Projective bundle
গণিতে, একটি প্রজেক্টিভ বান্ডিল হল একটি ফাইবার বান্ডিল যার তন্তুগুলি প্রজেক্টিভ স্পেস। সংজ্ঞা অনুসারে, একটি নোথেরিয়ান স্কিম এস-এর উপর একটি স্কিম এক্স একটি পিএন-বান্ডিল হয় যদি এটি স্থানীয়ভাবে একটি প্রজেক্টিভ এন-স্পেস হয়; অর্থাৎ, এবং ট্রানজিশন অটোমরফিজম রৈখিক হয়। একটি নিয়মিত স্কিম এস-এর উপর যেমন একটি মসৃণ জাতের উপর, প্রতিটি প্রজেক্টিভ বান্ডিল কিছু ভেক্টর বান্ডিল (স্থানীয়ভাবে মুক্ত শিফ) ই-এর আকারে থাকে। একটি ভেক্টর বান্ডিলের প্রজেক্টিভ বান্ডিল বিভিন্ন এক্স-এর উপর প্রতিটি ভেক্টর বান্ডিল তন্তুগুলির প্রজেক্টিভ স্পেসগুলি নিয়ে একটি প্রজেক্টিভ বান্ডিল দেয়, তবে সমস্ত প্রজেক্টিভ বান্ডিলগুলি এইভাবে উত্থাপিত হয় নাঃ কোহোমোলজি গ্রুপ এইচ 2 (এক্স, ও *)-এ একটি বাধা রয়েছে। কেন তা দেখার জন্য, মনে রাখবেন যে একটি প্রজেক্টিভ বান্ডিল একটি উপযুক্ত খোলা আবরণের ডাবল ছেদগুলিতে ট্রানজিশন ফাংশন দিয়ে সজ্জিত। ট্রিপল ওভারল্যাপে, এই ট্রানজিশন ফাংশনের যে কোনও উত্তোলন একটি বিপরীতমুখী ফাংশন পর্যন্ত কোসাইকেলের অবস্থাকে সন্তুষ্ট করে। এই ফাংশনগুলির সংগ্রহ একটি 2-চক্র গঠন করে যা শুধুমাত্র H2 (X, O *)-এ অদৃশ্য হয়ে যায় যদি প্রজেক্টিভ বান্ডিলটি একটি ভেক্টর বান্ডিলের প্রজেক্টিভাইজেশন হয়। বিশেষত, যদি এক্স একটি কম্প্যাক্ট রিম্যান পৃষ্ঠ হয় তবে এইচ 2 (এক্স, ও *) = 0, এবং তাই এই বাধাটি অদৃশ্য হয়ে যায়। একটি ভেক্টর বান্ডিল E-এর প্রজেক্টিভ বান্ডিল E-এর 1-প্লেনের গ্রাসম্যান বান্ডিলের মতোই। একটি ভেক্টর বান্ডিল E-এর প্রজেক্টিভ বান্ডিল P (E) সর্বজনীন বৈশিষ্ট্য দ্বারা চিহ্নিত করা হয় যা বলেঃ একটি মরফিজম দেওয়া হয়েছে f: T → X, প্রজেকশন মানচিত্রের মাধ্যমে f-কে ফ্যাক্টরাইজ করার জন্য f * E-এর একটি লাইন সাববুন্ডল নির্দিষ্ট করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, f-কে p হিসাবে নিলে, একজন p * E-এর লাইন সাববুন্ডল O (-1) পায়, যাকে P (E)-এর উপর টাউটোলজিকাল লাইন বান্ডিল বলা হয়। উপরন্তু, এই O (-1) একটি সার্বজনীন বান্ডিল এই অর্থে যে, যখন একটি লাইন বান্ডিল L একটি ফ্যাক্টরাইজেশন f = p ° g দেয়, তখন L হল g বরাবর O (-1) এর পুলব্যাক। আরও স্পষ্টভাবে O (-1) গঠনের জন্য Cone#O (1) দেখুন। পি (ই)-তে একটি প্রাকৃতিক সঠিক ক্রম রয়েছে (যাকে টাউটোলজিকাল সঠিক ক্রম বলা হয়): যেখানে কিউ-কে টাউটোলজিকাল ভাগফল-বান্ডিল বলা হয়। ধরা যাক, এক্স এবং জি = এফ/ই-এর উপর ই এফ ভেক্টর বান্ডিল (সীমাবদ্ধ পদমর্যাদার স্থানীয়ভাবে মুক্ত শেভ)। ধরা যাক q: P (F) → X হল অভিক্ষেপ। তারপর প্রাকৃতিক মানচিত্রটি শেফ হোমের একটি বিশ্বব্যাপী বিভাগ। উপরন্তু, এই প্রাকৃতিক মানচিত্রটি এমন একটি বিন্দুতে অদৃশ্য হয়ে যায় যখন বিন্দুটি ই-তে একটি রেখা হয়; অন্য কথায়, এই বিভাগের শূন্য-অবস্থান হল পি (ই)। এই গঠনের একটি বিশেষ উপযোগী উদাহরণ হল যখন F হল E-এর সরাসরি যোগফল E ≈ 1 এবং তুচ্ছ রেখা বান্ডিল (অর্থাৎ, কাঠামোর শিফ)। তারপর পি (ই) হল পি (ই)-তে একটি হাইপারপ্লেন, যাকে অনন্ততায় হাইপারপ্লেন বলা হয়, এবং পি (ই)-এর পরিপূরককে ই দিয়ে চিহ্নিত করা যেতে পারে। এইভাবে, পি (ই)-কে ই-এর প্রজেক্টিভ সমাপ্তি (বা "কম্প্যাক্টিফিকেশন") হিসাবে উল্লেখ করা হয়। প্রজেক্টিভ বান্ডিল পি (ই) একটি লাইন বান্ডিল দ্বারা ই-কে ঘোরানোর অধীনে স্থিতিশীল; সুনির্দিষ্টভাবে, একটি লাইন বান্ডিল এল দেওয়া হলে, প্রাকৃতিক আইসোমরফিজম থাকেঃ যেমন (আসলে, ডানদিকে লাইন বান্ডিলে প্রয়োগ করা সার্বজনীন বৈশিষ্ট্য দ্বারা একজন জি পায়।) উদাহরণ প্রজেক্টিভ বান্ডিলের অনেক অ-তুচ্ছ উদাহরণ লেফশেট্জ ফাইব্রেশনের মতো ফাইব্রেশন ব্যবহার করে পাওয়া যায়। উদাহরণস্বরূপ, একটি উপবৃত্তাকার কে3 পৃষ্ঠ একটি ফাইব্রেশন সহ একটি কে3 পৃষ্ঠ, যার জন্য তন্তুগুলি সাধারণভাবে উপবৃত্তাকার বক্ররেখা। যেহেতু প্রতিটি উপবৃত্তাকার বক্ররেখা একটি বিশিষ্ট বিন্দু সহ একটি জেনাস 1 বক্ররেখা, তাই ফাইব্রেশনের একটি বিশ্বব্যাপী বিভাগ বিদ্যমান। এই বৈশ্বিক বিভাগের কারণে, ওয়েয়ারস্ট্রাস সমীকরণ দ্বারা সংজ্ঞায়িত প্রজেক্টিভ বান্ডিলকে একটি রূপবাদ দেওয়ার একটি মডেল বিদ্যমান যেখানে যথাক্রমে স্থানীয় স্থানাঙ্কের প্রতিনিধিত্ব করে এবং সহগগুলি শেভের বিভাগ। লক্ষ্য করুন যে এই সমীকরণটি সু-সংজ্ঞায়িত কারণ ওয়েয়ারস্ট্রাস সমীকরণের প্রতিটি পদের মোট ডিগ্রি রয়েছে (যার অর্থ সহগের ডিগ্রি এবং মনোমিয়ালের ডিগ্রি। উদাহরণস্বরূপ,)। কোহোমোলজি রিং এবং চাউ গ্রুপ ধরা যাক এক্স একটি জটিল মসৃণ প্রজেক্টিভ জাত এবং ই এটির উপর r র্যাঙ্কের একটি জটিল ভেক্টর বান্ডিল। ধরা যাক p: P (E) → X হল E-এর প্রজেক্টিভ বান্ডিল। তারপর কোহোমোলজি রিং H * (P (E)) হল পুলব্যাক p *-এর মাধ্যমে H * (X)-এর উপর একটি বীজগণিত। তারপর প্রথম চেরন শ্রেণী ζ = c1 (O (1)) H * (P (E)) উৎপন্ন করে যেখানে ci (E) হল E-এর i-তম চেরন শ্রেণী। এই বর্ণনার একটি আকর্ষণীয় বৈশিষ্ট্য হল যে কেউ চেরন শ্রেণীগুলিকে সম্পর্কের সহগ হিসাবে সংজ্ঞায়িত করতে পারে; এটি গ্রোথেন্ডিকের গৃহীত পদ্ধতি। জটিল ক্ষেত্র ব্যতীত অন্যান্য ক্ষেত্রের ক্ষেত্রে, কোহোমোলজি বলয়ের জায়গায় চৌ বলয়ের ক্ষেত্রেও একই বর্ণনা প্রযোজ্য (এখনও ধরে নেওয়া যায় যে এক্স মসৃণ)। বিশেষত, চৌ গোষ্ঠীগুলির জন্য, সরাসরি সমষ্টি পচন রয়েছে যেমনটি দেখা গেছে, এই পচন বৈধ থাকে এমনকি যদি এক্স মসৃণ বা প্রজেক্টিভ না হয়। বিপরীতে, আক (ই) = আক-আর (এক্স), গাইসিন সমরূপতার মাধ্যমে, নৈতিকভাবে কারণ ভেক্টর স্পেস ই-এর তন্তুগুলি সঙ্কুচিত হয়। আরও দেখুন প্রোজ নির্মাণ শঙ্কু (বীজগাণিতিক জ্যামিতি) শাসিত পৃষ্ঠ (একটি প্রজেক্টিভ বান্ডিলের উদাহরণ) সেভেরি-ব্রাউয়ার বৈচিত্র্য হিরজেব্রাচ পৃষ্ঠ রেফারেন্স বীজগাণিতিক টপোলজি বীজগাণিতিক জ্যামিতি