Loewner differential equation
গণিতে, লোউনার ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ বা লোউনার সমীকরণ হল একটি সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ যা 1923 সালে চার্লস লোউনার জটিল বিশ্লেষণ এবং জ্যামিতিক ফাংশন তত্ত্বে আবিষ্কার করেছিলেন। মূলত স্লিট ম্যাপিং অধ্যয়নের জন্য প্রবর্তিত হয়েছিল (জটিল সমতলে খোলা ডিস্কের কনফরমাল ম্যাপিং সহ একটি বক্ররেখা যা 0 থেকে φ সংযুক্ত করে সরানো হয়েছে), লোউনারের পদ্ধতিটি পরে 1943 সালে রাশিয়ান গণিতবিদ পাভেল পারফেনেভিচ কুফারেভ (1909-1968) দ্বারা বিকশিত হয়েছিল। জটিল সমতলে ডোমেনগুলির যে কোনও পরিবার যা পুরো সমতলে ক্যারাথিওডরি অর্থে অবিচ্ছিন্নভাবে প্রসারিত হয় তা কনফরমাল ম্যাপিংয়ের একটি পরামিতি পরিবারের দিকে পরিচালিত করে, যাকে লোউনার চেইন বলা হয়, পাশাপাশি ইউনিট ডিস্কের হোলোমরফিক অভিন্ন স্ব-ম্যাপিংয়ের দুটি পরামিতি পরিবারের দিকে পরিচালিত করে, যাকে লোউনার সেমিগ্রুপ বলা হয়। এই সেমিগ্রুপটি ধনাত্মক বাস্তব অংশ সহ ডিস্কে হোলোমর্ফিক ফাংশনের একটি পরামিতি পরিবার দ্বারা প্রদত্ত ডিস্কের একটি সময় নির্ভর হোলোমর্ফিক ভেক্টর ক্ষেত্রের সাথে মিলে যায়। লোউনার সেমিগ্রুপ একটি অভিন্ন সেমিগ্রুপের ধারণাকে সাধারণীকরণ করে। লোউনার ডিফারেনশিয়াল সমীকরণটি অবিচ্ছেদ্য ফাংশনের জন্য বৈষম্যের দিকে পরিচালিত করেছে যা 1985 সালে লুই ডি ব্র্যাঞ্জেস দ্বারা বিবারবাখ অনুমানের সমাধানে গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করেছিল। লোউনার নিজেই 1923 সালে তৃতীয় সহগের অনুমান প্রমাণ করার জন্য তাঁর কৌশলগুলি ব্যবহার করেছিলেন। 1990-এর দশকের শেষের দিকে ওডেড শ্র্যাম দ্বারা আবিষ্কৃত লোউনার ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একটি সাধারণ সাধারণীকরণ, শ্র্যাম-লোউনার সমীকরণ, সম্ভাব্যতা তত্ত্ব এবং সামঞ্জস্যপূর্ণ ক্ষেত্র তত্ত্বে ব্যাপকভাবে বিকশিত হয়েছে। একক ডিস্কে সমতুল্য ফাংশনগুলিকে সমতুল্য করুন এবং সমতুল্য ফাংশন হতে দিন। যদি এবং কেবলমাত্র যদি নিজের মধ্যে এমনভাবে স্থির করার একটি অবিচ্ছেদ্য ম্যাপিং থাকে তবে তাকে অধস্তন বলা হয়। এই ধরনের মানচিত্রের অস্তিত্বের জন্য একটি প্রয়োজনীয় এবং পর্যাপ্ত শর্ত হল প্রয়োজনীয়তা অবিলম্বে। বিপরীতভাবে অবশ্যই সংজ্ঞায়িত করতে হবে সংজ্ঞা অনুসারে φ হল এর সাথে একটি অভিন্ন হোলোমরফিক স্ব-ম্যাপিং। যেহেতু এই ধরনের একটি মানচিত্র প্রতিটি ডিস্ককে সন্তুষ্ট করে এবং নিজের মধ্যে নিয়ে যায়, তাই এটি লোউনার চেইনকে অনুসরণ করে। যদি একক ডিস্ককে নির্দেশ করা হয়, তবে এই উপপাদ্যটি বোঝায় যে রিম্যান ম্যাপিং উপপাদ্য দ্বারা প্রদত্ত অনন্য অভিন্ন মানচিত্রগুলি এর সংক্ষিপ্ত উপসেটগুলিতে অভিন্নভাবে অবিচ্ছিন্ন। উপরন্তু, ফাংশনটি ইতিবাচক, অবিচ্ছিন্ন, কঠোরভাবে বৃদ্ধি এবং অবিচ্ছিন্ন। একটি রিপ্যারেমেট্রিজেশন দ্বারা এটি ধরে নেওয়া যেতে পারে যে তাই অভিন্ন ম্যাপিংকে লোউনার চেইন বলা হয়। কোয়েব বিকৃতি উপপাদ্য দেখায় যে শৃঙ্খলের জ্ঞান খোলা সেটগুলির বৈশিষ্ট্যের সমতুল্য। লোউনার সেমিগ্রুপ যদি একটি লোউনার চেইন হয়, তাহলে যাতে ডিস্ক ফিক্সিংয়ের একটি অনন্য অভিন্ন স্ব-ম্যাপিং থাকে যাতে স্বতন্ত্রতার দ্বারা ম্যাপিংগুলির নিম্নলিখিত সেমিগ্রুপ বৈশিষ্ট্য থাকেঃ তারা একটি লোউনার সেমিগ্রুপ গঠন করে। স্ব-ম্যাপিং ক্রমাগত লোউনার ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের উপর নির্ভর করে এবং সন্তুষ্ট করে লোউনার ডিফারেনশিয়াল সমীকরণটি লোউনার সেমিগ্রুপের জন্য বা লোউনার চেইনের জন্য সমতুল্যভাবে প্রাপ্ত করা যেতে পারে। সেমিগ্রুপের জন্য, তারপর এর জন্য যাক। তারপর প্রাথমিক শর্তের সাথে সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে। লোউনার চেইন দ্বারা সন্তুষ্ট ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ পেতে লক্ষ্য করুন যে যাতে প্রাথমিক শর্তের সাথে ডিফারেনশিয়াল সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের জন্য পিকার্ড-লিন্ডেলফ উপপাদ্য গ্যারান্টি দেয় যে এই সমীকরণগুলি সমাধান করা যেতে পারে এবং সমাধানগুলি হলোমর্ফিক। লোউনার চেইনটি লোউনার সেমিগ্রুপ থেকে সীমার মধ্যে দিয়ে পুনরুদ্ধার করা যেতে পারেঃ অবশেষে কোনও অবিচ্ছেদ্য স্ব-ম্যাপিং, ফিক্সিং দেওয়া হলে, একটি লোউনার সেমিগ্রুপ এমনভাবে তৈরি করা সম্ভব যাতে একইভাবে একটি অবিচ্ছেদ্য ফাংশন দেওয়া হয়, যেমন ক্লোজড ইউনিট ডিস্ক থাকে, সেখানে একটি লোউনার চেইন থাকে যাতে এই ধরনের ফলাফল অবিলম্বে হয় যদি বা ক্রমাগত প্রসারিত হয়। তারা সাধারণত আনুমানিক দ্বারা ম্যাপিং প্রতিস্থাপন করে এবং তারপরে একটি স্ট্যান্ডার্ড কম্প্যাক্টনেস আর্গুমেন্ট ব্যবহার করে অনুসরণ করে। স্লিট ম্যাপিং হলমর্ফিক ফাংশনগুলি ধনাত্মক বাস্তব অংশের সাথে চালু থাকে এবং স্বাভাবিক করা হয় যাতে এগুলি হারগ্লটজ উপস্থাপনা উপপাদ্য দ্বারা বর্ণনা করা হয়ঃ যেখানে বৃত্তের একটি সম্ভাব্যতা পরিমাপ। একটি পয়েন্ট পরিমাপ গ্রহণ করে একক ফাংশনগুলি বের করে দেয়, যা দ্বারা প্রথম বিবেচনা করা হয়েছিল। একক ডিস্কে অভিন্ন ফাংশনের অসমতা স্লিট ম্যাপিংয়ের