Patterns in nature
প্রকৃতির নিদর্শনগুলি প্রাকৃতিক জগতে পাওয়া ফর্মের দৃশ্যমান নিয়মিততা। এই নিদর্শনগুলি বিভিন্ন প্রসঙ্গে পুনরাবৃত্তি হয় এবং কখনও কখনও গাণিতিকভাবে মডেল করা যেতে পারে। প্রাকৃতিক নিদর্শনগুলির মধ্যে রয়েছে প্রতিসাম্য, গাছ, সর্পিল, তির্যক, তরঙ্গ, ফেনা, টেসেলেশন, ফাটল এবং ফিতে। প্রারম্ভিক গ্রীক দার্শনিকরা প্যাটার্ন অধ্যয়ন করেছিলেন, প্লেটো, পিথাগোরাস এবং এম্পেডোক্লিস প্রকৃতির ক্রম ব্যাখ্যা করার চেষ্টা করেছিলেন। দৃশ্যমান নিদর্শনগুলির আধুনিক বোধগম্যতা সময়ের সাথে সাথে ধীরে ধীরে বিকশিত হয়েছিল। 19 শতকে, বেলজিয়ামের পদার্থবিজ্ঞানী জোসেফ মালভূমি সাবান ফিল্ম পরীক্ষা করেছিলেন, যার ফলে তিনি একটি ন্যূনতম পৃষ্ঠের ধারণা তৈরি করেছিলেন। জার্মান জীববিজ্ঞানী এবং শিল্পী আর্নস্ট হেকেল শত শত সামুদ্রিক জীবকে তাদের প্রতিসাম্যের উপর জোর দেওয়ার জন্য আঁকেন। স্কটিশ জীববিজ্ঞানী ডি 'আর্সি থম্পসন উদ্ভিদ এবং প্রাণী উভয়ের বৃদ্ধির ধরণ অধ্যয়নের পথপ্রদর্শক ছিলেন, যা দেখায় যে সরল সমীকরণগুলি সর্পিল বৃদ্ধির ব্যাখ্যা দিতে পারে। বিংশ শতাব্দীতে, ব্রিটিশ গণিতবিদ অ্যালান টুরিং মরফোজেনেসিসের প্রক্রিয়াগুলির ভবিষ্যদ্বাণী করেছিলেন যা দাগ এবং ফিতেগুলির নিদর্শন তৈরি করে। হাঙ্গেরিয়ান জীববিজ্ঞানী অ্যারিস্টিড লিন্ডেনমেয়ার এবং ফরাসি আমেরিকান গণিতবিদ বেনোইট ম্যান্ডেলব্রট দেখিয়েছেন যে ফ্র্যাক্টালের গণিত কীভাবে উদ্ভিদের বৃদ্ধির নিদর্শন তৈরি করতে পারে। গণিত, পদার্থবিজ্ঞান এবং রসায়ন বিভিন্ন স্তর এবং মাপকাঠিতে প্রকৃতির নিদর্শনগুলি ব্যাখ্যা করতে পারে। প্রাকৃতিক নির্বাচন এবং যৌন নির্বাচনের জৈবিক প্রক্রিয়া দ্বারা জীবের নিদর্শনগুলি ব্যাখ্যা করা হয়। প্যাটার্ন গঠনের গবেষণায় বিভিন্ন ধরনের প্যাটার্ন অনুকরণ করার জন্য কম্পিউটার মডেল ব্যবহার করা হয়। প্রাচীন গ্রীক দার্শনিকরা আধুনিক ধারণার পূর্বাভাস দিয়ে প্রকৃতির ক্রম ব্যাখ্যা করার চেষ্টা করেছিলেন। পিথাগোরাস (আনুমানিক 570 খ্রিষ্টাব্দ)। 495 খ্রিষ্টপূর্বাব্দ) সংখ্যা থেকে উদ্ভূত সঙ্গীতের সুরের মতো প্রকৃতির নিদর্শনগুলি ব্যাখ্যা করেছিলেন, যা তিনি অস্তিত্বের মৌলিক উপাদান হিসাবে গ্রহণ করেছিলেন। এম্পেডোক্লিস (আনুমানিক 494-খ্রিষ্টাব্দ। 434 খ্রিষ্টপূর্বাব্দ) জীবের কাঠামোর জন্য ডারউইনের বিবর্তনীয় ব্যাখ্যা কিছুটা প্রত্যাশিত ছিল। প্লেটো (আনুমানিক 427-খ্রিষ্টাব্দ। 347 খ্রিষ্টপূর্বাব্দ) প্রাকৃতিক সার্বজনীন অস্তিত্বের পক্ষে যুক্তি দিয়েছিলেন। তিনি এগুলিকে আদর্শ রূপ (ইডসঃ "রূপ") নিয়ে গঠিত বলে মনে করেছিলেন যার মধ্যে ভৌত বস্তুগুলি কখনই অসম্পূর্ণ প্রতিলিপির চেয়ে বেশি হয় না। সুতরাং, একটি ফুল মোটামুটি বৃত্তাকার হতে পারে, তবে এটি কখনই নিখুঁত বৃত্ত নয়। থিওফ্রাস্টাস (আনুমানিক 372-খ্রিষ্টাব্দ। 287 খ্রিষ্টপূর্বাব্দ) উল্লেখ করেছেন যে "যে গাছগুলিতে সমতল পাতা থাকে সেগুলি নিয়মিত সিরিজে থাকে"; প্লিনি দ্য এল্ডার (23-79 এডি) তাদের প্যাটার্নযুক্ত বৃত্তাকার বিন্যাস উল্লেখ করেছেন। কয়েক শতাব্দী পরে, লিওনার্দো দা ভিঞ্চি (1452-1519) পাতার বিন্যাসের সর্পিল বিন্যাসের কথা উল্লেখ করেছিলেন, যে গাছের কাণ্ডগুলি বয়সের সাথে সাথে ধারাবাহিকভাবে বলয় অর্জন করে এবং গাছ-শাখার ক্রস-বিভাগীয় অঞ্চলগুলি দ্বারা সন্তুষ্ট হওয়ার জন্য একটি নিয়ম প্রস্তাব করেছিলেন। 1202 খ্রিষ্টাব্দে লিওনার্দো ফিবোনাচ্চি তাঁর বইয়ের মাধ্যমে পশ্চিমা বিশ্বের কাছে ফিবোনাচির ক্রমটি প্রবর্তন করেন। ফিবোনাচ্চি একটি আদর্শ খরগোশের জনসংখ্যার বৃদ্ধির উপর একটি চিন্তার পরীক্ষা উপস্থাপন করেছিলেন। জোহানেস কেপলার (1571-1630) কিছু ফুলের পঞ্চভুজীয় রূপ ব্যাখ্যা করার জন্য এটি ব্যবহার করে প্রকৃতিতে ফিবোনাচ্চি ক্রমের উপস্থিতির দিকে ইঙ্গিত করেছিলেন। 1658 খ্রিষ্টাব্দে ইংরেজ চিকিৎসক ও দার্শনিক স্যার টমাস ব্রাউন দ্য গার্ডেন অফ সাইরাসে 5 নম্বরের সঙ্গে জড়িত পিথাগোরীয় সংখ্যাবিদ্যা এবং কুইঙ্কানক্স প্যাটার্নের প্লেটোনিক রূপের উদ্ধৃতি দিয়ে "কিভাবে প্রকৃতি জ্যামিতি" নিয়ে আলোচনা করেন। বক্তৃতার কেন্দ্রীয় অধ্যায়ে উদ্ভিদবিজ্ঞানে কুইঙ্কঙ্কসের উদাহরণ এবং পর্যবেক্ষণ রয়েছে। 1754 সালে, চার্লস বনেট পর্যবেক্ষণ করেছিলেন যে উদ্ভিদের সর্পিল ফাইলোট্যাক্সিস প্রায়শই ঘড়ির কাঁটার দিকে এবং ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে সুবর্ণ অনুপাত সিরিজে প্রকাশ করা হয়। কার্ল ফ্রেডরিখ শিম্পার এবং তাঁর বন্ধু আলেকজান্ডার ব্রাউনের যথাক্রমে 1830 এবং 1830 সালের কাজের পরে ফাইলোট্যাক্সিসের গাণিতিক পর্যবেক্ষণ; অগাস্টে ব্র্যাভিস এবং তাঁর ভাই লুই 1837 সালে ফাইলোট্যাক্সিস অনুপাতকে ফিবোনাচি অনুক্রমের সাথে সংযুক্ত করেছিলেন, পাইনকোন এবং আনারসগুলিতে এর উপস্থিতিও লক্ষ্য করেছিলেন। জার্মান মনোবিজ্ঞানী অ্যাডলফ জেইজিং তাঁর 1854 সালের বইয়ে উদ্ভিদের অংশ, প্রাণীর কঙ্কাল এবং তাদের শিরা ও স্নায়ুর পাশাপাশি স্ফটিকের শাখাপ্রশাখার বিন্যাসে প্রকাশিত সুবর্ণ অনুপাতের অন্বেষণ করেছিলেন। 19 শতকে, বেলজিয়ামের পদার্থবিজ্ঞানী জোসেফ মালভূমি (1801-1883) একটি প্রদত্ত সীমানা সহ একটি ন্যূনতম পৃষ্ঠের অস্তিত্বের গাণিতিক সমস্যা তৈরি করেছিলেন, যা এখন তাঁর নামে নামকরণ করা হয়েছে। তিনি সাবান ফিল্মগুলি নিবিড়ভাবে অধ্যয়ন করেছিলেন, মালভূমির আইন প্রণয়ন করেছিলেন যা ফেনাতে ফিল্ম দ্বারা গঠিত কাঠামো বর্ণনা করে। লর্ড কেলভিন 1887 সালে ফেনা হিসাবে সমান আয়তনের কোষগুলিকে প্যাক করার সবচেয়ে কার্যকর উপায়ের সমস্যাটি চিহ্নিত করেছিলেন; তাঁর সমাধানটি মালভূমির নিয়মগুলি পূরণ করার জন্য কেবল একটি কঠিন, খুব সামান্য বাঁকা মুখ সহ বিট্রাঙ্কেটেড কিউবিক মধুচক্র ব্যবহার করে। 1993 সালে ডেনিস ওয়েয়ার এবং রবার্ট ফেলান ওয়েয়ার-ফেলান কাঠামোর প্রস্তাব দেওয়ার আগে এর চেয়ে ভাল সমাধান আর পাওয়া যায়নি; 2008 সালের গ্রীষ্মকালীন অলিম্পিকে বেইজিং ন্যাশনাল অ্যাকোয়াটিক্স সেন্টার তাদের বাইরের প্রাচীরের জন্য কাঠামোটি অভিযোজিত করে। আর্নস্ট হেকেল (1834-1919) সামুদ্রিক জীবের সুন্দর চিত্র আঁকেন, বিশেষত রেডিয়োলারিয়া, তাঁর বিবর্তনের ভুল-ডারউইনিয়ান তত্ত্বগুলিকে সমর্থন করার জন্য তাদের প্রতিসাম্যের উপর জোর দেন। আমেরিকান ফটোগ্রাফার উইলসন বেন্টলি 1885 সালে একটি স্নোফ্লেকের প্রথম মাইক্রোগ্রাফ নিয়েছিলেন। বিংশ শতাব্দীতে, এ. এইচ. চার্চ তাঁর 1904 সালের বইয়ে ফাইলোট্যাক্সিসের নিদর্শনগুলি অধ্যয়ন করেছিলেন। 1917 সালে, ডি 'আর্সি ওয়েন্টওয়ার্থ থম্পসন অন গ্রোথ অ্যান্ড ফর্ম প্রকাশ করেন; তাঁর ফাইলোট্যাক্সিস এবং ফিবোনাচি ক্রমের বিবরণ, উদ্ভিদের সর্পিল বৃদ্ধির ধরণে গাণিতিক সম্পর্ক দেখায় যে সহজ সমীকরণগুলি প্রাণীর শিং এবং মোলাস্ক শেলের সর্পিল বৃদ্ধির ধরণ বর্ণনা করতে পারে। 1952 সালে, কম্পিউটার বিজ্ঞানী অ্যালান টুরিং (1912-1954) দ্য কেমিক্যাল বেসিস অফ মরফোজেনেসিস লিখেছিলেন, যা মরফোজেনেসিস নামক প্রক্রিয়ায় জীবের মধ্যে নিদর্শন তৈরি করার জন্য প্রয়োজনীয় প্রক্রিয়াগুলির একটি বিশ্লেষণ। তিনি দোলনশীল রাসায়নিক বিক্রিয়ার পূর্বাভাস দিয়েছিলেন, বিশেষ করে বেলুসভ-ঝাবোতিনস্কি বিক্রিয়ার। এই সক্রিয়কারী-প্রতিরোধক প্রক্রিয়াগুলি, টুরিং পরামর্শ দিয়েছিলেন, প্রাণীদের মধ্যে ফিতে এবং দাগের নিদর্শন (যাকে "টুরিং নিদর্শন" বলা হয়) তৈরি করতে পারে এবং উদ্ভিদ ফাইলোট্যাক্সিসে দেখা সর্পিল নিদর্শনগুলিতে অবদান রাখতে পারে। 1968 সালে, হাঙ্গেরিয়ান তাত্ত্বিক জীববিজ্ঞানী অ্যারিস্টিড লিন্ডেনমেয়ার (1925-1989) এল-সিস্টেম তৈরি করেছিলেন, একটি আনুষ্ঠানিক ব্যাকরণ যা ফ্র্যাক্টাল শৈলীতে উদ্ভিদের বৃদ্ধির নিদর্শন মডেল করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। এল-সিস্টেমে প্রতীকগুলির একটি বর্ণমালা রয়েছে যা প্রতীকগুলির বৃহত্তর স্ট্রিং তৈরি করতে উৎপাদন নিয়ম ব্যবহার করে একত্রিত করা যেতে পারে এবং উত্পন্ন স্ট্রিংগুলিকে জ্যামিতিক কাঠামোতে অনুবাদ করার একটি প্রক্রিয়া রয়েছে। 