Bochner's theorem (Riemannian geometry)
গণিতে, সলোমন বোচনার 1946 সালে প্রমাণ করেছিলেন যে ঋণাত্মক রিচি বক্রতা সহ একটি কম্প্যাক্ট রিম্যানিয়ান ম্যানিফোল্ডের যে কোনও কিলিং ভেক্টর ক্ষেত্র অবশ্যই শূন্য হতে হবে। ফলস্বরূপ ম্যানিফোল্ডের আইসোমেট্রি গ্রুপ অবশ্যই সসীম হতে হবে। আলোচনা এই উপপাদ্যটি বোচনারের আরও মৌলিক ফলাফলের একটি উপপাদ্য যা বলে যে ঋণাত্মক রিচি বক্রতার যে কোনও সংযুক্ত রিমানিয়ান বহুগুণের উপর, একটি শূন্যেতর হত্যাকারী ভেক্টর ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্যের স্থানীয় সর্বোচ্চ থাকতে পারে না। বিশেষ করে, ঋণাত্মক রিচ্চি বক্রতার একটি বদ্ধ রিম্যানিয়ান বহুবৃত্তের উপর, প্রতিটি কিলিং ভেক্টর ক্ষেত্র অভিন্নভাবে শূন্য। যেহেতু একটি সম্পূর্ণ রিমানিয়ান ম্যানিফোল্ডের আইসোমেট্রি গ্রুপ একটি লাই গ্রুপ যার লাই বীজগণিত স্বাভাবিকভাবেই কিলিং ভেক্টর ক্ষেত্রের ভেক্টর স্পেসের সাথে চিহ্নিত করা হয়, তাই এটি অনুসরণ করে যে আইসোমেট্রি গ্রুপটি শূন্য-মাত্রিক। বোচনারের উপপাদ্যটি এই সত্য থেকে অনুসরণ করে যে একটি বদ্ধ রিম্যানিয়ান ম্যানিফোল্ডের আইসোমেট্রি গ্রুপটি কম্প্যাক্ট। ভেক্টর ক্ষেত্র হত্যা করার ক্ষেত্রে বোচনারের ফলাফলটি নিম্নরূপ সর্বাধিক নীতির প্রয়োগ। রিচি বিনিময় পরিচয়ের প্রয়োগ হিসাবে, সূত্রটি একটি ছদ্ম-রিম্যানিয়ান ম্যানিফোল্ডের যে কোনও ভেক্টর ক্ষেত্রের জন্য ধারণ করে। একটি রিম্যানিয়ান মেট্রিকের ক্ষেত্রে, বাম দিকটি যে কোনও স্থানীয় সর্বোচ্চ দৈর্ঘ্যের ক্ষেত্রে অ-ধনাত্মক হয়। যাইহোক, ঋণাত্মক রিচি বক্রতার একটি রিম্যানিয়ান মেট্রিকের উপর, যেখানে শূন্য নয় সেখানে ডান দিকটি কঠোরভাবে ধনাত্মক হয়। সুতরাং যদি একটি স্থানীয় সর্বোচ্চ থাকে, তবে এটি অবশ্যই একটি পাড়ায় অভিন্নভাবে শূন্য হতে হবে। যেহেতু সংযুক্ত ম্যানিফোল্ডগুলিতে কিলিং ভেক্টর ক্ষেত্রগুলি একক বিন্দুতে তাদের মান এবং ডেরিভেটিভ থেকে অনন্যভাবে নির্ধারিত হয়, তাই এটি অবশ্যই অভিন্নভাবে শূন্য হতে হবে। উল্লেখ ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতিতে উপপাদ্য উপপাদ্য