Conformal geometric algebra
কনফর্মাল জ্যামিতিক বীজগণিত (সিজিএ) হল একটি জ্যামিতিক বীজগণিত যা একটি মানচিত্রের ফলস্বরূপ স্থানের উপর একটি-মাত্রিক বেস স্পেসের বিন্দু থেকে শূন্য ভেক্টর পর্যন্ত নির্মিত হয়। এটি জ্যামিতিক বীজগণিতের সংস্করণগুলি ব্যবহার করে প্রতিফলন, ঘূর্ণন এবং অনুবাদ সহ বেস স্পেসে ক্রিয়াকলাপগুলিকে প্রতিনিধিত্ব করার অনুমতি দেয় এবং এটি পাওয়া যায় যে বিন্দু, রেখা, সমতল, বৃত্ত এবং গোলকগুলি বিশেষত প্রাকৃতিক এবং গণনামূলকভাবে উপযুক্ত উপস্থাপনা অর্জন করে। ম্যাপিংয়ের প্রভাবটি সাধারণ (অর্থাৎ। শূন্য বক্রতা সহ)-বেস স্পেস ম্যাপের গোলকগুলি-ব্লেডের উপর, এবং যাতে বেস স্পেসের একটি অনুবাদের (বা কোনও কনফরমাল ম্যাপিং) প্রভাব উচ্চ-মাত্রিক স্পেসে একটি ঘূর্ণনের সাথে মিলে যায়। এই স্থানের বীজগণিতে, ভেক্টরের জ্যামিতিক গুণফলের উপর ভিত্তি করে, এই ধরনের রূপান্তরগুলি বীজগণিতের চরিত্রগত স্যান্ডউইচ ক্রিয়াকলাপের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ, 3D-তে স্থানিক ঘূর্ণনের জন্য কোয়াটারনিয়নগুলির ব্যবহারের অনুরূপ, যা খুব দক্ষতার সাথে একত্রিত হয়। রূপান্তরের প্রতিনিধিত্বকারী ঘূর্ণনগুলির একটি পরিণতি হল যে গোলক, সমতল, বৃত্ত এবং অন্যান্য জ্যামিতিক বস্তুর উপস্থাপনা এবং তাদের সংযুক্ত সমীকরণগুলি সহপরিবর্তনশীলভাবে রূপান্তরিত হয়। একটি জ্যামিতিক বস্তু (a-গোলক) বস্তুর উপর বিন্দুগুলির প্রতিনিধিত্বকারী রৈখিকভাবে স্বাধীন ভেক্টরগুলির ওয়েজ প্রোডাক্ট হিসাবে সংশ্লেষিত করা যেতে পারে; বিপরীতভাবে, বস্তুটিকে তার পৃষ্ঠের স্বতন্ত্র বিন্দুগুলির প্রতিনিধিত্বকারী ভেক্টরগুলির পুনরাবৃত্ত ওয়েজ প্রোডাক্ট হিসাবে বিচ্ছিন্ন করা যেতে পারে। কিছু ছেদ ক্রিয়াকলাপ একটি সুশৃঙ্খল বীজগাণিতিক রূপও অর্জন করেঃ উদাহরণস্বরূপ, ইউক্লিডীয় বেস স্পেসের জন্য, দুটি গোলকের প্রতিনিধিত্বকারী টেট্রাভেক্টরের দ্বৈতটিতে ওয়েজ প্রোডাক্ট প্রয়োগ করে তাদের ছেদ বৃত্তের ট্রাইভেক্টর প্রতিনিধিত্বের দ্বৈত তৈরি করে। যেহেতু এই বীজগাণিতিক কাঠামোটি সরাসরি কার্যকর গণনার জন্য নিজেকে ধার দেয়, তাই এটি একটি কংক্রিট, সহজে-ম্যানিপুলেট সেটিংসে প্রজেক্টিভ জ্যামিতি এবং বিপরীত জ্যামিতির শাস্ত্রীয় পদ্ধতির অনুসন্ধানকে