Ricci calculus
গণিতে, রিচি ক্যালকুলাস একটি মেট্রিক টেনসর বা সংযোগ সহ বা ছাড়াই একটি ডিফারেনশিয়েবল ম্যানিফোল্ডে টেনসর এবং টেনসর ক্ষেত্রের জন্য সূচক স্বরলিপি এবং কারসাজির নিয়ম গঠন করে। এটি গ্রেগরিও রিচি-কারবাস্ট্রো দ্বারা 1887-1896-এ বিকশিত পরম ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলাস (টেনসর ক্যালকুলাসের ভিত্তি) নামে পরিচিত আধুনিক নাম, এবং পরবর্তীকালে 1900 সালে তাঁর ছাত্র টুলিও লেভি-সিভিটার সাথে লেখা একটি গবেষণাপত্রে জনপ্রিয় হয়েছিল। জান আর্নল্ডাস স্কাউটেন এই গাণিতিক কাঠামোর জন্য আধুনিক স্বরলিপি এবং আনুষ্ঠানিকতা বিকাশ করেছিলেন এবং বিংশ শতাব্দীর গোড়ার দিকে সাধারণ আপেক্ষিকতা এবং ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতিতে প্রয়োগের সময় তত্ত্বটিতে অবদান রেখেছিলেন। একটি টেনসরের একটি উপাদান হল একটি বাস্তব সংখ্যা যা টেনসর স্থানের জন্য একটি ভিত্তি উপাদানের সহগ হিসাবে ব্যবহৃত হয়। টেনসর হল এর উপাদানগুলির সমষ্টি যা তাদের সংশ্লিষ্ট ভিত্তি উপাদান দ্বারা গুণিত হয়। টেনসর এবং টেনসর ক্ষেত্রগুলি তাদের উপাদানগুলির পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করা যেতে পারে এবং টেনসর এবং টেনসর ক্ষেত্রগুলির ক্রিয়াকলাপগুলি তাদের উপাদানগুলির ক্রিয়াকলাপের পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করা যেতে পারে। রিচি ক্যালকুলাসের কেন্দ্রবিন্দু হল টেনসর ক্ষেত্রের বিবরণ এবং তাদের উপর তাদের উপাদানগুলির পরিপ্রেক্ষিতে ক্রিয়াকলাপ। এই স্বরলিপিটি এই ধরনের টেনসর ক্ষেত্র এবং ক্রিয়াকলাপগুলির একটি দক্ষ অভিব্যক্তি দেয়। যদিও বেশিরভাগ স্বরলিপি যে কোনও টেনসরের সাথে প্রয়োগ করা যেতে পারে, একটি ডিফারেনশিয়াল কাঠামো সম্পর্কিত ক্রিয়াকলাপগুলি কেবল টেনসর ক্ষেত্রের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য। যেখানে প্রয়োজন, স্বরলিপিটি অ-টেনসরের উপাদানগুলিতে, বিশেষত বহুমাত্রিক অ্যারেগুলিতে প্রসারিত হয়। একটি টেনসর ভেক্টর এবং কোভেক্টর ভিত্তিক উপাদানগুলির টেনসর পণ্যের রৈখিক যোগফল হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে। ফলস্বরূপ টেনসর উপাদানগুলি ভিত্তির সূচক দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। প্রতিটি সূচকের অন্তর্নিহিত ভেক্টর স্থানের প্রতি মাত্রায় একটি সম্ভাব্য মান রয়েছে। সূচকের সংখ্যা টেনসরের ডিগ্রি (বা ক্রম)-এর সমান। কম্প্যাক্টনেস এবং সুবিধার জন্য, রিচি ক্যালকুলাস আইনস্টাইনের স্বরলিপি অন্তর্ভুক্ত করে, যা একটি মেয়াদের মধ্যে পুনরাবৃত্ত সূচকগুলির উপর যোগফল এবং মুক্ত সূচকগুলির উপর সর্বজনীন পরিমাণ বোঝায়। রিচি ক্যালকুলাসের স্বরলিপিতে অভিব্যক্তিগুলি সাধারণত একযোগে সমীকরণের একটি সেট হিসাবে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে যা উপাদানগুলিকে একটি বহুগুণের উপর ফাংশন হিসাবে সম্পর্কিত করে, সাধারণত আরও নির্দিষ্টভাবে বহুগুণের স্থানাঙ্কের ফাংশন হিসাবে। এটি শুধুমাত্র একটি সীমিত নিয়মের পরিচয়ের