Least-squares function approximation
গণিতে, ন্যূনতম বর্গ ফাংশন আনুমানিক অন্যান্য ফাংশনের ওজনযুক্ত যোগফলের মাধ্যমে ন্যূনতম বর্গের নীতি প্রয়োগ করে। সর্বোত্তম আনুমানিকতাকে এমনভাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে যা মূল ফাংশন এবং আনুমানিকের মধ্যে পার্থক্যকে ন্যূনতম করে; একটি ন্যূনতম-বর্গ পদ্ধতির জন্য আনুমানিক গুণমানটি উভয়ের মধ্যে বর্গ পার্থক্যের পরিপ্রেক্ষিতে পরিমাপ করা হয়। কার্যকরী বিশ্লেষণ একটি ডেটা সেটের আনুমানিকতার একটি সাধারণীকরণ হল অন্যান্য ফাংশনের সমষ্টি দ্বারা একটি ফাংশনের আনুমানিক অনুমান, সাধারণত একটি অর্থোগোনাল সেটঃ ফাংশনের সেটের সাথে {} আগ্রহের ব্যবধানের উপর একটি অর্থোনর্মাল সেটঃ আরও দেখুন ফেজারের উপপাদ্য। ।। |2 পার্থক্যের মাত্রা যতটা সম্ভব ছোট করার জন্য সহগগুলি নির্বাচন করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, একটি ফাংশনের মাত্রা, বা আদর্শ, দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারেঃ যেখানে '*' জটিল ফাংশনের ক্ষেত্রে জটিল সংমিশ্রণকে বোঝায়। এই পদ্ধতিতে পিথাগোরাসের উপপাদ্যের সম্প্রসারণ ফাংশন স্পেস এবং লেবস্গু পরিমাপের ধারণার দিকে পরিচালিত করে, যা ইউক্লিডীয় জ্যামিতির মূল ভিত্তির চেয়ে "স্পেস"-এর একটি সাধারণ ধারণা। সন্তোষজনক অর্থোনর্মালিটি সম্পর্কঃ যেখানে δij হল ক্রোনেকার ব-দ্বীপ। এই সমীকরণগুলিতে ফাংশন প্রতিস্থাপন করা হলে তা n-মাত্রিক পাইথাগোরীয় উপপাদ্যের দিকে নিয়ে যায়ঃ গুণাংক {aj} যতটা সম্ভব ছোট করে তোলেঃ n-মাত্রিক পাইথাগোরীয় উপপাদ্যের অসীম-মাত্রিক বাস্তব অভ্যন্তরীণ গুণফলের স্থানগুলির সাধারণীকরণ পার্সেভালের পরিচয় বা পার্সেভালের সমীকরণ হিসাবে পরিচিত। কোনও ফাংশনের এই ধরনের উপস্থাপনার বিশেষ উদাহরণ হল ফুরিয়ার সিরিজ এবং সাধারণীকৃত ফুরিয়ার সিরিজ। রৈখিক বীজগণিত ব্যবহার করে আরও আলোচনা এটি অনুসরণ করা হয় যে দুটি ফাংশনের মধ্যে এলাকা হ্রাস করে কেউ অন্য ফাংশনের একটি "সেরা" অনুমান খুঁজে পেতে পারে, একটি অবিচ্ছিন্ন ফাংশন চালু এবং একটি ফাংশন যেখানে একটি সাবস্পেস রয়েছেঃ সবগুলি সাবস্পেসের মধ্যে। পরম মান জড়িত ইন্টিগ্র্যাণ্ডগুলি মূল্যায়নের ঘন ঘন অসুবিধার কারণে, এর পরিবর্তে অভ্যন্তরীণ পণ্য স্থানের ক্ষেত্রে সর্বনিম্ন বর্গ আনুমানিক, ফাংশন পাওয়ার জন্য একটি পর্যাপ্ত মানদণ্ড হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। এইভাবে, বা, সমতুল্যভাবে, এইভাবে ভেক্টর আকারে লেখা যেতে পারেঃ অন্য কথায়, এর সর্বনিম্ন বর্গ সন্নিকটন হল অভ্যন্তরীণ গুণফলের পরিপ্রেক্ষিতে নিকটতম ফাংশন। উপরন্তু, এটি একটি উপপাদ্যের সাথে প্রয়োগ করা যেতে পারেঃ আসুন অবিরত থাকুন, এবং এর একটি সীমাবদ্ধ-মাত্রিক সাবস্পেস হতে দিন। এর সাপেক্ষে সর্বনিম্ন বর্গ আনুমানিক ফাংশনটি যেখানে একটি অর্থোনর্মাল ভিত্তি দ্বারা দেওয়া হয়। তথ্যসূত্র সর্বনিম্ন বর্গ আনুমানিক তত্ত্ব