Clifton–Pohl torus
জ্যামিতিতে, ক্লিফটন-পোল টরাস একটি কম্প্যাক্ট লরেঞ্জিয়ান ম্যানিফোল্ডের উদাহরণ যা ভূগণিতগতভাবে সম্পূর্ণ নয়। যদিও প্রতিটি কম্প্যাক্ট রিমানিয়ান ম্যানিফোল্ড ভূতাত্ত্বিকভাবে সম্পূর্ণ (হপফ-রিনো উপপাদ্য দ্বারা), এই স্থানটি দেখায় যে একই প্রভাব ছদ্ম-রিমানিয়ান ম্যানিফোল্ডগুলিতে সাধারণীকরণ করে না। এটি ইয়েটন এইচ ক্লিফটন এবং উইলিয়াম এফ পোলের নামে নামকরণ করা হয়েছে, যিনি 1962 সালে এটি বর্ণনা করেছিলেন কিন্তু তাদের ফলাফল প্রকাশ করেননি। সংজ্ঞা মেট্রিকের সাথে ম্যানিফোল্ড বিবেচনা করুন যে কোনও সমমিতি একটি আইসোমেট্রি, বিশেষত মানচিত্র সহঃ আসুন দ্বারা উত্পন্ন আইসোমেট্রি গ্রুপের উপগোষ্ঠী হতে হবে। তারপর একটি যথাযথ, বিচ্ছিন্ন পদক্ষেপ নেওয়া হয়। সুতরাং যে ভাগফলটি টপোলজিক্যালি টরাস, সেটি হল একটি লরেঞ্জ পৃষ্ঠ যাকে ক্লিফটন-পোল টরাস বলা হয়। কখনও কখনও, সম্প্রসারণ দ্বারা, একটি পৃষ্ঠকে ক্লিফটন-পোল টরাস বলা হয় যদি এটি অনুপাতের কোনও সমতুল্য দ্বারা ভাগফলের একটি সীমাবদ্ধ আবরণ হয়। জিওডেসিক অসম্পূর্ণতা এটি যাচাই করা যেতে পারে যে বক্ররেখাটি এম-এর একটি জিওডেসিক যা সম্পূর্ণ নয় (যেহেতু এটি এ সংজ্ঞায়িত করা হয়নি)। ফলস্বরূপ, (তাই এটিও) ভৌগোলিকভাবে অসম্পূর্ণ, যদিও এটি সংক্ষিপ্ত। একইভাবে, বক্ররেখাটি একটি নাল জিওডেসিক যা অসম্পূর্ণ। প্রকৃতপক্ষে, প্রতিটি নাল জিওডেসিক অন বা অসম্পূর্ণ। ক্লিফটন-পোল টরাসের ভূতাত্ত্বিক অসম্পূর্ণতাকে প্রসারিত হওয়ার প্রত্যক্ষ পরিণতি হিসাবে দেখা হয়, অর্থাৎ। যে এটি একটি বৃহত্তর লরেঞ্জিয়ান পৃষ্ঠের উপসেট হিসাবে দেখা যেতে পারে। এটি স্থানাঙ্কের একটি সহজ পরিবর্তনের প্রত্যক্ষ ফলাফল। মেট্রিক বিবেচনা করে (অর্থাৎ। স্থানাঙ্কে প্রকাশিত মেট্রিকটি পড়ে) তবে এই মেট্রিকটি স্বাভাবিকভাবেই প্রসারিত হয়, যেখানে বর্ধিত ক্লিফটন-পোল সমতল নামে পরিচিত পৃষ্ঠটি ভূতাত্ত্বিকভাবে সম্পূর্ণ। কনজুগেট পয়েন্ট ক্লিফটন-পোল তোরি এই কারণেও উল্লেখযোগ্য যে তারা প্রথম পরিচিত নন-ফ্ল্যাট লরেঞ্জিয়ান তোরি ছিল যার কোনও কনজুগেট পয়েন্ট ছিল না। বর্ধিত ক্লিফটন-পোল সমতলে প্রচুর জোড়া সংযুক্ত বিন্দু রয়েছে, যার মধ্যে কয়েকটি অর্থাৎ এর সীমানায় রয়েছে। "অসীম সময়ে"। আরও মনে রাখবেন যে, হপফ-রিনো উপপাদ্য অনুসারে রিমানীয় পরিবেশে এই ধরনের কোনও তোরির অস্তিত্ব নেই। রেফারেন্স লরেঞ্জিয়ান মেট্রিক জ্যামিতিকে বহুগুণিত করে