Mumford–Shah functional
মমফোর্ড-শাহ কার্যকরী একটি কার্যকরী যা একটি চিত্রকে উপ-অঞ্চলে বিভক্ত করার জন্য একটি অনুকূল মানদণ্ড প্রতিষ্ঠার জন্য ব্যবহৃত হয়। একটি ছবি একটি পিসওয়াইজ-মসৃণ ফাংশন হিসাবে মডেল করা হয়। কার্যকরী মডেল এবং ইনপুট চিত্রের মধ্যে দূরত্ব, উপ-অঞ্চলের মধ্যে মডেলের মসৃণতার অভাব এবং উপ-অঞ্চলের সীমানার দৈর্ঘ্যকে শাস্তি দেয়। কার্যকারিতাকে ন্যূনতম করে সেরা চিত্র বিভাজন গণনা করা যেতে পারে। 1989 সালে গণিতবিদ ডেভিড মমফোর্ড এবং জয়ন্ত শাহ এই কার্যকারিতার প্রস্তাব করেছিলেন। মমফোর্ড-শাহ কার্যকারিতার সংজ্ঞা ডি সংজ্ঞার একটি ডোমেন সহ একটি চিত্র I বিবেচনা করুন, জে-কে চিত্রের মডেল বলুন এবং বি-কে মডেলের সাথে সম্পর্কিত সীমানা বলুনঃ মমফোর্ড-শাহ কার্যকরী ই [জে, বি]-কে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে যে কার্যকারিতার অনুকূলকরণটি অ্যামব্রোসিও এবং টর্টোরেলি দ্বারা প্রস্তাবিত অন্য কার্যকারিতার সাথে আনুমানিকভাবে অর্জন করা যেতে পারে। কার্যকরী অ্যামব্রোসিও-টর্টোরেলি সীমার ন্যূনতমকরণ অ্যামব্রোসিও এবং টর্টোরেলি দেখিয়েছে যে মমফোর্ড-শাহ কার্যকরী ই [জে, বি] শক্তি কার্যকরী ই [জে, জেড, ε] পরিবারের সীমা হিসাবে প্রাপ্ত করা যেতে পারে যেখানে সীমানা বি অবিচ্ছিন্ন ফাংশন জেড দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয় যার মাত্রা একটি সীমানার উপস্থিতি নির্দেশ করে। তাদের বিশ্লেষণ দেখায় যে মমফোর্ড-শাহ কার্যকারিতার একটি সুনির্দিষ্ট ন্যূনতম রয়েছে। এটি ন্যূনতম অনুমানের জন্য একটি অ্যালগরিদমও প্রদান করে। তারা যে কার্যকারিতাগুলি সংজ্ঞায়িত করে সেগুলির নিম্নলিখিত রূপ রয়েছেঃ যেখানে ε> 0 একটি (ছোট) পরামিতি এবং φ (z) একটি সম্ভাব্য ফাংশন। φ (z)-এর জন্য দুটি সাধারণ পছন্দ হল এই পছন্দটি প্রান্ত সেট B-কে z বিন্দুর সেটের সাথে এমনভাবে সংযুক্ত করে যে φ1 (z) ≈ 0 এই পছন্দটি প্রান্ত সেট B-কে z বিন্দুর সেটের সাথে এমনভাবে সংযুক্ত করে যে φ2 (z) ≈ 1/4 তাদের বিয়োগের অ-তুচ্ছ পদক্ষেপটি প্রমাণ করে যে, শক্তি ফাংশনের শেষ দুটি পদ হিসাবে (অর্থাৎ। শক্তি কার্যকারিতার শেষ অবিচ্ছেদ্য পদ) প্রান্ত সেট অবিচ্ছেদ্য umBds-এ একত্রিত হয়। শক্তি কার্যকরী E [J, z, ε]-কে গ্রেডিয়েন্ট ডিসেন্ট পদ্ধতি দ্বারা হ্রাস করা যেতে পারে, যা স্থানীয় সর্বনিম্ন রূপান্তরকে নিশ্চিত করে। অ্যামব্রোসিও, ফুস্কো এবং হাচিনসন মমফোর্ড-শাহ শক্তির একক মিনিমাইজারের হাউজডর্ফ মাত্রার একটি সর্বোত্তম অনুমান দেওয়ার জন্য একটি ফলাফল প্রতিষ্ঠা করেছিলেন। এক-মাত্রিক সমস্যায় বিভক্ত করে ন্যূনতমকরণ মমফোর্ড-শাহ কার্যকারিতাকে এক-মাত্রিক উপ-সমস্যায় বিভক্ত করা যেতে পারে। উপ-সমস্যাগুলি ঠিক গতিশীল প্রোগ্রামিং দ্বারা সমাধান করা হয়। আরও দেখুন বাউন্ডেড ভ্যারিয়েশন ক্যাকিওপোলি সেট ডিজিটাল ইমেজ প্রসেসিং লুইজি অ্যামব্রোসিও নোটস রেফারেন্স ইমেজ সেগমেন্টেশন