Chaotic scattering
বিশৃঙ্খলা বিচ্ছুরণ বিশৃঙ্খলা তত্ত্বের একটি শাখা যা প্রাথমিক অবস্থার প্রতি দৃঢ় সংবেদনশীলতা প্রদর্শনকারী বিচ্ছুরণ ব্যবস্থার সাথে মোকাবিলা করে। একটি ধ্রুপদী বিক্ষেপণ ব্যবস্থায় এক বা একাধিক প্রভাব পরামিতি থাকবে, বি, যেখানে একটি কণা বিক্ষেপণকারীর মধ্যে পাঠানো হয়। কণাটি অনন্তের দিকে বেরিয়ে যাওয়ার সাথে সাথে এটি এক বা একাধিক প্রস্থান পরামিতি, y-এর জন্ম দেয়। কণাটি সিস্টেমটি অতিক্রম করার সময়, একটি বিলম্ব সময়ও থাকতে পারে, টি-কণাটি সিস্টেম থেকে বেরিয়ে যেতে যে সময় নেয়-ভ্রমণ করা দূরত্ব ছাড়াও, এস। নির্দিষ্ট সিস্টেমে (যেমন। "বিলিয়ার্ড-সদৃশ" পদ্ধতি যেখানে কণাটি শক্ত, স্থির বস্তুর সাথে ক্ষতিহীন সংঘর্ষের মধ্য দিয়ে যায়) দুটি সমান হবে-নীচে দেখুন। একটি বিশৃঙ্খল বিচ্ছুরণ ব্যবস্থায়, প্রভাব পরামিতিগুলির এক মিনিটের পরিবর্তন, প্রস্থান পরামিতিগুলিতে একটি খুব বড় পরিবর্তনের জন্ম দিতে পারে। গ্যাস্পার্ড-রাইস সিস্টেম একটি চমৎকার উদাহরণ হল "গ্যাস্পার্ড-রাইস" (জিআর) বিচ্ছুরণ ব্যবস্থা-যা কেবল "থ্রি-ডিস্ক" সিস্টেম নামেও পরিচিত-যা বিশৃঙ্খল বিচ্ছুরণে অনেক গুরুত্বপূর্ণ ধারণাকে মূর্ত করে তোলে এবং সহজ এবং সহজে বোঝা এবং অনুকরণ করা যায়। ধারণাটি খুব সহজঃ আমাদের তিনটি হার্ড ডিস্ক কিছু ত্রিভুজাকার গঠনে সাজানো রয়েছে, একটি বিন্দু কণা পাঠানো হয় এবং নিখুঁত, স্থিতিস্থাপক সংঘর্ষের মধ্য দিয়ে যায় যতক্ষণ না এটি অনন্তের দিকে প্রস্থান করে। এই আলোচনায়, আমরা শুধুমাত্র একটি সমবাহু ত্রিভুজের বিন্দুর চারপাশে সমান ব্যবধানের সমান আকারের ডিস্কযুক্ত জিআর সিস্টেমগুলি বিবেচনা করব। চিত্র 1 এই ব্যবস্থাটিকে চিত্রিত করে যেখানে চিত্র 2 দুটি উদাহরণের গতিপথ দেখায়। প্রথমে লক্ষ্য করুন যে শেষ পর্যন্ত প্রস্থান করার আগে কিছু সময়ের জন্য গতিপথগুলি সিস্টেমের চারপাশে বাউন্স করে। আরও লক্ষ্য করুন যে, আমরা যদি প্রভাব পরামিতিগুলিকে বামে দুটি নিখুঁত অনুভূমিক রেখার শুরু হিসাবে বিবেচনা করি (সিস্টেমটি সম্পূর্ণরূপে বিপরীতমুখীঃ প্রস্থান বিন্দুটিও প্রবেশ বিন্দু হতে পারে), তবে দুটি গতিপথ প্রাথমিকভাবে এত কাছাকাছি যে প্রায় অভিন্ন। যখন তারা প্রস্থান করে, তখন তারা সম্পূর্ণ ভিন্ন হয়, এইভাবে প্রাথমিক অবস্থার প্রতি দৃঢ় সংবেদনশীলতা চিত্রিত করে। এই পদ্ধতিটি পুরো নিবন্ধ জুড়ে একটি উদাহরণ হিসাবে ব্যবহার করা হবে। ক্ষয় হার যদি আমরা অভিন্নভাবে বিতরণ করা প্রভাব পরামিতি সহ প্রচুর