Erdős–Szemerédi theorem
গাণিতিক সমন্বয়শাস্ত্রে, এরদোস-স্জেমেরেদি উপপাদ্য বলে যে, পূর্ণসংখ্যার প্রতিটি সসীম সেটের জন্য, কমপক্ষে একটি, জোড়াবিশিষ্ট যোগফলের সেট বা জোড়াবিশিষ্ট পণ্যের সেট উল্লেখযোগ্যভাবে একটি বড় সেট গঠন করে। আরও সুনির্দিষ্টভাবে বলতে গেলে, এরদোস-স্জেমেরেদি উপপাদ্য বলে যে কোনও অ-খালি সেটের জন্য ধনাত্মক ধ্রুবক সি এবং এমন কিছু বিদ্যমান। 1983 সালে পল এরদোস এবং এন্ড্রে স্জেমেরেদি এটি প্রমাণ করেন। স্বরলিপিটি সেটের কার্ডিনালিটি নির্দেশ করে। জোড়াবিশিষ্ট যোগফলের সেটকে বলা হয় এবং বলা হয়। পেয়ারওয়াইজ পণ্যের সেটকে বলা হয় এবং বলা হয় প্রোডাক্ট সেট। উপপাদ্যটি এই উক্তিটির একটি সংস্করণ যে যোগাত্মক কাঠামো এবং গুণনীয়ক কাঠামো সহাবস্থান করতে পারে না। এটি একটি দাবি হিসাবেও দেখা যেতে পারে যে বাস্তব রেখায় একটি সসীম সাব-রিং বা সসীম সাবফিল্ডের অনুরূপ কোনও সেট নেই; এটি এখন সমষ্টি-পণ্য ঘটনা হিসাবে পরিচিত, যা এখন সসীম ক্ষেত্র সহ বিভিন্ন ধরণের রিং এবং ক্ষেত্র ধরে রাখার জন্য পরিচিত, তার প্রথম উদাহরণ। সমষ্টি-পণ্য অনুমান সমষ্টি-পণ্য অনুমান অনানুষ্ঠানিকভাবে বলে যে কোনও সেটের সমষ্টি সেট বা পণ্য সেটের মধ্যে একটি অবশ্যই যতটা সম্ভব প্রায় বড় হতে হবে। এটি মূলত পূর্ণসংখ্যার উপর এরদোস এবং স্জেমেরাদি দ্বারা অনুমান করা হয়েছিল, তবে মনে করা হয় যে এটি প্রকৃত সংখ্যা ধরে রেখেছে। অনুমানঃ যে কোনও সেটের জন্য একটির আছে ও (1) স্বরলিপিতে অ্যাসিম্পটোটিক পরামিতি হল |A।।। উদাহরণ যদি তারপর অ্যাসিম্পটোটিক প্যারামিটার সহ অ্যাসিম্পটোটিক নোটেশন ব্যবহার করে। অনানুষ্ঠানিকভাবে, এটি বলে যে এর সমষ্টি বৃদ্ধি পায় না। অন্যদিকে, পণ্যের সেটটি সকলের জন্য ফর্মের একটি সীমা পূরণ করে। এটি এরদোস গুণন সারণী সমস্যার সাথে সম্পর্কিত। এই সেটের জন্য সেরা নিম্ন সীমা কেভিন ফোর্ডের কারণে। এই উদাহরণটি গিওর্গি এলেকস এবং ইমরে জেড রুজসার সমষ্টি-পণ্য সমস্যার ফিউ সামস, অনেক পণ্য সংস্করণের একটি উদাহরণ। তাদের ফলাফলের একটি পরিণতি হল যে ছোট যোগাত্মক দ্বিগুণ সহ যে কোনও সেট, উদাহরণস্বরূপ একটি গাণিতিক অগ্রগতির পণ্য সেটের উপর নিম্ন সীমা থাকে। জু এবং ঝোউ প্রমাণ করেছেন যে পূর্ণসংখ্যায় কোনও গাণিতিক অগ্রগতির যে কোনও ঘন উপসেটের জন্য, যা সূচকের গুণক পর্যন্ত তীক্ষ্ণ। বিপরীতভাবে, সেটটি সন্তুষ্ট করে, তবে এর অনেক যোগফল রয়েছেঃ এই সীমা একটি সংখ্যার বাইনারি উপস্থাপনা বিবেচনা থেকে আসে। সেটটি জ্যামিতিক অগ্রগতির একটি উদাহরণ। সংখ্যার একটি এলোমেলো সেটের জন্য, পণ্য সেট এবং যোগফল সেট উভয়েরই কার্ডিনালিটি থাকে; অর্থাৎ, উচ্চ সম্ভাবনার সাথে যোগফল সেটটি কোনও পুনরাবৃত্ত উপাদান তৈরি করে না, এবং পণ্য সেটের জন্য একই। এরদোস এবং স্জেমেরেডি অনুমানের তীক্ষ্ণতা একটি পর্যাপ্ত মসৃণ পূর্ণসংখ্যার একটি উদাহরণ দেয় যার সীমা রয়েছেঃ এটি দেখায় যে অনুমানের মধ্যে ও (1) শব্দটি প্রয়োজনীয়। প্রায়শই অধ্যয়ন করা হয় অনুমানের চরম ক্ষেত্রেঃ কয়েকটি যোগফল, অনেক পণ্য (এফ. এস. এম. পি): যদি, তবে কয়েকটি পণ্য, অনেক যোগফল (এফ. পি. এম. এস): যদি, তাহলে। ইতিহাস এবং বর্তমান ফলাফল নিচের সারণিতে প্রকৃত উৎপাদনের তুলনায় সমষ্টিগত সমস্যার অগ্রগতির সংক্ষিপ্তসার দেওয়া হয়েছে। গিয়োরগি এলেকসের 1/4 এবং জোজেফ সলিমোসির 1/3 অংশ উদ্ধৃত সাহিত্যের মধ্যে মাইলফলক ফলাফল হিসাবে বিবেচিত হয়। 2009 সালের পরে সমস্ত উন্নতি রূপের, এবং কোন্যাগিন এবং শ্ক্রেদভের যুক্তির পরিমার্জনকে উপস্থাপন করে। শুধুমাত্র স্জেমেরডি-ট্রটার উপপাদ্যের সাথে জড়িত জটিল সংখ্যা প্রমাণ কৌশলগুলি স্বয়ংক্রিয়ভাবে জটিল সংখ্যায় প্রসারিত হয়, যেহেতু স্জেমেরডি-ট্রটার উপপাদ্য টোথের একটি উপপাদ্য দ্বারা ধরে রাখে। কোন্যাগিন এবং রুডনেভ জটিল সংখ্যার উপর 3/4 এর সূচকের সাথে মিলে যায়। ফর্মের সূচকগুলির সাথে ফলাফলগুলি জটিল সংখ্যার সাথে মেলেনি। সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রগুলিতে সমষ্টি-পণ্য সমস্যাটি বিশেষত সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রগুলিতে ভালভাবে অধ্যয়ন করা হয়। সসীম ক্ষেত্র কাকিয়া অনুমান দ্বারা অনুপ্রাণিত হয়ে, উলফ অনুমান করেছিলেন যে প্রতিটি উপসেটের জন্য, যেখানে একটি (বড়) মৌলিক সংখ্যা, যা একটি পরম ধ্রুবকের জন্য। এই অনুমানটি 1990-এর দশকে উইগডারসন দ্বারা এলোমেলো এক্সট্র্যাক্টর দ্বারা অনুপ্রাণিত হয়ে প্রণয়ন করা হয়েছিল। লক্ষ্য করুন যে যোগফল সমস্যাটি নিম্নোক্ত উদাহরণের কারণে নিঃশর্তভাবে সসীম ক্ষেত্রে ধরে রাখতে পারে নাঃ উদাহরণস্বরূপঃ একটি সসীম ক্ষেত্র হতে দিন এবং গ্রহণ করুন। তারপর থেকে যোগ এবং গুণনের অধীনে বন্ধ করা হয়, এবং তাই। এই প্যাথোলজিক্যাল উদাহরণটি প্রশ্নযুক্ত ক্ষেত্রের যে কোনও উপ-ক্ষেত্র হিসাবে গ্রহণ করার জন্য প্রসারিত। গুণগত দিক থেকে, সমষ্টি-পণ্য সমস্যাটি সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রগুলিতে সমাধান করা হয়েছেঃ উপপাদ্য (বুর্গেইন, কাটজ, তাও (2004)): আসুন মৌলিক এবং কিছু ক্ষেত্রে সমতুল্য হতে দিন। তারপর কয়েকজনের জন্য আছে। বুর্গেইন, কাটজ এবং তাও এই উপপাদ্যটিকে নির্বিচারে ক্ষেত্রগুলিতে প্রসারিত করেছিলেন। অনানুষ্ঠানিকভাবে, নিম্নলিখিত উপপাদ্যটি বলে যে যদি একটি পর্যাপ্ত বড় সেট যোগ বা গুণনের অধীনে বৃদ্ধি না পায়, তবে এটি বেশিরভাগ ক্ষেত্রে একটি উপ-ক্ষেত্রের বিস্তারের মধ্যে থাকে। উপপাদ্য (বোর্গাইন, কাটজ, তাও (2004)): ধরা যাক একটি সসীম ক্ষেত্রের উপসেট যাতে কারো কারো জন্য তা হয়। তারপরে একটি উপ-ক্ষেত্র রয়েছে যার সাথে, এবং একটি সেট রয়েছে যাতে। তারা পরামর্শ দেয় যে ধ্রুবকটি এর থেকে স্বাধীন হতে পারে। সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের সমষ্টি-পণ্য সমস্যার পরিমাণগত ফলাফল সাধারণত দুটি বিভাগে পড়েঃ কখন এর বৈশিষ্ট্যের ক্ষেত্রে ছোট এবং কখন এর বৈশিষ্ট্যের ক্ষেত্রে বড়। এর কারণ হল প্রতিটি পরিবেশে বিভিন্ন ধরনের কৌশল ব্যবহার করা হয়। ছোট সেট এই ব্যবস্থায়, বৈশিষ্ট্যের একটি ক্ষেত্র হতে দিন। মনে রাখবেন যে ক্ষেত্রটি সর্বদা সীমাবদ্ধ নয়। যখন এই অবস্থা হয়, এবং এর বৈশিষ্ট্য শূন্য হয়, তখন-সংকোচন বাদ দেওয়া হয়। নন-প্রাইম অর্ডারের ক্ষেত্রগুলিতে,-কনস্ট্রেন্ট অনকে এমন অনুমানের সাথে প্রতিস্থাপন করা যেতে পারে যার কোনও সাবফিল্ডের সাথে খুব বড় ছেদ নেই। এই দিকে সর্বোত্তম কাজটি লি এবং রোচে-নিউটনের উপরের টেবিলের স্বরলিপিতে একটি সূচক অর্জনের কারণে। বড় সেট যখন মৌলিকের জন্য, সমষ্টি-পণ্য সমস্যাটি গারেভের নিম্নলিখিত ফলাফলের কারণে সমাধান করা হয়েছে বলে মনে করা হয়ঃ উপপাদ্য (গারেভ (2007)): ধরা যাক। তারপর। এটি পরিসরে সর্বোত্তম। এই ফলাফলটি 2011 সালে ভিন দ্বারা নন-প্রাইম অর্ডারের সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রগুলিতে প্রসারিত করা হয়েছিল। বৈচিত্র্য এবং সাধারণীকরণ অপারেটর বুর্গেইন এবং চ্যাং-এর অন্যান্য সংমিশ্রণ সেটগুলির জন্য নিঃশর্ত বৃদ্ধি প্রমাণ করেছে, যতক্ষণ পর্যন্ত কেউ পর্যাপ্ত যোগফল বা পণ্য বিবেচনা করেঃ উপপাদ্য (বুর্গেইন, চ্যাং (2003): ধরা যাক। তারপরে এমন অস্তিত্ব রয়েছে যাতে সকলের জন্য একটি থাকে। অনেক রচনায়, যোগ এবং গুণ একটি অভিব্যক্তিতে মিলিত হয়। মূলমন্ত্র যোগ এবং গুণ সহাবস্থান করতে পারে না, কেউ আশা করে যে একটি সেটের যোগ এবং গুণনের যে কোনও অ-তুচ্ছ সংমিশ্রণ বৃদ্ধির নিশ্চয়তা দেবে। লক্ষ্য করুন যে সীমাবদ্ধ সেটিংসে, বা অ-তুচ্ছ উপক্ষেত্র সহ ক্ষেত্রগুলিতে, এই ধরনের বিবৃতির জন্য আরও সীমাবদ্ধতার প্রয়োজন হয়। আগ্রহের সেটগুলির মধ্যে রয়েছে (ফলাফলের জন্য):-স্টিভেনস এবং ওয়ারেন দেখান যে-মারফি, রোচে-নিউটন এবং শ্ক্রেডভ দেখান যে-স্টিভেনস এবং ওয়ারেন দেখান যে-স্টিভেনস এবং রুডনেভ দেখান যে যোগফল-মুক্ত সেট রেফারেন্সগুলিও দেখুন বাহ্যিক লিঙ্কগুলি সংখ্যা তত্ত্বের বিচ্ছিন্ন গণিতে উপপাদ্যগুলির সমষ্টি যোগ করে।