Spectral shape analysis
জ্যামিতিক আকারের তুলনা ও বিশ্লেষণের জন্য বর্ণালী আকৃতি বিশ্লেষণ ল্যাপ্লাস-বেলট্রামি অপারেটরের বর্ণালীর (আইগেনভ্যালু এবং/অথবা আইগেনফাংশান) উপর নির্ভর করে। যেহেতু ল্যাপ্লাস-বেলট্রামি অপারেটরের বর্ণালী আইসোমেট্রিগুলির অধীনে অপরিবর্তনীয়, তাই এটি অ-অনমনীয় আকারগুলির বিশ্লেষণ বা পুনরুদ্ধারের জন্য উপযুক্ত, অর্থাৎ। বাঁকানো যায় এমন বস্তু যেমন মানুষ, প্রাণী, উদ্ভিদ ইত্যাদি। ল্যাপ্লাস-বেলট্রামি অপারেটর অনেক গুরুত্বপূর্ণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণে জড়িত, যেমন তাপ সমীকরণ এবং তরঙ্গ সমীকরণ। একটি রিম্যানিয়ান ম্যানিফোল্ডে এটিকে একটি বাস্তব-মূল্যবান ফাংশন f-এর গ্রেডিয়েন্টের বিচ্যুতি হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারেঃ এর বর্ণালী উপাদানগুলি হেল্মহোল্টজ সমীকরণ (বা ল্যাপলেসিয়ান আইগেনভ্যালু সমস্যা) সমাধান করে গণনা করা যেতে পারেঃ সমাধানগুলি হল আইগেন ফাংশন (মোড) এবং সংশ্লিষ্ট আইগেনভ্যালু, যা ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যার একটি বিচ্যুতি ক্রমকে উপস্থাপন করে। বন্ধ ডোমেনের জন্য বা নিউম্যান সীমানা শর্ত ব্যবহার করার সময় প্রথম আইগেনভ্যালু শূন্য হয়। কিছু আকারের জন্য, বর্ণালী বিশ্লেষণাত্মকভাবে গণনা করা যেতে পারে (যেমন। আয়তক্ষেত্র, সমতল টরাস, সিলিন্ডার, ডিস্ক বা গোলক)। গোলকের জন্য, উদাহরণস্বরূপ, আইগেন ফাংশনগুলি হল গোলাকার হারমোনিক্স। আইগেনভ্যালু এবং আইগেনফাংশনের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য হল যে এগুলি আইসোমেট্রি অপরিবর্তনীয়। অন্য কথায়, যদি আকৃতিটি প্রসারিত না হয় (যেমন। তৃতীয় মাত্রায় বাঁকানো কাগজের একটি শীট), বর্ণালী মানগুলি পরিবর্তন হবে না। প্রাণী, উদ্ভিদ এবং মানুষের মতো বাঁকানো বস্তুগুলি জয়েন্টগুলিতে কেবল ন্যূনতম প্রসারিত সহ শরীরের বিভিন্ন ভঙ্গিমায় যেতে পারে। ফলস্বরূপ আকারগুলিকে নিকট-আইসোমেট্রিক বলা হয় এবং বর্ণালী আকৃতি বিশ্লেষণ ব্যবহার করে তুলনা করা যেতে পারে। পৃথকীকরণ জ্যামিতিক আকারগুলি প্রায়শই 2ডি বাঁকা পৃষ্ঠ, 2ডি পৃষ্ঠ জাল (সাধারণত ত্রিভুজ জাল) বা 3ডি কঠিন বস্তু (যেমন। ভক্সেল বা টেট্রাহেড্রা মেশ ব্যবহার করে)। এই সমস্ত ক্ষেত্রে হেল্মহোল্টজ সমীকরণের সমাধান করা যেতে পারে। যদি একটি সীমানা বিদ্যমান থাকে, যেমন। একটি বর্গক্ষেত্র, বা যে কোনও 3ডি জ্যামিতিক আকৃতির আয়তন, সীমানা শর্ত নির্দিষ্ট করা প্রয়োজন। বিভিন্ন ধরনের জ্যামিতি উপস্থাপনের জন্য ল্যাপ্লাস অপারেটরের বেশ কয়েকটি বিচ্যুতি রয়েছে (ডিসক্রিট ল্যাপ্লাস অপারেটর দেখুন)। এই অপারেটরগুলির মধ্যে অনেকগুলি অন্তর্নিহিত অবিচ্ছিন্ন অপারেটরকে আনুমানিকভাবে অনুমান করে না। বর্ণালী আকৃতির বর্ণনাকারী শেপডিএনএ এবং এর রূপগুলি শেপডিএনএ প্রথম বর্ণালী আকৃতির বর্ণনাকারীদের মধ্যে একটি। এটি ল্যাপ্লাস-বেলট্রামি অপারেটরের আইগেনভ্যালুগুলির স্বাভাবিক প্রারম্ভিক ক্রম। এর প্রধান সুবিধাগুলি হল সরল উপস্থাপনা (সংখ্যার একটি ভেক্টর) এবং তুলনা, স্কেল ইনভেরিয়েন্স এবং এর সরলতা সত্ত্বেও অ-অনমনীয় আকারের আকৃতি পুনরুদ্ধারের জন্য একটি খুব ভাল পারফরম্যান্স। ডিএনএ আকৃতির প্রতিযোগীদের মধ্যে রয়েছে জিওডেসিক ডিস্টেন্স ম্যাট্রিক্স (এসডি-জিডিএম) এবং রিডিউসড বিহার্মোনিক ডিস্টেন্স ম্যাট্রিক্স (আর-বিআইএইচডিএম)-এর একক মান। যাইহোক, আইগেনভ্যালুগুলি গ্লোবাল বর্ণনাকারী, তাই স্থানীয় বা আংশিক আকৃতি বিশ্লেষণের জন্য আকৃতি ডিএনএ এবং অন্যান্য গ্লোবাল বর্ণালী বর্ণনাকারী ব্যবহার করা যায় না। গ্লোবাল পয়েন্ট সিগনেচার (জিপিএস) একটি বিন্দুতে গ্লোবাল পয়েন্ট সিগনেচার হল ল্যাপ্লাস-বেলট্রামি অপারেটরের স্কেল করা আইগেন ফাংশনগুলির একটি ভেক্টর যা (অর্থাৎ। আকৃতির বর্ণালী এম্বেডিং)। জিপিএস এই অর্থে একটি বৈশ্বিক বৈশিষ্ট্য যে এটি আংশিক আকৃতির মিলনের জন্য ব্যবহার করা যাবে না। হিট কার্নেল সিগনেচার (এইচ. কে. এস) হিট কার্নেল সিগনেচার হিট কার্নেলের আইগেন-ডিকম্পোজিশন ব্যবহার করেঃ পৃষ্ঠের প্রতিটি বিন্দুর জন্য হিট কার্নেলের তির্যক নির্দিষ্ট সময় মানগুলিতে নমুনা নেওয়া হয় এবং একটি স্থানীয় স্বাক্ষর প্রদান করে যা আংশিক মিল বা প্রতিসাম্য সনাক্তকরণের জন্যও ব্যবহার করা যেতে পারে। তরঙ্গ কার্নেল স্বাক্ষর (ডব্লিউ. কে. এস) ডব্লিউ. কে. এস এইচ. কে. এস-এর অনুরূপ ধারণা অনুসরণ করে, তাপ সমীকরণকে শ্রোডিঙ্গার তরঙ্গ সমীকরণের সাথে প্রতিস্থাপন করে। উন্নত তরঙ্গ কার্নেল স্বাক্ষর (আই. ডব্লিউ. কে. এস) আইগেনভ্যালুতে একটি নতুন স্কেলিং ফাংশন প্রবর্তন করে এবং একটি নতুন বক্রতা শব্দ একত্রিত করে আই. ডব্লিউ. কে. এস অ-কঠোর আকৃতি পুনরুদ্ধারের জন্য ডব্লিউ. কে. এস-কে উন্নত করে। স্পেকট্রাল গ্রাফ ওয়েভলেট সিগনেচার (এসজিডব্লিউএস) এসজিডব্লিউএস একটি স্থানীয় বর্ণনাকারী যা কেবল আইসোমেট্রিক অপরিবর্তনীয়ই নয়, কম্প্যাক্ট, গণনা করা সহজ এবং ব্যান্ড-পাস এবং লো-পাস ফিল্টার উভয়ের সুবিধার সংমিশ্রণ। এসজিডব্লিউএস-এর একটি গুরুত্বপূর্ণ দিক হল ডাব্লুকেএস এবং এইচকেএস-এর সুবিধাগুলি একক স্বাক্ষরের মধ্যে একত্রিত করার ক্ষমতা, যখন আকারের একটি বহু-রেজোলিউশন উপস্থাপনের অনুমতি দেয়। স্পেকট্রাল ম্যাচিং জটিল আকারের সাথে যুক্ত গ্রাফ ল্যাপলেসিয়ানের বর্ণালী পচন (ডিসক্রিট ল্যাপলেস অপারেটর দেখুন) আইগেন ফাংশন (মোড) সরবরাহ করে যা আইসোমেট্রিগুলির অপরিবর্তনীয়। আকৃতির প্রতিটি শীর্ষকে প্রতিটি বিন্দুতে আইগেনমোডাল মানগুলির সংমিশ্রণের সাথে অনন্যভাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে, কখনও কখনও বর্ণালী স্থানাঙ্ক বলা হয়ঃ বর্ণালী মিলনের মধ্যে বিভিন্ন আকৃতির শীর্ষগুলি জোড়া দিয়ে বিন্দু যোগাযোগ স্থাপন করা হয় যার বর্ণালী স্থানাঙ্ক সবচেয়ে অনুরূপ। প্রাথমিক কাজ স্টেরিওস্কোপির জন্য বিরল চিঠিপত্রের উপর দৃষ্টি নিবদ্ধ করে। গণনামূলক দক্ষতা এখন সম্পূর্ণ জালের উপর ঘন যোগাযোগ সক্ষম করে, উদাহরণস্বরূপ কর্টিকাল পৃষ্ঠের মধ্যে। স্পেকট্রাল ম্যাচিং জটিল অ-অনমনীয় চিত্র নিবন্ধনের জন্যও ব্যবহার করা যেতে পারে, যা উল্লেখযোগ্যভাবে কঠিন যখন চিত্রগুলির খুব বড় বিকৃতি থাকে। বর্ণালী আইগেনমোডাল মানগুলির উপর ভিত্তি করে এই জাতীয় চিত্র নিবন্ধকরণ পদ্ধতিগুলি প্রকৃতপক্ষে বিশ্বব্যাপী আকৃতির বৈশিষ্ট্যগুলি ধারণ করে এবং প্রচলিত অ-কঠোর চিত্র নিবন্ধকরণ পদ্ধতির সাথে বৈপরীত্য যা প্রায়শই স্থানীয় আকৃতির বৈশিষ্ট্যগুলির উপর ভিত্তি করে (যেমন, চিত্রের গ্রেডিয়েন্ট)। তথ্যসূত্র চিত্র প্রক্রিয়াকরণ ডিজিটাল জ্যামিতি টপোলজি ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতি