Arithmetic zeta function
গণিতে, গাণিতিক জিটা ফাংশন হল একটি জিটা ফাংশন যা পূর্ণসংখ্যার উপর সীমাবদ্ধ ধরনের পরিকল্পনার সাথে যুক্ত। গাণিতিক জিটা ফাংশন রিমান জিটা ফাংশন এবং ডেডেকিন্ড জিটা ফাংশনকে উচ্চতর মাত্রায় সাধারণীকরণ করে। গাণিতিক জিটা ফাংশন সংখ্যা তত্ত্বের অন্যতম মৌলিক বস্তু। সংজ্ঞা গাণিতিক জিটা ফাংশনটি রিমান জিটা ফাংশনের অনুরূপ একটি অয়লার পণ্য দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়ঃ যেখানে পণ্যটি পরিকল্পনার সমস্ত বদ্ধ বিন্দুর উপর নেওয়া হয়। সমতুল্যভাবে, গুণফলটি সমস্ত বিন্দুর উপরে থাকে যার অবশিষ্টাংশ ক্ষেত্র সীমাবদ্ধ। এই ক্ষেত্রের প্রধানত্ব নির্দেশ করা হয়। উদাহরণ এবং বৈশিষ্ট্য একটি সসীম ক্ষেত্রের উপর বৈচিত্র্য যদি উপাদান সহ একটি সসীম ক্ষেত্রের বর্ণালী হয়, তবে একটি সসীম ক্ষেত্রের উপর একটি বৈচিত্র্য X-এর জন্য, এটি গ্রোথেন্ডিকের ট্রেস সূত্র দ্বারা জানা যায় যে কোথায় একটি মূলদ ফাংশন (অর্থাৎ, বহুপদের একটি ভাগফল)। একটি সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের উপর দুটি জাত X এবং Y দেওয়া হলে, এর জিটা ফাংশনটি দেওয়া হয় যেখানে পূর্ণসংখ্যার উইট ভেক্টরের বলয়ের গুণকে বোঝায়। পূর্ণসংখ্যার বলয় যদি পূর্ণসংখ্যার বলয়ের বর্ণালী হয়, তবে তা হল রিমান জিটা ফাংশন। আরও সাধারণভাবে, যদি একটি বীজগাণিতিক সংখ্যা ক্ষেত্রের পূর্ণসংখ্যার বলয়ের বর্ণালী হয়, তবে তা হল ডেডেকিন্ড জিটা ফাংশন। বিচ্ছিন্ন ইউনিয়নগুলির জিটা ফাংশন একটি পরিকল্পনার উপর অ্যাফিন এবং প্রজেক্টিভ স্পেসগুলির জিটা ফাংশন দ্বারা দেওয়া হয় পরবর্তী সমীকরণটি ব্যবহার করে পূর্ববর্তী থেকে অনুমান করা যেতে পারে যে, যে কোনওটির জন্য যা একটি বদ্ধ এবং উন্মুক্ত সাবসিমেমের বিচ্ছিন্ন মিলন এবং, আরও সাধারণভাবে, অসীম বিচ্ছিন্ন ইউনিয়নগুলির জন্য একটি অনুরূপ সূত্র ধারণ করে। বিশেষত, এটি দেখায় যে জিটা ফাংশনটি মৌলিক সংখ্যার মডুলো হ্রাসের গুণফলঃ প্রতিটি মৌলিক সংখ্যার উপর এই ধরনের অভিব্যক্তি কখনও কখনও অয়লার গুণফল বলা হয় এবং প্রতিটি ফ্যাক্টরকে অয়লার ফ্যাক্টর বলা হয়। আগ্রহের অনেক ক্ষেত্রে, জেনেরিক ফাইবার মসৃণ। তারপর, শুধুমাত্র সীমাবদ্ধভাবে অনেকগুলিই একবচন (খারাপ হ্রাস)। প্রায় সমস্ত মৌলিক সংখ্যার জন্য, অর্থাৎ যখন ভাল হ্রাস হয়, অয়লার ফ্যাক্টরটি এর হাস-ওয়েইল জিটা ফাংশনের সংশ্লিষ্ট ফ্যাক্টরের সাথে একমত বলে জানা যায়। অতএব, এই