Taylor's law
টেলরের শক্তি আইন হল বাস্তুতন্ত্রের একটি অভিজ্ঞতাগত আইন যা আবাসস্থলের প্রতি একক এলাকায় একটি প্রজাতির ব্যক্তির সংখ্যার বৈচিত্র্যকে একটি শক্তি আইনের সম্পর্ক দ্বারা সংশ্লিষ্ট গড়ের সাথে সম্পর্কিত করে। 1961 সালে প্রথম পরিবেশবিদ লিওনেল রয় টেলরের (1924-2007) নামে এর নামকরণ করা হয়। এই সম্পর্কের জন্য টেলরের আসল নাম ছিল গড়ের আইন। 1966 সালে সাউথউড টেলরের আইন নামটি উদ্ভাবন করেন। সংজ্ঞা এই আইনটি মূলত বাস্তুতন্ত্রের জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয়েছিল, বিশেষত জীবের স্থানিক ক্লাস্টারিং মূল্যায়ন করার জন্য। গড় এবং বৈকল্পিকতা সহ একটি জনসংখ্যা গণনার জন্য, টেলরের সূত্রটি লেখা হয় যেখানে a এবং b উভয়ই ধনাত্মক ধ্রুবক। টেলর 1961 সালে এই সম্পর্কের প্রস্তাব দিয়েছিলেন, পরামর্শ দিয়েছিলেন যে সূচক বি-কে একটি প্রজাতির নির্দিষ্ট সমষ্টি সূচক হিসাবে বিবেচনা করা হবে। এই শক্তি আইন পরবর্তীকালে বহু শত প্রজাতির জন্য নিশ্চিত করা হয়েছে। জনসংখ্যার বণ্টনের সময় নির্ভর পরিবর্তনগুলি মূল্যায়নের জন্যও টেলরের আইন প্রয়োগ করা হয়েছে। বেশ কয়েকটি অ-পরিবেশগত ব্যবস্থায় ক্ষমতার আইনগুলির অর্থের সাথে সম্পর্কিত বৈচিত্র্যও প্রদর্শিত হয়েছেঃ ক্যান্সার মেটাস্ট্যাসিস জাপানের টনামি সমভূমিতে নির্মিত বাড়ির সংখ্যা। হাম মহামারীবিদ্যা এইচ. আই. ভি মহামারীবিদ্যা, শৈশবের লিউকেমিয়া রক্ত প্রবাহের ভৌগোলিক ক্লাস্টারিং বৈচিত্র্য মার্টেন্স ফাংশনের ক্রমিক মানগুলির সাথে সংখ্যা তত্ত্বে একক-নিউক্লিওটাইড পলিমরফিজম (এস. এন. পি) জিন কাঠামোর জিনোমিক বিতরণ এবং র্যান্ডম ম্যাট্রিক্স তত্ত্বের গাউসিয়ান অর্থোগোনাল এবং একক গোষ্ঠীর আইগেনভ্যালু বিচ্যুতি থেকে প্রধান সংখ্যার বিতরণ ইতিহাস 1879 সালে তাপীয় বায়ুগতিবিদ্যার উপর রেনল্ডস দ্বৈত লগ-লগ প্লটের প্রথম ব্যবহার করেছিলেন। জনসংখ্যার অনুপাত এবং তাদের আয় অধ্যয়নের জন্য পারেতো একটি অনুরূপ প্লট ব্যবহার করেছিলেন। বৈচিত্র্য শব্দটি 1918 সালে ফিশার দ্বারা উদ্ভাবিত হয়েছিল। 1921 সালে বায়োলজি পিয়ারসন 1938 সালে ফসলের ফলন অধ্যয়নের সময় সমীকরণটি (নেইম্যান দ্বারাও অধ্যয়ন করা হয়েছে) প্রস্তাব করেছিলেন এবং টেলরের অনুরূপ একটি সম্পর্কের প্রস্তাব করেছিলেন। এই সম্পর্কটি ছিল যেখানে Vx হল x ইউনিটের প্লটের জন্য উৎপাদনের বৈচিত্র্য, V1 হল প্রতি ইউনিট এলাকার উৎপাদনের বৈচিত্র্য এবং x হল প্লটের আকার। ঢাল (খ) হল বৈচিত্র্যের সূচক। এই সম্পর্কের ক্ষেত্রে b-এর মান 0 এবং 1-এর মধ্যে থাকে। যেখানে ফলন অত্যন্ত সম্পর্কযুক্ত, সেখানে বি-এর প্রবণতা 0-এর দিকে থাকে; যখন তারা সম্পর্কহীন হয়, তখন বি-এর প্রবণতা 1-এর দিকে থাকে। 1941 সালে ব্লিস, 1941 সালে ফ্র্যাকার অ্যান্ড ব্রিসল এবং 1961 সালে হেইম্যান অ্যান্ড লোও বর্ণনা করেছেন যা এখন টেলরের সূত্র হিসাবে পরিচিত, তবে একক প্রজাতির তথ্যের প্রসঙ্গে। টেলরের 1961 সালের গবেষণাপত্রে 1936 থেকে 1960 সালের মধ্যে প্রকাশিত 24টি গবেষণাপত্রের তথ্য ব্যবহার করা হয়েছে, যা বিভিন্ন জৈবিক সেটিংস বিবেচনা করেঃ ভাইরাসের ক্ষত, ম্যাক্রো-জুপ্লাঙ্কটন, মাটিতে কৃমি এবং সিম্ফিলিড, মাটিতে পোকামাকড়, গাছপালা এবং বাতাসে, পাতায় মাইট, সমুদ্রে ভেড়া এবং মাছের উপর টিক। বি-এর মান 1 থেকে 3-এর মধ্যে থাকে। টেলর এই প্রজাতির স্থানিক বণ্টনের একটি সাধারণ বৈশিষ্ট্য হিসাবে ক্ষমতার আইনটি প্রস্তাব করেছিলেন। তিনি এই আইনটি ব্যাখ্যা করার জন্য একটি যান্ত্রিক অনুমানেরও প্রস্তাব করেছিলেন। প্রাণীদের স্থানিক বন্টন ব্যাখ্যা করার প্রাথমিক প্রচেষ্টা বার্টলেটের স্টোকাস্টিক জনসংখ্যার মডেল এবং জন্ম-মৃত্যুর প্রক্রিয়াগুলির ফলে হতে পারে এমন নেতিবাচক দ্বিপদী বন্টনের মতো পদ্ধতির উপর ভিত্তি করে করা হয়েছিল। টেলরের ব্যাখ্যাটি প্রাণীদের একটি ভারসাম্যপূর্ণ অভিবাসী এবং সমাবেশমূলক আচরণের অনুমানের উপর ভিত্তি করে ছিল। তাঁর অনুমান প্রাথমিকভাবে গুণগত ছিল, কিন্তু এটি বিকশিত হওয়ার সাথে সাথে এটি আধা-পরিমাণগত হয়ে ওঠে এবং সিমুলেশন দ্বারা সমর্থিত হয়। ক্ষমতা আইনের জন্য অনেক বিকল্প অনুমান উন্নত করা হয়েছে। হানস্কি একটি র্যান্ডম ওয়াক মডেলের প্রস্তাব করেছিলেন, যা প্রজননের অনুমিত গুণিতক প্রভাব দ্বারা নিয়ন্ত্রিত। হানস্কির মডেল ভবিষ্যদ্বাণী করেছিল যে শক্তি আইনের সূচকটি 2 এর মান সম্পর্কে ঘনিষ্ঠভাবে সীমাবদ্ধ থাকবে, যা অনেক রিপোর্ট করা মানের সাথে অসঙ্গতিপূর্ণ বলে মনে হয়েছিল। অ্যান্ডারসন এবং অন্যান্যরা একটি সাধারণ যাদৃচ্ছিক জন্ম, মৃত্যু, অভিবাসন এবং অভিবাসন মডেল প্রণয়ন করেছিলেন যা একটি দ্বিঘাত বৈচিত্র্য ফাংশন তৈরি করেছিল। এই মডেলের প্রতিক্রিয়া হিসাবে টেলর যুক্তি দিয়েছিলেন যে এই জাতীয় মার্কভ প্রক্রিয়া ভবিষ্যদ্বাণী করবে যে প্রতিলিপি পর্যবেক্ষণের মধ্যে পাওয়ার ল এক্সপোনেন্ট যথেষ্ট পরিবর্তিত হবে এবং এই ধরনের পরিবর্তনশীলতা পর্যবেক্ষণ করা হয়নি। কেম্প নেতিবাচক দ্বিপদী, নেইম্যান টাইপ এ এবং পোলিয়া-অ্যাপলি বিতরণের উপর ভিত্তি করে বেশ কয়েকটি বিচ্ছিন্ন স্টোকাস্টিক মডেল পর্যালোচনা করেছেন যা পরামিতিগুলির উপযুক্ত সমন্বয় সহ পাওয়ার আইন বোঝাতে একটি বৈচিত্র্য তৈরি করতে পারে। কেম্প অবশ্য তাঁর মডেলগুলির পরামিতিগুলি যান্ত্রিক ভাষায় ব্যাখ্যা করেননি। টেলরের আইনের জন্য অন্যান্য তুলনামূলকভাবে বিমূর্ত মডেলগুলি অনুসরণ করা হয়েছিল। টেলরের সূত্র সম্পর্কে পরিসংখ্যানগত উদ্বেগ উত্থাপিত হয়েছিল, যা টেলরের সূত্র এবং অর্থ ফাংশনের অন্যান্য বৈচিত্র্যের মধ্যে পার্থক্য করার ক্ষেত্রে প্রকৃত তথ্যের অসুবিধা, পাশাপাশি স্ট্যান্ডার্ড রিগ্রেশন পদ্ধতির ভুলতার উপর ভিত্তি করে। টাইম সিরিজের তথ্যের ক্ষেত্রে টেলরের সূত্র প্রয়োগ করা হয়েছে এবং পেরি সিমুলেশন ব্যবহার করে দেখিয়েছেন যে, বিশৃঙ্খলা তত্ত্ব টেলরের সূত্র দিতে পারে। আগে উল্লিখিত টোব্যাকো নেক্রোসিস ভাইরাসের পর্যবেক্ষণের মতো, এই পর্যবেক্ষণগুলি টেলরের প্রাণী আচরণগত মডেলের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ ছিল না। টেলরের সূত্র অনুসারে অ-পরিবেশগত ব্যবস্থায় পাওয়ার ফাংশন বোঝানোর জন্য একটি বৈচিত্র্য প্রয়োগ করা হয়েছিল। ক্ষমতা আইনের প্রকাশের পরিসরের জন্য আরও সাধারণ ব্যাখ্যা টুইডি ডিস্ট্রিবিউশনের উপর ভিত্তি করে একটি অনুমান প্রস্তাব করা হয়েছে, যা সম্ভাব্য মডেলের একটি পরিবার যা বৈচিত্র্য এবং গড়ের মধ্যে একটি অন্তর্নিহিত শক্তি ফাংশন সম্পর্ক প্রকাশ করে। ক্ষমতা আইনের জন্য বেশ কয়েকটি বিকল্প অনুমান প্রস্তাব করা হয়েছে। হানস্কি একটি র্যান্ডম ওয়াক মডেলের প্রস্তাব করেছিলেন, যা প্রজননের অনুমিত গুণিতক প্রভাব দ্বারা নিয়ন্ত্রিত। হানস্কির মডেল ভবিষ্যদ্বাণী করেছিল যে শক্তি আইনের সূচকটি 2 এর মান সম্পর্কে ঘনিষ্ঠভাবে সীমাবদ্ধ থাকবে, যা অনেক রিপোর্ট করা মানের সাথে অসঙ্গতিপূর্ণ বলে মনে হয়েছিল। অ্যান্ডারসন এবং অন্যান্যরা একটি সাধারণ যাদৃচ্ছিক জন্ম, মৃত্যু, অভিবাসন এবং অভিবাসন মডেল প্রণয়ন করেছিলেন যা একটি দ্বিঘাত বৈচিত্র্য ফাংশন তৈরি করেছিল। লেভন্টিন কোহেন বৃদ্ধির মডেল। আরেকটি প্রস্তাবিত ব্যাখ্যা। একটি যান্ত্রিক প্রক্রিয়ার তুলনায় একটি শক্তি আইনের পর্যবেক্ষণগুলি আরও বেশি গাণিতিক নিদর্শন প্রতিফলিত করতে পারে এমন সম্ভাবনা উত্থাপিত হয়েছিল। পরিবেশগত জনসংখ্যার ক্ষেত্রে প্রযোজ্য টেলরের আইনের সূচকগুলির বৈচিত্র্য কেবলমাত্র পরিসংখ্যানগত ভিত্তিতে ব্যাখ্যা বা ভবিষ্যদ্বাণী করা যায় না। গবেষণায় দেখা গেছে যে উত্তর সাগরের মাছ সম্প্রদায়ের জন্য টেলরের আইনের সূচকগুলির মধ্যে বৈচিত্র্য বাহ্যিক পরিবেশের সাথে পরিবর্তিত হয়, যা পরিবেশগত প্রক্রিয়াগুলিকে অন্তত আংশিকভাবে টেলরের আইনের রূপ নির্ধারণ করার পরামর্শ দেয়। পদার্থবিজ্ঞান সাহিত্যে টেলরের সূত্রকে ওঠানামা স্কেলিং হিসাবে উল্লেখ করা হয়েছে। আইজলার এবং অন্যান্যরা, ওঠানামা স্কেলিংয়ের জন্য একটি সাধারণ ব্যাখ্যা খুঁজে বের করার আরও প্রয়াসে, এমন একটি প্রক্রিয়া প্রস্তাব করেছিলেন যা তারা প্রভাব অসমতা বলে অভিহিত করে যেখানে ঘন ঘন ঘটনাগুলি বৃহত্তর প্রভাবের সাথে যুক্ত। আইসলার নিবন্ধের পরিশিষ্ট বি-তে অবশ্য লেখকরা উল্লেখ করেছেন যে, সমরূপতার প্রভাবের সমীকরণগুলি টুইডি বিতরণের সাথে পাওয়া একই গাণিতিক সম্পর্ক তৈরি করেছে। পদার্থবিজ্ঞানীদের আরেকটি দল, ফ্রঙ্কজাক এবং ফ্রঙ্কজাক, ভারসাম্য এবং অ-ভারসাম্য পরিসংখ্যানগত পদার্থবিজ্ঞানের নীতিগুলি থেকে ওঠানামা স্কেলিংয়ের জন্য টেলরের শক্তি আইনটি উদ্ভূত করেছিলেন। তাদের উৎপত্তি মুক্ত শক্তি এবং একটি বাহ্যিক ক্ষেত্রের মতো ভৌত পরিমাণের অনুমানের উপর ভিত্তি করে ছিল যা জৈবিক জীবের ক্লাস্টারিংয়ের কারণ হয়েছিল। যদিও প্রাণী বা উদ্ভিদ সমষ্টির সাথে সম্পর্কিত এই স্বীকার্যকৃত ভৌত পরিমাণগুলির সরাসরি পরীক্ষামূলক প্রদর্শন এখনও অর্জন করা যায়নি। এর অল্প সময়ের মধ্যেই, ফ্রঙ্কজাক এবং ফ্রঙ্কজাকের মডেলের একটি বিশ্লেষণ উপস্থাপন করা হয়েছিল যা দেখায় যে তাদের সমীকরণগুলি সরাসরি টুইডি বিতরণের দিকে পরিচালিত করে, এমন একটি অনুসন্ধান যা পরামর্শ দেয় যে ফ্রঙ্কজাক এবং ফ্রঙ্কজাক সম্ভবত এই বিতরণগুলির সর্বাধিক এনট্রপি ডেরিভেশন সরবরাহ করেছিল। গণিত টেলরের সূত্রটি একটি প্রদত্ত বাস্তব সংখ্যার বেশি নয় এমন মৌলিক সংখ্যার জন্য প্রযোজ্য বলে দেখানো হয়েছে। এই ফলাফলটি প্রথম 1 কোটি 10 লক্ষ মৌলিক সংখ্যা ধরে রাখতে দেখা গেছে। যদি হার্ডি-লিটলউড যমজ মৌলিক সংখ্যার অনুমান সত্য হয় তবে এই আইনটি যমজ মৌলিক সংখ্যার ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য। এম. সি. কে টুইডি, একজন ব্রিটিশ পরিসংখ্যানবিদ এবং চিকিৎসা পদার্থবিজ্ঞানী, সম্ভাব্য মডেলের একটি পরিবার তদন্ত করছিলেন যা এখন টুইডি ডিস্ট্রিবিউশন নামে পরিচিত। উপরে উল্লিখিত হিসাবে, এই বিতরণগুলি সমস্তই একটি বৈচিত্র্য দ্বারা চিহ্নিত করা হয় যার অর্থ টেলরের আইনের সাথে গাণিতিকভাবে অভিন্ন শক্তি আইন। পরিবেশগত পর্যবেক্ষণের ক্ষেত্রে সর্বাধিক প্রযোজ্য টুইডি বন্টন হল যৌগ পয়সন-গামা বন্টন, যা একটি গামা বন্টনের সাথে এন স্বাধীন এবং অভিন্নভাবে বিতরণ করা এলোমেলো চলকগুলির যোগফলকে উপস্থাপন করে যেখানে এন একটি পয়সন বন্টনের সাথে বিতরণ করা একটি এলোমেলো চলক। যোগাত্মক আকারে এর কিউমুলেন্ট জেনারেটিং ফাংশন (সিজিএফ) হলঃ যেখানে κb (θ) হল কিউমুলেন্ট ফাংশন, টুইডি সূচক s হল জেনারেটিং ফাংশন পরিবর্তনশীল, এবং θ এবং λ যথাক্রমে ক্যানোনিকাল এবং সূচক পরামিতি। এই শেষ দুটি প্যারামিটার সম্ভাব্যতা তত্ত্বে ব্যবহৃত স্কেল এবং আকৃতি প্যারামিটারগুলির অনুরূপ। এই বন্টনের সমষ্টিগুলি সি. জি. এফ-এর ধারাবাহিক পার্থক্য এবং তারপর ফলস্বরূপ সমীকরণে এস = 0 প্রতিস্থাপন করে নির্ধারণ করা যেতে পারে। প্রথম এবং দ্বিতীয় ক্যুমুলেন্টগুলি যথাক্রমে গড় এবং বৈচিত্র্য, এবং এইভাবে যৌগ পয়সন-গামা সিজিএফ আনুপাতিকতা ধ্রুবকের সাথে টেলরের আইন দেয় যৌগিক পয়সন-গামা ক্রমবর্ধমান বিতরণ ফাংশনটি পরীক্ষামূলক বিতরণ ফাংশনের সাথে তাত্ত্বিক বিতরণ ফাংশনের তুলনার মাধ্যমে সীমিত পরিবেশগত তথ্যের জন্য যাচাই করা হয়েছে। অন্যান্য বেশ কয়েকটি পদ্ধতি, যা টেলরের সূত্র সম্পর্কিত ক্ষমতার নিয়মগুলির মধ্যে পার্থক্য প্রদর্শন করে, একইভাবে পয়সন-গামা যৌগ বন্টনের জন্য পরীক্ষা করা হয়েছে। টুইডি অনুমানের মূল যৌক্তিকতা টুইডি বিতরণের গাণিতিক অভিসরণ বৈশিষ্ট্যের উপর নির্ভর করে। টুইডি কনভারজেন্স উপপাদ্যের জন্য টুইডি ডিস্ট্রিবিউশনগুলি পরিসংখ্যানগত প্রক্রিয়াগুলির বিস্তৃত পরিসরের জন্য কনভারজেন্সের কেন্দ্র হিসাবে কাজ করতে হবে। এই অভিসরণ উপপাদ্যের ফলস্বরূপ, একাধিক স্বাধীন ছোট লাফগুলির যোগফলের উপর ভিত্তি করে প্রক্রিয়াগুলি টেলরের সূত্র প্রকাশ করবে এবং একটি টুইডি বন্টন মেনে চলবে। স্বাধীন এবং অভিন্নভাবে বিতরণকৃত চলকের জন্য একটি সীমা উপপাদ্য, যেমন টুইডি কনভারজেন্স উপপাদ্য, তখন অ্যাডহক পপুলেশন মডেল বা সিমুলেশন বা আনুমানিকতার ভিত্তিতে প্রস্তাবিত মডেলের মৌলিক আপেক্ষিক হিসাবে বিবেচিত হতে পারে। এই অনুমানটি বিতর্কিত রয়ে গেছে; টুইডি যৌগ পয়সন বিতরণ সরাসরি জনসংখ্যার গতিশীল প্রক্রিয়াগুলিতে প্রয়োগ করা যেতে পারে এই সত্য সত্ত্বেও, পরিবেশবিদদের মধ্যে আরও প্রচলিত জনসংখ্যা গতিশীল পদ্ধতির পছন্দ বলে মনে হয়। টুইডি অনুমানের একটি অসুবিধা হল যে বি-এর মান 0 এবং 1-এর মধ্যে থাকে না। বি <1 এর মান বিরল তবে রিপোর্ট করা হয়েছে। গাণিতিক সূত্র যেখানে si2 হল ith নমুনার ঘনত্বের বৈচিত্র্য, সেখানে mi হল ith নমুনার গড় ঘনত্ব এবং a ও b ধ্রুবক। লগারিদমিক আকারে স্কেল ইনভ্যারিয়েন্স টেলরের নিয়মে সূচকটি স্কেল ইনভ্যারিয়েন্টঃ যদি পরিমাপের এককটি একটি ধ্রুবক ফ্যাক্টর দ্বারা পরিবর্তিত হয়, তবে সূচক () অপরিবর্তিত থাকে। এটি দেখার জন্য ধরা যাক y = cx। তারপর মূল চলক (x)-এ প্রকাশিত টেলরের সূত্রটি হল এবং পুনরুদ্ধারকৃত চলক (y)-এ এটি হল এইভাবে, এখনও এর আনুপাতিক (যদিও আনুপাতিকতা ধ্রুবক পরিবর্তিত হয়েছে)। এটি দেখানো হয়েছে যে টেলরের সূত্রটি গড় এবং বৈচিত্র্যের মধ্যে একমাত্র সম্পর্ক যা স্কেল