Murnaghan equation of state
মুর্নাঘান অবস্থার সমীকরণ হল একটি বস্তুর আয়তন এবং যে চাপের অধীন হয় তার মধ্যে একটি সম্পর্ক। এটি এমন অনেক অবস্থার সমীকরণের মধ্যে একটি যা ভূবিজ্ঞান এবং শক পদার্থবিজ্ঞানে উচ্চ চাপের পরিস্থিতিতে পদার্থের আচরণের মডেল তৈরি করতে ব্যবহৃত হয়েছে। এটি ফ্রান্সিস ডি. মুরনাঘানের নামে নামকরণ করা হয়েছে, যিনি 1944 সালে একটি পরীক্ষামূলকভাবে প্রতিষ্ঠিত সত্য প্রতিফলিত করার জন্য যতটা সম্ভব বিস্তৃত চাপের মধ্যে বস্তুগত আচরণ প্রতিফলিত করার জন্য এটি প্রস্তাব করেছিলেনঃ একটি কঠিন পদার্থ যত বেশি সংকুচিত হয়, তত বেশি সংকুচিত করা কঠিন হয়। মুরনাঘন সমীকরণটি নির্দিষ্ট অনুমানের অধীনে ধারাবাহিক বলবিজ্ঞানের সমীকরণ থেকে উদ্ভূত হয়েছে। এটিতে দুটি সামঞ্জস্যযোগ্য পরামিতি রয়েছেঃ অসংকুচনশীলতার মডুলাস K0 এবং চাপের ক্ষেত্রে এর প্রথম ডেরিভেটিভ, K′0, উভয়ই পরিবেষ্টিত চাপে পরিমাপ করা হয়। সাধারণভাবে, এই সহগগুলি চাপ পি-এর একটি ফাংশন হিসাবে ভলিউম ভি-এর পরীক্ষামূলকভাবে প্রাপ্ত মানগুলির উপর একটি রিগ্রেশন দ্বারা নির্ধারিত হয়। এই পরীক্ষামূলক তথ্যগুলি এক্স-রে বিচ্ছুরণ বা শক পরীক্ষার মাধ্যমে প্রাপ্ত করা যেতে পারে। অ্যাব-ইনিশিও এবং আণবিক গতিবিদ্যা গণনা থেকে প্রাপ্ত আয়তনের একটি ফাংশন হিসাবে শক্তির মানগুলির উপরও রিগ্রেশন করা যেতে পারে। অবস্থার মুরনাঘন সমীকরণটি সাধারণত এইভাবে প্রকাশ করা হয়ঃ যদি সংকোচনের সময় আয়তনের হ্রাস কম হয়, অর্থাৎ, 90 শতাংশের বেশি V/V0-এর জন্য, মুরনাঘন সমীকরণ সন্তোষজনক নির্ভুলতার সাথে পরীক্ষামূলক তথ্যের মডেল তৈরি করতে পারে। উপরন্তু, অবস্থার অনেক প্রস্তাবিত সমীকরণের বিপরীতে, এটি চাপ V (P) এর একটি ফাংশন হিসাবে আয়তনের একটি স্পষ্ট অভিব্যক্তি দেয়। কিন্তু এর বৈধতা সীমিত এবং শারীরিক ব্যাখ্যা অপর্যাপ্ত। যাইহোক, অবস্থার এই সমীকরণটি কঠিন বিস্ফোরকগুলির মডেলগুলিতে ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হচ্ছে। অবস্থার আরও বিস্তৃত সমীকরণগুলির মধ্যে, পৃথিবীর পদার্থবিজ্ঞানে সর্বাধিক ব্যবহৃত হয় অবস্থার বার্চ-মুরনাঘান সমীকরণ। ধাতু এবং মিশ্র ধাতুগুলির শক পদার্থবিজ্ঞানে, অবস্থার আরেকটি ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত সমীকরণ হল অবস্থার মাই-গ্রুনিসেন সমীকরণ। পটভূমি গ্রহের অভ্যন্তরীণ স্তরগুলির উপাদানগুলির যান্ত্রিক বৈশিষ্ট্য সম্পর্কে জ্ঞানের মাধ্যমে পৃথিবীর অভ্যন্তরীণ কাঠামো অধ্যয়নের সাথে চরম পরিস্থিতি জড়িত; চাপটি শত শত গিগাপাস্কাল এবং তাপমাত্রা হাজার হাজার ডিগ্রিতে গণনা করা যেতে পারে। এই পরিস্থিতিতে পদার্থের বৈশিষ্ট্যগুলির অধ্যয়ন পরীক্ষামূলকভাবে স্থির চাপের জন্য ডায়মন্ড অ্যানভিল কোষের