Tensors in curvilinear coordinates
বক্ররেখার স্থানাঙ্কগুলি টেনসর ক্যালকুলাসে প্রণয়ন করা যেতে পারে, পদার্থবিজ্ঞান এবং প্রকৌশলের গুরুত্বপূর্ণ প্রয়োগগুলির সাথে, বিশেষত তরল বলবিজ্ঞান এবং কন্টিনিউয়াম মেকানিক্সে ভৌত পরিমাণের পরিবহন এবং পদার্থের বিকৃতি বর্ণনা করার জন্য। ত্রিমাত্রিক বক্ররেখার স্থানাঙ্কে ভেক্টর এবং টেনসর বীজগণিত বক্ররেখার স্থানাঙ্কে প্রাথমিক ভেক্টর এবং টেনসর বীজগণিত যান্ত্রিক ও পদার্থবিজ্ঞানের কিছু পুরানো বৈজ্ঞানিক সাহিত্যে ব্যবহৃত হয় এবং 1900-এর দশকের গোড়ার দিকে এবং মাঝামাঝি থেকে কাজ বোঝার জন্য অপরিহার্য হতে পারে, উদাহরণস্বরূপ গ্রিন এবং জেরনার পাঠ্য। ভেক্টরের বীজগণিতে কিছু দরকারী সম্পর্ক এবং বক্ররেখার স্থানাঙ্কে দ্বিতীয় ক্রমের টেনসর এই বিভাগে দেওয়া হয়েছে। স্বরলিপি এবং বিষয়বস্তু মূলত ওগডেন, নাঘদি, সিমন্ডস, গ্রিন এবং জেরনা, বাসার এবং ওয়েইচার্ট এবং সিয়ারলেট থেকে এসেছে। সমন্বিত রূপান্তরগুলি সমন্বয় চলক সহ দুটি সমন্বয় ব্যবস্থা বিবেচনা করুন এবং, যা আমরা সংক্ষেপে যথাক্রমে ন্যায়সঙ্গত হিসাবে উপস্থাপন করব এবং সর্বদা ধরে নেব যে আমাদের সূচক 1 থেকে 3 পর্যন্ত চলে। আমরা ধরে নেব যে এই স্থানাঙ্ক পদ্ধতিগুলি ত্রিমাত্রিক ইউক্লিডীয় স্থানে এম্বেড করা আছে। স্থানাঙ্ক এবং একে অপরকে ব্যাখ্যা করার জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে, কারণ আমরা যখন একটি স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় স্থানাঙ্ক রেখা বরাবর চলে যাই তখন আমরা আমাদের অবস্থান বর্ণনা করতে অন্যটি ব্যবহার করতে পারি। এইভাবে স্থানাঙ্ক এবং এগুলি একে অপরের ফাংশন যার জন্য লেখা যেতে পারে এই তিনটি সমীকরণকে একসাথে স্থানাঙ্ক থেকে স্থানাঙ্ক রূপান্তরও বলা হয়। আসুন আমরা এই রূপান্তরটিকে দ্বারা চিহ্নিত করি। সুতরাং আমরা স্থানাঙ্ক সহ স্থানাঙ্ক চলক সহ স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা থেকে স্থানাঙ্ক সহ স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় রূপান্তরকে এভাবে উপস্থাপন করবঃ একইভাবে আমরা নিম্নরূপ একটি ফাংশন হিসাবে উপস্থাপন করতে পারিঃ একইভাবে আমরা মুক্ত সমীকরণগুলিকে আরও সংক্ষিপ্তভাবে লিখতে পারি যেমন এই তিনটি সমীকরণকে একসাথে স্থানাঙ্ক রূপান্তরও বলা হয়। আসুন আমরা এই রূপান্তরটি দ্বারা চিহ্নিত করি। আমরা স্থানাঙ্ক সহ স্থানাঙ্ক পরিবর্তনশীল সমন্বিত ব্যবস্থা