Cremona–Richmond configuration
গণিতে, ক্রেমোনা-রিচমন্ড বিন্যাসটি 15টি রেখা এবং 15টি বিন্দুর একটি বিন্যাস, যার প্রতিটি রেখায় 3টি বিন্দু এবং প্রতিটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে 3টি রেখা রয়েছে এবং এতে কোনও ত্রিভুজ নেই। এটি এবং দ্বারা অধ্যয়ন করা হয়েছিল। এটি পরামিতি (2,2) সহ একটি সাধারণীকৃত চতুর্ভুজ। এর লেভি গ্রাফ হল টুটে-কক্সেটার গ্রাফ। প্রতিসাম্য ক্রেমোনা-রিচমন্ড বিন্যাসের বিন্দুগুলি ছয়-উপাদান সেটের উপাদানগুলির অনিয়ন্ত্রিত জোড়ার সাথে চিহ্নিত করা যেতে পারে; এই জোড়াগুলিকে ডুয়াদ বলা হয়। একইভাবে, বিন্যাসের রেখাগুলি একই ছয়টি উপাদানকে তিনটি জোড়ায় বিভক্ত করার 15টি উপায়ে চিহ্নিত করা যেতে পারে; এই বিভাজনগুলিকে সিনথেম বলা হয়। এইভাবে চিহ্নিত, বিন্যাসের একটি বিন্দু কনফিগারেশনের একটি লাইনের সাথে আপতিত হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি বিন্দুর সাথে সম্পর্কিত ডুয়াড লাইনের সাথে সম্পর্কিত সিন্থেমে তিনটি জোড়ার মধ্যে একটি হয়। ডুয়াড এবং সিন্থেমগুলির এই ব্যবস্থার অন্তর্নিহিত ছয়টি উপাদানের সমস্ত বিন্যাসের প্রতিসাম্য গোষ্ঠী ক্রেমোনা-রিচমন্ড বিন্যাসের প্রতিসাম্য গোষ্ঠী হিসাবে কাজ করে এবং বিন্যাসের স্বয়ংক্রিয়তা গোষ্ঠী দেয়। বিন্যাসের প্রতিটি পতাকা (একটি আপতিত বিন্দু-রেখা জোড়া) এই গোষ্ঠীর প্রতিসাম্য দ্বারা প্রতিটি অন্য পতাকায় নিয়ে যাওয়া যেতে পারে। ক্রেমোনা-রিচমন্ড বিন্যাসটি স্ব-দ্বৈতঃ বিন্যাসের সমস্ত ঘটনা সংরক্ষণ করার সময় লাইনের জন্য পয়েন্ট বিনিময় করা সম্ভব। এই দ্বৈততা টুটে-কক্সেটার গ্রাফকে ক্রেমোনা-রিচমন্ড বিন্যাসের বাইরে অতিরিক্ত প্রতিসাম্য দেয়, যা এর দ্বিদলীয় বিভাজনের দুটি দিককে অদলবদল করে। এই প্রতিসাম্যগুলি ছয়টি উপাদানের প্রতিসাম্য গোষ্ঠীর বাইরের স্বয়ংক্রিয়তার সাথে মিলে যায়। উপলব্ধি চার-মাত্রিক স্থানে সাধারণ অবস্থানে যে কোনও ছয়টি বিন্দু 15টি বিন্দু নির্ধারণ করে যেখানে দুটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে একটি রেখা হাইপারপ্লেনকে অন্য চারটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে ছেদ করে; এইভাবে, ছয়টি বিন্দুর ডুয়াদগুলি এই 15টি উদ্ভূত বিন্দুর সাথে একের সাথে মিলে যায়। যে কোনও তিনটি ডুয়াড যা একসাথে একটি সিন্থেম গঠন করে একটি রেখা নির্ধারণ করে, সিন্থেমে তিনটি ডুয়াডের মধ্যে দুটি ধারণকারী তিনটি হাইপারপ্লেনের ছেদ রেখা এবং এই রেখায় তার তিনটি ডুয়াড থেকে প্রাপ্ত প্রতিটি পয়েন্ট রয়েছে। সুতরাং, বিমূর্ত বিন্যাসের ডুয়াদ এবং সিন্থেমগুলি ঘটনা-সংরক্ষণের উপায়ে একের জন্য একের সাথে মিলে যায়, মূল ছয়টি বিন্দু থেকে প্রাপ্ত এই 15টি বিন্দু এবং 15টি লাইনের সাথে, যা বিন্যাসের একটি উপলব্ধি গঠন করে। একই উপলব্ধি ইউক্লিডীয় স্থান বা ইউক্লিডীয় সমতলে অভিক্ষিপ্ত হতে পারে। ক্রেমোনা-রিচমন্ড বিন্যাসে সমতলে ক্রমানুসারে-পাঁচ চক্রাকার প্রতিসাম্য সহ উপলব্ধির এক-পরামিতি পরিবারও রয়েছে। ইতিহাসে পাওয়া গেছে যে ঘন পৃষ্ঠগুলিতে 15টি বাস্তব রেখার সেট (একটি ঘনক্ষেত্রের সমস্ত 27টি লাইনের সেটে একটি শ্লাফলি ডাবল সিক্সের পরিপূরক) এবং 15টি স্পর্শক সমতল রয়েছে, যার প্রতিটি সমতলে তিনটি লাইন এবং প্রতিটি লাইনের মধ্য দিয়ে তিনটি সমতল রয়েছে। এই রেখাগুলি এবং সমতলগুলিকে অন্য সমতল দ্বারা ছেদ করার ফলে একটি 153153 বিন্যাস তৈরি হয়। শ্লাফলির রেখা এবং সমতলের নির্দিষ্ট আপতন প্যাটার্ন পরে শ্লাফলির দ্বারা প্রকাশিত হয়েছিল। পর্যবেক্ষণ যে ফলস্বরূপ বিন্যাসে কোনও ত্রিভুজ নেই তা দ্বারা তৈরি করা হয়েছিল, এবং একই বিন্যাসের কাজেও প্রদর্শিত হয়। একটি স্ব-লিখিত বহুভুজ হিসাবে কনফিগারেশনের একটি বিবরণ পাওয়া গেছে। এইচ. এফ. বেকার তাঁর 1922-1925 পাঠ্যপুস্তকের দুটি খণ্ড, জ্যামিতির নীতিগুলির জন্য এই বিন্যাসের চার-মাত্রিক উপলব্ধিটিকে অগ্রভাগ হিসাবে ব্যবহার করেছিলেন। এছাড়াও একই বিন্যাসটি পুনরায় আবিষ্কার করেন এবং ক্রম-পাঁচ চক্রাকার প্রতিসাম্য সহ এটির একটি উপলব্ধি খুঁজে পান। বিন্যাসের নামটি এবং দ্বারা এর অধ্যয়ন থেকে এসেছে; সম্ভবত তাঁর কাজের কিছু ভুলের কারণে, মার্টিনেটির সমসাময়িক অবদান অস্পষ্ট হয়ে পড়েছিল। উল্লেখগুলি উল্লেখ করুন। । । । যেমনটি উল্লেখ করা হয়েছে। । । । । । যেমনটি উল্লেখ করা হয়েছে। । বাইরের লিঙ্ক ক্রেমোনা-রিচমন্ড বিন্যাসের ছবি ক্রেমোনা-রিচমন্ড বিন্যাসের চিত্র বিন্যাস (জ্যামিতি)