Infinite compositions of analytic functions
গণিতে, বিশ্লেষণাত্মক ফাংশনের অসীম রচনাগুলি (আইসিএএফ) বিশ্লেষণাত্মক অব্যাহত ভগ্নাংশ, সিরিজ, পণ্য এবং অন্যান্য অসীম সম্প্রসারণের বিকল্প সূত্র সরবরাহ করে এবং এই ধরনের রচনাগুলি থেকে বিবর্তিত তত্ত্ব এই সম্প্রসারণগুলির অভিসরণ/বিচ্যুতির উপর আলোকপাত করতে পারে। কিছু ফাংশন প্রকৃতপক্ষে অসীম রচনা হিসাবে সরাসরি প্রসারিত করা যেতে পারে। উপরন্তু, অসীম সম্প্রসারণের সাথে জড়িত স্থির বিন্দু সমীকরণের সমাধান মূল্যায়নের জন্য আইসিএএফ ব্যবহার করা সম্ভব। জটিল গতিবিদ্যা একটি একক ফাংশনের পরিবর্তে ফাংশনের সিস্টেমগুলির পুনরাবৃত্তির জন্য আরেকটি স্থান সরবরাহ করে। একটি একক ফাংশনের অসীম রচনার জন্য Iterated ফাংশন দেখুন। ফ্র্যাক্টাল তত্ত্বে দরকারী সীমিত সংখ্যক ফাংশনের রচনার জন্য, ইটারেটেড ফাংশন সিস্টেম দেখুন। যদিও এই নিবন্ধের শিরোনাম বিশ্লেষণাত্মক ফাংশন নির্দিষ্ট করে, তবে একটি জটিল চলকের আরও সাধারণ ফাংশনের জন্যও ফলাফল রয়েছে। স্বরলিপি অসীম রচনাগুলি বর্ণনা করে এমন বেশ কয়েকটি স্বরলিপি রয়েছে, যার মধ্যে নিম্নলিখিতগুলি রয়েছেঃ অগ্রবর্তী রচনাঃ পশ্চাৎমুখী রচনাঃ প্রতিটি ক্ষেত্রে অভিসরণকে নিম্নলিখিত সীমার অস্তিত্ব হিসাবে ব্যাখ্যা করা হয়ঃ সুবিধার জন্য, সেট এবং সেট। কেউ লিখতে এবং সংকোচন উপপাদ্যও লিখতে পারে অনেক ফলাফলকে নিম্নলিখিত ফলাফলের সম্প্রসারণ হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারেঃ সঙ্কোচনমূলক ফাংশনের অসীম গঠন ধরা যাক {fn} একটি সহজ-সংযুক্ত ডোমেন S-এর উপর বিশ্লেষণাত্মক ফাংশনের একটি ক্রম। ধরুন একটি কম্প্যাক্ট সেট ωS রয়েছে যাতে প্রতিটি n-এর জন্য, fn (S) ω ω। এই দুটি উপপাদ্যের উপর ভিত্তি করে তদন্তের ফলস্বরূপ অতিরিক্ত তত্ত্ব, বিশেষ করে ফরওয়ার্ড কম্পোজিশন উপপাদ্য, নিম্নলিখিত রেফারেন্সে প্রাপ্ত সীমার জন্য অবস্থান বিশ্লেষণ অন্তর্ভুক্ত করে। পশ্চাৎপদ রচনা উপপাদ্যের একটি ভিন্ন পদ্ধতির জন্য, নিম্নলিখিত রেফারেন্সটি দেখুন। পশ্চাদগামী রচনা উপপাদ্য সম্পর্কে, উদাহরণস্বরূপ f2n (z) = 1/2 এবং s = {z: |z। <1}-এর জন্য f2n −1 (z) = −1/2 একটি সংক্ষিপ্ত উপসমুহে সংকোচনের প্রয়োজনের অপ্রতুলতা প্রদর্শন করে, যেমন অগ্রবর্তী রচনা উপপাদ্য। বিশ্লেষণাত্মক নয় এমন ফাংশনের জন্য লিপস্কিটজ শর্তটি যথেষ্টঃ অন্যান্য ফাংশনের অসীম সংমিশ্রণ অ-সংকোচক জটিল ফাংশন সম্পূর্ণ ফাংশনের সাথে জড়িত ফলাফলগুলির মধ্যে উদাহরণস্বরূপ নিম্নলিখিতগুলি অন্তর্ভুক্ত রয়েছে। তারপর