থেকে স্থানাঙ্ক সহ স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় রূপান্তরকে এইভাবে উপস্থাপন করবঃ যদি রূপান্তরটি বাইজেক্টিভ হয় তবে আমরা রূপান্তরটির চিত্রকে বলি, যথা, এর জন্য গ্রহণযোগ্য স্থানাঙ্কের একটি সেট। যদি রৈখিক হয় তবে স্থানাঙ্ক ব্যবস্থাকে একটি অ্যাফিন স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা বলা হবে, অন্যথায় এটিকে একটি বক্ররেখা স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা বলা হয় জ্যাকোবিয়ান যেমন আমরা এখন দেখি যে স্থানাঙ্ক এবং একে অপরের ফাংশন, আমরা বিবেচনা করা স্থানাঙ্ক চলকের সাপেক্ষে স্থানাঙ্ক চলকের ডেরিভেটিভ নিতে পারি, এই ডেরিভেটিভগুলিকে একটি ম্যাট্রিক্সে সাজানো যেতে পারে, ধরুন, যেখানে-তম সারি এবং-তম কলামের উপাদানটি ফলাফল ম্যাট্রিক্সকে জ্যাকোবিয়ান ম্যাট্রিক্স বলা হয়। বক্ররেখার স্থানাঙ্কে ভেক্টরগুলি ধরা যাক (b1, b2, b3) ত্রিমাত্রিক ইউক্লিডীয় স্থানের জন্য একটি নির্বিচারে ভিত্তি। সাধারণভাবে, বেসিস ভেক্টরগুলি একক ভেক্টর বা পারস্পরিক অর্থোগোনাল নয়। তবে, এগুলি রৈখিকভাবে স্বাধীন হতে হবে। তারপর একটি ভেক্টর v কে এইভাবে প্রকাশ করা যেতে পারে যে, vk উপাদানগুলি ভেক্টর v-এর বিপরীতমুখী উপাদান। পারস্পরিক ভিত্তি (b1, b2, b3) এই সম্পর্ক দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয় যেখানে δij হল ক্রোনেকার ব-দ্বীপ। ভেক্টর v কে পারস্পরিক ভিত্তির পরিপ্রেক্ষিতেও প্রকাশ করা যেতে পারেঃ উপাদানগুলি হল ভেক্টরের কোভ্যারিয়েন্ট উপাদান। বক্ররেখার স্থানাঙ্কে দ্বিতীয়-ক্রমের টেনসর একটি দ্বিতীয়-ক্রমের টেনসর হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে সিজে উপাদানগুলিকে বলা হয় বিপরীতমুখী উপাদান, সিজে মিশ্র ডান-কোভ্যারিয়েন্ট উপাদান, সিজে মিশ্র বাম-কোভ্যারিয়েন্ট উপাদান এবং সিজে দ্বিতীয়-ক্রমের টেনসরের কোভ্যারিয়েন্ট উপাদান। মেট্রিক টেনসর এবং উপাদানগুলির মধ্যে সম্পর্ক উপরের সমীকরণগুলি থেকে আমাদের কাছে জিজ, জিজ পরিমাণ হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে একটি ভেক্টরের উপাদানগুলি দ্বারা সম্পর্কিত এছাড়াও, দ্বিতীয়-ক্রমের টেনসরের উপাদানগুলি দ্বারা সম্পর্কিত একটি অর্থোনর্মাল ডান-হাতের ভিত্তিতে, তৃতীয়-ক্রমের বিকল্প টেনসরকে সংজ্ঞায়িত করা হয় যেমন একটি সাধারণ বক্ররেখা ভিত্তিতে একই টেনসর প্রকাশ করা যেতে পারে যেমন