Witten conjecture
বীজগাণিতিক জ্যামিতিতে, উইটেন অনুমান হল বক্ররেখার মডুলি স্পেসে স্থিতিশীল শ্রেণীর ছেদ সংখ্যা সম্পর্কে একটি অনুমান, যা এডওয়ার্ড উইটেন গবেষণাপত্রে প্রবর্তন করেছিলেন এবং এতে সাধারণীকরণ করেছিলেন। উইটেনের মূল অনুমানটি গবেষণাপত্রে ম্যাক্সিম কনটসেভিচ প্রমাণ করেছিলেন। এই অনুমানের জন্য উইটেনের অনুপ্রেরণা ছিল যে দ্বি-মাত্রিক কোয়ান্টাম মাধ্যাকর্ষণের দুটি ভিন্ন মডেলের একই বিভাজন ফাংশন থাকা উচিত। এই মডেলগুলির মধ্যে একটির পার্টিশন ফাংশনকে বীজগাণিতিক বক্ররেখার মডুলি স্ট্যাকের ছেদ সংখ্যার পরিপ্রেক্ষিতে বর্ণনা করা যেতে পারে এবং অন্যটির পার্টিশন ফাংশন হল কে. ডি. ভি শ্রেণিবিন্যাসের τ-ফাংশনের লগারিদম। এই বিভাজন ফাংশনগুলি সনাক্ত করা উইটেনের অনুমান দেয় যে ছেদ সংখ্যা থেকে গঠিত একটি নির্দিষ্ট উৎপাদনকারী ফাংশনকে কে. ডি. ভি শ্রেণিবিন্যাসের ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলিকে সন্তুষ্ট করতে হবে। বিবৃতি ধরুন যে এমজি, এন হল জি গণের কম্প্যাক্ট রিম্যান পৃষ্ঠের মডুলি স্ট্যাক যার এন স্বতন্ত্র চিহ্নিত পয়েন্ট x1,., xn, এবং জি, এন হল এর ডেলিগনে-মামফোর্ড কম্প্যাক্টিফিকেশন। জি, এন-এ এন লাইন বান্ডিল রয়েছে, যার মডুলি স্ট্যাকের একটি বিন্দুতে ফাইবার চিহ্নিত বিন্দু xi-তে একটি রিমান পৃষ্ঠের কোট্যাঞ্জেন্ট স্থান দ্বারা দেওয়া হয়। ছেদ সূচক θτd1,., τdn হল g, n-এর উপর Πc1 (Li) d-এর ছেদ সূচক যেখানে σdi = dimg, n = 3g-3 + n, এবং 0 যদি এমন কোনও g বিদ্যমান না থাকে, যেখানে c1 হল একটি লাইন বান্ডিলের প্রথম চেরন শ্রেণী। উইটেনের জেনারেটিং ফাংশন সমস্ত ছেদ সূচককে তার সহগ হিসাবে এনকোড করে। উইটেনের অনুমান বলে যে পার্টিশন ফাংশন Z = exp F হল KdV শ্রেণিবিন্যাসের জন্য একটি τ-ফাংশন, অন্য কথায় এটি ভিরাসোরো বীজগণিতের ভিত্তির সাথে সম্পর্কিত আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একটি নির্দিষ্ট সিরিজকে সন্তুষ্ট করে। প্রুফ কনটসেভিচ রিবন গ্রাফের পরিপ্রেক্ষিতে মডুলি স্পেসগুলির একটি সমন্বিত বিবরণ ব্যবহার করে দেখিয়েছেন যে এখানে ডানদিকে যোগফলটি সেট জিজি, এন রিবন গ্রাফের এক্স এর কম্প্যাক্ট রিমান পৃষ্ঠের এন চিহ্নিত পয়েন্ট সহ। E প্রান্তের সেট এবং X-এর পয়েন্টগুলি X0 এবং X1 দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। ফাংশন λ কে চিহ্নিত বিন্দু থেকে বাস্তব বিন্দু পর্যন্ত একটি ফাংশন হিসাবে বিবেচনা করা হয় এবং প্রান্তের প্রতিটি পাশের সাথে সম্পর্কিত দুটি চিহ্নিত বিন্দুতে λ এর যোগফলের সমান একটি প্রান্তের λ স্থাপন করে ফিতা গ্রাফের প্রান্ত পর্যন্ত প্রসারিত করা হয়। ফাইনম্যান রেখাচিত্র কৌশল দ্বারা, এটি বোঝায় যে F (t0,.) একটি অ্যাসিম্পটোটিক সম্প্রসারণ কারণ λ অসীমের দিকে ধার দেয়, যেখানে λ এবং χ ধনাত্মক নির্দিষ্ট N দ্বারা N হার্মিটিয়ান ম্যাট্রিক্স দ্বারা দেওয়া হয়, এবং ti দ্বারা দেওয়া হয় এবং ধনাত্মক নির্দিষ্ট হার্মিটিয়ান ম্যাট্রিক্সের সম্ভাব্যতা পরিমাপ μ দ্বারা দেওয়া হয় যেখানে cλ একটি স্বাভাবিক ধ্রুবক। এই পরিমাপের এমন বৈশিষ্ট্য রয়েছে যা বোঝায় যে ফাইনম্যান চিত্রের পরিপ্রেক্ষিতে এর সম্প্রসারণ ফিতা গ্রাফের পরিপ্রেক্ষিতে এফ-এর অভিব্যক্তি। এর থেকে তিনি অনুমান করেছিলেন যে এক্স এফ কেডিভি শ্রেণিবিন্যাসের জন্য একটি τ-ফাংশন, এইভাবে উইটেনের অনুমানকে প্রমাণ করে। সাধারণীকরণ উইটেন অনুমান হ্যামিল্টনিয়ান পিডিই-র সমন্বিত ব্যবস্থা এবং 2ডি টপোলজিক্যাল ক্ষেত্র তত্ত্বের নির্দিষ্ট পরিবারের জ্যামিতির মধ্যে আরও সাধারণ সম্পর্কের একটি বিশেষ উদাহরণ (কনটসেভিচ এবং মানিন দ্বারা তথাকথিত কোহোমোলজিকাল ক্ষেত্র তত্ত্বের আকারে স্বতঃসিদ্ধ), যা বি ডাব্রোভিন এবং ওয়াই ঝাং, এ গিভেন্টাল, সি টেলম্যান এবং অন্যান্যরা পদ্ধতিগতভাবে অন্বেষণ ও অধ্যয়ন করেছিলেন। ভিরাসোরো অনুমান হল উইটেন অনুমানের একটি সাধারণীকরণ। তথ্যসূত্র মডুলি তত্ত্ব বীজগাণিতিক জ্যামিতি যে অনুমানগুলি প্রমাণিত হয়েছে