Thomae's formula
গণিতে, থমার সূত্র হল একটি সূত্র যা একটি উপবৃত্তাকার বক্ররেখার শাখা বিন্দুর সাথে থিটা ধ্রুবক সম্পর্কিত করে প্রবর্তিত হয়। ইতিহাস 1824 সালে আবেল-রুফিনি উপপাদ্য প্রতিষ্ঠিত করে যে পাঁচ বা তার বেশি মাত্রার বহুপদী সমীকরণের র্যাডিকেলগুলিতে কোনও সমাধান থাকতে পারে না। তারপর থেকে গণিতবিদদের কাছে এটা স্পষ্ট হয়ে ওঠে যে পঞ্চম এবং উচ্চতর মাত্রার সমীকরণের সমাধান প্রকাশ করার জন্য র্যাডিকেলের বাইরে যেতে হবে। 1858 সালে, চার্লস হার্মাইট, লিওপোল্ড ক্রোনেকার এবং ফ্রান্সেসকো ব্রিওশি স্বাধীনভাবে আবিষ্কার করেন যে পঞ্চক সমীকরণটি উপবৃত্তাকার উত্তরণ দিয়ে সমাধান করা যেতে পারে। এটি র্যাডিকেলের একটি সাধারণীকরণ হিসাবে প্রমাণিত হয়েছিল, যা এইভাবে লেখা যেতে পারেঃ শুধুমাত্র এই সূচকীয়তার সীমাবদ্ধতার সাথে, যেমন গ্যালোয়া তত্ত্ব দ্বারা দেখানো হয়েছে, শুধুমাত্র আবেলিয়ান সম্প্রসারণের রচনাগুলি তৈরি করা যেতে পারে, যা শুধুমাত্র চতুর্থ ডিগ্রি এবং নীচের সমীকরণগুলির জন্য যথেষ্ট। উচ্চতর মাত্রার সমীকরণের জন্য আরও সাধারণ কিছু প্রয়োজন, তাই কুইন্টিক, হার্মাইট ইত্যাদি সমাধান করার জন্য। একটি উপবৃত্তাকার মডুলার ফাংশন দ্বারা এক্সপোনেনশিয়াল এবং একটি উপবৃত্তাকার ইন্টিগ্রাল দ্বারা ইন্টিগ্রাল (লগারিদম) প্রতিস্থাপন করে। ক্রোনেকার বিশ্বাস করতেন যে এটি আরও সাধারণ পদ্ধতির একটি বিশেষ ঘটনা। ক্যামিল জর্ডান দেখিয়েছেন যে কোনও বীজগাণিতিক সমীকরণ মডুলার ফাংশন ব্যবহার করে সমাধান করা যেতে পারে। 1870 সালে থমি এটি সম্পন্ন করেন। থমি উপবৃত্তাকার মডুলার ফাংশনকে আরও সাধারণ সিগেল মডুলার ফর্ম এবং উপবৃত্তাকার ইন্টিগ্রালকে একটি হাইপারেলিপ্টিক ইন্টিগ্রাল দ্বারা প্রতিস্থাপিত করে হার্মাইটের পদ্ধতিকে সাধারণীকরণ করেছিলেন। হিরোশি উমেমুরা এই মডুলার ফাংশনগুলিকে উচ্চতর জেনাস থিটা ফাংশনের পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করেছিলেন। সূত্রঃ যদি আমাদের একটি বহুপদী ফাংশন থাকেঃ জটিল সংখ্যার একটি নির্দিষ্ট উপক্ষেত্রের উপর অপরিবর্তনীয়, তবে এর মূলগুলি শূন্য যুক্তির (থিটা ধ্রুবক) থিটা ফাংশনগুলির সাথে জড়িত নিম্নলিখিত সমীকরণ দ্বারা প্রকাশ করা যেতে পারেঃ নিম্নলিখিত হাইপারেলিপটিক ইন্টিগ্রালগুলির মধ্যে একটি থেকে প্রাপ্ত পিরিয়ড ম্যাট্রিক্স কোথায়। যদি বিজোড় মাত্রার হয়, তাহলে, অথবা যদি জোড় মাত্রার হয়, তাহলে, এই সূত্রটি কোনও মাত্রার যে কোনও বীজগাণিতিক সমীকরণের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য, যার জন্য কোনও নির্দিষ্ট স্বাভাবিক আকারে সমীকরণটি আনার জন্য টিশার্নহাউস রূপান্তর বা অন্য কোনও কারসাজির প্রয়োজন নেই, যেমন কুইন্টিকের জন্য ব্রিং-জেরার্ড ফর্ম। যাইহোক, বাস্তবে এই সূত্রের প্রয়োগ কঠিন কারণ প্রাসঙ্গিক হাইপারেলিপটিক ইন্টিগ্রাল এবং উচ্চতর জেনাস থিটা ফাংশনগুলি খুব জটিল। রেফারেন্স রিম্যান সংখ্যা তত্ত্বে উপপাদ্যগুলি বহুপদী সমীকরণ মডুলার আকারে উপস্থাপন করেন