এটি দেখানো যেতে পারে যে এখন, তাই, একইভাবে, আমরা দেখাতে পারি যে ভেক্টর অপারেশন পরিচয় মানচিত্র আমি দ্বারা সংজ্ঞায়িত পরিচয় মানচিত্রটি দেখানো যেতে পারেঃ স্কেলার (ডট) পণ্য বক্ররেখা স্থানাঙ্কে দুটি ভেক্টরের স্কেলার পণ্য ভেক্টর (ক্রস) পণ্য দুটির ক্রস পণ্য বক্ররেখার স্থানাঙ্কে, সমতুল্য অভিব্যক্তিটি হলঃ যেখানে তৃতীয় ক্রমের বিকল্প টেনসর। দুটি ভেক্টরের ক্রস প্রোডাক্ট নিম্নরূপঃ যেখানে εijk হল ক্রমাঙ্কন প্রতীক এবং এটি একটি কার্টেসিয়ান বেসিস ভেক্টর। অতএব, এবং তাই, ভেক্টর প্রোডাক্টে ফিরে আসা এবং সম্পর্কগুলি ব্যবহার করাঃ আমাদের দেয়ঃ টেনসর অপারেশনস আইডেন্টিটি ম্যাপ দ্বারা সংজ্ঞায়িত আইডেন্টিটি ম্যাপ একটি ভেক্টরের উপর দ্বিতীয় ক্রমের টেনসরের ক্রিয়া হিসাবে দেখানো যেতে পারে ক্রিয়াটি দুটি দ্বিতীয় ক্রমের টেনসরের অভ্যন্তরীণ গুণফল হিসাবে বক্ররেখা স্থানাঙ্কে প্রকাশ করা যেতে পারে দুটি দ্বিতীয় ক্রমের টেনসরের অভ্যন্তরীণ গুণফলটি বক্ররেখা স্থানাঙ্কে বিকল্পভাবে, দ্বিতীয় ক্রমের টেনসরের নির্ধারক হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে। তারপর, এই সম্পর্ক থেকে আমরা দেখাতে পারি যে রূপান্তরের জ্যাকোবিয়ান হতে দিন। তারপর, নির্ধারকের সংজ্ঞা থেকে, যেহেতু আমাদের উপরের সম্পর্কগুলি ব্যবহার করে বেশ কয়েকটি আকর্ষণীয় ফলাফল পাওয়া যেতে পারে। প্রথমে, তারপর বিবেচনা করুন একইভাবে, আমরা দেখাতে পারি যে সুতরাং, এই সত্যটি ব্যবহার করে যে, আরেকটি আকর্ষণীয় সম্পর্ক নীচে উদ্ভূত হয়েছে। মনে রাখবেন যে যেখানে A হল a, তবুও অনির্ধারিত, ধ্রুবক। তারপর এই পর্যবেক্ষণটি সূচক স্বরলিপিতে সম্পর্কের দিকে পরিচালিত করে, যেখানে স্বাভাবিক ক্রমাঙ্কন প্রতীক। আমরা রূপান্তর টেনসর এফ-এর জন্য একটি স্পষ্ট অভিব্যক্তি চিহ্নিত করিনি কারণ বক্ররেখা এবং কার্টেসিয়ান ঘাঁটির মধ্যে ম্যাপিংয়ের একটি বিকল্প রূপ আরও কার্যকর। একইভাবে, এই ফলাফলগুলি থেকে আমাদের রয়েছে এবং ত্রিমাত্রিক বক্ররেখা স্থানাঙ্কে ভেক্টর এবং টেনসর ক্যালকুলাস সিমন্ডস, টেনসর বিশ্লেষণের উপর তাঁর বইয়ে, আলবার্ট আইনস্টাইনের উদ্ধৃতি দিয়ে বলেছেন যে সাধারণ বক্ররেখা স্থানাঙ্কে ভেক্টর এবং টেনসর ক্যালকুলাস সাধারণ আপেক্ষিকতায় চার-মাত্রিক বক্ররেখা ম্যানিফোল্ডের টেনসর বিশ্লেষণে, বাঁকা শেলের যান্ত্রিকতায়, ম্যাক্সওয়েলের সমীকরণগুলির অপরিবর্তনীয় বৈশিষ্ট্যগুলি পরীক্ষা করতে ব্যবহৃত হয় যা মেটামেটেরিয়াল এবং অন্যান্য অনেক ক্ষেত্রে আগ্রহী। ভেক্টরের ক্যালকুলাসে কিছু দরকারী সম্পর্ক এবং বক্ররেখার স্থানাঙ্কে দ্বিতীয় ক্রমের টেনসরগুলি এই বিভাগে দেওয়া হয়েছে। স্বরলিপি এবং বিষয়বস্তু মূলত ওগডেন, সিমন্ডস, গ্রিন এবং জেরনা, বাসার এবং ওয়েইচার্ট এবং সিয়ারলেট থেকে এসেছে। মৌলিক সংজ্ঞাগুলি স্থানের একটি বিন্দুর অবস্থানকে তিনটি স্থানাঙ্ক চলক দ্বারা চিহ্নিত করা যাক। স্থানাঙ্ক বক্ররেখা q1 একটি বক্ররেখার প্রতিনিধিত্ব করে যার উপর q2, q3 ধ্রুবক। ধরা যাক x কোনও উৎপত্তির সাপেক্ষে বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর। তারপর, ধরে নিই যে এই ধরনের একটি ম্যাপিং এবং এর বিপরীতটি বিদ্যমান এবং অবিচ্ছিন্ন, আমরা লিখতে পারি ক্ষেত্রগুলিকে বক্ররেখা স্থানাঙ্ক সিস্টেমের বক্ররেখা স্থানাঙ্ক ফাংশন বলা হয় σ (x) = φ−1 (x)। qi স্থানাঙ্ক বক্ররেখা qj, qk স্থির দ্বারা প্রদত্ত ফাংশনের এক-পরামিতি পরিবার দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়। বক্ররেখার সমন্বয় করার জন্য স্পর্শক ভেক্টর xi বিন্দুতে xi বক্ররেখার স্পর্শক ভেক্টর (বা x বিন্দুতে স্থানাঙ্ক বক্ররেখার qi) হল গ্রেডিয়েন্ট স্কেলার ক্ষেত্র ধরা যাক f (x) মহাকাশে একটি স্কেলার ক্ষেত্র। তারপর f ক্ষেত্রের গ্রেডিয়েন্ট সংজ্ঞায়িত করা হয় যেখানে c একটি নির্বিচারে ধ্রুবক ভেক্টর। যদি আমরা সি-এর উপাদানগুলি এমনভাবে সংজ্ঞায়িত করি যে, যদি আমরা সেট করি, তাহলে যেহেতু, আমাদের কাছে একটি ভেক্টর সি-এর বিপরীতমুখী উপাদানটি বের করার একটি উপায় রয়েছে। যদি বি একটি বিন্দুতে সহপরিবর্তনশীল (বা প্রাকৃতিক) ভিত্তি হয়, এবং যদি বি সেই বিন্দুতে বিপরীতমুখী (বা পারস্পরিক) ভিত্তি হয়, তবে এই ভিত্তির পছন্দের জন্য একটি সংক্ষিপ্ত যুক্তি পরবর্তী বিভাগে দেওয়া হয়। ভেক্টর ক্ষেত্র একটি অনুরূপ প্রক্রিয়া একটি ভেক্টর ক্ষেত্র f (x) এর গ্রেডিয়েন্টে পৌঁছানোর জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে। যদি আমরা ভেক্টর ক্ষেত্র r (x) = x অবস্থানের গ্রেডিয়েন্ট বিবেচনা করি, তাহলে আমরা দেখাতে পারি যে ভেক্টর ক্ষেত্র b হল qi স্থানাঙ্ক বক্ররেখার স্পর্শক এবং বক্ররেখার প্রতিটি বিন্দুতে একটি প্রাকৃতিক ভিত্তি গঠন করে। এই নিবন্ধের শুরুতে যেমন আলোচনা করা হয়েছে, এই ভিত্তিটিকে কোভ্যারিয়েন্ট বক্ররেখা ভিত্তিও বলা হয়। আমরা একটি পারস্পরিক ভিত্তি, বা বিপরীতমুখী বক্ররেখা ভিত্তি, দ্বি সংজ্ঞায়িত করতে পারি। বেসিস ভেক্টরগুলির মধ্যে সমস্ত বীজগাণিতিক সম্পর্ক, যা টেনসর বীজগণিতের বিভাগে আলোচনা করা হয়েছে, প্রতিটি বিন্দু x-এ প্রাকৃতিক ভিত্তি এবং তার পারস্পরিকতার জন্য প্রযোজ্য। যেহেতু সি নির্বিচারে, তাই আমরা লিখতে পারি নোট করুন যে বিপরীতমুখী ভিত্তি ভেক্টর বাই ধ্রুবক sii এর পৃষ্ঠের লম্ব এবং প্রথম ধরনের ক্রিস্টোফেল প্রতীক দ্বারা দেওয়া হয় প্রথম ধরনের ক্রিস্টোফেল প্রতীকগুলি হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। উপরের সম্পর্কগুলিকে পুনর্বিন্যাস করার জন্য এগুলি ব্যবহার করলে দ্বিতীয় ধরনের ক্রিস্টোফেল প্রতীক পাওয়া যায় দ্বিতীয় ধরনের ক্রিস্টোফেল প্রতীকগুলিকে সংজ্ঞায়িত করা হয় যার মধ্যে এটি বোঝায় যে অন্যান্য যে সম্পর্কগুলি অনুসরণ করে তা হল আরেকটি বিশেষভাবে দরকারী সম্পর্ক, যা দেখায় যে ক্রিস্টোফেল প্রতীক শুধুমাত্র মেট্রিক টেনসর এবং তার ডেরিভেটিভের উপর নির্ভর করে, একটি ভেক্টর ক্ষেত্রের গ্রেডিয়েন্টের জন্য স্পষ্ট অভিব্যক্তি বক্ররেখার স্থানাঙ্কে একটি ভেক্টর ক্ষেত্রের গ্রেডিয়েন্টের জন্য নিম্নলিখিত অভিব্যক্তিগুলি বেশ কার্যকর। একটি ভৌত ভেক্টর ক্ষেত্রের প্রতিনিধিত্ব ভেক্টর ক্ষেত্র v কে এমনভাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে যেখানে ক্ষেত্রের কোভ্যারিয়েন্ট উপাদানগুলি, ভৌত উপাদানগুলি এবং (কোনও যোগফল নেই) স্বাভাবিক বিপরীতমুখী ভিত্তি ভেক্টর। দ্বিতীয়-ক্রম টেনসর ক্ষেত্র দ্বিতীয়-ক্রম টেনসর ক্ষেত্রের গ্রেডিয়েন্ট একইভাবে গ্রেডিয়েন্টের জন্য এক্সপ্লিসিট এক্সপ্রেশন হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে যদি আমরা একটি বিপরীতমুখী ভিত্তির পরিপ্রেক্ষিতে টেনসরের এক্সপ্রেশনটি বিবেচনা করি, তবে আমরা একটি শারীরিক দ্বিতীয়-ক্রম টেনসর ক্ষেত্রের প্রতিনিধিত্বও লিখতে পারি দ্বিতীয়-ক্রম টেনসর ক্ষেত্রের শারীরিক উপাদানগুলি একটি স্বাভাবিক বিপরীতমুখী ভিত্তি ব্যবহার করে প্রাপ্ত করা যেতে পারে, অর্থাৎ, যেখানে হ্যাটেড বেস ভেক্টরগুলি স্বাভাবিক করা হয়েছে। এটি বোঝায় যে (আবার কোনও যোগফল নেই) ডাইভারজেন্স ভেক্টর ক্ষেত্র একটি ভেক্টর ক্ষেত্রের ডাইভারজেন্সকে () হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় একটি বক্ররেখা ভিত্তির সাপেক্ষে উপাদানগুলির পরিপ্রেক্ষিতে একটি ভেক্টর ক্ষেত্রের ডাইভারজেন্সের