Classical orthogonal polynomials
গণিতে, ধ্রুপদী অর্থোগোনাল বহুপদগুলি সর্বাধিক ব্যবহৃত অর্থোগোনাল বহুপদগুলিঃ হার্মাইট বহুপদগুলি, ল্যাগুয়ের বহুপদগুলি, জ্যাকোবি বহুপদগুলি (একটি বিশেষ ক্ষেত্রে গেগেনবাওয়ার বহুপদগুলি, চেবিশেভ বহুপদগুলি এবং কিংবদন্তি বহুপদগুলি সহ)। গাণিতিক পদার্থবিজ্ঞান (বিশেষত, এলোমেলো ম্যাট্রিক্সের তত্ত্ব), আনুমানিক তত্ত্ব, সংখ্যাসূচক বিশ্লেষণ এবং আরও অনেক ক্ষেত্রে এগুলির অনেক গুরুত্বপূর্ণ প্রয়োগ রয়েছে। ধ্রুপদী অর্থোগোনাল বহুপদগুলি 19 শতকের গোড়ার দিকে অ্যাড্রিয়েন-মেরি লেজেন্ডারের রচনায় আবির্ভূত হয়েছিল, যিনি লেজেন্ড্রে বহুপদগুলি প্রবর্তন করেছিলেন। 19 শতকের শেষের দিকে, পি. এল. চেবিশেভ এবং তারপর এ. এ. মার্কভ এবং টি. জে. স্টিল্টজেস দ্বারা মুহূর্তের সমস্যা সমাধানের জন্য অব্যাহত ভগ্নাংশের অধ্যয়ন অর্থোগোনাল বহুপদীর সাধারণ ধারণার দিকে পরিচালিত করে। প্রদত্ত পলিনোমিয়াল এবং ধ্রুপদী অর্থোগোনাল পলিনোমিয়ালগুলি নির্ধারিত ধ্রুবক সহ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সমাধান হিসাবে চিহ্নিত করা হয়। অর্থোগোনাল শাস্ত্রীয় বহুপদগুলির আরও বেশ কয়েকটি সাধারণ সংজ্ঞা রয়েছে; উদাহরণস্বরূপ, অ্যাস্কি পরিকল্পনার সমস্ত বহুপদের জন্য এই শব্দটি ব্যবহার করুন। সংজ্ঞা সাধারণভাবে, ওজনের সাপেক্ষে অর্থোগোনাল পলিনোমিয়ালগুলি সন্তুষ্ট করে উপরের সম্পর্কগুলি একটি সংখ্যা দ্বারা গুণ পর্যন্ত সংজ্ঞায়িত করে। ধ্রুবক ঠিক করার জন্য বিভিন্ন স্বাভাবিককরণ ব্যবহার করা হয়, যেমন। ধ্রুপদী অর্থোগোনাল বহুপদগুলি নিম্নলিখিত তিনটি ওজনের পরিবারের সাথে মিলে যায়ঃ প্রমিত স্বাভাবিককরণ (যাকে প্রমিতকরণও বলা হয়) নীচে বিস্তারিতভাবে দেওয়া হল। জ্যাকোবি বহুপদগুলির জন্য জ্যাকোবি বহুপদগুলি সূত্র দ্বারা দেওয়া হয় তারা দ্বারা স্বাভাবিক (প্রমিত) হয় এবং অর্থোগোনালিটি শর্তটি সন্তুষ্ট করে জ্যাকোবি বহুপদগুলি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সমাধান গুরুত্বপূর্ণ বিশেষ ক্ষেত্রে জ্যাকোবি বহুপদগুলিকে গেগেনবাউয়ার বহুপদ (পরামিতি সহ) বলা হয় কারণ, এগুলিকে লেজেন্ড্রে বহুপদ বলা হয় (যার জন্য অর্থোগোনালিটির ব্যবধান [−1,1] এবং ওজন ফাংশন কেবল 1): কারণ, একজন চেবিশেভ বহুপদ (যথাক্রমে দ্বিতীয় এবং প্রথম ধরণের) অর্জন করে। হারমাইট বহুপদগুলি হারমাইট বহুপদগুলি দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয় তারা অর্থোগোনালিটি শর্ত এবং ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ ল্যাগুয়ের বহুপদগুলি পূরণ করে সাধারণীকৃত ল্যাগুয়ের বহুপদগুলি দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয় (শাস্ত্রীয় ল্যাগুয়ের বহুপদগুলি এর সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ)। তারা অর্থোগোনালিটি সম্পর্ক এবং ডিফারেনশিয়াল সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ ধ্রুপদী অর্থোগোনাল বহুপদগুলি সেই ফর্মের ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ থেকে উদ্ভূত হয় যেখানে Q একটি প্রদত্ত দ্বিঘাত (সর্বাধিক) বহুপদী, এবং L একটি প্রদত্ত রৈখিক বহুপদী। f ফাংশন এবং λ ধ্রুবক খুঁজে বের করতে হবে। (লক্ষ্য করুন যে এই ধরনের সমীকরণের একটি বহুপদী সমাধান থাকা যুক্তিসঙ্গত। সমীকরণের প্রতিটি পদ একটি বহুপদী, এবং ডিগ্রিগুলি সামঞ্জস্যপূর্ণ।) এটি একটি স্টর্ম-লিউভিল ধরনের সমীকরণ। এই ধরনের সমীকরণগুলির সাধারণত λ এর নির্দিষ্ট মান ব্যতীত তাদের সমাধান ফাংশন f-এ এককত্ব থাকে। এগুলিকে আইগেনভেক্টর/আইগেনভ্যালু সমস্যা হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারেঃ ডি-কে ডিফারেনশিয়াল অপারেটর হিসাবে ধরা, এবং λ-এর চিহ্ন পরিবর্তন করা, সমস্যা হল আইগেনভেক্টর (আইগেনফাংশান) f এবং সংশ্লিষ্ট আইগেনভ্যালু λ খুঁজে বের করা, যাতে f-এর এককত্ব না থাকে এবং D (f) = λf। এই ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সমাধানগুলির এককত্ব রয়েছে যদি না λ নির্দিষ্ট মান গ্রহণ করে। λ0, λ1, λ2 সংখ্যার একটি সিরিজ রয়েছে। যার ফলে একাধিক বহুপদী সমাধান P0, P1, P2 পাওয়া যায়। যদি নিম্নলিখিত শর্তগুলির একটি সেট পূরণ করা হয়ঃ Q আসলে দ্বিঘাত, L রৈখিক, Q-এর দুটি স্বতন্ত্র বাস্তব মূল রয়েছে, L-এর মূল কঠোরভাবে Q-এর মূলের মধ্যে অবস্থিত এবং Q ও L-এর শীর্ষ পদগুলির একই চিহ্ন রয়েছে। কিউ আসলে দ্বিঘাত নয়, তবে রৈখিক, এল রৈখিক, কিউ এবং এল-এর মূলগুলি আলাদা, এবং এল-এর মূলটি কিউ-এর মূলের চেয়ে কম হলে কিউ এবং এল-এর শীর্ষ পদগুলির একই চিহ্ন থাকে, বা তদ্বিপরীত। Q হল একটি অ-শূন্য ধ্রুবক, L হল রৈখিক, এবং L-এর প্রধান পদের বিপরীত চিহ্ন হল Q। এই তিনটি ক্ষেত্রে যথাক্রমে জ্যাকোবির মতো, ল্যাগুয়েরের মতো এবং হার্মাইটের মতো বহুপদী তৈরি হয়। এই তিনটি ক্ষেত্রে, আমাদের নিম্নলিখিতগুলি রয়েছেঃ সমাধানগুলি হল পলিনোমিয়ালের একটি সিরিজ P0, P1, P2,., প্রতিটি Pn-এর ডিগ্রি n রয়েছে এবং একটি সংখ্যা λn-এর সাথে সম্পর্কিত। অর্থোগোনালিটির ব্যবধানটি Q-এর যে কোনও মূল দ্বারা আবদ্ধ। এল-এর মূল অর্থোগোনালিটি ব্যবধানের মধ্যে থাকে। ধরা যাক, ওজন ফাংশন W (x)-এর অধীনে বহুপদগুলি অর্থোগোনাল, ব্যবধানের মধ্যে কোনও শূন্য বা অসীম নেই, যদিও এর শেষ বিন্দুতে শূন্য বা অসীম থাকতে পারে। W (x) যেকোনও বহুপদীকে একটি সীমাবদ্ধ অভ্যন্তরীণ গুণফল প্রদান করে। ব্যবধানের মধ্যে W (x) কে 0 এর চেয়ে বড় করা যেতে পারে। (প্রয়োজন হলে পুরো ডিফারেনশিয়াল সমীকরণটি নেগেট করুন যাতে Q (x)> 0 ব্যবধানের মধ্যে থাকে।) সংহতকরণের ধ্রুবকের কারণে, পরিমাণ R (x) শুধুমাত্র একটি নির্বিচারে ধনাত্মক গুণিতক ধ্রুবক পর্যন্ত নির্ধারিত হয়। এটি শুধুমাত্র সমজাতীয় ডিফারেনশিয়াল সমীকরণে (যেখানে এটি গুরুত্বপূর্ণ নয়) এবং ওজন ফাংশনের সংজ্ঞায় (যা অনির্দিষ্টও হতে পারে) ব্যবহার করা হবে। নীচের সারণিতে R (x) এবং W (x)-এর "অফিসিয়াল" মান দেওয়া হবে। রদ্রিগেসের সূত্র পূর্ববর্তী বিভাগের অনুমানের অধীনে, পিএন (এক্স) এর সাথে আনুপাতিক এটি অলিন্ডে রদ্রিগেসের পরে রদ্রিগেসের সূত্র হিসাবে পরিচিত। এটি প্রায়শই লেখা হয় যেখানে সংখ্যাগুলি প্রমিতকরণের উপর নির্ভর করে। এন-এর স্ট্যান্ডার্ড মানগুলি নীচের সারণিতে দেওয়া হবে। সংখ্যা λn পূর্ববর্তী বিভাগের অনুমানের অধীনে, আমাদের আছে (যেহেতু Q দ্বিঘাত এবং L রৈখিক, এবং ধ্রুবক, তাই এগুলি কেবল সংখ্যা)। ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের জন্য দ্বিতীয় ফর্ম আসুন এখন R/Q দ্বারা ডিফারেনশিয়াল সমীকরণকে গুণ করুন, পেতে বা এটি সমীকরণের জন্য স্টর্ম-লিউভিল ফর্ম। এখন ডিফারেনশিয়াল সমীকরণকে এস/কিউ দ্বারা গুণ করুন, পাওয়া বা পাওয়া। কিন্তু, সুতরাং, ইউ = সি, সূত্রগুলি ডেরিভেটিভস জড়িত পূর্ববর্তী বিভাগের অনুমানের অধীনে, পি পি-এর r-তম ডেরিভেটিভকে বোঝায়। (আমরা একটি সূচকের সাথে বিভ্রান্তি এড়াতে বন্ধনীতে "আর" রাখি।) P হল n − r মাত্রার একটি বহুপদী। তারপর আমাদের নিম্নলিখিতগুলি রয়েছেঃ (অর্থোগোনালিটি) স্থির r-এর জন্য, পলিনোমিয়াল সিকোয়েন্স P, P, P,. অর্থোগোনাল, যার ওজন দ্বারা। P হল একটি সমাধান, যেখানে λr হল λn-এর মতো একই ফাংশন, অর্থাৎ, (ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ, দ্বিতীয় রূপ) P হল একটি সমাধান। এগুলির প্রত্যেকটিতে, a, b এবং c সংখ্যাগুলি n এবং