Hardy Cross method
হার্ডি ক্রস পদ্ধতিটি পাইপ নেটওয়ার্ক সিস্টেমে প্রবাহ নির্ধারণের জন্য একটি পুনরাবৃত্তিমূলক পদ্ধতি যেখানে ইনপুট এবং আউটপুট জানা যায়, তবে নেটওয়ার্কের অভ্যন্তরে প্রবাহ অজানা। পদ্ধতিটি প্রথম 1936 সালের নভেম্বরে এর নাম হার্ডি ক্রস দ্বারা প্রকাশিত হয়েছিল, যিনি আরবানা-শ্যাম্পেইনের ইলিনয় বিশ্ববিদ্যালয়ের স্ট্রাকচারাল ইঞ্জিনিয়ারিংয়ের অধ্যাপক ছিলেন। হার্ডি ক্রস পদ্ধতিটি মোমেন্ট ডিস্ট্রিবিউশন পদ্ধতির একটি অভিযোজন, যা হার্ডি ক্রস দ্বারা স্থিতিশীলভাবে অনির্দিষ্ট কাঠামোর শক্তি নির্ধারণের উপায় হিসাবেও তৈরি করা হয়েছিল। পাইপ প্রবাহ নেটওয়ার্ক বিশ্লেষণের জন্য হার্ডি ক্রস পদ্ধতির প্রবর্তন পৌর জল সরবরাহের নকশায় বিপ্লব ঘটিয়েছে। পদ্ধতিটি চালু হওয়ার আগে, মাথার ক্ষতি এবং প্রবাহের মধ্যে অরৈখিক সম্পর্কের কারণে বিতরণের জন্য জটিল পাইপ সিস্টেমগুলি সমাধান করা অত্যন্ত কঠিন ছিল। পদ্ধতিটি পরে নিউটন-রাফসন পদ্ধতি বা অন্যান্য সংখ্যাসূচক পদ্ধতি ব্যবহার করে কম্পিউটার সমাধান অ্যালগরিদম দ্বারা অপ্রচলিত করা হয়েছিল যা হাতে সমীকরণের অরৈখিক পদ্ধতিগুলি সমাধান করার প্রয়োজনীয়তা দূর করে। 1930 সালে, হার্ডি ক্রস "অ্যানালাইসিস অফ কন্টিনিউয়াস ফ্রেম বাই ডিস্ট্রিবিউটিং ফিক্সড-এন্ড মোমেন্টস" নামে একটি গবেষণাপত্র প্রকাশ করেন, যেখানে তিনি মোমেন্ট ডিস্ট্রিবিউশন পদ্ধতির বর্ণনা দেন, যা ক্ষেত্রের প্রকৌশলীদের কাঠামোগত বিশ্লেষণ করার পদ্ধতি পরিবর্তন করবে। স্থিরভাবে অনির্দিষ্ট কাঠামোর শক্তি নির্ধারণের জন্য মুহূর্ত বিতরণ পদ্ধতি ব্যবহার করা হয়েছিল এবং প্রকৌশলীদের 1930 থেকে 1960-এর দশক পর্যন্ত কম্পিউটার ভিত্তিক পদ্ধতির বিকাশ পর্যন্ত নিরাপদে কাঠামো নকশা করার অনুমতি দেওয়া হয়েছিল। 1936 সালের নভেম্বরে, ক্রস পাইপ নেটওয়ার্ক প্রবাহ বিতরণ সমস্যা সমাধানের জন্য একই জ্যামিতিক পদ্ধতি প্রয়োগ করেন এবং "নালী বা পরিবাহীদের নেটওয়ার্কে প্রবাহের বিশ্লেষণ" নামে একটি গবেষণাপত্র প্রকাশ করেন। হার্ডি ক্রস পদ্ধতি হল একটি পাইপ নেটওয়ার্কে প্রবাহের জন্য পুনরাবৃত্তিমূলকভাবে সমাধান করার জন্য প্রবাহের ধারাবাহিকতা এবং সম্ভাবনার ধারাবাহিকতার একটি প্রয়োগ। পাইপ প্রবাহের ক্ষেত্রে, প্রবাহ সংরক্ষণের অর্থ হল পাইপের প্রতিটি সংযোগস্থলে প্রবাহের সমান প্রবাহ। সম্ভাব্যতা সংরক্ষণের অর্থ হল সিস্টেমে যে কোনও লুপ বরাবর মোট দিকনির্দেশক