Complete sequence
গণিতে, প্রাকৃতিক সংখ্যার একটি ক্রমকে একটি সম্পূর্ণ ক্রম বলা হয় যদি প্রতিটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা ক্রমের মানগুলির সমষ্টি হিসাবে প্রকাশ করা যায়, প্রতিটি মান সর্বাধিক একবার ব্যবহার করে। উদাহরণস্বরূপ, বাইনারি সংখ্যা পদ্ধতির ভিত্তি দুইটির (1,2,4,8,) শক্তির ক্রম একটি সম্পূর্ণ ক্রম; যে কোনও প্রাকৃতিক সংখ্যা দেওয়া হলে, আমরা তার বাইনারি উপস্থাপনায় 1 বিটের সাথে সম্পর্কিত মানগুলি বেছে নিতে পারি এবং সেই সংখ্যাটি পেতে তাদের যোগ করতে পারি (যেমন। 37 = 1001012 = 1 + 4 + 32)। এই ক্রমটি ন্যূনতম, কারণ কিছু স্বাভাবিক সংখ্যাকে উপস্থাপন করা অসম্ভব না করে এর থেকে কোনও মান অপসারণ করা যায় না। সম্পূর্ণ নয় এমন ক্রমের সহজ উদাহরণগুলির মধ্যে জোড় সংখ্যা অন্তর্ভুক্ত রয়েছে, যেহেতু জোড় সংখ্যা যোগ করলে কেবল জোড় সংখ্যা তৈরি হয়-কোনও বিজোড় সংখ্যা তৈরি করা যায় না। সর্বজনীনতা না হারিয়ে সম্পূর্ণতার শর্তাবলী, ধরে নিন যে ক্রমটি অ-হ্রাসকারী ক্রমে রয়েছে এবং একটি-এর আংশিক যোগফলকে এভাবে সংজ্ঞায়িত করুনঃ তারপর শর্তগুলি একটি সম্পূর্ণ ক্রম হওয়ার জন্য প্রয়োজনীয় এবং যথেষ্ট উভয়ই। উপরের অবস্থার একটি উপপাদ্য যা একটি সম্পূর্ণ ক্রম হওয়ার জন্য যথেষ্ট। তবে এমন কিছু সম্পূর্ণ ক্রম রয়েছে যা এই উপসংহারকে সন্তুষ্ট করে না, উদাহরণস্বরূপ, 1 নম্বর এবং 2-এর প্রতিটি ঘাতের পরে প্রথম মৌলিক সংখ্যা নিয়ে গঠিত। অন্যান্য সম্পূর্ণ ক্রমগুলির মধ্যে রয়েছেঃ 1 নম্বরের ক্রমের পরে মৌলিক সংখ্যা (এস. এস. পিল্লাই এবং অন্যান্যরা অধ্যয়ন করেছেন); এটি বার্ট্রান্ডের স্বীকার্য থেকে অনুসরণ করা হয়েছে। ব্যবহারিক সংখ্যার ক্রম যার প্রথম পদ হিসাবে 1 রয়েছে এবং উপসেট হিসাবে 2 এর অন্যান্য সমস্ত শক্তি রয়েছে। ফিবোনাচ্চি সংখ্যা, সেইসাথে যে কোনও একটি সংখ্যা সহ ফিবোনাচ্চি সংখ্যা অপসারণ করা হয়েছে। এটি এই পরিচয় থেকে অনুসরণ করে যে প্রথম n ফিবোনাচ্চি সংখ্যার যোগফল হল (n + 2) nd ফিবোনাচ্চি সংখ্যা বিয়োগ 1। প্রয়োগগুলি ঠিক যেমন বাইনারি সংখ্যা পদ্ধতির কারণে দুটির শক্তি একটি সম্পূর্ণ ক্রম গঠন করে, প্রকৃতপক্ষে যে কোনও সম্পূর্ণ ক্রম পূর্ণসংখ্যাকে বিট স্ট্রিং হিসাবে এনকোড করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। ডানদিকের বিট অবস্থানটি ক্রমের প্রথম, ক্ষুদ্রতম সদস্যকে বরাদ্দ করা হয়; পরবর্তী ডানদিকের সদস্যকে; এবং আরও অনেক কিছু। 1-এ সেট করা বিটগুলি যোগফলের অন্তর্ভুক্ত। এই উপস্থাপনাগুলি অনন্য নাও হতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, ফিবোনাচ্চি গাণিতিক পদ্ধতিতে, ফিবোনাচ্চি অনুক্রমের উপর ভিত্তি করে, 17 নম্বরটি ছয়টি ভিন্ন উপায়ে এনকোড করা যেতে পারেঃ 110111 (F6 + F5 + F3 + F2 + F1 = 8 + 5 + 2 + 1 + 1 = 17, সর্বাধিক ফর্ম) 111001 (F6 + F5 + F4 + F1 = 8 + 5 + 3 + 1 = 17) 111010 (F6 + F5 + F4 + F2 = 8 + 5 + 3 + 1 = 17) 1000111 (F7 + F3 + F2 + F1 = 13 + 2 + 1 + 1 = 17) ট্রেইলিং ছাড়া সম্পূর্ণ কোডিং এখানে পাওয়া যাবে। পিছনেরটিকে বাদ দিয়ে, উপরের 17-এর কোডিংটি A104326-এর 16তম পদ হিসাবে দেখা যায়। ন্যূনতম ফর্মটি কখনই এফ1 ব্যবহার করবে না এবং সর্বদা একটি পিছনের শূন্য থাকবে। পিছনের শূন্য ছাড়া সম্পূর্ণ কোডিং এখানে পাওয়া যাবে। এই কোডিং জেকেনডর্ফ উপস্থাপনা নামে পরিচিত। এই সংখ্যা পদ্ধতিতে, ফিবোনাচ্চি সংখ্যার সংজ্ঞার কারণে যে কোনও সাবস্ট্রিং "100" কে "011" দ্বারা প্রতিস্থাপন করা যেতে পারে এবং তদ্বিপরীতও হতে পারে। এই নিয়মগুলির ক্রমাগত প্রয়োগ সর্বাধিক থেকে ন্যূনতম এবং তদ্বিপরীত রূপে রূপান্তরিত হবে। যে কোনও সংখ্যাকে (1-এর চেয়ে বড়) একটি টার্মিনাল 0 দিয়ে উপস্থাপন করা যেতে পারে তার অর্থ হল যে 1 যোগ করা সর্বদা সম্ভব, এবং প্রদত্ত যে, 1 এবং 2-এর জন্য ফিবোনাচ্চি কোডিং-এ প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে, সম্পূর্ণতা ইন্ডাকশন দ্বারা অনুসরণ করা হয়। আরও দেখুন অস্ট্রোস্কি সংখ্যা রেফারেন্স বাহ্যিক লিঙ্ক পূর্ণসংখ্যা ক্রম