মতো যন্ত্রের মাধ্যমে বা উপাদানটিকে শক তরঙ্গের সাপেক্ষে করা যেতে পারে। এটি অবস্থার সমীকরণ নির্ধারণের জন্য তাত্ত্বিক কাজের জন্ম দেয়, অর্থাৎ বিভিন্ন পরামিতিগুলির মধ্যে সম্পর্ক যা এই ক্ষেত্রে পদার্থের অবস্থাকে সংজ্ঞায়িত করেঃ আয়তন (বা ঘনত্ব), তাপমাত্রা এবং চাপ। দুটি পদ্ধতি রয়েছেঃ আন্তঃপরমাণবিক সম্ভাব্যতা থেকে প্রাপ্ত অবস্থা সমীকরণ, বা সম্ভবত এবি ইনিশিও গণনা; অবস্থা সমীকরণের যান্ত্রিকতা এবং তাপগতিবিদ্যার সাধারণ সম্পর্ক থেকে উদ্ভূত। মুরনাঘন সমীকরণটি এই দ্বিতীয় বিভাগের অন্তর্গত। বিভিন্ন লেখক কয়েক ডজন সমীকরণ প্রস্তাব করেছেন। এগুলি অভিজ্ঞতাগত সম্পর্ক, গুণমান এবং প্রাসঙ্গিকতা এর ব্যবহারের উপর নির্ভর করে এবং বিভিন্ন মানদণ্ড দ্বারা বিচার করা যেতে পারেঃ জড়িত স্বাধীন পরামিতিগুলির সংখ্যা, এই পরামিতিগুলির জন্য নির্ধারিত শারীরিক অর্থ, পরীক্ষামূলক তথ্যের গুণমান এবং তাত্ত্বিক অনুমানগুলির সামঞ্জস্য যা উচ্চ সংকোচনে কঠিন পদার্থের আচরণকে এক্সট্রপোলেট করার দক্ষতার উপর ভিত্তি করে। অবস্থার সমীকরণের জন্য অভিব্যক্তি সাধারণত, ধ্রুবক তাপমাত্রায়, বাল্ক মডুলাসকে সংজ্ঞায়িত করা হয়ঃ পি এবং ভি-কে সংযুক্ত করার অবস্থার সমীকরণ পাওয়ার সবচেয়ে সহজ উপায় হল ধরে নেওয়া যে কে ধ্রুবক, অর্থাৎ, কঠিনের চাপ এবং বিকৃতি থেকে স্বাধীন, তারপর আমরা কেবল হুকের সূত্রটি খুঁজে পাই। এই ক্ষেত্রে, চাপের সাথে আয়তন দ্রুত হ্রাস পায়। এটি একটি সন্তোষজনক ফলাফল নয় কারণ এটি পরীক্ষামূলকভাবে প্রতিষ্ঠিত হয়েছে যে একটি কঠিন পদার্থ সংকুচিত হওয়ার সাথে সাথে সংকুচিত করা আরও কঠিন হয়ে পড়ে। আরও এগিয়ে যাওয়ার জন্য, আমাদের অবশ্যই সংকোচনের সাথে কঠিন পদার্থের স্থিতিস্থাপক বৈশিষ্ট্যগুলির বৈচিত্র্য বিবেচনা করতে হবে। মুরনাঘান অনুমান করেন যে বাল্ক মডুলাস হল চাপের একটি রৈখিক ফাংশনঃ মুরনাঘান সমীকরণ হল ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একীকরণের ফলাফলঃ আমরা চাপের উপর নির্ভর করে আয়তনও প্রকাশ করতে পারিঃ এই সরলীকৃত উপস্থাপনাটিকে অবশ্য পোয়ারিয়ার কঠোরতার অভাব বলে সমালোচনা করেছেন। মডুলাসের গুণফলের অসংকুচনতা এবং তাপীয় প্রসারণ সহগ একটি প্রদত্ত উপাদানের চাপের উপর নির্ভরশীল নয় এই সত্যের থেকে একই সম্পর্ককে ভিন্নভাবে দেখানো যেতে পারে। অবস্থার এই সমীকরণটি পুরোনো পলিট্রোপ সম্পর্কের একটি সাধারণ উদাহরণ যার একটি ধ্রুবক শক্তি সম্পর্কও রয়েছে। কিছু কিছু পরিস্থিতিতে, বিশেষত এবি ইনিশিও গণনার ক্ষেত্রে, আয়তনের একটি ফাংশন হিসাবে শক্তির অভিব্যক্তি পছন্দ করা হবে, যা সম্পর্ক অনুসারে উপরের সমীকরণটিকে সংহত করে প্রাপ্ত করা যেতে পারে। এটি 3 থেকে পৃথক K′0-এ লেখা যেতে পারে, সুবিধা এবং