দুটি ফাংশন ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত। প্রধান অনুমান একটি নিয়মিত অপরিবর্তনীয় সম-মাত্রিক পরিকল্পনার (পূর্ণসংখ্যার উপর সীমাবদ্ধ ধরনের) জিটা ফাংশনের আচরণ সম্পর্কে বেশ কয়েকটি অনুমান রয়েছে। এই অনুমানগুলির মধ্যে অনেকগুলি (তবে সবগুলি নয়) ইউলার-রিম্যান-ডেডেকিন্ড জিটা ফাংশন সম্পর্কে সুপরিচিত উপপাদ্যগুলির এক-মাত্রিক কেসকে সাধারণীকরণ করে। স্কিমটি ফ্ল্যাট ওভার হওয়ার দরকার নেই, এই ক্ষেত্রে এটি কিছু সীমাবদ্ধ ধরণের স্কিম। এটিকে নীচের চরিত্রগত কেস হিসাবে উল্লেখ করা হয়েছে। পরের ক্ষেত্রে, এই অনুমানগুলির মধ্যে অনেকগুলি (বার্চ এবং সুইনারটন-ডায়ার অনুমানের সবচেয়ে উল্লেখযোগ্য ব্যতিক্রম ছাড়া, অর্থাৎ। বিশেষ মূল্যবোধের অধ্যয়ন) জানা যায়। সমতল এবং দ্বিতীয় এবং উচ্চতর মাত্রার স্কিমগুলির জন্য খুব কমই জানা যায়। মেরোমর্ফিক ধারাবাহিকতা এবং কার্যকরী সমীকরণ হাস এবং ওয়েইল অনুমান করেছেন যে জটিল সমতলে একটি মেরোমর্ফিক ধারাবাহিকতা রয়েছে এবং এর পরম মাত্রা কোথায় তার সাপেক্ষে একটি কার্যকরী সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে। এটি প্রমাণিত এবং কিছু খুব বিশেষ ক্ষেত্রে যখন ফ্ল্যাট স্কিমগুলির জন্য এবং সকলের জন্য ইতিবাচক বৈশিষ্ট্যযুক্ত। এটি ওয়েইল অনুমানের একটি পরিণতি (আরও সুনির্দিষ্টভাবে, রিম্যান অনুমানের অংশ) যে জিটা ফাংশনের একটি মেরোমর্ফিক ধারাবাহিকতা রয়েছে। সাধারণীকৃত রিম্যান হাইপোথিসিস অনুসারে এর শূন্যগুলি ক্রিটিক্যাল স্ট্রিপের ভিতরে উল্লম্ব রেখার উপর এবং ক্রিটিক্যাল স্ট্রিপের অভ্যন্তরের মেরুগুলি উল্লম্ব রেখার উপর অবস্থিত বলে অনুমান করা হয়। এটি (এমিল আর্টিন, হেলমুট হাস, আন্দ্রে ওয়েইল, আলেকজান্ডার গ্রোথেন্ডিক, পিয়েরে ডেলিগনে) সকলের জন্য ইতিবাচক বৈশিষ্ট্য হিসাবে প্রমাণিত হয়েছিল। ফ্ল্যাট ওভার এমন কোনও পরিকল্পনার জন্য এটি প্রমাণিত হয় না। রিম্যান হাইপোথিসিস হল কনজেকচার 2-এর একটি আংশিক উদাহরণ। বিশ্লেষণাত্মক ধারাবাহিকতা সাপেক্ষে, শূন্য বা মেরুর ক্রম এবং সমালোচনামূলক স্ট্রিপের অভ্যন্তরে পূর্ণসংখ্যা বিন্দুতে অবশিষ্টাংশের গুরুত্বপূর্ণ গাণিতিক অপরিবর্তনীয় দ্বারা প্রকাশযোগ্য বলে অনুমান করা হয়। উপরের প্রাথমিক বৈশিষ্ট্য এবং নোইথার স্বাভাবিকীকরণের উপর ভিত্তি করে সেরের কারণে একটি যুক্তি দেখায় যে এর জিটা ফাংশনের একটি মেরু রয়েছে যার ক্রমে সর্বাধিক মাত্রার সাথে