Nonparametric skew
পরিসংখ্যান এবং সম্ভাব্যতা তত্ত্বে, ননপ্যারামেট্রিক স্ক্যু হল একটি পরিসংখ্যান যা মাঝে মাঝে র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সাথে ব্যবহৃত হয় যা বাস্তব মান গ্রহণ করে। এটি একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের বন্টনের তির্যকতার একটি পরিমাপ-অর্থাৎ, বন্টনের গড়ের একদিকে বা অন্য দিকে "ঝুঁকে" থাকার প্রবণতা। এর গণনার জন্য অন্তর্নিহিত বিতরণের রূপ সম্পর্কে কোনও জ্ঞানের প্রয়োজন হয় না-তাই নামটি ননপ্যারামেট্রিক। এর কিছু কাঙ্ক্ষিত বৈশিষ্ট্য রয়েছেঃ এটি যে কোনও প্রতিসম বণ্টনের জন্য শূন্য; এটি একটি স্কেল স্থানান্তর দ্বারা প্রভাবিত হয় না; এবং এটি বাম-বা ডান-তির্যকতা সমানভাবে ভালভাবে প্রকাশ করে। কিছু পরিসংখ্যানগত নমুনায় এটি স্বাভাবিকতা থেকে জনসংখ্যার প্রস্থান সনাক্ত করার ক্ষেত্রে তির্যকের স্বাভাবিক পরিমাপের তুলনায় কম শক্তিশালী বলে দেখানো হয়েছে। বৈশিষ্ট্য সংজ্ঞা অ-প্যারামেট্রিক তির্যককে সংজ্ঞায়িত করা হয় যেখানে জনসংখ্যার গড় (μ), মধ্যমা (ν) এবং মানক বিচ্যুতি (σ)-র স্বাভাবিক অর্থ রয়েছে। বৈশিষ্ট্য ননপ্যারামেট্রিক স্ক্যু পিয়ারসন 2 স্ক্যুনেস সহগের এক তৃতীয়াংশ এবং যে কোনও বন্টনের জন্য −1 এবং + 1 এর মধ্যে থাকে। এই পরিসীমাটি এই সত্য দ্বারা বোঝানো হয় যে গড়টি যে কোনও মধ্যমাটির একটি আদর্শ বিচ্যুতির মধ্যে রয়েছে। পরিবর্তনশীল (এক্স)-এর একটি অ্যাফিন রূপান্তরের অধীনে, চিহ্নের সম্ভাব্য পরিবর্তন ছাড়া এস-এর মান পরিবর্তিত হয় না। চিহ্নগুলিতে যেখানে a ষ্ণ 0 এবং b ধ্রুবক এবং S (X) হল চলক X-এর ননপ্যারামেট্রিক তির্যক। এই পরিসংখ্যানের (±1) সীমানা মজিদার দ্বারা তীক্ষ্ণ করা হয়েছিল যিনি দেখিয়েছিলেন যে এর পরম মান দ্বারা আবদ্ধ এবং যেখানে এক্স সীমাবদ্ধ বৈকল্পিকতা সহ একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল, ই () হল প্রত্যাশা অপারেটর এবং পিআর () হল ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা। যখন p = q = 0.5 হয়, তখন এই পরিসংখ্যানের পরম মান 1 দ্বারা আবদ্ধ থাকে। পি = 0.1 এবং পি = 0.01 সহ, পরিসংখ্যানটির পরম মান যথাক্রমে 0.6 এবং 0.199 দ্বারা আবদ্ধ। এটিও জানা যায় যে যেখানে ν0 কোন মধ্যমা এবং E (। প্রত্যাশা অপারেটর। এটি দেখানো হয়েছে যে যেখানে xq হল qth কোয়ান্টাইল। কোয়ান্টাইলগুলি 0 এবং 1 এর মধ্যে থাকেঃ মধ্যমা (0.5 