Euclidean random matrix
গণিতের মধ্যে, একটি এন × এন ইউক্লিডীয় র্যান্ডম ম্যাট্রিক্সকে একটি নির্বিচারে নির্ধারক ফাংশন f (r, r′) এবং ডি-মাত্রিক ইউক্লিডীয় স্থানের একটি অঞ্চল V-তে এলোমেলোভাবে বিতরণ করা এন পয়েন্টের সাহায্যে সংজ্ঞায়িত করা হয়। ম্যাট্রিক্সের আইজ উপাদানটি এফ (আরআই, আরজে) এর সমানঃ আইজ = এফ (আরআই, আরজে)। 1999 সালে প্রথম ইউক্লিডীয় র্যান্ডম ম্যাট্রিক্স চালু করা হয়। তারা f ফাংশনের একটি বিশেষ কেস অধ্যয়ন করেছেন যা শুধুমাত্র বিন্দু জোড়ার মধ্যে দূরত্বের উপর নির্ভর করেঃ f (r, r′) = f (r-r′) এবং ত্রিভুজ উপাদানের উপর একটি অতিরিক্ত শর্ত আরোপ করেছে এইআই, আইজ = এফ (রি-rj)-ইউ δijsskf (রি-rk), যা ম্যাট্রিক্স অধ্যয়নের ভৌত প্রেক্ষাপট দ্বারা অনুপ্রাণিত। একটি ইউক্লিডীয় দূরত্ব ম্যাট্রিক্স হল ইউক্লিডীয় র্যান্ডম ম্যাট্রিক্সের একটি নির্দিষ্ট উদাহরণ যার মধ্যে f (ri-rj) = |ri-rj|2 অথবা f (ri-rj) = |ri-rj। থাকে। উদাহরণস্বরূপ, অনেক জৈবিক নেটওয়ার্কে, দুটি নোডের মধ্যে মিথস্ক্রিয়ার শক্তি সেই নোডগুলির শারীরিক সান্নিধ্যের উপর নির্ভর করে। নোডগুলির মধ্যে স্থানিক মিথস্ক্রিয়া ইউক্লিডীয় র্যান্ডম ম্যাট্রিক্স হিসাবে মডেল করা যেতে পারে, যদি নোডগুলি এলোমেলোভাবে স্থানের মধ্যে স্থাপন করা হয়। গুণাবলী কারণ পয়েন্টগুলির অবস্থানগুলি এলোমেলো, ম্যাট্রিক্স উপাদানগুলিও এলোমেলো। অধিকন্তু, যেহেতু এন × এন উপাদানগুলি সম্পূর্ণরূপে শুধুমাত্র এন পয়েন্ট দ্বারা নির্ধারিত হয় এবং সাধারণত, কেউ এন জেডিতে আগ্রহী, তাই বিভিন্ন উপাদানের মধ্যে দৃঢ় সম্পর্ক বিদ্যমান। হার্মিশিয়ান ইউক্লিডিয়ান র্যান্ডম ম্যাট্রিক্স হার্মিশিয়ান ইউক্লিডিয়ান র্যান্ডম ম্যাট্রিক্স বিভিন্ন শারীরিক প্রসঙ্গে উপস্থিত হয়, যার মধ্যে রয়েছে অতি শীতল তরল, বিশৃঙ্খল সিস্টেমে ফোনন এবং র্যান্ডম মিডিয়াতে তরঙ্গ। উদাহরণ 1: k0 = 2π/λ0 সহ f (r, r′) = sin (k0|r-r′।)/(k0|r-r′।) ফাংশন দ্বারা উত্পন্ন ম্যাট্রিক্সটি বিবেচনা করুন। এই ম্যাট্রিক্সটি হার্মিটিয়ান এবং এর আইগেনভ্যালু λ বাস্তব। যদি ρ = N/V বিন্দুর ঘনত্ব ρλ03 ≤ 1 এবং 2.8N/(k0L) 2 <1 মেনে চলে (চিত্র দেখুন), তাহলে দেখানো যেতে পারে যে λ-এর সম্ভাব্যতা বন্টন প্রায় মার্চেঙ্কো-পাস্টুর সূত্র দ্বারা দেওয়া হয়। নন-হার্মিটিয়ান ইউক্লিডিয়ান র্যান্ডম ম্যাট্রিক্স বড় (এন. জি. 1) নন-হার্মিটিয়ান ইউক্লিডিয়ান র্যান্ডম ম্যাট্রিক্সের আইগেনভ্যালু ঘনত্বের জন্য একটি তত্ত্ব তৈরি করা হয়েছে এবং র্যান্ডম লেজারের সমস্যা অধ্যয়নের জন্য প্রয়োগ করা হয়েছে। উদাহরণ 2: k0 = 2π/λ0 এবং f (r = r′) = 0 সহ f (r, r′) = exp (ik0|r-r′।)/(k0|r-r′।) ফাংশন দ্বারা উত্পন্ন ম্যাট্রিক্সটি বিবেচনা করুন। এই ম্যাট্রিক্সটি হার্মিটিয়ান নয় এবং এর আইগেনভ্যালুগুলি জটিল। ρ = N/V বিন্দুর ঘনত্ব ρλ03 ≤ 1 এবং 9N/(8k0R) 2 <1 মেনে চললে λ-এর সম্ভাব্যতা বণ্টন বিশ্লেষণাত্মকভাবে পাওয়া যায় (চিত্র দেখুন)। তথ্যসূত্র এলোমেলো ম্যাট্রিক্স গাণিতিক পদার্থবিজ্ঞান