Singular boundary method
সংখ্যাসূচক বিশ্লেষণে, সিঙ্গুলার বাউন্ডারি মেথড (এসবিএম) মেশলেস বাউন্ডারি কোলোকেশন কৌশলগুলির একটি পরিবারের অন্তর্গত যার মধ্যে রয়েছে মৌলিক সমাধানের পদ্ধতি (এমএফএস), বাউন্ডারি নট পদ্ধতি (বিকেএম), নিয়মিত মেশলেস পদ্ধতি (আরএমএম), বাউন্ডারি কণা পদ্ধতি (বিপিএম), পরিবর্তিত এমএফএস ইত্যাদি। স্ট্রং-ফর্ম কোলোকেশন পদ্ধতির এই পরিবারটি সীমানা নোডের সাথে সীমানা মান সমস্যার সংখ্যাসূচক সমাধানে ঐতিহ্যবাহী সীমানা উপাদান পদ্ধতিতে (বিইএম) একক সংখ্যাসূচক সংহতকরণ এবং জাল প্রজন্ম এড়ানোর জন্য ডিজাইন করা হয়েছে, যেখানে পরিচালনা সমীকরণের একটি মৌলিক সমাধান স্পষ্টভাবে জানা যায়। এসবিএম-এর প্রধান বৈশিষ্ট্য হল মৌলিক সমাধানের পদ্ধতিতে কাল্পনিক সীমানা অতিক্রম করা, এবং পরেরটির সমস্ত গুণাবলী বজায় রাখা। পদ্ধতিটি ধ্রুপদী ডোমেন বা সীমানা বিচ্ছিন্নকরণ পদ্ধতির তুলনায় বেশ কয়েকটি সুবিধা প্রদান করে, যার মধ্যে রয়েছেঃ জালহীন। এই পদ্ধতিতে কোনও ডোমেন বা সীমানা মেশিংয়ের প্রয়োজন হয় না, তবে শুধুমাত্র সীমানা-বিচ্ছিন্নকরণ পয়েন্টের প্রয়োজন হয়; ইন্টিগ্রেশন-মুক্ত। একক বা প্রায় একক কার্নেলের সংখ্যাসূচক সংহতকরণ অন্যথায় সমস্যাযুক্ত, ব্যয়বহুল এবং জটিল হতে পারে, যেমন ক্ষেত্রে, উদাহরণস্বরূপ, সীমানা উপাদান পদ্ধতি; সমজাতীয় সমস্যার জন্য শুধুমাত্র সীমানা-বিচ্ছিন্নকরণ। এসবিএম মৌলিক সমাধানের পদ্ধতিতে বিভ্রান্তিকর কাল্পনিক সীমানা অতিক্রম করার জন্য সীমাবদ্ধ উপাদান বা সীমাবদ্ধ পার্থক্য পদ্ধতির মতো ডোমেন বিচ্ছিন্নকরণ পদ্ধতির তুলনায় বিইএম-এর সমস্ত সুবিধা ভাগ করে নেয় (ফিগস দেখুন। 1 এবং 2), মূল তীব্রতা ফ্যাক্টরের ধারণার প্রবর্তনের জন্য ধন্যবাদ, যা মৌলিক সমাধানগুলির এককত্বকে পৃথক করে। এসবিএম বিশেষত অসীম ক্ষেত্র, তরঙ্গ, পাতলা প্রাচীরযুক্ত কাঠামো এবং বিপরীত সমস্যার জন্য বিইএম এবং এমএফএস-এর মতো জনপ্রিয় সীমানা-ধরনের পদ্ধতির একটি উল্লেখযোগ্য এবং আশাব্যঞ্জক বিকল্প প্রদান করে। একক সীমানা পদ্ধতির ইতিহাস 2009 সালে চেন এবং তাঁর সহযোগীরা এসবিএম-এর পদ্ধতিটি প্রথম প্রস্তাব করেছিলেন। মূল ধারণাটি হল মৌলিক সমাধানগুলির এককত্বকে বিচ্ছিন্ন করার জন্য মূল তীব্রতা ফ্যাক্টরের একটি ধারণা প্রবর্তন করা যাতে উৎস বিন্দুগুলি সরাসরি বাস্তব সীমানায় স্থাপন করা যায়। তুলনায়, মৌলিক সমাধানের পদ্ধতির জন্য মৌলিক সমাধানের এককত্ব এড়াতে উৎস বিন্দু স্থাপন করার জন্য একটি কাল্পনিক সীমানা প্রয়োজন। তখন থেকে এসবিএম সফলভাবে বিভিন্ন শারীরিক সমস্যায় প্রয়োগ করা হয়েছে, যেমন সম্ভাব্য সমস্যা, অসীম ডোমেন সমস্যা, হেল্মহোল্টজ সমস্যা এবং সমতল স্থিতিস্থাপকতা সমস্যা। উৎপত্তির তীব্রতার গুণক মূল্যায়নের জন্য দুটি কৌশল রয়েছে। প্রথম পদ্ধতিটি হল সমস্যা ক্ষেত্রের ভিতরে নমুনা নোডের একটি গুচ্ছ স্থাপন করা এবং বীজগাণিতিক সমীকরণ গণনা করা। কৌশলটি অতিরিক্ত গণনামূলক খরচের দিকে পরিচালিত করে এবং পদ্ধতিটি এম. এফ. এস-এর তুলনায় যতটা প্রত্যাশিত ততটা দক্ষ নয়। দ্বিতীয় পদ্ধতিটি হল মৌলিক সমাধান এবং তার ব্যুৎপত্তিগুলির এককত্ব বাতিল করার জন্য একটি নিয়মিতকরণ কৌশল ব্যবহার করা। ফলস্বরূপ, কোনও নমুনা নোড ব্যবহার না করেই উৎপত্তির তীব্রতার কারণগুলি সরাসরি নির্ধারণ করা যেতে পারে। এই প্রকল্পটি পদ্ধতিটিকে আরও স্থিতিশীল, নির্ভুল, দক্ষ করে তোলে এবং এর প্রয়োগযোগ্যতা প্রসারিত করে। সাম্প্রতিক উন্নয়নগুলি সীমানা স্তর প্রভাব সমস্যা অন্যান্য সমস্ত সীমানা-ধরনের সংখ্যাসূচক পদ্ধতির মতো, এটিও লক্ষ্য করা যায় যে এসবিএম নিকটবর্তী সীমানার অঞ্চলে সমাধানের নির্ভুলতার নাটকীয় হ্রাসের মুখোমুখি হয়। উৎপত্তির ক্ষেত্রে এককত্বের বিপরীতে, নিকট-সীমানা অঞ্চলে মৌলিক সমাধান সীমাবদ্ধ থাকে। যাইহোক, একটি সমতল ফাংশন হওয়ার পরিবর্তে, ক্ষেত্র বিন্দুটি সীমানার কাছাকাছি আসার সাথে সাথে ইন্টারপোলেশন ফাংশনটি একটি তীক্ষ্ণ শিখর বিকাশ করে। ফলস্বরূপ, কার্নেলগুলি "প্রায় একবচন" হয়ে যায় এবং সঠিকভাবে গণনা করা যায় না। এটি বিইএম-ভিত্তিক পদ্ধতিতে তথাকথিত সীমানা স্তর প্রভাবের অনুরূপ। প্রায় একক কার্নেলের দ্রুত বৈচিত্র্য অপসারণ বা হ্রাস করার জন্য সিন ফাংশনের উপর ভিত্তি করে একটি অরৈখিক রূপান্তর ব্যবহার করা যেতে পারে। ফলস্বরূপ, এসবিএম-এ সমস্যাজনক সীমানা স্তরের প্রভাব সফলভাবে নিরাময় করা হয়েছে। এই রূপান্তরের বাস্তবায়ন সহজবোধ্য এবং সহজেই বিদ্যমান এসবিএম কর্মসূচিতে অন্তর্ভুক্ত করা যেতে পারে। অধ্যয়ন করা পরীক্ষার সমস্যাগুলির জন্য, ক্ষেত্র বিন্দু এবং সীমানার মধ্যে দূরত্ব 1-এর মতো ছোট হলেও খুব আশাব্যঞ্জক ফলাফল পাওয়া যায়। এম. এফ. এস এবং বি. ই. এম-এর মতো বড় মাপের সমস্যাগুলি, এস. বি. এম ঘন সহগ ম্যাট্রিক্স তৈরি করবে, যার ক্রিয়াকলাপ গণনা এবং ম্যাট্রিক্স সমীকরণ গঠনের জন্য মেমরির প্রয়োজনীয়তা ও (এন 2) ক্রমের হয় যা গণনামূলকভাবে বড় মাপের সমস্যাগুলি অনুকরণ করতে খুব ব্যয়বহুল। ফাস্ট মাল্টিপোল পদ্ধতি (এফএমএম) সিপিইউ সময় এবং মেমরির প্রয়োজনীয়তা উভয়ই ও (এন 2) থেকে ও (এন) বা ও (এনএলজিএন) পর্যন্ত হ্রাস করতে পারে। এফ. এম. এম-এর সাহায্যে, এস. বি. এম একটি ডেস্কটপে কয়েক মিলিয়ন অজানা বড় আকারের সমস্যা সমাধান করতে সম্পূর্ণরূপে সক্ষম হতে পারে। এই দ্রুত অ্যালগরিদম নাটকীয়ভাবে এসবিএম-এর প্রযোজ্য এলাকাকে আগের তুলনায় অনেক বড় সমস্যার দিকে প্রসারিত করে। আরও দেখুন মেশফ্রি পদ্ধতি রেডিয়াল বেসিস ফাংশন ট্রেফ্টজ পদ্ধতি রেফারেন্স বাহ্যিক লিঙ্ক কার্নেল দূরত্ব ফাংশন এবং রেডিয়াল বেসিস ফাংশন একক সীমানা পদ্ধতি সংখ্যাসূচক বিশ্লেষণ সংখ্যাসূচক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