r-এর উপর নির্ভর করে এবং বিভিন্ন সূত্রে সম্পর্কিত নয়। বিভিন্ন উপায়ে অর্থোগোনাল পলিনোমিয়াল জড়িত অন্যান্য সূত্রগুলির একটি বিশাল সংখ্যা রয়েছে। এখানে তাদের একটি ছোট নমুনা রয়েছে, যা চেবিশেভ, সম্পর্কিত ল্যাগুয়ের এবং হার্মাইট বহুপদগুলির সাথে সম্পর্কিতঃ অর্থোগোনালিটি একটি নির্দিষ্ট λ-এর জন্য ডিফারেনশিয়াল সমীকরণটি লেখা যেতে পারে (x-এর উপর স্পষ্ট নির্ভরতা বাদ দিয়ে) ফলন দ্বারা গুণ করে এবং সাবস্ক্রিপ্টগুলি বিপরীত করলে বিয়োগ এবং সংহতকরণের ফল পাওয়া যায়ঃ তবে এটি দেখা যায় যেঃ যদি বহুপদ f এমন হয় যে বাম দিকের শব্দটি শূন্য, এবং এর জন্য, তবে অর্থোগোনালিটি সম্পর্কটি ধরে রাখবেঃ কারণ। ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ থেকে উদ্ভূত উপরের ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ থেকে উদ্ভূত সমস্ত বহুপদী ক্রম সমতুল্য, ডোমেনের স্কেলিং এবং/অথবা স্থানান্তরের অধীনে, এবং বহুপদগুলিকে আরও সীমাবদ্ধ শ্রেণীতে প্রমিত করা। এই সীমাবদ্ধ শ্রেণীগুলি ঠিক "ধ্রুপদী অর্থোগোনাল বহুপদী"। প্রতিটি জ্যাকোবির মতো বহুপদী ক্রমের ডোমেন স্থানান্তরিত এবং/অথবা স্কেল করা যেতে পারে যাতে এর অর্থোগোনালিটির ব্যবধান [−1,1] হয় এবং এর Q = 1 − x2 থাকে। তারপর এগুলিকে জ্যাকোবি বহুপদীতে প্রমিত করা যেতে পারে। এর মধ্যে বেশ কয়েকটি গুরুত্বপূর্ণ উপশ্রেণী রয়েছেঃ গেগেনবাউয়ার, লেজেন্ড্রে এবং দুই ধরনের চেবিশেভ। প্রতিটি ল্যাগুয়েরের মতো বহুপদী ক্রমের ডোমেন স্থানান্তরিত, স্কেল করা এবং/অথবা প্রতিফলিত হতে পারে যাতে এর অর্থোগোনালিটির ব্যবধান হয়, এবং এর Q = x থাকে। তারপর এগুলিকে সংশ্লিষ্ট ল্যাগুয়ের বহুপদীতে প্রমিত করা যেতে পারে। প্লেইন ল্যাগুয়েরে পলিনোমিয়ালগুলি এগুলির একটি উপশ্রেণী। প্রতিটি হার্মাইটের মতো বহুপদী ক্রমের ডোমেন স্থানান্তরিত এবং/অথবা স্কেল করা যেতে পারে যাতে এর অর্থোগোনালিটির ব্যবধান হয়, এবং এর Q = 1 এবং L (0) = 0 থাকে। তারপর এগুলিকে হারমাইট বহুপদীতে প্রমিত করা যেতে পারে। যেহেতু উপরে বর্ণিত পদ্ধতিতে একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ থেকে উদ্ভূত সমস্ত পলিনোমিয়াল সিকোয়েন্সগুলি ধ্রুপদী পলিনোমিয়ালগুলির সমতুল্য, তাই প্রকৃত ধ্রুপদী পলিনোমিয়ালগুলি সর্বদা ব্যবহৃত হয়। জ্যাকোবি-সদৃশ বহুপদগুলি, একবার তাদের ডোমেন স্থানান্তরিত এবং স্কেল করা হয়ে গেলে যাতে অর্থোগোনালিটির ব্যবধান [−1,1] হয়, তবুও দুটি পরামিতি নির্ধারণ করতে হবে। এগুলি জ্যাকোবি বহুপদীতে লেখা আছে। আমাদের আছে এবং। এবং উভয়ই-1 এর চেয়ে বড় হতে হবে। (এটি এল-এর মূলকে অর্থোগোনালিটির ব্যবধানের মধ্যে রাখে।) যখন এবং যখন সমান হয় না, তখন এই বহুপদগুলি x = 0 সম্পর্কে প্রতিসম হয় না। ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ হল জ্যাকোবির সমীকরণ। আরও বিস্তারিত জানার জন্য জ্যাকোবি বহুপদী দেখুন। যখন কেউ প্যারামিটারগুলি সেট করে এবং জ্যাকোবি পলিনোমিয়ালগুলিতে একে অপরের সমান হয়, তখন একজন গেগেনবাওয়ার বা আল্ট্রাসফেরিকাল পলিনোমিয়াল পায়। এগুলি লিখিত এবং আমাদের এবং হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে। প্যারামিটারটি-1/2 এর চেয়ে বড় হতে হবে। (ঘটনাচক্রে, নীচের সারণিতে প্রদত্ত প্রমিতকরণটি α = 0 এবং n ষ্ণ 0-এর জন্য কোনও অর্থ বহন করবে না, কারণ এটি বহুপদগুলিকে শূন্যে স্থাপন করবে। সেক্ষেত্রে, গৃহীত প্রমিতকরণ টেবিলে প্রদত্ত মানের পরিবর্তে সেট করে।) উপরের বিবেচনাগুলি উপেক্ষা করে, প্যারামিটারটিঃ বা, আরও সাধারণভাবেঃ অন্যান্য সমস্ত শাস্ত্রীয় জ্যাকোবি-সদৃশ বহুপদী (কিংবদন্তি, ইত্যাদি) এর ডেরিভেটিভের সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত। একটি মান নির্বাচন করে এবং একটি প্রমিতকরণ নির্বাচন করে প্রাপ্ত গেগেনবাউয়ার বহুপদগুলির বিশেষ ক্ষেত্রে। আরও বিশদ বিবরণের জন্য, গেগেনবাওয়ার বহুপদী দেখুন। লেজেন্ড্রে বহুপদ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ হল এটি লেজেন্ড্রে-এর সমীকরণ। ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের দ্বিতীয় রূপটি হলঃ পুনরাবৃত্তির সম্পর্ক হল একটি মিশ্র পুনরাবৃত্তি হল রদ্রিগেসের সূত্র হল আরও বিস্তারিত জানার জন্য, লেজেন্ড্রে বহুপদী দেখুন। অ্যাসোসিয়েটেড লেজেন্ড্রে পলিনোমিয়ালস অ্যাসোসিয়েটেড লেজেন্ড্রে পলিনোমিয়ালস, যেখানে এবং পূর্ণসংখ্যা সহ চিহ্নিত করা হয়, বন্ধনীতে এম হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় (একটি সূচকের সাথে বিভ্রান্তি এড়াতে) একটি পরামিতি। বন্ধনীতে m লেজেন্ড্রে পলিনোমিয়ালের m-th ব্যুৎপত্তি বোঝায়। এই "পলিনোমিয়াল" গুলির নাম ভুল-m বিজোড় হলে এগুলি পলিনোমিয়াল নয়। তাদের একটি পুনরাবৃত্তির সম্পর্ক রয়েছেঃ স্থির m-এর জন্য, ক্রমটি ওজন 1 সহ [−1,1]-এর উপর অর্থোগোনাল। প্রদত্ত m-এর জন্য, হল চেবিশেভ বহুপদীর সমাধান ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ হল এটি চেবিশেভের সমীকরণ। পুনরাবৃত্তির সম্পর্ক হল রদ্রিগেসের সূত্র এই পলিনোমিয়ালগুলির বৈশিষ্ট্য হল যে, অর্থোগোনালিটির বিরতিতে (এটি প্রমাণ করার জন্য, পুনরাবৃত্তির সূত্রটি ব্যবহার করুন)। এর মানে হল যে তাদের সমস্ত স্থানীয় মিনিমা এবং ম্যাক্সিমার মান −1 এবং + 1, অর্থাৎ, পলিনোমিয়ালগুলি হল "স্তর"। এই কারণে, চেবিশেভ বহুপদীর পরিপ্রেক্ষিতে ফাংশনের সম্প্রসারণ কখনও কখনও কম্পিউটার গণিত গ্রন্থাগারে বহুপদী অনুমানের জন্য ব্যবহৃত হয়। কিছু লেখক এই বহুপদগুলির সংস্করণগুলি ব্যবহার করেন যা স্থানান্তরিত হয়েছে যাতে অর্থোগোনালিটির ব্যবধান [0,1] বা [−2,2] হয়। দ্বিতীয় ধরনের চেবিশেভ বহুপদও রয়েছে, যা আমাদের কাছে রয়েছেঃ প্রথম কয়েকটি বহুপদের অভিব্যক্তি সহ আরও বিশদ বিবরণের জন্য, চেবিশেভ বহুপদ দেখুন। ল্যাগুয়ের বহুপদ সবচেয়ে সাধারণ ল্যাগুয়েরের মতো বহুপদ, ডোমেন স্থানান্তরিত এবং স্কেল করার পরে, অ্যাসোসিয়েটেড ল্যাগুয়ের বহুপদ (যাকে সাধারণীকৃত ল্যাগুয়ের বহুপদও বলা হয়), চিহ্নিত করা হয়। একটি প্যারামিটার রয়েছে, যা-1 এর চেয়ে কঠোরভাবে বড় যে কোনও বাস্তব সংখ্যা হতে পারে। একটি সূচকের সাথে বিভ্রান্তি এড়াতে প্যারামিটারটি বন্ধনীতে রাখা হয়। প্লেইন ল্যাগুয়ের বহুপদগুলি কেবল এগুলির সংস্করণঃ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ হল এটি ল্যাগুয়েরের সমীকরণ। ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের দ্বিতীয় রূপ হল পুনরাবৃত্তির সম্পর্ক হল রদ্রিগেসের সূত্র হল এই প্যারামিটারটি এর ডেরিভেটিভের সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিতঃ অথবা, আরও সাধারণভাবেঃ ল্যাগুয়েরের সমীকরণকে এমন একটি আকারে ম্যানিপুলেট করা যেতে পারে যা প্রয়োগের ক্ষেত্রে আরও কার্যকরঃ এর একটি সমাধানঃ এটি আরও ম্যানিপুলেট করা যেতে পারে। সমাধানটি প্রায়শই সম্পর্কিত ল্যাগুয়ের বহুপদের পরিবর্তে ডেরিভেটিভের পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করা হয়ঃ এই সমীকরণটি কোয়ান্টাম বলবিজ্ঞানে উদ্ভূত হয়, এক-ইলেকট্রন পরমাণুর জন্য শ্রোডিঞ্জার সমীকরণের সমাধানের রেডিয়াল অংশে। পদার্থবিজ্ঞানীরা প্রায়শই ল্যাগুয়ের বহুপদগুলির জন্য একটি সংজ্ঞা ব্যবহার করেন যা এখানে ব্যবহৃত সংজ্ঞার চেয়ে বড়। প্রথম কয়েকটি বহুপদীর অভিব্যক্তি সহ আরও বিশদ বিবরণের জন্য, ল্যাগুয়ের বহুপদ দেখুন। হার্মাইটের বহুপদী ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ হল এটি হার্মাইটের সমীকরণ। ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের দ্বিতীয় রূপ হল তৃতীয় রূপ হল পুনরাবৃত্তির সম্পর্ক হল রদ্রিগেসের সূত্র প্রথম কয়েকটি হারমাইট বহুপদী হল একটি সম্পর্কিত হারমাইট ফাংশনকে সংজ্ঞায়িত করতে পারে কারণ গুণক ওজন ফাংশনের বর্গমূলের সাথে আনুপাতিক, এই ফাংশনগুলি কোনও ওজন ফাংশন ছাড়াই অর্থোগোনাল। সম্পর্কিত হারমাইট ফাংশনের জন্য উপরের ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের তৃতীয় রূপটি হল গণিত এবং পদার্থবিজ্ঞানের অনেক ক্ষেত্রে সম্পর্কিত হারমাইট ফাংশন উদ্ভূত হয়। কোয়ান্টাম বলবিজ্ঞানে, এগুলি হল সুরেলা দোলকের জন্য শ্রোডিঞ্জারের সমীকরণের সমাধান। এগুলি অবিচ্ছিন্ন ফুরিয়ার রূপান্তরের আইগেন ফাংশন (আইগেনভ্যালু (−in) সহ)। অনেক লেখক, বিশেষত সম্ভাবনাময়রা, হারমাইট বহুপদের একটি বিকল্প সংজ্ঞা ব্যবহার করেন, যার পরিবর্তে একটি ওজন ফাংশন রয়েছে। যদি এই হারমাইট বহুপদগুলির জন্য তিনি এবং উপরেরগুলির জন্য এইচ ব্যবহার করা হয়, তবে এগুলি দ্বারা চিহ্নিত করা যেতে পারে আরও বিশদ বিবরণের জন্য, হারমাইট বহুপদ দেখুন। ধ্রুপদী অর্থোগোনাল পলিনোমিয়ালগুলির বৈশিষ্ট্য এমন বেশ কয়েকটি শর্ত রয়েছে যা ধ্রুপদী অর্থোগোনাল পলিনোমিয়ালগুলিকে অন্যদের থেকে পৃথক করে। প্রথম শর্তটি সোনাইন (এবং পরে হান) দ্বারা আবিষ্কৃত হয়েছিল, যিনি দেখিয়েছিলেন যে (চলকের রৈখিক পরিবর্তন পর্যন্ত) শাস্ত্রীয় অর্থোগোনাল বহুপদগুলি কেবল এমন যে তাদের ডেরিভেটিভগুলিও অর্থোগোনাল বহুপদগুলি। বোচনার ধ্রুপদী অর্থোগোনাল বহুপদগুলিকে তাদের পুনরাবৃত্তির সম্পর্কের পরিপ্রেক্ষিতে চিহ্নিত করেছিলেন। ট্রিকোমি ধ্রুপদী অর্থোগোনাল বহুপদগুলিকে রদ্রিগেজ সূত্রের একটি নির্দিষ্ট সাদৃশ্য হিসাবে চিহ্নিত করেছেন। ধ্রুপদী অর্থোগোনাল পলিনোমিয়ালগুলির তালিকা নিম্নলিখিত টেবিলটি ধ্রুপদী অর্থোগোনাল পলিনোমিয়ালগুলির বৈশিষ্ট্যগুলির সংক্ষিপ্তসার দেয়। আরও দেখুন অ্যাপেল সিকোয়েন্স অ্যাস্কি স্কিম অফ হাইপারজিওমেট্রিক অর্থোগোনাল পলিনোমিয়ালস পলিনোমিয়াল সিকোয়েন্স অফ বাইনোমিয়াল টাইপ বায়োরথোগোনাল পলিনোমিয়ালস জেনারেলাইজড ফুরিয়ার সিরিজ সেকেন্ডারি পরিমাপ শেফার সিকোয়েন্স উমব্রাল ক্যালকুলাস নোটস রেফারেন্স প্রুফস সম্বলিত নিবন্ধ অর্থোগোনাল পলিনোমিয়ালস স্পেশাল হাইপারজিওমেট্রিক ফাংশন