Dehn invariant
জ্যামিতিতে, ডেহন অপরিবর্তনীয় একটি মান যা নির্ধারণ করতে ব্যবহৃত হয় যে একটি পলিহেড্রনকে টুকরো টুকরো করে কেটে অন্যটিতে পুনরায় একত্রিত করা যেতে পারে ("বিচ্ছিন্ন"), এবং একটি পলিহেড্রন বা তার বিচ্ছিন্নতা স্থান টাইল করতে পারে কিনা। এটি ম্যাক্স ডেনের নামে নামকরণ করা হয়েছে, যিনি হিলবার্টের তৃতীয় সমস্যা সমাধানের জন্য এটি ব্যবহার করেছিলেন প্রমাণ করে যে সমান আয়তনের সমস্ত পলিহেড্রা একে অপরের মধ্যে বিচ্ছিন্ন করা যায় না। দুটি পলিহেড্রার পলিহেড্রাল টুকরোতে একটি বিভাজন রয়েছে যা উভয় একটিতে পুনরায় একত্রিত করা যেতে পারে, যদি এবং শুধুমাত্র যদি তাদের আয়তন এবং ডেহন অপরিবর্তনীয় সমান হয়। স্থান-পূরণকারী পলিহেড্রন হওয়ার জন্য ডেহন অপরিবর্তনীয় শূন্য থাকা একটি প্রয়োজনীয় (কিন্তু যথেষ্ট নয়) শর্ত, এবং একটি পলিহেড্রনকে কেটে একটি স্থান-পূরণকারী পলিহেড্রনে পুনরায় একত্রিত করা যেতে পারে যদি এবং শুধুমাত্র যদি তার ডেহন অপরিবর্তনীয় শূন্য হয়। একটি স্ব-ছেদ-মুক্ত নমনীয় পলিহেড্রনের ডেহন অপরিবর্তনীয় পরিবর্তনশীল হওয়ার সাথে সাথে অপরিবর্তনীয়। ডেহন অপরিবর্তনীয়গুলি উচ্চতর মাত্রায় বিচ্ছেদের জন্য একটি অপরিবর্তনীয় এবং (আয়তনের সাথে) চারটি মাত্রায় একটি সম্পূর্ণ অপরিবর্তনীয়। ঘনক্ষেত্রের জন্য ডেহন অপরিবর্তনীয় শূন্য কিন্তু অন্যান্য প্লেটোনিক কঠিন পদার্থের জন্য অ-শূন্য, যার অর্থ হল যে অন্যান্য কঠিন পদার্থগুলি স্থান টাইল করতে পারে না এবং সেগুলিকে একটি ঘনক্ষেত্রে বিচ্ছিন্ন করা যায় না। সমস্ত আর্কিমিডিয়ান কঠিন পদার্থের ডেহন অপরিবর্তনীয় রয়েছে যা প্লেটোনিক কঠিন পদার্থের অপরিবর্তনীয় পদার্থের যুক্তিসঙ্গত সংমিশ্রণ। বিশেষত, কাটা অক্টা-হেড্রনটিও স্থান টাইলস করে এবং ঘনক্ষেত্রের মতো ডেহন অপরিবর্তনীয় শূন্য থাকে। পলিহেড্রার ডেহন অপরিবর্তনীয় সংখ্যা নয়। পরিবর্তে, তারা একটি অসীম-মাত্রিক টেনসর স্থানের উপাদান। একটি আবেলিয়ান গোষ্ঠী হিসাবে দেখা এই স্থানটি গোষ্ঠী সমতাত্ত্বিকতার সাথে জড়িত একটি সঠিক ক্রমের অংশ। অক্ষ-সমান্তরাল কাটা এবং অনুবাদ দ্বারা আয়তক্ষেত্রাকার বহুভুজগুলিকে একে অপরের মধ্যে বিচ্ছিন্ন করার সমস্যা সহ কিছু অন্যান্য বিচ্ছিন্ন ধাঁধার জন্যও অনুরূপ অপরিবর্তনীয়কে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। পটভূমি এবং ইতিহাস দুটি মাত্রায়, 19 শতকের গোড়ার দিকের ওয়ালেস-বলাই-গারউইন উপপাদ্য বলে যে সমান আয়তনের যে কোনও দুটি বহুভুজকে বহুভুজ খণ্ডে বিভক্ত করা যেতে পারে এবং একে অপরের সাথে পুনরায় একত্রিত করা যেতে পারে। 19 শতকের শেষের দিকে ডেভিড হিলবার্ট এই ফলাফলের প্রতি আগ্রহী হয়ে ওঠেন। তিনি ইউক্লিডীয় জ্যামিতির জন্য হিলবার্টের স্বতঃসিদ্ধির সাথে সম্পর্কিত দ্বি-মাত্রিক বহুভুজের ক্ষেত্রফলকে স্বতঃসিদ্ধ করার উপায় হিসাবে এটি ব্যবহার করেছিলেন। এটি জ্যামিতির ভিত্তিকে আরও কঠোর করার একটি কর্মসূচির অংশ ছিল, ইউক্লিডের উপাদানগুলি আরও স্বজ্ঞাতভাবে পরিচালনা করেছিল এমন ক্ষেত্রের মতো স্পষ্ট ধারণাগুলিকে বিবেচনা করে। স্বাভাবিকভাবেই, এটি একটি প্রশ্ন উত্থাপন করেছিল যে অনুরূপ স্বতঃসিদ্ধ চিকিত্সা কঠিন জ্যামিতিতে প্রসারিত করা যেতে পারে কিনা। 