কোয়ান্টাইল)-এর q = 0.5 থাকে। এই বৈষম্যটি তির্যকের একটি পরিমাপকে সংজ্ঞায়িত করতেও ব্যবহার করা হয়েছে। এই পরবর্তী বৈষম্য আরও তীব্র হয়েছে। সীমাবদ্ধ গড় সহ একটি বন্টনের জন্য আরেকটি এক্সটেনশন প্রকাশিত হয়েছেঃ অসমতার এই শেষ জুটির সীমা অর্জন করা হয় যখন এবং নির্দিষ্ট সংখ্যার জন্য a <b। সীমাবদ্ধ নমুনা xr সহ নমুনা আকার n ≤ 2 সহ একটি সীমাবদ্ধ নমুনার জন্য rth অর্ডার পরিসংখ্যানগত, m হল নমুনা গড় এবং s হল স্বাধীনতার মাত্রার জন্য সংশোধন করা নমুনা মানক বিচ্যুতি, n/2 দিয়ে r প্রতিস্থাপন করা নমুনা মধ্যমানের জন্য উপযুক্ত ফলাফল দেয়ঃ যেখানে a হল নমুনা মধ্যমা। পরিসংখ্যানগত পরীক্ষা হোটেলিং এবং সলোমন পরীক্ষার পরিসংখ্যানগত বন্টন বিবেচনা করে যেখানে n হল নমুনার আকার, m হল নমুনার গড়, a হল নমুনার মধ্যমা এবং s হল নমুনার আদর্শ বিচ্যুতি। ডি-এর পরিসংখ্যানগত পরীক্ষাগুলি ধরে নিয়েছে যে শূন্য অনুমানটি পরীক্ষা করা হচ্ছে যে বিতরণটি প্রতিসম। গ্যাস্টউইর্থ n−1/2D-এর অ্যাসিম্পটোটিক বৈচিত্র্য অনুমান করেছিলেন। যদি বন্টনটি অভিন্ন এবং প্রায় 0 প্রতিসম হয়, তবে অ্যাসিম্পটোটিক বৈকল্পিকতা 1/4 এবং 1 এর মধ্যে থাকে। একটি রক্ষণশীল অনুমান ধরে নিলে (বৈকল্পিকতা 1-এর সমান রাখলে) তা নামমাত্র স্তরের অনেক নিচে প্রকৃত গুরুত্বের স্তরে নিয়ে যেতে পারে। অন্তর্নিহিত বন্টনটি প্রতিসম বলে ধরে নিলে ক্যাবিলিও এবং মাসারো দেখিয়েছেন যে এস-এর বন্টন অসিম্পটোটিকভাবে স্বাভাবিক। অ্যাসিম্পটোটিক বৈকল্পিকতা অন্তর্নিহিত বণ্টনের উপর নির্ভর করেঃ স্বাভাবিক বণ্টনের জন্য, এস-এর অ্যাসিম্পটোটিক বৈকল্পিকতা হল 0.5708। অন্তর্নিহিত বন্টনটি প্রতিসম বলে ধরে নিয়ে, মধ্যমা ঝেং এবং গ্যাস্টউইর্থের উপরে এবং নীচে মানগুলির বন্টন বিবেচনা করে যুক্তি দিয়েছেন যে যেখানে n হল নমুনার আকার, সেখানে t বন্টন হিসাবে বিতরণ করা হয়। সম্পর্কিত পরিসংখ্যান অ্যান্টোনিটা মীরা গড় এবং মধ্যকের মধ্যে পার্থক্যের বন্টন অধ্যয়ন করেছিলেন। যেখানে m হল নমুনা গড় এবং a হল মধ্যমা। যদি অন্তর্নিহিত বন্টন প্রতিসম হয় γ1 নিজেই অ্যাসিম্পটোটিক্যালি স্বাভাবিক। এই পরিসংখ্যানটি এর আগে বনফেরনি দ্বারা প্রস্তাবিত হয়েছিল। একটি প্রতিসম অন্তর্নিহিত বন্টন ধরে নিয়ে, এস-এর একটি পরিবর্তন মিয়াও, জেল এবং গ্যাস্টউইর্থ দ্বারা অধ্যয়ন করা হয়েছিল যারা তাদের পরিসংখ্যান তৈরি করার জন্য মানক বিচ্যুতি সংশোধন করেছিল। যেখানে