Cardinal characteristic of the continuum
সেট তত্ত্বের গাণিতিক শাখায়, কন্টিনিউয়ামের একটি প্রধান বৈশিষ্ট্য হল একটি অসীম কার্ডিনাল সংখ্যা যা ধারাবাহিকভাবে (প্রাকৃতিক সংখ্যার সেটের কার্ডিনালিটি) এবং কন্টিনিউয়ামের কার্ডিনালিটি, অর্থাৎ সমস্ত বাস্তব সংখ্যার সেটের কার্ডিনালিটির মধ্যে থাকতে পারে। পরের কার্ডিনালকে চিহ্নিত করা হয় বা। এই ধরনের বিভিন্ন মৌলিক বৈশিষ্ট্য স্বাভাবিকভাবেই উদ্ভূত হয় এবং তাদের মধ্যে কোন সম্পর্কগুলি প্রমাণযোগ্য তা নির্ধারণ করতে এবং তাদের বিভিন্ন সামঞ্জস্যপূর্ণ বিন্যাসের জন্য সেট তত্ত্বের মডেল তৈরি করতে অনেক কাজ করা হয়েছে। ব্যাকগ্রাউন্ড ক্যান্টরের তির্যক যুক্তি দেখায় যে এটি কঠোরভাবে এর চেয়ে বড়, তবে এটি (অর্থাৎ,) এর চেয়ে সবচেয়ে কম কার্ডিনাল বড় কিনা তা নির্দিষ্ট করে না। প্রকৃতপক্ষে এই ধারণাটি সুপরিচিত কন্টিনিউম হাইপোথিসিস, যা কার্ট গডেলের সেট তত্ত্বের জন্য স্ট্যান্ডার্ড জেডএফসি স্বতঃসিদ্ধের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ এবং পল কোহেনের দ্বারা এটি থেকে স্বাধীন বলে দেখানো হয়েছিল। যদি কন্টিনিউম হাইপোথিসিস ব্যর্থ হয় এবং অন্তত তাই হয়, তবে কার্ডিনালগুলি সম্পর্কে এবং এর মধ্যে কঠোরভাবে স্বাভাবিক প্রশ্ন উত্থাপিত হয়, উদাহরণস্বরূপ লেবস্গু পরিমাপযোগ্যতা সম্পর্কে। কিছু সম্পত্তি সহ সর্বনিম্ন কার্ডিনাল বিবেচনা করে, একজন অগণিত কার্ডিনালের জন্য একটি সংজ্ঞা পেতে পারে যা ধারাবাহিকভাবে এর চেয়ে কম। সাধারণত একজন কেবল কার্ডিনালদের সংজ্ঞাগুলি বিবেচনা করে যা ধারাবাহিকতার মূল বৈশিষ্ট্যগুলির তুলনায় প্রমাণযোগ্যভাবে বড় এবং সর্বাধিক, তাই যদি কন্টিনিউম হাইপোথিসিস ধরে রাখে তবে তারা সকলেই সমান। উদাহরণ সেট তত্ত্বে যেমন মানসম্মত, আমরা সর্বনিম্ন অসীম অর্ডিনাল দ্বারা নির্দেশ করি, যার কার্ডিনালিটি রয়েছে; এটি সমস্ত প্রাকৃতিক সংখ্যার সেট দিয়ে চিহ্নিত করা যেতে পারে। বেশ কয়েকটি মূল বৈশিষ্ট্য স্বাভাবিকভাবেই আদর্শের জন্য মূল অপরিবর্তনীয় হিসাবে উদ্ভূত হয় যা বাস্তব কাঠামোর সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সংযুক্ত, যেমন লেবস্গু নাল সেটের আদর্শ এবং ক্ষুদ্র সেটের আদর্শ। অ (এন) কার্ডিনাল বৈশিষ্ট্য অ () হল একটি অ-পরিমাপযোগ্য সেটের সর্বনিম্ন কার্ডিনালিটি; সমতুল্যভাবে, এটি একটি সেটের সর্বনিম্ন কার্ডিনালিটি যা একটি লেবস্গু নাল সেট নয়। বাউন্ডিং সংখ্যা এবং প্রভাবশালী সংখ্যা আমরা থেকে থেকে ফাংশনের সেট দ্বারা নির্দেশ করি। যে কোনও দুটি ফাংশনের জন্য এবং আমরা বিবৃতি দ্বারা বোঝাই যে সীমাবদ্ধভাবে অনেকগুলি ছাড়া