Probability bounds analysis
সম্ভাব্যতা সীমা বিশ্লেষণ (পি. বি. এ) হল বিভিন্ন ধরনের অনিশ্চয়তার মুখে গুণগত এবং পরিমাণগত গণনা করার জন্য অনিশ্চয়তা প্রচারের পদ্ধতির একটি সংগ্রহ। এটি গাণিতিক অভিব্যক্তির মাধ্যমে র্যান্ডম ভেরিয়েবল এবং অন্যান্য পরিমাণ সম্পর্কে আংশিক তথ্য প্রজেক্ট করতে ব্যবহৃত হয়। উদাহরণস্বরূপ, এটি একটি যোগফল, পণ্য বা আরও জটিল ফাংশনের বিতরণের উপর নির্দিষ্ট সীমা গণনা করে, শুধুমাত্র ইনপুটগুলির বিতরণের উপর নির্দিষ্ট সীমা দেওয়া হয়। এই ধরনের সীমাগুলিকে সম্ভাব্যতা বাক্স বলা হয়, এবং ক্রমবর্ধমান সম্ভাব্যতা বিতরণকে সীমাবদ্ধ করে (ঘনত্ব বা ভর ফাংশনের পরিবর্তে)। এই বাউন্ডিং পদ্ধতি বিশ্লেষকদের প্যারামিটার মান, ভেরিয়েবলের মধ্যে নির্ভরতা বা এমনকি বিতরণ আকৃতি সম্পর্কে অত্যধিক সুনির্দিষ্ট অনুমানের প্রয়োজন ছাড়াই গণনা করার অনুমতি দেয়। সম্ভাব্যতা সীমা বিশ্লেষণ মূলত আদর্শ ব্যবধান বিশ্লেষণ এবং শাস্ত্রীয় সম্ভাব্যতা তত্ত্বের পদ্ধতির একটি সংমিশ্রণ। সম্ভাব্যতা সীমা বিশ্লেষণ একই উত্তর দেয় যেমন ব্যবধান বিশ্লেষণ করে যখন শুধুমাত্র পরিসরের তথ্য পাওয়া যায়। এটি মন্টে কার্লো সিমুলেশনের মতো একই উত্তর দেয় যখন ইনপুট বিতরণ এবং তাদের নির্ভরতা সুনির্দিষ্টভাবে নির্দিষ্ট করার জন্য তথ্য প্রচুর পরিমাণে থাকে। সুতরাং, এটি ব্যবধান বিশ্লেষণ এবং সম্ভাব্যতা তত্ত্ব উভয়েরই একটি সাধারণীকরণ। সম্ভাব্যতা সীমা বিশ্লেষণের সমন্বয়ে গঠিত বিভিন্ন পদ্ধতিগুলি গাণিতিক অভিব্যক্তিগুলি মূল্যায়নের জন্য অ্যালগরিদম সরবরাহ করে যখন ইনপুট মান, তাদের নির্ভরতা বা এমনকি গাণিতিক অভিব্যক্তিটির রূপ সম্পর্কে অনিশ্চয়তা থাকে। গণনাগুলি ফলাফল দেয় যা আউটপুট পরিবর্তনশীলের সমস্ত সম্ভাব্য বিতরণগুলিকে আবদ্ধ করার নিশ্চয়তা দেয় যদি ইনপুট পি-বাক্সগুলিও তাদের নিজ নিজ বিতরণগুলিকে আবদ্ধ করতে নিশ্চিত হয়। কিছু ক্ষেত্রে, একটি গণনা করা পি-বক্সও এই অর্থে সর্বোত্তম-সম্ভাব্য হবে যে কিছু সম্ভাব্য বিতরণ বাদ না দিয়ে সীমানা আরও শক্ত হতে পারে না। পি-বাক্সগুলি সাধারণত সম্ভাব্য বণ্টনের উপর সীমাবদ্ধ থাকে। সীমানা প্রায়শই এমন বিতরণগুলিকেও আবদ্ধ করে যা নিজেরাই সম্ভব নয়। উদাহরণস্বরূপ, দুটি (সুনির্দিষ্ট) বিতরণ থেকে স্বাধীনতা অনুমান ছাড়াই এলোমেলো মান যোগ করার ফলে যে সম্ভাব্যতা বিতরণের সেট হতে পারে তা সাধারণত যোগফলের জন্য গণনা করা পি-বক্স দ্বারা আবদ্ধ সমস্ত বিতরণের একটি যথাযথ উপসেট। অর্থাৎ, আউটপুট পি-বাক্সের মধ্যে এমন বিতরণ রয়েছে যা দুটি ইনপুট বিতরণের মধ্যে