Ahlfors theory
আহলফর্স তত্ত্ব হল একটি গাণিতিক তত্ত্ব যা লার্স আহলফর্স নেভানলিনা তত্ত্বের জ্যামিতিক প্রতিরূপ হিসাবে উদ্ভাবন করেছিলেন। 1936 সালে এই তত্ত্বের জন্য আহলফর্সকে প্রথম দুটি ফিল্ডস পদকের মধ্যে একটি প্রদান করা হয়। এটিকে মানচিত্রে আচ্ছাদন মানচিত্রের মৌলিক বৈশিষ্ট্যগুলির একটি সাধারণীকরণ হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে যা কিছু সুনির্দিষ্ট অর্থে "প্রায় আচ্ছাদন"। এটি কনফরমাল রিম্যানিয়ান মেট্রিক্স দিয়ে সজ্জিত সীমানা রিম্যান পৃষ্ঠের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য। প্রিলিমিনারি একটি সীমান্তবর্তী রিমান পৃষ্ঠ X-কে একটি কম্প্যাক্ট রিমান পৃষ্ঠের একটি অঞ্চল হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে যার সীমানা ≤X সীমাবদ্ধভাবে অনেক বিচ্ছিন্ন জর্ডান বক্ররেখা নিয়ে গঠিত। বেশিরভাগ প্রয়োগে এই বক্ররেখার অংশ বিশ্লেষণাত্মক হয়, তবে এই বক্ররেখার উপর কিছু স্পষ্ট ন্যূনতম নিয়মিততা শর্ত রয়েছে যা তত্ত্বটি কার্যকর করার জন্য প্রয়োজনীয়; এটিকে আহলফর্স নিয়মিততা বলা হয়। একটি সামঞ্জস্যপূর্ণ রিম্যানিয়ান মেট্রিক একটি দৈর্ঘ্য উপাদান ds দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয় যা সামঞ্জস্যপূর্ণ স্থানীয় স্থানাঙ্ক z-এ ds = ρ (z) |dz। হিসাবে প্রকাশ করা হয়, যেখানে ρ বিচ্ছিন্ন শূন্য সহ একটি মসৃণ ধনাত্মক ফাংশন। যদি শূন্য অনুপস্থিত থাকে, তাহলে মেট্রিককে মসৃণ বলা হয়। দৈর্ঘ্যের উপাদান সূত্র দ্বারা সংশোধনযোগ্য বক্ররেখার দৈর্ঘ্য এবং অঞ্চলের ক্ষেত্রফলকে সংজ্ঞায়িত করে তারপর দুটি বিন্দুর মধ্যে দূরত্বকে এই বিন্দুগুলিকে সংযুক্তকারী বক্ররেখার দৈর্ঘ্যের অসীম হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। সেটিং এবং নোটেশন ধরা যাক এক্স এবং ওয়াই দুটি সীমানা রিম্যান পৃষ্ঠতল, এবং ধরুন যে ওয়াই একটি মসৃণ (সীমানা সহ) সামঞ্জস্যপূর্ণ মেট্রিক σ (z) dz দিয়ে সজ্জিত। ধরা যাক f হল X থেকে Y পর্যন্ত একটি হোলোমর্ফিক মানচিত্র। তারপর X-এর উপর পুল-ব্যাক মেট্রিক বিদ্যমান, যা দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয় যখন X এই মেট্রিক দিয়ে সজ্জিত হয়, f একটি স্থানীয় আইসোমেট্রি হয়ে যায়; অর্থাৎ, একটি বক্ররেখার দৈর্ঘ্য তার চিত্রের দৈর্ঘ্যের সমান। এক্স এবং ওয়াই-এর সমস্ত দৈর্ঘ্য এবং ক্ষেত্রফল এই দুটি পরিমাপের সাপেক্ষে পরিমাপ করা হয়। যদি f X-এর সীমানা Y-এর সীমানায় পাঠায়, তাহলে f হল একটি বিস্তৃত আবরণ। বিশেষত, ক) প্রতিটি বিন্দুর একই (সীমাবদ্ধ) সংখ্যক প্রিমেজ থাকে, যা বহুগুণ গণনা করে। এই সংখ্যাটি হল আবরণের মাত্রা। খ) রিম্যান-হারউইৎজ সূত্রটি, বিশেষ করে, এক্স-এর অয়লার বৈশিষ্ট্যটি সর্বাধিক ওয়াই গুণ ডিগ্রির অয়লার বৈশিষ্ট্য। এখন ধরুন যে X-এর সীমানার কিছু অংশ Y-এর অভ্যন্তরে ম্যাপ করা হয়েছে। এই অংশটিকে আপেক্ষিক সীমানা বলা হয়। ধরা যাক L এই আপেক্ষিক সীমানার দৈর্ঘ্য। প্রথম প্রধান উপপাদ্য গড় আবরণ সংখ্যা সূত্র দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয় এই সংখ্যাটি