Duflo isomorphism
গণিতে, ডুফ্লো আইসোমরফিজম হল একটি সসীম-মাত্রিক লাই বীজগণিতের সর্বজনীন আবরণ বীজগণিতের কেন্দ্র এবং তার প্রতিসম বীজগণিতের অপরিবর্তকগুলির মধ্যে একটি সমরূপতা। এটি কনটসেভিচ দ্বারা নির্বিচারে সীমাবদ্ধ-মাত্রিক লাই অ্যালজেব্রা দ্বারা প্রবর্তিত হয়েছিল এবং পরে সাধারণীকরণ করা হয়েছিল। পয়েনকারে-বার্কফ-উইট উপপাদ্যটি যে কোনও লাই বীজগণিতের জন্য বহুপদী বীজগণিত থেকে সর্বজনীন আবরণ বীজগণিত পর্যন্ত একটি ভেক্টর স্পেস আইসোমরফিজম দেয়। এই মানচিত্রটি কোনও বীজগণিত সমরূপতা নয়। এই স্থানগুলির প্রাকৃতিক উপস্থাপনার ক্ষেত্রে এটি সমতুল্য, তাই এটি একটি ভেক্টর স্পেস আইসোমরফিজমে সীমাবদ্ধ যেখানে সুপারস্ক্রিপ্ট এর ক্রিয়া দ্বারা ধ্বংস হওয়া সাবস্পেসকে নির্দেশ করে। উভয়ই কমিউটেটিভ সাবঅ্যালজেব্রা, প্রকৃতপক্ষে এর কেন্দ্র, কিন্তু এখনও একটি বীজগণিত সমরূপতা নয়। যাইহোক, ডুফ্লো প্রমাণ করেছিলেন যে কিছু ক্ষেত্রে আমরা বীজগণিতের সমরূপতা পাওয়ার জন্য একটি মানচিত্র দিয়ে রচনা করতে পারি পরে, কনটসেভিচ আনুষ্ঠানিকতা উপপাদ্য ব্যবহার করে, কনটসেভিচ দেখিয়েছিলেন যে এটি সমস্ত সীমাবদ্ধ-মাত্রিক লাই অ্যালজেব্রার জন্য কাজ করে। ক্যালাক এবং রসি অনুসরণ করে, মানচিত্রটি নিম্নরূপ সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। এর সংলগ্ন ক্রিয়াটি হল অপারেশন চালু করার জন্য পাঠানো মানচিত্র। আমরা মানচিত্রকে বৃহত্তর স্থানের একটি উপাদান হিসাবে বিবেচনা করতে পারি। এই উপাদানটিকে উভয়ই বলুন এবং এগুলি আলজেব্রা তাই তাদের টেনসর পণ্যটিও সমান। সুতরাং, আমরা পাওয়ার নিতে পারি, ধরুন আরও এগিয়ে গিয়ে, আমরা যে কোনও আনুষ্ঠানিক পাওয়ার সিরিজ প্রয়োগ করতে পারি এবং একটি উপাদান পেতে পারি, যেখানে আনুষ্ঠানিক পাওয়ার সিরিজের বীজগণিতকে বোঝায়। আনুষ্ঠানিক শক্তি সিরিজের সাথে কাজ করে, আমরা এইভাবে একটি উপাদান পাই যেহেতু এর মাত্রা সীমাবদ্ধ, তাই কেউ ভাবতে পারে, তাই এবং নির্ধারক মানচিত্র প্রয়োগ করে, আমরা একটি উপাদান পাই যা বীজগাণিতিক টপোলজিতে টড শ্রেণীর সাথে সম্পর্কিত। এখন, ডেরিভেশন হিসাবে কাজ করে যেহেতু এর যে কোনও উপাদান একটি ট্রান্সলেশন-ইনভ্যারিয়েন্ট ভেক্টর ক্ষেত্র দেয়। ফলস্বরূপ, বীজগণিত ডিফারেনশিয়াল অপারেটর হিসাবে কাজ করে এবং এটি অন এর একটি ক্রিয়া পর্যন্ত প্রসারিত হয়। এইভাবে আমরা একটি রৈখিক মানচিত্রকে সংজ্ঞায়িত করতে পারি এবং যেহেতু পুরো নির্মাণটি অপরিবর্তনীয় ছিল, তাই কাঙ্ক্ষিত রৈখিক মানচিত্রের বৈশিষ্ট্যগুলিতে সীমাবদ্ধ থাকে একটি নিলপোটেন্ট লাই বীজগণিতের জন্য ডুফ্লো আইসোমরফিজম প্রতিসম বীজগণিত থেকে সর্বজনীন আবরণ বীজগণিতে প্রতিসম মানচিত্রের সাথে মিলে যায়। একটি আধা-সরল লাই বীজগণিতের জন্য ডুফ্লো আইসোমরফিজম প্রাকৃতিকভাবে হরিশ-চন্দ্র আইসোমরফিজমের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ। তথ্যসূত্র মিথ্যা আলজেব্রা