Hilbert–Mumford criterion
গণিতে, ডেভিড হিলবার্ট এবং ডেভিড মমফোর্ড দ্বারা প্রবর্তিত হিলবার্ট-মামফোর্ড মানদণ্ড, 1-পরামিতি উপগোষ্ঠীর আইগেনভ্যালুগুলির পরিপ্রেক্ষিতে একটি ভেক্টর স্পেসে একটি গ্রুপ ক্রিয়ার অর্ধস্থায়ী এবং স্থিতিশীল বিন্দুগুলিকে চিহ্নিত করে। স্থায়িত্বের সংজ্ঞা ধরা যাক G একটি ভেক্টর স্পেস V-এর উপর রৈখিকভাবে কাজ করা একটি হ্রাসকারী গোষ্ঠী, V-এর একটি অ-শূন্য বিন্দুকে আধা-স্থিতিশীল বলা হয় যদি 0 তার কক্ষপথের বন্ধের মধ্যে না থাকে, এবং অন্যথায় অস্থির; যদি তার কক্ষপথ বন্ধ থাকে এবং তার স্থিতিশীল সীমাবদ্ধ হয় তবে স্থিতিশীল। একটি স্থিতিশীল বিন্দু হল একটি অর্ধ-স্থিতিশীল বিন্দু। একটি আধা-স্থিতিশীল কিন্তু স্থিতিশীল নয় এমন বিন্দুকে কঠোরভাবে আধা-স্থিতিশীল বলা হয়। যখন G হল গুণনীয়ক গোষ্ঠী, যেমন। সি * জটিল পরিবেশে, ক্রিয়াটি একটি সীমাবদ্ধ মাত্রিক উপস্থাপনার সমান। আমরা V কে একটি সরাসরি যোগফলের মধ্যে বিভক্ত করতে পারি, যেখানে প্রতিটি উপাদান Vi-এর উপর ক্রিয়াটি এইভাবে দেওয়া হয়। পূর্ণসংখ্যা i কে ওজন বলা হয়। তারপর প্রতিটি বিন্দু x-এর জন্য, আমরা ওজনের সেটটি দেখি যেখানে এটির একটি অ-শূন্য উপাদান রয়েছে। যদি সমস্ত ওজন কঠোরভাবে ধনাত্মক হয়, তাহলে 0 হল x এর কক্ষপথের কাছাকাছি, অর্থাৎ। x অস্থির; যদি সমস্ত ওজন অ-ঋণাত্মক হয়, 0 একটি ওজন হয়, তবে হয় 0 একমাত্র ওজন, যে ক্ষেত্রে x কে C * দ্বারা স্থিতিশীল করা হয়; অথবা 0 এর পাশে কিছু ধনাত্মক ওজন থাকে, তাহলে সীমা x এর ওজন-0 উপাদানের সমান, যা x এর কক্ষপথে নেই। সুতরাং দুটি ঘটনা একটি স্থিতিশীল বিন্দুর সংজ্ঞায় দুটি শর্তের সংশ্লিষ্ট ব্যর্থতার সাথে ঠিক মিলে যায়, অর্থাৎ। আমরা দেখিয়েছি যে x কঠোরভাবে আধা-স্থিতিশীল। বিবৃতি হিলবার্ট-মামফোর্ড মানদণ্ড মূলত বলে যে গুণিতক গোষ্ঠীর ক্ষেত্রে সাধারণ পরিস্থিতি। সুনির্দিষ্টভাবে, একটি ভেক্টর স্পেস V-এর উপর রৈখিকভাবে কাজ করা একটি সাধারণ হ্রাসকারী গ্রুপ G-এর জন্য, একটি বিন্দু x-এর স্থায়িত্ব G-এর 1-পরামিতি উপগোষ্ঠীর অধ্যয়নের মাধ্যমে চিহ্নিত করা যেতে পারে, যা অ-তুচ্ছ অঙ্গসংস্থান। লক্ষ্য করুন যে বিপরীতের জন্য ওজনগুলি সঠিকভাবে বিয়োগের সমান, তাই বিবৃতিগুলিকে প্রতিসম করা যেতে পারে। একটি বিন্দু x অস্থির হয় যদি এবং শুধুমাত্র G-এর একটি 1-পরামিতি উপগোষ্ঠী থাকে যার জন্য x শুধুমাত্র ধনাত্মক ওজন বা শুধুমাত্র ঋণাত্মক ওজন গ্রহণ করে; সমতুল্যভাবে, x আধা-স্থিতিশীল হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি এমন কোনও 1-পরামিতি উপগোষ্ঠী না থাকে, অর্থাৎ। প্রতিটি 1-পরামিতি উপগোষ্ঠীর জন্য অ-ধনাত্মক এবং অ-ঋণাত্মক উভয় ওজনই থাকে; একটি বিন্দু x কঠোরভাবে আধা-স্থিতিশীল হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি G-এর একটি 1-পরামিতি উপগোষ্ঠী থাকে যার জন্য x ওজন হিসাবে 0 স্বীকার করে, সমস্ত ওজন অ-ঋণাত্মক (বা অ-ধনাত্মক) হয়; একটি বিন্দু x স্থিতিশীল হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি G-এর কোনও 1-পরামিতি উপগোষ্ঠী না থাকে যার জন্য x শুধুমাত্র অ-ঋণাত্মক ওজন বা শুধুমাত্র অ-ধনাত্মক ওজন গ্রহণ করে, অর্থাৎ। প্রতিটি 1-পরামিতি উপগোষ্ঠীর জন্য ধনাত্মক এবং ঋণাত্মক উভয় ওজনই রয়েছে। উদাহরণ এবং প্রয়োগ সমতলে C * এর ক্রিয়া আদর্শ উদাহরণ হল সমতলে C * এর ক্রিয়া C2 হিসাবে সংজ্ঞায়িত। স্পষ্টতই x-দিকের ওজন হল 1 এবং y-দিকের ওজন হল-1। এইভাবে হিলবার্ট-মামফোর্ড মানদণ্ড অনুসারে, x-অক্ষের একটি অ-শূন্য বিন্দু 1 কে তার একমাত্র ওজন হিসাবে স্বীকার করে এবং y-অক্ষের একটি অ-শূন্য বিন্দু-1 কে তার একমাত্র ওজন হিসাবে স্বীকার করে, তাই তারা উভয়ই অস্থির; সমতলের একটি সাধারণ বিন্দু 1 এবং-1 উভয়কেই ওজন হিসাবে স্বীকার করে, তাই এটি স্থিতিশীল। পি1-এর পয়েন্ট মডুলি সমস্যায় অনেক উদাহরণ দেখা যায়। উদাহরণস্বরূপ, P1 যুক্তিসঙ্গত বক্ররেখার উপর n বিন্দুর একটি সেট বিবেচনা করুন (আরও সুনির্দিষ্টভাবে, P1-এর একটি দৈর্ঘ্য-n সাবসিমেম)। পি1, পিএসএল (2, সি)-এর অটোমরফিজম গ্রুপ এই ধরনের সেটগুলিতে কাজ করে এবং হিলবার্ট-মামফোর্ড মানদণ্ড আমাদের এই ক্রিয়ার অধীনে স্থিতিশীলতা নির্ধারণ করতে দেয়। আমরা দুটি চলকের মধ্যে একটি ডিগ্রি-এন সমজাতীয় বহুপদী সহ n বিন্দুর একটি সেট চিহ্নিত করে সমস্যাটিকে রৈখিক করতে পারি। তাই আমরা এই ধরনের সমজাতীয় বহুপদের ভেক্টর স্পেসে এস. এল (2, সি)-এর ক্রিয়া বিবেচনা করি। একটি 1-পরামিতি উপগোষ্ঠী দেওয়া হলে, আমরা স্থানাঙ্ক x এবং y বেছে নিতে পারি যাতে P1-এর ক্রিয়াটি এইভাবে দেওয়া হয়। সুতরাং বহুপদী ধনাত্মক এবং ঋণাত্মক উভয়ই স্বীকার করে (রেসপ। অ-ধনাত্মক এবং অ-ঋণাত্মক) ওজন যদি এবং শুধুমাত্র যদি i> n/2 এবং i <n/2 (রেসপ। i ≤ n/2 এবং i ≤ n/2)। বিশেষ করে x বা y-এর গুণফল <n/2 (Reps. ≤ n/2) হওয়া উচিত। যদি আমরা সমস্ত 1-পরামিতি উপগোষ্ঠীর উপর পুনরাবৃত্তি করি, তাহলে আমরা পি1-এর সমস্ত বিন্দুর জন্য গুণের একই শর্ত পেতে পারি। হিলবার্ট-মামফোর্ড মানদণ্ড অনুসারে, বহুপদী (এবং এইভাবে n বিন্দুর সেট) স্থিতিশীল (রেসপ)। আধা-স্থিতিশীল) যদি এবং শুধুমাত্র যদি কোনও বিন্দুতে এর বহুগুণ <n/2 (রেসপ) হয়। ≤ n/2)। সমতল ঘনক্ষেত্রের স্থায়িত্ব নির্ধারণের জন্য সমজাতীয় বহুপদী ব্যবহার করে অনুরূপ বিশ্লেষণ করা যেতে পারে। হিলবার্ট-মামফোর্ড মানদণ্ড দেখায় যে একটি সমতল ঘন স্থিতিশীল হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি এটি মসৃণ হয়; এটি আধা-স্থিতিশীল হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি এটি সবচেয়ে খারাপ সাধারণ দ্বৈত বিন্দুতে একক হিসাবে স্বীকার করে; খারাপ এককত্ব সহ একটি ঘন (যেমন। একটি কুস্প) অস্থির। আরও দেখুন জ্যামিতিক অপরিবর্তনীয় তত্ত্ব জি. আই. টি ভাগফল রেফারেন্স অপরিবর্তনীয় তত্ত্ব