Constant-mean-curvature surface
ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতিতে, ধ্রুবক-গড়-বক্রতা (সি. এম. সি) পৃষ্ঠগুলি ধ্রুবক গড় বক্রতা সহ পৃষ্ঠতল। এর মধ্যে একটি উপসেট হিসাবে ন্যূনতম পৃষ্ঠতল অন্তর্ভুক্ত থাকে, তবে সাধারণত সেগুলিকে বিশেষ কেস হিসাবে বিবেচনা করা হয়। লক্ষ্য করুন যে গোলকের গুরুত্বপূর্ণ ব্যতিক্রম ছাড়া এই পৃষ্ঠগুলি সাধারণত স্থির গাউসিয়ান বক্রতা পৃষ্ঠগুলির থেকে আলাদা। 1841 সালে ডেলাউনে প্রমাণ করেন যে, স্থির গড় বক্রতা সহ বিপ্লবের একমাত্র পৃষ্ঠগুলি ছিল শঙ্কুগুলির রুলেটগুলি ঘোরানোর মাধ্যমে প্রাপ্ত পৃষ্ঠগুলি। এগুলি হল সমতল, সিলিন্ডার, গোলক, ক্যাটেনয়েড, আনডুলয়েড এবং নোডয়েড। 1853 সালে জে. এইচ. জেললেট দেখিয়েছিলেন যে, যদি স্থির গড় বক্রতা সহ একটি সংক্ষিপ্ত তারা-আকৃতির পৃষ্ঠ হয়, তবে এটি আদর্শ গোলক। পরবর্তীকালে, এ. ডি. আলেকজান্দ্রোভ প্রমাণ করেছিলেন যে স্থির গড় বক্রতা সহ একটি কম্প্যাক্ট এমবেডেড পৃষ্ঠ অবশ্যই একটি গোলক হতে হবে। এই এইচ. হপফের উপর ভিত্তি করে 1956 সালে অনুমান করা হয়েছিল যে যে কোনও নিমজ্জিত কম্প্যাক্ট ওরিয়েন্টেবল ধ্রুবক গড় বক্রতা হাইপারসার্ফেস অবশ্যই একটি আদর্শ এম্বেডেড গোলক হতে হবে। এই অনুমানটি 1982 সালে উ-ই সিয়াং দ্বারা একটি পাল্টা উদাহরণ ব্যবহার করে বাতিল করা হয়েছিল। 1984 সালে হেনরি সি. ওয়েন্টে ওয়েন্টে টরাস নির্মাণ করেন, যা ধ্রুবক গড় বক্রতা সহ একটি টরাসের মধ্যে নিমজ্জন। এই সময় পর্যন্ত এটি মনে হয়েছিল যে সি. এম. সি পৃষ্ঠগুলি বিরল; নতুন কৌশলগুলি প্রচুর উদাহরণ তৈরি করেছে। বিশেষত গ্লুইং পদ্ধতিতে সি. এম. সি পৃষ্ঠগুলিকে মোটামুটি নির্বিচারে একত্রিত করার অনুমতি দেওয়া হয়। ডেলাউনে পৃষ্ঠগুলিকে নিমজ্জিত "বুদ্বুদ"-এর সঙ্গেও যুক্ত করা যেতে পারে, যা তাদের সি. এম. সি বৈশিষ্ট্য বজায় রাখে। মিকস দেখিয়েছেন যে কোনও এমবেডেড সি. এম. সি পৃষ্ঠ নেই যার মাত্র একটি প্রান্ত রয়েছে। কোরেভার, কুসনার এবং সলোমন প্রমাণ করেছেন যে একটি সম্পূর্ণ এমবেডেড সি. এম. সি পৃষ্ঠের প্রান্তগুলি আনডুলয়েডের জন্য অ্যাসিম্পটোটিক হবে। প্রতিটি প্রান্ত আন্ডুলয়েডের অ্যাসিম্পটোটিক অক্ষ বরাবর একটি "বল" বহন করে (যেখানে n হল ঘাড়ের পরিধি), যার যোগফল অবশ্যই পৃষ্ঠের অস্তিত্বের জন্য ভারসাম্যপূর্ণ হতে হবে। বর্তমান কাজের মধ্যে রয়েছে এমবেডেড সি. এম. সি পৃষ্ঠতলের পরিবারগুলিকে তাদের মডুলি স্পেসের পরিপ্রেক্ষিতে শ্রেণীবদ্ধ করা। বিশেষত, 0 গণের কপ্ল্যানার কে-আন্ডুলয়েডগুলি বিজোড় কে-এর জন্য সন্তুষ্ট করে, এবং জোড় কে-এর জন্য। সর্বাধিক কে-2 প্রান্তগুলি নলাকার হতে পারে। উৎপাদন পদ্ধতি প্রতিনিধিত্ব সূত্র ন্যূনতম পৃষ্ঠের মতো, সুরেলা ক্রিয়াকলাপের একটি ঘনিষ্ঠ যোগসূত্র রয়েছে। একটি অভিমুখী পৃষ্ঠের ধ্রুবক গড় বক্রতা থাকে যদি এবং শুধুমাত্র যদি এর গাউস মানচিত্রটি একটি সুরেলা মানচিত্র হয়। কেনমোৎসুর উপস্থাপনা সূত্রটি ন্যূনতম পৃষ্ঠতলের ওয়েয়ারস্ট্রাস-এনেপার প্যারামিটারাইজেশনের প্রতিরূপঃ আসুন একটি খোলা সহজভাবে সংযুক্ত উপসেট এবং