Yang–Mills equations
পদার্থবিজ্ঞান এবং গণিতে, এবং বিশেষত ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতি এবং গেজ তত্ত্বে, ইয়াং-মিলস সমীকরণগুলি একটি ভেক্টর বান্ডিল বা প্রধান বান্ডিলের সংযোগের জন্য আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একটি ব্যবস্থা। এগুলি পদার্থবিজ্ঞানে ইয়াং-মিলস ক্রিয়ার কার্যকরী অয়লার-ল্যাগ্রাঞ্জ সমীকরণ হিসাবে উদ্ভূত হয়। তারা গণিতেও উল্লেখযোগ্য ব্যবহার খুঁজে পেয়েছে। সমীকরণগুলির সমাধানগুলিকে ইয়াং-মিলস সংযোগ বা ইনস্ট্যান্টন বলা হয়। ডোনাল্ডসনের উপপাদ্য প্রমাণ করার জন্য সাইমন ডোনাল্ডসন ইনস্ট্যান্টনের মডুলি স্পেস ব্যবহার করেছিলেন। অভিপ্রেরণা পদার্থবিজ্ঞান গেজ তত্ত্বের বিষয়ে তাদের মৌলিক গবেষণাপত্রে, রবার্ট মিলস এবং চেন-নিং ইয়াং (মূলত গাণিতিক সাহিত্য থেকে স্বাধীন) প্রধান বান্ডিল এবং সংযোগের তত্ত্বটি তৈরি করেছিলেন যাতে গেজ প্রতিসাম্য এবং গেজ অপরিবর্তনীয়তার ধারণাটি ব্যাখ্যা করা যায় যা এটি শারীরিক তত্ত্বের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য। ইয়াং এবং মিলস আবিষ্কৃত গেজ তত্ত্বগুলি, যা এখন ইয়াং-মিলস তত্ত্ব নামে পরিচিত, ম্যাক্সওয়েলের সমীকরণের উপর জেমস ম্যাক্সওয়েলের শাস্ত্রীয় কাজকে সাধারণীকরণ করেছিল, যা ওল্ফগ্যাং পাউলি এবং অন্যান্যদের দ্বারা একটি গেজ তত্ত্বের ভাষায় তৈরি করা হয়েছিল। ইয়াং এবং মিলসের কাজের অভিনবত্ব ছিল লাই গ্রুপের একটি নির্বিচারে পছন্দের জন্য গেজ তত্ত্বগুলি সংজ্ঞায়িত করা, যাকে স্ট্রাকচার গ্রুপ বলা হয় (বা পদার্থবিজ্ঞানে গেজ গ্রুপ, আরও বিশদ বিবরণের জন্য গেজ গ্রুপ (গণিত) দেখুন)। এই গোষ্ঠীটি বৈদ্যুতিন চৌম্বকবাদের বিপরীতে অ-অ্যাবেলিয়ান হতে পারে এবং এই ধরনের বস্তু নিয়ে আলোচনা করার জন্য সঠিক কাঠামো হল প্রধান বান্ডিলের তত্ত্ব। ইয়াং এবং মিলসের কাজের মূল বিষয়গুলি নিম্নরূপ। একজন ধরে নেয় যে একটি ভৌত মডেলের মৌলিক বর্ণনা ক্ষেত্রের ব্যবহারের মাধ্যমে হয় এবং এটি উদ্ভূত হয় যে একটি স্থানীয় গেজ রূপান্তরের অধীনে (প্রধান বান্ডিলের স্থানীয় তুচ্ছকরণের পরিবর্তন), এই ভৌত ক্ষেত্রগুলিকে অবশ্যই ঠিক সেইভাবে রূপান্তরিত করতে হবে যেভাবে একটি সংযোগ (পদার্থবিজ্ঞানে, একটি গেজ ক্ষেত্র) একটি প্রধান বান্ডিল রূপান্তরিত হয়। গেজ ক্ষেত্রের শক্তি হল সংযোগের বক্রতা, এবং গেজ ক্ষেত্রের শক্তি ইয়াং-মিলস ক্রিয়া ক্রিয়া দ্বারা (একটি ধ্রুবক পর্যন্ত) দেওয়া হয় ন্যূনতম ক্রিয়ার নীতি নির্দেশ করে যে এই ভৌত তত্ত্বের জন্য গতির সঠিক সমীকরণগুলি এই ক্রিয়ার অয়লার-ল্যাগ্রাঞ্জ সমীকরণ দ্বারা দেওয়া উচিত, যা নীচে প্রাপ্ত ইয়াং-মিলস সমীকরণঃ গণিত তত্ত্বের ভৌত উত্স ছাড়াও, ইয়াং-মিলস সমীকরণগুলি গুরুত্বপূর্ণ জ্যামিতিক আগ্রহের বিষয়। সাধারণভাবে ভেক্টর বান্ডিল বা প্রধান বান্ডিলের সংযোগের কোনও প্রাকৃতিক বিকল্প নেই। বিশেষ ক্ষেত্রে যেখানে এই বান্ডিলটি একটি রিম্যানিয়ান ম্যানিফোল্ডের স্পর্শক বান্ডিল, সেখানে এমন একটি প্রাকৃতিক পছন্দ রয়েছে, লেভি-সিভিটা সংযোগ, তবে সাধারণভাবে সম্ভাব্য পছন্দগুলির একটি অসীম-মাত্রিক স্থান রয়েছে। একটি ইয়াং-মিলস সংযোগ একটি সাধারণ ফাইবার বান্ডিলের জন্য সংযোগের এক ধরনের প্রাকৃতিক পছন্দ দেয়, যেমনটি আমরা এখন বর্ণনা করি। বান্ডিলের জন্য একটি তুচ্ছ খোলা আবরণের জন্য একটি সংযোগ তার স্থানীয় রূপ দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়। একটি ক্যানোনিকাল সংযোগ বেছে নেওয়ার প্রথম প্রচেষ্টা হতে পারে এই ফর্মগুলি অদৃশ্য হয়ে যাওয়ার দাবি করা। যাইহোক, এটি সম্ভব নয় যদি না তুচ্ছকরণ সমতল হয়, এই অর্থে যে ট্রানজিশন ফাংশনগুলি ধ্রুবক ফাংশন। প্রতিটি বান্ডিল সমতল নয়, তাই সাধারণভাবে এটি সম্ভব নয়। পরিবর্তে কেউ জিজ্ঞাসা করতে পারেন যে স্থানীয় সংযোগ ফর্মগুলি নিজেই স্থির। একটি প্রধান বান্ডিলের উপর এই শর্তটি উচ্চারণ করার সঠিক উপায় হল যে বক্রতা অদৃশ্য হয়ে যায়। যাইহোক, চেরন-ওয়েইল তত্ত্ব অনুসারে যদি বক্রতা অদৃশ্য হয়ে যায় (অর্থাৎ, একটি সমতল সংযোগ), তবে অন্তর্নিহিত প্রধান বান্ডিলটিতে অবশ্যই তুচ্ছ চেরন শ্রেণী থাকতে হবে, যা সমতল সংযোগের অস্তিত্বের জন্য একটি টপোলজিকাল বাধাঃ প্রতিটি প্রধান বান্ডিলের একটি সমতল সংযোগ থাকতে পারে না। সর্বোত্তম যেটি আশা করা যায় তা হল বক্রতা অদৃশ্য হওয়ার পরিবর্তে, বান্ডিলটির বক্রতা যতটা সম্ভব ছোট। উপরে বর্ণিত ইয়াং-মিলস ক্রিয়া ক্রিয়াটি সঠিকভাবে বক্রতার-আদর্শের (বর্গক্ষেত্র) এবং এর ইউলার-ল্যাগ্রাঞ্জ সমীকরণগুলি এই ক্রিয়ার সমালোচনামূলক বিন্দুগুলি বর্ণনা করে, হয় পরম মিনিমা বা স্থানীয় মিনিমা। অর্থাৎ, ইয়াং-মিল সংযোগগুলি ঠিক সেগুলি যা তাদের বক্রতা হ্রাস করে। এই অর্থে এগুলি গাণিতিক দৃষ্টিকোণ থেকে একটি প্রধান বা ভেক্টর বান্ডেলের উপর সংযোগের স্বাভাবিক পছন্দ। সংজ্ঞা একটি কম্প্যাক্ট, ওরিয়েন্টেড, রিমানিয়ান ম্যানিফোল্ড হতে দিন। ইয়াং-মিলস সমীকরণগুলি কোনও কম্প্যাক্ট লাই গ্রুপের জন্য ভেক্টর বান্ডিল বা প্রিন্সিপাল-বান্ডিল ওভারের সংযোগের জন্য তৈরি করা যেতে পারে। এখানে পরের কনভেনশনটি উপস্থাপন করা হয়েছে। আসুন একটি প্রধান-বান্ডিলকে বোঝাই। তারপর মূল বান্ডিলের মোট জায়গার উপর একটি লাই বীজগণিত-মূল্যবান ডিফারেনশিয়াল ফর্ম দ্বারা একটি সংযোগ নির্দিষ্ট করা যেতে পারে। এই সংযোগের একটি বক্রতা রূপ রয়েছে, যা এর সংলগ্ন বান্ডিলের মান সহ একটি দ্বি-রূপ। সংযোগের সাথে যুক্ত একটি বাহ্যিক কোভ্যারিয়েন্ট ডেরিভেটিভ, যা সংলগ্ন বান্ডেলে সংজ্ঞায়িত করা হয়। উপরন্তু, যেহেতু এটি কম্প্যাক্ট, তাই এর সাথে সম্পর্কিত কম্প্যাক্ট লাই বীজগণিত সংলগ্ন উপস্থাপনার অধীনে একটি অপরিবর্তনীয় অভ্যন্তরীণ গুণফল গ্রহণ করে। যেহেতু রিমানিয়ান, তাই কোট্যাঞ্জেন্ট বান্ডিলের উপর একটি অভ্যন্তরীণ পণ্য থাকে এবং অপরিবর্তনীয় অভ্যন্তরীণ পণ্যের সাথে মিলিত হয়ে-মূল্যবান দুই-ফর্মের বান্ডিলের উপর একটি অভ্যন্তরীণ পণ্য থাকে। যেহেতু এটি ভিত্তিক, তাই এই বান্ডিলের বিভাগগুলিতে একটি-ইনার পণ্য রয়েছে। অর্থাৎ, যেখানে ইন্টিগ্রালের ভিতরে বান্ডিল-ভিত্তিক অভ্যন্তরীণ পণ্য ব্যবহার করা হচ্ছে, এবং এটি রিমানিয়ান আয়তনের রূপ। এই-ইনার পণ্য ব্যবহার করে, এর আনুষ্ঠানিক অ্যাডজয়েন্ট অপারেটর দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়। স্পষ্টভাবে এটি দেওয়া হয়েছে যেখানে হজ স্টার অপারেটর দুটি ফর্মের উপর কাজ করছে। উপরের সেট আপটি ধরে নিলে, ইয়াং-মিলস সমীকরণগুলি (সাধারণভাবে অ-রৈখিক) আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একটি পদ্ধতি যা দ্বারা প্রদত্ত হয় যেহেতু হজ স্টার একটি আইসোমরফিজম, তাই ইয়াং-মিলস সমীকরণের সুস্পষ্ট সূত্র দ্বারা সমতুল্যভাবে লেখা যেতে পারে সন্তোষজনক () বা () সংযোগকে ইয়াং-মিলস সংযোগ বলা হয়। প্রতিটি সংযোগ স্বয়ংক্রিয়ভাবে বিয়ানচি পরিচয়কে সন্তুষ্ট করে, তাই ইয়াং-মিলস সংযোগগুলিকে সুরেলা ডিফারেনশিয়াল ফর্মগুলির একটি অ-রৈখিক এনালগ হিসাবে দেখা যেতে পারে, যা সন্তুষ্ট করে। এই অর্থে ইয়াং-মিলস সংযোগের অনুসন্ধানকে হজ তত্ত্বের সাথে তুলনা করা যেতে পারে, যা একটি ডিফারেনশিয়াল ফর্মের ডি রাম কোহোমোলজি শ্রেণীতে একটি সুরেলা প্রতিনিধি চায়। উপমাটি হল যে একটি ইয়াং-মিলস সংযোগ একটি প্রধান বান্ডিলের সমস্ত সম্ভাব্য সংযোগের সেটের মধ্যে একটি সুরেলা প্রতিনিধির মতো। উৎপত্তি ইয়াং-মিলস সমীকরণগুলি হল ইয়াং-মিলস কার্যকারিতার অয়লার-ল্যাগ্রাঞ্জ সমীকরণ, যা দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে। এই অ্যাফিন স্পেসে একটি সংযোগের একটি ছোট বিকৃতি দেওয়া হলে, বক্রতা দ্বারা সম্পর্কিত হয় ()-এর সমালোচনামূলক বিন্দুগুলি নির্ধারণ করতে, গণনা করুন সংযোগটি ইয়াং-মিলগুলির কার্যকারিতার একটি সমালোচনামূলক বিন্দু যদি এবং শুধুমাত্র যদি এটি প্রত্যেকের জন্য অদৃশ্য হয়ে যায়, এবং এটি সঠিকভাবে ঘটে যখন () সন্তুষ্ট হয়। ইয়াং-মিল সংযোগের মডুলি স্থান ইয়াং-মিলস সমীকরণ গেজ অপরিবর্তনীয়। গাণিতিকভাবে, একটি গেজ রূপান্তর হল প্রধান বান্ডিলের একটি স্বয়ংক্রিয়তা, এবং যেহেতু অভ্যন্তরীণ গুণফল অপরিবর্তনীয়, তাই ইয়াং-মিলস কার্যকরী সন্তুষ্ট হয় এবং তাই যদি সন্তুষ্ট হয় (), তাই হয়। ইয়াং-মিলস সংযোগ মডুলো গেজ রূপান্তরের একটি মডুলি স্থান রয়েছে। এর অটোমরফিজমের গেজ গ্রুপ দ্বারা চিহ্নিত করুন। সেটটি সমস্ত সংযোগ মডুলো গেজ রূপান্তরকে শ্রেণীবদ্ধ করে এবং ইয়াং-মিলস সংযোগের মডুলি স্থানটি একটি উপসেট। সাধারণভাবে হাউসডর্ফ বা মসৃণ বহুগুণও নয়। যাইহোক, অপরিবর্তনীয় সংযোগগুলিতে সীমাবদ্ধ করে, অর্থাৎ, যে সংযোগগুলির হোলোনমি গ্রুপ সমস্ত দ্বারা দেওয়া হয়, কেউ হাউসডর্ফ স্পেস অর্জন করে। অপরিবর্তনীয় সংযোগগুলির স্থান নির্দেশ করা হয়, এবং তাই মডুলি স্থানগুলি নির্দেশ করা হয় এবং। ইয়াং-মিল সংযোগের মডুলি স্থানগুলি নির্দিষ্ট পরিস্থিতিতে নিবিড়ভাবে অধ্যয়ন করা হয়েছে। মাইকেল আতিয়া এবং রাউল বট কম্প্যাক্ট রিম্যান পৃষ্ঠের উপর বান্ডিলগুলির জন্য ইয়াং-মিলস সমীকরণ অধ্যয়ন করেছিলেন। সেখানে মডুলি স্থান হলোমর্ফিক ভেক্টর বান্ডিলের মডুলি স্থান হিসাবে একটি বিকল্প বর্ণনা পায়। এটি নরসিমহন-শেষাদ্রি উপপাদ্য, যা ডোনাল্ডসন দ্বারা হলমর্ফিক ভেক্টর বান্ডিলের সাথে ইয়াং-মিলস সংযোগ সম্পর্কিত এই আকারে প্রমাণিত হয়েছিল। এই পরিবেশে মডুলি স্পেসে একটি কম্প্যাক্ট কেলার ম্যানিফোল্ডের কাঠামো রয়েছে। ইয়াং-মিল সংযোগের মডুলি সবচেয়ে বেশি অধ্যয়ন করা হয়েছে যখন বেস ম্যানিফোল্ডের মাত্রা চার হয়। এখানে ইয়াং-মিলস সমীকরণগুলি দ্বিতীয়-ক্রমের পি. ডি. ই থেকে প্রথম-ক্রমের পি. ডি. ই, অ্যান্টি-সেলফ-ডুয়ালিটি সমীকরণে সরলীকরণ স্বীকার করে। অ্যান্টি-সেলফ-ডুয়ালিটি সমীকরণ যখন বেস ম্যানিফোল্ডের মাত্রা চারটি হয়, তখন একটি কাকতালীয় ঘটনা ঘটেঃ হজ স্টার অপারেটর দুটি-ফর্মকে দুটি-ফর্মে ম্যাপ করে। হজ স্টার অপারেটর এই ক্ষেত্রে আইডেন্টিটির সাথে বর্গ করে, এবং তাই আইগেনভ্যালু এবং রয়েছে। বিশেষত, স্ব-দ্বৈত এবং স্ব-দ্বৈত বিরোধী দুটি রূপের ইতিবাচক এবং নেতিবাচক আইগেনস্পেসগুলিতে একটি পচন রয়েছে। যদি একটি প্রধান-বান্ডিলের চার গুণের উপরের সংযোগটি সন্তুষ্ট হয় অথবা () দ্বারা, সংযোগটি একটি ইয়াং-মিলস সংযোগ। এই সংযোগগুলিকে স্ব-দ্বৈত সংযোগ বা স্ব-দ্বৈত-বিরোধী সংযোগ বলা হয় এবং সমীকরণগুলিকে স্ব-দ্বৈত (এসডি) সমীকরণ এবং স্ব-দ্বৈত-বিরোধী (এএসডি) সমীকরণ বলা হয়। স্ব-দ্বৈত এবং স্ব-দ্বৈত-বিরোধী সংযোগের স্থানগুলি এবং দ্বারা এবং একইভাবে এবং দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। এএসডি সংযোগগুলির মডুলি স্থান, বা ইনস্ট্যান্টনগুলি, ডোনাল্ডসন দ্বারা সর্বাধিক নিবিড়ভাবে অধ্যয়ন করা হয়েছিল যেখানে এবং সহজভাবে সংযুক্ত। এই প্রেক্ষাপটে, প্রধান-বান্ডিলটি তার দ্বিতীয় চেরন শ্রেণী দ্বারা শ্রেণীবদ্ধ করা হয়। প্রধান বান্ডিলের বিভিন্ন পছন্দের জন্য, আকর্ষণীয় বৈশিষ্ট্য সহ মডুলি স্পেস পাওয়া যায়। এই স্থানগুলি হাউজডর্ফ, এমনকি হ্রাসযোগ্য সংযোগের অনুমতি দেওয়ার সময়ও, এবং সাধারণভাবে মসৃণ। ডোনাল্ডসন দেখিয়েছেন যে মসৃণ অংশটি অভিমুখী। আতিয়াহ-সিঙ্গার সূচক উপপাদ্য অনুসারে, কেউ হিসাব করতে পারে যে, এএসডি সংযোগের মডুলি স্থানের মাত্রা কখন, যেখানে প্রথম বেট্টি সংখ্যাটি, এবং ছেদ গঠনের সাপেক্ষে এর ধনাত্মক-নির্দিষ্ট সাবস্পেসের মাত্রা। উদাহরণস্বরূপ, কখন এবং কখন ছেদ রূপটি তুচ্ছ এবং মডুলি স্থানটির মাত্রা রয়েছে। এটি বি. পি. এস. টি ইনস্ট্যান্টনের অস্তিত্বের সাথে একমত, যা একটি 5 প্যারামিটার পরিবারের অনন্য এ. এস. ডি ইনস্ট্যান্টন যা এর কেন্দ্র এবং এর স্কেলকে সংজ্ঞায়িত করে। ইউলেনবেকের অপসারণযোগ্য এককত্ব উপপাদ্য ব্যবহার করে এই ধরনের ইনস্ট্যান্টনগুলি অনন্ত বিন্দু জুড়ে প্রসারিত করা যেতে পারে। অ্যাপ্লিকেশন ডোনাল্ডসনের উপপাদ্য ইয়াং-মিলস সমীকরণের মডুলি স্থানটি ডোনাল্ডসন সহজভাবে সংযুক্ত চার-ম্যানিফোল্ডের ছেদ রূপ সম্পর্কে ডোনাল্ডসনের উপপাদ্য প্রমাণ করতে ব্যবহার করেছিলেন। ক্লিফোর্ড টাউবেস এবং কারেন উহলেনবেকের বিশ্লেষণাত্মক ফলাফল ব্যবহার করে, ডোনাল্ডসন দেখাতে সক্ষম হন যে নির্দিষ্ট পরিস্থিতিতে (যখন ছেদ রূপটি নির্দিষ্ট হয়) একটি মসৃণ, কম্প্যাক্ট, ওরিয়েন্টেড, সহজভাবে সংযুক্ত চার-ম্যানিফোল্ডে এএসডি ইনস্ট্যান্টনের মডুলি স্পেস বহুগুণের একটি অনুলিপি এবং জটিল প্রজেক্টিভ সমতলের অনুলিপিগুলির একটি বিচ্ছিন্ন মিলনের মধ্যে একটি সমন্বয় দেয়। ছেদ রূপটি সমরূপতা পর্যন্ত অপরিবর্তনীয় একটি কোবোর্ডিজম, যা দেখায় যে এই ধরনের যে কোনও মসৃণ বহুগুণের তির্যক ছেদ রূপ রয়েছে। এএসডি ইনস্ট্যান্টনের মডুলি স্থানটি চার-ম্যানিফোল্ডের আরও অপরিবর্তনীয়কে সংজ্ঞায়িত করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। ডোনাল্ডসন মডুলি স্পেসে কোহোমোলজি ক্লাসের জোড়া থেকে উদ্ভূত চার-ম্যানিফোল্ডের সাথে সম্পর্কিত মূলদ সংখ্যাকে সংজ্ঞায়িত করেছেন। এই কাজটি পরবর্তীকালে সাইবার্গ-উইটেন অপরিবর্তনীয় দ্বারা অতিক্রম করা হয়েছে। মাত্রিক হ্রাস এবং অন্যান্য মডুলি স্পেস মাত্রিক হ্রাস প্রক্রিয়ার মাধ্যমে, ইয়াং-মিলস সমীকরণগুলি ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতি এবং গেজ তত্ত্বের অন্যান্য গুরুত্বপূর্ণ সমীকরণগুলি পেতে ব্যবহার করা যেতে পারে। ডাইমেনশনাল রিডাকশন হল ইয়াং-মিলস সমীকরণকে চার গুণের উপরে নিয়ে যাওয়ার প্রক্রিয়া, সাধারণত, এবং একটি প্রতিসাম্য গোষ্ঠীর অধীনে সমাধানগুলি অপরিবর্তনীয় বলে আরোপ করা। উদাহরণস্বরূপঃ এর একক দিকে অনুবাদের অধীনে অ্যান্টি-সেলফ-ডুয়ালিটি সমীকরণগুলি অপরিবর্তনীয় হওয়ার প্রয়োজন হলে, বোগোমোলনি সমীকরণগুলি পাওয়া যায় যা চৌম্বকীয় মনোপোলগুলি বর্ণনা করে। দুটি দিকে অনুবাদের অধীনে স্ব-দ্বৈত সমীকরণগুলি অপরিবর্তনীয় হওয়ার প্রয়োজনীয়তা দ্বারা, একজন হিচিন দ্বারা প্রথমে তদন্ত করা হিচিন সমীকরণগুলি অর্জন করে। এই সমীকরণগুলি স্বাভাবিকভাবেই হিগস বান্ডিল এবং হিচিন পদ্ধতির অধ্যয়নের দিকে পরিচালিত করে। অ্যান্টি-সেলফ-ডুয়ালিটি সমীকরণগুলি তিনটি দিকে অপরিবর্তনীয় থাকার প্রয়োজন হলে, একটি বিরতিতে নাহম সমীকরণ পাওয়া যায়। ওয়ার্নার নাহমের পরে, যা প্রথমে নাহম সমীকরণের তথ্য থেকে মনোপোল তৈরি করার উপায় বর্ণনা করেছিলেন, মাত্রিকভাবে হ্রাসপ্রাপ্ত এএসডি সমীকরণগুলির সমাধানের মধ্যে একটি দ্বৈততা রয়েছে এবং নাহম রূপান্তর নামে পরিচিত। হিচিন বিপরীতটি দেখিয়েছিলেন এবং ডোনাল্ডসন প্রমাণ করেছিলেন যে নাহম সমীকরণের সমাধানগুলি জটিল প্রজেক্টিভ লাইন থেকে যুক্তিসঙ্গত মানচিত্রের মডুলি স্পেসের সাথে যুক্ত করা যেতে পারে। এই সমাধানগুলির জন্য পর্যবেক্ষণ করা দ্বৈততা চার গুণের প্রতিসাম্যের নির্বিচারে দ্বৈত গোষ্ঠীর জন্য ধরে রাখার জন্য তাত্ত্বিক করা হয়। প্রকৃতপক্ষে ভিতরে দ্বৈত জালকের অধীনে অপরিবর্তনীয় ইনস্ট্যান্টনগুলির মধ্যে একটি অনুরূপ দ্বৈততা রয়েছে, দ্বৈত চার-মাত্রিক তোরিতে ইনস্ট্যান্টন এবং এডিএইচএম নির্মাণকে একক বিন্দুর উপর ইনস্ট্যান্টন চালু এবং দ্বৈত বীজগাণিতিক তথ্যের মধ্যে দ্বৈততা হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে। এ. এস. ডি সমীকরণগুলির প্রতিসাম্য হ্রাসও বেশ কয়েকটি সমন্বিত ব্যবস্থার দিকে পরিচালিত করে এবং ওয়ার্ড এর অনুমান হল যে প্রকৃতপক্ষে সমস্ত পরিচিত সমন্বিত ও. ডি. ই এবং পি. ডি. ই এ. এস. ডি. ওয়াই. এম-এর প্রতিসাম্য হ্রাস থেকে আসে। উদাহরণস্বরূপ, এস. ইউ (2) এ. এস. ডি. ওয়াই. এম-এর হ্রাস সাইন-গর্ডন এবং কর্টেওয়েগ-ডি ভ্রিস সমীকরণ দেয়, এ. এস. ডি. ওয়াই. এম-এর জিৎজিকা সমীকরণ দেয় এবং মাত্রায় একটি নির্দিষ্ট হ্রাস ওয়ার্ড-এর ইন্টিগ্রেবল কাইরাল মডেল দেয়। এই অর্থে এটি ইন্টিগ্রেবল সিস্টেমগুলির জন্য একটি 'মাস্টার থিওরি', যা গেজ গ্রুপের পছন্দ এবং প্রতিসাম্য হ্রাস স্কিমের মতো উপযুক্ত পরামিতিগুলি বেছে নিয়ে অনেক পরিচিত সিস্টেমকে পুনরুদ্ধার করার অনুমতি দেয়। এই ধরনের অন্যান্য প্রধান তত্ত্বগুলি হল চার-মাত্রিক চেরন-সাইমনস তত্ত্ব এবং অ্যাফিন গাউদিন মডেল। চেরন-সাইমনস তত্ত্ব একটি কম্প্যাক্ট রিম্যান পৃষ্ঠের উপর ইয়াং-মিলস সমীকরণের মডুলি স্থানকে একটি সিলিন্ডারে চেরন-সাইমনস তত্ত্বের কনফিগারেশন স্থান হিসাবে দেখা যেতে পারে। এই ক্ষেত্রে মডুলি স্থানটি একটি জ্যামিতিক পরিমাণায়ন স্বীকার করে, যা নাইজেল হিচিন এবং অ্যাক্সেল্রড-ডেলা পিয়েট্রা-উইটেন স্বাধীনভাবে আবিষ্কার করেছিলেন। আরও দেখুন সংযোগ (ভেক্টর বান্ডিল) সংযোগ (প্রধান বান্ডিল) ডোনাল্ডসন তত্ত্ব হার্মিটিয়ান ইয়াং-মিলস সমীকরণ বিকৃত হার্মিটিয়ান ইয়াং-মিলস সমীকরণ ইয়াং-মিলস-হিগস সমীকরণ উল্লেখ গাণিতিক পদার্থবিজ্ঞান আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