Topological rigidity
টপোলজির গাণিতিক ক্ষেত্রে, একটি ম্যানিফোল্ড এম-কে টপোলজিক্যালি রিজিড বলা হয় যদি প্রতিটি ম্যানিফোল্ড সমস্থানিকভাবে এম-এর সমতুল্যও এম-এর সমরূপ হয়। অনুপ্রেরণা টপোলজির একটি কেন্দ্রীয় সমস্যা নির্ধারণ করে যখন দুটি স্থান একই হয় অর্থাৎ। হোমিওমরফিক বা ডিফিয়োমরফিক। স্পষ্টভাবে একটি রূপবাদ তৈরি করা প্রায় সবসময়ই অবাস্তব। যদি আমরা একটি বা উভয় স্থানের (ম্যানিফোল্ড) উপর আরও শর্ত রাখি তবে আমরা এই অতিরিক্ত কাঠামোটি কাজে লাগাতে পারি যাতে দেখানো যায় যে কাঙ্ক্ষিত রূপবাদ অবশ্যই বিদ্যমান থাকতে হবে। অনমনীয়তা উপপাদ্যটি তখন হয় যখন দুটি ম্যানিফোল্ডের মধ্যে মোটামুটি দুর্বল সমতুল্যতা (সাধারণত একটি সমস্থানিক সমতুল্য) শক্তিশালী সমতুল্য সমরূপতা, ডিফিয়োমরফিজম বা আইসোমেট্রি-র অস্তিত্বকে বোঝায়। সংজ্ঞা. একটি বদ্ধ টপোলজিক্যাল ম্যানিফোল্ড এম-কে টপোলজিক্যাল রিজিড বলা হয় যদি কোনও সমস্থানিক সমতুল্য f: N → M উৎস হিসাবে কিছু ম্যানিফোল্ড এন এবং লক্ষ্য হিসাবে এম একটি সমরূপতার সমস্থানিক হয়। উদাহরণ 1। যদি বদ্ধ 2-ম্যানিফোল্ড এম এবং এন সমস্থানিকভাবে সমতুল্য হয় তবে তারা সমরূপ। উপরন্তু, বদ্ধ পৃষ্ঠের যে কোনও সমস্থানিক সমতুল্যতা একটি সমরূপতায় বিকৃত হয়। উদাহরণ 2। যদি একটি বদ্ধ ম্যানিফোল্ড Mn (n ষ্ণ 3) Sn-এর সমতুল্য হয় তবে Mn হল Sn-এর সমরূপ। জ্যামিতির সংজ্ঞায় অনমনীয়তা উপপাদ্য। ফ্ল্যাট-রিমানিয়ান ম্যানিফোল্ডের একটি ডিফিয়োমরফিজমকে অ্যাফিন বলা হয় যদি এটি জিওডেসিকের সাথে জিওডেসিক বহন করে। উপপাদ্য (Bieberbach) যদি f: M → N ফ্ল্যাট ক্লোজড সংযুক্ত রিমানিয়ান ম্যানিফোল্ডের মধ্যে একটি সমস্থানিক সমতুল্য হয় তবে f একটি অ্যাফিন সমরূপতার সমস্থানিক। মোস্টোর অনমনীয়তা উপপাদ্যঃ ধরা যাক এম এবং এন সংক্ষিপ্ত, স্থানীয়ভাবে প্রতিসম রিমানিয়ান ম্যানিফোল্ড যেখানে সর্বত্র অ-ধনাত্মক বক্রতা রয়েছে যার কোনও বদ্ধ এক বা দ্বিমাত্রিক জিওডেসিক সাবস্পেস নেই যা স্থানীয়ভাবে সরাসরি ফ্যাক্টর। যদি f: M → N একটি সমস্থানিক সমতুল্য হয় তবে f একটি সমমিতির সমস্থানিক। উপপাদ্য (হাইপারবোলিক এন-ম্যানিফোল্ডের জন্য মোস্টো 'র উপপাদ্য, এন ≤ 3): যদি এম এবং এন সম্পূর্ণ হাইপারবোলিক এন-ম্যানিফোল্ড হয়, তবে সসীম আয়তনের সাথে এন ≤ 3 এবং এফঃ এম → এন একটি সমস্থানিক সমতুল্য হয় তবে এফ একটি সমস্থানিক। এই ফলাফলগুলি জর্জ মোস্টোর নামে নামকরণ করা হয়েছে। বীজগাণিতিক রূপ ধরা যাক, হাইপারবোলিক এন-স্পেস এইচ-এর আইসোমেট্রি গ্রুপের পৃথক উপগোষ্ঠী হতে হবে, যেখানে এন ω3, যার অনুপাত এইচ/ω এবং এইচ/ω-এর আয়তন সীমাবদ্ধ। যদি পৃথক গোষ্ঠী হিসাবে κ এবং κ সমরূপ হয় তবে সেগুলি সংযুগ্ম। মন্তব্য (1) দ্বিমাত্রিক ক্ষেত্রে কমপক্ষে দুই বংশের যে কোনও বহুবৃত্তের একটি হাইপারবোলিক কাঠামো থাকে। এই ক্ষেত্রে মোস্টোর অনমনীয়তা উপপাদ্য প্রযোজ্য নয়। প্রকৃতপক্ষে, এই ধরনের যে কোনও ম্যানিফোল্ডে অনেকগুলি হাইপারবোলিক কাঠামো রয়েছে; এই ধরনের প্রতিটি কাঠামো টেইচমুলার স্থানের একটি বিন্দুর সাথে মিলে যায়। (2) অন্যদিকে, যদি এম এবং এন সসীম আয়তনের 2-ম্যানিফোল্ড হয়, তবে তাদের মৌলিক গোষ্ঠীগুলি একই হলে তারা ঠিক সমরূপ বলে দেখানো সহজ। প্রয়োগ একটি সীমাবদ্ধ-ভলিউম হাইপারবোলিক এন-ম্যানিফোল্ড এম-এর আইসোমেট্রিগুলির গ্রুপ (এন ≤ 3-এর জন্য) সীমাবদ্ধভাবে উত্পন্ন হয় এবং π1 (এম)-এর সমতুল্য হয়। তথ্যসূত্র টপোলজি ম্যাপস অফ ম্যানিফোল্ডস হোমোটোপি তত্ত্ব