Exercise (mathematics)
একটি গাণিতিক অনুশীলন হল একটি বর্ণিত চ্যালেঞ্জের জন্য বীজগণিত বা অন্যান্য গণিতের একটি নিয়মিত প্রয়োগ। গণিতের শিক্ষকরা তাদের শিক্ষার্থীদের দক্ষতা বিকাশের জন্য গাণিতিক অনুশীলন বরাদ্দ করেন। প্রাথমিক অনুশীলনগুলি যোগ, বিয়োগ, গুণ এবং পূর্ণসংখ্যার বিভাজন নিয়ে কাজ করে। বিদ্যালয়ে অনুশীলনের বিস্তৃত কোর্সগুলি এই ধরনের গাণিতিককে যুক্তিসঙ্গত সংখ্যায় প্রসারিত করে। জ্যামিতির বিভিন্ন পন্থা কোণ, খণ্ড এবং ত্রিভুজের সম্পর্কের উপর ভিত্তি করে অনুশীলন করে। ত্রিকোণমিতি বিষয়টি ত্রিকোণমিতি পরিচয় থেকে এর অনেক অনুশীলন লাভ করে। কলেজে গণিতের অনুশীলনগুলি প্রায়শই একটি বাস্তব চলকের ফাংশন বা উপপাদ্যের প্রয়োগের উপর নির্ভর করে। ক্যালকুলাসের মানক অনুশীলনের মধ্যে নির্দিষ্ট ফাংশনের ডেরিভেটিভ এবং ইন্টিগ্রাল খুঁজে বের করা জড়িত। সাধারণত প্রশিক্ষকরা শিক্ষার্থীদের কাজের উদাহরণ দিয়ে প্রস্তুত করেনঃ অনুশীলনটি বলা হয়, তারপরে একটি মডেল উত্তর দেওয়া হয়। ছাত্ররা নিজেরাই ব্যায়ামের চেষ্টা করার জন্য প্রস্তুত হওয়ার আগে প্রায়শই বেশ কয়েকটি কার্যকরী উদাহরণ প্রদর্শিত হয়। কিছু গ্রন্থ, যেমন শওমের রূপরেখা, একটি গাণিতিক বিষয়ের তাত্ত্বিক চিকিৎসার পরিবর্তে কার্যকরী উদাহরণের উপর দৃষ্টি নিবদ্ধ করে। প্রাথমিক বিদ্যালয়ে শিক্ষার্থীরা একক অঙ্কের গাণিতিক অনুশীলন দিয়ে শুরু করে। পরবর্তীকালে বেশিরভাগ অনুশীলনে কমপক্ষে দুটি অঙ্ক জড়িত থাকে। প্রাথমিক বীজগণিতে একটি সাধারণ অনুশীলনের জন্য পলিনোমিয়ালগুলির ফ্যাক্টরাইজেশন প্রয়োজন। আরেকটি অনুশীলন হল বর্গক্ষেত্রকে একটি দ্বিঘাত বহুপদীতে সম্পূর্ণ করা। কৃত্রিমভাবে তৈরি শব্দ সমস্যা হল গণিতকে প্রাসঙ্গিক রাখার উদ্দেশ্যে অনুশীলনের একটি ধারা। স্টিফেন লিকক এই ধরনের বর্ণনা দিয়েছেনঃ যে গাণিতিক শিক্ষার্থী তার শিল্পের প্রথম চারটি নিয়ম আয়ত্ত করেছে এবং সফলভাবে যোগফল ও ভগ্নাংশ নিয়ে প্রচেষ্টা করেছে, সে নিজেকে সমস্যা নামে পরিচিত প্রশ্নগুলির একটি অবিচ্ছিন্ন বিস্তারের মুখোমুখি দেখে। এগুলি অ্যাডভেঞ্চার এবং শিল্পের ছোট গল্প যার শেষটি বাদ দেওয়া হয়েছে এবং যদিও একটি শক্তিশালী পারিবারিক সাদৃশ্যের সাথে বিশ্বাসঘাতকতা করা হয়েছে, তবে রোম্যান্সের কোনও নির্দিষ্ট উপাদান ছাড়াই নয়। অ্যালান এইচ. শোয়েনফেল্ড একটি অনুশীলন এবং একটি গাণিতিক সমস্যার মধ্যে পার্থক্য করেছিলেনঃ শিক্ষার্থীদের অবশ্যই প্রাসঙ্গিক বিষয়ে দক্ষতা অর্জন করতে হবে এবং অনুশীলনগুলি তার জন্য উপযুক্ত। কিন্তু যদি রটের ব্যায়ামই একমাত্র সমস্যা যা শিক্ষার্থীরা তাদের ক্লাসে দেখতে পায়, তাহলে আমরা শিক্ষার্থীদের গুরুতর ক্ষতি করছি। তিনি চ্যালেঞ্জ নির্ধারণের পক্ষে ছিলেনঃ "প্রকৃত সমস্যা" দ্বারা। আমি বলতে চাইছি গাণিতিক কাজগুলি যা ছাত্রের কাছে একটি সৎ চ্যালেঞ্জ তৈরি করে এবং একটি সমাধান পাওয়ার জন্য ছাত্রকে কাজ করতে হবে। মারভিন বিটিংজার তাঁর পাঠ্যপুস্তকের দ্বিতীয় সংস্করণ প্রস্তুত করার সময় একই ধরনের অনুভূতি প্রকাশ করেছিলেনঃ ব্যবহারকারীদের মন্তব্যের প্রতিক্রিয়ায়, লেখকরা এমন অনুশীলন যুক্ত করেছেন যার জন্য পাঠের তাৎক্ষণিক উদ্দেশ্যগুলি বোঝার বাইরে ছাত্রের কিছু প্রয়োজন, তবে এগুলি অগত্যা অত্যন্ত চ্যালেঞ্জিং নয়। প্রতিটি ছাত্রের জন্য নিকটবর্তী বিকাশের ক্ষেত্র, বা ছাত্রদের গোষ্ঠী, এমন একটি কঠিন স্তরে অনুশীলন সেট করে যা তাদের চ্যালেঞ্জ করে কিন্তু হতাশ করে না। একটি ক্যালকুলাস পাঠ্যপুস্তকের ভূমিকায় কিছু মন্তব্য বইটিতে অনুশীলনের কেন্দ্রীয় স্থান দেখায়ঃ অনুশীলনের মধ্যে পাঠ্যের প্রায় এক-চতুর্থাংশ রয়েছে-যা আমাদের মতে পাঠ্যের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ অংশ। । প্রতিটি অধ্যায়ের শেষে সম্পূরক অনুশীলনগুলি অন্যান্য ব্যায়ামের সেটগুলিকে প্রসারিত করে এবং ক্রমবর্ধমান অনুশীলন প্রদান করে যার জন্য পূর্ববর্তী অধ্যায়গুলির দক্ষতার প্রয়োজন হয়। এই পাঠ্যটিতে "প্রয়োগগুলিতে কার্যকারিতা এবং গ্রাফ" (অধ্যায় 0.6) রয়েছে যা শব্দের সমস্যার প্রস্তুতির চৌদ্দ পৃষ্ঠা। সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের উপর একটি বইয়ের লেখকরা অবাধে তাদের অনুশীলনগুলি বেছে নিয়েছেনঃ একটি পাঠ্যপুস্তক হিসাবে এই বইয়ের আকর্ষণ বাড়ানোর জন্য, আমরা পাঠ্যের উপযুক্ত বিন্দুতে কাজ করা উদাহরণগুলি অন্তর্ভুক্ত করেছি এবং 1-9 অধ্যায়ের জন্য অনুশীলনের তালিকা অন্তর্ভুক্ত করেছি। এই অনুশীলনগুলি নিয়মিত সমস্যা থেকে শুরু করে মূল উপপাদ্যগুলির বিকল্প প্রমাণ পর্যন্ত বিস্তৃত, তবে পাঠ্যের মধ্যে যা অন্তর্ভুক্ত রয়েছে তার বাইরেও উপাদান রয়েছে। জে. সি. ম্যাক্সওয়েল ব্যাখ্যা করেছিলেন যে অনুশীলন কীভাবে গণিতের ভাষায় প্রবেশাধিকারকে সহজতর করেঃ গণিতবিদ হিসাবে আমরা সংখ্যা বা পরিমাণের প্রতীকগুলির উপর নির্দিষ্ট মানসিক ক্রিয়াকলাপ সম্পাদন করি এবং ধাপে ধাপে আরও সহজ থেকে আরও জটিল ক্রিয়াকলাপে এগিয়ে গিয়ে আমরা একই জিনিসকে বিভিন্ন রূপে প্রকাশ করতে সক্ষম হয়েছি। এই বিভিন্ন রূপের সমতা, যদিও স্ব-স্পষ্ট স্বতঃসিদ্ধের একটি প্রয়োজনীয় পরিণতি, আমাদের মনের কাছে সর্বদা স্ব-স্পষ্ট নয়; কিন্তু গণিতবিদ, যিনি দীর্ঘ অনুশীলনের মাধ্যমে এই রূপগুলির অনেকগুলির সাথে পরিচিতি অর্জন করেছেন এবং যে প্রক্রিয়াগুলি এক থেকে অন্য দিকে নিয়ে যায় সেগুলিতে বিশেষজ্ঞ হয়ে উঠেছেন, প্রায়শই একটি বিভ্রান্তিকর অভিব্যক্তিটিকে অন্যটিতে রূপান্তরিত করতে পারেন যা আরও বোধগম্য ভাষায় এর অর্থ ব্যাখ্যা করে। বিভিন্ন কলেজের স্বতন্ত্র প্রশিক্ষকরা তাদের গণিত কোর্সের অংশ হিসাবে অনুশীলন ব্যবহার করেন। বিশ্ববিদ্যালয়গুলিতে সমস্যা সমাধানের তদন্ত করতে গিয়ে শোয়েনফেল্ড উল্লেখ করেছেনঃ গণিতের প্রধানদের জন্য উচ্চ বিভাগের প্রস্তাব, যেখানে বেশিরভাগ শিক্ষার্থী তাদের পৃথক প্রশিক্ষকদের দ্বারা সংকলিত সমস্যাগুলির সংগ্রহে কাজ করত। এই ধরনের কোর্সগুলিতে নির্দিষ্ট হিউরিস্টিক্স শেখানোর চেষ্টা ছাড়াই শেখার উপর জোর দেওয়া হতঃ শিক্ষার্থীরা প্রচুর সমস্যা নিয়ে কাজ করত কারণ (এই ধরনের কোর্সের পিছনে অন্তর্নিহিত নির্দেশমূলক মডেল অনুসারে) এভাবেই একজন গণিতে ভাল হয়। এই ধরনের অনুশীলন সংগ্রহ প্রশিক্ষক এবং তার প্রতিষ্ঠানের মালিকানাধীন হতে পারে। ব্যায়ামের সেটের মূল্যের একটি উদাহরণ হিসাবে, তরু কুমনের কৃতিত্ব এবং তার কুমন পদ্ধতির কথা বিবেচনা করুন। তার প্রোগ্রামে, একজন শিক্ষার্থী ব্যায়ামের প্রতিটি স্তরে দক্ষতা অর্জনের আগে এগিয়ে যায় না। রাশিয়ান স্কুল অফ ম্যাথমেটিক্সে, শিক্ষার্থীরা প্রথম শ্রেণী থেকেই একাধিক ধাপের সমস্যা শুরু করে, সমাধানের দিকে এগিয়ে যাওয়ার জন্য পূর্ববর্তী ফলাফলগুলি তৈরি করতে শেখে। 1960-এর দশকে, গাণিতিক অনুশীলনের সংগ্রহগুলি রাশিয়ান থেকে অনুবাদ করা হয় এবং ডব্লিউ. এইচ. ফ্রিম্যান অ্যান্ড কোম্পানিঃ দ্য ইউ. এস. এস. আর অলিম্পিয়াড প্রবলেম বুক (1962), প্রবলেমস্ ইন হায়ার অ্যালজেব্রা (1965), এবং প্রবলেমস্ ইন ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশন (1963) দ্বারা