List of uniform polyhedra by Schwarz triangle
ইউনিফর্ম পলিহেড্রার মধ্যে অনেক সম্পর্ক রয়েছে। উইথফ নির্মাণ তীব্র এবং অপ্রচলিত শোয়ার্জ ত্রিভুজ থেকে প্রায় সমস্ত অভিন্ন পলিহেড্রা তৈরি করতে সক্ষম। যে সংখ্যাগুলি একটি অ-ডাইহেড্রাল তীব্র বা অপ্রচলিত শোয়ার্জ ত্রিভুজের পার্শ্বগুলির জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে যা অগত্যা কেবল অবক্ষয়শীল অভিন্ন পলিহেড্রার দিকে পরিচালিত করে না সেগুলি হল 2,3,3/2,4/3,5/2,5/3, এবং 5/4 (তবে সংখ্যা 4 এবং সংখ্যা 5 সহ সংখ্যাগুলি একসাথে নাও ঘটতে পারে)। (4/2 ব্যবহার করা যেতে পারে, তবে 4 এবং 2-এর একটি সাধারণ ফ্যাক্টর থাকায় শুধুমাত্র অভিন্ন পলিহেড্রা অবক্ষয়ের দিকে পরিচালিত করে।) এই ধরনের 44টি শোয়ার্জ ত্রিভুজ রয়েছে (5টি টেট্রাহেড্রাল প্রতিসাম্য সহ, 7টি অক্টেড্রাল প্রতিসাম্য সহ এবং 32টি আইকোসাহেড্রাল প্রতিসাম্য সহ), যা ডাইহেড্রাল শোয়ার্জ ত্রিভুজের অসীম পরিবারের সাথে মিলিত হয়ে প্রায় সমস্ত অ-অবনমিত অভিন্ন বহুভুজ গঠন করতে পারে। সম্পূর্ণ কাকতালীয় শীর্ষ, প্রান্ত বা মুখ সহ অনেক অবক্ষয়িত অভিন্ন পলিহেড্রা উইথফ নির্মাণের মাধ্যমেও তৈরি হতে পারে এবং 4/2 ব্যবহার না করা শোয়ার্জ ত্রিভুজ থেকে যেগুলি উদ্ভূত হয় সেগুলিও তাদের অ-অবক্ষয়কারী প্রতিরূপগুলির সাথে নীচের সারণিতে দেওয়া হয়েছে। রিফ্লেক্স শোয়ার্জ ত্রিভুজগুলি অন্তর্ভুক্ত করা হয়নি, কারণ তারা কেবল ডুপ্লিকেট বা ডিজেনারেট তৈরি করে; তবে, কয়েকটি টেবিলের বাইরে উল্লেখ করা হয়েছে কারণ তারা তিনটি স্নব পলিহেড্রায় প্রয়োগ করে। কয়েকটি অ-উইথফিয়ান ইউনিফর্ম পলিহেড্রা রয়েছে, যা কোনও শোয়ার্জ ত্রিভুজ তৈরি করতে পারে না; তবে, তাদের বেশিরভাগই উইথফ নির্মাণকে দ্বৈত আবরণ হিসাবে ব্যবহার করে তৈরি করা যেতে পারে (অ-উইথফিয়ান পলিহেড্রনটি একবারের পরিবর্তে দু 'বার আচ্ছাদিত করা হয়) বা বেশ কয়েকটি অতিরিক্ত কাকতালীয় মুখ সহ যা প্রতিটি প্রান্তে দুটির বেশি মুখ না রাখার জন্য অবশ্যই ফেলে দিতে হবে (দেখুন ওম্নিট্রানকেটেড polyhedron#Other জোড়-পার্শ্বযুক্ত ননকনভেক্স পলিহেড্রা)। এই ধরনের পলিহেড্রা এই তালিকায় একটি তারকাচিহ্ন দ্বারা চিহ্নিত