সংখ্যক কণার প্রবর্তন করি, তবে তারা যে হারে সিস্টেম থেকে বেরিয়ে আসে তা ক্ষয়ের হার হিসাবে পরিচিত। আমরা অনেক পরীক্ষায় সিস্টেমটিকে অনুকরণ করে এবং বিলম্ব সময়ের একটি হিস্টোগ্রাম তৈরি করে ক্ষয়ের হার গণনা করতে পারি, টি। জিআর সিস্টেমের জন্য, এটি সহজেই দেখা যায় যে বিলম্বের সময় এবং কণার গতিপথের দৈর্ঘ্য সমতুল্য তবে একটি গুণন সহগের জন্য। প্রভাব পরামিতিটির জন্য একটি সাধারণ পছন্দ হল y-স্থানাঙ্ক, যেখানে গতিপথ কোণটি শূন্য ডিগ্রি-অনুভূমিক-এ স্থির রাখা হয়। এদিকে, আমরা বলি যে কণাটি একবার সিস্টেমের কেন্দ্র থেকে কিছু নির্বিচারে, কিন্তু যথেষ্ট বড়, দূরত্ব অতিক্রম করার পরে "সিস্টেম থেকে বেরিয়ে গেছে"। আমরা আশা করি সিস্টেমে অবশিষ্ট কণাগুলির সংখ্যা, এন (টি), এইভাবে পরিবর্তিত হবেঃ সুতরাং ক্ষয়ের হার, এইভাবে দেওয়া হয়ঃ যেখানে এন হল মোট কণাগুলির সংখ্যা। চিত্র 3 এলোমেলো প্রভাব পরামিতি, b দিয়ে শুরু হওয়া এক মিলিয়ন (1e6) কণার অনুকরণের জন্য পথ-দৈর্ঘ্য বনাম কণাগুলির সংখ্যার একটি প্লট দেখায়। ঋণাত্মক ঢালের একটি ফিট করা সরল রেখা, আচ্ছাদিত করা হয়। পথের দৈর্ঘ্য, s, ক্ষয় সময়, T-এর সমতুল্য, যদি আমরা (ধ্রুবক) গতি যথাযথভাবে পরিমাপ করি। লক্ষ্য করুন যে একটি সূচকীয় ক্ষয়ের হার বিশেষত হাইপারবোলিক বিশৃঙ্খল বিচ্ছুরণের একটি বৈশিষ্ট্য। অ-হাইপারবোলিক বিচ্ছুরকগুলির গাণিতিক ক্ষয়ের হার থাকতে পারে। একটি পরীক্ষামূলক ব্যবস্থা এবং স্থিতিশীল বহুগুণিত চিত্র 4 একটি বিন্দু কণার পরিবর্তে একটি লেজার ব্যবহার করে গ্যাস্পার্ড-রাইস ব্যবস্থার একটি পরীক্ষামূলক উপলব্ধি দেখায়। যে কেউ আসলে এটি চেষ্টা করেছে সে জানে, সিস্টেমটি পরীক্ষা করার জন্য এটি খুব কার্যকর পদ্ধতি নয়-লেজার রশ্মি প্রতিটি দিকে ছড়িয়ে ছিটিয়ে থাকে। সুইট, ওট এবং ইয়র্ক যেমন দেখিয়েছেন, একটি আরও কার্যকর পদ্ধতি হল ডিস্কগুলির মধ্যে ফাঁকগুলির মধ্য দিয়ে রঙিন আলোকে পরিচালিত করা (বা এই ক্ষেত্রে, জোড়া সিলিন্ডার জুড়ে কাগজের টেপ রঙিন স্ট্রিপগুলি) এবং একটি খোলা ফাঁক দিয়ে প্রতিফলনগুলি দেখা। ফলস্বরূপ বিকল্প রঙের ফিতেগুলির একটি জটিল প্যাটার্ন, যা নীচে দেখানো হয়েছে, তার নীচের সিমুলেটেড সংস্করণে আরও স্পষ্টভাবে দেখা যায়। চিত্র 5 এবং 6 প্রতিটি প্রভাব পরামিতি, b-এর জন্য আকর্ষণের অববাহিকা দেখায়, অর্থাৎ, b-এর প্রদত্ত মানের জন্য, কোন ব্যবধানের মধ্য দিয়ে কণাটি বেরিয়ে যায়? অববাহিকার সীমানা একটি ক্যান্টর সেট গঠন করে এবং