প্রকাশিত হয়। চীনে, প্রাচীনকাল থেকেই সংখ্যার প্রতিনিধিত্ব করার জন্য গণনার রড ব্যবহার করা হত এবং রড ক্যালকুলাস এবং পরে সুয়ানপান দিয়ে পাটিগণিত সম্পন্ন করা হত। সংখ্যা ও গণনার বই এবং গাণিতিক শিল্পের নয়টি অধ্যায়ের মধ্যে এমন অনুশীলন রয়েছে যা রৈখিক বীজগণিতের উদাহরণ। প্রায় 980 খ্রিষ্টাব্দে আল-সিজ্জি তাঁর ওয়েজ অফ মেকিং ইজি দ্য ডেরিভেশন অফ জিওমেট্রিক্যাল ফিগার্স লিখেছিলেন, যা 1996 সালে জান হোগেনডিজক দ্বারা অনুবাদ ও প্রকাশিত হয়েছিল। আরবি ভাষার অনুশীলনের একটি সংগ্রহকে একটি স্প্যানিশ অনুবাদ দেওয়া হয়েছিল কম্পেনডিও ডি অ্যালজেব্রা ডি অ্যাবেনবেডার হিসাবে এবং নেচারে পর্যালোচনা করা হয়েছিল। রবার্ট রেকর্ড 1543 সালে প্রথম দ্য গ্রাউন্ড অফ আর্টস প্রকাশ করেন। 1900 সালের আগে ইউরোপে, গ্রাফিকাল দৃষ্টিকোণের বিজ্ঞান জ্যামিতিক অনুশীলন তৈরি করেছিল। উদাহরণস্বরূপ, 1719 সালে ব্রুক টেলর 'নিউ প্রিন্সিপলস অফ লিনিয়ার পার্সপেক্টিভ'-এ লিখেছিলেন যে, এই নীতিগুলি কতটা বিস্তৃত তা পর্যবেক্ষণ করতে গিয়ে পাঠক আরও বেশি আনন্দ পাবেন, নির্দিষ্ট কিছু ক্ষেত্রে সেগুলি প্রয়োগ করে যা তিনি নিজেই তৈরি করবেন, যখন তিনি এই শিল্পে নিজেকে অনুশীলন করবেন। টেলর আরও বলেছিলেন। যে কোনও শিল্প শেখার সত্য এবং সর্বোত্তম উপায় হ 'ল অন্য ব্যক্তির দ্বারা করা অনেক উদাহরণ দেখা নয়; বরং এর নীতিগুলির মধ্যে প্রথমে নিজেকে অধিকার করা, এবং তারপরে অনুশীলনে নিজেকে অনুশীলন করে তাদের পরিচিত করা। বিদ্যালয়ে লেখার স্লেটের ব্যবহার ব্যায়ামের জন্য একটি প্রাথমিক বিন্যাস প্রদান করে। লিখিত পরীক্ষা এবং কলম ও কাগজের উপর ভিত্তি করে অধ্যয়নের প্রবর্তনের পরে ব্যায়াম কর্মসূচির বিকাশ ঘটে। ফেলিক্স ক্লেইন ইকোল পলিটেকনিকের প্রবেশিকা পরীক্ষার প্রস্তুতিকে "ম্যাথেম্যাটিক স্পেশাল"-এর একটি কোর্স হিসাবে বর্ণনা করেছেন। এটি গাণিতিক শিক্ষার একটি অসাধারণ শক্তিশালী কেন্দ্রীকরণ-সপ্তাহে 16 ঘন্টা পর্যন্ত-যেখানে প্রাথমিক বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতি এবং যান্ত্রিকতা এবং সম্প্রতি অসীম ক্যালকুলাসও পুঙ্খানুপুঙ্খভাবে অধ্যয়ন করা হয় এবং অনেক অনুশীলনের মাধ্যমে একটি নিরাপদভাবে আয়ত্ত করা সরঞ্জাম হিসাবে তৈরি করা হয়। সিলভেস্ট্রে ল্যাক্রোইক্স একজন প্রতিভাবান শিক্ষক এবং এক্সপোজার ছিলেন। বর্ণনামূলক জ্যামিতির উপর তাঁর বইটিতে পাঠকের বোধগম্যতা অনুশীলন করার জন্য "সমস্যা" লেবেলযুক্ত বিভাগগুলি ব্যবহার করা হয়েছে। 1816 খ্রিষ্টাব্দে তিনি 'এসেজ অন টিচিং ইন জেনারেল' এবং 'অন ম্যাথমেটিক্স টিচিং ইন পর্টিকুলার' লিখেছিলেন যা অনুশীলন ও পরীক্ষার প্রয়োজনীয়তার উপর জোর দিয়েছিলঃ পরীক্ষক, স্বল্পমেয়াদে, তাঁর প্রশ্নগুলিকে তাঁর জিজ্ঞাসা করা বিষয়গুলিকে অন্তর্ভুক্ত করার জন্য যথেষ্ট গুণিত করতে বাধ্য, শেখানো উপাদানের বৃহত্তর অংশে, কম পুঙ্খানুপুঙ্খ হতে পারে না, কারণ, সংক্ষেপে বলতে গেলে, তিনি আবেদনগুলি সরিয়ে রাখলে, তিনি ছাত্রদের অনুষদগুলির জন্য এইভাবে কিছু অর্জন করবেন না। অ্যান্ড্রু ওয়ারউইক অনুশীলনের ঐতিহাসিক প্রশ্নের দিকে দৃষ্টি আকর্ষণ করেছেনঃ গাণিতিক পদার্থবিজ্ঞানের পাঠ্যপুস্তকে অধ্যায়গুলির শেষে দৃষ্টান্তমূলক অনুশীলন এবং সমস্যাগুলির অন্তর্ভুক্তি এখন এতটাই সাধারণ যে এটি অস্বাভাবিক বলে মনে হয়, তবে এটি উপলব্ধি করা গুরুত্বপূর্ণ যে এই শিক্ষামূলক যন্ত্রটি তুলনামূলকভাবে সাম্প্রতিক উত্স এবং একটি নির্দিষ্ট ঐতিহাসিক প্রেক্ষাপটে প্রবর্তিত হয়েছিল। কেমব্রিজ বিশ্ববিদ্যালয়ে প্রতিষ্ঠিত গাণিতিক ট্রাইপস পরীক্ষার প্রতিবেদনে তিনি উল্লেখ করেছেন যে, এই ধরনের ক্রমবর্ধমান, প্রতিযোগিতামূলক শিক্ষা বেসরকারী শিক্ষকদের দ্বারা পৃথক টিউশন, বিশেষভাবে প্রস্তুত পাণ্ডুলিপি এবং শ্রেণীবদ্ধ উদাহরণ ও সমস্যা ব্যবহার করে আরও কার্যকরভাবে সম্পন্ন করা হয়েছিল, যা কলেজ প্রভাষকদের দ্বারা মাঝারি গতিতে বড় ক্লাস পড়ানোর চেয়ে বেশি ছিল। পরীক্ষা এবং অনুশীলনের সম্পর্ক ব্যাখ্যা করে তিনি লিখেছেন। 1830-এর দশকের মধ্যে পাঠ্যপুস্তকের অনুশীলনের পরিবর্তে পরীক্ষার কাগজপত্রের সমস্যাগুলি উচ্চাকাঙ্ক্ষী শিক্ষার্থীদের আকাঙ্ক্ষার মানকে সংজ্ঞায়িত করেছিল। [কেমব্রিজের শিক্ষার্থীরা] কেবল একটি উদাহরণের সর্বোত্তম স্কেচের মাধ্যমে তাদের পথ খুঁজে পাওয়ার আশা করেনি, তবে এই ধরনের অনুশীলনগুলিকে পরীক্ষায় কঠিন সমস্যা মোকাবেলার জন্য দরকারী প্রস্তুতি হিসাবে বিবেচনা করতে শেখানো হয়েছিল। কীভাবে এই সংস্কারের সূত্রপাত হয়েছিল তা ব্যাখ্যা করে ওয়ারউইক লিখেছেনঃ কেমব্রিজে ব্যাপকভাবে বিশ্বাস করা হত যে নতুন বিশ্লেষণাত্মক পদ্ধতি সহ গণিত শেখানোর সর্বোত্তম উপায় ছিল ব্যবহারিক উদাহরণ এবং সমস্যাগুলির