1975 সালে, গটফ্রিড লাইবনিজ, জর্জ ক্যান্টর, হেলজ ভন কোচ, ওয়াক্লা সিয়ারপিন্সকি এবং অন্যান্যদের দ্বারা নিদর্শনগুলির গণিতের শতাব্দীর ধীর বিকাশের পরে, বেনোইট ম্যান্ডেলব্রট একটি বিখ্যাত গবেষণাপত্র লিখেছিলেন, ব্রিটেনের উপকূল কত দীর্ঘ? পরিসংখ্যানগত স্ব-সাদৃশ্য এবং ভগ্নাংশ মাত্রা, ফ্র্যাক্টাল ধারণার মধ্যে গাণিতিক চিন্তাভাবনাকে স্ফটিকায়িত করে। কারণ অর্কিড, হামিংবার্ড এবং ময়ূরের লেজের মতো জীবন্ত জিনিসগুলির ফর্ম, প্যাটার্ন এবং রঙের সৌন্দর্যের সাথে বিমূর্ত নকশা রয়েছে যা শিল্পীরা মেলাতে লড়াই করে। প্রকৃতিতে মানুষ যে সৌন্দর্য উপলব্ধি করে তার বিভিন্ন স্তরে কারণ রয়েছে, বিশেষত গণিতে যা শারীরিকভাবে কোন নিদর্শন তৈরি করতে পারে তা নিয়ন্ত্রণ করে এবং প্রাকৃতিক নির্বাচনের প্রভাবে জীবিত জিনিসগুলির মধ্যে, যা নিদর্শনগুলি কীভাবে বিকশিত হয় তা নিয়ন্ত্রণ করে। গণিত সব ধরনের বিমূর্ত নিদর্শন বা নিয়মিততা আবিষ্কার ও ব্যাখ্যা করতে চায়। প্রকৃতির দৃশ্যমান নিদর্শনগুলি বিশৃঙ্খলা তত্ত্ব, ফ্র্যাক্টাল, লগারিদমিক সর্পিল, টপোলজি এবং অন্যান্য গাণিতিক নিদর্শনগুলিতে ব্যাখ্যা খুঁজে পায়। উদাহরণস্বরূপ, এল-সিস্টেমগুলি গাছের বৃদ্ধির বিভিন্ন নিদর্শনগুলির বিশ্বাসযোগ্য মডেল তৈরি করে। পদার্থবিজ্ঞানের নিয়মগুলি গণিতের বিমূর্ত বিষয়গুলিকে বাস্তব জগতে প্রয়োগ করে, প্রায়শই যেন এটি নিখুঁত। উদাহরণস্বরূপ, একটি স্ফটিক নিখুঁত হয় যখন এর কোনও কাঠামোগত ত্রুটি থাকে না যেমন স্থানচ্যুতি এবং সম্পূর্ণ প্রতিসম হয়। সঠিক গাণিতিক পরিপূর্ণতা শুধুমাত্র বাস্তব বস্তুর আনুমানিক অনুমান করতে পারে। প্রকৃতিতে দৃশ্যমান নিদর্শনগুলি ভৌত নিয়ম দ্বারা পরিচালিত হয়; উদাহরণস্বরূপ, তরল গতিবিদ্যা ব্যবহার করে মিন্ডারগুলি ব্যাখ্যা করা যেতে পারে। জীববিজ্ঞানে, প্রাকৃতিক নির্বাচন বিভিন্ন কারণে জীবিত জিনিসের নিদর্শনগুলির বিকাশ ঘটাতে পারে, যার মধ্যে রয়েছে ছদ্মবেশ, যৌন নির্বাচন এবং বিভিন্ন ধরনের সংকেত, যার মধ্যে রয়েছে অনুকরণ এবং পরিষ্কারের সিম্বিওসিস। উদ্ভিদের মধ্যে, মৌমাছির মতো পোকামাকড়কে আকৃষ্ট করার জন্য লিলি জাতীয় পোকামাকড়-পরাগায়িত ফুলের আকার, রঙ এবং নিদর্শনগুলি বিবর্তিত হয়েছে। রঙ এবং ফিতেগুলির রেডিয়াল নিদর্শন, কিছু শুধুমাত্র অতিবেগুনী আলোতে দৃশ্যমান অমৃত গাইড হিসাবে কাজ করে যা দূর থেকে দেখা যায়। সমমিতি প্যাটার্নের প্রকারগুলি জীবন্ত জিনিসগুলিতে বিস্তৃত। উদ্ভিদের পাতা এবং অর্কিডের মতো কিছু ফুলের মতো প্রাণীদেরও প্রধানত দ্বিপক্ষীয় বা আয়নার প্রতিসাম্য থাকে। উদ্ভিদের প্রায়শই রেডিয়াল বা ঘূর্ণন প্রতিসাম্য থাকে, যেমন অনেক ফুল এবং কিছু প্রজাতির প্রাণী যেমন সামুদ্রিক অ্যানিমোন। পঞ্চগুণ প্রতিসাম্য ইচিনোডার্মে পাওয়া যায়, যে গোষ্ঠীতে স্টারফিশ, সামুদ্রিক অর্চিন এবং সামুদ্রিক লিলি রয়েছে। নির্জীব জিনিসগুলির মধ্যে, তুষারখণ্ডের ছয়গুণ প্রতিসাম্য রয়েছে; প্রতিটি স্তরের কাঠামো তার স্ফটিকীকরণের সময় বিভিন্ন অবস্থার একটি রেকর্ড তৈরি করে, যার ছয়টি বাহুতে বৃদ্ধির প্রায় একই প্যাটার্ন রয়েছে। স্ফটিকগুলির সাধারণভাবে বিভিন্ন ধরনের প্রতিসাম্য এবং স্ফটিকের অভ্যাস থাকে; এগুলি ঘন বা অষ্টতলাকার হতে পারে, তবে প্রকৃত স্ফটিকগুলির পাঁচগুণ প্রতিসাম্য থাকতে পারে না (কোয়াসিক্রিস্টালগুলির মতো নয়)। অ-জীবিত বস্তুর মধ্যে ঘূর্ণন প্রতিসাম্য বিভিন্ন মাত্রায় পাওয়া যায়, যার মধ্যে রয়েছে পুকুরে একটি ফোঁটা পড়ার সময় তৈরি মুকুট-আকৃতির স্প্ল্যাশ প্যাটার্ন এবং শনির মতো গ্রহের গোলাকার আকৃতি এবং বলয় উভয়ই। প্রতিসাম্যের বিভিন্ন কারণ রয়েছে। রেডিয়াল প্রতিসাম্য সামুদ্রিক অ্যানিমোনের মতো জীবের জন্য উপযুক্ত, যাদের প্রাপ্তবয়স্করা নড়াচড়া করে নাঃ খাদ্য এবং হুমকি যে কোনও দিক থেকে আসতে পারে। কিন্তু যে প্রাণীরা এক দিকে চলাচল করে তাদের অবশ্যই উপরের এবং নীচের দিক, মাথা এবং লেজের প্রান্ত থাকে এবং তাই একটি বাম এবং একটি ডান দিক থাকে। মাথা একটি মুখ এবং ইন্দ্রিয় অঙ্গগুলির (সেফালাইজেশন) সাথে বিশেষায়িত হয়ে ওঠে এবং শরীর দ্বিপক্ষীয়ভাবে প্রতিসম হয়ে যায় (যদিও অভ্যন্তরীণ অঙ্গগুলির প্রয়োজন হয় না)। ইচিনোডার্মসের পাঁচগুণ (পেন্টারাডিয়েট) প্রতিসাম্যের কারণ আরও বিভ্রান্তিকর। প্রথম দিকের ইচিনোডার্মগুলি দ্বিপক্ষীয়ভাবে প্রতিসম ছিল, যেমন তাদের লার্ভা এখনও রয়েছে। সুমরাল এবং রে যুক্তি দেন যে পুরানো প্রতিসাম্যের ক্ষতির বিকাশমূলক এবং পরিবেশগত উভয় কারণই ছিল। লিওনার্দো দা ভিঞ্চি ইতালীয় রেনেসাঁয় গাছের শাখা-প্রশাখার ধরণ বর্ণনা করেছিলেন। 'আ ট্রিটাইজ অন পেইন্টিং "গ্রন্থে তিনি বলেনঃ একটি গাছের উচ্চতার প্রতিটি পর্যায়ে সমস্ত শাখাকে একসঙ্গে রাখলে তার কাণ্ডের (নিচের) পুরুত্ব সমান হয়। আরও সাধারণ সংস্করণে বলা হয়েছে যে যখন একটি মূল শাখা দুই বা ততোধিক শিশু শাখায় বিভক্ত হয়, তখন শিশু শাখাগুলির পৃষ্ঠ এলাকা মূল শাখার সাথে যোগ হয়। একটি সমতুল্য সূত্র হল যে, যদি একটি মূল শাখা দুটি শিশু শাখায় বিভক্ত হয়, তবে মূল এবং দুটি শিশু শাখার ক্রস-বিভাগীয় ব্যাস একটি ডান-কোণযুক্ত ত্রিভুজ গঠন করে। একটি ব্যাখ্যা হল যে এটি গাছগুলিকে উচ্চ বাতাসকে আরও ভালভাবে সহ্য করতে দেয়। বায়োমেকানিকাল মডেলের সিমুলেশনগুলি এই নিয়মের সঙ্গে একমত। ফ্র্যাক্টালগুলি অসীমভাবে স্ব-অনুরূপ, ফ্র্যাক্টাল মাত্রা সহ পুনরাবৃত্ত গাণিতিক গঠন। প্রকৃতিতে অসীম পুনরাবৃত্তি সম্ভব নয় তাই সমস্ত 'ফ্র্যাক্টাল' নিদর্শন শুধুমাত্র আনুমানিক। উদাহরণস্বরূপ, ফার্ন এবং অম্বেলিফারের (এপিয়াসি) পাতাগুলি 2,3 বা 4 স্তরের স্ব-সমতুল্য (পিনেট)। ব্রায়োজোয়া, প্রবাল, হাইড্রোজোয়া যেমন বায়ু ফার্ন, সার্টুলারিয়া আর্জেন্টিয়া এবং নির্জীব জিনিসগুলিতে, বিশেষত বৈদ্যুতিক স্রাব সহ উদ্ভিদ এবং প্রাণীদের মধ্যে ফার্নের মতো বৃদ্ধির ধরণ দেখা যায়। লিন্ডেনমেয়ার সিস্টেম ফ্র্যাক্টালগুলি শাখার কোণ, নোড বা শাখা বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব (ইন্টারনোডের দৈর্ঘ্য) এবং প্রতি শাখা বিন্দুতে শাখার সংখ্যা সহ অল্প সংখ্যক পরামিতি পরিবর্তন করে গাছের বৃদ্ধির বিভিন্ন নিদর্শন তৈরি করতে পারে। ফ্র্যাক্টাল-এর মতো নিদর্শনগুলি প্রকৃতিতে ব্যাপকভাবে ঘটে, যেমন মেঘ, নদী নেটওয়ার্ক, ভূতাত্ত্বিক ফল্ট লাইন, পাহাড়, উপকূলরেখা, প্রাণীর রঙ, তুষার টুকরো, স্ফটিক, রক্তনালীর শাখা, পারকিনজে কোষ, অ্যাক্টিন সাইটোস্কেলেটন এবং সমুদ্রের তরঙ্গের মতো বিভিন্ন ঘটনা। সর্পিল সর্পিল উদ্ভিদের মধ্যে এবং কিছু প্রাণীর মধ্যে, বিশেষ করে মোলাস্কের মধ্যে প্রচলিত। উদাহরণস্বরূপ, নটিলাস, একটি সেফালোপড মোলাস্কে, এর খোলের প্রতিটি চেম্বার পরবর্তীটির আনুমানিক অনুলিপি, একটি ধ্রুবক ফ্যাক্টর দ্বারা স্কেল করা হয় এবং একটি লগারিদমিক সর্পিলের মধ্যে সাজানো হয়। ফ্র্যাক্টাল সম্পর্কে একটি আধুনিক বোঝার পরিপ্রেক্ষিতে, একটি বৃদ্ধি সর্পিলকে স্ব-সাদৃশ্যের একটি বিশেষ ক্ষেত্রে দেখা যেতে পারে। উদ্ভিদ সর্পিলগুলি ফাইলোট্যাক্সিসে দেখা যায়, একটি কান্ডের উপর পাতার বিন্যাস, এবং অন্যান্য অংশের বিন্যাসে (প্যারাস্টিচি) যেমন সূর্যমুখী বা আনারস এবং সাপের ফলের মতো ফলের কাঠামোর মতো যৌগিক ফুলের মাথা এবং বীজের মাথায়, পাশাপাশি পাইন শঙ্কুতে স্কেলের প্যাটার্নে, যেখানে একাধিক সর্পিল ঘড়ির কাঁটার দিকে এবং ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে চলে। এই ব্যবস্থাগুলির বিভিন্ন স্তরে ব্যাখ্যা রয়েছে-গণিত, পদার্থবিজ্ঞান, রসায়ন, জীববিজ্ঞান-প্রতিটি পৃথকভাবে সঠিক, তবে সমস্ত একসাথে প্রয়োজনীয়। ফাইলোট্যাক্সিস সর্পিলগুলি ফাইবোনাচ্চি অনুপাত থেকে তৈরি করা যেতে পারেঃ ফাইবোনাচ্চি ক্রম 1,1,2,3,5,8,13। (প্রতিটি পরবর্তী সংখ্যা পূর্ববর্তী দুটি সংখ্যার যোগফল)। উদাহরণস্বরূপ, যখন পাতাগুলি একটি কান্ডে পরিবর্তিত হয়, তখন সর্পিলের একটি ঘূর্ণন দুটি পাতাকে স্পর্শ করে, তাই প্যাটার্ন বা অনুপাত 1/2 হয়। হেজেলে অনুপাত হল 1/3; খুবানিতে এটি 2/5; নাশপাতিতে এটি 3/8; বাদামে এটি 5/13। সূর্যমুখী এবং ডেইজির মতো ডিস্ক ফাইলোট্যাক্সিসে, ফুলগুলি ফারমাটের সর্পিল বরাবর সাজানো থাকে, তবে এটি ছদ্মবেশ ধারণ করে কারণ একের পর এক ফুলগুলি সুবর্ণ কোণ দ্বারা অনেক দূরে থাকে, 137.508 ° (বৃত্তটিকে সুবর্ণ অনুপাতে বিভক্ত করে); যখন ফুলের মাথাটি পরিপক্ক হয় তাই সমস্ত উপাদান একই আকারের হয়, এই ব্যবধানটি আরও সুস্পষ্ট সর্পিলগুলির একটি ফাইবোনাচি সংখ্যা তৈরি করে। পদার্থবিজ্ঞানের দৃষ্টিকোণ থেকে, সর্পিলগুলি হল সর্বনিম্ন-শক্তি বিন্যাস যা গতিশীল সিস্টেমে স্ব-সংগঠিত প্রক্রিয়াগুলির