1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯
গণিতে, অয়লার দ্বারা প্রথম বিবেচিত একটি বিচ্যুত সিরিজ, যা প্রাকৃতিক সংখ্যার উৎপাদকগুলিকে পর্যায়ক্রমিক চিহ্নের সাথে যোগ করে। ভিন্ন হওয়া সত্ত্বেও, বোরেল যোগফল দ্বারা এটির মান প্রায় 0.596347 নির্ধারণ করা যেতে পারে। অয়লার এবং বোরেল যোগফল এই সিরিজটি প্রথম অয়লার বিবেচনা করেছিলেন, যিনি সিরিজে একটি সীমাবদ্ধ মান নির্ধারণের জন্য যোগযোগ্যতা পদ্ধতি প্রয়োগ করেছিলেন। সিরিজ হল ফ্যাক্টরিয়ালের সমষ্টি যা পর্যায়ক্রমে যোগ বা বিয়োগ করা হয়। এই ডাইভারজেন্ট সিরিজের একটি মান নির্ধারণ করার একটি উপায় হল বোরেল যোগফল ব্যবহার করা, যেখানে কেউ আনুষ্ঠানিকভাবে লেখেন যদি যোগফল এবং সংহতকরণ বিনিময় করা হয় (উভয় পক্ষই একত্রিত না হয় তা উপেক্ষা করে), একজন পাবেনঃ বর্গাকার বন্ধনীতে যোগফল কখন একত্রিত হয়, এবং সেই মানগুলির জন্য সমান হয়। সমস্ত ধনাত্মক বাস্তবের বিশ্লেষণাত্মক ধারাবাহিকতা যোগফলের জন্য একটি অভিসারী অবিচ্ছেদের দিকে পরিচালিত করেঃ যেখানে E1 (z) হল সূচকীয় অবিচ্ছেদ্য। সংজ্ঞা অনুসারে এটি সিরিজের বোরেল যোগফল। ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সাথে সংযোগ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সংযুক্ত পদ্ধতির কথা বিবেচনা করুন যেখানে বিন্দুগুলি t-এর সাপেক্ষে ডেরিভেটিভ বোঝায়। স্থির ভারসাম্যযুক্ত সমাধানের মান হল t → φ, y (t) =, এবং প্রথম সমীকরণে প্রতিস্থাপিত করলে একটি আনুষ্ঠানিক সিরিজ সমাধান পাওয়া যায়। লক্ষ্য করুন x (1) হল সঠিকভাবে অয়লারের সিরিজ। অন্যদিকে, ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের পদ্ধতির একটি সমাধান রয়েছে। পর্যায়ক্রমে অংশ দ্বারা সংহত করার মাধ্যমে, x (t)-এর জন্য এই অভিব্যক্তিটির একটি অ্যাসিম্পটোটিক আনুমানিক হিসাবে আনুষ্ঠানিক শক্তি সিরিজ পুনরুদ্ধার করা হয়। অয়লার যুক্তি দেন (কমবেশি) যে যেহেতু আনুষ্ঠানিক সিরিজ এবং ইন্টিগ্রাল উভয়ই ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একই সমাধান বর্ণনা করে, তাই তাদের একে অপরের সমান হওয়া উচিত।