Randolph diagram
একটি র্যান্ডলফ রেখাচিত্র (আর-রেখাচিত্র) যৌক্তিক অভিব্যক্তি এবং সেটগুলির সংমিশ্রণ কল্পনা করার একটি সহজ উপায়। 1965 সালে গণিতবিদ জন এফ. র্যান্ডলফ আরকানসাস বিশ্ববিদ্যালয়ে শিক্ষকতা করার সময় র্যান্ডলফ রেখাচিত্র তৈরি করেছিলেন। র্যান্ডলফ রেখাচিত্রগুলি প্রতিটি লাইনকে একটি যৌক্তিক বিবৃতি বা সেটের সাথে সম্পর্কিত বা সম্পর্কিত হিসাবে সংজ্ঞায়িত করে সবচেয়ে সহজেই ব্যাখ্যা করা যেতে পারে। রেখার উপরে যে কোনও বিন্দু সত্য বা অন্তর্ভুক্তি নির্দেশ করে এবং রেখার নীচে মিথ্যা বা বর্জন নির্দেশ করে। এই পদ্ধতি ব্যবহার করে, ছেদকারী রেখা ব্যবহার করে সেট বা যৌক্তিক বিবৃতির যে কোনও সংমিশ্রণ উপস্থাপন করা যেতে পারে। যদিও ভেন রেখাচিত্রগুলি সাধারণত সেটগুলির সংমিশ্রণের প্রতিনিধিত্ব করতে ব্যবহৃত হয়, র্যান্ডলফ রেখাচিত্রগুলির 3 টিরও বেশি সেটের সংমিশ্রণকে পরিষ্কারভাবে উপস্থাপন করতে সক্ষম হওয়ার সুবিধা রয়েছে। ভেন রেখাচিত্রের জন্য হয় উচ্চতর স্থানিক মাত্রায় সম্প্রসারণ বা আরও জটিল আকারের ব্যবহার প্রয়োজন, যেখানে র্যান্ডলফ রেখাচিত্রগুলি প্রতিটি অতিরিক্ত সেটের জন্য সমানভাবে উপবিভাগ করে। এখানে 5টি যৌক্তিক বিবৃতির জন্য একটি ভেন রেখাচিত্র এবং আর-রেখাচিত্রের মধ্যে তুলনা করা হয়েছেঃ ইতিহাস এই বিষয়ে তাঁর প্রারম্ভিক গবেষণাপত্রে, ক্রস-এক্সামিনিং প্রপোসিশনাল ক্যালকুলাস অ্যান্ড সেট অপারেশনস, র্যান্ডলফ উল্লেখ করেছেন যে যৌক্তিক সম্পর্কের প্রতিনিধিত্ব করার জন্য ক্রস এবং বিন্দুগুলির প্রথম ব্যবহার একজন নিউরোফিজিওলজিস্ট এবং র্যান্ডলফের সমসাময়িক ডব্লিউ. এস. ম্যাককুলক দ্বারা প্রবর্তিত হয়েছিল। র্যান্ডলফ ম্যাককুলকের ব্যবস্থাকে দুটি যৌক্তিক বিবৃতি বা সেটের সংমিশ্রণ এবং সম্পর্ক উপস্থাপন করার একটি নতুন উপায় দিয়ে সংশোধন করেছিলেন, যথা প্রতিটি নতুন উপাদানের জন্য একটি নতুন তির্যক রেখা সহ আর-ডায়াগ্রামের প্রতিটি বিভাগকে উপবিভাগ করেছিলেন। র্যান্ডলফের গবেষণাপত্রে বলা হয়েছে যে তাঁর মূল ধারণাটি ছিল যৌক্তিক সম্পর্কের প্রতিনিধিত্ব করার জন্য আর-রেখাচিত্র ব্যবহার করা এবং তারপরে সেট তত্ত্বের ক্ষেত্রেও প্রয়োগ করার জন্য ধারণাটি প্রসারিত করা। পুরো কাগজ জুড়ে, আর-রেখাচিত্রগুলি সাধারণ যৌক্তিক এবং সেট বাইনারি অপারেশন প্রতীকগুলির সাথে ব্যবহার করা হয়। যুক্তি তত্ত্বে প্রয়োগ যখন যুক্তি তত্ত্বে আর-রেখাচিত্র প্রয়োগ করা হয়, তখন যৌক্তিক বিবৃতি পি, কিউ এবং আর একটি বড় বিবৃতিতে প্রতিটি উপাদানের বৈধতা দৃশ্যমানভাবে প্রদর্শন করার জন্য একটি লাইন বা একাধিক লাইনে পরিণত হতে পারে। সাধারণত, p কে একটি ঊর্ধ্বমুখী ঢালু রেখা (/) দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয় বলে মনে করা হয় এবং q কে একটি নিম্নমুখী ঢালু রেখা (\) দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়। একটি তির্যক রেখার উপরের চিত্রের একটি বিন্দু সেই বিবৃতির সত্যতা নির্দেশ করে; একইভাবে, নীচের একটি বিন্দু মিথ্যা নির্দেশ করে। পি এবং কিউ-এর জন্য যথাক্রমে আর-রেখাচিত্রগুলি নীচে দেখানো হয়েছেঃ দুটিরও