স্থিতিশীল বহুগুণের সদস্যদের প্রতিনিধিত্ব করেঃ এমন গতিপথ যা একবার শুরু হলে কখনও সিস্টেম থেকে বেরিয়ে আসে না। অপরিবর্তনীয় সেট এবং প্রতীকী গতিবিদ্যা যতক্ষণ না এটি প্রতিসম হয়, ততক্ষণ আমরা সহজেই সিস্টেমটিকে একটি পুনরাবৃত্ত ফাংশন মানচিত্র হিসাবে ভাবতে পারি, যা একটি বিশৃঙ্খল, গতিশীল সিস্টেমের প্রতিনিধিত্ব করার একটি সাধারণ পদ্ধতি। চিত্র 7 ভেরিয়েবলগুলির একটি সম্ভাব্য উপস্থাপনা দেখায়, প্রথম ভেরিয়েবলটি, রিবাউন্ডের সময় ডিস্কের চারপাশের কোণকে উপস্থাপন করে এবং দ্বিতীয়টি, ডিস্কের আপেক্ষিক প্রভাব/রিবাউন্ড কোণকে উপস্থাপন করে। এই দুটি চলকের একটি উপসেট, যাকে অপরিবর্তনীয় সেট বলা হয়, নিজেদের মধ্যে মানচিত্র তৈরি করবে। এই সেটটি, যার মধ্যে চারটি সদস্য চিত্র 8 এবং 9-এ দেখানো হয়েছে, ফ্র্যাক্টাল, সম্পূর্ণ অ-আকর্ষণীয় এবং শূন্য পরিমাপের হবে। এটি আরও সাধারণভাবে আলোচিত বিশৃঙ্খল ব্যবস্থার একটি আকর্ষণীয় বিপরীত, যেখানে ফ্র্যাক্টাল অপরিবর্তনীয় সেটটি আকর্ষণ করছে এবং প্রকৃতপক্ষে আকর্ষণের অববাহিকা [গুলি] নিয়ে গঠিত। লক্ষ্য করুন যে অপরিবর্তনীয় সেটের সম্পূর্ণ অ-আকর্ষণীয় প্রকৃতি একটি হাইপারবোলিক বিশৃঙ্খল বিচ্ছুরকের আরেকটি বৈশিষ্ট্য। অপরিবর্তনীয় সেটের প্রতিটি সদস্যকে প্রতীকী গতিবিদ্যা ব্যবহার করে মডেল করা যেতে পারেঃ গতিপথটি প্রতিটি ডিস্কের উপর ভিত্তি করে লেবেল করা হয় যার থেকে এটি রিবাউন্ড হয়। এই ধরনের সমস্ত অনুক্রমের সেট একটি অগণিত সেট গঠন করে। চিত্র 8 এবং 9-এ দেখানো চারটি সদস্যের জন্য, প্রতীকী গতিবিদ্যা নিম্নরূপ হবেঃ. 1212121212.. 23232323.. 3131313131.. 123123123123। যখন আপনি বিবেচনা করেন যে অপরিবর্তনীয় সেটের কোনও সদস্যকে অবশ্যই আকর্ষণের দুটি অববাহিকার মধ্যে সীমানার মধ্যে "ফিট" করতে হবে, তখন এটি স্পষ্ট যে, যদি বিচলিত হয়, তবে গতিপথটি ক্রম বরাবর যে কোনও জায়গায় প্রস্থান করতে পারে। সুতরাং এটিও স্পষ্ট হওয়া উচিত যে যে কোনও নির্দিষ্ট সীমানার মধ্যে তিনটি "রঙের" অসীম সংখ্যক পর্যায়ক্রমিক অববাহিকা বিদ্যমান থাকবে। তাদের অস্থির প্রকৃতির কারণে, অপরিবর্তনীয় সেট বা স্থিতিশীল ম্যানিফোল্ডের সদস্যদের সরাসরি অ্যাক্সেস করা কঠিন। অনিশ্চয়তা সূচকটি আদর্শভাবে এই ধরনের সিস্টেমের ফ্র্যাক্টাল মাত্রা পরিমাপ করার জন্য তৈরি করা হয়েছে। আবারও একক প্রভাব পরামিতি, খ ব্যবহার করে, আমরা এলোমেলো প্রভাব পরামিতিগুলির সাথে একাধিক পরীক্ষা করি, তাদের এক মিনিটের পরিমাণ দ্বারা