xi হল নমুনা মান,।। হল পরম মান এবং যোগফল সমস্ত n নমুনা মানের উপর নেওয়া হয়। পরীক্ষার পরিসংখ্যান ছিল স্কেল করা পরিসংখ্যানগত টি একটি প্রতিসম বণ্টনের জন্য শূন্যের গড় সহ অ্যাসিম্পটোটিকভাবে স্বাভাবিক। এর অ্যাসিম্পটোটিক বৈচিত্র্য অন্তর্নিহিত বণ্টনের উপর নির্ভর করেঃ সীমাবদ্ধ মানগুলি হল, স্বাভাবিক বণ্টনের জন্য = 0.5708. এবং, তিনটি ডিগ্রি অফ ফ্রিডম সহ t বণ্টনের জন্য, = 0.9689। পৃথক বন্টনের জন্য মান প্রতিসম বন্টনের জন্য প্রতিসম সম্ভাব্যতা বন্টনের জন্য অসমমিত তির্যকের মান হল 0। অসমমিতিক বন্টন এটি ডান তির্যক বন্টনের জন্য ধনাত্মক এবং বাম তির্যক বন্টনের জন্য ঋণাত্মক। পরম মান ≤ 0.2 চিহ্নিত তির্যকতা নির্দেশ করে। কিছু বিতরণের জন্য এস নির্ধারণ করা কঠিন হতে পারে। এটি সাধারণত হয় কারণ মধ্যমাটির জন্য একটি বদ্ধ রূপ জানা যায় নাঃ এই ধরনের বিতরণের উদাহরণগুলির মধ্যে রয়েছে গামা বিতরণ, বিপরীত-চি-বর্গ বিতরণ, বিপরীত-গামা বিতরণ এবং স্কেল করা বিপরীত চি-বর্গ বিতরণ। এস-এর জন্য নিম্নলিখিত মানগুলি জানা যায়ঃ বিটা বিতরণঃ 1 <α <β যেখানে α এবং β বিতরণের পরামিতি, তারপর একটি ভাল আনুমানিক যদি 1 <β <α হয় তবে α এবং β-এর অবস্থানগুলি সূত্রে বিপরীত হয়। S সর্বদা <0 হয়। দ্বিপদী বণ্টনঃ পরিবর্তিত হয়। যদি গড়টি একটি পূর্ণসংখ্যা হয় তবে S = 0। যদি গড় একটি পূর্ণসংখ্যা না হয় তবে এস-এর চিহ্ন বা শূন্য থাকতে পারে। এটি ± মিনি {ম্যাক্স {পি, 1 − পি}, লোগ 2}/σ দ্বারা আবদ্ধ যেখানে σ হল দ্বিপদী বণ্টনের আদর্শ বিচ্যুতি। বার ডিস্ট্রিবিউশনঃ বার্নবাম-সন্ডার্স ডিস্ট্রিবিউশনঃ যেখানে α হল আকৃতি পরামিতি এবং β হল অবস্থান পরামিতি। ক্যান্টর বন্টনঃ চি বর্গ বন্টনঃ যদিও এস ≤ 0 এর মান ডিগ্রি অফ ফ্রিডমের (কে) সংখ্যার উপর নির্ভর করে। দাগের বন্টনঃ এক্সপোনেনশিয়াল বন্টনঃ দুটি পরামিতি সহ এক্সপোনেনশিয়াল বন্টনঃ এক্সপোনেনশিয়াল-লগারিদমিক বন্টনঃ এখানে S সর্বদা> 0 হয়। এক্সপোনেনশিয়ালভাবে পরিবর্তিত গাউসিয়ান ডিস্ট্রিবিউশনঃ n এবং n ডিগ্রি অফ ফ্রিডমের সাথে F ডিস্ট্রিবিউশন (n> 4): ফ্রেচেট ডিস্ট্রিবিউশনঃ এই ডিস্ট্রিবিউশনের বৈচিত্র্য শুধুমাত্র α> 2-এর জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয়। গামা বন্টন-শুধুমাত্র এই বন্টনের জন্য আনুমানিক মধ্যমা নির্ধারণ করা যেতে পারে। যদি আকৃতির প্যারামিটার α হয় ≤1 তাহলে যেখানে β> 0 হল হারের