Grunsky's theorem
গণিতে, জার্মান গণিতবিদ হেলমুট গ্রুন্সকির কারণে গ্রুন্সকির উপপাদ্যটি জটিল সংখ্যার একক ডিস্কে সংজ্ঞায়িত হোলোমরফিক অভিন্ন ফাংশন সম্পর্কিত জটিল বিশ্লেষণের ফলাফল। উপপাদ্যটি বলে যে, একক ডিস্কে সংজ্ঞায়িত একটি অভিন্ন ফাংশন, 0 বিন্দু স্থির করে, প্রতিটি ডিস্ককে |z। <r-কে r ≤ টানিহ π/4-এর জন্য একটি তারার মতো ডোমেনে ম্যাপ করে। যে বৃহত্তম r-এর জন্য এটি সত্য, তাকে ফাংশনের স্টারলিকনেসের ব্যাসার্ধ বলা হয়। বিবৃতি ধরা যাক, একক ডিস্ক ডি-তে f একটি অভিন্ন হোলোমরফিক ফাংশন যাতে f (0) = 0 হয়। তারপর সমস্ত r ≤ তানহ π/4-এর জন্য, ডিস্কের চিত্র |z। <r 0-এর সাপেক্ষে তারার মতো, অর্থাৎ। এটি (0,1)-এ বাস্তব সংখ্যা দ্বারা গুণনের অধীনে অপরিবর্তনীয়। গ্রানস্কির একটি অসমতা যদি f (0) = 0 সহ D-এর উপর f (z) অসম হয়, তবে লগারিদমের বাস্তব এবং কাল্পনিক অংশগুলি গ্রহণ করলে, এটি দুটি অসমতা বোঝায় এবং নির্দিষ্ট z-এর জন্য, এই উভয় সমতা উপযুক্ত কোয়েবি ফাংশন দ্বারা অর্জন করা হয় যেখানে |w। = 1। প্রমাণ মূলত লুডভিগ বিবারবাখের চরম কৌশলের উপর ভিত্তি করে এই বৈষম্যগুলি প্রমাণ করেছিল। পরবর্তী প্রমাণগুলি লোউনার সমীকরণের উপর নির্ভর করেছিল। পরবর্তীকালে গোলুজিনের বৈষম্যের উপর ভিত্তি করে আরও প্রাথমিক প্রমাণ দেওয়া হয়েছিল, যা গ্রুন্স্কি ম্যাট্রিক্সের জন্য গ্রুন্স্কির বৈষম্যের (1939) সমতুল্য রূপ। গোলুজিনের অসমতা সহ z> 1-এ একটি অবিচ্ছেদ্য ফাংশনের জন্য বলা হয়েছে যে যেখানে zi |zi।> 1 এবং λi সহ স্বতন্ত্র বিন্দুগুলি নির্বিচারে জটিল সংখ্যা। n = 2 গ্রহণ করলে. λ1 =-λ2 = λ সহ, অসমতা বোঝায় যদি g একটি বিজোড় ফাংশন হয় এবং η =-ζ হয়, তবে এটি ফল দেয় অবশেষে যদি f D-তে কোনও স্বাভাবিক অভিন্ন ফাংশন হয়, তবে f-এর জন্য প্রয়োজনীয় অসমতা উপপাদ্যের প্রমাণের সাথে অনুসরণ করে ধরা যাক f, f (0) = 0 সহ D-এর উপর একটি অভিন্ন ফাংশন। নেভানলিন্নার মানদণ্ড অনুসারে, f হল |z। <r-এ তারার মতো যদি এবং শুধুমাত্র যদি |z। <r-এর জন্য হয়। সমতুল্যভাবে অন্যদিকে উপরের গ্রানস্কির অসমতা দ্বারা, সুতরাং যদি অসমতা z-এ থাকে। এই শর্তটি সমতুল্য এবং তাই যে কোনও ডিস্কে f তারার মতো হয় |z। <r সঙ্গে r ≤ টানিহ π/4। রেফারেন্স (রাশিয়ান ভাষায়) (জার্মান ভাষায়) (জার্মান ভাষায়) জটিল বিশ্লেষণে উপপাদ্য