Diffusion map
বিচ্ছুরণ মানচিত্র হল কোইফম্যান এবং লাফন দ্বারা প্রবর্তিত একটি মাত্রিকতা হ্রাস বা বৈশিষ্ট্য নিষ্কাশন অ্যালগরিদম যা ইউক্লিডিয়ান স্পেসে (প্রায়শই নিম্ন-মাত্রিক) একটি ডেটা সেটের এম্বেডিংয়ের একটি পরিবার গণনা করে যার স্থানাঙ্কগুলি ডেটাতে একটি বিচ্ছুরণ অপারেটরের আইগেনভেক্টর এবং আইগেনভ্যালু থেকে গণনা করা যেতে পারে। অন্তর্নির্মিত স্থানের বিন্দুগুলির মধ্যে ইউক্লিডীয় দূরত্ব সেই বিন্দুগুলিতে কেন্দ্রিক সম্ভাব্যতা বিতরণের মধ্যে "বিচ্ছুরণ দূরত্ব"-এর সমান। প্রধান উপাদান বিশ্লেষণ (পি. সি. এ)-এর মতো রৈখিক মাত্রিকতা হ্রাস পদ্ধতির থেকে আলাদা, বিচ্ছুরণ মানচিত্রগুলি অরৈখিক মাত্রিকতা হ্রাস পদ্ধতির পরিবারের অংশ যা ডেটা থেকে নমুনা নেওয়া হয়েছে এমন অন্তর্নিহিত বহুগুণ আবিষ্কারের দিকে মনোনিবেশ করে। বিভিন্ন স্কেলে স্থানীয় সাদৃশ্যগুলিকে একীভূত করে, বিচ্ছুরণ মানচিত্রগুলি ডেটা-সেটের একটি বিশ্বব্যাপী বিবরণ দেয়। অন্যান্য পদ্ধতির তুলনায়, ডিফিউশন ম্যাপ অ্যালগরিদম শব্দ বিশৃঙ্খলার জন্য শক্তিশালী এবং গণনামূলকভাবে সস্তা। বিচ্ছুরণ মানচিত্রের সংজ্ঞা নিম্নলিখিত এবং বিচ্ছুরণ মানচিত্রকে চারটি ধাপে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। সংযোগ বিচ্ছুরণ মানচিত্রগুলি তাপ বিচ্ছুরণ এবং র্যান্ডম ওয়াক মার্কভ চেইনের মধ্যে সম্পর্ককে কাজে লাগায়। প্রাথমিক পর্যবেক্ষণটি হল যে আমরা যদি তথ্যের উপর এলোমেলোভাবে হাঁটি, তবে কাছাকাছি ডেটা-পয়েন্টে হাঁটার সম্ভাবনা অন্য দূরের দিকে হাঁটার চেয়ে বেশি। একটি পরিমাপ স্থান হতে দিন, যেখানে ডেটা সেট এবং উপরের পয়েন্টগুলির বিতরণকে উপস্থাপন করে। এর উপর ভিত্তি করে, দুটি ডেটা পয়েন্টের মধ্যে সংযোগ, এবং, এলোমেলো হাঁটার এক ধাপে হাঁটার সম্ভাবনা হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। সাধারণত, এই সম্ভাব্যতা দুটি বিন্দুর কার্নেল ফাংশনের পরিপ্রেক্ষিতে নির্দিষ্ট করা হয়ঃ উদাহরণস্বরূপ, জনপ্রিয় গাউসিয়ান কার্নেলঃ আরও সাধারণভাবে, কার্নেল ফাংশনের নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্য রয়েছে (প্রতিসম) (ইতিবাচকতা সংরক্ষণ)। কার্নেল ডেটা-সেটের স্থানীয় জ্যামিতির পূর্ববর্তী সংজ্ঞা গঠন করে। যেহেতু একটি প্রদত্ত