Smooth completion
বীজগাণিতিক জ্যামিতিতে, একটি মসৃণ অ্যাফিন বীজগাণিতিক বক্ররেখা এক্স-এর মসৃণ সমাপ্তি (বা মসৃণ সংকোচন) একটি সম্পূর্ণ মসৃণ বীজগাণিতিক বক্ররেখা যা এক্স-কে একটি উন্মুক্ত উপসেট হিসাবে ধারণ করে। মসৃণ সম্পূর্ণতা বিদ্যমান এবং একটি নিখুঁত ক্ষেত্রে অনন্য। উদাহরণ হাইপারেলিপটিক বক্ররেখার একটি অ্যাফিন ফর্মকে উপস্থাপন করা যেতে পারে যেখানে এবং () এর স্বতন্ত্র শিকড় রয়েছে এবং কমপক্ষে 5 ডিগ্রি রয়েছে। অ্যাফিন বক্ররেখার জারিস্কি ক্লোজার যোগ করা অনন্য অসীম বিন্দুতে একবচন। যাইহোক, অ্যাফিন বক্ররেখাটি একটি অনন্য কম্প্যাক্ট রিম্যান পৃষ্ঠে এম্বেড করা যেতে পারে যাকে এর মসৃণ সমাপ্তি বলা হয়। রিমান পৃষ্ঠের অভিক্ষেপ অসীমের একক বিন্দুর উপর 2-থেকে-1 হয় যদি জোড় ডিগ্রি থাকে এবং অন্যথায় 1-থেকে-1 (তবে র্যামিফাইড) হয়। এই মসৃণ সমাপ্তি নিম্নরূপও পাওয়া যেতে পারে। এক্স-কোঅর্ডিনেট ব্যবহার করে অ্যাফিন লাইনের সাথে অ্যাফিন বক্ররেখাটি প্রজেক্ট করুন। প্রজেক্টিভ লাইনে অ্যাফিন লাইনটি এম্বেড করুন, তারপরে অ্যাফিন বক্ররেখার ফাংশন ক্ষেত্রে প্রজেক্টিভ লাইনের স্বাভাবিককরণ নিন। প্রয়োগ একটি বীজগাণিতিকভাবে বদ্ধ ক্ষেত্রের উপর একটি মসৃণ সংযুক্ত বক্ররেখাকে হাইপারবোলিক বলা হয় যদি g মসৃণ সমাপ্তির গণ হয় এবং r যোগ করা বিন্দুর সংখ্যা হয়। 0 বৈশিষ্ট্যের একটি বীজগাণিতিকভাবে বদ্ধ ক্ষেত্রের উপর, এক্স-এর মৌলিক গোষ্ঠীটি জেনারেটরের সাথে মুক্ত যদি r> 0 হয়। (ডিরিচলেটের একক উপপাদ্যের এনালগ) ধরা যাক X একটি সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের উপর একটি মসৃণ সংযুক্ত বক্ররেখা। তারপর X-এর উপর নিয়মিত ফাংশন O (X) বলয়ের এককগুলি হল r-1 র্যাঙ্কের একটি সীমাবদ্ধভাবে উত্পন্ন আবেলিয়ান গ্রুপ। নির্মাণ মনে করুন বেস ফিল্ডটি নিখুঁত। যে কোনও অ্যাফিন বক্ররেখা X একটি অবিচ্ছেদ্য প্রজেক্টিভ (তাই সম্পূর্ণ) বক্ররেখার একটি উন্মুক্ত উপসেটের সমতুল্য। প্রজেক্টিভ বক্ররেখার স্বাভাবিককরণ (বা এককত্বকে উড়িয়ে দেওয়া) নিলে X-এর মসৃণ সমাপ্তি পাওয়া যায়। তাদের পয়েন্টগুলি বেস ফিল্ডে তুচ্ছ ফাংশন ক্ষেত্রের বিচ্ছিন্ন মূল্যায়নের সাথে মিলে যায়। নির্মাণের মাধ্যমে, মসৃণ সমাপ্তি একটি প্রজেক্টিভ বক্ররেখা যা প্রদত্ত বক্ররেখাটিকে সর্বত্র ঘন খোলা উপসেট হিসাবে ধারণ করে এবং যুক্ত নতুন পয়েন্টগুলি মসৃণ হয়। এই ধরনের (প্রজেক্টিভ) সমাপ্তি সর্বদা বিদ্যমান এবং অনন্য। যদি মূল ক্ষেত্রটি নিখুঁত না হয়, তবে একটি মসৃণ অ্যাফিন বক্ররেখার মসৃণ সমাপ্তি সবসময় বিদ্যমান থাকে না। কিন্তু উপরের প্রক্রিয়াটি সর্বদা একটি নিয়মিত সমাপ্তি তৈরি করে যদি আমরা একটি নিয়মিত অ্যাফিন বক্ররেখা দিয়ে শুরু করি (মসৃণ জাতগুলি নিয়মিত, এবং বিপরীতটি নিখুঁত ক্ষেত্রের ক্ষেত্রে সত্য)। একটি নিয়মিত সমাপ্তি অনন্য এবং যথাযথতার মূল্যসূচক মানদণ্ড অনুসারে, অ্যাফিন বক্ররেখা থেকে সম্পূর্ণ বীজগাণিতিক বৈচিত্র্য পর্যন্ত যে কোনও অঙ্গসংস্থান নিয়মিত সমাপ্তি পর্যন্ত অনন্যভাবে প্রসারিত হয়। সাধারণীকরণ যদি এক্স একটি পৃথক বীজগাণিতিক বৈচিত্র্য হয়, তবে নাগতার একটি উপপাদ্য বলে যে এক্স একটি সম্পূর্ণ বীজগাণিতিক বৈচিত্র্যের একটি উন্মুক্ত উপসেট হিসাবে এম্বেড করা যেতে পারে। যদি এক্স মসৃণ হয় এবং ভিত্তি ক্ষেত্রের বৈশিষ্ট্য 0 হয়, তবে হিরোনাকার উপপাদ্য অনুসারে এক্সকে একটি সম্পূর্ণ মসৃণ বীজগাণিতিক বৈচিত্র্যের একটি উন্মুক্ত উপসেট হিসাবেও অন্তর্ভুক্ত করা যেতে পারে, যার সীমানা একটি স্বাভাবিক ক্রসিং বিভাজক। যদি এক্স আধা-প্রজেক্টিভ হয়, তবে মসৃণ সমাপ্তি প্রজেক্টিভ হিসাবে বেছে নেওয়া যেতে পারে। যাইহোক, এক-মাত্রিক মামলার বিপরীতে, মসৃণ সমাপ্তির কোনও স্বতন্ত্রতা নেই, বা এটি ক্যানোনিকালও নয়। আরও দেখুন হাইপারেলিপ্টিক বক্ররেখা বোলজা পৃষ্ঠ রেফারেন্স গ্রন্থপঞ্জি (4র্থ অধ্যায় দেখুন)। বীজগাণিতিক জ্যামিতি রিম্যান বীজগাণিতিক বক্ররেখার উপর ভিত্তি করে জন্মগত জ্যামিতি