডর্ফ মাত্রা যুক্তিসঙ্গত মানচিত্রের পুনরাবৃত্তির জেসি অনুমান করা হয়েছিল রুফাস বোয়েন এবং ডেভিড রুয়েলের কাজের ফলস্বরূপ, যিনি দেখিয়েছিলেন যে যেহেতু এগুলি একটি বিস্তারের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ কোয়াসিসার্কেল যেখানে এটি দেখায় যে কে স্মলের জন্য স্টেফের সাথে কোচ স্নোফ্লেকের জন্য গণনা অনুসরণ করে নিম্ন সীমা উন্নত করা হয়েছে। একটি আধা-ফুচশিয়ান গোষ্ঠীর জন্য এবং দেখিয়েছেন যে সীমা সেটের হাউজডর্ফ মাত্রা d সর্বদা 1 এর চেয়ে বেশি। যখন d <2 হয়, তখন পরিমাণটি সংশ্লিষ্ট হাইপারবোলিক 3-ম্যানিফোল্ডের ল্যাপলেসিয়ানের সর্বনিম্ন আইগেনভ্যালু হয়। উল্লেখ, ধারা 13.2, অর্ধবৃত্তের মাত্রা। + জটিল বিশ্লেষণ গতিশীল সিস্টেম ফ্র্যাক্টাল