Bring's curve
গণিতে, ব্রিঙ্গের বক্ররেখা (যাকে ব্রিঙ্গের পৃষ্ঠও বলা হয় এবং ক্লেইন কোয়ার্টিকের সাথে সাদৃশ্যপূর্ণভাবে, ব্রিঙ্গ সেক্সটিক) হল সমজাতীয় সমীকরণ দ্বারা কাটা বক্ররেখা যার নামকরণ করা হয়েছিল এরল্যান্ড স্যামুয়েল ব্রিঙ্গের নামে যিনি 1786 সালে লুন্ড বিশ্ববিদ্যালয়ে জমা দেওয়া প্রোমোশনস্ক্রিফ্টে অনুরূপ নির্মাণ অধ্যয়ন করেছিলেন। লক্ষ্য করুন যে ব্রিঙ কুইন্টিকের মূল xi ব্রিঙের বক্ররেখাকে সন্তুষ্ট করে কারণ বক্ররেখার অটোমরফিজম গ্রুপ হল 120 ক্রমের প্রতিসম গ্রুপ S5, যা 5টি স্থানাঙ্কের বিন্যাস দ্বারা দেওয়া হয়। এটি একটি 4 নং জটিল বক্ররেখার বৃহত্তম সম্ভাব্য অটোমরফিজম গ্রুপ। বক্ররেখাটি 12টি বিন্দুতে শাখাযুক্ত গোলকের ট্রিপল আবরণ হিসাবে উপলব্ধি করা যেতে পারে এবং এটি ছোট স্টেলেটেড ডোডেকাহেড্রনের সাথে যুক্ত রিম্যান পৃষ্ঠ। এর 4 নং গণ রয়েছে। প্রতিসাম্যের সম্পূর্ণ গোষ্ঠী (প্রতিফলন সহ) হল সরাসরি গুণফল, যার ক্রম 240। মৌলিক ক্ষেত্র এবং সিস্টোলের বক্ররেখা একটি হাইপারবোলিক আইকোসাগনের পার্শ্বগুলিকে সংযুক্ত করে রিমান পৃষ্ঠ হিসাবে পাওয়া যেতে পারে (মৌলিক বহুভুজ দেখুন)। সনাক্তকরণ প্যাটার্নটি সংলগ্ন রেখাচিত্রে দেওয়া হয়েছে। আইকোসাগন (আয়তনের, গাউস-বনেট উপপাদ্য দ্বারা) 240 (2,4,5) ত্রিভুজ দ্বারা চিহ্নিত করা যেতে পারে। যে ক্রিয়াগুলি এই ত্রিভুজগুলির একটিকে অন্য ত্রিভুজে পরিবহন করে তা পৃষ্ঠের অটোমরফিজমের সম্পূর্ণ গ্রুপ (প্রতিফলন সহ) দেয়। প্রতিফলনগুলিতে ছাড় দিয়ে, আমরা ভূমিকায় উল্লিখিত 120টি অটোমরফিজম পাই। লক্ষ্য করুন যে 120 হল 252-এর চেয়ে কম, হারউইট্জের অটোমরফিজম উপপাদ্য অনুসারে, 4 নং গণের পৃষ্ঠের জন্য অনুমোদিত অটোমরফিজম সংরক্ষণের সর্বাধিক সংখ্যা। অতএব, ব্রিঙের পৃষ্ঠটি হারউইৎজ পৃষ্ঠ নয়। এটি আমাদের আরও জানায় যে 4 নং গণের হারউইৎজ পৃষ্ঠের অস্তিত্ব নেই। প্রতিসাম্যের পূর্ণ গোষ্ঠীর নিম্নলিখিত উপস্থাপনা রয়েছেঃ, যেখানে আইডেন্টিটি ক্রিয়া, মৌলিক বহুভুজের কেন্দ্র সম্পর্কে ক্রম 5-এর একটি ঘূর্ণন, শীর্ষে