Square root of a 2 by 2 matrix
2 × 2 ম্যাট্রিক্স M-এর একটি বর্গমূল হল আরেকটি 2 × 2 ম্যাট্রিক্স R, যেমন M = R2, যেখানে R2 হল R-এর ম্যাট্রিক্স গুণফল। সাধারণভাবে, শূন্য, দুই, চার বা এমনকি বর্গমূল ম্যাট্রিক্সের একটি অনন্ততা থাকতে পারে। অনেক ক্ষেত্রে, এই ধরনের একটি ম্যাট্রিক্স আর একটি সুস্পষ্ট সূত্র দ্বারা প্রাপ্ত করা যেতে পারে। যে বর্গমূলগুলি সর্ব-শূন্য ম্যাট্রিক্স নয় সেগুলি জোড়ায় আসেঃ যদি R হল M-এর বর্গমূল হয়, তবে −R হল M-এরও একটি বর্গমূল, যেহেতু (−R) (−R) = (−1) (−1) (RR) = R2 = M. দুটি স্বতন্ত্র অ-শূন্য আইগেনভ্যালু সহ 2×2 ম্যাট্রিক্সের চারটি বর্গমূল রয়েছে। একটি ধনাত্মক-নির্দিষ্ট ম্যাট্রিক্সের সুনির্দিষ্টভাবে একটি ধনাত্মক-নির্দিষ্ট বর্গমূল থাকে। একটি সাধারণ সূত্র নিম্নলিখিত একটি সাধারণ সূত্র যা প্রায় যে কোনও 2×2 ম্যাট্রিক্সের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য। প্রদত্ত ম্যাট্রিক্সটি এমন হতে দিন যেখানে এ, বি, সি এবং ডি বাস্তব বা জটিল সংখ্যা হতে পারে। উপরন্তু, ধরা যাক τ = A + D হল M-এর ট্রেস, এবং δ = AD − BC হল এর নির্ধারক। ধরা যাক s এমন হয় যে s2 = δ, এবং t এমন হয় যে t2 = τ + 2s। অর্থাৎ, তারপর, যদি t ষ্ণুত 0 হয়, M-এর একটি বর্গমূল প্রকৃতপক্ষে, R-এর বর্গ হল লক্ষ্য করুন যে M একটি বাস্তব ম্যাট্রিক্স হলেও R-এর জটিল এন্ট্রি থাকতে পারে; বিশেষ করে, যদি নির্ধারক δ ঋণাত্মক হয়। এই সূত্রের সাধারণ ক্ষেত্রে হল যখন δ অ-শূন্য, এবং τ2 § 4δ, যে ক্ষেত্রে s অ-শূন্য, এবং t প্রতিটি পছন্দের s চিহ্নের জন্য অ-শূন্য। তারপর উপরের সূত্রটি চারটি স্বতন্ত্র বর্গমূল R প্রদান করবে, যা s এবং t-এর জন্য প্রতিটি পছন্দের চিহ্নের জন্য একটি। সূত্রের বিশেষ ক্ষেত্রে যদি নির্ধারক δ শূন্য হয়, কিন্তু ট্রেস τ অ-শূন্য হয়, তবে উপরের সাধারণ সূত্রটি শুধুমাত্র দুটি স্বতন্ত্র সমাধান দেবে, যা t-এর দুটি চিহ্নের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ। অর্থাৎ, যেখানে t ট্রেস τ-এর যে কোনও বর্গমূল। সূত্রটি শুধুমাত্র দুটি স্বতন্ত্র সমাধান দেয় যদি δ অ-শূন্য হয়, এবং τ2 = 4δ (ডুপ্লিকেট আইগেনভ্যালুগুলির ক্ষেত্রে), এই ক্ষেত্রে s-এর জন্য পছন্দগুলির মধ্যে একটি হর t-কে শূন্য করে তুলবে। সেক্ষেত্রে, দুটি মূল হল যেখানে s হল δ-এর বর্গমূল যা τ − 2s কে অ-শূন্য করে তোলে, এবং t হল τ − 2s-এর যে কোনও বর্গমূল। উপরের সূত্রটি সম্পূর্ণরূপে ব্যর্থ হয় যদি δ এবং τ উভয়ই শূন্য হয়; অর্থাৎ, যদি D = −A, এবং A2 = −BC হয়, যাতে ম্যাট্রিক্সের ট্রেস এবং নির্ধারক উভয়ই শূন্য হয়। এই ক্ষেত্রে, যদি এম শূন্য ম্যাট্রিক্স হয় (এ = বি = সি = ডি = 0 সহ), তবে শূন্য ম্যাট্রিক্সটিও এম-এর একটি বর্গমূল, যেমন যে কোনও ম্যাট্রিক্স যেখানে বি এবং সি নির্বিচারে বাস্তব বা জটিল মান। অন্যথায় এম-এর কোনও বর্গমূল নেই। বিশেষ ম্যাট্রিক্সের সূত্র আইডেম্পোটেন্ট ম্যাট্রিক্স যদি এম একটি আইডেম্পোটেন্ট ম্যাট্রিক্স হয়, যার অর্থ এমএম = এম, তবে যদি এটি আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্স না হয়, তবে এর নির্ধারক শূন্য, এবং এর ট্রেস তার র্যাঙ্কের সমান, যা (শূন্য ম্যাট্রিক্স বাদে) 1। তারপর উপরের সূত্রটিতে s = 0 এবং τ = 1 রয়েছে, যা M এবং-M কে M-এর দুটি বর্গমূল হিসাবে দেয়। এক্সপোনেনশিয়াল ম্যাট্রিক্স যদি ম্যাট্রিক্স M-কে কোনও ম্যাট্রিক্স A-এর সূচকের বাস্তব গুণিতক হিসাবে প্রকাশ করা যায়, তবে এর দুটি বর্গমূল হল। এই ক্ষেত্রে বর্গমূল বাস্তব। যদি এম তির্যক হয় (অর্থাৎ, বি = সি = 0), তবে একটি সরলীকৃত সূত্র ব্যবহার করা যেতে পারে যেখানে এ = ± σএ, এবং ডি = ± σডি। এটি, বিভিন্ন চিহ্ন পছন্দের জন্য, চারটি, দুটি বা একটি স্বতন্ত্র ম্যাট্রিক্স দেয়, যদি কোনওটিই না হয়, শুধুমাত্র একটি, বা উভয়ই যথাক্রমে শূন্য হয়। আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্স কারণ এটির ডুপ্লিকেট আইগেনভ্যালু রয়েছে, 2 × 2 আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্সের অসীম সংখ্যক প্রতিসম যুক্তিসঙ্গত বর্গমূল রয়েছে যার দ্বারা প্রদত্ত যে কোনও জটিল সংখ্যা রয়েছে যেমন ম্যাট্রিক্স একটি অফ-ডায়াগোনাল শূন্য সহ যদি বি শূন্য হয়, তবে এ এবং ডি উভয়ই শূন্য না হয়, কেউ ব্যবহার করতে পারে এই সূত্রটি দুটি সমাধান প্রদান করবে যদি এ = ডি বা এ = 0 বা ডি = 0, এবং অন্যথায় চারটি। একটি অনুরূপ সূত্র ব্যবহার করা যেতে পারে যখন সি শূন্য, কিন্তু এ এবং ডি উভয়ই শূন্য নয়। রেফারেন্স ম্যাট্রিক্স