Oscillator representation
গণিতে, দোলক উপস্থাপনা হল সিমপ্লেক্টিক গোষ্ঠীর একটি প্রজেক্টিভ একক উপস্থাপনা, যা প্রথমে আরভিং সেগাল, ডেভিড শেল এবং আন্দ্রে ওয়েইল দ্বারা তদন্ত করা হয়েছিল। প্রতিনিধিত্বের একটি প্রাকৃতিক সম্প্রসারণ সংকোচন অপারেটরদের একটি সেমিগ্রুপের দিকে পরিচালিত করে, যা 1988 সালে রজার হো দ্বারা দোলক সেমিগ্রুপ হিসাবে প্রবর্তিত হয়। সেমিগ্রুপটি পূর্বে অন্যান্য গণিতবিদ এবং পদার্থবিজ্ঞানীদের দ্বারা অধ্যয়ন করা হয়েছিল, বিশেষ করে 1960-এর দশকে ফেলিক্স বেরেজিন। একটি মাত্রায় সবচেয়ে সহজ উদাহরণটি এস. ইউ (1,1) দ্বারা দেওয়া হয়েছে। এটি বর্ধিত জটিল সমতলে মোবিয়াস রূপান্তর হিসাবে কাজ করে, একক বৃত্তকে অপরিবর্তনীয় রাখে। সেক্ষেত্রে দোলকের উপস্থাপনা হল এস. ইউ (1,1)-এর দ্বৈত আবরণের একক উপস্থাপনা এবং দোলকের সেমিগ্রুপটি এস. এল (2, সি)-তে সেমিগ্রুপের সংকোচন অপারেটরদের দ্বারা উপস্থাপনের সাথে মিলে যায় যা মোবিয়াস রূপান্তরের সাথে সম্পর্কিত যা একক ডিস্ককে নিজের মধ্যে নিয়ে যায়। সংকোচন অপারেটরদের, শুধুমাত্র একটি চিহ্ন পর্যন্ত নির্ধারিত, কার্নেল রয়েছে যা গাউসিয়ান ফাংশন। অসীম স্তরে সেমিগ্রুপটি এস. ইউ (1,1)-এর লাই বীজগণিতে একটি শঙ্কু দ্বারা বর্ণনা করা হয় যা একটি হালকা শঙ্কু দিয়ে চিহ্নিত করা যেতে পারে। একই কাঠামো অসীম মাত্রায় অ্যানালগ সহ উচ্চতর মাত্রায় সিমপ্লেক্টিক গ্রুপকে সাধারণীকরণ করে। এই নিবন্ধটি এস. ইউ (1,1)-এর তত্ত্বটি বিস্তারিতভাবে ব্যাখ্যা করে এবং তত্ত্বটি কীভাবে প্রসারিত করা যেতে পারে তার সংক্ষিপ্তসার দেয়। ওয়ার্নার হাইজেনবার্গ এবং এরউইন শ্রোডিঙ্গার দ্বারা কোয়ান্টাম মেকানিক্সের গাণিতিক সূত্রটি মূলত হিলবার্ট স্পেসে সীমাহীন স্ব-সংযুক্ত অপারেটরের পরিপ্রেক্ষিতে ছিল। অবস্থান এবং ভরবেগের সাথে সম্পর্কিত মৌলিক অপারেটরগুলি হাইজেনবার্গ বিনিময় সম্পর্ককে সন্তুষ্ট করে। এই অপারেটরগুলির চতুর্ভুজ বহুপদগুলি, যার মধ্যে সুরেলা দোলক রয়েছে, কমিউটেটর গ্রহণের অধীনেও বন্ধ থাকে। 1920 এবং 1930-এর দশকে কোয়ান্টাম মেকানিক্সের জন্য একটি কঠোর ভিত্তি প্রদানের জন্য প্রচুর পরিমাণে অপারেটর তত্ত্ব তৈরি করা হয়েছিল। তত্ত্বের কিছু অংশ মূলত হারমান ওয়েইল, মার্শাল স্টোন এবং জন ভন নিউম্যানের অবদানের মাধ্যমে অপারেটরদের একক গোষ্ঠীর পরিপ্রেক্ষিতে প্রণয়ন করা হয়েছিল। ফলস্বরূপ, গাণিতিক পদার্থবিজ্ঞানে এই ফলাফলগুলি গাণিতিক বিশ্লেষণের মধ্যে অন্তর্ভুক্ত করা হয়েছিল, 1933 সালের নরবার্ট উইনারের বক্তৃতা নোট থেকে শুরু করে, যিনি ফুরিয়ার রূপান্তরের বৈশিষ্ট্যগুলি পেতে হারমোনিক দোলকের জন্য তাপ কার্নেল ব্যবহার করেছিলেন। স্টোন-ভন নিউম্যান উপপাদ্যতে প্রণীত হাইজেনবার্গ বিনিময় সম্পর্কের স্বতন্ত্রতা পরে গ্রুপ উপস্থাপনা তত্ত্বের মধ্যে ব্যাখ্যা করা হয়েছিল, বিশেষত জর্জ ম্যাকি দ্বারা প্রবর্তিত প্ররোচিত উপস্থাপনা তত্ত্ব। চতুর্ভুজ অপারেটরগুলি গ্রুপ এস. ইউ (1,1) এবং এর লাই বীজগণিতের একটি প্রজেক্টিভ একক প্রতিনিধিত্বের পরিপ্রেক্ষিতে বোঝা যায়। আরভিং সেগাল এবং ডেভিড শেল এই গঠনটিকে সিমপ্লেক্টিক গ্রুপে সীমাবদ্ধ এবং অসীম মাত্রায় সাধারণীকরণ করেছিলেন-পদার্থবিজ্ঞানে, এটিকে প্রায়শই বোসনিক কোয়ান্টাইজেশন হিসাবে উল্লেখ করা হয়ঃ এটি একটি অসীম-মাত্রিক স্থানের প্রতিসম বীজগণিত হিসাবে নির্মিত হয়। সেগাল এবং শেল ফার্মিয়নিক কোয়ান্টাইজেশনের বিষয়টিও বিবেচনা করেছেন, যা একটি অসীম-মাত্রিক হিলবার্ট স্থানের বাহ্যিক বীজগণিত হিসাবে নির্মিত। 1 + 1 মাত্রায় সামঞ্জস্যপূর্ণ ক্ষেত্র তত্ত্বের বিশেষ ক্ষেত্রে, দুটি সংস্করণ তথাকথিত "বোসন-ফার্মিওন চিঠিপত্রের" মাধ্যমে সমতুল্য হয়ে ওঠে। এটি কেবল বিশ্লেষণের ক্ষেত্রেই প্রযোজ্য নয় যেখানে বোসনিক এবং ফার্মিওনিক হিলবার্ট স্পেসের মধ্যে একক অপারেটর রয়েছে, তবে ভার্টেক্স অপারেটর অ্যালজেব্রার গাণিতিক তত্ত্বের ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য। ভার্টেক্স অপারেটররা মূলত 1960-এর দশকের শেষের দিকে তাত্ত্বিক পদার্থবিজ্ঞানে, বিশেষত স্ট্রিং তত্ত্বে উদ্ভূত হয়েছিল। আন্দ্রে ওয়েইল পরে গঠনটি পি-অ্যাডিক লাই গোষ্ঠীগুলিতে প্রসারিত করেছিলেন, যা দেখায় যে কীভাবে ধারণাগুলি সংখ্যা তত্ত্বে প্রয়োগ করা যেতে পারে, বিশেষত থিটা ফাংশন এবং দ্বিঘাত পারস্পরিকতার একটি গোষ্ঠী তাত্ত্বিক ব্যাখ্যা দেওয়ার জন্য। বেশ কয়েকজন পদার্থবিজ্ঞানী এবং গণিতবিদ পর্যবেক্ষণ করেছেন যে সুরেলা দোলকের সাথে সম্পর্কিত তাপ কার্নেল অপারেটরগুলি এসইউ (1,1) এর জটিলতার সাথে যুক্ত ছিলঃ এটি পুরো এসএল (2, সি) নয়, বরং একটি প্রাকৃতিক জ্যামিতিক অবস্থা দ্বারা সংজ্ঞায়িত একটি জটিল সেমিগ্রুপ ছিল। এই সেমিগ্রুপের উপস্থাপনা তত্ত্ব এবং সসীম ও অসীম মাত্রায় এর সাধারণীকরণের গণিত ও তাত্ত্বিক পদার্থবিজ্ঞান উভয় ক্ষেত্রেই প্রয়োগ রয়েছে। এস. এল (2, সি)-এ সেমিগ্রুপঃ গ্রুপঃ হল জি. সি = এস. এল (2, সি)-এর একটি উপগোষ্ঠী, যা নির্ণায়ক 1 সহ জটিল 2 × 2 ম্যাট্রিক্সের গ্রুপ। যদি জি1 = এসএল (2, আর) হয় তবে এটি অনুসরণ করা হয় যেহেতু সংশ্লিষ্ট মোবিয়াস রূপান্তরটি হল কেলি রূপান্তর যা উপরের অর্ধেক সমতলকে একক ডিস্কে এবং বাস্তব রেখাকে একক বৃত্তে বহন করে। গ্রুপ এসএল (2, আর) একটি বিমূর্ত গ্রুপ এবং নিম্ন ত্রিভুজাকার ম্যাট্রিক্সের উপগোষ্ঠী হিসাবে তৈরি হয় প্রকৃতপক্ষে, এই ম্যাট্রিক্স দ্বারা উত্পন্ন উপগোষ্ঠীর অধীনে ভেক্টরের কক্ষপথটি সহজেই পুরো আর 2 হিসাবে দেখা যায় এবং জি 1-এ ভি-এর স্থিতিশীল এই উপগোষ্ঠীর ভিতরে অবস্থিত। এস. ইউ (1,1)-এর লাই বীজগণিত ম্যাট্রিক্স নিয়ে গঠিত। একইভাবে একই সূত্রটি জি. সি-র লাই বীজগণিতের দুটি অটোমরফিজমের একটি পর্যায়কে সংজ্ঞায়িত করে, যা ট্রেস শূন্য সহ জটিল ম্যাট্রিক্স। সুতরাং −1 ≤ m, n ≤ 1-এর জন্য একটি সরাসরি সমষ্টি পচন রয়েছে যেখানে σ-এর + 1 আইগেনস্পেস এবং-1 আইগেনস্পেস রয়েছে। ম্যাট্রিক্স এক্স-এর ফর্মটি নোট করুন যে শঙ্কু সি দুটি শর্ত দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়। প্রথমটি হল সংজ্ঞা অনুসারে এই শর্তটি জি দ্বারা সংযুক্তির অধীনে সংরক্ষিত রয়েছে। যেহেতু জি সংযুক্ত রয়েছে তাই এটি দুটি উপাদানকে x> 0 এবং x <0 অপরিবর্তনীয় রেখে যায়। দ্বিতীয় শর্তটি হল গ্রুপ জি. সি বর্ধিত জটিল সমতলে মোবিয়াস রূপান্তর দ্বারা কাজ করে। উপগোষ্ঠী জি একক ডিস্ক ডি-এর অটোমরফিজম হিসাবে কাজ করে। জি. সি-এর একটি সেমিগ্রুপ এইচ, প্রথমে দ্বারা বিবেচিত, জ্যামিতিক অবস্থা দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারেঃ সেমিগ্রুপটি শঙ্কু সি-এর পরিপ্রেক্ষিতে স্পষ্টভাবে বর্ণনা করা যেতে পারেঃ প্রকৃতপক্ষে ম্যাট্রিক্স এক্স-কে ম্যাট্রিক্সের সাথে জি-এর একটি উপাদান দ্বারা সংযুক্ত করা যেতে পারে। বিপরীতভাবে যদি জি এইচ-এ থাকে তবে এটি বদ্ধ একক ডিস্কটিকে তার অভ্যন্তরে একটি ছোট বদ্ধ ডিস্কে বহন করে। জি-এর একটি উপাদান দ্বারা সংযুক্ত হয়ে, ছোট ডিস্কটির কেন্দ্র 0 হতে পারে। কিন্তু তারপর উপযুক্ত y-এর জন্য, উপাদানটি D-কে নিজের উপর বহন করে তাই G-তে থাকে। একটি অনুরূপ যুক্তি দেখায় যে H-এর ক্লোজার, যা একটি সেমিগ্রুপও, দ্বারা দেওয়া হয়। উপরের কনজুগেসি বিবৃতি থেকে, এটি অনুসরণ করে যে, যদি তারপর থেকে পরেরটি ট্রান্সপোজ গ্রহণ করে এবং ±1 এন্ট্রি সহ তির্যক ম্যাট্রিক্স দ্বারা কনজুগেট করে প্রাপ্ত হয়। সুতরাং এইচ-এ এমনও রয়েছে যা বিপরীত ম্যাট্রিক্স দেয় যদি মূল ম্যাট্রিক্সটি এসইউ (1,1)-তে থাকে। সংমিশ্রণের উপর আরও একটি ফলাফল অনুসরণ করে লক্ষ্য করা যায় যে এইচ-এর প্রতিটি উপাদানকে অবশ্যই ডি-তে একটি বিন্দু স্থির করতে হবে, যা জি-এর একটি উপাদানের সাথে সংমিশ্রণের মাধ্যমে 0 হিসাবে নেওয়া যেতে পারে। তারপর H-এর উপাদানটির রূপ হল এই ধরনের নিম্ন ত্রিভুজাকার ম্যাট্রিক্সের সেট H-এর একটি উপ-গোষ্ঠী H0 গঠন করে। যেহেতু H0-এর প্রতিটি ম্যাট্রিক্স H0-এর একটি ম্যাট্রিক্স M দ্বারা একটি তির্যক ম্যাট্রিক্সের সাথে সংযুক্ত হয়। একইভাবে এইচ-এর প্রতিটি এক-পরামিতি সেমিগ্রুপ এস (টি) ডি-তে একই বিন্দু স্থির করে তাই জি-এর একটি উপাদান দ্বারা এইচ0-এর এক-পরামিতি সেমিগ্রুপে সংযুক্ত হয়। এটি অনুসরণ করে যে H0-এ এমন একটি ম্যাট্রিক্স M রয়েছে যা S0 (t) তির্যক সহ। একইভাবে H0-এ একটি ম্যাট্রিক্স N রয়েছে যাতে সেমিগ্রুপ H0 নির্ণায়ক 1 সহ জটিল নিম্ন ত্রিভুজাকার ম্যাট্রিক্সের উপগোষ্ঠী L তৈরি করে (উপরের সূত্র দ্বারা দেওয়া হয়েছে a  ঒ত্ত 0 সহ)। এর লাই বীজগণিত ফর্মের ম্যাট্রিক্স নিয়ে গঠিত বিশেষত একটি প্যারামিটার সেমিগ্রুপ এক্সপ tZ সমস্ত t> 0-এর জন্য H0-এ থাকে যদি এবং শুধুমাত্র যদি এবং এটি H-এর মানদণ্ড থেকে বা সরাসরি সূত্র থেকে অনুসরণ করে এক্সপোনেনশিয়াল মানচিত্রটি এই ক্ষেত্রে সার্জেক্টিভ নয় বলে জানা যায়, যদিও এটি পুরো গ্রুপ L-এর উপর সার্জেক্টিভ। এটি অনুসরণ করে কারণ বর্গাকার ক্রিয়াটি H-তে সার্জেক্টিভ নয়। প্রকৃতপক্ষে, যেহেতু একটি উপাদানের বর্গটি 0 স্থির করে শুধুমাত্র যদি মূল উপাদানটি 0 স্থির করে, এটি H0-তে এটি প্রমাণ করার জন্য যথেষ্ট। |α। <1 দিয়ে α নিন এবং যদি a = α2 হয় এবং তারপর ম্যাট্রিক্সের H0-এ কোনও বর্গমূল নেই। অন্যদিকে, বদ্ধ সেমিগ্রুপটি এসএল (2, সি)-তে সর্বাধিকঃ যে কোনও বড় সেমিগ্রুপ অবশ্যই পুরো এসএল (2, সি) হতে হবে। তাত্ত্বিক পদার্থবিজ্ঞান দ্বারা অনুপ্রাণিত গণনার ব্যবহার করে, অসমতার একটি সেটের মাধ্যমে সংজ্ঞায়িত সেমিগ্রুপ চালু করা হয়। একটি সংকোচন সেমিগ্রুপ হিসাবে সনাক্তকরণ ছাড়াই, তারা এর সর্বাধিকতা প্রতিষ্ঠা করেছিল। কম্প্রেশন সেমিগ্রুপ হিসাবে সংজ্ঞাটি ব্যবহার করে, সর্বাধিকতা একটি নতুন ভগ্নাংশ রূপান্তর যোগ করার সময় কী ঘটে তা পরীক্ষা করতে হ্রাস পায়। প্রমাণের ধারণাটি দুটি ডিস্কের অবস্থান বিবেচনা করার উপর নির্ভর করে। মূল ক্ষেত্রে, হয় একটি ডিস্কে অন্যটি থাকে অথবা সেগুলি বিচ্ছিন্ন। সহজতম ক্ষেত্রে, এটি একটি স্কেলিং রূপান্তরের বিপরীত বা। উভয় ক্ষেত্রেই এবং 1 এর একটি উন্মুক্ত প্রতিবেশী তৈরি করে এবং তাই সমগ্র এসএল (2, সি) পরে সর্বাধিকতা প্রমাণ করার জন্য আরও একটি সরাসরি উপায় দেয় যা প্রথমে দেখায় যে ডিস্কে ডি পাঠানোর জন্য এস-এ একটি জি রয়েছে, |z।> 1। প্রকৃতপক্ষে যদি ডি-তে একটি ছোট ডিস্ক ডি1 থাকে যাতে এক্সডি1 ডি. সি-তে থাকে। তারপর এইচ-এ কিছু এইচ-এর জন্য, ডি1 = এইচডি। একইভাবে এইচ-এ কিছু y-এর জন্য yxD1 = Dc। সুতরাং g = yxh S-এ থাকে এবং D-কে Dc-তে পাঠায়। এটি অনুসরণ করে যে জি2 একক ডিস্ক ডি-কে স্থির করে তাই এসইউ (1,1)-তে থাকে। সুতরাং g − 1 S-এ অবস্থিত। যদি t H-এ থাকে তবে tgD-তে gD থাকে। সুতরাং t − 1 S-এ অবস্থিত এবং তাই S-এ 1-এর একটি উন্মুক্ত প্রতিবেশী রয়েছে। তাই এস = এসএল (2, সি)। ঠিক একই যুক্তি Rn-এর উপর মোবিয়াস রূপান্তরের জন্য কাজ করে এবং খোলা সেমিগ্রুপটি বদ্ধ একক গোলক। |x।। ≤1-কে খোলা একক গোলক। |x।। <1-এ নিয়ে যায়। ক্লোজার হল সমস্ত মোবিয়াস রূপান্তরের গোষ্ঠীর মধ্যে একটি সর্বাধিক যথাযথ সেমিগ্রুপ। যখন n = 1 হয়, তখন ক্লোজারটি বাস্তব রেখার মোবিয়াস রূপান্তরের সাথে মিলে যায় যা ক্লোজড ব্যবধান [-1,1] কে নিজের মধ্যে নিয়ে যায়। সেমিগ্রুপ এইচ এবং এর ক্লোজারের আরও একটি কাঠামো রয়েছে যা জি থেকে উত্তরাধিকার সূত্রে প্রাপ্ত, যথা জি-এর বিপরীতমুখীকরণ এইচ-এর একটি অ্যান্টিঅটোমর্ফিজম এবং এর ক্লোজার পর্যন্ত প্রসারিত, যা এক্সপ সি এবং এর ক্লোজারের উপাদানগুলিকে স্থির করে। অ্যান্টিঅটোমর্ফিজমের জন্য এসএল (2, সি) এর একটি অ্যান্টিঅটোমর্ফিজম দ্বারা দেওয়া হয় এবং প্রসারিত হয়। একইভাবে অ্যান্টিঅটোমর্ফিজম জি1-কে অপরিবর্তনীয় রেখে যায় এবং এক্সপ সি1-এ উপাদানগুলিকে স্থির করে এবং এর বন্ধ করে দেয়, তাই জি1-এ সেমিগ্রুপের জন্য এটির অনুরূপ বৈশিষ্ট্য রয়েছে। হাইজেনবার্গ এবং ওয়েইলের বিনিময় সম্পর্ক ধরা যাক R-এর উপর শোয়ার্জ ফাংশনের স্থান। এটি হিলবার্ট স্পেস L2 (R)-এ R-এর উপর বর্গ-ইন্টিগ্রেবল ফাংশনের ঘন। কোয়ান্টাম মেকানিক্সের পরিভাষা অনুসরণ করে, "ভরবেগ" অপারেটর P এবং "অবস্থান" অপারেটর Q দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়। দুটি এক পরামিতি একক গোষ্ঠী U (s) এবং V (t)-কে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে এবং L2 (R)-কে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। ফুরিয়ার রূপান্তর ফরিয়ার রূপান্তর দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয় এটি তার প্রাকৃতিক টপোলজির জন্য নিজের মধ্যে একটি অবিচ্ছিন্ন মানচিত্রকে সংজ্ঞায়িত করে। কনট্যুর ইন্টিগ্রেশন দেখায় যে ফাংশনটি তার নিজস্ব ফুরিয়ার রূপান্তর। অন্যদিকে, অংশ দ্বারা সংহত করা বা ইন্টিগ্রালের অধীনে পার্থক্য করা, এটি অনুসরণ করে যে অপারেটরটি কিউ (এবং পি) উভয়ের সাথে যাতায়াত দ্বারা সংজ্ঞায়িত হয়। অন্যদিকে, এবং যেহেতু এর মধ্যে রয়েছে, এটি অনুসরণ করে এবং তাই এটি ফুরিয়ার বিপরীত সূত্রকে বোঝায়ঃ এবং দেখায় যে ফুরিয়ার রূপান্তরটি নিজের উপর একটি সমরূপতা। ফুবিনির উপপাদ্য অনুসারে যখন বিপরীত সূত্রের সাথে মিলিত হয় তখন এটি বোঝায় যে ফুরিয়ার রূপান্তর অভ্যন্তরীণ গুণফলকে সংরক্ষণ করে তাই নিজের উপর একটি আইসোমেট্রি সংজ্ঞায়িত করে। প্ল্যানচেরেলের উপপাদ্য অনুসারে, ঘনত্ব অনুসারে এটি এল2 (আর)-এর উপর একটি একক অপারেটর পর্যন্ত প্রসারিত হয়। স্টোন-ভন নিউম্যান উপপাদ্য ধরুন U (s) এবং V (t) হিলবার্ট স্পেসে একটি পরামিতি একক গোষ্ঠী যা ওয়েইল কমিউটেশন সম্পর্ককে সন্তুষ্ট করে। প্রকৃতপক্ষে, যদি এফডিএস এবং জিডিটি সংক্ষিপ্ত সমর্থনের সাথে সম্ভাব্যতা পরিমাপগুলি সংজ্ঞায়িত করে, তবে পরিমাপের সমর্থন 0-তে হ্রাস পেলে স্মেয়ার অপারেটররা শক্তিশালী অপারেটর টপোলজিতে আইডেন্টিটি অপারেটরকে সন্তুষ্ট করে এবং একত্রিত করে। যেহেতু ইউ (এফ) ভি (জি)-এর রূপ টি (এফ), তাই অ-অবক্ষয় অনুসরণ করে। L2 (R)-এ শ্রোডিঞ্জারের উপস্থাপনা কখন হয়, অপারেটর T (F) দ্বারা দেওয়া হয় এটি এই সূত্র থেকে অনুসরণ করে যে U এবং V যৌথভাবে শ্রোডিঞ্জারের উপস্থাপনায় অপরিবর্তনীয়ভাবে কাজ করে কারণ এটি কার্নেল দ্বারা প্রদত্ত অপারেটরদের জন্য সত্য যা শোয়ার্জ ফাংশন। রৈখিক ক্যানোনিকাল রূপান্তর দ্বারা একটি সুনির্দিষ্ট বিবরণ প্রদান করা হয়। বিপরীতভাবে ওয়েইল বিনিময় সম্পর্কের একটি উপস্থাপনা দেওয়া হলে, এটি কার্নেল অপারেটরদের *-বীজগণিতের একটি অ-অবনমিত উপস্থাপনার জন্ম দেয়। কিন্তু এই ধরনের সমস্ত উপস্থাপনা উপরের মতো প্রতিটি অনুলিপির ক্রিয়া সহ এল2 (আর)-এর অনুলিপিগুলির একটি অর্থোগোনাল সরাসরি যোগফলের উপর রয়েছে। এটি প্রাথমিক সত্যের একটি সরল সাধারণীকরণ যে এন × এন ম্যাট্রিক্সের উপস্থাপনাগুলি সিএন-এর মানক উপস্থাপনার সরাসরি যোগফলের উপর নির্ভর করে। ম্যাট্রিক্স ইউনিট ব্যবহার করে প্রমাণ অসীম মাত্রায় সমানভাবে ভাল কাজ করে। একটি পরামিতি একক গোষ্ঠী U এবং V প্রতিটি উপাদানকে অপরিবর্তনীয় রেখে দেয়, যা শ্রোডিঞ্জারের উপস্থাপনায় আদর্শ ক্রিয়াকে প্ররোচিত করে। বিশেষত এটি স্টোন-ভন নিউম্যান উপপাদ্যকে বোঝায়ঃ শ্রোডিঞ্জার উপস্থাপনা হল হিলবার্ট স্পেসে ওয়েইল কমিউটেশন সম্পর্কের অনন্য অপরিবর্তনীয় উপস্থাপনা। এসএল (2, আর)-এর দোলক উপস্থাপনা প্রদত্ত ইউ এবং ভি ওয়েল বিনিময় সম্পর্ককে সন্তুষ্ট করে, সংজ্ঞায়িত করুন তারপর যাতে ডাব্লু কোসাইকেলের সাথে আর 2-এর একটি প্রজেক্টিভ একক উপস্থাপনাকে সংজ্ঞায়িত করে যেখানে এবং বি হল আর 2-এর উপর সিমপ্লেক্টিক ফর্ম স্টোন-ভন নিউম্যান উপপাদ্য দ্বারা প্রদত্ত, এই কোসাইকেলের সাথে সম্পর্কিত একটি অনন্য অপরিবর্তনীয় উপস্থাপনা রয়েছে। এটি অনুসরণ করে যে যদি g হল R2-এর একটি অটোমরফিজম যা ফর্ম B-কে সংরক্ষণ করে, অর্থাৎ। এসএল (2, আর)-এর একটি উপাদান, তারপর এল2 (আর)-এর উপর একটি একক π (জি) থাকে যা সহপরিবর্তন সম্পর্ককে সন্তুষ্ট করে। শুর-এর লেম্মা দ্বারা একক π (জি) একটি স্কেলার দ্বারা |ζ। = 1 দিয়ে গুণ করা পর্যন্ত অনন্য, যাতে π এসএল (2, আর)-এর একটি প্রক্ষিপ্ত একক উপস্থাপনাকে সংজ্ঞায়িত করে। এটি শুধুমাত্র শ্রোডিঙ্গার উপস্থাপনার অপরিবর্তনীয়তা ব্যবহার করে সরাসরি প্রতিষ্ঠিত করা যেতে পারে। কে এ শোয়ার্জ ফাংশনের অপারেটররা শোয়ার্জ ফাংশনের কার্নেল দ্বারা প্রদত্ত অপারেটরদের সাথে ঠিক মিলে যায় এই সত্যের একটি প্রত্যক্ষ পরিণতি ছিল অপরিবর্তনীয়তা। এগুলি হিলবার্ট-শ্মিট অপারেটরদের জায়গায় ঘন, যা যেহেতু এতে সীমাবদ্ধ র্যাঙ্ক অপারেটর রয়েছে, তাই অপরিবর্তনীয়ভাবে কাজ করে। π-এর অস্তিত্ব শুধুমাত্র শ্রোডিঙ্গার উপস্থাপনার অপরিবর্তনীয়তা ব্যবহার করে প্রমাণ করা যেতে পারে। অপারেটরগুলি একটি চিহ্ন পর্যন্ত অনন্য যাতে এসএল (2, আর) এর প্রজেক্টিভ উপস্থাপনের জন্য 2-চক্রটি ±1 মান নেয়। প্রকৃতপক্ষে গ্রুপ এসএল (2, আর) ফর্মের ম্যাট্রিক্স দ্বারা উত্পন্ন হয় এবং এটি সরাসরি যাচাই করা যেতে পারে যে নিম্নলিখিত অপারেটরগুলি উপরের কোভ্যারিয়েন্স সম্পর্কগুলিকে সন্তুষ্ট করেঃ জেনারেটর জিআই নিম্নলিখিত ব্রুহাত সম্পর্কগুলিকে সন্তুষ্ট করে, যা গ্রুপ এসএল (2, আর) কে অনন্যভাবে নির্দিষ্ট করেঃ এটি সরাসরি গণনা দ্বারা যাচাই করা যেতে পারে যে এই সম্পর্কগুলি সংশ্লিষ্ট অপারেটরদের দ্বারা একটি চিহ্ন পর্যন্ত সন্তুষ্ট হয়, যা প্রতিষ্ঠিত করে যে কোসাইকেলটি মান ±1 নেয়। এসএল (2, আর)-এর দ্বৈত আবরণ হিসাবে মেটাপ্লেক্টিক গ্রুপের একটি স্পষ্ট নির্মাণ ব্যবহার করে আরও একটি ধারণাগত ব্যাখ্যা রয়েছে। এসএল (2, আর) উপরের অর্ধেক সমতল এইচ-এ মোবিয়াস রূপান্তর দ্বারা কাজ করে। উপরন্তু, যদি ফাংশনটি 1-চক্র সম্পর্ককে সন্তুষ্ট করে প্রতিটি জি-এর জন্য, ফাংশন এম (জি, জেড) এইচ-এর উপর অ-বিলুপ্ত হয় এবং তাই এর দুটি সম্ভাব্য হোলোমরফিক বর্গমূল রয়েছে। মেটাপ্লেক্টিক গ্রুপকে গ্রুপ হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় সংজ্ঞা অনুসারে এটি এসএল (2, আর) এর একটি দ্বৈত আবরণ এবং সংযুক্ত। এইভাবে মেটাপ্লেক্টিক গ্রুপের একটি উপাদান g-এর জন্য একটি অনন্যভাবে নির্ধারিত ফাংশন m (g, z) 1/2 রয়েছে যা 1-চক্রের সম্পর্ককে সন্তুষ্ট করে। যদি, তাহলে L2-এ অবস্থিত এবং এটিকে একটি সুসঙ্গত অবস্থা বলা হয়। এই ফাংশনগুলি এসএল (2, আর)-এর একক কক্ষপথে অবস্থিত যা এসএল (2, আর)-এ জি-এর জন্য আরও নির্দিষ্টভাবে যদি জি এমপি (2, আর)-তে থাকে তবে প্রকৃতপক্ষে, যদি এটি জি এবং এইচ-এর জন্য থাকে তবে এটি তাদের গুণফলের জন্যও ধারণ করে। অন্যদিকে, সূত্রটি সহজেই পরীক্ষা করা যায় যে জিটির ফর্ম জিআই রয়েছে এবং এগুলি জেনারেটর। এটি মেটাপ্লেক্টিক গ্রুপের একটি সাধারণ একক প্রতিনিধিত্বকে সংজ্ঞায়িত করে। উপাদান (1,-1) L2 (R)-এর উপর-1 দ্বারা গুণ হিসাবে কাজ করে, যার থেকে এটি অনুসরণ করে যে SL (2, R)-এর কোসাইকেল শুধুমাত্র ±1 মান নেয়। মাসলভ সূচকে যেমন ব্যাখ্যা করা হয়েছে, মেটাপ্লেক্টিক উপস্থাপনার সাথে যুক্ত এসএল (2, আর)-এর 2-চক্র, ±1 মান গ্রহণ করে, মাসলভ সূচক দ্বারা নির্ধারিত হয়। সমতলে তিনটি অ-শূন্য ভেক্টর u, v, w দেওয়া হলে, তাদের মাসলভ সূচককে মাসলভ সূচকের বৈশিষ্ট্য দ্বারা সংজ্ঞায়িত R3-এর উপর দ্বিঘাত রূপের স্বাক্ষর হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়ঃ এটি ভেক্টর দ্বারা বিস্তৃত এক-মাত্রিক উপস্থানের উপর নির্ভর করে এটি SL (2, R)-এর অধীনে অপরিবর্তনীয়, এটি তার আর্গুমেন্টে পরিবর্তিত হয়, অর্থাৎ। এর চিহ্ন পরিবর্তিত হয় যদি দুটি আর্গুমেন্ট বিনিময় করা হয় তবে এটি অদৃশ্য হয়ে যায় যদি দুটি সাবস্পেস মিলে যায় তবে এটি-1,0 এবং + 1 মান নেয়ঃ যদি u এবং v সন্তুষ্ট করে B (u, v) = 1 এবং w = au + bv, তবে মাসলভ সূচকটি শূন্য হয় যদি ab = 0 হয় এবং অন্যথায় বিয়োগের সমান হয়। 2-কোষচক্রের একটি পরিবর্তন মেটাপ্লেক্টিক কোসাইকেলের সাথে সংযুক্ত ±1-এর মান সহ একটি 2-কোষচক্রকে সংজ্ঞায়িত করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। প্রকৃতপক্ষে সমতলে অ-শূন্য ভেক্টর u, v দেওয়া হলে, f (u, v) কে B (u, v) চিহ্নের i গুণ হিসাবে সংজ্ঞায়িত করুন যদি u এবং v λ চিহ্নের আনুপাতিক না হয় যদি u = λv হয়। যদি তাই হয় তবে মেটাপ্লেক্টিক উপস্থাপনায় প্রতিনিধিদের π (g) বেছে নেওয়া যেতে পারে যাতে যেখানে 2-কোসাইকেল ω হলমর্ফিক ফক স্পেস (সেগাল-বার্গম্যান স্পেস নামেও পরিচিত) দিয়ে দেওয়া হয়, সেটিকে সসীম সহ C-এর উপর হলমর্ফিক ফাংশন f (z)-এর ভেক্টর স্পেস হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। এর অভ্যন্তরীণ গুণফল হল অর্থোনরমাল ভিত্তি সহ একটি হিলবার্ট স্থান। উপরন্তু, একটি হোলোমর্ফিক ফাংশনের পাওয়ার সিরিজ সম্প্রসারণ এই ভিত্তির সাপেক্ষে তার সম্প্রসারণ দেয়। এইভাবে সি-তে জেড-এর জন্য যাতে জেড-এ মূল্যায়ন একটি অবিচ্ছিন্ন রৈখিক কার্যকরী দেয়। সি-তে f এবং z-এর জন্য সংজ্ঞায়িত করুন তারপর এটি ওয়েল বিনিময় সম্পর্কের একটি একক উপস্থাপনা দেয়। এখন এটি অনুসরণ করে যে উপস্থাপনাটি অপরিবর্তনীয়। প্রকৃতপক্ষে, সমস্ত Ea-এর অর্থোগোনাল যে কোনও ফাংশনকে অবশ্যই বিলুপ্ত হতে হবে, যাতে তাদের রৈখিক বিস্তার ঘন হয়। যদি P একটি অর্থোগোনাল প্রজেকশন হয় যা W (z) এর সাথে যাতায়াত করে, তাহলে ধরা যাক f = PE0। তারপর এই শর্তকে সন্তুষ্ট করার একমাত্র হলোমর্ফিক ফাংশন হল ধ্রুবক ফাংশন। সুতরাং λ = 0 বা 1 দিয়ে। যেহেতু E0 বৃত্তাকার, তাই এটি অনুসরণ করে যে P = 0 বা I। স্টোন-ভন নিউম্যান উপপাদ্য অনুসারে এল2 (আর) থেকে অনটু পর্যন্ত একটি একক অপারেটর রয়েছে, যা একটি স্কেলার দ্বারা গুণন পর্যন্ত অনন্য, যা ওয়েল বিনিময় সম্পর্কের দুটি উপস্থাপনাকে সংযুক্ত করে। শুর-এর লেম্মা এবং গেলফ্যান্ড-নাইমার্ক গঠন দ্বারা, যে কোনও ভেক্টরের ম্যাট্রিক্স সহগ একটি স্কেলার মাল্টিপল পর্যন্ত ভেক্টর নির্ধারণ করে। যেহেতু F = E0 এবং f = H0-এর ম্যাট্রিক্স সহগগুলি সমান, তাই এটি অনুসরণ করে যে এককত্বটি বৈশিষ্ট্য দ্বারা অনন্যভাবে নির্ধারিত হয় এবং তাই L2 (R)-এ f-এর জন্য যাতে অপারেটরকে সেগাল-বার্গম্যান রূপান্তর বলা হয় এবং B-কে বার্গম্যান কার্নেল বলা হয়। এর সংযোজন সূত্র দ্বারা দেওয়া হয়েছেঃ ফক মডেল হলোমর্ফিক ফক স্পেসে এসইউ (1,1) এর ক্রিয়া এবং দ্বারা বর্ণনা করা হয়েছিল। যদি g = g1g2 হয়, তাহলে |z। <1-এর জন্য (1 + z) 1/2-এর পাওয়ার সিরিজ সম্প্রসারণ ব্যবহার করে এস. ইউ (1,1)-এর মেটাপ্লেক্টিক ডাবল কভারটি স্পষ্টভাবে জোড়া (g, γ) হিসাবে তৈরি করা যেতে পারে। মেটাপ্লেক্টিক উপস্থাপনা হল এই গোষ্ঠীর একটি একক উপস্থাপনা π (g, γ) যা কোভ্যারিয়েন্স সম্পর্ককে সন্তুষ্ট করে যেখানে যেহেতু এটি একটি পুনরুৎপাদনকারী কার্নেল হিলবার্ট স্পেস, তাই এটির যে কোনও আবদ্ধ অপারেটর T তার দুটি আর্গুমেন্টের একটি পাওয়ার সিরিজ দ্বারা প্রদত্ত কার্নেলের সাথে মিলে যায়। প্রকৃতপক্ষে যদি এবং এফ ইন হয়, তবে কার্নেলের সহপরিবর্তন সম্পর্ক এবং বিশ্লেষণাত্মকতা বোঝায় যে এস = π (জি, γ)-এর জন্য, কিছু ধ্রুবক সি-এর জন্য। সরাসরি গণনা দেখায় যে এটি দ্বৈত আবরণের একটি সাধারণ উপস্থাপনার দিকে পরিচালিত করে। সুসংগত অবস্থাগুলিকে আবার মেটাপ্লেক্টিক গ্রুপের অধীনে E0 এর কক্ষপথ হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। ডাব্লু কমপ্লেক্সের জন্য, তারপর সেট করুন যদি এবং শুধুমাত্র যদি |w। <1 হয়। বিশেষ করে F0 = 1 = E0। উপরন্তু, যেখানে একইভাবে zFw ফাংশনগুলি অবস্থিত এবং মেটাপ্লেক্টিক গ্রুপের একটি কক্ষপথ গঠন করেঃ যেহেতু (Fw, E0) = 1, তাই E0 = 1 ফাংশনের ম্যাট্রিক্স সহগ ডিস্ক মডেল দ্বারা দেওয়া হয় L2 (R)-এর উপর SL (2, R)-এর প্রজেক্টিভ উপস্থাপনা বা x বা z-এর জোড় এবং বিজোড় ফাংশনের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ দুটি অপরিবর্তনীয় উপস্থাপনার সরাসরি যোগফল হিসাবে বিভক্ত হলে। ইউনিট ডিস্কে হলমর্ফিক ফাংশনের হিলবার্ট স্পেসে দুটি উপস্থাপনা উপলব্ধি করা যেতে পারে; অথবা, কেলি রূপান্তর ব্যবহার করে, উপরের অর্ধেক সমতলে। জোড় ফাংশনগুলি হলোমর্ফিক ফাংশন F + এর সাথে মিলে