Conformal welding
গণিতে, কনফরমাল ওয়েল্ডিং (সেলাই বা গ্লুইং) জ্যামিতিক ফাংশন তত্ত্বের একটি প্রক্রিয়া যা দুটি রিম্যান পৃষ্ঠকে একত্রিত করে একটি রিম্যান পৃষ্ঠ তৈরি করে, যার প্রতিটি ডিস্ক তাদের সীমানা বৃত্ত বরাবর সরানো থাকে। এই সমস্যাটিকে একক ডিস্কের অভিন্ন হোলোমর্ফিক মানচিত্র f, g এবং বর্ধিত জটিল সমতলে এর পরিপূরক খুঁজে বের করার ক্ষেত্রে হ্রাস করা যেতে পারে, উভয়ই তাদের ডোমেনগুলি বন্ধ করার জন্য অবিচ্ছিন্ন সম্প্রসারণ স্বীকার করে, যেমন চিত্রগুলি পরিপূরক জর্ডান ডোমেন এবং এমন যে একক বৃত্তে তারা একটি প্রদত্ত কোয়াসিসিমেট্রিক হোমোমর্ফিজম দ্বারা পৃথক হয়। বেলট্রামি সমীকরণ, বৃত্তের হিলবার্ট রূপান্তর এবং প্রাথমিক আনুমানিক কৌশল সহ বিভিন্ন কৌশল ব্যবহার করে বেশ কয়েকটি প্রমাণ জানা যায়। কনফরমাল ওয়েল্ডিংয়ের প্রথম দুটি পদ্ধতি বর্ণনা করার পাশাপাশি সমতলে আকারের বিশ্লেষণে সংখ্যাসূচক গণনা এবং প্রয়োগ প্রদান করে। বেলট্রামি সমীকরণ ব্যবহার করে ঢালাই এই পদ্ধতিটি প্রথম দ্বারা প্রস্তাবিত হয়েছিল। যদি f বৃত্তের একটি ডিফিয়োমরফিজম হয়, আলেকজান্ডার এক্সটেনশন f কে একক ডিস্ক D-এর ডিফিয়োমরফিজম পর্যন্ত প্রসারিত করার একটি উপায় দেয়ঃ যেখানে ± একটি মসৃণ ফাংশন যার মান [0,1], 0-এর কাছাকাছি 0 এবং 1-এর কাছাকাছি 1, এবং g (θ + 2π) = g (θ) + 2π। এফ এক্সটেনশনটি আর> 1 সহ যে কোনও বড় ডিস্ক |z। <আর-এ অব্যাহত রাখা যেতে পারে। তদনুসারে একক ডিস্কে এখন |z। ≤1-এর জন্য 0-এর সমান সেট করে সমগ্র C-এর উপর একটি বেলট্রামি সহগ পর্যন্ত প্রসারিত করুন। ধরা যাক, G হল বেলট্রামি সমীকরণের সংশ্লিষ্ট সমাধানঃ ধরা যাক, |z। ≤1-এর জন্য F1 (z) = G°F−1 (z) এবং |z। ≤1-এর জন্য F2 (z) = G (z)। সুতরাং F1 এবং F2 হল জর্ডান বক্ররেখার ভিতরে এবং বাইরে |z। <1 এবং |z।> 1-এর অভিন্ন হোলোমর্ফিক মানচিত্র। এগুলি সীমানায় জর্ডান বক্ররেখার উপর একক বৃত্তের সমরূপতা পর্যন্ত অবিচ্ছিন্নভাবে প্রসারিত হয়। নির্মাণের মাধ্যমে তারা কনফরমাল ওয়েল্ডিং শর্ত পূরণ করেঃ বৃত্তের উপর হিলবার্ট রূপান্তর ব্যবহার করে ওয়েল্ডিং কনফরমাল ওয়েল্ডিং প্রতিষ্ঠার জন্য হিলবার্ট রূপান্তর ব্যবহারের পরামর্শ প্রথম দিয়েছিলেন জর্জিয়ান গণিতবিদ ডি. জি। 