কোনও নির্ভরতার অধীনে উদ্ভূত হতে পারে না। আউটপুট পি-বক্সে অবশ্য সর্বদা সম্ভাব্য সমস্ত বিতরণ থাকবে, যতক্ষণ না ইনপুট পি-বাক্সগুলি তাদের নিজ নিজ অন্তর্নিহিত বিতরণগুলিকে আবদ্ধ করতে নিশ্চিত ছিল। এই বৈশিষ্ট্যটি প্রায়শই ঝুঁকি বিশ্লেষণ এবং অনিশ্চয়তার মধ্যে গণনার প্রয়োজন এমন অন্যান্য ক্ষেত্রে ব্যবহারের জন্য যথেষ্ট। সীমাবদ্ধ সম্ভাবনার ইতিহাস সম্ভাব্যতা তত্ত্বের ইতিহাস জুড়ে সীমাবদ্ধ সম্ভাবনার ধারণার একটি দীর্ঘ ঐতিহ্য রয়েছে। প্রকৃতপক্ষে, 1854 সালে জর্জ বুল তাঁর দ্য ল 'স অফ থট-এ সম্ভাবনার উপর ব্যবধান সীমার ধারণাটি ব্যবহার করেছিলেন। এছাড়াও 19 শতকের শেষার্ধ থেকে, চেবিশেভকে দায়ী করা অসমতা একটি বিতরণের সীমা বর্ণনা করে যখন কেবলমাত্র চলকের গড় এবং বৈচিত্র্য জানা যায়, এবং মার্কভের সাথে সম্পর্কিত অসমতা একটি ধনাত্মক চলকের সীমা খুঁজে পায় যখন শুধুমাত্র গড় জানা যায়। কিবুর্গ ব্যবধান সম্ভাবনার ইতিহাস পর্যালোচনা করেন এবং 20শ শতাব্দী জুড়ে সমালোচনামূলক ধারণাগুলির বিকাশের সন্ধান করেন, যার মধ্যে কেইনস দ্বারা সমর্থিত অতুলনীয় সম্ভাবনার গুরুত্বপূর্ণ ধারণাও রয়েছে। 1930-এর দশকে নির্ভরশীলতা অনুমান ছাড়াই মোট সম্ভাব্যতা জড়িত গণনার উপর ফ্রেচেটের ব্যুৎপত্তি বিশেষভাবে লক্ষণীয়। বাউন্ডিং সম্ভাব্যতা বর্তমান দিন পর্যন্ত অব্যাহত রয়েছে (যেমন, ওয়ালির অস্পষ্ট সম্ভাবনার তত্ত্ব)। সম্ভাব্যতা সীমা বিশ্লেষণের যে পদ্ধতিগুলি নিয়মিতভাবে ঝুঁকি মূল্যায়নে ব্যবহার করা যেতে পারে সেগুলি 1980-এর দশকে তৈরি করা হয়েছিল। হেইলপেরিন বুলের ধারণাগুলি প্রসারিত করে যৌক্তিক গণনা সীমাবদ্ধ করার জন্য একটি গণনামূলক পরিকল্পনার বর্ণনা দিয়েছেন। ইয়াগার প্রাথমিক পদ্ধতিগুলি বর্ণনা করেছেন যার দ্বারা স্বাধীনতার অনুমানের অধীনে জটিলতার সীমা গণনা করা যেতে পারে। প্রায় একই সময়ে, মাকারভ এবং স্বাধীনভাবে, রুশেনডর্ফ সমস্যাটি সমাধান করেছিলেন, যা মূলত কোলমোগোরভের দ্বারা উত্থাপিত হয়েছিল, কীভাবে এলোমেলো চলকগুলির যোগফলের সম্ভাব্যতা বিতরণের জন্য উপরের এবং নীচের সীমা খুঁজে বের করা যায় যার প্রান্তিক বিতরণ, তবে তাদের যৌথ বিতরণ নয়, জানা যায়। ফ্রাঙ্ক এবং অন্যান্য। মাকারভের ফলাফলকে সাধারণীকরণ করেন এবং কপুলার পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করেন। সেই সময় থেকে, যোগফলের জন্য সূত্র এবং অ্যালগরিদমগুলি সাধারণীকরণ করা হয়েছে এবং বিভিন্ন নির্ভরতার অনুমানের অধীনে পার্থক্য, পণ্য, কোটিয়েন্ট এবং অন্যান্য বাইনারি এবং ইউনারি ফাংশনে প্রসারিত করা