কম্প্যাক্ট উপসেটগুলিতে অভিন্ন অভিসারের জন্য ঘনত্ব ব্যবহার করে প্রমাণ করা যেতে পারে। এগুলি জটিল সমতলে জর্ডান চাপের সাথে একক ডিস্কের সামঞ্জস্যপূর্ণ মানচিত্র যা একটি সীমাবদ্ধ বিন্দুকে φ বাদ দিয়ে সংযুক্ত করে। ক্যারাথিওডোরি কার্নেল উপপাদ্য প্রয়োগের মাধ্যমে ঘনত্ব অনুসরণ করা হয়। প্রকৃতপক্ষে যে কোনও অভিন্ন ফাংশন এমন ফাংশন দ্বারা আনুমানিক হয় যা একক বৃত্তকে একটি বিশ্লেষণাত্মক বক্ররেখার দিকে নিয়ে যায়। সেই বক্ররেখার একটি বিন্দুকে জর্ডান চাপ দ্বারা অনন্তের সাথে সংযুক্ত করা যেতে পারে। নির্বাচিত বিন্দুর একপাশে বিশ্লেষণাত্মক বক্ররেখার একটি ছোট অংশ বাদ দিয়ে প্রাপ্ত অঞ্চলগুলি একত্রিত হয় যাতে এই অঞ্চলগুলির সংশ্লিষ্ট অভিন্ন মানচিত্রগুলি কম্প্যাক্ট সেটগুলিতে অভিন্নভাবে একত্রিত হয়। একটি স্লিট ফাংশনে লোউনার ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ প্রয়োগ করার জন্য, একটি সীমাবদ্ধ বিন্দু থেকে বাদ দেওয়া জর্ডান চাপকে প্যারামিট্রাইজ করা যেতে পারে যাতে অনটু লেস-এর মানচিত্রে অবিচ্ছিন্ন সহ ফর্ম থাকে। বিশেষ করে জন্য, অবিরত সঙ্গে যাক। এটি একটি লোউনার চেইন এবং লোউনার সেমিগ্রুপ দেয় যেখানে একক বৃত্তের একটি অবিচ্ছিন্ন মানচিত্র রয়েছে। নির্ধারণ করার জন্য, লক্ষ্য করুন যে ইউনিট ডিস্কটি একটি অভ্যন্তরীণ বিন্দু থেকে সরানো সীমানা পর্যন্ত একটি জর্ডান চাপ দিয়ে ইউনিট ডিস্কের মধ্যে ম্যাপ করে। যে বিন্দুতে এটি সীমানা স্পর্শ করে তা একক বৃত্ত থেকে স্বাধীন এবং একটি অবিচ্ছিন্ন ফাংশনকে সংজ্ঞায়িত করে। সমতুল্যভাবে, ক্যারাথিওডোরির উপপাদ্য অনুসারে বদ্ধ একক ডিস্কের একটি অবিচ্ছিন্ন সম্প্রসারণ স্বীকার করে এবং, কখনও কখনও ড্রাইভিং ফাংশন বলা হয়, দ্বারা নির্দিষ্ট করা হয় প্রতিটি অবিচ্ছিন্ন ফাংশন একটি স্লিট ম্যাপিং থেকে আসে না, তবে কুফারেভ দেখিয়েছেন যে এটি সত্য ছিল যখন একটি অবিচ্ছিন্ন ডেরিভেটিভ থাকে। Bieberbach অনুমানের প্রয়োগ একটি অভিন্ন ফাংশনের তৃতীয় সহগের জন্য Bieberbach অনুমান প্রমাণ করতে স্লিট ম্যাপিংয়ের জন্য তার ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ ব্যবহার করে। এই ক্ষেত্রে, প্রয়োজন হলে ঘোরানো, এটি অ-নেতিবাচক বলে ধরে নেওয়া যেতে পারে। তারপর ধারাবাহিকভাবে। তারা সন্তুষ্ট করে যদি লোউনার ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ বোঝায় এবং সুতরাং যা অবিলম্বে বিবারবাচের বৈষম্যকে বোঝায় একইভাবে যেহেতু অ-নেতিবাচক এবং কচি-শোয়ার্জ বৈষম্য ব্যবহার করে। নোটস রেফারেন্স জটিল বিশ্লেষণ