Cartier duality
গণিতে, কার্টিয়ার দ্বৈততা বিনিময়যোগ্য গোষ্ঠী পরিকল্পনার জন্য পন্ট্রিয়াজিন দ্বৈততার একটি অনুরূপ। এটি দ্বারা প্রবর্তিত হয়েছিল। অক্ষর ব্যবহার করে সংজ্ঞা এস-এর উপর যে কোনও সীমাবদ্ধ ফ্ল্যাট কমিউটেটিভ গ্রুপ স্কিম জি দেওয়া হলে, এর কার্টিয়ার ডুয়াল হল অক্ষরের গ্রুপ, যা যে কোনও এস-স্কিম টি-কে বেস পরিবর্তন থেকে গ্রুপ স্কিম সমরূপতার আবেলিয়ান গ্রুপে এবং এস-স্কিমের যে কোনও মানচিত্রে চরিত্র গোষ্ঠীর ক্যানোনিকাল মানচিত্রে নিয়ে যায়। এই ফাংক্টরটি একটি সীমাবদ্ধ ফ্ল্যাট এস-গ্রুপ স্কিম দ্বারা প্রতিনিধিত্বযোগ্য, এবং কার্টিয়ার দ্বৈততা সীমাবদ্ধ ফ্ল্যাট কমিউটেটিভ এস-গ্রুপ স্কিমগুলির বিভাগ থেকে নিজের কাছে একটি অ্যাডিটিভ ইনভোলিউটিভ অ্যান্টিইকুইভ্যালেন্স গঠন করে। যদি জি একটি ধ্রুবক বিনিময়যোগ্য গ্রুপ স্কিম হয়, তবে এর কার্টিয়ার ডুয়াল হল তির্যক গ্রুপ ডি (জি), এবং তদ্বিপরীত। যদি এস এফাইন হয়, তবে দ্বৈত ফাংক্টরটি ফাংশনের হপফ অ্যালজেব্রার দ্বৈততা দ্বারা দেওয়া হয়। হপফ অ্যালজেব্রা ব্যবহার করে সংজ্ঞা একটি ক্ষেত্রের উপর একটি সসীম বিনিময় গ্রুপ স্কিম একটি সসীম মাত্রিক বিনিময়মূলক কোকম্যুটেটিভ হপফ বীজগণিতের সাথে মিলে যায়। কার্টিয়ার দ্বৈততা হপফ বীজগণিতের দ্বৈত গ্রহণের সাথে মিলে যায়, গুণ এবং গুণের বিনিময় করে। কার্টিয়ার দ্বৈততার আরও সাধারণ ক্ষেত্রে কার্টিয়ার দ্বৈতের সংজ্ঞা আরও অনেক সাধারণ পরিস্থিতিতে কার্যকরভাবে প্রসারিত হয় যেখানে পরিকল্পনার ফলস্বরূপ ফাংক্টরকে আর গোষ্ঠী পরিকল্পনা হিসাবে উপস্থাপন করা হয় না। সাধারণ ক্ষেত্রে এস-এর উপর কমিউটেটিভ গ্রুপের এফ. পি. পি. এফ শেভ এবং তার জটিলতাগুলি অন্তর্ভুক্ত থাকে। এই আরও সাধারণ জ্যামিতিক বস্তুগুলি কার্যকর হতে পারে যখন কেউ ভাল সীমা আচরণযুক্ত বিভাগগুলির সাথে কাজ করতে চায়। মধ্যবর্তী বিমূর্ততার ঘটনা রয়েছে, যেমন একটি ক্ষেত্রের উপর বিনিময়যোগ্য বীজগাণিতিক গোষ্ঠী, যেখানে কার্টিয়ার দ্বৈততা বিনিময়যোগ্য অ্যাফিন আনুষ্ঠানিক গোষ্ঠীগুলির সাথে একটি বিপরীতমুখীতা দেয়, তাই যদি জি যোগাত্মক গোষ্ঠী হয়, তবে এর কার্টিয়ার দ্বৈত গুণিতক আনুষ্ঠানিক গোষ্ঠী, এবং যদি জি একটি টরাস হয়, তবে এর কার্টিয়ার দ্বৈত étale এবং টর্জন-মুক্ত। তোরির লুপ গ্রুপের জন্য, কার্টিয়ার দ্বৈততা স্থানীয় জ্যামিতিক শ্রেণী ক্ষেত্র তত্ত্বে নিয়ন্ত্রিত প্রতীককে সংজ্ঞায়িত করে। জেরার্ড লাউমন 1-মোটিভের উপর আধা-সুসঙ্গত মডিউলগুলির জন্য একটি শেফ-তাত্ত্বিক ফুরিয়ার রূপান্তর প্রবর্তন করেছিলেন যা এই সমতুল্যগুলির অনেকগুলিতে বিশেষজ্ঞ। উদাহরণস্বরূপ, n ক্রমের চক্রাকার গোষ্ঠীর কার্টিয়ার দ্বৈত হল ঐক্যের n-তম মূল। বৈশিষ্ট্য p-এর একটি ক্ষেত্রের উপর গ্রুপ স্কিম (pth পাওয়ার গ্রহণ করে প্ররোচিত যোগাত্মক গোষ্ঠীর এন্ডোমর্ফিজমের কার্নেল) তার নিজস্ব কার্টিয়ার ডুয়াল। তথ্যসূত্র বীজগাণিতিক গোষ্ঠী