U-rank
মডেল তত্ত্বে, গাণিতিক যুক্তির একটি শাখা, ইউ-র্যাঙ্ক হল স্থিতিশীল তত্ত্বের প্রেক্ষাপটে একটি (সম্পূর্ণ) ধরনের জটিলতার একটি পরিমাপ। যথারীতি, উচ্চতর ইউ-র্যাঙ্ক কম সীমাবদ্ধতা নির্দেশ করে এবং সমস্ত সেটের জন্য একটি ইউ-র্যাঙ্কের অস্তিত্ব একটি গুরুত্বপূর্ণ মডেল-তাত্ত্বিক অবস্থার সমতুল্যঃ এই ক্ষেত্রে, উপরিস্থতা। সংজ্ঞা ইউ-র্যাঙ্ককে নিম্নলিখিতভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে, যে কোনও সেট এ-এর উপর যে কোনও (সম্পূর্ণ) এন-টাইপ পি-এর জন্যঃ ইউ (পি) ≤ 0 যদি δ একটি সীমা অর্ডিনাল হয়, তবে ইউ (পি) ≤ δ ঠিক যখন ইউ (পি) ≤ α সমস্ত α-এর জন্য δ-এর চেয়ে কম যে কোনও α = β + 1, ইউ (পি) ≤ α-এর জন্য ঠিক যখন ইউ (পি) ≤ β-এর সাথে পি-এর একটি ফোর্কিং এক্সটেনশন থাকে। যদি সমস্ত অর্ডিনাল α-এর জন্য U (p) ≤ α হয়, তাহলে আমরা বলি যে U-র্যাঙ্ক সীমাহীন, অথবা U (p) = φ। দ্রষ্টব্যঃ ইউ-র্যাঙ্ককে আনুষ্ঠানিকভাবে চিহ্নিত করা হয়, যেখানে পি প্রকৃতপক্ষে পি (এক্স), এবং এক্স দৈর্ঘ্যের চলকের একটি টুপল। এই সাবস্ক্রিপ্টটি সাধারণত বাদ দেওয়া হয় যখন কোনও বিভ্রান্তি হতে পারে না। র্যাঙ্কিং তত্ত্বগুলি ইউ-র্যাঙ্ক তার ডোমেনে মনোটোন। অর্থাৎ, ধরুন পি হল এ-এর উপর একটি সম্পূর্ণ প্রকার এবং বি হল এ-এর একটি উপসেট। তারপর q-এর জন্য p থেকে B-এর সীমাবদ্ধতা হল U (q) ≤ U (p)। যদি আমরা বি (উপরের) কে খালি বলে ধরে নিই, তাহলে আমরা নিম্নলিখিতটি পেতে পারিঃ যদি কোনও এন-টাইপ পি থাকে, কিছু পরামিতিগুলির উপর, কমপক্ষে α র্যাঙ্ক সহ, তবে র্যাঙ্কের খালি সেটের উপরে অন্তত একটি টাইপ থাকে α। সুতরাং, আমরা একটি সম্পূর্ণ (স্থিতিশীল) তত্ত্ব টি-এর জন্য সংজ্ঞায়িত করতে পারি। তারপরে আমরা সুপর্স্টাবিলিটি-র একটি সংক্ষিপ্ত বৈশিষ্ট্য পাই; একটি স্থিতিশীল তত্ত্ব টি সুপারস্ট্যাবল হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি প্রতিটি এন-এর জন্য। উপরে উল্লিখিত হিসাবে, ইউ-র্যাঙ্ক তার ডোমেনে মনোটোন হয়। যদি p-এর U-র্যাঙ্ক α থাকে, তবে যে কোনও β <α-এর জন্য, U-র্যাঙ্ক β সহ p-এর একটি ফোর্কিং এক্সটেনশন q থাকে। যদি 'পি' হল 'এ'-এর উপর 'বি'-এর ধরন হয়, তবে 'এ'-কে প্রসারিত করার জন্য 'বি'-এর একটি সেট থাকে, যেখানে 'বি'-এর উপর 'বি'-এর ধরন থাকে। যদি p র্যাঙ্কবিহীন হয় (অর্থাৎ, p-এর U-র্যাঙ্ক φ থাকে), তাহলে p-এর একটি ফোর্কিং এক্সটেনশন q রয়েছে যা র্যাঙ্কবিহীন। সুপারস্ট্যাবিলিটির অনুপস্থিতিতেও, একটি অর্ডিনাল β রয়েছে যা সমস্ত র্যাঙ্কিং প্রকারের সর্বোচ্চ র্যাঙ্ক, এবং যে কোনও α <β-এর জন্য, র্যাঙ্ক α-এর একটি টাইপ p রয়েছে, এবং যদি p-এর র্যাঙ্ক β-এর চেয়ে বেশি হয়, তবে এটি অবশ্যই হতে হবে। উদাহরণস্বরূপ U (p)> 0 ঠিক যখন p অ-বীজগাণিতিক হয়। যদি টি বীজগাণিতিকভাবে বদ্ধ ক্ষেত্রের (কোনও নির্দিষ্ট বৈশিষ্ট্যের) তত্ত্ব হয়। উপরন্তু, যদি A হল পরামিতিগুলির কোনও সেট এবং K হল A দ্বারা উত্পন্ন ক্ষেত্র, তাহলে A-এর উপর একটি 1-ধরনের p-এর র্যাঙ্ক 1 থাকে যদি (সমস্ত উপলব্ধি) p K-এর উপর অতীন্দ্রিয় হয়, এবং অন্যথায় 0 হয়। আরও সাধারণভাবে, এ-এর উপর একটি এন-টাইপ পি-এর ইউ-র্যাঙ্ক কে থাকে, যা এর যে কোনও উপলব্ধির উত্তরণ ডিগ্রি (কে-এর উপর)। রেফারেন্স মডেল তত্ত্ব