Artin–Verdier duality
গণিতে, আর্টিন-ভার্ডিয়ার দ্বৈততা হল বীজগাণিতিক সংখ্যার বলয়ের বর্ণালীর উপর গঠনযোগ্য আবেলিয়ান শেভের জন্য একটি দ্বৈততা উপপাদ্য, যা দ্বারা প্রবর্তিত হয়, যা টেট দ্বৈততাকে সাধারণীকরণ করে। এটি দেখায় যে, যতদূর পর্যন্ত ইটাল (বা ফ্ল্যাট) কোহোমোলজির কথা বলা যায়, একটি সংখ্যার ক্ষেত্রে পূর্ণসংখ্যার বলয় একটি ত্রিমাত্রিক গাণিতিক বস্তুর মতো আচরণ করে। বিবৃতি ধরা যাক X সম্পূর্ণ কাল্পনিক সংখ্যা ক্ষেত্র K-তে পূর্ণসংখ্যার বলয়ের বর্ণালী এবং X-এর উপর F একটি গঠনযোগ্য এটেল আবেলিয়ান শিফ। তারপর ইয়োনেডা পেয়ারিং হল প্রতিটি পূর্ণসংখ্যা r-এর জন্য সসীম আবেলিয়ান গ্রুপগুলির একটি অ-অবক্ষয়কারী পেয়ারিং। এখানে, Hr (X, F) হল F-এর মান সহ X স্কিমের r-তম étale কোহোমোলজি গ্রুপ, এবং এক্সট্র (F, G) হল X-এর উপর étale অ্যাবেলিয়ান শেভ বিভাগের étale শেফ F দ্বারা étale শেফ G-এর r-এক্সটেনশনের গ্রুপ। উপরন্তু, জি. এম. এক্স-এর কাঠামোর আবরণে ইউনিটগুলির ইটাল শেফকে বোঝায়. গঠনযোগ্য জন্য আর্টিন-ভার্ডিয়ার দ্বৈততা প্রমাণিত, তবে অগত্যা টর্জন শেভ নয়। এই ধরনের শিফ এফ-এর জন্য, উপরের জোড়াটি আইসোমরফিজমকে প্ররোচিত করে যেখানে ফাইনাইট ফ্ল্যাট গ্রুপ স্কিমগুলি ধরা যাক ইউ একটি সংখ্যা ক্ষেত্র কে-তে পূর্ণসংখ্যার বলয়ের বর্ণালীর একটি উন্মুক্ত সাবসিম এবং এফ ইউ-এর উপর একটি সীমাবদ্ধ ফ্ল্যাট কমিউটেটিভ গ্রুপ স্কিম। তারপর কাপ পণ্যটি সমস্ত পূর্ণসংখ্যার জন্য সসীম আবেলিয়ান গোষ্ঠীর একটি অ-অবক্ষয়কারী জুটিকে সংজ্ঞায়িত করে। এখানে এফডি এফ-এর কার্টিয়ার দ্বৈতকে বোঝায়, যা ইউ-এর উপর আরেকটি সসীম সমতল বিনিময়মূলক গ্রুপ স্কিম। উপরন্তু, ফ্ল্যাট আবেলিয়ান শিফ এফ-এর মান সহ ইউ স্কিমের আর-তম ফ্ল্যাট কোহোমোলজি গ্রুপ, এবং ফ্ল্যাট আবেলিয়ান শিফ এফ-এর মান সহ ইউ-এর কম্প্যাক্ট সাপোর্ট সহ আর-তম ফ্ল্যাট কোহোমোলজি। কম্প্যাক্ট সাপোর্ট সহ ফ্ল্যাট কোহোমোলজিকে একটি দীর্ঘ সঠিক ক্রমের জন্ম দেওয়ার জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয়। স্থানীয় অবদান এইচআর (কেভি, এফ) হ 'ল কে-এর হেন্সেলাইজেশন কেভি-র গ্যালোইস কোহোমোলজি যা ভি-তে, একটি লা টেটকে সংশোধন করেছেঃ এখানে সংখ্যা তত্ত্ব দ্বৈততার তত্ত্বগুলিতে রেফারেন্স উপপাদ্যগুলির একটি পৃথক সমাপ্তি রয়েছে।