Gauss's lemma (number theory)
সংখ্যা তত্ত্বে গাউসের লেম্মা একটি পূর্ণসংখ্যার জন্য একটি দ্বিঘাত অবশিষ্টাংশ হওয়ার শর্ত দেয়। যদিও এটি গণনামূলকভাবে কার্যকর নয়, তবে এর তাত্ত্বিক তাৎপর্য রয়েছে, যা দ্বিঘাত পারস্পরিকতার কিছু প্রমাণের সাথে জড়িত। কার্ল ফ্রেডরিখ গাউসের তৃতীয় দ্বিঘাত পারস্পরিকতার প্রমাণ (1808)-এ এটি প্রথম আবির্ভূত হয় এবং তিনি তার পঞ্চম প্রমাণ (1818)-এ এটি আবার প্রমাণ করেন। লেম্মার বিবৃতি যে কোনও বিজোড় মৌলিক সংখ্যার জন্য একটি পূর্ণসংখ্যা হতে হবে যা সহমৌলিক। পূর্ণসংখ্যা এবং তাদের সর্বনিম্ন ধনাত্মক অবশিষ্টাংশ মডুলো বিবেচনা করুন। এই অবশিষ্টাংশগুলি সবই স্বতন্ত্র, তাই (এগুলির মধ্যে) রয়েছে। ধরা যাক এই অবশিষ্টাংশগুলির সংখ্যা এর চেয়ে বেশি। তাহলে লেজেন্ডারের প্রতীক কোথায়? উদাহরণস্বরূপ = 11 এবং = 7 গ্রহণ করলে, পূর্ণসংখ্যার প্রাসঙ্গিক ক্রম হল 7,14,21,28,35। হ্রাস মডুলো 11-এর পরে, এই ক্রমটি 7,3,10,6,2 হয়ে যায়। এর মধ্যে তিনটি পূর্ণসংখ্যা 11/2 (যথা 6,7 এবং 10) এর চেয়ে বড়, তাই = 3। অনুরূপভাবে গাউসের লেম্মা ভবিষ্যদ্বাণী করে যে এটি প্রকৃতপক্ষে সঠিক, কারণ 7 একটি দ্বিঘাত অবশিষ্টাংশ মডুলো 11 নয়। 7, 3, 10, 6, 2 অবশিষ্টাংশের উপরের ক্রমটিও −4,3, −1, −5,2 লেখা যেতে পারে। এই রূপে, 11/2 এর চেয়ে বড় পূর্ণসংখ্যাগুলি ঋণাত্মক সংখ্যা হিসাবে প্রদর্শিত হয়। এটাও স্পষ্ট যে, অবশিষ্টাংশের পরম মানগুলি হল 1,2,3,4,5 অবশিষ্টাংশের একটি বিন্যাস। প্রমাণ একটি মোটামুটি সহজ প্রমাণ, যা ফারমাটের ক্ষুদ্র উপপাদ্যের অন্যতম সহজ প্রমাণের স্মরণ করিয়ে দেয়, দুটি ভিন্ন উপায়ে পণ্য মডুলো পি মূল্যায়ন করে পাওয়া যেতে পারে। একদিকে এটি সমান, অন্যদিকে মূল্যায়নের জন্য আরও বেশি পরিশ্রম করতে হয়। যদি একটি অ-শূন্য অবশিষ্টাংশ মডুলো হয়, তাহলে আসুন এর "পরম মান" সংজ্ঞায়িত করা যাক যেহেতু পরবর্তী পরিসরে থাকা গুণিতকগুলি গণনা করা হয়, এবং যেহেতু সেই গুণিতকগুলির জন্য, প্রথম পরিসরে রয়েছে, তাই আমাদের এখন লক্ষ্য করতে হবে যে মানগুলি এর জন্য স্বতন্ত্র। প্রকৃতপক্ষে, আমাদের আছে কারণ এটি সহমৌলিক। এটি দেয় =, যেহেতু এবং ধনাত্মক সর্বনিম্ন অবশিষ্টাংশ। কিন্তু ঠিক এগুলি রয়েছে, তাই তাদের মানগুলি পূর্ণসংখ্যার পুনর্বিন্যাস। অতএব, আমাদের প্রথম মূল্যায়নের সাথে তুলনা করলে, আমরা অ-শূন্য ফ্যাক্টরটি বাতিল করতে পারি এবং আমাদের কাছে বাকি থাকে এটি কাঙ্ক্ষিত ফলাফল, কারণ ইউলারের মানদণ্ড অনুসারে বাম দিকটি লেজেন্ড্রে প্রতীকের জন্য কেবল একটি বিকল্প অভিব্যক্তি। সাধারণীকরণ যে কোনও বিজোড় মৌলিক সংখ্যার জন্য একটি পূর্ণসংখ্যা হতে হবে যা সহমৌলিক। এমন একটি সেট হতে দিন যা এবং এর বিচ্ছিন্ন মিলন। তারপর, কোথায়। মূল বিবৃতিতে বলা হয়েছে, প্রমাণ প্রায় একই। প্রয়োগগুলি গাউসের লেম্মা বহু ক্ষেত্রে ব্যবহৃত হয়, তবে কোনওভাবেই সমস্ত নয়, দ্বিঘাত পারস্পরিকতার পরিচিত প্রমাণগুলির। উদাহরণস্বরূপ, গথোল্ড আইজেনস্টাইন গাউসের লেম্মা ব্যবহার করে প্রমাণ করেন যে যদি একটি বিজোড় মৌলিক সংখ্যা হয় এবং দ্বিঘাত পারস্পরিকতা প্রমাণ করার জন্য এই সূত্রটি ব্যবহার করেন। বৃত্তাকার ফাংশনের পরিবর্তে উপবৃত্তাকার ব্যবহার করে তিনি ঘন এবং চতুষ্কোণ পারস্পরিকতার নিয়মগুলি প্রমাণ করেছিলেন। লিওপোল্ড ক্রোনেকার লেম্মা ব্যবহার করে দেখিয়েছিলেন যে স্যুইচিং এবং অবিলম্বে দ্বিঘাত পারস্পরিকতা দেয়। এটি সম্ভবত "দ্বিতীয় সম্পূরক সূত্র"-এর সহজতম প্রমাণগুলিতেও ব্যবহৃত হয় যা উচ্চতর শক্তির অবশিষ্ট চিহ্নগুলি গণনা করতে গাউসের লেম্মার উচ্চতর শক্তির সাধারণীকরণ ব্যবহার করা যেতে পারে। দ্বিবিস্তরীয় পারস্পরিকতার উপর তাঁর দ্বিতীয় মনোগ্রাফটিতে, গাউস একটি চতুর্থ-শক্তির লেম্মা ব্যবহার করে গাউসিয়ান পূর্ণসংখ্যার বলয়ের দ্বিবিস্তরীয় চরিত্রের সূত্রটি বের করেন। পরবর্তীকালে, আইজেনস্টাইন ঘন এবং চতুষ্কোণ পারস্পরিকতা প্রমাণ করতে তৃতীয় এবং চতুর্থ-শক্তির সংস্করণ ব্যবহার করেছিলেন। ধরা যাক k একটি বীজগাণিতিক সংখ্যা ক্ষেত্র যেখানে পূর্ণসংখ্যার বলয় রয়েছে এবং এটি একটি মৌলিক আদর্শ। এর আদর্শ আদর্শকে অবশিষ্টাংশ শ্রেণীর বলয়ের কার্ডিনালিটি হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। যেহেতু এটি মৌলিক, এটি একটি সসীম ক্ষেত্র, তাই আদর্শ আদর্শ হল। ধরে নিন যে ঐক্যের একটি আদিম মূল এবং সেটি এবং সহমৌলিক (অর্থাৎ। )। তাহলে ঐক্যের কোনও দুটি স্বতন্ত্র মূল সর্বব্যাপী মডুলো হতে পারে না। এটি দ্বন্দ্ব দ্বারা প্রমাণ করা যেতে পারে, সেই মোড ধরে নিয়ে শুরু করা যেতে পারে। এই ধরনের মোড, এবং। ঐক্যের মূলের সংজ্ঞা থেকে, এবং দ্বারা ভাগ করলে পাওয়া যায় লেটিং এবং অবশিষ্টাংশ গ্রহণ মোড, যেহেতু এবং সহমৌলিক, মোড কিন্তু অনুমানের অধীনে, ডানদিকের একটি ফ্যাক্টর অবশ্যই শূন্য হতে হবে। অতএব, দুটি স্বতন্ত্র মূল সর্বসম বলে যে ধারণা করা হয় তা মিথ্যা। সুতরাং, এর শক্তি ধারণকারী অবশিষ্টাংশ শ্রেণীগুলি হল এর (গুণিতক) একক গোষ্ঠীর ক্রমের একটি উপগোষ্ঠী, অতএব, এর ক্রমটি এর একটি গুণিতক, এবং এতে ফার্মাটের উপপাদ্যের একটি সাদৃশ্য রয়েছে। যদি জন্য, তারপর এবং থেকে মোড, ভালভাবে সংজ্ঞায়িত এবং ঐক্যের একটি অনন্য মূলের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ। একতার এই মূলটিকে থ-পাওয়ার অবশিষ্টাংশ প্রতীক বলা হয় এবং এটি দ্বারা চিহ্নিত করা হয় এটি প্রমাণ করা যেতে পারে যে যদি এবং শুধুমাত্র যদি এমন একটি মোড থাকে। 