Reflected Brownian motion
সম্ভাব্যতা তত্ত্বে, প্রতিফলিত ব্রাউনিয়ান গতি (বা নিয়ন্ত্রিত ব্রাউনিয়ান গতি, উভয়ই সংক্ষিপ্ত রূপ আরবিএম সহ) প্রতিফলিত সীমানা সহ একটি স্থানের একটি উইনার প্রক্রিয়া। ভৌত সাহিত্যে, এই প্রক্রিয়াটি একটি সীমাবদ্ধ স্থানে বিস্তারকে বর্ণনা করে এবং এটিকে প্রায়শই সীমাবদ্ধ ব্রাউনিয়ান গতি বলা হয়। উদাহরণস্বরূপ, এটি দুটি দেয়ালের মধ্যে সীমাবদ্ধ জলে শক্ত গোলকের গতি বর্ণনা করতে পারে। আরবিএমগুলি ভারী ট্র্যাফিকের সম্মুখীন হওয়া সারি মডেলগুলিকে বর্ণনা করতে দেখানো হয়েছে যা কিংম্যান প্রথম প্রস্তাব করেছিলেন এবং ইগলহার্ট এবং হুইট দ্বারা প্রমাণিত হয়েছিল। সংজ্ঞা একটি ডি-মাত্রিক প্রতিফলিত ব্রাউনিয়ান গতি জেড একটি অসঙ্গত প্রক্রিয়া যা অনন্যভাবে একটি ডি-মাত্রিক ড্রিফ্ট ভেক্টর দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়, যেখানে এক্স (টি) একটি অনিয়ন্ত্রিত ব্রাউনিয়ান গতি এবং ওয়াই (টি) সহ একটি ডি-মাত্রিক ভেক্টর যেখানে ওয়াই অবিচ্ছিন্ন এবং ওয়াই (0) = 0 সহ অ-হ্রাসকারী, ওয়াইজে কেবল এমন সময়ে বৃদ্ধি পায় যার জন্য জে = 1,2 এর জন্য জেডজে = 0,, ডি জেড (টি), টি ± 0। প্রতিফলন ম্যাট্রিক্স সীমানা আচরণ বর্ণনা করে। প্রক্রিয়াটির অভ্যন্তরে একটি উইনার প্রক্রিয়ার মতো আচরণ করে; মোটামুটিভাবে বলতে গেলে, সীমানায় যখনই সীমানা পৃষ্ঠটি আঘাত করা হয় তখন Z কে Rj দিকে ঠেলে দেওয়া হয়, যেখানে Rj ম্যাট্রিক্স R-এর jth কলাম। "চার এবং উচ্চতর মাত্রায় এস. আর. বি. এম-এর জন্য পুনরাবৃত্তি শ্রেণিবিন্যাসের সমস্যা উন্মুক্ত রয়েছে।" বিশেষ ক্ষেত্রে যেখানে আর একটি এম-ম্যাট্রিক্স, তখন স্থিতিশীলতার জন্য প্রয়োজনীয় এবং পর্যাপ্ত শর্তগুলি হল আর একটি অ-একক ম্যাট্রিক্স এবং আর − 1মিউ <0। প্রান্তিক এবং স্থির বন্টন একটি মাত্রা 0 থেকে শুরু হওয়া এক-মাত্রিক ব্রাউনিয়ান গতির প্রান্তিক বন্টন (ক্ষণস্থায়ী বন্টন) ধনাত্মক মানের মধ্যে সীমাবদ্ধ (0-এ একটি একক প্রতিফলিত বাধা) প্রবাহ μ এবং বৈকল্পিকতা σ2 সহ সমস্ত t ≤ 0-এর জন্য, (স্বাভাবিক বন্টনের ক্রমবর্ধমান বন্টন ফাংশন সহ) যা t → ≤ একটি সূচকীয় বন্টন নেওয়ার সময় (μ <0-এর জন্য) ফলন দেয় নির্দিষ্ট t-এর জন্য, Z (t)-এর বন্টন ব্রাউনিয়ান গতির চলমান সর্বাধিক M (t)-এর বন্টনের সাথে মিলে যায়, তবে সচেতন থাকুন যে সামগ্রিকভাবে প্রক্রিয়াগুলির বন্টন খুব আলাদা। বিশেষ করে, এম (টি) টি-তে বৃদ্ধি পাচ্ছে, যা জেড (টি)-এর ক্ষেত্রে হয় না। প্রতিফলিত ব্রাউনিয়ান গতির জন্য তাপ কার্নেলঃ একাধিক মাত্রার উপরে সমতলের জন্য একাধিক মাত্রায় প্রতিফলিত ব্রাউনিয়ান গতির স্থির বন্টন বিশ্লেষণযোগ্যভাবে ট্র্যাক্টেবল হয় যখন কোনও পণ্য স্থির বন্টন হয়, যা প্রক্রিয়াটি স্থিতিশীল হলে ঘটে এবং যেখানে ডি = ডায়াগ (β)। এই ক্ষেত্রে সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন হল যেখানে ηk = 2μkγk/βkk এবং γ = R − 1μ। পণ্যের ফর্মের শর্তটি ধরে রাখে না এমন পরিস্থিতির জন্য ক্লোজড-ফর্ম এক্সপ্রেশনগুলি সিমুলেশন বিভাগে নীচে বর্ণিত হিসাবে সংখ্যাসূচকভাবে গণনা করা যেতে পারে। সিমুলেশন এক মাত্রা একটি মাত্রায় সিমুলেটেড প্রক্রিয়াটি একটি উইনার প্রক্রিয়ার পরম মান। নিম্নলিখিত ম্যাটল্যাব প্রোগ্রামটি একটি নমুনা পথ তৈরি করে। % rbm.m n = 10 4; h = 10 3; t = h। * (0: এন); মিউ =-1; এক্স = শূন্য (1, এন + 1); এম = এক্স; বি = এক্স; বি (1) = 3; এক্স (1) = 3; কে = 2 এর জন্যঃ এন + 1 ওয়াই = এসকিউআরটি (এইচ) * র্যান্ডন; ইউ = র্যান্ড (1); বি (কে) = বি (কে-1) + মিউ * এইচ-ওয়াই; এম = (ওয়াই + এসকিউআরটি (ওয়াই ^ 2-2 * এইচ * লগ (ইউ))/2; এক্স (কে) = সর্বোচ্চ (এম-ওয়াই, এক্স (কে-1) + এইচ * মিউ-ওয়াই); শেষ সাবপ্লট (2,1,1) প্লট ( একাধিক মাত্রার কিউ. এন. ই. টি স্থির অবস্থার আর. বি. এম-এর অনুকরণের অনুমতি দেয়। অন্যান্য সীমানা শর্তগুলি ফেলার প্রক্রিয়া শোষণের জন্য সম্ভাব্য সীমানা শর্ত বর্ণনা করেছেন বা ব্রাউনিয়ান গতিকে হত্যা করেছেন, একটি ডিরিচলেট সীমানা শর্ত তাৎক্ষণিক প্রতিফলন, যেমন একটি নিউম্যান সীমানা শর্ত স্থিতিস্থাপক প্রতিফলনের উপরে বর্ণিত হয়েছে, একটি রবিন সীমানা শর্ত বিলম্বিত প্রতিফলন (সীমানায় ব্যয় করা সময় সম্ভাব্যতা একটির সাথে ধনাত্মক) আংশিক প্রতিফলন যেখানে প্রক্রিয়াটি অবিলম্বে প্রতিফলিত হয় বা আঠালো ব্রাউনিয়ান গতি শোষিত হয়। আরও দেখুন স্কোরোখোদ সমস্যা রেফারেন্স উইনার প্রক্রিয়া ম্যাটল্যাব/অক্টেভ কোডের উদাহরণ সহ নিবন্ধ