Heat kernel signature
একটি হিট কার্নেল সিগনেচার (এইচকেএস) বিকৃত আকৃতি বিশ্লেষণে ব্যবহারের জন্য একটি বৈশিষ্ট্য বর্ণনাকারী এবং বর্ণালী আকৃতি বিশ্লেষণ পদ্ধতির গোষ্ঠীর অন্তর্গত। আকৃতির প্রতিটি বিন্দুর জন্য, এইচকেএস তার বৈশিষ্ট্য ভেক্টরকে সংজ্ঞায়িত করে যা বিন্দুর স্থানীয় এবং বৈশ্বিক জ্যামিতিক বৈশিষ্ট্যগুলির প্রতিনিধিত্ব করে। প্রয়োগগুলির মধ্যে রয়েছে বিভাজন, শ্রেণীবিভাগ, কাঠামো আবিষ্কার, আকৃতির মিল এবং আকৃতি পুনরুদ্ধার। 2009 সালে জিয়ান সান, ম্যাক্স ওভজানিকভ এবং লিওনিডাস গুইবাস এইচকেএস চালু করেছিলেন। এটি তাপ কার্নেলের উপর ভিত্তি করে তৈরি, যা তাপ সমীকরণের একটি মৌলিক সমাধান। এইচকেএস সম্প্রতি প্রবর্তিত অনেক আকৃতির বর্ণনাকারীর মধ্যে একটি যা আকৃতির সাথে যুক্ত ল্যাপ্লাস-বেলট্রামি অপারেটরের উপর ভিত্তি করে তৈরি। সংক্ষিপ্ত বিবরণ আকৃতি বিশ্লেষণ হল আকারের স্বয়ংক্রিয় ডিজিটাল বিশ্লেষণের ক্ষেত্র, যেমন, থ্রিডি বস্তু। অনেক আকৃতি বিশ্লেষণ কাজের জন্য (যেমন আকৃতি মেলানো/পুনরুদ্ধার), আকৃতির সম্পূর্ণ 3D মডেল ব্যবহার করার পরিবর্তে নির্দিষ্ট মূল পয়েন্টের জন্য বৈশিষ্ট্য ভেক্টর ব্যবহার করা হয়। এই ধরনের বৈশিষ্ট্য বর্ণনাকারীদের একটি গুরুত্বপূর্ণ প্রয়োজনীয়তা হল নির্দিষ্ট রূপান্তরের অধীনে তাদের অপরিবর্তনীয় হওয়া। কঠোর রূপান্তরের জন্য, সাধারণত ব্যবহৃত বৈশিষ্ট্য বর্ণনাকারীদের মধ্যে রয়েছে আকৃতি প্রসঙ্গ, ঘূর্ণন চিত্র, অবিচ্ছেদ্য ভলিউম বর্ণনাকারী এবং বহু-স্কেল স্থানীয় বৈশিষ্ট্য। এইচ. কে. এস আইসোমেট্রিক রূপান্তরের অনুমতি দেয় যা অনমনীয় রূপান্তরকে সাধারণীকরণ করে। এইচকেএস একটি পৃষ্ঠের উপর তাপ বিস্তারের ধারণার উপর ভিত্তি করে তৈরি। পৃষ্ঠের উপর প্রাথমিক তাপ বণ্টনের পরিপ্রেক্ষিতে, তাপ কার্নেল সময় থেকে পরবর্তী সময়ে স্থানান্তরিত তাপের পরিমাণের সাথে সম্পর্কিত। তাপ কার্নেল আইসোমেট্রিক রূপান্তরের অধীনে অপরিবর্তনীয় এবং আইসোমেট্রি-তে ছোট ছোট বিশৃঙ্খলার অধীনে স্থিতিশীল। উপরন্তু, তাপ কার্নেল সম্পূর্ণরূপে একটি আইসোমেট্রি পর্যন্ত আকারকে চিহ্নিত করে এবং ক্রমবর্ধমান সময়ের সাথে আকৃতির ক্রমবর্ধমান বৈশ্বিক বৈশিষ্ট্যের প্রতিনিধিত্ব করে। যেহেতু একটি অস্থায়ী ডোমেনের উপর এক জোড়া পয়েন্টের জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয়, তাই তাপ কার্নেলগুলি সরাসরি বৈশিষ্ট্য হিসাবে ব্যবহার করা একটি উচ্চ জটিলতার দিকে পরিচালিত করবে। এইচকেএস পরিবর্তে শুধুমাত্র বিবেচনা করে নিজেকে কেবল সাময়িক ডোমেনে সীমাবদ্ধ করে। এইচকেএস নির্দিষ্ট শর্তে তাপ কার্নেলের বেশিরভাগ বৈশিষ্ট্য উত্তরাধিকার সূত্রে পায়। প্রযুক্তিগত বিবরণ একটি কম্প্যাক্ট রিম্যানিয়ান ম্যানিফোল্ডের (সম্ভবত একটি সীমানা সহ) উপর তাপ বিস্তার সমীকরণ দ্বারা দেওয়া হয়, যেখানে ল্যাপ্লাস-বেলট্রামি অপারেটর এবং একটি সময়ে একটি বিন্দুতে তাপ বিতরণ। এই সমীকরণের সমাধানটি এইভাবে প্রকাশ করা যেতে পারে, তাপ কার্নেলের আইগেন পচনকে এইভাবে প্রকাশ করা হয়, যেখানে এবং এর আইগেনভ্যালু এবং আইগেনফাংশান। তাপ কার্নেল একটি আইসোমেট্রি পর্যন্ত একটি পৃষ্ঠকে সম্পূর্ণরূপে চিহ্নিত করেঃ দুটি রিম্যানিয়ান ম্যানিফোল্ডের মধ্যে যে কোনও সার্জেক্টিভ মানচিত্রের জন্য এবং যদি তা একটি আইসোমেট্রি হয়, এবং তদ্বিপরীত। একটি সংক্ষিপ্ত বৈশিষ্ট্য বর্ণনাকারীর জন্য, এইচকেএস তাপ কার্নেলকে শুধুমাত্র অস্থায়ী ডোমেনে সীমাবদ্ধ করে, এইচকেএস, তাপ কার্নেলের মতো, এই শর্তে পৃষ্ঠগুলিকে চিহ্নিত করে যে জন্য এবং এর আইগেনভ্যালুগুলি পুনরাবৃত্তি করছে না। কাটঅফ ফ্রিকোয়েন্সি নির্ধারণের সাথে সাথে নিম্ন-পাস ফিল্টারগুলির একটি ব্যাংক হিসাবে পদগুলি স্বজ্ঞাত করা যেতে পারে। যেহেতু সাধারণভাবে এটি একটি অ-প্যারামেট্রিক অবিচ্ছিন্ন ফাংশন, তাই এইচকেএসকে বাস্তবে কখনও কখনও নমুনা মূল্যের একটি পৃথক ক্রম হিসাবে উপস্থাপন করা হয়। বেশিরভাগ প্রয়োগে, একটি বস্তুর জন্য অন্তর্নিহিত বহুগুণ জানা যায় না। এইচ. কে. এস গণনা করা যেতে পারে যদি বহুগুণের একটি জাল উপস্থাপনা পাওয়া যায়, তাপ সমীকরণের একটি পৃথক এনালগ ব্যবহার করে এবং ব্যবহার করে। বিচ্ছিন্ন ক্ষেত্রে, ল্যাপ্লাস-বেলট্রামি অপারেটর একটি বিরল ম্যাট্রিক্স এবং এটি এইভাবে লেখা যেতে পারে, যেখানে একটি ধনাত্মক তির্যক ম্যাট্রিক্স যা জালের ত্রিভুজগুলির ক্ষেত্রফলের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ এবং একটি প্রতিসম আধা-নির্দিষ্ট ওজন ম্যাট্রিক্স। যেখানে আরোহী ক্রমে সাজানো আইগেনভ্যালুগুলির একটি তির্যক ম্যাট্রিক্স, এবং সংশ্লিষ্ট অর্থোনর্মাল