Gauss's lemma (polynomials)
বীজগণিতে, গাউসের লেম্মা, কার্ল ফ্রেডরিখ গাউসের নামে নামকরণ করা হয়েছে, পূর্ণসংখ্যার উপর বহুপদ সম্পর্কে একটি বিবৃতি, বা আরও সাধারণভাবে, একটি অনন্য ফ্যাক্টরাইজেশন ডোমেনের উপর (অর্থাৎ, একটি বলয় যার গাণিতিক মৌলিক উপপাদ্যের অনুরূপ একটি অনন্য ফ্যাক্টরাইজেশন সম্পত্তি রয়েছে)। গাউসের লেম্মা ফ্যাক্টরাইজেশনের সমস্ত তত্ত্ব এবং এই ধরনের বহুপদের সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ বিভাজকের উপর ভিত্তি করে। গাউসের লেম্মা দাবি করে যে দুটি আদিম বহুপদীর গুণফল আদিম (পূর্ণসংখ্যা সহগ সহ একটি বহুপদী আদিম হয় যদি এটির সহগের বৃহত্তম সাধারণ ভাজক হিসাবে 1 থাকে)। গাউসের লেম্মার একটি উপপাদ্য, যাকে কখনও কখনও গাউসের লেম্মাও বলা হয়, তা হল একটি আদিম বহুপদী পূর্ণসংখ্যার উপর অপরিবর্তনীয় হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি এটি মূলদ সংখ্যার উপর অপরিবর্তনীয় হয়। আরও সাধারণভাবে, একটি আদিম পলিনোমিয়ালের পূর্ণসংখ্যা এবং মূলদ সংখ্যার উপর একই সম্পূর্ণ ফ্যাক্টরাইজেশন থাকে। একটি অনন্য ফ্যাক্টরাইজেশন ডোমেনে সহগের ক্ষেত্রে, "মূলদ সংখ্যা" অবশ্যই "ভগ্নাংশের ক্ষেত্র" দ্বারা প্রতিস্থাপিত হতে হবে। এটি বোঝায় যে, যদি একটি ক্ষেত্র, পূর্ণসংখ্যার বলয় বা একটি অনন্য গুণনীয়ক ক্ষেত্র হয়, তবে প্রতিটি বহুপদী বলয় (এক বা একাধিক অনির্ধারিত) একটি অনন্য গুণনীয়ক ক্ষেত্র। আরেকটি পরিণতি হল যে পূর্ণসংখ্যা বা যুক্তিসঙ্গত সহগ সহ বহুপদগুলির ফ্যাক্টরাইজেশন এবং সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ বিভাজক গণনা পূর্ণসংখ্যা এবং আদিম বহুপদগুলির উপর অনুরূপ গণনায় হ্রাস করা যেতে পারে। এটি সমস্ত বাস্তবায়িত অ্যালগরিদমগুলিতে পদ্ধতিগতভাবে (স্পষ্টভাবে বা অন্তর্নিহিতভাবে) ব্যবহৃত হয় (বহুপদী সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ বিভাজক এবং বহুপদীগুলির ফ্যাক্টরাইজেশন দেখুন)। গাউসের লেম্মা এবং এর সমস্ত পরিণতি যা একটি সম্পূর্ণ ফ্যাক্টরাইজেশনের অস্তিত্বের সাথে জড়িত নয় তা যে কোনও জিসিডি ডোমেনে (একটি অবিচ্ছেদ্য ডোমেন যার উপর সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ বিভাজক বিদ্যমান) সত্য থাকে। বিশেষত, একটি জিসিডি ডোমেনের উপর একটি বহুপদী বলয়ও একটি জিসিডি ডোমেন। যদি কেউ আদিম বহুপদকে এমনভাবে ডাকে যে সহগগুলি একক আদর্শ তৈরি করে, তবে গাউসের লেম্মা প্রতিটি বিনিময়যোগ্য বলয়ের উপর সত্য। যাইহোক, প্রিমিটিভের এই সংজ্ঞাটি ব্যবহার করার সময় কিছু যত্ন নিতে হবে, কারণ, একটি অনন্য ফ্যাক্টরাইজেশন ডোমেনের উপর যা একটি প্রধান আদর্শ ডোমেন নয়, এমন বহুপদ রয়েছে যা উপরের অর্থে প্রিমিটিভ এবং এই নতুন অর্থে প্রিমিটিভ নয়। পূর্ণসংখ্যার উপর লেম্মা যদি পূর্ণসংখ্যা সহগ সহ একটি বহুপদী হয়, তবে এটিকে আদিম বলা হয় যদি সমস্ত সহগের বৃহত্তম সাধারণ ভাজক 1 হয়; অন্য কথায়, কোনও মৌলিক সংখ্যা সমস্ত সহগকে ভাগ করে না। প্রমাণঃ স্পষ্টতই দুটি আদিম বহুপদীর গুণফল f (x) g (x)-এর পূর্ণসংখ্যা সহগ রয়েছে। অতএব, যদি এটি আদিম না হয়, তবে অবশ্যই একটি মৌলিক সংখ্যা p থাকতে হবে যা তার সমস্ত সহগের একটি সাধারণ ভাজক। কিন্তু p, f (x) বা g (x)-এর সমস্ত সহগকে ভাগ করতে পারে না (অন্যথায় সেগুলি আদিম হত না)। ধরা যাক arxr হল f (x)-এর প্রথম পদ যা p দ্বারা বিভাজ্য নয় এবং bsxs হল g (x)-এর প্রথম পদ যা p দ্বারা বিভাজ্য নয়। এখন গুণফলের xr + s শব্দটি বিবেচনা করুন, যার সহগ হল arbs শব্দটি p দ্বারা বিভাজ্য নয় (কারণ p হল মৌলিক), তবুও বাকি সমস্তগুলি হল, তাই পুরো যোগফলটি p দ্বারা বিভাজ্য হতে পারে না। অনুমান অনুসারে গুণফলের সমস্ত সহগগুলি p দ্বারা বিভাজ্য, যা একটি দ্বন্দ্বের দিকে পরিচালিত করে। অতএব, পণ্যের সহগগুলির কোনও সাধারণ বিভাজক থাকতে পারে না এবং তাই এগুলি আদিম। আরও সাধারণ ক্ষেত্রে প্রমাণ নীচে দেওয়া হয়েছে। লক্ষ্য করুন যে Z (একটি মৌলিক সংখ্যা)-এর একটি অপরিবর্তনীয় উপাদান এখনও অপরিবর্তনীয় যখন Z [X]-এ ধ্রুবক বহুপদী হিসাবে দেখা হয়; এটি বিবৃতিতে "অ-ধ্রুবক"-এর প্রয়োজনীয়তা ব্যাখ্যা করে। অনন্য ফ্যাক্টরাইজেশন ডোমেইনের বিবৃতিগুলি গাউসের লেম্মা আরও সাধারণভাবে নির্বিচারে অনন্য ফ্যাক্টরাইজেশন ডোমেইনের উপর ধারণ করে। সেখানে একটি বহুপদীর বিষয়বস্তুকে সহগের সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ বিভাজক হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে (জি. সি. ডি-র মতো, বিষয়বস্তু আসলে সহযোগী উপাদানগুলির একটি সেট)। একটি ইউ. এফ. ডি-তে সহগ সহ একটি বহুপদকে তখন আদিম বলা হয় যদি সেই সমস্ত সহগকে একবারে ভাগ করার একমাত্র উপাদানগুলি এর বিপরীত উপাদান হয়; অর্থাৎ, সহগের জি. সি. ডি এক হয়। আদিম বিবৃতিঃ যদি একটি ইউ. এফ. ডি হয়, তবে আদিম বহুপদের সেটটি গুণনের অধীনে বন্ধ করা হয়। আরও সাধারণভাবে, পলিনোমিয়ালের একটি পণ্যের বিষয়বস্তু হল তাদের পৃথক বিষয়বস্তুর গুণফল। ইর্রেডুসিবিলিটি স্টেটমেন্টঃ ধরা যাক একটি অনন্য ফ্যাক্টরাইজেশন ডোমেন এবং এর ভগ্নাংশের ক্ষেত্র। একটি অ-ধ্রুবক বহুপদী যদি এবং কেবল তখনই অপরিবর্তনীয় হয় যদি এটি উভয় ক্ষেত্রেই অপরিবর্তনীয় এবং আদিম হয়। (প্রমাণের জন্য, নীচের #General সংস্করণটি দেখুন।) ভগ্নাংশের ক্ষেত্র সহ একটি অনন্য ফ্যাক্টরাইজেশন ডোমেন হতে দিন। যদি একটি পলিনোমিয়াল ওভার হয় তবে কিছু ইন-এর জন্য, সহগ রয়েছে এবং তাই-সহগগুলির জি. সি. ডি ফ্যাক্টরিং-আমরা কিছু আদিম পলিনোমিয়ালের জন্য লিখতে পারি। যেমন কেউ পরীক্ষা করতে পারেন, এই বহুপদী একটি একক দ্বারা গুণন পর্যন্ত অনন্য এবং এটিকে এর আদিম অংশ (বা আদিম প্রতিনিধি) বলা হয় এবং দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। পদ্ধতিটি পণ্যের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণঃ গঠনটি বিবৃতিটি দেখানোর জন্য ব্যবহার করা যেতে পারেঃ একটি ইউ. এফ. ডি-র উপর একটি বহুপদী বলয় হল একটি ইউ. এফ. ডি। প্রকৃতপক্ষে, আনয়ন দ্বারা, যখন একটি ইউ. এফ. ডি হয় তখন এটি একটি ইউ. এফ. ডি দেখানোর জন্য যথেষ্ট। ধরা যাক একটি অ-শূন্য বহুপদী। এখন, একটি অনন্য ফ্যাক্টরাইজেশন ডোমেন (যেহেতু এটি একটি প্রধান আদর্শ ডোমেন) এবং তাই, একটি পলিনোমিয়াল হিসাবে, এইভাবে ফ্যাক্টরাইজ করা যেতে পারেঃ যেখানে এর ইরেডিউসিবল পলিনোমিয়াল রয়েছে। এখন, আমরা এর সহগগুলির জি. সি. ডি-র জন্য লিখি (এবং এটি আদিম অংশ) এবং তারপরঃ এখন, এর মৌলিক উপাদানগুলির একটি গুণফল (যেহেতু এটি একটি ইউ. এফ. ডি) এবং এর একটি মৌলিক উপাদান একটি মৌলিক উপাদান, যেমন একটি অবিচ্ছেদ্য ডোমেন। অতএব, একটি মৌলিক গুণনীয়ক (বা অপরিবর্তনীয়গুলিতে একটি অনন্য গুণনীয়ক) স্বীকার করে। এরপরে, লক্ষ্য করুন যে এটি অপরিবর্তনীয় উপাদানগুলির মধ্যে একটি অনন্য ফ্যাক্টরাইজেশন, কারণ (1) প্রতিটি অপরিবর্তনীয়তার বিবৃতি দ্বারা অপরিবর্তনীয় এবং (2) এটি অনন্য কারণ এর ফ্যাক্টরাইজেশনকে একটি ফ্যাক্টরাইজেশন হিসাবেও দেখা যেতে পারে এবং সেখানে ফ্যাক্টরাইজেশন অনন্য। যেহেতু এবং একক উপাদান দ্বারা অনন্যভাবে নির্ধারিত হয়, তাই উপরের ফ্যাক্টরাইজেশনটি অপরিবর্তনীয় উপাদানগুলিতে একটি অনন্য ফ্যাক্টরাইজেশন। শর্তটি যে "আর একটি অনন্য ফ্যাক্টরাইজেশন ডোমেন" অপ্রয়োজনীয় নয় কারণ এটি বোঝায় যে এই বলয়ের প্রতিটি অপরিবর্তনীয় উপাদানও একটি প্রধান উপাদান, যা ফলস্বরূপ বোঝায় যে আর-এর প্রতিটি অ-শূন্য উপাদানের অপরিবর্তনীয় উপাদানগুলির গুণফলের মধ্যে সর্বাধিক একটি ফ্যাক্টরাইজেশন রয়েছে এবং ক্রম এবং সহযোগী সম্পর্ক পর্যন্ত একটি ইউনিট রয়েছে। একটি রিংয়ে যেখানে ফ্যাক্টরাইজেশন অনন্য নয়, ধরুন p এবং q অপরিবর্তনীয় উপাদানগুলির সাথে যা অন্য দিকের কোনও ফ্যাক্টরকে বিভক্ত করে না, পণ্যটি আদিমতার বিবৃতির ব্যর্থতা দেখায়। একটি সুনির্দিষ্ট উদাহরণের জন্য,,,, নেওয়া যেতে পারে। এই উদাহরণে বহুপদী (ডানদিককে ভাগ করে প্রাপ্ত) অপরিবর্তনীয়তার বিবৃতির ব্যর্থতার একটি উদাহরণ প্রদান করে (এটি আর-এর উপর অপরিবর্তনীয়, কিন্তু ভগ্নাংশের ক্ষেত্রের উপর হ্রাসযোগ্য)। আরেকটি সুপরিচিত উদাহরণ হল বহুপদী, যার মূল হল সুবর্ণ অনুপাত এবং এর সংমিশ্রণ যা দেখায় যে এটি ক্ষেত্রের উপর হ্রাসযোগ্য, যদিও এটি অ-ইউ. এফ. ডি-র উপর অপরিবর্তনীয় যা ভগ্নাংশের ক্ষেত্র হিসাবে রয়েছে। পরবর্তী উদাহরণে রিংটি (ডিরিচলেট পূর্ণসংখ্যার রিং) এর অবিচ্ছেদ্য ক্লোজার নিয়ে একটি ইউএফডি তৈরি করা যেতে পারে, যার উপরে হ্রাসযোগ্য হয়ে ওঠে, তবে পূর্ববর্তী উদাহরণে আর ইতিমধ্যে অবিচ্ছেদ্যভাবে বন্ধ হয়ে গেছে। সাধারণ সংস্করণটি একটি বিনিময়যোগ্য বলয় হতে হবে। যদি একটি বহুপদী হয়, তবে আমরা এর সমস্ত সহগ দ্বারা উত্পন্ন আদর্শের জন্য লিখি; এটিকে এর বিষয়বস্তু বলা হয়। মনে রাখবেন যে প্রতিটি ইন-এর জন্য। পরবর্তী প্রস্তাবে আরও উল্লেখযোগ্য সম্পত্তির কথা বলা হয়েছে। একটি বহুপদকে আদিম বলা হয় যদি একক আদর্শ হয়। যখন (বা আরও সাধারণভাবে যখন একটি বেজআউট ডোমেন হয়), এটি একটি আদিম বহুপদীর স্বাভাবিক সংজ্ঞার সাথে একমত হয়। (কিন্তু যদি শুধুমাত্র একটি ইউএফডি হয়, তবে এই সংজ্ঞাটি অনন্য ফ্যাক্টরাইজেশন ডোমেনের জন্য #Statements-এ আদিমতার সংজ্ঞার সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ নয়।) প্রমাণঃ প্রমাণ বোঝায় এমন তথ্য ব্যবহার করে এটি সহজঃ () প্রথমে মনে রাখবেন যে এর সহগগুলির জিসিডি হল 1 কারণ, অন্যথায়, আমরা লেখার সহগগুলি থেকে কিছু উপাদানকে ফ্যাক্টর করতে পারি, যা এর অপরিবর্তনীয়তার বিরোধিতা করে। এরপরে, ধরুন কিছু অ-ধ্রুবক বহুপদের জন্য। তারপর, কারো কারো জন্য, পলিনোমিয়ালের সহগ রয়েছে এবং তাই, সহগের জি. সি. ডি-কে ফ্যাক্টর করে আমরা লিখি। একই কাজ করুন এবং আমরা কারো কারো জন্য লিখতে পারি। এখন, কয়েকজনের জন্য ছেড়ে দিন। তারপর। এই থেকে, প্রস্তাবটি ব্যবহার করে, আমরা পাইঃ অর্থাৎ, বিভাজন। সুতরাং, এবং তারপর ফ্যাক্টরাইজেশন এর অপরিবর্তনীয়তার একটি দ্বন্দ্ব গঠন করে। () যদি অপরিবর্তনীয় হয়, তবে হয় এটি অপরিবর্তনীয় বা এটি একটি ফ্যাক্টর হিসাবে একটি ধ্রুবক বহুপদী ধারণ করে, দ্বিতীয় সম্ভাবনাটি অনুমান দ্বারা বাতিল করা হয়। প্রস্তাবের প্রমাণঃ স্পষ্টতই। যদি একটি মৌলিক আদর্শ ধারণকারী হয়, তবে মডুলো। যেহেতু এটি একটি ইন্টিগ্রাল ডোমেনের উপর একটি পলিনোমিয়াল রিং এবং এইভাবে এটি একটি ইন্টিগ্রাল ডোমেইন, এটি হয় বা মডুলো বোঝায়। অতএব, হয় বা অন্তর্ভুক্ত করা হয়। যেহেতু সমস্ত মৌলিক আদর্শের ছেদ যা ধারণ করে এবং এর পছন্দটি স্বেচ্ছাচারী ছিল। আমরা এখন "উপরন্তু" অংশটি প্রমাণ করি। সহগগুলি থেকে জি. সি. ডি-গুলি বের করে, আমরা লিখতে