Monsky's theorem
জ্যামিতিতে, মনস্কির উপপাদ্য বলে যে একটি বর্গক্ষেত্রকে বিজোড় সংখ্যক সমান আয়তনের ত্রিভুজে বিভক্ত করা সম্ভব নয়। অন্য কথায়, একটি বর্গক্ষেত্রের একটি বিজোড় সমবিভাজন থাকে না। 1965 সালে আমেরিকান ম্যাথমেটিকাল মান্থলিতে ফ্রেড রিচম্যান এই সমস্যাটি উত্থাপন করেন এবং 1970 সালে পল মনস্কি তা প্রমাণ করেন। প্রুফ মনস্কির প্রমাণটি সমন্বিত এবং বীজগাণিতিক কৌশলগুলির সংমিশ্রণ করে এবং রূপরেখাটি নিম্নরূপঃ বর্গক্ষেত্রটিকে একক বর্গক্ষেত্র হিসাবে গ্রহণ করুন যার শীর্ষগুলি (0,0), (0,1), (1,0) এবং (1,1)। যদি সমান আয়তনের n ত্রিভুজের মধ্যে একটি বিভাজন থাকে তবে প্রতিটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 1/n হবে। বর্গক্ষেত্রের প্রতিটি বিন্দুকে তার স্থানাঙ্কের 2-অ্যাডিক মূল্যায়নের উপর নির্ভর করে তিনটি রঙের মধ্যে একটি দিয়ে রঙ করুন। দেখান যে একটি সরলরেখায় মাত্র দুটি রঙের বিন্দু থাকতে পারে। স্পার্নারের লেম্মা ব্যবহার করে দেখান যে বর্গক্ষেত্রের প্রতিটি ত্রিভুজকে প্রান্ত থেকে প্রান্ত পর্যন্ত মিলিত ত্রিভুজে কমপক্ষে একটি ত্রিভুজ থাকতে হবে যার শীর্ষে তিনটি ভিন্ন রঙ রয়েছে। সরলরেখার বৈশিষ্ট্য থেকে উপসংহারে আসা যায় যে, বর্গক্ষেত্রের প্রতিটি বিভাজনে ত্রিভুজে একটি ত্রিবর্ণ ত্রিভুজ অবশ্যই থাকতে হবে, অগত্যা প্রান্ত-থেকে-প্রান্তের সাথে মিলিত হবে না। কার্টেসিয়ান জ্যামিতি ব্যবহার করে দেখান যে একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের 2-অ্যাডিক মূল্যায়ন যার শীর্ষে তিনটি ভিন্ন রঙ রয়েছে তা 1 এর চেয়ে বেশি। সুতরাং ত্রিভুজে বর্গক্ষেত্রের প্রতিটি বিভাজনে কমপক্ষে একটি ত্রিভুজ থাকতে হবে যার ক্ষেত্রফল 2-অ্যাডিক ভ্যালুয়েশন 1 এর চেয়ে বেশি। যদি n বিজোড় হয় তবে 1/n এর 2-অ্যাডিক ভ্যালুয়েশন হল 1, তাই বর্গক্ষেত্রটিকে ত্রিভুজে বিভক্ত করা অসম্ভব যার সবকটির আয়তন 1/n। সর্বোত্তম বিভাজন মনস্কির উপপাদ্য অনুসারে, একটি বর্গক্ষেত্রকে বিজোড় সংখ্যক ত্রিভুজে বিভক্ত করার জন্য বিভিন্ন আয়তনের ত্রিভুজ থাকা প্রয়োজন। একটি বর্গক্ষেত্রকে বিজোড় সংখ্যক ত্রিভুজে বিভক্ত করার জন্য যে ক্ষেত্রের পার্থক্য অবশ্যই ঘটতে হবে তার জন্য নিম্ন সীমানা এবং সর্বোত্তম বিভাজনগুলি অধ্যয়ন করা হয়েছে। সাধারণীকরণ উপপাদ্যটিকে উচ্চতর মাত্রায় সাধারণীকরণ করা যেতে পারেঃ একটি এন-মাত্রিক হাইপারকিউবকে কেবল সমান আয়তনের সরলতায় ভাগ করা যেতে পারে, যদি সরলতার সংখ্যা n!-এর গুণিতক হয়। তথ্যসূত্র ইউক্লিডীয় সমতল জ্যামিতি বিচ্ছিন্ন জ্যামিতিতে উপপাদ্য জ্যামিতিক বিভাজন