Madhava's correction term
মাধবের সংশোধন শব্দটি একটি গাণিতিক অভিব্যক্তি যা কেরলের জ্যোতির্বিজ্ঞান ও গণিতের প্রতিষ্ঠাতা সঙ্গমগ্রামের মাধবকে (আনুমানিক 1340-আনুমানিক 1425) দায়ী করা হয়, যা গাণিতিক ধ্রুবকের (পাই) মানের জন্য মাধব-লিবনিজ অসীম সিরিজটি কেটে প্রাপ্ত আংশিক যোগফলের অনুমানের চেয়ে আরও ভাল অনুমান দিতে ব্যবহার করা যেতে পারে। মাধব-লাইবনিজ অসীম সিরিজের জন্য প্রথম পদগুলির আংশিক যোগফল নিয়ে আমাদের নিম্নলিখিত অনুমান রয়েছেঃ মাধব সংশোধন শব্দটিকে দ্বারা বোঝাতে, আমাদের নিম্নলিখিত আরও ভাল অনুমান রয়েছেঃ তিনটি ভিন্ন অভিব্যক্তি মাধবকে সম্ভাব্য মান হিসাবে দায়ী করা হয়েছে, যথা, কেরালা বিদ্যালয়ের গণিতবিদদের বিদ্যমান লেখায় কীভাবে সংশোধন পদগুলি এবং প্রাপ্ত হয়েছে সে সম্পর্কে কিছু ইঙ্গিত রয়েছে, তবে অভিব্যক্তিটি কীভাবে প্রাপ্ত হয়েছে তার কোনও ইঙ্গিত নেই। এর ফলে সূত্রগুলি কীভাবে উদ্ভূত হতে পারে সে সম্পর্কে অনেক অনুমানমূলক কাজ করা হয়েছে। কেরালার গ্রন্থে প্রদত্ত সংশোধনের শর্তাবলী 1530 খ্রিষ্টাব্দের দিকে কেরালার গণিত বিভাগের ভারতীয় জ্যোতির্বিজ্ঞানী জ্যেষ্ঠদেব রচিত গণিত ও জ্যোতির্বিজ্ঞানের উপর একটি প্রধান গ্রন্থ যুক্তিবশে এর জন্য এবং এর জন্য অভিব্যক্তিগুলি স্পষ্টভাবে দেওয়া হয়েছে, তবে এটি কেবল যুক্তির একটি পদক্ষেপ হিসাবে উপস্থিত হয় যা এর উৎপত্তির দিকে পরিচালিত করে। কেরলের জ্যোতির্বিজ্ঞান ও গণিত বিভাগের একজন জ্যোতির্বিজ্ঞানী/গণিতবিদ নীলকণ্ঠ সোমায়াজি রচিত এবং 1501 সালে সমাপ্ত তন্ত্রসঙ্গ্রহের যুক্তিদিপিকা-লঘুভৃতি ভাষ্যটি নিম্নলিখিত শ্লোকগুলিতে দ্বিতীয় সংশোধন শব্দটি উপস্থাপন করেছে (অধ্যায় 2ঃ আয়াত 271-274): আয়াতগুলির ইংরেজি অনুবাদঃ "ব্যাসের সাথে 4 দ্বারা গুণ করলে পর্যায়ক্রমে যোগ এবং বিয়োগ করুন যাতে ব্যাসকে 4 দ্বারা গুণ করা হয় এবং বিজোড় সংখ্যা 3,5 দ্বারা আলাদাভাবে ভাগ করা হয় ইত্যাদি। যে বিজোড় সংখ্যায় এই প্রক্রিয়াটি শেষ হয়, ব্যাসের চারগুণ পরবর্তী জোড় সংখ্যা দ্বারা গুণিত হওয়া উচিত, অর্ধেক এবং [তারপর] সেই [জোড়] সংখ্যার বর্গের সাথে যোগ করা এক দ্বারা ভাগ করা উচিত। ফলাফলটি যোগ বা বিয়োগ করতে হবে কারণ শেষ পদটি বিয়োগ বা যোগ করা হয়েছিল। এটি সেই প্রক্রিয়াটি চালিয়ে যাওয়ার চেয়ে পরিধিটি আরও সঠিকভাবে দেয়। আধুনিক স্বরলিপিতে এটি নিম্নরূপ বলা যেতে পারে (বৃত্তের ব্যাস কোথায়): পরিধি যদি আমরা সেট করি, উপরের সমীকরণের ডান দিকের শেষ পদটি কমে যায়। একই ভাষ্যটি নিম্নলিখিত আয়াতগুলিতে সংশোধন শব্দটিও দেয় (অধ্যায় 2ঃ আয়াত 295-296): আয়াতগুলির ইংরেজি অনুবাদঃ "একটি সূক্ষ্ম পদ্ধতি, আরেকটি সংশোধন সহ। [ধরে রাখুন] প্রথম পদ্ধতিতে বিজোড় সংখ্যা, 3,5 ইত্যাদি দ্বারা ব্যাসের চারগুণ ভাগ করা হয়। [কিন্তু] তারপর যোগ বা বিয়োগ করুন [ব্যাসের চারগুণ] এক দ্বারা গুণিত হলে পরের জোড় সংখ্যার সাথে অর্ধেক এবং বর্গ যোগ করা হয়, এবং এক দ্বারা ভাগ করলে পূর্ববর্তী গুণকের চারগুণ যোগ করা হয় [এর সাথে] অর্ধেক জোড় সংখ্যার সাথে গুণ করা হয়। আধুনিক স্বরলিপিতে, এটি নিম্নরূপ বলা যেতে পারেঃ যেখানে "গুণক" যদি আমরা সেট করি, উপরের সমীকরণের ডান দিকের শেষ পদটি কমে যায়। সংশোধন শর্তাবলীর নির্ভুলতা যাক। তারপর, লেখার সময়, ত্রুটিগুলির নিম্নলিখিত সীমা থাকেঃ গণনায় ত্রুটির সংখ্যাসূচক মান এই আনুমানিক মানগুলি গণনায় ব্যবহার করার ক্ষেত্রে ত্রুটিগুলি হল নিম্নলিখিত টেবিলটি এর কয়েকটি নির্বাচিত মানের জন্য এই ত্রুটিগুলির মান দেয়। সংশোধন পদগুলির জন্য অব্যাহত ভগ্নাংশ অভিব্যক্তি এটি লক্ষ্য করা গেছে যে সংশোধন পদগুলি নিম্নলিখিত অব্যাহত ভগ্নাংশ অভিব্যক্তিগুলির প্রথম তিনটি অভিসারীঃ যে ফাংশন সমীকরণটিকে সঠিকভাবে উপস্থাপন করে তা নিম্নলিখিত আকারে প্রকাশ করা যেতে পারেঃ এই অসীম অব্যাহত ভগ্নাংশের প্রথম তিনটি অভিসারী সঠিকভাবে মাধবের সংশোধন পদ। এছাড়াও, এই ফাংশনের নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্য রয়েছেঃ হায়াশি ও অন্যান্যদের দ্বারা অনুমানমূলক উৎপত্তি। 1990 সালে প্রকাশিত একটি গবেষণাপত্রে, তিন জাপানি গবেষকের একটি দল একটি উদ্ভাবনী পদ্ধতির প্রস্তাব দিয়েছিল যার মাধ্যমে মাধব সম্ভবত তিনটি সংশোধন পদ পেয়েছিলেন। তাদের প্রস্তাব দুটি অনুমানের উপর ভিত্তি করেঃ মাধব এর মান হিসাবে ব্যবহার করেছিলেন এবং তিনি বিভাজনের জন্য ইউক্লিডীয় অ্যালগরিদম ব্যবহার করেছিলেন। মানগুলি লেখা এবং গণনা করা তাদের সংখ্যা হিসাবে 1 সহ একটি ভগ্নাংশ হিসাবে প্রকাশ করে এবং পরিশেষে আনুমানিক প্রাপ্তির জন্য হরের ভগ্নাংশ অংশগুলিকে উপেক্ষা করেঃ এটি নিম্নলিখিত প্রথম অনুমানের পরামর্শ দেয় যা সংশোধন শব্দটি যা আগে বলা হয়েছিল। যে ভগ্নাংশগুলিকে উপেক্ষা করা হয়েছিল সেগুলিকে তারপর 1 দিয়ে সংখ্যাসূচক হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে, পরবর্তী অনুমান পেতে হরের ভগ্নাংশ অংশগুলিকে উপেক্ষা করা হয়। এই ধরনের দুটি ধাপ হলঃ এটি পরবর্তী দুটি আনুমানিক সংশোধন শর্তাবলীর ঠিক অনুরূপ এবং মাধবকে দায়ী করে। আরও দেখুন মাধব সিরিজ মাধবের সাইন টেবিল রেফারেন্স অতিরিক্ত পাঠ পাই হিস্ট্রি অফ ক্যালকুলাস কেরালা স্কুল অফ অ্যাস্ট্রোনমি অ্যান্ড ম্যাথমেটিকাল সিরিজ