নিম্নলিখিত ফলাফলগুলি ধারণ করেঃ অতিরিক্ত প্রাথমিক ফলাফলগুলির মধ্যে রয়েছেঃ উদাহরণ জি. এফ. 1: উদাহরণ জি. এফ. 2: রৈখিক ভগ্নাংশ রূপান্তর রৈখিক ভগ্নাংশ (মোবিয়াস) রূপান্তরগুলির রচনার ফলাফলগুলির মধ্যে নিম্নলিখিতগুলি অন্তর্ভুক্ত রয়েছে, উদাহরণস্বরূপঃ উদাহরণ এবং প্রয়োগ অব্যাহত ভগ্নাংশ অসীম অব্যাহত ভগ্নাংশের মানকে ক্রমের সীমা হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে যেখানে একটি সহজ উদাহরণ হিসাবে, একটি সুপরিচিত ফলাফল (ওয়ার্পিটস্কি সার্কেল *) উপপাদ্য (এ) এর প্রয়োগ থেকে অনুসরণ করেঃ স্থিরকরণের সাথে অব্যাহত ভগ্নাংশটি বিবেচনা করুন যে |ζ <1 এবং |z <আর <1। তারপর 0 <r <1 এর জন্য, |z। <1 এর জন্য বিশ্লেষণাত্মক। R = 1/2 নির্ধারণ করুন। উদাহরণস্বরূপ]। উদাহরণ। একটি স্থির-বিন্দু অব্যাহত ভগ্নাংশ রূপ (একটি একক পরিবর্তনশীল)। একটি ফাংশনকে সরাসরি একটি গঠনে রূপান্তরিত করার উদাহরণগুলি নিম্নরূপঃ উদাহরণ 1। ধরুন একটি সম্পূর্ণ ফাংশন যা নিম্নলিখিত শর্তগুলি পূরণ করেঃ উদাহরণ 2। উদাহরণ 3। উদাহরণ 4। স্থির-বিন্দুর গণনা উপপাদ্য (বি) অসীম বিস্তার বা নির্দিষ্ট ইন্টিগ্রাল দ্বারা সংজ্ঞায়িত ফাংশনের স্থির-বিন্দু নির্ধারণ করতে প্রয়োগ করা যেতে পারে। নিম্নলিখিত উদাহরণগুলি প্রক্রিয়াটি ব্যাখ্যা করেঃ উদাহরণ এফ. পি. 1। α = G (α) খুঁজে বের করার জন্য, প্রথমে আমরা সংজ্ঞায়িত করিঃ তারপর ζ = 1 দিয়ে গণনা করুন, যা দেয়ঃ α = 0.087118118. দশটি পুনরাবৃত্তির পরে দশটি দশমিক স্থানে। বিবর্তন ফাংশন একটি সময়ের ব্যবধান বিবেচনা করুন, যা I = [0,1]-এ স্বাভাবিক করা হয়েছে। আইসিএএফগুলি ব্যবধানের উপর একটি বিন্দু, জেড-এর অবিচ্ছিন্ন গতি বর্ণনা করার জন্য তৈরি করা যেতে পারে, তবে এমনভাবে যে প্রতিটি "মুহূর্তে" গতি কার্যত শূন্য হয় (জেনোর তীর দেখুন): এন সমান উপ-ব্যবধানগুলিতে বিভক্ত ব্যবধানের জন্য, 1 ≤ কে ≤ এন সেট বিশ্লেষণাত্মক বা কেবল অবিচ্ছিন্ন-একটি ডোমেন এস-এ, যেমন এস-এর সমস্ত কে এবং সমস্ত জেড-এর জন্য, এবং। প্রধান উদাহরণটি বোঝায় যেখানে ইন্টিগ্রালটি ভালভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় যদি একটি বদ্ধ-ফর্ম সমাধান z (t) থাকে। তারপর অন্যথায়, ইন্টিগ্র্যাণ্ডটি দুর্বলভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় যদিও ইন্টিগ্রালের মান সহজেই গণনা করা হয়। এই ক্ষেত্রে কেউ ইন্টিগ্রালকে "ভার্চ্যুয়াল" ইন্টিগ্রাল বলতে পারে। উদাহরণস্বরূপ]। উদাহরণ। ধরা যাকঃ পরবর্তী, সেট করুন এবং Tn (z) = Tn, n (z)। যখন সেই সীমা বিদ্যমান থাকুক। ক্রম {Tn (z)} কনট্যুর γ = γ (cn, z) কে সংজ্ঞায়িত করে যা ভেক্টর ক্ষেত্র f (z)-এর প্রবাহকে অনুসরণ করে। যদি একটি আকর্ষণীয় স্থির বিন্দু α বিদ্যমান থাকে, যার অর্থ |f (z) − α। ≤ ρ |z −α। 