কার্নেল ডেটা সেটের একটি নির্দিষ্ট বৈশিষ্ট্য ধারণ করবে, তাই তার পছন্দটি একজনের মনে থাকা অ্যাপ্লিকেশন দ্বারা পরিচালিত হওয়া উচিত। এটি প্রধান উপাদান বিশ্লেষণের মতো পদ্ধতির সাথে একটি বড় পার্থক্য, যেখানে সমস্ত ডেটা পয়েন্টের মধ্যে পারস্পরিক সম্পর্ককে একবারে বিবেচনায় নেওয়া হয়। প্রদত্ত, আমরা তখন একটি বিপরীতমুখী পৃথক-সময়ের মার্কভ শৃঙ্খল তৈরি করতে পারি (একটি প্রক্রিয়া যা স্বাভাবিক গ্রাফ ল্যাপলেসিয়ান নির্মাণ নামে পরিচিত): এবং সংজ্ঞায়িত করতে পারিঃ যদিও নতুন স্বাভাবিক কার্নেল প্রতিসম বৈশিষ্ট্য উত্তরাধিকার সূত্রে পায় না, এটি ইতিবাচকতা-সংরক্ষণের বৈশিষ্ট্য উত্তরাধিকার সূত্রে পায় এবং একটি সংরক্ষণ সম্পত্তি অর্জন করেঃ বিচ্ছুরণ প্রক্রিয়া থেকে আমরা একটি মার্কভ শৃঙ্খলের () রূপান্তর ম্যাট্রিক্স তৈরি করতে পারি। অন্য কথায়, এক ধাপ থেকে এক ধাপে রূপান্তর সম্ভাবনার প্রতিনিধিত্ব করে এবং টি-ধাপ রূপান্তর ম্যাট্রিক্স দেয়। আমরা ডিফিউশন ম্যাট্রিক্সকে সংজ্ঞায়িত করি (এটি গ্রাফ ল্যাপলেসিয়ান ম্যাট্রিক্সের একটি সংস্করণও) আমরা তখন নতুন কার্নেল বা সমতুল্যভাবে সংজ্ঞায়িত করি, যেখানে ডি একটি তির্যক ম্যাট্রিক্স এবং আমরা এই নতুন কার্নেলে গ্রাফ ল্যাপলেসিয়ান স্বাভাবিককরণ প্রয়োগ করিঃ যেখানে একটি তির্যক ম্যাট্রিক্স এবং ডিফিউশন কাঠামোর একটি প্রধান ধারণা হল যে শৃঙ্খলটিকে সময়মতো এগিয়ে নিয়ে যাওয়া (বৃহত্তর এবং বৃহত্তর শক্তি গ্রহণ) বৃহত্তর এবং বৃহত্তর স্কেলে (ডিফিউশন প্রক্রিয়া) জ্যামিতিক কাঠামো প্রকাশ করে। বিশেষত, ডেটা সেটে একটি গুচ্ছের ধারণাটি এমন একটি অঞ্চল হিসাবে পরিমাপ করা হয় যেখানে এই অঞ্চল থেকে পালানোর সম্ভাবনা কম (একটি নির্দিষ্ট সময়ের মধ্যে টি)। অতএব, টি শুধুমাত্র একটি সময় পরামিতি হিসাবে কাজ করে না, তবে এটির স্কেল পরামিতিগুলির দ্বৈত ভূমিকাও রয়েছে। ম্যাট্রিক্সের আইগেনডেকম্পোজিশন যেখানে এবং এবং যথাক্রমে বায়োরথোগোনাল ডান এবং বাম আইগেনভেক্টরের আইগেনভ্যালুগুলির ক্রম দেয়। আইগেনভ্যালুগুলির বর্ণালী ক্ষয়ের কারণে, এই যোগফলের একটি প্রদত্ত আপেক্ষিক নির্ভুলতা অর্জনের জন্য মাত্র কয়েকটি পদের প্রয়োজন। প্যারামিটার α এবং ডিফিউশন অপারেটর জড়িত স্বাভাবিকীকরণ পদক্ষেপটি