1958 সালে মান্দঝাভিডজে এবং বি. ভি. খভেদেলিডজে। একই সময়ে এফ. ডি. একটি বিস্তারিত বিবরণ দিয়েছিল। গাখভ এবং তাঁর ক্লাসিক মনোগ্রাফ ()-এ উপস্থাপন করেছেন। ধরা যাক, এন (θ) = এইন (θ) হল এল2 (টি)-এর আদর্শ অর্থোনর্মাল ভিত্তি। ধরা যাক H2 (T) হার্ডি স্পেস, বন্ধ সাবস্পেসটি এন দ্বারা n ≤ 0 দিয়ে বিস্তৃত। ধরা যাক P হার্ডি স্পেসে অর্থোগোনাল প্রজেকশন এবং T = 2P-I সেট করুন। অপারেটর এইচ = আই. টি হল বৃত্তের হিলবার্ট রূপান্তর এবং এটি একটি একক অবিচ্ছেদ্য অপারেটর হিসাবে লেখা যেতে পারে। একক বৃত্তের একটি ডিফিয়োমরফিজম f দেওয়া হলে, কাজটি হল |z। <1 এবং |z।> 1-এ সংজ্ঞায়িত দুটি অভিন্ন হোলোমরফিক ফাংশন নির্ধারণ করা এবং উভয়ই একক বৃত্ত পর্যন্ত মসৃণভাবে প্রসারিত করা, একটি জর্ডান ডোমেন এবং তার পরিপূরকের উপর ম্যাপিং করা, যাতে ধরা যাক F একক বৃত্তে f +-এর সীমাবদ্ধতা হয়। তারপর এবং তাই যদি ভি (এফ) ডিফিয়োমরফিজম এফ দ্বারা প্ররোচিত এল 2-এর উপর আবদ্ধ বিপরীতমুখী অপারেটরকে নির্দেশ করে, তবে অপারেটরটি কম্প্যাক্ট হয়, প্রকৃতপক্ষে এটি মসৃণ কার্নেল সহ একটি অপারেটর দ্বারা দেওয়া হয় কারণ পি এবং টি একক ইন্টিগ্রাল অপারেটর দ্বারা দেওয়া হয়। অপারেটর I − Kf হল সূচক শূন্যের একটি ফ্রেডহোম অপারেটর। এটির শূন্য কার্নেল রয়েছে এবং তাই এটি বিপরীতমুখী। প্রকৃতপক্ষে কার্নেলের একটি উপাদান D এবং Dc-তে একজোড়া হোলোমর্ফিক ফাংশন নিয়ে গঠিত হবে যার f দ্বারা সম্পর্কিত বৃত্তে মসৃণ সীমানা মান রয়েছে। যেহেতু Dc-তে হোলোমর্ফিক ফাংশন φ-তে অদৃশ্য হয়ে যায়, তাই এই জুটির ধনাত্মক শক্তিগুলিও সমাধান প্রদান করে, যা রৈখিকভাবে স্বাধীন, এই সত্যের বিরোধিতা করে যে I−Kf একটি ফ্রেডহোম অপারেটর। সুতরাং উপরের সমীকরণটির একটি অনন্য সমাধান F রয়েছে যা মসৃণ এবং যেখান থেকে উপরের ধাপগুলি বিপরীত করে f ± পুনর্গঠন করা যেতে পারে। প্রকৃতপক্ষে, F-এর ব্যুৎপত্তির লগারিদম দ্বারা সন্তুষ্ট সমীকরণটি দেখলে, এটি অনুসরণ করা হয় যে একক বৃত্তে F-এর কোথাও ব্যুৎপত্তি নেই। উপরন্তু F হল বৃত্তের এক-থেকে-এক কারণ এটি যদি বিভিন্ন বিন্দু z1 এবং z2-এ a মান ধরে নেয় তবে R (z) = (F (z) − a)/(z-z1) (z − z2)-এর লগারিদম একটি অবিচ্ছেদ্য সমীকরণকে সন্তুষ্ট করবে যার কোনও অ-শূন্য সমাধান নেই। একক বৃত্তের এই বৈশিষ্ট্যগুলি দেওয়া হলে, f ±-এর প্রয়োজনীয় বৈশিষ্ট্যগুলি যুক্তি নীতি থেকে অনুসরণ করা হয়। নোটে তথ্যসূত্র বিশ্লেষণে উপপাদ্য জটিল বিশ্লেষণ রিম্যান সারফেস