Method of fundamental solutions
বৈজ্ঞানিক গণনা এবং অনুকরণে, মৌলিক সমাধানের পদ্ধতি (এম. এফ. এস) হল মৌলিক সমাধানকে একটি ভিত্তি ফাংশন হিসাবে ব্যবহার করার উপর ভিত্তি করে আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সমাধান করার একটি কৌশল। এম. এফ. এস সীমানা উপাদান পদ্ধতির (বি. ই. এম) প্রধান ত্রুটিগুলি কাটিয়ে ওঠার জন্য তৈরি করা হয়েছিল যা পরিচালনা সমীকরণকে সন্তুষ্ট করতে মৌলিক সমাধানও ব্যবহার করে। ফলস্বরূপ, এম. এফ. এস এবং বি. ই. এম উভয়ই একটি সীমানা পৃথকীকরণ সংখ্যাসূচক কৌশল এবং এক মাত্রিকতা দ্বারা গণনামূলক জটিলতা হ্রাস করে এবং অসীম ডোমেন, পাতলা-প্রাচীর কাঠামো এবং বিপরীত সমস্যার সমাধানে সীমাবদ্ধ উপাদান এবং সীমাবদ্ধ আয়তন পদ্ধতির মতো ডোমেন-টাইপ সংখ্যাসূচক কৌশলগুলির উপর নির্দিষ্ট প্রান্ত রয়েছে। বিইএম-এর বিপরীতে, এমএফএস একক মৌলিক সমাধানের সংখ্যাসূচক সংহতকরণ এড়িয়ে চলে এবং এটি একটি সহজাত জালমুক্ত পদ্ধতি। যাইহোক, পদ্ধতিটি মৌলিক সমাধানের এককত্বকে ফাঁকি দেওয়ার জন্য ভৌত ক্ষেত্রের বাইরে একটি বিতর্কিত কাল্পনিক সীমানার প্রয়োজন দ্বারা আপোস করা হয়, যা বাস্তব-বিশ্বের সমস্যাগুলিতে এর প্রয়োগকে গুরুতরভাবে সীমাবদ্ধ করেছে। কিন্তু তা সত্ত্বেও এম. এফ. এস-কে অসীম ক্ষেত্রের সমস্যার মতো কিছু প্রয়োগের ক্ষেত্রে খুব প্রতিযোগিতামূলক বলে মনে করা হয়েছে। এম. এফ. এস সাহিত্যে বিভিন্ন নামেও পরিচিত, যার মধ্যে রয়েছে চার্জ সিমুলেশন পদ্ধতি, সুপারপজিশন পদ্ধতি, ডিসিনগুলারাইজড পদ্ধতি, পরোক্ষ সীমানা উপাদান পদ্ধতি এবং ভার্চুয়াল সীমানা উপাদান পদ্ধতি। এম. এফ. এস গঠন নির্দিষ্ট ধরনের সমস্যা পরিচালনাকারী একটি আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ বিবেচনা করুন যেখানে ডিফারেনশিয়াল আংশিক অপারেটর গণনামূলক ক্ষেত্রের প্রতিনিধিত্ব করে এবং যথাক্রমে ডিরিচলেট এবং নিউম্যান সীমানা নির্দেশ করে। এম. এফ. এস অপারেটরের মৌলিক সমাধানকে তার ভিত্তি ফাংশন হিসাবে নিয়োগ করে অজানা ফাংশন ইউ-এর আনুমানিক প্রতিনিধিত্ব করার জন্য নিম্নরূপ যেখানে সংযোগ বিন্দু এবং উৎস বিন্দুর মধ্যে ইউক্লিডীয় দূরত্বকে বোঝায়, এটি মৌলিক সমাধান যা সন্তুষ্ট করে যেখানে ডিরাক ডেল্টা ফাংশনকে বোঝায় এবং অজানা সহগ। ভৌত ক্ষেত্রের বাইরে অবস্থিত উৎস বিন্দুগুলির