সহজতর করে। এটি স্ক্রু তত্ত্বে গণনার প্রতিনিধিত্ব এবং সহজতর করার জন্য একটি দক্ষ কাঠামো হিসাবেও ব্যবহৃত হয়েছে। সিজিএ বিশেষ করে পাঁচ-মাত্রিক ভেক্টর স্পেসে দৈনন্দিন ইউক্লিডীয় স্থানের প্রজেক্টিভ ম্যাপিংয়ের ক্ষেত্রে প্রয়োগ করা হয়েছে, যা রোবোটিক্স এবং কম্পিউটার দৃষ্টিতে প্রয়োগের জন্য তদন্ত করা হয়েছে। এটি সাধারণত যে কোনও ছদ্ম-ইউক্লিডীয় স্থানে প্রয়োগ করা যেতে পারে-উদাহরণস্বরূপ, মহাকাশে মিনকোভস্কি স্থান। সিজিএ স্বরলিপি এবং পরিভাষার নির্মাণ এই নিবন্ধে, বীজগণিতের উপর দৃষ্টি নিবদ্ধ করা হয়েছে কারণ এই নির্দিষ্ট বীজগণিতই সময়ের সাথে সাথে সর্বাধিক মনোযোগের বিষয় হয়ে দাঁড়িয়েছে; অন্যান্য ক্ষেত্রে সংক্ষেপে একটি পৃথক বিভাগে অন্তর্ভুক্ত করা হয়েছে। মডেল করা হচ্ছে এমন বস্তু ধারণকারী স্থানটিকে এখানে বেস স্পেস হিসাবে উল্লেখ করা হয় এবং বীজগাণিতিক স্থানটি এই বস্তুগুলিকে উপস্থাপনা বা কনফরমাল স্পেস হিসাবে মডেল করতে ব্যবহৃত হয়। একটি সমজাতীয় সাবস্পেস বীজগাণিতিক স্থানের একটি রৈখিক সাবস্পেসকে বোঝায়। বস্তুর পদগুলিঃ বিন্দু, রেখা, বৃত্ত, গোলক, অর্ধ-গোলক ইত্যাদি। এগুলি বেস স্পেসে জ্যামিতিক বস্তু বা সেই বস্তুর প্রতিনিধিত্বকারী উপস্থাপনা স্থানের সমজাতীয় সাবস্পেস বোঝাতে ব্যবহৃত হয়, পরেরটি সাধারণত অন্যথায় নির্দেশিত না হলে উদ্দেশ্য করা হয়। বীজগাণিতিকভাবে, সমজাতীয় সাবস্পেসের যে কোনও অ-শূন্য নাল উপাদান ব্যবহার করা হবে, যার মধ্যে একটি উপাদানকে কিছু মানদণ্ড দ্বারা স্বাভাবিক হিসাবে উল্লেখ করা হবে। বোল্ডফেস ছোট হাতের ল্যাটিন অক্ষরগুলি মূল স্থান থেকে বেস স্পেসের একটি বিন্দু পর্যন্ত অবস্থান ভেক্টরকে উপস্থাপন করতে ব্যবহৃত হয়। উপস্থাপনা স্থানের অন্যান্য উপাদানের জন্য ইটালিক চিহ্ন ব্যবহার করা হয়। ভিত্তি এবং প্রতিনিধিত্ব স্থান একটি নির্বাচিত উৎস থেকে স্থানচ্যুতির জন্য একটি ভিত্তি প্রসারিত করে এবং ভিত্তি স্থানে এবং একে অপরের সাথে দুটি ভিত্তি ভেক্টর এবং অর্থোগোনাল যোগ করে এবং প্রতিনিধিত্ব স্থান তৈরি করে ভিত্তি স্থানটি প্রতিনিধিত্ব করা হয়। এবং, কোথায়, এবং-এর জায়গায় দুটি নাল ভেক্টর এবং বেসিস ভেক্টর ব্যবহার করা সুবিধাজনক। এটি যাচাই করা যেতে পারে, যেখানে বেস স্পেসে