1/n পদ্ধতিগুলি একতার মূলের গুণিতক গোষ্ঠী হিসাবে ধরা যাক, এবং এর কোসেটগুলির প্রতিনিধি হিসাবে ধরা যাক। তারপর সেটটিকে একটি সিস্টেম মোড বলা হয়। অন্য কথায়, সেটটিতে সংখ্যা রয়েছে এবং এই সেটটি লেম্মার মূল সংস্করণে ব্যবহৃত সংখ্যাগুলির জন্য একটি প্রতিনিধি সেট গঠন করে। একটি সিস্টেম তৈরি করা সহজবোধ্যঃ যেকোনও বেছে নেওয়ার জন্য একটি প্রতিনিধি সেট হতে দিন এবং থেকে সঙ্গতিপূর্ণ সংখ্যাগুলি সরিয়ে ফেলুন। শেষ না হওয়া পর্যন্ত পুনরাবৃত্তির সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ সংখ্যাগুলি থেকে বেছে নিন এবং সরিয়ে ফেলুন। তারপর একটি সিস্টেম মোড nth পাওয়ারের জন্য লেম্মা গাউসের লেম্মা নিম্নরূপ th পাওয়ার অবশিষ্টাংশ প্রতীকে প্রসারিত করা যেতে পারে। আসুন ঐক্যের একটি আদিম মূল, একটি প্রধান আদর্শ, (অর্থাৎ। তারপর প্রত্যেকটির জন্য, পূর্ণসংখ্যা, অনন্য (মোড), এবং অনন্য (মোড) রয়েছে, যেমন যে এবং থ-পাওয়ার অবশিষ্ট চিহ্ন সূত্র দ্বারা দেওয়া হয়। প্রমাণ থ-পাওয়ার লেম্মার প্রমাণ একই ধারণা ব্যবহার করে যা চতুর্ভুজ লেম্মার প্রমাণ হিসাবে ব্যবহৃত হয়েছিল। পূর্ণসংখ্যা এবং, এবং তাদের স্বতন্ত্রতা (মোড) এবং (মোড), যথাক্রমে, একটি প্রতিনিধিত্বমূলক সেট থেকে আসে। ধরে নিন যে = =, অর্থাৎ। এবং তারপর কারণ এবং সহমৌলিক উভয় পক্ষকে দ্বারা ভাগ করা যেতে পারে, যা প্রদান করে, যেহেতু একটি সিস্টেম, বোঝায় এবং দেখায় যে এটি সেটের একটি বিন্যাস। তারপর একদিকে, শক্তির অবশিষ্টাংশ প্রতীকের সংজ্ঞা অনুসারে, এবং অন্যদিকে, যেহেতু একটি বিন্যাস, তাই এবং যেহেতু সকলের জন্য, এবং সহমৌলিক, সঙ্গতির উভয় দিক থেকে বাতিল করা যেতে পারে, এবং উপপাদ্যটি এই সত্য থেকে অনুসরণ করে যে ঐক্যের কোনও দুটি স্বতন্ত্র মূলই সঙ্গতিপূর্ণ (মোড) হতে পারে না। গ্রুপ তত্ত্বে স্থানান্তরের সাথে সম্পর্ক ধরা যাক শূন্যেতর অবশিষ্টাংশ শ্রেণীর গুণিতক গোষ্ঠী, এবং উপগোষ্ঠী {+ 1, −1} হতে দিন। নিম্নলিখিত কোসেট প্রতিনিধিদের বিবেচনা করুন, কোসেট প্রতিনিধিদের এই সংগ্রহে স্থানান্তরের যন্ত্রপাতি প্রয়োগ করে, আমরা স্থানান্তর সমরূপতা অর্জন করি যা মানচিত্র হিসাবে পরিণত হয় যা লেম্মার বিবৃতির মতো, কোথায় এবং কোথায় পাঠায়। গাউসের লেম্মাকে তখন একটি গণনা হিসাবে দেখা যেতে পারে যা স্পষ্টভাবে এই সমরূপতাকে দ্বিঘাত অবশিষ্টাংশ চরিত্র হিসাবে চিহ্নিত করে। আরও দেখুন জোলোটারেভের লেম্মা রেফারেন্স সংখ্যা তত্ত্বে প্রমাণ সম্বলিত নিবন্ধ সংখ্যা তত্ত্বে মডুলার গাণিতিক চতুর্ভুজ অবশিষ্টাংশ বর্গ সংখ্যা তত্ত্বে