প্যারামিটার। এখানে S সর্বদা> 0 হয়। সাধারণীকৃত স্বাভাবিক বিতরণ সংস্করণ 2 এস সর্বদা <0 হয়। সাধারণীকৃত পেরেটো বিতরণঃ এস শুধুমাত্র তখনই সংজ্ঞায়িত করা হয় যখন আকৃতির পরামিতি (কে) <1/2 হয়। এই বন্টনের জন্য S হল <0। গাম্বেল বন্টনঃ যেখানে γ হল অয়লারের ধ্রুবক। অর্ধ-স্বাভাবিক বন্টন-কুমারস্বামী বন্টন লগ-লজিস্টিক বন্টন (ফিস্ক বন্টন): ধরা যাক β আকারের মাপকাঠি। এই বণ্টনের বৈচিত্র্য এবং গড় শুধুমাত্র তখনই সংজ্ঞায়িত করা হয় যখন β> 2। স্বরলিপিটিকে সহজ করার জন্য ধরা যাক b = β/। b> 4.932 (প্রায়)-এর মানগুলির জন্য আদর্শ বিচ্যুতি বিদ্যমান নেই। যে মানগুলির জন্য আদর্শ বিচ্যুতি সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে, S হল> 0। লগ-স্বাভাবিক বন্টনঃ গড় (μ) এবং বৈকল্পিকতা (σ2) লগ-ওয়েইবুল বন্টনের সাথেঃ লোম্যাক্স বন্টনঃ এস শুধুমাত্র α> 2 ম্যাক্সওয়েল-বোল্টজম্যান বন্টনের জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয়ঃ নাকাগামি বন্টনের পারেটো বন্টনঃ α> 2 এর জন্য যেখানে α হল বন্টনের আকৃতির পরামিতি, এবং এস সর্বদা> 0 হয়। পয়সন ডিস্ট্রিবিউশনঃ যেখানে λ হল ডিস্ট্রিবিউশনের পরামিতি। রেলে ডিস্ট্রিবিউশনঃ ওয়েইবুল ডিস্ট্রিবিউশনঃ যেখানে k হল ডিস্ট্রিবিউশনের আকৃতি পরামিতি। এখানে S সর্বদা> 0 হয়। 1895 সালে পিয়ারসন প্রথম গড় এবং মোডের মধ্যে পার্থক্যকে প্রমিত করে তির্যকতা পরিমাপের পরামর্শ দিয়েছিলেন, যেখানে যথাক্রমে বিতরণের গড়, মোড এবং স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি হল μ, θ এবং σ। নমুনা তথ্য থেকে জনসংখ্যা মোডের অনুমান করা কঠিন হতে পারে তবে অনেক বিতরণের জন্য গড় এবং মোডের মধ্যে পার্থক্য গড় এবং মিডিয়ানের মধ্যে পার্থক্যের প্রায় তিনগুণ যা পিয়ারসনকে দ্বিতীয় তির্যকতা সহগের পরামর্শ দেয়ঃ যেখানে ν হল বিতরণের মিডিয়ান। বাউলি 1901 সালে এই সূত্র থেকে 3 নম্বর গুণক বাদ দেন যার ফলে ননপ্যারামেট্রিক তির্যক পরিসংখ্যান পাওয়া যায়। মাঝারি, গড় এবং মোডের মধ্যে সম্পর্ক প্রথম পিয়ারসন উল্লেখ করেছিলেন যখন তিনি তাঁর টাইপ III ডিস্ট্রিবিউশনগুলি তদন্ত করছিলেন। গড়, মধ্যমা এবং মোডের মধ্যে সম্পর্ক একটি নির্বিচারে বণ্টনের জন্য মোড, মধ্যমা এবং গড় যে কোনও ক্রমে উপস্থিত হতে পারে। গড়, মধ্যমা, মোড এবং স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতির মধ্যে কিছু সম্পর্ক বিশ্লেষণ করা হয়েছে। এবং এই সম্পর্কগুলি ননপ্যারামেট্রিক তির্যকের চিহ্ন এবং মাত্রার উপর কিছু বিধিনিষেধ স্থাপন করে। এই সম্পর্কগুলির একটি সহজ উদাহরণ হল n = 10 এবং p = 0.09 সহ দ্বিপদী বন্টন। এই বণ্টনের একটি লম্বা ডান লেজ থাকে। গড় (0.9) মধ্যমা (1) এর বাম দিকে থাকে কিন্তু তৃতীয় প্রমিত মুহূর্ত দ্বারা সংজ্ঞায়িত তির্যক (0.906) ধনাত্মক হয়। এর বিপরীতে ননপ্যারামেট্রিক তির্যক হল-0.110। পিয়ারসনের নিয়মটি হ 'ল নিয়মটি যে কিছু বিতরণের জন্য গড় এবং মোডের মধ্যে পার্থক্য গড় এবং মিডিয়ানের মধ্যে তিনগুণ হয় পিয়ারসনের কারণে যিনি তাঁর টাইপ 3 বিতরণগুলি তদন্ত করার সময় এটি আবিষ্কার করেছিলেন। এটি প্রায়শই সামান্য অসমায়িত বন্টনের ক্ষেত্রে প্রয়োগ করা হয় যা স্বাভাবিক বন্টনের অনুরূপ তবে এটি সর্বদা সত্য নয়। 1895 সালে পিয়ারসন উল্লেখ করেন যে, বর্তমানে গামা বন্টন হিসাবে যা পরিচিত তার জন্য যেখানে θ, ν এবং μ যথাক্রমে বন্টনের মোড, মধ্যমা এবং গড়, সেই সম্পর্কটি একটি বড় আকারের পরামিতি সহ বন্টনের ক্ষেত্রে প্রায় সত্য ছিল। 1917 সালে ডুডসন প্রমাণ করেছিলেন যে মাঝারিটি মোড এবং সীমাবদ্ধ চতুর্থ মুহুর্তের সাথে মাঝারিভাবে তির্যক বিতরণের গড়ের মধ্যে অবস্থিত। এই সম্পর্কটি সমস্ত পিয়ারসন ডিস্ট্রিবিউশনের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য এবং এই সমস্ত ডিস্ট্রিবিউশনের একটি পজিটিভ ননপ্যারামেট্রিক স্ক্যু রয়েছে। ডুডসন আরও উল্লেখ করেছেন যে বিতরণের এই পরিবারের জন্য একটি ভাল আনুমানিক, যেখানে θ, ν এবং μ যথাক্রমে বিতরণের মোড, মধ্যমা এবং গড়। ডডসন-এর অনুমান আরও তদন্ত করে হাল্ডেন নিশ্চিত করেন। হ্যালডেন উল্লেখ করেছেন যে তৃতীয় কিউমুলেন্টের সাথে অভিন্ন এবং স্বাধীন বৈচিত্র্যযুক্ত নমুনাগুলির নমুনা অর্থ ছিল যা বড় নমুনা আকারের জন্য পিয়ারসনের সম্পর্ককে মেনে চলে। হলডেনের এই সম্পর্ক ধরে রাখার জন্য এজওয়ার্থ সম্প্রসারণের অস্তিত্ব এবং মধ্যমা এবং মোড উভয়ের স্বতন্ত্রতা সহ বেশ কয়েকটি শর্তের প্রয়োজন ছিল। এই পরিস্থিতিতে তিনি দেখতে পান যে মোড এবং মধ্যমা তৃতীয় মুহূর্তের যথাক্রমে 1/2 এবং 1/6 এ একত্রিত হয়। চরিত্রগত ফাংশন ব্যবহার করে দুর্বল পরিস্থিতিতে হল এই ফলাফলটি নিশ্চিত করেছেন। কেন্ডাল এবং স্টুয়ার্ট লগ-নর্মাল ডিস্ট্রিবিউশনে ডুডসন-এর সম্পর্ক নিয়ে গবেষণা করেছিলেন যার জন্য তারা এর কাছাকাছি একটি সঠিক সম্পর্ক খুঁজে