মাধ্যমে স্বতঃস্ফূর্তভাবে উদ্ভূত হয়। রসায়নের দৃষ্টিকোণ থেকে, একটি প্রতিক্রিয়া-বিস্তার প্রক্রিয়া দ্বারা একটি সর্পিল তৈরি করা যেতে পারে, যার মধ্যে সক্রিয়করণ এবং প্রতিরোধ উভয়ই জড়িত। ফাইলোট্যাক্সিস প্রোটিন দ্বারা নিয়ন্ত্রিত হয় যা উদ্ভিদ হরমোন অক্সিন-এর ঘনত্বকে নিয়ন্ত্রণ করে, যা কান্ডের চারপাশে কুঁড়িগুলির আপেক্ষিক কোণ নিয়ন্ত্রণ করার জন্য অন্যান্য প্রক্রিয়াগুলির পাশাপাশি মেরিস্টেম বৃদ্ধিকে সক্রিয় করে। জৈবিক দৃষ্টিকোণ থেকে, যে কোনও নির্দিষ্ট স্থানে যতটা সম্ভব দূরে পাতাগুলি সাজানো প্রাকৃতিক নির্বাচনের পক্ষে অনুকূল কারণ এটি সম্পদের অ্যাক্সেসকে সর্বাধিক করে তোলে, বিশেষত সালোকসংশ্লেষণের জন্য সূর্যালোক। গণিতে, একটি গতিশীল ব্যবস্থা বিশৃঙ্খল হয় যদি এটি প্রাথমিক অবস্থার (তথাকথিত "প্রজাপতি প্রভাব") প্রতি (অত্যন্ত) সংবেদনশীল হয়, যার জন্য টপোলজিকাল মিশ্রণ এবং ঘন পর্যায়ক্রমিক কক্ষপথের গাণিতিক বৈশিষ্ট্য প্রয়োজন। ফ্র্যাক্টালের পাশাপাশি, বিশৃঙ্খলা তত্ত্ব প্রকৃতির নিদর্শনগুলির উপর মূলত সর্বজনীন প্রভাব হিসাবে স্থান পেয়েছে। বিশৃঙ্খলা এবং ফ্র্যাক্টালের মধ্যে একটি সম্পর্ক রয়েছে-বিশৃঙ্খল ব্যবস্থায় অদ্ভুত আকর্ষণগুলির একটি ফ্র্যাক্টাল মাত্রা রয়েছে। কিছু সেলুলার অটোমাটা, গাণিতিক নিয়মের সহজ সেট যা নিদর্শন তৈরি করে, তার বিশৃঙ্খল আচরণ রয়েছে, বিশেষ করে স্টিফেন ওল্ফ্রামের নিয়ম 30। ভোর্টেক্স স্ট্রিট হল ঘূর্ণায়মান ভোর্টিসের জিগজ্যাগিং প্যাটার্ন যা কোনও তরল, প্রায়শই বায়ু বা জলের, বাধাগ্রস্ত বস্তুর উপরের প্রবাহের অস্থির পৃথকীকরণ দ্বারা তৈরি হয়। মসৃণ (ল্যামিনার) প্রবাহ ভেঙে যেতে শুরু করে যখন প্রতিবন্ধকতার আকার বা প্রবাহের বেগ তরলের সান্দ্রতার তুলনায় যথেষ্ট বড় হয়ে যায়। মেন্ডার হল নদী বা অন্যান্য চ্যানেলে ছিদ্রযুক্ত বাঁক, যা একটি তরল হিসাবে তৈরি হয়, প্রায়শই জল, বাঁকের চারপাশে প্রবাহিত হয়। রাস্তাটি সামান্য বাঁকানো হওয়ার সাথে সাথে প্রতিটি লুপের আকার এবং বক্রতা বৃদ্ধি পায় কারণ হেলিকাল প্রবাহ বালি এবং নুড়ি জাতীয় উপাদানকে নদী জুড়ে বাঁকের অভ্যন্তরে টেনে নিয়ে যায়। লুপের বাইরের অংশ পরিষ্কার এবং অরক্ষিত রেখে দেওয়া হয়, তাই ক্ষয় ত্বরান্বিত হয়, একটি শক্তিশালী ইতিবাচক প্রতিক্রিয়া লুপে বাঁকানো আরও বৃদ্ধি করে। তরঙ্গ, বালিয়াড়ি তরঙ্গ হল এমন বিশৃঙ্খলা যা চলার সময় শক্তি বহন করে। যান্ত্রিক তরঙ্গগুলি একটি মাঝারি-বায়ু বা জলের মধ্য দিয়ে ছড়িয়ে পড়ে, যার ফলে এগুলি অতিক্রম করার সাথে সাথে দোলন করে। বায়ু তরঙ্গ হল সমুদ্র পৃষ্ঠের তরঙ্গ যা যে কোনও বড় জলাশয়ের বৈশিষ্ট্যযুক্ত বিশৃঙ্খল প্যাটার্ন তৈরি করে, যদিও তাদের পরিসংখ্যানগত আচরণ বায়ু তরঙ্গ মডেলের মাধ্যমে পূর্বাভাস দেওয়া যেতে পারে। জল বা বাতাসের তরঙ্গগুলি বালির উপর দিয়ে যাওয়ার সাথে সাথে তারা তরঙ্গের নিদর্শন তৈরি করে। যখন বাতাস বড় বড় বালির উপর দিয়ে প্রবাহিত হয়, তখন তারা টিলা তৈরি করে, কখনও কখনও তাকলামাকান মরুভূমির মতো বিস্তৃত বালিয়াড়ি জমিতে। ডিউনগুলি অর্ধচন্দ্র, খুব দীর্ঘ সরল রেখা, তারা, গম্বুজ, প্যারাবোলা এবং অনুদৈর্ঘ্য বা সাইফ ('তলোয়ার') আকার সহ বিভিন্ন নিদর্শন তৈরি করতে পারে। বারচান বা ক্রিসেন্ট বালিয়াড়ি মরুভূমির বালির উপর সক্রিয় বাতাসের দ্বারা উৎপন্ন হয়; ক্রিসেন্টের দুটি শিং এবং স্লিপ ফেস ডাউনওয়াইন্ড নির্দেশ করে। বাতাসের উপরের দিকে বালি প্রবাহিত হয়, যা অনুভূমিক থেকে প্রায় 15 ডিগ্রি দূরে দাঁড়িয়ে থাকে এবং স্লিপ ফেসের উপর পড়ে, যেখানে এটি বালির বিশ্রাম কোণ পর্যন্ত জমা হয়, যা প্রায় 35 ডিগ্রি। স্লিপ ফেস যখন বিশ্রামের কোণ অতিক্রম করে, তখন বালি তুষারপাত হয়, যা একটি অরৈখিক আচরণঃ অনেক অল্প পরিমাণে বালি যোগ করার ফলে খুব বেশি কিছু ঘটে না, তবে তারপরে আরও অল্প পরিমাণে যোগ হওয়ার ফলে হঠাৎ করে প্রচুর পরিমাণে তুষারপাত হয়। এই অরৈখিকতা ছাড়াও, বারচানগুলি বরং নির্জন তরঙ্গের মতো আচরণ করে। বুদ্বুদ, ফেনা একটি সাবানের বুদ্বুদ একটি গোলক গঠন করে, ন্যূনতম এলাকা (ন্যূনতম পৃষ্ঠ) সহ একটি পৃষ্ঠ-আবদ্ধ আয়তনের জন্য সম্ভাব্য ক্ষুদ্রতম পৃষ্ঠ এলাকা। দুটি বুদ্বুদ একসাথে আরও জটিল আকৃতি তৈরি করেঃ উভয় বুদ্বুদের বাইরের পৃষ্ঠগুলি গোলাকার; এই পৃষ্ঠগুলি তৃতীয় গোলাকার পৃষ্ঠ দ্বারা যুক্ত হয় কারণ ছোট বুদ্বুদটি সামান্য বড়টির মধ্যে স্ফীত হয়। ফেনা হল বুদ্বুদের একটি ভর; বিভিন্ন উপাদানের ফেনা প্রকৃতিতে দেখা যায়। সাবান ফিল্ম দ্বারা গঠিত ফেনা মালভূমির নিয়ম মেনে চলে, যার জন্য প্রতিটি প্রান্তে 120° এ তিনটি সাবান ফিল্ম এবং প্রায় 109.5 ° এর টেট্রাহেড্রাল কোণে প্রতিটি শীর্ষে চারটি সাবান প্রান্তের মিলিত হওয়া প্রয়োজন। মালভূমির নিয়মে আরও বলা হয়েছে যে চলচ্চিত্রগুলি মসৃণ এবং অবিচ্ছিন্ন হতে হবে এবং প্রতিটি বিন্দুতে একটি ধ্রুবক গড় বক্রতা থাকতে হবে। উদাহরণস্বরূপ, একটি ফিল্ম অন্য দিকে (যেমন, সামনে থেকে পিছনে) নীচের দিকে বাঁকানো অবস্থায় এক দিকে (যেমন, বাম থেকে ডান) বাঁকানো হয়ে গড়ে প্রায় সমতল থাকতে পারে। ন্যূনতম পৃষ্ঠতল সহ কাঠামো তাঁবু হিসাবে ব্যবহার করা যেতে পারে। জীবন্ত কোষের স্কেলে, ফেনা প্যাটার্নগুলি সাধারণ; রেডিওলারিয়ান, স্পঞ্জ স্পিকিউল, সিলিকোফ্ল্যাজেলেট এক্সোস্কেলেটন এবং সমুদ্রের অর্চিনের ক্যালসাইট কঙ্কাল, সিডারিস রুগোসা, সবই মালভূমি ফেনা সীমানার খনিজ কাস্টের অনুরূপ। আর্নস্ট হেকেলের আঁকা একটি সুন্দর সামুদ্রিক রূপ, রেডিওলারিয়ানের কঙ্কাল, আউলোনিয়া হেক্সাগোনা, দেখে মনে হচ্ছে এটি সম্পূর্ণরূপে হেক্সাগন দ্বারা গঠিত একটি গোলক, তবে এটি গাণিতিকভাবে অসম্ভব। অয়লারের বৈশিষ্ট্যটি বলে যে, যে কোনও উত্তল পলিহেড্রনের জন্য, মুখের সংখ্যা এবং শীর্ষের সংখ্যা (কোণ) প্রান্তের সংখ্যা যোগ দুই-এর সমান। এই সূত্রের ফল হল যে হেক্সাগনের যে কোনও বদ্ধ পলিহেড্রনে ঠিক 12টি পেন্টাগন থাকতে হবে, যেমন একটি সকার বল, বাকমিনস্টার ফুলার জিওডেসিক গম্বুজ বা ফুলেরিন অণু। এটি লক্ষ্য করে কল্পনা করা যেতে পারে যে ষড়ভূজের একটি জাল মুরগির তারের মতো সমতল, তবে প্রতিটি পঞ্চভুজ যা যুক্ত করা হয় তা জালটিকে বাঁকাতে বাধ্য করে (সেখানে কম কোণ রয়েছে, তাই জালটি টেনে আনা হয়)। টেসেলেশন হল একটি সমতল পৃষ্ঠ জুড়ে টাইলস পুনরাবৃত্তি করে গঠিত নিদর্শন। টিলিংয়ের 17টি ওয়ালপেপার গ্রুপ রয়েছে। যদিও শিল্প ও নকশায় সাধারণ, ঠিক পুনরাবৃত্ত টিলিং জীবিত জিনিসগুলিতে খুঁজে পাওয়া কম সহজ। সামাজিক বাম্পের কাগজের বাসার কোষ এবং মৌমাছির দ্বারা নির্মিত মধুচক্রের মোমের কোষগুলি সুপরিচিত উদাহরণ। প্রাণীদের মধ্যে, হাড়ের মাছ, সরীসৃপ বা প্যাঙ্গোলিন বা সালাকের মতো ফলগুলি ওভারল্যাপিং স্কেল বা অস্টিওডার্ম দ্বারা সুরক্ষিত থাকে, এগুলি কম-বেশি ঠিক পুনরাবৃত্তি ইউনিট গঠন করে, যদিও প্রায়শই স্কেলগুলি আকারে ক্রমাগত পরিবর্তিত হয়। ফুলের মধ্যে, সাপের মাথার ফ্রিটিলারি, ফ্রিটিলারিয়া মেলিয়াগ্রিসের পাপড়িতে একটি টেসেলেটেড চেকারবোর্ড প্যাটার্ন রয়েছে। খনিজগুলির কাঠামো নিয়মিত ত্রিমাত্রিক অ্যারে পুনরাবৃত্তির ভাল উদাহরণ প্রদান করে। হাজার হাজার পরিচিত খনিজ থাকা সত্ত্বেও, স্ফটিক কাঠামো, স্ফটিক ব্যবস্থা এবং বিন্দু গোষ্ঠী দ্বারা সংজ্ঞায়িত স্ফটিকের মধ্যে পরমাণুর সম্ভাব্য বিন্যাস খুব কমই রয়েছে; উদাহরণস্বরূপ, ত্রিমাত্রিক স্থানে 7টি জাল ব্যবস্থার জন্য ঠিক 14টি ব্র্যাভাইস জাল রয়েছে। ফাটলগুলি হল রৈখিক খোলাগুলি যা চাপ থেকে মুক্তি পাওয়ার জন্য উপকরণগুলিতে তৈরি হয়। যখন একটি স্থিতিস্থাপক উপাদান সমানভাবে প্রসারিত বা সঙ্কুচিত হয়, তখন এটি অবশেষে তার ভাঙার শক্তিতে পৌঁছায় এবং তারপর হঠাৎ করে সমস্ত দিকে ব্যর্থ হয়, 120 ডিগ্রি জয়েন্টের সাথে ফাটল তৈরি করে, তাই তিনটি ফাটল একটি নোডে মিলিত হয়। বিপরীতভাবে, যখন কোনও স্থিতিস্থাপক উপাদান ব্যর্থ হয়, তখন চাপ থেকে মুক্তি পেতে সোজা ফাটল তৈরি হয়। একই দিকে আরও চাপ দিলে কেবল বিদ্যমান ফাটলগুলি খুলে যাবে; সমকোণের চাপ পুরনোগুলির তুলনায় 90 ডিগ্রিতে নতুন ফাটল তৈরি করতে পারে। এইভাবে ফাটলগুলির প্যাটার্ন নির্দেশ করে যে উপাদানটি স্থিতিস্থাপক কিনা। ওক গাছের ছালের মতো শক্ত তন্তুযুক্ত পদার্থে, যথারীতি চাপ থেকে মুক্তি পাওয়ার জন্য ফাটল তৈরি হয়, তবে শক্তিশালী স্থিতিস্থাপক তন্তুগুলির বান্ডিল দ্বারা তাদের বৃদ্ধি ব্যাহত হওয়ার কারণে এগুলি বেশি দিন বৃদ্ধি পায় না। যেহেতু প্রতিটি প্রজাতির গাছের কোষ এবং অণুর স্তরে নিজস্ব কাঠামো রয়েছে, তাই প্রত্যেকটির ছালে বিভক্ত হওয়ার নিজস্ব ধরণ রয়েছে। দাগ, ডোরাকাটা চিতাবাঘ এবং লেডিবার্ড দেখা যায়; অ্যাঞ্জেলফিশ এবং জেব্রা ডোরাকাটা। এই নিদর্শনগুলির একটি বিবর্তনীয় ব্যাখ্যা রয়েছেঃ এগুলির ফাংশন রয়েছে যা প্যাটার্নযুক্ত প্রাণীর বংশধরদের পুনরুত্পাদন করার জন্য বেঁচে থাকার সম্ভাবনা বাড়ায়। প্রাণী নিদর্শনগুলির একটি কাজ হল ছদ্মবেশ ধারণ; উদাহরণস্বরূপ, একটি চিতাবাঘ যা দেখতে কঠিন, আরও বেশি শিকার ধরে। আরেকটি কাজ হল সংকেত দেওয়া-উদাহরণস্বরূপ, একটি লেডিবার্ড শিকারী পাখির দ্বারা আক্রান্ত হওয়ার সম্ভাবনা কম থাকে যারা দেখে শিকার করে, যদি এর গাঢ় সতর্কতা রঙ থাকে এবং এটি বিরক্তিকরভাবে তিক্ত বা বিষাক্ত হয়, বা অন্যান্য বিরক্তিকর পোকামাকড়ের অনুকরণ করে। একটি অল্পবয়সী পাখি লেডিবার্ডের মতো একটি সতর্কতামূলক প্যাটার্নযুক্ত পোকামাকড় দেখতে পারে এবং এটি খাওয়ার চেষ্টা করতে পারে, তবে এটি কেবল একবারই এটি করবে; খুব শীঘ্রই এটি তিক্ত পোকামাকড়টি থুথু ফেলবে; এলাকার অন্যান্য লেডিবার্ডগুলি নির্বিঘ্নে থাকবে। অল্পবয়সী চিতাবাঘ এবং লেডিবার্ড, উত্তরাধিকারসূত্রে পাওয়া জিন যা কোনওভাবে দাগ তৈরি করে, বেঁচে থাকে। কিন্তু এই বিবর্তনীয় এবং কার্যকরী যুক্তিগুলি ব্যাখ্যা করে যে কেন এই প্রাণীদের তাদের নিদর্শনগুলির প্রয়োজন, তারা কীভাবে নিদর্শনগুলি গঠিত হয় তা ব্যাখ্যা করে না। প্যাটার্ন গঠন অ্যালান টুরিং এবং পরে গাণিতিক জীববিজ্ঞানী জেমস মারে এমন একটি প্রক্রিয়া বর্ণনা করেছেন যা স্বতঃস্ফূর্তভাবে দাগযুক্ত বা ডোরাকাটা নিদর্শন তৈরি করেঃ একটি প্রতিক্রিয়া-বিস্তার ব্যবস্থা। একটি তরুণ জীবের কোষে এমন জিন থাকে যা একটি রাসায়নিক সংকেত, একটি মরফোজেন দ্বারা চালু করা যেতে পারে, যার ফলে একটি নির্দিষ্ট ধরনের কাঠামোর বৃদ্ধি হয়, ত্বকের একটি গাঢ় রঞ্জক প্যাচ বলে। যদি মরফোজেন সর্বত্র উপস্থিত থাকে, তবে ফলাফলটি একটি কালো চিতাবাঘের মতো একটি সমান রঞ্জক হয়। কিন্তু যদি এটি অসমভাবে বিতরণ করা হয়, তবে দাগ বা ফিতে হতে পারে। টুরিং পরামর্শ দিয়েছিলেন যে মরফোজেন উৎপাদনের প্রতিক্রিয়া নিয়ন্ত্রণ করা যেতে পারে। এটি শরীরের চারপাশে ছড়িয়ে পড়ার সাথে সাথে মরফোজেনের পরিমাণে ক্রমাগত ওঠানামা করতে পারে। স্থায়ী তরঙ্গের নিদর্শন তৈরি করার জন্য একটি দ্বিতীয় প্রক্রিয়া প্রয়োজন (দাগ বা ফিতে হওয়ার জন্য): একটি প্রতিরোধক রাসায়নিক যা মরফোজেনের উৎপাদন বন্ধ করে দেয় এবং যা নিজেই মরফোজেনের চেয়ে দ্রুত শরীরের মধ্য দিয়ে ছড়িয়ে পড়ে, যার ফলে একটি সক্রিয়কারী-প্রতিরোধক পরিকল্পনা তৈরি হয়। বেলুসভ-ঝাবোতিনস্কি বিক্রিয়া এই ধরনের পরিকল্পনার একটি অ-জৈবিক উদাহরণ, একটি রাসায়নিক দোলক। পরবর্তী গবেষণায় জেব্রা স্ট্রাইপ, জিরাফ ব্লচ, জাগুয়ার স্পট (গাঢ় ভাঙা বলয় দ্বারা বেষ্টিত মাঝারি-অন্ধকার প্যাচ) এবং লেডিবার্ড শেল প্যাটার্ন (স্পট এবং স্ট্রাইপগুলির বিভিন্ন জ্যামিতিক বিন্যাস, চিত্র দেখুন) এর মতো বৈচিত্র্যময় নিদর্শনগুলির বিশ্বাসযোগ্য মডেল তৈরি করতে সক্ষম হয়েছে। টুরিংয়ের কাজ থেকে বিকশিত রিচার্ড প্রুমের অ্যাক্টিভেশন-ইনহিবিশন মডেলগুলি ছয়টি ভেরিয়েবল ব্যবহার করে নয়টি মৌলিক ইন-ফেদার পিগমেন্টেশন প্যাটার্নের পর্যবেক্ষিত পরিসরের হিসাব রাখে, সহজতম থেকে, একটি কেন্দ্রীয় রঙ্গক প্যাচ, ঘনীভূত প্যাচ, বার, শেভরন, চোখের দাগ, কেন্দ্রীয় দাগের জোড়া, জোড়া দাগের সারি এবং বিন্দুগুলির একটি অ্যারে। আরও বিস্তৃত মডেলগুলি গিনিফউল নুমিডা মেলিয়াগ্রিসে জটিল পালক নিদর্শনগুলি অনুকরণ করে যেখানে পৃথক পালকগুলি গোড়ায় বার থেকে দূরবর্তী (দূরবর্তী) প্রান্তে বিন্দুগুলির একটি বিন্যাসে রূপান্তরিত হয়। এগুলির জন্য স্থান এবং সময় উভয়ের মধ্যে মিথস্ক্রিয়া সহ দুটি প্রতিরোধকারী সংকেত দ্বারা তৈরি একটি দোলন প্রয়োজন। বাঘের গুল্ম এবং ফার তরঙ্গের উদ্ভিজ্জ প্রাকৃতিক দৃশ্যে অন্যান্য কারণে নিদর্শন