Smooth scheme
বীজগাণিতিক জ্যামিতিতে, একটি ক্ষেত্রের উপর একটি মসৃণ বিন্যাস এমন একটি বিন্যাস যা যে কোনও বিন্দুর কাছাকাছি অ্যাফিন স্থান দ্বারা ভালভাবে আনুমানিক হয়। মসৃণতা হ 'ল কোনও একক পয়েন্ট ছাড়াই একটি পরিকল্পনার ধারণাটি সুনির্দিষ্ট করার একটি উপায়। একটি বিশেষ ক্ষেত্রে একটি ক্ষেত্রের উপর একটি মসৃণ বৈচিত্র্যের ধারণা। মসৃণ স্কিমগুলি টপোলজিতে ম্যানিফোল্ডের বীজগাণিতিক জ্যামিতিতে ভূমিকা পালন করে। সংজ্ঞা প্রথমে, ধরা যাক X একটি ক্ষেত্র k-এর উপর সীমাবদ্ধ ধরনের একটি অ্যাফিন স্কিম। সমতুল্যভাবে, X-এর অ্যাফিন স্পেসে একটি বদ্ধ নিমজ্জন রয়েছে কিছু প্রাকৃতিক সংখ্যা n-এর জন্য K-এর উপর একটি। তারপর X হল কিছু সমীকরণ g1 = 0,., gr = 0 দ্বারা সংজ্ঞায়িত একটি বদ্ধ সাবসিম, যেখানে প্রতিটি gy বহুপদী বলয় k [x1,., xn]-এ রয়েছে। প্রতিটি বিন্দুর আশেপাশে যদি X-এর মাত্রা কমপক্ষে m হয়, এবং এক্স-এর সর্বত্র ডেরিভেটিভের ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক কমপক্ষে n-m হয়, তাহলে অ্যাফিন স্কিম X-এর মাত্রা m বনাম k মসৃণ হয়। (এটি অনুসরণ করে যে প্রতিটি বিন্দুর আশেপাশে X-এর মাত্রা m-এর সমান।) মসৃণতা এফাইন স্পেসে এক্স-এর নিমজ্জনের পছন্দ থেকে স্বাধীন। ডেরিভেটিভের ম্যাট্রিক্সের শর্তটির অর্থ বোঝা যায় যে এক্স-এর বদ্ধ উপসেট যেখানে ডেরিভেটিভের ম্যাট্রিক্সের সমস্ত (এন-এম) × (এন-এম) মাইনর শূন্য হয় তা খালি সেট। সমতুল্যভাবে, সমস্ত জিআই এবং সমস্ত মাইনর দ্বারা উত্পন্ন পলিনোমিয়াল রিংয়ের আদর্শ হল পুরো পলিনোমিয়াল রিং। জ্যামিতিক পরিভাষায়, এক্স-এর একটি বিন্দু পি-তে ডেরিভেটিভের ম্যাট্রিক্স (sumi/sumixj) একটি রৈখিক মানচিত্র Fn → Fr দেয়, যেখানে এফ হল পি-এর অবশিষ্ট ক্ষেত্র। এই মানচিত্রের কার্নেলকে বলা হয় পি-তে এক্স-এর জারিস্কি স্পর্শক স্থান। এক্স-এর মসৃণতার অর্থ হল জারিস্কি স্পর্শক স্থানের মাত্রা প্রতিটি বিন্দুর কাছাকাছি এক্স-এর মাত্রার সমান; একক বিন্দুতে জারিস্কি স্পর্শক স্থানটি আরও বড় হবে। আরও সাধারণভাবে, একটি ক্ষেত্র k-এর উপর একটি স্কিম X, k-এর উপর মসৃণ হয় যদি X-এর প্রতিটি বিন্দুর একটি খোলা প্রতিবেশী থাকে যা k-এর উপর কিছু মাত্রার একটি মসৃণ অ্যাফিন স্কিম হয়। বিশেষত, k-এর উপর একটি মসৃণ স্কিম স্থানীয়ভাবে সীমাবদ্ধ ধরনের হয়। স্কিমগুলির একটি মসৃণ অঙ্গসংস্থান সম্পর্কে আরও সাধারণ ধারণা রয়েছে, যা মোটামুটিভাবে মসৃণ তন্তু সহ একটি অঙ্গসংস্থান। বিশেষত, একটি স্কিম X একটি ক্ষেত্র k-এর উপর মসৃণ হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি মরফিজম X → Spec k মসৃণ হয়। একটি ক্ষেত্রের উপর একটি মসৃণ বিন্যাস নিয়মিত এবং তাই স্বাভাবিক। বিশেষ করে, একটি ক্ষেত্রের উপর একটি মসৃণ বিন্যাস হ্রাস করা হয়। একটি ক্ষেত্র k-এর উপর একটি বৈচিত্র্যকে k-এর উপর সসীম প্রকারের অবিচ্ছেদ্য পৃথক বিন্যাস হিসাবে সংজ্ঞায়িত করুন। তারপর k-এর উপর সসীম প্রকারের যে কোনও মসৃণ পৃথক বিন্যাস হল k-এর উপর মসৃণ প্রকারের একটি সসীম বিচ্ছিন্ন মিলন। জটিল সংখ্যার উপর একটি মসৃণ বৈচিত্র্য X-এর জন্য, X-এর জটিল বিন্দুর স্থান X (C) একটি জটিল