Projective range
গণিতে, প্রজেক্টিভ রেঞ্জ হল প্রজেক্টিভ জ্যামিতিতে পয়েন্টের একটি সেট যা একটি সমন্বিত পদ্ধতিতে বিবেচনা করা হয়। একটি প্রজেক্টিভ পরিসীমা একটি প্রজেক্টিভ লাইন বা একটি শঙ্কু হতে পারে। একটি প্রজেক্টিভ পরিসীমা হল একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে রেখাগুলির পেন্সিলের দ্বৈত। উদাহরণস্বরূপ, একটি পারস্পরিক সম্পর্ক একটি পেন্সিলের রেখার সাথে একটি প্রজেক্টিভ রেঞ্জের পয়েন্টগুলিকে বিনিময় করে। একটি প্রজেক্টিভিটি এক পরিসীমা থেকে অন্য পরিসরে কাজ করে বলে মনে করা হয়, যদিও দুটি পরিসীমা সেট হিসাবে মিলিত হতে পারে। একটি প্রজেক্টিভ পরিসীমা প্রজেক্টিভ হারমোনিক কনজুগেটগুলির সম্পর্কের প্রজেক্টিভ ইনভারিয়েন্স প্রকাশ করে। প্রকৃতপক্ষে, একটি প্রক্ষিপ্ত রেখার তিনটি বিন্দু এই সম্পর্ক দ্বারা একটি চতুর্থাংশ নির্ধারণ করে। এই চতুষ্কোণটিতে প্রজেক্টিভিটির প্রয়োগের ফলে সুরেলা সম্পর্কের ক্ষেত্রেও একইভাবে চারটি পয়েন্ট পাওয়া যায়। এই ধরনের চারগুণ বিন্দুকে সুরেলা পরিসীমা বলা হয়। 1940 সালে জুলিয়ান কুলিজ এই কাঠামোটি বর্ণনা করেন এবং এর উৎপাদককে চিহ্নিত করেনঃ দুটি মৌলিক এক-মাত্রিক রূপ যেমন বিন্দু পরিসীমা, রেখার পেন্সিল বা সমতলকে প্রজেক্টিভ হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়, যখন তাদের সদস্যরা এক-থেকে-এক চিঠিতে থাকে এবং একটির সুরেলা সেট অন্যটির সুরেলা সেটের সাথে মিলে যায়। । যদি দুটি এক-মাত্রিক রূপ প্রজেকশন এবং ছেদগুলির একটি ট্রেন দ্বারা সংযুক্ত থাকে, তবে সুরেলা উপাদানগুলি সুরেলা উপাদানগুলির সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ হবে এবং তারা ভন স্টাউট অর্থে প্রজেকটিভ। কনিক রেঞ্জ যখন একটি প্রজেক্টিভ রেঞ্জের জন্য একটি শঙ্কু বেছে নেওয়া হয়, এবং শঙ্কুতে একটি নির্দিষ্ট বিন্দু E কে উৎস হিসাবে নির্বাচন করা হয়, তখন পয়েন্টগুলির সংযোজনকে নিম্নরূপ সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারেঃ ধরা যাক A এবং B পরিসীমা (শঙ্কু) এবং AB তাদের সংযুক্তকারী রেখা। ধরা যাক L হল E-এর মধ্য দিয়ে যাওয়া রেখা এবং AB-এর সমান্তরাল। "এ এবং বি বিন্দুর সমষ্টি", এ + বি, হল সীমার সঙ্গে এল-এর ছেদ। বৃত্ত এবং হাইপারবোলা একটি শঙ্কু এবং উভয় কোণের সমষ্টি "পয়েন্টের যোগফল" পদ্ধতি দ্বারা তৈরি করা যেতে পারে, যদি পয়েন্টগুলি বৃত্তের কোণ এবং হাইপারবোলার হাইপারবোলিক কোণের সাথে যুক্ত থাকে। তথ্যসূত্র এইচ. এস. এম. কক্সেটার (1955) দ্য রিয়েল প্রজেক্টিভ প্লেন, ইউনিভার্সিটি অফ টরন্টো প্রেস, লাইনের জন্য পৃষ্ঠা 20, কনিকের জন্য পৃষ্ঠা 101। প্রজেক্টিভ জ্যামিতি