সকলের জন্য। বাউন্ডিং নম্বর হল এই প্রসঙ্গে একটি সীমাহীন সেটের সর্বনিম্ন কার্ডিনালিটি, অর্থাৎ, প্রভাবশালী সংখ্যা হল এমন একটি সেটের সর্বনিম্ন কার্ডিনালিটি যাতে এই ধরনের প্রতিটি ফাংশন সেই সেটের (অর্থাৎ) একজন সদস্যের দ্বারা প্রভাবিত হয়, অর্থাৎ, স্পষ্টতই এই ধরনের যে কোনও প্রভাবশালী সেট সীমাহীন, তাই সর্বাধিক, এবং একটি তির্যক যুক্তি তা দেখায়। অবশ্যই যদি এটি বোঝায় তবে হেকলার দেখিয়েছেন যে এর চেয়ে কঠোরভাবে কম থাকাও সামঞ্জস্যপূর্ণ। বিভাজিত সংখ্যা এবং কাটা সংখ্যা আমরা এর সমস্ত অসীম উপসেটগুলির সেট দ্বারা নির্দেশ করি। যে কোনও ক্ষেত্রে, আমরা বলি যে উভয়ই অসীম হলে বিভক্ত হয়। বিভাজন সংখ্যা এমন একটি উপসেটের সর্বনিম্ন কার্ডিনালিটি যা সকলের জন্য, এমন কিছু আছে যা বিভক্ত হয়। অর্থাৎ, ফসল কাটার সংখ্যা হল একটি উপসেটের সর্বনিম্ন প্রধানত্ব, যার কোনও উপাদানই প্রতিটি উপাদানকে বিভক্ত করে না। অর্থাৎ, আল্ট্রাফিল্টার সংখ্যা আল্ট্রাফিল্টার সংখ্যাটিকে একটি অ-প্রধান আল্ট্রাফিল্টারের ফিল্টার বেসের সর্বনিম্ন কার্ডিনালিটি হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। কুনেন সেট তত্ত্বের একটি মডেল দিয়েছিলেন যেখানে কিন্তু, এবং স্যাক্স ফোর্সিংয়ের একটি গণনাযোগ্য সমর্থন পুনরাবৃত্তি ব্যবহার করে, বাউমগার্টনার এবং লেভার একটি মডেল তৈরি করেছিলেন যেখানে এবং। প্রায় বিচ্ছিন্নতা সংখ্যা দুটি উপসেট এবং এর সীমাবদ্ধ হলে প্রায় বিচ্ছিন্ন বলে মনে করা হয় এবং এর উপসেটগুলির একটি পরিবার প্রায় বিচ্ছিন্ন বলে মনে করা হয় যদি এর সদস্যরা যুগ্মভাবে প্রায় বিচ্ছিন্ন হয়। এর উপসেটগুলির একটি সর্বাধিক প্রায় বিচ্ছিন্ন (পাগল) পরিবার এইভাবে একটি প্রায় বিচ্ছিন্ন পরিবার যাতে না-এর প্রতিটি উপসেটের জন্য এমন একটি সেট থাকে যা প্রায় বিচ্ছিন্ন নয় (অর্থাৎ, তাদের ছেদ অসীম)। প্রায় বিচ্ছিন্নতা সংখ্যা হল একটি অসীম সর্বাধিক প্রায় বিচ্ছিন্ন পরিবারের সর্বনিম্ন প্রধানতা। একটি মৌলিক ফলাফল এরিক ভ্যান ডুয়েন। ইন্টিজার এবং টপোলজি। কে. কুনেন এবং জে. ই. ভন (এডস) হ্যান্ডবুক অফ সেট-থিওরেটিক টপোলজি। নর্থ-হল্যান্ড, আমস্টারডাম, 1984। শেলাহ দেখিয়েছেন যে কঠোর বৈষম্যের ধারাবাহিকতা রয়েছে। সিচোনের রেখাচিত্র মূল বৈশিষ্ট্যগুলির একটি সুপরিচিত রেখাচিত্র হল সিচোনের রেখাচিত্র, যা 10টি মূল বৈশিষ্ট্যের মধ্যে জেডএফসি-তে প্রমাণযোগ্য সমস্ত জোড়া-ভিত্তিক সম্পর্ক দেখায়। টোমেক বার্টোসিনস্কি এবং হাইম জুডাহ সম্পর্কে আরও তথ্যসূত্র। বাস্তব রেখার কাঠামোর উপর তত্ত্ব নির্ধারণ করুন "। এ কে পিটার্স, 1995। কার্ডিনাল সংখ্যা