0 ≤ ρ <1 এর জন্য, তাহলে Tn (z) → T (z) ষ্ণ α বরাবর γ = γ (cn, z), প্রদত্ত (উদাহরণস্বরূপ)। যদি cn ষ্ণ c> 0 হয়, তাহলে Tn (z) → T (z), কনট্যুরের একটি বিন্দু γ = γ (c, z)। এটা সহজেই দেখা যায় যে কখন এই সীমাগুলি বিদ্যমান। এই ধারণাগুলি চিত্র প্রক্রিয়াকরণে সক্রিয় কনট্যুর তত্ত্বের সাথে সামান্যভাবে সম্পর্কিত, এবং অয়লার পদ্ধতির সহজ সাধারণীকরণ স্ব-প্রতিলিপি সম্প্রসারণ সিরিজ fn (z) = z + gn (z) দ্বারা পুনরাবৃত্তভাবে সংজ্ঞায়িত সিরিজের বৈশিষ্ট্য রয়েছে যে n তম পদটি প্রথম n−1 পদের যোগফলের উপর পূর্বাভাস দেওয়া হয়। উপপাদ্য (জি. এফ. 3) প্রয়োগ করার জন্য নিম্নলিখিত অর্থে সীমাবদ্ধতা প্রদর্শন করা প্রয়োজনঃ যদি প্রতিটি এফ. এন-কে <আই. ডি. 1>। <এম-এর জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয়, তাহলে <আই. ডি. 3> (জেড)। <এম-কে অবশ্যই <আই. ডি. 2> (জেড) − জেড। = <আই. ডি. 4> (জেড)। ≤ সি. বি. এ. এন-এর আগে অনুসরণ করতে হবে। এর কারণ হল সম্প্রসারণের সময় এটি ঘটে। এই সীমাবদ্ধতা এই উদ্দেশ্যে কাজ করে। তারপর সীমাবদ্ধ ডোমেনে সমানভাবে Gn (z) → G (z)। উদাহরণ (এস1)। সেট এবং এম = ρ2। তারপর R = ρ2 − (π/6)> 0। তারপর, যদি S-এ z বোঝায় |Gn (z)। <M এবং উপপাদ্য (GF3) প্রযোজ্য হয়, যাতে এটি একেবারে একত্রিত হয়, তাই এটি অভিসারী। উদাহরণ (S2): পণ্য দ্বারা পুনরাবৃত্তভাবে সংজ্ঞায়িত পণ্যটির চেহারা রয়েছে উপপাদ্য GF3 প্রয়োগ করার জন্য এটি প্রয়োজন যেঃ আরও একবার, একটি সীমাবদ্ধতার শর্ত অবশ্যই সমর্থন করবে যদি কেউ Cβn আগে থেকে জানে, তবে নিম্নলিখিতগুলি যথেষ্ট হবেঃ তাহলে সীমাবদ্ধ ডোমেনে Gn (z) → G (z) অভিন্নভাবে। উদাহরণ (পি1)। মনে করুন কয়েকটি প্রাথমিক গণনার পরে পর্যবেক্ষণের সাথে, যে |z। ≤ 1/4 বোঝায় |Gn (z)। <0.27। তারপর এবং অভিন্নভাবে একত্রিত হয়। উদাহরণ (পি2)। অব্যাহত ভগ্নাংশ উদাহরণ (সি. এফ. 1): একটি স্ব-উৎপাদনকারী অব্যাহত ভগ্নাংশ। উদাহরণ (সি. এফ. 2): স্ব-উৎপাদনকারী বিপরীত ইউলার অবিরত ভগ্নাংশ হিসাবে সর্বোত্তম বর্ণনা। আরও দেখুন সাধারণীকৃত অব্যাহত ভগ্নাংশ রেফারেন্স জটিল বিশ্লেষণ বিশ্লেষণমূলক ফাংশন স্থির-বিন্দু উপপাদ্য অ্যালগরিদমিক আর্ট ইমার্জেন্স