একটি আবরণের মাত্রার একটি সাধারণীকরণ। একইভাবে, প্রতিটি নিয়মিত বক্ররেখা γ এবং Y-এর প্রতিটি নিয়মিত অঞ্চল D-এর জন্য গড় আচ্ছাদন সংখ্যা সংজ্ঞায়িত করা হয়েছেঃ প্রথম প্রধান উপপাদ্যটি বলে যে প্রতিটি নিয়মিত অঞ্চল এবং প্রতিটি নিয়মিত বক্ররেখার জন্য, যেখানে L হল আপেক্ষিক সীমানার দৈর্ঘ্য, এবং k হল ধ্রুবক যা শুধুমাত্র Y, σ, D এবং γ-এর উপর নির্ভর করতে পারে, কিন্তু f এবং X থেকে স্বাধীন। যখন L = 0 হয় তখন এই বৈষম্যগুলি আবরণের a) বৈশিষ্ট্যের একটি দুর্বল সাদৃশ্য হয়ে ওঠে। দ্বিতীয় প্রধান উপপাদ্য ধরা যাক ρ হল অয়লার বৈশিষ্ট্যের ঋণাত্মক (যাতে m গর্তযুক্ত গোলকের জন্য ρ = 2m−2)। তারপর এটি তখনই অর্থপূর্ণ হয় যখন ρ (Y)> 0, উদাহরণস্বরূপ যখন Y তিনটি (বা তার বেশি) গর্ত সহ একটি গোলক হয়। এই ক্ষেত্রে, ফলাফলটিকে আবরণের বৈশিষ্ট্য খ)-এর সাধারণীকরণ হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে। প্রয়োগগুলি ধরুন এখন Z একটি উন্মুক্ত রিমান পৃষ্ঠ, উদাহরণস্বরূপ জটিল সমতল বা একক ডিস্ক, এবং Z একটি সামঞ্জস্যপূর্ণ মেট্রিক ds দিয়ে সজ্জিত করা যাক। আমরা বলি যে (জেড, ডিএস) নিয়মিতভাবে নিষ্ক্রিয় হয় যদি তাদের বন্ধের সাথে জেড-এ থাকা সীমানা পৃষ্ঠের ক্রমবর্ধমান ক্রম থাকে, যার ইউনিয়ন জেড-এ হয় এবং এমনভাবে যে আহলফর্স প্রমাণ করে যে নির্বিচারে সামঞ্জস্যপূর্ণ মেট্রিক সহ জটিল সমতল নিয়মিতভাবে নিষ্ক্রিয় হয়। এই সত্যটি, দুটি প্রধান উপপাদ্যের সাথে পিকার্ডের উপপাদ্য এবং নেভানলিনা তত্ত্বের দ্বিতীয় প্রধান উপপাদ্যকে বোঝায়। আহলফর্স তত্ত্ব থেকে পিকার্ডের উপপাদ্যের আরও অনেক গুরুত্বপূর্ণ সাধারণীকরণ পাওয়া যায়। একটি বিশেষ আকর্ষণীয় ফলাফল (আন্দ্রে ব্লচ এর আগে অনুমান করেছিলেন) হল পাঁচ দ্বীপ উপপাদ্য। পাঁচ-দ্বীপ উপপাদ্য ধরা যাক D1,., D5 হল জর্ডানের পাঁচটি অঞ্চল যা রিম্যান গোলকের বিচ্ছিন্ন বন্ধের সাথে রয়েছে। তারপর শুধুমাত্র এই অঞ্চলগুলির উপর নির্ভর করে একটি ধ্রুবক c বিদ্যমান, এবং নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্যটি রয়েছেঃ ধরা যাক একক ডিস্কে f একটি মেরোমর্ফিক ফাংশন যাতে গোলাকার ডেরিভেটিভ সন্তুষ্ট হয়। এটি চারটি অঞ্চলের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য নয়। উদাহরণস্বরূপ, f (z) = χ (Kz) নিন, যেখানে K> 0 নির্বিচারে বড়, এবং χ হল ওয়েয়ারস্ট্রাস উপবৃত্তাকার ফাংশন যা ডিফারেনশিয়াল সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে চারটি বিন্দুর সমস্ত প্রিমেজ e1, e2, e3, φ একাধিক, তাই আমরা যদি এই বিন্দুগুলির চারপাশে বিচ্ছিন্ন ক্লোজার সহ চারটি ডিস্ক নিই, তবে এমন কোনও অঞ্চল থাকবে না যা এই ডিস্কগুলির যে কোনওটিতে হোমিওমরফিক্যালি ম্যাপ করা হবে। মন্তব্য আহলফর্সের মূল জার্নাল পেপার ছাড়াও, তত্ত্বটি বইগুলিতে ব্যাখ্যা করা হয়েছে। দ্বিতীয় প্রধান উপপাদ্যের সরলীকৃত প্রমাণ টোকিও এবং ডি থেলিন-এর গবেষণাপত্রে পাওয়া যায়। আহলফর্সের তত্ত্বের উপর নির্ভর না করে পাঁচটি দ্বীপ উপপাদ্যের একটি সহজ প্রমাণ বার্গওয়েলার তৈরি করেছিলেন। তথ্যসূত্র