মাথার ক্ষতি শূন্য (ধরে নেওয়া যে প্রবাহের বিপরীতে গণনা করা মাথার ক্ষতি আসলে একটি মাথার লাভ)। হার্ডি ক্রস প্রবাহ নেটওয়ার্ক সমাধানের জন্য দুটি পদ্ধতি তৈরি করেছিলেন। প্রতিটি পদ্ধতি প্রবাহ বা সম্ভাবনার ধারাবাহিকতা বজায় রেখে শুরু হয় এবং তারপর অন্যটির জন্য পুনরাবৃত্তিমূলকভাবে সমাধান করে। অনুমান হার্ডি ক্রস পদ্ধতি ধরে নেয় যে সিস্টেমের ভিতরে এবং বাইরে যাওয়ার প্রবাহ জানা আছে এবং পাইপের দৈর্ঘ্য, ব্যাস, রুক্ষতা এবং অন্যান্য মূল বৈশিষ্ট্যগুলিও জানা বা অনুমান করা যেতে পারে। পদ্ধতিটি আরও ধরে নেয় যে প্রবাহের হার এবং মাথার ক্ষতির মধ্যে সম্পর্ক জানা আছে, তবে পদ্ধতিটি ব্যবহার করার জন্য কোনও নির্দিষ্ট সম্পর্ক প্রয়োজন হয় না। পাইপের মাধ্যমে জল প্রবাহের ক্ষেত্রে, মাথার ক্ষতি এবং প্রবাহের মধ্যে সম্পর্ক নির্ধারণের জন্য বেশ কয়েকটি পদ্ধতি তৈরি করা হয়েছে। হার্ডি ক্রস পদ্ধতি এই সম্পর্কগুলির যে কোনও একটি ব্যবহার করার অনুমতি দেয়। হেড লস এবং প্রবাহের মধ্যে সাধারণ সম্পর্কটি হলঃ যেখানে k হল প্রতি একক প্রবাহের হেড লস এবং n হল প্রবাহের সূচক। বেশিরভাগ নকশা পরিস্থিতিতে k গঠিত মানগুলি, যেমন পাইপের দৈর্ঘ্য, ব্যাস এবং রুক্ষতা, জানা বা অনুমান করা হয় এবং এইভাবে নেটওয়ার্কের প্রতিটি পাইপের জন্য k এর মান নির্ধারণ করা যেতে পারে। হেড লস নির্ধারণ করতে ব্যবহৃত সম্পর্কের উপর নির্ভর করে k এবং n এর মানগুলি পরিবর্তিত হয়। যাইহোক, সমস্ত সম্পর্ক হার্ডি ক্রস পদ্ধতির সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ। এটিও লক্ষণীয় যে হার্ডি ক্রস পদ্ধতিটি সহজ সার্কিট এবং অন্যান্য প্রবাহের মতো পরিস্থিতি সমাধান করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। সরল বর্তনীর ক্ষেত্রে, এর সমতুল্য। গুণাংক k থেকে K, প্রবাহের হার Q থেকে I এবং সূচক n থেকে 1 নির্ধারণ করে, হার্ডি ক্রস পদ্ধতিটি একটি সহজ বর্তনী সমাধান করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। যাইহোক, যেহেতু ভোল্টেজ ড্রপ এবং কারেন্টের মধ্যে সম্পর্ক রৈখিক, তাই হার্ডি ক্রস পদ্ধতির প্রয়োজন নেই এবং অ-পুনরাবৃত্তিমূলক পদ্ধতি ব্যবহার করে সার্কিটটি সমাধান করা যেতে পারে। হেডগুলির ভারসাম্য বজায় রাখার পদ্ধতি হেডগুলির ভারসাম্য বজায় রাখার পদ্ধতিটি একটি প্রাথমিক অনুমান ব্যবহার করে যা প্রতিটি জংশনে প্রবাহের ধারাবাহিকতাকে সন্তুষ্ট