জন্য একটি বিকল্প সমীকরণ প্রায়শই ব্যবহৃত হয়। এই সম্পর্কটি বের করার জন্য মনে রাখবেন যে এখন, এর প্রতিসাম্যের কারণে, আমাদের মনে রাখতে হবে যে যদি [gij] ম্যাট্রিক্স হয় যার উপাদানগুলি gij হয়, তবে ম্যাট্রিক্সের বিপরীত হয়। ম্যাট্রিক্সের বিপরীতটি দেওয়া হয় যেখানে আইজ হল জিজ উপাদানগুলির কোফ্যাক্টর ম্যাট্রিক্স। ম্যাট্রিক্স বীজগণিত থেকে আমাদের আছে তাই, এই সম্পর্কটিকে বিচ্যুতির জন্য অভিব্যক্তিতে প্লাগ করা একটি সামান্য কারসাজি দেয় যা আরও সংক্ষিপ্ত রূপের দিকে নিয়ে যায় দ্বিতীয়-ক্রমের টেনসর ক্ষেত্র দ্বিতীয়-ক্রমের টেনসর ক্ষেত্রের বিচ্যুতিকে সংজ্ঞায়িত করা হয় যেখানে a একটি নির্বিচারে ধ্রুবক ভেক্টর। বক্ররেখা স্থানাঙ্কে, ল্যাপলেসিয়ান স্কেলার ক্ষেত্র একটি স্কেলার ক্ষেত্র φ (x)-এর ল্যাপলেসিয়ানকে এইভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় একটি ভেক্টর ক্ষেত্রের বিচ্যুতির জন্য বিকল্প অভিব্যক্তি ব্যবহার করে আমাদের এখন একটি ভেক্টর ক্ষেত্রের কার্ল দেয় এখন তাই, একটি ভেক্টর ক্ষেত্রের কার্ল একটি ভেক্টর ক্ষেত্রের কার্লকে সহপরিবর্তনশীল বক্ররেখা স্থানাঙ্কে যেখানে অর্থোগোনাল বক্ররেখা স্থানাঙ্ক হিসাবে লেখা যেতে পারে, এই বিভাগের উদ্দেশ্যে ধরে নিন যে বক্ররেখা স্থানাঙ্ক ব্যবস্থাটি অর্থোগোনাল, অর্থাৎ সমতুল্য, যেখানে। আগের মতোই, কোভ্যারিয়েন্ট বেসিস ভেক্টর এবং বিআই, বিজে বিপরীতমুখী বেসিস ভেক্টর। এছাড়াও, (ই1, ই2, ই3) একটি পটভূমি, স্থির, কার্টেসিয়ান ভিত্তি হতে দিন। অর্থোগোনাল বক্ররেখা স্থানাঙ্কের একটি তালিকা নীচে দেওয়া হল। অর্থোগোনাল বক্ররেখার স্থানাঙ্কে মেট্রিক টেনসর ধরা যাক r (x) স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার উৎপত্তির সাপেক্ষে x বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর। x = r (x) উল্লেখ করে স্বরলিপিটি সরলীকৃত করা যেতে পারে। প্রতিটি বিন্দুতে আমরা একটি ছোট লাইন উপাদান dx তৈরি করতে পারি। রেখা উপাদানটির দৈর্ঘ্যের বর্গ হল স্কেলার গুণফল dx • dx এবং এটিকে স্থানের মেট্রিক বলা হয়। মনে রাখবেন যে যখন আমরা বক্ররেখার স্থানাঙ্কের কথা বলি তখন আগ্রহের স্থানটি ইউক্লিডিয়ান বলে ধরে নেওয়া হয়। আসুন আমরা অবস্থান ভেক্টরকে পটভূমি, স্থির, কার্টেসিয়ান ভিত্তির পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করি, অর্থাৎ, শৃঙ্খল নিয়ম ব্যবহার করে, আমরা তখন ত্রিমাত্রিক অর্থোগোনাল বক্ররেখা স্থানাঙ্কের (q1, q2, q3) পরিপ্রেক্ষিতে dx প্রকাশ করতে পারি। এছাড়াও লক্ষ্য করুন যে যেখানে হিজ হল ল্যামে সহগ। যদি আমরা স্কেল ফ্যাক্টরগুলি সংজ্ঞায়িত করি, হাই, ব্যবহার করে আমরা মৌলিক টেনসর এবং ল্যামে সহগের মধ্যে একটি সম্পর্ক পাই। উদাহরণস্বরূপঃ মেরু স্থানাঙ্ক যদি আমরা R2-এর জন্য মেরু স্থানাঙ্ক বিবেচনা করি, তবে লক্ষ্য করুন যে (r, θ) হল বক্ররেখা স্থানাঙ্ক, এবং রূপান্তরের জ্যাকোবিয়ান নির্ধারক (r, θ) → (r cos θ, r sin θ) হল r। অর্থোগোনাল বেসিস ভেক্টরগুলি হলbr = (cos θ, sin θ), bθ = (−r sin θ, r cos θ)। স্বাভাবিক ভিত্তি ভেক্টরগুলি হল er = (cos θ, sin θ), eθ = (− sin θ, cos θ) এবং স্কেল ফ্যাক্টরগুলি হল hr = 1 এবং hθ = r। মৌলিক টেনসর হল g11 = 1, g22 = r2, g12 = g21 = 0। লাইন এবং সারফেস ইন্টিগ্রাল যদি আমরা ভেক্টর ক্যালকুলাস গণনার জন্য বক্ররেখা স্থানাঙ্ক ব্যবহার করতে চাই, তবে লাইন, সারফেস এবং ভলিউম ইন্টিগ্রাল গণনায় সমন্বয় করতে হবে। সরলতার জন্য, আমরা আবার আলোচনাটিকে তিনটি মাত্রা এবং অর্থোগোনাল বক্ররেখা স্থানাঙ্কে সীমাবদ্ধ করি। যাইহোক, একই যুক্তিগুলি-মাত্রিক সমস্যার ক্ষেত্রে প্রযোজ্য যদিও স্থানাঙ্ক ব্যবস্থাটি অর্থোগোনাল না হলে অভিব্যক্তিতে কিছু অতিরিক্ত পদ থাকে। লাইন ইন্টিগ্রাল সাধারণত লাইন ইন্টিগ্রাল গণনায় আমরা গণনা করতে আগ্রহী যেখানে x (t) কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্কে C-কে প্যারামিট্রাইজ করে। বক্ররেখার স্থানাঙ্কে, চেইন নিয়ম দ্বারা শব্দটি। এবং ল্যামে সহগের সংজ্ঞা থেকে, এবং এইভাবে এখন, কখন থেকে, আমাদের আছে এবং আমরা স্বাভাবিকভাবে এগিয়ে যেতে পারি। একইভাবে, আমরা যদি একটি সারফেস ইন্টিগ্রালে আগ্রহী হই, কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্কে পৃষ্ঠের প্যারামিটারাইজেশন সহ প্রাসঙ্গিক গণনাটি হলঃ আবার, বক্ররেখার স্থানাঙ্কে, আমাদের আছে এবং আমরা আবার বক্ররেখার স্থানাঙ্কের সংজ্ঞাটি ব্যবহার করি। নির্ণায়ক আকারে, বক্ররেখা স্থানাঙ্কের পরিপ্রেক্ষিতে ক্রস প্রোডাক্টটি হবেঃ গ্রেড, কার্ল, ডিভি, ল্যাপলেসিয়ান 3 মাত্রার অর্থোগোনাল বক্ররেখা স্থানাঙ্কে, যেখানে কেউ একটি স্কেলার বা ভেক্টর ক্ষেত্রের গ্রেডিয়েন্ট প্রকাশ করতে পারে। একটি ভেক্টর ক্ষেত্রের কার্ল দেওয়া হয় যেখানে εijk হল লেভি-সিভিটা প্রতীক। উদাহরণস্বরূপঃ নলাকার মেরু স্থানাঙ্ক নলাকার স্থানাঙ্কের জন্য আমাদের আছে এবং যেখানে তারপর কোভ্যারিয়েন্ট এবং কন্ট্রাভ্যারিয়েন্ট বেসিস ভেক্টর যেখানে দিকের একক ভেক্টর রয়েছে। লক্ষ্য করুন যে মেট্রিক টেনসরের উপাদানগুলি এমন যা দেখায় যে ভিত্তিটি অর্থোগোনাল। দ্বিতীয় ধরনের ক্রিস্টোফেল প্রতীকের অ-শূন্য উপাদানগুলি একটি ভৌত ভেক্টর ক্ষেত্রের প্রতিনিধিত্ব করে নলাকার মেরু স্থানাঙ্কে স্বাভাবিক বিপরীতমুখী ভিত্তি ভেক্টরগুলি হল এবং একটি ভেক্টর v-এর ভৌত উপাদানগুলি একটি স্কেলার ক্ষেত্রের গ্রেডিয়েন্ট একটি স্কেলার ক্ষেত্রের গ্রেডিয়েন্ট, f (x), নলাকার স্থানাঙ্কে এখন বক্ররেখা স্থানাঙ্কে সাধারণ অভিব্যক্তি থেকে গণনা করা যেতে পারে এবং একটি ভেক্টর ক্ষেত্রের গ্রেডিয়েন্ট ফর্ম রয়েছে একইভাবে, একটি ভেক্টর ক্ষেত্রের গ্রেডিয়েন্ট, v (x), নলাকার স্থানাঙ্কে একটি ভেক্টর ক্ষেত্রের বিচ্যুতি হিসাবে দেখানো যেতে পারে। নলাকার মেরু স্থানাঙ্কে সুতরাং, একটি ভৌত দ্বিতীয়-ক্রমের টেনসর ক্ষেত্রের প্রতিনিধিত্ব দ্বিতীয়-ক্রমের টেনসর ক্ষেত্রের ভৌত উপাদানগুলি তখন পাওয়া যায় যখন টেনসরটি একটি স্বাভাবিক বিপরীতমুখী ভিত্তির পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করা হয়। নলাকার মেরু স্থানাঙ্কে এই উপাদানগুলি হলঃ দ্বিতীয়-ক্রমের টেনসর ক্ষেত্রের গ্রেডিয়েন্ট উপরের সংজ্ঞাগুলি ব্যবহার করে আমরা দেখাতে পারি যে নলাকার মেরু স্থানাঙ্কে দ্বিতীয়-ক্রমের টেনসর ক্ষেত্রের গ্রেডিয়েন্টকে দ্বিতীয়-ক্রমের টেনসর ক্ষেত্রের ডাইভারজেন্স হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে নলাকার মেরু স্থানাঙ্কে দ্বিতীয়-ক্রমের টেনসর ক্ষেত্রের ডাইভারজেন্সটি গ্রেডিয়েন্টের অভিব্যক্তি থেকে পদগুলি সংগ্রহ করে প্রাপ্ত করা যেতে পারে যেখানে ডাইডিক পণ্যগুলিতে দুটি বাইরের ভেক্টরের স্কেলার পণ্য শূন্য নয়। অতএব, আরও দেখুন কোভ্যারিয়েন্স এবং কন্ট্রাভ্যারিয়েন্স বাঁকানো স্পেসটাইম অর্থোগোনাল স্থানাঙ্কের গণিতের মৌলিক ভূমিকা ফ্রেনেট-সেরেট সূত্র কোভ্যারিয়েন্ট ডেরিভেটিভ টেনসর ডেরিভেটিভ (কন্টিনিউয়াম মেকানিক্স) বেলনাকার এবং গোলাকার স্থানাঙ্কে বক্ররেখার দৃষ্টিকোণ আরও পড়ুন বাইরের লিঙ্কগুলি বক্ররেখার স্থানাঙ্কে ইউনিট ভেক্টরের উৎপত্তি গণিত বক্ররেখার স্থানাঙ্কের উপর বিশ্বের পৃষ্ঠা অধ্যাপক আর ব্র্যাননের বক্ররেখার স্থানাঙ্ক সমন্বয় ব্যবস্থার উপর ই-বুক 3