রয়েছে, যেঃ এই বৈশিষ্ট্যগুলি উপস্থাপনা স্পেসে একটি সাধারণ ভেক্টরের বেসিস ভেক্টর সহগের জন্য নিম্নলিখিত সূত্রগুলির দিকে পরিচালিত করে যার উপাদানগুলি অন্য প্রতিটি বেসিস উপাদানের সাথে অর্থোগোনালঃ for এর সহগ হল for এর সহগ হল for এর সহগ। বেস স্পেস এবং উপস্থাপনা স্পেসের মধ্যে ম্যাপিং বেস স্পেসে একটি ভেক্টর থেকে ম্যাপিং (উত্স থেকে প্রতিনিধিত্ব করা অ্যাফিন স্পেসের একটি বিন্দু পর্যন্ত) সূত্র দ্বারা দেওয়া হয়ঃ পয়েন্ট এবং অন্যান্য বস্তু যা কেবল একটি অ-শূন্য স্কেলার ফ্যাক্টর দ্বারা পৃথক হয় সমস্ত ম্যাপ বেস স্পেসে একই বস্তুর সাথে। যখন স্বাভাবিককরণ পছন্দ করা হয়, প্রতিনিধিত্ব স্থান থেকে বেস স্থান পর্যন্ত একটি বিন্দুর একটি সহজ বিপরীত মানচিত্র তৈরি করার জন্য বা দূরত্ব নির্ধারণের জন্য, শর্তটি ব্যবহার করা যেতে পারে। ফরওয়ার্ড ম্যাপিং এর সমতুল্যঃ প্রথমে স্থানের একটি একক 3-গোলক থেকে সামঞ্জস্যপূর্ণভাবে প্রক্ষেপ করা (5-ডি-তে এটি সাবস্পেসে রয়েছে); তারপর সংলগ্ন করে এটিকে একটি প্রজেক্টিভ স্পেসে তুলুন, এবং মূল থেকে একই রশ্মির সমস্ত বিন্দু চিহ্নিত করুন (5-ডি-তে এটি সাবস্পেসে রয়েছে); তারপর স্বাভাবিককরণ পরিবর্তন করুন, তাই সমজাতীয় অভিক্ষেপের জন্য সমতলটি একটি মান সহ সমন্বয় দ্বারা দেওয়া হয়, অর্থাৎ। । বিপরীত ম্যাপিং নাল শঙ্কুতে একটি বিপরীত ম্যাপিং (পারওয়াস ইক্যুএন 4.37) দ্বারা দেওয়া হয় এটি প্রথমে হালকা-শঙ্কু থেকে সমতলে একটি স্টেরিওগ্রাফিক অভিক্ষেপ দেয় এবং তারপরে এবং অংশগুলি ছুঁড়ে দেয়, যাতে সামগ্রিক ফলাফলটি সমস্ত সমতুল্য পয়েন্টগুলিকে ম্যাপ করা হয়। উৎপত্তি এবং অনন্তের বিন্দু মানচিত্রে যে বিন্দু থেকে, সেই বিন্দুটিকে উৎপত্তিস্থলের বিন্দুর (উপস্থাপনা) ভেক্টর হিসাবে চিহ্নিত করা হয়। একটি অ-শূন্য সহগ সহ একটি ভেক্টর, কিন্তু একটি শূন্য সহগ অবশ্যই (বিপরীত মানচিত্র বিবেচনা করে) একটি অসীম ভেক্টরের চিত্র হতে হবে। দিকটি তাই অনন্তের (সামঞ্জস্যপূর্ণ) বিন্দুকে উপস্থাপন করে। এটি সাবস্ক্রিপ্টগুলিকে এবং নাল বেসিস ভেক্টরগুলি সনাক্ত করতে অনুপ্রাণিত করে। উৎপত্তির পছন্দটি স্বেচ্ছাচারীঃ অন্য যে কোনও বিন্দু বেছে নেওয়া যেতে পারে, কারণ উপস্থাপনাটি একটি অ্যাফিন স্থানের। উৎসটি কেবল