ক্রম 2-এর একটি ঘূর্ণন যেখানে 4 (2,4,5) ত্রিভুজগুলি টেসেলেশনে মিলিত হয় এবং বাস্তব রেখায় প্রতিফলিত হয়। এই উপস্থাপনা থেকে, জি. এ. পি ব্যবহার করে ব্রিঙের পৃষ্ঠের প্রতিসাম্য গোষ্ঠীর রৈখিক উপস্থাপনা তত্ত্ব সম্পর্কে তথ্য গণনা করা যেতে পারে। বিশেষত, এই গোষ্ঠীর চারটি 1-মাত্রিক, চারটি 4-মাত্রিক, চারটি 5-মাত্রিক এবং দুটি 6-মাত্রিক অপরিবর্তনীয় উপস্থাপনা রয়েছে এবং আমাদের প্রত্যাশা অনুযায়ী রয়েছে। পৃষ্ঠের সিস্টোলের দৈর্ঘ্য এবং বহুগুণ 20, সেই দৈর্ঘ্যের একটি জিওডেসিক লুপ যা 240 (2,4,5) ত্রিভুজের বারোটির সংযুক্ত উচ্চতার সমন্বয়ে গঠিত। একইভাবে ক্লেইন কোয়ার্টিকের মতো, ব্রিঙের পৃষ্ঠ তার টপোলজিকাল বিভাগে (অর্থাৎ, একই প্রজাতির পৃষ্ঠতল) কম্প্যাক্ট রিম্যান পৃষ্ঠের মধ্যে সিস্টোলের দৈর্ঘ্য সর্বাধিক করে না যদিও অটোমরফিজম গ্রুপের আকার সর্বাধিক করে। সিস্টোলটি সম্ভবত একটি এম 4 ইঞ্চি হিসাবে উল্লেখ করা পৃষ্ঠ দ্বারা সর্বাধিক করা হয়। এম4-এর সিস্টোলের দৈর্ঘ্য 36 এবং এর গুণিতক রয়েছে। বর্ণালী তত্ত্ব ব্রিঙের পৃষ্ঠের বর্ণালী তত্ত্ব সম্পর্কে খুব কমই জানা যায়, তবে এটি এই ক্ষেত্রে সম্ভাব্য আগ্রহের বিষয় হতে পারে। বোলজা পৃষ্ঠ এবং ক্লেইন কোয়ার্টিকের যথাক্রমে জেনেরা 2 এবং 3-এ ধ্রুবক ঋণাত্মক বক্রতার কম্প্যাক্ট রিমান পৃষ্ঠগুলির মধ্যে বৃহত্তম প্রতিসাম্য গোষ্ঠী রয়েছে এবং এইভাবে এটি অনুমান করা হয়েছে যে তারা ল্যাপ্লাস বর্ণালীতে প্রথম ধনাত্মক আইগেনভ্যালু সর্বাধিক করে। এই অনুমানকে সমর্থন করার জন্য শক্তিশালী সংখ্যাসূচক প্রমাণ রয়েছে, বিশেষ করে বোলজা পৃষ্ঠের ক্ষেত্রে, যদিও একটি কঠোর প্রমাণ প্রদান করা এখনও একটি উন্মুক্ত সমস্যা। এই প্যাটার্ন অনুসরণ করে, কেউ যুক্তিসঙ্গতভাবে অনুমান করতে পারে যে ব্রিং-এর পৃষ্ঠটি ল্যাপলেসিয়ানের প্রথম ধনাত্মক আইগেনভ্যালু (তার টপোলজিকাল শ্রেণীর পৃষ্ঠগুলির মধ্যে) সর্বাধিক করে। আরও দেখুন বোলজা পৃষ্ঠের ক্লেইন কোয়ার্টিক ম্যাকবিথ পৃষ্ঠ প্রথম হারউইৎজ ত্রয়ী রেফারেন্স বীজগাণিতিক বক্ররেখা