Bipolar theorem
গণিতে, দ্বিমেরু উপপাদ্য হল কার্যকরী বিশ্লেষণের একটি উপপাদ্য যা একটি সেটের দ্বিমেরু (অর্থাৎ মেরুর মেরু) কে চিহ্নিত করে। উত্তল বিশ্লেষণে, দ্বিমেরু উপপাদ্য একটি শঙ্কু তার দ্বিমেরু সমতুল্য হওয়ার জন্য প্রয়োজনীয় এবং পর্যাপ্ত শর্তকে বোঝায়। দ্বিমেরু উপপাদ্যকে ফেঞ্চেল-মোরেউ উপপাদ্যের একটি বিশেষ উদাহরণ হিসাবে দেখা যেতে পারে। প্রিলিমিনারি ধরুন এটি একটি টপোলজিক্যাল ভেক্টর স্পেস (টিভিএস) যার একটি অবিচ্ছিন্ন দ্বৈত স্থান রয়েছে এবং সকলের জন্য যাক এবং দ্বারা চিহ্নিত একটি সেটের উত্তল কাঠামো হল ক্ষুদ্রতম উত্তল সেট যার মধ্যে একটি সেটের উত্তল ভারসাম্যপূর্ণ কাঠামো হল ক্ষুদ্রতম উত্তল ভারসাম্যপূর্ণ সেট। একটি উপসেট এর মেরু হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়ঃ যেখানে একটি উপসেট এর প্রাক-মেরু হয়ঃ একটি উপসেট এর দ্বিপদী প্রায়শই দ্বারা চিহ্নিত করা হয় কার্যকরী বিশ্লেষণে সেট বিবৃতি আসুন দুর্বল টপোলজিকে নির্দেশ করি (অর্থাৎ, সমস্ত রৈখিক ক্রিয়াকলাপকে অবিচ্ছিন্ন করার ক্ষেত্রে দুর্বলতম টিভিএস টপোলজি)। বাইপোলার উপপাদ্যঃ একটি উপসেটের বাইপোলার কনজুগেট উত্তল বিশ্লেষণে বিবৃতির উত্তল ভারসাম্যযুক্ত হুলের-ক্লোজারের সমান হয় বাইপোলার উপপাদ্যঃ কোনও রৈখিক স্থানে যে কোনও অ-খালি শঙ্কু জন্য বাইপোলার সেটটি এইভাবে দেওয়া হয়ঃ বিশেষ ক্ষেত্রে একটি উপসেট একটি অ-খালি বদ্ধ উত্তল শঙ্কু হয় যদি এবং কেবল তখনই যখন কোনও সেটের ধনাত্মক দ্বৈত শঙ্কু বোঝায় বা আরও সাধারণভাবে, যদি একটি অ-খালি উত্তল শঙ্কু হয় তবে বাইপোলার শঙ্কুটি ফেনচেল-মোরেউ উপপাদ্যের সাথে সম্পর্ক দ্বারা দেওয়া হয়। তথ্যসূত্র গ্রন্থপঞ্জি উত্তল বিশ্লেষণ কার্যকরী বিশ্লেষণ বিশ্লেষণের উপপাদ্য রৈখিক কার্যকারিতা