Construction of an irreducible Markov chain in the Ising model
আইসিং মডেলে একটি অপরিবর্তনীয় মার্কভ শৃঙ্খল নির্মাণ হল ফলাফল প্রমাণ করার একটি গাণিতিক পদ্ধতি। ফলিত গণিতে, আইসিং মডেলে একটি অপরিবর্তনীয় মার্কভ চেইন নির্মাণ হল একটি গণনামূলক বাধা কাটিয়ে ওঠার প্রথম পদক্ষেপ যখন একটি মার্কভ চেইন মন্টে কার্লো পদ্ধতি ব্যবহার করে সসীম আইসিং মডেলের জন্য সঠিক গুডনেস-অফ-ফিট পরীক্ষা করা হয়। আইসিং মডেলটি চৌম্বকীয় পর্যায় রূপান্তর অধ্যয়নের জন্য ব্যবহৃত হয় এবং এটি মিথস্ক্রিয়া ব্যবস্থার মডেলগুলির মধ্যে একটি। মার্কভ প্রতিটি পূর্ণসংখ্যা ভেক্টরকে ভিত্তি করে, অনন্যভাবে কোথায় এবং অ-ঋণাত্মক ভেক্টর হিসাবে লেখা যেতে পারে। আইসিং মডেলের জন্য একটি মার্কভ ভিত্তি হল পূর্ণসংখ্যা ভেক্টরের একটি সেট যেমনঃ (i) সকলের জন্য, অবশ্যই এবং থাকতে হবে। (ii) যে কোনও এবং যে কোনও কিছুর জন্য, সর্বদা সন্তুষ্টির অস্তিত্ব থাকে এবং l = 1,., k এর জন্য। তারপর, মেট্রোপলিস-হেস্টিংস অ্যালগরিদম ব্যবহার করে, আমরা একটি অপেরিওডিক, বিপরীতমুখী এবং অপরিবর্তনীয় মার্কভ চেইন পেতে পারি। 1998 সালে পার্সি ডায়াকোনিস এবং বার্নড স্টারমফেলস দ্বারা প্রকাশিত 'শর্তসাপেক্ষ বিতরণ থেকে নমুনা সংগ্রহের জন্য বীজগাণিতিক অ্যালগরিদম' গবেষণাপত্রে দেখা যায় যে একটি মার্কভ ভিত্তিকে বীজগাণিতিকভাবে একটি আইসিং মডেল হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। কাগজ অনুসারে, আদর্শের জন্য যে কোনও উৎপাদনকারী সেট আইসিং মডেলের জন্য একটি মার্কভ ভিত্তি। একটি অপরিবর্তনীয় মার্কভ শৃঙ্খলের নির্মাণ কাগজে উল্লিখিত অ্যালগরিদম পরিবর্তন না করে, অভিন্ন নমুনা পাওয়া অসম্ভব, অন্যথায় ভুল পি-মানের দিকে পরিচালিত করে। একটি সাধারণ অদলবদল ফর্ম হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়, যেখানে এর ক্যানোনিকাল বেসিস ভেক্টর। সহজ অদলবদলগুলি y-তে দুটি জাল বিন্দুর অবস্থা পরিবর্তন করে। Z নমুনা বিনিময়ের সেটকে বোঝায়। তারপর দুটি কনফিগারেশন হল-Z দ্বারা সংযুক্ত, যদি সরল অদলবদলগুলির মধ্যে এবং এর মধ্যে একটি পথ থাকে, যার অর্থ হল যে l = 1,., k-এর জন্য এমন একটি পথ রয়েছে যে অ্যালগরিদমটি এখন এইভাবে বর্ণনা করা যেতে পারেঃ (i) একটি কনফিগারেশনে মার্কভ চেইন দিয়ে শুরু করুন (ii) এলোমেলোভাবে সমানভাবে নির্বাচন করুন এবং যাক। (iii) গ্রহণ করুন যদি; অন্যথায় y-তে থাকে। যদিও ফলস্বরূপ মার্কভ চেইন সম্ভবত প্রাথমিক অবস্থা ছেড়ে যেতে পারে না, তবে 1-মাত্রিক আইসিং মডেলের জন্য সমস্যাটি দেখা দেয় না। উচ্চ মাত্রায়, আমরা 1-মাত্রিক আইসিং মডেলের ক্ষুদ্রতম প্রসারিত নমুনা স্থানে মেট্রোপলিস-হেস্টিংস অ্যালগরিদম ব্যবহার করে এই সমস্যাটি কাটিয়ে উঠতে পারি। 1-মাত্রিক আইসিং মডেলের অপরিবর্তনীয়তার প্রমাণের জন্য দুটি লেমা প্রয়োজন। লেম্মা 1:1-মাত্রার আইসিং মডেলের জন্য ম্যাক্স-সিঙ্গেলটন কনফিগারেশন অনন্য (এর সংযুক্ত উপাদানগুলির অবস্থান পর্যন্ত) এবং সিঙ্গেলটন এবং আকারের একটি সংযুক্ত উপাদান নিয়ে গঠিত। লেম্মা 2: এবং এর জন্য, আসুন অনন্য ম্যাক্স-সিঙ্গেলটন কনফিগারেশনকে বোঝাই। একটি ক্রম রয়েছে যেমনঃ এবং l = 1,., k-এর জন্য যেহেতু এটি সবচেয়ে ছোট প্রসারিত নমুনা স্থান যা ধারণ করে, তাই যে কোনও দুটি কনফিগারেশন সহজ অদলবদল Z দ্বারা সংযুক্ত করা যেতে পারে। এটি লেমা 2 দ্বারা প্রমাণিত হয়েছে, তাই আমরা 1-মাত্রার আইসিং মডেলের জন্য সহজ অদলবদলের উপর ভিত্তি করে মার্কভ চেইনের অপরিবর্তনীয়তা পাই। উপরের ধাপগুলির মাধ্যমে একটি মাত্রা 2 বা উচ্চতর আইসিং মডেলের জন্য একই সিদ্ধান্ত পাওয়া সম্ভব। তথ্যসূত্র ল্যাটিস মডেল মার্কভ চেইন মন্টে কার্লো