Classical capacity
কোয়ান্টাম তথ্য তত্ত্বে, একটি কোয়ান্টাম চ্যানেলের ধ্রুপদী ক্ষমতা হল সেই সর্বোচ্চ হার যেখানে চ্যানেলের অনেক ব্যবহারের সীমার মধ্যে শাস্ত্রীয় তথ্য ত্রুটি-মুক্তভাবে পাঠানো যেতে পারে। হোলেভো, শুমাখার এবং ওয়েস্টমোরল্যান্ড যে কোনও কোয়ান্টাম চ্যানেলের ধ্রুপদী ক্ষমতার উপর নিম্নোক্ত ন্যূনতম ঊর্ধ্বসীমা প্রমাণ করেছেনঃ যেখানে নিম্নলিখিত রূপের একটি ধ্রুপদী-পরিমাণ অবস্থাঃ একটি সম্ভাব্যতা বন্টন, এবং প্রতিটি একটি ঘনত্ব অপারেটর যা চ্যানেলে ইনপুট হতে পারে। ক্রমিক ডিকোডিং ব্যবহার করে অর্জনযোগ্যতা আমরা এইচএসডাব্লু কোডিং উপপাদ্যটি সংক্ষেপে পর্যালোচনা করি (একটি কোয়ান্টাম চ্যানেলের মাধ্যমে শাস্ত্রীয় তথ্য যোগাযোগের জন্য হোলেভো তথ্য হারের অর্জনের বিবৃতি)। আমরা প্রথমে উপপাদ্যটির জন্য প্রয়োজনীয় ন্যূনতম পরিমাণ কোয়ান্টাম মেকানিক্স পর্যালোচনা করি। তারপরে আমরা কোয়ান্টাম বৈশিষ্ট্যটি কভার করি এবং অবশেষে আমরা সাম্প্রতিক ক্রমিক ডিকোডিং কৌশল ব্যবহার করে উপপাদ্যটি প্রমাণ করি। কোয়ান্টাম মেকানিক্সের পর্যালোচনা এইচএসডাব্লু কোডিং উপপাদ্য প্রমাণ করার জন্য, আমাদের আসলে কোয়ান্টাম মেকানিক্স থেকে কয়েকটি মৌলিক জিনিস প্রয়োজন। প্রথমত, একটি কোয়ান্টাম অবস্থা হল একটি একক ট্রেস, ধনাত্মক অপারেটর যা ঘনত্ব অপারেটর হিসাবে পরিচিত। সাধারণত, আমরা এটিকে,, ইত্যাদি দ্বারা চিহ্নিত করি। একটি কোয়ান্টাম চ্যানেলের জন্য সবচেয়ে সহজ মডেলটি ক্লাসিকাল-কোয়ান্টাম চ্যানেল হিসাবে পরিচিতঃ উপরের স্বরলিপির অর্থ হল ট্রান্সমিটিং প্রান্তে ক্লাসিকাল অক্ষরটি ইনপুট করা রিসিভিং প্রান্তে একটি কোয়ান্টাম অবস্থার দিকে নিয়ে যায়। প্রেরকের ইনপুট নির্ধারণের জন্য একটি পরিমাপ সম্পাদন করা প্রাপকের কাজ। যদি এটি সত্য হয় যে অবস্থাগুলি একে অপরের থেকে পুরোপুরি আলাদা করা যায় (অর্থাৎ, যদি তাদের জন্য অর্থোগোনাল সমর্থন থাকে), তবে চ্যানেলটি একটি শব্দহীন চ্যানেল। আমরা এমন পরিস্থিতিতে আগ্রহী যার ক্ষেত্রে এটি হয় না। যদি এটি সত্য হয় যে সমস্ত রাজ্যগুলি একে অপরের সাথে যাতায়াত করে, তবে এটি কার্যকরভাবে একটি ধ্রুপদী চ্যানেলের পরিস্থিতির সাথে অভিন্ন, তাই আমরাও এই পরিস্থিতিতে আগ্রহী নই। সুতরাং, আমরা যে পরিস্থিতিতে আগ্রহী তা হল যে রাজ্যে ওভারল্যাপিং সমর্থন রয়েছে এবং অ-বিনিময়যোগ্য। একটি কোয়ান্টাম পরিমাপ বর্ণনা করার সবচেয়ে সাধারণ উপায় হল একটি ধনাত্মক অপারেটর-মূল্যবান পরিমাপ (পিওভিএম)। আমরা সাধারণত একটি পিওভিএম-এর উপাদানগুলিকে হিসাবে চিহ্নিত করি। এই অপারেটরদের একটি বৈধ পিওভিএম গঠনের জন্য ইতিবাচকতা এবং সম্পূর্ণতা সন্তুষ্ট করা উচিতঃ কোয়ান্টাম মেকানিক্সের সম্ভাবনাময় ব্যাখ্যায় বলা হয়েছে যে যদি কেউ পিওভিএম-এর সাথে সম্পর্কিত একটি পরিমাপ যন্ত্র ব্যবহার করে একটি কোয়ান্টাম অবস্থা পরিমাপ করে, তবে ফলাফল পাওয়ার সম্ভাবনা সমান এবং পরিমাপ-পরবর্তী অবস্থা হল যদি পরিমাপকারী ব্যক্তি ফলাফল অর্জন করে। এই নিয়মগুলি আমাদের জন্য সি কিউ চ্যানেলের মাধ্যমে ধ্রুপদী যোগাযোগ পরিকল্পনা বিবেচনা করার জন্য যথেষ্ট। কোয়ান্টাম বৈশিষ্ট্য পাঠক সাধারণ সাবস্পেস সম্পর্কে নিবন্ধে এই বিষয়টির একটি ভাল পর্যালোচনা খুঁজে পেতে পারেন। ভদ্র অপারেটর লেম্মা আমাদের প্রমাণের জন্য নিম্নলিখিত লেম্মাটি গুরুত্বপূর্ণ। এটি দেখায় যে একটি পরিমাপ যা গড়ে উচ্চ সম্ভাবনার সাথে সফল হয় তা রাজ্যকে গড়ে খুব বেশি বিঘ্নিত করে নাঃ লেমমাঃ [শীতকালীন] প্রত্যাশিত ঘনত্ব অপারেটরের সাথে একটি এনসেম্বল দেওয়া হলে, ধরুন যে কোনও অপারেটর যে অবস্থায় উচ্চ সম্ভাবনার সাথে সফল হয়ঃ তাহলে সাব-নর্মালাইজড অবস্থাটি মূল অবস্থার প্রত্যাশিত ট্রেস দূরত্বে কাছাকাছি থাকেঃ (নোট করুন যে অপারেটরের পারমাণবিক আদর্শ যাতে ট্র।) নিম্নলিখিত বৈষম্য আমাদের জন্যও উপকারী। এটি যে কোনও অপারেটরের জন্য প্রযোজ্য, যেমনঃ উপরের বৈষম্যের কোয়ান্টাম তথ্য-তাত্ত্বিক ব্যাখ্যাটি হল যে অবস্থার উপর কার্যকরী একটি কোয়ান্টাম পরিমাপ থেকে ফলাফল পাওয়ার সম্ভাবনা দুটি অবস্থার পার্থক্যের সাথে সংক্ষেপে অবস্থার উপর ফলাফল পাওয়ার সম্ভাবনা দ্বারা সীমাবদ্ধ। নন-কমিউটেটিভ ইউনিয়ন বাউন্ড লেমাঃ [সেনের বাউন্ড] নিম্নলিখিত সীমাটি একটি সাব-নর্মালাইজড অবস্থার জন্য ধারণ করে যেমন এবং প্রজেক্টর হওয়ার সাথেঃ আমরা সেনের বাউন্ডকে একটি "নন-কমিউটেটিভ ইউনিয়ন বাউন্ড" হিসাবে ভাবতে পারি কারণ এটি সম্ভাব্যতা তত্ত্ব থেকে আবদ্ধ নিম্নলিখিত ইউনিয়নের অনুরূপঃ ঘটনাগুলি কোথায়। প্রজেক্টর লজিকের জন্য অনুরূপ সীমা হবে যদি আমরা সাবস্পেসের ছেদস্থলে প্রজেক্টর হিসাবে চিন্তা করি। যদিও, উপরের সীমাটি কেবল তখনই প্রযোজ্য যদি প্রজেক্টরগুলি যাতায়াত করে (বেছে নেয়, এবং একটি পাল্টা উদাহরণ দেয়)। যদি প্রজেক্টরগুলি যাতায়াত না করে, তবে সেনের বন্ধন পরবর্তী সেরা জিনিস এবং এখানে আমাদের উদ্দেশ্যে যথেষ্ট। আমরা এখন সেনের নন-কমিউটেটিভ ইউনিয়ন বাউন্ডের সাথে এইচএসডাব্লু উপপাদ্যটি প্রমাণ করি। আমরা প্রমাণটিকে কয়েকটি অংশে ভাগ করিঃ কোডবুক তৈরি, পিওভিএম নির্মাণ এবং ত্রুটি বিশ্লেষণ। কোডবুক জেনারেশন। আমরা প্রথমে বর্ণনা করি কিভাবে অ্যালিস এবং বব কোডের এলোমেলো পছন্দের বিষয়ে একমত হয়। তাদের চ্যানেল এবং একটি বিতরণ রয়েছে। তারা আই. আই. ডি. বন্টন অনুযায়ী ধ্রুপদী ক্রম নির্বাচন করে। এগুলি নির্বাচন করার পরে, তারা এগুলিকে সূচক হিসাবে চিহ্নিত করে। এটি নিম্নলিখিত কোয়ান্টাম কোডওয়ার্ডগুলির দিকে পরিচালিত করেঃ কোয়ান্টাম কোডবুকটি তখন হয়। কোডবুকের গড় অবস্থা তখন কোথায় থাকে। পিওভিএম নির্মাণ। উপরের লেম্মা থেকে আবদ্ধ 'সেন্স' ববকে অ্যালিস প্রেরণ করে এমন একটি অবস্থা ডিকোড করার জন্য একটি পদ্ধতির পরামর্শ দেয়। ববের প্রথমে জিজ্ঞাসা করা উচিত "গৃহীত অবস্থা কি গড় সাধারণ সাবস্পেসে রয়েছে?" তিনি একটি সাধারণ সাবস্পেস পরিমাপ সম্পাদন করে কার্যকরীভাবে এটি করতে পারেন। এরপরে, তিনি ক্রমিক ক্রমে জিজ্ঞাসা করেন, "প্রাপ্ত কোডওয়ার্ডটি কি শর্তাধীনভাবে সাধারণ সাবস্পেসে রয়েছে?" এটি কিছু অর্থে এই প্রশ্নের সমতুল্য, "প্রাপ্ত কোডওয়ার্ড কি প্রেরিত কোডওয়ার্ড?" শর্তসাপেক্ষ সাধারণ প্রজেক্টরগুলির সাথে সম্পর্কিত পরিমাপগুলি সম্পাদন করে তিনি এই প্রশ্নগুলি কার্যকরীভাবে জিজ্ঞাসা করতে পারেন। কেন এই ক্রমিক ডিকোডিং পদ্ধতিটি ভালভাবে কাজ করবে? কারণটি হল যে প্রেরিত কোডওয়ার্ডটি গড়ে সাধারণ সাবস্পেসে রয়েছেঃ যেখানে অসমতা (\ref {eq: 1st-type-প্রপ}) থেকে অনুসরণ করা হয়। এছাড়াও, প্রজেক্টরগুলি অবস্থার জন্য (গড়ে) "ভাল আবিষ্কারক" কারণ নিম্নলিখিত শর্তটি শর্তাধীন কোয়ান্টাম বৈশিষ্ট্য থেকে ধারণ করেঃ ত্রুটি বিশ্লেষণ। আমাদের ক্রমিক ডিকোডিং স্কিমের অধীনে কোডওয়ার্ডটি সঠিকভাবে সনাক্ত করার সম্ভাবনা আমরা যেখানে সংক্ষেপণ করি তার সমান। (লক্ষ্য করুন যে আমরা গড় সাধারণ সাবস্পেসে মাত্র একবার প্রজেক্ট করি।) সুতরাং, কোডওয়ার্ডের জন্য ভুল সনাক্তকরণের সম্ভাবনা দ্বারা দেওয়া হয় এবং এই পরিকল্পনার গড় ত্রুটির সম্ভাবনা সমান হয় গড় ত্রুটির সম্ভাবনা বিশ্লেষণ করার পরিবর্তে, আমরা গড় ত্রুটির সম্ভাবনার প্রত্যাশা বিশ্লেষণ করি, যেখানে কোডের এলোমেলো পছন্দের ক্ষেত্রে প্রত্যাশা থাকেঃ আমাদের প্রথম পদক্ষেপটি হল উপরের পরিমাণের সাথে সেনের বন্ধন প্রয়োগ করা। কিন্তু এটি করার আগে, আমাদের উপরের অভিব্যক্তিটি সামান্যভাবে পুনর্লিখন করা উচিত, পর্যবেক্ষণ করে যে ()-এ প্রতিস্থাপন করলে (এবং এখনকার জন্য ছোট শব্দটি ভুলে যাওয়া) 'আমরা'-এর একটি উপরের সীমা দেয় তারপর এই অভিব্যক্তিটির সাথে সেনের বন্ধন এবং ক্রমানুসারে প্রজেক্টরগুলি ',.,' হিসাবে প্রয়োগ করুন। এটি উপরের সীমা দেয় বর্গমূলের অবতলতার কারণে, আমরা এই অভিব্যক্তিটি উপর থেকে বাঁধতে পারি যেখানে দ্বিতীয় সীমাটি কোডওয়ার্ডের সমান নয় এমন সমস্ত কোডওয়ার্ডের উপর যোগ করে অনুসরণ করে (এই যোগফলটি কেবল বড় হতে পারে)। আমরা এখন একচেটিয়াভাবে দেখানোর দিকে মনোনিবেশ করি যে বর্গমূলের ভিতরের শব্দটিকে ছোট করা যেতে পারে। প্রথম পদটি বিবেচনা করুনঃ যেখানে প্রথম অসমতা () থেকে অনুসরণ করে এবং দ্বিতীয় অসমতা মৃদু অপারেটর লেম্মা এবং নিঃশর্ত এবং শর্তাধীন বৈশিষ্ট্যগুলি থেকে অনুসরণ করে। এখন দ্বিতীয় পদ এবং বৈষম্যের নিম্নলিখিত শৃঙ্খলটি বিবেচনা করুনঃ প্রথম সমতা অনুসরণ করে কারণ কোডওয়ার্ডগুলি এবং স্বাধীন কারণ সেগুলি আলাদা। দ্বিতীয় সমতা () থেকে আসে। প্রথম বৈষম্যটি (\ref {eq: 3য়-প্রকার-প্রস্তাব}) থেকে অনুসরণ করা হয়। অব্যাহতভাবে, আমাদের প্রথম অসমতা অনুসরণ করে এবং প্রত্যাশার সাথে ট্রেস বিনিময় করে। দ্বিতীয় বৈষম্যটি (\ref {eq: 2য়-দ্বিতীয়-প্রকার}) থেকে আসে। পরের দুটো সোজাসুজি। সবকিছু একসাথে রেখে, আমরা গড় ত্রুটির সম্ভাবনার প্রত্যাশার উপর আমাদের চূড়ান্ত সীমাবদ্ধতা পাইঃ সুতরাং, যতক্ষণ আমরা বেছে নিই, ততক্ষণ ত্রুটির সম্ভাবনা বিলুপ্ত হওয়ার সাথে একটি কোড বিদ্যমান। আরও দেখুন এনট্যাঙ্গলমেন্ট-অ্যাসিস্টেড ক্লাসিকাল ক্যাপাসিটি কোয়ান্টাম ক্যাপাসিটি কোয়ান্টাম ইনফরমেশন থিওরি সাধারণ সাবস্পেস রেফারেন্স। । । । কোয়ান্টাম তথ্য তত্ত্ব গণনার সীমাবদ্ধতা