যায় যার জন্য সসীম; এবং বিজোড় ফাংশনগুলি হলোমর্ফিক ফাংশন F-এর সাথে মিলে যায় যার জন্য সসীম। এই অভিব্যক্তিগুলির মেরুকৃত রূপগুলি অভ্যন্তরীণ পণ্যগুলিকে সংজ্ঞায়িত করে। মেটাপ্লেক্টিক গ্রুপের ক্রিয়াটি এই উপস্থাপনাগুলির অপরিবর্তনীয়তা দ্বারা দেওয়া হয় যা একটি মানক উপায়ে প্রতিষ্ঠিত হয়। প্রতিটি উপস্থাপনা ঘূর্ণন গোষ্ঠীর এক মাত্রিক আইগেনস্পেসের সরাসরি যোগফল হিসাবে বিভক্ত হয় যার প্রত্যেকটি পুরো গোষ্ঠীর জন্য একটি সি ≤ ভেক্টর দ্বারা উত্পন্ন হয়। এটি অনুসরণ করে যে কোনও বদ্ধ অপরিবর্তনীয় সাবস্পেস এতে থাকা আইগেনস্পেসগুলির বীজগাণিতিক সরাসরি যোগফল দ্বারা উত্পন্ন হয় এবং এই যোগফলটি লাই বীজগণিতের অসীম ক্রিয়ার অধীনে অপরিবর্তনীয়। অন্যদিকে, সেই ক্রিয়াটি অপরিবর্তনীয়। জোড় এবং বিজোড় ফাংশন সহ সমরূপতা গেলফ্যান্ড-নাইমার্ক গঠন ব্যবহার করে প্রমাণ করা যেতে পারে কারণ সংশ্লিষ্ট উপস্থাপনায় 1 এবং z এর সাথে যুক্ত ম্যাট্রিক্স সহগগুলি আনুপাতিক। একক ডিস্কে জোড় এবং বিজোড় অংশ থেকে শুরু করে ফাংশন পর্যন্ত মানচিত্র থেকে শুরু করে আরেকটি পদ্ধতি দেওয়া হয়েছে। এই মানচিত্রগুলি উপরে প্রদত্ত মেটাপ্লেক্টিক গ্রুপের ক্রিয়াগুলিকে সংযুক্ত করে এবং zn কে wn এর গুণিতকতে পাঠায়। ইউ ± একক হওয়া উচিত বলে নির্ধারণ করা ডিস্কের ফাংশনের অভ্যন্তরীণ পণ্যগুলি নির্ধারণ করে, যা উপরের আকারে প্রকাশ করা যেতে পারে। যদিও এই উপস্থাপনাগুলিতে অপারেটর এল0-এর ধনাত্মক বর্ণালী রয়েছে-যে বৈশিষ্ট্যটি এসইউ (1,1)-এর হোলোমর্ফিক বিচ্ছিন্ন সিরিজের উপস্থাপনাগুলিকে পৃথক করে-উপস্থাপনাগুলি মেটাপ্লেক্টিক গ্রুপের বিচ্ছিন্ন সিরিজে থাকে না। প্রকৃতপক্ষে, উল্লেখ করা হয়েছে যে ম্যাট্রিক্স সহগগুলি বর্গ ইন্টিগ্রেবল নয়, যদিও তাদের তৃতীয় শক্তি হল। হারমোনিক অসিলেটর এবং হার্মাইট ফাংশন এল2 (আর)-এর নিম্নলিখিত সাবস্পেস বিবেচনা করুনঃ এক্স-এর উপর কাজ করা অপারেটরদের অ্যানহিলেশন অপারেটর এবং ওয়াই-কে ক্রিয়েশন অপারেটর বলা হয়। এগুলি ফাংশনগুলিকে সন্তুষ্ট করে আমরা দাবি করি যে এগুলি সুরেলা দোলকের আইগেন ফাংশন, ডি। এটি প্রমাণ করার জন্য আমরা উপরের বিনিময় সম্পর্কগুলি ব্যবহার করিঃ এরপরে আমাদের রয়েছেঃ এটি এন = 0 এবং উৎপাদনের উপরের বিনিময় সম্পর্কের জন্য পরিচিত। এইভাবে অপারেটর পি, কিউ বা সমতুল্য এ, এ * একটি স্ট্যান্ডার্ড আর্গুমেন্ট দ্বারা অপরিবর্তনীয়ভাবে কাজ করে। প্রকৃতপক্ষে, একক আইসোমরফিজমের অধীনে হোলোমরফিক ফক স্পেসের সাথে সি [জেড] দিয়ে চিহ্নিত করা যেতে পারে, জেড-এ বহুপদগুলির স্থান, যদি এ এবং এ * এর অধীনে একটি সাবস্পেস অপরিবর্তনীয় একটি অ-শূন্য বহুপদী পি (জেড) ধারণ করে, তবে, এ * এর একটি শক্তি প্রয়োগ করে, এতে একটি অ-শূন্য ধ্রুবক থাকে; প্রয়োগ করলে এ-এর একটি শক্তি প্রয়োগ করে, এতে সমস্ত zn থাকে। আইসোমরফিজমের অধীনে Fn কে zn-এর গুণিতকতে পাঠানো হয় এবং অপারেটর D কে লেট দ্বারা দেওয়া হয় যাতে পদার্থবিজ্ঞান A-এর পরিভাষায়, A * একটি একক বোসন দেয় এবং L0 হল শক্তি অপারেটর। এটি 1/2,1,3/2, আইগেনভ্যালু সহ তির্যকযোগ্য, যার প্রত্যেকটির গুণিতক এক। এই ধরনের উপস্থাপনাকে ইতিবাচক শক্তির উপস্থাপনা বলা হয়। উপরন্তু, যাতে L0 সহ লাই বন্ধনীটি A, A * এবং I দ্বারা বিস্তৃত লাই বীজগণিতের একটি ব্যুৎপত্তি সংজ্ঞায়িত করে। স্টোন-ভন নিউম্যান উপপাদ্যের অসীম সংস্করণে বলা হয়েছে যে, C [z]-এর উপরের উপস্থাপনাটি হল L0 = A * A + 1/2 সহ এই লাই বীজগণিতের অনন্য অপরিবর্তনীয় ধনাত্মক শক্তির উপস্থাপনা। কারণ A শক্তি হ্রাস করে এবং A * শক্তি বৃদ্ধি করে। সুতরাং যে কোনও সর্বনিম্ন শক্তি ভেক্টর v কে A দ্বারা ধ্বংস করা হয় এবং v-এর উপর প্রয়োগ করা A *-এর শক্তি দ্বারা মডিউলটি শেষ হয়ে যায়। এইভাবে এটি C [z]-এর একটি অ-শূন্য ভাগফল এবং তাই এর সাথে অপরিবর্তনীয়তার দ্বারা চিহ্নিত করা যেতে পারে। ধরা যাক যাতে এই অপারেটরগুলি সন্তুষ্ট করেঃ এবং A, A * এবং I দ্বারা বিস্তৃত লাই বীজগণিতে ব্যুৎপত্তি দ্বারা কাজ করে। এগুলি এস. ইউ (1,1)-এর মেটাপ্লেক্টিক উপস্থাপনার সাথে সম্পর্কিত অসীম অপারেটর। ফাংশনগুলি এফএন দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয় এটি অনুসরণ করে যে হারমাইট ফাংশনগুলি হল গ্রাম-শ্মিট অর্থোনরমালাইজেশন প্রক্রিয়া প্রয়োগ করে প্রাপ্ত অর্থোনরমাল ভিত্তি xn exp-x2/2 এর ভিত্তিতে। হার্মাইট ফাংশনের সম্পূর্ণতা এই সত্য থেকে আসে যে বার্গম্যান রূপান্তরটি এককেন্দ্রিক এবং হোলমর্ফিক ফক স্পেসের অর্থোনর্মাল ভিত্তি এন (জেড) কে এইচএন (এক্স)-এর উপর বহন করে। হারমোনিক দোলকের জন্য তাপ অপারেটর হল L2 (R)-এর অপারেটর যাকে তির্যক অপারেটর হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে এটি মেহলারের সূত্র দ্বারা প্রদত্ত তাপ কার্নেলের সাথে মিলে যায়ঃ এটি সূত্র থেকে অনুসরণ করা হয় এই সূত্রটি প্রমাণ করার জন্য নোট করুন যে যদি s = σ2 হয়, তবে টেলরের সূত্র দ্বারা এইভাবে Fσ, x হলমর্ফিক ফক স্পেসে অবস্থিত এবং একটি অভ্যন্তরীণ গুণফল যা সরাসরি গণনা করা যেতে পারে। মেহলারের সূত্রটি সরাসরি স্থাপন করে এবং একটি ধ্রুপদী যুক্তি ব্যবহার করে প্রমাণ করে যে এল 2 (আর)-এ টি 0-তে হ্রাস পাওয়ার সাথে সাথে এফ-এর প্রবণতা থাকে। এটি হারমাইট ফাংশনের সম্পূর্ণতা দেখায় এবং ফুরিয়ার রূপান্তরের বৈশিষ্ট্যগুলি বের করতেও ব্যবহার করা যেতে পারে। হারমাইট ফাংশনের সম্পূর্ণতা প্রমাণ করার জন্য অন্যান্য প্রাথমিক পদ্ধতি রয়েছে, উদাহরণস্বরূপ ফুরিয়ার সিরিজ ব্যবহার করা। সোবোলেভ স্পেস এইচএস, যাকে কখনও কখনও হারমাইট-সোবোলেভ স্পেস বলা হয়, হারমাইট ফাংশনে যেখানে এফ-এর সম্প্রসারণ হয় সেই নিয়মের সাপেক্ষে এর সমাপ্তি হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। সুতরাং সোবোলেভ স্থানগুলি হল হিলবার্ট স্থান। উপরন্তু, কিছু ধনাত্মক ধ্রুবক সি-এর জন্য, এস-0-এর জন্য, জুটির অধীনে এইচএস এবং এইচ-এস দ্বৈততায় রয়েছে। প্রকৃতপক্ষে, এই ধরনের বৈষম্য হার্মাইট ফাংশন এইচএন-এর উপর কাজ করা সৃষ্টি এবং ধ্বংসকারী অপারেটরদের জন্য পরীক্ষা করা যেতে পারে এবং এটি সাধারণ বৈষম্যকে বোঝায়। এটি দ্বৈততা দ্বারা স্বেচ্ছাচারী s-এর জন্য অনুসরণ করে। ফলস্বরূপ, P এবং Q-তে একটি দ্বিঘাত বহুপদী R-এর জন্য সোবোলেভ অসমতা Hs-এ f-এর জন্য s> 1/2 সহ ধারণ করেঃ যে কোনও k ≤ 0-এর জন্য। প্রকৃতপক্ষে, সাধারণ k-এর ফলাফল qkf-এর ক্ষেত্রে প্রয়োগ করা k = 0 থেকে অনুসরণ করা হয়। k = 0-এর জন্য ফুরিয়ার বিপরীত সূত্রটি বোঝায় যদি s <t, D-এর তির্যক রূপটি দেখায় যে Hs-এ Ht-এর অন্তর্ভুক্তি সংক্ষিপ্ত (রেলিচের লেম্মা)। এটি সোবোলেভের অসমতা থেকে অনুসরণ করে যে স্পেসের ছেদ এইচএস। ফাংশনগুলি তাদের হারমাইট সহগগুলির দ্রুত ক্ষয় দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। স্ট্যান্ডার্ড আর্গুমেন্টগুলি দেখায় যে প্রতিটি সোবোলেভ স্থান অপারেটর ডাব্লু (জেড) এবং মেটাপ্লেক্টিক গ্রুপের অধীনে অপরিবর্তনীয়। প্রকৃতপক্ষে, যখন g পরিচয়ের যথেষ্ট কাছাকাছি থাকে তখন ইনভেরিয়েন্স পরীক্ষা করা যথেষ্ট। সেই ক্ষেত্রে D + A থেকে একটি সমরূপতা এটি অনুসরণ করে যে যদি তাহলে যেখানে ডেরিভেটিভগুলি থাকে একইভাবে U (s) V (t) f এর মোট ডিগ্রি k এর আংশিক ডেরিভেটিভগুলি s-k/2 ক্রমের সোবোলেভ স্পেসে থাকে। ফলস্বরূপ, f-এর ক্ষেত্রে প্রয়োগ করা 2k ক্রমের P এবং Q-এর একটি একবৃত্ত Hs-k-তে থাকে এবং 0-এ মূল্যায়ন করা ≤ 2k মাত্রার U (s) V (t) f-এর আংশিক অন্তরজগুলির রৈখিক সংমিশ্রণ হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে। মসৃণ ভেক্টর ওয়েইল কমিউটেশন সম্পর্কের মসৃণ ভেক্টরগুলি হল L2 (R)-এ থাকা u, যাতে মানচিত্রটি মসৃণ হয়। অভিন্ন সীমানা উপপাদ্য অনুসারে, এটি প্রতিটি ম্যাট্রিক্স সহগ (W (z) u, v) মসৃণ হওয়ার প্রয়োজনীয়তার সমতুল্য। একটি ভেক্টর মসৃণ হয় যদি এবং শুধুমাত্র এটি ভিতরে থাকে। পর্যাপ্ততা স্পষ্ট। প্রয়োজনীয়তার জন্য, মসৃণতা বোঝায় যে W (z) u এর আংশিক ব্যুৎপত্তিগুলি L2 (R)-এ থাকে এবং তাই সমস্ত ধনাত্মক k-এর জন্যও Dku। এটি অনুসরণ করে যে মসৃণ ভেক্টরগুলিও মেটাপ্লেক্টিক গ্রুপের জন্য মসৃণ। উপরন্তু, একটি ভেক্টর যদি এবং শুধুমাত্র তখনই থাকে যদি এটি এস. ইউ (1,1) এর ঘূর্ণন উপগোষ্ঠীর জন্য একটি মসৃণ ভেক্টর হয়। বিশ্লেষণাত্মক ভেক্টর যদি Π (t) একটি একক গ্রুপ হয় এবং f-এর জন্য Π (f) ω ভেক্টরগুলি Π-এর জন্য মসৃণ ভেক্টরের একটি ঘন সেট গঠন করে। প্রকৃতপক্ষে ভেক্টরগুলি গ্রহণ করলে v = Π (fε) ω কে ω তে রূপান্তরিত করা হয় কারণ ε কমে 0 হয় এবং এটি t এর একটি বিশ্লেষণাত্মক ফাংশন যা C এর উপর একটি সম্পূর্ণ ফাংশন পর্যন্ত প্রসারিত হয়। ভেক্টরটিকে Π এর জন্য একটি সম্পূর্ণ ভেক্টর বলা হয়। হারমোনিক দোলকের সাথে যুক্ত তরঙ্গ অপারেটর দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয় অপারেটরটি আইগেন ফাংশন হিসাবে হার্মাইট ফাংশন এইচএন-এর সাথে তির্যকঃ যেহেতু এটি ডি-এর সাথে যাতায়াত করে, তাই এটি সোবোলেভ স্থানগুলি সংরক্ষণ করে। উপরে নির্মিত বিশ্লেষণাত্মক ভেক্টরগুলিকে হার্মাইট সেমিগ্রুপের পরিপ্রেক্ষিতে পুনর্লিখন করা যেতে পারে। এই ধরনের যে কোনও ভেক্টর হল U (s) V (t)-এর জন্য একটি সম্পূর্ণ ভেক্টর, অর্থাৎ R2-এ সংজ্ঞায়িত মানচিত্রটি C2-এর একটি বিশ্লেষণাত্মক মানচিত্রে প্রসারিত। সুতরাং এগুলি ইউ (এস) ভি (টি)-এর জন্য পুরো ভেক্টরের একটি ঘন সেট গঠন করে; এটি সরাসরি মেহলারের সূত্র ব্যবহার করে পরীক্ষা করা যেতে পারে। U (s) V (t)-এর জন্য মসৃণ এবং সম্পূর্ণ ভেক্টরের স্থানগুলি সংজ্ঞা অনুসারে মেটাপ্লেক্টিক গ্রুপের পাশাপাশি হার্মাইট সেমিগ্রুপের ক্রিয়ার অধীনে অপরিবর্তনীয়। R2 থেকে C2 পর্যন্ত অপারেটর W (x, y)-এর বিশ্লেষণাত্মক ধারাবাহিকতা হতে দিন যাতে W পুরো ভেক্টরের স্থান অপরিবর্তনীয় রেখে দেয় এবং সন্তুষ্ট করে। আনুষ্ঠানিকভাবে অসসিলেটর সেমিগ্রুপ ওলশানস্কি সেমিগ্রুপ এইচ-এর একটি প্রাকৃতিক দ্বৈত আবরণ রয়েছে এবং এর বন্ধ হওয়া মেটাপ্লেক্টিক গ্রুপের সাথে সম্পর্কিত এসইউ (1,1)-এর দ্বৈত আবরণ প্রসারিত করে। এটি জোড়া (g, γ) দ্বারা দেওয়া হয় যেখানে g হল H বা তার বন্ধের একটি উপাদান এবং γ হল a এর একটি বর্গমূল। এই ধরনের পছন্দ |z। <1-এর জন্য একটি অনন্য শাখা নির্ধারণ করে। এসএল (2, আর)-এ জি-এর জন্য একক অপারেটর π (জি) সি2-এ ইউ-কে সন্তুষ্ট করে। জটিলকরণ এসএল (2, সি)-এর একটি উপাদান জি-কে বাস্তবায়নযোগ্য বলা হয় যদি একটি সীমাবদ্ধ অপারেটর টি থাকে যাতে এটি এবং এর সংলগ্ন অংশ ডাব্লু অপরিবর্তনীয়তার জন্য পুরো ভেক্টরের স্থান ছেড়ে দেয়, উভয়ই ঘন চিত্র থাকে এবং সি 2-এ ইউ-এর জন্য সহপরিবর্তন সম্পর্ককে সন্তুষ্ট করে। বাস্তবায়নকারী অপারেটর টি একটি অ-শূন্য স্কেলার দ্বারা গুণন পর্যন্ত অনন্যভাবে নির্ধারিত হয়। বাস্তবায়নযোগ্য উপাদানগুলি একটি সেমিগ্রুপ গঠন করে, যার মধ্যে এসএল (2, আর) থাকে। যেহেতু উপস্থাপনাটির ধনাত্মক শক্তি রয়েছে, তাই t> 0-এর জন্য আবদ্ধ কম্প্যাক্ট স্ব-সংযুক্ত অপারেটরগুলি এক্সপো C1-এ গ্রুপ উপাদানগুলি প্রয়োগ করে। এর ফলে ওলশানস্কি সেমিগ্রুপের সমস্ত উপাদান এবং এর সমাপ্তি বাস্তবায়িত হয়। ওলশাঙ্কি সেমিগ্রুপের সর্বাধিকতা বোঝায় যে এসএল (2, সি)-এর অন্য কোনও উপাদান প্রয়োগ করা হয় না। প্রকৃতপক্ষে, অন্যথায় এসএল (2, সি)-এর প্রতিটি উপাদান একটি আবদ্ধ অপারেটর দ্বারা প্রয়োগ করা হবে, যা টি> 0-এর জন্য অপারেটর এস0 (টি)-এর অ-পরিবর্তনশীলতার বিরোধিতা করবে। শ্রোডিঞ্জারের উপস্থাপনায় t> 0-এর জন্য অপারেটর S0 (t) মেহলারের সূত্র দ্বারা দেওয়া হয়। তারা সংকোচন অপারেটর, ইতিবাচক এবং প্রতিটি স্ক্যাটেন শ্রেণীতে। উপরন্তু, তারা সোবোলেভের প্রতিটি স্থান অপরিবর্তনীয় রেখে যায়। বিশ্লেষণাত্মক ধারাবাহিকতার ক্ষেত্রেও একই সূত্র প্রযোজ্য। এটি সরাসরি ফক মডেলে দেখা যায় যে বাস্তবায়নকারী অপারেটরদের বেছে নেওয়া যেতে পারে যাতে তারা উপরে নির্মিত এইচ-এর দ্বৈত আবরণের একটি সাধারণ উপস্থাপনাকে সংজ্ঞায়িত করে। সংকোচন অপারেটরদের সংশ্লিষ্ট সেমিগ্রুপকে অসিলেটর সেমিগ্রুপ বলা হয়। বর্ধিত দোলক সেমিগ্রুপ অপারেটর ডাব্লু (ইউ) এর সাথে সেমিডাইরেক্ট পণ্য গ্রহণ করে প্রাপ্ত হয়। এই অপারেটরগুলি প্রতিটি স্ক্যাটেন শ্রেণীতে থাকে এবং ডাব্লু-এর জন্য সোবোলেভ স্পেস এবং সমগ্র ভেক্টরের স্থান অপরিবর্তনীয় রাখে। অপঘটন অপারেটর স্তরে আবদ্ধ অপারেটরগুলির মেরু পচনের সাথে মিলে যায়। অধিকন্তু, যেহেতু এইচ-এর যে কোনও ম্যাট্রিক্স এইচ বা এইচ-1-এর উপাদান দ্বারা একটি তির্যক ম্যাট্রিক্সের সাথে সংযুক্ত থাকে, তাই দোলক সেমিগ্রুপের প্রতিটি অপারেটর একটি অপারেটর এস0 (টি)-এর সমতুল্য। বিশেষত এটির একই বর্ণালী রয়েছে যা সাধারণ আইগেনভ্যালু নিয়ে গঠিত। ফক মডেলে, যদি ওলশাঙ্কি সেমিগ্রুপ এইচ-এর উপাদান জি ম্যাট্রিক্সের সাথে মিলে যায় তবে সংশ্লিষ্ট অপারেটরটি যেখানে দেওয়া হয় এবং γ হল a-এর বর্গমূল। সেমিগ্রুপ H-এ g-এর জন্য অপারেটর π (g, γ) হল হিলবার্ট-শ্মিট অপারেটর এবং জটিল প্রতিসম ম্যাট্রিক্সের অপারেটরের মান কঠোরভাবে একের চেয়ে কম এমন ফর্মের কার্নেলের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ। বর্ধিত দোলক সেমিগ্রুপের অপারেটরদের অনুরূপ অভিব্যক্তি দ্বারা দেওয়া হয় যার সাথে z এবং w-এ অতিরিক্ত রৈখিক পদগুলি সূচকীয় রূপে উপস্থিত হয়। মেটাপ্লেক্টিক উপস্থাপনার দুটি অপরিবর্তনীয় উপাদানের জন্য ডিস্ক মডেলে, সংশ্লিষ্ট অপারেটরগুলি দ্বারা দেওয়া হয় শ্রোডিঞ্জার উপস্থাপনায় এইচ-এ জি-এর সাথে সম্পর্কিত সংকোচন অপারেটরদের জন্য একটি স্পষ্ট সূত্র দেওয়াও সম্ভব, এই সূত্রের মাধ্যমেই অসিলেটর সেমিগ্রুপকে এল 2 (আর)-এ অপারেটরদের একটি স্পষ্ট পরিবার হিসাবে প্রবর্তন করা হয়েছিল। প্রকৃতপক্ষে ইতিবাচক নির্দিষ্ট বাস্তব অংশ সহ প্রতিসম জটিল 2x2 ম্যাট্রিক্স সমন্বিত সিগেলের উপরের অর্ধ সমতলটি বিবেচনা করুনঃ এবং L2 (R)-এ f-এর জন্য সংশ্লিষ্ট অপারেটরের সাথে কার্নেলকে সংজ্ঞায়িত করুন। তারপর সরাসরি গণনা দেয় যেখানে অধিকন্তু, যেখানে দ্য অসিলেটর সেমিগ্রুপের সাথে মেহলারের সূত্র দ্বারা শুধুমাত্র বি ষ্ণুত 0 সহ ম্যাট্রিক্স গ্রহণ করে প্রাপ্ত হয়। উপরের থেকে, এই শর্তটি রচনার অধীনে বন্ধ করা হয়। একটি স্বাভাবিক অপারেটর দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে একটি বর্গমূলের পছন্দ একটি দ্বৈত আবরণ নির্ধারণ করে। এই ক্ষেত্রে এসজেড ওলশানকি সেমিগ্রুপ এইচ-এর উপাদানের সাথে মিলে যায়। উপরন্তু, এসজেড একটি কঠোর সংকোচনঃ এটি ওয়েইল ক্যালকুলাসকেও অনুসরণ করে একটি ফাংশনের জন্য a (x, y) R2 = C-তে, ধরা যাক। সংশ্লিষ্ট অপারেটর টি-এর কার্নেল রয়েছে যা শোয়ার্জ ফাংশন। তারা প্রতিটি সোবোলেভ স্থান শোয়ার্জ ফাংশনে বহন করে। উপরন্তু, এই বৈশিষ্ট্যযুক্ত L2 (R)-এর প্রতিটি আবদ্ধ অপারেটরের এই ফর্ম রয়েছে। অপারেটরদের জন্য si (a) মোয়াল পণ্যটি ওয়েইল প্রতীকী ক্যালকুলাসে অনুবাদ করে। প্রকৃতপক্ষে, যদি a এবং b-এর ফুরিয়ার রূপান্তরগুলির কম্প্যাক্ট সাপোর্ট থাকে যেখানে এটি অনুসরণ করে কারণ এই ক্ষেত্রে b-কে অবশ্যই পালে-উইনার উপপাদ্য দ্বারা C2-এর উপর একটি সম্পূর্ণ ফাংশন পর্যন্ত প্রসারিত করতে হবে। এই ক্যালকুলাসকে একটি বিস্তৃত শ্রেণীর প্রতীকে প্রসারিত করা যেতে পারে, তবে সহজতমটি একটি শ্রেণীর ফাংশন বা ডিস্ট্রিবিউশন দ্বারা কনভোলিউশনের সাথে মিলে যায় যার সবকটিরই টি + এস ফর্ম রয়েছে যেখানে টি হল 0-এ ঘনীভূত একক সমর্থন সহ কম্প্যাক্টের একটি ডিস্ট্রিবিউশন এবং যেখানে এস একটি শোয়ার্জ ফাংশন। এই শ্রেণীতে অপারেটর পি, কিউ পাশাপাশি ডি1/2 এবং ডি − 1/2 রয়েছে যেখানে ডি হল সুরেলা দোলক। mth অর্ডার চিহ্নগুলি এসএম মসৃণ ফাংশন দ্বারা দেওয়া হয় যা সমস্ত α-এর জন্য সন্তোষজনক এবং এই ধরনের a-এর জন্য সমস্ত অপারেটর si (a) নিয়ে গঠিত। যদি a এস. এম-এ থাকে এবং χ 0-এর কাছাকাছি 1-এর সমান কম্প্যাক্ট সাপোর্টের একটি মসৃণ ফাংশন হয়, তবে উপরের মতো টি এবং এস সহ। এই অপারেটররা শোয়ার্টজ ফাংশনগুলি সংরক্ষণ করে এবং সন্তুষ্ট করে; অপারেটর পি এবং কিউ χ1-এ এবং ডি χ2-এ থাকে। বৈশিষ্ট্যঃ একটি শূন্য ক্রম প্রতীক L2 (R)-এ একটি আবদ্ধ অপারেটরকে সংজ্ঞায়িত করে। যদি R = R * মসৃণ হয়, তাহলে D + R-এর (D + R) fn = λnfn সহ আইগেনভেক্টরের একটি সম্পূর্ণ সেট থাকে এবং λn-এর প্রবণতা n-এর প্রবণতা হিসাবে ≈ হয়। যেহেতু D−1/2 = D1/2 · D−1-1 কম্প্যাক্ট অপারেটর নিয়ে গঠিত, তাই s> 1-এর জন্য ট্রেস-ক্লাস অপারেটর নিয়ে গঠিত এবং েডআইকে এইচএম-কে-তে বহন করে। এর সীমাবদ্ধতার প্রমাণ বিশেষভাবে সহজঃ যদি হয় তবে যেখানে বন্ধনীযুক্ত অপারেটরের মান এর চেয়ে কম থাকে। সুতরাং যদি F |z। ≤ R-এ সমর্থিত হয়, তবে D−1-এর বৈশিষ্ট্যটি নিয়ে প্রমাণিত হয়। সুতরাং এটি েড.-1টি মসৃণ হওয়ার কারণে েড.-2-এ অবস্থিত। ডি1/2-এর বৈশিষ্ট্যটি একইভাবে বাস্তব প্রতীক সহ েড1/2-এ বি তৈরি করে প্রতিষ্ঠিত হয় যাতে ডি-বি4 একটি মসৃণ অপারেটর হয়। হোলোমরফিক কার্যকরী ক্যালকুলাস ব্যবহার করে এটি পরীক্ষা করা যেতে পারে যে D1/2-B2 একটি মসৃণ অপারেটর। উপরের সীমাবদ্ধতার ফলাফলটি ছদ্মবেশী অপারেটরদের জন্য আলবার্তো ক্যালডেরন এবং রেমি ভাইলানকোর্টের আরও সাধারণ বৈষম্য প্রতিষ্ঠার জন্য ব্যবহার করা হয়েছিল। একটি বিকল্প প্রমাণ যা ফুরিয়ার ইন্টিগ্রাল অপারেটরদের ক্ষেত্রে আরও সাধারণভাবে প্রযোজ্য। তিনি দেখিয়েছেন যে এই ধরনের অপারেটরগুলিকে দোলক সেমিগ্রুপের উপর ইন্টিগ্রাল হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে এবং তারপর কোটলার-স্টেইন লেম্মা ব্যবহার করে অনুমান করা যেতে পারে। সীমাবদ্ধ আবেলিয়ান গোষ্ঠীগুলির জন্য প্রয়োগ এবং সাধারণীকরণ তত্ত্ব উল্লেখ করেছে যে স্টোন-ভন নিউম্যান উপপাদ্যের আনুষ্ঠানিকতা এবং সিমপ্লেক্টিক গোষ্ঠীর দোলক উপস্থাপনা বাস্তব সংখ্যা আর থেকে স্থানীয়ভাবে যে কোনও কম্প্যাক্ট আবেলিয়ান গোষ্ঠীতে প্রসারিত। একটি বিশেষ সহজ উদাহরণ সসীম আবেলিয়ান গোষ্ঠী দ্বারা সরবরাহ করা হয়, যেখানে প্রমাণগুলি হয় প্রাথমিক বা আর-এর প্রমাণগুলির সরলীকরণ। ধরা যাক এ একটি সসীম আবেলিয়ান গোষ্ঠী, যোগাত্মকভাবে লেখা, এবং টি-তে মান সহ এ-এর উপর কিউ একটি অ-অবক্ষয়কারী দ্বিঘাত রূপ। সুতরাং এ-এর উপর একটি প্রতিসম দ্বিমাত্রিক রূপ যা অবক্ষয়হীন, তাই এ এবং এর দ্বৈত গোষ্ঠী এ * = হোম (এ, টি)-এর মধ্যে একটি সনাক্তকরণের অনুমতি দেয়। অভ্যন্তরীণ গুণফল সহ এ-তে জটিল-মূল্যবান ফাংশনের স্থান ধরা যাক। এ-তে x, y-এর জন্য ভি-তে অপারেটরদের সংজ্ঞায়িত করুন। তারপর U (x) এবং V (y) হল A ও V-এর এককেন্দ্রিক উপস্থাপনা যা বিনিময় সম্পর্ককে সন্তুষ্ট করে এই ক্রিয়াটি অপরিবর্তনীয় এবং এই ধরনের সম্পর্কের অনন্য অপরিবর্তনীয় উপস্থাপনা। ধরা যাক G = A × A এবং Z = (x, y)-এর জন্য G সেটে তারপর যেখানে G-এর উপর একটি অ-অবক্ষয়শীল পর্যায়ক্রমিক দ্বিমাত্রিক রূপ। উপরের স্বতন্ত্রতা ফলাফলটি বোঝায় যে যদি W (z) এককগুলির আরেকটি পরিবার হয় যা G-এর একটি প্রজেক্টিভ উপস্থাপনা দেয় যাতে একটি একক U থাকে, যা একটি পর্যায় পর্যন্ত অনন্য, যেমন T-তে কিছু λ (z)-এর জন্য। বিশেষত যদি g হল G-এর একটি অটোমরফিজম যা B-কে সংরক্ষণ করে, তবে মূলত একটি অনন্য একক π (g) থাকে যাতে এই ধরনের সমস্ত অটোমরফিজমের গ্রুপকে B-এর জন্য সিমপ্লেক্টিক গ্রুপ বলা হয় এবং π V-এর উপর G-এর একটি প্রজেক্টিভ উপস্থাপনা দেয়। এটি ম্যাট্রিক্স দ্বারা উৎপন্ন হয় যদি Z =-I হয়, তবে Z হল কেন্দ্রীয় এবং G-এর এই স্বয়ংক্রিয়তাগুলি নিম্নলিখিত অপারেটরদের দ্বারা V-তে প্রয়োগ করা হয়ঃ এটি অনুসরণ করে যে যেখানে μ টি-তে অবস্থিত। সরাসরি গণনা দেখায় যে থিটা ফাংশনের জন্য গাউস সমষ্টি রূপান্তর আইন দ্বারা μ দেওয়া হয় মেটাপ্লেক্টিক গ্রুপটিকে গ্রুপ হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছিল সুসঙ্গত অবস্থা H গুণিত L2 (R) সন্তোষজনক একটি হোলোমরফিক মানচিত্রকে সংজ্ঞায়িত করে এটি আসলে প্রতিটি সোবোলেভ স্পেস Hk-এর মধ্যে একটি হোলোমরফিক মানচিত্র এবং তাই। অন্যদিকে, (প্রকৃতপক্ষে এইচ-1-এ) এসএল (2, জেড)-এর অধীনে অপরিবর্তনীয় বিতরণের একটি সীমাবদ্ধ-মাত্রিক স্থান রয়েছে এবং যেখানে এ = জেড/এনজেড-এ এন-মাত্রিক দোলকের প্রতিনিধিত্বের সমরূপ। প্রকৃতপক্ষে ধরা যাক m> 0 এবং সেট করুন N = 2m। ধরা যাক অপারেটর U (x), V (y) M-এ x এবং y সহ সমস্ত যাতায়াত করে এবং M1-এ b-এর সাথে বিতরণ দ্বারা গঠিত স্থির ভেক্টরগুলির একটি সীমাবদ্ধ-মাত্রিক সাবস্পেস থাকে, যেখানে ম্বা সংজ্ঞায়িত যোগফলটি একত্রিত হয় এবং শুধুমাত্র M1/M-এ b-এর শ্রেণীর উপর নির্ভর করে। অন্যদিকে, অপারেটর ইউ (এক্স) এবং ভি (ওয়াই) এম1-এ এক্স, ওয়াই সহ এম-এর জন্য সমস্ত সংশ্লিষ্ট অপারেটরের সাথে যাতায়াত করে। সুতরাং A = M1 গ্রুপটি V0-এর উপর কাজ করে। যেহেতু অপারেটর π (R) এবং π (S) অপারেটর U এবং V-এর দুটি সেটকে M এবং M1-এর সাথে সামঞ্জস্য রেখে স্বাভাবিক করে, তাই তারা V0-কে অপরিবর্তনীয় রাখে এবং V0-এর উপর অবশ্যই A-এর দোলক উপস্থাপনার সাথে যুক্ত অপারেটরগুলির ধ্রুবক গুণিতক থাকতে হবে। প্রকৃতপক্ষে এগুলো মিলে যায়। আর থেকে এটি সংজ্ঞা থেকে তাৎক্ষণিক, যা দেখায় যে এস-এর জন্য এটি পয়সন সমষ্টি সূত্র এবং অপারেটর ইউ) এক্স) এবং ভি (ওয়াই)-এর সাথে বিনিময় বৈশিষ্ট্যগুলি অনুসরণ করে। পয়সন যোগফলটি নিম্নরূপ ধ্রুপদীভাবে প্রমাণিত হয়েছে। a> 0 এবং f এর জন্য ধরা যাক F হল R-এর একটি মসৃণ ফাংশন যার পিরিয়ড a: ফুরিয়ার সিরিজের তত্ত্বটি দেখায় যে সম্পূর্ণরূপে অভিসারী এবং ফুরিয়ার সহগের যোগফলের সাথে তাই সাধারণ পয়সন যোগফল সূত্র। এই সূত্রটি দেখায় যে এস নিম্নরূপ কাজ করে এবং তাই এ-তে দোলক উপস্থাপনের সূত্রের সাথে ঠিক একমত হয়। একটি পূর্ণসংখ্যা এন মডুলো 2 এম-এর সাথে নির্ধারিত Z/2mZ-এর সাথে A-কে চিহ্নিত করে, থিটা ফাংশনগুলিকে সরাসরি ম্যাট্রিক্স সহগ হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারেঃ এইচ-এ τ এবং সি সেটে z-এর জন্য যাতে |q। <1 হয়। জ্যাকোবি-রিম্যান থিটা ফাংশনের জন্য আদর্শ ধ্রুপদী সূত্রের সঙ্গে থিটা ফাংশনগুলি একমত হয়ঃ সংজ্ঞা অনুসারে তারা H × C-এর উপর হোলোমরফিক ফাংশনগুলিকে সংজ্ঞায়িত করে। fτ ফাংশনের কোভ্যারিয়েন্স বৈশিষ্ট্য এবং বন্টন অবিলম্বে নিম্নলিখিত রূপান্তর নিয়মে নিয়ে যায়ঃ দ্বিঘাত পারস্পরিকতার সূত্র থেকে উদ্ভূত কারণ L2 (R)-এর অপারেটর π (S), π (R) এবং π (J) m-এর যে কোনও পছন্দের জন্য V0-এর সংশ্লিষ্ট অপারেটরদের মধ্যে সীমাবদ্ধ, m = 1 নিয়ে কোসাইকেলের চিহ্নগুলি নির্ধারণ করা যেতে পারে। এই ক্ষেত্রে উপস্থাপনাটি দ্বিমাত্রিক এবং L2 (R)-এর সম্পর্ক সরাসরি V0-এ পরীক্ষা করা যেতে পারে। কিন্তু এই ক্ষেত্রে স্থল অবস্থার এক্সপ-x2/2-এ উভয় পক্ষ প্রয়োগ করে সরাসরি সম্পর্কটি পরীক্ষা করা যেতে পারে। ফলস্বরূপ, এটি অনুসরণ করা হয় যে m ≤ 1 এর জন্য গাউস যোগফল মূল্যায়ন করা যেতে পারেঃ m বিজোড়ের জন্য, সংজ্ঞায়িত করুন যদি m বিজোড় হয়, তবে, পূর্ববর্তী যোগফলকে দুটি ভাগে বিভক্ত করে, এটি অনুসরণ করে যে G (1, m) m1/2 এর সমান যদি m 1 মড 4 এর সমতুল্য হয় এবং অন্যথায় i m1/2 এর সমান হয়। যদি পি একটি বিজোড় মৌলিক সংখ্যা হয় এবং সি পি দ্বারা বিভাজ্য না হয়, তবে এটি বোঝায় যে লেজেন্ড্রে প্রতীকটি 1 এর সমান যেখানে সি একটি বর্গ মোড পি এবং-1 অন্যথায়। উপরন্তু, যদি p এবং q স্বতন্ত্র বিজোড় মৌলিক সংখ্যা হয়, তবে G (1, p) সূত্র এবং এই সম্পর্ক থেকে, দ্বিঘাত পারস্পরিকতার সূত্রটি নিম্নরূপঃ উচ্চতর মাত্রায় তত্ত্ব দোলক উপস্থাপনার তত্ত্বটি আর থেকে আরএন পর্যন্ত প্রসারিত করা যেতে পারে এবং এসএল (2, আর) গ্রুপটি সিমপ্লেক্টিক গ্রুপ স্প (2n, R) দ্বারা প্রতিস্থাপিত হতে পারে। ফলাফলগুলি এক-মাত্রিক কেস থেকে সোজাসুজি সাধারণীকরণের মাধ্যমে প্রমাণ করা যেতে পারে বা এই সত্যটি ব্যবহার করে যে এন-মাত্রিক কেসটি এন এক-মাত্রিক কেসগুলির একটি টেনসর পণ্য, যা পচনকে প্রতিফলিত করেঃ ধরা যাক আরএন-এর উপর শোয়ার্জ ফাংশনের স্থান, এল 2 (আরএন)-এর একটি ঘন সাবস্পেস। এস-এর