Tangential polygon
ইউক্লিডীয় জ্যামিতিতে, একটি স্পর্শক বহুভুজ, যা পরিবেষ্টিত বহুভুজ নামেও পরিচিত, হল একটি উত্তল বহুভুজ যাতে একটি খোদাই করা বৃত্ত থাকে (যাকে অন্তঃবৃত্তও বলা হয়)। এটি একটি বৃত্ত যা বহুভুজের প্রতিটি পক্ষের স্পর্শক। একটি স্পর্শক বহুভুজের দ্বৈত বহুভুজ হল একটি চক্রাকার বহুভুজ, যার প্রতিটি শীর্ষের মধ্য দিয়ে একটি পরিবেষ্টিত বৃত্ত অতিক্রম করে। সমস্ত ত্রিভুজ স্পর্শক, যেমন যে কোনও সংখ্যক বাহু সহ সমস্ত নিয়মিত বহুভুজ। স্পর্শক বহুভুজগুলির একটি সু-অধ্যয়নরত গোষ্ঠী হল স্পর্শক চতুর্ভুজ, যার মধ্যে রম্বি এবং ঘুড়ি রয়েছে। বৈশিষ্ট্য একটি উত্তল বহুভুজের একটি অন্তঃবৃত্ত থাকে যদি এবং শুধুমাত্র যদি এর সমস্ত অভ্যন্তরীণ কোণ দ্বিখণ্ড সমবর্তী হয়। এই সাধারণ বিন্দুটি হল ইন্সেন্টার (অন্তঃবৃত্তের কেন্দ্র)। যদি এবং শুধুমাত্র যদি সমীকরণের পদ্ধতির ধনাত্মক বাস্তবতায় একটি সমাধান (x1,., xn) থাকে, তাহলে n ক্রমিক পক্ষের a1,., একটি স্পর্শক বহুভুজ বিদ্যমান। যদি এই ধরনের একটি সমাধান বিদ্যমান থাকে, তাহলে x1,., xn হল বহুভুজের স্পর্শক দৈর্ঘ্য (শীর্ষ থেকে সেই বিন্দু পর্যন্ত দৈর্ঘ্য যেখানে অন্তঃবৃত্তটি পার্শ্বে স্পর্শক)। অদ্বিতীয়তা এবং অদ্বিতীয়তা যদি n বাহুর সংখ্যা বিজোড় হয়, তবে উপরের অস্তিত্বের মানদণ্ডকে সন্তুষ্ট করে এমন যে কোনও প্রদত্ত পার্শ্বদৈর্ঘ্যের জন্য কেবল একটি স্পর্শক বহুভুজ রয়েছে। কিন্তু যদি n জোড় হয় তবে তাদের একটি অসীমতা রয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, চতুর্ভুজ ক্ষেত্রে যেখানে সমস্ত দিক সমান, আমাদের তীব্র কোণের যে কোনও মান সহ একটি রম্বাস থাকতে পারে এবং সমস্ত রম্বাই একটি অন্তঃবৃত্তের স্পর্শক। ইনরেডিয়াস যদি একটি স্পর্শক বহুভুজের n দিকগুলি a1,., an হয়, তবে ইনরেডিয়াস (অন্তঃবৃত্তের ব্যাসার্ধ) হল যেখানে K হল বহুভুজের ক্ষেত্রফল এবং s হল অর্ধপরিমাপ। (যেহেতু সমস্ত ত্রিভুজ স্পর্শক, তাই এই সূত্রটি সমস্ত ত্রিভুজের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য।) অন্যান্য বৈশিষ্ট্য বিজোড় সংখ্যক বাহু সহ একটি স্পর্শক বহুভুজের জন্য, সমস্ত কোণ সমান হলে সমস্ত দিক সমান হয় (তাই বহুভুজটি নিয়মিত)। জোড় সংখ্যক বাহু সহ একটি স্পর্শক বহুভুজের সমস্ত বাহু সমান হয় যদি এবং কেবলমাত্র বিকল্প কোণগুলি সমান হয় (অর্থাৎ, কোণ A, C, E,. সমান হয় এবং কোণ B, D, F. সমান হয়)। জোড় সংখ্যক বাহু সহ একটি স্পর্শক বহুভুজে, বিজোড় সংখ্যাযুক্ত পক্ষের দৈর্ঘ্যের যোগফল জোড় সংখ্যাযুক্ত পক্ষের দৈর্ঘ্যের যোগফলের সমান হয়। একটি স্পর্শক বহুভুজের ক্ষেত্রফল অন্য যে কোনও বহুভুজের তুলনায় বৃহত্তর এবং একই পরিসীমা এবং একই ক্রমের একই অভ্যন্তরীণ কোণ থাকে। যে কোনও স্পর্শক বহুভুজের কেন্দ্রবিন্দু, তার সীমানা বিন্দুর কেন্দ্রবিন্দু এবং খোদাই করা বৃত্তের কেন্দ্রটি কোলিনিয়ার, অন্যান্যগুলির মধ্যে বহুভুজের কেন্দ্রবিন্দু এবং সীমানার কেন্দ্রবিন্দু থেকে ইনসেন্টার থেকে দ্বিগুণ দূরে থাকে। সমস্ত ত্রিভুজ কোনও বৃত্তের স্পর্শক হলেও, একটি ত্রিভুজকে রেফারেন্স ত্রিভুজের স্পর্শক ত্রিভুজ বলা হয় যদি বৃত্তের সাথে স্পর্শক ত্রিভুজের স্পর্শকতাও রেফারেন্স ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু হয়। স্পর্শক চতুর্ভুজ স্পর্শক ষড়ভুজ একটি স্পর্শক ষড়ভুজ এ. বি. সি. ডি. ই. এফ-এ, ব্রায়ানচনের উপপাদ্য অনুসারে প্রধান তির্যক এডি, বি. ই এবং সি. এফ সমবর্তী। আরও দেখুন সার্কামগন রেফারেন্স বহুভুজের প্রকার