1900 সালে গণিতবিদদের আন্তর্জাতিক কংগ্রেসে হিলবার্ট হিলবার্টের সমস্যাগুলি প্রণয়ন করেন, যা বিংশ শতাব্দীর গণিতে অত্যন্ত প্রভাবশালী হয়ে ওঠে। এর মধ্যে একটি, হিলবার্টের তৃতীয় সমস্যা, কঠিন আয়তনের স্বতঃসিদ্ধকরণের উপর এই প্রশ্নটিকে সম্বোধন করেছে। হিলবার্টের তৃতীয় সমস্যাটি আরও সুনির্দিষ্টভাবে জিজ্ঞাসা করা হয়েছিল, সমান আয়তনের প্রতিটি দুটি পলিহেড্রাকে সর্বদা পলিহেড্রাল টুকরো করে কেটে একে অপরের সাথে পুনরায় একত্রিত করা যেতে পারে কিনা। যদি এটি হয়, তবে যে কোনও পলিহেড্রনের আয়তনকে স্বতঃসিদ্ধভাবে একটি সমতুল্য ঘনক্ষেত্রের আয়তন হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে যার মধ্যে এটি পুনরায় একত্রিত করা যেতে পারে। যাইহোক, উত্তরটি নেতিবাচক বলে প্রমাণিত হয়েছেঃ সমস্ত পলিহেড্রা কিউবগুলিতে বিচ্ছিন্ন করা যায় না। হিলবার্টের অন্যান্য কিছু সমস্যার বিপরীতে, তৃতীয় সমস্যার উত্তর খুব দ্রুত এসেছিল। প্রকৃতপক্ষে, রাউল ব্রিকার্ড ইতিমধ্যে 1896 সালে এটিকে একটি উপপাদ্য হিসাবে দাবি করেছিলেন, তবে একটি প্রমাণ সহ যা অসম্পূর্ণ বলে প্রমাণিত হয়েছিল। হিলবার্টের ছাত্র ম্যাক্স ডেন তাঁর 1900 হ্যাবিলিটেশন থিসিসে এই সমস্যা সমাধানের জন্য ডেন ইনভ্যারিয়েন্ট আবিষ্কার করেছিলেন। ডেহন প্রমাণ করেছিলেন যে, একে অপরের মধ্যে পুনরায় একত্রিত হওয়ার জন্য, সমান আয়তনের দুটি পলিহেড্রারও সমান ডেহন অপরিবর্তনীয় হওয়া উচিত, তবে তিনি সমান আয়তনের দুটি টেট্রাহেড্রার সন্ধান পেয়েছিলেন যার ডেহন অপরিবর্তনীয়গুলি পৃথক ছিল। এটি সমস্যার একটি নেতিবাচক সমাধান প্রদান করে। যদিও ডেহন তার অপরিবর্তনীয়কে ভিন্নভাবে প্রণয়ন করেছিলেন, তবে ডেনের অপরিবর্তনীয়ের আধুনিক পদ্ধতিটি হ 'ল এটিকে একটি টেনসর পণ্যের মান হিসাবে বর্ণনা করা। উদাহরণস্বরূপ সরলীকরণকৃত গণনা ডেহন অপরিবর্তনীয়কে এমনভাবে সংজ্ঞায়িত করা যা একই সাথে সমস্ত পলিহেড্রার ক্ষেত্রে প্রযোজ্য হতে পারে যার মধ্যে অসীম-মাত্রিক ভেক্টর স্পেস রয়েছে (নীচে দেখুন)। যাইহোক, যখন সীমাবদ্ধভাবে অনেকগুলি পলিহেড্রা সমন্বিত কোনও নির্দিষ্ট উদাহরণের মধ্যে সীমাবদ্ধ থাকে, যেমন প্লেটোনিক কঠিন পদার্থ, তখন এটিকে একটি সহজ উপায়ে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে, যার মধ্যে কেবলমাত্র সীমিত সংখ্যক মাত্রা অন্তর্ভুক্ত থাকে, নিম্নরূপঃ সমস্ত পলিহেড্রার প্রান্তের দৈর্ঘ্য এবং ডাইহেড্রাল কোণ (একটি প্রান্ত বরাবর মিলিত দুটি মুখের মধ্যে কোণ) নির্ধারণ করুন। কোণগুলির একটি উপসেট খুঁজে বের করুন যা একটি যুক্তিসঙ্গত ভিত্তি গঠন করে। এর মানে হল যে প্রতিটি ডাইহেড্রাল কোণকে মূলদ উপাদানগুলির রৈখিক সংমিশ্রণ হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে, যৌক্তিক সংখ্যা সহগ সহ। উপরন্তু, মৌলিক উপাদানগুলির কোনও যুক্তিসঙ্গত রৈখিক সংমিশ্রণ শূন্য হতে পারে না। এই ভিত্তিতে অন্তর্ভুক্ত করুন (বা এর একটি মূলদ গুণিতক)। একটি পলিহেড্রনের প্রতিটি প্রান্তের জন্য, ভিত্তি থেকে কোণগুলির যুক্তিসঙ্গত সংমিশ্রণ হিসাবে তার ডাইহেড্রাল কোণটি উপস্থাপন করুন। এই সংমিশ্রণে এর মূলদ গুণফলের জন্য সহগটি বাতিল করুন। অবশিষ্ট সহগগুলিকে একটি ভেক্টরের স্থানাঙ্ক হিসাবে ব্যাখ্যা করুন যার মাত্রা ভিত্তি কোণকে উপস্থাপন করে এবং এই ভেক্টরটিকে প্রান্তের দৈর্ঘ্য দ্বারা স্কেল করুন। একটি পলিহেড্রনের সমস্ত প্রান্তের ভেক্টরের সমষ্টি করে তার ডেহন অপরিবর্তনীয় উৎপন্ন করুন। যদিও এই পদ্ধতিতে ভিত্তি উপাদানগুলির নির্বিচারে পছন্দগুলি জড়িত থাকে, তবে এই পছন্দগুলি কেবল সেই সহগগুলিকে প্রভাবিত করে যার দ্বারা ডেহন অপরিবর্তনীয়গুলি প্রতিনিধিত্ব করা হয়। একটি বিমূর্ত ভেক্টর স্থানের উপাদান হিসাবে, তারা ভিত্তির পছন্দ দ্বারা প্রভাবিত হয় না। পলিহেড্রার যে কোনও সসীম সেটের ডেহন অপরিবর্তনীয় দ্বারা বিস্তৃত ভেক্টর স্পেস অসীম-মাত্রিক ভেক্টর স্পেসের একটি সসীম-মাত্রিক সাবস্পেস গঠন করে যেখানে সমস্ত পলিহেড্রার ডেহন অপরিবর্তনীয় সংজ্ঞায়িত করা হয়। ডাইহেড্রাল কোণগুলির কোন সংমিশ্রণগুলি যুক্তিসঙ্গত রৈখিক সংমিশ্রণ দ্বারা সম্পর্কিত তা সর্বদা সোজা নয় এবং সংখ্যা তত্ত্ব থেকে অ-তুচ্ছ পদ্ধতিগুলি জড়িত থাকতে পারে। প্লেটোনিক কঠিন পাঁচটি প্লেটোনিক কঠিন পদার্থের জন্য, ডাইহেড্রাল কোণগুলি হলঃ টেট্রাহেড্রনের জন্য। , একটি সমকোণ, ঘনক্ষেত্রের জন্য। অক্টা-হেড্রনের জন্য। ডোডেকাহেড্রনের জন্য, স্বর্ণ অনুপাত কোথায়। আইকোসাহেড্রনের জন্য। একটি ঘনক্ষেত্রের ডাইহেড্রাল কোণ এর একটি মূলদ গুণিতক, তবে বাকিগুলি নয়। নিয়মিত টেট্রাহেড্রন এবং নিয়মিত অক্টেহেড্রনের ডাইহেড্রাল কোণগুলি পরিপূরক কোণঃ এই পাঁচটি কোণ থেকে টেট্রাহেড্রন বা অক্টেহেড্রন বাদ দিলে একটি যুক্তিসঙ্গত ভিত্তি তৈরি হয়ঃ এই কোণগুলির মধ্যে অন্য কোনও যুক্তিসঙ্গত সম্পর্ক নেই। উদাহরণস্বরূপ, যদি বাদ দেওয়া ভিত্তি ব্যবহার করা হয়, এবং একটি ভিত্তি উপাদান হিসাবে ব্যবহার করা হয় কিন্তু তারপর ডেহন অপরিবর্তনীয় গণনা থেকে বাদ দেওয়া হয় (এর একটি মূলদ গুণিতক হিসাবে), তাহলে অবশিষ্ট কোণ ভিত্তিক উপাদানগুলি হল, এবং। ফলস্বরূপ ডেহন অপরিবর্তনীয়গুলির প্রতিটি ভিত্তি উপাদানের জন্য একটি মাত্রা থাকবে। এই ভিত্তিতে, প্রান্ত দৈর্ঘ্যের প্লেটোনিক কঠিন পদার্থের জন্য, ডেহন অপরিবর্তনীয়গুলি হলঃ টেট্রাহেড্রনের জন্য। এটির দৈর্ঘ্যের ছয়টি প্রান্ত রয়েছে, টেট্রাহেড্রাল ডাইহেড্রাল কোণ সহ। কিউব জন্য। এর প্রান্তগুলিতে ডাইহেড্রাল কোণ রয়েছে যা কেবলমাত্র ডেহন অপরিবর্তনীয় থেকে বাদ দিয়ে প্রকাশ করা হয়। অক্টা-হেড্রনের জন্য। এর বারোটি প্রান্তে ডাইহেড্রাল রয়েছে। এই সংমিশ্রণে, জন্য সহগটি বাতিল করা হয়, যা ডোডেকাহেড্রনের জন্য শুধুমাত্র একটি সহগ রেখে যায়। এর ডোডেকাহেড্রাল ডাইহেড্রাল কোণ সহ 30টি প্রান্ত রয়েছে। আইকোসাহেড্রনের জন্য। এর আইকোসাহেড্রাল ডাইহেড্রাল কোণ সহ 30টি প্রান্ত রয়েছে। এর মধ্যে ঘনক হল একমাত্র যার ডেহন অপরিবর্তনীয় শূন্য। অন্য চারটি প্লেটোনিক কঠিন পদার্থের প্রত্যেকটির ডেহন অপরিবর্তনীয় অসম এবং শূন্যেতর। অক্টা-হেড্রনের ডেহন অপরিবর্তনীয় হল একই প্রান্ত দৈর্ঘ্যের একটি টেট্রাহেড্রনের ডেহন অপরিবর্তনীয়। সম্পর্কিত পলিহেড্রা যে কোনও সমান্তরাল লাইনের ডেহন অপরিবর্তনীয় শূন্য, ঠিক যেমনটি ঘনক্ষেত্রের ক্ষেত্রে হয়। সমান্তরাল প্রান্তের চারটি সমান্তরাল প্রান্তের প্রতিটি সেটের দৈর্ঘ্য একই এবং ডাইহেড্রাল