Hyperfunction
গণিতে, হাইপার ফাংশন হল ফাংশনের সাধারণীকরণ, একটি সীমানায় একটি হোলোমর্ফিক ফাংশন থেকে অন্যটিতে 'লাফ' হিসাবে, এবং অনানুষ্ঠানিকভাবে অসীম ক্রমের বিতরণ হিসাবে চিন্তা করা যেতে পারে। মিকিও সাটো 1958 সালে জাপানি ভাষায় হাইপার ফাংশন চালু করেছিলেন, (1959,1960 ইংরেজিতে), লরেন্ট শোয়ার্জ, গ্রোথেন্ডিক এবং অন্যান্যদের পূর্ববর্তী কাজের উপর ভিত্তি করে। গঠন বাস্তব রেখার একটি হাইপারফাংশনকে উপরের অর্ধ-সমতলে সংজ্ঞায়িত একটি হোলোমরফিক ফাংশন এবং নীচের অর্ধ-সমতলে অন্যটির মধ্যে 'পার্থক্য' হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে। অর্থাৎ, একটি হাইপার ফাংশন একটি জোড়া (f, g) দ্বারা নির্দিষ্ট করা হয়, যেখানে f উপরের অর্ধ-সমতলে একটি হোলোমরফিক ফাংশন এবং g নীচের অর্ধ-সমতলে একটি হোলোমরফিক ফাংশন। অনানুষ্ঠানিকভাবে, হাইপারফাংশনের পার্থক্যটি আসল লাইনেই হবে। এই পার্থক্যটি f এবং g উভয়ের সাথে একই হোলোমর্ফিক ফাংশন যোগ করে প্রভাবিত হয় না, তাই যদি পুরো জটিল সমতলে h একটি হোলোমর্ফিক ফাংশন হয়, তবে হাইপার ফাংশনগুলি (f, g) এবং (f + h, g + h) সমতুল্য হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। একটি মাত্রায় সংজ্ঞা শেফ কোহোমোলজির ধারণাগুলি ব্যবহার করে অনুপ্রেরণাটি সুনির্দিষ্টভাবে প্রয়োগ করা যেতে পারে। প্রকৃত রেখার হাইপার ফাংশনগুলিকে প্রথম স্থানীয় কোহোমোলজি গ্রুপ হিসাবে সংজ্ঞায়িত করুনঃ সুনির্দিষ্টভাবে, যথাক্রমে উপরের অর্ধ-সমতল এবং নীচের অর্ধ-সমতল হতে দিন। যেহেতু যে কোনও শিফের জিরোথ কোহোমোলজি গ্রুপটি কেবল সেই শিফের গ্লোবাল বিভাগ, তাই আমরা দেখতে পাই যে একটি হাইপারফাংশান হল হোলমর্ফিক ফাংশনের একটি জোড়া যা উপরের এবং নীচের জটিল হাফপ্লেন মডুলোর পুরো হোলমর্ফিক ফাংশনে একটি করে। আরও সাধারণভাবে যে কোনও খোলা সেটের জন্য ভাগফল হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে যেখানে কোনও খোলা সেট রয়েছে। কেউ দেখাতে পারেন যে এই সংজ্ঞাটি হাইপার ফাংশনগুলিকে হোলোমর্ফিক ফাংশনের "সীমানা মান" হিসাবে ভাবার অন্য কারণ দেওয়ার পছন্দের উপর নির্ভর করে না। উদাহরণস্বরূপ, যদি f সমগ্র জটিল সমতলে কোনও হোলোমরফিক ফাংশন হয়, তবে বাস্তব অক্ষের প্রতি f-এর সীমাবদ্ধতা একটি হাইপার ফাংশন, যা (f, 0) বা (0, −f) দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়। হেভিসাইড ধাপ ফাংশনকে জটিল লগারিদমের প্রধান মান হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে। ডিরাক ব-দ্বীপ "ফাংশন" দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয় এটি আসলে কাউচির অবিচ্ছেদ্য সূত্রের একটি পুনর্বিবেচনা। এটি যাচাই করার জন্য বাস্তব রেখার ঠিক নীচে f-এর ইন্টিগ্রেশন গণনা করা যেতে পারে এবং বাস্তব রেখার ঠিক উপরে g-এর ইন্টিগ্রেশন বিয়োগ করা যেতে পারে-উভয়ই বাম থেকে ডানে। লক্ষ্য করুন যে হাইপারফাংশানটি অ-তুচ্ছ হতে পারে, এমনকি যদি উপাদানগুলি একই ফাংশনের বিশ্লেষণাত্মক ধারাবাহিকতা হয়। এছাড়াও হেভিসাইড ফাংশনকে আলাদা করে এটি সহজেই পরীক্ষা করা যেতে পারে। যদি g বাস্তব রেখার একটি অবিচ্ছিন্ন ফাংশন (বা আরও সাধারণভাবে একটি বন্টন) হয় যার একটি সীমাবদ্ধ ব্যবধান I-এ সমর্থন থাকে, তবে g হাইপারফাংশনের (f, −f) সাথে মিলে যায়, যেখানে f হল একটি হোলোমর্ফিক ফাংশন যা I-এর পরিপূরক দ্বারা সংজ্ঞায়িত। f-এর সূত্রটি পূর্ববর্তী উদাহরণ থেকে অনুসরণ করে g-কে ডিরাক ডেল্টা ফাংশনের সাথে নিজের কনভোলিউশন হিসাবে লিখে। ঐক্যের একটি বিভাজন ব্যবহার করে যে কেউ যে কোনও অবিচ্ছিন্ন ফাংশন (বিতরণ) কম্প্যাক্ট সাপোর্ট সহ স্থানীয়ভাবে সীমাবদ্ধ ফাংশন (বিতরণ) হিসাবে লিখতে পারে। যদি f এমন কোনও ফাংশন হয় যা 0 (উদাহরণস্বরূপ, e1/z) এ একটি অপরিহার্য এককত্ব ব্যতীত সর্বত্র হোলোমরফিক হয়, তবে এটি 0 সমর্থন সহ একটি হাইপার ফাংশন যা বিতরণ নয়। যদি f-এর 0-এ সসীম ক্রমের একটি মেরু থাকে তবে এটি একটি বন্টন, তাই যখন f-এর একটি অপরিহার্য এককত্ব থাকে তখন 0-এ "অসীম ক্রমের বন্টন"-এর মতো দেখায়। (মনে রাখবেন যে বিতরণগুলির সর্বদা যে কোনও সময়ে সীমাবদ্ধ ক্রম থাকে।) হাইপারফাংশনের ক্রিয়াকলাপগুলি যে কোনও উন্মুক্ত উপসেট হতে দিন। সংজ্ঞা অনুসারে একটি ভেক্টর স্পেস এমন যে জটিল সংখ্যার সাথে যোগ এবং গুণন সু-সংজ্ঞায়িত। স্পষ্টতইঃ সুস্পষ্ট বিধিনিষেধের মানচিত্রগুলি একটি আস্তরণে পরিণত হয় (যা আসলে ভঙ্গুর)। প্রকৃত বিশ্লেষণাত্মক ফাংশন এবং পৃথকীকরণের সাথে গুণন সু-সংজ্ঞায়িতঃ এই সংজ্ঞাগুলির সাথে একটি ডি-মডিউল হয়ে যায় এবং এম্বেডিং হল ডি-মডিউলগুলির একটি অঙ্গসংস্থান। যদি দুটি হোলোমর্ফিক পয়েন্ট হয়, তবে ইন্টিগ্রেশনটি ভালভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়ঃ যেখানে নির্বিচারে বক্ররেখা রয়েছে ইন্টিগ্রালগুলি এই বক্ররেখার পছন্দ থেকে স্বাধীন কারণ উপরের এবং নীচের অর্ধেক সমতল কেবল সংযুক্ত। আসুন কমপ্যাক্ট সাপোর্ট সহ হাইপার ফাংশনগুলির স্থান হতে দিন। দ্বিমাত্রিক ফর্মের মাধ্যমে সংহত সমর্থনের সাথে প্রতিটি হাইপারফাংশনের সাথে একজন সহযোগী একটি অবিচ্ছিন্ন রৈখিক ফাংশন এটি দ্বৈত স্থানের একটি সনাক্তকরণকে প্ররোচিত করে, একটি বিশেষ ক্ষেত্রে বিবেচনা করার মতো বিষয় হল সংহত সমর্থনের সাথে অবিচ্ছিন্ন ফাংশন বা বিতরণের ক্ষেত্রেঃ যদি কেউ (বা) উপরের এম্বেডিংয়ের মাধ্যমে একটি উপসেট হিসাবে বিবেচনা করে, তবে এটি ঠিক ঐতিহ্যবাহী লেবস্গু-ইন্টিগ্রাল গণনা করে। উপরন্তুঃ যদি কম্প্যাক্ট সাপোর্ট সহ একটি ডিস্ট্রিবিউশন হয়, এটি একটি প্রকৃত বিশ্লেষণমূলক ফাংশন, এবং তারপর এইভাবে ইন্টিগ্রেশনের এই ধারণাটি আনুষ্ঠানিক অভিব্যক্তিগুলিকে একটি সুনির্দিষ্ট অর্থ দেয় যা স্বাভাবিক অর্থে অনির্ধারিত। অধিকন্তুঃ কারণ প্রকৃত বিশ্লেষণাত্মক ফাংশনগুলি ঘন হয়। এটি একই এম্বেডিংয়ের একটি বিকল্প বর্ণনা। যদি এর খোলা সেটগুলির মধ্যে একটি প্রকৃত বিশ্লেষণাত্মক মানচিত্র হয়, তবে এর সাথে রচনাটি একটি সু-সংজ্ঞায়িত অপারেটরঃ আরও দেখুন বীজগাণিতিক বিশ্লেষণ সাধারণীকৃত ফাংশন বিতরণ (গণিত) মাইক্রোলোকাল বিশ্লেষণ সিউডো-ডিফারেনশিয়াল অপারেটর শেফ কোহোমোলজি রেফারেন্স। । । । - একে এস. কে. কে বলা হয়। । । । । । । । বাহ্যিক যোগসূত্র বীজগাণিতিক বিশ্লেষণ জটিল বিশ্লেষণ সাধারণ ফাংশন শেফ তত্ত্ব