অপরিবর্তনীয়। সম্প্রসারণ ও পরিমার্জনের প্রস্তাব রায়নার দ্বারা ঢাল বি-এর অনুমানের একটি পরিমার্জনের প্রস্তাব করা হয়েছে। যেখানে এবং এর মধ্যে পিয়ারসন মুহুর্তের পারস্পরিক সম্পর্ক সহগ হল এবং এর মধ্যে নমুনা বৈচিত্র্যের অনুপাত এবং এবং এর মধ্যে ত্রুটির অনুপাত। সাধারণ সর্বনিম্ন বর্গ রিগ্রেশন ধরে নেয় যে φ = φ। এটি b-এর মানকে অবমূল্যায়ন করে কারণ উভয়ের অনুমানই ত্রুটিপূর্ণ। ফেরিস ও অন্যান্যরা টেলরের আইনের একটি সম্প্রসারণ প্রস্তাব করেছেন যখন একাধিক নমুনা নেওয়া হয় যেখানে s2 এবং m যথাক্রমে বৈকল্পিকতা এবং গড়, b, c এবং d ধ্রুবক এবং n হল নেওয়া নমুনার সংখ্যা। আজ অবধি, এই প্রস্তাবিত সম্প্রসারণটি টেলরের আইনের মূল সংস্করণের মতো প্রযোজ্য বলে যাচাই করা হয়নি। ছোট নমুনা ছোট নমুনার জন্য এই আইনের একটি সম্প্রসারণ হানস্কি দ্বারা প্রস্তাবিত হয়েছে। ছোট নমুনার জন্য পয়সন বৈচিত্র্য (পি)-যে বৈচিত্র্যকে নমুনা বৈচিত্র্যের জন্য দায়ী করা যেতে পারে-তা উল্লেখযোগ্য হতে পারে। ধরা যাক S হল মোট বৈকল্পিকতা এবং V হল জৈবিক (বাস্তব) বৈকল্পিকতা। তারপর টেলরের আইনের বৈধতা ধরে নিলে, আমাদের আছে কারণ পয়সন বন্টনে গড় বৈচিত্র্যের সমান, আমাদের আছে এটি আমাদের বারলেটের মূল পরামর্শের সাথে সাদৃশ্যপূর্ণ। ব্যাখ্যা ঢাল মান (খ) উল্লেখযোগ্যভাবে> 1 জীবের ক্লাম্পিং নির্দেশ করে। পয়সন-বণ্টিত তথ্যে, b = 1। যদি জনসংখ্যা একটি লগনরমাল বা গামা বন্টন অনুসরণ করে, তাহলে b = 2। মাথাপিছু অপরিবর্তনীয় পরিবেশগত পরিবর্তনশীলতা অনুভব করা জনসংখ্যার জন্য, লগ (বৈচিত্র্য) বনাম লগ (গড় প্রাচুর্য)-এর প্রতিগমন b = 2-এর সাথে একটি রেখা থাকা উচিত। অধ্যয়ন করা হয়েছে এমন বেশিরভাগ জনসংখ্যার b <2 (সাধারণত 1.5-1.6) থাকে তবে 2 এর মান রিপোর্ট করা হয়েছে। মাঝে মাঝে বি> 2-এর ক্ষেত্রে রিপোর্ট করা হয়েছে। 1 এর নিচে বি মানগুলি অস্বাভাবিক তবে রিপোর্ট করা হয়েছে (বি = 0.93)। এটি প্রস্তাব করা হয়েছে যে আইনের সূচক (খ) অন্তর্নিহিত বিতরণের তির্যকের সাথে আনুপাতিক। এই প্রস্তাবটি সমালোচনা করেছেঃ অতিরিক্ত কাজটি indicated.Random তির্যক বিতরণের নমুনা সংগ্রহ করা টেলরের আইনকে বোঝায় না (2015) প্রোক ন্যাটল অ্যাকাড সায়েন্স ইউএসএ 112 (25) ই3156 নোট এই রিগ্রেশনে ঢাল (খ) এর উৎপত্তি অস্পষ্ট রয়ে গেছে। এটি ব্যাখ্যা করার জন্য দুটি অনুমান প্রস্তাব করা হয়েছে। একটি পরামর্শ দেয় যে b প্রজাতির আচরণ থেকে উদ্ভূত হয় এবং সেই প্রজাতির জন্য একটি ধ্রুবক। বিকল্পটি পরামর্শ দেয় যে এটি নমুনা জনসংখ্যার উপর নির্ভরশীল। এই আইনের উপর যথেষ্ট সংখ্যক গবেষণা (1000 এরও বেশি) করা সত্ত্বেও, এই প্রশ্নটি খোলা রয়েছে। এটি জানা যায় যে বয়স-নির্দিষ্ট বিচ্ছুরণ, মৃত্যুহার এবং নমুনা একক আকারের কারণে এ এবং বি উভয়ই পরিবর্তিত হতে পারে। এই আইনটি একটি খারাপ ফিট হতে পারে যদি মানগুলি ছোট হয়। এই কারণে হানস্কি টেলরের সূত্রের একটি সম্প্রসারণের প্রস্তাব করেছেন যা কম ঘনত্বে টেলরের সূত্রের মান উন্নত করে। বাইনারি ডেটার ক্লাস্টার স্যাম্পলিং-এর সম্প্রসারণ ক্লাস্টারে বাইনারি ডেটার ক্ষেত্রে প্রযোজ্য টেলরের আইনের একটি রূপ (যেমন, চতুর্ভুজ) প্রস্তাব করা হয়েছে। দ্বিপদী বণ্টনে, তাত্ত্বিক বৈকল্পিকতা হল যেখানে (ভারবিন) দ্বিপদী বৈকল্পিকতা, এন হল প্রতি গুচ্ছের নমুনা আকার, এবং পি হল একটি বৈশিষ্ট্যযুক্ত ব্যক্তিদের অনুপাত (যেমন রোগ), যা কোনও ব্যক্তির সেই বৈশিষ্ট্য থাকার সম্ভাবনার একটি অনুমান। বাইনারি তথ্যের একটি অসুবিধা হল যে গড় এবং বৈকল্পিকতা, সাধারণভাবে, একটি নির্দিষ্ট সম্পর্ক রয়েছেঃ সংক্রামিত ব্যক্তিদের গড় অনুপাত 0.5-এর উপরে বাড়ার সাথে সাথে বৈকল্পিকতা হ্রাস পায়। এটি এখন জানা যায় যে পর্যবেক্ষিত বৈকল্পিকতা (ভারোবস) (ভারবিন) এর পাওয়ার ফাংশন হিসাবে পরিবর্তিত হয়। হিউজেস এবং ম্যাডেন উল্লেখ করেছেন যে যদি বন্টন পয়সন হয় তবে গড় এবং বৈকল্পিকতা সমান। যেহেতু অনেক পর্যবেক্ষিত অনুপাতের নমুনায় এটি স্পষ্টভাবে হয় না, তাই তারা পরিবর্তে একটি দ্বিপদী বন্টন ধরে নেয়। তারা টেলরের আইনের গড়কে দ্বিপদী বৈচিত্র্য দিয়ে প্রতিস্থাপন করে এবং তারপর এই তাত্ত্বিক বৈচিত্র্যকে পর্যবেক্ষিত বৈচিত্র্যের সাথে তুলনা করে। দ্বিপদী তথ্যের জন্য, তারা দেখিয়েছেন যে ভারোবস = ওভারডিস্পারশন সহ ভারবিন, ভারোবস> ভারবিন। প্রতীকে, হিউজেস এবং ম্যাডেনের টায়ালরের আইনে পরিবর্তন ছিল লগারিদমিক আকারে এই সম্পর্কটি এই পরবর্তী সংস্করণটি বাইনারি পাওয়ার আইন হিসাবে পরিচিত। হিউজেস এবং ম্যাডেনের দ্বৈত শক্তি সূত্র থেকে উদ্ভূত হওয়ার একটি মূল পদক্ষেপ ছিল পাতিল এবং স্টিটেলারের পর্যবেক্ষণ যে একক নমুনায় সীমাহীন গণনার অত্যধিক বিচ্ছুরণ মূল্যায়নের জন্য ব্যবহৃত বৈচিত্র্য-থেকে-অর্থ অনুপাত আসলে দুটি বৈচিত্র্যের অনুপাতঃ পর্যবেক্ষিত বৈচিত্র্য এবং এলোমেলো বিতরণের জন্য তাত্ত্বিক বৈচিত্র্য। সীমাহীন গণনার জন্য, এলোমেলো বন্টন হল পয়সন। সুতরাং, নমুনা সংগ্রহের জন্য টেলর শক্তি আইনটি পর্যবেক্ষিত বৈকল্পিকতা এবং পয়সন বৈকল্পিকতার মধ্যে একটি সম্পর্ক হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে। আরও বিস্তৃতভাবে, ম্যাডেন এবং হিউজেস শক্তি আইনকে দুটি বৈচিত্র্যের মধ্যে সম্পর্ক হিসাবে বিবেচনা করেছিলেন, পর্যবেক্ষণ করা বৈচিত্র্য এবং এলোমেলো বিতরণের জন্য তাত্ত্বিক বৈচিত্র্য। বাইনারি তথ্যের ক্ষেত্রে, এলোমেলো বন্টন হল দ্বিপদী (পয়সন নয়)। সুতরাং টেলর শক্তি আইন এবং বাইনারি শক্তি আইন বৈচিত্র্যের জন্য একটি সাধারণ শক্তি-আইন সম্পর্কের দুটি বিশেষ ঘটনা। যখন a এবং b উভয়ই 1-এর সমান হয়, তখন একটি ছোট আকারের এলোমেলো স্থানিক প্যাটার্নের পরামর্শ দেওয়া হয় এবং দ্বিপদী বন্টন দ্বারা সর্বোত্তমভাবে বর্ণনা করা হয়। যখন b = 1 এবং a> 1 হয়, তখন অতিরিক্ত বিচ্ছুরণ (ছোট আকারের সমষ্টি) হয়। যখন বি> 1 হয়, তখন একত্রীকরণের মাত্রা পি-এর সাথে পরিবর্তিত হয়। টুরেচেক এবং অন্যান্যরা দেখিয়েছেন যে বাইনারি পাওয়ার আইন উদ্ভিদ প্যাথলজিতে অসংখ্য ডেটা সেট বর্ণনা করে। সাধারণভাবে, b হল 1-এর চেয়ে বড় এবং 2-এর চেয়ে কম। এই আইনের উপযুক্ততা সিমুলেশন দ্বারা পরীক্ষা করা হয়েছে। এই ফলাফলগুলি পরামর্শ দেয় যে ডেটা সেটের জন্য একটি একক রিগ্রেশন লাইনের পরিবর্তে, একটি বিভাগীয় রিগ্রেশন প্রকৃতপক্ষে এলোমেলো বিতরণের জন্য একটি ভাল মডেল হতে পারে। যাইহোক, এই বিভাজন শুধুমাত্র খুব স্বল্প-পরিসীমা বিচ্ছুরণ দূরত্ব এবং বড় চতুর্ভুজ আকারের জন্য ঘটে। লাইনের বিরতি শুধুমাত্র 0-এর খুব কাছাকাছি পি-তে ঘটে। এই আইনের মেয়াদ বাড়ানোর প্রস্তাব দেওয়া হয়েছে। এই আইনের মূল রূপটি প্রতিসম তবে এটি একটি অসম আকারে প্রসারিত করা যেতে পারে। সিমুলেশন ব্যবহার করে প্রতিসম রূপটি তথ্যের সাথে খাপ খায় যখন প্রতিবেশীদের রোগের অবস্থার ইতিবাচক সম্পর্ক থাকে। যেখানে প্রতিবেশীদের সংক্রামিত হওয়ার সম্ভাবনার মধ্যে একটি নেতিবাচক সম্পর্ক রয়েছে, সেখানে অসম সংস্করণটি তথ্যের জন্য আরও উপযুক্ত। জীববিজ্ঞানে টেলরের আইনের সর্বব্যাপী উপস্থিতির কারণে এটি বিভিন্ন ধরনের ব্যবহার খুঁজে পেয়েছে যার মধ্যে কয়েকটি এখানে তালিকাভুক্ত করা হয়েছে। ব্যবহার সংক্রান্ত সুপারিশ একটি তথ্যের নমুনায় টেলরের আইনের বৈধতা পরীক্ষা করার জন্য প্রয়োগগুলিতে অনুকরণ অধ্যয়নের উপর ভিত্তি করে সুপারিশ করা হয়েছে যেঃ (1) অধ্যয়নরত জীবের মোট সংখ্যা> 15 (2) অধ্যয়নরত জীবের গোষ্ঠীর সর্বনিম্ন সংখ্যা> 5 (3) যাদৃচ্ছিকভাবে বিতরণকৃত জনসংখ্যার নমুনার মধ্যে জীবের ঘনত্ব কমপক্ষে 2 ক্রম দ্বারা পরিবর্তিত হওয়া উচিত এটি সাধারণভাবে ধরে নেওয়া হয় (অন্তত প্রাথমিকভাবে) যে একটি জনসংখ্যা এলোমেলোভাবে পরিবেশে বিতরণ করা হয়। যদি একটি জনসংখ্যা এলোমেলোভাবে বিতরণ করা হয় তবে জনসংখ্যার গড় (মি) এবং বৈচিত্র্য (এস 2) সমান হয় এবং কমপক্ষে একটি পৃথক (পি) ধারণকারী নমুনার অনুপাত হয় যখন একটি ক্লাম্পড প্যাটার্ন সহ একটি প্রজাতির সাথে তুলনা করা হয় যা এলোমেলোভাবে সমান সামগ্রিক ঘনত্বের সাথে বিতরণ করা হয়, ক্লাম্পড বিতরণ প্যাটার্নযুক্ত প্রজাতির জন্য পি কম হবে। বিপরীতভাবে একটি অভিন্ন এবং এলোমেলোভাবে বিতরণকৃত প্রজাতির তুলনা করার সময় কিন্তু সমান সামগ্রিক ঘনত্বে, এলোমেলোভাবে বিতরণকৃত জনসংখ্যার জন্য p বেশি হবে। এটি এম উইলসনের বিরুদ্ধে পি প্লট করে গ্রাফিকভাবে পরীক্ষা করা যেতে পারে এবং রুম একটি দ্বিপদী মডেল তৈরি করেছিলেন যা টেলরের সূত্রকে অন্তর্ভুক্ত করে। মৌলিক সম্পর্কটি হল যেখানে লগটিকে গোড়ায় নিয়ে যাওয়া হয় ই। টেলরের সূত্রকে অন্তর্ভুক্ত করে এই সম্পর্কটি বিচ্ছুরণ পরামিতি প্রাক্কলনকারী হয়ে ওঠে ঋণাত্মক দ্বিপদী বণ্টনের সাধারণ বিচ্ছুরণ পরামিতি (কে) যেখানে নমুনা গড় এবং বৈচিত্র্য। যদি 1/কে> 0 হয় তবে জনসংখ্যাকে সমষ্টিগত হিসাবে বিবেচনা করা হয়; 1/কে = 0 (এস 2 = এম) জনসংখ্যাকে এলোমেলোভাবে (পয়সন) বিতরণ হিসাবে বিবেচনা করা হয় এবং যদি 1/কে <0 হয় তবে জনসংখ্যাকে অভিন্নভাবে বিতরণ হিসাবে বিবেচনা করা হয়। k = 0 হলে বণ্টনের বিষয়ে কোনও মন্তব্য করা যাবে না। উইলসন এবং রুম ধরে নিয়েছিলেন যে টেলরের সূত্রটি জনসংখ্যার ক্ষেত্রে প্রযোজ্য, যা k-এর জন্য একটি বিকল্প প্রাক্কলনকারী দিয়েছেঃ যেখানে a এবং b হল টেলরের সূত্র থেকে ধ্রুবক। জোন্স উইলসন এবং রুমের সম্পর্কের সাথে উপরের k-এর প্রাক্কলন ব্যবহার করে এমন একটি নমুনা খুঁজে পাওয়ার সম্ভাবনার জন্য তৈরি করেছেন যাতে কমপক্ষে একজন ব্যক্তি প্রতি নমুনা ইউনিটে x ব্যক্তি ধারণকারী একটি নমুনার সম্ভাবনার জন্য একটি প্রাক্কলনকারী অর্জন করেছেন। জোন্সের সূত্রটি হল যেখানে পি (এক্স) হল প্রতি স্যাম্পলিং ইউনিটে এক্স ব্যক্তি খুঁজে পাওয়ার সম্ভাবনা, কে উইলন এবং রুম সমীকরণ থেকে অনুমান করা হয় এবং এম হল নমুনা গড়। শূন্য ব্যক্তি পি (0) খুঁজে পাওয়ার সম্ভাবনা ঋণাত্মক দ্বিপদী বণ্টনের সাথে অনুমান করা হয় জোন্স এই সম্ভাবনার জন্য আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানও দেয়। যেখানে সি আই হল কনফিডেন্স ইন্টারভ্যাল, টি হল টি ডিস্ট্রিবিউশন থেকে নেওয়া সমালোচনামূলক মান এবং এন হল মোট নমুনা আকার। কাটজ পরিবার 2টি পরামিতি (ডাব্লু1, ডাব্লু2) সহ বিতরণের একটি পরিবারের (কাটজ পরিবার) প্রস্তাব দেয়। বিতরণের এই পরিবারের মধ্যে বিশেষ ক্ষেত্রে বার্নৌলি, জ্যামিতিক, প্যাসকেল এবং পয়সন বিতরণ অন্তর্ভুক্ত রয়েছে। একটি কাটজ বণ্টনের গড় এবং বৈকল্পিকতা হল যেখানে m হল গড় এবং s2 হল নমুনার বৈকল্পিকতা। একটি পয়সন ডিস্ট্রিবিউশনের জন্য যে মুহূর্তগুলি থেকে আমরা পাই তার পদ্ধতি দ্বারা প্যারামিটারগুলি অনুমান করা যেতে পারে w2 = 0 এবং w1 = λ পজিশন ডিস্ট্রিবিউশনের পরামিতি। বিতরণের এই পরিবারটি কখনও কখনও বিতরণের পাঞ্জের পরিবার নামেও পরিচিত। কাটজ পরিবার বিতরণের সুন্ড-জুয়েল পরিবারের সাথে সম্পর্কিতঃ সুন্ড-জুয়েল পরিবারের একমাত্র সদস্যরা হলেন পয়সন, দ্বিপদী, ঋণাত্মক দ্বিপদী (পাস্কাল), বর্ধিত কাটা ঋণাত্মক দ্বিপদী এবং লগারিদমিক সিরিজ বিতরণ। যদি জনসংখ্যা একটি কাটজ বন্টন মেনে চলে তবে টেলরের আইনের সহগগুলি কাটজ একটি পরিসংখ্যানগত পরীক্ষাও চালু করে যেখানে Jn হল পরীক্ষার পরিসংখ্যান, s2 হল নমুনার বৈচিত্র্য, m হল নমুনার গড় এবং n হল নমুনার আকার। Jn অ্যাসিম্পটোটিকভাবে সাধারণত শূন্য গড় এবং একক বৈকল্পিকের সাথে বিতরণ করা হয়। যদি নমুনাটি পয়সন বিতরণ করা হয় Jn = 0; Jn <0 এবং> 0 এর মানগুলি যথাক্রমে আন্ডার এবং ওভার ডিসপারশন নির্দেশ করে। অতিরিক্ত বিচ্ছুরণ প্রায়শই সুপ্ত বৈচিত্র্যের কারণে ঘটে-জনসংখ্যার মধ্যে একাধিক উপ-জনসংখ্যার উপস্থিতি থেকে নমুনা নেওয়া হয়। এই পরিসংখ্যান নেইম্যান-স্কট পরিসংখ্যানের সাথে সম্পর্কিত যা অ্যাসিম্পটোটিকভাবে স্বাভাবিক হিসাবে পরিচিত এবং শর্তাধীন চি-বর্গাকার পরিসংখ্যান (পয়সন বিচ্ছুরণ পরীক্ষা) যা জনসংখ্যার পয়সন বিতরণের সময় এন-1 ডিগ্রি স্বাধীনতার সাথে একটি অ্যাসিম্পটোটিক চি বর্গ বিতরণ হিসাবে পরিচিত। যদি জনসংখ্যা টেলরের আইন মেনে চলে তবে বিলুপ্তির সময় যদি টেলরের আইন প্রয়োগ করা হয় বলে ধরে নেওয়া হয় তবে স্থানীয় বিলুপ্তির গড় সময় নির্ধারণ করা সম্ভব। এই মডেলটি সময়মতো একটি সাধারণ এলোমেলো হাঁটা এবং ঘনত্ব নির্ভর জনসংখ্যা নিয়ন্ত্রণের অনুপস্থিতি ধরে নেয়। ধরা যাক যেখানে Nt + 1 এবং Nt হল যথাক্রমে t + 1 এবং t সময়ে জনসংখ্যার আকার এবং r হল বার্ষিক বৃদ্ধির (জনসংখ্যার হ্রাস) সমান মাপকাঠি। তাহলে বৈচিত্র্য কোথায়? ধরা যাক প্রজাতির প্রাচুর্যের একটি পরিমাপ (প্রতি একক আয়তনে জীব)। তারপর যেখানে টিই হল স্থানীয় বিলুপ্তির গড় সময়। সময় t দ্বারা বিলুপ্তির সম্ভাবনা হল বিলুপ্তি এড়ানোর জন্য প্রয়োজনীয় ন্যূনতম জনসংখ্যার আকার। যদি একটি জনসংখ্যা লগনোরমালভাবে বিতরণ করা হয় তবে জনসংখ্যার আকারের (এইচ) সুরেলা গড় গাণিতিক গড়ের (এম) সাথে সম্পর্কিত। প্রদত্ত যে জনসংখ্যা বজায় রাখার জন্য এইচ অবশ্যই> 0 হতে হবে, তবে আমাদের কাছে পুনর্বিন্যাস করা হল প্রজাতির টিকে থাকার জন্য জনসংখ্যার ন্যূনতম আকার। 544টি প্রজাতির নমুনার প্রায় অর্ধেকের ক্ষেত্রে লগনরমাল ডিস্ট্রিবিউশনের অনুমান প্রযোজ্য বলে মনে হয়। এটি পরামর্শ দেয় যে এটি অন্তত একটি প্রশংসনীয় অনুমান। নমুনা আকার প্রাক্কলনকারী নির্ভুলতার মাত্রা (ডি) কে এস/এম হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় যেখানে এস হল আদর্শ বিচ্যুতি এবং এম হল গড়। নির্ভুলতার মাত্রা অন্যান্য প্রসঙ্গে বৈচিত্র্যের সহগ হিসাবে পরিচিত। বাস্তুতন্ত্রের গবেষণায় এটি সুপারিশ করা হয় যে ডি 10-25% পরিসরে থাকবে। প্রয়োজনীয় নমুনার আকার অনুমান করার ক্ষেত্রে নির্ভুলতার কাঙ্ক্ষিত মাত্রা গুরুত্বপূর্ণ যেখানে একজন তদন্তকারী তথ্যের ক্ষেত্রে টেলরের আইন প্রযোজ্য কিনা তা পরীক্ষা করতে চান। বেশ কয়েকটি সহজ বণ্টনের জন্য প্রয়োজনীয় নমুনার আকার অনুমান করা হয়েছে তবে যেখানে জনসংখ্যার বন্টন জানা যায় না বা অনুমান করা যায় না সেখানে প্রয়োজনীয় নমুনার আকার নির্ধারণের জন্য আরও জটিল সূত্রের প্রয়োজন হতে পারে। যেখানে জনসংখ্যা পয়সন বিতরণ করা হয় সেখানে নমুনা আকার (এন) প্রয়োজন যেখানে গড় (এম) দিয়ে গণনা করা স্বাধীনতার ডিগ্রি সহ টাইপ 1 ত্রুটির জন্য টি বিতরণের সমালোচনামূলক স্তর। যদি জনসংখ্যাটি ঋণাত্মক দ্বিপদী বন্টন হিসাবে বিতরণ করা হয় তবে প্রয়োজনীয় নমুনা আকার হল যেখানে k হল ঋণাত্মক দ্বিপদী বন্টনের পরামিতি। একটি আরও সাধারণ নমুনা আকার প্রাক্কলনকারীও প্রস্তাব করা হয়েছে যেখানে a এবং b টেলরের সূত্র থেকে উদ্ভূত হয়েছে। সাউথউড একটি বিকল্প প্রস্তাব করেছেন যেখানে n হল প্রয়োজনীয় নমুনা আকার, a এবং b হল টেলরের সূত্র সহগ এবং D হল নির্ভুলতার কাঙ্ক্ষিত মাত্রা। কারান্ডিনোস এন-এর জন্য দুটি অনুরূপ প্রাক্কলনকারী প্রস্তাব করেছিলেন। প্রথমটি টেলরের সূত্রকে অন্তর্ভুক্ত করার জন্য রুয়েসিঙ্ক দ্বারা সংশোধন করা হয়েছিল। যেখানে d হল কাঙ্ক্ষিত আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানের (সি আই) অর্ধেকের অনুপাত। প্রতীকে দ্বিতীয় প্রাক্কলনকারী দ্বিপদী (উপস্থিতি-অনুপস্থিতি) নমুনায় ব্যবহৃত হয়। কাঙ্ক্ষিত নমুনা আকার (এন) হল যেখানে ডিপি হল ব্যক্তির সাথে নমুনা ইউনিটের অনুপাতের সাথে কাঙ্ক্ষিত আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানের অর্ধেকের অনুপাত, পি হল ব্যক্তি ধারণকারী নমুনার অনুপাত এবং q = 1 − p। বাইনারি (উপস্থিতি/অনুপস্থিতি) নমুনার জন্য, শুলথেস এট আল কারান্ডিনোসের সমীকরণ পরিবর্তন করেছেন যেখানে এন হল প্রয়োজনীয় নমুনা আকার, পি হল আগ্রহের জীব ধারণকারী ইউনিটের অনুপাত, টি হল তাত্পর্যের নির্বাচিত স্তর এবং ডিপ টেলরের সূত্র থেকে প্রাপ্ত একটি পরামিতি। ক্রমিক নমুনা সংগ্রহ ক্রমিক বিশ্লেষণ হল পরিসংখ্যানগত বিশ্লেষণের একটি পদ্ধতি যেখানে নমুনার আকার আগে থেকে স্থির করা হয় না। পরিবর্তে একটি পূর্বনির্ধারিত থামার নিয়ম অনুযায়ী নমুনা নেওয়া হয়। টেলরের সূত্রটি বেশ কয়েকটি থামার নিয়ম বের করতে ব্যবহৃত হয়েছে। টেলরের সূত্র পরীক্ষা করার জন্য ক্রমিক নমুনায় নির্দিষ্ট নির্ভুলতার জন্য একটি সূত্র 1970 সালে গ্রিন দ্বারা উদ্ভূত হয়েছিল. যেখানে টি হল সঞ্চিত নমুনার মোট, ডি হল নির্ভুলতার স্তর, এন হল নমুনার আকার এবং এ এবং বি টেলরের সূত্র থেকে প্রাপ্ত হয়। কীটপতঙ্গ নিয়ন্ত্রণে সহায়তা হিসাবে উইলসন এবং অন্যান্যরা একটি পরীক্ষা তৈরি করেছিলেন যা একটি প্রান্তিক স্তরকে অন্তর্ভুক্ত করেছিল যেখানে পদক্ষেপ নেওয়া উচিত। প্রয়োজনীয় নমুনা আকার হল যেখানে a এবং b হল টেলর সহগ,।। হল পরম মান, m হল নমুনা গড়, T হল প্রান্তিক স্তর এবং t হল t বণ্টনের সমালোচনামূলক স্তর। লেখকরা দ্বিপদী (উপস্থিতি-অনুপস্থিতি) নমুনার জন্যও একই ধরনের পরীক্ষা প্রদান করেছেন যেখানে p হল কীটপতঙ্গ উপস্থিত একটি নমুনা খুঁজে পাওয়ার সম্ভাবনা এবং q = 1 − p। টেলরের আইনের উপর ভিত্তি করে ক্রমিক নমুনার জন্য সবুজ আরেকটি নমুনা সূত্র তৈরি করেছে যেখানে D হল নির্ভুলতার মাত্রা, a এবং b হল টেলরের আইনের সহগ, n হল নমুনার আকার এবং T হল নমুনার মোট সংখ্যা। সেরারাসহ অন্যান্যরা টেলরের আইনের উপর ভিত্তি করে একটি থামার নিয়মের প্রস্তাব দিয়েছেন। যেখানে a এবং b হল টেলরের সূত্র থেকে প্রাপ্ত মাপকাঠি, D হল নির্ভুলতার কাঙ্ক্ষিত স্তর এবং Tn হল মোট নমুনা আকার। সেরা এবং অন্যান্যরা ইওওয়ার রিগ্রেশন-এর উপর ভিত্তি করে একটি দ্বিতীয় থামার নিয়মও প্রস্তাব করেছিলেন যেখানে α এবং β রিগ্রেশন লাইনের পরামিতি, D হল নির্ভুলতার কাঙ্ক্ষিত স্তর এবং Tn হল মোট নমুনা আকার। লেখকরা সুপারিশ করেছেন যে জনসংখ্যার গতিবিদ্যা অধ্যয়নের জন্য ডি-কে 0.1 এবং কীটপতঙ্গ নিয়ন্ত্রণের জন্য ডি = 0.25 নির্ধারণ করা উচিত। সম্পর্কিত বিশ্লেষণ একত্রীকরণের কমপক্ষে একটি অতিরিক্ত বিশ্লেষণ (টেলরের সূত্র ব্যতীত) অনুমান করা ভাল অনুশীলন বলে মনে করা হয় কারণ শুধুমাত্র একটি সূচকের ব্যবহার বিভ্রান্তিকর হতে পারে। যদিও জৈবিক নমুনায় বৈচিত্র্য এবং গড়ের মধ্যে সম্পর্ক সনাক্ত করার জন্য আরও বেশ কয়েকটি পদ্ধতি প্রস্তাব করা হয়েছে, তবে আজ অবধি কোনওটিই টেলরের সূত্রের জনপ্রিয়তা অর্জন করতে পারেনি। টেলরের সূত্র অনুসারে ব্যবহৃত সবচেয়ে জনপ্রিয় বিশ্লেষণ সম্ভবত ইওয়াওয়ের প্যাচিনেস রিগ্রেশন টেস্ট, তবে এখানে তালিকাভুক্ত সমস্ত পদ্ধতি সাহিত্যে ব্যবহৃত হয়েছে। 1936 সালে বারলেট-ইওয়াও মডেল বারলেট এবং পরে 1968 সালে স্বাধীনভাবে ইওয়াও উভয়ই ভিন্নতা এবং গড়ের মধ্যে একটি বিকল্প সম্পর্কের প্রস্তাব দেয়। প্রতীকে যেখানে s হল ith নমুনার বৈচিত্র্য এবং mi হল ith নমুনার গড় যখন জনসংখ্যা একটি ঋণাত্মক দ্বিপদী বন্টন অনুসরণ করে, a = 1 এবং b = k (ঋণাত্মক দ্বিপদী বন্টনের সূচক)। এই বিকল্প সূত্রটি বেশিরভাগ গবেষণায় টেলরের আইনের মতো উপযুক্ত বলে মনে করা হয়নি। নাচম্যান মডেল নাচম্যান গড় ঘনত্ব এবং শূন্য গণনা সহ নমুনার অনুপাতের মধ্যে একটি সম্পর্কের প্রস্তাব করেছিলেনঃ যেখানে p0 হল শূন্য গণনা সহ নমুনার অনুপাত, m হল গড় ঘনত্ব, a হল একটি স্কেল পরামিতি এবং b হল একটি বিচ্ছুরণ পরামিতি। যদি a = b = 1 হয় তবে বন্টন এলোমেলো। এই সম্পর্কটি সাধারণত তার লগারিদমিক আকারে পরীক্ষা করা হয়, যেখানে D2 হল কাঙ্ক্ষিত নির্ভুলতার ডিগ্রি, zα/2 হল স্বাভাবিক বণ্টনের উপরের α/2, a এবং b হল টেলরের সূত্র সহগ, c এবং d হল নাচম্যান সহগ, n হল নমুনা আকার এবং N হল সংক্রমিত এককগুলির সংখ্যা। কোনো-সুগিনো সমীকরণ বাইনারি স্যাম্পলিং বাস্তুতন্ত্রে অস্বাভাবিকভাবে ব্যবহৃত হয় না। 