সাথে অভিব্যক্তিগুলির স্বজ্ঞাত কারসাজির অনুমতি দেয়। সূচকগুলির জন্য নোটেশন ভিত্তি-সম্পর্কিত পার্থক্য স্থান এবং সময় স্থানাঙ্ক যেখানে ধ্রুপদী পদার্থবিজ্ঞানের চার-মাত্রিক স্থানকালে স্থান-সদৃশ মৌলিক উপাদান এবং একটি সময়-সদৃশ উপাদানের মধ্যে পার্থক্য করতে হবে, এটি প্রচলিতভাবে সূচকগুলির মাধ্যমে করা হয় নিম্নরূপঃ ছোট হাতের ল্যাটিন বর্ণমালাটি ত্রিমাত্রিক ইউক্লিডীয় স্থানের সীমাবদ্ধতা নির্দেশ করতে ব্যবহৃত হয়, যা স্থানিক উপাদানগুলির জন্য 1,2,3 মান নেয়; এবং 0 দ্বারা নির্দেশিত সময়-সদৃশ উপাদানটি আলাদাভাবে দেখানো হয়। ছোট হাতের গ্রীক বর্ণমালা 4-মাত্রিক স্থানকালের জন্য ব্যবহৃত হয়, যা সাধারণত সময়ের উপাদানগুলির জন্য 0 এবং স্থানিক উপাদানগুলির জন্য 1,2,3 মান নেয়। কিছু উৎস সময়ের সাথে সম্পর্কিত সূচক মান হিসাবে 0 এর পরিবর্তে 4 ব্যবহার করে; এই নিবন্ধে, 0 ব্যবহার করা হয়েছে। অন্যথায়, সাধারণ গাণিতিক প্রসঙ্গে, যে কোনও প্রতীক সূচকগুলির জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে, সাধারণত ভেক্টর স্থানের সমস্ত মাত্রায় চলে। সমন্বয় এবং সূচক স্বরলিপি লেখক (গুলি) সাধারণত এটি স্পষ্ট করে দেবেন যে কোনও সাবস্ক্রিপ্ট সূচক হিসাবে বা লেবেল হিসাবে তৈরি করা হয়েছে কিনা। উদাহরণস্বরূপ, 3-ডি ইউক্লিডীয় স্থানে এবং কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্ক ব্যবহার করে; স্থানাঙ্ক ভেক্টর 1,2,3 সাবস্ক্রিপ্ট এবং লেবেলগুলির মধ্যে একটি সরাসরি যোগাযোগ দেখায়। অভিব্যক্তিটিতে, 1,2,3 মানের উপর একটি সূচক হিসাবে ব্যাখ্যা করা হয়, যখন,, সাবস্ক্রিপ্টগুলি কেবল লেবেল, পরিবর্তনশীল নয়। স্থানকালের প্রসঙ্গে, সূচকের মান 0 প্রচলিতভাবে লেবেলের সাথে মিলে যায়। ভিত্তির উল্লেখ সূচকগুলি নিজেরাই ডায়াক্রিটিক-জাতীয় প্রতীক ব্যবহার করে লেবেল করা যেতে পারে, যেমন একটি টুপি (̃), বার (̃), টিল্ডে (̃), বা প্রাইম (′) যেমনঃ সেই সূচকের জন্য সম্ভবত ভিন্ন ভিত্তি বোঝাতে। একটি উদাহরণ হল লরেঞ্জের এক ফ্রেম থেকে অন্য ফ্রেমে রূপান্তর, যেখানে একটি ফ্রেম আনপ্রাইম করা যেতে পারে এবং অন্যটি প্রাইম করা যেতে পারে, যেমনঃ এটি স্পিনারের জন্য ভ্যান ডার ওয়ের্ডেন স্বরলিপির সাথে বিভ্রান্ত হওয়ার দরকার নেই, যা একটি স্পিনরের কাইরালিটি প্রতিফলিত করতে সূচকগুলিতে টুপি এবং ওভারডোট ব্যবহার করে। উচ্চ এবং নিম্ন সূচক রিচি ক্যালকুলাস, এবং সূচক স্বরলিপি আরও সাধারণভাবে, নিম্ন সূচক (সাবস্ক্রিপ্ট) এবং উপরের সূচক (সুপারস্ক্রিপ্ট) এর মধ্যে পার্থক্য করে; পরেরটি সূচক নয়, যদিও পাঠকের কাছে এগুলি কেবল গণিতের অন্যান্য অংশের সাথে পরিচিত বলে মনে হতে পারে। বিশেষ ক্ষেত্রে মেট্রিক টেনসর সর্বত্র আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্সের সমান হলে, উপরের এবং নীচের সূচকগুলির মধ্যে পার্থক্যটি বাদ দেওয়া সম্ভব, এবং তারপরে সমস্ত সূচকগুলি নীচের অবস্থানে লেখা যেতে পারে। ম্যাট্রিক্সের গুণফলের মতো রৈখিক বীজগণিতে সমন্বিত সূত্রগুলি এর উদাহরণ হতে পারে। তবে সাধারণভাবে, উপরের এবং নীচের সূচকগুলির মধ্যে পার্থক্য বজায় রাখতে হবে। কোভ্যারিয়েন্ট টেনসর উপাদান একটি নিম্ন সূচক (সাবস্ক্রিপ্ট) সেই সূচকের সাপেক্ষে উপাদানগুলির কোভ্যারিয়েন্স নির্দেশ করেঃ কনট্র্যাভ্যারিয়েন্ট টেনসর উপাদান একটি উপরের সূচক (সুপারস্ক্রিপ্ট) সেই সূচকের সাপেক্ষে উপাদানগুলির কোভ্যারিয়েন্স নির্দেশ করেঃ মিশ্র-বৈচিত্র্য টেনসর উপাদান একটি টেনসরের উপরের এবং নীচের উভয় সূচক থাকতে পারেঃ সূচকগুলির ক্রম উল্লেখযোগ্য, এমনকি ভিন্ন বৈচিত্র্যের ক্ষেত্রেও। যাইহোক, যখন এটি বোঝা যায় যে মূল প্রতীকটি ধরে রাখার সময় কোনও সূচক উত্থাপিত বা হ্রাস করা হবে না, তখন স্বাতন্ত্র্যসূচক সুবিধার জন্য কোভ্যারিয়েন্ট সূচকগুলি কখনও কখনও বিপরীতমুখী সূচকের নীচে রাখা হয় (যেমন। সাধারণ ক্রোনেকার ব-দ্বীপের সাথে)। টেনসরের ধরন এবং ডিগ্রি একটি টেনসরের প্রতিটি উপরের এবং নীচের সূচকের সংখ্যা তার ধরন দেয়ঃ উপরের এবং নীচের সূচক সহ একটি টেনসরকে টাইপ বা টাইপ-টেনসর বলা হয়। একটি টেনসরের সূচকের সংখ্যা, বৈচিত্র্য নির্বিশেষে, টেনসরের ডিগ্রি বলা হয় (বিকল্পভাবে, এর ভ্যালেন্স, অর্ডার বা র্যাঙ্ক, যদিও র্যাঙ্ক অস্পষ্ট)। সুতরাং, একটি ধরনের টেনসরের ডিগ্রি থাকে। একটি শব্দের মধ্যে দুইবার (একটি উপরের এবং একটি নীচের) ঘটে যাওয়া একই চিহ্নটি এক জোড়া সূচককে নির্দেশ করে যার উপর সারসংক্ষেপ করা হয়ঃ এই ধরনের যোগফল দ্বারা সূচিত ক্রিয়াকে টেনসর সংকোচন বলা হয়ঃ এই যোগফলটি প্রতি জোড়া সূচকে একটি স্বতন্ত্র প্রতীক সহ একটি শব্দের মধ্যে একাধিকবার ঘটতে পারে, উদাহরণস্বরূপঃ একটি শব্দের মধ্যে পুনরাবৃত্ত সূচকগুলির অন্যান্য সংমিশ্রণগুলি অ-গঠিত বলে মনে করা হয়, যেমন {।-।।।। (উভয় ঘটনা কম হয়; ভাল হবে)।-।। (নিম্ন সূচক হিসাবে দ্বিগুণ ঘটে; বা ভাল হবে)। ।} এই ধরনের সূত্র বাদ দেওয়ার কারণ হল যদিও এই পরিমাণগুলি সংখ্যার অ্যারে হিসাবে গণনা করা যেতে পারে, তবে এগুলি সাধারণভাবে বেসিস পরিবর্তনের অধীনে টেনসর হিসাবে রূপান্তরিত হবে না। মাল্টি-ইনডেক্স নোটেশন যদি একটি টেনসরের সমস্ত উপরের বা নীচের সূচকগুলির একটি তালিকা থাকে, তবে একটি শর্টহ্যান্ড হল তালিকার জন্য একটি বড় অক্ষর ব্যবহার করাঃ কোথায় এবং কোথায়। অনুক্রমিক যোগফল সমস্ত-উচ্চতর সূচক বা সমস্ত-নিম্ন সূচকগুলির একটি সেটের চারপাশে উল্লম্ব বারের একটি জোড়া (তবে উভয়ই নয়), সূচকগুলির অন্য সেটের সাথে সংকোচনের সাথে যুক্ত যখন দুটি সেটের প্রত্যেকটিতে অভিব্যক্তিটি সম্পূর্ণরূপে প্রতিসাম্য হয়ঃ সূচকের মানগুলির উপর একটি সীমাবদ্ধ যোগফল, যেখানে প্রতিটি সূচক পরবর্তীটির তুলনায় কঠোরভাবে কম হতে বাধ্য। একাধিক গোষ্ঠীকে এইভাবে সংক্ষিপ্ত করা যেতে পারে, উদাহরণস্বরূপঃ মাল্টি-ইনডেক্স নোটেশন ব্যবহার করার সময়, সূচকগুলির ব্লকের নীচে একটি আন্ডারএরো স্থাপন করা হয়ঃ যেখানে সূচকগুলি উত্থাপন এবং হ্রাস করা একটি অ-একক মেট্রিক টেনসরের সাথে একটি সূচক সংকুচিত করার মাধ্যমে, একটি টেনসরের ধরণ পরিবর্তন করা যেতে পারে, একটি