Compound of three octahedra
গণিতে, তিনটি অক্টা-হেড্রা বা অক্টা-হেড্রা 3-যৌগের যৌগ হল তিনটি নিয়মিত অক্টা-হেড্রা থেকে গঠিত একটি পলিহেড্রাল যৌগ, যা একটি সাধারণ কেন্দ্র ভাগ করে নেয় কিন্তু একে অপরের সাপেক্ষে ঘোরানো হয়। যদিও গাণিতিক সাহিত্যে এর আগে আবির্ভূত হয়েছিল, এটি এম. সি. এসচার দ্বারা পুনরায় আবিষ্কৃত এবং জনপ্রিয় করা হয়েছিল, যিনি এটি তাঁর 1948 সালের কাঠের কাটা তারার কেন্দ্রীয় প্রতিমূর্তিতে ব্যবহার করেছিলেন। একটি নিয়মিত অক্টা-হেড্রনকে একটি ঘনক্ষেত্রের চারপাশে এমনভাবে পরিবেষ্টিত করা যেতে পারে যে, ঘনক্ষেত্রের দুটি বিপরীত বর্গক্ষেত্রের আটটি প্রান্ত অক্টা-হেড্রনের আটটি মুখের উপর থাকে। বিপরীত ঘনক বর্গক্ষেত্রের তিন জোড়া থেকে এইভাবে গঠিত তিনটি অষ্টতল তিনটি অষ্টতলার যৌগ গঠন করে। আটটি ঘনকের শীর্ষগুলি যৌগের আটটি বিন্দুর সমান যেখানে তিনটি প্রান্ত একে অপরকে অতিক্রম করে। এই ট্রিপল ক্রসিংয়ে অংশগ্রহণকারী প্রতিটি অক্টা-হেড্রন প্রান্তকে 1: অনুপাতে ক্রসিং পয়েন্ট দ্বারা ভাগ করা হয়। অবশিষ্ট অক্টা-হেড্রন প্রান্তগুলি যৌগের অভ্যন্তরে জোড়ায় জোড়ায় একে অপরকে অতিক্রম করে; তাদের ক্রসিংগুলি তাদের মধ্যবিন্দুতে থাকে এবং সমকোণ গঠন করে। প্রারম্ভিক অষ্টতলকের দুটি বিপরীত শীর্ষের মধ্য দিয়ে যাওয়া তিনটি প্রতিসাম্য অক্ষের একটির চারপাশে প্রতিটি প্রতিলিপি/4 কোণে ঘোরানোর মাধ্যমে একটি একক অষ্টতলকের তিনটি প্রতিলিপি থেকে তিনটি অষ্টতলার যৌগ তৈরি করা যেতে পারে। তিনটি অক্টেহেড্রার একই যৌগের জন্য তৃতীয় নির্মাণটি হল তিনটি কিউব যৌগের দ্বৈত পলিহেড্রন, যা অভিন্ন পলিহেড্রন যৌগের মধ্যে একটি। তিনটি অষ্টতলার মধ্যে একটির ছয়টি শীর্ষ স্থানাঙ্ক এবং দ্বারা দেওয়া যেতে পারে। অন্য দুটি অষ্টতলকের স্থানাঙ্ক রয়েছে যা x বা y স্থানাঙ্কের জন্য z স্থানাঙ্ক বিনিময় করে এই স্থানাঙ্কগুলি থেকে প্রাপ্ত করা যেতে পারে। প্রতিসাম্য তিনটি অষ্টতলের যৌগের প্রতিসাম্য একটি একক অষ্টতলের সমতুল্য। এটি একটি আইসোহেড্রাল ডেল্টা-হেড্রন, যার অর্থ এর মুখগুলি সমবাহু ত্রিভুজ এবং এর একটি প্রতিসাম্য রয়েছে যা প্রতিটি মুখকে অন্য প্রতিটি মুখের সাথে নিয়ে যায়। আইসোহেড্রাল ব-দ্বীপের একটি পরিচিত অসীম পরিবার রয়েছে এবং আরও 36টি পরিবার এই পরিবারের অন্তর্ভুক্ত নয়; তিনটি অষ্টতলার যৌগ 36টি বিক্ষিপ্ত উদাহরণের মধ্যে একটি। যাইহোক, এর