সাথে, এম. এফ. এস মৌলিক সমাধান এককত্বকে এড়িয়ে চলে। আনুমানিককে সীমানা শর্তে প্রতিস্থাপন করলে নিম্নলিখিত ম্যাট্রিক্স সমীকরণ পাওয়া যায় যেখানে এবং ডিরিচলেট এবং নিউম্যান সীমানায় যথাক্রমে সংযোগ বিন্দুগুলিকে নির্দেশ করে। উপরের বীজগাণিতিক সমীকরণ দ্বারা অজানা সহগগুলি অনন্যভাবে নির্ধারণ করা যেতে পারে। এবং তারপর আমরা ভৌত ক্ষেত্রের যে কোনও স্থানে সংখ্যাসূচক সমাধান মূল্যায়ন করতে পারি। ইতিহাস এবং সাম্প্রতিক উন্নয়ন এম. এফ. এস-এর পিছনের ধারণাগুলি প্রাথমিকভাবে 1950-এর দশকের শেষের দিকে এবং 1960-এর দশকের গোড়ার দিকে ভি. ডি. কুপ্রাডজে এবং এম. এ. অ্যালেক্সিডজে দ্বারা বিকশিত হয়েছিল। যাইহোক, পদ্ধতিটি প্রথম গণনামূলক কৌশল হিসাবে প্রস্তাব করা হয়েছিল অনেক পরে আর ম্যাথন এবং আর এল জনস্টন দ্বারা 1970-এর দশকের শেষের দিকে, তারপরে ম্যাথন, জনস্টন এবং গ্রায়েম ফেয়ারওয়েদার দ্বারা বেশ কয়েকটি গবেষণাপত্র প্রয়োগ করা হয়েছিল। এম. এফ. এস তারপর ধীরে ধীরে বিভিন্ন ধরনের শারীরিক ও প্রকৌশল সমস্যার সমাধানের জন্য একটি দরকারী হাতিয়ার হয়ে ওঠে। 1990-এর দশকে, এম. এ. গোলবার্গ এবং সি. এস. চেন অসম সমীকরণ এবং সময়-নির্ভর সমস্যাগুলি মোকাবেলা করার জন্য এম. এফ. এস-কে প্রসারিত করেছিলেন, যার প্রয়োগযোগ্যতা ব্যাপকভাবে প্রসারিত হয়েছিল। পরবর্তী উন্নয়নগুলি ইঙ্গিত দেয় যে পরিবর্তনশীল সহগগুলির সাথে আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলি সমাধান করতে এম. এফ. এস ব্যবহার করা যেতে পারে। বিপরীত, সীমাহীন ক্ষেত্র এবং মুক্ত-সীমানা সমস্যার মতো নির্দিষ্ট শ্রেণীর সমস্যার ক্ষেত্রে এম. এফ. এস বিশেষভাবে কার্যকর প্রমাণিত হয়েছে। এম. এফ. এস-এ কাল্পনিক সীমানা সমস্যা নিরাময়ের জন্য কিছু কৌশল তৈরি করা হয়েছে, যেমন সীমানা গাঁট পদ্ধতি, একক সীমানা পদ্ধতি এবং নিয়মিত জালহীন পদ্ধতি। আরও দেখুন রেডিয়াল বেসিস ফাংশন বাউন্ডারি এলিমেন্ট মেথড বাউন্ডারি নট মেথড বাউন্ডারি পার্টিকল মেথড সিঙ্গুলার বাউন্ডারি মেথড রেগুলারাইজড মেশলেস মেথড রেফারেন্স এক্সটার্নাল লিঙ্ক ইন্টারন্যাশনাল সেন্টার ফর নিউমেরিকাল সিমুলেশন সফ্টওয়্যার ইন ইঞ্জিনিয়ারিং অ্যান্ড সায়েন্সেস নিউমেরিকাল অ্যানালাইসিস নিউমেরিকাল ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশন