Koenigs function
গণিতে, কোয়েনিগস ফাংশন হল জটিল বিশ্লেষণ এবং গতিশীল ব্যবস্থায় উদ্ভূত একটি ফাংশন। 1884 সালে ফরাসি গণিতবিদ গ্যাব্রিয়েল কোয়েনিগস দ্বারা প্রবর্তিত, এটি জটিল সংখ্যার মধ্যে একক ডিস্কের একটি অভিন্ন হোলোমর্ফিক ম্যাপিং বা ম্যাপিংয়ের একটি সেমিগ্রুপের বিস্তার হিসাবে একটি ক্যানোনিকাল উপস্থাপনা দেয়। কোয়েনিগস ফাংশনের অস্তিত্ব এবং স্বতন্ত্রতা ধরা যাক জটিল সংখ্যার একক ডিস্ক হল ডি। ধরা যাক একটি হোলোমর্ফিক ফাংশন যা ডি-কে নিজের মধ্যে ম্যাপিং করে, বিন্দু 0 স্থির করে, একইভাবে 0 নয় এবং ডি-এর অটোমরফিজম নয়, অর্থাৎ। এসইউ (1,1)-এ একটি ম্যাট্রিক্স দ্বারা সংজ্ঞায়িত একটি মোবিয়াস রূপান্তর। ডেনজয়-ওল্ফ উপপাদ্য অনুসারে, প্রতিটি ডিস্ক |z। <r অপরিবর্তনীয় থাকে এবং এর পুনরাবৃত্তিগুলি কম্প্যাক্টাতে 0-তে অভিন্নভাবে মিলিত হয়ঃ প্রকৃতপক্ষে 0 <<1-এর জন্য, |z। ≤ r-এর জন্য M (r) <1-এর সাথে। উপরন্তু '(0) = 0 সহ <। <1. প্রমাণ করে যে ডি-তে সংজ্ঞায়িত একটি অনন্য হোলোমরফিক ফাংশন এইচ রয়েছে, যাকে কোয়েনিগস ফাংশন বলা হয়, যেমন (0) = 0,' (0) = 1 এবং শ্রোডারের সমীকরণ সন্তুষ্ট হয়, স্বাভাবিক পুনরাবৃত্তির কম্প্যাক্টাতে ফাংশন এইচ হল অভিন্ন সীমা,। তাছাড়া, যদি সমান না হয়, তাহলেও তাই। ফলস্বরূপ, যখন (এবং তাই) অভিন্ন হয়, তখন ওপেন ডোমেনের সাথে চিহ্নিত করা যেতে পারে। এই কনফরমাল আইডেন্টিফিকেশন-এর অধীনে, ম্যাপিংটি একটি ডাইলেশন দ্বারা গুণিত হয়। অনন্যতার প্রমাণ। যদি আরেকটি সমাধান হয়, তবে বিশ্লেষণের মাধ্যমে, এটি দেখানোর জন্য যথেষ্ট যে k = h 0-এর কাছাকাছি। 0-এর কাছাকাছি আসা যাক। এইভাবে H (0) = 0, H "'(0) = 1 এবং, |z। স্মলের জন্য, পাওয়ার সিরিজে প্রতিস্থাপিত করার জন্য, এটি 0 এর কাছাকাছি অনুসরণ করে। তাই কাছাকাছি 0.Existence। অন্যদিকে, যদি তখন শোয়ার্জ লেম্মা দ্বারা হয়, তাহলে অভিন্নতার পর থেকে ওয়েয়ারস্ট্রাস এম-টেস্ট দ্বারা জিএন |z। ≤ আর-এর জন্য অভিন্নভাবে একত্রিত হয়। হারউইট্জের উপপাদ্য অনুসারে, যেহেতু প্রতিটি জিএন অভিন্ন এবং স্বাভাবিক, অর্থাৎ। 0 স্থির করে এবং সেখানে ডেরিভেটিভ 1 রয়েছে, তাদের সীমাও অভিন্ন। একটি সেমিগ্রুপের কোয়েনিগস ফাংশন ধরা যাক হলোমর্ফিক ইউনিভ্যালেন্ট ম্যাপিং-এর একটি সেমিগ্রুপ যা নিজের মধ্যে 0 নির্ধারণ করে এমন জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে যা> 0-এর জন্য অটোমরফিজম নয় এবং> 0 সহ প্রত্যেকটির একই কোয়েনিগস ফাংশন রয়েছে, cf। পুনরাবৃত্ত ফাংশন। প্রকৃতপক্ষে, যদি h হল কোয়েনিগস ফাংশন, তাহলে শ্রোয়েডারের সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে এবং তাই এটি h-এর অনুপাত। অভিন্ন অর্ধগোষ্ঠীর গঠন ডোমেনে, মানচিত্রগুলি একটি অবিচ্ছিন্ন অর্ধগোষ্ঠী দ্বারা গুণিত হয়। সুতরাং Re <0 এর সাথে একটি অনন্যভাবে নির্ধারিত সমাধান কোথায়। এর ফলে সেমিগ্রুপটি 0-এ ডিফারেনশিয়েবল হয়। একটি হোলোমর্ফিক ফাংশনকে v (0) = 0 এবং {{math|v '(0)}} = দিয়ে চালু করা যাক। তারপর একটি ভেক্টর ক্ষেত্রের জন্য প্রবাহ সমীকরণ। 0 <λ <1-এর ক্ষেত্রে সীমাবদ্ধ থাকলে, h (D ")-কে অবশ্যই তারার মতো হতে হবে যাতে একই ফলাফল পারস্পরিকের ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য হয়, যাতে বিপরীতভাবে, উপরের ধাপগুলিকে বিপরীতমুখী করে, যে কোনও হোলোমর্ফিক ভেক্টর ক্ষেত্র এই শর্তগুলিকে সন্তুষ্ট করে একটি সেমিগ্রুপের সাথে যুক্ত থাকে, নোটস রেফারেন্স সহ ASIN: B0006BTAC2 জটিল বিশ্লেষণ গতিশীল সিস্টেমের প্রকারের ফাংশন