হয়েছে। গাণিতিক অভিব্যক্তি গাণিতিক অভিব্যক্তি যা সংযোজন, বিয়োগ, গুণ, বিভাগ, মিনিমা, ম্যাক্সিমা, পাওয়ার, এক্সপোনেনশিয়াল, লগারিদম, বর্গমূল, পরম মান ইত্যাদির মতো ক্রিয়াকলাপের সাথে জড়িত, সাধারণত ঝুঁকি বিশ্লেষণ এবং অনিশ্চয়তা মডেলিংয়ে ব্যবহৃত হয়। কনভোলিউশন হল সম্ভাব্যতা বিতরণ দ্বারা নির্দিষ্ট স্বাধীন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের যোগফলের সম্ভাব্যতা বিতরণ খুঁজে বের করার প্রক্রিয়া। আমরা অন্যান্য গাণিতিক ফাংশন (পণ্য, পার্থক্য, ভাগফল এবং আরও জটিল ফাংশন) এবং আন্তঃপরিবর্তনশীল নির্ভরতা সম্পর্কে অন্যান্য অনুমানের বিতরণ খুঁজে বের করার জন্য শব্দটি প্রসারিত করতে পারি। ইনপুটগুলির মধ্যে নির্ভরতা সম্পর্কে বিভিন্ন অনুমানের অধীনে এই সাধারণীকৃত কনভোলিউশনগুলি গণনা করার জন্য সুবিধাজনক অ্যালগরিদম রয়েছে। গাণিতিক বিবরণ আসুন বাস্তব সংখ্যার উপর বন্টন ফাংশনের স্থান নির্দেশ করি অর্থাৎ, একটি পি-বাক্স হল একটি কুইন্টুপল যেখানে বাস্তব ব্যবধান রয়েছে এবং এই কুইন্টুপল বন্টন ফাংশনের সেটকে বোঝায় যেমনঃ যদি কোনও ফাংশন উপরের সমস্ত শর্ত পূরণ করে তবে তাকে পি-বাক্সের ভিতরে বলা হয়। কিছু কিছু ক্ষেত্রে, পি-বাক্সের প্রান্ত গঠনকারী দুটি বিতরণ ফাংশনে এনকোড করা মুহূর্ত বা বিতরণ পরিবার সম্পর্কে অন্য কোনও তথ্য থাকতে পারে না। তারপর পি-বাক্সের প্রতিনিধিত্বকারী কুইন্টুপলকে আরও সংক্ষিপ্তভাবে [বি1, বি2] হিসাবে চিহ্নিত করা যেতে পারে। এই স্বরলিপিটি বাস্তব রেখার ব্যবধানের প্রতি মনোযোগ দেয়, তবে শেষ বিন্দুগুলি বিন্দুর পরিবর্তে বিতরণ। স্বরলিপিটি বোঝায় যে এটি একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল যা ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশন এফ দ্বারা পরিচালিত হয়, অর্থাৎ, আসুন পি-বাক্সগুলির সাথে ব্যবহারের জন্য টিল্ড স্বরলিপিটিকে সাধারণীকরণ করি। আমরা X ~ B লিখে বোঝাব যে X একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল যার ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশন অজানা ব্যতীত এটি B এর ভিতরে রয়েছে। সুতরাং, বিতরণ ফাংশনটি স্পষ্টভাবে উল্লেখ না করে X ~ F ωB কে X ~ B-এর সাথে সংকুচিত করা যেতে পারে। যদি এক্স এবং ওয়াই যথাক্রমে এফ এবং জি বিতরণ সহ স্বাধীন র্যান্ডম ভেরিয়েবল হয়, তবে এক্স + ওয়াই = জেড ~ এইচ দ্বারা প্রদত্ত এই ক্রিয়াকলাপকে এফ এবং জি-এর উপর একটি কনভোলিউশন বলা হয়। পি-বাক্সের অনুরূপ ক্রিয়াকলাপ যোগফলের জন্য সোজা। ধরুন, যদি এক্স এবং ওয়াই