Weak Hopf algebra
গণিতে, দুর্বল বিয়ালজেব্রা হল বিয়ালজেব্রার একটি সাধারণীকরণ যা অ্যালজেব্রা এবং কোলজেব্রা উভয়ই তবে যার জন্য দুটি কাঠামোর মধ্যে সামঞ্জস্যের শর্তগুলি "দুর্বল" করা হয়েছে। একই অর্থে, দুর্বল হপফ বীজগণিতগুলি দুর্বল দ্বি-বীজগণিত এবং একটি রৈখিক মানচিত্র এস নির্দিষ্ট শর্তগুলি সন্তুষ্ট করে; এগুলি হপফ বীজগণিতের সাধারণীকরণ। এই বস্তুগুলি বোহম, নিল এবং স্জ্লাচানাই দ্বারা প্রবর্তিত হয়েছিল। এগুলি অধ্যয়নের জন্য প্রথম অনুপ্রেরণা আসে কোয়ান্টাম ক্ষেত্র তত্ত্ব এবং অপারেটর অ্যালজেব্রা থেকে। দুর্বল হপফ বীজগণিতে বেশ আকর্ষণীয় উপস্থাপনা তত্ত্ব রয়েছে; বিশেষত একটি অর্ধ-সহজ সীমাবদ্ধ দুর্বল হপফ বীজগণিতে একটি সংমিশ্রণ বিভাগ (যা অতিরিক্ত বৈশিষ্ট্য সহ একটি একক শ্রেণী)। ইটিংফ, নিকশিচ এবং অস্ট্রিকও দেখিয়েছেন যে কোনও ফিউশন বিভাগ দুর্বল হপফ বীজগণিতের উপর মডিউলগুলির একটি বিভাগের সমতুল্য। সংজ্ঞা একটি ক্ষেত্রের উপর একটি দুর্বল দ্বি-বীজগণিত হল একটি ভেক্টর স্থান যা গুণ এবং একক সহ একটি সহযোগী বীজগণিত গঠন করে, গুণ এবং গণের সাথে একটি সহ-সহযোগী কোলজেব্রা গঠন করে, যার জন্য নিম্নলিখিত সামঞ্জস্যতা শর্তগুলি ধারণ করেঃ গুণের গুণিতকতাঃ, গণের দুর্বল গুণিতকতাঃ, এককটির দুর্বল গুণিতকতাঃ, যেখানে দুটি টেনসর ফ্যাক্টর উল্টে যায়। অধিকন্তু এটি বিপরীত গুণ এবং বিপরীত গুণ। লক্ষ্য করুন যে আমরা ভেক্টর স্পেসের মনোইডাল বিভাগের জন্য ম্যাক লেনের কোহেরেন্স উপপাদ্যটি অন্তর্নিহিতভাবে ব্যবহার করি, পাশাপাশি চিহ্নিত করি। এই সংজ্ঞাটি একটি দ্বি-বীজগণিতের বীজগণিত এবং কোলজেব্রা কাঠামোর মধ্যে সামঞ্জস্যকে দুর্বল করে দেয়। আরও সুনির্দিষ্টভাবে, ইউনিট এবং কাউন্টি দুর্বল হয়ে পড়েছে। এটি একটি দুর্বল হপফ বীজগণিতের স্বতঃসিদ্ধের ক্ষেত্রে সত্য। একটি দুর্বল হপফ বীজগণিত হল একটি দুর্বল দ্বি-বীজগণিত যার একটি রৈখিক মানচিত্র রয়েছে, যাকে অ্যান্টিপোড বলা হয়, যা সন্তুষ্ট করেঃ,,। উদাহরণ হপফ বীজগণিত। অবশ্যই যে কোনও হপফ বীজগণিত একটি দুর্বল হপফ বীজগণিত। গ্রুপয়েড বীজগণিত। ধরুন একটি গ্রুপয়েড এবং গ্রুপয়েড বীজগণিত হতে দিন, অন্য কথায়, মরফিজম দ্বারা উত্পন্ন বীজগণিত। আমরা যদি সংজ্ঞায়িত করি তবে এটি একটি দুর্বল হপফ বীজগণিতে পরিণত হয়। লক্ষ্য করুন যে এই দ্বিতীয় উদাহরণটি একটি দুর্বল হপফ বীজগণিত কিন্তু হপফ বীজগণিত নয়। উপস্থাপনা তত্ত্ব ধরা যাক এইচ একটি আধা-সহজ সীমাবদ্ধ দুর্বল হপফ বীজগণিত, তারপর এইচ-এর উপর মডিউলগুলি সীমাবদ্ধভাবে অনেকগুলি সহজ বস্তু সহ একটি আধা-সহজ অনমনীয় মনোইডাল বিভাগ গঠন করে। উপরন্তু সমরূপতা স্থানগুলি সসীম-মাত্রিক ভেক্টর স্থান এবং সাধারণ বস্তুর এন্ডোমর্ফিজম স্থানগুলি এক-মাত্রিক। পরিশেষে, মনোয়ডাল একক একটি সহজ বস্তু। এই ধরনের বিভাগকে ফিউশন বিভাগ বলা হয়। এটি দেখানো যেতে পারে যে কিছু মনোইডাল বিভাগ হপফ বীজগণিতের উপর মডিউল নয়। ফিউশন বিভাগগুলির ক্ষেত্রে (যা অতিরিক্ত শর্ত সহ কেবল মনোয়ডাল বিভাগ), এটি ইটিংফ, নিকশিচ এবং অস্ট্রিক দ্বারা প্রমাণিত হয়েছিল যে কোনও ফিউশন বিভাগ দুর্বল হপফ বীজগণিতের উপর মডিউলগুলির একটি বিভাগের সমতুল্য। দ্রষ্টব্য তথ্যসূত্র হপফ অ্যালজেব্রা