পেয়েছিলেন। হল আরও দেখিয়েছেন যে নিয়মিতভাবে বিভিন্ন লেজ এবং সূচক α সহ একটি বিতরণের জন্য ইউনিমোডাল ডিস্ট্রিবিউশন গাউস 1823 সালে দেখিয়েছিলেন যে একটি ইউনিমোডাল বিতরণের জন্য এবং যেখানে ω হল মোড থেকে মূল গড় বর্গ বিচ্যুতি। একক বণ্টনগুলির একটি বড় শ্রেণীর জন্য যা মোডকে ইতিবাচকভাবে তির্যক করে, মধ্যমা এবং গড় সেই ক্রমে পড়ে। বিপরীতভাবে, নেতিবাচকভাবে তির্যক ইউনিমোডাল ডিস্ট্রিবিউশনের একটি বড় শ্রেণীর জন্য গড় মিডিয়ানের চেয়ে কম যা আবার মোডের চেয়ে কম। এই ইতিবাচক তির্যক একক বণ্টন এবং এই নেতিবাচক তির্যক একক বণ্টনগুলির প্রতীকে এই শ্রেণীতে গুরুত্বপূর্ণ এফ, বিটা এবং গামা বণ্টন অন্তর্ভুক্ত রয়েছে। এই নিয়মটি ইউনিমোডাল ওয়েইবুল বিতরণের জন্য প্রযোজ্য নয়। একটি একক-মাত্রিক বণ্টনের জন্য নিম্নলিখিত সীমা জানা যায় এবং তীক্ষ্ণ হয়ঃ যেখানে যথাক্রমে গড়, মধ্যমা এবং মোড হল μ, ν এবং θ। মধ্য সীমাটি একটি একক বন্টনের ননপ্যারামেট্রিক তির্যককে প্রায় ± 0.775-এ সীমাবদ্ধ করে। নিম্নলিখিত অসমতা, যেখানে θ, ν এবং μ যথাক্রমে বন্টনের মোড, মধ্যমা এবং গড়, যদি থাকে যেখানে F হল বন্টনের ক্রমবর্ধমান বন্টনের ফাংশন। এই শর্তগুলি তখন থেকে সাধারণীকরণ করা হয়েছে এবং বিচ্ছিন্ন বিতরণগুলিতে প্রসারিত করা হয়েছে। যে কোনও বন্টনের জন্য এটি ধারণ করে তার একটি শূন্য বা একটি ধনাত্মক ননপ্যারামেট্রিক তির্যক থাকে। নোটস অর্ডারিং অফ স্ক্যুনেস 1964 সালে ভ্যান জোয়েট স্ক্যুনেসের পরিমাপের জন্য একাধিক স্বতঃসিদ্ধির প্রস্তাব করেছিলেন। ননপ্যারামেট্রিক তির্যক এই স্বতঃসিদ্ধগুলিকে সন্তুষ্ট করে না। বেনফোর্ডের সূত্র বেনফোর্ডের সূত্র হল সংখ্যার তালিকায় সংখ্যার বন্টন সম্পর্কিত একটি পরীক্ষামূলক সূত্র। এটি প্রস্তাব করা হয়েছে যে একটি ইতিবাচক ননপ্যারামেট্রিক তির্যক সহ বিতরণ থেকে এলোমেলো বৈচিত্র্য এই আইনটি মেনে চলবে। বোলির সহগের সাথে সম্পর্ক এই পরিসংখ্যানটি বোলির তির্যকতা সহগের সাথে খুব মিল যেখানে কি হল বণ্টনের চতুর্থাংশ। হিঙ্কলি এটিকে সাধারণীকরণ করেছেন যেখানে 0 এবং 0.5 এর মধ্যে অবস্থিত। বোলির সহগ হল একটি বিশেষ কেস যার মান 0.25 এর সমান। গ্রোয়েনেভেল্ড এবং মিডেন এর উপর নির্ভরতা সরিয়ে নিয়েছিলেন। হর হল বিচ্ছুরণের একটি পরিমাপ। ডিনোমিনেটরকে স্ট্যান্ডার্ড ডেভিয়েশন দিয়ে প্রতিস্থাপন করলে আমরা ননপ্যারামেট্রিক স্ক্যু পাই। তথ্যসূত্র সংক্ষিপ্ত পরিসংখ্যান