প্রতিসাম্য গোষ্ঠী প্রতিটি শীর্ষকে অন্য প্রতিটি শীর্ষে নিয়ে যায় না, তাই এটি নিজেই একটি অভিন্ন পলিহেড্রন যৌগ নয়। তিনটি অষ্টতলার ছেদ হল 14টি শীর্ষ এবং 24টি মুখ সহ একটি উত্তল বহুফলক, একটি টেট্রাকিস হেক্সাহেড্রন, যা কেন্দ্রীয় ঘনকের প্রতিটি মুখের সাথে একটি নিম্ন বর্গাকার পিরামিড সংযুক্ত করে গঠিত হয়। সুতরাং, যৌগটিকে টেট্রাকিস হেক্সাহেড্রনের একটি নক্ষত্র হিসাবে দেখা যেতে পারে। ঘনক্ষেত্রের প্রতিটি মুখে লম্বা পিরামিড ব্যবহার করে গঠিত টেট্রাকিস হেক্সাহেড্রনের একটি ভিন্ন রূপ হল অ-উত্তল, তবে এর সমবাহু ত্রিভুজ মুখ রয়েছে যা আবার তিনটি অষ্টতলকের মুখের মতো একই সমতলে অবস্থিত; এটি পরিচিত আইসোহেড্রাল ব-দ্বীপের আরেকটি রূপ। একটি তৃতীয় আইসোহেড্রাল ডেল্টাহেড্রন, যা একই মুখ সমতল ভাগ করে নেয়, ছয়টি টেট্রাহেড্রার যৌগ, তিনটি অষ্টতলার যৌগের প্রতিটি মুখকে স্টেলেট করে তিনটি স্টেলা অক্টাঙ্গুলা গঠন করে গঠিত হতে পারে। একই মুখ সমতল সহ একটি চতুর্থ আইসোহেড্রাল ডেল্টাহেড্রন, যা তিনটি অক্টেহেড্রার যৌগের একটি স্টেলেশন, টেট্রাকিস হেক্সাহেড্রনের মতো একই সংমিশ্রণ কাঠামো রয়েছে তবে ঘনক মুখগুলি ঘনকের বাইরের দিকে পিরামিডগুলিকে সংযুক্ত করার পরিবর্তে ছেদকারী পিরামিডের মধ্যে ভিতরের দিকে ছিদ্রযুক্ত। যে ঘনক্ষেত্রের চারপাশে তিনটি অষ্টতলকে পরিবেষ্টিত করা যেতে পারে তার প্রতিফলন প্রতিসাম্যের নয়টি তল রয়েছে। এই প্রতিফলন ফলকগুলির মধ্যে তিনটি ঘনকের পার্শ্বগুলির সমান্তরালে, দুটি বিপরীত দিকের মাঝামাঝি সময়ে অতিক্রম করে; বাকি ছয়টি ঘনকের চার শীর্ষের মধ্য দিয়ে তির্যকভাবে অতিক্রম করে। এই নয়টি তল তিনটি অষ্টতলের নয়টি নিরক্ষীয় তলের সাথে মিলে যায়। পিয়েরো ডেলা ফ্রান্সেস্কা রচিত 15শ শতাব্দীর পাণ্ডুলিপি ডি কুইঙ্ক কর্পোরিবাস রেগুলারিবাসে, ডেলা ফ্রান্সেস্কা ইতিমধ্যে একটি ঘনক্ষেত্রের চারপাশে বেষ্টিত একটি অষ্টতলকের অঙ্কন অন্তর্ভুক্ত করেছেন, যার মধ্যে আটটি ঘনক্ষেত্রের প্রান্ত অষ্টতলকের আটটি মুখে রয়েছে। একটি একক ঘনক্ষেত্রের চারপাশে এইভাবে পরিবেষ্টিত তিনটি অষ্টতল তিনটি অষ্টতলকের যৌগ গঠন করবে, তবে ডেলা ফ্রান্সেস্কা যৌগটিকে চিত্রিত করে না। গাণিতিক সাহিত্যে তিনটি অষ্টতলকের যৌগের পরবর্তী আবির্ভাব ম্যাক্স ব্রুকনারের 1900 সালের একটি কাজ বলে মনে হয়, যেখানে এটি উল্লেখ করা হয়েছে এবং এর একটি মডেলের ছবি অন্তর্ভুক্ত