Finite geometry
একটি সসীম জ্যামিতি হল যে কোনও জ্যামিতিক ব্যবস্থা যার শুধুমাত্র একটি সসীম সংখ্যক বিন্দু থাকে। পরিচিত ইউক্লিডীয় জ্যামিতি সীমাবদ্ধ নয়, কারণ একটি ইউক্লিডীয় রেখায় অসীম সংখ্যক বিন্দু থাকে। কম্পিউটার স্ক্রিনে প্রদর্শিত গ্রাফিক্সের উপর ভিত্তি করে একটি জ্যামিতি, যেখানে পিক্সেলগুলিকে বিন্দু হিসাবে বিবেচনা করা হয়, একটি সীমাবদ্ধ জ্যামিতি হবে। যদিও এমন অনেক ব্যবস্থা রয়েছে যাকে সীমাবদ্ধ জ্যামিতি বলা যেতে পারে, তবে তাদের নিয়মিততা এবং সরলতার কারণে সীমাবদ্ধ প্রজেক্টিভ এবং অ্যাফিন স্পেসগুলিতে বেশিরভাগ মনোযোগ দেওয়া হয়। অন্যান্য উল্লেখযোগ্য ধরনের সসীম জ্যামিতি হল সসীম মোবিয়াস বা বিপরীতমুখী সমতল এবং ল্যাগুয়ের সমতল, যা বেঞ্জ সমতল নামক একটি সাধারণ প্রকারের উদাহরণ এবং তাদের উচ্চতর-মাত্রিক অনুরূপ যেমন উচ্চতর সসীম বিপরীতমুখী জ্যামিতি। একটি সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের উপর ভেক্টর স্পেস থেকে শুরু করে রৈখিক বীজগণিতের মাধ্যমে সীমাবদ্ধ জ্যামিতি তৈরি করা যেতে পারে; এইভাবে নির্মিত অ্যাফিন এবং প্রজেক্টিভ প্লেনগুলিকে গ্যালোইস জ্যামিতি বলা হয়। সীমাবদ্ধ জ্যামিতিগুলি সম্পূর্ণরূপে স্বতঃসিদ্ধভাবেও সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। সর্বাধিক প্রচলিত সসীম জ্যামিতি হল গ্যালোয়া জ্যামিতি, যেহেতু তিন বা ততোধিক মাত্রার যে কোনও সসীম প্রজেক্টিভ স্থান একটি সসীম ক্ষেত্রের উপর একটি প্রজেক্টিভ স্থানের সমরূপ (অর্থাৎ, একটি সসীম ক্ষেত্রের উপর একটি ভেক্টর স্থানের প্রজেক্টিভাইজেশন)। যাইহোক, দ্বিতীয় মাত্রায় অ্যাফিন এবং প্রজেক্টিভ প্লেন রয়েছে যা গ্যালোইস জ্যামিতির সমরূপ নয়, যথা অ-ডেজারগুয়েশীয় প্লেন। অন্যান্য ধরনের সীমাবদ্ধ জ্যামিতির ক্ষেত্রেও অনুরূপ ফলাফল পাওয়া যায়। সীমাবদ্ধ তলগুলি নিম্নলিখিত মন্তব্যগুলি শুধুমাত্র সীমাবদ্ধ তলগুলির ক্ষেত্রে প্রযোজ্য। দুটি প্রধান ধরনের সসীম সমতল জ্যামিতি রয়েছেঃ অ্যাফাইন এবং প্রজেক্টিভ। একটি অ্যাফিন সমতলে, সমান্তরাল রেখার স্বাভাবিক অর্থ প্রযোজ্য হয়। একটি প্রজেক্টিভ সমতলে, বিপরীতে, যে কোনও দুটি রেখা একটি অনন্য বিন্দুতে ছেদ করে, তাই সমান্তরাল রেখা বিদ্যমান থাকে না। সসীম অ্যাফিন সমতল জ্যামিতি এবং সসীম প্রজেক্টিভ সমতল জ্যামিতি উভয়ই মোটামুটি সহজ স্বতঃসিদ্ধ দ্বারা বর্ণনা করা যেতে পারে। একটি অ্যাফিন সমতল জ্যামিতি হল একটি নন-এম্প্টি সেট এক্স (যার উপাদানগুলিকে "পয়েন্ট" বলা হয়), যার সাথে এক্স-এর উপসেটগুলির একটি নন-এম্প্টি সংগ্রহ এল (যার উপাদানগুলিকে "লাইন" বলা হয়), যেমনঃ প্রতিটি দুটি স্বতন্ত্র বিন্দুর জন্য, ঠিক একটি রেখা রয়েছে যা উভয় বিন্দু ধারণ করে। প্লেফেয়ারের স্বতঃসিদ্ধঃ একটি লাইন দেওয়া এবং একটি বিন্দু চালু না থাকলে, ঠিক একটি লাইন রয়েছে যাতে চারটি পয়েন্টের একটি সেট রয়েছে, যার মধ্যে তিনটিই একই লাইনের অন্তর্গত নয়। শেষ স্বতঃসিদ্ধটি নিশ্চিত করে যে জ্যামিতিটি তুচ্ছ নয় (খালি বা আগ্রহের জন্য খুব সহজ, যেমন একটি একক রেখা যার উপর নির্বিচারে সংখ্যক বিন্দু রয়েছে), যেখানে প্রথম দুটি জ্যামিতির প্রকৃতি নির্দিষ্ট করে। সবচেয়ে সহজ অ্যাফিন সমতলে মাত্র চারটি বিন্দু থাকে; এটিকে অর্ডার 2-এর অ্যাফিন সমতল বলা হয়। (একটি অ্যাফিন সমতলের ক্রম হল যে কোনও রেখার বিন্দুর সংখ্যা, নীচে দেখুন।) যেহেতু তিনটিই সমরেখার নয়, তাই যে কোনও জোড়া বিন্দু একটি অনন্য রেখা নির্ধারণ করে এবং তাই এই সমতলে ছয়টি রেখা রয়েছে। এটি একটি টেট্রাহেড্রনের সাথে মিলে যায় যেখানে অ-ছেদকারী প্রান্তগুলিকে "সমান্তরাল" হিসাবে বিবেচনা করা হয়, বা এমন একটি বর্গ যেখানে কেবল বিপরীত দিকই নয়, তির্যকগুলিকেও "সমান্তরাল" হিসাবে বিবেচনা করা হয়। অর্ডার 3-এর অ্যাফিন প্লেনটি হেসে কনফিগারেশন নামে পরিচিত। আরও সাধারণভাবে, n ক্রমের একটি সসীম অ্যাফিন সমতলে n2 বিন্দু এবং রেখা থাকে; প্রতিটি রেখায় n বিন্দু থাকে এবং প্রতিটি বিন্দু রেখায় থাকে। একটি প্রজেক্টিভ সমতল জ্যামিতি হল একটি নন-এম্প্টি সেট এক্স (যার উপাদানগুলিকে "পয়েন্ট" বলা হয়), যার সাথে এক্স-এর উপসেটগুলির একটি নন-এম্প্টি সংগ্রহ এল (যার উপাদানগুলিকে "লাইন" বলা হয়), যেমনঃ প্রতিটি দুটি স্বতন্ত্র বিন্দুর জন্য, ঠিক একটি রেখা রয়েছে যা উভয় বিন্দু ধারণ করে। যে কোনও দুটি স্বতন্ত্র রেখার ছেদস্থলে ঠিক একটি বিন্দু থাকে। চারটি পয়েন্টের একটি সেট রয়েছে, যার মধ্যে তিনটিই একই লাইনের অন্তর্গত নয়। প্রথম দুটি স্বতঃসিদ্ধের একটি পরীক্ষা দেখায় যে তারা প্রায় অভিন্ন, তবে বিন্দু এবং রেখার ভূমিকা বিনিময় করা হয়েছে। এটি প্রজেক্টিভ প্লেন জ্যামিতির জন্য দ্বৈততার নীতির পরামর্শ দেয়, যার অর্থ এই সমস্ত জ্যামিতিতে বৈধ যে কোনও সত্য বিবৃতি সত্য থাকে যদি আমরা লাইনের জন্য পয়েন্ট এবং পয়েন্টের জন্য লাইন বিনিময় করি। তিনটি স্বতঃসিদ্ধকেই সন্তুষ্ট করে এমন ক্ষুদ্রতম জ্যামিতিতে সাতটি বিন্দু থাকে। প্রজেক্টিভ প্লেনগুলির মধ্যে এই সহজতমটিতে সাতটি লাইন রয়েছে; প্রতিটি বিন্দু তিনটি লাইনে রয়েছে এবং প্রতিটি লাইনে তিনটি পয়েন্ট রয়েছে। এই নির্দিষ্ট প্রজেক্টিভ প্লেনকে কখনও কখনও ফ্যানো প্লেন বলা হয়। যদি সেই রেখার বিন্দুগুলির সাথে সমতল থেকে কোনও রেখা সরানো হয়, তবে ফলস্বরূপ জ্যামিতি হল ক্রম 2-এর অ্যাফিন সমতল। ফানো সমতলকে ক্রম 2-এর প্রজেক্টিভ সমতল বলা হয় কারণ এটি অনন্য (আইসোমরফিজম পর্যন্ত)। সাধারণভাবে, ক্রম n-এর প্রজেক্টিভ সমতলে n2 + n + 1 পয়েন্ট এবং একই সংখ্যক লাইন থাকে; প্রতিটি লাইনে n + 1 পয়েন্ট থাকে এবং প্রতিটি পয়েন্ট n + 1 লাইনে থাকে। ফানো সমতলের সাতটি বিন্দুর ক্রমবিকাশ যা সমরেখার বিন্দুতে (একই রেখার বিন্দু) সমরেখার বিন্দু বহন করে, তাকে সমতলের সমরেখায়ন বলা হয়। পূর্ণ সমান্তরাল গ্রুপটি ক্রম 168-এর এবং পিএসএল (2,7) ≈ পিএসএল (3,2) গ্রুপের সমরূপ, যা এই বিশেষ ক্ষেত্রে সাধারণ রৈখিক গ্রুপের সমরূপও। সমতলের ক্রম n ক্রমের একটি সসীম তল হল এমন একটি যা প্রতিটি লাইনের n পয়েন্ট থাকে (একটি অ্যাফিন প্লেনের জন্য), অথবা এমন যে প্রতিটি লাইনের n + 1 পয়েন্ট থাকে (একটি প্রজেক্টিভ প্লেনের জন্য)। সসীম জ্যামিতিতে একটি প্রধান উন্মুক্ত প্রশ্ন হলঃ একটি সসীম সমতলের ক্রম কি সর্বদা একটি মৌলিক শক্তি? এই কথাটি সত্য বলে অনুমান করা হয়। যখনই n একটি মৌলিক শক্তি (একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা সূচকে উত্থাপিত একটি মৌলিক সংখ্যা) হয়, তখন উপাদানগুলির সাথে সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের উপর অ্যাফিন এবং প্রজেক্টিভ প্লেন ব্যবহার করে n ক্রমের অ্যাফিন এবং প্রজেক্টিভ প্লেন বিদ্যমান থাকে। সীমাবদ্ধ ক্ষেত্র থেকে উদ্ভূত নয় এমন বিমানও বিদ্যমান (যেমন। জন্য), কিন্তু সমস্ত পরিচিত উদাহরণের একটি প্রধান শক্তি রয়েছে। আজ অবধি সর্বোত্তম সাধারণ ফলাফল হল 1949 সালের ব্রুক-রাইজার উপপাদ্য, যেখানে বলা হয়েছেঃ যদি n একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা হয় বা n দুটি পূর্ণসংখ্যা বর্গের যোগফলের সমান না হয়, তবে n একটি সসীম সমতলে ক্রম হিসাবে ঘটে না। সবচেয়ে ছোট পূর্ণসংখ্যা যা মৌলিক শক্তি নয় এবং ব্রুক-রাইজার উপপাদ্য দ্বারা আচ্ছাদিত নয় তা হল 10; 10 হল আকৃতির, তবে এটি বর্গের যোগফলের সমান। অর্ডার 10-এর একটি সীমাবদ্ধ সমতলের অস্তিত্ব না থাকার বিষয়টি একটি কম্পিউটার-সমর্থিত প্রমাণের মাধ্যমে প্রমাণিত হয়েছিল যা 1989 সালে শেষ হয়েছিল-বিস্তারিত দেখুন। বিবেচনা করার জন্য পরবর্তী ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি হল 12, যার জন্য কোনও ধনাত্মক বা ঋণাত্মক ফলাফল প্রমাণিত হয়নি। থমাস পেনিংটন কার্কম্যানের (1847) কাজ এবং ভন স্টাউটের (1856) প্রদত্ত সীমাবদ্ধ প্রজেক্টিভ জ্যামিতির পদ্ধতিগত বিকাশে পৃথক উদাহরণ পাওয়া যায়। সীমাবদ্ধ প্রজেক্টিভ জ্যামিতির প্রথম স্বতঃসিদ্ধ চিকিৎসা ইতালীয় গণিতবিদ জিনো ফানো তৈরি করেছিলেন। প্রজেক্টিভ এন-স্পেসের জন্য স্বতঃসিদ্ধের সেটের স্বাধীনতা প্রমাণ করার কাজে তিনি 15 পয়েন্ট, 35 লাইন এবং 15 প্লেন সহ একটি সীমাবদ্ধ ত্রিমাত্রিক স্থান বিবেচনা করেছিলেন (চিত্র দেখুন), যেখানে প্রতিটি লাইনে মাত্র তিনটি পয়েন্ট ছিল। 1906 সালে ওসওয়াল্ড ভেব্লেন এবং ডব্লিউ. এইচ. বুসি গ্যালোয়া ক্ষেত্র জি. এফ (কিউ) থেকে প্রবেশের সঙ্গে সমজাতীয় স্থানাঙ্ক ব্যবহার করে প্রজেক্টিভ জ্যামিতি বর্ণনা করেন। যখন এন + 1 স্থানাঙ্ক ব্যবহার করা হয়, তখন এন-মাত্রিক সসীম জ্যামিতিকে পিজি (এন, কিউ) হিসাবে চিহ্নিত করা হয়। এটি কৃত্রিম জ্যামিতিতে উদ্ভূত হয় এবং এর সাথে সম্পর্কিত একটি রূপান্তর গোষ্ঠী রয়েছে। 3 বা ততোধিক মাত্রার সীমাবদ্ধ স্থান সীমাবদ্ধ সমতল জ্যামিতি এবং উচ্চ-মাত্রিক সীমাবদ্ধ স্থানের জ্যামিতির মধ্যে কিছু গুরুত্বপূর্ণ পার্থক্যের জন্য, স্বতঃসিদ্ধ প্রজেক্টিভ স্থান দেখুন। সাধারণভাবে উচ্চ-মাত্রিক সীমাবদ্ধ স্থানগুলির আলোচনার জন্য, উদাহরণস্বরূপ, জে. ডব্লিউ. পি-র কাজগুলি দেখুন। হির্শফেল্ড। এই উচ্চ-মাত্রিক স্থানগুলির অধ্যয়নের উন্নত গাণিতিক তত্ত্বগুলিতে অনেক গুরুত্বপূর্ণ প্রয়োগ রয়েছে। স্বতঃসিদ্ধ সংজ্ঞা একটি প্রজেক্টিভ স্পেস এস-কে স্বতঃসিদ্ধভাবে একটি সেট পি (পয়েন্টের সেট) হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে, একসাথে পি-এর উপসেটগুলির একটি সেট এল (লাইনের সেট) সহ, এই স্বতঃসিদ্ধগুলিকে সন্তুষ্ট করেঃ প্রতিটি দুটি স্বতন্ত্র পয়েন্ট পি এবং কিউ ঠিক একটি লাইনে রয়েছে। ভেব্লেন স্বতঃসিদ্ধঃ যদি a, b, c, d স্বতন্ত্র বিন্দু হয় এবং ab এবং cd এর মধ্য দিয়ে রেখাগুলি মিলিত হয়, তবে AC এবং bd এর মধ্য দিয়ে রেখাগুলিও তাই করুন। যে কোনও লাইনে কমপক্ষে 3 পয়েন্ট থাকে। শেষ স্বতঃসিদ্ধটি হ্রাসযোগ্য কেসগুলিকে সরিয়ে দেয় যা পৃথক প্রজেক্টিভ স্পেসে যে কোনও দুটি বিন্দুর সাথে যুক্ত 2-পয়েন্ট লাইনের সাথে প্রজেক্টিভ স্পেসের বিচ্ছিন্ন ইউনিয়ন হিসাবে লেখা যেতে পারে। আরও বিমূর্তভাবে, এটিকে একটি আপতন কাঠামো হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে যা পয়েন্টের একটি সেট পি, লাইনের একটি সেট এল এবং একটি আপতন সম্পর্ক যা কোন বিন্দুগুলি কোন লাইনে রয়েছে তা উল্লেখ করে। একটি সীমাবদ্ধ প্রজেক্টিভ স্থান অর্জনের জন্য আরও একটি স্বতঃসিদ্ধ প্রয়োজনঃ পি বিন্দুর সেট একটি সীমাবদ্ধ সেট। যে কোনও সীমাবদ্ধ প্রজেক্টিভ স্পেসে, প্রতিটি লাইনে একই সংখ্যক পয়েন্ট থাকে এবং স্পেসের ক্রমটি এই সাধারণ সংখ্যার চেয়ে এক কম হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। প্রজেক্টিভ স্পেসের একটি সাবস্পেস হল একটি উপসেট এক্স, যাতে এক্স-এর দুটি বিন্দুযুক্ত যে কোনও লাইন এক্স-এর একটি উপসেট হয় (অর্থাৎ, সম্পূর্ণরূপে এক্স-এ অন্তর্ভুক্ত)। পূর্ণ স্থান এবং খালি স্থান সর্বদাই উপস্থান। স্থানটির জ্যামিতিক মাত্রাকে n বলা হয় যদি এটি বৃহত্তম সংখ্যা যার জন্য এই রূপের উপস্থানগুলির একটি কঠোরভাবে আরোহণকারী শৃঙ্খল থাকেঃ বীজগাণিতিক গঠন ব্যবস্থাগুলির একটি আদর্শ বীজগাণিতিক গঠন এই স্বতঃসিদ্ধগুলিকে সন্তুষ্ট করে। একটি ডিভিশন রিং-এর জন্য ডি-এর উপর একটি-মাত্রিক ভেক্টর স্পেস তৈরি করুন (ভেক্টর স্পেস ডাইমেনশন হল একটি বেসিসের উপাদানগুলির সংখ্যা)। ধরা যাক P হল এই ভেক্টর স্থানের 1-মাত্রিক (একক জেনারেটর) সাবস্পেস এবং L হল 2-মাত্রিক (দুটি স্বাধীন জেনারেটর) সাবস্পেস (ভেক্টর সংযোজনের অধীনে বন্ধ)। ঘটনা হল নিয়ন্ত্রণ। যদি D সসীম হয় তবে এটি অবশ্যই একটি সসীম ক্ষেত্র GF (q) হতে হবে, যেহেতু ওয়েডারবার্নের ক্ষুদ্র উপপাদ্য অনুসারে সমস্ত সসীম বিভাজন বলয় ক্ষেত্র। এই ক্ষেত্রে, এই নির্মাণ একটি সীমাবদ্ধ প্রজেক্টিভ স্থান তৈরি করে। উপরন্তু, যদি একটি প্রজেক্টিভ স্পেসের জ্যামিতিক মাত্রা কমপক্ষে তিনটি হয় তবে একটি বিভাজন বলয় রয়েছে যা থেকে স্থানটি এই পদ্ধতিতে তৈরি করা যেতে পারে। ফলস্বরূপ, জ্যামিতিক মাত্রার সমস্ত সীমাবদ্ধ প্রজেক্টিভ স্পেস কমপক্ষে তিনটি সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের উপর সংজ্ঞায়িত করা হয়। এই ধরনের একটি সসীম ক্ষেত্রের উপর সংজ্ঞায়িত একটি সসীম প্রজেক্টিভ স্থানের একটি রেখার উপর বিন্দু থাকে, তাই ক্রমের দুটি ধারণা মিলে যায়। এই ধরনের একটি সীমাবদ্ধ প্রজেক্টিভ স্থান দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, যেখানে পি. জি হল প্রজেক্টিভ জ্যামিতি, এন হল জ্যামিতির জ্যামিতিক মাত্রা এবং কিউ হল জ্যামিতি তৈরিতে ব্যবহৃত সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের আকার (ক্রম)। সাধারণভাবে, কে-মাত্রিক সাবস্পেসের সংখ্যা গুণফল দ্বারা দেওয়া হয়ঃ যা একটি গাউসিয়ান দ্বিপদী সহগ, একটি দ্বিপদী সহগের একটি q এনালগ। জ্যামিতিক মাত্রা দ্বারা সীমাবদ্ধ প্রজেক্টিভ স্পেসের শ্রেণিবিন্যাস মাত্রা 0 (কোনও রেখা নেই): স্থানটি একটি একক বিন্দু এবং এতটাই অধঃপতিত যে এটি সাধারণত উপেক্ষা করা হয়। মাত্রা 1 (ঠিক একটি লাইন): সমস্ত বিন্দু অনন্য লাইনে থাকে, যাকে প্রজেক্টিভ লাইন বলা হয়। মাত্রা 2: কমপক্ষে 2 টি লাইন রয়েছে এবং যে কোনও দুটি লাইন মিলিত হয়। একটি প্রজেক্টিভ স্পেস হল একটি প্রজেক্টিভ প্লেন। এগুলিকে শ্রেণীবদ্ধ করা অনেক কঠিন, কারণ এগুলির সবগুলিই a-এর সমতুল্য নয়। ডেসারগুয়েশীয় তলগুলি (যেগুলি a এর সাথে সমরূপ) ডেসারগুয়েসের উপপাদ্যকে সন্তুষ্ট করে এবং সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের উপর প্রক্ষিপ্ত তল, তবে অনেক অ-ডেসারগুয়েশীয় তল রয়েছে। মাত্রা কমপক্ষে 3: দুটি অ-ছেদকারী রেখা বিদ্যমান। ভেব্লেন-ইয়ং উপপাদ্যটি সসীম ক্ষেত্রে বলে যে জ্যামিতিক মাত্রার প্রতিটি প্রজেক্টিভ স্থান একটি, কিছু সসীম ক্ষেত্র জিএফ (কিউ)-এর উপর এন-মাত্রিক প্রজেক্টিভ স্থানের সাথে সমরূপ। ক্ষুদ্রতম প্রজেক্টিভ ত্রি-স্থান ক্ষুদ্রতম ত্রিমাত্রিক প্রজেক্টিভ স্থানটি জি. এফ (2) ক্ষেত্রের উপর অবস্থিত এবং পি. জি (3,2) দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। এর 15টি পয়েন্ট, 35টি লাইন এবং 15টি প্লেন রয়েছে। প্রতিটি সমতলে 7টি পয়েন্ট এবং 7টি লাইন থাকে। প্রতিটি লাইনে 3 পয়েন্ট থাকে। জ্যামিতি হিসাবে, এই সমতলগুলি ফানো সমতলের সমতুল্য। প্রতিটি পয়েন্ট 7 লাইনে থাকে। প্রতিটি জোড়া স্বতন্ত্র বিন্দু ঠিক একটি লাইনে থাকে এবং প্রতিটি জোড়া স্বতন্ত্র সমতল ঠিক একটি লাইনে ছেদ করে। 