Tate curve
গণিতে, টেট বক্ররেখা হল পূর্ণসংখ্যা সহগের সাথে আনুষ্ঠানিক শক্তি সিরিজের বলয়ের উপর সংজ্ঞায়িত একটি বক্ররেখা। খোলা সাবসিমে যেখানে q বিপরীতমুখী, সেখানে টেট বক্ররেখা একটি উপবৃত্তাকার বক্ররেখা। টেট বক্ররেখাটি q-এর জন্য 1-এর চেয়ে কম আদর্শের সম্পূর্ণ ক্ষেত্রের একটি উপাদান হিসাবেও সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে, যে ক্ষেত্রে আনুষ্ঠানিক শক্তি সিরিজ একত্রিত হয়। টেট বক্ররেখা 1959 সালের একটি পাণ্ডুলিপিতে প্রবর্তন করা হয়েছিল যার মূল শিরোনাম ছিল "সম্পূর্ণ ক্ষেত্রের উপর উপবৃত্তাকার বক্ররেখার উপর যুক্তিসঙ্গত পয়েন্ট"; বহু বছর পরেও তিনি তাঁর ফলাফল প্রকাশ করেননি, এবং তাঁর কাজ প্রথম প্রকাশিত হয়েছিল। সংজ্ঞা টেট বক্ররেখা হল ফর্মাল পাওয়ার সিরিজের Z বলয়ের উপর প্রজেক্টিভ সমতল বক্ররেখা যা সমীকরণ দ্বারা প্রদত্ত পূর্ণসংখ্যা সহগগুলির সাথে (প্রজেক্টিভ সমতলের একটি অ্যাফাইন ওপেন উপসেটে) যেখানে পূর্ণসংখ্যা সহগগুলির সাথে পাওয়ার সিরিজ রয়েছে। একটি সম্পূর্ণ ক্ষেত্রের উপর টেট বক্ররেখা ধরুন যে ক্ষেত্র k কিছু পরম মান।।-এর সাপেক্ষে সম্পূর্ণ, এবং q হল ক্ষেত্র k-এর একটি অ-শূন্য উপাদান যার |q। <1 রয়েছে। তারপর উপরের সিরিজটি একত্রিত হয় এবং k-এর উপর একটি উপবৃত্তাকার বক্ররেখা সংজ্ঞায়িত করে। যদি যোগফলস্বরূপ q শূন্য না হয় তবে k */qZ থেকে এই উপবৃত্তাকার বক্ররেখা পর্যন্ত গোষ্ঠীগুলির একটি সমরূপতা রয়েছে, যা q-এর ঘাত নয়, যেখানে q-এর ঘাতকে উপবৃত্তাকার বক্ররেখার অনন্ত বিন্দুতে নিয়ে যায়। এক্স (ডাব্লু) এবং ওয়াই (ডাব্লু) সিরিজগুলি ডাব্লু-তে আনুষ্ঠানিক শক্তি সিরিজ নয়। স্বজ্ঞাত উদাহরণ সম্পূর্ণ ক্ষেত্রের উপর বক্ররেখার ক্ষেত্রে, কল্পনা করার জন্য সবচেয়ে সহজ কেস হল, যেখানে একটি গুণিতক সময়কাল দ্বারা উত্পন্ন বিচ্ছিন্ন উপগোষ্ঠী, যেখানে সময়কাল। লক্ষ্য করুন যেটি সমরূপ, যেখানে যোগের অধীনে জটিল সংখ্যাগুলি রয়েছে। কেন টেট বক্ররেখা নৈতিকভাবে একটি টরাসের সাথে মিলে যায় তা দেখার জন্য যখন ক্ষেত্রটি স্বাভাবিক নিয়মের সাথে সি হয়, ইতিমধ্যে এককভাবে পর্যায়ক্রমিক হয়; q এর অবিচ্ছেদ্য শক্তি দ্বারা আপনি সংশোধন করছেন, যা একটি টরাস। অন্য কথায়, আমাদের একটি অ্যানুলাস আছে, এবং আমরা অভ্যন্তরীণ এবং বাইরের প্রান্তগুলি আঠালো করি। কিন্তু অ্যানুলাস বৃত্ত বিয়োগ একটি বিন্দুর সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ নয়ঃ অ্যানুলাস হল q এর দুটি ধারাবাহিক শক্তির মধ্যে জটিল সংখ্যার সেট; 1 এবং q এর মধ্যে মাত্রা সহ সমস্ত জটিল সংখ্যা বলুন। এটি আমাদের দুটি বৃত্ত দেয়, অর্থাৎ, একটি অ্যানুলাসের অভ্যন্তরীণ এবং বাইরের প্রান্ত। এখানে দেওয়া টোরাসের চিত্রটি খোদাই করা বৃত্তগুলির একটি গুচ্ছ যা উৎপত্তির কাছাকাছি আসার সাথে সাথে সংকীর্ণ এবং সংকীর্ণ হয়ে উঠছে। এটি কাগজের একটি সমতল শীট দিয়ে শুরু হওয়া সাধারণ পদ্ধতির থেকে কিছুটা আলাদা, এবং একটি সিলিন্ডার তৈরি করার জন্য পার্শ্বগুলি একসাথে আঠালো করে, এবং তারপরে একটি টরাস তৈরি করার জন্য সিলিন্ডারের প্রান্তগুলি একসাথে আঠালো করে। এটি সামান্য সরলীকরণ করা হয়েছে। টেট বক্ররেখা আসলে সি-এর উপর বক্ররেখার পরিবর্তে একটি আনুষ্ঠানিক পাওয়ার সিরিজ রিংয়ের উপর একটি বক্ররেখা। স্বজ্ঞাতভাবে, এটি একটি আনুষ্ঠানিক পরামিতি উপর নির্ভর করে বক্ররেখার একটি পরিবার। যখন সেই আনুষ্ঠানিক পরামিতিটি শূন্য হয় তখন এটি একটি পিঞ্চড টরাসে অবনমিত হয় এবং যখন এটি ননজিরো হয় তখন এটি একটি টরাস হয়)। বৈশিষ্ট্য টেট বক্ররেখার জে-ইনভ্যারিয়েন্টটি q-এ একটি পাওয়ার সিরিজ দ্বারা দেওয়া হয় যার শীর্ষস্থানীয় পদ q−1। একটি পি-অ্যাডিক স্থানীয় ক্ষেত্রের উপর, তাই, জে অ-ইন্টিগ্রাল এবং টেট বক্ররেখার গুণগত প্রকারের অর্ধ-হ্রাস রয়েছে। বিপরীতভাবে, একটি স্থানীয় ক্ষেত্রের উপর প্রতিটি অর্ধস্থায়ী উপবৃত্তাকার বক্ররেখা একটি টেট বক্ররেখার সমতুল্য (দ্বিঘাত মোড় পর্যন্ত)। তথ্যসূত্র উপবৃত্তাকার বক্ররেখা