তৈরি হতে পারে। বাঘের গুল্মের ধারাগুলি শুষ্ক ঢালে দেখা যায় যেখানে বৃষ্টিপাতের কারণে উদ্ভিদের বৃদ্ধি সীমিত থাকে। উদ্ভিদের প্রতিটি মোটামুটি অনুভূমিক স্ট্রাইপ কার্যকরভাবে তার উপরের খালি অঞ্চল থেকে বৃষ্টির জল সংগ্রহ করে। পুনরুজ্জীবনের সময় বাতাসের ব্যাঘাতের পরে পাহাড়ের ঢালে বনাঞ্চলে ফির তরঙ্গ দেখা দেয়। গাছগুলি পড়ে গেলে, যে গাছগুলিকে তারা আশ্রয় দিয়েছিল সেগুলি উন্মুক্ত হয়ে যায় এবং ক্ষতিগ্রস্থ হওয়ার সম্ভাবনা বেশি থাকে, তাই ফাঁকগুলি বাতাসের নিচে প্রসারিত হয়। এদিকে, বাতাসের দিকে, তরুণ গাছগুলি বৃদ্ধি পায়, অবশিষ্ট লম্বা গাছের বাতাসের ছায়া দ্বারা সুরক্ষিত থাকে। প্রাকৃতিক নিদর্শনগুলি কখনও কখনও প্রাণীদের দ্বারা গঠিত হয়, যেমন উত্তর-পশ্চিম মার্কিন যুক্তরাষ্ট্রের মিমা ঢিবি এবং অন্যান্য কিছু অঞ্চলে, যা পকেট গোফারদের গর্তের ক্রিয়াকলাপ দ্বারা বহু বছর ধরে তৈরি হয়েছে বলে মনে হয়, অন্যদিকে নামিবিয়ার তথাকথিত পরী বৃত্তগুলি মরুভূমির উদ্ভিদের মধ্যে জলের প্রতিযোগিতার পাশাপাশি প্রতিযোগিতামূলক বালির উইপোকা গোষ্ঠীর মিথস্ক্রিয়া দ্বারা তৈরি হয়েছে বলে মনে হয়। বার্ষিক হিমায়িত এবং গলিত একটি সক্রিয় উপরের স্তর সহ পারমাফ্রস্ট মাটিতে, প্যাটার্নযুক্ত মাটি তৈরি হতে পারে, যা বৃত্ত, জাল, বরফের পাঁজর বহুভুজ, ধাপ এবং ডোরাকাটা তৈরি করে। তাপীয় সংকোচনের ফলে সঙ্কুচিত ফাটল তৈরি হয়; একটি গলনে, জল ফাটলগুলি পূরণ করে, পরবর্তী হিমায়িত হলে বরফ তৈরি করতে প্রসারিত হয় এবং ফাটলগুলি পাঁজরগুলিতে প্রশস্ত করে। এই ফাটলগুলি একত্রিত হয়ে বহুভুজ এবং অন্যান্য আকার তৈরি করতে পারে। মেরুদণ্ডী প্রাণীর মস্তিষ্কে যে বিচ্ছুরিত প্যাটার্নটি বিকশিত হয় তা দুটি জ্যামিতিক পরামিতিগুলির উপর নির্ভরশীল সীমাবদ্ধ সম্প্রসারণের একটি শারীরিক প্রক্রিয়া দ্বারা সৃষ্ট হয়ঃ আপেক্ষিক স্পর্শক কর্টিকাল সম্প্রসারণ এবং কর্টেক্সের আপেক্ষিক পুরুত্ব। মসৃণ, স্তরযুক্ত জেল থেকে শুরু করে মস্তিষ্কের মডেলগুলিতে জাইরি (শিখর) এবং সালসি (গর্ত)-এর অনুরূপ নিদর্শন প্রদর্শিত হয়েছে, যা একটি দ্রাবক যোগ করার পরে বাইরের স্তরের (কর্টেক্সের প্রতিনিধিত্বকারী) সম্প্রসারণের ফলে সংকুচিত যান্ত্রিক শক্তির কারণে সৃষ্ট নিদর্শনগুলির সাথে। কম্পিউটার সিমুলেশনের সংখ্যাসূচক মডেলগুলি প্রাকৃতিক এবং পরীক্ষামূলক পর্যবেক্ষণগুলিকে সমর্থন করে যে বৃহত্তর মস্তিষ্কে পৃষ্ঠ ভাঁজ করার নিদর্শনগুলি বৃদ্ধি পায়। আরও দেখুন ডেভেলপমেন্টাল বায়োলজি ইমার্জেন্স ইভোলিউশনারি হিস্ট্রি অফ প্ল্যান্টস ম্যাথমেটিক্স অ্যান্ড আর্ট মরফোজেনেসিস প্যাটার্ন ফরমেশন উইডম্যানস্টেটন প্যাটার্ন রেফারেন্স পাদটীকা উদ্ধৃতি গ্রন্থপঞ্জি অগ্রগামী লেখক ফিবোনাচি, লিওনার্দো। লিবার আবাসি, 1202। ----অনুবাদ করেছেন সিগলার, লরেন্স ই. ফিবোনাচির লিবার অ্যাবাচি। স্প্রিঙ্গার, 2002। হেকেল, আর্নস্ট। কুন্স্টফর্মেন ডার ন্যাচার (প্রকৃতির শিল্প রূপ), 1899-1904। থম্পসন, ডি 'আর্সি ওয়েন্টওয়ার্থ। বৃদ্ধি এবং ফর্ম সম্পর্কে। কেমব্রিজ, 1917। সাধারণ বই অ্যাডাম, জন এ। প্রকৃতিতে গণিতঃ প্রাকৃতিক বিশ্বের মডেলিং প্যাটার্ন। প্রিন্সটন ইউনিভার্সিটি প্রেস, 2006। বল, ফিলিপ। প্রকৃতির নিদর্শন। শিকাগো, 2016। মারফি, প্যাট এবং নিল, উইলিয়াম। প্রকৃতির নকশা দ্বারা। ক্রনিকল বুকস, 1993। প্রকৃতি থেকে নিদর্শন (শিল্প হিসাবে) এডমেয়ার, বার্নার্ড। পৃথিবীর নিদর্শন। ফাইডন প্রেস, 2007। ম্যাক্নাব, ম্যাগি। প্রকৃতি দ্বারা নকশাঃ নকশায় সর্বজনীন রূপ এবং নীতিগুলি ব্যবহার করা। নিউ রাইডার্স, 2012। নাকামুরা, শিগেকি। প্যাটার্ন সোর্সবুকঃ 250 প্যাটার্ন প্রকৃতি দ্বারা অনুপ্রাণিত। বই 1 এবং 2। রকপোর্ট, 2009। ও 'নিল, পলি। পৃষ্ঠতল এবং গঠনবিন্যাসঃ একটি ভিজ্যুয়াল সোর্সবুক। ব্ল্যাক, 2008। পোর্টার, এলিয়ট এবং গ্লিক, জেমস। প্রকৃতির বিশৃঙ্খলা। ভাইকিং পেঙ্গুইন, 1990। বাইরের লিঙ্ক ফিবোনাচি সংখ্যা এবং গোল্ডেন সেকশন ফাইলোট্যাক্সিসঃ উদ্ভিদ প্যাটার্ন গঠনের গাণিতিক অধ্যয়নের জন্য একটি ইন্টারেক্টিভ সাইট ফলিত গণিত বিজ্ঞানের ইতিহাস প্রকৃতি প্যাটার্ন গঠনের প্যাটার্ন বিনোদনমূলক গণিত