একটি রেফারেন্স বিন্দুর প্রতিনিধিত্ব করে এবং বীজগাণিতিকভাবে অন্য যে কোনও বিন্দুর সমতুল্য। যে কোনও অনুবাদের মতো, উৎস পরিবর্তন করা উপস্থাপনা স্থানের একটি আবর্তনের সাথে মিলে যায়। জ্যামিতিক বস্তুগুলির ভিত্তি এবং এগুলি হল বীজগণিতের 32টি ভিত্তি ফলক। ফ্ল্যাট পয়েন্ট অরিজিন একটি বাইরের পণ্য হিসাবে লেখা হয় কারণ জ্যামিতিক পণ্যটি মিশ্র গ্রেডের। এক জোড়া সমীকরণের সমাধান হিসাবে প্রতিনিধিত্বকারী স্থানের যে কোনও অ-শূন্য ফলক দেওয়া হলে, যে ভেক্টরগুলির সেটটি ফর্মের এক জোড়া সমজাতীয় সমীকরণের সমাধান হয় তা হল নাল ভেক্টরের সমজাতীয় 1-ডি সাবস্পেসের ইউনিয়ন, এবং এইভাবে বেস স্পেসে পয়েন্টগুলির একটি সেটের প্রতিনিধিত্ব করে। এটি একটি নির্দিষ্ট শ্রেণীর জ্যামিতিক বস্তুর প্রতিনিধিত্ব করার একটি দরকারী উপায় হিসাবে একটি ফলকের পছন্দের দিকে পরিচালিত করে। ব্লেডের জন্য নির্দিষ্ট ক্ষেত্রে (স্থানের মাত্রার সংখ্যা থেকে স্বাধীন) যখন বেস স্পেস ইউক্লিডীয় স্পেস হয়ঃ একটি স্কেলারঃ খালি সেট একটি ভেক্টরঃ একটি একক বিন্দু একটি বাইভেক্টরঃ এক জোড়া পয়েন্ট একটি ট্রাইভেক্টরঃ একটি সাধারণীকৃত বৃত্ত একটি 4-ভেক্টরঃ একটি সাধারণীকৃত গোলক ইত্যাদি। এগুলি প্রতিটি তিনটি ক্ষেত্রে বিভক্ত হতে পারে ধনাত্মক, শূন্য বা ঋণাত্মক, তালিকাভুক্ত বস্তুর সাথে সম্পর্কিত (কিছু ক্ষেত্রে বিপরীত ক্রমে), একটি একক বিন্দুর অবক্ষয়জনিত ক্ষেত্রে, বা কোনও বিন্দু নেই (যেখানে শূন্য নয় এমন সমাধানগুলি বাদ দেওয়া নাল ভেক্টর)। তালিকাভুক্ত জ্যামিতিক বস্তুগুলি (সাধারণীকৃত-গোলক) ছদ্ম-ইউক্লিডীয় বেস স্পেসের আরও সাধারণ ক্ষেত্রে আধা-গোলক হয়ে ওঠে। সমতল বস্তুগুলি সমাধানগুলিতে অন্তর্ভুক্ত অনন্ত বিন্দু দ্বারা চিহ্নিত করা যেতে পারে। সুতরাং, যদি, বস্তুটি একটি রেখা, সমতল ইত্যাদি হবে, তবে ফলকটি যথাক্রমে গ্রেড 3,4 ইত্যাদির হবে। বস্তুর বিন্দু থেকে উদ্ভূত হিসাবে এই শ্রেণীর বস্তুর প্রতিনিধিত্বকারী একটি ফলক বস্তুর উপর বিন্দুগুলির প্রতিনিধিত্বকারী রৈখিকভাবে স্বাধীন ভেক্টরের বাইরের গুণফল হিসাবে পাওয়া যেতে পারে। বেস স্পেসে, এই রৈখিক স্বাধীনতা অন্যান্য বিন্দু দ্বারা সংজ্ঞায়িত বস্তুর বাইরে অবস্থিত প্রতিটি বিন্দু হিসাবে প্রকাশিত