Tennis racket theorem
টেনিস র্যাকেট উপপাদ্য বা মধ্যবর্তী অক্ষ উপপাদ্য শাস্ত্রীয় বলবিজ্ঞানের একটি ফলাফল যা তিনটি স্বতন্ত্র প্রধান মুহূর্তের জড়তা সহ একটি অনমনীয় বস্তুর গতিবিধি বর্ণনা করে। সোভিয়েত মহাকাশচারী ভ্লাদিমির ঝানিবেকোভ 1985 সালে মহাকাশে থাকাকালীন উপপাদ্যটির যৌক্তিক পরিণতি লক্ষ্য করেছিলেন, যদিও এর আগে কমপক্ষে 150 বছর ধরে এই প্রভাবটি জানা ছিল এবং 1834 সালে লুই পয়েনসটের একটি বইয়ে এটি অন্তর্ভুক্ত করা হয়েছিল। উপপাদ্যটি নিম্নলিখিত প্রভাবটি বর্ণনা করেঃ কোনও বস্তুর প্রথম এবং তৃতীয় প্রধান অক্ষের চারপাশে ঘূর্ণন স্থিতিশীল, যেখানে তার দ্বিতীয় প্রধান অক্ষের (বা মধ্যবর্তী অক্ষ) চারপাশে ঘূর্ণন স্থিতিশীল নয়। এটি নিম্নলিখিত পরীক্ষার মাধ্যমে প্রদর্শিত হতে পারেঃ একটি টেনিস র্যাকেটকে তার হ্যান্ডেলে ধরে রাখুন, যার মুখ অনুভূমিক, এবং এটিকে বাতাসে নিক্ষেপ করার চেষ্টা করুন যাতে এটি হ্যান্ডেলের লম্ব অনুভূমিক অক্ষের চারপাশে একটি সম্পূর্ণ ঘূর্ণন সম্পাদন করে (চিত্রটিতে η2, ভিডিওতে η1), এবং হ্যান্ডেলটি ধরার চেষ্টা করুন। প্রায় সব ক্ষেত্রেই, সেই ঘূর্ণনের সময় মুখটিও অর্ধেক ঘূর্ণন সম্পন্ন করবে, যাতে অন্য মুখটি এখন উপরে থাকে। বিপরীতে, র্যাকেটটি নিক্ষেপ করা সহজ যাতে এটি অন্য অক্ষের চারপাশে অর্ধ-ঘূর্ণন ছাড়াই হ্যান্ডেল অক্ষের চারপাশে (রেখাচিত্রে η1) ঘোরায়; কোনও সহগামী অর্ধ-ঘূর্ণন ছাড়াই হ্যান্ডেলের লম্ব উল্লম্ব অক্ষের (রেখাচিত্রে η3) চারপাশে ঘোরানোও সম্ভব। পরীক্ষাটি যে কোনও বস্তু দিয়ে করা যেতে পারে যার তিনটি ভিন্ন মুহূর্ত রয়েছে, উদাহরণস্বরূপ একটি বই, রিমোট কন্ট্রোল বা স্মার্টফোন দিয়ে। যখনই ঘূর্ণনের অক্ষটি বস্তুর দ্বিতীয় প্রধান অক্ষ থেকে সামান্য আলাদা হয় তখন প্রভাবটি ঘটে; বায়ু প্রতিরোধ বা মাধ্যাকর্ষণ প্রয়োজন হয় না। তত্ত্ব টেনিস র্যাকেট উপপাদ্যটি অয়লারের সমীকরণের সাহায্যে গুণগতভাবে বিশ্লেষণ করা যেতে পারে। টর্ক-মুক্ত পরিস্থিতিতে, তারা নিম্নলিখিত রূপ নেয়ঃ এখানে বস্তুটির প্রধান জড়তার মুহূর্তগুলি বোঝানো হয়েছে, এবং আমরা ধরে নিই। বস্তুটির তিনটি প্রধান অক্ষের চারপাশে কৌণিক বেগ হল এবং তাদের সময় ব্যুৎপত্তি দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। প্রথম এবং তৃতীয় প্রধান অক্ষের চারপাশে স্থিতিশীল ঘূর্ণন যখন বস্তুটি জড়তার মুহুর্তে অক্ষের চারপাশে ঘোরে তখন পরিস্থিতি বিবেচনা করুন। ভারসাম্যের প্রকৃতি নির্ধারণ করতে, অন্য দুটি অক্ষ বরাবর ছোট প্রাথমিক কৌণিক বেগ অনুমান করুন। ফলস্বরূপ, সমীকরণ (1) অনুসারে, এটি খুব ছোট। তাই সময়ের উপর নির্ভরশীলতাকে অবহেলা করা যেতে পারে। এখন, সমীকরণ (2) কে আলাদা করা এবং সমীকরণ (3) থেকে প্রতিস্থাপন করা, কারণ এবং। লক্ষ্য করুন যেটির বিরোধিতা করা হচ্ছে এবং তাই এই অক্ষের চারপাশে ঘূর্ণন বস্তুটির জন্য স্থিতিশীল। অনুরূপ যুক্তি দেয় যে জড়তার মুহূর্ত সহ অক্ষের চারপাশে ঘূর্ণনও স্থিতিশীল। দ্বিতীয় প্রধান অক্ষের চারপাশে অস্থির ঘূর্ণন এখন জড়তার মুহূর্ত সহ অক্ষের উপর একই বিশ্লেষণ প্রয়োগ করুন এই সময়টি খুব ছোট। তাই সময়ের উপর নির্ভরশীলতাকে অবহেলা করা যেতে পারে। এখন, সমীকরণ (1) কে আলাদা করা এবং সমীকরণ (3) থেকে প্রতিস্থাপন করা, লক্ষ্য করুন যেটি বিপরীত নয় (এবং তাই বৃদ্ধি পাবে) এবং তাই দ্বিতীয় অক্ষের চারপাশে ঘূর্ণন অস্থির। অতএব, অন্যান্য অক্ষ বরাবর একটি ছোট বিশৃঙ্খলাও বস্তুটিকে 'উল্টে' দেয়। ম্যাট্রিক্স বিশ্লেষণ যদি বস্তুটি তার তৃতীয় অক্ষ বরাবর আবর্তিত হয়, তাহলে আমরা ধরে নিতে পারি যে এটি খুব বেশি পরিবর্তিত হয় না, এবং গতির সমীকরণগুলিকে একটি ম্যাট্রিক্স সমীকরণ হিসাবে লিখতে পারিঃ যার শূন্য ট্রেস এবং ধনাত্মক নির্ধারক রয়েছে, যার অর্থ মূলের চারপাশে একটি স্থিতিশীল ঘূর্ণন-একটি নিরপেক্ষ ভারসাম্য বিন্দু। একইভাবে, বিন্দুটি একটি নিরপেক্ষ ভারসাম্য বিন্দু, তবে এটি একটি স্যাডল বিন্দু। জ্যামিতিক বিশ্লেষণ গতির সময়, শক্তি এবং কৌণিক ভরবেগ-বর্গ উভয়ই সংরক্ষিত থাকে, এইভাবে আমাদের দুটি সংরক্ষিত পরিমাণ রয়েছেঃ এবং তাই যে কোনও প্রাথমিক অবস্থার জন্য, এর গতিপথ অবশ্যই দ্বারা সংজ্ঞায়িত দুটি উপবৃত্তাকারের মধ্যে ছেদ বক্ররেখার উপর থাকতে হবে। অয়লারের সমীকরণগুলি পরিদর্শন করে আমরা দেখতে পাই যে এর দুটি উপাদান শূন্য-অর্থাৎ, বস্তুটি ঠিক একটি প্রধান অক্ষের চারপাশে ঘুরছে। অন্যান্য সমস্ত পরিস্থিতিতে, অবশ্যই গতিশীল থাকতে হবে। অয়লারের সমীকরণ অনুসারে, যদি একটি সমাধান হয়, তবে যে কোনও ধ্রুবকের ক্ষেত্রেও তাই হয়। বিশেষত, মুক্ত স্থানে বস্তুর গতি (সংহতকরণের মাধ্যমে প্রাপ্ত) ঠিক একই, মাত্র অনুপাত দ্বারা দ্রুত সম্পন্ন হয়। ফলস্বরূপ, আমরা একটি নির্দিষ্ট মান সহ গতির জ্যামিতি বিশ্লেষণ করতে পারি এবং ধ্রুবক বর্গ কৌণিক ভরবেগের নির্দিষ্ট উপবৃত্তাকারের উপর পরিবর্তিত হতে পারি। পরিবর্তিত হওয়ার সাথে সাথে এর মানও পরিবর্তিত হয়-এইভাবে আমাদের ধ্রুবক শক্তির একটি বৈচিত্র্যময় উপবৃত্তাকার দেয়। এটি অ্যানিমেশনে একটি স্থির কমলা উপবৃত্তাকার এবং ক্রমবর্ধমান নীল উপবৃত্তাকার হিসাবে দেখানো হয়েছে। স্থিরতার জন্য, বিবেচনা করুন, তাহলে