Labelled enumeration theorem
সমন্বিত গণিতে, লেবেলযুক্ত গণনা উপপাদ্যটি লেবেলযুক্ত কেসের জন্য পলিয়া গণনা উপপাদ্যের প্রতিরূপ, যেখানে আমাদের একটি এক্সপোনেনশিয়াল জেনারেটিং ফাংশন (ইজিএফ) জি (জেড) দ্বারা প্রদত্ত লেবেলযুক্ত বস্তুর একটি সেট রয়েছে যা এন স্লটে বিতরণ করা হচ্ছে এবং একটি ক্রমবিকাশ গ্রুপ জি যা স্লটগুলিকে ক্রমবর্ধমান করে, এইভাবে কনফিগারেশনের সমতুল্য শ্রেণী তৈরি করে। একটি বিশেষ রি-লেবেলিং অপারেশন রয়েছে যা স্লটগুলিতে বস্তুগুলিকে পুনরায় লেবেল করে, 1 থেকে k পর্যন্ত লেবেল বরাদ্দ করে, যেখানে k হল মোট নোডের সংখ্যা, অর্থাৎ। পৃথক বস্তুর নোডের সংখ্যার সমষ্টি। এই রি-লেবেলিং প্রক্রিয়ার অধীনে বিভিন্ন কনফিগারেশনের সংখ্যার ইজিএফ দ্বারা দেওয়া হয় বিশেষত, যদি জি n ক্রমের প্রতিসম গ্রুপ হয় (তাই, |G। = এন! ), ফাংশনগুলিকে আরও একটি একক উৎপাদনকারী ফাংশনে একত্রিত করা যেতে পারেঃ যা সূচকীয় ডাব্লু. আর. টি। পরিবর্তনশীল জেড এবং সাধারণ ডাব্লুআরটি। পরিবর্তনশীল টি। পুনরায় লেবেল করার প্রক্রিয়াটি আমরা ধরে নিই যে আকারের কোনও বস্তুর লেবেলযুক্ত অভ্যন্তরীণ নোড রয়েছে, লেবেলগুলি 1 থেকে মি পর্যন্ত যায়। লেবেলবিহীন কেসের তুলনায় স্লটে জি-এর ক্রিয়া ব্যাপকভাবে সরলীকৃত হয়, কারণ লেবেলগুলি স্লটে থাকা বস্তুগুলিকে আলাদা করে এবং জি-এর নীচে কক্ষপথগুলির একই আকার রয়েছে। (ই. জি. এফ. জি (জেড)-এ শূন্য আকারের বস্তু অন্তর্ভুক্ত নাও থাকতে পারে। এর কারণ হল এগুলি লেবেল দ্বারা আলাদা করা হয় না এবং তাই এই ধরনের দুই বা ততোধিক বস্তুর উপস্থিতি কক্ষপথ তৈরি করে যার আকার এর চেয়ে কম)। উল্লিখিত হিসাবে, বস্তুর নোডগুলি পুনরায় লেবেল করা হয় যখন সেগুলি স্লটে বিতরণ করা হয়। ধরুন একটি আকারের বস্তু প্রথম স্লটে যায়, দ্বিতীয় স্লটে একটি আকারের বস্তু, এবং আরও অনেক কিছু, এবং কনফিগারেশনের মোট আকার k, যাতে পুনরায় লেবেল করার প্রক্রিয়াটি নিম্নরূপ কাজ করেঃ কে লেবেলের সেটের একটি পার্টিশনকে আকারের উপসেটগুলিতে নির্বাচন করুন এখন প্রতিটি বস্তুর অভ্যন্তরীণ নোডগুলি সংশ্লিষ্ট উপসেট থেকে লেবেলগুলি ব্যবহার করে পুনরায় লেবেল করুন, লেবেলগুলির ক্রম সংরক্ষণ করুন। ই. জি। যদি প্রথম বস্তুটিতে 1 থেকে 4 পর্যন্ত লেবেলযুক্ত চারটি নোড থাকে এবং এই বস্তুর জন্য নির্বাচিত লেবেলগুলির সেট {2,5,6,10} হয়, তবে নোড 1 লেবেল 2, নোড 2, লেবেল 5, নোড 3, লেবেল 6 এবং নোড 4, লেবেল 10 গ্রহণ করে। এইভাবে বস্তুর লেবেলগুলি বস্তুর জন্য নির্বাচিত উপসেট থেকে লেবেলগুলি ব্যবহার করে একটি অনন্য লেবেলিং প্ররোচিত করে। উপপাদ্যটির প্রমাণ এটি পুনরায় লেবেলিং গঠন থেকে অনুসরণ করে যে মোট আকারের k বা বিভিন্ন বিন্যাস রয়েছে। সূত্রটি একটি পূর্ণসংখ্যায় মূল্যায়ন করে কারণ k <n এর জন্য শূন্য (মনে রাখবেন যে g শূন্য আকারের বস্তুগুলি অন্তর্ভুক্ত করে না) এবং যখন আমাদের আছে এবং G এর ক্রমটি এর ক্রমকে ভাগ করে, যা ল্যাগ্রাঞ্জের উপপাদ্য দ্বারা। উপসংহার হল যে লেবেলযুক্ত বিন্যাসগুলির ই. জি. এফ দ্বারা দেওয়া হয় এই সূত্রটি ক্রম গণনা করেও পাওয়া যেতে পারে, অর্থাৎ। যখন স্লটগুলি পারমিউট করা হচ্ছে না, এবং-ফ্যাক্টর ছাড়া উপরের যুক্তিটি ব্যবহার করে দেখান যে পুনরায় লেবেলিংয়ের অধীনে তাদের জেনারেটিং ফাংশনটি দ্বারা দেওয়া হয়েছে। পরিশেষে লক্ষ্য করুন যে প্রতিটি ক্রম একটি আকারের কক্ষপথের অন্তর্গত, তাই কক্ষপথের উৎপাদন ফাংশন রেফারেন্স ফ্রাঁসোয়া বার্জেরন, গিলবার্ট লেবেল, পিয়েরে লেরক্স, থিওরি ডেস এস্পেসিস এট কম্বিনেটোয়ার ডেস স্ট্রাকচারস আর্বোরেসেন্টেস, ল্যাসিম, মন্ট্রিয়াল (1994) দ্বারা দেওয়া হয়েছে। ইংরেজি সংস্করণঃ কম্বিনেটোরিয়াল স্পিসিজ অ্যান্ড ট্রি-লাইক স্ট্রাকচারস, কেমব্রিজ ইউনিভার্সিটি প্রেস (1998)। গণনামূলক সমন্বয়মূলক উপপাদ্য সমন্বয়মূলক উপপাদ্য প্রমাণ সম্বলিত নিবন্ধ