আইগেনভেক্টরগুলির সাথে ম্যাট্রিক্স। বিচ্ছিন্ন তাপ কার্নেল হল দ্বারা প্রদত্ত ম্যাট্রিক্স, উপাদানগুলি শীর্ষগুলির মধ্যে এবং সময়ের পরে তাপের বিস্তারকে উপস্থাপন করে। এইচকেএস তারপর এই ম্যাট্রিক্সের তির্যক এন্ট্রি দ্বারা দেওয়া হয়, পৃথক সময়ের ব্যবধানে নমুনা করা হয়। অবিচ্ছিন্ন কেসের মতো, বিচ্ছিন্ন এইচকেএস শব্দের জন্য শক্তিশালী। সীমাবদ্ধতা অ-পুনরাবৃত্ত আইগেনভ্যালু প্রধান বৈশিষ্ট্য যা এইচকেএস ব্যবহার করে একটি আইসোমেট্রি পর্যন্ত পৃষ্ঠগুলিকে চিহ্নিত করে কেবল তখনই ধরে রাখে যখন পৃষ্ঠের আইগেনভ্যালুগুলি পুনরাবৃত্তি হয় না। কিছু নির্দিষ্ট পৃষ্ঠতল রয়েছে (বিশেষত সমতুল্য) যেখানে এই শর্তটি লঙ্ঘন করা হয়। একটি গোলক এই ধরনের পৃষ্ঠের একটি সহজ উদাহরণ। সময় পরামিতি নির্বাচন এইচ. কে. এস-এর সময় পরামিতি বিশ্বব্যাপী তথ্যের স্কেলের সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত। যাইহোক, সময় বিচক্ষণতা বেছে নেওয়ার কোনও সরাসরি উপায় নেই। বিদ্যমান পদ্ধতিটি লগারিদমিকভাবে সময়ের নমুনাগুলি বেছে নেয় যা কোনও নিশ্চয়তা ছাড়াই একটি অনুসন্ধানমূলক সময় জটিলতা বিচ্ছিন্ন তাপ কার্নেলের জন্য আকারের একটি ম্যাট্রিক্সের আইগেনডেকম্পোজিশন প্রয়োজন, যেখানে ম্যানিফোল্ডের জাল উপস্থাপনায় শীর্ষগুলির সংখ্যা। ইগেনডেকম্পোজিশন গণনা করা একটি ব্যয়বহুল অপারেশন, বিশেষ করে যখন বৃদ্ধি হয়। তবে লক্ষ্য করুন যে, আইগেনভ্যালু-র উপর বিপরীত সূচকীয় নির্ভরতার কারণে, সাধারণত শুধুমাত্র একটি ছোট (100-এর কম) আইগেনভেক্টর এইচকেএস-এর একটি ভাল অনুমান পাওয়ার জন্য যথেষ্ট। অ-আইসোমেট্রিক রূপান্তর এইচ. কে. এস-এর কর্মক্ষমতার নিশ্চয়তা শুধুমাত্র সত্যিকারের আইসোমেট্রিক রূপান্তরের জন্য প্রযোজ্য। যাইহোক, বাস্তব আকারের জন্য বিকৃতিগুলি প্রায়শই আইসোমেট্রিক হয় না। এই ধরনের রূপান্তরের একটি সহজ উদাহরণ হল একজন ব্যক্তির দ্বারা মুষ্টি বন্ধ করা, যেখানে দুটি আঙুলের মধ্যে ভৌগলিক দূরত্ব পরিবর্তিত হয়। অন্যান্য পদ্ধতির সাথে সম্পর্ক বক্রতা রিম্যানিয়ান ম্যানিফোল্ডের একটি বিন্দুতে (অবিচ্ছিন্ন) এইচকেএস স্কেলার বক্রতার সাথে সম্পর্কিত, অতএব, এইচকেএসকে স্কেলের বক্রতা হিসাবে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে। তরঙ্গ কার্নেল স্বাক্ষর (ডব্লিউ. কে. এস) ডব্লিউ. কে. এস এইচ. কে. এস-এর অনুরূপ ধারণা অনুসরণ করে, তাপ সমীকরণকে শ্রোডিঙ্গার তরঙ্গ সমীকরণের সাথে প্রতিস্থাপন করে, যেখানে জটিল তরঙ্গ ফাংশন। একটি বিন্দুতে কণা পরিমাপের গড় সম্ভাবনা দ্বারা দেওয়া হয়, যেখানে প্রাথমিক শক্তি বন্টন হয়। এই শক্তি বিতরণগুলির একটি পরিবার স্থির করে, ডব্লিউ. কে. এস একটি পৃথক ক্রম হিসাবে প্রাপ্ত করা যেতে পারে। এইচ. কে. এস-এর বিপরীতে, ডব্লিউ. কে. এস-কে ব্যান্ড-পাস ফিল্টারগুলির একটি সেট হিসাবে স্বজ্ঞাত করা যেতে পারে যা আরও ভাল বৈশিষ্ট্য স্থানীয়করণের দিকে পরিচালিত করে। যাইহোক, ডাব্লু. কে. এস বড় আকারের বৈশিষ্ট্যগুলি ভালভাবে উপস্থাপন করে না (যেহেতু সেগুলি ফিল্টার করা হয়) যা আকৃতির মিলযুক্ত অ্যাপ্লিকেশনগুলিতে দুর্বল পারফরম্যান্স দেয়। গ্লোবাল পয়েন্ট সিগনেচার (জিপিএস) এইচকেএস-এর মতো, জিপিএস ল্যাপলেস-বেলট্রামি অপারেটরের উপর ভিত্তি করে তৈরি। একটি বিন্দুতে জিপিএস হল ল্যাপ্লাস-বেলট্রামি অপারেটরের স্কেল করা আইগেন ফাংশনগুলির একটি ভেক্টর। জিপিএস একটি বৈশ্বিক বৈশিষ্ট্য যেখানে এইচকেএস-এর স্কেল তাপ বিস্তারের জন্য সময় পরামিতি পরিবর্তন করে পরিবর্তিত হতে পারে। অতএব, এইচ. কে. এস আংশিক আকৃতির ম্যাচিং অ্যাপ্লিকেশনগুলিতে ব্যবহার করা যেতে পারে যেখানে জিপিএস করতে পারে না। স্পেকট্রাল গ্রাফ ওয়েভলেট সিগনেচার (এসজিডব্লিউএস) এসজিডব্লিউএস স্পেকট্রাল বর্ণনাকারীদের জন্য একটি সাধারণ ফর্ম সরবরাহ করে, যেখানে ফিল্টার ফাংশন নির্দিষ্ট করে এইচকেএস পাওয়া যায়। এসজিডব্লিউএস একটি মাল্টিরিসোলিউশন স্থানীয় বর্ণনাকারী যা কেবল আইসোমেট্রিক অপরিবর্তনীয়ই নয়, কম্প্যাক্ট, গণনা করা সহজ এবং ব্যান্ড-পাস এবং লো-পাস ফিল্টার উভয়ের সুবিধার সংমিশ্রণ। যদিও এইচ. কে. এস একাধিক স্কেলে আকৃতির প্রতিনিধিত্ব করে, এটি সহজাতভাবে স্কেল অপরিবর্তনীয় নয়। উদাহরণস্বরূপ, একটি আকৃতি এবং তার স্কেল করা সংস্করণের জন্য এইচকেএস প্রাক-স্বাভাবিককরণ ছাড়া একই নয়। স্কেল ইনভ্যারিয়েন্স নিশ্চিত করার একটি সহজ উপায় হল প্রতিটি আকৃতির প্রাক-স্কেলিং যাতে একই পৃষ্ঠ এলাকা থাকে (যেমন। 