করা হয়েছে। একমাত্র অভিন্ন পলিহেড্রা যা এখনও উইথফ নির্মাণের মাধ্যমে তৈরি করা যায় না তা হল গ্রেট ডিরম্বিকোসিডোডেকাহেড্রন এবং গ্রেট ডিসনব ডিরম্বিদোডেকাহেড্রন। একটি গোলকের উপর শোয়ার্জ ত্রিভুজের প্রতিটি টাইলিং শুধুমাত্র একবার গোলককে ঢেকে রাখতে পারে, অথবা এর পরিবর্তে এটি পুরো গোলকের চারপাশে পুরো কয়েকবার বাতাস ঘুরিয়ে প্রক্রিয়াটি অতিক্রম করতে পারে। গোলকের চারপাশে কতবার টাইলিং বাতাস হয় তা টাইলিংয়ের ঘনত্ব, এবং এটি চিহ্নিত করা হয়। স্থান বাঁচানোর জন্য পলিহেড্রার পুরো নামের পরিবর্তে পলিহেড্রার জন্য জোনাথন বোয়ার্সের সংক্ষিপ্ত নাম, যা বোয়ার্স সংক্ষিপ্ত রূপ হিসাবে পরিচিত, ব্যবহার করা হয়। মেডার সূচকও দেওয়া আছে। ডাইহেড্রাল শোয়ার্জ ত্রিভুজ ব্যতীত, শোয়ার্জ ত্রিভুজগুলি তাদের ঘনত্ব অনুসারে সাজানো হয়। ইউক্লিডীয় টিলিংয়ের অনুরূপ ঘটনাগুলিও তালিকাভুক্ত করা হয়েছে এবং হাইপারবোলিক টিলিংয়ের বিষয়গুলি সংক্ষেপে এবং অসম্পূর্ণভাবে আলোচনা করা হয়েছে। মোবিয়াস এবং শোয়ার্জ ত্রিভুজ π/p, π/q, π/r কোণ সহ 4টি গোলাকার ত্রিভুজ রয়েছে, যেখানে (p q r) পূর্ণসংখ্যাঃ (কক্সেটার, "ইউনিফর্ম পলিহেড্রা", 1954) (2 2 r)-ডাইহেড্রাল (2,3 3)-টেট্রাহেড্রাল (2,3 4)-অক্টেহেড্রাল (2,3 5)-ইকোসাহেড্রাল এগুলিকে মোবিয়াস ত্রিভুজ বলা হয়। উপরন্তু শোয়ার্জ ত্রিভুজগুলি (p q r) বিবেচনা করে যা মূলদ সংখ্যা। এগুলির প্রত্যেকটিকে উপরের 4টি সেটের মধ্যে একটিতে শ্রেণীবদ্ধ করা যেতে পারে। যদিও একটি পলিহেড্রনের ঘনত্ব সাধারণত শোয়ার্জ ত্রিভুজ থেকে উৎপন্ন হওয়ার সমান হয়, তবে সবসময় এমন হয় না। প্রথমত, পলিহেড্রা যার মুখগুলি মডেলের কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে যায় (হেমিপোলিহেড্রা, গ্রেট দিরহোম্বিকোসিডোডেকাহেড্রন এবং গ্রেট ডিসনব দিরহোম্বিডোডেকাহেড্রন সহ) তাদের সুনির্দিষ্ট ঘনত্ব নেই। দ্বিতীয়ত, একটি গোলাকার পলিহেড্রনকে তার সমতলীয় প্রতিরূপে পরিবর্তন করার সময় অভিন্নতা পুনরুদ্ধারের জন্য প্রয়োজনীয় বিকৃতি পলিহেড্রনের কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে মুখগুলিকে ধাক্কা দিতে পারে এবং ঘনত্ব পরিবর্তন করে অন্য