Jacobson–Morozov theorem
গণিতে, জ্যাকবসন-মরোজভ উপপাদ্যটি এই দাবি করে যে একটি আধা-সহজ লাই বীজগণিতে নিলপোটেন্ট উপাদানগুলিকে এসএল2-ট্রিপল পর্যন্ত প্রসারিত করা যেতে পারে। উপপাদ্যটির নামকরণ করা হয়েছে,। বিবৃতি জ্যাকবসন-মরোজভের বিবৃতিটি নিম্নলিখিত প্রাথমিক ধারণার উপর নির্ভর করেঃ একটি আধা-সহজ লাই বীজগণিতে একটি এসএল2-ট্রিপল (এই নিবন্ধ জুড়ে, বৈশিষ্ট্য শূন্যের ক্ষেত্রের উপর) লাই অ্যালজেব্রার একটি সমরূপতা। সমতুল্যভাবে, এটি সম্পর্কগুলিকে সন্তুষ্ট করার জন্য উপাদানগুলির একটি তিনগুণ একটি উপাদানকে নিলপোটেন্ট বলা হয়, যদি এন্ডোমর্ফিজম (সংলগ্ন উপস্থাপনা হিসাবে পরিচিত) একটি নিলপোটেন্ট এন্ডোমর্ফিজম হয়। এটি একটি প্রাথমিক সত্য যে যে কোনও এসএল2-ট্রিপলের জন্য, ই অবশ্যই নিলপোটেন্ট হতে হবে। জ্যাকবসন-মরোজভ উপপাদ্যটি বলে যে, বিপরীতভাবে, যে কোনও নিলপোটেন্ট অ-শূন্য উপাদানকে একটি এসএল2-ট্রিপলে প্রসারিত করা যেতে পারে। কারণ, এইভাবে প্রাপ্ত এসএল2-ট্রিপলগুলি স্পষ্ট করা হয়েছে। উপপাদ্যটি রৈখিক বীজগাণিতিক গোষ্ঠীগুলির জন্যও বলা যেতে পারে (আবার বৈশিষ্ট্য শূন্যের একটি ক্ষেত্র k-এর উপর): যে কোনও রূপবাদ (বীজগাণিতিক গোষ্ঠীর) যোগাত্মক গোষ্ঠী থেকে এম্বেডিংয়ের মাধ্যমে একটি হ্রাসকারী গোষ্ঠী এইচ ফ্যাক্টরগুলিতে। উপরন্তু, এই জাতীয় যে কোনও দুটি ফ্যাক্টরাইজেশন এইচ-এর একটি কে-পয়েন্ট দ্বারা সংযুক্ত হয়। সাধারণীকরণ উপরে বর্ণিত উপপাদ্যটির একটি সুদূরপ্রসারী সাধারণীকরণ নিম্নরূপ বলা যেতে পারেঃ সমস্ত রৈখিক বীজগাণিতিক গোষ্ঠীতে প্রো-রিডাকটিভ গোষ্ঠীগুলির অন্তর্ভুক্তি, যেখানে উভয় বিভাগের রূপবাদগুলি উপাদানগুলির দ্বারা সংমিশ্রণে নেওয়া হয়, একটি বাম সংলগ্ন স্বীকার করে, তথাকথিত প্রো-রিডাকটিভ খাম। এই বাম দিকের সংযুক্তি যোগাত্মক গোষ্ঠীটিকে পাঠায় (যা আংশিক-সহজ, প্রো-রিডাক্টিভের বিপরীতে), যার ফলে জ্যাকবসন-মরোজভের উপরের রূপটি পুনরুদ্ধার হয়। এই সাধারণীকৃত জ্যাকবসন-মরোজভ উপপাদ্যটি ট্যানাকিয়ান বিভাগগুলির সাথে সম্পর্কিত পদ্ধতিগুলির আবেদন এবং আরও জ্যামিতিক পদ্ধতি দ্বারা প্রমাণিত হয়েছিল। তথ্যসূত্র লাই অ্যালজেব্রা বীজগাণিতিক গোষ্ঠী