Minimal ideal
বিমূর্ত বীজগণিতের শাখায় যা বলয় তত্ত্ব নামে পরিচিত, একটি বলয় R-এর একটি ন্যূনতম ডান আদর্শ হল একটি অ-শূন্য ডান আদর্শ যার অন্য কোনও অ-শূন্য ডান আদর্শ নেই। একইভাবে, একটি ন্যূনতম বাম আদর্শ হল R-এর একটি অ-শূন্য বাম আদর্শ যার R-এর অন্য কোনও অ-শূন্য বাম আদর্শ নেই এবং R-এর একটি ন্যূনতম আদর্শ হল একটি অ-শূন্য আদর্শ যার R-এর অন্য কোনও অ-শূন্য দ্বিমুখী আদর্শ নেই। অন্য কথায়, ন্যূনতম ডান আদর্শগুলি অন্তর্ভুক্তির দ্বারা ক্রমবদ্ধ R-এর অ-শূন্য ডান আদর্শের আংশিকভাবে ক্রমযুক্ত সেট (পজিট)-এর ন্যূনতম উপাদান। পাঠককে সতর্ক করা হয় যে এই প্রসঙ্গের বাইরে, আদর্শের কিছু অবস্থান শূন্য আদর্শকে স্বীকার করতে পারে, এবং তাই শূন্য আদর্শ সম্ভাব্যভাবে সেই অবস্থানের একটি ন্যূনতম উপাদান হতে পারে। এটি একটি বলয়ের মৌলিক আদর্শের অবস্থানের ক্ষেত্রে, যা শূন্য আদর্শকে ন্যূনতম মৌলিক আদর্শ হিসাবে অন্তর্ভুক্ত করতে পারে। সংজ্ঞা একটি বলয় R-এর একটি ন্যূনতম ডান আদর্শ N-এর সংজ্ঞা নিম্নলিখিত শর্তগুলির সমতুল্যঃ N হল অ-শূন্য এবং যদি K হল R-এর একটি ডান আদর্শ হয়, তাহলে হয় বা। এন হল একটি সহজ ডানদিকের আর-মডিউল। ন্যূনতম আদর্শ হল সর্বাধিক আদর্শের দ্বৈত ধারণা। গুণাবলী ন্যূনতম আদর্শের উপর অনেক মানক তথ্য,,, এবং-এর মতো মানক গ্রন্থে পাওয়া যায়। ঐক্য সহ একটি বলয়ে, সর্বাধিক সঠিক আদর্শ সর্বদা বিদ্যমান থাকে। এর বিপরীতে, একতার সাথে একটি রিংয়ে ন্যূনতম ডান, বাম বা দ্বিমুখী আদর্শের অস্তিত্বের প্রয়োজন নেই। একটি বলয়ের ডান সিকল হল একটি গুরুত্বপূর্ণ কাঠামো যা আর রিংয়ের ন্যূনতম ডান আদর্শের পরিপ্রেক্ষিতে সংজ্ঞায়িত করা হয় যার জন্য প্রতিটি ডান আদর্শের মধ্যে একটি ন্যূনতম ডান আদর্শ থাকে যা একটি অপরিহার্য ডান সিকল সহ ঠিক একই বলয়। যে কোনও ডান আর্টিনিয়ান রিং বা ডান কাস্চ রিংয়ের একটি ন্যূনতম ডান আদর্শ থাকে। যে ডোমেইনগুলি ডিভিশন রিং নয় তাদের কোনও ন্যূনতম সঠিক আদর্শ নেই। একক বলয়ের বলয়গুলিতে, ন্যূনতম ডান আদর্শগুলি অপরিহার্যভাবে প্রধান সঠিক আদর্শ, কারণ ন্যূনতম ডান আদর্শ N-এর যে কোনও অ-শূন্য x-এর জন্য, সেট xR হল N-এর অভ্যন্তরে R-এর একটি অ-শূন্য ডান আদর্শ, এবং তাই। ব্রাউয়ারের লেমাঃ একটি বলয় R-এর যে কোনও ন্যূনতম ডান আইডিয়াল N সন্তুষ্ট করে বা R-এর কিছু আদর্শ উপাদান e-এর জন্য। যদি N1 এবং N2, R-এর অ-সমরূপ ন্যূনতম সঠিক আদর্শ হয়, তাহলে গুণফল {0}-এর সমান হবে। যদি N1 এবং N2 একটি রিং R-এর স্বতন্ত্র ন্যূনতম আদর্শ হয়, তবে ন্যূনতম ডান আদর্শ সহ একটি সাধারণ বলয় হল একটি অর্ধ-সরল বলয়। একটি সেমিপ্রাইম রিংয়ে, একটি ন্যূনতম ডান আদর্শ বিদ্যমান থাকে যদি এবং শুধুমাত্র যদি একটি ন্যূনতম বাম আদর্শ বিদ্যমান থাকে। সাধারণীকরণ একটি ডান মডিউল এম-এর একটি অ-শূন্য উপ-মডিউল এন-কে ন্যূনতম উপ-মডিউল বলা হয় যদি এতে এম-এর অন্য কোনও অ-শূন্য উপ-মডিউল না থাকে। সমতুল্যভাবে, এন হল এম-এর একটি অ-শূন্য উপ-মডিউল যা একটি সহজ মডিউল। এটি একটি অ-শূন্য উপ-বিমডিউল এন-কে এম-এর ন্যূনতম উপ-বিমডিউল বলে অভিহিত করে দ্বি-মডুলগুলিতেও প্রসারিত করা যেতে পারে যদি এন-এ অন্য কোনও অ-শূন্য উপ-বিমডিউল না থাকে। যদি মডিউল এম-কে ডান আর-মডিউল আরআর হিসাবে নেওয়া হয়, তবে ন্যূনতম সাব-মডিউলগুলি ঠিক আর-এর ন্যূনতম ডান আদর্শ। একইভাবে, আর-এর ন্যূনতম বাম আদর্শগুলি সঠিকভাবে বাম মডিউল আর-এর ন্যূনতম উপ-আদর্শ। দ্বিমুখী আদর্শের ক্ষেত্রে, আমরা দেখতে পাই যে আর-এর ন্যূনতম আদর্শগুলি বাইমোডুল আর-এর ন্যূনতম উপ-আদর্শ। রিং-এর মতো, কোনও মডিউলে ন্যূনতম সাব-মডিউল থাকার কোনও নিশ্চয়তা নেই। একটি মডিউলের সকল সংজ্ঞায়িত করতে ন্যূনতম সাব-মডিউল ব্যবহার করা যেতে পারে। তথ্যসূত্র বাহ্যিক লিঙ্ক http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Minimal_ideal বিমূর্ত বীজগণিত রিং তত্ত্ব আদর্শ (রিং তত্ত্ব)