পারি এবং যেখানে সহগের জি. সি. ডি-গুলি উভয়ই 1। স্পষ্টতই, যখন দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয় তখন দাবিটি প্রমাণ করার জন্য এটি যথেষ্ট; সুতরাং, আমরা ধরে নিই যে এর সহগগুলির জিসিডি উভয়ই 1। বাকি প্রমাণ সহজ এবং স্বচ্ছ যদি একটি অনন্য ফ্যাক্টরাইজেশন ডোমেন হয়; এইভাবে আমরা এখানে সেই ক্ষেত্রে প্রমাণ দিই (এবং জি. সি. ডি মামলার প্রমাণ দেখুন)। যদি হয়, তাহলে প্রমাণ করার মতো কিছুই নেই। সুতরাং, অন্যথায় ধরে নিন; তারপর একটি অ-একক উপাদান রয়েছে যা এর সহগগুলিকে বিভক্ত করে। সেই উপাদানটিকে মৌলিক উপাদানগুলির গুণফলের মধ্যে ফ্যাক্টরাইজ করে, আমরা সেই উপাদানটিকে একটি প্রধান উপাদান হিসাবে নিতে পারি। এখন, আমাদের আছেঃ সুতরাং, উভয়ই সহগের জিসিডি ধারণ করে বা বিরোধিতা করে 1। মন্তব্যঃ একটি জি. সি. ডি ডোমেনে (যেমন, একটি অনন্য ফ্যাক্টরাইজেশন ডোমেইন), একটি বহুপদীর সমস্ত সহগের জি. সি. ডি, একক উপাদান পর্যন্ত অনন্য, এর বিষয়বস্তুও বলা হয়। প্রয়োগগুলি গাউসের লেম্মা থেকে জানা যায় যে প্রতিটি অনন্য ফ্যাক্টরাইজেশন ডোমেনের জন্য, বহুপদী বলয়টিও একটি অনন্য ফ্যাক্টরাইজেশন ডোমেন (অনন্য ফ্যাক্টরাইজেশন ডোমেনের জন্য #Statements দেখুন)। আইজেনস্টাইনের অপরিবর্তনীয়তার মানদণ্ড দেখানোর জন্যও গাউসের লেম্মা ব্যবহার করা যেতে পারে। পরিশেষে, এটি দেখাতে ব্যবহার করা যেতে পারে যে সাইক্লোটোমিক বহুপদগুলি (পূর্ণসংখ্যা সহগ সহ একক) অপরিবর্তনীয়। গাউসের লেম্মা নিম্নলিখিত বিবৃতিটি বোঝায়ঃ যদি একটি অনন্য ফ্যাক্টরাইজেশন ডোমেনে (বা আরও সাধারণভাবে একটি জি. সি. ডি ডোমেনে) সহগ সহ একটি চলকের একটি মনিক বহুপদী হয়, তবে তার একটি মূল ভগ্নাংশের ক্ষেত্রে থাকে। যদি, এটি বলে যে পূর্ণসংখ্যার উপর একটি মনিক পলিনোমিয়ালের একটি মূলদ মূল হল একটি পূর্ণসংখ্যা (সিএফ। যৌক্তিক মূল উপপাদ্য)। বিবৃতিটি দেখতে, আসুন এর মূল হতে হবে এবং ধরে নেওয়া যাক তুলনামূলকভাবে মৌলিক। আমরা কারো কারো জন্য লিখতে পারি। তারপর একটি ফ্যাক্টরাইজেশন হয়। কিন্তু এটি আদিম (ইউ. এফ. ডি অর্থে) এবং এইভাবে এর সহগগুলিকে গাউসের লেম্মা দ্বারা বিভক্ত করে, এবং তাই ইন-এর সাথে। যেহেতু এটি মনিক, তাই এটি তখনই সম্ভব যখন এটি একটি একক। একটি অনুরূপ যুক্তি দেখায়ঃ ভগ্নাংশ এবং ক্ষেত্র সহ একটি জিসিডি ডোমেন হতে দিন। যদি কিছু পলিনোমিয়ালের জন্য যা ইউ. এফ. ডি অর্থে আদিম এবং, তাহলে। অপরিবর্তনীয়তার বিবৃতিটি আরও বোঝায় যে একটি বীজগাণিতিক পূর্ণসংখ্যার মূলদ সংখ্যার উপর ন্যূনতম বহুপদের পূর্ণসংখ্যা সহগ রয়েছে। উদ্ধৃতি বহুপদী সম্পর্কে উপপাদ্য বীজগণিতে বলয় তত্ত্বের উপপাদ্য লেমা