1)। উপরের স্বরলিপিটি ব্যবহার করে, এর অর্থঃ বিকল্পভাবে, এইচ. কে. এস-এর স্কেল-ইনভ্যারিয়েন্ট সংস্করণটি একটি স্কেল স্পেস উপস্থাপনা তৈরি করে তৈরি করা যেতে পারে। স্কেল-স্পেসে, একটি স্কেল আকৃতির এইচ. কে. এস একটি গুণক ফ্যাক্টর পর্যন্ত অনুবাদের সাথে মিলে যায়। এই এইচকেএস-এর ফুরিয়ার রূপান্তর সময়-অনুবাদকে জটিল সমতলে পরিবর্তন করে এবং রূপান্তরের মডুলাস বিবেচনা করে অনুবাদের উপর নির্ভরতা দূর করা যেতে পারে। । একটি বিকল্প স্কেল অপরিবর্তনীয় এইচকেএস একটি স্কেল অপরিবর্তনীয় মেট্রিকের মাধ্যমে এর নির্মাণ কাজ করে প্রতিষ্ঠিত করা যেতে পারে, যেমনটি সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে। ভলিউমেট্রিক এইচকেএস এইচকেএসকে একটি 3ডি আকৃতির সীমানা পৃষ্ঠের জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয়, যা 2ডি রিম্যানিয়ান ম্যানিফোল্ড হিসাবে উপস্থাপিত হয়। শুধুমাত্র সীমানা বিবেচনা করার পরিবর্তে, এইচকেএস-এর ভলিউমেট্রিক সংস্করণকে সংজ্ঞায়িত করার জন্য 3ডি আকৃতির সম্পূর্ণ ভলিউম বিবেচনা করা যেতে পারে। ভলিউমেট্রিক এইচকেএসকে সাধারণ এইচকেএসের অনুরূপ সংজ্ঞায়িত করা হয় পুরো আয়তনের উপর তাপ সমীকরণ বিবেচনা করে (3-সাবমানিফোল্ড হিসাবে) এবং আকৃতির 2-ম্যানিফোল্ড সীমানার উপর একটি নিউম্যান সীমানা শর্ত সংজ্ঞায়িত করে। ভলিউমেট্রিক এইচকেএস একটি ভলিউম আইসোমেট্রি পর্যন্ত রূপান্তরকে চিহ্নিত করে, যা সীমানা আইসোমেট্রি থেকে আরও বিশ্বস্তভাবে বাস্তব 3ডি বস্তুর রূপান্তরকে উপস্থাপন করে। আকৃতি অনুসন্ধান স্কেল-ইনভ্যারিয়েন্ট এইচকেএস বৈশিষ্ট্যগুলি আকৃতি পুনরুদ্ধারের অ্যাপ্লিকেশনের জন্য ব্যাগ-অফ-ফিচার মডেলে ব্যবহার করা যেতে পারে। বৈশিষ্ট্যগুলি তাদের স্থানিক সম্পর্কগুলি বিবেচনা করে জ্যামিতিক শব্দ তৈরি করতে ব্যবহৃত হয়, যেখান থেকে আকার তৈরি করা যেতে পারে (শব্দ হিসাবে বৈশিষ্ট্য এবং বাক্য হিসাবে আকার ব্যবহার করার অনুরূপ)। একটি সূচকযুক্ত সংগ্রহ গঠনের জন্য কম্প্যাক্ট বাইনারি কোড ব্যবহার করে আকারগুলি নিজেরাই উপস্থাপন করা হয়। একটি প্রশ্ন আকৃতির পরিপ্রেক্ষিতে, কাছাকাছি-পরিমাপ হিসাবে কোডের হ্যামিং দূরত্ব ব্যবহার করে সম্ভাব্য আইসোমেট্রিক রূপান্তর সহ সূচকের অনুরূপ আকারগুলি পুনরুদ্ধার করা যেতে পারে। তথ্যসূত্র চিত্র প্রক্রিয়াকরণ তাপ স্থানান্তর ডিজিটাল জ্যামিতি টপোলজি ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতি