Balanced module
বিমূর্ত বীজগণিতের উপক্ষেত্রে, যা মডিউল তত্ত্ব নামে পরিচিত, একটি ডান আর মডিউল এম-কে একটি ভারসাম্যপূর্ণ মডিউল বলা হয় (বা ডাবল সেন্ট্রালাইজার সম্পত্তি রয়েছে বলে বলা হয়) যদি আবেলিয়ান গ্রুপ এম-এর প্রতিটি এন্ডোমর্ফিজম যা এম-এর সমস্ত আর-এন্ডোমর্ফিজমের সাথে বিনিময় করে একটি রিং উপাদান দ্বারা গুণ দ্বারা দেওয়া হয়। স্পষ্টতই, যে কোনও যোগাত্মক এন্ডোমর্ফিজম f-এর জন্য, যদি প্রতিটি R এন্ডোমর্ফিজম g-এর জন্য fg = gf হয়, তবে R-এ এমন একটি r থাকে যাতে M-এর সমস্ত x-এর জন্য f (x) = xr থাকে। সেন্ট্রালাইজারদের ভাষায়, একটি ভারসাম্যপূর্ণ মডিউল দ্বৈত সেন্ট্রালাইজার উপপাদ্যের উপসংহারকে সন্তুষ্ট করে, অর্থাৎ, এম-এর সমস্ত আর এন্ডোমর্ফিজমের সাথে কমিউটিং গ্রুপ এম-এর একমাত্র এন্ডোমর্ফিজমগুলি রিং উপাদান দ্বারা সঠিক গুণ দ্বারা প্ররোচিত হয়। প্রতিটি ডান আর মডিউল ভারসাম্যপূর্ণ হলে একটি বলয়কে ভারসাম্যপূর্ণ বলা হয়। দেখা যাচ্ছে যে ভারসাম্যপূর্ণ হওয়া বলয়ের উপর একটি বাম-ডান প্রতিসম অবস্থা, এবং তাই এটিকে "বাম" বা "ডান" দিয়ে প্রিফিক্স করার প্রয়োজন নেই। ভারসাম্যপূর্ণ মডিউল এবং বলয়ের অধ্যয়ন সি. জে দ্বারা কিউ. এফ-1 বলয়ের অধ্যয়নের একটি ফলাফল। নেসবিট এবং আর. এম. থ্রাল। এই গবেষণাটি ভি. পি. ক্যামিলোর গবেষণাপত্রে অব্যাহত ছিল এবং পরে এটি সম্পূর্ণরূপে বিকশিত হয়েছিল। কাগজটি অনেক উদাহরণ সহ একটি বিশেষ বিস্তৃত দৃষ্টিভঙ্গি দেয়। এই উল্লেখগুলি ছাড়াও, কে. মোরিতা এবং এইচ. তাচিকাওয়া প্রকাশিত এবং অপ্রকাশিত ফলাফলগুলিতেও অবদান রেখেছেন। ভারসাম্যপূর্ণ মডিউল এবং বলয়ের তত্ত্বে অবদানকারী লেখকদের একটি আংশিক তালিকা রেফারেন্সগুলিতে পাওয়া যাবে। উদাহরণ এবং বৈশিষ্ট্য উদাহরণ অর্ধ-সহজ বলয়গুলি ভারসাম্যপূর্ণ। একটি সাধারণ বলয়ের উপর প্রতিটি অ-শূন্য সঠিক আদর্শ ভারসাম্যপূর্ণ। একটি আধা-ফ্রোবেনিয়াস বলয়ের উপর প্রতিটি বিশ্বস্ত মডিউল ভারসাম্যপূর্ণ। ডান আর্টিনিয়ান বলয়ের জন্য ডাবল সেন্ট্রালাইজার উপপাদ্যটি বলে যে কোনও সাধারণ ডান আর মডিউল ভারসাম্যপূর্ণ। কাগজটিতে ভারসাম্যহীন মডিউলগুলির অসংখ্য গঠন রয়েছে। এটি প্রতিষ্ঠিত হয়েছিল যে এককেন্দ্রিক বলয়গুলি ভারসাম্যপূর্ণ। বিপরীতভাবে, একটি ভারসাম্যপূর্ণ বলয় যা তার কেন্দ্রের উপর একটি মডিউল হিসাবে সীমিতভাবে তৈরি হয় তা একমুখী। বিনিময়যোগ্য আর্টিনিয়ান বলয়গুলির মধ্যে, ভারসাম্যপূর্ণ বলয়গুলি ঠিক আধা-ফ্রোবেনিয়াস বলয়। বৈশিষ্ট্যগুলি "ভারসাম্যপূর্ণ" হওয়া মডিউলগুলির জন্য একটি শ্রেণীগত বৈশিষ্ট্য, অর্থাৎ এটি মোরিটা সমতুল্য দ্বারা সংরক্ষিত। স্পষ্টতই, যদি এফ (-) আর মডিউলের বিভাগ থেকে এস মডিউলের বিভাগের মোরিটা সমতুল্য হয়, এবং যদি এম ভারসাম্যপূর্ণ হয়, তবে এফ (এম) ভারসাম্যপূর্ণ হয়। ভারসাম্যপূর্ণ বলয়ের কাঠামোও সম্পূর্ণরূপে নির্ধারিত হয় এবং এর রূপরেখা দেওয়া হয়। শেষ বিন্দুর পরিপ্রেক্ষিতে, একটি ভারসাম্যপূর্ণ বলয় হওয়ার বৈশিষ্ট্য হল একটি মোরিটা অপরিবর্তনীয় বৈশিষ্ট্য। কোন রিংয়ে সমস্ত সঠিকভাবে তৈরি করা আর মডিউলগুলি ভারসাম্যপূর্ণ, এই প্রশ্নের উত্তর ইতিমধ্যেই দেওয়া হয়েছে। এই অবস্থাটি রিং আর-এর ভারসাম্য বজায় রাখার সমতুল্য বলে প্রমাণিত হয়। উদ্ধৃতি মডিউল তত্ত্ব রিং তত্ত্ব