দিকে ফিরে যেতে পারে। এটি নিম্নলিখিত ক্ষেত্রে ঘটেঃ গ্রেট ট্রাঙ্কেটেড কিউবোক্টেহেড্রন, 2,3,4/3।। যদিও শোয়ার্জ ত্রিভুজের (2,34/3) ঘনত্ব 7, তবে পুনরুদ্ধারের অভিন্নতা কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে আটটি ষড়ভুজকে ধাক্কা দেয়, যার ফলে ঘনত্ব |7 −8। = 1 হয়, যা কলুনার শোয়ার্জ ত্রিভুজ (2,34)-এর সমান যা একই বড় বৃত্ত ভাগ করে নেয়। কাটা ডোডেকাডেকাহেড্রন, 2 5/3 5।। যদিও শোয়ার্জ ত্রিভুজের (2,5/35) ঘনত্ব 9, তবে পুনরুদ্ধারের অভিন্নতা কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে বারোটি ডেকাগনকে ধাক্কা দেয়, যার ফলে ঘনত্ব |9 −12। = 3 হয়, যা কলুনার শোয়ার্জ ত্রিভুজের (2,5/25) সমান, যা একই বড় বৃত্ত ভাগ করে নেয়। তিনটি স্নব পলিহেড্রাঃ গ্রেট আইকোসাহেড্রন। 2,3/2 3/2, ছোট রেট্রোসনব আইকোসিকোসিডোডেকাহেড্রন। 3/23/2 5/2, এবং গ্রেট রেট্রোসনব আইকোসিডোডেকাহেড্রন। 2,3/2 5/3। এখানে শীর্ষের চিত্রগুলি পেন্টাগন বা হেক্সাগনের পরিবর্তে পেন্টাগ্রাম বা হেক্সাগ্রামে বিকৃত করা হয়েছে, যা কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে সমস্ত স্নব ত্রিভুজকে ঠেলে দেয় এবং যথাক্রমে |5 −12। = 7, |22 −60। = 38, এবং |23 −60। = 37 এর ঘনত্ব দেয়। এই ঘনত্বগুলি কলুনার রিফ্লেক্স-কোণযুক্ত শোয়ার্জ ত্রিভুজের সমান যা উপরে অন্তর্ভুক্ত করা হয়নি। সুতরাং গ্রেট আইকোসাহেড্রন (2/33) বা (2,3/4), ছোট রেট্রোসনব আইকোসিকোসিডোডেকাহেড্রন (3 3 5/8) বা (3 3/4 5/3), এবং গ্রেট রেট্রোসনব আইকোসিডোডেকাহেড্রন (2/3 3 5/2), (2,3/4 5/3), বা (2 3 5/7) থেকে এসেছে বলে মনে করা যেতে পারে। (কক্সেটার, "ইউনিফর্ম পলিহেড্রা", 1954) সারসংক্ষেপ টেবিল পি, কিউ, আর (এবং কয়েকটি বিশেষ ফর্ম) এর প্রতিটি সেট সহ সাতটি জেনারেটর পয়েন্ট রয়েছেঃ চারটি বিশেষ কেস রয়েছেঃ পি কিউ-এটি পি কিউ আর এবং পি কিউ এস এর মিশ্রণ। p q r এবং p q s উভয় চিহ্নই কিছু অতিরিক্ত মুখ সহ একটি সাধারণ বেস পলিহেড্রন তৈরি করে। p q এর স্বরলিপি তখন বেস পলিহেড্রনকে উপস্থাপন করে, যা p q r এবং p q s উভয়ের সাধারণ মুখ দিয়ে গঠিত। p q r-স্নব ফর্মগুলি (বিকল্প) এই অন্যথায় অব্যবহৃত