Ramanujan's master theorem
গণিতে, রামানুজনের মাস্টার উপপাদ্য, যা শ্রীনিবাস রামানুজনের নামে নামকরণ করা হয়েছে, এমন একটি কৌশল যা একটি বিশ্লেষণাত্মক ফাংশনের মেলিন রূপান্তরের জন্য একটি বিশ্লেষণাত্মক অভিব্যক্তি প্রদান করে। ফলাফলটি নিম্নরূপ বলা হয়েছেঃ যদি একটি জটিল-মূল্যবান ফাংশনের ফর্মের সম্প্রসারণ হয় তবে এর মেলিন রূপান্তরটি গামা ফাংশনটি কোথায় তা দ্বারা দেওয়া হয়। রামানুজন নির্দিষ্ট ইন্টিগ্রাল এবং অসীম সিরিজ গণনা করতে এটি ব্যাপকভাবে ব্যবহার করেছিলেন। এই উপপাদ্যের উচ্চ-মাত্রিক সংস্করণগুলি কোয়ান্টাম পদার্থবিজ্ঞানেও দেখা যায় (ফাইনম্যান রেখাচিত্রের মাধ্যমে)। গ্লাইশারও একই ধরনের ফলাফল পেয়েছিলেন। বিকল্প আনুষ্ঠানিকতা রামানুজনের প্রধান উপপাদ্যের একটি বিকল্প সূত্র নিম্নরূপঃ যা গামা ফাংশনের জন্য কার্যকরী সমীকরণ প্রতিস্থাপন এবং ব্যবহার করার পরে উপরের রূপে রূপান্তরিত হয়। উপরের ইন্টিগ্রালটি বৃদ্ধির শর্ত সাপেক্ষে অভিসারী। প্রমাণ রামানুজনের মাস্টার উপপাদ্যের "প্রাকৃতিক" অনুমানের সাপেক্ষে (যদিও দুর্বলতম প্রয়োজনীয় শর্ত নয়) একটি প্রমাণ জি. এইচ. হার্ডি (একাদশ অধ্যায়) অবশিষ্টাংশ উপপাদ্য এবং সুপরিচিত মেলিন বিপরীত উপপাদ্য ব্যবহার করে প্রদান করেছিলেন। বার্নৌলি পলিনোমিয়ালের প্রয়োগ বার্নৌলি পলিনোমিয়ালের জেনারেটিং ফাংশনটি নিম্নরূপঃ এই পলিনোমিয়ালগুলি হারউইৎজ জিটা ফাংশনের পরিপ্রেক্ষিতে দেওয়া হয়েছেঃ বাই ফর। রামানুজন মাস্টার উপপাদ্য এবং বার্নৌলি বহুপদের উৎপাদক ফাংশন ব্যবহার করে নিম্নলিখিত অবিচ্ছেদ্য উপস্থাপনা রয়েছেঃ যা এর জন্য বৈধ। গামা ফাংশনে প্রয়োগ ওয়েয়ারস্ট্রাসের গামা ফাংশনের সংজ্ঞাটি যেখানে রিমান জিটা ফাংশন তার অভিব্যক্তির সমতুল্য। তারপর রামানুজন মাস্টার উপপাদ্য প্রয়োগ করে আমাদের আছেঃ এর জন্য বৈধ। বিশেষ ক্ষেত্রে এবং হল বেসেল ফাংশনের প্রয়োগ প্রথম ধরনের বেসেল ফাংশনের পাওয়ার সিরিজ রয়েছে রামানুজনের মাস্টার উপপাদ্য অনুসারে, গামা ফাংশনের জন্য কিছু পরিচয় এবং পুনর্বিন্যাস সহ, আমরা এর জন্য বৈধ অবিচ্ছেদ্য মূল্যায়ন করতে পারি। সমতুল্যভাবে, যদি গোলাকার বেসেল ফাংশন পছন্দ করা হয়, তবে সূত্রটি এর জন্য বৈধ হয়ে যায়। সমাধানটি উল্লেখযোগ্য যে এটি গামা ফাংশনের প্রধান পরিচয়গুলি জুড়ে ইন্টারপোলেট করতে সক্ষম। বিশেষত, এর পছন্দটি গামা ফাংশনের বর্গ দেয়, ডুপ্লিকেশন সূত্র দেয়, প্রতিফলন সূত্র দেয় এবং মূল্যায়নযোগ্যকে স্থির করে বা প্রতিফলন এবং স্কেলিং পর্যন্ত গামা ফাংশন দেয়। বন্ধনী সংহতকরণ পদ্ধতি বন্ধনী সংহতকরণ পদ্ধতি (বন্ধনীগুলির পদ্ধতি) রামানুজনের প্রধান উপপাদ্যকে সংহতকরণের বিস্তৃত পরিসরে প্রয়োগ করে। বন্ধনী সংহতকরণ পদ্ধতি একটি সিরিজ সম্প্রসারণের একটি অবিচ্ছেদ্য অংশ তৈরি করে, সহজতর স্বরলিপির প্রবর্তন করে, রৈখিক সমীকরণগুলি সমাধান