বেশি বিবৃতির জন্য, পি এবং কিউ রেখার ছেদ দ্বারা গঠিত চারটি স্থানকে অবশ্যই আরও রেখায় বিভক্ত করতে হবে। r-এর ক্ষেত্রে, চারটি স্থানের প্রত্যেকটিতে একটি একক ঊর্ধ্বমুখী ঢাল যোগ করা হয়। আর-এর জন্য আর-রেখাচিত্রটি নীচে দেখানো হয়েছেঃ এই পদ্ধতিটি যে কোনও সংখ্যক সত্য মানের জন্য প্রসারিত করা যেতে পারেঃ, ইত্যাদি। আর-রেখাচিত্রগুলি প্রাথমিকভাবে যৌক্তিক অভিব্যক্তিগুলি উপস্থাপন করতে ব্যবহৃত হয়। একটি যৌক্তিক প্রস্তাব দেওয়া হলে, আর-রেখাচিত্রগুলি প্রতিটি উপাদানের প্রতিটি সম্ভাব্য সত্য/মিথ্যা পরিবর্তনের ফলাফল প্রদর্শন করতে সক্ষম হয়, যা একটি সত্য সারণির প্রতিনিধিত্ব করার একটি বিকল্প উপায় তৈরি করে। সমস্ত মৌলিক যৌক্তিক ক্রিয়াকলাপ বা সংযোগগুলি একটি আর-রেখাচিত্র ব্যবহার করে একটি সত্য সারণির আরও সহজে পাঠযোগ্য বিকল্প হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে, যেমনটি নীচের সারণিতে দেখানো হয়েছেঃ যৌক্তিক অভিব্যক্তি আর-রেখাচিত্রকে সহজতর করা জটিল যৌক্তিক অভিব্যক্তিগুলিকে সহজতর করতে ব্যবহার করা যেতে পারে, ধাপে ধাপে প্রক্রিয়া ব্যবহার করে। ক্রিয়াকলাপের ক্রম ব্যবহার করে, লজিক্যাল অপারেটরগুলি সঠিক ক্রমে আর-ডায়াগ্রামে প্রয়োগ করা হয়। পরিশেষে, ফলাফলটি হল একটি আর-রেখাচিত্র যা একটি সহজ যৌক্তিক অভিব্যক্তিতে রূপান্তরিত করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, নিম্নলিখিত অভিব্যক্তিটি গ্রহণ করুনঃ আর-রেখাচিত্র ব্যবহার করে এটিকে নিম্নরূপ সরলীকৃত করা যেতে পারেঃ যা এর সমানঃ যৌক্তিক যুক্তি প্রমাণ করা একইভাবে, আর-রেখাচিত্রগুলি যৌক্তিক যুক্তি প্রমাণ বা ভুল প্রমাণ করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, সুপরিচিত আর্গুমেন্ট মোডাস পোনেন্স নিন, যা ইম্প্লিকেশন এলিমিনেশন নামেও পরিচিতঃ এটি একটি স্বতঃস্ফূর্ত যৌক্তিক অভিব্যক্তিতে রূপান্তরিত করা যেতে পারে, যা তারপর আর-রেখাচিত্র ব্যবহার করে সরলীকৃত করা যেতে পারেঃ ফলাফল হল একটি আর-রেখাচিত্র যেখানে প্রতিটি স্থানের একটি বিন্দু থাকে। এর অর্থ হল যুক্তিটি একটি স্বতঃস্ফূর্ততা; এটি সব ক্ষেত্রেই সত্য। একটি আর-রেখাচিত্র যেখানে কোনও স্থানের বিন্দু নেই তা একটি দ্বন্দ্ব, এমন একটি বিবৃতি যা কখনই সত্য নয়। ভেন্ন রেখাচিত্রের বিকল্প হিসাবে সেট তত্ত্বে আর-রেখাচিত্রের প্রয়োগও ব্যবহার করা হয়। সেট তত্ত্বে, প্রতিটি লাইন যৌক্তিক বিবৃতির পরিবর্তে একটি সেটকে উপস্থাপন করে; এ পি-কে প্রতিস্থাপন করে এবং বি কিউ-কে প্রতিস্থাপন করে। সেটের জন্য ব্যবহার করা হলে, রেখার উপরে একটি বিন্দু অন্তর্ভুক্তির প্রতিনিধিত্ব করে, যেখানে নীচের একটি বিন্দু বর্জনের প্রতিনিধিত্ব করে। যুক্তির মতো, মৌলিক সেট ক্রিয়াকলাপগুলি আর-রেখাচিত্র ব্যবহার করে দৃশ্যমানভাবে উপস্থাপন করা যেতে পারেঃ আর-রেখাচিত্রগুলি সেট তাত্ত্বিক এবং যৌক্তিক ধারণাগুলির মধ্যে সমতুল্যতার চিত্র তুলে ধরেঃ সেট তত্ত্বের ছেদ যুক্তির সংযোগের সমতুল্য, এবং সেট তত্ত্বের মিলন যৌক্তিক বিচ্ছিন্নতার সমতুল্য। তথ্যসূত্র সেট তত্ত্বে গ্রাফিক্যাল ধারণাগুলি রেখাচিত্র