মাধ্যমে, এবং 1830-এর দশকের মাঝামাঝি সময়ে, প্রথম প্রজন্মের কিছু তরুণ কলেজ ফেলো যারা এইভাবে উচ্চতর বিশ্লেষণ শেখানো হয়েছিল তারা তাদের নিজস্ব গবেষণা শুরু করতে এবং ট্রিপোস পরীক্ষক নিযুক্ত হতে শুরু করেছিল। ওয়ারউইক রিপোর্ট করেছেন যে জার্মানিতে, ফ্রাঞ্জ আর্নস্ট নিউম্যান প্রায় একই সময়ে "শ্রেণীবদ্ধ অনুশীলনের একটি সাধারণ ব্যবস্থা তৈরি করেছিলেন যা ছাত্রদের প্রয়োজনীয় গাণিতিক দক্ষতা এবং কৌশলগুলির একটি শ্রেণিবিন্যাসের সাথে পরিচয় করিয়ে দিয়েছিল এবং তার নিজস্ব সমস্যা সেট তৈরি করতে শুরু করেছিল যার মাধ্যমে তার ছাত্ররা তাদের নৈপুণ্য শিখতে পারে।" রাশিয়ায় স্টিফেন টিমোশেঙ্কো ব্যায়ামের নির্দেশনা সংস্কার করেন। 1913 সালে তিনি পিটার্সবার্গ স্টেট ইউনিভার্সিটি অফ মিনস অফ কমিউনিকেশনে স্ট্রেংথ অফ ম্যাটেরিয়াল পড়াতেন। যেমনটি তিনি 1968 সালে লিখেছিলেন, ইনস্টিটিউটে [ব্যবহারিক] অনুশীলন দেওয়া হত না এবং পরীক্ষায় শিক্ষার্থীদের গৃহীত পাঠ্যপুস্তক থেকে শুধুমাত্র তাত্ত্বিক প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করা হত। আমাকে যত তাড়াতাড়ি সম্ভব এই ধরনের শিক্ষা বন্ধ করতে হয়েছিল। শিক্ষার্থীরা স্পষ্টভাবে পরিস্থিতি বুঝতে পেরেছিল, বিষয়টিকে আরও ভালভাবে একীভূত করার প্রয়োজনীয়তা উপলব্ধি করেছিল এবং তাদের কাজের চাপের ভারী বৃদ্ধিতে আপত্তি জানায়নি। প্রধান সমস্যা ছিল শিক্ষকদের সাথে-বা আরও সুনির্দিষ্টভাবে, পরীক্ষকদের সাথে, যারা বইয়ের উপর ভিত্তি করে তাদের পরীক্ষা দিতে অভ্যস্ত ছিলেন। পরীক্ষাগুলিতে ব্যবহারিক সমস্যাগুলি রাখা তাদের কাজকে জটিল করে তোলে। তারা years.the-এর একমাত্র আশা ছিল তরুণদের শিক্ষায় নিয়ে আসা। আরও দেখুন অ্যালগরিদম ওয়ার্কড-এক্সাম্পল এফেক্ট রেফারেন্স এক্সটার্নাল লিঙ্ক তাতিয়ানা আফানাসিভা (1931) এক্সারসাইজেস ইন এক্সপেরিমেন্টাল জ্যামিতি ফ্রম প্যাসিফিক ইনস্টিটিউট ফর দ্য ম্যাথমেটিকাল সায়েন্সেস। ভ্লাদিমির আর্নল্ড (2004) ইমেজিনারি প্ল্যাটফর্মে 5 থেকে 15 বছর বয়সী শিক্ষার্থীদের জন্য অনুশীলন জেমস আলফ্রেড ইউইং (1911) গণিত, যান্ত্রিক, নেভিগেশন এবং নটিক্যাল অ্যাস্ট্রোনমি, হিট অ্যান্ড স্টিম, ইলেক্ট্রিসিটির উদাহরণ, জুনিয়র অফিসারদের ব্যবহারের জন্য ইন্টারনেট আর্কাইভ থেকে ভাসমান। জিম হেফেরন ও অন্যান্য (2004) গণিত শিক্ষা