1892 সালে, জিনো ফানো প্রথম এই ধরনের একটি সীমাবদ্ধ জ্যামিতি বিবেচনা করেন। কার্কম্যানের স্কুলছাত্রীর সমস্যা পি. জি (3,2) কার্কম্যানের স্কুলছাত্রীর সমস্যার সমাধানের পটভূমি হিসাবে উদ্ভূত হয়, যেখানে বলা হয়েছেঃ "পনেরো জন স্কুলছাত্রী প্রতিদিন তিনজনের পাঁচটি দলে হাঁটে। মেয়েদের এক সপ্তাহের জন্য হাঁটার ব্যবস্থা করুন যাতে সেই সময়ে, প্রতিটি জোড়া মেয়ে একটি দলে মাত্র একবার করে হাঁটতে পারে। মেয়েদের একসঙ্গে হাঁটার জন্য 35টি ভিন্ন সংমিশ্রণ রয়েছে। এছাড়াও সপ্তাহে 7 দিন থাকে এবং প্রতিটি দলে 3 জন করে মেয়ে থাকে। এই সমস্যার সাতটি অ-সমরূপ সমাধানের মধ্যে দুটি ফ্যানো 3-স্পেসের কাঠামোর পরিপ্রেক্ষিতে বলা যেতে পারে, পিজি (3,2), যা প্যাকিং হিসাবে পরিচিত। একটি প্রজেক্টিভ স্পেসের স্প্রেড হল তার পয়েন্টগুলিকে বিচ্ছিন্ন রেখায় বিভক্ত করা, এবং একটি প্যাকিং হল লাইনগুলিকে বিচ্ছিন্ন স্প্রেডে বিভক্ত করা। পিজিতে (3,2), একটি স্প্রেড হবে 15 পয়েন্টকে 5টি বিচ্ছিন্ন লাইনে (প্রতিটি লাইনে 3 পয়েন্ট সহ) বিভক্ত করা, এইভাবে একটি নির্দিষ্ট দিনে স্কুলছাত্রীদের বিন্যাসের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ। পিজি-র একটি প্যাকিং (3,2) সাতটি বিচ্ছিন্ন স্প্রেড নিয়ে গঠিত এবং তাই পুরো সপ্তাহের ব্যবস্থার সাথে মিলে যায়। আরও দেখুন ব্লক ডিজাইন-একটি সীমাবদ্ধ প্রজেক্টিভ সমতলের সাধারণীকরণ। সাধারণ বহুভুজ ঘটনা জ্যামিতি রৈখিক স্থান (জ্যামিতি) বহুভুজের কাছাকাছি আংশিক জ্যামিতি মেরু স্থান উল্লেখ। বাহ্যিক যোগসূত্র এরিক মুরহাউসের ঘটনা জ্যামিতি টেরেন্স তাও-এর বীজগাণিতিক সমন্বয় জ্যামিতি মাইকেল গ্রিনবার্গের সীমাবদ্ধ জ্যামিতির উপর প্রবন্ধ সীমাবদ্ধ জ্যামিতি (স্ক্রিপ্ট) সীমাবদ্ধ জ্যামিতি সম্পদ জে. ডব্লিউ. পি. হির্শফেল্ড, সীমাবদ্ধ জ্যামিতির উপর গবেষক সীমিত জ্যামিতির উপর হির্শফেল্ডের বই সীমাবদ্ধ জ্যামিতির উপর এ. এম. এস কলামঃ সীমিত জ্যামিতি? গ্যালোইস জ্যামিতি এবং সাধারণীকৃত বহুভুজ, 1998 সালে ম্যাথওভারফ্লোতে অর্ডার 12-এর প্রজেক্টিভ প্লেনের নিবিড় কোর্স। কম্বিনেটরিকস