করা হয়েছে। ডাচ শিল্পী এম. সি. এসচার, তাঁর 1948 সালের কাঠ কাটা স্টারস-এ, এই আকৃতির একটি খাঁচায় কাঠ কাটার কেন্দ্রীয় চিত্র হিসাবে ব্যবহৃত হয়েছিল, যার মধ্যে দুটি গিরগিটি রয়েছে এবং স্থানের মধ্য দিয়ে ভাসছে। এইচ. এস. এম. কক্সেটার, ধরে নিয়েছেন যে এসচার এই আকৃতিটি স্বাধীনভাবে পুনরায় আবিষ্কার করেছেন, লিখেছেন যে "এটি লক্ষণীয় যে এসচার, বীজগণিত বা বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতি সম্পর্কে কোনও জ্ঞান ছাড়াই, এই অত্যন্ত প্রতিসম চিত্রটি পুনরায় আবিষ্কার করতে সক্ষম হয়েছিলেন।" যাইহোক, জর্জ ডব্লিউ হার্ট নথিভুক্ত করেছেন যে এসচার ব্রুকনারের কাজের সাথে পরিচিত ছিলেন এবং এটি তাঁর আঁকা অনেক স্টেলেটেড পলিহেড্রা এবং পলিহেড্রাল যৌগের ভিত্তি হিসাবে ব্যবহার করেছিলেন। 1948 সালের গোড়ার দিকে, এসচার স্টাডি ফর স্টারস নামে একটি অনুরূপ থিম সহ একটি প্রাথমিক কাঠের কাটা তৈরি করেছিলেন, তবে গবেষণায় তিনটি নিয়মিত অক্টেহেড্রার যৌগ ব্যবহার করার পরিবর্তে তিনি একটি ভিন্ন তবে সম্পর্কিত আকৃতি, একটি স্টেলেটেড রম্বিক ডোডেকাহেড্রন (কখনও কখনও এসচারের কঠিন বলা হয়) ব্যবহার করেছিলেন, যা তিনটি সমতল অক্টেহেড্রার যৌগ হিসাবে গঠিত হতে পারে। পলিহেড্রন হিসাবে এই রূপটি টপোলজিক্যালি ডিসডিয়াকিস ডোডেকাহেড্রনের সাথে অভিন্ন, যা রম্বিক মুখে ছোট পিরামিড সহ রম্বিক ডোডেকাহেড্রন হিসাবে দেখা যায়। অক্টেহেড্রাল যৌগের দ্বৈত চিত্র, তিনটি ঘনক্ষেত্রের যৌগ, একই স্টেলেটেড রম্বিক ডোডেকাহেড্রনের পাশে পরবর্তী এসচার কাঠের কাট, জলপ্রপাত-এও দেখানো হয়েছে। তিনটি অষ্টতলকের যৌগ গাণিতিক সাহিত্যে আরও সঠিকভাবে পুনরায় প্রবেশ করেছিল, যারা এর অস্তিত্ব পর্যবেক্ষণ করেছিল এবং এর শীর্ষগুলির জন্য স্থানাঙ্ক সরবরাহ করেছিল। এটি এবং দ্বারা আরও বিস্তারিতভাবে অধ্যয়ন করা হয়েছিল। তিনটি অষ্টতলকের অন্যান্য যৌগ অষ্টতলকে ত্রিভুজাকার অ্যান্টিপ্রিজম হিসাবে দেখা যায়, অ্যান্টিপ্রিজমের আরেকটি অভিন্ন প্রিজম্যাটিক যৌগ ডি3ডি প্রতিসাম্যের সাথে বিদ্যমান, ক্রম 12। প্রতিটি অ্যান্টিপ্রিজম 40 ডিগ্রি ঘোরানো হয়। উপরের এবং নীচের সমতলে যৌগিক এননেগ্রাম, {9/3} বা 3 {3} থাকতে দেখা যায়। আরও দেখুন চারটি অষ্টতলের চক্রবৃদ্ধি পাঁচটি অষ্টতলার চক্রবৃদ্ধি দশটি অষ্টতলার চক্রবৃদ্ধি কুড়িটি অষ্টতলার চক্রবৃদ্ধি উল্লেখ বাহ্যিক সংযোগ পলিহেড্রাল যৌগ