নিম্ন সূচককে উপরের সূচকে রূপান্তরিত করা যেতে পারে বা তদ্বিপরীতঃ অনেক ক্ষেত্রে মূল প্রতীক বজায় রাখা হয় (যেমন। যেখানে এখানে প্রদর্শিত হয়) ব্যবহার করে, এবং যখন কোনও অস্পষ্টতা থাকে না, তখন এই ক্রিয়াকে বোঝাতে একটি সূচকের অবস্থান পরিবর্তন করা যেতে পারে। সূচকের অবস্থান এবং অপরিবর্তনীয়তার মধ্যে সম্পর্ক এই টেবিলটি সংক্ষিপ্তসার করে যে কীভাবে আধারগুলির মধ্যে একটি নিষ্ক্রিয় রূপান্তরের অধীনে সহপরিবর্তনশীল এবং বিপরীতমুখী সূচকগুলির কারসাজি অপরিবর্তনীয়তার সাথে খাপ খায়, প্রতিটি ভিত্তির উপাদানগুলি অন্যটির পরিপ্রেক্ষিতে সেট করা হয় যা প্রথম কলামে প্রতিফলিত হয়। বাঁধা সূচকগুলি রূপান্তরের পরে চূড়ান্ত স্থানাঙ্ক ব্যবস্থাকে বোঝায়। ক্রোনেকার ব-দ্বীপ ব্যবহার করা হয়, নীচে আরও দেখুন। {। শ্রেণী = "উইকিটেবল"।-! ! মৌলিক রূপান্তর! উপাদান রূপান্তর! অপরিবর্তনীয়।-! কোভেক্টর, কোভ্যারিয়েন্ট ভেক্টর, 1-ফর্ম।।।।-! ভেক্টর, বিপরীতমুখী ভেক্টর।।। সূচক স্বরলিপি এবং ক্রিয়াকলাপের জন্য সাধারণ রূপরেখা টেনসরগুলি সমান হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি প্রতিটি সংশ্লিষ্ট উপাদান সমান হয়; যেমন, টেনসর টেনসরের সমান হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি সকলের জন্য হয়। ফলস্বরূপ, স্বরলিপির এমন কিছু দিক রয়েছে যা একটি সমীকরণ অর্থপূর্ণ কিনা তা পরীক্ষা করতে কার্যকর (মাত্রিক বিশ্লেষণের অনুরূপ পদ্ধতি)। মুক্ত এবং ডামি সূচকগুলি সংকোচনের সাথে জড়িত নয় এমন সূচকগুলিকে মুক্ত সূচক বলা হয়। সংকোচনে ব্যবহৃত সূচকগুলিকে ডামি সূচক বা সমষ্টি সূচক বলা হয়। একটি টেনসর সমীকরণ অনেক সাধারণ (বাস্তব-মূল্যবান) সমীকরণের প্রতিনিধিত্ব করে টেনসরের উপাদানগুলি (যেমন, ইত্যাদি)। এগুলি কেবল বাস্তব সংখ্যা। যেহেতু সূচকগুলি টেনসরের নির্দিষ্ট উপাদানগুলি নির্বাচন করতে বিভিন্ন পূর্ণসংখ্যার মান গ্রহণ করে, তাই একটি একক টেনসর সমীকরণ অনেক সাধারণ সমীকরণের প্রতিনিধিত্ব করে। যদি একটি টেনসর সমতার মুক্ত সূচক থাকে, এবং যদি অন্তর্নিহিত ভেক্টর স্থানের মাত্রা হয়, তবে সমতা সমীকরণের প্রতিনিধিত্ব করেঃ প্রতিটি সূচক একটি নির্দিষ্ট মানের সেটের প্রতিটি মান গ্রহণ করে। উদাহরণস্বরূপ, যদি চারটি মাত্রায় থাকে (অর্থাৎ, প্রতিটি সূচক 0 থেকে 3 বা 1 থেকে 4 পর্যন্ত চলে), তাহলে তিনটি মুক্ত সূচক () থাকায় 43 = 64 সমীকরণ রয়েছে। এর মধ্যে তিনটি হ 'লঃ এটি সূচক স্বরলিপি ব্যবহারের সংক্ষিপ্ততা এবং দক্ষতার চিত্র তুলে ধরেঃ অনেকগুলি সমীকরণ যা একই কাঠামো ভাগ করে একটি সহজ টেনসর সমীকরণে সংগ্রহ করা যেতে পারে। সূচকগুলি প্রতিস্থাপনযোগ্য লেবেল যে কোনও সূচক প্রতীককে অন্য দ্বারা প্রতিস্থাপন করলে টেনসর সমীকরণ অপরিবর্তিত থাকে (যদি ইতিমধ্যে ব্যবহৃত অন্যান্য প্রতীকগুলির সাথে কোনও দ্বন্দ্ব না থাকে)। ক্রোনেকার ব-দ্বীপ এবং লেভি-সিভিটা প্রতীকের ভেক্টর ক্যালকুলাস পরিচয় বা পরিচয় যাচাই করার জন্য সূচক স্বরলিপি ব্যবহার করার সময় এটি কার্যকর হতে পারে (নীচে