প্রতীক দেওয়া হয়। পি কিউ আর এস-ইউ75-এর জন্য একটি অনন্য স্নব ফর্ম যা ত্রিভুজাকার মৌলিক ডোমেন ব্যবহার করে উইথফ-গঠনযোগ্য নয়। এই উইথফ প্রতীকে চারটি সংখ্যা অন্তর্ভুক্ত করা হয়েছে কারণ এই পলিহেড্রনের একটি চতুষ্কোণীয় গোলাকার মৌলিক ক্ষেত্র রয়েছে। (পি) কিউ (আর) এস-স্কিলিংয়ের চিত্রের জন্য একটি অনন্য স্নব ফর্ম যা উইথফ-গঠনযোগ্য নয়। উইথফ প্রতীক থেকে শীর্ষ বিন্যাসে এই রূপান্তর টেবিলটি উপরে তালিকাভুক্ত ব্যতিক্রমী পাঁচটি পলিহেড্রার জন্য ব্যর্থ হয় যার ঘনত্ব তাদের উৎপাদক শোয়ার্জ ত্রিভুজ টেসেলেশনের ঘনত্বের সাথে মেলে না। এই ক্ষেত্রে সমতল মুখের সাথে অভিন্নতা অর্জনের জন্য শীর্ষের চিত্রটি অত্যন্ত বিকৃত হয়ঃ প্রথম দুটি ক্ষেত্রে এটি একটি তীব্র ত্রিভুজের পরিবর্তে একটি তির্যক ত্রিভুজ, এবং শেষ তিনটিতে এটি একটি পঞ্চভুজ বা ষড়ভুজের পরিবর্তে একটি পঞ্চভুজ বা ষড়ভুজ, যা কেন্দ্রের চারপাশে দুবার ঘুরছে। এর ফলে কিছু মুখ পলিহেড্রনের মধ্য দিয়ে ঠেলে দেওয়া হয় যখন শীর্ষ আকৃতি বিকৃতি ছাড়াই টপোলজিক্যালি সমতুল্য ফর্মগুলির সাথে তুলনা করা হয় এবং অন্যদিকে পশ্চাদগামী হয়। নীচের সারণিতে, লাল পটভূমিতে অধঃপতিত পলিহেড্রা চিহ্নিত করা হয়েছে। সবুজ পটভূমি উত্তল ইউনিফর্ম পলিহেড্রা চিহ্নিত করে। ডাইহেড্রাল (প্রিজম্যাটিক) ডাইহেড্রাল শোয়ার্জ ত্রিভুজে, দুটি সংখ্যা 2, এবং তৃতীয়টি 1 এর চেয়ে কঠোরভাবে বড় যে কোনও মূলদ সংখ্যা হতে পারে। (2 2 এন/ডি)-অবক্ষয় হয় যদি জিসিডি (এন, ডি)> 1 হয়। ডাইহেড্রাল প্রতিসাম্য সহ অনেক পলিহেড্রায় ডিগন মুখ থাকে যা তাদের পলিহেড্রাকে অবনমিত করে (যেমন। ডিহেড্রা এবং হোসোহেড্রা)। টেবিলের যে কলামগুলি শুধুমাত্র অবক্ষয়জনিত অভিন্ন পলিহেড্রা দেয় সেগুলি অন্তর্ভুক্ত করা হয় নাঃ বিশেষ অবক্ষয়জনিত ক্ষেত্রে (শুধুমাত্র (2,22) শোয়ার্জ ত্রিভুজে) একটি বড় ক্রস দিয়ে চিহ্নিত করা হয়। একটি বেস {p} সহ ইউনিফর্ম ক্রসড অ্যান্টিপ্রিজম যেখানে p <3/2 বিদ্যমান থাকতে পারে না কারণ তাদের শীর্ষের চিত্রগুলি ত্রিভুজাকার বৈষম্য লঙ্ঘন করবে; এগুলি একটি বড় ক্রস দিয়েও চিহ্নিত করা হয়। 3/2-ক্রস করা অ্যান্টিপ্রিজম (ট্রাইর্প) ক্ষয়প্রাপ্ত, ইউক্লিডিয়ান স্পেসে সমতল হওয়ায় এবং একটি বড় ক্রস দিয়েও চিহ্নিত করা হয়। শোয়ার্জ ত্রিভুজগুলি (2 2 এন/ডি) এখানে শুধুমাত্র তখনই তালিকাভুক্ত করা হয় যখন জি. সি. ডি (এন, ডি) = 1 হয়, কারণ অন্যথায় এগুলির ফলে শুধুমাত্র অবক্ষয়িত অভিন্ন বহুভুজ তৈরি হয়। নীচের তালিকাটি সমস্ত সম্ভাব্য ক্ষেত্রে দেয় যেখানে n ≤ 6। চতুষ্ফলকীয় শোয়ার্জ ত্রিভুজে, অনুমোদিত সর্বোচ্চ সংখ্যা হল 3। অষ্টতলকীয় শোয়ার্জ ত্রিভুজে, অনুমোদিত সর্বোচ্চ সংখ্যা হল 4। অষ্টতলকীয় শোয়ার্জ ত্রিভুজও রয়েছে যা 4/2 কে একটি সংখ্যা হিসাবে ব্যবহার করে, তবে এগুলি শুধুমাত্র 4 এবং 2-এর একটি সাধারণ ফ্যাক্টর থাকায় অভিন্ন বহুফলকের অবক্ষয়ের দিকে পরিচালিত করে। আইকোসাহেড্রাল শোয়ার্জ ত্রিভুজে, অনুমোদিত সর্বোচ্চ সংখ্যা হল 5। উপরন্তু, আইকোসাহেড্রাল শোয়ার্জ ত্রিভুজে সংখ্যা 4 ব্যবহার করা যাবে না, যদিও সংখ্যা 2 এবং 3 অনুমোদিত। (যদি কোনও শোয়ার্জ ত্রিভুজে 4 এবং 5 একসাথে ঘটতে পারে, তবে তাদের কোনও মোবিয়াস ত্রিভুজেও তা করতে হবে; তবে এটি অসম্ভব কারণ (2 4 5) একটি হাইপারবোলিক ত্রিভুজ, গোলাকার নয়।) অ-উইথোফিয়ান হেমি গঠন অক্টেহেমিওক্টেহেড্রন ছাড়াও, উইথোফ নির্মাণের মাধ্যমে হেমিপোলিহেড্রাকে দ্বৈত আবরণ হিসাবে তৈরি করা হয়। হ্রাসকৃত রূপগুলি এই পলিহেড্রা উইথফ নির্মাণের মাধ্যমে অতিরিক্ত মুখ দিয়ে তৈরি হয়। টেট্রাহেমিহেক্সাহেড্রন (থা, ইউ4) হল {3/2}-কুপোলার (পশ্চাদগামী ত্রিভুজাকার কুপোলা, রাট্রিকু) {6/2} দ্বারা হ্রাসকৃত সংস্করণ। এইভাবে এটিকে ক্রস করা ত্রিভুজাকার কাপলয়েডও বলা যেতে পারে। উপরের অনেক ক্ষেত্রে অবক্ষয়িত সর্বজনীন পলিহেড্রা পি কিউ আর থেকে উদ্ভূত হয়। এই ক্ষেত্রে, দুটি স্বতন্ত্র অধঃপতিত ক্ষেত্রে p q r এবং p q s একই p এবং q থেকে তৈরি করা যেতে পারে; ফলাফলের মুখগুলি যথাক্রমে {2p} 's, {2q}' s, এবং সঙ্গতিপূর্ণ {2r} 's বা {2s}' s। এই উভয়ই একই ননডিজেনারেট ইউনিফর্ম পলিহেড্রা উৎপন্ন করে যখন সঙ্গতিপূর্ণ মুখগুলি ফেলে দেওয়া হয়, যা কক্সেটার p q কে প্রতীক করে। এই ক্ষেত্রেগুলি নীচে তালিকাভুক্ত করা হয়েছেঃ ছোট এবং বড় রম্বিহেক্সাহেড্রাতে, ভগ্নাংশ 4/2 ব্যবহার করা হয় যদিও এটি