Lill's method
গণিতে, লিলের পদ্ধতি হল যে কোনও মাত্রার অভিন্ন বহুপদের প্রকৃত মূল খুঁজে বের করার একটি চাক্ষুষ পদ্ধতি। 1867 সালে অস্ট্রিয়ান প্রকৌশলী এডুয়ার্ড লিল এটি তৈরি করেছিলেন। লিলের পরবর্তী একটি গবেষণাপত্রে জটিল শিকড়ের সমস্যা নিয়ে আলোচনা করা হয়েছে। লিলের পদ্ধতিতে বহুপদের সহগের সমান দৈর্ঘ্য সহ সমকোণ তৈরি করে সরলরেখার অংশগুলির একটি পথ আঁকা জড়িত। পলিনোমিয়ালের শিকড়গুলি তখন অন্যান্য ডান-কোণ পথের ঢাল হিসাবে পাওয়া যায়, যা শুরুটিকে টার্মিনাসের সাথে সংযুক্ত করে, তবে প্রথম পথের লাইনে শীর্ষগুলি সহ। পদ্ধতির বিবরণ পদ্ধতিটি ব্যবহার করার জন্য একটি চিত্র অঙ্কন করা হয় যা মূল থেকে শুরু হয়। একটি রেখার অংশ প্রথম সহগের মাত্রা (সর্বোচ্চ-শক্তি পদের সহগ) দ্বারা ডানদিকে টানা হয় (যাতে একটি ঋণাত্মক সহগ সহ অংশটি উৎপত্তির বাম দিকে শেষ হয়)। প্রথম অংশের শেষ থেকে অন্য অংশটি দ্বিতীয় সহগের মাত্রার দ্বারা উপরের দিকে টানা হয়, তারপর তৃতীয়টির মাত্রার দ্বারা এবং চতুর্থটির মাত্রার দ্বারা নিচে টানা হয়, ইত্যাদি। দিকগুলির ক্রম (বাঁকানো নয়) সর্বদা ডানদিকে, উপরের দিকে, বাম দিকে, নীচের দিকে থাকে, তারপর নিজেকে পুনরাবৃত্তি করে। সুতরাং প্রতিটি বাঁক ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে থাকে। এই প্রক্রিয়াটি শূন্য সহ বহুপদের প্রতিটি সহগের জন্য অব্যাহত থাকে, যেখানে ঋণাত্মক সহগগুলি "পিছনের দিকে হাঁটে"। সমীকরণের ধ্রুবক পদের সাথে সম্পর্কিত বিভাগের শেষে পৌঁছানো চূড়ান্ত বিন্দুটি হল টার্মিনাস। এরপরে একটি রেখা উৎপত্তিস্থল থেকে কোনও কোণে উৎক্ষেপণ করা হয়, প্রতিটি রেখার অংশ থেকে একটি সমকোণে প্রতিফলিত হয় (প্রতিফলনের "প্রাকৃতিক" কোণ নয়), এবং প্রতিটি অংশের মধ্য দিয়ে রেখার মধ্য দিয়ে একটি সমকোণে প্রতিসরণ করা হয় (শূন্য সহগের জন্য একটি রেখা সহ) যখন কোণযুক্ত পথটি সেই রেখার অংশে আঘাত করে না। উল্লম্ব এবং অনুভূমিক রেখাগুলি নিম্নলিখিত ক্রমে প্রতিফলিত হয় বা প্রতিসরণ করা হয়ঃ তারপর ইত্যাদির সহগের সাথে সম্পর্কিত বিভাগ ধারণকারী রেখা ইত্যাদি। এমনভাবে বেছে নেওয়া যাতে পথটি টার্মিনাসের উপর অবতরণ করে, এর স্পর্শকের ঋণাত্মক হল এই বহুপদের মূল। পলিনোমিয়ালের প্রতিটি বাস্তব শূন্যের জন্য একটি অনন্য প্রাথমিক কোণ এবং পথ থাকবে যা টার্মিনাসের উপর অবতরণ করবে। উদাহরণস্বরূপ, দুটি বাস্তব মূল সহ একটি দ্বিঘাতের ঠিক দুটি কোণ থাকবে যা উপরের শর্তগুলি পূরণ করে। জটিল মূলগুলির জন্য, অনুরূপ ত্রিভুজের একটি সিরিজও খুঁজে বের করতে হবে, তবে মূলের কাল্পনিক অংশের সমান দূরত্বে বহুপদী পথ থেকে মূল পথের শীর্ষগুলি স্থানচ্যুত হয়েছে। এই ক্ষেত্রে মূল পথ আয়তক্ষেত্রাকার হবে না। ব্যাখ্যা প্রকৃতপক্ষে গঠনটি হর্নারের পদ্ধতি অনুসারে বহুপদের মূল্যায়ন করে। পলিনোমিয়ালের জন্য,, এর মানগুলি পর্যায়ক্রমে পলিনোমিয়াল এবং মূল পথের শীর্ষগুলির মধ্যে দূরত্ব হিসাবে উত্পন্ন হয়। পলিনোমিয়ালের মূলের জন্য চূড়ান্ত মান শূন্য, তাই শেষ শীর্ষটি পলিনোমিয়াল পাথ টার্মিনাসের সাথে মিলে যায়। অতিরিক্ত বৈশিষ্ট্য একটি সমাধান রেখা একটি মূল প্রদান করে যা পলিনোমিয়ালের জন্য লিলের নির্মাণের অনুরূপ এবং সেই মূলটি সরানো হয়, কারণ চাক্ষুষ গঠন একটি রৈখিক (মূল) মনিক (রুফিনির নিয়ম) দ্বারা পলিনোমিয়ালের সিন্থেটিক বিভাগের অনুরূপ। চিত্রের প্রতিসাম্য থেকে সহজেই দেখা যায় যে বিপরীত বহুপদের মূলগুলি মূল মূলগুলির পারস্পরিক। ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে ঘোরার পরিবর্তে ঘড়ির কাঁটার দিকে ঘুরিয়েও নির্মাণ করা যেতে পারে। যখন একটি পথকে অন্য ধারা ব্যবহার করে ব্যাখ্যা করা হয়, তখন এটি প্রতিফলিত বহুপদের সাথে মিলে যায় (প্রতিটি বিজোড় সহগ চিহ্ন পরিবর্তিত হয়) এবং মূলগুলি বাতিল করা হয়। যখন ডান কোণের পথটি অন্য দিকে কিন্তু একই দিকের গতিতে অতিক্রম করা হয়, তখন এটি বিপরীত প্রতিফলিত বহুপদীর সাথে মিলে যায় এবং মূলগুলি মূল মূলগুলির ঋণাত্মক পারস্পরিক হয়। থেলসের উপপাদ্য লিলের পদ্ধতি ব্যবহার করে দ্বিঘাত মূল খুঁজে বের করা থেলসের উপপাদ্যের সাথে একটি দ্বিঘাত বহুপদের প্রকৃত মূল খুঁজে বের করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। এই উদাহরণে 3x2 + 5x−2 দিয়ে, বহুপদের রেখার অংশগুলি প্রথমে কালো রঙে আঁকা হয়, যেমন উপরে। একটি বৃত্ত আঁকা হয় যার সাথে সরল রেখার অংশটি একটি ব্যাস গঠন করে শুরু এবং শেষ বিন্দুগুলির সাথে মিলিত হয়। থেলসের উপপাদ্য অনুসারে, এই বিন্দু এবং বৃত্তের অন্য যে কোনও বিন্দু সম্বলিত ত্রিভুজটি একটি সমকোণ ত্রিভুজ। লিলের পদ্ধতির মধ্যভাগের সাথে এই বৃত্তের ছেদ, প্রয়োজনে প্রসারিত, এইভাবে লিলের পদ্ধতিতে দুটি কোণযুক্ত পথকে সংজ্ঞায়িত করে, রঙিন নীল এবং লাল। তাদের প্রথম অংশের গ্রেডিয়েন্টের ঋণাত্মক, m, প্রকৃত মূল 1/3 এবং −2 উৎপন্ন করে। 1936 সালে মার্গারিটা পিয়াজোলা বেলোচ দেখিয়েছিলেন যে কীভাবে লিলের পদ্ধতিটি কাগজের ভাঁজ ব্যবহার করে ঘন সমীকরণ সমাধানের জন্য অভিযোজিত হতে পারে। যদি একযোগে ভাঁজ অনুমোদিত হয় তবে একটি বাস্তব মূল সহ যে কোনও nth ডিগ্রি সমীকরণ n-2 একযোগে ভাঁজ ব্যবহার করে সমাধান করা যেতে পারে। এই উদাহরণে 3x3 + 2x2 − 7x + 2 দিয়ে, পলিনোমিয়ালের লাইন সেগমেন্টগুলি প্রথমে কাগজের একটি শীটে (কালো) টানা হয়। দ্বিতীয় এবং তৃতীয় অংশে যথাক্রমে শুরু এবং শেষ বিন্দুর প্রতিফলনের মধ্য দিয়ে যাওয়া রেখাগুলি (ক্ষীণ বৃত্ত এবং বর্গক্ষেত্র) এবং তাদের সমান্তরাল (ধূসর রেখা) আঁকা হয়। প্রতিটি মূলের জন্য, শুরু বিন্দু (কালো বৃত্ত) এবং শেষ বিন্দু (কালো বর্গক্ষেত্র) এই রেখাগুলিতে প্রতিফলিত না হওয়া পর্যন্ত কাগজটি ভাঁজ করা হয়। প্রতিফলনের অক্ষ (ড্যাশ-ডট লাইন) মূলের (নীল, বেগুনি এবং লাল) সাথে সম্পর্কিত কোণযুক্ত পথকে সংজ্ঞায়িত করে। তাদের প্রথম অংশের গ্রেডিয়েন্টের ঋণাত্মক, m, প্রকৃত মূল 1/3,1 এবং −2 উৎপন্ন করে। আরও দেখুন কার্লাইল বৃত্ত, যা একটি আদর্শ চতুর্ভুজের জন্য লিলের পদ্ধতির সামান্য পরিবর্তিত সংস্করণের উপর ভিত্তি করে তৈরি। রেফারেন্স বাহ্যিক লিঙ্ক লিলের মেথড ম্যাথোলজার ভিডিওর জন্য অ্যানিমেশনঃ "লেজার দিয়ে কচ্ছপ গুলি করে সমীকরণ সমাধান করা" জ্যামিতি কাগজ ভাঁজ বহুপদী