হয়। সুতরাং, উদাহরণস্বরূপ, তিনটি স্বতন্ত্র বিন্দু দ্বারা সংজ্ঞায়িত সাধারণীকৃত বৃত্তের উপর অবস্থিত একটি চতুর্থ বিন্দু একটি গোলক সংজ্ঞায়িত করার জন্য চতুর্থ বিন্দু হিসাবে ব্যবহার করা যাবে না। শূন্য শঙ্কুতে ই123 মানচিত্রে প্রতিকূলতা পয়েন্ট-যদি আমরা সেট করি তবে শূন্য প্যারাবোলা। আমরা ই123 এস. টি-তে বিন্দুর অবস্থান বিবেচনা করতে পারি। কনফরমাল স্পেসে, বিভিন্ন ধরনের জ্যামিতিক বস্তুর জন্য এ। আমরা এই তুলনাটি পর্যবেক্ষণ করে শুরু করিঃ x. a = 0 => x perp a; x। (a/b) = 0 => x perp a এবং x perp b/b = 0 => x a এর সমান্তরাল; x/b = 0 => x a বা b এর সমান্তরাল (বা কিছু রৈখিক সংমিশ্রণ) অভ্যন্তরীণ গুণফল এবং বাইরের গুণফলের উপস্থাপনা দ্বৈতকরণ x/a = 0 <=> x দ্বারা সম্পর্কিত। A * = 0 (চেক-কাজ করে যদি x হয় 1-ডাইম্, A হয় n-1 ডাইম্) g (x)। A = 0 A বিন্দুঃ R3-এ x-এর অবস্থান হল একটি বিন্দু, যদি R4,1-এ A শূন্য শঙ্কুতে একটি ভেক্টর হয়। (এন. বি. যেহেতু এটি একটি সমজাতীয় প্রজেক্টিভ স্পেস, তাই উৎপত্তির মধ্য দিয়ে একটি রশ্মির যে কোনও দৈর্ঘ্যের ভেক্টর সমতুল্য, তাই g (x). A = 0 হল g (x). g (a) = 0 এর সমতুল্য। একটি গোলকঃ x-এর লোকাস একটি গোলক যদি A = S হয়, নাল শঙ্কু থেকে একটি ভেক্টর। যদি S. X = 0 => হয় তবে এগুলি শূন্য-কোণের বাইরে একটি ভেক্টর S-এর জন্য একটি গোলকের সাথে সম্পর্কিত বিন্দু, কোন দিকগুলি হাইপারবোলিকভাবে অর্থোগোনাল? (সিএফ লরেঞ্জ ট্রান্সফর্মেশন পিক্স) 2 + 1 ডি-তে, যদি এস হয় (1, এ, বি), (কো-অর্ড ই-, {ই +, ইআই} ব্যবহার করে), হাইপারবোলিকভাবে এস-এর অর্থোগোনাল পয়েন্টগুলি হল ইউক্লিডিয়ানভাবে অর্থোগোনাল (-1, এ, বি)-অর্থাৎ, একটি সমতল; বা এন মাত্রায়, উৎসের মধ্য দিয়ে একটি হাইপারপ্লেন। এটি একটি রেখার উৎপত্তিস্থলের (একটি এন-2 পৃষ্ঠে একটি হাইপারসার্ফেস) মাধ্যমে নয়, এবং তারপর শঙ্কুটি দুটি বিন্দুতে (রেসপ) কেটে ফেলবে। কিছু ধরণের এন-3 শঙ্কু পৃষ্ঠ)। সুতরাং এটি সম্ভবত কোন ধরনের শঙ্কু মত দেখতে যাচ্ছে। এটি সেই পৃষ্ঠ যা g-এর নিচে একটি গোলকের চিত্র। একটি সমতলঃ x-এর লোকাস হল একটি সমতল, যদি A = P হয়, একটি ভেক্টর যার শূন্য কোন উপাদান নেই। একটি সমজাতীয় প্রজেক্টিভ স্পেসে এই ধরনের ভেক্টর পি সমতল সংখ্যা = 1-এ একটি ভেক্টরকে উপস্থাপন করে যা মূল থেকে অসীম দূরে থাকবে (অর্থাৎ নাল শঙ্কু থেকে অসীম দূরে), তাই g (x)। বিশেষতঃ উৎপত্তিস্থল থেকে স্বাভাবিক অর্থোগোনাল দূরত্ব α সহ সমতলে x-এর সাথে মিলে যায়। সাধারণ a-b বৃত্তের সঙ্গে a এবং b-এর মধ্যবর্তী সমতলের অর্ধেকের সাথে মিলে যায়, স্পর্শক সমতলের রেখা অসীম বিন্দু জোড়ায় রূপান্তর প্রতিফলন করে। এটি যাচাই করা যেতে পারে যে, P g (x) P গঠন করলে শূন্য-কোণ, g (x ')-এর উপর একটি নতুন দিকনির্দেশ পাওয়া যায়, যেখানে x', R3-এর p বিন্দুর সমতলে একটি প্রতিফলনের সাথে মিলে যায় যা g (p)-কে সন্তুষ্ট করে। পি = 0. জি (এক্স)। A = 0 => P g (x)। A P = 0 => P g (x) P। পি এ পি (এবং একইভাবে ওয়েজ প্রোডাক্টের জন্য), তাই উপরের অংশে যে কোনও পরিমাণ এ-তে পি স্যান্ডউইচ-ফ্যাশন প্রয়োগের প্রভাব একইভাবে x বিন্দুর সংশ্লিষ্ট লোকাসকে প্রতিফলিত করে, তাই সংশ্লিষ্ট বৃত্ত, গোলক, রেখা এবং নির্দিষ্ট ধরনের এ-এর সাথে সম্পর্কিত সমতলগুলি ঠিক একইভাবে প্রতিফলিত হয় যেমন পি থেকে জি (এক্স) প্রয়োগ একটি বিন্দু এক্স প্রতিফলিত করে। এই প্রতিফলন ক্রিয়াটি সাধারণ অনুবাদ এবং ঘূর্ণন গড়ে তোলার জন্য ব্যবহার করা যেতে পারেঃ দুটি সমান্তরাল সমতলে প্রতিফলন একটি অনুবাদ দেয়, যদি এবং তারপর ঘূর্ণনগুলি একটি x 'এর সাথে মিলে যায় যা একটি কোণ 2 θ দ্বারা মূল সম্পর্কে ঘোরানো হয় যেখানে θ হল a এবং b এর মধ্যে কোণ-- এই রটারটি যদি সরাসরি x-এ প্রয়োগ করা হয় তবে একই প্রভাব ফেলবে। একটি সাধারণ বিন্দু সম্পর্কে সাধারণ ঘূর্ণন ঘূর্ণনগুলি প্রথমে বিন্দুটিকে উৎপত্তিস্থলে অনুবাদ করে, তারপর মূলের চারপাশে ঘোরানো, তারপর বিন্দুটিকে তার মূল অবস্থানে অনুবাদ করে অর্জন করা যেতে পারে, অর্থাৎ। অপারেটর দ্বারা একটি স্যান্ডউইচিং যাতে একটি স্ক্রু বা মোটর (একটি সাধারণ বিন্দু সম্পর্কে একটি ঘূর্ণন, তারপরে ঘূর্ণনের অক্ষের সমান্তরাল অনুবাদ) অপারেটর দ্বারা স্যান্ডউইচ করার মাধ্যমে অর্জন করা যেতে পারে। এম-কে প্যারামিট্রাইজডও করা যেতে পারে (চ্যাসল 'স থিওরেম) ইনভার্শন একটি ইনভার্শন হল একটি গোলকের প্রতিফলন-এই ধরনের ইনভার্শন ব্যবহার করে অর্জন করা যেতে পারে এমন বিভিন্ন ক্রিয়াকলাপ ইনভার্সিভ জ্যামিতিতে আলোচনা করা হয়। বিশেষত, ইউক্লিডীয় রূপান্তর অনুবাদ এবং ঘূর্ণনের সাথে বিপরীতের সংমিশ্রণ যে কোনও সামঞ্জস্যপূর্ণ ম্যাপিং প্রকাশ করার জন্য যথেষ্ট-অর্থাৎ। যে কোনও মানচিত্র যা সর্বজনীনভাবে কোণ সংরক্ষণ করে। (লিউভিলের উপপাদ্য)। একই কেন্দ্রের সাথে দুটি বিপরীতকরণ একটি বিস্তার তৈরি করে। সাধারণীকরণ ইতিহাস সম্মেলন এবং জার্নাল ক্লিফোর্ড এবং জ্যামিতিক অ্যালজেব্রার চারপাশে বিস্তৃত প্রয়োগ সহ একটি প্রাণবন্ত এবং আন্তঃবিষয়ক সম্প্রদায় রয়েছে। এই বিষয়ে প্রধান সম্মেলনগুলির মধ্যে রয়েছে ক্লিফোর্ড অ্যালজেব্রা এবং গাণিতিক পদার্থবিজ্ঞানে তাদের প্রয়োগ (আই. সি. সি. এ) এবং কম্পিউটার বিজ্ঞান ও প্রকৌশল (এ. জি. এ. সি. এস. ই) সিরিজে জ্যামিতিক বীজগণিতের প্রয়োগ সম্পর্কিত আন্তর্জাতিক সম্মেলন। একটি প্রধান প্রকাশনা কেন্দ্র হল স্প্রিংগার জার্নাল অ্যাডভান্সস ইন অ্যাপ্লায়েড ক্লিফোর্ড আলজেব্রাস। নোটস রেফারেন্স গ্রন্থপঞ্জি বই হেস্টেনেস এট আল (2000), জি. সমার-এ (সংস্করণ। ), ক্লিফোর্ড বীজগণিত সহ জ্যামিতিক গণনা। স্প্রিংগার ভার্লাগ। (গুগল বুকস) (http://geocalc.clas.asu.edu/html/UAFCG.html হেস্টেনের ওয়েবসাইট) সিএইচ। 1: ধ্রুপদী জ্যামিতির জন্য নতুন বীজগাণিতিক সরঞ্জাম Ch। 2: গণনামূলক জ্যামিতির জন্য সাধারণীকৃত সমজাতীয় স্থানাঙ্ক Ch। 3: জ্যামিতিক বীজগণিতের সঙ্গে গোলাকার সামঞ্জস্যপূর্ণ জ্যামিতি Ch। 4: এ ইউনিভার্সাল মডেল ফর কনফরমাল জ্যামিতি অফ ইউক্লিডিয়ান, স্ফেরিকাল অ্যান্ড ডাবল-হাইপারবোলিক স্পেসস হেস্টেনেস (2001), ই. বায়রো-করোচানো অ্যান্ড জি. সোবজিক (সংস্করণ। ), অ্যাডভান্সস ইন জিওমেট্রিক অ্যালজেব্রা উইথ অ্যাপ্লিকেশনস ইন সায়েন্স অ্যান্ড ইঞ্জিনিয়ারিং, স্প্রিঙ্গার ভার্লাগ। গুগল বুকস ওল্ড ওয়াইন ইন নিউ বোতলস (পিপি। 1-14) হেস্টেনেস (2010), ই. বায়রো-করোচানো এবং জি. শ্যুয়ারম্যান (2010), জ্যামিতিক বীজগণিত কম্পিউটিং ইন ইঞ্জিনিয়ারিং অ্যান্ড কম্পিউটার সায়েন্স। স্প্রিংগার ভার্লাগ। (গুগল বুকস)। গণনামূলক জ্যামিতি এবং স্ক্রু তত্ত্বের পুনরুজ্জীবনের জন্য নতুন সরঞ্জাম ডোরান, সি এবং লেসেনবি, এ। (2003), জ্যামিতিক বীজগণিত পদার্থবিদদের জন্য, কেমব্রিজ ইউনিভার্সিটি প্রেস। § 10.2; পৃ. 351 এবং সেক ডর্স্ট, এল. এবং অন্যান্য (2007), কম্পিউটার বিজ্ঞানের জন্য জ্যামিতিক বীজগণিত, মরগান-কফম্যান। অধ্যায় 13; পৃ. 355 এবং সেক ভিন্স, জে। (2008), কম্পিউটার গ্রাফিক্সের জন্য জ্যামিতিক বীজগণিত, স্প্রিংগার ভার্লাগ। অধ্যায় 11; পৃ. 199 এবং সেক পারওয়াস, সি. (2009), জ্যামিতিক বীজগণিত প্রকৌশলের প্রয়োগ সহ, স্প্রিঙ্গার ভার্লাগ। § 4.3: পৃ. 145 এবং সেক বায়রো-করোচানো, ই. এবং শ্যুয়ারম্যান জি. (2010, সংস্করণ। ), জ্যামিতিক বীজগণিত কম্পিউটিং ইঞ্জিনিয়ারিং এবং কম্পিউটার সায়েন্সে। স্প্রিংগার ভার্লাগ। পিপি। 3-90 বায়রো-করোচানো (2010), জ্যামিতিক কম্পিউটিং ফর ওয়েভলেট ট্রান্সফর্মস, রোবট ভিশন, লার্নিং, কন্ট্রোল অ্যান্ড অ্যাকশন। স্প্রিংগার ভার্লাগ। অধ্যায় 6; পৃ. 149-183 ডর্স্ট, এল. এবং লেসেনবি, জে। (2011, সংস্করণ। ), অনুশীলনে জ্যামিতিক বীজগণিতে গাইড। স্প্রিঙ্গার ভার্লাগ, পৃ. 3-252। । অনলাইন সম্পদ ওয়্যারহ্যাম, আর. (2006), কম্পিউটার গ্রাফিক্স ইউজিং কনফরমাল জ্যামিতিক অ্যালজেব্রা, পিএইচডি থিসিস, কেমব্রিজ বিশ্ববিদ্যালয়, পিপি। 14-26,31-67 ব্রম্বর্স্কি, এ। (2008), কনফরমাল জ্যামিতি ভায়া জ্যামিতিক অ্যালজেব্রা (অনলাইন স্লাইড) ডেল 'অ্যাকুয়া, এ. এট আল (2008), পয়েন্ট, লাইন এবং প্লেনের কাঠামো থেকে থ্রিডি মোশন, ইমেজ অ্যান্ড ভিশন কম্পিউটিং, 26 529-549 ডর্স্ট, এল. (2010), টিউটোরিয়ালঃ স্ট্রাকচার-প্রিজারভিং রিপ্রেজেন্টেশন অফ ইউক্লিডিয়ান মোশনস থ্রু কনফরমাল জ্যামিতিক অ্যালজেব্রা, ই. বায়রো-করোচানো, জি. শ্যুয়ারম্যান (সংস্করণ। ), জ্যামিতিক বীজগণিত গণনা, স্প্রিংগার ভার্লাগ। কোলাপিন্তো, পি. (2011), ভার্সর স্প্যাটিয়াল কম্পিউটিং উইথ কনফরমাল জ্যামিতিক অ্যালজেব্রা, এম. এসসি থিসিস, ইউনিভার্সিটি অফ ক্যালিফোর্নিয়া সান্তা বারবারা ম্যাকডোনাল্ড, এ। (2013), জ্যামিতিক বীজগণিত এবং জ্যামিতিক ক্যালকুলাসের একটি সমীক্ষা। (অনলাইন নোট) § 4.2: পৃ. 26 ইত্যাদি। Rn + 1-এর উপর মোটর বীজগণিতেঃ এডুয়ার্ডো বায়রো করোচানো (2001), উপলব্ধি অ্যাকশন সিস্টেমের জন্য জ্যামিতিক কম্পিউটিংঃ ধারণা, অ্যালগরিদম এবং বৈজ্ঞানিক প্রয়োগ। (গুগল বই) জ্যামিতিক বীজগণিত সামঞ্জস্যপূর্ণ জ্যামিতি বিপরীত জ্যামিতি গণনামূলক জ্যামিতি