কৌণিক ভরবেগ উপবৃত্তাকারের প্রধান অক্ষগুলি এর অনুপাতে হয়, এবং শক্তি উপবৃত্তাকারের প্রধান অক্ষগুলি এর অনুপাতে হয়। এইভাবে কৌণিক ভরবেগ উপবৃত্তাকার উভয়ই চ্যাপ্টা এবং তীক্ষ্ণ, যা অ্যানিমেশনে দৃশ্যমান। সাধারণভাবে, কৌণিক ভরবেগ উপবৃত্তাকার সর্বদা শক্তি উপবৃত্তাকারের চেয়ে বেশি "অতিরঞ্জিত" হয়। এখন এর ছেদ বক্ররেখার একটি নির্দিষ্ট উপবৃত্তাকারের উপর উপবৃত্তাকারের সাথে লিপিবদ্ধ করুন, যা শূন্য থেকে অনন্ত পর্যন্ত বৃদ্ধি পায়। আমরা দেখতে পাচ্ছি যে বক্ররেখা নিম্নরূপ বিবর্তিত হয়ঃ ক্ষুদ্র শক্তির জন্য কোনও ছেদ নেই, কারণ কৌণিক ভরবেগ উপবৃত্তাকারের উপর থাকার জন্য আমাদের ন্যূনতম শক্তির প্রয়োজন। শক্তি উপবৃত্তাকার প্রথমে ভরবেগ উপবৃত্তাকারকে ছেদ করে যখন, বিন্দুতে। এটি তখনই হয় যখন বস্তুটি তার অক্ষের চারপাশে সবচেয়ে বড় জড়তার মুহূর্তে আবর্তিত হয়। বিন্দুগুলির চারপাশে দুটি চক্রে তারা ছেদ করে। যেহেতু প্রতিটি চক্রের কোনও বিন্দু থাকে না, তাই এর গতি অবশ্যই প্রতিটি চক্রের চারপাশে একটি পর্যায়ক্রমিক গতি হতে হবে। তারা দুটি "তির্যক" বক্ররেখায় ছেদ করে যা কখন বিন্দুতে ছেদ করে। যদি তির্যক বক্ররেখার যে কোনও জায়গায় শুরু হয়, তবে এটি একটি বিন্দুর কাছে পৌঁছাবে, দূরত্ব দ্রুত হ্রাস পাবে, তবে বাস্তবে কখনই বিন্দুতে পৌঁছাবে না। অন্য কথায়, দুটি স্যাডল পয়েন্টের মধ্যে আমাদের 4টি হেটেরোক্লিনিক কক্ষপথ রয়েছে। বিন্দুগুলির চারপাশে দুটি চক্রে তারা ছেদ করে। যেহেতু প্রতিটি চক্রের কোনও বিন্দু থাকে না, তাই এর গতি অবশ্যই প্রতিটি চক্রের চারপাশে একটি পর্যায়ক্রমিক গতি হতে হবে। শক্তি উপবৃত্তাকার শেষ বিন্দুতে ভরবেগ উপবৃত্তাকারকে ছেদ করে। এটি তখনই হয় যখন বস্তুটি তার অক্ষের চারপাশে জড়তার ক্ষুদ্রতম মুহুর্তে ঘোরে। টেনিস র্যাকেটের প্রভাব তখন ঘটে যখন একটি স্যাডল পয়েন্টের খুব কাছাকাছি থাকে। দেহটি স্যাডল পয়েন্টের কাছাকাছি থাকবে, তারপর দ্রুত অন্য স্যাডল পয়েন্টে চলে যাবে, কাছাকাছি, আবার দীর্ঘ সময়ের জন্য থাকবে, ইত্যাদি। প্রস্তাবটি সময়ের সাথে পুনরাবৃত্তি হয়। উপরের বিশ্লেষণটি একটি পর্যবেক্ষকের দৃষ্টিকোণ থেকে করা হয় যা বস্তুর সাথে আবর্তিত হয়। মুক্ত স্থানে বস্তুর গতি পর্যবেক্ষণকারী একজন পর্যবেক্ষক তার কৌণিক ভরবেগ ভেক্টরকে সংরক্ষিত দেখতে পাবেন, যখন তার কৌণিক বেগ ভেক্টর এবং তার জড়তার মুহূর্ত উভয়ই মহাকাশে জটিল গতির মধ্য দিয়ে যাচ্ছে। শুরুতে, পর্যবেক্ষক দেখতে পাবেন যে উভয়ই বেশিরভাগ দ্বিতীয় প্রধান অক্ষের সাথে সারিবদ্ধ। কিছুক্ষণ পরে, দেহটি একটি