Fréchet inequalities
সম্ভাব্য যুক্তিতে, ফ্রেচেট অসমতা, যা বুল-ফ্রেচেট অসমতা নামেও পরিচিত, জর্জ বুলের কাজে অন্তর্নিহিত নিয়ম এবং স্পষ্টভাবে মরিস ফ্রেচেট দ্বারা উদ্ভূত যা যৌক্তিক প্রস্তাবনা বা ঘটনা সম্পর্কে সম্ভাবনার সংমিশ্রণকে পরিচালনা করে যা যৌক্তিকভাবে সংমিশ্রণে (এবং ক্রিয়াকলাপ) বা বিচ্ছিন্নতা (বা ক্রিয়াকলাপ) যেমন বুলিয়ান অভিব্যক্তি বা ত্রুটি বা ইভেন্ট ট্রি যা ঝুঁকি মূল্যায়ন, প্রকৌশল নকশা এবং কৃত্রিম বুদ্ধিমত্তায় সাধারণ। এই বৈষম্যগুলি স্বাধীনতা অনুমান না করে বা প্রকৃতপক্ষে, কোনও নির্ভরতা অনুমান না করে সম্ভাবনার সাথে জড়িত গণনাগুলিকে কীভাবে আবদ্ধ করা যায় সে সম্পর্কে নিয়ম হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে। ফ্রেচেট বৈষম্যগুলি বুল-বনফেরনি-ফ্রেচেট বৈষম্য এবং ফ্রেচেট সীমার সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত। যদি যৌক্তিক প্রস্তাবনা বা ঘটনা হয়, তবে ফ্রেচেট অসমতা হল যৌক্তিক সংযোগের সম্ভাবনা () যৌক্তিক বিচ্ছিন্নতার সম্ভাবনা () যেখানে পি () কোনও ঘটনা বা প্রস্তাবের সম্ভাবনাকে বোঝায়। যেখানে শুধুমাত্র দুটি ঘটনা রয়েছে, যেমন এ এবং বি, সেখানে বৈষম্যগুলি যৌক্তিক সংযোগের সম্ভাব্যতায় হ্রাস পায় () যৌক্তিক বিভেদের সম্ভাবনা () বৈষম্যগুলি পৃথক ঘটনার সম্ভাবনার পরিপ্রেক্ষিতে দুই ধরনের যৌথ ঘটনার সম্ভাব্যতাকে আবদ্ধ করে। উদাহরণস্বরূপ, যদি এ-এর "ফুসফুসের ক্যান্সার হয়", এবং বি-এর "মেসোথেলিওমা হয়", তাহলে এ ও বি-এর "ফুসফুসের ক্যান্সার এবং মেসোথেলিওমা উভয়ই রয়েছে", এবং এ বি-এর "ফুসফুসের ক্যান্সার বা মেসোথেলিওমা বা উভয় রোগ রয়েছে", এবং বৈষম্যগুলি এই ঘটনাগুলির ঝুঁকির সাথে সম্পর্কিত। লক্ষ্য করুন যে যৌক্তিক সংযোগগুলি AND, &, & এবং গ্রাফিকাল AND-গেট সহ বিভিন্ন ক্ষেত্রে বিভিন্ন উপায়ে চিহ্নিত করা হয়। লজিক্যাল ডিসজাংশনগুলি একইভাবে বিভিন্ন উপায়ে চিহ্নিত করা হয়, যার মধ্যে রয়েছে OR,।,।, এবং গ্রাফিকাল OR-গেট। যদি ঘটনাগুলিকে যৌক্তিক প্রস্তাবের পরিবর্তে সেট হিসাবে নেওয়া হয়, তবে ফ্রেচেট বৈষম্যগুলির সেট-তাত্ত্বিক সংস্করণগুলি ঘটনাগুলির ছেদনের সম্ভাবনা সংখ্যাসূচক উদাহরণগুলি যদি কোনও ঘটনার সম্ভাবনা A হল P (A) = a = 0.7, এবং ঘটনার সম্ভাবনা B হল P (B) = b = 0.8, তবে সংযোগের সম্ভাবনা, অর্থাৎ যৌথ ঘটনা A এবং B, অবশ্যই ব্যবধানের মধ্যে থাকে। যখন প্রান্তিক সম্ভাবনাগুলি খুব ছোট (বা বড়) হয়, তখন ফ্রেচেট ব্যবধানগুলি স্বাধীনতার অধীনে অনুরূপ ফলাফল সম্পর্কে দৃঢ়ভাবে অসমমিত হয়। উদাহরণস্বরূপ, ধরুন পি (এ) = 0.000002 = এবং পি (বি) = 0.000003 =। তারপর ফ্রেচেট বৈষম্যগুলি বলে যে পি (এ এবং বি) ব্যবধানের মধ্যে [0,], এবং পি (এ বি) ব্যবধানের মধ্যে [,]। যদি এ এবং বি স্বাধীন হয়, তবে এ এবং বি-এর সম্ভাবনা তুলনামূলকভাবে ফ্রেচেট ব্যবধানের নিম্ন সীমার (শূন্য) খুব কাছাকাছি। একইভাবে, এ বি এর সম্ভাব্যতা হল, যা ফ্রেচেট ব্যবধানের উপরের সীমার খুব কাছাকাছি। এটিই নির্ভরযোগ্যতা তত্ত্বে প্রায়শই ব্যবহৃত বিরল-ঘটনার আনুমানিকতাকে ন্যায্যতা দেয়। প্রমাণ প্রমাণগুলি প্রাথমিক। মনে রাখবেন যে পি (এ) বি) = পি (এ) + পি (বি) − পি (এ ও বি), যার অর্থ পি (এ) + পি (বি) − পি (এ) বি) = পি (এ ও বি)। যেহেতু সমস্ত সম্ভাব্যতা 1-এর চেয়ে বড় নয়, তাই আমরা P (A) ≤ 1 জানি, যা বোঝায় যে P (A) + P (B) −1 ≤ P (A & B)। যেহেতু সমস্ত সম্ভাব্যতাও ধনাত্মক তাই আমরা একইভাবে 0 ≤ পি (এ ও বি) বলতে পারি, তাই সর্বোচ্চ (0, পি (এ) + পি (বি) −1) ≤ পি (এ ও বি)। এটি সংযোগের উপর নিম্ন সীমা দেয়। উপরের সীমা পেতে, মনে রাখবেন যে পি (এ ও বি) = পি (A|B) পি (বি) = পি (B|A) পি (এ)। কারণ পি (A|B) ≤ 1 এবং পি (B|A) ≤ 1, আমরা জানি পি (এ ও বি) ≤ পি (এ) এবং পি (এ ও বি) ≤ পি (বি)। অতএব, পি (এ এবং বি) ≤ মিনিট (পি (এ), পি (বি)), যা উপরের সীমা। এই সীমানাগুলির সর্বোত্তম সম্ভাব্য প্রকৃতিটি পর্যবেক্ষণ করে যে এগুলি এ এবং বি ঘটনার মধ্যে কিছু নির্ভরতা দ্বারা উপলব্ধি করা হয়। বিচ্ছিন্নতার তুলনামূলক সীমানা একইভাবে উদ্ভূত হয়। যখন ইনপুট সম্ভাব্যতা নিজেরাই ব্যবধানের পরিসর হয়, তখনও ফ্রেচেট সূত্রগুলি সম্ভাব্যতা সীমা বিশ্লেষণ হিসাবে কাজ করে। হেলপেরিন জটিল সংযোগ এবং বিচ্ছিন্নতার অনেক ঘটনার সাথে জড়িত সম্ভাব্য বুলিয়ান অভিব্যক্তিগুলির মূল্যায়নের সমস্যাটি বিবেচনা করেছিলেন। কেউ কেউ কৃত্রিম বুদ্ধিমত্তার বিভিন্ন প্রয়োগে অসমতা ব্যবহার করার পরামর্শ দিয়েছেন এবং ঘটনাগুলির মধ্যে নির্ভরতা সম্পর্কে বিভিন্ন অনুমানের জন্য নিয়মগুলি প্রসারিত করেছেন। বৈষম্যগুলি অন্যান্য যৌক্তিক ক্রিয়াকলাপগুলিতেও সাধারণীকরণ করা যেতে পারে, এমনকি মোডাস পোনেন সহ। (2004)। মোডাস টোলেনগুলি সম্ভাব্য। ব্রিটিশ জার্নাল ফর দ্য ফিলোসফি অফ সায়েন্স 55:747-753. যখন ইনপুট সম্ভাব্যতা সম্ভাব্যতা বিতরণ দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, তখন অনুরূপ ক্রিয়াকলাপ যা ইনপুটগুলির মধ্যে নির্ভরতা সম্পর্কে অনুমান ছাড়াই যৌক্তিক এবং গাণিতিক জটিলতাকে সাধারণীকরণ করে ফ্রেচেট bounds.Weisstein, এরিক ডব্লিউ ফ্রেচেট সীমানার সম্পর্কিত ধারণার উপর ভিত্তি করে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। ম্যাথওয়ার্ল্ড-একটি ওল্ফ্রাম ওয়েব রিসোর্স। কোয়ান্টাম ফ্রেচেট সীমানা পৃথকযোগ্য কোয়ান্টাম সিস্টেমের ক্ষেত্রে কোয়ান্টাম মেকানিক্সেও অনুরূপ সীমা রয়েছে এবং জড়িয়ে থাকা অবস্থাগুলি এই সীমা লঙ্ঘন করে। একটি যৌগিক কোয়ান্টাম পদ্ধতির কথা বিবেচনা করুন। বিশেষত, আমরা এ এবং বি হিসাবে চিহ্নিত দুটি সসীম সাবসিস্টেম দ্বারা তৈরি একটি যৌগিক কোয়ান্টাম সিস্টেম এবি-তে মনোনিবেশ করি। ধরে নিন যে আমরা সাবসিস্টেম এ-এর ঘনত্ব ম্যাট্রিক্স জানি, অর্থাৎ এটি একটি ট্রেস-ওয়ান পজিটিভ নির্দিষ্ট ম্যাট্রিক্স (মাত্রার হার্মিশিয়ান ম্যাট্রিক্সের স্থান), এবং সাবসিস্টেম বি-এর ঘনত্ব ম্যাট্রিক্স যা আমরা ভাবতে পারি এবং উপ-সিস্টেম এ এবং বি-এর প্রান্তিক হিসাবে চিহ্নিত করা হয়। এই প্রান্তিকগুলির জ্ঞান থেকে, আমরা জয়েন্ট সম্পর্কে কিছু অনুমান করতে চাই আমরা আমাদের মনোযোগ পৃথকযোগ্য জয়েন্টের দিকে সীমাবদ্ধ করি। একটি যৌগিক ব্যবস্থায় একটি ঘনত্ব ম্যাট্রিক্স পৃথক করা যায় যদি সেখানে বিদ্যমান থাকে এবং যা সংশ্লিষ্ট সাবসিস্টেমগুলির মিশ্র অবস্থা হয় যাতে অন্যথায় একটি এনট্যাঙ্গলড অবস্থা বলা হয়। নিম্নলিখিত ফ্রেচেটের মতো সীমানায় বিভাজ্য ঘনত্ব ম্যাট্রিক্সের জন্যঃ অসমতা ম্যাট্রিক্স অসমতা, যা টেনসর পণ্য এবং মাত্রার পরিচয় ম্যাট্রিক্সকে নির্দেশ করে। এটি স্পষ্ট যে কাঠামোগতভাবে উপরের বৈষম্যগুলি যৌক্তিক সংযোগের জন্য ধ্রুপদী ফ্রেচেট সীমার অনুরূপ। এটিও লক্ষ্য করার মতো যে, যখন ম্যাট্রিক্স এবং ম্যাট্রিক্সগুলি তির্যক হতে সীমাবদ্ধ থাকে, তখন আমরা ধ্রুপদী ফ্রেচেট সীমানা পাই। উচ্চ সীমাটি কোয়ান্টাম মেকানিক্সে ঘনত্ব ম্যাট্রিক্সের জন্য হ্রাস মানদণ্ড হিসাবে পরিচিত; এটি প্রথম দ্বারা প্রমাণিত হয়েছিল এবং স্বাধীনভাবে দ্বারা প্রণয়ন করা হয়েছিল। নিম্ন সীমাটি পাওয়া গেছে যা এই সীমার একটি বায়েসিয়ান ব্যাখ্যা প্রদান করে। সংখ্যাসূচক উদাহরণ আমরা লক্ষ্য করেছি যখন ম্যাট্রিক্স এবং সমস্ত তির্যক হয়, তখন আমরা শাস্ত্রীয় ফ্রেচেট সীমানা পাই। এটি দেখানোর জন্য, পূর্ববর্তী সংখ্যাসূচক উদাহরণটি আবার বিবেচনা করুনঃ তারপর আমাদের আছেঃ যার অর্থঃ এটি নির্দেশ করা মূল্যবান যে জড়িয়ে থাকা অবস্থাগুলি উপরের ফ্রেচেট সীমা লঙ্ঘন করে। উদাহরণস্বরূপ, এনট্যাঙ্গলড ডেনসিটি ম্যাট্রিক্স (যা পৃথকযোগ্য নয়) বিবেচনা করুনঃ যার প্রান্তিক এনট্যাঙ্গলড স্টেটগুলি পৃথকযোগ্য নয় এবং এটি সহজেই যাচাই করা যেতে পারে যে যেহেতু ফলস্বরূপ ম্যাট্রিক্সগুলির একটি ঋণাত্মক আইগেনভ্যালু রয়েছে। সম্ভাব্য সীমা লঙ্ঘনের আরেকটি উদাহরণ বিখ্যাত বেলের বৈষম্য দ্বারা সরবরাহ করা হয়েছেঃ জড়িয়ে পড়া রাজ্যগুলি সবচেয়ে শক্তিশালী শাস্ত্রীয় নির্ভরতার চেয়ে শক্তিশালী স্টোকাস্টিক নির্ভরতার একটি রূপ প্রদর্শন করেঃ এবং প্রকৃতপক্ষে তারা ফ্রেচেটের মতো সীমা লঙ্ঘন করে। আরও দেখুন সম্ভাবনাময় যুক্তি যৌক্তিক সংযোগ ফ্রেচেট বাউন্ডস বুলের অসমতা বনফেরিনি অসমতা সম্ভাব্যতা সীমা বিশ্লেষণ জুটির ভিত্তিতে স্বাধীন ঘটনাগুলির মিলনের সম্ভাবনা তথ্যসূত্র সম্ভাব্য বৈষম্যের প্রমাণ সম্বলিত নিবন্ধ পরিসংখ্যানগত অসমতা সম্ভাব্যতা সীমা বিশ্লেষণ