Belinski–Zakharov transform
বেলিনস্কি-জাখারভ (বিপরীত) রূপান্তর একটি অরৈখিক রূপান্তর যা ভ্যাকুয়াম আইনস্টাইনের ক্ষেত্র সমীকরণের নতুন সঠিক সমাধান তৈরি করে। এটি 1978 সালে ভ্লাদিমির বেলিনস্কি এবং ভ্লাদিমির জাখারভ দ্বারা বিকশিত হয়েছিল। বেলিনস্কি-জাখারভ রূপান্তরটি বিপরীত বিচ্ছুরণ রূপান্তরের একটি সাধারণীকরণ। এই রূপান্তর দ্বারা উৎপাদিত সমাধানগুলিকে মহাকর্ষীয় সলিটন (গ্রেভিসোলিটন) বলা হয়। মহাকর্ষীয় সলিটনগুলি বর্ণনা করতে 'সলিটন' শব্দটি ব্যবহার করা সত্ত্বেও, তাদের আচরণ অন্যান্য (ধ্রুপদী) সলিটনগুলির থেকে খুব আলাদা। বিশেষত, মহাকর্ষীয় সলিটনগুলি সময়ের সাথে সাথে তাদের প্রশস্ততা এবং আকৃতি সংরক্ষণ করে না এবং জুন 2012 পর্যন্ত তাদের সাধারণ ব্যাখ্যা অজানা রয়ে গেছে। তবে যা জানা যায় তা হল বেশিরভাগ কৃষ্ণগহ্বর (এবং বিশেষত শোয়ার্জসচাইল্ড মেট্রিক এবং কের মেট্রিক) মহাকর্ষীয় সলিটনগুলির বিশেষ ক্ষেত্রে। ভূমিকা বেলিনস্কি-জাখারভ রূপান্তরটি সেই ফর্মের স্থানকালের ব্যবধানের জন্য কাজ করে যেখানে আমরা আইনস্টাইনের সমষ্টি কনভেনশন ব্যবহার করি। এটি ধরে নেওয়া হয় যে ফাংশন এবং ম্যাট্রিক্স উভয়ই স্থানাঙ্কের উপর নির্ভর করে। স্থানকাল ব্যবধানের একটি নির্দিষ্ট রূপ হওয়া সত্ত্বেও যা শুধুমাত্র দুটি চলকের উপর নির্ভর করে, এতে বিশেষ ক্ষেত্রে যেমন শোয়ার্জসচাইল্ড মেট্রিক, কের মেট্রিক, আইনস্টাইন-রোজেন মেট্রিক এবং আরও অনেকগুলি আকর্ষণীয় সমাধান অন্তর্ভুক্ত রয়েছে। এই ক্ষেত্রে, আইনস্টাইনের ভ্যাকুয়াম সমীকরণ ম্যাট্রিক্স এবং ফাংশনের জন্য সমীকরণের দুটি সেটে বিভক্ত হয়। হালকা-শঙ্কু স্থানাঙ্ক ব্যবহার করে, ম্যাট্রিক্সের জন্য প্রথম সমীকরণটি হল যেখানে এর নির্ধারকের বর্গমূল, যথা সমীকরণের দ্বিতীয় সেটটি ম্যাট্রিক্স সমীকরণের ট্রেস গ্রহণ করছে যা প্রকাশ করে যে প্রকৃতপক্ষে তরঙ্গ সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে। একটি সহজ গণনা দেখায় যে যেহেতু তরঙ্গ সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে,। এই জোড়া অপারেটর যাতায়াত করে, এটি হল লাক্স জোড়া। বিপরীত বিচ্ছুরণ রূপান্তরের পিছনে মূল বিষয় হল একটি নতুন ম্যাট্রিক্স ফাংশনের জন্য সমীকরণের একটি অতিরিক্ত নির্ধারিত রৈখিক ব্যবস্থা হিসাবে অরৈখিক আইনস্টাইন সমীকরণটি পুনর্লিখন করা। বেলিনস্কি-জাখারভ সমীকরণগুলি বিবেচনা করুনঃ প্রথম সমীকরণের বাম দিকে দ্বিতীয় সমীকরণের সাথে এবং বাম দিকে কাজ করে এবং ফলাফলগুলি বিয়োগ করে, এবং-এর বিনিময়শীলতার ফলে বাম দিকটি অদৃশ্য হয়ে যায়। ডান দিকের ক্ষেত্রে, একটি সংক্ষিপ্ত গণনা দেখায় যে অ-রৈখিক ম্যাট্রিক্স আইনস্টাইন সমীকরণকে সন্তুষ্ট করার সময় এটি সঠিকভাবে অদৃশ্য হয়ে যায়। এর অর্থ হল, অরৈখিক ম্যাট্রিক্স সমীকরণ সমাধান করার সময় অতিমাত্রায় নির্ধারিত রৈখিক বেলিনস্কি-জাখারভ সমীকরণগুলি ঠিক একই সময়ে সমাধানযোগ্য। প্রকৃতপক্ষে, একটি সহজ সীমাবদ্ধ প্রক্রিয়া দ্বারা সহজেই ম্যাট্রিক্স-মূল্যবান ফাংশন থেকে পুনরুদ্ধার করা যেতে পারে। বেলিনস্কি-জাখারভ সমীকরণের সীমা গ্রহণ এবং ডান দিক থেকে গুণ করলে পাওয়া যায়, এইভাবে রৈখিক বেলিনস্কি-জাখারভ সমীকরণের সমাধান থেকে একটি সরল মূল্যায়ন দ্বারা অরৈখিক সমীকরণের সমাধান পাওয়া যায়।