Campbell's theorem (probability)
সম্ভাব্যতা তত্ত্ব এবং পরিসংখ্যানে, ক্যাম্পবেলের উপপাদ্য বা ক্যাম্পবেল-হার্ডি উপপাদ্য হয় একটি নির্দিষ্ট সমীকরণ বা ফলাফলের সেট যা একটি বিন্দু প্রক্রিয়ার উপর একটি ফাংশনের প্রত্যাশার সাথে সম্পর্কিত যা বিন্দু প্রক্রিয়ার গড় পরিমাপের সাথে জড়িত একটি অবিচ্ছেদ্য, যা গণনা করার অনুমতি দেয় প্রত্যাশিত মান এবং এলোমেলো যোগফলের বৈচিত্র্য। উপপাদ্যটির একটি সংস্করণ, যা ক্যাম্পবেলের সূত্র নামেও পরিচিত, একটি সাধারণ বিন্দু প্রক্রিয়ার উপর পূর্বোক্ত যোগফলের জন্য একটি অবিচ্ছেদ্য সমীকরণ অন্তর্ভুক্ত করে, এবং অগত্যা একটি পয়সন বিন্দু প্রক্রিয়া নয়। মুহূর্ত পরিমাপ এবং ফ্যাক্টরিয়াল মুহূর্ত পরিমাপের সাথে জড়িত সমীকরণও রয়েছে যা ক্যাম্পবেলের সূত্রের সংস্করণ হিসাবে বিবেচিত হয়। এই সমস্ত ফলাফলগুলি বিন্দু প্রক্রিয়া এবং সারি তত্ত্বের তত্ত্বের পাশাপাশি সম্পর্কিত ক্ষেত্রগুলিতে স্টোকাস্টিক জ্যামিতি, কন্টিনিউয়াম পারকোলেশন তত্ত্ব এবং স্থানিক পরিসংখ্যানে একটি বিশেষ গুরুত্ব সহ সম্ভাব্যতা এবং পরিসংখ্যানে নিযুক্ত করা হয়। ক্যাম্পবেলের উপপাদ্য নামে আরেকটি ফলাফল বিশেষভাবে পয়সন বিন্দু প্রক্রিয়ার জন্য এবং একটি পয়সন বিন্দু প্রক্রিয়ার ল্যাপ্লাস কার্যকারিতার পাশাপাশি মুহূর্ত গণনার জন্য একটি পদ্ধতি দেয়। উভয় উপপাদ্যের নাম ভ্যাকুয়াম টিউবগুলিতে থার্মিওনিক গোলমালের উপর নরম্যান আর ক্যাম্পবেলের কাজ থেকে উদ্ভূত, যা শট গোলমাল নামেও পরিচিত, যা আংশিকভাবে আলফা কণা সনাক্তকরণের উপর আর্নেস্ট রাদারফোর্ড এবং হ্যান্স গিগারের কাজ দ্বারা অনুপ্রাণিত হয়েছিল, যেখানে হ্যারি বেটম্যানের ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একটি পরিবারের সমাধান হিসাবে পয়সন পয়েন্ট প্রক্রিয়া উদ্ভূত হয়েছিল। ক্যাম্পবেলের রচনায়, তিনি বাস্তব লাইনে একটি পয়সন প্রক্রিয়ার এলোমেলো যোগফলের মুহূর্ত এবং উৎপন্ন ফাংশন উপস্থাপন করেছেন, তবে মন্তব্য করেছেন যে মূল গাণিতিক যুক্তিটি জি. এইচ. হার্ডির কারণে হয়েছিল, যা ফলাফলটিকে কখনও কখনও ক্যাম্পবেল-হার্ডি উপপাদ্য হিসাবে অভিহিত করতে অনুপ্রাণিত করেছে। পটভূমি ডি-ডাইমেনশনাল ইউক্লিডিয়ান স্পেসে সংজ্ঞায়িত একটি বিন্দু প্রক্রিয়ার জন্য, ক্যাম্পবেলের উপপাদ্য একটি বাস্তব-মূল্যবান ফাংশনের প্রত্যাশা গণনা করার একটি উপায় প্রদান করে যার উপরও সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে এবং সংক্ষেপে বলা হয়েছে, যথাঃ যেখানে প্রত্যাশা বোঝায় এবং সেট স্বরলিপি এমনভাবে ব্যবহার করা হয় যা একটি এলোমেলো সেট হিসাবে বিবেচিত হয় (পয়েন্ট প্রক্রিয়া স্বরলিপি দেখুন)। একটি বিন্দু প্রক্রিয়ার জন্য, ক্যাম্পবেলের উপপাদ্যটি তীব্রতার পরিমাপের সাথে উপরের প্রত্যাশাকে সম্পর্কিত করে। একটি বোরেল সেট বি-এর সাপেক্ষে এর তীব্রতা পরিমাপকে এভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়ঃ যেখানে পরিমাপের স্বরলিপিটি এমনভাবে ব্যবহার করা হয় যা একটি এলোমেলো গণনা পরিমাপ হিসাবে বিবেচিত হয়। পরিমাণটিকে সেট বি-তে অবস্থিত বিন্দু প্রক্রিয়ার গড় সংখ্যা হিসাবে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে। প্রথম সংজ্ঞাঃ সাধারণ বিন্দু প্রক্রিয়া ক্যাম্পবেলের উপপাদ্যের একটি সংস্করণ তীব্রতা পরিমাপ সহ একটি সাধারণ (অপরিহার্যভাবে সহজ নয়) বিন্দু প্রক্রিয়ার জন্যঃ এটি ক্যাম্পবেলের সূত্র বা ক্যাম্পবেলের উপপাদ্য নামে পরিচিত, যা বাস্তব রেখার পরিসীমা সহ পরিমাপযোগ্য ফাংশনের যোগফলের প্রত্যাশা গণনা করার জন্য একটি পদ্ধতি দেয়। আরও সুনির্দিষ্টভাবে, একটি বিন্দু প্রক্রিয়া এবং একটি পরিমাপযোগ্য ফাংশনের জন্য, বিন্দু প্রক্রিয়ার যোগফল সমীকরণ দ্বারা দেওয়া হয়ঃ যেখানে সমীকরণের একটি দিক যদি সীমাবদ্ধ হয়, তবে অন্য দিকটিও তাই। এই সমীকরণটি মূলত ফুবিনির উপপাদ্যের একটি প্রয়োগ এবং এটি সরল হোক বা না হোক, বিস্তৃত শ্রেণীর বিন্দু প্রক্রিয়াগুলির জন্য প্রযোজ্য। অবিচ্ছেদ্য স্বরলিপির উপর নির্ভর করে, এই অবিচ্ছেদ্যটিকে এইভাবেও লেখা যেতে পারেঃ যদি একটি বিন্দু প্রক্রিয়ার তীব্রতা পরিমাপের ঘনত্ব থাকে, তবে ক্যাম্পবেলের সূত্রটি হয়ে যায়ঃ স্থির বিন্দু প্রক্রিয়া ধ্রুবক ঘনত্ব সহ একটি স্থির বিন্দু প্রক্রিয়ার জন্য, ক্যাম্পবেলের উপপাদ্য বা সূত্রটি একটি আয়তনের অবিচ্ছেদ্য অংশে হ্রাস পায়ঃ এই সমীকরণটি স্বাভাবিকভাবেই সমজাতীয় পয়সন বিন্দু প্রক্রিয়াগুলির জন্য ধারণ করে, যা একটি স্থির স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়ার একটি উদাহরণ। প্রয়োগঃ সাধারণ বিন্দু প্রক্রিয়াগুলির জন্য র্যান্ডম সমষ্টি ক্যাম্পবেলের উপপাদ্যটি বিন্দু প্রক্রিয়ার সমস্ত বিন্দুর উপর একটি বিন্দুর (একটি বিন্দু প্রক্রিয়ার) ফাংশনের প্রত্যাশার গণনা করার জন্য একটি পদ্ধতি দেয়। বিন্দু প্রক্রিয়াগুলির উপর এই এলোমেলো যোগফলগুলির অনেক ক্ষেত্রে প্রয়োগ রয়েছে যেখানে এগুলি গাণিতিক মডেল হিসাবে ব্যবহৃত হয়। শট নয়েজ ক্যাম্পবেল মূলত ভালভে থার্মিওনিক নয়েজ বোঝার দ্বারা অনুপ্রাণিত এলোমেলো অঙ্কের একটি সমস্যা অধ্যয়ন করেছিলেন, যা শট-নয়েজ নামেও পরিচিত। ফলস্বরূপ, বিন্দু প্রক্রিয়াগুলির উপর যাদৃচ্ছিক যোগফলের অধ্যয়ন সম্ভাব্যতায় শট নয়েজ এবং বিশেষত, বিন্দু প্রক্রিয়া তত্ত্ব হিসাবে পরিচিত। বেতার নেটওয়ার্কে হস্তক্ষেপ বেতার নেটওয়ার্ক যোগাযোগে, যখন কোনও ট্রান্সমিটার কোনও রিসিভারকে সংকেত পাঠানোর চেষ্টা করে, তখন নেটওয়ার্কের অন্যান্য সমস্ত ট্রান্সমিটারকে হস্তক্ষেপ হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে, যা তথ্য তত্ত্বের উপর ভিত্তি করে তথ্য পাঠানোর ক্ষমতার ক্ষেত্রে প্রচলিত তারযুক্ত টেলিযোগাযোগ নেটওয়ার্কে শব্দের মতো একই সমস্যা তৈরি করে। যদি হস্তক্ষেপকারী ট্রান্সমিটারগুলির অবস্থান কোনও বিন্দু প্রক্রিয়া গঠন করে বলে ধরে নেওয়া হয়, তবে শট নয়েজ তাদের হস্তক্ষেপকারী সংকেতগুলির সমষ্টি মডেল করতে ব্যবহার করা যেতে পারে, যা বেতার নেটওয়ার্কগুলির স্টোকাস্টিক জ্যামিতি মডেলের দিকে পরিচালিত করেছে। সাধারণীকরণ সাধারণ বিন্দু প্রক্রিয়াগুলির জন্য, ক্যাম্পবেলের উপপাদ্যের অন্যান্য আরও সাধারণ সংস্করণগুলি এলোমেলো যোগফলের প্রকৃতির উপর নির্ভর করে এবং বিশেষত বিন্দু প্রক্রিয়ার উপর সংক্ষিপ্ত করা ফাংশনের উপর নির্ভর করে। একাধিক বিন্দুর কার্যকারিতা যদি ফাংশনটি বিন্দু প্রক্রিয়ার একাধিক বিন্দুর একটি ফাংশন হয়, তবে বিন্দু প্রক্রিয়ার মুহূর্ত পরিমাপ বা ফ্যাক্টরিয়াল মুহূর্ত পরিমাপের প্রয়োজন হয়, যা এলোমেলো চলকের মুহূর্ত এবং ফ্যাক্টরিয়ালের সাথে তুলনা করা যেতে পারে। প্রয়োজনীয় পরিমাপের ধরন নির্ভর করে এলোমেলো যোগফলের বিন্দু প্রক্রিয়ার বিন্দুগুলি স্বতন্ত্র হতে হবে নাকি পুনরাবৃত্তি হতে পারে তার উপর। যখন পয়েন্টগুলি পুনরাবৃত্তি করার অনুমতি দেওয়া হয় তখন পুনরাবৃত্তি পয়েন্ট মুহুর্তের ব্যবস্থা ব্যবহার করা হয়। যখন পয়েন্টগুলি পুনরাবৃত্তি করার অনুমতি দেওয়া হয় না তখন স্বতন্ত্র পয়েন্ট ফ্যাক্টোরিয়াল মুহূর্ত পরিমাপ ব্যবহার করা হয়, তাই পয়েন্টগুলি স্বতন্ত্র। বিন্দুর কার্যকারিতা এবং বিন্দু প্রক্রিয়া সাধারণ বিন্দু প্রক্রিয়াগুলির জন্য, ক্যাম্পবেলের উপপাদ্যটি শুধুমাত্র বিন্দু প্রক্রিয়ার একটি বিন্দুর ফাংশনের যোগফলের জন্য। একক বিন্দুর পাশাপাশি সমগ্র বিন্দু প্রক্রিয়ার একটি ফাংশনের যোগফল গণনা করার জন্য, সাধারণ ক্যাম্পবেলের উপপাদ্যগুলি বিন্দু প্রক্রিয়ার পাম বিতরণ ব্যবহার করে প্রয়োজন, যা পাম তত্ত্ব বা পাম ক্যালকুলাস নামে পরিচিত সম্ভাবনার শাখার উপর ভিত্তি করে। দ্বিতীয় সংজ্ঞাঃ পয়সন বিন্দু প্রক্রিয়া ক্যাম্পবেলের উপপাদ্যের আরেকটি সংস্করণ বলে যে তীব্রতা পরিমাপ এবং পরিমাপযোগ্য ফাংশন সহ একটি পয়সন বিন্দু প্রক্রিয়ার জন্য, এলোমেলো যোগফল সম্ভাব্যতা এক-এর সাথে সম্পূর্ণরূপে অভিসারী হয় যদি এবং কেবলমাত্র যদি অবিচ্ছেদ্য এই অবিচ্ছেদ্য অংশটি সীমাবদ্ধ হয়, তবে উপপাদ্যটি আরও জোর দিয়ে বলে যে কোনও জটিল মানের জন্য সমীকরণটি ধরে রাখে যদি ডান দিকের অবিচ্ছেদ্য অংশটি একত্রিত হয়, যা বিশুদ্ধ কাল্পনিক ক্ষেত্রে হয়। উপরন্তু, এবং যদি এই ইন্টিগ্রালটি একত্রিত হয়, তবে যেখানে র্যান্ডম যোগফলের বৈচিত্র্য বোঝায়। এই উপপাদ্য থেকে পয়সন বিন্দু প্রক্রিয়ার জন্য কিছু প্রত্যাশার ফলাফল অনুসরণ করা হয়, যার মধ্যে রয়েছে ল্যাপলেস কার্যকরী। প্রয়োগঃ ল্যাপ্লাস কার্যকরী তীব্রতা পরিমাপ সহ একটি পয়সন বিন্দু প্রক্রিয়ার জন্য, ল্যাপ্লাস কার্যকরী ক্যাম্পবেলের উপপাদ্যের উপরের সংস্করণের একটি পরিণতি এবং এটি দ্বারা দেওয়া হয়ঃ যা সমজাতীয় ক্ষেত্রে হয়ঃ