1958 সালে কোনো এবং সুগিনো একটি সমীকরণ বের করেন যা স্বতন্ত্র ছাড়া নমুনার অনুপাতকে নমুনার গড় ঘনত্বের সাথে সম্পর্কিত করে। যেখানে p0 হল নমুনাটির অনুপাত যেখানে কোনও একক নেই, m হল গড় নমুনা ঘনত্ব, a এবং b হল ধ্রুবক। টেলরের আইনের মতো এই সমীকরণটি টেলরের আইন মেনে চলা সহ বিভিন্ন জনসংখ্যার সাথে খাপ খায়। ঋণাত্মক দ্বিপদী বণ্টনের বিপরীতে এই মডেলটি গড় ঘনত্ব থেকে স্বাধীন। এই সমীকরণের উৎপত্তি সোজাসুজি। খালি এককগুলির অনুপাত p0 হতে দিন এবং ধরে নিন যে এগুলি সূচকীয়ভাবে বিতরণ করা হয়েছে। তারপর দুইবার লগ নিয়ে এবং পুনর্বিন্যাস করে আমরা উপরের সমীকরণটি পাই। এই মডেলটি নাচম্যানের প্রস্তাবিত মডেলের মতোই। এই মডেলের সুবিধা হল যে এর জন্য ব্যক্তিদের গণনা করার প্রয়োজন হয় না বরং তাদের উপস্থিতি বা অনুপস্থিতির প্রয়োজন হয়। অনেক ক্ষেত্রে, বিশেষ করে যেখানে পোকামাকড় অধ্যয়নের বিষয়, সেখানে ব্যক্তিদের গণনা করা সম্ভব নাও হতে পারে। লক্ষ্য করুন, আক্রান্ত ধান পাহাড়ের একটি সিরিজের অনুপাত পি এবং সংক্রমণের গড় তীব্রতার মধ্যে সম্পর্ক পরীক্ষা করার সময় সমীকরণটি উদ্ভূত হয়েছিল। অধ্যয়ন করা মডেলটি ছিল যেখানে এ এবং বি অভিজ্ঞতাগত ধ্রুবক। এই মডেলের উপর ভিত্তি করে a এবং b ধ্রুবকগুলি উদ্ভূত হয়েছিল এবং P এবং mUs-এর মান সম্পর্কিত একটি টেবিল প্রস্তুত করা হয়েছিল এই সমীকরণ থেকে m-এর পূর্বাভাসকৃত অনুমানগুলি পক্ষপাতের সাপেক্ষে এবং এটি সুপারিশ করা হয় যে তার পরিবর্তে সামঞ্জস্যপূর্ণ গড় (মা) ব্যবহার করা উচিত যেখানে ভার্ নমুনা ইউনিটের বৈকল্পিকতা মানে mi এবং m হল সামগ্রিক গড়। গড় অনুমানের একটি বিকল্প সমন্বয় হল যেখানে এম. এস. ই হল রিগ্রেশন-এর গড় বর্গ ত্রুটি। এই মডেলটি গণনামূলক (ক্রমিক) নমুনার জন্য স্টপ লাইন অনুমান করতেও ব্যবহার করা যেতে পারে। আনুমানিক মাধ্যমের বৈচিত্র্য হল যেখানে এম. এস. ই হল রিগ্রেশন-এর গড় বর্গ ত্রুটি, α এবং β যথাক্রমে রিগ্রেশন-এর ধ্রুবক এবং ঢাল, sβ2 হল রিগ্রেশন-এর ঢালের বৈচিত্র্য, N হল রিগ্রেশন-এর পয়েন্টের সংখ্যা, n হল নমুনা ইউনিটের সংখ্যা এবং p হল রিগ্রেশন-এ p0-এর গড় মান। a এবং b পরামিতিগুলি টেলরের সূত্র থেকে অনুমান করা হয়েছেঃ হিউজেস-ম্যাডেন সমীকরণ হিউজেস এবং ম্যাডেন ক্লাস্টারে বাইনারি পর্যবেক্ষণের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য একটি অনুরূপ সম্পর্ক পরীক্ষার প্রস্তাব করেছেন, যেখানে প্রতিটি ক্লাস্টারে 0 থেকে n ব্যক্তি রয়েছে। যেখানে a, b এবং c ধ্রুবক, ভ্যারব হল পর্যবেক্ষিত বৈচিত্র্য, এবং p হল একটি বৈশিষ্ট্যযুক্ত ব্যক্তির অনুপাত (যেমন রোগ), যা একটি বৈশিষ্ট্যযুক্ত ব্যক্তির সম্ভাবনার একটি অনুমান। লগারিদমিক আকারে, এই সম্পর্কটি হয় বেশিরভাগ ক্ষেত্রে, এটি ধরে নেওয়া হয় যে b = c, যা একটি সহজ মডেলের দিকে নিয়ে যায় এই সম্পর্কটি টেলরের আইনের তুলনায় কম বিস্তৃত পরীক্ষার শিকার হয়েছে। যাইহোক, এটি 100 টিরও বেশি ডেটা সেট সঠিকভাবে বর্ণনা করেছে এবং এটি কাজ করে না এমন কোনও প্রকাশিত উদাহরণ নেই। এই সমীকরণের একটি বৈকল্পিক প্রস্তাব করেছিলেন শিয়াওমি এবং অন্যান্যরা। () যিনি রিগ্রেশন পরীক্ষা করার পরামর্শ দিয়েছিলেন যেখানে ভ্যারব হল বৈকল্পিকতা, a এবং b হল রিগ্রেশনের ধ্রুবক, এখানে n হল নমুনার আকার (প্রতি ক্লাস্টারে নমুনা নয়) এবং p হল কমপক্ষে একটি পৃথক নমুনা ধারণকারী নমুনার সম্ভাবনা। নেতিবাচক দ্বিপদী বন্টন মডেল একটি নেতিবাচক দ্বিপদী মডেলও প্রস্তাব করা হয়েছে। মুহূর্তের পদ্ধতি ব্যবহার করে বিচ্ছুরণ পরামিতি (কে) হল এম2/(এস2-এম) এবং পাই হল গণনা> 0 সহ নমুনার অনুপাত। k গণনায় ব্যবহৃত s2 হল টেলরের সূত্র দ্বারা পূর্বাভাসকৃত মান। পাই কে 1 − (k (k + m) −1) k এর বিপরীতে অঙ্কিত করা হয় এবং তথ্যের মাপ দৃশ্যমানভাবে পরিদর্শন করা হয়। পেরি এবং টেলর টেলরের আইনের উপর ভিত্তি করে কে-এর একটি বিকল্প প্রাক্কলনকারী প্রস্তাব করেছেন। সর্বাধিক সম্ভাবনার পদ্ধতি ব্যবহার করে বিচ্ছুরণ পরামিতিটির আরও ভাল অনুমান করা যেতে পারে। ঋণাত্মক দ্বিপদীটির জন্য এটি সমীকরণ থেকে অনুমান করা যেতে পারে যেখানে Ax হল x-এর বেশি ব্যক্তির নমুনার মোট সংখ্যা, N হল মোট ব্যক্তির সংখ্যা, x হল একটি নমুনায় ব্যক্তির সংখ্যা, m হল প্রতি নমুনায় ব্যক্তির গড় সংখ্যা এবং k হল সূচক। k-এর মান সংখ্যাসূচকভাবে অনুমান করতে হবে। এই মডেলের উপযুক্ততার গুণাগুণ চি বর্গ পরীক্ষা ব্যবহার সহ বিভিন্ন উপায়ে পরীক্ষা করা যেতে পারে। যেহেতু এগুলি ছোট নমুনা দ্বারা পক্ষপাতদুষ্ট হতে পারে, একটি বিকল্প হল ইউ পরিসংখ্যান-ঋণাত্মক দ্বিপদী বণ্টনের অধীনে প্রত্যাশিত বৈকল্পিকতা এবং নমুনার মধ্যে পার্থক্য। এই বন্টনের প্রত্যাশিত বৈকল্পিকতা হল m + m2/k এবং যেখানে s2 হল নমুনা বৈকল্পিকতা, m হল নমুনা গড় এবং k হল ঋণাত্মক দ্বিপদী পরামিতি। U-এর বৈকল্পিকতা হল যেখানে p = m/k, q = 1 + p, R = p/q এবং N হল নমুনার মোট সংখ্যা। U-এর প্রত্যাশিত মান হল 0। বড় আকারের নমুনার জন্য U সাধারণত বিতরণ করা হয়। দ্রষ্টব্যঃ ঋণাত্মক দ্বিপদী আসলে গড়ের সাথে বৈকল্পিকের সম্পর্ক দ্বারা সংজ্ঞায়িত বিতরণের একটি পরিবার যেখানে a এবং p ধ্রুবক। যখন a = 0 হয় তখন এটি পয়সন বণ্টনকে সংজ্ঞায়িত করে। পি = 1 এবং পি = 2 এর সাথে, বন্টন যথাক্রমে এনবি 1 এবং এনবি 2 বন্টন হিসাবে পরিচিত। এই মডেলটি বারলেটের আগে প্রস্তাবিত একটি সংস্করণ। একটি সাধারণ বিচ্ছুরণ প্যারামিটারের জন্য পরীক্ষা বিচ্ছুরণ প্যারামিটার (k) হল যেখানে m হল নমুনা গড় এবং s2 হল বৈকল্পিকতা। যদি k − 1> 0 হয় তবে জনসংখ্যাকে সমষ্টিগত হিসাবে বিবেচনা করা হয়; k − 1 = 0 জনসংখ্যাকে এলোমেলো হিসাবে বিবেচনা করা হয়; এবং যদি k − 1 <0 হয় তবে জনসংখ্যাকে অভিন্নভাবে বিতরণ করা বলে মনে করা হয়। সাউথউড একটি সাধারণ বিচ্ছুরণ পরামিতি (কে. সি)-এর অস্তিত্ব পরীক্ষা করার জন্য গড় এবং একটি ধ্রুবকের বিপরীতে কে-কে প্রত্যাহার করার পরামর্শ দিয়েছেন যেখানে কি এবং মি যথাক্রমে বিচ্ছুরণ পরামিতি এবং ith নমুনার গড়। একটি ঢাল (খ)-এর মান উল্লেখযোগ্যভাবে> 0 গড় ঘনত্বের উপর k-এর নির্ভরশীলতাকে নির্দেশ করে। ইলিয়ট একটি বিকল্প পদ্ধতির প্রস্তাব করেছিলেন যিনি (m2−s2/n) এর বিরুদ্ধে (s2−m) প্লট করার পরামর্শ দিয়েছিলেন। কে. সি এই রিগ্রেশনটির 1/ঢালের সমান। চার্লিয়ার সহগ এই সহগ (সি) কে সংজ্ঞায়িত করা হয় যদি জনসংখ্যাকে ঋণাত্মক দ্বিপদী পদ্ধতিতে বিতরণ করা হয় বলে ধরে নেওয়া যায়, তবে সি = 100 (1/কে) 0.5 যেখানে কে হল বিতরণের বিচ্ছুরণ পরামিতি। এই সূচকের সাধারণ ব্যাখ্যাটি নিম্নরূপঃ আইসি <1, = 