যাদৃচ্ছিকভাবে স্বাধীন হয়, তবে জেড = এক্স + ওয়াই-এর বন্টন পি-বাক্সের ভিতরে থাকে, এক্স এবং ওয়াই-এর মধ্যে নির্ভরতা সম্পর্কে কোনও অনুমান না করে জেড = এক্স + ওয়াই যোগফলের বন্টনের সীমা খুঁজে পাওয়া আসলে স্বাধীনতা ধরে নেওয়া সমস্যার চেয়ে সহজ। মাকারভ দেখিয়েছেন যে এই সীমানা ফ্রেচেট-হোফডিং কপুলা সীমানা দ্বারা বোঝানো হয়। গাণিতিক প্রোগ্রামিং পদ্ধতি ব্যবহার করেও এই সমস্যার সমাধান করা যেতে পারে। মধ্যবর্তী অনুমানের অধীনে যে এক্স এবং ওয়াই-এর ধনাত্মক নির্ভরতা রয়েছে, একইভাবে গণনা করা সহজ, যেমন এক্স এবং ওয়াই-এর মধ্যে নিখুঁত ধনাত্মক বা নিখুঁত ঋণাত্মক নির্ভরতার চরম অনুমানের অধীনে কনভোলিউশন। অন্যান্য ক্রিয়াকলাপের জন্য সাধারণীকৃত কনভোলিউশন যেমন বিয়োগ, গুণন, বিভাজন ইত্যাদি, রূপান্তর ব্যবহার করে প্রাপ্ত করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, পি-বক্স বিয়োগ A − B কে A + (−B) হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে, যেখানে একটি পি-বক্স B = [B1, B2] এর ঋণাত্মক হল [B2 (−x), B1 (−x)]। যৌক্তিক অভিব্যক্তি যৌক্তিক বা বুলিয়ান অভিব্যক্তি যা সংযোগ (এবং ক্রিয়াকলাপ), বিচ্ছিন্নতা (বা ক্রিয়াকলাপ), একচেটিয়া বিচ্ছিন্নতা, সমতুল্য, শর্তাধীন ইত্যাদি জড়িত। ফল্ট ট্রি এবং ইভেন্ট ট্রিগুলির বিশ্লেষণে উদ্ভূত হয় যা ঝুঁকি মূল্যায়নে সাধারণ। যদি ঘটনাগুলির সম্ভাব্যতা অন্যদের মধ্যে বুল এবং কেইনস দ্বারা প্রস্তাবিত ব্যবধান দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, তবে এই বাইনারি ক্রিয়াকলাপগুলি মূল্যায়ন করা সহজ। উদাহরণস্বরূপ, যদি কোনও ঘটনা 'ক'-এর সম্ভাব্যতা P (A) = a = [0.2,0.25] ব্যবধানে থাকে এবং ঘটনা 'খ'-এর সম্ভাব্যতা P (B) = b = [0.1,0.3]-এ থাকে, তাহলে সংযোগের সম্ভাবনা অবশ্যই P (A & B) = a × b = [0.2,0.25] × [0.1,0.3] = [0.2 × 0.1,0.25 × 0.3] = [0.02,0.075] ব্যবধানে থাকে, যতক্ষণ পর্যন্ত A এবং B-কে স্বাধীন ঘটনা হিসাবে ধরে নেওয়া যায়। যদি তারা স্বাধীন না হয়, তবুও আমরা ধ্রুপদী ফ্রেচেট বৈষম্য ব্যবহার করে সংযোগটি আবদ্ধ করতে পারি। এই ক্ষেত্রে, আমরা অন্তত অনুমান করতে পারি যে যৌথ ঘটনা A ও B-এর সম্ভাব্যতা অবশ্যই P (A & B) = env (সর্বোচ্চ (0, a + b − 1), ন্যূনতম (a, b)) = env (সর্বোচ্চ (0, [0,0.25] + [0.1,0.3] − 1), ন্যূনতম ([0,0.25], [0.1,0.3]) = env ([সর্বোচ্চ (0,0 + 0.1-1), সর্বোচ্চ (0,0.25 + 0.3-1)], [ন্যূনতম (0.2,0.1), ন্যূনতম (0.25,0.3)] = env ([0,0], [0.1,0.25] এর মধ্যে