আরও দেখুন)। সঠিক পরিবর্তনের একটি উদাহরণ হলঃ যেখানে একটি ভুল পরিবর্তন হলঃ প্রথম প্রতিস্থাপনে, প্রতিস্থাপিত এবং সর্বত্র প্রতিস্থাপিত, তাই অভিব্যক্তিটির এখনও একই অর্থ রয়েছে। দ্বিতীয়টিতে, সম্পূর্ণরূপে প্রতিস্থাপন করা হয়নি, এবং সম্পূর্ণরূপে প্রতিস্থাপন করা হয়নি (ঘটনাচক্রে, সূচকের সংকোচন একটি টেনসর পণ্য হয়ে ওঠে), যা পরবর্তী দেখানো কারণগুলির জন্য সম্পূর্ণ অসঙ্গতিপূর্ণ। প্রতিটি টার্মে সূচকগুলি একই থাকে একটি টেনসর এক্সপ্রেশন-এ মুক্ত সূচকগুলি প্রতিটি টার্ম জুড়ে সর্বদা একই (উপরের বা নীচের) অবস্থানে প্রদর্শিত হয় এবং একটি টেনসর সমীকরণে মুক্ত সূচকগুলি প্রতিটি পাশে একই থাকে। ডামি সূচকগুলি (যা সেই সূচকের উপর একটি যোগফল বোঝায়) একই হওয়ার প্রয়োজন নেই, উদাহরণস্বরূপঃ একটি ভুল অভিব্যক্তি হিসাবেঃ অন্য কথায়, সমীকরণের প্রতিটি পদে অ-পুনরাবৃত্ত সূচকগুলি অবশ্যই একই ধরনের হতে হবে। উপরের পরিচয়ে, সারিবদ্ধভাবে দাঁড়ান এবং সংকোচনের কারণে এক মেয়াদে দু 'বার ঘটে (একবার উপরের সূচক হিসাবে এবং একবার নিম্ন সূচক হিসাবে) এবং এইভাবে এটি একটি বৈধ অভিব্যক্তি। অবৈধ অভিব্যক্তিতে, যখন লাইন আপ, এবং না, এবং এক মেয়াদে দু 'বার উপস্থিত হয় (সংকোচন) এবং অন্য মেয়াদে একবার, যা অসঙ্গতিপূর্ণ। বেশ কয়েকটি সূচকে (পার্থক্য, প্রতিসাম্য ইত্যাদি, পরবর্তী দেখানো) একটি নিয়ম প্রয়োগ করার সময়, নিয়মগুলি নির্দেশ করে এমন বন্ধনী বা বিরামচিহ্নগুলি কেবলমাত্র সূচকগুলির একটি গ্রুপে দেখানো হয় যেখানে তারা প্রয়োগ করে। যদি বন্ধনীগুলি কোভ্যারিয়েন্ট সূচকগুলিকে আবদ্ধ করে-নিয়মটি কেবল বন্ধনীতে আবদ্ধ সমস্ত কোভ্যারিয়েন্ট সূচকের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য, বন্ধনীগুলির মধ্যে সরাসরি স্থাপন করা কোনও বিপরীত সূচকের ক্ষেত্রে নয়। একইভাবে যদি বন্ধনীগুলি বিপরীতমুখী সূচকগুলিকে আবদ্ধ করে-নিয়মটি কেবল সমস্ত আবদ্ধ বিপরীতমুখী সূচকগুলির ক্ষেত্রে প্রযোজ্য, তাৎক্ষণিকভাবে স্থাপন করা কোভ্যারিয়েন্ট সূচকগুলির ক্ষেত্রে নয়। একাধিক সূচকের চারপাশে টেন্সর প্যারেন্থেসিসের প্রতিসম এবং প্রতিসম অংশ, (), টেন্সরের প্রতিসম অংশকে নির্দেশ করে। যখন 1 থেকে 1 পর্যন্ত সংখ্যার বিন্যাসের উপর সূচকগুলিকে প্রতিসাম্যকরণ করা হয়, তখন সেই সূচকগুলির বিন্যাসের উপর একটি যোগফল নেওয়া হয় এবং তারপর বিন্যাসের সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা হয়ঃ উদাহরণস্বরূপ, দুটি প্রতিসাম্য সূচক মানে দুটি সূচক রয়েছে যা বিন্যাস এবং যোগফলের জন্যঃ যেখানে তিনটি প্রতিসাম্য সূচকের জন্য, তিনটি সূচক যোগ এবং বিন্যাস করার জন্য রয়েছেঃ প্রতিসাম্যকরণ যোগফলের উপর বিতরণমূলক; সূচকগুলি প্রতিসাম্যকরণের অংশ নয় যখন তারা হয়ঃ একই স্তরে নয়, উদাহরণস্বরূপ; বন্ধনীর মধ্যে এবং উল্লম্ব বারগুলির মধ্যে (অর্থাৎ। পূর্ববর্তী উদাহরণটি সংশোধন করে; এখানে এবং সূচকগুলি প্রতিসম, নয়। একাধিক সূচকের চারপাশে টেন্সার বর্গক্ষেত্র বন্ধনীগুলির প্রতিসাম্য বা বিকল্প অংশ, [], টেন্সারের প্রতিসাম্য অংশকে নির্দেশ করে। অ্যান্টিসিমেট্রিজিং সূচকগুলির জন্য-সেই সূচকগুলির বিন্যাসের সমষ্টি বিন্যাসের স্বাক্ষর দ্বারা গুণ করা হয়, তারপর বিন্যাসের সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা হয়ঃ ডিগ্রীর সাধারণীকৃত ক্রোনেকার ব-দ্বীপ কোথায়, নীচে সংজ্ঞায়িত স্কেলিং সহ। উদাহরণস্বরূপ, দুটি প্রতিসাম্য সূচক বোঝায়ঃ যেখানে তিনটি প্রতিসাম্য সূচক বোঝায়ঃ আরও নির্দিষ্ট উদাহরণ হিসাবে, যদি বৈদ্যুতিন চৌম্বকীয় টেনসরের প্রতিনিধিত্ব করে, তবে সমীকরণটি চুম্বকত্বের জন্য গাউসের আইন এবং ফ্যারাডের আবেগের আইনকে উপস্থাপন করে। আগের মতোই, অ্যান্টিসিমেট্রিজেশন যোগের উপর বিতরণমূলক; প্রতিসাম্যকরণের মতো, সূচকগুলি যখন একই স্তরে থাকে তখন অ্যান্টিসিমেট্রিজ হয় না, উদাহরণস্বরূপ; বর্গাকার বন্ধনীগুলির মধ্যে এবং উল্লম্ব বারগুলির মধ্যে (অর্থাৎ। পূর্ববর্তী উদাহরণটি সংশোধন করে; এখানে এবং সূচকগুলি প্রতিসমমিত, নয়। প্রতিসাম্য এবং প্রতিসাম্য অংশের যোগফল যে কোনও টেনসরকে দুটি সূচকে তার প্রতিসাম্য এবং প্রতিসাম্য অংশের যোগফল হিসাবে লেখা যেতে পারেঃ যেমন এবং এর জন্য উপরের অভিব্যক্তিগুলি যোগ করে দেখা যায়। এটি দুটি সূচক ছাড়া অন্য কোনও সূচকের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য নয়। কম্প্যাক্টনেসের জন্য, একটি কমা বা সেমিকোলনের পরে সূচক যোগ করে ডেরিভেটিভস নির্দেশ করা যেতে পারে। আংশিক অন্তরজ যদিও রিচি ক্যালকুলাসের বেশিরভাগ অভিব্যক্তি নির্বিচারে ভিত্তির জন্য বৈধ, তবে স্থানাঙ্কের ক্ষেত্রে টেনসর উপাদানগুলির আংশিক অন্তরজ জড়িত অভিব্যক্তিগুলি কেবল একটি স্থানাঙ্কের ভিত্তিতে প্রযোজ্য হয়ঃ একটি ভিত্তি যা স্থানাঙ্কের ক্ষেত্রে পার্থক্যের মাধ্যমে সংজ্ঞায়িত করা হয়। স্থানাঙ্কগুলি সাধারণত দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, তবে সাধারণভাবে একটি ভেক্টরের উপাদানগুলি গঠন করে না। সমতল স্থানকালে রৈখিক সমন্বয় সহ, স্থানাঙ্কে পার্থক্যের একটি টুপলকে একটি বিপরীতমুখী ভেক্টর হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে। স্থানের উপর এবং স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার পছন্দের উপর একই সীমাবদ্ধতার সাথে, স্থানাঙ্কের সাপেক্ষে আংশিক ব্যুৎপত্তিগুলি একটি ফলাফল দেয় যা কার্যকরভাবে সহপরিবর্তনশীল। এই বিশেষ ক্ষেত্রে ব্যবহার ছাড়াও, টেনসরের উপাদানগুলির আংশিক ডেরিভেটিভগুলি সাধারণভাবে কোভ্যারিয়েন্ট রূপান্তরিত হয় না, তবে কোভ্যারিয়েন্ট অভিব্যক্তি তৈরিতে কার্যকর, যদিও এখনও একটি সমন্বিত ভিত্তিতে যদি আংশিক ডেরিভেটিভগুলি স্পষ্টভাবে ব্যবহার করা হয়, যেমন নীচের কোভ্যারিয়েন্ট, বাহ্যিক এবং লাই ডেরিভেটিভের ক্ষেত্রে। একটি স্থানাঙ্ক চলকের সাপেক্ষে একটি টেনসর ক্ষেত্রের উপাদানগুলির আংশিক পার্থক্য নির্দেশ করার জন্য, স্থানাঙ্ক চলকের একটি সংযুক্ত নিম্ন সূচকের সামনে একটি কমা স্থাপন করা হয়। এটি পুনরাবৃত্তি করা যেতে পারে (আরও কমা যোগ না করে): এই উপাদানগুলি কোভ্যারিয়েন্টভাবে রূপান্তরিত হয় না, যদি না পার্থক্য করা অভিব্যক্তিটি একটি স্কেলার হয়। এই ব্যুৎপত্তিটি পণ্যের নিয়ম এবং স্থানাঙ্কের ব্যুৎপত্তি দ্বারা চিহ্নিত করা হয় যেখানে ক্রোনেকার ব-দ্বীপ রয়েছে। কোভ্যারিয়েন্ট ডেরিভেটিভ শুধুমাত্র তখনই সংজ্ঞায়িত করা হয় যখন একটি সংযোগ সংজ্ঞায়িত করা হয়। যে কোনও টেনসর ক্ষেত্রের জন্য, একটি অর্ধ-কোলন () একটি সংযুক্ত নিম্ন (কোভ্যারিয়েন্ট) সূচকের সামনে রাখা হয় যা কোভ্যারিয়েন্ট পার্থক্য নির্দেশ করে। সেমিকোলনের কম প্রচলিত বিকল্পগুলির মধ্যে রয়েছে একটি ফরোয়ার্ড স্ল্যাশ () বা ত্রিমাত্রিক বাঁকা স্থানে একটি একক উল্লম্ব বার ()। একটি স্কেলার ফাংশনের কোভ্যারিয়েন্ট ডেরিভেটিভ, একটি কনট্র্যাভ্যারিয়েন্ট ভেক্টর এবং একটি কোভ্যারিয়েন্ট ভেক্টর হলঃ সংযোগ সহগগুলি কোথায়। একটি নির্বিচারে টেনসরের জন্যঃ যে কোনও টেনসরের কোভ্যারিয়েন্ট ডেরিভেটিভের জন্য একটি বিকল্প স্বরলিপি হল সাবস্ক্রিপ্ট করা নাবলা প্রতীক। একটি ভেক্টর ক্ষেত্রের ক্ষেত্রেঃ একটি ভেক্টর বরাবর যে কোনও টেনসর ক্ষেত্রের দিকনির্দেশক ডেরিভেটিভের কোভ্যারিয়েন্ট গঠনকে কোভ্যারিয়েন্ট ডেরিভেটিভের সাথে তার সংকোচন হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে, যেমন। : একটি টেনসর ক্ষেত্রের এই ডেরিভেটিভের উপাদানগুলি সহপরিবর্তনশীলভাবে রূপান্তরিত হয় এবং তাই উপ-অভিব্যক্তি (আংশিক ডেরিভেটিভ এবং সংযোগ সহগ) পৃথকভাবে সহপরিবর্তনশীল না হওয়া সত্ত্বেও আরেকটি টেনসর ক্ষেত্র গঠন করে। এই ব্যুৎপত্তিটি পণ্যের নিয়ম দ্বারা চিহ্নিত করা হয়ঃ সংযোগের ধরন একটি ডিফারেনশিয়েবল ম্যানিফোল্ডের স্পর্শক বান্ডিলের উপর একটি কোসজুল সংযোগকে অ্যাফিন সংযোগ বলা হয়। একটি সংযোগ হল একটি মেট্রিক সংযোগ যখন মেট্রিক টেনসরের কোভ্যারিয়েন্ট ডেরিভেটিভ অদৃশ্য হয়ে যায়ঃ একটি অ্যাফিন সংযোগ যা একটি মেট্রিক সংযোগও হয় তাকে রিমানিয়ান সংযোগ বলা হয়। একটি রিম্যানিয়ান সংযোগ যা টর্জন-মুক্ত (অর্থাৎ, যার জন্য টর্জন টেনসর অদৃশ্য হয়ে যায়ঃ) একটি লেভি-সিভিটা সংযোগ। একটি সমন্বিত ভিত্তিতে লেভি-সিভিটা সংযোগের জন্য দ্বিতীয় ধরনের ক্রিস্টোফেল প্রতীক বলা হয়। বাহ্যিক অন্তরজ উপাদান সহ একটি সম্পূর্ণ প্রতিসম ধরনের টেনসর ক্ষেত্রের বাহ্যিক অন্তরজ (যাকে ডিফারেনশিয়াল ফর্মও বলা হয়) একটি অন্তরজ যা ভিত্তি রূপান্তরের অধীনে সহপরিবর্তনশীল। এটি কোনও মেট্রিক টেনসর বা সংযোগের উপর নির্ভরশীল নয়ঃ এর জন্য শুধুমাত্র একটি ডিফারেনশিয়েবল ম্যানিফোল্ডের কাঠামো প্রয়োজন। একটি সমন্বিত ভিত্তিতে, এটি টেনসর উপাদানগুলির আংশিক ডেরিভেটিভের অ্যান্টিসিমেট্রিজেশন হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারেঃ এই ডেরিভেটিভটি বিপরীতমুখী সূচক সহ কোনও টেনসর ক্ষেত্রে সংজ্ঞায়িত করা হয় না বা এটি সম্পূর্ণ অ্যান্টিসিমেট্রিক নয়। এটি একটি শ্রেণীবদ্ধ পণ্য নিয়ম দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। লাই ডেরিভেটিভ হল আরেকটি ডেরিভেটিভ যা বেসিস ট্রান্সফর্মেশন-এর অধীনে কোভ্যারিয়েন্ট। বাহ্যিক ডেরিভেটিভের মতো, এটি কোনও মেট্রিক টেনসর বা সংযোগের উপর নির্ভর করে না। একটি বিপরীতমুখী ভেক্টর ক্ষেত্র বরাবর (এর প্রবাহ) একটি প্রকারের টেনসর ক্ষেত্রের লাই ডেরিভেটিভকে একটি স্থানাঙ্ক ভিত্তি ব্যবহার করে প্রকাশ করা যেতে পারে এই ডেরিভেটিভটি পণ্য নিয়ম এবং এই সত্য দ্বারা চিহ্নিত করা হয় যে একটি বিপরীতমুখী ভেক্টর ক্ষেত্রের লাই ডেরিভেটিভ নিজেই শূন্যঃ উল্লেখযোগ্য টেনসর ক্রোনেকার ডেল্টা যখন গুণিত এবং সংকুচিত হয় তখন ক্রোনেকার ডেল্টা আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্সের মতো হয়ঃ উপাদানগুলি যে কোনও ভিত্তিতে একই এবং প্রকারের একটি অপরিবর্তনীয় টেনসর গঠন করে, অর্থাৎ। বেস ম্যানিফোল্ডের আইডেন্টিটি ম্যাপিংয়ের উপর স্পর্শক বান্ডেলের পরিচয়, এবং তাই এর ট্রেস একটি অপরিবর্তনীয়। এর ট্রেস হল স্থানের মাত্রিকতা; উদাহরণস্বরূপ, চার-মাত্রিক স্থানকালে, ক্রোনেকার ব-দ্বীপ সাধারণ ক্রোনেকার ব-দ্বীপ পরিবারের একটি। ডিগ্রির সাধারণীকৃত ক্রোনেকার ব-দ্বীপকে ক্রোনেকার ব-দ্বীপের পরিপ্রেক্ষিতে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে (একটি সাধারণ সংজ্ঞায় ডানদিকে একটি অতিরিক্ত গুণক অন্তর্ভুক্ত রয়েছে): এবং সূচকগুলিতে অ্যান্টিসিমেট্রাইজার হিসাবে কাজ করেঃ টর্জন টেনসর একটি অ্যাফিন সংযোগের একটি টর্জন টেনসর রয়েছেঃ যেখানে স্থানীয় ভিত্তির লাই বন্ধনীটির উপাদানগুলি দ্বারা দেওয়া হয়, যা সমন্বয় ভিত্তিতে অদৃশ্য হয়ে যায়। একটি লেভি-সিভিটা সংযোগের জন্য এই টেনসরকে শূন্য হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়, যা একটি স্থানাঙ্কের ভিত্তিতে রিমান বক্রতা টেনসর সমীকরণ দেয় যদি এই টেনসরটিকে এইভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় তবে এটি নিজের সাথে কোভ্যারিয়েন্ট ডেরিভেটিভের কমিউটেটরঃ যেহেতু সংযোগটি টরসিয়নহীন, যার অর্থ টরসিয়ন টেনসরটি অদৃশ্য হয়ে যায়। একটি নির্বিচারে টেনসরের দুটি কোভ্যারিয়েন্ট ডেরিভেটিভের জন্য কমিউটেটর পেতে এটিকে সাধারণীকরণ করা যেতে পারেঃ যা প্রায়শই রিচি আইডেন্টিটি হিসাবে উল্লেখ করা হয়। মেট্রিক টেনসর সূচকগুলি হ্রাস করার জন্য মেট্রিক টেনসর ব্যবহার করা হয় এবং যে কোনও স্থানের মতো বক্ররেখার দৈর্ঘ্য দেয় যেখানে পথের কোনও মসৃণ কঠোরভাবে মনোটোন পরামিতি রয়েছে। এটি যে কোনও সময়ের মতো বক্ররেখার সময়কালও দেয় যেখানে গতিপথের কোনও মসৃণ কঠোরভাবে মনোটোন প্যারামিটারাইজেশন হয়। লাইন উপাদানও দেখুন। মেট্রিক টেনসরের বিপরীত ম্যাট্রিক্স হল আরেকটি গুরুত্বপূর্ণ টেনসর, যা সূচক বাড়ানোর জন্য ব্যবহৃত হয়ঃ আরও দেখুন বিমূর্ত সূচক স্বরলিপি সংযোগ বাহ্যিক বীজগণিত ডিফারেনশিয়াল ফর্ম হজ স্টার অপারেটর হোলোনমিক বেসিস মেট্রিক টেনসর পেনরোজ গ্রাফিকাল নোটেশন রেজ ক্যালকুলাস রিচি ডিকম্পোসিশন টেনসর (অভ্যন্তরীণ সংজ্ঞা) টেনসর ক্যালকুলাস টেনসর ক্ষেত্র নোট রেফারেন্স সূত্র ক্যালকুলাস ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতি টেনসর