সর্বনিম্ন পদ নয়। যেখানে 2 4 2 এবং 2 4/3 2 যথাক্রমে একটি একক অষ্টভুজাকার বা অষ্টভুজাকার প্রিজমের প্রতিনিধিত্ব করে, 2 4 4/2 এবং 2 4/3 4/2 এই ধরনের তিনটি প্রিজমের প্রতিনিধিত্ব করে, যা তাদের কিছু বর্গাকার মুখ ভাগ করে নেয় (সুনির্দিষ্টভাবে যেগুলি দ্বিগুণ হয়ে {8/2} তৈরি করে)। এই {8/2} গুলি দ্বিগুণ ঘূর্ণন প্রতিসাম্যের পরিবর্তে চারগুণ প্রদর্শিত হয়, যা 2-এর পরিবর্তে 4/2-এর ব্যবহারকে সমর্থন করে। অন্যান্য রূপ এই দুটি অভিন্ন পলিহেড্রা উইথফ নির্মাণের দ্বারা আদৌ তৈরি করা যায় না। এটি ইউনিফর্ম পলিহেড্রার সেট যা সাধারণত "অ-উইথোফিয়ান" হিসাবে বর্ণনা করা হয়। উইথোফিয়ান ইউনিফর্ম পলিহেড্রার ত্রিভুজাকার মৌলিক ক্ষেত্রের পরিবর্তে, এই দুটি পলিহেড্রার টেট্রাগোনাল মৌলিক ক্ষেত্র রয়েছে। স্কিলিংয়ের চিত্রটিকে মেডারের তালিকায় একটি সূচক দেওয়া হয়নি কারণ এটি একটি বহিরাগত ইউনিফর্ম পলিহেড্রন, যার শৈলশিরাগুলি (3ডি ক্ষেত্রে প্রান্তগুলি) সম্পূর্ণ কাকতালীয়। উপরের তালিকায় অন্তর্ভুক্ত কিছু অধঃপতিত পলিহেড্রনের ক্ষেত্রেও এটি সত্য, যেমন ছোট জটিল আইকোসিডোডেকাহেড্রন। প্রান্তগুলি কাকতালীয় হওয়ার এই ব্যাখ্যাটি এই পরিসংখ্যানগুলিকে প্রতি প্রান্তে দুটি মুখের অনুমতি দেয়ঃ প্রান্তগুলি দ্বিগুণ না করলে তাদের 4,6,8,10 বা 12 টি মুখ একটি প্রান্তে মিলিত হবে, যা সাধারণত অভিন্ন পলিহেড্রা হিসাবে বাদ দেওয়া হয়। স্কিলিং-এর আকৃতির 4টি মুখ কিছু প্রান্তে মিলিত হয়। এই দুটি বিশেষ পলিহেড্রা গ্রেট স্নব ডোডেসিকোসিডোডেকাহেড্রন, 3 5/3 5/2 (ইউ64) থেকে উদ্ভূত হতে পারে। এটি একটি কাইরাল স্নব পলিহেড্রন, তবে এর পেন্টাগ্রামগুলি কপ্ল্যানার জোড়ায় প্রদর্শিত হয়। এই পলিহেড্রনের একটি অনুলিপি তার এনানটিওমর্ফের সাথে একত্রিত করে, পেন্টাগ্রামগুলি মিলে যায় এবং অপসারণ করা যেতে পারে। যেহেতু এই পলিহেড্রনের শীর্ষ আকৃতির প্রান্তগুলিতে একটি বর্গক্ষেত্রের তিনটি দিক রয়েছে, যার চতুর্থ দিকটি তার এনানটিওমর্ফ দ্বারা অবদান রাখে, তাই আমরা দেখতে পাই যে ফলস্বরূপ পলিহেড্রন আসলে কুড়িটি অষ্টতলার যৌগ। এই অষ্টতলার প্রত্যেকটিতে সমান্তরাল মুখের একটি জোড়া রয়েছে যা 3-5/3-5/2 এর সম্পূর্ণ প্রতিসম ত্রিভুজ থেকে উদ্ভূত হয়, অন্য তিনটি মূল 3-5/3-5/2 এর স্নব ত্রিভুজ থেকে আসে। উপরন্তু, প্রতিটি অষ্টতলকে একই প্রান্ত এবং শীর্ষ সহ টেট্রাহেমিহেক্সাহেড্রন দ্বারা প্রতিস্থাপিত করা যেতে পারে। অষ্টতলকে সম্পূর্ণ প্রতিসম ত্রিভুজ গ্রহণ করলে, গ্রেট স্নব ডোডেসিকোসিডোডেকাহেড্রার মূল সামঞ্জস্যপূর্ণ পেন্টাগ্রাম এবং টেট্রাহেমিহেক্সাহেড্রার নিরক্ষীয় বর্গগুলি একসাথে গ্রেট ডিরহম্বিকোসিডোডেকাহেড্রন (মিলারের দৈত্য) উৎপন্ন করে। পরিবর্তে অক্টেহেড্রার স্নব ত্রিভুজগুলি গ্রহণ করলে গ্রেট ডিসনব ডিরহোম্বিডেকাহেড্রন (স্কিলিংয়ের চিত্র) পাওয়া যায়। ইউক্লিডীয় টিলিং সমতলকে একবার টাইল করা একমাত্র সমতল ত্রিভুজগুলি হল (3 3 3), (4 2 4), এবং (3 2 6): এগুলি যথাক্রমে সমবাহু ত্রিভুজ, 45-45-90 ডান সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ এবং 30-60-90 ডান ত্রিভুজ। এটি অনুসরণ করে যে কোনও সমতল ত্রিভুজ সমতলকে একাধিকবার টাইল করে এগুলির মধ্যে একটির একাধিক অনুলিপি থেকে তৈরি করতে হবে। একমাত্র সম্ভাবনা হল 30-30-120 অপ্রচলিত সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ (3/266) = (623) + (2,63) সমতলে দুইবার টাইল করা। প্রতিটি ত্রিভুজ 120° শীর্ষে একটি শাখা বিন্দু সহ বিপরীত দিকে দু 'বার গণনা করে। দুটি এপিরোগান দিয়ে তৈরি টাইলিং {ini, 2} গ্রহণযোগ্য নয়, কারণ এর মুখগুলি একাধিক প্রান্তে মিলিত হয়। এখানে '', 'এর পশ্চাদগামী প্রতিরূপকে নির্দেশ করে। অধঃপতিত নামযুক্ত রূপগুলি হলঃ চ্যাটিটঃ 3টি ষড়ভুজাকার টিলিংয়ের যৌগ + ত্রিভুজাকার টাইলিং চাটাঃ 3টি ষড়ভুজাকার টিলিংয়ের যৌগ + ত্রিভুজাকার টাইলিং + সমস্ত প্রান্তের ক্রম বরাবর এপিরোগনের ডাবল কভারঃ 3টি ষড়ভুজাকার টিলিংয়ের যৌগ + সমস্ত প্রান্তের ক্রম বরাবর এপিরোগনের ডাবল কভার কোসাঃ বর্গাকার টাইলিং + সমস্ত প্রান্তের ক্রম বরাবর এপিরোগনের ডাবল কভার। উপরের টিলিংগুলি কক্সেটার, লঙ্গুয়েট-হিগিনস এবং মিলার তাদের 1954 সালের ইউনিফর্ম পলিহেড্রার গবেষণাপত্রে পাওয়া সমস্ত কিছুর প্রতিনিধিত্ব করে। তারা অনুমান করেছিল যে তালিকাগুলি সম্পূর্ণ ছিলঃ এটি 1970 সালে সোপোভ দ্বারা ইউনিফর্ম পলিহেড্রার জন্য