Grothendieck category
গণিতে, গ্রোথেন্ডিয়েক বিভাগ হল একটি নির্দিষ্ট ধরনের আবেলিয়ান বিভাগ, যা 1957 সালের আলেকজান্ডার গ্রোথেন্ডিয়েকের তোহোকু গবেষণাপত্রে চালু করা হয়েছিল যাতে মডিউলগুলির জন্য এবং একটি একীভূত পদ্ধতিতে শেভের জন্য সমতাত্ত্বিক বীজগণিতের যন্ত্রপাতি বিকাশ করা যায়। 1962 সালে পিয়েরে গ্যাব্রিয়েলের মৌলিক গবেষণাপত্রে এই বিভাগগুলির তত্ত্বটি আরও বিকশিত হয়েছিল। প্রতিটি বীজগাণিতিক বৈচিত্র্যের সাথে একটি গ্রোথেন্ডিয়াক বিভাগ যুক্ত করা যেতে পারে, যার মধ্যে অর্ধ-সুসঙ্গত শেভ থাকে। এই বিভাগটি সম্পর্কে সমস্ত প্রাসঙ্গিক জ্যামিতিক তথ্যকে এনকোড করে এবং (গ্যাব্রিয়েল-রোজেনবার্গ পুনর্গঠন উপপাদ্য) থেকে পুনরুদ্ধার করা যেতে পারে। এই উদাহরণটি অ-বিনিময়যোগ্য বীজগাণিতিক জ্যামিতির একটি পদ্ধতির জন্ম দেয়ঃ "অ-বিনিময়যোগ্য বৈচিত্র্যের" অধ্যয়ন তখন (নির্দিষ্ট) গ্রোথেন্ডিক বিভাগগুলির অধ্যয়ন ছাড়া আর কিছুই নয়। সংজ্ঞা অনুসারে, একটি গ্রোথেন্ডিয়াক বিভাগ হল একটি জেনারেটর সহ একটি এবি5 বিভাগ। বানান করা হয়েছে, এর অর্থ হল এটি একটি আবেলিয়ান বিভাগ; প্রতিটি (সম্ভবত অসীম) বস্তুর পরিবারের একটি সহ-উৎপাদন (যা সরাসরি যোগফল নামেও পরিচিত) রয়েছে; সংক্ষিপ্ত সঠিক ক্রমের সরাসরি সীমা সঠিক; এর অর্থ হল যে যদি সংক্ষিপ্ত সঠিক ক্রমের একটি সরাসরি ব্যবস্থা দেওয়া হয়, তবে সরাসরি সীমার প্ররোচিত ক্রমটিও একটি সংক্ষিপ্ত সঠিক ক্রম। (সরাসরি সীমা সর্বদা সঠিক-সঠিক হয়; এখানে গুরুত্বপূর্ণ বিষয় হল যে আমাদের সেগুলিও বাম-সঠিক হতে হবে।) একটি জেনারেটর রয়েছে, অর্থাৎ। এমন একটি বস্তু রয়েছে যা সেটের বিভাগ থেকে বিশ্বস্ত ফাংক্টর। (আমাদের পরিস্থিতিতে, এটি বলার সমতুল্য যে প্রতিটি বস্তু একটি এপিমরফিজম স্বীকার করে, যেখানে (সম্ভবত অসীম) সেটের প্রতিটি উপাদানের জন্য একটি করে অনুলিপির সরাসরি যোগফল বোঝায়।) "গ্রোথেন্ডিয়েক বিভাগ" নামটি গ্রোথেন্ডিয়েকের তোহোকু গবেষণাপত্রে বা গ্যাব্রিয়েলের গবেষণাপত্রেও প্রকাশিত হয়নি; এটি 1960-এর দশকের দ্বিতীয়ার্ধে জ্যান-এরিক রুস, বো স্টেনস্ট্রম, উলরিচ ওবারস্ট এবং বোডো পারেগিস সহ বেশ কয়েকজন লেখকের কাজে ব্যবহৃত হয়েছিল। (কিছু লেখক একটি ভিন্ন সংজ্ঞা ব্যবহার করেন যে তাদের জেনারেটরের অস্তিত্বের প্রয়োজন হয় না।) উদাহরণ একটি গ্রোথেন্ডিয়াক বিভাগের প্রোটোটাইপিক উদাহরণ হল আবেলিয়ান গোষ্ঠীর বিভাগ; পূর্ণসংখ্যার আবেলিয়ান গ্রুপ একটি জেনারেটর হিসাবে কাজ করতে পারে। আরও সাধারণভাবে, যে কোনও রিং (সহযোগী, সহ, তবে অগত্যা বিনিময়যোগ্য নয়) দেওয়া হলে, সমস্ত ডান (বা বিকল্পভাবেঃ বাম) মডিউলগুলির বিভাগটি একটি গ্রোথেন্ডিক বিভাগ; নিজেই একটি জেনারেটর হিসাবে কাজ করতে পারে। একটি টপোলজিকাল স্থান দেওয়া হলে, আবেলিয়ান গোষ্ঠীর সমস্ত শেভের বিভাগটি একটি গ্রোথেন্ডিক বিভাগ। (আরও সাধারণভাবেঃ ডান-মডিউলগুলির সমস্ত শেভের বিভাগটি যে কোনও রিংয়ের জন্য একটি গ্রোথেন্ডিক বিভাগ।) একটি রিংযুক্ত স্থান দেওয়া হলে, ওএক্স-মডিউলগুলির শেভের বিভাগটি একটি গ্রোথেন্ডিক বিভাগ। একটি (অ্যাফিন বা প্রজেক্টিভ) বীজগাণিতিক বৈচিত্র্য (বা আরও সাধারণভাবেঃ যে কোনও স্কিম) দেওয়া হলে, আধা-সুসঙ্গত শেভের বিভাগটি একটি গ্রোথেন্ডিক বিভাগ। একটি ছোট সাইট (সি, জে) দেওয়া হয়েছে (অর্থাৎ। একটি গ্রোথেন্ডিয়াক টপোলজি জে) সহ একটি ছোট বিভাগ সি, সাইটে আবেলিয়ান গোষ্ঠীর সমস্ত শেভের বিভাগটি একটি গ্রোথেন্ডিয়াক বিভাগ। গ্রোথেন্ডিয়াক বিভাগগুলি আরও তৈরি করা যে কোনও বিভাগ যা গ্রোথেন্ডিয়াক বিভাগের সমতুল্য তা নিজেই একটি গ্রোথেন্ডিয়াক বিভাগ। গ্রোথেন্ডিয়াক বিভাগগুলির পরিপ্রেক্ষিতে, পণ্য বিভাগটি একটি গ্রোথেন্ডিয়াক বিভাগ। একটি ছোট বিভাগ এবং একটি গ্রোথেন্ডিয়াক বিভাগ দেওয়া হলে, থেকে থেকে সমস্ত কোভ্যারিয়েন্ট ফাংক্টর নিয়ে গঠিত ফাংক্টর বিভাগটি একটি গ্রোথেন্ডিয়াক বিভাগ। একটি ছোট প্রিঅ্যাডিটিভ বিভাগ এবং একটি গ্রোথেন্ডিয়াক বিভাগ দেওয়া হলে, সমস্ত অ্যাডিটিভ কোভ্যারিয়েন্ট ফাংক্টরের ফাংক্টর বিভাগটি একটি গ্রোথেন্ডিয়াক বিভাগ। যদি একটি গ্রোথেন্ডিয়াক বিভাগ হয় এবং এর একটি স্থানীয়করণ উপবিভাগ হয়, তবে উভয়ই এবং সেরে ভাগফল বিভাগ গ্রোথেন্ডিয়াক বিভাগ। বৈশিষ্ট্য এবং উপপাদ্য প্রতিটি গ্রোথেন্ডিয়াক বিভাগে একটি ইনজেকটিভ কোজেনারেটর থাকে। উদাহরণস্বরূপ, আবেলিয়ান গোষ্ঠীর বিভাগের একটি