Abstract cell complex
গণিতে, একটি বিমূর্ত কোষ কমপ্লেক্স হল আলেকজান্দ্রোভ টপোলজি সহ একটি বিমূর্ত সেট যেখানে প্রতিটি বিন্দুর জন্য মাত্রা নামে একটি অ-ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা বরাদ্দ করা হয়। কমপ্লেক্সটিকে "বিমূর্ত" বলা হয় কারণ এর বিন্দুগুলি, যাকে "কোষ" বলা হয়, ইউক্লিডিয়ান এবং সিডব্লিউ কমপ্লেক্সের মতো হাউসডর্ফ স্থানের উপসেট নয়। বিমূর্ত কোষ কমপ্লেক্সগুলি চিত্র বিশ্লেষণ এবং কম্পিউটার গ্রাফিক্সে গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে। বিমূর্ত কোষ কমপ্লেক্সের ধারণা (বিমূর্ত কোষীয় কমপ্লেক্স নামেও পরিচিত) জে-এর সাথে সম্পর্কিত। লিস্টিং (1862) এবং ই. স্টেইনিটজ (1908)। এছাড়াও এ. ডব্লিউ টাকার (1933), কে. রিডেমিস্টার (1938), পি. এস। আলেকজান্ডারভ (1956) এবং আর. ক্লেট এবং এ. রোজেনফেল্ড (2004) বিমূর্ত কোষের জটিলতার বর্ণনা দিয়েছেন। ই. স্টেইনিটজ একটি বিমূর্ত কোষ জটিলকে সংজ্ঞায়িত করেছেন যেখানে ই একটি বিমূর্ত সেট, বি একটি অসমমিত, অপরিবর্তনীয় এবং ট্রানজিটিভ বাইনারি সম্পর্ক যাকে ই-এর উপাদানগুলির মধ্যে সীমানা সম্পর্ক বলা হয় এবং ডিম এমন একটি ফাংশন যা ই-এর প্রতিটি উপাদানকে একটি অ-নেতিবাচক পূর্ণসংখ্যা নির্ধারণ করে। ভি. কোভালেভস্কি (1989) থ্রিডি এবং উচ্চতর মাত্রার জন্য বিমূর্ত কোষ জটিলতার বর্ণনা দিয়েছেন। তিনি চিত্র বিশ্লেষণের জন্য অসংখ্য প্রয়োগের পরামর্শও দিয়েছিলেন। তাঁর বইয়ে (2008) তিনি স্থানীয়ভাবে সীমাবদ্ধ টপোলজিকাল স্পেসের একটি স্বতঃসিদ্ধ তত্ত্বের পরামর্শ দিয়েছেন যা বিমূর্ত কোষ কমপ্লেক্সের সাধারণীকরণ। বইটিতে অন্যান্যের মধ্যে মেট্রিক থেকে স্বাধীন টপোলজিকাল বল এবং গোলকের নতুন সংজ্ঞা, কম্বিনেটোরিয়াল ম্যানিফোল্ডের একটি নতুন সংজ্ঞা এবং চিত্র বিশ্লেষণের জন্য দরকারী অনেক অ্যালগরিদম রয়েছে। মৌলিক ফলাফল বিমূর্ত কোষ কমপ্লেক্সের টপোলজি তার বিন্দু বা কোষের সেটের আংশিক ক্রমের উপর ভিত্তি করে। ই. স্টেনিৎজ দ্বারা সংজ্ঞায়িত বিমূর্ত কোষ কমপ্লেক্সের ধারণাটি একটি বিমূর্ত সরল জটিল ধারণার সাথে সম্পর্কিত এবং এটি একটি সরল জটিল থেকে এই বৈশিষ্ট্য দ্বারা পৃথক যে এর উপাদানগুলি কোনও সরল নয়ঃ একটি বিমূর্ত কমপ্লেক্সের একটি এন-মাত্রিক উপাদানের অবশ্যই এন + 1 শূন্য-মাত্রিক দিক থাকতে হবে না, এবং একটি কোষের শূন্য-মাত্রিক দিকগুলির সেটের প্রতিটি উপসেট একটি কোষ নয়। এটি গুরুত্বপূর্ণ কারণ বিমূর্ত কোষ কমপ্লেক্সের ধারণাটি চিত্র প্রক্রিয়াকরণে ব্যবহৃত দ্বি-এবং ত্রিমাত্রিক