Poincaré–Birkhoff theorem
সিমপ্লেক্টিক টপোলজি এবং ডায়নামিক্যাল সিস্টেমে, পয়েনকারে-বারখফ উপপাদ্য (যা পয়েনকারে-বারখফ স্থির বিন্দু উপপাদ্য এবং পয়েনকারে-এর শেষ জ্যামিতিক উপপাদ্য নামেও পরিচিত) বলে যে একটি অ্যানুলাসের প্রতিটি এলাকা-সংরক্ষণকারী, অভিযোজন-সংরক্ষণকারী সমরূপতা যা দুটি সীমানা বিপরীত দিকে ঘোরায় তার কমপক্ষে দুটি নির্দিষ্ট বিন্দু থাকে। ইতিহাস পয়েনকারে-বারখফ উপপাদ্যটি হেনরি পয়েনকারে আবিষ্কার করেছিলেন, যিনি এটি 1912 সালে "সুর আন থিওরেম ডি জিওমেট্রি" শিরোনামে একটি গবেষণাপত্রে প্রকাশ করেছিলেন এবং কিছু বিশেষ ক্ষেত্রে এটি প্রমাণ করেছিলেন। জর্জ ডি. বারখফ তাঁর 1913 সালের গবেষণাপত্রে "প্রুফ অফ পয়েনকারে 'স জিওমেট্রিক থিওরেম" শিরোনামে সাধারণ বিষয়টি প্রমাণ করেছিলেন। আরও পড়ুন এম. ব্রাউন; ডব্লিউ. ডি. নিউম্যান। "পয়েনকারে-বারখফ স্থির-বিন্দু উপপাদ্যের প্রমাণ"। মিশিগান গণিত। জে. খণ্ড। 24, 1977, পৃ. 21-31। পি লে কালভেজ; জে ওয়াং। "পয়েনকারে-বারখফ উপপাদ্য সম্পর্কে কিছু মন্তব্য।" প্রোক। আমের। গণিত। সোস। খণ্ড। 138, নং 2,2010, পৃ. 703-715। জে. ফ্রাঙ্কস। "জেনারেলাইজেশনস অফ দ্য পয়েনকারে-বারখফ থিওরেম", অ্যানালস অফ ম্যাথমেটিক্স, সেকেন্ড সিরিজ, খণ্ড। 128, নং। 1 (জুলাই, 1988), পৃ. 139-151। সিমপ্লেক্টিক টপোলজি ডাইনামিক্যাল সিস্টেম ফিক্সড-পয়েন্ট উপপাদ্য