ইনজেকটিভ কোজেনারেটর হল ভাগফল গ্রুপ। গ্রোথেন্ডিয়াক বিভাগের প্রতিটি বস্তুর একটি ইনজেকটিভ হুল থাকে। এটি ইনজেকটিভ রেজোলিউশন তৈরি করতে এবং এর ফলে প্রাপ্ত ফাংক্টরগুলি সংজ্ঞায়িত করার জন্য সমতাত্ত্বিক বীজগণিতের সরঞ্জামগুলির ব্যবহার করার অনুমতি দেয়। (লক্ষ্য করুন যে সমস্ত গ্রোথেন্ডিয়াক বিভাগগুলি সমস্ত বস্তুর জন্য প্রজেক্টিভ রেজোলিউশনের অনুমতি দেয় না; উদাহরণস্বরূপ অনেক টপোলজিকাল স্পেসে আবেলিয়ান গোষ্ঠীর শেভের বিভাগ, যেমন বাস্তব সংখ্যার স্থান।) একটি গ্রোথেন্ডিয়াক বিভাগে, একটি প্রদত্ত বস্তুর সাব-অবজেক্টের যে কোনও পরিবারের একটি সর্বোচ্চ (বা "যোগফল") পাশাপাশি একটি অসীম (বা "ছেদ") থাকে, যা উভয়ই আবার এর সাব-অবজেক্ট। উপরন্তু, যদি পরিবারকে নির্দেশ দেওয়া হয় (অর্থাৎ। পরিবারের যে কোনও দুটি বস্তুর জন্য, পরিবারে একটি তৃতীয় বস্তু রয়েছে যার মধ্যে দুটি রয়েছে), এবং আরেকটি উপ-বস্তু হল, আমাদের কাছে গ্রোথেন্ডিক বিভাগগুলি সু-চালিত (কখনও কখনও স্থানীয়ভাবে ছোট বলা হয়, যদিও এই শব্দটি একটি ভিন্ন ধারণার জন্যও ব্যবহৃত হয়), অর্থাৎ। যে কোনও প্রদত্ত বস্তুর উপ-বস্তুর সংগ্রহ একটি সেট গঠন করে (একটি যথাযথ শ্রেণীর পরিবর্তে)। এটি বরং একটি গভীর ফলাফল যে প্রতিটি গ্রোথেন্ডিয়াক বিভাগ সম্পূর্ণ, অর্থাৎ। যে নির্বিচারে সীমা (এবং বিশেষ পণ্যগুলিতে) বিদ্যমান। বিপরীতে, এটি সহ-সম্পূর্ণ সংজ্ঞা থেকে সরাসরি অনুসরণ করে, অর্থাৎ। যে নির্বিচারে কলিমিট এবং সহজাত (সরাসরি যোগফল) বিদ্যমান। গ্রোথেন্ডিয়াক বিভাগের সহজাত পণ্যগুলি সঠিক (অর্থাৎ। সংক্ষিপ্ত সঠিক ক্রমের একটি পরিবারের সহ-উৎপাদন আবার একটি সংক্ষিপ্ত সঠিক ক্রম), তবে পণ্যগুলি সঠিক হওয়ার প্রয়োজন নেই। একটি গ্রোথেন্ডিয়াক বিভাগ থেকে একটি নির্বিচারে বিভাগে একটি ফাংক্টরের একটি বাম সংলগ্ন থাকে যদি এবং শুধুমাত্র যদি এটি সমস্ত সীমা সহ যাতায়াত করে, এবং এটির একটি ডান সংলগ্ন থাকে যদি এবং শুধুমাত্র যদি এটি সমস্ত কোলিমিটের সাথে যাতায়াত করে। এটি পিটার জে. ফ্রেইড-এর বিশেষ অ্যাডজয়েন্ট ফাঙ্কটর উপপাদ্য এবং এর দ্বৈত থেকে অনুসরণ করে। গ্যাব্রিয়েল-পোপেস্কু উপপাদ্য বলে যে কোনও গ্রোথেন্ডিয়াক বিভাগ কিছু একক বলয়ের উপর ডান মডিউল বিভাগের একটি সম্পূর্ণ উপবিভাগের সমতুল্য (যা একটি জেনারেটরের এন্ডোমর্ফিজম রিং হিসাবে নেওয়া যেতে পারে), এবং কিছু স্থানীয়করণ উপবিভাগ দ্বারা গ্যাব্রিয়েল ভাগফল হিসাবে প্রাপ্ত করা যেতে পারে। গ্যাব্রিয়েল-পোপেস্কুর ফলস্বরূপ, কেউ দেখাতে পারে যে প্রতিটি গ্রোথেন্ডিয়াক বিভাগ স্থানীয়ভাবে উপস্থাপনযোগ্য। উপরন্তু, গ্যাব্রিয়েল-পোপেস্কু ব্যবহার করে দেখা যেতে পারে যে প্রতিটি গ্রোথেন্ডিক বিভাগ সম্পূর্ণ, যা কারো কারো জন্য সম্পূর্ণ বিভাগের একটি প্রতিফলিত উপবিভাগ। প্রতিটি ছোট আবেলিয়ান বিভাগকে নিম্নলিখিত পদ্ধতিতে গ্রোথেন্ডিয়াক বিভাগে অন্তর্ভুক্ত করা যেতে পারে। বাম-সঠিক অ্যাডিটিভ (কোভ্যারিয়েন্ট) ফাংক্টরের বিভাগ (যেখানে আবেলিয়ান গোষ্ঠীর বিভাগকে বোঝায়) একটি গ্রোথেন্ডিক বিভাগ, এবং ফাংক্টর, সহ, পূর্ণ, বিশ্বস্ত এবং সঠিক। একটি জেনারেটর সহ সকলের সহ-পণ্য দ্বারা দেওয়া হয়। বিভাগটি ইন্ড-অবজেক্টের বিভাগের সমতুল্য এবং এম্বেডিং প্রাকৃতিক এম্বেডিংয়ের সাথে মিলে যায়। তাই আমরা এর সহ-সমাপ্তি হিসাবে দেখতে পারি। বিশেষ ধরনের বস্তু এবং গ্রোথেন্ডিয়াক বিভাগ একটি গ্রোথেন্ডিয়াক বিভাগের একটি বস্তুকে ফাইনাইটলি জেনারেটেড বলা হয় যদি, যখনই একটি উপ-বস্তুর পরিবারের যোগফল হিসাবে লেখা হয়, তখন এটি ইতিমধ্যে একটি সসীম উপপরিবারের যোগফল হয়। (মডিউল বিভাগগুলির ক্ষেত্রে, এই ধারণাটি সীমাবদ্ধভাবে উত্পন্ন মডিউলগুলির পরিচিত ধারণার সমতুল্য।) পরিমিতভাবে উৎপন্ন বস্তুর এপিমোরফিক চিত্রগুলি আবার সীমিতভাবে তৈরি করা হয়। যদি এবং উভয়ই এবং সীমাবদ্ধভাবে উত্পন্ন হয়, তবে তাই। বস্তুটি চূড়ান্তভাবে উৎপন্ন হয় যদি, এবং শুধুমাত্র যদি, যে কোনও নির্দেশিত ব্যবস্থার জন্য যেখানে প্রতিটি অঙ্গসংস্থান একটি মনোমরফিজম হয়, প্রাকৃতিক অঙ্গসংস্থান একটি সমরূপতা হয়। একটি গ্রোথেন্ডিয়াক বিভাগে কোনও অ-শূন্য সীমাবদ্ধভাবে উত্পন্ন বস্তুর প্রয়োজন হয় না। একটি গ্রোথেন্ডিয়াক বিভাগকে স্থানীয়ভাবে ফাইনাইটলি জেনারেটেড বলা হয় যদি এটিতে ফাইনাইটলি জেনারেটরের একটি সেট থাকে (অর্থাৎ। যদি সীমাবদ্ধভাবে উত্পন্ন বস্তুর একটি পরিবার বিদ্যমান থাকে যাতে প্রতিটি বস্তুর অস্তিত্ব থাকে এবং একটি অ-শূন্য অঙ্গসংস্থান; সমতুল্যঃ) এর প্রতিলিপির সরাসরি যোগফলের এপিমারফিক চিত্র। এই ধরনের একটি বিভাগে, প্রতিটি বস্তু তার সীমাবদ্ধভাবে উত্পন্ন উপ-বস্তুর সমষ্টি। প্রতিটি বিভাগ স্থানীয়ভাবে সীমিতভাবে তৈরি করা হয়। গ্রোথেন্ডিয়াক বিভাগের একটি বস্তুকে ফাইনাইটলি উপস্থাপিত বলা হয় যদি এটি ফাইনাইটলি জেনারেটেড হয় এবং ফাইনাইটলি জেনারেটেড ডোমেনের সাথে প্রতিটি এপিমরফিজমের একটি ফাইনাইটলি জেনারেটেড কার্নেল থাকে। আবার, এটি সীমাবদ্ধভাবে উপস্থাপিত মডিউলগুলির ধারণাকে সাধারণীকরণ করে। যদি এবং উভয়ই এবং চূড়ান্তভাবে উপস্থাপিত হয়, তবে তাই। স্থানীয়ভাবে সীমিতভাবে উৎপন্ন গ্রোথেন্ডিয়াক বিভাগে, সীমাবদ্ধভাবে উপস্থাপিত বস্তুগুলিকে নিম্নরূপ চিহ্নিত করা যেতে পারেঃ ইন সীমিতভাবে উপস্থাপিত হয় যদি, এবং শুধুমাত্র যদি, প্রতিটি নির্দেশিত সিস্টেমের জন্য, প্রাকৃতিক অঙ্গসংস্থান একটি সমরূপতা হয়। গ্রোথেন্ডিয়াক বিভাগের একটি বস্তুকে সুসঙ্গত বলা হয় যদি এটি সীমাবদ্ধভাবে উপস্থাপিত হয় এবং যদি এর প্রতিটি সীমাবদ্ধভাবে উত্পন্ন উপ-বস্তুও সীমাবদ্ধভাবে উপস্থাপিত হয়। (এটি একটি বৃত্তাকার স্থানে সুসঙ্গত শেভের ধারণাকে সাধারণীকরণ করে।) সমস্ত সুসঙ্গত বস্তুর সম্পূর্ণ উপবিভাগ হল আবেলিয়ান এবং অন্তর্ভুক্তি ফাংক্টর সঠিক। গ্রোথেন্ডিয়াক বিভাগের একটি বস্তুকে নোথেরিয়ান বলা হয় যদি তার উপ-বস্তুর সেট আরোহী শৃঙ্খলের শর্তকে সন্তুষ্ট করে, অর্থাৎ। যদি উপ-বস্তুর প্রতিটি ক্রম অবশেষে স্থির হয়ে যায়। যদি এবং শুধুমাত্র যদি এক্স-এর প্রতিটি সাব-অবজেক্ট সীমাবদ্ধভাবে তৈরি করা হয় তবে এটি হয়। (এই ক্ষেত্রে, এই ধারণাটি নোথেরিয়ান মডিউলগুলির পরিচিত ধারণার সমতুল্য।) একটি গ্রোথেন্ডিয়াক বিভাগকে স্থানীয়ভাবে নোথেরিয়ান বলা হয় যদি এতে নোথেরিয়ান জেনারেটরের একটি সেট থাকে; একটি উদাহরণ হল বাম-নোথেরিয়ান বলয়ের উপর বাম মডিউলগুলির বিভাগ। নোটস রেফারেন্সস এক্সটার্নাল লিঙ্ক অ্যাবেলিয়ান বিভাগ, ড্যানিয়েল মারফেটের নোট। বিভাগ 2.3-এ গ্রোথেন্ডিয়াক বিভাগগুলি অন্তর্ভুক্ত রয়েছে। বিভাগ তত্ত্ব যোগাত্মক বিভাগ সমতাত্ত্বিক বীজগণিত