গ্রিডে প্রয়োগ করা যেতে পারে, যা সরল জটিলতার ক্ষেত্রে সত্য নয়। একটি নন-সিমপ্লিসিয়াল কমপ্লেক্স হল একটি সাধারণীকরণ যা কোষ স্থানাঙ্কের প্রবর্তনকে সম্ভব করেঃ এমন নন-সিমপ্লিসিয়াল কমপ্লেক্স রয়েছে যা এই ধরনের "রৈখিক" এক-মাত্রিক কমপ্লেক্সের কার্টেসিয়ান পণ্য যেখানে প্রতিটি শূন্য-মাত্রিক কোষ, তাদের দুটি ছাড়াও, ঠিক দুটি এক-মাত্রিক কোষকে সীমাবদ্ধ করে। শুধুমাত্র এই ধরনের কার্টেসিয়ান কমপ্লেক্সগুলি এমন স্থানাঙ্ক প্রবর্তন করা সম্ভব করে তোলে যে প্রতিটি কোষের স্থানাঙ্কের একটি সেট থাকে এবং যে কোনও দুটি ভিন্ন কোষের বিভিন্ন স্থানাঙ্ক সেট থাকে। স্থানাঙ্ক সেটটি জটিলের প্রতিটি কোষের নাম হিসাবে কাজ করতে পারে যা জটিল প্রক্রিয়াকরণের জন্য গুরুত্বপূর্ণ। বিমূর্ত জটিলতাগুলি ডিজিটাল চিত্র প্রক্রিয়াকরণের ভিত্তি হিসাবে গ্রিডে শাস্ত্রীয় টপোলজি (আলেকজান্দ্রোভ-টপোলজি) প্রবর্তনের অনুমতি দেয়। এই সম্ভাবনা বিমূর্ত কোষ কমপ্লেক্সগুলির দুর্দান্ত সুবিধাকে সংজ্ঞায়িত করেঃ সংযোগ এবং উপসেটগুলির সীমানা সম্পর্কে ধারণাগুলি সঠিকভাবে সংজ্ঞায়িত করা সম্ভব হয়। কোষ এবং জটিলতার মাত্রার সংজ্ঞা সাধারণ ক্ষেত্রে সরল জটিলতার থেকে আলাদা (নীচে দেখুন)। একটি বিমূর্ত কোষ কমপ্লেক্সের ধারণা মূলত একটি সিডব্লিউ-কমপ্লেক্সের থেকে আলাদা কারণ একটি বিমূর্ত কোষ কমপ্লেক্স কোনও হাউসডর্ফ স্থান নয়। কম্পিউটার বিজ্ঞানের দৃষ্টিকোণ থেকে এটি গুরুত্বপূর্ণ কারণ কম্পিউটারে একটি অ-বিচ্ছিন্ন হাউসডর্ফ স্থানকে স্পষ্টভাবে উপস্থাপন করা অসম্ভব। (এই ধরনের স্থানের প্রতিটি বিন্দুর আশেপাশে অবশ্যই অসীম সংখ্যক বিন্দু থাকতে হবে)। ভি. কোভালেভস্কির বইটিতে স্থানীয়ভাবে সীমাবদ্ধ স্থানের তত্ত্বের বিবরণ রয়েছে যা বিমূর্ত কোষ কমপ্লেক্সগুলির একটি সাধারণীকরণ। একটি স্থানীয়ভাবে সীমাবদ্ধ স্থান S হল বিন্দুগুলির একটি সেট যেখানে S-এর প্রতিটি বিন্দু P-এর জন্য S-এর একটি উপসেট সংজ্ঞায়িত করা হয়। সীমিত সংখ্যক বিন্দু সম্বলিত এই উপসেটকে P-এর ক্ষুদ্রতম প্রতিবেশী বলা হয়। একটি বাইনারি প্রতিবেশী সম্পর্ক স্থানীয়ভাবে সীমাবদ্ধ স্থান S-এর বিন্দুগুলির সেটে সংজ্ঞায়িত করা হয়ঃ উপাদান (বিন্দু) b যদি a উপাদানটির ক্ষুদ্রতম পাড়ার অন্তর্গত হয় তবে a উপাদানটির সাথে পার্শ্ববর্তী সম্পর্কের মধ্যে থাকে। স্থানীয়ভাবে একটি সীমাবদ্ধ স্থানের নতুন স্বতঃসিদ্ধ সূত্র প্রণয়ন করা হয়েছে এবং এটি প্রমাণিত হয়েছে যে স্থান S স্বতঃসিদ্ধ অনুসারে তখনই হয় যখন আশেপাশের সম্পর্কটি প্রতিসম এবং ক্ষণস্থায়ী