জটিল গতি সম্পাদন করে এবং শেষ হয়, এবং আবার উভয়ই বেশিরভাগ দ্বিতীয় প্রধান অক্ষের সাথে সারিবদ্ধ হয়। ফলস্বরূপ, দুটি সম্ভাবনা রয়েছেঃ হয় অনমনীয় বস্তুর দ্বিতীয় প্রধান অক্ষটি একই দিকে থাকে, অথবা এটি বিপরীত দিকে থাকে। যদি এটি এখনও একই দিকে থাকে, তবে অনমনীয় বস্তুর রেফারেন্স ফ্রেমে দেখাও বেশিরভাগ ক্ষেত্রে একই দিকে থাকে। যাইহোক, আমরা এটি সবেমাত্র দেখেছি এবং বিপরীত স্যাডল পয়েন্টের কাছাকাছি। দ্বন্দ্ব। গুণগতভাবে, তাহলে, মুক্ত স্থানে পর্যবেক্ষণকারী একজন পর্যবেক্ষক এটি পর্যবেক্ষণ করবেনঃ বস্তুটি তার দ্বিতীয় প্রধান অক্ষের চারপাশে কিছু সময়ের জন্য ঘোরে। দেহটি দ্রুত একটি জটিল গতির মধ্য দিয়ে যায়, যতক্ষণ না তার দ্বিতীয় প্রধান অক্ষটি বিপরীত দিকে চলে যায়। বস্তুটি আবার তার দ্বিতীয় প্রধান অক্ষের চারপাশে কিছুক্ষণের জন্য ঘোরে। পুনরাবৃত্তি করুন। মাইক্রোগ্রাভিটিতে ভিডিও প্রদর্শনীতে এটি সহজেই দেখা যায়। অপচয় সহ যখন শরীরটি ঠিক অনমনীয় নয়, তবে নমনীয় এবং বাঁকানো বা তরল ধারণ করতে পারে যা চারপাশে সরে যায়, তখন এটি তার অভ্যন্তরীণ মাত্রার স্বাধীনতার মাধ্যমে শক্তি অপচয় করতে পারে। এই ক্ষেত্রে, বস্তুটির এখনও ধ্রুবক কৌণিক ভরবেগ রয়েছে, তবে এর শক্তি হ্রাস পাবে, যতক্ষণ না এটি ন্যূনতম বিন্দুতে পৌঁছায়। উপরে জ্যামিতিকভাবে বিশ্লেষণ করা হয়েছে, এটি তখন ঘটে যখন বস্তুর কৌণিক বেগ তার জড়তার সর্বাধিক মুহুর্তের অক্ষের সাথে ঠিক সারিবদ্ধ হয়। 1958 সালে মার্কিন যুক্তরাষ্ট্র দ্বারা উৎক্ষেপণ করা প্রথম উপগ্রহ এক্সপ্লোরার 1-এর ক্ষেত্রে এটি ঘটেছিল। মহাকাশযানের দীর্ঘায়িত অংশটি তার দীর্ঘ (ন্যূনতম-জড়তা) অক্ষের কাছাকাছি ঘোরার জন্য ডিজাইন করা হয়েছিল কিন্তু তা করতে অস্বীকার করে এবং পরিবর্তে নমনীয় কাঠামোগত উপাদানগুলি থেকে শক্তি অপচয় হওয়ার কারণে প্রক্রিয়াকরণ শুরু করে। সাধারণভাবে, বড় বা ছোট মহাজাগতিক বস্তুগুলি তার জড়তার সর্বাধিক মুহুর্তের অক্ষের চারপাশে একটি ধ্রুবক আবর্তনে একত্রিত হবে। যখনই কোনও মহাজাগতিক বস্তু একটি জটিল ঘূর্ণনশীল অবস্থায় পাওয়া যায়, এটি হয় সাম্প্রতিক প্রভাব বা জোয়ারের মিথস্ক্রিয়ার কারণে হয়, অথবা সম্প্রতি বিঘ্নিত পূর্বপুরুষের একটি অংশ। আরও দেখুন রেফারেন্স মির আন্তর্জাতিক মহাকাশ স্টেশন লুই পয়েনসট, থিওরি নুভেল দে লা রোটেশন ডেস কর্পস, প্যারিস, ব্যাচেলিয়ার, 1834,170 পি।: ঐতিহাসিকভাবে, এই প্রভাবের প্রথম গাণিতিক বর্ণনা। - ম্যাট পার্কারের স্বজ্ঞাত ভিডিও ব্যাখ্যা শাস্ত্রীয় যান্ত্রিক পদার্থবিজ্ঞান উপপাদ্য জগলিং