রয়েছে। একইভাবে, সংযোগ বিচ্ছিন্ন হওয়ার সম্ভাবনা অবশ্যই P (A v B) = a + b − a × b = 1 − (1 − a) × (1 − b) = 1 − (1 − [0.2,0.25]) × (1 − [0.1,3]) = 1 − [0.75,0.8] × [0.7,0.9] = 1 − [0.525,0.72] = [0.28,0.475] যদি A এবং B স্বাধীন ঘটনা হয়। যদি তারা স্বাধীন না হয়, তবে ফ্রেচেট অসমতা বিভাজনকে সীমাবদ্ধ করে P (A v B) = env (সর্বোচ্চ (a, b), ন্যূনতম (1, a + b)) = env (সর্বোচ্চ ([0.2,0.25], [0.1,0.3]), ন্যূনতম (1, [0.2,0.25] + [0.1,0.3]) = env ([0.2,0.3], [0.3,0.55]) = [0.2,0.55]। এ এবং বি-এর মধ্যে নির্ভরতা সম্পর্কে অন্যান্য অনুমানের অধীনে সংযোগ বা বিচ্ছিন্নতার উপর ব্যবধানের সীমা গণনা করাও সম্ভব। উদাহরণস্বরূপ, কেউ ধরে নিতে পারে যে তারা ইতিবাচকভাবে নির্ভরশীল, এই ক্ষেত্রে ফলাফলের ব্যবধানটি স্বাধীনতা ধরে নেওয়া উত্তরের মতো শক্ত নয় তবে ফ্রেচেট বৈষম্য দ্বারা প্রদত্ত উত্তরের চেয়ে শক্ত। তুলনামূলক গণনাগুলি অন্যান্য যৌক্তিক ফাংশনের জন্য ব্যবহার করা হয় যেমন নেতিবাচকতা, একচেটিয়া বিচ্ছিন্নতা ইত্যাদি। যখন মূল্যায়ন করার জন্য বুলিয়ান অভিব্যক্তিটি জটিল হয়ে ওঠে, তখন অভিব্যক্তিটির সর্বোত্তম-সম্ভাব্য সীমা পেতে গাণিতিক প্রোগ্রামিং পদ্ধতি ব্যবহার করে এটি মূল্যায়ন করার প্রয়োজন হতে পারে। সম্ভাবনাময় যুক্তির ক্ষেত্রেও একই ধরনের সমস্যা দেখা যায় (উদাহরণস্বরূপ দেখুন গেরলা 1994)। যদি ঘটনাগুলির সম্ভাব্যতা ব্যবধানের পরিবর্তে সম্ভাব্যতা বিতরণ বা পি-বক্স দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, তবে শীর্ষ ইভেন্টের সম্ভাব্যতা চিহ্নিত করে বিতরণমূলক বা পি-বক্স ফলাফল পেতে অনুরূপ গণনা করা যেতে পারে। মাত্রার তুলনা একটি পি-বক্স ডি দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা একটি অনিশ্চিত সংখ্যা শূন্যের চেয়ে কম হওয়ার সম্ভাবনা হল অন্তরাল পিআর (ডি <0) = [এফ (0), এফএন (0)], যেখানে এফএন (0) সম্ভাব্যতা বাক্স ডি-এর বাম সীমানা এবং এফ (0) তার ডান সীমানা, উভয়ই শূন্যে মূল্যায়ন করা হয়। সম্ভাব্যতা বাক্স দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা দুটি অনিশ্চিত সংখ্যাকে তারপর নিম্নলিখিত এনকোডিং সহ সংখ্যাসূচক মাত্রার জন্য তুলনা করা যেতে পারেঃ A <B = Pr (A − B <0), A> B = Pr (B − A <0), A ≤ B = Pr (A − B ≤ 0), এবং A ≤ B = Pr (B − A ≤ 0)। সুতরাং A, B এর চেয়ে কম হওয়ার সম্ভাবনা তাদের পার্থক্য শূন্যের চেয়ে কম হওয়ার সম্ভাবনার সমান এবং এই সম্ভাব্যতাকে A <B অভিব্যক্তিটির মান বলা যেতে