কোণের সমষ্টি রয়েছে, তাই ডেহন অপরিবর্তনীয়তায় তাদের অবদান শূন্যে বাতিল হয়ে যায়। অন্যান্য আর্কিমিডিয়ান কঠিন পদার্থের ডেহন অপরিবর্তনীয় পদার্থকে প্লেটোনিক কঠিন পদার্থের অপরিবর্তনীয় পদার্থের যুক্তিসঙ্গত সংমিশ্রণ হিসাবেও প্রকাশ করা যেতে পারে। আগের মতো একই ভিত্তির পরিপ্রেক্ষিতে, এই আকারগুলির প্রান্তের দৈর্ঘ্য একই অনুমানের সাথে, ডেহন অপরিবর্তনীয়গুলিঃ কাটা টেট্রাহেড্রনের জন্য। কাটা ঘনক্ষেত্র, রম্বিকুবক্টাহেড্রন এবং কিউবক্টাহেড্রনের জন্য। কাটা অক্টেহেড্রনের জন্য, যা বিট্রাঙ্কেটেড কিউবিক মধুচক্র হিসাবে স্থান টাইলস করে। কাটা ডোডেকাহেড্রনের জন্য। কাটা আইকোসাহেড্রনের জন্য। আইকোসিডেকাহেড্রনের জন্য। রম্বিকোসিডোডেকাহেড্রনের জন্য। কাটা আইকোসিডোডেকাহেড্রনের জন্য। এটি সরাসরি স্থান টাইল করে না, তবে একটি জোনোহেড্রন হিসাবে এটি সমান্তরাল পাইপগুলিতে বিভক্ত করা যেতে পারে, যা করে। প্রয়োগগুলি যেমন পর্যবেক্ষণ করা হয়েছে, পলিহেড্রার বিচ্ছেদের জন্য ডেহন অপরিবর্তনীয় একটি অপরিবর্তনীয়, এই অর্থে যে একটি পলিহেড্রনকে ছোট পলিহেড্রাল টুকরো করে কেটে আলাদা পলিহেড্রনে পুনরায় একত্রিত করা ফলাফলের ডেহন অপরিবর্তনীয়কে পরিবর্তন করে না। যদি এই কাটার প্রক্রিয়ায় একটি নতুন প্রান্ত চালু করা হয়, তবে হয় এটি পলিহেড্রনের অভ্যন্তরে, এবং মোট ডাইহেড্রাল কোণ দ্বারা বেষ্টিত, অথবা পলিহেড্রনের একটি মুখের উপর, এবং মোট ডাইহেড্রাল দ্বারা বেষ্টিত; উভয় ক্ষেত্রেই এই যুক্তিসঙ্গত গুণিতক ডেহন অপরিবর্তনীয়তায় অবদান রাখে না। অনুরূপ একটি বিশ্লেষণ দেখায় যে, যখন একটি বিদ্যমান পলিহেড্রন প্রান্ত পলিহেড্রন কাটার সময় তৈরি একটি নতুন মুখের সীমানা হয় তখন ডেহন অপরিবর্তনীয়ের কোনও পরিবর্তন হয় না। সেই প্রান্তের নতুন ডাইহেড্রাল কোণগুলি একই যোগফলের সাথে একত্রিত হয়, এবং ডেহন অপরিবর্তনীয়ের জন্য একই অবদান, যা তাদের আগে ছিল। বিচ্ছিন্নকরণের আরেকটি অপরিবর্তনীয় বিষয় হল পলিহেড্রনের আয়তনঃ এটিকে পলিহেড্রাল টুকরো করে কেটে টুকরোগুলি পুনরায় একত্রিত করা মোট আয়তন পরিবর্তন করতে পারে না। অতএব, যদি একটি পলিহেড্রনের অন্য পলিহেড্রনের মধ্যে একটি বিচ্ছেদন থাকে, এবং উভয়েরই একই ডেহন অপরিবর্তনীয় পাশাপাশি একই আয়তন থাকতে হবে। ভলিউম এবং ডেহন অপরিবর্তনীয় এই সমস্যার একমাত্র অপরিবর্তনীয় প্রমাণ করে এই ফলাফলকে প্রসারিত করেছে। যদি এবং উভয়েরই একই আয়তন এবং একই ডেহন অপরিবর্তনীয় থাকে, তবে একে অপরের মধ্যে বিচ্ছিন্ন করা সর্বদা সম্ভব। ডেহন অপরিবর্তনীয় একটি পলিহেড্রনের টাইল স্থানের ক্ষমতাকেও সীমাবদ্ধ করে। প্রতিটি স্থান-পূরণকারী টাইলের ঘনক্ষেত্রের মতো ডেহন অপরিবর্তনীয় শূন্য থাকে। পলিহেড্রার জন্য যে টাইলের স্থান পর্যায়ক্রমে একই পর্যায়ক্রমিকতার সাথে সমান্তরালে টাইলটি কাটতে এবং পুনর্বিন্যাস করতে টাইলিংয়ের পর্যায়ক্রমিকতা ব্যবহার করে এটি অনুসরণ করা হবে, তবে এই ফলাফলটি শ্মিট-কনওয়ে-ড্যানজার বাইপ্রিজমের মতো অ্যাপেরিওডিক টাইলগুলির জন্যও প্রযোজ্য। এর বিপরীতটি সত্য নয়-ডেহন অপরিবর্তনীয় শূন্য সহ পলিহেড্রা রয়েছে যা স্থান টাইল করে না। যাইহোক, এগুলি সর্বদা অন্য আকারে (ঘনক্ষেত্র) বিভক্ত করা যেতে পারে যা টাইলের স্থান তৈরি করে। কাটা আইকোসিডোডেকাহেড্রন একটি উদাহরণ। ডেনের ফলাফল গোলাকার জ্যামিতি এবং হাইপারবোলিক জ্যামিতির জন্য বৈধ। এই উভয় জ্যামিতিতে, দুটি পলিহেড্রা যা কাটা যায় এবং একে অপরের মধ্যে পুনরায় একত্রিত করা যায় তার অবশ্যই একই ডেহন অপরিবর্তনীয় থাকতে হবে। যাইহোক, জেসেন যেমন পর্যবেক্ষণ করেছেন, গোলাকার বা হাইপারবোলিক জ্যামিতিতে সিডলারের ফলাফলের সম্প্রসারণ উন্মুক্ত রয়েছেঃ একই আয়তন এবং একই ডেহন অপরিবর্তনীয় দুটি গোলাকার বা হাইপারবোলিক পলিহেড্রা সর্বদা কাটা এবং একে অপরের মধ্যে পুনরায় একত্রিত করা যেতে পারে কিনা তা জানা যায় না। সীমাবদ্ধ আয়তনের সাথে প্রতিটি হাইপারবোলিক ম্যানিফোল্ডকে জিওডেসিক পৃষ্ঠ বরাবর একটি হাইপারবোলিক পলিহেড্রনে (ম্যানিফোল্ডের মৌলিক গোষ্ঠীর জন্য একটি মৌলিক ক্ষেত্র) কাটা যেতে পারে, যা ম্যানিফোল্ডের সার্বজনীন আবরণকে টাইল করে এবং তাই অপরিহার্যভাবে শূন্য ডেহন অপরিবর্তনীয় থাকে। আরও সাধারণভাবে, যদি পলিহেড্রার কিছু সংমিশ্রণ যৌথভাবে স্থান টাইলস করে, তবে তাদের ডেহন অপরিবর্তনীয়গুলির যোগফল (একই অনুপাতে নেওয়া) অবশ্যই শূন্য হতে হবে। উদাহরণস্বরূপ, টেট্রাহেড্রাল-অক্টাহেড্রাল মধুচক্র হল টেট্রাহেড্রা এবং অক্টাহেড্রা দ্বারা স্থানের একটি টাইলিং (অক্টাহেড্রা হিসাবে দ্বিগুণ টেট্রাহেড্রা সহ), এই সত্যের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ যে একটি অক্টাহেড্রন এবং দুটি টেট্রাহেড্রার (একই পার্শ্ব দৈর্ঘ্য সহ) ডেহন অপরিবর্তকগুলির যোগফল শূন্য। সম্পূর্ণ সংজ্ঞা একটি টেনসর পণ্য হিসাবে ডেহন অপরিবর্তনীয়ের সংজ্ঞার জন্য একটি পলিহেড্রনের ধারণা প্রয়োজন যার জন্য প্রান্তের দৈর্ঘ্য এবং ডাইহেড্রাল কোণগুলি ভালভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। সর্বাধিক সাধারণভাবে, এটি পলিহেড্রার ক্ষেত্রে প্রযোজ্য যার সীমানা টুকরো টুকরো রৈখিক ম্যানিফোল্ড, যা ইউক্লিডীয় স্থানে সীমিত সংখ্যক সমতলে এম্বেড করা থাকে। যাইহোক, গোলাকার জ্যামিতিতে বা হাইপারবোলিক স্পেসে পলিহেড্রার জন্য এবং ইউক্লিডীয় স্পেসে নির্দিষ্ট স্ব-ক্রসিং পলিহেড্রার জন্যও ডেহন অপরিবর্তনীয় বিবেচনা করা হয়েছে। ডেন অপরিবর্তনীয়ের মানগুলি টেনসর পণ্য হিসাবে সংজ্ঞায়িত একটি আবেলিয়ান গোষ্ঠীর অন্তর্গত এই টেনসর পণ্যের বাম ফ্যাক্টরটি বাস্তব সংখ্যার সেট (এই ক্ষেত্রে পলিহেড্রার প্রান্তের দৈর্ঘ্যের প্রতিনিধিত্ব করে) এবং ডান ফ্যাক্টরটি রেডিয়ানগুলিতে ডাইহেড্রাল কোণগুলি উপস্থাপন করে, যা 2 এর সংখ্যার মডুলো মূলদ গুণিতক হিসাবে দেওয়া হয়। (কিছু উৎস কোণের পরিবর্তে কোণগুলিকে মডুলো নেয় বা কোণগুলিকে ভাগ করে এবং জায়গায় ব্যবহার করে তবে এটি ফলস্বরূপ টেনসর প্রোডাক্টের সাথে কোনও পার্থক্য করে না, কারণ সঠিক ফ্যাক্টরের যে কোনও মূলদ গুণিতক প্রোডাক্টে শূন্য হয়ে যায়।) প্রান্তের দৈর্ঘ্য এবং প্রান্ত ডাইহেড্রাল কোণ সহ একটি পলিহেড্রনের ডেহন অপরিবর্তনীয় হল যোগফল একটি টেনসর হিসাবে এর কাঠামো ডেহন অপরিবর্তনীয় অতিরিক্ত বৈশিষ্ট্য দেয় যা জ্যামিতিকভাবে অর্থপূর্ণ। বিশেষত, এটির একটি টেনসর র্যাঙ্ক রয়েছে, এই ধরনের পদগুলির সমষ্টি হিসাবে যে কোনও অভিব্যক্তিতে পদগুলির সর্বনিম্ন সংখ্যা। যেহেতু একটি পলিহেড্রনের প্রান্তের সমষ্টি হিসাবে ডেহন অপরিবর্তনীয়ের অভিব্যক্তিটির ঠিক এই রূপ রয়েছে, তাই ডেহন অপরিবর্তনীয়ের র্যাঙ্ক একটি প্রদত্ত পলিহেড্রনের বিচ্ছেদের ফলে যে কোনও পলিহেড্রনের জন্য সম্ভাব্য ন্যূনতম সংখ্যক প্রান্তের উপর একটি নিম্ন সীমা দেয়। একটি হ্যামেল ভিত্তি ব্যবহার করে ডেহন অপরিবর্তনীয়ের একটি বিকল্প কিন্তু সমতুল্য বর্ণনায় একটি হ্যামেল ভিত্তি বেছে নেওয়া হয়, যা বাস্তব সংখ্যার একটি অসীম উপসেট, যাতে প্রতিটি বাস্তব সংখ্যাকে এককভাবে এর উপাদানগুলির সীমাবদ্ধভাবে অনেক মূলদ গুণফলের সমষ্টি হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে। সুতরাং, একটি যোগাত্মক গোষ্ঠী হিসাবে, এর প্রতিটি উপাদানের জন্য একটি যোগফল সহ অনুলিপিগুলির সরাসরি যোগফলের সমরূপ। যদি বেছে নেওয়া হয় (বা এর একটি মূলদ গুণিতক) এর উপাদানগুলির মধ্যে একটি হয়, এবং এই উপাদানটি বাদ দিয়ে বাকি ভিত্তি হয়, তবে টেনসর পণ্যটিকে (অসীম মাত্রিক) বাস্তব ভেক্টর স্থান হিসাবে বর্ণনা করা যেতে পারে। ডেহন অপরিবর্তনীয়কে প্রতিটি ডাইহেড্রাল কোণকে বেসিস উপাদানগুলির একটি সীমাবদ্ধ যোগফলের মধ্যে বিভক্ত করে প্রকাশ করা যেতে পারে যেখানে যুক্তিসঙ্গত, হ্যামেল ভিত্তিতে বাস্তব সংখ্যার মধ্যে একটি, এবং এই বেসিস উপাদানগুলিকে সংখ্যাযুক্ত করা হয় যাতে এর যুক্তিসঙ্গত গুণিতক হয় তবে নয়। এই পচন সহ, ডেহন অপরিবর্তনীয় যেখানে প্রতিটি ভিত্তি উপাদানের সাথে সম্পর্কিত স্ট্যান্ডার্ড ইউনিট ভেক্টর। এখানে যোগফল শুরু হয়, এর মূলদ গুণিতকগুলির সাথে সম্পর্কিত শব্দটি বাদ দেওয়ার জন্য। এই বিকল্প সূত্রটি দেখায় যে ডেহন অপরিবর্তনীয়ের মানগুলিকে একটি বাস্তব ভেক্টর স্থানের অতিরিক্ত কাঠামো দেওয়া যেতে পারে। যদিও, সাধারণভাবে, হ্যামেল ঘাঁটির নির্মাণে পছন্দের স্বতঃসিদ্ধ অন্তর্ভুক্ত থাকে, পলিহেড্রার ডাইহেড্রাল কোণ দ্বারা উত্পন্ন সীমাবদ্ধ-মাত্রিক ভেক্টর স্থানের প্রতি মনোযোগ সীমাবদ্ধ করে এটি এড়ানো যেতে পারে (পলিহেড্রার কোনও নির্দিষ্ট সীমাবদ্ধ সেট বিবেচনা করার সময়)। অসীম প্রান্ত দৈর্ঘ্য সহ হাইপারবোলিক পলিহেড্রা হাইপারবোলিক স্পেসে একটি আদর্শ পলিহেড্রনের জন্য, প্রান্তের দৈর্ঘ্য অসীম, যা ডেহন অপরিবর্তনীয়ের স্বাভাবিক সংজ্ঞাটিকে প্রয়োগযোগ্য করে তোলে। তা সত্ত্বেও, ডেহন অপরিবর্তনীয়কে এই পলিহেড্রা পর্যন্ত প্রসারিত করা যেতে পারে তাদের শীর্ষগুলি কেটে ফেলার জন্য দিগন্ত ব্যবহার করে এবং এই ছাঁটাই প্রক্রিয়া দ্বারা তৈরি অতিরিক্ত বাঁকা প্রান্তগুলিকে উপেক্ষা করে ফলস্বরূপ কাটা আকৃতির জন্য স্বাভাবিক উপায়ে ডেহন অপরিবর্তনীয় গণনা করে। যতক্ষণ পর্যন্ত প্রত্যেকটি প্রদত্ত পলিহেড্রনের শুধুমাত্র একটি শীর্ষকে কেটে দেয়, ততক্ষণ পর্যন্ত ফলাফলটি ছাঁটাইয়ের জন্য দিগন্তের পছন্দের উপর নির্ভর করে না। অনুধাবনযোগ্যতা যদিও ডেহন অপরিবর্তনীয় এই স্থানের সমস্ত উপাদানের মান গ্রহণ করে না তবে পলিহেড্রার ডেহন অপরিবর্তনীয় হিসাবে উপলব্ধি করা যেতে পারে। ইউক্লিডীয় পলিহেড্রার ডেহন অপরিবর্তনীয় একটি বাস্তব রৈখিক উপস্থান গঠন করেঃ পলিহেড্রার বিচ্ছিন্ন মিলন গ্রহণ করে (বা তাদের একটি মুখের উপর একত্রিত করে) পলিহেড্রার ডেহন অপরিবর্তনীয় যোগ করা যেতে পারে, পলিহেড্রন আকৃতির গর্তগুলি বড় কিউবগুলিতে তৈরি করে ডেহন অপরিবর্তনীয়গুলিকে অস্বীকার করতে পারে এবং পলিহেড্রনকে একই সংখ্যা দ্বারা স্কেল করে যে কোনও ধনাত্মক বাস্তব স্কেলার দ্বারা ডেহন অপরিবর্তনীয়কে গুণ করতে পারে। কোন উপাদানগুলি উপলব্ধি করা যায় সেই প্রশ্নটি ডুপন্ট এবং সাহ-এর কাজ দ্বারা স্পষ্ট করা হয়েছিল, যারা গ্রুপ হোমোলজির সাথে জড়িত আবেলিয়ান গ্রুপগুলির (ভেক্টর স্পেস নয়) নিম্নলিখিত সঠিক ক্রমের অস্তিত্ব দেখিয়েছিলেনঃ এখানে, স্বরলিপিটি ইউক্লিডিয়ান পলিহেড্রা মডুলোর উপর মুক্ত আবেলিয়ান গ্রুপকে উপস্থাপন করে যা পলিহেড্রা জোড়া থেকে উদ্ভূত কিছু সম্পর্ক যা একে অপরের মধ্যে বিচ্ছিন্ন করা যেতে পারে। এই উপগোষ্ঠীটি ত্রিভুজাকার প্রিজম দ্বারা সৃষ্ট উপগোষ্ঠী, এবং এখানে আয়তনের প্রতিনিধিত্ব করতে ব্যবহৃত হয় (কারণ প্রতিটি বাস্তব সংখ্যা এই গোষ্ঠীর ঠিক একটি উপাদানের আয়তন)। পলিহেড্রা গ্রুপ থেকে মানচিত্রটি ডেহন অপরিবর্তনীয়। এটি ইউক্লিডীয় বিন্দু ঘূর্ণন গোষ্ঠী, এবং এটি গোষ্ঠী সমসংস্থান। সিডলারের উপপাদ্য যে আয়তন এবং ডেহন অপরিবর্তনীয় ইউক্লিডীয় বিচ্ছেদের জন্য একমাত্র অপরিবর্তনীয়, সমতাত্ত্বিকভাবে এই বিবৃতি দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয় যে এই ক্রমে উপস্থিত গোষ্ঠীটি তুচ্ছ গোষ্ঠী (স্বরলিপি 0 দ্বারা ক্রমে অন্য কোথাও প্রতিনিধিত্ব করা হয়)। যদি এটি অ-তুচ্ছ হয়, পলিহেড্রা গোষ্ঠীতে এর চিত্রটি পলিহেড্রা একটি পরিবার দেবে যা একই আয়তনের ঘনক্ষেত্রের জন্য বিচ্ছিন্ন নয় তবে শূন্য ডেহন অপরিবর্তনীয়। সিডলারের উপপাদ্য অনুসারে, এই ধরনের পলিহেড্রা বিদ্যমান নেই। সঠিক ক্রমের ডানদিকে প্রদর্শিত গ্রুপটি কেলার ডিফারেনশিয়ালগুলির গ্রুপের সমরূপ, এবং দৈর্ঘ্য এবং কোণের টেনসর পণ্য থেকে কেলার ডিফারেনশিয়ালগুলির মানচিত্রটি যেখানে সর্বজনীন ব্যুৎপত্তি দ্বারা দেওয়া হয়। এই গোষ্ঠীটি উপলব্ধির ক্ষেত্রে একটি বাধাঃ এর অ-শূন্য উপাদানগুলি এমন উপাদানগুলি থেকে আসে যা ডেহন অপরিবর্তনীয় হিসাবে উপলব্ধি করা যায় না। হাইপারবোলিক বা গোলাকার স্থানে, উপলব্ধিযোগ্য ডেহন অপরিবর্তনীয়গুলি অগত্যা একটি ভেক্টর স্থান গঠন করে না, কারণ স্কেলার গুণন আর সম্ভব নয়। যাইহোক, তারা এখনও টেনসর পণ্যের একটি উপগোষ্ঠী গঠন করে যেখানে তারা উপাদান। অনুরূপভাবে, ডুপন্ট এবং সাহ সঠিক ক্রমের অস্তিত্ব প্রমাণ করে এবং এখানে বিশেষ রৈখিক গোষ্ঠীকে বোঝায়, এবং এটি মোবিয়াস রূপান্তরের গোষ্ঠী; সুপারস্ক্রিপ্ট বিয়োগ-চিহ্ন জটিল সংমিশ্রণ দ্বারা প্ররোচিত প্রবণতার জন্য (−1)-আইগেনস্পেসকে নির্দেশ করে। বিশেষ একক গোষ্ঠীকে বোঝায়। উপগোষ্ঠী হল সমগ্র গোলক দ্বারা সৃষ্ট গোষ্ঠী। আবার, এই ক্রমগুলির মধ্যে সবচেয়ে ডানদিকের অ-শূন্য গ্রুপটি একটি ডেহন অপরিবর্তনীয় হিসাবে একটি মান উপলব্ধি করার ক্ষেত্রে বাধা। ডেহন অপরিবর্তনীয়ের এই বীজগাণিতিক দৃষ্টিভঙ্গিকে উচ্চতর মাত্রায় প্রসারিত করা যেতে পারে, যেখানে বীজগাণিতিক কে-তত্ত্বের সাথে জড়িত একটি অনুপ্রেরণামূলক ব্যাখ্যা রয়েছে। চারটি মাত্রায়, পলিহেড্রা মডুলো বিচ্ছেদের গোষ্ঠীটি ত্রিমাত্রিক গোষ্ঠীর সমতুল্য। প্রতিটি চার-মাত্রিক পলিটোপকে একটি ত্রিমাত্রিক পলিটোপের উপর প্রিজমে বিচ্ছিন্ন করা যেতে পারে এবং দুটি চার-মাত্রিক পলিটোপকে একে অপরের সাথে বিচ্ছিন্ন করা যেতে পারে যখন তাদের আয়তন এবং ডেহন অপরিবর্তনীয় সমান হয়। চারটির চেয়ে বেশি মাত্রায়, বিচ্ছেদের অস্তিত্ব সম্পূর্ণরূপে ভলিউম এবং ডেহন অপরিবর্তনীয় দ্বারা বর্ণনা করা হয়েছে কিনা, বা কোনও বিচ্ছেদের অস্তিত্ব রয়েছে কিনা তা নির্ধারণের জন্য অন্য তথ্যের প্রয়োজন আছে কিনা তা উন্মুক্ত থাকে। সম্পর্কিত ফলাফল দুটি আয়তাকার বহুভুজকে কেবল অক্ষ-সমান্তরাল কাটা এবং অনুবাদ (নির্বিচারে কোণ এবং আবর্তনে কাটা পরিবর্তে) ব্যবহার করে একে অপরের মধ্যে বিচ্ছিন্ন করা যেতে পারে কিনা তা নির্ধারণ করতে ডেহন অপরিবর্তনীয়ের অনুরূপ একটি পদ্ধতি ব্যবহার করা যেতে পারে। এই ধরনের বিচ্ছেদের জন্য একটি অপরিবর্তনীয় বস্তু টেনসর পণ্য ব্যবহার করে যেখানে পণ্যের বাম এবং ডান পদগুলি আয়তক্ষেত্রের উচ্চতা এবং প্রস্থকে উপস্থাপন করে। যে কোনও প্রদত্ত বহুভুজের অপরিবর্তনীয় গণনা করা হয় বহুভুজকে আয়তক্ষেত্রে কেটে, প্রতিটি আয়তক্ষেত্রের উচ্চতা ও প্রস্থের টেনসর গুণফল নিয়ে এবং ফলাফল যোগ করে। একটি বিচ্ছেদন সম্ভব যদি এবং শুধুমাত্র যদি দুটি বহুভুজের একই অপরিবর্তনীয় থাকে, যা বোঝায় যে তাদেরও সমান এলাকা রয়েছে। এই অপরিবর্তনীয়কে 1903 সাল থেকে ডেহনের আরেকটি ফলাফল প্রমাণ করতে ব্যবহার করা যেতে পারেঃ একই এলাকার দুটি আয়তক্ষেত্র একে অপরের মধ্যে বিচ্ছিন্ন করা যেতে পারে যদি এবং শুধুমাত্র যদি তাদের দিক অনুপাতগুলি একে অপরের যৌক্তিক গুণিতক হয়। এটি অনুসরণ করে যে বর্গক্ষেত্রের মিলন থেকে গঠিত একটি পলিওমিনো কেবল এইভাবে একটি বর্গকে বিচ্ছিন্ন করা যেতে পারে যখন একটি বর্গ সংখ্যা হয়। ডেহন অপরিবর্তনীয়ের এই সংস্করণের জন্য, টেনসর র্যাঙ্কটি সর্বনিম্ন আয়তক্ষেত্রের সমান যার মধ্যে একটি বহুভুজকে বিচ্ছিন্ন করা যেতে পারে। নমনীয় পলিহেড্রা হল পলিহেড্রার একটি শ্রেণী যা একটি অবিচ্ছিন্ন গতির মধ্য দিয়ে যেতে পারে যা তাদের মুখের আকৃতি সংরক্ষণ করে। কাউচির অনমনীয়তা উপপাদ্য অনুসারে, এগুলি অবশ্যই অ-উত্তল হতে হবে এবং এটি জানা যায় ("বেলোজ উপপাদ্য") যে পলিহেড্রনের আয়তন অবশ্যই এই গতি জুড়ে স্থির থাকতে হবে। এই উপপাদ্যের একটি শক্তিশালী সংস্করণে বলা হয়েছে যে এই ধরনের পলিহেড্রনের ডেহন অপরিবর্তনীয়কেও যে কোনও অবিচ্ছিন্ন গতি জুড়ে অপরিবর্তনীয় থাকতে হবে। এই ফলাফলকে "স্ট্রং বেলোজ থিওরেম" বলা হয়। এটি সমস্ত অ-স্ব-ছেদকারী নমনীয় পলিহেড্রার জন্য প্রমাণিত হয়েছে। যাইহোক, স্ব-ছেদ সহ আরও জটিল নমনীয় পলিহেড্রার জন্য পলিহেড্রন ফ্লেক্স হিসাবে ডেহন অপরিবর্তনীয় ক্রমাগত পরিবর্তিত হতে পারে। একটি মসৃণ পৃষ্ঠের মোট গড় বক্রতা ডেহন অপরিবর্তনীয়ের মতো একটি সংজ্ঞা ব্যবহার করে পলিহেড্রাল পৃষ্ঠে সাধারণীকরণ করা যেতে পারে, কারণ প্রান্তের দৈর্ঘ্যের প্রান্তের সমষ্টি বাইরের ডাইহেড্রাল কোণ দ্বারা গুণিত হয়। এটি যে কোনও নমনীয় পলিহেড্রনের ক্ষেত্রেও স্থির থাকে বলে প্রমাণিত হয়েছে। নোটস রেফারেন্স বাহ্যিক লিঙ্ক নম্বরফাইল জ্যামিতিক বিভাজন পলিহেড্রা-তে ডেহন অপরিবর্তনীয় সম্পর্কে ভিডিও