হয়। পার্শ্ববর্তী সম্পর্ক হল বিপরীত সীমানা সম্পর্কের প্রতিফলিত কাঠামো। এটি দেখানো হয়েছিল যে টপোলজির শাস্ত্রীয় স্বতঃসিদ্ধগুলিকে নতুন স্বতঃসিদ্ধ থেকে উপপাদ্য হিসাবে অনুমান করা যেতে পারে। অতএব, নতুন স্বতঃসিদ্ধগুলিকে সন্তুষ্ট করে এমন একটি স্থানীয়ভাবে সীমাবদ্ধ স্থান একটি ধ্রুপদী টপোলজিকাল স্থানের একটি নির্দিষ্ট ঘটনা। এর টপোলজি হল একটি পজিট টপোলজি বা আলেকজান্দ্রোভ টপোলজি। একটি বিমূর্ত কোষ কমপ্লেক্স হল স্থানীয়ভাবে সীমাবদ্ধ স্থানের একটি নির্দিষ্ট ক্ষেত্র যেখানে প্রতিটি বিন্দুর জন্য মাত্রা সংজ্ঞায়িত করা হয়। এটি প্রদর্শিত হয়েছিল যে একটি বিমূর্ত কোষ কমপ্লেক্সের একটি কোষ সি-এর মাত্রা কমপ্লেক্সের যে কোনও কোষ থেকে কোষে যাওয়ার সর্বাধিক সীমানা পথের দৈর্ঘ্য (কোষের সংখ্যা বিয়োগ 1)-এর সমান। বইটিতে 2ডি কমপ্লেক্সে ডিজিটাল স্ট্রেট সেগমেন্টের তত্ত্ব, 2ডি এবং 3ডি-তে সীমানা চিহ্নিত করার জন্য অসংখ্য অ্যালগরিদম, অর্থনৈতিকভাবে সীমানা এনকোড করার জন্য এবং তার সীমানার কোড থেকে একটি উপসেটকে সঠিকভাবে পুনর্গঠন করার জন্য রয়েছে। বিমূর্ত কোষ কমপ্লেক্সগুলি ব্যবহার করে, সীমানার ট্রেসিং, কোডিং এবং বহুভুজকরণের পাশাপাশি প্রান্ত সনাক্তকরণের জন্য দক্ষ অ্যালগরিদমগুলি অ্যাবস্ট্রাক্ট সেল কমপ্লেক্স ডিজিটাল ইমেজ রিপ্রেজেন্টেশন বইটিতে তৈরি এবং বর্ণনা করা হয়েছে একটি ডিজিটাল চিত্রকে 2ডি অ্যাবস্ট্রাক্ট সেল কমপ্লেক্স (এসিসি) দ্বারা তার এসিসি মাত্রিক উপাদানগুলিতে বিভক্ত করে উপস্থাপন করা যেতে পারেঃ পয়েন্ট (0-কোষ), ফাটল/প্রান্ত (1-কোষ), এবং পিক্সেল/মুখ (2-কোষ)। চিত্র পিক্সেল থেকে মাত্রিক উপাদানগুলিতে দ্ব্যর্থহীনভাবে স্থানাঙ্ক বরাদ্দ করার জন্য একটি সমন্বিত অ্যাসাইনমেন্ট নিয়মের সাথে এই পচন ক্র্যাক বাউন্ডারি ট্রেসিং, ডিজিটাল স্ট্রেট সেগমেন্ট সাবডিভিশন ইত্যাদির মতো মার্জিত অ্যালগরিদমগুলির সাথে চিত্রের উপর নির্দিষ্ট চিত্র বিশ্লেষণ ক্রিয়াকলাপ চালানোর অনুমতি দেয়। এই ধরনের একটি নিয়ম পিক্সেলের উপরের বাম স্থানাঙ্কে পয়েন্ট, ফাটল এবং মুখগুলি ম্যাপ করে। এই মাত্রিক উপাদানগুলির নিজস্ব ডেটা স্ট্রাকচারে কোনও স্পষ্ট অনুবাদের প্রয়োজন হয় না তবে 2ডি অ্যারের সাথে অন্তর্নিহিতভাবে বোঝা এবং সম্পর্কিত হতে পারে যা একটি ডিজিটাল চিত্রের সাধারণ ডেটা স্ট্রাকচার উপস্থাপনা। এই কোঅর্ডিনেট অ্যাসাইনমেন্ট নিয়ম এবং এই ছবিতে প্রতিটি কোষের ঘটনার রেন্ডারিং ডানদিকে ছবিতে চিত্রিত করা হয়েছে। আরও দেখুন সরল জটিল কিউবিক্যাল জটিল রেফারেন্স টপোলজি