Budan's theorem
গণিতে, বুদানের উপপাদ্য হল একটি ব্যবধানের মধ্যে একটি বহুপদের বাস্তব মূলের সংখ্যা সীমাবদ্ধ করার জন্য এবং এই সংখ্যার সমতা গণনা করার জন্য একটি উপপাদ্য। এটি 1807 সালে ফ্রাঁসোয়া বুদান ডি বোইস্লারেন্ট দ্বারা প্রকাশিত হয়েছিল। 1820 সালে জোসেফ ফুরিয়ার স্বাধীনভাবে অনুরূপ একটি উপপাদ্য প্রকাশ করেন। এই উপপাদ্যগুলির প্রত্যেকটিই অপরটির অনুষঙ্গ। ফুরিয়ারের বক্তব্যটি 19 শতকের সাহিত্যে প্রায়শই দেখা যায় এবং ফুরিয়ারের, বুদান-ফুরিয়ার, ফুরিয়ার-বুদান হিসাবে উল্লেখ করা হয়েছে এবং এমনকি বুদানের উপপাদ্য বুদানের মূল সূত্রটি বহুপদগুলির বাস্তব-মূল বিচ্ছিন্নতার জন্য দ্রুত আধুনিক অ্যালগরিদমগুলিতে ব্যবহৃত হয়। চিহ্ন বৈচিত্র্য বাস্তব সংখ্যার একটি সসীম ক্রম হতে হবে। একটি চিহ্ন বৈচিত্র্য বা অনুক্রমের চিহ্ন পরিবর্তন হল সূচকগুলির একটি জোড়া যেমন এবং হয় বা এরকম সবগুলির জন্য। অন্য কথায়, শূন্যকে উপেক্ষা করার সময় প্রতিটি জায়গায় যেখানে চিহ্নগুলি পরিবর্তিত হয় সেখানে একটি চিহ্ন বৈচিত্র্য ঘটে। একটি বহুপদীর প্রকৃত মূল অধ্যয়নের জন্য, বিভিন্ন অনুক্রমের চিহ্ন বৈচিত্র্যের সংখ্যা ব্যবহার করা যেতে পারে। বুদানের উপপাদ্যের জন্য, এটি সহগের ক্রম। ফুরিয়ারের উপপাদ্যের জন্য, এটি একটি বিন্দুতে ধারাবাহিক অন্তরজগুলির মানগুলির ক্রম। স্টর্মের উপপাদ্যের জন্য এটি স্টর্ম ক্রমের একটি বিন্দুতে মানগুলির ক্রম। ডেসকার্টেসের চিহ্নের নিয়ম এই নিবন্ধে বর্ণিত সমস্ত ফলাফল ডেসকার্টেসের চিহ্নের নিয়মের উপর ভিত্তি করে। যদি বাস্তব সহগ সহ একটি অভিন্ন বহুপদী হয়, তাহলে আসুন আমরা তার ধনাত্মক বাস্তব মূলের সংখ্যা দ্বারা, তাদের বহুগুণের সাথে গণনা করে এবং তার সহগগুলির ক্রমের চিহ্ন বৈচিত্র্যের সংখ্যা দ্বারা চিহ্নিত করি। ডেসকার্টেসের চিহ্নের নিয়ম দাবি করে যে এটি একটি অ-ঋণাত্মক জোড় পূর্ণসংখ্যা। বিশেষ করে, যদি, তাহলে এক আছে। বুদানের বিবৃতি বাস্তব সহগ সহ একটি অভিন্ন বহুপদী দেওয়া হলে, আসুন আমরা অর্ধ-খোলা ব্যবধানের (বাস্তব সংখ্যা সহ) প্রকৃত মূলের সংখ্যা দ্বারা চিহ্নিত করি, যা তাদের গুণের সাথে গণনা করা হয়। আসুন আমরা বহুপদের সহগের ক্রমের চিহ্ন বৈচিত্র্যের সংখ্যা দ্বারাও নির্দেশ করি। বিশেষ করে, একটি পূর্ববর্তী বিভাগের স্বরলিপি সহ রয়েছে। বুদানের উপপাদ্যটি নিম্নরূপঃ এটি একটি অ-ঋণাত্মক জোড় পূর্ণসংখ্যা। এটি ডেসকার্টেসের চিহ্নগুলির নিয়মের একটি সাধারণীকরণ, যেমন, যদি কেউ যথেষ্ট বড় বেছে নেয় তবে এটি সমস্ত বাস্তব মূলের চেয়ে বড়, এবং এর সমস্ত সহগ ধনাত্মক, অর্থাৎ এইভাবে এবং যা ডেসকার্টেসের চিহ্নগুলির নিয়মকে বুদানের উপপাদ্যের একটি বিশেষ ক্ষেত্রে পরিণত করে। ডেসকার্টেসের লক্ষণের নিয়মের ক্ষেত্রে, যদি একজনের থাকে এর অর্থ হল, যদি একজনের "শূন্য-মূল পরীক্ষা" এবং "এক-মূল পরীক্ষা" থাকে। উদাহরণ 1। বহুপদী এবং উন্মুক্ত ব্যবধানের পরিপ্রেক্ষিতে, একটির আছে এইভাবে, এবং বুদানের উপপাদ্য দাবি করে যে উন্মুক্ত ব্যবধান 2-এ বহুপদীর দুটি বা শূন্য বাস্তব মূল রয়েছে। একই পলিনোমিয়ালের সাথে এইভাবে রয়েছে, এবং বুদানের উপপাদ্য দাবি করে যে মুক্ত বিরতিতে পলিনোমিয়ালের কোনও বাস্তব মূল নেই এটি শূন্য-মূল পরীক্ষা হিসাবে বুদানের উপপাদ্যের ব্যবহারের একটি উদাহরণ। বহুপদী বাস্তব মূলের উপর ফুরিয়ারের উপপাদ্য, যাকে ফুরিয়ার-বুদান উপপাদ্য বা বুদান-ফুরিয়ার উপপাদ্যও বলা হয় (কখনও কখনও কেবল বুদানের উপপাদ্য) বুদানের উপপাদ্যের মতোই, ব্যতীত, এবং এর সহগের ক্রমটি অ্যাটের ব্যুৎপত্তিগুলির ক্রম দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়। প্রতিটি উপপাদ্য অন্যটির উপপাদ্য। এটি পলিনোমিয়ালের টেলর সম্প্রসারণের ফল, যা বোঝায় যে ইন এর সহগ হল একটি ধনাত্মক সংখ্যার ভাগফল। সুতরাং ফুরিয়ারের উপপাদ্য এবং বুদানের উপপাদ্য বিবেচনা করা ক্রমগুলির একই সংখ্যক চিহ্ন বৈচিত্র রয়েছে। দুটি উপপাদ্যের মধ্যে এই দৃঢ় সম্পর্ক 19 শতকে ঘটে যাওয়া অগ্রাধিকার বিতর্ক এবং একই উপপাদ্যের জন্য বেশ কয়েকটি নাম ব্যবহারকে ব্যাখ্যা করতে পারে। আধুনিক ব্যবহারে, কম্পিউটার গণনার জন্য, বুদানের উপপাদ্যটি সাধারণত পছন্দ করা হয় কারণ ফ্যাক্টরিয়াল ফ্যাক্টরের কারণে বুদানের তুলনায় ফুরিয়ারের উপপাদ্যতে ক্রমগুলির অনেক বড় সহগ রয়েছে। যেহেতু প্রতিটি উপপাদ্য অন্যটির উপপাদ্য, এটি ফুরিয়ারের উপপাদ্য প্রমাণ করার জন্য যথেষ্ট। প্রমাণঃ এর মাত্রা ধরা যাক, যাতে এটি অ-ধ্রুবক বহুপদী, একটি অ-শূন্য ধ্রুবক, এবং সবগুলিই অভিন্নভাবে শূন্য। সাইন বৈচিত্র্যের একটি ফাংশন হিসাবে শুধুমাত্র কমপক্ষে একটির মূলে পরিবর্তিত হতে পারে যদি পরিবর্তিত হয়, তবে কারো কারো জন্য, একটি মূল থাকে এবং প্রত্যেকটির কোনও মূল নেই। যদি, তবে কিছু এবং কিছু বহুপদের জন্য যা সন্তুষ্ট করে। একটি ক্ষুদ্রের জন্য স্পষ্টভাবে গণনা করে, আমাদের আছে এই সমীকরণে, শব্দটি থেকে পরিবর্তিত হওয়ার লক্ষণগুলির কারণে। উচ্চতর ব্যুৎপত্তিগত চিহ্নগুলি সম্ভবত শূন্য হয়ে যাওয়ার কারণে এই শব্দটি তৈরি হয়েছে। যদি, তারপর যেহেতু কিছু ব্যুৎপত্তি শূন্য হয়, কিন্তু উভয়ই অ-শূন্য থাকে, তাই আমরা শুধুমাত্র জোড় সংখ্যক চিহ্ন পরিবর্তন হারাইঃ যদি পরিবর্তিত হয়, তবে একইভাবে তর্ক করে, আমরা দেখতে পাই যে উভয় ক্ষেত্রেই, আমরা একটি ছোট পরিমাণ নিতে পারি। ইতিহাস একটি বহুপদীর প্রকৃত শিকড় গণনা এবং সনাক্ত করার সমস্যাটি কেবল 19 শতকের শুরুতে পদ্ধতিগতভাবে অধ্যয়ন করা শুরু হয়েছিল। 1807 সালে, ফ্রাঁসোয়া বুদান ডি বোইস্লরেন্ট ডেসকার্টেসের চিহ্নের নিয়ম-যে কোনও ব্যবধানের জন্য বৈধ-প্রসারিত করার জন্য একটি পদ্ধতি আবিষ্কার করেছিলেন। জোসেফ ফুরিয়ার 1820 সালে একটি অনুরূপ উপপাদ্য প্রকাশ করেন, যার উপর তিনি বিশ বছরেরও বেশি সময় ধরে কাজ করেন। দুটি উপপাদ্যের মধ্যে সাদৃশ্যের কারণে, দুটি উপপাদ্য স্বাধীনভাবে আবিষ্কৃত হওয়া সত্ত্বেও, একটি অগ্রাধিকার বিতর্ক ছিল। এটি সাধারণত ফুরিয়ারের সূত্র এবং প্রমাণ যা 19 শতকে সমীকরণ তত্ত্বের পাঠ্যপুস্তকে ব্যবহৃত হয়েছিল। ঊনবিংশ শতাব্দীতে বুদান এবং ফুরিয়ারের উপপাদ্যগুলির ব্যবহার শীঘ্রই একটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ বলে বিবেচিত হয়েছিল, যদিও তারা একটি ব্যবধানের মধ্যে একটি বহুপদীর প্রকৃত মূলের সংখ্যা গণনা করার সমস্যাটি সম্পূর্ণরূপে সমাধান করে না। 1827 সালে স্টর্ম এই সমস্যার সম্পূর্ণ সমাধান করেন। যদিও স্টর্মের উপপাদ্যটি ডেসকার্টের চিহ্নের নিয়মের উপর ভিত্তি করে নয়, স্টর্ম এবং ফুরিয়ারের উপপাদ্যগুলি কেবল সংখ্যার ক্রমের চিহ্ন বৈচিত্র্যের সংখ্যা ব্যবহার করে নয়, সমস্যার অনুরূপ পদ্ধতির দ্বারাও সম্পর্কিত। স্টর্ম নিজেই স্বীকার করেছেন যে তিনি ফুরিয়ারের পদ্ধতি দ্বারা অনুপ্রাণিত হয়েছিলেনঃ "এটি একটি অবস্থান এবং তার অনুকরণের নীতি, যা কিছু নতুন তত্ত্ব যা কিছু নয়। "যার অনুবাদ হল" তিনি যে নীতিগুলি নির্ধারণ করেছেন তার উপর নির্ভর করে এবং তাঁর প্রমাণগুলি অনুকরণ করে আমি নতুন উপপাদ্যগুলি খুঁজে পেলাম যা আমি উপস্থাপন করতে চলেছি। এই কারণে, 19 শতকে, ফুরিয়ার এবং স্টর্মের উপপাদ্যগুলি সমীকরণ তত্ত্ব সম্পর্কিত প্রায় সমস্ত বইয়ে একসাথে উপস্থিত হয়েছিল। ফুরিয়ার এবং বুদান অন্তরগুলির আকার হ্রাস করার সমস্যাটি খোলা রেখেছিলেন যাতে শিকড়গুলি এমনভাবে অনুসন্ধান করা হয় যে, শেষ পর্যন্ত, চিহ্নের বৈচিত্র্যের সংখ্যার মধ্যে পার্থক্য সর্বাধিক এক হয়, যা প্রত্যয়িত করার অনুমতি দেয় যে চূড়ান্ত বিরতিতে প্রতিটি সর্বাধিক একটি মূল রয়েছে। 1834 সালে আলেকজান্ডার জোসেফ হিডুলফ ভিনসেন্ট এই সমস্যার সমাধান করেন। মোটামুটিভাবে বলতে গেলে, ভিনসেন্টের উপপাদ্যটি মোবিয়াস রূপান্তর দ্বারা পরিবর্তনশীলের বুদানের রৈখিক রূপান্তরগুলিকে প্রতিস্থাপনের জন্য অবিচ্ছিন্ন ভগ্নাংশ ব্যবহার করে গঠিত। 19 শতকের শেষের দিকে বুদান, ফুরিয়ার এবং ভিনসেন্টের উপপাদ্য বিস্মৃতির মধ্যে ডুবে যায়। বিশ শতকের দ্বিতীয়ার্ধের আগে এই উপপাদ্যগুলি উল্লেখ করা শেষ লেখক জোসেফ আলফ্রেড সেরেট। 1976 সালে কলিন্স এবং আক্রিতাস দ্বারা কম্পিউটার বীজগণিতে, কম্পিউটারে বাস্তব শিকড় বিচ্ছিন্নকরণের জন্য একটি দক্ষ অ্যালগরিদম প্রদানের জন্য এগুলি আবার চালু করা হয়েছিল। আরও দেখুন পলিনোমিয়াল রুটের বৈশিষ্ট্য রুট-ফাইন্ডিং অ্যালগরিদম রেফারেন্স বাহ্যিক লিঙ্ক গাণিতিক উপপাদ্য রুট-ফাইন্ডিং অ্যালগরিদম বাস্তব বীজগাণিতিক জ্যামিতি