বহুগুণ, শাস্ত্রীয় (ইউক্লিডীয়) টপোলজি ব্যবহার করে। একইভাবে, বাস্তব সংখ্যার উপর একটি মসৃণ সংখ্যা X-এর জন্য, বাস্তব বিন্দুর স্থান X (R) একটি বাস্তব বহুগুণ, সম্ভবত খালি। একটি ক্ষেত্র k-এর উপর স্থানীয়ভাবে সীমাবদ্ধ ধরনের যে কোনও স্কিম X-এর জন্য, X-এর উপর ডিফারেনশিয়ালগুলির একটি সুসঙ্গত শেফ ω1 রয়েছে। এক্স স্কিমটি কে-এর উপর মসৃণ হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি ω1 প্রতিটি বিন্দুর কাছাকাছি এক্স-এর মাত্রার সমান র্যাঙ্কের একটি ভেক্টর বান্ডিল হয়। সেক্ষেত্রে, ω1 কে X-এর কোট্যাঞ্জেন্ট বান্ডিল বলা হয়। k-এর উপর একটি মসৃণ স্কিমের স্পর্শক বান্ডিলকে দ্বৈত বান্ডিল, TX = (ω1) * হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। মসৃণতা একটি জ্যামিতিক বৈশিষ্ট্য, যার অর্থ হল যে কোনও ক্ষেত্র সম্প্রসারণের জন্য k-এর E, একটি স্কিম X, k-এর উপর মসৃণ হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি স্কিম XE: = X × Spec k Spec E E-এর উপর মসৃণ হয়। একটি নিখুঁত ক্ষেত্র k-এর জন্য, একটি স্কিম X, k-এর উপর মসৃণ হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি X স্থানীয়ভাবে k-এর উপর সীমাবদ্ধ প্রকারের হয় এবং X নিয়মিত হয়। সাধারণ মসৃণতা একটি স্কিম X-কে সাধারণভাবে n মাত্রা k-এর তুলনায় মসৃণ বলা হয় যদি X-এ একটি খোলা ঘন উপসেট থাকে যা n মাত্রা k-এর তুলনায় মসৃণ হয়। একটি নিখুঁত ক্ষেত্রের (বিশেষ করে একটি বীজগাণিতিকভাবে বন্ধ ক্ষেত্র) প্রতিটি বৈচিত্র সাধারণভাবে মসৃণ হয়। উদাহরণস্বরূপ, এফাইন স্পেস এবং প্রজেক্টিভ স্পেস হল একটি ক্ষেত্র k-এর উপর মসৃণ স্কিম। প্রজেক্টিভ স্পেস Pn-এর উপর k-এর একটি মসৃণ হাইপারসারফেসের উদাহরণ হল ফার্ম্যাট হাইপারসারফেস x0d +। + xnd = 0, যে কোনও ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা d-এর জন্য যা k-তে বিপরীতমুখী। একটি ক্ষেত্র k-এর উপর একটি একক (অ-মসৃণ) স্কিমের উদাহরণ হল অ্যাফিন লাইন A1-এর উপর k-এর বন্ধ সাবসিমে x2 = 0। k-এর উপর একটি একক (অ-মসৃণ) বৈচিত্র্যের উদাহরণ হল অ্যাফিন প্লেন A2-এর কুস্পিডাল কিউবিক বক্ররেখা x2 = y3, যা মূল (x, y) = (0,0)-এর বাইরে মসৃণ। একটি ক্ষেত্র k-এর উপর একটি 0-মাত্রিক বৈচিত্র্য X হল X = Spec E, যেখানে E হল k-এর একটি সসীম সম্প্রসারণ ক্ষেত্র। X-এর বৈচিত্র্য k-এর উপর মসৃণ হয় যদি এবং শুধুমাত্র E হল k-এর একটি বিভাজ্য সম্প্রসারণ। সুতরাং, যদি E কে-এর উপর বিভাজ্য না হয়, তবে X একটি নিয়মিত বিন্যাস কিন্তু k-এর উপর মসৃণ নয়। উদাহরণস্বরূপ, ধরা যাক k একটি মৌলিক সংখ্যা p-এর জন্য যুক্তিসঙ্গত ফাংশন Fp (t)-এর ক্ষেত্র, এবং ধরা যাক E = Fp (t1/p); তারপর Spec E হল 0-এর উপর k-এর বৈচিত্র্য যা একটি নিয়মিত বিন্যাস, কিন্তু k-এর উপর মসৃণ নয়। শুবার্ট জাতগুলি সাধারণত মসৃণ হয় না। নোটস রেফারেন্স ডি. গেটসগোরির নোটস অন ফ্ল্যাটনেস অ্যান্ড স্মুথনেস অ্যাট http://www.math.harvard.edu ~ গেটসজিডি/স্কিমস _ 2009/বিআর/স্মুথম্যাপস. পিডিএফ আরও দেখুন ইটেল মরফিজম একটি বীজগাণিতিক বৈচিত্র্যের মাত্রা স্কিম তত্ত্বের শব্দকোষ মসৃণ সমাপ্তি