জন্য, আরএন-এ টি, ইউ (এস) এবং ভি (টি) অন এবং এল 2 (আর) দ্বারা সংজ্ঞায়িত করুন সংজ্ঞা থেকে ইউ এবং ভি ওয়েল বিনিময় সম্পর্ককে সন্তুষ্ট করে যেমন আগে এটিকে শ্রোডিঙ্গার উপস্থাপনা বলা হয়। ফুরিয়ার রূপান্তরকে ফুরিয়ার বিপরীত সূত্র দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে যা দেখায় যে ফুরিয়ার রূপান্তরটি নিজের উপর একটি সমরূপতা যা L2 (Rn) এর একক ম্যাপিং পর্যন্ত প্রসারিত (প্ল্যানচেরেলের উপপাদ্য)। স্টোন-ভন নিউম্যান উপপাদ্য দাবি করে যে শ্রোডিঞ্জার উপস্থাপনাটি অপরিবর্তনীয় এবং বিনিময় সম্পর্কের অনন্য অপরিবর্তনীয় উপস্থাপনাঃ অন্য যে কোনও উপস্থাপনা এই উপস্থাপনের প্রতিলিপির সরাসরি যোগফল। যদি U এবং V ওয়েইল কমিউটেশন সম্পর্ককে সন্তুষ্ট করে, তাহলে সংজ্ঞায়িত করুন তারপর যাতে W কোসাইকেলের সাথে R2n-এর একটি প্রজেক্টিভ একক প্রতিনিধিত্বকে সংজ্ঞায়িত করে যেখানে B হল R2n-এর উপর সিমপ্লেক্টিক ফর্ম যা দ্বারা দেওয়া হয় সিমপ্লেক্টিক গ্রুপ Sp (2n, R) কে সংজ্ঞায়িত করা হয় ফর্ম B সংরক্ষণ করে R2n-এর অটোমরফিজমের গ্রুপ g হিসাবে। এটি স্টোন-ভন নিউম্যান উপপাদ্য থেকে পাওয়া যায় যে, এই ধরনের প্রতিটি g-এর জন্য L2 (R)-এর উপর একটি একক π (g) থাকে যা সহপরিবর্তন সম্পর্ককে সন্তুষ্ট করে। প্রতিনিধিদের π (g)-এর জন্য বেছে নেওয়া যেতে পারে, যা একটি চিহ্ন পর্যন্ত অনন্য, যা দেখায় যে Sp (2n, R)-এর প্রজেক্টিভ উপস্থাপনার জন্য 2-চক্রের মান ±1। প্রকৃতপক্ষে এস. পি (এন, আর) গ্রুপের উপাদানগুলি 2এন × 2এন বাস্তব ম্যাট্রিক্স জি দ্বারা সন্তোষজনকভাবে দেওয়া হয় যেখানে এস. পি (2এন, আর) ফর্মের ম্যাট্রিক্স দ্বারা উত্পন্ন হয় এবং অপারেটররা উপরের কোভ্যারিয়েন্স সম্পর্কগুলিকে সন্তুষ্ট করে। এটি মেটাপ্লেক্টিক গ্রুপের একটি সাধারণ একক প্রতিনিধিত্ব দেয়, যা এস. পি (2এন, আর)-এর একটি দ্বৈত আবরণ। প্রকৃতপক্ষে, এস. পি (এন, আর) সার্বজনীন সিগেলের উপরের অর্ধ সমতলে মোবিয়াস রূপান্তর দ্বারা কাজ করে যা কঠোরভাবে কাল্পনিক অংশ সহ প্রতিসম জটিল এন × এন ম্যাট্রিক্স জেড নিয়ে গঠিত যদি ফাংশনটি 1-চক্রের সম্পর্ককে সন্তুষ্ট করে মেটাপ্লেক্টিক গ্রুপ এম. পি (2 এন, আর) কে গ্রুপ হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় এবং এটি এস. পি (2 এন, আর) এর একটি সংযুক্ত দ্বৈত আচ্ছাদন গ্রুপ। যদি g এমপি (2এন, আর)-তে থাকে তবে মেটাপ্লেক্টিক গ্রুপের একটি সাধারণ একক উপস্থাপনাকে সংজ্ঞায়িত করে, যেখান থেকে এটি অনুসরণ করে যে এসপি (2এন, আর)-এর কোসাইকেল শুধুমাত্র ±1 মান নেয়। হলমর্ফিক ফক স্পেস হল Cn-এর উপর হলমর্ফিক ফাংশন f (z)-এর হিলবার্ট স্পেস, যেখানে α একটি মাল্টিনোমিয়ালের জন্য সীমাবদ্ধ আদর্শ অভ্যন্তরীণ গুণফল এবং অর্থোনর্মাল ভিত্তি রয়েছে। সিএন-এ এফ ইন এবং জেড-এর জন্য, অপারেটররা ওয়েল বিনিময় সম্পর্কের একটি অপরিবর্তনীয় একক উপস্থাপনাকে সংজ্ঞায়িত করে। স্টোন-ভন নিউম্যান উপপাদ্য অনুসারে, L2 (Rn) থেকে দুটি উপস্থাপনাকে সংযুক্ত করার জন্য একটি একক অপারেটর রয়েছে। এটি বার্গম্যান রূপান্তর দ্বারা দেওয়া হয় যেখানে এর সংযুক্তি সূত্র দ্বারা দেওয়া হয়ঃ সোবোলেভ স্পেস, মসৃণ এবং বিশ্লেষণাত্মক ভেক্টরকে এক-মাত্রিক ক্ষেত্রে হারমোনিক দোলকের এন অনুলিপির যোগফল ব্যবহার করে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। সিমপ্লেক্টিক গ্রুপের জটিলতা এস. পি (2এন, সি) একই সম্পর্ক দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়, তবে ম্যাট্রিক্স এ, বি, সি এবং ডি জটিল হতে দেয়। গ্রুপ উপাদানগুলির উপ-গোষ্ঠী যা সিগেলের উপরের অর্ধেক সমতলকে নিজের মধ্যে নিয়ে যায় তার একটি প্রাকৃতিক দ্বৈত আবরণ রয়েছে। এল2 (আরএন)-এ এমপি (2এন, আর)-এর উপস্থাপনা এবং প্রাকৃতিকভাবে কার্নেল দ্বারা সংজ্ঞায়িত সংকোচন অপারেটরদের দ্বারা এই সেমিগ্রুপের প্রতিনিধিত্ব পর্যন্ত প্রসারিত হয়, যা এক-মাত্রিক কেসকে সাধারণীকরণ করে (যেখানে প্রয়োজন সেখানে নির্ধারক গ্রহণ করে)। সুসঙ্গত অবস্থার উপর এমপি (2এন, আর)-এর ক্রিয়া এই বৃহত্তর সেমিগ্রুপের অপারেটরদের জন্য সমানভাবে প্রযোজ্য। 1-মাত্রিক ক্ষেত্রে, যেখানে এস. এল (2, আর) গ্রুপের একটি প্রতিরূপ এস. ইউ (1,1) রয়েছে কেলি রূপান্তরের মাধ্যমে এবং উপরের অর্ধেক সমতলটি একক ডিস্ক দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়েছে, সিমপ্লেক্টিক গোষ্ঠীর একটি জটিল প্রতিরূপ রয়েছে। প্রকৃতপক্ষে, যদি C একক ম্যাট্রিক্স হয় তবে C Sp (2n) C−1 হল সমস্ত ম্যাট্রিক্সের গ্রুপ যেমন বা সমতুল্য যেখানে সিগেল সাধারণীকৃত ডিস্ক Dn কে জটিল প্রতিসম n x n ম্যাট্রিক্সের সেট হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় যার অপারেটর মান 1 এর চেয়ে কম। এটি সিগেলের সাধারণীকৃত উপরের অর্ধেক সমতলে Z বিন্দুর কাইলি রূপান্তর নিয়ে গঠিত হয়ঃ উপাদানগুলি জি ডিএন-এর উপর কাজ করে এবং এক মাত্রিক ক্ষেত্রে এই ক্রিয়াটি ক্ষণস্থায়ী। 0-এর স্টেবিলাইজার উপগোষ্ঠী এ একক এবং বি = 0 সহ ম্যাট্রিক্স নিয়ে গঠিত। ডিএন-এ ডাব্লু-এর জন্য হোলোমর্ফিক ফক স্পেসে মেটাপ্লেক্টিক সুসঙ্গত অবস্থা দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয় এই ধরনের দুটি অবস্থার অভ্যন্তরীণ গুণফল দ্বারা দেওয়া হয়। এস. পি (2 (এন + 1))-তে এস. পি (2এন)-এর এম্বেডিং এবং সামঞ্জস্যপূর্ণ সনাক্তকরণ সামগ্রিকভাবে একটি কর্মের দিকে পরিচালিত করে। এটি সরাসরি যাচাই করা যেতে পারে যে এটি অপারেটর ডাব্লু (জেড) এর ক্রিয়ার সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ। যেহেতু জটিল সেমিগ্রুপের সিমপ্লেক্টিক গ্রুপের সীমানা শিলোভ হিসাবে রয়েছে, তাই এই উপস্থাপনাটির সেমিগ্রুপে একটি সু-সংজ্ঞায়িত সংকোচনমূলক সম্প্রসারণ সর্বাধিক মডুলাস নীতি এবং সেমিগ্রুপ অপারেটররা সংলগ্নতার অধীনে বন্ধ থাকে। প্রকৃতপক্ষে, এই ধরনের দুটি অপারেটর এস, টি এবং ভেক্টরের জন্য মেটাপ্লেক্টিক সুসঙ্গত অবস্থার আনুপাতিক পরীক্ষা করা যথেষ্ট, যা অনুসরণ করে কারণ যোগফলটি হোলোমর্ফিকভাবে এস এবং টি-এর উপর নির্ভর করে, যা সীমানায় একক। টোইপ্লিটজ অপারেটরদের জন্য সূচক উপপাদ্য এস Cn-এ একক গোলককে নির্দেশ করে এবং হার্ডি স্পেস H2 (S) কে সংজ্ঞায়িত করে L2 (S)-এ স্থানাঙ্ক z1,., zn-এ বহুপদগুলির সীমাবদ্ধতার সমাপ্তি হিসাবে। ধরা যাক পি হার্ডি স্পেসে অভিক্ষেপ। এটি জানা যায় যে যদি m (f) S-এর উপর একটি অবিচ্ছিন্ন ফাংশন f দ্বারা গুণকে বোঝায়, তবে কমিউটেটর [P, m (f)] কম্প্যাক্ট হয়। ফলস্বরূপ, হার্ডি স্পেস দ্বারা টোইপ্লিটজ অপারেটরকে সংজ্ঞায়িত করে, এটি অনুসরণ করে যে টি (এফজি)-টি (এফ) টি (জি) অবিচ্ছিন্ন এফ এবং জি-এর জন্য সংক্ষিপ্ত। যদি এফ এবং জি ম্যাট্রিক্স-মূল্যবান ফাংশন হয় তবে একই থাকে (যাতে সংশ্লিষ্ট টোইপ্লিটজ অপারেটরগুলি এইচ 2 (এস)-এর অপারেটরদের ম্যাট্রিক্স হয়)। বিশেষত যদি f, S-এর উপর একটি ফাংশন হয় যা বিপরীতমুখী ম্যাট্রিক্সের মান গ্রহণ করে, তবে কম্প্যাক্ট হয় এবং তাই T (f) একটি ফ্রেডহোম অপারেটর যার একটি সূচক হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। এই সূচক উপপাদ্যটি প্রতিষ্ঠার জন্য একটি বিশ্লেষণাত্মক উপায় দিয়েছিলেন, যা পরে হাও দ্বারা সরলীকরণ করা হয়েছিল। তাদের প্রমাণ এই সত্যের উপর নির্ভর করে যে যদি f মসৃণ হয় তবে সূচকটি ম্যাককিন এবং সিঙ্গারের সূত্র দ্বারা দেওয়া হয়ঃ লক্ষ্য করা গেছে যে H2 (S) এবং L2 (Rn) এর মধ্যে একটি প্রাকৃতিক একক সমরূপতা ছিল যা অপারেটরদের উপর টোইপ্লিটজ অপারেটর বহন করে। ম্যাককিন-সিঙ্গার সূত্রের ট্রেসগুলি সরাসরি ওয়েইল ক্যালকুলাস ব্যবহার করে গণনা করা যেতে পারে, যা সূচক উপপাদ্যের আরেকটি প্রমাণের দিকে পরিচালিত করে। সূচক উপপাদ্য প্রমাণের এই পদ্ধতিটি আলেইন কনস দ্বারা চক্রীয় সমস্থানিকবিদ্যার কাঠামোর মধ্যে সাধারণীকরণ করা হয়েছিল। অসীম মাত্রায় তত্ত্ব অসীম মাত্রায় দোলকের প্রতিনিধিত্বের তত্ত্বটি আরভিং সেগাল এবং ডেভিড শেলের কারণে। গ্রায়েম সেগাল লুপ গ্রুপগুলির প্রজেক্টিভ উপস্থাপনা এবং বৃত্তের ডিফিয়োমরফিজমগুলির গোষ্ঠীর গাণিতিকভাবে কঠোর গঠন দিতে এটি ব্যবহার করেছিলেন। অসীম স্তরে লাই অ্যালজেব্রার উপস্থাপনাগুলির নির্মাণ, এই ক্ষেত্রে অ্যাফিন কাক-মুডি বীজগণিত এবং ভিরাসোরো বীজগণিত, দ্বৈত অনুরণন তত্ত্ব এবং পরবর্তী স্ট্রিং তত্ত্বের মাধ্যমে পদার্থবিজ্ঞানীদের কাছে ইতিমধ্যে পরিচিত ছিল। এখানে শুধুমাত্র সবচেয়ে সহজ কেসটি বিবেচনা করা হবে, যেখানে বৃত্তের মসৃণ মানচিত্রের লুপ গ্রুপ এলইউ (1) কে ইউ (1) = টি-তে অন্তর্ভুক্ত করা হয়েছে। নেরেটিন এবং সেগাল দ্বারা স্বাধীনভাবে বিকশিত দোলক সেমিগ্রুপ, সংকোচন অপারেটরদের একক ডিস্কের অভিন্ন হোলোমরফিক মানচিত্রের সেমিগ্রুপের জন্য সংজ্ঞায়িত করার অনুমতি দেয়, যা বৃত্তের ডিফিয়োমরফিজমের সাথে সম্পর্কিত একক অপারেটরগুলিকে প্রসারিত করে। যখন ডিফিয়োমর্ফিজম গ্রুপের সাবগ্রুপ এস. ইউ (1,1)-এ প্রয়োগ করা হয়, তখন এটি এল 2 (আর)-এর উপর দোলক উপস্থাপনা এবং ওলশানস্কি সেমিগ্রুপে এর সম্প্রসারণের একটি সাধারণীকরণ দেয়। একটি নির্বিচারে জটিল হিলবার্ট স্পেস এইচ দ্বারা সিএন (বা এর দ্বৈত স্থান) প্রতিস্থাপন করে ফক স্পেসে রূপান্তরের উপস্থাপনাকে অসীম মাত্রায় সাধারণীকরণ করা হয়। প্রতিসম গ্রুপ এস কে এইচ কে-তে কাজ করে। এস কে (এইচ) কে এস কে-এর স্থির বিন্দু সাবস্পেস হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় এবং প্রতিসম বীজগণিত হল বীজগাণিতিক সরাসরি যোগফল। এর একটি প্রাকৃতিক অভ্যন্তরীণ গুণফল এইচ কে থেকে উত্তরাধিকার সূত্রে পাওয়া যায়ঃ এস কে (এইচ) উপাদানগুলিকে পারস্পরিক অর্থোগোনাল হিসাবে গ্রহণ করে, প্রতিসম ফক স্পেস এস (এইচ) কে এই সরাসরি যোগফলের হিলবার্ট স্পেস সমাপ্তি হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। H-এ φ-এর জন্য সুসঙ্গত অবস্থাকে এইভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় যে, তাদের রৈখিক ব্যবধান S (H)-এ ঘন, n স্বতন্ত্র ভেক্টরের সাথে সম্পর্কিত সুসঙ্গত অবস্থাগুলি রৈখিকভাবে স্বাধীন এবং যখন H সসীম-মাত্রিক হয়, তখন S (H)-কে স্বাভাবিকভাবেই H *-এর জন্য হোলোমর্ফিক ফক স্পেস দিয়ে চিহ্নিত করা যেতে পারে, যেহেতু আদর্শ পদ্ধতিতে Sk (H) হল H *-এর উপর k মাত্রার সমজাতীয় বহুপদী এবং অভ্যন্তরীণ গুণফলগুলি মিলে যায়। উপরন্তু, এস (এইচ)-এর কার্যকরী বৈশিষ্ট্য রয়েছে। সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণভাবে একটি অনুরূপ ফলাফল সীমাবদ্ধ অর্থোগোনাল সরাসরি যোগফলের জন্য ধারণ করে এবং অসীম অর্থোগোনাল সরাসরি যোগফল পর্যন্ত প্রসারিত হয়, S0 (Hi)-এ 1 রেফারেন্স ইউনিট ভেক্টর সহ ভন নিউম্যানের অসীম টেনসর পণ্যের সংজ্ঞা ব্যবহার করে। হিলবার্ট স্পেসের মধ্যে যে কোনও সংকোচন অপারেটর একটি কার্যকরী উপায়ে সংশ্লিষ্ট প্রতিসম ফক স্পেসের মধ্যে একটি সংকোচন অপারেটরকে প্ররোচিত করে। এস (এইচ)-এর উপর একটি একক অপারেটর অনন্যভাবে সুসংগত অবস্থার মান দ্বারা নির্ধারিত হয়। উপরন্তু, যে কোনও অ্যাসাইনমেন্টের জন্য, যেমন যে S (H)-এর উপর একটি অনন্য একক অপারেটর U থাকে, যেমন সসীম-মাত্রিক ক্ষেত্রে, এটি একক অপারেটর W (x)-কে H-এর x-এর জন্য সংজ্ঞায়িত করার অনুমতি দেয়ঃ এটি সসীম-মাত্রিক ক্ষেত্রে থেকে অবিলম্বে অনুসরণ করে যে এই অপারেটরগুলি একক এবং সন্তুষ্ট হয়। এই স্থানগুলির প্রত্যেকটিতে W-এর অপরিবর্তনীয়তা সমগ্র S (H)-এর উপর W-এর অপরিবর্তনীয়তাকে বোঝায়। W কে জটিল তরঙ্গ উপস্থাপনা বলা হয়। অসীম মাত্রায় সিমপ্লেক্টিক গ্রুপকে সংজ্ঞায়িত করার জন্য এইচআরকে সিমপ্লেক্টিক ফর্ম এবং বাস্তব অভ্যন্তরীণ পণ্য সহ এইচ-এর অন্তর্নিহিত বাস্তব ভেক্টর স্থান হতে দিন জটিল কাঠামোটি তখন অর্থোগোনাল অপারেটর দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয় যাতে এইচআর-এর উপর একটি আবদ্ধ বিপরীতমুখী অপারেটর বাস্তব রৈখিক অপারেটর টি সিমপ্লেক্টিক গ্রুপে থাকে যদি এটি এবং এর বিপরীতটি বি সংরক্ষণ করে। এটি শর্তগুলির সমতুল্যঃ অপারেটর টি-কে এস (এইচ)-এ প্রয়োগযোগ্য বলা হয় যদি একটি একক π (টি) থাকে যাতে বাস্তবায়নযোগ্য অপারেটররা সিমপ্লেক্টিক গ্রুপের একটি উপগোষ্ঠী গঠন করে, যা সীমাবদ্ধ সিমপ্লেক্টিক গ্রুপ। শুর-এর লেম্মা দ্বারা, π (T) টি-তে একটি স্কেলার পর্যন্ত অনন্যভাবে নির্ধারিত হয়, তাই π এই উপগোষ্ঠীর একটি প্রজেক্টিভ একক উপস্থাপনা দেয়। সেগাল-শেল কোয়ান্টাইজেশন মানদণ্ড বলে যে টি বাস্তবায়নযোগ্য, অর্থাৎ। এটি সীমাবদ্ধ সিমপ্লেক্টিক গ্রুপে থাকে, যদি এবং শুধুমাত্র যদি কমিউটেটর টিজে-জেটি একটি হিলবার্ট-শ্মিট অপারেটর হয়। সীমাবদ্ধ-মাত্রিক ক্ষেত্রে যেখানে একটি উত্তোলন π বেছে নেওয়া যেতে পারে যাতে এটি একটি চিহ্ন পর্যন্ত গুণিতক হয়, অসীম-মাত্রিক ক্ষেত্রে এটি সম্ভব নয়। (এটি সরাসরি নীচে নির্মিত বৃত্তের ডিফিয়োমর্ফিজম গ্রুপের প্রজেক্টিভ উপস্থাপনের উদাহরণ ব্যবহার করে দেখা যেতে পারে।) সীমাবদ্ধ সিমপ্লেক্টিক গোষ্ঠীর প্রজেক্টিভ উপস্থাপনা সরাসরি সুসঙ্গত অবস্থার উপর নির্মিত হতে পারে যেমন সীমাবদ্ধ-মাত্রিক ক্ষেত্রে। প্রকৃতপক্ষে, এইচ-এর একটি বাস্তব হিলবার্ট সাবস্পেস নির্বাচন করা যার মধ্যে এইচ একটি জটিলতা, এইচ-এর উপর যে কোনও অপারেটর টি-এর জন্য টি-এর একটি জটিল সংমিশ্রণও সংজ্ঞায়িত করা হয়। তারপর এস. ইউ (1,1)-এর অসীম-মাত্রিক এনালগটি জি. কে. জি * = কে (বা সমতুল্যভাবে সসীম-মাত্রিক ক্ষেত্রে একই সম্পর্ক) সন্তুষ্টকারী বিপরীতমুখী আবদ্ধ অপারেটর নিয়ে গঠিত। এগুলি সীমাবদ্ধ সিমপ্লেক্টিক গোষ্ঠীর অন্তর্গত যদি এবং শুধুমাত্র যদি বি একটি হিলবার্ট-শ্মিট অপারেটর হয়। এই গোষ্ঠীটি হিলবার্ট-শ্মিট অপারেটর ডব্লিউ-এর সমন্বয়ে গঠিত সিগেল সাধারণীকৃত একক ডিস্কের অসীম-মাত্রিক এনালগ ডি ≈-এর উপর ক্ষণস্থায়ীভাবে কাজ করে যা সূত্রটির মাধ্যমে 1-এর চেয়ে কম অপারেটর আদর্শের সাথে প্রতিসম। আবার 0-এর স্থিতিশীল উপগোষ্ঠীটি এ একক এবং বি = 0 সহ জি নিয়ে গঠিত। মেটাপ্লেক্টিক সুসঙ্গত অবস্থা fW কে আগের মতো সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে এবং তাদের অভ্যন্তরীণ গুণফল একই সূত্র দ্বারা দেওয়া হয়, ফ্রেডহোম নির্ধারক ব্যবহার করেঃ একক ভেক্টর দ্বারা সংজ্ঞায়িত করুন এবং সেট করুন যেখানে μ (ζ) = ζ/|ζ।।। যেমন আগে এটি একটি প্রজেক্টিভ উপস্থাপনাকে সংজ্ঞায়িত করে এবং, যদি g3 = g1g2 হয়, তবে কোসাইকেলটি দ্বারা দেওয়া হয় এই উপস্থাপনাটি সীমাবদ্ধ-মাত্রিক ক্ষেত্রে একই বিশ্লেষণাত্মক ধারাবাহিকতা যুক্তি দ্বারা জটিল সেমিগ্রুপের জন্য সংকোচন অপারেটরদের সংজ্ঞায়িত করার জন্য বিশ্লেষণাত্মক ধারাবাহিকতা দ্বারা প্রসারিত হয়। এটিও দেখানো যেতে পারে যে এগুলি কঠোর সংকোচন। উদাহরণস্বরূপ ধরা যাক এইচআর হল প্রকৃত হিলবার্ট স্থান যা গড় 0 সহ বৃত্তের বাস্তব-মূল্যবান ফাংশনগুলির সমন্বয়ে গঠিত এবং যার জন্য অভ্যন্তরীণ গুণফলটি দেওয়া হয় একটি অর্থোগোনাল ভিত্তিতে n> 0 এর জন্য sin (nθ) এবং cos (nθ) ফাংশন দ্বারা দেওয়া হয়। দ্বারা সংজ্ঞায়িত বৃত্তের হিলবার্ট রূপান্তর এইচআর-এর উপর একটি জটিল কাঠামোকে সংজ্ঞায়িত করে। J লেখা যেতে পারে যেখানে চিহ্ন n = ±1 n-এর চিহ্নকে নির্দেশ করে। সংশ্লিষ্ট সিমপ্লেক্টিক ফর্মটি আনুপাতিক হয় বিশেষত যদি φ বৃত্তের একটি অভিযোজন-সংরক্ষণকারী ডিফিয়োমরফিজম হয় এবং তারপর Tφ বাস্তবায়নীয় হয়। f মসৃণ সহ অপারেটর W (f) বৃত্তের ডিফিয়োমরফিজম গ্রুপের অধীনে লুপ গ্রুপ LT অপরিবর্তনীয় একটি উপগোষ্ঠীর সাথে মিলে যায়। ভেক্টর ক্ষেত্রের সাথে সম্পর্কিত অসীম অপারেটরগুলি স্পষ্টভাবে গণনা করা যেতে পারে। তারা ভিরাসোরো সম্পর্ককে সন্তুষ্ট করে বিশেষত ডানদিকের দ্বিতীয় পদটি অপসারণের জন্য স্কেলার অপারেটর যোগ করে তাদের সামঞ্জস্য করা যেতে পারে। এটি দেখায় যে সীমাবদ্ধ সিমপ্লেক্টিক গ্রুপের কোসাইকেল শুধুমাত্র ±1 মান নেওয়ার সমতুল্য নয়। আরও দেখুন মেটাপ্লেক্টিক গ্রুপ ইনভ্যারিয়েন্ট কনভেক্স শঙ্কু নোটস রেফারেন্স অপারেটর তত্ত্ব হারমোনিক বিশ্লেষণ উপস্থাপনা তত্ত্ব কোয়ান্টাম মেকানিক্স থিটা ফাংশন