1,> 1 এর মানগুলি একটি অভিন্ন বন্টন, একটি এলোমেলো বন্টন বা একটি সমষ্টিগত বন্টন বোঝাতে নেওয়া হয়। যদি টেলরের সূত্র ধরে রাখা যায় বলে ধরে নেওয়া যায়, তবে লয়েডের সূচক গড় ভিড়ের লয়েডের সূচক (আই. এম. সি) হল নমুনা ইউনিটে থাকা অন্যান্য বিন্দুর গড় সংখ্যা যা এলোমেলোভাবে নির্বাচিত বিন্দু ধারণ করে। যেখানে m হল নমুনা গড় এবং s2 হল বৈকল্পিকতা। লয়েডের প্যাচনেস সূচক (আইপি) হল এটি প্যাটার্নের তীব্রতার একটি পরিমাপ যা পাতলা (পয়েন্টগুলির এলোমেলো অপসারণ) দ্বারা প্রভাবিত হয় না। এই সূচকটি 1988 সালে পিলো দ্বারা প্রস্তাবিত হয়েছিল এবং কখনও কখনও এই নামেও পরিচিত। যেহেতু সূত্রটি থেকেই আইপি-র বৈচিত্র্যের অনুমান করা অত্যন্ত কঠিন, তাই এললিওড উপাত্তে একটি ঋণাত্মক দ্বিপদী বণ্টন যুক্ত করার পরামর্শ দেন। এই পদ্ধতিটি একটি প্যারামিটার k দেয় তারপর প্যাচিনেস সূচকের স্ট্যান্ডার্ড ত্রুটি কোথায়, প্যারামিটার k-এর বৈচিত্র্য এবং q হল নমুনা করা চতুর্ভুজের সংখ্যা। যদি জনসংখ্যা টেলরের আইন মেনে চলে তবে প্যাচিনেস রিগ্রেশন পরীক্ষা ইওয়াও ক্লাম্পিংয়ের পরীক্ষার জন্য একটি প্যাচিনেস রিগ্রেশন প্রস্তাব করেছিল। y-এর বিপরীতে mi-এর একটি সাধারণ ন্যূনতম বর্গ রিগ্রেশন সম্পাদন করুন। এই প্রতিগমনে ঢাল (খ)-এর মান ক্লাম্পিংয়ের একটি সূচকঃ যদি তথ্যটি পয়সন-বিতরণ করা হয় তবে ঢাল = 1। ধ্রুবক (ক) হল অসীম ঘনত্বে আবাসস্থলের একক ভাগ করে নেওয়া ব্যক্তিদের সংখ্যা এবং এটি <0,0 বা> 0 হতে পারে। এই মানগুলি যথাক্রমে স্থানিক নিদর্শনগুলিতে জনসংখ্যার নিয়মিততা, এলোমেলোতা এবং সমষ্টির প্রতিনিধিত্ব করে। একটি <1-এর মানকে বোঝানো হয় যে বিতরণের মৌলিক একক হল একজন একক ব্যক্তি। যেখানে পরিসংখ্যানগত s2/m ধ্রুবক নয়, সেখানে লয়েডের সূচককে am + bm2-এর বিপরীতে ফিরিয়ে আনার জন্য ব্যবহার করার পরামর্শ দেওয়া হয়েছে যেখানে a এবং b ধ্রুবক। এই প্রতিগমনের জন্য নির্দিষ্ট মাত্রার নির্ভুলতার (ডি) জন্য নমুনা আকার (এন) দেওয়া হয় যেখানে এই প্রতিগমনের ধ্রুবক হল এ, বি হল ঢাল, এম হল গড় এবং টি হল টি বণ্টনের সমালোচনামূলক মান। আইওয়াও এই রিগ্রেশন-এর উপর ভিত্তি করে একটি ক্রমিক নমুনা পরীক্ষার প্রস্তাব দিয়েছে। এই পরীক্ষার উপরের এবং নীচের সীমা সমালোচনামূলক ঘনত্বের উপর ভিত্তি করে যেখানে একটি কীটপতঙ্গ নিয়ন্ত্রণের জন্য পদক্ষেপ নেওয়া প্রয়োজন। যেখানে nu এবং Nl যথাক্রমে উপরের এবং নীচের সীমানা, a হল রিগ্রেশন থেকে ধ্রুবক, b হল ঢাল এবং i হল নমুনার সংখ্যা। কুনো এই রিগ্রেশন-এর উপর ভিত্তি করে একটি বিকল্প ক্রমিক স্টপিং টেস্টেরও প্রস্তাব দিয়েছেন। যেখানে টিএন হল মোট নমুনা আকার, ডি হল নির্ভুলতার ডিগ্রি, এন হল নমুনা ইউনিটের সংখ্যা, এ হল ধ্রুবক এবং বি হল যথাক্রমে রিগ্রেশন থেকে ঢাল। কুনোর পরীক্ষাটি এই শর্ত সাপেক্ষে যে n ≤ (b−1)/D2 প্যারেলা এবং জোন্স একটি বিকল্প কিন্তু সম্পর্কিত স্টপ লাইন প্রস্তাব করেছেন যেখানে a এবং b রিগ্রেশন থেকে প্যারামিটার, N হল নমুনা ইউনিটের সর্বোচ্চ সংখ্যা এবং n হল পৃথক নমুনা আকার। মরিসিটার বিচ্ছুরণ সূচক (আইএম) হল স্কেল করা সম্ভাবনা যে পুরো জনসংখ্যা থেকে এলোমেলোভাবে নির্বাচিত দুটি বিন্দু একই নমুনায় রয়েছে। উচ্চতর মানগুলি আরও জমাট বাঁধার ইঙ্গিত দেয়। একটি বিকল্প সূত্র হল যেখানে n হল মোট নমুনার আকার, m হল নমুনার গড় এবং x হল সম্পূর্ণ নমুনার উপর নেওয়া যোগফল সহ পৃথক মান। এটি লয়েডের ভিড়ের সূচক আই. এম. সি-র সমান। এই সূচকটি জনসংখ্যার ঘনত্ব থেকে তুলনামূলকভাবে স্বাধীন তবে নমুনার আকার দ্বারা প্রভাবিত হয়। মান> 1 ক্লাম্পিং নির্দেশ করে; মান <1 বিতরণের অভিন্নতা নির্দেশ করে এবং 1 এর মান একটি এলোমেলো নমুনা নির্দেশ করে। মরিসিটা দেখিয়েছেন যে পরিসংখ্যানটি এন-1 ডিগ্রি অফ ফ্রিডম সহ একটি চি বর্গাকার পরিবর্তনশীল হিসাবে বিতরণ করা হয়। বড় নমুনার জন্য এই সূচকের জন্য একটি বিকল্প তাৎপর্য পরীক্ষা তৈরি করা হয়েছে। যেখানে m হল সামগ্রিক নমুনা গড়, n হল নমুনা ইউনিটের সংখ্যা এবং z হল স্বাভাবিক বন্টন অ্যাবসিসা। স্বাভাবিক বণ্টনের মানের সঙ্গে z-এর মানের তুলনা করে তাৎপর্য পরীক্ষা করা হয়। এর গণনার জন্য একটি ফাংশন নিরামিষ প্যাকেজে পরিসংখ্যানগত আর ভাষায় পাওয়া যায়। মনে রাখবেন, মরিসিতার ওভারল্যাপ সূচকের সঙ্গে বিভ্রান্ত হবেন না। স্ট্যান্ডার্ডাইজড মরিসিটার সূচক স্মিথ-গিল মরিসিটার সূচকের উপর ভিত্তি করে একটি পরিসংখ্যান তৈরি করেছে যা নমুনার আকার এবং জনসংখ্যার ঘনত্ব উভয়ের থেকে স্বাধীন এবং-1 এবং + 1 দ্বারা আবদ্ধ। এই পরিসংখ্যানটি নিম্নরূপ গণনা করা হয় প্রথমে স্বাভাবিক পদ্ধতিতে মরিসিতার সূচক (আইডি) নির্ধারণ করুন। তারপর ধরা যাক k হল সেই একক সংখ্যা যা থেকে জনসংখ্যার নমুনা নেওয়া হয়েছিল। দুটি সমালোচনামূলক মান গণনা করুন যেখানে χ2 হল 97.5%-এ n−1 ডিগ্রি অফ ফ্রিডমের জন্য কাই বর্গ মান এবং আত্মবিশ্বাসের 2.5% স্তর। স্ট্যান্ডার্ডাইজড ইনডেক্স (আইপি) তারপর নীচের সূত্রগুলির মধ্যে একটি থেকে গণনা করা হয়। যখন আইডি ≤ ম্যাক> 1 যখন ম্যাক> আইডি ≤ 1 যখন 1> আইডি ≤ মু যখন 1> মু> আইডি আইপি + 1 এবং-1 এর মধ্যে থাকে এবং 95 শতাংশ আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান ± 0.5 হয়। যদি প্যাটার্নটি এলোমেলো হয় তবে আইপি-এর মান 0 হয়; যদি প্যাটার্নটি অভিন্ন হয়, আইপি <0 এবং যদি প্যাটার্নটি সমষ্টি দেখায়, আইপি> 0। সাউথউডের স্থানিক সমষ্টির সূচক (কে) কে সংজ্ঞায়িত করা হয় যেখানে m হল নমুনার গড় এবং m * হল লয়েডের ভিড়ের সূচক। ফিশার্স ইনডেক্স অফ ডিসপারসন ফিশার্স ইনডেক্স অফ ডিসপারসন ফিশার্স আরএ (1925) গবেষকদের জন্য পরিসংখ্যানগত পদ্ধতি। হাফনার, নিউ ইয়র্ক হল এই সূচকটি জনসংখ্যার অতিরিক্ত ছড়িয়ে পড়ার জন্য পরীক্ষা করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। এটি সুপারিশ করা হয় যে n> 5 অ্যাপ্লিকেশনগুলিতে এবং নমুনার সংখ্যা দ্বারা বিভক্ত নমুনার মোট সংখ্যা হল> 3। চিহ্নগুলিতে যেখানে x একটি পৃথক নমুনা মান। সূচকের প্রত্যাশা n-এর সমান এবং যখন জনসংখ্যা পয়সন বিতরণ করা হয় তখন এটি n-1 ডিগ্রি অফ ফ্রিডমের সাথে কাই-বর্গ বিতরণ হিসাবে বিতরণ করা হয়। জনসংখ্যা যখন গামা বন্টন মেনে চলে তখন এটি স্কেল প্যারামিটারের সমান হয়। এটি সামগ্রিক জনসংখ্যা এবং পৃথকভাবে নমুনা নেওয়া পৃথক অঞ্চল উভয় ক্ষেত্রেই প্রয়োগ করা যেতে পারে। পৃথক নমুনা এলাকায় এই পরীক্ষার ব্যবহারের মধ্যে একটি বনফেরনি সংশোধন ফ্যাক্টরের ব্যবহারও অন্তর্ভুক্ত করা উচিত। যদি জনসংখ্যা