প্রবর্তনের কারণ হল ডিফিউশনের অসীম রূপান্তরের উপর ডেটা পয়েন্ট ঘনত্বের প্রভাবকে সুর করা। কিছু অ্যাপ্লিকেশনগুলিতে, তথ্যের নমুনা সাধারণত বহুগুণ জ্যামিতির সাথে সম্পর্কিত নয় যা আমরা বর্ণনা করতে আগ্রহী। এই ক্ষেত্রে, আমরা সেট করতে পারি এবং ডিফিউশন অপারেটর ল্যাপ্লাস-বেলট্রামি অপারেটরকে আনুমানিক করে। তারপরে আমরা পয়েন্টগুলির বন্টন নির্বিশেষে ডেটা সেটের রিমানিয়ান জ্যামিতি পুনরুদ্ধার করি। স্টোকাস্টিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একটি পদ্ধতির বিন্দু বিতরণের দীর্ঘমেয়াদী আচরণ বর্ণনা করতে, আমরা ব্যবহার করতে পারি এবং ফলস্বরূপ মার্কভ চেইন ফকার-প্ল্যাঙ্ক বিচ্ছুরণকে আনুমানিক করে। সঙ্গে, এটি শাস্ত্রীয় গ্রাফ ল্যাপলেসিয়ান স্বাভাবিককরণে হ্রাস পায়। বিচ্ছুরণ দূরত্ব দুটি বিন্দুর মধ্যে সময়ে বিচ্ছুরণ দূরত্ব পর্যবেক্ষণ স্থানের দুটি বিন্দুর সাথে তাদের মধ্যে সংযোগের সাদৃশ্য হিসাবে পরিমাপ করা যেতে পারে। এটি মার্কভ শৃঙ্খলের স্থির বন্টন দ্বারা দেওয়া হয়, যা এর প্রথম বাম আইগেনভেক্টর দ্বারা দেওয়া হয়। স্পষ্টভাবেঃ স্বজ্ঞাতভাবে, ছোট হয় যদি সংযোগকারী এবং সংযোগকারী বড় সংখ্যক ছোট পথ থাকে। আমাদের পূর্ববর্তী আলোচনার উপর ভিত্তি করে বিচ্ছুরণ দূরত্বের সাথে যুক্ত বেশ কয়েকটি আকর্ষণীয় বৈশিষ্ট্য রয়েছে যা একটি স্কেল পরামিতি হিসাবেও কাজ করেঃ পয়েন্টগুলি একটি প্রদত্ত স্কেলে (দ্বারা নির্দিষ্ট হিসাবে) কাছাকাছি থাকে যদি তারা গ্রাফে অত্যন্ত সংযুক্ত থাকে, তাই একটি ক্লাস্টারের ধারণার উপর জোর দেয়। এই দূরত্বটি শব্দের জন্য শক্তিশালী, কারণ দুটি বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব নির্ভর করে বিন্দুর মধ্যে দৈর্ঘ্যের সমস্ত সম্ভাব্য পথের উপর। একটি মেশিন লার্নিং দৃষ্টিকোণ থেকে, দূরত্বটি লিঙ্ক করা সমস্ত প্রমাণকে বিবেচনায় নেয়, যা আমাদের এই সিদ্ধান্তে আসতে দেয় যে এই দূরত্বটি বেশিরভাগ অগ্রগতির উপর ভিত্তি করে অনুমান অ্যালগরিদমের নকশার জন্য উপযুক্ত। বিচ্ছুরণ প্রক্রিয়া এবং নিম্ন-মাত্রিক এম্বেডিং বিচ্ছুরণ দূরত্ব আইগেনভেক্টর ব্যবহার করে গণনা করা যেতে পারে সুতরাং আইগেনভেক্টরগুলিকে ডেটার জন্য স্থানাঙ্কের একটি নতুন সেট হিসাবে ব্যবহার করা যেতে পারে। বিচ্ছুরণ মানচিত্রটি এইভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছেঃ বর্ণালী ক্ষয়ের কারণে, শুধুমাত্র প্রথম কে আইগেনভেক্টর এবং আইগেনভ্যালু ব্যবহার করা যথেষ্ট। এইভাবে আমরা মূল তথ্য থেকে একটি কে-মাত্রিক স্থানে বিচ্ছুরণ মানচিত্র পাই যা মূল স্থানে এম্বেড করা থাকে। এতে প্রমাণিত হয় যে, বিচ্ছুরণ স্থানাঙ্কে ইউক্লিডীয় দূরত্ব বিচ্ছুরণ দূরত্বকে আনুমানিক করে। অ্যালগরিদম বিচ্ছুরণ মানচিত্রের মৌলিক অ্যালগরিদম কাঠামোটি নিম্নরূপঃ ধাপ 1। সাদৃশ্য ম্যাট্রিক্স এল দেওয়া হয়েছে। ধাপ 2। পরামিতি অনুযায়ী ম্যাট্রিক্সকে স্বাভাবিক করুনঃ ধাপ 3। স্বাভাবিক ম্যাট্রিক্স গঠন করুন। ধাপ 4। k বৃহত্তম আইগেনভ্যালু এবং সংশ্লিষ্ট আইগেনভেক্টর গণনা করুন। ধাপ 5। এম্বেডিং পেতে ডিফিউশন ম্যাপ ব্যবহার করুন। কাগজে প্রয়োগ ন্যাডলার এট আল। দেখিয়েছেন কিভাবে একটি কার্নেল ডিজাইন করা যায় যা ফকার-প্ল্যাঙ্ক সমীকরণ দ্বারা প্ররোচিত বিচ্ছুরণ পুনরুত্পাদন করে। তারা আরও ব্যাখ্যা করেছেন যে, যখন তথ্যগুলি একটি বহুগুণের আনুমানিক হয়, তখন ল্যাপ্লাস-বেলট্রামি অপারেটরের আনুমানিক গণনা করে এই বহুগুণের জ্যামিতি পুনরুদ্ধার করা যেতে পারে। এই গণনা বিন্দুগুলির বণ্টনের প্রতি সম্পূর্ণ অসংবেদনশীল এবং তাই পরিসংখ্যান এবং তথ্যের জ্যামিতির পৃথকীকরণ প্রদান করে। যেহেতু বিচ্ছুরণ মানচিত্রগুলি ডেটা-সেটের একটি বিশ্বব্যাপী বিবরণ দেয়, তাই তারা ডেটা এম্বেড করা বহুগুণে নমুনা পয়েন্টের জোড়ার মধ্যে দূরত্ব পরিমাপ করতে পারে। বিচ্ছুরণ মানচিত্রের উপর ভিত্তি করে প্রয়োগগুলির মধ্যে রয়েছে মুখ শনাক্তকরণ, বর্ণালী ক্লাস্টারিং, চিত্রের নিম্ন মাত্রিক উপস্থাপনা, চিত্র বিভাজন, 3ডি মডেল বিভাজন, স্পিকার যাচাইকরণ এবং সনাক্তকরণ, ম্যানিফোল্ডের উপর নমুনা সংগ্রহ, অসঙ্গতি সনাক্তকরণ, চিত্র চিত্রায়ন, মস্তিষ্কের বিশ্রাম রাষ্ট্র নেটওয়ার্ক সংগঠন প্রকাশ করা ইত্যাদি। উপরন্তু, বিচ্ছুরণ মানচিত্র কাঠামোটি উৎপাদনশীলভাবে জটিল নেটওয়ার্কগুলিতে প্রসারিত করা হয়েছে, যা নেটওয়ার্কগুলির একটি কার্যকরী সংগঠন প্রকাশ করে যা বিশুদ্ধভাবে টপোলজিকাল বা কাঠামোগত থেকে আলাদা। আরও দেখুন অরৈখিক মাত্রিকতা হ্রাস বর্ণালী ক্লাস্টারিং রেফারেন্স মেশিন লার্নিং অ্যালগরিদম