বিভ্রান্ত করি এবং গণনা করি যে ডিস্কগুলি থেকে রিবাউন্ডের সংখ্যা কত ঘন ঘন পরিবর্তিত হয়, অর্থাৎ অনিশ্চয়তার ভগ্নাংশ। লক্ষ্য করুন যে সিস্টেমটি দ্বিমাত্রিক হলেও, একটি একক প্রভাব পরামিতি স্থিতিশীল ম্যানিফোল্ডের ফ্র্যাক্টাল মাত্রা পরিমাপ করার জন্য যথেষ্ট। এটি চিত্র 10-এ প্রদর্শিত হয়েছে, যা একটি দ্বৈত প্রভাব পরামিতি হিসাবে পরিকল্পিত আকর্ষণের অববাহিকা দেখায়, এবং। স্থিতিশীল বহুগুণ, যা অববাহিকার মধ্যে সীমানায় দেখা যায়, শুধুমাত্র একটি মাত্রা বরাবর ফ্র্যাক্টাল। চিত্র 11 একটি সিমুলেটেড গ্যাস্পার্ড-রাইস সিস্টেমের জন্য অনিশ্চয়তার একটি ফাংশন হিসাবে অনিশ্চয়তার ভগ্নাংশ, f, প্লট করে। ফিট করা বক্ররেখার ঢাল অনিশ্চয়তা সূচক ফিরিয়ে দেয়, এইভাবে স্থিতিশীল বহুগুণের বাক্স-গণনার মাত্রা হল,। অপরিবর্তনীয় সেট হল স্থিতিশীল এবং অস্থির ম্যানিফোল্ডের ছেদ। যেহেতু সিস্টেমটি একই, তা সে সামনের দিকে হোক বা পিছনের দিকে, অস্থিতিশীল ম্যানিফোল্ডটি কেবল স্থিতিশীল ম্যানিফোল্ডের মিরর ইমেজ এবং তাদের ফ্র্যাক্টাল মাত্রা সমান হবে। এই ভিত্তিতে আমরা অপরিবর্তনীয় সেটের ফ্র্যাক্টাল মাত্রা গণনা করতে পারিঃ যেখানে D _ s এবং D _ u যথাক্রমে স্থিতিশীল এবং অস্থির ম্যানিফোল্ডের ফ্র্যাক্টাল মাত্রা এবং N = 2 হল সিস্টেমের মাত্রা। অপরিবর্তনীয় সেটের ফ্র্যাক্টাল মাত্রা হল D = 1.24। ফ্র্যাক্টাল মাত্রা, ক্ষয়ের হার এবং লিয়াপুনভ সূচকগুলির মধ্যে সম্পর্ক পূর্ববর্তী আলোচনা থেকে, এটি স্পষ্ট হওয়া উচিত যে ক্ষয়ের হার, ফ্র্যাক্টাল মাত্রা এবং লিয়াপুনভ সূচকগুলি সবই সম্পর্কিত। উদাহরণস্বরূপ, বড় লিয়াপুনভ সূচকটি আমাদের বলে যে অপরিবর্তনীয় সেটের একটি গতিপথ কতটা দ্রুত বিচ্যুত হবে যদি বিচলিত হয়। একইভাবে, ফ্র্যাক্টাল মাত্রা আমাদের অপরিবর্তনীয় সেটের কক্ষপথের ঘনত্ব সম্পর্কে তথ্য দেবে। এইভাবে আমরা দেখতে পাচ্ছি যে উভয়ই একটি দ্বি-মাত্রিক বিচ্ছুরণ ব্যবস্থার জন্য নিম্নলিখিত অনুমান অনুযায়ী ক্ষয়ের হারকে প্রভাবিত করবেঃ যেখানে ডি1 হল তথ্যের মাত্রা এবং এইচ1 এবং এইচ2 হল যথাক্রমে ছোট এবং বড় লিয়াপুনভ সূচক। একটি আকর্ষণীয় জন্য, এবং এটি কাপলান-ইয়র্ক অনুমানে হ্রাস পায়। আরও দেখুন লেকস অফ ওয়াডা অনিশ্চয়তা সূচক রেফারেন্স গ্যাস্পার্ড-রাইস সিস্টেম অনুকরণের জন্য বাহ্যিক লিঙ্ক সফ্টওয়্যার গ্যাস্পার্ড-রাইস সিস্টেম এবং এর প্রতীকী গতিশীলতার একটি সিমুলেশন, ক্যাওস ভি থেকেঃ ডুহেমের বুল ক্যাওস তত্ত্ব বিচ্ছুরণ