করে এবং রামানুজনের মাস্টার উপপাদ্য থেকে উদ্ভূত সূত্রগুলি ব্যবহার করে সংহতকরণ সম্পূর্ণ করে। একটি সিরিজ সম্প্রসারণের একটি অবিচ্ছেদ্য অংশ তৈরি করুন এই পদ্ধতিটি অবিচ্ছেদ্য অংশটিকে একটি সিরিজ সম্প্রসারণের একটি অবিচ্ছেদ্য অংশে রূপান্তরিত করে যার মধ্যে এম ভেরিয়েবল,, এবং এস সমষ্টি পরামিতি রয়েছে। একটি মাল্টিভ্যারিয়েট ইন্টিগ্রাল এই রূপটি গ্রহণ করতে পারে। বিশেষ স্বরলিপি প্রয়োগ করুন ব্র্যাকেট (), সূচক (), এবং মনোমিয়াল পাওয়ার স্বরলিপি সিরিজ সম্প্রসারণে পদগুলিকে প্রতিস্থাপন করে। এই স্বরলিপির প্রয়োগ অবিচ্ছেদ্যটিকে বি বন্ধনীযুক্ত একটি বন্ধনী সিরিজে রূপান্তরিত করে। প্রতিটি বন্ধনী সিরিজের একটি সূচক থাকে যা সূচক = যোগফলের সংখ্যা-বন্ধনীগুলির সংখ্যা হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। একটি ইন্টিগ্রালের সমস্ত বন্ধনী সিরিজের উপস্থাপনাগুলির মধ্যে, ন্যূনতম সূচক সহ উপস্থাপনা পছন্দ করা হয়। রৈখিক সমীকরণগুলি সমাধান করুন নিম্নলিখিত রৈখিক সমীকরণগুলির সমাধান করতে সহগের বিন্যাসে অবশ্যই সর্বাধিক র্যাঙ্ক, রৈখিকভাবে স্বাধীন নেতৃস্থানীয় কলাম থাকতে হবে। যদি সূচকটি অ-ঋণাত্মক হয়, তবে প্রত্যেকটির জন্য এই সমীকরণ সেটটি সমাধান করুন। পদগুলি এর রৈখিক ফাংশন হতে পারে। যদি সূচকটি শূন্য হয়, সমীকরণ () প্রত্যেকটির জন্য এই সমীকরণ সেটটি সমাধান করতে সহজতর করে। সূত্র প্রয়োগ করুন যদি সূচকটি অ-ঋণাত্মক হয়, তবে ইন্টিগ্রালের সূত্রটি হল এই ফর্ম। এই নিয়মগুলি প্রযোজ্য। মুক্ত যোগফল পরামিতিগুলির প্রতিটি পছন্দের জন্য একটি সিরিজ তৈরি করা হয়। একটি সাধারণ অঞ্চলে সিরিজ কনভারজিং যোগ করা হয়। যদি কোনও পছন্দ একটি ডাইভারজেন্ট সিরিজ বা নাল সিরিজ (শূন্য মূল্যবান পদ সহ একটি সিরিজ) তৈরি করে, তবে সিরিজটি প্রত্যাখ্যান করা হয়। ঋণাত্মক সূচকের একটি বন্ধনী সিরিজের কোনও মূল্য নির্ধারণ করা হয় না। যদি সমস্ত সিরিজ প্রত্যাখ্যান করা হয়, তবে পদ্ধতিটি প্রয়োগ করা যাবে না। যদি সূচকটি শূন্য হয়, তবে সূত্রটি এই সূত্রে সহজতর হয় এবং কোনও যোগফল ঘটে না। গাণিতিক ভিত্তিতে এই পরিবর্তনশীল রূপান্তরটি সাধারণ ইন্টিগ্রাল ফর্ম ()-এ প্রয়োগ করুন। । এটি রূপান্তরিত ইন্টিগ্রাল () এবং রামানুজনের মাস্টার উপপাদ্য () প্রয়োগের ফলাফল। বন্ধনীগুলির সংখ্যা (বি) ইন্টিগ্রালের সংখ্যা (এম) ()-এর সমান। অ্যালগরিদমের সূত্র (,) তৈরি করার পাশাপাশি, পরিবর্তনশীল রূপান্তরটি অ্যালগরিদমের রৈখিক সমীকরণ (,) তৈরি করে। উদাহরণ এই ইন্টিগ্রালে বন্ধনী ইন্টিগ্রেশন পদ্ধতি প্রয়োগ করা হয়। একটি সিরিজ সম্প্রসারণ ()-এর ইন্টিগ্রাল তৈরি করুন। বিশেষ স্বরলিপি প্রয়োগ করুন (,)। রৈখিক সমীকরণ () সমাধান করুন। সূত্র () প্রয়োগ করুন। তথ্যসূত্র বিশ্লেষণাত্মক সংখ্যা তত্ত্বে শ্রীনিবাস রামানুজন উপপাদ্যের বাহ্যিক যোগসূত্র