সীমাবদ্ধতা এর সরলতা সত্ত্বেও, মুরনাঘন সমীকরণ K0/2-এর ক্রমে বেশ বড় চাপের জন্য পরীক্ষামূলক তথ্য পুনরুত্পাদন করতে সক্ষম। এটি সন্তোষজনক রয়ে গেছে কারণ ভি/ভি0 অনুপাত প্রায় 90 শতাংশের উপরে রয়েছে। এই পরিসরে, অন্যান্য অবস্থার সমীকরণের তুলনায় মুরনাঘন সমীকরণের একটি সুবিধা রয়েছে যদি কেউ চাপের ফাংশন হিসাবে আয়তন প্রকাশ করতে চায়। তা সত্ত্বেও, অন্যান্য সমীকরণগুলি আরও ভাল ফলাফল দিতে পারে এবং বেশ কয়েকটি তাত্ত্বিক ও পরীক্ষামূলক গবেষণায় দেখা যায় যে, মুরনাঘন সমীকরণ অনেক সমস্যার জন্য সন্তোষজনক নয়। সুতরাং, যে পরিমাণে V/V0 অনুপাত খুব কম হয়ে যায়, তত্ত্বটি ভবিষ্যদ্বাণী করে যে K′ 5/3 এ যায়, যা থমাস-ফার্মি সীমা। যাইহোক, মুরনাঘন সমীকরণে, K′ ধ্রুবক এবং তার প্রাথমিক মানে সেট করা আছে। বিশেষত, K′0 = 5/3 মানটি কিছু পরিস্থিতিতে তত্ত্বের সাথে অসঙ্গতিপূর্ণ হয়ে ওঠে। প্রকৃতপক্ষে, যখন বহির্মুখী করা হয়, তখন মুরনাঘান সমীকরণ দ্বারা ভবিষ্যদ্বাণী করা আচরণটি খুব দ্রুত অসম্ভব হয়ে পড়ে। এই তাত্ত্বিক যুক্তি যাই হোক না কেন, অভিজ্ঞতা স্পষ্টভাবে দেখায় যে K′ চাপের সাথে হ্রাস পায়, বা অন্য কথায় যে অসংকুচনযোগ্যতা মডুলাস K′′ এর দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ কঠোরভাবে নেতিবাচক। একই নীতির উপর ভিত্তি করে একটি দ্বিতীয় ক্রম তত্ত্ব (পরবর্তী বিভাগ দেখুন) এই পর্যবেক্ষণের জন্য দায়ী হতে পারে, তবে এই পদ্ধতিটি এখনও সন্তোষজনক নয়। প্রকৃতপক্ষে, এটি সীমাতে একটি নেতিবাচক বাল্ক মডুলাসের দিকে পরিচালিত করে যেখানে চাপ অসীমের দিকে থাকে। প্রকৃতপক্ষে, বহুপদী সম্প্রসারণ যাই হোক না কেন এটি একটি অনিবার্য দ্বন্দ্ব কারণ সর্বদা একটি প্রভাবশালী শব্দ থাকবে যা অনন্তের দিকে সরে যায়। এই গুরুত্বপূর্ণ সীমাবদ্ধতাগুলি মুরনাঘান সমীকরণের পরিত্যাগের দিকে পরিচালিত করেছে, যা ডব্লিউ. হোলজাপফেল "কোনও ভৌত যৌক্তিকতা ছাড়াই একটি দরকারী গাণিতিক রূপ" বলে অভিহিত করেছেন। বাস্তবে, সংকোচনের তথ্য বিশ্লেষণ করা হয় অবস্থার আরও পরিশীলিত সমীকরণ ব্যবহার করে। বিজ্ঞান সম্প্রদায়ের মধ্যে সর্বাধিক ব্যবহৃত হয় বার্চ-মুরনাঘন সমীকরণ, যা সংগৃহীত তথ্যের গুণমানের ক্ষেত্রে দ্বিতীয় বা তৃতীয় ক্রম। পরিশেষে, এই ধরনের অবস্থার সমীকরণের একটি খুব সাধারণ সীমাবদ্ধতা হল গলনের চাপ এবং তাপমাত্রা দ্বারা প্ররোচিত পর্যায় পরিবর্তনগুলি বিবেচনা করতে তাদের অক্ষমতা, তবে একাধিক কঠিন-কঠিন রূপান্তর যা ঘনত্ব এবং বাল্ক মডুলাসে আকস্মিক পরিবর্তন ঘটাতে পারে। উদাহরণ বাস্তবে, মুরনাঘন সমীকরণটি একটি ডেটা সেটে রিগ্রেশন করতে ব্যবহৃত হয়, যেখানে কেউ K0 এবং K′0 সহগের মান পায়। প্রাপ্ত এই সহগগুলি, এবং পরিবেষ্টিত অবস্থার সাথে আয়তনের মান জেনে, আমরা নীতিগতভাবে যে কোনও চাপের জন্য আয়তন, ঘনত্ব এবং বাল্ক মডুলাস গণনা করতে সক্ষম। ডেটা সেট বেশিরভাগই প্রয়োগকৃত চাপের বিভিন্ন মানের জন্য আয়তন পরিমাপের একটি সিরিজ, যা বেশিরভাগ এক্স-রে বিচ্ছুরণ দ্বারা প্রাপ্ত হয়। এব ইনিশিও পদ্ধতি দ্বারা আয়তনের বিভিন্ন মানের জন্য শক্তি গণনা করে এবং তারপর এই ফলাফলগুলি রিগ্রেশন করে তাত্ত্বিক তথ্যের উপর কাজ করাও সম্ভব। এটি স্থিতিস্থাপকতার মডুলাসের একটি তাত্ত্বিক মান দেয় যা পরীক্ষামূলক ফলাফলের সাথে তুলনা করা যেতে পারে। নিম্নলিখিত সারণিতে বিভিন্ন উপকরণের কিছু ফলাফল তালিকাভুক্ত করা হয়েছে, যার একমাত্র উদ্দেশ্য হল প্রাপ্ত মডেলগুলির গুণমানের প্রতি কুসংস্কার ছাড়াই মুরনাঘন সমীকরণ ব্যবহার করে কিছু সংখ্যাসূচক বিশ্লেষণ করা হয়েছে। মুরনাঘন সমীকরণের ভৌত অর্থ নিয়ে পূর্ববর্তী বিভাগে যে সমালোচনা করা হয়েছে, তার পরিপ্রেক্ষিতে এই ফলাফলগুলি সতর্কতার সঙ্গে বিবেচনা করা উচিত। সম্প্রসারণ এবং সাধারণীকরণ মডেলগুলির উন্নতি করতে বা উপরে বর্ণিত সমালোচনা এড়াতে, মুরনাঘন সমীকরণের বেশ কয়েকটি সাধারণীকরণের প্রস্তাব দেওয়া হয়েছে। এগুলি সাধারণত একটি সরলীকরণ অনুমান বাদ দেওয়া এবং অন্য সামঞ্জস্যযোগ্য পরামিতি যোগ করার মধ্যে থাকে। এটি পরিমার্জনের গুণাবলীর উন্নতি করতে পারে, তবে জটিল অভিব্যক্তির দিকেও নিয়ে যেতে পারে। এই অতিরিক্ত পরামিতিগুলির ভৌত অর্থের প্রশ্নও উত্থাপিত হয়। একটি সম্ভাব্য কৌশল হল পূর্ববর্তী বিকাশে একটি অতিরিক্ত শব্দ পি2 অন্তর্ভুক্ত করা, যার জন্য এটি প্রয়োজন। এই ডিফারেনশিয়াল সমীকরণটি সমাধান করলে দ্বিতীয় ক্রমের মুরনাঘনের সমীকরণ পাওয়া যায়ঃ যেখানে। প্রথম ক্রম সমীকরণ গ্রহণে স্বাভাবিকভাবেই পাওয়া যায়। নীতিগতভাবে 2-এর বেশি ক্রমের বিকাশ সম্ভব, তবে প্রতিটি মেয়াদের জন্য একটি সামঞ্জস্যযোগ্য পরামিতি যোগ করার মূল্যে। অন্যান্য সাধারণীকরণগুলি উদ্ধৃত করা যেতে পারেঃ কুমারী এবং দাস K = 0 শর্তটি পরিত্যাগ করে একটি সাধারণীকরণের প্রস্তাব করেছেন তবে চাপ থেকে স্বাধীন K/K′ প্রতিবেদনটি ধরে নিয়েছেন; কুমার আয়তনের ফাংশন হিসাবে অ্যান্ডারসনের পরামিতিগুলির নির্ভরতা বিবেচনা করে একটি সাধারণীকরণের প্রস্তাব দিয়েছেন। পরবর্তীকালে দেখা যায় যে এই সাধারণীকৃত সমীকরণটি নতুন নয়, বরং টেইট সমীকরণে হ্রাসযোগ্য। বিব্লিওগ্রাফি আরও দেখুন বার্চ-মুরনাঘান অবস্থার সমীকরণ পলিট্রপ অবস্থার রোজ-ভিনেট সমীকরণ বাহ্যিক লিঙ্ক ইওসফিট, মুরনাঘান সমীকরণ সহ বিভিন্ন অবস্থার সমীকরণের জন্য পরীক্ষামূলক তথ্য এবং গণনার সম্পর্ক পি (ভি) সংশোধন করার জন্য একটি প্রোগ্রাম। কন্টিনিউম মেকানিক্স পদার্থবিজ্ঞানের সমনাম সমীকরণ অবস্থার সমীকরণ