Jacobi ellipsoid
একটি জ্যাকোবি উপবৃত্তাকার একটি ত্রি-অক্ষীয় (অর্থাৎ। স্কেলিন) হাইড্রোস্ট্যাটিক ভারসাম্যের অধীনে উপবৃত্তাকার যা তখন উদ্ভূত হয় যখন একটি স্ব-মাধ্যাকর্ষণকারী, অভিন্ন ঘনত্বের তরল বস্তু একটি ধ্রুবক কৌণিক বেগের সাথে ঘোরে। জার্মান গণিতবিদ কার্ল গুস্তাভ জ্যাকব জ্যাকবির নামে এর নামকরণ করা হয়েছে। জ্যাকোবির আগে, ম্যাকলাউরিন স্ফেরয়েড, যা 1742 সালে প্রণয়ন করা হয়েছিল, একমাত্র উপবৃত্তাকার হিসাবে বিবেচিত হত যা ভারসাম্যে থাকতে পারে। 1811 সালে ল্যাগ্রাঞ্জ একটি ত্রি-অক্ষীয় উপবৃত্তাকার ভারসাম্যে থাকার সম্ভাবনা বিবেচনা করেছিলেন, তবে এই সিদ্ধান্তে পৌঁছেছিলেন যে উপবৃত্তাকার দুটি নিরক্ষীয় অক্ষ অবশ্যই সমান হতে হবে, যা ম্যাকলাউরিন স্ফেরয়েডের সমাধানের দিকে নিয়ে যায়। কিন্তু জ্যাকোবি বুঝতে পেরেছিলেন যে ল্যাগ্রাঞ্জের প্রদর্শন একটি পর্যাপ্ত শর্ত, তবে প্রয়োজনীয় নয়। তিনি মন্তব্য করেছিলেনঃ "কেউ যদি মনে করে যে দ্বিতীয়-ডিগ্রি পৃষ্ঠের সীমাবদ্ধ অনুমানের অধীনেও বিপ্লবের গোলকগুলি ভারসাম্যের একমাত্র গ্রহণযোগ্য পরিসংখ্যান হয় তবে এটি একটি গুরুতর ভুল হবে" (.) "প্রকৃতপক্ষে একটি সহজ বিবেচনা দেখায় যে তিনটি অসম অক্ষ সহ উপবৃত্তাকারগুলি ভারসাম্যের পরিসংখ্যান হতে পারে এবং নিরক্ষীয় বিভাগের জন্য নির্বিচারে আকৃতির একটি উপবৃত্তাকার অনুমান করতে পারে এবং তৃতীয় অক্ষ (যা তিনটি অক্ষের মধ্যেও সর্বনিম্ন) এবং ঘূর্ণনের কৌণিক বেগ নির্ধারণ করতে পারে যাতে উপবৃত্তাকার ভারসাম্যের একটি চিত্র হয়।" জ্যাকোবি সূত্র নিরক্ষীয় আধা-প্রধান অক্ষ এবং মেরু আধা-প্রধান অক্ষ সহ একটি উপবৃত্তাকারের জন্য, কৌণিক বেগ প্রায় দেওয়া হয় যেখানে ঘনত্ব এবং মহাকর্ষীয় ধ্রুবক, শর্ত সাপেক্ষে এবং এর নির্দিষ্ট মানগুলির জন্য, উপরের শর্তটির এমন সমাধান রয়েছে যাতে ইন্টিগ্রালগুলি অসম্পূর্ণ উপবৃত্তাকার ইন্টিগ্রালের পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করা যেতে পারে। কার্লসন প্রতিসম ফর্ম উপবৃত্তাকার ইন্টিগ্রালের পরিপ্রেক্ষিতে, কৌণিক বেগের সূত্রটি হয়ে যায় এবং আধা-প্রধান অক্ষগুলির আপেক্ষিক আকারের শর্তটি হল জ্যাকোবি উপবৃত্তাকারের কৌণিক ভরবেগ যেখানে উপবৃত্তাকার ভর এবং গড় ব্যাসার্ধ, উপবৃত্তাকার হিসাবে একই আয়তনের একটি গোলকের ব্যাসার্ধ দ্বারা দেওয়া হয়। ডেডেকিন্ড উপবৃত্তাকারের সাথে সম্পর্ক জ্যাকোবি এবং ডেডেকিন্ড উপবৃত্তাকার উভয়ই ঘূর্ণায়মান সমজাতীয় স্ব-মাধ্যাকর্ষণকারী তরলের জন্য ভারসাম্য চিত্র। যাইহোক, জ্যাকোবি উপবৃত্তাকার ঘূর্ণায়মান ফ্রেমে তরলের কোনও অভ্যন্তরীণ প্রবাহ ছাড়াই শারীরিকভাবে ঘূর্ণায়মান হলেও, ডেডেকাইন্ড উপবৃত্তাকার একটি নির্দিষ্ট অভিযোজন বজায় রাখে, যার মধ্যে উপাদান তরল প্রবাহিত হয়। এটি ডেডেকিন্ডের উপপাদ্যের একটি প্রত্যক্ষ পরিণতি। যে কোনও জ্যাকোবি উপবৃত্তাকারের জন্য, একই আধা-প্রধান অক্ষ এবং একই ভর সহ একটি ডেডেকাইন্ড উপবৃত্তাকার বিদ্যমান এবং একটি প্রবাহ বেগ ক্ষেত্র সহ যেখানে উপবৃত্তাকার অক্ষের সাথে যথাক্রমে সারিবদ্ধ অক্ষের উপর কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্ক রয়েছে। এখানে ভর্টিসিটি রয়েছে, যা স্ফেরয়েড () জুড়ে অভিন্ন। জ্যাকোবি উপবৃত্তাকারের কৌণিক বেগ এবং সংশ্লিষ্ট ডেডেকাইন্ড উপবৃত্তাকারের ভর্টিসিটি এর দ্বারা সম্পর্কিত অর্থাৎ, ডেডেকাইন্ড উপবৃত্তাকারের তরলের প্রতিটি কণা একই সময়ের একটি অনুরূপ উপবৃত্তাকার বর্তনী বর্ণনা করে যেখানে জ্যাকোবি গোলাকার একটি ঘূর্ণন সম্পাদন করে। বিশেষ ক্ষেত্রে, জ্যাকোবি এবং ডেডেকিন্ড উপবৃত্তাকার (এবং ম্যাকলাউরিন গোলাকার) এক এবং একই হয়ে যায়; শারীরিক ঘূর্ণন এবং বৃত্তাকার প্রবাহের পরিমাণ একই জিনিস। এই ক্ষেত্রে, সর্বদা একটি কঠোরভাবে ঘূর্ণায়মান বস্তুর ক্ষেত্রে সত্য। সাধারণ ক্ষেত্রে, জ্যাকোবি এবং ডেডেকাইন্ড উপবৃত্তাকারের একই শক্তি থাকে, তবে জ্যাকোবি গোলাকারের কৌণিক গতিবেগ ম্যাকলাউরিন গোলাকার রিম্যান উপবৃত্তাকার রোচে উপবৃত্তাকার ডিরিচলেটের উপবৃত্তাকার সমস্যা দেখুন।