Flat cover
বীজগণিতে, একটি বলয়ের উপর একটি মডিউল এম-এর একটি সমতল আবরণ একটি সমতল মডিউল এফ থেকে এম পর্যন্ত একটি সার্জেক্টিভ সমরূপতা যা কিছু অর্থে ন্যূনতম। একটি বলয়ের উপর যে কোনও মডিউলের একটি সমতল আবরণ থাকে যা (অ-অনন্য) সমরূপতা পর্যন্ত অনন্য। ফ্ল্যাট কভারগুলি এক অর্থে ইনজেকটিভ হুলগুলির সাথে দ্বৈত, এবং প্রজেক্টিভ কভার এবং টর্জন-মুক্ত কভারের সাথে সম্পর্কিত। সংজ্ঞাগুলি সমরূপতা F → M কে M-এর একটি সমতল আবরণ হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় যদি এটি সার্জেক্টিভ হয়, F সমতল হয়, প্রতিটি সমরূপতা ফ্ল্যাট মডিউল থেকে M পর্যন্ত F-এর মাধ্যমে ফ্যাক্টর, এবং F থেকে F পর্যন্ত যে কোনও মানচিত্র মানচিত্রের সাথে মানচিত্রের সাথে M-এ যাতায়াত করা হল F-এর একটি স্বয়ংক্রিয়তা। যদিও মডিউলগুলির জন্য প্রজেক্টিভ আবরণ সর্বদা বিদ্যমান থাকে না, তবে এটি অনুমান করা হয়েছিল যে সাধারণ বলয়ের জন্য প্রতিটি মডিউলের একটি সমতল আবরণ থাকবে। এই সমতল আবরণ অনুমানটি স্পষ্টভাবে প্রথম উল্লেখ করা হয়েছিল। অনুমানটি সত্য বলে প্রমাণিত হয়েছিল, ইতিবাচকভাবে সমাধান করা হয়েছিল এবং একই সাথে দ্বারা প্রমাণিত হয়েছিল। এর আগে পি একলোফ, জে ত্রিলিফাজ এবং জে জু গুরুত্বপূর্ণ অবদান রেখেছিলেন। ন্যূনতম সমতল রেজোলিউশন একটি রিংয়ের উপর যে কোনও মডিউল এম-এর সমতল মডিউল দ্বারা এমন রেজোলিউশন থাকে যে প্রতিটি Fn + 1 হল Fn → Fn−1-এর কার্নেলের সমতল আবরণ। এই ধরনের রেজোলিউশন আইসোমরফিজম পর্যন্ত অনন্য, এবং এই অর্থে একটি ন্যূনতম সমতল রেজোলিউশন যে এম এর মাধ্যমে যে কোনও সমতল রেজোলিউশন ফ্যাক্টর। মডিউলগুলির যে কোনও সমরূপতা সংশ্লিষ্ট সমতল রেজোলিউশনের মধ্যে সমরূপতা পর্যন্ত প্রসারিত হয়, যদিও এই এক্সটেনশনটি সাধারণভাবে অনন্য নয়। তথ্যসূত্র মডিউল তত্ত্ব