অপরিবর্তনীয় উপাদানগুলির সংখ্যার সমান। দ্বিতীয়ত, টেট অনুমান করেছেন যে, মেরু ক্রমটি বিপরীতমুখী নিয়মিত ফাংশনের গ্রুপ এবং পিকার্ড গ্রুপের র্যাঙ্ক দ্বারা প্রকাশযোগ্য। বার্চ এবং সুইনারটন-ডায়ার অনুমান এই অনুমানের একটি আংশিক উদাহরণ। প্রকৃতপক্ষে, টেটের এই অনুমান বার্চ এবং সুইনারটন-ডায়ার-এর সাধারণীকরণের সমতুল্য। আরও সাধারণভাবে, সোল অনুমান করেছিলেন ডান দিকটি বীজগাণিতিক-তত্ত্বের অ্যাডামস আইগেনস্পেসকে বোঝায়। এই র্যাঙ্কগুলি ব্যাস অনুমানের অধীনে সীমাবদ্ধ। এই অনুমানগুলি জানা যায় যখন, অর্থাৎ, সসীম ক্ষেত্রের উপর সংখ্যার বলয় এবং বক্ররেখার ক্ষেত্রে। বার্চ এবং সুইনারটন-ডায়ার অনুমানের আংশিক ক্ষেত্রে প্রমাণিত হয়েছে, তবে ইতিবাচক বৈশিষ্ট্যের ক্ষেত্রেও অনুমানটি খোলা রয়েছে। পদ্ধতি এবং তত্ত্ব ক্রোনেকার মাত্রার একটি নিয়মিত সংযুক্ত সম-মাত্রিক গাণিতিক পরিকল্পনার গাণিতিক জিটা ফাংশনকে যথাযথভাবে সংজ্ঞায়িত-ফ্যাক্টর এবং একটি সহায়ক ফ্যাক্টরের গুণফলের মধ্যে ফ্যাক্টরাইজ করা যেতে পারে। অতএব,-ফাংশনের ফলাফল গাণিতিক জিটা ফাংশনের জন্য সংশ্লিষ্ট ফলাফল বোঝায়। যাইহোক, বৈশিষ্ট্যগত শূন্য এবং 2 এবং তার বেশি মাত্রায় গাণিতিক পরিকল্পনার-ফ্যাক্টর সম্পর্কে এখনও খুব কম প্রমাণিত ফলাফল রয়েছে। ইভান ফেসেনকো একটি তত্ত্বের সূচনা করেছিলেন যা গাণিতিক জিটা ফাংশনগুলিকে তাদের-ফ্যাক্টরগুলির সাথে কাজ না করেই সরাসরি অধ্যয়ন করে। এটি টেটের থিসিসের একটি উচ্চ-মাত্রিক সাধারণীকরণ, অর্থাৎ। এটি উচ্চতর অ্যাডেল গ্রুপ, উচ্চতর জিটা ইন্টিগ্রাল এবং উচ্চ শ্রেণীর ক্ষেত্র তত্ত্ব থেকে আসা বস্তু ব্যবহার করে। এই তত্ত্বে, বৈশ্বিক ক্ষেত্রের উপর উপবৃত্তাকার বক্ররেখার সঠিক নিয়মিত মডেলের মেরোমর্ফিক ধারাবাহিকতা এবং কার্যকরী সমীকরণ একটি সীমানা ফাংশনের গড়-পর্যায়ক্রমিক বৈশিষ্ট্যের সাথে সম্পর্কিত। এম. সুজুকি এবং জি. রিকোট্টার সাথে তাঁর যৌথ কাজে সংখ্যা তত্ত্বের একটি নতুন যোগাযোগের প্রস্তাব দেওয়া হয়েছে, গাণিতিক জিটা ফাংশন এবং গড়-পর্যায়ক্রমিক ফাংশনের মধ্যে মসৃণ ফাংশনের ক্ষেত্রে সূচকীয় বৃদ্ধির চেয়ে বেশি নয়। এই চিঠিপত্র ল্যাংল্যান্ডসের চিঠিপত্রের সঙ্গে সম্পর্কিত। ফেসেনকোর তত্ত্বের আরও দুটি প্রয়োগ হল বৈশ্বিক ক্ষেত্রের উপর উপবৃত্তাকার বক্ররেখার সঠিক মডেলের জিটা ফাংশনের মেরু এবং কেন্দ্রীয় বিন্দুতে বিশেষ মান। তথ্যসূত্র উৎস জিটা এবং এল-ফাংশন সংখ্যা তত্ত্ব