প্রমাণিত হয়েছিল, তবে ইউনিফর্ম টিলিংয়ের জন্য প্রমাণিত হয়নি। প্রকৃতপক্ষে ব্র্যাঙ্কো গ্রুনবাম, জে. সি. পি. মিলার এবং জি. সি. শেফার্ড হোল টাইলস (1981) সহ ইউনিফর্ম টিলিংসে আরও পনেরটি অ-উইথোফিয়ান ইউনিফর্ম টিলিং তালিকাভুক্ত করেছেনঃ শীর্ষস্থানের চিত্রের জন্য দুটি করে টিলিং রয়েছে। এই দুটি শীর্ষ আকৃতির প্রত্যেকটির জন্য একটি তৃতীয় টাইলিং রয়েছে যা কেবল ছদ্ম-অভিন্ন (সমস্ত শীর্ষগুলি দেখতে একই রকম, তবে তারা দুটি প্রতিসাম্য কক্ষপথে আসে)। অতএব, ইউক্লিডীয় টিলিং-এর জন্য, ভার্টেক্স কনফিগারেশন অনন্যভাবে টাইলিং নির্ধারণ করে না। নীচের ছবিগুলিতে, অনুভূমিক এবং উল্লম্ব প্রান্ত সহ অন্তর্ভুক্ত বর্গগুলি একটি কেন্দ্রীয় বিন্দু দিয়ে চিহ্নিত করা হয়েছে। একটি একক বর্গক্ষেত্রের প্রান্তগুলি হাইলাইট করা থাকে। গ্রুনবাম, মিলার এবং শেফার্ড মুখ হিসাবে জিগজ্যাগ (তির্যক এপিরোগন) ব্যবহার করে 33 টি অভিন্ন টিলিং তালিকাভুক্ত করেছেন, যার মধ্যে দশটি পরিবার যার একটি মুক্ত পরামিতি (জিগজ্যাগের কোণ) রয়েছে। আটটি ক্ষেত্রে এই পরামিতিটি অবিচ্ছিন্ন; দুটিতে, এটি বিচ্ছিন্ন। হাইপারবোলিক টিলিংস হাইপারবোলিক সমতলে টাইলিং করা ত্রিভুজের সেট অসীম। উপরন্তু হাইপারবোলিক স্পেসে মৌলিক ডোমেনটি একটি সিম্প্লেক্স হতে হবে না। ফলস্বরূপ হাইপারবোলিক সমতলের অভিন্ন টিলিংয়ের একটি সম্পূর্ণ তালিকা দেওয়া যাবে না। এমনকি উত্তল টাইলের মধ্যে সীমাবদ্ধ থাকলেও, একই শীর্ষ বিন্যাসের সাথে একাধিক টিলিং খুঁজে পাওয়া সম্ভবঃ উদাহরণস্বরূপ স্নব অর্ডার-6 বর্গ tiling#Related পলিহেড্রা এবং টাইলিং দেখুন। কয়েকটি ছোট উত্তল কেস (আদর্শ মুখ বা শীর্ষগুলি জড়িত নয়) নীচে দেওয়া হয়েছেঃ রেফারেন্স রিচার্ড ক্লিটজিংঃ পয়েন্ট-গ্রুপ প্রতিসাম্য জটিলতা দ্বারা পলিহেড্রা শ্বার্জ ত্রিভুজ অংশ 1, অংশ 2 ইউক্লিডিয়ান টেসেলেশন এবং মধুচক্র হাইপারবোলিক টেসেলেশন এবং মধুচক্র টেবিলগুলি ক্লিটজিং তাঁর সাইটে উপস্থাপিতগুলির উপর ভিত্তি করে তৈরি করেছেন। বাহ্যিক সংযোগ জিম ম্যাকনিলঃ বিমানের টেসেলেশনস জাভি হার 'এলঃ ইউনিফর্ম পলিহেড্রা হিরোনোরি সাকামোটোঃ ইউক্লিড সমতলে ইউনিফর্ম টেসেলেশনস ইউনিফর্ম পলিহেড্রা ইউনিফর্ম টিলিং