একটি নির্বিচারে অ-শূন্য বাস্তব ধ্রুবক হতে হবে। মনে করুন এটি রিমান গোলকের একটি সুরেলা ফাংশন। যদি তারপর ফর দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয় একটি নিয়মিত পৃষ্ঠ যা গাউস মানচিত্র এবং গড় বক্রতা হিসাবে রয়েছে। জন্য এবং এটি গোলক তৈরি করে। এবং একটি সিলিন্ডার দেয় যেখানে। কনজুগেট কাজিন পদ্ধতি লসন 1970 সালে দেখিয়েছিলেন যে প্রতিটি সি. এম. সি পৃষ্ঠের একটি আইসোমেট্রিক "কাজিন" ন্যূনতম পৃষ্ঠ রয়েছে। এটি জিওডেসিক বহুভুজ থেকে শুরু করে নির্মাণের অনুমতি দেয়, যা একটি ন্যূনতম প্যাচ দ্বারা বিস্তৃত যা প্রতিফলনের মাধ্যমে একটি সম্পূর্ণ পৃষ্ঠে প্রসারিত করা যেতে পারে এবং তারপরে একটি সি. এম. সি পৃষ্ঠে পরিণত হতে পারে। সি. এম. সি. টোরি হিচিন, পিঙ্কল, স্টার্লিং এবং বোবেঙ্কো দেখিয়েছেন যে 2-টরসের সমস্ত ধ্রুবক গড় বক্রতা স্থানের আকারে নিমজ্জিত হয় এবং বিশুদ্ধভাবে অ্যালজেব্রো-জ্যামিতিক তথ্যে বর্ণনা করা যেতে পারে। এটি সমতলের সি. এম. সি নিমজ্জনের একটি উপসেটে প্রসারিত করা যেতে পারে যা সীমাবদ্ধ ধরনের। আরও সুনির্দিষ্টভাবে বলা যায় যে, সি. এম. সি-র মধ্যে নিমজ্জন এবং বর্ণালী তথ্যের মধ্যে একটি স্পষ্ট দ্বিবিভাজন রয়েছে যেখানে বর্ণালী বক্ররেখা নামে একটি হাইপারেলিপটিক বক্ররেখা রয়েছে, এটি একটি মেরোমর্ফিক ফাংশন, এবং এর উপর পয়েন্ট রয়েছে, এটি একটি অ্যান্টিহোলোমর্ফিক ইনভোলুশন এবং নির্দিষ্ট শর্তগুলি মেনে চলার জন্য একটি লাইন বান্ডিল। পৃথক সংখ্যাসূচক পদ্ধতি পৃথক ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতি সি. এম. সি পৃষ্ঠতলের (বা পৃথক প্রতিরূপ) আনুমানিক উৎপাদন করতে ব্যবহার করা যেতে পারে, সাধারণত একটি উপযুক্ত শক্তি কার্যকরী হ্রাস করে। প্রয়োগগুলি সি. এম. সি পৃষ্ঠগুলি সাবান বুদ্বুদের প্রতিনিধিত্বের জন্য প্রাকৃতিক, কারণ তাদের একটি অ-শূন্য চাপের পার্থক্যের সাথে সম্পর্কিত বক্রতা রয়েছে। ম্যাক্রোস্কোপিক বুদ্বুদ পৃষ্ঠ ছাড়াও সি. এম. সি পৃষ্ঠগুলি একটি অতি-জলবিদ্যুৎ পৃষ্ঠে গ্যাস-তরল ইন্টারফেসের আকারের জন্য প্রাসঙ্গিক। তিনবার পর্যায়ক্রমিক ন্যূনতম পৃষ্ঠতলের মতো পর্যায়ক্রমিক সি. এম. সি পৃষ্ঠতলগুলিতে ব্লক কপোলিমারের মডেল হিসাবে আগ্রহ দেখা গেছে যেখানে বিভিন্ন উপাদানগুলির একটি অ-শূন্য আন্তঃপৃষ্ঠীয় শক্তি বা টান থাকে। পর্যায়ক্রমিক ন্যূনতম পৃষ্ঠতলের সি. এম. সি এনালগ তৈরি করা হয়েছে, যা স্থানের অসম বিভাজন তৈরি করে। এবিসি ট্রাইবলোক কপোলিমারগুলিতে সিএমসি কাঠামো লক্ষ্য করা গেছে। স্থাপত্যকলায় সি. এম. সি পৃষ্ঠতল বায়ু-সমর্থিত কাঠামোর জন্য প্রাসঙ্গিক যেমন স্ফীত গম্বুজ এবং ঘের, পাশাপাশি প্রবাহিত জৈব আকারের উৎস। আরও দেখুন ডাবল বুদ্বুদ অনুমান মুক্ত পৃষ্ঠ ন্যূনতম পৃষ্ঠ রেফারেন্স বহিরাগত লিঙ্ক সি. এম. সি বৈজ্ঞানিক গ্রাফিক্স প্রকল্প জ্যামিতি ওয়ার্কস্ট্যাট পৃষ্ঠ গ্যালারি জি. এ. এন. জি গ্যালারি অফ সি. এম. সি সারফেস নোইড, এন-নয়েড সি. এম. সি সারফেস গণনা করার জন্য সফ্টওয়্যার পৃষ্ঠতলের ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতি