Synge's world function
সাধারণ আপেক্ষিকতায়, সিঞ্জের বিশ্ব ফাংশন মসৃণ লরেঞ্জিয়ান মেট্রিক সহ মসৃণ স্থানকালে জোড়ার বিন্দুর একটি মসৃণ স্থানীয়ভাবে সংজ্ঞায়িত ফাংশন। স্থানকালে দুটি বিন্দু ধরা যাক, এবং ধরুন একটি উত্তল স্বাভাবিক পাড়ার অন্তর্গত (সম্পর্কিত লেভি-সিভিটা সংযোগ হিসাবে উল্লেখ করা হয়) যাতে অ্যাফিন প্যারামিটার পর্যন্ত অন্তর্ভুক্ত করার জন্য একটি অনন্য জিওডেসিক বিদ্যমান থাকে। ধরুন এবং। তারপর সিঞ্জের বিশ্ব ফাংশনকে এভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়ঃ অ্যাফিনলি প্যারামিট্রাইজড জিওডেসিকের স্পর্শক ভেক্টর কোথায়। অর্থাৎ, স্বাক্ষরিত জিওডেসিক দৈর্ঘ্যের অর্ধেক বর্গক্ষেত্র যা অনন্য জিওডেসিক বিভাগ বরাবর গণনা করা হয়, ইন, দুটি বিন্দুর সাথে যুক্ত হয়। সিঞ্জের বিশ্ব ফাংশনটি সু-সংজ্ঞায়িত, কারণ উপরের ইন্টিগ্রালটি রিপ্যারামিটারাইজেশনের অধীনে অপরিবর্তনীয়। বিশেষত, মিনকোভস্কি স্থানকালের জন্য, সিঞ্জের বিশ্ব ফাংশনটি দুটি বিন্দুর মধ্যে স্থানকালের ব্যবধানের অর্ধেককে সহজতর করেঃ এটি বিশ্বব্যাপী সংজ্ঞায়িত এবং এটি স্পষ্টতই সিঞ্জের ফাংশনটি রিম্যানিয়ান ম্যানিফোল্ডগুলিতেও সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে এবং সেক্ষেত্রে এটির অ-নেতিবাচক চিহ্ন রয়েছে। সাধারণভাবে বলতে গেলে, সিঞ্জের ফাংশনটি কেবল স্থানীয়ভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় এবং উত্তল স্বাভাবিক পাড়ার চেয়ে বড় ডোমেনের একটি এক্সটেনশন সংজ্ঞায়িত করার প্রচেষ্টা সাধারণত একটি বহুমূল্যবান ফাংশনের দিকে পরিচালিত করে কারণ স্থানকালে এক জোড়া পয়েন্টে যোগ দেওয়ার জন্য বেশ কয়েকটি জিওডেসিক বিভাগ থাকতে পারে। তবে এর তির্যকের আশেপাশে এটি সংজ্ঞায়িত করা সম্ভব, যদিও এই সংজ্ঞাটির জন্য কিছু নির্বিচারে পছন্দের প্রয়োজন। সিঞ্জের বিশ্ব ফাংশন (এর তির্যকের আশেপাশেও এর সম্প্রসারণ) বক্র স্থানকালে কোয়ান্টাম ক্ষেত্র তত্ত্বের বেশ কয়েকটি তাত্ত্বিক গঠনে বিশেষভাবে প্রদর্শিত হয়। এটি একটি গুরুত্বপূর্ণ বস্তু যা বিশ্বব্যাপী হাইপারবোলিক ম্যানিফোল্ডে লরেঞ্জিয়ান গ্রিন হাইপারবোলিক 2য় ক্রমের আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের গ্রীনের ফাংশনের একটি প্যারামেট্রিক্স তৈরি করতে ব্যবহৃত হয় এবং হ্যাডামার্ড গাউসিয়ান অবস্থার সংজ্ঞায়। তথ্যসূত্র সাধারণ আপেক্ষিকতা