পারে। গাণিতিক এবং যৌক্তিক ক্রিয়াকলাপের মতো, এই মাত্রার তুলনাগুলি সাধারণত এ এবং বি-এর মধ্যে স্টোকাস্টিক নির্ভরতার উপর নির্ভর করে এবং এনকোডিংয়ের বিয়োগ সেই নির্ভরতা প্রতিফলিত করা উচিত। যদি তাদের নির্ভরতা অজানা হয়, তবে ফ্রেচেট অপারেশন ব্যবহার করে কোনও অনুমান না করেই পার্থক্যটি গণনা করা যেতে পারে। নমুনা-ভিত্তিক গণনা কিছু বিশ্লেষক মন্টে কার্লো সিমুলেশন, ল্যাটিন হাইপারকিউব পদ্ধতি বা গুরুত্ব নমুনা সহ সম্ভাব্যতা সীমা গণনা করার জন্য নমুনা-ভিত্তিক পদ্ধতি ব্যবহার করেন। এই পদ্ধতিগুলি ফলাফলের গাণিতিক কঠোরতা নিশ্চিত করতে পারে না কারণ এই ধরনের অনুকরণ পদ্ধতিগুলি আনুমানিক, যদিও সাধারণত অনুকরণে প্রতিলিপির সংখ্যা বাড়িয়ে তাদের কার্যকারিতা উন্নত করা যেতে পারে। সুতরাং, গাণিতিক প্রোগ্রামিংয়ের উপর ভিত্তি করে বিশ্লেষণাত্মক উপপাদ্য বা পদ্ধতির বিপরীতে, নমুনা-ভিত্তিক গণনাগুলি সাধারণত যাচাইকৃত গণনা তৈরি করতে পারে না। যাইহোক, নমুনা-ভিত্তিক পদ্ধতিগুলি বিভিন্ন সমস্যার সমাধানে খুব কার্যকর হতে পারে যা গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণাত্মকভাবে বা এমনকি কঠোরভাবে আবদ্ধভাবে সমাধান করা কঠিন। একটি গুরুত্বপূর্ণ উদাহরণ হল উচ্চ-মাত্রিক সমস্যার মাধ্যমে ব্যবধানের অনিশ্চয়তা প্রচারে মাত্রিকতার অভিশাপ এড়াতে কচি-বিচ্যুত নমুনার ব্যবহার। অন্যান্য অনিশ্চয়তা প্রচার পদ্ধতির সাথে সম্পর্ক পিবিএ এমন একটি শ্রেণীর পদ্ধতির অন্তর্গত যা একই সাথে অলিটোরিক এবং মহামারী সংক্রান্ত অনিশ্চয়তার প্রতিনিধিত্ব করার জন্য অস্পষ্ট সম্ভাব্যতা ব্যবহার করে। পিবিএ হল ব্যবধান বিশ্লেষণ এবং সম্ভাব্য কনভোলিউশন উভয়েরই একটি সাধারণীকরণ যেমন সাধারণত মন্টে কার্লো সিমুলেশনের সাথে প্রয়োগ করা হয়। পিবিএ শক্তিশালী বায়েস বিশ্লেষণের সাথেও ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত, যাকে কখনও কখনও বায়েসিয়ান সংবেদনশীলতা বিশ্লেষণ বলা হয়। পিবিএ হল দ্বিতীয়-ক্রমের মন্টে কার্লো সিমুলেশনের বিকল্প। অ্যাপ্লিকেশনগুলি আরও দেখুন সম্ভাব্যতা বাক্স শক্তিশালী বায়েস বিশ্লেষণ ত্রুটিপূর্ণ সম্ভাব্যতা দ্বিতীয় ক্রমের মন্টে কার্লো সিমুলেশন মন্টে কার্লো সিমুলেশন ব্যবধান বিশ্লেষণ সম্ভাব্যতা তত্ত্ব ঝুঁকি বিশ্লেষণ রেফারেন্সগুলি আরও উল্লেখ করে বাহ্যিক লিঙ্কগুলি সম্ভাব্যতা সীমাবদ্ধ বিশ্লেষণ পরিবেশগত ঝুঁকি মূল্যায়নের মধ্যে বিরতি এবং সম্ভাব্যতা বিতরণ মহামারী অনিশ্চয়তা প্রকল্প ত্রুটিপূর্ণ সম্ভাবনার জন্য সোসাইটিঃ তত্ত্ব এবং প্রয়োগ গাণিতিক বিশ্লেষণ