টেলরের আইন মেনে চলে তবে গুচ্ছ আকারের সূচক গুচ্ছ আকারের সূচক (আই. সি. এস) ডেভিড এবং মুর তৈরি করেছিলেন। একটি এলোমেলো (পয়সন) বন্টনের অধীনে আই. সি. এস 0-এর সমান হবে বলে আশা করা হচ্ছে। ধনাত্মক মানগুলি একটি গুচ্ছ বন্টন নির্দেশ করে; ঋণাত্মক মানগুলি একটি অভিন্ন বন্টন নির্দেশ করে। যেখানে s2 হল বৈকল্পিকতা এবং m হল গড়। যদি জনসংখ্যা টেলরের আইন মেনে চলে তবে আই. সি. এস কাটজের পরীক্ষার পরিসংখ্যানকে (এন/2) 1/2 দ্বারা ভাগ করার সমান যেখানে এন হল নমুনার আকার। এটি ক্লাফামের পরীক্ষার পরিসংখ্যানের সঙ্গেও সম্পর্কিত। এটি কখনও কখনও ক্লাম্পিং সূচক হিসাবেও উল্লেখ করা হয়। গ্রীনের সূচক গ্রীনের সূচক (জিআই) হল গুচ্ছ আকারের সূচকের একটি পরিবর্তন যা নমুনা ইউনিটের সংখ্যা থেকে স্বাধীন। এই সূচকটি 0-এর সমান হয় যদি বন্টন এলোমেলো হয়, 1-এর সমান হয় যদি এটি সর্বাধিক সমষ্টিগত হয় এবং-1/(nm−1)-এর সমান হয় যদি এটি অভিন্ন হয়। গ্রীনের সূচকের বন্টন বর্তমানে জানা যায়নি তাই এর জন্য পরিসংখ্যানগত পরীক্ষা করা কঠিন হয়ে পড়েছে। যদি জনসংখ্যা টেলরের আইন মেনে চলে বাইনারি ডিসপারসাল ইনডেক্স বাইনারি স্যাম্পলিং (উপস্থিতি/অনুপস্থিতি) প্রায়শই ব্যবহার করা হয় যেখানে সঠিক গণনা পাওয়া কঠিন। বিচ্ছুরণ সূচক (ডি) ব্যবহার করা হয় যখন অধ্যয়নরত জনসংখ্যাকে সমান নমুনার একটি সিরিজে ভাগ করা হয় (একক সংখ্যা = এনঃ প্রতি নমুনায় একক সংখ্যা = এনঃ মোট জনসংখ্যার আকার = এন এক্স এন)। দ্বিপদী বণ্টন সহ একটি জনসংখ্যা থেকে একটি নমুনার তাত্ত্বিক বৈকল্পিকতা হল যেখানে s2 হল বৈকল্পিকতা, n হল নমুনাকৃত একক সংখ্যা এবং p হল নমুনা এককগুলির গড় অনুপাত যেখানে কমপক্ষে একটি পৃথক উপস্থিত থাকে। বিচ্ছুরণ সূচক (ডি)-কে প্রত্যাশিত বৈচিত্র্যের সাথে পর্যবেক্ষিত বৈচিত্র্যের অনুপাত হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। চিহ্নগুলিতে যেখানে ভারব হল পর্যবেক্ষিত বৈকল্পিকতা এবং ভারবিন হল প্রত্যাশিত বৈকল্পিকতা। জনসংখ্যার সামগ্রিক গড়ের সাথে প্রত্যাশিত বৈচিত্র্য গণনা করা হয়। ডি> 1-এর মানগুলি একত্রীকরণের পরামর্শ হিসাবে বিবেচিত হয়। ডি (এন-1) কে এন-1 ডিগ্রি অফ ফ্রিডম সহ চি বর্গাকার পরিবর্তনশীল হিসাবে বিতরণ করা হয় যেখানে এন হল নমুনা করা ইউনিটের সংখ্যা। একটি বিকল্প পরীক্ষা হল সি পরীক্ষা। যেখানে D হল বিচ্ছুরণ সূচক, n হল প্রতি নমুনার একক সংখ্যা এবং N হল নমুনার সংখ্যা। সি সাধারণত বিতরণ করা হয়। সি-এর একটি পরিসংখ্যানগতভাবে উল্লেখযোগ্য মান নির্দেশ করে যে population.D-এর অতিরিক্ত বিচ্ছুরণ আন্তঃশ্রেণীর পারস্পরিক সম্পর্কের (ρ) সঙ্গেও সম্পর্কিত, যেখানে টি হল প্রতি নমুনায় জীবের সংখ্যা, পি হল জীবের কাঙ্ক্ষিত বৈশিষ্ট্য (রোগাক্রান্ত, কীটপতঙ্গ মুক্ত ইত্যাদি) থাকার সম্ভাবনা, এবং xi হল এই বৈশিষ্ট্যের সাথে ith ইউনিটে জীবের সংখ্যা। সমস্ত নমুনা ইউনিটের জন্য টি অবশ্যই একই হতে হবে। এই ক্ষেত্রে n ধ্রুবকের সাথে যদি তথ্যটি একটি বিটা-দ্বিপদী বিতরণের সাথে যুক্ত করা যায় তবে যেখানে θ হল বিতরণের পরামিতি। মা-এর জনসংখ্যা সমষ্টিগত গুরুতর ঘনত্ব মা টেলরের আইনের সাথে জনসংখ্যার ঘনত্বকে সম্পর্কিত করার জন্য একটি পরামিতি (এম0)-জনসংখ্যা সমষ্টিগত সমালোচনামূলক ঘনত্বের প্রস্তাব দিয়েছে। সম্পর্কিত পরিসংখ্যান বেশ কয়েকটি পরিসংখ্যানগত পরীক্ষা জানা যায় যা প্রয়োগের ক্ষেত্রে কার্যকর হতে পারে। ডি অলিভারিয়ার পরিসংখ্যান ডি অলিভারিয়া দ্বারা প্রস্তাবিত একটি সম্পর্কিত পরিসংখ্যান হল ভিন্নতা এবং গড়ের পার্থক্য। যদি জনসংখ্যা পয়সন বণ্টিত হয় তবে যেখানে t হল পয়সন পরামিতি, s2 হল বৈকল্পিকতা, m হল গড় এবং n হল নমুনা আকার। s2-m এর প্রত্যাশিত মান শূন্য। এই পরিসংখ্যান সাধারণত বিতরণ করা হয়। যদি এই সমীকরণে পয়সন প্যারামিটারটি t = m দিয়ে অনুমান করা হয়, তবে সামান্য কারসাজির পরে এই পরিসংখ্যানটি লেখা যেতে পারে এটি কাটজের পরিসংখ্যানের সাথে প্রায় অভিন্ন (n-1) n প্রতিস্থাপন করে। আবার ওটি সাধারণত গড় 0 এবং বড় n এর একক বৈকল্পিকতা দিয়ে বিতরণ করা হয়। এই পরিসংখ্যানটি নেইম্যান-স্কট পরিসংখ্যানের মতোই। নোট ডি অলিভারিয়া আসলে পরামর্শ দিয়েছিলেন যে s2-m এর বৈকল্পিকতা ছিল (1-2t1/2 + 3t)/n যেখানে t হল পয়সন পরামিতি। তিনি পরামর্শ দিয়েছিলেন যে টি-কে নমুনার গড় (মি)-এর সমান রেখে অনুমান করা যেতে পারে। বোনিংয়ের আরও তদন্তে দেখা গেছে যে বৈচিত্র্যের এই অনুমানটি ভুল ছিল। বোনিং-এর সংশোধন উপরের সমীকরণগুলিতে দেওয়া হয়েছে। 1936 সালে ক্লাফামের পরীক্ষাটি পরীক্ষার পরিসংখ্যান (আপেক্ষিক বৈকল্পিকতা) হিসাবে গড়ের সাথে বৈকল্পিকের অনুপাত ব্যবহার করার প্রস্তাব দেয়। চিহ্নগুলিতে একটি দখল বণ্টনের জন্য এই অনুপাতটি 1-এর সমান। এই মান থেকে বিচ্যুতি পরীক্ষা করার জন্য তিনি চি বর্গ বণ্টনের বিপরীতে এর মানটি n ডিগ্রি অফ ফ্রিডম দিয়ে পরীক্ষা করার প্রস্তাব করেছিলেন যেখানে n হল নমুনা ইউনিটের সংখ্যা। এই পরিসংখ্যানের বিতরণ ব্ল্যাকম্যান দ্বারা আরও অধ্যয়ন করা হয়েছিল যিনি উল্লেখ করেছিলেন যে এটি প্রায় সাধারণভাবে 1 এর গড় এবং 1 এর একটি বৈকল্পিকতা (Vθ) দিয়ে বিতরণ করা হয়েছিল। বৈকল্পিকের উৎপত্তি বার্টলেট দ্বারা পুনরায় বিশ্লেষণ করা হয়েছিল যিনি এটিকে হিসাবে বিবেচনা করেছিলেন। এই পরীক্ষাটি পরবর্তী কাটজের Jn পরিসংখ্যানের সাথে সম্পর্কিত। যদি জনসংখ্যা টেলরের আইন মেনে চলে তবে এই পরীক্ষার উপর নোট এ সংশোধনও প্রকাশিত হয়েছে এই লেখকরা উল্লেখ করেছেন যে মূল পরীক্ষাটি তথ্যের মধ্যে উপস্থিত না থাকলেও উচ্চতর স্কেলে ওভারডিস্পারশন সনাক্ত করতে থাকে। তারা উল্লেখ করেছেন যে এই ধরনের তথ্যের জন্য পয়সন ডিস্ট্রিবিউশন ব্যবহারের চেয়ে বহুমাত্রিক ডিস্ট্রিবিউশনের ব্যবহার বেশি উপযুক্ত হতে পারে। পরিসংখ্যান θ বিতরণ করা হয় যেখানে N হল নমুনা ইউনিটের সংখ্যা, n হল পরীক্ষা করা নমুনার মোট সংখ্যা এবং xi হল পৃথক ডেটা মান। বড় N-এর জন্য, E (θ) প্রায় 1 এবং যদি নমুনা (n ") নেওয়া ব্যক্তিদের সংখ্যা বেশি হয় তবে এই পার্থক্যের অনুমান আগে প্রাপ্তগুলির সাথে একমত। যাইহোক, ছোট নমুনার জন্য এই পরবর্তী অনুমানগুলি আরও সুনির্দিষ্ট এবং ব্যবহার করা উচিত। আরও দেখুন মরিসিটার ওভারল্যাপ সূচক স্থানীয় বাস্তুতন্ত্রের প্রাকৃতিক সূচকীয় পারিবারিক স্কেলিং প্যাটার্ন ওয়াটসনের শক্তি আইন ঘনত্ব-ভর অ্যালোমেট্রি বৈচিত্র্য-ভর রেফারেন্স বাস্তুতন্ত্র জীববিজ্ঞান আইন শক্তি আইন পরিসংখ্যানগত বিচ্যুতি এবং বিচ্ছুরণ পরিসংখ্যানগত আইন পরিবেশগত পরিসংখ্যান