Bellman pseudospectral method
বেলম্যান সিউডোস্পেকট্রাল পদ্ধতি হল বেলম্যানের অনুকূলতার নীতির উপর ভিত্তি করে সর্বোত্তম নিয়ন্ত্রণের জন্য একটি সিউডোস্পেকট্রাল পদ্ধতি। এটি সিউডোস্পেকট্রাল অপ্টিমাল কন্ট্রোলের বৃহত্তর তত্ত্বের অংশ, যা রস দ্বারা উদ্ভাবিত একটি শব্দ। রিচার্ড ই. বেলম্যানের নামে এই পদ্ধতির নামকরণ করা হয়েছে। এটি রস এট আল দ্বারা প্রবর্তিত হয়েছিল। প্রথমে বহুমুখী সর্বোত্তম নিয়ন্ত্রণ সমস্যা সমাধানের উপায় হিসাবে, এবং পরে সাধারণ সর্বোত্তম নিয়ন্ত্রণ সমস্যার জন্য উপ-সর্বোত্তম সমাধান পেতে প্রসারিত। তাত্ত্বিক ভিত্তি বেলম্যান সিউডোস্পেকট্রাল পদ্ধতির বহু-স্কেল সংস্করণ রস-ফাহরু সিউডোস্পেকট্রাল পদ্ধতির বর্ণালী অভিসরণ বৈশিষ্ট্যের উপর ভিত্তি করে তৈরি। অর্থাৎ, রস-ফাহরু সিউডোস্পেকট্রাল পদ্ধতিটি দ্রুত হারে একত্রিত হওয়ার কারণে, সমাধানে পয়েন্টওয়াইজ কনভারজেন্স খুব কম সংখ্যক নোডে পাওয়া যায়, এমনকি সমাধানটিতে উচ্চ-ফ্রিকোয়েন্সি উপাদান থাকলেও। সর্বোত্তম নিয়ন্ত্রণে এই আলিয়াজিং ঘটনাটি প্রথম আবিষ্কার করেছিলেন রস এবং অন্যান্যরা। অ্যান্টি-এলিয়াস সমাধানের জন্য সংকেত প্রক্রিয়াকরণ কৌশল ব্যবহার করার পরিবর্তে, রস এট আল। প্রস্তাব করা হয়েছিল যে বেলম্যানের অনুকূলতার নীতিটি নোডগুলির মধ্যে তথ্য উত্তোলনের জন্য রূপান্তরিত সমাধানে প্রয়োগ করা যেতে পারে। কারণ গাউস-লোবাটোর নোডগুলি সীমানা বিন্দুতে একত্রিত হয়, রস এবং অন্যান্যরা। পরামর্শ দেওয়া হয় যে প্রাথমিক অবস্থার চারপাশে নোডের ঘনত্ব যদি নাইকুইস্ট-শ্যানন স্যাম্পলিং উপপাদ্যকে সন্তুষ্ট করে, তবে বেলম্যান সেগমেন্ট নামে পরিচিত টুকরো টুকরো অংশে পুনরাবৃত্তিমূলক পদ্ধতিতে সর্বোত্তম নিয়ন্ত্রণ সমস্যা সমাধান করে সম্পূর্ণ সমাধানটি পুনরুদ্ধার করা যেতে পারে। পদ্ধতির একটি সম্প্রসারিত সংস্করণে, রস এবং অন্যান্যরা প্রস্তাব করেছিলেন যে পদ্ধতিটি সম্ভাব্য সমাধান তৈরি করতেও ব্যবহার করা যেতে পারে যা অগত্যা সর্বোত্তম ছিল না। এই সংস্করণে, কেউ বেলম্যান সিউডোস্পেকট্রাল পদ্ধতিটি এমনকি কম সংখ্যক নোডে প্রয়োগ করতে পারে এমনকি এই জ্ঞানের অধীনেও যে সমাধানটি সর্বোত্তম নোডে রূপান্তরিত নাও হতে পারে। এই পরিস্থিতিতে একটি সম্ভাব্য সমাধান পাওয়া যায়। বেলম্যান সিউডোস্পেকট্রাল পদ্ধতির একটি উল্লেখযোগ্য বৈশিষ্ট্য হল যে এটি স্বয়ংক্রিয়ভাবে মূল সিউডোস্পেকট্রাল খরচ এবং বেলম্যান বিভাগগুলির যোগফল দ্বারা উত্পন্ন ব্যয়ের উপর ভিত্তি করে উপ-অনুকূলতার বেশ কয়েকটি পরিমাপ নির্ধারণ করে। গণনামূলক দক্ষতা বেলম্যান সিউডোস্পেকট্রাল পদ্ধতির গণনামূলক সুবিধাগুলির মধ্যে একটি হল এটি নোড পয়েন্টগুলির বিতরণে গাউসিয়ান নিয়মগুলি এড়াতে দেয়। অর্থাৎ, একটি আদর্শ সিউডোস্পেকট্রাল পদ্ধতিতে, নোড পয়েন্টগুলির বন্টন হল গাউসিয়ান (সাধারণত সসীম দিগন্তের জন্য গাউস-লোবাটো এবং অসীম দিগন্তের জন্য গাউস-রাডাউ)। গাউসীয় বিন্দুগুলি ব্যবধানের মাঝখানে বিরল (মধ্যটি অসীম-দিগন্ত সমস্যার জন্য একটি পরিবর্তিত অর্থে সংজ্ঞায়িত করা হয়) এবং সীমানায় ঘন। সীমানার কাছাকাছি পয়েন্টের দ্বিতীয় ক্রমের সঞ্চয়ের ফলে নোড নষ্ট হওয়ার প্রভাব রয়েছে। বেলম্যান সিউডোস্পেকট্রাল পদ্ধতি প্রাথমিক বিন্দুতে নোড সঞ্চয়ের সুবিধা নিয়ে অ্যান্টি-আলিয়াস সমাধানের সুবিধা নেয় এবং অবশিষ্ট নোডগুলি ফেলে দেয়। এইভাবে নোডগুলির চূড়ান্ত বন্টন অ-গাউসিয়ান এবং ঘন হয় যখন গণনামূলক পদ্ধতি একটি বিরল কাঠামো ধরে রাখে। বেলম্যান সিউডোস্পেকট্রাল পদ্ধতিটি প্রথম প্রয়োগ করেছিলেন রস ও অন্যান্যরা। খুব কম থ্রাস্ট ট্র্যাজেক্টরি অপ্টিমাইজেশনের চ্যালেঞ্জিং সমস্যা সমাধান করা। সফলভাবে পুনঃপ্রবেশের জন্য চন্দ্র কক্ষপথ থেকে একটি পিন-পয়েন্টযুক্ত আর্থ-ইন্টারফেস অবস্থায় একটি স্পেস ক্যাপসুল আনার ট্রান্স-আর্থ-ইনজেকশন সমস্যার খুব উচ্চ নির্ভুল সমাধান তৈরির একটি ব্যবহারিক সমস্যা সমাধানের জন্য এটি সফলভাবে প্রয়োগ করা হয়েছে। বেলম্যান সিউডোস্পেকট্রাল পদ্ধতিটি সাধারণত রস-ফাহরু সিউডোস্পেকট্রাল পদ্ধতি দ্বারা উত্পন্ন একটি সিউডোস্পেকট্রাল সমাধানের অনুকূলতার উপর অতিরিক্ত পরীক্ষা হিসাবে ব্যবহৃত হয়। অর্থাৎ, রস-ফাহরু সিউডোস্পেকট্রাল পদ্ধতি দ্বারা প্রাপ্ত সমাধানগুলির সাথে পন্ট্রিয়াজিনের ন্যূনতম নীতির ব্যবহার ছাড়াও, বেলম্যান সিউডোস্পেকট্রাল পদ্ধতিটি গণনাকৃত সমাধানের অনুকূলতার উপর একটি প্রাথমিক-শুধুমাত্র পরীক্ষা হিসাবে ব্যবহৃত হয়। আরও দেখুন লেজেন্ড্রে সিউডোস্পেকট্রাল পদ্ধতি চেবিশেভ সিউডোস্পেকট্রাল পদ্ধতি সিউডোস্পেকট্রাল গিঁট পদ্ধতি রেফারেন্স সর্বোত্তম নিয়ন্ত্রণ সংখ্যাসূচক বিশ্লেষণ নিয়ন্ত্রণ তত্ত্ব