করে এবং তারপরে সিস্টেমের প্রতিটি লুপে সম্ভাবনার ধারাবাহিকতা অর্জন না হওয়া পর্যন্ত প্রবাহের ভারসাম্য বজায় রাখে। প্রমাণ (r বোঝায় k) নিম্নলিখিত প্রমাণ হার্ডি ক্রসের গবেষণাপত্র থেকে নেওয়া হয়েছে, "কন্ডিউট বা কন্ডাক্টরের নেটওয়ার্কে প্রবাহের বিশ্লেষণ", এবং রবার্ট জে. হগটেলেন দ্বারা প্রযুক্তি বর্ধিত লার্নিং ওয়াটার অ্যান্ড ওয়েস্টওয়াটার ইঞ্জিনিয়ারিং পৃষ্ঠা এবং হাইড্রোলিক ইঞ্জিনিয়ারিং সিস্টেমের মৌলিক বিষয়গুলির উপর জাতীয় প্রোগ্রাম দ্বারা যাচাই করা যেতে পারে। যদি প্রতিটি পাইপের প্রবাহের হারের প্রাথমিক অনুমান সঠিক হয়, তবে সিস্টেমে একটি লুপের উপর মাথার পরিবর্তন শূন্যের সমান হবে। তবে, যদি প্রাথমিক অনুমানটি সঠিক না হয়, তবে মাথার পরিবর্তনটি অ-শূন্য হবে এবং প্রবাহের পরিবর্তন অবশ্যই প্রয়োগ করতে হবে। নতুন প্রবাহের হার, পুরানো প্রবাহের হার এবং প্রবাহের হারের কিছু পরিবর্তনের সমষ্টি যাতে লুপের উপর মাথার পরিবর্তন শূন্য হয়। নতুন লুপের উপর মাথার পরিবর্তনের যোগফল তখন হবে। এর মান টেলর সম্প্রসারণ ব্যবহার করে আনুমানিক করা যেতে পারে। অতিরিক্ত পদগুলির তুলনায় একটি ছোট শব্দের জন্য অদৃশ্য হয়ে যায়, চলে যায়ঃ এবং লুপের উপর মাথার ভারসাম্য বজায় রাখবে এমন প্রবাহের পরিবর্তনের জন্য সমাধান করা হয় আনুমানিক দ্বারা। যাইহোক, টেলর সম্প্রসারণ থেকে উপেক্ষা করা শর্তগুলির কারণে এটি কেবল একটি অনুমান। লুপের মাথার পরিবর্তন শূন্য নাও হতে পারে, তবে এটি প্রাথমিক অনুমানের চেয়ে ছোট হবে। একটি নতুন খুঁজে বের করার একাধিক পুনরাবৃত্তি সঠিক সমাধানের আনুমানিক হবে। প্রক্রিয়াটি নিম্নরূপঃ প্রতিটি পাইপের প্রবাহ অনুমান করুন, নিশ্চিত করুন যে মোট প্রবাহ প্রতিটি জংশনে মোট বহির্প্রবাহের সমান। (অনুমান ভাল হতে হবে না, তবে একটি ভাল অনুমান সমাধান খুঁজে পেতে সময় কমিয়ে দেবে।) সিস্টেমে প্রতিটি বদ্ধ লুপ নির্ধারণ করুন। প্রতিটি লুপের জন্য, ঘড়ির কাঁটার দিকে হেড লস এবং ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে হেড লস নির্ধারণ করুন। প্রতিটি পাইপের মাথার ক্ষতি ব্যবহার করে গণনা করা হয়। ঘড়ির কাঁটার দিকে এবং একইভাবে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে প্রবাহিত হওয়ার কারণে ঘড়ির কাঁটার দিকে মাথার ক্ষতি হয়। ঘড়ির কাঁটার দিকের মাথার ক্ষতি থেকে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে মাথার ক্ষতি বিয়োগ করে প্রতিটি লুপে মোট মাথার ক্ষতি নির্ধারণ করুন। প্রতিটি লুপের জন্য, দিকের উল্লেখ ছাড়াই সন্ধান করুন (সমস্ত মান ধনাত্মক হওয়া উচিত)। প্রবাহের পরিবর্তন সমান। যদি প্রবাহের পরিবর্তন ধনাত্মক হয়, তবে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে লুপের সমস্ত পাইপগুলিতে এটি প্রয়োগ করুন। যদি প্রবাহের পরিবর্তন ঋণাত্মক হয়, তবে ঘড়ির কাঁটার দিকে লুপের সমস্ত পাইপগুলিতে এটি প্রয়োগ করুন। 3য় ধাপ থেকে চলতে থাকুন যতক্ষণ না প্রবাহের পরিবর্তন সন্তোষজনক সীমার মধ্যে থাকে। প্রবাহের ভারসাম্য বজায় রাখার পদ্ধতি (বিভাগ অসম্পূর্ণ) প্রবাহের ভারসাম্য বজায় রাখার পদ্ধতি একটি প্রাথমিক অনুমান ব্যবহার করে যা প্রতিটি লুপে সম্ভাবনার ধারাবাহিকতাকে সন্তুষ্ট করে এবং তারপর প্রতিটি জংশনে প্রবাহের ধারাবাহিকতা অর্জন না হওয়া পর্যন্ত প্রবাহের ভারসাম্য বজায় রাখে। হার্ডি ক্রস পদ্ধতির সুবিধাগুলি সহজ গণিত হার্ডি ক্রস পদ্ধতিটি কার্যকর কারণ এটি শুধুমাত্র সহজ গণিতের উপর নির্ভর করে, সমীকরণের একটি পদ্ধতি সমাধান করার প্রয়োজনীয়তাকে উপেক্ষা করে। হার্ডি ক্রস পদ্ধতি ছাড়া, প্রকৌশলীদের পরিবর্তনশীল সূচক সহ সমীকরণের জটিল পদ্ধতিগুলি সমাধান করতে হবে যা সহজেই হাত দিয়ে সমাধান করা যায় না। হার্ডি ক্রস পদ্ধতিটি সমস্যা সমাধানের জন্য ব্যবহৃত প্রাথমিক অনুমানের ভুলগুলির জন্য পুনরাবৃত্তভাবে সংশোধন করে। গণনায় পরবর্তী ভুলগুলিও পুনরাবৃত্তিমূলকভাবে সংশোধন করা হয়। যদি পদ্ধতিটি সঠিকভাবে অনুসরণ করা হয়, তবে প্রতিটি পাইপের সঠিক প্রবাহ এখনও পাওয়া যেতে পারে যদি প্রক্রিয়াটিতে ধারাবাহিকভাবে ছোট গাণিতিক ত্রুটি করা হয়। যতক্ষণ শেষ কয়েকটি পুনরাবৃত্তি বিশদে মনোযোগ দিয়ে করা হয়, ততক্ষণ সমাধানটি সঠিক থাকবে। প্রকৃতপক্ষে, গণনাগুলি দ্রুত চালানোর জন্য পদ্ধতির প্রাথমিক পুনরাবৃত্তিতে ইচ্ছাকৃতভাবে দশমিকগুলি ছেড়ে দেওয়া সম্ভব। উদাহরণ হার্ডি ক্রস পদ্ধতিটি একটি পাইপ নেটওয়ার্কে প্রবাহ বিতরণ গণনা করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। ডানদিকে দেখানো একটি সহজ পাইপ প্রবাহ নেটওয়ার্কের উদাহরণ বিবেচনা করুন। এই উদাহরণের জন্য, ইন এবং আউট প্রবাহ প্রতি সেকেন্ডে 10 লিটার হবে। আমরা n কে 2 হিসাবে বিবেচনা করব, এবং প্রতি একক প্রবাহ r-এর জন্য হেড লস এবং প্রতিটি পাইপের জন্য প্রাথমিক প্রবাহ অনুমান নিম্নরূপঃ আমরা উপরের পদ্ধতি প্রক্রিয়ায় বর্ণিত পদক্ষেপগুলি অনুসরণ করে হেডগুলির ভারসাম্য পদ্ধতির মাধ্যমে নেটওয়ার্কটি সমাধান করি। 1. প্রাথমিক অনুমানগুলি সেট আপ করা হয় যাতে নেটওয়ার্কের প্রতিটি জংশনে প্রবাহের ধারাবাহিকতা বজায় থাকে। 2. সিস্টেমের লুপগুলি লুপ 1-2-3 এবং লুপ 2-3-4 হিসাবে চিহ্নিত করা হয়। 3. প্রতিটি পাইপের মাথার ক্ষতি নির্ধারণ করা হয়। 1-2-3 লুপের জন্য, ঘড়ির কাঁটার দিকে হেড লসের যোগফল 25 এবং ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে হেড লসের যোগফল 125। লুপের জন্য 2-3-4, ঘড়ির কাঁটার দিকে হেড লসের যোগফল 125 এবং ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে হেড লসের যোগফল 25। 4. 1-2-3 লুপে ঘড়ির কাঁটার দিকে মোট হেড লস হল। 2-3-4 লুপে ঘড়ির কাঁটার দিকে মোট হেড লস হল। 5টি। এর মান প্রতিটি লুপের জন্য নির্ধারিত হয়। চিত্রে যেমন দেখানো হয়েছে, উভয় লুপে (প্রতিসাম্যের কারণে) এটি 60 পাওয়া গেছে। 6টি। সমীকরণ ব্যবহার করে প্রতিটি লুপের জন্য প্রবাহের পরিবর্তন পাওয়া যায়। লুপের জন্য 1-2-3, প্রবাহের পরিবর্তন সমান এবং লুপের জন্য 2-3-4 প্রবাহের পরিবর্তন সমান। 7. প্রবাহের পরিবর্তন লুপ জুড়ে প্রয়োগ করা হয়। লুপের জন্য 1-2-3, প্রবাহের পরিবর্তন ঋণাত্মক তাই এর পরম মান ঘড়ির কাঁটার দিকে প্রয়োগ করা হয়। লুপের জন্য 2-3-4, প্রবাহের পরিবর্তন ধনাত্মক হয় তাই এর পরম মান ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে প্রয়োগ করা হয়। পাইপ 2-3-এর জন্য, যা উভয় লুপে রয়েছে, প্রবাহের পরিবর্তনগুলি ক্রমবর্ধমান। প্রক্রিয়াটি তারপর ধাপ 3 থেকে পুনরাবৃত্তি করে যতক্ষণ না প্রবাহের পরিবর্তন যথেষ্ট ছোট হয়ে যায় বা শূন্যে চলে যায়। 3. লুপ 1-2-3-এ মোট হেড লস হল লক্ষ্য করুন যে ঘড়ির কাঁটার দিকে হেড লস ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে হেড লসের সমান। এর অর্থ হল এই লুপে প্রবাহ ভারসাম্যপূর্ণ এবং প্রবাহের হার সঠিক। লুপে মোট হেড লস 2-3-4 ভারসাম্যপূর্ণ হবে (আবার প্রতিসাম্যের কারণে)। এই ক্ষেত্রে, পদ্ধতিটি একটি পুনরাবৃত্তিতে সঠিক সমাধান খুঁজে পেয়েছে। অন্যান্য নেটওয়ার্কের জন্য, পাইপের প্রবাহ সঠিক বা প্রায় সঠিক না হওয়া পর্যন্ত এটি একাধিক পুনরাবৃত্তি নিতে পারে। আরও দেখুন পাইপ নেটওয়ার্ক বিশ্লেষণ মোমেন্ট ডিস্ট্রিবিউশন পদ্ধতি রেফারেন্স জলবাহী প্রকৌশল